Текст
А. rурвиц, Р. КУРАНТ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Перевод
М. А. ЕВFРАФОВА
.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА"
rЛАВНАЯ РЕДАКUИЯ
ФИЗИКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М.ОСКВА 1968
517.2
r 95
УДК 517.5
VORLESUNGEN UBER
ALLGEMEINE
FUNKTIONENTHEORIE UND
ELLIPTISCHE FUNKTIONEN
VON
ADOLF HURWIТZ
WEIL. ORD. PROF. DER MДTHEMДТlK дм EIDGENOSSISCHEN
POLYTECHNIKUM ZORICH
HERAUSGEGEBEN UND ERGANZT DURCH EINEN АВSСНNIТТ UBER
GEOMETFJSCHE FUNКТIОNЕNТНЕОRlБ
VON
R. COURANT
NEW YORK
VIERTE \'ERMEHRТE UND VERBESSERТE AUFLAGE
MIТ Iбl ABBILDUNGEN
SPRINGER
VERLAG
BERLIN. GOTТINGEN . HElDELBERG ' NEW YORK
1964
А, rypeutj, Р. Курант
ТЕОРИЯ ФункЦИП
М.. 1'168 <., 1)48 стр.' н 'IЛ.
Редактор В. В, Абzарян
Техи. редаI<ТОР А, А. Блаzовещенская 1\0ppeKTop В. П. Сорокина
Сдано 1\ lIабор 17/IV 1968 <, IIодпщ:ано к rrе'lаТИ 25/ХI 1968 Т, Бумаrа 60Х90'/'6. физ.
пе'l. л. 40,5. Уелов!!. ne'l. л, 40,5. Y'l. нзд. л. 38,85. Тнраж 25900 экз, Цена Кllиrи 3 руб.
3аказ )\1'. 1603,
2
.
70
58
Издательетво «Наука»
r лаВllая редак[(ия фнзнко-матемаТИ'lеско!\ литературы,
Москва, B-7I, JlеИНIIС)Ш!\ проспект, 15.
rлавrrолиrраq,rrром Комнтета по rrе'lатИ прн Совете Мниистров СССР. Отпе.'
ч
тано в ЛеНИНl
радскоЙ ТlIllоrрафии Ng 2 ИМ. Евт. соколовой. Измайлов...
ский. пр.. i9. r матрИЦ Ордена Трудовоrо Краснота Знамени Ленинrрадской.
1"HrrOrpaq,HH )\1', 1 «Пе'Iатиый Ilqop» нм А
\ rOpbKoro, rаТЧНIIская ул., 26.
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие перево.n:чика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Часть первая
Общие вопросы теории аналитических функций
ТЛGВG 1, Комплексные числа. . . . . . . . . .
1I
11
14
18
21
2:-
27
28
31
ЭI
32
34-
37
38
3
41
4:{
4
1. Понятие КО lIшеКСНОI'О ЧИс.'lа . . . . , . . . . . . . . . . . . . .
2. rеометрическое представление комплексных чисел, . . . .
* 3, Сходимость ЧИС,lОвых пос,тедовате.'lЫlOстей, Сфера Римана
* 4, Множества на комплексноЙ плоскости .
* 5, Риды с комплексными членами, . . .
6. Функции комrшексноrо перемеШlOl"О
7. Равномернаи сходимость
ТЛGВG 2. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Область сходимости степенноrо рида.
2, ФОрМУ.'lы дли радиуса сходимости,
* 3, ДеЙствии со степенными ридами, , .
4. Теорема единственности , . . . , . , ,
5, Обобщение полученных результатов
6. Переразложение стспенноrо рида . ,
* 7. Производные степеннOI'О ряда ..,.....
* 8, Непосредственное продолжение степенноrо рида
* 9. Ряды Лорана .. , . . . . . . , . , , . , , . .
ТЛGВG 3, Понятие аналитической ФУНКЦИИ
1, MOHoreHHble системы степенных ридов
* 2. Понятие ана.1ИтическоЙ функции
3, Ветви аналитическоЙ функции
4, Примеры ...'..,...,...
5, Особые точки степеННОrо ряда
6, Основная теорема а.'lrебры . .. .. . .
* 7, Особые точки однозначных анашпических функциЙ .
8, Особые точки мноrочленов и рациональных функциЙ.
9, Некоторые теоремы о реrулярных функциях , . _ , . . .
* 10, Теоремы ВеЙерштрасса о ридах. . . . , , , . . , . , , . , .
ТЛGВG 4. Исследование основных элементарных ФУНКЦИЙ
1. Экспонента. . . . . . . , . . . . .
2, Триrонометрические функции. , , , , .
3, ЛОr'.lрифм .............,.,..
4, Степень с нроизводьным показатедем
1.
;;)[)
50
51
53
55
58
62
62
6t
68
Ш
7:-l
73
75.
71
82
4
оrJlАВJlЕНИЕ
rлава 5. Интеrрирование аналитических ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . .. 85
1. Равномерная непрерывность и равномернаи дифференцируемость
ана.'lитических функций "....,...,...."..,..,...,. 85
2. Интеrрирование степенных ридов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
3. ИнтеrрИрОВ2ние производной от реrушrрной функции . . . . . . . .. 87
4, Примеры . , . , . , , , . . , . , , , . . . , . , . . . , . . . . . . . . . . . .. 91
5. Интеrрирование реrулярных функций. . . . . , . . . . . . . . . . . . .. 94
6. Теорема Коши и ее видоизменении. . . . . . . . . . . . . . 97
7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана. . . . . . . . . 100
8, Вычеты , , . . . , . , , , . . , , , . . , . . . , . . . , . . . . . . . . . . . ., 105
9, ФОрМУ.'lы Д.'lя числа нрей и ПО.1ЮСОВ ................... 108
rлава 6, Мероморфиые ФУНКЦИИ ................. 112
1. Понитие мероморфной функции. . , . . . . . . . , , . . . . . . 112
2. Мероморфные функции с конечным чис.том ПО,lЮСОВ . . . . 113
3, Теорема Миттаr Лефф.lера , . , . . . . . . , . , . , , , . , , . . 113
4. Общий вид мероморфной функции с заданными полюсами 115
5, Случай простых полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 116
6. Примеры ,... , . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7. Метод Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8, Примеры .",...,.,................... 122
9. Uелые функции с заданными НУ,lЯ Ш . . . . . . , . , . . 125
10, Представление мероморфных функций через це.1bIе , , , . , , 128
11. Представление rамма функции Эйлера в виде бесконечноrо произ
ведении , , , , . . , , , , . , . , , . , . , . , . , 129
12, Представление rамма функции интеrра.l0М . 133
rлава 7, Обращение аналитических ФУНКЦИЙ. 138
1, Обращение степенных рядов . . . . . . , , . , . . . , . . . . . . 138
2. Примеры , . . , . . , . . . , . , . . . , , . , , . , , , , , . , , . 143
3. Оценка радиуса сходимости ряда Д.1И обратной функции, . . . . .. 146
Часть вторая
Эллиптические функции
rлава 1, Двоякопериодические мероморфные ФУНКЦИИ. . . . 149
1, Замечания из аналитической rеометрии . . . . . , . 149
2. Множество периодов как rруппа . . , . . . . . . . . . . . . . . 151
3, Паралле.'lоrрамм периодов ., . , . . . . . . . . . . . . . . . 155
4. Поле эллиптических функций . . . , . . , , , , 157
5. Общие теоремы об эллиптических функциях 158
6. Функции r (и) . . , , . . , , . , , , . . , , . . . , , , . . . 161
7. Дифференциальное уравнение для функции r (и) ., 165
8, Теорема сложении Д.1Я функции r (11), . . , . , , . . . 169
9. Выражение произвольных эллиптических функций через функ
цию r (и) . ' , . . . . . . . . . , , . , . , . , . , , . . . ' . . . , 170
10. Дальнейшие свойства Э,1.'lиптических функций ., . , . . , 174
11. Функция , (и) ,..""..,..,..,....,..,.,.. 175
12. Выражение ЭШIиптических функций через функцию' (и) 176
13. Ф) н:щии cr (и) ,...",.......,'" , , , , . , , . , , . . . . .. 179
14. Выражение Э.'1,lиптических функций через функцию cr (и) . . . . .. 181
15. Функции r (а), '(и), cr (и) как фун.кции от "'н "'2 . . . . . . . . . .. 183
rлава 2. Тета функции . . . . . . . . ' . . , . . . , . . . . . . . . . . . . . . . 188
1. Ряд Фурье Д,lЯ периодических цедых функций. . . . . . . . . . . .. 188
2. Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189
оrЛАВЛЕНИЕ 5
3, Функция &( (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190
4, ФУНЩИИ 0"( (и), 0"2 (и), 0"з (и) . . . . . . . . . , . . . . . . , . . 192
5, Функции &2 (v), &3 (v), &0 (v) . . . . . . . . . . . . , . . . , , . . . . . .. 193
6, Сводка форму.'! . . . . , . , , . . . . . . . . , . . , . , , , , , , . . , . '. 195
7, Обобщение поюrтия тета функции и зависимость тета функций отт 197
8, Связь функций &k (v) между собой, Нули тета функций 199
9. Выражение е" е 2 , е з через &k (О) . . , . , . , . , , . . , . , . 201
10, Раз.'!ожение тета функций в бесконечное про изведение . , . . . . . . 203
11, Приложения к теории чисел. , . . . , , . , . . , , . , , . , . . . . . . . 206
12. Разложение функции С (и) как функции от Z2 В рид простейших
дробей и выражении д шr ве.'lИЧИН "4, g2' gз. . 209
13, Разложение функции О(u) еk " 211
rлава 3, Эллиптические ФУНКЦИИ Якоби . . . , . . 214
1, Определение функций sn и, сп и, dn u ....... 214
2. Функции Якоби как Э.'!ЛИ1IТические функции . . . , . . . . . . . . . . . 217
3, Дифферешщальные уравнения дли функций Якоби. . . . . . . . . . . 218
4, Теоремы сложения дли функций Якоби .....".....,..... 219
5. Триrонометрические функции как преде.'!ЬНЫЙ случай функций Якоби 220
rлава 4, Эллиптические модулярные функции, . . , . . 222
1. Модушrрнаи rруппа и ее фундаментальна и об.'!асть . . 222
2, Модулярные функции и моду.'!ярные формы 228
3. Решение уравнения J (т) == а , , . . , . , . . . . 230
4, Решение системы уравнений g2 == а, gз == Ь , . . . . . . . . . . . . 23.3
5, Решение уравнении %2 (т) == а . , . , , , . , . . . . . . , . . , . , . , 235
rлава 5, Алrебраические кривые и рима новы поверхности, свяэан
ные с эллиптическими ФУНКЦИЯМИ , . . . . . . , , . . . . . . . . . . . 236
1. А.'lrебраические кривые и униформизация, . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2. Алrебраическаи кривая w 2 == О" (z) . . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3. А.'!rебраическая кривая w' == О. (z) . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . 238
4. Алrебраическая кривая Лежандра . . , , . . . . . . . . , , . . . , . . . . 239
5. Тополоrическая природа эллиптической алrебраической кривой. 240
6, Двулистная форма римановой поверхности 242
Тлава 6. Эллиптические интеrра:лы . . . . 247
1, Опреде.'!ение и постановка задач, . , . . . . . . . . , 247
2, Приведение ЭЛ.'lиптических интеrра.'!ОВ к простейшим 248
3. Интеrралы по замкнутым кривым на римановой поверхности 252
4, Периоды нормальных эллиптических интеrралов ...,... 256
Тлава 7. Преобраэование эллиптических ФУНКЦИЙ , . , . . . . . . 259
1. Преобразование первоrо поридка функций Вейерштрасса , , . . . 259
2. Преобразование первоrо I/оридка тета функций . . , , , . , , . . . 260
3, Преобразование BToporo порядка .,.,..,...",.,..,.. 264
4. ФОр IУЛЫ Свизи между функциими Вейерштрасса и Якоби . . . . 267
5. Преобразование Ландена. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6. Среднее арифметико rеометрическое .... . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Часть третья
rеометрические идеи теории аналитических функции
Введение . , . . . . . . . . . . . . . . , . . . 274
Тлава 1. Предварительные сведения. . . . . . . . . . . . . , . . . . 275
1. Комплексные ЧИС.'!а .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2. Кривые и области . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6
оrJ1АВJ1ЕНИЕ
3. Криво.1инеВные интеrралы . . , . . . . . . . 283
4, дополнитеш,ные сведения из тополоrии . 28!}
rлава 2, Реrулярные ФУНКЦИИ и их свойства 292
1. Условие дифференцируемости "", . 292
2. Обратная функция. , , . . . , , , . , . . , . . . 296
3. Интеrрирование реrудярных функциЙ .,.' 299'
4. Теорема Коши ...,.",.........,' , . , 300
5, Теорема Коши ддя мноrосвиЗных обдастс!"! и теорема u вычетах, :105
6. Эдементарные функции. , . .. .. . 307
7. Интеrраш,нан формула Коши. , , . . . . . . . . 311
8, КОНфОрПIJС отображение . . . ' . . . . , . . . . . . . . , 31:>
rлава 3. Следствия интеrральной формулы Коши. , 318
1. Теорема ВеЙерштрасса о palH )Мерно сходищихсн ридах, 318
2. Рнды Тейлора и Лорана. Теорема единствешюстИ 321
3, Некоторые придожения теоремы о вычетах. . , . 328
4. Принцип максимума и демма Шварца. . . . , , , . . 3:Ш
5. Некоторые оценки, Теорема JIиувишlЛ . . , . , , , , 338
6, Принцин компактности ддя perYJIНpHbIX функuиЙ ., 33!}
7. Свнзь реrушrрных функций с rармоническими . , . . 342
8. Интеrрал Пуассона, , , . . . , , . . , , . . . . . . . . . , 344
9. с. едствпя . . , , , . . . . . . , . , , ' , , . . . . 348
10. Решение задачи Дирихле ддя Kpyra , . , . . . , . 351
11, rраничные значении интеrрада типа Коши, . . , 353-
12. Течении жидкости ".......,...",.,' 360
rлава 4. Аналитическое продолжение и рима новы поверхности. 364
1. Общие принципы ана.1Итическоrо прододженин . 364
2. Поннтие анадитической функции, Особые точки. 368
3. РИ lановы поверхности , . . . , . . , . . , . . . , , . 377
4, Адrебраические функции. . , . . . . . . . , . . . . , 38:>
5. Принцип симметрии Римана Ulварца ,...,., 392
rлава 5. Исследование некоторых элементарных функций, 397
1, Дробно динеЙные функции. . . . , . , , . , . . . , , 397
2. Функuпи == zn (п > О ue.1Oe чисдо) и z == r - 406
3, Функции == ; (z++) . . , . . . , . , . . . ,... 409
4, Лоrарифмическаи и IlOказатеДЫlаи функции ,. . . . 411
5. Триrонометрические функции. . , . , . , . . , , . . . . . . . . . 412
6. Стененнаи ФУНКItии с прuизвольным IlOказатедем , . , . . . . ' 414
7, Течение жидкости в окрестности особых точек и критических точек
комшrексноrо потенuиада, . , , _ . , . . . . . , , , , , . . . . . . . . , , , 416
8. Kpyr как нлоскость Лобачевскоrо. . . . . . , , , , . . . , . . . . , . . . 421
rлава 6. Конформное отображение односвязных однолистных
областей _"..,..,.."...,...,.., 424
1. Обсуждение теоремы Римана и вснuмоrате.чьные теоремы. . . 424
2. Доказате.1ЬСТВО теоремы Римана. . . . . . . . , . . , . , . . . , . . 429
3. Ненрерывпан зависимость отображающей функции от обдасти 432
4. Единственность отображения . , . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . 434
5. Соответствие rраниц при конформном отображении 436
б. Функuии fрина и задача Дирихде. . . . . , . , , . . . 441
7. «3наконсременнан метода" UIBapua , . . . . , . , , . . . 446
8. Теоремы искажения. . . , . . . , . . , . , , , . . . . . . . . . 450
9. Обобщения и llриложения принципа максимума. . . . . . . . 456
оrпАВЛЕНИЕ 7
Тлава 7. Некоторые специальные конформные отображения. 461
* \. Формула Кристоффелн Шварца . , . . , , . , . . . . , . . 46\
2. Функции нрнмолинейноrо треУi'ОЛЫlИка , . . , . . , . , , , . . . 466
3. Отображение прнмоуrОЛЫJИка, Э.'Iлинтические функции. . . . 469
4. Модулнрнан функцин . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
5. Теорема Пикара ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
6. Теоремы Шоттки и Ландау . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7. Дифференциальные уравненин ДЛII отображающих функций I{pyro-
вых мноrоуrо.'lbНИКОВ . . , , . , . . . 483
rлава 8. Принцип Дирихле и конформные отображения МНОi'ОСВЯ3
ных областей , . . . . . . . . . . . . . 490
\. Наводнщие соображеНИII . . . . . . . . . . . . . . . 490
2, Интеrрал Дирихле и формула rрина. . . . . . . . 495
3. Некоторые теоремы о rармонических функциях . 497
4. Экстремальная задача, ОТНОСllщаясн к задаче Дирихле , 502
5. Постановка экстремальной задачи, отвечающей задаче отыс.кания
отображающей функции. . . . . . . . . . . . , . . . , , , , , . . . . . . , 509
6, Существование минимизирующей функции Д.'Iя об.'Iастей, оrрани
ченных дуrами окружностей, . . . . . . . . . . . . . . , . . . , . . . , . 52\
7. Непрерывнан зависимость минимизирующей функции экстремальной
задачи от области. . , . , . , . . , , . . , . . . . . . , . . . , . , . , , . . 528
8, Конформное отображение однолистной области на плоскость
с разрезами, . . . . , . . , . , . , . . , , . . . . . . . . , , , . 530
9, Экстремальные задачи с друrими особенностями допустимых
фупкций , . . . . . . . . . . , , , , , , . . . . . , . . 535
10. Экстремальные задачи на римановых поверхностях . . . . , . 539
r лава 9. JVlероморфные функции на римановых поверхностях 547
\. Тополоrические образы алrебраических римановых rюверХlIuстеi't, 547
2. Абед вы интеrралы, . . . , . . , , , . . . , . . . . . . . . . . 555
3. Теоремы о существовании и единственности ДJlН абе:IСВbJХ 'IНTC-
rралов . . . . , . , , , . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . , . , 56,)
4. Алrебраические функции . . . . . , . . . . . , , . . . . . . . . . . 573
5, Абстрактные римановы 1I0верхности, . . . . . , . . . . . 579
6. Абелевы дифференциалы. Теорема Римана Роха. . . . . . . . . 589
7. Автоморфные функции . . , . , . . . . . , , , . , . , . . . . . . . . . .' 600
8, УниформизаrЩII , . . , , . , , . , . . , . . , . . . . , . . , . . . . . . 6\1
9, Отображение на KpyroBbIe области и униформизация с неrюдным
рассечением римановой 1I0верхности. . . . . . , , . , . . . . , . . , . , 625
10. Классификацин римановых 1I0веРХIIостей с точки зренин конформ-
ных отображений. . , , , . , . . , . , . , . , .. "",......,. 641
Предметный указа теш, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
f{ниrа rУрВИllа и f{ypaHTa «Теория ФУНКllИЙ» уже изпавалась
на русском языке, прав.n:а, в ви.n:е двух книr (А, rУРВИll, Аналити
ческие и эллиптические фУНКllИИ, М., 1933, Р. f{ypaHT, rеометри-
ческая теория фУНКllИЙ комплексной переменноЙ, М., 1934). Обе эти
книrи ИСПОЛЬЗ0вались в качестве учебников по теории ФУНКllИЙ
комплексноrо пе.ременноrо, но были популярны и в своем истинном
назначении моноrрафий по теории фУНКllий.
f{ настоящему времени изданные у нас книrи I'УрВИllа и Куранта
стали библиоrрафической ре.n:костью. Поэтому, Kor.n:a после сорокалет
Hero перерыва из.n:ательство Шпринrера выпустило новое издание
«Теории фУНКllИЙ», несколько переработанное самим f{ypaHToM
и дополненное профессором Рерлем, из.n:ательствО «Наука» решило
заново перевести эту книrу. В прОllессе перево.n:а я реlllИЛ пойти
на .n:оволыЮ серьезные отклонения от ориrинала. Преж.n:е чем
объяснять причины, поБУ'n:ИВlllие меня с.n:елать такой lllar, я хочу
рассказать о книrе в ее прежней ре.n:аКllИИ.
«Теория ФУНКllИЙ» состоит И3 трех частей. Первые две написаны
rУРВИllем, третья Курантом. Первая часть со.n:ержит четкое, cTporoe
и даже несколько формальное изложение основ веtiеРlllтрассовской
теории аналитических фУНКllИЙ. Вторая часть посвящена применениям
теории аналитических ФУНКllИЙ к изучению эллиптических фУНКllИЙ.
В этих первых 'n:BYx частях изложение ве.n:ется очень четко и кон-
кретно, без каких бы то ни было обобщений (эти две части
в ориrинале не претерпели никаких изменениЙ по сравнению с npe'n: bI -
.n:ущим изданием, а при перево.n:е я ЛИlllЬ несколько освежил
терминолоrиlO и внес HeMHoro локаЛЫIЫХ УЛУЧlllениЙ, не заслуживаlO-
щих осоБOl'О упоминания). Естественно, что при таком стиле И3JIO-
жения (и при небольшом объеме) мноrие и.n:еи теории ФУНКllИЙ оста-
лись за пrеделами этих двух частей, хотя и был заложен прочный
фундамент для их развития. Смысл третьей части, написанной
IIРЕДИСЛОВИЕ nЕРЕВОДЧИКА
9
f{ypaHToM, в построении Bcero з.n:ания и.n:ей, опираЮlllИХСЯ на этот
фун.n:амент. Независимость третьей части от первых 'n:BYX чисто
формальна. Она нужна f{ypaHТY ЛИlllЬ .n:ля Toro, чтобы при беrлом
повторении изложения отмечать общие и.n:еи, связываЮlllие теорию
аналитических функций с друrими областями анализа. Широта охвата
и.n:ей третьей части уже не позволяет вести изложение на прежнем
уровне. Характерные черты третьей части это стремление к интуи
тивной наrля.n:ности (даже в ущерб строrости) и к разъяснениlO
общих и.n:ей на каж.n:ом конкретном примере. При этом f{ypaHT
со свойственным ему мастерством Bcer.n:a умеет по.n:вести читателя
к общей и.n:ее таким обраЗ0М. чтобы ее общность казалась неизбежной.
И.n:ейное построение третьей части, написанной f{ypaHToM,
великолепно. f{ сожалению, сле.n:ует признать, что техническое
исполнение замысла БО мноrих местах оставляло желать ЛУЧlllеrо.
Эта третья часть «Теории функций», известная у нас как книrа
f{ypaHTa «rеометрическая теория функций комплексной переменной»,
изобиловала мелкими lJlllибками в .n:оказательствах и формулировках,
а также неточностями, связанными с расположением материала, из за
чеrо часто ИСПОЛЬЗ0вались еще не .n:оказанные факты (причем, как
правило, без упоминания об этом). Все это сильно снижало ценность
замечательной по своему со.n:ержанию книrи. Особенно неу.n:ачно
написаны были nосле.n:ние 'n:Be rлавы. По своему со.n:ержанию они
исключительно интересны, но разобраться в их изложении моrли
ЛИlllЬ специалисты самой высокой квалификации.
До сих пор мы rоворили о старом из.n:ании «Теории функций».
f{ сожалению, при переработке .n:ля HOBoro из.n:ания были исправлены
ЛИlllЬ самые значительные Оlllибки. Основное отличие HOBoro из.n:ания
дополнение, написанное профессором Рерлем. Сле.n:ует отметить, что
изложение материала в этом .n:ополнении, пожалуй, ближе к изложению,
первых двух частей «Теории функций». При этом мноrие факты,
которые были неу.n:ачно .n:оказаны в третьей части, или были .n:oKa
заны в не.n:остаточно общих пре.n:положениях, в .n:ополнении попросту
.n:оказываlOТСЯ заново.
Я еще со сту.n:енческих лет очень люблю и ценю книrу f{уранта
и хочу, чтобы ее новые читатели Mor ли в нолной мере оценить .n:o
стоинства этой книrи. Мне кажется, что СЛИlllКОМ близкий К тексту ори
rинала перево.n: после.n:неrо из.n:ания «Теории функций» плохо послужил
бы этой цели. В частности, дополнение профессора Рерля (само по себе
10
ПРЕДИСЛОВИЕ IIЕРЕВОДЧИКА
совсем неплохое), на мой взrля.n:, является В книrе чужеродным
телом. Поэтому при перево.n:е я пре.n:почел устранить И3 книrи
это .n:ополнение и переработать «Теорию функций» совсем иным спо
собом. Я не стремился сле.n:овать тексту ориrинала там, r де он
казался мне неу.n:ачным, а пытался. сохранив замысел Куранта.
изложить ero возможно яснее, освобож.n:ая el'o от Оlllибок и неточно
стей. Кроме Toro, я старался по мере сил сле.n:овать самому стилю
изложения Куранта, не по.n:даваясь ИСКУlllению у.n:овлетворять требова
ниям формальной строrости в ущерб Har ля.n:ности.
Следует отметить, что необхо.n:имость освобо.n:ить кнИl"У от ошибок
инеточностей заставила меня реlllИТЬСЯ на некоторое перемещение
материала, иноr.n:а .n:оволыlO серьезное. Например, ПРИlllЛОСЬ поменять
местами rлавы 4 и 5, а в rлавах 3, 4, 5 и 6 поменять местами
ря.n: параrрафов.
После.n:ние 'n:Be rлавы (8 и 9) мне пришлось почти полностью
написать заново, взяв за основу общие контуры, намеченные Курантом.
М. А. ЕВ2рафО8
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
rлава первая
-' КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Понятие комплексноrо числа
Первопричинои возникновения в математике комплексных чисел
\IlОСЛУЖИЛО то обстоятельство, что квадратные уравнения с действи
тельными коэффициентами MorYT иметь действительные реlllения,
а MorYT и не иметь их. Математику трудно смириться с тем, что
какая-либо за.n:ача может не иметь реlllения. Поэтому, коrда невоз:\IOЖ
ность реlllения доказана. обязательно делаются попытки так раСlllИ-
рить основные нонятия, чтобы эту невозможность устранить. Так п
-случилось, что невозможность реlllИТЬ некоторые KBa.n:paTHbIe уравне-
ния, оставаясь в области действительных
-чисел. привела I( появлению комплексных
'Чисел. Понятие комплексноrо числа оказа
лось полезным во мноrих вопросах, блаrо-
.даря чему прочно ВОlllЛО в математику.
Чтобы опре.n:елИ'IЪ комплексные числа,
рассмотрим совокуПlIOСТЬ всех пар (а, Ь)
{здесь а и Ь
действительные числа). Каж-
дую пару можно пре.n:ставлять себе reo-
1\lетрически как точку плоскости (рис. 1). Паре (а, Ь) поставим
13 соответствие выражение а + Ы, r.n:e букву i и знак + пока бу.n:е
J
рассматривать как некоторые символы. Доrоворимся для краткости
писать вместо а + о . i
просто а, вместо 0+ ы
просто Ы и
вместо 1. i
просто i, Два выражения а + Ы и а' + b'i будем счн-
тать раВНbt.fiЩ в том и ТОЛLКО В том случае, Kor да а == а' и Ь == Ь',
ВПОСJlе.n:ствии мы упи.n:им, что символы а == а + о ' i можно отож.n:е-
сТI3ИТЬ с действительными числами. Точки плоскости, отвечающие
этим символам, лежат на оси х, или, как мы будем rоворить в .n:аЛL-
нейшем, на действительной оси.
Теперь придадим символам а + Ы смысл чисел, опре.n:еЛИБ пра-
вила .n:еиствии Ha.n: этими символами. В соответствии с таким на-
мерением бу.n:ем впредь называть символ а + Ы КО.Afnлексны.Al
4tllСЛО.Af.
1
о
lZ
Рис. 1,
12
КОМ.nЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[r.1. 1
Число а наЗ0вем действителыlOЙ частью, а число Ь
мни-
мой частью комплексноrо числа а + Ы. Число Ы == О + Ы, .n:ей-
ствительная часть KOToporo равна нулю (а мнимая часть отлична от
нуля) будем называть чисто мнимым числом. Точки плоскости,
отвечающие чисто мнимым числам, лежат на оси у, которую будем
называть мнимой ОСЬЮ. Число 0+ 1 . i == i будем назьшать ,А{Нll.lfОЙ
едиfllщей.
Сложение комплексных чисел определим следую:цим равенством:
(а+Ы)+(а' + b'i)==(a + a')+(b+b')i.
(1)
Очевидно, что определенная таким обраЗ0М операция сложения обла-
дает свойствами 1Соммутати8ности и ассоциативности, поскольку
операция сложения действительных чисел обла.n:ает ЭТИМ:1 свойствами.
По той же причине для каждоrо КО
lПлексноrо числа существует
единственное комплексное число, дающее в сумме с ним нуль (т. е.
комплексное число
а
Ы). Тем самым опре.n:еляется вычитание
комплексных чисел. Теперь ясно, что ИСПОЛЬЗ0ванный paHbllle сим-
вол + является знаком сложения.
Умножение комплексных чисел определим равенством
(а + Ы) (а' + b'i) == (аа'
ЬЬ') + (аЬ' + а'Ь) i.
(2)
с помощью несложных выкладок леrко убе.n:иться, что операция
умножения обла.n:ает свойствами 1Соммутативности и ассоциатив-
ности, а операции сложения и умножения вместе взятые обладают
свойством дистрибутивности. Иными словами, если положить
а.==а+Ы,
а.' == а' + b'i,
а" == а" + b"i,
то
а+а.'==а.' +а,
(а. + а.') + а." == CJ. + (а' + а.''),
, ,
а'1. == а. а.,
('1.а.') ос' == а. (а.' а."),
CJ. (ос + а.") == CJ.(J.' + CJ.(J.".
Если считать мнимые части комплексных чисел равными нулю,
то операции сложения и умножения комплексных чисел совпадают
с операциями сложения и умножения их действительных частей, рас-
сматриваемых как действительные числа. Именно это обстоятельство
позволяет отождествить комплексные числа вида а + О . i с .n:ействи-
тельными числами.
Если в формуле (2) положить а==а'==О,. Ь==Ь'== 1, то мы
получим равенство i.i==i2==
1. Если же в формуле (2) положить
Ь == О, то получим равенство
а (а' + Ь'Ё) == (а + О. i) (а' + b'i) == аа' + ab'i.
в 'Iастности, для любоrо комплексноrо числа а. справедливо равен-
ство 1. CJ. == а.
1]
ПОНЯТИЕ КОМ.nЛЕксноrо ЧИСЛА
13
Отметим еще одну важную формулу, получающуюся в качестве
частноrо Случая формулы (2):
(а+Ы)(а
bl)
'S2+b2.
Она носит название правила умножения сопряженных чисел. Сопря
жеННЫМll называются 'n:Ba комплексных числа, действительные части
которых равны, а мнимые части равны по абсолютной величине, но
противоположны по знаку. Число, сопряженное с а, обозначается а..
И3 формулы (2) видно, что произведение двух комплексных чисел
равно нулю, если хотя бы о.n:ин И3 сомножителей равен нулю. Спра
ве.n:ливо и обратное утверж.n:ение:
ЕСЛll ПРО1lзведеНllе 1Со.мПЛе1ССНЫХ Чllсел равно нулю, то хотя
бы Oa1l1t llЗ СОМНОЖllтелей обязан быть равным нулю.
В самом деле, И3 равенства (а+Ы)(а' +Ь'iЭ==О вытекает также,
что
(а
Ы) (а + Ы) (а' + b'i) (а'
b'i) == О.
Объединяя в этом произведении первый множитель со вторым, а Tpe
тий с четвертым, получаем, что (а 2 +. Ь 2 ) (а'2 + Ь'2) == О. Поэтому
должно быть а 2 + Ь 2 == О или а'2 + Ь'2 == О. в случае, если а 2 + Ь 2 == О,
имеем а == Ь == О, т. е. множитель а + Ы равен нулю. Во втором
случае равен нулю множитель а' + b'i.
в заключение покажем, что делеН1lе на любое 1Со.мпле1Ссное Ч1lСЛО,
отЛ1lчное от нуля, все2да возможно, и выведем формулы для част
Horo двух комплексных чисел.
Частным двух комплексных чисел а' + b'i и а + Ы :f:. О ecтeCT
венно назвать решение уравнения
(а + Ы)х == (а' + b'i).
(3)
И3 этоrо уравнения умножением обеих частей на а
Ы получаем
уравнение
(а 2 + Ь 2 ) Х == (а
Ы) (а' + Ь'iЭ.
И3 Hero, пошольку а + Ы :f:. О, т. е. а 2
Ь 2 :f:. О, находим
х
а" -i
Ь" (а
Ы)( а' + т).
Найденное значение х является е.n:инственным решением уравнения (3).
Полученную формулу .n:ля частноrо можн
также записать в виде
aa'+bb' ab'
a'b.
x
" +b ----.,
I "+Ь" l.
а- - I a
Сопоставляя равенства
(а
Ы)+ (а'
b'i) == (а + а')
(b+b')i,
(а
Ы}(a'
b'i}==(aa'
ЬЬ')
(ab' + а'Ь} 1
14
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rл.1
с равенствами (1) и (2), мы убеждаемся, что су.мма 11 пРОllзведеНllе
комплексных Чllсел .меняют ЗначеНllЯ на сопряженные, КО2да
сла2аемые (соответственно со.множитеЛll) .меняют значеНllЯ на
сопряженные, т. е. справедливы формулы
а+
==(a.+
),
a:
== (a
).
Этот простой факт можно пыразить еще и сле.n:ующим обраЗ0М.
Рассмотрим отображение, ставящее в соответствие каждому I{oM
плеКСIIОМУ числу число, сопряженное с ним. Оно отображает множе
ство всех комплексных чисел на себя и обладает тем свойством, что
равенства ви.n:а а +
== l' а.
== l' cx
== 1 остаются справе.n:ливы,
если входящие в них комплексные числа заменить их образами.
И3 сказанноrо сразу же вытекает, что любое равенство, обе сто-
роны KOToporo получаются И3 .n:aHHbIx комплексных чисел при мене-
нием любоrо числа операций сложения и умножения, остается в силе,
если все пхо.n:ящие в Hero комплексные числа замеllИТЬ сопряженными.
2. fеометрическое представление комплексных чисел
Cor ласно сказанному в
1 комплексные числа нахо.n:ятся во взаимно
однознаЧIIОМ соответствии с точками плоскости. КО
lПлексному числу
Q == а
1
Ы отвечает точка плоскости с .n:екартовыми коор.n:инатами
(а, Ь). Мы бу.n:ем обозначать буквой Q не только комплексное число,
110 и соответствующую ему точку плоскости. Плоскость эту бу.n:ем
называть кояплексной плоскостью. Начало коор.n:инат в этой плос-
кости бу.n:ем называть нулем, поскольку оно
отвечает комплексному числу, рапному нулю.
Расстояние точки а. от ну ля равно (рис. 2)
величине
а
h
r == v a2
.
Ь 2 ==
I (а + Ы)(а
Ы).
о
а
Эта величина называется жодуле.А( (или абсолют-
ной веЛllчиной) комплексноrо числа а. и обозна-
чается по пре.n:ложению BeiieplllTpacca через i Q .
Комплексные числа, имеющие о.n:ин и тот же модуль, равный r,
образуlOТ, очеви.n:но, окружность с центром в нуле и с ра.n:иусом r.
Единственным I\омплексным число:vI, имеюшим мо.n:уль, равный нулю,
является число нуль,
рис, 2.
Леrко .n:оказывается следующий факт:
Модуль разностll а.
а.' равен расстоянию между точка.Аtll
Q и сх',
llействителыlO, если а. == а + Ы, сх' == а' + b'i, то а.
сх' == (а
а') +
+ (Ь
Ь') i и, сле.n:ователыlO,
la
Q'I== y(a
a')2+(b
b')2.
!i 2]
rЕОМ.ЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМ.nЛЕкСНЫХ ЧИСЕЛ
15
Обозначим через R.e .n:ействительную часть комплексноrо числа а.,
а через 1т а. ero мнимую час ть. Тоrда
! а I == v (R.ea)'J + (lma.)1.
Отсюда сразу получаем следующие полезные неравенства:
R.e а. I a.1,
1т а. I а. 1,
I R.e а I I а 1,
I 1т а. , I а !.
(1)
Справе.n:ливость этих неравенств очеви.n:на и И3 rеометрических сооб
ражений: в прямоуrольном треуrольнике на рис. 2 длина каждоrо
И3 катетов не превосхо.n:ит длины rипотенузы.
Пусть а. и 'n:Ba комплексные числа, IJ. и сопряженные с ними
числа, Tor.n:a
I а 1== v aёl, I 1== 1/ , I a. 1== V а.а . V
и, сле.n:овательно,
I a. : == I а 11 1.
(2)
а
За lеняя в этой формуле а. на т' получаем равенство
I ' I== \ II I
( '* о),
а 113 Hero равенство
I а I 'аl
lf IiП.
(3)
Равенство (2), очеви.n:но, переносится и на произве.n:ение ПрОИ3
ВОЛЫIOI'О количества сомножителей, т. е. справедливо равенство
I a.l 2. . . а п 1 == I аl1.1 а. 2 1. . .1 a n 1.
в частности, коrда все СомножитеЛl о.n:инаковы, мы получаем, что
I a n I === I а.;п
(п == 1, 2, 3, ... ).
Теперь займемся сравнением мо.n:уля суммы 'n:BYX комплексных
чисел с мо.n:улями слаrаемых, Предположим, что a+ =F- о. Тоrда
а
1 == a+ + a+ .
Это равенство влечет за собой
а +
1===R.e a+ R.e a+ '
Отсюда в силу формул (1) и (3) получаем, что
1 I a+ I+1 at j== lal 1 + lal I '
lб
КОМ.nЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[fл, I
и без труда переходим к окончательному неравенству
117.+ I I 17.\ + I 1.
(4)
в случае, коrда 17. + == О, неравенство (4), очевидно, справедливо.
Заметим, что часто используемое неравенство (4) имеет очень
простой rеометрический смысл. Именно, если мы возьмем на плоско
сти три точки О, 17., 17. + (рис. 3). то 1 17. +. 1 равен расстоянию от
нуля .n:o точки 17. +. , в то время как 117.1 равен расстоянию от нуля
.n:o точки 17., а I 1 равен расстоянию между
а+Д точками 17. и 17. + . Таким обраЗ0М, неравен-
СТБО (4) 0значает, что сумма длин ДВУХ сто-
рон треуrольника не MeHbllle длины третьей
ero стороны.
Заменяя внеравенстве (4) число 17. чис-
лтl ':J. , приходим К неравенству I 17.1
I 17. I + 1 1, И3 KOToporo получаем,
что 117. 1 117.1 1 1.
Заменяя в после.n:нем неравенстве на , мы преобраЗ0вываем
ero к виду I а + 1 I 17. I ! !. в левой части этоrо неравенства
числа 17. и COBepllleHHO равноправны. Меняя их местами, приходим
к неравенству 117.+ I 1 1 I 17. 1. Сле.n:овательно, справе.n:ливо и
неравенство
о
Рис. 3.
I а + I 11 а I I I 1. (5)
Cor ласно неравенствам (4) и (5) веЛllЧШЩ 1 а + I заключена
'леежду I1 а I I 11 и 1 17.1 + I J.
Уrол ер меж.n:у положительным направлением действительной оси
и направлением И3 нуля в точку 17. называется аР2у.менто.м комплекс
Horo числа 17. и обозначается arg а. Очевидна справедливость следую
щих формул (см, рис. 2):
а == r cos", Ь == r sin ер,
а == а + Ы == r (cos ер + i sin ер).
d
С последним предстзвлением числа 17. мы еще
столкне:\IСЯ ниже.
EI11e мы расскаже:\1 вкратце о rеометрическом
способе построения суммы и произве.n:ения KO:\I
. плексных чисел.
а
Рис. 4.
Если (1, и (1,' 'n:Be точки комплексной плоско
а+а'
сти, то точка нахо.n:ится посредине сое.n:иняющеrо ИХ отрезка.
Поэтому для чисел, СПЯ3aIШЫХ равеНСТВО:\1 (1, + а,' == + ', точки
(1" а', , ' находятся в верlllинах параллелоrрамма (рис. 4). Для Toro
2]
rЕОМ.ЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМ.ПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
17
чтобы по данным числам а, а', построить число 13' == а. + а' .
мы .n:олжны дополнить треуrольник aa' до параллелоrрамма a 'a' и
взять верlllИНУ, противолежащую верlllине . Если мы возьмем Te
перь == О, мы получим способ построения суммы а. + а', а при
ос == о получим способ построения разности а. .
Перейдем к способу построения произве.n:ения.
Пусть .n:aHbI два треуrольника аа'а" и ' " (рис. 5). Эти треуrоль
ники заведомо подобны, если выполняется соотношение
a' a p' p
а" а 13" 13 . (6)
Действительно, вычитая И3 обеих частей написанноrо равенства по
единице, прихо.n:им к равенству j3
a' a" . " .
a." a "
Перей.n:я к мо.n:улям, заПИlllем эти два
в виде
I ос а.1 : I а" а.1 : , а.' а" I ==
== ! [3' I : I " I : I [3' " 1.
t
Это 0значает, что стороны треуrольника а.а.'а."
пропорциональны соответствующим сторонам
треуrольника p' ". а
Заметим, не останавливаясь на доказатель- Рис. 5.
стве, что равенство (6) обеспечивает не только
подобие треуrольников ЩJ.'а" и p' ", но и о.n:инаковую их ориента-
цию (т. е. точка а." остается с той же стороны от прямой, проходя-
щей через точки а. и а', при .n:вижении по ЭТОй прямой в направ
лении от а. к а', что и точка " при движении от [3 к ') *).
Если даны пять точек, скаже 1 а., а', а.", , [3', то lllестая
" == + ( ' ) а': a
а a
строится без труда. Нам нужно только на отрезке p ' как на осно-
вании постj'jоить треуrольник [3'[3", по.n:обный треуrольнИI<У аа.'а." и
имеющий одинаковую с ним ориентацию. Полаrая, в частности,
== О, ' == 1, а. == О,
получаем способ построения ОТНОlllения а" /а', а при
== О, а. == О, а.' == 1
Получаем способ построения произве.n:ения [3'а.".
*) Нетрудно проверить, что точка а" остается С:Iеяа от прямой, Прохо
Дящей через точки а И а', при движении по ней от а К а', если Re а': a:> О.
а a .
18
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[Со, ,
3. СХОДИМОСТЬ чиСЛОВЫХ последовательностей. Сфера Римана
Последовательность комплексныХ чисел
(7.1 == а1 + b 1 i, (7.2 == а2 + b 2 i,
мы наЗ0вем сходящейся, если схо.n:ятся обе после.n:оватеЛЬНОСПI .n:ей
ствительных чисел
а1' а2' аз, ...,
Ь 1 , Ь 2 , Ь з ,
(1)
Пределом
а == 1im аn,
n oo
(7. == lim (7.n.
n (j)
Любую после.n:овательность, которая не схо.n:ится, будем называть
расходящейся,
после.n:овательности (7.n
b==limb n . При этом,
наЗ0вем число а + Ы == (7., r.n:e
естественно, бу.n:ем обозначать
n oo
Как известно, обе после.n:овательности (1) сходятся Tor.n:a и только
T01'.n:a, Kor.n:a .n:ля любоrо положителыюrо € сушествует такой номер
п. что при любых k > п и }l > п выполняютсЯ неравенства
I а/, a h \ < €, I Ь/, Ь/, I < €. (2)
Отсюда IJЬШО'n:ИМ ICpllmeplla f{оши .n:ля схо.n:имости после.n:ователь-
ности комплексных чисел:
Для сходllмостll последоватеЛЫiOсти ICО.Аt1lЛСICСНblХ чисел 0.1'
0.2' а. з ' .'. необходияо и достаточно, чтобbl для люБО20 пО/lOжи-
тельною € существовал таICОЙ номер п, что при любblХ k > п
и }l> п вЬt1l0ЛНЯЛОСЬ бbl неравенство I (7.k rJ./, \ < €.
Необхо.n:имость условия очеви.n:на. так как и3 неравеllСТВ (2) сле
.n:yeT неравеНСТБО
I а/, 0." 1== V (а/, а,,)2 + (b k b h )'! < € у 2 ,
а s V 2 :\южно рассматривать как произвольное положительное чиСЛО
с тем же успехом. что и само €. Столь же очеви.n:на и достаточность
условия, так как И3 неравенства
I (7./, (7./,1 == у(а/, а/,)'! + (b k ь,у < €
сле.n:ует, что I а/, а/, ! < € И \ b k Ь/, I < €, т. е. что lIеравенства (2)
выполняются.
Заметим сразу же, что в критерии КОlllИ достаточно. потребовать
существования TaKoro номера п, .n:ля KOToporo при любом k > п
lJыполняется неравенство I (7./, (7.n I < €. Действительно, выбирая в
этом случае номер п, отвечающий €/2, мы rарантируем выполнение
неравенетв
Е
I (7.k (7.n I < 2"'
Е
\ o. h o.nl < 2'
3]
сходиМ.ость числовых nОСЛЕДОl3АТЕЛЬНОСТЕй
19
.n:ля любых k > п и h > п. Но TOI'.n:a
j CJ.k CJ. h 1==1 (CJ.k а п ) + (а п CJ. h ) I Е; I CJ.k а п I + I CJ. h CJ. n I <
< ; + ; == в,
т. е. неравенства, входящие в критерий КОlllИ, у.n:овлетворены.
Дополним опре.n:еление схо.n:ящейся последовательности комплекс
ных чисел, опре.n:елением схо.n:имости к бесконечному пределу.
Если последовательность а 1 , а2' CJ. з , ... такова, что для любоrо
nоложительноrо числа О существует такой номер п, что при всех
k > п выполняется неравенство I IJ.k I > О,
мы бу.n:ем rоворить, что эта последо
вательность llMeem пределом беС1СО-
нечность. Этот факт мы будем запи
сыпать формулой ]im CJ. n == 00.
n co
Чтобы придать символу 00 наrляд
ный rеометрический смысл, прове.n:ем
некоторые рассуж.n:ения.
Рассмотрим lllap, лежащий на ком-
плексной плоскости, касаясь ее в точке
нуль (рис. 6). Соединим точку N наи-
более удаленную от комплексной пло
скости точку lllapa с точкой CJ. ком-
плексной плоскости отрезком прямоЙ.
Этот отреЗ0К пересекает поверхность
шара в е.n:инстпенной точке, отличной от точки N. Эту точку мы тоже
бу.n:ем обозначать через а, Описанное построение, ставящее в СО от-
Беrствие каж.n:оЙ точке плоскости определенную точку сферы, назы-
lJается сmереО2рафllческой проеКЦllей, а сама сфера сферой PllMaHG.
При стереоrрафической проекции каж.n:ой точке CJ. комплексной
плоскости отвечает o'n:Ha точка сферы Римана и, обратно, каж.n:ой
точке сферы Римана, за исключением точки N, отпечает o'n:Ha точка
комплексной плоскости. Точку N естественно условиться считать
отвечающеЙ символическому ЧИСJlУ 00. Этот же символ мы исполь
зуем 'n:JIЯ обозначения этой точки. Чтобы убедиться в естественности
такой .n:оrоворенности, рассмотрим после.n:овательность
Рис. 6,
аl' а2' а з , ..., lim а п == 00.
n co
JIerKo ви.n:еть, 'по пре.n:елом соответствующих точек а 1 , а2' CJ. з , ... на
сфере Римана будет точка 00.
Таким обраЗ0М, точки сферы Рима на, включая точку 00, нахо-
дятся во взаимно однозначном соответствии с множеством псех КОМ-
IIлексных чисел, дополненюJilf Симполическим числом 00. Дополнение
20
коМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rл. I
множества комплексных чисел числом со соответствует дополнению
комплексной плоскости одной символической точкой, отвечающей
числу СО. Эту точку будем называть бесконечно удаленной точкой,
а .n:ополненную ею комплексную плоскость расширенной ко.мплекс
ной плоскостью. Этот термин бу.n:ем употреблять как синоним Tep
мина «сфера Римана».
Ради полноты .n:а.n:им краткий вывод формул, связывающих KOOp
динаты точки (х, у) комплексной плоскости с координатами соответ-
ствующей точки сферы Римана, обозначив их ( , 1j, ).
Оси и 1j возьмем совпа.n:ающими с осями х и у, а ось r. напра-
вим так, чтобы центр сферы Римана нахо.n:ился в точке (О, О, а).
Тоrда точки сферы Римана у.n:овлетворяют уравнению
2+1j2+( a)2 a2,
или
2 + 1j2 2ar. 1:2.
Поскольку точка N(O, О, 2а), точка ( , 1j, 1:) и точка (х, у, О) лежат
на одной прямой, мы можем написать
x o y o O 2a
o "J o t 2a'
откуда находим
2a
x 2a t'
2a"J
y 2a t
и
2 + "J2 4a.t
х 2 + y2 4a2 (2a t)2 2a t .
Таким обраЗ0М, значения х, у и х 2 + у2 выражаются через е, 1j, 1:
сле.n:ующими формулами:
2a 2a"J 2 + 8а3 4 2
x 2a t ' y 2a t ' х y- 2a t а.
(3)
JlerKo найти и обратные выражения
4а'х
х"+у"+4а" ,
4а'у
1j х 2 +у2+4а" ,
8а 3
1: 2а х"+у"+4а"
Те точки КG:lшлексной плоскости, которые удовлетворяют урав-
неш:.ю
А (х 2 + у2) + Вх т Су + D О,
(4)
образуют окружность или прямую (Kor.n:a А о). Ради краткости
любую прямую в комплексной плоскости бу.n:ем называть тоже окруж-
ностыо (с ра.n:иуСОМ, равным бесконечности).
4]
МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОй ПЛОСКОСТИ
21
с ПОМОЩЬЮ формул (3) получаем .n:ля коор.n:инат точек сферы
Римана, отвечающих точкам окружности (4), уравнение
A( 4a2 ) +B + C + D===O,
\2a C 2a C 2a C
которое преобразуется к ви.n:у
2aB + 2aC1j + (4а 2 А D) + 2aD === о. (5)
Уравнение (5) является уравнением плоскости, если рассматривать ,
1j, как независимые переменные. Поскольку пересечение сферы с
плоскостью это окружность, мы прихо.n:им к утверж.n:ению:
При стереО2рафической nроекции окружность 8 комплексной
плоскости переходит 8 окружность на сфере Римана.
Это утверж.n:ение, очевидно, можно обратить, так как коэффиuи
еllТЫ А, В, С, D можно выбрать так, чтобы уравнение (5) было ypaB
нением любой наперед заданной плоскости. Поэтому
При стереО2рафической nроеКЦllll окружность переходит 8
окружность.
ЯСНО, ЧТО окружность на сфере Римана, проходящая через точку
СО, отвечает на комплексной ПЛОСI{ОСТИ прямой линии. Поэтому мы
бу.n:ем rОВОрIПЬ, что прямая в расширенной комплексной плоскости
это окружность, проходящая через бесконечно у.n:аленную точку.
Леrко .n:оказывается, что стереоrрафическая проекuия конформ
ное отображение плоскости на сферу. Этот термин 0значает, ЧТО
уtол меж.n:у двумя кривыми на плоскости остается равным УI'ЛУ
меж.n:у соответствующими кривыми на сфере. Оrраничимся лишь беl'-
лым упоминанием об этом факте, поскольку в даЛЫlейшем он нам
не пона.n:обится.
4. Множества на lюмплеl{СНОЙ nЛОСIЮСТИ
Для люБOl'О положительноrо числа Е мы бу.n:ем понимать по.n: Е-
окрестностью конечной точки а комплексной плоскости совокуп-
НОСТЬ точек z, у.n:овлетворяющих неравенству I z а I < Е. ЭТИ точки
занолняют KPYl" с иентром в точке а и ра.n:иусом Е. Число Е характе-
ризует размер окрестности. На сфере Римана точки о,крестности тоже
образуют некоторым Kpyr, со.n:ержащий внутри себя точку а, но она,
вообще rоворя, уже не будет ero пентром. Тем не менее при cтpeM
лени и Е J( нулю Е-окрестность точки и на сфере, очеви.n:но, СТЯI'ива
ется к этой точке.
Под Е-окрестностью бесконе'!liО удаленной точки будем пони
1
мать СОВОКУШЮCfЬ точек, у.n:овлетворяющих неравенству I z I > .
Е
Эти точки заполняют BHelllHocTb KpYI'a с центром в нуле и радиусом
22
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rл. I
l/Е. З.n:есь Е по-прежнему характеризует размер окрестности. На сфере
Римана Е-окрестность бесконечно у.n:аленной точки это внутренность
Kpyra, содержащеrо точку 00 и стяrивающе,'ося к ней, Kor.r(a Е cтpe
МИТСЯ к нулю.
Рассмотрим бесконечное множество 1,;, элементы KOToporo ко lП
лексные числа. Соответствующеt: множеспю точек на плоскости или
на сфере Рима на мы будем обозначать' той же буквой S. При Э'I ом
может случиться, что некоторое число (соответственно точка) BCTpe
чается сре.n:и элементов множества 1,; несколько раз (не более чем
-счетное число). Эти элементы мы бу.n:ем считать ра3ЛИЧНЫ:\IИ, иными
словами, будем учитывать, сколько раз встречается в множестве }:
каждое И3 чисел.
Множество 1,; на сфере Рима на можно рассматривать как orpa
-ниченное множество в трехмерном пространстве. Ясно, что предеJIЬ
ными точками этоrО множества MorYT быть лишь точки той же сфt:рЫ
Римана, причем хотя бы одна предельная точка обязана сущеспювать
(ПОCl(ольку мы предноложили множеспю 1: беCl<онечным, а всякое
бесконечное оrраниченное множество имеет хотя бы одну предель
ную точку).
Если а o'n:Ha И3 пре.n:еJIЬНЫХ точек множества 1,; (конечная или
оо), то, СOl'ласно опре.n:елению предельной точки, в каждой OKpeCT
ности точки а лежит бесконечно MHoro точек множества S. Поэтому
можно выбрать И3 множества 1,; после.n:ователыlOСТЬ а!, СХ2' а:l' .,.,
-ДЛЯ которой 1im a n == ':1..
n OO
Дополним сказанное следующими .n:вумя утверж.n:ениями:
ЕСЛll последовательность а 1 . 1М.!. аз, ". ll.lceem предел а, то
..множество чисел, обраЗУЮ!ЦllХ эту последовательность, и_мест
.mолысо одну предельную точку точку а.
И наоборот:
Если множество комплексных Чllсел llMeem толысО одну пpc
-дельную точку а, то это множество счетно и е20 .можно затl
..сать в виде последовательностll а!, а2' аз, . . ., для которой 1im a n == ':1..
n oo
Приве.n:ем .n:оказательство после.n:неrо утверж.n:ения .n:ля случая,
,Kor.n:a а == 00. Необходимые рассуж.n:ения леrко переносятся и на слу
'Чай люБOl'О друrоrо значения а.
Итак. нам .n:aHo бесконечное множество с единственной пре.n:ель
-ной точкой в бесконечности. ТOI'да вне любой Е окрестности точки и)
,лежит лишь конечное числО точек множества 1;, поскольку в про
тивном случае это множество имело бы предельную точку, ОТJIIIЧНУIO
()т 00. На плоскости Е-окрестностьЮ точки 00 является внешность
Kpyra с центром в нуле и ра.n:иусоМ l/Е. Значит, внутри каждо,'о
кру"а с пентром в нуле лежит лишь конечное число точек множе
<тва 1,;. Выберем произвольную после.n:овательностЬ r! < r2 <. ",
r п 00, и разобьем всю плоскость иа после.n:овательность областей.
!i 51
РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
23:
В качестве области [ возьмем KPYI' I z 1< rl, в качестве области 11
кольцо rl I z 1 < r2 и т. .n:. (рис. 7), COOTBeTCТlJeHHO через (1), (11),.
(111), , . , обозначим по.n:множества точек множества 1;, лежащие в облас
тях 1, 11, 111, ..' (в каждом И3 ЭТИХ по.n:множеств конечное число точек).
Ясно, что все точки, вхо.n:ящие в подмножества (1), (11), (111), . .. можно
перенумеровать тем или иным способом. Тем самым мы показали, что
множество S счетно (сама точка 00 может ВХО'n:ИТЬ в счетное чис.rIО
раз), Для окончатеJlьноrо построения после.n:о
вательности сле.n:ует рассмотреть три ра3JIИЧ
ных случая:
1) точка 00 вхо.n:ит в множество S конеч
ное число раз;
2) в множестве 1: f(Qнечное число точек,
отличных от 00;
3) точка 00 вхо.n:ит
и множество конечных
тоже бесконечно.
В первом случае нумеруем конечные точки
в порядке возрастания мо.n:улей, а имеющееся
конечное число точек 00 ставим в начало после.n:овательности. Во
втором случае в начало последовательности стаВЮI конечные точки,
а затем повторяем одну и ту же точку 00. В третьем случае в Ka
честве членов последователЬ/юсти с четными номерами возьмем KO
нечные точки 1;, перенумерованные в поря.n:ке возрастания мо.n:улей,
а в f(ачестве членов с нечетными номерами повторяющуюся ТОЧf{У 00.
HeTpY'n:Ho убе.n:иться, что предел построенной после.n:овательности в()
всех случаях равен бесконечности.
бесконечное число раз
точек, входящих в 1;,
Ш@
Рис, 7.
5. РЯДЫ с lюмnлеl{СНЫми членами
Ряд
с общим членом
Wl +W2+WЗ+',.
(1)
W N == l{n + iv n
называется сходЯЩl{.мся. если существует конечный предел
Нт (Wl+W2+...+ W n)==S,
n CXJ
или, иными словами, если СХОДится последовательность Sn чаСтныJt
сумм этоrо ря.n:а. Число S называется су.м.иой ряда (1).
Из опре.n:еления сходящейся после.n:овательности без труда BЫBO
дим, что ряд (1) сходllтся тО2да II толысо тО2да,1СО2да сходятся
оба ряда
l{l +- и2 + l{з +... ,
Vl + V2 + vз +... .
(2)
24
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rл, I
Если ИХ суммы обозначить через и и v, очеви.n:но, справедливо pa
венство S == II + iv.
Если ряд не сходится, он называется расходЯЩllМСЯ.
Применяя критерий J{ОIllИ .n:ля схо.n:имости последовательности
частных сумм Sn == Wl + . . . + W n ' приходим к общему критерию cxo
димости ря.n:а:
Для сходимостсс ряда
Wl+ W 2+ W З+'"
необходllМО II достаточно, чтобы для любоzо пОЛОЖllтельноzо е
существовал такой номер п, что при любом k > О 8ыполнялось
бы неравенство
I W n +l + W n +2+' ..+ Wn+k I < Е.
в частнОСти:
Для сходимости ряда необходимо, чтобы ezo оБЩllЙ член
стремился к нулю с возрастанием номера.
Ряд (1) называется абсолютн.о сходЯЩllМСЯ, если он схо.n:ится
сам и остается сходящимся (к той же сумме) при nроизвольных пере
становках ero членов,
Для абсолютной СХОДИМОСТИ ряда необхоцимо и достаточно, чтобы
абсолютно сходились оба ряда (2), а для 3TOI'O, как известно, необ.
хо.n:имо и достаточно, чтобы схо.n:ились оба ря.n:а
I l1 l I + 'и2! + ... ,
I V 1! + I V 21+...
(3)
Поскольку
тах (lln, V n ) I W n I Il'n 1 + I V n 1,
оба ря.n:а (3) схо.n:ятся ТОI'да и только тоrда, KOl'.n:a сходится ряд
\ wll + I W2! + I Wзl +. .,
(4)
Следовательно:
Для абсолютной сходимости ряда Wl + W2 + Wз +. .. н.еобхо-
димо и достаточно, чтобы сходился ряд
I Wl\ +! W2\ + I Wзl +. ..
И3 ря.n:а (1) можно МIЮI'ИМИ способами обраЗ0вать бесконечное
,множество ря.n:О8
W a1 +W а2 +W аз +. ..,
W l +W 2+W З+""
W 11 +W 12 +W 1З +'..,
(5)
. . . . . . . . .,
5]
ряды С КОМ.ПЛЕКСНЫм'И ЧЛЕНАМИ
25
устроенных так, что каж.n:ый член исхо.n:ноrо ря.n:а вхо.n:ит в о.n:ин и
только в один новый ряд (т. е. каждый номер встречается ровно
о.n:ин раз). Вот пример TaKOI'o разбиения:
W 1 +W2 +Wt+W7 +Wll+"',
WЗ +Wп +W8 +W12+"',
W s +W9 +WI3+""
W10+ W 14+" .,
Докажем сле.n:ующее утверж.n:ение, называемое теоремоЙ о двоЙ
1lbtX рядах:
Пусть ряд (1) абсолютно сходится и по су.м./{а равна 8.
ТО2да каждыЙ llЗ рядов (5) тоже абсолютно сходzzтся. ЕСЛll
суммы рядов (5) в порядке следования обозначить 81, 82, Sз, ...,
то ряд
81 + 82 + Sз + . . .
(6)
тоже абсолютно сходится Zl по сум.ма равна 8.
LLействителыlO, ря.n:ы 1; I W ak 1, 1: W Pk !' 1: I W 1k !' . " схо.n:ятся, по
CKOJlbKY их частные суммы не преВЫlllают o'n:Horo и TOI'O же конеч-
Horo числа S === J W1] + ] W2' + ! WЗ i + . . .
Полю'ая
ВI === W a ] + W a2 + U'аз + . . . ,
S2===W p ] + W 2 +W з +...,
. . . . . . . . . . . ,
мы ви.n:им, что
8 (81 +82+"'+ Вт)===Щ 1 +Щ 2 +...,
r.n:e ')(1' ')(2, 1(з, '" те номера, которые не встречаются в первых т
И3 рядов (5). Если п ПРОИ3ВОJlьное фиксированное натураЛЫlOе число,
то при .n:остаТОЧIIО больших значениях т члены W 1 , W2' ." , W N обя-
зательно вой.n:ут в первые т рядов, так что номера У.1' 1t;!, У.3' .,.
бу.n:ут Болыlle п. Поэтому
i 8 (В1 +82 +. "+Sm)! I W n +11 + I W n +2 i +. ..=== r ф
['.n:e через r n обозначен остаточный член ря.n:а I W1 I I W2! + . .. По-
сколы<у номер п можно выбрать так, чтобы величина r п была сколь
yro'n:HO мала, получаем, что
liт [8 (BI+82+",+Bт)]===O.
т Ф
Итак, ря.n: (6) сходится и ero сумма равна 8. Абсолютная схо.n:имостъ
ЭТО['О ря.n:а сле.n:ует И3 неравенств
I В1 i I W a ] 1+1 W a2 ! + ..,
182) IWijll + jw p2 1 +...,
. . . . . . . . . . .,
26
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rл. I
которые сразу позволяют заключить, чтО
1811 + 1 821 + . . . + I 8 т I I Wl I + I W 2 I + . . . === S.
Это 0значает, что ряд I 81 ! + I 821 + I 8з1 + . .. сходится, так ){ак ero
частные суммы не превосхо.n:ят числа S. Тем самым теорема о 'n:130Й
ных ря.n:ах полностыо доказана.
с ПОМОЩЬЮ теоремы о .n:войных рядах леrко устанавливается сле
-ДУЮЩИЙ важный факт:
Если ряды
Wl +W2+...===8,
"' + '
W J T W 2 . . . == 8
абсолютно сходятся, то ряд
WIW + (WJW + W2W ) + (WJW3 + W2W + WзW ) +...
тоже абсолютно сходится, 11 е20 су.има равна пРОllзведению
-сумм двух первых рядов.
Для доказательства заметим, что ряд, обраЗ0ванныЙ И3 членов
ви.n:а
WJW , WIW , ... , W2 W l, W2W , ... , WЗ W 1, ...,
(7)
абсолютно схо.n:ится. Действите.'lbНО, если мы возьмем любое конеч-
ное числО этих членов, то сумма их мо.n:улей не больше чем
(! Wl! +IW21 +...+1 Wnl )(1 W ' +1 w 1 +. ..+1 w !),
'если только номер п больше номеров всех W p и W , вхо.n:ящих в про-
изве.n:ения l3и.n:а (7). Тем более эта сумма не превосхо.n: ит числа WW',
rде
W === I Wl I + I W2 I +. . . ,
W' === I W I + I W I + . . .
Теперь заметим, что сумма ря.n:а, обраЗ0ванноrо И3 членов ви.n:а (7),
<: одноЙ стороны, равна сумме ря.n:а
WJW + (WJW2 + W2W ) + (WJWЗ + W2W + W з wi) +. ..,
с друrой стороны, она равна по теореме о ДВОЙНЫХ рядах
81 + 82 + 8з + . . . ,
r.n:e обозначено
81 === WJW WIW2 WJW3 +... === WI 8 ',
82 === W2Wl + W2W2 + W W3 + . . . === W2 S ',
S3 === W З W 1 + W:lW + U'зW;\ + . . . === 'U,з s ',
Сле.n:овательно, искомая сумма равна
7("18' + U''lS'
== t 'и'l i и' r',,) s' === 88',
что и треБОl3алось .n:oKadi11b.
!i б]
ФУНК:ЦИИ КОМnЛЕксноrо ПЕРЕМЕнноrо
27
6. Функции комnлексноrо nepeMeHHoro
Пусть каж.n:ому комплексному ЧИСJIУ z === х + iy И3 множества
ставится п соответствие по HeKOTOpOl\IY закону какое либо .n:pyroe
комплексное число W === II + iv. Tor да мы rоворим, что нам за.n:ана
КО.lfплекснозначная фУЮСЦllЯ ко.мплеКСНО20 пере.меННО20. Число w
называется значеНllе.и ФУНКЦllll в точке z, а множество 1;, I3хо.n:я
щее в определени функции, называется областью оtiрсделеНШI
фУНКЦllll.
Комплекснозначную функцию комплексноrо переменноrо можно
рассматривать и как пару .n:ействитеJIЬНЫХ функций 'n:BYx .n:ействи
тельных переменных. Действительно, если W === II , iv, а z === х r iy.
то задание функции W (z) равносилыlO заданию функций и (х, у) и
v (х, у).
Множество 1;', состояшее И3 значений, принимаемых функцией
W (z) в точках множества 1;, наЗ0вем областью значений фУНКЦllll.
При этом одно и то же значение может приниматься функцией W (z)
в нескольких точках множества 1;.
rеометрически функцию W (z) можно рассматривать как отобра
жение множества 1; на множество 1;', перево.n:яш.ее каж.n:ую точку
множества S в некоторую точку множества S' (разные точки И3 1;
МOI'ут переходить в одну точку И3 1;').
Если рассматривать множества S и 1;' не на плоскости, а на
сфере Римана, то нет никаких оснопаний как бы то НИ было Bbl.n:e
лять точку СО. ЭТО значит, что можно рассматривать и функции,
принимающие значение СО.
Перей.n:ем к понятию непрерывности фу шции.
Пусть Zo некоторая точка множества 1;, а и'о значение функ
ции W (z) в этой точке. Пусть, кроме 1'01'0, Zo пре.n:ельная точка MHO
ЖЕсша 1:. Бу.n:ем rоворить, что функция W (z) непрерывна в точке zo,
если значение Wo конечно и если .n:ля любой Е окрестности точки и'о
сущеС1вует такая 8-0крестность точки zo, что точкам И3 пересечения
множества 1; с этой 8-0крестностыо отвечают значения ФУНКЦИИ,
лежащие в Е окрестности точки Wo.
Приведенное опре.n:елеиие непрерывности равносильно сле.n:ующему.
Функция W (z) непрерывна в точке ZO' если .n:ля любой после.n:о
nателыlOСТИ точек Zl' Z2, Z3' '" (прина.n:лежащих множеству 1;), имею
щей пределом точку zo, последовательность точек W (Zl)' W (Z2)' ...
имеет пре.n:ел W (Zo) и если этот предел конечен.
Первое И3 определениЙ непрерывности можно записать и сле.n:ую
щим обраЗ0М:
Функция W (z), принимающая в точке Zo значение и'о, непрерывна
n точке Zo Е 1:, если для Jlюбоrо Е> О существует такое 8> О, что
28
I<:ОМ.ПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[rJI. t
неравенство 1 w (z) Wo I < Е выполняется .n:ля всех Z, у.n:овлетворяю
щих условиям z Е 1:, I z Zo I < 1).
Это опре.n:еление приrо.n:но только для конечных zo' но для слу-
чая Zo == 00 нужно лишь заменить выражение z 00 на lfz.
Если мы возьмем, например, w (z) == Zn (п> О целое), то в Ka
честве области определения этой функции можно взять всю конечную
комплексную плоскость. Проверим непрерывность этой функции.
Положив z==zo' получим Wo==z и
w Wo==Zn z ==(z Zo)(zn 1 + Z.. 2Z0 +... +Z I),
OTKy.n: a
I W W o I ==\ Z Zo 11 Zn 1 +Zn 2Zo+' ..+z 11
I z Zo 1 (r п - 1 + r n 2ro +...+ r I),
rде обозначено I z 1== r, I Zo I == ro. Если считать точку Z лежащей
в I) окрестности точки zo, то, очевидно (рис. 8),
r==\ z\ < OM==ro+8.
Поэтому
I w wo I I z z(l1 [(r o +1)n 1 +
+(r o + I)n 2r +,..+ r IJ <п8 (ro+ 8)п l.
И3 этоrо HepaBet!C'rвa сразу ви.n:но, что, каково
бы ни было Е> О, Bcer.n:a можно выбрать 1) так,
чтобы для всех z И3 8 окрестности точки Zo BЫ
полнялось неравенство ! W Wo I < Е.
Рис. 8. Таким обраЗ0М, ФУНКЦllЯ W == Zn непрерывна
при всех конечных z. Поскольку сумма непре
рЫВНЫХ функций непрерывна, то Hallle утверждение остается в силе
и .n:ля любоrо мноrочлена от z, т. е. .n:ля функции ви.n:а
N + n .. + +
W == aOz alz ... a n
(п ;;?= О).
7. Равномерная сходимость
Рассмотрим ряд
S(Z)==Wl (z)+ W2(Z) + wз(z) +...,
(1)
члены KOToporo функции комплексноrо переменно,.о z с ОДНОЙ и
той же областью определения 1:. Бу.n:ем предполаrать, что для всех
z Е 1: ря.n: (1) схо.n:ится. Сумма ря.n:а s (z) тоже функция от z.
Обозначим через r n (z) остаточный член ря.n:а (1), т. е.
r n(z)== s(z) sn (z)== s(z) (Wl (z) + щ,(z) +... + wn(z».
7]
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМ.ОСТЬ
2Q
И3 предположения о схо.n:имости ря.n:а следует, что при каждом фик
сированном z и при любом Е> О выполняется неравенство
I r n (z) I < Е,
(2)
если только номер п Болыlle HeKoTopOl'O номера по, зависящеrо от Е
и, вообще rоворя, от z. Если можно выбрать номер по о.n:ним и тем
же .n:ля всех z Е 1:, то ря.n: (1) называется равномерно сходящимся
н.а множестве S.
Понятие равномерной сходимости имеет Болыllеe значение дЛЯ
МНОI'ИХ вопросов. Приведем, например, сле.n:ующий важный результат.
Если члены ряда
S(Z)==Wl (z)+ W2(Z) +...
непрерывные фУЮСЦllll на множестве 1: 11 еСЛll этот ряд paвHO
мерно сходится на множестве 1;, то ею сумма S (z) тоже He
прерывна на множестве .
Для .n:оказательства зада.n:имся произвольным положительным чис
лом Е И выберем номер п таким обраЗ0М, чтобы остаточный член
ряда r n (z) при всех z Е 1: у.n:овлетворял неравенству I r n (z) I <; .
Затем возьмем каКУIO либо точку z* Е 1;. И3 равенств
S (z*) === Sn (z*) + r n (z*),
S(Z) S(Z*)==Sn(Z) Sn(Z*) + r n (z) r n (z*)
находим
I S (Z) S (z*) , I Sn (Z) Sn (z*) 1+ I r n (z) , + , r n (Z*) 1.
Поскольку функция Sn (z) непрерывна, как сумма конеЧНОI'О ЧИС.'Iа
непрерывных функций, мы можем выбрать такую окрестность точки z*,
чтобы .n:ля всех z И3 пересечения множества 1: с этой окрестностыо
ВЫIIОЛНЯЛОСЬ неравенство I Sn (z) Sn (z*) i < . т or да .n:ля тех же z
выполняется неравенство
I s(z) s(z*) I < + + j ==E,
Н3 KOTOporO И сле.n:ует непрерывность функции S (z).
Равномерную СХОЩIМОСТЬ ря.n:а часто у.n:ается установить, ОnИРif\СЬ
на сле.n:уlOЩУIO теорему.
Пусть даны два ряда
Wl (z) + W2(Z) +wз(z) +. ..,
Рl + Р2 + Рз + . . .
30
КОМ.ПЛЕКСНЫЕ чиСЛА
[rл. I
Члены первО20 ряда ФУЮЩllll, определенные на множестве 1:,
а члены втОрО20 ряда постоянные пОЛОЖllтельные Чllсла. ЕСЛll
для всех z Е 1: справедливы неравенства
Iwn(z)I Pn (п===l, 2, 3, ...)
II еСЛll второЙ ряд сходится, то первыЙ ряд тоже сходllnZСЯ на
,множестве 1:, причем абсолютно II равномерно,
Абсолютная СХО'n:ИМОСТЬ первorо ряда сле.n:ует И3 неравенства .
i щ (z) \ + ! W2 (z) I + . . . + I w n (z) I Рl + . . . + Pn Рl + Р2 + Рз + ' . .
Чтобы .n:оказать равномерную схо.n:имость, заметим, что остаток пер
Boro ряда для всех z Е 1: у.n:овлетворяет неравенству
i U'n+l (z) + W n +2(z) +...\
I W n +l (z) I + I W n +2 (z) I + . . . Рl + Р2 +. . .
так что 011 не превосхо.n:ит остатка BToporo ря.n:а. Это .n:aeT возмож
ноСТЬ выбрать номер II не зависяШиМ от z.
Приведенная BbIllle теорема .n:ollycKaeT обобщение, которое СТОИТ
отметить. Рассмотрим 'n:Ba ряда
W 1 (z) + W 2 (z) +...,
Wl(Z) +W2(Z) +. ..,
(3)
(4)
члены которыХ функции, ОllредеJlенные на множестве 1;.
Если .n:ля всех z Е 1: справедливы неравенства
i Wn(Z) I I Wn(z) \
(1l=== 1, 2, ., .),
то ряд (3) называется мажоранnzой ряда (4) на множестве 1:. Ha
оборот, ря.n: (4) называется MllHopaHmoii ря.n:а (3).
Справе.D:JIИВОСТЬ сле'n:УlOщеl'О утверж.n:ения очевидна:
ЕСЛll ряд (4) является минорантой ряда (3) на множест8<е L
II еСЛll ряд llЗ модулеЙ членов ряда (3) равномерно сходllтся на
множестве 1:, то ряд (4) тоже абсолютно II равномерно cxo
диnzся на множестве 1:.
в случае, если члены ря.n:а (3), мажорИРУlOщеrо ря.n: (4), поло -
жительные постоянные, мы получаем И3 этой теоремы пре.n:ыдущуlO.
rлава вторая
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Бу.n:ем излаrать з.n:есь теорию аналитических функций, следуя
Вейерштрассу. Для этой цели нужно будет подробно познакомитьСЯ
со степенными ря.n:ами.
1. Область сходимости cTeneHHoro ряда
Ряд вида (z) === со + CIZ + C2Z2 +. .., rде со' Сl' С2' ... какие-
либо комплексные числа, называется степенньиn рядо-и.
Совокупность тех точек z, 'n:JIЯ которых ряд сходится, называется
областью CXOUll.AlOCmll степСННО20 ряда. Точка Z === О при любых
условиях лежит в области сходимости. Существуют степенные ря.n: ы .
которые сходятся только при z === О, так что их область схо.n:имости
состоит И3 одной этой точки. Примером TaKoro ряда может служить,
!как мы вскоре покажем, ря.n: 1 + Z + 2! Z2 + 3! Z3 + . ,. Если исклю
чить такую ВО3МОЖIЮСТЬ, то существует еще хотя бы o'n:Ha точка
z === Zo, в которой ря.n: (z) схо.n:ится. Но если ряд со + CI Z 0 +
+ C2ZZ + . .. сходится, ТО это 0значает в силу необходимоrо признака
сходимости, что Нт с Zn === О, Последовательность { С zn } (п === О, 1,
поп U
n OO
2. ,..) стремится к нулю и, следоватеJlЬНО, оrраничена, т. е, най.n:ется
<JИСЛО g> О, дЛЯ KOToporo справедливы неравеНС1"ва
I'cnz I <g (п=== О, 1, 2, ...).
Возьмем теперь Kpyr с центром в нуле и ра.n:иусом р, не содержа
щий точку zo' иными словами, р < I Zo i. ЕСJlИ Z ПРОИ3lJОЛЫlая точка
l!НУТри или на rранице этоrо Kpyra, то имеют место наравенства
I C zn l l c zn l . <g( ) n
n n О I Zo In I Zo I .
Эти неравенства означают, что ря.n: g+ gq + gq2 +... (для краткости
обозначено q === р/ I Zo 1) представляет собой мажоранту степенноrо
Ря.n:а со + CIZ + C2Z2 +. .. в рассматриваемом Kpyre I z I р, ПервыU
ряд сходится, поскольку он является rеометрической проrрессией со
знаменателем q < 1. Следовательно. мы nрИlllЛИ к утверждению:
32
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[rЛ.2
Т е о р е м а 1. ЕСЛ1l степенной ряд '.j..\ (z) сход1lтся np1l z === zo,
то он сход1lтся абсолютно и равномерно в любож КРУ2е с цент-
рож в нуле 1l рад1lУСОМ, меньшим чеж I Zo 1.
в частности, ряд (z) абсолютно сход1lтся для люб020 зна-
чения z ll3 КРУ2а I z I < I Zo 1.
Рассмотрим все круrи с центром в нуле, обладающие тем свой-
ством, что внутри них ряд (z) сходится. Пусть r точная верхняя
rpaHb радиусов этих KpyroB (бесконечное значение этой верхней
rрани не исключается), Ни в одной точке, лежащей вне Kpyra 1 z I
r, ряд l.J3 (z) не может сходиться. Действительно, если бы ряд схо-
.n:ился в точке z*, I z* 1> r, то он схо.n:ился бы по .n:оказанному BbIllle
и в Kpyre I z I < I z*:, а это противоречило бы определению числа r.
С друrой стороны, ясно, что в Kpyre I z 1< r ряд (z) сходится, так
как, соrласно опре.n:елению точной верхней rрани, существуют круrи,
сколь уrодно близкие к Kpyry I z I < r. в которых ря.n: ч5 (z) сходится.
Тем самым мы ПРИlllЛИ к утверждению:
ЕСЛ1l (z) степенной ряд, то существует КРУ2 К С центрож
в нуле, обладаЮЩllЙ теж свойствож, что Во всех точках, лежа-
щих BHymp1l КРУ2а К. ряд ч5 (z) сходится, а во всех точках, ле-
жащих вне КРУ2а К, ряд (z) расход1lтся. (Вопрос о сходимости
или расходимости ряда (z) на окружности Kpyra К остается от-
крытым,)
Этот Kpyr К называется КРУ20Ж сходllмостll ряда (z), а ero
радиус r радиусож сход1lмости этоrо ря.n:а,
В исключенном случае, коrда ряд Щ (z) сходится только в одной
точке z === О, естественно rоворИ1Ъ, что ра.n:иус сходимости ря.n:а равен
нулю, а Kpyr сходимости вырождается в точку.
Если радиус сходимости равен бесконечности, то Kpyr сходи-
мости вся конечная плоскость, т. е. ряд (z) сходится .n:ля всех
конечных значений z.
Итак, область сходимости степенноrо ряда SE (z) состоит, очевидно,
И3 Kpyra I z I < r и, возможно, еще И3 HeKoToporo множества точек
окружности этоrо Kpyra,
В силу доказанной BbIllle равномерной сходимости степенноrо
ряда ero сумма будет непрерывной функцией внутри Kpyra сходи-
мости.
2. Формулы для радиуса сходимости
Соrласно }{ОIllИ радиус сходимости степенноrо ряда
(z)===co + CIZ +C2Z2 +". (1)
МОЖllО определить по ero коэффициентам сдедующим обраЗ0М.
Образуем последоватедьность
I сl 1, J/ I С21 , ,. . _ (2)
IIсе члены которой действительные неотрицатеJlьные числа.
Р]
ФоРм:Улы для РАДИУСА СХОДИМОСТИ
33
Обозначим через 1 наиБоJIыllюю И3 предельных точек последова
': п-:::i ]
тельнОСТИ (2); инаt.е rоворя, l=== 11т V icn!. Тоrда r===z' rде r
n CfJ
ра.n:иус схо.n:имости степеННоrо ряда (1).
Для .n:оказатеJlьства возьмем произвольное фиксированное значение z.
!!r ]
Тоrда liт v I cnz n !===l[z!. Если IZ!>y, т. e.l!zl>l, то для бесконечноrо
n CfJ
множества номеровп имеют место неравенства 11 1 CnZ n ! >1, т. е. icnznl>l.
Это 0значает, что при выбранном значении z ря.n: (1) расхо.n:ится, так
как Нт CnZ n не равен нулю.
n CfJ
Если же I z i < 1/ l, т. е. II z I < 1, то, начиная с HeKoToporo 1l
выполняются неравенства -V I CnZ n I < qn, rде q некоторое число,.
заключенное между II z I и 1 (не зависящее от п). Поэтому можно
по.n:обрать такую постоянную С, чтобы ря.n: С + Cq + Cq2 + . .. был
мажорантой для ряда (1). Отсюда и сле.n:ует схо.n:имость этоrо ря.n:а.
Случай l === О (отвечающий r === 00) может встретиться Tor.n:a и
только то r.n:a , коrда последоватеJIЬНОСТЬ (2) имеет нудь единственной
пре.n:елыlOЙ точкой, т. е. Kor.n:a Нт Jl I сп 1 ===0. Следовате.'lbНО:
n CfJ
Степенной ряд со + CIZ + C2Z2 +. .. сходllтся во всей конечной
плоскостll т02да и только т02да, К02да liт Y' I сП I === О.
n CfJ
в качестве ИJIлюстрации. к предыдущим теоремам рассмотрим
несколько примеров.
Ддя степенноrо ря.n:а 1 + z + Z2 + z + Z16 +. .. величины Jl i сп I
равны 1 или О в зависимости от Toro, будет ли номер п квадратом
целоrо числа. Посдедовательность (2) имеет 'n:Be предельные точки О
и 1, так что l=== 1 и r=== 1.
z z" I
Для ряда 1 + 1т + 2f + . .. имеем сп === п! ' Чтобы найти предел
Нт у l сп i , наПИlllем
n CfJ
(1l!)2 === [1 , п]. [2 (п 1)]. [3 (п 2)] . .. [п. 1].
Сре.n:и п сомножитедей в правой части равенства нет ни одноrо, MeHb
шеrо че}l п, так как
а. (п а + 1) п === (а l)(п а):;:: О
при а === 1, 2, ..., п. Следовательно,
(п!)2 > n n , 1l! > (VпY, -Vnf > Vn,
2 А. fуРВНЦ, Р, КураllТ
34
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[rл,2
п 1 1 n { Т
и потому ' r . Значит, Вт 1/1 Сп 1== Вт l' == О,
n. J' n n OO n......"..оо n
сматриваемый ря.n: схо.n:ится во всей комплексной плоскости.
и pac
Для ряда 1 + 1! z + 2! Z2 +... имеем Нт -J!ТCJ== Нт V 1 l! ==00.
n""""""""'оо n.....,.ОО
1
Следовательно, 1 == 00 и r == == о. Ряд сходится только в точке
1
z==o.
в заключение отметим еще одно часто используемое У'r ерждение:
Если степенные ряды '
(z)== со+ CIZ + C2 Z2 +...,
11 (z) == C + C;Z + C Z2 +. ..,
таковЫ, что, начиная С некотОрО20 номера, zunеют место Hepa
венства \ сп I i c \, то радиус cxoiJzunocmu первою ряда не меньше
радиуса сходzunости второю ряда.
Действительно, в каждоЙ точке внутри Kpyra сходимости ряда
s.j. 1 (z) этот ряд аБСОJlЮТНО сходится, а в силу неравенств абсолютная
сходимость ряда '13 (z) вытекает И3 абсолютноЙ схо.n:имости ряда 1 (z).
3. Действия со степенными рядами
Если у нас есть несколько степенных рядов s.j. 1 (z), 12 (z), . .., I.Вk (z),
то общиж КрУ20.м. сходимости этих рядов мы наЗ0вем наименыllйй
среди их KpyroB сходимости, В точках, лежащих внутри общеrо Kpyra
сходимости, все ряды сходятся, а Б точках, дежащих вне общеrо Kpyra
схо.n:имости, хотя бы один ря.n: расхо.n: ится .
