/
Текст
r. с. БАРАНЕНКОВ, Б. п. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО,
С. М. KOrAH, r. л. лунц, Е. Ф. ПОРllIНЕВА, Е. п. СЫЧЕВА,
С. В. ФРОЛОВ, Р. я. ШОСТ АК, А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ПОД РЕДАКЦИЕй
Б. п. ДЕМИДОВИЧ А
ИЗДАНИЕ ШЕСТОВ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено М инистерством.
8ысше2tJ и средне20 сnециа.llЬНО20 образования РСФСР
в качестве уче6НО20 пособия
дА. высших технических уче6ных заведений
е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
r ЛАВНАЯ РЕДАI\ЦИЯ
ФИЗИI<О-МА ТЕМА ТИЧ ЕСКОЙ ЛИТЕР А ТУРЫ
м о с к в А 1968
617.2
Б 24
ДK 510(076.1)
8аД8ЧИ и упражнения по математическому анапизу
для втузов
Под редакцией Б. П. Д ем.идовича.
М., 1968 r., 472 стр. с ипn.
Редактор А. П. Баева.
Техп. редактор К. Ф. Брудно. Корректор А. В. Ба1(gАОlfL
Печать с матриц. Подписано к печати 8/IV 1968 r. Бумаrа 60Х90 1 / 1е . Физ. печ. n. 21,5.
Условн. леч. л. 29,5. Уч.-изд. л. 30,98. Тираж 150 000 экз.
Цева книrи 97 коп. Заказ Н!! 2605
Издательство «Наука:..
rлавная редакция физико-математической литературы.
MO KBa, В-71, Ленинский проспеит, 15.
Ордена Трудовоrо KpaCHoro Знамени Первая Образцовая типоrрафИJl
имени А. А. Жданова rлавполиrрафпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-3
2-68
оrЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию .... . . . . . . . .. 1
Предисловие к четвертому издаНИIО . . . . . . . . . . . . .. 8
Предисловие к пятому изданию ........ . . . .. 8
fлава 1. Введение в анаJlИЗ . . . .. 9
1. Понятие функци и . . . . . . .. 9
9 2. rрафики элементарных функций . . . . . .. 14
3. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
4. Бесконечно малые и бесконечно большие . . . . . . . . . .. 31
5. Непрерывность функциЙ . . . . . . . . . .. 34
r л а в а 11. Дифференцирование функций . . . . .. 40
1. Непосредственное вычисление производных . .. . . . .. 40
2. Табличное дифференцирование . . . . . . . . . . .. 44
3. Производные фУНt{ций, не являющихся явно заданными ... 54
4. rеометрические и механические приложения производной . .. 58
5. Производные ВЫСШИХ порядков . . . . . . . . . . . .. 64
6. Дифференциалы первоrо и высших порядков . . . .. 68
7. Теоремы о среднем . . . . .. ..... . . . .. 72
8. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . 73
9. Правило Лопиталя
Бернулли раскрытия неопределенностей. 75
r л а в а 111. Экстремумы функции и rеометрические ПРИJlожения
производной . . . . . . . . . . . . . . .. 79
1. Экстремумы функции одноrо aprYMeHTa . . .. 79
2. Направление Боrнутести. Точки переrиба . . . . . . . . .. 87
3. Аси мптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. 89
4. Построение rрафиков функций по характерным точкам . . .. 91
5. Дифференциал дуrи. Кривизна . . . . . . . . . . . . 97
r л а в а IV. НеопредеJlенный интеrраJl . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Э 1. Непосредственное интеrрирование . . . . . . . . . . . . . . 102
Э 2. Ме10Д подстановки . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 108
Э 3. Интеrрирова ние по частям . . . . . . . . . 111
4. Простейшие интеrралы, содержащие квадратный трехчлен . . 113
5. Интеrрирование рациональных функций .... . . . 116
6. Интеrрирование некоторых иррациональных функций . . . . . 120
1*
4
оrЛАВЛЕНИЕ
7. Интеrрирование триrонометрических функций . . . . . . . . . 123
8. Интеrрирование rиперболических функций . . . . . . . . . . 128
9. Применение триrонометрических и rиперболич еских подст ано-
ВОК дЛЯ нахождения интеrралов вида 5 R (х, У ах2+ Ьх + с ) dx,
rде R рациональная функция . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10. Интеrрирование различных трансцендентных функций . . 130
11. Применение формул приведения ....... . . . . . 131
12. Интеrрирование разных функций . . . 131
r л а в а У. Определен ный интеrрал . . . . . . . . .. . . . . 133
1. Определен ный интеrрал как предел суммы . . . . .. .. 133
2. Вычисление определенных интеrралов с помощью неопреде-
лен н ы х . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3. Несобствен ные интеrралы .......... . . 138
4. Замена переменной в определенном интеrрале . . . . . 141
5. И нтеrрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6. Теорема о среднем значении . . . . 145
7. Площади плоских фиrур . . . . . . . . 147
8. Длинадуrикривой. .. .. ...............153
9. Объемы тел ........ . . . . . . . 155
10. Площадь поверхности вращения . . . . . . 160
11. Моменты. l eHTpbI тяжести. Теоремы rульдена 162
12. Приложения определенных интеrралов к решению физических
за да ч . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 166
r л а в а VI. Функции нескольких переменных . . . . . . . 172
1. Основные понятия. . . . . . . . .172
2. Непрерывность ......... . . 175
3. Частные ПрОИЗ80дные . . . . . . . . . . . . 177
4. Полный дифференциал функции . . . . . . . 179
5. Дифференцирование сложных функций . . . . . 182
6. Производная в данном направлении и rрадиент функции . 185
7. Производные и дифференциалы высших порядков .. ... 188
8. Интеrрирование полных дифференциалов . . . . . . 193
9. Дифференцирование неявных функций . . . . ... . 195
10. Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . 207
12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. . 210
13. Экстремум функции неск'ольких переменных . . . . . . . . . 212
14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
функций ................ . . . 216
15. Особые точки плоских кривых . . . . . . . . . . 219
1 б. Оrибающая ............. . . . 221
17. Длина дуrи пространственной кр ивой . . 222
оrЛАВЛЕНИЕ
5
18. Вектор функции скалярноrо арrумепта . . . . . . . .
19. Естественный трехrранник пространственно рИ80j
20. Кривизна и кручение пространственной кривой .....
. . 223
. . 226
. . 230
r лава VII. KpaTHbIr и КРИВf}линейные Иfll'еrралы .... .233
Двойной интеI'рал в прямоуrОЛЫ1ЫХ координатах . . . . 233
Замена переменных в двойном интеrрале . . . . . . 239
Вычисление П.ТIощадей фиrур . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Вычисление объемов тел . . . . . . . . . . . . . . . 244
Вычисление площадей поверхностей . . . . . . 246
Приложения двойноrо интеrрала к механике 247
Тройные интеrралы .. . . . . . . . . . . . 248
Несобственные интеrралы, зависящие от параметра. Н есобст-
венные кратные интеrралы . . 255
Криволинейные интеrралы . . . . . . . . . 259
rIoBep х ностные интеrралы . . . . . . . . . . 269
Формула Остроrрадскоrо raycca . . . . . . 271
Элеме нты теории поля . . . ..... . . . . . . . . . . 2'lЗ
э 1.
2.
3.
4.
5.
9 6.
9 7.
8.
9 9.
9 10.
9 11.
9 12.
rлава VI 1 1. РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . 277
1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . 277
9 2. Фу нкцио нальные ряды . . 288
9 3. РЯД Тейлора . . . . . . . . . . . 295
4. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . 301
r л а в а IX. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . З06
9 1. Проверка решений. Составление диффе ::)енциальных уравне-
ний семейств кривых. Н а чальные ус.лозия . . . . . . . . . . 306
9 2. Диффер енциальные уравнения l-ro порядка . . . . . . . . . . З08
9 3. Дифференциальные уравнения l-ro lIорядка с разделяющимися
перемен ными. Ортоrональные траектории . . . . . . . . . . . Зl О
4. Однородные дифференциальные уравнения l-ro порядка . . . . З14
Э 5. Линейные дифференциальные уравнения l-ro порядка. У равне-
ния Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9 6. У равнения в полных дифференциалах. ИнтеrРИРУIОЩИЙ множи-
тель . . . . . . . . . . . . .
........
318
9 7. Дифференциальные уравнения l-ro порядка, не разрешенные
относительно производной . . . . . . . . 320
8. У равнения Лаrранжа и Клеро . . . . . . . . . 322
9 9. Смешанные дифференциальные уравнения l-ro порядка . . . . . 324
10. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . 329
9 11. Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . 332
9 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-ro порядка с посто-
янными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . 334
6
оrЛАВЛЕНИЕ
13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф-
фициентами ПОРЯДI(а выше 2..ro . . . . . . . . . . . 340
14. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . 342
16. Интеrрирование дифференциальных уравнениЙ с помощью
степенных рядов . . . . ....... . . . 344
17. Задачи на метод Фурье . . . . . . 346
r л а в а Х. Приближенные вычисления . . . . . 350
1. Действия с приближенными числами . . . . .. . . 350
2. Интерполирование функций ...... . . . . . . 355
3. Вычисление действительных корней уравнений . . . . 359
4. Численное и нтеrрирование функций . . . . . . . . . . 365
5. Численное интеrрирование обыкновенных дифференциальных
u
уравнении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. 368
. 376
6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
. . . .
. .
Ответы . . . .
. . . .
. . .
. .
. . . .
. .
. .
. .
. .
378
n риложения .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
1. rреческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . 460
11. Некоторые постоян ные . . . .. ..... . . . . . . . . 460
111. Обратные величины, степени, корни, лоrарифмы . . . . . . . . 461
lУ. Триrонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
У. Показательные, rиперболические и триrонометрические функции 464
VI. Некоторые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
из ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
в сборнике подобраны задачи и примеры по математическому
анализу применительно к максимальной nporpa IMe общеrо курса
высшей математики высших технических учебных заведений. Сбор-
ник содержит свыше 3000 задач, систем атически расположенных в
rлавах (1 Х), и охватывает все разделы втузовскоrо курса выс-
шей математики (за исключением аналитичеСI<ОЙ rеометрии). Особое
внимание обращено на важнейшие- разде.1Ы курса, треБУIОlцие проч-
ных навыков (нахождение пределов, те ника дифференцирования,
построение rрафиков функций, техника интеrрировзнии, приложения
определенных интеrралов, ряды, решение дифференuиальных урав-
нений).
Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных rлав
курса математики, авторы включили задачи на теОрИIО поля, метод
Фурье и приближенные вычисления. rlРИВI денное количество задач,
как показывает практика преподавания, не только с избытком У дов-
летворяет потребности студентов по практическому закреплению
соответствующих разделов курса, но и дает возможность препо-
давателю разнообразить выбор задач в пределах данноrо раздела
и подбирать задачи для итоrовых заданий и контрольных работ.
В основном зада чник предназна чен для студентов-заочников н
студентов вечерних факультетов технических вузов машиностроитель-
ных специальностей, а TaK)I(e лиц, занимаI{)ЩИХСЯ са 100бразованием.
В начале каждой rлавы дается краткое теоретическое введение и
приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соот-
ветствующему разделу курса. Здесь же показаны образuы решениЙ
особо важных типовых задач. Это оБСТОSlтельство, 110 нашему мне-
нию, в значительной мере облеrчит сту денту заочнику пользование
задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задаЧIl
даны ответы; в задачах, отмеченных Iвездочкой (*) или двумя
звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие
указания к решениям или решения. Дли наrлядности часть задач
ИЛJ1юстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате мноrолетнеrо преподавания
авторами высшей математики в технических учебных заведениях
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К пятому ИЗДАНИЮ
r. Москвы. В нем, кроме ориrинальных задач и примеров, поме-
щены мноrочисленные общеизвестные задачи, а также ряд задач
и примеров из сущеСТВУIОЩИХ руководств. В частности, был широко
использован изданный на правах рукописи «Задачник по высшей
математике» (Москва, изд. lV\BTY, 1944 r.) коллективный труд
преподавателей кафедры высшей ма тематики МВТУ, в числе
которых, кроме некоторых авторов настоящеrо сборника, были
также ныне скончавшиеся И. [1. Ветчинкин и С. Ф. Шурлапов.
Хотя работа между авторами в основном была распределена
по rлавам, каждый автор, как член aBTopcKoro коллектива, несет'
ПОЛНУIО ответственность за весь сборник в целом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание сборника незначительно отличается от пре
дыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и ответах.
В некоторых местах несущественно изменены формулировки. До-
бавлено несколько новых задач, номера которых, с целью coxpa
нения старой нумерации, оформлены с помощью дробной десятич
ной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно
после NQ 2016, имеют номера 2016.1, 20116.2 и т. п.
О всех замечаниях и пожеланиях по поводу сборник а авторы
просят сообщить по адресу: Москва, B 71, Ленинский проспект, 15,
Издательство «Наука», [лавная редакция физико матеl\1атической
лит.ературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Пятое издание сборника напечатано с матриц четвертоrо и
отличается от Hero лишь некоторыми исправлениями опечаток
в тексте и ответах.
Большая часть замеченных опечаток сообще\На В. В. Третья
ICOBblM, которому авторы выражают свою блаrодарность.
Москва, 1965 r.
Авторы
rЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1. Понятие функции
10. Пей с т в и т е л ь н ы е ч и с л а. Числа рациональные и иррацио-
нальные носят название действительных, или вещественных, чисел. Под аб-
солютной величиной дейст вительноrо числа а понимается неоrрицательное
число I а I , определяемое условиями: I а , == а, если а О, и I а I ==......... а, если
а < О. ДЛЯ любых вещественных чисел а и Ь справедливо неравенство
I а + Ь I I а 1+ I Ь 1.
20. О п р е Д е л е н и е Ф у н к Ц и и. Если каждому значению *) перемен-
ной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е,
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у на-
зывается функцией (однозначной) от х, или заRИСИ.мой nере.менной, опреде-
ленной на множестве Е; х наЗhlвается арсу.менто.м, или незаRиси.мой nере-
менной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражают
записью: у == f (х) или у === F (х) и т. п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называется .мносозначной функцией от х, определенной на множестве Е.
В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать тоЛько о Д н о-
з н а ч н ы е функции, если явно не oroBopeHo противное.
30. О б л а с т ь с у Щ е с т в о в а н и я Ф у н к Ц и и. Совокупность значе-
ний х, для которых данная функция определена, называется областью суи{е-
сmвования, или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет
собой: или оmрезок (сес.мрнт) [а, Ь], т. е. множество вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а x Ь; или nро.межуто!\' (интервал) (а, Ь),
т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь. Но возможна и более сложная структура области существования
функции (см., например, задачу 21).
При м е р 1. Определить область существования ФУНКЦИИ
1
у === v х' 1 ·
Реш е н и е. Функция определена, если
х 2 1 > О,
*) в дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предпо-
лаrаться вещественными, если явно не oroBopeHo противное.
10
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
Т. е. если I х 1> 1. Таким образом, область существования ФУНКЦИИ представ-
ляет собой совокупность двух интервалов: 00 < х < 1 и 1 < х < + со.
40. О б Р а т н ы е Ф у н J( Ц и и. Если уравнение у == f (х) может быть одно-
значно разрешено относительно переменноrо х, т. е. существует функция
x==g(y) такая, что y == t[g (у)], то функция x==g(y), или в стандартных
обозначениях у == g (х), называется обратной по отношению к у == f (х). Оче-
видно, что g [f (х)] :=z;: х, т. е. функции f (х) и g (х) являются взаимно обрат-
ными.
В общем случае уравнение у == f (х) определяет мноrозначную обратную
функцию x==f l(y) такую, что y == f(t l(y) для всех у, являющихся значе-
ниями функции f (х).
При м е р 2. Для функции
у== 1 2 X (1)
определить обратную.
р е ш.е н и е. Решив уравнение (1) Относительно х, будем иметь:
2 X==1 y
и
Х Ig (1 у) *) (2)
19 2 ·
Область определения функции (2), очевидно, следующая: 00< у < 1.
50. С л о ж н ы е и н е я в н ы е Ф у н к Ц и и. Функция у от х, заданная
цепью равенств у == f (и), rде и ==!р (х) и т. п., называется сложной, или
функцией от функции.
Функция, заданнаЯ уравнением, не разрешенным относительно зависимой
переменной, называется неявноu. Например, уравнение х 8 + уЗ == 1 опреде-
ляет у как неявную функцию от х.
60. r раф и ч е с К о е и з о б Р а ж е н и е Ф у н к Ц и и. Множество точек
(х, у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением у == f (х).
называеIСЯ ерафико.м данной функции.
1. ** Доказать, что если а и Ь........... действительные числа, то
Ila 1 I Ь 11 I а Ь J I а 1 + 1 ь 1.
2. Доказать следующие равенства:
в) I : 1:== : 11 (Ь О);
r) V а 2 == 1 а 1.
а) Ix 11<3;
б) 1 х + 1 1 > 2;
4. Найти [( 1), 1(0),
f(x)===x 3 6х 2 + 11x 6.
5. На йти /( 0), 1 ( : ),
[(х)=== v 1 +х 2 .
6. Пусть l(x ):==arccos(lgx). Найти I ио ) , 1(1), /(10).
*) 19 х == 10glo Х, как всеrда, обозначает десятичный лоrарифм числа х.
а) I аЬ 1 == 1 а 1.1 ь 1;
б) 1 а 12 === а 2 ;
3. Решить неравенства:
в) I 2х + 1 1 < 1;
r) Ix 11<lx+l1.
1(1), 1(2), 1(3}, 1(4),
если
[( x),
I( ),
если
1
t (х) ,
1]
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
1 1
7. Функция I(x) линейная. Найти эту фУНКЦИIО, если
f( 1)==2 и f(2)=== 3.
8. Найти целую рациональную функцию [(х) второй степени, если
1(0)==1,/(1)==0 и 1(3)==5.
9. Известно, что [(4)== 2, [(5)==:6. Найти прибли)кенное зна-
чение 1(4, 3), считан ФУНКЦИЮ [(х) на участке 4 х 5 линейной
(лuнейная ин,те рпОЛЯI UЯ функции).
10. Функцию
[(х) == { о, если х О,
х, если х>О,
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной
величины.
Определить об ласти существова ния Ф УНКЦИЙ:
11. а) у===Ух+l; б) y===Vx+l. 17.y===lg : .
1 х 2 3х + 2
12. y== 4 x2 . 18.y==lg х+l' ·
V V 2х '
13. а) у== x2 2; б) у===х x2 2.v19.y===arccos l+x '
14.** y===Y 2+x x2 . 20. y===ar csin( lg ;o )'
15. у === v x + -v 1 . 21. у=== Vsin 2х.
2+х
16. у == v х х 3 .
22. Пусть f (х) == 2х"......... 3х 3 5х 2 + 6х ......... 10. Найти
ср(х)=== ; и(х)+л х)] и 'iJ(x)=== ; и(х) л х)].
2.3. Функция [(х), определенная в симметричной области
........l<x<l, называется четной, если [( x)===f(x), и нечеlnНОЙ,
если f( x)== f(x).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
а) лх) === ; (аХ +a X);
б) f (х) === V 1 + х + х 2 V 1 х + х 2 ;
в) f(x) === V (х + 1)2 + V (х......... 1 )2;
l+х
r) f (х) == 19 1 х ;
д) I(x) == 19 (х + Уl +х 2 ).
12
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
24*. Доказать, что всякую функцию [(х), определенную в интер-
вале 1 < х < 1, можно представить в виде суммы четной и нечет-
ной функций.
25. Доказать, что произведение двух четных функций или двух
llечетных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
С 26. Функция f (х) называется пери-
одической, если существует положи-
тельное число Т (период ФУНlCции)
такое) что f (х + Т) = f (х) для всех
зна че ний х, принадлежащих области
существования функции [(х).
А
/)
8
а
....l L le ... .. .... ... '
...... ..... .... .... .... -- ""- , ..... 1
..... с1 "1-: "т
А '.... С -,,,," /1 lJ 8
.... -. ...... .... ...
х
с
Рис. 1.
Рис. 2.
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и ,ДЛЯ периодических функций найти наименьp.IИЙ
период их Т:
а) [(х) == 10 sin 3х;
б) f (х) == а sin Ах + ь cos л х;
в) [(х) === V tg х ;
27. Выразить длину отрезка у === MN и площадь S фиrуры AMN
как функции от х === АМ (рис. 1). Построить rрафики этих функций.
28. Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня
АВ==I (рис. 2) на участках AC===l t , CD===/ 2 И DB==l.
(/1 + 12 + 18 == 1) равна соответственно ql' q2 И qз. Выразить массу т
nepeMeHHoro отрезка АМ == х этоrо стержня как функцию от х.
Построить rрафик этой функции.
29. Найти ер ['Ф (х)] и 'ф [ер (х)], если ер (х) === х 2 И 'ф (х) == 2 Х .
30. Найти / {/ [/(х)]} , если /(х) === 1 х ·
31. Найти f(x+ 1), если [(x 1)==х 2 .
32. rlYCTb f(n) есть сумма п членов арифметиче ской проrрессии.
Показать, что
f(n + 3) 3f(n+ 2) + 3f(n + 1) [(п) == о.
'!t
33. Показать, что если
[(х) ==kx + Ь
r) f (х) == sin 2 х;
д) f (х) === sin (УХ).
и числа х 1 , Х 2 ' Ха образуют арифметическую проrрессию, то числа
f(x 1 ), f(X,j И f(x,) также образуют арифметическую проrрессию.
1]
ПОНЯТИЕ функции
13
34. Доказать, что если I(x) есть покззательная ФУНКЦИЯ, Т. е.
[(х) == аХ (а> О), и числа X t , X 1 , Ха обраЗУIОТ арифметическую
проrрессию, то числа !(Х 1 ), l(x,J и f(x ) образуют rеометричеСКУIО
проrрессию.
35. Пусть
l+x
f (х) == Ig 1 ...... х ·
110казать, ЧТО
лх) + 1(Y) ===1 ( 1% ::и ) ·
1 1
36. Пусть q> (х) == 2" (аХ + а-- Х ) и 'ф (х) =="2 (аХ........ а-- Х ). Пока-
зать, что
ер (х + у) == ер (х) ер (у) + 'р (х) '1' (у)
'1' (х + у) == <р (х) '1' (у) + ер (у) '1' (х).
37. Найти [( 1), 1(0), [(1), если
{ arcsin х при 1 х О,
I(x) == arctg х при 0< х < + 00.
38. Определить корни (нули), области положительности и области
отрицательности ФУНКLlИИ у, если:
а) у == 1 + х; r) у == ха 3х;
б) y==2+x x2; д) y===lg l. x '
в) У === 1 ........ х + х 2 ;
39. Для функции у
а) у === 2х + 3;
и
б) У == х 2 t;
в) у== Vl x3;
В каких областях
40. Для функции
найти обратную, если:
х
r) у == Ig"2 ;
д) у === arctg 3х.
будут определены эти обратные функции?
J х, если х::::;; о,
y \ ха, если х>О,
найти обраТНУIО.
41. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено
которой содеРII(ИТ простейшую элементарную ФУНКЦИIО (степенную,
показательную, триrонометрическую И т. п.):
х
а) y==(2x 5)'O; в) y===lgtg2";
б) у === 2cOS X ; r) у == arcsin (з Х2).
14
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rп. 1
42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде
одноrо равенства:
а) у==и 2 , u==sinx;
б) у == arctg и, и == YV, v == 19 х;
{ 2и, если и О,
в) y О, если и>О;
и === х 2 ........ 1.
43. Записать в явном виде функции у заданные уравнениями:
а) х 2 ........ arccos у == 11;
б) 10 Х + 1 ()у == 10;
в) x+ly/==2y.
Найти области определения данных неявных функций.
2. rрафики элементарных функций
Построение rрафиков ф нкций у: f (х) в основном ПРОИЗВОДИТСЯ путем
наметки достаточно rустой сети точек M i (Xi' Yi), rде У; ===. f (х;} (i== О, 1 t 2, .. .),
и соединения ПоследНИХ некоторой линией, характер которой учитывает по-
ложение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется пользоваться
JIоrарифми ческой линейкой,
у
,......
.......'-.-........
-.. ...
............
..
......... у 1
"
'''..
..
..
-.
..
..
'.
'.
'.
".
.J
\
\
\
\
,
, {}
,
"
"
,
" ".,.-..
' > ..,...."....
.. .......
."""..."" .............
.....
А'
",
Рис. 3.
Построение rрафиков облеrчзет знакомство с rрафиками основных Э..тJе.
ментарных функций (СМ. приложение VI). Исходя из rрафика
У == f (х), (r)
g 2]
rРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ функциИ
15
"
с ПОМОЩЬЮ простых rеометрических построений получаем rрафики функций:
1) Уl == f (х) ........ зеркальное отображение rрафика r относительно оси ОХ;
2) У2 == f ( x) зеркальное отобра}кение rрафика r относительно оси ОУ;
З) Уа == f (х а) ...... rрафик r, смещенный вдоль оси ОХ на величину а;
4) У4, == Ь + f (х) ...... rрафик r, смещенный вдоль оси ОУ на величину Ь (рис. 3).
При м е р. Построить rрафик функции
y==sln (x ).
Реш е н и е. Искомая линия есть синусоида у == sin х, сдвинутая вдоль
п
оси ОХ вправо на величину ""4 (рис. 4).
у
у= SlП (x )
Рис. 4.
Построить rрафики линейных функций (прямые линии):
1
44. y==kx, если k===O, 1, 2, 2"' 1, 2.
45. у===х+Ь, если Ь===О, t, 2,.........1, 2.
46. у==1,5х+2.
Построить rрафики целых рациональных ФУНКЦИЙ 2-й степени
(параболы):
47. у == ахl, если а == 1, 2, ; , 1, 2, о.
48. У == х 2 + с, если с == О, 1, 2'......... 1.
49. у==(х.........х о )2, если ХО==О, 1'2'.........1.
50. У == У о + (х 1) 2, е сл и у о === О, 1, 2'......... 1.
51*. у==ах 2 +Ьх+с, если: 1) а== 1,b== 2, с === 3; 2) a== 2,
Ь==6, с==О.
52. У == 2 + х х 2 . Найти точки пересечения этой параболы
с осью ох.
Построить rрафики целых рациональных ФУНКЦИЙ степени выше
второй:
53* У == х 3 (кубuttестсая парабола).
54. у == 2 + (х........ 1)3.
55. У == ха 3х + 2.
56. У === х 4 .
57. У == 2х2 ......... х 4 .
16
ВВЕЛRНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
Построить rрафики дробно-линейиых функций (2uперболы):
1
58*. У==х.
1
59. У === 1 х ·
x 2
60. У == х + 2 ·
61*. У==УО+ x x . если хо== t, Yo== t, т==6.
о
2x 3
62* · У == 3х + 2 ·
Построить rрафики дробных рациональных функций:
1
63. У == х + .
х
х 2
64. У === х + 1 ·
1
65*. У === х 2 ·
1
66. У === х З ·
10
67*. у== х 2 + 1 (локон Аньезu).
2х
68. у == х 2 + 1 (серпентин, fJьюmона).
1
69. у==х +2.
х
70. у==х 2 + i. (mрезубец Ныотона).
х
Построить rрафики иррациональных функций:
71*0 y== Vx .
V
72. У === х.
V
73*. У === х 2 (парабола Нейля).
74. у == + х vx (полу/С-у бuческая парабола).
3 1/
75*. У == + "5 v 25........ х 2 (эллипс).
76. у == + V х 2 1 (2ипербола).
1
77 · У == V 1 -..... х 2 ·
78*. у== + х -v (циссоида ДиОlCлеса).
79. у === + х V 25 ...... хl.
2]
rРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Функпиit
11
а===6, b== 8.
96. У === 1 ......... 2 cos х.
97. У === siп х ; siп 3х.
1
98. У == cos х + 2" cos 2х.
99*. У === cos 11: .
Х
95. у == tg 2 х. 100. У === + V sin х .
Построить rрзфики показзтельных и лоrарифмических ФУНКЦИЙI
101. у === аХ, если а===2, ' е (е===2, 718 ...) *).
1
102*. У == 10g a x, если а === 1 О, 2, 2' е.
103*. у === sh х, rде sh х === (е Х e X).
104*. у===сЬх, rде cbx (e'"'+e X).
105*. y==thx, rде thx=== sh h X .
с Х
Построить rрафики rриrонометричеСI{ИХ ФУНКUИЙ:
80*. у === sin х. 83*. У === ctg х.
81*. у== cosx. 84*. y==secx.
82*. y===tgx. 85*. У==СОБесх.
1
86. У == А si n х, е сл и А == 1, 1 о, "2'...... 2.
87 '» . 1 2 3 1
. у......... s 1 n пх, е сл и п.........., , , 2 .
88 . ( ) О 11: Зл: 11:
· У == sln х....... ер, если <:р == , 2"' 2'""' л, 4" ·
89*. У == 5 sin (2х 3).
90*. у == а sin х + ь cos х, если
91. у ===sin х + cos х.
92*. У === cos 2 х.
93*. У ==х + sin х.
94*. У ==х sin х.
1
106. У == 1 ОХ.
107*. У === е-- х2 (кривая
108.
109.
110.
111.
112.
1
У === 2 х 2 .
У === Ig х 2 .
У === Ig2 х.
У == Ig (lg х).
1
У == 19 Х ·
вероятностей).
113. У == 1 g.!. .-
х
114. У == 19 ( x).
115. У == 10g2 (1 + х).
116. У == 19 (cos х).
117. У == 2 X sin х.
*) о числе е подробнее СМ. стр. 21.
18
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rп. I
Построить rрафики
118*. у ..........' arcsin х.
119*. y==arccosx.
120*. у=== arctg х.
121 *. у == arcctg х.
Построить rрафики функций:
125. y==\xl.
1
126. У == 2 (х + r х 1).
127. а) у==х!х/; б) y==logy2Jxl.
128. а) y==sinx+lsinxl; б) y==sinx 1sinxl.
{ 3 х 2 при \ х , 1;
129. У== 2 при Ixl> 1.
I х I
130. а) У === [х], б) У == х.......... [х], rAe [х]............ целая часть числа х,
Т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное х.
обратных триrонометрических функций:
122. у == arcsin .
х
1
123. У === arccos .
х
124. У ==х +arcctg х.
Построить rрафики функций в полярной системе координат (r, <р)
(, О):
131. Т=== 1 (окружность).
132*. r== (спираль Архи.меда).
133*. Т=== e (ЛО2ариф.м,ическая спираль).
л:
134*. T=== (zиперболическая спираль).
<р
135. r === 2 СО8 ер (окружность).
1
136. r === (пря.м,ая линия).
Sln <р
137. Т=== sec 2 ; (парабола).
138*. Т=== 10 sin 3ср (трехлепестковая роза).
139*. r==a(l+coscp) (а>О) (кардиоида).
140*. т а == а 2 cos 2ср (а> О) (ле.м,ниската).
Построить rрафикифункций, заданных параметрическим способом:
141 *. х === t 3 , У === t 2 (полукубичестсая парабола).
142*. X==10c08t, y===8int (эллипс).
143*. х=== 10 cos' t, У == 10 sin 3 t (астроида).
144*. х=== а (С08 t + t sin t),y==a (sin t.......... t cos t) (разверт1Са KPJza).
2]
rРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ функций
19
at at 2 .
145*. х == 1 + t3 , У == 1 + t 3 (декартов лuст).
6 а at .
14. x== Vl+t 2 ' Y== Yl+t 2 (пОЛУОКРУЖflость).
147. х== 2 t + 2-- t , у==:. 2 t ....... 2-- t (ветвь 2uперболы).
148. х === 2 С05 2 t, У == 2 sin 2 t (отрезок пря.lttой линии).
149. х == t t 2 , У == t 2 ....... t 3 .
150. Х == а (2 С05 t cos 2t), У == а (2 sin t....... sin 2t) (кардиоида):
Построить rрафики функций, заданных неявно:
151*. хl+у2==25 (окружность).
152. ху == 12 (zuпербола).
153)10. у2 == 2х (парабола).
х2 у2
154. 100 + 64 == 1 (эллипс).
155. у2 === х 2 ( 100....... х 2 ).
2 2' 2
156*. ха + уз == аЗ (астроида).
157*. х + у == 10 19y.
158. х 2 === cos У .
у
159*. V х 2 + у2 === eArct g (лоzариф.lttическая спираль).
160*. х 3 + у3........ 3ху === О (декартов лист).
161. Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (С) к шкале
Фаренrейта (F), если известно, что 0° С соответствует 32°F и 100°С
соответствуют 212°F.
Построить rрафик полученной функции.
162. В треуrольник, основание KOToporo Ь== 10 и высота h==6,
вписан прямоуrольник (рис. 5). Выразить площадь ЭТоrо прямоуrоль-
ника у как ФУНКЦИIО от основания ero х.
А
h
I
I
I
I
,.
8
.r
fJ
rис. 5.
о
Рис. 6.
Построить rрафик этой функции и найти наибольшее ее значение.
163. В треуrольнике АСВ сторона ВС===а, сторона АС==Ь и пе...
ременный уrол -9: АСВ=== х (рис. 6).
Выразить у == пл. 6 АВС как функцию or х. Построить rрафик
этой функции и найти наибольшее ее значение.
20
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
164. Решить rрафически
а) 2х 2 5х + 2 == о;
б) x'+x 1 ===0;
В) 19x==O,1 х;
уравнения:
r) 10" Х ==х;
д) х === 1 + 0,5 sin х;
е) ctgx===x (О<х<п).
165. Решить rрафически системы уравнений:
а) ху== 10, х+у==7;
б) ху==6, х 2 +у2== 13;
в) х' x + у == 4, у2 ---- 2х== о;
r) хl+у== 10, x+yz==6;
д) y==sinx, y===cosx (0<х<2п).
3. Преl1елы
1 О. П р е Д е л п о с л е Д о в а т е л ь н о с т и. Число а называется пределом
последовательности Х 1 ' Х 2 , ... 'Х n ' ... :
Нт Х п == а,
п oo
если для любоrо е > О существует число N == N (В) такое, ЧТО
I Х п а I < В при n > N.
При м ер 1. Показать, что
liт 2n + 1 == 2.
n OO n+l
Реш е н и е. Составим разность
, 2n+l 2
n+l n+l.
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь:
(1)
если
1 2п + 1 I 1
n + 1 2 == n + 1 < В,
п > 1 == N (В).
Б
(2)
Таким образом, для каждоrо положительноrо числа В найдется число
1
N == 1 такое, что при n > N будет иметь место неравенство (2). Следо-
в
ва,-ельно, число 2 является пределом последовательности Х п == (2п + l)f(n + 1),
т. е. справедлива формула (1).
20. Пр е Д е л Ф у н к ц и и. rоворят, что функция t (Х) А при х.......... а
(А и а числа), или
liт f (х) == А,
х--+а
если АЛЯ любоrо 8 > О существует 6 == б (В) > О такое, что
I f (х) А \ < В при О < 1 х а I < 6.
3]
ПРЕДЕЛЫ
21
Аналоrично
lim f (х) == А ,
х --+ 00
если I f (х) А I < 8 при I х , > N (е).
Употребляется также условная запись
lim f (х) == 00,
Х--+а
которая обозначает, что II (х) 1> Е при О < I х а 1< () (Е), rде Е про из-
вольное положительное число.
30. О д н о с т о р о н н и е п р е Д е л ы. Если х < а и х а, то условно
пишут х а о; аналоrично, если х > а и х а, то это записывается
так: х ------+ а + о. Числа
1 (а О) == Нт 1 (х) и f (а + о) == Нm 1 (х)
x--+a o x +a+o
называются соответственно пределом слева функции 1 (х) в точке а и пре-
делом справа функции 1 (х) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции 1 (х) при х а необходимо и ХО-
статочно, чтобы имело место равенство
1 (а О) ==1 (а +0).
Если существуют Нт 11 (х) И Нт 12 (х), то имеlОТ место следующие тео.
х--+а х--+а
ремы:
1) lim, [/1 (х) + 12 (х)] == liт t 1 (х) + lim f 2 (х);
х--+а х--+а X a
2) lim [/1 (х) 12 (х)] == Нт 11 (х). lim 12 (х);
x a x a x a
3) Нт [/1 (x)/12 (х)] == Нт 11 (х)/ Нт '! (х)
x a x a x a
(liln 12 (х) :f= О).
x a
Частое применение находят следующие пределы:
1 . sin х 1
1т == ;
X O Х
1
( 1 ) Х
liт 1 + == Нт (1 + а) а == е == 2,71828 ...
X OO Х a o
При м е р 2. Найти пределы справа и слева функции
1
f (х) == arctg
х
при х О.
Реш е н и е. Имеем:
f (+ О) == Вт ( arctg .!. ) == п 2
х--++о х
и
f ( О) == lim ( arct g ) == п 2 .
x--+ o Х
Предела же функции f (х) при х.......-+ О В этом случае, очевидно, не суще-
ствует.
22
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rп. I
166. Доказать, что при п 00 предел последовательнос.ти
111
1, "4' 9""' · · · , п 2 , ...
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
1
п 2 <8
(8........ произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) 8 === О, 1; б) 8 == 0,01;
в) 8===0,001.
167. Доказать, что предел последовательности
11,
Х п === n + 1
(п==1, 2, ...)
при п oo равен 1. При каких значениях п>N будет выполнено
неравенство
Ixn 11<8
(8...... произвольное положительное число)?
Найти N, если: а) 8===0,1; б) 8===0,01; в) 8==0,OOl
168. Доказать, что
Нт х 2 === 4.
Х'""'+2
Как подобрать для заданноrо положительноrо числа 8 какое-ни..
будь положительное число б, чтобы из неравенства
Iх 21<б
следовало неравенство
1 х 2 41 < 8?
Вычислить б, если: а) 8==0,1; б) 8===0,01; в) 8===0,001.
169. Выяснить точный смысл условных записей:
8) Вт 19x== oo;
Х-+ +0
б) Нт 2 Х ==+оо; в) 1im I(x)===oo.
х ---7 +00 х-+оо
170. Найти пределы последовательностей:
1 '1 1 ( l)п l
а) 1, 2' 3' "4' · · · , n
2 4 6 2п
.
1 ' 3' 5' · · · , 2п 1 ' · · · ,
.
,...,
б)
в) }12, у 2У 2, У2У 2 'V 2, ... ;
r) 0,2; 0,23; 0,233; О, 2333; . . .
3)
ПРЕДЕЛЫ
18
Найти пределы:
( 1 + 2 + 3 + + n 1 ) .
171. Вт 2 "2 "2 · · · ?
п....оо ппп п
1 . (n + 1) (n + 2) (n + 3)
172. 1т , .
n .... 00 n
J' [ 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (21l 1) _____ 2n + 1 ]
173. n: n+l 2 ·
. n+( 1)n
174. 11т ( l)n .
п .... 00 n
175.
. 2 n + 1 + 3"+1
11т 2n + з n ·
n .... 00
176. liт ( + + + . .. + ; ) .
n OO
. [ 1 1 1 ( 1)n 1 ]
177. 11т 1 ----- 3 + 9 ----- 27 + · · · + з n 1 ·
n OO
178 * 1 . 12 + 22 + 32 + . .. + n 2
· 1т , .
n....:,.оо n
179. liт (V п + 1 ........ V п ).
n ----+ 00
. r
180 1 . n SlП n.
· 1т 2 + 1 ·
I' OOn
При- отыскании предела отношения двух целых мноrочленов относи-
тельно х при х 00 оба члена отношения полезно предварительно разделиТl:
на хn, rде n наивысшая степень этих мноrочленов.
Аналоrичный прием во мноrих случаях можно применять и для дробей,
содержащих иррациональности.
Пример 1.
1 . (2х 3) (Зх + 5) (4х 6)
1т 3 а + ==
х....оо х х 1
( 2 ) ( З+ \ ( 4 )
1 . х х ) х J 2.3.4 8
1т 1 1 3 ......
Х----+ОО з+
х 2 ха
П 2 1 . х 1 . 1 1
Р и м ер. 1т == 1т == .
HooV x3 + 10 x ooVl+ ?
181. lim (\ i2 . 183. liш Х 2 ; + 1 .
X OO Х Х"":"ОО Х 7
182 1 . 1000х 184 11 . т 2х2 Х + з
· 1т х2 1 · · х' 8х + 5 ·
х....оо X OO
.24
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
185. Нт (2х + 3)53 2)2 . .188. Нт x! .
х -+ 00 Х х -+ 00 10 + х у х
186 l ' 2х2 Эх 4 . V х! + 1
· нп · 189 11m
х-+оо у х 4 +1 · х-+оо х+l ·
187 1 . 2х + 3 190 1 . Ух
· 1т V ...... · · 1т.... / ·
х...ооХ+ х H+OO V x+J/x+VX
Если р (х) и Q (х) целые МНоrочлены и Р (а) :f::. О или Q (а) :j:. О, то пре-
дел рациональной дро5и
Нт р (х)
х-+а Q (х)
находится непосредственно.
Р (х)
Если же Р (а) == Q (а) == О, ТО дробь Q (х) рекомендуется сократить один
или несколько раз на бином х....... а.
При м е р 3.
Iim 2 X!3 2 Iim (x ;) x+ lim х+2 4.
Х 2 Х Х ...... Х -+2 (х...... ) х........ х 2 Х ..... 1
. х 3 + I . х 3 3х + 2
19 t · 11т х2 + 1 . 195. 11т 4 4 + 3 ·
X-+ I X I Х Jc
192 1 ° х2 5х + 1 о 196 1 . х2 ..... (а + 1) х + а
· 1т2 25 · · 1m 3 3 .
Х-+5 х........ х-+а Х a
. х 2 1 . (X+h)3......X 3
193. 11m 2 + 3 + 2 · 197. 11т h ·
X IX Х 11,-+0
. х 2 2х . ( 1 3 )
194. 11т 2.... 4 + 4 · 198. 11т 1 1 s ·
X 2 Х Х X I Х Х
Выражения) содержащие иррациональности, приводятся к рациональному
виду во мноrих случаях пуrем введения новой переменной.
При м е р 4. Найти
1 . У 1 + х 1
1т .
х-+о V I +х .....l
Реш е н и е. Полаrая
1 + х == у6,
имеем:,
../ з
Нт r 1 + х 1 == Нт у 2 1 == Нт
X O V l +х ........l У 1 у......l Y-+I
Ух 1
199. Нт 1 .
X-+I x
. Ух 8
200. 11т V ·
Х 64 Х 4
201.
у2+у+1 3
у+l ==2.
vx ...... 1
Вт V ·
Х-+l x l
V r 2 VX+I
lim
(х ...... 1)2
.
202.
Х-+l
З)
ПРЕДЕЛЫ
25
Друrим приемом нахо>кдения предела от иррациональноrо выражения ЯВ-
ляется перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот,
из знаменателя в числитель.
2 Yx 3
203. Вт 2 49 ·
X 1 Х .
x 8
204. Вт V ' ·
X 8 x 2
Yx l
205. Вт V ·
х-+l x l
206 1 . 3 У5+Х
· 1т ,r ·
X 4 1 r5 x
207. Нт у1+Х Уl Х.
Х
При м е р 5.
..
УХ уа 1 . х а
1т
х ....... а Х-+ а (х ....... а) <Ух + уа)
....... li m 1 ]
....... х -+ а УХ + Уа....... 2 Уа
V x+h J/ x
Нт
h o h
. V х 2 2х + 6 У x2--f 2x 6
11т 2 4 + 3 ·
X 3 Х Х
Вт (Vx+a Vx).
Х +СЖ'
r
liт [У х (х + а) х).
x +oo
lim (V х 2 ......... 5х + 6 х).
х-++оо
liт х (V ха + 1 ....... х).
х-++оо
lim (х + V 1 ......... х 3 ).
Х .... 00
lim
х-+ tJ
(а > О).
209.
210.
211.
212.
213.
x o
-214.
208. lim vX+h ух
h-+o h
215.
При вычислении пределоз ВО мноrих случаях используется формула
li m sin х == 1
х-+о х
и предполаrается известным, что liln sin х == sin а и lim cos х == cos а.
Х4а х-+а
При м е р 6. lirn siп 5х == Нm ( sin 5х . 5 ) == 1.5 == 5.
х -+ О Х х -+ О 5х
216. а ) Нт sifJ Х ·
х'
х > 2
220. lim ( п sin ) .
п oo п
б) Нт sin х .
X CI) Х
217. Нт sifJ Зх .
Х
221 1 . 1 С05 Х
· 1т 2 .
х-+о Х
1 . sin х siп а
222. 1т .
x a X a
2 1 . cos Х cos а
23. 1m .
х-+а x a
х--+о
218 1 . s i n 5х
· 1т . 2 .
х о 51П Х
219 1 . sin л:х
· 1т . 3 ·
х -+ 1 51П тех
26
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл, 1
224 Вт tg 1t.t'
· х.......2 х + 2 .
225 1 . sin (х +h) sin х
· 1т h ·
h....o
226 1 . sin х cos х
· 1т 1 t '
1t ....... g х
X
4.
227. а) Нт xsinJ..;
X O х
б) Нт xsin .
X OO Х
228. Нт (1 ........ х) tg зt 2 х .
X l
229. Нт ctg 2х ctg ( Л 2 ........ Х ) .
x o '
1 · х
Sln""""'"
2
230. Нт
п x
.
x....1t
23 1 1 . 1 2 cos х
· 1т 3 .
1t n х
х............
3
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
Нт cos тх ....... cos п»
х 2 ·
x o
1 . tg х sin х
1т 8 .
х-+о Х
.
1 . arcsin х
1т ,
х....о Х
1 . arctg 2х
1т . 3 ·
Х .... о Sln х
. 1 x2
11т. .
X 1 SlПЛХ
1 0 х sin 2
1т + . 3 ·
х -+ О Х Sln)C
ЛХ
cos
1 . 2
1т .
x....ll yx
1 . 1 ....... V cos
1т 2 .
Х....о Х
1 . -v 1 + sin х ....... V 1 ....... sin х
lnП .
x o Х
При нахождении пределов вида
Нт {<р (x)] (Х) == С
x a
(3)
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
liт <р (х) == А и liт 'Ф (х) == В,
x a x a
то с== АВ; -
2) если Ит <р (х) == А :1= 1 и Нт 'Ф (х) == :f: 00, то вопрос о нахождении
х--+а х--+а
предела (3) решается непосредственно;
3) если Нт <р (х) == 1 и liт Ф (х) == 00, то полаrают <р (х) == 1 +а (х), rде
Х-+а Х--+а
а (х) О при х а и, следовательно,
1 li m сх (х) <!J (Х) 11т (ер (х) --1] Ф (х)
х-+а х....а
С == Вт t [1 + а (х)] сх (х) «(X) Ф (Х) == е == е
х--+а
rде е == 2,718. . . ....... неперово число.
При м е р 7. Найти
lim ( Sin 2Х ) 1 +» .
X""i'O Х
Реш е н и е. Здесь
Нт ( Sin 2Х ) == 2 и Нт (1 + х) == 11
х-+о Х. х....о
З]
ПРЕДЕЛЫ
21
следовательно,
( · 2 ) l+Х
Нт SIП х == 21 == 2.
х--+о х
При м ер 8. Найти
1 . ( Х + 1 ) х2
1т .
х ---+ 00 2х + 1
Реш е н и е. Имеем:
1+J..
liт х + 1 == lim Х
х--+а, 2х + 1 х --+000 2 + 2
х
и
Нт х 2 == + 00.
x oo
Поэтому
lim ( х + 1 ) х" == 00
х 00 2х + 1
При м е р 9. Найти
1 . ( Х 1 ) Х
1т .
X OO х+l
Реш е н и е. Имеем:
1
1
1 . х 1 1 . х
1т 1т 1
x ooX+l x ool+J.. ·
х
Произведя указанное выше преобразование, получим:
lim ( ) X == lim [ 1 + ( 1 )] х ==
-+oo х+l X OO х+l
х + 1 !Х
.... 11 m .... 2Х
::::::: li m { [ 1 + ( 2 ) ] 2 } 1 t- х == еХ --+ 00 х + 1 == е"' l .
x oo ,х+l
в данном случае, не прибеrая к общему приему, можно найти предел
проще:
( 1 ) Х Нт [ ( 1 ) Х ] .... 1 1
}i СХ> ( :+ : у ==) ( 1 + у == Х 4 СХ>Нт (1 У ее ==e a.
х X OO х.
Вообще, полезно помнить, что
Нт ( 1+ ) x==ek.
Х-+ОО Х
28
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rп. 1
( 2 +Х ) Х
241. Нт 3 ·
X O Х
( Х 1 ) Х+l
242. Вт 2 1 ·
X 1 Х
2Х
. ( 1 ) х+ 1
243. 11т 2 .
Х--+ОО Х
sin х
( Х 2 2х + 3 )
244. 11т 2 3 + 2
X O х х
( ' х2 +? ) X
245. } тoo 2х2 + l ·
246. liln ( 1 ) n .
n Cд n
247. Нт ( 1 +! ) Х.
X OO х
Х
.
248.
. ( х \х
х l Х + 1) ·
liт ( X 1 ) X+2
X OO х+3 ·
Нт ( l+ ) п.
п lд n
1
liт (1 + sin х) Х .
Х о
249.
250.
251.
252.*.*. а) Вт (cos х) х ;
X O
1
б) Нт (cos х)Х 2 .
X O
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен Нт f (х), то
x a
Нт [ln f (х)] == ln [liln f (х»).
х----+а x a
При м е р 10. ДОI<азать, что
li m 1 n (1 + х) == 1 .
x o Х
Реш е н и е. Имеем:
(*)
t
Нт In(l+x) == Нт [ln(l +x)X]-==lп {Вт (1 +х)х] ==lne==l.
х----+о х X O X O
Формула (*) часто используется при решении задач.
253. Нт [1п (2х + 1)........ lп (х + 2)}.
Х (f.)
254. Нт 19 (1 + 10х) .
х
x o
255. Нт ( 1л ... /1 1 + х ) .
x o х JI. х
256. liПl х[1п(х+l) 1пх].
x +oo
257 1 . ln (cos х)
. 1т ,.
х о X
258*. Нт е Х 1 .
x о Х
259*. Нт аХ 1 (а> О).
X о Х
260:+ .
lim 1Z(f1a l) (а>О).
n ----+ 00
е а ,,", е ЬХ
lim .
х
261.
X O
262.
1 e X
Вт . .
Х о SlJl Х
1 . s1} х
1т ;
Х--+О Х
б) lim ch х 1
x >o х
263. а)
(СМ. N2N2 103 и 104).
3)
ПРЕДЕЛЫ
29
б) Нт th х,
х-++оо
еХ e X
rде thx== еХ +e X '
266. а) Нш I I
Найти следующие односторонние пределы:
264. а) Нш V Х ; 268. а) 11Ш ' 81: х I ;
х -+ 00 х 2 + 1 х -+ О
б) Вт Х . б) Нт 'siп х I .
Х-++ОО V х 2 + 1 х-++о х
265. а) x oo th х; 269. а) Нш I Х = 1 ;
X-+l O Х
x l
б) Нт I 11 ·
Х-+l+0 х
270. а) Вт 2 ;
X-+I OX
б)
X-+ O
1 + е Х
1 . 1
1т 1 ·
Х-++О
1 + е Х
Нт In (1 + е Х ) ;
х-+ oo Х
б) li m 1 n (1 + е Х ) .
Х-++ОО х
б) 1 . х
1т .
X-+2+0x 2
267. а)
Построить rрафики функций:
271**. у=== Вт (cos 2n х).
n-+'JJ
272*. у== Нш I fl (х О).
n-+VJ Х
273. у == Вт V х 2 + (Х2 .
а-+О
274. У Вт (arctg пх).
n-+ОО
275. у==Нт }11+хn
n -+ (f)
(х О).
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешаННУIО перио-
дическую дробь
сх=== 0,13555...,
рассматривая ее как предел соотвеТСТВУЮLЦей конечной дроби.
277. Что делается с корнями квадратноrо уравнения
ах 2 +Ьх +с==О,
если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с ПОСТО"
ЯВНЫ, причем Ь =1= О?
278. Найти предел BHYTpeHHero уrла правильноrо п-уrольника при
п .......... 00.
80
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[riI. J
279. Найти предел периметров правильных п-уrольников, вписан-
ных в окружность радиуса R и описанных BOKpyr нее, при п 00.
280. Найти предел суммы длин ординат кривой
у == e X cos Л:Х,
проведенных в точках х == О, 1, 2, ... , n, при п........... 00.
281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на
ординатах кривой
у == 21 X
как на основаниях, rде х == 1, 2, 3, ... , п, при условии, что п............. 00.
282. Найти предел при п 00 периметра ломаной линии
МОМl . . . М п , вписанной в лоrарифмическую спираль
r==e r.p,
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные уrлы
зt пл
<Ро== О, <Рl ==2' ... , СРп ==2.
283. Отрезок АВ== а (рис. 7) разделен На п равных частей, и
на каждой получившейся части, как на основании, построен равно-
бедренный треуrольник, с уrлами при основании, равными а == 450.
Показать, что предел периметра образовав-
шейся ломанvй линии отличен от длины от-
резка АВ, несмотря на то, что в пределе
ломаная линия «rеометрически сливается с j
отрезком АВ».
А ( Л 8
Рис. 7.
Рис. 8.
284. Точка С 1 делит отрезок АВ==1 пополам; точка С 2 делит от-
резок АС 1 пополам; точка Са делит отрезок С 2 С 1 пополам, точка С&
делит отрезок С 2 С а пополам и т. д. Определить предельное положе-
ние точки Сп, коrда п 00.
285. Катет а прямоуrольноrо треуrольника разделен на п равных
частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоуrоль-
ники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступен-
чатой фиrуры, если п.....-.+ 00.
286. Найти постоянные k и Ь из уравнения
. ( ха + 1 )
xl:moo kx+b x2+1 ==0.
Выяснить rеометрический смысл равенства (1).
(Д)
141
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
31
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост
количества вещества за каждый промежуток времени 't' из бесконечной
последовательности промежутков (i't', (i +"1) т) (i == О, 1, 2, ...) про.
порционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале
9Toro промежутка, и величине промежутка. Предполаrая, что в началь.
НЫЙ момент времени количество вещества составляло Qo' определить
количество вещества Q п) через промежуток времени t, если прирост
количества вещества происходит каждую n-ю часть промежутка вре-
t
мени 't' ==......... .
n
Найти Qt == Нт Qi п >.
п OO
4. Бесконечно малые и бесконечно большие
10. Бесконечно малые. Если
lim а (х) == О,
х--+а
Т. е. если I а (х) I < е, при О < I х а I < () (е), то функция а (х) называетсSl
бесконечно малой при х а. Аналоrично определяется бесконечно малая а (х)
при Х--+ 00.
Сумма и п роизведение оrраниченноrо числа бесконечно малых при Х -+ (J
есть также бесконечно малые при х а.
Если а (х) и (х) ..... бесконечно малые при х а и
Нт а (х) С
x--+a (X) ,
rде с...... некоторое число, отличное от нуля, ТО функции а (х) и (х) называ-
ются бесконечно малыми одНО20 и тоео e порядка; если же С == О, то rOBo-
рят, что функция а (х) есть бесконечно малая высшеео порядка по сравнению
с (х). Функция а (х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению
с функцией (х), если
lim а (х) c
х... а [ (x)]n ,
rAe 0< I с 1< + 00.
Если
11т а (х) 1
x...a (X) ,
то функции а (х) и (х) называются равносильными (эквивалентными) бес-
конечно малыми при х -+ а:
а (х) ,..., р (х).
Например, при х -+ О имеем:
sl" х ,..., х; tg х ,..., х; ln (1 + х) ,..., х
и Т. п.
Сумма BYX бесконечно малых различных порядков равносильна тому И9
слаrаемых. порядок KOToporo ниже.
32
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rп. t
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены ОТ-
ношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при
нахождении пре.цела дроби
liт а (х)
х--+ а (х) ,
rде а (х) -+ О И (х) -+ О при Х -+ а, в числителе и знаменателе дроби МОЖНО
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, по,цобранные
так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
Пример 1.
. v ха + 2х 4 . V .x a 1
11т 11т
х' --+ о 1 n (1 + 2х) х' --+ О 2х 2 ·
20. Б е с к о н е ч н о б о л ь ш и е. Если для JIюбоrо сколь yrO,JI.HO боль..,
шоrо числа N существует такое б (N), что при О < 1 х а i < () (N) выполнено
неравенство
1 f (х) I > N t
то функция f (х) называется бесконечно большой при х --+ а.
Аналоrично опре)(еляетсS! бесконечно большая f (х) при х --+ 00. Подобно
тому как это с,.елано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков.
288. Доказать, что функция
f (х) === sin х
х
является бесконечно малой при х ------+ 00. Для каких значений х вы-
полнено неравенство
Ij(x) I < е,
если 8 произвольное число?
Произвести расчет для: а) 8==0,1; б) 8===0,01; в) 8==0,001,
289. Доказать, что функция
j(x) == 1 x2
является бесконечно малой при х 1. Для каких значений х выпол-
нено неравенство
'!(х) 1<8,
если 8 произвольное положительное число? Произвести численный
ра счет для: а) 8 == О, 1; б) 8 == О, О 1; в) 8 == 0,001 .
290. Доказать, что функция
лх) === х 1 2
является бесконечно большой при х 2. В каких окрестностях
I х 21 < б выполнено неравенство
'/(х) 1> N,
если N произвольное положительное число?
Найти б, если: а) N== 10; -б) N== 100; в) N== 1000.
9 4]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЫIlИЕ
33
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара, б) объ-
ема шара, если радиус шара r есть бесконечно малая 1 ro порядка.
Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема шара по ОТ-
ношению к поверхности этоrо шара?
292. Пусть центральный уrол а KpyroBoro сектора АВО (рис. 9)
радиуса R стремится к нулю. Определить порядки бесконечно MaJIbIX от-
носительно бесконечно малой а: а) хорды АВ;
б) «стрелки» CD; в) площади 6. ABD. /J
293. Определить при х О порядки
малости относительно х функций: А 8
2х .
а) 1 + х '
r) 1 cos х;
б) У х + J/ х ;
в) V х2 J/ хЗ ;
д) tg x sinx.
Рис. 9.
294. Доказать, что длина бесконечно малой дуrи окружности по-
стоянноrо радиуса равносильна длине СТЯI'иваlощей ее хорды.
295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бес-
конечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке, как на
диаметре?
Пользуясь теоремой об о ношении двух бесконечно малых, найти
296 1 . sl" 3х. sin 5
. 1т ( 3 ) 2.
х--+о x x
298.
1 . ln х
1т .
Х--+l 1 x
. х
аrСSIП ,!
r 1 х 2
297. Нт 1 (1 ) ·
Х--+О П Х
299.
1 . cos х cos 2х
1т 1 ·
х --+ О cos х
300. Доказать, что при x О величины ; и J/ 1 + х 1 рав-
носильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать, что
при lxl малом имеет место приближенное равенство
Yl+x 1+ ; .
(1)
Применяя формулу (1), приближенно найти:
а) J/ 1,06 ; б) J/ 0,97 ; в) уто; r) J/ 120
и сравнить полученные значения с табличными данными.
2 r. с. БаранеНl{ОВ и др.
84
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[r л. 1
301. Доказать, что при x О с точностью до членов порядка х.
имеют место приближенные равенства:
1
а ) ::::: 1 ......... х.
1 +х '
б) V а l + х ::::: а + :а (а > О);
В) (1 +х)п::::: 1 +nх (п натуральное);
r) 19 (1 + х) =:::: Мх,
rде М== 19 е== 0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
1 1 1 V
1) 1,02 ; 2) 0,97 ; 3) 105 ; 4) 15; 5) 1,043; 6) 0,934; 7) 191,1.
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302. Показать, что при х 00 целая рациональная функция
Р() " + 'z--11 +
х ==аох а 1 х т... а п
(а о =F О)
есть бесконечно Болыlаяя величина, равносильная старшему члену аох п .
303. [lусть x 00. Принимая х за бесконечно большую вели-
чину l-ro порядка, определить порядок роста функций:
а) х! 1 ООх......... 1000;
х 5
б) Х + 2 ;
в) ...r х+ V х ;
r) V х 2х2 .
5. Непрерывность функций
1 О. О n р е Д е л е н и Е: Н е n р еры в н о с т и. Функция f (х) называется
l1еnрерЫ6НОЙ при Х == (или «в точке »), если: 1) эта функция определена
в точке , Т. е. существует число t ( ); 2) существует конечный предел
Нт t (х); 3) етот предел равен значеНИIО функции в точке 6, т. е.
-+
lim f (х) == f (6).
X'-+
(1)
Полаrая
х == + i\ ,
rде ;... О, можно переписать условие (1) таК1
11т i\t ( ) == lim [/ ( + i\ ) ....... 1 ( ) == О,
A -+ о А; -+ о
(2)
Т. е. функция 1 (х) непрерывна в точке TorAa и только тоrда, коrда в этой
точке бесконечно малому приращению aprYMeHTa соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке HeKOToporl области (интер-
вала, cerMeHTa и Т. п.), iO она называется непрерывной в этой области.
5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ функций
35
При м е р 1. Доказать, что функция
у == sin х
непрерывна для любоrо значения aprYMeHTa х.
Реш е н и е. Имеем: .
8.у == si/l (х + 8.х) si/l Х == 2si/l 8. 2 Х cos ( х + X ) ==
. f:лх
SlП 2 ( )
8.х .cos х + 2 Х · 8.х.
2
Так как
lim
А:е о
. x
Sln
2
x == 1
2
и I cos ( х + 8. 2 Х ) j 1,
то при любом химеем:
Нт y == о.
Ax o
Следовательно, функция sin Х непрерывна при 00 < х < + со.
20. Т о ч к и р а 3 рыв а Ф у н к Ц и и. rоворят, что функция f (х) терпит
разрыв непрерывности при значении Х == Хо (или в точке х о )' принадлежащем
области определения функции или являющемся rраничным для этой области,
ЕСЛИ в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
1
При м е р 2. Функция' (х) == (1 2 (рис. 10, а) разрывна при х == 1. Эта
X)
функция не определена в точке Х == 1, и как бы мы ни выбрали число t (1),
пополненная функция t (х) не будет непрерывноЙ при х == 1.
Если для функции t (х) существуют к о н е ч н ы е пределы:
Нm t (х) == f (х, О) и liЛl f (х) == f (х о + О),
х ХО о Х ХО + о
причем не все три числа t (х о )' I (х') О)., f (Х .) + О) равны между собой, то X
называеrся точкой разрыва l eo рода. В частности, €сли
f (х() О) == t (х о + О),
то хо называется устранuмой точкой разрыва.
Для непрерывности функции t (х) в точке Хо необходимо и достаточно,
чтоб ы
t (Ха) == f (XJ О) == t (Ха + О).
П 3 Ф , (х) ==== S l i n Х 1 О
Р и м ер. ункция Х I имеет разрыв ro рода при х == .
в самом деле, здесь
. sin Х
f ( f O) == 11т == + 1
X +O х
и
. sin х
f ( O) == 11т == 1.
x-+ o x
2*
36
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. I
При м е р 4. Функция у == Е(х), rде Е (х) обозначает целую часть числа х
(Т. е. Е (х) есть целое число, удовлетворяющее равенству х == Е (х) + q, rде
р Е:;;; q < 1), разрывна (рис. 1 О, б) в каждой целочисленной точке: х == О, :i: 1,
:1: 2, ... , причем все точки разрыва 1 ro рода.
В самом ДеЛе, если n целое, то Е (n О) == n 1 и Е (n + О) == n.
Во всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва l ro рода,
называются точками разрыва 2 zo рода.
1( точкам разрыва 2 ro рода относятся также точки бесконеЧНОёО раз-
рыва, т. е. такие точки х о , для которых хотя бы один из односторонних
пре,целов t (х о О) или t (х о + О) равен 00 (см. пример 2).
у r
у=Е(х)
, 2 -....----. 1 ..
==r/ ,Z")2 I J
I
f -' t
I I
I I
..../ , I
О Х
о I 2 Х
а) о)
у
I
о
х
..1
............. - ... -...
8)
Рис. 10.
л
При м е р 5. Функция у == cos (рис. 10, в) в точке х == О имеет раз
х
рыв 2 ro рода, так как здесь не существуют оба ОJlДОСТОРОННИХ предела:
1 . л 1 " л
1т cos и 1m cos .
x--+ o Х х--++о Х
30" С в о й с т в а н е п р еры в н ы х Ф у н к Ц и й. При исследовании
функции на непреРЫВНОС1Ь нужно иметь в виду следующие теоремы:
1) сумма и произведение оrраниченноrо числа функций, непрерывных
в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2) частное от деления дву х непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях aprYMeHTa из этоЙ области,
не обращаlОЩИХ делителя в нуль;
5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ функций
3j-
З) если функция f (х) непрерывна в интервале (а, Ь), причем множество
ее значений содержится в интервале (А, В), и функция <р (х) непрерывна
в интервале (А, В), то сложная функция <р [1 (х)] непрерывна в интервале (а, Ь).
Функuия t (х), непрерывная на отрезке [а, Ь], обладает следующими свой..
Ства'.!!!:
1) f (х) оrраничена на [а, Ь), т. е. СУIцествует некоторое число 111 такое,
что If(x)I M при a x b;
2) f (х) Иf\ , IЕ'ет на [а, Ь I наименьшее и наисольшее значения;
3) f (х) Пр!1:нимает все промежуточные значения между двумя Д3ННЫ1\НI,
Т. е. если f (а) == А и f ( ) == В (а сх < Ь) и А :j:: В, то, каково бы ни было
число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно
значение х==у(а < у < ) такое, что '(у)==С.
в частности, если f (а) f ( ) < О, то уравнение
f (х) == О
имеет в интервале (а, ) по меньшей мере один вещественный корень.
304. [lоказать, что функция у == х 2 непрерывна при любом зн -
чении aprYMeHTa х.
305. llоказать, что целая рациональная функция
P(x)===aoxп+alxn 1 +... +а n
tJепрерывна при любом значении х.
306. Доказать, что дробная рациональная функция
R ( ) а о х 1l + а 1 х n 1 + . . . + а п
х b т +Ь т l + +Ь
ох 1 Х . . . т
непрерывна для всех значений х, за ИСКЛlочением тех, которые обра-
щают знаменатсль ее в нуль.
307-*. Доказать, что функция y==V x непрерывна при ;C O.
308. Доказать, что если функция f (х) непрерывна и неотрица..
тельна в интервале (а, Ь), то функция
F(x)== Vf(X)
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция у == cos х непрерывна при Лlобом х.
310. Для каких значений х непреРЫННbl функции: а) tg х и б) ctg х?
311 '<-. flоказать, что функция у === I х I непрерывна. Ilостроить rpa
фи}\: этой функции.
312. Доказать, что аБСОЛlотная величина непрерывной функции
есть функция непрерывная.
313. Функция задана формулами
1 х2 ; при х =р 2,
[(х) -== х
l А при Х == 2.
Как следует выбрать значение функции А ==/ (2), чтобы пополненная
таким образом функция f(x) была непрерывна при х==2? Построить
rрафик функции у ===/(х).
38
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[rл. 1
314. Правая часть равенства
I (х) == 1 х sin !
х
теряет смысл при х === о. Как следует выбрать значение f (О) дЛЯ Toro,
чтобы функция I (х) была непрерывна при х == О?
315. Функция
1
I (х) == arctg 2
х.........
теряет смысл при х === 2. Можно ли так определить значение / (2),
чтобы пополненная функция была непрерывной при х== 2?
316. Функция f(x) не определена при х==О. Определить j(O}
так, чтобы f(x) была непрерывна при х == О, если:
а) f(x) (1 + х)n 1 ( )
п .......... натуральное ;
х
б) f (х) === 1 OS х ;
х
в) f(x) === ln (1 +х) ln (1 х) ;
х
е Х e X
r) f(x)=== ;
х
д) Лх) == x 2 sin ;
е) f(x)==xctgx.
Исследовать на непрерывность
функции:
323. У == lп (cos х).
324. У == 10 I tg 1.
1
325. У === arctg .
х
1
326. У == ( 1 + х) arctg 1 х 2 ·
х 2
317. Y== x 2 .
1 +х 3
318. У== l+х ·
V 7+х З
319. У === х 2 4 ·
х
320. У === iXi ·
321. а) у === sin ;
х
б) У === х sin .
х
х
322. У ==="""7""'""""'" .
SIП Х
1
327. у== е Х + 1 .
1
.......
328. У == е >.,"2.
1
329. У ==
1
.
1 +е 1 x
330 { х2 при Х 3, П Ф :\. Ф
· у == 2х + 1 при х> 3. остроить l"ра ик этоn ункции.
5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ функций
39
331. Доказать, что функция Дирихле Х (х), равная нулю при х
иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрыв на для каждо-
ro значения х.
Исследовать на непрерывность и построить rрафики функций:
332. у == lirn 1 п (х ;;;:::: О).
n--+ОО Х
333. У === lim (х arctg пх).
n --+ 00
334. а) y==sgnx, б)у==хsgпх, в) у ===sgn (sinx), rде функция
sgn х определяется формулами:
f + 1, если х>О,
sgn х === О, если х === о,
l 1,еслих<О.
335. а) у == х......... Е (х), б) У == хЕ (х), r де Е (х) есть целая часть
числа х.
336. flриве сти пример, показывающий, что сумма двух разрыв-
НЫХ ФУНКЦИЙ может быть функцией непрерывной.
337"*. [lусть а........ правильная положительная дробь, стремящанся
к нулю (О<а< 1). Можно ли в равенство
, Е(l +cx)===E(l........a)+ 1,
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338. IIоказать, что уравнение
х 3 3х + 1 == О
имеет в интервале (1, 2) действительный I(OpeHb. Вычислить прибли-
женно этот корень.
339. Доказать, что любой МНОI очлен Р(х) не чет ной степени
И 1еет по меньшей мере один действительный I{Opellb.
340. ДОI<ззать, что уравнение
tg х == х
имеет бескuнечное множество действительных корней.
r л А В А 11
u
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функции
1. Непосредственное вычисление производных
1 О. При р а Щ е н и е а р r у м е н т а и при р а Щ е н и е Ф у н к Ц и и. Если
х и Х 1 значения apryMeHTa х, а у == t (х) и У. == f (х.) соответствующие
значения функции у == f (х), то
6.х ==Х ! Х
называется приращением ареуменmа х на отрезке [Х, Xt], а
у
Y==YI у
или
6.у == f (Х 1 ) f (х) == f (х + x) f (х) (1)
nриращение.м функции у на том же
отрезке [х, x t ] (рис. 11, rде x==MA
и y == AN). Отношение
: == tg а
х
Рис. 11. представляет собой уrловой коэффици-
ент секущей Л1N rрафика функции
у --= t (х) (рис. 11) и называется средней скоростыо изменения ФУНКЦИИ у на
lJ'Iрезке [х, х + x].
При м е р 1. Для функции
у==х 2 5х +6
DЫЧИСЛИТЬ 6.х и Д-у, соответствующие изменению apl'YMeHTa;
а) от х == 1 д о Х == 1 , 1 ;
б) от Х == 3 Д о х == 2.
Реш е н и е. Имеем:
а) X == 1, 1 1 == 0,1,
Y == (1 ,12 5. 1 ,1 + 6) (12 5. 1 + 6) == 0,29;
б) x == 2 3 == 1 ,
y == (22 5.2 + 6) (32 5. 3 + 6) == О.
При м ер 2. Для rиперболы у == наilТИ уrловой J{оэ'_рфициент
х
сеI{ущей, проходя щей через точки с абсциссами х == 3 и Х 1 == 10.
1]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
41
1 1 1 1
Реш е н и е. Здесь X == 1 О 3 == 7 У == 3' Yl == 1 о ; y == 16 ----- 3' ==
7 y 1
== ----- 30 . Следовательно, k == x == ----- 30 ·
20. Про и з в о Д н а я. Проuзводной у' == ОТ функции у == f (х) по apry-
менту х называется предел отношения . коrда Ах стремится к нулю, т. е.
у' == litn y
Ax O x '
если этот предел существует.
Вели чина ПРОИЗВОДНОЙ дает условой коэффициенm касательной МТ к rрафи-
ку функции у == f (х) в точке х (рис. 11):
у' == tg <р.
Нахождение производной у' называют дифференцированием функции.
Производная у' == " (х) представляет собой скорость иЗАtенения функции в
точке х.
При м ер 3. Найти производную функции
у == х 2 .
Ре П1 е н и е. По формуле (1) получаем:
y == (х + x)2 х 2 == 2x x + ( x)2
y
x == 2х + x.
и
Следовательно,
у' == Нт y == Нт (2х + дх) == 2х.
ilx o x ilx O
30. о д 1I О С Т О Р О Н Н И е про и з в о Д н ы е. Выражения
' (х) == Нт t (х + x) t (х)
ilx о дх
и
" (х) == Нт t (х + x) f (х)
+ tlx +o X
называют соответственно левой или правой производной функции t (х) в
точке х. Для существования f' (х) необходимо и достаточно, чтобы
, ,
' (х) == f+ (х).
, ,
При м ер 4. Найти ' (О) и f + (О) дЛЯ функции
f(x)==lxi.
Реш е н и е. Имеем по определению
[ (О) == Нт I дх \ == ........ 1,
дx o X
, . t X \
1+(0) == 11т == 1.
ilx +o дх
42
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[r л. 1I
40. Б е с к о н е ч н а я про и з в о Д н а я. Если в некоторой точке имеем
Нт f (х + L\x) f (х) 00
Ilx--+o L\x t
то f()ВОРЯТ, что непрерывная функция f (х) имееТ бесконечную проиэводную
в точке х. В этом случае касательная к rрафику функции у == t (х) перпен-
IJ.икулярна к оси ОХ.
При м ер 5. Найти " (О) ДЛЯ функции
v .......
у == х.
Реш е н и е. Имеем:
V 6x 1
[' (О) == liт == Нт == 00.
Ilx --+ О X L1x--+ О V x2
341. Найти приращение ФУНКЦИИ у ===х 2 , СООТВ ТСТВУlощее пере-
ходу aprYMeHTa:
а) от х == 1 до х 1 === 2;
б) от х === 1 ДО Х! == 1,1;
в) от Х=== 1 до Х 1 === 1 +h.
342. Найти y для функции у== Vx, если:
а) х == О, x === 0,001;
б) х==8, x=== 9;
в) х==а, t!x==h.
343. Почему для ФУНКЦИИ у === 2х + 3 можно определить прира-
щевие y, зная только, что соответствующее приращение t!x == 5, а
дЛЯ ФУНКЦИИ у == х 2 этоrо сделать нельзя?
344. Найти приращение Ду и отношение для функций:
1
а) у === (х 2 2)2
б) У ==Vx
в) у=== 19 Х
при х=== 1
и x == 0,4;
при х===о и x==O,OOOl;
при х === 100 000 и дх === 90 000.
345. Найти Ду и . соответствующие ИЗМСllеШiЮ apl'YMeHTa от
х до х + x для функций:
а) у===ах+Ь; r) y==Vx;
б) у==х 3 ; д) у==2 Х ;
1
в) у === "2 ; е) у === ln х.
х
l]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИ3ВОДНЫХ
43
346. Найти уrловой коэффициент секуrцей к параболе
у == 2х х 2 ,
если абсциссы точек пересечения равны:
а) Х 1 === 1, Х 2 == 2;
б) х 1 ==1, х 2 ==О,9;
в) х 1 ==1, x 2 ==1+h.
К какому пределу стремится уrлозой коэффициент секущей в послед-
нем случае, если h O?
347. KaI{Oaa средняя скорость изменения функции у == х 3 В про-
межутке 1 х 4?
348. ЗаI{ОН движения точки есть s == 2t 2 + 3t + 5, rде paCCTOSI-
иие s дается D сантиметрах и время t.......... в секундах. Чему равна сред-
няя скорость точки за проме)куток времени от t == 1 до t === 5?
349. Найти средний подъем кривой у === 2Х' на отрезке 1 х 5.
350. НаЙти средний подъем кривой у ==f(x) на отрезке [х, х + L\x].
351. Что понимаIОТ под подъеl\10:\1 кривой у ==f(x) в данной точ-
ке х?
352. Дать определение: а) средней скорости вращения; б) MrHo-
венной скорости вращения.
353. HarpeToe тело, помещенное в среду с более низкой тем-
пературой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней
скоростью охла ждения; б) скоростью охла)l(дения в да нный мо-
мент?
354. Что следует пони мать под скоростью реаrирования вещества
в химической реакции?
355. Пусть т===[(х) масса иеоднородноrо стер)кня на отрез-
ке [О, х]. Что следует панимать под: а) средней линейной плот-
ностью стержня на отрезке [х, х + x]; б) линейной плотностыо
стержня в точн:е х?
356. Найти отношение y для функции у === в точке х === 2,
X Х
если: а) x === 1; б) x:== О, 1; в) x == 0,01. Чему равна производная у',
при х == 2?
357**. Найти производную от функции У == tg х.
358. Найти у':== liln y для функций:
Ах о uX
а) у == х 3 ; в) У == -v х ;
1
б) У ===2; r) у ==ctg х.
х
369. Вычислить l' (8), если f(x) === V х .
360. liайти /' (О), l' (1), /' (2), если I (х) ==х (х 1)2 (х 2)3.
44
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл. 11
361. В каких точках производная от функции / (х) === х 3 численно
совпадает со значением самой функции, т. е. / (х) == f' (х)?
362. Закон движения точки есть s == 5t 2 , rде расстояние s дано в
метрах, а время t в секундах. Найти скорость движения в момент
времени t == 3.
363. Найти уrловой коэффициент касательной к КрИВОЙ у == О, 1 х 3 ,
проведенной в точке с абсциссой х == 2.
364. Найти уrловой коэффициент касательной к кривой у == sin х
в точке (л; О).
1
365. Найти значение производной от ФУНКЦИИf(Х)== в точке
х
х == ХО (х о =F О).
366*. Чему равны уrловые коэффициенты касательных к кривым
у ===.!. и у == х 2 В точке их пересечения? Найти уrол между этими
)1
касательными.
367**. Il0казать, что следующие функции не имеIОТ конечных про..
изводных в указанных точках:
а) y===v ? в точке х===О;
б) у === v х 1 в точке х === 1;
2k+ 1
в) у==1 cosxl в точках х== 2 л (k===O, + 1, + 2, .. .).
2. Табличное дифференцирование
1 О. О с н о в н ы с n р а в и л а н а х о ж Д е н и я про и 3 В О Д Н ой. Если
с постоянная и и == (х), v == 11' (х) функции, имеющие производные, ТО
1) (с)' == о; 5) (ии)' == и'и + и' и;
( U ) / и'и и'и
2) (х)' == 1; 6) 2 (и '1= о);
v v
3) (и :1: v)' == и' :1: v': 7) ( )' == с;: (v i: О).
4) (си)' == си';
20. т а б л и ц а про и з в о Д н ы х о с н о в н ы х Ф у н к Ц и й
-. r--:: I 1
П. (J' х) == V
2 х
(х > О).
v. (tg х)' == 12 .
cos Х
VI. (ctgx)'==......... .
Sln х
1. (х n )' == пх n 1.
111. (sin х)' == cos х.
lV. (cos х)' == ....... sin;c.
УН. (arcsin х)' == V 1 (\ х I < 1).
1 x2
1
VIII. (arccos х)' == ,r
r 1 х!
IX. (arctgx)' == 1 х 2 ·
Х. (arcctg х)' == х2 1 ·
XI. (аХ)' == аХ lп а.
ХН. (еХ)' == еХ.
1
XIII. (1п х)' ==
х
Х V 1 , 1 logae
1 · (oga х) 1
Х пах
ХУ. (sh х)' == сЬ х.
XVI. (сЬ х)' == sh х.
Х VII. (th х)' == Ь 12 .
С Х
XVIII. (cth х)' == h ·
s х
XIX. (Arsh х)' == V 1 ·
1 +х2
ХХ. (Arch х)' ==,r 1
, r х 2 ........ 1
XXI. (Arth х)'== 1 1 2
x
1
XXII. (Arcthx)' == ........ .r 1
2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
45
(lxl<l).
(х > О).
(х > О, а > О).
() х 1 > 1).
(\ х I < 1).
(\ х 1 > 1).
30. Пр а в и л о Д и Ф Ф е р е н ц и р о В а н и я с л о ж н ой Ф у н к Ц и и.
Если Y==f(u) и u==rp(x), т. е. y==f[rp (х)], rде функции у и u имеют про из-
водные, то
или в друrих обозначениях
, "
УХ == уllи х
(1)
dy dy du
dx du . dx ·
Это правило распространяется на цепочку из любоrо конечноrо числа диф-
ференцируемых функций.
При м ер 1. Найти производную функции
У == (х,2 2х + 3)5.
Реш е н и е. Полаrая у == и 5 , rде и == х 2 2х + 3, соrласно формуле (1)
будем иметь:
У' == (u5) (х 2 .... 2х + 3): == 5и 4 (2х ...... 2) == 10 (х ...... 1) (х 2 ...... 2х + 3) .
При м ер 2. Найти ПрОИзводную функции
У == siп 8 4х.
46
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл. 11
Реш е н и е. Полаrая
у == иЗ; u == siп v; v == 4х,
находим:
у' == 3и 2 . cos v. 4 == 12 sin 2 4х cos 4х.
Найти производные следующих функций (в NQNQ 368 408 пра..
вило дифференцирования сложной функции не используется):
А. АлzебраuчеСlCuе ФУНlCции
368. У == х S 4х З + 2х 3.
369. У === x+x2 o,5x..
370. у === ах" + Ьх + с.
5х'
371. У == ..... .
а
372. у == at т + bt т + п .
I1х 6 + Ь
373. У === .
у а 2 + Ь 2
374. У == + ln 2.
х
" 5
375. у==3х 3 2x2 +x a.
376*.у===х 2 V х" .
377. У == V ·
V x" х х
а+Ьх
378. у === с + dx ·
2х+3
379. У === х2 5х+5 .
2 1
380. У =="= 2 1 ·
x х
l+Vz
381. у =:= y .
1 z
Б. ФУНlCции трuzоно.метричеСlCuе и обратные ICРУ208ые
382. У == 5 sin х + 3 cos х.
383. У === tg х........... ctg х.
384. == S n х + cos х .
у StH Х cos х
386. y==2t sin t......... (t" 2) cos t.
386. У === arctg х + arcctg х.
387. У === х ctg х.
388. У === х arcsin х.
389 (1 +х2) arctg х х
.y 2 ·
В. ФУНlCции пОlCазаmеЛЬНblе и лоzариф.мичеСlCие
390. У === х 7 . е Х .
391. y==(x 1) е Х .
еХ
392. У ==2.
)t
х 5
393. У == еХ ·
394. f (х) == е Х cos х.
395. У == (х 2 2х + 2) е Х .
396. у == е Х arcsin х.
х 2
397. У === l ·
пх
2)
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
41
з х 3
398. У === х ] n х 3" -
1 + lп х
399. У === ------ 21n х
х х ·
400. У === lп х 19 х .......... ln а loga х_
r. ruперболuчеСlCuе и
401. y==xshx.
х 2
402. У == b ·
с х
403. y==thx x.
404 3cthx
· У lп х ·
обратные zuперболuчес1tuе ФУН1tцuи
405. у === arctg х .......... Arth х _
406. У == arcsin х Arsh х.
407 Arch х
. у .
х
4 08 Arcthx
.Y l 2 -
x
Д. Сложные функции
Найти производные следующих функций (в NgJ\r'g 409 466
необходимо использовать правило дифференцирования сложной ФУНК-
цИИ с одним промежуточным apI'YMeHToM):
'1409**. у===(l +3x 5х 2 )80.
Реш е н и е. Обозначим 1 + 3х 5х 2 == и; тоrда у == и 3О . Имеем:
, I
уи == 30u 29 , ИХ == 3 10х;
y == 30и 29 . (3 1 Ох) == 30 (1 + 3х 5х 2 )29. (3 1 Ох).
410. у===( ах;Ь У.
411. f(y)==(2a+3by)2.
412. у === (3 + 2х2)\
3 1 1
413. У == 56 (2х 1)7 24 (2х 1)6 40 (2х 1)5 -
414. y===V 1 x2.
415. y==Va+bx 3 .
416. у === (а2/з х 2/3 )3/2.
417. У === (3 2 sin х)5.
Реш е н и е. у'== 5 (3 ...:. 2 sin х)4. (3 2 sin х)' == 5 (3 ...... 251" х)4 ( 2 cos х)==
== 10 cos х (3 2 sin х)4.
8 1 8 + l t 5
41 . у==tgх зtg х '5 g х.
419. У === V ctg х .......... V ctg сх.
420. У == 2х + 5 cos 3 х.
421. * Х == cosec 2 t + sec 2 t.
1
422. f(x)=== 6(1 3cosx) 2.
48
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1 1
423. У 3 cos 3 Х cosx
-. /3 siп х 2 cos х
424. У JI 5 ·
425. У === V sin 2 х + .
cos х
426. У === V 1 + ar csil1 х.
427. у === V arctg х (arcsin х)З.
1
428. У === t ·
arc g х
429. у== V хе Х +х.
V '
430. У === 2е Х 2 Х + 1 + lп 5 х.
Х V
431. У == sin 3х + cos 5+ tg х.
Реш е н и е. у' == cos 3х. (3х)' ...... sin 5 X ( Х 5 ) ' + \f (ух)' ==
, cos 2 Х
3 1. х + 1
== 3 cos х 5 SlП 5 y y .
2 х cos 2 Х
432. У === sin (х 2 5х + 1) + tg !!:.. .
х
433. f(x) === cos (ах + ).
434. I (t) == sin t sin (t + ер).
435. === 1 + cos 2х .
У 1 cos 2х
х
436. / (х) === а ctg .
а
437. Y== ;o cos (5x2) cosx l .
438. У == arcsi n 2х.
1 2
Реш е н 11 е. у' == у · (2х)' == У ·
1 (2х)2 1 4х 2
439. У == arcsin 2 '
440. / (х) == arccos V х.
1
441. У === arctg .
х
l+x
442. у === arcctg 1 х ·
443. У === 5e х 2 .
1
444. У =---= .
5'"
445. У == xll О2Х.
446. f (t) == t sin 2 t .
447. У == arccos е".
448. У == lп (2х + 7).
449. У == 19 sin х.
450. y==ln(l Xl).
451. У == lп 2 х 1п (1п х).
(rл. 11
2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
452. У == 1 n (е Х l--- 5 sin х 4 arcsin х).
453. У == arc tg ОП х) + lп (arctg х).
454. У == Vln х + 1 + lп (V-X + 1).
Е. Разные функции
455.** у == sin 8 5х cos 2 .
11 4
456. у === 2 (Х 2)2 Х 2 ·
15 10 1
457. У == 4 (х 3)4 3 (Х 3)3 2 (Х 3)2 ·
х8
458. У == 8 (1 х2)4 ·
459 V 2х2 2х + 1
. Y .
Х
Х
460. У == .
а 2 у а 2 + х 2
Х З
461. У == -v ·
3 (l + x )3
3 V 18 6........ 9 V 6 V
462. У === 2" х 2 + 7" х V х + 5 х х 2 + 13 х 2 х.
463. У == V(1 +х")8 v {1 + х")5.
4 V x 1
464. У ==3 х + 2 ·
465. У == х 4 (а 2х 3 )2.
( а + ьхn ) т
466. у == а ьх n ·
9 3 2 1
467. У === 5 (х + 2)5 (х + 2)4 + (х + 2)3 2 (х + 2}2 ·
468. У == (а +х) V а х.
469. y==V( x+a)(x +b)(x+c).
470. z== V у + Vy
471. f(t)==(2t+ 1) (3t+2) V 3t+2.
1
472. х== V ·
2ау у2
473. У === lп (V 1 + е Х ....... 1)....... lп (V 1 + е Х + 1).
1
474. У == 15 cos 3 х (3 cos 2 x 5).
475 (tg 2 .1C 1) (tg 4 Х + 10 tg 2 Х + 1)
· У............ 3 tg 3 Х ·
50
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[rл. 11
476. У === tg 2 5х.
477. У == + sin (х 2 ).
478. У == sin! (t 3 ).
479. У == 3 sin х cos! Х + sin 3 х.
480. у== tg 3 x tgx+x.
cos х 4
481. У == 3 . 3 + 3 ctg х.
SlП х
482. У == 11 а sin 2 x + cos 2 х.
483. У == arcsin х 2 + arccos х 2 .
484. У == ; (arcsin х)2 arccos х.
. х 2 1
485. У === arCSln Z .
Х
486. У == arcsin -v х .
l+r
487. У === ;ccos х .
1 х 2
488. У === ;-ь arcsi n (х у : ) ·
489. У == У а 2 ......... х 2 + а arcsin : .
490. y===x1la2 x2+a2ar CSin .
491. У ==arcs in ( 1 x)+ у 2x x2 .
492. У == ( х ) arcsin Ух + 11 х х 2 .
493. У == ln (arcsin 5х).
494. У == arcsin (1п х).
х sin а
495. у == arctg 1 ·
х cos а
2 5tg + 4
496. У === 3 arctg 3 ·
r
497. y==3b 2 arctg -v b x (3b+2x)Ybx x2.
. Y tg х
498. у== 2 arcctg у 2 x.
499. У == У е ах .
500. у == esln2x.
501. F(x)==(2ma тx +b)P.
502. F (t) == e at cos t.
503 (сх sl" рх р cos x) e X
· у.......... а. 2 + р2 ·
504. у == /0 e X (3 sin 3х cos 3х).
I
ctg
507. У == 3 х
508. У === ln (ах l + Ьх + с).
505. y==xп a x2.
506. у == у cos х аУ cos Х.
2}
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
51
509. У == lп (х + у а 2 + -,,2).
510. У ==х 2Ух+ 2 1п (1 + ух).
511. У == ln (а+ х+ У2ах+х 2 ).
1
512. У === l 2 ·
n х
x l
513. У ==1п cos .
х
х У а2
517. У == 2 х 2 ....... "2 ......... 2 1п (х + у х 2 а 2 ).
518. у == lп lп (3.......... 2х').
519. У == 51п 3 (ах + Ь).
520 1 -v х 2 + а 2 + х
. у n"l/" ·
r x2+a2 x
521. у== ; 1n(x2 a!)+ 10 :+.: .
522. у == х. sin ( 10 х -т ) .
1 х 1 cos х
523. У === 210 tg 2"......... 2 sin2x .
524. ЛХ) == -V х' + 1 1" 1 + v х 2 + 1 .
х
1 2 2x+l
525. у===з- 1о х2+х+l ·
526. У == 2arcsin эх + (1 arccos 3х)2.
sin ах 1 . 3
527. == 3cos Ьх + SlЛ ах
у 3 cos 3 Ьх ·
* (х ...... 2)1
514 .у == ln (х+ 1}I '
515 1 (x-----l)'(x.....2)
.y n 3 .
х......
1
516. У == .......... 2 . 2 + 1 n tg х.
51П Х
tg +2 уз
1 2
528. У === ../ ln .
r 3 tg + 2 + уз
529. У === arctg 10 х.
530. У == 10 arcginx + ; 1п! х + arcsin lп х.
1
531. У == arctg lп .
х
У2 х 1 x 1
532. У == """3 arctg V 2 + "6 lп хтт ·
533. У == 1п 1 + + 2 arctg V sin х .
1...... SIП )&
3 х 2 + 1 1 х ...... 1 + 1
534. У == 4 lп х2 1 + '4 lп х + 1 2" arctg х.
52
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[rп. 11
1 + 1 ! + + 1 2х.......l
535. лх) == з 1п (1 х) 6" 1п (х x 1) V 3 arctg VЗ ·
536. f(x) == rСSiП х + 1п V 1 х 2 .
1 х 2
537. У == sh 3 2х. 542. У == Arch ln х.
538. У == е'1Х ch x. 543. У == Arth (tg х).
539. У == th 3 2х. 544. У == Arcth (sec х).
2х
540. У == ln sh 2х. 545. У == Arth 1 + х! .
х 2 1 2 1
541. y===Arsh az . 546. У=="2 (Х l)Arthx.+"2 x .
547. у===( х 2 + ) Arshx хУl +х2,
548. Найти у', если:
а) у == I х 1;
б) у == х I х 1.
Построить rрафики функций у и у'.
549. Найти у', если
у == ln 1 хl (x=l=0).
550. Найти f' (х), если
{ 1 x при x O,
{(х) == е-- Х при х> о.
551. Вычислить f' (О), если
t (х) == е-- Х cos 3х.
Реш е н и е: " (х) == е-- Х ( 3 sin 3х) ...... е-- Х cos 3х;
f' (О) == е О ( ...... 3 sin О) е О cos О == 1.
552. j (х) == lл (1 + х) + arcsin ; . Найти f' (1).
553. У === tg' Т[6 Х ' На IIти ( : ) Х:= l'
, I
554. Найти f + (О) и f (О) для функций:
а) f (х) == V sin (х 2 ); r) f (х) == х 2 sin , х =;6= о; f (О) === о;
х
. а 2 ...... х 2 . 1
б) f(x)== arCSln 2+ 2 ; д) I(x)==xsln , x=F 0 ; 1(0)==0.
а х х
в) / (х) == х 1 ' Х + о; 1(0) == о;
1 +е Х
665. Для функции !(х)==е-- Х найти j(O)+x/'(O).
2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
53
j
556. Для ФУНКllИИ !(x)===Vl+x найти f(3)+(x 3)f'(3).
!' (О)
557. Даны функции f(x) == tg х И ер (х) == ln (1 х), найти <р' (О) .
лх <р' (1)
558. Для функцийf{х) == 1 х и ер (х) == 1 sin"2 найти !' (1) .
559. Доказать, что производная четной функции функция нечет.
ная, а производная нечетной функции........... функция четная.
560. llоказать, что производная периодическоЙ функции есть
функция также периодическая.
561. Показать, что функция y===xe X удовлетворяет уравнению
ху' == (1 х)у.
х 2
562. Показать, что функция у == хе 2 удовлетворяет уравнению
ху' === (1 х 2 )у.
1
563. Показать, что функция у == 1 + х + lп х удовлетворяет уравне-
ни 10 х У I === У (у 1 n х 1).
Ж. ЛО2арuфмuчес1tая проuзводн,ая
ЛО2арuф.мuческой пРОUЗ80дн'ОЙ ФУНКЦИИ у == t (х) называется производная
от лоrарифма этой функции, т. е.
, у' " (х)
ОП у) == у == t (х) ·
Применение предварительноrо лоrарифмирования функции иноrда упрощает
нахождение ее производной.
При м е р. Найти производную сло)кно-показательной функции
у == u V ,
rде II == <р (х) и v == 'ф (х).
Реш е н и е. Лоrарифмируя, получим:
1 n у == v 1 n а.
Дифференцируем обе части последнеrо равенства по х
(1пу)'==и' lnu+v(lnu)',
или
1 1
у' == v' 1 n u + v и' ,
у и
ОТСlода
у' == у ( v' lп u + и') .
или
у' == u'U (v' lп u + : и') .
54
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[r Л. 11
564. Найти у', если
У === V X 2 1 х sin 3 х cos! Х
1 + х 2 ·
2
Реш е н и е. lп у == 3 lпх + lп(1 х) lп(1 +х2) + 31nsinx + 21п cosx,
J. , !.! ( 1) 2х з соsх 2siпх,
у у 3 х + 1 х 1 + х 2 + sin х cos х
, ( 2 1 2х I 3 t 2 t )
откуда у у Эх 1 ........ х 1 + х2 -т- с g х g х ·
565. Найти у', если у == (sin х)Х.
Реш е Н и е. 1 n у == х ] n sin х; ..!.. у' == 1 n sin х + х ctg х;
У
у' == (sin х)Х (1п sin х + х ctg х).
применяя предварительно лоrарифмирование ФУНКЦИИ
Найти у',
у ==f(x):
566. у==(х+l)(2х+l)(3х+ 1).
(х + 2)2
567. У === (х + 1)3 (х + З) .
568. У === у Х X 21) .
V х2
569. У === х х 2 + 1 ·
570. === (х 2)9 .
У у (х 1)15 (х 3)))
671. == . 11 Х 1 .
У V (X+2)2 V (x+3)'
572. у===х Х .
573. У == х х2 .
574. y==Vx.
575. У === х 1lх .
х Х
576. У === х .
577. у == x ln Х.
578. У == (cos x),in . .
579. У === ( 1 + )".
580. У == (arctg х)Х.
* з. Производпые функций, не являющихся явно заnанными
1 О. Про и 3 В О Д Н а я о б Р а т н о й Ф У Н к Ц и и. Если дЛЯ ФУНКЦИИ
y l(x) ПрGизводная y :pO, то производыая обратной ФУНКЦИИ X==t l(y)
есть
, 1
Ху ==
УХ
или
dx 1
dy dy ·
dx
3]
ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮLЦИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ
55
,
При м ер 1. Найти ПРf>И3ВО,uную Х у ' если
y==x+lnx.
' l x+l. ' х
Решение. Имеем yx l +x х ,следовательно, ху== х+1 ·
20. Про и 3 В О Д Н Ы е Ф У н к Ц ИЙ, 3 а Д а н н ы х пар а м е т р и ч е с к и.
Если зависимость функции у и aprYMeHTa х заДана посредством параметра t
{ х == fP (t),
У == Ф и),
то
,
, Yt
yx== ,
Xt
или в руrи обозначениях
dy
dy dt
=== .
QX dx
dt
При м ер 2. Найти :; . если
{ x==ac st,
у == а Sln t.
tlx . dy
Находим dt == a SlП t и dt == а cos t. Отсюда
dy а cos t
d == . t == cta t.
х а SlП
Реш е н и е.
30. Про и 3 В О Д Н а я н е я в н о й Ф у н к u и и. Если зависимость между
х и. у задана в неявной форме
F (х, у) == о;
\1)
u', u
то для нахождения производнои УХ == У в простеиших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая у ФУНК-
цией от х; 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
d
dx F (х, у) == О,
(2)
и 3) решить полученное уравнение относительно у'.
При м ер 3. Найти производную Y , если
х 3 + у3 Заху == о.
(3)
Реш е н и е. Составляя ПРОИЗВОДНУЮ левой части равенства (3) и прирав-
нива я ее НУЛЮ, получим:
3х 2 + 3у2у' ........ За (у + ху') == О.
отсюл.а
x2 a y
y'
....... ах 1)2 ·
56
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
lrл. 11
,
581. Найти ПРОИ3ВОДНУЮ Х У' если
а) у==3х+х 8 ;
б 1 .
) У == х ....... 2" SIП х;
х
В) у==о,lх+е 2 .
Определить производную у' === : для функций у. заданных
параметрически:
{ Х == 2 t ....:.... 1,
582. У === t S .
583. { х t ( / ' ) 2
y t+l ·
{ х == а cos 2 t,
589. 2
y==bsin t.
{ Х == а cos 3 t,
590. 8
y==bsin t.
584.
{ 2at
х == 1 + t 2 ,
а (1 t 2 )
У === 1 + t 2 ·
cos 3 t
х ==
Vcos 2t J
У == sin 3 t
V cos 2t ·
( 1
I х == arccos ,r '
r 1 + t 2
592. < . t
I у === аrсslП V ·
\ 1 + [ 2
{ t
х===е ,
593. 2 t
у==е .
J Х === а ( 1 n tg + cos t sin t) .
594.
l у == а (sin t+ cos t).
591.
{ Х === 1 3 t 3 ,
585 · 3at 2
у == 1 + [ 3 ·
{ х== Vt,
586. V .
у == t.
{ х == V t 2 + 1,
587. t l
У === -v (2 + 1 ·
{ х == a(cost + tsin t),
588. У === а (sin t t cos t).
dy n
595. Вычислить dx при t === 2' если
{ x==a(t sint),
у === а (1 ....... cos t).
dy а sin t sin t ( d Y )
Решение. dх := а(l cost) ==l.....cost и dx 1t...........
t==
2
. зt
51П
2
== 1.
n
1 ........ с os............
2
3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 51
d j x==tlnt,
Найти d Y при t == 1, если ln t
х Y
t ·
.
u dy л { Х== et cos t,
Наити d при t == 4 ,если t .
х У == е Sln t.
598. Доказать, что функция у, заданная параметрически уравне...
596.
597.
ниями
{ х == 2t + 3t 2 ,
У . t=+2t 3 ,
удовлетворяет уравнению
у == ( : y + 2( : )a.
599. При х == 2 справедливо равенство
х 2 == 2х.
Следует ли отсюда, что
(х 2 )' === (2х)'
при х== 2?
600. Пусть У == V а 2 x z . Можно ли почленно дифференцировать
равенство
х 2 + у2 === а2?
Найти производнуlO у' == : от неявных функций у:
601. 2x 5y+10===O.
х2 у2
602. ат + fii === 1.
603. х 3 + уЗ === аЗ.
604. х 3 + х 2 у + у2 === О.
605. V-X + v у == Va.
606. V х 2 + V у2 == V а 2 .
3 Х у
607. У === + ·
х у
608. У 0,3 sin у == х.
609. а cos 2 (х у) == Ь.
610. tgy === ху.
х
611. ху == arctg .
у
612. arctg (х + у) ===х.
613. е У === х + у.
у
614. lnx+e x==c.
615. ln у + === с.
у
616. arc tg f == ; In (х 2 + у2).
617. Vx2+y2==carctg .
х
618. х У yX.
58
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл. 11
619. Найти у' в точке М(l; 1), если
2у == 1 + ху3 .
Реш е н и е. Дифференцируя, имеем 2у' == у3 + 3 ху 2 у '. Полаrая х == 1 и
у== 1, получим 2у' == 1 + Зу', откуда у' == 1.
620. Найти производные у' заданных ФУНКЦИЙ у в указанных
TOQKax:
а) (х + у)а == 27 (х у) при Х == 2 и У == 1;
б) усУ === е Х + ! при х === О И) У == 1;
в) yZ===x+ln при х=== 1 и у== 1.
4. rеометрические и механические приложения производноА
1 О. у Р а в н е н и я к а с а т е л ь н о ii и, н о р 1\1 а л и. Из rеометуическоrо
смысла производной следует, что !'равнение касательной к кривом у == f (х)
или F (х, у) == о в точке М (ХiЭ' Уо) будет
,
у УО==УО (х x,),
rде y есть значение производной р' в точке М (х о , уо)' Прямая, проходящая
у
у
о
Хо
9
% 01 /" Т
к 11 Х
Рис. 12.
Рис. 13.
через точку к аеания перпсндикулярно к касательной, называется нормалью
к кривой. Для нормали получаем уравнение
,
х ХО + уо (у уо) == о.
20. Уrол между кривыми. Под уrлом между кривыми
y==fl (х)
y==f 2 (x)
в и х общей 1'O'lKe М о (х о , Уо) (рис. 12) понимается уrол 00 между касательными
МоА и МоВ к этим кривым в TO'IKe М о .
По известной формуле аналитической rеометрии получаем:
, ,
12 (х(}) ft(X O )
tg ro == , , .
1 + t 1 t x Q ). f а (;(u)
11
4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИ3ВОДНОЙ
59
30. о т рез к И, с в я з а н н ы е с к а с а т е л ь н о й и н о р м а лью,
Д л я с л у ч а я n р я м о у r о л ь н о й с и с т е м ы к о о р Д и н а т. Касательная
и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис. 13):
t == Т М так называемый отрезок касательной,
St == т к подкасательная,
n == N М опzреэок нормали,
Sn == KN подНОРА-zаль.
I
т ак как К М == I Уо I и t g q> == У О ' то
t== ТМ == У), Vl + (у')2 ; п ==.\1 М == I Уо Vl + (у')2 \ ;
У О о О
St== тк == 1 ; 8 п == I YиY 1.
УО
40. О т Р е 3 к И, С В Я З а н н ы е с к а с а т е л ь н о й и н о р:м а лью,
Д л я с л у ч а я п о л я р н о й с и с т е 1\1 ы К О О Р Д и н а т. Если кривая задана
v
..
х
1
т
Рис. 14.
Рис. 15.
в полярных координатах уравнением , == f (<р), то уrол f.t, образованный каса-
тельной МТ и полярным радиусом, == ОЛ1 (рис. 14), определяется следующей
формулой:
dfP ,
tg Il == , d ==...., ·
r r
Касательная МТ и нормаль MN в точке М вместе с полярным радиусом
точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через
полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
t == М Т отрезо/\' полярной /\,асаlпельн ой,
n == М N отрезок полярной нормали,
8t== ОТ полярная подкасательная,
8 п == ON полярная подн.ормаль.
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
2
t == МТ == I ;, I V ( 2 + (r' )2; St == ОТ == I , I ;
n == MN == v, q (,')2; 8 п == ON == 1" 1.
621. Какие уrлы ер образуют с осыо ОХ касательные к кривой
1
y===x x2 В точках с абсциссами: а) х==О; б) Х=="2; в) х==l?
Реш е н и е. Имеем У' == 1 2х. Отсюда: а) tg <р == 1, q> == 450; б) tg (j) == О,
<р==оо; в) tgcp== l, <р==135° (рис. 15).
60
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Функции
[rл. 11
622. [Iод какими уrлами синусоиды у == sjn х и у === sin 2х пере-
секают ось абсцисс в начале координат?
623. Под каким уrлом танrенсоидау == tg х пересекает ось абсцисс
в начале координат?
624. Под каким уrлом кривая у === е о ,5Х пересекает ПРЯМУIО Х == 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой у === 3х 4 +
+ 4х З 12х2 + 20 параллельны оси абсцисс.
626. В какой точке касательная к параболе
у == х 2 7 х + 3
параллельна прямой 5х + у 3 == О?
627. Найти уравнение параболы у == х 2 + Ьх + с, касающейся
ПрЯ 10Й х == у в точке (1; 1).
628. Оl1ределить уrловой козctфициснт касательной к кривой
х 3 + уЗ ху 7 == О в точке (1; 2).
629. В какой точке кривойу2 === 2х 8 касательная перпендикулярна
к I1рЯМОЙ 4х Зу + 2 === О?
630. Написать уравнение касательной и нормали к параболе
у == Vx
в точке с абсuиссои х === 4.
Реш е н 11 е. Имеем у' == ; отсюда yr ловой коэффициент касатель-
2 х
ной k == [у'] Х==4 == . Так как точка касания имеет координаты х == 4, У == 2,
то уравнение касательной есть у 2 == (х 4), или х 4у + 4 == о.
в силу условия перпендикулярности уrловой коэффициент нормали
k 1 == 4,
отку да уравнение нормали у 2 == 4 (х 4), или 4х + у 18 == о.
631. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у == х з + 2х2 4х 3 в точке ( 2; 5).
632. Найти уравнение касатель ной и нормали к кривой
y==Vx l
в точке (1; О).
633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в YKa
ванных точках:
а) у === tg 2х в начале координат;
x l
б) У == arcsin в точке пересечения с осью aJ ;
в) у == arccos 3х В точке пересечения с осью ау;
r) у == ln х в точке пересечения с осью ОХ;
д) у === el X'2 в точках пересечения с прямой у == 1.
4]
ПРИЛОЖЕНИЯ производной
61
уравнения касательной и нормали в точке (2;2)
{ X== ltt ,
3 1
У === 2t 2 + 2t ·
635. Написать уравнения касательной к кривой
х == t cos " У == t sin t
л;
в начале координат и в точке t === Т .
636. Написать уравнения касательной и нормали к кривоП
х З + у' + 2х 6 === О в точке с ординатой у == 3.
637. Написать уравнение касательной к кривой х 5 + у5'........ 2ху ===0
в точке (1; 1).
638. Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
у === (х.......... 1) (х........ 2) (х 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у4 == 4х" + 6ху в точке (1 ;2).
634. Написать
к кривой
640*. Показать, что отрезок касательной к rиперболе ху == а",
заКЛlоченный между осями координат, делится в точке I<асания пополам.
641. Показать, что у астроиды х 2 '3 + у2/3===а 2 / 3 отрезок касательной,
содержащийся между координатными осями, И\1еет ПОСТОЯННУIО вели-
чину, равную а.
642. Показать, что нормали к развертке ОКРУ)l(НОСТИ
х=== а (cos t + t sin t), у === а (siп t t cos t)
являются касательными к окружности х 2 + у2 === а 2 .
643. Найти уrол, под которым пересекаlОТСЯ параболы у === (х......... 2)2
И У == 4 + 6х .......... х 2 .
644. Под каким уrлом пересекаются параболы у ===х 2 И У ===х 3 ?
645. Показать, что кривые у == 4х 2 + 2х ....... 8 и У === ха ........ Х + 1 о
касаlОТСЯ Apyr Apyra в точке (3;34). Будет ли то )ке самое в точке
( 2; 4)?
646. Показать, что rиперболы
ху === а 2 и х 2 .......... у2 == Ь 2
пересекаются под прямым yr лом.
647. Дана парабола у2 == 4х. Вычислить в точке (1 ;2) длины от..
резков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
648. Найти 110дкасательную кривой у == 2 Х в любой ее точке.
649. Показать, что у равносторонней rиперболы х 2 .......... у2 === а 2 длина
отрезка нормали в любой точке равна ПОJ1ЯРНОМУ радиусу этой точки.
650. Показать, что поднормаль rиперболы х 2 ......... у2 == а 2 в любой
ее точке равна абсциссе этой точки.
62
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
(rл. II
х! у"
651. Показать, что подкасательные эллипса a + Ь 2 == 1 и 01<:-
ружности х 2 + у2 == а 2 В точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны
ме}IСДУ собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда
вытекает?
652. Найти длины отрезков касательной, нормали, Ilодкасател ьной
и поднормали у циклоиды
{ х == а (t ......... sin t),
У == а ( 1 cos t)
в произвольной точке t== t o .
653. Найти уrол между касательной и полярным радиусом точки
касания у лоrарифмической спирали
, === aek .
654. Найти уrол между касательной и полярным радиусом точки
касания улемнискаты ,2 === a 2 cos 2ср.
655. Найти длины отрезков полярных касательноЙ, нормали, под-
касательной и поднормали, а также уrол между касательной и полярным
радиусом точки касания у спирали Архимеда
, == ач>
в точн:е с полярным yr лом <р == 2n.
656. Найти длины отрезков полярных подкасательнои, поднормали,
I(асательной и нормали, а также уrол между касательной и полярным
а
радиусом у rиперболической спирали , === в произвольной точке
fP
<P== в; '==='о.
657. Закон движения точки по оси ОХ есть
х === 3t t 8 .
Найти скорость движения точки для моментов времени: t o == О,
t 1 == 1 и '2 == 2 (х дается в сантиметрах, t............ в секундах).
658. По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения
х === 100 + 5t
и
1 2
Х===2 t ,
rде t о. с какой скоростыо удаЛЯIОТСЯ эти точки друr от друrа в
момент встречи (х дается в сантиметрах, t......... в секундах)?
659. Концы отрезка АВ== 5 .At скользят по перпендикулярным пря-
мым ОХ и ОУ (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2.м/сек.
Какова скорость l1еремещения конца В в тот момент, Kor да конец А
находится от начала координат на расстоянии ОА == 3 .At?
4]
ПРИЛОЖЕНИЯ производной
63
660*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикаль-
ной ПЛОСКОСТИ ХОУ (рис. 17) под уrлом а к rоризонту с начальной
скоростью v o ' дается формулами (без учета сопротивления воздуха)
. gt 2
х ==vot cos а, у === vot Sln а "2'
rде t время, g ускорение силы тяжести. Найти траеI{ТОРИЮ дви-
жения И дальность полета. Определить также величину скорости дви-
жения и ее направление.
-в
v
о
з
А
I
х
Рис. 16.
Рис. 17.
10
661. Точка дви)кется по rиперболе Y=== так, что ее абсцис-
х
са х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С ка-
кой скоростью изменяется ее ордината, коrда точка проходит положе-
ние (5; 2)?
662. В какой точке параболы у2 === 18х ордината возрастает вдвое
скорее, чем абсцисса?
663. Одна сторона прямоуrольника имеет постоянную величину
а === 1 О c , а друrая Ь изменяется, возрастая с постоянной скоростью
4 c /ce". с какой скоростью растут диаrональ прямоуrольника и ero
площадь в тот момент, Kor да Ь == 30 с.м?
664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 с.м/се".
с какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара
в момент, коrда радиус ero становится равным 50 с.м?
665. Точка движется по архимедовой спирали
r === а<р
(а=== 10 с.м) так, что уrловая скорость вращения ее полярноrо радиуса
постоянна и равна 60 в секунду. Определить скорость удлинения ПО--
пярноrо радиуса r в момент, коrда ,==25 C .
64
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл. 11
666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса ero части
АМ растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от
конца А И равна 1 О 2 при АМ === 2 см. Найти массу Bcero стержня
АВ и линейную плотность В любой ero точке М. Чему равна линей-
ная плотность стержня в точках А и В?
5. Производные высших ПОРЯДКОВ
1 О. О п р е Д е л е н и е в ы с ш и х про и з в о Д н ы х. П роuзводной вmо-
рО20 порядка или второй nроuзводноu функции у == t (х) называется лроизво,ц-
ная от ее производной , т. е.
(у')' .
Обозначается вторая производная так:
d 2 y
у", или dx 2 ' или 1" (х).
d 2 x
Если Х == f и) закон прямолинейноrо движения точки, то dt 2 есть уско-
рение этоrо движения.
Вообще, nроuзводной n.20 порядка от функции у == f (х) называют про-
изводную от производной порядка (n 1). Для n-й производной употребляются
обозначения
d п
у(1l), или dx ' или f(n) (х).
При м ер 1. Найти производную 2.ro порядка от функции
у == 1 n (1 х).
Реш е н и е. у' == 1 ; у" == ( 1 =- )' == (1 х)2 ·
20. Фор м у л а Л е й б н и ц а. Если функции u == <р (Х) и v == 'ф (х) имеют
производные до n.ro порядка включительно, то для вычисления n.й производ-
ной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
(uv)ln) == U(n)V + nu(n I)V' + n ( . 1) и(n 2 v" + . .. + uv1n).
30. Про и 3 В О Д Н Ы е в ы с ш и х пор я Д к о в Ф у н к Ц ИЙ, 3 а Д а Н-
Н ы х пар а м е т р и ч е с I{ и. Если
{ Х == <р (t),
У == 'Ф (п,
, d!! " d 2 y
то производные ух == d ' У хх == dx 2 ' ... последовательно MorYT быть вычис-
лены по формулам
, y " , ) ' ( y ) ,,, ( y:x)
у .......... У (У Уххх == , и Т. П.
Х == " хх == х Х == f , t'\
Xt Х! Xt
Для производной 2-ro порядка имеет место формула
'" ",
" Xt УН Xtt Yt
ух,,== ( х;)8
5}
ПРО ИЗ ВОДНЫЕ высших порядков
65
При м е р 2. Найти у", если
{ Х == а c?s t,
у== Ь 51П t.
Реш е н и е. Имеем:
. ,
, (Ь 51П t)t Ь. cos t Ь
У == , . == ctg t
(а cos t)t а 51Л t а
и
( ...... ctg t )
Y " а
,
( а cos t)t
ь 1
--- ....... .
а siп 2 t
а si n t
ь
а 2 s i n 8 t ·
А. Проuзвод1tые высших порядков явных функций
Найти производные 2-ro порядка от следующих функций:
667. у === х 8 + 1 х'......... 5х + 4. 671. У === lп (х + V а l + х!).
668. У == е х2 . 672. f (х) === (1 + х!) arctg х.
669. у === Sif.l2 х . 673. У == (arcsin х}l.
670. У === ln V 1 + х 2 . 674. У === а ch .
а
х2+2х+2
675. Показать, что функция у === 2 удовлетворяет диф..
ференциальному уравнению 1 + у'2 === 2уу".
1
676. Показать, что функция у ===2 х 2 е Х удовлетворяет дифферен"
циальному уравнению у" 2у' + у=== е Х .
677. Показать, что функция у == С 1 e X + C2e 2Х при любых по.-
стоянных С 1 И С 2 удовлетворяет уравнеНИIО у" + 3у' + 2у == о.
678. fl0казать, что функция у === е 2Х sin 5х удовлетворяет урав-
неНИIО у" 4у' + 29у == о.
679. Найти у"', если у == ха ......... 5х 2 + 7 х .......... 2.
680. Найти f'" (3), если 1 (х) === (2х 3)5.
681. Наiaти у V от функции у == ln (1 + х).
682. Найти yVI от функции У == si1il2x.
683. Показать, что функция у == e X COS х удовлетворяет диффе..
ренциальному уравнению ylV + 4у == о.
684. Найти 1(0), f' (О), (' (О) и 1'" (о), если
f(x) == e sin х.
685. Уравнение движения точки по оси ОХ есть
х == 100 + 5/ ......... 0,00 t , 8 .
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени fo === О,
t 1 == 1; /2 == 10.
э r. с. Бар анеНКОБ и др.
66
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rп. 11
686. По окружности х 2 + уl == а 2 движется точка М с по тоянной
уrповой скоростью 00. Найти закон движения ее проекции М 1 на ось
ОХ, если в момент t==O точка занимает по-
ложение Мо (а, О) (рис. 18). Найти скорость
и ускорение движения точки Mt.
Чему равны скорость и ускорение точки
М 1 В начальный момент и в момент прохож-
дении начала координат?
Каковы максимальные значения абсолют-
ной величины скорости и абсолютной вели..
чины ускорения точки М 1 ?
687. Найти производную n-ro порядка
от функции у === (ах + ь)n (n........ натуральное
число).
688. Найти производные n-ro порядка от функций:
а) у == 1 х ; б) У === V х.
689. Найти n-ю производную от функций:
а) y==sinx; 1
д) У === 1 + х ;
l + х
е) у == 1 ;
x
ж) у == sin 2 х;
з) y===ln{ax+b).
Лейбница, найти у(п), если:
r) У 1 + х .
"ух '
Д ) У ==х' lп х
в) у == (1 ....... хl) cos х; ·
1
691. Найти .fп) (О), если I (х) == lп 1 х ·
у
Но r
Рис. 18.
б) У == cos 2х;
в) у === e ах;
r) у === lп (1 +х);
Применяя формулу
а) у === хе";
б) у ==xle IX;
Б. Производные высших порядков функций, задан,НblХ
рическu, u неЯ8НblХ фУН"l,ий
d 2 y
Найти dx 2 от следующих
x===lnt, {
б)
У == {8;
х=== а cos t, {
в)
у == а Sifl t;
х === а cos а t, I
r) )
y==asin't; \
690.
692. а) {
693. а) {
б) {
па ра.Аl,е т..
функций:
х === arctg t, {
в)
у === 1 n (1 + t l );
Х === а (t ....... siи t),
у === а (1 ........ cos t);
х == а (sin t ....... t cos {),
У ==а (cos t + t sin t).
х === arcsin t,
у == v 1 t l .
5]
ПРОИ3ВОДНЫЕ высших ПОРЯДКОВ
67
694. а)
{ Х == cos 2t,
У === siи 2 t;
{ x==e at,
б) y==eat.
695. а) { х == atrct g "
У t z.
2 '
б) { х In ,
y l t ·
. t
d 2 x { Х == е cos "
696. Найти dy2' если у === e t sin '.
d 2 y (x==ln(1+t 2 ),
697. Найти dx 2 при t O, если ly===t Z ,
698. Показать, что у, как функция от х, определяемая уравнени';
ямих==sint,у==ае t 112" +be t 112, при любых постоянных а и Ь
удовлетворяет дифференциальному уравнению
2 d 2 У dy
(1 ....... х ) dxZ х dx === 2 У .
Н х. ' /1 d' у Ф
3tlТИ У ==- dх З от следующих ункций:
{ Х === sec t, { Х == е-- t,
699. у == tg t. 701. У === , 3 .
{ Х === е t cos t, d п у { Х === 1 n t,
700. У === е-- tsiR t. 702. Найти dxn ' если у === , т .
703. Зная функцию у ===/(х), найти производные х", х'" обратной
функции х === /--1 (у).
704. Найти у", если х2+у2===1.
Реш е н и е. На основании правила дифференцирования сложной ФУНК-
х ( Х ) ' уху'
ции имеем 2х + 2уу' == о; отсюда у' ==....... и у"== == 2 .
У У х У
Подставляя вместо у' ero значение, окончательно получим:
" у2 + х 2 1
у ==......... у а ==........ у а ·
Определить производные у" от следующих функции у ===/(х),
заданных неявно:
705. у2 === 2рх.
х2 у2
706. а 2 + Ь 2 === 1.
707. У == х + arctg у.
d 2 y d 2 x
708. Имея уравнение у == х + lл у, найти dx 2 и dyl. '
709. Найти у" в точке (1; t), если
ха + 5ху + у2 ....... 2х + у 6 == о.
710. Найти у" в точке (о; 1), если
х 4 ...... ху + у4 == 1.
3*
Q8
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Функций
[rл. 11
711. а)
Функция У задана неявно уравнением
х. + 2ху + уа......... 4х + 2у 2 == о.
в точке (1;1).
d' y
б) Найти dx" если х! + у. == a l .
6. Дифференциалы первоrо и высших ПОРЯДКОВ
I ct . Д и Ф Ф е р е н Ц и а л пер в о r о пор я Д к а. Дифференциалом (пер-
еаео порядка) функции у == f (х) называется rлавная часть ее приращения,
линейная относительно приращения t1x == dx независимой переменной х. Диффе-
ренциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой
переменной
У , ......... d У
......... d х ·
Если МN дуrа rрафика функции y==f(x)
(рис. 19), МТ касательная в точке
М (х,у) и
PQ == X == dx,
Х то приращение ординаты касательной
\ AT==dy
и отрезок AN == А.у.
Найти приращение и дифференциал функции у == 3х! х.
l-й с п о с о б:
А.у == 3 (х + А.х)2 (х + А.х) 3х 2 + х
А.у == (6х 1) L\x + 3 (А.х)2.
dy == (6х 1) А.х == (6х 1) dx.
d'y
Найти dx'
у
о
р
Q
Рис. 19.
Пример 1.
Реш е н и е.
или
Следовательно,
2-й с п о с о б:
Отсюда
dy == у' dx.
у' == 6х 1; dy == у' dx == (6х 1 )dx.
При м е р 2. Вычислить А.у и dy функции у == 3хl Х при х == 1 и
L\x == 0,01.
Реш е н и е. А.у == (6х 1). А.х + 3(А.х)1 == 5.0,01 + 3. (0,01)! == 0,0503
11
dy == (6х 1) А.х == 5.0,01 == 0,0500.
20. О с н о в н ы е с в о й с т в а Д и Ф Ф е р е н Ц и а л о в:
1) dc== О, rде с== сопst.
2) dx == А.х, rде х независимая переменная.
3) d (си) == с du.
4) d (и :!: v) == du :l:dv.
5) d(uv)==udи+vdu.
6 ) d ( .!!.. ) == [) du u dv О )
[) v 2 (v:l:.
7) dl (и) == {' (и) dи. .
6} -
ДИФФЕРЕНllИАЛЫ ПЕРвоrо и высших порядков
69
30. При м е н е н и е Д и Ф Ф е р е н Ц и а л а к при б л и ж е н н ы м в ы-
ч и с л е н и я м. Если приращение i1x aprYMeHTa х мало по абсолютной вели-
чине, то дифференциал dy функции у == f (х) и приращение y функции при-
ближенно равны между собой
i1y =::: dy,
т. е.
отк у да
f (х + i1x) f {x)=:::f' (х) i1x,
f (х + i1x) =::: f (х) + " (х) i1x.
(1)
При м е р 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
если площадь ero увеличилась от 9 м 2 до 9,1 м 2 ?
Реш е н и е. Если х площадь квадрата и у сторона ero, то
у == Ух.
По условию задачи: х == 9; i1x == 0,1.
Приращение y стороны квадрата вычисляем приближенно:
!!.у:::::: dy == у' !!.х == . 0,1 == 0,016 М.
2 9
40. д и Ф Ф е р е н Ц и а л ы в ы с ш и х пор я Д к о в. Дифференциалом
Bтopozo порядка называется дифференциал от дифференциала nepBoro порядка:
dZy == d (dy).
Аналоrично определяются дuфференцuалы тpeтbezo и т. Л. порядков.
Если у == f (х) и х независимая переменная, то
d 2 y == у" (dx)2,
d 3 У == у'" (dx)',
. . . . . . . .
. . . . . . . .
dny == у(n) (dx)n.
Если же у == f (и), rде и == <р (Х), то
d 2 y == у" (du)2 + у' d 2 u,
d 3 y == у'" (dU)3 + 3y"du .d 2 u + у' d 'и
ит. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
712., Найти приращение l1у и дифференциал dy функции у===5х+
+х2 при х==2 и I1x==O,OOt.
713. Не вычисляя производной, найти
d (1 ха)
1
при Х === 1 и x === 3 ·
714. Площадь квадрата S со стороной, равной х, liыражается по
формуле S==x 1 . Найти приращение и дифференциал этой функuии И
выяснить rеометрическое значение последнеrо.
715. Дать rеометрическую интерпретацию приращения и дифферен:
циала слеДУIОЩИХ функций:
а) площадь Kpyra S===л;х l ; б) объем куба v==x'.
70
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[r л. 11
716. Показзть, что при x О приращение функции у === 2Х',
соот'ветствующее приращению х на величину дх, при всяком х экви"
валентно выражению 2 Х L\x ln 2.
717. При каком значении х дифференциал функции у === х 2 не эк-
вивалентен приращению этой функции при x О?
718. Имеет ли функция у === I х I дифференциал при х == О?
719. Польз уясъ производной , найти дифференциал функции у == cos х
11: п
при х==-б и X=== 36 ·
720. Найти дифференциал функции
2
У=== у х
при х == 9 и x === О, 01 .
721. Вычислить дифференциал функции
у == tg х
п 1t
при х == '3 и X == 180 ·
Найти дифференциалы следующих функций для произвольных
значений зрrументз и ero прираuцения:
1
722. У === r;z .
х
х
723. ,== 1 х ·
х '
724. ,-== arcsin а ·
х
725. У == arctg .
а
726. ,=== e x2.
731. Найти dy, если
727. ,===хlпх х.
l x
728. ,=== lп 1 + х ·
729. r === ctg ер + cosec <р.
730. s ==arcctg e t .
х 2 + 2ху ...... ,2 == a l .
Реш е н и е. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим:
2х dx + 2 (у dx +х dy) 2у dy== О. Отсюда
dY== X+Y dx.
x y
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732. (х+ у)2(2х + ,)8 == 1.
х
.........
733. ,== е У.
734. lп 11 х 2 + у2 == arctg ; .
735. Найти dy в точке (1; 2), если у. у == 6х ' .