Формадьным сложением двух степенных рядов
1 (z) == c 1! + C l)Z + C 1JZ2 +...,
2 (z) == c 2) + C 2)Z + C 2)Z2 +, ..,
получаем ряд
1 (z) + 2(Z)==(C 1) + c 2» +(c O + C 2»Z +(c O +c 2» z2+... (1)
Этот ряд сходится для всех тех z, для которых сходятся {,
ряд I (z) и ряд SP2(Z). Сказанное справедливо и .n:ля разности
1 (z) 2 (z) == (c O c 2» + (c O c 2» Z +... (2)
Теперь построим формальное произведение степенных рядов 1 (z)
И 'iI(z):
% (z). i.j3'i1 (z) == C lJC 21 + Иl'с 21 + c lIc 2» Z +...
(3)
!i 3]
ДЕйСТВИЯ со СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ
35
Соrласно теореме, доказанной в 5 rл. 1, этот ряд абсолютно
сходllтся там, 2де абсолютно сходятся ряды Il (z) 11 1{'2 (z), II
ею сужжа равна nРОllзведению сумм рядов 1 (z) и 2 (z).
На основании высказанных соображений приходим к следующему
утверждению:
т е о р е:\1 а 1, Пусть Q(i3 1 (z), ..., k (z» .uноючлен от рядов
1 (z),. . " k (z), т, е, выражеНllе, полученное в результате one
раций сложения и умножения этих рядов дРУ2 на дРУ2а и на nрОllЗ
вольные постоянные. Этот ЯНО20член тоже представляет собой
степенной ряд, котОРh'Й заведомо сходllтся в обще.u КРУ2е сходи-
-иоспlll степенных рядов \.1.51 (z), ,.., k (z), Значение CYM.llbt ряда
(z) == Q ( I (z), ..., k (z»
получается 1I0дстановкой в МНО20член Q значений сужм рядов
1 (z), ..., k (z) для каждою значеНllЯ z llЗ общею КРУ2а сходll
MOC11l11 этllХ рядов.
Перейдем теперь к вопросу о .n:елении степенных рядов. Сначада
рассмотрим ОТНОlllение вида
1 CIZ C2Z' ''''
с.n:елав естественное пре.n:положение, что ря.n:, стоящий в знаменателе,
имеет отличный от нуля ра.n:иус сходимости. Тоrда наибольшая пре
дельная точка после'n:Оl3ательности I Сll, yrc;т, У I сз i, ... конечна,
а потому и сама последоватедьность оrраничена. Значит, существует
такое число g, что для всех 11 == 1, 2, ... имеют место неравенства
I сп I g". (4)
Определим формальный степенной ряд
о (z)== 1 +klZ+k2Z2+... (5)
так, чтобы он удовлетворял формальному равенству
(1 CIZ C2Z2 .. .)(1 +k 1 z + k 2 z 2 +.. ,)== 1. (6)
Расписав это формальное произведение по формуле (3), получим
1 +(k 1 Cl)Z +(k 2 Clkl c z2+...== 1.
Видно, что Hallle формалыюе равенство будет выполнено, если коэф
фициенты k., k 2 , k з , ... удовлетворяют соотношениям
k 1 == сl' k 2 == Cl k l + С2' ...
И3 этих СООТНОlllений последовательно получаем неравенства
I k 1 1 == I сl I g,
I k 2 ! == I C l k l +С21 I Сlll k 1 1 + I С21 g2+g2==2lf'.
2.
36
СТЕПЕННЫЕ РЯ'n:Ы
(rл.2
Действительно, предполоЖИМ, что это неравенство справедливо для
всех номеров, не преВЫlllающих т, и прове.n:ем индукцию. Имеем
I k m + 1 1 === \ Clkm + c2km 1 +... + С т +l \ gl k m 1+ g21 km ll+" .+gn+1.
Используя индуктивное предположение, находим
I k m + 1 1 2т 1. gn. g+ 2m 2gn Ig2 +. ,. + gn-H ===
=== gn+l (2т 1 + 2т-2 + . . . + 2т m + 1) === 2т gn+1.
Т3J<им обраЗ0М, И3 справедливости неравенств (7) для всех п т
следует ero справе.n:ливоС1Ъ и для п === т + 1. Поскольку .n:ля п === 1
оно справедливо, оно справе.n: ливО и 'n:JlЯ всех п.
Неравенство (7) показывает, что степенноЙ ряд (5) является МИIlО
рантоЙ ря.n:а 1 + gz + 2g2z2 + 22g1z3 +. ., После.n:ний ряд аБСОJlЮТНО
1
сходится при I z \ < 2g' так что и ряд (5) обязан абсолютнО сходиться
при этом условии. Но ряд 1 CIZ C2Z2 . ., тоже абсолютно cxo
1
дится В этом Kpyre, так как ero радиуС сходимости r === 1 не Mellbllle
1 1
(в силу условия g l), а это заве.n:омо Болыll,' чем 2 ' поэтому
g g
все про.n:еланные нами формальные .n:ействия ПОJШОСТЬЮ закоННЫ, еСJlИ
1 1
I z \ < 2g ' Иными словами, равенство (6) справедливо при I z 1< 2g "
1
Это 0значает, в частноСТИ, что 1 CIZ C2 Z2 . .. '* о при I z 1< 2g
I k n I 2 H r!'.
(7)
и вообше
и что
1
Прll \ z i < 2g справедЛllВО равенство
1 Clz lC2z2 .., ===1 +klZ+k2Z2+...
Пусть теперь 'l (z) === ао + alz + a2 z2 +" ., llекоторЫЙ степенной
РЯД, у KOTOPorO коэффициент ао ОТJlичен от нуля, и который имеет
вену левой радиуС сходимосТИ. Tor да моЖНО положитЬ (z) ===
=== ао (1 CIZ C2Z2 .. ,), r.n:e
О]
Сl === ,
00
02
C2 ,...
00
По доказанномУ BbIllle
=== . 1 2 + kl Z+ k2 Z2+...
(z) 00 1 CIZ C2Z .., 00 00 00
1
при \ z \ < 2g ' rде g надлежащим обраЗ0М выбранное положитепь-
ное число, а именно, верхнЯЯ rpaHb последовательноСТи чисел
\ : \' Y \ : \,
vf :: \' ...
4]
ТЕОРЕМ.А Е'n:ИНСТВЕННОСТИ
37
Итак, если (z) степенной ряд С отличным от нуля радиу-
сом сходимости и если е20 сужма не обращается в нуль при z == О,
то существует степенной ряд Q (z) (тоже имеющий отличный от
нудя радиус схо.n:имости), связанный С рядом (z) соотношениеж,
]
Q (z) == V (z) (в некотором Kpyre с центром в нуле).
Отсюда с помощью теоремы 1 мы сразу же выводим утверждение:
Т е о р е м а 2. Рациональная функция от степенных рядов
1 (z). ,.., Ik (z) представляется степенным рядом С отличным
от нуля радиусом сходимости, если все ряды 1 (z), .... k (z)
llжеют отличные от нуля радиусы сходимости, и если знамена
тель рациональной фУНКЦZlll не обращается в нуль при z == О.
4. Теорема единственности
Теорема единственности степенных рядов основана на следующем
их свойстве:
Т е о р е м а 1. Пусть SJ3 (z) степенной ряд С ненулевым paдиy
сом сходzunости, у которою хотя бы один КОЭффZLЦиент отлzz
чен от нуля. ТО2да существует такая 'В-окрестность точки
z == О, внутри которой функция Hz) ни2де не обращается в нуль,
за исключенzzем, быть может, сажой точки z == О.
Действительно, обозначим через k номер первorо отличноrо от
нуля коэффициента ck ряда (z). Тоrда
(z)== Zk (Ck + Ck+1Z +.. ,)== Zk 1 (z),
r.n:e ряд 1 (z) имеет тот же Kpyr сходимости, что и ряд (z).
Так как сумма степенноrо ряда непрерывная функция внутри Kpyra
схо.n:имости, а 1 (О) == Ck :j::. О. существует такая 'В OKpeCTHOC1Ъ точки
z == О, в которой сумма ряда 1 (z) не обращается в нуль. В этой
окрестности в силу равенства (z) == Zk 1 (z) сумма ряда (z) может
обращаться в нуль только при z == О, да и то ЛИlllЬ ТО1'да, коrда k> О.
НаЗ0вем точки, в которых сумма ря.n:а (z) обращается в нуль,
нулями функции (z).
С применением этоrо термина доказанная BbIllle теорема может
БЫ1Ъ сформулирована следующим обраЗ0М:
Т е о р е м а 1 *. Пусть B (z) степенной ряд С ненулевым радиу-
сом сходимости, у которою хотя бы один КОЭффZLЦиент отли-
Чен от нуля. ТО2да множество нулей функции (z) не может
иМеть точку z == О своей предельной точкой.
Если мы имеем 'n:Ba степенных ря.n:а, суммы которых совпадают
На некотором множестве, имеющем предельной точкой точку z == О,
то их разность .n:оджна быть тождественным нулем, т. е. коэффициенты
этих рядов должны совпадать. Следовательно:
38
СТЕПЕнНЫЕ РЯДЫ
lr. , z
т е о р е м а 2. Из равенства
со + CI Z + C2Z2 +.. .==c + c z + C2 z2 +...
вытекает, что
co==c , Cl==C ' C\I==C2, ...,
еСЛll только ряды в обеих сторонах равенства llмеют отличные
от нуля радllУСЫ сходимости, а равенство имеет место для
бесконечноZО .иножества значений z, и.иеЮЩе20 точКУ z == О своей
предельной точкОй.
Полученные BbIllle результаты непосре.n:ственно переносятся на
степенные рядЫ ви.n:а
(z; a)==co+cl(z a)+c2(z a)2+... (1)
В самом деле, сделаем замену z а == r.. Tor да ряд (z; а) == СО+
+ c 1 r. + C 2 r. 2 +, .' станет рядОМ по степеням переменной r., т. е. при
мет вид, изученныЙ BbIllle. Если r ра.n:иУС схо.n:имости этоrо ря.n:а,
то ряд (1) будет сходиться или расходитьСя в завиСИМОСТИ от Toro,
будет ли \ r. \ == I z а I MeHbllle или болыlle r. Множество точек, для
котОРЫХ выполняетсЯ нераненство I z а I < r образует внутренность
Kpyra с центрОМ в точке а и радиуСОМ r. Сле.n:оватедыlO:
т е о р е м а 1. Наждому степеннОМУ ряду (z; а) отвечает
KpyZ с центро.и в точке а, внутри KomoPOZO этот ряд сходится,
а вне расходится. Этот KpyZ называется ICpYZOM сходll.иости,
а е20 радllУС радиусом cxoiJU.UOCmll ряда (z; а).
5. Обобщение полученных результатов
Есди мы возьмем какой либо Kpyr с центроМ в точке а и с радиу
сом, меныllмM радиуса сходимости, то в такоМ Kpyre ряд (z; а) cxo
дится абсолюТНО и равномерно.
т е о р е М а 2. Сум.иа степеннОЮ ряда (z; а) BHympll Kpyza
сходимости является непрерывной функцией z.
И3 результатов 3 выводим:
т е о р е М а 3. РаЦllOнальная функция от степенныХ рядов
1 (z; а), ..., k(Z; а) тоже .иожет быть пред ставлена в виде
cmeпeHHOZO ряда (z; а) с ненулевы.и радиусо.и сходll.иостl', еСЛll
все ряды 1 (z; а), ..., k (z; а) l'.иеют ненулевой радиус cxoдиMO
сти и если зна.иенатель раЦlLOнальной ФУНКЦllll не обращается
в нуль при z == а.
Все сказанное для степенныХ рядоВ вида (z; а) сохраняет силу
и для рядов вида
(z; oo)==Co+ + C; +...
z z
(2)
6]
nЕРЕРА3ЛОЖЕНИЕ СТЕПЕнноrо РЯДА
39
Эти ря.n: ы сходятся или расходятся в зависимости от Toro, будет ли
I I<r или I I>r (иначе, будет ли Izl> или [Zi< ),rдеr
радиуС сходимости ряда со + cl + C2 2 + . " Таким обраЗ0М, разница
в утверждениях для ряда вида (2) состоит в ТОМ, ЧТО он схо.n:ится вне
HeKoToporo Kpyra с центром в нуле, а расходится внутри Hero.
Точку ею можно лишить ее исключительноrо положения, если pac
сматривать комплексные числа не на плоскости, а на сфере Римана.
Именно:
Любожу степенножу ряду (z; а) отвечает на сфере Р,l.lf,щна
некоторая окружность, разбивающая сферу на две части. В каж
дой внутренней точке той частll сферы, 2де лежит точка а,
ряд (z; а) сходится, а' в каждой внутренней точке друюй
части сферы расходится.
Основная теорема предыдущеrо параrрафа тоже переносится на
ря.n:ы вида (z; а) с конечным или бесконечным а, Она имеет ви.n::
Т е о р е м а 4. ЕСЛll ряд (z; а) ижеет ненулевой радиус cxoди
Ж.ости и если не все ею коэффиЦllенты нули, то существует
такая окрестность тОЧКll а, что во всех точках этой окрест-
ности, за llсключениеж, может быть, самой тОЧКll а сужжа ряда
(z; а) не обращается в нуль.
И3 этой теоремы тем же способом выводится и после.n:ний результат:
Т е о р е м а 5. Из равенства
со+ сl (z а) + C2(Z а)2 +.. .==c + с; (z а) + c (z а)2 +...
IJbtmeKaem, что
со == c ,
сl == с;.
С2 == c ,
если только ряды в обеих частях равенства ижеют отличные от
нуля радиусы сходllжостll, а равенство ижеет жесто для беско
неЧН020 жножества значений z, ижеюще20 точку а своей предель-
ной точкой.
6. Переразложепие степенноrо ряда
Рассмотрим степенной ряд (z; а) == со + Сl (z а) +
+ С2 (z а)2 +. ." радиус сходимости KOToporo отличен от нудя. Пусть
Ь некоторая точка. расположенная внутри Kpyra схо.n:имости этоrо
РЯ.n:а. Положим z а==(Ь а) +(z Ь)==8 + . обозначив .n:ля
краткости Ь а и z Ь через 8 и соответственно. По.n:ставив это
ВЫражение ДЛЯ z а в Halll степенной ряд, получим
(z; а)==со+ сl (8 +1:) + С2(8 +1:)2 +...==
== со + (С1 8 + cl ) + (С2 82 + 2С281: + С21: 2 ) +. .. (1)
40
СТЕЛЕННЫЕ РЯДЫ
[rл, z
Теперь за.n:адимСЯ вопросом, можно ли правую часть полученной фор :
мулы записать в ви.n:е степенноrо ряда по степеням 1: (так. чтобы по ;
лученный степенноЙ ряд сходился)?
На поставденный вопрос можно ответить утвердитедьно (с помо
шью теоремы о двойных рядах). если сходится следуюшИЙ ряд:
I СО \ + I cl \ + \ Сl1:\ + I c I + I 2c 1: I + \ С21: 2 I +. . .
(2)
Но при выяснении вопроса о сходимости ряда с неотриuательными
членами, эти члены можно rруппировать ПРОИ3ВОЛЬНЫМ обраЗ0М. по
этому ряд (2) сходится, если сходится ряд
I со I + \ сl I ( \ \ + \ 1: \ ) + \ c 1(1 I + I 1: I } + 1 С3 I ( \ \ + 11: \)3 +. .' (3)
Члены после.n:неrо ряда совпадают с модулями членов исходно\ о сте-
пенноrо ряда (z; а). если заменить z а на I I + 11: 1. Сле.n:ова
тельно. ряд (3) сходится при выполнении условия I 1 + 11:1 < r, т. е.
при \ z Ь I < r \ Ь а 1. Это условие выполняется для точек z,
образуюших Kpyr с центром в точке Ь, касаю-
шиЙСЯ И3НУТРИ Kpyra сходимости исхо.n:ноrо
степенноrо ряда \l3 (z; а) (рис. 9).
Итак, еСЛ!l точка z лежит внутри YKa
занноЮ КРУ2а, то ряд в правой части pa
венства (1) .мОЖНО расположить по стеnе-
няж 1:. и полученный ряд будет сходllться.
Будем ПОЛЬЗ0ваться следуюшей термиНО
лоrией.
Если в степенном ряде 't (z; а) с.n:елать
замену z а == Ь а + z Ь, затем разложить
каждЫЙ член ряда по степеням z Ь и, наконеи, располОЖИТЬ весь
ряд по степеням z Ь, то получим некоторыЙ новыЙ ряд \ 1 (z; Ь).
ЭТОТ новый ряд будем называть nереразложеН1lеж ряда Щ (z; а)
в точке Ь.
приведен ные BbIllle рассуждения .n:али нам следуюШИЙ результат:
Т е о р е м а 1. Переразложение (z; Ь) ряда ч5 (z; а) заведожо
сходится внутри КрУ2а С центрож в точке Ь. касающаося из
Hympll крУ2а сходижости ряда \l3 (z; а). Внутри указанною крУ2а
вьтолня ется равенство (z; а) == (z; Ь).
Рис. 9,
соответствуюший результат имеет место и для рядов \l3 (z; 00).
Пусть ряд
(z; 00)== Co+ + С 22 +...
z z
сходится вне Kpyra I z I r. и пусть Ь некоторая точка. располо
женна я вне этоrо Kpyra. Положим z == Ь (Ь z) == Ь С. r де через
п
nРОИ3ВОДНЫЕ СТЕПЕнноrо РЯДА
41
:: для краткости обозначена pa31lOcTb Ь z. Tor.n:a имеем
$(z; ОО)===Со+ ь С ] , + (ь С" ,)"+...
Если I I < I ь 1, мы можем написать разложение (rеометрическая
rрес сия )
"po
] 1 , '"
b ' ===b+ ь" + ь" +''''
а И3 Hero с помощью теорем 3 получить разложения
1 1 2' 3'"
(ь С)" ь" + ь" + b4 + .. . ,
1 1 3' 6'"
(ь ')3 ь з + ь' + l)t. + .. . ,
Поэтому имеет место равенство
(z; OO)===CO+C.( + :" +...)+c ( " + +...)+... (4)
Этот ря.n: можно расположить по степеням , если схо.n:ится ряд
I Со 1+ I с.1 C I + iii. +.,.) + I C I с; 1" + ;"' +...) +...,
т. е. сходится ря.n:
1 1
I Со I + I c.l. 1 ь 1 I '1 + I c I (Ib I I '1)" +...
Схо.n:имость после.n:неrо ря.n:а обеспечена, если выполняется условие
! Ь I I 1> r, т. е. если I Ь z I < I Ь I r; иными словами, если z
лежит внутри Kpyra С центром в точке Ь, касающемся извне окруж-
ности ; z I === r rраницы области схо.n:имости исхо.n:ноrо ря.n:а. Внутри
указанноrо Kpyra имеет место равенство (z; 00) === . (z; Ь). З.n:есь
. (z; Ь) степенной ря.n:, получающийся И3 ря.n:а в правой части ра-
венства (4) расположением ее по степеням === Ь z. Этот степенной
ря.n: наЗ0вем переразложеНllе.м ряда (z; 00) в точке Ь.
7. Производные CTeneHHoro ряда
Рассмотрим коэффициент при === z Ь в ря.n:е . (z; Ь), пред-
ставляющем собой переразложение степенноrо ря.n:а
(z; а)===с о +с. (Ь а + )+ c (b а + }2 +... (l
в ТОчке Ь. HeTpY'n:Ho ви.n:еть, что этот коэффициент равен с. +
+ 2С2 (Ь а) + 3сз (Ь а)2 +. .. Мы знаем, что этот ряд схо.n:ится,
если точка Ь лежит в Kpyre схо.n:имости ря.n:а J (z; а). Иными словами:
Ряд
Сl + 2C2(Z а)+ 3сз(z а)2+...
(2)
42
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
[rл. z
имеет радиус cxoaUMOCfnll ,', не меньший, чем , paдиyc cxoди
мости ряда (z; а), т. е. имеет место неравенство " ,.
С .n:руrой стороны, сравниМ ра.n:иусы схо.n:имОСТИ этих двух РЯ'n:ОВt
записав их сле.n:ующИМ 06раЗ0М:
Co+Cl(Z a)+c\!(z а)\!+. ..,
[Cl(Z a)+2C2(Z a)2+.. ,].
z a
Из неравенств I сп \ п \ сп \, п== 1, 2, ..., сле.n:ует, что радиус cxo
димости перВО20 ряда не меньше радиуса сходимости втОРО2О
ряда, т. е. имеет место нерапенство " ,. Поэтому " == ,.
Ря.n: (2) обозначим $' (z; а) и 6y.n:eM называть производной ряда
(z; а).
Прове.n:енные выше рассуж.n:ения привели к теореме:
т е о р е м а 1. Производная
' (z; а) == сl + 2С2 (z а) + 3сз (z а)2 +. . .
ряда
(z; а)== СО+ Cl (z а) + c\!(z а)2 +...
и сам этот ряд имеют один и тот же paallYc сходимости.
Степенные ря.n: ы
(z; а),
' (z; а),
s.tl" (z; а),
'" (z; а),...,
каж.n:ыЙ И3 которых являетсЯ nРОИ3ВО'n:НОЙ от nре.n:ы.n:ущеrо, соrласно
доказанноЙ теореме, имеют тот же Kpyr сходимости.
Ря.n: $(n) (z; а) 6y.n: eM называть п oй llроизводной ряда (z; а), При
этом иноrда 6y.n:eM rовоРИТЬ и о произво.n: ной нулепоrо поря.n: ка , по
нимая под $(0) (z; а) сам исходнЫЙ ря.n: (z; а).
Если располОЖИТЬ ря.n: в правоЙ части равенства р) по степеням
t: == z Ь, то получится, как HeTpY'n: HO у6е.n: итЬСЯ , сле.n:ующее пре.n:став
ление .n:ля переразложения s.t 1 (z; Ь) степенноrо ря.n: а (z; а) в точке Ь:
z b
(z; b)==s.t 1 1(Z; b)== (b; а)+ l\ '(b; а)+
+ (z 2 Ь)2 "(b; а) +. .. (3)
I
Это разложение, как мы З1lаем, заве.n:омо имеет место в Kpyre с
центрОМ в точке Ь, касающемся изнутрИ окружности Kpyra схо.n:имо
сти ря.n:а s.t1 (z; а).
Положив z == Ь + h, r.n:e величина I h I .n:остаточНО мала, получим
И3 равенства (3) формулу
\13 (Ь + h; а) \13 (Ь; а) Ш' ( Ь: ) + Ш" (Ь . ) +
h "., ,а 211-' ,а ...
8)
НЕПОСРЕ.n:ствЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕнноrо РЯДА
43
Поскольку степенной ряд в правой части после.n:неrо равенства He
прерывная функция переменной h, мы видим, что
Нт lJ3(b+h;a) IJ3(b; а) щ, ( ь, )
h O Ii 1- ,а,
Таким обраЗ0М, степенной ряд (z; а) определяет BHympzZ ею
.1СрУ2а CXOallMOCIllZZ дифференцируемую фуюсцию в том смысле, что
пре.n:ел ОТНОlllения приращения этой ФУНКЦИИ к приращению перемен
нОЙ существует. Этот пре.n:ел равен произво.n:ной ' (z; а) ряда (z; а),
.определенной нами paHbllle чисто формально.
Понятие произво.n:ной, ка!( пре.n:ела ОТНОlllения приращений можно
.опрe.n:елить не только .n:ля степенных рядов, но и .n:ля произвольных
-ФУНКЦИЙ [(z) комплексноrо переменноrо z, за.n:анных в некоторой об
ласти 1;.
Пусть z некоторая фиксированная точка области 1;. Рассмотрим
-отношение
f(z,) f(z)
Zl Z
'r.n:e ZI некоторая точка области 1;, отличная от точки z. Если су-
ществует конечный пре.n:ел
Нт f(z]) f(z) /',
Zl"""""'Z z. z
-то назовем ФУНКЦИЮ /(z) дZlфференцируемой в точке z, а число f'
наЗ0вем производной ФУНКЦИИ /(z) в этой точке, Производная /',
если она существует в каждой точке области 1;, снова будет функ-
цией от z, опре.n:еленной в той же области, что и / (z). Произво.n:ную
,функции /' (z), если она существует, мы обозначим /" (z) и т. .n:.
В / ' ( ) / " ( ) б df d 2 f
место z , z,. .. мы удем писать также dz ' dz 2 ""
Ясно, что произво.n:ная ' (z; а) ря.n:а (z; а) снова .n:ифференци
руема и ее произво.n:ная (в смысле пре.n:ела приращений) равна "(z; а)
и т. д. Сле.n:оватеJIЬНО:
Т е о р е м а 2. Степенной ряд \jJ (z; а) определяет внутри ею
ЛРУ2а сходимости функцию, и.меющую проzzзводНblе всех порядков.
8. Непосредетвенное продолжение CTeneHHoro ряда
Пусть мы имеем 'n:Ba степенных ря.n:а J (z; а) и 1 (z; ад с пересе
-кающимися круrами схо.n:имости. Обозначим через S общую часть их
'KpyrOB схо.n:имости, а через Ь некоторую точку S (рис. 10).
Если равенство (z; а) == (z; ад справедливо для бесконечною
..множества точек области S, имеюще20 точку Ь предельной
то!J.КОЙ, то это равенство zZMeem место и для любой точки с
.областll S.
Действительно, И3 nре.n:положения сле.n:ует в силу теоремЫ един
ственностИ (см. теорему 2 4), что переразложения ря.n: ов (z; а) и
I (z;al) в точке Ь тож.n:ественны, так как эти переразложения сте-
пенные ряды по степеням z Ь, совпа.n:ающие на бесконечном MHO
жестве точек, имеющем точку Ь предельной точкой, В точках прямо-
линейноrо отрезка Ьс, лежащих внутри Kpyra
схо.n:имОСТИ общеrо переразложения рядов
(z; а) и \-l31 (z; аl)' эти после.n:ние ря.n: ы имеют
равные значения (совпа.n:ающие со значением их
общеrо переразложения). Поэтому на отрезке Ьс
заве.n:о МО есть такие точки р, что равенство
(z; а) === \t (z; аl) имеет местО на всем отрезке
Ьр. Обозначим через q ту точку отрезка Ьс, .n:J1Я
которой .n:остиrается верхняя rpaHb .n:лин отрез-
ков Ьр, обладающИХ этим свойством (рис. 11).
Мы утверж.n:аем, что точка q обязана совпадать
с точкой с. Действительно, к точке q можно
применить те же рассуж.n:ения, что и BbIllle, по-
скольку она обладает теми же свойствами, чтО
и точка Ь. С ПОМОЩЬЮ этих рассуж.n:ений получим, что в .n:остаточно
малоМ Kpyre с центром в точке q имеет место равенство (z; а) ===
1.l 1 l (z; щ) (в качестве множества с пре.n:ельной точкой q, на котором
выполняется это равенство, следует взять отреЗ0К bq). ЭТО про'шво-
речило бы нашему выбору точКИ q. Полученное противоречие пока-
зывает, что точка q совпа.n:ает с точкой с. При меняЯ еще раз те же
рассуж.n:ения, ви.n:им, что равенство
't (z; а) === \-l31 (z; al) имеет место в не-
котором Kpyre с центром в точке с.
Требуемое утверж.n:ение .n:оказано,
44
Рис, 10,
СТЕЛЕННЫЕ РЯДЫ
[rл,2
I
Ь
си
с
р
Рис, 11,
Если круrи схо.n:имоСТИ двух сте-
пенных ря.n:ов пересекаются и если
в общей частИ KpyroB сходимости суммы ЭТИХ рядов совпа.n:ают, то
каждыЙ И3 этих ря.n:о в называется непосредственны.м продолже-
HlleM .n:pyroro-
Соrласно .n:оказанному в 6 переразложеНllе степеНН020 ряда
вспда представляет собой непосредственное продолж еНllе amozo
ряда. Докажем утверж.n:ение, в некоторОЙ степени обратное:
т е о р е м а 1. Любое непосредственное продолжеЮlе даННО20
степеНН020 ряда .можно пОЛУЧllть, пpllMeHllB несколЬКо раз процесс
переразложеНllЯ.
Пусть по-прежнему ряд 11 (z; al) является Henocpe'n:CTBeHHbIM про-
.n:олжением ря.n: а (z; а), а S общая часть KpyroB схо.n:имости этих
ря.n: ов , Если а2 произвольная точка области S, то переразложение
ряда 1 (z; щ) В точке а2 тождественно совпадает с переразложением
8]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИEl СТЕПЕнноrо РЯДА
45
2 (z; а2) ря.n: а \ (z; а) в той же точке а2' Покажем, сейчас, что ис
хо.n:ный ря.n: Bcer.n:a можно получить обратно И3 любоrо ero перераз
ложения, применив несколько раз тот же процесс переразложения.
Те)1 самым бу.n:ет показано, что ряд l (z; al) получается И3 ря.n:а
12 (z; а2)' а значит и И3 ря.n:а $ (z; а), МНOfократным применением
процесса переразложения.
Пусть Kl Kpyr сходимости ря.n:а 1 (z; аl)' а К 2 Kpyr с центр 0)1
n точке а2' касающийся изнутри окружности Kpyra К 1 . Чере3'2 обоз
начим радиус Kpyra К 2 (рис. 12). Если точка аl лежит внутри Kpyra
К 2 . то переразложение ряда 2 (z; а 2 ) в точке аl тож.n:ественно COB
па.n:ает с ря.n:ом 1 (z; а 1 ), и требуе
мый перехо.n: cOBepllleH. Если же
точка аl не лежит внутри Kpyra К 2 ,
то обозначим через аз точку, ле
жащую на отрезке а2 аl на pac
1
стоянии 2'2 ОТ точки а2' Kpyr с
центром в точке а2' касающийся
окружности Kpyra Кl' обозначим
через К з , а ero ра.n:иус через 'з
3
(леrко видеть, что 'з== 2 (2).
Переразложение ряда 2 (z; а2) в
точке аз тож.n:ественно совпа.n:ает
с переразложением ря.n:а 1 (z; ад
Б этой точке. Если точка а 1 лежит
в Kpyre К з , требуемый перехо.n: cOBepllleH, Если же точка аl не лежит
в Kpyre аз, то обозначим через ai точку, лежащую на отрезке азаl
1
на расстоянии 2 'з от точки аз. Через K i обозначим Kpyr, касаю
щийся изнутри окружности Kpyra KI' а через 'i ero ра.n:иус (леrко
3 ( 3\2
ви.n:еть, что , i == 2 '3== 2) , 2)' Если точка аl лежит в Kpyre K i ,
то требуемый переход cOBepllleH, если нет повторяем аналоrичное
построение точки а 5 , Kpyra К5 и т. .n:. Этот процесс оборвется через
конечное число lllaroB. llействительно. процесс закончится построе
нием Kpyra Кт' если 2, т> '1, так как при выполнении этоrо усло
вия точка al лежит в Kpyre Кт' Но по построению 'т == ( ) т 2 '2'
так что условие на число lllaroB т, необходимых .n:ля окончания про
цесса, принимает ви.n::
Число т это наименьшее целое число (Болыllеe 1), которое
Удовлетворяет неравенству
Рис, 12.
'3 ) т 2
212 '2>'1'
46
СТЕПЕнНЫЕ РЯДЫ
[rл. 2
Это число заведомо конечно, и, таким обраЗ0М, наше утверж.n:ение
полностью .n:оказано.
в .n:альнейшем бу.n:ем .n:ля ря.n:ов, полученных .n:pyr И3 .n:pyra непо
cpe.n:cTBeHHbIM продолжением, употреблять o'n:HY и ту же букву, т. е.
если (z; а) исхо.n:ный ряд по степеням z а, то ряд по степеням
z Ь, являющийся ero непосредственным про.n:олжением, мы будем
обозначать через (z; Ь).
9. Ряды лорана
Если ао, а :!:I' а :!:2" .. комплексные числа, то символом
со
(1)
an
co
будем обозначать сумму сумм 'n:BYx ря.n:о в
ао+аl +l1jJ+...
и
a l +a 2 +a s+...
(если оба эти ряда схо.n:ятся). Этот символ можно понимать также
как предел
n
Нт a k .
т co Il=== т
n......co
Нас будут интересовать ря.n: ы ви.n:а
со
[1 (z)== CnZ n ,
-со
\ .
называемые рядами Лорана.
Ряд Лорана имеет смысл, если схо.n:ятся оба степенных ря.n:а
(Z)==CO+CIZ+C2Z2+...,
11 ( ..!.. ) == ) + 2 + С: +. . .
z z Z z
ряд (z) схо.n:ится внутри HeKoToporo Kpyra, скажем, при I z I < r,
а ря.n: 1 ( ) сходится вне HeKoToporo Kpyra, скажем, при I z \ > r l'
5\сно, что оба эти ря.n:а имеют общую область схо.n:имОСТИ, если r >
> rl' Эта общая область схо.n:имости пре.n:ставляет собой KpyroBoe
кольцо rl < \ z I < r, которое бу.n:ем называть кольцом сходимостll
ряда Лора на [1 (z). Так как суммы рядов (z) и ( ) являются
непрерывными функциями, то это верно и .n:ля суммы ряда Лорана
O(z)== (Z)+ 1 ( ) .
91
РЯДЫ ЛОРАНА
47
Обычный степенной ря.n: можно, очевидно, раСОlатривать и как
ряд Лорана, у KOToporo все коэффициенты с отрицательными HOMe
рами равны нулю,
Пусть r 1 < р < '. Tor.n:a окружность I z ! === р лежит внутри кольца
сходимости ря.n:а Лорана Q (z) (рис. 13). Обозначим через М макси
мум I Q (z) I на этой окружности (число М конечно, поскольку фун
({ция ,Q (z) непрерывна на окружности). Tor.n:a .n:ля всех точек z OK
ружности I z I === р имеем неравенство
I Q (z) I М. (2)
О"азывается, справе.n:лива сле.n:ующая важ
ная теорема:
т е о р е м а 1. Если на О1сружностll I z I === р,
I лежащей внутри кольца сходlunостu ряда
D (z), выпОЛ!iяется неравенство (2), то для
всех значений ножера п справедЛllВО HepaBeH
ство
I Сп I pn М.
(3)
Рис, 13,
Докажем сначала неравенство (3) для случая п == о.
Поскольку ря.n:ы 3 (z) и l.t:l (+) равномерно схо.n:ятся на окруж
нОСТИ I z I === р, мы можем .n:ля любоrо е> О выбрать значение т Ta
ким обраЗ0М, чтобы в равенстве
т
Q (z) === СП Zn + а (z)
т
функция а (z) при всех z на окружности I z I === р удовлетворяла He
равенству I а (z) I < е. Это значит, что функция
т
f(z) === со + ' Сп zn === Q (z) а (z)
т
(4)
для всех z на окружности I z I === р заве.n:омо удовлетворяет HepaBeH
ству
1 [(z) I M +10
(5)
(штрих Ha.n: суммой в формуле (4) 0значает, что при суммировании
член с номером, равным нулю, пропускается),
Выберем теперь число , имеющее модуль, равный 1, и обла.n:а
Ющее тем свойством, что ни o'n:Ha отличная от нуля целая степень этоrо
числа не равна 1. (В существовании таких чисел мы убедимся впо-
Следствии.) Если s любое целое положительное число, то точки
zo===p. Zl== P. Z2== 2p. .... Zs l== S lp
48
СТЕПЕННЫЕ РЯ'n:Ы
Irл,2
лежат на окружности I z 1== р. С помощью несложныХ выкла.n:о к "O
лучаем равенство
f(zo)+ f(z]) +.,.+ f(Zs д
s
т
' , k EkS 1
cO+ s CkP Ek 1 .
-т
(6)
Далее имеем неравенство
т т
\ . k EkS 1 I ' \ с k pk \ I tkS , + \
1.. ckP Ek l Ek l (<, I 1)==2/\,
т т
r.n:e величина
m
л== ' \ \
'-" Ek l
т
не запиСИТ от числа s. Сопоставляя равенство (6) снеравенствОМ (5),
получаем неравенство
\ со I If(zo) 1+If(zJ) +...+lf(zs J) \ + 2; <М + Е + 2; .
поскольку число s произвольно великО, а число Е произвольно
малО, заключаем, что
\co\ M.
(7)
Тем самым мы .n:оказали неравенство (3) .n:ля п == О.
Теперь рассмотрим ря.n:
со со
Z n D (z) == CkZk n == Ci,Zk, ci, == Cn+k'
co co
в этом ря.n:е коэффициент C при нулевой степени z равен СП' а .n:ля
суммы 9Toro ря.n:а на окружности \ z \ == Р имеет место оценка
\ Z n D (z) \ p nM.
Сле.n:оватеJIЬНО, применяя к этому ря.n:у .n:оказанное BbIllle HepaBeHCT
БО (7), получаем
\ C 1==\ сп \ p nM.
Тем самыМ неравенство (3) .n:оказано в полном объеме.
Нам остается еще убе.n:итьсЯ в существовании чисел , I \ == 1,
ДJIЯ которых s #- 1 ни при каком целом s #- О.
в качестве TaKorO числа можно взять, например, число
2 i
== 2+i
I
91
РЯПЫ ЛОРАНА
49
(очеви.n:но, что I 1===1). Действительно, если бы .n:ля какоrо-либо
целоrо положитеJlьноrо n мы имели бы " === 1, то это 0значало бы,
что
(2 i)n === (2 + i)n === (2 i + 2i)" === (2i)n +
+ n (2 i) (2i)n 1 + . . . + (2 i)n.
И3 этоrо равенства выводим, что
(2i)n === (2 i) (А + Вi),
r.n:e А и 8 целые .n:ействительные числа. Взяв KBa.n:paTbI модулей
обеих частей, мы придем к равенству
4 n === 5 (А2 + 82).
Это равенство противоречиво. так как 4" не может .n:елитЬСЯ на 5.
Полученное противоречие показывает, что n:j::. 1 ни при каком це-
лом п, отличном от НУЛЯ.
Тлава третья
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
1. MOHoreHHbIe системы степенных рядов
Пусть мы имеем степенной ряд
I.J- (z; а)== со + Сl (z а)+ C2(Z а)2 +...
с ра.n:иусоМ схо.n:имости, отличным от нуля. С этим ря.n:о м связано.
вообще rоворЯ, бесконечно MHoro разлиЧНЫХ непосредственных про
должений; те в свою очере.n:ь имеют непосре.n:ственные про.n:олжения
и т. .n:. Все ряды, получаемые таким обраЗ0М, мы наЗ0вем продолже
НllЯЯll исходноrо ряда I.J- (z; а). Иными словами:
Ря.n: (z; Ь) называется про.n:олжением ря.n: а (z; а), или если он
является непосре.n:ственным про.n:олжением этоrо ря.n: а , или если он
является последним звеном конечной цепочки ря.n: ов
I.J- (z; а), I.J- (z; at), .." (z; a n ), (z; Ь),
каж.n:ый И3 которых являетСЯ непосре.n:ственным продолжением пре.n:ы
.n:ущеrо.
В силу теоремы, .n:оказанной нами в 8 fJl. 2, это опре.n:еление
равносильно сле.n:ующему;
Каждый ряд, получаемый lСЗ ряда (z; а) 1СонеЧНЫ.ll числоМ
переразложений. называется продолжением этою ряда.
И3 этоrо опре.n:еления уже непосре.n:ственно сле.n:ует, что понятие
про.n:олжения взаимно:
Если ряд '+ (z; Ь) является продолженссем ряда (70 а), та
ряд Si (z; а) является продолжением ряда I.J- (z; Ь).
ЯСНО также, что понятие про.n:олжения транзшпивно:
Если ряд \.\3 (z; С) является продолжеНllе.!vt ряда '+ (z; Ь), а ря(}
I.J- (z; Ь) продолжениея ряда (z; а), то ряд '\,: (z; С) продолже
Юlе ряда (z; а).
Бесконечную систему степенных ря.n:ов, состоящую И3 HeKoToporo
ряда (z; а) и И3 всех ero продолжений, наЗ0вем МОНО2еНIlОй.
системой степенных рядов.
!i 2]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
51
Заметим, что в моноrенной системе все ряды равноправны. ИСХОk
ный не занимает какorо либо особоrо положения вместо Hero
можно взять любой .n:руrой ря.n: системы, так как все ряды MOHoreH
ной системы являются про.n:олжениями друr друrа.
Добавим еще, что ря.n: '$ (z; CXJ) мы бу.n:ем тоже считать принад-
лежащим к данной моноrенной системе, если только какое либо из
.ero переразложений прина.n:лежит этой системе.
в заключение приве.n:ем еще O'n:HO определение моноrенной систе
мы, очеви.n:но, равносильное данному БЫlllе:
Некоторая систе.ма степенных рядов называется .мОНО2енной,
если:
1. Каждый ряд этой Сllстеяы является продолжеНllе.м люБО20
друюю ряда этой CllcmeMbt.
2. Все переразложения каждою ряда систеяы ПlOже входят
в эту CllcmeMY.
2. Понятие аналитической функции
Каждая моноrенная система степенных рядов дает некоторый
закон, по которому одним числам ставятся в соответствие друrие.
Действительно, пусть Zo какое либо значение переменной z. Pac
смотрим те ряды моноrенной системы, в Kpyrax схо.n:имости которых
расположена точка Zo. Суммы этих рядов в точке Zo можно считать чис
лами, отвечающими точке Zo. Таким обраЗ0М, моноrенная система CTe
пенных рядов представляет собой нечто, похожее на функцию. OДHa
ко это «нечто» отнюдь не функция в смысле определения 6 rл. 1.
Во первых, .n:ля MOHoreHHbIx систем полностью отсутствует понятие
-области определения. Множество точек ZO' лежащих в Kpyrax сходи
мости одноrо И3 ря.n:ов системы, не за.n:ается заранее, а нахо.n:ится
в процессе построения этой системы. BO BTOpЫX, точка Zo может
находиться в Kpyrax сходимости различных рядов системы, и нет
никакой rарантии, что суммы этих рядов будут равны. Итак, упо
требляя слово «функция» внекотором неопре.n:еленно общем смысле,
можем сказать, что .мОНО2енная систеяа степенных рядов пpeд
.ставляет собой .мноюзначную ФУН1СЦllЮ, область определеНllЯ
которой не задается заранее, а определяется са.мllЯ законо.м
.отыскаНZ1Я значеНZlй этой ФУНКЦllll.
АнаЛllтической «фУНКЦllей» называется моноrенная система cтe
neHHbIX рядов. Каждый ряд системы называется элеяенто.м аналити
ческой «функции». (В дальнеЙlllем будем употреблять термин анаЛll
mllческая функция, не ставя слово функция в кавычки.)
с мноrозначными функциями можно иметь дело ЛИlllЬ в тех слу
'Чаях, KOr да мы можем указать, чем определяется выбор меж.n:у
52
ПОНЯТИЕ АНАЛИтИЧЕСКОй ФУНКllИИ
[rл.3'
разлиЧНЫМИ значениями в одной и той же точке (т. е., rрубо rоворя,
Kor.n:a мы можем с.n:елать их в некоторОМ смысле однозначными). Эту
за.n: ач у и решим сейчас для аналитических функций.
Пусть .n:aH какой либо исхо.n:ный эле:liент 't: (z; а) аналитической
функции и некоторая точка Ь. С точкой Ь связано, вообще rоворЯ,
MHoro элементоВ аналитической функции, причем каждый И3 них
является продолжением исхо.n:ноrо элемента. Любой И3 этих элементов
можно вы.n:елИ1Ъ, указав способ про.n:олжения исхо.n:ноrо элемента,
приво.n: ящий к интересующему нас элементу в точке Ь (наЗ0вем erO
(z; Ь)). Иными словами, мы .n:олжны указать цепочку непосре.n:ствен
ных про.n:олжений, первыМ звеном которой является исходный элемент
(z; а), а после.n:ниМ интересующий нас элемент (z; Ь). Заметим,
что для за.n:ания цепочки непосре.n:ственных про.n:олжений нет нужды
за.n:авать сами ря.n:ы достаточнО заДа1Ъ лишь центры их KpyroB
сходимости, т. е. nосле.n:ователыlOСТЬ точек а, аl' а2' ..., а п == Ь.
Таким обраЗ0М, мы ПРИlllЛИ к утверждению:
Зная llсходный f3леяент + (z; а) анаЛllтllческой ФУНКЦllll, .мы
едllнственныЯ образоя выделяея элеяент (z; Ь) той же анаЛll .
тllческой ФУН1<Цllll, указав последовательность (конечную) точек
а, al' а2' ..., а п == Ь, явЛЯЮlЦllХСЯ центра.ма КРУ20в сходllяостll
цеnОЧКll неnосредственных nродолжеНllЙ эле.мента (z; а) в эле.мент.
(z; Ь).
Вместо последовательности точек у.n:обнее за.n:авать ломаную
линию с веРlllинами в этих точках. Направление .n:вижения по этой
ломаноЙ определяется поря.n:ком сле.n:ования верlllИН. Заметим сразу
же, что результат nродолжеНllЯ по лояаной не llзяеНllтся, еслл
на отрезке яежду двужя соседНllЯll вериlllна.ми будет вставлено
любое КОЛllчество nрояежуточных вериlllН. ДействителыlO, если
ряды \,\5 (z; ak)' (z; ak+l) являются непосре.n:ственными продолжениями
.n:pyr .n:pyra, то при любом с И3 отрезка ak a k+l ряд (z; с) .n:aeT
непосре.n:ственное продолжение любоrо И3 этих ря.n:о в . Ясно, что
добавление в цепочку непосре.n:ственных про.n:олжений любоrо числа
такиХ промежуточных ря.n:ов не отразится на окончательном резу ль
тате продолжения. И3 сказанноrо следует, что выражение «nродолже
нае по ло.маной ЛllНllll» имеет смысл. поскольку вве.n:ение .n:ополни
тельных вершиН на прямо линейных участках не меняет результата
про.n:олжения. Поэтому высказашюе выше утверж.n:ение можно сфор
мулироватЬ нескольКО иначе:
Зная llсходный эле.мент (z; а) анаЛllтllческой ФУНКЦllll, .АСЫ
единственны.м обраЗО.Аl выделяе.м эле.мент (z; Ь) той же анаЛll
тllческой ФУНКЦllll, указав путь, вдоль которою совершается
nродолжеНllе элеяента I.t: (z; а) в эле.llент (z; Ь).
На основании тех же соображений, что и BbIllle, ясно, что результат
продолжения не измеНится, если ломаную HeMHoro .n:еформировать.
!i 3]
ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
53-
в частности, все верlllИНЫ ломаной можно поместить в точки с pa
циональными координатами. Таких ломаных счетное множество (при е
фиксированных начале и конце). Поэтому
В 1Саждой тОЧ1Се анаЛllтllчеС1Сая фУН1СЦllЯ llяеет не более че.IfC
счетное .uножество раЗЛllЧНЫХ алеяентов.
Мы .n:оrоворились рассматривать про.n:олжение ря.n:а вдоль ломаной
как цепочку непосредстnенных про.n:олжений, составленную И3 рядов,
у которых центры KpyroB схо.n:имости расположены в веРlllинах
ломаной, Кроме Toro, мы показали, что добавление промежуточных
вершин не влияет на результат. НО в качестве промежуточной Bep
lllИНЫ можно рассматривать любую точку ломаной. Поэтому можно
считать, что в качестве промежуточных верlllИН вставлены все точки
ломаной. Tor.n:a вместо конечной цепочки непосре.n:ственных продолже-
ний получим непрерывную цепоч1СУ. Иными словами, продолжеНllе
вдоль лояаной можно пре.n:ставлЯ1Ъ себе в виде системы степен-
ных рядов, уДовлетворяющей условиям:
1. С каж.n:ой точкой ломаной связан степенной РЯД, имеющий
Kpyr схо.n:имости с центром в этой точке.
2. Суммы рядов, отвечающих 'n:BYM точкам ломаной, совпа.n:ают
IJ общей части их KpyrOB схо.n:имости, если эти две точки .n:остаточно
близки меж.n:у собой.
Поскольку ломаная может иметь самопересечения, необхо.n:имо
оrовориться, что точка самопересечения при повторном попа.n:ании
в нее рассматривается уже как .n:руrая точка ломаной, и отвечающий
ей ряд не обязан совпа.n:ать с прежним. Кроме Toro, расстоянием
меж.n:у точками ломаной следует считать не расстояние на плоскости
между ними, а .n:лину сое.n:иняющей их .n:уrи ломаной. Точки ломаной
близки, если мало именно такое расстояние.
Ясно, что справедливо и обратное утверж.n:ение:
ЦепОЧ1Са степенных рядов, удовлетворяющих УСЛОВllЯЯ 1 U 2,
дает продолжение вдоль ЛОАtaной ряда, отвечающею ее началу.
3. Ветви аналитической функции
Напомним некоторые све.n:ения И3 теории множеств на ПЛОСКОСТИе
(или на сфере).
Пусть .n:aHo какое либо множество . Все точки плоскости (или-
сферы) по ОТНОlllению к этому множеству .n:елятся на три вида:
Если все точки какой-либо окрестности точки а принадлежат
множеству , то точка а называется внутренней точ1СОЙ множе
ства .
Если какая-либо окрестность точки а не содержит ни одной
ТОЧКи множества , то точка называется внешней точ1СОЙ по OTHO
llJению к множеству .
54
ПОН5IТИЕ АНАЛИтИЧЕСКОй фУНКЦИИ
[rл,3
Если каж.n:ая окрестность точки а содержит и точки, nринадлежа
щие множеству , и точки, не прина.n:лежащие ему, то точка а назы
вается 2раНllЧНОЙ точ1СОй множества Е.
Множество, состоящее только И3 внутренних точек, называется
от1Срыты.м.
Если все rраничные точки множества принадлежат этому MHO
жеству, то такое множество называется за.м1Снуты.JtC.
СовокупнОСТЬ rраничных точек множества называется ero 2paHll
.цей. Доказывается, что 2paHllqa .Аfножества вСС2да является за.JtC
.1Снутый йножествой.
Открытое множество называется свЯЗНЫJl(, если ero нельзя разбить
'на 'n:Ba открытых же множества, не имеющих общих точек.
Связное открытое множество называется областью.
Замкнутое множество называется связный, если ero нельзя разбить
'на два замкнутых множества, не имеющих общих точек.
Отметим еще O'n:HO определение СВЯ311ОСТИ OTKpbIToro множества,
равносильное приведенному BbIllle:
Открытое множество называется связныМ, если любые 'n:Be ero
-точки можно сое.n:инитЬ ломаной линией, все точки которой принад-
лежат этому множеству.
Доказательства равносилыlOСТИ этих опре.n:елений приводить не
бу.n:ем.
Область сферы Римана называется п-связной, если ее rраница
-состоит И3 п СВЯ3НЫХ замкнутых множеств.
Вернемся к аналитическим функциям.
Часто бывает полезно иметь дело не со всей аналитической
,функцией, а лишь С неКОТОРОt! ее частью, или, как принято rоворить,
ветвью. Опре.n:елим это понятие:
Пусть нам .n:aHa область D и степенной ря.n: (z; а), r.n:e а не-
которая точка области D. Через f(z) обозначим аналитическую
функцию, состояшую И3 всех про.n:олжений ря.n:а $ (z; а). Систему
степенных ря.n: ов , получаемых про.n:олжением ряда Щ (z; а) тольКО
по тем ломаным, которые не выхо.n:ят за пределы области D, мы назо-
вем ветвью анаЛllтllчес1СОй ФУН1СЦllll f(z) в областll D, полученной
llЗ элсйснта $ (z; а).
ЯСНО, чтО мы получим ту же ветвь аналитической функции, если
вместо ря.n:а $ (z; а) возьмем любой друrоt! степенной ря.n: И3 ря.n:о в ,
составляющих эту ветвь. Ясно также, что, взяв вместо ря.n:а 't (z; а)
-друrой элемент аналитической функции f (z), мы можем получить и
-друrую ветвь той же аналитической функции.
Добавим к этому определению еще одно:
Пусть степенной ряд Щ (z; а) имеет про.n:олжение по любой лома-
НОI1, лежащей в области D. Тоrда ветвь аналитической функuии f(z)
\\ 41
ПРИМЕРЫ
55
в области D, отвечающую элементу 3 (z; а), будем называть ФУН1С
qlleU, анаЛllтичес1СОй в области D.
Особенно важен случай, коrда функция 10 (z), аналитическая в обла
сти D, однозначна. Tor.n:a назопем функцию 10 (z), аналитическую и
однозначную в области D, ре7УЛЯРНОЙ ветвью соответствующеtf
аналитической функции I(x) (отвечающей по прежнему элементу
(z; а».
Докажем сейчас одну почти очеви.n:нуlO теорему о реrулярной
ветви, опре.n:елив сначала еще O'n:HO понятие,
Функцию (в обычном смысле), опре.n:еленную n обдаст и D, бу.n:ем
называть рпулярной в этой области, если в Оl<рестности каж.n:ой
точки области D эта функция пре.n:ставляется СХО'n:ЯЩИ lCя степенным
ря.n:о м .
Т е о р е м а 1. Если фУН1СЦllЯ w (z) рпулярна в области D, то
существует аналитичеС1Сая ФУН1СЦllЯ I(z), для 1Соторой фУН1СЦllЯ
w (z) является одной из ее рпУЛЯРНbtх ветвей.
Аналитическую функцию I(z) построим, взяв все про.n:олжения
какоrо либо И3 степенных ря.n:ов, пре.n:ставдяющих функцию w (z)
11 точках области D. Рассмотрим ветвь аналитической функции I(z)
в области О. отвечающую элементу, совпа.n:ающему с выбранным
степенным ря.n:ом. Выясним вопрос о воз южности про.n:олжения по
любой ломаной, лежащей в области D. Пусть L любая такая лома
ная. В каж.n:ой точке ломаной L ФУНIЩИЯ W (z) разлаrается 13 степен
ной ря.n:. Можно считать, что центр Kpyra схо.n:имости этоrо ря.n:а
находится именно в этой ТОЧI<е, Рассмотрим семейство этих степен
ных рядов, очевидно, у.n:овлетворяющих условиям 1 и 2 2. Поэтому
это семейство .n:оставляет нам про.n:олжение вдоль ломаной L степен
Horo ря.n:а, отвечаlOщеrо началу этой ломаной, Таким обраЗ0М, про
.n:олжение возможно по любой ломаной, лежащей в области [. Кроме-
Toro, И3 построения про.n:олжения очевидно, что результат про.n:олже
ния 13cer.n:a совпа.n:ает с функцией w (z).
4. Примеры
Рассмотрим рациональную функцию
( ) h (z) b o +b 1 z+,..+b r z r
w z ( ) I I I n
g Z llOllllz I"' lanz
(a n #- О, b r #- О).
Она определена во всей комплексноЙ плоскости, и если исключить.
нули знаменателя, т. е. точки, в КОТОРI.lХ
g(z)==a o + atz +... + anz n == О,
(1)
1'0 В остальных точках плоскости ее значения конечны.
..56
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[rJI.3
Не ссылаясь на основную теорему алrебры, можно усмотреть.
что уравнение (1) имеет не более п корней. Действительно, если бы
уравнение (1) имело n + 1 корень Zl' Z2' ..., Zn+l' то мноrочлен g(z),
имеющий степень n, нацело делился бы на мнorочлен (z Zl) , , .
. . . (z Zn+tЭ. имеющий степень n + 1, что невозможнО.
Мы можем предполаrать, чтО ни один И3 корней уравнения (1)
не будет корнем уравнения h (z) === о. Этоrо Bcer.n:a можно добиться,
сократив общие множители в числителе и знаменателе наlllей рацио
нальноЙ функции.
Рассмотрим нашу рациональную функцию в области D. пред
ставляющей собой всю конечную плоскость, И3 которой у.n:алены
нули знаменателя. В этой области Hallla рациональная функция яв
Jlяется реrулярной ветвью некоторой аналитической функции. Дейст
вительно, если а любая точка области D, то
w(z)
h (a+(z a» ] (z; а)
g (а+ (z a» 2 (z; а)'
rде 1 (z; а) и 2(Z; а) некоторые конечные
z а (т. е, мноrочлены), причем ря.n: 2 (z; а) не
-при z === а. Cor ласно .n:оказанному в 5 r л. 2
w (z) === (z; а)
ряды по степеням
обращается в нуль
(2)
некоторой .n:остаточнО малой окрестностИ точки а. Следовательно,
иаlllа рациональная функция реrулярна в области D и по теореме
_ 3 она является реrулярной ветвью некоторОЙ аналитической функ
uии. Нетрудно "ока3а1Ъ, что эта аналитическая функция однозначна,
Действительно, про.n:олжение по любому пути, лежащему в области D.
.n:aeT нам (соrласно определению реrулярнОЙ ветви) только значения
иаlllей рациональной функции, которая, очеви.n:но, о.n:нозначна. Е.n:инсТ
венная возможность провести путь, не лежащий в области D, состоит
в том, чтобы провести этот путь через одну И3 исключенных точек (нули
знаменателя и (0). Если по такому пути можнО про.n:олжить, то.
-соrласно .n:оказанному в 2, результат продолжения будет тем же,
чтО и при про.n:олжении по любому достаточнО близкОМУ пути. Но
этот достаточнО близкий путь уже моЖНО взятЬ лежащим в области D.
отсюда сле.n:ует о.n:нозначносТЬ интересующей нас аналитической
,функции.
Леrко выяснить, В03МОЖНО ли продолжение через исключенные
-точки. При стремлении z к нулям знаменателя рациональная функц.ия
--стремится к бесконечности (мы пре.n:полОЖИЛИ, что числитель и 3Ha
менатель не имеют общих нулей). Это показывает, что про.n:олжение
через нули знаменателя невозмоЖНО. возможность продолжения через
точку (х) зависит от СООТНОlllения степеней числителя и знаменателя
,рациональной функции. Если степень числителя Болыlle степени зна.
менателя, то функция стремится к 00 при z --+ 00, и продолжение
-через точку (х) невозмОЖНО. Если же степень числителя меньше
4]
ПРИМЕРЫ
57
степени знаменателя, то мы без труда получаем разложение нашей-
рационалыюй функции в ряд по степеням 1/ z. Именно:
( 1 \r
1 ) n r Ьо z) +,.. + b r ,
w (z) == (z С )" (z; 00).
00 +...+on
z
Для однозначных аналитических функций естественно ввести по
НЯ1'ие областll рпулярностll. Так называется та наиболее lllирокая
область плоскости, куда nозможно продолжение. Однозначную анали
тическую функцию Bcer.n:a можно рассматриnать как реrулярную функ
цию, опре.n:еленную в области реrулярности аналитической функции.
BbIllle мы показали, что
Рациональная ФУЮСЦllЯ ; является однозначной аналит,,-
чеС1СОЙ фуюсцией. Ее область рпулярностll состоит llЗ расиlllрен-
ной 1Сомnле1ССНОй nЛОС1Сост11 С удаленнbt_4tll 11З нее нуля.4tll зна.4tе-
нателя (если степень числителя Болыlle степени знаменателя, то-
удаляется еще и точка 00).
в качестnе BToporo примера рассмотрим всю.n:у сходящийся cтe
пенной ря.n:
3 (z) == Со + CIZ + C2Z2 + . . .
Он определяет функцию, реrулярную во всей конечной ПЛОСКОСТИ_
ПО тем же причинам, что и в случае рациональной фунКllИИ, мы
можем утверж.n:ать, что аналитическая функция, .n:ля которой сумма
Э1'оrо ря.n:а будет реrулярной ветвью, яnляется о.n:нозначной аналити-
ческой функцией, Ее областью реrулярности является вся раСlllирен-
ная плоскость, за исключением, может быть, точки 00. Покажем,
что точка 00 не прина.n:лежит оБJ1асти реrулярности, если только
весь Halll ряд не сводится к одному свободному члену.
Для этой цели мы .n:окажем сле.n:ующую теорему:
Т е о р е м а 1. Пусть (z) всюду сходЯЩllЙСЯ степенной ряд.
состОЯЩllЙ не толь1СО llЗ одНО20 свободНО20 члена. ТО2да имеется
последовательность точе1С Zl' Z2' ..., Zn 00, для 1Соторой
liт (Zn) == 00.
n o:>
Допустим противное. Тоrда существует такое число С, что для.
всех конечных Z выполняется неравенство I (z) I < с. Cor ласно
теореме И3 9 r л. 2 при любом r справедливо неравенство
I Сп I r n С
(n == О, 1, 2, .. ,).
Это неравенство можно записать в виде
lcпl
r
(п== О, 1, 2, .. .).
(3)
58
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[rл,3
Поскольку число r можно nзять произвольно Болыllм,' МЫ видим,
что при n> О обязаны выполняться равенства Сп == О, т. е. ряд (z)
сво.n:ится к одному свобо.n:ноМУ члену. Полученное противоречие
доказывает Teope 1Y.
3 а м е ч а н и е. Если бы точка 00 прина.n:лежала к области pery-
лярности аналитической функции, представленной ря.n: ом (z), то n
окрестности точки 00 эта функция пре.n:стаnлялась бы степенным
ря.n:о м по степеням ljz и тем самым была бы оrраничена в этой
окрестности. Cor JIaCHO доказанной выше теореме это возможно ЛИlllЬ
В случае, Kor.n:a ря.n: 3 (z) сводится к одному ЛИlllЬ свобо.n:ному члену.
Аналитические функции, определяемые всюду сходящимися рядами,
называются по пре.n:ложению Вейерlllтрасса целbt.Шl фуft1СЦllЯЯll.
Целая функция, ОТJlИчная от мноrочлена, называется трансцен-
дентной.
в качестве после.n:неrо примера рассмотрим ОТНОlllение дnух всю.n:у
сходящихся ря.n:о в
1 (z)
w(z)== (z) '
Сначала докажем сле.n:ующее пажное утверждение:
НУЛll l елой ФУНКЦllll, отЛllЧНОЙ от тождествеННО20 нуля, не
.МО2ут l/яеть предельных точек в конечноЙ частll плоскостll.
Допустим противное. Tor.n:a некоторая конечная точка а бу.n:ет
пре.n:ельной точкой нулей ря.n:а Щ (z), а значит, и ря.n: а (z; а), по-
лученнorо переразложением ря.n:а (z) в точке а, По теореме е.n:ин-
ственности (см. 4 и 5 rл. 2) это 0значает, что (z; а) = О, а сле-
дователыю, и \ (z) = О. Hallle утверждение .n:оказано.
прово.n: я опять те же рассуж.n:ения, что и .n:ля рациональной функ-
ции, приходим К BbIBO'n:Y, что ОТНОlllение 'n:BYX целых функций пред-
ставляет собой однозначную аналитическую функцию. Область pery-
лярности этой функции состоит И3 всей конечной плоскости, И3
которой у.n:алено счетное множество точек, не имеющее предельных
точек в конечной части плоскости. Эти точки нули знаменателя.
Если они не являются O'n:HoBpeMeHHo и нулями числителя, то они
заведомо не вхо.n:ят в область реrулярноСТИ.
5. Особые точки CTeneHHoro ряда
Пусть степенной ряд (z; а) прина.n:лежит к моноrенной системе
степенныХ рядов, за.n:ающей аналитическую .функцию {(z), т. е. явля-
ется элементом этой аналитической функции. Сумма этоrо ря.n:а внутри
Kpyra СХОДИМОПИ определяет реrулярную ветвь аналитической функ-
!i 5]
ОСОБЫЕ точки СТЕПЕнноrо РЯДА
59
ции j(z). Рассмотрим какую либо точку s на окружности Kpyra cxo
димости степенноrо ряда (z; а). Точки окружности не принадлежат
к области опре.n:еления реrулярной ветви, за.n:аваемой суммой ряда
(неза13ИСИМО от Toro, схо.n:ится ряд в этих точках или расходится).
Точки окружности Kpyra СХОДИМОСТИ MorYT быть двух pO'n:OB:
1. В .n:анной точке s окружности существует ряд (z; s), являю
щийся непосре.n:ственным про.n:олжением ряда (z; а).
2. TaKoro ря.n:а нет.
В первом случае бу.n:ем rоворить, что точка s окружности Kpyra
схо.n:имости ря.n:а (z; а) является точ1СОЙ раулярностu для ветви
аналитической функции, пре.n:ставленной этим ря.n:ом. Во втором слу
чае бу.n:ем rоворить, что точка s является особой точ1СОЙ указанной
реrулярной ветви.
Сейчас .n:окажем следующую важную теорему:
т е о р е м а 1. На 01Сружностu 1Срую CXOalUtfOCmU степеННО2й
ряда (z; а) всада есть по .меньшей .мере одна особая тОЧ1Са.
При доказательстве будем считать .n:ля простоты а == о.
Пусть
3 (z)==c o + CtZ + C2 z2 +...
степенной ряд с KpyroM схо.n:имости К и ра.n:иусом СХОДИМОСТИ r.
Допустим, что .n:оказываемая теорема неверна. Tor.n:a каж.n:ой точке s
окружности Kpyra К отвечает ряд 3 (z; s), ЯВЛЯЮЩИЙСЯ непосре.n:ст
венным про.n:олжением ряда (z) (ясно, что точкам Kpyra К тоже
отвечают такие ряды). Радиус сходимости ряда (z; s) обозначим
rs. Hallle пре.n:положение, что теорема неверна, равносильно утверж
дению, что r s > О .n:ля всех точек Kpyra К и ero окружности.
И3 очевидных неравенств
r s' ?=: r s I s s' 1, r s ?=: r s' I s s' \,
вытекает, что I r s r s.\ I s s' 1. Сле.n:оватеЛblЮ, r s как функция s
непрерывная функция. Kpyr К вместе с окружностью образует замк
нутое множество, так что непрерывная Функция rs принимает в HeKO
торой точке этоrо множества свое наименыllеe значение, Соrласно
HallleMY .n:опущению это наименьшее значение положительно. Отсюда
выведем, что ра.n:иус схо.n:имости ряда (z) (обозначенный нами че
рез r) .n:олжен быть Болыlle r, что невозможно.
Обозначим через К' замкнутый Kpyr I z ' r + а, rде а < р ==
=== min r S' Определим в К' функцию j (z) сле.n:ующим обраЗ0М:
Для точек z И3 Kpyra СХОДИI\ЮСТИ К ря.n:а (z) положим
f (z) == (z).
Для точки z, лежащей в К', но не лежащей в К, положим
f (z) == (z; s), rде ряд (z; s) nереразложение ряда Щ (z) в точке
60
ПОН ТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[r.1. 3
s, нахо.n:ящеtiся внутри Kpyra К на расстоянии меныпем р от точки
z (рис, 14).
Заметим, что выбор точки s не влияет на опре.n:еление значения
I(z). Деtiствительно, если круrи схо.n:имости рядов, отвечающих точ
кам s' и s, оба со.n:ержат точку z, лежащую вне Kpyra К, то они
имеют и общие точки, лежащие в Kpyre К (так как их центры s
и s' лежат внутри Kpyra К). Сле.n:овательно, эти два ря.n:а бу.n:ут
непосре.n:ственными продолжениями друr .n:pyra,
поскольку внутри Kpyra К их суммы совпадают
с суммо" ря.n:а 't (z), а значит и меж.n:у собоti.
Поэтому их суммы совпадают во все" общей
части их KpyroB схо.n:имоСТИ, в частности в точке z.
Опре.n:еленная BbIllle функция I(z) бу.n:ет, оче
видно, непрерывна в замкнутОМ Kpyre К'. Поэтому
ее мо.n:уль оrраничен. Обозначим через М наи
Болыllеe значение I/(z) \.
Рис, 14, Теперь возьмем любую точку s И3 Kpyra К
и ОПИlllем BOKpyr нее окружность ра.n:иуса о. Co
rласно определению числа о ра.n:иус сходимости переразложения ря.n: а
(z) в точке s не меньше р, а 0< р. Поэтому, вспоминая фор
мулу (3) 7 rл, 2, можем написать
f(z) (s) + z 11 s 't ' (. ) + (z 21 S)2 " (s)+...,
и этот ряд схо.n:ится на окружности I z s i о. В силу неравенсша
\ 1 (z) I м получаем с помощью теоремы 9 r л. 2 оценку .n:ля
коэффициентов наПИС(lнноrо ря.n:а
I I (n) (s)\ оп М
(п О, 1, 2, . ..).
Но
о:> о:>
1 ш(n) ( ) '\1 k! . k n '\1 ( k ) k n
пl +\ s '- п! (k п)1 Ck S '- n Ck S .
k n k n
Рассматривая s как переменную, меняющуЮСЯ по окружности I S I ===
=== а. < т, получаем И3 неравенства
\ щtn) ( s ) \ ,,;::: м
п1 1- ----== a n ,
исnользуя еще раз теорему 9 r л. 2, оценку
( k ) I \ k n М
n Ck а. an .
поскольку величина с1. может быть выбрана nроизвольно близкой
к т, получаем
I Ck I (:) Tk.non М.
5]
ОСОБЫЕ точки СТЕПЕнноrо РЯДА
61
Полаrая п О, 1, 2, ..., k, и скла.n:ывая полученные неравенства,
lIахо.n:им
ICkl(r+a)k (k+1)M (k O, 1,2,...).
Следовательно, ряд
со
D(z) , >M(k+1)( r C!) k
о
является мажорантой ря.n:а (z).
Ряд D (z), как леrко видеть, схо.n:ится при i z I < r + а. Поэтому
ря.n: (z) тоже .n:олжен сходиться в Kpyre I z I < r + а. Это проти
Dоречит HallleMY предположению о том, что r это ра.n:иус сходи
мости ря.n:а (z). Полученное противоречие показывает, что Hallle
nре.n:положение об отсутствии особых точек на rранице Kpyra cxo
димости невозможно. Теорема .n:оказана.
Отметим одно сле.n:ствие .n:оказанной теоремы:
ФУЮСЦllЯ, аналитическая 8 КрУ2е, однозначна.
Действительно, возьмем ЭJJемент наlllей функции, аналитической
в Kpyre, отвечающий ero центру. Аналитичность функции в Kpyre
0значает, что взятый элемент можно про.n:олжить по любому пути,
лежащему внутри Kpyra. Если ра.n:иус сходимости элемента был бы
MeHbllle ра.n:иуса Hallle"o Kpyra, то на окружности схо.n:имости не
было бы особых точек, что невозможно. Сле.n:овательно, выбранный
элемент наlllей функции, аналитической в Kpyre, схо.n:ится во всем
этом Kpyre, т. е. пре.n:ставляет функцию, однозначную в Kpyre.
Отмеченное следствие является частным случаем сле.n:ующей Teo
ремы, носящей название теоремы о .lfюнодРО.lfUlll.
Функция, аналитllческая 8 одНОС8ЯЗНОЙ области, однозначна.
Теорема о моно.n:ромии имеет фундаментальное значение при ис
следовании мноrозначных аналитических функций. Не будем .n:оказы
вать ее в полном объеме, оrраНИЧИВlllИСЬ приведенным частным слу-
чаем этой теоремы.
в качестве более простоrо примера ИСПОЛЬЗ0вания теоремы об
особой точке степеНllоrо ря.n:а рассмотрим задачу об отыскании
радиуса сходимости ряда для ОТНОlllения двух целых функций
2(Z) !lJl(Z) bo+blZ+b2Z:+.., (ао*О).
!IJ(z) a O +a 1 z+a 2 z +...
Для простоты пре.n:положим, что целые функции 1 (z) И (z) не
имеют общих нулей.
На основании доказанной теоремы можем утверждать, что на
ОКРУжности Kpyra сходимости должна быт.ь точка, в которой 3HaMe
наТель обращается в нуль, так как в противном случае функцию
l.!ОЖно было бы продолжить через каждую точку окружности.
62
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[rл, з:
С .n:руrой стороны, точки, в которых знаменатель обращается в нуль
(а числитель отличен от нуля), не MorYT нахо.n:иться внутри Kpyra
СХО'n:Иll!ОСТИ степенноrо ря.n:а, так как в таких точках .n:робь обра-
щается в бесконечность, а сумма ря.n:а внутри Kpyra сходимости
Bcer.n:a конечна. Поэтому
Радиус сходиМОСПlll ряда 2 (z) равен расстоянию от точ-
1С11 z === О до ближаЙШе20 нуЛЯ фУН1СЦllll (z).
Например, разлаrая функцию
Z2
1 6Z Z2
В ря.n: по степеням z, получим разложение, схо.n:ящееся в Kpyre
с центро:и в точке z === О и ра.n:иусоМ, равным модулю наимень
шеrо корня уравнения 1 6z Z2 === о. Корни этоrо уравнения
Zl=== 3 + у 10 , Z2=== 3 у l0 ,
так что ра.n:иус Kpyra схо.n:имости равен У 1 О 3.
6. Основная теорема алrебры
Сейчас изложим O'n:HO очень простое .n:оказательство основной
теоремы алrебры, основанное на результатах пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа.
Пусть g(z) === Zn + щzn l + . . . + а n мноrочлен степени п > о.
Основная теорема алrебры состоит в том, что такой мноrочлен
имеет хотя бы о.n:ин нуль. Допустим, что это утверж.n:ение неверно.
Tor.n:a ря.n:
1
Zn ralZn l +...+a n
CO+CIZ+C2z2+... ,
(1)
cor лаС но после.n:ней теореме пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа, сходится при
всех z. С друrой стороны, функция, стоящая в левой части равен-
ства (1), разлаrается в окрестности бесконечности в ряд по сте-
пеням 1/z. Соrласно одной И3 теорем 4 это 0значает, что весь
ряд (1) сводится к O'n:HOMY ЛИlllЬ свобо.n:ному члену со' т. е. имеет
местО равенство 1 === (zn + alzn l +. . . + a n ) со' которое невозможно
ни при каком со. Полученное противоречие доказывает Hallle утвер-
ждение.
Отсюда известным способом (делением на z Zl' rде Zl нуль
g(z), существование KOToporo доказано) леrко получаем:
МНО20член степеЮ1 п имеет ровно пнулей.
7. Особые точки однозначных аналитических функций
Пусть f (z) о.n:нозначная аналитическая функция. Tor.n:a можно
rоворить об области ее существования, понимая под этим терми-
ном множество точек, в которые можно про.n:олжить исхо.n:ный ЭJlе-
мент этой аналитической функции. Нетрудно видеть, что область
71
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНО3НАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
63
-существования о.n:нозначной аналитической ФУНКЦИИ действительно
является областью, т. е. открытым связным множеством. В самом
деле, если точка а лежит в области существования, то в этой точке
имеется степенной ря.n:, схо.n:ящийся к ФУНКЦИИ [(z) внекоторой
-окрестности точки. Тем самым вся эта окрестность тоже прина.n:ле
жит области существования. Это и сзначает, что область существо
вания открытое множество, Далее, еCJIИ две точки лежат в области
-существования, то Bcer.n:a возможно про.n:олжение ФУНКЦИИ И3 о.n:ной
точки в .n:руrую по некоторой ломаной. Эта ломаная сое.n:иняет .n:aH-
ные точки и лежит в области существования. Поэтому область
.существованuя свЯЗное .lIlножество.
Таким обраЗ0М, мы видим, что однозначную аналитическую функ
пию можно рассматривать как ре['улярную ФУНКЦИЮ, определен
ную в некоторой области в области существования этой ана.'IИТИ-
ческой ФУНКЦИИ.
Точки, лежащие в области существования о.n:нозначной анаJiити
ческой ФУНlШИИ, наЗ0вем тОЧ1Са.lllU ре2улярности этой аналитической
ФУНКЦИИ.
rраничные точки об.'Iасти существования о.n:нознаЧI!ОЙ аналити-
ческой ФУНКЦИИ наЗ0вем осоБЫ.llll1 тОЧ1Са.lllи этой О'n:l!означной анали
тической ФУНКЦИИ,
Поскольку множество ['раничных точек замкнуто, особые тОЧ1Си
-однозначной аналитичес1СОЙ фУН1СЦllll образуют за.lll1Снутое мно-
жество.
Иными словами, точ1СИ, предельные для особых точе1С, ПlOже
.особые тОЧ1Сll.
Рассмотрим теперь какую либо особую точку о.n:нозначной ана-
литической ФУНКЦИИ [(z). Она может быть пре.n:ельной точкой .n:ля
ДРУ['ИХ особых точек этой ФУНКЦИИ, а может и не быть. В последнем
случае бу.n:ем rоворить об изолированной особой тОЧ1Се однознач-
ной аналитичес1СОЙ ФУН1СЦllll.
Каж.n:ая особая точка любоrо элемента о.n:нозначной аналитической
ФУНКЦИИ является в то же время особой точкой всей аналитической
ФУНКllИИ, Действительно, про.n:олжение в эту точку И3 Kpyra сходи
мости .n:aHHoro элемента невозможно. Если бы можно бы.'IО продол-
жить данный элемент в эту точку по какому-либо друrому пути, то
Мы получили бы степенной ря.n:, схо.n:ящийся в окрестности этой
Точки. Сумма Этоrо ряда не моrла бы совпа.n:ать (в общей части
RpyroB схо.n:имости) с суммой ряда для исхо.n:ноrо элемента, а это
противоречило бы ОДllозначности аналитической ФУНКЦИИ.
Высказанное BbIllle утверждение П03ВО.'Iяет опреде.'IИТЬ радиус
СХо.n:имости для любor'о элемента однозначной ана.'Iитической ФУНКЦИИ,
если известны ее особые точки:
64
nОНЯТИЕ АнАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[[.,,3
т е о р е м а 1. Радиус сходимости эле.Аtента 13 (z; а) однознач
ной аналитzzческой функции [(z) равен расстоянzzю от точки а
до ближайшей к а особой точки ФУНКЦZZZl f(z).
И3 всех особых точек аналитических ФУНКЦИЙ наиболее простое
устройство имеют особые точки, называемые полюсами. Опре.n:е
ление полюса таково:
Если особая точка z == а о.n:нозначной аналитической ФУНКЦИИ [(z)
1
не является особой ТОЧКОй .n:ля ФУНКЦИИ f (z) ' то точка а назы
вается ПОЛЮСОМ ФУНКЦИИ [(z). Все друrие ИЗ0лированные особые
точки о.n:нозначных аналитических ФУНКЦИЙ мы бу.n:ем называть
существенно особыми точками.
Преж.n:е Bcero выясним пове.n:ение ФУНКЦИИ в окрестности полюса.
Cor ласно определению, если точка а полюс ФУНКЦИИ [(z), ТО в He
которой окрестности этой точки (но не в самой точке а, поскольку
значения [(z) в точке а не существует) имеет место равенство
f :z) == Ck (z ai + Ck+l (z a)' +1 +. .. == (z a)k (z; а). (1)
(Считаем, что Ck #- о.) Соrласно равенству (1) в некоторой окрест.
ности точки а можно написать равенство
1
[(z)== (z a)k
1
Чz; а)
(z a)k 1 (z; а),
т. е.
1
f(z)== ( )k (ao+al(z a)+...)
z a
отсю.n:а ви.n:но, что k> о, так как при k == О
особой точкОЙ .n:ля ФУНКЦИИ [(z).
Число k бу.n:ем называть порядком полюса.
(ao:j::. о). (2)
точка а не была бы
Коrда точка z стремится к полюсу а, функция [(z), как видно И3
формулы (2), стремится к бесконечности, причем Нт (z ai [(z) == ао
z a
конечное число, отличное от нуля. Число k показывает, таким
обраЗ0М, с какой скоростью стремится к бесконечности функция
в .n:aHHoM полюсе.
Вернемся к равенству (2) и запишем ero в ви.n:е
[ ) аО + а. + + ak . +
(z == (z a)k (z a)k J ... z a
+ak+l (z а) + ak+g(z a)g +....
Отсюда вИДно, что разность
f(z) [ (z oa)k + (Z )k . + ...+ zak ]
!\ 7)
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
65
разлаrается в окрестности точки а в степенной ря.n:, т. е. не имеет
особой точки при z === а. Поэтому мы бу.n:ем rоворить, что функция
I
f(z) имеет в точке а ту же особенность, что и мнorочлен от z а
( ) а о ..J а 1 ..J ak ]
g z a (z a)k I (z a)k ] I о.. I z a о
1 б
Этот мноrочлен от z a y.n:eM называть 2лавноu частью
f(z) в полюсе а.
ФУНКЦllll
Заметим, что все сказанное в равной степени относится и к слу
чаю, Kor.n:a а === 00. Тоrда только нужно заменить разность z а
на l/z.
И3 равенства (2) непосредственно получае f утверждение:
Полюс все2да является 1130Лllрованной особой точкой.
3а,нетим, что опре.n:еление полюса можно дать не ТОлько для
о.n:нозначных аналитических функций, но и .n:ля о.n:нозначных ветвей
любых аналитических функций. Именно:
Пусть 10 (z) какая либо ветвь в области D аналитической функ
ции 1 (z) (т. е. совокупность всех элементов, получаемых И3 .n:aHHOro
продолжением по любым ломаным, лежащим в области D), и пусть
эта ветвь о.n:нозначна, Внутреннюю точку а области D наЗ0вем осо-
бой точкой однозначной ветви {о (z), если она бу.n:ет особой точкой
для какоrо либо элемента этой о.n:нозначной ветви. Точку а наЗ0вем
полюсом о.n:нозначной ветви {о (z), если она является особой точкой
10 (z), но не является особой точкой .n:ля 1/10 (z). (Ясно, что 10 z)
тоже бу.n:ет однозначной ветвью в области D аналитической функ-
ции 1/[(z).)
Определить понятие особой точки для мноrозначной анаJIИТи-
ческой функции HaMHoro сложнее. Дело в том, что одна и та же
ТОчка плоскости может быть и особой точкой, и точкой реrуляр-
ности .n:ля разных элементов мноrозначной аналитической функции
(например, точка z === 1 .n:ля функции (1 + VZ} l). Общее понятие
особой точки мноrозначной аналитической функции нам не пона.n:о-
бится, и мы не будем на нем останавливаться, а о простеЙlllИХ осо-
бых тОчках мноrозначных аналитических функций бу.n:ем rоворить
в одной И3 сле.n:ующих r лав,
в заЮJючение заметим, что о.n:нозначные аналитические функции
MorYT иметь не только ИЗ0лированные особые точки. Особые точки
MorYT обраЗ0вывать целую линию. ПростеЙlllИМ примером TaKoro рода
3 А,. rуРВНЦ. Р. Курант
66
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[[п.3
будет функция
со
п!
w(z) z .
о
Этот ряд, как леrко ви.n:еть, схо.n:ится в Kpyre I z I < 1. С .n:руrой
стороны, можно показать, что все точки окружности I z I 1 являются
особыми точками .n:ля ero суммы. Действительно, возьмем
27ti P
Z ре q,
r.n:e р и q целые положительные числа, а 0< р < 1. Тоrда
q-l со со
I w (z) I ;?: I zn! I + I zn! I ;?: q + pn!.
О q q
Полar'ая р --+ 1, ви.n:им, что
Iiш
p 1
I ( 27ti Р ) I
w ре q 00.
Сле.n:овательно, все точки z e 27tip /q бу.n:ут особыми точками .n:ля
функции w (z). Но эти точки образуют на окружности I z I 1 всю.n:у
плотное множество, и поскольку множество особых точек замкнуто,
получаем, что каж.n:ая точка окружности I z I 1 является особой
точкой функции w (z).
9 8. Особые ТОЧКИ мноrочленов И рациональных функций
ФУНКIщю, пре.n:стаВJlяемую всю.n:у схо.n:ящимся степенным РЯДО I,
назынаем целой функцией. ИСПОЛЬ3УЯ теорему о существовании oco
бой точки на rранице Kpyra сходимости степенноrо ря.n:а, можем за-
менить это опре.n:еление .n:руrим:
Целая ФУfасция это аналитическая функция, не имеющая oco
бых точек в конечной плоскости,
Мы уже знаем (см. 4), что целая функция продолжается в беско
нечно у.n:аленную точку только TOI'.n:a, коrда ря.n: .n:ля этой ФУНКIlИИ
сво.n:ится к O'n:HOMY свобо.n:ному члену. Поэтому
Т е о р е м а 1. Аналитичепсая функция, не идеющая никаких
особых точек постоянна.
Если Ilелая функция [(z) со + CIZ +. .. оrраничена при всех
конечных z о.n:ной и той же постоянной М, т. е. если I [(z) I М,
то, как мы ви.n:ели во втором примере 4, ря.n: .n:ля функции [(z)
тоже сuодится к O'n:HOMY свободному члену со. Таким обраЗ0М:
т с о р е м а 1 *. 02раниченная целаfl функция постп ЩiU.
(Это утверждение носит название теоремы Лuувuлля.)
!i 81
ОСОБЫЕ ТОЧКИ мноrОЧЛЕНОВ и РАЦЙОНАЛЬНЫХ ФУНКПИй
67
Рассмотрим теперь целую функцию I(z), .n:ля которой точка 00
бу.n:ет полюсом. Если aoz" + alz" 1 +. .. + ak lz r лавная часть функ
иии I(z) в точке 00, то .n:ля разности
/(z) (aoz k + alzk l +.., + a" lz)
точка 00 уже не будет особой точкой. Так как на конечной части
плоскости эта ра3lЮСТЬ тоже не имеет особых точек, она должна
быть постuянной. Обозначая эту постоянную через ak' ПОJJучаем
/(z) == aoz k + alzk 1 + . . . + а",
Иными словаМи:
Аналитllческая ФУНКЦllЯ, имеющая в расширенноЙ Ilлоскостu
тОЛЬКО одну особую точку полюс прсс z == 00, является ,MHO
20членом.
Рассмотрим l"еперь рациональную функцию
W(z)== h« :2 ) == botb,Zt...:brZ: (a,,::j:O, br-::/::.O),
g '" а о G 1 Z ... GnZ
r.n:e мноrочлены /с (z) и g(z) не имеют обших корней. Особыми точка
ми этой функции будут нули знаменателя и при r > n еще точка 00,
Если точка Zo нуль знаменателя. имеющий кратность k, то
g(z) == (z zo)" gl (z). r.n:e gl (zo) =(:: О, и
W (z) == h (z) . 1 $ (z' z),
(z zo)" g., (z) (z zo)" , о
r.n:e : (z; zo) степенной ря.n: с отличным от нуля Сllобо.n:ным чле
ном (так как h (Zo) *- О в силу условия, что числитеJ!Ь и 3HaMeHa
тель не имеют общих корней). Сле.n:овательно, точка Zo являетс,!
полюсом поря.n:ка k .n:ля функции W (z). Столь же ле['ко показывается,
что при r > n точка 00 является полюсом поря.n:ка r п. Итак:
РаЦllOнальная ФУНКЦllЯ U.Azeem свozсми осоБЫ_IШ fflO'lKa.ltll
только полюсы.
Сейчас .n:окажем, что справе.n:ливо и обратное:
Т е о р е м а 2, Однозначная анаЛZlтllческая ФУНКЦllЯ I(z), ll_lle
ющая СВOZUШ осоБЫМlZ точкаМll на всей расширенноЙ плоскостll
только полюсы, раЦZlOнальнаЯ ФУНКЦllЯ.
Если все особые точки функции полюсы. то число их обязатель
но конечно, так как в противном случае множество полюсов И:\lело
бы пре.n:еЛЫIУЮ точку. которая, соrласно .n:оказанному в 7, не Mor
ла бы быть полюсом. Обозначим эти полюсы через ZI, Z2' .... Zr'
а rлаВIlые части функции I(z) в этих полюсах через g" ( )
Z "'k
(если Zk == 00, то z z" заменяем, как обычно, на l/z). Функция
/(z) gl ( ) ... gr ( )
- Z Zl z zrJ
з.
68
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[fл,3
будет однозначной аналитической функцией, не имеющей особых TO
чек, так что она равна постоянной С. Следовательно.
/(z) === gl ( ) +. .. + gr ( ) + с.
Z ZJ Z Zr
Полученное равенство .n:oKa3bIBaeT не только наше утверждение, но
и возможность разложения рациональной функции на сумму про
стеЙlllИХ .n:робей.
9. Некоторые теоремы о реrулярных функциях
В 2 мы ввели понятие реr'УЛЯрllОЙ функции и показали, что
любая ФУНК!lИЯ, реrулярная в некоторой области, является реrтлярной
ветвью некоторой аналитической функции. Работая с аналитическими
функниями, во мноrих случаях бывает у.n:обнее Bcero вы.n:елЯ1Ъ pel'y
лярные ветви и работать с ними. Поэтому выведем ряд свойств
реrулярных функций.
Напомним, что функция w (z) называется рпулярн.ой в области D,
если она опре.n:елена в этой области и в окрестности каж.n:ой точки
этой области разлar'ается в схо.n:ящийся степенной ря.n:. На основании
правил .n:ействия со степенными ря.n:ами непосре.n:ственно получаем
сле.n:ующее утверж.n:ение:
1. Если фун.КЦllll /1 (z), ..., /k (z) рпулярн.ы в области D, то
любой МНО20член. (с постоянными КОЭФФИI.l,иентаО;\и) от ЭfJНlХ ФУНК
ций тоже является фун.кцией, ре2УШ1Рн.ой в облаСfJlll D.
2. Пусть Р а бесконечн.ое .мн.ожество различн.ых точек об
ласти D, и.меющее предельной точкой вн.утреннюю точку z === а
этой области. Если фун.кция 1 (z), рпулярн.ая в области D, обра
щается в н.уль в точках .множества Р а , то I(z) О.
Действительно, степенной ря.n: (z; а), пре.n:ставляющиЙ функцию
I(z) в окрестности точки а, по теореме е.n:инственности равен нулю
тож.n:ественно. Сле.n:овательно, тож.n:ествеlllЮ равна нулю и аналитичеСкая
функпия, состоящая И3 всех продолжений ЭТОI'О ря.n:а, а значит, и
любая ее ветвь, в частности 1 (z).
2*. Если фун.КЦ/lll 11 (z) /1 12 (z) ре2УЛЯрНЫ в области D и еСЛ/l
80 всех то'шах .мн.ожества Р а (оrrисаНllоrо в 2) выполн.яется
равен.ство f 1 (z)===л(z), то f 1 (z) = /2(Z)'
Действительно, Соr'ласно свойству 2, pa3llOCTb этих 'n:BYX функ
пий тождественный нуль.
2**. Если фун.кции /1 (z), ..., /k (z) рпулярНbl в облаСfJНl D /l
еСЛll некоторый ,Л,lflО20член 0(/1 (z), ..., fk (z» обращается в нуль
8 точках .множества Р а' то 0(/1 (z), ..., fk (z» о.
Заметим, что в качестве множества Р а можем взять, например.
некоторую окрестность точки а или сколь уrодно маJIЫИ участок
какой либо кривой, проходящий через точку а.
10]
ТЕОРЕМЫ ВЕйЕРIlIТРАССА О РЯДАХ
69
Если функция f (z) реrулярна в области D. то в некотороtl OKpeCT
1l0СТИ любой точки а Е D имеем f (z) == Щ (z; а). Поэтому. cor ласно
результатам 7 rл. 2.
] ' f(z+ h) f(z)
1т
h O h
' (z; а) == (' (z).
ТаКИМ обраЗ0М:
3. Функция f(z), ре2улярная в области D, имеет в каждой
точке этой области производную {'( z). Функция {' (z) тоже
ре2улярна в области D.
Применяя это утверж.n:ение повторно. получаем
3*. Функция f (z), ре2улярная в области D, имеет в каждой
точке этой области производные Всех порядков, которые тоже
будут функциями, ре2УЛЯРНbl.lfШ В области D.
И3 равенства
f ' + z a + (z a)' +
(z) === t\ (z; а) === со сl 11 С2 21 . . .
получаем
f 1n ) ( ) \I\(n) ( . ) + z a + (z a)' +
Z + z. а СП Cn+1 ----тт--- С ч 2 ...
Полаrая в последнем равенстве z === а, видим, что fln) (а) == сп. По-
этому ряд
f(a)+ z 11 а /,(а) + (Z-;t a )' f"(a)+...
сходится к функции f(z), ре2УЛЯРНОЙ В области D, 8 окрест-
HOCIOll любой точки а Е D. (Теорема Тейлора.)
Комбинируя утверждения 2** и 3*. получаем
4. Если ФУНКЦllll fl(Z),..., fk(Z) Ре2УЛЯРНbl в области D и если
аЛ2ебраическое дифференциальное уравнение
О (/1' f . .... (2. f . .... f k , fi....) == о
удовлетворяется в точках множества Р а' то
О (/1' { , .... f 2> ( . .... fk' fi.. ...) = о.
10. Теоремы Вейерштрасса о рядах
Пусть .n:aHa бесконечная последовательность степенных рядов 1 (z)
2 (z). .... и пусть ра.n:иусы сходимости всех этих рядов больше некото-
poro положительноrо числа р. Обозначим через К Kpyr I z I < р. Все
Ря.n:ы сходятся внутри и на rранице этоrо Kpyra.
т е о р е м а ], Если на окружности КРУ2а К ряд 1 (z) +
+ II (z) +... равномерно сходится, то в каждой внутренней
70
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
[rJl.3
точке кру?а К имеет место равенство
1).11 (z) + t:2 (z) + . . . === \:]3 (z),
2де (z) степенной ряд, полученный формальным сложеНllеАt
степенных рядов в левой части равенства.
Пусть
ro
n (z) === C n)Z/'.
" IJ
Теорема утверж.n:ает, что ря.n: ы
С с Ш +с <2' +с I3' +
" ,, " " ...
при любом k === О, 1, 2, ... схо.n:ятся и что ря.n:
ro
(z) === CkZ"
О
схо.n:ится в каждой внутренней точке Kpyra К, а ero сумма равна
1 (z) + '.)52 (z) + . . .
Поскольку ря.n: с общим членом I).ln (z) равномерно схо.n:ится на
окружности Kpyra К, .n:ля любоrо Е> О существует такой номер N.
что неравенство
i ncl (z) + '-\..ln+2 (z) +. . . + '-\.. n+т (z) I Е
у.n:овлетноряется в каждой точке z окружности кру['а К при любом
т> О, если только п > N. И3 наПl1СаllllO['О неравенства на основании
теоре:\ш * 9 r JI, 2 получаем, что
I In+l) + Jn+2) I + (n+т) I / Е (k О 2 )
IC/l C /, т-.'. С/, Pk ,== ,1, , .,.. (1)
ПОЭТО:'IУ ря.n:ы cjJ' + C ' + c'i1' +. , , == С" сходятся при любом /l == О.
1, 2, ,.. Если обозначить
.ln\ ( ,(1) + (2) L + (n)
1/, == С" с" С" I'." с" ),
то можем, Kpo le ТО1'0, утверж.n:ать, что при п> N выполняются
Ilеравенства
, r(п); Е ( k О [2 ) (2) .
," I pk ==" ,..,.
Возьмем точку z внутри Kpyra К. Tor.n:a I z 1== Рl < р, так что ряд
ro
(c l) +...+ cgz»z" == '-\..11 (z)+.. .+ n(z)
,, o
сходится. При п> N схо.n:ится также и ряд
т
'" (n)" с'"'\
L.J r" z ==".,..n(z).
" O
10] ТЕОРЕМЫ ВЕйЕРШТРАССА О РЯДАХ 7]
ибо в силу неравенства (2) ЭТОТ ряд мажорируется СХОДящимся рядом
i>: ( :I === 1 Е р l/P .
о
Очевидно, что
Е
IOn(Z)I 1 / .
p] Р
Поэтому ряд
со
CkZk === I (Z) +. . . + \.1. n (Z) + оП (Z) === IJ. (Z)
о
тоже сходится при выбранном значении Z и при n > N имеет место
неравенство
Е
I (z) 1.t1t (z) . ., n (z)! ===! оП (Z) I 1 Р]/Р ,
113 KOTopOrO в силу произволыюсти € получаем, что
\.1. (z) === I.t.lt (z) + \.1. 2 (z) +. . .
Тем самым теорема полностыо докюана.
Теорема, очевидно, леп<о переносится на ря.n:ы по степеням Z а
(или 1/ z).
ОТ теоремы .n:ля степенных рядов уже без oc060ro труда можем
перейти к теореме ДJIЯ реrулярных ФУНКЦИЙ:
т е о р е м а 2. Пусть фУН1сции fk (z), k === 1, 2, ..., ре2УЛЯрftbl
в области D, и пусть ряд
F (z) === [! (z) + (2 (z) + . . .
(3)
paBftO.AtepftO сходится в этой области. Сумма Э111020 ряда тоже
будет ФУН1сцией, рezУЛЯрftОЙ в облаС111и D. При этом ряд (3) .АtoЖftО
почлеftftО диффереftцировать, 111. е. при любом цеЛО.Аt k в каждой
точке областll [) справедливо равенство
F(k) (z) === f\k) (z) + f k) (z) +. ,.
Для доказательства возьмем ПРОИ3ВОJlЬНУЮ точку а Е D и 060зна-
чим через К Kpyr с центром в точке а, лежащий в области D вместе
с ero rраницей. На окружности ЭТО('О Kpyra ряд (3), очевидно, рав-
номерно сходится. Соrласно теореме Тейлора (см. 9) В Kpyre К
и на ero rранице справедливы равенства
l' + z a 1" (z a)2 { " +
Jn(Z) ===fn (а) IIJn(a)+ 2! n(a) '"
В силу .n:оказанной BbIllle теоремы сумма ряда (3)
кру('е К c:reneHHbIM ря.n:ом
,, . (z а)"
L.J (k kl .
k O
Поэтому
пяется в
"редстав-
(4)
72
nОНSlТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ
rrn. 3
rде Си == Лk) (а) + Лk) (а) +... Следовательно, функция F (z) реrулярна
в области D, так как точка а произвольная точка D.
Сравнивая разложение функции F (z) в ря.n: Тейлора
F ( ) + z а Р ' ( ) , (z а)" Р " ( ) +
F(z)== а 1! а -т- 21 а...
с ее разложением в степенной ря.n: (4), видим, что
Р(Н) (а)==Л k ) (а) + Л k ) (а) +...
Тем самым теорема полностью доказана.
Локазанную теорему мы будем в .n:альнейшем называть теоре.мой
Вейерштрасса о рядах реrулярных функций.
В качестве примера ИСПОЛЬЗ0вания теоремы Вейерштрасса мы ДOKa
жем сейчас сле.n:ующее утверждение:
т е о р е м а 3. Пусть функция I(z) рnулярна в областll D,
и пусть значения, приН/l.мае.мые ею в этой области, лежат
в Kpyze сходи.мостll степеНН020 ряда (z) == Со + CIZ +CtZ2 +. ..
Tozaa функция (х)
F(z)== cl,[/(z)]k (5)
О
тоже рnулярна в областll D и последнее равенство .можно пo
членно диффереНЦllровать любое ЧllСЛО раз.
Для доказательства возьмем какую либо замкнутуlO часть D 1
области D. Значения, принимаемые функцией I(z) на замкнутом MHO
жестве D 1 , образуют замкнутое множество, лежащее внутри Kpyra
сходимости ряда 'I. (z). Поэтому ряд (5) равномерно сходится на
множестве D 1 . В силу теоремы ВейеРlllтрасса сумма ряда (5) будет
реrулярной функцией во внутренних точках множества D 1 и ря.n: (5)
можно почленно .n:ифференцировать во внутренних точках этоrо MHO
жества. Поскольку множество D 1 это любая замкнутая часть обла
сти D. ero можно выбрать таким обраЗ0М, чтобы любая заданная точка
области D была внутренней точкой множества D 1 . Теорема Доказана.
В частности:
ЕСЛll фУНКЦllЯ I(z) реzулярна в области Д а ряд
$ (z)==co+ CIZ + C2Z2 +.,.
сходllтся во всей конечной плоскости, то су.м.АЮ ряда
F (z) == Со + Cl/(Z) + С2 [1 (Z)]2 +. , ,
тоже будет фУНКЦllей, реzулярной в области Д и последний ряд
.можно дllффереНЦllровать любое число раз.
Тлава чеmверmая
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Экспонента
Най.n:ем аналитическую функцию. для которой ее производная
совпадает с нею самой. Пусть
(х) (z a)n
(z; a)== cn пl
о
какой либо элемент этой функции. По условию ряд
, (х) (z a)n l (х) (z а)n
(z; а) == сп (п 1)1 С М 1 пl
1 о
должен совпадать с рядом 't (z; а). Для этоrо необходимо и доста-
точно, чтобы при всех п == О, 1, 2, . . . выполнялись равенства с n+1 == СП'
'Т. е. чтобы все коэффициенты сп были равны меж.n:у собой. Обозна-
чая через с общее значение всех коэффициентов, получаем
(х)
(z a)n
(z; а)==с 1 .
о п
(1)
Этот степенной ряд схо.n:ится всюду (см. один И3 примеров 2 rл. 2).
Следовательно, он определяет целую трансцендентную функцию. Та-
ким обраЗ0М:
Аналитllческая ФУНКЦllЯ, пРОllзводная которой совпадает с
нею самой, существует. она является целой трансцендентной
функцией II определяется с точностью до умножеНllЯ на пРОllЗ-
вольную постоянную. РазложеНllе этой ФУНКЦllll в степенной ряд
по степеням z а имеет Blla (1).
Постоянный множитель выберем таким обраЗ0М, чтобы элемент
z z'
наlllей функции, отвечающий точке а == О, имел вид 1 + il + 21 +
Z3
+ 31 + . .. Такую функцию, определенную уже полностью, обозна-
чим через ехр z или e Z .
74
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
Ir'JI, 4
с каждой ТОЧКОЙ а связано по формуле (1) некоторое значение
С, зависящее от а. Это значение с можно определить И3 равенства
(х)
( z a ) n
ехр Z === с (а) L.J пl '
u
которое заПИlllем в виде ехр (:?' + а) === с (а) ехр z. Полаrая в после.n:
нем равенстве z === О, находим, что с (а) === ехр а, так как ехр (О) === 1.
Сле.n:ователыю, функция ехр z удовлетворяет ФУНКЦllOнально.му
уравнению
ехр (:?' + а) === ехр а. ехр z.
(2)
Это функциональное уравнение можно записать в более симметричном
виде
ехр (Zj + Z2) === ехр Zj . ехр Z2'
Применяя функционаJlьное уравнение несколько раа, получаем, что
ехр (ZI + Z2 +, .. + Zn) === ехр Zj . ехр Z2' . . .' ехр Zn'
Считая в последнем равенстве все числа Zk равными единице, Haxo
дим, что
ехр п === (ехр 1 )n.
(э)
Далее, полаrая в равенстве (2) а === Z, мы видим, что 1 ===
=== ехр z. ехр ( z), т, е.
exp( z)===
expz
Значит, равенство (3) имеет место и .n:ля целых отрицательных 3Ha
чений п. Поскольку
1 1 1
ехр 1 === 1 + 1I + 2! + :i( + ... === е ,
мы видим, что определенную нами функцию .n:овольно естественно
обозначать e Z , так как при любом целом п она равна числу е, B03
Be.n:eHHoMY в степень п.
Функция ехр Z или e Z , определенная выше, называется aKcпOHeH
той или показательной функцией.
Подытожим найденные BbIllle свойства показательной функции:
1. Во всей комплексной плоскости справеДJIИВО рааложение
z Z2
e Z ===l + Н+2I+'"
Поэтому функция e Z является целой трансцендентной функцией, имею
щей единственную особенность существенно особую точку в бес
конечности.
2. Функция e Z удовлетворяет соотношению :z e Z === e Z .
21
триrОНСМЕТРИЧЕСКИЕ Ф НКЦИИ
75
3. Для любых двух значений Zj и Z2 имеет место равенство
eZ, -1 z. === e Z ] . eze. Это свойство нааывается теоремой сложения для
показательной функции.
4. Поскольку И3 теоремы сложения сле.n:ует, в частности, что
1
e Z === e z , функция e Z при любых Z имеет значение, отличное от нуля.
Иными СlIовами, ФУШСЦllЯ e Z не имеет нулей во всей комплексной
плоскости.
2. Триrонометрические ФУНКЦИИ
НаПИlllем равенство
iz === 1 + .. + (iz)' + (iz)" +
е l! 21 3! . , . ,
справ .n:ливое при любом комплексном Z и заПИlllем правую часть
этоrо равенства в виде cos Z + i sin z, rде через cos Z и sin Z обо
значены суммы рядов
z' Z4
cos Z === 1 2! + 4! ... ,
z:I Z5
sin z===z +'"
". ;).
(1)
Так как степенные ряды (1) схо.n:ятся всю.n:у, то определяемые этими
рядами функции cos Z и sin Z целые трансцендеНПI lе функции.
Поскольку, соrласно определ нию, имеет место равенство e'z === cos Z
+ i sin z, то свойства функций cos Z и sin Z прош.е Bcero выводить
iИ3 уже И3Rестных нам свойств показателыюй функции.
Основные
1. Имеют
свойства функции cos Z
место СООТНОlllения
d .
(jz sш z === cos Z,
и siп Z таковы:
d cos Z=== sin z.
dz
(2)
'{роме Toro, sin О === О, cos 0=== 1.
Функция sin Z Ilечетная, а функция cos z четная, т. е. имеют место
равенства
sin ( z)=== sin Z cos( z)===COSZ,
Bc отмеченные выше свойства очевидным обраЗ0М получаются
113 формул (1),
2. СправеДЛИRО СООТНОlllение
cos 2 z+sin 2 z = 1. (3)
Оно немедленно получается перемножением равенств
e iz === cos Z + i sin z, е .iz === cos Z i sin z.
3. Для функций cos Z и sin Z имеют место сле.n:уюшие теоремы
сложения:
sin (Zj Z2) === sin ZI cos Z2 + COS Zj sin Z2,
cos (Zj + Z2) === cos Zl COS Z2 sin Zl sin Z2'
76
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКUИй
rrл. .f
Они доказываются с помощью теоремы сложения .n:ля ПОI<ззательной
функuии
е::!:: i(z] + z21 == е::!:: iZI . е::!:: iZ2,
которая записывается через cos Z и siп Z в виде
cos (Zl + Z2) + 1 sin (Zl + Z2) == (cos Zl + i sin Zt). (cos Z2 + 1 sin Z2).
Покажем, что функuии cos Z И sin Z при .n:ействительных значе
ниях Z совпадают с функuиями, обозначаемыми в анализе теми же
символами, т. е. с триrонометрическими функuиями.
Для этой uели наПИlllем равенстпа
х== cos Z, у== sin Z (4)
и бу.n:ем считать Z .n:ействительным числом. И3 равенств (1), опре.n:е
ляющих функuии cos Z И sin Z, видно, что при .n:ействительном Z
значения cos Z и sin Z тоже .n:ействительны.
Поэтому х и у можно считать прямоуrоль
IIЫМИ координатами некоторой точки пло
CI<ости. В силу формулы (3) ТОчка (х, у) при
любом действительном Z расположена на
окружности х 2 + у2 == 1. Значению Z == О
отвечает точка S(I, О). Пля малых ПОЛОжи
sinz
тельных значений Z ФУНКllИИ COS Z И ------Z t
как видно И3 формул (1), бу.n:ут положи
телыlЫ и близки к единице, И3 равенств (2)
ви.n:но, .n:ля малых положительных Z функ
ция cos Z убывает при возрастании Z, а функция sin Z возрастает.
При этом точка Р (х, у) (рис. 15) .n:вижется по окружности против
часовой стрелки, начиная от точки S (1, О), отвечающей значению Z == о.
При упеличении z точка должна продолжать .n:виrаться по окружности
против часовой стрелки, так как изменение направления движения
0значало бы, что производные функций cos Z и sin Z (т. е, функ
ции siп Z и cos z) в одной и той же точке переменят знаки на
обратные. Это невозможно, поскольку И3 равенства (3) ви.n:но, что
функции sin z и cos Z не MorYT o'n:HoBpeMeHHo обратиться в нуль.
Обозначим теперь через <р .n:лину дуrи SP (считая, что
тс< <р 7t). Тоrда
( ; )2 === ( : y + ( y ==( sin Z)2 + (COSZ)2== 1,
oTKy.n:a нахо.n:им, что <р == z. Таким обраЗ0М, на рис. 15 величина z
равна длине .n:уrи, отсчитываемой от точки S до точки Р. Эта длина
берется со знаком, зависящим от направления отсчета.
S'
S"
Е'"
рис, 15,
s
Итак, мы доказали, что при действительных зна'lениях Z функции
COSZ и sinz совпадают с триrонометрическими функциями, ИСПОЛЬ3У
3]
лоrАРИФМ
77
емыми в анализе (и носящими те же обозначения), Это Совпа.n:ение
1t О ." 1
позволяет нам утверж.n:ать, что cos 2 ===, sш 2 === .
Используя эти равенства, леrко получаем с помощью теорем сло
жения, что
sin (z + i) === siп zcos + cosz sin == cosz,
( ,,' ".. 1t .
COS Z + "2) === cosz cos 2 sш z sш 2 === sш Z,
1t
а заменяя в этих равенствах z на z + :2' находим, что
sin (z + 7t) === sin z, cos (z + 7t) === cosz.
Заменяя теперь z на z + 7t, имеем
sin(z+27t)=== sinz,
cos(z + 2т;) === cosz.
(5)
(6)
(7)
(8)
Равенства (5) (8) полезно написать и для показателыlOЙ функции.
Они принимают вид
ф+;) .
е === ie'z, ei(z+1t) === e iz , ei(z+ 27.J === e iz .
1ti
Очевидно, их можно свести и к более простьш равенствам, ДaIОЩИ:\1
8начение показательной функиии в некоторых точках. Именно:
2 === i, e1ti === 1, e 2 7.i === 1.
Равенство (8) и соотпетствующее равенство для показательной
функции означают, что
ТРlli!OIю.метРllчеСКllе фУНКЦZlll cosz II sin z zz.меют перzюд 2т;,
а показательная функция tuteem перzюд 2т;i.
Мы ви.n:ели, что при изменении ер от т; до 7t точка ei'P === cos:p +
+ i sin ер пробеrает окружность е'n:l-!ничноrо Kpyra один Ра3 против
часовой стрелки. Значит, точка ре''Р, r.n:e р любое положительное
число, пробеrает окружность (тоже о.n:ин раз против часовой стрел
ки) ра.n:иуса р с центром в нуле. Следовательно:
Любое отличное от нуля ко.мплексное число z .можно запzt
сать в виде z === pei'P (р> О, 7t < ер 7t) II прито.tll только oд
Нlи! способо.м. .
Ясно, чтС' при такой записи р это мо.n:уль z, а ер aprYMeHT z.
3. ЛоrарифYl
Под ЛОi!арllф.мо.м КО.мплеКСНОi!О чzzсла z бу.n:ем понимать
КУШIOСТЬ тех значений w, которые удовлетворяют уравнению
e W === z.
Для обозначения лоrарифма бу.n:ем ИСПОЛЬЗ0вать символ
COBO
(1)
ln z.
78
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rд.4
Поскольку показателыl3Я функция не принимает значений О
и 00 , эти значения z при рассмотрении лоrарифма сле.n:ует исключить.
Пусть за.n:ано какое либо конечное комплексное ЧИСJЮ z, ОТJlИч
ное от ну ля, т. е. пусть
z===pei'P (р> О, 'It< ер 'It),
Если положить w === 11 + iv, уравнение (1) заПИlllется в виде
е и . ei'V === pei'P,
Отсю.n:а находим
си === р,
ei'V === ei'P.
Прv. :1зменении и от О до + 00 величина
11 112
е и === 1 + 11 + 2! +...
монотонно возрастает от 1 .n:o 00 , а в силу равенства е и === l/е "
величина е и монотонно убывает от 1 .n:o О , Kor.n:a и меняется от О
до 00 . Поэтому уравнение е и === р имеет ровно одно действитель
ное решение, которое мы обозначим через (1п р) (ясно, что (ln р) === lп Р
в том смысле, в котором лоrарифм опре.n:еляется в анализе).
Пля отыскания всех действительных реlllений уравнения e iiJ === ci.p
введем величину t === v C!J . Tor да написанное уравнение примет ви.n:
си === 1, Коrда t меняется T О .n:o 27t точка еи пробеrает окружность
ра.n:иуса 1 с центром в нуле один раз против часовой стрелки, Поэ
тому t === 21t является наименыllмM положитеЛЫIЬШ решением ypaBHe
нии еи === 1. Общее реlllение этоrо уравнения В силу перио.n:ичности
функции e i ! с перио.n:ом 21t равно t === 2'1tn, r.n:e n любое целое чис
ло, Возвращаясь к исхо.n:ным обозначениям, получаем, что формула
v === ер 2rщ дает нам общее решение уравнения i v === ei'P.
Таким обраЗ0М, мы ПРИlllЛИ к следующему утверждению:
Пусть
z===pei'P (р>О, 'It<ep 'It).
Общее решсние ypaBHcНllH е и ' === z lUtcem вид w === (lп р) + iep + 2'1tin,
2де (ln р) === lп Р (лоrаРИ(!' 1 понимается в том смысле, в котором он по
ним ается в анализе). а n любое l{елое число.
Так как n любое целое число, то lп z, определенный нами как
совокунность всех решений уравнения C W === z. это мноrозначная
«фУIllЩИЯ» (слово «функция» понимается ЛИlllЬ в некотором неопре
делеНIIО общем смысле), причем число возможных значений этой
«ФУIll(ЦИИ» в каждой точке бесконечно,
Решение уравнения e W === z, отвечающее значению, равному нулю,
мы наЗ0вем i!лаВНbl.м значенuе_lt ЛОi!ариф.ма и обозначим через (ln z).
(В частном СJlучае, Kor.n:a z действительно и ПОJlожитеJJЫЮ, функ
LЩЯ (1п z) совпадает с лоrарифмом, употребляемым в анаJJизе.) Иначе
!i 3)
лоrАРИФМ
79
rоворя, (ln z) == (ln р) i:p, r.n:e р мо.n:УЛЬ z, а 'р значение arg z,
удовлетворяющее условию 71: < 'р 71:.
Любое значеНllе ЛО2арllф.лtа получается llЗ 2лаВНО20 значеюlЯ
пРllбавлеЮlе.лt цеЛО20 1СратНО20 Чllсла 271:i.
Рассмотрим теперь область D, состоящую И3 всех точек комп
лексной плоскости, за исключением точек отрицательной части .n:ейст
вительной (в том числе и точки z == О), Область D может быть BЫ
делена неравенством I arg z 1<71:. Возвращаясь к функции (1" z), мы
ви.n:им, что область D является частью области определения этой
функции. Леrко ви.n:еть также, что функция (ln z) непрерывна в об
ласти D. Покажем, что эта функция .n:аже реrулярна в области D,
Возьмем какую либо точку а области D. Нам нужно ПОI<азать,
чтО в некоторой окрестности точки а имеет место разложение в
степенной ряд
(lп Z)==(ltl а) + С 1 (z а) + C2(Z а)2 +...,
которое заПИlllем в ви.n:е
со
(1" z) == (lп а) + ч. (z; а), (z; а) == I: c k (z а)",
1
Если такое равенство имеет место, то для достаточно малых I z al
должно выполняться и равенство
еПп а) + (z; а) == Z
иди
e':t3 (z; а) ==
а'
Это 0значает, что
1 + Цz; а)+ ,}, [ч.;(z; а)]2+...==-=--,
. а
а ПОСКОЛЬКУ в силу теоремы ВейеРlllтрасса о рядах И3 1 О r л. 4
это рапенство можнО почленно .n:пфференцировать, получаем, что
ч.,' (z; а) {1 + ч. (z; а) + i! [\ (z; a)1 2 +. . .} == .
Иными слопами, искомый ря.n: \ 3 (z; а) должен у.n:овлеТВОРIIТЬ ура[l
нению
(х)
\' (z; а) == , т. е, (/l + 1) Ck+1 (z a)k == .
z z
о
При ! z а I < i а имеем разложение
) I 1 z а + (z а)"
z== a+(z a) ==a G" ...
Поэтому И3 уравнения для леrко нахо.n:им, что ряд \i (z; а) дол-
жен иметь ви.n:
ш ( ' ) z а . (z а)2 + (z а)"
+' z, а а 2 а" 3 аН
80
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМ.ЕНТАРНых ФУНКЦИй
[fJI,4
Мы знаем, что ряды i- (z) и '(z) схо.n:ятся В одном и том же KPy
re (см. 7 rJI. 2). Поэтому найденный ряд (z; а) должен схо.n:иться
в Kpyre I z а I < I а I (в чем леrко убедиться и непосредственно).
Этот Kpyr обозначим через Као Ero центр в точке а, а ero окруж
ность проходит через точку z === О.
Покажем, что .n:ля всех z Е Ка ря.n: IJ (z; а) действительно YДOB
летворяет уравнению
еОП а) + (z; аl === Z.
(2)
Д.1Я этой цели замети:\!, что по теореме ВейеРlllтрасса о рядах имеет
место равенство
соп а) + (z; а) === а {1 + (z; а) + ! ['1.5 (z; а)]2 +. . .} === '1. 1 (z; а).
Дифференцируя это равенство, получаем, что
aIJ.I' (z; а) {1 + (z; а) + l [ (z; а)]2 +...} === (z; а),
1
или, поскольку ' (z; а) === z'
Пусть
% (z; а) === z'1. ; (z; а).
1 (z; а)===а + Ь 1 (z а) + Ь 2 (z а)2 +...
Tor.n:a полученное СООТНОlllение для ряда 1J. 1 (z; а) дает нам
а + Ь 1 (z a) +b2(Z а)2 +..,===
=== [а +(z а)] {Ь 1 + 2b 2 (z а) + 3Ь з (z a)'" +.. .}.
Сравнивая коэффициенты, нахо.n:им
Ь 1 === 1, Ь 2 === О,
Ь з === О, . . .
Это 0значает, что 1 (z; а) === а + (z а) === z, и тем самым равенство
(2) доказано.
И3 равенства (2) сле.n:ует, что для каждой точки z Е Ка имеет
место равенство
(In а) + 3 (z; а) === (In z) + 27tпi,
r.n:e п некоторое целое число, вообще rоворя, зависящее от точ
ки z. Покажем, что для точек z, лежащих не только в Kpyre Ка' но
еще и в области D, сле.n:ует брать п === О. Действительно, в силу pa
венства
[
п (z) === 2 ' [(In а) + (z; а) (In z)]
'"/
число п (z) является непрерывной функцией z в общей части Kpyra
Ка И области D (напомним, что In (z) непрерывная в области D
функция). Поскольку число п (z) равно нулю .n:ля точки а, то оно
ДОJIЖIJO быть нулем и во всем пересечении Kpyra Ка С областью D.
3]
лоrАРИФМ
81
Итак, мы ПРИlllЛИ к сле.n:ующему утверж.n:ению:
Тлавное значеНllе (In z) ЛО2арифма в О1срестности каждой
точки а области D представляется сходЯЩllМСЯ степенным vя
доМ
( 1 ) ( 1 ) + :.=!!. J... (z а)2 + J... (z а}З
n z n а а 2 а 2 3 аЗ
Тем самым .n:оказано, что ФУЮСЦllЯ (ln z) ре2улярна в областll D.
Кроме Toro, И3 полученноrо разложения в ряд видно, что функ
ЦllЯ (ln z) удовлетворяет дllфференциальному уравнению
d 1
d (In z) == .
z z
Если мы устремим точку z Е D к точке р, лежащей на отрица-
тельной части .n:ействителыюй оси, то И3 формулы .n:ля (In z) ви.n:но,
что пре.n:ел (ln z) бу.n:ет равен (In р) + т;i или (In р) т;i в зависимости
{)т Toro, стремится ли точка z к точке р сверху или снизу.
Ясно, что функция (In z) + 2'itin при любом фиксированном п то-
же реrулярна в области D. Обозначим ее fn (z). Покажем, что фуюс-
Цllll
. . ., { 2 (Z), / l (Z), {о (Z), fl (Z), /2 (Z), . . .
зто ре2улярные ветви одной II той же аналитической фуюсции.
Для этоrо .n:остаточно доказать, что при любом целом п сре.n:и про
должений какоrо-либо элемента (z; а)
функции fn (z) имеется какой-либо эле-
мент '{ (z; Ь) функции /n+l (z).
Выберем точки а и Ь симметричными
-относительно .n:ействителыlOЙ оси, причем
так, чтобы величина R.e а == R.eb была OT
рицательна (рис. 16). Поскольку ря.n: ы
(z; а) и (z; Ь) имеют круrи схо.n:имо
сти I z а I < ! а I и I z Ь 1<1 ь I COOT
ветственно, то ви.n:но, что при HallleM BЫ
боре точек а и Ь эти круrи схо.n:имости
бу.n:ут иметь своей общей частью некоторый отреЗ0К отрицательной
части .n:ействительной оси, Пусть z == р какая либо точка этоrо
отрезка. В этой точке имеем
(z; а) == (In р) + тci + 2'itin,
Щ (z; Ь) == (ln р) 'iti + 2т;Цп + 1),
а
т
I
I
1
I
I
I
I
I
I
1
Ь
I
p
I
О
Рис, 16.
т. е. Щ (z; а) == Щ (z; Ь). Поэтому в силу 8 rл. 2 ря.n:ы Щ (z; а) и
Щ (z; Ь) бу.n:ут непосре.n:ственными продолжениями друr друrа.
82
ИССЛЕДОВАНИЕ основных ЭЛЕМ.ЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл,4
Сле.n:овательно:
Функция 111 Z является аналитической функцией, составленной
из беС1сонеЧНО20 .множества ветвей, ре2УЛЯрНЫХ в областnи D.
Свойства аналитической функции 111 Z теперь леrко вывести из
свойств показателыlОЙ ФУНЮlИи.
Например, И3 равенства
е 111 zl+ 111 Z2 === е 111 ZI . e 111Z2 === 2122
сразу следует, что выражение 111 21 + 111 22 является о.n:ним И3 значе
ний 111 (21Z2)'
Равенство
111 21 + 111 Z2 === 111 (ZIZ2)
(3)
следует ПОl1имать в таком смысле: если 111 Z. и 111 Z2 два каких то
определенных значения И3 бесконечноrо множества значений, которые
отвечают этим СИМВОJIa:VI, то 111 ZI + 111 Z2 ЭТО одно И3 бесконечно['о
множества значений, отвечающих 111 (Z122)'
Если для 111 21 И 111 Z2 взять rлавные значения, то это утвержде
ние принимает более специальный ви.n::
Пусть
21 === Pl ei 'f]
Z2 === P2ei'f'2
(Рl > О, ... < 1J. ...),
(Р2 > О, ... < СР2 ...).
ТО2да
(111 2д + (111 22) === (111 (2122» + 2...iп,
2де п === О, 1 илzz 1, в за81zси.мостnlZ от Тn020, lСЩСО.му из Hepa
BeHcТnB
... < СР1 + СР2 ...,
1t < СР1 + СР2 2...,
2... < СР1 + СР2 ...,
удовлетворяет су.ttяа ар2у.ментов СР. и СР2 чисел ZI II Z2'
4. Степень с nроизвольным nоказателем
Если т целое положительное число, то под степенной функци
ей Zm понимают произве.n:ение т множителей, равных о.n:ной и той же
величине z. llля опре.n:еления степенной функции С ПРОИ3ВОЛЫIЫМ KOM
плексным показателем сле.n:ует ВОСПОЛЬЗ0ВЮЪСЯ лоrарифмом. Именно:
При любом 2"* О степенную фун1Cl lZЮ Zm опре.n:елим paBeHCT
вом
I
Zm === е т 111 Z === 1 + т 111 Z t- 2! [т 111 z1 2 +,..
(1)
И3 определения видно, что СИМВОJIУ Zm отвечает, вообще I'ОВОрЯ,
4]
с fEnEHb с nроизвольным ПОКА3АТЕЛЕМ
83
бесконечно MHoro значений:
ет[(lп z) +2 1tin] === ет (In z) . e 21tim 'l
(п === О, -+- 1, -+- 2, ' , ,).
Так как е' n (In z) "* О, то сре.n:и перечисленных значений будет
JlИlllЬ конечное число различныХ Tor.n:a, Kor.n:a сре.n:и чисел
e21timn
(п == О, 1, 2"..)
(2)
имеется лишь конечное число различных. И3 равенства e21timn == e 2 ;:imn'
нахо.n:им e 2 ;:im In n') == 1. Это возможно лишь Tor.n:a, Kor.n:a т (п п')
целое число, т. е. Kor.n:a т рациональное число. Обратно, если
r
т == Р ационаЛЫlOе число (r и s не имеют общих .n:елителей),
s
то среди чисел (2) бу.n:ет только s различных меж.n:у собой. В Ka
честве различных s чисел можно взять, скажем,
21tin
s
е
(п == О, 1, 2,..., s 1),
r
Итак, фуюсция zm == Z s, 2де r и s целые Чllсла, является
s значной фующией.
rлавным значением ФУНКЦllll zm называется то ее значение, KO
торое отвечает rлавному значению лоrарифма, т. е. е т (lп z). fлавное
значение функции Zm мы бу.n:ем обознаЧа1Ъ (zm).
В области п, состоящей llЗ всей lСО.4fплеlССНОй пЛОСlсости, за
исключением точеlС отрицательной части действительной оси,
ФУЮСЦllЯ (Zm) реzулярна.
Действителыю, в некоторой окрестности любой точки а Е D имеем
z a 1 (z a)2 ,
(ln z)==(ln a)+ 'Т а2 +" ,== \,
так что
(zm) == em(Jп z) == 1 + + 2 2 + ' . . == 1 (z; а),
По теореме 3 1 О r л. 3 сумма ря.n:а, стоящеrо в правой части pa
Бенсша, пре.n:ставляет собой ряд по степеням z а, схо.n:ящийся в
некоторой окрестности точки а. Тем самым реrУЛЯРIlОС1Ъ функции
(Zm) В области D .n:оказана.
Можно опре.n:елИ1Ъ коэффициенты ря.n:а
l(Z; a)==c O +c 1 z а a + C2 ( z а ау +,..
Дифференцирование равенства, полученноrо выше, .n:aeT
т ет(lп z) Щ' ( Z' а )
z +1 , ,
(3)
т. е.
m 1 (z; а) == z (z; а) == а (1 + z а а) (z; а).
84
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНых ФУНКЦИй
[rл, .f
Отсю.n:а нахо.n:им
ro ro
т 2>n ( Z а a )n == а ( 1 + : )! !' ( Z а а ) н ==
о 1
ro ro
== !(п+l)С п + 1 ( Z а a )n + !nc n (Z а a)n
о о
и, сравнивая коэффициенты, получаем СООТНОlllение
(п + 1) с п +l ==(т п) сп (п==О, 1, 2,.. ,).
Последовательно опре.n:еляя коэффициенты И3 этоrо СООТНОlllения, "o
лучаем, что
т 11I(m l) m(m- I)(m 2)
Сl==Т С о' c2== I co' С3== 1.2 .3 со,...
Общая
формула имеет ви.n:
сп == (:) со'
( т ) т (т 1) ,., (m n+ 1)
r.n:e
п 1.2..,..n
Полаrая z == а в равенстве em\ln z) == '1- 1 (z; а), нахо.n:им, что
со == е т (1п а) == (а т ).
Таким обраЗ0М, в OKpecmHocmll любой тОЧ1Сll а области D и.меет
.место разложение ФУНКЦUll (zm) В следующий степенной ряд:
(zm)==(a m Hl+ (7) Z а a +( )( z а a /+(;)( Z а а)з+...}.
Все прочие значения степенной функции zm получаются И3 ее
rлавноrо значения умножением на постоянные множители (2).
Тем же способом, что для лоrарифма, .n:oKa3bIBae:ll:
ФУНКЦllЯ zm является анаЛll1llllческой функцией. составленной
uз неlсотОрО20 Чllсла реi!УЛЯрНЫХ в области D ветвей.
С помощью равенства (1) можно написать СООТНОlllение
z':'z == e m1n zl + т1п Z2 == emln(ZlZ2),
Т. е.
z':'z == (ZIZ2)m.
После.n:нее равенство сле.n:ует ПОНИ:l-IЮЪ так: произведение какоrо либо
значения z'J' и какоrо либо значения z является одним И3 значеНИЙ(ZI Z 2)т.
В том же смысле сле.n:ует пони мать и равенства
ln zm == т ln z,
(zm)m1 == Z mm l.
Тлава пятая
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
. 1. Равномерная непрерывность и равномерная
дифференцируемость аналитических функций
Мы бу.n:ем rоворить, что функция f(z) рezулярна на замкнутом
множестве Е, если она реrулярна в некоторой области, со.n:ержащеЙ
это множество.
Пусть функция f(z) реrулярна на замкнутом множестве Е. Если
а любая точка Е, то .n:ля всех точек z Н3 некоторой окрестности
точки а справе.n:ливо разложение
f f I z а { ' + (z а)2 п +
(z) == (а) T"""l! (а) 21 f (а) . ..
(1)
Ра.n:иус схо.n:имости написаНlюrо степенноrо ря.n:а не MeHbllle pac
стояния от точки a.n:o rраницы области реrулярности (со.n:ержащеЙ
множество Е). Нижняя rрШIЬ таких расстояниЙ по всем точкам а Е Е
положительна. Обозначим через р некоторое положительное число,
MeHblllee этоЙ нижней rрани, а через М максимум мо.n:уля функции
f(z) на множестве, получающемся объе.n:инением всех кружков.
I z а I р, а Е Е (это множество замкнуто и по-прежнему лежит
внутри области реrулярности функции f(z), так что она непрерывна
и оrраничена на HeM
При этих обозначениях .n:ля любых а Е Е на окружности Iz аl == р.
имеет место неравенство If(z) I м. Поэтому на основании Teo
ремы 9 r л. 2 можем написать неравенС'ша
! If(n) (а) I
(п == О, 1, 2, . ..).
(2)
Эти неравенства с фиксированными М и р бу.n:ут справедливы в каж
дой точке а Е Е. С их помощью получим некоторые оценки, необхо
димые нам .n:ля .n:альнеЙlllеrо.
Пусть а и Ь 'n:l'Je точки HalllerO замкнутоrо множества, у.n:овлет
воряющие условию Ib а! < 8 < р. Положив в равенстве (1) z == b
6
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[rл.5
JlОЛУЧИМ
f(b) f(a)===(b a)f'(a)+ (b;a)" fO(a)+ '.. (3)
11 в силу неравенств (2) при.n:ем к оценке
If(b) [(а) i a +а 2 + а з H+",=== рМ\ о
ДЛЯ любоrо за.n:анноrо Е > О. можно выбрать величину а > о. столь
Мо
малОЙ, чтобы выполнялось неравенС1'ВО < Е, Сле.n:овательно:
p u
Если ФУН1сция f(z) ре2улярна на замкнутом множестве Е, то
-для люБО20 Е> О. существует такое а> 0., что неравенство
If(b) f(a) i < Е справедливо для любых двух точек а ,ll Ь ДHO
.жества Е, для которых I ь а ! < а,
Ины:vrи словами, функция, ре2улярная на за.Аl1Cнуто.At .Atножестве.
равномерно непрерывна на этом J tножестве.
Заметим, что этот факт можно было бы .n:ока3а1Ъ и более обыч
'ным путем, сослаВlllИСЬ на теорему о равномерной непрерывности
функции. непрерывной на замкнутом множестве.
ЗаПИlllем теперь равенство (3) в ви.n:е
I( = (a) f'(a)===(b a) f.'2 a) +(b a)2 fтila) + о..
'И обозначим JJ:,1IЯ краткости
f (ЬЬ = (а) [' (а) === 1"
Tor.n:a в силу тех же lIеравенств (2) получим
I I < '" М.J "'2 М I Мо
)' i U р" I U р" I . " р (р о)
Эта оценка .n:aeT нам возможность высказать сле.n:ующее утнерж.n:ение:
Если функция f(.?) рпулярна на за_М1снутО.4f .множестве Е,
ЛlО для любою Е> О. существует такое а> 0., что неравенство
I f (Ь) f (а) {' (а) I < Е
I b a
(4)
nраведЛllВО для любых двух точек а и Ь Аfножесnzва Е. для
.которых Ib а! < а.
Поскольку произво.n:ная функции, реrулярной на заМКНУТО:l<1 МIЮ
жестве, тоже реl'улярна на этом множестве, а значит, и равномерно
непрерывна на нем, то это утверж.n:ение можно еще HeMHoro усилить:
ЕСЛll ФУН1ЩllЯ f(z) рezулярна на за.'ltкнуто.At ДНО:JICсстве Е,
.то для люБО20 Е> О. с)'ществует такое а >0., что неравенство
I ((b = (a) f'(C)I<E
3]
ИНТЕrРИРОi3АНИЕ ПРОИЗВОДНОй от РЕrулярной ФУНКЦИИ
87
справедЛl180 для любых трех точеlС а, Ь и С .4fножеС11lва Е, для
которых I ь а : < 8 II i С а : < 8.
Свойство, о котором и.n:ет речь в после.n:них 'n:BYX теоремах, eCTe
ственно назвюъ раВНО_lfерной дифференцируе.мостью. Tor.n:a эти тео-
ремы можно сформулировать в сле.n:ующем ви.n:е:
Функция, ре2улярная на за.lщнуто.м .множестве, paBHo.lfepHO
дифференцируема на He.lf.
2. Интеrрирование степенных рядов
Сумма степенноrо ря.n:а
'1-: (z; а) == СО + С 1 (z а) + С2 (z а)2 +
является функцией, реrулярной внутри Kpyra схо.n:имости этоrо ря.n:а.
С .n:руrой стороны, каж.n:ая функция, реrулярная внутри Kpyra, может
быть разложена в степенной ря.n:, схо.n:ящийся в этом Kpyre. Поэтому
к вопросу об интеrрировании реrулярных функций естественно подойти,
опре.n:елив сначаJIа 1l0нятие интеrрала .n:ля ст п нноrо ря.n:а.
По ря.n:у '1-: (2; а) образуем ря.n:
'1- 1 (z; а)::::::: С + со (z а) + C (z а)2 + (z а)3 + . .. ,
r.n:e С произвольная постоянная. Ясно, что произво.n:ная '1- (z; а) от
ря.n:а '1-11 (z; а) равна '1-: (2; а), Поэтому ря.n:ы \.l5 (z; а) и 1 (z; а) имеют
о.n:ин и тот же Kpyr схо.n:имости.
Ря.n: '1- 1 (2; а) мы бу.n:ем называть неопределенны.м инте2рало.м
от ря.n:а \.1.: (2; а).
3. Интеrрирование nроизводной от реrулярной функции
Сейчас нам при.n:ется напомнить некоторые опре.n:еJIения, связанные
с понятием кривой на плоскости.
Если дано уравнение 2 == Z (t), а t Ь, r.n:e 2 (t) непрерывная
комплекснозначная функция .n:ействителыюrо параметра t, то мы I-OBO
рим, что .n:aHO параметРllчеСlсое ура8неН11е кри80й. Мы скажем, что
два параметрических уравнения
и
z == ZI (t),
Z == 22 (8),
аl t Ь 1 ,
а2 8 Ь 2 ,
определяют O'n:HY и ту же кривую, если существует такая непрерывная
монотонная функция 8 == ер (t), опре.n:еленная на отрезке Щ t Ь 1 ..
ДJIЯ котороЙ
се (аl) == а2'
ер (Ь 1 ) == bi,
22 (ер (t» = "'1 (t).
"88
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АнАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл,5
Если кривая не имеет точеlС са.мопересечеНl1Я, т. е. если урав-
нение Z (t) === А имее'l' при любом А не более O'n:Horo реlllения на
интервале а < t < Ь (леrко проверИ1Ъ, что это свойство сохраняется <
при перехо.n:е от o'n:Horo параметрическоrо уравнения к .n:pyroMY), то
.она называется простой lСрl1ВОЙ (И.llИ жордаНО80Й Крl1ВОЙ).
ffривая это не только rеометрическое место точек, изображае-
мых ее параметрическим уравнением. Условия равносилыlOСТИ 'n:BYX
параметрических уравнений показывают, что перехо.n: от o'n:Horo урав-
нения к друrому не меняет поря.n:ка сле.n:ования точек на кривой.
Сле.n:ователыlO, за.n:авая кривую, мы за.n:аем множество точек и поря.n:ок,
в котором ЭТИ точки сле.n:уют друr за .n:pyroM. ЕСJIИ кривая простая
кривая, то есть ЛИlllЬ один естественный поря.n:ок следования точек
{с точностью .n:o противоположноrо). но .n:ля кривых с самопересече-
ниями это уже не так.
ffривую называют за.4t1Cнутой, если ее начало совпа.n:ает с ее кон-
ЦОМ, т. е. Z (а) === z (Ь). (Ясно, что УСJlовие замкнутости не зависит
от выбора параметрическоrо уравнения.)
Пусть нам .n:aHa кривая L с началом в точке А и с концом в точке В.
Возьмем на кривой L ПРОИ3ВОЛЫlУЮ конечную после.n:ователыlOСТЬ
точек ZI' Z2' ..., Zn> сле.n:ующих .n:pyr за 'n:PY"OM при .n:вижении по кри-
вой. Обозначим через Ln ломаную с верlllинами ZI' Z2' "., Zn (пере-
.численными тоже в поря.n:ке сле.n:ования), а через ln .n:лину ломаной Ln.
Если верхняя rpaHb .n:лин всех ломаных Ln конечна (при любом вы-
.боре точек Zk и при любом их числе), то мы наЗ0вем кривую L
спря.llляе.мой, а sup ln наЗ0вем дЛllНОЙ 1 lСрl1ВОЙ L.
ДЛЯ функции f (z) === /1 (х, у) + iv (х, у), заданной на спрямляемой
кривой L, опре.n:елим llнте2рал
J(Z) dz
L
равенством
/(z)dz === lldx vdy + i VdX+lldy.
L L L
Вспоминая опре.n:еление интеrрала по спрямляемой кривой от .n:ей-
твителыlЫХ функций, можем .n:юъ и .n:pyroe опре.n:еление:
Инте2рало.м от фУЮСЦllll f (z) по спРЯ.Alляе.мой Крll80Й L назы-
вается предел l1нте2ральных су.м.м ви.n:а
n-I
f( k) (Zk+1 Zk).
о
.з.n:есь Z" точки кривой L, следующие друr за друrом в поря.n:ке
номеров, причем точка Zo совпадает с началом, а точка Zn С концом
!\3]
ИНТEfРИРОВАНИЕ производноI'f от РЕrУЩIРНОI'f ФУНКЦИИ
89
кривой [; точки I:k лежат на отрезках кривой L между точками Z/,
и Zk+1; пре.n:ел берется при условии, что тах I Zk+1 Z/, I ст{:емитсS1
k
к нулю.
Б анализе .n:оказывается, что предел uнте2ральных сумм суще
ствует для любой ФУНlСЦ1ll7, непрерывной на спрямляемой /СРUВОЙ [.
llокажем сейчас сле.n:ующее утверж.n:ение:
т е о р е м а 1. Пусть /(z) 11 ft (z) две фуюсцuи, ре2улярные
в области D и связанные соотношением I (z)==/(z). Если L
произвольная спрямляе.#ая /сривая, лежащая в обласпlll п, имею
щая начало в точ/се а Е D Il lCонец В тОЧ1Се Ь Е п, то
/(z)dz==/1 (Ь) 11 (а).
L
Поскольку точки кривой образуют замкнутое множество, лежа
Ш,ее по условию внутри области D, функции I(z) и ft (z) реrулярны
на кривой [. Соrласно после.n:ней теореме 1 это 0значает, что .n:ля
любоrо Е> О существует такое 8> О, что неравенства
I Jl(Zk+]) Jl(Zk) /(l:k) I <E (k==O, 1, ..., п 1)
Zk+l Zk
бу.n:ут выполнены при УСЛОВИИ, что
тах ;Zk+1 Zk I < 8,
k
тах Il: k Z/, 1<8.
k
Обозначим
Ik == J] (zk+]) J] (Zk) 1 (I:k).
Zk+1 Zk
Tor.n:a
11 (Zk+l) ft (Zk) == 1 (I:k) (Zk+1 Zk) + Ik (Zk+1 Zk)'
и, складывая эти равенства, получаем (поскольку ZN == Ь, а Zo == а)
n-I
11 (Ь) 11 (а) == /(I:k) (Zk+l Zk) + Rn,
о
r.n:e
Rn==10(Z1 Zо)+11(Z2 zд f---- ... +ln I(Zn Zn 1)'
Но
I Rn.1 E(! Z1 Zo! + I Z2 Z1! +.. .+\ Zn Zn 1 i)==Eln EI,
r.n:e 1 .n:лина кривой L (cor лаСl10 опре.n:елению .n:лины кривой). Сле.
довательно,
n-I
1л (Ь) 1 (а) 1 (I:k) (Zk+l Zk) I < El,
о
и поскольку ЧИСЛО Е> О произволыlO мало, мы получаем утвержде
иие теоремы.
90
ИНТЕ['РиРовАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[fл.5
llоказанная теорема r ласит, что величина инте2рала не зависит
от выбора кривой, соединяющей тОЧ1Cll а и Ь, еСЛll толысо эта
кривая лежит в области ре2улярности ФУНКЦ1111 {l (z).
И3 опре.n:еления интеrрала непосредственно сле.n:ует неравенство
n 1
I f(z) dz I liт If( k) 11 Zk+l Zk /.
L О
Пре.n:ел в правой части обычный криволинейный интеrрал первоrо
po.n:a от .n:ействительной функции //(z) 1. так что это' неравенство
можно записюъ в ви.n:е
v
I f(Z)dz I //(z)! I dz 1.
Обозначая М == тах! f(z) 1, не lе.n:ленно получаем очень уnотребитель
zEL
ную оценку
I /(Z)dz I Ml,
иrраlOЩУЮ в теории аналитических ФУНКI{ИЙ примерно ту же роль,
что и интеrраЛЫIaЯ Teop Ma о cpe'n:HeM в анализе. Иными словами:
Модуль инте2рала не превосходllт произведсния .максижужа
_модуля подинте2ральной функции на длину пУПlll l1нте2рl1рования.,
Если на'IaЛО кривой L совпа.n:ает с ее концом, мы ПОJIучае 1 част
ный случай теоремы об интеrрале от ПРОИ3IJОДНОЙ реrулярной Фушш,ИИ:
Если ФУЮЩl1Я /1 (z) ре2улярна в области п, а L любая за.J.[lС
нутая спРЯ.Jl.flяе_ltая кривая, лежащая в области п, то
/; (z) dz == О.
L
СоrлаСIIО .n:окззанному в 2 любая функция /(z), реrу. ярная
в Kpyre, является произво.n:ной некоторой функции /1 (z), реrУЛЯРНОii
в этом Kpyre. Поэтому:
Если ФУНКЦl1Я /(z) РС2улярна в lСРУ2е 11 спрямляемая lсривая L
лежит внутри этО20 lСРУ2а, то llнте2рал
f(z) dz
с.
зависит лишь от начала и конца lСрllВОЙ [. ЕСЛl1 кривая L заМ1С
ну та, то
f(z) dz == о.
l.
в 5 мы обобщим эту теорему, .n:оказав, что она справедлива
iHe только для Kpyra, но и для любой односвязной области.
!i 41
ПРИМЕРЫ
91
4. Примеры
Интеrрал
d:
дает нам пример, важный во мноrих ОТIIОlllениях.
Пусть D область, состоящая И3 всех точек комплексной пло
скости, за исключением точек отрицательной части .n:ействительной
оси. Как мы узнали в 3 rл. 4, функции (In z) rлавнаи BeТl3b aHa
литической ФУНКIlИИ 111 Z реrУЛЯрllа в этой области и у.n:овлетворяет
уравнению
d J
(lnz)==.
dz z .
'Поэтому справедливо утверж.n:ение:
Интпрал
ь
\' t5.
z '
а
8зятый по любой спрямляемой KPllBOU L (с НG'laЛОМ в точке а 11 с KOH
ЦОМ в mo'tKe Ь), цеЛllКО.lt лежащей 8Hympll областll [), равен
(ln Ь) (ln а).
3ададимси вопросом, каково будет 311ачение этоrо интеrрала
по спримляемой кривоЙ L с началом в точке а и с КОНЦОм в точке Ь,
если эта кривая уже не Jlежит в
области D.
Ответим lIа этот вопрос сначала
.n:J1Я простеЙlllеrо СJlучая, Kor.n:a кри
вая L пересекает отрицательную
часть .n:ействительной оси ровно
о.n:ин раз, скажем, в точке z == р.
Пре.n:положим .n:ля опре.n:елешlOСТИ,
что при .n:вижении по кривой L от
начала к кониу мы перехо.n:им через отрицательнуtO часть действи
тельной оси сверху ВНИ3, т. е. так, как это изображено lIа рис. 17.
Обозначим через а. и точки кривой [, .n:остаТОЧIIО БJll13кие к точ
ке р и лежащие по разные стороны .n:ействителыlйй оси. Для опре
делеllНОСТИ будем считать, что точка а. расположена ближе к началу
кривой L (т. е. к точке а). Tor.n:a имеет место равенство
« Ь'
d: + z == (ln а.) (In а) + (1п Ь) (1п ).
а
L
a a
j3 I , l1
b
Рис, 17.
Кш'да точки а. и стремится к точке р, имеем
(ln а.) (1п р) + тei,
оп ) , (1п р) тel.
92
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕС ИХ ФУН ЦИЯ
(rll.5
ПоэтомУ
\' dz
z == ОП Ь) (1п а) + 21':l.
L
(1)
Если бы крива и L пересекала отрицательную часть .n:ействительной
оси СНИ3У вверх, то вместо + 21':l пришлось бы написать 21':l.
Рассмотрим теперь путь интеrрирования L, пересекающий отри-
цательную часть действительной оси в нескольких точках, скажем,
в точках 81' 82' ..., Sr (по преж-
а нему считаем. что начало кри-
вой L в точке а, а конец в
точке Ь).
Каж.n:ой точке 8k поставим
в соответствие число I>k' равное 1,
если криваи L пересекает в точ
Рис, 18. ке Sk .n:ействительную ось сверху
ВНИ3, и 1, если кривая L пере-
секает ее в обратном направлении. На рис. 18 точкам 81' 82' 83. 8 от-
вечают числа 1>1==+ 1, I>2== 1, 1>з==+ 1, 1>4==+ 1. Ясно, ЧТО
в описанном случае бу.n:ет справе.n:ливо равенство
\' z == (ln Ь) (lп а) + 21ti (101 + 1>2 +. .. + I>r).
" ..
L
Число 1> == 1>1 + 1>2 +. .. + I>r мы бу.n:ем называть числом обходов
тОЧЮl Z == О кривою L в положителыюм направлеЮlll, (Этот термин
правильнее употреблять только для замкнутых кривых [, т. е. Kor.n:a
точка а совпа.n:ает с точкой. Ь. Tor.n:a этот термин имеет четкий reo-
метрический смысл.)
в частности, если L простая замкнутая кривая, оrраничивающая
область, со.n:ержащую точку Z == О, то HeTpY'n:Ho показать, что
z == + 21tl.
L
При этом Зl1ак плюс имеет место в случае, если направление кривой
nоложителыю, т. е. если при движении по кривой OI'раниченная ею
область остаетси слева.
Рассмотрим еще несколько более общий интеrрал
l==\'
z Zo '
L
rде путь Иllтеl'рИрОllаllИИ сое'n:Иllиет ТОЧКИ а и Ь (разумеется. точки а
и Ь отличны ОТ точки Zu и путь L не прохо.n:ю' через эту точку).
' 141
ПРИМЕРЫ
93
Обозначим Z Zo == С KOI'.n:a точка z движется по кривой [.
точка .n:вижется по некоторой кривой ['. получающейся И3 кри
ВОЙ L параллельным пере;lO
'сом (рис. 19). Ясно. что инте
rрал 1 равен интеrралу
b
b Zo ,-;:
o \
с
с .
i'
Поэтому:
ОбознаЧllМ через g луч.
выходЯЩllЙ llЗ тОЧКll Zo II
.идУЩllЙ параллельно дeйcтBa
тельной OCll в левую сторону от этой тоЧКll. ТО2да
r == (ln (Ь zo» (ln (а Zo»'
J z zo
L
.еСЛll путь l1НтпрllроваЮlЯ L' не пересекает луча g. II
\ ==(ln (Ь zo» (ln (а zo» + 2'1ti(€1 +... +€r).
.) z Zo
L
.еСЛll путь llнтарllроваlШЯ L пересекает луч g в r точках. Здесь.
как II раньше. <-k == =':: 1 в заВllСlсuости от тО20. пересекает Лll
КРllвая L луч g в точке Sk сверху ВНllЗ иЛll СНllЗУ вверх,
В частности. еСЛll L простая замкнутая КРllвая. 02раНllЧllваю-
щая область. содер:жUlЦУЮ точку zo. то
d:z
== 2'1ti
. z zo
L
(при условии. что направление кривой положительно).
a zo
Рис. 19.
в качестве BToporo примера рассмотрим интеrрал
(z Zo)n dz.
r.n:e п целое число. отличное от 1.
Функция (z zo)n явлнется произво.n:ной функции
I ( ) "+\
n + I z Zo .
Функция (z ZO)Ml при любом целом п (не равном 1) имеет по всей
раСlllиренной плоскости только одну особую точку при п > 1
точку z == 00, а при п < 1 точку Zo. Во всяком случае. при лю
60111 п эта функция реrулярна в области. состоящей И3 всей конечной
плоскости с выколотой точкой zo. Поэтому
ь
I
(z zo)п dz == {(Ь zo)"+1 ta zo)n+1 }
n+l
а
94
ИНТEfРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИf1
[rл.5
для люБО20 nYIll11 11Н1llnрUрО8ания, не проходяще20 через точку zo.
В частности,
. (z zo)n dz === О
L
для любой замкнутой Крl180Й [, не проходящей через точку zo'
По.n:ытоживан све.n:ения, полученные при рассмотрении обоих при
меров, прихо.n:им к утверж.n:ению:
т о р е м а 1. Пусть L любая замкнутая спря_иляемая Kpи
вая, 02раЮ1чивающая область, содержащую точку zo. ТО2да иH
mеi'рал
(z zo)n dz
L
равен нулю np11 любом целом n, отЛ11ЧНОМ от 1, а при п === t
этот июпе2рал равен 2r..i, если направлеЮ1е кривой L положительно,
и 2..i, если направление L ОnZр1щаnzельно.
5. Интеrрирование реrулярных функций
Теперь мы займе:\!cs! .n:оказательством теоремы, о которой I'ОВОрП
лось В конце 3:
т е о р е l\I а 1. ЕСЛ11 функция j(z) ре2улярна в конечной oдHO
связной области D, то l1нnznрал от j(z) по любой спря.ltляемой
Крl1ВОЙ [, лежащей в облаСnZll D, завиСl111l.
толысо от начала 11 ,.онца этой Kpи
вой.
Заметим преж.n:е Bcero, что эта теорема
равносильна сле.n:ующей:
Теорема 1*. ЕСЛ11 функция j(z) pe
2улярна в конечной односвязной области О,
то uнтnрал от j(z) по любой замкну
той спрямляемой кривой, лежащей в об
[1 ласти D, равен нулю.
Рис. 20. Действительно, пусть мы имеем замкну
тую кривую L и 'n:Be точки а и Ь, лежащие
на этоЙ кривоЙ. Точки а и Ь .n:елнт кривую L па 'n:Be части [ 1
и [ 2 (рис, 20), Очевп.n:но, что
/(z)dZ=== f(z) dz + j(z) dz.
L [., [.2
с друrой стороны, кривые [ 1 и [ 2 можно рассматривать как две
nроизвольные кривые, сое.n:иняющие точки а и Ь. Прав.n:а, при этом
направление кривой [ 2 сле.n:ует изменlПЪ на противоположное (если
мы хотим, чтобы обе кривые имели начало в точке а, а конец в
5]
ИНТЕrРИРОВАНИЕ РЕrулярных ФУНКЦИй
95
точке Ь). При изменении направления кривой на противоположное
интеrрал по этой кривой меняет знак (точнее rоворя, умножается
на 1). Поэтому написанную BbIllle формулу можно записать и He
сколько в ином ви.n:е:
ь ь
j (z) dz == (L 1 ) /(z) dz (L 2 ) /(z) dz,
L а а
ь
f'.n:e символ (L) j(z) dz 0значает, что интеrрирование ве.n:ется по кри-
а
вой L с началом в точке а и концом в точке Ь. И3 после.n:неrо ра-
венства неме.n:ленно сле.n:ует Hallle утверж.n:ение о равносильности вы-
сказанных теорем.
В 3 сформулированные теоремы были .n:оказаны для частноrо
случаи, Kor.n:a область D это Kpyr. Сейчас покажем, что общий
случай можно свести к этому частному.
С.n:елаем несколько замечаний, упрощающих HalllY за.n:ачу,
Во-первых, заметим, что кривую L без оrраничении общности
можно считать ломаной. Действительно, с каждоfi точкой кривой L
можно связать Kpyr, внутри KOTOporO функции j(z) реrулярна. Внутри
ЭТОI'О Kpyra, cor ласно .n:оказанному в 3, И1пеl'рал зависит только
{)т начала и конца пути интеrрирования. Поэтому участок кривой [,
лежащий в Kpyre, можно, не мения интеrрала по этому участку, за
менить отрезком прямой,
Во-вторых, заметим, что ломаную L можно считать не имеющей
<:амопересечений, так как, если наше утверж.n:ение .n:оказано .n:ля лю-
бой замкнутой ломаной без самопересечений, то оно .n:оказано и .D:JIЯ
любой замкнутой ломаной. Действительно, пусть мы имеем интеrрал
по какой-либо замкнутой ломаной [. Пой.n:ем по JlO:I<Iаной [, отправ-
JIЯЯСЬ от какой-либо ее точки, и бу.n:ем и.n:ти .n:o тех пор, пока не
попа.n:ем в точку, r.n:e мы уже были. Участок [ 1 ломаной L меж.n:у
первым и ВТОрЫМ попа.n:анием в HalllY точку замкнутая- ломана и, не
имеющая самонересечений. От.n:елием от ломаной L «петлю» [ 1 и
движемся далыll.. С помощью TaKoro процесса разбиваем интеrрал
по ломаной L на сумму интеl'ралов по «пеТШIМ.;> Lk' Если интеrрал
по каж.n:ой петле равен нулю, то равен нулю и Интеl'рал по всей
ломаной [.
Итак, пусть L замкнутаи ломаная без самопересечений. Она
оrраничивает некоторый МНOI'оуrолыlИК Р. Поскольку область D ко-
нечна и о.n:носвязна, МНОI'оуr'ольник Р обизан лежать внутри области
D, если el'o I'раница L лежит внутри этой области (в противном
случае rраница области не Mor ла бы состоить И3 o'n:Horo Связноrо
замкнутоrо множества). Интеl'рал от нашей функции j(z) по l'рaIшце
МНOI'оуrольника Р, взятый в ПОJlOжитеЛЫЮ 1 направлении, мы обозна-
чим для краткости символом (Р). Как мы убедИJIИСЬ BbIllle, достаточно
96
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
(rл.5
.n:оказать, что .n:ля любоrо мноrоуrольника Р, лежащеl'О в области D.
имеет место равенство (Р):::=: о.
Пусть Р] и Р 2 'n:Ba мноrоуrольника, имеющие общую сторону,
но не имеющие общих внутренных точек (рис. 21). Обозначим через
Р] + Р 2 мноrОУI'ОЛЬНИК, состоящий И3 точек,
вхо.n:ящих в Р] или Р 2 (включая их I'ра-
ницы). Tor.n:a справе.n:ливо равенство
(Р]) + (Р 2 ):::=: (Р] + Р 2 ).
Действительно, части интеrралов, взятые по
общей стороне МНОI'ОУI'ОЛЬНИКОВ Р] и Р 2 .
взаимно уничтожаются, так как направление
этой общей стороны в Р] противоположно
ее направлению в Р] (в первом случае слева
остается МНOI'оуrольник Р]. а во втором
мноrоуrольник Р 2 ).
И3 этоrо ПрОСТОI'О соображения мы можем с.n:елать важный BbIBO'n::
ЕСЛll .мНО20У20ЛЫШ1С Р .мО;JlCНО разбuть на су.м.му .мНО20У20ЛЬ
ни1Сов Р], Р 2 , ..., Р n> для 1Соторых (Р]):::=: (Р 2 ):::=:. .. == (Р n):::=: о,
то 11 (Р):::=: о.
O'n:HaKo такое разбиение леrко осуществить .n:ля любоrо MHoro-
уrОJ1ьника Р, лежащеrо в области D, поскольку мы знаем, что .n:ля
любоrо достаточно маЛОI'О МНОI'оуrольника P k заве.n:омо имеет место
равенство (P k ) == о (МНОI'оуrольник P k .n:остаточно мал, если он лежит
внутри Kpyra, в котором функция f(z) реrулярна). Разбиение MHoro-
уrольника Р на достаточно малые прямоуrольники можно осуществить,
скажем, разрезав ero на части прямым и, парал-
лельными осям коор.n:инат, как это показано на
рис. 22.
Тем самым .n:оказательство теоремы, сформу-
лированной в начале этоrо параrрафа, закончено.
Рис, 21.
После Toro как мы .n:оказали, что значение ин-
теrрала I
z
fЮtК
ZO
рис, 22.
не зависит от выбора кривой [, сое.n:иняющей
точки Zo и z и лежащей внутри области D, мы
nокажем, что этот llНте2рал является ре2УЛЯРНОЙ фУН1Сt{uей свое20
веРХНе20 предела z.
Пусть а произвольная точка области D. Если точка z лежит
внутри Kpyra с центром в точке а, лежащем внутри области D, то
функция j(z) разлаrается в ря.n:
j(z):::=:co + с] (z а) + C2(Z а)2 +...
!\ б]
ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ ВИДОИЗМЕНЕНИЯ
97
и в силу .n:оказаННОI'О в 2 и 3 имеет место равенство
z
/Ю d':,,===co (z а)+ (z a)2+ i (z а)3+...
"
Кривую интеrрировании, сое.n:иняющую точки Zo и Z, можно BЫ
брать прохо.n:шцей через точку а. TOI'.n:a мы можем написать
z " z
IЮ d === IЮ d + I( ) d ===
Zo Zo а
===с+со (z a)+ (z a)2+..., (1)
а
r.n:e постояннаи с равна f Ю d'r".
"о
z
Равенство (1) показывает, что функция I( ) dr, реrулярна в
"о
области D.
Если 11 (z) (, 12 (z) рezулярн.ые в областll D ФУН-КЦ1l1l, для
которых I (z) === I (.z), то I1 (z) === 12 (z) + const.
Действительно, в окрестности какой либо точки aED наПИlllем
разложение
{l (z) 12 (z)===k +kl (z а) + k 2 (z а)2 +...
Поскольку произво.n:ная левой части этоrо равенства равна нулю,
мы получаем, что J?1 === О, k 2 === О, ..., т. е. что 11 (z) 12 (z) === k во
всей окрестностн точки а. По теореме е.n:инственности /1 (z) {2 (z) k.
6. Теорема Коши и ее видоизменения
Доказаннаи в 5 теорема:
Ин.тezрал от ФУНКЦllll, реi'УЛЯрНОЙ в конечный односвязной
обласпт, по любой замкн.утой спРЯАlляеNОЙ кривой, лежащей
в этой области, равен НУЛЮ
носит название теоред, I Коши по имени впервые .n:оказаВlllеrо
эту теорему французскоrо математика.
Теорема КОlllИ блаr'о.n:арн ее мноrочисленным применениим явли
етси о.n:ним И3 наиболее фун.n:а:\lентальных резу Jlьтатов в теории aHa
JlI1Тических функций,
Преж.n:е че}1 перехо.n:ить к ПРИJlожениям, с.n:елаем несколько за
мечан'иii по пово.n:у самой теоремы КОlllИ,
Пусть оБJ!аСIЪ D не является конечной односвязной оБJ!астью,
Рассмотрим в области D простую замкнутую спримляемую кривую L.
По извеспюй теореме Жор.n:ана такая кривая оrраничивает некоторую
4 А, [УРВНЦ. р, KypallT
98
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНкЦИИ
[rл.5
область Е. Если эта область Е вместе со своей rраницей кри
вой L лежит в области О, в которой реr'улирна функция [(z), то
[{z)dz===O.
L
Действительно, мы можем окружить область Е .n:остаточно близко
nрилеrающей к ней кривой [' (рис. 23) таким обраЗ0М, чтобы функ
uия [(z) была реrулирна в области, OI'рани
ченной простой замкнутой кривой ['. Об
ласть Е', оrраниченная кривой [', О'n:НОСВЯ3
на, а кривая L лежит внутри области Е'.
Примения теорему КОlllИ, ви.n:им, что инте
rрал нуль.
Таким образом. можно пре.n:ложить сле
.n:ующую ви.n:оизмененную формулировку Teo
ремы Коши:
Если простая замкнутая спрямляемая
кривая L 02раН1lЧ1lвает область, внутри и
на 2рающе которой функция f (z) ре2улярна, то 1lнте2рал от
[(z) по L равен нулю.
Пусть теперь {п + l)-связная область О Оl'раничена п + 1 прос
тыми замкнутыми СПРЯМJlиемыми кривыми [. LI' [2' Ln. Иными
словами, область О это о.n:носвизнаи область
(OI'раниченнаи кривой [), И3 которой вырезаны об
ласти, Ol'раниченные кривыми Lk (см, рис. 29),
I'рашща области О состоит И3 совокупности кри
вых [. [l' [2' ,.,. Ln, Положительным направле
нием обхода rраницы по-прежнему бу.n:ем считать
то направление .n:вижении по rранице, при KOTO
ром область остается слева (на рис. 24 положи
тельное направление показано стрелками).
Обычно интеl'рал по rраниuе области бу.n:ем
считать взятым в положительном направлении.
Если же мы ззхотим по.n:черкнуть напраВJ!ение обхо.n:а или указать
на обратное направление обхо.n:а, бу.n:ем писать
...- ...........
........ .....
"'.... ,
",/ \
'" I
'" I
1/ I
I 1
f /
I ",/
\ ","' L '
, .........
............. .......
Рис. 23,
f(z) dz или
[+
[{z)dz.
[
t
рис, 24,
в частности, обозначив области, оrраниченные каж.n:ой И3 кривых
[, [!. [2' ,.., Ln через О, и!, 02' .", ОП соответственно. и ИСполь
зуя .n:ля rраниuы любой области В обозначение дВ (при этом, оче
ви.n:но. {=== дО, [I === дО!. ,.., Ln === ao n ). можем написать
f(z)dz=== f(z)dz+ f(z)dz+...+ f(z)dz.
дО оп+ оп! дп п
61
ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ ВИДОИ3I1ШНЕНИЯ
99
Мы .n:окажем сейчас сле.n:ующую теорему:
Если О конечная область, оzраЮlченная конечныМ числом
замкнутых спрямляемых простых кривых, 11 если функция f(z)
рпулярна в замкнутой области О, то
f(z) dz === о.
iЮ
Дли Har ля.n:ности .n:оказательства оrраничимси случаем, изобра
женным на рис. 25, KOI'.n:a область О оrраничена тремя кривыми [,
[ 1 И [ 2 . Сое.n:иним кривую L с кривыми [ 1 И [ 2 , а те меж.n:у co
бой тремя спрямлиемыми простыми кривыми, лежащими в области О
Рис, 25,
/
Рис, 26.
и не имеющими общих точек. При этом область О окажетси разре
занной на 'n:Be о.n:носвизные области 01 и 0.2' Cor ласно отмеченному
BbIllle ВИ'n:ОИ3111енениlO теоремы f{ОIllИ
f(z)dz ===О,
дО]
а значит равна нулю и сумма этих
f(z)dz ===О,
да.
интеrралов, Но
f(z)dz+ f(z)dz=== f(z)dz,
OOi OOt да
так как интеl'ралы по общим частям rраницы областей 01 и 02 бе
рутся в противоположных направлениих. Теорема .n:оказана.
Рассмотрим еще частный случай, KOf.n:a О .n:вусвязная область,
оrраниченная JlИlllЬ 'n:ВУIIIЯ кривыми L и [ 1 (рис. 26). Tor да, cor ласно
.n:оказанной теореме,
[(z)dz+ f(z)dz===O,
L+ L,
т. е.
f(z)dz=== f(z)dz.
L+ L+
]
Этот факт можно сформулировать так:
Если конечная область О оzраЮlчена дву.мя nросты.ми сnря.м
ляемыми замкнутыми кривыми, а функция f(z) реzулярна 8
4.
100
ИНТЕrРИРС'f\АНИ!О АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[rл.5
заAl1Снутой области О, то интС2ралы от f(z) по любой из этих
1CpllBblX (взятые в направлении, положительном относительно BHYTpeH
ности этих кривых) равны .Аtсжду собой.
7. Следствия И3 теоремы Коши. Теорема Лорана
Пусть функции f(z) реr'улярна в замкнутой ОЩЮСШl3ной I(онеч
ной области Е, оrраниченной замкнутой спримлиемой простой кри
вой [. Если Zo какая либо внутренния точка области Е, то функция
g(Z)== .f(2' = o(2'o) ,
опре.n:еленная в области Е всю.n:у, кроме точки zo' бу.n:ет реrулирна-
в этой области, если ее на.n:лежащим обраЗ0М .n:оопре.n:елить в точке zo.
Действительно, функция f(z) разлаrается в окрестности точки Zo
IJ степенной рИД
f(z)== СО +Cj (z Zo) + C2(Z ZO)2 +,..
Поэтому Для всех точек этой окрестности, кроме самой точки zo'
имеет место равенство
g(z)== Cj + С2 (z zo) + Са (.? ZO)2 +...
Если .n:оопре.n:еЛИТh функцию g(.?) в точке Zo равенством
g(zo) == Cj == f' (zo),
то функция g(z) бу.n:ет пре.n:ставлЯ1ЪСЯ написанным ря.n:ом во всей
окрестности. Реl'УШIРНОСТЬ функции g(z) в oCTaJlbHbIX точках обла
сп! Е очеВИДна, так как g(z) ОТНОlllеlше 'n:IJYX реl'УJIЯрНЫХ функций
и знаменатель обрашается в нуль лишь при z == zo.
Следов ательно, по теореме КОlllИ
g(z)dz==O.
оБ
т. е.
с .f (2') dz f (zo) С == О.
., z Zo J z Zo
L L
в 4 мы показали, что МllOжитель при f(zo) равен 2тci. Поэтому
f (zo) == - 2 С .f (z) dz .
щ J z Zo
[,
Слеrка изменим обозначении. Обозначим переменную интеrриро
вания '1ерез , а точку Zo через z. TOI'.n:a полученная формула при
мет вид
f(z)== \ f«()d(
2т J C z.
L
(1)
7]
СЛLДСТВИЯ И3 ТЕОРЕМЫ КОlllИ. ТЕОРЕМА лоРАНА
101
Эта фОрМУJIa показывает, что можно вычислить значение функции
f(z) в любой точке, лежашей внутри области, если известны значения
функции /"(z) на rранице этой области.
Пока это утперж.n:ение .n:оказано нами .n:ля о.n:носвязной области,
но el'o леrко об обшить и на МНОI'освязные области, если использо-
вать после.n:ний вариант теоремы Коши И3 6:
т е о р е м а 1. ЕСЛll ФУНКЦllЯ I(z) ре2улярна в за.llкнутой KO
не'lНОЙ областll О, 02раНll'lенной конечным 'lllСЛОЖ замкнутых
простых спряжляемых KpllBblX, то для любой внутренней тоЧКll z
областll О llяеет жесто равенство
Сейчас приве.n:ем O'n:HO интереСНGе
Ilриложение интеl'раЛblЮЙ формулы
Коши.
Пусть R кольцо меж.n:у .n:вумя
окружностями с центром в точке а, и
пусть функция /"(z) реrулярна в этом
кольце, Возьмем Jlюбую точку z внутри
ЭТОI'О кольца и построим новое кон-
центрическое с R кольцо, со.n:ержашее точку z внутри себя, но лежащее
CTpOI'O внутри кольца R. Через [1 и [2 обозначим окружности, ol'pa-
ничиваюшие новое кольцо (рис. 27), Поскольку rраница HOBOI'O кольца
состоит И3 окружностей [1 и [2' причем положительное направление
обхо.n:а rраницы кольца бу.n:ет положительным обхо.n:ом окружности
(но отНОllleIIИЮ К оrраниченному ею Kpyry) на [] и отрицательным
обхо.n:ом окружности на [2' то ПО формуле (2) 1 (z) == I (z) + I (z),
r.n:e
. 1 f (С)
l(z)==7)"' d .
1tl { z
дО
(2)
Формула (2) носит название llHme-
ральноЙ формулы НОШll.
1 . ( ) .. \' f(C) dC
1 Z 210i J С z '
[+
J
.".. ..................
",. .....
'" ,
// L7 "
/ O ",. ....", \
I I \ \
, ( \,
I \ ха ILz ,
\ \ J,
\ z ' // I
\ '.... ",. I
, /
, /
... '"
.... "
..... ",.
........... --"
Рис. 27.
I (z)== \' f(C) dC .
2101.' С z
[
"
Если точка лежит на [j, то I z а I < I a , Т. е.
' 1==kl<1.
(3)
Число k 1 не зависит от положения точки на окружности [1' так
как величина ! а i равна в этом случае ра.n:иусу окружности [1.
НаПИlllем равенство
I 1 1 z а (z а)"
t;. z == (t;. a) (z a) == ' a + (c aP+ (l; a)3 +...
(z a)n-l (z a)n
... + (1; a)' 'i + {' a)n (' a:) '
102
ИНТFrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИ 1
[rл.5
1
1l0.n:ставим 1l0лученное выражение .n:ля С z в интеl'рал по [1 и про
интеrрируем почленно. Это .n:acт нам формулу
11 (z)==CO+Cl (z а) + С2 (z а)2 +...+ Сп.. 1 (z a)n 1 + r n(Z),
r.n:e обозначено
1 \' f (С) dC
Ck == 2т;i j (С a)k+1
[]
(4)
и
r n (z) == \' ( Z a ) n f (С) dC .
21t1 j С а С z
[]
При n ---* 00 остаточный член r n (z) стремится к нулю. Действительно.
оценивая интеrрал (см. 3) произве.n:ением максимума мо.n:уля по.n:ин
теrральной функции на .n:лину пути интеrрирования, получаем, что
: r n (z) I 2 1 . k? . шах I r (С) / . '1'
1t С Е [, " z
а в си ЛУ неравенства (3) k? ---* О. СJ/е.n:овательно,
l' 1 \' f (О d + + 2 +
11 (z) 2;;' j C z СО Сl (z а) C2(Z a) ...
[+
\
Заметим, что, поскольку функция 1 (z) (z a) k 1 реrУJ/ярна в I{Py
rOBoM кольце, заключенном меж.n:у окружностью [1 и J/юбой .n:руrой
концентрической окружностью, лежащей в кольце R, мы можем в силу
после.n:неl'О замечания 6 взять в формуле .n:ля Ck в качестве контура
интеrрирования J/юбую окружность, лежащую в кольце R. И3 3TOI'0
замечания слt:.n:ует, в частности, что величины Ck не зависят от BЫ
бора точки zER.