6}
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРвоrо И высших ПОРЯДКОВ
11
736. Найти приближенное значение sin 31 о.
Реш е н и е. Полаrая х == асс 300 == : и !J.x == асс 1 о == 1 0 ' ИЗ форму-
лы (1) (см. 30) имеем sin 31 о:::::: sin 300 + I;O COS 300==0,500 + 0,017. == 0,515.
737. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно
вычислить:
а) cos 61 о;
б) tg 440;
в) е о ,2;
738. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если ero
радиус R === 15 см удлинится на 2 мм?
739. Вывести приближенную формулу (ДJlЯ I ДХ 1, малых по сравне-
нию с х)
r) 19O,9;
д) arctg 1,05.
V х + 8х :::::: УХ +
2 r Х
и с ее помощью найти приближенные значения для V 5 ; уи; У 70;
V 640 .
740. Вывести прибл иженну ю формулу
V V .. x
х+8х",,= Х + V
3 х2
V V ............... V
и найти приближенные значения для 10, 70, 200.
741. Найти приближенные значения функций:
а) у===х8 4х2+ 5х+З при х=== 1,03;
б) /(х)==Уl +х при х==0,2;
V l X
B)j(X)== l+х прих==О,l;
r) у == е 1 x3 при Х === 1,05.
742. Найти приближенное значение tg 450 3'20".
743. Найти приближенно arcsin 0,54.
744. Найти приближенно V 17.
Е
745. Показать, основываясь на формуле закона Ома 1 === R ' ЧТО
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротив-
ления, может быть найдено приближенно по формуле
I
d/ === R R.
746. Показать, что относительная поrрешность в 1 % при определе-
нии длины радиуса влечет за собой относительную поrрешность при..
близительно в 2% при вычислении площади Kpyra и поверхности шара.
747. Вычислить d1y, если у === cos 5х.
Реш е н и е. d 2 y == у" (dX)2 == ...... 25 cos 5х (dx)2.
72
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[r л . 11
748. и == у 1 х 2 , найти d 2 и.
749. y==arccosx, найти d'"y.
750. У == sin х 10 х, найти d 2 у.
751 I n х d 2
. Z == ..............., найти z.
х
752. z==x2e X, найти d 8 z.
х 4 4
753. z == 2 ,найти d z.
x
754. и == 3 sin (2х + 5), найти dnи.
755, у == е Х cos (J sin (х sin сх), найти dпy.
о 7. Теоремы о среднем
1 О. т е о р е м а r о л л я. Если функция 1 (х) непрерывна на отрезке
X Ь, имеет производную l' (х) в каждой внутренней точке этоrо отрезка и
f (а) == 1 (Ь),
то для арrументз х существует по меньшей мере одно значение , rде
а < < Ь, такое, что
[' ( ) == О.
20. т е о р е м а Л а r р а н ж а. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
а х =е;;; Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этоrо отрезка, то
'(Ь) f (а)==(Ь а) l' (6),
rде а < < Ь.
30. Т е о р е м а К о ш и. Если функции f (х) и F (х) непрерывны на отрезке
а х Ь и при а < х < Ь имеют ПрОИЗВОДllые, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем F (Ь) у!:. F (а), то
f (Ь) f (а) " ( )
Е(Ь) F (а) == P'( ) t rде а< 6< Ь.
756. Показать, что функция 1 (х) == х ха на 01 резка х 1 х О
и O x 1 удовлетворяет условиям теоремы Рол ля. Найти соответствующие
знн чения .
Реш е н и е. Функция f (х) непрерывна и дифференцируема для всех
значений х; кроме Toro, f ( 1) == f (О) == f (1) == О.Следовательно, теорема Ролля
применима на отрезках 1 х О и О х 1. Для нахождения числа
составляем уравнение: {' (х) == 1 3хZ == о. Отсюда 1 == у ; z == у .
причем ...... 1 < 1 < о; О < '" < 1.
757. Функция f (х) === V (х .......... 2)2 на концах отрезка [О, 4] прини-
мает равные значения
1(0) ==/(4) === V 4.
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля lIa отрезке [О, 4]?
758. Выполнены ли условия теоремы Ролли для функции
I I(x)==tgx
П3 отрезке [О, л:]?
.; 81
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
13
759. Пусть
f (х) == х (х + t) (х + 2) (х + 3).
Показать, что уравнение
/' (х) === О
имеет три действительных корня.
760. У равнение
е Х === t +х,
очевидно, имеет корень х == О. Показать, что это уравнение не может
иметь друrоrо действительноrо корня.
761. Ilроверить выполнение условий теоремы Лаrранжа для функ-
ции
/(x)===x x3
на отрезке [ 2, tJ и найти соответствующее промежуточное значение .
Реш е н и е. Функция f (х) == х х 3 непрерывна и дифференцируема для
всех значений х, причем " (х) == 1 3х 2 . Отсюда по формуле Лаrранжа име-
ем f (1) f ( 2) == О 6 == [1 ( 2)] " ( ), т. е. " ( ) == 2. Следовательно,
1 3s 1 == 2 и s == :f: 1; rодится только зна чение == 1, для KOToporo сп ра-
ведливо неравенство 2 < s < 1.
762. Проверить выполнение условий теоремы Лаrраижа и найти
соответствующую промежуточную точку для функции f(x) ==х 4 {1 на
отрезке [ 1, 1].
763. Для отрезка параболы у == х 2 , заключенноrо между точками
А (1; 1) и В (3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна
хорде АВ.
764. fIользуясь теоремой Лаrранжа, доказать формулу
sin (х + h) sin х == h cos ,
rде x< <x+h.
765. а) Для функций /(х)==х l +2 и F(X)===X8 1 проверить
выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти ;
б) то же для / (х) :::::= sin х и F (х) === cos х на отрезке [ О, ].
8. Формула Тейлора
Если функция f (х) непрерывна и имеет непрерывные производные до
(n l)-ro порядка включительно на отрезке а х Ь (или Ь х a), причем
в каждой внутренней точке этоrо отрезка существует конечная производная
'<n) (х), то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
{(х) == {(а) + (х а) {' (а) + (х ! а)2 {" (а) + (х -; а)8 {"' (а) + '"
... + ( ; a I 1 {(п l) (а) + (х !a)п {(п) ( ),
rде ;==a+8(x a) и 0<8<1.
74
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[ r п . 11
в частности, при а == О имеем (формула Маклореflа):
2 n 1 п
f (х) == f (О) + xf' (О) + х 2 ! '" (О) + . . . + (: 1)1 '(n 1) (О) + I !(п) (6).
rде ==бх, О < б < 1.
766. Мноrочл ен f (х) === х ! ......... 2х2 + 3х + 5 разложить по целым по-
ложительнЬ1М степеням бинома х 2.
Реш е н и е. l' (х) == 3х 2 4х + 3; 1" (х) == 6х 4; 1'11 (х) == 6; t<п) (х) == О
для n 4. Отсюда:
f (2) == 11; l' (2) == 7; 1" (2) == 8; 1'" (2) == 6.
Следовательно,
ха 2х 2 +3х +5== 11 +(х 2).7 + (х -;!2)! .8 + (х !2)a . 6
или
х 3 2х2 + 3х + 5 == 11 + 7 (х 2) + 4 (х 2)2 + (х 2)8.
767. Функцию I (х) == е Х разложить по степеням бинома х + 1 до
члена, содержащеrо (х + 1)8.
1
Реш е н и е. {<n) (х) == е Х для всех n, {<n) ( 1) == . Следовательно,
е
еХ==!.+(х + 1)J. + (х + 1) ! + (х + 1) + (х + 1)4 еЕ
е е 21 е 31 е 41 '
rде == 1+0(x+I), 0<8<1.
768. Функцию f(x) === 1п х разложить по степеням х 1 до члена
с (х 1)2.
769. Функцию j(x)===sinx разложить по степеням х до члена с. х'
н до члена с х5.
770. Функцию f(x)===e x разложить по степеням х до члена с )Сп--1.
771. Покззать, что sin(a+h) отличается от
sin а + h cos а
1
не более чем на "2 h 8 .
772. Выясн ить происхождение
а) l+Х l+ ; x х 2 ,
V . 1 1
б) 1 +x 1 +з- Х 9 х 2 ,
приближенных формул:
Ixl<l,
lxl< 1,
и оценить их поrрешность.
773. Оценить поrрешность формулы
e 2+ ;, + 311 + 411
774. Тяжелая нить под действием собственноrо веса провисает по
х
цепной линии у == а сЬ а Показать, что для малых I х I форма нити
приближенно выражается параболой
хl
у==а+ 2а ·
9]
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕА
75
775*. Показать, что при I х I а с точностью до ( ) 2 имеет место
приближенное равенство
х
е а ' / а + х .
JI a x
t 9. Правило Лопиталя..... Бернулли раскрытия неопределенностеи
1 о. р а с к рыт и е и е о n р е Д е л е и н о с т е й т и п а и : . Пусть од-
нозначные функции f (х) и <р (х) дифференцируемы при О < I х а I < h,
причем производная <р'(х) не обращается в нуль.
Если f (х) и (х) обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при
х ------+ а, т. е. если частное (; ) представляет в точке х == а неопределенность
о
типа О
00
или
00 ' то
1 im ' (х) == lim {', (х)
х а <р (х) х а <р (х)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Ло-
питаля ---- Бернуллu). Правило применимо и в случае, коrда а == 00.
Если частное , (r;) вновь дает неопределенность в точке х== а одноrо
из двух упомянутых типов и Т' (х) и ер' (х) удовлетворяют всем требованиям,
ранее сформулированным для f (х) и <р (х), то можно перейти к отношению
вторых производных и т. д.
Однако следует помнить, что предел отношения (;;) может существо-
вать в то время, как отношения ПрОИЗ80ДНЫХ не стремятся ни к какому пре-
делу (см. Ng 809).
20. Про ч и е н е о п р е Д е л е н н о с т и. Для раскрытия неопределенно-
стеА типа О. 00 преобразуем соответствующее произведение '1 (х). 12 (х), rде
; /1 (х) == о и ;!:/2 (х) == сю. в частное \(х) (тип ) или 12 fX) ( тип : ) .
'1 (х) 11 (х)
В случае неопределенности типа 00...... 00 следует преобразовать соответ-
ствующую разность '1 (х) {2 (х) В произведеиие 11 (х) [1 : П и' раскрыть
сначала неопределенность 12 (х) . если Iim 12 (х) === 1, то приводим выражение
'1 (х) , х -+ а 11 (х)
1 II (х)
11 (х)
1
'1 (х)
Неопределенности типов 100, 00, 000 раскрывают с помощью предваритель-
Horo лоrарифмирования и нахождения предела лоrарифма степени [/1 (х)]/2 (х)
(что потребует раскрытия неоп ределенности типа О. 00 ). .
в некоторых случаях правило лОПиТ8ля........ Бернулли полезно комбинировать
с нахождением пределов элементарными средствами.
к ВИАУ
(тип %).
16
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл: 11
При м ер 1. Вычислить
. In х I 00 )
11т t ( неопределенность типа 00 ·
х--+-ос gx \
Реш е н и е. Применяя правило Лопиталя Бернулли, имеем:
Нт 1 n х === liт ОП Х)', === Нт sin 2 x .
x--+-octgx x--+-o(ctgx) х--+-о х
О
Получили неопределенность типа ()' однако применять правило Лопиталя
Бернулли нет надоБНОС1И, так как
. siп 2 х . sin х .
11т === 11т . Sln х == 1. 0== О.
X O Х X O Х
Таким образом, окончательно находим:
lim ===O.
х --+- о ctg х
При м е р 2. Вычислить
Нт ( . ) (неопределенность типа 00 00).
х --+- о s,ln х х
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
. ( }. 1 ) "х 2 S i (] 2 Х ( О )
11т . 2 """2 === 11т 2' 2 неопределенность типа O ·
х --+ О sln х х х --+ О Х sln х
Прежде чем применить правило Лопиталя Бернулли, заменим знаменатель
последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (rл. 1, 4) х 2 si11 2 Х х 4 .
Получим:
1 . ( 1 1 ) 1 . XZ sin 2 х ( О )
1т '"2' === 1т 4 неопределенность типа O ·
х --+- о sln Х Х х о Х
По правилу Лопиталя, Бернулли
liт ( 1 l.. ) liт 2х siп 2х == lim 2 2 c s 2х .
х --+ О sin 2 х х 2 Х о 4х' х о 12 х
Далее, элементарным путем находим:
1 . ( ' 1 1 ) 1 . 1 cos 2х 1 .
1т 1т 1т
х --+ о S i [)2 Х х2 Х --+ О 6х 2 Х --+ о
При м е р 3. Вычислить
2 sin 2 х 1
6х 2 ===3.
8
Нт (cos 2х)Х 2 (неопределенность типа 1 (0).
х--+о
Лоrарифмируя и применяя правило Лопиталя Бернулли, получим:
8
Нт lп (cos 2х )х 2 === Нт 3 ln c s 2х ==-= 6Нт tg 2х === 6.
х --+ ОХ--+- о Х х о 2х
8
Следовательно, lim (coS2x)X2==e '.
X O
9J
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
.17
Найти указанные пределы функций:
. х 3 2х2 Х + 2
776. 11т I 7 + б ·
Х--+! Х Х
Реш е н и е. Iim Х3 2х! Х + 2 == lim
х 1 х 3 7 х + 6 х --+ 1
777 1 " Х cos х si(1 Х
. 1т 3 ·
х--+о Х
l x
778. liт
х -+ 1 1 siп пх
2
779. Нт ch х 1 .
х --+ о 1 cos х
780 1 . t х sirJ Х
. 1т " .
х -+ О Х 51Н Х
781. lim sec 2 Х 2 tg х .
1t 1 + cos 4х
х --+ .....
,
3х! 4х ..... 1 I
3х 2 7 === '2 ·
е Х
783. Нm '.
х --+00 Х
784. lim l V . n Х .
х--+оо Х
1t
Х
зtХ ·
х--+о ctg
2
786 } . lп (5in тх)
· 1т 1 . ·
х --+ О n 51П Х
785. Нт
787. Нт(1 cosx)ctgx.
х--+о
782. Нт t t х .
1t g Х
х--+
2
. . (1..... cos х) cos х
Реш е н и е. 11т (] ..... cos х) ctg х == 11т .
х--+о х --+ О 5111 Х
. (1 cos х) 1 . 1 . sl" х 1 О
11т . Jm cos х == 1т . == .
х o sin х х --+ О Х --+ О cos Х
788. Нт (1 х) tg зt 2 х .
Х--+1
789. Нт arcs!n х ctg х.
Х--+о
791. Вт х sin .
х
X OO
792.
1 . n. а
1т Х Sln ,
x oo Х
п>О.
790. Нт (xne X), п> О.
х--+о
793. Нт ln х ln (x 1).
х--+l
794. ! ( x х 1 l х ) ·
Решение. Нт ( ) == Нт xlnx x+l ==
Х--+l x 1 1пх X l (x l)lnx
1
х · х + I n х 1 1 . 1 n х
------ Нт == 1т 1
1
Х--+l ln x+ (x 1) X 1 lnx ...... +1
х х
795. Нт ( 1 3 2 5 6 ) .
Х--+8 x Х .....x
796. Нт [ \r 1 V ]
Х--+l 2(1..... х) 3(l х) ·
1
1 . х 1
== 1т 1 1 == 2 ·
X--+l +
Х ха
78
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций
[rл. 11
797. Нт ( 2 n ) .
1t ctg х cos х
x--+
2
798. Вт х Х .
х--+о
Реш е н и е.
Имеем хх == y
1 n у == х 1 n х; liт 1 n у == lim х In х ==
х--+о х--+о
::= liт lп Х == Нт
x o 1 х--+ о
Х
1
х I == О, откуда Нт у == 1, т. е. Нт х Х == 1.
х --+0 Х-+ о
х 2
1
799. Нт х Х .
Х--+ + 00
8
800. Нт х 4 + ln Х .
х--+о
t
804. Нт х 1 x .
Х--+l
801. limx s1nx .
х--+о
1tX
805. Нт ( t g -Т ) t!r Т- .
х--+ 1
1
806. Нт (ctg х} 1п х .
х--+о
1tX
cos
802. Bm (1 х) !
X l
( 1 ) tg х
807. Нт .
х--+ О Х
t
803. Вт ( 1 + х 2 ) Х .
х--+о
808. lim (ctg x)sin х.
х--+о
1J
809. Доказать, что пределы:
х2 sin J..
а) Вт i Х == о;
Х--+О S n х
б) lim Х..... sin х === 1
х--+ 00 Х + sln х
20. Не MorYT быть найдены по правилу Лопиталя........
Бернулли. Найти эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь KpyroBoro cerMeHTa с малым централь-
ным уrлом а, имеющеrо хорду АВ===Ь и стрелку CD===h (рис. 20),
приближенно равна
2
s=:::: bh
3
со сколь уrодно малой относительной поrрешностью при а о.
r л А В А 111
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И rl ОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИ3ВОДНОЙ
1. Экстремумы функции ОД:flоrо арrумепта
1 ct. В о з р а с т а н и е и у б ы в а н и е Ф у н к Ц и Й. ФУНКЦИЯ У == f (х) на
зьmается возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если
для любых точек Х! и Ха' лринадлежащих данному интервалу (отрезку), из
неравенства Х 1 < Х! следует неравенство t (Xt) < t (Ха> (рис. 21, а)
(! (ХI) > f (X t ) (рис. 21, б». Если функция t (Х) непрерывна на отрезке [а, Ь]
и " (х) > О (/' (х) < О) при а < х < Ь, то f (Х) возрастает (убывает) на
отрезке (а, Ь).
В простейших случаях, область. сущеСТВОВ IНИЯ функции f (Х) можно раз-
бить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (про-
,.
у
I( )
О ........
I, Iz К Z, l2 J
о) d) О
Рис. 21. Рис. 22.
.межgтк.u .монотонности). Эти промежутки Оl'раничены критическими точ-
ками х (rде " (х) == О или же " (х) не существует).
При м е р 1. Исследовать На возрастание и убывание функцию
у ==х. 2х + 5.
Реш е н и е. Находим производную
у' == 2х 2 == 2 (х 1). (1)
OrСЮД8 у' == о при Х == 1. На числовой оси ПОJIучаем два промежутка моно-
тонности: ( oo, 1) и (1, + 00). I1з формулы (1) I1меем: 1) если 00 < х < 1, то
у' < о и, следовательно, ФУНКЦИЯ f (х) убывает в промежутке (........00' 1); 2) если
1 < х < + 00, то у' > о и, следовательно, функция f (х) возрастает в проме-
)Кутке (1, + 00) (рис. 22).
80
9КСТРЕМУМЫ ФУНКUИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ производноR
[rл. 111
При м е р 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
1
У==х+28
Ре ш е н и е. 3дecьx== 2 точка разрыва функции и у' == (X 2r <O
при х :/= ...... 2. Следовательно, функция У убывает в промежутках 00< х <........2
и 2<x<+00.
При м е р 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию
1 5 1 3
Y 5X ЗХ8
Реш е н и е. Здесь
у' == х" ---- х 2 . (2)
Решив уравнение x t ---- х 2 == О, найдем точки Х 1 == 1, Х 2 == О, Ха == 1 J В кото-
рых производная у' обращается в нуль. Так как у' может изменять знак
только при переходе через точки, в которых она обращается в YJIЬ или
терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у отсутст-
вуют), то в каждом из интервалов ( oo,---- 1),
( 1, О), (О, 1) и (1, + 00) про извод-
ная сохраняет постоянный знак, поэтому в
каждом из этих интервалов иссле,в.уемая
функция монотонна. Чтобы выяснить, в ка-
ких из указанных интервалов функция воз-
растает, а в каких убывает, нужно уз-
нать, каков знак производной в каждом из
этих интервалов. Для Toro чтобы выяснить,
каков знак у' в интервале ( oo, ........1), до-
статочно узнать знак у' в какой-нибудь
1 одн й точке этоrо интервала; взяв, например,
х == 2, получим из (2) у' == 12 > О, следо-
вательно, у' > о в интервале ( oo,...... 1) и
функция в этом интервале возрастает. Ана-
лоrично найдем, чТо у' < о в интервале ( l, О) (ДЛЯ проверки можно,
например, взять х == ) , у' < о в интервале (О, 1) (здесь можно ис-
пользовать х == ) и у' > О в интервале (1, + 00).
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке ( oo, ........ 1),
убывает в промежутке ( 1, 1) и опять возрастает в промежутке (1, + 00).
20. Э к с т р е м у м ы Ф у н к ц и и. Если существует такая двусторонняя
окрестность точки х о , что для всякой точки х :р хо этой окрестности имеет
место неравенство f (х) > f (х о )' то точка хо называtтся точкой .минимума
функции у == f (х), а число f (хо) ---- минимумом функции у == f (х). Аналоrично,
если для всякой точки х i= Х 1 некоторой окрестности точки Х 1 выполняется
неравенство f (х) < f (х 1 ), то Х 1 называется точкой максимума функции
f (х), а f (х 1 ) максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или макси-
мума функции называется ее точкой 8кстремума, а минимум или максимум
функции 8кстремумом функции. Если хо точка экстремума функции f (х),
то {' (х о ) == О (стационарная точка), или же {' (х о ) не существует (необходи-
мое условие существования 9кстремума). Обратное предложение не верно:
точки, в которых {' (х) == О или же " (х) не существует (критические точки),
не обязательно являются точками экстремума функции f (х). Достаточные
признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f (х)
даются следующими правилами:
у
f(Z,)
о
lQ
.ij
Рис. 23.
1]
9КСТРЕМУМЫ функции одноrо APrYMEHTA
81
1. Если существует такая окрестность (хо fJ, Хо + 6) критической точ-
ки ХО' что " (Х) > О при Хо 6 < х < Хо и " (х) < О при хо < х < хо + , то
хо .... точка максимума функции 1 (х); есл и же " (х) < О при Хо fJ < х < хо
и l' (х) > О при Хо < х < хо + fJ, то хо точка минимума функции 1 (х).
Если, наконец, найдется такое положительное число fJ, что " (х) сохра-
няет неизменный знак при О < I х хо I < 6, то точка Хо не является точкой
9кстремума функции f (х).
2. Если " (х о ) == О и f" (х о ) < О, то хо точка максимума функции [(х);
если " (х о ) == О и 1" (х о ) > О, то Ха ...... точка минимума функции f (х); если же
{'(Х о ) == о, '''(х о ) == О, а {'" (х о ) 1=0, то точка ХО не является точкой экстремума
функции f, (х).
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точ-
ке ХО производных функции f (х) имеет порядоК k. Тоrда, ссли
k четное, то точка ХО является точкой
эксrремума, а именно точкой максимума, f
если f(k) (ХI) < о, и точкой минимума, если
f(k) (Х о ) > О. Если же k нечетное, то точка
Хо не является точк ой экстремума.
При м ер 4. Найти экстремумы функции
у == 2х + 3 V х 2 .
Реш е н и е. Находим производную
, 2 2 (V )
у == 2 + V х == V х х + 1. (3)
,
V
х + 1 == о.
1
Приравнивая производную у' нулю, по-
лучаем:
Отсюда находим стационарнуюточку xt==.......l. Рис. 24.
Из формулы (3) имеем: если х == 1 ...... h,
rде h любое достаточно малое положительное число, то у' > о; если же
х == 1 + h, то у' < о *). Следовательно, Х! ==......... 1 есть точка максимума
функции у, причем Утах == 1.
Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из (3), получаем
V x о;
отсюда находим критическую точку функции Х 2 == о, rде производная у'
не существует. При х == h, очевидно, имеем у' < о; при х == h имееw
у' > О. Следовательно, Х 2 == О есть точка минимума функции у, причем
Ymin == О (рис. 24). Исследование поведения функции в точке Х 1 == 1 можно
также провести с помощью второй производной
2
y"
зхVх.
Здесь у" < о при Х 1 ==......... 1 и, следовательно, Х 1 == ---- 1 есть точка маl{симума
функции.
30. Н а и м е н ь ш е е и н а и б о л ь ш е е з н а ч е н и я. Наименьшее (наи-
большее) значение непрерывной функции f (х) на данном отрезке [а, Ь] дости-
rается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, Ь].
*) Если определение знака производной у' затруднительно, то можно
произвести арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое поло-
жительное число.
82
ЭКСТРЕМУМЫ функции. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
(rп. 111
При м е р 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у == ха ..... 3х + 3
1 1
на отрезке ..... 1 2 х 2 21 ·
Реш е н и е. Так как
у' == 3х! 3,
то критическими точками функции у являются Х 1 == 1 и Х 2 == 1. Сравнивая
значения функции в этих точках и значения функции на концах заданноrо
отрезка
у ( 1) ==5; у (1) == 1; у ( l ) == 4 ; у (2 ) == 11 .
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции т == 1 достиrается
1
в точке х == 1 (в точке минимума), а наибольшее М == 11 '8 достиrается в точке
1
х == 2 2' (на правом кон це отрезка).
.J
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
811. у === 1 ........ 4х х 2 .
812. У === (х ....... 2)2.
813. у==(Х+4)'.
814. y==x2(x 3).
х
815. у== 2 .
x
1
816. У === (х 1)2 ·
Х
817. У=== 2 6 16 .
х x
818. У == (х........ 3) Vx.
х V
819. У == з ....... х.
820. У == х + sin х.
821. y==xlnx.
822. у == arcsin (1 + х).
823. у == 2е х2 .... 4х .
у
,;Т .... .. .. ...
8
I
I
t
I
I
I
... 7
I , '8 ,
I I
. I
I I
.} ..., о
I
2
2
1
824. У === 2 Х а.
Рис. 25.
е Х
825. y== .
х
ИСCJIедовать на 9кстремум следующие функции:
826. у==х 2 +4х+6.
Ре m е н и е. Находим производную данной функции у' == 2х + 4. При-
ра&няв ,у' нулю, получаем критическое значение aprYMeHTa х ==....... 2. Так
как " < о при х < ...... 2 и у' > о при х > ..... 2, то х ==...... 2 является ТОчкой
t J
9КСТРЕМУМЫ функции одноrо APrYMEHTA
83
минимума данной функции, причем Ymin == 2. Тот же результат МЫ получим,
используя знак второй производной В критической точке: у" == 2 > о.
827. У == 2+x x2.
828. у == ха ........ 3х 2 + 3х + 2.
829. У === 2х 3 + 3х 2 ..... 12х + 5.
Реш е н и е. Находим ПРОИЗ80ДНУЮ
У' ==6xZ + 6х .... 12 == 6 (х 2 + х 2).
Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точки.%t::z 2
и Х 2 == 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую ПрОИiВОд.-
lIУЮ у" == 6 (2х + 1). Так как у" ( 2) < О, то Х 1 ==....... 2 есть точка макси-
мума функции у, причем Уmах == 25. Аналоrично имеем у" (1) > о; поэтому
Х 2 == 1 есть точка минимума функции у и Ymin ==....... 2.
830. У == х 2 (х ......... 12)2.
831. У == х (х....... 1)2 (х......... 2)8.
х 3
832. У === х 2 + 3 ·
833 х 2 2х + 2
· y 1 .
x
834 (x 2)(8 x)
· y х 2 ·
16
835. У === х (4 х 2 ) ·
4
836. У === У .
х 2 +8
х
837. у== V ·
х 2 4
838. У == V (х 2 ......... 1)2.
839. У == 2 sin 2х + sin 4х.
х ж
840. У == 2 cos "2 + 3 cos 3 .
841. У == х ........ 1п (1 + х).
842. У === х 10 х.
843. У === х 1п 2 х.
844. У === сЬ х.
845. х == хе" .
846. У === x2e ".
е"
847. Y== .
х
848. У == х arctg х.
Определить наименьшие и наибольшие значения функций на ука-
занных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить
наименьшее и наибольшее значения функции 80 всей области суще-
ствования):
х
849. У== 1 +х2 ·
850. У == V х ( 1 О ......... х).
851. y==sin 4 x+cos х.
852. У == arccos х.
853. У == ха на отрезке [........ 1, 3].
854. У == 2х' + 3х 2 12х + 1:
а) на отрезке [........ 1, 5];
б) на отрезке [....... 10, 12].
84
ЭКСТРЕМУМЫ фуНКции. ПРИЛОЖЕНИЯ производноА
rrл. 111
855. Показать, что при положительных значениях х имеет место
неравенство
х + 2.
856. Определить коэффициенты р и q квадратноrо трехчлена
у==х l + рх +q так, чтобы этот трехчлен имел минимум у == 3 при
х == 1. Объяснить полученный результат rеометрически.
857. Доказать неравенство
е"> 1 +х при x=F0.
Реш е н и е. Рассмотрим функцию
f (х) == е" (1 + х).
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
f (О) == О. Следовательно,
т. е. f x) > f (О) при х О,
е > 1 + х при х i= О,
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
х 3
858. x 6<sinx<x при х>О.
х 2
859. cosx> 1 2 при x=t=0.
х!
860. х 2 < lп (1 +х) <х при х> О.
861. Данное положительное число а разложить на два слаrаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
862. Кусок проволоки данной длины 1 corHYTb в виде прямоуrоль-
ника так, чтобы площадь последнеrо была наибольшей.
863. Какой из прямоуrольных треуrольников с заданным перимет-
ром 2р имеет наиБОЛЬШУIО площадь?
864. Требуется устроить прямоуrольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была оrорожена проволочной сет(ой, а четвертой
стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыrоднейшая
(в смысле площади) форма площадки, если имеется 1 поrонных метров
сетки?
865. Из квадратноrо листа картона со стороной а требуется cдe
лать открытую прямоуrОЛЬНУIО коробку наибольшей вместимости, BЫ
резав по уrлам квадраты и заrнув выступы получившейся кресто-
образной фиrуры.
866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать v литров. При каких размерах на изrотовление бака потре-
буется наименьшее количество жести?
867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наимеНЬШУIО
полную поверхность?
1)
ЭКСТРЕМУМЫ функции одноrо APrYMEHTA
85
868. В данный
869. В данный
верхностью.
870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
871. В данный шар вписать прямой круrовой конус с наибольшей
боковой поверхностью.
872 Около данноrо цилиндра описать прямой конус наименьшеrо
объема (плоскости и центры их KPyroBblx oc
нований совпадаIОТ).
873. Какой из конусов, описанных около
данноrо шара, имеет наимеНЫllИЙ объем?
874. Полоса жести шириной а должна быть
corHYTa в виде OTKpblToro цилиндрическоrоже-
лоба (рис. 26). Каков должен быть uентрал ь
ный уrол ер, чтобы вместимость желоба была
наибольшей?
875. Из круrлоrо листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув
ero, получить воронку наибольшей вместимости.
876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчиваlощеrося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной вмести
мости на Hero ПОlllЛО минимум материала?
877. Определить наименьшую высоту
h === 08 двери вертикальной баllIНИ ABCD,
чтобы через эту дверь в баПIНЮ можно
было внести жесткий стержень MN дли
ны 1, конец KOToporo М СI{ОЛЬЗИТ вдоль
rоризонтальной прямой АВ. Ширина баш
ни d < 1 (рис. 27).
878. На координатной плоскости дана
точка Мо (Х О ' Уо)' лежащая в первой чет
верти. Провести через эту точку ПрЯМУIО
так, чтобы треуrольник, образованный ею с положительными поJiу
осями координат, имел наименьшую площадь.
879. В данный эллипс вписать прямоуrольник наибольшей площади
со сторонами, параллельными осям эллипса.
880. В cerMeHT параболы у2 === 2рх, отсекаемый прямой х === 2а,
вписать прямоуrольник наибольшей площади.
1
881. На кривой у=== 1 +х 2 найти точку, в которой касатель
ная составляет с осью ОХ наибольший по абсолютной величине уrол.
882. rонцу НУЖIIО добраться из пункта А, находящеrося на одном
береrу реки, в пункт В, находящийся на друrом. Зная, что скорость
движения на береrу в k раз больше скорости движения по воде, опре
делить, под каким уrлом rонец должен пересечь реку для Toro, чтобы
, '
шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
шар вписать цилиндр с наибольшей боковой по-
о
/"
/ f/'J ,
/ r ,
/ ,
,
.A 8
о
Рис. 26.
JJ
с
N
А
Рис. 27.
86
ЭКСТРЕМУМЫ функции. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЭВОДНОЙ
(rп. 111
достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки.......... h, расстояние
между пунктами А и В (ВДОЛЬ береrа).......... d.
883. На прямолинеtiном отрезке АВ== а, соединяющем два источ.
ника света А (силы р) и В (силы q), найти точку М, освещаемую
слабее Bcero (освещенность обратно пропорционзльна квадрату рас-
стояния от источника света).
884. Лампа висит над центром круrлоrо стола радиуса '. При
какой высоте лампы над столом освещенноc.:rь предмета, лежащеrо на
краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна
косинусу уrла падения лучей света и обратно пропорциональна KBaд
рату расстояния от источника света.)
885. Из круrлоrо бревна диаметра d требуется вырезать балку
прямоуrольноrо сечения. Каковы должны быть ширина х и высота у
этоrо сечения, чтобы балка оказывала наиБОЛЬUIее сопротивление:
а) на сжатие, б) на изrиб?
При м е ч а н и е. Сопротивление балки на сжатие пропорционально пло-
щади ее поперечноrо сечения, а на изrиб произведению ширины этоrо се.
чения на квадрат ero высоты.
886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около
точки А (рис. 28), несет rpy3 Q 1(2 на расстоянии а см от точки А
и удерживается в равновесии вертикальной
силой Р, приложенной к свободному кон-
цу В стержня. Поrонный сантиметр стержня
весит q 1(2. Определить длину стержня х
р так, чтобы сила Р была наименьшей,
и найти P min '
8 887*. Центры трех вполне упруrих ша-
ров А, В, С расположены на одной пря
мой. Шар А массы М со скоростью v
ударяет в шар В, который, получая ИЗ8ест
ную скорость, ударяет в шар С массы т.
Какова должна быть масса шара В, чтобы
скорость шара С оказалась наибольшей?
888. Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем раз-
личными способами составить из них батарею, соединяя по п элементов
последовательно, а затем полученные rруппы (числом ) парал-
nельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
:r
q
Q
Рис. 28.
I N n
NR+n2r t
t'де <8...... электродвижущая сила одноrо элемента, r........ ero внутреннее
сопротивление, R внешнее сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток.
2]
НАПРАВЛЕНИЕ воrнУтостИ. точки ПЕРЕrИБА
81
889. Определить, при каком диаметре у КРУI'лоrо отверстия
в плотине секундны й расх од воды Q будет иметь наибольшее значе-
ние, если Q == су V Jl........ у, r де h rлубина низшей точки отверстия
(h и эмпирический коэффициент с постоянны).
890. Если Х 1 , Х 2 ,..., Х п результаты равноточных измерений
величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при
котором сумма квадратов поrрешностей
п
<1== (X Xi)2
i== 1
имеет наименьшее значение (пpUHl,uп н,аимен,ьших квадратов).
Доказать, что наивероятнейшее значение величины Х есть сред-
нее арифметическое результатов измерений.
2. Направление 80rнутости. Точки переrиба
1°. BorHYTocTb rрафика функции. rоворят, чтоrрафик диффе-
ренцируемой функции у == f (х) BozHym вниз на интервале (а, Ь) (вО2нут
вверх на интервале (а 1 , Ь 1 », если при а < Х < Ь дуrа кривой расположена
ниже (или соответственно при а 1 < Х < Ь 1 выше) касательной, прове,ценной в
любой точке интервала (а, Ь) (или интервала (ар Ь 1 ) (рис. 29). Достаточ-
ным условием воrнутости вниз (вверх) у
rрафика у == I (х) )lВЛЯ ТСЯ выполне-
ние' на соответствующем интервале
неравенства
1" (х) < о
(/" (х) > О).
Вместо Toro чтобы сказать, что rpa-
фик BorHYT вниз, rоворят также, что
он направлен выпуклостыо вверх.
Аналоrично rрафик, воrнутый вверх,
называют также направленным еыпук-
лостью вниз.
2°. Т о ч к и пер е r и б а. Точка
(х о ' l(хо»'ВКОТОРОЙ изменяется направ-
ление воrнутости rрафика функции, называется точкой переzиба (рис. 29).
Для абсциссы течки переrиба хо rрафика функции у == f (х) вторая произ-
водная 1" (х о ) == О или '" (х о ) не существует. Точки, в которых '" (х) == О или
'" (х) не существует, называются критически,М,и точками 2 co рода. Крити-
ческая точка 2 ro рода Хl) является абсциссой точки переrиба, если " (х) со-
храняет постоянные знаки в интервалах Ха б < х < Хо и Хо < Х < Хо + ,
rде б некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны,
и не является точкой переrиба, если знаки 1" (х) в указанных выше интервалах
одинаковы.
При м е р. 1. Определить интервалы воrнутости и выпуклости, а также
точки переrиба кривой raycca
о
о
ь Х() 01
ь,
1
Рис. 29.
у == e x2.
Реш е н и е. Имеем:
у' == ____ 2хе х 2
и
у" == (4х ! ....... 2) e х 2 .
88
ЭКСТРЕМУМЫ функции. ПРИЛОЖЕНИЯ производноА
[rп. 111
Приравняв вторую производиую у" нулю, находим критические точки
2.ro рода
1 1
Х 1 ==....... v 2 и Х 2 == V 2 ·
Эти точки разбивают числовую ось 00 < х < + QO на три интервала: 1 (.......00 ,X t ),
11 (х 1 , Х!) И III (х 2 , + 00). Знаки у" соответственно будут +, , + (в этом
можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом И3 указан
ных интервалов и подставив соот-
ветствующие значения х в у").
Поэтому: 1) кривая воrиутз
, 1
вверх при 00 < х < ....... У2 и
1
у2 < х < + 00; 2) BorHYTa вниз
1 1
при ,r < х < ,r ' Точки
К r 2 r 2
':1:1 1 )
( У2 ; Уе ТОЧКИ переrиба
(рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси ОУ кривой raycca иссле-
дование знака ВОf'НУТОСТИ этой кривой достаточно было nроизводить лишь на
полуоси О < х < + 00. r
п р м е р 2. Н айти точки переrиба rpa-
фика функции
V '
у == х + 2.
у
,
Рис. 30.
о
х
Реш е н и е. Имеем:
5
,, 2 ( + 2 ) 3 2 ( 1 )
У '9 х 9 V (X + 2)5 ·
Очевидно, у" в нуль ниrде не обращается.
Приравнивая нулю знаменатель дpo Рис. 31.
би в правой части равенства (1), получаем,
что у" не существует при х == 2. Т ак как у" > о при х < 2 и у" < о при
х > 2, то ( 2, О) есть точка переrиба (рис. 31). I(асательная в этой точке
параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х == 2 бес-
конечна.
Найти интервалы воrнутости и точки переrиба rрафиков функций:
891. У ==х а 6х 2 + 12х +4.
892. У == (х + 1)4.
1
893. У === х + 3 ·
ха
894. у== х 2 + 12 .
895. у== V 4х' 12х.
896. У == cos х.
897. y==x sinx.
898. у === х 2 1п х.
899. у== arctg х х.
900. У === (1 + х 2 ) е Х .
3)
АСИМПТОТЫ
89
3. Асимптоты
1 О. О п f е д е л е н и е. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по
кривой у == (х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бес-
конечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится
к нулю, то 8Т8 прямая называется асимптотой кривой.
20. В е р т и к а л ь н ы е а С и м п т о т ы. Если существует число а такое,
что
Нm f (х) == 00,
х--+а
то прямая х == а является асимптотой (вертикальная асимптота).
30. Н а к л о н н ы е а с и м п т о т ы. Если существуют пределы
Нm f (х) == k 1
х--++оо Х
и
lim [1 (х) k 1 x] == Ь 1 ,
х--++оо
то прямая у == k 1 x + Ь 1 будет асимптотой (правая наклонная или, в случае
k 1 == о, правая еорuэoнтальная асимптота).
Если существуют пределы
lim 1 (х) == k"
x--+ oo х
и
Iim [1 (х) k"x] == Ь",
x--+ oo
то прямая у == ktX + Ь 2 асимптота (левая наклонная или, в случае k 2 == О,
Аевая 20риЗО/f,тальная асимптота). rрафик функции у == f (х) (функция
предполаrается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной
или rоризонтальной) и более одной левой (наклонной или rоризонтальной)
асимптоты.
При м е р 1. Найти асимптоты кривой
х 2
у == v х 2 1 ·
Реш е н и е. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные
асимптоты:
x== l и х==l.
Ищем наклонные асимптоты. При х + 00 получаем:
2
Il 1 == Iim .JL == Нт х == 1,
х--++ 00 Х х--++оо х 11 х 2 1
. . х 2 хУ'" х 2 1
b l == 11т (у х) == 11т == О,
X +OO х--++оо 1Ix2 1
следовательно, правой асимптотой является прямая у == х. Аналоrично при
х ....... 00 имеем:
k 2 == li m .#..... == 1,
x--+ oo х
Ь 2 == Iim (у + х) == о.
x cn
90
/
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[rл. 111
т аким образом, левая асимптота есть у == х (рис. 32). Исследование на
асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
При м е р 2. Найти асимптоты кривой
у == х + ln х.
Реш е н и е. Т ак как
li m у ==........ 00,
X +O
то прямая х == О является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кри-
вую только на наклонную правую асимптоту (так как х > О).
Имеем:
k == Нт J!.... == 1,
X +OO х
Ь == lim (у ... х) == Вт ln х == 00.
x--++ х--++оо
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х == q> (t); у == 'Ф (t), то
сперва исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых одна из
функций q> (t) или 'Ф (t) обращается
V в бескон:чность, а друrая остается
. конечнои. При q> (to) == 00, а 'Ф Оо) ==
/ ," ==с кривая имеет rоризонтальную
//' асимптоту у == С. При 'Ф (to) == 00,
s .I'./ а q> (t o ) == с кривая имеет вертикаль-
./( ную асимптоту х == с.
/ Если q> ио) == 'Ф (to) == 00 и при
"J том
,,"
" \J
," \J
", /,/
I
.J
,
, у
" v
"
4,
, v
''';;
1/',
r ",
"
v
r
Нт , « ( » == k; Нт ['Ф(t) kq>(t)]==b,
t -+ 10 q> t --+ t o
1 то кривая имеет наклонную асимп-
тоту у== kx + ь.
Если кривая задана полярным
уравнением, == f (ср), то можно най-
ти ее асимптоты по предыдущему правилу , преобразовав уравнение кривой к
параметрическому виду по формулам: х == r cos q> == f (<р) cos ср; у == r 51" <р ==
== f (ср) sin <р.
./
о
Рис. 32.
Найти асимптоты кривых:
1
901. У === (х 2)2 ·
Х
902. У === х 2 4х + 3 ·
х 2
903. у=== х2 4 .
ха
904. у === х 2 + 9 ·
905. У == Vx 2 1.
х
906. У === -v ·
х 2 +3
х 2 + 1
907. у== У .
х 2 1
х 2
908. У ===x 2+ у .
х 2 +9
909. У == e x2 + 2.
1
910. У=== 1 Х .
e
4]
ПОСТРОЕНИЕ rРАФИКОВ функциП по ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
91
t
911. у===е Х .
912. у== siпх .
х
913. у===]п (1 + х).
914. x==t; y===t+2arctgt.
а
915. Найти аси tПТОТУ rиперболической спирали '== .
q>
4. Построение rрафиков функций
по характерным точкам
При построении rрафика функции следует, прежде Bcero, найти областъ
определения этой функции и выяснить поведение функции на rранице ее об-
ласти определения. Полезно также предварительно отметить некоторые осо..
бенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность, по-
стоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки 9кстремума функции,
точки переrиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить
общий характер rрафика функции и получить математически правильныЙ
эскиз ero.
При м е р 1. Построить rрафик функции
х
Y==V X' l ·
Реш е н и е. а) Функция существует всюду, кроме точек х == :1: 1.
Функция нечетная, поэтому rрафик функции симметричен относительно
точки О (о; о). Это обстоятельство упрощает построение rрафика.
б) Точками разрыва являются точки х==........l и х== 1, причем lim у== 1= 00
Х-+l +0
И lim у == 1= 00, следовательно, прямые х == :1: 1 ЯВЛJIIЮТСЯ вертикальными
X-+ 1;e
асимптотами rрафика.
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем:
k 1 == lim .JL == О,
Х-++ОО х
Ь 1 == lim у== сю,
Х-++ОО
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии rрафика сле.
дует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
r) Находим критические точки 1 ro и 2 ro рода, Т. е. точки, в которых
обращается в ну ль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции.
92
9КСТРЕМУМЫ ФУНКltИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
(rл. 111
Имеем:
х 2 3
,
у 3 '
3 V (х 2 1)-1
(1)
" 2х (9 х 2 )
У == 9 V (х 2 1)7 ·
(2)
п роизводные у' и у" не существуют только при х == :l: 1, т. е. только в тех
точках, rде не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, rде у' или у" обращаются в нуль.
Из (1) и (2) следует:
у' == о при х == ::l: У 3;
у" == о при х == О и х == :l: 3.
Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
( oo, УЗ), ( -у з, 1), ( l, 1), (1, УЗ) и СУ 3, + 00), а у" в каждом
из интервалов ( oo, 3), ( 3, 1), ( 1, О), (О, 1), (1, 3) и (3, + 00).
Для Toro чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно у")
в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у")
в какой нибу ДЬ ОДНОЙ точке каждоrо из этих интервалов.
Результаты TaKoro исследования удобно свести в таблицу (таблица 1),
вычислив также ординаты характерных точек rрафика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
х о; левая половина rрафика восстанавливается по принципу нечетной сим-
rJlетрии.
Таблица 1
х О (О, 1) 1 (1, у з) уз 1,73 (V З, 3) 3 (3, + (0)
уз I
I
У О :1:00 + V '2 ::::::: 1 ,37, + 1,5 +
I
у' не I О + + +
сущ.
у" О не --t + + о
сущ.
I
Выво- Точка Функция Точка ФlНКЦИЯ ТОЧI<а Фун к ция Точка Функция
ды пере- убывает; раз- У ывает; минимума воз р а- пере- воз р а-
rиба rрафик рыва rрафик стает; rиба с:тает;
BorHYT BorHYT rрафик rp афик
вниз вверх Bor н ут BorHYT
в ве р х 8НИЗ
4)
ПОСТРОЕНИЕ rРАФИКОВ функциЯ по ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
93
д) Пользуясь результатами исследования, строим rрафик ФУНКЦИll
(рис. 33).
у
I
I
I
t
.
.
.
,
I
I
I
' (3
J: 1IJ:
I I
I I
.
.
J
А'
Рис. 33.
При м е р 2. Построить rрафик функции
In х
у == ............... .
х
Реш е н и е. а) Область существования функции: О < х < + 00.
б) В области существования точек разрыва нет, но при приближение
к rраничной точке (х == О) области существования имеем:
1 . 1 . Inx
1т у== lт == 00.
х--+о х--+о Х
Следова'rельно, прямая х == О (ось ординат) является вертикальной а сим..
птотой.
в) Ищем правую наклонную или rоризонтальную асимптоту (левая на-
клонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х 00):
k == lim JL. == О,
х--++оо х
ь == lim у == о.
х.... +00
Следовательно, правой rоризонтальной асимптотой является ось абсцисс: у == о.
94
.....
со
t:f
t:;
'"
со
.01"
.........
Q)
I!l
""""'
I"
<u
ВКСТРЕМУМЫ функции. ПРИЛОЖЕНИЯ производноR
[rл. 111
8
+
I
с'3
fot
a::
:= .. ::с М
t a.
а: JQ
ca 1Q
е :а ==
-&
+
+
...
о
11
'
Ct')
C\I
о
CI3
\O
::s:: ==
:r t..
о Q)
с:
+
E'
::s: :с
:r r.: 1-. ('t)
::S::cиo:=
:с са :I:
ca::.::ca
е :а ==
'g.-&
I :=
= :=
() :r
::.::
:s
-&
::s::
t:r ::е
о
:s
о о. (04
IQ
... ('t)
= (04 о =
::1 си &Q =
::.:: са
= f-o ::.::
. и:=
e -&
..
<u
.........
C\I
r--
..
11
r--
('t)
..
о
1I
..... I <u
с)
'i)'
+
+
..
.....
.......,
....
о
+
dJ '" g
0.0.,Q
u
О
u ><
= о
::s:: =
tI"
-e-
..........
....
о"
.........
c\s
О (04
1Q0.
=
D:: ... """ t'I)
::s: f-o о 111
::1 си IQ ::EI
::s:: ::s:: са
:с u =
e .f30
+
с)
8
I
.
g
(J
Q)
::I:
:i
QJ
::I:
:J. =
о
D:: =
t
:с t'<!
tI" r::
=",
о
p.
L-. ::s::
.
о.
D:: си D:: C\S
= t.Q :
=: . ,Q f-o
си = -=;
r::; = C\S ::е
cиl:f::s:::=
:f ::s:: = и
о. :с (-t (V
0&
...
:а
t::t
О
IQ
:а
со
f 4]
ПОСТРОЕНИЕ rРАФИКОВ функциЯ по ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
95
r) Находим критические точки. Имеем:
, 1 ..... ln х
у == х. ,
1I' 2Iпх з .
....... 8 t
Х
у' И !f существуют во всех точках области существования данной ФУНКЦИИ и
у' ==0 при lп х == 1, Т. е. при х ==е;
!/==О при lnx== ; , т. е. при х==е 8 '.,
Составляем таблицу, включая характерные точки (таблица 11). При этом,
кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения
rрафика с осями координат. Положив у == О, находим х == 1 (точка пересече-
ния кривой с осью абсцисс); с у
осью ординат rpa рик не пересе-
кается.
д) Пользуясь результатами ис-
следования, строим rрафик функции
(рис. 34).
р = I/7,Z
.z'
tJ
А
с
е .1,..z
ПостроиЗ'ь rрафики указан-
ных ниже функций, определив
для каждой функции область ее
существования, точки разрыва, Р 34
ИС. .
точки экстремума, интервалы
возрастания и убывания, точки переrиба ее rрафика, направление
воrнутости, а также асимптоты rрафика.
916. у === ха зх а . 927. у === 4'; ха .
6х' х4 4х 12
917. У === 9 · 928. У == (х 2 )2 ·
918. y===(x 1)I(x+2). 929. у=== аХ 4 '
x
919. y== (X 2)'(х+4) . 16
4 930. У === ! ( 4) ·
(х 2 5)' х х
920. У == 125 · 931. у== 3х 4 t 1 .
921 x' 2x+2 х
· у 4 Х 3 1 · 932. У === V х + V 4 х.
х
922. У === х · 933. У === V 8 + х V 8 х.
923. у=== х4;:3 . 934. y===x Vx+3.
924. У ==х' + . 935. у== V х' 3. .
х
925 Y 1 936. у== V 1 x'.
· x!+3. 3 I
8 937. у== у 1 x.
926. .у == х! 4 · 938. У == 2х + 2 ........ 3 V (х + 1)2.
96
ЭКСТРЕМУМЫ функиии. ПРИЛОЖЕНИЯ производноR
[ r л . Пl
V . V
939. У == х + 1 x 1 .
940. У == V (х+4 )2 V {х......4 )2 .
941. У == V (x 2)1 + V (х......4)1 .
4
942. У == -v ·
4 х l
8
943. у== -v ·
х x2 4
944. У == J Х .
VX2 1
945. У == V х ·
(х 2)2
946. У === xe Х.
( х2 \ :!.
947. у== а + 1 е а .
а )
948. У == е 8Х х 2 14.
949. У === (2 + х 2 ) e x2.
950. У === 2 I х I х 2 .
9 In х
51. у == ух ·
Х! Х
952. У ===2" lп а ·
Х
953. У === I .
ПХ
954. у== (х + 1) lп l (х'+ 1).
955. y==ln(x 2 1) + r 1 '
956 1 -Vx2+1 1
. y n .
х
957. у=== lп (1 +e X).
958. у== 'П ( е + ; ) .
959. У === sin х + cos х.
. + si" 2х
960. У === 51П Х 2 .
961. y==coSX COSIX.
962. У == sin' х + cos' х.
1
963. У == . + .
51" Х cos Jt
964. у== (ПХ n) '
siп х + 4
965. У== sin x.sin 2х.
966. У == cos х. cos 2х.
967. y==x+sinx.
V
968. х == arcsin (1 .......... х 2 ).
969 arcsin х
. y .
у 1 x2
970. y==2x tgx.
971. У === х arctg х.
972. у == х arctg J... при х =1= о
х
и у== О при х=== о.
973. У === х + 2 arcctg х.
х
974. У =="2 + arcctg х.
975. У === lп sh х.
976. y==Arch (х + ).
977. y==e 5if1X .
978. у == езrс!fn Ух.
979. у == езrсtgх.
980. у == lп sln х.
981. y==lntg( : ; ).
982. У == lп х arctg х.
983. у == cos х 10 cos х.
984. У === arctg (1п х).
985. У == arcsln ]0 (х l + 1).
986. У ==хх.
1
987. у==х Х .
5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ дУrи. КРИВИЗНА
91
Рекомендуется также построить rрафики функций, указанных Е
ММ 826 848.
Построить rрафики ФУНКЦИЙ, заданных парамеТр'ически:
988. х == t 2 ....... 2t, У == t 2 + 2t.
989. x==acos 3 t, y==asint (а>О).
990. х == te t , у == te t.
991. х == t + е -- t, У == 2t + е'" 2 t .
992. х == а (s h t....... t) , у == а (с h t 1 ) (а > О).
* 5. Дифференциал дуrи. Кривизна
10. Д и Ф Ф е р е н Ц и а л Д у r и. Дифференциал дуrи s плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координата х х и у, выражается формулой
ds == Y(dX)2 + (dy)2;
при этом, если уравнение кр ивой имее т вид:
а) у==Нх), то ds== -( 1 + ( )I d x при dx >0;
б) X==fl(Y), то ds== -(1+ ( :;У dy при dy >O;
в) х==ср (t), y==1jJ (t), то ds == -( (:; У + ( : y dt при dt > о;
ylF;+F; ylF +F;
r) F (х, у) == О. то ds == I p I I dx I == I p I I dy \ ·
Обозначая через а уrол, образованный положительным направлением
касательной (т. е. направленной в сторону возрастания Jlуrи кривой s) с
положительным напривлением оси ОХ, получим:
dx
cos а === ds '
dy
51" а === ds ·
в полярных координатах
ds == Y (d,)2+ (, dcp)2 == -(,2 + ( : ) 2 dq>.
Обозначая через уrол между полярным радиусом точки кривой и ка-
сательной к кривой в этой точке, имеем:
dr
cos == ds '
sin == r : .
20. К Р и в и з н а к р и в о й. Кривизной К кривой в ее точке М назы...
вается предел отношения yrпa между положительными направлениями
4 r. С. БаранеНКО8 и др.
98
ЭКСТРЕМУМЫ функции. ПРИJlОЖЕНИЯ производной
[ r л . 111
"--'"
касатeJU.иых в точках М н N кря вой (уайд смежн-ости) к Алине уrи М N == S,
коrда N М (рис. 35), т. е.
. &а da,
К== 11m л== d '
As--+ о uS S
rде а уrол между положительными направлениями касательной в точке М
и оси ох.
Радиусом кривизны R называется величина, обратная абсолютной величи-
не кривизны, Т. е.
1
R==тю ·
ЛИНИЯМИ ПОСТОЯННОЙ КрИВИЗНЫ ЯВЛЯЮТСЯ окружность (к == . rде а ра-
диус окружности) и прямая (К == О).
Формулы для вычисления кривизны в прямоуrольных координатах сле-
дующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме у == f (х), то
К== у" ·
(1 + у'I)З/ i '
2) если кривая задана урав-
нением в неявной форме
F (х, у) == О, то
К==
'1 " ,
Рхх Рху рх
" " ,
Рух Руу Ру
, ,
рх Ру О
(F i + F;2)8/i
Рис. 35.
3) если _ кривая задана уравнениями в параметрической форме х == ер (t),
У == 'Ф (t), то
I х' у' I
х" у"
К== ,
(х'Z + у'а) 8/а
rДе
, dx
х == dt '
У , dy
dt'
" d 2 Х
,,
Х dt l ,
dty
у" == dt l ·
в полярных коорди натах, коrда кривая задана уравнением r == 1 (ер), имеем:
, l +2r'l ...... rr"
К== I '
(rl + "I)' 2
, dr "а2 ,
r == d<p и r == d 1 ·
30. О к р у ж н о с т ь К р И В И 3 н ы. Окружностью "ривизны (соnри"асаf().
щейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное Положение
окружности, проведенной через точку М и две друrие точки кривой Р и Q.
Korдa Р м и Q............ М.
rjte
5}
.аИНЕРННЦИАJ1 дуrи. КРИВН3НЛ
99
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр ои уж-
ности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведен-
ной в точке Af в сторону воrнутости кривой.
Координаты Х и У центра кривизны кривой вычисляются по формулам
у' (1 + у'2) 1 + у'2
X==x у" , У==у+ у" .
ЭРОАютой кривой называется rеометричеСКое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассмат-
ривать Х и У как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметри ческие уравнения эволюты с параметром х или у (или же t, если
сама кривая задана уравнениями в параметрической
форме).' С,
При м е р 1. Найти уравнение эволюты пара-
болы у == х l .
, 1 + 6х'
Реш е н и е. Х == ........ 4х , У == 2 . Исклю-
чив параметр х, найдем ypaBfI-ение эволюты в явном N
1 ( Х ) 2/8
виде у == "2 + 3 4 ·
Эвольвентой (UН80люmой) кривой называется
такая кривая, для которой данная кривая является
эволютой.
Нормаль МС эвольвенты r 2 является касатель
......"
ной к эволюте r 1 ; длина дуrи СС 1 эволюты равна
......"
соответствующему приращению радиуса кривизны СС. ==jM 1 C 1 ....... MCr, hОЭТОМУ
эвольвенту r 2 называют также разверткой кривой r l' получающейся разма-
тыванием натянутой нити, намотанной на r 1 (рис. 36). Каждой 9волюте соот-
ветствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным перво-
начальным длинам нити.
40. В ерш и н ы к р и в о й. Вершиной кривой называется точка кривой,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин
кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экстремума.
1
Вместо кривизны К можно взять радИус кривизны R == I к I и искать ero точ-
ки 9кстремума, если в 9ТОМ случае вычисления проще.
Пример 2. Найти вершину цепной линии y==ach
а
х 1 х
rешение. Так как y'==sh , а y"== ch t то
а а а
Рис. 36.
(а > О).
1
К == и, сле-
а ch 2 !....
а
х dR 2 dR
довательно, R == а ch 2 а. Имеем dx == sh а · При равни вая производн ую dx
2х
нулю, получим sh == О, откуда нахоДИМ единственную критическую точку
а d2R
х == о. Вычисляя вторую производную dx l И подставляя в нее значение
х==О, пол у чим d d2R 2 1 O == ch 2Х I О ==! >0. Следовательно, х==о
х х== а а Х== а
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии.
Вершиной цепной линии у == а ch !..., таким образом, является точка А (О, а).
а
4*
100
9КСТРЕМУМЫ функции. ПРИЛОЖЕНИЯ производноR
(rll. 111
Найти дифференциал дуrи, а также косинус и синус уrла, обра.
зованноrо с положительным направлением оси ОХ касательной к каж-
дой из следующих кривых:
993. х 2 + уl === а" (окружность).
х! у!
994. а! + Ь 2 == 1 (эллипс).
995. уl == 2рх (парабола).
996. х l !. + у2/1 == а!/' (астроида).
]с
997. У == а сЬ а (цепная линия).
998. х == а (t......... sin t); у == а (1 ........ cos t) (циклоида).
999. х== а cos' t, У === а sin' t (астроида).
Найти дифференциал дуrи, а также косинус или синус yrпa,
образованноrо полярным радиусом и касательной к каждой из сле-
ДУЮЩИХ кривых:
1000. , == aq> (архимедова спираль).
а
1001. , === (rиперболическая спираль).
<р
1002. , == а sec z (парабола).
1003. , == а cos 2 (кардиоида).
1004. r == а' (лоrарифмическая спираль).
1005. ,1 === а l cos 2(fJ (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006, у == х 4 4х' 18х l В начале координат.
1007. х l +ху+у"==З в точке (1; 1).
к 1 у?
1008. а 2 + Ь" === 1 в вершинах А (а, О) и В (О, Ь).
1009. х === t l , У === t 8 в точке (1; 1).
1010. ,1 == 2а l cos 2ер в вершинах с полярными уrлами ер === о и
q> == 11.
1011. В какой точке параболы у" == 8х кривизна равна О,128?
1012. Найти вершину кривой у == е Х .
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
1013. у == х' (кубическая парабола).
х 2 у.
1014. а l + ь е == 1 (эллипс).
11 ln у
1015. х==4......Т.
5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ дуrи. КРИВИЗНА
101
1016. х == а С08 8 t; У == а sin 8 t (астроида).
1017. х === а (С08 t + t sin t); у == а (sin t......... t СО8 t) (эвольвента Kpyra).
1018. ,== aek (лоrарифмическая спираль).
1019. , === а (1 + СО8 €p) (кардиоида).
1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы
у2==2рх.
10
1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у==асЬ........
(J
равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в ука-
занных точках:
1022. ху === 1 в точке (1; 1).
1023. ау" == ха В точке (а, а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в YKa
занных точках:
1024. y===x2 6x+ 10 в точке (3; 1).
1025. У == е Х в точке (о; 1).
Найти эволюты кривых:
1026. у" === 2рх (парабола).
х2 у'
1027. а" +1)2 === t (эллипс).
1028. Доказать, что эволютой циклоиды
х === а (! ......... si n t); У === а (1 ........ cos {)
является смеlценная циклоида.
1029. Доказать, что эволютой лоrарифмической спирали
r == ae k ,
является также лоrарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030. Покаэать, что кривая (развертка окружности)
х == а (cos t + t sin t); у == а (sin t ........ t cos ')
является эвольвентой окружности х == а cos '; у == а sin t.
rЛАВ А IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
1. Непосредственное интеrрирование
10. Основные правила интеrрирования.
1) Если р' (х) == f (х), то
S , (х) dx == F ( ) + С,
rAe с.... произвольная Постоянная.
2) S А f (х) dx == А S f (х) dx, rде А постоянная вели чина.
З) S [/1 (х) :1: 12 (х)] dx == S 11 (х) dx :1: S 12 (х) dx.
4) Если S f (х) dx == F (х) + С и и == Ip (х), то
S f (и) dи == F (и) + С.
S '(ах+ b)dx== Р(ах+ Ь)+С (а:;: о,.
20. Т а б л и ц а про с т е й ш и х и н т е r р а л о В.
S хп+)
1. xпdx== n+ 1 +С, n у: 1.
П. S ==lnlxl+C.
S dX 1 х 1 х
111. хl + а" == а arctg а + с == ---- а arcctg а + С 1 (а #= О).
IV. S 21 dx ,,---- 2 1 In I х + а I + с (а;С О).
х a а х а
S dx ln I а +х 1 + с (а #= О).
a" x' 2а a x
V. S dx == 1" I х + у х21 + а \ + с (a:F О).
У х 2 +а
S dx.x х
VI. V == аrсslП + С == arccos + C 1 (а > О).
а 2 ........ х21 а а
VH. S a X dx== l:: + C (а> О); S eXdx==r+C.
в частности,
1]
НЕПОСРЕДСТВЕННО. КНТlrРИРОВАНИ&
103
VIII. 5lnxdx== СО5Х+С.
I Х. cos х dx == 51" х + с.
S dx
х. ==tgX+C.
COS х
S dx
XI. == ........ ctg х + с.
SIf1 х
ХН. S 5 :х ==IП !tg ; I+C==lnlcosecx ctgXI+C.
ХIII. S с:: х == In !tg ( + : ) I + С == lп I tg х + sec х ! + С.
XIV. shxdx==chx+C.
XV. сЬ х dx== sh х+ С.
XVI. 5 с::х == th х + с.
XVH. S s x == cthx+C.
Прнмер 1. . (ax"+bX+C)dx==Sax"dX+S bXdx+SCU::I
S S S ха хl
==а x1dx+b xdx+c dх==а З +Ь2"+СХ+С.
Применяя основные правила 1), 2), 3) и формулы интеrрирования.
найти следующие интеrралы:
. 1031. 5a"x'dx.
· 1032. S (6х 2 + 8х + 3) dx.
· 1033. S х (х+ а)(х+ Ь) dx.
.1034. . (а + Ьх')2 dx.
· 1035. V 2px dx.
· 1036. 5 ;хх ·
.1037. 5 (пх) 1 :п dx .
'1038. 5 (а : x;)' dx.
· 1039. S (УХ+ l)(х УХ+ l)dx.
t 040 5 (хl + 1) (х 2 2) d
А. V х.
х 2
5 1, т хn)2
. 1041. ух dx.
. 1042. 5 (у aVafx) 4 dx.
5 dx
, 1043. х 2 + 7 ·
5 dx
· 1044. х 2 1 О ·
· 1045. 5 dx ·
У4+х.!
5 dx
· 1046. У8 :;1 ·
104
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrрАЛ
[r л . IV
1047. s r2+; Y2 XI dx.
4 ...... х«
\048*. а) tgl Х dXj
б) th l Х dx.
.' 1049. а) Ctgl Х dx;
б) cth l Х dx.
1050. 3"e"dx.
30. и н т е r р и р о в а н и е п у т е м n о Д в е Д е н и я п о Д э н а к Д и ф-
Ф е р е н Ц и а л а. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших ин-
теrралов. А именно, 8 силу этоrо правила таблица интеrралов оказывается
справедливой независимо от Toro, является переменная интеrрирования
независимой переменной или дифференцируемой фу кцией.
S dx 1 S .!..
При м е р 2. У 5х 2 == "5 (5х 2) I d (5х 2) ==
111
1 ["''I 1 и 1 I (5х..... 2)2 2 ,r
=="5 J и dи==5' ' Т + С ==5 +С==5 f 5x 2+C,
2 2
rде было положено и::::; 5х....... 2. Использовалось правило 4) и табличный
Ifнтеrрал 1.
J « dx 1 J d (х l ) 1 ( I..r 4 )
Пример 3. у == 2 V ==..... 2 1n х +, l+х +с.
1 +х« 1 + (х l )!
Неявно подразумевалось и == Xl, причем применялось правило 4) и таб-
личный интеrрал V.
5 1 5 . 1
При м е р 4. х'"е Х3 dx == "3 е Х3 d (х') == "3 е Х3 + с
в CHпy правила 4) и табличноrо интеrрала VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной Табличный
интеrрал. мы приводили данный интеrрал к виду
S f (Ч> (х» 'Р' (х) dx == S f (и) dи, rде и == q> (х).
Tal{oro рода преобразование назыIаетсяя подведением под ЗflQ,К дифферен-
циала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
КО10рые, в частности, испольэовались в примерах 2 и 3:
1 1
а) dx == а d (ах + Ь) (a:l= О); б) х dx == 2" d (х l ) И т. п.
Применяя основные
следующие интеrралы:
1 ОБ 1 * *. 5 а dx .
а---х
10 2 ** S 2X+3 d
о · 2х + 1 х.
правила и формулы интеrрирования, найти
5 1 ....... 3х
1053. 3 + 2х dx. '
5 xdx
1054. а + Ьх ·
, 1)
НЕПОСРЕДСТВЕННО! ИНТЕrРИРОВАНИЕ
105
1055. sаХ+Ь d 1076. S r dX .
(.tx + р х ·
х. ...... 4
1056. 5 х. + 1 d S xdx
1 х. 1077. х 2 5 ·
x
1067. SХ2 з+7 dx. S xdx
1078. 2х! + 3 ·
1058. 5 + хl + 1 d 5 ах+Ь
1 Х. 1079. а1х!+Ь 1 dx.
x
1059. 5(a+ x b a )ldx. 1080. S xdx ·
Ya4 x4
1060 *. 5 (Х";' 1)! d х · 5 хl
1081. 1 +х' dx.
1061. S Ь dy 1082. S xld .
У l У ·
ух' 1
1062. V a bxdx. 1083. S V a csi 2x dx.
1063*. f V Х dx.
t, Х! + 1 х
1064. S vx"t ln Х dx. arctg 2"
1084. 4 + х 2 dx.
1065. 5 dx 1085 S х Varctg 2х d
Зх l +5. · 1 + 4х 2 Х.
1066. 5 dx 1086. S dx .
7 хl 8 ·
1067. S dx V (1 --t х 2 ) ln (х + Vl +х.)
(а + Ь) (а Ь)х. 1087. ae тx dx.
(О<Ь<а).
1088. 41 ax dx.
5 хl
1068. х 2 + 2 dx.
1089. (e t e t) dt.
1069. 5 х.
I I dx. S Х х
а X
1070. SXI 5X+6d 1090. (еа+е a)tdx.
хl + 4 х.
5 (аХ Ь Х )'
1071. S dx 1091. аХЬ Х dx.
У7 +8х 2 ·
r а lХ 1
1072. S dx 1092." V аХ dx.
У7 5х 8 ·
t 073. 5 2x 5 1093. e (x2+1) х dx.
3х2 2 dx.
5 3 2x 1094. х. 7 х2 dx.
1074. 5х' + 7 dx. 1
S 3х+ 1 \ е Х
1076. У5х '+ i dx. 1096. --:!f" dx.
.. х
106
НЕОПР&АЕЛЕННЫЙ ИНТЕrрлп
(rJl. lУ
S Ух dx
1096. 5 ух '
5 еХ
1097. е Х 1 dx.
1098. е" V а Ье" dx.
5 х 1 Х
1099. (е а + 1)Iе а dx.
1100*. 5 2" 3 ·
5 aXdx
11 О 1. 1 + а2Х ·
5 bx
1102. 1 e zlJx dx.
1103. S etdt ·
V 1 ...... e 2t
1104. sin(a+bx)dx.
J х
1105. cos У 2 dx.
11 06. (cos ах + sin ах). dx.
S . 1/ dx
1107. cos у х ух .
1108. 5 sin (lg х) ·
1109*. sin.x dx.
1110*. cos.x dx.
1111. sec. (ах + Ь) dx.
1112. ctg.ax dx.
dx
1113. .
sln
а
1114. r dx 11:
J Зсоs (5Х 4")
5 dx
1115. sin (ах + Ь) ·
5 xdi
11 t 6. 2 1 .
cos Х
1117. xsin(l x.)dx.
1118. S ( . lу l ) ldX.
Sln х 2
1119. tg х dx.
1120. ctg х dx.
1121. 5 ctg а Х Ь dx.
1122. r dx x .
J tg 5
1123. S tg V-X :;. ·
1124. х ctg (х. + 1) dx.
1125 5 dx
· sl" х cos х ·
1126. 5 cos !... sin dx.
а а
1127. 51п' 6х cos 6х dx.
1128 5 C?S ах dx.
· Sln l ах
1129 5 sl" 3х d
· 3+cos3x х.
1130. 5 sin х cos Х dx.
У соз1х sln!x
1131. Vl+3cos.x sin2xdx.
5 ,х !x d
1132. tg 3 sec "3 х.
1133 5 ytgX dx.
· cos 2 Х
1134. r C g: x dx .
J Sln х
1135. 5 1 + sin 3х dx
cos 2 3х ·
1136 5 (cos ах.+ sin ах)! dx.
· Sln ах
1137. 5 cosec 2 3x dx.
Ь а ctg 3х
1138. (2sh5x 3ch5x)dx.
1139. sh 2 х dx.
. 1) .
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ
107
S dx
1140. sh х ·
S dx
1141. сЬ х ·
5 dx
1142. h ь .
s хс х
1143. S th х dx.
1144. S cth х dx.
Найти неопределенные инrеrралы:
1145. S х V5 х. dx.
S xl 1
1146. xt 4x+l dx.
S ха
1147. x 8 +5 dX .
1148. xe xl dx.
1149 S 3 Y2+3Xl dX.
· 2+3х !
S X3 1
1150. x+l dx.
r dx
1151. J V еХ ·
1152. S 1 sin Х dx.
х + cos х
1153 S tg 3х ........ ctg 3х d
· sin Эх х.
S dx
1154. 1 I ·
Х n х
1155. S sec! Х dx.
Vtg1x 2
1156. S ( 2 + 2х 2 1 ) 2xld 1 ·
1157. a sin х cos х dx.
S хl
1158. V dx.
х 3 + 1
1159. 5 х dx .
Yl x4
1160. tg 2 ах dx.
1161. 5 Si"2 dx.
1162. J sec2 Х dx .
У 4 ........ tg 2 Х
1163. ) dx x .
cos
а
S Vl+lnx
1164. х dx.
1165. S t g V x 1 Y
x l
5 xdx
1166. . ( 1 ) .
51П Х
S earctg х +х lп (1 +Xl)+ 1 ·
1167 · 1 + хl dx.
1168. S s n х cos х dx.
Sln х + cos Х
( Х ) 1
1 sin
1169. r ;2 dx.
J sln У 2
5 хl
1170. xl 2 dx.
5 (1 +х)1
1171. х (1 + Xl ) dx.
1172. e s1n ' х 51" 2х dx.
1173. S 5 3х dx.
у4........3х l
5 dx
1174. е Х + 1 ·
5 dx
1175. (а + Ь) + (а ...... Ь) хl
(О<Ь<а).
5 еХ
1176. У dx.
e2X 2
108
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл". lV
S dx
1177. . .
81П ах cos ах
t 178. S sin C;t + q>o ) dt.
5 dx
1179. х (4 ln 2 х) ·
х
arccos 2
1180. У dx.
4 хl
1181. e tg х sec 2 х dx.
1182. S sin х cos Х dx.
-v 2 siп 4 Х
5 dx
1183. . .
8101 Х cos 2 Х
1184. S arcsin х + Х dx.
Уl 2
1185. S sec х tg х dx.
У sec! х + 1
1186 5 cos2x d
· 4 + cos22x х.
S dx
11 а 7 · 1 + cos J Х ·
1188. S -./ In (х+ Ух 2 + 1) d
V 1 + х2 х.
1189. ) хl ch (ха + 3) dx.
5 зth х
1190. ch Z х dx. .
* 2. MeTOn ПОl1становки
1°. Замена переменной внеопределенном интеrрале.
Полаrая
х == <р (t).
rде t........ новая переменная и непрерывно дифференцируемая функция, бу-
дем иметь:
S f (х) dx == S п<Р и)) <р' (t) dt.
(1)
Функцию q> стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы
(1) приобрела более удобный для интеrрирования вид.
Л р и м е р 1. Найти
S xY x 1 dx.
Реш е н и е. Естественно положить t== У х 1, отсюда х== е 2 + 1, и
dx == 2/ d/. Следовательно,
S х у х 1 dx == S иl + 1) t · 2t dt == 2 S ([4 + tt) d t ==
5 .
2 2 2 2 .....
==5/5+з/3+ C==5(X 1)2 +3 (x 1)1 +с.
Иноrда применяются подстановки вида
и == (х).
Допустим, что нам удалось по.дынтеrральное выражение 1 (х) a преобра-
80вать к такому виду:
t (х) dx == g (и) dи, r».e и == ер (х).
2)
МЕТОД подстлновки
109
Если g (и) du известен, т. е.
g(u)du==F(и)+C,
ТО
f (х) dx == F [<р (х)] + С.
Этим способом мы уже, собственно rоворя, ПОЛЬЗ0вались в 9 1, 30.
Примеры 2, 3, 4 (9 1) можно было решить следующим образом:
1
Пример 2. u == 5х ...... 2; du == 5dx; dx == "5 du.
1
r dx 1 r dи 1 u I 2 "
J Y5x 2 ==5 J уи ==5 1 +C==5 Y 5x 2+C.
2
dи
Прl4мер 3. и==х!; dи==2xdx; xdX==2.
S xdx == S du ==.!.ln(и+ Y l+и l )+C==
у 1 + х. 2 У 1 + и l 2
t 1
== 2" ln (х l + у 1 + х 4 ) + с.
du
При м ,е р 4. u == х'; dи == 3x!dx; х! dx == '3 .
5 х!е ХЗ dx == 5 e"du == е" + с == е ХЗ + с.
20. т р и r о н о м е т р и ч е с к и е п о Д с т а н о в к и.
1) Если интеrрал содержит радикал 11 а 2 ха , то обычно полаrают Х==
== а sin t; 01'СЮ да
у а 2 х 2 == а c os t.
2) Если интеrрал содержит радикал 11 х 2 а 2 , то полаrают х == а sec t;
ОТСЮД
11 х 2 а l == а tg t.
3) Еслй интеrрал содержит радикал 11 х 2 + а а , то полаrают х == а tg t;
ОТСЮДа
11 х 2 + а 2 == а sec t.
Заметим, что триrонометрическйе подстановки не всеrда оказываются
выrодными.
I1ноrда вместо триrонометрических подстановок удобнее пользоваться
еuперболuческuмu nодстановками, которые имеют аналоrичный характер
(см. пример 1209).
О триrонометрических н rиперболических подстановках более подробно
см. в 9.
При м е р 5. Найти
"'
j YXZ+l d
2 х.
х
110
НЕОПРЕДЕЛЕнныА инТ!rРлл
tlt
Решение. Полаrаем x=:tgt. Следовательно, dX== t .
cos
S у х! + 1 dx == 5 у tg l t + 1 == S sec t OSI t ==
хl tg 2 t cos l t sin l t соз 2 t
== 5 dt == 5 sinlt+ cos1t dt == 5 + 5 cos t dt=='
. sin 2 t cos t sin! ,. cos t cos t sin l t '
1
== 1 n I tg t + 8 ес t I ...... sln t + с == In I tg t + у 11+ t g 2 t , ....
v \ tg l t + с == In I Х + v r + 1 1 V r x + 1 + С.
D
1191. Применяя указанные подстановки, найти интеrралы:
5 dx 1
а) xVr 2 ' X T;
б) S е Х l ' х In t;
в) х (5х l 3)7 dx, 5х. 3 t;
r) S ;dX . t Vx+l;
x+l
5 cos х dx
д) V ,t sin х.
1 + 8in l х
Применяя подходяuцие подстановки, найти интеrралы:
1192. x(2x+5) I Odx. 1197. S ( SlnX). dx.
1 xa
5 l+х d
1193. -y х.
1 + х
1194. 5 V dx ·
х 2х + 1
1195. 5 V dx ·
eX 1
1196. S X dx
1 n 4х х ·
fIрименяя триrонометрические
1201. J x2dx .
Уl x3
1202. 5 х3 dx .
-У 2 х 2
1203. 5 "yxl а l dx
х ·
1204*. S dx ·
х V х 2 ..... 1
S е2Х
1198. V dx.
еХ + 1
5 810' х
1199. y dx.
cosx
1200*. S dx .'
х Уl +х8
[rJl. Jf/
подстановки , най ти интеrрапы:
1205. S VX:+l dx.
1206*. S dx .
хl V 4 ..... ха
1207. V 1 x.dx.
, 3J"
ИНТЕrРИРОВАНИЕ по ЧАСТЯМ
111
1288. Вычислить интеrраn
S УХ:; x)
. I t
с помощью подстановки х == 51П .
1209. Найти
y al+x1dx,
применяя rиперболическу ю под стано вку х == а sh t.
Реш е н и е. Имеем: у а 2 + х 2 == У а l + а l sh 2 t == а ch t и dx == а ch t dt.
Orсюда
S YaI+x 2 dx== S ach t.ach tdt==
== а l S ch l t dt == а l S ch 2 + 1 dt == а; ( ; sh 2t + t) + с ==
а 2
== 2 (sh t ch t + t) + с.
Так как
sh t == , ch t == У а 2 + х 2
а а
и
t h t+ h t x+Val+x2
е c s ,
а
то окончател ьно пол учаем:
S х а!
V а l +х2 dX==2" Y a 'l+x'l+2"ln (х+ 'Уа 2 +х2) +С 1 ,
а'l.
rде С 1 ==С 2" lп а новая произвольная постоянная.
1210. Найти
S xldx
У хl ..... а! '
попаrаи х == а сЬ t.
о 3. Интеrрирование по частям
Фор м у л а и н т е r р и р о в а н и я n о ч а с т я М. Если u == q> (х) и о ==
== 'ф (х) дифференцируемые функции, то
S иdv==иv S vdи.
При м ер 1. Найти
S х ln х dx.
dx ха
ПОJlаrая и==1nх; dv==xdx, имеем du==x 0==2. Отсюда
S XZ S х2 dx х 2 х 2
xlnxdx==2 1nx 2x==2 lnx 4+C.
112
НЕОПРЕДЕЛЕнныА ИНТЕrРАЛ
(rп. IV
Иноrдз, чтобы свести данный интеrрал к табличному, приходится применять
формулу интеrрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с
помощью интеrрирования по частям получают уравнение, из KOToporo опре-
деляется искомый интеrрал.
При м е р 2. Найти
еХ cos х dx.
Имеем e"cosxdx== .rd(sinx)==.rsinx e"sinxdx==.rsinx+
+ еЧ (cosx)==e" sinx+e" cosx .r cos х dx.
Следовательно,
.r cos х dx == .r sin х + .r cos х S .r cos х dx.
отку да
5 e"COSXdX== (sinx+cosx)+C.
Применяя формулу интеrрирования по частям, найти янтеrрапы:
1211. 1" х dx.
1212. arctg х dx.
1213. arc51" х dx.
1214. х 51" х dx.
1215. х СО5 3х dx.
1216. 5 ; dx.
1217. х. 2 " dx.
1218**. х 2 е lХ dx. 1230.
1219*. (х 2 2х+ 5) e " dx. 1231.
1220*. S х1е : dx. 1232.
1221. S х $1" х СО$ х dx. 1233.
1222*. S (х. + 5х+ 6) cos 2х dx. 1234.
1223. S х.l" х dx. 1235.
1224. S ln:Z х dx.
1225. S l:.x dx.
1226. S : dx.
1227. S х arctg х dx.
1228. х arc$l" х dx.
1229. S 1" (х+ -v 1 +х. ) dx.
S xdx
sin 2 х ·
5 х cos х d
. I х.
Sln х
е" 51" х dx.
S 3" cosx dx.
S е а " 51"Ьх dx.
51" (10 х) dx.
4J '
ИНТЕfРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
113
Применяя различные методы, найти интеrралы:
1236. x8e xl dx.
1237. е УХ dx.
1238. (х' 2х + 3) 10 х dx.
S 1 x
1239. х 10. 1 + х dx.
S In2 х
1240. xz-- dx.
1241. S In ( П х) dx.
1242. хl arctg 3х dx.
1243. х (arctg х)1 dx.
1244. (arc8io х)1 dx.
1245. S ar in х dx. .
1246. S a;sin ух dx.
}........х
1247. xtgI2XdX.
1248. S s x dx.
1249. S С08 1 (10 х) dx.
1250**. S (XI ll)1 dx.
1251*. S (х l аl)l'
1252*. S V а l х l dx.
1253*. S У А +хl dx.
1254*. S х! dx .
Y 9 x2
I 4. ПростеАшие интеrралы, содержащие квадратный трехчлен
S тх+n
1 о. И н т е r р а л ы в и Д 8 ах! + Ьх + с dx. ОСНОВНОЙ прием вычисле-
ния приведение квадратноrо трехчлена к виду:
ах 2 + Ьх + с==а (х + k)1 + 1,
(1)
rде k и 1 постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее Bcero
из квадратноrо трехчлена выделить ПОЛНЫЙ квадрат. Можно также пользо-
ваться подстановкой
2ах + ь == t.
Если т == О, то, при водя квадратный трехчлен к виду (1), получаем таб.
личные интеrралы 111 или IV (см. 1, 20, таблицу ПрОС1'ейших интеrралов)..
Пример 1.
r 2XI d X+7 == r (ха 2. !х+;) + (2. ) ==
J J 4 16 2 16
1 d(x i) 1 1 x *
=="2 ( ) ' 31 "2 Y31 arctg 11 31 + с::::о
Х 4 + 16 4
2 4х 5 '
r= ..r arctg }"Зl +с.
, 31 31
114
НЕОПР дЕпЕНКЫЙ ИНТЕrPЛn
[rп. 'IY
Если т f; О, то из числителя выделяется производнаи 2ах + ь квадрат-
lloro трехчлена
r тх+n щ r (2ах+ Ь) + (n ) щ
J axl+bx+c J ахl+Ьх+с
== ;: 1" I ахl+ Ьх+с 1+ (n ;; ) 5 ах l + x+c '
и таким образом, мы приходим к интеrр лу, разобранному выше.
При м е р 2.
) х...... 1 ; (2х 1) ; 1 2
r 1 dx I 1 dx 2 lп \ х ...... х ...... 1 I ......
...... х х ...... х .......
1 i d ( х } ) 1 ' , 1 2х 1 У5
...... 2 1 ) 1 5 =="2 lп \ хl ...... х...... 1 \ 2 ..r5 In 2х 1 + ,r 5 + с.
(X 2 4 r r
S тх+n
20. И н т е r р а л ы в и Д а у dx.
ах! + Ьх +с
Методы вычислений аналоrичны разобранным выше.. В конечном иТоrе интеr.
рал при водится к табличному интеrралу V, если а > О, и VI, если а < о.
При м е р 3.
5 dx 1 r dx 1 I 4х...... 3 + с
V 2 + Зх 2х1 == У 2 J У i ( х : У у 2 arcs" 5 ·
При м е р 4.
S х+3 dX==J.... S 2х+2 dX+2 S dx ==
У хl + 2х + 2 2 У х 2 + 2х + 2 у (х + 1)1 + 1
== У r +2x+2+21n (х+ 1 + Ухl+2х+2) +с.
30. И н т е r р а л ы в и Д а S . с помощью обрат-
(тх +n) Y X2+bX+C
1
+ ==t
тх n
эти интеrралы при водятся к интеrралам вида 20.
При м е р 5. Найти
ной подстановки
S dx
(х + 1) У х2 + i ·
Реш е н и е. Полаrаем
1
«+1==7'
ОТСЮ}J.8
dt
dX== f2.
4)
ИНТЕrРллы, СОДIРЖЛЩIII. IC8ЛДРАТИЫЙ ТРЕХЧЛЕН
115
Имеем:
dt
dx ........ t2
........
(х+l)Ух!+l 1 '/ ( 1 )
ТУ T 1 1+1
== 2 r у( dt 1y 1 == ;2 Inft +Yt2 t+ ; I+
J t 2" +4
+C ...... l I l X+Y2(XZ+l) +с
У2 n х + 1 ·
40. И н те r р а л ы в и Д а S у ах,! + Ьх +сщ. Путем выделения из квад-
рзтноrо трехчлена полноrо квадрата данный интеrрал СВОДИТСЯ к одному из
следующих двух основных и нтеrра лов (см. Н2Н2 1252 И 1253):
5 х а l х
1) У а 2 х'" dx == 2 У а! ..... х 2 + 2 arcsin а + с,
(а > О);
2) 5yr+Adx== Y XI+A+ Inlx+ V .r+AI+c.
При м е р б.
S У 1 2х r щ== S У2 (l +x)l d (1 +х) ==
== 1 t х у 1 2х х 2 + arcsin 1:; + с.
== ---
dt
У 1 21 + 2t t .......
Найти интеrралы:
1255. 5 dx 1264. S dx
х! + 2х + 5 · У х 2 + рх + q ·
1256. 5 dx 1265. S 3x 6
dx.
х'"+2х · Yx2 4x+5
1257. 5 dx S 2x 8
Зх! х + 1 · 1266. dx.
У 1 х х 2
1258. S xdx S х
x2 7x+13. 1267. dx.
У5х 2 2х + 1
1259. S 3x 2 5 dx
r 4x+5 dx . 1268. х У 1 ...... х 2 ·
1260. 5 (х 1)2 1269. 5 dx
х2 +3х +4 tJx. хУх 2 +х ].
1261. 5 x1dx 5 dx .
х 2 6х + 1 о · 1270. (х ....... 1) У х! 2.
1262. S dx S dx
У 2 + 3х ...... 2х2 · 1271. (х + 1) у х 2 + 2х.
5 dx
1263. ух....... ха · 1272. S V х2+2х+5 dx.
116
НЕОПРЕДЕЛRННЫЙ ИНТRrРАЛ
[r л . IV
1273. 11 x xl dx. 1277. S еЧх
у 1 + е Х + е 2Х ·
1274. 1I2 x xl dx. 1278. S sinxdx
у cos 2 х + 4 cos х + 1 ·
1275. 5 xdx 1279. S lnxdx ·
х4 4х2+З. хУI 41nx ln2x
1276. 5 cosx d
sin Z х 6 sl" х + 12 х.
5. Интеrрирование рациональных функций
1 О. М е т о Д н е о п р е Д е л е н н ы х к о э Ф Ф и ц и е н т о в. Интеrрирова-
ине рациональной функции после выделения целой части сводится к интеrри-
рованию правильной рациональной дроби
р (х)
Q (х) ,
r (1)
rде Р (х) и Q (х) целые мноrочлены. причем степень числителя Р (х) НИ}l{е
степени знаменателя Q (х). Если
Q (х) == (х а)а.. . . (х 1)...
rде а. . . . , 1 различные действительные корни мноrочлена Q (х) и а. . . . . л
натуральные числа (кратности корней). То справедливо разложение д.роби (1)
на простейшие дроби:
р (х) А 1 + А2 + + Аа. +
Q (х) === х а (х а)2 · · · (х а)а. · · ·
L 1 + L2 + + L)..
· · · + l ( 1)2 · · · ).. ·
х х (х 1)
(2)
Для вычисления неопределенных коэффициентов Аl' А 2 . . . .. L"A обе части тож-
дества (2) приводят к целому виду. а затем приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х (п е рвы й с п о с о 6). Можно также
определять эти коэффициенты. полаrая в равенстве (2), или ему эквивалент-
ном, х равным подходяще подобранным числам (в т о рой с п о с о б).
При м е р 1. Н ай ти
S xdx
(х 1) (х + 1)2 ==/.
Реш е н и е. Имеем:
х А + 81 В 2
(x 1)(x+l)2== x 1 x+l + (x+l)Z .
Orсюда
х == А (х + 1)2 + В 1 (х ..... 1) (х + 1) + В 2 (х ..... 1).
(3)
а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3)
а ВИДе
JC == (А + 81) х! +(2А +81) х + (А В 1 В 2 ).
5]
ИНТЕfРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ функций
117
Приравня в коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
О == А + 81; 1 == 2А + В 2 ; о == А........ В 1 82.
Отсюда
1
А==т;
1 1
81 == ...... 4; В 2 == 2" .
б) Второй способ определения коэффициен.тов. Полаrая х == 1 в ТОЖАе-
стве (3), будем иметь:
1
1 == А .4, т. е. А ==4.
Полаrая х == 1, получим:
1
1 ==....... 81.2, т. е. В! == 2.
Далее, полаrая х == О, будем иметь:
О == А В 1 В 2 ,
1
т. е. 8. == А 82 == "4 ·
Следов ательно,
] 5 dx 1 5 dx 1 5 dx
J == '4 х I ""4 х + 1 + 2 (х + 1 )1 ==
t 1 1
== 4 lп 'Х 1\ т 1П \х t 11 ...... 2 (х + 1) + с ==
] 1 I x......1 1
==........ 2 (х + 1) +4 1п х + 1 +с.
При м е р 2. Н а йти
5 dx
3 2 2+ ===/.
х х х
J") е ш е н и е. Имеем:
1 1 А В С
х 3 2х2 + х == х (х 1 )2 == Х + х ] + (х 1 )3
и
1 === А (х 1)2 + Вх (х 1) + Сх
(4)
При решении этоrо примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полаrаем х ==0 в Тож-
дестве (4); получим 1 == А. Затем, полаrая х == 1, получим 1 == С. Палее, при-
меняя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х 2 .
Будем иметь:
О==А+В, т. е. B== l.
Таким образом,
А==l, 8== 1 и C==l.
Следовательно,
5 dX 5 dx 5 dJt 1
/ == х: ......... х 1 + (х 1 )2 == 1 n , х I I n 1 х ...... 1 1 х ...... 1 + о.
118
НЕОПРЕДЕЯЕннwА 'ИНТЕfРАЛ
[r л . lV
Если мноrочлен Q (х) имеет комплексные корни а :l:ib KpaTHocm k,\ то
18 разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби ВИда
Mt x + N l Mkx+Nk
X + рх + q + · · · + (х 2 + рх + q) k '
х" + рх + q == [х (а + ib)] [х (а ib)]
н М 1 . N 1 , ..., Mk' N k неопределенные коэффициенты, определяемые
способами, указанными выше. При k == 1 дробь (5) интеrрируется непо.
средственно; при k > 1 применяется м-етод nон.uженuя, причем предвари..
тельно квадратный трехчлен х" + рх + q рекомендуется представить в ВИДе
(х+ у + (q ) и сделать подстановку х+ ==z.
При м е р 3. Найти
(5)
rде
S х+l
{хl + 4х + 5)2 dx == 1.
Реш е н и е. Так как
х'" + 4х + 5 == {х + 2)2 + 1,
11'0, полаrая х + 2 == z, получим:
5 z 1 5 zdz 5 (1+z2) Z2
,/ (z2+1)z dz (z2+1)Z (z2+1)2 dz
== 2 (Z2 1) 5 Z2 1 + 5 zd [ 2 (Z2 l) J == 2 (z. 1)
z 1 z+1
...... arctg z 2 (Z2 + 1) + "2 arctg z == 2 (Z2 + 1)
1 х+3 1
"2 arctg z + с == 2 (х'" + 4х + 5) 2" arctg (х + 2) + с.
20. М е т о Д О с т р о r р а Д с к о r о. Если Q (х) имеет кратные корни, то
5 Р (х) dx == Х (х) + 5 у (х) dx
Q (х) Ql (х) Q2 (х) ,
(6,
r,a:e Ql (х) общий наибольший делитель мноrочлена Q (х) и ero ПРОИ3ВО'цной
Q' (х);
Q2 (х) == Q (Х): Ql (х);
х (х) и У (х) мноrочлены с неопределенными коэффициентами, степени ко..
торых соответственно на единицу меньше степеней Ql (х) и Q2 (х).
Неопределенные коэффициенты мноrочленов Х (х) и У (х) вычисляются
при ПОМОIДИ ДйффереНllирования тождества (6).
При м е р 4. Найти
S dx
(ха 1)2 ·
Реш е н и е.
S dx AX2+BX+C +S DX"+EX+F d
(х:' ...... 1)8 ха 1 х:' 1 х.
5] .
ННТЕrРИРОВАННЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ функций
119
Дифференцируя это тождество, получим:
1 (2Ах +.в) (ха...... 1) Эх 2 (Ахl + Вх + С) + Dx! + Ех + F
(ха 1)2 (ха...... 1)2 ха 1
или
I == (2Ах + В) (ха 1) 3х! (Ах! + Вх + С) + (Dx 2 + Ех + Е) (ха 1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, будем иметы
D == о; Е..... А == о; F 2В == о; D + зс == о; Е + 2А == о; в + F == lJ
отсюда
1 2
А == о; в == '3; с == о; D == о; Е == о; F == 3
и, следовательно,
S dx 1 х 2 S dx
(х 3 1 )2 == ........ 3 ха 1 3 ха 1 · (1)
Для вычисления интеrрала в правой части равенства (7) разлаr аем дробь
1
а 1 на элементарные дроби:
х
1 L Мх +N
ха ...... 1 х 1 + х 2 + Х + 1 '
т. е.
1 ==L (r +х + 1) + Мх (х...... 1) + N(x...... 1). (8)
1
Полаrая х == 1, получим L == 3"' ·
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и ле-
вой частях равеНС1ва (8), находим:
L + м == о; L..... N == 1,
т. е.
1 2
М== З; N== З.
Поэтому
S dx 1 5 dx 1 5 х+2 d
ха 1 '3 х ...... 1 ........ 3" хl + Х + 1 х ==
1 1 1 2х + 1
== з- 1п \ х 1\ 6" Iп (х 2 + х + 1) уз arctg -УЗ + с
и
S dx Х 1 х 2 + х + I 2 X + 1
(ха 1)2 == 3 (ха 1) + 9" lл (х 1)2 + 3 уз arctg уз + с.
Найти интеrралы:
S dx
1280. (х+а)(х+Ь) .
S х! ..... 5х + 9
1281. х 2 5х + 6 dx.
1282. 5 (х 1) (х 2) (х + 3) ·
S 2х2 + 41x ...... 91
1283. (х ___ 1 ) (х + 3) (х ..... 4) dJ6.
S 5ха + 2
1284. ха 5х2 + 4х dx.
1285. 5 х (х 1 )2 ·
120
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrрлл
[rll. lУ
S х....... '1
1286. 4 а dx.
х x
S х4 6х 3 + 12х2 + 6
1 7. dx
ха 6хl + 12х 8 ·
S 5х2+6х+9
1288. (х 3)1 (х + 1)2 dx.
S х 2 ...... 8х + 7
1289. (хl 3х 10)2 dx.
S 2х 3
1290. (хl ах + 2)' dx.
S ха + х + 1
1291. х (ха + 1) dx.
1292. S х 4 1 dx.
S dx
1293. (х! 4х + 3) (х! + 4х + 5) ·
Применяя метод Остроrрадскоrо, найти следующие интеrралы:
1301. S (х + 1) X2 + 1)1 · 1303. S (ха 1)4 ·
S dx S x4 2xl+2
1302. (х 4 ........ 1)1 · 1304. (хl 2х + 2)1 dx.
Применяя различные приемы, найти интеrралы:
1305. 5 (ха + l; xa +8) dx. 1310*. S х (x X+ 1) ·
5 х7 + ха 5 dx
1306. х12 2х4 + 1 dx. 1311. х (х li + 1)1 ·
5 х2 Х + 14 5 dx
1307. (х 4)3 (х 2) dx. 1312. (х 2 + 2х + 2) (х 2 + 2х + 5) ·
5 dx 5 x2dx
1308. х4 (ха + 1)2 · 1313. (х 1)10 '
1309. S dx 1314. r dx
ха 4х 2 + 5х 2 · J х 8 + х 6 ·
S dx
1294. ха + 1 ·
S dx
1295. х 4 + 1 ·
S dx
1296. х4 +х2 + 1 ·
S dx
1297. (1 +х2)2 ·
S 3х+5
1298. (ха + 2х + 2)2 dx.
S dx
1299. (х + 1) (х 2 +х + 1)2 ·
5 ха + 1
1300. (х 2 4х + 5)2 dx.
* 6. Интеrрирование некоторых иррациональных функций
1°. Интеrралы вида
Pt Р2
5 R [х, (c a X x + + d b ) ' ql , ( ах + b ) q2 ]
сх + d .... dx,
r Д е R р а Ц и о н а л ь н а я Ф у н к ц и я и Рl' Ql' Р2 . q",
Ч и с л а.
Интеrралы вида (1) находятся с помощью подстановки
ах+Ь n
сх + d == Z ,
rAe п....... общее наименьшее кратное чисел ql' q., ".
(1)
.........целые
6]
ИНТЕrРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
121
S dx
При м е р 1. Найти 1/ V ·
у 2х ---- 1 ---- 2х ...... 1
Реш е н и е. Подстановка 2х...... 1 == zt при водит интеrрал к виду
S dx S 2ZSdZ 2 r z 2 dz
У 2х ---- 1 ---- V 2х ...... 1 zl...... Z J z..... 1 .
==25(Z+I+ z 11 )d l==(Z +I)I+2In \Z II+C==
== (1 + V 2х ---- 1)! + ln ( V 2х ---- 1 ---- 1)' + с.
Найти интеrралы:
1316. S ../' dx.
х----l
131 S xdx
6. V ·
ах+Ь
1317. S
V х + 1 : (х + 1)' ·
1318. S v; v; ·
Y X ----l
1319. V dx.
x+l
1320. S vX+I +2 dx.
(x+l)I----Vх+l
1321. S }/;2 dX .
1322. S dx ·
(2 ...... х) у 1 х
S .. jx=I
1323. х r X+I dx.
1324. S V : dx.
13 5 S х+3
2 · V dx.
х'" 2х+3
20. и н т е r р а л ы в и Д а
S Р п (х) d
V ах! + Ьх + с х,
(2)
r Д е Р n (х) ...... М Н О r о ч л е н с т е п е н и n.
Полаrают
S Рп(Х) dХ==Qn 1(х)vах!+ьх+с+л 5 dx , (3)
r ах. + Ьх+с V ах'" + Ьх+с
rде Qn..l (х) ....... мноrочлен степени (n...... 1) с неопределенными коэффициентами
и л ---- число.
Коэффициенты мноrочлена Qп 1 (х) и число л находятся при помощи
дифференцирования Тожд ества (3).
S J х4. + 4х'"
При м е р 2. хl V х'" + 4 dx == dx ==
У х 2 +4
== (Ах 3 +Вх 2 + Сх +D) 'Ух! +4 + л s dx .
V х 2 + 4
122
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrрлл
Irп J IV
Orсюда
х 4 +4х l ==(ЗАх 2 +2Вх+С) Ух l +4 + (А,х 8 +Вr+СХ+D)Х + .
Ух 2 +4 Ух l +4 Ух l +4
Умножая на у х 2 + 4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях х, получим:
1 1
А == "4; в == о; с == 2 ; D == о; А == ...... 2.
Следовательно,
S . ха +2х
х! Yx l +4dx== 4 Ух! +4 21п (х + у х 2 +4) +с.
30. И н т е r р а л ы в и Д а
S (х а)n rd:x z + Ьх +с · (4)
Приводятся к интеrралам вида (2) с помощью подстановки
== t.
x a
Найти интеrралы:
S x2dx
1326. Vxz x+l '
х5
1327. 5 v dx.
1 x!
1328. S Vl x :X 2 dX .
40. Интеrралы от
13291. S
х' y : 1 ·
1330. 5 dx ·
(х + 1)' ух! +2х
1331. S х!+х+ 1 dx.
х У х 2 Х + 1
дифференциальных биномов
х т (а + Ьхn)Р dx.
(5)
r Д е т, пир р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а.
у с л о в и я Ч е б ы ш е в а. Интеrрал (5) выражается через конечную
комбинацию 9лементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р целое число;
2) если т + 1 целое число. Здесь применяется подстановка а + ьх n ==Т,
n
rде s ........ знаменатель дроби р;
3) если т + 1 + р целое число. В этом случае используется подста-
п
новка ax п + ь == zS.
[1 Р и .\1 е р 3. Найти
5 V1 + VX
dx:=/.
t
1 1 1 т+l ....2+1
р е НУ е н и е. 3 д есь т == ........ 2"; n == 4; р == 3 ; n == 1 == 2.
"4
СледоваТtЛЬtlU имее'l место слу чай 2) интеrрируемости.
s .71 .
ИНТЕrРИРОВАНИЕ триrОНОМЕТРИЧЕСКИХ функций
123
Подстановка
1
1 + х 4. == z'
дает: х == (z' --- 1)"; dx == 12 z 1 (z' ..... 1)' dz. Поэтому
S 1 ( 1 ) 1 S
.... ......... ...... z' (z' ---- 1) I
J == х I 1 + х 4 I dx == 12 (z' ........ 1 )1 dz ==
. 5 12
:=: 12 (z' ...... Zl) dz == "7 t" ...... Зz4 + с,
rAe z==yl + vx.
Найти интеrралы:
V1332. 5 х' (1 + 2хl) dx.
1333. S V dx ·
1+x4
S dx
1334. У .
х. 1 +хl
S dx
1335. V ·
х 1 +х'
S dx
1336. 5 ·
х. (2 + х')'
dx
1337. ,r........8 r ·
" х 8 JI 1 + V ха
I 7. Интеrрироваиие триrонометрических функций
10. Интеrралы вида
sl"m х СО5 п Х dx == 1 т,п.
r Д е т и n...... Ц е л ы е ч и с л а.
1) Если т == 2k + 1 ...... нечетное положительное число, то полаrают
(1)
1 т,п == s 51".k Х СО5 п Х d (СО5 х) == (1 СО5. x)k СО5 п Х d (СО5Х).
АН8J10rи чно поступают t если n........ нечетное положительное число.
При м ер 1. S 51"10 Х СО5' Х dx == S 51"10 Х (1 51". х) d (51" х) ==
SI"11 Х sfn 1 ' х
....... 11 13 +с.
2) Если т и п четные положительные числа, то подынтеrральное вы-
ражение (1) преобразуют с помощью формул:
1 1
51п 2 Х == 2 (1 ...... cos 2х), cos. х == 2 (1 + cos 2х),
51" х СО5 х == 51" 2х.
124
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
(r JI. lУ
При м ер 2. S СО5. ЭХ 51"' 3х dx == S (СО5 эх 51п Эх)1 51п. Эх dx ==
S 8in2 бх 1 cos 6х 1 S . ..
== 4 2 dx == 8 (Slп 2 бх ...... 8102 6х cos бх) dx ==
1 S ( 1 cos 12х. )
== 8" 2 ....... 51п 2 6х COS бх dx ==
...... 1 ( х 51" 12х 1. I )
8 2 24 18 ,510 6х +с.
З) Если т == ,.... и n == v целые отрицательные числа одинаковой
четности, то
J т n == 5 . fJ. dx v == 5 cosecfJ. х secV 1 х d (tg х) ==
J Sln х cos х
fJ. " I fJ.+"
........ ............... 1
== 5 ( 1 + tg х ) I (l + tgS х) I d (tgx) == 5 (l + t )x I d (tg х).
. в частности, к этому случаю сводятся интеrралы
s Si : х == 2",1 I . '" d x ( f : х и S с::. х
51П cos
2 2
[ d(x+lf)
J 51"' ( х + ) ·
При м е р 3. 5 d == 5 secl х d (tg х) == 5 (1 + tg 2 х) d (tg х) ==
cos х
== tg х + tg' х + 9.
5 dx 1 dx 1 5 -- 8 Х . Х
При м е р 4. sin' х 2' i I Х I Х В tg "2 sec '2 dx ==
s n 2 cos 2
( 1 + t 2 Х ) 1
1 g 2 х 2 [ х 2 Х ] ( Х )
== 8" t I Х sec 2 2" dx == "8 tg' 2" + t х + tg '2 d tg '2 ==
g 2 g2
:::.! [ ........ 1 + 2 1 n I tg I + tg 2 ] + с.
4 2tgl 2 2
2
4) Интеrралы вида tg lD х dx (или ctg lll Х dx) . r)J.e т целое ПNЮ-
жительное число, вычисляются с помощью формулы
tg8 х == sec l х ...... 1
(или соответственно ctg l х == cosec l Х, .... 1).
s 7]
ИНТЕrРИРОВАНИЕ триrОНОМЕТРИЧЕСКИХ функций
123
При м е р 5. S tg' х dx == S tg. х (sec. х 1) dx == tg х S tft х dx ==
tg' х S tg' х
== 3 (sec! х 1) dх==з........ tgx +х +с.
5) В общем случае интеrралы 1 т,п вида (1) вычисляются с помощью фор-
.мУЛ приведения (ре"уррентных фор.мул) , ВЫВОДИМЫХ обычно интеrрированием
по частям.
П б S dx ........ S 51"! Х + cos 2 Х d S f 51" х d + S dx .......
р и м е Р . . 8 Х S " Х. 8 Х ............... .......
COS Х cos х cos х cos х
1 1 S cos х S dx 5iп х 1
== sl" х. 2 2 .......... 2 2 dx + ...............== 2 I + 2 1" 1 tg х + sec х 1 + с.
cos х cos х cos х cos х
Найти интеrрапы:
1338. S cos' х dx. 1352. ) dx
.
х .х
sl" ....... cos ..........
1339. S sin' х dx. 2 2
SSIП(Х+ : )
1340. S sin. х cos. х dx. 1353. i dx.
5 n х cos х
1341. S .а Х ,xd 1354. S dx
SIЛ 2 COS "2 х. 51"' х ·
1342. S COS S Х d 1355. S sec s 4х dx.
. х.
5HJ' Х
1343. sin 4 х dx. 1356. S tg. 5х dx.
1344. sin. х cos. х dx. 1357. ctg' х dx.
1345. S sin. х .cos 4 х dx. 1358. ctg 4 х dx.
1346. S cos. 3х dx. 1359. S (tg' + tg 4 ) dx.
1347. S dx 1360. S х sin. х. dx.
8i"4 Х ·
1348. S dx 1361. S cos' х dx
cos 6 Х · 51"4 Х ·
1349. S cos 2 Х d 1362. S sin s xV cos х dx.
х.
81Н' Х
S dx 1363. S dx
1350. 51"! х cos 4 Х · У 8ir1 х cos' х ·
S dx S dx
1851. 1364. .
sin 5 х cos' х · tgx
126
ИIОПРI АЕнныА ИИТЕrрлл
[rJl. IV.
20. и н т е r р а л ы в н Д а 51" mx COS АХ dx, S 51п mx 51" fU dx н
cos mx cos АХ dx.
В этих случаях применяются формулы:
1) 51п mx СО5 пх == [51п (т + п) х + 51п (т п) х];
1
2) 51" тх 51" пх == 2 [cos (т .... п) х ....... cos (т + п) xJ;
1
3) cos тх cos nх ==2 [cos (т..... п) х + cos (т + п) х].
При м е р 7. S 51п 9х 51п х dx == S [СО5 8х СО5 lOх] dx ==
1 1
== 16 51" 8х .... 20 51п lOx + с.
Найти интеrралы:
1 365. 51" 3х соз 5х dx.
1 366. 51" 1 Ох 5i" 15х dx.
1367. S соз ; СОЗ dx.
1368. S 51" соз dx.
30. И н Т е r р а л ы в и Д а
S R (81" х, СО5 х) dx,
r д е R....... р а u и о н а л ь н а я Ф у н к u и Я.
1) С помощью подстановки
t 369.
соз (ах+Ь) С05 (ax b)dx.
S 51" rot 51" (rot + 1fJ) dt.
S соз х С05. 3х dx.
S 51" х 51"2Х51" 3х dx.
1370.
t 371.
t 372.
(2)
х
tg 2==t,
ОТКУ да
2! 1 t l 2dt
51" х == 1 + t2 ' cos Х == 1 + t2 ' dx == 1 + t2 ,
интеrралы вида (2) ПРИВОДЯТСЯ к интеrралам от рациональных функций новой
переменной t.
При м ер 8. Найти
5 dx ....... 1
1 + 51" х + cos х....... ·
х
Реш е н и е. По лаrая tg 2" == t, будем иметь:
I == \ ! t 2 1 (2 == 5 1 -t t == 1 о 11 + tI + с == 10 11 + tg ; I + с.
J 1+ 1+t 2 + 1+t a
'. 1 )
ИНТЕrРИРОВАНИЕ триrОНОМЕТРИЧЕСКИХ функций
127
и
2) Если имеет место тождество ,
R ( ...... 51" х, ...... COS х) E!I R (51" х, COS х),
"О дЛЯ приведения интеrрапа (2) к рациональному виду можно применить
подстаНОВКУ tg х == t.
Здесь
t 1
51" х == у . сos х == ,r
1 + t! f 1 + t 2
dt
х == arctg " dx == 1 + t! ·
При м е р 9. Найти
5 dx
1 + . I == 1.
51" Х
(3)
Реш е н и е. Полаrая
t' dt
tg х == t, 51"! Х == 1 + t2 ' dx == 1 + t 2 '
будем иметь:
[== r dt! == 5 dt ! == S d(tV2) ==
J (I+t l )( 1+ 1 (2 ) 1+2t У2 1+(tY2\2
1 ,r 1 ,r
== V2 arctg(t r 2)+С == V2 arctg( r 2tgx>+C.
Заметим, что интеrрал (3) вычисляется более быстро, если предварительно
числитель и знаменатель дроби разделить на cos.x.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см..
например, Ng 1379).
Найти интеrралы:
1373. 5 dx 1382*. 5 dx
3 + 5 cos х · 3 81п 2 Х + 5 cos z х ·
1374. S dx 1383* . S dx
5i" х + cos х · 8i"2 Х + 3 8i" х cos х соз 2 ·
1375. S СО5 х d 1384*. S dx
1 +cosx х. Si(12 Х 5 si" х cos х ·
1376. S 51" х d 1385. S 51" Х d
1 8iH Х х. (1 cos х)' х.
1377. S dx 1386. S 51" 2х d
8 ...... 4 8iл х + 7 cos х · 1 + siH Z х х.
1378. S dx 1387. S СО5 2х d
cos х + 2 5i" х + з · cos 4 Х + 8iH t х х.
1379**0 5 3 5 " Х + 2 COS х dx 1388. 5 СО5Х d
2 51П Х + 3 cos х · 8in. х ...... б si" х + 5 JC ·
1380. S 1 +tgx dx. t 389* . S dx
1 ...... tg х (2 ...... 81" х) (3 8iH х) ·
1381 * . 5 dx 1390*. 5 1 5111 Х + СО5 Х dx
1 + з cos. х · 1 + 51" х ...... cos х ·
128
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
8. Интеrрировавие rиперболических функций
(rл. IV
Интеrрирование rиперболических ФУНКЦИЙ вполне аналоrично интеrриро-
ванию триrонометрических ФУНКЦИЙ.
Следует ПОМНИТЬ основные формулы:
1) сЬ 2 Х ..... sh 2 Х == 1;
1
2) sh 2 х == "2 (сЬ 2х 1);
1
З) сЬ 2 х== 2" (сЬ 2х + 1);
1
4) sh х сЬ х == 2" sh 2х.
При м е р 1. Найти
5сы Х dx.
Реш е н и е. Имеем:
5 5 1 1 1
ch 2 Х dx== 2" (ch 2Х+ l)dx ==""4 sh 2Х+ 2 х+с.
При м е р 2. Найти
S сы Х dx.
Реш е н и е. Имеем:
S сы Х dx == S сы Х d (sh х) == S (l + slJl x)-d (sb х) ==
зЬ'х
== shx +3 +с.
Найти интеrралы:
1391. S sh l х dx. 1397. S th ' х dx.
1392. S сЬ 4 xdx. 1398. S cth 4 х dx.
1393. S sh l х сЬ Х dx. 1399. 5 dx
sh 2 Х + ch 2 Х ·
1394. S sh l х сы Х dx. 1400. 5 dx
2shx+3chx.
1396. 5 dx 1401 * . 5 dx
sh х ch 2 Х · th х 1 ·
5 dx 1402. S sh х dx
1396. sh 2 xch 2 х. у ch 2х ·
9]
ИНТЕfРАЛЫ ВИДА R (х, V ах 2 + Ьх + с) dx
129
9. Применение триrонометрических и rиперболических
подстановок для на хождения интеrралов вида
R (х, У ах 2 + Ьх + с) dx, (l)
rде R р а Ц и о н а л ь н а я Ф у н к Ц и я.
Преобразуя квадратный трехчлен ах! + Ьх + с в сумму или разность
квадратов, своди м инте rрал (1) к одному из интеrра.пов следующих типов:
1) R (z, V т 2 Z2 ) dz;
2) R. (z, У т 2 +Z 2) dz;
3) R. (z, yz2 т 2 ) dz.
Последние интеrралы берутся соответственно с помощью подстаНО80К!
1) z == т sin t или 2 == т th t,
2) z == т tg t или z =::: т sh t,
3) z==msect или z==mcht.
Пример 1. Найти
S dx l
(х + 1)2 -v х 2 + 2х + 2 ·
Реш е н и е. Имеем:
х 2 + 2х + 2 == (х + 1)2 + 1.
Положим х + 1 == tg t, тоrда dx == sec 2 t dt и
I S dx == s sec2 t dt == s cos t dt ==
(х + 1)2 У(Х t 1)2 + 1 tg 2 t sect sin 2 t
== + с== Ух2+2х+2 +0.
51П t Х + 1
При м е р 2. Найти
xYx2+X+ldX==I.
Полаrая
Реш е н и е. Имеем:
( 1 ) 2 3
х2+х+l== Х+2 +4.
1 1IЗ уз
x+T==ysht и dX==ychtdt,
получим:
J == S ( у'" 3 sh t ) У 3 ch t. V 3 ch t dt ==
2 2 2 2
== 3 3 S shtch 2 t dt S сЬ 2 tdt==
== 3 3 . сь; t ( ; sh t ch t + ; t ) + о.
5 r. с. БаранеНКОБ и др.
130
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rп. IV
Так как
2 ( 1 ) 2
sht == У 3 х + 2" ' сЬ t == У 3 V ха + х + 1
и
t == 'п ( х + + у .r + х + 1 ) + In 3 '
то окончательно имеем:
1 ..:.. 1 ( 1 )
J == 3 (х 2 + Х + 1) 2 4" х + 2 у х 2 + Х + 1 .....
136 1n (х+ +V X2+X+l )+ с.
Найти интеrралы:
1403. V3 2x X2dX. 1409. V x2 6x 7 dx.
Y2+x2 dx. s
1404. 1410. (х.+х+ 1)1 dx.
1405. S r 1411. S dx
dx. (х 1) У х 2 Эх + 2 .
11 9 + х 2
S Vx2 2x+2dx. 5 dx
1406. 1412. а ·
(r 2х + 5) 2
1407. S V x2 4dx. 1413. S dx
(1 + х 2 ) у 1 ха ·
1408. V x 2 +xdx. 1414. S dx
(1 ....... х 2 ) У 1 + ха ·
10. Интеrрирование различных трансцендентных функций
Найти интеrралы:
1415. S (х. + 1). е 2Х dx. 1421. S dx
e2X+eX 2.
1416. S ха cos 2 3х dx. 1422. S dx
Уе 2Х +е Х +l'
1417. х sin х cos 2х dx. 1423. S х 2 lп 1 + Х dx.
. 1 x
1418. e 2x sin. х dx. 1424. In 2 (х+ Vl +х2) dx.
1419. S е Х sin х sin 3х dx. 1425. S х arccos (5х 2) dx.
1420. хе Х cos х dx. 1426. sinxshxdx.
12]
ИНТЕrРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ функций
131
11. Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интеrраЛОВl
1427. ln === S (х 2 :а 2 )п ; найти 1. и 1..
1428. ln == sin n х dx; найти 14 и 16'
1429 1 ........... S dx. g J J
· n cos п Х ' НаnТИ а И 4'
1430. ln == xпe X dx; найти 1'10'
1431.
1432.
t 433.
1434.
1435.
1436.
1437.
1438.
1439.
1440.
1441.
1442.
1443.
1444.
S.
функций
S 2х+l d
1445. V(4XZ 2x+l)a х.
1446. J :; 5 x У 5 ",.
1447. S dx
y(xa 1)' ·
1448. S (l +.r; l х4.
1449. S х dx
Vl 2.r x4.
1450. r х + 1 dx,
J(,r + 1)+
1451 *. S dx ·
(r +4х) У4 х 2
1452. S-v х 2 9 dx.
1453. S -v x 4х 2 dx.
1454. S
xYr:x+I'
1455. S х v х"+ 2х+ 2 dx.
1456. S х4 JI : 1 ·
1457. S х Y: х' ·
1458. r
J V 1d : x ' ·
12. Интеrрирование разных
5 I x+9'
5 x 5
х2 2х+2 dx.
r х' 1 dx.
J xt+x +2
5 dx
х (х ! + 5) ·
5 (х + 2) X + 3)' ·
5 dx
(х + 1)2 (х 2 + 1) ·
5 (х 2 2)2 ·
5 dx
x4 2x2+1.
5 xdx
(х 2 х + 1)3 ·
S 3 4х
"1/ dx.
(1 2 r х)2
S СУХ + 1)2 dx.
Х З
S YX2 xX+l ·
) 1 V 2x
,/ dx.
r 2х
S (V ха : V Х У ·
132 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ r r л. IV
1459. \> 5х 1480. S х arctg х dx.
dx.
'-' -v 1 + x V 1 + х 2
1460. cos 4 х dx. 1481. S . z Х 3х d
Sln 2 cos 2 х.
1461. S dx S dx
cos х sin 5 х · 1482. (siп х + COS х)2 ·
1462. J 1 + V ctgx dx. 1483. S dx
siп 2 Х (tg х + 1) sif1 2 Х ·
1463. S 51(13 х d 1484. sh х ch х dx.
V C053 Х Х.
S sh V 1 х dx.
1464. cosec s 5х dx. 1485.
Y l x
1465. 5 sln 2 х dx. 1486. 5 sh х ch х
sh 2 x+ch 2 x dx .
cos 6 х
1466. 5 sin( х )sin( +х )dX. 1487. S Sh х dx.
1467. 5 tg 3 ( + ) dx. 1488. S dx
е 2Х 2е Х ·
1468. 5 dx 1489. S еХ
2 sin х + 3 cos х 5 · е 2Х 6е Х + 13 dx.
1469. 5 dx 1490. I е 2Х
dx.
2 + 3 cos 2 Х · (е Х + 1)7
1470. 5 dx
cos 2 х+2 sin х cos х+2 sin 2 х · S 2 Х
S dx 1491. 1 4Х dx.
1471.
s i n х s i п 2х · 1492. (х 2 1) 1 o 2Х dx.
5 dx
1472. (2 + cos х) (3 + cos х) · VeX+l dx.
1493.
S sec' ]с d
1473. х. 1494. 5 arctg х d
У tg! Х + 4 tg х + 1 2 х.
Х
1474. S cosax d 5 х 3 arcsin dx.
х. 1495.
V а 2 + Si[]2 ах
1475. S xdx 1496. cos (In х) dx.
cos 2 3х ·
1476. х sin 2 х dx. 1497. (х 2 3х) sin 5х dx.
1477. х 2 е Х . dx. 1498. х arctg (2х + 3) dx.
1478. хе 2Х dx. 1499. arcsit1 V х dx.
1479. xZlnVl xdx. 1500. I х I dx.
rЛАВА v
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrрАЛ
t. Определенный интеrрал как предел суммы
10. 11 н т е r р а л ь н а я с у м м а. Пусть функция f (х) определена на от-
резке а <: Х Ь и а == ХО < Х I < . . . < Х п == Ь ...... произвольное разбиение этоrо
отрезка на п частей (рис. 37). Сумма
вида у
n 1
Sn == f ( i) Д Xit (1)
i:= о
rде Х; ; Xi+l; X; === Xi+t Xi;
i == О, ], 2, .. . (п 1),
А
8
называется uнтеёральной су.м .мой
функции t (Х) на [а, Ь]. rеометричес-
ки Sn представляет собой алrебраи- 6
ческую сумму площадей соответству-
ющих прямоуrольников (см. рис. 37).
2°. О п Р е Д е л е н н ы й и н т е f-
р а л. Предел суммы Sn при условии,
что число разбиений п стремится к
бесконечности, а наибольшая из раз-
ностей ДХi к нулю, называется определенным
в пределах от х == а до х == Ь, т. е.
%
(l=ZQ o.z;
Рис. 37.
uнтесралом функции f (х)
liт
тах Xi --+ о
ь
п 1 r
f ( ) д х i == J f (х) dx.
i=::o а
(2)
Если функция f (х) непрерывна на (а, Ь], то Оllа интеrрируема на [а, Ь], т. е.
предел (2) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интеr-
рирования [а, Ь] на частичные отрезки и от выбора точек i на этих отрез-
ках. rеометрическн определенный интеrрал (2) представляет собой алrебраи-
ческую сумму площадеЙ фиrур, составляющих криволинеIUIНУЮ трапецию аАВЬ,
в котороЙ площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со зиаI(ОМ
ПЛЮС, а площади часrеii, расположенных ниже оси ОХ, со знаком минус
(см. рис. 37).
Определения интеrральноii СУМ:\IЫ и определен Horo интеrрала естественно
обобщаются на случай отрезка [а, Ь], rде а > Ь.
При м е р 1. Составить интеrральную сумму Sn для функции
1 (х) == 1 + х
134
ОПРЕЛЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rп. v
на отрезке [1, 10], деля этот отрезок на n равных частей и выбирая точки l
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [Xi' Xi+t]. Чему ра-
вен 1 im Sn?
n-+оо
1 О 1 9 . 9i
Реш е н и е. Здесь Xi == == ....... и ; == Х; == ХО + t!1x,. == 1 + ...... . От-
n n rt
9i 9i
сюда f ( i) == 1 + 1 + == 2 + . Следовательно (рис. 38),
n n
n t п l
Sп== f(ML\Xi== (2+ 9 ) == n+ (o+l+...+n I)==
1:=0 1==0
== 18 + п (n;- 1) == 18 + 821 ( 1 ) == 58 '
1
lim Sn==58"2.
n-+ОО
При м е р 2. Н айти площадь КРИ80линейноrо треуrольника, оrраничен-
Horo дуrой параболы у == xZ, осью ох и вертикалью х == а (а > О).
у
r
v- r '
о
1
х
о
Рис. 39.
Рис. 38.
Реш е н и е. Разобьем основание а на n равных частей X ==.!!... . Выбирая
n
значение функции в начале каждоrо промежутка, будем иметь:
Уl == о; У2 == ( У; Уа == [ 2 ( Уl 1 . . .; У п == [ (n 1) ] 8 .
Площади вписанных прямоуrольников вычисляются умножением каждоrо Yk на
основание X == !!:.... (рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой фиrуры
n
Sn == ( : ) 8 [1 + 28 + 32 + . .. + (п l?J .
ПОЛЬ3УЯСЬ формулой суммы квадратов целых чисел
п
L
k=l
k ! n(n + 1) (2п + 1)
6 t
2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПНТЕfРАЛОВ
135
находим:
s а' (n 1) п (2п 1) .
п 6п 8 t
отсюда, переходя к пределу t получим:
. . а 8 (п 1) п (2п I) а 3
s== 11т Sn==11m 6п 8 ==3.
n OO п oo
ВЫЧИСЛИТЬ определенные интеrралы, рассматривая их как пределы
соотвеТСТВУIОЩИХ интеrральных СУММ.
ь
1501. dx.
а
1
1503. x1dx.
2
10
1504. 2 Х dx.
о
т
1502. (v o + gt) dt,
о
'V o И g постоянны.
s
1505*. S x'dx.
1
1506*. liайти площадь криволинейной трапеции, оrраНИ4енной rп-
перболой
1
" """""
J ............... Х '
ОСЬЮ ох и ДВУМЯ ординатами: х == а и х === Ь (О < а < Ь).
1507*. Найти
х
ЛХ) === 5 sln t dt.
о
2. Вычисление определенных интеrралов с помощью
неопределенных
10. Определенный интеrрал с переменным верхним
n р е Д е л о м. Если функция t (t) непрерывна на отрезке [а, Ь], то функция
х
F (х) == f (t) dt
а
есть первообразная для функции f (х), Т. е.
р' (х) == f (х) при а х b.