Разложение (5) показывает, что функция 11 (z) реrулярна в Kpyre.
Оl'раниченном БоJ1ыllйй окружностью кольца R.
Рассмотрим теперь функцию
12 (z) == . 2 \' f}т') d'( .
щ j .. z
[+ ....-
2
(5)
Отметим сначаJ/а, что .D:J/Я всех точек с., расположенных на окруж
ности [2' имеет место неравенство
' '( a l
==k2< 1.
z a
1
Подставим в интеl'раJI .n:ля 12 (z) сле.n:ующее выражение для
,, z
1 1 '( a + ('( a)n ] (' a)n
'( z == z a + (Z a). "'Т (z a)n + (z a)n('( z) '
Tor да ПОJ/УЧИМ
Л (Z)==С 1 +С2 ( 1 ) . + "' + C n ( 1 )n + r (z),
z a z a z a
'Р]
СЛЕДСТВИЯ И3 fEOPEMbI КОlllИ. ТЕОРЕМА ЛОРАНА
103
..n:e обозначено
C k == 2 i f Ю ( a)k l dC
[+
2
(6)
'и
r (z)==, \ ( C a ) n f(C) dC .
2пl J z а С z
[+
2
При п 00 остаточный член r (z) стремится к нулю, что .n:aeT нам
-формулу
l' ( ) C 1 + C 2 + C 3 + 7 )
2 Z == Z а (z а)2 (z а)3 . .. (
в интеrрале (6), опре.n:еляющем коэффициенты C k' тоже можно за
менить окружность [2 любой концентрической с нею окружностью,
лежащей в кольце R.
Ра3JlOжение (7) показывает, что функция 1'2 (z) реl'рlЯрна вне
Kpyra, оrраниченноrо внутренней окружностью кольца R. Заметим
-еще. что формулы 'n:JIЯ коэффициентов Ck и C k совпа.n:ают. Действи
тельно, формула (6) ПОJ/учается И3 фОрМУJ/Ы (4) заменой k на k.
Таким обраЗ0М, мы ПрИlllJ/И к сле.n:ующей теореме:
Т е о р е м а 2. Если ФУНКЦllЯ I'(z) ре2улярна в КрУ20вом Кольце
r<lz ai<R
(r O. R oo),
.то для нее справедливо разложение в ряд Лорана
со
f(z) == Ck (z a)k,
co
(8)
-сходящийся в этож кольце.
Члены ряда (8) с nоложительныжи nоказатеЛЯ.lIfll образуюm
.ряд, сходящийся в КРУ2е i z а I < R, а члены С отр'щательнымu
,nоказатеЛЯЖll ряд, сходящийся при I z а 1> r.
Для коэффициентов ряда (8) справедлива формула
Ck==,.f;i /( )( a) k ldC (k == О, + 1, + 2, ...). (9)
[+
в частности,
C l == 2 i I'ЮdС.
[+
Эта теорема называется теоремой Лора на.
(10)
Основываясь на результатах 9 rл. 2, мы .n:окажем сейчас сле-
.дующее утверж.n:ение:
Функция /(z), ре2ушzрная в данном КрУ20вом кольце
r<lz al<R.
104
ИНТЕI'РИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.5
может быть разложена в ряд Лорана (8) лишь единствеННЫ.4t
способом.
Действительно, пусть
СХ>
сп
f(z)==: cn(z a)n,
CX>
f(z)==: dn(z a)n.
CX>
TOI'.n:a
со
О ==: (сп d n ) (z a)n.
CX>
Ряд в правой части после.n:неrо равенства схо.n:ится в HallleM Kpyro
вом кольце к функции, реrУJIЯРНОЙ в этом кольце и равной в нем
нулю тож.n:ественно. На любой окружности I z а I ==: р, расположен
ной внутри кольца, максимум мо.n:уля наlllей функции равен нулю.
Если положить в упоминаВlllейся уже теореме 9 rJ/. 2 М ==: О, мы
получим, очеви.n:но, I сп d n I pn О, oTKy.n:a следует, что сп==: d n
при всех п ==: О, +-1, +- 2, .,. CJle.n:oBaTeJ/bHo, оба ра3JIOжения функ
ции I(z) в ря.n: Л ора на совпа.n:ают.
Доказанное утверж.n:еl1ие 0значает, что коэффициенты любоrо
ра3J/ожения фУНКllИИ 1 (z) в ря.n: Лорана в кольце r < I z а 1 < R
опре.n:еJ/ЯЮТСЯ с помощью формул (9).
Заметим, что И3 формул (9) леп<о получить ту оценку, которой
мы ПОЛЬЗ0ваШIСЬ (.n:оказанную paHbllle в 9 rл. 2). Действительно,
cor ласно фОРМУ,1Jе (9),
Icnl==: \ f(I:)(I: a) n 1dl:I,
] C a ::::::::p
Если на окружности 11: а I ==:р справе.n:ливо неравенство I/(z) I м.
то, оценивая мо.n:уль интеrрала произве.n:ением максимума МО'n:УJ/Я no.n:
интеrральной функции на .D:JlИну пути интеrрирования (см. 3), мы
неме.n:ленно получаем, что
. I 1 М . n l 2 n' 1 n
I СП I 21< . Р . 7tp 1 ". Р .
Именно эта оценка и была получена в 9 I'Л, 2.
в качестве применения теоремы Лорана мы .n:окажем сеЙчас cдe
.n:ующий прим чательный факт:
Модуль ФУНКЦl111, ре2УЛЯрной внекоторой окрестНОСnZll llЗОЛll
рованной особой тОЧТ<11 а (точнее rоворя, в KOJlbЦe О<! z а I < р).
принимает вблиЗll этой nzочки сколь У20дно БОЛblUllе значеНllЯ.
Иными словами:
ЕСЛll ФУНКЦIIЯ i(z) ре2улярна и 02ранuчена при 0< 1 z а I < р,
а в точке а не определена, то ее _IЮЗ/СНО так доопределuть 8
точке а, чтобы полученная функция была Ре2улярна при I z а I < р.
81
вЫЧЕТЫ
105
llля .n:оказательства разложим функцию I{z) в ря.n: Лорана
11 KOJlbЦe 0<1 z а ! < р и рассмотрим коэффициенты Сп этоrо
разложения с n === 1, 2, .', llJIЯ них справе.n: ливо неравенство
I C n I МЕ" С любым Е> о. Это 0значает, что все коэффициенты
ря.n:а Лорана, имеющие отрицательные номера, равны нулю, так что
функция 1 (z) пре.n:ставляется в KpYI'e 1 z а I < р ря.n:о м по положи
тельным степеням z а. Отсю.n:а lIеме.n:ленно вытекает наше УТ/Jерж
.n:ение.
СJ/е.n:ующая Teopt:Ma, леrко ПОJ/учающаяся И3 .n:оказаlllЮЙ, носит
название теорежы Вейерштрасса:
ВБЛllЗll существенно особой тОЧКll ФУНКЦllЯ nрllЮlжает зна
чеНllЯ, СКОЛЬ У20дно БЛllЗКllе к любому наперед заданному ЧllСЛУ.
Еuш бы эта теорема БЫJ/а неверна, то существоваJ/О бы такое
1
ЧИСJ/О а, что функuия f (z) а была бы реrулярна внекотором кодьие
О < I z а I < р и оrраничена там. ПОСJ/е .n:оопре.n:еJ/ения в точке а
мы получили бы И3 r/{z) a] 1 реrулярную функцию. Это 0значало
бы, что ФУIIКlЩЯ I{z) 7. реrулярна В точке а ИJ/И имеет там ПОJ/ЮС,
т. е. ВО всяком СJ/учае точка а не MOI'J/a бы быть сушествеНIIО oco
бой точкой функции I(z).
8. Вычеты
Пусть функция I(z) реrулярна в оБJ/асти D, 'n:JIЯ которой точка
z === а ЯВJ/яется ИЗ0лироваllНОЙ точкой rраницы, т. е. внекотором
.n:остаточно мадом Kpyre с центром В точке а она бу.n:ет е.n:инствен
ной точкой, не прина'n:J/ежащей оБJ/асти D. Еuш Kpyr I z а I < р
лежит /J области D (не считая центра), то по теореме Лорана имеет
место разложеllие
00
l{z)=== >n{z a)n=== {Z a)+'.j31 (z 1 а)'
oo
(1)
схо.n:ящееся В кодьце 0<1 z а 1< р. Ряд \.1.-\1 ( ) схо.n:ится ВО
z a
всей ПJlOскости, за исключением точки z === а.
llа.n:им опре.n:еJ/ение:
ВеЛI1Чllна uнnzе2рала
2 i I{z) dz,
8зятО20 по любой простой заякнутой крuвой, лежащей в области
D II обходящей точку z === а в nоложиnzельном наnравлеЮ/ll, назы
вается вычетом ФУНКЦ/lll I{z) В точке z === а II обозначается
СllМВОЛОМ
res /(z).
z a
106
ИНТЕrРИРОБАНИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
rrл. &
Соrласно формуле (1 О) пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа вычет равен ко-
вффициенту при (z a) ] в разложеЮlll (1) ФУНКЦllll f (z) в ряд
Лорана в кольце 0<1 z а I < р.
До сих пор число а пре.n:полаrалось конечным. O'n:HaKo понятие
вычета леrко распространяется и на случай а === со. Тоrда разложе
ние (1) принимает ви.n:
со
f'(z) === ! CnZ n === $ (z) + I.J. ] (+) ,
co
(2}
а схо.n:ится оно в кольце R < I z 1 < со.
Опре.n:еление вычета остается прежним. Сле.n:ует только .n:oroBO
риться о ТОМ, что называть положительным направлением обхо.n:а
замкнутой кривой относительно .n:анной точки. Известно, что простая
замкнутая кривая .n:еJ/ИТ всю плоскость на .n:ие области, 'n:JIЯ которых
она ЯВJlяется общей rраницей (теорема Жор.n:ана). Бу.n:ем rоворить,
что простая замкнутая кривая обхо.n:ит в положитеJ/ЬНОМ направлении
точку а (не лежащую на этой кривой), если при .n:вижении по кривоЙ
в этом направлении остается Слева та И3 'n:BYx областей, которая co
.n:ержит точку а.
ЯСНО, что при таком опре.n:елении положительное направление.
обхо.n:а окружности I z I === r относительно точки z === со является отри-
цательным напраВJ/ением обхо.n:а этой окружности относительно точки
z === О. Поэтому, cOrJIaCHO формуле (l О) пре.n:ы.n:ущеrо парш'рафа, вы-
чет в бесконечности равен коэффициенту при l/z в разложении (2),
взятому с обратным знаком.
Сейчас .n:окажем так называемую теорему о вычетах:
т е о р е м а 1. Пусть функция 1 (z) ре2улярна в замкнутой
области F, 02раНllченной nростыми замкнутЫМZl KPllBblMll L, L],.
L2' ..., Ln, за llсключеюzем точек а], а2' ..., a r . Т02да
r
1('
2ni .) /(z) dz es /(z).
дР 1 z--a k
(3)
Для .n:оказательства ВО3Ы\\б\\ число Е> О столь малым, чтобы
кружки I z а" I Е J/ежали внутри области F и не имеJ/И общих
точек. Обозначим через F. область, ПОJ/ученную у.n:алением И3 области
F кружков I z ak 1<10, k === 1, 2, ..., r, а через Kk окружность.
I z ak I === Е. ПО теореме КОlllИ интеrрал от функции I(z) по rранице
оБJ/асти F. равен нулю, поскольку функция I(z) реrУJ/ярна в заМf{НУ
той области F.. Но
r
2 i \ f(z)dz=== 2 i I(z)dz+ ! 2 i f(z)dz.
д-fr. дР k 1 К!.
8]
ВЫЧЕТЫ
Сле.n:овательно,
107
r
2 i /(z)dz== ! 2 i f(z)dz.
дР k 1 кt
Так как по определению вычета
2 ]' \' /(z) dz ==res f(z),
п! z a
Kk k
1l0лучаем формулу (3).
в качестве приложения теоремы о вычетах рассмотрим интеrрал
r.n:e R (z) рациональная функция, не обращающаяся в бесконечноСТЬ на
.n:ействительноЙ оси и имеющая в точке z == со нуль по меныllйй
мере BTOpOI'O поря.n:ка (т. е. вели
чина z2R (z) стремится к конеч
1ЮМУ пре.n:елу при z со).
Пусть р > о некоторое чис
ло, которое ВПОСJ/е.n:ствии YCTpe
мим к бесконечности. Бу.n:ем счи
тать, что чиCJIO Р уже выбрано
столь Болыllм,' что все полюсы
функции R (z) лежат внутри кру,'а
I z \ < Р. Обозначая через К р
полуокружность I z 1== Р, 1т z > О (рис. 28) и применяя теорему
о вычетах к nOJ/YKpyry, оrраниченному ПОJ/УОКрУЖНОСТЬЮ К р и отрез
](ом .n:ействительной оси, получаем, что
р
R(z)dz+ R(z)dz==27ti s R(z),
р Кр z a"
сх>
1== R(z)dz,
'CX>
p о +р
Рис. 28.
(4)
'r.n:e сумма распространяется на все полюсы функuии R (z), лежащие
'в верхней IIОЛУПЛОСКОСТИ.
Теперь заметим, что интеrрал, взятый по полуокружности К р ,
.стремится к нулю при Р со. Действительно, по условию функция
R (z) имеет в бесконечности нудь не ниже BToporo поря.n:ка, т. е. при
Болыllхx I z I ВЫПОJlНяется неравенство.
I R (z) \ м I z , 2.
(5)
Поэтому, оценивая мо.n:уль интеrрала произве.n:ение:\f максимума MO
.дуля по.n:интеrралыюй функuии на .D:JlИну пути интеrрирования,
108
ИНТЕrРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rJ1.5
получаем, что
I )pR(Z) dz I MP 2. 7tP== 1: .
Сле.n:овзтеJ/ЬНО, перехо.n:я к пре.n:елу при Р 00, приходим К pa
венству
СХ>
R (z) dz == 27ti z R (z),
CX> k
r.n:e сумма по прежнему распространяется на все полюсы функuии
R (z), лежащие в верхней полуплоскости,
Доказанная формула П03ВОJlяет сравнительно просто вычислять
интеrралы указанноrо ви.n:а. Например, пусть R (z) == (1 + z2) n, r.n:e
1l цедое положительное число. По формуле имеем
СХ>
(1 + Z2) 71 dz == 27ti zr: (1 + Z2) 71.
CX>
Для отыскания вычета ра3JIOЖИМ функцию 1 (z) == (1 + Z2) n по CTe
пеням z Ё. ДЛЯ у.n:обства записи обозначим z == i + h. При I h I < Z .
имеем
(1 +z2) n==«i+h)2+1) n==[ll(h+2i)] n==(2i) nh n(1 i; ) n==
== ( 2' ) 'n h n { 1 I ih + п (п + 1) . ( h ) ' 2 + }
1 111 2 1,2 2 ....
Коэффициент при h l в этом ра3.110жении равен
( 2' ) n. ( i. ) n l . п (п+ 1)... (2п 2) == . 2 2n+l. (2п 2)!
l 2 1,2...(n l) i ((n I)!)2'
CorJ/acHo сказанному BbIllle (сразу после опре.n:еления вычета) этот
коэффициент и есть интересующий нас вычет. Поэтому
,.
СХ>
\' + 2 ) n d 1< (2п 2)!
J (1 z Z== 22п 2 ' [(n I)I]2 '
CX>
9. Формулы для числа нулей и полюсов
Пусть функция I(z) реrулярна в замкнутой области F, оrрани
ченной конечным числом простых замкнутых кривых, за исключением
конечноrо числа полюсов, Пре'n:ПОJ/ОЖИМ еще, что на rраничных кри
вых оБJ/асти F функция I(z) не обращается в нудь и не имеет полю
сов. При этих УCJlOвиях ЧИСJIO нулей функции f(z) в области F тоже
конечно. Обозначим ее полюсы через аl' а2' ..., a r , а нули череа.
Ь 1 , Ь 2 , ..., ь S'
!i 9]
ФОРМУJJЫ ДJJЯ ЧИСJJА НУJJЕй И ПОЛЮСОВ
109
f' (z)
ФУШШИЯ i (z) , О'lеви.n:но, также реl'улярна в замкнутой области
F, за исключением точек 01' .", a r , Ь 1 , ,.., ь S'
Если функuия /(z) ра3ЛaI'ается в окрестности точки а в ря.n: ви.n:а
t (z) === с(, (z а)" + сl (z а)"+1 + Сс2 (z a)kH +, .., (со "* О),
r.n:e ' I10ложитеЛЫlOе или отрицательное uелое число (поскольку
k #- О, это 0значает, что функция f(z) имеет в точке а нуль или
полюс), то .n:ля ее произво.n:ноil имеет место разложение
{' (z) === kco (z а)" ,1 + (k + 1) сl (z а)" +".,
и, сле.n:ователыю,
f' (z) === + I.J,.Чz' а).
{(z) z a '
Итак, в этом случае ФУНКI1ИЯ /' (z)//(.z) И;\lеет в точке а полюс,
причем вычет в этом полюсе равен k.
Если k> О, то написанное разложение .n:ля f(z) 0значает, что функ
ния f(z) имеет в точке а нуль и ПРИТО;\1 крапюсти k. ЕCJШ же k < О,
то функция f (z) имеет в точке а полюс поря.n:ка h, r.n:e 11 === k.
(В .n:альнеЙlllем мы бу.n:ем в обоих случаях употреблять и слово «KpaT
ность» и слово «поря.n:о к ».)
В силу сказанноrо выше теорема о вычетах .n:aeT фОр;\IУЛУ
(' /(z)dz===k l +...+ ks (lll +.,.+ 11 r ),
L.1tt
Jr
r.n:e k 1 , k 2 , ,.., ks кратности ну лей Ь 1 , Ь 2 , .", b s , а 111' h 2 , .", 11 r
кратности полюсов щ, a , .,., a r . Если каж.n:ыti HY.'Ib и полюс мы
бу.n:ем считать столько раз, какова el'o кратность, то число k 1 +
+ k 2 + . . . + I s бу.n:ет числом ну лей функции f (z) R области F,
а число h 1 + h 2 + ' . . + h r ЧИCJlOм ее полюсов, Таки",! обраЗ0М,
подученную формулу можно записать в. ви.n:е
1
2ni f(z) dz == N Р, (1)
дР
r.n:e N ЧИCJIO нулей функuии t (z) в области F, а Р число ее полюсов.
И3 этой формулы получается, меж.n:у прочим, еще ОЩIO .n:оказа
тельствО основной теоремы ашебры. Действительно, пусть
f(z)==zn +alZn'l +." + a n (п >0).
При .n:остаточно больших I z I имеем
i' (z) nzn 1 + (п 1) a 1 z n '" + ,..+a n ,] .!!:.. +!:!. +
f(z) zn+a,zn ]+...+an z Z2 ...
Возьмем в I,ачестве области F Kpyr I z I R с .n:остаточно большим
110
ИНТЕТРИРОUАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[rл.5
R. Tor.n:a УСЛОВИЯ, при которых справе.n:лива формула (1), ВЫПОJIНены.
По фОРМУJlе (1 О) 7
1 \ f' (z)
2ni ., f (z) dz == n.
дР
Поскольку мноrОЧJlен j(z) не имеет ПОЛЮСОВ, Р == О и, сле.n:овательно,
фОРМУJlа (1) .n:aeT N == n, т. е. мноrочлен j (z) обращается в НУJlЬ
в Kpyre I z I < R (при .n:остаточно БолыllмM R) ровно n раз.
с ПОМОЩЬЮ замены переменноrо f (z) == интеrраJl
\ f' (z) dz == \ df (z)
f (z) t (z)
S dC
преобразуется в интеrрал C' ЧТО позволяет .n:aTb НОlJое TOJIKoBa
ние фОрМУJlе (1). Kor.n:a точка z обходит O'n:HY И3 rраничных кривых
Ls области Р, точка r.==f(z) обхо.n:ит некоторую за II{НУТУЮ (не обя
зателыlO простую) кривую [ . Соrласно реЗУJlьтатам 4 интеrрал
\ d
., С
L'
равен ЧИСЛУ обхо.n:ов точки r. == О КРИВОЮ ['. Поэтому со.n:ержание
равенства (1) можно сформулировать СJlе.n:ующим обраЗ0М:
Пусть точка z обходит zраничные кривые L, L J , ..., [ п обла
сти F в наnравлеНllll, положительном относительно области,
Точка r. == j (z) обходит при этом определенные за,Мкнутые Kpи
вые [', L , ..., L . Сумма чисел обхода эти,Мll KPllBbtAlll тОЧКll
r. == О равна разности между ЧllСЛОМ нулей II ЧllСЛОМ полюсов
ФУНКЦllll j(z) В области Р.
Докажем, ПОЛЬ3УЯСЬ ПОJlученными результатами, один примечатель
вый факт, НОСЯЩИЙ название теоремы Руше:
ЕСЛll фУНКЦllll f(z) II ер (z) реzулярны в за'мкнутой областll F
II если на zраНllЦе этой областll всюду luteem место неравенство
I ер (z) ! < I /(z)!, то фУНКЦllЯ j (z)+ ер (z) llAlcem внутри области
F столько же нулей, сколько II функция f(z),
Заметим преж.n:е Bcero, ЧТО и функния f(z), И ФУНКЦИЯ f(z) +
+ ер (z) не обращаются в нуль на rранице области Р, поскольку
I/(z) I > I ер (z)!:;?: О и I f(z) + ер (z) I:;?: Ij(z) I I ер (z) I > О.
Положим
f (Z)tt)'f (z) 1 + и (z) == tJ; (z).
(2)
По условию теоремы ФУНКЦИЯ II (z) на rранице области F у.n:овлеТ130
ряет неравенству jll (z) I < 1, и поскольку rраница замкнутое MIIO
жество, а ФУНКЦИЯ lu (z) I непрерывна на нем, то И3 3"1'01'0 неравенства
следует, ЧТО III (z) i 8 < 1 .n:ля всех z на rранице области Р. Это
9]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА НУЛЕй 11 ПОЛЮСОВ
111
0значает, что то'ша 1: == lJi (z) == 1 + u (z) не выхо.n:ит И3 Kpyra с цeHT
ром в точке 1: == 1 и ра.n:иуса < 1. Точка 1: == О расположена вне
этоrо кру!'а. Поэтому, коrда точка z обхо.n:ит rраницу области Р,
точка 1: == lJi (z) обхо.n:ит некоторую кривую, для которой число обхо
дов BOKpyr точки 1: == О равно нулю. Сле.n:овательно,
\ : dz == О.
дР
НО И3 равенства (2) следует, что
f' (z) +'f' (z) f' (z) + ф' (z)
f(z)+'f (z) f(z) Ф (z) ,
а значит, и
\' f (z) + 'f' (z) dz == \' f' (z) dz S <jJ' (z) dz
f(z)+'f(z) ., f(z) I <jJ(z) .
дР дР аР
Теорема .n:оказана.
Теорема PYllle леrко обобщается на случай, Kor.n:a функции j(z)
и ер (z) имеют в области F полюсы. Tor.n:a в формулировке теоремы
сле.n:ует ЛИlllЬ вместо числа нулей !'оворить о разности меж.n:у числом
нулей и числом полюсов.
В качестве приложения теоремы PYllle .n:окажем сле.n:ующее YTBep
ж.n:ение:
Если фУН1сция j(z) рпулярна в заА4.кнутой области F и не
обращается там в нуль, то и максимум и миниму-и ij(z) I дo
стuzается на zранице области Р.
Достаточно .n:оказать это утверж.n:ение JlИlllЬ .n:ля минимума, так
как вместо функции j (z) можно рассмотреть функцию 1 /! (z).
ДОПУСТI1М, ЧТО минимум мо.n:уля ФУНКЦИИ j(z) .n:остиrается внутри
области (или внутри, или на rранице области минимум 'n:ОСТИf'ается,
так как Ij(z) I непрерывная функция), скажем, в точке zo' По Teo
реме PYllle функции j(z) и j(z) j(zo) .n:оюкны иметь то!'да в оБЛ2
сти F о.n:инаковое число нулей. Но число нулей j(z) по условию
равно нулю, а число нулей j(z) j(zo) не MeHbllle е.n:иницы. Полу
ченное противоречие 'n:OKa3bfBaeT теорему,
Формула (1) пре.n:ставляет собой частный случай фОр IУЛЫ
1 \' л f' (z) d "\l Ь Л V л
2ni z J(z) z a,
аР
которая может быть .n:оказана совершенно тем же путем. В послед
ней формуле л любое целое неотрицательное число, а суммы рас-
пространяются: первая на все нули, а вторая на все полюсы функ-
ции f(z), лежащие в области р, При этом каж.n:ый нуль (11 полюс)
считается столько раз, какова el'o кратность.
rлава шестая
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
{) 1. Понятие мероморфной функции
Меро.АtoрфНОЙ Функцzzей будем назыпать однозначную аналитиче
скую функцию, не имеющую Б конечной части ПЛОСКОСти особых
точек, ОТЛИЧНЫХ от полюсов,
В частности, к мероморфным функциям относятся целые функции,
так как Они Rообще не имеют никаких особых точек Б конечной
части плоскости, а также рациональные функпии.
Можно дать и .n:pyr'oe опре.n:еление меро:vroрфной фунrщии:
Функпия j(z), отличная от тождеСТБенноrо нуля, на3ЫБается Mepo
морфной, если В окрестности любой конечной точки а .n:ля нее имеет
место разложение
/(z)==co(z аУ + сl (z аУ+! +"., (1)
r.n:e 1" пеJ10е число, а со CF О.
Число r мы бу.n:ем назывтъ ПОРЯ'n:КО!l'1 нуля функпии I(z) В точке
а, считая тем самым, что полюс поря.n:ка s ЭТО нуль отрипатель-
Hor'o поря.n:ка s.
И3 определения мероморфной функпии неме.n:ленно вытекают сле-
дующие СВОЙСТБа класса мероморфных функпий:
1. Любая постоянная !l'lероморфная фуНlЩИЯ.
2. CpQ!l'la И разность 'n:БУХ мероморфных функппй мероморфные
функпии.
3. Произведение и частное 'n:БУХ мероморфных функпий мер 0-
морфные фушщии.
4. РаuионаЛЫ1ая функuия от мероморфных функций мероморф-
ная функция,
В частности,
функция. Так как
ОТНОlllение 'n:БУХ целых фУНКUl1fi мероморфная
sin z и cos z целые функции, то
t sinz cosz 1
gz== cosz ' ctgz==Si!1Z' secz== cosz '
ЯБЛЯЮТСЯ мероморфными функuиями.
Вообще БОЛЬШИНСТБО Бстречающихся Б анализе о.n:нозначных ФУНК
ций мероморфно.
З]
ТЕОРЕМА мит1Аr JiЕФФЛЕРА
113
2. Мероморфные функции с конечным числом полюсов
Если мероморфная функция [(z) не имеет полюсов. то она яuля
€тся целоЙ функцией.
Пусть мероморфная функция [(z) имеет только конечное число
полюсов al' а2' .,., al l ' и пусть
f 1 ) ( 1 )
\ z aI ' z a; ,
rлавные части в этих полюсах (см. 7 rл. 3). Tor.n:a
-k
f(z) === O(z) + ! g ( z 1 aJ '
n==l
lL( z 1 aJ
r.n:e O(z) целая функция,
3. Теорема Миттаr Леффлера
Если мероморфная функция I(z) имеет бесконечно MHoro полю
сов, ТО они MOI'YT и:vrеть пре.n:еЛЫIУЮ точку только в бесконечности.
Действительно, пре.n:ельная точка полюсов тоже особая точка и при
том не полюс (полюс, как мы знаем, И30JlИрованная особенность),
а по опре.n:елению мероморфная функция не имеет в конечной части
плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Полюсы мероморфной функции I(z) .n:оrовориМСЯ нумеровать
в порядке возрастания их мо.n:улей. Если ао, a 1 , а2' . ,. полюсы функ
ции 1 (z), то наша .n:oroBopeHHocTb 0значает, что I ао I I аll I а2 i , . .,
а. cor лас но с.n:еланному BbIllle замечанию, Нт i а п I === 00.
п..,.оо .
Заметим, что в после.n:ователыюсти {I а п I} в нуль может обра
щаться только ЧИСЛО : а о 1. все следующие положительны.
rлавные части функции [(z) в ее полюсах мы бу.n:ем, как и paHbllle,
()бозначать
(z aJ ,
g ( ) ,...
;J, z a]
Естественно, возникает вопрос, .n:олжны ли полюсы мероморфной
функции и I'лавные части в этих полюсах у.n:овлетворять каким либо
условиям?
Ответ на этот вопрос .n:aeT следующая теорема, впервые .n:оказан
ная Миттаl- JIеффлером:
т е о р е м а 1. !{аковы бы Нll БЫЛll последовательность точек
йо' al' а2' ,." Нт a n === 00,11 последовательность [;n ( 7 1 ) AfH020
n----+оо '-' а п
членов oт , существует .меро.морфная функция /(z), llAfеющая
z an
114
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[fл.6
в точках ао, аl, а2' ... (и только в них) полюсы с 2лаt!ны.ми ча
стЯJlfll
go С 1 aJ.
( ] )
gl \z al '
g2 ( ) "'.
z a2
соответственно.
Для .n:оказательства теоремы Миттаr Леффлера нам пона.n:обится
сле.n:уюшая лемма:
Пусть РО (z), F 1 (z), F 2 (z), ... послеiJовательность Jlfеро.морф
ных фуюсцuй. ПредпОЛОЖllЯ, что ФУН1СЦllll Fn(z) (п==О, 1, 2,. ..)
Ре2УЛЯРНЫ в КРУ2ах i z i r n соответственно, прuче_u
rO rl r "" ]imrn==oo.
n oo
ТО2да существует такая послеiJовательность {hn (z)} .tlНО20чле
нов от z, что ряд
m
(Fn(z) h,,(z))
о
равнояерно сходится в КРУ2е i z I R при любо.м R < 00 (если
отбросить конечное число члеНОБ ЭТО!'О ря.n:а, которые MorYT обра
щаться Б бесконечность),
Для .n:оказателЬСТБа леммы заметим. что ря.n:
00
Fn(z) == C ) zm
О
раБномерно схо.n:ится Б Kpyre I z 1 r n' так как ФУНКЦИЯ Fn (z) по
УСЛОБИЮ леммы pery лярна там. Поэтому .n:ля любоrо числа 6n> О
можно Быбрать номер m n таким образом, чтобы при Бсех z И3 кру!'а
I z I r n выполнялось неравенство
nZ п
I Fn (z) c;:)zm\ < 6n,
О
Выберем после'n:ОБательность положительных чисел 60' Еl' .., так,
чтобы схо.n:ился ря.n: 80 + 81 + 8 r' . " и об0311ачим
т n
h n (z) == L c:;:l z m.
о
Покажем, что построенные мноrочлены /ln (z) состаБJJЯЮТ после,'J.O
вательность, сущеСТБОБание КОТОрОЙ утверж.n:ается Б JJeMMe.
Действительно, Бозьмем любое число R < 00 и Быберем номер N
таким обраЗ0М, чтобы БЫПОЛНЯЛОСЬ неравеНСТБО rN?;:; R. Tor.n:a при
Izl R ря.n:
m
L (Fn (z) Jl n (z))
N
будет мажорИРОIJ;JТЬСЯ сходящимся ЧИСЛОIJЫМ рsщом 8N+ EN+l +,...
(1)
4] ОБЩИй ВИД МЕРОМОРФ. ФУНКЦИИ С 3АДАНI-IЫМи ПОЛЮСАМII ] 15
и сле.n:овательно, бу.n:еr равномерно Схо.n:иться при I z I R, Тем са:ным
лемма .n:оказана.
Перей.n:ем к .n:оказательству теоремы Миттаr JIеффлера.
Возьмем в качестве последовательности {Fn(z)} после.n:овательность
r'лавных частей {gn ( z 1 aJ }. Если взять r n == i a n 1, то условия
леммы бу.n:ут выполнены, так как функции gn ( ) реrулярны в
z an
Kpyrax I z 1 i а n I < ! a n 1. Убе.n:имся, что сумма ря.n:а
m
F (z) === go ( ) + " ( gn ( ) h n (z) )
z а о ."- z а n
1
(2)
представляет собою мероморфную функцию с заданными по.тпоса:vш и
rлавными частями в них. Соrласно лемме рЯД (2) бу.n:ет равномерно
схощпъся в Kpyre i z I R с любым фиксированным R, если отбро
сить конечное число ero первых членов, По теоре:не Вейерштрасса
сумма равномерно сходяшеrося ря.n:а реr'улярных функций реrуляр
ная функция. Поэтому особые точки суммы ря.n:а (2) в этом Kpyre
совпа.n:ают с особыми точками суммы конечноrо числа первых чле
нон этоrо ря.n:а. Эти особые точки полюсы в за.n:аllllЫХ точках с
заданными rлавными частями, Теорема .n:оказана.
4. Общий вид мероморфной функции
с заданными полюсами
Пусть f(z) мероморфная функция С полюсами ао, al' ..., зану
мерованными в порядке возрастания МО'n:УJrей, {'лавные части функ
ции f(z) в этих полюсах обозначим
go ( z 1 aJ.
I 1 )
gl \ z а] .
g ( ) , ....
z a
Cor ласrю теореме Миттаr' Леффлера можно построить ФУНКЦИЮ
cf)
F(z)===go ( z 1 aJ + ! (gn ( z 1 aJ h n (Z)),
1
J1меющую те же полюсы И те же r'лавные части в этих полюсах. что
И ФУНКЦИЯ f(z). Ра31ЮСТЬ O(z) == f(z) F (z) будет. очевидно цеJЮЙ
функцией, так что
m
f(z)== O(z) + go ( \ + ( gn ( ) /1n (z) ) .
z а о / ..... z а n
I
116
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл.6
Таким обраЗ0М:
Любую JlfерОJlfОрфНУЮ функцию f(z) JlfОЖНО представить в Bи
де cy.MJlfbl целой фУНТСЦllll II ряда, членаJlfИ которою являются
рацuональные ФУНКЦllll, nричеJlf каждая из этllХ функций
llЛteem в конечной плоскости nОЛЮСОJlf тольКО одllН из полюсов
фУНКl1;llll f(z).
5. Случай ПрОСТЫХ ПОЛЮСОВ
Сейчас рассмотрим по.n:робнее часто встречающийся и наиболее
простой случаЙ, Kor да r лавные части, 01'вечающие всем точкам ао, аl.
02' ..., имеют пи.n:
со
z ао'
С 1
z а]
С 2
z й 2 '
При n> О имеют место разложения
=== Cn . === Cn ( 1 + + ; + .., )
z an а n l !.... a n ' u n а п
а n
( I z I < I а n I ).
Поэтому, если полюсы простые, то
hn(z)=== Cn '!; z4 .,, zтn, J.
а n Оп атn
n
а
m
F(z)=== + ( + cn + z +...+ zтn T .l (1)
z ao ',,-,, \ z an оп u n 'aтn.
n 1 n ,
Поскольку
сп + сп + сп + + сп т ._ ( Z ) т n .
z z n ,
Z а n a n a . .. 'атn а n z a n
n
формулу (1) можно записать и в ви.n:е
m
F(z)=== + ( !.... ) тn .
z а о "'" а n z an
n 1
(2)
Uелые числа 11ln, вхо.n:ящие в формулы (1) и (2), сле.n:ует выби
рать так, чтобы написанные ря.n:ы равномерно схо.n:ились в любом
конечном Kpyre (после отбрасывания членов, имеющих в этом Kpyre
полюсы). Сейчас попытаемся при.n:ать этому условию более простую
форму.
Возьмем любое R < 00 и рассмотрим z И3 Kpyra I z 1 R. При
достаточно БолыllмM n величина \ -;;I бу.n:ет сколь yro'n:Ho мала, По
этому можно найти такой номер N, чтобы при всех n N ВhI1lOЛ
!\ 5]
СЛУЧАй ПРОСТЫХ ПОЛЮСОВ
117
нялись неравенства ; 11 :п I 2 (1 z I R). Тоrда будут СПра
ве.n:ливы инеравенства
I ,тп I ( 3 ) - тп 1 2 1 \ тп .
2 G n I I а п I G n Z а п а п I G n I
Сле.n:овательно:
Ряд (2) для фуюсции F (z) абсолютно сходится в любо.И lCO
нечном Kpyze 11l0zaa итолысо mozaa, Kozaa ряд
со
( ) тп Сп
а п а п
I
(3}
абсолютно сходится при любом z,
Леп{О убедиться, что в случае аБСОJJlОТНОЙ сходимости ря.n:а (3)-
ря.n: (2) раВНО.мерно сходится в любом 1Сонечноя 1Cpyze (после
отбрасывания членов с полюсами в этом Kpyre). Действительно, выби
рая номер N тем же способом, что и BbIllle, мы ви.n:им, что ряд
со
V ( ) тп
.:... а п Z G n
n N
при I z I R мажорируется ря.n:ом
со
( R ) т п I Сп I
2 тa ТG,;1"
n::::::::=JV
Последний ря.n: является сходящимся числовым ря.n:ом с положитель
ными членами.
Таким обраЗ0М, мы доказали теорему:
Т е о р е м а 1. ЕСЛll В форд уле (2) Чllсла т п выбраны та1С,
что ряд
со
,-, ( ) mn СП
а п Оп
1
абсолютно сходится при любо.м z, то ряд 8 формуле (2) pa8HO -
мерно сходllтся в любом конечном Kpyze (после отбрасывания
конечноrо числа членов),
Если положить все числа m n равными O'n:HOMY и тому же числу т, то.
сО со
)1 ( _ ) т Cn ==Zт V .
a.I а п а п a +
n 1 п 1
Это дает нам теорему:
118
МЕРОi\ЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rn, 6
т е о р е м а 2. В формуле (2) все Чllсла Jn n Atожно взять paBHbl.JItll
одному и ntOAtY же числу т, если сходится ряд
m
I 1 1 l m 1
.LJ сп I а п .
n 1
Если положить т п == n, то ря.n: (3) становится степенным РЯДОМ.
Этот ря.n: бу.n:ет сходиться при всех Z, если
1 . V О
1т I I .
n........оо Оп [
Это УСловие заnе.n:омо выполняется, если liт -JI ' Сп I < (х), так как
п co
I а п I ---+ (Х) при n ---+ (Х). В частности, мы получаем отсю.n:а:
Если все полюсы простые, а вычеты сп В этих полюсах 02pa
ничены, то все2да можно взять в формуле (2) т " == n.
6. Примеры
в качестве примеров рассмотрим функции
'It
'It
cos 'ltZ '
ctg 'itZ,
tg Z.
si[] 'ltZ '
И3 равенств
еТС iz e 1tiz
sil1 Z ==
eтtiz + e тr. iz
cos Z== 2
2i
леrко усмотреть, что нули функции sil1 Z расположены в
:+ 1. + 2, ..., а нули функции cos Z в точках
+ + +
2' 2' 2""
точках О.
'It
Первой рассмотрим функцию т; cosec 'itZ == .
5111 'ltZ
нули функции siп Z. llля отыСкания rлавных частей
положим Z n == h. z == n + h. Очеви.n:но, имеем
1t 1i: (1 )n 1t
si[] 'ltZ == si[]" (n -1 h j == 5i[] ;; ,; ==
Ее
полюсы
в этих полюсах
( I)n "
'It"h"
"'I 3!+...
или
'It ( I)п I Ш ( h )
si[] 'ltZ == Il ' , ,
r.n:e Чh), как всеrда, степенной ря.n: по степеням h == z n. Сле.n:о
вательно, I'лаllная часть функции cosec z в полюсе z == n равна
. ( I)n
Ря.n:
z n
m
m
m
ICnllanl m..l== n m 1+ l nl т l
n 1 ,, I n l
61
ПРИ МЕРЫ
119
из 5 бу.n:ет сходиться при т === 1. Поэтому мероморфная функция
m
F(z)=== + { ( 1)n ( + ) +( 1) ( )}
z """ z п п z+п п
n 1
имеет те же полюсы и те же r лавные части в этих полюсах, что и
ФУНКЦИЯ 1t cosec 1tZ. Сле.n:овательно,
m
=== O ( z ) + + '1' ( 1 ) n ( + )
sin7tz z z п п'
(1}
CX)
r.n:e O(z) целая ФУНКЦИЯ. Штрих У знака СУММЫ означает, что член
ря.n:а, отвечающий п === О, следует пропустить. Отысканием точноrо
выражения .n:ля целоЙ функции O(z) заЙмемся в 8.
COBepllleHHo аналоrично нахо.n:им, что функция
+ + t
имеет полюсы в точках Z 2' 2' ... и по
1t
1t sec 1tZ ===
COS 7tZ
r лавные части
7t
cos 7tZ В этих полюсах равны
( l)n
z (п )
(п === О, + 1, + 2, ., .).
Поэтому
m
cO:7tz ===Ot(Z)+ !( 1)n ( z (1: )
CX) 2
п 1 1 ) .
2
(2)
Функция 1t ctg "Z имеет полюсами нули функции sll1 "Z. В OKpeCT
1I0СТИ полюса Z === п имеет место разложение
t ( ! l ) 7tcOS7t(п+/I) 7tcos7t/l 1 ' II.' ( I )
т;с g1t п 1 sin7t(п+/I) sin h 1 +' 1,
так что' r лавная часть ФУНКЦИИ 'it ctg 1tZ в этом полюсе равна
1
z п
Поэтому
m
I y ( 1 1 )
1t ct g 1tZ === 0., ( Z ) + ..J ., + .
- z I __ ,Z п ' п
CX)
(3)\
Функция 1t tg 'itZ имеет полюсами нули функции COS 1tZ И В OKpeCT -
1
"ости полюса Z === п :2 имеет место разложение
r 1 7tSin7t(п +h) 1
1t tg 1t \п :2 + h) === \ 1 h + (h).
COS1t (п :2+h)
120
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
rrn, 6
Поэтому
со
1ttg1tZ==Оз(z) ! ( I 1 + n I 2 1 ) ,
-со z n+ 2
(4)
При изложенном способе разложения мероморфных функций на
простеЙlllие дроби наиБолыllюю ТРУЩlOсть пре.n:ставляет нахождение
целых ФУНКЦИЙ, вхо.n:ящих в формулы. В .n:pyroM способе разложения
на простеЙlllие .n:роби, пре.n:ложешlOМ Ео III И, эти трудности ПОЛНОСтью
отсутствуют.
7. Метод Коши
Пусть f (z) мероморфная Функция с бешонечным числом полю
сов. Отличные от нуля полюсы функции I(z) обозначим аl' a , '"
(нумеруем по прежнему n порядке возрастания мо.n:улей). l{ точкам
al' a , .., всеrда бу.n:ем .n:обавлять точку а о == О независимо от Toro,
имеет ли ФУНКЦИЯ 1 (z) полюс при z == О, l лавную часть функции f (z)
в полюсе z == a n об03l1ачим, каl( ncer .n:a, gn ( ) (если точка z == О
z an
не является ПОЛIOСО I, то go ( +) = о) ,
B03bMe 1 простую замкнутуlO КРИВУЮ C r , не прохо.n:ящую через
точки ао, al' а2' "" со.n:ержащуlO внутри себя точки z, а о , аl' а2'
. , " a r (и не со.n:ержащуlO точек а п l' ar+ 2 ' .,.). При л 10 БО:\1 целом
nоложительно:\! т интеrрал
I ' z"' f (О d
Ir 7) У",
L/1tt " ,, z
C
без труда вычисляется с помощью Teope!VlbI о вычетах, что мы и про
.n:елаем несколько ниже. Написанный интеrрал леrко преобразуется
к ви.n:у
1 . ( 1 1 z zm ] )
I r ==2iт.i /(t,,) t z C C2 "' '""[riI dr..
с
r
Точку z будем считать лежащей внутри контура C r , НО не совпадаlO
щей ни с одноЙ из точек а о , аl' .", a r .
По.n:интеrральная функция имеет полюсы в точках
z, а о , аl' ,." a r ,
в точке z ее вычет равен, очеви.n:но, 1 (z).
в окрестности точки r. == а/, имеем разложения
I(r.) ==gk ( с 1 aJ + (С; ak)
71
МЕТОД КОШИ
121
и
Поэтому коэффициент при
gk ( ) '
z ak
ложении
с 1 z === С ak (z ak) === ( z 1 ak + (ZC :k)" +.,.).
1 1
С ak в разложении f Ю . e
1
Обозначим через h k (z) коэффициент при С ak
равен
в раз
( 1 z zm ] )
f«() т+ C2 +"'+
в ря.n: Лорана по степеням ( ak' HeTpY'n:Ho ви.n:еlЪ, что этот коэф
фициент бу.n:ет мноrочленом степени не ВЫlllе т 1, Итак, вычет
rюдинтеrральной функции интеrрала lr в точке ak равен
f ' 1 ) \
Igk( hk(z)/.
\ ,z ak )
Сле.n:ователыю, по теореме о вычетах
r
/r == /(z) ( Ш' ( ) h k (z» ) .
... ,z ak
k O
Отсю.n:а нахо.n:им, что
r
{(z) === (gk ( z 1 aJ h k (z») + 2 i (C : dC-
k O С
r
Если после.n:овательность кривых Сп (кривая Сп со.n:ержит внутри
себя точки ао, аl' ..., а п и не со.n:ержит точек a n +l' a n +2' ...) такова.
что интеl'рал
Rn === i с! i )
сп
стремится к нулю при п -----+ со (и при .n:aHHOM Z), то
со
f(z)=== ! (gk( z 1 aJ /lk(Z»). (1)
k O
Сделаем еще O'n:HO замечание о мноrочленах h k (z). Для них при
k 1 справе.n:лива формула
gk( z 1 aJ hk(Z)=== c ) CZ) '
'k
r.n:e 1k .n:остаточно малая or<РУЖlIOСТЬ с центром в точке ak' Разло
жеНldе правой части в ря.n: по стен еням z начинается с Zm. Поэтому
ясно, что мноrочлен h k (z) равен cYM1>le 1/l первых членов разложения
функции gk ( ) В ряд по степеням z.
\z ak
122
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл,6
При k О имеем
ho(z) ;i fЮ(++ ;. +...+ Z l )d1:.
10
Так как в окрестности точки 1: О имеет место разложение
f(1:) go(+) +со + Сl1: + С21: 2 +...,
то
ho(z) (со + CIZ +... + Cт lZт l).
Для интеrрала Rn мы можем написать оценку
I Rn I с I f ! + C 1 . тах I 1 I
"'с' tEC n '
n С I
Если кривая Сп с увеличением п ухо.n:ит в бесконечность всеми своими
точками, то при фиксированном z имеем
1
тах 1 (п сх:».
tECnll 1
I Rn I I f i + C I
Сп
Сле.n:овательно,
(п> по (z»,
Таким образом:
Разложение (1) ll.Jffeem жеста при любож z, еСЛ11
min 11: I сх:>
tEC n
(п 00)
11 еСЛ11
\ I f(C \ о
d стн
n
(п сх:».
8. Примеры
Вернемся к ФУНКЦИИ 1t" cosec 1t"Z, рассмотренной нами в 6. В
качестве КРИВОЙ C r (точнее. С 2ч .) мы возьмем rраницу KBa.n:paTa с
вершинами в точках + л + iл, л r + ; (рис. 29). Пусть 1: Ka
кая либо точка, расположенная на О'n:НОЙ И3 вертикальных сторон
этоrо KBa.n:paTa. Tor.n:a
c + (r+ ; ) +iy
и, сле.n:ователыlO,
t т. +2",
1t cosec п1: == === "Y + "У
COS щу е е
:!:1t
1t'y' 1t 4 y' .
1+21+41+'"
!i 8]
ПРИМЕРЫ
123
Поэтому на вертикальных сторонах KBa.n:paTa имеет место оценка
I '/t" cosec '/t" I '/t".
На rОРИЗ0нтаЛЫIЫХ сторонах KBa.n:paTa == + [л + х
и, сле.n:ователыlO,
'21Ci
'/t" cosec '/t" == 'С "
е1Н е 'Т"l
'21Ci
eтcix ..nл е 1tiх 1tл
(1)
( л х л)
:!::21Ci
е1Сл+niх e 7r/, тtiX.
Мо.n:уль знаменателя не MeHbllle чем е 1tЛ е 1tл. а эта величина
стремится к бесконечности при л ---+ + со. Поэтому оценка (]) бу.n:ет
справе.n:лива и на rОРИЗ0нтальных CTOpO
нах KBa.n:paTa, если только число , .n:o
статочно велико.
И3 полученных опенок сле.n:ует, что
\' ' 1С cosec "с I \' I dC I
стн dr., '/t" j с тн .
С с
r r
На сторонах KBa.n:paTa, очеви.n:но, I r.,1
1
л == , + 2. Поэтому, оuенивая ИlIте
(
r О +r r+l
Рис. 29.
rрал произве.n:ением максимума мо.n:уля
по.n:интеrральной функции на .n:лину пути интеrрирования, мы полу-
чаем, что
\' I dC I ( 1 ) т 1 { 1 \ ( 1 ) т
'/t" .) с тн 'Ii:. '+2 .8,'+2) ==8'/t" '+2 .
c r
Сле.n:оватеJIЬНО, интеrрал
\' I f Ю dC I
СтН
t
r
( 1 ) т
не превоtхо.n:ит величины 8'/t"' + '2 ,оп<уда
011 стремится к нулю с возрастаllием ,.
Формула (1) пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа .n:aeT
написать разложение
ви.n:но, что при т == 1
поэтому возможность
OJ
+ V' 1)n ( + )
sin1Cz z i..J ( z n n.
OJ
(2)
Тем самым мы не только еще раз получили формулу (1) 6, 110 И
доказали, что входящая в эту формулу целая функция O(z) равна
нулю,
в качестве BToporo примера рассмотрим функцию '/t" ctg '/t"z, I(oTO
рую мы также рассматривали в 6. Кривую C r будем по прежнему
124
МЕРОМUРФНЫЕ ФУНКЦИи
[rл,6
{;читать rраниuей Toro же KBa.n:paTa, что и Bhlllle. На вертикальных
<:торонах KBa.n:paTa == + (r + ; ) + iy, так что
v '" siп 1tiy то e " У е"У
'/t"ct g '/t" == :::::::
. COS ",iy i e Т-Y f--- е"У .
Мо.n:уль этоrо выражения меняется при замене у на у, и, как
HeTpY'n:Ho убе.n:иться, не превосхо.n:ит '/t". Итак, на вертикальных CTO
ронах справе'n:J1ИВО неравенство I то ctg '/t"r.1 '/t".
На rОРИЗ0нтаЛЫIbIХ сторонах (== + {л + х, и ПОТОМУ
" . етсiХе+1СЛ е 1tiх 1СЛ
'/t" ctg '/t". == '/t"l . - л . + л .
e7tlXe+1t e 1tlXe 1t
Сле.n:овательно, при больших значениях л значения ФУНКЦИИ '/t" ctg '/t"r.
близки к + '/t"i.
Таким обраЗ0М, при .n:остаточно больших значениях r на кривой C r
выполняется lIеравенство i '/t" ctg ..: I < '/t" + 10, 10 > О, Отсю.n:а ле1'КО
выво.n:им, что при т == 1
} 1 '" 1"' d( I == о.
. с
r
Поэтому справе.n:ливо разложение
OJ
1 V' ( 1 1 )
'/t"ctg'/t"Z ===z+ i..J z n +п- .
-со
(3)
COBepllleHHo аналоrично получаются разложения
OJ
"'. ( 1 ) n ( 1 + )
COS"'Z ""'" z п .!.. п .!..
-О) I 2 2
и
OJ
'/t" tg '/t"Z == ! ( z L.!.. + п 1 1 ) '
OJ I 2 2
Если в формулах (2) и (3) объединить члены, отвечающие п, то
эти формулы примут ви.n:
OJ
'" 1 V N ( 1 1 )
SiПтоz ==z+ . ./ 1) z п + z+n ·
1
OJ
1 !( 1 1 )
.'/t"ctg'/t"Z::::::: + + + .
z z n z n
. 1
(4)
9]
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ НУЛЯМИ
125
1 [о теореме Вейерштрасса эти формулы можно .n:ифференnировать
почленно. Дифференцируя, например, после.n:нюю И3 них, получаем
(у)
( 1t \2 ]
sin 1tZ ) == .::.. (z n)2.
co
9. Целые ФУНКЦИИ с заданными НУЛЯМИ
. Во мноrих случаях бывает ПОJlезно знать общий ви.n: целой функ
пии, имеющей за.n:анные нули (и не имеющей .n:руrих нулей).
Сначала наЙ.n:е'\1 общий ви.n: целой функции, не имеющей нулей
во всей плоскости. Если целая функция О (z) не имеет нулей, то
о' (z)
функция GW тоже бу.n:ет целой функцией, поскольку она равна
()ТНОlllению 'n:BYx целых функций и знаменатель ниr.n:е не обращается
Б нуль. Отсю.n:а сле.n:ует, что функция
z
. о' (1;.)
J G(с тd1:==lпо(z) lпо(о),
о
а значит, И функция Н (z) == lп O(z) тоже целые ФУНКЦИИ. ЭТО
0значает, что
O(z)===eH(ZI,
(1)
{"де H(z) целая функция.
Поскольку функции ви.n:а р) не имеют нулей, то:
Для тО20 чтобы целая фуню uя O(z) не lutела нулей, необхо-
д,ulO II достаточно, чтобы ее .Можно было представить в виде (1).
Рассмотрим теперь целые функции, имеющие конечное число нулей.
Мы буде \1 задавать IlС ТОлько ТОЧКИ, В которых функция обращается
в нуль, но и кратность нулей в этих точках. Для этой цели, выпи-
сынан точки а1' а2' аз,.,., a r , в которых функция обращается в нуль,
мы пишем каж.n:ую точку a s столько раз, какова кратность нуля в
этой точке.
Пользуясь .n:оказанным выше утверж.n:ением об общем ви.n:е функ-
ДИЙ, не имеющих нулей, мы без Tpy.n:a прихо.n:им к пре.n:станлению
целых функций О (z), имеющих нули аl' а2' ,.., a r (и не имеющих
ДРУП1Х ну лt:Й):
O(.z) == (z а1) (z а2). .. (z a r ) eH(z).
Переil.n:ем теперь к наиболее существенному случаю, коrда целая
функция имеет бесконечное число нулсЙ.
Мы нокажем, что, задав пРОllЗ60ЛЬНУЮ последовательность
а1' а2' аз, ..., Jiш a n == 00,
n oo
(2)
126
МЕРО1\\ОРФНЫЕ ФУНКIlИИ
[rn.6
NОЖНО пocmpOllmb целую ФУЮ(ЦllЮ, llмеюLЦУЮ НУЛll в точках {щ}
II только в HllX, пРllчем в каждой llЗ этllХ точек целая ФУНКЦllЯ
будет иметь НУЛЬ такой кратности, СКОЛЬКО раз эта точка
входит в последовательность (2).
Если uелая функuия 01 (z), обладающая требуемыми свойствами, cy
щестnует, то, как мы ви.n:ели в 9 rл. 5, ее лоrарифмическая ПрОИ3
во.n:ная O (Z)/OI (z) бу.n:ет мероморфной функuией, имеющей точки {ak}
(и только их) своими полюсами, При этом полюсы фуюшии 0;/01
бу.n:ут простыми, а вычеты в них равны кратности соответствующеrо
нуля функuии 01 (z), По теореме Миттаr Леффлера справе.n:ливо пре.n:
ставление
O (z)
О, (z) === O(z) + к (z),
rде O(z) uелая фуюшия, а
о) т 1
K(z)=== ( + + Z2 +...+ )
Z Gn а " G n т n
I G n
(3)
(как и в 5, uелые числа m n по.n:бираются так, чтобы ряд (3) paB
номерно схо.n:ился в любой конечной области после отбрасывания
конечноrо числа членов, имеюших в этой области полюсы).
Бу.n:ем считать, что все точки а\, а2' .,. отличны ОТ нуля, и про
ишеrрируем равенство (3) от О .n:o z по любому пути, не прохо.n:я
щему через точки аl' а2' ,.. Это .n:acT
Z о) т
{ Z G Z Z2 Z 1l }
К 1 (z)=== . КЮ dC,=== J lп + . +2+' ..+,.....". .
...... а " G n 'l.a n т G n
О I n n
(4)
В этом равенстве значения лоrарифмов опре.n:еляются контуром инте
rрирования, При замене o'n:Horo контура .n:руrим конечное число сла
rаемых может измеlШТЬ свое значение на uелое кратное 2т;i, По Teo
реме ВеЙерlllтрасса о равномерно схо.n:ящихся ря.n:ах получаем, что
фуюшия К 1 (z) реrулярна 11 любой точке а, ОТJIИЧIIOЙ оТ точек а\,
а2' аз, .,. при любом выборе пути интеrрирования, ве.n:ущеrо И3
точки О в точку а. Это утверж.n:ение бу.n:ет справе.n:ливо и .n:ля функ
uии F (z) === ехр К 1 (z), При этом, поскольку разш:чные возможные
значения аналитической функuии К 1 (z) В о.n:ной и той же точке ОТJIИ
чаются ЛИlllЬ на uелые кратные числа 2rti, фуюшия F (z) бу.n:ет O'n:HO
значной аналитической ФУНl<lщей во нсей плоскости, за исключением,
быть может, точек аl' а 2 , аз, ". Ясно также, что ни в О.N:НОЙ ТОЧ1 е,
отличной от точек аl' а2' "., функuия F (z) === е К ] (z) не обращается
, \
в нуль. Вы.n:еляя в ря.n:е (4) слаrаемое lп (1 :k ) и прово.n: я те же
рассуж.n:ения, мы леrко убеж.n:аемся, что в окрестности точки z === ak
функu ия F (z) пре.n:станима в ви.n:е
с" (z) === (z ak)PkeK.(Z),
9]
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С 3АДАННЫМИ НУЛЯМИ
127
r.n:e Pk кратность точки ak IJ после.n:овательности аl' a , . .. , а функ
цИЯ К3 (z) реrУJlярна IJ точке z == ak' Поэтому ФУНКllИЯ F (z) ==
z
== ехр К ( ) d является llелоИ ФУlllщией, обращающейся в ну ль
о
TOJlbKO B точках аl' a , аз, .." причем кратность нуля в каж.n:ой И3
точек Gk равна кратности этой точки в после.n:ователыlOСТИ al' а2' . . .
Тем самым наша за.n:ача о построении фушщии с за.n:анными нулями
полностью решена.
Построенная нами ФУНКllИЯ
{ (' z ) z z' z m n )}
F(z)==exp l.\ln! 1 a +a + 2a' +. .,+
\ \ n n n т а n
I n n
может быть записана в ви.n:е бесконечноrо произве.n:ения
1 00 1 J( z ) ( ' z Z2 zm n \ }
F(z) \\ l ехр + 2 2 +...+ ) ,
а п \а п а п т а 1z
1 n n
(5)
равномерно схо.n:ящеrося в любой конечной части плоскости *).
Итак:
Бесконечное пРОllзведеНllе (5) пред,ставляет собой целую фУН1(
ЦllЮ, zu.tеющую заданные НУЛll аl' a , ,.. Общий вид целой функ
Цllи. имеющей те же НУЛll, таков:
O(z) == F (z) eH(Z),
zде H(z) прozzзвольная целая фУНКЦllЯ.
Мы с.n:елали пре.n:положение, что сре.n:и нулей наlllей ФУНКllИИ нет
точки z == о. От этоrо пре.n:положения леrко освобо.n:иться. Очеви.n:но,
что если точка z == О является нулем кратности т, то к бесконеч-
ному произве.n:ению сле.n:ует .n:обавить мпожитель Zm.
в качестве примера най.n:ем общий ви.n: llелых ФУНКllИЙ, имеющих
нули в точках О, -+- 1, -+- 2, .,.
Cor ласно .n:оказанному такие ФУНКllИИ можно пре.n:ставить в ви.n:е
о:>
eH\Z) z ] [' {( 1 ) e zrn }
-о:>
(IllТРИХ У знака произве.n:епия 0значает, что множитель, отвечающий
п == О, пропущен).
*) Бесконечное произведение С 1 ' С.. С,]. '.. называем сходящuмся, еслц
BC СП> за исключением конеЧНОI'О числа, отличны от нуля, и если ряд
In С. f---In с. +.,. сходится при надлежащем выборе значений лоrарифмов (по-
сле отбрасывания KOHC'IHOI'O 'lИсла членов). Значением бесконеЧНОI'О произве-
дения П=ооС 1 'С..С 3 '... мы считаем е", rде a CYMMa ряда Iпс 1 +1пс.+...
128
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[r.1.6
в частности, при по.n:хо.n:ящем выборе ФУШЩИИ H(z) МЫ должны
получить равенство
00
sin 'l':Z == еНЩ z 11 {( 1 ;1 ) еztn}.
oo
Для нахож.n:ения ФУНКllИИ Н (z) перей.n:ем к лоrарифмическим nрОИ3
во.n:ным. Это .n:acT
со
1 " 1 1 \
'l':ctg'l':z==H(z)+ + 7 ( + ).
z Ji..I ,z п п J
co
Сравнение с формулой (3) 8 показывает, что Н' (z) О, так что
eH(z) некоторая постоянная. Эта постоянная .n:олжна быть равна '1':,
sin 1<Z
так как --+ '1': при Z --+ о. Сле.n:оватеJlЫIO,
z
со
sin 'l':Z == 'l':Z 1 1 ( 1 : ' ) eZ/n.
.. \
<:J)
Объе.n:иняя в этом равенстве множители, отвечающие + п, мы Haxo
дим сле.n:ующую формулу .n:ля разложения ФУНКllИИ sin 'l':Z в беско
нечное произве.n:ение
со
sin 'l':Z == 'l':Z ] 1 (1 :: ) .
1
(6)
10. Представление мероморфных функций через целые
Пусть f (z) какая либо мероморфная ФУНКllИЯ, Ее нули, как и ее
полюсы, не MorYT иметь пре.n:елы ых точек в конечной части rlJ1o
скости и потому MorYT быть расположены в порядке возрастания
мо.n:улей. Обозначим нули ФУНlЩИИ I(z) через
Ь о , Ь 1 , Ь 2 ,
(1)
(2)
ао, аl' а2'
а ее полюсы через
(каж.n:ый нуль или полюс ПИlllем в этих после.n:овательностях столько
раз, !{акова erO кратность).
ИСПОЛЬ3УЯ реЗУJlьтаты пре.n:ьщущеrо параrрафа, построим две иелые
ФУНКllИИ 01 (z) И о (Z), имеющие нули в точках после.n:овательностей
(1) и (2), соответственно (и только в них). Иначе rоворя, функ
иия 01 (z) имеет те же нули, что и ФУНlЩИЯ 1 (z), а нули фУНКllИИ
O(z) совпа.n:ают с полюсами ФУН1ЩИИ f(Z). При таком построении
ФУНКllИЯ
I(z) о (z)
О. (z)
!i 11)
nР.FДСТАВЛЕНИЕ rАМ.М.А ФУНКЦИИ ЭйЛЕРА
129
не имеет ни нулей, ни полюсов. Соrласно первому результату пре
.n:ы.n:ушеrо параrрафа она имеет ви.n: ехр g(z), r.n:e g (z) целая функ-
ция. И3 равенства
f (z) О (z) eg(Z)
О] (z)
нахо.n:им
н (z)
I(z)== O(z) ,
r.n:e Н (z) == 01 (z) ехр g(z) llелая ФУНIЩИЯ, имеющая те же нули, что
и функция 01 (z), а значит, те же нули, что и ФУНlшия f(z).
Тем самым мы доказали теорему:
Каждая .AfерО.Afорфная функция I(z) .может быть представлена
в В1lде отношеН1lЯ двух l,елых ФУЮЩ1lЙ, прzzчем Ч1lСЛ1lтель и.меет
те же НУЛ1l, что и I(z), а нули зна.Alенателя совпадают с полю-
саАт I(z).
11. Представление rамма-фующии Эйлера
в виде бесконечноrо nроизве.n:ения
Поставим пере.n: собой за.n:ачу построить аналитическую функцию
g(z). ДJrя которой
g(п+1)==I1! (п==О, 1,2,...).
И3 написанных условий сле.n:ует, что g(l)== 1 и что .n:ля п== 1,
2, 3, '" выполняется равенство g (п + 1) == ng (п). Поэтому еСтест-
венно считать анаJlИтичешую ФУНКЦИЮ g (z) удовлетворяющей функ-
llионаЛЬНО IУ уравнению
g(2+ 1)== zg (z).
(1)
И3 9,TOro ФУНКllионалыюrо уравнения немедленно получаем
d" ) d"
iii" 1п g(z + 1) == z" + dz" lп g(z),
а итераllией после.n:неI О равенства получаем. что при п == О, 1, 2, '..
1l
d" V d"
lJz" lп g(z) == "'"' (z + k) 2 + dz" lп g(z + п + 1).
о
(2)
От ФУНКllионалыюrо уравнения (2) можно вернуться обратно к
ФУНlшионалыlOМУ уравнению (1), если выбрать на.n:лежащим обраЗ0М
постоянные интеrрироваllИЯ.
Обозначим
OJ
1 (z) == L (z + k) 2.
о
По теореме ВейеРlllтрасса сумма этоrо ря.n:а реrулярна во всей пло-
скости, за исключением точек z == О, 1, 2, ..., rде она имеет,
очеВИ'n:1I0, полюсы BToporo поря.n:ка.
5 А. rУРIJНЦ. Р. Курант
130
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rJ1.6
J1erKo про верить, что функция j'(z) у.n:овлетворяет ФУнкциональ
ному уравнению
n
/(z)== (Z+k) 2+/{Z+п+ 1).
о
Опре.n:елим теперь функцию r (z) равенством
со
22 1I1r(Z)==f(z)== (z k) 2
О
(3)
(пре.n:положив .n:ополнительно, что она к тому же у.n:овлетворяет ypaB
нению (1) и 'по l' (1) == 1). Такую функцию r (z) она называется
2а.мАta фУ1ilЩllей Эйлера можно взять в качестве ишомой функ
ции g(z),
Остается опре.n:елить постоянные интеrрирования.
Интеrрируя равенство (3) по некоторой кривой от точки 1 .n:o
точки z, нолучаем
со
111 r (z)== Т' (z) ==1" (1)+ V ( 1 \ ===
dz T(z) fl Z+fl 1)
I
со
==1"(I) + ( )
z ...... fl Z fl'
1
Поскольку в силу равенства (1)
!" (Z) т' (z+ 1)
T(z) I Z l'(z+ 1)'
мЫ получаем более простое раненство
w
T'(z+l) ==1"(1)+ V ( _ )
Т (z+ 1) i..J fl Z+fl'
I
Интеrрируя ero еще раз от нуля .n:o z, нахо.n:им
ro
111 r(z + 1)==zl" (1) + "\1 111 ( 1 + )} , (4)
"'- \ fl 11
I
ТаК как r (2) == 1 . r (1) === 1, то при z == 1 после.n:нее равенство дает
нам формулу .n:ля определения постоянной r' (1):
со
Т' (1) === "\1 и.. 111 fl + 1 ) ===
\п fl
I
, 1 1 1 )
== Нт 11+2+T+..,+ , ll1п ==с.
п........,.оо \ t .l
(5)
Эта постоянная называется постоянной Эйлера.
1I]
ПР!::ДСТАВЛI::НИЕ rAMMA-ФУНI(ЦИИ ЭйЛЕРА
131
Теперь можем переписать форму JlУ (4) в окончатеJIЬНОМ виде
Cz I CO ( z/n
1'И== .
z i 1+
n
(6)
Функция r (z) по построению У'n:ОВJJетворяет функционаJlЬНОМУ
уравнению (1), ВПРGчем, это JleJ-КО проверить и непосре.n:ствешю
с помощью фОрМУJlЫ (6). Так как 1'(1)== [, то, очеви.n:но I'(n+ 1)==
== п! (п == О, 1. 2, " .). ПостаВJlенная нами за.n:ача решена.
Из фОрМУJIЫ (6) Jlel'KO усмотреть также, что:
rа.м.ма фУН1ЩШl Эйлера l' (z) .меро.морфна. Она uMeem осоБЫ.АUl
то'ша.ми ли щ ь простые полюсы при z == п (п == О, 1, 2, ",).
Нулей 2амма функция не имеет, так что функция 1/1' (z) яв
ляется l елой ФУН1Cl ией, для которой справедлива представление
СО
l';Z) ==eczz Jj (1 + ) e z/n.
1
И3 фОрМУJIЫ (6) Jlеп<о ПОJlучаем, что
(7)
СО
l' (z) l' ( z) == J . I ( 1 z ) 1
Z'" . 112'
1
и поэтому в СИJlУ фОрМУJIЫ (6) 9
1'(z) 1'( z)== .
z SШ 1tZ
ПОСJlе.n:нюlO фОрМУJIУ HeMHol'o удобнее заПИСhlвать в ви.n:е
1'(z)I'(1 z)== .
S1П 1tZ
(8)
в частности, И3 форму JlЫ (8) BbITeI<aeT равенство (1' ( ) у == 1t ,
а Та!< как И3 фОрМУJIЫ (6) ви.n:но, что l' (z) > О при z > о. то
l' ( ) == y;t.
При n == О, 1, 2, ... И3 фОрМУJlЫ (8) находим
( 1 ) 1' ( ) 1t (z + n) (. I)n
z I п z siп 1t (z + n) l' (1 z) .
( l)n
При z ---+ n правая часть равенства обращается в '11' а Jlевая равна
.вычету функции l' (z) в нростом 1I0J1юсе z == п, СJlе.n:оватеJlЫЮ.
Вычет ФУНКЦIlll l' (z) в полюсе z == n, fl == О, 1, 2, "'.' равен
( l)n
5.
132
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл.6
Возьмем в равенстве (3) в качестве z веJIИЧИНЫ
1 2 k 1
z, z+k' z+k' о.., z+ k'
r.n:e k целое положитеJlьное ЧИСJIO, и CJlOжим ПОJlученные равенства.
Это .n:acT фОрМУJIУ
tfz; lп {I' (z) l' (z + )... l' (z + k k 1 )} ==
k l 00 сп
V ( т ) 2 d 2
== ,Z +т + п ==k 2 L (kz +п) 2== dZ2 ln r(kz). (9)
т o n o n o
ОБО311ачим для краткости
r(z)r(z++)..,r(z+ k 1 )
ер (z) r (kz) . (1 О)
d 2
Формула (9) 0значает, что {ii 2 lп ер (z) = О или, иначе I'ОВОрЯ, что
ер (z)==a.IJ Z , (11)
r.n:e а и Ь некоторые постоянные, Эти постоянные мы попытаемся
сейчас опре.n:еJIИТЬ,
С ПОМОЩЬЮ уравнения (1) без Tpy.n:a Ilахо.n:им
, z (z + ) ... (z + k k ) k
cp(z+ 1) (kz+k 1) (kz+k 2 ..(kz) ep(z) k ер (z),
а так как, с .n:руrой стороны, равенство (11) .n:aeT нам ер (z + 1) ==
=== Ьср (z), то
Умножим числитель и 31laMeHaTeJlb
на kz и ПОJIOЖИМ Z --+ О, Это .n:acT
правой части равенства
(12)
(10)
b==k ko
ер (О) == kI' ( ) l' ( ; ) . о . l' (k k 1).
Равенство же (11) .n:aeT !lам '( (О) == а. Поэтому
( : У == l r ( ) r ( k"; 1 )] 'll' (. ) l' (': T . )] , . 0[1' ( k k 1) l' ( + )] ,
или, принимая во внимание фОр1}' лу (R),
( : У == . ."2" ..... . (k 1) "
SlП Т SlП Т SlП k
(2" )k l
k
(13)
При nepexo.n:e к после'n:llему равенству мы ВОСПOJlЬЗ0ваJIИСЬ элемен
тарным тождеств()м
. " . 2" . (k 1) " k
sш Т sш Т о . . .' sш k 'i. fi =l ,
'\\ 121
ПРЕ'n:СТАВЛЕНИЕ rАММА ФУНI(ЦИИ ИНТЕrРАЛОМ
133
которое .n:оказывается так:
k 1 k 1 imтt im1!: k I 21!:iт
r[ sin ;" == ]11 е k 2; k \ == 2 Н П 11 е III ==
т l т 1 т 1
21tim
I k
П (z e"""""k)
2 1 k l . т l 2 1 k l ' I zk I I 2 1 k k
1т I I 1т 1 '.
z 1 z z 1 z
Так как r (z) > О при z> О, то И3 форму JlbI (13) вытекает, что
k 1
а== Vk (2lt) .
СJlе.n:ователыю, сопоставляя равенства (10), (11) и (12), мы ПОJlучаем
форму JIY
r(Z)I'(z+ , )I'(Z+ )...I'(z+ k k 1 )==k kz(2'1t /;l r(kZ). (14)
Форму JIЫ (1), (8) и (14) это наиБОJlее употребительные фор
мулы, опюсящиеся к rамма функции ЭЙJlера. И3 них леrко полу
чаются мноrие .n:руrие. Например, при k==2 формула (14) принимает
ви.n:
l' (z) r ( z + ) == 2У; . 4 z r (2z).
Отсю.n:а нахо.n:им, что
r (z + 1) l' (z+ ) ==zI (z) l' (z+ ) == V 'It 4 z 2zr (2z)==
== V r ; 4 z r (2z + 1).
Кстати, И3 после.n:ней формулы при z == О еще раз ПОJlучаем, что
r ( )==V; .
12. Представление rамма функции интеrралом
Мы покажем, что функция l' (z), опре.n:еленная в преды.n:ущем пара-
rрафе, может быть пре.n:стаВJlена опре.n:еленным интеrраJIOМ
00
l' (z) == tZ le t dt.
II
(1)
Преж.n:е Bcero выясним, r.n:e этот интеrрал схо.n:ится.
ПOJlOжим z == Х + iy. в силу равенства ItZ ll == tX l, справе.n:ливоrо
для всех t> О, интеrрал (1) мажорируется интеrралом
00 I 00
tX le t dt === tX le t dt + tX le t dt.
о u 1
134
l\\ЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦIIИ
[rJТ.6
При х? а, а> о первыЙ интеl'рaJl в правоЙ части последнеrо paBell
ства l\Iажорируется в свою очере.n:ь интеrр3JЮl\l
I
tO 1 dt,
II
а при х R < 00 второЙ инте1'рaJl в правоЙ части мажорируется инте
rpaJIOM
cv) I
Сl е i dt.
1
rде Сl неКОIорая постоянная, зависящая от R, Оба после.n:них инте
l"рала схо.n:ятся, а их по.n:интеrраJlьные функции не зависят от х.
а зависят лишь от чисеJI а и R. Поэтому инте1'рал (1) равномерно
схо.n:ится при а х R, а> о, R < 00, т. е. в лю60Й замкнутоЙ BHYT
рен неЙ части ПОЛУПJlOскости R.e z > О,
Пре.n:ставим теперь l1alll ИlIте1'рал (1) в ви.n:е СУММЫ 'n:BYX шпе
rpaJlOB
I
gl (z) == tZ le' t dt
о
(2)
и
(х)
g2 (z) == tZ'le t dt.
I
(3)
. И3 наших рассуж.n:ениЙ CJle.n:yeT, что интеl'рaJl (2) равномерно cxo
дится в 110ЛУПJЮСКОСТИ Re z ? о I1рИ Jlю60М а> О, а инте1'рал (3)
раВllомерно схо.n:ится в любоЙ конечноЙ части плоскости,
Но кажем, ЧIО g2 (z) целая функция. ДJIЯ ЭТOl'О .n:остаточно 1l0Ka
зать, что инте1'раJI
а
tZ'le. t dt
1
при JIl0бом а> 1 пре.n:стаВJlЯет цеJIУЮ функцию, а затем сослаться
на Teope:\IY ВеЙерштрасса о равномерно схо.n:ящихся рядах pe1'YJlSlp
ных фуш{\ иЙ (llOCKOJlbKY равномерно схо.n:ящиЙся несобствеНllЫЙ Иlпе
rрал Bce1'.n:a можно пре.n:ставить в ви.n:е равномерно схо.n:ящеrося ря.n:а
JIНТ€I'ралов по конечным llрОl\lежутка I), Но
а ш а
\ t Z le t dt ==! (z -:1' )n \ (ln t)n e ' dl.
r n o r
12)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ rAMMA-ФУНКЦИИ .И,НТЕrРАЛОrv,
135
так что нам остается проверить, что после.n:ний ря.n: ,сходитс,я при
всех z, а это неме.n:ленно вытекает И3 оценки
а
. (In t)ne t dt (а 1 )(1п a)n.
I
Перей.n:ем к иссле.n:ованию функции gl (z). Имеем
ro
1: In+Z l
tZ le t ( l ) n.
, п! '
о
При О t 1 и при Re z 1 этот ря.n: равномерно схо.n:ится, и е1'О
можно почленно интеrрировать по отрезку О t 1. СJlе.n:овательно,
при Re z;:=: 1 для функции gl (z) справе'n:JIИВО разложение в ря.n:
ro
( 1)n 1
gl(Z) п! ' n+z '
о
Этот ряд равномерно схо.n:ится в любой конечной области KO:\-lПлекс
ной ПJIOСКОСТИ (ПОСJlе отбрасывания конеЧIЮ1'О числа членов, обращаю
щихся в этой оБJlасти в бесконечность), БI'о сумма мероморфная
функция с простыми ПОJlюсами в точках z O, 1, .2, .'. Таким
.обраЗ0М, мы не ТОJIЫШ .n:оказали, что функция gl (z) реrулярна в ПOJIУ-
ШlOскости Re z > О, но и убе.n:ились, что ее можно аналитически
nрО'n:ОJIЖИТЬ на всю ПJIOСКОС1Ъ, за исключением точек z О, 1, 2, . ..,
в которых она имеет свои 1I0JIЮСbl.
Сле.n:оватеJIЬНО, llнmnрал (1), оmЛll'lаЮЩllЙСЯ от фУНТЩllll gl (z)
на целую фУЮЩllЮ :€'2 (z), тоже анаЛllтll'lеСКll продолжается на
всю плоскость, за UСКЛЮ'lеНllеж ПlO'leK z О, 1, 2, ..., в кото-
рых он llжест простые полюсы.
Проинтеrрируем интеrраJI (1) по частям (считая Re z> О, чтобы
интеrраJI СХО'n:ИJlCя). Это .n:acT формулу
ro ro
tZe t dt z tZ le t dt.
u о
(4)
Обозначим через g(z) аналитическую функцию, доставляющую
.lI1aJlИтическое про.n:олжение интеrрала (1) на всю комплексную IIJIO
скость, за исключением точек z О, 1, 2,..., в которых эта
фующия имеет нростые полюсы, И3 фОрМУJIЫ (4) сле.n:ует, что при
Re z > О функuия g(z) у.n:овлетворяет функциональному уравнению
g(z + 1) zg(z), а И3 теоремы единственности (01. 9 r л. 3) выте-
кает, что это ФУНlщионаJlьное уравнение имеет место и при всех z.
136
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(rл,6
Рассмотрим ФУНI<ЦИЮ
g (z)
r.p (z)== r (z) .
ПосколЫ(у функции g(z) И r (z) имеют о.n:ни и те же полюсы, а функ
ция r (z) не имеет нулей, r.p (z) целая ФУНЮlИя. Кроме Toro, И3 равенств
g(z+ 1)==zg(z), I'(z+ 1)==zI'(z) сле.n:ует, что
r.p (z + 1) == r.p (z). (5)
Докажем сейчас, что r.p (z) 1.
Положим
( lп W )
f(w) == r.p 21ti .
Функция f(w) является анаJlИтичешой функцией, которую можно
аналитически продолжить по любому пути, не прохо.n:ящему через точки
w == О и '(Q' == 00, Более Toro, ФУНКЦИЯ f (w) о.n:нозначна, так как
МНОrозначность JlOrарифма компенсируется УСJlOвием (5) перио.n:ично
сти функции r.p (z). Ра3JIOЖИJ\I функцию f (w) в ря.n: Лорана
се
I(w) == CnW n ,
-со
который обязан схо.n:иться в !ЮJlьце 0< I w 1< 1. Обозначим
M(1J)== тах I/('(Q')\==max Ir.p(x+i-rj)i.
;WI == e 21t 1j l x::::2
Tor.n:a, соrласно перавенству 'n:JIЯ коэффициентов ря.n:а Лорана (см, 9
r JI, 2), имеем
Ic n e 21t1jn М (1J)
(п==О, + 1, + 2, ...).
(6)
Оценим величину М (1j). ПOJlOжим В формуле (7) 11 z == х
и z == х + iy, возьмем отношение полученных величин и перей.n:ем
к МО'n:УJIЯМ. В реЗрlьтате IJOJIУЧИМ равенство
со
I r (х) 1 2 1 . [ ( У' )
r (х+ iy) == . 1 + (х+',)' .
. O
При х;::;: 1, У # о неме.n:ленно получаем отсю.n:а, что
со
I r (х), ] 2 II ( 1 + х' ) == sin iy == e 1t Y e "Y .
l' (х + IY) '" 1tlY 2пу
О
Поэтому
тах
I "",х",,2
1
lТ<х+МI
..!:...Iv\
2
ale '
rде аl некоторая постоянная, не зависящая от у.
i 12]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ rAMMA-ФУНКЦИИ ИНТЕrРАЛОМ
137
Далее очеви.n:но, что
00
тах Ig(x + iY)1 тах tX le t dt == ,
1 x:::::2 1::::::х:::::2 u
1'.n:e 0:2 также постоянная, не зависящая от У.
Сле.n:ователыю,
'/t
'JlI
М(у) о:зе2 ' .
(7)
и это неравенство вместе снеравенством (6) дает оценку
I c n ' , N зе ( 2'/t;n;) Iy
(n==о, + 1, + 2, .. .).
справедливую ПрИ любых У. И3 этой оценки неме.n:ленно выво.n:им,
что Cn==O при n== + 1, + 2, .... т. е. что f(w) = со. а значит,
11 (z) = co' Так !{al{ (l)== : :: ==1, то (z ).= 1, а g(z) = l' (z).
Итак:
В полупЛОС1<остll R.e z> О для а.м.ма фУН1<Цllll справедливо инте
zральное nредставленuе (1).
Тлава седь/vtая
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Обращение степенных рядов
Нас бу.n:ет интересовать за.n:ача опре.n:еления функции, обратной
к .n:анной аНaJlИтической функuии. Уже на примере функuии e Z мы
ви.n:ели, что обратная функuия может быть МНО1'03IJaЧНОЙ аналитиче
ской функцией, O'n:HaKo .n:аже 'n:JШ опре.n:еления мноrозначной аналити
ческой фушщии необхо.n:имо в первую очере.n:ь вы.n:елить некоторый
ее элемент, т, е. о.n:нознаЧIlУЮ реl'УJШрНУЮ функuию, Поэтому сначала
'n:OJIЖIJa быть pellleHa за.n:ача о построении сте1lеШlОrо ря.n:а, пре.n:ста
В.fJяющеrо фушщию, обратную к .n:aHHOMY степенному ря.n:у в HeKOTO
рой окрестности иентра Kpyra сходимости.
Пусть
'.j. (:) === CIZ + C2Z2 + Сз ZЗ +,..
(1}
ДJШ о.n:нозначноrо опредеJlения функции, обратной к ФУШЩИИ 'I- (z),
необхо.n:имо и .n:остаТОЧIlО, чтобы каж.n:ое значеllие Ш, принимаемое
функuией \t (z), ПРИlIимаJlОСЬ ею ровно о.n:ин раз, Ясно, что это усло
вие, вообще rоворя, не бу.n:ет ВЫПОJшено, еСJIИ речь и.n:ет о значениях.
принимаемых функuией (z) во всем Kpyre схо.n:имости,
ЕСЛl/ CI:j= О. то существует достатОЧJiО .малый КРУ2 с центро.At
В точке z === О, В lсоторо.ll! ряд (1) каждое llpl/Нll.1tae.lllOe l/.lt зна
чеНllе llpllHl/.lIlaem рОВНО oal/H раз.
Действителыю, пусть ЧИСJlО р > о Mellbllle ра.n:иуса схо.n:имости
ря.n:а (1). J{or.n:a точка z обхо.n:ит окружность I z 1=== р, ТОчка w === '.j. (z}
обходит в IJЛОСКОСТИ .ш некоторую за I1(НУТУЮ кривую С р ' Мы можем
выбрать число РI > О столь малым, чтобы в КРУ1'е i z I РI ФУН1щия
(z) обращалась В IlYJlb TOJlbKO В точке z === О, T01'.n:a веJIИЧИllа
а. === miIJ 1'-13 (z) 1 t1удет 11оJlожитеJIыl.. Каждое 31lачеllие Ш О И3 КРУ1'а
jzJ p]
1 W 1< а. функция I). (z) принимает в Kpyre I z I РI TOJlbKO ОДН11 раз.
В самом деле, на ОКРУЖНОСТИ I z I === РI выпоjшяется неравенС1'ВО
1'.j. (z)1 a. > I шо\'
1I
ОБРАШЕtШЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
139
и по теореме PYllle (см. 9 I'Л, 5) функция '1.: (z) w o имеет в Kpyre
I z I ,,:; Рl CТOJlbKO же ну лей, CI<OJlbKO и функция '1.: (z), т. е, ровно
о.n:иН (ибо Cl:j= О). Теперь выберем число Р2' 0< Р2 < Рl' столь :\Iалю!,
чтобы кривая С Р2 лежала внутри Kpyra Iwl < а., Tor.n:a все значения.
принимаемые функцией '1.: (z) в Kpyre J zj ,,:; Р2' лежат в КРУ1'е I w! <:х
и по .n:оказанному принимаются этой функuией в КРУ1'е ! z 1 ,,:; Рl (а тем
более в КРУ1'е J z! "'С:; Р2) только один раз.
Итак, пусть К тот Kpyr Iz\ < Р2' в КОТОРШI функция '1.: (:)
приннмает каж.n:ое значение ровно о.n:ин раз, а К' область ПJlOско
сти w, 01'раниченная кривой С Р2 (кривая С Р2 ЯВJlЯется простой кривоВ,
ПОСКОJJЫ<У функция $ (z) и в точках ОКРУЖНОСТИ I z\ == Р2 каж.n:ое
значение принимает только О'n:ИII раз). Каж.n:ой точке w И3 оБJI3
СТИ К' отвечает o'n:Ha точка z и3 КРУ1'а К. Таким обрааШI,
в области К' опре.n:еJlена функция z (zш), .D:JIЯ которой '1.: (z (w» = 1Ш.
Эту функцию мы наЗ0вем обратной к функции '.)3 (.<).
Построенная такид обрааоAt обратная функция z (zш) pe2Y
.лярна внекоторой окрестНОСll111 тОЧКll w == О.
ДЛЯ .n:оказатеJlьства ЭТО1'0 утверждения рассмотрю! интеrраJI
1 \' у . (О d
1 == 2"i J f Ц 'JJ Щ w .
i C: P2
l'.n:e j(z) прОИ3НОJlьная функция, ре1'УJlярная в за !l{НУТОМ Kpyre
Izl,,:; Р2' а w точка И3 области К', ПО Teope:\le о вычетах (01. 8 fл. 5)
1 == /(z (zш»,
r.n:e z (zш) построенная выше ФУIIIЩИЯ, обратная 1< функции '1.: (z)
(единственный полюс по.n:инте1'раJIЬНОЙ функнии это нуль 3Ha:\!eH3
теJIЯ ),
Обозначим
а.'=== min 1'1.:(:)1
i с I ;;::; Р:!
(КРУ1' j'W\ < а.' JIСЖИТ, очеви.n:но. в оБJlасти К'), При 11t'! <:х' можем
написать
f(9 'Щ f( )\JY( ) ( ( \2 ...\
<Ч w <О 1 + \H') I <') ) + J'
Ря.n: в правой. части ЭТО1'0 равенства при Iwl <:х' раШЮ:\lерно cxo
дится на ОКРУЖНОСТИ I i === Р2' И el'o можно ПОЧJlеНlЮ интеrрировать
по этой окружности. Следовательно, IlJIЯ каж.n:ой точки w И3 Kpyra
;Iw i < а.' имеет место равенство
f(z (w» === ko + k 1 w + /l2W2 +...,
140
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[rл.7
rде
1 \ Sj3' (С)
k n === 21ti f (С) [Sj3 (С) ]n+I dC.
1_ i P2
Тем самым доказано, что функция j (z (w» ре1'улярна внекоторой
. окрестности точки w === о. в частности, при f (z) = z получаем наше
утверж.n:ение о ре1'УЛЯрНОСТИ функции z (w).
(2)
Заметим, что функций, обратных к ФУНКЦИИ \.t: (z) и опре.n:еJlен-
ных в некоторой окрестности точки w === О, может быть MHoro. Hallla
функция z (w) вы.n:еJlЯется И3 всех таких обратных функuий условием
z (О) === О (вместе с условием pery лярности или хотя бы lIепрерывно
сти в точке w === О).
Несколько преобразуем выражения 'n:JIЯ коэффициентов k n . Так
как в КРУ1'е 1 С I Р2 функция : (С) обращается в ну ль только при
!;. === О, то по теореме о вычетах
{ ' (С) }
k n === [:;>0 f(C) TIJ1 (С)]n+l .
Заметим далее, что при !;. === О функция (1;.) имеет простой ну ль
(ибо Cl::j::. О). Поэтому ФУНlЩИЯ
f(С)\.t 'Ю( $ C) )n+1
pery лярна в некоторой окрестности точки 1;. === о. Сле.n:оватеJIЫЮ,
искомый вычет, равный, как мы знаем (см, 8 l'JI, 5), коэффициенту
при 1/1;. в ра3JIOжении функции
fЩ $' (С)
[$ (с)]n+Т
в ря.n: Лорана в IШJlbUе 0< 11;. ! < Р2' бу.n:ет равен коэффициенту при
I;.n в разложении функции
[(I;.) ' ю ( \ C(C» )nH
в ря.n: ТеЙJlOра по степеням 1;. (в СИJIУ е.n:инственности разложения
в ря.n: Лорана ря.n: Лорана первой функции ПОJlучается .n:елением ря.n:а
ТеЙJlOра второй функции на I;.nн). C01'JlaCII0 ФОРМУJlе 'n:JIЯ Кo::Jффи
циентов ря.n:а Тейлора
k n === ! n {t (1;.) \.t ' Ю [ $ \с)Т +1} < o. (3)
Можно ПОJIУЧИТЬ и несколько БОJlее нростую фОРМУJIУ. Инте1'рИ
руя по частям в равенстве (2) (мы считаем п?: 1), получаем фор
мулу
k n === 2:iп fю d ЮJ n === 2:iп [' (1;.) 11J3 )]n . (4)
1- I Р2 1- I Р.
1l
ОБРАЩЕНИЕ СТЕПЕННЫХ рядов
141
Отсю.n:а с помошью тех же рассуж.n:ений, что и выше, ПрИХО'n:Иl\l
1( формуле
1 d" l { , [ z ] " }
k ll == п! dZ" l 1 (z) lJ3 (z) z n
При п==О очевидно имеем kn==/(O),
Таl(ИМ обраЗ0М, мы пришли к сле.n:ующей теореме:
Т е о р е м а 1. Пусть z (1:'1") определенная (и ре2улярная) в He
которой окрестности точки w == О ФУНКЦI/Я, обратная к фУНК
Цllll 'i (z) (Оllре.n:еленной рЯ'n:О:V1 (1) с СI #- О) и удовлетворяющая
УСЛОВI/Ю z (О) == О. Если фУНКЦI/Я I(z) рпУЛЯfmа в окрестности
точки z == О, то для фУЮСЦllll [(z (w» в некоторой oKpeCmHOC/1l.11
тОЧlCll w == О llдеет жесто разложение в степенной ряд
(п== 1, 2, .. .).
f(z «ш»== 1(0) + IlJW + k 2 w 2 +,..,
прl/че.м коэффициенты этО20 ряда определяются фор-иулаАtll
1 d" ] { ( z \ " }
kп== n!dzn l I(z) IJ3(Z) ) z O (п==l, 2, ,..),
Ря.n: (5) называется рядом Бюр.мана Ла2ранжа.
В частном случае, Kor.n:a [(z) = z, ря.n: Бюрмана Лаrранжа
нимает ви.n:
(5)
(6)
при
z (w)==k;w + k W2 +...,
r.n:e
k;, == ! :zп: ] {( lJ3z(Z» )"} z o'
Ясно, ЧТО точку z == О можно заменить произвольной точкой
z == а, а ТОЧI(У w === О произвольной точкой w === Ь. Результат при
нимает Tor.n:a сле.n:ующий ви.n::
Т е о р е м а 1 *. Пусть ФУНКЦllЯ s.t (z) ре2улярна внекоторой
окрестности точки z == а, приче.м \l" (а) #- О, а I.l (а) == Ь. ТО2да
в некоторой окрестности точки '<е} == Ь определена ре2улярная
фУЮСЦ/lЯ z (и'), обратная к ФУНКЦ/l/l (z), пРllН1lяающая в ПlOчке
w == Ь значение а. ЕСЛll ФУНКЦ1lЯ 1 (z) ре2улярна в щкоторой
oKpecmHoClпll тОЧКll z == а, то для фУНКЦllll f (z (w» и.меет место
раЗЛОЗlсение в степенной ряд
[(z (w»==/(a) + k J (w Ь) + k 2 ('w Ь)2 +...
с коэффициента.ltll
k п == 1 !:zпn , {/'(?)( Z) b )п}z a' (8)
Предположим теперь, что коэффициент С1 в ря.n:е (1) равен нулю,
и иссле.n:уем вопрос об обращении Tal(OrO j::!ща,
Пусть номер первоrо отличноrо от нуля I(оэффициента ря.n:а (1)
равен т> 1. Tor.n:a
(z) == c",zm (1 + c;z + C Z2 + . ..) == cmz m (1 + 1 (z», (9)
(7)
142
ОЕРАЩЕНIIЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНК!IИf1
[rJl.7
r.n:e ФУНКЦИЯ Q.1, (z) обращается в НУЛl, при z === О. Выберем число
Р> О столь малым, чтобы i Q. 1 (z) I < 1 при i z I р. Тоrда ФУНКЦИЯ
;/1 + , (z)=== 1 + b,z + b 2z 'l.+.,.
реrулярна в Kpyre I z I р (ее можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в этом Kpyre). Заменим уравнение
w === (z)
уравнепием
I
w rп ::::= U (z),
u (z):::=: ';I c m Z (1 + b,z +. ..).
(1 О)
Эти уравнения равпосильны, если под w 1 / m понимаl' все значения
аналитнческой фунКltии w l / т === ехр (k 1п w).
Применяя .n:оказанную выше теорему, получаем, что
I 2
.
Z (ZQ!) === Il,w m Il 2 ZQ,m +, ,.,
(11 )
r.n:e
1 dn ] {( Z ) n } 1 dn ] {( Z ) n }
k m === n! dzn I D (z) z.,jj === Il! dz n -1 /' 'iJ Iz) .
Таким обра301'. в случае, Kor.n:a т> 1, фуюсция z (w), обратная
1с фУ'ШЦllll \i (z) (определенная в 01Срестности тОЧ1Сll ZQJ:::=: О и yдOB
летворяющая условию z (О) === О), lCШС одНОЗНШlliая фУН1Сция уже
не существует (функция и,1/т мноrозначна в любой окрестности
точки 'СС! === О). O'n:HaKo, как мы ви.n:ели, ее можно построить как MHO
rозначную ветвь аналитической ФУНКLlИИ.
Аналитическая ФУНКЦИЯ w 1 / m является т значной (см. 4 rл. 4).
Поэтому т значна и функция
1 1
Z (ZQJ) === Il,u,l1i + Il 2 (и,т)2 +. ..,
аналитическая I! кольце 0<1 w I < р,. Таким обраЗ0М, если фУН1Сция
s.t,' (z) 11_lleelll при z::::= О нуль порядlса т 1, то фУНlCция z (w),
об,'атная lC фУНlCции '+ (z), являеlllСfl аналитичесlCОй фУН1СциеЙ
в l(Ольце 0< i w: < РI (с некоторым достаточно малым р,) и эта
ФУНl;Цl1Я т значна.
Доказанное утверж.n:ение немедленно обобщается:
Tl.ycnZb фУНlCЦllfl sj5 (z) рпулярна в lie1ConZ0poii O1cpecnZHocnZll
тОЧ1Пl z === а, и пусть Q.\ (а)::::= Ь. Если фУНlCция Q. ' (z) 11.Meem
в тОЧlCе z === а нуль порядlCа т 1, то фУНlCЦllЯ z (w), обратная
(( фУНlCции (z) (и удовлетворяющая УСЛОВllЮ z' (Ь)::::= а), пpeд
ставляет собоЙ т знаЧl1УЮ анаЛllf1lичес1СУЮ ФУН1СЦllЮ в He1Comopo.lt
lCольце 0<1 w Ь I < Рl' Эта ФУНlCция .может быть представлена
р]
ПРИМ.ЕРЫ
143
рядо.м вида
2де
1 2
z(w)===a +kt (w Ь)т +k2 (w Ь)т +0 о.,
1 dn l {( z a ) n }
kn===, т .
n, dz JI'13 (z) Ь " a
2. При меры
в качестве перБоrо примера рассмотрим ФУНКllИЮ
'1-1 (z) === ze z
(а :f:: о ПРОИ3БОЛЫlаfl постоянная). ФУНКllИЯ '1-\ (z) ЯБляется, очеБИ'n:НО,
llелой фУl1lщией, отличной ОТ нуля .n:ля Бсех значений z ;t=. О. Возьмем
Б качеСТБе фУНКllИИ /(z) в ря.n:е Бюрмана J1аrраllжа ФУНКЦИЮ
{(z) === e bz .
Tor.n:a имеем раБеНСТБа
{' (z) === be bZ ,
{ ' ( z ) ( ) n === be\an+b)z
'13 (z) ,
dn 1 {f ' ( z ) ( ) n } === Ь ( аn + Ь ) n le(an+b)z
dzn ] '13 (z)
и, соrласно формулам (5) и (6) пре.n:ыдущеrо параrрафа, получаем
С"
bz(w) b (an+b)n J n
е .i.J п! w о
1)
И3 леrко .n:окззываемоrо раБенства
1 . . V lan+b;nl 1 , ( Ia(п+l)+bln . l an+bln l ) 1 I
1т , 1т ( + 1 1 . I а е
n OO п, n oo n ). n,
1
Бытекает, что ря.n: (1) сходится в кру"е I w ; < raтe о
При Ь===а равеllСТlЮ (J) принимает IJИ'n:
(1)
00
eaz\W) === a n (п+ I)n l W n
n!
()
Но z(w)===тe'eazlwl. Поэтому
00
n (n+l)n
z(w)===.L,a (п+l)!
()
в частности, при а === 1 получаем ря.n:
00
n+1 (an)n ] n
W ===.i.J те' .
1
00
! nn l
Z ( W)=== wn
'n! ·
1
144
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
(rn.7
]
схо.n:ящийся при I w I < 1< реlllению уравнения
е
ze z == w.
Отсюда при z 1 полJ"чаем формулу
о)
I1n le n
] == "-' --пr--
1
(МОЖ\lО убе.n:иться, что после.n:ний ря.n: схо.n:ится).
Для BToporo примера положим
(z)==(e Z l)e az.
Эта функция S (z) тоже бу.n:ет целой функцией,
при z -:j::. О. + 21Ci, ... Возьмем f (z) = z. Cor ласно
преды.n:ущеrо параrрафа
z (w) == k 1 w + k 2 w 2 + . . .;
(2)
отличной ОТ нуля
формулам (4) и (5)
rДf
1 еа";'
kn== 2 . (' l)n d .
1tln е'
/С ' p
Интеrрирование по частям дает
аn 1 1 (' e!an lIc
k n == п (п 1) 2'1ti 3 (e l)n l d ==
IC I p
== (ап 1) (аn 2) 1 (' e(an 2, r. d r ==
n(n I)(n 2)21ti 3 (e l)n ' 'о
'С I p
== (ап 1) (ап 2) о.. (ап 11+ 1) 1 (' e(an n+" d .
п' 21ti е; 1
IC ' p
и ПОСI<ОЛЬКУ nосле.n:ний интеrрэ 1 равен е.n:инице. получае:\>I
k n == . ( оп ) .
ап п
Следовательно,
! О) ( ОП ) wn
z(w)== .
п ап
n 1
(3)
T ,:{ что
i;<шный
убе.n:иться,
Iiт -J/Тk:l == Нт I k :l l == I (о I) (a 1)aa \.
РSlд (3) имеет (при а -:j::. О и а -:j::. 1) ра.n:иус сходимости,
I(a I)a la ai
(для (а l)a l и a берется r лаВllое значение).
Как леrко
2]
ПРИМЕРЫ
145
л рн а == 1 получае:'.I
ro
'\lw n 1
z (w) === Il ===]п 1 w
1
(в этом леrко убе.n:иться и непосредственно Н3 формулы (2».
в качестве TpeTbero прнмера най.n:ем разложение в ря.n: по сте-
пеНЯ 1 w решения уравнения
z a
W == 2 Z2 1 ' (4)
Соrласно формуле (8) пре.n:ьщущеrо параrрафа
ro
z==a+ kпwn,
I
r.n:e
1 dn l {( Z2 1 ) n I dn l 2 n
k" n!dZn ] }z a 2nn!dari =i{(a l)}.
(5)
И3 равенства (4) мы получаем, рассматривая z как функцию пере
менных w и а, что
2z ( 1 ) w == 2 ( дZ 1 )
да да'
дz 1
да l wz .
с .n:руrой стороны, И3 Toro же равенства (4) нахо.n:им
(WZ)2 w 2 == 2wz 2aw, (l WZ)2 == 1 2aw + w 9 .
Сле.n:овательно,
дz
да == (1 2aw + w 2 ) 2
НО И3 равенства (5) .n:ифференцированием по а получаем, что
ro
дz '\l w n d n
да == 2n. п! da n {(а 2 l)n}.
о
(6)
Лоэтому
I ro
. '\l w n d n
(1 2aw + W 2 ) 2 == 2 n . п! ([ап {(а 2 l)"}.
о
Это 0значает, что коэффициент при W n В разложении
I
(1 2aw + w 2 ) 'х в ря.n: по степеням w равен
1 d n {( 2 l ) n }
2 n . п! da" а .
Этот коэффициент является, очевидно. мноrочленом от а степени n.
Эти мноrочлены носят название А1НОZОЧЛeft08 Лежаftдра.
(7)
функции
146
ОБРЛЩI':НI1Е АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.7
1
Функция (1 2aw + W 2 )2 реrулярна в Kpyre I w I < r, если этот
Kpyr не со.n:ержит корней KBa.n:paTHoro уравнения 1 2aw + w 2 === О.
Поэтому ра.n:иус схо.n:имости ря.n:а (7) равен расстоянию от точки
w === О .n:o ближайшеr'о к ней корня этоrо KBa.n:paTHoro уравнения.
3. Оценка радиуса сходимости ряда для обратной функции
в примерах пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа мы опре.n:еляли ра.n:иус cxo
.n:имости ря.n:а .n:ля функции Z (и'), используя явные формулы, получен
ные для коэффициентов этоrо ря.n:а (а в последнем примере .n:аже
ИПlOльзуя явную фОрМУJIУ для самой функции Z (w». O'n:HaKo фор
мулы (6) 1 'n:JIЯ коэффициентоrз ря.n:а часто приво.n:ят к СЛИlllКОМ
СJЮЖНЫМ выражениям, чтобы с их помощью можно было хорошо
оценить ра.n:иус схо.n:имости ря.n:а. Поэтому полезно иметь в ви.n:у .n:py
rие способы оценки ра.n:иуса сходимости. Укажем сейчас 'n:Ba способа,
приrодных .n:ля этой цели.
Пусть
I.! (z) == CIZ + C2Z2 +...,
Сl * О,
К ').: (z) функция, Y'n:OB
мероморфная функция, а Z (w) обратная
летворяющая услоrзию Z (О) === О.
Мы 3Hae !, что на окружности КРУ1"а схо.n:имости ря.n:а
z (п') === IlJW + k 2 w 2 +... (1)
'n:ОJlжна лежать хотя бы O'n:Ha особая точка (т, е. такая, что не cy
ществует ря.n:а с IleHTpOl\l н этой точке, ЯБляюшеrося Ilепосре.n:ствен
ным про.n:олжением ря.n:а (1 ». Докажем сейчас сле.n:ующее YTBep
ж.n:ение:
Особой точкой ряда (1) .Itoжет бытi? ЛllШЬ nzочка Wo' KOтo
рая удовлеnzворяет систеде уравнеЮlй
'П'о == 'н (zo)' 't ' (zo) == О,
иЛll такая, что для нее существует Крllвая L. уходящая в беско
нечность, и
\ (z) Wo (z Е L, Z (0). (3)
Для .n:оказательства заметим нреж.n:е rзсеrо, что .n:ля каж.n:ой точки Wo
окружности сходимости ряда (1) имеет место o'n:Ha И3 'n:BYX возмож
ностей: лнбо функция z (w) стремится к 00 при CIремлении W к W o
по любому пути, л жащему в Kpyre схо.n:имости, либо существует
после.n:онаl'елыюсть точек W n 'и'о _ Kpyra сходимости, .n:ля которой
пре.n:ел Нт z (п' n ) существует и равен конечному числу Zo. Первая
(2)
п ro
В03МОЖ11ОСТЬ 0значает, очеrзидно, что вынолнено условие (3). При этом
в качестrзе кривой L можно В3ЯТЬ кривую, проходимую точкой z (и/),
I;ш.n:а точка W по.n:хо.n:ит к точке Wo по ра.n:иусу Kpyra сходимости.
31
ОЦЕНКА РАДИУСА СХОДII.'\\Ости
147
Допустим теперь, что имеет место вторая воз южность и что числа '<1:'"
и z" не у.n:овлетворяют системе уравнений (2),
В этом случае имеем. очевишlO, '<1:'" (z(.), :\.,' (z") * О. Cor лас но
результату 1 существует функция ZI (w). обратная к функции \..t\ (z)
и у.n:овлетворяющая условию ZI (w o ) zo' причем эта функция pery
лярна в некоторой окрестности точки '<1:10' Для всех значений w, .n:o
статочно близких к wo' имеется е.n:инственное реlllение уравнения
(z) === w, БJIИзкое к zo' Сле.n:овательно, при .n:остаточно Болыllхx
номерах п имеет место равенство ZI(rt'n)===Z(W n ), rAe '<I:'n точки
наlllей последователыlOСТИ, Это утверж.n:ение остается BepHЫ 1 и для
точек w, .n:остаточно БЛ:13КИХ к точка 1 W n ' По теореме единствен
ности функции Z (и') и ZI (w) совпа.n:ают в общей части их KpyroB
сходимости, Иными словами, ря.n: ZI (и') является непосре.n:ственньВl
продолжением ря.n:а (1).
Таким обраЗ0М, Hallle утверждение .n:оказано, и 1Ы може 1 BЫCKa
за1Ъ сле.n:ующий рецент оценки радиуса сходимости ряда (1):
Расстояние от тОЧ1Си w == О до ближайшей тОЧ1Сll w" * О,
удовлетворяющей УСЛОВllЯ.м (2) llЛll (3), не превосходll111 радиуса
CXOal13COcmu ряда (1).
В примере 1 2 мы рассмотрели случай, Kor.n:a (z) ze az.
JIerKo проверюъ, что условию (3) у.n:овлетворяет в этом случае
только значение Wo === О. Система (2) принимает ви.n:
'<1:'0 == zoe azo, (az o 1) e az" == О.
1
Она имеет, очеви.n:но, е.n:инственное решение Zo === а' '<1:'0 ае' По
этому ра.n:иус СХОДИ;';lOсти ря.n:а .D:JIЯ функции Z (щ') не меНЫllе че 1
1/ I а, е. Эта Оllенка совпадает с оненкои, полученной нами в 2.
Ле1"КО проверlПЬ, что во BTOpO 1 примере пре.n:ложенный рецепт
.n:aeT тот же результат, что н в 2,
в случае, Kor.n:a уравнение ,' (Z") О не .n:опускает решения
в ЯВНО;';I ви.n:е, отыскать ближайшую к точке w О точку wo, у 'n:OB
летворяющую системе (2), может оказаться не так просто. Tor.n:a
может оказаться БОJlее у.n:обным сле.n:ующий способ.
Мы получали 3 1 ря.n: (1) 'n:JIЯ ФУНКЦИИ z (w) Н3 интеrрала
1 '\3' Щ у
z (U l ) " . \" ( ) . d",
.:...1tt '- ;.J..\ '-:, w
I С i =-,:::: Р
(4)
разлаrая по.n:интеrраJIЫIУЮ фушщиlO в ря.n:
'\3 : J; . ) w t' ( ; {I + ;( ) + ( o )2 + ...}
(5)
и интеrрируя этот ряд почленно, Ря.n: (5) раПНО;';lерно схо.n:ится на окруж
ности интеrрнрования I I р. если ВЫПОJl1Iено УСЛОllие I w 1< rJ. (р), r.n:e
CJ. (р) mill II.i; С) 1.
iC ' p
148
ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.1
Естественно попытаться выбрать число ртаким обраЗ0М, чтобы вели
чина rJ. (р) была наиБолыllй.. Е.n:инственное оrраничение на число Р'
состоит в том, что на интервале 0< р < I л I величина rJ. (р) не .n:олжна
обращаться в нуль. Действительно, при этом условии интеrрал (4)
по теореме f{ОIllИ не зависит от числа р (если только величина т'
.n:остаточно мала). Величина rJ. (р) обращается в нуль, если ОКРУЖНОСТЬ
I I === р прохо.n:ит через нуль функции (z). Поэтому мы .n:олжны
искать максимум величины rJ. (р) по Р при условии, что р лежит на
интервале 0< р < I Л 1, rде л ближаЙlllИЙ к точке z === О ну ль фуик
ции '1- (z) (отличный от самой точки z === О).
Таким обраЗ0М:
РадllУС сходllДОС11lll r ряда (1) удовлетворяет н.еравен.ству
r тах rJ. (р), 2де rJ. (р) === min I (z) 1, а ), БЛllжаЙШllЙ к точке
О<р<iлi !z! P
Z === О н.уль фун.КЦlfll (z) (отличный от самой точки z === О).
Применим выве.n:еиные рецепты 1< так называемому уравн.ен.llЮ
Кеплера
z a
w
sinz
(z (О) === а).
(Оно встречается в небесной механике.)
7t
Оrраничимся ЛИlllЬ случаем а ===:2 .
CBe.n:eM за.n:ачу.к привычному случаю ря.n:а по степеням z, поло
7t
жив Z ==="2 + . Tor.n:a уравнение принимает ви.n:
W=== cosl: .
Очеви.n:но, что
rJ. (р) === min I co 1 === еР 2р e P'
IC ! p
а л === 00. Отыскание максимума функции rJ. (р) приво.n:ит к уравнению
.n:ля р:
.' I еР e P
;о eP+e P 2р (eP+e P)" O,
еР e P
eP+e P .
Приближенное реlllение этоrо уравнения .n:aeT
ро === 1,195 . . . ,
. а. (Ро) === 0,6627 . . .
Поэтому .D:JIЯ ра.n:иуса схо.n:имости получаем оценку
r 0,6627 . . .
HeTpY'n:Ho проверить, что первый способ дает не лучший результат
так как числа
z о === фо.
являются реlllениями системы (2).
Wo === (фо)
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тлава первая
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
в качестве отправноrо пункта при построении теории эллиптиче .
ских ФУНКЦИЙ мы возьмем теорию перио.n:ических мероморфных (см.
r л. 6) ФУНКllИЙ.
Перио.n:ические ФУНКЦИИ (мероморфные и .n:аже целые) встречаются
уже сре.n:и элементарных Функций. Например, функция e Z имеет, как
мы знаем, перио.n: 2тei, функции siп z и cos z имеют перио.n: 2те,.
а функции tg z и ctg z период те. Леrко постр'оить фУНКllИЮ с про
2п;
u
извольным перио.n:ом ш * О. Например, f (ll) === е w . Каждая рацио
'J.1ti
u
е Q) (с КОЭФФИllиентами, не зависящими от ll) тоже.
нальная функция
имеет l1ерио.n: ш.
Преж.n:е чем перехощ1ТЬ к построению теории
функций, изложим некоторое число разнообразных
све.n:ений, полезных .n:ля .n:аJlьнеЙlllеrо,
эллиптических
элементарных
1. Замечания из аналитической rеоме",рии
3 а м е ч а н и е 1. НО2да тО'tlса t пробе2ает всю дейстВllтель
ную ОСЬ, точка z === а + Ы (Ь * О) пробе2Gет всю пря.МУЮ, пpoxo
дящую Через тОЧКlI а II а + Ь. НО2да точка t пробе2ает oтpe
зок . (О, 1), точка z === а + Ы пробе2ает отрезок этой прямой.
между точкаА1ll а II а + Ь.
ДействитеJIЬНО, полаrая
а === а' 4 ia",
Ь === Ь' + ib",
z===x+iy,
получаем, что
х === а' + {Ь',
у === а" tb"
( co<t< со).
Это уравнение является параметрическим уравнением прямой, и пerK()
ви.n:еть, что эта прямая прохо.n:ит через ТОЧКИ а и а + Ь.
150
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[r,". I
Непосре.n:ственным следствием этоrо замечания является
3 а м е ч а н и е 2. Для тО20 чтобы три различные тОЧ1Си а, Ь, с
лежали на одной прямой, необходимо II достаточно, чтобы
отношение
c a
b a
(jыло действительны.М чиСЛО_lf.
в частности,
3 а м е ч а н и е 3. Для тО20 чтобы тОЧ1С1l Ь О и с лежали
на одной пРЯАЮЙ, проходящей через начало 1Соординат, необходf1АIО
11 достаточно, чтобы отношение с/Ь было дейстВllтеЛЬНblМ числом.
а,
[,
/'
а
а
о
о
Рис. ЯО.
Рис. 31.
3 а м е ч а н и е 4. Пусть 1110Ч1Cll а, Ь, aj, Ь ) являются верШf1на.)щ
.параллеЛО2ра.4fAta (неречислеНIIЫМИ 11 поря.n:ке их сл доваllИЯ при
.движении по rранице параллелоrрамма; см. рис. 30). ТО2оа
а+аl ===b+b j .
Пусть (а, Ь) некоторыЙ отреЗ0К. ОтреЗ0К (О, d) будет парал
.лелен отрезку (а, Ь) и о.n:инаКОБО направлен. Kor.n:a d == Ь а (рис. 3]).
Применяя это соображение I{ отрезкам (а, Ь) и (b l , aj). получаем,
что
Ь а == а) b j .
'то есть, что Ь + ы == а + aj.
3 а м е ч а н и е 5. Пусть тОЧ1Сll а, Ь. aj' ы являются Beplllll
.наА11l параллеЛО2ра.!lfда (перечисленными IJ поря.n:ке их сле.n:ования
при .n:вижеIIИИ по l"ранице параллелоrра ша). а с тОЧlса пересече
1-l11Я е20 диа20налей. ТО2да
a l al ь+ь,
C== 2 ==
1
ДеЙствительно, cor лаCIЮ замечанию 1, ТОЧК3 :2 (а + a j ) лежит на
1
,прямой, соединяющеЙ точки а и аl' а точка "2 (Ь + Ь 1 ) на ПрЯМОЙ J
'Р)
МНОЖЕСТВО ПЕРИОДОВ КАК rpYnnA
15]
сое.n:иняющей точки Ь и Ь 1 . Но, cor ласно замечаниlO 4, а + аl == Ь + Ь 1 ,
. 0+0] Ь+Ь,
так что точка с == == лежит на перес чении прямых, coe
'n:ИIlЯЮЩИХ точки а с аl и Ь с b 1 ,
2. Множество периодов как rpynna
Пусть функция f (и) опре.n:елена .n:ля всех комплексных значе
ний ll. Если число W таково, что .n:ля всех и имеет место равенство
f(zz w)==f(u), то это число W называется пери О aO_tl ФУНТЩllll f(u).
Ясно, что число W == О является перио.n:ом любой ФУНКЦИИ f (и),
rоворя о перио.n:ической Функции, мы Bcer.n:a по.n:разумеваем, что она
имеет хотя бы о.n:ин перио.n:, отличный от нуля.
Обозначим через Q (f) множество всех J{омплексных чисел, ЯВJ/ЯЮ
щихся перио.n:ами функции f(ll),
Т е о р е м а 1, Для любой ФУНТЩllll f (и) _llIiOJlCсство Q (п обра
зует 2руппу ПО сложеНZlЮ, т, е. из Ыl Е Q (j) и Ы2 Е Q (j) следует,
что Ыl + Ы2Е Q (j) zz ЫIЕ Q (j).
Действительно, И3 равенств f (и + Ыl + Ы2) == f (и + Ыl) == f (и) сле
.n:yeT, что
Аналоrично
Ыl + Ы2Е Q (п.
f (и) == f (и Ыl + Ыl) == f (и ыд.
в .n:альн йшем множество 2 комплексных чисел, образующее rруппу
по сложению, мы бу.n:ем называть старинным термином «_tюдуль».
В этой терминолоrии теорема 1 звучит так:
т е о р е м а ] *. Множество Q (f) всех периодов данной ФунlC
l llll (и) образует модуль.
Пусть .n:аl1Ы числа
W 1 ' Ы2' ,.., Wk-
(1)
с помощью операций СЛОжения и вычитания можем получить И3 пих
. любые числа ви.n:а
m j W 1 + т2 Ы 2 + . . . + fnk W /"
(2)
r.n:e m 1 , ..., fnk произвольные целые числа. Поэтому И3 УСЛОI3ИЙ
Ы! Е Q, Ы 2 Е Q, ..., Wk Е Q
вытекает, что
mlWl +. т2 Ы 2 +. '. + JпkWk Е Q.
Иными словами:
т е о р е м а 2. Если ФУНICЦllЯ [(и) имеет перllOды (1), то она
имеет zz лерllоды (2).
152
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[fл. 1
В кач стве множества всех перио.n:ов мероморфной фушщии про-
извольный мо.n:уль принять нельзя. Выясним сейчас, каковы те мо.n:ули,
которые MorYT быть множеством всех перио.n:ов мероморфной функ-
иии, отличной от тож.n:ествешюй постоянной,
Преж.n:е Bcero отбросим 'n:Ba крайних случая: мо.n:уль, состоящий
И3 е.n:инственноrо числа W === О, и мо.n:уль, состоящий из всех ком-
плексных чисел. Первый случай нешпересен, так как ФУНКЦИИ, отве-
чающие этому мо.n:улю, не бу.n:ут перио.n:ическими, а во втором случае
'функции, отвечающие мо.n:улю, постоянны,
BBe.n:eM временную классификацию:
Мо.n:уль 12 мы наЗ0вем модуле.м nepBOi!O рода, если множество
вхо.n:ящих в Hero точек не имеет предельных точек, отличных от
бесконечности, В противном случае мо.n:уль 12 назовем .модуле.11 вто-
рою рода.
т е о р е м а 3. Модуль 12 будет .модулем emOpOi!O рода в то_и
.u толЬ/со в flZO_ll случае, если для люб020 6> О существует чис-
ло W Е 12, удовлетворяющее неравенства.м 0<1 (О I < 6.
Ясно, что мо.n:уль 12, у.n:овлепюряlOЩИЙ условиям теоремы, не может
быть мо.n:улем первorо po.n:a, так как точка О является пре.n:елыlOЙ
точкой вхо.n:ящих в Hel'o чисел. Остается показать, что точка О бу.n:ет
пре.n:елыюй точкой ЩIЯ элементов JПобоrо мо.n:уля BToporo po.n:a, Если
12 мо.n:уль BToporo po.n:a, то существует после.n:ователыlOСТЬ W 1 , W2' . .. ,
.n:ля иоторой Wk а при /l 00, Ясно, ЧТО wkfl Wk Е Q, и
W/<+l W k О.
Сле.n:ующая теорема ПО3ВОJlяет нам исключить И3 рассмотрениэ
мо.n:ули BToporo po.n:a.
т е о р е м а 4. Если ФУЮСЦIlЯ f(/l) меро.морфна II не сводится
к тождествеююu постоянной, то .модуль 12 (Л является .модулем
nервО20 рода.
В силу теоремы 3 нам .n:остаточно показать, что ФУНКЦИЯ f(II),
у.n:овлетворяющая условиям теоремы, не может иметь сколь уrодно
малых перио.n:ов, отличных от нуля. Пусть а какая-либо точка
реrулярности ФУНlЩИИ f(u), Для ФУНКЦИИ f(/l), отличной ОТ тож-
.n:ественной постоянной, существует такая 6-0крестность точки II === а,
что разность f(ll) f(a) не обращается в этой окрестности в нуль
ниr .n:e, КРЩlе точки а (см. 4 r л. 2). Поэтому ни O'n:HO число w,
удовлетворяющее УCJювию 0< I W I < 6, не может быть перио.n:ом
ФУНКЦИИ f(/l), и llallle утверж.n:ение .n:оказано.
Выясним строение произволыюrо модуля первorо po.n:a (в даль-
неЙlllем мы бу.n:ем rоворить только о них), отличноrо от мо.n:уля,
состоящеrо И3 единственноrо числа W === О.
С л уч а й 1. Модуль 12 COCmOll1п /l3 точек, лежаЩllХ на одной
прямой.
Поскольку BCer.n:a О Е 12, эта прямая .n:олжна прохо.n:ить через
.начало координат. Возьмем для опре.n:еленности одну И3 половин этой
!i 2]
МНОЖЕСТВО ПЕРИОДОВ КАК rРУПnА
153
прямой (на которые раз.n:еляет прямую точка О) и най.n:ем на ней
точку Ш1 *0, которая расположена к точке О ближе .n:руrих точек Q
(рис. 32). Такая точка ШI существует, так как множество точек W Е Q
не имеет пре.n:еЛЫIЫХ точек в конечной части плоскости. Пусть W
произвольная точка модуля Q. Соrласно замечанию 1 1 (с а==О)
имеем W == tW1' r.n:e t некоторое .n:ействитель
ное число. Так как любое .n:ействителыюе чис
ло t можно nре.n:ставИ1Ъ в ви.n:е t == т + r,
r.n:e т целое число, а О r < 1, то W ==
== (т + r) Ш1' И3 условий W Е Q и (01 Е Q сле
.n:yeT, что rWj Е Q. Если 0< r < 1, то после.n: О
нее условие противоречит выбору Ш1 как бли- Рис, :32,
жаЙlllей к ну лю точки Q. Поэтому r == О и
(J) == т Ш1' r.n:e т целое число. Иными словами, 8 paCc.ltampl/8ae_UOM
случае Чllсла, прllнадлежаЩllе _Itoдулю Q, являются цеЛЫ.ttll крат-
ны_ии числа Ш 1 .
С л у чай 2. Модуль Q содеРЖllт хотя бы тРll тОЧКll, не
лежаЩl/е на одной nря.llOЙ.
Пусть три точки мо.n:уля Q, не лежащие на о.n:ной прямой, ЭТО
точки О, Ш1' Ш2' Без оrраничения общности можно считать, что внутри
треУ1'ОЛЬНИI<а О, Ш 1 , !\J;! И на ero rранице нет .n:руrих точек мо.n:уля Q
(этоrо Bcer.n:a можно .n:остичь по.n:-
(,),+ lV Z хо.n:ящим выбором Ш1 и Ш2, так как
мо.n:уль Q первоrо po.n:a и в любой
конечной области имеется лишь
конечное число принадлежащих ему
точек). Построим параллелorрамм
с верlllинами О, Ш 1 ' Ш1 + Ш2' Ш2
(рис. 33). ПOl<аже;lI, что в этом па-
раллелоrрамме и на ero сторонах
тоже нет точек W Е Q. Действи-
телыIO, в треуrолышке О, Ш1' Ш2 И на ero сторонах таких точек нет.
Если бы точка w Е Q лежала в .n:руrой половине параллелоrрамма,
то, cor ласно замечанию 4 1, точка
(u
" "'"
, , ,
" ,
\ " ,
, "
, "
ШЛ ',\
......
о
Рис, Э3.
ф' == Ш1 + Ш2 W
лежала бы в треуrолышке О, Ш 1 ' Ш 2 (см. рис. 33). НО И3 условий
Ш 1 Е Q, Ш2 Е Q, W Е Q, сле.n:ует что ф' Е Q. Поэтому точек W Е Q He'I
И В .n:руrой половине параллелorрамма,
Пусть теперь W произвольная точка мо.n:уля Q. Прове.n:ем пря-
мые через точки О и Ш1 И через точки О и Ш2, а также параллельные
им прямые через точку Ф. Получим параллелorрамм с веРlllинами О,
Ь, Ф, а (рис. 34), Cor ласно замечанию 1 I имеем
ь == t 2 w'},J
а == t1w1,
154
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФWНКЦИИ
(rn, I
vTKy.n:a
W === а + ь === tjWj + t2W2'
r.n:e t j и t 2 .n:ействительные числа, которые Bcer.n:a можно записать
в ви.n:е
t j === т! + rj
t 2 === т2 + r2
(тl и 1112 целые числа),
Так как точка
(О rJ < 1),
(0 r2<1)
W 1l1j(J)1 т 2 Ш2 === rjШ j + r2(J)2
прина.n:лежит мо.n:улю Q, она не может, соrласно .n:оказанному ВЫlll ,
лежать внутри параллелоrрамма с вершинами О, Wj, Ш j + Ш 2 , Ш 2 или
на ero сторонах. Это возможно ЛИlllЬ
при rl === О и r2 === О. Сле.n:оватеJIЬНО,
W === mjW j + т2Ш2' (3)
Тшсим обраЗ0М, в раССМатривае.МОМ
случае любое число (J) Е Q Bыpa
жается через некоторые два фик
сированных числа Ш! Е Q и Ш2 Е Q
в виде (3) (числа Шj и Ш 2 не зависят
от числа ш).
о
а
Рис. 34.
с л у чай 1. Отношение
Wr+W z
щ
Заметим еще, что, соrлаСIIО замеча
нию 3 1, случаи 1 и 2 можно oxa
рактеРИЗ0вать сле.n:ующи обраЗ0М:
любых двух чисел Ш! Е Q и Ш2Е Q
ш,
действи тельное число.
С л у чай 2. Существуют два числа Ш! Е Q и 1U2 Е Q, для KO
торых 1т =F О.
Ш 1
(З.n:есь и BCIO'n:Y .n:aJlbllle мы rоворим лишь о мо.n:улях Q первorо
po.n: a .)
ПОJlьпоживая сказанное ВЫlllе, мы прихо.n:им к утверж.n:ению:
т е ор е м а 5. Все перll0ды .мероморфноii перll0дической фУНКЦllll
или являются целыми кратными одНО20 периода Шj, или сум.мОй
целых кратных двух периодов Ш ! и Ш2' отношение которых Ш2/Шl
имеет положительную .мнимую часть,
В первом И3 УПОМЯНУТЫХ 11 теореме случаеll функция называеrся
просто периодической, а во втором двоякоп рllOдllчеС1соii. IIримеры
просто l1ерио.n:ических функций нам XOpOIllO известны, Двоякоперио
.n:ических функций среди элементарных ФУIIIЩИЙ не существует. Суще
ствование .n:воякоперио.n:ических меРОМОРфllЫХ функций (которые и
3]
ПАРАЛЛЕлоrРАМ.М. ПЕРИОДОВ
155
составляют пре.n:мет наlllИХ .n:альнеЙlllИХ ИССJlе.n:ований) вскоре бу.n:ет
нами установлено,
Перио.n:ы Шl и Ш2 двоикоперио.n:ической функции f(ll), через KOTO
рые любой перио.n: ш этой функции можно выразить в ви.n:е (3),
бу.n:ем называть ОСНОВНЫ.Аl1l nер/lода.Аfll ФУНКllИИ f (1l).
3. Параллелоrрамм периодов
Пусть ШI и Ш2 пара комплексных чисел, .n:ля которых 1т "'2 =F О.
"']
СООТlЮlllение /l:=:: V 4 тlШ1 + т 2 Ш 2, r.n:e тl и f112 целые числа,
бу.n:ем заl1исывать символом
или СJlовами: ч /lсла /l 11
Если числа Шl и Ш2
ния (как в настоящем
короче 1l = V.
Точки плоскости, отвечающие сравнимым числам /l и V, мы бу.n:ем
называть конzрУЭНfll!iЫМ/l.
Сле'n:УlOщие утверж.n:ения наСТОJlЬКО очеllИ'n:НЫ, 'IТO мы I1рИВО'n:ИМ
их без доказательства:
1. При Jlюбом II имеем II = ll.
2. Если V = /l, то и /l = V.
3. Если 11 = 'v И V = W, то и 1l = w.
4. Если ll = V И 1l1 = Vl' то ll+lll = V I Vl'
5. Вообще, если II = V И 111 = Vl' то 'n:JlЯ JllOбых пелых чисел n Id
nl имеем nи 4 nl11l nv + nl v .,
ВОЗЫ\lем ПРОИЗВОJIЫIУЮ то'жу 110 И построим параJlлеЛОI'рамм с Bep
lllинаll1И ио, 110 + Ш 1 ' ро + Шl Ш 2 ' 110 Ш 2
(рис. 35). Этот параллелorрамм мы бу.n:ем
lIазывать параллелоzра.;l(.4Ю.;l( neplzoaOB (11(1),
nocтpoeHHbl_tf на nеРlzoдах ш. и Ш;? К па
раЛJlелоrрамму нериодов (ll(l) мы ПрИЧИСJlИМ
еще точки, Jlежащие lIа ero сторонах
(1l(l' 110 Шl) и (1l0' 110 \ Ш2)' а также Bep а о
lllИНУ 110 (точки на 'n:BYX .n:руrих сторонах
и три остаВlllиеся вершины не включаем),
Иначе rоворя:
ТочкаМ/l nараллелоzрамма пеР1l0дов (1l0) являются тОЧ1Сll В1lда
1l0+rlШl+rZШ2 (O rl<l, O r2<1).
т е о р е м а 1. ПРОllзвольная точка V КО.;l(nлексной nЛОСКОСfll/l
конzруэнтна одной /l только одной точке nараллелоzрояяа пep1l0
доВ (110)'
Действительно, пусть V произволыl3Я точка IZOlllIIJlеКСllOЙ ПJIO
скости. Построим параллеJIOl'рамм с веРlllннами /lo, Vl' V, V2' стороны
1l = V mod (ШI' Ш2)
V cpaBнzиllЫ ПО Nодулю (Шl' Ш2)'
не меняlOТСЯ lIа протяжении Bcero рассуж.n:е
парш'рафе), то, опуская их, бу.n:ем писать
а ио+ш,
Рис. 3.5.
156
ДВОЯКUnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл.1
KOTOporO параJlлельны сторонам параллелоrрамма перио.n:ов (1/0)
(рис. 36). Tor.n:a имеем
'v == Vl + V2 1/0 == (и о + t1шд + (1/0 + t 2 Ш 2) ио == 110 + tlШI + t 2 ш 2 ,
или, пре.n:ставляя .n:ействитеJlьные числа t 1 и t 2 В ви.n:е
t l == тl + rl'
t 2 == т2 + r2
(O rl<l, O r2<1)
(тl и т2 целые числа), прихо.n:им к равенству
V == и о + тlШl + тШ2 + rlШI + r2Ш2'
И3 KOToporo неме.n:ленно вытекает утверж.n:ение теоремы.
rеометрически этот факт означает сле.n:ующее:
Рассмотрим 'n:Be системы равноотстоящих точек
ио, 1' о ::!::: ШI, 1/0 + 2ШI' 1/0 + 3Шl' .,.,
ио, 1/0 Ш 2 , 110 + 2Ш2' ио + 3Ш2' ...,
расположенных соответственно на
первой системы прове.n:ем пря
мые, параллеJlьные второй пря
мой g2' а через точки второй
ч.
и и
ao '?&' ao йJ, lLo lLo+йJ, lLo+'?&, и,
7 1 / / /
V; / / i {(J2 / /
1 1 lL :Z {j) I {
о{ '2
Рис. 37.
и о +&;
Рис, 36.
прямых gl И g2' Через точки
!k
системы прямые, параллельные первой прямой gl' Получим систему
параллелоrраммов
(1l0+тIШI+т2Ш2)' IllI==O, + 1, + 2,..., т 2 ==О, + I, + 2,... (1)
Утверж.n:ение теоремы 1 состоит в том, что эта система параллело
zpa_UMOB пО/срывает всю плоскость одl/Н раз (рис. 37).
Обозначим через [и] множество всех точек, конrруэнтных точке ll.
Еще O'n:HO утверждение, раВНОСИJIЫlОе теореме 1, состоит в том, что
каждому параллеЛО2рамму системы (1) пР'l1lадлежиlп ровно одна
точка системы [llj.
4]
ПОЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
157
4. Поле эллиптических ФУНКЦИЙ
Мероморфная фУНКllИЯ 1(и) называется эллиптической, если она
имеет перио.n:ы Ыl и Ы2, отношение которых Ы 2 /Ыl не является .n:ей
,ствительным числом.
Пре.n:положим, что числа Ыl и Ы2 заданы, и рассмотрим множе
,ство К всех эллиптических фУНКllИЙ, .n:ля которых оба эти числа
бу.n:ут перио.n:ами. Множество К обла.n:ает сле.n:ующими свойствами:
1. Любая постоянная принадлежzzт .множеству К.
Действительно, .n:ля постоянной любое число, а значит и числа Ы 1
11 Ы2' бу.n:ет перио.n:ом.
2, Если 11 (и) Е К и 12 (и) Е К, то
11 + л Е К, ft 12 Е К, 11.12 Е К, Е К
,(после.n:нее в случае, если 12 (и) не тож.n:ественный нуль),
СВОЙСТВО 2 0значает. что множество К образует поле фУНКllИЙ.
Нулевой элемент поля фушщия, тож.n:ественно равная нулю. И3
<свойства 2 неме.n:ленно вытекает
3. Произвольная раЦ/lональная функция от функций 11 (и), ".,
fn (и). принадлежаzцих полю К, тоже прzzнадлежит полю К (если
:знаменатель отличен от тож.n:ественноrо нуля),
4. Если j(zz) Е К. то II l' (и) Е К.
Действительно. произво.n:ная мероморфной фУНКllИИ также меро-
'Морфна, и свойство перио.n:ичности при .n:иффереНllировании сохра-
:няется.
5. Пусть точка а полюс ФУНКЦZlll 1(Il) Е К, и пусть 2лав
лая часть ФУЮСЦZlll f(/l) в этом полюсе равна g ( ) . ТО2да
и a
..любая КОН2руэнтная с точкой а точка а' (т. е. такая. что а' = а
щоd (W 1 . Ы2» тоже является полюсом ФУНКЦZlll 1 (и) и 2лавная
-часть функции 1(и) в полюсе а' равна g ( ) .
и a
lLействительно. по опре.n:еJ/ению r лавной части.
j(ll)===g( \ ) + (и а).
и a
:r.n:e 't (zz а) степенной ря.n: по степеням и а, СХОдЯщийся в не-
:которой окрестности точки а. Пусть а' === а + Ы. Обозначим zz' === и + ы.
Tor.n:a и' а' === и а и
Ли') === j(zz) === g ( \ ) + I.j3 (и а) === g ( , ] , ) + $ (и' а').
и a u a
.OTclO.n:a сле.n:ует H3111e утверждение.
Пусть а/, а2. ..,. а т полюсы ФУНКllИИ f(ZI) в параллелоrрамме
JIlер и O'n:OB (и о ) (каждая точка ak ПИlllется столько раз, какова
158
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
IrJ1. I
кратность ПOJlюса в ЭТОЙ точке). Число r бу.n:ем называть порядКОс t
фУНКЦ!lll f(//).
Системы точек [al], [а!], .." [arl образуют R совокупности MHO
жество всех полюсов функции 1(11). Если И3 каж.n:ой системы [ak]
выбрать по O'n:HOMY числу a , то получим r чисел a , a , .." a ,
про которые бу.n:ем rоворить, что они образуют полную с//сте.му
ПОЛЮСОВ фУНКЦ/lll f (11).
5. Общие теоремы об эллиптических Функuиях
Докажем ря.n: общих теорем, на которые бу.n:ем часто опираТЬС>f
при изложении теории эллиптических функций.
т е о р е:'1 а 1. ФУНКЦIIЯ 1(//) Е К порядка r === О постоянна.
ИНЫАlll слова.I111, ЭЛЛ/l1lтllческая ФУЮ<Ц/IЯ, не /lAlеющая ПОЛЮСОВ,
постоянна.
ДействитеJlЫЮ, еСJlИ функция /(1/) не имеет ПОJIЮСОВ, то максимум
ее !\!о.n:уля в параJlлелorрамме перио.n:ов конечен, Так как при любых
значениях 1/ функция /(11) принимает ЛИlllЬ те значения, которые она
принимает в параЛJlелоrрамме перио.n:ов. то и .n:ля всех 11 И:'lеет место
неравенство 1/(1/) I с< ею. По Teo
реме Лиувилля (01. 8 r л, 3 ч. 1) целая
фу lIIШИ Я f (1/), orраниченная во всей
плоскости, постоянна,
Преж.n:е чем перехо.n:ить к СJlе.n:ую
ЩЮI теоремам, .n:оrоворимся, что обхо.n:
параJlлелоrрамма (1/0)' отвечающий по
сле.n:ователыюсти вершин 1/0' 110 + Ю 1 ,
1/0 ! Ю 1 \ Ю 2 ' 1/0 + Ю 2 SlВляется поло
житеЛЫIЬШ оБХОJlО!\! ero r'раНИllЫ (если это не так, возьмем B:lleCTO
перио.n:ов Ю 1 , Ш перио.n:ы 1U 1 . uJ t ), Стороны параллелоrрамма (I/(})
в поря.n:ке сле.n:ования при указанном обхu.n:е бу.n:е:'1 об0311ачать
2, 1 *. 2';' и 1 соответственно (рис, 38).
'7
24.
7 ' "-.
цо
2
110 +(01
Рис. 38.
Пусть ер (//) ПРОИ31юльная функция, опре.n:еленная и непрерывная
на сторонах параллеJlоrраЮlа (1/0)' I{OI'.n:a точка 1/ пробеrает сторону 1
этоrо параллелоrрамма, точка 1/ + Ю 1 нробеrает сторону 1 * в обрат
HO:ll направлении, а Kor.n:a ТОЧI<а 1/ пробеrает сторону 2, точка // ! Ю\!
пробеrает в обратном наl1раВ:lении сторону 2*. Поэтuму
ер (1/) d// === { ер (1/ + (C\J) ер (//) } d/ {ер (и + W\I) ер (//) } d//, (1)
д (110) I 2
r.n:e в левоЙ части равенства стоит интеrраJJ по rранице параJlлеJlО
. rpaMMa (1/0) в положительном нанравлении, интеrрал но стороне 1
5]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМ.Ы ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
159
берется в направлении от 110 к и о + Ш 2 , а интеrрал по стороне 2
в направлении от и о к ио + W 1 ,
Возьмем теперь в качестве ер (и) функцию f(ll) Е К, причем число и о
выберем таким обраЗ0М, чтобы на rранице параллелоrрамма не было
полюсов ФУНКЦИИ ((и). Tor.n:a интеI'ралы в правой части равенства (1)
обратятся в нуль. С .n:руrой стороны, интеrрал в левой части равен-
ства (1) равен умноженноЙ на 271:i сумме вычетов ФУНКЦИИ ((и) во
всех ее полюсах, лежащих внутри параллелorрамма (110)' Тем самым
доказана
т е о р е м а 2. Cy..JUta вычетов фУНКЦllll f(u) Е к по все,и полю-
са.АС, лежащим в параЛлеЛОi!рамме периодов, равна нулю.
Отсю.n:а неме.n:ленно вытекает
т е о р е м а 3. Не существует фУЮСЦ1111 f (и) Е к порядка r 1.
ДеЙствителыlO, если в параллелоrрамме (и о ) ФУНКЦИЯ f (и) имела бы
только о.n:ин полюс (первоrо поря.n:ка), то ее rлавная часть в этом
полюсе имела бы пи.n: С/(и а), J'.n:e С *- О, Но по теореме 2 С== О.
Полученное противоречие .n:оказыuает теорему.
Для формулировки сле.n:уюшей теоремы .n:а.n:им O'n:HO опре.n:еление.
Мы бу.n:ем rоворИ1Ъ, что ФУНКЦИЯ f (и), отличная от тож.n:ественной
постоянноЙ, имеет k-краmну ю с-точку в точке и == иl ИЛИ что она k
раз принимает значение с в точке и == и1' если ФУНКЦИЯ f (и) с
имеет в точке и == иl нуль кратности k.
т е о р е м а 4. Пусть фУНКЦllЯ f(ll) Е к имеет порядок, равный r.
II пусть с заданное конечное число. В каждом параллеЛОi!раММе
периодов функция f (и) принимает значение с ровно r раз.
Соrласно опре.n:елению поря.n:ка ФУНКЦИИ f(ll) Е К утверж.n:ение
теоремы 4 0значает, что число нулей ФУНКЦИИ f(ll) С В параллело-
rpaMMe перио.n:ов равно числу полюсов ФУНКЦИИ f(ll) (или, что то же
самое, числу полюсов ФУНКЦИИ f(ll) с). Это утверж.n:ение является
частным случаем теоремы 2 О вычетах и получается применением этой
теоремы к ФУНКЦИИ
f' (11) ([
i () == d " { ]п (/(и) с) }.
11 c 11
Действительно, нрименяя теорему 2, получаем, что
1 f' (11)
О == . 2 " f () dll,
1tI 11 c
д (110)
а после.n:ний интеI'рал, как мы знаем, равен разности между числом
нулей и числом полюсов ФУlIlЩИИ f(ll) Е К в l1араллелоrрамме (110)'
(Естественно. что ЧИСJIO llо прихо.n:ится ОПЯТh выпирать таким образом,
чтобы на rранице l1араЛJlелоrрамма (и о ) не было ни нулеЙ, НИ полюсов
ФУНlЩИИ f (и)).
160
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКUИИ
[rл. I
т е о р е м а 5. Пусть функция {(11) Е К 11меет порядок, равный
r;;:? 2, 11 пусть Ь 1 , b ,.." Ь Т нули ФУНКЦ1111 {(и), а al' a "..
. ." а т ее полюсы, расположенные в параллеЛО2раМ3tе периодов (ио)
(по теореме 4 с с === О); их число С учетом кратности о.n:инаково. ТО2да
имеет яесто сравнение
Ь 1 +b + ... +Ьт = аl +a +... +а т .
(2)
При .n:оказательстве опять пре.n:положим, что на rранице паралле
JlOrpaMMa (ll() нет ни нулей, ни полюсов функции {(1I).
Положим
f' (ll)
l' (11) === II f (ll) .
Эта функция имеет полюсы ЛИlllЬ там, r.n:e функция f(ll) обращается
в нуль или в бесконечность. В параллелоrрамме (110) такими точками
являются лишь точки b k И ak' Соrласно формуле, приве.n:енной в конце
9 rл. 5 ч. 1 с Л=== 1, имеем
1 \' f'(u)
21ti II f(1l) d11===b 1 + ... +bT (al+'" +а т ).
д (1l0)
(3)
С .n:руrой стороны, из равенства (1) и И3 формул
( 11 + w ) f' (и + W n ) 11 f' (и) === w f' (и) ( 4 )
n f(ll+w n ) ((ll) n f(ll)
(з.n:есь п === 1, 2) сле.n:ует, что интеrрал, стояЩий в левой части фор
мулы (3), равен
110 + "'" 110+ "'1
"'1 . \' f' (ll) d "'2 \ f' (ll) d
2;'[ J {(и) ll 'Eti J {(ll) 11
(5)
110
110
(интеrралы взяты по соответствующим сторонам параллелorрамма).
Написанные интеrралы являются целыми I{ратньши числа 27Ci. Действи
телыю, интеrрал
1I0+"'n lJO+"'n
t' f' (и) r f
.' -f (ll) d11 === d lп (11)
(п === 1, 2)
110
110
равен приращению функции ln f (и) при Движении точки II И3 ТОЧКИ ({о
В точку 11 + W n в.n:оль стороны параллелorрамма. Поскольку f (и + w n ) ===
=== f (11), точка === f(ll) описывает при этом .n:вижении точки II замк
нутый путь. Изменение функции ln 1;, при .n:вижении точки С по замкну
тому пути равно, как мы знаем (см. 3 rл. 4 ч. 1), целому краПЮ:\IУ
числа 27Ci. Сле.n:оватеJIЫIO,
1 (' f' (ll)
2;[ 11 f (ll) d11 === тl Ы l + т ы ,
д що)
(6)
rде тl и т2 целые числа, Сопоставляя формулы (3) и (6), ПРИХОДИМ
1{ сравненню (2).
G]
функция f? (и)
161
Придадим доказанной теореме HeMHoro более общую форму, для
чеrо определим еще O'n:HO понятие.
Пусть точки а 1 , а2' ... , a r образуют полную систему полюсов
функции f(u) (см. конец 4). Любое число 8(00), удовлетворяющее
сравнению
8(00) а] + а2 + ... + a r ,
будем назъшать СУД.АЮЙ полюсов функции f(ll) (это число опреде-
JIяется тем самым с точностью до прибавления любоrо периода ФУНК-
ции /(и».
АнаJIоrично полноЙ системоЙ с-точек фУЧКЦll1l f(u) мы наЗ0ве:\!
Ф 1 Ф
полную систему подюсов ункции f (и) с ' а СУ.А1моа с-точек !J!HK-
1
Цll11 f (и) наЗ0вем сумму полюсов функции f (а) с .
CY !MY с-точек функции f(u) бу.n:ем обозначать символом s(c).
Применяя к функции [(11) С теорему 5, н медленно получаем
утверждение:
т е о р е м а 6. Для любой фУНКЦll1l [(11) Е К имеет .Atecmo
сравнение
S(00) = 8(C),
2де 8 (00) CY.AtMa полюсов ФУНКЦ1111 f(u), а 8 (с) сумма ее с-точек,
6. ФУНКЦИЯ 8'J (и)
И3 теоремы 3 предыдущеrо параrрафа мы знаем, что Эллиптиче-
ских функций порядка r < 2 не существует. Сейчас покажем, что
эллиптические функции порядка r == 2 уже существуют. Именно, по-
строим эллиптическую функцию, имеющую в параллелоrрамме один
полюс BToporo порядка.
Выберем число 110 таким образом, чтобы точка 11 == Онаходилась
ВНутри параллелоrрамма периодов (110). Будем считать, что двойной
полюс ИСКОМОЙ функции находится в точке и == о. Поскольку вычет
в Этом полюсе по теореме 2 5 равен нулю, rлавная часть в это:\!
ПОлюсе равна С/112. Постоянную С естественно принять равной е.n:ишще
(любую друrую постоянную можно получить умножением иско IOЙ
ФУIIКЦИИ lIа ПОСТОЯННЫЙ множитель). Итак, будед CfllpOllmb эллиПllllr-
ческую функцию [(и), и.Afеющую в параллеЛО2раАf..Itе периодов (llu)
единственный полюс и === о, в окрестности котОРО20 функция [(и)
имеет разложение
1
{(11) === и2 + 't 1 (11).
6 А. rуреиц, Р. Курант
162
ДВОЯКОПЕРИСДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[r". I
J1erKO убе.n:юъся, что такая ФУНКllИЯ /(и) (если она существует) опре
деляется с ТОЧНОСТЫО дО постоянноrо слаrаемоrо. Действительно, если
11 (и) Е к и 12 (11) Е К две такие ФунКllИИ, то их разность /1 (и) /2 (и)
является эллиптической ФУIIКllией, не имеющей полюсов в параллело
rpaMMe периодов, По теореме 1 5 эта разность постоянна,
Чтобы полностью исключить ПРОИ3ВОЛ В определении искомой
функции, будем считать, что ряд 1 (и) В точке u === О обращается
в НУJlЬ, т. е. что в окрестности точки u === О искомая функция (мы
будем теперь обозначать ее символом 8'J (и» имеет разложение
L
8'J (и) ===-т + и (и),
II
rде 3 (и) некоторый степенной ряд.
I
! ,
Множество всех полюсов функции Ь;) (11) состоит И3 точек, кон-
rруэнтных точке u === О, т, е. И3 точек вида
и === ro === InIWI + т 2 Ш 2'
(1)
rne Ш ! и Ш 2 произвольные целые числа. При этом rлавная часть
1
функции ьg (11) В полюсе u === ro равна ( а 0)2 (cor Jlасно свойству 5 4).
Поскольку мы знаем все полюсы функции Ь;> (11) И rлавные части
в этих полюсах, естественно попытаться построить функцию 8'J (ll)
С помощью теореС\1Ы Миттаr Леффлера (или способом КОlllИ (см. 3
И 7 r л. 6 ч. 1». Для TaKoro построения нужно сначала доказать CJle
дующее утверж.n:ение:
ряд
' 1
S=== 7 I 1 3
...... . о)
сходшпся. (GYMMa распространяется на все перllоды ю, за 11СКЛЮ
ченuеAl периода ro === О, что отдечено штрихом у знака су.м.мы.)
Рассмотрим те периоды ro === т 1 Ш I + т2 Ш 2' для которых
т1 === + п, п < . т, < п, J
т2=== + п, п<т1 <п,
тl === ::!.: п, т2 === 11,
(2)
и обозначим через
]
Sn i'..I l о) 13
(3)
сумму, распространенную на все такие периоды. ЧИСJlО периодов ю,
удовлетворяющих УCJJOвиям (2), равно, l<aK HeTpY'n:Ho подсчитать, 8п,
а их модули не меньше чем kn (здесь k некоторая постоянная,
зависящая от Ш 1 и ( 2 ). Поэтому ДJlЯ суммы Sn имеет место оценка
I М
Sn 8п. (kn)3 == fi2'
!i 6]
Ф НI<ЦИЯ f? (и)
163
и следовательно, ряд
ro
S == 2: Sn
1
схо.n:ится.
в силу доказаllllOЙ сходи;\IOСТи ряда (3) можем применить теорему
5 r"'l. 6 ч. 1. По этой теореме (с nz == 2) ряд
и IJ'Y ( 1 r ] + tl )
L,(11)==11 ' .... и ro ТО) ro2
(4)
равномерно сходится в любой конечной области (после отбрасывания
конечноrо ЧИСла членов, имеющих в этой области полюсы). Ero сумма
мероморфная функция, имеющая в точках 11 == о) простые полюсы
1
с rлаВIIЫМИ частями .
II (о
Покажем, что функция
'J(U)== '(U)== + ' ( 1 ., J) (5)
ll- 1...... (ll (O) (O )
удовлетворяет всем поставленным условиям. ДействителыlO, особыми
точка:vIИ функции (и) являются только полюсы и == о) с l'лаВIIЫ;\1И
1
частями ( )" . При и ---+ О сумма, стоящая в правой части равен-
U ro
ства (5), очевидно, стремится к НУJIЮ. Остается показать, что ФУIIК
ция (и) перио.n:ична с периодами Ш 1 и Ш 2 , С этой целью рассмотрим
nроизводную J' (и) функции (и). И3 формулы (5) имеем
., 2 ,.." 1 2: , 1
(;) ( и ) 2 ., 2
й 113 ...... (ll ro)3 (и ro)"
(последняя сумма распространена lIа все периоды 0), включая период
о) === О). Очеви.n:но, что
1 1
"" (и+"'1 ro)3 ...... (и+"'2 ro)" (ll Ш)"'
так как множества {о) UJ 1 } И {о) Ш 2 } по прежнему представляют
собой множества всех перио.n:ов вида пi 1 ш ) + nZ2Ш2' Следовательно,
J' (и + ( 1 ) == ' (и),
J' (11 + ( 2 ) === БJ' (и).
Отсюда вытекает, что
Б;! (и + UJ n ) Б;! (и) == СП'
п== 1, 2,
(6)
r.n:e С ) и С 2 постоянные, НО И3 равенства (5) сразу видно, что
I
;) (и) чешая фунюlИЯ, ПОJIOЖИВ в равенстве (6) и == '2 Ш nO получим
( 1 ) ( 1 '
Cn== J \2'Ш п Б;! '2Ш1l) ===u.
6.
164
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rn.l
Следовательно,
r (и + W 1 ) == r (и),
r (и + Ш 2 ) == r (и).
Функция 8'J (1l), построенная нами, называется ЬJ функцией Beйep
штрасса.
И3 теорем предыдущеrо параrрафа сразу получаем ря.n: важных
сведений о функции 8'J (и):
т е о р е м а 1. Сумма полюсов s (00) для фУНКЦllll 8'J (ll) сравни-l{а
с нуле.\(.
Это утверждение (непосредственно вытекающее И3 опре.n:еления
суммы полюсов) в сочетании с теоремой 6 5 дает и более coдep
жательный результат:
т е о р е м а 2. Сумма с точек фУНКЦllll 8'J (ll) сравнижа с нулем.
Эту теорему можно сформулировать в сле'n:УlOщем виде:
т е о р е м а 3. Равенство
8'J (и) == Ь ;) (v)
(7)
выполняется в том и только в том случае, KOi!aa
ll = V или u = v.
(8)
Действительно, поскольку функция 8'J (и) имеет поря.n:ок r == 2.
она имеет в параллелоrрамме периодов ровно две с-точки ПрИ любом
с. По теореме 2 эти точки. скажем III И и2' удовлетворяют условию
III + 112 = о. Любая друrая с точка функции t J (и) сравнима либо с lll'
либо с 112' Точки и и v являются с точками ФУНКЦИИ Ь ;) (и) с с ===
=== Ь;) (и) == 8'J (v). Это и ПРИПОДИТ 1( условиям (8).
Выясним теперь, для каких значений v точки v и v конrруэнтны
(в таких точках v ФУНКЦИЯ Ь ;) (и) принимает свое значение 8'J (v) ДBY
кратно, т. е. фУНl(llИЯ Ь ;) (и) р (v) имеет нуль BToporo порядка). Для
КОНl'руэнтности точек v и v необходимо и достаточно, чтобы имело
место сравнение v = v или, что то же самое, 2v = о. Следова-
тельно, для искомых v число 2v должно быть периодом, т. е. число
v должно быть половиной периода. Иначе rоворя, для числа 'U должна
быть справедлива одна И3 формул:
v = o,
1
v == -т Wj '
(9)
1
v '2 Ш 2 ,
1
v = 2'(w 1 +(1)21.
Р]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ IP (и)
165
Значениям v = О отвечает - значение функuии Ь;) (v) == 00. а остальным
трем возможностям отвечают конечные значения функции:
еl==Ь'J ( ;] ).
ю ( ,,-,] +"-'2 )
е2 a \ 2 .
е а == ( ;2 ) .
Итак. если С конечное число, то уравнение Ь;) (и) С == О
будет иметь двойные корни в том 11 только в том случае,
1СО2да число С совпадает С одним из чисел еl' С 2 , е а . Это 0значает,
что уравнение Ь9'(и)==О 1lЛtеет решенltя{w 1 , ; (ш ! +( 2 ). ; Ш2'
Если наш параллелоrрамм периодов (ио) со.n:ержит точку и === О
и точка и о выбрана достаточно близко к точке 11 == О, то параллело
rpaMM (110) содержит внутри себя и параллелоrрамм с верlllина ш О,
1 1 1
'2 Ш\. '2 (Ш j + ( 2 ). _ '2 Ш 2 (рис. 39). По
этому И3 теоремы 3 сразу же следует,
что значения еl' е 2 , Са попарно раз
лиЧflЫ.
Последний факт м-ожно было бы
.n:оказать и друrим способом. Если бы,
например. имело место равенство Сl == е а .
то функuия Ь;) (и) е 1 (и) е а ,
имеюшая один двойной полюс в параллелоrрамме перио.n:ов, имела
1 1
бы там eTыpe нуля (по 'n:Ba двойных нуля при и == '2 Ш 1 И и === 2' (2)'
что невозможно.
(V/-f(vz
/и
2'
Рис. 39.
7. Дифференциальное уравнение для функции (и)
Функция р' (и) в окрестности точки и === О имеет разложение
' (11) == 23 + (и),
II
т. е. точка и == О является .n:ля нее полюсом TpeTbero порядка. Друrих
полюсов в параллеJюrрамме перио.n:ов эта функция, очевидно, не имеет.
Поэтому функция Р' (и) имеет порядок r == 3 и должна иметь в паралле
лоrрамме периодов ровно три НУJJЯ, СоrлаСIIО .n:оказанному в преды
(i) (01 +ro<) щ
.n:ушем параrрафе нулями функции являются точки 2\ , 22 .
Поскольку эти точки попарно различны, они MorYT быть только
Простыми нулями функции '(и),
С друrой стороны, функция
I (и) == (А.) (и) еl) 0'01 (и) e<J <Ь',) (ll) еа)
166
Д130ЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. r
имеет шестикратный полюс при 1l === О И двойные нули в точках.
, 'О] "'9 ;9 . Следовательно, ОПlOlllение
8'J'9 (и)
Q (и) === 1" (11)
ЯIJляется эллиптической фУНlщией, не имеющей в параллелоrрамме
перио.n:о в ни нулей, ни полюсов (нули и полюсы числителя и 3HaMe
нателя одинаковы). Значит, это отношение постоянно.
, Поскольку в окрестности точки 1l === О имеем
!;)'2(11) === {;О +, . ., f (и) === {:о + ' . "
ясно, что Q === 4, т. е. 8'J'2 (11) === 4/ (и). Тем самым 'n:OI{a3aIIa
Т е о р е м а 1, ФУНhЩllЯ 8'J (11) удовлетворяет дllфференцuаЛЬНО 11У
уравнен.l1Ю
!;У2 (и) === 4 (8'J (и) el) (8'J (и) е2) (8'J (и) ез).
(1 }
Приве.n:е 1 н друrой BbIBO'n: дифференциаЛЫlOrо уравнения для-
функции !;) (и), ({оторый даст несколько иную форму этоrо диффе
ренциальноrо уравнения.
С этоЙ uелью напишем более по.n:робно разложение функции gJ (11)
В окрестности точки u === о.
И3 равенства
1 I ' ( 1 1 II ) 1 ' (и 2 иЗ )
l.(и)===nl...... U (I) + (1) + (1)9 ===n L (I)З + (I)' +'"
получае 1 разложение ФУIIIЩИИ 1;, (и) n окрестности ТО'lIШ u === О.
записанное в виде
1 сп ll2n 1
Цa)===n . >" 2n 1'
11==2
(2}
r.n:e
' 1
cfI===(21l 1) ro 9"
(3).
(ясно, что cY I la 'ы " по всем ОТJIИЧНЫМ от нуля периодам ro нри
нечетном 1l равна нулю, та({ ({ак при замене ro на ro эта сумма
не должна менять cBoero значения).
Сле'n:ОIJателыlO, разложение фунюlИИ 8'J (и) IJ окрестности точки
u === О имеет ви.n:
сп
Ю ( ) + 2f1' 2
a u и2 C1lи
11::.=:2
(4)
(коэффициенты Сп определяются формулами (3)).
И3 равенстпз (4) имеем
A'J' (и) === З + 2С2и + 4С з l1:! + . ..
71
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ .I'1(u)
167
Аналоrично
Ю'2 ( 4 8С 2 16 +
a и) === о -..- Са . . .,
U и"
$J3 (и) === 6 + 2 + 3Са +. , .,
$J'2 (и) 4Ь;)3 (и) === 20 2 28сз +...
u
(выписаны все члены, не стремяшиеся к нулю при и О). Иэ этих
формул леrко находим. что
$J'2 (и) 4g J3 (и) + 20C2 ;) (и) === 28с з +. . . (5)
ЭллиптичеCl{ая функция. стоящая в левой части равенства (5),
11 параплеЛOl'рамме периодов не имеет полюсов, отличных от и === О,
но и точка и === О, как видно И3 этой формулы, не является полюсом.
Следовательно, эта функция постоянна, и мы имеем равенство
$J'2 (и) 4Ь;)3 (и) + 20С28;) (и) === 28с з
Вво.n:я обозначения Вейерштрасса
g2 === 20С2 === 60 ' J
ю4'
' 1
gз === 28сз === 140 "- ю '
(6)
IIрИХОДИМ К следующей теореме:
т е о р е м а 2, ФУН1сция $J (11) удовлетворяет дифферен.циаль
нояу уравнению
$J'2 (и) === 48;):1 (и) g28'J (и) ga. (7)
Числа g2 И gз принято называть ин.вариан.таЛfll фУ/i1СЦ1lll 8;) (и)
(по новоду 31оrо названия см. 15 и r JI, 4).
СопостаВЛ5lЯ уравнения (1) и (7), мы ви.n:им, что при всех х имеет
место равенство
4х: 1 g2X gз === 4 (х еl) (х е2) (х ез).
Следовательно, величины е 1 , е2' е а являются корнями кубическоrо
уравнения 4х 3 g2X ga === О.
Величину
/::;. === 16 (е! е2)2 (е 1 ез)2 (е2 е з )2
называют дискри.мин.анто.м.
ПОСI<ОЛЫ<У величины е!, е 2 . е з п6пар 1O различны, д1IС1СриМ1lНан.т
д Пfllличен. от нуля,
И3 формул Виета немедленно получаем СООТНОlllения
еl + е 2 + ез === О, еl е 2 + е2 е а + е а еl === g2> }
(8)
е1 е 2 е а === ga, /::;. ===g: 27g;.
168
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ М.ЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
frit, J
С помощью .n:иффереНllиалыюrо уравнения (7) леrко получить pe
курреllТНУЮ формулу для определения коэффициентов Сп разложения
функции SJ (11) по степеням и в окрестности точки и == О. Действи
тельно, диффереНllИРУЯ уравнение (7), ПQлучаем
28'J' k J " == (12k J2 g-z) 8'J'
или
8'J" == 6S J2 g2 == 68'J2 10С2'
НО В силу разложения (4)
со
SJ" (и) == :4 + ! (21l 2) (21l 3) cnи2n 4.;
11==2
а
со
{ 1 2
10С2 + 68'J2 (и) == 10С2 + 6 а 2 + ! Сп ll2n 2} ===
n 2
со со n 2
== 10с + + 12 С и2n + 6 ll2n '" С С .
2 а4 1:.. n 1:...... k n k
п n 2 k J
Сравнивая коэффициенты при и2n' '" в разложениях ФУНКЦИЙ SJ" (и) и
1 ОС2 + 68'J2 (и), находим
п 2
{(2п 2)(2п 3) 12} Сп == 6 Ck C,, k
....
k 2
(п==4, 5, 6,..,)
или
(п 3) (21l-+ 1) Сп === 3 (С2 Cn 2 + С3 сn з +... + Cn 2 С2)
(п == 4, 5, 6, .. .).
Найденная рекуррентная формула позволяет выразить все коэф
фициенты С" через С2 и С3 (или, В обозначениях (6), через g2 и gз),
в частности,
) 2
С'" == а С 2 '
;{
С5 === 11 С2 С3'
С6 == l)а ( 2С 2 С" + C ) == 1 1 a ( С: + C ) .
Теорема 3. КОЭффl1Циенты Сп разложения (4) фУЮ(Цllll SJ(u)
являются МНО20членаМll С пОЛОЖllтеЛЬНЫАЩ оаЦllOнаЛЬНЫАfl1 коэф-
фициентами от инвариантов g2 и gз,
Это утверждение немедленно доказывается по индукщlИ с по-
мощью полученноrо ВЫlllе peKyppellTHoro СООТllOlllения.
Иными словами, эта теорема 03l1ачает, что CY_lfAfbt
02n=== ' == ' ( )3
...... O) l1l.(t)l т 2 (f)2
выражается через CY-1f.Jfbt О'" и 06 В виде ЯНО20членов С раЦl10наЛЬ
НЬtAш положитеЛЬНЫ_IШ КОЭФФlщиентаДll.
8]
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИя ДЛЯ ф 'НКЦИИ IP (ll)
169
8. Теорема сложения .n:ля ФУНКЦИИ ЬJ(и)
I'оворят, что функция ер (и) обладает аЛ2ебраllчес1СОЙ 1I1еоре.!fОЙ
сложен.llЯ, еCJIИ для любых 311ачений и1, 112 значения ер (и1)' ер (и2)'
<р (111 + 112) удовлетворяют ашебраическому уравнению, не зависящему
от выбора значений и1 и и2'
Нам известны теоремы сложения ДJIЯ показателыюй и триrоно
метрических функций. Сейчас докажем теорему сложения для функ
ции р (11). .
Рассмотрим функцию f (и) == fp' (и) afp (и) Ь, r де постоянные
а и Ь' выбраны .Т3J{ИМ обраЗ0М, чтобы функция f (11) обращалась в
нуль в двух произволыlO' за.n:анных точках и1 и и2' Если обозначИ1Ъ
Ь ;) (ид == PI, Ь J ' (и1) == Р:, р (и2) == Р2' fp' (и2) == P '
то .n:ля чисе,l а и Ь получим систему ураIJнений
аРl +Ь==р:, ap2+b==p . (1)
Функция f(ll) имеет в параллелоrрамме пе.риодов только о.n:ин полюс
TpeTbero порят,а при II == О, так что ее порядок r == 3, а сумма полю
сов 8(00) сравнима с нулем, Поэтому, соrласно теореме 6 5, сумма
ее нулей также ДОJIжна быть сравнима с нулем. Два нуля сравнимы
с 111 и и 2 соответственно. Следовательно, третий нуль должен быть
сравним с (и) + и2)' Иными словами, точки и1' и2, (и) + и2) об
разуют полную систему нулей функции f(ll).
ОбознаЧИl\l
fp (и1 + из) == Рз, Ь;! (и1 + из) == p .
3амечая что fp' (и) нечетная функция, можем написать уравнение
арз + ь == p , равносильное условию f ( иl 112) === О. ПОJlОЖИМ
IJ .n:ифференциалыlOМ уравнении
fp'2 (и) , 4fpЗ (11) g2 Ь ;) (и) gз
.n:ля функции Ь ;) (и)
и === иl' II == и2' 11 === (иl + и2)'
Получающиеся равенства 0значают, что уравнение
4.х-3 g2 Х gз === (ах + Ь)2
х==р),
х === Р2'
х === Рз'
(2)
(3)
имеет корни
Если числа (3) попарно различны, то они пре.n:ставляют собой
кор 1И уравН,ения (2). Tor да формулы Виета дают СООТIIОlllения
а 2
Рl + Р2 + Рз == 4 ' J
+ аЬ
PIP2 Р2РЗ+РЗР1== 2 4'
Ь 2 + 1<з
РIР2РЗ 4. 4"
все
(4)
170
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕР0Jl1ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(rJl. )
И3 равенств (1) находим, что
р; p
а== Pl P2.
b== P]P P2P;
Pl P2
и первое И3 уравнений (4) дает следуюшее утnерж.n:ение:
т е о р е м а 1. При любых значеНllЯХ 1l) 1l lt сnраведЛllВО pa8eH
ство
1 ( Ь;)' (и ,) Ь;)' (112» ) 2
8;)( lt t+ U 2)== Ь;)(11д Ь;)(112)+ 4 8'1(ll,) 8;)(1l2) .
Мы .n:оказали эту теорему пежа лишь в предположении, что 3Ha
чения 8;) (111)' 8'1 (11 ), 8'1 (11) + 112) попарно различны. С ПОМОШbIО теоремы
еДИНСтвенности .n:ля аналитических функций (см. '1. 1 9 rл. 3) это
оrраничение немедленно снимается.
Поскольку значения fJ' (111) и fJ' (112) алrебраичеCl<И Rыражаюн»
(И3 дифференциальноrо уравнения) через значения 8 J (111) и 8'1 (Il2) co
ответственно, теорема 1 дает нам искомую теOj':ему сложения .n:ля
функции 8;) (lt). Эта теорема сложения в ви.n:е, свобо.n:ном от значениi\
8'1' (11д и 8'1' (ll2)' имеет вид:
т е о р е м а 2. ВеЛllЧ11НЫ
Р! == 8;) ( lt l)' P == 8;) (112)' Ра == 8J (111 + 112)
связаны аЛ2ебраllчеС1(им соотношением
(Рl + Р2 + Ра) (4РIР2Ра ga) == (РIР2 + Р2Ра + РаРl + )2.
Пля по.'Jучения этой формы теоремы сложения нужно исключить
ПОСТОЯllные а и Ь И3 уравнений (4).
9. Выражение произвольных эллиптических ФУНКЦИЙ
через ФУНКЦИЮ 8'1 (11)
Пусть ((11) ПРОИ31ЮЛЫlая эллиптическая функция С заданными
перио.n:ами Шl и Ш2' Покажем, что фуНlЩИЯ f(lt) может быть Bыpa
жена некоторым обраЗ0М через фУНКLlИЮ 8'1 (11) (с теми же перио.n:ами).
Сначала рассмотрим случай, lюrда f(lt) четная ФУН1(ЦllJ1.