20. Фор м у л а Н ь ю Т о н а Л е й б н и ц а. Если р' (х) == f (х), ТО
ь ь
f (х) dx == F (х) 1== F (Ь) F (а).
а а
186
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл. v
Первообразная F (х) вычисляется путем нахождения неопределенноrо интеrрала
f (х) dx == F (х) + с.
з
При м е р 1. Найти интеrрал х 4 dx.
1
3 3
S х5 I 35 ( 1)5 4
Реш е н и е. х 4 dX=="5 == 5 5 == 48 5 ·
] 1
1508. Пусть
ь
1== S l xx (Ь>а> 1).
а
Найти:
1 ) d/ .
da'
d/
2) db .
Найти производные следующих функций:
1509. F (х) === ln t dt (х> О).
1
х 2
1511. F (х) === S е t 2 dt.
Х
о
1510. Р(х) === v 1 + t 4 dt.
Х
}/х
1512. 1 === COS tJ) dt (х> О).
1
х
1513. Найти точки 9кстремума функции
х
Y S Sir t 1 t dt б >0
в о ласти х .
о
Применяя формулу Ньютона Лейбница, найти интеrралы:
1514.
1 Х
S dx 1516. etdt.
1 +х .
о x
....1 Х
5 Щ . 1517. cos t d t .
х 3
2 О
1515.
с помощью определенных интеrралов найти пределы сумм:
1518**. lim ( + !. + + п 1 )
n -+ 00 п 2 п! · · · п 2 '
1519**. Нт ( 1 + 1 + + 1 )
n--+ОО п+l п+2 ... п+п .
1520. lim lP+2 P +...+п P ( > 0)
n--+оо пР+l р.
2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕrРАЛОВ
131
Вычислить Интеrралы:
2
1521. S (xZ 2x+3)dx.
1
8
1522. (V 2х + Vx) dx.
о
3,5
5 dx
1534."1/ ·
r5+4x X2
2
4
1523. 51 +уУ У dy.
t
6
1524. V x 2 dx.
2
3
1525. 5 dx
У25+3х.
о
3
S х/х т'
2
t
1535. S у2 dy .
V у6 + 4
о
1t
4
1536. cos Z сх. dcx..
о
1t
1526.
2
1537. sin 3 q> dq>.
о
е 2
S xf:x '
е
1538.
1
5 xdx
1527. х2+3х+2.
о
1
1528. 5 /: .
1
е
1539. 5 siп (1п х)
х dx.
t
1t
4
1540. tg х dx.
1529.
1
S dx
х 2 + 4х + 5 ·
о
1t
1t
1530.
4
5 dx
х 2 3х + 2 ·
3
t
5 Z3
Z8 + 1 dz.
о
3
1541. с tg 4 q> d q>.
1t
6
1542.
1
S еХ
1 + е 2Х dx.
о
153 1 .
1t
t
1543. ch х dx.
о
ln 3
S c Xx '
lп 2
1544.
"
1532. sec!ada.
1t
.........
6
11;-
2 dx
1533. у 1 х! ·
о
7t
1545. sh z х dx.
о
138
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл. v
3. Несобственные интеrралы
1 О. И н т е r р а л ы о т н е о r р а н и ч е н н ы х Ф у н к Ц ий. Если функuи Я
1 (х) Не оrраничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь] 11 непрерывна
при а х < с и с < х Ь, то по определению полаrают:
ь c & Ь
r f (х) dx == Ji m r f (х) dx + li m r f (х) dx.
J &--+0 J ТJ O + J
а а с
(1)
Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то неrоб-
ственныЙ интеrрал называется сходящu.мся, в противном случае расходя-
щи.мся. При с == а или с == Ь определение соответствующим o pa30M упро-
lltается.
Если существует непрерывная на [а, Ь] функция F (х) такая, что р' (х)== /(х)
при х i= с (обобщенная nервообразная), то
ь
f (х) dx == F (Ь) F (а).
а
(2)
ь
Если 1 f (х) 1< F (х) при а <, х <, Ь и 5 F (х) dx СХОДИТСЯ, ТО интеrрал (1)
а
также сходится (признак сравнения).
Если f (x) о И lim jf (х) I с х ,т\ == А # 00, А f: О, т. е. f (х)", I А I Jп
X C c x
при х с, то: 1) при т < 1 интеrрал (1) сходится, 2) при т 1 интеrрал (1)
расходится.
20. l-l н т е r р а л ы с б е с к о н е ч н ы м и п р е Д е л а м и. Если функция
t (х) непрерывна при а X < 00, ТО полаrают
00 ь
r f (х) dx == 1 im r f (х) dx
J b ooJ
а а
(3)
и в зависимости от существования или несуществования конечноrо предела
в правой части равенства (3) соответствующий интеrрал называется сходя-
щи.мся или расходящи.мся.
Аналоrично
ь ь
r I (х) dx == 1i m r I (х) dx и
J а --+ ooJ
.....00 а
00 ь
r f (х) dx == Нт r t (х) dx.
J a...:; ooJ
oo Ь...:;+оо а
00
Если I f (х) I < F (х) И интеrрал F (х) dx СХОДИТСЯ, то интеrрал (3) тоже
а
сходится.
Если f (х) О и lim {! (х) х 11l } == А ;i: 00, А ;i: О, т. е. f (х) А т при x 00,
х...:;оо Х
чо: 1) при т > 1 интеrрал (3) сходится, 2) при т 1 интеrрал (3) расходится.
3}
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
139
Пример 1.
1 8 t
5 d == lim 5 d + lim\ d: == lim ( 1)+ liin ( 1 ) ==со
х<! ! О Х 4 е -+ О J х 1) -+ О 1') ) 1J -+ о 11
--1 1 6
..... интеrрал расходится.
При м е р 2.
00 ь
S dx == 1 im S dx == lim (arctg Ь arctg О) == зt .
1 + х 2 Ь --+ 00 1 + х:! Ь -+ 00 2
о о
При м е р 3. Исследовать сходимость uнmесрала Эйлера П уассоН,а
00
e X' dx.
о
(4)
Реш е н и е. Положим
00 1 00
e x'dx== e x'dx+ e x'dx.
о о 1
Первый иа двух интеrралов в правой части не является lIесо6ственным, n
второй сходится, так как e x2 e X при х 1 и
00 Ь
r е -- Х dx == li m r е -- Х dx == lim ( e Ь + е 1) == е 1;
J b-+oo j ь-+оо
t J
следовательно, интеrрал (4) сходится.
При м е р 4. Исследовать на сходимость Иllтеrрал
00 5 dx
11 х 3 + 1 ·
1
(5)
Реш е н и е. При х + 00 имеем:
1 1 1 1
У ха + 1 У ха ( 1 + x1a ) х+ У 1 + a
1
'"
J .
ха
Так как интеrрал
00
5 d
1 Х 2
СХОДИТСЯ, то наш интеrрал (5) также сходится.
ПРИ м ер 5. Исследовать на СХОДимость эллиптический ИНТ1еI'рал
1 dx
J Vl .r · (6)
140
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕfРАЛ
[rл. V
Реш е н и е. Точка разрыва подынтеrральной функции: х:::::зl. ПримеНИ8
формулу Лаrранжа к РаЗНОСТИ 1 x4==(1 x)(1+x)(1+x2), ПОЛУЧИI\.I:
1 1 1
Jll x4 У(1 x).4x У (1 x) (1 +х) (1 +х 2 )
1 1
.
1
(1 x) 2 Y(l +х) (1 + х 2 )
Следовательно, при х --+ 1 будем иметь
1 1 ( 1 ) ...!:..
Yl x4 2 l x 2.
Так как интеrрал
1 1
5 С 1 х У2 d
о
СХОДИТСЯ, то данный интеrрал (6) также сходится.
Вычислить несобственные интеrралы (или установить их рас-
ходимость):
1 2 1
1546. 5 dx 1547. J' d; . 1548. S dX
Ух . х Р ·
о 1 О
;j 1 tЖ)
1549. 5 dx 1550. 5 dx 1551. S .
(x 1)2. У 1 x2 ·
О О 1
00 00 00
1552. 5 dx 1553. 5 dx 1554. 5 dx
2 · х Р · 1 + х 2 ·
Х
1 1 00
1
00 00 2
1555. 5 dx 1556. 5 sill х dx. 1557 . 5 dx
х 2 +4х+9 · х ln х ·
00 о о
1
2 00 00
5 dx 1559. 5 X (а> 1). 1560. 5 dx
1558. 1 2 (а> 1).
х ln 2 х · х n х х n х
о а а
л;
2 00
1561. S ctg х dx. 1562. S e kx dx (k> о).
о о
41
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕrРАЛЕ
141
00
1563. 5 ; C ; dx.
о
00
1564. 5 (х 2 1)2 ·
I
00
1565. 5 ха 1 ·
о
1
5 dx
1566. х3 5х 2 ·
О
Исследовать схолимость интеrралов:
10()
. dx
1567. V ' V ·
х + 2 х + ха
о
+00
1568. 5 dx
1 2х + V х 2 + 1 + 5 ·
1
1571. 5 VdX ·
1 х"
о
!
S ' : ·
1
00
5 sin х d ;о
2 Х.
Х
1t
1572.
00
. dx
1569.
, х 2 + V х" + 1 ·
(J:J
1570. r х dx
J -v х 5 + 1 ·
о
1573.
2
1574*. Доказать, что эйлеров интеrрал 1 ro рода (бэmа-фУН1tЦUЯ)
1
В (р, q)== xP l (1 X)q l dx
О
сходится при Р> о и q> о.
1575*. Доказать, что эйлеров инте rрал 2 ro рода (zа.Аthf,а фунICЦUЯ)
00
r (р) === хр lе Лdх
о
сходится при р > О.
I 4. Замена переменной в определенном интеrрале
Если фу нкция f (х) непрерывна на отрезке а х Ь и х == <р и) функ-
ция, непрерывная вместе со своей производной с:р' (t), на отрезке а t ,
rде а == с:р (а) и Ь == с:р ( ), при чем f [с:р (t)] определена и непрерывна на отрезке
а t , ТО
ь
f (х) dx == f [q> (t)] q>' и) dt.
а IX
При м е р 1. Найти
а
х 2 -Уа 2 xidx (а > О).
о
142
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
(rл. v
Ре ш е н и е. Положим
х == а sln t;
dx == а cos t d t.
Тоrда f == arcsln и, следовательно, можно принять а == arcsin О == О,
а
п
== arcsin 1 == 2. Поэтому будем иметь:
'Jt
а 2
ха V а" х 2 dx:r= а l sin 2 t V а 2 а" sin 2 t а cos t dt =::J
о О
1t
1t
1t
112
== а 4 S sln" t cos 2 t dt == а; S sin 2 2t dt == 4 S (l cos 4t) dt::::::o
о О о
1t
2
а 4 ( 1 ) I ...... nа 4
:::= 8" t ..... 4" 51" 4t ...... 16
о
1576. Можно ли интеrрал
2
Vl x2dx
о
RЫЧИСЛИТЬ С помощью подстановки х== cos t?
Преобразовать определенные интеrралы с помощью указанных
подста новок:
t
\ dx
1578. -v t
1 х"
t.i
1
2
1581. Для интеrрала
ь
f{x) dx (Ь>а)
а
x==sin t.
4
8
1579. S V dx ,
х 2 + 1
8
4
7t
2
1580. ) f{x) dx, x==arctgt.
о
х == sh t.
8
1577. SVX+1 dx, x==2t l.
1
указать целую линейную подстановку
x===at+p,
в результате которой пределы интеrрирования сделались бы соот-
ветственно равными О и 1.
4]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕнноR в ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТF.rРАЛЕ
143
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интеrраJIЫ;
4
S d х == t'}. .
1582. ;r ,
1 + х
о
19
1583. S (х 2)2/. Х 2 == z' .
(х 2)2/3 + 3 dx,
а
ln 2
1584. Ye" 1 dx; eX 1==z2.
о
1585. S dt t
3 + 2 cos t ' tg"2 ==z.
о
1t
2
1586. S dx tg х === t.
1 + а l sin 2 х '
о
с ПОМОLЦЬЮ ПОДХОДЯLЦИХ подстановок вычислить интеrралыt
1
1587. r Yl x2 dX.
J х
1''2
2
I
1588. 5 У х: 1 dx.
1
ln 5
1589. 5 еХ У е Х 1 d
е Х + 3 ».
о
5
1590. 5 dx .
2х+ У3х+l
о
Вычислить интеrралы
1.591.
а
5 dx
х -v х 2 +5х+l.
1
а
1593. -v ах х' dx.
о
1592.
1
S dx
(1 + х 2 )2 ·
!1t
S dx
1594. 5 3 cos х '
о
l
1595. Доказать, что если {(х) четная ФУНКЦИЯ, то
а а
) Лх) dx::::>: 2 f (х) dx.
a о
Если же [(х) нечетная функция, то
а
ЛХ) dx == О.
a
144
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rп. v
1596. Покзззть, что
00 00
s e x2 dx== 2 S e x2 dx== S ; dx.
oo о о
1597. Покаэать, что
'It
t !
S dx == S sfn Х dx
arccos х х.
о о
1598. Показать, что
'Jt
'Jt
2 !
f(sin х) dx == f( cos х) dx.
о о
* 5. Интеrрирование по частям
Если функции и (х) и v (х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь),ТО
ь ь ь
и (х) v' (х) dx==и (х) v (х) I v (х) и' (х) dx. (l)
а Q а
Применяя формулу интеrрироввния по частям, вычислить интеrрвлы:
1t
2 (f)
1599. х cos х dx. 1603. xe X dx.
о о
е 00
1600. ln х dx. 1604. e ax cos Ьх dx
1 О
1 (f)
. 160 1. х'е!Х dx. 1605. e ax sin Ьх dx
о о
'It
1602. е Х sin х dx.
о
(а > О).
(а > О).
1606**. Показать, что для rамма-функции (СМ. Ng 1575) справед..
пива формула понижения:
r (р + 1) == pr (р)
(р> О).
Отсюда вывести, что r (п + 1) == п!, если п натуральное.
6]
ТЕОРЕМА О'СРЕДНЕМ 3НАЧЕНИИ
145
1607. Покаэать, что для интеrрала
1t
1t
2 2
ln == sin n х dx == COS n Х dx
о о
справедлива формула понuженuя
n 1
In=== /n 2.
Найти In, если п натуральное. Пользуясь полученной формулой,
вычислить 1, и 110'
1608. Применяя MHorOKpaTHoe интеrрирование по частям, вычи-
слить интеrрал (СМ. N2 1574)
1
В (р, q)== S xp l (1 X)q l dx,
О
rде р и q целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бэта функцию) интеrрал
1t
2
1т, п == sin т х cos п х dx,
о
если т и п целые неотрицательные числа.
6. Теорема о среднем значении
10. о ц е н к и и н т е r р а л о В. Если t (х) F (х) при а х::;;; ь, то
ь ь
f (х) dx F (х) dx. (1)
а а
Если f (х) и (j) (х) непрерывны при а х Ь и, кроме Toro, (х) ;?= О, ТО
ь,. [)
т Ip (х) dx S f (х) Ip (х) dx М Ip (х) dx, (2)
а а а
rде т наименьшее, а М наибольшее значение функции t (х) на ОТ.
резке [а, Ь].
В частности, если с:р (х) == 1, ТО
ь
т (Ь а) S f (х) dx М (Ь а).
а
(3)
146
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕfРАЛ
rrл. v
Неравенства (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными им
равенствами:
ь ь
f (х) qJ (x)dx == f (е) qJ (х) dx
а а
и
ь
f (х) dx == f Ш (Ь а),
а
rAe с и ........ некоторые числа, лежащие между а и Ь.
При м е р 1. Оценить интеrрал
1t
2
1 == 5 -v 1 + siп! х dx.
о
Реш е н и с. Так как О sin 2 х 1, то имеем:
3t 3t ../3
2</<2" V 2'
т. е.
1,57 < I < 1,91.
2$. С Р е Д н е е з н а ч е н и е Ф у н к Ц и и. Число
ь
!-t == Ь а S t (х) dx
а
называется средним значением функции f (х) на отрезке а х Ь.
1610*. Не вычисляя интеrралов, определить их знак:
2
а) S х' dxj
1
2п
в) S Si Х dx.
о
тt
б) х cos х dx;
о
1611. Выяснить (не вычисляя), какой из интеrралов больше:
1
а) Vl +х2 dx ИЛИ
о
1
б) х 2 sin. х dx или
о
2
В) е'" dx или
1
1
) Х dx;
о
1
xsin 2 xdx;
о
2
е Х dx.
1
7]
ПЛОLЦАДИ плоских фиrур
147
Найти средние значения функций на указанных промежутках.
1612. I(x)==x'", o x t.
1613.f(x)==a+bcosx, п х л.
1614. [(х):::: sin 2 х, О х 1t.
1615. f(x)==sin 4 x, О х л.
1
1616. Доказать, что S -v dx заключен между 3 0,67 и
2 +х х!
О
1
V 2 :::::: 0,70. Найти точное значение этоrо интеrрала.
Оценить интеrралы:
1 1t
V 4 + х. dx. .......
1617. ..
1620*. S х Y tg х dx.
о
+1 О
1618. 5 dx 1t
8 + ха ·
2
1 S SI x dx.
!1t 1621.
1619. 5 dx 1t
10 + 3 cos х · .........
6
О
1622. Интеrрируя ПО частям, доказать, что
2001t
О < S cos Х d <
х Х 100л'
1001t
7. Площади плоских фиrур
}О, П JI О Щ а Д ь в п р я м о у r о л ь н ы х к о о р Д и н а т а х. Если непре-
рывная кривая задана в прямоуrольных координатах уравнением у == f (х)
[1 (х) О], то площадь криволинейной трапеции, оrраниченной эТой кривой,
ДВ умя вертикалями в точках х == а и х == Ь и отрезком оси абсцисс а х Ь
(рис. 40), определяется форму л ой
ь
S == f (х} dx .
а
(1)
х 2
При м е р 1. Вычислить площадь, оrраниченную параб олой у == 2' пря-
мыми х == 1 и х == 3 и осью абсцисс (рис. 41).
148
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ .
[rл. v
Реш е н и е. Искомая площадь выражается интеrралом
3
S == S х; dx == 4 + .
1
При м ер 2. Вычислить площадь, оrраниченную кривой х == 2 У уl
И осью орди нат (рис. 42).
о
у
у
а
х
1
о
Рис. 40.
Рис. 41.
р е [11 е н и е. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая
площадь выражается интеrралом
1
S == S (2 у у2) dy == 4 .
2
rде пределы интеrрироваиия Уl == 2 и У2 == 1 найдены как ординаты точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
у
у
y=f2(x)
х
х
о
2
Рис. 42.
!/=!, (:С)
Рис. 43.
в более общем случае, если площадь S оrраничена двумя непрерывными
криоыми у == {l (х) И у == {2 (х) И двумя вертикалями х == а и х == Ь, rде
11 (х) {2 (х) при а х Ь (рис. 43), то будем иметь:
ь
S == [/2 (х) 11 (хН dx. (2)
а
1]
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ фиrуl'
149
При м е р 3. Вычислить площадь S, заключенную межJ.У кривыми
у == 2 х 3 И уа == х. (3)
(рис. 44).
Реш е н и е. Решая совместно систему уравнений (3), нахо,цим пре,Целы
интеrрирования: Х! == 1 и Х 2 == 1. В силу формулы (2) получим:
1 5
S == 5 (2 r х"") dx == ( 2х 8 ха) 1 == 2 l ·
1
Если кривая за,ll.ана уравнениями в параметри ческой форме х == q> (t),
у == 'Ф (t). то площадь криволинейной трапеции, оrраниченной этой кривой, ,двумя
у
..
"
х
ь '
Рис. 44.
Рис. 45.
вертикалями, соответствующими х == а и х == Ь, и отрезком оси ОХ, выра-
жается интеrралом
t
S == ф (t) tp' (t) dt,
t 1
rде t l И t 2 определяются из уравнений
а == <р (tt) и ь == <р (/2) ['1' (/) О на отрезке [/1' 12)]'
При м е р 4. Найти площадь эллипса S (рис. 45), используя ero парамет..
рические уравнения
{ Х == а C S t,
У == ь SlП t.
Реш е н и е. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одноЙ rIeT-
верти, а затем учетверить результат. Полаrая в уравнении Х == а cos t сначала
л
Х == О, затем Х == а, получим пределы интеrрирования 11 == 2 и t 2 == О. Поэтому
1t
о 2
S === 5 Ь sil1 а ( sl" t) dt == аЬ S si"2 t dt == Л; Ь
о
2
И, следовательно, S == лаЬ.
150
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл v.
20. П л о Щ а Д ь в п о л я р н ы х к о о р Д и н а т а х. Если непрерывная
кривая задана в полярных коорди натах уравнением r == f (<р), то площадь .сектора
АОВ (рис. 46), оrраниченноrо дуrой кривой и двумя полярными радиусами ОА.
If ОБ, соответствующими значениям <Р} == а и <Р2 == р, выразится интеrралом
S == s I! (<р)]2 d<p.
'1..
При м е р 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли
,з == аЗ cos 2<р (рис. 47).
8
r.I(f))
о
х
Рис. 46.
Рис. 47.
Реш е н и е. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть
11СКОМОЙ площади
1t
Отсюда S==a 2 .
1623. Вычислить площадь, оrраниченную параболой у == 4х х 2
И осыо абсцисс.
1624. Вычислить площадь, оrраниченную кривой у == lп х, осью
ох и прямой х == е.
1625*. Iайти площадь, оrраниченную кривой у == х (х......... 1) (х 2)
п осью ОХ.
1626. Найти ПЛОll адь, оrраниченную кривой уа == Х, прямой у == 1
и вертикалью х == 8.
1627. Вычислить площадь, оrрзничеННУ10 одной полуволной сину-
СОИДЫ у == sin х и осью ОХ.
1628. Rычислить площадь, заКЛIочеННУIО между кривой у === tg х,
3t
осью ОХ И прямой Х == 3 ·
1629. Найти площадь, заключенную между rиперболой ху==т 2 ,
вертикалями х == а и х == За (а > О) и осью ОХ.
1630. Найти площадь, содеР)l{ащуюся между локоном Аньези
а 3
у === х 2 + а 2 и осью абсцисс.
1631. Вычислить площадь фиrуры, оrраниченной кри оА у == х 3 ,
прямой У == 8 и осыо О У.
4
s == ; s а 2 cos 2<р d<p == 2 [ ; slл 2<р ] 04 == а; .
O
7]
ПЛОЩАДИ плоских фиrур
151
1632. Наflти площадь, оrраниченную параболами у2 == 2рх и
х 2 ==2ру.
1633. Вычислить площадь, оrраниченную параболой у == 2х х 2
И прямой У === х.
1634. ВЫЧИСЛИТЬ площадь cerMeHTa, oTceKaeMoro прямой У==
== 3 ......... 2х от па ра балы у === х 2 .
1635. Вычислить площадь, заключенную между параболами у == х 2 ,
х 2
У==2 И прямой у=== 2х.
1636. Вычислить площадь, заключенную между параболаМII
х 2 2 2
У === 3 И У == 4 .......... 3"" х ·
1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном Аньези
1 х 2
=== 1+х 2 И параболой У===2'
1638. Вычислить площадь, оrраниченную кривыми у === е Х , у === e--'
и прямой Х === 1.
х2 у2
1639. Наflти площадь фиrуры, оrраниченной rиперболой а 2 Ь 2 === 1
и прямой х === 2а.
1640*. Найти площадь, оrраниченную астроидой
! ! 2
Х а + у а == а 8 .
1641. Найти площадь между цепной линией
х
у === а сЬ а '
осью ОУ и прямой у == (е 2 + 1).
1642. Найти площадь, оrраниченную кривой а"у2 === х 2 (а l ......... Xl).
1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
2
( Y+( )a:::l.
1644. Найти площадь между равнобочной rиперболой х 2 .......... у2 == 9,
осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4).
1
1645. Найти площадь ме)кду кривой у ===2 , ОСЫО ох и орди..
х
натой х=== 1 (х> 1).
ха
1646*. Найти площадь, оrраниченную циссоидой у2 == 2 и ее
a x
асимптотой х == 2а (а> О).
х (х а)2
1647*. Найти площадь между строфоидой у2 == 2 и ее
a x
асимптотой (а> О).
1648. Вычислить площади двух частей, на которые Kpyr х 2 + у" == 8
разделен параболой у2 === 2х.
152
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ инт!rРАЛ
rr л. v
1649. Вычислить площадь, содеРJl(ащуюся между окружностью
х! + у! == 16 и параболой х 2 == 12 (у....... 1).
1650. Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
х === а С05 3 (; у == ь sin 3 (.
1651. Найти площадь, оrраниченную осью ОХ и одной аркой
циклоиды
х == а (t ....... sin t), У === а (1 .......... cos t).
1652. Найти площадь, оrраниченную одной ветвью трохоиды
{ x==at bsint,
y==a bcost (O<b a)
и касательной к ней в низших ее точках.
1653. Найти площадь, оrраниченную кардиоидой
{ x==a(2cost cos2t),
у == а (2 si n t sin 2 ().
1654*. Найти площадь петли декартова листа
За! 3at 2
х == 1 + t 3 ; У == 1 + t 3 ·
1655*. Найти ПЛОLЦадь фиrуры, оrраниченной
Т=== а (1 + cos ер).
1656*. Найти ПЛОLЦадь,
кардиоидой
содер)кащуюся между первым и вторым
витками спирали Архимеда r == аср
(рис. 48).
1657. Найти площадь одноrо ле
пестка кривой r === а cos 2ер.
1658. Найти площадь, оrраничен
ную кривой ,2 == а 2 sin 4ер.
1659*. Найти площадь, оrраничен
ную кривой r == а sin Зер.
1660. Найти площадь, оrраничен
ную улиткой Паскаля
Рис. 48. r === 2 + cos ер.
1661. Найти ПЛОLЦадь, оrраниченную параболой r==asec 2 : и
л л
полупрямыми ер === 4" и ер == 2"" ·
1662. Найти площадь фиrуры, оrраниченной эллипсом
r== l+ р (O 8<1).
8 cos
1663. Найти площадь, оrраниченную кривой r == 2а cos 3ер и ле
жащую вне Kpyra r === а.
1664*. Найти площадь, оrраничеННУlО КрИВОЙ х 4 + у" . х 2 + yZ.
8]
ДЛИНА дуrи КРИВОЙ
153
8. Длина дуrи кривой
18. Д л и н а Д у r и 13 n р я м о у r о л ь н ы х к о о р Д и н а т ах. Дли на s
дуrи rладкой кривоЙ у == f (х), содержащейся между двумя точками с абсциссами
х == а и х == Ь, равна IJ
в== Уl + и'2 dx.
а ...
При м е р 1. Найти длину аСТРОИДbI х 2iЗ + у2/З == а 2 / 8 (рис. 49).
r
у
s 8 t7
х
о
2до
х
Рис. 49.
Рис. 50.
Реш е н и е. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
1/3
, У
У
х 1 / 3 .
Поэтому ДЛЯ ДЛИНЫ дуrи ОДНОЙ четверти астроиды имеем:
а а
.!... s == r " /1+ уФ dx == r а l /,3 dx ==.! а.
4 J V х2 / 3 J х 113 2
О о
Отсюда s == ба.
20. Д л и н а Д у r и к р и в ОЙ, З а Д а н н О й пар а м е т р и ч е с к и. Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме Х == q> (t) и У == 'Ф (t) ( (t)
и 'Ф (t) непрерывно дифференцируемые функции), То длина дуrи s кривой равна
12
s== S v х'3 + у'! dt,
t.
rде t 1 и t 2 значения параметра, соответствующие концам дуrи
При м е р 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
{ Х == а (t sin t),
у==а (1 cost).
Р И , , . П
е ш е н и е. меем Х == dt ==а (1 cos t) и У == dt ==а SIП t. 0ЗТОМУ
!П !П
S == 5 v а 2 (1 cos t)2 + а 2 sin Z t dt == 2а 5 si" ; dt == 8а.
о о,
Пределы интеrрирования t 1 == О и t2. == 2л соответствуют крайним точкам
арки циклоиды.
154
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
rrл. v
Если rладкая кривая задана уравнением r == f (fP) в полярных коор-
динатах r и , то длина дуrи s равна
s == у r2 +,'2 d«p,
а
rде а и значения полярноrо уrла в крайних точках дуrи.
.r
Рис. 51.
При м е р 3. Найти длину всей кривой r == а siп 3 (рис. 51). Вся кр",-
вая описывается точкой(r, <р) при изменении <р от О До Зл.
Реш е н и е. Имеем,' == а sll1. СО5 : ,поэтому длина всей дуrи кривой
8П 8л
S == S -v а. 5111' + а 2 sin 4 СО5 2 : d«p == а S sln 2 d«p == з а ·
о о
1665. Вычислить длину дуrи полукубической параболы у2 == х' от
начала координат до точки с координатами х==4, у==8.
х
1666*. Найти длину цепной линии у === а ch от вершины А (о; а)
а
ДО точки В (Ь; /t).
1667. Вычислить длину дуrи параболыу===2V х отх==Одох===1.
1668. Найти длину ду rи кривой у == е Х , содержащейся между точ-
ками (о; 1) и (1: е).
1669. Найти длину дуrи кривой у===lпх от х===v з до x===V 8.
1670. Найти длину дуrи у == arcs iп (е Х) от Х === О до Х === 1.
1671. Вычислить длину дуrи кривой Х === lп sec у, содержащейся
3t
между у == О и у == 3' ·
1672. Найти длину дуrи кривой Х == у2 1" у от у == 1
до У === е.
1673 . Найт и длину дуrи право й ветви трактриссы
V а+уаl у2 ) .
х== а2 у2+аlп у от у===а до у==Ь (О<Ь<а).
9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
155
1674. Найти длину замкнутой части кривой 9 ау! === х (х...... За)!.
1675. Найти длину д rи кривой у == \" ( cth ) от х == а до
х==Ь (О<а<Ь).
1676*. Найти длину дуrи развертки окружности
x===a(cost+tSinf), } t O f T
У == а (sin t....... t cos [) от до ·
1677. Найти длину эволюты эллипса
с!
х ........ cos 3 t;
а
с 2
У == ь sin 3 t (с 2 == а 2 Ь 2 ).
1678. Найти длину кривой
х === а (2 cos t cos 2t), }
у == а (2 sin t sin 2t).
1679. Найти длину первоrо витка спирали Архимеда r === а<р.
1680. Найти всю длину кардиоиды ,== а (1 + cos q».
1681. Найти длину дуrи части параболы r==asec! ' отсекаемой
от параболы вертикальной прямой, проходящеЙ через полюс.
1682. Найти длину дуrи rиперболической спирали 'ер === 1 от точки
(2; ; ) до точки (+; 2 ) .
1683. Найти длину дуrи лоrарифмической спирали , == aeт
(т > О), находящейся внутри KPYI"a , === а.
1684. Найти дл ину дуrи кривой <р == { (r + + ) от r=== 1 до r == 3.
* 9. Объемы тел
1 О. О б ъ е м т е л а в р а Щ е н и я. Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, Ьrраниченной кривой у == f (х), осью ох и двумя
вертикалями х==а и х==Ь, BOKpyr осей ОХ и ОУ, выражаются соответ-
ственно формулами:
ь ь
1) V х== л y 2 dx; 2) V у == 2п ху dx *).
а а
*) Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволинейной трапе-
ции, оrраниченной кривой у == t (х) и прямыми х == а, х == Ь и У == О. За элемент
объема этоrо тела принимают объем части тела, образованноrо вращением
около оси ОУ прямоуrольника со сторонами у и dx, отстоящеrо от оси ОУ на
ь
расстоянии х. Тоrда элемент объем!! dV у == 2лху dx, откуда V у == 2п ху dx.
а
156
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕfРАЛ
rrл. v
При м е р 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фиrуры,
оrраниченной одной полуволной синусоиды у == siл х и отрезком О Х Е;;; :t
оси ОХ BOKpyr: а) оси ОХ и б) оси ОУ.
Реш е н и е.
1t
S п;2
8) V х==п sin 2 х dx == 2;
о
'к
б) V у == 2л: х sl" х dx == 2л: ( х cos х + sl" x) =-=- 2л: 2 .
О
Объем тела, образованноrо вращением около оси ОУ фиrуры, оrраничен-
ной кривой х == g (у), осью ОУ и двумя параллелями у == с и у == d, можно
определять по формуле:
d
У у == л: 5 х 2 dy,
О
получающейся из при веденной выше формулы 1) путем перестановки коор-
динат х и у.
Если кривая задана в иной q:opMe (параметрически, в полярных коорди-
натах и т. д.), 10 В приведенных формулах нужно сделать соответствующую
замену переменной интеrрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фиrуры,
оrраниченной кривыми Уl == 11 (х) И У2 == 12 (х) (причем 11 (х) < 12 (х» и пря-
мыми х == а, х == Ь, BOKpyr координатных осей ОХ и ОУ, соответственно
равны
ь
V x == л: 5 (у: у:) dx
а
и
ь
V y == 2л: 5 х (У2 у,) dx.
а
"
При м е р 2. Найти объем тора, образованноrо вращением Kpyra
х 2 + (у Ь)2 < а 2 (Ь а) BOKpyr оси ОХ (рис. 52).
Р Е' III е н и е. Имеем:
Нl == ь У а 2 х 2 И У2 == Ь + 11 а 2 х 2 .
Поэтому
а
vх==л: 5 [(Ь +уа 2 х 2 )2 (Ь уа 2 x2)2] dx==
a
а
== 4л: Ь 5 у а 2 х 2 dx == 2л: 2 а 2 Ь
a
(последний интеrрал берется подстановкой х == а siп t).
9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
157
Объем тела, полученноrо при вращении сектора, оrраниченноrо дуrой
кривой, == F (<р) и двумя полярнымИ радиусами <р == а, <р == , BOKpyr полярной
оси, может быть вычислен по формуле
v р == л 5 ,3 sin ер dep.
(1
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, по-
лученноrо вращением BOKpyr полярной оси фиrуры, оrраниченной неКОIОРОЙ
замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
a
о · х а
Рис. 52.
х
N
I
!/2
/J
рис. 53.
При м е р 3. Определить объем, образованный вращением кривой
r == а sin 2<р BOKpyr полярной оси.
Реш е н и е.
1t
1t
z 2
V Р == 2. n S ,3 sirl <р dep == nа 3 S sin 3 2<р sill <р dep ==
о о
1t
2
32 S . 64
== "3 па' sln" <р cos 3 d<p == 105 паЗ.
о
20. в ы ч и с л е н и е о б ъ е м о в т е л п о и з в е с т н ы м поп е р е ч н ы м
с е ч е и и я м. Если S == S (х) площадь сечения тела ПЛОСКОСТЬЮ, перпенди-
кулярной к некоторой прямой (КОТОРУЮ прннимаtм за ось ОХ), в точке с
абсuиссой х, то объем этоrо тела равен
Х2
V == . s (х) dx,
х,
rде Х 1 И Х 2 аБсциссы крайних сечений тела.
При м е р 4. Определить объем клина, отсеченноrо от круrлоrо цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основа-
нию под уrлом а. Радиус основания ра вен R (рис. 53).
158
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл. v
Реш е н и е. Примем за ось ОХ диаметр основания, по которому се.
кущая плоскость пересекает основание, и за ось ОУ диаметр основания, ему
перпенДИКУЛЯРНЫЙ. Уравнение окружности основания будет х 2 + у2 == R 2 .
Площадь сечения АВС, отстоящеrо на расстоянии х от нача.1lа коорди-
нат О, равна
1 1 у2
S (х) == пл. АВС==2 АВ.ВС:::: 2" уу tga==2 tg а.
Поэтому искомый объем клина есть
R R
V == 2. S у2 tg а dx == tg а S (R 2 х 2 ) dx == : tg а R 8 .
о О
1685. Найти объем тела, получающеrося от вращения BOKpyr оси
ОХ площади, оrраниченной осью ОХ и параболой у == ах х 2 (а> О).
1686. Найти объем эллипсоида, образованноrо ВРЗLЦением эллипса
х 2 у2
(i2+ Ь 2 ;:::: t BOKpyr оси ох.
1687. Найти объем тела, ПОJ1учающеrося при вращении BOKpyr
х
оси ОХ площади, оrраниченной цепной линией у == а сЬ , осью ох и
а
прямыми Х == :1: а.
1688. Найти объем тела, обрззовзнноrо при вращении BOKpyr
оси ОХ кривой у === sin 2 х в промежутке х == О до х === л.
1689. Найти объем тела, образованноrо вращением площади, orpa..
ниченной полукубической параболой у'" == ха, осью ох и прямой
х== 1, BOKpyr оси ох.
1690. Найти объем тела, образованноrо вращением той iKe пло-
щади, что в задаче 1689, BOKpyr оси ОУ.
1691. Найти объемы тел, образуемых вращением площади, orpa-
ниченной линиями у == е Х , х === О, У == О, BOKpyr: а) оси ох и б) оси ОУ.
1692. Найти объем тела, образованноrо вращением BOKpyr оси ОУ
той части параболы у 2 :с:::: 4 ах, которая отсекается прямой х === а.
1693. Найти объем тела, образованноrо вращением BOKpyr прямой
Xrr::: а той части параболы у2 === 4ах, которая этой прямой отсекается.
1694. Найти объем тела, обрззованноrо вращением BOKpyr прямой
у === р фиrуры, оrраниченной параболой у2 === 2рх и прямой х == .
1695. Найти объем тела, образованноrо вращением BOKpyr оси ОХ
площади, содержащейся между параболами у ==х 2 И У == V х .
1696. Найти объем тела, образованноrо вращением BOKpyr оси ОХ
петли кривой (х........ 4а) у2 == ах (х За) (а> О).
1697. Найти объем тела, производимоrо вращением циссоиды
ха
у2 === 2 BOKpyr ее асимптоты х == 2а.
a x
1698. Найти объем параболоида вращения, радиу основания КО-
Toporo R, а высота Н.
91
ОБЪЕМbI ТЕЛ
159
1699. Прямой параБОЛИ'lеский ceI'MeHT, основание KOToporo 2а и
высота h, вращается BOKpyr основаtlия. Определить объем тела вра..
щения, которое при этом получается (<<лимон}) Кавальери).
1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х == 2а
от тела, образованноrо вращением равнобочной rиперболы х 2 у2 == а 2
BOKpyr оси ОХ, равен объему шара радиуса а.
1701. Найти объемы тел, образованных враu ением фиrуры, orpa-
ниченной одной аркой циклоиды х == а (t........ sin t), у == а (1 ........ cos t) и
осью ОХ, BOKpyr: а) оси ОХ, б) оси аУ и в) оси симметрии фи-
rypbl.
1702. Найти объем тела, образованноrо вращением астроиды
х == а cos' t, У а sin' t BOKpyr оси О У.
1703. Найти объем тела, которое получается от вращения кар-
диоиды r == а (1 + cos ер) BOKpyr полярной оси.
1704. Найти объем тела, образованноrо вращением кривой
r == а cos 2 <р BOKpyr полярной оси.
1705. Найти объем обелиска, параллельные основания KOToporo
прямоуrольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна h.
1706. Найти объем прямоrо эллиптическоrо конуса, основание KO
Toporo есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна h.
1707. На хордах астроиды К/а + у2/а == а 2 / а , параллельных оси ОХ,
построе ны квадраты, стороны которых равны длинам хорд и плоскости
которых перпендикулярны к плоскости ХОУ. Найти объем тела, обра..
30BaHHoro этими квадратами.
1708. Деформирующийся I(pyr перемещается так, что одна из то..
чек ero окружности ле>кит на оси О У, центр описывает эллипс
х2 уа
аа+ ь! == 1, а плоскость Kpyra перпендикулярна к плоскости ХОУ.
Найти объем тела, образованноrо KpyroM.
1709. Плоскость движущеrося треуrольника остается перпендику.
лярной к неподвижному диаметру Kpyra радиуса а. Основанием тре..
уrольника служит хорда Kpyra, а вершина ero скользит по прямой
параллельно неПОД8ИЖНОМУ диаметру на расстоянии h от плоскости
Kpyra. Найти объем тела (называемоrо коноuдом), образованноrо дви"
жением 9Toro треуrольника от одноrо конца диаметра до друrоrо.
1710. Найти объем тела, оrрани ченноrо цилиндрами х 2 + Z2 == а а
и yl+z2==a 2 .
1711. Найти объем cerMeHTa, oTceKaeMoro от эллиптическоrо па-
у! Z2
раболоида 2р + 2q х плоскостью х === а.
1712. Найти объем тела, оrраниченноrо однополостным rипер-
х 2 уа z'!
болоидом 1+ Ь . ... == 1 и плоскостями z == О и z == h.
а с
x у2 z!
1713. Найти объем эллипсоида .+ Ь 2 + 2 === 1.
а с
160
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕfРАЛ
(rл. v
* 10. Площадь поверхности враmения
Площадь поверхности, образованной вращением BOKpyr оси ОХ дуrи rлад-
кой кривой у == t (х) между точками х == а и х == Ь, выражается формулой
ь ь
Sx==21t S У :: dx== 2п s yVl+y'2dx
а а
(1 )
(ds дифференциал дуrи кривой).
В случае иноrо задания уравнения кривой площадь поверхности Sx полу-
чается из формулы (1) путем соответствующей замены переменных.
r у
20
,
Х Л'(}--.r
I
О ло
Рис. 54. Рис. 55.
При м е р 1. Найти площадь поверхности,
BOKpyr оси ОХ петли кривой 9у2 == Х (3 х)2 (рис.
Реш е н и е. Для верхней части кривой
1 ..r
у == з (3 х) r Х. Отсюда дифференциал дуrи
ванин формулы (1) площадь поверхности
образованной вращением
54).
при O x<;3 имеем:
d x+l d Н
s == 2 V х х. а ОС но-
3
S 1 ..r х + 1
S == 2л: 3" (3 х) r Х y dx == 3л.
2 х
о
При м е р 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды х == а (t sin t); у == а (1 cos ') BOKpyr ее оси сим-
метрии (рис. 55).
Реш е н и е. Искомая поверхность образуется вращением дуrи ОА BOKpyr
прямой АВ, уравнение которой х == ла. Принимая у за независимую перемен-
ПУIО и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной
оси ОУ на расстояние па, будем иметь:
2а
5 ds
S == 2л (ла х) dy .d y .
о
10]
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Переходя к переменной t, получим:
1t
S==23t S (3ta at+aslnt) V( Y+( f Ydt
о
1t
==2л S (па at + а sl" t) 2а sl" dt ==
о
161
1t
== 4л:а 2 S ( л: sl" ; t sl" + sl" t sl" ) dt ==
о
== 4па 2 [ 2Л: cos + 2t cos ; 4 sl" ; + : sl"' ] :== 8п ( 3t : ) а'.
1714. Размеры параболическоrо зеркала АОВ указаны на рис. 56.
Требуется найти площадь поверхности этоrо зеркала.
1715. Найти площадь поверхности «веретена)), кото-
рое получается в результате вращения одной полу-
волны синусоиды у,== sin х BOKpyr оси ох.
1716. Найти площадь поверхности, образованной
вращением части танrенсоиды У === tg х от х=== О до х ==
Во
=="4 BOKpyr оси ОХ.
1717. Найти площадь поверхности, образованной вра- 1
щением BOKpyr оси ОХ дуrи кривой У === e х, от х === О
до х ===+ 00.
1718. Найти площадь поверхности (называемой Ka
тен,оидо.м), образованной вращением цепной линии У ==
х
=== а ch BOKpyr оси ОХ, в пределах от х == О до х ==::::It а.
а
1719. Найти площадь поверхности вращения астроиды
х 2 / в + у2/з == а'l/з вокр yr оси аУ.
1 1
1720. Найти площадь поверхности вращения кривой х== 4y2 21ny
BOKpyr оси ОХ, от y::=::z 1 до Yrz:::::e.
1721 *. Найти поверхность тора, образованноrо вращением окруж-
ности х 2 + (У Ь)2 == а 2 BOKpyr оси ОХ(Ь> а).
1722. Найти площадь поверхности, образованной вращением эллипса
хl у2
аа+ Ь 2 == 1 BOKpyr: 1) оси ОХ; 2) оси ОУ(а> Ь).
1723. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной
арки циклоиды х === а (t sin t), у:=:ж а (1 cos t) BOKpyr: а) оси ОХ;
б) оси ОУ; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением ВО-
Kpyr оси ОХ кардиоиды
х=== а (2 cos t cos 2t), }
У :п:= а (2 sin t sin 2t).
6 r. о. Б apaHeНl{OB и др.
1'62
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
(rл. v
1725. Определить площадь поверхности, 06разованной вращением
пемнискаты ,2 == а 2 cos 2ср BOKpyr полярной' оси.
1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r == 2а (1 + cos q» BOKpyr полярной оси.
11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы rульдена
10. С т а т и ч е с к и й м о м е н т. Статическим моментом относительно
оси 1 материальной точки А, имеющей массу m и отстоящей от оси 1 на рас.
стоянии d, называется величина М ! == тd.
Статическим моментом относительно оси 1 системы n материальных
точек с массами т., т 2 , ..., т п , лежащих в одной плоскости с осью и
удаленных от нее на расстояния d., d 2 , ..., d п , нвзывается сумма
п
M z == тi d ,., (1)
i::l
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси 1, берутся со знаком
плюс (+), а по друrую со знаком минус ( ). Аналоrично определяется
статический .момент системы точе1С относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или ф'Иrуру плоскости ХОУ, то
статические моменты Мх и М у относительно координатных осей ОХ и ОУ
вместо сумм (1) выражаются соответствующими интеrралами. Для случая reo.
метрических фиrур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой х ==х (s); у == у (s), rде параметр s есть длина
дуrи, имеем:
L L
Мх== У (5) d5; М у== х (5) ds
О о
(ds == V(dX)2 + (dy)2........ дифференциал дуrи);
2) для плоской фиrуры, оrраниченной кривой у == у (Х),
вертикалями х == а и у == Ь, получаем:
ь Ь
М х == S у I у I dx; М у == S Х I у I dx.
а а
(2)
осью ох и двумя
(3)
При м е р 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ
х у
треуrольника, оrраниченноrо прямыми: а + ь == 1, х == О, У == О (рис. 57).
Реш е н и е. Здесь у == ь ( 1 : ). Применяя формулы (3), получаем:
а
М х == ь; S ( 1 : У dx == а: 1
о
IJ
и
о
х
а
5 ( х ) alb
М у == Ь х 1....... а dx == 6 .
о
20. М о м е н т и н е р Ц и и. Моментом
инерции относительно оси 1 материальной точки
на расстоянии d, называется число /l==md!.
Рис. 57.
массы т, отстоящей 01' оси 1
11]
МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ rУЛЬДЕНА
163
м оментом инерции относительно оси 1 системы n материальных точек
с массами т 1 , т., ..., т п называется сумма
п
/l== mi d :,
i :::: I
rде d 1 , d 2 , . . ., d n расстояния точек от оси 1. В случае сплошной массы вместо
суммы получаем соответствующий интеrрал.
При м е р 2. Найти момент инерции треуrольника с основанием Ь и вы-
сотой h относительно ero основания.
Реш е н и е. Основание треуrольника примем за ось ОХ, а ero ВысоТу.....
за ось ОУ (рис. 58).
Разобьем треуrольник на бесконечно тонкие rоризонтальные полоски
толщины dy, иrрающие роль элементарных масс dm. Используя подобие тре-
уrольников, получаем:
h y
dm == Ь dy
ь
d/ х=== y 2 dm === h у2 (h у) dy.
Отсюда
h
Ix== 5 11 (h у) dy== 112 Ьh',
о
З О . Ц е н т р т я ж е с т и. Ко-
ординаты центра тяжести пло-
ской фиrуры (дуrи или площади)
массы М вычисляются по формулам
М у Мх
Х== м 'У== м '
rде Мх И М у статические моменты массы. В случае rеометрических фиrур
масса М численно равна соответствующей дyre или площади.
Для координат центра тяжести (х, у) ,дуrи плоской кривой и== f(х)(а Ь),
соединяющей точки А (а; f (а» и В (Ь; 1 (Ь», имеем:
В Ь в ь
) х ds ) х Yl + (у')2 d:t у ds ) у Yl + (у')2 dx
А а A а
X:::S: S -=== Ь y S Ь
) r 1 +(у')2 dx Yl + (y') l dx
а а
и
l
dy
4 ... --- .......
и
r
h
t
'
о
х
t
Ь ,
Рис. 58.
.
Координаты центра тяжести ( х. у) криволинейной трапеции а <; х Ь,
О е:;;; у-=- f (х), MOryT быть вычислены по формулам
ъ Ь
) ху dx ) уа dx
а а
х== у==
S S
ъ
rAe S == ) у dx плаща» фиrуры.
а
6*
164
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
(rл. v
Аналоrичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела.
При м е р 3. Найти центр тяжести дуrи полуокружности ха + у' == а 2
(у О) (рис. 59).
у
Реш е н и е. Име ем
,! x
у == t а 2 х 2 ; у' ==
-v а 2 х 2
и
,C(i,JJ
,! а dx
ds == t 1 + (у')2 dx == .
v а 2 х 2
Отсюда
-о
о
() 1
Рис. 59.
Му==
а а
S xds== S
ах
V dx ==0.
а 2 х 2
a a
а
Мх== S gds==
a
Следовательно,
а
S adx
J I a2 X == 2а!.
V а 2 х 2
a
М==
а
S а dx
== ла.
V а! х 8
.....а
2
х == о; у == а.
1t
40. Теоремы rульдена.
т е о р е м а 1. Площадь поверхности. полученной от вращения дуrи пло-
ской кривой BOKpyr некоторой оси, лежащей в одной плоскости с l<ривоА и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуrи на длину окружности,
описываемой центром тяжести JJ.уrи кривой.
т е о р е м а 2. Объем тела, полученноrо при вращении плоскоЙ фиrуры
BOKpyr некоторой оси, лежащей в плоскости фиrуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фиrуры на длину окружности, описывае-
мой центром тяжести фиrуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей координат
отрезка прямой линии
+ JL===l
а Ь '
заключенноrо между осями координат.
1728. Найти статические моменты прямоуrольника со сторо-
нами а и Ь относительно ero сторон.
1729. Наltти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и
н:оординаты центра тяжести треуrольника, оrраниченноrо прямыми:
х+у==а, х===О и у==О.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и О У и
координаты центра тяжести дуrи астроиды
х2/' + у2/а === а 2 !а,
лежащей 8 первом квадранте.
1731. Найти статический момент окружности
r === 2а sin <р
относительно полярной оси.
11]
МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ rУЛЬДЕНА
165
,
1732. Найти координаты центра тяжести дуrи цепной линии
х
y==ach
а
ОТ x=== a до х==а.
1733. Найти центр тяжести дуrи окружности радиуса а, стяrи..
вающей уrол 2а.
1734. Найти координаты центра тяжести дуrи первой арки циклоиды
х == а (! ......... si n '); У == а ( 1 .......... с 08 ').
1735. Найти координаты центра тяжести фиrуры, оrраниченной
х2 у2
эллипсом а 2 +l)2=== 1 и осями координат ОХ и ОУ (х О, У О)
(О t 2л).
1736. Найти координаты центра тяжести фиrуры, оrраниченной
кривыми у === х 2 ; У === V х .
1737. Найти координаты центра тяжести фиrуры, оrраниченной
первой аркой циклоиды
x==a(t sint), y==a(l cost)
и осью ох.
1738**. Iайти центр ТSlжести полусферы радиуса а' с центром в
начале координат, расположенной над плоскостью ха У.
1789**. Найти центр тяжести однородноrо прямоrо KpyroBoro ко..
нуса с радиусом основания r и высотой h.
1740**. 'Найти центр тяжести однородноrо полушара радиуса а с
центром в начале координат, расположенноrо над плоскостью Х9У.
1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно
ее диаметра.
1742. Найти момент инерции прямоуrольника со сторонами а и Ь
относительно ero сторон.
1743. Найти момент инерции прямоrо параболическоrо cerMeHTa с
основанием 2Ь и высотой h относительно ero оси симметрии.
. 2 2 '
1744. Найти моменты инерции площади эллипса + t2 == 1
относительно ero rлавных осей.
1745**. Найtи полярный момент инерции KpyroBoro кольца с
радиусами R 1 и R 2 (R 1 < R 2 ), т. е. момент инерции относительно
оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к ero пло-
скости.
1746**. Найти момент инерции однородноrо прямоrо KpyroB'oro
конуса с радиусом основания R и высотой Н относительно ero оси.
1747**. Найти момент инерции однородноrо шара радиуса а и
массы относительно ero диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающеrося от вра-
щения Kpyra радиуса а BOKpyr оси, расположенной в плоскости Kpyra
и отстоящей от центра ero на расстеянии Ь (Ь а).
166
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл. v
1749. а) Определить положение центра тяжести дуrи астроиды
х 2 / а + у!/а === аа/а, лежащей в первой четверти.
б) Найти центр тяжести фиrуры, оrраниченной кривыми у. az: 2рх
и х 2 ===2ру.
1750**. а) Найти центр тяжести полукруrа, пользуясь теоремой
rульдена.
б) Доказать, пользуясь теоремой rульдена, что центр тяжести
треуrольника отстоит от ero основания на одну треть высоты.
12. Приложения определенных интеrралов
к решению физических задач
1 о. П у т ь, про й д е н н ы Й т о ч к о й. Если точка движется по некоторой
кривой и абсолютная величина скорости ее v == t (t) есть известная функция
времени t, то путь, проЙденный точкой за промежуток времени lt 1 , t 2 ], равен
t 2
s== S f (t) dt.
t.
При м ер 1. Скорость точки равна
v 0,1 t S м, {сек.
1-1айти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т == 10 сек, про-
текший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот
промежуток?
Реш е н и е. Имеем:
10
S f4' l tO
S == О, 1 t' dt == О, 1 4 о == 250 м,
о
и
s
v с.р == т ==25 .м I cef(,.
20. р а б о т а с и л ы. Если переменная сила Х == f (х) действует в наорав-
JIении оси ОХ, то работа силы на отрезке (Х 1 , Ха] равна
Х!
А == S f (х) щ.
Х!
При М е р 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 6 СМ, если сила 1 кТ растяrивает ее на 1 см?
Реш е н и е. Соrласно закону rYKa сила Х Kr, растяrивающая пружину
на Хм' равна Х == kx, rде k коэффициент пропорциональности.
Полаrая х == 0,01 .м иХ == 1 Kr, получим k == 100 и, следовательно, X==IOOx.
Отсюда искомая' работа есть
0,06
А == S 100 х dx == 50 r /0°.06 == 0,18 tcrM.
о
30. К и н е т и q е с к а я э н е р r и я. Кuнетuческой энер2ueй материальной
точки, имеющей массу т и обладающей скоростью v, называется выражение
mv
1(==2.
12]
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕrРАЛОВ к РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
167
т 2 ,
Кинетическая 81tер2ия системы n материальных точек с массами т1'
. . ., т n , обладающих соответственно скоростями V 1 , V 2 , ..., V N ' равна
n т v'"
i i
К:::п т.
,"==1
(1)
Для подсчета кинетической энерrии тела ero надлежащим образом раз-
бивают на элементарные частицы (иrрающие роль материальных точек), а за.
тем, суммируя кинетические энерrии этих частиц, в пределе вместо суммы (1)
получают интеrрал.
При м ер 3.- Найти кинетическую энерrию однородноrо KpyroBoro цилинд"
ра плотности 6 с радиусом основа.
ния R и высотой h, вращающеrося
с уrловой скоростью W BOKpyr
своей оси.
х
р
I )
IJ
1
. - ,..",.... ...., ..
у
Рис. 60. Рис. 61.
Реш е н и е. 3а элементарную массу dm принимаем массу Полоrо цилиндра
высоты h, с внутренним радиусом r и толщиной стенок dr (рис.. 60). Имеем:
dm == 2:1' . hfJ dr .
Так как линейная скорость массы dm равна V === ТФ, то элементарная кинети..
ческая энерrия есть
и 2 dm
dK == == пr З ffi 2 hб d,.
2
Отсюда
R
5 1f.(J)26R4h
К == n(j)2h6 r S d,== 4 .
(1
40. Д 21 В Л е н и е ж и Д к о с т и. Для вычисления силы давления жидкости
используют закон Паскаля, соrЛ8СНО которому сила )l.звления жидкости на
площадку S с rлубиной поrружения h равна
р == 'lhS.,
rJ.e V уделъннй вес жидкости.
При м е р 4. Найти силу давления, испытываемую ПОJIукруrом РЗАИуса r,
поrруженным вертикально в воду так, что ero диаметр совп.адает с повер х-
ностью воды (рис. 61).
Реш е н и е. Разбиваем площадь полук руrз на элемент полоски, па рал-
лельные поверхности воды. Площадь одноrо TaKoro Эllемента (отбрасывая б. М.
высшеrо ПОРЯАка), находящеrося на рассто янии h от поверхности, равна
dS == 2xdh == 2 У , l ..... h'" dh.
168
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ I
(rл. v
Сила ,давления, испытываемая этим элемент ом, рав на
dP == V h ds == 2V h у,2 h 2 dh,
rде 'у удельный вес воды, равный единице.
ОтСlода вся сила давления есть
r 8
S 2 r 2
Р==2 hу,2 }l2dh== з(,2 h2)2 ==з,3,
О
О
1751. Скорость тела, брошенноrо веРТИI(ально вверх с начальной
скоростью v o ' без учета сопротивления воздуха, дается формулой
v==v o gt,
rде { протекшее время и g ускорение силы тяжести. На каком
расстоянии от начальноrо положения будет находиться тело через
t ce от Mo eHTa бросания?
1752. Скорость тела, брошенноrо вертикально вверх с начальной
скоростью v o ' с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
v === с · tg ( : t + arctg o ) ,
rде t протекшее время, g ускорение силы тяжести и с постоян..
иаЯ. Найти высоту поднятия тела.
1753. Точка оси ОХ совершает rармонические колебания BOKpyr
начала координат, причем скорость ее дается формулой
v == Vo'COS (J)t,
rAe t время и v o ' ro постоянные.
Найти закон колебаний точки, если при t==O она имела абсциссу
. ==o. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости
точки за период колебаний?
1754. Скорость движения точки v===te O,Olt oМlce . Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая,
что при постоянной силе тяrи ускорение ракеты за счет уменьше
ния ее веса растет по закону j а Ы (а bt > О), найти ско-
рость ракеты в любой момент времени t, если начальная скорость ее
равна нулю. Найти также высоту, достиrнутую ракетой к моменту
времени t === ft.
1756*. Вычислить работу, КОТОРУЮ нужно затратить, чтобы BЫKa
чать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеЮLЦей радиус
основания R и высоту Н.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из коническоrо сосуда, обраLЦенноrо вершиной вниз,
радиус основания KOToporo равен R и высота Н.
1758. Вычислить работу, КОТОРУЮ необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из полусферическоrо котла, имеющеrо радиус R== 10 оМ.
12]
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕrРАЛОВ к РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
169
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеlощей форму
цилиндра с rоризонтальной осью, если удельный вес масла у, длина
цистерны Н и радиус основания R.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т под-
нять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему
равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761 **. Два электрических заряда е о == 100 CGSE и е 1 === 200 CGSE
находятся на оси ОХ соответственно в точках ХО === О и х 1 === 1 с.л.z.
Какая работа будет произведена, если второй 'Р
заряд переместится в точку Х 2 == 1 О с.м.? ,
1762-**. Uилиндр с подвижным поршнем
диаметра D == 20 с.м. и длины 1 == 80 см запол-
нен паром при давлении р == 1 О Kr/ с.м. 2 . Какую
работу надо затратить, чтобы при неизменной
температуре (изотермический процесс) объем
пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную
при адиабатическом расширении воздуха, имею- .
щеrо начальные объем V o === 1 м ' И давление р 62
Р === 1 KT/CM 1 , до объема V. === 1 О м а ? ИС. .
- о "1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на под-
пятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью (J осно-
вания вала и прилеrающей к ней поверхностью опоры равна F == pa,
r де р == const есть давление вала на поверхность опоры, отнесенное
к единице площади опоры, а коэффициент трения. Найти работу
силы трения при одном обороте вала.
.1765**. Вычислить кинетическую энерrию диска массы М и ра-
диуса R, вращающеrося с уrловой скоростью ro около оси, проходя-
щей через центр диска перпендикулярно к ero плоскости.
1766. Вычислить кинетическую энерrию прямоrо круrлоrо конуса
массы М, вращающеrося с уrловой скоростью ro около своей оси,
если радиус основания конуса R, а высота 1f.
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный
шар радиуса R==2M, вращающийся с уrловой скоростью ro==10000бj.мuн.
BOKpyr cBoero диаметра? (У дельный вес железа у === 7,8 rj см'.)
1768. Вертикальный треуrольник с основанием Ь и высотой h по-
rружен в воду вершиной вниз так, что ero основание находитсЯ на
поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить
силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее осно-
вание плотины а === 70 оМ, нижнее основание Ь == 50 м, а высота плотины
h === 20 оМ.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой "У, на
вертикальный эллипс с осями 2а и 2Ь, центр KOToporo norpY}1C H
110
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕrРАЛ
[rл. v
в жидкость на уровень h, причем большая ось 2а эллипса параллельна
уровню жидкости (h Ь).
1771. Найти силу давления воды на вертикальный круrовой конус
с радиусом основания R и высотой Н, поrруженный в воду вершиной
вниз так, что ero основание находится на поверхности воды.
Разные задачи
1772. Найти массу стержня длины 1 == 100 С-И, если линейная плот-
ность стержня на расстоянии х см от одноrо из ero концов равна
6 == 2 + 0,001 х" .
СМ
1773. Соrласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды
при температуре tO с (О t 100°) равна
с === 0,9983 .......... 5,184. 10--& t + 6,912. 10--7 t l .
Какое количествр тепла нужно затратить, чтобы 1 2 воды HarpeTb от
температуры 00 С до температуры 100° С?
1774. Ветер производит равномерное давление р rjс,м,' на дверь,
ширина которой Ь см и высота h см. Найти момент силы давления
ветра, стремяuцейся повернуть дверь на петлях.
1775. С какой силой притяжения действует материальный стержень
длины 1 и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на
одной прямой со стержнем на расстоянии €l от одноro из ero концов?
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круrлоrо сечения радиуса а скорость течения v
в точке, находящейся на расстоянии r от оси трубы, дается формулой
р ( 1 2 )
'v == 4111 а r ,
rде р разность .в.авлений жидкости на концах трубы, J.t.......... коэффи
циент вязкости, 1 длина трубы. Определить расход жидкости Q,
т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение
трубы в единицу времени.
1777*. У словие то же, что и в задаче 1176, но труба имеет ПрЯМО
уrольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь.
В этом случае скорость течения 11 в точке М (х, у) определяется
формулой
V=== l [ы (Ь 1)1).
Определить pac жидкости Q.
1778**. При изучении динамических свойств аВ"l'омобиля часто
используется построение диаrрзмм специальноrо вида: на оси абсцисс
12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕrРАЛОВ к РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 171
откладываются скорости v, на оси ординат величины, обратные
соответствующим ускорениям а. Показать, что площадь S, оrраниченная
дуrой 9Toro rрафика, двумя ординатами V==V 1 и V==V 2 И осью абс..
цисс, численно равна времени, необходимому для Toro, чтобы увели.
чить скорость движения автомобиля от V 1 до V 2 (время разzона).
1779. rоризонтальная балка длины 1 находится в равновесии под
действием направленной вниз вертикальной наrрузки, равномерно pac
пределенной по длине балки, и опорных реакций А и В ( А === В=== ) ,
направленных вертикально вверх. fiайти изrибающий момент Мх-
в поперечном сечении Х, т. е. момент относительно точки Р с абсциссой Х
всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. rоризонтальная балка длины 1 находится в равновесии под
действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки
наrрузки с интенсивностью q == kx, rде х расстояние от левой опоры и
k постоянный коэффициент. Найти изrибающий момент Мх в сечении х.
При м е ч а н и е. 11нтенсивностью распределения наrрузки называется
наrруэка (сила), отнесенная к единице длины.
178 t *. Найти количество тепла, выделяемое переменным сину"
соидальным током
I==Iosin C; t q»
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением R.
r л А В А VI
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Основные понятия
1 О. П о н я т и е Ф у н к Ц и и н е с к о л ь К И Х пер е м е н н ы х. О б 0-
э н а ч е н и я Ф у н к Ц ий. Переменная величина 2. называется однозначной
функцией двух переменных х, у, если каждой СОВОI<УПНОСТИ ИХ зна-
чений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное
значение z. Переменные х, у называются аРёументами или llезавиСUМblми
nере.менными. Функциональная зависимость обозначается так:
z == f (х, у), или z == F (х, у) и'!. п.
Аналоrично определяются ФУНКUИИ трех и большеrо числа aprYMeHTOB.
При м е р 1. Выразить объем конуса V
как функцию ero образующей х и радиуса
основания у.
Реш е н и е. Из rеометрии известно, что
объем конуса равен
z
l =f(x, 1/)
Y 1 2 h
3 лу ,
t
I
tp{.Z'I!/)
r rде h высота .конуса. Но h == У x 11. Сле-
довательно,
1
V ==3 лу2 -v х 2 11.
Рис. 63. Это и есть искомая функциональная зависи-
мость.
Значение функции z == t (х, у) в точке Р (а, Ь), т. е. при х === а и
у == Ь, обозначается f (а, Ь) или t (Р). fеометрическим изображением функ-
ции z == f (х, у) в прямоуrольной системе координат Х, У, Z, вообще rоворя,
является некоторая поверхность (рис. 63).
При м е р 2. Найти f (2, 3) и f ( 1, ), если
f (х у) == х 2 + у2 .
, 2ху
Реш е н и е. Подставляя х == 2 и У == 3, нахоДИМ:
22 + ( 3)2 13
I (2, 3) == 2.2.( 3) == 12 .
l]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
173
Подставляя х == 1 и заменяя у на J!.... , будем иметь:
х
t ( 1, JL ) I+(-f)! Х!+У!
х 2. 1 ( ) 2ху
т. е. f (1, ) ==f(x. у):
20. О б л а с т ь С У Щ е с т в о в а н и я Ф у н к Ц и и. Под оБЛQстью суще-
ствования (определения) функции z == f (х, у) понимается совокупность точек
(х, у) плоскостif ХОУ, в которых данная функция определена (т. е. принимает
определенные действительные значения). В простейших случаях область суще-
ствования функции представляет собой конечную или бесконечную часть
координатной плоскости ХОУ. оrраниченную одной или несколькими кривыми
( paHицa области).
...2
l Х
ty
z
'/.
О
-2 2 х
у
о
Рис. 64.
Рис. 65.
Аналоrично для функции трех переменных и == f (х. У. z) областью суще-
ствования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
При м ер 3. Найти область существования функции
1
z== .
V 4 х 2 у'l.
Реш е н и е. Функция имеет действительные значения, если 4 х'" у' > О
или х' + у' < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область
существования функции есть внутренность этоrо Kpyra (рис. 64).
При м е р 4. Найти область существования функции
х ,r
z == arcsin"2 + f ХУ.
х
Реш е н и е. Первое слаrаемое функции определено при 1 2" 1
или 2 х 2. Второе слаrаемое имеет действительные значения, если
О . { х О, 'н { Х О, Об
ху ,т. е. в двух случаях. при У О илп при У О . ласть суще-
ствования всей функции изображена на рис. 65 и включает rраницы области.
30. Л и н и и и n о в е р х н о с т и у р о в н я Ф у н к Ц и и. Линией уровня
функции z == t (х, У) называется такая линия t (х, У) == с на плоскости ХОУ,
174
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ r л . VI
в точках которой функция принимает одно и то же значение z == С (обычно
проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции Трех aprYMeHToB u:::ж f (х, у; z) называется
такая поверхность f (х, у, z) == С, в точках которой функция принимает по-
стоянное значение u == С.
При м е р 5. Построить линии уровня функции % == х 2 у.
С
Реш е н и е. Уравнение линий уровня имеет вид х 2 у == С или у == 1'. По-
х
паrая С == О, :i: 1, ::l: 2, . .. , получим семейство линий уровня (рис. 66).
J' 1782. Выразить объем V правильной
четырехуrольной пирамиды как функцию ее
высоты х и боковоrо ребра у.
1783. Выразить площадь S боковой по-
верхности правильной шестиуrольной усе-
ченной пирамиды как функцию сторон х и
.-1 У оснований и высоты z.
,( 1784. Найти t(-}, 3), /(1, 1), если
f(x,y):=rxy+ .
у
1785. Найти /(у, х), /( x, ........у),
Рис. 66. t ( ; . ), f (X 1 , у) ' если ЛХ, у) == х" ;;/" .
1786. Найти значения, принимаемые функцией
f (х, у) == 1 + х....... у
в точках параболы у === х 2 , И построить rрафик функции
F (х) === f (х, х 2 ).
1787. Найти значение функции
х4 + 2х2у2 + у4
z== ·
1 ;ca у!
В точках окружности хl + ,1 == R 1 .
1788*. Определить f(x), если
( ) == Ух!+уl
f Х у (ху>О).
1789*. Найти f(x, у), если
j(x + у, х у) ===ху + yl.
1790*. Пусть z === V у + f ( ух ........ 1). Определить функции f и z,
если z == х при у == 1 .
179 1**. П усть z==xt( : ). Определить функции I и z, если
%== Уl +уl при Х , 1.
2]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
175
1792. На ти и изобразить области существования следующих.
функций:
а) z == V 1 ...... х 2 у2;
б) z === 1 + v ...... (х ........ у)!;
в) z==ln(x+y);
r) z==x+arccosy;
и) z=== Vy sinx;
к) z==]n(x 2 +y);
х......у
л) z == arctg 1 + х2у! ;
1
м) z== 2+ 2 ;
х у
д) z==Vl x2+ Y l y2j н) Z=== y 1 I
у ....... v х
у 1 1
е) z===arcsin ; о) z=== + ;
х x l у
ж) z === у х 2 4 + у 4........ yZ; п) z === у sin (х 2 + у2):
з) z == У(х 2 + у2 а 2 ) (2а 2 ........ х 2 у2) (а> О);
1793. lIайти области существования следующих функций трех
aprYMeHToB:
а) и == у х + у; + V z; в) и === ar csin x+arcsiny+ arcsinz;
б) и===ln(xyz); r)и=== V l x2 y2 Z2.
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить ха-
рактер изображаемых этими функциями поверхностей:
а) z===x+y; r) z===Y xy ; ж) z== ;
б) Z==XI+ylj д) z===(l +x+y)lj 3) z=== ..h I
2х
е) z===l lxl lyl: и) z=== x 2 +yI .
уровня следующих функций:
r) z ==/(у ах);
д) Z==f( ).
в) z === х 2 ....... у.;
1795. Найти линии
а) z== ln (х. + у);
б) z == arcs in ху;
в) z==/( V х 2 + у2);
1796. Найти поверхности
ременных:
а) и==x+y+z,
б) и===х l + у2 +z.,
в) и == х. + у2 ...... z2.
уровня функций трех независимых пе-
* 2. Непрерывность
1 О. П р е Д е J1 Ф У н к Ц и и. Число А называеТся пределом функции
1== f (х, у) при стремлении точки Р' (х, у) к точке Р (а, Ь), если ДЛЯ любо rо
8 > О существует такое 6 > О, что при О < Q < 6. rAe Q == V (х ..... а)2 + (у........ Ь)2....
176
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ r л . VI
расстояние меJl<ДУ точками Р и р', имеет место неравенство
\ f (х, у) ---- А I < 8.
в этом случае пишут!
Нт f (х, у) == А.
x a
y Ь
20. Н е п р еры в н о с т ь и т о ч к и раз рыв а. Функция z == f (х, у)
называется непрерывной в точке Р (а, Ь), если
liт f (х, у) == f (а, Ь).
x a
y Ь
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
1lепре рывной в этой области.
Н арушение условиЙ непрерывности для функции t (х, у) мо)кет происходить
I{ЭК в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках,
образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иноrда и более
сложные rеометрические образы.
При м е р 1. Н айти точки разрыва функции
ху+l
z== 2 ·
Х ---- у
Реш е н и е. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль.
Но xl...... У == О или у == хl уравнение параболы. Следовательно, данная функ-
ЦИЯ имеет линией разрыва параболу у == х!.
а) z===ln V х 2 +у2;
1
б) z === ( )2 ;
x y
1800*. Покззать, что функция
{ У при Х ! +y l Ot
z== XI y2 I
О при х===у==О
непрерывна по КЗJl(ДОЙ из переменных х и у в отдельности, но не
является непрерывной в точке (О, О) по совокупности этих переменных.
1797*. Найти следующие пределы функций:
а) Нт (х l + yl) siп ; в) Нт sin ху ;
Х'" о ху X о Х
У'" о Y 2
б) lim tYI ; r) lim ( 1 +.1L ) X;
х.....ооХ у X OO Х
у-+оо y...k
1798. Исследовать на н епрерывнос ть функцию
I(x, ) === { v 1 ........ хl уl при хl + уl 1,
У О при хl + уl > 1.
1799. Найти точки разрыва следующих ФУНI{ЦИЙ:
1
в) z ·
1 х 2 у2 ,
1
r) z=== cos .
ху
д)Нm +- ;
х --+ ОХ у
у--+о
xl yl
е) Нт ! + ! .
X OX у
у--+о
3]
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
111
3. Частные производные
10. Определение часТных производных. Если 'l==f(x, у),
То, полаrая, например, у постоянной, получаем производную
az l ' t (х +6.х, у) t (х, у) f ' ( )
д 1т л х х, у ,
х Ах --+ О u-X
которая называется частной nрОUЗ80дflОЙ функции z по переменной х. Ана.
лоrично определяется и обозначается частная производная функции z по
переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
При м е р 1. Найти частные производные функции
х
z == 1 n tg .
У
Реш е н и е. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
az 1 1
дx tg х cOS2
У У
1
.
у
2
. 2х.
У 51"
У
Аналоrично, рассматривая х как постоянную, будем иметы
д дz 1 1 х ( Х 2 ) 2х 2х '
У tg Х · cos. у у2 sin
у у у
При м е р 2. Найти частные производные функции трех aprYMeHTOB
и ==X8 y Z z + 2х Зу + z + 5.
Реш е н и е.
ди
дх == 3x 2 y2z + 2,
дU 2 8 З
ду Х yz ,
ди
дz == х 8 у2 + 1.
20. Т е о р е м а Эй л ера. Функция f (х, у) называется однородной функ-
цией измерения n, если для любоrо действительноrо множителя k имеет место
равенство
f (kx, ky) ==. kпf (х, у).
Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одноrо и
Toro же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения n справедливо
соотношение (теорема Эйлера):
, ,
х! х (х, у) + yt y (х, у) == n! (х, у).
178
фуНКциИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r л. VI
х
1805. z === -v ·
х 2 + у *
1806. z:::::l" (х+Ух 2 +у2). 1813. u==zx y .
1807. z == arctg у .
х
1814. Найти [ ( 21 1) и [; (2; 1), если [(х, у) === -v ху + f ·
1815. Найти f; (1; 2; О), f; (1; 2; О), f; (1; 2; О), если
f{x, у, z)===ln (ху +z).
Проsерить теорему Эйлера об однородных функциях (ММ
1816 1819):
1816. f{x, у)===Ах l +2Вху+С у 2.
Найти частные производные
1801. z == ха + уа ....... Заху.
x y
1802. z== + .
х у
1803. z ==JL .
х
1804. z == V х 2 ......... уа .
функций:
1808. z == х У .
sfn 1...
1809. z== е Х .
. ,/xa y2
1810. z === arCSln JI х 2 + уа ·
1811. z==lnSin x a .
1812. u===(xy)z.
х+у
1818. [(х, у) == v ·
х 8 +у 2
1819. f(x,y)==ln JL .
х
'== у хl +у2 +Z8.
х
1817. z=== 2+ . .
х у
1820. Найти :Х ( ), rде
дх дх
д, д<р
1821. Вычислить ду ду t если х==, cos <р и у ==' sin <р.
д, дч>
az + az
1822. Показать, что х дх У ду == 2, если
z === 1" (х l + ху + у2).
az + az +
1823. Показать, что х дх У ду === ху z, если
1..
z==xy+xe X .
ди + ди + ди
1824. Показать, что дх ду дz == О, если
и;:: (х у) (у ...... z) (z...... х).
ди + ди + дu
1825. Показатъ, что дх ау az == 1, если
x y
и:;::::;:х+ у z .
4]
полный ДИФФЕРЕНЦИАЛ функции
179
1826. Найти z==z(x,y), если
д? х
ау== х2 + у 2. '
1827. Найти z===z(x,y), зная, что
az х 2 +у2
д === и z (х, у):с:и siny при х == 1.
х х
1828. Через точку М (1; 2; 6) поверхности z == 2хI + у! проведены
плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YOZ.
Определить, какие уrлы образуют с осями координат касательные
к получившимся сечениям, проведенные в их оБLЦей точке М.
1829. flЛОLЦадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой h равна
1 aS aS aS
S==2' (a+b)h. Найrrи да ' дЬ ' ah и, пользуясь чертежом, выяснить
их rеометрический смысл.
1830*. Показать, что функция
( 2ху если х 2 +у 2 о ,
I(x,y)=r=i х 2 +у 2 ' I
О, если х== у === О,
имеет частные производные f (х, у) и f; (х, у) в точке (О: О), хотя
и разрыв на в этой точке. Построить rеометрический образ этой
функции вблизи точки (о; О).
I 4. Полный дифференциал функции
1 О. П о л н о е при р а Щ е н и е Ф у н к Ц и и. П олН,ым, nрира щенuе"w
функции z == f (х, у) называется разность
dz == t (х, у) == f (х + x, у + y) t (х, у).
20. П о л н ы й д и Ф Ф е р е н Ц и а л Ф у н к Ц и и. Полным дuфференцuаЛОАt
функции z == f (х, у) называется rлавная часть полноrо приращения L\z, ли-
нейная относитедьно приращений aprYMeHTOB x и y.
Разность между полным приращением и полным дифференциа лом функ-
ции есть бесконечно малая высшеrо порядка по сравнению с Q == У /u,t + Лу2.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности
ее частных про из водных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дuфференцuруе;и,ой. Дифференциалы независимых переменных,
по определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx == 6.х и dy == Ау.
Полный дифференциал функции z == t (х, у) вычисляется по формуле
дz дz
dz == дх dx + ау dy.
Аналоrично, полный дифференuи8Л функции трех арrуыеитов II == t (х, у, z)
вычисляется по формуле
аи ди ди
du == Ох dx + Ву dy + дz dz.
При м е р 1. Для функции
/(х, y)==x2+xy y2
найти полное приращение и полный дифференциал.
180
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
l r л . VI
Реш е н и е. f (х + !:"х, у + !:"у) == (х + !:"х)2 + (х + !:"х) (у + !:,.у)...... (у + Лу)'.
!:,.! (х, у) == [(х + !:"х)2 + (х + L\x) (у + L\y) (у + !:"у)2] (х! + ху у!) ==
== 2х.!:"х + !:"х 2 + х .l1у + у .l1х + !:"х .l1у 2у.!:"у y2 ==
== [(2х + у) !:"х + (х 2у) !:"у] + (!:"х 2 + L\x. L\y !:"у!).
Здесь выражение df == (2х + у) L\x + (х 2у) i1y есть полный дифференциал
функции, а ( x2 + !:"х.l1у l1у2) есть бесконечн о малая высшеrо порядка по
сравнению с бесконечно малой Q == -V x2 + 11 у? .
При м е р 2. Найти полный дифф еренциа л функции
z == -v х 2 + yZ.
Решение. дz х . дz у
дх V х 2 + у! ' ду -v х 2 + !i ·
d х d + у d х dx + у dy
z V х! + y х V х 2 + y у у х2 + у2 ·
30. При м е н е н и е п о л н о r о Д и Ф Ф е р е н Ц и а л а Ф у н к Ц и и к
при б л и ж е н н ы м вы ч и с л н и я м. П ри достат очно малых I L\x I и I Лу (,
а значит. при Достаточно малом Q == V L\x 2 + L\y? для дифференцируемой
функции z == f (х. у) имеет место приближенное равенство Лz:::::: dz или
az az
L\z :::::: дх L\x + ду L\y.
При м е р з. ВЫСОТа конуса Н == 30 с'м, радиус основания R == 10 с.м.
Как изменится объем конуса. если увеличить Н на 3 .м,М и уменьшить R
на I мм?
Реш е н и е. Объем конуса равен V == '1tR'!H. Изменение объема заме.
ним приближенно дифференциалом
V :::::: dV == -} '1t (2R н dR + R! dH) ==
1
== 3 зt ( 2. 10 . 30 . О, 1 + 1 00 . 0.3) == 1 О 1t :::::: 31,4 с At · .
При м е р 4. Вычислить приближенно 1,02з,01.
Реш е н и е. Рассмотрим функцию z == Х У . Искомое число можно считать
наращен ным значением этой функции при х == 1, У == 3, L\x === 0,02, Лу == 0,01.
Первоначальное значение функции z == 1 а == 1.
Лz :::::: dz == ухУ 1 L\x + х У lп х L\y == 3.}. 0.02 + 1.1n 1 · 0.01 == 0,06.
Следовательно. 1,02з,01:::::: 1 + 0,06 == 1,06.
1831. Для функции /(х, у) ===х2у найти полное при ращение и пол..
ный дифференциал в точке (1; 2); сравнить их, если:
а) L\x === 1, y == 2; б) x === О, 1, y == 0,2.
1832. Показать, что для функций и и v нескольких (например,
двух) переменных справедливы обhltlные правила дифференцирования:
а) d (и + v) == du + dv; б) d (uv) === v du + u dv;
) d \ 1 .!!:.. ) v du u dи
в ?
() и"
4]
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Функции
181
следующих функций:
1841. z == 1 n tg JL. .
х
1842. Найти df (1; 1),
если /(х, у) == :2 '
1843. и === xyz.
1844. и== VX 2 +y2+Z2.
1845. u== (ху + ; у.
ху
1846. u == arctg""2" .
z
1847. Найти df(3; 4; 5),
1840. z==arctg1L+arctg . если/(х,у,z)=== -v z :
х у х2 + у 2
'1848. Одна сторона прямоуrольника а === 1 О cJt, а друrая Ь === 24 c.u.
Как изменится диаrональ 1 прямоуrольника, если сторону а удлинить
на 4 мм, а сторону Ь укоротить на 1 мм? Найти приближенную ве-
личину изменения и сравнить с точной.
1849. Закрытый ЯЩИК, имеющий наружные размеры 1 О см,
8 c.Jz И 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить при-
ближенно объем затраченноrо на ящик материала.
1850*. Центральный уrол KpyroBoro сектора, рав'НЫЙ 80 С , желают
уменьшить на }О. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы
ПЛОll адь ero осталась без изменения, если первоначальная длина
радиуса равна 20 C.A ?
1851. Вычислить приближенно:
а) (} ,02)'. (0;97Y ; б) V(4,05)2 + (2,93)2;
в) sin 320. cos 590 (при переводе rрадусов в радианы и при вы-
числении sin 600 брать три значащие цифры; последний знак oKpyr-
лить ).
1852. Показать, что относительная ошибка произведения при-
ближенно равна сумме относительных ошибок tомножителей.
1853. При измерении на местности треуrольника АВС получены
следующие данные: сторона а === 100 м :l: 2 оМ, сторона Ь == 200 м :f: 3 м,
уrол С== 60°:!: 10. С какой степенью точности может быть вычислена
сторона с?
1854. Период Т
Найти полные дифференциалы
1833. Z==X3+y8 3xy.
1834. Z == х 2 у3.
х 2 у?
1835. z == 2 + 2 '
Х у
1836. Z == 5in 2 х + С05 2 у.
1837. Z === у Х У .
1838. Z == ln (х 2 + у2).
1839. f{x, у)== lп ( 1 + ; ) .
колебания маятника вычисляется по формуле
' /T
т == 2л JI g'
rде l длина маятника и g ускорение силы тяжести. liайти по
rрешность в определении Т, получаемую R результа'rе небольших
ошибок i11 === а и i1g=== при измерении 1 и g.
182
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r Л. VI
18Б5. Расстояние между т очкам и РО (х о ' у о) и Р(х, у) равно (2,
а уrол, образованный вектором РеР С осью ОХ, равен а. На сколько
пзменится уrол а, если точка Р, при неизменной точке РО' займет
положение Р 1 (х + dx, У + dy) ?
5. Дифференцирование сложных функций
1 О. С л у чай о Д н о й н е з а в и с и м о й пер е м е н н о й. Если z == f (х, у)
есть дифференцируемая функция aprYMeHTOB х и у, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
х == ер (t), У == '1' (t),
то производная сложной функции z == f [ер (t), 'Ф (t)] может быть вычислена по
фармуле
dz az dx + az dy (l)
dt дх dt ду dt .
В частности, если t совпадает с одним из aprYMeHToB, например х, то
«полная» ПРОИЗВОДная функции z по х будет:
dz az + az dy (2)
dx дх ду dx ·
П 1 Н u dz
Р и м ер. аити dt ' если
z == е аХ + 2У , rде х == cos t, у == t a ,
Реш е н и е. По формуле (1) имеем:
== е 2Х +'У.З ( sin t) + е 3Х +' У .2. 2t ==
==еах+,у (4t 3 sin ') ==е а cos t+at 2 (4t........ 3 sin ').
az
При м е р 2. Найти частную производную дх И полную производную
dz
dx ' если
z == е ХУ , rде у == q> (х).
Реш е н н е. == уе ХУ . На основании формулы (2) получаем
: == уе ХУ +хе ХУ <р' (х).
20. С л У чай н е с к о л ь К И Х н е 3 а в и с и мы х пер е м е н н ы х. Если
2 есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
z == f (х, у), rде х == q> (и, v), у == 'ф (и, v) (и и v независимые переменные; "
<р, ф дифференцируемые функции), то частные производные z по и и v вы-
ражаются так:
az az дх r az ду
ди дх ди ду дu
(3)
и
az az дх + dz ду .
ди дх ди ду av
(4)
5]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
183
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
az az
dz == dx + dy
дх ду
(свойство инвариантности пОЛНОёО дифференциала).
u дz az
При м е р 3. Н аити ди и av ' если
2 == f (х, у), rде х == ии,
и
ц== «
.. V
Реш е н и е. Применяя формулы (3) и (4), получим:
az, , 1
ди == f х (х, у). v + f у (х, у) v
и
дz, , и
av == f х (х, у) и 'у (х, у) V2'
При м ер 4. Показать, что функция z == <р (х 2 + у2) удовлетворяет ураn-
az az
нению у дх ........ Х ду == О.
Реш е н и е. Функция <р зависит от х и у через промежуточный apry-
мент х 2 + у2 == t, поэтому
az dz at , ( 2 + 2 2
дх dt дх <р х у) х
и
az dz at , ( 2 + 2 ) 2
ay dt ay fP х У у.
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
az дz
у ах х ду == уср' (х! + у2) 2х x ' (х 2 + у2) 2у ==
== 2ху <р' (х2 + у2) 2ху <р' (х 2 + у2) == О,
т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.
dz
1856. Найт'И dt ' если
1858.
du
Найти dt ' если
и===lnSin ';y I rде x===3t\y=== V t 2 +1, '
Н u du
аити dt ' если
u==xyz, rде x==t"+l, y==lnt, z===tgt.
du
Найти dt ' если
z ==!!...., rде х == e t , у === Iп t.
у
1857.
1859.
1860.
z
и === , rде
V х 2 +у2
dz
Найти dx ' если
z === и'О,
x===Rcost, y==Rsint,
z == Н.
rAe и == sin х, V === cos х.
184
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
az dz
1861. Найти дх и dx ' если
z == arctg 1t. и у == х 2 .
Х
az dz
1862. Найти дх и dx ' если
z === х У , rде у === ер (х).
дz az
1863. Найти дх и ду ' если
z===[(u, v), rде a===x2 y2, v==e xy .
az дz
1864. Найти ди и ди ' если
х
Z == arctg , rде х=== и sin v, у === u cos v.
у
az дz
1865. Найти дх и ду ' если
z===f{u), rAe u===ху+ .
1866. Покзззть, что если
и === Ф (х ! + у2 + Z2), r де х === R cos <р cos 'Ф,
у == R cos q> sin '1', z === R Sill q>,
ТО
ди О ди
д<р и дф === О.
dи
1867. Найти dx ' если
u==f(x, у, z), rAe у === (Х), z=='Ф (х, у).
1868. Показать, что если
z==/{x +ау),
rде f дифференцируемая функция, то
az az
ду ===:. а дх ·
1869. Показать, что функция
w === f (и, v),
rде и ==х + at, v=== у + Ы, удовлетворяет уравнеНИIО
aw дш +ь дш
at а ах ду ·
[r л. VI
6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И rРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 185
1870. Показать, что функция
Z === YqJ (х2 y!)
удовлетворяет уравнению
1 az + 1 az z
х дх У ду !/ ·
1871. Показать, что функция
z===xy+x<p ( )
удовлетворяет уравнению
az + az +
Х дх у ду ==ХУ z.
1872. Показать, что функция
х 2
z === еУ q> (у е 2у2 )
удовлетворя т уравнению
( :& ! az r az
Х y ) дх ТХУ ay ==XYz.
1873. Сторона прямоуrол ьника х === 20 м, возрастает со скоро"
стью 5 м,/ се/С, друrая сторона у == 30 м, убывает со скоро\.:тью 4..м! се/С.
С какой скоростью изменяются периметр и площадь прямоуrоль"
ника? \
1874. Уравнения движения материальной точки
Х === t, У === t:&, Z === t 3 .
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала
координат?
1875. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта А, дви"
}I{УТСЯ один на север, друrой на ceBepO BOCTOK. Скорости движения
пароходов: 20 /См,/час и 40 /См,/час. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними?
6. Производная в данном направлении и rрадиент функции
1 О. Про и з в о Д н а я Ф у н к Ц и и в Д а н н о м н а п р а в л е н и и.
.............-+
Производной функции z == п (х, у) в данном направлении 1 == Р Р 1 называется
az == Нт f (Pt) t (Р) ,
al Р1 Р --+- о Р lР
rде f (Р) и t (Р 1 ) значения функции в точках Р и Pt. Если функция z диф-
ференцируема, то справедлива формула
az az az .
al == дх cos а + ду Sl11 а, (1)
rAe а уrол, образованный вектором 1 с осью ох (рис. 67).
186
фуНКции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rл. VI
Аналоrично определяется производная в данном направлении 1 для функ-
ции трех aprYMeHToB u == f (х, у, z). В этом случае
дu дu дu ди
al == дх cos а + ду cos + az cos "(,
(2)
rде а, , V уrлы между направлением 1 и соответствующими координатными
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
При м е р 1. Найти ПрОИЗВОДную функции z == 2х2 ...... Зу! В точке Р (1; О)
в направлении, составляющем с осью ОХ уrол в 1200.
Реш е н и е. Найдем частные производные
у данной функции и их значения в точке Р:
'/ .. : (;];, ,Yt)
6 ==4X; ( )p 4;
Р(х;!/) :; == 6у; ( :; ) р =:: О.
3 Д€Cь
о
х
1
cos а == cos 1200 ==......... 2' '
1 . 120 0 VЗ
s n а == Sln == 2 ·
Рис. 67.
Применяя формулу (1), получим:
дz ( 1 ) уз
al ==4 2 +0 ==.........2.
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении
убывает.
20. r р а Д и е н т Ф у н к Ц ии. rpaдueHтoM функции z == t (х, у) назы-
вается вектор, проскциями KOToporo на координатные оси являются соответ-
ствующие частные производные данной функции:
az az
grad z == дх i + ду }'
(3)
Производная данной функции в направлении 1 связана с rрадиентом функ-
ции следующей формулой:
дz
al == npl grad z,
T е. ПРОИЗВОДная в данном направлении равна проекции rрадиента функции
на направление дифференцирования.
rрадиент функции в каж,цой точке направлен по нормали к соответствую-
щей линии уровня функции. Направление rрадиента функции в данной Точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке,
az
1'. е. при 1 == grad z производная д[ принимает наибольшее значение, равное
у ( ;; у + ( :; )" .
6]
ПРОИ3ВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И rРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
187
Аналоrично определяется rрадиент функции трех переменных и == f (х, у, 2):
ди ди. ди '
gradu== дх i + ду } + az k. (4)
rрадиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
При м е р 2. Найти и построить rрадиент функции z == x'l.y В точке Р (1; 1).
Реш е н и е. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.
; == 2ху; ( ) р == 2; у
;; ==х 2 ; ( ; )p==l. 2 -----T. :?j
I .. ?
Следовательно, grad z == 21 + J (рис. 68). Р: (
r I
I I
1876. Найти производную функции Z == О
== х 2 ху 2 у 2 В точке Р (1; 2) в направленин,
составляющем с осью ОХ уrол в 600.
1877. Найти ПРОИ3ВОДНУIО функции Z ==
== ха 2х2у + ху! + 1 в точке М (1; 2) в направлении, идущем от
этой точки к точке N (4; 6).
1818. Найти производную функции z == lп V х 2 + уа В точке Р( 1; 1)
в направлении биссектрисы nepBoro координатноrо уrла.
1879. Найти производную функции u===x2 3yz+5 в ТОЧI<е
М (1;. 2; 1) в направлении, составляющем одинаковые уrлы со
всеми координатными осями.
1880. Найти производную функции u ==ху + yz + zx в точке
М (2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке N (5; 5; 15).
188 t. Найти производную функции u === ln' (е Х + еУ + e ) в начале
координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, ОУ,
OZ уrлы, соответственно, а, р, "(.
1882. Точка, в которой производная функции в любом направле-
нии равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций:
а) z===x 2 +ху + у2 4х 2у;
б) z===x'+yS 3xy;
в) и=== 2 у 2 +Z2 ху yz + 2х.
!
1883. Показать, что производная функции z=== , взятая в любой
х
точке эллипса 2х! + у2 === С 2 вдол Ь нормали к эллипсу, равна ну nЮ.
1884. Найти grad z в точке (2; 1), если
z===x'+ уа 3ху.
1885. Найти grad z в точке ( 5; 3), ес ли
z== v x2 y2.
1886. Найти grad u в точке (1; 2; 3), если u === xyz.
I
z
3 А
Рис. 68.
188
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ r л . VI
1887. Найти величину и направление grad и в точке 1(2; ......... 2; 1),
если
и==х! + у2 + Z2.
1888. Найти уrол между rрадиента!\lИ функции Z == lл JL в точках
х
А ( ; ) и В (1; 1).
1889. Найти величину наибольшеrо подъема поверхности
z===x 2 + 4у2
в точке (2; 1; 8).
1890. Построить
а) z===x+y;
б) z==xy;
векторное поле rрадиента следующих функций:
в) Z===X2+y2;
1
r) и == .
у х 2 + у2 + Z2
7. Производные и дифференциалы высших порядков
1 О. Ч а с т н ы е про и 3 В О Д Н Ы е в ы с ш и х пор я Д к о В. Ч астны,М, и
nроизводНblМU втОр020 порядка функции 2 == f (х, у) называются частные про.
нзводные ОТ ее частных производных первоrо порядка.
Для производных BToporo порядк а употребляются обозн ачения
д ( az ) a2z "
дх дх == дх 2 == f хх (х, у);
д ( az ) a2Z "
ду дх == дхду == f ху (х, у) и т. Д.
Аналоrично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше BToporo.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат .мноео"ратносо дифференцирования не зависит от порядка дuффе-
ре нцuрованuя.
При м е р. 1. Найти частные производные BToporo порядка ОТ функции
х
z == arctg .
у
Реш е н и е. Найдем сначала частные производные первоrо порядка:
az 1 1 у
.
дх х 2 У х 2 + у2 '
1 +
у2
дz 1 ( х ) х
ду х 2 у2 == х 2 + у2 ·
1 +
у2
Теперь диффереНЦJJруем вторично:
a 2 z д ( У ) 2ху
дх 2 дх х 2 + у2 (х 2 + у2)2 '
i1z д ( Х ) 2ху
д у 2 lfY х 2 + у2 (х 2 + у2)2 ·
д1z д ( У ) 1 . (х 2 + у2) 2у . у х 2 y'l
дх ду ду х 2 + у2.......... (х 2 + у2)2 (х 2 + y 2 ) 1 ·
7]
ПРОИ3ВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
189
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно
найти и иначе, а именно:
a 2 z a'!.z д ( х ) 1. (х2 + у2) 2х.х х 2 у2
дх ду == ду дх == дх ....... х 2 + у2 == (х 2 + у2)2 == (х 2 + у2)2 ·
20. Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ы 8 Ы С Ш и х пор я Д к о в. Дuфферен'цuаЛОАf
вmороео порядка функции 3== t (х, у) называется дифференциал от дифферен-
циала (пер80rо порядка) этой функции
d 2 z == d (dz).
Аналоrично определяются дифференциалы функции z порядка выше 8ТО-
poro, например:
d 3 z == d (d 2 z)
и, вообще,
dnz == d (d n 1Z).
Если z == f (х, у), rДе х и у независимые переменные и функция 1 имеет
непрерывные частные производные BTOpOIO порядка, То дифференциал 2-ro по-
рядка функции z вычисляется по формуле
д 2 z a!z a!z
d!z == дх! dx 2 + 2 дх ду dx dy + д у 2 dy2.
(1)
Вообще, при налl-tчии соответствующих ПРОИЗ80ДНЫХ справедлива СИмволиче-
ская формула
( д д ) n
dпz == dx дх + dy ду Z,
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z == l (х, у), rде aprYMeHTbI х и у суть функции одноrо или несколь-
ких независимых переменных, то
d ! a!z d ! + 2 a2Z d d + дZz d ! + az d 2 + az d 2
z дх! Х дх ду х У дуВ У дх х ду у. (2)
Если х и у неэзвисимые переменные, то d1x ==0, d 2 y == О И формула (2)
становится тождественной формуле (1).
При м е р 2. Найти полные дифференциалы l-ro и 2-ro порядков ФУНКЦИИ
z == 2х2 3ху yl.
Реш е н и е. }-й способ. Имеем:
az az
дх ==4х 3у, ду == зх 2у.
Поэтому
дz az
dz == дх dx + ду dy == (4х 3у) dx (3х + 2у) dy.
Далее,
д z azz a 2 z
дх! == 4, дх ду == 3, д у 2 == 2,
откуда следует, что
z д д
d 2 z == дх 2 dx! + 2 дх ду dxdy + ду! dy! == 4dxz 6 dx dll 2 dy'.
2-й способ. Дифференцированием находим:
dz == 4х dx З (у dx + х dy) 2у dy == (4х Зу) dx ...... (Зх + 2у) dy.
190
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r л . VI
Дифференцируя еще раз и помня, ЧТО dx и dy не зависят ОТ х и у, получим:
d 2 z == (4dx Зdу) dx ........ (3dx + 2dy) dg == 4dx 2 бdх dy ........ 2dy!.
д 2 z a 2 z д 2 z
1891. Найти дх! ' дх ду ' д у 2 t если
... / х2 у2
Z == с V а 2 + Ь2 ·
д*l.z д 2 z д 2 z
1892. Найти дх2 , дх ду ' д у 2 ' если
z=== ln (х. + у).
a 2 z
1893. Найти дх ду ' если
a 2 z
1894. Найти дх ду ' если
z=== V 2ху + у2.
z === arct g х + у
1 ху ·
д 2 ,
1895. Найти дх! ' если
,== 11 х 2 +у2 +Z2.
1896. Найти все частные производные 2 ro порядка ФУНКI\ИИ
и===ху + yz+zx.
д 8 u
1897. Найти дх ду az ' если
и === xrJ.y zT.
a 3 z
1898. Найти дх д у 2 ' если
z === sin (ху).
" " "
1899. Найти /хх (О, О), /ху (О, О), /уу (О, О), если
/(х, у)==(1 +х)т(l +..у)n,
a 2 z a 2 z
1900. Показать, что д д == д д ' если
х у у.х
z==arcsin V х; у .
a 2 z a 2 z
1901. Показать, что дх ду === ду дх ' если
z == х У .
1902*. Покззать, что для функции
х. у"
I(x,y)-==xy 2+ *
х у
С добавочным условием 1(0,0)===0 имеем
" " +
/ху(О, O)=== 1, /ух(о,О)== 1.
1)
ПРОИ3ВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ высших ПОРЯДКОВ
191
д 2 z a 2 z a 2 z
1903. Найти дх" дхду ' д у 2 ' если
z === f (и, v),
rде и==-х 2 + у2, v==xy.
д 2 и
1904. Найти дх 2 ' если
u==-[(х, у, z), rде z==cp (х, у).
a 2 z a 2 z a 2 z
1905. Найти дх2 ' дх ду ' д у 2 ' если
zr:=f{u,v), rде и===<р(х,у), v=='Ф(х,у).
1906. Показать, что функция
u == arctg JL
х
у довлетворяет уравнению Лапласа
д!и д!и
дха + ду2 == О.
1907. Показать, что функция
1
и==1п ,
,
r де r =::::= V (х а)! (у Ь)2, удовлетворяет уравнению Лапласа
д 2 и д 2 и
дх2 + д у 2 === о.
1908. Показать, что функция
и (х, t) == А sin (а "лt + <р) sin АХ
удовлетворяет уравнению колебаний струны
д 2 и 2 д 2 u
дt1. === а дха ·
1909. Показать, что функция
(х хо)2 + (V уо)2 + (z -- Zo)2
1
и (х, у, z, t) == y е 4.а'l
(2а jf, ,)а
(х о ' у о' Zo' а постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди ( д2и д 2 и д 2 и )
дt ==а l дха + ду2 + дz 2 ·
1910. 110казать, что функция
u == ер (х at) +'1' (х +at),
192
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rл. VI
rде ер и 'Ф произвольные дважды дифференцируемые функции, у до-
влетворяет уравнению колебаний струны
д 2 u 2 д 2 и
at2 === а дх 2 ·
1911. Показать, что функция
z === х<р ( ) + 'р ( )
удовлетворяет уравнению
2 д 2 z a 2 z 2 a 2 z
х дх 2 + 2ху дхду + у д у 2 == о.
1912. Показать, что функция
и== <р (ху) + -v ху \jJ ( )
удовлетворяет уравнению
2 д 2 U 2 д 2 U
Х дх 2 y д у 2 === о.
1913. Покаэать, что функция Z==/[x +ер (у)] удовлетворяет
уравнению
az a 2 z az a 2 z
дх дх ду ду дх 2 ·
1914. Найти и==и(х,у), если
д 2 и
дх ду === о.
1915. Определить вид функции U ===и (х, у), удовлетворяющей
уравнению
д 2 и
дх 2 === о.
1916. Найти d 2 z, если
z=== е ХУ .
1917. Найти d 2 u, если
u===xyz.
1918. Найти d 2 z, ес.ли
z === ер (t), r Д е t === х 2 + у 2 .
1919. Найти dz и d 2 z, если
х
z===и'O, rде a== , v===xy.
у
1920. Найти d 2 z, если
z==/(u,v), rде и==ах, v===by.
8] ,
интнrрировлнив ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
193
1921. Найти d"z, если
z ===/(и, 11), rде и ==хеУ, 11 === уе".
1922. Найти d'z, если
х У
z е cos .
1923. Найдя дифференциал 3 ro порядка функции
z == х cos у + у sin х,
определить все частные производные 3 ro порядка.
1924. Найти df (1, 2) и d 2 / (1, 2), если
[(х, у) == х 2 + ху + у" 4 1п х........ 1 О lny
1925. Найти d 2 f (О, О, О), если
[(х, у, z)===x 2 + 2 у 2 + 3Z2 2ху + 4xz+ 2yz.
8. Интеrрирование полных дифференциалов
1 О. у с л о в и е n о л н о r о Д и Ф Ф е р е н Ц и а л а. Для Toro чтобы выра-
жение Р (х, у) dx + Q (х, у) dy, rде функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны
в ОДНОСВЯЗНОЙ области D вместе СО своими частными ПрОИ3ВОДНЫМИ nepBoro
порядка, представляло собой в области D полный дифференциал неКQТОРОЙ
функции u (х, у), необходимо и достаточно выполнение условия
aQ дР
дх === ду ·
При м е р 1. Убедиться в том, что выражение
(2х + у) dx + (х + 2у) dy
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Реш е н и е. В данном случае Р == 2х + у, Q == х + 2у. Поэтому
: == :: == 1 н, следовательно,
ди ди
(2х + у) dx + (х + 2у) dy == du == дх dx + ду dy,
rДе и искомая функция.
ди
По условию дх == 2х + у, следовательно,
и== (2x+y)dx==X2+xy+lp(y).
Но, с др уrой стороны, : == Х + 'р' (у) == Х + 2у, отк уда 'р' (у) == 2у, q> (у) ==
=:уа+с И
u==х 2 +ху+ у2 +с.
Окончательно,
(2х + у) dx + (х+ 2у) dy==d (х 2 + ху+ у2 + С).
20. С JI У чай т р е х пер е м е н н ы х. Аналоrично выражение
р (х, у, z) dx + Q (х, у, 2) dy + R (х, у, z) d2,
7 r. с. Вараненков и др.
194
функцяи НЕСКОЛЬКИХ ПНРЕМЕННЫХ
(rл. У'
rДе Р (х, у, 2), Q (х, у, ,), R (х, у, 2)..... непрерывные,. вместе со своими част-
lIЫми ПрОИЗВОДНЫМИ 1-ro порядка, функции переменных х, у и !, ТоrДа и
rолько тоrДа представляет собой полный дифференциал н е которой функции
и (х, у, 2) В пространственно односвяэной области D, Коrда в D выполнены
условия
aQ дР aR aQ дР дR
........... li!Eie .......... E:s .......... Еа .......... .
дх ду' ду дz' д2 дх
При м е р 2. Убедиться в том, что выражение
(Зх. + Зу...... 1) dx + (2. + Эх) dy + (2yz + 1) d,
[СТЬ полный дифференци ал некоторой функции, и найти еТу функцию.
Реш е н И е. Эдесь Р == Эх. + Зу...... 1, Q ==,2 + Зх, R == 2yz + 1. VCTa-
вавливаем, что
дQ дР дR дQ дР aR
дх == ду == Э, ду == дz == 2z, дz == дх == О
и, следовательно,
(Эх. + Зу ..... J) dx + (Zl + Эх) dy + (2yz + 1) dz == du ==
ди ди и
== dx + ...... dy + dz,
дх ду д,
rAe и...... ИСкомая функция.
Имеем:
ди
дх == Зх. + Зу...... 1,
8наЧИТ t
и == S (3х' + 3у 1) ах ==х. + Эху х+ q> (у, 1).
С Аруrой стороны,
ди Зх+ д<р ' +
ду == ду ==2 Эх,
ди д<р
дz :::' дz == 2yz + 1,
ОТКУll8 :; == 21 И :: == 2у! + 1. Задача СВОДИТСЯ к отысканию функции двух
переменных q> (у, 2), частные производные КОТорой известны и ВЫПОJ1нено
условие полноrо АиффереНЦИ8ла.
Нахо.D.ИМ <р:
q> (у, r) == S e'dy == yz' + ф (z),
:; == 2yz + ф' (z) == 2yz + 1,
",' (z) == ], ", (z) == 2 + С,
Т. е. ер (у, !) == у" + 2 + с. Окончательно получаем:
и == ха + Эху .... + yzl + r + С.
Убедившись, что данные ниже выражения ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ диф-
ференциалами некоторых функций, найти эти ФУНКЦИИ.
1926. J1 dx+x dy.
1927. (cos х + Эх.]) dx + (ха........ у 2) d}.
9]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕИННЫХ функций
195
1928 (х+ 2у) dx+ у dy
· (х + у)! ·
х+2у 2x y
1929. r+yz dx xZ+1f dy.
1 х
1930. dx .............. d Y
у у2.
1931. У Х dx+ у у dy.
хl+у2 хl+у2
1932. Определить постоянные а и Ь так, чтобы выражение
(ах ! + 2ху + у2) dx (х ! + 2ху + Ь у 2) dy
(ха + у2)8
было полным дифференциалом некоторой ФУНКЦИИ Z, и найти послед-
нюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными диф-
ференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. (2x+y+z) dx+ (х+ 2y+z) dy +(х+ у +2z) dz.
1934. (3х 2 + 2у. t 3z) dx + (4ху + 2у ....... z) dy + (3х ...... У ---- 2) dz.
1935. (2xyz........3y Z+8xy'+2)dx+ .
+ (X2Z 6xyz+ Вх.у + 1) dy + (х.у 3ху. +3) dz.
1936. ( ;I )dX+( ; )d.Y+( ;Z )dZ.
1937. х dx + у dy + z dz .
V х 2 + у2 + za
1938*. Даны проекции силы на оси координатt
Х у у .......... АХ
(х + у)а , ......... (х + у)1 ,
r де Л,.......... постоянная величина. Каков должен быть коэффициент л,
чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять ФУНКЦИЯ I(x, у),
чтобы выражение
f (х, у) (dx + dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
dи===f(xy) (у dX+x dy).
А 9. Дифференцирование неявных функций
1 О. С л у чай о Д н о й н е 3 а в и с и м о й пер е м е н н ой. Если уравне-
ние f (х, у) == О, rде f (х, у) дифференцируемая функция переменных х и у,
определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функ-
,
ции при условии, что 'У (х, у) #- О, может быть найдена по формуле
,
dy f х (х, у)
wв == -:--- '; (К. у).
(1)
7.
196
фуНКции НЕСКОЛЫСИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(r Л. VI
Производные высших порядков находятся последовательным дифференциро-
ванием формулы (l).
П .. 1 Н u dy d!y
Р Н М ер. аити dx и -ах 2 ' если
(х! + у?)а 3 (х 2 + у!) --f 1 == О.
Реш е н и е. Обозначая левую часть Данноrо уравнения через f (х. у),
найдем частные производные
,
'х (х, у) == 3 (х 2 + y!)z.2x 3.2х == 6х [(х 2 + у2)2 1],
,
'у (х. у) == 3 (х 2 + у?')2.2у 3.2у == 6у [(х 2 + у2)2 1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
,
dy f х (х, у) 6х r (х 2 + у!)2 1 ] х
dx { (x, у) 6y[(x2+y2)2 1] y
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер-
вую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
d1y d ( Х ) 1.Y X Y X( f) у!+х!
dx Z == dx У == у2 у2 уа
20. С л у чай н е с к о л ь к и х н е з а в и с и мы х пер е м е н н ы х. Ана-
лоrично, если уравнение F (х, у, 2) == О, rде F (х, у, z) дифференцируемая
функция переменных Х, у и l, определяет z как функцию независимых пере-
менных х и у и p (Х, у, z)::j:. О, то частные производные этой неявно задан-
ной функции MorYT быть найдены по формулам:
, ,
дz F х (х, у, z) дz F у (х, у, z)
дх == Р; (х, у, z)' ду p (х, у, z)'
Друrой способ нахождения пронзводных функции z следующий: дифферен-
цируя уравнение F (х, у, z) == О, получим:
дF дР дР
дх dx + ду dy+ дz dz==O.
az дz
Отсюда можно определить dz, а следовательно, дх и ду .
(2)
u д! дz
При 1\1 е р 2. Наити дх и ду ' если
х 2 2у2 + Зz 2 yz + у == О.
Реш е н и е. l й с п о с о б. Обозначая левую часть данноrо уравнения
через F (х, у, z), найдем частные производные
" ,
Рх(х, у, z)==2x, Fy(x, у, z)== 4y z+1, Fz(x, у, z)==6z y.
Применив формулы (2), получим:
, ,
az F х (х, у, У.) 2х . д?, F у (х, у, z)
дx P (x, у. z) 6z y' дY . P (x, у, z)
2-й с п о с о б. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx 4у dy + 6z dz у dz ...... z dy + dy == о.
1 4у е
6z y
91
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФункЦИИ
191
Orсюда определяем dz, Т. е. полный дифференциал неявной функции!
d 2х dx + (1 ....... 4у ....... 2) dy
z== 6 ·
у....... z
дz дz
Сравнивая с формулой dZ== ax dx + ay d Y , видим, ч.то
az 2х дz 1 4у z
дх У 6z' ду у ....... 6z ·
30. С и с т е м а н е я 8 н Ы х Ф у н к Ц и й. Если система двух уравнений
{ F (х, у, и, а) == о,
а (х, у, и, а) == О
определяет и и v как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
дР дР
D (Р, а) дu ди
D (и, а) дО да :j; О,
ди ди
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные)
MorYT быть найдены из системы уравнений
{ дР дР дР дР
дх dx + ду dy + ди du + ди dv === О,
да дО дО дО (
дх dx + ду dy + дu du + ди dv == о.
При м е р 3. Уравненйя
u + а== х + у, хи + уи== 1
ди ди ди да
определяют u и v как функции от х и у; найти и .
дх' ду' дх ду
Реш е н и е. l-й с п о с о б. Дифференцируя оба уравнения по х, полу-
чим:
ди + дa 1
дх дх ,
ди дv
u +х дх + у дх ==О,
отсюда
ди
дx
Аналоrичным образом найдем:
дu
дy
и+у ди u+х
=== .
х у' дх х ....... у
а+у
x y'
ди a+x
ду х у ·
2-й с п о с о б. Дифференц рованием находим два уравнения, связываю-
щие дифференциалы всех четырех переменных:
du+ dv==dx+dy,
х du + и dx + g dv + v dy == о.
198
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rл. VI
Решив эту систему относительно ,циффереНIJ.иалов du и dv, получимs
du == { и+ у) dx + (v+ у) dy
х y ,
Orсю,ца
dv== (и +х) dx+ (0+ х) dy .
х.......у
дu' и + у дu v + у
дх == х у' ду х ...... у ,
дo u+x av v+x
дх х ...... у' ду х у ·
40. Пар а м е т р и ч е с к о е з а Д а н и е Ф у н к ц и и. Если дифферен-
цируемая функция 1 от переменных х и у задана параметрически уравнен ями
== х (и, v), у == у (и, v), z == 2 (и, v)
и
дх дх
D (х, у) ди ди
) :j; О,
D (и, v ду ду
ди ди
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
f ш== : du + : dи,
J ду ду
1 dy== ди du + дv d(1,
I az az
t dz == дu du + ди dv.
dz == р dx + р dy, находим частные проиэводные
(4)
Зная дифференциал
az az
дх == Р и ду == q.
При м е р 4. Функция е арrумептов х и у задана уравнениями
х==и+о, y==ul+v', z==u'+v' (и v).
az дz
Найти и .
дх ду
Реш е н и е. l-й с n о с о б. Дифференцированием находим три уравнения,
связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
{ dx==du+dv,
dy==2u du+ 2(1 dv,
dz == 3и l du + 3и 2 dv.
Из первых двух уравнений определим du и dv:
d ....... 2v dx ...... d у d ....... d у ....... 2u d х
и....... 2 (v и)' и....... 2 (v ....... и) ·
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и dv:
dz == Зu I 2v dx ...... dy + 3v l dy ...... 2и ВХ ==
2 (и ...... и) 2 (и ....... и)
6ии (и ....... v) dx + 3 (rr ....... u l ) dy 3 d + ( + ) d
:::= 2 (v ....... и) ....... uv х 2 и v у.
9]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ функций
199
Отсюда
дz дz 3
дх == 3иv, ду =="'2 (и + р).
2-й с п о с о б. Из TpeTbero данноrо уравнения можно наЙТИI
az 3 2 дu + 3 2 дv . дz 3 Z ди + 3 а дv
дх и дх v дх' ду......... и ду а ду.
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по YZ
{ ди да ди дv
1 == дх + дх ' 0== ду + ду ,
ди av дu до
О == 2и дх + 2v дх ' 1 == 2и ду + 2v ду ·
Из первой системы найдем:
дu v дv и
дх + v u ' дх == U=V ·
Из второй системы найдем:
дu 1 дv 1
ду == 2 (и v)' ду 2 (v ...... и) ·
дz az
Подставляя выражения дх и ду в формулу (5), получим:
дz v u
== 3и l + 3v 2 == ...... 3uv,
дх о и и о
a'l I 1 + 3 I 1 3 ( +
ду == 3и 2 (и о) v. 2 (о и) == 2" и о).
1941. Пусть У есть функция х, определяемая ур.авнением
ха у2
a 2 +bi==1.
dy d1y d 8 y
Найти dx ' dxz и dx' .
1942. Пусть У есть функция, определяемая уравнением
х. + у2 + 2аху ==0 (а> 1).
d 2 y
Показ .ть, что dx 2 == О И объяснить полученный результат.
1943. Найти , если у == 1 + уХ.
dy d 2 y + 1
1944. Найти dx и dx 2 ' если у == х ny.
( d ) ( d2 y )
1945. Найти...1 и если
dx Х=l dx l Х=l'
х 2 ........ 2ху + у. + х + у......... 2 == о.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить
rрафик данной кривой в окрестности точки х== 1.
(5)
200
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rп VI
1946. Функция У опреде ляется уравнением
lп V хl + у2 ==а arctg : (a:f: О).
dy d 2 y
Найти dx и dxl .
dy dZy
1947. Найти dx и dx 2 ' если
1 + х у ......... 10 (е ХУ + е" х у ) === о.
1948. Функция z переменных х и у задана уравнением
ха + 2 у а + z3....... 3xyz....... 2у + 3==0.
az az
Найти дх и ду .
1949. Найти az и az если
дх ду ,
х cos у + у cos z + z cos х === 1.
1950. Функция z задана уравнением
х 2 + у. ....... Z2 .......... Х у === о.
дz az
Найти дх и ду для системы значений х ===....... 1, У == о, z === 1.
дz дz д1z д 2 z д 2 z х 2 у2 ZZ
1951. Найти д ' д , д l ' д д ' д 2 ' если .,+ Ь 2 +2" === 1.
х у х ху у а с
дх ду az
1952. I (х, у, z) == о. Показать, что ду . дz · дх ==....... 1.
1953. z == q> (х, у), rде у есть функция х, определяемая ура вне-
dz
нием 'ф (х, у) == о. Найти dx .
1954. Найти dz и d 2 z, если
х. + у2 + Z2 ==a l .
1955. Пусть z есть функция переменных х и у, определяемая
уравнением
2х2 + 2 у2 + Zl ....... 8xz ........ z + 8 == о.
Найти dz и d 2 z для системы значений х==2, у==о, z== 1.
1956. Найти dz и d 2 z, если lnz==x+y+z...........l. Чему равны
производные l-ro и 2-ro порядков функции z?
1957. Пусть функция z определяется уравнением
х 2 + у2 + Z2 ==ср (ax+by+cz),
rде <р....... произвольная дифференцируемая функция и а, Ь, с посто-
Янные. Показать, что
дz + дz
(су....... bz) д (az....... сх) д == Ьх....... ау.
,х у-
)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
201
1958. Показать, что функция z, определяемая уравнением
F (х az, у ......... bz) === о,
rде F....... произвольная дифференцируемая функция своих aprYMeHTOB,
удовлетворяет уравнению
az + az
а дх Ь ду == 1.
( х у ) az + дz
1959. F z' '?: ===0. Показать, что х дх У ду ===z.
1960. Показать, что функция z, определяемая уравнением
у == xq> (z) + 'ф (z), удовлетворяет уравнению
дZz ( дZ ) ! 2 дzдz д 2 z д 2 z ( дZ ) 2 o
дх! ду дх ду дх ду + д у 2 дх ·
1961. Функции У и z независимой переменной х заданы системой
н. I + 2 ! О 2& + 2 2& + 3 ! 4 Н dy dz d 2 y
уравнениn х у z == , х у z ==. айти d , d ' d I ,
_ Х Х Х
d!z
dx. при х== 1, у==О, z=== 1.
1962. Функции У и z независимой переменной х заданы системой
.Уравнений
xyz === а, x+y+z==b.
Найти dy, dz, d1y, d!z.
1963. Функции u и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
и === х + у, uv === у .
Вычислить
ди дu д 2 u д 2 и д!u дv дv д!v д!о a 2 v
дх ' ду ' дх! , дх ду ' д у 2 , дх ' ду' дх! ' дх ду' д у 2 при Х == О, У === 1.
1964. Функции u и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
u+v==x, u yv===O.
Найти du, dv, d!и, d 2 v.
1965. Функции u и v переменных х и у заданы неявно системой
уравнений
х == q> (и, v), у == 11' (и, v).
дu дu до до
Найти дх ' ду' дх' ду .
1966. а) Н4ЙТИ :: и : , если х === и cos 'V, У === и sin 'V, Z === C'V.
дz дz +
б) Найти дх и ду ' если х===и v, y===u v, z==uv.
в) Найти dz, если х==еи+ои, y===eи oи, z===uv.
202
)
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(r л . \71
1967. z== F(r, q», rде r и q> .........фунКции переменных х и у,
определяемые системой уравнений
х ==; cos q> J У == r sin <р.
az дz
Найти дх и ду .
az дз
1968. Рассматривая z как ФУНКЦИЮ х и у, найти дх и OU' если
х == а cos q> cos 11', у == ь sin q> cos 11', z === с sin '1'.
А 10. 3амена перемевных
При замене 'переменных в дифференциальных выражениях ВХО,lUlщие
в них производные следует выразить через пронзводные по - новым перемен-
ным, используя правила дифференцирования сложных функций.
10. Замена переменных в выражениях, СоАержащиз
о б ы к н о в е н н ы е про и з в о Д н ы е.
При м е р 1. Преобразовать уравнение
d 2 y dy а 2
х,. d 2 +2х d +IУ==-О,
х х х
I
полаrая х == т ·
Реш е н и е. Выразим производные от У по х через ПРОИЗВОАные оТ 9
по t. Имеем:
dy dg
dy dt ...... t l dy
dx dx 1 dt'
dt ea
d ( dY )
d! У == !! ( dY ) == iit dX ==...... ( 2t dy + tl tP У ) (....... t! ) == 2t' dy + f:& d,! У .
dx l - dx dx dx dt dt l dt dt 8
dt
Подставляя найден ные выражения производных в ,данное уравнение и заме-
1
ния х через т' получим:
. е' ( 2 dy + t d 2y ) + 2...!. ( ...... '! d Y ) + a8t!y == О
t 2 d t d t 2 t d t
или
d 2 y
dt 2 + а 2 у == о.
При м е р 2. Преобразовать уравнение
d!y ( d Y ) ' dy
х dx2 + dx dx =='O'
приняв у за aprYMeHT, а х за функцию.
,f _ I ()Т
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
203
Ре m е н и е. Выразим проиэводные ОТ у по х через ПРОlIзводные ОТ t.
ПО У
dy 1
;
dx dx
dy
d 2 x ll!Х
d!и d ( 1 ) d ( 1 ) dy (fyi 1 "ifY2
dx 2 == dx tlx == dy dx dx ==...... ( dx ) 1 · dx == --- ( dX ) ' ·
dy dy dy dy dy
По;(ставив эти выражения ПрОИЗБОДНЫХ в данное уравнение, будем иметь:
[ d 2 X ]
dgi 1 1
х ( : )' + ( ; )' ; ==o.
или, окончательно,
х d!x .......1 + ( dX ) 1 == о.
dy2 dy
При м ер. 3. Преобразовать уравнение
dy х + у
dx == х ....... у ,
переАжя к полярным координатам
х == r cos <р, у == , sl" <р. (1)
Реш е н и е. Рассматривая r как функцию <р, из формул (1) получим:
dx == cos <р dr r 51" <р d<p, dy == 51" <р dr + r cos <р d<p,
отсюжа
dr
51" <р + r cos <р
dy 51" <р dr + r cos q> dq> d<p
dx == cos <р d, ....... r siп <р d<p == dr i ·
cos <р d<p r s " <р
dy
Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и dx ' будем иметь
dr
51" <р dq) + r cos <р ........ r cos <р + r $i" q>
df ........ r cos <р...... r si" ер ,
cos <р d<p ........ r 51П <р
ИЛИ, после упрощений,
d,
==r.
dq>
20. Замена переменных в выражениях, содержащих
q а с т н ы е про и з в о Д н ы е.
При м е р 4. Уравнение колебаний струны
д 2 и д 2 "
дt. == а 2 дхl (а #: О)
204
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
frп.
преобразовать к новым независимым переменным и р, r,ne == х at,
p==x+at.
Реш е н и е. В ыразим частные производные от и по х и t через частные
производные от и по а и р. Применяя формулы дифференцирования СЛОЖНОЙ
функции
ди ди да ди др
at == да at + др at '
ди ди да ди др
дх == да дх + др дх · t
получим:
дu ди ди ( ди ди )
at == да (....... а) + д а == а др да . '
ди ди 1 + ди . 1 ди + ди
дх да · д да д ·
Дифференцируем В10РИЧНО, применяя те же формулы:
:; == ( : ) == :а ( :п д; + : ( : ) : ==
( д!и д 2 И ) ( д!и i1u )
== а да д да! ( a) + а д 2 да др а ==
( д 2 и д2и д 2 И )
== а! да! 2 да др + д ! ;
д!и д ( дИ ) д ( дИ ) да д ( дИ ) д
дх" == дх дх == да дх дх + д дх дх ==
== ( :: + д:2 ) . 1 + ( д:2 + ) .1==
д 2 и д 2 и д 2 и
== да 2 + 2 да д + д a ·
Подставив в данное уравнение, будем иметь:
( д 2 и д2и д 2 И ) ( д2и д2и д 2 и )
а 2 да 2 2 да д + д 2 == а 2 да! + 2 да д + др!
или
д 2 и
да д == О.
az az
При м е р 5. Преобразовать уравнение хl дх + у? ду + z!, приняв за
1 1
новые независимые переменные u == х, v == и за новую функцию
у х
1 1
w == ......... .
z х
az az
Реш е н и е. Выразим частные производные дх и ду через частные про-
aw aw
нзводные ди и av . Для этоrо продифференцируем данные соотношения
между старыми и новыми переменными
dx dy dx dz
du ==dx, dV==2 8' dw==z..........з.
х у х z
101
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
205
с друroА стороны,
дш, дш
dw== ди dи + дv dv.
дш dи + aW dv == dx dz
ди ди х 2 z!
Поэтому
или
Отсюда
aw dx + ( dx d Y ) == dx dz .
ди ди х" у2 ха z!
и, следовательно,
( 1 aw 1 дш ) Z2 дw
dz==z" dx+ dy
,Х" ди х 2 ди у2 ди
дz " ( 1 дш 1 дW )
'дX==z х 2 дu х" av
и
дz z'! дw
дy у'! дv ·
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:
X 2 Z 1 ( ..!. дw 1.. aw ) + Z2 дш == ZZ
х 2 ди х! ди ди
или
aw
дu == о.