В ЭТЩl случае, если точка 111 будет нулем (или полюсом) функ
ции /(11), то И ТОчка . 111 тоже будет нулсм (или полюсом) этой ФУНКllИИ
(при этом точ({и 1l1' для ({оторых 111 = 111 обязаны быть нулями
четной ({ратности, соотвеТСтвенно полюсами четной кратности), Таким
обраЗ0М, порядо({ фун({ции / (11) чеТllое ЧИСЛО. Обозначим через
ь;, b , ..., b k
полную систему нулей функции f (и), а через
а;, a , ..., a k
'РI
ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИIIТИЧЕСI\ИХ функций ЧЕРЕ3 ь" (и)
171
полную систему ее полюсов. (Каждый нуль или полюс пишем в
<соответствующей последовательности столько раз, какова ero KpaT
IЮСТЬ). Вместе с I<аждой точкой b IJ соответствующую последова-
тсльность IJХОДИТ точка. сравнимая с b . Точки, .n:ля КОТОрЫХ b =
= . b , IJХОДЯТ четное число раз. От каждой пары точек b , и b 2' дЛЯ
I<ОТОРЫХ ь;, Ь;2 = О, берем по одному представителю. После такой
()перании получаем пос леДОIJателыюCl ь
Ь" Ь 2 . .,., Ь"
qlулей функнии f'(u). Аналоrично строим после'n:ОlJательность
а" a . ..., ak
lЮЛЮСОIJ фушщии f'(u). Эти послеДОlJателыlOСТИ не дают уже полную
<систему нулей и полюсов, 110 ПОЛllая система нулей имеет вид
b l , b , .,., Ь", b 1 , b , ..., b k , (1)
;(1 полная система ПОЛЮСОIJ ви.n:
al' a , ..., а", а" a , ..., ak'
(2)
Рассмотрим фушщию
Q ('1) {8;) (11) ;) (Ь 1 )} ... {8;) (и) ;) (b k )}
. {8;) (11) 8;) (а])} ... {SJ (11) 8;) (ak)}
Полная система ее нулей совпа.n:ает с системой (1), а полная система
полюсов с системой (2). Поэтому функния ( ll ) будет эллиптиче
-екой фуш<нией, не имеюшей ПОJIЮСОIJ, Т, е,. ностоянной. Тем са IЫМ
доказана
т е о р е м а 1, Любая четная эллиппlllчеС/сая ФУЮСЦllЯ с пepllO
.()а.Ат Ш, и Ш является рациональной фУЮСЦllеii от ФУЮСЦllll 8;) (и),
построенной по этllМ пep"Oaa.AI,
Пусть тенерь ((и) не'lе11lная эллиптическая функц//я. ФУIIК
ШIЯ 8 J ' (и) тоже lIечетная, так что функния . ,( ;) бу.n:ет четной эo'l
JlИllТичеCl(ОЙ ФУllкнией. ПримеllЯЯ 1< этой фУIIЮlИИ теорему 1, мы по
llучаем УТIJерждение:
т е ор е м а 2. Произвольную нечетную эллипт1lческую функцию
.С периодами ШI и Ш2 .АfOЖНО представить в виде прО1lзведения
ФУНКЦlll/ 8'J' (и) на рациональную ФУНТСЦIIЮ от фУНКЦ/lIl 8;) (и), zae
функция 8';) (и) построена по те.М же периодад,
ПуCl ь теперь f'(u) произвольная эллиптllческая функция, Запи-
шем ее [1 [lи.n:е
1 1
{(и) == 2. {лин {( и)} + 2{! (1/) {( I/)}.
Первое слаrаемое lJ IIравой части ЯВJlЯется четнОЙ ЭJlшштичеСI<ОЙ
172
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. I
функцией, а второе нечетной эллиптической функцией. Комбинируя
теоремы 1 и 2, ПРИХОДИ i К утверж.n:ению:
Т е о р е м а 3. Любую ЭЛЛllптическую функцию /(ll) с nериода.лш
(1)1 II Ш2 .лlOжно nредстаВllть в Вllде
{(и) === R ( ";) (и» + fJ' (и) RI ( ";) (и»,
zде R (z) II R 1 (z) некоторые раЦ110нальные фУНКЦ1lll, а функцшi
fJ (ll) построена ПО пеРТlОда..и Ш1 11 Ш2'
Ясно, что И обратно, произвольная рациональная функция от J(11)
И J' (и) будет эллиптической функцией с перио.n:ами ШI и Ш2' Ясно
также, что любая рациональная фУНКIlИЯ от ";) (ll) И SIJ' (11) может быть
приве.n:ена к ви.n:у
R О";) (11» + S;)' (и) R 1 (8;) (11»,
так как KBa.n:paT фУНКIlИИ SJ' (11) В силу дифференциальноrо уравнения
для ";) (ll) является мноrочленом от S;) (и).
Применим .n:окааанные теоремы к произво.n:ным функции ";) (и).
Произво.n:ная ";) (2 n ) (и) четноrо поря.n:ка 2п является четной функцией,
так что по теореме 1 она будет рациональной функцией от ;) (11)
Производные нечетноrо порядка нечетные функции, и по теореме 2
они MorYT быть представлеllЫ в ви.n:е произве.n:енин SIJ' (и) на рацио-
нальную функцию оТ S;) (и). В СОответствии с этим наПИlllем
";) (2 n ) (и) === Rn (fJ (ll».
Tor да, очеви.n:но,
";) (2MI) (11) === R (8;) (и» 8;)' (ll).
Дифференцируя после.n:нее равенство еше раз и вспоминая, что
fJ" (11) =:= 6 Ф (и) g2
(это равенство мы получили выше, дифференцируя уравнение .n:ля
функции 8;) (ll», получаем рекуррентную формулу
R Ч1 (И === R (И (6 J2 t;л + R ' (8;) (4р1 g28;) gз).
При ПОМОщи этой рекуррентной формулы леrко получить некторые
сведения о рационаЛЫIЫХ функциях Rn (z). Например, по ин.n:укции
без труда доказывается, что раЦ110нальная функция Rn (z) является
.4{НО20члеНО.Аl стеnеЮ1 п + 1 11 что КОЭфф1lЦиент при старшей
степеНll этО20 .лтО20члена равен (2п + 1)!,
Это утверж.n:ение .n:опускает интересное обобшение:
Теорема 4, Функцию {(ll), llяеющую в nараллеЛО2ра.лl.J,.{е nе-
р110дов только одllН полюс пРll 11 === О, ЯОЖнО nредстаВllть в Вllде
f (и) === Р (8;) (и» + SJ' (11) Р 1 (Ь;) (и»,
zде Р (z) II Р 1 (z) .J,.{НОlочлены.
9]
ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИIIТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй ЧЕl>ЕЗ If' (и)
173
Действительно, напишем, cor ласно теореме 3, представление .n:ля
функнии f(/l) С раниональными функниями Р (z) И Р 1 (z). Если бы
функния Р (z) обращалась в бесконечность при каком либо конеЧНО:\1
значении z, то функния f (ll) + f ( /l) === 2Р ( ";) (ll» обращалась бы в
бесконечность в некоторой точке ll, не конrруэнтной нулю: Поско
льку этоrо не может быть, раниональная функция Р (z) Не обраща"
ется в бесконеЧIЮСТЬ при конечных значениях z и, сле.n:ователыю,
она мноrочлен,
По тем же соображениям функция KJ' (/l) Р 1 (8";) (/l» не может обра
UЩfЬСЯ в бесконечность ни в о.n:ной точке, не конrруэнтной нулю.
Если мы .n:опустим, что функния Р 1 (БJ (ll» обращается в бесконеч
ность в точке 111 Ф О, но произведение &J' Р ( J) конечно в этой точке,
то 8 J '(/lI)==O. Tor.n:a функция ljP(&J(II» реrулярна в точке ll===111 и
И3 равенства
d { l } ., d { 1 }
.. . === р (lll)
d1l Рl(!;)(1I» ll lll dz P(z) Z If'(ll,)
видим, что в точке 111 функция ljP(P(II» имеет нуль не ниже BTO
poro поря.n:ка, так что функция Р (&;) (/l» имеет полюс не ниже BTO
poro поря.n:ка, Но нули функции &";)' (ll) простые. Поэтому B:\lecTe с
функцией Р (SJ (/l» при II === 111 .n:олжно обращаться в бесконечность и
произве.n:ение 'J' (/l) Р ( ";) (11», Теперь с ПО:\lOщью тех же рассуж.n:ений,
что и BbIllle, убеж.n:аемся в том, что Р1 (z) мноrочлен,
Применим теперь теорему 1 к функции &";) (nZl) (п целое число).
Эта функция является чеТI10Й эллиптической функцией с перио.n:ами
ШI и Ш2' Поэтому И3 теоремы ] сразу сле.n:ует так называемая тeo
режа у.lf1iожеНllЯ .n:ля функции &";) (и):
Теорема 5. ФУЮСЦ/lЯ &J(nZl) (п целое Ч/lСЛО) представляется
в виде рационалыюЙ ФУН1Щ1l11 от ";) (и).
Конкретные формулы леl'КО получаются И3 теоремы сложения.
Например, И3 форму ЛЬ!
1 (SJ' (и) &J' (и 1 ) ) 2
К;) (/l + ид === &";) (11) ";) (и 1 ) + '4 \ &";) (и) р (и]) ,
(3)
полаrая 111 /l, получаем, что
1 ( J" (Н» ) 2
&";) (2и) === 2S J (11) + '4 J' (11)
или
1 (68 J " (и) g2)2
&";) (211 ) == 2'";) ( 11 ) +
D 4 4&J3 (и) g2 &";) (и) gз
&J1 (и) + } g2 J2 (а) + 2g3 8;) (11) + g
4S'J 3 (и) g2 р(и) gз
174
ДВОЯI<ОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНI<ЩIИ
[rл, I
Заменяя в формуле (3) иl и 211, получаем выражение .n:ля функции
;) (3и) и т. .n:,
Следует заметить. что ценность теоремы 3 основной теоремы
этоrо параrрафа не в частных ее проявлениях. Она .n:aeT ответ на
I1ринципиальный вопрос о структуре Bcero поля эллиптических фун
IЩИЙ с за.n:анныМИ перио.n:ами.
10. Дальнейшие свойства эллиптических ФУНКЦИЙ
Пусть I(и) и 11 (и) 'n:Be какие либо эллиптические ФУIIIЩИИ. ПО
теореме 3 преды.n:ущеrо параrрафа можем написать
1 (и) == R (Р (и), J' (и», (1 (и) == RI О;) (и), J' (и»,
rде R (z. w) и R 1 (z, w) рациональные функции споих переменных.
Присое.n:иняя к этим равеllстпам урапнение
;/2 (и) == 4 gЗ (11) g ;) (и) gз
и исключая И3 полученной системы уравнений ;) (и) И Р' (и), получаем
урапнеllие О (j(u), (l (и» === О, r.n:e O(z, w) раЦИOlIаЛЫlая функция
своих переменных (разумеется, не зависящая от и), Тем самым ДOKa
вана
Т е о р е м а 1. Между лю6ы.АШ дВУ_4tя фl11ссироваННЬUlll аллип
ПlичеСКIl.Лtll фующиЯ.Аf1l 1 (и) и {l (и) (с одинаковыми периодами Ш1
1I (2) существует алzе6раllческая зависи.мость.
в частном случае, коrда {l (11) === {' (и), И3 теоремы 1 сле.n:ует
Т е о р е м а 2, Каждая аЛЛllflтllческая функция удовлетворяет
пекоmоро.му (заВИСЯlнему от этой фунюlИИ) алzебраllческо.му диф
ференциально.llУ уравнению, т. е. уравнеЮ1Ю О (j(u), (' (и» == О, zae
О (z, w) раЦllональная функция.
С помощью тех же идеЙ .n:окззывается
Т е о р е м а 3, Каждая аЛЛllfl11lическая фУНКЦllЯ обладает алzеб
раl1ческоii meope.Aloii сложеНl1Я (зависящей от фУНКЦИИ).
Действительно, по теореме 3 9
f (11) === R ( ;) (11), KJ' (11».
в частности, при II === и 1 + 112 имеем
f (111 + и2) === R ( ;) (111 + и2)' Р' (111 + ll.J). (1)
По теореме сложения .n:ля функции ;) (11)
;) (111 + 112) === RI (PI' p . p , р;), (2)
rде R J известная нам раuионаЛЫlая ФУIII<ЦИЯ своих "еременных.
I<оторые обозначают
р] == ;) (111)'
р: === KJ' (111)'
Р2 === ;) (!IJ,
Р2 === KJ' (1l.J.
Il]
ФУНКUИЯ t (и)
ДиффереНllИРУЯ равенство (2) по lll' получаем
(J' ( 1 ) ' дЯ] + (';),, ( ) дЯI R (Р ' ' )
й 111 Tll p] др] й 111 д р,' 2 I,Pl,P. ,P2
(мы ВОСПОЛЬЗ0вались равенством SJ" === 6S J2 g2)' Подставляя
выражения (2) и (3) в равенство о), получаем равенство
{(иl + 112) === R з (рl' р:, Р2' p ).
Кроме Toro, справедливы еще и равенства
{(llд=== R (Рl'Р:)' {(1l2)===Я (P2'P )' }
р:2=== 4p g2Pl gз, p 2=== 4p g2P2 gз.
И3 пяти уравнений (4) и (5) исключим четыре величины
Рl' Р:, Р2' p .
Tor.n:a придем [{ уравнению ви.n:а
0(/(111 + 112)' f (иl), f (ll2» === О,
что и нужно было получить для доказательства теоремы 3.
175
(3)
теперь
(4)
(5)
В СВЯ3И С этой теоремой заметим, что Вейерштрасс в своих лек
циях имел обыкновение начинать с вопроса о ви.n:е аналитических
ФУНКllИЙ, обла.n:ающих алrебраичеСJ(ОЙ теоремой сложения. Он 'n:OI{a
зывал, что при некоторых .n:ополнитеЛЫIЫХ условиях такие функции
бу.n:ут эллиптическими (или рационалыlO выражаются через показа
тельную функцию). Доказывать эту теорему мы не бу.n:ем,
11. ФУЮЩИЯ (11)
Рассмотрим теперь несколько по.n:робнее фУНJ(ЦИЮ (ll), С помощью
котороЙ мы строили ФУНКЦИЮ SJ (и) (ее производная равна SJ (и».
Cor ласно формулам (4) 6 и (2) 7
1 , ( 1 1 11 ) 1 иЗ и"
(и)==:: + . + + .,. ==:: С2 СЗ ,, ...
и II ro ro ю- и 3 :J
(1)
И3 последнеrо представления сразу ви.n:но, что 1: ( и) === (11), т. е.
что (ll) нечетная функция.
Выясним, как меннется ФУНКllИЯ 1: (и) при .n:обавлении '{ пере:\lеll
ной и одноrо И3 перио.n:ов Шl или Ш2 фУНКllИИ SJ (11),
Обознэчим
Так как
Ци + Wk) 1:(11) ==:: 1Jk
(k ==:: 1, 2),
':f === 1:' (и + Ш,,) ' (11) ==:: ';) (11 + Шk) + J (и) == О,
(2)
176
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. t
то величины "111 и "112 постоянные. Най.n:ем их выражение через ш. и Ш2.
С этой целью положим в равенстве (2) и === ;k И воспользуемся
тем, что I:(и) нечетная функuия. Это .n:acT нам формулы
"I1k === 21: (; ) (k === 1, 2), (3)
Ясно, ЧТО эти выражения .n:ля "11. и "11! .n:ействителыlO являются ФУНК-
циями от величин ш.' Ш2 и только ОТ них.
После.n:овательно применяя равенства (2), мы получаем, что
I:(и + т.ш] + т2 ( 2) === I:(и) + fJl."I1. + т2"112 (4)
(т. и т2 целые числа). Иными словами: .
Прll увеличении переменной и на период ro === т.ш. + т2Ш2 Функ-
Цllll J(u) функция 1:(11) получает приращение 1}, составленное из
величин "111 11 "112 те.лt же способом, каКll.1t nерllOд ro составлен из
периодов ш. и Ш2'
Величины "111' "112 и ш., Ш2 связаны меж.n:у собой о.n:ним простым
соотношением
I
,{оторое оБЫЧIIО называется соотношеЮlе.лt Лежандра,
Для .n:оказательства СООТНОlllения Лежан.n:ра заметим, что в паралле
лоrрамме (110) (параллелоrрамм перио.n:ов функuии J (и» функция 1: (11)
имеет только один простой полюс с вычетом, равным единице, Поэтому,
применяя к интеrралу от ФУНlЩИИ Цll) по rранице параллелоrрамма (110)
формулу (1) 5, получаем формулу
"I11 W 2 "I12w. === 2т;i,
(5)
ао + Ш2
1I0+Wl
{Ц11 + ш]) I:(11)} du {Ци + (2) Ц11)} dll === 2т;i,
lIo
ао
И3 которой В силу СООТНОlllений (2) неме.n:лешю вытекает равенство (5).
12. Выражение эллиптических фУНКЦИЙ через фУНКЦИЮ 1:(11)
Мы знаем, что мероморфная функuия 1: (и) имеет в точке и === О и
во всех конrруэнтных с ней точках простой полюс с вычетом, paB
ным единице. Поэтому функция Ци а) имеет простой полюс с выче-
том, равным е.n:инице, в точке 11 === а и во всех КОШ'РУЭНТНЫХ с ней
точках. В окрестности точки и === а, соrласно фор:wуле (1) 11, имеет
место разложение
I:(и a)=== С2 (a a)3
и a ,
Пусть .1 (и) эллиптическая функция с периодами ш] и Ш2' имею-
щая в параллелоrрамме перио.n:ов (110) только простые полюсы а.,
(и а)5
сз 5
(1)
12]
ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКUИй ЧЕРЕ3 1; (и)
177
а2' ..., a r с вычетами Аl' А 2 ,.", Ar соответственно. По теореме 2 5
сумма А 1 + А 2 +. ,,+ Ar этих вычетов равна нулю.
Покажем, что функция
ер (ll) ==== Al (ll аl) +. . . + Ar: (ZZ a r )
имеет перио.n:ы Ш1 и Ш2. Действительно, по формуле (2) пре.n:ы.n:ущеrо
параl'рафа
ер (ll + Ш,,) ==== ер (и) + A 1 'Y1k +. .. + Ar'YIk ==== ер (ll),
так как А 1 + А 2 + . , . + Ar ==== о.
Кроме TOl'O, ясно, что функция ер (и) имеет в параллелоrрамме
перио.n:ов (llо) те же полюсы и те же вычеты в этих полюсах, что и
функция [(и), Поэтому разность f(ll) ер (и) будет постоянной, как
эллиптическая функuия, не имеющая полюсов.
Заметим, что если точку a s заменИ1Ъ какой-либо 'n:РУI'ОЙ точкой,
конrруэнтной с точкой a s ' то соответствующая функция ер (ll) бу.n:ет
отличаться от прежней лишь некоторым постоянным слаrаемым. Тем
самым .n:оказана
Т е о р е м а 1. Пусть эллиптическая функция [(и) и.меет
только простые полюсы, и пусть аl' а2' ,.., a r полная CZlCme.Ata
этих полюсов с 2лавны.АЩ частя"ии в Ю(Х
a a]'
А. Ar
,......, .
11 а. 11 a r
ТО2да
{(и)==== А +A1:(u аl) +... + Ar1:(ll a r ),
2де А некоторая постоянная.
Так как
v ] ,",' ( I ] U а )
,-(и a)==== и_ a +"-' \ 1I a ro +w+ '
(2)
то теорема 1 .n:aeT способ разложения функuии [(и) в ряд простей
ших дробей.
в качеСТIJе примера рассмотрим функцию
Р' (11)
{(Z()==== ;)(lI) AJ(V) ,
rде V некоторое фиксированнее число, Сначала с.n:елае:\1 .n:опущение,
что точки V и V не конrруэнтны, т. е. что число V не период и
не Полуперио.n:.
Для наlllей функции точки V, V, О образуют полную систему
112
Полюсов с I'лавными частями , - + ' соответственно.
lI V U V 1I
Действительно, в точках V и V числитель отличен от нуля (поскольку
V '4= V), а зна lенатель имеет нуль l1epIJOI'o порядка, причем очеВИДIЮ.
178
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. I
что при II ---+ v
8;) (и) 8;) (v) rv (и v) 8 J ' (v), 8 ';) (и) 8 ';) (v) rv (и +- v) KJ' ( v).
В точке и === О числитель имеет полюс TpeTbero поря.n:ка, причем
8J' (и) rv ';3 ' а знаменю'ель полюс BToporo порядка и 8 ';) (11) rv " .
Teope la 1 дает формулу
P( +- .
P(u) 8;)(v) ===А !:(u+-v)+-Ци v) 2,(и). (3)
Чтобы найти постоянную А, заменим u на 11. Tor да получим
8;)' (и) А у ( ) у ( +- ) I ')У ( )
Аа (11) 8;) (v) .. и v .. и v т '." и ,
(4)
nOCKOJlbI<y 8 а (и) четная, а (11) И f-i' (и) нечетные функции. СКJlа.n:ьшая
формулы (3) и (4), ви.n:им, что А === О.
Теперь поменяем в фОРМУJlе (3) местами значения и н v, а затеlll
СJlОЖИМ полученную формулу с ФОРМУЛОЙ (з). Это приве.n:ет нас
к фОр IУJlе
1 8;)' (и) 8 J ' (v) у r
2 Аа (и) 8';) (v) !:(и +v) ..(11) ..(v),
которая носит название тneopeMЫ сложеlllLЯ для ФУЮСЦlll1 (11).
Дифференцируя ПОСJlеднее равенство по 11 ИJlИ по v, ПОJlучаем
новую фОр:llУ теоремы сложения для функции Ка (и):
J J I 1 д ( 8 а ' (11) Р' (v) \ ;) 1 д ( 8;)' (11) 8;)' (v» )
8 (11 +- v) 8 (11) Т 2дu , 8' ] (и) SJ (v) ) 8 (v) +- 2 dv 8 ';) (и) К;} (v) .
Ясно, что все выведенные формулы справе.n:ливы без ВСЯI<ИХ orpa
ничений на и и v, В ЭТО:lI можно убе'n:И1ЪСЯ с помощью теоремы е.n:ин
ственности .n:ля аналитических ФУНКЦИЙ,
Перей.n:ем теперь к случаю, Kor.n:a функция f(ll) имеет не только
простые полюсы. Пусть 11 === а какой либо полюс функции f (и).
I'лавную часть ФУНIЩИИ f (и) в этом полюсе можно записать в ВИ'n:t
А А' k l (k ')! Ak ]
u=a ( II a)" +-' ..+-( 1) (lI a)" . (5)
И3 равенства (2) леrко усмотреlЪ, что ТУ же rлавную часть в полюсе
II === а Iшеет функция
А1: (и а) +- А'!:' (и а) +-. .. +- A(k l):(k I) (и а).
ПОЭТО:lIУ совершенно анаJlOrично теореме 1 .n:оказывается
Т е о р е м а 2. Проuзвольная аЛЛ1znтnическая функция f(u) .може/ll.
быть предстnавлена в виде
f(u)=== с+-2: {АЦи а) +- A't:' (11 а) +-...
а . . . +- A(k l)::(k l) (и а)}, (6)
13]
ФУНКUИЯ (J (и)
179
.zде су.м.ма распространяется на все различные полюсы ФУЮСЦ1111
f(и), лежащие в одНОЛl параллелоzрам_ме периодов. Постоянные А,
А', .,., отвечающие полюсу и == а, получаются llЗ zлавноzl частll
.фУЮСЦ1111 {(и) в атом полюсе. записанной в Вllде (5).
Произво.n:ные от ФУНКЦИИ Ци) MorYT быть выражены через ФУНК
пию !;} (и), та!{ что формула (6) может быть записана в ви.n:е
{(и) == С + 2: {A (и а) + А'К;} (и а) + . .. + A(k I)KJ(k 2) (и а)}.
а
13. ФУНКЦИЯ а (11)
Проинтеrрируем ряд
] ! ' ( ] 1 11 )
Цl:) == + +
11 11 (J) (J) ю2
110 некоторому ПУТИ, сое.n:иняющему ТОЧКУ О с ТОЧКОЙ 11 (и не про
.ходящему через ТОЧКИ (О). В результате получим
II
\ ( ] ) ' ( ( 11 ) 11 112 )
. !: (t) Т [[t == -'- 111 1 ro + (J) + 200
о
(1)
(значение лоrарифма под знаком суммы определяется контуром ин
теrрирования).
Бесконечное I1роизве.n:ение
а (и) ==11 1] {( 1 ) ехр ( : + 21 2 )}
представляет собой целую ФУlllШИЮ, .n:ля КОТОрОЙ точки 11 == (о являются
llрОСТЫМИ НУШIМИ (см. 9 rл. 6 '1, 1). С помощью ФУНКЦИИ 0(11) ФОР
мулу (1) можно записать в ви.n:е
11
( (t) + ) dt == ]1] з l) .
О
(2)
Дифференцирование формулы (2) дает равенства
Ци) == d { 111 а (и) == с( « 11 » )
11 cr 11
(3)
-iИ
(J ( ) Y' ( ) a'2(1I) aH(1I)a(1I)
п11 ,-11 . (
cr ll)
(4)
Таким обра3G:\1, мы получили выражение ФУНКИИИ Ц1l) и К;} (11) через
цеJIУЮ функиию 0(11). В частности, заметим, что равенства (3) и (4)
.дают пре.n:cтавлеиие мероморфных функций С (11) И f-i (11) В виде ОПIO
Шения целых ФУНКЦИЙ.
180
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. I
Познакомимся со свойствами ФУНКЦИИ а (11).
11з равенства (2) и И3 формулы (1) 11 получаем равенство
( ) { н4 нО 1 {1 4111 ( ) /I" \1,2 ) }
а 11 II ехр С2 12 С3 ;ю . . 'f 11 II +' 11 I 2! +\ (11 .,. ·
r.n:e (5)
со
'.]5 (11) === Сп 112п .4.
..... 21l (21l 1)
п 2
Так как по теореме 3 7 коэффициенты С 2 ' С3' ." являются MHoro
членами от величин g2 и gз, приче 1 коэффиuиенты этих мноrочленов
раниональные числа, то справе.n: лива
Т е о р е м а 1. Разложе1ше целой футСЦ1111 а (11) В ряд по Cl1lene
НЯ.ll и ll.lleem Вl1д
а (11) === II + k 2 ll" + /,з117 +. . ,.
(6)
zде 'lllсла ks являются .lfНОZО'lленаЯll от веЛll'lIIН g2 1/ g,1' nричеж
h"ОЭфф1lЦ11енты ЭI1l11Х ЯНОZО'lленов раЦ110нальные 'lисла.
11з формулы (6) не lе.n:ленно вытекает
Т е о р е м а 2. Футсция а (ll) не'lетная футсция 11.
Выясним, как меняется значение функции а (и), если значение /1
увеличить на перио.n: (о === тlШl + 11l2 Ш 2 функции SJ (и).
Как мы знаем, Ци + (О)===Ц11) ,'1), r.n:e 'I}===Ill(1j1 +т2'У12' Поэтому
И3 фОр lУЛЫ (3) сле.n:ует равенство
CI'(ll+Ы) CI'(ll) I
CI (ll + ю) CI (/1)"1 'I),
интеrрируя которое получаем, что lп а (11 (О) === 1п а (11) +. 'l}и + с или
а (и + (О) === Се 1] (и+ ) а (и).
Постоянную С еще нужно отыскать. С этой нелью положим в после.n:
ro ro
ней формуле 11 === 2 . Если число 2 не бу.n:ет цеЛЫ 1 перио.n:о м ,
т, е. если хотя бы O'n:HO И3 чисел тl' т2 бу.n:ет нечетным, то
С === CI ( )
CI( ) === 1,
ro
Если же "2 перио.n:.
/ Ю )
а \ + 2 обращается в
то после.n:няя формула неприменима, так как
нуль, В этом случае
CI' ( )
C === 1,
CI' ( )
14]
ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй ЧёРЕ3 (J (и)
181
поскольку функция е' (и) четная функция, и е' ( ) ::j::. о (все ну ли
функции е (и) простые).
Таким образом, доказана
Т е о р е м а 3, Пусть
<u == тl Ш1 + т ш , 1'1 == т (1/1 + т! 1j2
(тl и т2 целые числа), И_ltеет место равенство-
е (и + <u) == Ее (и) ехр (1'1 (и + - )),
(7}
zде Е == 1, если 'iисло <u/2 перtlOд, и Е == 1 в противно.М СЛУ'iае.
Так как число тl + т,! + тlт2 будет четным Tor.n:a и только
Tor.n:a, коrда четны и тl и т2> величину Е можно записать с помощью
формулы
E==( [)m]+m 2 +m]m 2 .
в частности, из теоремы 3 получае:н формулы
е (и + U)I)== е(и)ехр (1j1 (и + ;] )), J
е (и + Ш ) == е (и) ехр ( 1j (zz + i )) .
И3 этих формул можно в свою очередь обратно получить формулу (7)..
Рассмотрим еще ОТНОlllение
(8)
cr (ll Ь)
ер (zz) == cr (ll а) ,
rде а и Ь две произвольные постоянные. И3 формулы (7) сразу
получаем равенство
ер (и + <u) == ер (и) еч(а Ь).
(9).
14. Выражение эллиnтичеСI<ИХ ФУНI<ЦИЙ через ФУНI<ЦИЮ е (и)
Пусть / (и) произвольная ЭJIJIИптическая функция порядка r
(с периодами Ш1 и ш ), И пусть Ь 1 , Ь 2 , ,.., b r полная система нулей
этой функции, а аl' а2' ..., G r IIOJlНая система ее ПОJIЮСОВ, По.
теореме 5 5
а 1 + а2 + . , . + G r = Ь 1 + Ь 2 + ' , , + Ьт'
Без оrраничения общности можно считать, что .n:аже
аl +а2 +...+a r ==b 1 +Ь 2 +. ..+b r
(1)-
(.n:ля этоrо достаточно заменить одну И3 точек a s или b s на выбра!I
ную на.n:лежащим образом конrруэнтную точку),
182
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(fn. l
Покажем, что при выполнеНllll УСЛОВlIЯ (1) фунтеЦllЯ
P(и)== a(a bl)a(a b2) ... а (u br)
а (и al) а (и a2) н. а (и aT)
и.меет перlюды Шl и Ш . Действительно, в силу формулы (9) преды
душеrо параrрафа и условия (1)
F(ll + ro)==F(ll)exp {1'1 (аl Ь 1 ) +... + 1'1(a r b r )} == Р(и).
Далее, ФУНКЦИЯ F (и) имеет те же нули и те же полюсы, что и
ФУНКЦИЯ I(ll). Следовательно, ОТНОlllение этих 'n:BYx ФУНКЦИЙ равно
постоянной (как эллиптическая ФУНКЦИЯ, не имеlOшая полюсов).
Поэтому справе.n: лива
Т е о р е м а 1, Любую ЭЛЛllтnll'iес1СУЮ фУН1Сцию {(и) можно
предстаВll1nЬ в виде
[(и)== с '3 (и bI) ,.. а (а br) .
а (и al) ...а (/1 ar)
Здесь С пОС1ll0янная, Ь 1 , Ь 2 , . .., b r полная система нулей фунте-
1{l/ll /(и), а аl' а2' ..., a r полная система ее полюсов, npll'ieM этll
.сиС1l1еАСЫ выбраны та1С, 'iтобы выполнялось условие (1),
В качестве примера рассмотрим ФУНКЦИЮ
f (и) == 8;) (11) 8;) (v),
r.n:e v пронзвольное число, не равное периоду. Выбрав полные
.системы
Ь 1 ==v, Ь 2 == v; аl == О, а2 == О,
получим, соrласно теореме 1, равенство
(;) ( ) 'J ( ) c a(u+v)a(u v)
О 1/ О V а 2 (и)
Для отыскания постоянной С умножим обе части этоrо равенства на
.1l2 и перей.n:ем к пре.n:елу при и ---+ О. Это даст
1
l==Ca(v)a( v), C== a2(v) '
Тем самым доказана
Т е о р е м а 2. Для любых двух значений и II v сnраведЛllВО
равенство
S\)(ll) SJ(V)== a(utv)a(u v)
а 2 (и) ,,2 (v)
(2)
И3 равенства (2) леrкО получить еще O'n:HO цоказательство Teo
ремы 3 6 о том, что равенство ;) (и) == t? (v) возможно ЛИlllЬ В слу-
чае, Kor.n:a II V или коrда II = v. (За:\lетим, кстати, что И3 этоЙ
теоремы немеДленно вытекает, что все периоды функции S\) (и) имеют
ЕИ'n: ro == тlШl + т Ш2' l'де 1111 и т2 ueJlЫe числа.)
15]
ФУНJ<ЦИИ (и), Ь (и), а (и) КАК ФУНКllИИ от (i)I, Ы,
183
Взяв лоrарифмическую произво.n:ную от обеих частей формулы cп
мы при.n:ем к уже доказанной в 12 формуле
J ;J' (1;; ( ) == (и +v) + С(и v) 2 (и)
! ll - V
(И3 нее была получена TeOpe!lla сложения JJ:]IЯ ФУНКЦИИ С (11».
РаздеЛЮf теперь обе чаuи равенства (2) на и v И ПОЛОЖИМ
V и. После перехо.n:а 1{ пределу ПOJIУЧЮl равенство
1;)' ( ) " Ои)
и ,,4 (и) .
С .n:руrой стороны, по фОр!lfУJIе (4) 13
1;) ( ) == ,,'" (и) "Н (и) " (и)
и ,,"(и)
Дифференцируя последнюю формулу и сравнивая ее с формулой (3)
подучаем ФУНlщионалыюе уравнение .n:ля функции а (и)
а (2и) == а (и) {2::{З (и) Зо (и) о' (и) аН (и) + а 2 (11) а'" (и)}.
(3)
в заключение получим еще 0ЛНУ формулу, выражающую фушщию
f-J' (11) через функцию о (и). В03ЬМбl следующие полные системы нулей
и (ЮJIЮСОВ функции ;)' (и):
'"]
Ь 1 ===2'
Ь 1'), I 102
2 2 '
ь 102 .
2 2'
аl === О, а2 === О, аз === О.
Тоrда по теореме 1
( 10] ) ( 10, r- ,"" \ ( 10" )
" и " 11 L- . - ) " и ...=
2 \ I ') ')
KJ' (ll) === 3 ( ) . с.
" и
Для отыскания постоянной С умножим обе части 3TorO равенства
на иЗ и перей.n:е:н ({ пределу при II О. Это .n:acT сле.n:ующее 3Ha'le
ние постоянной с:
2
с=== ( ) f L ) ( ) .
cr , Ы 1 ( W 1 I Ы ':I)
\2 ", 2 "2
15. ФУНlЩИИ Р (и), Ци), о (и) нан ФУННЦИИ ОТ ш(, Ш9
По сих пор мы rОВОРИJIИ о свойствах функций К;) (и), С (и) и а (и),.
СЧитая периоды шl и Ш 2 за.n:анными фиксированны:ни числами, с ОТ1Ю .
lllением W2/WI' имеюшим ОТJIИЧНУЮ от нуля мнимую часть. Сеич<:с
Скажем неCJ{ОЛЬКО слов о зависимости этих функций от периодOl
W, и ш 2 . Чтобы подчеркнуть зависимость наших функций от Ilериодов
БУ.n:еlll пользоваться обозначениями
А;) (и; шl' wJ, С (и; шl' wJ, о (ll; шl' шод.
184
ДВОЯКОПЕРIIOДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл, I
И3 равенства
1 ' ( 1 1 \
ff(ll; шl' Ш2)=== и2 + """ (и (()2 (()2 )' (1)
<:Jпре.n:еляющеrо функцию () (11; Шl' ш 2 ). ВИДНО, что эта ФУНКЦИЯ
однородна с показателе.Аl однородност11 2 (как функция трех
переменных). т, е. ЩIЯ ПрОИ3ВОЛЫIOI'О числа л =F О имеет место
равенство
() (Л11; лUJ 1 . лUJ 2 ) === л 2 J (и; Шl' (2)'
(2)
И3 соответствующих формул .n:ля функций Ци) и а (и) видим.
что
ЦЛ11; ЛUJI' ЛUJ2) === л 1 Ц 11; Шl' ш 2 ). }
а (ли; ЛUJl' Л(2) === л а (и; Шl. Ш2)'
-С,lIедоватеJIЫIO. имеет место
Т е о р е м а 1. Функциll J, . а ктс ФУНКЦ1111 трех переменных
11. Шl' Ш2 являются однородНЫМ11 фУЮСЦ11ЯМ11 С показатеЛЯМll
-однородности, раВНЫ.llll соответственно 2. 1. 1.
(3)
Таким обраЗ0М, функции
gJ (11; Шl' Ш2)' (и; шI. UJ.j). " (и; шl' (2)
MorYT быть сведены к функциям 'n:BYx переменных. Действительно.
1
,положив в равенствах (2) и (3) л === -;;;-'. получим
1
() (и; Шl' ш.) === ш2 () ( . 1. 002 )
. 1 (i).' 00 '
]
(и; ) v ( U 1, (02 )
шl' Ш2 === UJ ll. ; (1)1 '
<01
а (и; ш 1 . 1 ( u 1. (02)
ш.)=== а\ '
(i). (i)1 ' (i) .
]
'{)TKy.n:a ви.n:нО. что наlllИ функции являются функциями 'n:BYx перемен
ных 1l/Ш 1 и Ш2/ Ш l'
Рассмотрим еще вопрос о том, Kor.n:a имеет место равенство
SJ (и; шl' Ш 2 ) === () (и; ш;. ш ). (4)
.справедливое при всех значениях и. Иными слова:ни. КО2да ФУЮСЦllЯ
Я J (и), построенная по перZlOдам ШI II Ш2' совпадает с функцией
SJ (и). построенной по пер110да.А! ш 11 ш ?
Очевидно. что для совпа.n:ения 'n:BYx () Функций необхо.n:имо и
достаточно. чтобы совпадали их полюсы (r лавные части тоrда COB
па.n:ают автоматически). Для этоrо, в свою очере.n:ь. необхо.n:имо и
.достаточно. чтобы множество точек
ш === тlШl + т2 Ш 2
(5)
15]
функции g.> (и). (и), (J (и) КАК ФУНКЦlIII ОТ 00/, 002
185,
(тl и т2 любые целые числа) совпа.n:ало с множеством точек
ro' === т ш + т ш
(т; и т любые целые числа).
Пары периодов (шl' ш 2 ) и (ш , ш ), .n:ля которых множества (5) и
(6) совпадают, будем .n:ля краткости назьшать ЭКВZlвалентНЫДll,
Из проведенных выше рассуждений следует
т е о р е м а 2. Для справедливости равенства (4) необходzuю
II достаточно, чтобы пары периодов (ш 1 , Ш2) lZ (ш , ш ) БЫЛZl
8КВZlвале нтны.
Докажем сейчас простой и леrко проверяемый критерий эквива .
ленпlOСТИ 'n:BYX пар периодов.
т е о р е м а 3. Пусть 1т '02 *- О.
(0)1
II только mozaa эквивалентна паре
(6)
Пара периодов (шl' ш 2 ) тО2да.
периодов (ш , ш ), КО2да
ш === аШ 2 + шl'
ш === 'Ш2 + ОШl'
2де а, , " о целые Чllсла, удовлетворяющие условию
ао , === +-- 1. (8),
Для удобства изложения обозначим через w вектор с компонен
тами ш 2 , шl' Tor.n:a условие (7) 0значает, что ;J === A rде А цело .
численная матрица ( ), а условие (8) 0значает, что det А === +-- 1..
Докажем сначала .n:остаточность наlllИХ условий. Для этой цели
заметим преж.n:е Bcero, что матрица A l, обратная к целочисленной
матрице А, тоже целочисленна, если det А === +-- 1. Поэтому имеет
место равенство -;;; === A l ', r.n:e A l целочисленная матрица, т. е.о
справе.n:ливы равенства
(7)-
, ' + (:1' ,
Ш2 === а Ш 2 t' ш 1 ,
(9)
шl === уш + о'ш
(а', ', ,', о' целые числа). И3 равенств (7), очеви.n:но, вытекает,
что каж.n:ая точка множества (6) принадлежит множеству (5), а из
равенств (9) что каждая точка множества (5) прина.n:лежит IIПIO
жеству (6). Поэтому множества (5) и (6) совпа.n:ают и пары периодов
ш 1 , Ш 2 И ш , ш эквивалентны,
Докажем теперь необхо.n:имость наших условий. И3 совпа.n:ения
множеств (5) и (6) следует, что равенстпа (7) и (9) имеют место
с некоторыми целочисленными коэффициентами (поскольку точки ш
И ш должны принадлежать множеству (5), а точки шl и Ш2 MHO
жесТlJУ (6». Остается показать, что выполнено условие (8). Для этой
цели заметим, что условия (7) и (9) можно записать в ви.n:е
ro' === А ro,
ro === А 1 -;;;'.
О rс\{ща сразу видно, что А и А 1 обратные матрицы, т. е. чт().
186
ДВОЯКОnЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл, I
( 1 О,
АА. == О 1). При перемножении матриц их определители lIеремно
жаются, так что det А . det А . == 1, Но опре.n:елитель целочисленной
1\Iатрицы целое число, Следовательно,
det А == det А' == I 1,
и теорема доказана.
Ясно, что теорема 2 остается в сил , если равенство (4) за'\1енить
аналоrичным равенством .n:ля функциЙ (и) или а (ll). llействителыlO,
наlllИ рассуждения вполне примеНИlVJЫ не только 1< полюсам функции
j'J (ll), 110 И К полюсам функции Цll) или К IIУЛЯМ функции а (и).
Периодичность функции ;) (ll) В lIаших рассуждениях роли не иrралэ_
Заметим еще, что ФУНКЦИИ
;) (ll), (ll), а (ll)
МОЖIIО рассматривать как функции lIнвариантов g и R-З (а не перио
дов Шl и (1)' Действительно, мы видели, что коэффициенты разложе
ния этих ФУНКЦИЙ в окрестности точки II == О являются мноrочленами
СТ g1 и gз, так что задание этих величин полностью опре.n:еляет функ
ции ;), , а, При этом величины
' 1 ' 1.
g2 == 60 0)" gз === 140 0)6
(ffi == mJwl + lIl Ш )
(1 О)
не меняются при замене пары периодов W 1 ' ш.! на эквивалентную
пару ш;, ш , т. е. величины g2 и gз Иlшариантны относительно выбора
периодов, определяющих O'n:HY и ту же ФУНКЦИЮ ;)(ll).
Очень интересен вопрос о том, можно ли значения g2 и gз за.n:ать
произвольно, чтобы существовала функция А;) (ll) С ЭТИ:VIИ инвариантами?
Иными словами, 'n:JIя любых ли значений g.! и {f.1 уравнения (1 О) имеют
реlllения Ш. и Ш2? Этот вопрос будет подробно исследован в rJI. 4.
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ rЛАВЫ 1
. I I ' {! U \ ( U и" ' )}
с (и) == U . 1" 1 ю) ехр О) + 20)" ;
1; и) == 'f I== с' (11) . I
(. u+...lll o)+O)+O) j с(и)' } (1)
. 1 ' { 1 1 } . d ( "'(II)\ j
j;) (11) == и" + (и ю )" 0)" == 1; (11) == du ,,(и) J
(О) == 1111"'1 + 111"(02)'
а (и) == 11 -i k"u 5 + k,,1I 1 + k,u 6 -l. ", ; )
1 С.,,, С.,. С, 1 I
1;(1I)==и з II" 5U. 711 ...; > (2)
;) (и) == " + С"I1" .+ СЗU' + Сl116 +,.. j
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ rЛАВЫ I
lА7
3песь числа С 2 , С з , С4"" МНОI'очлены от g2 и g" С положите.1ЬНЫМИ рацио
IlаЛЫIЫМИ коэффициентами, а числа k 2 , k", k,,,... мноrОЧ.1ены от g2 и gз
С рациона.1ЬНЫМИ (но уже не обязательно по.lОжите.1ЬНЫМИ) коэффициентами.
1 1
С 2 == 20 g2' С" == 28 g,,;
"\1' 1
g2 . 60, 4 ,
... о)
д == g 27g ;
1 1
k 2 == 240 g2' k" == 840 gз.
"\1' 1 . }
g" 140 .:... 0)'"
e1==r (' t ), C2==r( 'O' t'02 ), сз==r( 2 );
')] == 2 (';' ) , ')2 == 2 ( ;2 ) ; J
')]"'2 ')2'0] == 2ni.
(3)'
f'2 (а) == 48;)" (и) g28 J (и) g,,; }
8\)'2 (и) == 4 (r (и) С 1 ) (Р (а) е 2 ) (Р (и) е,,); t
1 f
8;)" (и) == 68\)2 (а) 2 g2; J
р (и +0) == Р (и);
С (и +0) == (11) +1);
с(и+Ы)==О(II)еХ Р {1)(и+ )};
(i) =::: т t (t)l т <02;
1) == т,'1. +-lll2')2;
Е == (_ l)т]-r т 2+ т t т 2.
(4)
I
I
I
J
(5)
J cr (а + v) cr (и v). 1
r (и) 8 (v) а" (и) а 2 (v) ,
t (и + v) + С (и v) 2 (и) == fJ (l ' t (v) ;
. 1 r' (u) r' (v)
С (и + v) (и) С (v) ==:l А;) (и) fJ (v) ; I
r (а +- v)== r (и) 8;) (v) --1 ..!.. ( 8\)' (и) r' (V» ) 2 I
, 4 \ А;) (и) r (v) .)
(6)
Выражсние ЭЛ.1ИlпичеСЮIХ фунюlИЙ f (и) с периодами '01 и '02 через 8\) (и),.
с (11), cr (и):
f c cr(u bl)cr(u b2)...cr(u br)
(U)=='cr(u a])cr(u a2)...cr(u ar) ./
(a1+-a2+...+ar b]+b2+-...+br), t(7)
f(и) ==с+ {АС (и a) + A' ' (и a)+-,..+A'''I' {H' (и a)}; i
{(и) == R (8\) (а), 8 J ' (а» == Я 1 (8\) (а» + AJ' (а) Я 2 (Л J (а». )
rлава вторая
ТЕТА ФУНКЦИИ
Эллиптические функции, изучаВlllиеся нами в rлаве 1, можно
пре.n:ставить с помощью очень быстро схо.n:ящихся рядов, которые
называются те та фу Нlсциями,
1. Ряд Фурье для периодических целых функции
Пусть <р (и) целая ФУНКIlИЯ с перио.n:ом (j) *- О. Рассмотрим
'функцию
I ( У ) ( ,О I V )
)J " <p 2 . nl. .
\ 1t1
Функция In (любая ветвь) реrулярна в окрестности каждой точки,
отличной от точек 1: == О и 1: == 00. Поэтому, cor ласно теореме 1 О
I'Л. 3 ч. 1, ФУНКIlИЯ Ф ( ) также реrулярна в окрестности каж.n:ой
точки, отличной от точек 1: == О и 1: === 00. Кроме Toro, функция Ф ( )
однозначна, так как мноrозначностЬ лоrарифма компенсируется пе
рио.n:ичностыо функции <р (и). Сле.n:ователыlO, функция Ф (1:) реrулярна
(в частности, о.n:нозначна) во всей плоскости, за исключением точки
==O, т. е. в кольце 0<11:1<00. По теореме Лорана (см. 7 rл. 5
,<, 1) ФУНКЦИЯ Ф ( ) разлаrается в ря.n: Лорана
се
ФЮ== Cn n,
ce
равномерно сходящийся в любом кольце р 11:1 R, р > О, R < 00.
Возвращаясь к функции <р (и), немедленно получаем, что эта ФУНКЦИЯ
разлаrается в ря.n: Фурье
00 21ti
<р(и)=== сnеw1Ш, (1)
ce
равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости (поскольку
'}.1ti
и
В любой конечной области тin I е '" \ > О, а
для и, лежащих
21ti
u
тах i е (JJ I < 00). Тем самым доказана
2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ
189
т е О р е м а 1. Любая целая фУН1СЦ11Я <р (и) с перТlOдом 00 *- о
раЗЛа2ается в ряд _ Фурье (1), равномерно сходящийся в любой
конечной облас fП11.
2. Обозначения
Мы будем рассматривать функции от переменной 11 и перио.n:ов
001 и Ш2' O'n:llaKO нам будут удобны несколько иные обозначения.
-Именно, будем ИСПОJIЬ30вать .величины
00, ш', 't, h, 1j, 1j', v, Z,
определенные равенствами
] ,]-
ц) === 2 шI; ш === т Ш2;
] ,]
14 === 2141; 14 === Т 142;
СООПlOlllение Лежаll.n:ра
принимает пи.n:
't ш' Ш 2 . h === ехр ('/ti't);
(J) (i)1'
11 . ) ( 1till )
V === 2'0 ; z === ехр (-;r;lV === ехр , 2ш .
(см. 11 rл. 1) в новых обозначениях
, , 1ti
l4Ш 1Jш==т'
(1)
Величины 001 И 002 (т. е. шиш') бу.n:ем считать выбранными таким
обраЗ0М, чтобы
1т 't > О. (2)
Как HeTpY'n:Ho убедиться (рис. 40), условuе (2) означает, что точка
w 2 лежит с той же стороны от прямой, соедuняющей точкu
О 11 001' что u точка iШl' llpyroe раВНОСИЛЫlOе условие: последо
lJательность Вершuн О, шl, [ш,
wl + Ш2. Ш2 определяет поло
житель ное направле1il1е обхо
да 2раюlЦЫ параллеЛО2ра_-ltAta.
При выполнении условия (2),
очевидно, имеем неравенство
1 h 1==1 e n ;' 1== е-те 1т, < 1.
Добавим еще, что по.n: сим
ВОлами h P и zP мы, pa3YMeeT
ся, бу.n:ем понимать значения
ехр ('/ti'tp) и ехр ("/tiv.p) cooтneT- О
СтвеНIIО.
/J
(О, +ш,;,>
а
Рис. 40.
ш,
Нам придется писать суммы и произведения весьма rромоз.n:ких
выражений. При этом становится ценным любое сокращение, Будем
иноr.n:а обозначать через 91 1 множество положительных lIечетных
ЧИсел, а через Эl 2 множество положительных четных чисел, т. е.
Э/ 1 == р, 3, 5, .. .},
l)/2 === {2, 4, 6, .. .}.
190
ТЕТА ФУНКЦИИ
[rл.2
в этих обозначениях, наПРИi\lер,
со
Сп === C k+l'
nE91 1 о
о::>
П С т === П C k'
т Е 912 1
3. ФУНlЩИЯ &1 (v)
НаПИlllем в новых обозначениях формулы, связывающие значения
функции а (и) в точках 11 и u + Шl (ИЛИ и и 11 + ш ). Cor ласно фор
муле (8) 13 rл. 1 имеем
а (и + 2ш) === e т. (u+",) а (и), а (11 + 2ш') === e т.' (ll+UJ') а (и).
Определим постоянные а и Ь таким обраЗ0М, чтобы фушшия
<р (и) === еattЧЬu а (и)
имела период 2Ф.
Первая И3 формул
'f (I t 'O) === ехр {2 (2аш + 1J)(U + ш) + 2Ьш},
Ф (и I 2'0') }
. 'f (а) ехр {2 (2аш' + 1J') (и + ш') + 2Ьш'
показывает, что можно взять
а === "L
2ш'
1ti
Ь === 2ш '
И3 второй формулы с учетом соотношения Лежандра (см. фор
мулу (1) 2) МЫ ВИДИМ, что при выбранных знзчеllИЯХ а и Ь имеет
место равенство
-::i1l
Ф(Il I 2(U') { 1ti , .Ш' } 1
=== exp (U+Ш)+'r.1 === e о, === .".
'f (и) Ш (U Z"
Тем самым докзззна
Т е о р е м а 1. Функция
а2 7Ciu Тjlt 2
t' (и) ===" (и) ехр { -;; + 2 } } === za (и) е 2"'
(1)
удовлетворяет соотношснияAt
l' (и + 2ш) === ер (и), 'f (и + 2 ш ') === " t' (и).
(2)
Поскольку f (и) llелая ФУНКllИЯ с периодом 2ш, мы можеi\l,
cor ласно TeOpei\le 1 1, рааложИ1Ъ ее п ря.n: Фурье
сп
'х>
",Еl'
{ 21ti/l }
f (и) === l. Аn ехр п 2", ===..: Anz.n
о::> o::>
(z === е UJ ).
3]
фуНКция , (v)
191
Ло.n:ставив этот ря.n: во второе И3 уравнений (2), получим равенство
00 00 00
! Anz211h21l == ер (и + 2ш') == ! AllZ2n 2 == ! А,Ч_1z21l.
п co п=== oo п=== oo
Сравнивая коэффициенты, получаем систему равенств
А1l+1 == I z 2 1l A ll ,
.справе.n:ливых при любом Ilелом значении n. Эти равенства можно
записать в виде
( 1 ) 2 ( 1 ) 2
( I)п+llz n+-'.! All+I==( l)llh n- 2 А 1l ,
Левая часть последнеrо равенства получается И3 правой заменой
qисла n на n + 1, так что это равенство 0значает, что величина
( 1 ) 2
( I)n Iz 1l 2 An
имеет O'n:HO и то же значение при всех n. Обозначая эту величину
'Через Ci, получаем .n:ля фУНКIlИИ ер (и) формулу
ro ( 1 ) 2
ер (и) == Ci ! ( 1)n Iz n 2 Z21l
n=== oo
(С постоянная),
Таким обра30;1J, мы выразили фУНКIlИЮ ер (и) через функцию
{}1 (v)==i ! ( I)n Iz( 2n2 I Y Z21l 1. (3)
п=== oo
с помощью формулы (1) нахо.n:им выражение и .n:ля фУНl<uии 0(11):
] "IU2 и"
а (и) == ер (и) ехр - 2 - == С{}I (v) ехр + ) .
Z (u Ю
Для отыскания постоянной С раз.n:елим обе части после.n:неrо ра-
:венства на и == 2mv и положим и О, Это .n:acT нам
1 == С {} (О)
2",
Окончательно
2", "Iu"
а (и) == {}; (О) {}I (v) ехр 2,-;;--
( V == !:-I . .
'"
(4)
с помощью обозначений, BBe.n:eHHhIx n конце :l, можем записап,
jJJЯ'n: .n:ля функции {}I (v) нешолы<о иначе:
ПоС\(олы{у
'+1 .2
&J(V)==i ( 1) 2 /zi (z' z ').
'Е!)1,
z' z '==: e=:i.v е - ",.v == 2i SIП 'it'lV,
193
ТЕтА ФУНКЦИИ
[rл.2
мы можем преобраЗ0вать этот ря.n: еще HeMHoro и написать
v l ,,2
&1(v)===2 ( 1)211r; sin 'I'C'IV,
, E9 1
(5)
Функцию &1 (v) наЗ0вем nервоЙ mеmа фУНКЦl1еii, а опре.n:еляющий
ее ря.n: (как в форме (3), так и в форме (5)) nервыя 11lеmа рядоAt.
Функция &1 (v) зависит не толь]{о от перемеllНОЙ v, но и от величины 't,
Если нам пона.n:обится по.n:чеРКIlУТЬ это обстоятельство, мы бу.n:ем
вместо {}1 (v) писать &1 (v; 't).
4. ФУНКЦИ И 0"1 (11), 0"2 (11), 0"з (11)
}{роме функции &1 (v), BBe.n:eM еще три тета функции, которые свя
заны с вве.n:еннымИ Вейерштрассом функциями 0"1 (11), 0"2 (11) И о"з (11)
так же, Еак функция &1 (v) связана с ФУНJ{цией о" (11), Опре.n:елением
этих функций 0"1 (11), 02 (11) И 0з (1l) мы И займемся в первую очерt:'n:Ь.
Заменим в равенстве
Ю ( ) Ю ( ' ) o(и+и')o(и и')
O 11 O 11
02 (и) 02 (и')
число 11' полуперио.n:ом ш === mш + т' ш' (хотя бы O'n:HO И3 чисел т,
т' нечетно). Tor.n:a получим
(11) 8 ;} (ш) === о (и + ,й) а (a ,й)
02 (и) 02 ("')
Так как
0(11 + 2ш)=== о (11)е 2 ';) (u+wj
(1\ === mYj + m'Yj'),
то, заменяя 11 на 1l ш, получаем
о" (11 + ш) === о (1l ш) e2 u,
и сле.n:овательно, написанная ВЫlllе формула принимает ви.n:
8 J ( ) 8 J ( ) === { e-r:110(u w) } \!
II ш а (11) О (ю) .
Возьмем ДJ1Я ш значения
(1)
1
ш === ш === 2"" Ш1'
ш=== ш + ш' ===.}(шl + ш ,
, 1
ш === ш === "'2 ш\!,
5]
функции О, (v). 0.( v). о. (v)
193
и обозна'lИМ
о (и) === eYJU " (,,, а) 1 1
' ,,(ш) ,
О (и)=== e(YJ+YJ')1l ,,(ш+ш' U) t
2 ,,(ш+ш') , (
о (и) === eYJ'U ,,(ш' -: и) I
з " (ш ) }
Tor.n:a равенство (1) .n:aeT формулы
р (и) е, === { "] (а) } 2 t
" (и) ,
Б.J (и) е2 === {": i ; Y, I
Р ( и) е === { (U) } 2
з " (и) , J
И3 этих формул ви.n:но, в частности, что ФУНТЩ1111 БJ (и) ek l1МеЮl1t
толысо двукратные нули и двукратные полюсы.
(2)
(3)
Ясно, что фУНКЦllll о, (11), 02 (и), О" (11) являются цеЛЫАtll ФУНК
циЯМll. HeTpY'n:HO убе.n:иться, что ОНll являются четНЫМll фУНК
циЯАtll, так как функuия о (и) у.n:овлетворяет СООТНОlllению
о (и + ш) e illl === О (и ш) eiJll.
}{роме Toro, И3 равенств (2) сле.n:ует, что
о, (О) === 02 (О) === О" (О) === 1.
Перемножив равенства (3) и ЕОСПОЛЬЗ0ваВlllИСЬ дифференциальным
уравнением JJ:/1Я Функции Б'J (11), получим
{J'2 ( ) === 4 "1 (и) ,, (и) ,, (и)
о и ,,"(и)
И3 этоrо рапенства, принимая во внимание, что 01 (О) === 02 (О) ==
== 0:\ (О) == 1, а о (О) === О, о' (О) === 1, нахо.n:им
К}' ( ) === 2 ,,] (и) "2 (и) "" (и)
о и ,,3(а)
5. ФУНКЦИИ {}2 (v), {}з (V), {}о (V)
ИЗ формулы (4) 3, КОТОРУЮ у.n:обнее бу.n:ет заШlсать в виде
u2
o(и)===Ce 2.;;{} ( \
, 2ш J'
r.n:e С некоторая постоянная (т. е. число, не зависящее от V, но,
1.I03МОЖНО, зависящее от 't), леrко получить анаJIOПl'llIые выражения
через {}, (v) функuий О, (и), 0i\ (и), с з (и).
7 А, rУРВIЩ. Р. КураllТ
194
ТЕТА ФУНКЦИИ
(rJI.2
Обозначив, как и в пре.n:ы.n:ущем параrрафе,
+ "
ш== fпш m ш.
+ "
'1j==m'fj m'fj,
получаем сначала формулу
_ a(' ) U) С {} ( ';' U\ { (ю u)2 }
eYjll а (",) == а(ю) 1 jexp '1ju+'fj 2", .
И3 этой формулы, ИСПОJlЬ3УЯ соотношение
( + " ) ( + " ) ,1ti
'1jш 'fjш == fJl'fj m 'fj ш 'fj 1/1Ш т ш == т 2 '
с помощью неСЛОЖIlЫХ преобрааований получаем формулу
ч ( ,;, 11 ) {YjU2 . и }
С&I 2 ехр \ < ) + ('1jш "fjш) ==
ffi t Ы ffi
C ' m'" ( 111 + т' )
z иl:2 T't V ,
C.;jll а ("' а)
а (ш)
(1)
r.n:e С некоторая .n:руrая постоянная. Полаrая теперь
(д === Ш,
+ '
ш==ш ш,
,
Ш:::=:::Ш,
получаем И3 формулы (1)
0"1 (и) == С 1 &I ( v' ехр { 2 } )
2 j 2",'
0"2 (и) == C2Z I&1 С +- v) ехр {1 }, }
. 1 ! 't ' ) { YjU21 I
о"з (и) == Сзz &1 \ 7 v ехр 2;;; f' J
COrJlaCHO формулам (3) и (5) 3, опре.n:еляюш.им функцию {}1 (v),
имеем
( 1 ) I 1 ) СО) ( 211 . 1 \2
&1 2 V == &1 \v 2 == i ( 1) 1I h J ( iZ) /H==
co
со ( 1 ) 2 .,
== h Z 1I. 1 == 2 Iz.'( COS'itvv.
co '( Лl
(2)
1
При заменР. v на v ; величина z заменяется величиной zh '2
Поэтому
со ( 211 1 ) 2 211 1
" ( 1 +- ': . ) " I . ' l 1I 1
иl 2 2 15 Z 1 Z
-со
I со 1 со
===h. 4 z h(1I 1)2z n 2==h-4 z hn2z2n.
ro
6]
СВОДКА ФОРМ.УJI
195
]
Заменив в последней формуле v на v + 2 (при этом z заменяется
на iz), получим
' ) I m
&1\2 v ===Iz 4iz L( l)nh n2 z 2n .
ш
Тета фушщии &2 (v), &з (v) и &0 (v) опре.n:еляются равенствами
m ( 2" 1 ) 2
&2 (v) === &2 (v; "С)=== /z z2n 1 === 2 h 4 соsт;vv,
ш vE )11
V2
00 \12
&з (v) == &;1 (v; "С) == /zn"z2n == 1 + 2 Iz4 cos 7tVV,
ш v Е91 2
00 'v "
&0 (v) == &0 (v; "с) == ( 1)"lzn 2 z 2 n == 1 + 2 ( 1)2 h4 cos 'ltvv.
oo -Е91 2
Равенства (2) в этих обозначениях принимают ви.n:
( Yi U 2 )
0"1 (ll) == C j &2 (v) ехр 2", ,
( YiIl2 )
0"2 (zz) С 2 &з (и) ехр 2 '
( YiU 2 )
О"З (ll) == Сз&о (v) ехр 2 '
r.n:e С 1 , С 2 , С З некоторые новые ПОСТОИlшые. Отыскав эти постоян
ные, к3!{ и в 3, пре.n:ельным перехо.n:ом при II О получим OKOH
чательные формулы
32 (v) ( YiIl2 )
"1 (ll) == 32 (О) ехр 2 '
3" (v) ( YiIl2 )
0"2 (ll) == S" (О) ехр 2", '
( ) 3" (v) ( YiIl2 )
О"З II == 30 (О) ехр 2", .
Сводна формул
в этом параrрафе мы еще раз ВЫПИlllем формулы, опре.n:еляющие
все четыре тета фуНlЩИИ, а также формулы, связьшающие эти TeTa
фУНlщии с ФУНКЦИЯМИ и 0".
Лоrоворимся о сле.n:ующих обозначениях.
Произво.n:ные тета фУНlЩиj;j по l1еременной v бу.n:ем обозначать,
как обычно, штрихом; так, например, символом &6 (v) бу.n:ем об03l1а
чап, вторую производную тета-фушщии &0 (v) по переменной v.
7.
196
ТЕТА ФУНКЦИИ
[rJ1.2
Фун((u ию &0 (v) бу.n:ем обозначать также &4 (v). Это .n:acт нам В03-
мо)!{НОСТЬ объе.n:инИ1Ъ неСКОЛЫ{Q формул в O'n:HY.
И:\lеюТ место фор:\!улы
(j] ( 2n 1'2
&1 (v) == i ( I)nh )z2n 1 ==
co
\ 25
2h 4 " 2h 4 " 3 + 2h 4 . 5
== sш "v Ыl1 'ItV SШ 1tV . . . ,
&'},(v) == i: h( 2n:; l Yz2n 1 ==
"-Cд
1 9 25
== 2h 4 COS7:V + 21z4 coS31tv + 2h 4 COS 57:v +... . (1)
со
&з(v) == lzn"z'},"==
co
== 1 + 21zcos27:v + 2h 4 cos41tv + 21z 9 cos67:v +....
&o(v) == i:( 1)"/zn 2 z 2 n== I
co 1 2/1 cos 2т.:v + 2h 4 cos41tV 2h 9 cos61tv +...; J
2", (YjIl2 )
,,(и) == \\; (О) &1 ('1:1) ехр \ 2 '
\\/Нl (v) i YjlZ2\
"k (и) == \\ (О) ехр 1'))
k+l \ '" /
(1' 1, 2, 3). ]
(2)
Y ((' ( ) crk (11) I \\; (О) Sk+I (v) ]
d и е/
, cr (11) 2", \}/,+] (О) \}] (v)
(k == 1, 2, 3).
(3)
Равенства (3) определяют функu ии V (и) ek как о.n:нозначные
функuи и перемеl1НОЙ 11.
Дли значений &; (О) и &2 (о), &3 (О), &0 (О) имеют место разложения
1 9 25
&2 (О) == 2/11 + 2/z":1 + 2h 4 +,.. .
Па (О) == 1 + 2/! + 2/1 + 2h!' + . .. ·
&0 (О) === 1 2/! + 2Jz' 2Jl" +,..
\
\
}
(4)
1 J 25 49
& (0)==21t(JI4 3h'4 +5114 7J14 +..,).
7)
ОБОБЩЕнИЕ ПОНЯТИЯ ТЕТА ФУНКЦИИ
197
7. Обобщение понятия тета ФУНI{ЦИИ и зависимость
тета ФУНI{ЦИЙ от 't
Рассмотренные выше четыре
частные случаи более общеrо
ЭР:\ШТО:\I. Функция ер" v (v; 'с),
РЯ.n:О;\l
тета фуНlЩИИ представляют собой
понятия тета ФУНJ{ЦИИ, BBe.n:eHH01'O
вве.n:енная Эрмитом, опре.n:еЛЯltl;тся
СО
ep"v(v; "с)== !ехр{2т;iv(n+ )+Т;i't(n+ У+Т;i'tV}, (1)
co
r.n:e р. и '1 Ilроизвольные комплексные ЧИCJlа (параметр 't мы по-
прежне:V1У считаем у.n:овлетворяющим условию 1т "с> О). НеCl{ОJIЫЮ
ниже .n:окзжем, что 8р., v (v; "с) при любых р, и '1 является целой Функ-
пией переменной v, а пока выразим изученные ранее четыре тета-
функции через функцию 8р., v (v; "с).
Запишем ря.n: (1) в ви.n:е
со ( 2n+p. ) 2
Q (V ' "с) == е " v n lz ---т----- Z 2n +р. .
Up.,v,
co
Сравнивая ero с ря.n:ами, опре.n:еляющими функции 1 (v), 2 (v), з (v),
o(v) (см. формулы (1) 6), сразу ви.n:им, что
&1 (v) == i8 1 , 1 (v; "с),
&3 (v) == 80, (v; "с),
&2 (v) === 81. О (v; "с), }
&0 (v) === 80.1 (v; "с).
(2)
(При сравнении в ря.n:ах .n:ля &1 (v) И &2 (v) сле.n:ует заменить ин.n:екс
суммирования n на n + 1.)
Перей.n:ем '( иссле.n:ованию схо.n:имости ря.n:а (1), С этой целью
nре.n:ставим ero в ви.n:е суммы 'n:BYX ря.n:ов
со
/p.,v=== !ехр {2т;iV(n+ )+iт (n+ Y+iMV},
о
со
gp., v === ! ехр { 2т;iv ( n + i ) + т;i't ( n + ) 2 iт;nv}.
I
т е о р е м а 1. Пусть каждое из чисел [10, '1, V ле:JICllт в фlШ-
сuроватаюй конечной области комплексной плоскос/тl, а число 't
в фиксированной за.lrtкнутой части верхней nолуnлоскости. ТО2да
оба ряда 1р., v (v; "с) II gp., v (v; "с) абсолютно II paBHO.lrtepHO сходятся
по nepeMeHftbJM [10. '1. v, "с.
198
ТЕТА ФУНКUИИ
[rJI. '1
Если отбросить множитель, не зависящий от п и потому не
ВI1ИЯЮЩИЙ на схо.n:имость ря.n:а, то общий член ря.n:а /!,-" (v, "с) можно
записать в ви.n:е
ехр (iт.:'\:п 2 + iт.:Ап),
r.n:e .n:лн краткости обозначено А === 2v + '\:[1 + '1. Пусть
o min(Im'\:), 0>0
(минимум беретсн по всей оБJIасти измененин параметра "с, KOTO
рую мы пре.n:положили заМIШУТОЙ частью верхней полуплоскости
1т 't > О), а
M maxl't!,
М шаХ\[J.I,
м шах I v \,
М шахl '11.
т or.n:a имеет место оценка
\ ехр (т.:i'т 2 + "iA/1)\ e пl)n2 + пМn,
Т. е. pH'n: /!,-, . (v; "с) В выбранной обllасти измененин параметров р., v.
v, 't мажорируетсн числовым pH'n:O M
со
.NI 1 e 1ti '1n-1tl)n 2 ,
n o
который, очеви.n:но, схо.n:итсн (например, потому что 11 е пМn пl)n2 CTpe
J.\итсн к нулю при /1 ---+ ею). Отсю.n:а вытекает абсолютная и равно-
мернан схо.n:имоС1Ъ ря.n:а /!,-" (v; "с). PH'n: g!,-,. исследуетсн .n:ослоВlЮ
так же.
И3 теоремы 1 немеШIенно вытекает, что функцин 8!,-,. (v; -;;) бу.n:ет
целой функцией переменных [1. '1, v, а как функцин переменной 't
она реrулнрна в полуплоскости Iш 't > О. Произво.n:ные по всем этим
переменным получаютсн почленным .n:ифференцированием рнда (см.
10 rл. 3 ч. 1).
Леrко проверить непосре.n:стuеНI1ЫМ .n:ифференцированием pH.n:a, что
функцин 8!,-,. (v; "с) у.n:овлетворнет .n:ифференциаJIЫIOМУ уравнению
д" , д
Jv" 8!'-, . === 41tt д't EI!'-,..
в силу равенства (2) этому .n:иффереl1циалыlОМУ уравнению у.n:овлет
ворнет, в частноCl и. и каж.n:ан И3 четырех тет а-функций, иссле.n:ован
ных ранее.
И3 ря.n:а (1) ви.n:но, что функция EI!,-,. (v; "с) не изменится, если
заменИ1Ъ '1 на '1 + 2. Если же заменить [J. на [J. + 2, функция
EI!,-, . (v; "с) умножитсн на e 1ti.. Иными словами:
81
СВЯ3Ь ФУНКUИй t}k (v) МЕЖДУ СОБОй
199
ФУЮСЦllЯ 81'-,' (v; 't) удовлетворяет ФУН1сцион.альн.ы.!l! ypaBн.e
НllЯ_!!
8 fс ,.и(v, 't)=::::::ElI'-"(v, 't),
81'-+2, . (v; 't) =:::::: e 1ti'8I'-' . (v, 't), (3)
Можно получить и еще O'n:HO ФУНlщионаJlьное уравнение .n:ля этой
ФУНКЦИИ. Показатель общеrо члена ря.n:а .n:ля ФУНКЦИИ
81'- +1'-', . +.' (v; 't)
равен
2o.iv (п + f'-tf'-' ) + o.i't (п + f'--tf'-' )2 + o.in (.. + v').
Ero можно пре.n:ставить в ви.n:е
2o.i (v + V'1f'-'"C ) (п + ) + o.i't (п + )2 + o.inv +
'2 ,
+ . , + 1 f'- . f'-V
1t1[J< V 0."4 't 0.12"
Поэтому:
ФУЮСЦllЯ 81'-, . (v; 't) удовлетворяет ФУЮСЦllон.альн.О.lrtу ypaB
неНllЮ
el'- +1'-', .+.' (v; 't) =:::::: 81'-, . (v + ,,' ;/"C ; 't) ехр {o.if1'V + o.i f'- 2 o.i r;}.
(4)
иЛll, в дрУ?llХ обозн.ачен.llЯХ, Фун.l<Цllон.альн.О.lrtу уравн.ен.llЮ
,,/J.'2 . J.1.v'
( V + f'- "с ) , п,
81'-,' v+ 2 ; 't =::::::Iz 4 Z-I'- 81'-Т 1'-', .+.' (v; 't)e 2.
(5)
Функuиональное уравнение (4) позволяет выразить
е 1'-, v (v; 't) С Jlюбыми нижними ин.n:ексами через такую же
с любыми .n:руrими нижними ин.n:ексами, например через
во, о (v 1 , 't), ря.n: ЩIЯ которой имеет наиболее простой ви.n:,
Фушщию
ФуНIЩИЮ
ФУНI<UИЮ
8. СВЯ3Ь фУНКЦИЙ &k (v) между собой. Нули тета функций
И3 ФУНlщиональноrо уравнения (5) 7 вытекают, в частности,
формулы. ПО3ВОJIЯющие выражать .n:pyr через .n:pyra функuии
&1 (v), &2 (v), &3 (v), &0 (v).
Эти формулы ВЫПИlllем от.n:елыIo и раСПОJIОЖИМ в ви.n:е таблиuы,
I1риве.n:енной ниже.
Для краткости используем обозначения:
{ 1Oi"C }
т =:::::: Iz 4. Z 1 =:::::: ехр т o.iv ,
k =:::::: hlZ 2 =:::::: ехр { 1ti't 2o.iv}.
200
ТЕТА ФУНКЦИИ
[rл. z
Таблица преобразования тета ФункциЙ
\ v+! \ , \ v+ + i\ v+1 I v - 1: \ v+ 1 +, \
2 v+ 2 I
1 3. ;т . /113" ] k ] k ,
1). I)I т3 з ;/1I . I). kfJ. k'IJ2
3" 3. /113. ;/111)] 33 kl)" k3;,
3. 3" оп3] тl). 3. 'k{tu k .
Правила ПОЛЬЗ0вания этой таблицей таковы:
Таблица имеет 'n:Ba входа: наименование тета функции и значение
aprYMeHTa. В пересечении стоит выражение соответствующей TeTa
ФУНКЦИИ от соответствующеrо aprYMelПa через тета функцию с .n:py
rим номером, но с aprYMeHToM, равным v, Например, .n:ля нахож.n:ения
выражения
{}1 ( V + + )
смотрим в клетку, нахо.n:ящуюСя на пересечении первой строки
с третьим столбцом. Получаем формулу
&1 (v + + ; ) == т&з (v) == &3 (v) ехр ( "1' т;iv) .
Таблица нулей тета функций
к описанной таблице присое.n:иним еще O'n:HY, описывающую распо
ложение нулей тет а-функций &k (v) и
точек
I v \ z'
I
3] n+n'. /12n'
1 h2n'
1)2 n+n''t+ 2
33 '+ 1 't h2n'+1
n+n. 2+2
. 't h 2n '+1
n+n''t+ 2
Z === e 21tiv 5,
r.n:e V s соответствующие нули.
Соrласно формуле (2) 6 функ-
ЦИЯ &1 (v) имеет те же нули, что
и функция cr (11) == cr (2wv). Мы внаем,
что функция cr (Il) по построению
имеет нули в точках тl ОО l + т2 ОО 2'
Сле.n:ователыlO, функция &1 (v) имеет
ну JIИ в точках
п+п''t,
r.n:e п и п' любые целые числа.
Нули остальных функций {}k (v) леrко нахо.n:ятся с помощью
формул, записанных в nре.n:ы.n:ущей таблице. Результаты помещаем
в таблице.
9]
ВЫРАЖЕНИЕ el, е" ез ЧЕРЕЗ 'I}/< (О)
201
9. Выражение el' е2' ез через &k (О)
в формуле (3) 6 возьмем .D:JIЯ II значения (j), (j) + (j)', что COOT
J J u
ветствует значения:н 2 ' 2+2 .n:ля v== 2", ' Это .n:acT формулы
/" 1 &; (О)
11 еl ek == 2", &k+1 (О)
&k+] (+)
&] ( ) ,
J &; (О)
V е2 ek == 2", &k+] (О)
&k+l ( + + i)
&] ( + )
(здесь k == 1, 2. 3, а & (v) то же самое, что и &0 (v»,
В первом из написанных равенств положим k == 2, 3, а во BTO
роУ! k == 3, С помощью таблицы преобразования тета Функций, при
веденной в пре.n:ы.n:ущем паРaI'рафе. выражаем значения тета функций
I 1
в точках "2 и 2 +:2 через значения тета функций в нуле. В резуль
тате получаем формулы
1 &; (О)
V е2 е;! == 2", &0 (О) .
&" ( +) I &; (О) &0 (О)
&] (+) 2", &" ( O) S2 (О) ,
&0 ( +) I &; (О) &" (О)
& 1 ( ) 2", &0 (О) &2 (О) ,
&0 ( + + i) I &; (ОР2 (О)
&1 ( + _ ) 2", &0 (О) &8 (О) .
(1)
J &; (О)
V el е2 == 2", l\" (О) .
1 &; (О)
V el ез == 2", &0 (О) .
Э ти фор мулы определяют O'n:HO из значений KBa.n:paTHO!'O корня
V ",' '"
е s ek как о.n:нозначную функцию переменной 't == == 2, pery
(J) (1)1 ...
JIЯРНУЮ В верхней полуплоскости [m 't > о. Действительно, И3 фор
MYJ! (4) 6 ВИ'n:IIО, что величины &k (О) и &; (О) являются реrуляр
ны:\1И функциями 't В полуплоскости [m 't > О (так как при 1Пl 't > О
имеем i /11 == 1 е'ф 1< 1), Сле.n:овательно, интересующие нас корни
пре.n:ставляются в ви.n:е ОТНОlllения 'n:BYx реrулярных в полуплоскости
Iш -: > () функций. С 'n:РУI'Oй стороны, мы знаем, что величины ek
(а значит, и их разности) не обращаются в бесконечность.
202
ТЕ1А ФУНКЦИИ
(rл. z
Для получения формул, выражающих сами величины ek' запишем
равенство (3) 6 в ви.n:е
( 1 &;;+1 (О). ) 2
1 1+2 &k+1 (О) v +...
АО (2шv) ek === 4",. 1 1 &'" (О)
\ v+ 6 ; (О) v 3 + ,..
1 1 ( ' &;;+1 (О)
=== 4","v' 4",'" &k+\ (О)
С друrой стороны, разложение ФУНКЦИИ 8 J (и) в окрестности ТОЧКИ
О Ю ( ) 1 + 2 + .
II === имеет ви.n: о II u 2 с 2 и . . ., так чrо
1
8 J(2шv) еk=== 4 . . ek+ ,.,
"'v
1 &;" (О» )
"3 \\; (О) + .. .
Сравнивая эти 'n:Ba разложения .n:ля фУНIШИИ 80 (2шv) ek' мы видим.
что
1 ( 1 &;" (О) &';+1 (О) ,
ek === 4",' "3 &; (О) &k+l (О) ) .
СООТНОlllение е1 + е2 + ез === О приво.n:ит I( формуле
&;" (О) &; (О) + &; (О) + &;; (О)
&; ( О) &" (О) &, (О) &0 (О) .
И3 .n:ифференциаJIЫIЫХ уравнений для teta-фуНIШИЙ
д" д д З . д 2
дv. &k (v; -.:) === 4тс' д &k (v; -.:); дv3 &1 (v; -.:) === 4ТCl дv д-с &1 (v; -.:)
(2)
(3)
при V === О получаются равенства
8;; (О) == 4т.:' &k (О),
&;" (О) == 4тс' &; (О),
(4)
Используя эти равенства, можем записать формулу (3) в ви.n:е
] db; (О) 1 dtl 2 (О) + 1 dl\з (О) + ] dl\o (О)
&; (О) &2 (О) \\3 (О) &0 (O) '
ИЛII, после интеrрирования, n ви.n:е
& (О) == С&2 (О) &3 (О) &0 (О),
r.n:e С постоянная, не зависящая от -.:, Постоянную С JlerKO найти
с помощью формул (4) 6, По.n:ставляя в написанное равенство ряды
И3 формул (4) 6, получаем
2" (h+ ...) === с (2h+ +...) (l +. ..)(1 +.. .),
OTKy.n:a BII'n:HO. Ч'1 о с=== тс, Таким обраЗ0М, полученная формула при
нимает вид
&; (О) == ТС&2 (О) {}3 (О) {)u (О).
(5)
'!i IO]
РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕТА ФУНКЦИй
203
При помощи формулы (5) равенствам (1) можно nри.n:ать значи
7ельно более простой ви.n:
11 еl е 2 === i & (О),
11 еl е з === ';: & (О),
11 С2 С 3 === 2: {} (О),
(6)
Формулы (2) с по ющыо равенств (4) тоже приводятся к более
простому ви.n:у:
е 1 === t (; d In &; (О) # In {}2 (о»). )
1ti ( 1 d '" d" \
е 2 ===.., --;:) d In 'lf l (О) d In "3 (О) !. }
'" \ <, 't 't J I
т.i (1 d ' ) (! (\ О»)
C3 ,, \ 3 d Iп {}l (О ! Iп ио ( , J
Ш \ '1: l'1: I
(7)
Перемножая равенства (6), получае 1 выражение .n:ля .n:искриминанта
(см. 7 rл. 1)
ilF. === 2 (2 )3 & (О) Щ (О) & (О) === 4:' &;2 (О). (8)
10. Разложение тета функций в бесконечное произведение
Функция &3 (v), раСОI3'l'ривае:ная как функция от пере;\Iеlllюii
Z2 == ехр (21Civ) (иначе rОRОрЯ. ФУНКЦИЯ 9 (Z2) === &3 с:: )) , является
функциеЙ, реrулярной во всеЙ комплексноЙ ПJЮСКОСТИ, за исключение:ll
точки Z === О и точки z === 00. Cor ласно сказанному в 8 ее нули
имеют вид Z2 === h 2n I (п === О. -+- 1, -+- 2, . . .), Разобье:н ее нули на
две после.n:овательности
Z2 === /c l , /с 3 , /1 5,
Z2 === /1, h 3 , /1", , , .
(1)
(2)
Первая И3 этих после.n:Овательностей имеет одну пре.n:ельную TO'IKY UJ,
а вторая o'n:HY пре.n:ельную точку О, Соrласно результата:l-I, ПОJIУ
<Jенным в 9 rл. 6 ч. 1, бесконечное произве.n:ение
( 1 :':. ) ( 1 : ) . . .
а 1 а 2
СХо.n:ится к целоЙ функции переменной х с нулями GI' а2,'", если
1 1
ряд + + . . . аБСОЛЮТ1l0 схо.n:ится. Так как ря.n: 1/1 i + I h i:! +
а 1 а 9
204
TEtA-ФУНКЦИИ
[r",. Z
+ I h 15 +. , . == 1 II h 12 , очеви.n:но, схо.n:ится (напомним, ЧТО ! h I < 1),
ТО ФУНКЦИЯ
11 == (1 + hz 2 ) (1 + h: I Z 2 ) (1 + h 5 z 2 )",
бу.n:ет целой функцией от Z2, имеющей нули в точках последователь
ности О). Совершенно аналоrично функция
12==(1 +hz 2)(1 +h3z 2)(1 +h5Z 2) ..,
бу.n:ет целой функцией от Z 2, имеющей нули в точках после.n:ователь
ности (2), Поэтому функция
OJ
f(v)== П (1 + h2n lz2)(1 + h2n lz l)
n 1
(Z2 == ехр (21Civ»,
как функция от переменноt! v, бу.n:ет целоЙ функцией с теми же
нулями, что и функция &3 (z).
Кроме Toro, при замене v на v + 1 величина Z2 == e 21ti7J , очевидно,
не меняется, так что
f(v + 1) ==f(v).
При замене же v на v + 't величина Z2 заменяется величиной Z2 e2"i ==
== Z2 h 2 , Поэтому
OJ
j (v + 't) == П (1 + h2n lh2z2) (1 + h 2n Ih 2Z 2) ==
n 1
OJ
== 1 ;' 2 1I (1 + h2п IZ2)(1 + h n lz 2),
n 1
Т. е. имеет СООТНОlllение
I(v + 't)== h IZ lf(v),
И3 первой таблицы 8 ви.n:но, что функция &3 (v) также удовлет
воряет СООТНОlllениям
&з(v+ 1) ==&3 (v), &з(v+'t)==h lz I&з(v).
Сле.n:овательнО, функция ; ( } бу.n:ет целой функцией переменноtJ v,
имеющей перио.n:ы 1 и 't, а такой функцией, как мы знаем, может
быть ЛИlllЬ постоянная, Таким обраЗ0М,
OJ
&3 (v) == СП (1 + h 2n lz2)(1 + }l2n IZ 2),
n 1
rде С ПОСТОянная (т, е. величина, не зависящая от перемеllНОИ v.
НО зависящая, вообще rоворя, от параметра 't).
!i 10]
РАЗЛОЖЕНИЕ TEtA-ФУНКЦИй
205
с ПОМОЩЬЮ таблицы преобраЗ0ваний 8 леrко нахо.n:им разложе
I/ИЯ .n:ля .n:руrих тета функций
С(1
&0 (v) === &3 (v + +) === С] [ (1 Iz2n lz2) (1 Iz211 IZ 2),
п===1
I и
32 (v) === ':1 &3 (v + ; ) == CIZ4Z [1 (1 + I z 2 n z 2 )(1 + Iz211 2Z ),
n l
1 (у)
&1 (v) == &2 (v + ) === iCl z 4 z 11 (1 Iz211z2) (1 IZ211 2Z 2).
1I 1
После несложных преобраЗ0ваний эти формулы ПРИl/имают вид
1 00
&1 (v) == CIZ4 Z : l П (l I z 2 n Z 2 )(! IZ211Z 2),
1I 1
1 ".3
&2 (v) == Ch4 (Z + Z I) 11 (1 + I z 2 n z 2 ) (1 + I z 2 n z 2),
n )
(3)
00
&з(v)==СП (1 +h2n lz2)(1 +h 2n IZ 2),
n 1
00
&0 (v) == С П (l Iz211 lz2)(1 h2n lz 2).
n 1
Z z 1
Заметим, что множители . и z + Z I в этих фОР:\Iулах можно за
t
менИJЪ соответственно на 2sin "V и 2cos 1tV, поскольку z==exp (r.i'u).
Для отыскания постоянной С положим в фОР lулах (3) v === О
(в первой формуле сначала по.n:елим на v). Это .n:acт
) 00 I
& (О) == 2"Cl z 4 П (1 Iz2n)2,
n 1
I r<)
&2(0)==2Ch T П (1 +'z211)2,
n J
03
(4)
&3 (О) == сП (1 + h2n I)2,
n 1
00
&0 (О) == С 11 (1 Iz2n I)2.
n 1
Подставляя эти выражения в формулу & (О) == "&2 (О) &;\ (О) t}o (О)
206
ТЕТА ФУНКЦИИ
[rл,2
(см, формулу (5) 9). получаем
сх)
....)
сх)
п (1 h2n)2== [;2 П (1 + h 2n )2 П (1 h 2 (2Ч»)2.
n 1 n 1 n 1
Но
сх)
С()
о')
п (1 h 2n )2 == П (1 hM)2]1 (1 h4n 2)2,
n 1 n 1 n 1
так что
со
со
[;2 == 11
n 1
(1 h1n)2
(1 -+ 11т)" ,
с== 11 (1 h 2n )
n l
(при выборе знака С принимаем во внимание. что при h == О 311a
чение &3 (О). cor лаСIIО формулам (4) 6, .n:олжно обращаться в е'n:ИIIИЦУ;
сле.n:ователыю. и С в силу формулы (4) при h == О тоже .n:олжно
обращаться в е.n:ишщу),
Для &; (О) формула (4) дает выражение
I со
&; (О) == 2 h 4 11 (1 /1 2n ?
n 1
(5)
Поэтому. cor ласно формуле (8) прелыдущеrо параrрафа, получаем
для .n:искриминанта !l выражение
о)
.l == ( : У2 ,z211 (1 /Z2 n )24.
n 1
(6)
И3 этой фОр 1УЛЫ ви.n:но. в частности. что при любом 't И3 полупло
СКОСТИ 1т 'С> О .n:искриминант .l отличен от нуля.
11. Приложении к теории чисел
Так I<ак веШI'lина &3 (О) пре.n:ставляется рядом
00
&3 (О) == /Zn 2 ,
n::::::= {)Q
то
со
Щ (О) == L hni+n +n +n == EJ (т) h m , (1)
т O
r.n:e 8 (т) чнсло решений ураl3неllИЯ т == lli + 11 + 11 + 11% (с цe
лыми 111' 112' 113. 114)'
С .n:руrой стороны. 13 СИЛУ формул (6) и (7) 9
U'o ( О ) ( 2", ,2 ( ) 4i d I &0 (О)
3 I еl ез d n (O) ,
110 110 't "2
11)
nРИЛОЖЕНИЯ к ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
207
ИЛИ, В иной форме,
&HO) 4h d; 1\1 :: i '
(2)
так как h е'П;' и, сле.n:овательно,
d'f fJ'f t!'!.. 'ltih t!J
d-r. dh ll-r. dll .
Но, соrласно формулам (4) 10,
I 00 1 00
&о (О) 1 4 11 (1 h 2 n+l)2 . т I.I . (1 h 2 n+l)2 (1 h 2n )2
&2(0) 2h ... (l+h2n)2 2h . (l /lm)2 -
n 1 n 1
1 00
4 ] .. .1 " ( 1 Il" \2
2 h ". 1 Il"t ) .
n 1
По.n:ставляя это выражение в равенство (2), получаем
00
сl { [ . [ ( 1 Il n \ 2 }
Щ (О) 1 8h dh 1\1. . 1 _ 11т } .
n 1
Прово.n:я выкла.n:ки, имеем
00 00
& (O) 1 + 8 ! 1 пll n hn 8 l h :n
n 1 n 1
со 00
ro OJ
=== 1 + 8 2: 2: nhnn' 8 2: 2: 4пh 4nn '.
n l n' 1 n l ,,' I
Полученную формулу запишем в ви.n:е
со
со
&НО) === 1 + 8 2: ф (т) Iz m 8 2: Ф1 (т) 11т,
т 1 т 1
(3)
З.n:есь
ф (т) === 2: 11,
nn' -== т
Ф1 (т)=== L 4п.
4п1Z'====т
И3 ЭТИХ формул ви.n:но, что ФУНКЦИЯ Ф (т) равна сумме всех .n:ели
телей числа т, а ФУНКЦИЯ Ф1 (т) равна сумме тех .n:елителей этоrо
числа, которые кратны четырем (ясно, что ФУНКЦИЯ Ф1 (т) отлична
от НУЛЯ JIИШЬ .n:лн т === 48 и что .n:ля таких значеl1Иj.j т справе.n:ливо
равенство Ф1 (т) === 4Ф (i т)),
Сравнивая коэффициенты рЯДОВ (1) и (3), МЫ IJИДИМ, ЧТО
EJ (т) === 8 {Ф (т) Ф1 (т)}.
Таким образом, мы .n:оказали теорему:
Число представлении целоzо положительноzо 'шсла т в виде
суммы четырех квадратов целых ЧlU:ел (эпт числа Atozym быть
208
ТЕТ А-Ф:VНЮ IИИ
[rл_ 2
11 положительнылtll, 11 отр'щательнbtАШ, 11 равНЫД11 нулю) равно
вОСЬ_If1lкратной cJlAute пОЛОЖ111пельных делителей Ч11сла /11. не дe
ЛЯЩIlХСЯ на четыре,
Например, при Jll == 3 CYll-ша положительных .n:елителей, не .n:еля
щихся на 4, равна 4, HeTpY'n:Ho проверить, что имеется ровно 32
представления числа 3 в ви.n:е суммы четырех KBa.n:paToB, Эти пре.n:
стаВJlения таковы:
3 === 02 + с-+-- 1)2 + с.+-. 1)2 + с-+-- 1)2 == ( + 1)2 + 02 + ( -+: 1)2 + с-+-- 1)2 =:==
==( + 1)2+( + 1)2+02+(:::!:: 1)2==( + 1)2+( + 1)2+( + 1)2+0 ,
ДРУ1-ая фОр iа этоЙ теоре,,1Ы такова:
Ч11СЛО представлеН11Й цеЛ020 положитеЛЬН020 'l11сла т в виде
суллtbt четырех квадратов равно вОСЬАшкратной 11Л11 двaдцaт1l
четырехкратноЙ су.ltяе нечетных деЛ11телей ат020 ч//сла в зави
силоС/т/ 0/11 т020, будет ли число т нечетны.At или четнbt.At,
Эта rлубокая теорема теории чисел впервые была .n:оказана Якоби
при птющи теории ЭJIJlИптическнх функций. Знаменитая теорема Лаr
ранжа о том, что любое целое положительное число можно пре.n:ста
ВIIТЬ 13 BlI.n:e суммы четырех KBa.n:paToB, очеви.n:но, со.n:ержится в этой
Teope ie.
С.n:елае 1 еще O'n:HO замечание.
ИЗ ФОР"IУЛЫ (4) 10 ЩIЯ &:J(V) в сочетании с формулоЙ .n:ля по
стоянной С получаем тож.n:ество
<у)
(Х)
11 (1 h 2n )(1 + /12n+lz2)(1 + h2n+lZ 2) == h n2 z 2n . (4)
n 1 (X)
Это тож.n:ество можно доказать и независимо от теории эллиптиче
ских функций,
И3 этоrо тождества "IOЖIIO с.n:елюъ некоторые выводы, интересные
1 3
для теории чисел. ПОЛОЖIШ в формуле (4) Z2== X2, 11==х2.
Tor.n:a произве.n:енпе в левой части формулы (4) примет вид
со ( 3 1 )( 3 1 ) ел
П(J x3n)\1 x3n+2+2 1 x3n+2 2 == П(l xr),
n 1 r 1
а су ша в правой ero части ви.n:
со 3n +n
( l)n х -------Т---.
I O
Таким обраЗ0М, 113 формулы (4) lJьпеl<ает тож.n:ество
11 (1 \o==
r 1
}) .1/1 +п
( l)"x .
n=::;;:::; oo
12]
РЛЗЛОЖЕНИЕ Ф 'НКЦИИ i; (и)
209
Это тож.n:есТlЮ было получено еще Эйлером, который нашел фор
мулу .n:ля показателя степени х в сумме сначала эмпирически, но
после мноrолетних усилий .n:оказал ее справе.n:ливость,
Аналоrичным обраЗ0М. сравнивая формулы (4) 6 и (5) 10
для величины &; (О), прихо.n:им к ТО>lщеСТlJУ
0:' п'! n
11 (1 х r )з === ( I )n ) (2п 1) х .
r 1 n 1
Еще с о.n:ним теореТИКО ЧИСJIOВЫМ приложение:н мы встретимся в 13.
12. Разложение ФУННЦИИ Ци) нан ФУННЦИ и от z
в ря.n: простейших дробей и выражения для величин "fj, g2' gз
Соrласно формуле (2) 6
) 2 &1 (v) ( 1j1l2 )
а (и === w s; (О) ехр
d
ПОCl{Ольку С (и) === du 111 а (и), 1I0лучаем отсю.n:а формулу
С ( и ) === YJ + } !! 111 &) (v),
'" 2", dv
В эту формулу по.n:ставим выражение .n:ля &) (v) в ви.n:е бесконечноrо
произве.n:ения и3 формулы (3) 1 О, После несложных преобразова
ний придем к формуле
(V===2 )'
00
r ( ) === 'J! + l'i z + < I + "'i '"' [ h2nz " h"n z " ]
.. 11 '" 2", Z Z I '" "" 1 /l"nZ " ] /12nZ" ,
n 1
(1 )
rде z==exp ( i l ). /1 ==ехр(7ti't).
Эта формула .n:aeT разложение в ряд простейших .n:робей ФУНКЦИИ
. ( ')'" . ) 2", "'ll
tp (z )===C Iп Z2 Iп z2==Цll) : .
1'1 1'1 '"
Поскольку
. z + Z l е"'" + e "'"
l z z J === i е"И' e "'" === ctg 7tV,
равенство (1) можно записать в ви.n:е
00
1j11 l' l'i '"' ( ll"nz '2 h2nZ' )
С (и) === .. + 2;;;- ctg 7tv+ -;; "" I Il"nz 2 1 h2n z ' .
n 1
(2)
JlerKO ви.n:еть, что ря.n:
00
'"' 1. I h2nz 2 /12nz' 1
"" . h2flZ 2 I h2nz'
n 1
абсолютно и равномерно сходится нз любом конечном :iaMKHYTOM
210
ТЕТА ФУНКЦИИ
[rл.2
множестве, не содержащем точку z == О (если отбросить конечное
число членов, имеющих на этом множестве полюсы), Лействителыю,
пусть В произвольное замкнутое множество, не со.n:ержащее точек
z == О и z == со, Tor.n:a
min I Z2\==[1. >0,
zEH
тах I Z2 I == м < СО.
zEB
При .n:остаточно БОЛЬШО 1 п справе.n:ливы неравеllства
I h"nz 2 I I 11 l"nfJ. 2 , -2n
1 h2nz 2 1 I 11 l"nfJ. 2 м I h' ,
I h"nz2 I I h /2n М" , 2.
1 112n Z 2 1 I 11 I ""М" М I h I
Следовательно, ря.n:
ro
" [ 112nZ " h"nz" ]
..... 1 llЩz 2 1 II"n Z 2
n N
при достаточно БOJIЬШОМ N мажорируется рядом
сх)
2M'i h I 2n ,
n::::::::J.V
который, очеви.n:но, схо.n:ится.
Если точка Z2 расположена в кольце
: h 2 : < I Z2 i < i h 2 !,
(3)
то при любом целом ПОJюжителыюм п бу.n:ут справе.n:ливы и HepaBeH
ства I h 2n z 2[ < 1, I h 21l z 2 1 < 1. Разложим каж.n:ый И3 членов ря.n:а
в равенстве (2) в ря.n: по степеням Z и соберем члены с о.n:инаковыми
степенями Z, ЭТО приве.n:ет к формуле
со 0.""
",и 11: + 11:i , . 2
Цll)== + ctg 1CV 7 (h2nrz 2r h 2пr z r)==
'" 2", '" .....
n 1 r 1
сх)
"i ll + 11: t + 11:i" h 2r ( 2r 2r
:?'" с g1CV ..::.. l ll"r Z Z),
r 1
которую можно записать и в ви.n:е
сх)
11: 211:" h 2r .
С (2wv) == 2'fjv + 2", ctg 1CV + ffi ..::.. 1 ll'r SШ 21Crv.
r l
(4)
Эта формула справе.n:лива, коrда число Z2 у.n:овлетворяет условиям (3).
Выражая z и h через v и 't, можем записать условия (3) в виде
I e21ti I < I e 21ti 'V I < I e 21ti' 1,
или, 4ТО то же самое, в ви.n:е
Im't<lmv<Im't.
131
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНI\UИИ УР(ll) е "
211
Тшшм обраЗ0М, разложеlше (4) имеет место, КО2да точка v
леЖllт 8 полосе, 02раНlIченной пРЯМЫ_'fll, параллеЛЬНЬUfll дeйcт8и
тельной OCll, проходящими через тОЧlси 'i: II ".
Теперь разложим обе части равенства (4) в ря.n: по степеНЮI v
Б окрестности точки v === О и сравним коэффициенты полученных
разложений.
Соrласно формулам rлавы
мул rл. 1)
(см.. например, СВО'n:НУЮ таблицу фор
2 1 g2 ) :1 gз, ) ;;
1: ( wv) === '2<iJV 60 (2wv 140 (2шv ,..
С .n:руrой стороны,
1 71:V (71:V)З 2 .;;
ctg7tV 71:v 3 45.21 ('С11) .,.,
1. ! + 1 ..
sin 27trv === 27trv (5 (27trv)' 120 (2r::rv)д ... .
ПОЭТО:\IУ, сравниваи коэффициенты при v, v:l И v 5 , получаем сле.n:ую
щие выражения .n:ли "1j. g2 И g-з:
I
(71:\4 ( 1 r 3 h 2r \ I
g2 \ ) 12 + 20 1 h2r)' I
r 1
I
J
со)
71:" ( 1 '\1 rh"r )
"1j=== 12 2 1 h2r ,
r=::::=:.l
(5)
о:>
( ) 6 ( 1 7 '\1 . r"lz 2r )
g:l=== : 216 а ...... l ll2r '
r 1
Сравнивая коэффициенты при более высоких степенях v, мы
моrли бы получить выражении .n:ля СУМ:\I
сп === (2п 1) 2.:' (т,ш, -+ lll2w2y2n === (2п 1) 2.:' (ты + т' w') 2n.
Аналоrичные разложения в ря.n:ы .n:ля функции J (и) мы Mor ли бы
nолучИ'lЪ, дифференцируя фор:ну лы (1) и (4).
13. Разложение функции J/ ;}(ll) ek
Фор:нула (1) пре.n:ы.n:уше['о параrрафа, .n:аlOщая разложение в ряд
простеЙlllИХ .n:робей ФУНКЦИИ 1: (11) (рассматриваемой как функция
'от Z2), поз воляет написать аналоrичное раЗJlOжение .n:ля функций
V fJ (11) ek' НаIlИlllем ero .n:ля функции
1 / J 1 &; (О) 1)0 (V) ( U )
'f (и) r (и) ез 2;;; 1)0 (О) &1 (v) V === 2;;;
212
тr::ТА ФУНКЦИИ
[С1. 2
(01, формулу (3) 6). И3 полученноrо ря.n:а извлечем еще O'n:HO
интересное приложение к теории чисел.
И3 таблицы преобраЗ0ваний тета фуНl{ЦИЙ (см. 8) леl'КО YCMO
треть, что ФУНКЦИЯ 7 (ll) удовлетворяет соотношеНИЯ:V1
'{' (ll + 2ш) == :Р (ll),
:Р (ll + 2ш') ==:Р (ll)
(при замене II на II 2ш веJIИчина v заменяется величиной v + 1,
а при замене II на 11 + 2ш', величина v заменяется пеJIИЧИНОЙ v '1:),
И3 этих СООТНОlllений RИЩIO, что ФУНКЦИЯ rp (ll) имеет перио.n:ы 4ш
и 2ю'. Так как н параллеЛOl'рамме перио.n:ов
(О, 4ш, 4ю + 2ю', 2ш')
функция :Р (11) юн::ет только 'n:Ba полюса 11 == О И 11 == 2ю с вычетами,
раRНЫ 1И 1 и 1 соответственно, то на основании результатов 12
r л. 1 можем написать
:Р (11) == С (11; 4ю, 2(1)') С (11 + 2ю; 4(1), 2(1)') + С,
(1)
r.n:e С некоторая постоянная (С мож ет зависеть от (1) и ю'). В 9
мы выяснили, что ФУНКЦИЯ }/А;} (11) ез обращается в HY.'IЬ при
11 == О. Поэтому С == (2ш; 4ш, 2ш'), т. е. С равно TOi\IY значению 7il'
которое ОПJечает основным перио.n:ам S;} ФУI1IЩИН, равным uJf == 4ю
и ш; == 2ш'. Пля краткости обозначим это значение через 7jf'.
Заменим в ФОР:V1уле (1) пре.n:ы.n:ущеI'О параrрафа (1) на 2ю и, сле
.n:ователыlO, Z2 == ехр (2"i 2 ) на z, а h 2 == ехр ( 2"i ) на h. Tor.n:a
получим ФОР:VIУЛУ
со
4ш , 2(1)' ) == 'l)f /1 ,, 1 + z I ,, V ( hnz l
С (11; 2,,, 4(,) 1 z I 2",.... 1 /znz l
n 1
/zn z )
l hnz .
И3 этой формулы CJle.n:yeT, что
со
, 'l)f/1 1ti 1 z "i V ' hnz l hnz )
(11 + 2ш; 4ш, 2ш) == ф 1 +z 2;;' lT' + hnz l 1 + hnz '
n 1
так ка!( при за:l-Iене 11 на 11 2ш веJlИчина z заменяется lJеличи
ной z.
По.n:стаВJIЯЯ эти выражения в фОр:l-lУЛУ (1), получае:V1 после He
сложных преобразований искомое разложение
со
I &' (О) & (v) "i { 1 . V ( /lflZ l /ln Z \ }
V 7 (11) е З ==2w \i (О) &; (v) == ;;; z z l + ;;... 1 /zтz . 1 hтz. ) .
. n l
13]
РА3ЛОЖЕНИЕ функции J;r ,r (1J) ek
2]3
. и 1ti
1tl
Полаrая в этом разложении и === Ш, т. е. Z === е 2ш === е 2 === i, нахо.n:им
со
r . l' 2 l' { 1 '\"1 il n }
V еl e3 2 {}3(0) 2 +2 .o..i I+hт ,
n 1
или
со со
2 '\'" '\"1 hn h3
{}а (О) 1 4 "'"" ] + h 2n 1 + 4 "'"" 1 11т .
n 1 n 1
(2)
Но
0:.") со се
{} (О) === ( h n2 )2 === l1 n } n ,
oo oo oo
а
со х>
1 + 4 '\"1 4 '\"1 ===] + 4 'v 11(4,,'+ l)n 4 V h(4n'+31n
1 h'n 1 h 1n ...... .:....
11 === 1 n::::::=] п. 1l' П. п'
Поэтому сравнение коэффиuиентов при h m в обеих частях равенства
(2) .n:aeT теорему:
Число представлений 1 еЛО20 положи11lеЛЬНО20 числа т в виде
сулмы двух квадратов двух целых чисел равно учетверенной раз
ности между ЧllСЛОМ делителей Чllсла т вида 4k 1 II числом
делителей вида 4k + 3 (если эта pa3llOCТb ПОJlOжительна; в против
ном случае оно равно нулю).
Теорема Ферма о том, LПО простое LJИСЛО вида 4k +] можно
пре.n:ставить в ви.n:е суммы KBa.n:paTOB 'n:BYX uелых чисел и притом
е.n:инственным образом (если не учитывать перестановку этих чисел
и изменение знаков на обратные), является частным случаем этой
теоремы.
Тлава третья
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
в ря.n:е приложений вместо J-Функции Веtiерштрасса удобнее ис
ПОЛЬЗ0вать эллиптические функции Якоби. Этих функций три. Якоби
пре.n:ложил .n:ля них обозначения
sil1 ат и, cosam и, D. ат и
(синус аМI1ЛИТУ'n:Ы, косинус аМI1ЛИТУ'n:Ы и .n:ельта амплиту.n:ы), Обозна
чения Якоби в настоящее время не употребляются. Вместо них исполь
зуются обозначения
sn 11,
СП 11,
dn и,
BBe.n:eHHbIe I'y.n:epMaHo:\I,
1. Определение ФУНКЦИЙ sn 11, сп 11, dn и
Пусть ':: произволыюе комплексное число, у.n:овлеТВОРЯЮIItее
условию 1т ':: > О.
в качестnе {J) 1J0зьмем некоторое число (заВИСЯI1J.ее от ,::), которое
опре.n:елим несколько ниже, а число ш' опре.n:елим по числу ш, как
-обычно. рапенстnом
ш' === 'tW.
(1)
Эллиптические ФУНКЦИИ Якоби опре.n:елим равенствами
а (и). 2 \ o (О) &1 (v) \
sn и а з (и) (() &; (О) &0 (v) ' I
сп и === а 1 (и) === &0 (О) &2 (v) t
аз (и) \\2 (О) \\0 (v) , (
dn 11 === а 2 (и) ::::::: JQL &" (v) J
а" (и) \\3 (О) \\0 (v) ,
(2)
u
3.n:eCb, как обычно, v == 2";-' Cor ласно форму лам 6 r л. 2 имеют
'место равенства
.; 1 I
g ( 11) С з == I
sп u '
_f Cnll .
V ';} (и) СI == sп II '
. do II I
11 g(u) Со ==
. SO II ' )
(3)
1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЯ sn и, СП и, dn u
215
Исключая Н3 СООТНОlllений (3) функцию J (ll), ВИДИМ, что ФУНКЦИИ
сп II И dn ZI алrебраически выражаются через функцию sn II с помошью
формул
. сп 2 11 + (el . ез) sn 2 11 === 1, }
dn 2 11 +. (е 2 е з ) sn 2 zz === 1.
Число ы, остзвавшееся пока неопре.n:еленным, выберем таким обра
зоМ, чтобы множитель е 1 е з , ВХОДЯlllИЙ в первое И3 соотношений (4),
был равен е.n:инице.
Соrласно формулам (6) 9 rл. 2 имеют :\lесто равенства
е! е2 === ( 2: у &J (О), 1
е! ез === ( 2"'" У & (О), (5)
е2 еЗ===(2 )2щ(0) j
(значения &k (О) являются функциями параметра "; СМ., например, фор
мулы (4) 6 rл. 2). Поэтому условие, опре.n:еляюшее число W, можно
записать в ви.n:е
(4)
со
w === &НО) === ; (! hn2 ) 2,
n=== co
l! === е пi "
(6)
н равенства (5) .n:ают
-II (О) J
е! е2 == & (О) ,
еl е з 1,
t) (О)
е2 е з t) (О) ,
(7)
Равенства (4) при этом принимаl<Л ВИД
сп 2 " + sп 2 11 === 1, dn 2 " + к 2 sn 2 11 === 1,
r.n:e обозначено
(8)
\) (О)
к === t) (О) .
(9)
Функции sn 11, сп 11, с)п 11 зависят только от 11 И ОТ ", так как
за.n:ание величины 't полностью Оllре.n:еляеr величины W, ш', а значит,
н эти функции. J{or.n:a мы захотим по.n:черкнуть зависимость ФУНКЦИЙ
Якоби от ", бу.n:ем писать sn (11; ")' сп (11; ")' dll (11; 1:),
в теории эллиптических ФУНКЦИЙ Якоби используется некото рая
специфическая терминолоrИЯ:
Величина К, за.n:аваемая формулой (9), как функция параметра 1:,
называется .ltюдуле.м ФУНКЦl1zl sп 11, СП ", dn ", а величина
, t) (О)
х & (о ) (10)
216
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ якоr.И
[rд. 3
называется дО1l0лнение.11 .модуля. И3 формул (7) ви.n:но, что меж.n:у
величинами х и х' имеется СООТНОlllение
x + x' == 1.
Величины w и ф' в теории эллиптических ФУНКЦИЙ Якоби обозна
чаются через К и iK' соответственно, т. е.
к == ш == & (О), iK' == ш' == ш"с == ;'" & (О).
(11)
Пре.n:по'пем сохранить обозначения w и ф', 110 cJle.n:yeT помнить,
что в этой r лаве величины w и ф' не независимы, а ЯВJIЯЮТСЯ функ
ЦИЯМИ параметра "с.
По.n: символами }f;; V;?, V х'!х бу.n:ем понимать значения корня,
равные
I 32 (О) 1/' 30 (О) 1/1' 30 (О)
J; х == \)3 (О) ' J' Х \)3 (О) ' JI х /х ==&;;(5)
(эти значения ЯВЛЯЮТСЯ, очеви.n:но, о.n:нозначными ФУНКЦИЯМИ "С),
ФУНКЦИЯ r (и), входящая в формулы (3), имеет основные перио.n:ы
2ш и 2ш', являющиеся ФУНКЦИЯМИ "с. Величины et, e , ез, разумеется,
также бу.n:ут ФУНКЦИЯМИ "с. С ПОМOIдью формул (7) и СООТНОlllения
еl \ e + ез == О эти величины HeTpY'n:Ho найти.
Если ВОСПОЛЬЗ0ваться равенствами
2 \)0 (О) <12 (О) \)0 (О) \)3 (О) 1
w \)1 (О) == ТСUЗ \) (О) == 32 (О) == v:Z '
30 (О) .. r:z \)0 (О) /.
\)2 (О) == JI . 33 (О) == }' х ,
формулы (2), оnре.n:еляющие ФУНlЩИИ 8n 1(, сп 1(, dlI 1(, можно заnисать
в ви.n:е
1 \)1 (v) 1
8n II == r= ( ) '
.' '1. О V
.. / '1.' 32 (v) t
СП 11 JI \)0 (v) ' f
dllll == .;;. \)3 (v) I
\)0 (v) J
(12)
( v == 2: ) .
Опираясь на известные свойства функций о (1() и 0k (1(), из фор.
мул (2) можно вывести следующие свойства фУНlщий Якоби:
РI
ФУНКЦИИ ЯКОБИ КАК ЭJJЛИnТИЧЕСКИЕ Ф 'НКЦИИ
217
Функция sn 11 нечетная ФУНКЦ11Я переменной ll, а ФУНКЦllll
сп 11 11 dn II четные ФУНКЦIlll 11. Кроме тО20,
cnO==dnO== 1,
а
sn О == О,
. sn 11 \ =1= о.
du u o
2. ФУНКЦИИ Якоби как эллиптические ФУНКЦИИ
И3 формул (12) пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа с помощью таблиuы пре
обраЗ0вания тета фующий И3 8 r л. 2 можно получить сле.n:ующую
таблиuу преобраЗ0вания функuий sn 11, сп 11, dn ll.
Таблица преобразований эллиптических функций Якоби
I "+"' I u+",' I u+",+",' I u +2", I u+2",' I и + 2", +2",'
БП U I I 1 I dn u
БП .. Бпи БП 11 Бпи
dn u '1. БП U 1<. СП U
I I I I
,БП U j dn 11 , '1.' I I
СП '1. l сп 11 СП 11 БП U
dn 11 1<. БП 11 1<. СП 11
I , СП 11 . ,БП 11 I Оп" I I
dn '1.' l 1)(. dn u dn u
dn u sп 11 СП U
И3 этой таблиuы Вlщим, в частности, что функuия sn II имеет
перио.n:ы 4ш и 2ш', фующия сп 11 имеет перио.n:ы 4ш и 2ш + 2ш', а функ
uия dп 11 имеет перио.n:ы 2ш и 4ш', Для удобства приве.n:ем еще одну
таблиuу.
Таблица нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби
1 HYnlJ I Полюсы I ПеРIIОДЫ
БП 11 I 2n", + 2n'",' I 2n(,) + (2n' + 1) ",' I 4"" 2",'
СП 11 ! (2n+ 1) ",+2n'",' I 2n", + (2n' + 1) ",' I 4"" 2", + 2",'
2., j
drl 11 I (2n + 1) w + (2n' + 1) щ' I 2nш + (2n' + 1) щ' I
218
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
rrл.3
На рис. 41, 42, 43 изображены параллеЛOI'раммы перио.n:ов (О),
отвечающие ФУНКЦИЯМ 811 11, сп и, dn " соответственно, причем там же
отмечены нули и полюсы этих функций (нули кружочками, полюсы
J<рестиками).
ёы +2ы'
о
Рис. 41.
"2ы +{() ,
)(
и
({l
3ы
сп(и)
Рис, 42,
Ясно, что указанные пары перио.n:ов бу.n:ут 'n:ЛЯ этих ФУНКЦИЙ
ларами основных перио.n:ов, так как IJ ЭТИХ параллелоrраммах ФУнк
ции имеют второй поря.n:ок (уменыllниеe поря.n:ка
невозможно),
(J) + 3{()'
3{()' ф
(о +{() ,
ф
(J)'
о dп (Щ
Рис. 4.3.
3. Дифференциальные уравнения
дли функции Якоби
В силу формул (3) 1 имеет место paBeH
ство
ёы
s'J' (и) === VS'J (и) el . УА;) (11) е2. VS'J (и) ез ==
2 сп u . dn u
Sll" U
(3l1аки у корней выбраны соrласно .n:оrоворенности 6 rл. 2). С дpy
rой стороны, дифференцируя равенство
получаем, что
1
Ю ( II ) ез=== ,
п Sll- u
2 d
ю' ( 11 ) === 8П и.
п БП" u du
Сравнение 'n:BYX полученных выражений .n:ля функции f'J' (zz) дает фор.
МУЛУ
d
du 81111 === сп 11 . dn 11.
(1)
Далее, дифференнируя уравнения
сп 2 II === 1 8п 2 ll,
dn 2 II == 1 у.,2 8112 и
(2)
4]
ТЕОРЕМ.Ы СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИй ЯКОБИ
219
и применяя формулу (l), получаем всю систему уравнений
d \
d SN 11 == СП 11 dllll, I
:
dii сп 11 == sn 11 dn 11, I
d d dn 11 == 1'.2 sn 11 dn 11.
U J
{3}
с помощью равенств (2) HeTpY'n:Ho получить И3 этой системы
дифференциальные уравнения .n:ля каж.n:ой из функций sn и, сп и и dn 11:
( d sn u \ 2 Q \
) === (1 Sll2 и) (1 1(2 sn" 11), I
( d сп u ) 2
== (1 сп 2 11) (1('2 + 1(2 Сllll), I
( d dn U ) ' 2 (1 d 2 ) ( '2 d 2 )
Пll1( Пll.
du J
(4)
4. Теоремы сложении дли функций Якоби
Пусть v ПРОИ3ВОЛЫlOе число, у.n:овлеТВОРЯlOщее условиям
v '$ + w nlOd (2w, 2w'),
v Ф + (w' w) mod (2w, 2w'), (1)
v Ф + w' mod (2w, 2w'),
И3 первой таблицы 2 иетру.n:но усмотреть, что фушщии
(j'1 (11) == sn 11. sn (11 + v), (j'2 (11) == сп 11. сп (11 + v),
(j'з (11) == dn 11 . dn (11 +v)
имеют перио.n:ы 2w и 2w', Кроме Toro, из второй таБJIИЦЫ ви.n:но, что
в параллелоrрамме перио.n:о13 (О) эти функции имеют о.n:ни и те же
1l0JJЮСЫ 111 === W' И 112 V + w' mod (2w, 2w') (.n:лн J<аждоЙ И3 функ
ций сумма вычетов в этих полюсах равна нулю). Поэтому можно
выбрать постоянные А и В таким образом, чтобы функции (j'2 (11) +
+. A(j't (11) И (j'з (11) + B(j'1 (11) не имели полюсов. Поскольку эллипти
ческие фуш<ции, не имеющие полюсов, постоянны, эп) 0значает, что
сп 11- сп (11 + v) + А sn 11 . Sll (11 + v) == A J , }
dn и. dn (и + v) + в sn 11 . sn (11 + v) == В 1 ,
(2)
r.n:e А, В, At, В 1 постоянные, т. е. не зависящие от 11 величины.
Полаrая u == О, нахо.n:им, что
А 1 == сп v,
B1==dпv.
220
Э.1ЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦIIИ ЯКОБИ .
[rJ1.3
Дифференцируя paB HCТBa (2) IЮ и, а затем ПОЛal'ая u === О, мы с по
МОЩЬЮ формул (3) 3 леп<о опре.n:еляем постоянные А и В:
d d
dv sn v + А SI1 V === О, dv dl1 V В SI1 V === О,
или
А === dl1 V,
в ===)(2 Сl1 V.
Сле.n:ователыю, формулы (2) принимают ви.n:
Сl1и ' сп (11 +v) +. dl1 V, SI11/ . SI1 (и + v) === сп V, }
(3)
dn 11 . dn (и + v) +:;(2 сп V ' SI1/l . sn (и + v) === r!11 V.
Ясно, что эти формулы справе.n:ливы и .n:ля ИСКJlюченных ранее 3Ha
чений v,
Заменив в равенствах (3) /l на 1/, а v на /l + v, получим pa
венства
СП и. спv dn (и + v) . SN /l . SI1 V === СП (и + v),
dn /l . dп v . )(2 СП (и +. v) . SN /l . sn v === dn (и + v),
И3 которых леrко найти значения сп (11 + v) и dn (11 + v). По.n:стаВИII
полученные значения в первое ИЗ уравнений (3), найдем выражение
.n:ля SN (11 + v), Совершив указанные .n:ействия, получим теоремы сло-
жения .n:ля функций Якоби в сле.n:ующем окончательном ви.n:е:
( r ) sn u . сп v . dn v + sn v ' сп 11 . dn u }
SN 11 I v I '1." sп" U ' sn" v ' 1
( + . ) сп II ' СП V sn 11 ' dn II ' sn v ' dn v
Сl1 11 V 1 ...' sn" II . sn" v '
d ( + ) dn II ' dn v . ",,2 sn 11 . сп 11 ' sn v' сп v J
n /l v I ..." sn" II . sп' V .
(4)
5. Триrонометричесние ФУННЦИИ кан предельный случай
. функций Якоби
ЗаПИlllем формулы (2) 1 в развернутом ви.n:е, чтобы ЛУЧlllе
ви.n:еть зависи IOСТЬ функций Sn и, сп 11, dn /l от U И от 't:
( ' ) {}.,(O) {}1(V) (I+2h+...).2(1/11 s in7tv+,.,)
sn /l,'t {}"(O) ' {}o(V) 2(h1f'+lloi1+..,)(l 2/1COs27tv+,..)'
( . ) {}o(O) . &"(v) (1 2/1+..,).2(h!f4cOS7tv+...)
сп и, 't {} (О) {} ( ) 1 { "1 .,
" о V 2(h '+k 4+...)(1 2/1COs27tv+...)
d (, ) {}o(O) {},,(v) (1 2/1+...)(1+2hcos27tv+...)
n /l,'t {};J«) . {}o(v) (I+2h+2h4+..,) (1 211COs27tv+...)'
Здесь
II Il ( 1 + 2h . 2/ ' + ) '"
v === п{} (О) === -;; .' ..i 1 .. . ,
h === e 1ti '. ,
5]
триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функции
221
Пусть 't === r + is. Бу.n:ем считать r постоянным, а s стремящимся
!{ + 00. Tor.n:a величина
h === e'h,i"t === e 1tir e 1CS
бу.n:ет стремиться к нулю, Ве.1JИЧИlIa 2ш бу.n:ет стремиться 1( 7t, так
как 2ш === 7tt} (О), а ве.1Jичина 2ш' === 2ш,: бу.n:ет стремиться к беско
нечности,
И3 написанных ВЫlllе формул ви.n:но, что при TaKO 1 пре.n:елыюм
перехо.n:е
]im sn (и; 't) === sin (с, liт сп (и; 't) === cos и, ]im d!] (и; 't) === 1.
Поскольку величина
х=== \}; (О) === { 2 (h!f4+hO/.1+...) } 2
\) (О) ] +2h+2h 1 +,..
llРН этом стремится к нулю, теоремы сложения (4) 4 переходят
II фОр:\IУЛЫ
sin (и + v) === si!] II cos v + cos и sin v,
cos (и + v) === COS l/ COS V sin II sin v,
а И3 .n:ифференuиальных уравнений 3 получаются известные диффе-
ренuиальные уравнения для фушшиЙ sil1l/ И cos и.
Тлава чеmверmая
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ Функиии
в теории эллиптических функций Болыllюю роль иrраlOТ вели
чины, зависящие только от ОТllOlllения 't периодов Ш2' Ш\. Такими
величинами ЯВЛЯlOтсн, как мы ви.n:ели, инварианты g2 и gз, дискрими
нант д, значенин &k (О) и т. .n:. Изучение этих величин послужило
основой .n:ля соз.n:ания обlllИРНОЙ теории эллиптических MO'n:Y лярных
ФУНКЦИЙ. МЫ изложим з.n:есь ЛИlllЬ самые Ha'IaJla этой теории, имея
в ВИДУ реlllИТЬ за.n:ачу:
Вспда ли .llOЖНО выбрать периоды W\ 11 W 2 таЮ1Я образо.Af,
чтобы инварианты g2 и gз, построенные по эти.l! пepllOaaAt, COB
паЛll с заранее задаННЫАtll Чllсла.llll?
Эту з а .n: ач у можно рассматривать также как за.n:ачу о решении
системы уравнений
g2 === 60 ' (т\ш\ + т2(2) \
gз === 140 ' (m\w\ + fП2(2) 6,
r.n:e g2 И {f,\ заданные числа, а искомые величины wl и подчи
иены условию 1т (W2/Wl) *- о.
1. Модулярная rpynna и ее фундаментальная область
в 15 r л. 1 мы .n:оrоворилисЬ называть 'n:Be нары чисел
(Wl' (2)'
(w;, w )
ЭКВllвалентНЫАtll, если множество всех периодов
fП\w\ + fП2 w 2
(1)
(тl и т2 любые целые числа), построенных по периодам w\ и
совпа.n:ают с множеством всех llерио.n:о В
Ш'!)
" + "
fПlW 1 тп 2 ш 2 ,
(1*)
построенных по перио.n:а 1 Ш 1 и Ш 2 .
Там же мы доказали сле.n:ующий критерий эквивалентности:
1]
МОДУЛЯРНАЯ rРУППА и ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ
223
Пары (Wl' (2) и (ш , W ) тozDa zz толысо пzozDa эквивалентны,
KozDa имеют место оавенства
W; === (Xw2 + Шl'
W === 1w2 + OWl'
(2)
<: целы.ми числаNи а, , 1, о, приче.м а.О 1 === + 1.
в этой rлаве бу.n:ем считать перио.n:ы Wl и W2 удовлетворяющими
условию
Im't>O,
(1)"
't===
(1)1.
(3)
Для пар (WI' (2)' у.n:овлепюряющих условию (3), критерий экви-
валентности принимает ви.n::
Пары (Wl' (2) и (ш;. Ш ) 11lozDa и только f/lozDa Э1свzzваленпzны,
KozDa имеют .J.1CCnlO равенства (2) с целы.J.Ш чzzсла.J.Ш а., , 1, о,
подчzzнеННЫ.J.t1t условию а.О 1 === + 1.
Нам нужно .n:оказюъ, что из наличия равенств (2) и И3 условий
Im't>O, Im't'>O
( 't === (Ое 't' === (0; \
ц) 1 J Ы )
вытекает, что а.о 1 === 1. НО И3 равенств (2) сле.n:ует, что
't' === a",,
'(",,+8"
Поэтому, полаrая 't === r i8, 't' === r' i8', имеем
' -t ", ar+ +ias (ar+ +ias) ('(r+8 i'(s)
r 18 '(r+8+i'(s ('(r + 8)"+'("s. .
и поскольку числа (Х, , 1. а .n:ействитеЛЫ1Ы, получаем
, a8 '(
s === ( + ' ) " + Q ,,' 8.
'(r о. j"s.
Отсю.n:а ви.n:но, что величины 8 === 1т 't и 8' === 1т 't имеют О.n:инаковые
знаки в том и только в том случае, Kor.n:a а.о 1 > О. Сле.n:овательно.
И3 ДВУХ возможностей a.o. 1 === + 1. остается только o'n:Ha.
т е о р е м а 1. Каждой паре чиссл (w;, Ш;) (у.n:овлетворяющей
условию (3» .можно поставить в COOfllBCfllCfllBZ1C ЭКВZlвалеН1/lНУЮ
ей пару чисел (Шl, U\J) (также у.n:овлетвориющую этому условию). для
которых и.J.tеЮl1l десто нсравснства
I w 1 ! I w 2 1, I w2 I I wI + w2 !, I W2! I wl w2 !. (4)
Дли .n:оказательства занумеруем все перио.n:ы m w nl w; мно-
жества (l *) в пори.n:ке возрастании ИХ мо.n:улей. Полученную после-
ДоватеJIЬНОСТЬ периодов обозначим
О, аl' а2' ...,
(О < I аll la21 . . .).
(5)
224
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКUИИ
rrJI. 4
в качестве Ш, возьмем перио.n: О,, а в качестве Ш перио.n: 0k
с lIаименыllмM номером k, обла.n:ающий тем свойством, что точки О,
о,, 0k не лежат на о.n:ной прямой, При таком выборе перио.n:ов Ш}
и Ш условие i ш, j I Ш " очеви.n:но, выполняется. Условия i Ш !
! ШI + Ш I и : Ш ! I Ш} Ш также выполняются, ибо перио.n:ы
Шl \ Ш и ШI Ш не MorYT встретиться в после.n:оватеЛЬНОСПJ (5)
paHbllle, чем перио.n: Ш (точки О. Ш" Ш, + Ш тоже не лежат на о.n:ной
прямой). Условия (4) тем самым у.n:овлетворены.
Условие (3) .n:ля выбранной пары перио.n:он (шl' ш.z) может и не
выполняться, 110 Tor.n:a оно выполняется 'n:JIЯ пары (Wl' Ш ) (замена
пары (W 1 , Ш ) парой (Wl' ш ), очеви.n:но, не отразится на ВЫПОJIНе
нии условий (4».
Наконец, покажем, что пара (wl' ш ) эквивалентна исхо.n:ной паре
(ш;, ш ). Перио.n:ы Ш, и Ш2 вхо.n:ят в множество (1 *), так что множество пе
рио.n:ов (1) 'n:ОJIЖНО содержаться в множестве (1 *), С друrой стороны. Ш,
и Ш2 наименыllеe по мо.n:улю перио.n:ы И3 множества (1 *) (не лежа11lие
на о.n:ной прямой, прохо.n:ящей через начало), Отсю.n:а леrко вывести
(см.. например, 2 и 3 fJJ. 1), что перио.n:ы Ш, и Ш2 ЯВJlЯЮТСЯ OCHOB
ной парой перио.n:ов .n:ля множества (1 *). Это 0значает, что множе
ства перио.n:ов (1) и (1*) совпа.n:ают, т. е, что пары (Wl' ш ) и (ш;, Ш )
эквиваJ,ентны.
Мы ви.n:ели выше, что если пары перио.n:ов (w 1 , (2) и (ш;, Ш ) свя
заны СООТНОlllением (2), то величины
"'о
'"C
Ыl '
, "'.
't === ;
(01
связаны СООПЮlllением
, a"+
't === "'("+0 .
(6)
Поэтому в СВЯ311 С понятием эквивалентности пар периодов ecтecт
веНlЮ .n:aTb сле.n:ующее опре.n:еление:
Две точки 't и '"С' ПОЛУШlOскости 1т z > О бу.n:ем называть Эl(61l
60лентНblАtl1, если они связаны соотношением (6), r.n:e 0., , 1, ()
целые чиСJlа, подчиненные УCJlOвию
а() 1 === + 1.
(7)
Да.n:им неСКОЛЫ{Q опре.n:елений. которые позволят нам взr ЛЯНУIЪ
на понятие эквивалентности 'n:BYX точек с более общей точки зреllИЯ.
Обозначим через h множество всех .n:роб11О линейных преобразо
nаний, переводящих точку z в точку
az+
"'(z+o Tz.
rде а., , 1, () любые целые числа, по.n:чинеllные условию (7). (Само
nреобраЗ0вание будем обозначаlЪ символом Т, а результат ero при-
1]
МОДУЛЯРНАЯ rРУППА и ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ
225
менения к точке z символом Tz). ПреобраЗ0вание Т Е h бу.n:ем
отождествлять с соответствующей ему матриuей ( ), считая MaT
риuы ( ) и (= = ) о.n:инаковыми. BBe.n:eM операuию умножения
преобраЗ0ваний, положив произве.n:ение Т 1 Т 2 преобраЗ0ваний Т 1 и Т 2
равным произве.n:ению соответствующих матриu (с помощью неслож
ных вычислений можно проверить, что точку (Т 1 Т 2 ) z резу льтат
применения преобраЗ0вания Т 1 Т 2 к точке z, можно получить, приме
нив сначала к точке z преобраЗ0вание Т2' а затем к точке T 2 z
преобраЗ0вание Т 1 ).
Леrко проверить, что преобраЗ0вания И3 множества h обладают
свойствами:
1. Тож.n:ественное преобраЗ0вание Е входит в множество h (.n:ля
преобраЗ0вания Е имеем ('X () 1, 1 O).
2. Если Т 1 Е h и Т 2 E , то Т 1 Т 2 Е h'
3. Для любоrо преобраЗ0вания Т Е h существует обратное пре
обраЗ0вание ,1 Е h (т. е. такое преобраЗ0вание, .n:ля KOToporo BЫ
полняются равенства т,1 Е, ,1 Т Е).
Иными Словами, множество h образует zpynny относительно
введенной нами оnераЦ1ll1 умножения nреобразоваНllЙ.
rруппа h называется модулярной zpynnou.
Леrко проверить, что rруппа h содержит преобраЗ0ванин, опре
деляемые формулами
T1Z Z+ 1,
1
T2Z
Z
(они отвечают матриuам Т 1 (6 О, Т 2 ( 6)).
Точки 't И 't', эквивалентные в опре.n:еленном ВЫlllе смысле, можно
было бы назвать точками, tcонzруэнтНЫАЩ относительно zpynnbt
nреобразованuй h (так же, как точки 11 + т1Шl + т2Ш2 и и, мы назы
вали конrруэнтными относительно rруппы преобраЗ0ваний Q, состоя
щей И3 с.n:виrов на периоды; см. 2 и 3 r л. 1).
Построение теории модулнрных ЭЛлиптических функuий во MHO
rих ОТНОlllениях похоже на построение теории двонкопериодических
(т. е. эллиптических) функuий. Разниuа состоит ЛИlllЬ в том, что
rруппа Q заменяется несколько более сложной rруппой h'
Сейчас построим для rруппы h область, аналоrичную парал
лелоrрамму периодов .n:ля rруппы Q.
8 А. rУРSlIЦ. Р, I(урант
226
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл,4
т е о р е м а 2. Каждой точке '[' из полуплоскостll 1т z> О
.можно поставить в соответствие КОН2руэнтную ей отНОСllтель
но .модулярной 2руппы точку 'с, удовлетворяющую условия.м
l'tl 1, 1't1 1't+ 11, I tl l't 11, Im't>O. (8)
Действительно, по теореме 1 паре чисел (1. 'с') можно поставить
в соответствие пару (ш1' (2)' для которой
'[' == а;Ш 2 + Шl' 1 == 1Ш2 + ОШl
(а;, , 1, о целые числа и а;о 1 == 1). Поэтому точка 't == "'2 бу.n:ет
"'1
конrруэнтна точке '[' относительно мо.n:улярной rруппы . При этом
1т 't > О, а выполнение остальных He
равенств (8) .n:ля 't сразу же следует
И3 условий (4) на Шl и Ш2'
Условия (8) вы.n:еляют некоторую
область верхней полуплоскости (и ее
rраницу). Эта область леrко описы
вается rеометричеши. Условие I 't I 1
0значает, что точка '1: лежит вне Kpyra
С центром в точке z == О и ра.n:иуса 1.
Условие 1'1: I I '1: + 11 0значает, что
точка '1: лежит слева от прямой, про
1
хо.n:ящей через точку z == 2 параJ[
леJIЬНО мнимой оси (или на этой прямой). Аналоrично условие
I '1: I I 't 1 : означает, что точка '1: лежит справа от прямой, про
1
хо.n:яшей через точку z == 2 параллельно
прямой). Поэтому условия (8) вы.n:еляlOТ
на рис. 44.
С Ш 1С С'
т I [+7
I
18
А А'
/1 т I L 1',
... I 1 т I ,
/ I 1 I '\
I I I I \
" I I : \
, I I 1 ,
I I I I I
l 7 О +L +7
2 2
Рис, 44.
мнимой оси (или на этой
область О, изображенную
т е о р е м а 3. Внутри обласпlll О нет f7l0чеlС, КОН2руэнтНblХ
,между собой относительно 2руппы 1:.
Заметим сначала, что в области О заве.n:омо нет точек, перехо.n:я
щих .n:pyr в .n:pyra при преобраЗ0ваниях rруппы 1:, отвечающих MaT
рице ( ) с 1 == О. Действительно, И3 услоuия а;о 1 == 1 при
1 == О сле.n:ует, что а; == о == + 1, а преобразоuание ви.n:а z + (
целое число), очевидно, выво.n:ит любую точку области О за ее пре-
делы (если, конечно, * О, т. е. если 't * '1:').
Допустим теперь, что существует преобраЗ0вание T==( )
(с 1 * О) И3 rруппы 1:, l1ереводящее точку 't Е о в точку '" Е о.
!i I)
МОДУЛЯРНАЯ rРУППА и ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ
227
,a'l:+ , а I
ЗаПИIll6М равенство 't == )''1:+ В в виде 't =="1 "( ("{'t+ В) ' И3 ЗТОЙ
записи ви.n:но, что
I 't' 11 't + 1 == 2 ' (9)
Но и точки действительной оси, а область Q отстоит от
)' '(
I V
.n:ействительной оси на расстояние 2 3. Поэтому для целOl'О ЧИСJrа 'l
возможны только значения т == + 1. Тоrда равенство (9) принимает
ви.n: 1 't' -+ а.1 ! 't + () 1==1 (а. и () целые числа). Для внутренних точек
области О это равенство невозможно, так как расстояние от любой
внутренней точки области О до любой целой точки на действительной
оси cтporo Болыlle единицы.
Тем самым теорема .n:оказана.
На rранице области О имеются точки, конrруэнтные меж.n:у собой
относительно rруппы 1:. Действительно, точки, лежащие на верrи
кальных сторонах области О, перево.n:ятся .n:pyr в .n:pyra преобразо
ванием Тl' определенным формулой T 1 z==z+ 1 (или обратным
к нему преобра30ванием Т; 1). Сторона области О, являющаяся 'n:yi оЙ
окружности I z I == 1, перехо.n:ит в себя при преобраЗ0вании T , (юре
деляемом формулой T 2 z == . При этом левая половина стороны
z
перехо.n:ит в правую, а правая в левую (точка z == i остается на
месте).
Просмотрев .n:оказательство теоремы 3, уви.n:им, что И3 прове.n:ен
ных там рассуж.n:еllИЙ сле.n:ует, что е.n:инственными преобра::'ОВJНИЯМИ,
которые MorYT перево.n:ить точку 't Е (] в точку 't' Е О, являются
преобраЗ0вания Тl' Т; 1 И 72'
Для Болыllйй анаЛОrии с пара.1Jлелоrраммом перио.n:ов бу.n:ем реС-
сматривать область О как четырехуrольник с вершинами в точках
00, e 21ti / 3 , i, e i / 3 (на рис. 44 они обозначены С. А, В, А' COOTBeTCT
венно). Область О, дополненную вертикальноЙ стороной (00, е 2т щЗ),
дуrой окружности (e 21ti / 3 , i) и веРlllинами А == e 21ti / 3 и В == i. бу.n:ем
называть Фунда.ltенталыюй областью Аtoдулярноii 2руппы l:.
И3 сказанноrо BbIllle неме.n:ленно вытекает
Те о р е м а 4. Каждая точка полу плоскости Iш z > О KOH
2руэнтна относительно 2руппы 1; одной и только одной точке
фундаментальной области этой 2руппы.
rеометрически теорема 4 0значает, что множество областей, KOH
2РУЭН/llНЫХ С Фунда_ltентальной областью относительно 2руппы ,1;,
пО/срывает всю полуплоскосmь lш z > О без дыр l( без перекрытий
(так же, как параллеЛOl'раммы перио.n:ов покрывают всю плоскость).
Параллелоrраммы перио.n:ов обла.n:али очень у.n:обным своЙством:
их можно было строить, исходя И3 любой точки плоскости. Фун.n:а
8*
228
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл, 4
ментальная оБJJaСТЬ мо.n:улярной rруппы таким свойством не обла
дает. Однако некоторая свобо.n:а в построении фун.n:аменталыюй
области rруппы 1: все же есть, ЯСНО, что если мы у.n:алим И3 обла
сти О некоторое множество точеl{, но добавим вместо HerO KOHrpy
энтное ему множество, то полученная область также бу.n:ет фун.n:амен-
тальной Qбластью. Поэтому мы можем, например, несколько .n:ефор-
мировать левую вертикальную сторону области О (оставляя на месте
верlllИНУ А) и параллельно ей .n:еформировать правую вертикальную
сторону. Получающаяся при этом область по прежнему останется
фун.n:аменталыюй областью rруппы 1:. Аналоrично мы можем .n:ефор
мировать левую .n:yry окружности (оставляя на месте веРlllИНЫ А и В)."
Tor.n:a .n:ля получения фун.n:аменталыюЙ области мы должны замеlIИТЬ
правую .n:yry окружности некоторой КРИВОЙ, в которую .n:еформиро
ванная левая дуrа перево.n:ится преобраЗ0ванием 1'2 (з.n:есь, как и Bblllle,
1' 2 z === ).
в заключение отметим, не приво.n:я .n:оказательства (оно хотя и
элементарно, но несколько кропотливо), сле.n:ующий интересный факт:
Любое преобразоваНllе zpynnbt 1: можно записать в виде
т === 1' L T I 1':" 1' 2 .,. T n 1' n.
2де а.], ]' .", а. ю n некоторые целые числа.
Иначе этот факт формулируется так:
/руппа является zpynnou с двумя образующими Т] 11 1'2,
определеННЫАtll фор.лсулаАtll T 1 z === z + 1, 1' 2 z === .
z
2. Модулярные функции и модулярные формы
Аналитическую функцию 'f (t), о.n:нозначную в полуплоскости
1т 'i: > О И не имеющую там особых точек, отличных от полюсов,
мы бу.n:ем называть Аюдулярной функцией, если .n:ля любоrо пре
обраЗ0вания Т И3 мо.n:улярной rруппы нмеет место равенство
'f (1''i:) === ер ('i:),
(1)
справе.n:ливо е при всех 'i: И3 полуплоскости 1т 'i: > О.
Если ВОСПОЛЬЗ0ваться ПОСJIе.n:ним замечанием пре.n:ы.n:ущеl'О па
раrрафа, которое мы привели без .n:оказательства, условие (1) можно
заменить более простым условием
'( ('i: + 1) === ер ('i:),
'f ( +) === 'f ('i:).
l\\o.n:y лярные ФУНКЦИИ БО MHOrOM аналоrичнЫ эллиптическим фун
кциям и их теорию можно строить примерно тем же путем, каким
БыJIi. построена теория эллиптических ФУНКЦИЙ в rл. 1 (разумеется,
2]
МОДУЛЯl'НЫЕ ФУНКЦИИ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
229
с некоторыми усложнениями, вызванными более сложным устрой
ством rруппы l: по сравнению с rруппой Q). Теория мо.n:улярных
функций послужила отправным пунктом для построения более общей
теории автоморфных функций, 1I0лучающейся при замене rруппы 1:
более или менее произвольной rруппой. Изложение этих теорий не
вхо.n:ит в наlllИ планы.
О.n:норо.n:ную функцию 'n:BYx переменных g«(J)l' (2)' определенную
'"
для значений Ф1 и Ф2' у.n:овлетворяющих условию 1т > О, бу.n:ем
"'1
называть модулярной формой. если эту функцию можно пре.n:ставИ1Ъ
в ви.n:е
g«(J)l' (2) == (J) f( :: ).
r.n:e функция f('t) является о.n:нозначной аналитической функцией в
.полуплоскости Im't > о. не имеющей там особых точек, отличных
от полюсов. и если значение функции g«(J)l' (2) не меняется при
замене пары (Ф1, (2) эквивалентной ей парой (Ф:, Ф ).
Jlе["ко ви.n:еlЪ, что если пО1сазатель однородности (число /, в
фОРМУJlе (2» Аюдулярной фОрМЫ равен нулю, то ФУЮСЦllЯ f('t) 113
ФОРМУЛЫ (2) является модулярной фУЮСЦllей.
Мо.n:улярные формы иноr.n:а называют также отНОСllтеЛЬНЫАЩ
llHBapnaHma.ltI1, а мо.n:улярные функuии абсолютНЫАШ IIH8apи
антаАШ.
(2)
в СВЯ3И С за.n:ачей, о которой БЫJIO сказаllО в начале r лавы. пас
бу.n:ут интересовать r лавным обраЗ0М так называемые элементарные
МО'n:УJlЯрные формы
g2 == g2 (Ф1' (2) == 6U l:' (m j (J)l + т2(2) \
g,1 == gз (Ф1' (2) == 140 l:' (тlШI + т2 ( 2) 6,
f:" == f:" (ш l , (2)==g 27g;
Эти функции .n:ействителыlО являются мо.n:улярными формами, В самом
.n:еле. непосре.n:ственно видно, что при замене пары (ш 1 , ( 2 ) ЭIШ[Нlа
лентной ей парой (ш:. ш:) величины gi, и gз (а 3l1ачит, и д) не Me
НЯЮТCl1, С .n:руrой стороны. C01'JlaCl1O формуле (5) 12 rл. 2, имеют
место сле.n:ующие выражения .n:ля величин g2 g2 (ш 1 . ( 2 ) и g:l==gз «(J)j. ( 2 ):
00 00
( 21< ) 4 ( ] п 3 h 2n ) ( 21< ) 4 /1 2 n }
g2== "'1 12 +,t.. ] h2n == (01 \12+20,,- r.. з (п)h ,
n 1 n J
00 00
( 21< ) 6 ( 1 7 '\" ll "h2n ) ('21< ) 1; { 1 7 '\1 2 n }
gз == 216 3 1 h 2n == \';1 216 3 ,t.. r..r; (п) 11 .
n I n==.l
230
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Irл.4'
З.n:есь h === ехр (7ti't) === ехр (тci ). а 3 (n) и o (n) суммы третьих н.
пятых степеней .n:елителей числа n, И3 приве.n:енных формул ви.n:но,
что функuии f('t), отвечающие пре.n:ставлению величин g2 и gз В llи.n:е-
(2), реrулярны в полуплоскости 1т "> О (поскольку Tor.n:a I h 1<1,
а при 1/11 < 1 написанные ря.n:ы схо.n:ятся абсолютно и равномерно).
Таким обраЗ0М, мы .n:оказаJIИ, что g2' gз и д являются .I{Одуляр
НЫЛfll фОрЛfаЯ1l с nоказатеЛЯЛfll однородности 4, 6 11 lZ
соответственно,
Нам пона.n:обится еще формула .n:ля .n:искриминанта д, получеIl
ная в 1 О r л, 2:
О>
( 2 \ 12 J I ( 2 ) 12
д === (O ) /12 (1 /1 2п )2" == "' (h 2 24h 2 +. . ,)
n l
(11 == e 1ti ').
И3 этой фОр:l>lУЛЫ ви.n:ио, в частности, что д11скраманант Д не обра
щаеmся в нуль в nолуnлоскостll 1т 't >0.
с помощью величии g2 и Д можем построить мо.n:улярную фуш{uию
J ( 't ) == gБ === 1 27g
Ll Ll
(эта ФУIlКUИЯ является модулярной формой, как ОТНОlllение 'n:BYx MO
дулярных форм, а ее показатель о.n:норо.n:ности равен нулю). Из фор
му,'1 .n:ля g2 и Д ВИЩIO, что мо.n:улярная фуикuия J('t), которую обычно
называют абсолютны.!С llHBap"aHmO.Al. реrулярна в ПОЛУIIJIOСКОСТИ
lm't>O.
Абсолютный инвариант J(-r) является о.n:ной И3 наиболее простых
мо.n:улярных функuий. Он ИI'рает в теории I\IО'n:УJlЯрНЫХ ФУНlЩИЙ при
мерно ту же рот" что и 8 J -фуНlЩИЯ Вейерштрасса в теории эллипти
чеСКIIХ функuиЙ.
3. Решение уравнения J('t)==a
Нас бу.n:ет интересовать вопрос о разреlllИМОСТИ уравнения J('t) == а
при любом за.n:анном значениИ а, Вви.n:у ТOl"О, что J('t) МО'n:УJlЯрная
функuия, все значения, которые ФУНlщия J ('t) принимает в полупло
скости Iш 't > О, она принимает и в фун.n:аменталыюй области О rРУIIПЫ
1;, Для IIalllИХ uелей бы.11О бы вполне .n:остаТОЧIlО .n:оказать, что Функ
ЦllЯ J (о;;) npllHll.Ataem в Фунда.АtеНlllальной области любое конечное
значеНllе а, но мы .n:окаже:\1 .n:аже несколько Болыll..
Преж.n:е Bcero най.n:ем значения функuии J('t) в веРlllинах Фунда
ментальной области, т. е. в точках 't == i и 't == е 2 "1J3.
31
РЕlllЕНИЕ УРАВНЕНИЯ J (т.) а
231
При 't i имеем
"'1 '\1' . 6 ' 6 '\1'. 6
140 gз (т. + [т2) == l ... ( lm. + т2) .
(1)
Но
[ 6 !' ( [т. + т2) 6 !' ( [т. + т2)6 !' (т. + [т2) 6.
nосколы<у множество всеrюзможных пар (т2' т.), r.n:e т., т2
целые числа, совпадает с множеством всевозможных пар (т.. т2)'
Следовательно, равенство (1) означает, что gз gз, т. е. что gз О.
Поэтому J(i) 1. Более тот, И3 равенства 1 J('t) '2 " и И3 ТOI'О,
что .n:искриминант t. не обращается в нуль, сле.n:ует, что в точке 't l
функция J('t) 1 имеет нуль кратности 2" (" 1 целое число),
При 't e21tii3 обозначим .n:ля краткости e'.!1ti!3 == р и напишем оче.
1
видные равенства р2, р2 + р + 1 О. Принимая во внимание эти
р
pal3elJCTBa. можем написать
",' 'У '\1'
6 g2 "" (т. + т2P) 4 == p 4 "" (т.р2 + т2)'4 ===
1 '" 4
=== .p ( тl т.р + т2) .
(2)
Но
1 '\1' '\1'
р "" ( ml+m2 m.P) 4=== "" (m l +m 2 P)."',
поскольку множество пар (т2 тl' т.) совпа.n:ает с множеспюм
I
пар (т., т2)' Сле.n:оватещ,но, И3 равенств (2) вытекает, что g2 === р' g2
т. е. что g2 === О. Поэтому J (e 21ti ;:J) О. Более Toro, И3 равенства
J(t)===g;/t. ви.n:но, что функция J('t) имеет в тОчке 't===e21tiI3 нуль
крапюсти 3,,' (,,' 1 целое число).
т е о р е м а 1. Каждое конечное значение а, отличное от нуля
l/ от едll1illЦЫ, фУНКЦl1Я J('t) прщт.мает в фундаментальной об
лаСf1lи ровно один раз,
Заметим прежде Bcero, что мы можем без оrраничения общности
считать, что функция J('t) на rранице фун.n:аментальноЙ области не
принимает значения а. В противном случае мы Mor ли бы .n:еформи
ровать фундамеrпальную область способом, Описанным в КОнце 1;
при этом способе .n:еформации нельзя изменить верlllИНЫ фун.n:амен-
талыюЙ области, но это и не нужно. так как значение а отлично от
нуля и от е.n:иницы и потому не принимается в верlllинах.
Возьмем теперь .n:остаточно Болыllеe число с> О и обозначим
через АС часть фундаментальной области А, лежащую в полуплоскости
232
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
[fл,4
1т 't: < С (рис. 45). И3 формул преды.n:ущеl'О параrрафа .n:ля g2 и А
ви.n:но, что функция J('t:) стремится к бесконечности при h О, т. е.
при 1т 't: + 00. Поэтому на rранице области ОС при .n:остаточно
БолыllмM с функция J('t:) а не обращается
в нуль. Рассмотрим интеrрал
Рис, 45.
1 С J' ('t) 1 С
21ti ) J (....) а d.t 21ti d]n {J('t:) а}.
дО с dO c
Как было .n:оказано в 9 rл. 5 ч. 1, этот
интеrрал равен числу нулей N функции
J('t:) а в области ОС С .n:руrой стороны,
интеrрал по rранице дО с области ОС можно
nре.n:ставить в ви.n:е суммы интеrралов
в в С' с с
J J+J J+J
А А' А' А С'
по .n:yraM и отрезкам прямых, составляющим rраницу области ОС'
В силу равенств
, 1 )
J\ J('t:),
J('t: + 1) J('t:)
nреобраЗ0вание '" 't: + 1 перево.n:ит отреЗ0К АС в отреЗ0К А'С' и
1
в С{1ЛУ Toro, что преобраЗ0вание о{ перево.n: ит дуrу АВ в .n:y
ry А' В, первый интеrрал в этой сумме равен второму, а третий
четвертому. Следовательно, наша формула .n:ля числа нулей N функ
ции J('t:) а в области ОС принимает ви.n:
. 1
'C '"2
N 2 i dln {J('t:) a}
iC+
2
(3)
(иБО С Ёс + ; , а С' ic ). Из формул nредыдущеrо пара-
rрафа для g2 и А без Tpy.n:a получаем, что
J( ) h 2 ( 1 +а h 2 + ) e 21ti ( 1 +а e 21ti + )
't: 12 1 ... 12 1 ... .
П б ( ' 1 . + 1 )
оэтому при .n:остаточно олыllхx с на отрезке [с '2' lС '2
бу.n:ет справе.n:ливо разложение
In (J('t:) а) == 2тсЁ'!: + lп 112 + a e21ti' +....
4]
РЕlllЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИй g. а, g. ь
233
и мы получаем И3 формулы (3) равенство
. 1
'C 2 00
N == 2 i ( 2'1ti + ! a e21tiт) d'C == 1.
ic+ 1
2
ЭТО равенство и .n:oKa3bIBaeT теорему.
с помощью аналоrичных рассуж.n:ений мы моrли бы .n:оказать, что
значение О функция J('C) принимает в фундаментальной области только
В верlllине А, а значение 1 в верlllине В. При этом знаtiение О
принимается 'n:BYKpaTHo, а значение I трехкратно. Необхо.n:имые .n:ля
этоrо .n:ополнения к .n:оказательству состоят В том, ЧТО мы 'n:ОЛЖНЫ
обойти верlllИНУ (в которой J('C) а обращается в нуль) по малень
кой окружности, а затем найти предел интеrрала по этой окружности,
КО1'да ее ра.n:иус стремится к нулю. Поскольку функция J (:; а имеет
только простые полюсы с вычетами, равными кратности нуля функции
J('C) а, леrко сообразить, что предел интеrрала по маленькой
окружности равен кратности нуля, умноженной на величину уrла
в соответствующей верlllине. Провести детальные рассуж.n:ения .n:ля
этоrо случая предоставляем читателю. Для .n:альнейшеrО этот факт
нам не пона.n:обится.
Заметим еще, что теорема I во MHoroM аналоrична теореме О том,
что эллиптическая функция в параШ1елоrрамме перио.n:ов принимает
все значения и притом о.n:инаковое число раз. Теорему 1 также можно
было бы сформулировать в ви.n:е: фУНIщия J('C) принимает в фун.n:а
ментальной области псе значения и притом ровно о.n:ин раз. O'n:HaKo
.n:ля ЭТОI О ПРИШJlОСЬ бы ввести .n:овольно СJЮЖНЫЙ способ для опре
деления кратности значения, принимаемоrо в веРlllине фун.n:аменталь
ной области.
4. Решение системы уравнений g2 == а, gз == Ь
Пусть а и Ь произвольные комплексные числа, у.n:овлетворяю
щие условию
а 3 27 Ь 2 * О.
РеlllИМ систему уравнений
g2 (UJ 1 , UJ 2 ) == а, }
gз (UJ 1 , UJ,J == Ь.
(1)
Рассмотрим три случая.
234
ЭЛЛИIIТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
[rл. <t
с л у чай 1. а === о.
Обозначим опять р === е 2и [3. Кш{ МЫ ви.n:ели в 3, при J1\оБО!\l\
(J)j =1= О имеет место равенство
g2 «(J)j, (J)jp) === а === о.
Опре.n:еJ1ИВ (J)1 И3 равенства
G 140 ' ( + ) 6
(J)j === -ТJ" ko тl т2Р
и положив (J)2 === (J)1 . р, ПOJ1УЧИМ искомое реlllение системы ypaBHe
ний (1).
с л у чай 2, Ь === о.
Как мы ви.n:ели в 3, при любом (J)j =1= о им т место равенсТlЮ
gз «(J)I' (J)1 i) === о,
так что реlllение системы (1) .n:ается ФОРМУJ1ЗМИ
i 60 ' ( + ;\ 4
(J)1 === а "- т) т2 1 },
(J)2 === (J)li.
с л у чай 3. а =1= О, Ь =1= о.
В этом СJlучае система уравнений (1) Р2ПНОСИJlьна системе
g2 (ш J . ( 2 ) !1:... ]
gз (Ш н ( 2 ) ь .
gЛ (ш l , ( 2 ) аЗ
3 '):1 ;} 12.
g2 (ш l . ш") 7gз (ш" ( 2 ) а 27Ь
(2)
Рассматривая в качестве ИСКОМЫХ величин не (J)1 и (J)2, а (J)1 и 't.
заПИlllем систему (2) в ви.n:е
(J)2 === === 140 ' (1111 .+ т2't) 6
j Ь 60 ' (т 1 J т2't) 4 .
аЗ
J('t) a;j 27b2 .
По Teope le 1 3 последнее уравнение имеет реlllение 't в фунда
ментаJ1ЬНОЙ области rруппы 1:. После отыс!{ания 't мы нахо.n:им И3:
nepBoro уравнения (J)j, а затем и (J)2 === (J)j't.
ТаКИ:\1 обраЗ0М, задача, поставленная в на'lале этоЙ r J1ЗВЫ. ПОJl
[!Остью pellleHa:
Вспда ВОЗАlOЖ,чо выбрать nерlюды (J)1 1l (J)2 ттCllЛС образом.
чтобы l1HBapllGHnlbl g2 1l gз имели заданные значения а II Ь, еСЛll
толысо числа а 1l Ь удовлетворяют условию
аЗ 27Ь 2 =1= О.
51
РЕlllЕНИЕ 'РАВНЕНИЯ х' (-r) а
235
5. Решение уравнения х 2 ('::) === а
в 3 r л, 3 мы ви.n:ели, что эллиптическая функция sn и удовлетпо
ряет .n:ифференциальному уравнению
( d sn u у . о
/ ===(1 sn2U)(1 x2sn.u).
При этом величина x , как ФУНКllИЯ 't. опредеJlялась равенство:\!
х 2 I} (О) е 2 е"
{il (О) е ! е з
(1)
(2)
Определяемая таким обраЗ0М величина х 2 является о.n:нозначной
-функцией параметра 't в полуплоскости 1т 't > О, отличной от О и 1
(числа ej' е2' ез должны быть попарно различны), Естественно, B03
никает IJОПрОС: можно ЛИ при любо!\! значении а (от личном от О и 1)
.реlllИТЬ уравнение
x 2 ('t)===a
(3)
(в полуплоскости 1т 't > О)?
Положим
2 a
ej=== ,
2a 1
е2 === -З---- t
а+l
ез===
-так, чтобы ВЫПОЛНЯJIИСЬ равенства
е2 ез ===а
еj ез
и
е! +е2+ез==0.
Соrласно формулам (8) 7 rл.
g2 === 4 (ej e 2 + е2ез + езеj)'
gз === 4еjе ез,
J{poMe Toro, видно, что при а, отличном от О и 1, ЧИ(.1lа e j , е2 и ез
llOпарно различны, тш{ что дискриминант
g 27 gfi === 16 (е! е2)2 (e е з )2 (ез ej)2
-отличен от нуля, Поэтому, соrласно результата!\! преды.n:ущеrо пара
rрафа, можно найти перио.n:ы Ш j и Ш2 таким образо:\!, чтобы числа g2
11 gз были инвариантами. Ясно, что най.n:енное значение 't у.n:овлетво
ряет при этом уравнению (3). Итак:
Каждому числу а, отличному от нуля и едиНIЩbl, отвечает
эллиптическая функция sn и. удовлетворяющая дllффереНЦllаль
н,ому уравнеНllЮ
( d sn u ) 2 2 2 2
dU === (1 sn и) (1 х sn и).
rлава пятая
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ,
СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ФУНКllИЯМИ
1. Алrебраические кривые и униформизация
Множество пар I<ОМПJ1еl<СНЫХ чисел (z, w), у.n:овлетворяющих
алrебраическому уравнению
O(z, w)==O (1)
(O(z, w) мноrОЧJlен от своих переменных), бу.n:ем назьшать аЛ2ебраи
чес1СОй 1СрllВОЙ. ТОЧ1СОй аЛ2ебраl1Чес1СОЙ 1Сривой называетСЯ каждая
пара (z, w), у.n:овлетворяющая уравнению (1).
(Следует признать, что термин «алrебраическая I<ривая» не слиш
ком у.n:ачен; el"O происхож.n:ение объясняется тем, что множество пар
.n:ействительных чисел (х, у), у.n:овлетворяющих уравнению (1), .n:ейст-
вительнО изображает алrебраическую кривую на плоскости (х, у),)
О.n:ной И3 центральных за.n:ач в теории алrебраических кривых
является за.n:ача УНДфОрМllзаЦllll алrебраической кривой, т. е. пре.n:
ставление реlllений уравнения (1) в ви.n:е
z == rp (ll), W == '1> (и),
r.n:e rp (и) и '1> (11) о.n:нозначные аналитические функции.
В этой rлаве мы бу.n:ем заниматься алrебраическими кривыми
.n:овольно специальноrо Би.n:а, отвечающими уравнению
w 2 == О'" (z), О" (z) == aoz 4 + alz3 + a2z2 +- азz + а", (2)
r.n:e на постоянные ао, аl' а2' аз, а" наложено только O'n:HO условие:
уравнение О" (z) == О не .n:олжно иметь кратных корней, а коэффи
циенты а о и аl не равны нулю o'n:HOBpeMeHHo, т. е. О'" (z) МНOI"О
член третьей или четвертой степени, но не ниже." АлrебраичеCl<ие
кривые описанноrо вида мы будем называть эллиптическими,
РеlllИМ за.n:ачу об униформизации простеЙlllей алrебраической
крИВОЙ интересующеrо нас вида, именно, алrебраической кривой
== 6
!! 21
АлrЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ w 2 0з (z)
237
З.n:есь g2 И gз любые комплексные ЧИСJ1а, по.n:чиненные условию
gJ 27 g;i -=1= О,
0значающему отсутствие кратных корней.
в 4 r л. 4 мы .n:оказали, что ncer.n:a можно найти перио.n:ы OJ 1 и
OJ , для которых выполняются равенства
601:' (ПZ1 OJ l + Пl2OJ2) 4 ===g2' 1401:' (тlШl + т2Ш2) 6==gз,
о)
причем 1т > О. Если обозначИ1Ъ через r (и) функцию ВейеРlllтрасса,
0)1
построенную по перио.n:ам OJ 1 и Ш2' то эта функция 6y.n:eT у.n:овлетво
рЯ'lЪ .n:ифференциалыюму уравнению
KJ'2 (и) === 4A;f' (и) g2KJ (и) gз,
Сле.n:овательно, пара (z, w), r.n:e
z === r (и),
w === AQ' (и),
(4)
6y.n:eT при любом u точкой алrебраичеCl{ОЙ кривой (3). Тем самым
pellleHa за.n:ача об униформизации ашебраической кривой (3).
Покажем, что равенства (4) устанавливают взаимно однознач-
ное coomBemCfn611e .между точками аЛ2ебраllческой Крllвой (3) и
точкаМll параллеЛО2раМ..ма nepllOanB ФУНКЦ1111 r (и) (если пару (00, 00)
также считать точкой алrебраической кривой).
Мы знаем, что уравнение z === r (и) имеет в параллелоrрамме
перио.n:о в два реlllения III и и2' причем ll2 = иl, Поэтому ff1 (и2) ==
=== AJ' (lll)' Сле.n:ователыю, если точка III отвечает паре (z, w),
то точка и отвечает паре (z, w). Таким обраЗ0М, при w -=1= О каж.n:ой
точке (z, w) алrебраической кривой отвечает ровно одна точка и
nараллелоrрамма перио.n:ов, Но при w == О имеем AQ' (ll) === О, так что
оба реlllения III и и2 уравнения r (и) == z совпадают. Тем самым Hallle
уrперж.n:ение полностью .n:оказано,
Результат, полученный нами для специальноrо случая алrебраиче
ской кривой (з), леrко перенести и на случай любой эллиптической
алrебраической кривой. Эro мы сделаем в 'n:BYx сле.n:ующих пара-
rрафах.
2. Алrебраическая кривая w 2 == АЗ (z)
Итак, пусть .n:aHa алrебраическая кривая
w2===аоz3+аjz2+а2z+аз (ао -=1= О) (1)
и пусть мноrочлен 0з (z) == aoz 3 + alz2 + a2Z + аз имеет три ЦОЩIРНО
ра3J1ИЧНЫХ корня. Сделаем замену переменных
z== z,+b W 1
а · w== a
238 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОвы ПОВЕРХНОСТИ
rrл,5
в новых переменных уравнение (1) примет ви.n:
2 GfJ ' +(3 a b+ ) 2 +
W J == a ZI а а, ZJ . . .
(2)
Подберем числа а и Ь таким обраЗ0М, чтобы коэффициент при Z;
в уравнении (2) стал равен 4, а коэффициент при zi обратился
в нуль. Этоrо можно .n:обиться, положив
а 1
а ==
4 '
Ь а"
== 12
Тоrда уравнение (2) примет ви.n:
wi == 4z g2 Z 1 gз
(коэффициенты g2 и gз J1erKO выражаются через аl' а2' аз, а(). Дискри
минант g 275 полученноrо уравнения ОТJlИчен от нуля, так кш,
уравнение (1). а значит. и уравнение (2) имеют только простые корни.
Применяя результат, полученный в 1, видим, что пара (z, w), r.n:e
z== :I (r(ll) 2 )'
4
W== r'(ll)
а 1
(3)
при любом и является точкой аJlfебраической кривой (1). При этом
точки параллелоrрамма перио.n:ов функции r (и) (с инвариантами g2 и
gз) уравнения (3) прихо.n:ят во взаимно о.n:нозначное соответствие с
точками алrебраической кривой (1),
Задача об униформизации алrебраической кривой (1) pellleHa.
3. Алrебраическая кривая w 2 == О( (z)
Наконец, пусть дана алrебраическая I'ривая
w 2 == ao + аlZ З + a2 z2 + азz + а( (ао :j=. О), (1)
r.n:e IIIноrочлен О( (z) == aoz( + аlZЗ a2z2 + азz а( имеет четыре
попарно различных корня,
Делаем замену переменных
1 w 1
z== +r:J-, W==
Zl Z '
в новых переменных уравнение (1) принимает вид
w; == ао (1 + CXZ1)( + aJzJ (1 + СХZJ)З +
+ a2z (l + схzд 2 + азz (1 + схzд + a z . (2)
ЕСJIИ в качестве СХ взять корень уравнения О( (z) == О, ТО коэффи
циент при z обра ится в нуль и уравнение (2) примет вид
w == blZ + b 2 z 2 + Ьзz + Ь",. (2*)
4]
АлrЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ЛЕЖАН.I1.РА
239
Соrласно пре.n:ы.n:ушему параrрафу после.n:няя алrебраическая кривая
.n:опускает униформизацию с помощью формул
ZI == i (8J (и) f2 ) , Wl === i Q' (и).
Следовательно, алrебраическая кривая (1) .n:опускает униформизацию:
Ь 1 + bIS J ' (и)
Z 4(8J(и) f2 ) а., W 4( 9(и) )2'
Заключительный результат сформулируем еще раз:
т е о р е м а. ТОЧ1Си (z, w) пРОllЗ80лыюii эллиптllчес1СОй аЛ2ебра
llческоii КрllВОЙ
, 2 ( + 3 + 2 + +
w == aoZ alZ a2z азz а(
можно представить 8 виде
(3)
Z==ep(ll), w=== ер' (и), (4)
2де ер (и) не1Соторая эллtlптичеС1Сая ФУН1Сlltlя втОрО20 порядка,
ll.llеющая вид
aS J (и) +Ь
ер (ll) == c8J (и) + d
(ad bc== 1)
(если а о === О, то ер (и) является линейной функцией от 8J (и)), Уравне-
НllЯ (4)устанавливают взаимно однозначное соответствие между
точкаМll аЛ2ебраической кривой (3) II точка.лш параллеЛО2раМ.Ilа
периодов эллиптической ФУНКЦllll <р (ll).
Сущность Halllero .n:оказательства, l{aK HeTpY'n:Ho заметить, СОСТОЯJШ
в том, что с помощью замены переменных
az 1 +b ad bc
z === cZ 1 d ' w ==W 1 (cZ 1 +d)'
мы перево.n:или алrебраическую кривую (3) в алrебраическую КРИВУЮ
w ==4z g2Z1 gз,
рассмотренную в 1.
4. АлrебраичеСl{ая кривая Лежандра
Алrебраическую кривую
w 2 == (1 z2)(1 az 2 ),
(1)
r.n:e а любое комплексное число, отличное от О и }, наЗыва
ют аЛ2ебраической кривой Лежандра, так как изучение 9ТОЦ аше-
браической кривой леr ло в основу классических исследовани Ле-
жан.n:ра по эллиптическим интеl'ралам.
Ясно, что алrебраическая кривая (1) является частным случаем
алrебраических кривых, рассмотренных в предыдущем параrрафе,
240
АЛfЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫR И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
[fn.5
O'n:HaKo мы можем найти униформизацию этой алrебраической кривой
и непосре.n:стпенно,
Пействителыю, cor ласно 5 пре.n:ы.n:ущей r лавы уравнение
)(2 ('t)=== а
(a:;t: О, a:;t: 1)
Bcer.n:a имеет реlllение в полуплоскости 1т 't > О. Отвечающая этому
решению 't функция sn и У'n:ОВJ1етворяет .n:ифференциальному ypaB
неllИЮ
( dSnU ) 2 2 2
dU === (1 sn ll)(l а sn ll).
Поэтому униформизация алrебраической кривой (1) осуществляется
,форму лами . '
z === sn 11,
d
W === du SN 11.
5. Тополоrическая при рода эллиптической
алrебраической кривой
Алrебраическая кривая (вопреки своему названию) пре.n:ставляет
собоЙ .n:вумерную поверхность в четырехмерном пространстве. Пействи
тельно, полаrая z === х + iy и w === и + iv, получаем И3 уравнения
Q(w, z) === О 'n:Ba уравнения
Re О(и + i'l', Х + iy) === О,
1т О(и + iv, х + iy) === О,
сня3ывloщиеe четыре .n:ействительных переменных):, у, и, v. Наrля.n:-
ное rеометрическое представление .n:вумерной поверхности в четырех-
мерном пространстве с сохранением всех метрических СОотношений
.n:оволыю затру.n:нителыю. O'n:HaKo во мноrих случаях сохранение всех
метрических СООТНОlllениЙ и не нужно 'n:J1Я наrля.n:ности, Чаще бывает
необхо.n:имо правильно пре.n:ставИ1Ъ тополоrическую картину изучае-
11101'0 объекта, т. е. заменить изучаемыЙ объект 'n:РУI'ИМ так, чтобы
точки этих объ\:ктов находились во взаимно о.n:нозначном соответст-
вии и чтобы непрерывному изменению точки o'n:Horo объекта отвечало
непрерывное изменение точки .n:pyroro объекта. (В этом случае rOBO-
рят, что один объект топОЛО2llчеСКll эквивалентен .n:pyroMY.)
Мы покажем сеЙчас, как построить простеЙlllУЮ поверхность,
ТQполоrически эквиваJ1ентную эллиптическоЙ алrебраическоЙ кривой
w 2 === O (z), O (z) === a o z 4 + alz3 +. . . + a ,
(1)
При этом построенная нами поверхность бу.n:ет конечноЙ, а непрерыв
ность соответствия в окрестности точки (00,00) алrебраическоЙ кривоЙ
'мы qy.n:eM понимать rеометрически, изображая ЧИСJ1Э z и W точками
на сфере Рцмана;
5]
тоnолоrИЧЕсКАЯ ПРИРОДА ЭЛЛИnТИЧ, АлrЕБРАИЧ, КРИВОй
241
llля обещанноrо построения используем найденную ранее униформи
зацию эллиптической алrебраической кривой. Cor ласно теореме 4
формулы
z === ер (и),
w === ер' (и)
(2)
устанавливают взаимно о.n:нозначное соответствие между точками
параллелоrрамма периодов эллиптической функции ер (и) и точками
<Jлrебраической кривой (l). 3амеТИ I, что это взаимно однозначное
'соответствие не бу.n:ет непрерывным, так как сколь уrодно близкие
точки алrебраической кривой MorYT отвечать .n:алеким точкам паралле-
лоrраУ.ма перио.n:ов. llействительно, рассмотрим на сторонах паралле-
лоrрамма перио.n:ов точки
1-1 и 1-1' === [1 + W I , 'У и ,,' === 'У + Ш 2
(рис. 46), rде W 1 и Ш 2 перио.n:ы функции ер (и). И3 перио.n:ичности
функции ер (и) следует, что точки 1-1 и [1' (аналOl-ИЧНО 'У и 'У') соответст-
вуют одной и той же точке алrебраической кривой (1). (Взаимной
с
d
с 'l1
/!
ft
Ь
о а v
Рис. 46. Рис. 47.