1969. Преобразовать уравнение
2d 2 y + dY +
х dx" 2х dx у==О,
полаrая х== e t .
1970. Преобразовать уравнение
2 d 2 y dy
(1 x ) dX2 xdX===0,
полаrая х === cos t.
1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за aprYMeHT у:
d 2 y ( dy ) 2
а) dx l + 2у dx === О, у
dyd'y ( d 2y ) 2
б) dx dx' 3 dx! === О.
1972. TaHreHc уrла J..t, образованноrо ка-
сательной МТ и радиусом-вектором ОМ
точки касания (рис. 69), выражается сле-
ДУЮЩИМ образом:
tg J.t ===
1 .JL у'
х
Преобразовать это выражение,
х === r cos <р, у == r sl" «р.
y' L
х
х
Рис. 69.
перейдя к полярным координатам:
206
Ф нкции НЕСКОЛЬКИХ "ЕРЕМЕННЫХ
[r n. VI
1973. Формулу кривизны линии
K у"
[1 + (у')2)8/а
выразить в полярных координатах х == r cos <1', У === r sin ер.
1974. Преобразовать К новым неэависимым переменныM и и 'v
уравнение
дz дz
У дх x дУ ===О'
если и==х, 'lJ===x t + yt.
1975. Преобраэовать к новым независимым переменным. и и f1
уравнение
дz + дz
х у ........ z === О,
дх ду
есл и и === х, v === L .
х
1976. Уравнение Лапласа
д 2 и даu
дх2 + ду! === О
преобразовать к полярным координатам r и , полаrая
"\
х==, COS , у===' sin «р.
1977. Преобразовать уравнение
дrz д'lz
хl дх 2 у'" ду2 === О,
х
полаrая и === х у и v === у .
1978. Преобразовать уравнение
дz дz
У дx X дУ ==(У Х)Z'
введя новые независимые переменные
и==х 2 + уа, 'О===.! +
х у
11 новую функцию w === 10 z (х + у).
1979. fIреобразовать уравнение
д 2 z д 2 z д 2 z
2 + o
дх 2 дх ду д у 2 ,
приняв за новые независимые переменные и === + У. 'lJ === ; и за 110-
z
вую функцию w== х'
, 11}
КАСАТЕЛЬНАI ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
207
1980. Преобразовать уравнение
+ 2 дlz + (JIz o
дх! дх ду ду" ,
полаrая и===х+ у, fJ==x........ у, 'W==xY z, rде w==w(и, v).
t 11. Касательиаи плоскость и нормаль к поверхности
18. У Р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й п JI О С К О С Т И И Н О Р М а л и
Д 11 Я С 11 У Ч 8 Я Я В Н О r о з а Д а н и я n о в е р х н о с" и. KacaтeJlbHOa
пЛОС1СОСтью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость,
в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведен-
ным на поверхности через ату точку.
НОрAtOJlЬЮ к поверхности называется перпендикуляр к касательной пло-
скости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координа'l задано
в явной форме z == f (х, у), rде , (Х., у) дифференцируемая функция, то
уравнение касательной плоскости в точке М (х о , УО' 'о) поверхности есть
Z 'о == 1 ("0' Уо) (Х Хо) + т; (Х о ' уо) (У Уо). (1)
Эдесь '0 == f (х о ' Уо)' аХ, У, z..... текущие коорди наты точки касательной
плоскости.
Уравнения нормали име вид
Х хо ____ У у о ........ Z ..... t o
T (Х о , Уо>...... '; (х о ' Уо) ---- .......] , (2)
rде Х, У, Z текущие координаты точки Rормали.
При м е р 1. Написать уравнения касательноlt плоскости п пормапп
х 2
к поверхности 2 == 2' 11 в ее точке М (2; ..... 1; 1).
Ре m е н и е. Найдем частные производные данной функции и их значе.-
ния в точке М
:: ==х. ( :: )м ==2.
:; == 2у. ( :; )м ==2-
Orсюда, применяя формулы (1) и (2), БУАем мметь: . 1 == 2 (х..... 2)+2 (у+ 1)
"....2 у+1
или 2х + 2у ..... z ...... 1 == o уравнение касательном плоскости и 2 == :=:
z 1
== ...... 1 ........ уравнения нормали.
2 . у Р а в н е н и я к а с а т е JI ь н О й п JI О С К О С Т И Н Н О Р М а п и д л я
с п у ч а я н е я в н о r о з а Д а н и я п о в е р х н о с т и. В том случае, коrда
уравнение rпадкой поверхности задано в неявной форме
F(x,y, r)==O
и р (Х о ' Уо. '0) == О, соответствующие ура 8нения F.y дут име1Ъ виJl
, , ,
F (xo. Уо' 20) (Х %0) + F у(Х о . Уо' %0> (У уо) + F z (Хо. lJо' %0) (Z ...... %0) == О (3)
208 ФУНКUИЯ НЕскопьких ПЕРЕМВННЫХ . . . (rJl. VI
..... уравнение касательной плеск ости я
Х .... «о ....... У .... Уо .... Z ... 'о (4)
, ...... , , ----4
F % (х о ' Уо, 'о> F tI (Х о ' Уо' '0) F z (Х о ' Чо, 'о)
...... уравнения нормали.
При м е р 2. Н аписать уравнения касательной плоскости " Rормали
R поверхности ЗХУ2 " == а' в точке, для которой х == О, У == а.
Реш е н и е. Н айдем аппликату точки касания, ПО,D.ставив «== О, 9 == tJ
Б уравнение поверхности: --- 2' == а', откуда е ==...... а. Т аким образом, точка
касания есть М (О, а,........ а). .
Обозначив через F (х, у, 2) левую часть уравнения, наЙJl.ем частные про-
взводные н их значения в 'очке Л1!
,
F х == 3y ,
,
Fy == 3х?,
p == Эху..... 3z l ,
Применяя формулы (З) и (4), получим:
..... За! (х ...... О) + о (у ...... а) ....... За! (, + а) == О
ИЛИ Х + 2 + а == О.... уравнение К8сатепьной плоскости,
«.....О ......... у......й ....... 2+а
3 а:l ......... О ......... ...... 3а 2
у---а ,+а
ЯЛ" т== == ...... уравнения нормали.
,
(F х)М ==...... За!,
,
(Fy)M == О,
,
(F z)M ==...... 3а l .
1981. Написать уравнение касательноА плоскости и уравнении
нормали к следуюLЦНМ поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения Z==X!+yl в точке (1; 2; 5);
«! у! 22
б) к конусу Т6+9.... ..8 о в точке (4; 3; 4);
В) к сфере хl + у. + z! === 2Rz в точке (R cos а; R 51" а; R).
1982. В каких точках эллипсоида
ха у' 2'
а 2 + Ь2 + t;I == 1
нормаль к нему образует равные уrлы с осями координат?
1983. Через точку М (3; 4; 12) сферы хl + у'" + Zl == 169 про-
ведены плоскости, перпендикулярные к осям ох и ОУ. Написать
уравнение плоскости, проходящеА через касательные к nолучивmимся
сечениям в их общей точке М.
1984. Ilоказать, что уравнение касательной плоскости к централь-
ной поверхности 2-ro порядка
ах" + Ьу' + cz l === k
в ее точке М (х" 10' Zo) имеет вид
ахох+Ьуоу+ cZoz==k.
111
КАСАТlЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ " НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
209
1985. К поверхности x2+2yl+3z!==21 провести 'каса1' ьнwе
плоскости, параллел ные плоскости х+ 4у+ 6z=== о.
хl у. z.
1986. К 9ЛЛИПСОИДУ Qi + ь. + CI == 1 провести касательные плос.
кости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки.
1987. На поверхности хl + " ..... z. ......... 2х == О найти ТО1(КИ,
в которых касательные плоскости параллельны координатным плоско-
стям.
1988. Доказать, 'lТО касательные плоскости к поверхности xyz==т 8
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянноrо оБDема.
1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности
Ух + V, + Yz == Уа отсекают на осях координат отрезки. сумма
которых постоянна.
х. у. ,.
1990. Показать, что конус Qi + ь. ==(1" и сфера
( Ь2 + cI ) 1 ь.
х. + у2 + z....... с === в 2 (Ь. + сl)
касаются друr друrа в точках (О, :1: Ь, с).
1991. 'УzлоAt Atежду дву.м.я поверхносmя.м.и в точке их пересече.
ния называется уrол между касательными плоскостями, проведеннымн
к данным поверхностям, 8 рассматриваемой точке.
Под каким yr лом пересека ются цилиндр х 2 + у. == R. и сфера
(х R)' + уl + z. == R 1 8 точке М ( . R 3 . о) ?
1992. Поверхности называются ортоzональнЫ,м,u, если они пе-
ресекаютс.я под прямым уrлом в каждой точке линии их пересе
чения.
Показать, что поверхности х. + ,. + z. ==,2 (сфера), у == х tg <р
(плоскость) и Zl == (х! + у.) tg l 'ф (конус), являющиеся координатны"
ми поверхностями сферических координат r, ф, 'Ф, взаимно optoro--
нальны.
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической
поверхности z==xt( ) 8 ее точке м(х о . Уо' Zo). rAe хо+о. про-
ходят через начало координат.
1994*. Найти проекuии эллипсоида
х. у! + Zl ....... ху 1 === О
на координатные плоскости.
1995. Док азать, ч то нормаль в любой точке поверхности враще.
нии z === / (V х . + )'1) (/' =/:: О) пересекает ось вращения.
210
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(rп. v
t 11. Формула Тейлора АЛЯ ФУНКЦИИ нескольких перемевиых
П)'сть функция f (х, у) имеет в окрестности точки (а, Ь) непрерывные
частные производные всех порядков до (п + 1)-ro вкточитеJlЬНО. TorJta в рас-
сматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
, (х, g) az t (а. Ь) + 11, If (а. Ь)(х а) + 1; (а, Ь)(у Ь)] +
+ 1 " ," " I
2r rJlt (а, 11) (х .... а)1 + 21 ху (а, Ь) (х .... а) (у --- Ь) + l уу (а, Ь) (у ...... Ь) ] + · · ·
1 [ д N ] п
.., + п! (х .... а) дХ + (у ...... Ь) ау 1 (а, Ь) + R п (х, у),
(1)
rne
Rп(x. Y)== (n l)' [(x a) +(y b) :y] п+l'[a+8(x a). Ь+8(y b)]
(О < 8 < 1).
В жруrих обозначениях:
I(х + ь. У + k) == «х. у) + 11. [hf (х. у) + kf; (х. у)] + i, (ht':'JI (х. у) +
+ 2hkt;y (х. у) + ktt;y (х. у)] + . . . + ( h + k ) п f (х. у) +
1 ( д д ) n+1
+ (n+l)l h(jX+kag 1(x+8h; у+бk), (2)
пли
А 1(х, 1/) == df(x, у) + i, dtf (х. у) + .. ·
.. . + , d"l (х. у) + (n 1) , dп+tf(x + 8h; у + 8k). (3)
Частный случай формулы (1) при а== Ь ==0 называется формулой Ма1С-
мрена.
Аналоrичные формулы справедливы для функции трех и l)ОJlЬшеrо числа
переменных.
При м е р. Найти приращение, получаемое функцией f (х, у) ==
=='" ....... 211' + 3ху при переходе от значений х == }, у == 2 к значениям Х 1 == 1 +h,
У. ==2 +k.
Ре m е н н е. Искомое при ращение можно найти, применяя формулу (2).
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их зна-
чения в данной точке (1, 2):
, ,
, (х, у) == 3х l + Зу, f х (1; 2) == З. 1 + з. 2 == 9,
, , (
' у (х, у) ==...... бу' + 3», !>r 1; 2) ==...... 6.4 + 3.1 ==..... 21,
r:. (х, у) == 6х, f хх (1; 2) == 6.} == б,
(x, у)==8, 1 (1; 2) ==3.
' y (х, у) ==...... 12у, Т;У (1; 2) ==....... 12. 2 ==...... 24.
II " " l'
' (х, у) == 6, , ххх (1; 2) == 6,
" " ",
U (х, У) == о, 'хху (1; 2) == О,
t '" ",
.п.. (х, 1/) ==0, У хуу (1; 2)==0,
, 111 ",
'" (х, 1/)==.......12' '"у (1; 2) == .......12.
12] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА дЛЯ функции НЕСКОЛЬКИХ пЕрЕмЕнныx 2J 1
Все дальнейшие- производные тождественно равны lIупю. П'ОАСТаВJIЯЛ
найденные результаты в формулу (2), получим:
f(x, y)==f(l+h, 2+k) t(1, 2)==h.9+k( 21)+
+ [h2.6 + 2hk.3 + k 2 (...... 24)] + i. [h'.6 + 3h 2 k.O + 3hk 2 .O + k' (......12)] ==
21 31
== 9h .... 21k + 3h! + 3hk 12k l + h' 2k'.
1996. Разложить J(x+h, y+k) по целым положительным (те-
пеням h И k, если
I(x, y)==ax 2 +2bxy+ cy l.
1997. Фун цию j(x, у) ==....... х 2 + 2ху+ Зу! 6х 2у ---- 4 раз-
пОilСИТЬ по формуле Тейлора в окрестности точки (......... 2; 1).
1998. Найти приращение, получаемое функцией I(x, у) ===х"у
при переходе от значений х === 1, У == 1 к значениям
Х 1 === 1 +h, Уl == 1 +k.
1999. Функцию f(x, у, Z)===X2+yl+ZI+2xy.........yz......4x
...... Зу ......... z + 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1; 1; 1).
2000. Разложить I (х + h, у + k, z + 1) по целым положитепь-
Hbl t степеням Ь, k и 1, если
j (х, у, z) === х 2 + у' + Z2 ....... 2х У 2xz ........ 2 yz.
2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-ro порядка
ВI(лючительно функцию
I(x, у) === е Х sin у.
2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-ro порядка
включительно функцию
j(x, у) === cos х cos у.
2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)
до членов 2-ro порядка включительно функцию
j(x, у)==У'.
2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности ТОЧКII
(1; 1) до членов 3-ro порядка включительно функцию
j(x, у)==е Х + У .
2005. Вывести приближенные формулы с точностью до членов
2 ro порядка относительно величин а и р для выражений
а ) arct g 1 +а . б ) ... / (1 +а)т + (1 + )п '
1 ' v 2 '
если I а I и , Р I малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулы Тейлора до членов 2-ro порядка, вы-
числить приближенно
а) V 1,03 , V 0,98 ; б) (О, 95)2.01.
212
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r л . VI
2007. Пус.ть z есть та неявная функция от х и у, определяемая
уравнением z........ 2xz + у == О, которая принимает значение z == 1
при х == 1 и У === 1. Написать несколько членов разложения функции z
по возрастающим степеням разностей х.......... 1 и у.......... 1.
13. Экстремум функции нескольких переменных
10. О п.р е Д е л е н и е э к с т р е м у м а Ф у н к ц и и. rоворят, что функ-
ция / (х, у) имеет максимум (минимум) / (а, Ь) в точке Р (а, Ь), если для всех
отличных от Р точек р' (х; у) в достаточно малой окрестности 1"ОЧКИ Р вы10л--
нено неравенство f (а, Ь) > f (х, у) (или соответственно f (а, Ь) < f (х, у». Мак-
симум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналоrично
определяется экстремум функции трех и большеrо числа переменных.
20. Н е о б х о д и м ы е у с л о в и я э к с т р е м у м 8. Точки, В которых
,1I.ифференцируемая функция f (х, у) может достиrать экстремума (так называ-
емые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
, ,
{х(Х' у)==О, 'у(Х, у)==О (1)
(необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному уравне-
нию df (х, у) == О. в общем случае в точке экстремума Р (а, Ь) функции f (х, у)
или df (а, Ь) == О, или dt (а, Ь) не существует.
30. Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я э к с т р е м у м а. Пусть Р (а, Ь)...... ста-
ционарная точка функции f (х, у), т. е. df (а, Ь) == О. Тоrда: а) если
d 2 f (а, Ь) < О при dx 2 + dy2 > О, то f (а, Ь) есть м-аксим-ум- функции f (х, у);
б) если d 2 f (а, Ь) > О при dx 2 + dy2 > О, то f (а, Ь) есть М,инимум функции
, (х, у); в) если d 2 f (а, Ь) меняет знак, то f (а, Ь) не является экстремумом
функции f (х, у).
, ,
Приведенные условия эквива.лентны следующим: пусть f х(а, Ь) == ' у (а, Ь)==
" "
== о и А == f хх (а, Ь), В == f ху(а, Ь), С == ' уу (а, Ь). Составим дискриминант
A==AC B2.
Тоrда: 1) если А > О, то функция имеет экстремум в точке Р (а, Ь),
а именно максимум, если А < О (или С < О), и минимум, если А > О (или
С > О); 2) если 8. < О, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если А == О,
то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым
(требуется дальнейшее исследование).
40. Случай функции мпоrи х переменных. Для функции
трех и Gольшеrо числа переменных необходимые условия существования
9кстремума аналоrичны условиям 1 о, (1), а достаточные условия аналоrичны
условиям 30, а), б), в).
При м е р 1. Исследовать на экстремум функцию
z === х 3 + 3 ху 2 15х 12у.
Реш е н и е. Н айдем частные производные и составим систему ypaBHe
ний (1):
или
; ==Зх2+Зу2 15==О. ;== 6XY 12==O
{ х2 + у2 5 О,
ху 2 О.
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
Рl(l; 2); Р2(2; 1); Pa( l; .......2); P4( 2, .......1).
13)
9КСТРЕМУМ функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРRМЕННЫХ
213
Найдем производные 2-ro порядка
iJ'z ' iJI'Z д 2 z
дх' == 6х, дх ду == 6у, д у 2 == 6х
и составим дискриминант А == АС ...... 82 для каЖАОЙ стационарной точки.
( д 2 Z ) ( д 2 Z ) ( д2Z )
1) Для точки P t : А== дх' р. ==6, В == дхду р. == 12, С== д/t р,
== 6, А == АС....... ВI == 36...... 144 < о. Значит, 8 точке 1 эксrремума нет.
2) Для точки P 1 : А == 12, В == 6, С == 12; А == 144 ...... 36 > о, А > о.
в точке Р 1 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции
при х== 2, у== 1:
zmin == 8 + 6 30 ........ 12 ==....... 28.
3) ДЛЯ ТОЧКИ Р.: А == 6, В == 12, с==...... 6; А == 36 144 < о.
Экстремума нет.
4) Для точки Р,,: А == 12, В == 6, C== 12; А == 144 36> о, А < о.
в ТОЧI<е Р.. функция имеет максимум, равный 2max ==....... 8 6 + 30 + 12 == 28.
50. У с л о в н ы й э к с т р е м у м. В простейшем случае условным 8lCст-
рему.мо.м функции t (х, у) называется максимум или минимум этой функции,
достиrнутый при условии, что ее aprYMeHTbl связаны уравнением <р (х, у) == о
(уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции t (х, у) при нали-
чии соотношения <р (х, у) == о, составляют так называемую функцию Л аzранжй
F (х, у) == f (х, у) + л. (х, у),
тде л...... неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум
9ТОЙ вспомоrательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся
К системе трех уравнений
( дР === д! + '1 д<р О
дх дх 1'.1 дх ,
J дF д! +л дqJ O
1 ду ду ду ,
\ <р (х, у) == о
(2)
с тремя неизвестными х, у, Л, из которой можно, вообще rоворя, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условноrо экстрему ма решается
на основании изучения знака BToporo дифференциала функции Лаrранжа
d 2 F ( iJ! F d 2 + 2 д2 F d d + д2 F d Z
х, у) дх ! Х дх ду х У д у 2 У
для испытуемой системы значений х, у, Л, полученной из (2) при условии,
что dx и dy связаны уравнением
:: dx + : dy == О (dx 2 + dy2 :F О).
А именно, функция f (х, у) имеет условный максимум, если d 2 F < о, и условный
минимум, если d 2 F > О. в частности, если дискриминант А для функции
F (х, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный
максимум функции t (х, у), если А < О (или С < О), и условный минимум,
если А > О (или С > о).
Аналоrично находится условный экстремум функции трех или большеro
числа переменных при наличии одноrо или нескольких уравнений связи (число
которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится
вводить в функцию Лаrранжа столько неопределенных множителей, сколько
имеется уравнений связи.
14
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rп. YI
При м е р 2. Наити экстремум Функuии
z == 6 ...... 4 х ...... 3 У
при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению
х! + уИ== 1.
Реш е н и е. rеометрически задача СВОДится к нахождению наибольшеrо
и наименьшеrо значении аппликаты z плоскости z== 6 4х Зу для точек
пересечения ее с цилиндром х 2 + у2 == 1.
Составляем функцию Лаrранжа
F (х, у) == 6 4х ...... Зу + л (х 2 + уl ...... 1).
дР aF
Имеем дi==......... 4 + 2лх, ду == 3 + 2лу. Необходимые уСJIОВИЯ дают систему
уравнений
{ 4+2лх==0,
...... 3 + 2лу == О,
х 2 + у2 == 1,
решая которую, найдем:
5
л'1 ==2 '
4
Х 1 == "5 '
3
Уl == 5
R
5
).,2 ==...... 2 '
4
xZ== 5t
3
У2 ==----""5'
Так как
azF
дх 2 == 2л.,
дZР
дх ду ==О,
дtP
д у2 == 2"',
то
d Z F == 2л (dx 2 + dy!).
543
ЕСJIИ '" == 2 ' х =="5 и у ==""5' то d 2 Р > О, и, следовательно, в 9ТОЙ точке
Ф Е " 5 4 3
ункция имеет условныи минимум. сли А ==........ "'2 ' х ==....... 5" и у == 5" ' то
dlF < О, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.
т аким образом,
16 9
zmax==6+S+""5== 11,
16 9
2 m i n == 6 ......... '5 ........ 5 == 1.
60. Н а и б о л ь ш е е и н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и я Ф у н к Ц ии.
Функция, дифференuируемая в оrраниченной замкнутой оооасти, достиrает
cBoero наибольшеrо (наименьшеrо) значения или в стационарной точке или
в точке rраницы области.
При м е р 3. Определить наибольшее и наимеНЬШее значения функции
2 == х'" + уl ....... ху + х + у
в области
« O, y O, x+y 3.
f 13]
9КСТРЕМУМ функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
215
Реш е н и е. Указанная область есть треуrольник (рис. 70).
1) Найдем стационарные точки:
{ Z; : 2X Y+l о:
Zy:::=a 2у ..... х + 1 О,
отсюда х ==.....1' у ==..... 1; получаем точку М ( 1; 1).
В точке М значение функции z М == 1. Исследование на экстремум......
не обязательно.
2) Исследуем функцию на rраницах области.
При х == О имеем z == уl + у, и задача сводится к отысканию наиооль-
шеrо и наименьшеrо значений этой функции од-
Horo aprYMeHTa на отрезке........ 3 у О. Проведя
исследование, найдем, что (Zнаиб)Х=Q == 6 в точке
(о; 3); (Zиаим)х=о == в точке (о; i-) ,
При у==О получаем z==x l +х. Аналоrично
найдем, что (Zнаи6)у=о == 6 в точке (....... 3; О);
(Zиаим)у=о == в точке ( ; о).
При х + у ==........ 3 или у ==....... 3 ..... х будем иметь
z==3x 2 +9x+6. Аналоrичным об,азом найдем, что
3 ( 3 3 )
(Zнаим)х + у= 1==.......""4 в точке ....... '2 ; ....... 2 ;
(Zнаиб)х+у= , == 6 совпадает с (Zнаиб)х=о И Рис. 70.
(lнаиб)у=о' На прямой х + у == 3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не ПрИ80ДЯ к функции олноrо
aprYMeHTa.
З) Сопоставляя все полученные зна чения функции z, заключаем. ЧТО
Zиаиб == 6 в точках (о; ..... 3) и (....... 3; О); Zнаим == 1 в стационарной точке М.
Исследовать на экстремум следующие функции двух перемеи-
ных:
2008. z === (х........ 1)1 + 2 yl.
2009. z == (х......... 1)' 2 уl .
2010. z == х 2 + Х у + уl ........ 2х ........ у.
2011. z === х'уl (6........ х........ у) (х> О, У> (»).
2012. z == х& + у& ....... 2х. + 4 ху........ 2 y l.
... / х2 у2
2013. z==xy r 1 а2 b Z .
2014. z=== t ........ (х l + у2)2/8.
2015. z== (х 2 + у2) e (xJ+y2).
l+x y
2016. z=== V ·
1 +Xl+yl
2016.1. z=== : + ; +y (х>О, у>О).
2016.2. z == еХ у (х 2 ....... 2 yl).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. и == х 2 + уl + z" ху + х........ 2z.
у2 Zl 2
2018. и==х+ 4x +y + z (х>О, у>О, z>O).
216
, фуНКции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(rл. Vl
Найти 9кстремумы ФУНКЦИЙ z, заданных неявно:
2019*. х 2 + у2 + zl........ 2х + 4у 6z t 1 == о.
2020. ха....... у2 ........ 3х + 4 у + Z2 + z ........ 8 === о.
Определить условные 9кстремумы функций:
2021. z===xy при х+ у=== 1.
2022. z===x+2y при х 2 +у2==5.
2023. z==x. + у2 при + == 1.
2024. z === cos 2 Х + cos 2 у при у........ х === т .
2025. u==x........2y+2z при X 2 +y2+Z2===9.
х 2 у2 Z2
2026. U ==х 2 + у2 +Z2 при а 2 + fj2 + (;2== 1 (а> Ь> с> О).
2027. U== xy 1Z8 при х+ y+z=== 12 (х>о, у>о, z>o).
2028. u===xyz при условиях: x+y+z===5, xy+yz+zx===8.
2029. Доказать неравенство
x+y+z v
3 .xyz,
если х О, У О, z О.
у к а з а н и е. Искать максимум функции u ==x yz при условии х + у + z==s.
2030. Определить наибольшее значение функции z== 1 + х+ 2у
в областях: а) х О, У о, х + у ::::;; 1; б) х О, У О, х....... у::::;; 1.
2031. Определить наибольшие и наименьшие значения функци"
а) z ===х2у и б) z== х. ....... у2 В области х 2 + у. 1.
2032. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
z==sinx+siny+sin(x+y) в области O.s;;;x ' O y .
2033. Определить наибольшее и наимеl1ьшее значения функции
Z == ха + уа ....... 3ху в области о::::;; х 2, ........ 1 У ::::;;2.
I 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций
При м е р 1. Положительное число а требуется разбить на три неотри-
цательных слаrаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Реш е н и е. Пусть искомые слаrаемые будут х, у, а х - у. Ищем
максимум функции f (х, у) == ху (а х у).
По смыслу задачи функция f (х, у) рассматривается внутри замкнутоrо
треуrольника x O, y O, x+y a (рис. 71).
Решая систему
{ , (x, у) == у(а 2х у) ==0,
'; (х, у) == х (а х 2у) == О,
14)
ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ .ЗНАЧЕНИЙ
. 217
получим для внутренности треуrольника единственную стационарную точку
( : ; : ). Для нее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем
.'1 " "
[хх (х, у) == 2у, f ху (х, у) == а 2х.......2у, f уу (х, у) == .....2х.
,, ( а а ) 2
Следовательно, А == f хх 3"' 3 == "3 й,
'1 а а J 1
В === 1 ху "3' "3 == --- "3 а,
,11 а а 2
C==f yy '3"' 3 == '3" а и
== АС 81 > О, А < О.
Итак, в точке ( ; ) функция достиrает мак-
симума. Так как на контуре треуrольника функция
f (х, у) == О, то этот максимум будет наибольшим
значением функции; т. е. произведение будет на-
а
ибольшим, если х == у == а х у == "'3 ; причем
а 3
наибольшее значение произведения равно 27 '
При м е ч а н и е. Задачу можно было решать методами условноrо экстре-
мума, отыскивая максимум функции и == xyz при условии х + у + z == а.
2034. Из всех прямоуrольных параллелепипедов, имеющих данныА
объем V, найти тот, полная поверхность KOToporo наименьшая.
2035. При каких размерах открытая прямоуrольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треуrольников данноrо периметра 2р найти ТОТ 1
который имеет наибольшую площадь.
2037. Найти прямоуrольный параллелепипед с данной площадью
поверхности S, имеющий наибольший объем.
2038. Представить положительное число а в виде произведения
четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была
наименьшей.
2039. На плоскости ХОУ найти точку М (х, У), сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых: х === О, У === О, х........... У + 1 === О,
была бы наименьшей.
2040. Найти треуrольник данноrо периметра 2р, который при вра-
щении около одной из своих сторон образует тело наибольшеrо объема.
2041. На плоскости даны три материальные точки Р! (х 1 , Уl)'
Р,. (х., У.), Ра (Ха' Уа) с массами m 1 , т 2 , та' При каком положении
точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы
точек относительно точки Р (т. е. сумма т 1 Р 1 Р2 +mf.PJP2+m a P a P2 )
будет наименьшим?
2042. Через точку ,И (а, Ь, с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшеrо объема.
2043. В эллипсоид вписать прямоуrольный параллелепипед наи-
большеrо объема.
у
о
х
Рис. 71.
218
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r n. Vl
2044. Определить наружные размеры OTKpblToro прямоуrопьноrо ящи-
ка с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней) VTaK, чтобы
на ero изrотовление было затрачено наименьшее количество материаnа.
2045. В какой точке эллипса
х 2 u'"
а! + ь2 === 1
касательная к нему образует с осями координат треуrольник наимень-
шей площади?
2046*. Найти оси эллипса
5х. + 8ху + 5у! === 9.
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной по-
верхностью.
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно
представляют параболу у == хl И прямую х....... у .......... 2 === о. Требуется
соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины.
Через какие точки ero провести?
2049. Найти кратчайшее расстояние от точки М (1, 2, 3) ДО прямой
х у z
т== 3 ==2.
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических средах,
отделенных одна от друrой прямой линией (рис. 72). Скорость рас-
пространения света в первой среде равна V t , 80 Второй.......... V 1 . Пользуясь
«принципом Ферма», соrласно которому световой луч распространяется
А
I
01
,
I
...........
А,
в
о
I С
.
Рис. 73.
Рис. 72.
ВДОЛЬ той линии АМВ, для прохождения которой требуется минимум
времени, вывести закон преломления cBeToBoro луча.
2051. Пользуясь «принципом Ферма», вывести закон отражения
CBeToBoro луча от плоскости в однородной среде (рис. 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление R,
течет ток 1, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени,
пропорционально /2R. Определить, как следует разветвить ток I на
токи 11' 11' 18 при помощи трех проводов, сопротивления которых R 1 .
R", R., чтобы выделение тепла было наименьшим?
f 15. Особые ТОЧКИ плоских кривых
1 О. Оп реп е л е н и е о с о б о й т о ч к и. Точка М (х о ' Уо) плоской кривой
, (х, у) == о называется особой точко(J" если ее координаты одновременно
rжовлетворяют трем уравнениям:
, ,
f (х о . Уа) == О, f х (х о ' Уо) == о, 1 g (х о ' уо) == о.
2С). О с н о в н ы е т и п ы о с о б ы х т о чек. Пусть в особой точке
М (.же' Уо) производные 2-ro порядка
"
А == 'хх (х о ' Уо)'
в == (;у (х о ' уо),
l'
с == f уу (х о ' уо)
не все равны нулю и
Л == АС ...... ВI,
Tor дв:
а) если А > О, то М изолированная
точlClJ (рис. 74);
б) если А < о, то М узел (двойная
точка) (рис. 75);
в) если А == О, то М....... или точка воз-
врата l-ro рода (рис. 76) или 2-ro
рода (рис. 77), или изолированная точка, или тОЧf(;{l са.мопРU1(,()СН08 НUЯ
(рис. 78).
При решении задач этоrо раздела предполаrается обязательным построе-
ние кривых.
При м е р 1. Показать, что кривая у'" == ах'" + х' имеет: узел, если а > о;
изолированную точку, если а < о; точку возврата l-ro рода, если а == о.
f 15)
ОСОБЫЕ точки плоских КРИВЫХ
Jf
Q
Рис. 74.
11
Рис. 76.
Рис. 77.
219
Рис. 75.
у
1
Рис. 78.
Реш е н и е. Здесь 1 (х, у) == ах l + х' ...... у'. Найдем частные проиэводные
И приравняем их нулю
1 (х, у) == 2ах + Эх. == о,
1; (х, у) ==....... 2у == О.
Эrа система имеет два решения: О (о; о) и N ( : а; о). НО КООРДИ
наты ТОЧКИ N не удовлетворяют уравнению -данной кривой. Значит, имеется
е,IQIнственная особая точка О (о; о).
220
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rп. yj
Найдем вторые производные и их ЗН,ачения в точке OJ
,;" (х, у) == 2а + 6х, А == 2а,
"
f ху (Х, у) == О, В == О,
2 С
'уу(Х, y)== , == 2,
А == АС В 2 == ...... 4а.
Следовательно,
если а > о, 10 fJ. < О и точка О..... узел (ри с. 79);
если а < О, то А > О и точка О....... изолированн ая точка (рис. 80);
если а==О, то А ==0. Уравнение кривой в этоМ случае будет у2==х' или
у
у
у
о
х
х
Рис. 79.
Рис. 80.
Рис. 81.
у == :l: JIXi, rде х о; кривая симметрична относительно оси ОХ, являю-
щейся касательной. Следовательно, точка М точка возврата 1-ro рода
(рис. 81).
Выяснить характер особых точек кривых:
2053. у2 === х 2 + х" .
2054. (у х 2 )2 == х 5 .
2055. а'У 2 === а 2 х" х 6 .
2056. х 2 у2 х 2 у. === О.
2057. ха + уа Заху === О (де1Сартов лист).
2058. у2 (а х) === ха (циссоида).
2059. (х l + у2)2 === а l (х 2 у2) (лемниС1Сата).
2060. (а + х) у2 === (а х) х 2 (строфоида).
2061. (х. + у2) (х а). === Ь 2 х. (а> О, Ь> О) (1Сонхоида). Рас-
смотреть три случая:
t) а>Ь, 2) а===Ь, З) а<Ь.
2062. Выяснить изменение характера
у" === (х.......... а) (х Ь) (х с) в зависимости
(а Ь с вещественны).
особой точки кривой
от значений а, Ь, с
16).
оrИБАЮЩАП
221
I 16. Оrибающаsr
}О. Оп р е Д е п е н и е о r и б а ю щей. 02uбающеf1 се.мейства плоских
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая
касается всех линий данноrо семейства, причем в каждой своей точке ка-
сается какой-нибудь линии рассматриваемоrо семейства.
20. У р а в н е н и я о r и б а ю щей. Если зависящее от одноrо перемен-
Horo параметра а семейство кривых
f (х, у, а) == О
имеет оrибающую, то параметрические уравнения последней определяются из
системы уравнений
{ {(х, у, а) ==0,
(1)
' (х, у, а) -== О.
Исключая из системы (1) параметр сх, получим уравнение вида
D (х, у) == о. (2)
Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая
«дискри.мuнан.тная кривая») наряду с оrибающей, если таковая имеется, мо}кет
содержать rеометрическое место особых точек данноrо семейства, не входя-
щее в состав оrибающей этоrо семейства.
При решении задач этоrо параrрафа рекомендуется делать чертежи.
При м ер. Найти оrибающую семейства t'
прямых
х cos а + у sin а, р == О (р == const, р > О).
Реш е н и е. Данное семейство прямых
зависит от параметра а,. Составим систему
уравнений (1)
{ х cos а, + у sl" а р == О,
х siп а + у cos а, == о. о р х
Решив систему относительно х и у, по-
лучим параметрические уравнения оrибаю-
щей
х == р cos а, у == р sin а.
Возводя оба уравнения в квадрат и склады-
вая, исключим параметр а,: Рис. 82.
х! + у! == pl.
Таким образом, оrибающей данноrо семейства прямых служит окружность
радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть
семейство касательных к этой окружности (рис. 82).
2063. Найти оrибающую семейства окружностей
2
(х .......... а)1 + уl === а 2 .
2064. Найти оrибающую семейства прямых
y===kx+
(k.......... параметр, р == const).
222
функции НЕскольких ПЕРЕМЕННЫХ
[r п. VI
2065. Найти оrибающую семейства окружностей одинаковоrо ра-
диуса R, центры которых находятся на оси ох.
2066. Найти кривую, которую оrибает отрезок длины 1, коrда ero
концы скользят ПО осям координат.
2067. Найти оrибающую семейства прямых, образующих С ОСЯМИ
координат треуrольник постоянной ПЛОIЦади s.
2068. Найти оrибающую эллипсов постоянной площади S, оси
симме рии которых совпадают.
2069. Исследовать характер «дискриминантных кривых» семейств
следующих линий (С......... параметр):
а) кубических парабол у == (х......... С)';
б) полукубических парабол у2 == (х...:.... С)';
в) парабол Нейля у' === (х....... С)2;
r) строФоид (а + х) (у........... С)2 == х 2 (а......... х).
2070. Уравнение траектории дви-
жения снаряда, выпущенноrо из точ-
ки О с начальной скоростью 110 под
уrлом а к rоризонту (без учета со-
противления воздуха), будет
gx"
1 У === х tg а. ......... .
2и 2 cos 2 а
о
Р 83 Принимая уrол а за параметр, найти
ис. .
оrибающую всех траекторий сна..
ряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости
«<парабола безопасности») (рис. 83).
_ 17. Длина дуrи прострааствеН80А кривой
Дифференциал дуеи пространственной кривой в прямоуrольных декарто-
вых координатах равен
ds == V dx 2 +d y 2 +dz 2 ,
rде х, у, ,..... текущие координаты точки кривой.
Если
х == х (t), У == У (t), z == z (t)
...... параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуrи
участка ее от t == ' 1 до t == t 2 равна
12
s == f у ( у + ( ':it У + ( у dt.
/1
В задачах 2071.........2076 найти длину дуrи кривой:
2 2t S
2071. x==t, y==t, Z==з--0Т t==O до t===2.
2072. x==2cost, y===2sint, z=== t от t==O до t===1C.
n
I J8)
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАлярноrо APfYМEHTA
223
2073. х == е 1 cos t, У == е ' 51" t, z == e t ОТ t == О до произвопьноrо е.
х. х'
2074.1===2' Z==6 от х===О до х==6.
2075. хl == 3у, 2ху == 9z от точки О (о; о; о) до ТОЧКИ
М (3; 8; 2).
2076. t1 с:::: а 8fCsi" !.., Z == 4 а ln а + х от точки О (о; о; О) ДО точки
" а а.....х
М (Х о ' у о' %0).
2077. Положение точки для пюбоrо момента t (t > о) определяется
уравнениями
2 J. 1 J. t l
х== , у=== П , z .
Найти среднюю скорость движения между моментами t == 1 и {== 10.
_ 18. Вектор-функции скалярноrо aprYMeHTa
1 О. Про и з в о Д н 8 Я В е к т о р · ф у н к ц и и с к а л я р н о r о а р r у.
м е н т а. Вектор-функция а == а (t) может быть определена путем заданиЯ
I"pex скалярных функций ах (1), й " (t) и a z (t) ...... ее проекций на координат"
вые оси:
а == ах (1) 1 + Й v (t)j + a z (t) k.
Производная вектор-функции а == а (t) По скалярному aprYMeHTY t есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
da == lim а (t + At) а (t) == da x (t) i + daJ' (t) J + da z (t) k.
dt At.... е l!t dt dt dt
одуль производной вектор-функпии равен
I : I == у ( d;; У + ( у + ( ; у .
Конец переменноrо радиуса-вектора r == r (t) описывает в пространстве кривую
,==х (t) 1 + у (t)1+ е (t) k,
называемую 20дО2рафом вектора '.
dr
Производная dt предста8JIяет собой вектор, касательный к rодоrрафу в
.соответствующей точке, причем
I dr I ds
dt == dt'
rде s --- длина дуrи rодоrрафа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
В частности, 1 :- I == 1.
dr
Если параметр t есть время, То dt ==" ...... eel(mOP скорости конца век-
tPr dv
'ора r, а dt ' == dt == tv ...... вектор gасорения конца вектора '.
224
ФУ КЦ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫ
rrл h VI
21'). о с н о в н ы е п р а в и л а Д и Ф Ф е р е н Ц и р о в а н и Я в е к, т о р-
Ф у н к Ц и и с к а л я р н о r о а р r у м е н т а.
d da db dc
1) dt (а + ь с) == dt + dt dt ;
2) :t (та) == т . rде т постоянный скаляр;
d d da
3) di ( a)== dt а + q> di' rде (t) скалярная ФУНКЦИЯ от ti
d da db
4) dt (аЬ) ==d[ Ь + а d/;
d da db
5)(j[(aXb)== dt Xb + aX dt ;
d da d
6) df а [ч> (t)] == dq> · dt;
da
7) а dt == О, если I а I == const.
При м е р 1. Радиус вектор движущейся точки в любой момент времени
задан уравнением
r == i 4t2j + 3t 2 k.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Реш е н и е. Из уравнения (1) имеем:
х == 1, У == 4t 2 , Z == 3t 2 .
Исключая время t, находим, что траектория движения есть прямая линия
х 1 ......... у ......... z
О ........ 4 '3 ·
(1)
Из уравнения (1), дифференцируя, находим скорость движения
dr
dt == 8t}+ 6tk
и ускорение движения
d 2 r
dt Z ==........ 8} + 6k.
Величина скорости равна
\ I == y( 8t)2 + (6t)2 == 10 I t 1.
Отметим, что ускорение постоянно и имеет ве личину
I ; I==V( 8)2+62==10.
2078. Показзть, что векторное уравнение r rl==(r2 Tl)t,
rде Т 1 и Та радиусы векторы двух данных точек, является уравне-
нием прямой.
2079. Определить, какие линии являются rодоrрафами следующих
вектор Функций:
а) T==at+c; в) T==acost+bsintj
б) T==ata+bt; r) r==acht+bsht,
18]
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАлярноrо APrYMEHTA
225
rде а, Ь и с постоянные векторы, причем векторы а и Ь перпен-
дикулярны друr друrу.
2080. Найти производную вектор-функцию от функции а (t) =:=t
== а (t) а О (t), rде а (t) скалярная функция, а а О (t)......... единичный век...
тор, в случаях, коrда вектор а (t) изменяется: 1) только по длине,.
2) только по направлению, 3) по длине и по направлению (общий
случай). Выяснить rеометрический смысл полученных результатов.
2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функции
по скалярному aprYMeHTY, вывести формулу для дифференцирования
смешанноrо произведения трех вектор Функций а, Ь и с.
2082. Найти производную по параметру t объема параллелепипеда,
построенноrо на трех векторах:
a==i+tj+t 2 k;
Ь== 2ti j + tЗk;
c== t2i+taj+k.
2083. Уравнение движения
r== 3i cos t+ 4j sin t,
rде t время. Определить траеКТОРИIО движения, скорость и ускоре-
ние движения. fIостроить траекторию движения и векторы скорости
:rt :rt
И ускорения для моментов t == О, t == 4 и t == "2 .
2084. Уравнение движения
r == 2i cos t + 2j sin t + 3kt.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Чему равны величины скорости и ускорения движения и каковы их
:rt
направления для моментов t==O и t==2?
2085. Уравнение движения
r == i cos сх cos rot + j sin сх cos rot + k sin rot,
r де сх и ro постоянные и t время. Определить траекторию движе-
ния, величи ы и направления скорости и ускорения движения.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воз-
духа)
gt 2
r==f)ot 2k,
rде (10 {v ox ' v oy ' V OZ } начальная скорость. Найти скорость и уско-
рение в любой момент времени.
х 2
2087. Доказать, что если точка движется по параболе у с= ,
а
Z == О таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается
постоянной ( :: == const ) I то И ускорение остается постоянным,
8 с. r. Бараненков н др.
226
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rЛ'. VI
2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемоrо в балку,
описывает винтовую линию
х== а cos 6, у == а sln 6, z==h6,
rде 6....... уrол поворота винта, а........ радиус винта, а h высота подъема
при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки.
2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а,
вращающеrося с постоянной уrповой скоростью ro так, что ero центр
при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью V O .
I 19. Естественный трехrранник пространственной кривой
Во всякой неособой точке М (х, у, е) пространственной кривой r == r (t)
можно построить ecmecmeeHНbla трехеранник (триэдр), состоящий из трех
взаимно перпендику лярных плоскостей (рис. 84):
u dr d 2 r
1) соnрuкасающейся плоскости ММ 1 М 2 ...... содержащеи векторы dt и dt 2 ;
2) Itор.мальной плоскости ММ.М, перпендикулярной к вектору 'd; и
3) СnРЯ'м'ляющей плоскости
ММIМа перпендикулярнойк двум
первым плоскостям.
В пересечении получаются три
прямые: 1) касательная MMt;
2) 2лавная НО р,М,аль М М 1; 3) би-
НОр'м'аль М М а, определяемые COOT
ветственно векторами:
dr
1) Т== dt (вектор касатель-
MoryT бьnъ вычислены по формулам
1l0Й);
dr d r
2) В == dt Х dt 2 (вектор бu-
но р,М,алu );
3) N == В Х т (вектор 2лавной
НОр'м'али) .
Соответствующие едини ч ные
векторы
т В N
T== ITi ; '== 18' ; == lNJ
dr
't== ds ;
d
di
." == \ 1: Р == 't Х .".
Всли Х, У, Z текущие координаты точки касательной, то уравнения I{a.
сатеJJЬНОЙ в точке М (х, у, 2) имеют вид
Х .....x y .....y Z 2
Ts Ту Та'
(1)
19]
ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕхrРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
221
rде Т х == ' т у == ' т z == ; ИЗ условия перпендику лярности прямой Н
плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
т х (Х ..... х) + т у (У ..... у) + Т z (Z ..... z) == о. (2)
Заменяя в уравнениях (1) и (2) Тх, ТУ' Tz на Вх, ВУ' Bz и N x , N y , N z ' полу-
чим уравнения бинормали и rлавнои нормали И, соответственно, соприка-
сающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
При м е р 1. Найти основные единичные векторы -;" V и @ кривой
x==t, y==t 2 , z==t 8
в точке t == 1.
Написать уравнения касательной, rлавной нормали и бинормали в этой
то чке.
Реш е н и е. Имеем:
и
r==tl+t2J+ t8 k
'::; == 1 + 2t} + 3t 2 k,
d 2 r
dt l == 2} + 6tk.
Отсюда при t == 1 получим:
dr
т == dt == 1 + 2} + 3k;
dr d2r I J k
В == dt Х dt 2 == 1 2 3 == 61 ....... 6} + 2k;
О 2 6
i J k
N == В Х т == 6 ....... 6 2 == ......221 ....... 16} + 18k.
1 2 3
Следовательно,
1 + 2} + 3k А == 31 ....... 3} + k ...... 11 i ....... 8} + 9k
-;'== у14 ,r Y 19 ' v == У 266 .1
Так как при t == 1 имеем х == 1, у == 1, z == 1, то
x l y l z l
1 з------
уравнения касательной,
х......l y l z l
3 == ..... 3 ==
уравнения бинормали и
x......l y l z l
..... 11 ...... 8......... 9
уравнения rлавноfi нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
Р(х, у, z)==O, О(х, у, z)==O,
dr d 2 r
то вместо векторов dt и dt i можно брать векторы dr t ах, ау, da J и
8*
228
фуНКции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rл. Vl
d 2 r d 2 x, d 2 y, d 2 z t, причем одну из переменных х, у, z можно считать незави.
симой и полаrать ее второй дифференциал равным нулю.
При м е р 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окру,кности
х 2 + у2 + Z2 == 6, х + у + z == О (3)
в точке ее М (1; 1;...... 2).
Реш е н и е. Дифференцируя систему (3), считая хнезависимой перемен-
ной, будем иметь:
х dx + у dy + z dz == О,
dx + dy + dz == о
11
dx 2 + dy2 + у d 2 y + dz 2 + Z d 2 z == О,
d 2 y + d 2 z == о.
Полаrая х == 1, у == 1, е == 2, получим:
dy== dx; dz==O;
2 2
d 2 y == 3 dx z ; d 2 z == 3 dx Z .
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
!dx. dx. 01 и {о, dx., dx 2 }
или
t 1, 1, О} и О. ..... 1, 1 .
Отсюда нормальн ый вектор соприкасающе ся плоскости есть
i j k
В == 1 ...... 1 О == i ...... j ...... k
О 1 1
и, следовательно, ее уравнение
...... 1 (х .... 1) (у 1) (z + 2) == о,
x+y+z==O,
т. е.
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости.
2090. Найти основные единичные векторы ';, У, кривой
x===l costt y==sint, Z==t
л:
в точке t=== 2 ·
2091. Найти единичные векторы касательной и rлавной нормали
I,онической спирали
r === e t (; cos t + i sin t + k)
D произвольной точке. Определить уrлы, составляемые этими прямыми
с осью OZ.
2092. Найти основные. единичные векторы , У, кривой
у == х., z == 2х
в точке х === 2.
2093. Для винтовой линии
х === а cos t, У === а si n t J Z == bt
. 19]
ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕхrРАННИК ПРОСТРАНСТВЕнноА кривой
229
написать уравнения прямых, составляющих ребра eCTecTBeHHoro трех..
rранника в произвольной точке линии. Определить направляющие коси..
нусы касательной и rлавной нормали.
2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный
трехrранник кривой
х 2 + у2 +Z2 ===6, х 2 у2 +Z2 === 4
в точке ее М ( t ; 1; 2).
2095. Составить уравнения касательной, нормаЛБНОЙ плоскости и
соприкасаЮLЦейся плоскости кривой
x===t, y===t 2 , z===t 3 в точке М(2; 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, rлавной нормали и бинор"
мали в произвольной точке кривой
t' t'
Х==4' У===3'
t 2
z==="2 ·
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна
плоскости x+3y+2z 10===0.
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоско..
сти, rлавной нормали и бинормали кривой
х === t,
y=== t,
t 2
z
2
в точке t === 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в 9ТОЙ
точке.
2098. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости
к следующим кривым:
а) Х === R cos z t, У === R sin t cos t, z == R sin t при t === ;
б) z === х 2 + у2, Х === у в точке (1; 1; 2);
в) X 2 +y2+z2:=:=25, x+z===5 в точке (2; 2VЗ; 3).
2099. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой z === х 2 .......... у2,
У ===х в начале координат.
2100. tiайти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
t V
x===e t , y===e , z===t 2 в ТОЧl{е t===O.
2101. Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а) X 2 +y2+Z2===9, x2 y2===3 в точке (2; 1; 2);
б) х 2 === 4у, х 3 == 24z в точке (6; 9; 9);
в) x2+z2==a Z , yZ+z2=:=b 2 В любой точке кривой (х о , уо, zo).
2102. Составить уравнения соприкасаЮLЦейся плоскости, rлавной
нормали и бинормали к кривой
у2===х, X2==Z В точке (1; 1; 1).
280
функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[rл. vt
2103. Составить уравнения соприкасаЮLЦейся плоскости, rлавноА
нормали и бинормали к конической винтовой линии х === t cos t, У ==
== t sin t, z == Ы в начале координат. Найти единичные векторы каса-
тельной, rлавной нормали и бинормали в начале координат.
20. Кривизна и кручение пространствённой кривой
1 О. К р и в и 3 Н а. Под кривизной кривой в точке М понимается число
K== == Нт ,
R s o д..';
rде <р уrол ПОБорота касательной (У20Л смежности) на участке кривой MN,
I!1s ...... длина дуrи этоrо участка кривой. R называется радиусо'м' кривизны.
r?:сли кривая задана уравнением r == r (s), rде s длина дуrи, то
1 I d2 r I
R == ds 2 ·
Для случая общеfО параметрическоrо задания кривой имеем:
I dr d 2 r I
I dt Х {[ii
R / : /"
(1)
20. к р у ч е н и е. Под кручение,М, (второй кривизной) кривой в точке М
понимается число
1 1 . 8
T ........... 1т ..........
,
Q As o д.s
rде О уrол поворота бинорма.nи (У20Л смежности втОрО20 рода) на участке
,.........
кривой MN. Величина Q называется радиусо'м' кручения или радиусо'м' второй
1СривизНbl. Если r == r (5), то
dr d 2 r d'r
.!.. =F I dp I dS dSi llS'
Q ds ( d2r ) l'
ds '
rде знак минус берется в том случае, коrда векторы '2 и "1 имеют одинаковое
направление, и знак плюс...... в противоположном случае.
Если r == r (t), rде t произволъный параметр, то
dr d 2 r d'r
1 lП(ПZdii
Q ( dr d2r ) l.
dt Х dt l
(2)
При м е р 1. Н айти кривизну и кручение винтовой линии
r == i а cos t + j а sin t + k ье .. (а > О).
. 20]
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ кривой
231
Реш е н и е. Имеем:
: == i а sin t + j а cos t + kb,
d r
di2 == ---- i а cos t ....... j а slп t,
d 3 r i . t · t
dt 3 == а sш ........ J а cos .
Отсюда
х == a i sil1 t а {os t : I == i аЬ sin t J аЬ cos t + a k
а cos t ...... а sin t О
и
а 5i(J t а cos t Ь
dr d 2 r d'r а cos t а sif1 t О ==а 2 Ь.
dt dt 2 dt a О
а 5i" t а cos t
Следовательно, на основании форм ул (1) и (2) получим:
1 а V а 2 + Ь 2 а
R == (а 2 + Ь 2 )З/ з == а 2 + ь з
и
1 а 2 Ь Ь
Q а 2 (а 2 + Ь 2 ) == а 2 + ы t
Т. е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
30. Фор м у л ы Фре н е
d-r v dv :! + d'
ds == R ' ds R Q' ds Q.
2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна
нулю, то линия прямая.
2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно
нулю, то кривая плоская.
2106. Показать, что кривая
х === 1 + 3! + 2t 2 , У == 2 2t + 5t 2 , Z == 1 t 2
.......... плоская; найти плоскость, в которой она лежит.
2107. Вычислить кривизну линий:
а) x==cost, y===sint, z==cht при t===O;
б) x2 y2+Z2=== 1, y2 2x+z==0 в точке (1; 1; 1).
2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке КРИВЫХI
а) х === e t cos " у == e t sin " z === e t ;
б) x==acht, y==asht, z==at (zиперболuчеС1СаявuнтоваflЛUНUЯ).
2109. Найти радиусы кривизны и кручения в I1РОИЗВОЛЬНОЙ точке
(х, у, z) линий:
а) х 2 === 2ау, ха == 6a 2 z;
б) ха === 3р2у, 2xz == рl!.
232
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[r л. VI
2110. Доказать, что танrенцизльная и нормальная составляющие
вектора ускорения fV выражаются формулами
dv v 2
W't' === dt , W'i === R У,
rде v....... скорость, R........ радиус кривизны траектории, и у........ единич-
ные векторы касательной и rлавной нормали к кривой.
2111. По винтовой линии r === i а cos t + j а sin t + btk дви}кется
равномерно точка со скоростью v. Вычислить ее ускорение w.
2112. Уравнение движения есть
r === ti + , 2 } + tSk.
Определить в моменты времени t == О и t === 1: 1) кривизну траекто-
рии и 2) танrенциальную и нормальную составляющие вектора YCI{O-
рения движения.
r л А В А VIl
КР А ТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrр АЛЫ
I 1. Двойной интеrрал в прямоуrольных координатах
1 О. Н е п о с р е Д с т в е н н о е в ы ч и с л е н и е Д в о й н ы х и н т е r р а.
л о в. Двойным uнтеzралом от непрерывной функции f (Х, у), распространен-
ным на оrраниченную замкнутую область S плоскости ХОУ, называется предел
соответствующей двумерной интеrральной суммы
f (х. У) dx dy == Нт t (xi. Yk) t!.xji'!Yk' (1)
( S ) тах Ах, с) 1 k
тах AYk --+ О
rде xc== Xi+l Xj, Yk == Yk+t Yk и сумма распространена на те значения
i и k, для которых точки (Xi; Yk) принадлежат области S,
20. Р а с с т а н о в к а п р е Д е л о в и н т е r р и р о в а н и я в Д в о й...
н о м и н т е r р а л е. Различают два основных вида области интеrриро...
вания.
1) Область интеrрирования S (рис. 85) оrраничена слева и справа пря-
мыми х ==Х ! И Х == Х 2 (Х 2 > Х 1 ), а снизу и сверху непрерывными кривыми
у
у
с
в
У, У а 9,(Х) f
I
1
I
О xi х .ха
Рис. 85.
в
о
!/l
!J
у,
х
о
х
Рис. 86.
у == <[)1 (х) (АВ) и у == <[)2 (х) (CD) [<[)2 (х) 1 (х»), каждая из которых пересе-
кается с вертикалью х == Х (Х 1 < х < х 2 ) только в одной точке (см. рис. 85).
В области S переменная х меняется от Х 1 дО Х 2' а переменная у при постоян
ном )(, меняется от Уl == <[)1 (х) до Уа == <Ра (х). Вычисление интеrрала (1) може1'
234
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
быть произведено путем сведения к повторному интеrралу по формуле
Х2' <Р2 (х)
Н f (х, у) dx dy == dx f(x, у) dy,
(8) хl <Рl (х)
<Р2 (х)
rде при вычислении f (х, у) dy величину х полаrают постоянной.
ер1 (х)
2) Область интеrрирования S снизу и сверху оrраничена прямыми у == 01
И У == У2 (У2 > Yt), а слева и справа непрерывными кривыми х == '1'1 (у) (АВ) и
х == '1'2 (у) (CD) ['1'2 (у) '1'1 (у)], каждая из которых пересекается с rоризон-
талью у == у (УI < У < У2) только в одной точке (рис. 86).
Аналоrично предыдущему имеем:
У2 Ф2 (у)
Н t (х. у) dx dy == dy пх, у) dx,
(S) У1 Фl (у)
Ф2 (у)
rде при вычислении интеrрала f (х, у) dx величина у считается постоянной.
Фt (у)
Если область интеrрирования не принадлежит ни к одному из разобран-
ных выше видов, то ее стараются разбllТЬ на части, каждая из которых отно-
сится к одному из этих двух видов.
При м е р 1. Вычислить интеrрал
1 1
1 == ) dx (х + у) dy.
о х
Реш е н и е.
1 t
1 == S ( ху + ) dx == S [( х + ) (х. + . )] dx == ·
о о
Определить пределы интеrрирования интеrрала
lJ
Jt.
Hl(x, y)dxdy,
(8)
если область интеrрирования S (рис. 87)
оrраницена rиперболой у2 х 2 == 1 и двумя
прямыми х == 2 и х == 2 (имеется в виду
область, содержащая начало координат).
Реш е н и е. Область интеrрирования
ABCD (рис. 87) оrрани цена прямыми х ==
== 2 и х == 2 и д вумя ветвям и rип ерболы:
y==YI +х2 и y== Yl +х2,
А
8
Рис. 87.
Т. е. принаIJ.лежит к первому виду. Имеем:
2 V 1+ х 2
Н f (х, у) dxdy == S ах S l (х. у) dy.
(S) --2 __ У 1+ х3
s lJ
двойной ИНТЕrРАЛ в прямоуrольных КООРДИНАТАХ
235
Вычислить следующие повторные интеrралы:
2 1 8 I
2113. ) dy S (x 2 +2y)dx. 2117. ) dy ) (x+2y)dx.
о о 3 у2 4.
4 2 21t а
2114. SdxS(X y)2' 2118. ) d<p ) r dr.
3 1 О а 51п ер
1t
1 1 2 8 СОЗ ер
2115. S S x 2 dy 2119. ) dq> ) ,2 sin' fP dr.
dx 1 + у2 ·
О О 1t О
......
2
2 Х 1 V 1 х 2
2116. 5 dx 5 x z :! · 2120. dx V l x2........y2 dy
1 1 О О
х
Написать уравнения линий, оrраничивающих области, на которые
рас.пространены нижеследующие двойные интеrралы, и вычертить эти
области:
2 2 y
2121. dy S f(x, у) dx.
8 у2
...... 1
4.
2124.
а 2Х
S dx ЛХ, у) dy.
1 Х
а
а У25 x2
dx f(x, у) dy.
о о
2 Х+2
dx S ЛХ, у) dy.
1 х 2
а х+.
2122. S dx ЛХ, у) dy.
1 х 2
4. 10..."
2123. dy S ЛХ, у) dx.
о ,
Рас.ставить пределы интеrрирования в том и друrом порядке
в двойном интеrрале
2125.
2126.
н ЛХ, у) dx dy
(S)
для указанных областей S.
2127. S прямоуrольник с вершинами 0(0; О), А(2; 0),8(2; t),
с(о; 1).
2128. S треуrольник с вершинами 0(0;0), А(l;О), 8(1; 1).
2129. S трапеция с вершинами О (о; О), А (2; О), В (1; 1),
с(о; 1).
2130. s........ параллелоrрамм с вершинами А (1; 2), В (2; 4), С (2; 7),
D(l; 5).
2131. S круrОБОЙ сектор ОАВ с центром в точке О (о; о), у
KBToporo концы дуrи А (1; 1) и 8 ( ----- 1; 1) (рис. 88).
236
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
2132. S прямой параболический cerMeHT АОВ, оrраниченный пара-
болой БОА и отрезком прямой ВА, соединяющим ТОЧКИ В( 1; 2)
и А ( 1; 2) (рис. 89).
2133. S KpyroBoe кольцо, оrраниченное ОКРУ)I{НОСТЯМИ радиусов
(== 1 и R==2, с общим центром 0(0; О).
у
f '2 )
1.(1;2)
8f/jJ)
о
Рис. 88.
к
о
Рис. 8 .
х
2134. S оrраничена rиперболой у2 ----- х 2 === 1 и окружностью х! +
4 у2 == 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
2135. Расставить пределы интеrрирования в двойном интеrрале
и Лх, у) dx dy,
(8)
если область S определяется неравенствами
а) x o; y o; x+y l; r) y x; x l; у::::;;; 1;
б) x2+y2 a2; д) y x y+2a;
в) х 2 + у2 х; О у::::;;; а.
Переменить порядок интеrрирования в следующих ДВОЙНЫХ иите-
rралах:
4 12Х
2136. 5 dx 5 j(x, у) dy.
о зх 2
2140.
2а
S dx
v4liX
5 j(x, у) dy.
о
У2ах x2
2138.
1 ах
5 dx 5 ЛХ, у) dy.
о 2х
а 11 а 2 х 2
5 dx 5 ЛХ, у) dy.
о а 2 х 2
2а
а У2ах x2
5 dx 5
1
2141. 5 dy
о
l y
5 ЛХ, у) dx.
11 1 у2
2137.
2139.
f{x, у) dy.
1 11 з у2
2142. 5 dy 5 j (х, у) dx.
о у2
2
а о
J
1]
ДВОЙНОЙ ИНТЕrРАЛ в прямоуrольных КООРДИНАТАХ
237
RY2
-----;---- х R У Я2 -- х"'
2143. dx [(х, у) dy + dx [(х, у) dy.
о о RY2 о
2
1t sinx
2144. dx f(x, у) dy.
о ()
Вычислить следующие двойные интеrралы:
2145. х dx dy, rде S треуrольник с вершинами О (о; О),
(5)
А (1; 1) и 8(0; 1).
2146. х dx dy, rде область интеrрирования S оrраничена пря-
(8)
МОЙ, прохоДящей через точки А (2; о), 8(0; 2), и дуrой окруж-
ности с центром в точке С (о; 1), радиуса 1 (рис. 90).
у
8(0;2) у
8/ (21) - д (1,1)
e(O;I)
о х
Рис. 90. Рис. 91.
2147. SS dx dy rде S часть Kpyra радиуса а с центром
у а 2 X уЗ '
(S)
в точке О (о; О ), лежа щая в первой четверти.
2148. v х 2 у2 dx dy, rде S треуrольник с вершинами
(5)
О (О; О), А ( 1 ; ........ 1) и 8 ( 1; 1).
2149. v ху у2 dx dy, rде S треуrольник с вершинами
(S)
0(0; О), А(10; 1) и 8(1; 1).
х
2150. е' dx dy, rде S криволинейный треуrольник ОАВ,
(S)
оrраниченный параболой ,2 == Х и прямыми Х == О, У == 1 (рис. 91).
238
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. У1I
2151. 55 2d d; , rде S параболический cerMeHT, оrраниченный
(S)
х 2
параболой у == 2 и прямой у == х.
2152. Вычислить инrеrралы И вычертить области, на которые они
распространены:
1t
......
1t 1 + cos х 2& а cus у
а) dx у! sin х dy; в) dy х 2 S1n 2 у dx.
о о 1t О
.....
J
1t
.....
2& 1
б) dx у'" dy;
о СО! Х
Ilри решении задач 2153 2151 рекомендуется предварительно
делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеrрал
н ху. dxdy,
(S)
если S есть область, оrраниченная параболой у2 == 2рх и прямой
х==р.
2154*. Вычислить двойной интеrрал
н ху dxdy,
(8)
распространенный на область S, оrраниченную осью ОХ и BepxHeI:J
полуокружностью (х 2)2 + у2 == 1.
2155. Вычислить двойной интеrрал
55 dxdy ,
(8) У 2а х
rде S Kpyr радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в
первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеrрал
н у dx dy,
(S)
rде область S оrраничена осью абсцисс и аркой циклоиды
{ х == R (t ...... sin t),
у == R (1 ...... cos t) (О t 2л).
2]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕrРАпВ
239
2157. Вычислить ДВОЙНОЙ интеrрал
н ху dxdy,
(S)
в котором область интеrрирования S оrраничена ОСЯМИ координат и
дуrой астроиды
х == R cos' t, У == R sin' t ( О t ) .
2158. Найти среднее значение функции f(x,y)=== xy 2 В области
S{O x 1; o:::;;y 1}.
у к а з а н и е. Средним значением функции f (х, у) в области S называется
число
7 == пл. 55 l (х, у) dx dy.
(S)
I
2159. Найти среднее значение квадрата расстояния точки М (х, у)
Kpyra (x а)2 + y21 R 2 от начала координат.
2. 3aM Ha переменных в двойном интеrрале
1 О. Д в О й н о й и н т е r р а л в n о л я р н ы х к О о р Д и н а т а х. При
переходе в ДВОЙНОМ интеrрале от прямоуrольных координат х, у к поляр..
ным " <р, связанным с прямоуrольными координатами соотношениями
х == r соз <р, у == r sin <р,
имееТ место формула
SS f (х. у) dx dy == SS f (, cos rp. " 5i" rp) r dr drp. (1)
(S) (S)
Если область интеrрирования S оrраничена лучами r == а и r == (а < р) и
кривыми r == r 1 (q» И r == ' 2 (q», rде r 1 (q» И r 2 (q» (rl (q» е:;;; ' 2 (q>)) однознач-
ные функции на отрезке а е:;;; q> е:;;; р, то двойной и нтеrрал может быть вы..
числен по формуле
'2 ( )
F (rp. ') r dr drp == drp F (rp, ') rdr,
(S) (1 '1 ( )
'2 ( )
rде F (q>, ') == f (, cos rp. r 5in rp). При вычислении интеrрала S F (rp, ,) r dr
'1 ( )
величину q> полаrают постоянной.
Если область интеrрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то
ее разбивают на части, каждая из которых является областью данноrо вида.
20. Д в о й н о й и н т е r р а л в к р и в о л и н е й н ы х к о о р Д и н а т а х.
В более общем случае, если в двойном интрrраде
SS f (х, у) dx dy
(S)
240
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ I!НТЕrРАЛЫ .
[rп. УН
'fребуется ОТ переменных х, у перейти к переменным и, v, связанным С «, у
непрерывными и диффереНllируемыми соотношениями
х == ер (и, v), у == 'ф (и, V),
устанаВЛИЕающими ЕзаИМ1-Iооднозначное и в обе стороны непрерывное СООТ-
ветствие между точками облаС1И S плоскости ХОУ и точками некоторой обла-
сти S' плоскости UO'V, и при этом яко6uан
дх ду
1== D (х, у) == ди дu
D(u,V) дх ду
дv av
сохраняет [сстоянный знак в области S, то
спраЕед ива qормула
,( S S f (х. у) dx d У ==
(S)
== SS пч> (и, v), 'Ф (и, v)] 111 du dv.
(S')
Пределы HOBoro интеrрала определяются
Рис. 92. по общим правилам на основании вида обла-
сти S'.
При м е р 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
S S v 1 ха уа dx dy,
(8)
rJie область s..... Kpyr радиуса R == I с центром в начале координат (рис. 92).
Реш е н и е. Полаrа я х == , cos <1', У ==, sin <р, пол учаем:
У] х 2 у2 == УI (, cos <р)2 (, sin <р)2 == V 1 ..... , 1 .
Так как в области S координата , при .,'!юбом q> изменяет('я от О до 1, а q>
изменяется 01 О ДО 2п, 10
2-к 1
И V 1 х 2 уа dx dy == S dq> S , У 1 ,2 d, == П.
(8) о о
Перейти к полярным координатам т, ер и расставить пределы
IIнтеrрировзния по новым переменным в следующих интеrралах:
1 1
2160. S dx S I (х, у) dy.
о о
2162. И Лх, у) dx dy,
(S)
rде s......... треуrол ьник, оrраниченный
1 1
2163. S dxSI( )dY,
I ;&2
, "
2161. S dx Sf(Yx a +y2)d,v.
о о
прямыми у==х, У==-.......х, У== 1.
2]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕfРАЛЕ
241
2164. f(x, у) dx dy, rде область S оrраничена лемнискатоА
(S)
(х l + уl)1 == а l (х l ...... yl).
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеrрал
н ydxdy,
(S)
rде S полукруr диаметра а с центром в точке С ( ; о) (рис. 93).
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин-
теrрал
S (х l + yl)dxdy,
(S)
распространенный на область, оrраниченную окружностью xl+yl==2ax.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеrрал
у
и V al x2 yl dxdy,
(S)
v
О
х
rде область интеrрирования s...... полу-
Kpyr радиуса а с центром в начале ко-
ординат, лежащий выше оси ох.
2168. Вычислить двойной интеrрал
от функции f(r, <р) ==, по области, or-
раниченноА кардиоидой r== а (1+ cos <р)
и окружностью , == а. (Имеется в виду область, не содержащав
полюса. )
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
Рис. 93.
а JI' а 2 х 2
dx V хl+ y1dy.
о о
2170. Переходя к полярным координатам, вычислить
И v а 2 х 2 у2 dx dy,
(S)
rде область S оrраничена лепестком лемнискаты
(х 2 + yl)2 == а 2 (х l ....... yl) (х О).
2171*. Вычислить двойно й интеrрал
55 ... / х 2 у2
V 1....... а2 Ь 2 dx d}.
(S)
242
КРАТНЫЕ И кривопинвйн ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
х' у'
распространенный на облас.ть S, оrраниченную эллипсом а 2 + Ь' === 1,
переходя к обобщенны"" полярны,м коордuната,м r и <р по формулам:
х у.
а == , cos <р, 7i == , 51П <р.
2172**. Преобразовать
с X
dx /(х, y)dy
о (J,X
(О<а<р и ,>0), введя новые переменные u==х+у, uv==y.
2173*. Выполнить замену переменных и === х + у, v === х........ у в
интеrрале
1 1
dx [(х, у) dy.
о о
2174*.. Вычислить двойной интеrрап
н dxdy,
(S)
r де S область, оrраниченная кривой
( х' у! ) 2 х' у'
а 2 + Ь 2 == h 2 k 2 .
Ъ" к а з а н и е. Проиэвести замену переменных
х == а' cos <р, у == Ь, sin <р.
3. Вычисление площадей фиrур
1 о . П п о Щ а Д ь В п р я м о у r о л ь Н ы х к о о р Д и н а т а х. Площадь
плосlWй области S равна
пл. s== S dx dy.
(S)
Если область S определена неравенствами а х Ь, <р (х) у ", (х), то
ь Ф (х)
пл. s== dx dy.
а ер (х)
20. П JI О Щ а Д ь в n о л я р н ы х к о о р Д и н а т а х. Если область S в
полярных координатах r и <р определена неравенствами а q> р, l (q» r
.;;;; F (q», то
F (<р)
пл. s== r drpdr== drp S rdr.
(S) (1 I (ер)
3]
ВЫЧИСЛЕНИВ .ПЛОUЦАДЕЙ ФиrУР
243
2175. Построить области, плоuцади которых выражаются ивтеrра-
лами:
2 х+а
а) ) dx ) dy;
1 x'J
а у' а 2 у2
б) ) d У ) dx.
о a y
Вычислить эти ПЛОLЦади и изменить порядок интеrрирования.
2176. Построить области, площади которых выражаются интеrра..
лами:
1t
а)
arc t g 2
а sec Ф
dq> r d ';
о
б)
2 а (I+C09 )
) dq> r dr.
1'1: а
2
1'1:
4.
Вычислить эти площади.
2177. Вычислить плоu адь, оrраниченную прямыми х==у, х=-2у,
х+ у===а, х+3у===а(а>0).
2178. Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и оrраничен-
ную этой осью, параболой уl==4ах и прямой х+ у==3а.
2179*. Вычислить площадь, оrраниченную эллипсом
(у........ х)1 + х 2 === 1.
2180. Найти площадь, оrраниченную параболами
,1 == 1 Ох + 25 и у2 === ........ 6х + 9.
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь, оrрани"
ценную линиями
х" + у2 === 2х, хl + у" == 4х, у===х, У === О.
2182. Найти площадь, оrраниченную прямой, cos <р === 1 и окруж-
ностью , === 2. (Имеется В виду площадь, не содержащая полюса.)
2183. Найти площадь, оrраниченную кривыми
r==a(l+coscp) и r===acoscp(a>O).
2184. Найти ПJlощадь, оrраниченную линией
( + L ) a .......L
4 9 4 9.
2185*. Найти площадь, оrраниченную эллипсом
(х ---- 2у + 3)1 + (3х + 4у 1)1 == 100.
2186. Найти площадь криволинейноrо четырехуrольника, оrрани-
ченноrо дуrами парабол х" == ау, х 2 ===Ьу, у!===ах, уl == X (О <а<Ь,
O<a< ). .
у к а з а н R е. Ввести новые переменные и и v, полаrая
)(,1 == "О, уЗ == VX.
244
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[I"Л. VH
2187. Найти ПЛОIЦздь криволинейноrо четырехуrольника,-оrрани-
ченноrо дуrами I<ривых у2==ах, у"==Ьх, ху==а, xy== (О<а<Ь,
O<a< ).
у к а 3 а н и е. В вести новые переменные и и v, полаrая ху == и, у2 == vx.
-
4. Вычисление объемов тел
'\
Объем V цuлuндроuда, оrраниченноrо сверху непрерывной поверхностью
z == f (х, у), снизу плоскостью z == О и с боков прямой цилиндрической по-
верхностью, Бырезывающей на плоскости ХОУ область S (рис. 94), равен
V == Н f (х, у) dx dy.
(S)
2188. Выразить при помощи двойноrо интеrрала объем пирамиды
с вершинами О (о; о; о), А (1; о; О), 8(1; 1; о) и с(о; о; 1)
(рис. 95). Расставить пределы интеrрирования.
z
z
у
.у
v
,....,-......
8(1;1;0)
Рис. 94.
Рис. 95.
в задачах 2189 2192 нарисовать тела, объемы которых выра-
жаются данными двойными интеrралами:
1 1 x
2189. dx (l x y)dy.
о о
2 2 X
2190. dx (4 x у) dy.
о о
2191.
2 'v 1 х 2
dx
(1 ....... х) dy.
о о
2 2
2192. dx (4 x y)dy.
о 2 X
219 3. Н арисовать тело, объем KOToporo выражается интеrралом
11 'v а 3 х'
dx V а 2 х 2 уа dy, и из rеометрических соображений,
. о
наАти величину этоrо интеrрапа.
4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
245
2194. Найти объем тела, оrраниченноrо эллиптическим параболои-
дом z == 2х2 + у2 + 1, плоскостью х + у === 1 и координатными пло-
скостями.
2195. Тело оrраничено rиперболическим параболоидом z === х 2 уl
И плоскостями У === о, z === о, х == t. Вычислить ero объем.
2196. Тело оrраничено цилиндром х 2 + Z2 === а 2 и плоскостями
у == о, z == о, у === х. Вычислить ero объем.
Найти объемы тел, оrраниченных следующими поверхностями:
2197. az==y2, х 2 + y2==r2, z==o.
2198.y==V x , y==2V x , x+z==6, z==o.
2199. z==x 2 + у2, у==х 2 , у== 1, z===o.
3
2200. x+y+z===a, Зх+у===а, 2х+у===а, у===о, z===o.
х 2 ZZ Ь
2201. ----т + 2 == 1, У === х, у == о, z === о.
а с а
2202. х 2 + у2 == 2ах, z == ах, z == X (а > ).
в задачах 220З 2211 использовать полярные и обобlценные по-
лярные координаты.
2203. Найти весь объем, заключенный между нилиндром
х! + у2 == а 2 и rиперболоидом х 2 + у2 Z2 === а 2 .
2204. Найти весь объем, заключенный между конусом 2 (х 2 + у2) ............
Z2 === О И rиперболоидом х! + у2 .......... Z2 === aZ.
2205. Найти объем, оrраниченный поверхностями 2az == х 2 + у2,
х 2 + у2 Z2 ==а 2 , z== о.
2206. Определить объем эллипсоида
х! у? Z2
{l2 +fjТ+ с2 === 1.
2207. Найти объем тела, оrраниченноrо параБОЛОИДО\1 2az ==
== х 2 + у2 и шарО:\1 х 2 + у2 + Z2 === За 2 . (Подразумеваетсн' объем,
лежащий внутри параболоида.)
2208. Вычислить объем тела, оrраниченноrо плоскостью ХОУ"
цилиндром х 2 + у2 === 2ах и конусом х 2 + у2 === z2.
2209. Вычислить uбъем тела, оrраниченноrо плоскостью ХОУ,.
поверхностью i == ae (х 2 +у2) И цилиндром х 2 + у2 == R 2 .
2210. Вычислить объем тела, оrраниченноrо плоскостыо ХОУ,
х 2 у2 х 2 у2 Х
параболоидом Z == az + ь2 и цилиндром а2 + ь2 == 2 а ·
2211. В каком отношении rиперболоид хl + у2 Z2 == а l делит
объем шара х 2 + уа + Z2 За 2 ? "
2212*. Найти объем тела, о."равиченноrо поверхностями Z == х + У,.
ху==1, ху===2, у===х, у===2х, z==o (х'>О, у>о).
245
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
5. Вычисление площадей поверхностей
Площадь (J rладкой однозначной поверхности z == t (х, у), имеющей своей
проекцией на плоскость ХОУ область S, равна '
а== S5 у 1 + ( ) 2 + ( z y dx dy.
) У,
2213. Найти площадь части ПЛОСКОСТИ !!...+ У Ь + === 1, заклю-
а с
ченной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х 2 + у2 ==
== R 2 (z О), содержащуюся между ПЛОСКОСТЯМИ z=== тх и
z==пx(m>п>O).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х 2 у2 ==Z2,
расположенную в первом октанте и оrраниченную плоскостью у + z === а.
2216. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х 2 + у2 === ах,
вырезанную из Hero сферой х 2 + у2 + Z2 === a l .
2217. Вычислить площадь части поверхности шара х 2 + у2 +Zl === а 2 ,
х2 у2
вырезанную поверхностью а 2 + . Ь 2 === 1.
2218. Вычислить площадь части поверхности параболоида
12 + z" === 2ах, содержащуюся между цилиндром у2 == ах и плоско-
стью х == а.
2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х 2 + у2:=2ах,
содержащуюся между плоскостью ХОУ и конусом х 2 + у2 === z2.
2220*. Вычислить площадь части поверхности конуса х 2 у2 == z2,
лежащую внутри цилиндра х'" + у'" === 2ах.
2220.1*. Найти площадь части цилиндра у2 == 4х, вырезаННУIО
сферой х 2 + у2 + z'" === 5х.
2220.2. Найти площадь части конуса z -== 11 х 2 + yZ, вырезанную
цилиндром (х 2 + у2)2 == а ' (х 2 у2).
2221*. Доказать, что площади частей поверхностей параболоидов
х. + у'" == 2az и х'"........ у2 == 2az, вырезаемых цилиндром х 2 + у2 === R 2 ,
равновелики .
2222*. Шар радиуса а прорезан ДВУМЯ круrлыми цилиндрами, диа-
метры оснований которых равны радиусу шара и которые касаются
друr друrа вдоль одноrо из диаметров шара. Найти объем и пло-
щадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основа-
нием, сторона KOToporo также равна а. Ось просвета совпадает с
диаметром шара. Найти ПJIощадь поверхности шара, вырезанной про-
светом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности
z== с arctg J!...., лежа ей в первом октанте и заключенной между ци-
х
линдрами х 2 + у2 == а 2 и х 2 + у2 == Ь 2 .
6].
ПРИЛОЖЕНИЯ двойноrо ИНТЕrРАЛА к МЕХАНИКЕ
241,
6. Приложения двойноrо интеrрала к механике
1 О. М а с с а и с т а т и ч е с к и е м о м е н т ы п л а с т и н к и. Если
S область плоскости ХОУ, занятая пластинкой, и Q (х, у) поверхностная
плотн()сть пластинки в точке (х; у), то масса М пластинки и ее статические
моменты Мх и Му относительно оtей ОХ и ОУ выражаются двойными инте-
rралами
M Н Q(X, y)dxdy, Mx Н YQ(X, y)dxdy,
(S) (8)
Му== Н XQ (х, у) dx dy. (1)
(S)
Если пластинка ОДНОрОДllа, то Q (х, у) == const.
20. К о о р Д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и и п л а с т и н к Н. ' Если
С (х, у) центр тяжести пластинки, то
..... М у Мх
х == М ' у== м '
rде М масса пластинки и М Х' М у ее статические моменты относительно
осей координат (см. 1 О). Если пластинка однородна, то в формулах (1) можно
положить Q == 1.
30. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции пластинки
относителъно осей ОХ ОУ соответственно равны
Ix 55 y2 Q (X, y)dxdy, Iу== 55 rQ(x, y)dxdy. (2)
(S) (5)
OMeHT инерции пластинки относительно начала координат
10 55 (х 2 + у2) Q (х, у) dx dy Iх+ Iу. (3)
(5)
Полаrая Q (х, у) == 1 в формулах (2) и (3), получаем rеометрические моменты
инерции плоской фиrуры.
2225. Найти массу круrлой пластинки радиуса R, если плотность
ее пропорциональна - расстоянию точки от центра и равна 6 на краю
пластинки.
2226. rIластинка имеет фор- У
му прямоуrольноrо треуrольника
с катетами ОВ==а и ОА===Ь, при-
чем плотность ее 8 любой точке
равна расстоянию точки от катета
ОА. Найти статические моменты
пластинки относительно катетов
ОА иОВ.
2227. Вычислить координаты Рис. 96.
центра тяжести фиrуры ОтАпО
(рис. 96), оrраниченной кривой у == Sill Х И пряМ'l)Й ОА, проходящей
через начаJIа координаr и вершину А ( ; 1) СИНУCt)иды.
248
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕfРАЛЫ
(rл. УН
2228. Найти координаты центра тяжести фиrуры, оrраниченной
I,ардиоидой , == а (1 + cos <р).
2229. Найти координаты центра тяжести KpyroBoro сектора радиу-
са а с уrлом при вершине 2а (рис. 97).
2230. Вычислить координаты центра тяжести фиrуры, оrраничен-
ной параболами у2 === 4х + 4 и у2 === 2х + 4.
2231. Вычислить момент инерции тре-
у уrольника, оrраниченноrо прямыми х + у== 2,
х == 2, У == 2, относительно оси ОХ.
2232. Найти момент инерции KpyroBoro
кольца с диаметрами d и D (d < D): а) отно-
сительно ero центра и б) относительно ero
Х диаметра.
2233. Вычислить момент инерции KBaд
рата со стороной а относительно оси, про-
Рис. 97. ходящей через ero вершину перпендикуляр
но к плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции cerMeHTa, oTceKaeMoro от пара-
болы у" == ах прямой х == а, относительно прямой у == а.
2235*. Вычислить момент инерции ПЛОLЦади, оrраниченнvй rипер-
болой ху === 4 и прямой х + у === 5, относитель о прямой х === у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропор-
циональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент
инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вер-
шину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды r === а (1 + cos <р) относи
тельно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты r 2 == 2а 2 cos 2ср
относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости в полюсе.
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, оrрани-
ченной одной аркой циклоиды х === а (t sin t), у == а (1 cos t) и осью
ОХ, относительно оси ох.
7. Тройные интеrралы
1 О. т рой н о й и н т е r р а л в n р я м о у r о л ь Н ы х к о о р Д и н а т а х.
Тройным интеrра.пом ОТ функции f (х, у, z), распространенным на область V t
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
r r 5 f (Х, у, z) dx dy dz == liт f (Xi, У i' Zk) !1xi !1y j Az k .
J ( ) та х AXi -+ О 1 J k
тах Ау) -+ О
тах AZk -+ о
Вычисление тройноrо «нтеrрала сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интеrралов или к вычислению oJIHoro
nвойноrо и одноrо o HoKpaTHoro.
7]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
249
При м ер 1. Вычислить
1 == x 8 ';z dx dy dz,
V
rде область V определяется неравенствами
О x 1, О y x, О z xy.
Реш е н и е. Имеем:
1 Х ху
1 == S dx S dy
о о о
5 1 5 Х х5у4 5 1 х5 У5 / Х 5 1 хl0 1
== dx 2 dy== "2 '5 dx== 10 dx== 110 .
о о о о о
1 Х "у
x a y2z dz == S dx S х 8 у2 i I dy::::::
о О о
При м ер 2. Вычислить
распространенный на объем
Реш е н и е.
ха dx dy dz.
(V)
Х З у! Z2
эллипсоида аЗ + fji +"Ci == 1.
а а
х! dx dy dz == х 2 dx S S dy dz == S x 2 S yz dx,
(У) a (Syz) a
!t Zl х?
rде Syz есть площадь эллипса fj2 + с2 == 1 а 2 ' Х == const, равная
-. /" х2
Syz == лЬ V 1....... аЗ .е
V х2 ( XZ )
1 == лЬе 1 .
а 2 . а 2
Поэтому окончательно имеем:
а
555 х2dхdуdz==лЬс 5 ха (1 :: ) dx== l ла1Ьс.
(n a
20. 3 а м е н а пер е м е н н ы х в т рой н о м и н т е r р а л е. Если
в.тройном интеrрале
S 55 f (х, у, z) dx dy dz
(V)
01' переменных х, у, z требуется перейти к переменным и, и, ш, связанным с
х, у, z соотношениями х == <р (и, и, ш), у == 11' (и, и, ш), z ==х (и, v, ш), rде ФУНК-
ции <р, '1', х:
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1 ro порядка;
2) устанавливают взаимнооднозначное и в обе сто)оны непрерывное соот-
веТСТвие между точками области интеrрирования V пространства OXYZ и точ-
ками некоторой области У' пространства O'UVW;
250
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕfРАЛЫ
[r л. VII
3) функц"ональный определитель (якобиан) этих функций
J == D (х, у, z) ==
D (и, и, ш)
дх дх
дu ди
ду ду
дu ди
az az
дu ди
дх
дш
ду
дш
дz
дш
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
Н t (х, у, z) dx dy dz == Н [[<р (и, v, w), Ф (и, v, w), Х (и, v, w)] I 1 I dиdvdw.
lИ ( )
2
z
f
, И(r,
,ч(rl /lJ
z
r'J
Рис. 98.
Рис. 99.
в частности,
1) для цилиндрических координат (, <1', h (рис. 98), rде
х '> f COS <р, у == r sin <р, z == h,
получаем, что 1==,;
2) для сферических координат <р, '1', f (ср Долrота, '1' широта, r ра-
диус-вектор) (рис. 99), r де
х == r cos 'Ф cos ер, у == , cos '1' siл <р, z == , sin '1',
lIMeeM I == ,2 COS '1'.
При м ер 3. Переходя к сф ерическим координатам, вычислить
S S S у х! + у2 + 1.2 dx dy dz,
(V)
rде V шар радиуса R.
. Реш е н и е. Для шара пределы изменения сферических коор,uинат ер (J.lол-
!'оты), 'ф (широты) и , (радиуса вектора) будут:
n 11:
O <p 211:, 2 'Ф 2' O f R.
Поэтому будем иметь:
1t
211: 2 R.
S S S у х'- + у! + ZZ dx dy dz == S d'P S dф S r r cos Ф dr == 1f.R'.
{У) о ..... о
а
I 7]
ТРОПНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
251
З(). При л о ж е н и я т рой н ы х и н т е r р а л о в. ОбuМ, области трех-
MepHoro пространства OXYZ равен
V == Н dx dy dz.
(V)
Масса тела, занимающеrо область у,
М == И 'v (х. У. z) dx dy dz,
(V)
rде у (х, у, z) ..... плотность тела в точке (х; у; 2).
Статические .моменты тела относительно координатных плоскостей
Мху== 'v (х, У. z) z dx dy dz;
(V)
M yz == 'v (х, у. z) х dx dydz;
(V)
M zx == И 'v (х. у. z) у dx dy dz.
(V)
Координаты центра тяжести
..... MyZ ....... Mzx .... MXY
X , y , z м--.
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести мо>к.
НО положить 'у (х, у, z) == 1.
MoJtf,eHmbl инерции относительно осей координат .
I х== (11 + z.) 'v (х. у, z) dx dy dz;
(V)
I у== S н (ZI +,r) 'v (х, у, z) dx dy dz;
(v)
I z== Н S (х. + YI) 'v (х, у, z) dx dy dz.
(V)
Полаrая в этих формулах 'у (х, у, z) == 1, получаем rеометрические Мо-
менты инерции тела.
А. Вычисление тройных интеzраЛО8
Расставить пределы интеrрироваиия в тройном интеrрале
Н S f(x, у, z) dx d У dz
(V)
дли указанных областей v.
2240. v...... тетраэдр, оrраниченныА плоскостями
x+y+z== 1, Х==О, у==О, z===O.
2241. v......... цилиндр, оrраниченный поверхнос ми
х 2 + y2==R2, z==O, z==H.
252
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
(rп. VI1
2242*. V конус, оrраниченный поверхностями
х 2 у? Z2
а ! +fj2==(!' z==c.
2243. V объем, Оl'раниченный поверхностями
z== 1 x2 у2, z==O.
Вычислить следующие интеrралы:
1 1 1
2244. S dX r dY S у dz .
J x+y+z+l
о о о
.. / 4Х у:;!
2 2VX" V 2
2245. ) dx ) d У )
о о
а V а 2 х 2
2246. S dx j
о о
I l X l X Y
2247. S dx S dy S xyz dz.
xdz.
о
dy lIa2 T Y' Уа 2 X уl z2 '
о
о
о
о
2248. ВЫЧИСЛIIТЬ
555 ах dy dz
(х + у + z + 1)3 ,
(V)
rAe V область интеrрирования, оrраниченная координатными плос-
костями и плоскостью х + у + z == 1.
2249. Вычислить
))) (х+ у +Z)2 dx dy dz,
(V)
rде V общая часть параболоида 2az х2+уl И шара х 2 + у2 +
+ Z2 За 2 .
2250. Вычислить
) )) Z2 dx dy dz,
(V)
rде V общая часть шаров х 2 + у2 + z2 R2 и х 2 + у2 + z" 2Rz.
2251. Вычислить
H zdxdydz,
(У)
rде V объем, Оfl?ilниченный плоскостью z == О и "ерхней ПОЛОВИ-
х 2 уЗ Z2
ной ЭЛЛИllсоида а 2 + Ь 2 + (;2 == 1.
э 7]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
2.53
2252. ВЫЧИСЛИТЬ
sss ( х2 у'! Z2 )
(i2 + 7J2 + 7 dx dy dz,
(V)
х 2 у? Z2
rде V внутренность эллипсоида а 2 +V+C2== 1.
2253. Вычислить
И zdxdydz,
(V) h 2
r де v......... область, оrраниченная конусом z' === R 2 (X I + у2) и плоскостью
Z === h.
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
H dxdydz,
(V)
rде V область, оrраниченная поверхностями х 2 + у2 + Z2 === 2Rz,
х 2 + у2 == Z2 И содержащая точку (О, О, R).
2255. Вычислить
2 У 2Х х 2 а
dx dy z V х 2 + у2 dz,
О о о
преобразовав ero предварительно к цилиндрическим координатам.
\
2256. Вычислить
2r
dx
о
'V2rx x2
dy
'V2rx x:;J
'v 4r 2 х 2 у2
dz,
о
преобразовав ero предварительно к цилиндрическим координатам.
2257. Вычислить
R
dx
.....R
11 R2 x:;!
dy
'VR2 x:;!
'VR2 x2 уз
(х. + у.) dz,
о
преобразовав ero предварительно к сферическим координатам.
2268. Перейдя к сфери ческим коор динатам, вычислить интеrрал
S v х.+ у.+ z. dxdydz,
(У)
rде v.......... внутренность шара х 2 + у2 + Z2 х.
Б. Вычисление объе.м.О8 с по.м.ощью тройных инпzеzраЛО8
2259. Вычислить с помощью тройноrо интеrрала объем тела,
оrраниченноrо поверхностями
12 === 4а 2 ....... Зах, у2 == ах, z == :1: h.
254
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
Irл. Vll
2260**. Вычислить объем части цилиндра хl + у2 == 2ах, содер.
жащейся между параболоидом х 2 + у2 == 2az и плоскостью ХОУ.
2261 *. Вычислить объем тела, оrраниченноrо сферой хl + у. +
+ Z2 == а 2 и конусом Zl == х 2 + у2 (внешнеrо по отношению к конусу).
2262*. Вычислить объем тела, оrраниченноrо сферой х 2 + у2 +z2==4
И параболоидом х 2 + у2 == 3z (BHYTpeHHero по отношению к парабо..
лоиду).
2263. 8ЫLJИСЛИТЬ объем тела, оrраниченноrо плоскостью ХОУ,
цилиндром х 2 + у2 === ах и сферой ха + у2 + Z2 === а 2 (BHYTpeHHero по
отношению к цилиндру).
2264. Вычислить объем тела, оrраниченноrо параболоидом
уа Z2 Х
Ь 2 + a === 2 а и плоскостью х == а.
2264.1. Найти объем тела, оrраниченноrо поверхностью
( х2 у2 Z2 ) I х 2 уа 22
а 2 + Ь 2 + са === аЗ + ь2 са ·
2264.2. Найти объем тела, оrраниченноrо поверхностями
х 2 уЗ 22 х 2 у2 22
aт+v+ca==2, aa+ьт ca===O (z (1).
В. Приложения тройных интеzраЛО8 к .м,еханике и физике
2265. Найти массу М прямоуrольноrо параллелепипеда О х а,
o y b, O z c, еслиплотностъвточке(х,у,z) есть Q(X,y,z)==
==х+ y+z.
2266. Из октанта шара х 2 + уl + Z2 с 2 , Х О, У О, z О
вырезано тело ОАВС, оrраниченное координатными плоскостями и
1 плоскостью + == 1 (а с, Ь с)
С (рис. 100). Найти массу этоrо тела,
если плотность ero в каждой точке
(Х, у, z) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму
полушара х 2 + у2 + Z2 а 2 , z О,
плотность изменяется пропорционально
раССТОЯНИIО точки от центра. Найти
центр тяжести этоrо тела.
2268. Найти центр ТЯ}l(ести тела,
оrраниченноrо параболоидому2 + 2z2==
== 4х и плоскостью Х == 2.
2269*. Найти момент инерции круrлоrо цилиндра, высота кото-
poro h и радиус основания а, относительно оси, служащей диамет-
ром основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круrлоrо конуса, высота которо-
ro h, радиус основания а и плотность Q, относительно диаметра
основания.
у
,{
Рис. 100.
t 8]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
255
2271 **. Найти сипу притяжения, оказываемоrо ОДНОрОДНЫМ КОНУСОМ
С высотой h yrпoM а при вершине (в осевом сечении) на материальную
точку, содержащую единицу массы и распопоженную в ero вершине.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородноrо Iпара на внешнюю материальную точку, не изменится, если
всю массу шара сосредоточить в ero центре.
I 8. Несобственные интеrралы, зависящие от параметра.
Несобственные "ратные интеrралы
10. Д и Ф Ф е р е н Ц и р о в а н и е поп а р а м е тру. При неКОТОрЫХ
,
оrраничениях *), налаrаемых на функции 1 (х, а), 1(1. (х, а) и на соответ-
ствующие несобственные интеrралы, имеет место правило Л йбнuца
00 00
d S f (х, а) dx == S 1 (х, а) dx.
а а
При м е р 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
00
S е"'(1.Х'А e"' '
dx
х
о
(а > О, Р > О).
Реш е н и е. Пусть
сх>
S е'" а.х I ...... е'" (3Х'
dx == F (а, р).
х
о
TorAa
00 00
дР (а, р) S --а.х. d I ...«х а ' 1
да ........ хе х 2а е 2('% ·
о о
OrСЮД8 F (а, р) == Jn а + с (Р). Чтобы найти С <р), полаrаем в последнем
1
равенстве а == р. Имеем О == 2 lп Р + с (р).
1
Отсюда С <р) == 2" In р. Следовательно,
1 1 1 Р
F (СХ, Р) == ....... 2" lп а + '2 1" Р == '2 lп а.
28. Н е с о б с т в е н н ы е Д в о й н ы е и н т е r р а л ы. а) С JI У Ч а ii
б е с к о н е ч н о и о б л а с т и. Если функция t (х, у) непрерывна в Heorpa..
ииченной области S, то полаrают:
S S t (х, у) dx dy == 11т S S НХ, у) dx dy,
(S) а-+ S (а)
*) См. r. М. ф и х т е н r о л ь Ц, Курс дифференциальноrо и интеrраль-
HO.ro исчисления, Т. 11. rл. XIV, 9 3, п. 520, Физматrиз, 1962.
(1)
256
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
(rл. VJl
rДе (1---- конечная область, целиком лежащая в S, причем (1 s означает, что
мы расширяем область (J по произвольному закону, так чтобы в lIee вошла и
осталась в ней любая точка области S. Если предел в правой части существует
и не зависит от выбора области о, то соответствующий несобственный пите.
rрал называется сходящuм'СЯ, в противном случае расходящuм'СЯ.
Если подынтеrральная функция 1 (х, у) неотрицательна (1 (х, у) О), то для
СХОДймости несобственноrо интеrрала необходимо и достаточно, чтобы предел
в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы
областей о, исчерпывающих область S.
б) С л у чай раз рыв н о й Ф у н к Ц и и. Если фун кция 1 (х, у) непре-
рывна в оrраниченной замкнутой области S всюду, за исключением точки
р (а; Ь), то полаrают:
И f (х, у) dx dy ==.I И f (х, у) dx dy. (2)
(5) о (5&)
rде Sa область, получаемая из S путем удаления малой области диаметра Е,
содержащей точку Р. в случае существования предела (2), не зависящеrо от
вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый нес06ственный
интеrрал называется сходящuм'СЯ, а в противном случае расходящuм'СЯ.
Если f (х, у) О, то предел в правой части равенства (2) не зависит от
вида удаляемых из области S областей; в частности, в качестве таких областей
8
можно брать круrи радиуса "2 с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интеrралов леrко переносится на случай
тройных интеrралов.
При М е р 2. Исследовать на сходимость
5 с dx dy
J (1 + х 2 + у2)Р ,
(5)
(3)
rде S вся плоскость ХОУ.
Реш е н и е. Пусть {J' Kpyr радиуса Q с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р :j:: 1 имеем:
21t р
I (<1) == 55 (1 + d; у2)Р == 5 d<p 5 (1 r; 2)p
( о о
21t
== 5 (1 +,2)1 P I Р d<p == п [(1 +Q2)1 P 1].
2 l p о l p
о
Если р < 1, то Нm 1 (а) == Нm 1 (а) == 00 и интеrрал расходится. Если же
a 5 p oo
р > 1, то lim I (а) == п и интеrрал сходится. При р == 1 имееМ 1 (а) ==
p oo p l
!П р
::= 5 d<p S 1 r r;'"i == 3t 1п (1 + Q2); Р I (<1) == 00, т. е. интеrрал расхоДИтся.
о о
Таким обрззом, интеrрал (3) сходится при р > 1.
2273. Найти /' (х), если
00
лх):==: S e X)' dy (х> О).
х
s 8)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
257
2274. Доказать, что функция
+00
5 xf(z) d
и== z
X2+(Y Z)2
....00
удовлетворяет уравнению Лапласа
д 2 и д 2 и
дх! + д у 2 == о.
2275. Преобразование Лапласа Р(р) для функuии j(t) опреде,.
ляется формулой
00
F(p)==S e ptf(t)dt.
о
Найти F (р), если: а) f (t) === 1; б) f (t) === e at ; в) [(t) === sin t;
r) f (t) == cos t.
2276. Пользуясь формулой
1
S xп l dx== (п> О),
о
вычислить интеrрал
1
5 xп l In х dx.
о
2277*. Пользуясь формулой
00
s e pt dt === (р > О),
о
вычислить интеrрал
00
5 t 2 e pt dt.
о
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие
интеrралы:
00
2278. S e "X :- е 13X dx (а> О, р > О).
о
00
S e ax e {iX
2279. х sin тх dx (а > О, Р > О).
о
9 f. с. Бараненков и др.
258
КРАТНЫЕ И кРиВопИАЕАНЫЕ ИНТЕfрлпы
[rп. VII
(х)
5 arctg ах
2280. х (1 +х2) dx.
О
1
2281. 5 1n (1 a1xl) dx (\ а 1< 1).
x2yl xl
О
00
2282. 5 e a.x sln}x dx (а О).
о
Вычислить следующие несобственные интеrрапы:
00 00
2288. dx e <,ну) dy.
о о
1 у2 Х
2284. dy е У dx.
о о
2285. S S X X: I ' r де S область, определяемая неравенствами
(8)
-к;;:::: 1, у;;:::: х 2 .
00 00
S с dy
2286*. dx J (х 2 +у2+а 2 )2 (а>О).
о о
2287. Инmеzрал
00
J === S e xl dx, может быть записан
о
множая эти формулы и переходя
вычислить 1.
Эйлера Пуассона, определяемый формулой
00
также в виде 1== S e y2 dy. Пере-
о
затем к полярным координатам,
00 00 00
2288. Вычислить J dx S dy S (X2+yl zl+1)2 '
о о о
Исследовать на сходимо сть несобственные двойные интеrралы:
2289**. Н ln -V х. + у. dx dy, rде S Kpyr х 2 + yl:s;;;;; 1.
(8)
SS dx dy
2290. (ха + y2)rJ. ' r де S область, определяемая неравенством
(8)
хl + у" 1 (<<внешность» Kpyra).
9 * 55 dx dy S 1 1 1 I 1 1
22 1. V З ,rде квадрат х , 1У ·
(х y)
(S)
.9}
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrрллы
259
SSS dx dy dz
2292. (х2 + у2 + z2)a , rде V область, определяемая пера-
(У)
веНСТ80М х 2 + у2 + Z2 1 (<<внешность» шара).
9. Криволинейные интеrралы
10. К р и в о л и н е й н ы е и н т е r р а л ы пер в о r о т и п 8. Пусть
I (х, у) непрерывная функция и у==<р (Х) [a x Ь]........ уравнение некоторой
rладкой кривой С.
Построим систему точек M i (Xi' уд (i == О, 1, 2, ., ., п), разбивающих кри-
ВУЮ С на элементар»ые дуrи M Mi== Лs i , и составим интеrральную СУМ-
п
МУ Sn == f (Xi' уд dSi' Предел этой суммы при n 00 и шах ЛSi О
;=:.1
называется криволинейным интеzралом nepBOZO типа
n
11т f (Xi' Yi) !!..Si == f (х, У) ds
n ooi==l с
(ds дифференциал дуrи) и вычисляется по формуле
ь
S f (х, У) ds == S f (Х, tp (Х» у 1 + (tp' (х»2 dx.
с а
в случае п араметрическоrо задания кривой с: х == ep(t), у == 'Ф (t)[a";; t ..;; J
имеем:
S f (х, У) ds == S f (rp (t), '" (t» у rp'2 (t) + ",'2 (t) dt.
с а
)t
в
к
Рассматривают также криволинейные интеrралы
первоrо типа от функции трех переменных f (х, у, Z),
взятые по пространственной кривой, которые вы-
числяются аналоrично. Криволинейный интеrрал l-ro
типа не зависит от направления пути UHmezpupo-
вания; ес"Т}и подынтеrральную функцию f интерпрети-
ровать как линейную плотность кривой интеrрации
представляет собой массу кривой С.
При м е р 1. Вычислить криволинейный интеrрал
Рис. 101.
С, то этот интеrрал
S (х + У) ds,
с
rде С контур треуrольника АВО с вершинами А (1; О), В (о; 1) и О (о; О)
(р и с. 1 О 1 ) .
Реш е н и е. Здесь уравнение АВ: у == 1 х, уравн ение ОВ: х == О,
уравнение ОА: у == о.
9*
260
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. УН
Поэтому будем иметь:
(х + у) ds == S (х + у) ds + S (х + у) ds + (х + у) ds ==
с АВ ВО ОА
t t I
== S У2 dx + у dy + х dx =="'V2 + 1.
о о О
20. к р и В о л и н е й н ы й и н т е r р а л в т о р о r о т и п 8. Если Р (х, у)
и Q (х, у) непрерывные функции и у == fP (х) rладкая кривая С, пробеrаемая
при изменении х от а до Ь, То соответствующий криволинейный интеерал
второео типа выражается следующим образом:
ь
S р (х. у) dx + Q (х. у) dy == S [Р (х. ер (х» + ер' (х) Q (х. ер (х»] dx.
с а
в более общем случае, коrда кривая С задана параметрически: х == q> и),
у == 'Ф (/), rде t изменяется от а до р, то имеем:
J Р (х, у) dx + Q (х, у) dy == J [Р (ер и). 'Ф (t» ер' и) + Q (ер (t). 'Ф (t» 'Ф' (t)] dt.
Аналоrичные формулы справедливы для криволинейноrо интеrрала BToporo
типа, 8зятоrо по пространственной кривой.
Криволинейный интеrрал BToporo типа м е н я е т с в о й з н а к н а о б-
Р а т н ы й при и 3 М е н е н и и н а п р а в л е н и я п у т и и н т е r р и р о в а-
н и я. Механически этот интеrрал можно интерпретировать как работу со-
ответствующей переменной силы f р (х, у), Q (х, у) вдоль кривой интеrра-
цИИ С.
При м е р 2. Вычислить криволинейный интеrрал
s y1dx + х' dy,
С
rДе С верхняя половина эллипса х == а С05 t, У == ь 51" 1, пробеrаемая по ча-
совой стрелке.
Реш е н и е. Имеем:
о
J .111 dx + х' dy == J [Ь ' SI"1 t.( а sln t) + а ' cos l t. Ь cos t] dt ==
о о
== аы S sl"8 t dt + a1b S cos 8 t dt == : ab l ,
1t 1t
3(). с л у q а й п о л н о r о Д и Ф Ф е р е н Ц и а л а. Если подынтеrральное
выражение криволинейноrо интеrраЛ8 BToporo типа есть полный дифферен-
циал некоторой однозначной функции U == и (х, у), т. е. Р (х, у) dx + Q(x, y)d y:==
== dU (х, у), то этот криволинейный ннтеrрал не зависит от пути интеrрирова-
9]
КРИВОЛИНЕАНЫЕ ИНТЕrрллы
26!
ния И имеет место формула Ньютона..... Лейбница
(х 2 ; У2)
Р (х. у) dx + Q (х. у) dy == и (х 2 . У2) и (х Jl Уд.
(Х 1 ;Уl)
(1)
r де (х l ; Уl) нач альная и (х 2 ; У2) конечная
контур интеrрации С замкнут, то
р (х. у) dx + Q (х, у) dy == О. (2)
с
Если 1) контур интеrрации С содер-
жится целиком внутри некоторой односвяз-
ной области S и 2) функции Р (х, у) и
Q (х, у) вместе со своими частными произ-
водными 1 ro порядка непрерывны в об-
ласти S, ТО необходимым и достаточным
условием для существования функции и яв-
ляется тождественное выполнение в облас-
ти S равенства
точки пути. В частности, если
у
р; (хо;!/)
!J 4 .... М(х;у}
I
I
I
I
I
I
90
I Po(XoI!Jo)
Р, (х :j()
о
Х.о
aQ дР
дх ду
(3)
Рис. 102.
(см. интеrрирование полных дифференциалов). При невыполнении условий
1) и 2) наличие условия (3) не rарантиру т существования однозначной
функции и и формулы (1) и (2) MorYT оказаться неверными (см. задачу 2332).
Укажем способ нахождения функции и (х, у) по ее полному дифференциалу,
основанный на использовании криволинейных интеrралов (т. е. еще один
способ интеrрирования полноrо дифференциала). За контур интеrрирования С
возьмем ломаную РОРIМ (рис. 102), rде РО (х о ; уо) фиксированная точка,
М (х; у) переменная точка. Тоrда вдоль РОР 1 имеем У==Уо И dy===O, а вдоль
Р 1М имеем dx == О. Получаем:
(х; у)
(х, у) и (х о ' уо) == р (х, у) dx + Q (х, у) dy ==
(хо; Уо)
х у
== р (х, уо) dx + Q (х. у) dy.
O УО
Аналоrично, интеrрируя по ломаном РоР 2 М, имеем:
у х
и (х, у) и (хо. уо)== Q (хо. у) dy+ р (х, у) dx.
Уа хо
При м е р з. (4х + 2у) dx + (2х 6у) dy == dU. Найти и.
Реш е н и е. Здесь Р (х, у) == 4х + 2у и Q (х,у) == 2х 6у; причем усло
вие (3), очевидно, выполнено. Пусть хо == О, уо == о. Тоrда
х у
и (х, у) == 4х dx + (2х бу) dy + с :;:;= 2х2 + 2ху зу! + (;
о о
262
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
или
у
и (х, у) == 6у dy + (4х + 2у) dx + с == Зу. + 2х. + 2ху + С,
о о
rде С == и (о; о) произвольная постоянная.
40. Фор м у л а r р и н а Д л я n л о с к о с т и. Е сли С rраница области
S и функции Р (х, у), Q (х, у) непрерывны, вместе со своими частными про-
НЗ водными l-ro порядка, в замкнутой области S + с, то справедлива формула
(рина
р Pdx+Qdy== 55 ( : :: ) dxdy,
с (S)
rде обход контура С выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
50. При л о ж е н и я к р и в о л и н е й н ы х и н т е r р а л о В. 1 ) Площад",
оrраниченная замкнутым контуром С, равна
s== 1 ydx== 1 xdy
с с
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
Более удобна для приложений следующая формула площади:
S == 1 (х dy У dx) == 1 х. d ( ) ·
с с
2) Работа силы, имеющей проекции Х == Х (х, у, 2), У == У (х, у, 2),
Z == Z (х, у, z) (или соответственно работа силовоrо поля), вдоль пути С вы-
ражается интеrр алом
А== Х dx+ У dy +Z dz.
с
Если сила имеет потенциал, т. е. если существует функция и == и (х, у, ')
(потенциальная или силовая функция) такая, что
дU дU дU
дх ==х, ду ==У, az ==Z,
то работа, независимо от вида пути С, равна
(х 2 , 12' Z2) (Х 2 ,12, Z2)
А== Xdx+Ydy+Zdz== dU==U(x 2 . У2' Zt) U(x.. У., z.),
(хн '1, Zl) (Хl' '1' ZI)
rде (X t , YI' Zl) начальная и (х 2 ; У2; Z2) конечная точки пути.
А. Криволинейные интеzралы пepBOZO типа
Вычислить следующие криволинейные интеrралы:
2293. ху ds, rде С контур квадрата 1 х 1+ Iy I ===а (а> О).
с
2294. S ds ,rде С отрезок прямой, соединяющей
Ух 2 +у2+4
с
точки 0(0;0) и А(1;2).
9)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
268
5 t
2295. ху ds t r де С четверть эллипса 0,2 + ь2 == 1 t лежащая
с
В первом квадранте.
2296. )y!dS, rде С первая арка циклоиды x==a(t sint),
с
у == а (1 cos t).
2297. ) V х 2 + y!ds, rде С дуrа развертки окружности х ==
с
== а (cos t + t sin t), У == а (sin t t cos t) [О t 2л].
2298. (х! + у2)2 ds, rде С дуrа лоrарифмической спирали
с
r === ает<р (т > О) от точки А (о; а) до точки О ( 00; О).
2299. (х + у) ds, r де С правый лепесток лемнискаты
с
r! == а 2 cos 2(f).
S 3
2300. (x+z)ds, rде С дуrа кривой x==f, У== У2 '
с
z == t' [О t t].
S ds
2301. х 2 + у2 + Z2 t rде С первый виток винтовой линии
с
х == а cos t, У === а sin t , z === bt.
2302. V2 y 2 +Z2 ds, rде c окружность х. + у2 +z! ==а 8 ,
с
х===у.
2303*. Найти ПЛОLЦадь боковой поверхности параболическоrо ци-
3
линдра у =="8 х 2 t сrраниченной плоскостями Z === О, х == О, z == х,
У == 6.
2304. Найти длину дуrи конической винтовой линии х == ae t cos t,
У === ae t sin t, z === ae t от точки О (о; о; О) ДО точки А (а; о; а).
х 2 if
2305. Определить массу контура эллипса а 2 + Ь 2 === 1, если линей..
ная плотность ero в каждой точке М (х, У) равна IY 1.
2306. Найти массу nepBoro витка винтовой линии х == а cos t,
У === а sin t, z === Ы, если плотность в каждой точке равна радиусу"
вектору этой точки.
2307. Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды
х === а (! sin t), У === а (1 cos t) [О t л).
2308. Найти момент инерции относительно оси OZ первоrо витка
винтовой линии х == а cos t, У === а sin t, z === Ы.
264
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
(rл. VH
2809. С какой силой масса М, распределенная с постоянной ПЛОТ-
ностью на окружности х! + у2 === а 2 , z === о, воздействует на массу т,
помещенную в точке А (о; о; Ь)?
Б. Крuволuнейные uнте2ралы втОрО20 типа
Вычислить следующие криволинейные интеrралы:
2310. (х 2 2ху) dx+ (2ху + у!) dy, rде AB дуrа параболы
АВ
у==х. ОТ точки А(l; 1) до точки 8(2; 4).
2311. } (2a y)dx+xdy, rде С дуrа первой арки циклоиды
с
х === а (! sin t), У === а (1 cos t),
пробеrаемая в направлении возрастания параметра t.
2812. 2ху dx x 2 dy, взятый вдоль различных путей, выходящих
ОА
из начала координат а (о; о) и закан-
чивающихся в точке А (2; 1) (рис. 103):
а) прямой ОтА;
б) параболы апА, осью симметрии
которой является ось аУ;
в) параболы ОрА, осью симметрии
которой является ось ОХ;
r) ломаной линии ОВА;
д) ломаной линии ОСА.
2318. I2X Y dx + х 2 dy в условиях задачи 2312.
2314*. (х + у) dx (х у) dy взятый вдоль ок ру жности х2 L
:f х 2 +у2 , 1"
+ у! == а 2 против хода часовой стрел ки.
2315. у2 dx+x! dy, rде С есть верхняя половина эллипса
с
х == а cos t, У === ь sin t, пробеrаемая по ходу часовой стрелки.
2316. S cos У dx sin х dy, взятый вдоль отрезка АВ биссектри-
АВ
сы BToporo координатноrо уrла, если абсцисса точки А равна 2 и
ордината точки В равна 2.
2317.1i XY(Y :dY) , rде С правый лепесток лемнискаты r!.==
с х у
== а 2 cos 2q>, пробеrаемый против хода часовой стрелки.
2318. Вычислить криволинейные интеrралы от выражений, являю
IJJ.ИХСЯ полными дифференциалами:
(2;3) (3; 4) (1; 1)
а) S xdy+ydx, б) S xdx+ydy, в) (х+у) (dX+dy),
( 1; 1) (о; 1) (о; о)
у
с(о;, )
А (2; ')
8'2;0) К
Рис. 103.
91 ·
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
265
(1; 1)
r у dx х dy
r) J (по ПУТИ, не пересекающему ось ОХ),
(1; 1) g2
(х; у)
д) s d; t :у (по пути, не пересекающему прямую х + у == 6),
( : :+)
(XI; YI)
е) q>(x)dx+'P(y)dy.
(Xt; Yt)
2319. Найдя первообразные функции подынтеrральных выражений>
вычислить интеrралы:
(.; о)
а) S (х. + 4ху') dx + (6х2у2 5у4) dy,
( I; 1)
(1; о)
б) S х dg у dx ( .К ) 1
(х у)2 путь интеrрирования не пересекает ПрЯМОI1 У!::: JC ,
(о; --- 1)
(.; 1)
в) 5 (х + 2у) dx + у dy (путь интеrрирования не пересекает прямой
(х + у)1 У === х) ..
(1; 1) ,
(1; 1)
r) S ( уха Х +У2 + У ) dX+( YX2Y+y2 +X) dy.
(о; о)
2320. Вычислить
1 S xdx+ydy
Vl+x2+y!'
х 2 11
ВЗЯТЫЙ по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса o + Ь 2 == 1,
лежащей в первом квадранте.
2321. Покааать, что если [(и) есть непрерывная функция и t
замкнутый кусочно-rладкий контур, то
f f(x 2 + у2) (х dx + у dy) == О.
с
2322. Найти первообразную функцию И, если:
а) dи== (2х+ Зу) dx+ (3x 4у) dy;
б) dи == (Зх J ....... 2ху + у2) dx....... (х! 2ху + Зу!) dy;
в) dи==ex Y[(l+x+y)dx+(l x y)dy];
dx dy
r) dи== + + + .
х у х у
266
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
(rп. Vll
Вычислить криволинейные интеrралы, взятые вдоль пространствен-
IJЫХ КРИВЫХ:
2323. (y z)dx+(z x)dy+(x y)dz, rде С ВИТОК ВИН-
е
товой линии
{ x a c s 1,
У === а Sln t,
z===bt,
соответствующий изменению парамеrра t от О до 2л.
2324. 1 у dx + z dy + х dz, r де С окружность
с
{ х === Rcos acos t,
У == R cos а sin t,
z Rsina (a==const),
nробеrаемая в направлении возрастания параметра.
2325. xydx+yzdy+zxdz, rде ОА дуrа окружности
ОА
х 2 + у" + z" === 2Rx, z===x,
расположенная по ту сторону от плоскости XOZ, rде у> а.
2326. Вычислить криволинейные интеrралы от полных дифферен-
циалов:
(6; 4; 8)
а) S xdx+y dy zdz,
(1; о, --- 8)
(а; Ь; с)
б) S yzdx+zxdy+xydz,
(1; 1; 1)
(3; 4; &)
в) 5 х dx + у dy + z dz
-.r х2 +у 2 + Z2
(о; о; о) r
r) (Х: Y S ; X ) yz dx + zx dy + ху dz
xyz (путь интеrрирования расположен 8
первом октанте ) .
(1; 1; 1)
В. Формула rpuHa
2327. с помощью формулы rрина преобразовать криволинейный
IIнтеrрал
- 1-== 1]! х 2 + у2 dx+ у [ху + In (х+ V х 2 + у2)] dy,
е
rде контур С оrраничивает область s.
f 91
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
- 267
2328. Применяя формулу rрина, вычислить
1== 12 (х l + у%) dx+ (х+ у)2 dy,
С
rде с......... пробеrаемый в положительном направлении контур треуrоль..
иика с вершинами в точках А (1; 1), В (2; 2) и С (1; 3). Проверить
найденный результат, вычисляя интеrрал непосредственно.
2329. Применяя формулу rрина, вычислить интеrрал
1 xly dx+ хуl dy,
С
rде с......... окружность х 2 + уl === RI, пробеrаемая против хода часовой
стрелки.
2330. Через точки А (1; О) и В (2; 3) проведены парабола АтВ,
осью которой является ось ОУ, и хорда ее АпВ. Найти
р (x+y)dx (x y)dy непосредственно и применяя формулу
АтВпА
rрина.
2331. Найти е ХУ [уl dx + ( 1 + ху) dy], если точки А и В лежат
АтВ
на оси ОХ, а площадь, оrраниченная путем интеrрации АтВ и от-
резком АВ, равна S.
х dy у dx
2332*. Вычислить:у х 2 + у2 . Рассмотреть два случая:
с
а) коrда начало координат находится вне контура С,
в) коrда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С замкнутая кривая, то
р cos (Х, п) ds == О,
с
rде s........ длина дуrи и п внешняя нормаль.
2334. Применяя формулу rрина, найти интеrрал
I==P[xcOs(X, п)+ysln(X, п)]ds,
с
r де ds......... дифференциал дуrи и п внешняя нормаль к контуру G""
2335*. Вычислить интеrрал
dx dy
:у х+у ,
с
взятый вдоль контура квадрата с. вершинами в точках А (1; О), В (о; t),
С (......... 1; О) и D (о; ........ 1), при условии обхода контура против хода ча..
совой с.трелки.
268
KPATllblE И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrрллы
[rп. VII
r. 17рUЛО:JlCенuя крuволuнейНО20 uнтеzрала
Вычислить площади фиrур, оrраниченных следующими кривыми:
2336. Эллипсом х == а cos /, У == ь sin /.
2337. Астроидой х === а cos 3 /, У == а sin 3 /.
2338. Кардиоидой х === а (2 cos t ......... cos 2/), У === а (2 sin t ......... sin 2/).
2339*. Петлей декартова листа ха + у' ......... Заху === О (а> О).
2340. Кривой (х+у)3==аху.
2341*. Окружность радиуса r катится без скольжения по непод-
вижной окружности радиуса Я, оставаясь вне нее. Предполаr.ая, что
R
........... целое число, найти площадь, оrраниченную кривой (эпициклои-
,
дой), описанной какой нибу дь точкой подви)кной окружности. Разо-
брать частный случай r === R (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса r катится без скольжения по непод-
вижной окружности радиуса R, оставаясь внутри нее. Предполаrая,
R
что ........... целое число, найти площадь, оrраниченную кривой (rипоци
,
клоидой), описанной какой нибу дь точкой подвижной окружности.
Разобрать частный случай, Kor да r == (астроида).
2343. Поле образовано силой, имеlощей постоянную величину F и
направление положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, коrда
материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть OK
ружности х! + у2 ==- Я 2 , лежащую в первом квадранте.
2344. Найти работу, ПРОИЗВОДИМУIО силой тяжести при перемеще-
нии материальной точки массы т из положения А (x t ; Уl; Zl) в поло-
жение В (х!; У2; Z2) (ось OZ направлена вертикально вверх).
2345. Найти работу упруrой силы, направленной к началу KOOp
динат, величина которой пропорциональна удалению точки от начала
координат, если точка приложения силы описывает против часо-
х2 у2
вой стрелки четверть эллипса Q2 + lJf === 1, ле)кащую в первом квад-
ранте.
2346. Найти потенциаЛЬНУIО функцию силы R {Х, У, Z} и опреде
лить работу силы на данном участке пути, если:
а) Х === О, У === О, Z === тg (сила ТЯ)l(ести) и материальная точка
перемещается из положения А (х 1 , Уl' Zt) в положение В(х,., 1,., ZI);
б) Х === l! , У === l! , Z === л: , r де J.t === const и r ==
, r ,
:r;:::: -v х 2 + у2 + Z2 (сила ньютонов.скоrо притяжения) и материальная
точка из положения А (а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
в) X===............k 2 x, Y== k!y, Z=== k2Z, rде k===const (упруrая
сила), причем начальная точка пути находится на сфере х" + у. +
+ z. == R2, а конечная на сфере х" + у2 + Z2 == ,! (R> ,).
f 10)
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
269
I 10. Поверхностные интеrралы
J., П о в ер х н о с т н ы й и н т е r р а л пер в о r о т и п а. Пусть f(x,y,''l)
неПРIрывная функция и Z == q> (х, У) rлаДкая поверхность S.
Поверхностный uнтеарал nервоzо типа представляет собой предел ИН-
теrральной суммы
n
f (х, у, z) dS == 11т . f (Xj, yj, ч) tJ.S j ,
s , n.... OO l
rде t1S I ..... площадь i-ro элемента поверхности S, точка (х,., Yi' Zi) принадлежит
этому 8лементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стре-
МИТСfl к нулю.
Значение этоrо интеrрала не зависит от выбора стороны поверхности S,
по которой производится интеrрирование.
Нсли проекция f1 поверхности S на плоскость ХОУ однозначна, т. е. вся-
кая прямая, параллельная оси OZ пересекает поверхность S лишь в одной
точке, то соответствующий поверхностный интеrрал первоrо типа может быть
вычислен по формуле
S S , (х, у' z) dS == S S f [Х, у' q> (х, у)] -v 1 + <р'; (х, у) + <р';(х, у) dx dy.
s (
При м ер 1. Вычислить поверхностный интеrрал
Н (x+y+z)dS,
s
rде S поверхность куба O x l, o y l, O z l.
Вычислим сумму поверхностных интеrралов по верхней rрани куба (2 == 1)
и по нижней rрани куба (z == О)
1 1 1 1 1 1
Н (х+у+ I) dxdy+ Н (x+y)dxdy== S S (2х +2у + 1) dx dу==З.
00 00 00
Очевидно, что искомый поверхностный интеrрал в три раза больше и равен
н (x+y+z)dS==9.
s
O. П о 8 е р х н о с т н ы й и н т е r р а л в т о р о r о т и п а. сл и
р == р (х, у, Z), Q == Q (х, у, z), R == R (х, у, z) непрерывные функции и s+
сторона rладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали
n t cos а, cos р, cos V , то соответствующий поверхностный uнтеzрал eтopozo
типа выражается следующим образом:
Н Р dy dz +Q dz dx + R dx dy== И (Р cos а+ Q cos Р + R cos у) dS.
s+ s
При переходе на друrую сторону S поверхности этот интеrрал меняет
свой iHaK на обратный.
Если поверхность S задана в неявном виде F (х, у, z) == О. то направляю-
щие косинусы нормали эТой поверхности определяются по формулам
1 дF 1 дР 1 aF
cos а == D дх ' cos р == D ду · cos V == D дz '
216
КРАТНЫЕ И кривопиниАныи ИИТЕrРАЛЫ
(rп. VII
САе
D== f У ( ;: у + ( :: у + ( :: )2 t
и выбор знака перед радикалом должен быть cor ласован со стороной по-верх-
ности s.
3 G . Фор М У л а С т о к с а. Если функции Р == Р (х, у, Z), Q == Q (х, у, z),
R == R (х, у, z) непрерывно дифференцируемы и С замкнутый контур,
оrраничивающий двустороннюю поверхность S, то имеет место формула
Стокеа
1 Pdx+QdY+Rdz==
с
== 55 [( aR a Q ) cos сх + ( дР a R ) cos р + ( a Q дР ) cos'\' ] dS,
ду az дz дх дх ду
s
rде cos а, cos р, cos 'у направляющие косинусы нормали к поверхности S,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался бы против хода часовой стрелки (в правой си-
стеме координат).
Вычислить следующие поверхностные интеrралы первоrо типа:
2347. S S (х 2 + у2) dS, rде S........ сфера х 2 + у2 + Z2 === а 2 .
s
2348. v х. + уl dS, rде S боковая поверхность конуса
s
r уа 1,2
а 2 +aa......v===O [O z b].
Вычислить следующие поверхностные интеrралы BToporo типа:
2з49. yz dy dz+ xz dz dx+ ху dx dy, rде S внешняя сторона
s
поверхности тетраэдра, оrраниченноrо плоскостями х === О, У === О,
z===O, x+y+z===a.
2350. 5 5 z dx dy, r де S внешняя сторона эллипсоида :: + : +
s
Z2
+7==1.
2351., x1dy dZ+y2 dzdx+z1dxdy, rде S внешняя сторона
s
поверхности полусферы х 2 + у2 + Z2 === а 2 (z О).
2352. Найти массу поверхности Ky a О х 1, О y 1,
О z 1, если поверхностная плотность в точке М (х; у; z) равна xyz.
2353. Определить координаты центра тяжести однородной пара
болической оболочки az == х 2 + у2 (О Z а).
235 4. Най ти момент инерции части боковой поверхности конуса
z== V х 2 + у2 [О Z h] от иосительно оси OZ.
g 11]
формулл ОСТРоrРАдскоrо rЛУССА
211
2355. Применяя формулу Стокса, преобразовать интеrралы:
а) 1 (х. yz) dx+(y. zx) dy +(Zl ху) dz;
с
б) :f у dx + z dy + х dz.
с
Применяя формулу Стоксз, найти данные интеrральr и проверить
результаты непосредственным вычислением:
2356. :f (у + z) dx + (z + х) dy + (х + у) dz, rде С окружность
С
х. + у. +z. ==а., х+ у +z==O.
2357. 1 (у z) dx + (z х) dy + (х у) dz, rде С эллипс
С
х. + у. == 1, x+z== 1.
2358. 1 х dx +(х + у) dy + (х + у + z) dz, rде С кривая Х:::2
С
a=asint, y==acost, z==a(sfnt+cost) [0 t 2зt].
2359.1 y1dx+z1dy +x1dz, rде АВСА контур 6. АВС с
АВСА
вершинами А (а; о; о), 8(0; а; о), с(о; о; а).
2360. В каком случае криволинейный интеrрал
1=== 1 Pdx+ Qdy +Rdz
с
ПО любому замкнутому контуру С равен нулю?
11. Форму па OcTporpancKoro........ raycca
Если S замкнутая rладкая поверхность, оrраничивающая объем У, и
Р == Р (х, у, z), Q == Q (х, у, z), R == R (х, у, z) функции, непрерывные вместа
со своими частными производными l-ro порядка в замкнутой области У, то
имеет место формула OcmpozpaacKo2o raycca
55 (Р cosa+Qcos +R cos)/)dS== SSS ( :: + :i + : ) dxdydz.
s <n
rде cos (х, cos , cos V ---- направляющие косинусы внешней нормали к по-
верхности S.
Применяя формулу Остроrрадскоrо rаусса, преобразовать следую-
щие поверхностные интеrралы по замкнутым поверхностям S, оrрани-
чивающим объем V (cos СХ, COS , cos у ......... направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности S).
272
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕfРАЛЫ
(rп. VIl
2361. И xydxdy+ yzdydz+zxdzdx.
s
2362. х 2 d У dz + у2 dz dx + Z2 dx d у.
s
2363. SS х cos а + у cos + z cos V dS.
V"X2+y2+Z2
S
2364. S S ( cos а + ; cos + cos V ) dS.
s
С помощью формулы Остроrрадскоrо raycca вычислить следую-
IЦие поверхностные интеrралы:
2365. И х 2 dy dz + у2 dz dx + Z2 dx dy, rде S внешняя сторона
s
поверхности куба О х а, о::::;; У ::::;; а, О::::;; z::::;; а.
2366. Н xdydz+ydzdx+zdxdy, rде S наружная сторона
s
пирамиды, оrраниченной поверхностями х + у + z == а, х 3IE: О,
у===О, z===O.
2367. х 8 dy dz + у8 dz dx + Z8 dx dy, rде S внешняя сторона
s
сферы х 2 + у2 + Z2 === а 2 .
2368. (ха cos а + у2 cos + Z2 cos у) dS, r де S внешняя пол-
s
ная поверхность конуса
х 2 у2 Z2
7+ а 2 l)2===O [O z b].
2369. Доказать, что если S замкнутая поверхность и 1----- любое
постоянное направление, то
cos (п, 1) dS == О,
s
rде n внешняя нормаль к поверхности s.
2370. Доказать, что объем тела V, оrраниченноrо поверхностью S,
равен
v == s s (х cos а + у cos + z cos у) dS,
s
rде cos а, cos , cos у направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности s.
12] .
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поля
273
12. Эл менты теории поля
1 О. С к а л я р н о е и в е к т о р н о е л о л я. СкаЛ>tрное поле определяется
скалярной функцией точки и == t (Р) == t (х, у, z), rде Р (х, у, z) точка про-
странства. Поверхности f (х, у, z) == С, rде С == const, называются поверхно-
стям u уровня скалярноrо поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а == а (Р) == а (r),
rде Р точка пространства и r == xi + yj + zk радиус-вектор точки Р.
В координатной форме a==axi +ayj+azk, rДе а х == a. (х, у, z), a ay (х, у, 2),
a z == a z (х, у, z) проекции вектора а на координатные оси. Векторные лuнutJ
(силовые линии, линии тока) BeKTopHoro поля находятся из системы Jlиффе-
ренциальных уравнений
dx dy dz
ах ау a z
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется
стационарным, а зависящее от времени нестационарным..
20. r р а Д и е н т. Вектор
ди ди. ди
grad U (P)==a;i + ду J+ az k \l и,
rде \J == i :х + j + k оператор rамильтона (набла), называется ера-
дuенто.м поля и == f (Р) в данной точке Р (ер. rл. VI, 6). rрадиент направ-
лен по нормали п к поверхности уровня в точ ке Р в сторону возрастания
функции и и имеет длину, равную
ди == ... / ( дИ ) ' 2 + ( дИ ) 2 + ( дИ ) 2 .
дп JI дх ду' az
Если направление задано единичным вектором 1 t cos а, COS , cos у , то
ди ди ди ди
дТ == grad U .1 == grad l U == дх cos а + ду cos + дz cos У
(проиЗ80дная функции U по направлению 1).
30. Д и в е р r е н Ц и я и в и х р ь. Дивep eHциeй BeKTopHoro поля а (Р) ==
1+ _ + d . дах + даJ' + даZ \7
ах ау} azk называется скаляр 1 v a. дх ду az ==== у а .
Вихрем BeKTopHoro поля а (Р) == axi + ayj + azk называеТся вектор
rot а == ( aaz ......... да у ) 1 + ( да х aa z ) j + ( да у да х ) k == \l Ха.
ду az az дх дх ду
40. П о т о к в е к т о р а. Потоком BeKTopHoro поля а (Р) через по-
верхность S в сторону, определяемую еДИНИЧНЫМ вектором нормали
n t cos а, cos , cos V к поверхности S, называется интеrрал
aпdS == andS== (ах cos а. +а у cos +a z cos у) dS.
s s s
Если S замкнутая поверхность, оrраничивающая объем У, а n единич-
ный вектор внешней нормали к поверхности S, то справедлива фор.мgАlJ
274
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rn'. VII
ОстроврадСl(оео [аусса, которая в векторной форме имеет вид
CfЬ а п dS== ) Н div а dx dy dz.
V (у)
50. Ц и р к у л я Ц и я в е к т о р а; р а б о т а п о л я. Л инейныu иНmtерал
ОТ вектора а по кривой С определяется формулой
) а dr == asds== ахи + aydY + аz€lз
с с с
R представляет собой работу поля а ВДОЛЬ кривой С (a.r ...... проекция вектора
(J на касательную к С).
Если кривая С замкнутая, то линейный интеrрал (1) называется цирку-
Аяцией BeKTopHoro поля а вдоль контура С.
Если замкнутая кривая С оrраничивает двустороннюю поверхность S, то
справедлива фор.мула CmOlCCa, которая в векторной форме имеет вид
(1)
1 а dr == S S п rot а dS == S S (rol а)п dS,
с s s
rAe п ...... вектор нормали к поверхности S, направление KOToporo должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящеrо по направлению п, обход
контура С совершался в правой системе координат против хода часовой
стрелки.
60. П о т е н Ц и а л ь н о е и с о л е н о и Д а л ь н о е п о л я. Векторное
попе а (r) называется потенциальным, если
a==grad и,
r.e и == 1 (r) скалярная Фу?кция (потенциал поля).
Для потенциальности поля а, заданноrо в односвязной области, необхо-
ДИМО и достаточно, чтобы оно было безвuх р евы м , т. е. чтобы rot а == о.
в зтом случае существует потенциал И, определяемый из уравнения
dИ == axdx + aydy + azdl.
Если потенциал и однозначная функция, то S а dr == и (В) и (А); в
АВ
частности, циркуляция вектора а равна нулю: р а dr == О.
с
Векторное поле а (r) называется соленоидаЛЬНblМ, если в каждой точке
ПОJlЯ di V а == о; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх-
,ность равен нулю.
Ес.пи поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то
div(grаdИ)==О и потенциальная функция И является rармонической, т. е. удов-
д 2 И д 2 И д 2 и
ilетворяет уравнению Лапласа дх 2 + ду2 + az 2 == о, или ли == О, rде Л ==
да аа iJ2
,== 'l' =- дii + ду2 + az 2 оператор Лапласа.
1371. О пределить п оверхности уровня скалярноrо поля U==f{r),
rде r == Jf ха + уа + za. Как овы будут поверхности уровня поля
и== F(Q), rде Q == V ха + уl?
12]
9ЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поли
275
2372. Определить поверхности уровня скалярноrо попа
и . '1
== arCSln у r + у2 ·
2373. Показать, что векторными линиями BeKTopHoro поля tJ (Р) == С,
rде с.......... постоянный вектор, являются прямые, параллельные вектору с.
2374. Найти векторные линии поля а ==.......... фу; + фх}, rде ю
постоянная.
2375. Вывести формулы:
а) grad(C 1 U+C.V)==C 1 gradU+C"grad V, rде С 1 и СJ ПО.
стоянные;
б) grad (UV) == U grad V + V grad И;
в) grad(U')==2UgradU;
) d ( и ) v grad и и grad V
r gra V == уа ;
д) grad <р (И) == <р' (И) grad и.
2376. Найти величину и направление rрадиента поля и=: х' +
+ у' + z' 3xyz в точке А (2; 1; 1). Определить, в каких точках rpa..
диент поля перпендикулярен к оси oz и в каких точках равен нулю.
2377. Вычислить gra d и, если U равно соответственно: а) т, б) ,а,
в) ..!., r) f(r) (, === V ха + уа + ZZ).
r
2378. Найти rрадиент скалярноrо поля U == er, r де с........ постоян--
ный вектор. Каковы будут поверхности уровня этоrо поля и как они
расположены относительно вектора е? 2! 2
2379. Найти производную функции и== :а + 2 + в данной
точке Р(х, у, z) в направлении радиуса-вектора r этой точки. В ка..
ком случае эта производная будет равна величине rрадиента?
1
2380. Найти I1РОИ3ВОДНУЮ функции и== В направлении
r
1 { cos а, COS р, cos у}. В каком случае эта ПРОИ3ВО.l.ная равна нулю?
2381. Вывести формулы:
а) div (С 1 а 1 + С_а а ) == С 1 div "1 + Са div аа' rде С 1 и Са........ посто"
янные;
б) div(Ue)==gradU.e, rAe е постоянный вектор;
в) div(Ua)==gradU.a+Udiva.
2382. Вычислить div ( ) . ,.
2383. Найти div а для центральноrо BeKTopHoro поля а (Р) == I (r) ,
r
rAe r==Vxa+yz+za.
2384. Вывести формулы:
а) rot (С 1 а 1 + Саа а ) == С 1 rot а 1 + Са rota l , rде С 1 и Са постоянные;
б) rot (ие) == grad U Х С, r де С постоянный вектор;
в) rot (иа) == grad иХ а+ Urot а.
2385. Вычислить диверrенцию и вихрь вектора а, если 11 равно
соответственно: а) r; б) те и в) f(r) е, rде С постоянный вектор.
276
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл. VII
2386. Найти диверrенцию и вихрь поля линейных скоростей TO
чек тела, вращающеrося с постоянной уrловой скоростью ro BOKpyr
оси OZ в направлении против хода часовой стрелки.
2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей fJ=-Ю Х r точек
тела, вращаЮLцеrося с постоянной уrловой скоростью ro BOKpyr HeKO
торой оси, проходящей через начало координат.
2388. Вычислить диверrенцию и вихрь rрадиента скалярноrо поля и.
2389. Доказать, что div (rot а) === о.
2390. Пользуясь теоремой Остроrрадскоrо raycca, доказать,
что поток вектора а == r через замкнутую поверхность, оrраничиааю
щую произвольный объем v, равен утроенному объему.
2391. Найти поток вектора r через полную поверхность цилин
дра хl + у! R!, О Z Н.
2392. Найти поток вектора a==x'l+ ySj+z'k через: а) боковую
х! + у! z!
поверхность конуса R Z Н2 , О z Н; б) через полную поверх
ность конуса.
2393*. Вычислить диверrенцию и поток силы притяжения
F т,
=== I точки массы т, помещенной в начале координат, через
r
ПРОИЗ80ЛЬНУЮ замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеrрал вектора r вдоль одноrо вит
ка винтовой линии х == R cos t; У === R sin t; z == ht от t == О до t === 2n.
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора
a===x.y'l+i+zk вдоль окружности xl +yl==RI; z ==O, приняв
в качестве поверхности полусферу z === V R 1 х 2 уl.
2396. Показать, что если сила F.......... центральная, т. е. направлена к
неподвижной точке О и зависит только от расстояния r до этой точки:
F===f(r) r, rде f(r) однозначная непрерывная функция, то поле
потенциальное. Найти потенциал U поля.
2397. I Найти потенциал U rравитационноrо поля, создаваемоrо Ma
',териальной точкой массы т, помещенной в начале координат:
т
Q,::::z т r. Показать, что потенциал U удовлетворяет уравнению
r
Лапласа dU === о.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал и, и
найти и, если потенциал существует:
а) Q, == (5х 2 у.......... 4ху) 1 + (3х l .......... 2 у) j;
б) а === yzi + zxj + ).;yk;
в) а===(у +z) 1+ (х+ z)j+ (х+ у) k.
2399. Доказать, что пространственное центральное поле a==[(r)r
-k
будет соленоидальным только при f(r) ==..., rде k ж:=сопst.
,
2400. Будет ли соленоидальным векторное поле a==r(cXr), rде
С постоянный вектор?
r л А В А VIII
Р Я Д ыI
1. числовыIe ряды
10. Основные понятия. Числовой ряд
00
a 1 + а 2 + . · · + а n + . . · == а п
n==1
называется сходящи,М,ся, если ero частичная СУ'м''м'а
Sn == а 1 + а ! + · · · + а n
имеет предел при n 00. Величина S == Нт Sn называется при !)том су.ммоа
n 00
(1)
ряда, 8 число.
Rn==S Sn== а n + 1 +а n + 2 +. ..
.......... остатком ряда. Если предел lim Sn не существует, то ряд называется
n 00
ра сходящи'м'СЯ..
Если ряд сходится, то Нт а п == О (необходимый признак сходи'м'ости).
n O:>
Обратное утверждение неверно.
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякоrо
ПО/l0жительноrо числа в можно было подобрать такое N, что при n > N и
JlIобом положительном рвыполнялось неравенство
I а п + 1 +а п + 2 +... +а n + р 1< в
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число ero членов.
2 о. При з н а к и с х о Д и м о с т и и р а с х о Д и м о с т и з н а к о п о л 0-
,К И Т е л ь н ы х р я Д о в.
а) При з н а к с р а в н е н и я 1. Если О а n Ь n' Н а чи н ан с н eKoToporo
n == по' и ряд
00
Ь 1 + Ь 2 +. . . + Ь п + . . . == Ь п
п==l
(2)
сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (l) расходится, то расходится
и ряд (2).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбираТь eOMeтpи.
ческую nроерессию
00
aqn
п==о
(а :i= О),
278
РЯДЫ
rrп. VIII
которая СХОДИТСЯ при _1 q , < 1 и расходится ПрИ r q r 1, и еар.монuческuа ряд
00 1
п'
п=1
ЯВЛЯЮЩJlАся рядом расходящимся.
При м е р 1. Ряд
1 1 1 1
т:2 + 2.22 + 3. 21 + · · · + n:2'i + · · ·
СХОЖИТСЯ, так как здесь
1 1
а п == п. 2 п < 2 n ,
причем rеометрическая проrрессия
00
1
L 2 п '
п=l
1
знаменатель которой q == 2"' сходится.
При м е р 2. Ряд
In 2 + lп 3 + + !n п +
2 3 ... п ...
б u In п б
раСХОАИТСЯ, так как ero о щии tfлен польше соответствующеrо члена
1.. rармоническоrо ряда (который расходится).
n
б) При з н а к с р а в н е н и я 11. Если' существует конечный и отличныи
ОТ нуля предел lim а п (в частности, если а п ,.., Ь п ), то ряды (1) и (2) сходятся
п 00 Ь п
или расхо ятся одновременно.
При м е р 3. Ряд
1 + ; + ; + · · · + 2п 1 + · · .'
расхохится, так как
Нт ( 1 : ..!. ) == l. :/= О,
п 00 2п 1 n 2
1
а ря){ с общим членом расходится.
n
При м е р 4. Ряд
1 1 1 I
2 1 + 22 2 + 23 3 + · · · + 2 n п
+ -,
. . .
схохится, так как
пl oo ( 2 п п : 2 1п ) == 1. Т. е. 2 п п 2 ,
1
а ря,l{ с общим членом 2 n сходится.
в) При э н а к Д а л а м б ера. Пусть а п > О (начиная с HeKoToporo п==n о )
и существует предел
Iim a п + 1 ==q.
п 00 а п
1)
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
279
Тоrда ряд (1) СХОДИТСЯ, если q < 1, и расходится, если q > 1. Если q == 1, те
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
При м е р 5. Исследовать сходимость ряда
1 3 5 2n 1
2" + 21 + 2' + · · · + 2 п +. · ·
Реш е н и е. Здесь
2п 1
а п == 2 п
2п+l
а n + 1 == 2 п + 1
и
1 +..!..
1 . аn+l 1 . (2п + 1) 2 n 1 1 . 2п 1
1т == 1т == lIЦ == ........ .
n 00 а п n -+ 00 2 n + 1 (2п ...... 1) 2 п --+ 00 1 2
2п
Следовательно, данный ряд сходится.
r) При 3 Н а к К о ш и. Пусть а n ;::: О (начиная с HeKoToporo n == по) "
cyrцecTByeT предел
. п /........
11т V а n == q.
n-+ОО
Тоrда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. В случае.
коrда q == 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Д) И н т е r р а л ь н ы й при 3 Н а к К о ш и. Если а п == f (п), rAe функция
f (х) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х й 1. то РЯ]J
(1) и интеrрал
00
S f (х) dx
а
схо ятся или расходятся одновременно.
е помощью интеrральноrо признака доказывается, что ряiJ ДUРUХАе
00 1
L пР (8)
n==1
сходится, если р > 1, и расходится, если р 1. Сходимость мноrих РЯ)l.ов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3).
При м е р 6. Исследовать сходимость ряда
1 1 1 1
Й + 3.4 + 5. 6 + · · · + (2п ..... 1) 2п + · ..
Реш е н и е. Имеем:
1 1 1 1
а п == (2n 1) 2п == 4п 2 1 ..!.. 4п! .
2п
Так как ряд Дирихле при р == 2 сходится, то на основании признака сравне-
ния 11 можно утверждать, что и данный ряд сходится.
30. При з н а к и с х о Д и м о с т и 3 Н а к о пер е м е н н ы х р я Д о В.
Если ряд
I й 1 I + \ а 2 1 + . . . + I й п I + · .. ,
(4)
составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то РЯА (1)
. также сходится и называется абсолютно сходящuмся. Если же РЯА (1)
280
РЯДЫ
[rл. VIII
СХО.J{ится, а ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (неаБСОАюmно)
сходящи.мся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использовать
для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположмтельных рядов.
В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если
Нт I аn+l \ < 1 или 11т }Y lanl < 1.
n --+- 00 а n n --+- 00
В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1).
Но если Нт I аn+l 1 > 1 или lim }У I а n , > 1, то расходится не только
n 00 а п n 00
рвя (4), но и ряд (1).
При э н а к Л е й б н и ц а. Если для знакочередующеrося ряда
Ь 1 ...... Ь. + ь, ....... ь" + . . . (Ь n О) (5)
выполнены условия: 1) b t ';;:: Ь 2 Ь. . . .; 2) Нт Ь п == О, то ряд (5) сходится.
n --+- 00
Для остатка ряда R n в этом случае справедлива оценка
I R n I b n + t .
При М ер 7. Исследовать сходимость ряда
( 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 4 ) 4 п (n 1) ( h ) "
"1...... "3 ..... 5 + 7"" +-... + ( 1) 2 2п 1 + ...
Реш е н и е. Составим ряд И3 абсолютных величин членов данноrо ряда:
1 + (i)" + ( / + ( )& +... + ( 2n l )п +...
Так как
V( п ) n п 1 1
11т == Нт == liт ,
п 00 2п 1 п 00 2п 1 n 00 2 2
п
то ханный ряд сходится абсолютно.
При м е р 8. Ряд
I .l + l........ + ( l) n+1 . .! +
2 3 ... п ...
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится
неабсолютно (условно), так как ряд
1 1 1
1+"2+з+...+п-+...
расходится (rармонический ряд).
При м е ч а н и е. Для сходимости знакочередующеrося ряда не ),{остаточно,
чтобы ero общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает
лищь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина
общеrо члена ряда стремится к нулю м о н о т о н н о. Так, например. ряд
1 1 1 1 1 1
1_ б+2 бl +3 ... +T 5 k + ...
1}
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
281
расходится, несмотря на то, ЧТО ero общий член стремится к нулю (монотон-
ность изменения абсолютной величины общеrо члена эдесь, конечно, нарушена).
, "
ДеЙt вительно, здесь S2k == Sk + Sk' rде
, 1 1 1" ( 1 1 I )
Sk==1+2+З-+...+k' Sk==....... S+ 52 +...+5li '
, ,
причем 11т S k == 00 (S k частная сумма rармоническоrо ряда), в то время
k --+- 00
1 . S " (S " u
как предел 1т k существует и конечен k ......... частная сумма сходящеися reo-
k ...... 00
метрической проrрессии), следовательно, lim Stk == QO.
k-+oo
С друrоА стороны, для сходимости знакочередующеrося ряда выполнение
приэнака Лейбница не необходимо: эн акочередующийся ряд может сход ться,
если абсолютная величина ero общеrо члена стремится к нулю не монотонно.
Так, ряд
1 1 1 1 1
1 22 + 3' ...... 42 + · · · + (2n 1 )' (2n)Z + ...
сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсо-
лютная величина общеrо члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.
40. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом
Сп == а п + IЬ n и! ==....... 1) сходится тоrда и только тоrда, коrда одновременно
00 00
сходятся ряды с действительными членами а п и Ь п , причем в этом
п==l п:=l
случае
00 00 00
Cп== an+l Ь n .
п==l п==1 п==1
(6)
Ряд (6) заведомо сходится и называется абсолютно сходящuмся, если схо-
дится ряд
00 00
t Сп I == v a + b ,
п==1 п==1
членами KOToporo являются модули членов ряда (6).
50. Д е й с т в и я н а Д р я Д а м и.
а) Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число k, Т. С.
если
а 1 + а 2 + . . . + а п + .. . == 8,
ka 1 +ka 2 + ... +ka n + ... ==k8.
б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
а 1 + а 2 + . . . + а п + · . . == 81'
Ь) + Ь 2 + ... + Ь п + ... == 82
понимается соответствующий ряд
(а. -+- Ь.) + (а! :!: Ь 2 ) + . . . + (а n ::!:: Ь п ) + . . . == 81 :!: S .
в) Проuзведенuем рядов (7) и (8) называется ряд
С 1 + С! + . . . + Сп + . . . ,
rде ==alЬп +a2bп 1 +... + апЬ. (n== 1, 2, .. .).
сли ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также
JlЮТНО и имеет сумму, равную 8.82'
то
(7)
(8)
(9)
абсо-
282
РЯДЫ
(rп. VI1I.
r) Если ряд сходится абсолю:rно, то ero сумма не изменяется при пере-
становке членов f)яда. это свойство не имеет места в случае, если РJIJI
сходится неабсолютно.
Написать простейшую формулу п ro члена ряда по указанным чпенам
1 1 1 1 1 1
2401. 1+3+5+7+... 2404.1+4+9+ 16 + ...
111 1 3 4 5 6
2402. 2"+4+6+8+... 2405. 4+9+ 16 +25+...
2 3 4 2 4 6 8
2403. 1 +"2+ 4+8 +... 2406. S+В+П+ 14 + ...
1 1 1 1 1 I
2407. 2+6+ 12 + 20 + 30 + 42 +...
+ 1.3 + 1.3.5 1.3.5.7 +
2408. 1 +
[:4 1.4.7 1.4.7.10 ...
2409. 1 1 + 1 1 + 1 1 + . . .
111
2410. 1 +2"+3+4+5+6+ ...
в ММ 2411 2415 требуется написать
ряда по известному общему члену а n .
3п 2
2411. а п === п 2 + 1 ·
( I)пn
2412. а п == 2 п ·
2 + ( ])n
2413. a'l === 2 .
п
4 5 первых членов
1
2414. а п == [3 + ( 1)n]n ·
( 2 +51" п; ) cos тt
2415. а п п!
.
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения
(или необходимый признак):
2416. 1 1 + 1 1 + . . . + ( 1)n 1 + . . .
2417. ; + ( ; ) I + ( ; ) а + . . . + ( ; ) п + . . .
2 3 4 п+l
2418. 3 + 5 + 7" + · · · + 2п + 1 + · · ·
1 1 1 ( ])n + 1
2419. V V + V · .. + + V + . · ·
1 О 1 О 1 О ,1 1 О
1 1 1 1
2420. 2+4+6+ ... + 2п + ...
1 1 1 1
2421. П + 21 +31 + · · · + 10n + 1 + · · ·
1 1 1 1
2422. ..r + y + ..r + · · · + у + · · ·
у 1.2 2. 3 у 3.4 п (п + 1)
1)
ЧИСЛОВЫR РЯДЫ
288
21 2' 2 п
2423. 2 + 2 + 3 + · · · + n + · · ·
1 1 1
2424. 1 + f2 + у 3 + .. · + у п + · ..
1 1 1 1
2425. 2i + 52 + 82 + · · · + (3п 1 )2 + · · ·
1 V2 Vз Vn
2426. 2 + y + y +'" + y + ...
3 2 4 3 (п + 1) n
с помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
1 З 5 2n 1
2427. j72 +2"+ 2У2 + ... + (У2)п + ...
2 + 2. 5 + 2. 5 . 8 + 2. 5 .8. . . (3п 1) +
2428. Т т:s 1.5.9 + ... 1.5.9...(4п З) ...
с помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
2 ( 3 ) 1 ( 4 ) ' ( п+l ) n
2429. т + з + 5" +. · · + 2п........ 1 +. · ·
1 ( 2 ) 8 ( 3 ) s ( п ) !n 1
2430. 2 + 5 + 8" +... + Зп 1 + · · ·
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
111
2431. 1 + 2! + 3! + · · · + п! + ...
1 1 1 1
2432. 3+8+ 15 + ...+ (n+l)2 1 + ...
1 1 1 1
2433. т:4+ 4.7 + 7.10 + ...+ (Зп 2)(Зп+l) + ...
1 4 9 п!
2434. 3 + 9 + 19 + · · · + 2п 2 + 1 + · · ·
2435. ; + + 130 + · · · + па 1 + ...
3 5 7 2п + 1 +
2436. 22.32 + 32.42 + 42.52 + · · · + (п + 1)2 (п + 2)2 . · ·
2437. : + ( ) а + ( l ) а + . . . + ( зп 3+ 1 ) п + . . .
1 а n
2438. ( : ) а + ; + ( 170 ) 2 + . . . + ( : t : ) а + . . .
1 8 27 па
2439. ...... + т + т + · · · + n + · · ·
е е е е
2 4 2 n 1
2440. 1 + 22 + за + · · · + 7"" + · · ·
284
РЯДЫ
(rп.. VIII
1t 2! 31 п'
2441. 2 + 1 + 22 + 1 + 23 -+ 1 + · · · + 2 п + 1 + . · ·
2 4 2п 1
2442. l+ Тi + 21 + ...+ (n 1)! + ...
1 + 1.3 1 · 3. 5 + 1 .3. 5. . . (2п 1)
2443'"4 4.8 + 4.8. 12 · · · + 4.8. 12. . . 4п I .'.
(1')2 (21)2 + (3!)2 + + (n!)2 +
2444. + 4! 6! · · · (2n)! · · ·
2445. 1000 + 100 : 002 + 1000./. .1004 + . . .
. . + 1000. 1002 . 1004. . . (998 + 2п) + . . .
· 1 .4.7 . . . (3п 2)
2 + 2. 5.8 + 2.5. 8. 11 . 14. . . (6п 7) (6п 4) +
2446. · · · + 8 1 8 7 ) · · ·
1 1.5.9 1.5.9.13.17...( п 1)( п
2447 + + + 1.5.9...(4n 3) +
· 2 2.4.6 ... 2.4.6.8.10...(4n 4)(4n 2) ...
2448 l + + 1.11.21 + + 1.11.21...(10n 9) +
· 1! 31 51 · · · (2п 1)' · . ·
2449. 1 + 1.4 + 1.4.9 + + }.4.9...nz +
1 · 3 · 5 1 · 3 . 5. 7 .9 · · · 1 .3.5. 7 .9. . . (4n 3) . · ·
2451.
00
. 1
arCSln ..r ·
п:=l J" п
00
. 1
Sln n ! ·
n==1
00
2457.
n .1п / 1п 1п n ·
п==2
2450.
00
2458. L n 2 n ·
n==2
00
2452. L ln ( 1 + ) .
n==1
(f)
2459. L 1
n:==1 V п (п + 1) ·
00
2453. L ln n1t 1 .
п==l
00
2460. L 1
lZ:==l-V n (n+l)(n+2)'
2454.
00
L 1п 1 n .
n==2
2461.
00
L 1
n==2 п lп n + Уlп 3 п ·
00
.., 1
2455. п 1 n п ·
n:=2
2462.
00
1: V l y '
n==2 n п п
00 Vn
f: . (2n 1) (5 V n 1) ·
00
2456.
n 1 1 n ·
n==1
2463.
f 1)
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
285
Q)
2464-. L (1 cos ) .
п=l
00
2467 . зппr
-пп-.
п=l
00
пl
2466. п n ·
lz::п
00
2468*. L е::\ .
п=1
00
2466. 2 п п'
п n ·
п=1
00
2469. Д оказать , что Р яд
пР \ q n :
n=2
1) сходится при произвольном q, если Р> 1, и при q> 1, если
р===l;
2) расходится при произвольном Q, если р < 1, и при q 1, если
р=== 1.
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов.
В случае сходимости исследовать на аБСОЛIОТНУЮ и условную СХОДИ"
мос Т Ь.
2470.
247 '.
2472.
2473.
2474.
2475.
2476.
2477.
2478.
2479.
2480.
1 1 ( оп--I
1 3 + 5" · · · + 2п 1 + · . .
1 1 ( I)n--J
1 v2 + уз .. · + уn +. · ·
1 1 ( l)n--l
1 ""4 +"9 · · · + п 2 +. · ·
2 3 ( l)n--I n
1 7 + тз....... · · · + 6п 5 +...
з 5 + 7 + ( 1 п 1 2п + I +
1.2 2.З з:4 ... ) п(п+1) ...
п 2 + 11
1 2 3 4 n
2" 4 + 8 + 16 · · · + ( 1) · 2 п + ...
2 3 4
2 У2 I + з уз 1 4 У4 I + · · ·
· .. + ( 1)n 'V+ I + ...
(п + 1) n + 1 1
3 ( 5 ) ! ( 7 ) s n ( 2п + 1 ) n
4+ 7"" 10 +... + ( 1) 3п + 1 +. · ·
3.5 + 3.5. 7 ........ + (....... l)n 1 3.5.7. . . (2п + 1) +
2 2. 5 2 .5. 8 · · · 2 · 5.8. . . (3п 1) · · ·
1 1 · 4 + 1.4.7 n I 1. 4. 7 . . . (3п 2) +
7 7.9 7.9. 11 · · · + ( 1) 7.9. 11 . . . (2n + 5) · · 11
sin а + sin 2а sirJ nа.
10 10 (ln 10)1 + ... + (1" 10)n + ...
266
ряды
[rп. \'111
GO
2482. L ( 1)n I tg .
п==l п п
2483. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не
00
решает вопроса о сходимости ряда а п , rде
n==1
(х)
2481. L ( 1)n 1: n .
п==1
2k 1
a2k 1 === зk 1 ,
2k 1
a2k==3k (k == 1, 2, . . .),
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что
этот ряд сходится.
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к зна-
кочередующимся рядам а) r). Выяснить, какие из этих рядов рас-
ходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
1 1 1 1 1 1
а) Y2 1 Y2+1 + У3 1 V3+1 + Y4 1 у'4+I +...
( . 1 1 )
а а ·
2k 1 -v k + 1 l' 2k -v k + 1 + 1 '
1 111 1
б) 1 3+2 33 + 22 З5+ ...
( a2k I == 2 kl 1 , a 2k == 321 1 ) ;
1 1 1 1 1
в) 1 з+з З2 +5 33 + ...
( a 2k I === 2k l ' a 2k :== 3 ) ;
11111
r) 3 1 +7 5+П 9+ ...
( 1 1 '
a2k 1 == 4k l ' a2k== 4k 3 ) ·
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
2486.
00
2485. L n (2 ;t пn .
п==l
00
n (2i l)п
З N ·
n==1
00
.L n(з пn '
п==l
00
2489. L y 1 ·
п==l n +i
00
2490. L. 1 y '
п==1(п+п n
2487.
00
2491. f2 1 [n + (2 1) iJ 2 ·
2488.
00
L i: .
п==l
00
2492. [ n (2 i) + 1 J n
1 n (3 2i) 3i ·
1)
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
281
1 1
2498. Между КрИВЫМЙ у == ха И У == х 2 ' справа от точки и" "е..
ресечении, построены отрезки, паралпельные оси ОУ и отстоящие
ОДИН от Jt.pyroro на одинаковом расстоянии. Будет ЛИ сумма длин
этих отрезков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла
1
речь в предыдущей задаче, если кривую у == ха заменить кривой
1
1 -==-;?
00 00
2495. Составить сумму рядов 1 t n и ( l : n . Схо-
п==l п:=l
дитси ли эта сумма?
00 00
2496. Составить разность расходящихся рядов L 2п 1 и L.
n==1 п==l
и исследовать ее сходимость.
00
2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда 2п I
п==l
('.IJ
из ряда L ?
п==l
2498. Подобрать такие два ряда, чтобы ИХ сумма сходилась, а
разность расходилась.
00 00
2499. Составить произведение рядов f21 n n и f2 1 2} 1 ' Схо-
дится ли это произведение?
2500. Составить ряд (1 + ; + + ... + 2! 1 + ...)1. Схо-
дится ли этот ряд?
+ 1 1 + + ( 1)n
250 '. Дан ряд .......... 1 2i з! · · · п! + · .. Оценить
ошибку, допускаемую при замене суммы этоrо ряда суммой первых
ero четырех членов, суммой первых ПЯТИ членов. Что можно сказать
о знаках этих ошибок?
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 1 ( 1 ) 2 1 ( 1 ) 8 1 ( 1 ) n
2 + 2! "2 + 3i 2 +. · · + п! "2 +. · ·
суммой ero первых п членов.
2503. Оценить ошибку, допускаемую ПрИ замене суммы ряда
111
1 + 21 + 3! + ... +nт+ ...
288
РЯДЫ
(rп. ут
суммой ero первых п членов. В частности, оценить точность T3Koro
приближения при п === 10.
2504**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
111
1 + 22 + 32 + . · · + п 2 + · · ·
суммой ero первых п членов. В частности, оценить точность TaKoro
приближения при п == 1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене СУММЫ ряда
( 1 ' 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) 2n 2
1 +2 4") +3 Т +... +п т + ...
суммой ero первых п членов.
00
( l п )п l
2506. Сколько членов ряда ну/к но взять, чтобы вы-
n==1
числить ero сумму С точностью до 0,01? до 0,001?
00
2507. Сколько членов ряда L (2п; 1) 5 n нужно взять, чтобы
n==1
вычислить ero сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до О,ОООI?
* 1 1 + 1 + + 1 +
2508 · Найти СУММУ ряда т:2 + 2.3 3.4 · · · n (п + 1) · · ·
2509. Найти сумму ряда
V х 4 ( V x V х ) + (V х Vx)+ ... +(2k+ V X .2k V X) +...
2. Функциональные рЯДЫ
1 О. О б л а с т ь С х О Д И М О С Т и. Множество значений aprYMeHTa х,
для которых функциональный ряд
'1(Х)+/2(Х)+ ... +In(x)+ ... (1)
сходится, называется областью сходимости 9Toro ряда. Функция
S (х) == Нт Sn (х),
n--+оо
rде Sn (х) == 11 (х) + 12 (х) + ... + 'N (х), а х принадлежит области сходимости,
называется су.м.мой ряда, а Rn (х) == S (х) Sn (х) остатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) до-
статочно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая
фиксирован ным.
При м е р 1. Определить область сходимости ряда
X+l + (X+l)2 + (X+l)3 + + .(x+l)n +
1 · 2 2. 22 3.23 · · · n . 2 n · · · (2)
Реш е н и е. Обозначив через и n общий член ряда, будем имеТЬJ
11т 1 и n + 1 \ lim \ х + 11 n+12 n n 1 Х + 11
п --+ 00 I и n 1 ...... п --+ 00 2п 1 (п + 1) 1 х + 1 'N 2 ·
2]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
289
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и
притом абсолютно), если I х t 11 < 1, т. е. при 3 < х < 1; ряд расходится,
если I х t 1 \ > 1, т. е. если 00 < х < 3 или 1 < х < 00 (рис. 104). 'При
х == 1 получаем rармонический ряд 1 + ; + ; +... , который расходится, а
при х == 3 ряд 1 + ; + . . ., который (в соответствии с призна-
ком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при 3 х < 1.
2°. С т е п е н н ы е р я д ы. Для в сякоrо стеnеННОёО ряда
со + С 1 (х а) + С 2 (х а)2 + . . . + Сп (х а)п + . . . (3)
(Сп И а действительные числа) существует такой интервал (интервал схо..
димости) I х а 1< R с центром в точке х == а, внутри KOToporo ряд (3)
сходится абсолютно; при I х а I > R ряд расходится. Радиус сходимости
Рос.соо.
d':cod.
/bc.z'U&
rJ7J/' ////'//h'J"///.I'/J'./'/(///hA"/Z"/"W "
..
--4
-1
()
I
к
Рис. 104.
R может быть в частных случаях равен также О и 00. в концевых точках
интервала сходимости х == а::!: R возможна как сходимость, так ирасходимость
степенноrо ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью при-
знаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами KOToporo являются
абсолютные величины членов данноrо ряда (3).
Применив к ряду абсолютных величин
\ со \ + \ С 1 \ I х а I + . . . + 1 t;n \ \ х а \п + . . .
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости
степенноrо ряда (3) соответственно формулы
1
R == Нт п/ \ С \
п--+ооУ п
и R == Нт I 1 .
n--+ОО С n + 1
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоя..
щие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например,
если бесконечное множество коэффициентов Сп обращается в нуль (это, в част-
ности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только
с нечетными степенями (х а», то пользоваться указанными формулами нельзя.
В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применят
признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при
исследовании ряда (2), не прибеrая к общим форму лам для радиуса сходимости.
Если z == х + iy ........ комплексное переменное, то для степенноrо ряда
со + С 1 (2 ........ 20) + С 2 (z ...... 20)2 + . . . + Сп (l ...... 20)n + . . . (4)
(Сп == а п + ;Ь п , '0 ==х о +iyo) существует некоторый Kpyr (Круё сходимости)
I z 20 \ < R с центром в точке 2 == 20' внутри KOToporo ряд сходится абсо-
лютно; при I z ........ 20 , > R ряд расходится. В '''очках, лрж lЩИХ на самой окруж-
ности Kpyra сходимости, рял (4) может как схо иться, так и расхоJ;l.ИТЬСЯ.
10 [. С. Бараненков и др.
290
РЯДЫ
[rп. VIII
.l(pyr СХОДИМОСТИ обычно определяют с помощью приэнаков ДаJlамбера ИЛИ
I(оши, п римененных к ряду
1 со t + 1 С 1 1. \ z ....... Zo , + \ С 2 \ . \ z ...... Zo 11 + . . . + \ Сп t .1 z ...... Zo t п + · . · ,
членами KOToporo являются модули членов данноrо ряда. Так, например, с По-
мощью признака Даламбера леrко обнаружить, что Kpyr сходимости ряда
z+1 + (z+I)2 + (z+1)3 + + (z+l)n +
1.2 2.22 3.23 ... n.2 n ...
определяется неравенством I z + 11 < 2 (достаточно повторить приведенные
на стр. 288 выкладки, служившие для определен ия интервала СХОДимости ряда
(2), заменив лишь х на z). Центр Kpyra сходимости находится в точке z == 1,
а радиус R 9Toro Kpyra (радиус сходимости) равен 2.
30. Р а в н о м е р н а я с х о Д и м о с т ь. Функциональный ряд (1) сходится
на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было в > О, МО}I{НО
_IJайти такое i'v, не зависящее от х, что при n > N для всех х из данноrо про-
межутка имеет место неравенство I Rn (х) 1 < е, rде Rn (х) ...... остаток данноrо ряда.
00
Если 1 t п (х) \ сп (п == 1, 2,...) при а х Ь и числовой ряд сп схо-
n==)
дится, то функциональный ря,J; (1) сходится на отрезке [а, Ь] аБСОЛIОТНО
и равномерно (признак Beaeptuтpacca).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке,
лежащем внутри ero интервала сходимости. Степенн ой ряд (3) можно почленно
nифференцировать и интесрировать внутри ero интервала сходимости (при
I х а I < R), Т. е. если
со + С 1 (х а) + С 2 (х ---- а)2 + . . . + Сп (х а)n + . . . == t (х), (5)
то для любоrо х из интервала сходимости ряда (3) имеем:
С 1 + 2С 2 (х а) + ... + nС п (х a)п l + ... == " (х), (6)
х х Х Х
S codx + S С 1 (х а) dx + S Са (х а)а dx + . .. + S СП (х а)n dx + . . · ==
:ro Ха ХО ХО
00
(х а)п+l (х о а)п+l
L Сп n + 1
п==о
Х
S f (х) dx
Ха
(7)
(число ХО также принадлежит интервалу сходимости ряда (3). При этом ряды
(6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и р.яд (3).
Найти область сходимости ряда:
2511.
00
L :Х '
n==1
00
L ( 1)n+l ;Х '
n==1
00
( ....... 1 ) n+l
ln х ·
n=1 n
2513.
00
L
sin (2п 1) х
(2п
2510.
n=1
2514.
00
2 п · Х
Sln з п ·
n==о
00
cos nх
е пх ·
п=О
2512.
2515**.
2}
2516.
2517 .
2518.
2519.
2520.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
291
00
L ( t)п+te пSinX.
n=О
(JJ
,...., n t
хn.
n=!
00
L n:х n '
n=!
00
L (2n 1) хn.
п=l
00 у....
L (х n2)n ·
п==l
00
2п + I
2521. (п + 1)5 х 2n ·
п==о
00
( 1)" J
2522. n.З" (х 5)'l.
n=1
00
п n .
n=1 Х
00
f: l (хn + 2!Хn ) ·
2523.
2524* .
00
2525. L х n .
n== 1
Найти интервал сходимости CTeneHHoro ряда и исследовать сха.
димость на концах интервала сходимости:
2526.
2527.
2528.
2529.
2530.
2531.
2532.
2533.
2534.
10*
00
L х n .
n==о
00
х n
п. 2 n ·
n==1
00
rn 1
2п 1.
n==1
00
2n lrn 1
(4п........ 3)1 ·
n==1
2535.
00
х n
n'l .
n==1
00
( n ) 2п t iJ
2п + 1 х ·
п==l
00
L З n 'х n2 .
n==о
00
f: ln l( ; )n.
2536.
2537 .
2538.
00
2539. п!х n
п" ·
n==1
00
n 1
2540. L n.;n.ln n ·
n=2
00 00
L ( 1)n (2п.+ 1)2 Х n . 2541. L x nt .
n==1
00
2542**. L n!x nl .
n==1
00
(........ 1)n 1 х n
п ·
n=1
00
(n + 1)5 х 1n
2п + 1 ·
п=о
n=о
00
х n
пl.
п==l
(JJ
L п!х n .
n==1
х n2
2543*. 2n Jп'J ·
п==l
292
00
2544*. L
n"
Х
п n ·
n!::1
00
2545. ( 1 ) n 1 (х 5)n
п.З n ·
n==1
'XJ
2546. (х 3)"
п . Бn ·
n=:.1
00
2547.
L
(х I)2n
n.g n
.
n==1
00
2548. L ( ] )n 1 (х «;})"n .
1l==1
00
2549. L (х t.з)n .
1l==1
00
2550. L п n (х + 3)n.
1l==1
00
(х+5)2Ш 1
2551. 2п.4 n ·
1l==1
00
(х 2)"
2552. (2п 1) 2 n ·
n==1
РЯДЫ
[rл. VHI
00
2554. L пl (Xnt З)n .
п==1
00
(х + I)n
2555. (п + 1) ln 2 (п + 1) ·
n==l
00
. (х 3)2n
2556. n (n+I)lп(n+I)'
00
2557 ( 1) n+ 1 (х 2)n
· (n+l)ln(п+l).
n==1
if)
2558. L. (х ;)n а .
1l==1
00
2559*. n ( 1 + У' (х 1)n.
00
2560. L ( 2п --;! n+ J)n .
п==l
V n + 2
2561. ( 1)n п+l (x 2)n.
n==О
00
(3п 2) (х 3)"
2562. (п + 1)2 2n+1 ·
n==о
00
2553. ( 1 ) n+l (2n 1)2n (x l)
(3п 2)2n ·
n==1
Определить Kpyr сходимости:
00
2564. L inz n .
п==о
00
00
2563. L ( 1)n (х 3)" .
n==о (2n+l)yп+l
00
2566. '-""" (2 ,2i)n
N. З N ·
n==1
CI)
· !n
2565. L(1 + пi)zn. 2567. L. .
n==О п o
2568. (1 + 2i) + (1 + 2i) (3 + 2i) z + . . .
· · · + (1 t 2i) (3 + 2i) ... (2п + t + 2i) zn + . . .
2569. 1 + 1 i + (1 i) I 2i) + .. ·
z"
· · · + (1 () (1 2i) ... (1 n i) + '. . ·
00
2570. L ( Jn 2;: )" zn.
n=О
э 2]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
293
2571. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать,
что ряд
1 + х + х 2 + . . . + х п + . . .
не сходится равномерно в интервале ( 1, 1), НО сходится равно..
мерно на ВСЯКОМ отрезке, лежаLЦем внутри этоrо интервала.
Реш е н и е. Пользуясь формулой суммы rеометрической проrрессии,
получим при I х 1< 1
хn+l
R п (х) == xn+l + хn+2 + ... == l .
x
Возьмем лежащий внутри интервала ( 1, 1) отрезок [ 1 + а, 1 а], rде
а сколь уrодно малое положительное число. На этом отрезке I х I 1 а,
, 1 х I а и, следовательно,
(1 a)п+l
I R п (х) , ·
а
Для Toro чтобы доказать равномерную Сходимость данноrо ряда на отрезке
[ 1 + ех, 1 а], нужно показать, что к любому в > О можно подобрать та-
кое N, зависяще только от В, что при всяком п > N будет иметь место не-
равенство 1 R п (х) I < в для в с е х х из рассматриваемоrо отрезка.
(1 a)Il+1
Взя в любое в > О, потребуем, чтобы < е; отсюда
а
I n (ва)
(1 а)п+l < ва, (п + 1) ln (1 а) < ln (вех), т. е. п + 1 > ln (1 а) (так как
1 п (ва) ln (в а)
ln (1 а) < О) и n > -ln (1 а) 1. Положив, таким образом, N == ln (1 а)
1, мы убеждаемся, что при n > N, действительно, I Rn (х) 1< 8 для
всех х из отрезка [ 1 + а, 1 а] и равномерная сходимость данноrо ряда
на любом отрезке, лежащем внутри интервала ( l, 1), тем самым ДОI<а..
за н а.
Что же касается Bcero интервала ( 1, 1), то он содержит точки, CKO lЬ
x п + 1
уrодно бл изкие к точке х == 1, а так как Нт R п (х) == Вт == 00, ТО
X l X )l 1 x
как велико бы ни было п, найдутся точки х, для которых R n (х) больше
любоrо, сколь уrодно бо'Льшоrо числа. Следовательно, нельзя подобрать такое
N, чтобы при п > N неравенство l R п (х) 1< в имело место 80 в с е х точках
интервала (......... 1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале ( l. 1)
не является равномерной.
2572. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, LlTO:
а) ряд
х х 2 х п
1 + 11 + 2! + · · · + п! + · · ·
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд
х2 х4 х 6 ( 1) n 1 х 2 п
T 2+3 '.'+ п +...
сходится равномерно во всем интервале сходимости ( 1, 1);
294
РЯJ.Ы
(rп. VIII
8) РЯД
1 1 1
1 + X + 3Х + · · · + п Х + · · ·
СХОДИТСЯ равномерно в интервале (1 + (), (0), rде fJ любое поло-
жительное число;
r) ряд
(х 2 х 4 ) + (х 4 х 6 ) + (х 8 х 8 ) + . . . + (х 2n ...... х2n+2) + . . .
сходится не только внутри интервала (......... 1, 1), но и на концах 9Toro
интервала, однако сходимость ряда в интервале ( 1, 1) HepaBHO
мерная.
ДОI<азать равномерную сходимость функциональных рядов в ука..
занных промежутках:
00
xп
2573. п 2 на отрезке [ 1; 1].
п ==1
00
siп пх
2574. на всей ЧИСЛОRОЙ ОСИ.
n==1
00 n
2575. L( 1)п l ; n на отрезке, [О, 1].
п==l
Применяя почленное диqкpеренцирование и интеrрирование, найти
CYM tbI рядав:
х 2 х 3 Х N
2576. х+ 2+ з+ ... + -п+ .. ·
х 2 х 8 Х N
2577. Х 2+з ...+( 1)n ln+ ...
х 3 х 5 х2n 1
2578. Х+-З+s+ ... + 2п 1 + ...
х 8 х 5 n-- 1 x2n 1
2579. Х 3+ 5 · · · + ( 1) 2п 1 + · · ·
2580. 1 + 2х + 3х2 + . . . + (п + 1) х n + . .
2581. 1 3x2+5x4 ... +( 1)n 1(2п 1)x2n 2+...
2582. 1. 2 + 2. 3х + 3 · 4х 2 + . . . + п (п + 1) Х N 1 + . . .
Найти суммы РЯДОВ:
1 2 3 + n +
2583. + ""2 + 3 + · · · п · · .
х х х х
х 5 х 9 x4n 3
2584. х + "5 + "9 + · · · 4п 3 + · · ·
1 1 1 (.:...... 1)n 1
.2585*. 1 3.3 + 5.32 7.38 +... + (2п 1)зп 1 +' . .
1 + 3 5 2n 1
2586. 2" 22 + 2' + · · · + 2 n -1 '..
э 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
295
3. Ряд Тейлора
1 О. Р а 3 л о ж е н и е Ф у н к Ц и и в с т е n е н н о й ряд. Есл и ФУНКЦИJl
f (х) допускает в некоторой окрестности I х а , < R точки аразложени'
в степенной ряд по степеням х а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет ВИl)
' " ( а ) ' <n) ( а )
f (х) == t (а) + " (а) (х а) + 2! (х а)2 + ... + п! (х а)n + ... (1)
При а == О ряд Тейлора называют также рядом Ма1СЛорена. Равенство (1)
справедливо, если при 1 х а 1 < R остаточный член ряда Тейлора
n
R" (х) == '(х) [1 (а) + L. ' I:,(а) (х a)k] ------+ О
k==l
при п 00.
Для оценки остаточноrо Ч,,1ена можнt) пользоваться формулой
( )n + 1
R" (х) == n ; 1)1 11"+1) [а + о (х а»), rде О < О < 1 (2)
(форма Лаеранжа).
при м е р 1. Разложить функцию f (х) == ch х в ряд по степеням х.
Реш е н и е. HaXO M про изводны данной rнк ции / (х) == сЬ х, /' (х) ..
== sh х, r (х) == сЬ х, f (х) sh х, ..., вообще f (х) ch х, если п четное.
и ,(п) (х) == sh х, если п ........ нечетное. Полаrая а == О, получим f (О) == 1, " (О) == о,
" (О) == 1, /'" (О) == О, ...; вообще '<n) (О) == 1, если п четное, и jt ) (О) == О,
если n нечетное. Отсюда на основании (1) имеем:
х 2 х4 х 2n
сЬ Х == 1 + 2f + 4! + · · · + (2п )1 + · · · (3)
Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Д8лзмбера.
Имеем:
I х2n+2 х 2n I х'
11т . lim О
n OO (2п + 2)! . (2п)! n OO (2п + 1) (2п + 2)
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале 00 < х < 00. Оста-
точный член 8 Сf>ответствии с формулой (2) имеет ВИJl,
хn+l
Rn (х) == (п + l)! ch Ох, если n нечетное, и
хn+l
Rn (х) == (п + 1)! sh Ох, если п четное.
Так как О > б > 1, то
е 6х + e 6x I е8х e 6x I
Ich8x\== 2 e\XI, \shбхl== 2 elxl,
1х1 n + 1 1xl n
и поэтому l Rn (х) \ (п + 1)! el XI. Ряд с общим членом ti! сходится при
любом х (в этом можно леrко убедиться с помощью признака Даламбера),
поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости
Нт 1 х I п + 1 О
п 00 (п + 1)! J
296
РЯДЫ
[rл. Vlll
8 следовательно, и lim Rn (х) == О при любом х. Это означает, что сумма
n OO
ряда (3) для любоrо х действительно равна сЬ х.
20. При е м ы, при м е н я е м ы е при раз л о ж е н и и в с т е п е н-
н ы е р я Д ы.
Пользуясь основными разложениями
х х 2 Х N
1. е Х == 1 + 1т + 21 + ... + п! + ... ( oo < х < 00),
х х 3 х 5 х2n+l
11. si n х == 11 3! + 51 · · · + ( I)n (2п + 1 )! + . . . ( oo < х < (0),
х 2 x<l х21l
III. cos х == 1 2т + 4! . · · + ( 1)n (2п)! + . . . ( oo < х < 00),
1 1+ т l+ т + т(т I) 2 +
v. ( х) тr х 2! х · · ·
+ т (т 1) ... (т п + 1) n + ( 1 < < 1) * )
... , х ... х ,
п.
х 2 х 3 Х N
V. l n(1+x)==x 2 +T ...+( 1)n 1 +... ( l<x l),
u п
а также формулой для суммы rеометрической ПрОI'рессии, можно во мноrих
случаях просто получать разложение данной функции в стеленной ряд, при-
чем отпадает необходимость исследования остаТОЧНОI"О члена. Иноrда при
разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интеrри-
рование. При разложении в степенные ряды рациональных функций реко-
мендуется разлаrать эти функции на простейшие дроби.
При 1\1 е р 2. Разложить по степеням х **) функцию
3
f (х) == (1 х) (1 + 2х) ·
Реш е н и е. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь:
1 2
f (х) == 1 х + 1 + 2х ·
Так как
00
11 x ==l+x+x2+...== Lxn
п==о
(4)
и
00
1 2х == 1 2х + (2х)2 ... == L ( l)п2 п x n ,
п==о
(5)
то окончательно
00 00 00
f (х) == L х n + 2 L ( 1)n2 n x n == L [1 + ( 1)n 2n+l] х n . (6)
n==о п==о n==о
*) На rраницах интервала сходимости (т. е. при х == 1 и при х == 1)
разложение IV ведет себя следующим образом: при т О абсолютно схо-
дится на обеих rраницах; при О > т > 1 расходится при х == 1 и. услов-
но сходится при х == .1; при т 1 расходится на обеих rраницах.
**) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым и положительным
степеням».
3]
РЯД ТЕЙЛОРА
297
rеометрические проrрессии (4) и (5) СХОДЯТСЯ соответственно при I х, < 1 и
1 1
r х I < '2; следовательно, формула (6) справедлива при I х I < 2"' т. е. при
1 1
2<X<2.
30. Р Я Д Т е й л о р а Д л я Ф у н к Ц и и Д в у х пер е м е н н ы х. Разложе-
ние ФУНКЦИJf ДВУХ переменных f (х, у) в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки (а; Ь) имеет вид
f(x, Y)==f(a, Ь)+ :, [(x a) +(Y b) ] !(a,b)+ , [(x a) +
д ] 2 1 [ д д ] n
+(y b) дy f(a,b)+...+ п! (x a) дx +(y b) дy ,(а, Ь)+... (7)
Если а == Ь == О, ряд Тейлора называют также рядо'м М ак.лорена. Здесь
приняты следующие обозначения:
[ (x.....a)i.+(y b)i J f(a ь)== дf(х, у) (x a)+ af(x, у) '(y b);
дх ду' дх ду
x a x a
y b y b
[ д д ] 2 д'1 (х, у) \ .,
(х а) дх + (у Ь) ду f (а, Ь) == дх 2 х==а (х а)- +
у ==Ь
+ 2 дl дYY) (х аНу Ь) + да! ; у) (у Ь)I И Т. Д.
х==а х==а
у==Ь у==Ь
Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда
R n (х, у) ==!(х, у) {! (а, Ь) + k :, [(х a) + (у Ь) :иJ k '(а, Ь)} O
при n......-+- 00. Остаточный член может быть представлен в виде
1 r д д ] n+ 1 I
R n (х, у) == (п + 1)! L (х а) дх + (у Ь) ду f (х, у) I
х==а+6 (х а)
y b+6 (у b)
rAe О < в < 1.
Разложить по целым положительным степеням х указанные функ-
ции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать
поведение их остаточных членов:
2587. аХ (а> О).
2588. 51" ( х + : ) .
2589. cos (х + а).
2590. sin 2 х.
2591*.1п(2+х).
298
РЯД
(r л. Vl11
Il0ЛЬЗУЯСЬ основными разложениями I V и rеометрическоЯ: про-
rрессией, написать разложение по степеням х следующих функций и
указать интервалы сходимости рядов:
2x 3
2592. (х 1)2 ·
3x 5
2593. x2 4х+3 '
2594. xe 2Х.
2598.
cos 2 х.
2599. sin 3х + х cos 3х.
х
2600. 9 + х 2 ·
2601. 1
V 4 х 2 ·
l+х
2596. shx. 2602. 1" 1 х ·
2597. cos 2х. 2603. 1" (1 + х ......... 2x J ).
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следующие
функции и указать интервалы, 8 которых эти разложения имеют меСТОI
2604. (l+x)l"(l+x). 2606. arcsinx.
2605. arctgx. 2607. lп (х+ V 1 +х 2 ).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2688. sin 2 х cos 2 х. S X i
snx
2509. (l+x}e X. 2616. x dx .
2610. (l +е Х )8.
2611. V8+x. 2617. e x2dx.
2612. х: ах + 1 . ОХ
Х 5x+6 S ln(l+X)dX
2613. сь' х. 2618. Х ·
О
1 х
2614. 4 4 · 2619. S dx
2615. 'п(х + 3х + 2). о -v 1 х' ·
Написать три первых отличных от нуля члена разложения в ряд
по степеням х функций:
2620. tg х. 2623. sec х.
2621. th х. 2624. 1" cos х.
2622. e COS Х. 2625. е Х sin х.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно поль-
зоваться приближенной формулой
( 82 )
S ::::::: 231 а 1......... 4 '
rде 8........ эксцентриситет и 2а.......... большая ось ЭЛЛИllса.
2595.
х 2
е .
s 3]
ря.l1 ТЕЙЛОРА
299
2627. Тяжелая нить под влиянием собственноrо веса провисает по
х Н
цепной линии у == а сЬ...... , причем а == , r де Н rоризонтальное на..
а q
тяжение нити, а q........ вес единицы длины. Показать, что при малых х,
с точностыо до величин порядка х", можно принять, что нить про..
х 2
висает по параболе у == а + 2а .
2628. Разложить функцию ха........ 2х 2 5х 2 в ряд по степеням
х+4.
2629. f (х) == 5х' ........ 4х 2 3х + 2. Разложить f (х + h) в ряд по
степеням h.
2630. Разложить ln х в ряд по степеням х 1.
1
2631. Разложить в ряд ПО степеням х 1.
х
1
2632. Разложить 2 в ряд по степеням х + 1.
х
1
2633. Разложить х 2 + ах + 2 в ряд по степеНЯ 1 х + 4.
2634. Разложить 1 в ряд по степеням х + 2.
х 2 + 4х + 7
2635. Разложить е Х в ряд по степеням х + 2.
2636. Разложить V х в ряд по степеням х 4.
11:
2637. Разложить cos х в ряд по степеням х 2" .
л
2638. Разложить cos l х в ряд по степеням х '4 .
. 1 х
2689*. Разложить ln х в ряд по степеням 1 + х ·
2640. Разложить V Х. в ряд по степеням 1 .
l+х х
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
111
е 2 + 2т + 3т + 4! ?
1t
2642. С какой точностью будет вычислено число 4' если вос,-
пользоваться рядом
х' х 5
arctg х===х 3" +5........... · · .,
8ЗЯВ сумму ero первых пяти членов при х == l?
11:
2643*. Вычислить число б с точностью до 0,001 при помощи
разложения в ряд по степеням х функции аrсsiп х (СМ. пример 2606);,
800
Ряды
[rn. VIIl
2644. Сколько нужно взять членов ряда
х 2
COS Х == 1 21 + . . . ,
чтобы вычислить cos 180 с точностью до 0,001?
2645. Сколько нужно взять членов ряда
. х 3
Sln х === х 3, + . · . ,
чтобы вычислить sin 150 с точностью до 0,0001?
2646. Сколько нужно взять членов ряда
х х х 2
е ==1+11+21+""
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647. Сколько нужно взять членов ряда
х 2
1п(1 +X)==X 2+""
чтобы вычислить ln 2 с точностью до 0,01? до О,ООl?
2648. Вычисл ить V 7 с точностью до 0,01 с помощью разложе-
/
ния функции V 8 + х в ряд по степеням х.
2649. Выяснить происхождение приближенной формулы Va 2 + х
х V
:::::: а + 2а (а> О), вычислить с ее помощью 23, положив а == 5, и оце-
нить допущенную при этом ошибку.
V
2650. Вычислить 19 с точностью до 0,001.
2651. При каких значениях х приближенная формула
х 2
cos х :::::: 1
2
дает ошибку, не преВЫUlаЮЩУIО 0,01? 0,001? 0,0001?
2652. При каких значениях х приближенная формула
sin х :::::: х
дает ошибку, не превышающую 0,О1? 0,001?
1/2
S sfn Х
2653. Вычислить х dx с точностью до 0,0001.
о
1
2654 В r e xl dx О 0001
. ычислить J С точностью до, .
о
1
2655. Вычислить S v )с cos Х ах с rочностью до 0,001.
о
9 4)
РЯДЫ ФУРЬЕ
801
2658.
1
S sln х
Вычислить V х dx с точностью до 0,001.
о
1/4
Вычислить V 1 + ха dx с точностью до 0,0001.
о
l!g
Вычислить V х е" dx с точностью до 0,001.
о
2656.
2657.
2659. Разложить в ряд по степеням х и у ФУВКllИЮ cos (x у), найти
область.а сходимости полученноrо ряда и исследоваri'Ь остаточный член.
Написать разложения по
указать области сходимости
2660. sin х. sin у.
2661. sin (х. + уl).
2662*. 1 х + у .
I+x y
2665. [(х, у):==ах.+2Ьху+суl. РаЗЛО)l(ИТЬ f(x+h, y+k)
по степеням h и k.
2666. f(x, у)==х8 2уа+зху. Найти приращение этой функции
при переходе от значений х=== 1, у:!!=:2 к значениям х=== l+h, У === 2+k.
2667. Разложить функцию е Х + У по степеням х 2 и У + 2.
668. Разложить функцию sin (х + у) по степеням х и у .
Написать три четыре первых члена разложения в ряд по степеням
х и у функций:
2669. е Х cos у .
2670. (1 +х)I+ У .
степеням х и у следующих ФУНI{ЦИЙ и
рядов:
2663*. lл(l x y+xy).
2664*. arctg х + у .
1 ху
* 4. Ряды Фурье
18. т. о р е м а Д и р и х л е. rоворят, что функция , (х) удовлетворяет
условuJUC Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция
1) равномерно оrраничена, т. е. I , (х) I м при а < х < Ь, rде М по-
стоянная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они l-ro рода
(т. е. в каждой точке разрыва функция f (х) имеет конечный певый
предел f (' О) == lim '( е) и конечный правый предел '( + О) == 11ш f ('+8)
. O . O
(8 > О»;
З) имеет не более чем конечное число точек CTpororo 9кстремума.
r'OpиcQ Дирихле утверждает, что функцию f (х), удовлетворяющую
в интерваЛf! ( n, :1:) условиям Дирихле, во всякой точке х этоrо интервала,
в которой f (х) непрерывна, можно разложить в триrонометричеСI{ИЙ ряд Фурье:
а
f (х) ::z:: т + а 1 cos х + Ь 1 sln х + а. соа 2х + 11. slп 2х + . . . + а п cos пх +
+ ь п sln пх + . . ., (1)
302
РИДЫ
[rп. VlII
rAe коэффициенты Фурье а п и Ь п вычисляются по формулам
1t 1t
Оп == S f(x)cosnxdx(n == О, 1, 2, ...); Ь п == S f (х) sin nх dx (n == 1, 2, .. .).
z 1t
Если х..... принадлежащая интервалу ( 1I, :1) точка разрыва функции f (х), то
сумма ряда Фурье S (х) равна среднему арифметическому левоrо и npaBoro
пределов функции:
1
S (х) == "2 [1 (х ..... О) + f (х + О)}.
в концах интервала х ==....... п и х == 11
1
S (....... п) == S (п) == 2 {! (....... 11 + О) + f (л: О)].
2 Ф . Н е п о л н ы е р я Д ы Фур ь е. Если функция f (х) ...... четная (Т. е.
f (....... х) == f (х», то в формуле (1)
Ь n == О (n == 1, 2, ... )
и
1t
Оп == 5 f (х) cos nх dx (n == О, 1, 2, ...).
о
Если функция f (х).....нечетная (т. е. f (....... x)== f (х», то а п == О (п == О, 1, 2, ...) и
'It
Ь п == ; 5 f (х) sl" nx dx (n == 1, 2, .. .).
о
Функция, заданная в интервале (О, п), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал ( п, О) либо как четная, либо как нечетная; следо-
вательно, ее можио по желанию разложить в интервале (О, п) в неполный ряд
Фурье по синусам или по косинусам кратных Ayr.
30. р я Д ы Фур ь е пер и о Д а 21. Если функция f (х) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (....... 1, 1) длины 21, то в точках непре-
рывиt>Cти функции, принадлежащих этому интериалу, справедливо разложение
а. пх лх 2пх 2пх
f(x)==2+alcosT + b 1 sin l + a.cos 1 + b 2 sin т +...
ппх nпх
... +ancos т+ Ь п sin т+. ..,
rJle
1
I 5 nпх
а п == т f (х) cos т dx (п == О,
l
l
1 5 ппх
Ьп==т f (х) sin т dx (п== 1,
--1
1,2. ...), t
2, ... ). I
)
(2)
в точках разрыва функции f (х) и в концах х == :1: 1 интервала сумма ряда
Фурье определяется аналоrично тому, как это имеет место при разложении
в интервале ( ";, п).
В случае разложения функции f (х) в ряд Фурье в произвольном интервале
(а, а + 21) ДЛИНЫ 21 пределы ннтеrрирования в формулах (2) следует заменить
соответственно через а и а + 21.
i 4]
РЯДЫ ФУРЬЕ
303
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье В интервале
(........:с, n), определить сумму ряда В точках разрыва и на концах интер..
вала (x== n, х==n), построить rрафик самой функции и суммы
соответствующеrо ряда (также и ВНе интервала (......... n, n)):
{ С. при п<x o,
2671. [(х) == О < <
С 2 при Х n.
Рассмотреть частный случай, K()r да С 1 == 1, С 2 == 1.
{ ах при 31<x О,
2672. f(x) == Ьх при О х < п.
Рассмотреть частные случаи: а) а:::::= Ь == 1; б) а === 1, Ь ===- 1;
в) а==О, Ь== 1; r) а=== 1, ь===о.
2673. [(х) == х 2 . 2676. f (х) == cos ах.
2674. f (х) === е ах . 2677. I (х) == sh ах.
2675. [(х) == sin ах. 2678. f(x) === ch ах.
л;........х
2679. Функцию j (х) == 2 разло)кить в ряд Фурье в интервале
(О, 2л).
2680. Разложить в интервале (О, 31) по синусам кратных дуr
л;
функцию f(x) == т · Полученное разложение использовать для сумми-
рования числовых рядов:
1 1 1 1 1 1 1 1
а) 1 3" + 5 7 + · · .; б) 1 + 5 7 П + 13 + 17 · · .;
1 1 1 I 1
в) 1 5+7 ПIТ3 ...
Указанные ниже функции разложить в интервале (О, 31) внеполные
ряды Фурье: а) по синусам кратных дуr, б) по косинусам кратных дуr.
Нарисовать rрафики функций и rрафики сумм соответствующих рядов
в области их СУLЦествования.
2681. j(x)==x. Найти с помощью полученноrо разложения сумму
ряда
1 1
1 + 32 + 52 + · · ·
2682. f(x) === х 2 . Найти с помощью полученноrо разложения суммы
числовых рядов
1 1 1 1 1
1) 1 + 22 + 32 · · .; 2) 1 22 + 32 42 + · · ·
2683. j (х) == е ах .
, f 1 при О < х < ; .
2684. f(x) == l О л
при 2 X<n:.
304
Ряды
(rл. УНI
f х при О < х '
2685. f (х) == ' \ :rt
\л х при 2 <х<л.
Разложить в интервале (О, л) по синусам кратных дуr функции:
{ х при o<x '
2686. f(x) == :rt
О при 2 <х<л.
2687. f (х) === х (л ......... х).
2688. f (х) === sin .
Разложить в интервале (О, л) по косинусам кратных дуr функции:
{ 1 при O<x h,
2689. f(x) == О h < <
при х л.
2690. f(X)== { 1 2 при 0<x 2h,
О при 2h<х<л.
2691. f(x)===xsinx.
{ cosx при O<x '
2692. f (х) === :rt
cosx при т<х<л.
2693. Используя разложение функций х и х 2 В интервале (О, Л)
по косинусам кратных дуr (см. N2N2 2681, 2682), доказать равенство
00
cos пх === 3х 2 6лх + 2л 2 (О ........... )
п 2 12 :::::::: х ::::::::Л ·
п==l
2694**. Доказать, что если функция f(x) четная и при этом
I ( + х }=== I ( х ) , то ее ряд Фурье в интервале ( л, л)
представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуr,
а если функция I(x) нечетная и I ( ; х ) ===1 ( ; х), то она
разлаrается в интервале ( л, л) по синусам нечетных кратных дуr.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье ФУНКЦИИ:
2695. f (х) === I х 1 ( 1 < х < 1).
2696. f(x)==2x (О<х< 1).
2697. f(x) === е Х ( I < х < 1).
2698. [(х) === 10 х (5 < х < 15).
э 4]
РЯДЫ ФУРЬЕ
305
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по
синусам кратных дуr и б) по косинусам кратных дуr следующие
функции:
2699. I(x)== 1 (О<х< 1).
2700. I(x) == х (О < х < 1).
2701./(x)===.x 2 (О<х<2л).
{ х при О < х 1,
2702. I(x) === 2 1 < < 2
х при Х .
2703. Разложить 110 косинусам кратных дуr в интервале ( I з)
функцию
{ 3
лх) === 1 при 2" < х 2,
3 х при 2 < х < 3.
r Л А В А IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ У:РАВНЕНИЯ
t. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные условия
l Ф . Основные понятия. Уравнени вида
F (х, у, у,'.... , у< n» == О, ( 1 )
rде у == у (х) ....... искомая функция, называется дифференциальным уравнением
n-20 порядка. Любая функция у == <р (х), обращающая уравнение (1) в тождество,
называется решением этоrо уравнения, а rрафик той функции....... инmеzральн.ой
кривой. Если решение задано в неявном виде Ф (х, у) == О, то оно обычно
называется Uflтеzралом.
При м е р 1. Проверить, что функция у == sin х является решением урав-
нения
Реш е н и е. Имеем:
у" + у == О.
у' == cos х, у" == ....... sj n х
и, едовательно,
у" + у == ....... sin х + sin х == о.
Интеrрал
Ф(х, у, С 1 , ... , Сn)==О (2)
Аифференциальноrо уравнения (1), содержащий n независимых произвольных
постоянных С 1 ,..., сп и эквива.пентный (в данной области) уравнению (1),
называется общим интеzрало,М, этоrо уравнения (в соответствующей области).
Придавая в соотношении (2) постоянным С 1 , ..., Сп определенные значения,
получаем частный инmеzрал уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры С 1 '.." сп
из системы уравнений
dФ dnФ
Ф == О, dx == О, ..., d)( !l == о,
получим, вообще rоворя, дифференциальное уравнение вида (1), общим инте-
rралом KOToporo в соответствующей области является соотношение (2).
При м ер 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
у == С 1 (х ....... С 2 )2.
Реш е н и е. Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь:
у' === 2С 1 (х ....... С 2 ) и у" == 2С1" (4)
ИСКJIIOчая из уравнений (3) и (4) параметры С 1 и С 2 ' получим искомое диффе-
· ренциальное уравнение
(3)
2уу" == .
Леrко проверить, что фу н кция (3) обращает это уравнение в тождество.
э 1]
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ
301
20. н а ч а л ь н ы е у с л о в и я. Если для ИСКомоrо частноrо решения
у == у (х) дифференциальноrо уравнения
у(n) == f (х, у, у', ... , у(n 1» (5)
заданы начальные условия (задача Коши)
у (х о ) == уо, у' (х о ) == у;, ... , y(n 1) (х о ) == y n I)
И известно общее решение уравнения (5)
у==<р(х, С 1 , ... , Сп),
то ПРОИЗВОJlьные постоянные С 1 , ... t Сп определяются, если эТо возможно.
из системы уравнений
уо == <р (х о , С 1 , ... , Сп),
у' == <р' (х о , С 1 , ... , Сп),
о
. . . . . . . . . . . . .
y n l)==<p(n I)(XO' С 1 , ... ,СП).
При м е р 3. Найти кривую семейства
у == С 1 е" + C2e 2X,
для которой у (О) == 1, у' (О) == 2.
Реш е н и е. Имеем:
у' == С 1 е Х 2C2e 2X.
Полаrая в формулах (6) и (7) х == О, получим:
1 ==С 1 + С 2 ' 2==С 1 2С 2 ,
откуда
С. == О, С 2 == 1
и, следовательно,
у == e Jx.
Выяснить, являются ли р шениями даннwх дифференциальных урав.
нений указанные функции:
61'2704. ху' === 2у, У === 5x l .
1--2705. ," == х 2 + ,. , ,== ; .
С 2 ха
V 2706 . (х+ y)dx+xdy==O, у=== 2х ·
707. у" + у == О, У == 3sin х 4cos х.
.1'2708. :; +ro.х === О, х === C 1 cos ro' + C.sin rot.
v 2709. у"......... 2у' + у == о; а) у === хе Х , б) У == х 2 е Х .
(/2710. у".........(лl+л2)у'+лlл2у О,
у === С 1 е А1Х + С 2 е)'2 Х .
Покзэать, что для данных дифференциальных уравнений указан..
ные соотношения являются интеrралами:
/ 2711. (х.......... 2у) у' === 2х ........ у, ха ........ ху + уl === С 2 .
, 27 t 2. (х........ У + 1 ) у' === 1 , У == х + Се У .
271 з. (ху........ х) у" + ху' 2 + у>,' ........ 2у' == о, .v === ln (х>,).
808
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[rл. IX
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых
(С, С 1 , С 2 , С з произвольные постоянные):
, 2714. У === Сх.
2715. У === Сх 2 .
2716. у2 == 2Сх.
'2717. х 2 + у2==С 2 .
v 2718. У == Се Х .
2719. x3==C(x2 y2).
у2
2720. у2+ ==2+Се 2
х
2721. lп == 1 +ау
у
(а параметр).
2722. (у у 0)2 === 2рх
(у о' Р параметры).
2723. у === С 1 е 2Х + Cle x.
2724. у == C 1 cos2x + C 2 sin2x.
2725. у == (С 1 + С 2 х) е Х + C s .
2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости ХОУ.
2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с
вертикальной осью на плоскости ХО У.
2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей
на плоскости ХОУ.
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
2729. х 2 у2 == С, У (О) === 5.
2730. У === (С 1 + С 2 х) е 2Х , у (О) === О, у'(О) == 1.
2731. y===Clsin(x C2)' у(п) ===1, у'(п)==О.
2732. у === Cle X + С 2 е Х + С а е 2Х ;
у(О) == О, у'(О) == 1, у"(О) == 2.
2. Дифференциальные уравнения l..ro порядка
1 е. В И ды Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й l-r о пор я Д к з.
Дифференциальное уравнение 1-ro порядка с неизвестной функцией у, раз-
решенное относительно производной у', имеет вид
у' == f (х, у), (1)
rAe f (х, у) данная функция. В некоторых случаях выrодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде
х' == g (х, у), (1')
1
r4e g (х, У> == f (х, у) '
dy dx
Учитывая, что у' == dx и х' == dy ' дифференциальные уравнения (1) и
(1') можно записать в симметрической форме
р (х, у) dx + Q (х, у) dy ==0, (2)
rде р (х, у) и Q (х, у) известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у == (х) или
== 'Ф (у), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеrраn уравнений (1)
2]
УРАВНЕНИЯ l ro ПОРЯДКА
и (l '), или уравнения (2), имеет вид
Ф (Х, У, С) == О,
809
r;:e С произвольная постоянная.
20. П о л е н а п р а в л е н и й. Совокупность направлений
tga t(x, у)
наЗbIвается полем направлений дифференциальноrо уравнения (1) и обычно
изображается при помощи системы черточек или стрелок с yr лом наКлона сх.
Кривые f (х, у) == k, в точках которых наклон поля имеет постоянное зна-
чение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направ-
лений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле ИНТеrраль-
ных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в Каждой своей
точке имеют заданное направление поля.
При м е р 1. Методом изоклин построить поле интеrральных кривых
уравнения
,
у x.
Реш е н и е. Построив изоклины х k (прямые линии) и поле направлений
приближенно получаем поле интеrральных кривых (рис. 105). Общим реше-
нием является семейство парабол
х 2
У==2" + С.
Методом изоклин построить приближенно
поле интеrральных к ривых для указанных
ниже дифференциальных уравнений:
2733. у' === х.
2734. у' === .
у
2735. у'=== 1 +у2.
2736. у' == х + У .
X Y
2737. у'==х!+у2.
30. Т е о р е м а К о ш и. Если ФУНJ(ЦИЯ
t (Х, У) непрерывна в нен:оторой области
U { а < Х < А, ь < lJ < Е} и иыеет в ЭТОЙ области оrраниченную производную
,
t (Х, у), то через каждую точку (х о , Уо)' принадле)!(ащую и, проходит одна
у
и только О)l.на интеrральная кривая у <р (х) у ра13нения (1) (<р (х о ) уо)'
40. М е т о Д л о м а н ы х Э й л ера. Для приближеllноrо построения ин-
теrральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку Мо (х о, 110)'
эту кривую заменяют ломаной с вершинами М i (xi' У i)' [де
Xi+l == Х; + Xi' Yi+l Yi + ДУi'
ДХ; == h (шаr процесса),
AYi==hf(Xi, Yi) (1==0,1,2, ...).
При м е р 2. Методом Эйлера для уравнения
, '-<у
у==т
найти у (1), если у (О) == 1 (h == О) 1).
'1
Рис. 105.
810
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[r п . IX
саставляем таблицу:
i х. У; t! у. ........ х iY 1
1 ' 20
О О, 1 ()
1 0,1 1 0,005
2 0,2 1 ,005 0,010
3 0,3 1 ,О 15 0,015
4 0,4 1 , 030 0,021
5 0,5 1 ,051 0,026
6 0,6 1 , 077 0,032
7 0,7 1,109 0,039
8 0,8 1,148 0,046
9 0,9 1,194 0,054
10 1,0 1 ,248
Итак, у (1) == 1,248. Для сравнения приводим точное значение у (1) ==
1
:= е 4. =:::: 1,284.
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных
уравнений для указанных значений х:
2738. у' === у, у(О) === 1; найти у (1) (h=== 0,1).
2439. у' == х + у, у (1) == 1; найти у (2) (h == 0,1).
2740. у' == 1 x ' У (0)=== 2; найти у (1) (h=== 0,1).
2741. у' == у 2х , У (О) == 1; найти у (1) (h === 0,2).
у
о 3. Дифференциальные уравнения l-ro порядка
е раздеЛЯЮЩИМIIСЯ переменными. Ортоrональные траектории
18. у р а в н е н и я 1. r о пор я Д к а с раз Д е л я ю Щ и м и с я пер е.
м е н н ы м и. Уравнением с разделqющuмuся пep MeHHЫMи называется урав-
нение 1-ro порядка вида
у' == f (х) g (у) (1)
Х (х) У (у) dx + Х 1 (х) У 1 (у) dy == о. (1 ')
Разделив обе части уравнения (1) на g (у) и умножив на dx, будем иметь
,f!. ) 'I/!III& 1 (х) dx. Отсюда, иитеrрируя, получим общий иитеrрал уравнения (1)
в виде
или
s g } == S f (х) dx + С.
(2)
АН8лоrично, разделив обе части уравнения (1 ') на Х 1 (х) У (у) и проинтеrри-
ровав, получим общий интеrрал уравнения (1') в виде
5 х (х) S у 1 (у)
Х 1 (х) dx + у (у) dy== С.
(2')
3] УРАВНЕНИЯ l-ro ПОРЯДКА с РА3ДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 811
Если для HeKOToporo эна чения У == УО мы имеем g (Уо) == О, то функция
У == УО является также, как непосредственно леrко убедиться, решением урав-
нения (1). Аналоrично прямые х == а и у == ь будут интеrральными кривыми
уравнения (1 '), если а и Ь являются соответственно корнями уравнеиий
Х 1 (х) == О и У (у) == О, на левые части КОТОРЫХ приходилось делить ИСХОДНОО
уравнение.
При м е р 1. Решить уравнение
у' ==........!!.... . (3)
х
В частнt>сти, найти решение, удовлетворяющее начальному условию
у (1) == 2.
Реш е н и е. Уравнение (3) можно записать в виде
dy у
dx == ........ х ·
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:
dy dx
у х
и, следовательно,
lп I у I == ln I х 1+ ln С 1 ,
rде произвольная постоянная ln С. взята в лоrарифмическом виде. После
потенцирования получим общее решение
С
у === , (4)
х
rде С == :1: С 1 .
При делении на у мы Mor ли потерять решение у == О, но последнее содер-
жится в формуле (4) при С == О.
Используя заданное начальное условие, полу чим С == 2, и следовательно,
искомое частное решение есть
2
у== .
х
20. н е к о т о р ы е Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я, при в 0-
дящuеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Jlифференциальные уравнения вида
у' == f (ах + Ьу + с) (Ь;6 О)
ПРИВОДЯ1'ся к уравнениям ВИДа (1) при помощи замены и == ах + Ьу +с, rJte
и ....... новая искомая функция.
30. О Р т о r о н а л ь н ы е т р а е к т о р и и кривые, пеJ>есекающие линии
данноrо семейства Ф (х, У, а) == О (а параметр) под прямым уrлом. Если
F (х, у, у') == О есть дифференциальное уравнение семейства, то
F (Х, У, , ) == о
дифференциал ьное уравнение ортоrональных траекторий.
При м е р 2. Найти ортоrональные траектории семейства эллипсов
+
812
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
I r л . IX
Реш е н и е. Дифференцируя обе части уравнения (5), находим дифферен-
циальное уравнение семейства
х + 2уу' == о.
1
Отсюда, заменяя у' на у' , получим дифференциальное уравнение opToro-
нальных траекторий
х 2 == О или у' == 2у
у х
Интеrрируя, будем иметь у == Сх 2 (семейство парабол) (рис. 106).
40. С о с т а в л е н и е Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ь н ы х у р а в н е н и Й. При со-
ставлении дифференциальноrо уравнения в rеометрических задачах часто мо-
жет быть использован rеометрический смысл производной как TaHreHca уrла,
х
Рис. 106.
образованноrо касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ;
это позволяет во мноrих случаях сразу установить соотношения между орди-
натой у искомой кривой, ее абсциссой х и у', т. е. получить дифференци-
альное уравнение. В друrих случаях (см. NQNQ 2783, 2890, 2895) используется
rеометрический смысл определеННQrо интеrрала как площади криволинейной
трапеции или длины дуrи. При этом непосредственно из условия задачи полу-
чается простейшее интеrральное уравнение (поскольку искомая функция содер-
жится под знаком интеrрала), однако путем дифференцирования обеих ero
частей можно леrко перейти к дифференциальному уравнению.
При м е р 3. Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для кото-
рой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями,
делится пополам в точке касания.
Реш е н и е. Пусть М (х, у) есть середина касательной АВ, по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В это точки пересечения касатель-
ной с осями ОУ и ОХ). В силу условия ОА == 2у и ОВ === 2х. Уrловой коэф-
фициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен
dy ОА у
dx OB x
3] УРАВНЕНИЯ 1 ro ПОРЯДКА с РА3ДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 313
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. ПреобразоваВ t
получим:
dx + dy == О
х у
и, следовательно,
ln х + ln у=== ln С или ху==С.
Используя начальное условие, определим С == 3. 2 == 6. Итак, искомая кривая
есть rипербола ху === 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742. tg х sin 2 у dx + cos 2 Х ctg ydy== о.
2743. ху' у === уЗ. ,
2744. хуу' == 1 х 2 .
2745. y xy'==a(l +х 2 у').
2746. 3е Х tg у dx + (1 е Х ) sec 2 у dy === о.
2747. у' tg х === у.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям:
2748. (1 + е Х ). у.у' === е Х ; у== 1 при х=== О.
2749. (xyz+x)dx+(xZy y)dy==O;y===l при х===о.
2750. у' si n х === у l" у; у === 1 при Х r= .
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену пере..
менных:
275t. у' === (х + у)2.
2752. у' == (8х + 2у+ 1)2.
2753. (2x+3y 1)dx+(4x+6y 5)dy===O.
2754. (2x y)dx+(4x 2y+3)dy===O.
В 2 2755 и 275 6 перейти к полярным координатам:
2755. у' === v х 2 + 11 х .
у
2756. (х l + у2) dx ху dy === О.
2757*. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен рас-
стоянию точки касания от начала координат.
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке
кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой
точке.
2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет ПОСТОЯННУIО
длину а.
2760. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более
абсциссы точки касания.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести ЛJI0
екой фиrуры, оrраниченной осями координат, этой кривой и ординатой
любой ее точки, равна 8/4 абсциссы этой точки.
314
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
l r л . lХ
2762. Найти уравнение кривой, проходя щей через точку (3; 1),
ДЛЯ которой от езок касательной между точкой касания и ОСЬЮ 0)(
делится пополам в точке пересечения с осью О У.
2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; О),
если отрезок касательной к кривой между точкой касания и осью ОУ
имеет постоянную длину 2.
Найти ортоrональные траектории данных семейст кривых (а.........
параметр), построить семеЙства и их ортоrональные траектории.
2764. х 2 + у2 === а 2 . 2766. х У == а.
2765. у2 == ах. 2767. (х........ а)2 + у2 == а l .
4. Однородные дифференциальные уравнения l-ro порядка
10. О Д н о р о Д н ы е у р а в н е н и я. Дифференциальное уравнение
р (х, у) dx + Q (х, у) dy== О (1)
называется однородным, если Р (х, у) и Q (х, у) однородные функции оди-
HaKoвoro измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду
у' ==,( .!. )
\Х
и при помоЩи подстаНО8КИ у == хи, rде и новая неиэвестная ФУНКЦИЯ,
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно TaK1Ke
применять подстановку х == уи.
При м е р 1. Найти общее решение уравнения
у
у' == е Х +lL.
х
Реш е н и е. Полаrаем у == их; тоrда и + хи' == е" + и или
и d dx
е и .
х
с
Интеrрируя, получим и == ln ln , откуда
х
с
у == ....... х J п 1 n ........ .
х
20. У р а в н е н и я, при в о Д я Щ и е с я к о Д н о р о Д н ы м. Если
у' == 1 ( а 1 х + Ь 1 У + С 1 ) (2)
а 2 х + Ь 2 у+ С 2
и tJ == I :; t; 1:1= О, то, полаrая в уравнении (2) х == и + а, у == v + fJ. rде по-
стоянные а и определяются из системы уравнений
а 1 а + bl + С 1 == О, а 2 а + b2 + '2 == О,
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных
и и v. Если [) == О, то, полаrая в уравнении (2) а 1 х + Ь 1 У == и, получим урав.
нение с разделяющимися переменными.
s 51 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ l-ro ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕрнуппи 815
Проинтеrрировать дифференциальные уравнения:
2768. у'== ; 1. 2770. (x y)ydx x.dy==O.
2769. у' === х + у . .
х
2771. Для уравнения (х 2 + у2) dx........ 2ху d У == О найти сеМейство
интеrрапьных кривых, а также выделить кривые, проходящие соот"
ветственно через точки (4; о) и (1; 1).
2772. ydx+ (2 V ху х) dy== O.
2773. xdy ydx==VX2+y2dx.
2774. ,(4х 2 + 3ху + у2) dx + (4у2 + 3ху+х 2 ) dy== о.
2775. Найти частное решение уравнения (x2 3y2) dx+2xydy==O
ИЗ условия, что у === 1 при х === 2.
Решить уравнения:
2776. (2х У + 4) dy + (х........ 2у + 5) dx === о.
2 ,. 1 Зх Зу 8 ' х + 2у + 1
777. У === 1 + х + у · 277 · У == 2х + 4у + з ·
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; О) и
обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОУ, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора,
чтобы лучи от точечноrо источника света отразились параллельным
пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна
среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию
9ТОЙ точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная
между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых
постоянная, а друrая ........ переменная, равна отношеНИIО куба переменной
ординаты к соответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсе-
каемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.
I Б. Линейные дифференциальные уравнения l-ro порядка.
Уравне ие Бернулли
1 О. Л и н е й н ы е у р а в н е н и я. Дифференциальное уравнение вида
у' + р (х) у == Q (х) (1)
l-й степени относительно у и у' называется линейным.
Если функция Q (х) == О, то уравнение (1) принимает вид
if+PWY O
316
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ r л . IX
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом
Случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть
f р (х) dx
у==С е .
(3)
Для ешения неоднородноrо линейноrо уравнения (1) применяем так
называемыи метод вариации произвольной посmоянной ' этот метод состоит
в том, что сначала находим общее решение соответствующеrо однорОДноrо
линейноrо уравнения, т. е. соотношение (3). Затем, полаrая в этом соотно-
шении величину С функцией от х, ищем решение неоднородноrо уравне-
ния (1) в виде (3). Для этоrо подставляем в уравнение (1) у и у',
определяемые из (3), и из полученноrо дифференциальноrо уравнения опреде-
ляем функцию С (х). Таким образом, общее решение неоднородноrо уравне-
ния (1) полу чаем в виде
f Р (.x)dx
у==С(х)е
При м е р 1. Решить уравнение
у' == tg х.у + cos х.
Реш е н и е. СоотвеТСfвующее однородное уравнение есть
у' tg х. У == О.
(4)
Решая ero, получим:
y==c. .
cos х
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим:
. dC + siп х . С
У cos х dx cos 2 Х ·
Подставляя у и у' в уравнение (4), получим:
1 dC siп х С dC
· + · С == tg х · + cos х или == cos 2 Х
cos Х dx cos 2 Х cos Х 'dx '
откуда
с (х) == S cos 2 Х dx == ; х + siп 2х + С 1 .
Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет вид
у == ( х + sin 2х + С 1 ) · co Х ·
Для решения линейноrо уравнения (1) можно также применить по,цстановку
у == uv, (5)
rде u и v функции от х. Тоrда уравнение (1) примет виJl
[и' + Р (х) и] v + v'и == Q (х).
Если ПО1ребовать, чтобы
(6)
и' + Р (х) и == О, (7)
.0 из (7) най,nем и, затем из (6) наЙJ1ем v, а следовательно, из (5) найдем у.
5]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ l ro ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
317
20. Уравнение Бернулли. Уравнение l-ro порядка вида
у' + р (х) у == Q (х) у'\
rде а О и а у!:: 1, называется уравнением Бернуллu. Оно приводится К линей-
ному с ПОМОЩЬЮ подстановки z == уl a.. Можно также непосредственно при-
менять подстановку у == UV, или метод вариации произво.пьной постоянной.
При м е р 2. Решить уравнение
y,==i у+хуу.
х
Реш е н и е. Это уравнение Берну лли (а == ; ). Полаrая
у == UV,
получим:
и' v + и' и == ии + х V ии или v ( и' : и ) + и' и == х V ии . (8)
Для определения функции u потребуем выполнения соотношения
и' u == О,
х
откуда
u == х".
Подставляя вто выражение в уравнение (8), получим:
v' х" == х V vx" ,
отсюда находим v:
и==( ; In IXI+C)2,
и. слеяовательно, общее решение получим в виде
у==х4( ; In Ixl +С у.
Найти общие интеrралы уравнений:
dy у
2785. d ....... х.
х х
2786. d + ==xl.
х х
2787$. (1 + уl) dx=== ( У 1 + у. sfny......... ху) dy.
2788. 'Idx......... (2ху + 3) d У == О.
Найти Ч,астные решения, удовлетворяющие ук занным условиям:
2789. ху' + у е Х === о; у ::::!: Ь при Х === а.
2790." 1 !x2 1 x==o; у==о при х==о.
1
2791.,' ytgX== cosx ; у==о при x::::zO.
318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(r л . IX
Найти общие решения уравнений:
2792. d d y +JL== xyl.
х х
2793. 2ху у2 +х=== О.
2794. У dx+ (х ; Х'у) dy=== О.
2795. 3х dy=== У (1 + х sin х 3у3 sin х) dx.
2796. Даны три частных решения у, Уl' У2 линеАноrо уравнения.
Доказать, что выра)кение и2 У сохраняет постоянное значение при
Y Yl
любом х. Каков rеометрический смысл этоrо результата?
2797. Найти кривые, для которых площадь треуrольника, образо-
BaHHoro осью ОХ, касатеЛЬJiОЙ и радиусом вектором ТОЧКИ касания,
постоянна.
2798. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.
2799. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
I<асательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной
равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ
от точки М (О, а).
6. Уравнения в полных ди еренциалах.
ИнтеrpирующиА множитель
1 О. у Р а в н е н и я в п о л н ы х Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ах. Если для диф-
ференциальноrо уравнения
р (х, у) dx + Q (х, у) dy == О
(1)
дР aQ
выполнено равенство ду == дх ' то уравнение (1) может быть записано в виде
dU (х, у) == о и называется уравнение.м в nолньvc дuффереllцuалах. Общий
интеrрал уравнения (1) есть и (х, у) == с. Функция и (х, у) определяется
способом, указанным в rл. VI, 8, или по формуле
.
х у
u == S р (х. у) dx + ) Q (хо. у) dy
хо Уо
(см. rл. VII, 9).
При м е р 1. Найти общий иитеrрал дифференциальноrо уравнения
(3х 2 + 6х1/) dx + (6х2у + 4у') dy == о.
6)
УРАВНЕНИЯ В полных АИФФЕРЕНЦИАЛАХ
319
Реш е н и е. Это....... уравнение в
д (Эх. + 6 xy l) д (6xly + 4у') 12
ду дх == ху и,
dU ==0.
Эдесь
полных дифференциалах, так как
следовательно, уравнение имеет ВИ4
ди аu
дх == 3х 2 + 6ху2 и ау == 6х 2 у + 4у8;
отсюда
и == (3х 2 + 6 ху 2) dx + ер (у) == х. + 3х 2 у2 + ер (у).
Дифференцируя и nQ у, найдем : == 6х 2 у + ер' (у) == 6х 2 у + 4у' (по условию);
отсюда <р' (у) == 4 у 3 И <р (у) == у4 + Со. Окончательно получим и (х, у) == х 3 +
+ 3х2уl + у4 + со, следовательно, х а + 3х 2 у 2 + у4 == С есть искомый общий
интеrрал даНноrо уравнения.
20. И н т е r р и р у ю Щ и й м н о ж и т е л ь. Если левая часть уравнения (1)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы I(оши,
то существует функция,.... ==,.... (х, у) (uнтеzрuрующuй множитель) такая, что
,.... (Р dx + Qdy) == dU. (2)
Отсюда получаем. что функция f.t удовлетворяет уравнению
д д
д (f1P) == д (f1Q).
у х.
Интеrрирующий множитель Jl. леrко находится в двух случаях:
1) ( :: ) == F (х), тоrда IL == IL (х);
1 дР дQ )
2) р ду дх == Р 1 (у), тоrда р, ==,.... (у).
При м е р 2. Решнть уравнение (2Х У + х.у + У; ) dx + (Х: + уа) dy == о.
у' '1 ( дР a Q )
Реш е н и е. Здесь Р == 2ху + х 2 у + 3 ' Q == х 2 + у2 и Q ду дх
2X+xl+yl 2х
== I + 2 1, следовательно р, == ,.... (х).
х у
д (р,Р) а (J.LQ) дР дQ + Q d
Так как ау дх или J.L ау ,.... дх dx ' то
dJ.L 1 ( дР д Q )
== Q ду дх dx == dx и ln р, == Х, Р, == еХ.
Умножая уравнение на р, == е", получим:
е" ( 2ху + ry + у; ) dx + е" (х. + у.) dy . О
..... уравнение в полных дифференциалах. Проинтеrрироваз ero, будем
общий интеrрал
имen.
уе" ( х2 + !f) == с.
320
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[rл. IX
.
Найти общие интеrралы уравнений:
2802. (х+ у) dx+ (х + 2у) dy== О.
2803. (х! + у! + 2х) dx+ 2ху dy== О.
2804. (х 3 3ху! + 2) dx (3х2у у2) dy == О.
+ х dy у dx
2805. х dx У dy=== х 2 + у2 .
2806. 2х:х + if 43x' dy==O.
у у
2807. Найти частный интеrрал уравнения
х х
(х+ е У ) dx+e Y (1 ; )dy==o,
удовлетворяющий начальному условию у (О) == 2.
Решить уравнения, допускающие интеrрирующий множитель вида
J.t == f-t (х) или f-t === f-t (у):
2808. (х + у2) dx 2ху dy === О.
2809. У (1 + х у) dx........ х d У == О.
2810. l.. dx + (уа 1п х) dy === О.
х
2811. (х cos У У sin у) d У + (х sin у + у cos у) dx === О.'
7. Дифференциальные уравнения l-ro порядка,
не разрешенные относительно производной
1°. Дифференциальные уравнения l ro порядка
ш и х с т е п е н е й. Если уравнение
F (х, у, у') == О,
ВЫ с-
(1)
например, второй степени относительно у', то, раз еUlая уравнение (1) OTHO
сительно у', получим два уравнения:
y'==fl(X, у), у' ==f 2 (х, у). (2)
Т аКИ:Vl образом, через каждую ТОЧКУ М 1) (х с ' УО) некоторой области
ПЛОСКОСТИ проходят, вообще rОБОрЯ, две интеrра"fIьные кривые. Общий интеrрал
уравнения (1) в этом случае имеет вид
Ф (х, у, С) == Фl (х, у, С) Ф2 (х, У, С) == О,
rде Фl и ф2...... общие интеrралы уравнений (2).
Кроме Toro, для уравнения (1) может сущеС'l вовать особый uнте;рал.
rеометрически особый интеrрал представляет собоЙ оrибающую семеиства
кривых (3) и может быть получен в результате ИСКJIЮЧ НИЯ С из системы
уравнений
(3)
,
ф (х, У, С) == О, Ф с (Х, У, С) == О
(4)
или в результате исключения р == у' из сисrемы уравнений
F (х, у, р) == О, F (х, у, р) == о.
(5)
7]
УРАВНЕНИЯ 1-ro ПОРЯДКА
321
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4) или (5), не всеrда
являются решениями <, уравнения (1); поэтому в к ажДОМ отдельном случае
необходима проверка.
При м е р 1. Найти общий и особый интеrралы уравнения
ху/2 + 2ху' У == О.
Реш е н и е. Решая относительно у/, имеем два однородных уравненияz
у' == 1 + V 1 + . у' == 1 У 1 + .
определенных в области
х (х + у) > О,
общие интеrралы которых
(Yl+ lY== .
(Yl+ +tY==
или
(2х + у С) 2 У х 2 + ху == о, (2х + у С) + 2 V х 2 + ху == о.
Перемножая, получим общий интеrрал данноrо уравнения
(2х + у С)! 4 (х 2 + ху) == О
или
(у С)I == 4Сх
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеrрал по С и исключая С, найдем особый интеrраJl
у+х==о.
(Проверка показывает, что у + х == о есть решение данноrо уравнения.)
Особый интеrрал можно также найти, дифференцируя xp2+2xp y==O
по р и исключая р.
20. Реш е н и е Д и Ф Ф е р е н Ц и а л ь н о r о у р а в н е н и я м е т о Д о м
в в е Д е н и я пар а м е т р а. Если дифференциальное урав нен ие 1 ro поря,u.ка
и меет вид
х == (у, у'),
10 переменные V и х MorYT быть определены из системы ура Бнений
1 дер дер dp
р == ду + др dy ' х == ер (у, р),
rде р==у/ иrрает роль параметра.
Аналоrично, если у == '1' (х, у'), то х и у определяются из системы уравнеНИЙ
а'l' а'l' dp
Р + d ' У == 11, (х, р).
ах др х 'r
При М е р 2., Найти общий и особый интеrралы уравнения
х 2
у==у,2 ху' +2.
Реш е н и е. Делая подстаНОБКУ у' == р, перепишем уравнение в виде
х 2
у == р2 хр + 2" .
11 r. с. БаранеНКОБ и др.
322
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ r л . 'Х
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
р == 2р dp р х dp + х
dx dx
или : (2р х)::::: (2р х). или : == 1. Интеrрируя. получим р ==х + с. Под-
ставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
х! х!
y==(x+c)! x(x+C)+'2 или У=="2+ сх + са .
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-
х 2 ( х!
иие: у == 4 · Проверка показывает, что у == 4" есть решение данноrо урав-
нения.)
Если приравнять нулю множитель 2р х, на который было произведено
х
сокращение, то получим р == 2 и, подставив р в данное уравнение, получим
х!
У == 4 то же самое особое решение.
Найти общие и особые интеrралы уравнений (в NQN2 2812
2813 построить поле интеrральных кривых):
2812. у''- 2у у' + 1 === о.
х
2813. 4у,2 9х== о.
2814. уу,2........ (ху + 1) у' + х === о.
2815. уу,1 2ху' + у == о.
2816. Найти интеrральные кривые уравнения у''" + у' === 1, прохо-
дящие через точку М (о; ).
Вводя параметр у' === р, решить уравнения:
2817. х:с= sin у' + lп у' . 2820. 4у == х'- + у,l.
2818 ,2 у, 2821 х 11 + у'!
· у == у е . · е === 2у' ·
2819. у===у''-+21пу'.
8. Уравнения Лаrранжа и Клеро
1 О. у Р а в н е н и е Л а r р а н ж а. Уравнение ВИДа
у == х<р (р) + 1J' (р),
(1)
rде р == у', называется уравнением Лаераflжа. При помощи дифференцирова-
ния, учитывая, что dy == р dx, уравнение (1) сводится к линейному относи-
тельно х:
р dx == <р (р) dx + [xq>' (р) + "" (р)] dp. (2)
Если Р Ф ер (р), то из уравнений (1) и (2) получаем общее решение
8]
УРАВНЕНИЯ ЛАfРАНЖА И КЛЕРО
823
в параметрическом виде:
х == С! (р) + g (р), у == [С! (р) + g (р)] <р (р) + 'ф (р),
rде р параметр и 1 (р), g (р) некоторые известные функции. Кроме Toro,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
20. У р а в н е н и е 1( л е р о. Если в уравнении (1) <р (р) E!I р, то получаем
уравнение Клеро
у == хр + 1J' (р).
Общее решение ero имеет вид у == Сх + '1' (С) (семейство прямых). Кроме тoro,
существует особое решение (оrибающая), получающееся в результате исклю-
чения параметра р из системы уравнений
{ Х == "" (р),
у == рх + 1J' (р).
При м е р.
Решить уравнение
у == 2у' х + .!, .
у
1
тоrда у == 2рх + ; дифференцируя и за-
р
(3)
Реш е н и е. Полаrаем у' == р,
меняя dy через р dx, получим:
р dx == 2р dx + 2х dp d
р
или
dx 2 1
dp ==.......... р х + р' ·
Решив 9ТО Jlинейное уравнение, будем иметь:
1
х== р' (1п р +С).
Следовательно, общий интеrрал будет:
{ х ;2 (1п P1+C),
y 2px+ .
р
Для нахождения особоrо интеrрала по общему правилу составляем систему
1 1
y==2px+ , O==2x.......... z .
р р
Отсюда
1
х == """"""2 '
2р
2
Y
Р
и, следовательно,
у == :f: 2 У 2х .
ПQдставляя у в уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно, уравнение (3) не имеет особоrо интеrрала.
11*
324
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ rл. IX
Решить уравнения Лаrранжа:
2822. у=== х (у' +t ) ,
2823. у=== у' + {1 у'2,
2824. У == (1 + у') х + у,2.
1
2825*. У == 2 у' (2х + у').
Найти общий И особый И интеrралы уравнений Клеро и построить
поле интеrральных КРИВрIХ:
2826. у === х у' + у,2.
2827. у==ху'+у'.
2828. у===ху' +-( 1 + (у,)2.
2829. У === ху' + 1,.
у
2830. Найти кривую, для которой площадь треуrольникз, образо..
BaHHoro касательной в любой точке и осями координат, постоянна.
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой
касательной к этой кривой постоянно.
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину 1.
I 9. Смешанные дифференциальные уравнения
l-ro порядка
2833. Определить ТИПЫ дифференциальных уравнений и
методы их решения:
а) (х + у) у' == х arctg.Jt.. ;
х
б) (x y)y'==y2;
в) у' == 2ху + х 3 ;
r) у' == 2ху + уЗ;
д) xy'+y==siny;
е) (у ху,)2 == у'З;
ж) у===хеУ';
з) (у' 2ху) V У == ха;
указать
и) у' == (х + y)Z;
к) х cos у' + у sin у' === 1;
л) (х ! ху) у' === у4;
м) (х ! + 2 ху а) dx +
+ (у2 + 3XZy2) dy === о;
н) (x3 3xy) dx+ (x Z +3) dy==O;
о) (хуа + 1" х) dx === у'l. dy.
Решить уравнения:
2834. а) (х у cos ) dx + х cos d У === о;
х
б) х lп dy У dx == о.
у
2835. Х dx=== ( х; у') dy.
2836. (2ху! у) dx + х dy == о.
2837. ху'+у==ху 2 1"х.
2838. у == ху' + у' 1" у'.
9]
CMEllIAHHblE ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
325
2839. У === ху' + v ....... ау'.
2840. х 2 (у + 1) dx + (ха....... 1) (у 1) dy === о.
2841. (1 + у2) (е 2Х dx е У dy) ....... (1 + у) dy == о.
2842. у' У 2Х;; 1 === 1. 2845. (1 х 2 ) у' + ху=== а.
2843. уеУ === (у' + 2хе У ) у'. 2846. ху' х 1 х === О.
2844. у' + у cos х ' sin х cos х. 2847. у' (х cosy + а sin 2у)== 1.
2848. (х 2 у х 2 + у 1) dx + (ху + 2х зу....... 6) dy== о.
2849. у' === ( 1 + у 2х 1 У .
2850. ху3 dx== (х 2 у + 2) dy.
, 3х 2
2851. У == ха + у + 1 ·
2852. 2dx + у ; dy У : dx==O.
2853. )1' === J!.... + tg.1!.. . 2861. е У dx + (хе У 2у) dy == о.
2854. уу' + 2 == c х. 2862. У === 2ху' + v 1 + у'2.
2855. х dy + у dx === уl dx. 2863. у' ==.1!.. (1 + 1" у 1" х).
2856. у' (х + sin у) === 1. х
2 857 dp + '- 2864. (2е Х + у4) dy
· У dy == Р р. уе Х dx==G.
2858. x 3 dx (х 4 + уа) dy===O. , ( у + 2 ) 2
2859. х 2 у'2 + 3хуу' + 2865. у == 2 х + у 1 ·
+ 2уl === о. 2866. ху (ху! + 1) dy dх:=з
2860. xdx+yd y + ==0.
VX2+Y2Xdy YdX 2867. а(ху'+2у)===хуу'.
+ у2 ==0. 28 68. x dy ydx==y2dx.
2869. (х 2 1 )8/2 d У + (х 3 + 3х у V х 2 ......... 1) dx == о.
dy
2870. tg х dX У == а.
2871. V а 2 + х 2 dy + (х + у......... v а 2 + х 2 ) dx == о.
2872. хуу'2 (х 2 + у2) у' + ху === о.
' + 1
2873. У == ху у'2 ·
2874. (Зх 2 + 2ху у2) dx + (х 2 2ху З у 2) dy == о.
2875. 2ур = === 3р2 + 4у2.
326
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
rrл. 1][
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях:
2876. у' == у + 1 ; У == О при х == 1.
х
2877. eX Jly'==l; у==1 при х==1.
2878. у' ctg х + у == 2; У == 2 при х== о.
2879. е У (у' + 1)== 1; у== о при х== о.
2880. у' + у == cos х; у == при х== О.
2881. у' 2y== x!; у== при Х:=:::О.
2882. у' + у == 2х; У == 1 при х == о.
2883. ху' == у; а) у === 1 при х == 1; б) У === О при х === о.
2884. 2ху'==у; а) У== 1 при х=== 1; б) у===о при х==О.
2885. 2xYY'+X2 yZ==O'; а) у==О при х==о; б) у===1 при
х=== о, в) у === о при х=== 1.
2886. Найти кривую, проходящую через точку (о; 1), У которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887. Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых каса-
тельной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а.
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти
уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало
координат.
2889*. Найти кривую, у которой уrол, образованный касательной
и радиусом вектором точки касания, постоянен.
2890. Найти кривую, зная, что площадь, заКЛlоченная между
осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней,
равна кубу этой ординаты.
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, оrраниченноrо
полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки,
пропорциональна кубу этоrо радиуса.
2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной
на оси 0)(, равен длине этой касательной.
2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключен-
ный между осями координат, делится пополам параболой у'l. === 2х.
2894. Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна
расстоянию этой точки от Начала координат.
2895*. Площадь фиrуры, оrраниченной кривой, осями координат и
ординатой какой либо точки кривой, равна длине соответствующей
дуrи кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она
проходит через точку (о; 1).
2896. Найти кривую, у которой ПJlощадь треуrольника, образо
BaHHoro осью абсцисс, касательной и радиусом вектором точки каса-
нии, пос тоянна и равна a'l..
9)
СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАпЬ ЫЕ УРАВНЕНИЯ
327
2897. Найти КрИВУЮ, если известно, что середина отрезка,
OTceKaeMoro на ОСИ ОХ касательной и нормалью к кривой, есть
постоянная точка (а; О).
При составлении дифференциальноrо уравнения l-ro Порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый
.метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные соотноше-
ния между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые
с точностью до бесконечно малых высшеrо порядка, заменяются соответст-
вующими соотношениями между их дифференциалами, что не О'Jражается на
результате.
3 а д а ч а. В резервуаре находится 100 л водноrо раствора, содержа-
щеrо 10 к2 соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 .мин, и
смесь вытекает из Hero со скоростью 2 л в 1 .мин, причем концентрация
поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет
содержать резервуар по истечении 1 часа? .
Реш е н и е. Концентрацией. с данноrо вещества называется количество
ero, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то коли.
чество вещества в объеме V равно с V .
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении t .мин,
есть х К2. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет (100 + ') /l И,
Х
следовательно, концентрация с == 100 + t К2 на 1 л.
В течение промежутка времени dt из резервуара вытекает 2dt /l смеси,
содержащих 2с dt KZ соли. Поэтому изменение dx количества соли в резервуаре
характеризуется соотношением
2х
dx == 2с dt, или ........ dx == 100 + t dt.
это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и
интеrрируя, получим:
ln х == 21n (100 + t)+InC
или
с
х == (100 + ')2 ·
Постоянное С определится из условия, что при t == О, х == 10, Т. е.
С == 100000. По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли
100 000
х == 1602 3,9 К2.
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида
вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 Kr на 1 C ! на уровне моря и
0,92 кТ на 1 см! На высоте 500 М.
2900*. Соrласно закону rYKa, эластичный шнур длины l под дей-
ствием растяrивающей силы F получает приращение длины klF (k ==
== const). На сколько увеличится длина шнура под действием ero
веса W, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина
шнура /.)
328
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[r л. IX
2901. Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура
подвешен rpy3 Р.
При решении задач 2902 2903 использовать закон Ньютона, по
которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности тем-
ператур тела и окружающей ero среды.
2902. Найти зависимость температуры Т от времени t, если
тело, HarpeToe до То rрадусов, внесено в помещение, температура
KOToporo постоянна и равна а rрадусов.
2903. Через сколько времени температура тела, Harperoro до
100°, понизится ДО 300, если температура помещения равна 200 и
за первые 20 мии тело охладилось дО БОО?
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально уrловой скорости вр.ащения. Найти
зависимость этой уrловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 100 обjАzин, по истечении
1 .мин вращается со скоростью 60 об/мин.
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному коли
честву ero. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина
первоначальноrо запаса радия. Найти, какой процент радия окажется
распаВIIIИМСЯ по истечении 100 лет.
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h
по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
v === с V 2gh,
r де с:::::: 0,6 и g ускорение силы т яжес ти.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диамет
ра 2 .м" вытечет из Hero через круrлое отверстие на дне радиуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поrnощаемоrо при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающеrо света и
толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 .м по-
rлощается половина первоначальноrо количества света, то какая
часть этоrо количества дойдет до rлубины 30 .м.?
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашю-
том пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предель
ную скорость падения.
2909*. Дно резервуара, вместимость KOToporo 300 Л, покрыто
смесью соли и нерастворимоrо вещества. Допуская, что скорость
растворения соли пропорциональна разности между концентрацией
в данный момент И концентрацией HacblLЦeHHoro раствора (1 KZ соли
на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет t /. ICZ
СОЛ,и В 1 .мин, наЙТlf, сколько соли будет содержать раствор по
истечении 1 часа.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током i, имеющей со..
противление R и индуктивность L, складывается из падения напря
э 10}
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ порядков
329
d.
жения Ri и электродвижущей силы самоиндукции L d . Определить
ток i в момент времени t, если е == Е sin ro! (Е и ro постоянные) и
i==Опри t==O.
I 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1 О. С л у чай н е n о с р е Д с т в е н н о r о и н Т е r р и р о в а н и я. ЕСЛII
y(tl) == t (х),
ТО
у == S dx ... f (х) dx + с lхn 1 + С 2 х n 2 + . . . + СП'
п раз
20. С л у ч а и п о н и ж е н и я пор я Д к а. 1) Если дифференциальное
уравнение явно не содержит у, например
F (х, у', у") == О,
то, полаrая у' == р, получим уравнение порядка на единицу ниже
F (х, р, р') == о.
При м е р 1. Найти частное решение уравнения
ху"+у'+х==О,
удовлетворяющее условиям
у==о, у'==О при х==О.
Реш е н и е. Полаrая у' == р, имеем у" == р', откуда
хр'+р+х==О.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции Р"
получим:
х 2
РХ==С 1 2.
Из условия у' == р == о при х == О имеем 0== с 1 ........ О, Т. е. С 1 == О. С едовательно,
х
р == ........ 2'
или
dg х
dx 2" '
откуда, интеrри руя еще раз, получим:
ха
у ==........ 4""" + С!.
Полаrая у == о при х == О. находим Са == О. Следовательно, искомое частное
решение есть
1 t
Y 4X ·
830
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ r п . 11
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например,
F (у, у', у") == О,
то, полаrая у' == р, у" == р , получим уравнение порядка на единицу ниже
F (у, р, р : ) == о.
При м е р 2. Н айти частное решение уравнения
уу" у'2 == у4
при условии у == 1, у' == о при х == о.
Реш е н и е. Полаrаем у' == р, Tor Да у" == р :: и наше уравнение преоб-
раз уется в следующее:
ур :: p2==!t.
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем apry
ментом). Решая ero, найдем:
P== YYCl +уl.
Из условия у' == р == о при У == 1 им еем С 1 == 1. СледоватеJlЬНО,
p==:!:yYy2 1
или
dy ,r 2 1
dx == YrY .
Интеrрируя, имеем:
1 ·
arccos :!: х == С 2 .
У
1
Полаrая у==1 и х==О, получим с 2 ==о, откуда ==cosx или y==secx.
У
Решить уравнения:
2911. y"== ..
х
2912. у" === 2 a '
2913. у" === 1 у,2.
2914. ху" + у' == о.
2915. уу" === у,2.
2916. уу" + у,2 == о.
2917. (1+х2)у"+ у'2+ 1==0.
2918. у' (1 + у,2) == ау".
2919. х 2 у" + ху' == 1.
2920. уу" == у2у' + y,t.
2921. уу" у' (1 + у') == о.
2922. у" == х, .
у
2923. (х + 1) y" (x+2) у'+х+
+2==0.
,
2924. ху" == у' ln !.. .
х
2925. у' + (у") 2 === Х у" .
2926. ху'" + у" === 1 + х.
2927. у",2 + у,,2 == 1.
10]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ высших ПОРЯДКОВ
331
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928. (1+x2)y" 2xy'==O; у==О, у'==3 при х==о.
2929. 1+у,2==2уу"; у==l, у'==l при х==l.
2930. ууll + у,2 == у,З; у === 1, у' == 1 при х == О.
2931. ху" === у'; у == О, у' == о при х == о.
Найти общие и нтеrрал ы уравнений:
2932. уу' == v r у2 + у'2 у" у'у ".
2933. У у" === у,2 + у' V у2 + у'!.
2934. у'! уу" == уЗу'.
2935. уу" + у'2 у'31п у === о.
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у"у'==I; у==l, у'==1 при Х== ; .
2937. уу"+у,2 ==1; у==1, у' , 1 при х===О.
2938. ху"==У1+у'З; у==О при х===1; у==1 при х==е l .
2939. у"р + lпх) + .у' == 2 + lп Х; у == ' у' == 1 при Х === 1.
2940. у" == ( 1 + lп ): у == ; , у' == 1 при Х == 1.
2941. y" y'!+y'(y 1)===O; у===2, у'===2 при х===о.
2942. 3у'у"==у+у'3+ 1 ; у===...........2; у'==О при х==О.
2943. у2 + у,2 2уу" == о; У == 1, у' === 1 при х === о.
2944. уу' + у,2 + у у" == о; у === 1 при х == О и у === о при х ==-1.
2945. 2y'+(y'2 6x).y"==0; у==О, у'==2 при х===2.
2946. у'у! + уу" у'! === о; У == 1, у' == 2 при х === О.
2947. 2уу" зу'! === 4у2; У == 1, у' === о при х == О.
2948. 2уу" + у! у,2 == о; У == 1, у' == 1 при х === О.
2949 ",2 1, 1 1
· У == У у; У == 4""' У == 2" при х == ·
2950. у" + 2 еУ'у' 2уу,2 == о; У == 1, у' == е при Х == .J;.
2951. 1+уу,,+у,2==0; у==о, у'==1 при х==l.
2952. (1 + уу') у" == (1 + у'2) у'; у == 1, у' === 1 при х === О.
2953. (х+l)у,,+ху,а==у,; y=== 2, у'==4 при х==l.
Решить уравнения:
2954. у' === ху,,2 + у,,2.
2955. у' === ху" + у" y"Z.
332
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
( r л . УХ
2956. у",2 == 4у".
2957 ,,, , 3 + ,,2 В
· уу у ..::= у у. ыделить интеrральную кривую, прохо-
дящую через точку (о; О) и касающуюся в ней прямой у+х==о.
2958. Найти кривые постоянноrо радиуса кривизны.
2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорциона-
лен кубу нормали.
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали.
2961. Найти кривую, у которой радиус КРИВИЗНЫ вдвое больше
нормали.
2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на
ось ОУ постоянна.
2963. Найти уравнение каната подвесноrо моста, предполаrая,
что наrрузка распределена равномерно по проекции каната на rори-
З0нтальную ПРЯМУIО. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия rибкой нерастяжимой нити,
укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нзrрузку
q (включая вес нити) на единицу длины.
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклон-
ной плоскости. Найти закон движения, если' уrол наклона равен а,
а коэффициент трения 11.
у к а з а н и е. Сила трения равна J.1N, rде N сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно
считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движе-
ния, если начальная скорость равна нулю.
2967*. Моторная лодка весом 300 кТ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 .м/сек. С9противление B0J!.bl пропорцио-
нально скорости и равно 1 О кТ при скорости 1 .м/сек. Через
СkОЛЬКО времени скорость будет равна 8 .м/сек?
11. Линейные дифференциальные уравнения
1 о. О д н о р о Д н ы е у р а в н е н и я. Функции У1 == <1>1 (х), У2 == <1>2 (х), ...
. . . t У1l == <l>n (х) называются линейно зависимыми, если существуют постоян-
ные С 1 , С 2 , ... t СП, не все равные нулю, такие, что
С 1У 1 + С 2 У 2 + . . . + с пУп == о;
в противном случае данные функции называются линейно независимымu.
Общее решение однородносо Лllнейносо дифференциальноrо уравнения
у(n) + Р1 (х) y(n 1) + " . + Рп (х) У == О (1)
с непрерывными коэффициентами Р i (х) (i == 1, 2, . . ., п) имеет вид
у == C t Y1 + С 2 У2 + · . . + СnУn,
rде У1' У 2 , ..., уn линейно независимые решения уравнения (1) (фундамен-
тальная система решений). .
20. Н е о Д н о р о Д н ы е у р а в н е н и я. Общее решение неоднородНО20
лuнейносо дифференциальноr'о уравнения
y(п)+P1(x)y(n H+.. .+Pn(x)y==t(x) (2)
.... . - I .
11]
ЛИН ЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
333
с непрерывным", коэффиц ентами P i (х) и правой частью f (х) имеет вид
У==У О + У,
rде У О общее решение соответствующеrо однородноrо уравнения (1) и у....
частное решение Данноrо неоднородноrо уравнения (2).
. Если известна фундаментальная система решений Уl' У2' ..., У п однород-
Horo уравнения (1), то общее решение соответствующеrо неоднородноrо урав-
нения (2) может быть найдено по формуле
у == С 1 (х) Уl + С 2 (х) У2 + . .. + Сп (х) У п ,
rДе функции С i (х) (i == 1, 2, ..., п) определяются из системы уравнений
, ,
C1(x) У 1 + С! (х) У!
, , , ,
C 1 (Х)У 1 + С! (х) У!
,
+ . .. + Сп (х) Уn == О,
, ,
+ ... +Сп(х)уп==О,
.........
...........
)
I
J
(3)
.........
...........
C (х) y п 2) + C (х) y п !) +... + C (х) y n !) == О,
С , ( ) (п 1) + С , ( ) (п 1) + + С ( ) (п 1) 1 ( )
1 Х Y 1 2 Х У! · · · х У п == х
(.метод вариации произвОЛЬН,blХ nостОян'flblХ).
При м ер. Решить уравнение
ху" + у' == х!.
Реш е н и е. Решая однородное уравнение
ху" + у' == Q,
(4)
получ"м:
y==C 1 1nx+C 2 .
Следовательно, можно принять
Уl == ln х и У! == 1
и решение уравнения (4) искать в виде
у == С 1 (х) ln х + Се (х).
Составляя систему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4) есть
,
у" + == Х, получим
(5)
f с: (х) ln х + (х). 1 == О,
, 1 ,
l С 1 (х) Х + С 2 (х).О==х.
Отсюда
ха
С 1 (х) == "3 + А и
ха х'
С% (х) == з 1пх + 9 + в
и, следовательно,
ха
Y==g+A lnx+B,
rде А и В произвольные постоянные.
884
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[r л. IX
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы
фун"кций:
а)х,х+1;
б) х", ----- 2х 2 ;
в) О, 1, х;
r) х, х+ 1, х+2;
д) х, х", х';
е) е Х , е 2Х , е 8Х ;
ж) sin х, cos х, 1;
з) sin l х, cos. х, 1.
2969. Составить линейное однородное дифференциальное урав-
нение, зная ero фундаментальную систему решений:
а) Y1==sinx, y,.==cosx;
б) Уl==е Х , у,.==хе Х ;
в) у 1 == Х , .У,. === х" ; .
r) Уl == е:', Уа === е Х sin х, Уа == е Х cos х.
2970. Зная фундаментальную систему решений пинеАноrо одно-
родноrо дифференциальноrо уравнения
у 1 === х, у,. === х" , у а == х' ,
найти ero частное решение у, удовлетворяющее начальным УСЛОВИЯМ
у 'х ' 1 === О, у' 'Х==1 ===......... 1, уН 'Х==l === 2.
2971 *. Решить уравнение
2
у" + у' + у=== о,
х
sin х
зная ero частное решение У1 ===7 .
2972. Решить уравнение
х" (In х 1) у" ..........х у' + , === О,
зная ero частное решение '1 == х.
Методом вариации произвольных постоянных решить неоднород-
ные линейные уравнения:
2973. х! УН ......... ху' === 3х'.
2974*. х 2 у" + ху' ......... , == х".
2975. у'" + у' === sec х.
* 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-ro порядка
с постоянными коэффициентами
10. О д н о р о Д н о е у р а в н е н и е. Линейное уравнение 2-ro порядка
с постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
у"+ру' +qy==O. (1)
Если k 1 И k 2 корни характеристическоrо уравнения
(j) (k) == k' +p/l + q==O, (2)
12)
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ro ПОРЯДКА
335
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех
ВИДОВ:
1) у == Cte ktX + C 2 e kJx , если k 1 и k 2 вещественны и k 1 '# k 2 ;
2) у == ekt x (С 1 + Czx), если k 1 == kt;
3) у == е'1.Х (С. cos рх 4:- С, sin рх), если k. == а + pi и k 2 == а ....... pi (Р #= О).
20. Н е о Д н о р о Д н о е у р а в н е н и е. Общее решение линейноrо нео,ц..
нородноrо дифференциальноrо уравнения
у" + ру' + qy == t (х)
(3)
можно записать в ВИДе суммы
у==уо+У,
rде уо...... общее решение соответствующеrо уравнения (1) без правой части,
определяемое по формулам 1)...... 3), и у...... частное решени е Данноrо уравне-а
ния (3).
Функция У может быть наЙДена .методом' неоnределеННhlХ коэффициентов
В следующих п остейших случаях:
1. f (х) == е х Р п (х), r де Р п (х) ...... мноrочлен степени n.
Если а не является корнем характеристическоrо уравнения (2), Т. е.
q> (а) :f:. о, то полаrают У == е ах Qп (х), rДе Qn (х) ...... мноrочлен степени n с н&-
определенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристическоrо уравнения (2), т. е. q> (а) == О,
то у == х"е ах Qn 1 Х )' rДе r ...... кратность корня а (r == 1 или r == 2).
2. f (х) == е а [Р п (х) cos Ьх + Qm (х) sin Ьх).
Если ер (а::!:: Ьё) :/:: О, то полаrают
у ==е ах [SN (х) cos Ьх + TN (х) sin Ьх],
rде SN (х) и TN (х) ...... мноrочлены степени N == тах {n, т}.
Если же ер (а :!:: bi) == о, то
у == х"е ах [SN (х) cos Ьх + TN (х) sin Ьх],
rде '...... кратность корней а::!:: bi (для уравнений 2-ro порядка r == 1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется М,етод вариации
пРОUЗ80ЛЬНы.х постоянны.х (см. 11).
При м е р 1. Найти общее решение уравнения "2у" у' у == 4xel X .
Реш е н и е. Характеристическое уравнение 2k 2 ...... k ...... 1 == О имеет корни
1
k 1 == 1 и k 2 ==........ 2". Общее решение соответствующеrо однородноrо уравне-
х
ния (первый вид) уо == С 1 е Х + С"е 1. Правая часть заданноrо уравнении
f (х) === 4хе 2Х == е ах Р п (х). Следовательно, У == е!х (Ах + В), так как n == 1
и r ==0. Дифференцируя У два раза и подставляя производные В данное
уравнение, получим:
2е2 Х (4Ах + 48 + 4А) ...... е!Х (2Ах + 28 + А) ...... е!Х (Ах + В) == 4xe 1x .
Сокращая на е'-Х и приравнивая друr друrу коэффициенты при первых
степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
4 28
5А ==4 и 7 А +58 ==0, откуда А ==5 и в == 25 .
336
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
r r Л . УХ
Таким образом, У ==е 2Х ( : х ). а общее решение данноrо урав-
пения есть
1
С х +с 2X + 2Х ( 4 28 )
У == l е 2 е е 5 х 25 ·
При м е р 2. Найти общее решение уравнения у" 2у' + у == хе Х .
Реш е н и е. Характеристическое уравнение k l 2!? .+- 1 == О имеет дву-
кратный корень k == 1. Правая часть уравнения имеет вид f (х) == хе Х ; здесь
а == 1 и n == 1. Частное решение У == х 2 е Х (Ах + В), т а]{ как а совпадает
с двукратным корнем k == 1 и, следовательно, r == 2.
Дифференцируя у ДВа раза, подставляя в уравнение и приравнивая
1
коэффициенты, получим А == 6' в == о. Следовательно, общее решение дан-
Horo уравнения запишется в виде
1
у == (С I + С 2 х) е Х + (3 хВе Х .
При м е р 3. Найти общее решение уравнения у" + у== х sin х.
Реш е н и е. Характеристическое уравнение k l + 1 == О имеет корни
kt == i и k" == 1. Общее решение соответствующеrо однородноrо уравнения
будет [см. 3), rде а == О и == 1]:
УО === С 1 COS Х + Се siп х.
Правая часть вида
f (х) == е ах [Р п (х) cos Ьх + Qm (х) sl" Ьх],
rде а == О, Ь == 1, Р п (х) == О, Qm (х) == х. Ей соответствует частное решение
у == х [(Ах + В) со! х + (Сх + D) sin х]
(здесь N == 1, а == О, Ь == 1, r == 1).
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэф-
фициенты в обеих частях равенства при cos х, х cos х, 51" х и х sin х. В ре-
зультате получатся четыре уравнения 2А + 2D == О, 4С == О, ..... 28 + 2С== О,
4А == 1, из которых и определяются А == 1/4' В == О, С == О, D == 1/4'
хl Х
Поэтому V == 4 cos х +"4 51п х.
Общее решение
х" х
у == С 1 С05 Х + С 2 51" х ....... "4 СО5 Х + 4 sln х.
3°. При н ц и п н а л о ж е н и я реш е н и й. Если правая часть уравне-
ния (3) есть сумма нескольких функций
1 (х) == 11 (х) + 12 (х) + . . . + f n (х)
и Yi(i==l, 2, ..., n) соответствующие решения уравнений
у" + ру' + qy == fi (х) (i == 1, 2, ..., n),
то сумма
у==У I +У 2 +.,.+Уn
является решением уравнения (3).
12)
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ro ПОРЯДКА
337
Наf.fти общие решения уравнений:
2976. у" 5у' + 6у == о.
2977. у"....... 9 У == о.
2978. у" ---- у' == о.
2979. у" + у === о.
2980. у"....... 2у' + 2 у == о.
2981. у" + 4у' + 13у == о.
2982. у" + 2у' + у === о.
2983. у" 4у' + 2у == о.
298'1. у" ky === О (/l=i=O).
2985. У == у" + у'.
у' у
2986. у" == 3.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2987. у"....... 5у' + 4 у === о; у === 5, у' == 8 при х == О.
2988. у" +3у' +2у===О; У== 1, у'=== 1 при х==о.
2989. у" + 4у == о; У == О, у' == 2 при х == О.
2990. у"+2у'==0; у== 1, у'==о при х==О.
2991. У " == а У 2 " , О О
у==а, у == при х== .
2992. у"+3у'===0; у==О при х==О и у===О при х==3. '
2993. у"+л 2 у==0; у===О при х===о и у==О прих===l.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных
уравнений:
а) у"......... 4 У === хl e lX ;
б) у" + 9у=== cos 2х;
в) у"....... 4у' + 4у == sin 2х + e tx ;
r) у" + 2у' + 2у == е Х sin х;
д) у"....... 5у' + 6у== (х 2 + 1) е Х + хе 2Х ;
е) у"....... 2у' + 5у == хе Х cos 2х....... х"е Х sin 2х.
Найти общие решения уравнений:
2995. у"........ 4 у' + 4 у == х 2 .
2996. у"........ у' + у == ха + 6.
2997. у"+2у' + у===е 2Х .
2998. у"....... 8 у' + 7 у == 14.
2999. у"......... у === е Х .
3000. у" + у=== cos х.
3001. у" + у' ......... 2у == 8 sin 2х.
3002. у" + у' ........ 6 У === хе 2Х .
3003. у" 2y' + y==sinx+sh х.
3004. у" + у' == sin 2 х.
3005. у"........ 2 у' + 5 у == е Х cos 2х.
3006. Найти решение уравнения у" + 4у=== sin х, удовлетворя"
ющее условиям у === 1, у' == 1 при х == о.
338
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[rл. 'х
Решить уравнения:
3007. :;: +ro1х=== А sinpt. Рассмотреть случаю 1) P=f=ro;
2) Р == (f).
3008. у" 7у' + 12у=== е 4Х .
3009. у" 2у' == х 2 1.
3010. у"....... 2у' + у === 2е Х .
3011. y" 2y'==e2X+5.
3012. у"........ 2у' 8 У === е Х 8 cos 2x
3013. у" + у' == 5х + 2е Х .
30 14. у"...... у' === 2 х ........ 1 ......... 3е Х .
3015. y"+2y'+y===e X +e-- Х .
3016. у" 2у' + 10у== sin 3х + е Х .
3017. у" 4у' + 4у === 2е!Х + .
3018. у"...... 3у' === х + cos х.
3019. Найти решение уравнения у".......... 2у' === e 1x + х......... 1, удов"
1
летворяющее условиям: у === 8 ' у' === 1 при х === О,
Решить уравнения:
3020. у"....... У === 2х sin х.
3021. у".......... 4у == е 2Х sin 2х.
3022. у" + 4у == 2 sin 2x 3 cos 2х+ 1.
3023. у".......... 2у' + 2у == 4е Х sin х.
3024. у" == хе Х + у.
3025. у" + 9 у == 2х sin х + хе 8Х .
3026. у"....... 2у' 3у === х (1 + е 3Х ).
3027. у" 2у' === 3х+ 2хе Х .
3028. у"............ 4у' + 4у === хе lХ .
3029. у"+2у' 3y===2xe 8X+(x+ l)е Х .
3030*. у" + у == 2х cos х cos 2х.
3031. у"............ 2у == 2хе Х (cos х sin х).
Применяя метод вариации
уравнения:
3032. у" + у == tg х.
3033. у" + у === ctg х.
е"
8034. у" ........ 2 у' + у == х .
е-- Х
3035 Y"+2y'+Y== .
произвольных постоянных, решить
3 " + 1
30 6. У У == cos х ·
1
3037. у" + y== .
SlПХ
3038. а) у".......... у === th х;
б) у"....... 2 У =z: 4 x 1 e X :I.
12]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ro ПОРЯДКА
839
3039. Два одинаковых rруэа подвешены к концу пружины.
Найти уравнение движения, которое будет совершать ОДИН из
этих rрузов, если друrой оборвется.
Реш е н и е. Пусть увеличение длины пружины под действием одноro
rруза в состоянии покоя равно а и масса rРУЗ8 т. Обозначим через х коор-
динату rруза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при
наличии одноrо rруза. Т оrда
d 2 x
т dt 2 == тg k (х + а),
тg x g
rде, очевидно, k == а и, следовательно, dt! == а х. Общее решение есть
х == С 1 cos У t + Са sin у1 t. Начальные условия дают х == а и d ::::s О
при t == о; отсюда С 1 == а и С 2 == О, следовательно,
x==acos V t.
8040*. Сила, натяrивающая пружину, пропорциональна увепиче.
иию ее ДЛИНЫ и равна 1 KF, Kor да длина увеличивается на 1 C./II.
К пружине подвешен rруз весом 2 KF. Найти период колебат ль.
Horo движения, которое получит этот rруз, если ero слеrка оття-
нуть книзу и затем отпустить.
3041*. rруз весом Р === 4 Kf подвешен на пружине и увеличи-
вает ее длину на 1 c.At. Найти закон движения rруза, если верх-
ний конец пружины совершает вертикальное rармоническое КОllеба-,
ние у== 2 sin 30t с.м, и в начальный момент rруз находился в покое
(сопротивлением среды пренебреrаем).
3042. Материальная точка массы т притяrивается каждым из
двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти закон движения точки, зная,
что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка нахо-
дилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от сере-
дины ero, и имела скорость, равную нулю.
3043. Цепь длины 6 .м, скользит вниз с под ставки без трения.
Если движение начинается с момента, коrда свисает 1 .At цепи, то во
сколько времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной уrловой
скоростью ro около перпендику лярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти законы движения шарика OJносительно трубки, считая, что:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси
вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел
начальную скорость 'l'O.
340
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[rл. 'х
13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-ro
1 О. О д н о р о Д н о е у р а в н е н и е. Фундаментальная система решений
Уl' у". ..., Уп однородноrо линейноrо уравнения с постоянными коэффициен-
тами
у(п) + а 1 у(п 1) + . . . + а п lУ' + апу == О
строится на основе характера корней характерuстическоео уравнения
k n + alkn 1 + ... + a n .. 1 k + а п == о.
(1)
(2)
А именно: 1) если k есть вещественный корень уравнения (2) кратности т,
то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения (1):
У e kx У xe kx У x т l e kx.
1 ''' ,..., т ,
2) если а :f: i пара комплексных корней уравнения (2) кратности т,
то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения (1):
У е а,х С R а,х 1 R ах R а,х . R
1 05 рх, Y2 e s n t'X, Y8 xe cOS t'X, Y4 xe SlП t'X, ...
У rп 1 ах А У т" J (l.X si А Х
. . ., 2т 1 Х е cos tl X , 2т Х е n t' ·
20. н е о Д н о р о Д н о е у р а в н е н и е. Частное решение неоднородноrо
уравнения
у(n) + aly(п l) + . . . + an tY' + апУ == f (х)
(3)
отыскивается на основе правил 12, 20 и 30.
Найти общие решения уравнений:
3045. у'" 13у" + 12у' ::::::::0. 3057. yIV + 2у'" + у" ===0.
3046. у'" у' === о. 3058. ylV + 2у" + у == о.
3047. у'" + у === о. 3059. у(n) + '; y(п 1) +
8 048. Y IV 2 y "===0. + n{n 1) (п I) +
1.2 у...
3049. y''' 3y''+3y' y===0. ...+ '; у'+у===О.
3050. ylv+4y==0. 3060. ylV 2y'''+y"===ex.
3051. yIV + 8у" + 16у === о. 3061. yIV 2у'" + у" === ха.
3052. ylV + у' === о. 3062. у'" У == ха 1.
3053. ylV 2у" + у == о. 3063. yIV + у'" == cos 4х.
3054. ylV а 4 у:=::: о. 3064. у'" + у" === х! + 1 + 3хе Х .
3055. ylV........ 6у" + 9 у == О. 3065. у'" + у" + у' + у=== хе-'(.
3056. ylV + а1у" == о. 3066. у'" + у' == tg х sec х.
3067. Найти частное решение уравнения
у'" + 2у" + 2у' + у == х,
удовлетворяющее начальным условиям у (о) с:::: у' (О) === у" (О) === О.
5 14]
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
З4j
14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ах + ь)n у(n) +А. (ах + Ь)n"'] y(n...t)+.. .+Аn...! (ах + Ь) у + Апу == f (х), (1)
rде а, Ь, Аl' ..., An...t' Аn.......постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ах+ ь > О вводим новую независимую переменную t, полаrая:
ах + ь ==e t .
Тоrда
У , == ае"" dy У " == a 2 e-- 2t ( d2y d Y )
d t ' d t 2 d t '
( d 3 y d2 y d Y) '
у'" === аЗе...,t ..... 3 + 2 и т Д
d t 3 d t 2 dt ..
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными
коэффициентами.
При м е р 1. Решить уравнение х 2 у" + ху' + у == 1.
Реш е н и е. Полаrая х ==e t , получим:
dy ...! dy d 2 У "'2[ / d 2 y d Y )
dx e dt ' dx2 e \ dt2 dt ·
Следовательно, данное уравнение примет вид
d 2 y
d t2 + у == 1 ,
откуда
У == С ] cos t + С 2 sin t + 1
или
у == С ] cos (ln х) + С 2 sin (ln х) + 1.
Для однородноrо уравнения Эйлера
хnу(n) + At Xn "' l y(n"'l) + . .. + An tXY' + Аllу == О (2)
при х > О решение можно искать в виде
у == x k . (3)
Подставляя в (2) у, у', ..., у(п), определяемые из соотношения (3), получим
характеристическое уравнение, из KOToporo можно найти показатель k.
Если k действительный корень характеристическоrо уравнения кратно-
сти т, то ему соответствуют m линейно независимых решений
Yl==X k , Y2==x k ln х, Ya==xk(1nx)2, ..., Yт==xk(1nx)т ].
Если а, :l: pi пара комплексных корней кратности т, то ей соответствует 2т
линейно независимых решений
Уl == ха COS (р lп х), У2 == ха sin (р ln х), Уа == ха ln Х cos ( 1 n х),
У4 == ха ln х sin ( ln х), . . ., Y2т 1 == ха (1 n х)т"'l COS ( ln Х),
Y21lt == ха (ln x)'п 1 sin ( ln х).
При м е р 2. Решить уравнение
х2у" 3ХУ' + 4у == О.
Реш е н и е. Полаrаем
у == xk; У' == kxk l, у" == k (k 1) Xk 2.
342
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[rл. 'х
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на xk получим характери-
стическое уравнение
k 2 ...... 4k + 4 == о.
Решая ero, находим:
k 1 == k 2 == 2,
следовательно, общее решение будет:
у == С 1 х 2 + C2X ln х.
Решить уравнения:
2 d 2 y dy
3068. х dx 2 + 3x dx + у===о.
3069. х 2 у" х у' ......... 3 У === О.
3070. х 2 у" +ху' +4у===О.
3071. х' у'" ......... 3х 2 у" + 6х у' 6 У == о.
3072. (3х + 2) у" + 7 у' === О.
3073. у" === 2; .
х
,
3074. у" + + ;2 == о.
3075. х 2 у" ......... 4х у' + 6 у === х.
3076. (1 +х)2 y" 3(1 +х)у'+4у===(l +х)'.
3077. Найти частное решение уравнения
х 2 у" .......... х у' + у === 2 х ,
удовлетворяющее начальным условиям: у== О, у' == 1 при х=== 1.
* 15. Системы дифференциальных уравнений
М е т о Д и С к л ю ч е н и я. Для наХОЖДения решения, например, нормаль-
ной системы двух дифференциальных уравнений l-ro порядка, т. е. системы
вида
dy
dx == f (х, У, z).
dz
dx == g (х, у, z),
(1)
разрешенной относительно производны х от искомых функций у и z, диффе-
ренцируем по х одно из них. Имеем, например:
d!y д! дf д!
dx 2 == дх + ду f + az g.
(2)
Определяя z из nepBoro уравнения системы (1) и подставляя найденное вы-
ражение
Z==fP (х, У. : )
(3)
в уравнение (2), получим уравнение 2-ro порядка с одной неизвестной функ-
цией у. Решая ero, находим:
g == 11' (х, С 1 ' C z ),
(4)
15]
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
343
rде С 1 И С а произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу (3),
определяем функцию z без новых интеrраций. Совокупность формул (3) и (4),
rде у заменено на 'Ф, дает общее решение системы (1).
При м е р. Решить систему
{ dy
dx +2y+4z== 1 +4х,
dz + з 2
dx y........z==2x.
Реш е н и е. Дифференцируем первое уравнение по х:
d 2 y + 2 dy + 4 dz == 4.
dx 2 dx dx
Из nepBoro уравнения определяется z== (1 +4х ; 2 У ) и тоrда
dz 3 1 3 1 dy
из BToporo будем иметь: dx == 2 хl + х + 4......... 2" у...... 4" dx · Подставляя z
dz
и dx в уравнение, полученнее после дифференцировании, ПРИХО,l\ИМ к урав-
нению 2.ro порядка с одной неизвестной у:
tJ!y dy
dx 2 + dx ...... 6у == 6хl ...... 4х + 3.
Решая ero, найдем:
у == С 1 е'-Х + C2e IX + хl + х,
и тоrда
z== { (1+4X 2g)== Cle2X+ 7 e 8Z .r.
Анапоrично можно поступать и в случае системы с большим числом урав-
нений.
Решить системы:
3080.
{ dy .
dx === z,
dz
dx === у.
{ d Y
dx === У+ 5z,
+ у+ 3z===O.
{ d Y
dx === 3y z,
dz
dx ==Y Z.
3081.
3082.
( dx
1 dt ===Y'
dy
dt ===Z'
dz
dt ==X.
. dx
f dt === Y+Z,
J dy
1 dt ===X+Z'
I dz
t dt ===X+Y.
3078.
3079.
344
ДИФФЕРЕНЦИАльныЕ УРАВНЕНИЯ
r r л IX
{ d Y
dx == y+z,
3083. dz
dx ==х+ y+z.
{ + 2у + z=== sin х,
8084. dz
dx 4 У ......... 2z == cos х.
f dy
dx + 3y + 4z ==2x,
8085. ) d
t d; у z == х,
У==О, z==O при х==о.
{ dX
dt 4x y+36t==0,
3086. "d
d + 2x y + 2e t ==O;
х==О, у== 1 при t==O.
{ " dy у!
3087. : : '
dx 2 у.
3088* а ) dx dy .
· х' + 3ху! 2у3 2Y'Az '
б) dx === dy == dz .
x y х+у z'
в) dx == dy == dz ,
y z Z x x y
выделить интеrральную КРИВУЮ,
проходящую через точку
(1; 1; 2).
" dy
3089. { dx + Z == 1 ,
dz 2
dx + х! У == 1" х.
J d!y
dx 2 + 2у+ 4z== е Х ,
3090. l d2Z
dx 2 y 3z== x.
3091 **. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью V o под
уrлом а к rоризонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая
сопротивление воздуха пропорциональным скорости.
3092*. Материальная точка М притяrивается центром О с силой,
пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на
расстоянии а от центра с начальной скоростью V O ' перпендикулярной
к отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
I 16. Интеrрирование дифференциальных уравнений
с ПОМОЩЬЮ степенных рядов
Если интеrрирование дифференциальноrо уравнения при помощи элемен-
тарных функций не удается, то ero решение в некоторых случаях можно
искать в ВИДе cTeneHHoro ряда
00
у== Сп (х хо)п.
п==о
(1)
Неопределенные коэффициенты Сп (п == О, 1, 2, ...) находятся путем подстаНО8-
ки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях бинома х хо в левой и правой частях полученноrо равенства.
Можно также искать решение, уравнения
у' == 1 (х, у); r Де у (х о ) == у о ' (2)
161
ИНТЕrРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
845
в виде ряда Тейлора
00
у (х) == у(п)(х о ) ( Х Х ) n
п! о ,
п==о
(3)
rде у (х о ) == У О ' у' (х о ) == f (х о ' уо) и дальнейшие производные у(п) (х о ) (п == 2, 3, ...)
последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения (2) и
подстановки вместо х числа Х о .
При м е р 1. Найти решение урав нения
у" ху == о,
" О
если У==У О ' у ==уо при х == ·
Реш е н и е. Полаrаем
У==С о +с 1 х +... +спх п + ...,
отсюда, дифференци руя, полу чим;
у" == 2 · 1 С 2 + 3 . 2с аХ + . . . + п (п 1) с пХn 2 + (п + 1) пс п + lX п 1 +
+ (п + 2) (п + 1) С n + 2 Х n + ...
Подставляя У и у" в данное уравнение, приходим к тождеству
[2.1C a + 3.2с з х + ... + п (п...... 1) Cпxn 2 + (п + 1) пCп+lxп 1 +
+ (п + 2) (п + 1) С n + 2 Х n + ...] ...... Х [со +С 1 Х +... +сnх п +...]!$! о.
Собирая в левой части полученноrо равенства члены с одинаковыми степе-
нями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
3 2 О СО ·
С 2 == о; · С, СО == , С, 3 . 2 '
4.Зс" С 1 == о,
С I .
С" 4.З '
5. 4c s ...... Са == о,
С"
C S == 5.4 и Т. д.
Вообще,
. C k == 2. З. 5.6. . . . . (3k 1) Зk' c,k + 1 == 3. 4.6. 7 · . . . · Зk (Зk + 1) ,
C,k+2==O (k==I, 2, З, ...).
Следовательно,
( х' х 6 x.k )
У == со 1 + 2.3 + 2. З. 5.6 + · · · + 2. З. 5.6. . . . · (Зk 1) Зk + · · · +
( х" х 7 X.k+l )
+ С 1 Х + з . 4 + з . 4.6.7 + · · · + з · 4 · 6 · 7 · . . . · Зk (Зk + 1) + · · · ,
(4)
,
rде СО == Уо И С 1 == Уо'
Применяя признак Даламбера, леrко убедиться, что ряд (4) сходится
...... 00 < х < + 00.
При м е р 2. Найти решение уравнения
у' == х + у; уо == у (О) == 1.
Реш е н и е. Полаrаем
при
" ",
+ ' + УО 2 + уо . +
Y Yo ,У ох 21 Х зт х ...
346
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ r п . 'х
,
Имеем У О == 1, Уа == О + 1 == 1. Дифференцируя обе части уравнения у' == х + у,
,,,
последовательно находим у" == 1 + у', и: == 1 + 1 == 2, у'11 == у", уо == 2,
и т. д. Следовательно, 2 2
у == 1 + х + 2! х 2 + 3т ха + · · ·
Для разбираемоrо примера найденное решение можно записать в конечном
виде У == 1 + х + 2 (еХ 1 х) или у == 2е Х 1 х.
Аналоrично следует поступать в случае дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще rOBo-
ря, сложно и при решении задач 9Toro параrрафа обязательным не предпола-
rается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при ука-
занных начальных условиях.
В N2N2 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость по-
лученных решений.
3093. у'===у+х 2 ; y=== 2 при х===О.
3094. у' == 2 У + х......... 1; У === У о при х === 1.
3095. у' ===)'2 + ха; )'=== ; при х=== О.
3096. Y'===X2 y2; у===О при х==О.
3097. (1 х) у' == 1 + x у; у== о при х ==0.
3098*. ху"+у===О; у===О, у'===l при х===О.
3099. у" + ху === о; у === 1, у' == о при х === О.
2
3100*.y"+-х У '+у===0; у==l, у'===О при х===О.
1
3101*. y"+-ху'+у===О; >,===1, у'===О при х===О.
d 2 x dx О
3102. dt 2 + х cos t== о; х=== а; dt === О при t === ·
17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейноrо однородноrо дифференциальноrо
уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают
частные решения этоrо уравнения специальноrо типа, каждое из которых
представляет собой произведение функций, зависящих только от одноrо apry-
мента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких ре-
шений и п (п == 1, 2, ...), линейно
независимых в любом конечном
числе между собой и удовле-
творяющих заданным zран-uчн-ы.м
условия.м. Искомое решение U
представляется в виде ряда, рас-
Х положенноrо по этим частным
решениям:
о
а
I.h
l
2
z
Рис. 107.
00
u == Спи n .
n=:l
(1)
Остающиеся неопределенными коэффициенты СП находятся из начаЛЬNbt-t
условий.
17]
ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ
347
3 а Д а q 8. Поперечное смещение U == U (х,
в момент времени t удовлетворяет уравнению
д 2 u д 2 и
a!
дt 3 дх" ,
t) точек струны с абсциссой х
(2)
rде а! == То (ТО сила натяжения, Q..... линейная плотность струны). Найти
Q
форму струны в момент времени t, если концы ее х == О и х == 1 закреплены
и в начальный момент t == О струна имела форму параболы и == : xи x)
(рис. 107) и точки ее имели скорость, равную нулю.
Реш е н и е. Cor ласно условию задачи требуется найти решение и == и (х, t)
уравнения (2), удовлетворяющее rраничным условиям:
U (О, t) == О, U О, t) == О (3)
и начальным условиям:
4h ,
U (х, О) == р: х (1 х), u t (х, О) == О.
(4)
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специальноrо вида
u == Х (х) Т (t).
Подставив это выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим:
Т" (t) Х" (х)
aZT и) Х(х) ·
(5)
Так как переменные х и t являются независимыми, то тождество (5) воз-
можно лишь в том случае, коrда общая величина отношения (5) будет посто-
янной. Обозначая эту постоянную через..... л Z , найдем два обыкновенных диф-
ференциальных уравнения:
Т" (t) + (ал)!. т (t) == О и Х" (х) + л 2 Х (х) == О.
Решая эти уравнения, получим:
т (t) == А cos а лt + в 51" а лt,
Х (х) == С cos лх + D sin ЛХ,
rде А, В, С, D произвольные постоянные. Из условия (3) имеем: Х (О) ==0
и Х (l) == О, следовательно, С == О и sl" лl == О (так как D не может одновремен-
k'Jt
но с С равняться нулю). Поэтому Лk ==т ,rде k целое число. Леrко убе-
диться, что мы не потеряем общности, взяв для k лишь положительные зна-
чения (k == 1, 2, 3, ...). Каждому значению лk соответствует частное ре-
шение
( Iшп . kа'Я ) k'Jtx
uk == Ak COS Т t +Bk Sln т t sln "
удовлетворяющее rраничным условиям (3).
Составим ряд
00
( ka'Jtt ka '1t t ) . kпх
и == t;. Ak cosl"'"" + Bk sin l"'"" sш Т I
348
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
rrл. 1I
сумма KOToporo, очевидн о, удовлетворяет уравнению (2) и rраничным усло-
ви ям (3).
Подберем постоянные Ak и Bk так, чтобы сумма ряда У,lXовлетворяла на-
чальным условиям (4). Так как
00
ди kan ( А . ka1t t + В kалt ) . kлх
== ............... k Sln k cos Sln
дt 1 l l l '
k=l
то, полаrая t == О, получим:
00
. kлх ' 4h
и (х, О) == Ak Sln 1 == F х (l ........ х)
k==l
и
00
дu (х, О) kan В · knx О
at т k Sln т === ·
k==l
Следовательно, для определения коэффициентов Ak и В k надо разложить в
4h
ряд Фурье по одним синусам функцию и (х, О) == F х (l........ х) и функцию
дu (х, О) === О
д! .
По известным формулам (rл. VIII, 4, 36) имеем:
1
2 5 4h . kл:х 32h
Ak == Т F х (1 ..... х) Sln dx == n'k' ·
о
если k........ нечетное, и Ak == О, если k четное;
l
kan 2 5 knx
1 Bk ==7 O.sin Tdx==O, Bk==O.
о
Искомое решение будет:
00 (2n + 1) a:тtt
U == 32h cos l . (2п + 1) nх
'л 3 (2п + 1)3 Sln 1 ·
п==о
3103*. В начальный момент t == О струна, закрепленная на KOH
иах х === О и х === 1, имела форму синусоиды и === А sin n: ' причем
JСКОРОСТИ точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент
времени t.
3104*. В начальный момент t== О точкам прямолинейной струны
ди
0< х < 1 сообщена скорость at == 1. Найти форму струны в момент
времени t, если концы ее х==о и х==lзакреплены(см. задачу 3103).
17]
ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ
349
3105*. Струна длиной 1 === 100 см, за"репленная на концах Х:::::: О
И Х === 1, в начальный момент оттянута в точке х === 50 Cht на расстоя-
ние h == 2 см, а затем опущена без толчка. Определить форму
струны для любоrо момента времени '.
3106*. При продольных колебаниях TOHKoro однородноrо прямо-
линейноrо стержня, ось KOToporo совпадает с осью ОХ, смещение
и === и (х, t) поперечноrо сечения стержня с абсциссой х в момент
времени t удовлетворяет уравнению
д 2 и 2 д 2 и
at'l. === а дх" ,
Е
rде а 2 === (Е модуль Юнrа, Q плотность стержня). Определить
Q
продольные колебания упруrоrо rоризонтальноrо стержня ДJIИНЫ
1 === 100 с.м, закрепленноrо на конце х === О и оттянутоrо на конце
х 100 на длину 11/-== 1 см, а затем отпущенноrо без толчка.
3107*. Для прямолинейноrо однородноrо стержня, ось KOToporo
совпадает с осыо ОХ, температура и === и (х, ') в сечении с абсцис-
сой х в момент времени t при отсутствии источников тепла у довле-
творяет уравнению теплопроводности
ди 2 д!и
дt === а дх! '
{'де а постоянная. Определить распределение температуры для
любоrо момента времени t в стержне длины / === 100 см, если изве-
стно начальное распределение температуры
u(х, 0)==0,01x(100 x).
rЛАВА х
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1. Действия с приближенными числами
10. А б с о л ю ТН 8 Я по r реш н о с т ь. Абсолютной пО2решностью
(абсолютной ошибкой) приближенноrо числа а, заменяющеrо точное число А J
называется абсолютная величина разности между ними. Число А, у До влетво-
ряющее неравенству
IA aJ L\, (1)
называется предельной абсолютной п02решностью. Точное число А нахо-
дится в rраницах а L\ А а + L\ или, короче, А == а :1: А.
20. О т н о с и т е л ь н а я по r реш н о с т ь. Под относительной nozреш-
н-остью (относительной ошибкой) приближенноrо числа а, заменяющеrо точ-
ное число А (А > О), понимается отношение абсолютной поrрешности числа а
к точному числу А. Число б, удовлетворяющее неравенству
I А :; а, .s;;; ,
(2)
называется предельной относительной nоерешностью приближенноrо числа tJ.
Так как на практике А:::::::: а, то за предельную относительную поrрешность
А
часто принимают число fJ == .
а
30. Ч и с л о в е р н ы х Д е с я т и ч н ы х s н а к о В. rоворят, что положи-
тельное приближенное число а, записанное в виде десятичноrо разложения,
имеет n верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная
. 1
поrрешность этоrо числа не превышает 2" единицы n-ro разряда. В этом слу-
чае при n > 1 за предельную относительную поrрешность можно принять
число
== ;k иo )n 1,
rде k первая значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что
EO;; 2 (k 1) ( 110 ) n 1, то число а имеет n верных десятичных знаков
в узком смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в уз-
ком смысле, если EO;; ( /0 ) n .
Если абсолютная поrрешность приближенноrо числа а не превышает еди-
ницы последнеrо разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении
с точностью до соответствующей единицы), то rоворят, что все десятичные
знаки этоrо прибли женноrо числа верные в широком смысле. При наличии
1]
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
351
оольшеrо числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно
является окончательным результатом вычислений, обычно окруrляют так, что-
бы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле.
В дальнейшем мы будем предполаrать, что в записи исходных данных все
цифры верные (если не oroBopeHo противное) в узком смысле. Что касается
результатов промежуточных вычислений, то они MorYT содержать ОДНУ-Аве
запасные цифры.
Заметим, что примеры этоrо параrрафа, как правило, представляют собой
результат окончательных вычислений, и поэтому ответы к ним даются при-
ближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки.
В дальнейших вводных статьях приводятся лишь краткие указания; за под-
робностями следует обращаться к литературе (например, Дж. С к а р б о р о,
Численные методы математическоrо анализа, rтти, M. Л., 1934).
4 о. С л о ж е н и е и в ы ч и т а н и е при б л и ж е н н ы х ч и с е л. Пре-
дельная абсолютная поrрешность алrебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных поrрешностей этих чисел. Поэтому.
чтобы иметь в сумме небольшоrо количества приближенных чисел, все деся-
тичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широ-
ком смысле), следует подравнять все слаrаемые по образцу Toro слаrаемоro,
десятичная запись KOToporo обрывается ранее друrих, сохраняя в кажДОМ из
них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные и oKpyr-
лить сумму на один знак.
Если приходится складывать неокруrленные приближенные числа, то и
следует окруrлить, сохраняя в каждом И3 слаrаемых один-два запасных знака,
а затем руководствоваться nриведенным выше правилом сложения, удержи-
Baя соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
При м ер 1. 215,21 + 14,182 + 21,4 == 215,2 (1) + 14,1 (8) + 21,4 == 250,8.
Относительная поrрешность суммы положительных слаrаемых не превышает
наибольшей из относительных поrрешностей этих слаrаемых.
Относительная поrрешность разности не поддается простому учету. Осо-
бенно неблаrоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
При ме р 2. При вычитании приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя
верными десятичными знаками, получаем разность 0,004. Предельная относи-
1 1
2 0,001 +"2 0,001 1
тельная поrрешность ее равна () == 0,004 == ""4 == 0,25; следова.
тельно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому следует
по возможности избеr ать вычитания близких между собой приближенных
чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта
нежелательная операция отсутствовала.
50. У м н о ж е н и е и Д е л е н и е при б л и ж е н н ы х ч и с е л. Предель-
ная относительная поrрешность произведения и частноrо приближенных чисел
равна сумме предельных относительных поrрешностей этих чисел. Исходя из
8Toro и применяя правило числ а верных знаков (30), мы сохраняем в ответе
лишь определенное количество знаков.
При м е р 3. Произведение приближенных чисел 25,3.4,12 == 104,236.
Предполаrая, что все знаки сомножителей верные, получаем, IfTO пре-
дельная относительная поrрешность произведения
1 1
6== 2.2 0,01 + 4.2 0,01 O,OO3.
352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rл. х
Отсюда число верных знаков проиэведения равно трем и результат, если он
является оконqательным, следует писать так: 25,3.4,12:: 104 или точнее
25,3.4,12 == 104,2 :f: 0,3.
60. В о з в е Д е н и е в с т е п е н ь и и з в л е ч е н и е к о р н я и з п р и-
б л и ж е н н ы х ч и с е л. Предельная относительная поrрешность m-й сте-
пени приближенноrо числа а равна т-кратной предельной относительной
поrрешности этоrо числа.
Предельная относительная поrрешность корня m-й степени из прибли-
1 U u
женноrо числа а составляет -ю часть предельном относительнои поrреш-
m
ности числа а.
70. В ы ч и с л е н и е п о r реш н о с т и р е 3 у Л Ь т а т а раз л и ч н ы х
Д е й с т в и й н а Д при б л и ж е н н ы м и ч и с л а м и. Если L\a J , ..., da n
предельные абсолютные поrрешности приближенных чисел ан ..., а п , то
предельная абсолютная поrрешность s результата
S==t(a 1 , ..., а n )
приближенно может быть оценена по формуле
AS == I :!. I Аа. + · .. + I ::п I Аа п .
Прелельная относительная поrрешность S тоrда равна
М == ' == I :!. /. f,a j + ... + / ::п I ;i ==
I дlп! I l дlП' 1
== да) al + · .. + да n а n .
При м е р 4. Вычислить S == Iп (10,3 + У 4,4) ; приближенные числа 10,3
и 4,4 верны в написанных знаках.
Реш е н и е. Подсчитаем сначала предельную абсолютную поrрешн ость I1S
в общем виде: S==)n (а + УЬ). AS== а +lYb ( Аа + ; :-; } Имеем Аа==-
1 ..r
== I1b ::::::: 20 ; у 4,4 == 2,0976...; мы оставляем 2,1, так как относительная по&
.. i 1 1 1
rрешность приближенноrо числа у 4,4 равна =::::: "2 · 40 == 80 ; абсолютная по-
1 1
rрешность тоrда равна =::::: 2. 80 == 40 ; за десятые доли можно поручиться.
Следовательно,
1 ( . 1 ) _____ 1 ( ,
AS 10,3+2,1 20+ 2 20.2,1 ----- 12'4.20 1 +4,2) 2604 0,005.
Значит, сотые доли будут верны.
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
19 (10,3 + -v 4,4 ):::::: Ig 12,4 == 1,093; lп (10,3 + у 4,4 ) 1,093.2,303 == 2,517.
Получаем ответ: 2,52.
80. У с т а н о в л е н и е Д о п у с т и м ы х п о r реш н о с т е й при б л и-
женных чисел при заданной поrрешности результата
Д е й с т в и й н а Д н и м и. Применяя формулы пункта 7 при заданных нам
величин ах S или S, считая при этом равными друr друrу все частные диф-
ференциалы I :!k I Aak или величины I :!k I f;i ' мы вычисляем допустимые
1]
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
853
абсолютные поrрешности al' ..., aп' -.. приближенных чисел а 1 , .....,
а п , ..., входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иноrда при подсчете допустимых поrрешностей
aprYMeHToB функции невыrодно пользоваться принципом равных влияний, так
как последний может предъявить практически невыполнимые требования.
В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить поrрешности, если
это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная поrрешность не превы-
шала заданной величины. Таким образом, поставленная задача, cTporo rоворя,
неоп ределениа.
При м е р 5. Объем «цилиндрическоrо отрезка», т. е. тела, отсеченноrо
ч-
от KpyroBoro цилиндра плоскостью, проходящеи через диаметр основани Я,
2
равныЙ 2R, под уrлом а к основаНИIО. вычисляется по формуле V==З RЗ tg а.
С какой точностью следует измерять радиус R 60 см и уrол наклона а,
чтобы объем цили ндри ческоrо отрезка был известен с точностью до 1 ?
Реш е н и е. Если д V, дR и L\а предельные абсолютные поrрешности
sе.1ИЧИН V t R и а, то предельная относительная поrреШНОСТJ Бычисляемоrо
объема V есть
L\ V З R 2Ла I
6V===V===R+ sin 2а 100 "
31R J 2Аа 1
ПО.1зrаем R 200 и sin 2а 200 . Отсюда
R 60 см
L\ R 600 600 :::= 1 .мм;
sin2a 1 ,
да 400 400 радиана 9 ·
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в J -6, е<:.ли будем изме-
рять радиус с точностью до 1 мм, а уrол наклона а с точностью до 9'.
3108. В результате измерения получены верные в широком
с:мысле в написанных знаках приближенные числа::
а) 12007'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 KZ.
Вычислить их абсолютные И относительные поrрешности.
3109. Вычислить абсолютные И относительные поrрешности при-
ближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках:
а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14.
3110. Определить число верных знаков *) и дать соответствую-
щую запись приближенных чисел:
а) 48361 при точности в 1%; в) 592,8 при точности в 2%_
б) 14,9360 при точности в 1%;
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в на-
писанных знаках:
а) 25,386+0,49+3,10+0,5;
б) 1,2.101+41,72+0,09;
в) 38,1 +2,0+3,124.
*) в ерные знаки понимаются в узком смысле.
12 f. с. БаранеВКQВ и др.
354
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(rп. х
3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в напи-
санных знаках:
а) 148, 1 63,871; б) 29,72 11,25; в) 34,22 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15,28 с.ж и 15,22 см (с точностью
до 0,05 .мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в на-
писанных знаках:
а) 3,49.8,6; б) 25,1.1,743; в) 0,02.16,5.
Указать возмо}кные rраницы результатов.
3115. Стороны прямоуrольника равны 4,02 .м и 4,96 м (с точ-
ностью до 1 CAl). Вычислить площадь прямоуrольника.
3116. Вычислить частное приближенных чисел, верных в на-
ПlIсанных знаках:
а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 2,16:4.
3117. Катеты прямоуrольноrо треуrольника равны ]2,10 СМ
и 25,21 СМ (с то ч н остыо ДО О, О 1 см). Вы ч и с л IIТЬ Т а Hre н с у r /] а,
противолежащеrо первому катету.
3118. Вычислить указанные степени приближенных чисел
(основания степенеЙ верны в написанных знаках):
а) 0,41582 ; б) 65,23 ; в) 1,52.
3119. Сторона квадрата равна 45,3 СА! (с точностью до 1 .AtAt).
Найти площадь квадрата.
3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны
в написа нных знаках):
а) V2,715; б) V 65,2 ; в) V 81,1 .
3121. Радиусы оснований и образующая усеченноrо конуса равны
R=== 23,64 С.Ае + 0,01 С.м; r 17,31 с"" + 0,01 с.м; 1 === 10,21 С.м +
+ 0,01 C.At; Ч ИСЛ О 11: === 3,14. Вычислить по этим данным полн ую
по верхность усеченноrо конуса. Оценить абсолютную и относитель-
ную поrрешности результата.
3122. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна
15,4 с"" + 0,1 С.м; один из катетов равен 6,8 с.м + о, 1 С.Ае. Как
точно MorYT быть определены по этим данным второй катет и при-
лежащий к нему острый уrол? Найти их значения.
3123. Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 С.м и высотой 11 С.м весит 93,4 2. Относитель-
ная поrрешность измерения длин равна 0,01, а относительная поrреш-
ность взвешивания равна 0,001.
3124. Вычислить ток, если электродвижущая сила равна
221 вольт + 1 вольт, а сопротивление равно 809 о"" + 1 0.Ae
э 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ функций
855
3125. Период колебания маятника ДЛИНЫ 1 равен
Т=== 2л у ; ,
rде g ускорение силы тяжести. С какой точностью следует изме-
рить длину маятника, период колебаний KOToporo близок к 2 сек,
чтобы получить период ero колебаний с относительной поrрешностью
в 0,501 о? Как точно должны быть взяты числа 3t И g?
3126. Требуется измерить с точностью в 1 010 площадь боко-
вой поверхности усеченноrо конуса, радиусы оснований KOToporo
2 .м, и 1 .At, а образующая 5 .At (приближенно). С какой точностью
следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками
следует взять число п?
3127. Для определения модуля Юнrа по проrибу стержня прямо-
уrольноrо сечения применяется формула
1 l'P
Е==4 · d3bs '
rде 1 длина стержня, Ь и d основание JI высота попсречноrо се-
чения стержня, s стрела проrиба, p нзrрузкз. С какой точностью
следует измерить длину 1 и стрелу s, чтобы поrрешность Е не пре-
вышала 5,50/0 при условии, что Р известна с точностью до 0,1 О/о,
величины d и Ь известны с точностью до 1 о J о' 1-:::::::. 50 см, s-:::::::. 2;5 см?
2. Интерполирование функций
10. И н т ер п о л я Ц и о н н а я фор м у л а Н ь ю т о н а. Пусть Х()'
х" ..., Х п табличные значения aprYMeHTa, разность которых h == AXi
( X; == xi+t xi; i == 0,1, . . ., п 1) постоянна (ша2 таблицы) и Уо' Уl' . . ., Уп
соответствующие значения функции у. Тоrда значение функции У для проме.
жуточноrо значения aprYMeHTa х приближенно дается инmерnоляционноll
формулой Ньютона
+ .Л + q(q 1) Л2 + + q(q l)...(q n+l)An
У Уо q ауо 2 ! Ll уо · · · п! Ll УО'
(1)
x x
rде q == h о и L\yo == Уl уо' L\2 yo == L\Yl ........ Yo' ... последовательные
конечные разности функции у. При Х == Х; (i == О, ], ..., п) полином (1) при-
нимает соответственно табличные значения У; (i == О, 1, ..., п). Как частные
случаи формулы Ньютона получаем: при n == 1 линейное ин.mерnолированuе;
при n == 2 квадратичное ин.терполирование. Для удобства пользования
формулой Ньютона реком ндуется предварительно составлять таблицу конеч-
ных разностей.
Если У == I (х) ......... мноrочлен n-й степени, то
nYi==const и n+JYi==O
И, следовательно, формула (1) является точной.
12*
356
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(rл. х
в общем случае, если f (х) имеет непрерывную производную 1<п+l) (х) на
отрезке (а, Ь], включающем точки ХО' Х 1 ' ..., Х п И Х, то поrрешность фор-
мулы (1) равна
п
R ( ) q(q 1)...(q I+1)Ai ......
n Х у i ! U У О
;==0
==hn+J q(qJL I)...(q n) {(n+н(;) (2)
(п + 1) ! '
rде некоторое промежуточное значение между Xi (i == О, ),
На практике пользуются более удобной приближенной формулой
n+Jyo
R n (х):::::: (п + 1) ! q (q 1).. .(q п).
. . . ,
п) и х.
Если число n можно взять любым, то ero следует выбирать так, чтобы
разность А n+Jyo =:::: О в пределах данной точности; иными словами, разности
А пуо должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
При м е р 1. Найти sin 26015' , пользуясь табличными данными
sln 260 == 0,43837, sl" 270 == 0,45399, sln 280 == 0,46947.
Реш е н и е. Составляем таблицу
i Х; У; AYi L\!y i
О 260 0,43837 1562 14
1 270 0,45399 1548
2 280 0,46947
, 26015' 260 1
Эдесь h == 60 , q == 60' -:[ ·
При меняя формулу (1), используя первую rоризонтальную строку таб-
JIИЦЫ, имеем:
51026015' == 0,43837 + 0,01562 + 1 ( I 1 ) . ( 0,00014) == 0,44229.
Оценим поrрешность R!. Используя формулу (2) и учитывая, что если
у == 51" Х, то I у(п) I 1, будем иметь:
( 1)( 2) ( ) ' . 1 8
I R! 1 31 180 128 57,338 4 · 10 ·
Таким образом, все приведенные знаки sin 260 15' верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточ-
ному значению функции у находить соответств ующее значение aprYMeHTa х
(обратное uн.терполuрован.ие). Для этоrо сначала определяем соответствую-
щее значение q методом последовательных приближений, полаrая:
q(O) У УО
...... А у о
2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ функций
357
и
. q(i) (q(i) 1) t!!yo q(i) (q(i) 1).. . (q(l) п -+ 1) дn
ч(l+l)==ч(О) . ...
21 дуо n! Yo
(i == О, 1, 2, ...).
За q принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последователь-
ных приближений q(m) == q(m+l). Отсюда х ==хо + q.h.
При м е р 2. Пол ьзуясь таблицей
х I у == sh х I t!y I д2 у
2,2 4,457 1 ,009 0,220
2,4 5,466 1 , 229
2,6 6,695
приближенно вычислить корень уравнения sh х == 5.
Реш е н и е. Принимая Уо == 4,457, имеем
(О) 5 4 ,457 0,543 - О 5 38'
q 1,009 1,009 ' ,
(1) (О) + q(O) (1 ц(О» . /). 2 уо О 538 . t 0,538. 0,462 . О, 220
q q 2 t!yo , 2 1,009
== 0,538 + 0,027 == 0,565;
(!) О 538 + 0,565.0,435 . 0,220 О 5 3 8 + О 027 О 56 5
q , 2 1 ,009' , ,.
Таким образом, можно принять
х == 2,2 + 0,565.0,2 == 2,2 + 0,113 == 2,313.
20. И н т е р п о л я Ц и о н н а я фор м у л а Л а r р а н )К а. В общем слу..
чае полином степени n, принимающий при Х == Xi заданные значения
lIi (; == О, 1, ..., n), дается uнmерnОАЯЦUОН1iОЙ формулой Ласранжа
(х X t ) (х х 2 ). . . (х .,...... Х n ) + (х Хо) (х х 2 ). . . (х Х n ) +
у Уо ) ) ( ) Уl . · ·
(Х о X 1 ) (Х о Х 2 ) · · · (Х о х n ) (X 1 Хо (Х 1 Х 2 ... X 1 Х п
+ (х Хо) (х x t ).. .(х Xk t) (х Xk+t).. .(х Х п ) +
... (Xk Хо) (Xk X 1 )... (Xk Xk t) (Xk Xk+l)'" (Xk х n ) Yk ...
+ (х хо) (х х]).. .(х Xп ])
· .. ' ( ) ( ) ( ) Уn.
Xn Xo Xn Xl ... Xn Xn...l
3128. Дана таблица значений величин х и у:
х
t
2
3
4
5
6
у
3
10
15
12
9
5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3129. Составить таблицу разностей функции у === х а 5х 2 + х 1
дл'я значений х == 1, 3, 5, 1, 9, 11. Убедиться в том, что все ко-
нечные разности 3..ro порядка. равны между собой.
858
ПРИБлИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rп. х
3130*. Используя постоянство разностей 4-ro порядка, составить
таблицу разностей функции у==х 4 .........10х.+2х l +3х для целых
значений х, заключенных в промежутке 1 х 10.
3131. Дана таблица
19 1 === 0,000,
Ig 2 === 0,301,
193==O,411,
19 4 == 0,602,
19 5 === 0,699.
Вычислить с помощью линейноrо интерполирования числа: 19 1,1,
192,5, 193,1 и 194,6.
3132. Дана таблица
sin 100 === О, 1736,
51п 11 о == 0,1908,
sin 120::::;:: 0,2079,
sin 13° === 0,2250,
sin 140 === 0,2419,
sin 150 === 0,2588.
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п == 2) зна-
чения синуса через полrрадусз.
3133. Составить интерполирующий мноrочлен Ньютона дЛЯ ФУНК-
ЦИИ, заданной таблицей
х
о
1
2
3
4
у
1
4
15 I 40
85
3134*. Составить интерполирующий мноrочлен Ньютона для функ-
ции, заданной таблицей
х 2 4 6 8 10
У 3 11 27 50 83
Найти у при х === 5,5. При каком х величина у=== 20?
3135. Функция задана таблицей
х ......... 2
1
2
4
у 25 8 15 ......... 23
Составить интерполирующий мноrочлен Лаrранжа и найти значение
у при х===о.
3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
859
8186. Из опыта найдены величины укорочения пружины (х .AUt)
В зависимости от наrрузки (Р кТ) на эту пружину:
х 5 10 I 15 20 25 30 35 40
Р 49 105 112 253 352 473 619 793
Найти наrрузку, дающую укорочение пружины на 14 JZM.
8137. Дана таблица величин х и у
х О 1 3 4 5
У 1 3 25 129 381
Вычислить значения у для х === 0,5 и для х === 2: а) с помощью ли..
нейноrО'интерполирования; б) по формуле Лаrранжа.
3. Вычисление действительных корней уравнений
1 о . у с т а н о в л е н и е н а ч а л ь н ы х при б л и ж е н и й к о р н е й.
Приближенное нахождение корней Данноrо уравнения
f (х) == О (1)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления про-
межутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только
один корень уравнения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью
точности.
Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и
f (а). f (Ь) < О, то на отрезке [а, Ь] находится по меньшей мере один корень
уравнения (1). Этот корень будет заведомо единственным, если " (х) > О или
(' (х) < о при а < х < Ь.
ДЛЯ приближенноrо нахождения корня S рекомендуется на миллиметро-
вой бумаrе построить rрафик функции у == f (х). Абсциссы точек пересечения
rрафика с осью ох и являются корнями уравнения f (х) == О. Иноrда удобно
данное уравнение заменить равносильным ему уравнением <р (х) == -ф (х).
Тоrда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения rрафиков
у==<р(х) и у==-ф(х).
20. П Р а в и л о про пор Ц и о н а л ь н ы х ч а с т е й (м е т о Д хор д).
Если на отрезке [а, Ь] находится единственный корень S уравнения f (х) == О,
rде функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то, заменив кривую у == f (х)
хордой, проходящей через точки (а; f (а» и (Ь; f (Ь», получим первое при-
ближение корня
f (а)
Cl==a f(b) f(a) (b a).
(2)
Для получения BToporo приближения С 2 формулу (2) применяем к тому из
отрезков [а, С 1 ] или [с 1 , Ь], на концах KOToporo функция f (х) имеет значе.
360
ПРИБЛИЖЕННЫЕ вычисп&ния
(rл. ]{
ния противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения.
Последовательность чисел Сп (п == 1, 2, ...) сходится к корню 6, т. е.
lim Сп == .
п --+ 00
Вычисления приближений С 1 , С 2 ' ..., вообще rоворя. следует производить
ДО тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе деся..
тичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для промежу-
точных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это замечание
имеет общий характер.
Если функция f (х) имеет отличную от нуля непрерывную производную
" (х) на отрезке [а, Ь], то для оценки абсолютной поrрешности приближен-
Horo корня Сп можно воспользоваться формулой
I ; Сп 1 I f (Сп) I ,
JL
rде == min If'(x)l.
a x Ь
3(\. С П о с о б Н ь ю т о н а (м е т о Д к а с а т е л ь н ы х). Если " (х) #: О
и '" (х) # о при a x b, причем f (а) f (Ь) < О, f (а) '" (а) > О, то последова-
тельные приближения Х п (п == О, 1, 2, ...) корня уравнения f (х) == О вы-
числяются по формулам
......... f(xn t)
xo a, xn Xn l f'(xn t) (n==1, 2. ...).
При данных предположениях последовательность Х п (п== 1. 2. ...) мо-
нотонная, и
(3)
Iim х п == .
n --+ 00
Для оценки поrрешностей можно воспользоваться формулой
I х п , I f (х п ) I .
JL
r де ft == m i n 1 l' (х) 1.
\ а x b
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
ХО == а, Х п == Х п 1 at (Х п 1) (п == 1, 2, ...), (3')
1
rде а, == " (а) . дающими примерно ту же точность, что и формулы (3).
Если' f (Ь) l" (Ь) > О, то в формулах (3) и (3') следует положить Хо == Ь.
40. С п о с о б и т е р а ц и и. Пусть данное уравнение приведено к виду
Х == <р (х), (4)
rде I ер' (х) 1 ,< 1 (, постоянная) при а Х Ь. ИСХОj1Я из начальноrо
значения Хо' принадлежащеrо отрезку [а, Ь]. построим последовательность
чисел Х 1 , Х 2 . ... по следующему закону:
Х 1 == ер (Х о )' Х! == <р (х 1 ), .... Х п == <р (Х п 1)' ... (5)
Если а Х п Ь (п == 1. 2. .. .). то предел
== Нт Х п
п --+ 00
является е Д и н с т в е н н ы м к о р н е м уравнения (4) на отрезке [а, Ь), Т. е.
Х п суть последовательные приближения корня ;.
3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
361
Оценка абсолютной поrрешности n-ro приближения Х п дается формулой
I s Х N I I Xnt1 Х n 1 ,
,
Поэтому, если Х п И Х п + } совпадают с точностью дО В, то предельная абсй-
8
лютная поrрешность для х п будет ............... 1 ·
,
Для преобразования уравнения l (х) == О к виду (4) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
Х == х лf (х),
d
rде число л #- о выбирается так, чтобы функция dx [х лl (х)] == 1 лf' (х)
была малой по абсолютной величине в окрестности точки хо (например,
можно ПОЛОЖИ1 ь 1 лf' (х о ) == О).
При м е р 1. Привести уравнение 2х In Х 4 == О при начальном при-
ближении корня хо == 2,5 к виду (4).
Реш е н и е. Здесь l (х) == 2х ...... ln Х 4;
лентное уравнение Х == Х л (2Х..... In х 4)
ходящих значений л берем 0,5 число,
1 л ( 2 J.. ) I == О, т. е. к 1 1 6 ::::::: 0,6.
х X !" ,
Исходное уравнение приводится к виду
1
Е' (х) == 2........ . Пишем эквива.
Х
и в качестве одноrо из под-
близкое к корню уравнения
х == Х 0,5 (2х ln Х 4)
или
I
Х == 2+'2ln х.
При м ер 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень е предыдущеrо
уравнения, заключенный между 2 и 3.
В ы ч и с л е н и е к о р н я п о с n о с о б У и т е р а Ц и и. Используем ре-
зультат примера 1, полаrая Хо == 2,5. Вычисление ведем по формулам (5)
с одним запасным знаком.
1
Х 1 == 2 + 2ln 2,5 =::::: 2,458,
1
Ха == 2 + 2 1 n 2,458 =::::: 2,450,
1
Ха == 2 + 2" 1 n 2,450::::::: 2,448,
1
Х 4 == 2 + 2" I n 2,448 2,448.
Итак, S 2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить.
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку поrрешности. Здесь
1 ' 1
<р (х) == 2 + 2 1 n Х и <р' (х) == 2х .
362
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rл. х
Считая, что все приближения Х п лежат на отрезке [2,4; 2,5J, получим:
,== тах IIJ>' (х) 1== 2. .4 0.21.
Следовательно, предеЛЬН;JЯ абсолютная поrрешность приближения Ха В силу
приве,nенноrо выше замечания есть
0,001
& == 1 ...... О, 21 0,0012 :::::: 0,001.
Таким образом, точный корень 6 уравнения содержится в rраницах
2,447 < 6 < 2,449;
можно принять 6 2,45, причем все знаки этоrо приближенноrо числа будут
верными в узком смысле.
Вычисление корня по
с п о с о б У Н ь ю т о н 8. Здесь
t' (х) == 2 J.. , t n (х) == .
х х
На отрезке 2 Х 3 имеем: l' (х) > О и t" (х) > о; f (2) l (3) < о; t (3) (' (3) > о.
Следовательно, условия пункта 30 при хо == 3 выполнены.
Првнимаем
( 1 ) "'1
а== 2........ 3 ==0,6.
Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками
Х 1 == 3 0,6 (2.3 lп 3 4) == 2,4592;
Х 2 == 2,4592 0,6 (2. 2,4592 ln 2,4592 4) == 2,4481;
Ха == 2.4481 ........ 0,6 (2. 2,4481 1 n 2,4481 4) == 2.4477;
Х 4 == 2.4477 ...... 0,6 (2. 2.4477 1 n 2.4477 4) == 2,4475.
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень S == 2,45. Оценку поrрешности мы опу-
скаем.
50. С л у чай с и с т е м ы Д в у х у р а в н е н и й. Пусть требуется вы-
числить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
t (х) == 2х ...... 1 n х ...... 4,
{ l (х, у) == О, (6)
<р (х, у) == О,
и пусть имеется начальное приближение одноrо из решений ( , f) этой си-
стемы Х == ХО' у == УО'
Это начальное приближение можно получить, например, rрафически,
построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые l (х, у) == о
и <р (х, У) == О и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) С п о с о б Н ь ю т о н а. Предположим, что функциональный опреде-
литель
1 == д (1, <р )
д (х, у)
не обращается в нуль вблизи начальноrо приближения Х == Х О ' У == УО. Тоrда,
по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид
Х 1 == хо + (Ха' Уl == У О + o' fAe а о , o...... решение системы двух линейных
уравнений
{ Нхо. Уо) + aot; (ХО' Уо) + Pofy,(X o . Уо) == О.
<1> (х о ' Уо) + ао<рх (хо' Уо) + Po<l>y (х о ' Уо) == о.
i 3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
363
Второе приближение получается тем же приемом:
х 2 == Х 1 + ан U J == иl + Р l'
rде a l . Рl решение системы линейных уравнений
{ l (х 1 , Уl) + alt (х 1 , Уl) + Plt (х 1 , Уl) == о,
, ,
q> (х 1 , ух) + (xxq>x (х 1 , Уl) + Pl<r y (х 1 , ух) == о.
Аналоrично получаются третье и последующие приближения.
б) С п о с о б и т е р а Ц и и. К решению системы уравнений (6) можно при..
менить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
{ х == F (х, у),
у==Ф (х, у)
(7)
и предполаrая, что
J p (х, у) 1+1 Ф (х, у) I r < 1; I p (х, у) I + I Ф (х, у) I r < 1 (8)
в некоторой двумерной окрестности и начальноrо приближения (х о ' уо)' со-
держащей и точное решение (s, 1') системы.
Последовательность приближений (Х n ' уn) (п == 1, 2, ...), сходящаяся к
решению системы (7), или, что то Же, к решению системы (6), строится по
следующему закону:
Х 1 == F (х о ' Уо)' Ух == Ф (х о ' уо),
Ха == F (х 1, У1)' Уа == Ф (x t , Yt),
Ха == F (х 2 , У2)' Уа == Ф (х!, У!),
.......... .
.......... .
Если все (х n ' у n ) принадлежат и, то lim х п == , Нm Уп == 1').
n OO n--+а')
Для преобразования системы уравнений (6) к виду (7) с соблюдением
условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
{ at (х, у) + рч> (х, у) == о,
'у! (х, у) + q> (х, У) == О,
эквивалентную системе (6) при условии, что ' : I "# О. Перепишем ее так:
х== х + at (х, у) + pq> (х, у) == F (х, У),
У == У + 'Yt (х, у) + 6<р (х, у) == Ф (х, у).
Выберем параметры а, р, у, 6 такими, чтобы частные производные функций
F (х, у) и Ф (х, у) были равны или близки к нулю при начальном приближе
нии, т. е. находим а, р, у, как приближенные решения системы уравнений
, ,
1 + аю х (х о , Уо) + рч>х (х о , уо) == о,
, ,
а! у (Х О ' Уо) + pq>y (Х О ' Уо) == о,
, ,
'УЕ х (х о ' уо) + бq> х (х о ' Уо) == о,
, ,
1 + у! у (Х О ' Уо) + 6<ру (х о ' УО) == о.
При таком выборе параметров а, р, у, , в предположении, что частные
ПрОИЗ80дные функций f (х, у) и <р (х, у) изменяются не очень быстро в
окрестности начальноrо приближения (х о , Уо)' условие (8) будет соблюдено.
364
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rп. х
При м е р з. Привести систему уравнений
{ Х! + у2 1 == о,
xa x==o
при начальном приближении корня хо ==-0,8, У О == 0,55 к виду (7).
I
Реш е н и е. Здесь t (х, у) == х! + у2 1, <r (х, у) == ха У; f х (х о ' уо) == 1,6,
I , ,
1, (Х о , УО) == 1,1; <рх (х о , УО) == 1,92, <Ру (х о , Уо) == 1.
Записываем систему, эквивалентн ую исходной,
{ а (х! + уl ..... 1) + р (ха....... у) == о, ( I сх, р I ;6 О )
'у (х! + у 2 1) + б (ха У) == о '\', б
в виде
x==x+cx(x!+y2 1)+ (x3 y),
y==y+y(x2+y2 1)+6(xa y).
Выбираем в качестве подходящих числовых значений а, р, 'у и tJ решение
системы уравнений
{ 1 + l,6a+ 1,92р ==0,
l,la р==о,
1,6у+ 1,926==0,
" 1 + 1, lу б == о,
т. е. полаrаем а:::::::: 0,3, f}:::::::: 0,3, V =:::: 0,5, {):::::::: 0,4.
Тоrда система уравнений
{ х == х 0,3 (х 2 + у2 1) 0,3 (ха у),
у == у 0,5 (х ! + у! ...... 1) + 0,4 (ха....... у),
8квивалентная исходной, имеет вид (7), причем в достаточно малой окрестно-
сти точки (х о ; УО) условие (8) будет выполнено.
Методом проб от делить действительные корни уравнений и с по
МОtЦью правила пропорциональных частей вычислить их с точнОстью
до 0,01.
8138. xa x+l===O.
3139. x4+0,5x 1,55===0.
3140. ха 4х 1 === о.
Исходя из rрафически найденных начальных приближений, спосо-
бом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные КОрНИ
уравнений:
3141. xa 2x 5===0.
3142. 2x...........ln x 4 0.
3143. 2 Х ==4х.
314 . Ig х === .
Используя найденные rрафическим' путем наЧальные приближения,
способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные
корни ура,Внений:
3145. x S ......... 5х + О, 1 === о. 3147. х 5 ......... Х 2 === о.
3146. 4x===cosx.
4]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ функций
365
Найти rрафически начальные приближения и вычислить с точно..
стью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148. ха....... 3х + 1 === о.
3149. x8 2x2+3x 5==O.
3150. х 4 + х 2 2х 2 == о.
3151. x.lnx 14==0.
3152. xa+3x 0,5==0.
S 153. 4х....... 7 sin х == о.
3158. Вычислить с точностью ДО
ный корень уравнения tg х == х.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 КОрНИ уравнения х. th х== 1.
3154. х Х + 2х....... 6 == о.
3155. е Х + e ах ....... 4 == о.
3156. { х2 + у2 ....... 1 == О,
x8 y==0.
3157. { х2 + у ....... 4 == о,
У .......lg х 1 == о.
0,001 наименьший положитель-
4. Численное интеrрирование функций
10. Фор м у л а т рап е Ц и й. Для приближенноrо вычисления интеrрала
Ь
f (х) dx
а
(, (х) непрерывная на [а. Ь] функция) делим промежуток интеrрирования
b a
[а, Ь] на n равных частей и выбираем шае 8ычислений h == . Пусть
n
х; == ХО + ih (х о == а, Х п == Ь, i == О, 1, 2. ..., п) абсциссы точек деления и
У; == f (х;) соответствующие значения подынтеrральной функции у == l (х).
Тоrда по формуле трапеций имеем:
ь
S f(x)dx::::::h ( Yo1"Yп + y1 + yz +... +Yп l) (1)
а
с абсолютной поrрешностыо
h 2
R n 12 (Ь а) .A1 f .
r де М 2 == m ах Il" (х) , при а х Ь.
ДЛЯ достижения заданной точности 8 при вычислении интеrрала шаr
вычислений h определяется из неравенства
h 2 128
(Ь а) М 2 '
(2)
т. е. h должен иметь порядок -V 8. Полученное значение h окруrляется Б
сторону уменьшения так. чтобы
b a
h ==n
было целым числом, и это дает нам число делений n. Установив h и п по
формуле (1). вычисляем интеrрал, беря значения подынтеrральной ФУНКЦИИ
с ОДНИМ или двумя запасными .«есятичными знаками.
869
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
lrл. х
20. Фор м у JI а С и м п с о н а (п а р а б о JI И Ч е с к а в фор м у л а). Если
n четное число, то в обозначениях 1 о справедлива фОРJtула CиJНnCOHa
ъ
S /(х)щ::::: }[(Уо+Уn)+4(Уl +У.+ ... +Yn 1)+
11
+2(YI+Y4+...+Yn I)] (3)
с абсолютной поrрешностью
h4.
R n < 180 (Ь ...... а) М" (4)
rде М& == тах I IIV (х)' при а Е:; х <; Ь.
ДЛЯ обеспечения заданной точности е при вычислении интеrрала шаr
вычислений h определяется из неравенства
h"
180 (Ь ...... а) М" <; е, (5)
Т. е. шаr h имеет порядок V 8. Число h окруrляется в сторону уменьшения
Ь......а
"ак, чтобы n == было целым четным числом.
З а м е ч а н и е. Так как определение шаrа вычислений h и связанноrо с
ним числа n з неравенств (2) и (5), вообще rоворя, затруднительно, то на
практике h определяют rрубой прикидкой. Затем, получив результат, удваивают
число n, т. е. половинят шаr h. Если новый результат совпадает с прежним
в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В про-
тивном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенноrо вычисления абсолютной поrрешности R квадратурной
формулы Симпсона (3) можно также использовать nрuнцuп Рунее, соrласно
которому
R I """ I
15 '
rl(e и ..... результаты вычислений по формуле (3), соответственно с ша-
rOM hи 2h.
3160. Под действием переменной силы F, направленной вдоль
оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения
х== О в положение х== 4. Вычислить приближенно работу А силы р',
если дана таблица значений ее модуля Р:
х 0.0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
F 1,50 0,75 0,50 0,75 1,50 2,75 4,50 6,75 10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсона.
1
3161. Вычислить приближенно (Эх. 4х) dx по формуле тра-
о
пеций, полаrая п=== 10. Вычислить этот интеrрал точно и найти абсо-
4)
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
367
лютную И относи:rельную поrрешности результата. Установить верхнюю
rраницу d абсолютной поrрешности вычисления при п== 10, используя
формулу поrрешности, приведенную в тексте.
3162. Вычислить с точностью до 10 4 по формуле Симпсона
1
S xdx
X"=FТ t принимая п== 10. Установить верхнюю rраницу 11 абсолют-
о
ной поrрешности, используя формулу поrрешности, приведенную в
тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интеr..
ралы:
3163.
8164.
8165.
8166.
8167.
1
S dx
1 +х ·
о
1
S dx
1 + XZ ·
о
1
S dx
1 + ха ·
о
I
S sin Х dx
х ·
о
1t
S SI:X dx.
о
I
S CO x S Х
dx.
8168.
3169.
3170.
1
1t
I
xlgxdx.
1
I
S cosx d X
1 +х ·
о
1
e xa dx.
, о
3171.
I
S l X dx.
1
3172.
3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеrрал
ею
S 1 t r ' применив подстановку х==+. Проверить вычисление, при-
1
ь
С S dx
менив формулу импсона к интеrралу 1 + xZ ' rде Ь выбрано так,
1
+00
чтобы 5 1 t Ха < +.10 2.
ь
8174. Плоская фиrура, оrраниченная пол у волной синусоиды y==sinx
и осью ОХ, вращается BOKpyr оси ох. Вычислить по формуле СИМП-
сона с точностью до 0,01 объем тела вращения.
8175*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 длину
х' у!
дуrи эллипса т+ (0,6222)2 == 1, расположенную в первой коорди-
натной четверти.
368
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(rп. х
5. Численное интеrрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
10. Метод последовательных приближений (методПи-
\К а р а). Пусть дано дифференциальное уравнение l-ro порядка
у' == f (х, у)
(1)
IПРИ начальном условии у == УО при х == хо.
Решение у (х) уравнения (1 ), удовлетворяющее заданному начальному
,условию, вообще rоворя, может быть представлено в виде
у (х) == lim Yi (х),
i 00
(2)
rJ!e последовательные приближения У, (х) определяются по формулам
УО (х) == УО'
х
Yj(X) == УО + f (К. Yi 1 (К» th
Ха
(1 == О, 1, 2. ...).
Если правая часть f (х, У) определена и непрерывна в окрестности
R tI х Хо I а, 1 у Уо I ь
и удовлетворяет в этой окрестности УСЛОВИЮ Липшuца
I f (х, У 1 )......! ( , У2)' < L I Уж ..... У ! I
(L постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо
сходится в промежутке
I х хо I h,
rде
h==mjn (а, )
и
м == тах 1 f (х, y)l.
R
При этом поrрешность
I х ...... Хо ,п+1
R n == I у (х) ...... У п (х)' <. м L n (п + 1 )' '
если только
I х ...... ХО \ < h.
Метод последовательных приближений (метод Пи1Сара) снезначитель.
ными видоизменениями применим также к нормальным СИС1'емам дифферен-
циальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высшltх
порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных урав-
нений.
5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ
369
20. м е т о Д Р у н r е К у т т а. Пусть требуется на данном промежутке
ХО < Х Е;;: Х найти решение У (х) задачи (1) с заданной степенью точности В.
Х ........ х
Для этоrо сначала выбираем h == о (шае вычислений), деля отрезок
n
[Х о ' Х] на n равных частей 'lЗК, чтобы h4. < 8. Точки деления Х; определяются
по формуле
Х/ == хо + lh (1 == О, 1, 2, ..., п).
Соответствующие значения YI == У (х;) искомой функции по методу Рунее
Кутта последовательно вычисляются по формулам
YI+l == YI + Yi'
Ау. ...... ( k(i) + 2kti) + 2k(i) + k(i, )
,...... 6 1 I а 6'
rде
i == О, 1, 2, ..., n
и
k i) == '(х[, Yi) h,
k(i)
k l)==f (Xi+ , У;++) h,
h k(i)
k i) == t (Х; + '2' У; + + ) h,
ki i ) == 1 (х! + h, У; + k i») h.
Метод PYHre Кутта имеет порядок точности h 4 . fрубую оценку поrреш-
ности метода PyHre...... Кутта на данном промежутке [х о , Х] можно получить
исходя из принципа PYHre:
(3)
R ...... r Ytт Ут ,
15 '
rде n == 2т, У. т и У--т результаты вычислений по схеме (3) с шаrом h и шаrом 2h.
Метод PYHre Кутта применим также для решения системы дифферен-
циальных уравнений
У' == 1 (х, У, 2), 2' == (х, У, z)
(4)
с заданными начальными условиями: У == Уо' z == 20 при Х == Хо.
30. М е т о Д М и л н а. Для решения задачи (1) по методу М илна, исход)]
из начальных данных У == Уо при х == х о ' находим каким-нибудь способом по-
следовательные значения
Уl == У (X t ), у" == у (x t ), Уа == У (Ха)
искомой функции У (х) (например, можно воспользоваться разложением реше-
ния У (х) в ряд (rл. 1 Х, 17) или найти эти зна чения метоДОМ последователь
ных приближений, или применить метод PYHre Кутта и т. п.). Приближения
Yi и ; для следующих значений У, (l == 4, 5, ..., п) последовательно нахо-
дятся по формулам
iii==Yi 4+ (2fi . ri 2+2kt), }
h (5)
у i == У i.. 2 +"3 (1 i + 4! '..l + 1 i.. ,),
370
П'ИВЛИЖЕНtfЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(rп. х
rде
',. == f (Xi, у[) и '; == f (Xi, Уд.
J!ля контроля вычисляем величину
1 I I
8ж" == 29 у 1 У i ·
(6)
Если 8; не превосходит единицы последнеrо "охраняемоrо нами в ответе
десятичноrо разряда 10 т для у (х), то в качестве у,. берем Yi и переходим
к вычислению следующеrо значения и"+1' повторяя процесс. Если же 8,. > 10 т,
то следует начать работу сначала, уменьшив шаr вычислений. Величина Ha
чальноrо шаrа приближенно определяется из неравенства h 4 < 10 т.
Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у (х) и z (Х). Порядок выч"слений остается прежним.
При м е р 1. Дано дифференциальное уравнение у' ==у х с начальным
условием у (О) == 1,5. Вычислить с точностыо до 0,01 значение решения этоrо
уравнения при значении aprYMeHTa Х == 1,5. Вычисления провести по комби-
нированному методу PYHre Кутта и Милна.
Реш е н и е. Выбираем начальный шаr вычислений h из условия h 4 < 0,01.
Избеrая сложной записи h, остановимся на h == 0,25. Тоrда весь участок ин-
теrрирования от х == О до i == 1,5 разобьем на шесть равных частей, дли-
ной 0,25, с помощью точек Xi (! == О, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие зна-
,
чения решения у и производной у' обозначим через У; и У,..
Первые три значения У (не считая начальноrо) вычислим по методу
Руиrе Кутта (по формулам (3»; остальные три значения У4,' у" Уе по
методу Милна (по формулам (5».
Значение Уа будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме,
состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2. В конце таблицы 2 мы
получаем ответ.
В ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я У.. Здесь
1 (Х, у) ==...... Х + у, хо == О, Уо == 1,5, h == 0,25.
Имеем
!!.Уо== (k O) + 2k O) + 2k O) + k O» ==
1
== 6 (0,3750 + 2.0,3906 + 2.0,3926 + 0,4106) == 0,3920;
k O) == f (Х о , Уо) h == (........ О + 1,5000) 0,25 == 0,3750;
( h k(O) )
k O) == 1 ХО +'2 t Уо + + h ==(......0'125 + 1,5000 + 0,1875) 0,25 ==0,3906;
( h k(O) )
k O) == 1 Хо + 2" t Уо + + h == (.....0,125 + 1,5000 + О, 1953) 0,25 == 0,3926;
k O) == 1 (Х о + h, Уо + k O») h == (...... 0,25 + 1,5000 + 0,3926) 0,25 == 0,4106;
У! == Уо + Yo == 1,5000 + 0,3920 == 1,8920 (первые три знака в 8ТОм при-
ближенном числе ra рантированы).
Аналоrично вычисляются значения Уа и Уа. Результаты вычислений при-
ве.цены в таблице 1.
5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ
811
т а б л и ц а 1. Вычисление -'1' У2' Уа по методу PYHre Кутта.
f (х, У) ==...... Х + У; h == 0,25
Зна- , f (Xi+ '
чение xi Yi Yi 5il k(i) k(i) ) k(l)
::а f (xi, Yi) 1 2
i Yi++
о о 1 ,5000 1,5000 0,3750 1,5625 0,3906
1 0,25 1 ,8920 1 , 6420 0,4105 1 , 7223 0,4306
2 0,50 2,3243 1 ,8243 0,4561 1,9273 0,4818
3 0,75 2,8084 2,0584 0,5146 2, 1907 0,5477
3на- f ( xi + ' f (Х; + h,
чение k(f) k (1") Y;
k ) ) У; + k i» Yi+l
i а "
Yi+T
О 1,5703 0,3926 1 , 6426 0,4106 0,3920 1 , 8920
1 1,7323 0,4331 1 ,8251 0,4562 0,4323 2,3243
2 1 , 9402 0,4850 2,0593 0,5148 0,4841 2,8084
3 2,2073 0,5518 2,3602 0,5900 0,5506 3,3590
в ы ч и с JI е н и е э н а ч е н и я У 4 .
УО == 1 ,5000, Уl == 1 ,8920,
, ,
У О == 1,5000, У 1 == 1,6420,
При меняя формулы (5), находим:
4h",
У4,== УО + 3" (2У 1 У 2 + 2у а ) ==
4.0,25
== 1 ,5000 + 3 (2. 1 , 6420 1,8243 + 2. 2,0584) == 3,3588;
,
У4, == f (Х4,' Y4,)== 1 + 3,3588 == 2,3588;
= h....",
У4,==УI"tз- (у4, + 4у. +У 2 )==
== 2,3243 + 0,;5 (2,3588 + 4-2,0584 + 1,8243) == 3,3590;
IY4 Y41 Iз,3588 3,35901 0,0002 7 ' 1 0 ' < .! . 0 001 '
е 4 29 29 29 '"'"" 2"
Имеем: f (х, y)== x + у, h==0,25, Х4,==I;
У2 == 2,3243, Уз == 2,8084;
, I
У 2 == 1,8243, Уа == 2,0584.
следовательно, пересмотр шаrа вычислений не требуется.
Получаем У4,==У4==3,3590 (первые три знака в этом приближении
rарантированы).
372
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(rл. х
Аналоrично ПрОИ380ДИМ вычисления значений у, и Уа. Результаты вычис-
лений даны в таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем:
У (1,5) == 4,74.
40. М е т о Д А д а м с а. Для решения задачи (1) по методу Адамса, ис-
ходя из начальных данных У (Х о ) == УО мы находим каким-нибудь способом
следующие три значения искомой функции У (х):
Уl == У (х 1 ) == У (х о + h), У,. == У (х,.) == У (х о + 2h), Уа == У (Ха) == У (х о + 3h)
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения У (х)
в степенной ряд (rл. IX, 16), или найти их методом последовательных при-
ближений (п. 1 О), или применяя метод PYHre Кутта (п. 20) и т. п.).
С помощью чисел Хо' Х р Х 2 ' Ха И Уо' У], У 2 , Уа мы вычисляем величины
Qo' Ql' q2' qa' rде
, ,
qo == hyo == hf (х о ' Уо)' ql == hYl == hf (Х 1 , у 1 ),
, ,
q2 == hY 2 == hf (х 2 , У2)' qз == hу з == hf (Ха, Уз)'
Составляем, далее, диаеональную таблицу конечных разностей величины q:
х У y== у'== q== q== 2q == А 'q ==
== Yn+l == f (Х, У) == У' h == qn+l qn == Aqn+l qn ==A2qn+l A2qn
Yn
ХО I yol Yo I f (ХО' уо) I qo I /). qo I /). 2 qo I /). 'Qo
х.1 Уll Yl I f (х 1 , Уl) I ql I ql I 2ql I A'ql
Х21У21 Y2 I f (х 2' У 2) I q! I q2 I 2q! I Зq,.
Ха I узl Уз I f (х з . уз) 1 qз I qa I A2q, I
Х 41 у 41 Y4 I f (Х4' У4) I q4 I Aq4 I I
х, I у,1 Y, I f (х,. у,) I q, I 1 I
х.1 y.1 I I I I I
Метод Адамса заключается в продолжении диаrональной таблицы раз-
ностей с помощью формулы Адамса
6.Уп == qn + 6.qn l + 152 6.2qn 2 + : 6.'qn .. (7)
Так, используя числа q" q2' 2ql' АЗ qо , расположенные в таблице раз-
ностей по диаrонали, мы с помощью формулы (7), полаrая в ней n == 3,
вычисляем 6.у, == q, + 6.q.+ 152 6. 2 ql +.} 6.'qo. Найдя зиачение 6.У.. мы вы-
числяем У4. == уз + Ya' Зная же х" и У4.' мы вычисляем q4. == hl (Х4.' У 4 ), вносим
У4' уз И q.. В таблицу разностей и пополняем затем ее КО}lечными разно-
стями Aqa' 2q!, A2 Q1 , расположенными вместе с q.. по новой диаrонали, па.
раллельно прежней.
Затем, используя числа новой диаrонали, мы с помощью формулы (8),
полаrая в ней n == 4, вычисляем Ау", у, и q, и получаем следующую диаrональ:
5]
1d
о
11
:;;
+
I
11
........
..
.........
........
........
Q)
:а
:z::
:z::
C'tS
J:{
Q)
:а
:z::
-=t
о
><
.
«f
=
:s:
а=(
Q
...
cu
:Е
:а
:z::
Q)
::Jt
t"a
:z::
;::
о
::я
о
I:Q
=
U
с..
.........
Q
С
cu
:s:
:z::
cu
u
=
:r
:!
=
C'tS
::f
:s:
r:;
\о
C'tS
f-04
C'tStV
t..8:;0::........
t'O()::s::........
8'-':z::
с... :s: ::а
E-о:s:соr:;
oт ?1
=:O::e
ut::o..
p..:S:o::O
Q) ::r -&
t::
........
11 .:а
.. ....
ц......
11
....
::t)
....
fA)
IJ ::s)
........
,:;)
" ....
.. ....
I ц---.
11
I
.........
11 ...
.... .... ""--'
ц......
"
...
.Q)
t"a:S:
:z:: ::С.-.а
ма)
::r
ИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ
<:;::)
<:;::)
'-"':)
...
<::::>
о
<:;::)
С'-4
00
"t
'-"':)
с\:а
...
<::::>
......
"'"'t
с'.:а
...
с\:а
<:;::)
'-"':)
...
<:;::)
C'I
00
с\:а
<:;::)
C'tJ
о::
u
f-4
Q)
\о
Q)
с...
f-4
Q)
=
о
ф
..
о
ф
LQ
ct:)
..
ct:)
'"
I
О
......
.
t--
11
о
ф
LC
ct:)
...
ct:)
00
00
LC
ct:)
00
00
lC
ct:)
ct:)
о
о
......
u
f-4
Q)
'"
Q)
с...
Е-о
Q)
:z::
о
LC
t--
..
о
LC
Ф
Ф
..
ct:)
'"
I
О
....
о
LC
Ф
Ф
...
C'tJ
t--
t--
t--
ф
ф
C'tJ
LC
......
LC
()
Е-о
Q)
\о
Q)
с...
f-4
Q)
=
IQ
I
О
......
.
...
11
......
11
(,с)
о
"-
C'I
О
...
C'tJ
о
t--
о
LC
......
(,с)
373
t--
..
11
........
lC
...
....
.........
f-4
Q)
f-4
О
314
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rл. х
Qs. q&, !qSJ Iq!. С помощью этой диаrонали мы вычисляем значение У.
IfCKoMoro решения У (х) и т. д.
Формула Адамса (7) для вычисления y исходит из предположения, что
третьи конечные разности Sq являются постоянными. В соответствии с этим
величина h начальноrо шаrа вычислений определяется из неравенства
h4. < 1 О m (если мы желаем получить значение У (х) с точностью до 1 О т).
В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна форму лам Милна (5) и
формулам PYHre...... Кутта (3).
Оценка поrрешности для метода Адамса сложн 8 и практически беспо-
лезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты (см.,
например, Л. К. Коллатц, Численные методы решений дифференциальных
уравнений, rл. 1, 4.8 4.9). На практике следят 38 ходом третьих конечных
разностей, выбирая шаr h столь малым, чтобы соседние разности f1'qi и
f1 S Qi+l отличались между собой не более чем на одну-две единицызаданноro
разряда (не считая запасных знаков).
Для повышения точности результата формула Адамса может быть
пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q.
При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для на-
чальноrо заполне}lИЯ таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы не
будем здесь приводить.
При М е р 2. Вычислить при х == 1,5 с точностью до 0,01 по комбиниро-
ванному методу PYHre........ Кутта и Адамса значение решения дифференциальноrо
уравнения у' ==у х с начальным условием у (О) == 1,5 (см. пример 1).
Реш е н и е. Используем значения Уl' У!' Уа' полученные нами при ре-
шении примера 1. Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения У4.' у" Уа мы вычисляем по методу Адамса (см.
таблицы 3 и 4).
Т а б л и ц а 3. Основная таблица для вычислеНИЯУ4'.v".v. по методу Адамса.
'(х, Y)== X+y; h==0,25
(Курсивом обозначены входные данные)
....
Q)
::s:
:z:: f1YI , f1ql f1lq i f1'QI
Q) xI YI У{== qi==
::Jt ,
f (XI' Yi) ==y{h
:z::
('t")
01 о I 1,5000 1111111/1111111111 1,5000 I 0,3750 I 0,0355 J 0,0101 I 0,0028
110,251 1,8920 1111/1111/11111111 1,6420 I 0,4105 I 0,0456 I О , 0129 I 0,0037
21 0,50 1 2,3243 II/IIIII/I/III/J/I 1,8243 I 0,4561 I 0,0585 I 0,01661 0,0047
з10,151 2,8084/ 0,55041 2,0584 0,51461 о, 0751 I О ,0213 I
4/1 ,00 I 3, 3588 I 0,6356 I 2,3588/ 0,5897 I 0,0964 I I
511 ,251 3 ,9944 I О, 7450 I 2, 7444 I О , 6861 I I j
6 1,50 14, 73941
Ответ: 4,74
5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВАНИЕ
375
т а б л и ц а 4. 8спомоrательна я таблица для вычисления по методу ААамса.
AYi== qi + Aqi 1 + 152 AJqi i+ A8qi 8
Значение i J 5 2 3 8
qi "2 qi l 12 qi I 8 qi 8 Y;
3 I 0,5146 I 0,0293 I 0,0054 I 0,0011 I 0,5504
4 I 0,5897 I 0,0376 I 0,0069 I 0,0014 I 0,6356
5 I 0,6861 I 0,0482 I 0,0089 I 0,0018 I 0,7450
Значение У. == 4,74 будет ответом задачи.
Для случая решения системы (4) формула Адамса (7) и схема вычислений,
показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у (х)
и z (х).
Найти три последовательных приближения решений указанных
ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у' ==х 2 + у2; у (о) == о.
3177. y'===x+y+z, z'===y z; у (0)===1, z(0)=== 2.
3178. y"=== y; у(о)==о, у' (0)=== 1.
Методом PYHre KYTTa, полаrая шаr h=== 0,2, вычислить прибли-
женно для указанных промежутков решения данных дифференциаль-
ных уравнений и систем:
3179. y'==y x; у (0)=== 1,5 (O x 1).
3180. у,==.л... у!; у(1)==1 (l x 2).
х
3181. y'==z+l, z'===y x, у(0)==1, z(O)==l (O x I).
Применяя комбинированный метод PYHre Кутта и Милн или
PYHre Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения
решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при
указанных значениях aprYMeHTa:
3182. у'===х+у; у=== 1 при х==о. Вычислить у при х===0,5.
3183. у' == х 2 + у; у === 1 при х == о. Вычислить у при х === 1.
3184. у' == 2у ......... 3; У === 1 при х== о. Вычислить у при х == 0,5.
{ y'== x+2y+z,
3185.
z'===x+2y+3z; у==2, z=== 2 при х==о.
Вычислить у и z при х === 0,5.
{ У'=== зу z,
3186.
z' == У z; .у === 2, z === 1 при х:::::; о.
Вычислить у и z при х === 0,5.
376
ПРИВЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[rл. х
3187. у"==2.........у; у==2, y'== l при х==о.
ВЫЧИСЛИТЬ у при х === 1.
3188. у'у" + 1==0; у==l, у'==О при х==l.
Вычислить У при х == 1 ,5.
d 2 x х
3189. dt 2 +"2cos2t==0; х==О, х'===1 при {==О.
Найти х (п) и х' (п).
6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Схема 12 ординат. Пусть yn==f(xrJ (n==О, 1, ..., 12) значения
лn
функции У == t (х) в равноотстоящих точках х n == 6 отрезка [О, 2л], причем
УО == Уа' Составим таблицы:
У о Уl У! Уз У... У5 У о
У ll УI0 У9 Уз У 7
I и о
и 1 и! и а и... и, и 8
и 1 V! V З V... V,
Суммы ( )
Разности (L\)
и о и l и 2 и,
и о и, и...
V 1 V 2 V.
V 6 V 4
Суммы 50 51 52 8. Суммы 0'1 О'! 0',
Разности t o t l t z Разности 1'1 1'2
Коэффициенты Фурье а n , Ь п (п == О, 1, 2, 3) функции У == f (х) прибли-
женно MorYT быть определены по форму лам:
6а о == 50 + 51 + 52 + 5з, 6ы 1 == 0,50'1 + 0,8660'2 + аз'
ба 1 == t o + 0,866t l + 0,5t z , 6Ь ! == 0,866 (1'. + 1'2)'
ба. == 50 5 з + 0,5 (SI sz), 6Ь а == 0'1 О'з' (1)
ба. == ' о t z ,
у з 1 1
rде 0,866== 2 1 10 30 '
Имеем:
а
f (х):::::: o + L (а п cos пх + Ь п sl" пх).
n==1
Употребительны также друrие схемы. Для облеrчения вычислений исполь-
зуются шаблоны (см., например, В. и. Смирнов, Курс высшей математики,
Т. 11, 1962, rл. VI, 424 4ЗО).
При м е р. Найти полином Фурье ДЛЯ функции у == 1 (х) (О":; х ..:; 2п),
заданной таблицей
Уо
Уl
У. I Уа I У.
12 I 4 I 14
YI I У. I У7 I Уа I Уо I Уl0
4 I 18 I 23 I 27 I 24 I 8
Yll
38
38
32
6J
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
Реш е н и е. Составляем таблицы:
38 38 12 4 14 4 ---:-- 18
у 32 8 ...... 24 ...... 27 ...... 23
u 38 70 20 20 13 19 18
v 6 4 28 41 27
38 70 20 20 6 4 28
u 18 19 13 v 27 41
s 20 51 7 20 о' 33 45 28
t 56 89 33 't' 21 37
По форму лам (l) имеем:
й о == 9,7; йl == 24,9; а ! == 10,3; аз == 3,8;
Ь 1 == 13,9; Ь 2 == 8,4; Ь. == 0,8.
Следовательно,
877
f (х) :::::: 4,8 + (24,9 СО5 х + 13,951" х) + (10,3 СО5 2х ...... 8,451" 2х) +
+ (3,8 С05 эх + 0,8 sfn 3х).
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следую-
щих функций, заданных на отрезке [О, 2п] таблицами своих значений,
соответствующих равноотстоящим значениям aprYMeHTa (уо ==УI2):
3190. yo== 7200 у.==4300 У,== 7400 У. ==7600
У 1 === 300 У 4 == О У 7 ==......... 2250 110 == 4500
Y2 700 Y5== 5200Y8=== 3850111==250
3191. уо===о у.==9,72 у,==7,42 У. ===5,60
Уl === 6,68 У 4 == 8,97 У, == 6,81 УI0 == 4,88
Yz==9,68 у,===8,18 У8==6,22 Yll===3,67
3192. У 0=== 2,714 У. === 1,273 У6 == 0,370 У. ==......... 0,357
Уl == 3,042 У, === 0,788 У7 == 0,540 110 ==......... 0,437
У2===2,134 у,==0,495 У8==0,191 111==0,767
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по
схеме 12 ординат для следующих функций:
1
а) f(x) == 2л! (х.......... 3пх 2 ,+ 2п 2 х) (O, Х 211),
б) лх) == . (х п}1 (О :s;;;; х :s;;;; 2п).
ОТВЕТЫ
r .лава 1
1. Решение. Так как a==(a b)+b, то la' la b' + Ibl. Отсюда
I а Ь I I а 1 I ь 1 и 'а Ь 1==1 ь а I :: /Ь I 1 а 1. Следовательно,
а Ь I 11 а 1 I ь 11. Кроме Toro, I а Ь 1== I а + ( Ь) I I а 1+ I ь 1==
== I а I + I ь 1. 3. а) 2 < х < 4; б) х < ........ 3, х > 1; в) 1 < х < о; r) х > о.
4. 24; 6; о; о; о; 6.5. 1; 1 ; Уl +х 2 ; I JC I I V 1 +х 2 ; l/У1 +х 2 ;- 6. п:;
л;. . 5 + 1 f 7 2 13 + 1
2"' О, 7. f (х) "3 х 3. 8. (х) б- Х {i х 1. 9. 0,4. 10. 2 (х + I х 1).
11. а) 1 х < + 00; б) ею < х < + со. 12. ( ...... -ОО, ...... 2),( ...... 2, 2), (2, + 00).
13. а)...... 00 < х Y Y2 x< + 00; б) х== о, I х I 'У2. 14. 1 x 2.
Реш е н и е. Должно быть 2 + х х" о, или х 2 ...... х...... 2 О, т. е.
(x+l)(x 2) 0. Отсюда или x+l O, x 2 0, т. е. 1 x 2;
или же х+l O, x 2 0, Т. е. x 1, x 2, что невозможно. Таким
образом, ...... 1 x . 15. 2 < х о. 16.. 00 < х 1, О =s::;;;; х 1.
1
17. ........2<х<2. 18. ......l<x<l, 2<х<+0о. 19. .......3 x l.
л
20. 1 х 100. 21. kл х kn + 2" (k == о, :!:: 1, :t:2, .. .). 22. <р (х) == 2x ......
5х 2 ...... 10, '1' (х) == 3х 3 + 6х. 23. а) Четнан; б) нечетная; в) четная; r) не-
1
четная; д) нечетная. 24. У к а з а н и е. Использовать тождество f (X)==2"fl (х) +
1 2
+ f ( x)l + 2 [1 (х) f ( x)]. 26. а) Периодическая, Т == 3 л; б) периоди-
2л
ческая, Т == т; в) периодическая, Т == л; r) периодическая, Т == л; д) непери-
Ь Ь
одическая. 27. У== x, если o x c; у==Ь, еслис<х а;S== 2 xZ, если
с с
Ьс
O x c; S==bX 2' если c<x a. 28. m==:ql x при O x ll;m==ql/l+
..t
+ q" (х /1) при / 1 < х /1 + /!; т == 2,J i l + q2/2 + qa (х 11 12) при
11 + I! < Х 11 + /" + а == /. 29. <р ('1' (х» == 22 ;' (<р (х» == 2Х'. 30. х. 31. (х+2)2.
л л
37. 2 ; о; 4. 38. а) у == О при х == 1, у > Опри х > ...... 1, у < о при
%< 1; б) у==о при x== 1 их==2,у>.ОПрй l<х<2,у<Опри
........ 00 <x< 1 и 2<х<+0о; в) у>О при 00 <х<+оо; r) у==О при
х=:о, х== уз и х==V у>Опри У З<х<О и VЗ <х<+оо,
ОТВЕТЫ
31
у < о при..... 00 < х < УЗ и о < х < У 3; д) у == о при х == 1, у > о при
1
..... < Х <.....1 и 1 < х < + 00, у < о при 0< х < 1. 89 . а) х == 2" (у 3)
( 00 < у < + ею ); б) х == У у + 1 и Х == ..... У у + 1 (.......1 у < + (0);
в) х==Vl уз ( ею<У<+Q(); r) х==2.10 У ( OO<Y<+(X»;
1 ( 3t 3t )
д) Х.== 3 tg У .......... 2 < у < 2" · 40. х == у при 00 < у о; Х == УН при
о < у < + 00. 41. а) у == и 10 t и == 2х 5; б) У == 2 и , и == cos х; в) у == 19 и,
х
и == tg о, V:::::;"2; r) у == arcsin и, и == з v , v == .......х!. 42. а) у == si0 2 х;
б) у == arctgY lg х; в) у == 2 (х! 1), если I х I 1, и У == О, если I х 1> 1.
43. а) у ==....... cos ха, Ул I х I V 2л ; б) У == 19 (10 10 Х ), 00 < х < 1;
х
в) у==з при ею<х<О и У==Х при O x<+oo. 46. Указание. СМ.
приложение VI, черт. 1. 51. У к а з а н и е. Дополнив квадратный трехчлен до
полноrо квадрата, бу дем иметь у == уо + а (х ..... хо)2, rде ХО ==....... bj2a и
уо == (4ас b 2 )f4a. Отсюда искомый rр'афик есть парабола у == ах8, сдвинутаа
вдоль оси ОХ на величину хо и вдоль оси ОУ на величину уо. 53. У к а э а-
н и е. СМ. приложение VI, черт. 2. 58. У к а 3 а н и е. См. приложение VI,
черт. 3. 61. У к а 3 а н и е. rрафик представляет собой rиперболу у == т , сдвн-
. х
нутую вдоль ОСИ ОХ на величину хо и вдоль оси ОУ на величину уо. 62. У к а..
з а н и е. Выделив целую часть, будем иметь у == 3 1 ( х + ; )(CP.N' 61).
65. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 4. 67. У к а з а н и е. СМ. прило-
жение VI, черт. 5. 71. .. к а 3 а н и е. См. приложение VI, черт. 6. 72. У к а-
з а н и е. СМ. приложение VI, черт. 7. 73. У к а 3 а н и е. См. приложение VI,
черт. 8. 75. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 19. 78. У к а 3 а н и е.
См. приложенне VI, черт. 23. 80. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 9.
81. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 9. 82. У к а з а н и е. См. прило-
жеНllе VI, черт. 10. 83. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 10. 84. У к а-
з а н и е. См. приложение VI, черт. 11. 85. У к а з а н и е. СМ. приложение VI,
черт. 11. 87. У к а з а н и е. Период функции Т == 2л/n. 89. У к а з а н и е.
Искомый rрафик есть синусоида у== 5 si" 2х с амплитудой 5 и периодом п,
1
сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 12". 90. У к а з а н и е. Полаrая
а == А cos <р и Ь == А sin <р, будем иметь у == А sin (х ...... <р), rДе А == У а 2 + ь.
и <р == Arctg ( : ). В нашем случае А == !О, <р == 0,927. 92. У к а 3 а н и е.
cos.x== (1 + cos 2х). 93. У к а з а н и е. Искомый rрафик есть сумма rpa-
фиков Уl == Х и У2 == sin х. 94. У к а з а н и е. Искомый rрафик есть произве-
дение rрафиков Уl == х И У2 == sin х. . 99. У к а з а н и е. Функция четная.
Для Х > О определяем точки, в которых 1) у==О; 2) у== 1 и 3) y== I.
При х.......... + ею у 1. 101. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 14.
102. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 15. 103. У к а з а н и е. См. при-
ложение VI, черт. 17. 104. Указание. См. приложение VI, черт. 17.
105. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 18. 107. У к а з а н и е. См. при-
J10жение VI, черт. 18. 118. У к а з а н и е. См. ПРИJlожение VI, черт. 12.
380
ОТВЕТЫ
119. У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 12. 120. У к а з а н и е. СМ. при-
JJожение VI, черт. 13. 121. У к а з а н и е. См. приложение VJ, черт. 13.
132. У к а з а н и е. СМ. приложение VI, черт. 30. 133. У к а з а н и е. См. при-
Jlожение VI, черт. 32. 134. Указание. СМ. приложение VI, черт. 31.
138. У к а з а н и е. СМ. приложение VI, черт. 33. 139. У к а з а н и е. СМ. при-
ложение VI, черт. 28. 140. У к а з а н и е. СМ. приложение VI, черт. 25.
141. У к а 3 а н и е. Составим таблицу значений
t О 1 2 3 . . . ......1 ......2 ......3
х О 1 8 27 . . . ......1 r 8 27
у О 1 4 9 . . . 1 4 9
Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложе-
ние VI, черт. 7). (Параметр t при этом rеометрически не откладывается!)
142. См. приложеиие VI, черт. 19. 143. См. приложение VI, черт. 27. 144. См.
приложение VI, черт. 29. 145. См. приложение VI, черт. 22. 150. См. приложе-
ине VI, черт. 28 . 151. У к а з а н и е. Разрешив уравнение относительно У, по-
лучим у ==:!:: У 25 х 2 . Теперь искомую кривую леrко построить по точкам.
153. См. приложение VI, черт. 21. 156. См. приложение VI, черт. 27. Достаточ-
а
но построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х == О, :!:2' ::!::а. 157. У к а-
з а н и е. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь х == 1 О 19 У у<*>.
Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные
значения (у> О) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду,
что Ig У QO при У о. 159. У к а з а н и е. Переходя к полярным коор-
динатам r == Ух. + If и tg<p == У , будем иметь , == e (см. приложение VI,
х
черт. 32). 160. У к а з а н и е. Переходя к полярным координатам х == , cos <р
. 3 sin <р cos <р
и У ==, SIП <р, будем иметь r 3 + . а (см. приложение VI, черт. 32).
cos SlП <р
161. F == 32 + 1, 8С. 162. У == О,6х (1 О х); Утах == 15 при х == 5. 163. У == b siпх;
аЬ 11: I
Утах== '"2 при Х=='2' 164. а) x 1 ==""2' х 2 ==2; б) х:=О,68; в) x 1 ==1,37, x 2 ==10;
r) Х == 0,40; д) х == 1,50; е) Х == 0,86. 165. а) x 1 == 2, Yl == 5; Х 2 == 5, У2 == 2;
б) Х 1 == 3, YI == 2; Х 2 == 2, У2 == 3; Ха == 2, Уз == 3; Х 4 == 3, У" == 2;
в) X 1 == 2, Yl == 2; Х 2 ::::::: 3,1, У2 2,5; r) X 1 3,6, Yl 3,1; х 2 :::::::...... 2,7,
л уТ.
У2 2,9; Ха ::::::: 2,9, Уа:::::= 1,8; Х 4 :::::= 3,4, У" 1,6; д) X 1 =="4' Yl == '
Бп; y I
хи==т' У2== 22 . 166. n> у е . а) n;;;.,4; б) n > 10; в) n;;;.,32.
1 8
167. n>8 1==N. а) N==9; б) N==99; в) N==999. 168., ==5.( < 1).
а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. 169. а) Ig х < N при 0< х <6 (N); б) 2 Х > N
ОТВЕТЫ
381
7
при х > Х (N); в) I f (х) I > Л' при I х 1> Х (N). 170. а) о; б) 1; в) 2; r) 30 .
1 3 3 1
171. 2". 172. 1. 173. ........ 2". 174. 1. 175. 3. 176. 1. 177. 4. 178. "3. у к а 3 а-
1
н и е. Использовать формулу 12 + 22 + . . . + п 2 == 6 п (п + 1) (2п + 1). 179. О.
180. О. 181. 1. 182. О. 183. 00. 184. о. 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. 00. 189. о.
1 а 1
190.1.191.0.192.00. 193. 2.194.00.195.2. 196. 3а 2 . 197. 3х 2 . 198. l.
1 4 1 1 3 1
199. 2". 200. 3. 201. 3"' 202. 9. 203. 56 ' 204. 12. 205. "2. 206. ....... 3 ·
1 1 1 а 5 1
207. 1. 208. 2 -Ух · 209. 3 V х. · 210. "3 · 211. 0.212. "2 213. 2' · 214.2' ·
215. О. 216. а) ; sin 2; б) О. 217. 3. 218. . 219. . 220. п. 221. .
1 2
222. cos а. 223. sl" а. 224. п. 225. cos х. 226. ,m . 227. а) о; б) 1. 228. .
r 2 1t
1 О О 31 1 l!! 1 2
229. 2. 23. · 2 · v 3 · 232. 2" (п т). 233. 2. 234. 1. 235. 3 ·
2 1 1 1 3
236. . 237. 4 · 238. п. 239. 4 . 240. 1.241. 1. 242. . 243. о. 244. .
п 4 2
245. о. 246. е"'" 1. 247. е'-. 248. e l. 249. e 4. 250. е". 251. е. 252. а) 1. p -
( 2::П.Т )==
[ - ( х ) 1 ]
S 1" ......... t 1
2 х. 1 ........ 1
== 2Нт 4х. == 2 ' то 11т (cos х) х 2 ==е · == ,r . 253. lп 2.
X O x o r е
2
1
264. 10 Ig е. 255. 1. 256. 1. 257. 2 . 258. 1. У к а з а н и е. Положить
t 1
11т (cos х) х == lim [1 (1 cos х)]Х == lim ( 1 ..... 2 sln! .!... ) Х ==
X O X O Х O 2
1 · 51:' + . ( 2 51:' f )
} J ( I 2 sin. ; ) · 51п' :] е ;':0
Нт ( 2siп I ) == 2lim [( SiП ) I ] == 2.1 .Нт ==o,
X O х х о Х 4х X O 4
2
2.. 1
11т (cos х) Х == е О == 1. б) ,r .
X O r е
( ! sfn 2 -=- )
t 1 . z
1т 2
(СМ. а», lfm(cos х)х2 == eX ОХ. Так как lim
X O X O
ш е н и е.
Так
как
ТО
Реш е н и е.
Аналоrично
предыдущему
382
ОТВЕТЫ
еХ 1 == а, rде fX О. 259. ln а. У к а 3 а н и е. Использовать тождество
а == e Jn а. 260. 1п а. У к а 3 а н и е. Положить ..!.. == (х, rде а O (см. H 259).
n
1
261. а Ь. 262. 1. 263. а) 1); б) 2' 264. а) 1; б) 1. 265. а) ....... 1;
'5) 1. 266. а) 1; б) О. 267. а) о; п) 1. 268. а) 1; б) 1. 269. а) 1; б) 1.
270. а) 00; б) +00.271. Решение. Если хf:;kл (k==O, :l:1, :l:2, ...),
то cos 2 Х < 1 и У == о; если же х == k1t, ТО cos 2 Х == 1 и У == 1. 272. У == % при
1 п
О х<1;У==2прих==I;у==0 при %>1.273. Y==I%I. 274. Y== 2
1t
при Х < о; У == О при % == о; У == 2 при % > О. 275. У == 1 при О х 1; У == х
61 с
при 1 < х < + 00. 276. 450 · 277. Х 1 ь; х! 00. 278. п. 279. 2лR.
е 1 У e1t + 1 1 аЬ
. 280. 1 · 281. 1 3 · 282. · 284.lim АС n 3 . 285. 2 · 286. k 1,
е n--+оо
е s ....... 1
х'+1
Ь == о; прямая у == % является асимптотой кривой у == х2 + 1 ·
287. Q п) == Qo( 1 + k ) n. rде k коэффициент пропорциональности (<<закон
1
СJlОЖНЫХ процентов»); Qt == Qoe kt . 288. 1 х 1> .........; а) I х 1 > 10; б) 1 х 1> 100;
е
8
в) I х I > 1000. 289. 1 % ....... 11 < 2 при о < е < 1; а) 1 % 11 < 0,05;
1
б) I % 1 1 < 0,005; в) I х ....... 1 J < 0,0005. 290. 1 % 2 1 < N == ; а) == 0,1;
1 3
б) == 0,01; в) == 0,001. 291. а) Второй; б) третий. 2' 2. 292. а) 1; б) 2;
1 2
в) 3. 293. а) 1; б) ""4; в) 3; r) 2; д) 3. 295. Нет. 596. 15. 297. ....... 1. 298. 1. 299. 3.
300. а) 1,03 (1,0296 ); б) 0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). У к а з а н и е. -vтo ==
:::: у 9 + 1 == 3 V 1+ ; r) 10,954 (10,954). 301. 1) 0,98 (0,9804); 2) 1,03 (1,0309);
3) 0,0095 (0,00952); 4) 3,875 (3,8730); 5) 1, 12 (l , 125); 6) 0,72 (0,7480); 7) 0,043
(0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) {; r) . 307. У к а 3 а н и е. Если х > О, то
при I dx I < х имеем I V х + dx ....... "ух I == I dx I / Cv х + x + Yx) I x Iftx.
309. у к а з а н и е. Воспользоваться неравенством I cos (х + dx) ....... cOS х I IdXI.
п
310. а) х :1= 2 + k1t, rде k....... целое число; б) %f:;kл, rде k целое ЧИСJlО.
311. У к а з а н и е. Воспользоваться неравенством 1 J х + x 1 ....... I х 11 Е:;' J dx 1.
1
313. А ==4. 314. f(0)==1.315. Нет. 316. а) f(O)==п; б) [(0)==2:;в)/(0)==2;
r) , (О) == 2; д) f (О) == о; е) f (О) == 1. 317. % == 2 точка разрыва 2-ro рода.
31 . х == 1 устранимая точка разрыва. 319. х == 2 точка разрыва
2-ro рода; х == 2 устранимая точка разрыва. 320. % == О ....... точка разрыва
ОТВЕТЫ
383
l-ro рода. 321. а) х == О точка разрыва 2-ro рода; б) х == О устранимаJl
точка разрыва. 322. х == О устранимая точка разрыва, х == k1t (k == :f: 1,
1t
:1:2, ...)........точки бесконечноrо разрыва. 323. x==21tk::l:2" (k==O, ::1:1,
:t 2, ...) точки бесконечноrо разрыва. 324. х == k1t (k == О, :f: 1, :f: 2, ...)........
точки бесконечноrо разрыва. 325. х == О ........ точка разрыва l-ro рода.
326. х ==.......... 1 устранимая точка разрыва; х == 1 точка разрыва l-ro рода.
327. х ==.......... 1 точка разрыва 2-ro рода. 328. х == О устранимая точка раз-
рыва. 329. х == 1 точка разрыва l-ro рода. 330. х == 3 точка разрыва
l-ro рода. 332. х == 1 точка разрыва l-ro рода. 333. Функция непрерывна.
334. а) х == О ........ точка разрыва l-ro рода; б) функция непрерывна; в) х == k1t
(k целое) ........ точки разрыва l-ro рода. 335. а) х == k (k целое) точки раз-
рыва l-ro рода; б) х == k (ki=O целое) точки разрыва l-ro рода. 337. Нет,
так как функция у == Е (х) разрывна при х == 1. 338. 1, 53. 339. У к а з а н и е.
Показать, что при хо достаточно большом имеем Р ( ........ хо) р (х о ) < О.
r лава 11
341. а) 3; б) 0,21; в) 2h +h z . 342. а) 0,1; б)........ 3; в) Va +h Va. 344. а) 624;
1560; б) 0,01; 100; в) 1; 0,000011. 345. а) aL\x; а; б) 3x!L\x + 3х ( x)Z +
8. s !. 2xL\x + (L\X)2 . 2х + L\x
+ (Ах) , 3х + 3xL\x + (L\x) , в) х! (х + Ах)1 ' х 2 (х + L\x)! ·
r) V х + x ух; 1 . д) 2Х (2 4Х 1)' 2 Х (2L\x 1)
Ух + Ах + ух ' ' X ;
Х + L\x 1 ( АХ )
е) ln х ; Ах lп 1 + х' 346. а) ..... 1; б) 0,1; в) ........ h; о. 347. 21.
348. 15 см /сен:. 349. 7,5. 35'0: 1 (х + x) f (х) . 351. l' (х) == lim Т{х + Ах) их) .
х Ax o Ах
352. а) ; б) : == .1 ' rде ер величина уrла поворота в момент t.
L\ Т dT l' L\ Т . dQ
353. а) L\t ; б) dt == A/ Лt ' rде Т........ температура в момент t. 354. dt ==
== 11m Q , rде Q количество вещества в момент t. 355. а) Ат ; б) lim Ат .
4t 0 ut l1x X o Ах
1 5 50 ,
356. а) "6:::::: ........ 0,16; б) 21 ::::: ........ 0,238; в) ....... 201 ........ 0,249; У Х==! ==
==........ 0,25. 357. 5ес! х. Реш е н и е. у' == Нm tg (х + Ах) ........ tg х ==
Ax o Ах
== Нm 51" Ах == lim 51" x . lim 1 1
Ax o Ах cos х cos (х + t1x) Ax o x Ax o cosxcos (х + Ах) cos! Х
:=sec 2 Х. 358. а) 3х 2 ; б) 2, ; в) ; r) ;} . 359. . Ре-
х 2 х 5 n х 12
V B + L\ V
w е н и е. [' (8) == Нт f (8 + Ах) f (8) == lim х ........ 8 .......
Ax o X 4x 0 Ах .
____ lim 8 + Ах 8
4x o Ax[V(B+L1x)Z+ V<8+L\x) 8+ V 81 ]==
884
ОТВЕТЫ
I 1
== Нm V . V . 12 . 360. " (О) == 8, " (1) == О,
Ax o (8 +dX)2 +2 8 +dX +4
" (2) == о. 361. Х 1 == о; Х 2 == 3. У к а з а н и е. У равнение " (х) == 1 (х) ДЛЯ дан-
ной функции имеет вид 3х2 == Ха. 362. 30 м, /се/С. 363. 1, 2. 364. 1.
......1
365. /' (х о ) == . 366. ..... 1; 2; tg <р == 3. У к а з а н и е. Использовать резу ль-
Х!
О V (l\X)2
таты примера 3 и задачи 365. 367. Реш е н и е. а) " (О) == Нт ==
Ax o Х
1 V 1 + L\x ...... 1 1
==liт . ==oo; б) /'(1)== lim == lim ==+oo;
AX OV X Ах--+о dX Ax o V(dX)4
I COS ( 2k + 1 n + dx , I
в ' ( 2k+13t ) == lim 2 ) == liт IsiпL\х'-== I;
) t 2 А x о dx Ах о dx
/' ( 2k t 1 ) == 11т I SlnfJ.tJ.x I == 1. 368. 5х 4 12x2 + 2. 369. 3 1 + 2х 2х 1 .
+ Ax +O Х
370. 2ах+Ь. 371. 15x2 372. тatт l+b(m+п)tm+" I.
а
373. 6ах 5 . 374.
-v а 2 + Ь 2
1 S 5
3t 8
....... х! ' 375. 2х а 5х 2 3х 4. 376. 3" ха. у к а з а-
379.
4Ь 2а
3X2V"x 3xV7.
1 4х
х2 (2х 1)2 . 381.
4 2
382. 5 cos Х ..... 3 si" х. 383. . 2 2 . 384. ( . )2 · 385. t! 5i" t. 386. у' == О.
51" Х 51П Х cos х
387. ctg х........ ! . 388. arc sln х + уХ . 389. х arctg х. 390. х 8 еХ(х + 7).
5 n х 1 х 2
Х 2 5х" х 5
392. еХ х' . 393. еХ 394. еХ (cos Х ...... 51" х).
( . 1 ) х (2 ln х 1)
е" arCSlnX + v · 397. ] 2
1 x! n х
+ lnx .........! 2]пх 1
х х! х 2 · 400. х 1 n 1 О х ·
2х ch х ....... XZ 5h х
401. 5h х +х ch х. 402. h 2 ·
С Х
3 (х I n х + 5 h х ch х) ...... 2х2 1 1
404. l' h' .405. 1 х'" 406. У Arsh х + у arcsln х.
х n x. s х 1 х 2 1 +xz
407. х у 1 Arch х . 408. 1 12x Ar2 h х . 410. За ( ах + ь ) 2. 411. 12аЬ+
х 2 х 2 1 х с о
+18b"y. 412. 16х (3 +2х2)'. 413. (;2 1\ 8. 414. У х . 415. V Ьх 2 .
Х ..... 1 ..... х. (а + bx')Z
2
8
2х2 6х + 25
(х 2 5х +5)2
380.
Ьс ad
378. 2
(с + dx)
1
Yz(1 V z)Z ·
н и е.
у == х!х а == Х 3. 377.
391. хе Х .
395. х!е Х .
396.
398. 3х 2 lп х.
399.
403 th l х.
ОТВЕТЫ
38:1
422 siп х
· (1 3 cos х)3 ·
425. 2 co + 3 Si х .
3 V siп х cos х
1 3 (afcsin х)2
427. .
2 (1 + х 2 ) -V arctg х Уl х 2
е Х + хе Х + 1 2е Х 2 Х 1 n 2
429. .430. V .
2 -V хе Х + х 3 (2еХ 2 Х + 1)2
а
Х cos (х 2 5х + 1)
а
х 2 cos 2
Х
(V a2 1 418. 1 tg2x+tg4x .
4 J 6. ....... х 2 ·
cos 2 x
16 cos 2t
420. 2 15cos 2 xsinx. 421. 8
sin 2!
sin 8 х
423. cos 4 x ·
1
419. .
2sin 2 х у ctg х
. у к а з а н н е. х == sin 2/ + cos 2/.
426.
424. 3 cos х + 2 sin х .
2Уl5siпх lUcosx
1
2 Уl х 2 У 1 + аrсsiп ; ·
I
428. (1 + х 2 ) (arctg x)Z ·
+ 5 In 4 х .
х
432. (2х 5) Х
433. а sin (ах + ).
434. sin (2t + <р).
435.
2 cos х
siп 3 Х ·
436.
1
sin 2 х
437. х cos 2х 2 sin 3 "
439.
2
х -V х 4 1 ·
1
1 + х 2 ·
2xl0 2x (1 + х ln 10). 446. sin 2 t + 2 t t cos 21 ln 2. 447.
а
}
440. У .
2 х х 2
1
441. r + х. ·
444. 2х5 x2ln 5.
442.
443. lOxe x2.
eX
V 1 е 2Х ·
44 8 2 449 t 1 4 5 0 2x 451. 2lnx .
· 2х + "7 · · с g х g е. · 1 х 2 Х Х 1 n х
(е Х + 5 cos х) Уl х! 4 1 1
452. . 453. + 2 .
(е Х + 5 ifl х 4 arcsin х) "/"1 х 2 (1 + ln 2 х) х (1 + х ) (Hctg х
V 1 + y · 455. Реш е н и е. у' == (siп. 5х)' cos 2 +
2х. lnx+l 2( х+х)
+ siп 8 5х ( cos 8 )' =с: 3 siп 2 5х cos 5х. 5cos 2 i + siп. 5х. 2cos ( siп.у ) { ---:-
15 . 2 5 5 2 Х 2. з 5 х. х 456 4х + 3
51П Х cos х cos "3 "3 Sln х cos 3 S1П"3 · · (х 2)3 ·
457. х 2 (4Х; 6 458. х 7 2)5 ' 459. Х 1 . 460. V 1 .
х );) (1 х х 2 -V 2х2 2х + 1 (а 2 +х 2 )3
461. х 2 . 462. (1 + УХ>3 463 Х V (1 + х) 464 V 1
V (l + x2) V х · · 5 3 2. · (x 1)3(x+2)5 ·
'2.abtппx'Z 1 (а + ьхn)т 1 х З 1
465. 4х З (а 2х З ) (а 5х З ). 466. (а ьхn)т+l 467. (х + 2)6 ·
3х 2 + 2 (а + Ь + с) х +ab T bc + ас
469. .
2 V (х + а) (х + Ь) (х + с)
445.
454.
a Эх
468. .
2Y a x
1 3 f. с. БаранеНКОБ и др.
836
ОТВЕТЫ
470.
1+2Уу
6 УУ V (у + V у)2 ·
1
Уе Х + 1
471. 2 (7t + 4) VЗt + 2. 472.
y a
V (2ау у!)3 ·
1
474. sin a х cos 2 х. 475. . 4 4 . 476. 10 tg 5х sec! 5х.
stH Х COS Х
cos 2х
477. xcosx!. 478. 3t!sin2t a . 479. Зсоsхсоs2х. 480. tg'x. 481. .4 .
SlП Х
482. (а ) sin 2х . 483. О. 484. ..!... arcsin х (2 arccos х arcsin х) .
2 У а siп 2 х + cos 2 х 2 V 1 х 2
2 1 х arccos х V 1 х 2 1
485. ../ 2 2 l ' 486. 1 + х2 · 487. З'. 488."1/ ·
Х у Х (1 х 2 ) /2 У а Ьх 2
489. "/ 7 (a>O).490.2-V а! Х! (а>О).491. V x 492.аrсsiпVх.
JI а х 2х х 2
493. V 5 . 494. 1 . 495. 1 siп а + ! .
1 25х 2 al"csin 5х х Уl lп 2 х 2х cos а х
496. 5 + . . 497. 4х "/ ь х . 498. 1 П2 х 2 . 499. а 2 уеах:
Sln х r х cos х
500. sin 2х eSin2x. 501. 2т!р(2та тх + b)P l а тх lп а. 502. e'l.t (а cos ! Р sin t).
503. е(J.Хsiп х. 504. e xcos3x. 505. xn la xl(n""""2x!lna).
1
ctg
1 "1r 3 х In 3 2ах + ь
506. 2ytgx(1 + у cosxlna). 507. ( . 1 ) ' 2. 508. ах 2 +Ьх+с ·
х SlП Х
1
511. .
У2ах + х 2
473.
1
509. .
"Уа 2 +х2
1 х 1
513. XZ tg ·
Ух
510. .
1+Ух
514. 2 2х + 11 . У к а з а н и е. у == 5 1 n (х 2) .........
х x 2
3х! 16х + 19 1 "1 r z !
3 1 n (х + 1). 515. ( 1 )( 2) ( 3) . 516. . а · 517. у х а ·
х х x Sln х cos х
6х! 15а 1 п! (ах + Ь) 2 тх+n
518. (3 2х')1п(3 2х') · 519. ах + ь · 520. V х ! + а 2 · 521. xt at ·
1 Уl+х! х+l
523. . а . 524. · 525. 8 1 .
Sln х х х
sin ах
526. 3 [2arcsln ах ln 2 + 2 (1 ........ arccos 3х»). 527. ( ЗСОS ЬХ lп 3 + S in 2 aX ) X
УI 9х! cos 2 bx
Х а cos ах cos Ьх + ь sin ах sln Ьх 528 1 1
cos 2 bx .. 1 + 2 sin х · 529. х (1 + ln 2 х) ·
1 + I n х + I 531. 1 2 .
-Уl x!arcsinx х xVl.........1n!x x(l +1п х)
х! 2 х! 3х 1
532. х4 + х'- 2 . 533. У · 534. 4 1 . 535. 1 + 8 .
cos Х sln х х х
arcsin х
536. 8{ . 637. 6 sh! 2х.сЬ 2х. 538. e'l.x (а ch (ix + Р sh рх).
(1 х.) ·
2
512. 1 3
х n х ·
522. у2 sin ln х.
530.
ОТВЕТЫ
387
2х 1
539. 6th22x(1 th22x). 540.2cth2x. 541. . 542. У .
Уа 4 +х 4 х In2x 1
546. х Arth х. 547. х Arsh х.
1 1 2
543. 2 . 544. f · 545. 1 2 ·
COS Х S n х х
548. а) у' == 1 при х > о; у' == 1 при х < о; у' (О) не существует; б) у' == I 2х ,'.
,1 , { 1 при х О, 1 уз 553 6
549. У ::: · 550. t (х) == x О 552. 2 + 3 ' · л.
х e при х > .
, , , 2, 2 '
554. а) (O):=: 1, l+(О)::::зl; б) f, (O)==a' 1+(О)::::3а; в) l (O)== 1,
, " "
/+(0)==0; r) t (O)== +(O)==O; д) t (O) и [+(О) не существуют. 555. l.......x.
556. 2+ Х 4 3 . 557. l. 558. О. 561. Решение. Имеем y'==e x(l x).
Так как e x==1L, то y'==JL.(l x) или xy'==y(l x). 566. (1+2x) Х
х х
(х + 2) (5х 2 + 19х + 20)
Х (I+Зх)+2(1+х)(1+3х)+3(х+l)(1+2х). 567. (х+l)4(х+3)5 ·
x2 4x+2 3х 2 +5 V х2
568. 2 У х (x 1) (x 2)3 · 569. 3 (х 2 + 1) х 2 + 1 ·
570. (x 2)8(x2 7x+l) 4 . 571. 15x2+X 24 ъ .
(x l) (x 3) Y(x 1)5 (х.......з)tl 3 (x l) 1, (х+2) 1. (х+3) /.
l l Inx
572. хх (1 + In х). 573. хХ2+1 (1 + 2 In х). 574. t х х 2 .
y 1
575. х Х 2 ( 1 + ; 1" х ) . 576. х ХХ х Х ( + 1" х + ]"2 Х ) .
577. x sin Х ( Si: х + cos х ]" х ) . 578. (cos x)Sin X(cosx 1" cosx sjn х tg х).
579. (1+ )X [1" ( 1+ ) l X ]' 580. (arctgx)X х
х r п arctgx + (1 + x 2 /arctg х ]. 581. а) x == 3 (1 X2) ; б) x == 2 OS х ;
, 10 3 2t 2t t (2 t 3 )
п) Ху == х 582."2 t 2 . 583. t + 1 . 584. 1 t2' 585. 1 2t3 ·
603.
1 + 5е 2
2 t+l Ь Ь
3 /! · 587. t (/2+ 1) · 588. tg t. 589. а' 590. atg t. 591. tciЗt.
, { 1 при t < О, зt
УХ 1 t О 593. 2e .594. tg t. 596. 1. 597.00. 599. IIeT..
при > .
2 Ь 2 х
Да, так как равенство является тождеством. 601. 5 . 602. - .
ау
);2 Х (3х+2у) -. / у V i
у2 . 604. х 2 + 2у . 605. JI х' 606. \' ·
2 у 2 1 уЗ 10
3 (x2 у2) + 2ху 1 + З ху 2 + 4у3 . 608. 10 3 cos у . 609. 1.
ycoS 2 !1 611. У l x2 y2
l xcos2y . x l+x2+y2 . 612. (х+у)2.
586.
592.
600.
607.
610.
13*
388
ОТВЕТЫ
1 I У у У 616. х + у .
613. у' == + 1 · 614. + е х. 615
eY 1 х y х x y x y
617. су + х V х 2 + у2 618. Х ln у у . .!L . 620. а) о; б) .l; в) о.
сх у у х 2 + у2 у 1 n х х х 2
2
622. 450; arctg 2 ::::::: 63026'. 62 . 450. 624. arctg 36021'. 625. (о; 20); (l; 15);
е
1 ( 1
( 2; 12). 626. (l; 3). 627. у == х 2 Х + 1. 628. k == 1Т .629. \"8;
) . 631. У 5 == о; х + 2 == о. 632. х 1 == о; у == о. 633. а) у == 2х;
16
1
Y== 2X; б)х 2у I==0; 2x+y 2==0; в)6х+2у л==0;
2х 6у + Эл == о; r) у == х 1; у == 1 х; д) 2х + у 3==0;
x 2y+l==0 для точки (1; 1); 2х у+з==0; x+2y 1==0 для
точки ( 1; 1). 634. 7x 10у+6==0, 10x+7y 34==0. 635. у==о;
л 2 V2
(зt+4)х+(л 4)у 4 ==0. 636. 5x+6y 13==0, 6x 5y+21==0.
l x
637. х + у 2 == о. 638. В точке (1; о): у == 2х 2; у == ; в точке (2; о):
3 x
y== x+2; y==x 2; в точке (3; о): y==2x 6; y== . 639. 14x
13у + 12 == о; 13х + 14у 41 == о. 640. У к а 3 а н и е. Уравнение каса-
тельной 2 Х + 2 У == 1. Следовательно, касательная пересекает ось ОХ в точке
ХО У О
А (2х о , о) и ось ОУ в точке В (о, 2уо). Находя середину отрезка АВ, получимточку
(Х\Э t У О ). 643. 40036'. 644. В точке (о, о) параболы касаются; в точке (1, 1) пе-
1 ,r
ресекаются под yr лом arctg""7:::::::: 808'. 647. St == Sn == 2; t == п == 2 r 2.
648 1 652 Т 2 . t t t · N 2 .!.... · S 2 . Z t t t. S . t
' ln 2 . · а SlП "2 g2"' а 51П 2' t а SIП "2 g 2" t п ==аSIП .
653. arct g lr. 6 54. + 2<р. 655. St == 4п 2 а; Sn == а; t == 2па V 1 + 4п 2 ;
n==aVl + 4п 2 ; tgJ.t==21t. 656. St==a; Sn== : ; t ==Va2+Q ;
657. 3 см/сек; о; 9 Сон/сек. 658. 15 см/сек.
n == Q\) V а! + Q ; tg!-t == <РО'
а
3
659. ........ 2" м !сек.
660. Уравнение
траектории
у==х tga
2и 2 С05 2 а
()
g
х 2 .
и sin2a V
Дальность полета ра виа . Вели чина ско расти и 2и о gt siп а + gZt Z ;
g
и о sif1 а g t
уrловой КОЭффИ[J.иент вектора скорости У к а з а н и е.
и о cos а
Для определения траектории нужно исключить параметр t из данной системы.
Дальность полета абсцисса точки А ( черт. 17). Пр оекции скорости
1Iа оси: ; и . Величина скорости V ( )2 + ( )\ вектор скорости
направлен по касательной к траектории. 661. Убывает со скоростью 0,4.
ОТВЕТЫ
389
( 9 9'
662. 8' 2 )' 663. Пиаrональ растет со скоростью", 3,8 см/сек, площадь
со скоростью 40 см 2 /сек. 664. Площадь поверхности растет со скоростью
л
0,211: M!jceK, объем со скоростью О,О5л мВ/сек. 665. 3 см/сек. 666. Масса
Bcero стержня составляет 360 с, плотность в точке Лr1 равна 5х с/см, плот-
ность в точке А равна О, плотность в точке В есть 60 с/см. 667. 56х 6 + 210x 4 .
8 2 (1 х 2 ) Х
668. е Х (4х 2 + 2). 669. 2 cos 2х. 670. 3 (1 + 2)" ' 671. У ·
х (а 2 + х 2 )а
2х 2 2х (Hcsin х 1 х '"
672. 2arctg х + 1 + 2 ' 673. 1 2 + (1 2)11 ' 674. c11 .679. У == 6.
х x x 2 а а
680. /'11 (3) == 4320. 681. уУ == (х 1 )5 ' 682. yVI == 64 sin 2х. 684. о; 1;
2; 2. 685. Скорость и== 5; 4,997; 4,7. Ускорение а == О; 0,006 0,06.'
686. Закон движения точки М 1 есть х == а cos wt; скорость в момент t равна
........ аю sin wt; ускорение в 1\IO;\leHT t: аш 2 cos wt. На 11 а.пьная с ко рость о; на чалыlеe
ускорение: аш 2 ; скорость при х == о: =F аш; ускорение при х == о: о. Макси-
мальное значение абсолютной величины скорости аш. Максимальное значение
абсолютной величины ускорения аш 2 . 687. у(n) == п!а n . 688. а) п! (1 X) (ll+l),
б) ( l)"+J I.з...( п з) . 689. а)Siп(х+п ); б) 2"COS(2x+n ) i
2 п . х 2
) ( 3 ) n ax. ) ( 1 ) n ] (п 1)1 ) ( 1)n+l п! 2п!
в е , r (1 +х)п ; д (l +x)п+l ; е) (1 X)'l+J ;
[ Л ] ( 1 ) n ] ( п 1 ) ' а1l .
ж) 2n lsin 2x+(п I)2 ; 3) ( а х+Ь)n. ' 690.а)х.е Х +пе Х ;
б) 2" Je 2X [2 ( 1)"x 2 + 2п ( l)" J х + п (п 2 1) ( I)п 2); в) (1 х') Х
Х cos ( х + п; ) 2пх cos (х + (п 21) Л ) п (п 1) cos ( х + (п 22) Л ) ;
r) ( 1)" Ч'3+, (2п 3) [x (2п 1)]; д) ( l)" 4)! при п 4.
х
2пх 2
691. y(n)(O)==(п 1)! 692. а) 9t 3 ; б) 2t 2 +2;
1 1 1
б) 4 ,в) t ; r) . з ·
За cos t siп t . 4 . 4 Qt SlП t
а Sln 2
2 2. t(l+t) 2e t ( d 2y )
695. а) (l+t)(1+3t), б) (I t)3 .696. (соst+siпt)з . 697 . dx2 t==o l.
3 ctg 4 t 7 00 4e2t (2 siп t cos t) 701 6 зt (1 + З + 2 )
699. . t . · (. t + t )5 ' · е t (.
Sln SlП COS
п т d 2 x 1" (х). d З х Зt/" (х)]2 l' (х) 1'" (х) р2
702. т t · 703. dy2 [/' (х)}з ' dуЗ [/' (х)] 5 705. уЗ ·
Ь4. 2 у 2+2 d 2 y У d 2 x 1
706. . 707. 5 708. d 2 == (1 )3 ; d 2 "2 ·
ау у х y у у
111 1 1 За 2 х
709. 256 . 710. 16' 711. а) 3'; б) 7. 712. y == 0,009001; dy == 0,009.
1
713. d (1 ха) == 1 при х == 1 и dx == ""3.
,! 1
в) t 1 t 2 . 69 3 · а) . а t ;
а SlП
694. а) О; б) 2е заt .
714. dS == 2х X,
390
ОТВЕТЫ
ln х dx.
dx
724. .
Ya2 x!
2dx
728. 1 2 ·
x
я:
717. При х==о. 718. Нет. 719. dy==---- 72 0,0436.
л; m dx
721. dy == 45 :::::: 0,0698. 722. хт+l ·
adx
725. 2 + ! '
Х а
729. ...... 1 cos <Р d .
s1n 2 q> q>
х
726. ......2хе х. d%.
S==2x x+( x)t.
1
720. dy == 2700 ::::: 0,00037.
dx
723. ! .
(1 х)
727.
730. e t dt .
1 + e 1t
732.
10х +8Y d
7х+5у х.
733. уе у dx == -----L dx.
х x y
734.
х + у dx.
x y
у2 хе у
12 л
735. 11 dx. 737. а) 0,485; б) 0,965; в) 1, 2; r) 0,045; д) 4 + 0,025 0,81.
738. 565 см'. 739. УБ::::: 2,25; У 17 4,13; У 70 ::::: 8,38; У 640 25,3.
740. VТO 2,16; V 70 4,13; V 200 5,85. 741. а) 5; б) 1,1; в) 0,93; r) 0,9.
(dX)2 Х (dX)1
742. 1,0019. 743. 0,57. 744. 2,03. 748. 3/ . 749. 3/ .
(1 XZ) 2 (1 х 2 )' I
750. ( sinx ln х + 2 cosx Si х ) (dx)!. 751. 2ln x, 3 (dX)I.
Х Х Х
752-. e X (х 2 6х+6) (dx)'. 753. 4 d: : . 754. 3.2 п sin ( 2х + 5 + п; ) <dx)п.
755. е Х СО' ас sin (х sin а + па) (dx)n. 757. Нет, так как " (2) не суще-
п
ствует. 758. Нет. Точка х == 2"" точка разрыва функции. 762. == 0.763. (2,4).
. 14. 3t . 1 ! 2(х 1)8
765. а) -== g' б) I:z=: т · 768. In х (х 1) "2 (х 1) + 3 ! 8 ., rде
х' х$
== 1 + 8 (х 1), 0<' < 1. 769. sln х == x ... 3f + 51 COS 1' rде 61 == 8 1 х,
х' х 5 х 7
0< 81 < 1; sfn ж==х 3! +51 71 cos !, rде z==82X' О < б! < 1.
х' ха xn l х"
770. eX==1+x+ 21 +3Т+".+ (n 1)' + п! ' . rде ==Ox. 0<0<1.
I ха 5 х'
772. Поrрешность: 8) 16 5/ ; б) 8 1 Rf ; В обоих случаях == 8х;
(1 + s) 2 (1 +;) 3
3 1
О < 8 < 1. 773. Поrрешность меньше 51 == 40 · 775.. Реш е н и е. I1меем
I ]
У : + ; == ( I + : ).. ( 1 : ) 1, Рззлаrая оба множителя по степеням х.
I 1
( х ) · I 11 1 х' ( Х ) z 1 х 3 хl
получим: t+(i :::::::t+2a 8 a2 ; l a 1+2a+8 аl .
х
У а + х х х!
Перемножая, будем иметь: ::::::: 1 +........... + 2 !' Далее, разлаrая е по
a x а а
х
х х ха
степеням , получаем тот же мноrочлен . а :=:::: 1 + + 2 а '
а и а
1
7 77.
3 ·
ОТВЕТЫ
391
1 n 2 2
778. 00. 779. 1. 780. 3. 781. 2' 782. 5. 783. 00. 784. О. 785. 2. 786.1. 788. n .
789. 1. 790. о. 791. а. 792. 00 для n > 1; а для n == 1; О для n < 1. 793. о.
795. i. 796. /2 ' 797. 1. 799. 1. 800. е'. 801. 1 802. 1. 803. 1. 804. .
80б. . 806. . 807. 1. 808. 1. 810. У к а з а н и е. Найти Нт 2 S
е е а О bh
3
R 2
rде S == 2"" (а sin а) точное выражение площади cerMeHTa (R радиус
соответствующей ок ружности).
rJlaBa 111
811. ( oo, 2) возрастает; ( 2, (0) убывает. 812. ( oo, 2) убывает;
(2, (0) возрастает. 813. ( 00, (0) возрастает. 814. ( 00, О) и (2, 00)
возрастает; (О, 2) убывает. 815. ( oo, 2) и (2, (0) убывает. 816. ( oo, 1)
возрастает; (1, 00) убывает. 817. ( 00, 2), ( 2, 8) и (8, 00) убывает.
818. (0,1) убывает; (1, (0) возрастает. 819. ( 00, 1) и (1, 00) возрас-
тает; ( l, 1) убывает. 820. ( oo, (0) возрастает. 821. (о. ) убы-
I 1 )
вает; \ е' 00 возрастает. 822. ( 2, О) возрастает. 823. ( 00, 2) убы-
вает; (2, 00) возрастает. 824. ( 00, а) и (а, (0) убывает. 825. ( ею, О)
9 1
и (О, 1) убывает; (1,00) возрастает. 827. Y max ==""4 при х ==2. 828. Экстре-
мума нет. 830. Ymin == О при х == о; Ymin == О при х == 12; Утах == 1296 при
х == 6. 831. Ymin::::= 0,76 при х::::= 0,23; Ymax == О при х == 1; Ymin::::= 0,05 при
х::::= 1,43. При х == 2 экстремума нет. 832. Экстремума нет. 833. Yrrax == 2
9 ,r
при х == о; Ymfn == 2 при х == 2. 834. Y max == 16 при х == 3,2. 835. Yma}{ == 3 f ;)
2 ,r........ 2 '/......
при Х == v з ; Ymin == 3 f 3 при х == -v 3 . 836. Y max == f 2 при х == о.
В37. Yrrax == VЗ при х == 2 V З; Ymin == у з при х == 2 у з. 838. Ymin == О
. 3 , r........ (1 \
при х == :t 1; Y max == 1 при х == О. 839. Ymin == 2 " з при х == \ k 6) n;
3,. ( 1 )
У тах =="2 V З при х == k +6 n (k == О, :f: 1, :f: 2, . . .). 840. Утах ==5 прп
х == 12kл:; Утох == 5 cos 2; при х == 12 ( k :1: : ) л; Ymin == 5 c s при
/ 1 )
х== 12\ k :f:"5 л; Ymin== 1 при x==6(2k+ 1)n (k==O, :f: 1, :l: 2,.. .).
114
841. Ymin == О при х == О. 842. Ymin == ............ при х == . €43. Ymax == 2 прп
е е е
1 1
х == е 2 ; Ymin == О при х == 1. 844. Ymin == 1 при х == о. 845. Ymin == е при
4
х == 1. 846. Ymin == О при х == о; Утах == 2: при х == 2. 847. Ymjn == е при
е
1
х == 1. Б48. Экстремума нет. 849. Наименьшее значение т == "2 при
392
ОТВЕТЫ
1
х ==....... 1; наибольшее значение М == 2 при х == 1. 850. т == О при х == О и
1 те
x==lO; А1==5 при х==5. 851. т==2 при x==(2k+l)T; M==l при
kn
х == 2 (k == О, :l: 1, :l: 2, ... ). 852. т == О пр и х == 1; М == п при х ==....... 1.
f.?33. т== 1 при X== 1; М ==27 при х==3. 854. а) т== 6 при х==l;
Лl == 266 при х == 5; б) пz == 1579 при х == 10; М == 3745 при х == 12.
а
Е56. р == 2, q == 4. 861. Каждое из слаrаемых должно быть равно 2 ·
862. Прямоуrольник должен быть квадратом со стороной . 863. Равнобед-
rенный. 864. Сторона площадки, при мыкающая к стене, должна быть вдвое
больше друrой стороны. 865. Сторона вырезаемоrо квадрата должна быть
а
равна 6"" 866. В ысота должна быть вдвое меньше стороны основания.
867. Тот, высота KOToporo равна диаметру основания. 868. Высота ци..
линдра ' радиус ero основания R У ; , rде R радиус данноrо шара.
869. Высота цилиндра R У2, rде R радиус данноrо шара. 870. Высота
4 4
конуса 3 R, rде R радиус данноrо шара. 871. Высота конуса '3 R, rде
3
R радиус данноrо шара. 872. Радиус основания конуса 2"" rде , ра-
диус основания данноrо цилиндра. R73. Тот, высота KOToporo вдвое больше
диаметра шара. 874. == n, т. е. сечение желоба полукруr. 875. Централь-
.../ 2
ный уrол сектора 2зt V 3. 876. Высота цилиндрической части должна
быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь форму полусферы.
2 2 3
877. h == ([3 d 3 )2 . 878. 2 Х + 2 У == 1. 879. Стороны прямоуrольника
Х() Y\J
а У2 и ь У2, rде а и Ь соответствующие полуоси эллипса. 880. Коорди-
I1ЗТЫ вершин прямоуrольника, лежащих на параболе ( ; а, :f: 2 У р; ) .
81011. (:!: ;з ' : ). 882. Уrол равен наибольшей из величин arccos k и
h VIi , d
a:ctg ([. 883. АМ ==а t/ii + V(j 884. V2' 885. а) х==у== У2 ;
. d .. /2 "11 / 2aQ 'f
б) х== УЗ ; y==d JI 3' 886. Х== V q; P min == r 2aqQ. 887. У Мт.
у к а з а н и е. При вполне упруrом ударе двух шаров скорость, которую при-
05ретает неподвижный шар массы т) после удара о Hero ш ара массы т 2 ,
2т v У NR
двиrавшеrося со скоростью v, равна + . 888. n == (если это
т) т 2 ,
число не целое или не является делителем числа N, берут ближайшее к най-
денному значению целое число, являющееся делителем числа N). Так как
n Z , u u
внутреннее сопротивление батареи равно N' то физическии смысл наиден-
Horo решения таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть воз-
ОТВЕТЫ
393
2
можно ближе к внешнему сопротивлению. 889. у == з'1. 891. ( oo, 2).....
BorHyr вниз, (2, 00) воrиут вверх; М (2, 12) точка переrиба. 892. ( 00, oo)
BorHYT вверх. 893. ( 00, 3) воrиут вниз, ( 3, 00) BorHYT вверх; rочеI{
переrиба нет. 894. ( 00, 6) и (0,6) BorHYT вверх, ( 6, О) и (6, 00)-----
BorHYT вниз: точки переrиба М 1 ( 6; ), о (о; о), М 2 (6; ).
895. ( 00, у з) и (О, у з) воrиуr вверх; ( у з, О) и (У3, (0) BorHyT
вниз; точки переrиба М 1,2 (:1: У 3; о) и О (о; о). 896. ( (4и + 1) .
(4k + 3) ; ) воrиут вверх, ( (4k + 3) , (4k + 5) ; ) BorHYT вниз
(k == о, :1: 1, :1: 2, .. .): точки переrиба ( (2k+ 1) ; о ). 897. (2k:n:, (2k+ 1) :n:)
BorHyT вверх, «2k 1) Л, 2kл:) BorHYT вниз (k == О, :f: 1, :f: 2, .. .); абсциссы
точек переrиба равны х == k:n:. 898. (о, у! е з ) BorHYT вниз, ( ; е 3 ' 00 )
BorHYT вверх; М ( у 1 е 3 ; 2:3 ) точка переrиба. 899. ( 00, о) ВОl'нут
вверх, (О, 00) BorHYT вниз; О (О, О) течка переrиба. 900. ( 00, 3) и
( 1, 00) ВОI'ИУТ вверх, ( 3, 1) BorHyr ВНИЗ, точки переrиба
( 10 ) ' . I 2 )
М 1 з; -ёз и М 2 \ 1; е . 901. х==2; у==О. 902. х== 1, х==3; у==О.
903. х == :l: 2 У == 1. 904. У == х. 905. У == х (левая), У == х (пра..
вая). 906. У == 1 (левая), У == 1 (правая). 907. х == :f: 1, У == х (ле-
вая), у == х (правая). 908. У == 2 (левая), у == 2х 2 (правая). 909. у == 2.
910. х==О, у==1 (левая), у==О (правая). 911. х==Р, y==l. 912. у==о.
913. х == 1. 914. У == х Jt (левая); У == х + л (правая). 915. У == а.
916. YmaK == О при х == о; Ymin == 4 при х == 2; точка переrиба М 1 (1, 2).
917. УПlак == 1 при х == :f: v з; Ymin == О при х == О. точки переrиба
М 1,2 ( :1: 1; ). 918. Утах == 4 при х == 1; Yrrl == О при х == 1; точка
переrиба М 1 (О, 2). 919. YmaK == 8 при х == 2; Ymin == О при х == 2; точка пе.
реrиба М (о; 4). 920. Ymin == 1 при х == о; точки переrиба М 1 2 (::!: V 5; О)
I 64 ) ,
и М 3,4 :l: 1; 125 . 921. Ymax == 2 при х == о; Ymin == 2 при х == 2; асимп.,
тоты х == 1, У == х 1. 922. Т очки переrиба Л1 1 ,2 (::!: 1, 1= 2); асимптота х == О.
923. Ута'{ == 4 при х == 1; Ymin == 4 при х == 1; асимптота х == о.
924. Ymin == 3 при х == 1; точка переrиба М ( v 2; О); асимптота х == о.
925. Утах ==} при х == о; точки переrиба М 1,2 ( :1: 1; ); асимптcrrа У == о.
926. Ymax. == 2 при х == о; асимптоты х == :f: 2 и у == О. 927. Ymin == 1 при
х == 2; У т а1. == 1 при х ==2; точки переrиба О (O О) и
( ..r V З )
м 1,2 ::f: 2 JI 3; :f: 2 ; асимптота У == О. 928. Yma'{ == 1 при х == 4; ТОЧI<а
переrиба М ( 5; ) ; асимптоты х == 2 и У == О. 929. Точка переrиба
27 8
О (о; О). асимптоты х == :f: 2 и У == О. 930. Утах. == 16 при х == 3 ; асимптоты
х==О, х==4 и у==о. 931. Ymax.== 4 при X== 1; Ymin==4 при х== 1;
асимптоты х == О и У == 3х. 932. А (о; 2) и В (4; 2) концевые точr:и
394
ОТВЕТЫ
Утах == 2 У2 при х == 2. 933. А ( 8; 4) и В (8; 4) концевые точки. Точка
переrиба О (о; о). 934. Концевая точка А ( 3; О), Ymin == 2 при х == 2.
935. Концевые точки А ( у 3; о), О (о; о) и В ( уз ; о); Утах == У2
при x== 1; точка переrиба М (V З + 2 У-З , У6 V 1 + ;з ) ·
936. Ymax == 1 при х == о; точки переrиба ....... М 1 2 (:!: 1; О). 937. Точки пере-
rиба ....... М 1 (о; 1) и М 2 (1; о); асимптота у == 'х. 938. Утах == О при х == 1;
. V
Ymin == 1 (при х == о). 939. Утах == 2 при х == о, точки переrиба М 1 ,2 (:f: 1; 2);
асимптота У == О. 940. Ymin == 4 при х == 4; Утах == 4 при х == 4; точка пе-
реrиба o (о; О); асимптота у == о. 941. Ymin == V 4 при х ==2, Ymin == V4
при х==4; Ymax==2 при х==3. 942. LJmin==2 при х==О; асимптоты х==:!: 2.
уз
943. Асимптоты х==:1: 2 и у==о. 944. Ymin== V 2 при х== у з;
Yтax== ;;; при х== у з; точки переrиба Мl ( 3; ), 0(0;0)
( 3 ) 3
н М 2 З;"2 ; асимптоты х==:1: 1. 945. Ymin == V2 при х==6; точка пе.
реrиба M (12; v ); асимптота х==2. 946. Утах==+ при х==l; точка
переrиба M (2; e ) ; асимптота у==о. 947. Точки переrиба
М 1 ( За; l a ) и М 2 ( a, ) ; асимптота у==о. 948. Утах==е 2 при х==4;
( 8 :i: 2 у2" : \
точки переrиба М 1 , 2 2 ; е ); асимптота 1J == О. 949. Утах == 2 при
х == о; точки переrиба Мl, 2 ( :1: 1; ; ). 950. Утах == 1 при х ==:1: 1; Ymin == О
при х==О. 951. Y,nax==0,74 при х==е 2 :::::::::7,39; точка переrиба
I а 2
М (е 8 / З ::::::::: 14,39; 0,70); асимптоты х == О и у == О. 952. Ymin == 4е при
х== Ve ; точка переrиба M ( Veз ; :: )- 953. Ymin ==е при х==е; точка
переrиба М (е 2 ; е; ) ; асимптота х== 1; У О при х о.
4 1
954. Ymax .. f2::::::::: 0 ,54 при Х== е 2 1 ::::::::: 0,86; Ymin==O при х==О; точка
переrиба М (+ 1 :::::: О,6З; ::::::0,37 ) ; У О при х 1 + о (пре-
дельная концевая точка). 955. Ymin == 1 при х ==:!: У2; точки переrиба
M i 2 (:!: 1,89; 1,33); асимптоты Х ==::!: 1. 956. Асимптоты ху == О. 957. Асимптоты
У ' 0 (при x +oo) и Y== X (при x oo). 958. Асимптоты
х== ; х ==0; У == 1; функция не определена на отрезке [ +, о] .
,r 5
959. Периодическая функция с периодом 2л. Ymin == r 2 при х== 4 л +2kл;
...r n
Yrnax == r 2 при х == 4 + 2kл (k == О, ::t 1, :i: 2, ...); точки переrиба.......
ОТВЕТЫ
395
M k ( : 11: + k11:; о). 960. Периодическая фуикция с периодом 2п.
3 ,/1) 5 3 ,r л
Ymin== 4 r 3 при х==з л + 2 /!Л;Уmах==:[ r 3 при х:=з-+ 2 /1л(k==О,
= 1, = 2, .. .); точки переrиба M k (k11:; О) И N k ( arccos ( ) + 2kn;
136 V 15 ) . 961. Периодическая функция с периодом 211:. На отрезке [ п, п)
1 л
Y max ==""4 при х ==::!: 3; Ymin == 2 при х ==::!: л; Y m iI1 == О при х == о; точки
переrиба M 1 ,! ( +- 0,57; 0,13) и Ма,4 (::!: 2,20; 0,95). 962. Нечетная периоди-
ческая функция с периодом 2л. На отрезке [О, 2л]: Ymax == 1 при Х == о;
л л'
Ymin == 0,71 при х == 4; Утах == 1 при х == 2; Y m iI1 == 1 при Х == п;
5 3
Ymax== 0,71 при Х==4'"Л; Ymin== 1 при Х==2 Л ; Утах==l при х==2л;
точки переrиба М 1 (0,36; 0,86); М 2 (1,21; 0,86); Ма (2,36; О); М4 (3,51; 0,86);
М$ (4,35; 0,86); Мб (5,50; О). 963. Периодическая функция с периодом 211.
-У2 n 1/2 3
Ymin ==2 при Х==Т + 2kл; Ymax == 2 при X== 4"" л + 2kл (k ==0,
3
::!: 1, :!: 2, ...); асимптоты х == 4" л + kл. 964. Периодическая функция с пе-
риодом :rt; точки переrиба Mk ( + k:rt; 2 ) (k == О, ::!: 1, ::!: 2, . . .); асимп-
3
тоты Х == 4" л + kл. 965. Четная периодическая функция с периодом 2л. На
4 1
отрезке [О, л]: Уmах == y при х == arccos ..,r ; У тах == О при х == п;
3 3 r 3
Ymin == 3 3 при х == arccos ( :3 ) ; Ymin == О при х == о; точки пере-
( л: ) ( . v2 4 У7 ) ( . -У2 4 1/7 )
rиба Мl 2; О ; М! аrСSНl з ; 27 ; Ма n аrСSlПз; 27 ·
966. Четная периодическая функция с периодом 2л. На отрезке [О, л]: У таХ == 1
при х == о; Утах == з:б при х == arccos ( :6 ); Ymil1 == 3 при
х:::= arccos .:б ; Ymin == 1 при x==:rt; точки переrиба М. ( ; о ) ;
Ma(arccos y ; y : ); М3 (arccos ( y ); } y }
967. Функция нечетная. Точки переrиба M k (kл; kл) (k ==0, +- 1, ::::!:: 2, .. .).
968. Функция четная. Концевые точки А 1 2 (= 2,83, 1,57); Y max 1,57 при
х == О (точка возврата); точки переrиба M 1 ,! (::!: 1 ,54; 0,34). 969. Функции
нечетная. Область существования 1 < х < 1. Точка переrиба О (о; О);
л
асимптоты х ==::!: 1. 970. Функция нечетная. Уmах:= "2 1 + 2kл при
11 3 3
х == 4 + kл; Ymin == 2 л + 1 + 2kл при Х == 4" л; + kл; 10ЧКИ переrиба
2k+l
M k (kл, 2kл); асимптоты Х == 2 л (k == О, ::!:: 1, ::t: 2, ...). 971. Функция
396
ОТВЕТЫ
3t
1Jетная: Ymin == О пр х == о; асимптоты у == ""2 х...... 1 - (при х ..... 00) и
л
== 2 х 1 (при х + 00). 972. Ymin == О при х == О (уrловая точка); асимп-
] + п Эл 1
тотя У == 1. 973. Ymin == 2" при х == 1; Утах =="2" 1 ПРIf Х == ; точка
переrиба (центр симметрии) (О, л); асимптоты у == х + 2л (левая) и у == х (пра-
вая). 974. 974. Ymin 1,285 при х == 1; У таХ :::::: 1,856 при х == 1;
точка переrиба М (о, ); асимптоты У == + л (при х 00) и
х
у == 2: (при х + (0). 975. АСИI\ШТОТЫ х == О и У == х 1 n 2. 976. Ymin :::::: 1,32
при х == 1; асимптота Х == о. 977. Пе риодическая функция с периодом 2л.
Ymin == + при х == n + 2kл; Ymax == е при х == + 2kл (k == О, ::':: 1,
( y V5 1 )
точки переrиба М k arcsin 5 2 1 + 2kл; е 2 и
( У5 1 Vб-+ 1 )
N k arcsin 2 + (2k + 1) л; е 2 . 978. Концевые точки А (о; 1)
и В (1; 4,81). Точка переrиба М (0,28 1,74). 979. Точки пере-
rиба М (0,5; 1,59); асимптоты у 0,21 (при Х 00) и У 4,81
(при х + 00). 980. Область определения функции совокупность интерва-
лов (2kл, 2kл + л), rде k == О, :::t: 1, 2, ... Функция периодическая с перио-
л
дом 2л; У таХ == О при Х == 2 + 2kл (k == О, :::t: 1, :!: 2, .. .); асимптоты х == kл.
интервалов ( ( 2k ; ) Л,
:!: 2, ...);
981.
Область
определения совокупность
( 2k + ) л ), rде k целое число. Функция периодическая с периодом 2л.
Точки переrиба M k (2kл; О)
л
х ==:!: 2 + 2Ап. 982. Область определения Х > о; функция монотонно воз-
п
растающая; асимптота Х == о. 983. Область определения I х 2kл I < 2"""
(k == О, ::t: 1, :!: 2, ...). Функция периодическая с периодом 2л; Уmiп == 1 при
л
Х == 2kл (k == О, :!: 1, 2, ...); асимптоты Х == 2 + kл. 984. Асимптота
j[
у 1 ,57 у т при х О (предельная концевая точка). 9 5. Концевые
rОЧI<И А 1, 2 (::!:: 1,31; 1,57); Ymi n == О n pll Х == О. 986. Y m il1 == ( ) е :;:,;: 0,69 при
1
х == 0,37i У..........-+ 1 при х + о. 987. Предельная концевая точка
е
(k == о,
1,
:!: 2,
. . . );
асимптоты
А ( + о; о); У таХ == е е :::::::; 1,44 при х == е :::::: 2,72; аси мптота У == 1; точка пере-
rиба Мl(0,58; 0,12) и М 2 (4,35; 1,40). 988. Хшiп== l при t==l(у==з);
Ymin == 1 при t == 1 (х == 3).989. Для получения rрафика достаточно ИЗI\-:е-
НЯТЬ t в пределах от О до 2л; X m il1 == а при t == л (у == О); Х таХ == а при
Зл
t == О (у == о); Ymin == а (точка возврата) при t == + 2 (х == о); Утах == + а
ОТВЕТЫ
897
n n 331 5л: 7л
tточка возврата) при t ==""2 (х == O) точки переrиба при t == 4' 4 ' 4 ' '"4'
I а а ) 1 1
х==::1: 2 у2" · у== ::1: У2 · 990. xmin == е при t == 1 (y== e); Ymax ==-е
( У2 ,;-- 112 ) ,,r
при t == 1 (х == е); точки переrиба eV2 ' r 2е при t == r :.:
И (1 ! 2е У2'. , У2 ) ,;- 1
при t == r 2 ; асимптоты х == О и у == О. 991. xmin ==
e1f 2
и Ymin == 1 при t == О (точка возврата); асимптота у == 2х при t........... + 00.
а у. Х
992. Ymil1 == О п ри t == О. 993. ds == у dx; cos (Х == а; SIП (Х == а .
1 У а 4 с 2 х 2 а V а 2 х 2 . Ьх
994. ds == 2 2 dx; cos сх; == у ; sш сх; == У , rде
а а х а 4 с 2 х 2 а 2 с 2 х!
G == У а 2 Ь 2 . 995. ds == у р? + Y dx; cos (Х == у ; sin а == р .
-ц -v р2 + у2 -v р3 + у'А
996. ds == V а dx; cos а == V Х ; sin сх == V у . 997. ds == ch .!.... dx;
х а а а
cos а == 1 ; siп а == th . 998. ds == 2а sirJ dt; cos (Х == sin 2 t ; sifJ сх ==
h х а 2
('
а
t
== cos 2" · 999. ds == За sin t cos t dt; cos а == cos t ; si n а == sin t.
1000. ds ==а Yl + <р' d<p; cos == У 1 . 1001. ds == а, Yl + <р2 d<p; cos ==
1 + <р!
У 1 . 1002. ds == а d<p; sin == CQS : . 1003. ds == а cos d<p;
1 + <р2 cos 3
2
sin == cos . 1004. ds == r У l + оп а)2 dm; sln А == 1
2 т tI Уl + (1 n a )1 ·
а 2 . 1
1005. ds == d<p; SIП == cos 2<р. 1006. К == 36. 1007. К == Y '
: ь 6 3 3 2
1008. К А == Ь ! ; КВ == 2' 1009. К == ...;- . 1010. К == y в обеих вер-
а 13 r 13 а 2
шинах. 1011. ( : ; з) и ( : ; 3 ) . 1012. ( ' 2 ; 2 ).
1 (1+9Х 4 )З/2 (Ь4х2+а4у!)3/2 1015. R ==(YZ+l)Z.
1013. R == 6х · 1014. R == а 4 Ь 4 ' 4у
1016. R == I а sir12t /. 1017. R == 1 at 1. 1018. R == I r Yl + k'l:
1019. R == I ; а cos 1. 1020. R HaHM == I р 1. 1022. (2; 2).
1023. ( 1; а; 6 а ) . 1024. (х 3)' + ( у : )' == .
8
1025. (х + 2)2 + (у 3)! == 8. 1026. рУ2 == 27 (Х р)3 (полукубическая парабола).
!
2
4
1027. (аХ) 3 +(ЬУ) 3 ==с 3 , rде с 2 ==а 2 Ь 2 .
398
f)TBETbl
rлава IV
в ответах этоrо отдела ради краткости произвольная аддитuвная постоян-
ная С опущена.
1031. ; а 2 х 7 . 1032. 2х S +4х 2 +Зх. 1033. 4 + (а +з Ь ) х ' + a r . 1034. а 2 .х+
n 1
7 n 9
аЬх 4 bZx 2х пх
+ 2 + 7 · 1035. 3 V2px. 1036. n 1 · 1037. r пх . 1038. а 2 х........ 5 а а ха +
2 7 v ........ V
9 а 2 2' r 3х 4 х Эх! Х .....
+ а а 1039 х J' х + 1 040 6 V X.
7 а х 3. · 5 х. . 13 7
2х2т Vx 4х т + n Vx 2х2n V Х ........
1041. 4m+l 2m+2n+l + 4n+l · 1042. 2aV ax 4ax+4xVax
2х 3 1 х 1 ] х V 1 О
2х2 + V ' 1043. ,r arctg , . 1044. V n vтo ·
5 ах J' 7 J' 7 2 10 х + 10
1045. In (х + V 4 + х 2 ). 1046. arcsin .;. . 1047. arcsin ,
2 2 J' 2
)п (х + у х 2 + 2). 1048*. а) tg х х. У к а 3 а н и е. Положить tg l х == sec 2 х 1;
1
б) х th х. У к а 3 а н и е. ПОЛО)l{ИТЬ th 2 х == 1 h 2 . 1049. а) ctg х х;
с х
б) x cthx. 1050. ln( e l ' 1051. aln ' а с x l: Решен не. 5 a x dX==
== а 5 d (а х) == а]п (а х/ + а] пС==а]п I 1 .1052. х + In 12х + 11.
a x a x
2х + 3 2
Реш е н и е. Разделив числитель на знаменатель, по.пучим 2х + 1 == 1 + 2х + 1 ·
5 2х + 3 5 5 2dx 5 d (2х + 1)
Отсюда 2х + 1 dx == dx + 2х + i === х + 2х + 1 == х + lп 12х + 11.
3 11 х а а
053. 2 х + 4 ln /3 + 2х /. 1054. Ь Ь 2 1п 1 а + Ьх 1. 1055. а х +
Ьа a х 2 х 2
+ a Z lnlax+ f.I056'2+x+2Inlx II.1057'2+2x+]nlx+31.
х' х 3 Ь 2
1058. 4 + з 1 х2+2х+31пlх 11. 1059. a2x+2ablnlx al .
x a
1 5 х dx 5 (х + 1) 1
1060. 1 n I х + 1 I + х + 1 · У к а 3 а н и е. (х + 1) 2 == (х + ])2 dx ==
5 dx 5 dx "1/" 2 "1/" 3
Х + 1 (х + 1 )'! · 106 ' · 2 Ь r 1 у. J 062. 3Ь r (а Ь х) ·
1063. Ух2+1. Решение. S xdx == r d (x 2 +1) == Y x 2 +1.
V х 2 + 1 2 J 11 х 2 + 1
,r In 2 х 1 ( ( 3 ) 1 х У7 2 "У2
1064. 2 J' х + 2 · 1065. .../" arctg х . 1066. V In y y .
J' 15 5 4 14 х 7 + 2 2
1067. 1 ln Уа+Ь+хУа=Ь 1068. x V2arctg .
2 V а 2 b Z V а + ь х у а Ь V2
ОТВЕТЫ
399
1069. ( ' + ' 1 n I а! х' 1) . 1070. х I n (х' + 4) + arctg ; .
1071. 2 2 In (2 у2 х + У 7 + 8х' ). 1072. 5 arcsin (х V ) ·
1 5 х уз У2 з ( , /5 )
1073. "3lпlзх' 21 2У6 IП ХУ3+У2 .1 074. У35 arctg r уХ
i In(5x'+7). 1075. Y5x'+I+ ;5 In(xYS+ Y 5x'+I).
1 1
1076. Ух2 4+Зlпlх+Ух2 41. 1077.21nlx2 5,.1078. 4 1n (2x l +3).
1 1 ах 1 х2 1
1079. 2а 1 n (a x2 + Ь 2 ) + а arctg Ь · 1080. 2 arcsin а 2 · 1081. 3 arctg ха.
2 (arctg ; )'
1082. -} In I х! + у х 8 11. 1 083."3 Y (arcsi" х)'. 108 4. 4 .
1085. 1"(1 + 4х') Y(arc 2х)! . 1086. 2 V In (х + Y l + х'). 1087. ; e т".
IX 1%
1 1 4 2 X 1 89 l + l 1090. а (1 + 2 а a
088. 3 ln 4 · о. е · "2 е х ""2 е ·
( x 2....x )
212 2
1092. 1 n а 3 а + а ·
1091. In а 1" Ь ( :: :: ) 2x.
1
1 1 1 7 ха 1 0 х 2 'v Х I 1 ...Jt I r
2еХ1+1 · 094. 2 ln 7 · 95........ е · 1096. lп 5 5 · 1097. n . ·
Х 4
2 За
1098. ЗЬ У (а ЬеХ)'. 1099. 4" (е а + 1):1 .
1 1 ( 2 Х )
Указание. 2 Х +З== З -1 2Х+З · 1101.
1 / 1 + е Ьх I 1
1102. 2b ln l e bx . 1103. arcsine t . 1104. bcos(a+bx).
,r х I ,r
1105. r 2Siп y2 . 1106. x 2a cOs2ax. 1107. 2siп r х. 1108. Jn 10.cos(lgx).
х siп 2х . 1 х
1109. 2 4 · У к а з а н и е. Положить sln 1 x==2 (1 ........ cos 2х). 1110. 2+
51" 2х 1
+ . Указание. См. указание к задаче 1109.1111. atg(ax+b).
11l2. ctgaax x. Ш3. а In Itg :й /. Ш4. 115 1" I tg ( 5 2 Х + ) 1.
1 I ах+ ь I 1 2 1
1115. (iln tg 2 ' 1116. 2 tg (x). 1117. 2cos(l xl).
1 ,r ..r I х У2
1118. х У2 ctgx у 2 у 21" tg . 1119. In I cos х 1. 1120. In I si"x ,.
1093.
1100. ; 3 I 2 1п (2" +3).
1
1 arctg(aX).
па
400
ОТВЕТЫ
11 21. (а Ь) I n I si n а х Ь /.
1122. 5 1 n I sin 1.
1123. 2In,cos-Vxl.
1124. In I sill (х 2 + 1) 1. 1125. lп 'tg х 1.
а 2 Х . 1 127. Sin 2 4 4 6X .
1126. sin
2 а
1128.
1
4а sin 4 ах ·
1
1129. -з1п (3 + cos Эх).
1
1130. ........ "2 11 cos 2х.
1131. Y(I + 3 cos 2 х)3.
11 3 t 4 Х
32. 4" g 3.
2 ,r
1133. 3 r tg 8 x.
5
1134. 3 ct 3 х . 1135. (t g 3х + со: зх ) . 1136. (1 n I tg а; I + 2 si n ах) .
1 2 3 х 1
1137. За In I ь а ctg 3х 1. 1138. 5" ch 5х "5 sh 5х. 1139. ""2 + 4 sh 2х.
1140. 1" I th ; 1. 1141. 2 arctg е Х . 1142. 'П I th х 1. 1143. 1" ch х. 1144. In I shx 1.
1145. 152 V (5 х 2 )8 . 1146. In I х 4 4х + 11. 1147. 4 5 arctg ; .
1148. ; e X'. 1149. -{ ; arctg (х у ; ) ;3 1" (х уз + У 2+ 3х! ).
х 3 x 2
1150. 3 2+x 2Inlx+ll. 1151. YeX '
1152. l n I х + cos х I ·
11 53. (1" I sec Эх + tg 3х I + sin 1 зх ) ·
1155. In I tg х + ytg 2 Х 2 I .
a sinx V (х З + 1)2
1157. lIla' 1158. 2
1
1154. I ·
пх
1159. ; arcsin (х 2 ).
"'/ 1
1156. v2 arctg (х r 2) 4 (2х 2 + 1) ·
1
1 t 60. t g ах х.
а
1161. х sinx
2 '
1164. : V (l + In х)4.
1162. arcsin t х . 1163. а 'п I tg ( :й + : ) I ·
1 I х2 1
1165. 21п I cos -V х 1 1. 1166. 2"1п tg"2 ·
In 2 ( 1 + х2 )
1167. earctg. + 4 +arctgx.
1 168. 1 n I siJ1 Х + cos х I ·
1171. 1 n I х I + 2 arctg х.
1172. eSin2x. 1173.
1 .t У2
1170. х + '/ ln y .
r 2 х+ 2
5 "/
У 3 arcsin х 3 + у 4 3х!.
'/ I х '/ х
1169. r 2 ln tg ,/(\ 2х r 2 cos "/ .
2 у 2 у 2
ОТВЕТЫ
401
1174. х 1n (1 +еХ).
1 У а Ь ,r
1175. V arctg х + Ь ' 1176. ]п (е Х + r e2X 2).
а 2 Ь 2 а
т ( 2л t ) 1 1 2 + 1п х I
1178. 2л cos Т + <Ро. 1179. 4" lп 2 lп х ·
1
1177. ] n I tg ах 1.
а
( arccos ; у
2 1181. e tgx. 118 2. ; arcsin c ; ).
2 ctg 2х. 1184. (arc n х)2 Vl х 2 . 1185. In (scc х + V sec 2 х + 1).
1 V5+sin2x 1 ( tgX )
1186. ys ln y · 1187. ..r arctg ..r · у к а 3 а н н е.
4 5 5 sin 2х r 2 r 2
dx
S dx S dx ) COS2 Х 2 V У 2 3
1 + 2 . 2 + 2 2 == t 2 + 2 ' t 188. 3 [1 n (х + 1 + х )] ·
cos х Sln х cos х g х
1 1 1 У2 ,r
1189. "3 sh (ха + 3). 1190. ]п з зth х. 1191. а) У2 arccos х при х > r 2;
1 2 /" ../"
б) ]n(l+е Х); в) во (5х2 З)8; r) 3 r (х+l)З 2 r х+l;
1 [ (2Х + 5)12 5 (2х + 5)11 ]
д) ln (sin х + у 1 + sin 2 х). 1192."4 12 11 ·
1180.
1183.
It9З.2 ( v з ха Х 2 +2-V Х 21Пll+VXi ) .1194.IП 2X+1 1 .
2х+l+1
,!" ((}fcsin х)8
1195. 2 arctg у еХ 1. 1 t 96. ln х ln 2 ln 11n х + 2 1 n 2 [. t 197. 3 ·
1198. (еХ 2) уе Х + 1. 1199. ( cos 2 Х 5 )v cosx. 1200.111 1 +; х2 + 1 /'
у к а 3 а н н е. Положить х == +. 120 1. -,r 1 х 2 + ; arcsin х.
1202. 2 -,r 2 х 2 -,r 2 х 2 . 1203. -,r х 2 а 2 aarccos . 1204. аI ccos '
если х > О, и arccos ( ) , есл и х < О *). У к а 3 а н н е. I'оложнТIo х == + .
1205. -,r x2+1 ln I+Vx2+1 . 1206. Y44 x2 Примечанне.
х х
*) в дальнейшем, в аналоrичных случаях, иноrда будет указываться
ответ, rодный лишь для какой нибудь части области существоваНIJЯ ПОДblН-
теrральной функции.
402
ОТВЕТЫ
Вместо
.,
триrонометрическои
можно
применить
лодстзновку
1
х ::::: -- ·
z
1207. ; V l ха + arcsin х. 1208. 2 arcsin V х. 1210. ; V ха аа +
а! 1
+21nlx+Vxz a2\. 1211. xlnx x. 1212. xarctgx 21n(1+x!).
,! 1215. Х Si з П 3х + C OS g 3X .
1213. х arcsin х + f 1 x z . 1214. sin х х cos Х.
х + 1 х 1 n 2 + 1 е 8Х !
1216........ е Х · 1217. ......... 2 Х In 2 2 · 1218. 27 (9х 6x + 2). Реш е н и е. Вмес-
то MHoroKpaTHoro интеrрирования по частям можно применять следующий
способ неопределенных коэффициентов:
S x"e'Xdx == (Ах2 + Вх + С) е' Х
или, после дифференцирования,
х 2 е 3Х == (Ах! + Вх + С) 3е 8Х + (2Ах + В) е 8Х .
Сокращая на е 8Х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х, получим;
1==3А; 0==3В+2А; 0==3С+В,
122 r
откуда А==з; B== 9; С== 27 . в общем виде j Рn (x)eQXdx==Qn (х)е ах ,
rде р n (х) данный мноrочлен степени n и Qn (х) мноrочлен степени п с не-
определенными коэффициентами. 1219. ....... e X (х! + 5). у к а 3 а н и е. СМ. зада-
х
чу 1218*. 1220. ......... Зе 8 (х 8 + 9х2 + 54х+162). У к а з а н и е. См. задачу 1218*.
1221 ........ х СО5 2х + sin 2х 1222 2х! + 10х + 11 . 2 + 2х + 5 2
· 4 8 ' · 4 51П Х 4 cos х.
у к а 3 а н и е. Рекомендуется также применить способ неопределенных коэф-
фиuиентов в виде
S Р п (х) COS x dx == Qп (х) cos x + R п (х) si" x.
rде Р n (х) данный мноrочлен степени п, Qn (х) и Rn (х) мноrочлены сте-
пени п с неолределенными коэффициентами (см. задачу 1218 *).
х 8 х' lп х 1
1223. 3 lnx 9" · 1224. х lп 2 х 2х In х + 2х. 1225. ......... 2х ! 4x l .
xZ+l х х!
1227. 2 arctg х 2 · 1228. 2 arc sin х......
1229. х lп (х + Уl +х2) Уl + x l .
1226. 2VXlnx 4Yx.
1 + х ..r z
4 arcslnx 4 t' 1 х ·
1230. .........xctgx+lnlsinxl.
1231. ......... + 1п I t .!... j . 1232. eX(sin х cosx)
SIП Х g 2 2 .
1234. е ах (а sin Ьх Ь cos Ьх)
а ! + Ь' ·
1233. ЭХ (sin х + cos х In 3)
1 + (1 n 3)1: ·
ОТВЕТЫ
403
1235.
х е х 2
2 [sin (1п х) cos (1n х)]. 236. 2 (х 2 + 1).
( 8 х! +3х ) 1пх 8 + ! 3х. 1239.
]nZx 21пх 2
- -
х х х
1237. 2е УХ (УХ t).
1238.
х 2 1 1 I х I
2 ln 1 + х х.
1240.
1241. [ln ОП х) 1] .ln х.
ха х 2 1 1 + х 2
1242. 3" arctg 3х 18 + 162 ln (9х ' + 1). 12 43. 2 (arctg х)2 х arctg х +
+ 1п (l + х!). 1244. х (arcsln х)! + 2 у 1 х! arcsln х 2х. 1245. aTC n х +
+ 1п х 1 . 1246. 2Уl х arcsin ух + 2 уХ: 1247. х tg 2х +
I+Yl x2 2
+ 1п I c s 2х I 8 . 1248. е;х ( cos?x 2 sl" 2х 1 ) . 1249. ; +
х cos (2 lп х) + 2х sin (2 lп х) х 1
+ 10 .1250. 2(x2+1) +2tlrctgx. Решение. По-
x 1
лаrая и == х и dv == (х ! + 1)2 ' получим du == dx и v == 2 (х 3 + 1) ·
S r dx х S dx х I
сюда (х 2 + 1 )2 == 2 (х 2 + 1 ) + 2 (х 2 + 1) == 2 (х 2 + 1) + 2' arctg х + с.
1251. 2 1 2 ( arctg.!f... + 2 . ) . у к а з а н и е. Использовать тожjtе-
а а а х а
1
етво 1 == 2 [(х ! + а 2 ) xZ].
а
Or.
х а 2 х
1252. "2 V а 2 х 2 + 2 arcsin а. Ре.
,r x
шеи не. rоложим и== r a2 x2 и dv==dx; отсюда du== v и
а 2 х 2
V == х; имеем S 11 а 2 х 2 dx == х 11 а 2 х 2 S х 2 dx == х 11 а 2 х 2 ....
11 а 2 х 2
S (а! х 2 ) а ! S S dx
i dx == х у а 2 х 2 У а 2 х 2 dx + а 2 у' . С лед о-
а 2 х 2 a w х 2
вательно, 2 S х 2 dx ==х У а 2 х 2 + а! arcsln . 1253. У А + х 2 +
+ 1п I х + у А + х 2 1. у к а 3 а н и е. См. задачу 1252*. 1254. У9 х!+
9 . х 1 x+l
+ 2" аrСSIП 3" · у к а з а н и е. СМ. задачу 1252*. 1255. "2 arctg 2 ·
1256. In I х 2 /' 1257. y I arctg 6у:п 1 . 1258. In(x! 7х + 13)+
7 2x 7 3
+ уз arctg уз · 1259. "2 1n (х 2 4х + ) + 4 arctg (х 2).
404
ОТВЕТЫ
5 9 2х+3
1260. x. 2 1п (х 2 + 3х + 4) + У7 <нctg У7 . 1261. х + 31п (х2 6х + 10)+
1 . 4х 3
+ 8 Jrctg (х 3). 1262. J72 щsш 5 ·
1264. 1п I х + + у х 2 + рх + q 1.
1 266 2 ... /" 1 2 9 . 2х + 1 2 7
· r х х arCSln У5' 1 6 ·
+ 5 5 In (х У5 ;5 + у 5х2 2х + 1 ) · 1268.
1263. arcsin (2х ...... 1).
1265. 3 У х 2 4х + 5.
1
у 5х2 2х + 1 +
5
х
ln .
1 + Уl х 2
2 х 2 х .../" 1
1269. arcsin / . 1270. аrсsiп y (х > r 2). 1271. arcsin х + l'
х}5 (l x) 2
1272. х t 1 11'" х' + 2х +5 + 21n (х + 1 + у х 2 + 2х +5 ).1273. 2Х; I Y x x2+
+ 1 . 2 1 .... 2х + 1 ...r, 2 9 . 2х + 1 1 1 I X2 3 1
ваrСSIП ( х ). 12/4. 4 r 2 x x +Safcsln 3 . 1275 . "'4 n х2=1 ·
1 3 Sifl Х ( l...r )
1276. "'/ 3 arctg 1277. ln е" + 2 + r 1 + е" + е 2Х .
r }/3
1278. lп I cos х + 2 + У cos 2 Х + 4 cos х + 11. 1279. Yl 4 ln х ln 2 х
. 2 + In х 1 I х + ь I
2arcsln У5 · 1280. a b ln х+а (а у!::. Ь). 1281. х+31пlх ЗI
1 I (x 1)(Х+З)1 j I (x l)t(x 4)51
31nlx 21. 1282. Т2 1п (x+2) · 1283.1n ( х+зр 1.
I 1 161
Х 2 (х 4) 6 1 I х I 1
1284. 5х + ln 7 . 1285. 1 + х + ln х + 1 . 1286. 4 х +
(х 1) 3
1 I Xl6 I x 11 8 9
+ 16 (п (2х 1)1 (2х + 1)9 . 1287. 2 (х 2)2 Х 2 . 1288. 2 (x 3)
1 8 27 30 I x 5 1 1
2 (х + 1) · 1289. 49 (х 5) 49 (х + 2) + 343 (п х+2 . 1290. 2(х2 Зх+2)! '
1291. х + In Ух' Х + 1 )' 1292. х ++ In 1 ; +- I ; Jrct x. 1293. 512 1nlx 31
1 1 7 1 (х + 1)!
20 (п 'Х 11 + 65 (п (х 2 + 4х + 5) + 130 arctg (х + 2). 1294. 6 1n х 2 х + 1 +
1 2х 1 1 х"! + х У2 + 1 vi х -У2
+ ./ Jrctg Y · 1295. Y In ./ + Tarctg 1 х"
у 3 3 4 2 х 2 Х r 2 + 1
ОТВЕТЫ
405
1 хl + Х + 1 1 х! 1 х arctg х
1296. "4 \п х 2 Х + 1 + 2 уз arct g x уз ' 1297. 2 (l + х 2 ) + 2
2x l , х+2
1298. 2(х2+2х+2) +arctg (х+ 1). 1299. 1п х+l f + З (х 2 +х+I) +
5 2х + 1 1 2 3х 17
+ зуз аrсtg уз 21п(х +x+l). 1300. 2(x2 4x+5) +
1 15 x2+x 1
+ 2 1п (х 2 4х + 5) +2 arctg (х 2). 1301. 4 (х + 1) (х2 + 1) T 1n /х + ll
1 1 3 х 3 I X 1 1
T 1n (x 2 + 1) +4 arctg х. 1302. 8" arctg х 4 (x 1) ........ Т6 1п х + 1 4
15х 5 +40х а +ззх 15 х з 2
1303. 48 (1 + х2)3 + 48 arctg х. 1304. х х2 2х + 2 + 21п(х 2x+2).+.
1 1
+ arctg(x I). 1305. 21 (8IпlхЗ+81 lпlх3+11). 1306. 2Inlx4 11
1 8 4 1 ] 2х4 + 1 У5 13 3
....... 4 \п Ix + х 11 y n y · 1307. 2 ( 4)2 +........ +
2 5 2х 4 + 1 + 5 x X &f
I X 4 1 1 ( j X8+1 1 1 1 ) I
+21п x 2 . 1308. 3 21п ха x8 xa+l . 1309. x l +
I X 2 1 1
+]п х 1 . 1310. ]п I х I '7 ln I х 7 + 11. у к а 3 а н и е. Положить
1 1 1
1 == (х 7 + 1)...... х 7 . 1311. ]п 1 х I 5 In 'х 5 + 11 + 5 (х 5 + 1) ' 1312. заrсtg(х+l)
1 x+l 1 1 1 1
...... б-аrсtg 2 · 1313. ...... 9 (х 1)9 4 (х 1)8 7 (х 1)1 . 1314....... 5XS +
1 1 .. r [ ( х 1) 8 3 (х 1)2 ]
+ 3 8 х ...... arc tg х. 1315. 2 t' Х 1 7 + 5 + х .
1316. 1:a2 [2V(ax+b)5 5b V(ax+b)2]. 1317. 2arctg У х +I .
1318. 6Vх+3V х +2у х 6\п(1+VХ). 1319. xVx
VX5 V x2 +2Yx 3 Vx 6 V x 31n 11 + V xl+
+ 6 V 1320. ln (Y X+l 1)2 1 2 arcta2yx I+1.
arctg х. х + 2 + ух + 1 уз Ь уз
1321. 2 ух 2 v2 arctg у ; . 1322. 2 arctg Y l x:
-v х 2 1 1 "lj ' 2 1 Z2 + Z + 1
1323. 2 (х 2) + 2 I n J х + t' Х 1 ,. 1324. 3" ln (z 1 )2 +
2 2z + 1 2z V х + 1 1325. У 2х 3 .
+ ! arctg у + 8 1 ' rде z == 1 ·
.,3 3 z X Х
406
ОТВЕТЫ
1326. 2х+3 Y x2 X1 1 1п (2x 1+2 Y x2 x+l ).
4 8
1327. ...... 8+4х2+Зх4 Уl х2 1328. ( х хз + х Б ) уl+х2......
1 5 · 16 24 6
5"1! ( 1 3 ) 1! 3. 1
16 lп (х + , 1 + х2), 1329. 4х 4 + 8х 2 r x2 1 ......8. arCSln х . 1330.
2(X 1) 2 Yx2+2X aI(Sin X 1 .1331.R +lnIXI + ; lп (x +R)
ln ( 1 2 Х +R ) , rде R== Yx2 x+l. 1332. 1 I +х2
2Yl +2x t .
1 j/x 4+1+1 1 4 4 (2x2 1) Yl+x l
1333. 4 lп j/ 2 alctg j/x +1. 1334. Зх 3
х 4+1 1
1335. .!. lп (z 1 )2 + V з arct 2z l , rде
10 z2+z+1 5 g уз
1336. 4+3х З , . 1337. 2 V (х : + 1)2. 1338. sln x 3 1 sin3x.
8 х (2 + хз) /8
2 3 1 5 SiCl3 Х si п 5 х 1 х
1339. СОSХ+зСОS x 5cOS х. 1340. ...... 5 · 1341. 4COS82
6 134 2 sin2 х 1 21п \ sin х 1 . 1 3 4 3 . ...... sin 2х + sin 4х
3 cos 2 . · 2 2 Sifl 2 Х 8 4 32.
х sin 4х х sin 4х sin 3 2x 5 1
1344. 8 32 . 1345. 16 64 + .18 · 1346. 16 х + 12 sln 6х +
+ i4 sin 12x l siп З 6х. 1347. ctg х ct х . 1348. tg х + ; tg З х + i tgix.
ctg 3 Х ctg 5 Х tg 3 Х 1
1349. 3 ...... . 1350. tgx+ 2ctg2x. t351.2tg2x+31"ltgxl
2 t: 2 х 4 t 4 х ' 1352. cos: х + 2 lп I tg 1. 1353. 2 [In I tg I +
2
cos х 3 cos х 3 I х I
1354. 4 . 4 ...... 8 . 2 + 8 1" tg 2 ·
51П Х sln х
sil1 4х 3 sin 4х 3 I ( 1t ) I 1
1355. 16cos 4 4x + 32cos 2 4x + 32 1 " tg 2х+т, 1356. stg5x........x.
cta 2 Х. 1 3 х
1357. T lnJ Slпхl. 1358. .....3 ctg 3 x+ctgx+x. 1359. 2" tg 2 3+
I Х Х 1 I Х I х2 si n 2х2 ctg 3 Х
+ tg з 3 tg 3" + 3 n С05 з +х . 1360. 4 8 1361. ...... 3 .
1362. v cos& Х + : v С05 1О х 136 V С05 18 Х . 1363. 2 Y tg х.
z==V l + x6 .
+ lп I tg ( ; + ) 1] ·
OTBITbJ
407
f 364.
1 l 22 + Z У2 + 1 1 t z v2
л aTC g
2 v2 Z2 '1 V 2 + 1 у 2 Z2 l'
cos 8х + cos 2х 1366 sin 25х + sin 5х
16 4. · 50 1 О ·
rде z == Y tg х.
1365.
':J 7 3 . 5х + 3 · х
1 6 · 5 SIП 6 SIП 6" ·
1371. sin х + sin 5х + sin 7х
2 20 28.
х
1 2 + tg""2
1373. ]п
4 х
2 tg 2
1368. 2 3 cos Х 3 2 1 cos х. 1369. siп 2ах + х cos 2Ь . 1370. t cos <р sin (2wt+ч)
4а 2 2 400.
111
1372. 24 cos 6х 16 cos 4х 8 cos 2х.
1374. J 2 I n I tg ( ; + ) 1.
х
1375. х tg 2 .
1376. x+tgx+secx. 1377. 1л
х
tg 5
2
х
tg 3
2
1378. 8rctg ( 1 + tg ; ) .
1379. :; Х 15з ln 12 sl" х + 3 cos х 1. Реш е НII е. Положим 3 si" х +
+ 2 cos Х == а (2 sl" х + 3 cos х) + р (2 sin х + 3 cos х)' . Отсюда 2а З == 3,
12 5 5 3 sinx+2cosx
За +2 ==2 и, следовательно, а ==13 ' == 13 . Имеем 2Siпх+зсоsх dх ==
12 S 5 S (2 sin х + 3 cos х)' 12 5 .
== 13 dx тз 2 siп х + 3 cos х dx == 13 х 13 ln 12 SIП х + 3 cos х 1.
1380. ln I cos х sl" х 1. 1381. arctg C Х ) . у к а з а н и е. ЧИСЛIJ-
тель и знаменатель дроби разделить на cos 2 Х. 1382. "'/15 arctg (JfV: Х ) ·
1 2tgx+3 V 13
у к а э а н и е. См. задачу 1381. 1383. ,f" lп vтз . у к а з (:.
r 13 2tgx+3+ 13
1 I tg х 5 1
н Jt е. См. задачу 1381. 1384. 5 ln tg х . у к а з а н и е. См. задачу 1381.
1385. 1 1386. ln (l + Si"2 х). 1387. 1 ln y + sl" 2х .
2 (1 cos х)! · 2 У 2 -v 2 si n 2х
х х
1 5 sin х 2 2 tg "2 1 1 3 tg 2" 1
1388. 4 ln 1 siп х . 1389. -У3 arctg уз У2 arctg 2 У2 · у к а-
1 1 1
э а н и е. Использовать тождество (2 sin х) (3 sin х) 2 sin х 3 sin х .
х
tg 2
1390. х + 2 In У к а з а н и е. Использовать то:ждество
х
tg 2 + 1
408
ОТВЕТЫ
1 sln.x + cos х == ...... 1 + . 2 . 139to ch a х ch х. 1392. Эх +
1 + sin х cos х 1 + 81Н Х ...... cos х 3 8
+ sh 2х + sh 4х sh 4 х Х sh 4х I х I 1
4 32. 1393. 4' 1394. ...... 8 + 32. 1395. In th 2 + ch х ·
th 2 Х cth 3 Х
1396. ...... 2 cth 2х. 1397. ln (c11 х) 2' 1398. x cthx 3 . 1399.arctg(thx).
2 ( 3 tl1 + 2 ) ( 2 t ( Х ,r 5 )) 1401. Sh 2 2 х
1400. У- 5 arctg v-б или yr 5 arc g е r ·
sh 2х х
2 ·
у к а з а н и е.
Использовать
ТО}J<дество
1
sh х ch х ;:::
е= 5h Х + CI1X. 1402. J 2 111 <у"2 ch х + -V- ch 2х ) . 1403. х t 1 УЗ 2х х' +
. х + 1 х ...! r х ,!
+2 arCSIf1 2 . 1404. 2 r 2 + х 2 + 1 n (х +"" 2 + х 2 ). 1405. 2 r 9 + х 2
111 (х + -У9 + х') . 1406. х 2 1 -..! х' 2х + 2+ 111 (х 1 + v x' 2x+2).
1407. Yx2 4 2111Ix+Y x' 4 1. 1408. 2xtlVX-+Х
111 \2х + 1 + 2 ух' + х 1 . 1409. х -; 3 ух' 6x 7
81111 х 3+ "Ух' 6х 71.1410. i4 (2х + 1) (8х 2 + 8х + 17) ух' +x+l+
27,! У Х 2 х 1
+ 128 1n (2x+I+2 r х 2 +х + 1). 1411. 2 1 · 1412. V ·
х ...... 4 x 2х + 5
1 х 11"2 1 1 r 1 + x + х VJ I
1413 V 2 arctg Уl х. · 1414. 2 У2 11 -Уl + х' х v2l '
1415. е;" (x 2х' +5х. 5х+ ; ) . 1416. (х з + ! 51" 6х+
х 1 ) 1417. х cos Эх + sin Зх + х cos х siп х
... 6 cos 6х 36 sin 6х · 6 18 2 2'
е?Х
1418. 8 (2 sin 2х ...... cos 2х).
4 si r1 4х + cos 4х )
17 ·
1419. е 2 " ( 251" 2Х;; СО5 2х
х
t 420. е 2 [х (siп х + cos х) siп х].
х
1421. 2+
+ 1111 е" 11 + 111 (е" + 2).
1422. х lп (2 + е Х + 2 11" е'!Х + х + 1).
1423. [Х 3 111 : ; + 111 (l х!) + Х 2 ] .
t 424. х ln (х + у 1 + х:!)
ОТВЕТЬ!
409
...... 2 Уl + х! ln (х+ V 1 + х 2 ) + 2х.
1425. ( ! I O ) arccos (5х 2)
5х + 6'1 О ....... 5 z..... 3 1 42 6 sin х ch х ....... cos х sh х 14 27 J 1 Х
100 r 2 х 2 х .. 2 .. п 2 (n 1) а 2
Х [ (хз+:!)п 1 +(2n 3)/п 1J; 1'2== 2 !C! a! + arctg : }
1 [ Х (3х2 + 5а:!) 3 х ] cos х sin п 1 х n ....... 1 .
1 а 4 2 2 2 ( 2 + 2)2 + 2 з arctg · 1428. / rl +, n 2'
а а х а а а II n
1 Эх cos х sin 3 х 3 sin 2х. / cos х sin 4 х 4 . 2 8
4 8 4 16 ' 5 5 15 cosxstnx 15 c()Sx.
1. 2 :: Х + ; 1 n I tg ( ; + )1;
sin х n ....... 2
1429. 'n == ( 1)' n l + 1 /n 2;
n cos х n
1 4 == sin х + ! t g х. 1430. / n == xпe X + п! п 1; '1 0 == e X (х 1О + 10xIJ +
3 cos 3 х 3
+ 1 О .9 х 8 + . . . + 1 о · 9. 8. . .2х + 1 о . 9. . . 1).
1431 t У2(х 1)
· ../ arc g ../ .
r 14 r 7
(х 1)2 I ( 1 \
1432. ln Y x2.......2x+2.......4arctg( x 1). 1433. 2 +T 1n х!+х+ 2 )+
1 1 ... / х 2 I х + 3 I 1 1
+2arctg(2x+l).1434.S1n r х2+Б . 1435.21n х+2 х+2 х+З .
1435. ; (In/ r x x t: 1 X l )' 1437. + (X' 2 + ;2 arctg A ).
1 ( 2х ! Х+l l) 1 x 2 1 2x l
1438. "4 1 х! + ln х....... 1 . 1439. "6 (х 2 Х + 1)2 + "6 х! Х + 1 +
+ 2 . t 2х 1 1440 х (3 + 2 -УХ> t 441 ....... 4
3 VЗ arc g VЗ · . 1....... 2 Ух · · х 3х Ух 2х!.
,
1442. lп (х + ; + -у Х! + Х + 1 ) · 1443. -у 2х V(2x)S . H44. V + l .
1445. -у 2x l . 1446. 2(V 5 x 1)! 4In(1+V 5 x).
4xz 2 x 1
1447. lп I Х + -у Х! 11 -у Х .
х 2 1
1449 1 . х! + 1 14 r: o х ....... 1
,. 2 arcstn ..m. t} · ,! ·
r 2 r х 2 + 1
1 . 2(x+l)
8 V 3 arC Sln х + 4 · У к а 3 а н и е.
1452. -YX! 9 ; lп 'X+-YX3 91.
1 .../ 1.
1453. 16 (8х ....... 1) r х 4х! + 64 arCSln (8х 1).
1448. ....... 1 jr 1 х!
2 " 1 + х 2 ·
1451. ln Y4 x2 2
8 х
1 1 ( 1 1 ) '
х 2 +4х==4 x x+4.
410
ОТВЕТЫ
1454. In I
х+ 2+ 2 X2 +х + 1
(Xtl) VX2+2X+2 1"(X+I+V X2+2X+2 ).
1455. (х 2 + 2.t + 2) V х 2 + 2х + 2
3
1456. V 2 1 ........
х
Y(x2 1)3 1457. 1п "yl x' 1 1458. з l 1ПIZ 11+
3х 3 3 -v 1 х' + 1
1 2 1 2z + 1 V 1 + ха
+ 61" (2 +2+ 1 ) V 3 arctg VЗ · rде 2== х ·
1459. 1" (х 2 + V 1 + х 4 ). 1460. э; + Si 2х + Si :X .
1461. I 1 t I t 2 1 t 4 1462 t 2 У (ctg х)8
n g х с g х "4 с g х. · с g х 3 ·
1463. ) 5 2 (COS2 х 6) V ' COS2 х. 1464. cos 5х 3 cos 5х + lп I tcr 5X I
20 sin 4 5х 40 Sifl 2 5х 40 ь 2 ·
tg 8 Х tg 5 Х 1 ( х 1t )
1465.3+5. 1466. 4 sin2x. 1467. tg 2 2+4 +
х
I ( х 1t ) I 1 4 tg 2 1 1 ( 2 tg Х )
+ 21п cos 2" + 4 · 1468. 1/ 3 arctg уз · 1469. Vl0 arctg -v 10 ·
1 1 2
1470. arctg (2 tg х + 1). 1471. 2 ]п I tg х + sec х I "2 cosec х. 1472. У 3 Х
( t g ) 1 ( t g )
Х arctg J/ 3 - Y 2 arctg 172 · 1473. 1" I tg х + 2 + Jf tg" Х + 4 tg x+l/.
1474. 1" (sl" ах + Jf а 2 + sln' ах). 1475. х tg Эх + ; 1" I cos Эх I .
1476. х2 х sin 2х cos 2х 1 4 77 х 3 . 14 78. e2. 1 х1 Х
4 4 8 " 3 е 4 (2х ). 1479. "3
1 х 3 х 2 Х
ХIП-VI Х 61пlх 11 IВ Т2 6 . 1480. Vl+x2arctgx
I + ,! + 2 1481 1. Эх 1. 5х ]. х 148 1
n (х f 1 х ). . SIП Sln SlП 2
3 2 10 2 2 2 · · 1 + tg х
sh 2 х I 1
1483. lп, 1 + ctg х I ctg х. 1484. 2 . 1485. 2 ch} 1 х. 1486. "4" In ch 2х.
1 х 1 1 оХ 3
1487......... х cth x+ln I sh х 1. 1488. 2еХ 4+41п I е Х 2/. 1489. 2nfctg " 2
4 4 1 1 + 2 Х ] О 2Х
1490. 7" V(e X + 1)7 3 V (e. + 1)3. 1491. lп 4 l n 1 2 Х . 1492. )п lO X
( х 1 ) -v e + J 1
Х х" 1 + 1" 10 + 21"2 10 ; · 1493. 2 Уе-' -т 1 + 1" Jf е Х + 1 1 ·
ОТ8ЕТЫ
411
J 494 I х arctg х 1495 1 (4 . 1 + х2 + 2 )
· n .. 4 \ х arCS1n x 3 V х! 1 .
Уl +х2 х
1496. ; (cos ln х + sin In Х). 1497. ; ( r С05 5х + х sin 5х+
2 3' 1 [
+ 3Х cos 5х+ 25 cos 5х "5 sin 5х ) . 1 498'"2 (х 2 2) arctg (2х + 3) +
+ : In(2xz+6x+5) ; ].1499. VX xz+(x )arCSinV X. 1500. X XI .
rлава v
Т2 210 1
1501. Ь а. 1502. voT g - 2 . 1503. 3. 1504. lп 2 . 1505. 156. У к а 3 а-
н и е. Отрезок оси ОХ от х == 1 до Х == 5 разбиваем на части так, чтобы абс-
циссы точек деления образовали rеометрическую проrреССИIО: хо == 1,
x 1 ==X O q, x 2 ==X O q!, ..., xn==xoqn. 1506. ln!:. Указание. СМ. зада-
а
чу 1505. 1507. 1 cos Х. У к а з а н е. Использовать формулу sin а + sl" 2а+...
...+sinna.== 2 i 1 а. [С05 СО5 (n+ ) а.] · 1508. 1) : == I a'
S"2'
2) d/ 1 1509 1 1 О У + 4 x4 xl cos Х
db ln Ь · · n х. 51. 1 Х · 1511. 2хе е · 1512. 2 ух +
113
+ хl cos xl . 1513. Х == nл: (n == 1, 2, 3, .. .). 1514. ln 2. 1515. 8.
1516. е Х e X == 2 5Ь х. 1517. sin х. 1518. . Реш е н и е. Сумму s" ==
1 2 п l 1 ( 1 2 n 1 )
== '""2 + ! + · · · + ! == + + · · · + можно рассматривать
ппп n n '! n
как интеrральную для функции f (х) == х на отрезке L 0,1 }. Поэтому Нт Sn ==
n --+ 00
1
S 1 l 1
== xdx==2:. 1519. ln2. Решение. Сумму Sn== п+I + n+2 +...+
о
+ + 1 == \ f 1 I + 1 2 + .. . + 1 ) можно рассматривать как ИН-
ппп I+ I+ 1+
ппп
1
теrральыую ltJ'HI функции f (х) == 1 + х на отрезке [О, 1], rде точки деления
1
k S
имеют вид Xk =: 1 + (k == 1, 2, ..., n). Поэтому liт Sn == 1 + Х == I n 2.
n n--+оо
о
1 7 100 1 7 16
1520. Р + 1 · 1521. 3 · 1522. 3== 333" · 1523.""4. 1524. з.
2 1 2 9 1
1525. 3. 1526. 2 1n 3 · t 527. In"8. 1528. 35 15 321n 3. 1529.arc tg з......
1 4 п 1 п
.......arctg2==arctg y . 1530. ln 3. 1531. 16 . 1532. 1.... уз . 1533. 4-
412
ОТВЕТЫ
1534. : . 1535. \п 1 + ;5 1536. + . 1537. . 1538. \" 2.
8 п п
1539. 1 cos 1. 1540. О. 1541. 9 УЗ +"6' 1542. arctg е "4' 1543. shl =
== (е ) . 1544. th (ln 3) th (lп 2) == ; . 1545. + sh2п:. !546.2.
1
1547. Расходится. 1548. 1 ' если р < 1; расходится, если p 1.1549. Рас-
p
л 1
ходится. 1550. 2. 1551. Расходится. 1552. 1. 1553. Р 1 ' если Р> 1; рас-
J't
ходится, если р";; 1. 1554. 31:. 1555. -У5 . 1556. Расходится. 1557. Расходится.
1 1 1 1[2
1558. lп 2 . 1559. Расходится. 1560. lп а .1561. Расходится. 1562. k .1563.8"".
1 1 2
1564. 3 +""4 ln 3. 1565. 3 уз . 1566. Расходится. 1567. Сходится. 1568. Рас-
ходится. 1569. Сходится. 1570. Сходится. 1571. Сходится. 1572. Расходится.
1
2 1
1573. Сходится. 1574. У к а 3 а н и е. В (р, q) == f (х) dx + f (х) dx, rде
о 1
-
2
f (x)==xP 1 (1 X)q l; так как liт f (х) xl p== 1 и Вт (1 х)l Ч f (х) == 1, то
X O X l
оба интеrрала СХОДЯТСЯ при 1 р < 1 и 1 q < 1, т. е. при р > о и q > о.
1 00
1575. У к а з а н и е. r (р) == f (х) dx + f (х) dx, r де f (х) == х Р 1 е х . Пер вы Ii
о 1
интеrрал СХОДИТСЯ при р > О, В1 орой при р произвольном. 1576. Нет.
1t
2 2 lп з
1577. 2 Y2 S у7 dt. 1578. S -у dt. . 1579. r dt. 1580.
1 + SI11 2 t J
1 1t lп 2
00
r f ((]fctg t) d
J 1 + t Z t ·
о
1 л л а 2 1t
2+ 4". 1593. 8' 1594. "2
; '(е " + 1). 1603. 1. 1604. а2 Ь 2 .
00
1605. tТ Ь2 ' 1606. Реш е н и е. r (р + 1) == S XPe X dx. Применяя формулу
о
интеrрирования ПО частям, полаrаем х Р == и, е x dx == dv. Отсюда
du == pxP l dx, v == е x
6
9 п
1581. х == (Ь а) t + а. 1582. 4 2 lп 3. 1583. 8 2 уз л. 1584. 2 2 "
1t 1t :rt ../ 1t
1585. ..f . i 586. -v · 1587. 1 4 ' 1588. r 3 3 . 1589. 4 J't.
r 5 2 1 + а 2
1 7 t- 2 117
1590. 5 1n 112. 1591. In 9 . 1592.
1t е 2 + 3
1599. 2 1. 1600. 1. 1601. 8 .1602.
ОТВЕТЫ
413
и
00
r (р +]) == ( xPe X] + р xP le X dx:= pr (р). (*)
о
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и учи-
тывая, что
00
r (1) == e X dx==],
о
получим:
r (р + 1) == рl
1 · 3 . 5. . . (2k 1) 3t
1607. /2k== 2.4.6.. .2k 2"' если n==2k число четное:
/ 2.4.6...2k 2k+1
2k+l==I.З.S...(2k+l)' если п== число нечетное.
128 63л
19== 315 ; '10 == 512 ·
(р 1)1 (q l)! 1 ( т + 1 п + 1 )
1608. (р + q 1) 1 · 1609. 2 В 2 ' 2 . У к а з а н и е. Положить
siп 2 х == t. 1610. а) Плюс; б) минус; в) ПЛIОС. У К а 3 а н и е. Начертить rрафик
подынтеrральной функции для значений aprYMeHTa на отрезке интеrрирования.
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612. ; . 1613. а. 1614. ; . 1615. .
. 1 2 2 2 2
1616.2 аrСSIП з . 1617. 2 < / < У5. 1618. 9" < / < 7' 1619. 13 11:< 1 <т п .
л!
1620. О < 1 < 32 ' У к.а 3 а н и е. Подынтеrральная функция монотонно растет.
1 t 1 ' / -v 2 32 1 У У
62 . 2 < < . 1623. s == З' 1624. 1. 1625. 2 . к а 3 а н и е. честь
знак Функuии. 1626. 4 . 1627. 2. 1628. In 2. 1629. m'ln 3. 1630. ла'. 1631. 12.
4 ! 1 2 32 п 1
1632. 3 р. 1633. 42"' 1634. 10з. 1635. 4. 1636. 3' 1637. 2 З.
1 ...r ...r 3
16:i8. е + е 2 == 2 (ch 1 1). 1639. аЬ [2 у 3 ln(2+ r 3)1. 1640. 8 na l .
У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 27. 1641. 2а 2 е 1. 1642. а'. 1643. 15л.
1644. ; IпЗ. 1645. 1. 1646. Зла". Указание. См. приложениеVI,черт.23.
1647. а 2 ( 2 + ) . У к а з а н и е. См. приложение VI, черт. 24. 1648. 2л + :
4 16 4 VЗ 32 4 уз 3 !
И 6n 3' 1649. 3 л 3 и з- Л + 3 · 1650. 8 паЬ. 1651. 3ла.
3 .
1652. л (Ь 2 + 2аЬ). 1653. 6ла 2 . 1654. 2 a Z . у к а 3 а н и е. Для петли параметрt
3
меняется в пределах О t + 00. См. приложение VI, черт. 22. 1655. 2" ла!,
414
ОТВЕТЫ
у к а э а н и е. См. ПРИJJожение VI, черт. 28. 1656. 8 л :J а 2. У к а э а н и е. См. при.
ла 2 ла 2
JJожение VI, черт. 30. 1657.8. 1658. а 2 . 1659. т. у к а э а н и е. СМ. при-
9 14 8 У2 2 лр2
ложение VI, черт. 33. 1660. 2 л. 1661. 3 а . 1662. )3/
(1 е 2 2 ·
1663. а 2 ( + ). 1664. п У2. у к а з а н и е. Перейти к полярным коор-
динатам. 1665. :7 (10 -vw 1). 1666. Yh 2 а 2 . у к а 3 а н и е. Испо льзовать
формулу ch2a sh2a==l. 1667. Y2+ln(I+V 2) . 1668. Yl+e2 V2+
+ In (Yl +е 2 е 1 ) (У2+ 1) . 1669. 1 + ln : . 1670. lп (е + у eO 1) .
...r 1 а.../
1671. ln (2 + у 3). 1672 4 (е 2 + 1). 1673. а lп ь. 1674. 2а r З:
е 2Ь 1 sh Ь 1
1675. ]п 2а 1 + а Ь == ln h . 1676. 2 аТ!. У к а з а н и е. СМ. приложе-
е s а
4 (а 3 Ь 3 )
ине VI, черт. 29. 1677. a . 1678. 16а. 1679. лаУ1+4n ' +
+ In(2п+Y l+4п 2 ). 1 680. 8 а. 1681. 2а[У2+lп(У2+т.1682. У;+
3+ v5 а Уl + m Z 1 'Лcr 4 2
+ In 2 · 1683. т . 1684. 2 [4 + lп 3]. 1685. 30 . 1686. з лаЬ ·
1687. a::rt (е 2 + 4 e O). 1688. : :rt 2 . 1689. V x == : . 1690. v y == :rt.
п 16ла 3 32 з 4 з 3
1691. V x == 2; V v == 2п. 1692. . 1693. 15 па. 1694. 3 лр. 1695. 10 'Л'
1696. 1t;2 (15 16 1 n 2). 1697. 21t Z a 3 . 1698. 1t 2H . 1699. : :rth 2 a. 1701. а) 5:rt 2 a 3 ;
б) 6 3 3. па 3 2 6 1 32 з 1 703 8 з 1704 4 !
'л а, в) 6 (9л 1 ). 702. 105 ла · . 3 па · · 2Т ла .
h ( А Ь + аВ " па bh 128 3 8 2
1705. 3" АВ + 2 + аЬ ) · 1706. 3 · 1707. 105 а. 1708. зла Ь.
1709. } 1ta 2 h. 1710. 136 а 3 . 1711. :rta" ypq. 1712. :rtabh (1 + : ) .1713. : 1tabc.
8п ( .../ ) 16 .../ .../ "'/
1714. 3 у 173 1 ; 3 ла 2 (5 r 5 8). 1715. 2п [у 2 + lп (у 2 + 1)1.
I
1716. n (Y5 У2) + л ln 2 (1 ! + 1) . 1717. n [J/2 + ln (1 + У 2) ].
. У5 + 1
'Ла 2 nа 2 12 л
1718. Т (e2 e 2+4)== 2 (2+sh 2). 1719. "5 'Ла 2 . 1 720. 3" (е 1) (е 2 + е + 4).
1721. 4л 2 аЬ. У к а з а н и е. Здесь у == b::l: У а 2 х 2 . Взяв знак плюс, получим
внешнюю поверхность тора, а знак минус получим внутреннюю поверх-
2п аЬ . n Ь 2 I + е
ность тора. 1722. 1) 2пЬ 2 + аrСSIП 8; 2) 2п:а! + In 1 ,rде
8 8 е
ОТВЕТЫ
415
f а! Ь 2 64ла! 32
8 == а (эксцентриситет эллипса). 1723. а) 3 ; б) 16л:!а 2 ; в) -з лаl .
1724. 1 8 па!. 1725. 2па! (2 f2). 1726. 1 8 па!. 1727. М х == : f а l + Ь" ;
а аЬ 2 aZb а 8
М У ==2 fa!+b z . 1728. ма==т; мь==т. 1729. Mx==MY=="G1
а 3 2
х =:у ==3. 1730. МХ==МУ==Б- а 2 ; х ==у ==Ба. 1731. 2ла Z . 1732.х==0;
.... а 2 + sh 2 ..... а sin а ..... ...... 4 "r 4а
у ===-т sh 1 .1733. х == а ; у == о. 1734. х == па; у == 3 а. 1735. А; == Зп ;
4Ь 9 ..... .... 5 ( а )
у == 3л . 1736. х == у == 20 · 1737. х == па; у == 6 а. 1738. о; о; 2 · Ре.
ш е н и е. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые пояса площади d(] ro-
ризонтальными плоскостями. Имеем d(] == 2ла dz, r}le dz высота пояса. От-
а
2л: а! dz
сюда rz == ;,щ! :::::: . в силу симметрии х == у == О. 1739. На расстоянии
3
4'" высоты от вершины конуса. Реш е н и е. Разбиваем конус на элементы
плоскостями, параллельными основанию. Масса 9лементарноrо слоя dmi ==
=::z ул: Q 2 dz, rде у плотность, z расстояние секущей плоскости от вершины
h
n S : z' dz
, О о 1 3 4 h. 1740. ( О ' , О ' , + 8 3 а) .
конуса, Q == h Z. тсюда z ==
3 'Л,2 h
Реш е н и е. В силу симметрии х == у == О. ДЛЯ определения z разбиваем
полушар на элементарные слои плоскостями, параллельными rоризонтальной
плоскости. Масса TaKoro элементарноrо слоя dm == улr 2 dz, rде '\' п лотнос ть,
z расстояние секущей плоскости от основания полушара, r == у а 2 Z2
радиус сечения. Имеем:
а
л: (а! z.) z dz
о 3 8 1 1 3 1 ! Ь
Z == "8 а. 1741. 1 == 'л а. 742. 1 а == 3 аЬ; 1 ь == "3 а ·
ла3
3
1743. 1 == l hb'. 1744. 1 а == л:аЬ'; 1 ь == л;аSЬ. 1745. J == ; 11: (R: R ).
Реш е н и е. Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Мас-
R 2
са TaKoro элемента dm == у2п, dr и момент инерции 1 == 2л; ) " dr ==
R,
1 1
== 2" п (R: R ); (у == 1). 1746. 1== 10 лR 4 Ну. Реш е н и е. Разбиваем конус
на 9лементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем такоА
елементарной трубки dV == 2nrh d" r де , радиус трубки (расстояние
416
ОТВЕТЫ
до оси конуса), h == Н ( 1 ; ) высота трубки; TorAa момент инерции
R
1 == '\' S 2лН ( 1 ) r 3 dr == 'УЛ 4Н . тде '\' плотность конуса. 1747. J ==
о
2
== 5 Ма 2 . Реш е н и е. Разбиваем шар на эле1\:ентарные цилиндрические
трубки, осью которых является данный диа метр. Элементарный объе1\l dV ==
==2лrh dr. rде r радиус трубки , h == 2а V 1 :: ее высота. Тоrда момент
инерции J == 4лау S V 1 :: r 3 dr == l лаSу. rде у плоrность шара, а так
о
4 2
как масса М==З ла!v, то 1 == 5" Ма 2 . 1748. V == 2л 2 а 2 Ь; S == 4л 2 аЬ; 1749. а) х ==
2 9 4,
==- У == 5 а; б) х ==- у == 10 р. 1750. а) х ==0, у == 3 л. у к а з а н и е. ОСИ KO
ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат
h
в центре Kpyra; б) х == 3' Реш е н и е. Объем тела двойноrо конуса, по-
лученноrо ОТ вращения треуrольника BOI<pyr ero основания, равен V ==
1
==3 лЬh!, rде Ь основание, h высота треуrолыIка.. По теореме rульдеllа
1
тот же объем V ==- 2лх 2 bh, rде х расстояние центра тяжести от основа..
ния. Отсюда х == . 1751. vot g 2 . 1752. ; 1 п ( 1 + ). 1753. х ==
V o . . 2 1 0 4 1 А I ( а ) . h А Х
<t) Sln (i)t, v cp л V o ' 754. S 1 М. 755. V Ь n \ а bt ' fi2
Х [btl (а Ыl)lП а ыJ . 1756. A== Y R2H2. Указание. Элемен-
тарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной dx, т. е.
dF == vлR2 dx, rде V вес единицы объеl\Iа воды. Следовательно, эле-
ментарная работа силы dA == '\(лR 2 (Н х) dx, rде х уровень воды. 1757. А ==
== yR 2 H 2 . 1758. А == Л 4 " R 4 T М :::::: 0,79.104 == 0,79.107 кТ М. 1759. А ==
з nzgh
"(лR Н. 1760. А == h ; Аоо == mgR. Реш е 11 и е. Сила, действующая
l+ R
тМ
На тело массы т, равна F == k , rде r расстояние от центра Земли.
r
Так как при r == R имеем F == mg, то kЛ1 === g R 2 . ИСКОlVlая работа будет иметь
R+h
S тМ ( 1 1 ) rп а Iz
вид А== k"""(2dr==kmM R R+h == ь h . При Il==OO имеем
R l+R
Aoo==mgR. 1761. 1,В.I0 4 эре. Решение. Сила вззи]V[()деlIСТВИЯ зарядов
ее
F == 621 дин. Следовательно, работа при пере:\;ещеНИJI заряда е 1 из 10ЧКи Х 1 В
Х
ОТВЕТЫ
411
Х 2 будет: А == е о е 1 " 5 2 d: == е о е 1 ( ..!. ..!. ) ==1,8. 1 O Эр2. 1762. А == 80031: ln 2 Kr М.
х Х 1 Х!
Х'1
Реш е н и е. Для изотермическоrо процесса pv == pov o . Работа при расширении
'01
rаза от объема и о до объема и 1 равна А == 5 р dv == PoV o ln . 1763. А
и 0
'00
:::::::15000KfJt.P еше н ие.Для адиабатическоrопроцесса справедлив законПуассо.
на pvk==poV:, rде k 1.4. Отсюда А== S P;:: dv== kP \ [1 ( : )k l] ·
'00
4
1764. А == '3 Лl!Ра. Реш е н и е. Если а радиус основания вала, то давле-
ние на единицу площади опоры р == Р 2 . Сила трения от кольца шириной d"
па
2l1 P
удаленноrо от центра на " равна r dr. Работа силы трения на кольце при
а
4л Р 4л Р
полном обороте есть dA == а ,2dr. Поэтому полная работа А == 2 Х
а а
а
Х 5 r dr == : Л!1Ра. 1765. MR2(j)Z, Реш е н и е. Кинетическая энерrия
о
v2dm Q,2(()1
элемента диска dK == 2 ==. dcr, rде dC1 == 2Jtrdr элемент площади, r
М
расстояние ero от оси вращения, Q.......поВерхностная плотность, Q== л R Z ' Таким
R
М (()I М (()2 5 М R2(()2 3
об р азом,dК== 2лR2 ,2 d С1 . Отсюда K== ,'dr == 4 · 1766. К== 20 Х
о
ХМ R"(j)I. 1767. К == R 2 (j)1==2.3.10 8 Kr ,11. у к а 3 а н и е.Количество необходимой
bh 2 (а + 2b)h 2
работы равно запасу кинетической энерrии. 1768. Р==Т · 1769. p в :::::::
nR 2 H
11,3.10' Т. 1770. Р === аЬулh. 1771. Р == 3
1
направл на снизу вверх). 1772. 533"32. 1773.
(вертикальная составляюu ая
hb 2 p
99,8 кал. 1774. М == rCM.
а
kMm npa 4 5
1775. а (а + 1) (k постоянная тяrотения).1776. 8111 . Реш ен и е. Q== v.2л,d,==
о
а аЬ
2пр 5 лр [ az,z ,. ] (J лра" 5 2 аь а
== 4 1 (а 2 ,2) , d, == 2 1 2 Т о == Bl!l · 1777. Q == va dу==з р l ·
о о
у К а з а н и е. Ось абсцисс направить по большой нижней стороне прямоуrоль-
ника, ось ординат...... перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Реш е н и е.
'O
S 5 1 d .. dv d 1 d
== а v; с друrои стороны, dt == а, от куда t == а и, а сле»,овательно,
V1
14 r. с. Бараневков и АР,
418
ОТВЕТЫ
время
разrона
f1t
t== 5 ==8.
'01
1779. Mx== 5 (x t)dt + х ==
о
== f l xt ; ]: + х == x ( 1 ) ·
+AX== (lI .r). 1781. Q==O,12TRl: кал.
вать закон Джоуля..... Ленца.
х
1780. Mx== S<x t) kt dt+
о
у к а 3 а н и е.
};lспользо-
rлава VI
2 2 ,1
1782. V .............. (у2 х.) х. 1783. S == 3 (х + у) r 4z. + 3 (х у)2.
......3
( 1 ) 5 у2 ........ х 2 х! у. у' х 2
17R4. f 2"; 3 == 3; , (1 ; 1) == 2. 1785. 2ху ' 2ху 2ху '
2ху 2 I R'" У1 + хl
х! у2 ' 1786. f (х, х ) 1 + х х. 1787. 8 1 R1 .1788. t (х) I х I .
у к а 3 а н и е. Представить данную функцию в виде f ( ) == у ( ; у + 1
у х. ху
и заменить х через х. 1789. f (х, у) == --; . Реш е н и е. Обозначим
и+и U.....V. u+v u........v
х + у и, х у f). Тоrда х . у...... 2 . f (и, и) 2 · 2 +
( u a ) 1 и2 иa
+ == 2 · Остается переименовать aprYMeHTbl и и tJ В Х и у.
1790., f (и) == и! + 2u; z == х 1 + -vy. у к а з а н и е. В тождестве
х == 1 + '(ух..... 1) положим Ух 1 == и; тоr да х == (и + 1)1 и, следовательно,
t (и) == и. + 2u. 1791. t (у) == ')1 1 +!f; 2 == ,;, ')1 х. + уа. р е ш е н и е. При х == 1
имеем тождество ')11 +U"==l.t( f), т. е. !(у) == ')11 +у.. TorAa '( )==
== у 1 + ( у и z == х -v 1 + ( у == 11 х 2 + у. . 1792. а) Единичный
Kpyr с центром в начале координат, включая окружность (х l + у2 1);
б) биссектриса у == х 1 и III координатных уrлов; в) полуплоскость, расположен-
ная над прямой х + у == о (х + у > О); r) полоса, заключенная между прямым и
у == :f: 1, включая эти прямые ( 1 у 1); д) квадрат, образованный отрез-
}(ами прямых х == :f: 1 и у == :f: 1, включая ero стороны ( l х 1,
1 у 1); е) часть плоскости, приыыкающая к оси ох и заl{люченная
между прямыми у == :f: Х, включая эти прямые и исключая начало координат
( x y x при х>О, x y x при х<О); ж) две полосы x 2,
2 У 2 и х 2, 2 у 2; з) кольцо, заключенное между окружно-
стями xl+yl==a 2 и x l +y2==2a l , включая rраницы; и) полосы 2nл x
(2n+l)л, y O и (2n+l)л х (2п+2)л,у 0, rдеп целоечисло;
к) часть плоскости, расположенная выше параболы у == х' (х l + у > О);
п) вся плоскость ХОУ; м) вся плоскость ХОУ, за исключениеМ начала коор-
динат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы уl == Х и вправо от
оси ОУ, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (х;::: О, У > У х );
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х == 1 и у == о; п) семейство
I{онцентрических колец 2лk х. + уl 1t (2k + 1) (k == О, 1, 2, . . .).
1793. а) 1 октант (включая rраницу); б) 1, 111, УI и УН! октанты (исключая
ОТВЕТЫ
41-9
rраницу); В) куб, оrраниченный плоскостями х == :t 1, у == :f: 1 и z == :l: 1,
включая el'o rраии; r) шар радиуса 1 с центром в начале координат, вклю.
чая ero поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня прямые, параллель.
вые прямой х + у == о; б) параболоид вращения; ЛИНЕИ уровня концентри-
ческие окружности с цснтром В начале координат; в) rиперболический пара-
болоид; линии уровня...... равносторонние rиперболы; r) конус 2-ro порядка;
линии уровня...... равносторонние rиперболы; д) параболический цилиндр, обра-
зующие KOToporo параллельны прямой х + у + 1 == О, линии уроВНя...... парал-
лельные прямые; е) боковая поверхность четырехуrольной пирамиды, линии
уровня контуры квадратов; ж) линии уровня...... параболы у == Сх 2 ; з) линии
уровня параболы у == с у х; И) линии уровня окружности С (х! + у'') == 2х.
1795. а) Параболы у==с ха (С> О); б) rиперболы ху==С (/ С I 1); в) окруж-
ности х 2 + уа == С2; r) прямые у == ах+с; д) прямые !J == Сх (х р. О). 1796. а) Пло-
скости, параллельные плоскости х + у + z == о; б) концентри-q,еские сферы
с центром в начале координат; В) при и > О ОДНОПОЛОСТlIые rиперболоиды
вращения BOKpyr оси OZ; при - и < О двуполостные rиперболоиды вращения
BOKpyr той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус х 2 + if Z2 == О
(и == О). 1797. а) о; б) о; в) 2; r) e k ; д) предел не существует; е) предел не
существует. У к а з а н и е. В пункте б) перейти к полярным координатам.
В пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у == kx и по..
казать, что данное выражение может стремиться к различным пределам
в зависимости от выбранноrо k. 1798. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва
при х == О, У == о; б) все точки прямой х == у (линия разрыва); в) линия rаз..
рыпа окружность х 2 + у2 == 1; r) линии разрыва координатные оси.
2ху
1800. У к а з а н и е. Положив у == У) == const, получим функцию ) (х) == 1 .
XZ+y
которая непрерывна всюду, так как при Уl О знаменатель х! + y :F О, а при
2х у
УI == О <1>1 (х) == О. Аналоrично при х == х. == const функция ер2 (у) == о) 1 не-
Х'" + у 2
1 .
npepblD'la всюду. По совокупности переменных х, у функция z имест раЗj)ЫВ
в точке (0,0), так как не существует liПl Z. Действительно, перейдя к поля р-
O
у O
ным коорди натам (х == , cos ер, у ==, sin ер), получим z == sin 2ер, откуда видно,
что еСJIИ х -+ О И У -+ О так, что ер == const (о ер 2л), то z --+ Sil1 2ср. TaI: как
9ТН преД.:.-ЛЫlые значения функции z зависят от направления ер, то z не имеет
az д 1,
"редела при х -+ О И У -+ О. 1801. дх == 3 (х 2 ау), ду == 3 (у" ах).
1802. oz 2у д?, 2х 1803 д?, == J...... == J... .
дх (х + у)2 ' ду (х + у)2 · дх х 2 ' ду х
az х д?, у д?, YZ
1804. J == 1805. == ,
дх V ха у2 ду ...... У хl у.. дх (х2+ у2)З/:I
д д у ?' ху 1806. az == 1 , дz == у .
(х:: + у!)а/ 2 · дх V х 2 + у. ду V х 2 + у. (х + v х 2 + у2)
1 807 az У az х 18 8 az Y l дz Y I
. дх ......-4 хl + уl , ду х2 + 1/ · о . дх ух , ду х n х .
дz у sfn J!.. у дz 1 slo У У дz хи" -У2х 2 2 у 8
1809. д ==...... ..2 е х cos , ........ д == е х cos . 1810. д == 1 I ( 4) '
Х А Х!I]С х Х у х......у
дz ух. У2х. 2у. дz 1 х + а д? х + а х + а
д I I ( 4) ' 1811. д ........ == ,r ctg fi ' д ==....... y ctg y .
у ух.... у х r У У !I 2у у у
1812. д ==!lZ (xy) 1, О -:---- == xz ,xy)Z 1, д == (xиY ln (ху). 1813. д === yz.xY ln а,
х у z х
14-
420
ОТВЕТЫ
: == xyzxy I. 1814. 1: (2,1) == ' 1; (2, 1) == о.
1 1 Х
О) == 1, f у (1; 2; О) == 2 ' /Z (1; 2; О) == 2 · 1820. 3/ .
(X!+yl+Z2) 2
У х 2 1
1821. ,. 1826. 2' == arctg х + <р (х). 1827. z == 2 + у21п х + sin у 2 .
1 1
1828. 1) tga==4, tg ==OQ, tgV==4; 2) tga==oo, tg ==4, tgV==T.
aS 1 aS 1 aS 1
1829. да == 2 h, дЬ == 2 h, ah == 2 (а + Ь). 1830. У к а з а н и е. Проверить,
ЧТО функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и ВОСПО.ПЬЗ0ваться
, ,
определением частных производных. Убедиться в том, что f х (О, O)==f y (О, О) == о.
1831. ! == 4дх + ду + 2дх 2 + 2 x y + x2 y; df == 4dx + dy; а) ! df==8;
б) ! df == 0,062. 1833. dz == 3 (х 2 У) dx + 3 (у. х) dy. 1834. dz == 2xy'dx +
+ 3x.y.dy. 1835. dz == (ха yy2)2 (у dx х dy). 1836. dz == sin 2х dx sln 2у dy.
1837. dz == у'хУ ldx + х У (1 + у In х) dy. 1838. dz == . 2 (х dx + у dy),
х у
1839. df == х ( dX d Y ) . 1840. dz == О. 1841. dz == .2 2 ( d Y ---- dX ) .
У У х Sln Jt
х
1842. dt (1, 1) == dx 2dy. 1843. du == yz dx + zx dy ху dz.
1 ( Z 1
1844. du== V (xdx+ydy+zdz). 1845. du== xy+ Х
х 2 + у2 + Z2 у
Х [( у + + ) z dx + t 1 + ) ::, dy + ( ху + + ) In ( ху + + ) dZ] ·
Z2 2ху )
1846. du == ! 2 + 4 у dx + Х dy dz. 1847, df (3, 4, 5) ==
ху z z
1
== 25 (5dz 3dx 4dy). 1848. dl == 0,062 C ; l == 0,065 см. 1849. 75 с.м.'
(относительно внутренних размеров). 1850. 8 см. у к а 3 а н и е. Положить
дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал
радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью ДО 4 м (точнее
4,25 ..11). 1854.:rt ag ; . 1855. da == (dy cos а dx sln а).
g Q
dz e l (t I n t 1) du t х ( х )
1856. & == t In 2 t 1857. ({t == v у ctg V У 6 2у' ·
1858. == 2t lп t t t + (t! + 1) tg t + (t 2 + 1) ln t 1859. du == о.
dt g t С05 2 t dt
dz . cos х ( 1 az у
1860. d == (sln х) cos х ctg х ....... sin х n sin х). 1861. д ...... I + 2 ;
Х Х Х у
dz 1 1862 дz у 1. dz у [ ' 1 + у ]
dx ] + ха · · ах УХ , dx Х <р (х) n Х ·
az ' еХ у / ' az " J Y f '
1863. дх ........ 2Х/ и (и, v) + у 'lJ (и, v); ду ---- 2у и (и, v) + x ', 'lJ (и, v).
1864. g ==o, : ==1. 1865. :; ==Y(l )/' (х у ++) ;
; == (х + ) l' (ху + : ) . 1867. : == I (х, У, а) + <р' (хН; (х, у, z)+
ди
ду == xzxy lп z,
,
1813. 'х (1; 2;
ОТВЕТЫ
421
+ " , ,
z (х, у, !) r",x (х, у) + 'Фу (х, у) <р' (х)]. 1873. Периметр возрастает со скоро-
стью 2 м!се/С, площадь возрастает со скоростью 70 .uZ!ce/C. 1874. 12f+3i4 .
, I +t 2 +t'
18i5. 20 11 5 2 У2 /См/час. 1876. 9 3 . 1877. 1. 1878. 2 . 1879. 3 .
68 cos ct + cos + cos v
1880. 13 . 1881. 3 . 1882. а) (2; О); б) (о: о) и (1; 1); В) (7, 2;1).
1884. 91 3j. 1885. {(51 ЗЛ. 1886. 61 + 3) + 2k. 1887. I grad u I == 6;
2 2 1 3
cos сх =="3' cos ::::: "3' cos 'v == 3. 1888. cos q> == у 10 . 1889. tg q> ::::: 8.944;
<р 83037'. 1891. a 2 z == аЬсу? . д 2 z аЬсху .
дх! (Ь 2 х! + a Z y2)'!Z' дх ду (Ь 2 х! + а 2 11)3(2 '
d!z аЬсх 2 a 2 z 2 (y xZ) d 2 z 2х a!z 1
....... . 1892. == · ==...... ·
ду2 (Ь2х2 + а 2 у2) 8/1 дх ! (x + y)Z' дх ду (х 2 + у)2' д у 2 (xZ+y)!.
a!i ху a!z д 2 , ,! х! д 2 и д 2 и
1893. д д == (2 + 2)3/ · 1894. а ............... д == о. 1895. д 1== 3 · 1896. д == д z==
х у ху у 2 Х ух, х у
a1;u О . д2 U д 2 и .......... д 2 u I 7 дЗ u А а -- 1,.А --] Т.. I
dZ 2 , дх ду ......... ду aZ aZ дх . 189. дх ду az CtI"VX у!"' Z ·
a 8 z
1898. дх ду! == х 2 у COS (ху) ..... 2х sf(] (ху). 1899. f хх (О, О) == т (т 1);
'
ху (О, О) == тп; f уу (О, О) == n (п ...... 1). 1902. У к а 3 а н и е. Проверить, поль-
зуяеь правилами дифференцирования и определением частной производной,
, r х2 у 2 4х 2 у! ] ,
что Ух (х, у) == у х 2 + у2 + (х 2 + у2)! (при х 2 + у2 О), 'х (О, О) == О и, еле-
, "1
довательно, f х (О, у) == у при х == О и при любом у. Отсюда [ ху (О, у) == ,
" " ( О) 1
в частности, f ху (О, О) == 1. Аналоrично находим, что f ух о, ==.
19 03 о z 1 ' 2 " " 2 f "
· дх 2 == 2 II (и, v) + 4х f иа (и, v) +4ху' а'О (и, v) + у vv (и, v);
a 2 z ' " z 2'/ '/.
дх ду 1'0 (и, v) + 4xYf ии (и, v) + 2 (х + у ) f llV (и, v) + xYf'Ov (и, v),
д ! Z, ! '/ '/ 2 f " )
ду! == 211% (и, v) + 4у f иl, (и, v) + 4xyf llv (и, v) + х v'O (и, v.
д 2 U " ""/ , 2 '"
1904. дх" 'хх -+ 2fxzfPx + fzz (<Рх) + fzfPxx.
д 2 z '/ , 2 "" , '/ , 2 ."/ "/
1905. (jXi== 'ии (fP x ) + 2f u 'ОfP х 'Ф х + lv'O ('Фх) + 'а<Рхх + fv'Ф хх ;
д 2 z "" " " " I " , , ,'" ,'"
дх ду =т f ии fPx<Py + f а'О (<Рх 'Фу + 'Ф х <Ру) + fvv 'Фх 'Фу + f и <Рху + 'v'Ф. 1Су t
д 2 z ', , Z "" , , 2 ", "/
ду! !ии (fPy) + 21 а'О <Ру 'Фу + 1'0'0 ('Фу) + 1 u fPVY + ''О 'Ф vу .
1914. u (х, у) == <р (х) + 'Ф (у). 1915. u (х, у) == х<р (у) + 'Ф (у).
1916. d 2 z == е ХУ [(у dx + х dy)2+2dx dy]. 1917. d 2 u == 2 (х dy dz+y dx dz+z dx dy).
14* r. с. Б араненков и др.
422
ОТВЕТЫ
1918. d 2 z == 4q>" (t) (х dx + у dy)2 + 2q>' (t) (dx 2 + dyf). 1919. dz == ( ; ) ху Х
Х (Yln dx+x ln :y d Y ); lf2z== (+ )х у ) (у2 1п2 + ) dx 2 +
+ 2 ( Х У lп ех ln !.. + lп ..:. ) dx dy + ( Х 2 Iл2 dy2 ] .
у еу у еу у
1920. d 2 z == a2f и (и, и) dx 2 + 2abf:v (и, и) dx dy + b 2 f;'(} (и, и) dy'".
,,, " "
1921. d 2 z == (уе Х f '() + е 2У f иа + 2уе Х +У f uv + у2 е 2Х' vv) dxz +
+ 2 (eYt + eXf + хе 2У f: a + е Х + У (1 + ху) t:v + ye2Xf;v) dx dy +
, " " " d
+ (xeYf и + xZezYf ии + 2хе Х + У ' av + e2xf1J1J) dyz. 1922. 3Z ==
== е" (cos у dx 3 3 sin у dx 2 dy ...... 3 cos у dx dyZ + sin у dy3). 1923. d 3 z ==
== ...... у cos х dx 3 3 sin х dx 2 dy ...... 3 cos у dx dyZ + х sin у dy3. 1924. df (1; 2) == О;
d 2 f (1; 2) == 6dxz + 2dx dy + 4,5d y 2. 1925. d 2 f (О, О, О) == 2dx 2 + 4dy2 + 6dz z
4dx dy + 8dx dz + 4dy dz. 1926. ху + С. 1927. х'у ' + sin х + С.
х 1 х
+ + lп (х + у) + с. 1929. 2 ln (X Z +y2) . 2 arctg + с.
х у У
1930. +C. 1931. Ух 2 +у2+С. 1932. a== I, b== l, 8== +Y2 +С.
у х у
1933. х 2 + у2 + z'" + ху + xz + yz + с. t 934. х' + 2ху2 + 3ха + у2 ...... yz 2z + с.
1935. x 2 yz З ху 2 z + 4х 2 у2 + 2х + у + Зz + с. 1936. +.J!... + + с.
у z х
1937. V х 2 + у2 + Z2 + с. 1938. л, ==........ 1. У к а 3 а н и е. Написать условие пол-
, ,
Horo дифференциала для выражения Х dx + у dy. 1939. [" == {у' 1940. u ==
ху
S dy [) 2х d Z у Ь4. d 3 y 3Ь 6 х
== t (z )dz + с. 1941. d == """""2 i d 2 == ..... "'"'""Z"'i; d 3 == '""'i""5 · 1942. У Р а В-
х ау х ау х а у
а
dy уХlп у
нение, определяющее у, есть уравнение пары прямых. 1943. d == 1 x 1 ·
Х XY
1944. d dX Y == l ' d d2 == (l У), . 1945. ( d dY Q == 3 или ...... 1; ( d d 2 ; ) ==
y х y х Х:=1 Х "==1
== 8 или 8. 1946. dy == х + ау d 2 y == (а ! 1) (х 2 + у2) . 1947. dy ==..... .!L,
dx ах у. dx 2 (ах у)3 dx х '
d 2 y == 2у . J 948. az == х 2 yz . az == 6у2 ...... 3x 2 . 1949. az == 2 sin х ...... cos у ;
dxz х! дх ху ...... z2' ду 3 (ху Z2) дх cos х у sin z
aZ XSinY cosz . 1950. az ==........1 az == .1951. aZ == C2X az == CZy .
ду cos х У sin z дх · ду 2 дх a2 I ду b 2 z '
a 2 z с 4 (Ь 2 yZ) . a 2 z с 4 ху д"? с4. (а ! xZ) dz
; 1953
дх 2 а 2 Ь 2 z З ' дх ду a 2 b z z a ду'" a2b z3 . dx
<p <Р; /
' I
фф Х У У ! а '" ху
х у 1954. d d d rfl., == ..... dx! 2 dx d Y +
........, z == е х...... z!/' 21 ,3
Фv
+ х2 а ! d Z 4 z
3 у. 1955. dz == О, cPz == 15 (dx Z + dyZ). 1956. dz == 1 ...... а (dx + dy);
d Z Z d Z + ? d d +d 2 1 1 dy dz 1 d Z z 4
z == (1 z )' (х .... х у у ). 96 · dx == 00 d", == "5 ; dx 2 == 25 .
1928.
ОТВЕТЫ
423
1962. ау === у Z X dx; dz == Z X у; dx: cJ2y == d%z == а ><
х у z х у...... z х 3 (у Z)3
Х [(х у)% + (у z)Z + (, х)2] dx l . 1963. == ; == 1; == д 2 y == o:= 01
дV . дV . д 2 о.......... д 2 а.......... д 2 а......... g
ax I. дY O' дx2 2, aXay l, a!l O. 1964. dи== l+i xi -
v 1 v 2
+ 1 + у dy; dv == 1 + у dx 1 + у dy; cJ2и == d 2 и == (l + у) " dx dy
" ,.
2и d 2 I 'Ф v dх ...... fPv dy ---- 'Фа dx + fP а dy
(1 + у)2 у. 965. du == " 1 : dv == " I ·
<Р и <Pv <Р Il fPv
, , , ,
'Фи 'Ф v 'Фи 'Ф v
az с sl" v az с cos v az 1 az 1
1966. a ) д ==""" ' д == ;6) д == 2 (О+U), == (и u)'
х u у u х ду 2 '
в) dz == 2;,и [ea 11 (о + и) dx +е а + 11 (о и) dy). 1967. ;; == p (r, q» cos q>
, sin <р az, . ' cos <р az 0-
...... F ер (r, <p) ; д == F r (r, <р) Sln <р + F,n (r, <р) . 1968. д ==....... cos <р сtg'Ф;
r у ,. r Х а
az с. d 2 y dy d 2 y d 2 x dx
ду == ь SIП <р ctg '1'. J 969. dt 2 + dt +у==о. 1970. dtZ ==O. 1971. а) d y 2 ...... 2 y d!/ =:::0;
rZ+2 ( dr ) Z r d2f
d 3 x r d(f) d (f)z д2 az
б) dy8 O. 1972. tgf.t ?" · 1973. K [r2 + ( ) 1] 31. · 1974. дu == О. 1975. u дu
д 2 U 1 д 2 U 1 ди д 2 з 1 az дш
z == о. 1976. д 2 + z д 2 +...... д == о. 1977. д д == 2 д · 1978. д == о.
r r <р r r u и u и и
д 2 ш д 2 ш 1 х 1 у + 2
1979. ди 2 == О. 1980.. ди 2 == 2". 1981. а) 2х...... 4у...... 3 ...... 5 == о; 2 == ...... 4 ==
z 5 х......4 у з z......4
---=т' б) 3x+4y 6z==O; == 4 == 6 ; в) xcosa+ysina
х ...... R cos а у ...... R sl" а z ...... R а 2
...... R == О, 1982. :l: ;
сов а sin а О V а 2 + Ь 2 + с 2
Ь 2 с !
:1: V ;:1: V 1983. 3х + 4У + 12z 169 == О.
а 2 + Ь 2 + с ! а 2 + Ь ! + с !
1985. х + 4у + 67. == :1: 21. 1986. х:!: у :1: z == :1: У а 2 + b Z + с2. 1987. В точках
(1; :l: 1; О) касательные плоскости параллельны плоскости XOZ: в точках
(о; о; о) и (2; о; О)...... плоскости YOZ. Точек, в которых касательная плоскость
п
была бы параллельна плоскости ХОУ, на поверхности нет. 1991. 3 .
1994. Проекция на плоскость ХОУ: { Z 2 + 0 :,2 1 О Проекция на пло-
х !1....... ху == ·
О { х == о, { У == о,
ск ОС1 Ь У z: 3 Z 3 Z
t + Zl 1 == О. Проекция на плоскость XJZ: t : +Z2 1:==0.
у к а 3 а н и е. Линия касания поверхности с цилиндром, проектирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой rеометрическое
место точек, в которых касательная плоскость к данной поверхности перпен-
дикулярна к ПЛОСI\ОСТИ проеКЦl1И. 1996. t (х + h, у + k) == ax z + 2Ьху + су2 +
14**
+ 2 (ах + ty) 11 + 2 (Ьх+су) k + ah 2 + 2bhk + ck'J.. У997. f (х, у) == 1 ...... (х + 2)2+
+ 2 (х + 2) (у 1) + 3 (у 1)!. 1998. t!.t (х, у) == 2h + k + h Z + 2hk + h 2 k.
1999. 1 (х, у, z) == (х .... 1? + (у.... 1)2 + (2 .... 1)2 + 2 (х......}) (y 1)...... (y 1) (z ...... 1).
2000. f (х + h, у + k, f + ') == t (х, у, f) + 2 [h (х --- у ..... 2) + k (у ...... х Z) +
3х! у...... у' х 2 + у2
+ 1(2.... х.... у)] + / (h, k, 1). 2001. у+ху+ з, · 2002. 1 2 f +
+ !t c + б т+у4 . 2003. 1 +(Y l)+(x l)(y 1). 2004. 1 +[(x 1)+
+ ( + 1 )] + [( х --- 1) + (у + 1)]1 + (( х ..... 1) + (у + 1)]3 2005 ) t 1 + а "'-
у 2 I 3 ( . . а arc g 1 ...... Р ........
:::::- +.!. (cx+ ) .!.(a! 2). б) , / (1 + а)т + (l + )n :::::-I + .!.(ma+n )+
4 2 4 'V 2 4
]
+ 32 [(3т l .... 4т) а" .... 3т1la + (3п" ..... 4п) 2]. 2006. а) 1,0081; б) 0,902. У к а 3 а-
н и е. Применить формулу Тейлора для функний: а) f (х, у) == v-; V у в окре-
стности точки (1; 1); б) У(х, у)==уХ в окрестности точки (2; 1).2007. z==
== ] + 2 (х ..... 1) .... (у .... 1) --- 8 (х ....... 1)2 + 1 о (х ..... 1) (у ..... 1) ...... 3 (у...... 1)2 + ...
2008. 2mln == О при х == 1, у== о. 2009. ЭКС1р rмумов нет. 2010. 2 m in ==----1
при х==l, у==О. 011. 2 тах ==108 прй х==3, у==2. 2012. zmln==......8
при «==V2, у==.....у2и при «== Y2, y==V2. Прих==у==Оэкст-
(' аЬ а Ь а
реМУМОБИет. ,013. mах== зуз Б 'rочкахх== уз ' У== уз и Х== уз '
ь аЬ а Ь а
у == v 3 I fmin == 3 VЗ в точках «== у з ' У == v 3 и х == VЗ '
ь
У == V 3 . 2014. max == 1 при «== у == О. 2015. 2 m l n == О при х == у == о;
н€строrий максимум i ==.!. в точках окружности ! + у2 == 1. 2016. zmax ==
е
==V3прих l, y== l. 2016.1. 2 m fn==6 при х==4, у==2.
2016.2. 2 mах ==8е"'''при x==......tj., у==........2; экстремума нет при х==о,
421
у == О. 2017. umfn == ....... 3 при х == --- 3' у ==....... '3' t == 1. 2018. umfn == 4
1
при «=='2' у== 1, е== 1. 2019. Уравнение определяет две функции, из ко-
торых одна имеет ма; симум (2max == 8) при х == 1, у == ..... 2, друrая
минимум (Zm'" == 2) при х == 1, у==...... 2; в точках окружности (х 1)2 +
+ (у + 2)1 == 25 каждая И3 этих функций имеет краевой 9кстремум 2 == з.
у к а a н и е. Упомянутые в отве те функции определяются явно равенствами
z == 3 :l: у25...... (х ...... 1) ....... (у + 2)2 и существуют, CJIедовательно, только внутри
и на rранице окружности (х...... 1)2 + (у + 2)2 == 25, в точках которой обе
функции принимают значение 2 == 3. Это значение является наименьшим для
первой функции и наибольшим )J.ЛЯ второй. 2020. Одна из функций, определяе-
мых уравнением, имеет максимум (.2 max ==....... 2) при х ==..... 1, у == 2, друrая----ми-
ниму м (Zmfn == 1) при х == ---- 1, У == 2; обе функции им еют краевой экстремум
в точках кривой 4х' 4у" 12x + 16y 33 == О. 2021. zmax == при х ==
1
==У==2.
424
2022.
х ==...... 1, у == ....... 2.
'max == 5
2023.
ОТВЕТЫ
при
36
2 m l n == 13
!t == 1,
у == 2; 2'mfn ==......5 при
18 12
при к == 13 ' У == 13 .
ОТВЕТЫ
425
2 + v2 7л 9n 2 V 2
2024. 2max ' 2 при Х==в+ kл , у==-в+ kл , zmfn== 2 при
3n 5n
Х==т+kл, у==в+kл. 2025. umjn== 9 при x== l, у==2, z== 2;
и тах == 9 при х == 1, у ==..... 2, z == 2. 2026. и тах == а при х == :f: а, у == z == о;
umin ==0 при Х == у == О, z == :l: с. 2027. и тах == 2.42. 63 при Х == 2, У == 4.
4 ( 4.4.7\. ( 4. 7 4 ) .
z 6. 2028. Umax 4/27 в точках 3' 3' 3)* 3' Т' 3 '
( ; : ; : ); uml n == 4 в точках (2; 2; 1) (2; 1; 2) (1; 2; 2). 2030. а) Наи.
большее значение z == 3 при х == о, у == 1, б) наибольшее значение z == 2 при
х == 1, у == О. 2031. а) На ибо.%шее значение z == 3 3 при ==:1: y .
У ... /т : наименьшее значение z == ;r П р и х ==:!: ../ 2 у ........
v -3 3 r 3 V З' ......
== У ; ; б) наибольшее значение z == 1 при х == :1: 1, у == о; наименьшее
зуз
значение z == 1 при х == О, У == :f: 1. 2032. Наибольшее значение z == 2
при х == у == (внутренний максимум); наименьшее значение z == О при х-==
== у == о (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение z == 13 при х == 2,
У == 1 (краевой максимум); наиме-ньшее значение z == 1 при х == у == 1
(внутренний минимум) и при х == О, У == 1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. V 2V , V 2V , ; V 2V . 2036. Равносторонний треуrольник. 2037. Куб.
2038. .а == V а · Va · V а · V а . 2039. М ( ; ) .2040. Стороны тре.
3 З Р т х + т х + т х т У + т У + т У
уrольника: Р, Р и . 2041. х == 1 1 2 2 3 а , у == 1 1 ! Z 3 3 .
4 4 2 "ll + т ! + т з т 1 + т 2 + m:!
х у z 2а 2Ь 2с
2042. + b + == 3. 2043. Измерения параллелепипеда: ,r ' ,r ' ..r t
а с уЗ уЗ у3
rде а, Ь и с полуоси эллипсоида. 2044. х == у == 26 + ' 2 V , z == .
а Ь
2045. х == :l: ,r ' у == :l: ,r 2046. Большая ось 2а == 6, малая ось 2Ь == 2.
r 2 r 2'
у к а з а н и е. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от ero центра (начала
координат) равен х 2 + у2. Задача сводится к отысканию экстремума функции
х! + 11 при усл овии 5х 2 + 8ху + 5у! == 9. 2047. Радиус основания цилиндра
V 2 + : 5 ' высота R t 2 : 5 ' .rдe R радиус шара. 2048. Канал
должен сOt'динять точку параболы ( ; ) с точкой прямой ( ; ) ;
7 У 2 1 ..,r sin а v 1
ero длина 8 · 2049. 14 r 2730. 2050. == . у к а 3 а н и е. Оче-
Sln tJ V 2
видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в друrую, 1l0лжна нахо-
а Ь
диться между А 1 и В 1 , причем АМ == , вм ==- , А 1 М==а tg а, 8 1 М ==
cos а cos t'
426
ОТВЕТЫ
== btg . Продолжительность движения луча равна а + ь. . Задача
(11 COS а (12 COS
а Ь
СВОДИТСЯ к отысканию минимума функции f (а, ) == + при ус-
(11 cos а (12 cos
] 1 1
IIОВИИ, что а tg а + ь tg == с. 2051. а == . 2052. 1.: /!: 1 а == R. : R 2 : R- ' У к а з з-
v 2 2 2 3
fI и е. Наити минимум функции t (1 Jt /2' / а) == / t Rt + /2R2 + 1 aRa при усло-
ВИИ, что 11+12 + 1 3 == 1. 2053. Изолированная точка (о; О). 2054. Точка возврата
2-ro рода (о; о). 2055. Точка самоприкосновения (о; о). 2056. Изолированная
точка (о; о). 2057 . Узел (O о). 2058. Т очка возврата l-ro рода (о; о). 2059. Узел
(о; о). 2060. Узел (о; о). 2061. Начало координат изолированная точка, если
а > b, точка возврата l-ro рода, если а == Ь, и......... узел, если а < Ь. 2062. Если
среди величин а, Ь и с, нет равных между собой, то кривая не имеет особых
точек. Если а == Ь < С, то А (а, о) изолированная точка; если а < Ь == С, то
В (Ь, О) узел; если а == Ь == С, то А (а, О) точка возврата l-ro рода.
2063. у == ::l: х. 2064. у2 == 2рх. 2065. У == :f: R. 2066. х 2 / з + у'/. == 12/3.
1
2067. xy=='i S. 2068. Пара сопряженных равносторонних rипербол, уравнения
которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид
S
ху == :l: 2л ' 2069. а) Дискриминантная кривая у == О является rеометричеСI(ИМ
местом точек переrиба и оrибающей данноrо семейства; б) дискриминантная
кривая у == О является rеометрическим местом точек заострения и оrибающей
семейства; в) дискриминантная кривая у == о есть rеометрическое место точек
заострения и не является оrибающей; r) дискриминантная кривая распадается
на прямые: х == О (rеометрич€ское место узловых точек) и х == а (оrибающая).
2
V О g х 2 1 , r , r t
2070. У == 2 . 2071. 7 3 ' 2072. у 9 + 4л 2 . 2073. У 3 (е 1). 2074. 42.
g 2и 2
О .
In 10
2075. 5. 2076. хо + zo. 2077. 11 + . 2079. а) прямая; б) парабола; в) эллипс;
da о. da O . d а О da o d
r) rипербола. 2080. 1) dt а, 2) а dt ' 3) dt а + а dt · 2081. dt (аЬс)
== ( Ьс ) + ( а :: с ) + ( аЬ ) . 2082. 41 (t' + 1). 2083. х==3 cos 1;
у==4 sint (эллипс); {/==4j, w== 3i при t==O; {/== 3;2 i+2Y 2j.
3 У2 ,r . л п
w== 2 i 2y 2Jприt==4;fJ== 3i,W== 4j при t==2".2084.x==
2 cos t, У == 2 sin (, z == 3t (винтовая линия); fJ ==........ 2i sin t + 2j cos t + 3k;
V == уIЗ при любом t; w == 2i cos t 2j sin (; w == 2 при любом t;
fJ == 2) + 3k, w == 2i при t ==O ; fJ ==....... 2i + 3k, w ==........ 2j при t == ; .
2085. х == cos а cos (i)t; у == sin а cos <ut; z == sin rot (окружность); fJ ==
== roi cos а sin wt ю) sin а sin rot+rok cos rot; v==1 ro /; w == ro2i cos а cos rot
ы 2 } sin а cos rot (i) 2 k sin rot; w == ю 2 . 2 086. V == V V X + V y + (v. Oz gt)2;
W x == w y == о; W z == g; W == g . 2088. Ф"уа' + h 2 , rде w == уrловая ско-
рость вращения винта. 2089. Va'w' + V 2awv o sin wt. 2090. 1: == 2 (1 + k);
ОТВЕТЫ
427
У2 1
'I)== J; '==2(l k). 2091. "С== уз [(соst slпt)l+ (slnt+cost)j+k);
1 л уз л
'1) == у 2 [(slnt + cos t) l + (sln t cos t) j]; cos ("С, в) == 3; cos ('1), z) == О.
2 092 == 1 + 4} + 2k . ...... ..... 41 + 5} ..... 8k . Q...... ..... 21 + k 2093 x a cos t
· у 21 ' v ....... у 1 05 ' ""...... У 5 · · ...... а si" t
У ..... а sin t z ...... bt х.......а cos t у.......а sin t z bt
== t == Ь (касательная); ь. t == Ь t == (бинормаль);
а COS SI" ...... COS а
х а cos t У а sin t 2 1I!
t == . t == О (rлавная нормаль). Направляющие косинусы
cos 51П
u а sin t а cos t Ь
касательнои: cos а == v ; cos == v ; cos у == v · На-
а 2 + Ь ! а 2 + Ь 2 а 2 + Ь 2
правляющие косинусы rлавной нормали: cos а 1 == cos t; cos 1 == sin t; cos Уl == о.
2094. 2х...... z == О (нормальная плоскость); у...... 1 == О (соприкасающаяся пло-
x 2 y 4 z 8
скость); х + 2з ...... 5 == О (спрямляющая плоскость). 2095, == == 12
(ка са rельная); х + 4у + 12з .... 114 == О (нормальная плоскость); 12х...... 6у + z .....
t l t 3 t'l.
Х ...... у z ......
432
8 == О (соприкасающаяся плоскость). 2096. tZ t ...... 1 (ка...
t4 t S t Z t il t 3
Х ...... 4 у ...... "3 2' ..... "2" х ...... "4 у...... 3
сательная); t3 + 2! 1 ...... fI == 2t З ...... t (rлавная нормаль); 1 == ...... 2t ==
t 2
a
== t 2 2 (бинормаль); М 1 ( I ; ): М 2 (4; ; 2). 2097. х 1 2 ==
у+2 z......2
== ---=-т == (касательная); х + у == о (соприкасающаяся плоскость);
x 2 у+2 z......2 x 2 у+2 z......2
== == ____ 1 (rлавная нормаль) + 1 == == о (бинормаЛЬ)J
R R У 2
1 1 х ....... "2 у 2 i......""""2 R
cos а 2 == V 2 ; cos Р2 == V 2 ' cos У2 == О. 2098. а) 2 О == v 2
,r7; Х 1 У ..... 1 z 2
(касательная); х у 2.... z == О (нормальная плоскость); б) 1 , ==
x 2
( касательная); х + у + 42 ....... 10 == О (нормальная плоскость), в) -y ==
2 3
У 2 уз z ..... 3 ,r ,r
== 1 == V (I{асательная) 2 r 3 х + у ....... 2 r 3 z === О (нормаль-
2 3
ная плоскость). 2099. х + у == О. 2100. х....... у z У2 == о. 2101. а) 4х у ---
z ..... 9 == 0# б) 9х 6у + 2z ..... 18 == о; в) b2x x...... a2y y + (а 2 ...... j 2) z:z ==
== а 2 Ь 2 (а 2 ....... b Z ). 2102. 6х...... Ву ..... 2 + 3 == О (соприкасающаяся плоскость);
х ..... 1 у ...... 1 8 .... 1 х 1 tj '.н. 1 z 1
31 == 26 == =22 (rлавная нормаль); ...... 6 == 8 == (бинормаль).
428
ОТВЕТЫ
f10З. Ьх.... '== n (с('\nрякэсаюшаяся плоскость); х = о о, } (rЛ8вная нормаль);
, ,
+ 1;2 =: 0 0, } (бинормаJlЬ)1 '1: == ; + bk ! . == .;; ы + k i ,,== J. 2106. 2х +
у == , 1 + ь. 1 + в ' .
У6 е"'У2 e-- l
+ Зу + 191..... 27 == о. 2107. а) V 2: б) т . 2108. а) К == 3 : Т==т :
) (у + а)1 (р/& + 2х4)'
() К==Т== 2 h!f " 2109. 8) R==Q== : б) R==Q== 8 4 а ·
ас о рх
av 2 1 .. /' 19
2111 0'+.2 ' 2112. К== 9,w,.==O, w n ==2 при t==O; К=='[ V 14 '
22 , / 19
и"== У14 ' w n ==2 V 14 при (==1.
rJl8B:l VII
к == 1:
2 25 :rt: 9 па'
2113.4з.2114.111 24 .2115. 12 .2116. т. 2117.50,4.2118. т. 2119.2,4.
fi и l
2120. 6" 2121. хЕ::::'4..... 1 : х==2..... у; у==..... 6; у==2. 2122. у==х!; у==х+91
Х
== 1: х == 3. 2123. У == х; у == 10 ...... х; у == о; у == 4. 2124. У == 3'; у== 2х;
==]; х == 3. 2125. у== о; у== 11 25 ...... х 2 ; Х == о; х === 3. 2126. у== х 2 ; у== х+ 2:
1 s 2 1
dy , (х, у) dx == dx S f (х, у) dy
о о о о
I I ..... У
2129. dy S f (х, у) dx ==
о о
2 2Х + I
2130. dx S {(х, у) dy ==
х == 2.
127.
1 1 J '"
S dy S f (х, у) dx == S dx S f (х, у) dy.
о у о о
1 1 ! 2 X
== S dx S f (х, у) dy + S dx S 1 (х, у) dy.
() о 1 О
1..
4 2
== dy S 1 (х,
2 1
2128.
J
X
& ! 7!
y)dx+ S dy S 1 (х, y)dx + S dy S Т (х, у) dx.
4 1. 5 V 8
2
J У У"! у 2 у2 О 'V2=Xi
2131. S dy S f (х, у) dx + S dy 1 (х, y)dx== dx 1 (х, y)dy+
о y I ... 11' J у2 ....] x
i" ;
1 'Vt=Xi 1 I 2
+ dx S 1 (х, у) ау. 2132. S dx S 1(х, y)dy== dy 1(х, у)ах.
о х --1 2х 2 О i
.... J 'V I
2J33. S dx S , (х, у) ау+ S ах
a Yi=ii --1
-- 11' i='"Xi 1 Jl'4=Xi
S 1(х, y)dy+ S ах S f(x,y)dy+
... 'V;=xi ... 1 Yt=X'i
ОТВЕТЫ
429
.. 1 v' 4.... у 2 I .. V 1 1/2
, f (х, у) dx+ S dy S '(х, y)dx+
-- 2 __ У 4. у2 -- 1 .... V 4 у'
I у;-::у2 2 V'4=V2
+ dy S f (х, у) dx + S dy
J l' 1 .... ,,1 ] у 4. у2
2 'V l+X 3
2134. S dx НХ, у) dy + dx S f (х, у) dy+
s ..... у 9 .... х l -- 2 V 1 + х2
:1 V 9 х Э .... 1 .... V уl 1 ... 1 'V9=V2
+ S dx S f (х, y)dy== S dy S '(х, y)dx+ S dy S /(х, у) dx +
2 V'g::x:2 ... Уа 11' 9 .... у2 у, 'JIY2=1
1 y Vs '.. YYi=J 11, 11'9""=7
+ S dy S '(х, y)dx+ S dy S '(х, y)dx+ S dy S '(х, y)dx.
J Y 'fI' 1 ,/,
-- 9.... у2 1 __ у 9 у2 У у2 J
1 1 ..... Х 1 I -- У а 11 а 2 x"J
2135. а) S dx S f (х, у) d у == S dy S f (х, у) dx: б) S dx S
о о о о -- а __ 11' а2 .... ,,2
а у а 2 V 2 ) V Х X
S dy S их, у) dx: в) S dx S
... а .... у а2 у2 О .... 'V
I V 4 --- х l
+ S dx S f(x, y)dg== S dy
y;::x2
1
I (х, у) dx.
....1
V;::xi
f (х, ц)dу ==
f (х, у) dy ==
J/ 2
S dy
..... 1/2 1 1/ 1 4у2
2
а у + 2а а х !О, а за а
д) S dy S f (х, у) dx == S dx S Нх, y)dy+ S dx S I(x, y)dy + S dx S ,(х, y)dy.
о 'v о о а о 2а х 2а
48 i : 2 f 8 J
2136. S dy S '(х, у) dx. 2137. S dy S f (х, у) dx + S dy S f (х, у) dJC.
О l!.. о 1.. 2 1.
12 3 а
1+ "VJ=4Yi
2.
S
I (х, у) dx;
[)
1 1 1 У
S dx S 1 (х, у) dy == S dy S f (х, у) dx:
--1 х .....1 1
а
2" Yt.ii='V 2 а у 0,2.... у1
2138. S dy S [(х, у) dx + S dy S ;(х, у) ах.
о v а 2 2о'У а о
2
tJ Уа
,2 а а а
2139. S ау S f(х, у) dx + S ау S f (х, у) dx.
о а аУа а У а 2 у2
....
. 2
430
ОТВЕТЫ
2140.
а а... У а 2 yl а lа I"Yia lа
dy f (х, у) dx + dy 1 (х, у) dx + "S dy f(x,y)dx.
о у2 О а + у а2 у2 О
4а 4а
V 1
f dx [(х, y)dy+ f dXI1%f(X' y)dy. 2142. S dX "{'f( X' y)dy+
...] о о о о
RY"2
2141.
у2 t Уа У з х2
+ S dx ) f (х, у) dy + S dx f (х, у) dy. 2143.
1 о Y о
2
I
2 YR2 ... у2
S dy S '(х, y)dx.
о
v
2144. 5 dy,, asSlnYf(x, y)dx. 2145. . 2146. . 2147. а. 2148. .2149.6.
о 8rcsln у
1 4 . 15п ...... 16 . 2 8 V 2 5
2150. 2. 2 151. ln 2 . 2152. а) '3 t б) 150 t в) 25". 2153. 21 р.
а 11' J ..... (х ..... 2)2 4 8 5
2154. S dx S xydy == З. 2155. 3 а V2й. 2156. "2 nR'. У к аз а-
1 о
21tR v == I (х)!п R (1 cos t)
Н И е. S S у dx dy === S dx S У dy == S R (l cos t) dt S У dy, rде по-
(S) о о О о
следний интеrрал получается из предыдущеrо в результате замены
RI 1 z R'
х == R (t ...... sin t). 2157. 80 . 2158. 6' 2159. а + 2 .
1t 1
4 СО5 !р
2160. S dqJ S " (, С05 ЧJ,
о о
1t 1
2 51п q>
r 51п ЧJ) dr + S dqJ S " (, С05 ЧJ,
1t О
"
r sln <р) dr.
2161.
1t 2
" СОЗ
S d qJ S r f (' ) dr.
811 1
" 51" !р
2162. S dqJ S " (, С05 ЧJ, r sln ЧJ) dr.
о
о
1t
"
о
2163.
1t s{n 8п
" соз" q> "
S f (tg ЧJ) dqJ S r dr + S f (tg ЧJ) dqJ
о о
"
1 в' n <р
5 { n 1t cos 2 <р
S r dr + S f (tg ЧJ) dqJ S r dr.
о 8П О
--
&
2164.
"
S d<p
а 'v cos 2<р
S
О
'! (' cos <1',
IП
"& а 1I'ёOS'ii
r slп <р) dr + S d<p S
811 О
--
"
'[(' cos <1'. r 51п q» dr.
1t
.....
11:
4
ОТВЕТЫ
431
7r
......
2 J 65.
2 а СО! а
dq> ,! sln q> а' == 2 '
о о
2166.
3
2 ла 4 .
2167.
па'
3-
2168.
.
Cg 2 + ) а'. 2169.
2
3 паЬ. У к а э а н и е.
па l
'Т8
2170.
( ..... 16 У2 ...... 20 )
3 9 2 ·
2171.
Якобиан
1 == abr. Пределы интеrрирования:
с
1+ 1::0
о q> 2л, О.;;;; r .;;;; 1. 2172. dv [(и uv, uv) и du. Реш е н и е.
« О
1+(1
Имеем х == u (I ..... и) и у == ии; якобиап 1 == а. Определяем пределы u Ka
от функции v: u (1 ...... и) == О при х == О, откуда и == О (так как 1...... v #= О);
t)
u == l при х == о. П р е l1елы изменения и: так ка к у == ах, то
и
ии == аа (1 ...... и),
откуда
а
и=: 1 +а ;
для
у == .\1
находим
......
и...... 1 + .
чиваясь первым квадрантом: S S dx dy == 4
(S)
1 УУ ,Jf y
2175. а) 4 ; 5 dy 5 dx + 5 dy 5 dx;
о ....уу 1 y 2
1 и I 2 a
2173. J== ; [SdU 5 t ( ut v , U;v )dV+ SdU 5 t ( ut v , U;V )dV] ==
о ---а 1 и.... 2
о 1+11 I 1....11
== ; [S dv S t ( и t v , и; V ) du + S dv S t ( и t v , и ; V ) dи ] .
---1 'V О 'v
У к а з а н и е. После замены переменных уравнения сторон квадрата буду1
и==v; и+v==2;и v==2;и== v. 2174. аЬ [( :: :: )arctg : + : ].
Реш е н и е. Уравнение кривой ,4 ==,2 ( : cos 2 q> ;. sin l <р). от куда ниж-
ний предел для, есть О и верхний r == -{ : cos1q> :: sin l <р. Так как l'
а 2 Ь 2
должно быть в ещественным, то h 2 cos 2 cp k 2 siп 2 ср о; отсюда для первоrо
ak
координатноrо уrла имеем tg <р bh . Вследствие симметрии области интеv-
1
рирования относительно осей можно вычислить "4 Bcer o интеrрала, о rрани-
ak
arct g Ьп
S
-( а? Ь3
cos? (й... si n? <р
/],? т k
S
аЬ! dr
.
dcp
о
о
а V a2 x3
па'!. a Z 5 S
б) Т "2 j dx dy.
о a
432
ОТВЕТЫ
2176. а) : б) (2 + ) а!. 2177. . 2178. O а!. 2179. 11:. У к а.
16,f1"E ( 3t 1 ) 4л,/Т
З а н и е. 1 X 1. 2180."3 f 15. 2181. 3 ""4 +2". 2182. 3 у 3.
5 ·
2183. 4' ла!. 2184. 6. 2185. lОл. У к а з а н и е. Сделать замену
переменных
1
3х + 4у == а. 2186. 3" (Ь а) ( ...... а).
1 1 1 Х
{-( a) 1п · 2188. 0== S dy S (1 х) dx == S dx S (l х) dy. 2193. 11::' .
о у о о
аЗ лrtl. 48 у6 88
2196. '3. 2197. 4а . 219В. 5 · 2199. 105 .
4 ,r
2202. паЗ (а ). 2203. 3 ла! (2 r 2 1).
ла 3 4 лаЗ
2205. 3. 2206. 3 ЛйЬс. 2207. 3 (6 -уз 5).
па (1 e R2). 2210. з аЬ. 2211. 3 У 2 .
х 2у == и,
2187.
3 1
2) 94. 4. 2195. 6.
а' аЬс
2200. 18' 2201. З'
2204. ; 11:а ! (у2' 1),
2208. а а . 2209.
2212. v; (2 v'2 1).
у к а з а н и е. Сделать замену переменных ху == и,
:=0. 2213. у а 2 Ь 2 +Ь!с!+с2а О . 2214. 4(m n)R!. 2215. 2 а!.
у к а з а н и е. Интеrрировать в плоскости YOZ. 2216. 4а 2 . 2217. 8а:! arcsin .
а
2218. ; па 2 (3 -уз 1). 2219. 8а!. 2220. 311:а 2 . У к а з а н и е. Перейти
к полярным координатам. 2220.1. У к а з а н и е. Спроектировать поверхность на
3
координатную плоскость ХОУ. 2220.2. а! У2. 2221. (]== па l [( 1 " : ) "2 l] .
у к а з а н и е. Перейти к полярным координатам. 2222. 1; а l и 8а!. У к а з а-
н и е. Перейти к полярным координатам. 2223. 8a 2 arctg УБ2 . У к а з а н и е.
а а ; а
s 2 2
а == S dx S У 2 а d Y 2 2 8а 5 arcsi" у ! dx. Интеrрирооать по ча-
а x y 2 а x
о о О
аVЗ .
стям, а за reM сделат ь по дстанов ку х == 2 Sln t; ответ преобразовать.
2224. !!. ( Ь УЬО+с2 а У а 2 +с!+с! 1" Ь + УЬ 2 +с2 ) . У к а з а н и е.
4 а + у а 2 + с!
2 1М'''' R 2 а з ь а 2 Ь '
П u 2225. H 2226.
ереити к полярным координатам. 12 ' 24 .
.... 12 л l ....... п 5 ...
2227. х == 3 (4 п) ; у == 6 (4 л) · .2228. х ==6" а; у == 0.2229.
2
у== о. 2230. х == 5"; у == о. 2231. /х== 4.
б) /x== (D4 d 4 ). 2233. 1 == ; а".
tJ Уах
1== dx (у + а)! dy. 2235. 161" 2 9%. у к а з а н и е. Расстояние
о .... у ах
x y
точки (х, у) от прямой х == у, равное d == V 2 ' находится с помощью нор.
мальноrо уравнения прямой. 2236. 1 == 410 ka 5 17 у2 + 3 1" cV"'2 + 1)],
rде k..... КО9ффициент пропорциональности. У к а з а н и е. Поместив начало
координат в ту вершину, расстояние от которой пропорционально плотносТи
пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. Момент инерции
опреJ1еляется относительно оси ОХ. ПереХОllЯ к поля рным координатам, имеем:
ОТВЕТЫ
1t
1t
483
2232.
2а sin а
х == l З а i
1t
а) 10 == з2 (D" d«);
8 .J "
-Ба. J казание.
2234.
4 а sec ер ! а cosec ер
1" == dep S kr (r 51п ер)2 r dr + S dep S kr (r 51" ер)! r dr. 2237. I o== па4..
о о 1t О
па 4
2238. J о == т ·
4-
35 .
2239. 12 па 4 . у к а з а н и е. Принять за переменные инте-
1 l X t x y
rрирования t и у (см. задачу 2156). 2240. S dx dy f (х, у, z) dz.
R VR 2 xa Н
2241. S dx S dy S f (х, у, z)dz.
...R .... У R2 x2 О
Ь
...... у а 2 .... х 2
а а с
2242. S dx S dy S 1 (х, У. z) dz.
....а ь -{ х' у.
.......... v а 2 хl С а 2 + Ь 2
а
2243.
J 'v 1 х 2
S dx S dy
.... 1 .... 11 1 -- х.
У l x'l. y2
S
1 (х, у, z) dz.
о
2244.
l (31 + 12 У2 27 'JI3). 2245. 4п f2
1 5 па 5 ( ,r......... 97 )
2" In2 ........ 16 · 2249'"""5 18 у 3 6 ·
4 1th z R z
5" паЬс. 2253. 4 . 2254. пR3. 2255.
2248.
2252.
о
о
о
п al 1
2246. 8 2247. 720 .
59 s паЬcl
2250. 480 лR. 2251. .
а!. 2256. r' ( п : ).
434
ОТВЕТЫ
2а V 2ах... х 2
==2 dX
о
л:
225R. 10.
Xl + уа
2а
d!}
2259. 392 а! h.
lt
2260. ла l ,
r a
Реш е н и е. v ==
2257 ' лR5.
о
2
dz == 2 d<p
о
2а (09 2а
' dr dh ==
о
о
о
'Jt
1t
2 2а СО! 2
2 r d r ,3dr 1 r (2а cos (f)" d 3 а
== J (f) J 2а == а J 4 <р =="4 Л:й ·
о о о
2261. 2па 3 v2
3
у ка.
19
з а н и е. Перейти к сферическим координатам. 2262. 6 л.
аЗ
Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. 9 (Зл 4). 2264. лаЬс.
аЬс
2265. т(а+Ь+с).
у к а э а н и е.
л 2 аЬо
2264.1.. 4 У2 .
2266. : (ба' а! Ь!).
4л ...i
2264.2. ""'3 (у 2.... 1) аЬо.
2267. х ==0; у о;
2
z == "5 а.
4
x==
3 '
у к а з а н и е.
в вести сферические координаты.
пa!h
2269. 12 (За 2 + 4hZ). у l{ а 3 а н и е. Ось цилиндра принимается за ось OZ,
плоскость основания цилиндра....... за плоскость ХОУ. Момент инерции вы-
числяется относительно оси ох. После перехода к цилиндрическим коорди-
натам квадрат расстоя иия элеменТа r dcp dr dz от оси ОХ равен ,2 sin z q> + Z2.
ЛQhа 2
2270. 60 (2h 2 + 3а 2 ). У к а 3 а н и е. Основа ние конуса принимается за пло-
скость ХОУ, ось конуса за ось OZ. Момент инерции вычисляется отно-
сительно оси ох. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек поверхно-
а
сти конуса имеем: r == h (h z), причем квадрат расстояния элемента r dq> dr dz
от оси ОХ равен,2 sin 2 q> + Z2. 2271. 2лkQh (1 ..... cos а), rде k ко-
еффициент пропорциональности и Q плотность. Реш е н и е. Вершина ко-
нуса принимается за начало координат, а ero ось за ось OZ. Если ввести
сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет
л h
'ф == 2 а, а уравнение плоскости основания , == . Из сим-
sln 'у
меТрllИ следует, что результирующее напряжение направлено по оси OZ.
1\1асса элемента объема dm == Qr 2 cos 'Ф dcp d'Ф dr, r"де Q плотность. Компо-
нента по оси OZ притяжения этим элементом единицы массы, находящейся
в точке О, равна k dzm sin 'Ф == kQ sin 'Ф cos 'Ф d1P dcp dr. Результирующее притя-
,
2268.
1J == О,
z == о.
1t
.... ot
2п 2 h cosec Ф
жение равно d<p d'Ф kQ 51" 'Ф cos 'Ф dr. 2272. Реш е н и е. Вве-
о о о
дем цилиндрические к-оординаты (Q, , z) с началом в центре шара и
осью OZ, проходящей через материальную точку, массу которой полаrаем
равной т. Расстоя ние этой точки от центра шара обозначим через . Пусть
r == у е 2 + ( Z)2 расстояние от элементарноrо объема dи до массы т.
ОТВЕ ТЫ
435
Сила притяжения элементарноrо объема do шара и
do
ки т направлена вдоль , и численно равна ....... kym 2 '
,
материальной точ-
М
r де у == 4
з лR3
плотность шара и dv == Q d<p dQ da ---- элементарный объем. Проекция этой силы
на ось OZ будет:
km у dv л ---- z
dF == ........ 2 cos (rz) == ....... kmy ---в----- Q d<p dQ dz.
, ,
21t R V R'J Z3
Отсюда F == kmy S dq> S (6 z) d:& S Qr Q == kmy : nR' 2 '
o....R о
00
4 kM m S
но так как 3" v nR 3 == М, то F == т. 2273. ---- y2e xy2 dy ........e x3.
"
2275. а) J.. (р > О); б) 1 при Р > С%; в) 2 t fl 2 (р > О); r) I fl2 (р>0).
р p a р р
1 2
2276. 2. 2277. '. У к а з а н и е. Продифференцировать два раза
n р
00
S е pt dt == J... 2278. lп . 2279. arctg.t arctg .!::... . 2280. зt 2 In (1 + а).
р ct m m
о
а 1
2281. л; (У 1 ..... а} ....... 1). 2282. arcctg т. 2283. 1. 2284. 2". 2285.
л;
2286. 4а 2 . у к а з а н и е.
л;2
2288. 8. 2289. Сходится. Реш е н и е. Исключим из S начал о Коо рдина1'
вместе с cro в-окрестностыо, Т. е. рассмотрим 1. == S S lп V х. +!t dx dy.
(S.)
rде удаляемая область --- крур радиуса в с центром в начале коордп.
!П 1
наТ. Перейдя к полярным координатам. имеем 1. == S d<p S r lп r dr ==
\) .
тt
т.
v1t
Перейти к полярным координатам. 2287. 2 .
21t t
S [ ,2 [ 1 1 S ] ( 8Z 82 1 )
== "2 1 п, . ........ 2 r d, d == 2л 4 ...... 2 1 n 8 ....... 4 ·
о .
Отсюда
л;
lim " == 2 . 2290. Сходится при ct > 1.
E O
Н И е. Окружаем ПРЯМУIО у == х узенькой
t " e 1
S S dx dy ....... 11 S d
V . (х у)2 ...... Х
(S) о
2292. Сходится при
2291. Сходится.
у к аза.
2295. аЬ (а 2 + аЬ + Ь 2 )
3(а+Ь) ·
полоской и полauаем
1
S dy + l' S d S dy
V (x Ij)2 V (x --- у)" ·
о о +
с% > . 2293. О. 2294. 10 У5 :3 .
8
[(1 + 4л 2 >' 1) .
256 3
15 а ·
2297.
296.
436
ОТВЕТЫ
2298. а ! V J + т 2
5т
"Уа 2 +Ь 2 2лЬ J6
2301. аЬ arctg a . 2302. 2ла!. 2303. 27 (10у10..... 1). Указание.
1 (х, у) ds можно rеометрически интерпретировать как площадь цилиндри-
r;
ческой поверхности с образующей, параJlJlельной оси OZ, основанием КОН-
туром пнтеrрирования и высотами, равными значениям подынтеrральной функ-
ЦИИ. Поэтому S== 5 х ds, rде С дуrа ОА параболы у== : х., соединяющая
с
точки (о; О) и (4: б). 2304. а у[ 2305. 2 ( Ь 2 + 11 а 2 Ь arcsln V а 2 b Z ) .
а 2 Ь! а
2306. Уа 2 + Ь 2 ( пУ а 2 + 4пЬ. + ;: In 2пЬ + У: 2 + 4П 2 Ь 2 ).
( 3 4 а, 3 4 а ) . 2308. 2па" V rr + Ь.. 2309. 11 kMmb .
(а 2 + Ь 2 )3
19 4 12
2310. 40 30 . 2311..... 2па!. 2312. а) 3 б) о; в) "5; r) 4;
д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. ..... 2л. У-к а э а н 11 е. Использовать
4
параметрические уравнения окружности. 2315. 3 аЬ 2 . 2316........ 251" 2. 2317. О.
Х2 У2
3 . 5
2318. а) 8; б) 12; в) 2; r)"2; д) ln (х + у); е) 5 q> (х) dx + ф (у) dy.
х. ,.
1
319. 8) 62; б) 1; в) "4 + 1п 2; r) 1 + v2:" 2320. Уl + а 2 Уl + Ь 2 .
2322. а) х 2 + 3ху ...... 2 у 2 + с: б) х' --- х 2 у + ху! ..... у'1 + с; в) eX Y (х + у) + с;
r) lп 'х + УI + С. 2323. 2па(а + Ь). 2324. пR2 cos 2 а. 2325. ( i- + 3t ) R'.
2326. а) 2: б) аЬс..... 1; В) 5 У 2; r) о. 2327. 1 == у2 dx dy.
(S)
4 nR 4 1
2328. З' 2329. 2. 2330. ..... 3". 2331. о. 2332. а) о; б) 2пп. У к а з а-
н и е. В случае б) формула rрина применяется В области, заключенной Ме.
жду контуром С и KpyroM достаточно малоrо радиуса с центром в на-
чале координат. 2333. Реш е н и е. Если считать, что направление касатель-
ной совпадает с направлением nоложительноrо обхода контура, то
cos (Х. п) == со! (У, t) == :; , следовательно, 1 cos (Х, п) ds== 1 :: ds ==
с с
== 1 dy == О. 2334. 28, rде 8 площа,8.Ь, оrраниченная контуром С. 2331i. 4.
с
3
У к а з а н и z. Формулу rрина применято нельзя. 2336. па6. 2337. '8 па!.
2338. 63tw. 839. fa-. у к а з а н и е. Положить у== tx, rAe t параметр.
2299. а ' V2.
1
2300. 54 (56 v7 t).
2307.
ОТВЕТЫ
431
а l
2340. 60 ' 2341. 1t (R + () (R + 2r); 6nR 2 при R == '. У к а 3 а н и е. Уравнение
ЭПИЦИКЛОИДЫ имеет вид х == (R + ,) cos t ....... , cos R +, t, У == (R + ,) sin t ......
,
, 51" R +, t, rДе t уrол поворота радиуса неподвижноrо Kpyra, про-
,
3 R
веденноrо в точку касания. 2342. 1t (R ,) (R 2,); 8 лR 2 при , == 4 .
У к а з а н И е. Уравнение rипоциклоиды получается из уравнения СООl ветствую-
щеЙ эпициклоиды (см. задачу 2341) заменой , на т. 2343. FR.
k
2344. тg (ZI ....... t 2 ). 2345. 2" (а 2 --- "2), rде k....... коэффициент пропорционально-
стн. 2346. а) Потенциал U == тgz, работа тg (21 ..... 22); б) потенциал
f.L k 2
и == , работа у ; В) потенциал и == (х 2 + у. + Z2),
, а 2 + Ь 2 + с 2 2
k 2 8 2ла 2 V а 2 + Ь 2
работа 2" (R 2 ..... (2). 2347. 3" па 4 . 2348. 3 . 2349. о.
4 ла 4 3 25 У5 + 1 n v2 4
2350. nabc. 2351. . 2352. . 2353. y а. 2354. h .
3 2 4 10 (5 5 1) 2
2355. а) о; б) И (cos а + cos + cos у) dS. 2356. О. 2357. 4n. 2358. па..
(S)
2359. ....... й'. 2360.
aR aQ
ду д:& '
2 S S (х + у + z) dx dy dz. 2363.
(V)
sss ( :X + + ) dxdydz.
(У)
п;a 2 b z
дР aR aQ дР
az == дх ' дх == ду ·
2 S S dx dy dz
Yx 2 +y2+Z1 ·
( )
2365. 3а". 2366. а; . 2367. 2 па'.
2361.
О.
2362.
2364.
2368. 2 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. 2373. Окружности
хl + у2 == С:' % == С.. 2376. grad и (А) == 91 ..... 3j...... 3k; I grad U (А) 1 == У 99 ==
"Wi r r r
== 3 у 11; ,l == ху; Х == у == 1. 2377. а).......' б) 2т; в) ..... а I r) " (,) .
, , r
2378. grad (cr) == с; поверхности уровня....... плоскости, псрпендикулярные н!
вектору с. 2379. д а U == 2и , д д и == I grad и I при а == Ь =: с. 2380. дU ==
r , r д!
== --- cos ( , r) ; a a U l == О при 11. Т. 2382. .!. 2383. dfv а ==1. t (,) + " (,).
, "
2385. а) divr==3, rotr==O; б) djv(rc)== rc , rot(rc)=: rxc ;B)djv(f(r)o):=
, ,
== " (r) (с Т), rot (/ (т) с) == " (r) с Х '. 2386. div t) == о; rot" == 2ю, [Де ю ==
r ,
== wk. 2387. 2roп О , rде пО единичный вектор, параллельный оси вращения.
. д 2 U д 2 и д"U
2388. dJV grad и == дх'" + ду2 + да l i
rot grad и == о.
2391.
3nR 2 H.
438
ОТВЕТЫ
2392. 8) l nRtH (3Rt + 2HI); б) l пRzH (R ' + 2lf!). 2393. dlv р== О 80
всех точках, кроме начала координат. Поток равен 4пт. У к а з а н и е.
При вычислении потока использовать теорему Остроrрадскоrо raycca.
r
2394. 2л t h t . 2395. R8 . 2396. и == S '/ (r) dr. 2397. ; . 2398. а) Не имеет;
r(j
б) и ==xyz +с; в) и ==ху +xz + yz + с. 2400. Да.
r лава VHI
1 1 п 1 п + 2 2п
2401. 2п 1 . 2402. 2п . 2403. 2п 1 ' 2404. п2 . 2405. (п + 1)1 ' 2406. 3п + 2 ·
2407. 1 2408 1.3.5... (2п 1) 2409 ( 1) п+] 2410 (n--l)п+l
n (п + 1) · . 1.4. 7 . .. (3п 2) .. .. п ·
2416. Расходится. 2417 Сходится. 2418. Расходится. 2419. Расходится.
2420. Расходится. 2421. Расходится. 2422. Расходится. 2423. Расходится.
2424. Расходится. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428. Схо-
дится. 2429. Сходится. 2430. Сходится. 2431. Сходится. 2432. Сходится.
2433. Сходится. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Рас-
ходится. 24:-18. Сходится. 2439. Сходится. 2440. Сходится. 2441. Расходится.
2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходите я.2446.Сходится.
2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Схо-
дится. 2452. Расходится. 2453. Сходится. 2454. Расходится. 2455. Расходится.
2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Схо-
дится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится.
2465. Сходится. 2466. Сходится. 2467 Расходится. 2468. Расходится. У к а э а-
н и е. Оп+ , > 1. 247О. Сходится условно. 471. Сходится условно. 2472. Схо-
а п
дится абсолютно. 2473. Расходится. 2474. Сходится условно. 2475. Сходится
абсолю [НО. 2476 Сходится УСЛОВНо. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится
абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481. СХОДИl ся условно.
2482. Сходи'rся абсолютно. 2484. а) Расходи I ся; б) сходится а6СОЛЮ1НО; в) рас-
ходится; r) СХОДИl ся условно. У к а з а н и е. В примерах а) и r) рассмотреть
JJ
ряд (a2k 1 + atk), а в примерах 6) и В) исследоваl ь отдельно ряды
k:::a
I..JJ 00
a 2 k..1 11 atk. 2485. Расходится. 486. Сходится аБСОЛIОТНО. 2487. Схо-
k==l k 1
lJ.ится абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходнтся
абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. Да.
00 п 00
2494. Нет. 2495. L 1 + ; 1) I сходится. 2496. L 2n (2 1) ; сходится.
п 1 n=1
2497. l' всх одитс я. 24 99. Сходится. 2500. Сх одится. 250 1. 1I .I < t o . I R.I < 7 O ;
R. < О, R. > О. 2502. R n < 2п а.+ 1 2" (2п 1) nl ' у к а з а 11 и е. Остаток
ряжа можно оценить с ПОМОЩЬЮ суммы r'еометрической проrрессии, пре-
вышающеii &ТОТ остаток; R n == а п [ п 1 + ( ) ' (n + 1; (n + 2; +...] <
ОТВЕТЫ
439
< ОП [ · II I + ( у · (п 1)1 + · ..] · 2503. R/I < (п + )t 2+ 1)1 ;
....8 1 1 1 + 1
R 1 . < 3 .10 · 2504. II + 1 < R п < n. Реш е н и е. Rn (n + 1)3 (n + 2)1 +' · ·
1 1 ( 1 1 )
... > (n+ l )(п+2) + (п+2)(n+3) + ... == п+l п+2 +
( 1 1 ) 1 1 1 1
+ n +2 n +3 +... == п + 1 ; Rп< n (п + 1) + (п + 1)(n+2) +.. '==п-.
2505. Для данноrо ряда леrко можно найти точное значение остатка:
Rn== l (п + : ) ( Yn l.
( 1 ) zп ( 1 ) аn + I
Реш е н и е. Rn == (п + 1) 4 + (п + 2) 4" + ...
( 4 1 ) 1. .
Vмножим на
/6 R/I ==(п + 1) ( У/l+2+ (п + 2) ( У/l+4 + ...
Вычитая, получим:
15 ( ) In ( .!. ) ап ( ) ln+2 ( .!. ) In+" ......
16Rn n 4 + 4 + 4 + 4 +..........
( 1.. ) 1/1 ( ) 1/1 ( 16 ) ( ..!.. ) аn
п 4 + 1 ......... n + 15 4 ·
1
16
ОТСlода находим приведенное выше значение Rn. Полаrая n == О, находим
сумму ряда s== с: у. 2506. 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. S == 1. У к а 3 а-
1 1
ние. an==n п+l 2509.8==1 при х>о, 8== 1 при х<о; S==O
при х == О. 2510. При х > 1 сходится абсолютно, при х 1 расходится.
2511. rfри х > 1 сходится абсолютно, при 0< х 1 сходится неаБС'ОЛIОТНО,
при х O расходится. 2512. IlрИ х > е сходится абсолютно, при 1 < х e
сходится неаБСОЛIОТНО, при < 1 расходится. 2513. 00 < х < 00.
2514. 00 < х < 00. 2515. Сходится абсолютно при х > О, расходится при
1 1
x O. Решение. 1) lan' enX ' а при х>О ряд с оt)ЩИ 1 членом е пх
1
сходится; 2) 1 при х O, а cos пх не стремится к нулю при n 00,
е
так как из cos пх О следовало бы, что cos 2пх 1; таким обра.зом.
при х O нарушен необходимый признак сходимости. 2516. Сходится
абсолютно при 2kл<х«2k+l)л(k==О. :1:1. :1:2,...); в ОСlЗЛЬНЫХ
точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно
пр и х :/= О. 2519. х > 1, x.s;; 1. 2520. х > 3, х < 1. 521. х 1, х 1.
121
22. Х 5з, Х<4 з . 2523. x>l, x<.....l. 2524. 1<x< 2J
1 00
2< х < 1. У к а з а н и е. При t1их значениях х СХОДИТСЯ как ряд Xk, 18К
k;::1
440
ОТВЕТЫ
00
и ряд . При I х I 1 и при I х \ <: 2 1 общий член ряда не стремится
2 k xk
k==l
К НУЛЮ. 2525. 1 < х < о, о < х < 1. 2526. 1 < х < 1. 2527. 2.-; х < 2.
1 1
2528. l<х<l. 2529. ....... Y2 х Y2 · 2530. 1 < x l. 2531. 1 <х < 1.
2532. 1 < х < 1. 2533. 00< х < 00. 2534. х == о. 2535. 00 < х < 00.
1 1
2536. 4 < х < 4. 2537. "3 < х < "3 . 2538. 2 < х < 2. 2539. ..... е <х<е.
2540. 3 х < 3. 2541. ..... 1 < х < 1. 2542. ..... 1 < х < 1. Реш е н и е. Рас-
ходимость ряда при I х I 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что рас-
ХОДИМОСТЬ ряда на концах интервала сходимости х == :f: 1 обнаруживается не
только с ПОМОЩЬЮ необходимоrо признака сходимости, но и с ПОМОЩЬЮ при-
знака Даламбера). При I х 1<, 1 имеем:
(п + 1)' х(п+l)! n + 1
Нт . I == Нт /(n+l)xnrnl lim(n+l)lxlп==lim l l l n==O
n---+оо п! х п , n---+оо n---+оо n--+CJ:>
Х
(последнее равенство леrко получить с помощью правила Лопиталя).
2543. 1 х 1. У к а з а н и е. С ПОМОЩЬЮ признака Даламбера МОжно не
rолько найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость даННоrо ряда
на концах интервала сходимости. 2544. 1 Е;; х 1. У к а 3 а н и е. С помощью
n ризнака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и исследо-
вать СХОДИМОСТЬ Данноrо ряда на концах интервала сходимости. 2545. 2 < х 8
2546. 2 х < 8. 2547. ....... 2 < х < 4. 2548. 1.-; х 3. 2549. 4 х ....... 2
2550. x== 3. 2551. 7 < х < 3. 2552. О';;;х <.. 4. 2553. < х < 3
2554. ...... е 3 < х < е ..... 3. 2555. ....... 2 х <; о. 2556. 2 < х < 4. 2557. 1 < х 3
2558. ...... 3 х 1.2559. 1 ......!. < х < 1 +.!.. у к а з а н и е. При х == l:!: ..!..
( е 1 ) п2 е в
l+
ряд расходится, так как Нт п n == ,; i= О. 2560. 2 < х < О.
n---+оо е f е
2561. l<x 3. 2562. 1 x<5. 2563. 2 x 4. 2564.lzl<1.2565./z/<I.
2566. I z 2i I < 3. 2567. I z I <J1"2: 2568. z == О. 2:'':;9. I z I < 00. 2570. I z I < ; .
2576. ..... ln (1 х) ( 1 х < 1). 77. ln (1 + х) ( 1 < х.-; 1).
1 l+х 1
2578. "2 lп 1 х ( / х I < 1). 2579. arct f ( / х I 1). 2580. (х....... 1)2 ( I х / < 1).
1 х 2 2
2581. (l + х 2 )2 (1 х I < 1). 2582. (1 х )' ( I х I < 1). 2583. (х 1 )2 ( I х I > 1).
1 ( 1 1 ..... Х ) п УЗ
2584. 2 arctg х ....... "2 1 n 1 + х (/ х / < 1). 2585. 6 . У к а 3 а н и е. Рас-
ха 1
смотреть сумму ряда х 3 + 5 ... (см. задачу 2579) при х == уз ·
00
х n lл n а ( jt )
2586. 3. 2587. а":::: 1 + nl ( --- 00 < х < 00). 2588. sfn х + 4 ==
n==1
пJ п
у2 [ r ха х 4 х ' х n ]
;::: 2 1 + х ..... 2т 31 + 41 + 51 ..... ... + ( 1) п! +... ·
ОТВЕТЫ
441
XZ х З х 4
2589. cos (х + а) == cos а х siп а 2! cos а + 3! sin а + 4! cos а + .. о
х n . r (п+l)Л ] . 2 2x2 2 З х 4 2 5 х 6
... + п! sш l а+ 2 +.. .( oo < х< 00).2<>90. sш x 2! 4!+61 '"
2 21l I х 2 n Х
... +( 1)n ) (2п)! +...( 00 <х< 00). 2591. ln(2+x)==ln2+2
х 2 х 3 х n
2.22 + 3.2з ...+( I)n l n.2n +...( 2<Х 2). Указание. При
исследовании остаточноrо члена воспользоваться теоремой об интеrрирова-
00
2x 3
нии cTeneHHoro ряда. 2592. (х 1)2 == (п + 3) х n (1 х 1< 1).
n=:о
CJ)
25 а з 3х 5 ( 1 + 2 \ n
и. x2 4x+3 з n + J ) Х
n=:о
(J) 00
( I)n J21l lxn 2 х 2n
+ L (п l)! ( 00< х <00). 2595. е Х == 1 + L ( оо<х<оо).
12=:2 п==l
</ х I < 1). 2594. xe 2X == х +
00
х2n+l
2596. (2п + 1)!
n=:о
( 00 < х < 00 ).
00
2 2n х 2n
2597. 1 + L ( 1)n (2n)! ·
n==1
00
2 h 98 1 + ! ( 1)'1 (2х)2n ( < < )
i.J. 2 (2п)! 00 х 00.
n==1
2599.
00
n (n+2)3 2n .х2n+l ,
2 .L ( 1) (2п + l)! ( 00 <. х < 00).
п==о
00
х2n+l
2600. ( 1)n gn+l
n=:о
( 3 < х < 3).
2601.
1 1 х 2 1 . 3 х 4
2 +"2. 23 + 2.4 25 +
1.3.5 х 6 1.3.5... (2n 1) х 2n
+ 2.4.627 +...+ 2.4.6...2n 22п+l +'" ( 2<x<:2).
00 (fJ
х 2 n + 1 ( 1) n + J 2 n 1 n ( 1 1 )
2602. 2 L 2п + 1 ( I х I < 1). 2603. L п х 2" < х,е;;;;"2 ·
п==о n==1
(fJ 00
хn х 2n + 1
х+ ( 1)n (п 1)n (lxl I). 2605. ( 1)n 2n+1 (Jxl l).
n==2 n o
2604.
2606.
Х + . х 8 + 1 .3 х 5 + + 1 .3.5. . . (2п 1) х 2n + J + ( I I 1 )
... 2 +1 ... х ·
2 3 2 . 4 5 2 . 4 . 6. . . 2п n
. х 3 + 1 .3 х 5 + ( 1 ) 1.3.5... (2п 1) х 2n + 1 +
х 2 3 2 .4 5 · · · 2 . 4 . 6. . .2п 2п + 1 · · ·
2607.
( I х I 1).
2608.
00
( 1)n+l 2 n 3 х 2n ( oo < х < 00).
(2п)!
п==l
15 [. с. Б аранеНКQБ н др.
442
ОТ ВЕТЫ
2609.
00
1+ ( l)п l n l xп ( oo<x<oo).
n!
n==2
00
8 +3 L 1 +2nnt3n 1 х n ( oo < х < 00).
n==1
х
261 1. 2 + 22. 3 . l'
2610.
2.х! + 2.5х3 + + 1) n 12.5.8...(Зп 4)х'l +
25.32.2! 2 8 .3 3 .3! ... ( 23n 1.3n.n! ...
00
( oo < х < 00). 2612. L ( 2}+I + з,,1+1 ) х n ( 2 < х < 2).
п==1
00
3 (1 + 32n 1) х 2n
26 t 3. 1 +"4 L (2n )1 ( I х I < 00).
n=-1
00
n
2615. ln 2 + L ( 1)n 1 (1 + 2 1l) -:
n==1
00
х 4n
2614. 4 n + 1
II =- О
( I х I < У2) ·
( I<x I).
2616.
00
. х 2 "+]
( 1)n (2n + 1) (2п + 1)1
n==о
( oo<x<oo).
00 00
х2n+1 х "
2617. х+ ( l)n (2n+l)п! (Ixl<oo). 2618. ( l)п+l п 2 (Ixl l).
n==1 n==1
2 19 + 1 5 + 1.3 9 + + 1.3.5...(2n 1) 4n+l + (I X I '<'/I ) .
6 · х 2.5 х 22.9 .21 х · · · 2" (4п + 1) п! х · · · ........
х 3 2х 5 х 3 2х 5
2620. Х+З-+15+... 2621. x 3+Т5 ...
( х! х" ) х2 5х"
2622. е 1 "2 +"6 .. · · 2623. 1 + 2 + 24 + · · ·
( х! х"''' х 6 "\ 1
2624. 2+ 12 + 45 +"')' 2625. X+X Z +-з Х3 +'.' 2626. Указа-
ние. ИСХОДЯ из параметрических уравнений эллипса x==acost, y==bsint,
вычислить длину ЭJIлипса и полученное выражение разложить в ряд по стеле-
НЯМ 8. 2628. х 3 2х2 5х 2 == 78 +59 (х + 4) 14 (х + 4)2 +
+ (х + 4)3 ( oo < х < 00). 2629. f (х + h) == 5х З 4х 2 3х + 2 +
+ (15х! 8х 3) h + (15х 4) h Z +5h 3 ( oo< Х <00; 00 < h < 00).
00 00
2630. L ( l)n 1 (х l)n (О < х';;;;;2). 2631. L ( l)n (х l)n (О < х < 2).
п==1 n==о
'х)
2632. }: (п+l)(х+l)п ( 2<x<o).
п==о
00
2633. (2 n 1 3 n J) (х + 4)" ( 6 < х < 2).
n==о
CFJ
26М. L. ( l)n (х ;;;}/n ( 2 уз < х < 2 + ( 3) .
п==о
ОТВЕТЫ
443
е 1
2641. 1 R J < 5! < 40 ·
( 1 ) 5
] .3 2
+ 2.4 5 ;:::::: 0,523. У к а з а н и е. Чтобы доказать, что ОIIIибка не превы-
тает 0,001, нужно оценить остаток с помощью rеометрической проrрессии, прс-
х 2
вышающеЙ этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1 2" . 2645. Два члена,
7
х З 1
т. е. х 6" · 2646. Восемь членов, т. е. 1 + п! . 2647. 99; 999. 2648. 1,92.
п:=::l
2649. I R 1<0,0003. 2650. 2,087. 2651. I х r < 0,69; I х j < 0,39; j х I <' 0,22.
, 1 1
2652. /xl<O,39; 'х/<О,18. 2653. 2 2З.3.3! O,4931. 2654. 0,7468.
2655. 0,608. 2656. 0,621. 2657. 0,2505. 2658. 0,026.
00 2n
2659. 1+ ( I)n (X Y)
(2п)!
n== 1
,'Х)
n (х у)2n (х + у)2n
2660. L. ( 1) 2.(2п) i
n==1
00 ( 2 + 2 ) 2п 1
2661. ( l)п l х у
(2п 1)1
п==l
00
2635. e 2 [ 1 + (X+ п! 2)п l 2636 2 + X 4 !.(X 4)2 +
( I х I < 00 ). · 22 4 2.\
n==1
+ . (х 4) з 1 .3 .5 . (х 4)" + + ( 1 ) n 1 1 .3 .5.. . (2п 3) . (х 4) n +
4.6 26 4.6.8 28 · · · 4.6.8 ... 2п 2 2п · · ·
00 (х yn ]
2637. lJ ( ОN (2n 1 )! ( I х I < 00 ).
п==l
00 п 1 ( :rt ) 2п 1
{l n 4 \ х 4 ,00 1 ( 1 Х ) 2n+l
+ L/ l) (2n 1)! (Ixl<oo). 2639. 2 L :Ln+l l+x
п==] п==о
l x
(О < х < 00). у к а 3 а н и е. Сделать замену 1 + х == t и раз.пОi:П Т
lnx по степенямt. 2640. 1 X + ( 1 x Y+ : ( 1 X )3+".
· · · + : : : :: = ; ( 1 х ) n + . . . ( х < 00 ) .
( 1 ) ;1
1 п 1 1 2
1 R 1 < П · 2€43 · "6 2 + "2 3 +
(О х 8).
1
2638. 2" ..
2642.
( oo<x<oo; oo<y<oo).
( oo<X<OO; OC'<y<oo).
( oo<x<oo; oo<y<oo).
00
2662. 1 + 2 (у х)n; I х у I < 1. У к а з а н и е. 1 х + у == 1 +
l+x y
U=:1
2
+ . ВОСПОЛЬЗОВ3'IЬСЯ rеометрической проrрессией.
1 (у ...... х)
15*
444 ОТВЕТЫ
00
хn+ n уn
2663. ( l x<l; 1 y<l). Указание. l x y
n==1
+ ху == (1 Х) (1 у).
00
п x21l + I +y2п+J
2664. ( l) 2п+l
n==о
( I x l;
1 У 1). у к а з а н и е. arctg I Х + У == arctg х + arctg У (при I х I 1,
xy
) у I 1). 2665. t (х +h, у +k) ==ах 2 + 2Ьху +су2 + 2 (ах + Ьу) h +
+2(bx+cy)k+ah 2 +2bh+ck'l..2666. t(1+h,2+k) t(l, 2)==9h 21k+
:п
+ 3/1! + 3hk 12k" + h 2 2k'. 2667. 1 + L {(х 2) ,(Y + 2)]п .
n==1
[ - ( :rt ) , 2п
00 х+ y z 'l. а !
2668.1+ ( l)n (2п)! 2 J .2669.1+x+ x ;У + Х XY ' ...
n:=1
00
2670 1+ + + ! + 26 7 1 СI+С2 2(Сl с!) siп(2п+l)х .
. х ху 2 х у.. · · 2 11: 2п + 1 '
п o
00
S ( О ) == С 1 + C z . S ( :!: ) == С 1 + С ! 2672. Ь а 2( Ь а ) cos (2п + 1) х +
2' n 2' 4 л 11: (2п + 1)1
n==О
00 00
+(a+b)L( l)n I Si:nx ; S(:!:Л)== Ь 2 а л. 2673. +4L.( 1)n co:!nx ;
n:=1 п ,
00
2 [ 1 ( l)n J
S (:!: л) ==л.. 2674. 1t sh ал 2а + L а! + п. (а cos пх п 51" пх) ;
п ==1
00
2 si n ал L п sin пх
S ( ::l: п) == ch азt. 2675. ( l)n Z ! ' если а не целое; sin ах, если
11: а п
n==1
00
2 sin ал [ 1 L а cos nx J
а целое, S (:!: 11:) ==0. 2676. 2 + ( l)n 'l. ! ' если а не
n а а n
n==1
целое; COS ах, если а целое; S ( :f: зt) == cos ап.
00
2677. 2 5h ал ( l)n 1 п"5 п ; S (:!: п) == О.
11: а п
==l
00
2 sh ал r 1 n а cos пх ]
2678. п L 2a + ( 1) а'!. + п'!. ; S (:f: n) ==ch a:rt. 2679.
n::=1
00
L 51: пх .
п==1
00 (Ю
2680. sin (2а 1) х . л б ) 11: 11: 2681. а ) 2 ( l ) п I S( n .fl пх . ,
2п 1 ' а) 4"' "3' в) Y .
N :.= 1 2 3
п==)
ОТВЕТЫ
445
00 00
б) i. } cos (2n 1) Х. л: 2 2л:
2л (2n 1 )2 ' 8. 2682. а) Ь 1l sin пх, rде b 2k ..... 1 == 2k 1
n==1 n==1
8
n (2k 1)3 '
а
00
b 2k == ; б) 2 + 41: ( 1)n со::х ;
n==1
л 2 л 2
1) 6; 2) 12 ·
00
2683. а) [1 ( 1)n eai:l n sin nх . б ) eaтt 1 + 2а [( 1)neaп 1] cosnx .
n J а 2 + n 2 , ал:rt а 2 + n 2
n 1 n l
00 nл
1 cos
2684. а) ! 2 sin nх;
л n
п==l
00 nл
1 2 \1 sin 2"
б) 2+-Л i.J n cosnx.
n==1
00 00
2685. ) ( 1\n I Sin(2n l)x . б ) cos2(2n l)x
ал J (2n 1)2' 4 л (2п 1)2 ·
n==1 п==1
00
2686. L Ь" sin пх, rде b 2k == ( 1 )k 1 ;k ' Ь 2 Нl == ( l)k 1t (2k 2 + 1)2 .
n==1
00 00
2687. " sin (2n 1) х 2688. " ( l)'l l n sin nх .
'ft (2n 1)3. 1t 4n 2 1
п==1 п==1
00
2689. 2h ( 1 + sin nh )
п 2" nh cos nх ·
п==1
2h [ 1 ( Sinnh ) 2 ]
2690. л 2" + nh cos пх ·
п==1
00 00
2691. 1 со; х + 2 L ( l)n l : .2692. [ ; + L ( 1)n 1 :s2 1.
n==2 n==1
1t
2694. Реш е н и е.
1t 2
1) а 2n == S f (х) cos 2пх dx == ; S f (х) cos 2пх dx +
о о
1t
+ S f (х) cos 2пх dx.
1t
3t
Если сделать замену t == 2" х в первом интеrрэле
2
3t
И t == х ""2 ВО втором интеrрале, то, воспользовавшись предположен-
ным тождеством f ( + t ) == f ( t) , леrко обнаружить, что а 2n == О
(n ==0, 1, 2, .. .);
1t
1t 2 1t
2) Ь 2п == S t (х) sin 2nх dx=:. S t (х) sin 2nх dx +.! \ t (х) sin 2пх dx.
:rt 11 :rt t.J
О О 1t
.
2
445
ОТВЕТЫ
т а же замена, что и в случае 1), с учетом предположенноrо тождества
f ( + t ) == f ( t ) ПРИВОДИТ К равенствам ь 2n ==О(n == 1, 2, ...).
2695 .........! cos(2n+l)nx 2696 1
· 2 зt 2 (2п + 1)2. · jt
n==О n==l
[ 1 l cos n x лn sin n7 Х ]
2697. shl т+ 2 fdl( l)n [2+n 2 n 2 ·
sin 2пзtх
п
.
aJ
2699. а) siп2(п 1)лх .
зt п=l 2п 1 '
(fJ (2п 1) лх
1 4 1 {1 cos 1
б) 2........ 1[2 I.J (2п l)
п=l
б) 1. 2700. а)
aJ . плх
10\1 Sln
2698. n ( 1 )" n 5 .
п==l
00 . 11ЛХ
2/ sln{
n !.J ( 1)n+l п j
п=l
2701.
) Ь . пх
а п Sln 2' rде b 2 ?+1==
n=l
8 [ л2 4 ]
== n 2k + 1 ........ (2k + 1)3 '
00 . (2п + 1) лх
8 \1 Sln 2
2702. а) л,2 i..J ( 1)n (2п + 1 )2
n=о
пх
4л 4 2 cos
b2k== k; б) ; 16 ( l)/ l n 22 .
n=1
(fJ
00
б) ) cos (2n+ 1) пх
2 л 2 n=О (2п + 1)2 ·
00 (fJ
2 9 1 2п1[Х 1 cos 2плх
2703. з........ 2л! п 2 cos + 2л2 п2
n=l n==l
r.иава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да;
б) нет. 2710. Да. 2714. y xy' ==0. 2715. ху' 2y==0.
2716. y 2xy'==0. 2717. xdx+ydy==O. 2718. у'==у. 2719. 3y2 x2==
== 2хуу'. 2720. хуу' (ху2 + 1) == 1. 2721. У == ху' lп . 2722. 2ху" + у' == о.
у
2723. y" y' 2y==0. 2724. у"+4у==0. 2725. y''' 2y''+y'==O. 2726. у"==О.
2727. у'" ==0. 2728. (1+y'2)y''' 3y'y''2==0. 2729. y2 x2==25.
1
2730. у==хе 2Х . 2731. y== cosx. 2732. y==6( 5e X+geX 4e2X).
2738. 2,593 (точное значение у==е). 2739. 4,780 (точное значение
у == 3(e 1 ). 2740. 0,946 (точное значение у == 1). 2741. 1,826 (точное
значение у==уЗ). 2742. ctg 2 y==tg 2 X+C. 2743. х== уСУ ;
1 + у2
а+Сх
у == и. 2744. х 2 + у2 == ln Сх 2 . 2745. У == 1 + ах . 2746. tg у ==
у2
=== С (1 eX)3; х == О. 2747. у == с sin х. 2748. 2е 2 == Уе (1 + е Х ). 2749. 1 +
+у2 1 2 2 ' 2750. y==l. 275t. arctg(x+y)==x+C. 2752. 8х+
x
ОТВЕТЫ
447
+2y+l==2tg(4x+C). 2753. х+2у+3]пI2х+Зу 71==С. 2754. 5х+
. С
+lOy+C==31n\10x 5y+61. 2755. Q== l или у2==2Сх+С 2 .
cos <р
1 у!
2756. 1п Q == 2 1п 1 cos q> 1 + с или lп I х I 2 2== С. 2757. Прямая у==Сх
2 cos q> х
С
у-ли rипербо.туа у == х . у к а 3 а н и е. Отрезок касательной равен
х
у/ у" + ( :' )". 2758. у" х 2 == С. 2759. у == Се а . 2760. у" == 2рх. 2761. у==
== ах 2 . у к а з а н и е.
х
ху dx
о 3
По условию х ==4х.Дифференцируя двап{дыпо Х,
ydx
о
1
получим диф ференц иальное уравнение. 2762. у2 == "3 х. 2763. У == -v 4 - х 2 +
2 Y4 x2
+ 2 In . 2764. Пучок прямых у == kx. 2765. Семейство подобных
х
эллипсов 2х 2 + у" == C Z . 2766. Семейство rипербол х" у2 == С. 2767. СеМt:й
ство окружностей х 2 + (у Ь)2 == Ь". 2768. У == х ]п . 2769. У == . ·
х х 2
х
2770. х == Се у . 2771. (х С)" у;р r"; 1 (4 2)" у' == 4; У == ::J:x.
r у+ ,(l... 2.
2772. у ; + lп I у I == С. 27 73. y ==;:: . c ; х == о. 2774. (х" + у")8 (х +
r 3
+у)2==;С. 2775. у==хУ 1 8x. 2776. (х+у l)З==С(х у+з).
2777. 3х + у + 2 ln I х + у 1 1== с. 2778. lп 14х + 8у + 5 I + 8у 4х == С.
779. х 2 == 1 2у. 2780. Параболоид вращения. Реш е н и е. В силу CHMMeT
рии искомое зеркало является ПСВСРХIIОСТЬЮ вращения. Начало координат
помещается в источнике света; ось ОХ направление пучка лучей. ЕСЛll
касательная в любой точке 1\1 (х, у) кривой сечения искомоЙ ПGвеРХНОСТII
плоскостью ХОУ образует с осыо ОХ уrол q>, а отрезок, соединяющиЙ начало
... 2 tcr У
координат с точкои М (х, y), yroJ1 а, то tg cz == tg 2<р == 1 2 . Но tg a== t
tg х
tg == у'. Искомое дифференциальное уравнение у уу'2 == '2ху' и ero реше
ние у2 == 2Сх + С 2 . Плоское сечение парабола. Искомая поверхность
параболоид вращения. 2781. (х у)2 су == О. 2782. х 2 == С (2у + с).
х
2783. (2y2 . х")8 === Сх 2 . У К а з а н и е. Использовать, что площадь равна у dx.
а
27М. у== Сх х In I х \ . 2785. у== Сх + х". 2786. у== х' + .
2787. х V 1 + у2 + cos у == С. у к а з а н и е. У равнение линейно ОТНССIIТСЛЬНС
dx 1 е Х а Ь е а
х и d . 2788. х == Су2 . 2789. У == + ·
у у х х
448
ОТВЕТЫ
у == 2 1 (х -v 1 х 2 + (J rcsin х) .. / 1 1 + х х . 2791. У х
V == ёOSX ·
2792. У (х! + Сх) == 1. 2793. у2 == х 'п : . 2794. х! == У Су! .
2795. уЗ (3 + Cecos х) == х. 2797. ху == Су2 + а 2 . 2798. у2 + х + ау == о.
у а Ь
2799. x==yln . 2800. + ==1. 2801. x2+y2 Cy+a'l.==O.
а х у
2802. i + ху + у! == С. 2803. + х!/ + х 2 == С. 2804. 4 х!!I +
уа у
+2х+ з ==С. 2805. x2+y'l. 2arctgx==C. 2806. x2 y'l.==Cy3.
х
х 2 у"
2807. +yeY ==2. 2808. 1пl хl ==C.
2 х
1 1
2810. IПХ+"2 у2 ==С. 2811. (xslny+ycosy siny)ex==C.
2812. (x'l.C" + 1 2Су) (х " + С! 2Су) == о; особый интеrрал х" у" == О.
2813. Общий интеrрал (у + С)'l. == х 3 ; особоrо интеrрала нет. 2814. Общий
( х" ) I у" )
интеrрал '2 у + с х 2"" + с == о; особоrо интеrрала нет.
2815. ОБЩИЙ интеrрал у" + с! == 2Сх; особый интеrрал ха у! == О.
1 уз . { x==sinp+lnp,
2816. y== 2 cosx:l: 2 SlnX. 2817. i + + +с
у == р s n р cos р р .
, 2
2818. { х==е:+реР+С. . 2819. { Х==2р p+C,
у == р еР. у == р! + 2 ln р.
Особое решение у == О.
х
2820. 4у==х"+рИ, In 1 р х 1 ==с + .
p x
Z + z
2821. ln у р2 + у!: + arctg J!.. == с, х == In у 2 Р . Особое 'решение у == е Х .
у р
х!. . { x==Ce P 2p+2,
2822. и c+c, y X2x. 28 4. у==С(1+р)е Р рИ+2.
2823. { x==lnlp/ arcs inp+C, 2825. { x== (cp p)
у == р + -v 1 pZ. 3 1 '
1
У == 6 (2Ср z + p'l.).
у К а 3 а н и е. Дифференциальное уравнение, из KOToporo определяется х как
х 2
функция ОТ р, однородно. 2826. У == Сх + С 2 ; у == 4 . 2827. У == Сх + с;
особоrо решения неТ. 2828. У == Сх + -v 1 + С2; х 2 + у2 == 1. 2829. У ==
1
== Сх + с; у! == 4х. 2830. ху == С. 2831. Окружность и семейство ее
касательных. 2832. Астроида x'l./s + у2/З == а 2 / З . 2833. а) Однородное;
у == хи; б) линейное относительно х; х == uv; в) линейное относительно у;
у == uv; r) урав lIение Вернулли; у == uv; д) с разделяющимися пе
ременными; е) уравнение Клеро; привести к виду у == ху' :l: V у'З;
)к) уравнение Лаrранжа; дифференцировать по х; з) уравнение Вернулли;
у == uv; и} приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными
2790.
2809.
х х 2
у-+ 2" ==С.
ОТВЕТЫ
449
u == х + у; к) уравнение Лаrранжа; дифференцировать по х; л) у paBH "
иие Берну лли относительно х; х == иv; м) уравнение в полных дифферен-
циалах; н) линейное; у == ии; о) уравнение Берну лли; у == ни.
2834. а) siп.J!.... == ln I х 1+ с; б) х == у. e CY + 1 . 2835. х 2 + y == С у 2.
Х
2836. y== x2 C 2837. xy(c In2x)==I. 2838. y==Cx+ClnC;
особое решение у == e (x+l). 2839. у == Сх + у аС; особое решение
а + 1 \ х 3 1 \ 1 2Х У 1 1 ( 1 + 2 ) C
у == 4х ' 2840. Зу n (у + 1)6 С. 2841. 2 е е arctg Y 2 n у ·
1
2842. у===х 2 (1 +Се Х). 2843. х==у! (с e Y). 2844. у==Се sin Х +sin x l.
2845. y==ax+CYI x2. 2846. Y== X I (x+ln\xl+C).
. х 2
2847. х == Ce Stn у 2а (1 + sin у). 2848. "2 + 3х + у + ln [(х зрОI у 11 3 ]==С.
I
y l 2
2849. 2 arctg 2 ln Сх. 2850. х!: == 1 + Се У. 2851. х' == Се У y 2.
х У
2852. V + 'п I х 1== С. 2853. У == х arcsin (Сх). 2854. y2==Ce 2X + sinx+
+ : сон. 2855. ху == С (У 1). 2856. х == Се У } (sin У + cos У).
5 С ( 1 8S 4 С 411 , 3 2 .3 3
28 7. ру == Р ). 2 8. х == е '; у 4 у "8 у 32 ·
2859. (ху + С) (х1у + С) == о. 2860. V х 2 + у'!. == С. 2861. хе У уl == С.
у
{ C Vl+p2 1 ,! 2
2862. х рl 2р + 2 р '!. ln (р + r 1 + р ),
у == 2рх + v 1 + pZ.
2е Х у4 == СуИ.
2863.
у == хе СХ .
2864.
lп [ у + 2/ + 2 arctg у + 3 2 == С.
x
y' 1 L х
2866. у2+Се 2 + 2==0. 2867. x'J.. y == Се а . 2868. x t ==C.
х у
С х" . а 2 ln (х+ Уа 2 +хl)+С
2869. у == / . 2870. У == С stH Х а. 2871. у == ,! .
4 (х 2 1) 3 'J. Х + r а 2 + х'!.
2872. (у Сх) (у 2 х' + С) ==0. 2873. У == Сх + 2 ' У == : V 2X '.
2874. х 3 + х 2 у у 2 х уЗ == С. 2875. р2 + 4у'!. == СуЗ. 2876. У == х 1.
2877. У == х. 2878. У == 2. 2879. У == О. 2880. У == (sin. х + cos х).
2881. У == (2х 2 + 2х + 1). 2882. У == e X + 2х 2. 2883. а) У ==х;
б) у == Сх, rде С произвольно; точка (о; о) особая точка дифференци-
альноrо уравнения. 2884. а) у2 ==Х 7 б) у2 == 2рх; (О, О) особая точка.
2885. а) (х С)2 + у2 == С2; б) нет решения; в) х 2 + у2 -== х; (О, О) особая
Х
2865.
точка. 2886. У == е У. 2887.
2889. , == С ea . У к а 3 а н и е.
у == (1''''2 :!: V х)2 2888.
[Iерейти к полярным
у2 -== 1 е х.
координатам.
450
ОТВЕТЫ
2890. Зу! 2х == О.
2893. у! + 16х == о. 2894.
2895. y== (е Х + e X).
2
х х
,5 ydx, а длина дуrи УI +y'2dx. 2896. x== + Су. 2897. y2==4C(C+a x).
о о
2898. У к а з а н и е. Пользоваться тем, что равнодеЙствующая силы тяжести
и центробежноЙ силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за
ось ОУ и обозначая через (t) уr.псвую CI(OPOCTb вращения, получаем для
плоскоrо OC€BOrO СЕчения искомой поверхности дифференциальное уравнение
g == ш2х. 2899. Р == е 0,000167 /1. У к а з а н и е. Давление на каждом уров-
не вертикальноrо воздушноrо столба мо)кно считать обусловленным только
давлен 'ем вышележащих слоев. Использовать закон Бойля \ариотта, по
которому плотность 1Jропорциона.rJьна давлению. Искомое дифференциальное
1
уравнение dp == kp dlz. 2900. s == 2 klw. У к а з а н и е. Уравнение ds ==
== kw .z 1 х dx. 2901. 5 == ( р + {ш )kl. 2902. Т == а + (ТО а) e kt. 2903. Че-
рез час. 2904. (j) == 100 ( : У об/мин. 2905. За 100 лет распадется 4,2"/0
dQ
начальноrо количества Qo' У к а 3 а н и е. Уравнение dt == kQ; Q ==
t
==- Qo ( ; ) 1600. 2906. t =:::: 35,2 сек. У к а з а н и е. У раВf!еШlе :rt (/12 2/1) d/l ==
== :rt ( l У v dt. 2907. lu 1 24 ' У к а з а н и е. У равнение dQ == kQ d/l; Q ==
!z
2891. , == k<p. 2892. х 2 + (у Ь)! == Ь 2 .
rилерболы у2 х 2 == С или окружности х 2 + у2 == С 2 .
У к а 3 а н и е. I-Iспользовать, что площадь равна
( 1 ) 3 -. / &:111
== QO"2 · 908. v V k при t 00 (k коэффициент пропорциональ
ности). У К а з а!l и е. Уравнение m == mg kv 2 ; v == -V g; th (t y k ) .
dx ( 1 х )
2909. 18,1 KZ. У J{ а 3 а н и е. У равнение dt == k :3 300 .
R
Е t
2910. i == R 2 + L2oo2 [(R siп rot Lw cos rot) + Lwe L ]. У к а з а н и е. Урав-
lleHlIe Ri + L :it == Е sill rot. 2911. у == х 111 I х I + С 1 х + С 2 . 2912. 1 + С 1у 2 ==
== ( С 2 + i у. 2913. у== In I е 2К +С 1 1 х + С 2 . 2914. у== С 1 +С 2 111 I х 1.
2915. У == С 1 е С2 '''. 2916. у === :l: У С 1 Х + С 2 . 2917. У == (1 + C ) 1п I х + С 1 1
С 1 Х + С 2 . 2918. (х С 1 ) == а 111 I sin у : С2 1. 2919. у == (111 I х 1)2 +
+ С 1 111 I х I + С 2' 29 20. х == 1 111 I у с 1 I + С 2 ; у + С. 2921. У == С 1 е С ' Х + 2 .
2922. У == :i: . [х V L.: х 2 + C ilrсsiп ;1 j + С 2 . 2923. У == (С 1 е Х + 1) х + С 2 .
ОТВЕТЫ
451
х
+1 е
2924. у == (С 1 х C ) е(\ + C z ; у =="2 х 2 + с (особое решение). 2925. У==С 1 хХ
. х 3 х 3 х!
X(X Cl)+C2; у==з-+ С (особое решение). 2926. Y== 12 +1" + С 1 х ln I х I +C Z X+C a 8
2927. у== sin(C , + х)+Сах+С а . 2928. у==х а +зх. 2929. у== (ха+ 1).2930. У ==
+ 1 2931 С 2 3 1 + С 2 е Х + I Y C2 1
x . 8 у== х. 29 2. У==С 1 1 С 2 е Х ; у==С. 2933. x==C 1 In У+С 2 ·
2934. " ==С 1 2 1" I у с 2 1. 2935. х== C1y Z + У 1" У +С а ,
х 2 1 е 2 1
2938. 2 у 2...... 4х! == 1 2937. У == х + 1. 293S. У == 2 (е 2 1) 4 lп 1 х,.
1 х 2 е 2 + 1 1]
или у == 2 (е2 + 1) + 4 ln I х 1.. 2939. У == 2" х 2 . 2940. У == 2 х2 .
3 е
2941. у == 2е Х . 1942. х == 2 (у + 2) 3. 2943. У == е Х . 2944. у2 == е 1 +
е х . 2 У2...!... 8 3е 8Х
+ 1 е ' 2945. У == 3 х 2 3 . 2946. У == 2 + е 3Х ' 2947. У == sec 2 х.
29:48. у == sin х + 1. 2949. У == . 2950. х === ; е уа 295 1. Решения
2 (х+С: + 1)-
нет. 2952. у == е Х . 2953. у == 21n \ х \ х. 2954. У == 2 +
3
4 х!
+"3 C1(x+ 1) 2 + C z . Особое решение у == С. 2955. У == С 1 2+ (С 1 С:)х+С а .
(x+l)3 1 4.
Особое решение у 12 + С. 2956. у 12 (С 1 + х) + Czx + С а 8
2957. y===Cl +C2eCf.x; y==l eX; y== I+e x; особое решение
4
у == С · 2958. Окружности. 2959. (х С 1 )! С 2 у! + kC: == о. 2960. ( 'П"
x
x x
ная линия у == а ch 2 о . Окружность (х Хо)! + у! == a'l..
2961. Парабола (х хо)! == 2ау а 2 . Циклоида х хо == а (t sijJ t), у:::::
== а (1 cos '). 962. е ау + C S == sec (ах + С 1 ). 2963. Парабола. 964. у ==
q q
==S H еНХ+ С 1 Н е НХ+С!илиу==асh Х+С +С!, rде Н ПОСТОЯН.
2 q 2 1 q а
Н
ное rОРИЗ0нтальное натя жение, а q == а. У к а 3 а н и е. Ди фференциаJIЬНО
. d 2 y q.. / ( d Y \2
уравнение dx! == Н JI 1 + dx ). 2965.
::::: g (3i" а f1 cos а). Закон движения
== Inch (t Y g ). Указание. YpaBHelltIe дви,кшия
d 2 s
Уравнение движения dt 2 ........
gt 2 .
S == 2 (SI" а fl ccs а). 2966. s ==
d 2 s
т dt 2 ==
452
ОТВЕТЫ
==mg k ( у. 2967. Через 6,45 сек. У к а з а н и е. Уравнение движения
300 d 2 x
g dt 2 == 10и. 2968. а) нет; б) да; в) да; r) да; д) HtT; е) нет; ж) нет; з) да.
2969. а) у" + у == о; б) у" ....... 2у' + у == о; в) х 2 у" 2ху' + 2у == о; [) у'" 3у" +
+ 4у' 2у == о. 2f'70. У == 3х 5х2 + 2х 3 . 2971. У == ! (С} sin х + С 2 cos х).
Х
у к а 3 а н IJ е. Применить подстановку у == у}и. 2972. У === С}х + С 2 ]п х. 2973. у ==
х 2 В
== А + Вх2 + х 3 . 2974. У == 3 + Ах + . у к а 3 а н и е. Частные решения од-
х
1
нородноrо уравнения Уl == х, У2 == . Методом вариации произвольных по-
х
х х з .
стоянных находим: С ! == 2 + А; С 2 == 6" + В. 2975. У === А + в Sln х +
+ С cos х + ln I sec х + tg х I + sin х]п I cos х t х cos х. 2976. У == С 1 е 2Х + С 2 е 3Х .
2977. у == C}e 3X + С 2 е 3Х . 2978. у == С} + С 2 е Х . 2979. у == С} cos х + С 2 siп х.
2980. у == е Х (С ! COS Х + С 2 sin х). 2981. У == е 2Х (С 1 COS 3х + С 2 siJl 3х). 2982. У ==
== (С } + С 2 х) e X. 2Н83. у == е 2Х (С)е Х 112 + С 2 е х 112). 2984. Если k > о, у ==
::= С}е Х 1Ik +С 2 е x 1Ik; если k < О, У == C 1 COS V k x+C 2 sinV k x. 2985. у==;
х 115" 115" х ( -'/ -./ )
X X rl1 rll
:= е 2 (С}е 2 + С 2 е 2 ). 2986. У == е 6 С} COS 6 х + С 2 sin х .
2987. У == 4е Х + е 4Х . 2988. у == e X. 2989. у == sin 2х. 2990. У == 1.
х
2991. У == а ch . 2992. У == О. 2993. У == С sin лх. 2994. а) хе 2Х (Ах 2 + Вх + С);
а
6) А COS 2х + в sin 2х; в) А cos 2х + в sin 2х + Сх 2 е 2Х ; [) е Х (А cos х + в sin х);
д) е Х (Ах 2 + Вх + С) + хе 2Х (Dx Е); е) хе Х [(Ах2 + Вх + С) cos 2х +
, " 1 .
+ (Dx Z + Ех + Р) sin 2х]. 2995. У == (С} + С 2 х) е 2Х + 8 (2х 2 + 4х + 3). 2996. y
== е : (С 1 cos Х ;3 + с. sin х ;3 ) +х 3 + 3х О . 2997. у== (С 1 + Сох) e X +
+ е 2Х . 2998. у== С 1 е Х + С.е 7Х + 2. 2999. у==С 1 е Х + Coe X ++ хе Х . 3000. у:::=
== С 1 cos Х + с. sin х + ; х sin х. 3001. У == С,е Х + Сое ox ; (3 sin 2х + cos 2х).
3002. y С 1 е 2Х + C2e 3X + х ( lX O 215 ) е ОХ . 3003. у == (С 1 + сох) е Х +
+ cosx+ x : eX e X. 3004. y==CI+Coe x+ x+ 2 (2COS2X Sin2X).
8005. у == е Х (С 1 cos 2х + С 2 sin 2х) + е Х sin 2х. 3006. У == cos 2х +
+ З l (sin х + sin 2х). 3007. 1) х == C 1 cos rot + С 2 sin rot + 2 А 2 sin pt; 2) х==
ffi p
== С 1 cos (])t + С 2 sin (])t t cos (])t. 3008. У == С,е 3Х + С о е 4Х хе 4Х . 3009. у ==
2 3
==C t +C 2 e 2X + . 3010. у==е Х (С} +С2.х+х2). 3011. y==C t +
+ С 2 е 2Х + ; xe'X х. 3012. У == С 1 е ОХ + C2e4X е Х + i (3 cos 2х + siп 2х).
ОТВЕТЫ
453
3013. у==С. +Cze X +еХ + х 2 5х. 3014. у==С. + С 2 е Х 3хе Х х х 2 .
3015. у .:..... ( С. + С 2 х + ; xz) е X + 1 е Х . 3016. у == (С. СО5 3х + С 2 51п 3х) е Х +
+ ;7 (5iп 3х + б cos 3х) + е; . 3017. У == (С. +С 2 х+х.)е 2Х + х t 1 . 3018. у ==С.+
+ С 3 \" 1 + . х 2 х 1 х 3
2 е - 10 (cOSX 3S1JJX) 6 9' 3019. Y==8e2X(4x+l) 6
2
+ . 3020. у==С.еХ+С2е Х хslпх соsх. 3021. y==C.e 2X+
е 2Х
+ С 2 е 2Х 20 (sin 2х + 2 cos 2х).
х + + 1
"4 (3 sln 2х 2 cos 2х) ""4 · 3023. У == еХ (С 1 COS Х + С 2 sin х 2х соз х).
3024. У == С.е Х + C2e X + (х. х) е Х .
+ х 51" х СО5 Х + 514 (3х 1) е 3Х .
+ (2 3х) + 116 (2х ! х) е' Х . 3027.
3028. У == ( С. + Czx + х: ) е" Х .
(2х. + х) e 3X + /6 (2х" + 3х) е Х .
х х!. Х 3
+ 4 cos х + ""4 Sln х 8 соз 3х + 32 sl" 3х.
3022.
у == С 1 COS 2х + С 2 sin 2х
3025.
у == С 1 cos 3х + С ! sin 3х +
у == С 1 е'Х + Cze x +
3 3
y==C 1 +C z e 2X 2хе Х х Х!.
4 4
у == Cle 'Х + Gze X
3026.
3029.
3030.
у == C 1 COS Х + С! sl" х +
у к а 3 а н и е.
Произведение
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. y==C1e X У! + С!е Х У!" +
+ хе Х sl" х +е Х СО5 х. 3032. у==С. cos х +С 2 sl" х + cos х 1" I ctg ( + : )1.
3033. у == С. cos х + С ! 51" х + 5i" x.1n I tg 1. 3034. У == (С. + CzX) еХ +
+ хе Х ln I Х 1. 3035. У == (С 1 + Czx) e X + xe X 1 n I х 1. 3036. У == C 1 СОЗ Х +
+ С ! si" х + х sl" Х + СОЗ х 1" I СОЗ х 1. 3037. У == С 1 cos Х + С ! sl" х ...... х СО! Х +
+ sin х ln I si" х 1. 3038. а) у == С 1 е Х + C!e X + (е Х + e X) arctg е Х ; б) у ==
С xYz +c XY! I 2 ( dZX )
== l е 2 е + е Х . 3040. Уравнение движения g dt Z == 2 ----
k ( + 2) (k 1) . Т 2 ' / 2 3041 2g 51" 30t 60-Vg sl" Vg
х , зt V g сек. · х g 900 см.
. 4
У к а 3 а н и е. Если х отсчитывать от положения покоя rруза, то х" == 4----
g
k (х о + х у 1), rде хо расстояние точки покоя rруза от начаJIЬНОЙ
точки подвеса пруживы, l длина пружины в состоянии покоя; поэтому
4 d 2 x
k (х о 1) == 4, следовательно, d 2 == k (х у), rде k == 4, g == 981 см/сек!.
g t
d 2 x ( , / 2k ) d2S
3042. т dt Z == k (Ь х) k (Ь + х); х == с cos t V т . 3043. 6 dt Z -==gs;
t== ../ 6 ln(6+Y 35 ). 3044. а),== а 2 (eWL+e wt); б) ,== (ewt........e UJt).
r g 2ш
454
ОТВЕТЫ
d 2 ,
У к а з а н и е. ДифференциаJiЬНО уравнение ДВI,окения dt 2 == 002,.
3045. У == С 1 + С 2 е Х + С з е 12Х . 3046. У == С 1 + C2e '" + Сзе Х .
3047. y==c)e X+ e: (c 2 cos 3 х+С з siп 3 х).
3048. у== C 1 + С 2 х + Сзе Х 11;-- + C4e X V2. 3049. у==е Х (C 1 + С 2 х +Сзх'!).
3050. У == е'" (C 1 cos Х + С 2 siп х) + e X (СВ cos х + С4, sin х).
3051. у == (С] + С 2 х) cos 2х + (Са + С 4 х) siп 2х.
3052. У == С) + С.е Х + е : (с 3 COS З- х + С 4 sin 3 х ) .
3053. у== (C 1 + С 2 х) e X + (С з + С 4 х) е"'.
3054. У== C1e ax + C2e ax + Са cos ах + С 4 sin ах.
3055. у == (С 1 + С 2 х) е VЗХ --f. (С;! + С 4 х) е VЗХ . 3056. У == С 1 + С 2 х +
+ св cos ах + С 4 siп ах. 3057. у == C 1 + С 2 х + (С з + С 4 х) e X. 3058.!I == (C 1 +
+ С 2 х) cos Х + (Са + С 4 х) sin х. 3059. У == e X (С 1 + С 2 х +. . . + C1lxп 1).
3060. у== С) + С.Х + ( С 3 + С 4 Х + х; ) еХ.
3061. у== С) + C X + 12x. + Зх 3 + ; х'" + ;0 х 5 + (С 3 + С 4 х) е Х .
3062. У == С) е" + е : (С 2 COS З- Х + С 3 sin З- х ) х 3 5.
3063. у== С) + С;Х + С:х' + C4e X + 1 88 (4 cos 4х sin 4х).
,
04 C X +C+C + 32 13 + 14 + "' ( 3 15 )
3 6 · y l е 2 аХ "2 Х эХ 12 х е 2 х "4 ·
30&5. у== C)e X + с. cos х + С 3 sin х + е" ( ) .
3066. У == С 1 + С 2 cos х + Са sin х + sec х + cos х lп I cos х \ tg х. si[} х + х sin х.
( VЗ 1 уз )
3067. y==e X+e · СОSуХ+ уз- SiПтХ +x 2.
30G8. у == (С 1 + С 2 lп х) . 3069. У == С 1 х З + С 2 .
х х
3070. У == С 1 COS (2 ]n х) + С 2 sin (21n х).
3671. У == Ctx + С 2 х 2 + С з х 3 . 3072. У == С 1 + С 2 (ЭХ + 2) 4/з.
3073. У == С 1 х 2 + С 2 . 3074. У == С 1 cos (ln х) + С 2 sin (1п х).
х
1
3075. У == С 1 х В + С 2 х 2 + 2 х. 3076. у == (х + 1)21C 1 + С 2 1п (х + 1)] + (х + 1)8.
3077. У == х (1п х + 1п 2 х). 3078. У == C 1 COS Х + С 2 sin х, 2 == С 2 COS Х С 1 sin х.
3079. у == e X (С) cos х + Са sin х), z == e X [(C2 2С) COS х (С 1 + 2С.) sin х).
3080. у== (С 1 С:. С 1 х) e 2X, z == (C1x + С 2 ) e lx.
ОТВЕТЫ
455
3081. x==C 1 e f +e + (C 2 COS 3 t+Casin 3 t),
C t + + ( СЗУ 3 С2 1/3 t С2У3+СЗ(" УЗ ,)
у 1 е е 2 cos 2 2 1n 2 '
C t + ( C8Y3 C2 У3 t+ С?'У3 Сз, Jl3 t)
z l е е 2 cos 2 2 SIП 2 ·
3082. x==Cle t+C2e2t, У==Сзе t+С2е2t, Z== (Cl +Сз)е t+С2е2t.
3083. у == С 1 + С 2 е 2Х (х' + х), z == С 2 е 2Х С 1 + (х 2 Х О.
3084. У == С 1 + С 2 Х + 2 siп х, z == 2С 1 С 2 (2х + 1) 3 sin х 2 cos х.
3085. у == (С 2 2С 1 2С 2 х) e X 6х + 14, z == (С 1 + С 2 х) e X + 5х 9;
С 1 ==9, С 2 ==4,
у-==- 14 (1 e X) 2х (3 + 4e X), 2 == 9 (1 e X) + х (5 + 4e X).
3086. х == 10e'?t 8е зt e t + 6t 1; У == 20e 2t + 8е зt + 3e t + 12t + 10.
2С 1 С 1 * (х 2 + у2) у z .
3087. Y (C )2 ' Z C ' 3088. а) 2 Ct, C2'
2 X 2 X Х У
б) In}r х' + у2 == arctg .!L + с.. 11 z == С 2 . в) У к а з а н и е. Интеrрируя од-
х х 2 +у2
dx dx " ,r
нородное уравнение == + ,находим nервыи uнтеzрал ln r х 2 + у2 ==
x y х у
== arctg + С 1 . Далее, пользуясь свойствами производных пропорциЙ, имеем
dz х dx у dy х dx + у dy 1 2 2
( ) ( + ) 2+ 2 · Отсюда Inz 2 1n(x +у )+lnC z и,
z xx y ух у х у
z
следовате"Т"(ьно, == С 2 ; в) х + у + z == О, х 2 + у2 + Z2 == 6.
V х 2 + у2
у К а 3 а н и е. Применяя своЙства производных пропорций, имеем:
dx dlf dz dx + dy + dz
== == == о ; отсюда dx + dy + dz == О И, следова-
y Z z x x y
тельно, х + у + z == C t . Аналоrично
xdx ydy zdz xdx+ydy+zdz.
x(Y Z) Y(l X) Z(x y) О xdx+ydy+zdz==O
и х 2 + у2 + Z2 == С 2 . Таки!vl образом, интеrральные кривые окружности
х + у +? == C t , х 2 + у2 + Z2 == С 2 . Из начальных условий х == 1, у == 1,
z == 2 будем иметь С. == О, С 2 == 6.
,., 2 + с 2 х 2 (3 1 2 2 1 )
8089. Y L,tX x 18 n х ПХ,
С х
z == 1 2С 1 х + х: + 9 (3 Jn 2 х + lп х 1).
8090. у == С 1 е ХУ2 + С 2 е . У2 + Са cos х + С4, sin х + е'"<: 2х,
С х1l2 С X}r2 С З С4, . 1 Х +
z l е 2 е 4casx 4s1nx 2e х.
k k
vmcosa ( t\ m ( t\
3091. х == ,\ k 1 е т ) t У == k 2 (kv J sin а + mg) 1 е т , .......
/ ,
тgt dv x . dv y
Т' Реш е н и е. т dt kv x , m dt kv y mg при нач.аJ1ЬНЫХ
456
ОТВЕТЫ
условиях: ХО == У О == О, и хо == V o cos а, и уо == и о sin а при t == о. Интеrрируя по-
t t
лучим: и х == и о cos ае т ,kv y + mg === (! иo sin а + mg) е т .
k V!) V m . k х 2 k 2 y2
3092. x==acos -Ут t, У== k S1n Y t, "2 + == 1. У к а з а н и е.
m а ти 2
о
d 2 x d 2 y
Дифференциальные уравнения ДВИ)I{ения: m d t 2 == k 2 x; т dt 2 == f.. 2 у .
3093. y== 2 2х х", 3094. у== (уо + )"," 'X I) ; х +}.
1 + 1 + 1 2 + 1 3 + 9 4 21 5 +
3095. Y 2 т Х -В Х 16 Х 32 Х + З20 Х · ...
1 3 1 7 + 2 11
3096. У 3 х 7.9 х 7 . 11 .27 х ...
х 2 х3 х 4
3097. У==Х+ l.2 + 2.З + 3.4 +."; ряд СХОДИТСЯ при 1<x<l.
х 2 х 3 х 4
3098. у==х (1!)2.2 + (21)2.3 (3!)2.4 ...; ряд сходится при oo< х < +00.
у к а з а н и е. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
1 1.4 1.4.7
8 099 У 1 3 + Х 6 9 + . С Р " Х < +
. 31 х б! 9! х ..., ряд СХОДИТ я п и oo<-- 00.
sin Х
3100. У === . у к а з а н и е. ИСПОJlьзовать метод неопредеJ1енных коэффи.
х
х 2 х 4 х 6
циентов. 3101. У== 1 22 + 22.42 22.42.62 + ... ;ряд СХОДИТСЯ при I х 1<+00.
у к а 3 а н и е. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
( 1 1 2 + 2 4 9 6 + 55 8 )
3 1 02. Х а 2! t 4т t 6! t 8f t ... ·
a'Jtt . лх
3103. u == А cos Т Sln т' у к а з а н и е. Использовать УСЛОВИЯ: u (О, t) == о,
. 'Лх ди (х, О)
и (/, t) === О, u (Х, О) == А stn l ' at == О.
00
31 4 2/ 1 . (2k + 1) лаt . (2k + 1) 'ЛХ У к а з а н и е . Ис -
О · u л 2 а (2k + 1)2 Sln / Slfi / ·
k==o
ди (х, О)
пользовать условия: u (О, t) == О, u и, t) == О, u (Х, О) == О, д! == 1.
00
8h 1 . nп nла!. nпх
3105. U== л 2 n2 sln2cos slnl'
n==!
у к а з а н и е.
Использовать
условия:
ди (х,О) J
at ==0, u (О, t)==O, u и, t)==O, u (х, 0)==
\
2hx 1
Т для О < х 2 '
( х \ 1
2h 1 -Т) для 2<Х</.
ОТВЕТЫ
457
00
А (2п + 1) ап t . (2п + 1) зtх
3106. u == n cos 2! Sln 2! '
rz==o
rде коэффициенты А п ==
l
2 5 х . (2п + 1) п х 8 ( 1) n
== l 1 SlП 2/ dx == (?п + 1)2 п 2 ·
о
у к а з а н и е.
Использовать
условия:
du(l, t) ( O) ди(х, O) O
и(О, t)==O, дх ==0, u х, l' at .
00 a2n2 2t
400 1 . ппх 1002 У И
3107. u== л;з nз (l соsпп)SlП 100 .е . казание. спользо...
n==]
вать условия: u (О, t) == о, u (100, t) == О, u (х, О) == О,Оlх (100 х).
[лава Х
3108. а) 1"; 0,0023°/ с ; б) 1 мм; 0,260/0; в) 1 (?; 0,0016%.
3109. а) 0,05; 0,021 0/0; б) 0,0005; 1,450/0; в) 0,005; 0,160 I о.
3110. а) 2 знака; 48.103 или 49.103, так как число заключено между 47 877 и
48845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6.102. Практически резу.пьтат следует
писать в виде (5,9:1:0,1).102. 3111. а) 29,5; б) 1,6.102; в) 43,2. 3112. а) 84,2;
б) 18,5 или 18,47 :1:0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаl<ОВ, так
как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной поrреш-
нести в одну сотую. 3113*. 1,8 :1:0,3 см 2 . У к а з а н и е. Воспользоваться фор-
мулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0:1:0,2; б) 43,7:l:0,1;
в) 0,3:f=0,1. 3115.19,9:1:0,1 м 2 . 3116. а) 1,1295:1:0,0002; б) 0,120:1:0,006;
в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи част...
Horo нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117. 0,480.
Последняя цифра может колебаться на 1. 3118. а) 0,1729; б) 277.108; в) 2.
3119. (2,05:f=0,01).10 3 с.м 2 . 3120. а) 1,648; б) 4,025::l::0,001; в) 9,006::l::0,003.
3121. 4,01.103 см 2 . Абсолютная поrрешность 6,5 CM z . Относительная по-
rрешность 0,160/0' 3122. Катет равен 13,8+0,2 см; sina==0,44:i0,01;
а==26015' :f=35'. 3123. 2,7:1:0,1. 3124. 0,27 а пер. 3125. Длину маятника
следует измерить с точностью до 0,3 СМ; числа л и q взять с тремя знаками
(по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с ОТ-
носительной поrрешностью 1/300. Число л взять с тремя знаками (по принципу
равных влияний). 3127. Величину l измерить с '10ЧНОСТЬЮ 0,20/0' а s измерить
с точностью 0,7% (по принципу равных влияний).
3128.
х I у I Ду I Д2 у I д8 у I Д4 у I д5 у
1 I 3 .1 7 I 2 I 6 I 14 I 23
2 I 10 I 5 I 8 1 8 I 9 I
3 I 15 I 3 I О I 1 I I
4 I 12 I 3 I 1 , I I
5 I 9 I 4 I j I I
6 I 5 I I I I I
.
458
ОТВЕТЫ
3129.
х I у I tJ.y I tJ.2y I tJ.'y
1 I 4 I 12 I 32 I 48
3 I 16 I 20 I 8О I 48
5 I 4 I 100 I 128 I 48
7 I 104 I 228 I 176 I
9 I 332 I 404 I I
11 I 736 I I I
з 130.
х I у I Ду I Д2 у I д8 у I /).4 у
I
О I о I 4 I 42 I 24 I 24
1 I 4 I 46 I 66 I О I 24
I
2 I 50 I 112 I 66 I 24 I 24
I
3 I 162 I 178 I 42 I 48 I 24
4 I 340 I 220 I 6 I 72 I 24
5 I 560 I 214 I 78 I 96 I 24
6 I 774 I 136 I 174 I 120 I 24
7 I 910 I 38 I 294 I 144 I
8 I 872 I 332 I 438 I I
9 I 540 I 770 I I I
I I I I I
10 230
у к а з а н и е. Вычислить первые пять значений у И, получив Д4 уо == 24,
ПОDТОрИТЬ число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этоrо
остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения (дви-
rаясь справа налево).
3131. а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; б) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664.3132. 0,1822;
1 11
0,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133. 1 + х + х 2 + х 3 . 3134. У == 96 х" 48 х 3 +
ОТВЕТЫ
459
65 85
+ 24 х 2 12 х + 8; у,::::::; 22 при х == 5,5; у == 20 при х,::::::; 5,2. У к а 3 а н и е. При
ВЫЧИСJlен'Ии х для и == 20 принять Уо == 11. 3135. 11нтерполирующий MHorq-
член у == х 2 10х + 1; у == 1 при х == О. 3]36. 158 KF (лрибли)кенно).
15
3137. а) у (О ,5) == 1, У (2) == 11; б) У (0,5) == 16 ' у(2) == 3. 3] 38. 1,325.
3139. 1,01. 3140. 1 ,86; 0,25; 2,11. 3141. 2,09. 3142. 2,45; 0,019. 3143. 0,31;
4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. 1,88; 0,35; 1,53.
3]49. 1,84. 3150. 1,31; 0,67. 315]. 7,13. 3]52. 0,165. 3153. ::!: 1,73 и о.
3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. х==0,83; у==0,56; х== 0,83; y== 0,56..
3157. х == 1,67; У == 1,22. 3158. 4,493. 3159. ....... 1,1997. 3160. По ФОРМУJIе тра-
пеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417. 3161. 0,995; ----- 1; 0,005; 0,5 o;
L\==0,005.3162. 0,3068; L\==],3.]0 5. 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84.
3166. 0,28. 3167. 0,10. 3]68. 1,61. 3169. 1,85. 3]70. 0,09.317].0,67.3]72.0,75.
3173. 0,79. 3174. 4,93. 3175. ],29. У к а 3 а н и е. Воспользоваться параметри..
ческими уравнениями эллипса х == cos t, у==0,6222 sin t и преобразовать форму.пу
'lt
2
ДЛИНЫ дуrи к виду Vl 82 ccs 2 t.dt, [де 8 эксцентриситет эллипса.
о
х 3 ха х 7 х 3 х 7 2х11 x lS
3176. Yl (х) == 3 ' У2 (х) == 3+ 63 ' У,(Х) ==3 + 63 t 2079 + 59535 .
х 2 х 3 3х 2 х 4 х 3 3х!
3177. Yl(x)==2 x+l, Y2(X)==6+2 x+l, УЗ(Х)== 12 6+2
ха 7х 3
........ Х + 1; Zl (х) == 3х 2, Z2 (х) == 6 2х2 + 3х 2, Z3 (х) == 6 2x2+3x 2.
х з х 3 х 5
3178. Уl (х) == х, У2 (х) == Х "6' Уз (х) == х 6 120 ' 3179. У (1) == 3,36/t
3180. у(2)==0,80. 3181. у(1)==3,72; z(I)==2,72. 3182. у== 1,80. 3183. 3,15.
3184. 0,14. 3185. у(0,5)==3,15; z(0,5)== 3,I5. 3186. у (0,5)==0,55;
z(0,5)== 0,18. 3187.1,16. 3188.0,87. 3189. х(л)==3,58; х'(л)==0,79.
3190. 429 + 1739 cos х 1037 sin х 6321 cos 2х + 1263 sin 2х 1242 cos 3х
33 sin Эх. 3191. 6,49 1,96 cos х + 2,14 si{l х 1,68 cos 2х + 0,53 sin 2х
1,13 cos 3х + 0,04 sin 3х. 3192. 0,960 + 0,851 cos х + 0,915 sif1 х + 0,542 cos2x+
+ 0,620 sil12x + 0,271 cos 3 х + 0,100 sin 3х. 3193. а) 0,608 sin х + 0,076 si[1 2х +
+ 0,022 sin 3х; б) 0,338 + 0,414 cos х + 0,111 cos 2х + 0,056 cos Эх.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. rреческий алфавит
Аа альфа
B бэта
ry ...... raMMa
d дельта
Ее эпсилон
Z дзета
Hll эта Nv ИЮ Тт тау
8д ...... ТЭТа 8 кси ru ИПСИЛОН
It ...... И ота 00 омикрои Фq> ...... Фи
Кх каппа Пл: пи Хх хн
Ал ...... ламбда PQ ро 'l' Ф ...... n с и
м,.... мю O" сиrма Q(J) OMera
11. Некоторые постоянные
Величина х 19 х Величина х Ig х
3,14159 0,49715 1 0,36788 I,56571
л;
е
2л 6,28318 0,79818 е 2 7,38905 0,86859
3t 1 ,57080 0,19612 уё--- 1,64872 0,21715
2
3t 0,78540 1,89509 V-e 1,39561 0,14476
4
1 0,31831 I,50285 М == 1ge 0,43429 {,63778
3t
9,86960 0,99430 ) 2, 30258 0,36222
n 2 М == \п 10
VЛ 1 , 77245 0,24857 1 радиан 57017' 45"
V Л 1 ,46459 О, 16572 arc 1 о 0,01745 2,24188
е 2,71828 0,43429 g 9,81 0,99167
ПРИЛОЖЕНИЯ
461
111. Обратные величины, степени, «ОРНИ, лоrарифмы
1 Vx t! fox V IOOx 19 х
х х 2 ха Ух }/ 10х (маи- lп х
х тиссы)
1 ,о 1 ,000 1,000 1 ,000/1,000 3, 162 1 , 000 2, 154 4,642 О 00 0,0000
1 , 1 0,909 1,21 О 1,331 1 ,049 3,317 1 ,032 2,224 4,791 0414 0,0953
1 ,2 0,833 1 , 440 1,728 1 , 095 3,464 1,063 2,289 4,932 0792 О , 1823
1,3 0,769 1,690 2 , 1 97 1,140 3,606 1 , 091 2,351 5,066 1139 0,2624
1 ,4 0,714 1,960 2,744 1 , 183 3,742 1 , 119 2,410 5, 192 1461 0,3365
1 ,5 и,667 2,250 3,375 1 ,225 3,873 1,145 2,466 5,313 1761 0,4055
1 ,6 0,625 2,560 4,096 1,265 4,000 1 , 170 2,520 5,429 2041 О , 4700
1 ,7 0,588 2,890 4,913 1,304 4, 123 1,193 2,571 5 540 2304 0,5306
1,8 0,556 3,240 5,832 1 ,342 4,243 1 ,216 2,621 5,646 2553 0,5878
1 ,9 0,526 3,610 6,859 1,378 4,359 1,239 2,668 5,749 2788 0,6419
2,0 0,500 4,000 8,000 1,414 4,472 1 ,260 2,714 5,848 3010 0,6931
2, 1 0,476 4,410 9,261 1 ,449 4,583 1 , 281 2,759 5,944 3222 0,7419
2,2 0,454 4,840 10,65 1 , 483 4,690 1 ,301 2,802 6,037 3424 0,7885
2,3 0,435 5,290 12,17 1 ,517 4,796 1 ,320 2,844 6, 127 3617 0,8329
2,4 0,417 5,760 13,82 1 ,549 4,899 1 , 339 2,884 6,214 3802 0,8755
2,5 0,400 6,250 15,62 1,581 5,00е 1 , 357 2,924 6,300 3979 0,9163
2,6 0,385 6,760 17,58 1,612 5,099 1 ,375 2,962 6,383 4150 0, 555
2,7 0,370 7,290 19,68 1 , 643 5,196 1 , 392 3 , 000 6,463 4314 0,9933
2,8 0,357 7,840 21 , 95 1 ,673 5,292 1 ,409 3,037 6,542 4472 1 ,0296
2,9 0,345 8,410 24,39 1,703 5,385 1 ,426 3,072 6,619 46 4 1 , 064 7
3,0 0,333 9,000 27,00 1,732 5,477 1 ,442 3, 1 07 6,694 4771 1 ,0986
3, 1 0,323 9,610 29,79 1 , 761 5,568 1 ,458 3,141 6,768 4914 1,1314
3,2 0,312 10,24 32,77 1 , 789 5,657 1 ,474 3, 175 6,840 5051 1 , 1632
3,3 0,303 10,89 35,94 1,817 5,745 1,489 3,208 6,910 5185 1 , 1939
3,4 0,294 11,56 39,30 1,844 5,R31 1 ,504 3,240 6,980 5315 1 ,2238
3,5 0,286 12,25 42,88 1,871 5,916 1,518 3,271 7,047 5441 1 ,2528
3,6 0,278 12,96 46,66 1,897 6,000 1 , 533 3,302 7,114 5563 1 ,2809
3,7 0,270 13,69 50,65 1,924 6,083 1 , 547 3,332 7 , 179 5682 1 ,3083
3,8 0,263 14,44 54,87 1,949 6, 164 1 , 560 3,362 7,243 5798 1 ,3350
3,9 0,256 15,21 59,32 1,975 6,245 1 ,574 3,391 7,306 5911 1,36]0
4,0 0,250 16,00 64,00 2,000 6,325 1 , 587 3,420 7,368 6021 1 , 3863
4,1 0,244 16,81 68,92 2,025 6, 403 ' 1 ,60 1 3,448 7,429 6128 1 ,411 О
4,2 0,238 17,64 74,09 2,049 6,481 1,613 3,476 7,489 6232 1 ,4 51
4,3 0,233 18,49 79,51 2,074 6,557 1 ,626 3,503 7,548 6335 1 ,4и86
4,4 0,227 19,36 85,18 2,098 6,633 1 ,639 3,530 7,606 6435 1,4816
4,5 0,222 20,25 91,12 2,121 6,708 1 ,651 3,557 7,663 6532 1 , 5041
4,0 0,217 21,16 97,34 2, 145 6,782 1 ,663 3,583 7,719 6628 1 , 5261
4,7 0,213 22,09 103,8 2, 168 6,856 1 ,675 3,609 7,775 6721 1 , [\476
4,8 0,208 23,04 110,6 2,191 6,928 1 , 687 3,634 7,830 6812 1 , 5686
4,9 0,204 24,01 117,6 2,214 7,000 1 ,698 3,659 7,884 6902 1 ,5892
5,0 0,200 25,00 125,0 2,236 7,071 1 ,71 О 3,684 7,937 6990 1 , 60 4
5,1 о, 196 26,01 132,7 2,258 7,141 1 , 721 3,708 7,990 7076 1 , 6292
5,2 0,192 27,04 140,6 2,280 7,211 1 , 732 3,733 8,041 7160 1 ,6487
5,3 0,189 28,09 148,9 2,302 7,280 1 ,744 3,756 8,093 7243 ] ,6677
5,4 0,185 29,16 157,5 2,324 7,348 1 , 754 3,780 8, 143 7324 1 , 6864
462
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолженuе
1 х 2 х 3 Ух У I0х Vx V I0x V IOOx 19 х
х (маи- ln х
х тиссы)
5,5 О , 182 30,25 166,4 2,345 7,416 1 , 765 3,803 8 , 193 7404 1 , 704,
5,6 О , 179 31 ,36 175,6 2,366 7,483 1 , 776 3,826 8,243 7482 1 , 722Е
5,7 0,175 32,49 185,2 2,387 7,550 1 , 786 3,849 8,291 7559 1 , 7405
5,8 О, 172 33,64 } 95, 1 2,408 7,616 1 , 797 3,871 8,340 7634 1 , 757
5,9 О, 169 34,81 205,4 2,429 7,681 1 ,807 3,893 8,387 7709 1 , 775
6,0 О , 167 36,00 216,0 2,449 7,746 1 ,817 3,915 8,434 7782 1 , 791
6, 1 О, 164 37,21 227,0 2,470 7,810 1 , 827 3,936 8,481 7853 1 , 808
6,2 0,161 38,44 238,3 2,490 7,874 1 ,837 3,958 8,527 7924 1 ,824
6,3 О, 159 39,69 250,0 2,510 7,937 1,847 3,979 8,573 7993 1 , 840
6,4 О, 156 40,96 262 , 1 2,530 8,000 1 ,857 4,000 8,618 8062 1 , 8563
6,5 О , 154 42,25 274,6 2,550 8,062 1,866 4,021 8,662 8129 1 ,871
6,6 0,151 43,56 287,5 2,569 8 , 124 1 ,876 4,041 8,707 8195 1 ,8871
6,7 О, 149 44,89 300,8 2,588 8, 185 1 , 885 4,062 8,750 8261 1 ,9021
6,8 0,147 46,24 314,4 2,608 8,246 1 ,895 4,082 8,794 8325 1 , 91 69
6,9 О, 145 47,61 328,5 2,627 8,307 1 , 904 4 , 1 02 8,837 8388 1 , 9315
7,0 О, 143 49,00 343,0 2,646 ,367 1,913 4, 121 8,879 8451 1 , 9459
7 , 1 0,141 50,41 357,9 2,665 8,426 1 , 922 4,141 8,921 8513 1 , 9601
7,2 О, 139 51 ,84 373,2 2,683 8,485 1 ,931 4, 160 8,963 8573 1 , 9741
7,3 О , 137 53,29 389,0 2,702 8,544 1 , 9 40 4 , 179 9,004 8633 1 , 9879
7,4 О, 1 35 54,76 405,2 2,720 8,602 1 , 949 4, 198 9,045 8692 2,0015
7,5 О, 133 56,25 421 ,9 2,739 8,660 1 , 957 4,217 9,086 8751 2,0149
7,6 О , 132 57,76 439,0 2,757 8,718 1 , 966 4,236 9, 126 8808 2,0281
7,7 0,130 59,29 456,5 2,775 8,775 1 , 975 4,254 9 , 166 8865 2,0412
7,8 О, 128 60,84 474,6 2,793 8,832 1 ,983 4,273 9,205 8921 2,0541
7,9 О, 127 62,41 493,0 2,811 8,888 1 , 992 4,291 9,244 8976 2,0669
8,0 О, 125 61,00 512,0 2,828 8,944 2,000 4,309 9,283 9031 2,0794
8, 1 О , 123 65,61 531 , 4 2,846 9,000 2,008 4,327 9,322 9085 2,0919
8,2 О, 122 67,24 551 ,4 2,864 9,055 2,017 4,344 9,360 9138 2 , 1041
8,3 О, 120 68,89 571 ,8 2,881 9,110 2,025 4,362 9,398 9191 2, 1163
8,4 0,119 70,56 592,7 2,898 9, 165 2,033 4,380 9,435 9243 2, 1282
8,5 0,118 72,25 614,1 2,915 9,220 2,041 4,397 9,473 9294 2 , 1401
8,6 0,116 73,96 636, 1 2,933 9,274 2,049 4,414 9,510 9345 2, 1518
8,7 0,115 75,69 658,5 2,950 9,327 2,057 4,431 9,546 9395 2, 1633
8,8 0,114 77,44 681 ,5 2,966 9,3Rl 2,065 4,448 9,583 9445 2, 1748
8,9 0,112 79,21 705,0 2,983 9,434 2,072 4,465 9,619 9494 2 , 1861
9,0 0,111 81,00 729,0 3,000 9,487 2,080 4,481 9,655 9542 2, 1972
9, 1 0,110 82,81 7fi3,6 3,017 9,539 2,088 4,498 9,691 9590 2,2083
9,2 О , 1 09 84,64 778,7 3,033 9,592 2,095 4,514 9,726 9638 2,2192
9,3 О, 1 08 86,49 804,4 3,050 9,644 2 , 1 03 4,531 9,761 9685 2,2300
9,4 О , 1 06 88,36 830,6 3,066 9,695 2,110 4,547 9,796 9731 2,2407
9,5 О, 105 90,25 857,4 3,082 9,747 2,118 4,563 9,830 9777 2,2513
9,6 О, 1 04 92 , 1 6 884,7 3,098 9,798 2, 125 4,579 9,865 9823 2,2618
9,7 О, 103 94,09 912,7 3,114 9,849 2 , 133 4,595 9,8Э9 9868 2,2721
9,8 0,102 96,04 941 , 2 3 , 130 9,899 2 , 140 4,610 9,933 9912 2,2824
9,9 0,101 98,01 970,3 3, 146 9,950 2, 147 4,626 9,967 9956 2,2925
10,0 О 10) 100 00 1000 О 3 162 10 000 2 154 4 642 10 000 0000 2 3026
о
8
3
5
5
8
I
I
,
I '
ПРИЛОЖЕНИЯ
IV. Триrонометричесяие функции
463
J I I
Х О Х siH Х tg х ctg х I cos х
(радианы)
О 0,0000 0,0000 0,0000 00 1 ,0000 1 , 5708 90
1 Q,0175 0,0]75 0,0175 57,29 0,9998 1 , 5533 89
2 0,0349 0,0349 0,0349 28,64 0,9994 1 ,5359 88
3 0,0524 0,0523 0,0524 19,08 0,9986 1 , 5184 87
4 0,0698 0,0698 0,0699 14,30 0,9976 1 , 50 1 О 86
5 0,0873 0,0872 0,0875 11 , 43 0,9962 1,4835 85
6 О, 1 047 О, 1 045 О, 1051 9,514 0,9945 1 , 466 1 84
7 О, 1222 0,1219 О, 1228 8 ; 144 0,9925 1 , 4486 83
8 О, 1396 О , 1392 О, ] 405 7,115 0,9903 1 , 43 ] 2 82
9 О, 1571 О, 1564 О , 1584 6,314 0,9877 1,4137 81
10 О , 1 745 О , 1736 О , 1763 5,671 0,9848 1 ,3963 80
11 О, 19?0 О, 1 08 О , 1944 5, ] 45 0,9816 1 ,3788 79
12 0,2094 0,2079 0,2126 4,705 0,9781 1 ,3614 78
13 0,2269 0,2250 0,2309 4,331 0,9744 1 ,3439 77
]4 0,2443 0,2419 0,2493 4,011 0,9703 1 ,3265 76
15 0,2618 0,2588 0,2679 3,732 0,9659 1 ,3090 75
16 0,2793 0,2756 0,2867 3,487 0,96]3 1 ,2915 74
17 0,2967 0,2924 0,3057 3,271 0,9563 1 ,27 41 73
18 0,3142 0,3090 0,3249 3,078 О , 9511 1,2566 72
19 0,3316 0,3256 0,3443 2,904 0,9455 1 , 2392 71
20 0.3491 0.3420 0,3640 2,747 0,9397 1 ,221 7 70
21 0,3665 0,3584 0,3839 2,605 0,9336 1 , 2043 69
22 0,3840 0,3746 0,4040 2,475 0,9272 1 , 1868 68
23 0,4014 0,3907 0,4245 2,356 0,9205 1 , 1694 67
24 0,4189 0,4067 0,4452 2,246 0,9135 1,1519 66
25 0,4363 0,4226 0,4663 2 , 145 0,9()63 1 , 1345 65
26 0,4538 0,4384 0,4877 2,050 0,8988 1 , ] 170 64
27 0,4712 0,4540 0,5095 1 , 963 0,8910 1 , 099() 63
28 0,4887 0,46 5 0,5317 ] ,881 0,8829 1 ,0821 62
29 0,5061 0,4848 0,5543 1 ,804 0.8746 1 ,0647 61
30 0,5 36 0,5000 0,5774 1 , 732 0,8660 1 ,0472 60
31 О , 5411 0,5150 0,6009 1 , 6б 1 0,8572 1 ,0297 59
32 0,5585 0,5?99 0,6249 1,6003 0,8480 1, 123 58
33 0,5760 0,5446 0,6494 1 , 5399 0,8387 0,9948 57
34 0,5931 0,5592 0,6745 1 , 4826 O,8 90 0,9774 56
35 0,6109 0,5736 0,7002 1 ,4281 0,8]92 0,9599 55
36 0,6283 0,5878 0,7265 1 ,37Е4 0,8(;90 0,9425 54
37 0,6458 0,6018 0,7536 ] ,32701 0,7986 0,9250 53
38 0,6632 0,6]57 0,7813 1 , 2799 0,7880 0,9076 52
39 0,6807 О , 6293 0,8098 1 ,2349 0,7771 0,8901 5]
40 0,6981 0,6428 0,8391 1 , 1918 0,7660 0,8727 50
41 0,7156 0,6561 0,8693 1 ,) 504 0,7547 0,8552 49
42 0,7330 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 0,8378 48
43 (),75О5 0,6820 0,9325 1 ,0724 0,7314 0,8203 4.7
44 0,7679 0,6947 0,9657 1 , 0355 0,7193 0,8029 46
45 0,7854 0,7071 1 , 0000 1 , 0000 0,7071 О, 7854 45
ccs х ctg х tgx sin х х х о
(радианы)
464
ПРИЛОЖЕНИЯ
v. ПОJ{азательные, rиперболические и триrонометрические функции
х е Х e X sh х ch х th х sin х cos х
0,0 1,0000 1,0000 0,0000 1 ,0000 0,0000 0,0000 1 ,0000
О, 1 1 , 1052 0,9048 О , 1002 1 ,0050 0,0997 0,0998 0,9950
0,2 1 ,2214 0,8187 0,2013 1 ,0201 О, 1974 О, 1987 0,9801
0,3 1 ,3499 0,7408 0,3045 1 ,0453 0,2913 0,2955 0,9553
0,4 1 ,4918 0,6703 О,41О8 1 .0811 0,3799 0,3894 О , 9211
0,5 1 ,6487 0,6065 0,5211 1 , 1276 0,4621 0,4794 0,8776
0,6 1 , 8221 0,5488 0,6367 1 , 1855 0,5370 0,5646 0,8253
0,7 2,0138 0,4966 0,7585 1,2552 0,6044 0,6442 0,7648
0,8 2,2255 0,4493 0,8881 1 ,3374 0,6640 0,7174 0,6967
0,9 2,4596 0,4066 1 ,0265 1 , 4331 0,7163 0,7833 0,6216
1, О 2,7183 0,3679 1 , 1 752 1 , 5431 0,7616 0,8415 0,5403
1 , 1 3,0042 0,3329 1 ,3355 1 , 6685 0,8005 0,8912 0,4.536
1 ,2 3,3201 0,3012 1 , 5095 1 ,8107 0,8337 0,9320 0,3624
1 ,3 3,6693 0,2725 1 ,6984 1 ,9709 0,8617 0,9636 0,2675
1 ,4 4,0552 0,2466 1 , 9043 2 , 1509 0,8854 0,9854 О, 1700
1 ,5 4,4817 0,223] 2 , 1293 2,3524 0,9051 0,9975 0,0707
1 ,6 4,9530 0,2019 2:3756 2,5775 0,9217 0,9996 0,0292
1 ,7 5,4739 О, 1827 2,6456 2,8283 0,9354 0,9917 o, 1288
1 ,8 6,0496 О, 1653 2,9422 3,1075 0,9468 0,9738 o , 2272
1,9 6,6859 О, 1496 3,2682 3,4177 0,9562 0,9463 0,3233
2,0 7,3891 О, 1353 3,6269 3,7622 0,9640 0,9093 O,4161
2,1 8 , 1662 О , 1225 4,0219 4 , 1443 0,9704 О 8632 0,5048
2,2 9,0250 0,1108 4,4571 4,5679 0;9757 0,8085 0,5885
2,3 9,9742 О, 1003 4,9370 5,0372 0,9801 0,7457 0,6663
2,4 11,0232 0,0907 5,4662 5,5569 0,9837 0,6755 0,7374
2,5 12, 1825 0,0821 6,0502 6, 1323 0,9866 0,5985 0,8011
2,6 13,4637 0,0743 6,6947 6,7690 0,9890 0,5155 0,8569
2,7 14,8797 0,0672 7,4063 7,4735 0,9910 0,4274 0,9041
2,8 16,4446 0,0608 8) 1919 8,2527 0,9926 0,3350 0,9422
2,9 18,1741 0,0550 9,0596 9,1146 0,9940 0,2392 0,9710
3,0 20;0855 0,0498 10,0179 10,0677 0,9950 0,1411 0,9900
3, 1 22, 1 979 0,0450 11 ,0764 11,1215 0,9959 0,0416 0,9991
3,2 ?4,5325 0,0408 12,2459 12,2366 0,9967 0,0584 o , 9983
3,3 27,1126 0,0369 13,5379 13,5748 0,9973 o, 1577 0,9875
3,4 29,9641 0,0334 14,9654 14,9987 0,9978 0,2555 О,9б68
3,5 33 , 1154 0,0302 16,5426 16,5728 0,9982 0,3508 0,9365
ПРИЛОЖЕflИЯ
465
VI. Некоторые кривые (ДЛЯ справок)
у
IIУ
,
--/ Х
Х о I
1
1. Парабола
у == x Z .
2. Кубическая парабола 3. Равноосная rипербола
у == х' . 1
y== .
х
у
%
4. [рафик дробной функции
1
U==z.
х
о
6. Парабола (верхняя ветвь)
у == v Х.
r
f
I
а
х
f
5. Локон Аньези
1
у == 1 + х! ·
7. Кубическая парабола
у == v х.
466
ПРИЛОЖЕНИЯ
у
у
о
А
86. Полуку6ическая
парабола
I х t 2
у2 == х 3 ИЛИ ,
х \ у == t 3 .
8а. Парабола Н ейля
2 { Х == t'
или '
у==х' y==t 2 .
у== COScZ'
!
9. Синусоида и косинусоида
у == siп х и у == cos Х.
"
х
10. Танrенсоида и котанrенсоида
у == tg х и у == ctg х.
ПРИЛОЖЕНИИ
467
y=cosecx
I
,
I
!
х
З:rr
Jr
л
2,
о
л
л
2л
5л
2
]х
!
l'
I
]
11. rрафики функций
у == sec х и у == cos c Х.
у
у
1
l,J[
=Arcsinx
х
х
=Arccos.2J
2л
12. rрафики обратных триrонометрнческих функций
у == Arcsin х и у == Arccos х.
468
ПРИЛОЖЕНИЯ
у
,
I
Jл
2
]с
;
} 2
'Х 2
I
з
А
r
з
I :х 2
I
I
I
I
J Х
2
л
13. rрафики обратных триrонометрических функций
у == Arctg х и у == Arcctg х.
у
I
о
1
А
14. rрафики ПСl{азатеJ1ЬНЫХ ФУНКUИЙ
у==е Х и y==e X.
I1РИЛОЖЕНИЯ
у
1
1
1
15. Лоr арифмическая кривая
у == ln х.
у
J
J Х
J !
!
J
4
"
17. rрафики rиперболических функций
е Х e X
у == sh х == 2 и
е Х +e X
у == сЬ х == 2 (цепная линия).
1 О !
-- 11 :VJ
16. Кривая raycca
у == е х 3 .
у
1;
4
18. r афики rиперболических
функциЙ
еХ e X
y==thx == Х + X и
е е
. е Х +e X
y==ctllX == х X.
е e
469
х
470
ПРИЛО)l{Е НИЯ
у
в
ь
А' А
I о о Х
19. Эллипс
XZ у2 J Х == а с о s t,
+ 1 или "\
а 2 Ь 2 \ У == ь siп t.
у
21. Парz60ла
у2 == 2рх.
20. rипербола
х2 у2
== 1 или
а 2 Ь 2
{ Х == а ch t, u
у == ь sh t (для правои
22. Декартов лист
ха + У { 3 3ax fat О или
х == 1 + t' ,
3at 2
у == 1 + t 3 ·
ветви).
"
)'
ОМ=АВ
23. Циссоида ДИОК,,1ес а
х 3
у2 == или
а........х
{ x==l t21
at'
у == 1 + t 2 ·
24. Строфоида
а+х
ь 2 ==х2 .
a x
у
ПРИЛОЖЕНИЯ
471
у
х
х
25. Лемниската БеРНУ,,1ЛИ
(х"! + y2) == а 2 (х2 у2)
ИЛИ ,2 == а 2 CCS 2<:р.
у
"
,-
/
/
I
I
I
I
"...
....
.....
/ ,
I '\
t l'
I '
.... ,
,
I
I
I
I
/
/
"'"
...... ......."
х
I
27. rипоциклоида (астроида)
{ Х == а cos 3 t,
У == а sin 3 t
222
о
26. Циклоида
{ Х == а (t siJl t),
У == а (1 cos t).
2а Х
28. Кардиоида
r==a(l +cos ).
r /' l 2 +у 3
." И ,
==а 3 .
у
х
29. Эвольвента (развертка) окру}кности
{ х ==а (cos t + t sil1 t),
У == а (sin t t cos t).
472
ПРИЛОЖЕНИЯ
х
,х
30. Спираль Архимеда
, == а<р (, О).
31. rиперболичеСК:lЯ спираль
а
r ==(j) (' > О).
х
32. Лоr арифмическая спираль
r == еа<р.
33. Трехлепестковая роза
r == а sin 3<р (' О).
х
34. Четы рехлепестковая роза
r = а! sin 2<р:.