/1' /,.
/l
11
Рис. 48.
()днозначности Halllero соответствия это не противоречит, так как
к параллелоrрамму периодов мы причисляли ПD о.n:ной И3 двух про-
тивоположных сторон, и обе точки [1 и [1' не MorYT принадлежать
nараллелоrрамму периодов.) Если мы возьмем внутри параллелоrрамма
точки Vol и 1-1;' близкие к точкам [1 и [1' соответственно, то эти дале
кие между собой точки будут r,IереходJПЬ в близкие точки алrебраи-
ческой кривой (1). АнаЛОl"ичное положение имеет место и .n:ля точек,
близких к точ'Кам 'У и 'У'. llля Toro чтобы сделать имеющееся взаимно
()днозначное соответствие непрерывным, мы .n:олжны сделать близкими
те ТО>IКИ, которые отвечают близкиjVI точкам алrебраической кривой.
Этоrо можно достичь следующей простой rеометрической операцией.
Сначала делаем И3 параллелоrрамма прямоуrольник (рис. 47), затем
сворачиваем прямоуrольнИI( в цилиндр (рис. 48). При этом точки !Io
242
АЛrЕБРАИЧЕСКИF КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
rrл.5'
и [1' станут о.n:ной точкой поверхности цилиндра, так что теперь точки,
близкие к [1', бу.n:ут близки и к [1. Теперь нам остается сое.n:инить точ/{и '1
и '1'. ДЛЯ ЭТОЙ цели мы сворачиваем llИЛИНДР в тор (рис. 49). Ясно,
что все описанные действия можно выполнить, сохраняя тополоrиче
скую эквивалентность преобразуемых фиrур (следует, разумеется, пом
НИ1Ъ, что К параллелоrрамму перио.n:ов мы причисляем стороны аЬ и
ad, а также верlllИНУ а, но не причис
ляем остаВlllиеся 'n:Be стороны и три Bep
lllИНЫ; поэтому при наlllИХ действиях
взаимная ОДIюзначность не наРУlllается).
Таким обраЗ0М:
АЛ2ебрazlчеС1Сая 1Срllвая (1) топОЛО2ll
чеС1Сll Э1СВllвалентна тору.
Любую поверхность. тополоrически
эквивалентную .n:анной алrебраической
кривой, принято называть рllмановой пO
верхносnzью этой алrебраической КрИВОЙ.
Поэтому наш результат можно сформу-
лировать так:
поверхност ь ЭЛЛllпnZllчес1СОй аЛ2ебраllчес1СОЙ 1CpH
ь
а
с
d
Рис. 49,
Рпманова
вой тор.
Часто rоворЯТ не о римановой поверхности алrебраической кривой
O(w, z) О, а о римановой поверхности мноrозначной аналитической
функции w (z), опредеJlяе юй уравнением O(w, z) О. ДЛЯ эллипти
ческой алrебраической кривой мноrозначная аналитическая функция
w (z) равна . /04, (z) ,
6. Двулистная форма римановой поверхности
Сам РИ lан пре'n:ЛОЖИJI соверlЩ ННО иной способ построения по
верхности, тополоrически эквивалентной .n:анной алrебраической кри
БОЙ. Долrое время ПОД римановой поверхностью мноrОзначной aHa
литической функции понимали только поверхность, построенную по
ero способу,
Для изложения предложенноrо Риманом способа построения нам
понадобится сделать несколы{о предварительных замечаний,
Аналитическая функция
I
III (z-a)
w vz a e2 ,
как мы знаем (см. ч. 1, 4 rл. 4), является .n:вузначной и ее значе
ния в каждой точке отличаютСЯ ЛИlllЬ знаком, В окрестности любой
точки zo, отличной от а и от СО, эту функцию можно разложить
51
ДВУЛИСТНАЯ ФОРМА РИМАIIОВОй ПОВЕРХНОСТИ
243
в степенной ряд но степеням z zo:
1
! f ( Z Z )
vz a === V zo a+(z zo) === v zo a. 1 + 2 ===
Zo a
{ 2: 00 ( { ) ( Z Zo ) k
vzo a .
k Zo а
k O
Полученный ря.n: можно аналитически продолжать по любому пути,
не прохо.n:ящему через ТОчки z === а и z === 00. Опираясь на резу,'!Ь-
таты, полученные при исследовании про.n:олжения ЛОl'арифма (см.
ч. 1. 3 r л. 4), можем утверждать:
При продолжении по любой за.lf1снутой 1Сривой, обходящей
JJlOЧ1СУ z === а четное число раз, ФУН1Сция W === J / z а возвращаеmся
1с исходнояу значению. При продолжеюtll по любой за.Af1Снутой
1Сривой, обходящей точ1СУ z == а нечетное число раз, ФУН1Сция
W === V z а У.ICножается на 1,
Точка z === а называется точ1СОЙ ветвления ФУН1СЦ1l11 W == 1/:Z а,
Это утверждение позволяет исследовать поведение нри про.n:ол-
жении по любым нутям и KBa.n:paTHoro корня И3 любоЙ однозначноЙ
фУНЮlИи.
В частности, нас будет интересовать функция
w === v 04, (z) == А V z аl ' J / Z а2 ' 1/ z аз . V z а4,'
rде А -=F- О, а числа аl' а2' аз, :1.1, попарно разли'lНЫ,
И3 сказанноrо выше немедленно вытекают сле.n:ующие утверждения:
1. Функция w === V 04, (z) является .n:вузначной анаJlИтической
функциеЙ; два ее 31lачения в каждой точке отличаются лишь знаком.
2. В окрестности каж.n:ой точки Zo -=F- а.". k === 1, 2, 3, 4, функция
W == J / 01, (z) разлаrается в степенной ря.n: по степеням z Zo и этот
ряд можно аналитически про.n:олжать по любому пути, не проходя-
щему через точки (;(1' а2' аз. а,l,' 00.
3. В резу льтате ПрО'n:ОJl}кения функции w == V 01, (z) по любому
за II{нУТОМУ пути, совеРlllающему четное число обхо.n:ов BOKpyr то-
чек а 1 , а 2 , аз, а.4, (т, е. сумма чисел обхu.n:ов BOKpyr каж.n:ой И3 этих
точек четное число), функция w == }/ G-,. (z) возвращается к исхо.n:-
ному значению, а при нечетном числе обходов умножается на 1.
Точки al' а 2 , Clз' а4, называются J1lOЧ1Са.ми ветвления ФУН1СЦИll
W === V 04, (z).
244
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
[rл, ;)
Заметим, что в окрестности точки z == 00 ФУНКЦИЯ V O (z) не
имеет точки ветвления; она .n:опускает вы.n:еление двух однозначных
ветвей, имеющих при z == 00 полюс BToporo порядка. Лействительно,
в окрестности бесконечности имеем
V O (z) == А V(z C"l1) (z (2) (z CZ: 1 ) (z CZt) ==
== + AZ2 V ( 1 :1 )( 1 :2 )( 1 )( 1 а; ) == + AZ2( 1 + +, ..) .
Если мы рассмотрим функцию
w == V 0з (Z) == А 1 V(z ( 1 ) (Z ( 2 ) (Z CZ: 1 ),
то все наши утверждения, кроме, конечно, последнеrо, останутся
в силе, только Ha.n:o считать, что a == 00.
Пусть теперь дана ФУНКЦИЯ w == 1/0(Z), rде O(z) == O (z) или
O(z) == 0з (z). В после.n:нем случае считаем, что a == 00. Прове.n:ем
в плоскости z 'n:Be простые непересекающиеся кривые L 1 и L2' coe
.n:иняющие СООтветственно точку а 1 С точкой а 2 и точку аз С точкой a .
Обозначим через D область, состоящую И3 всей плоскости z, за
исключением точек кривых L 1 и L 2 .
Леrко видеть, что любая замкнутая кривая, лежащая в области D,
обхо.n:ит точки C"l1' СХ2' а з , a четное число раз (ибо вместе с точкой CZ 1
она обязана обходить точку СХ 2 , а вместе С точкой СХ 3 точку cx ).
Поэтому при продолжении по любой замкнутой кривой, лежащей
в области D, ФУНКЦИЯ w == ),1 O(z) всеrда возвращается к исхо.n:ному
значению. Иными словами, ФУЮСЦllЯ w == V O(z) допУС1Сает выделе
Н1lе однозначной ветВll В област/l D.
Рассмотрим теперь алrебраическую кривую w 2 == O(z). Она пре.n:
ставляет собой .n:вумерную поверхность в четырехмерном простран
стве (z, w), расположенную Ha.n: (или под) ПЛОСКОСтью переменной z.
Каждому значению z отвечают две точки алrебраической кривой:
(z, ... V O(z) ). Выясним, что представляет собой часть наlllей алrеб
раической кривой, расположенная над областью D. Выберем в какой
либо точке Zo"* CX k одно И3 значений V O(z). В силу .n:оказанной
о.n:нозначности ветви V O(z) в области D имеется взаимно однознач
ное соответствие между точками области D и точками той части
ашебраической кривой, которая расположена Ha.n: областью D и co
держит точку (zo, V О (zo) ) с выбранным значением V' О (zo) , Это
соответствие к тому же и непрерывно, так как ветвь аналитической
функции V O(z) реrулярная (а значит, и непрерывная) в области lJ
функция. Следовательно, над областью D наша аЛ2ебраllчеС1Сая
r<рllвая распадается на две части, 1Саждая 11З 1Соторых тополо
zичеС1Сll ЭКВllвалентна самой области D.
61
ДВУЛИСТНАЯ ФОРМА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
24&
Остается ВЫЯСНИТЬ, как соединить между собой ПОJlученные 'n:Be
части,
Область D rеометрически можно пре.n:ставить себе как плоскость
(ШIИ сферу), прорезанную ПО КРИВЫМ [\ и [ . Точка л, лежащая на
каж.n:ом И3 таких разреЗ0В, как бы разре
зается на 'n:Be точки л+ и Л (рис. 50). Bы
.n:еленная в области D ветвь ФУНКЦИИ
w V O(z) принимает в точках л+ и л раз
личные значения (отличаЮlllиеся знаком), так
\{ак .n:ля Toro чтобы попасть И3 точки л+
В точку л , не выходя И3 области D, МЫ .n:олжны обойти BOKpyr
точек CJ. k нечетное число раз (рис. 51).
Итак, каж.n:ая И3 частей наlllей алrебраической кривой, распо
ложенных Ha.n: областью D, тополоrИ'lес.tи эквивалентна плоскости
а,
х"
:
Х
а.(!
Рис, 50.
Рис. 51.
Рис. 52.
(или сфере) с .n:вумя прорезями (рис. 52), Вся алrебраическая кривая
будет ТОПОЛОrически эквивалентна неКОТОрОtl поверхности, получаю
щейся И3 этих двух плоскостей склеиванием краев соответствующих
X Cl1 /C
, t.':J..;': .ii. ; .6. - ';- '-' '."' ':. -'Н..
X+ (J ,"",:;;, ,',;i;"""}'i.,;,f::J} l+
Рис. 53.
рис, 54.
прорезей. Для сохранения непрерывности соответствия НУЖНО склеи
вать те края прорезей, на которых ветви + v O(z) и V O(z}
имеют одинаковые значения. Поскольку эти ветви в каждой точке
ПРОТИВОПОЛОЖНЫ по знаку, а значения .'Iюбой ветви в точках на раз
ных краях разреЗ0В также отличаются знаком, то нужно склеивать
'246
АлrЕuРАИЧЕСКИF. КРИВЫЕ И РИМАНОБЫ ПОБЕРХНОСТИ
[rn,5
ПРОТИБоположные края разре30Б (на рис. 52 нужно склеИБать край
л+ на леБОЙ сфере с краем "л на правой сфере и т. д.),
Леrко ви.n:еть, что С\(леенная новерхность тополоrически ЭКБИБа
лентна тору. Один И3 спосоБОБ преобра30Бания ее Б тор изображен
па рис, 53 и 54,
Классический снос06 пз06ражения ри:wановой ПОБерхности He
КО.'lbКО отличен от описанноrо. Именно, классическая римаНОБа по
Берхность клеится И3 совершенно идентичных экземплярОБ области
(ДБе сферы, изображенные на рис, 52, не идентичны области D
<Jдна И3 них ЯБляется ее зеркальным отражением). При этом спо
собе склеивание экзеМПЛЯРОБ области D (листов римановой ловерх
IЮСТИ) носит чисто символический характер, так как склеИ1Ъ меж.n:у
собой ДБа накрест лежащих края разреза без самопересечений пельзя
(это не УДИБительно, так как картину, существующую в четырех
мерном пространстве, не Bcer.n:a можно без искажений передать
Б трехмерном пространстве). Несмотря на меньшую rеометрическую
Har .'IЯДНОСТЬ, классический способ изображения римановой поверх
ности имеет свои преимущества. Одно И3 пих состоит В том, что
13се точки алrебраической кривой с одним и тем же значением z
.действительно располаrаются Ha.n: точкой z.
rлава шестая
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
1. Опре.n:еление и постановка задач
Пусть нам .n:aHa алrебраическая кривая
w 2 ==0(z),
(1)
r.n:e O(z) мноrочлен третьей или четвертой степени, не имеющий
кратных корней (эллиптическая алrебраическая кривая).
ЭЛЛllпmllчеС1Сll.Аt llнmе2рало.lt называется любой интеrрал вида
R (z, yO(z) ) dz,
L
r.n:e R (z, w) рациональная функция своих переменных, а L любой
путь, не проходящий через точки, в которых МНOI'ОЧ.'lен O(z) обра
щается в нуль (но, В03!\lOжно, имеющий нача,'!о или конец в о.n:ной
И3 этих точек), а также через полюсы функции R.
По.n:интеl'раЛЫIaЯ функции в эллиптическом интеrрале является !\1II0
rозначной (.n:вузначной) аналитической функцией. Поэтому дли Toro,
чтобы значение интеrра,'!а было оире.n:елено, мы должны задать n
окрестности начала пути L значение .,1 O(z). Значение 11 O(z) в лю
боll .n:руrой точке пути интеrрирования мы считаем равным тому 3Ha
чеIlИЮ .,1 O(z), которое получается продолжением исхо.n:ноrо значении
в.n:оль пути L.
ЭЛЛllпmllчеС1Сllй llНmе2рал является анаЛlll1U1Чес1СОй фУН1СЦllеЙ
1Сонечноii I1ЮЧ1Сll пути L. Действительно, пусть Lp путь, которыЙ
составляет часть пути L от начальной точки .n:o точки р. При любом
Ро Е L имеет место равенство
р
I(P)==I(po)+ R (z, 11 O(z» ) dz
Ро
(через I(po) мы обозначили интеrра.'1 по пути Lp)' rде последний интеr
рал взят по отрешу пути L между ро и р. Так как путь L ПО условию-
не проходит через нули МlIоrочлена O(z) и через полюсы функции
248
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
[r,..6
R (z, 1/ O(z» ), то подинтеrральная функция реrулярна внекоторой
окрестности точки Ро. Поэтому интеrрал от нее определен во всей
этой окрестности и тоже представляет собой реrулярную функцию.
Сле.n:овательно, Halll интеrрал I (Р) тоже является реrулярной функцией
р в окрестности каждой точки пути L. Но путь интеrрирования можно
В3ЯТЬ произвольно (ЛИlllЬ бы он не прохо.n:ил через нули мноrО'lЛена
а (z) и через ПОJIЮСЫ функции R (z, 1/ а (z) )). Вспоминая определе
ния (см. ч. 1, 2 rл. 3), мы ви.n:им, что эллиптический интеrрал
является аналитическоЙ функцией конечной точки пути L. Интеrри-
рование по пути L это конкретный способ про.n:олжения а"алити
ческой функции по этому пути.
Эллиптические интеrралы являются мноrозначными аналитическими
функциями, причем, как мы увидим ниже, бесконечнозначными. Они
MorYT быть выражены через функции, обратные к эллиптическим
функциям.
В этоЙ r лаве рассмотрим две задачи. Первая И3 них это задача
{) выражении эллиптических интеrралов через функции, обратные к
эллиптическим функциям. Реlllеllие этой задачи позволит ,нам выра-
зить любой эллиптический интеrрал через простеЙlllие. Реlllение этой
задачи не требует изучения характера мноrозначности эллиптических
интеrралов она реlllается в окрестности любой точки.
Вторая за.n:ача состоит именно в реlllении вопроса о мноrознач-
ности . эллиптических интеrралов. Она реlllается .n:ля тех простейlllИХ
типов эллиптических интеrралов, которые будут вы.n:елеllЫ при ре-
lllении первой за.n:ачи.
2. Приведение эллиптических интеrралов к nростейшим
Прежде Bcero заметим, что мы можем рассматривать ЛИlllЬ эл-
липтические интеrралы ви.n:а
I R (z. 1/4z3 g2Z g, ) dz,
(1)
так как замена переменных (с некоторыми а, Ь, с, d)
az+b ad bc
zl ('z d ' Wl (cz+d).w
преобразует, cor ласно теореме 3 r л. 5, эллиптическую алrебраи-
ческую !(ривую
wi O(Zl)
J{ ВИДУ
w2 4z3 g2Z gз,
(2)
21 ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕrРАЛОВ К ПРОСТЕйlllИМ 249
az+b
и потому замена перемепных Zl == cz+d сво.n:ит общий эллиптический
интеrрал к эллиптическому интеrралу вида (1) (с некоторой .n:руrой
рациональной функцией).
Бу.n:ем рассматривать интеrрал (1) в окрестности некоторой фикси
ров анной точки.
Cor ласно 1 r л. 5 алrебраическая кривая (2) допускает унифор
мизацию с помощью формул
z==kJ(u). w==f! (11).
Поэтому, .n:елая в интеrрале (1) замену переменной z == kJ (и). полу
чаем, что
1 == R (kJ (и). kJ' (и)) kJ' (и) du == F (и) du,
rде F (и) некоторая эллиптическая функция.
По теореме 12 r л. 1 любая эллиптическая функция F (11) может--
быть пре.n:ставлена в ви.n:е
F(II)==C+ {АЦи а) + A 1 kJ(ll а) +... + ArkJ(r l) (и а)}.
а
r.n:e С постоянная. а суммирование r1"рОИ3ВОДИТСЯ по всем полюсам:
функции F (и), лежащим в параллелоrрамме периодов. При этом:
вычеты А в ЭТИХ полюсах связапы СОDТНОlllением
А == О.
(3)..
а
По.n:ставляя это выражение для функции F (и) в интеrрал, находим
1== F(ll)dll== Си + A Ци а) dll + Al kJ(u a)dll +
а а
+ {A 2 kJ(ll а) +... +ArkJ(r 2) (" а)} +с 1 ...
а
Принимая во внимание равенства
d
(и а) =-== du ln а (и а),
d
kJ(ll a)== du Цll а),
можем вычислить остальные интеrралы, и это даст формулу
1==С 1 + Си + А ln а(ll a) Al (11 а)+
а а
+ {A 2 kJ (и а) +. .. + ArkJ(r 2) (и а)}. (4)
а
После.n:няя сумма в этом равепстве является эллиптической функцией,..
так что она рационально выражается через k J (и) И k J ' (ll).
250
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл,6
Для дальнеЙlllеrо упрощения полученноrо выражения заметим,
что функция
(и а) (и)
имеет перио.n:ы Ш1 и Ш2 (см, формулы rл, 1) и потому является эллип
тичеCl<ОЙ функцией. Поэтому
A 1 t (и а) === (и) АI + А 1 (1: (и а) 1: (и» ===
а а а
=== С 2 С (и) + R2 (gJ (и), g;t (и».
Далее, в силу соотношения (3)
A 1п о (и а)=== A (1п о(и а) In о (и»,
а
а
и потому, соrласно формулам rл. 1,
!A!no':u a):=.-= !A ln :i:):';l) + :'( ) и}+Rз( Q(ll), J'(u»,
iI а
(Если среди полюсов F (и) есть полюс а.:::= О, то отвечающий ему
член в после.n:неii сумме сле.n:ует отбросить,)
Подставляя п )ЛучеlIные выражения в формулу (4), мы получаем
1=== Сlи + С2С (и) + А {In : :): ) + :' ( 'f ,,} + R 1 О;) (и); t J ' (и»,
а
тде R 1 (2', w) некоторая рационаЛЫlая функция от своих пере
менных,
Таким обраЗ0М, произвольный ЭЛЛlттичеСlCий инте2рал вида (1)
представляет собой CY.lf.AlY рациональной ФУНlCции R 1 от t J (11 (z»
и J' (и (z» с линейной lСО_lfбинацией ФУН1щий вида
и (z), С (и (z», In а i a u (?) + а' « а) 11 (z)
а U (z» а а) ;;(J) .
Здесь и (z) ФУНlCция. lCоторая определяется из уравнения 8 ;) (и) === z,
т. е. lZ (z) является аналитичесlCОЙ ФУНlCцией, обратной lC ФУНlC
Цllll ;) (и). Поскольку
;) (ZI (z» === z,
8;)' (и (z» === v 4z;\ g2 Z gз,
рациональная функция R 1 (t J (и), Р' (и» дает нам алrебраическую часть
ЭЛЛИlIтическоrо интеrрала. Трансцен.n:ентная часть эллиптическоrо
интеrрала выражена нами через функцию и (z), обратную к функп.ии
;) (и), и через о.n:нознаЧllые аналитические функции С (и) и о (и).
Рассмотрим эллиптические интеrралы, отвечающие каж.n:ому И3
членов
и (z),
С(и (z»,
I а (a u (z» а' (а)
n . + и.
а (и (z» а (а) а (а)
!i 2) ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕrРАЛОВ К ПРОСТЕйlllИМ. 251
Очеви.n:но,
d';) (и ) . dz
u(z)== du== == .
!J' (и) -V4z3 g2z gз
Интеrрал
\' dz
J -v 4z:; g2 Z gз
называется ftорАtйльftы.lc аЛЛlттllчеС1СllAt 11 ft/Jlе2раЛО3t пер6020 рода.
Далее
р (и) . z dz
Цll(Z))== ;)(ll)du== dA;J(ll)== .
J' (и) у 4z:; g2z gз
Интеrрал
\' z dz
-v 4z 3 g2 z gз
называется ftОр3taЛЬftЫ_IС аЛЛll1zтllчеС1CllAt 11ft/пе2рало.lt 6тОрО20 рода.
Чтобы пре.n:ставить в l3и.n:е эллиптическоrо интеrраJIa выражение
(11 cr (а .и (z» L. а' (а) II ( z ) == 111 cr (а и) ....L. ( а ) II
cr (и (z» cr (а) I cr (а) cr (а) cr (и) I ,
воспользуемся СООТНОlllением
1 S;J' (и) 8;)' (v)" ".
2" !;J(u) 'SJ(v) ==1.,(II+V) I.,(ll) \,,(V).
.n:оказанным в 12 r л. 1. Положим в этом СООТНОlllении V == а и
проинтеrрируем ero по и. При llо.n:хо.n:ящем выборе постоянной интеr
рирования получим
!;; :: f ' ( ) du == Цll - а) dll Цll) dll + : (а) dll ==
== 111 а (а ll) 111 а (и) + (а) II 111 а (а).
Возвращаясь в интеrрале к переменноЙ z и обозначан
!;] (а) == zo.
!;! (а) == W o ,
получаем, что
111 cr (а -' u (z» + 13' (а) II (:) == \' !. -v 4Z3 g2Z ' g" +w o
cr (и (z» cr (а) cr (а) 2 z zo dz.
Интеrрал
i - \' -v 4Z3 g z g., +w o dz (w == 4z g2 z 0 0'3 )
2 z Zo ь,
называется ftОРАЩЛЬftЫД аЛЛllптllчесюuс l1ftтпраЛо.IС третье20 рода.
dJlJIиrпический интеrраJI TpeTbero po.n:a зависит от произволыlOЙ
точки (z(\, w o ) ашебраической КРИIJОЙ (2).
252
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕI'РАЛЫ
[I'л.6
Результаты Halllero иссле.n:ования можно сформулировать в ви.n:е
теоремы,
т е о р е м а, Интпрал
R (z, V 4Z3 g2Z g,1) dz,
2де R (z, w) пРОllзвольная раЦllональная ФУЮСЦ/lЯ CBOllX пepeMeH
НЫХ, можно предстаВllть в Вllде
Сl \' dz + с \' z dz +
j -v 4z" g2z g" 2 ., -v 4z" g2z g"
n
+ А -v 4z" g2Z g" + Wk d + R ( -.1 4 3 )
2 k Z 1 Z, V Z {;2 Z gз ,
Z Zk
k 1
<де R. (z, W) раЦllональная ФУЮСЦllЯ, а с.' С2' Ak' Zk' Wk постоян-
ные, причем Zk и Wk связаны соотношением
w2 == 4z g2 Z k gз,
3. Интеrралы по замкнутым кривым
на рима новой поверхности
Как мы уже rоворили в 1, нас будет Иl1Тересовать вопрос
о характере мноrозначности эллиптических интеrраJIOП
R(z, V O(z» dz,
L
В этом вопросе есть 'n:Be стороны. Несущестпенная сторона это то,
что мноrозначноС1Ъ интеrрала частично происхо.n:ит от мноrозначности
по.n:интеrраJIЬНОЙ функции, т, е. от двузна'lНОСТИ функции V О (z) ,
Эта мноrозначноС1Ъ нас cOBepllleHHo не интересует. ДШI Toro чтобы
освобо.n:И'lЪСЯ от необхо.n:имости учитывать .n:вузначность / O(Z) , бу.n:ем
рассматривать функцию k (z, 1/ O(z» на римановой поверхности
алrебраической кривой w 2 == О (z), Там функция V О (z) , а значит, и
функция R (z, V O(z» уже о.n:нозначны, Инте1'раJIЫ (1) также бу.n:ем
рассматривать на римановой поверхности и будем интересоваться
характером МlIоrозначности этих интеrралов TOJlbKO на римаllОВОЙ
ПОl3ерхности. Тем самым мы освобо.n:имси от несуществеНIIОИ 'n:JIИ нас
стороны вопроса,
O(z)== 4z3 g2Z gз,
(1)
Hallle реlllение рассматривать эллиптический интеl'рал (1) не OTpa
3ИТСЯ на опре.n:елении этоrv интеl'раJlа (.n:allllOM в 1). Разница co
стоит ЛИlllЬ В том, что, рассматривая интеrрал (1) на риманопой
поверхности, мы по иному решаем вопрос о совпа.n:ении или несовпа
дении конечных точек 'n:BYx различных путей интеrриропания (с одним
и тем же начаJlОМ и с одним и тем (ке значением }/ O(z) в окрестности
31
ИНТЕrРАЛЫ по 3АМ.КНУТЫМ. КРИВЫМ
253
начала). Именно, 'n:Ba пути инт rрирования [ 1 и [2' рассматриваемые
как пути интеrрирования на римановой поверхности, состоят И3 точек
(z, w) этой римановоЙ поверхности. Для совпа.n:ения 'n:BYx точек этих
путей нужно, чтобы совпали не только значения z, но и значения
w== V о (z) .
Интеrрал (1), рассматриваемый на римановой поверхности, бу.n:ем
для отличия заПИСЫВа1Ъ 13 ви.n:е
R (z, w) dz.
L
(1 *)
Т е о р е м а 1. 3наченля двух эллиптичеСКllХ llнтпралов (1 *),
отвечаЮЩllХ путЯ.I! llftте2рироваНllЯ с одинаковыАf11 начало.м II
конЦО.АС, отличаются на инте2рал от функции R. (z, w) п HeKO
торо.му за_,.t1Cнуто.АСУ пути на ри.мановой поверхности аЛ2ебраиче
скоЙ кривой w 2 == о (z).
Действительно, если первый из интеrралов взят по пути [ 1 , а BTO
рой по пути [2' то их ра3lЮСТЬ равна интеrралу по пути [, COCTaB
ленному И3 пути [ 1 , прохо.n:имоrо в прямом направлении, и И3 пути [2'
прохо.n:иМоrо в обратном направлении. Путь L является, очеви.n:но,
замкнутым путем на РИМ3IlОIJОЙ поверхности.
Таким образом, зздача о выяснении характера мнОrозначности
ЭЛJlиптичеСlюrо интеrрала cBe.n:eHa J( за.n:аче иссле.n:ования интеrраJIOВ
по замlШУТЫМ путям на римановой поверхности от Функции, O'n:HO
значной на этой римановоti новерхности. Это после.n:не ИССJlе.n:ование
npoBe.n:eM способом, очень СХОДНЫМ со способом, примененным 'n:JIЯ
иссле.n:овзния интеrрала Z 1 dz (01. 4 r л. 5 ч. 1).
Нам пона.n:обится сле.n:ующее ви.n:оизменение теоремы КОlllИ, при
менимое I( интеrралам по РИ:l<lановой поверхности:
т е о р е м а 2. При непрерывной дефОРАLaЦ1111 пути иHтпp!1pOBa
ния в части Рl1АfaНО60Й поверхноспт, не содержащей полюсов
фУНКЦ111l R (z, w), иНnZС2рал (1 *) не .АСeflяет своею значения (если.
конечно, Э'I а .n:ефОРМ311ИЯ не меняет КОНЦОВ пути интеlорирования).
ЯСНО, что при .n:оказательстве этоrо утверж.n:ения мы можем orpa
ничиться J(рИБЫJ\lИ, Jlежшпими IJ достаточно малых областях. Мы знаем,
что уравнении
z == А;} (и),
w == SJ' (и)
устанавливаr<Н IщаИМ11О о.n:нозначно соответствие меж.n:у точками ри-
мановой поверхности и точкаl\Ш любоrо параллелоrрамма периодов
Функции А;} (и). ЕCJШ кривая [ .n:остаточно мала, то отвечающая ей
криваи Z: целиком лежит в некотором параллелоrрамме перио.n:ов
(cTporo внутри). ПОСКОЛЬКУ
R (z, w) dz == R ( ;) (ll), к а ' (и» k J ' (и) dll,
L L'
254
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
[fn, 6
теорема КОlllИ, примененная уже не I( интеrралу по римановой "OBepx
IЮСТИ. а к обычному интеrралу по КрИВОЙ на комплексной ПЛОСКОСТИ
(от о.n:нозначной ФУНКЦИИ). .n:aeT требуемое утверж.n:ение.
в частности. И3 теоремы 2 вытекает
С JI e.n: с т в и е. Пусть L за.lltкнутый путь на РU.lltановой пo
Берхности. который .можно непрерывной дефор.lltацzzей (не перехо.n:я
через полюсы функции R (z, w» стянуть в точку, не являющуюся
полюсом R (z. w). Tozaa интеzрал (1 *) по пути L равен нулю,
поверхности. пре.n:ставляющей собой тор,
не стяпшаемые в точку реrулярности функ
ции R (z, w): пути, OKPy
жающие полюс R (z, w). и
еще пути, обхо.n:ящие тор
по мери.n:иану или по па
раллели (линии А и В на
рис. 55). Построим сейчас
набор основных путей Ta
/(oro po.n:a и покажем, как
разбить прои3ВОJIЫIЫЙ зам
кнутый путь в сумму этих
основных.
С этой целью возьмем иа
торе I(акую либо точку а и
прове.n:ем через нее мери.n:иан А и параллель В. Бу.n:ем считать точку а
выбранной таким обраЗО!'>I, что точки тора аl' а2' ". , a n , отвечающие
полюсам ФУНКЦИИ R, не лежат на лиииях А и В. Далее сое'n:ИНИl\I
точку а с точками аl' а2' ,.. , a n кривыми 11' 12. ... , In соответствен-
но. Эти кривые Hcer.n:a можно выбрать таким образом. чтобы они не
пересекали .n:pyr .n:pyra, а также JIИIШИ А и В. Тор, разрезанный по
линиям А. В, 11' 12' . ,. , 1т пре.n:ставляет собой О'n:НОСВЯ3НУЮ область,
которую мы обозиачим че/'J-ез D. В области D ФУНЮlИя R (z, w), оче-
видно, не имеет полюсов. У каж.n:ой из кривых А. В, 11' 12' ' ., , In бу.n:ем
различать 'n:Be стороны N-- и A , В+ И B , ... , ' и 1";;, в !{ачестве
основных путей возьме;н пути L А . L в , L" , Lv , опре.n:еляемые
1 'n
сле.n:ующими условиями:
Путь [ А один раз пересекает КрZ1ВУЮ А, переходя со сто-
роны А+ этой крuвой на сторону A , и не пересекает ни одной
из остальных кривых В. 11. 12' ... , In; остальные пути опреде-
лшотся аналоrично.
И3 Teope!'>lbI 2 неме.n:ленно вытекает. что интеrрал (1 *) по любому
пути [ А Юlеет одно и то же значение, которое мы бу.n:ем обозна-
чать [А' Аиалоrично опре.n:еляем величины Тв. ['1' ... . J,n.
B03b!\le 1 теперь произвольный замкнутый путь L и какую-ли!50
точку Ь Е D, лежащую на этом пути. Cor Jlacнo теореме 2 интеrрал (1 *),
На наlllей римановой
имеются сле'n:УЮlJ1,ие пути.
Рис. 55.
!i 3]
ИНТЕrРАЛЫ по 3АМКНУТЫМ КРИВЫМ
255
по пути L не изменится, если мы бу.n:ем произвольно .n:еформировать
путь, оставляя на месте ТОЧIШ ero пересечения с кривыми А, В, 11'
12' ... , In (и не .n:обавляя новых точек r!€:ресечения с ЭТИМИ кри
выми). В частности, можем .n:еформировать кривую L таким обраЗ0М,
чтобы каж.n:ый ее участок меж.n:у .n:вумя после.n:оватеЛЫIЫМИ пересе
чениями с кривыми А, В, 11' ,.. , In прохо.n:ил через точку Ь, причем
ровно о.n:ин раз. Tor.n:a .n:еформированный путь [' распа.n:ется на сумму
основных путей L A , [В' [ 1 \' .,., L1n' прохо.n:имых в прямом ИJIИ
В обратном направлении (ибо отреЗIШ пути [' меж.n:у .n:вумя после.n:о
вательными захо.n:ами в точку Ь пересекаlOТ I<ривые А, В, 11' .", In
ровно о.n:ин раз). Сле.n:оватеJIЫЮ,
R(z, w)dz=== R(z, w)dz===тАIА+тпlп+тl/11+...+тnI1n'
L L'
r.n:e тА, тв, тl' ... , m n целые числа. При ЭТОМ число тА равно
разности меж.n:у числом точек, в которых путь L пересекает кри
вую А, перехо.n:я со стороны А+ на сторону A , и числом точек,
в которых путь L пересекает кривую А в обратном направлении.
Аналоrично опре.n:еляются остальные числа.
Числа [А, I B , lv, ... , 11 называются периодаJllll аллиптичеС/СО20
'1 n
llнте2рала (1 *).
Заметим еще, что по существу приходится иметь .n:ело не с полю
сами функции R (z, w), а с полюсами функции
'Р (ll) === R ( J (и), J' (11)) !'J' (11),
расположенными в I<аl(Qм либо параллелоrрамме lIерио.n:ов ФУНКЦИИ
jJ (и), так как точки ЭТОrО lIараллелоrрамма нахо.n:ятся во взаимно
.о.n:нозначном соответствии с точками римановой поверхности, и
R (z, w) dz === R (r (и), !'J' (и» J' (и) du === 'Р (и) du.
L и и
Далее, если в точке 11 === С функция
'Р (и) === R ( J (и), !'J' (и» Р (и)
имеет полюс, но вычет в ЭТОМ полюсе равен нулю, то точку тора,
отвечающую ЭТОМУ полюсу, не нужно сое.n:инять с ТОЧКОЙ а (и вообще
такой полюс в наlllИХ рассуж.n:ениях можно не учитывать). Действи
телыю, леню ви.n:еть, что перио.n: 11с' отвечаюший полюсу 11 === С функ
ЦИИ 'Р (и), равен вычету ФУНКЦИИ 'Р (и) в ЭТОМ полюсе. Если вычет
равен нулю, то равен нулю и перио.n:.
По той же причине, если имеются два полюса Сl и С2 функции
'Р (и) и res 'Р (и) + res 'Р (и) == О, то эти полюсы можно не сое.n:инять
и====Сl и===С2
.с ТОЧIЮЙ а, а соединить между собой.
256
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
rrл, 6
4. Периоды нормальных эллиптических интеrралов
Сейчас мы выясним, что .n:ают нам иссле.n:ования пре.n:ы.n:ущеrо
nараrрафа .n:ля нормальных эллиптических интеrралов первоrо, вто-
poro и TpeTbero po.n:a, т. е. .n:ля интеrралов
J 1 === === dll,
J 2 === z Z === f'l (и) dll,
J3=== 2 ] \ taJ+W o dz=== \ [Цll а) Цll)+Ца)]dll.
J z Zo J
Для интеrрала J 1 имеем
ер (и) === R ( J (и), f'l' (и)) f'l' (и) === 1,
т. е. фУНIщия ер (и) не имеет полюсов. Поэтому нормальный эллипти-
ческий интеrрал первоrо po.n:a имеет 'n:Ba перио.n:а, отвечающих инте-
rралу по параллели тора и интеrралу по ero мери.n:иану. Вычислим
эти интеrралы.
у ниформизация
z === J (11),
w === f'l' (и)
устанавливает взаимно о.n:нозначное соответствие между точками рима-
новой поверхности и точками параллелоrрамма перио.n:ов функции
AJ (11). Вспоминая способ построения тора И3 параллелоrрамма перио-
'n:OB (см. 5 rл. 5), мы ви.n:им, что параллелям тора отвечают в па-
раллелоrрамме перио.n:ов прямые, параллельные о.n:ной паре сторон
nараллелоrрамма, а мери.n:ианам ПРlIмые, параллельные .n:руrой паре
ero сторон. Следовательно, период lл равен интеrралу
ИО+WI
dll === Ы1'
И"
а перио.n: lB интеrралу
Ио + Ш2
du === Ы2'
иu
Сое.n:иняя полученные све.n:ения о перио.n:ах с общими результатами
nре.n:ы.n:ущеrо параrрафа, получаем утверж.n:ение:
Для НОР./f,fДЛЬНО20 аллиптllчеСКО20 llнте2рала перВО20 рода, взя-
тО20 по за.мкнутО.IltУ пути НД pll.lltaHOBOU поверхностl1 алzебрazl-
ческой КрllВОЙ w 2 === 4z 3 g2z gз, иJlсеет .место равенство
J 1 === тlЫI + т2Ы2'
zде тl и т2 целые Чllсла, ЫI и Ы2 периоды f'l-функции Вейер-
штрасса с инвариантаJlШ g2, ga.
!i 4]
ПЕРИОДЫ НОРМАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕrРАЛОВ
257
Иными словами, нор_uальный эллuптическuй uнте2рал пеРВО20
рода, взятый по заAfкнуто.IltУ пYlllll на Рll.мановой пOBepXHOClllll,
равен некоторо..му пер1юду соответствующей е.lfУ фУНКЦ1lll Ь;) (ll).
Для интеrрала BToporo po.n:a имеем
'Р (ll) == R (SJ (ll), Ь;)' (ll» SJ' (ll),
т. е. ФУНКЦИЯ 'Р (ll) имеет о.n:ин полюс BToporo поря.n:ка с вычетом,
равным нулю. Соrласно замечанию, с.n:еланному в конце пре.n:ы.n:ущеl'О
параrрафа, этот полюс можно не принимать во внимание. Поэтому.
ИСПОЛЬ3УЯ те же соображения, что и .n:ля интеrралоl3 первоrо po.n:a,
получаем 'n:JIЯ перио.n:ов [А и [в интеrрала ВТОрО1'0 po.n:a выражения
иО+Ш1
[А == fOJ (и) d1l == (llo + ыд + (llo) == 'YJI'
ао
[в== UOrW2 foJ(U)dll == Цllо + Ы 2 ) +Ц1l0)== 'YJ2'
ао
Для НОр.lltаЛЬНО20 ЭЛЛ1znтllчеСКО20 llнтпрала втОрО20 рода, взя.
тО20 по за..мкнуто..МУ nYlllll на рuдановой пOBepXHocm11 аЛ2ебраll-
ческой крuвой w 2 == 4Z3 g2Z gз, u.llteem .место равенство
J 2 == m.'YJ1 + lll2'YJ,!,
2де тl U т2 целые Чllсла, а веЛ1lЧllНЫ 'YJI II 'YJ2 определяются по
пеР1юда_lt Ы 1 11 Ы2 фУНКЦlll1 SJ (ll) (с инвариантами g2' gз) по фор.IltУ-
ла.лt, пpllBeaeHHbtM, напРll.лсер. в конце 2Л. 1.
Для интеr'рала TpeTbero po.n:a имеем
'Р (ll) == (ll а) (ll) + (а),
т. е. функция 'Р (ll) имеет 'n:Ba полюса первоrо порядка U == О и 11 == а
с вычетами, равными ] и ], Сле.n:оватеJIЬНО, .n:ля интеrралов TpeTb
ero рода имеется три перио.n:а IA' I B и II (отвечающий интеrралу по
.n:остаточно малой I<рИВОЙ, обхо.n:ящей о.n:ин И3 полюсов; cor ласно
после.n:нему замечанию, с.n:еланному в конце пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа,
'n:Ba полюса с суммой вычетов, равной нулю, .n:ают ЛИlllЬ о.n:ин nерио.n:).
ОчеВИ'n:1I0, что
[1 == 2'rCi.
Для перио.n:а lA' как и выше. получаем выражение
иО+Ш1
I A == [Цll а) Цll)+Ца)ldu==
ао
==]п а (110 а+"'l) а (и о ) +Ца) Ы.
а (иo a) а (и о +"'1) 1
9 А. rурвиц. Р. КураllТ
258
ЭЛЛИIIТИЧЕСКИЕ ИНТЕrРАЛЫ
[rл, б
Пошольку
а (ll + (])1) === а (и) ехр {7j1 (и + i )}
(см. таблицу формул в конце rл, 1), получаем после несложных пре
обраЗ0ваний
/л === a7j1 + Ца) (])1 + 271: in l
(п] некоторое целое число). Аналоrично
/в == a7j2 + (а) (J)2 + 271: in 2°
Таким образом:
Для НОР.ltaЛЬН020 эллиптllчеСК020 инте2рала третье20 рода,
взят020 по заJIt1Cнутому nYllll1 на рuяановой поверхности аЛ2еб
рar1ческой Кр11ВОЙ w 2 === 4Z3 g2Z g, , идеет место равенство
13 === 2"im + llllQI + т2 2 2 (Qk === a k + (а) (])k)'
2де т, 1111' т2 целые числа, (])1 11 (J)2 пери0ды ФУНКЦ1111 !а (11)
С 1lHBapllaHma.llt1l g2' g, , а веЛI1Ч1lНЫ '1/1 11 '1/2 определяются по (])1 1l
(J)2 С помOlЦЬЮ формул, пРI1веденных, наnри.lfер, в конце 2Л. 1.
Выражение чисел lll J , т2 (или в послеаней формуле т, f1lJ, т2)
через свойства пути интеrрирования можно получить способом, при
меНЯIIШИМСЯ в пре.n:ы.n:ущем параrрафе.
Тлава седЬJ>tая
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКUИЙ
1. Преобраэование nepBoro порядка функций Вейерштрасса
Мы бу.n:ем rопорИ1Ъ, что функция f( I' 2) является преобраЗО6а
li1le.1It порядка n ФУНlшии f ( Ш l' Ш2)' если пары перио.n:ов (Шl' Ш 2 ) и
(UJ j . Ш2) связаны СООТНОlllением
Ш 2 == аШ2 + Шl'
Шl == 1Ш2 + 3Шl'
( I )
r.n:e '1., , l' 3 целые числа, у.n:овлетворяющие условию
аВ 1==n'
в частности, если пары перио.n:ов связаны СООТНОlllением (1)
с матрицей ( ), ОПJечающей преобразопанию МО'n:УЛЯрliоil "РУШJЫ.
то n == 1 и преобразование называется преобразоваli1lея llepBO O
порядка.
Cor ласно теореме 15 r л. 1 пары перио.n:ов, связанные cooТ1lO
шеннем (1) с матрицей ( ), отвечающей преобраЗ0ваниlO модуляр
ной rруппы, эквивалентны, т. е. порож.n:енные этими парамн r.нюже
ства всех перио.n:ов тjUJ 1 + т 2 Ш 2 и lп) Шl + т2Ш2 cOBlla.n:alOT, Ясно
поэтому, что функция
II ' { ' 11 ) ( 11 1 112 )}
cr (11; UJl' Ш2) == II ,\ 1 о) ехр о) + 2 0)2
(ю == т.ш) + т2Ш2)
не меняется нри преобраЗ0вании первоr'о ПОРЯ'n:l(а. В силу форму л
д
(11; Шl' Ш2) == д lп а (ll; Шl' Ш 2 ),
11
д
fJ (11; UJI' Ш 2 ) == д ' Цll; Шl, Ш2)
11
это утверж.n:ение сохраняет силу и .n:ля функций (ll; Шl' Ш2) И
b J (11; Ш 1 , ш,д,
9.
260
ПРЕОБРА30вАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.1
Тем самым .n:оказано утверж.n:ение:
ФУНКЦllll а (и), (и), r (и) не .меняются при преобразоваНllll nep
вою порядка.
Аналоrично:
Величины
g2' gз, l1 === g 27 g
не Jltеняются при преобразоваНZlll первою порядка.
Выясним, как Be'n:YT себя при преобраЗ0вании первоrо поря.n:ка
величины
1)1 === 2 ( 1 ; (])1' (J)2),
1).!=== 2: (; ; (])1' (J)2),
Если обозначить через 1' 2 значения, принимаемые величинами 'ljl'
1)2 при замене ((])1' (J)2) на (ш 1 , Ш2)' то .n:ля этих значениt1 справе.n:ливы
формулы
А 2Y ( a"'2+ "'1 .
1)2 1" 2 '
А 2 r ( I''''2+8'''1 .
'lj1 1,, 2 '
Из равенства
Ци+a(])2+ (])I; (])1' (])2)===Цll; (])1' (])2)+a1)2+ 'ljl
А А ) 2 V ( a"'2+ "'1
(])1' (]) 2 === l. 2 ;
А А ) 2 У ( 1''''2+8'''1 .
(])1' (J)2 1" 2 '
(])1' (J)2)'
(])1' (J)2),
(см. формулы в конце I"Л. 1) при ll=== a"'2t "'1 нахо.n:им YJ2===
=== (1)2 + 'fjl и аналоrично I === 1'"1i2 + 8'"fJ1' Следовательно:
При преобразоваНZlll первою порядка величины '"fJl' 'fj2 преобразу
ются тем же спосоБО.lll, что и периоды (])1' (])t.
ВелиЧllНЫ
el=== J( ..!.; (])1' (J)2)'
Ю ( "'1+"'2
e2=== 2; (])1'
8 ;) ( "'2 . )
ез 2' (])1' (J)2
(J)2) ,
при преобразоваНllll пеРВ020 порядка М02ут лишь поменяться Me
cmaJltll (ибо они являются корнями неменяющеrося уравнения 4z 3
g2Z gз === О),
2. Преобразование nepBoro порядка тета функций
И3 формулы (2) 6 rл. 2 и формулы (8) 9 rл, 2 вытекает, что
{}1 (V; 't) === у' ; . -v l1 ехр ( 2 1 и 2 ) а (и), (1)
'9 2]
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ПЕРвоrо ПОРЯДI(А ТЕТА ФУНI(ЦИй
261
{'де
u
v===
(,) ,
1
't===
(,)1
Заменив периоды Шl' Ш 2 периодами Шl' &2' связанными с прежними
периодами СООТНОlllением (1) предыдущеrо параrрафа с аа 1' === 1,
мы получим, учитывая, что при этом функция а (ll) и дискриминант
Д не меняются
л л ... ( y ( 1 2 ) ( )
1:}1 (v; 't) === JI v /::;. ехр 2;:'1 II а ll,
(2)
сде
л U (,)1 V
V === ===v === 't + B '
(,)1 (,)1 l'
л ;:'2 a't+
't === === 1''t + в .
Разделив почленно обе части равенства (2) на соответствующие части
paBeHcJ'Ba (]). при.n:ем к формуле
&1 (v; )==={jl (v; 't) Е 11 :: ехр {( 2 I I ) 112},
""'= .
'['де через е обозначен некоторый корень восьмой степени из единицы
(ero значение не зависит ни от v, ни от 't. но зависит от величин а,
, 1', а, определяющих преобраЗ0вание), НО II === WIV, а
"/1 I "/1 (1'(,)2 + B"'I) (1'''/2 + В"/I) "'1 l' ("/1(,)2 "/2"'1)
л А .А
"'1
21ti1'
,
(J)tl().
"'1
(i).t'1).
(J)t(!)1
'так что прихо.n:им к следующей формуле преобраЗ0вания первоrо
поря.n:ка функции 1:}1 (v; 't):
......... 'V
&1(V; 't)===eV1''t+ae p +o 1:}1(V; 't), (3)
Отысканию значения е корня восьмой степени И3 единицы было
посвящено MlIOrO работ. Окончательное реlllение за.n:ачи было дано
Ледекиндом в ero комментарии к одной из посмертных публикаций
Римана.
Для отыскания величины е разделим обе части равенства (3) на
1:}1 (v, 't) И пОложим V === О. Так как V === 1''t В ' это даст нам равенство
_/ + ] 3; (o; )
ev 1'.. u === 1''t+B 3; (о; 't) '
Сшласно формуле (5) 10 rJI. 2
IOJ
t!1 (а; ..) === 2",h 4 11 (1 h 2n )3
n==l
(h === e1ti ).
262
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
IrJl. 7
Поэтому
10 == (1": + В)_3/ 2
1оо
h 4 П (1 h 2n )3
n 1
100
114 П (1 h 2n )3
n ]
(4).
(з.n:есь h == e"'i\ h == e"'i ).
Остановимся еще на вычислении значения 10 для преобраэованиti
первоrо порядка, отвечающих матриuам
Tl==( ),
( O 1 )
T2
1 О
(мы упоминали в 1 rJI. 4, что эти преобраЗ0вания можно взять n
I\эчестве обрэзуюших мо.n:улярной rруппы, т. е. что любое преобра
З0вание мо.n:улярной rруппы можно пре.n:ставить в виде произве.n:еllИЯ<
степеней этих преобраЗ0ваний). Значения 10, отвечающие этим преоб
раЗ0ваниям, обозначим 101 и 102' Формула (3) для этих преобраЗ0наниlt
И lеет ви.n:
&1 (v; 't + 1) == 101&1 (v; 't),
(5).
1 ) ",i v2
&1 (: ; ==102 {н &1(V; 't).
Для преобраЗ0вания Т 1 имеем, очеви.n:но, равенство
1 "i 1
114 == e 4 .h 4", h 2n == h 2n ,
так как h === e",i\ +l) == e"'ih. Поэтому равенство (4) принимает 8 этом
случае ви.n:
(6)
",i
101 == e 4
Для преобраЗ0вания Т 2 имеем равенства
1ti
h == e",i"
л
h==e
И3 которых ви.n:но, что h == /1 при 't == i. Поэтому, полаrая
стве (4) (справе.n:ливом при любом 't) 't==i, получаем
1
Е2 == i yi .
Таким образом, формулы (5) и (6) принимаlOТ вид
в равен-
\
' 7ti }
{}] I V . .2. ) ' == V е ""' v" &1 ('V' 't) I
\ 't: ' 't: I I ' J
1ti
&)(v; 't+ l)==е 4&I(V; 't),
(7)
21
nРЕОБРЛЗОРАНИЕ ЛЕрвоrо ПОРЯДКА TETA-ФУНКЦИй
263
(.n:ля корня V -c/i мы .n:олжны IЗзять ветвь, которая обращается в е.n:и
IIИUУ при 't == i).
От функuии &1 (v; "С) леrко перейти к .n:руrим тета-функuиям. Дей
СТlЗительно, соrласно формулам 8 rл. 2.
&1 (v+ ; 't)=={} (V; "С),
,,;
&1(V+ ; ; "C)==e 4 "iV&n(V: "С),
I 't "iv
&1 (v+ 2 + 2; -с)==е 4 &з(v: -с).
с помощью этих формул мы без труда получаем И3 (7) равенС'пза
'"
I
"С), I
J
(8)
&2 (v: -с + 1)== е 4 &2 (v; -с),
&2 ( ; ) == 1I . е ": "" &0 (v:
{}з(v; "С+ 1)==&o(V: "С).
( v 1 ) 1 (' 't '" ""
&3 ; -:t ==JI те' &з(v;'t),
(9)
&o(v; "С+ l)=={}a(v: "С),
&0 ( : ; +) == 11 е ", "'&2 (v: "С).
(1 О)
в частности, положив во второй И3 формул (9) v == О, получим COOT
ношение
(х) r"-; о: 1tlп
! e"in"' == V >
co со
часто ИСПОJlьзуемое во мноrих вопросах анализа.
в заключение скажем несколько слов о Ilрименении формул пре
обраЗ0ваl1ИЯ тета фуНlЩИЙ .D:JIЯ УЛУЧlllения сходимости рядов при BЫ
числении значений этих функuий.
Пусть -c==r+is. Тоrда
r + is
r2+ S2 .
и следопательно,
.
jhl==e " r'+s2 . ,h ==е "S.
264
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rn.7
Kor.n:a r 2 + S2 < 1 (т, е. КОI'да l't 1< 1) имеем неравенство I ii 1<1 h 1.
Это 0значает, что ряды &" (;;;) схо.n:ятся ЛУЧlllе, чем ря.n:ы &" (v; "'t).
Вообще формула (3) позволяет заменить любое значение 't KOHrpy
ЭIПНЫМ ему значением И3 фун.n:аменталыюй области модулярной rруп
пы (см. 1 rл, 4), т, е. из области, точки КОТОрОЙ удовлетворяют
неравеНC'I"вам
1 1
2 r< 2' r 2 +s 2 ? 1 ('t==r+is).
1'1/
В ЭТОЙ области наименыllеe значение s == [т 't равно '2 r 3. и потому
наибольшее значение I h I равно
"vз
e -----т---- == 0,06583. ..
Ряды .n:ля тета функций с таким значением I h I схо.n:ятся очень быстро.
3. Преобразование BToporo порядка
Для изучения преобраЗ0вания I3Toporo поря.n:ка мы должны в пер
вую очере.n:ь выяснить структуру матриц, отвечающих этому преобра
З0ванию. Напомним, что преобра3013анием BToporo порядка мы назвали
замену пары перио.n:ов (Шl, Ш2) парой периодов (Шl' Ш2)' rде
2 == аШ2 + Ьш 1 , }
W 1 === СШ2 + dWI'
(1)
rде матрица ( ) целочисленна, а ее опре.n:елитель ad Ьс равен 2.
Докажем сейчас, что .матрицу ( ), отвечающую прео6разова
нuю втОрО20 порядка, .можно представить в виде
(; )===T( )s,
2де Т II S _иатРllЦЫ, отвечающие прео6разоваНllЯ.Аf первО20 no
рядка (т, е. преобраЗ0ваииям И3 мо.n:улярной I'РУППЫ), Иными словами:
Пусть пары (Шl' Ш2) U (Шl' Ш2) связаны соотношеНllе.м (1), 2де
а, Ь, с, d целые Чllсла 11 ad Ьс === 2. ТО2да существует пара
(Ql' Q2)' эквивалентная паре (Шl' Ш2)' 11 пара (Ql' Q2)' эквllвалеftт
ная паре (tU J , Ш2)' для которых
Q2 === Q2'
tзl == 2Ql'
(2)
При доказатеJlьстве рассмотрим отдеJlЫЮ 'n:B3 СJlучая.
'!i 3]
ПРЕОБРА30ВАНИЕ BTOPOrO ПОРЯДКА
265
1. Числа с и d оба чеmНbl, В этом случае матрица ( 1 а t ) цe
i c '2d
1 1
лочисленна и ее опре.n:елитель равен '2 (ad Ьс) =="2.2== 1, Поэтому
пара (Ql' Q2)' r.n:e
Q2 == аШ2 + Ьш 1 ,
1 1
Ql == "2 СШ 2 + "2 dWl
эквивалентна паре (шl' ш 2 ). Полаrая Q2 == 2' Ql == l' мы видим, что
равенства (2) l3ыполняются.
2, Числа с и d 8ЗallМftО просmы. (Ясно, что числа с и d не MO
тут иметь общих делителей, отличных от е.n:иницы или .n:войки, ввиду
равенства ad Ьс == 2,) В этом случае существуют целые числа а и .
у.n:овлетворяющие условию
ad c == 1.
Ql == ( аШ 2 + шl),
Q2 == СШ 2 + dWl'
бу.n:ет эквивалентна паре (ш 1 , Ш2)' С друrой стороны. И3 равенства
(а 2a)d (b 2 ) c==(ad Ьс) 2 (ad c)==2 2.1 ==0
Пара (!; 1' Q2)' rде
<сле.n:ует, что
а==2а+рс,
b==2 +pd,
r.n:e р целое число. Поэтому равенства (1) для Шl и Ш 2 МОжно за-
.писать в виде
БJ 2 == 2 (аШ 2 + шl) + р (СШ2 + dwд.
Ш 1 == СЩj + dW 1
"Или [J виде
Ш 2 РШ 1 == 2Ql'
Ш 1 == Q2'
Положив
Q2 == 1' Ql == 2 + ры 1 ,
мы ви.n:им, что пара (2J' j2) эквивалентна паре ( 1' W 2 ) (так как мат-
рица ( О 1 ) целочисленна и ее опре.n:елитель равен единице) и ра-
1 р
Bef,lCТl3a (2) выполняются,
Тем самым наше утверж.n:ение полностыо .n:оказано.
Теперь найдем преобраЗ0вание BToporo порядка f-функции
ВейеРlllтрасса.
266
ПРЕОБРАЗОВАНИF. ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЩНl
Irл.7
с этой целью заметим прежде Bcero. что в качестве периодов
(ш!' ш 2 ) и (t !, 2) мы можем взять перио.n:ы (Q!. Q2) и (Q!. Q2)' сущест
вование которых только что доказали. так кю{ замена пары перио.n:ов
эквивалентной парой не меняет функции ВейеРlllтрасса. Для у.n:обстна
обозначим
Q! === 2ш,
Q2 === 2ш'.
Tor.n:a
Qj === ш.
!; 9 === 2ш',
и нам нужно найти связь меж.n:у функuиями ffJ (11; 2ш. 2ш') === ffJ (11)
И ffJ(1I; W, 2w')==8'J(11),
Параллелоrрамм перио.n:ов функции ffJ (и) состоит И3 двух паралле
лоrраммов перио.n:ов функции f.l (и) (рис. 56), Мы можем рассматривать
2lv , +2йJ функцию ;) (и) кю{ эллиптическую ФУlllЩИЮ чет-
BepToro поря.n:ка с перио.n:ами 2ш, 2ш' (т. е.
считать фУНКllИИ ffJ (и) и f.l (и) имеющими оди
наковые перио.n:ы. а значит. и параллелоrраммы
периодов). Функция 8:) (и) имеет полюсы BTOpOl'O
порядка в точках 11 === О И и === ш. Обозначая
2ы'
11
/
з === .r (ш') == ffJ (ш'; ш. 2ш').
о
2Ы
Рис, 56.
ви.n:им. что фушщия f.l (11) з (имеющая. оче-
ви.n:но. те же полюсы. что и фушщия f') (11» имееr
.n:вукратные нули в точках 11 == ш' И 11 == W f ш'.
же нули имеет функuия
Те же полюсы и те
Поэтому
(!;) (11) ез) (ffJ (и + ш) ез).
8;) (и) :I == М (8 ;) (11) ез) (ffJ (11 + ш) ез).
r.n:e М постоянная, которую леrко найти. сравнив разложение обеих
частей равенспза в ря.n: Лорана в окрестности ТОЧI{И и === О. Эта по-
стоянная равна I !(е, ез). так что имеет место равенство
л А 1
J(11) gJ(w')== (ffJ(ll) ffJ (ш'»)(ffJ (11 + ш) ffJ(ш'». (3)
е, ез
Далее, функция ffJ (11 + ш) е! имеет полюс BToporo ПОРЯДI(а при
и == w и ну ль BToporo порядка при 11 == О. Те же полюсы и ну ли
1
имеет функция ;) (и) е, ' Сле.n:ователыlO. эти 'n:Be функции отлича
ются лишь постоянным множителем. который леl'КО найти. ПОJJOЖИВ
11 == ш', В результате получим равенство
к:) (11 + ш) Сl ===
(e. . (',) (1": .. ",)
К;) (и) е,
' 4)
ФОРМ.УЛЫ связи
267
I[lодставив которое в формулу (3), получим рациональное выражение
функции r (и) через r (ll).
Если в равенстве (3). которое можно записать в ви.n:е
r (и; ш, 2ш') r (ш'; ш, 2ш') ==
=== lуэ(l/; 2ш, 2ш') r(w'; 2ш, 2w')]lr(II+W; 2ш, 2w') r(ш'; 2ш, 2ш')],
е, e::
;fюменять местами w и ш', то получим равенство
r (и; 2ш. ш') !() (ш; 2ш, ш') ==
=== [ Э(I/; 2ш. 2ш') r(w; 2ш, 2w')][r(l/+w'; 2ш, 2ш') р(ш; 2ш, 2ш')],
е, ез
4. Формулы связи между функциями Вейерштрасса и Якоби
Для изложения .n:альнеЙlllИХ результатов нам необхо.n:имо вывести
,еще нешолыю формул, связывающих r функцию Вейерштрасса с функ
:циями Якоби sn ll, сп 11, dn 1/. Точнее rоворя, нам бу.n:ут нужны фор
.мулы еняаи меж.n:у фующией
r (ll; 2ш, 2ш')
11 функциями
SN (1/; 't), сп (ll; 't), dn (1/; 't),
c.n:e 't == ш'!ш,
Соrлаено формулам (6) 9 rл, 2 и (11) 1 rл. 3 имеем
2К =='Т'& (О) == 2ш еl еа, ]
2iK' == 2К.. == 2ш' V еl е а ,
x'Ji== e2 e х,2 == е 1 e2
е l ез' е, e,,'
(1 )
Первые .n:ne И3 написанных формул 0значают (01. 2 rл,
функции
sn 2 {ll 11 el е;\). сп 2 (ll V el еа)' dn 2 (ll Vr e 1 еа)
3), что
'Имеют nерио.n:ы 2ш и 2ш', т. е. те же, что и функция () (и). Палее
,функция sn 2 (1/ 'J/ el еа) имеет .n:войноЙ полюс при 11 == ш', .n:воЙной
нуль при 11 == О И равна е.n:инице при 11 == ш. П оэтому
r (и + ш') е а == (е9 е а ) sn 2 (1/1/ el еа)'
с IIОМОЩЬЮ анаЛОI'ИЧНЫХ соображений .n:ока3hIваются и фОр IУ лы
r(ll + ш') el ==(ез е.) dn 2 (1/ J/ ) ,
r (" + ш') е2 == (е а е2) сп 2 (и1l еl ез).
268
nРЕОЕРА30В4НИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.7
с ПОМОЩЬЮ таблицы преобраЗ0ваний функций Якоби при изменении
переменной (см, 2 rл. 3) получаем И3 написанных выше формул
ря.n: .n:руrих, Все эти формулы мы выпиlllем в ви.n:е таБЛИllЫ.
и I u+", I u+",+",' I u+",'
ffJ е l сп' I sn' 1 (е" e l ) дп'
(е l e:,) (е, е.) сп" (e. eд .
sn дп'
ffJ e. дп' 1 (е l е.) (е" е.) sn' (е" е.) сп.
(е, е.,) (е, e.) dП2
. sn' сп. el e"
ffJ е" 1 дп' сп' (е. е,,) sn'
(е, e,) (е l е,) а]2" (е. е,) дп'
sn
AprYMeHToM в сех вхо дящих в эту таблицу ФУНКЦИЙ Якоби являетсSl
величина и 11 еl ез.
5. Преобразование Ландена
И3 формулы (1) 3 с ПОМОЩЬЮ соотношений, Выписанных
в таблице пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа, получаем равенство
(еl ез)
, sn' (и Ve l e,: 2't)
1 ( ) dn' (и У е l e,: 't)
. еl ез . .
sn' (и V е. ев : 't) сп (и уе. e,: 't)
r.n:e обозначено .n:ля краткости
е l === ffJ ( ; ; ю, 2Ш') , е 2 === ffJ ( ш' + ; ; ю, 2ш') , 1"3 === ffJ (ш'; ю, 2ш').
Заменив в этом равенстве переменную II на lli V еl ез и BlJe'n:51
обозначение
т lf e. е з
J' е. е з '
получим формулу
sn u сп и
sn (ти; 2,,) === т d
пи
(1)
(з.n:есь и ниже пишем sn II вместо sn (и; ,,»,
Если обозначИ'lЪ через К и К' значения полупериодов, относящиеСfl
к sn (и; 2,,), то по формуле (3) 4
2К === w V еl ез === Кт,
2iK===2w'V el ез ===2iК'т.
Р]
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЛАНДЕНА
269
Следовательно,
А I<.
К===т 2 ,
К' === тК',
Выразим сейчас значение m и MO'n:Y ль 1(, отвечающий функции
sn (ll; 2't), через модуль 1(, отвечающий функции sn ll. С этой целью
1 А
положим В формуле (1) II ===2' К. Tor.n:a тll === К, и мы получаем
равенство
к к
sn Z . сп Z
1===т К
dn Z
(2)
И3 равенств
сп а
sn ( zz + Ю ===
dn и'
dn (zz + ю === 1(' d
па
(см. 2 rл. 3) при
1
" === Z к получаем, что
К
К cn Z
snZ=== '
dn Z
d 2K '
n 2 X'
Поэтому в силу равенства (2) имеем
К ] dn 2 ] '1.'
1 ===т sn 2 Z ===m '1.2 т .
Следовательно,
'){.2 1 %'2 ,
т=== ] '=== 1 ,=== 1 +1(.
'1. y,
Заменив в равенстве (1) " на " + iK, получим, соrлаено форму-
Jlам 2 rл.3,
1 dn 11
т -
;, sn (1/111; 2't) '1.2 sn 11 сп 11
или
у, 2 sn а сп а
sn(mll; 2't)=== .
пп dn а
Следовательно, принимая во внимание формулу (1), получаем
'1.2
=== т,
1/1'1.
'1.2
1( === ===
1/12 (1 + '1.')2
1 ,2
'1.
1 '1.'
1+'1.'
Обозначим фУlllШИИ sn zz. сп ll, dn ll, отвечающие мо.n:улю 'It через
sn (zz i 1(), сп (ll 1 1(), dn (ll, 1().
270
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЭЛЛИn,,"ИЧЕСЮIХ ФУНКЦИй
[rп.7
Тоrда рапеиство (1) можно записать в ви.n:е
(1 + ' ) 1 1 ' ) (1 + ' ) sn (и I ) сп (ll/ )
sn х II 1 + . Х dn (и I )
(х и Х спязаны соотношением х2 + х,2 === 1),
Формула (3) носит название преобразован.llЯ Лан.ден.а.
(3)
Преобразование Лан.n:ена чаще пишут в друrт! ви.n:е, к которому
мы сейчас ero приве.n:ем,
Положим
sn (111 х) === х, sn «1 + х') 11, ) === у,
Учитывая формулу (8) 1 rл,3, получаем И3 формулы (3) COOTHO
шение
=== ( 1 + х' ) х Ifr= х 2 .
У lr , О"
f' x-
(4)
с ДРУI'ОЙ стороны, Соrласно формуле (4) 3 rл.3, имее:\1
dx dy ,
=== dl1, === (1 + х) dll.
V (l х") (1 2x2) ((1 у2) (1 ;'"у2)
Поэтому спрапе.n:лива формула
\' dy ===(1 +х') \' dx (5)
J ((1 y2)(I "y2) (о x2) (1 .",?x2) ,
I(оторая и япляется наиболее употребительной фОр:\lOй преобразопа
ния J1аи.n:ена. Моду JlЬ х называется также .Alодуле.1t ЭЛЛllптllчеСl(О20
lIнте?рала
\' dx
УО х") (1 х 2 х 2 ) .
Пусть х и х' .n:ействительные положительные числа, связанные
соотношением х 2 + х,2 === 1. Тоrда
1 ' 1 .2 " 2
Х === 1 + . === (1 + ')2 === (1 + ')2 < х < х.
т (jКИМ обраЗ0М, преобраЗ0вание Лан.n:ена, записанное в ви.n:е (5),
rlOЗПОJlяет свести вычисление эллиптическоrо интеrралз с мо.n:улем
х, 0<]( <;;: 1, I{ вычислению эллиптическоrО интеrрала с меньшим
1II0.n:улем Х,
с 11O:\IОl!lЬЮ повторноrо применения преобразопания Лан.n:ена можно
с.n:елать модуль эллиптическоrо интеrрала сколь yro'n:Ho малым, а при
достато'шо малом мо.n:уле х эллиптический интеrрал
\' dy
,! (1 у2) (1 2y2)
РI
СРЕД НЕ Е АРИ Ф МЕТИI( O rEOIH ЕТРИЧЕСI<ОЕ
271
можно считать приближенно равным интеrралу
С dy ,
JiT""" у2 == arcsтy.
Таким образом, преобраЗ0вание Лан.n:ена можно применить 1< прибли
женному вычислению эллиптических интеrралов.
6. Среднее арифметико rеометрическое
Покажем, как применяется преобраЗ0вание Ландеllа к эллиптиче
скому интеrралу
1
С dx
J у(! х 2 ) (1 %"х 2 ) ,
О
(1)
rде х за.n:анное .n:еЙСтвитеJIьное число, заключенное меж.n:у нулем и
е.n:иницей.
Положив
х == SN (и J х) и приняв во
сп О
sn (J) == dп 0 === 1,
внимание равенства
sn О === О
(см. 2 rл. 3),
получим,
1
dx
== (J) === К.
}/(1 x2) (1 %2x2)
что
в 5 мы .n:оказали равенство
'т 1+%'
K==2K=== K,
r.n:e К значение полуперио.n:а, отвечающее значению
Поэтому
I
О
Заменой
, ....'
х== 1 1---"""
I
dx 2 (' dx
V(l X2)(I 'Y.2X2) === 1+%' V (l x2)(I ;2x2) (2)
перемеНllоrо х === sin '? интеrрал (1) преобразуется к ви.n:у
1t
1t
2 2
v 1 :2 sin 2 'f V COS2 '? .,.,,2 sin' 'f
(х 2 + х,2 === 1),
так что равенство (2) можно записать в более у.n:обном ви.n:е
1
(' dx
J J / (1 x2) (1 %2x2)
1t
1t
2
\ d'f
V cos' 'f + ')'.,2 sin 2 'f
2
=== 1 ')'.'
'о
d'f
V cos 2 'f + ,2 sin' 'f '
(3)
272
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
[rл.7
r.n:e
А, f ... (' ( 1 %'\2 2У:;:
y.==Vl y'2==Jll 1+%' )== 1+%"
а
Пусть У.' == b' r.n:e а произвольно выбранное положительное
число (Tor.n:a 0< ь < а, таl( I(аl( 0< У.' < 1). Очеви.n:но, что
А, 2 1/ аЬ а 1
У. == а+Ь == Ь 1 '
r.n:e
а+Ь
аl == '
Ь 1 == уаЬ .
Рапенство (3) 0значает в этих обозначениях, что
1t
"2
(' d<p
J -, / а 2 С08 2 <р + Ь 2 8in 2 <р
1t
2
2 \ d<p
a+b J...(' Ь2
О JI С08 2 <р + a 8in 2 <р
или что
1t
1t
"2 "2
\ d<p (' d<p
У а 2 сos 2 <р + Ь 2 8in 2 <р == J у ai С08 2 <р + b 8in <р .
(4)
Рассмотрим 'n:Be после.n:овательности
а, аl' а2'
Ь, Ь 1 , Ь 2 ,
...,
...,
rде а и Ь sаданные числа, у.n:овлетворяющие условию 0< Ь < а,
а остальные члены опре.n:еляются реl(уррентными формулами
an+b n
a n +l == 2
а о == а,
, b n + 1 == V anb n , }
ЬО==Ь, п==0,1,2,..,
(5)
Лешо ДОl(азать, что пределы обе11Х последователЬ/юстей cYfЦecт
вуют II раВНЫ однояу 11 тоду же члслу, I(оторое бу.n:ем обозначать
М (а, Ь) и называть сре.n:ним арифмеТИI(Q rеометричеСI(ИМ чисел а и Ь.
С этой целью заметим сначала, что a n + 1 > Ь ч1 , посI(олы(y
Ь an+bn / 1 ( f 1 ) 2
anj l n+l== 2 anbn 2 v an V b n >0.
Затем заметим, что после.n:ователыюсть b n IJозрастает, а последова-
тельность a n убывает, таl( I(3!{
a n +l == a n 1 b n < a n , b n + 1 == У anb n > b n .
6]
СРЕДНЕЕ АРИФМЕтико rЕОМ.ЕТРИЧЕСКОЕ
273
Поэтому после.n:ователыlОСТИ a n и b n как монотонные и OI'раниченные
последовательности имеют пре.n:елы. Обозначив эти пре.n:елы через
А и В, получим И3 первоrо из рекуррентных СООТНОlllений (5) равенство
А+В
А == ' 11з ЭТОI'О равенства немедленно вытекает, что А === В,
и тем самым Hallle утверж.n:ение .n:oKaaaHo.
в равенстве (4) числа aI, ы I
С любым п. Перей.n:я в полученном
мы получим
можно заменить числами аn> b n
равенстве I{ пре.n:елу при п 00,
"
2
\' d'f
11 а 2 cos' 'f + Ь 2 sin 2 'f
1с ]
2 м (а, Ь) .
(6)
в частности,
"
2
К \' d'f 1
j 1I] 'Y,,2sin''f 2 M(J, 'У,,')
о
(7)
2
(ибо 1 х 2 sin 2 Ч' === cos 2 Ч' + х' sin 2 Ч').
Тем же способом, I<OTOpbIM мы получили формулу дЛЯ К, можно
получить формулу
"
"2
К' ===
о
d'f
V 1 'Y",2 sin 2 'f .
Из этой формулы с помощью равенства (6) находим
К , 1с 1
===2 М (1, 'У,,) .
(8)
Число М (а, Ь) леrко приближенно вычислить с помощью peKYP
рентных формул (5). Зная это число, мы можем вычислить (при
за.n:анном значении х) перио.n:ы К и К', а по ним число 'с === ЁК' / К.
Зная 'С, можем написать хорошо схо.n:ящиеся тета ряды, а через TeTa
функции уже леrко выражаются функuии Якоби. Пре.n:ложенный
способ вполне по.n:хо.n:ит .n:ля табу лироnания эллиптических функций
Якоби как функций модуля х.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
rЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНОЙ проблемой при построеЕИИ теории аналитических Функ
ЦИЙ l{Qмплексноrо переменноrо является соз.n:ание стройноrо и лоrи
чески непротиворечивоrо взr ля.n:а на мноrозначные аналитические
ФУНКЦИИ. Первым у.n:овлетворитеЛЫIЫМ решением этой проблемы яви
лась веиерштрассова теория аналитических ФУНКЦИЙ, основанная на
непосре.n:ствеНlIO 1 ана.1Jитическом про.n:олжении степенных ря.n:ов, Пре
красное изложение этой теории имеется в '{урсе rурвица (первая
часть этоЙ Iпшrи).
O'n:HaKo по.n:хо.n: ВейеРlllтрасса не является е.n:инственным (или Ha
ИЛУЧlllИМ) путем к построению теории знзлитичеClШХ ФУНКЦИЙ. И.n:ея
.n:pyro!'o, более r лубокоrо по.n:хо.n:а со.n:ержалась в работах Римана.
Она состоит II TO I, что мно!'означную аналитическую функцию сле
.n:yeT рассматривать как обычную о.n:нозначную ФУНКЦИЮ, но не на
плоскости I{Омплексноrо переменноrо, а на некоторой поверхности
(римзнова поверхность), Изложение этоrо пути построения теории
аналитических функций требует значительно более широкоrо 3НШ{ОМ
ства с l'ео !етричеClСИМИ и физическими пре.n:ставлениями, относяЩИ
мися I{ анаШlТичеСIШ ! ФУНКЦИЯМ. ПО этой причине .n:ля нас у.n:обнее
l1ачать 3l1aKo lcTllO с элементарными вопросами теории ФУНКЦИЙ за
110ВО, отмечая по xo.n:y .n:ела мноrие новые факты.
Наше изложение формально не зависит от книrи rурвица (первых
'n:BYx частеЙ этой книrи), но .n:ля первOI'О знакомства с теорией aHa
литических ФУНКЦИЙ эта часть может оказаться трудной.
Тлава первая
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
в этой r .'шве мы коротко изложим самые необхо.n:имые све.n:ени я
113 анализа и И3 ТОПОЛОI'ИИ, Большинство этих сведений совершенно
элементарно и, без сомнения, известно читателю. Некоторое исключе
иие пре.n:ставляет последний парю'раф ['лавы, rде мы I'ОВОрИМ о CBe
дениях из ТОПОJIOrии, нужных лишь .n:ля после.n:них r лав.
1. Комплексные числа
f{о.мпле1Ссное ЧllСЛО Z == а + Ы это пара .n:еЙСтвительных чисел
(а, Ь). Два комплексных числа ZI == аl + b 1 1 и Z2 == а2 + b 2 1 счита
ются равными тоrда и только Tor.n:a, Kor.n:a аl==а2 и Ь 1 ==Ь 2 . Ha.n:
1{О ШJIексными ЧИСJlами опре.n:елены .n:ействия сложения и умножения
равенствами
(а +Ы) +(с + dl) ==(а + с) +(Ь +d)l,
(а + Ы) (с + dl) == (ас bd) + (ad + Ьс) l.
КшшлеКОlЫе числа пи.n:а а + O.l l\ЮI'УТ быть отож.n:ествлены с
деiiстВlшzельны.lll1 числами: а ,+ о. [ а.
Комплексные ЧИСJIЗ ви.n:а 0+' Ы (короче Ы) называются Чllсmо
.лtНlI.мЫ.АfIl числами.
В комплексном числе Z == а + Ы число а назыпается дeйcтBи
тельной частью и обозначается Re z, а число Ь называется .Af1ill.AfOii
частью и обозначается 1т z.
I'еометрически комплексное число z == а + Ы обычно изображают
точкой плоскости с прямоуrолы[ыми коор.n:инатами а, Ь. Поэтому
мы часто бу.n:е;\1 I'ОВОрИТЬ не о числе z, а о точке z.
Комплексное число а Ы называется сопряжснны.м с комплек
сным числом z == а + Ы и обозначается через 2,
11з формул, опре.n:еляющих .n:ействия над кщшлексными числами,
лепю получаем, что
12== 1;
z2 == (а + Ы) (а Ы) == а 2 + Ь 2 == (Re Z)2 + (1т Z)2.
276
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕ'n:ЕНИЯ
[I'д, r
Вместо прямоуrОЛblIЫХ коор.n:инат а и Ь точку Z === а + Ы можно
за.n:авать и ее полярными коор.n:ин атами ( r, <р), r.n:e
r === 11 а 2 + Ь 2 ;
cos <р === ; , sin <р === (z "* О),
При этом уr'ол <р опре.n:еляется, очеви.n:но, лишь С точностыо .n:o сла
raeMoro, KpaTHoro 2'1t. И3 формул .n:ля ер ви.n:им, что
а === r cos <р,
ь === r sin <р.
Поэтому
Z === r (cos <р + i sin <р),
Число r называется ЛlOдуле_11 или абсолютн.ой веЛllЧZUЮU I(Омп
лексноrо числа Z и обозначается симполом i Z 1. Число <р назыпается
apzY.Afeumo.Af комплексноrо числа Z и обозначается сим полом alg Z.
rеометрически величина ! Zl Z2! рапна расстоянию меж.n:у точ
ками Zl и Z2'
Пля MO'n:Y лей комплексных чисел имеют место СООТНОlllения
I Zl +- Z2 i t zll + I Z21,
I Zl +- Z2 1 :;?: I1 Zl i I Z2\!'
! Zl Z2[ === 1 Zl !I Z21.
Пусть а любое комплексное число, а Е> О. Множество всех KOM
nлексных чисел, у.n:овлетворяlOЩИХ неравенству
Iz ai<E,
называется окрестн.остью (или Е окрестн.остью) числа а. reoMeT
рически окрестность точки а это Kpyr с ueHTpoM в этой точке и
с ра.n:иусом Е.
Пусть М каJ(ое либо множество комплексных чисел (точек fIJЮ
скости), Точка 1;. называется предельн.ой точкой . (н.ожества М, если
в каж.n:ой окрестности точки С. лежит по меныllйй мере o'n:Ha точка
множества М, от личная от точки С. (которая может прина.n:лежать, а
может и не прина.n:лежать множеству). Ясно, что в каждой OKpecт
liOCmll предельн.ой тОЧКlI леЖllт бескон.ечн.о .!tliozo точек .Afн.оже
ства М.
После.n:овательность комплексных чисел Zl' Z2, Zз, ... называется
сходящейся, если существует такое комплексное число Z, что в каж
.n:ой ero окрестности расположены все числа после.n:овательности, за
исключением конечноrо их числа; иными словами, если .n:ля каж.n:оrо
Е> О существует такой номер N, что при всех п> N имеет место
неравенство I Z Zn I < Е.
1]
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
277
Число z называется при этом предело. t последоватеЛЬ1iостl1
ZI' Z2, . .. и обозначается символом ]im zn' Предел последовательностll
n co
является eall1iCmeeH1iOii предеЛЬ1iОЙ точкой .Af1iожества Чllсел, обра
3УЮlЦllХ ату последовательность.
Бесконечный ря.n:
ZI +Z2 +Z3 +...
называется сходЯlЦll.AfСЯ, если схо.n:ится последовательность {Sn} er(}
частных сумм
sn === ZI + Z2 + . . . + Zn
(п=== 1, 2, ., ,),
Число s === liт Sn называется СУЖ.АfOй ряда. Обычно ПИlllУТ
n co
00
S=== Zn'
n 1
Пусть М какое-либо множество комплексных чисе.'! и пусть
каж.n:ому числу z Е м отвечает некоторая после.n:овательность {lln (z)},
п === 1, 2, ... ПОСJIе.n:овательность {lln (z)} называется paBHO.Afep1iO cxo
дщцейся на .АfНожестве М, если она схо.n:ится .n:ля каж.n:оrо Z Е м
'( пре.n:елу II (z) и если .n:ля каж.n:оrо Е> О существует не зависящий
от ЧИСJlа z номер N такой, что при всех п> N и всех z Е м имеет
место неравенство Jlln (z) II (z) ! < Е.
Бесконечный ря.n: III (z) + и2 (z) +, '. называется paB1iO.AfepHO схо-
дЯЩll.AfСЯ на .АfНожестве М, если после.n:овательность {Sn (z)}, п ===
=== 1, 2, ,." ero частных сумм
Sn (z) === 111 (z) + и2 (z) +... + lln (z)
равномерно схо.n:ится на множестве М.
Например, ряд
00
1 + z + Z2 + .. . === ZN
n O
(rеометрическая проrрессия) равномерно схо.n:ится в Kpyre I z I R'
]
при 0< R < 1 '( сумме 1 z .
Во мноrих случаях у.n:обнее изображать комплексные числа не
ТОчками плоскости, а точками сферы с помощью так называемой
стереО2рафllческоЙ проеКЦllU. О.n:ин вариант стереоrрафической про-
екции был описан в 3 r л. 1 ч. 1. Для разнообразия опишем сейчас
HecKOJlbI<O иной вариант.
Бу.n:ем рассматривать комплексную плоскость z === х + iy как nло
СКость в трехмерном пространстве ( , 1j, 1:). При этом коор.n:инатные-
278
ПРЕ'n:ВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕ'n:ЕНIIЯ
[rл. ,
-оси и 11 бу.n:ем считать совпа.n:ающими соошетстпенно с коор.n:иню
ными осями Х И у комплексной плоскости. В качестве сферы, на KO
.орой мы будем изображать комплексные числа. возьмем поверх
,ЮСТЬ lllapa е'n:Иl1ичноr'0 pa
.n:иуса с центром в начале
коор.n:инат (рис. 57). f{аж.n:ой
точке z комплексной ПJЮ
скости поставим п COOTneT
ствие точку УКЗ3ЗШЮЙ сфе
ры. нахо.n:ящуюся на прямой,
сое.n:иняющей точку z с ce
верным (верхним) полюсом
этой сферы. Нетрудно ПОk
считать, 'по координаты
точки z == Х j iy комплекс
ной нлоскости и коор.n:и
Z (;, 11, ) сферы выражаются .n:pyr' через
{
Рис, 57.
aTЫ соответствующеИ точки
Jl.pyra формулю1И
t 2х
1+ 1 1"'
I Z i
2v
11 == 1 + i z 1"'
"j
X== l C Y== l '
== I z 12 _ 1 .
I z j" + l'
(1)
Е.n:инственная точка сферы, не отвечаюшая ни о.n:ной точке KOM
у:лексной плоскости, это ее северный полюс. f{or.n:a точка Z на
I:фере приближается к северному полюсу, отвечающая ей точка KOM
плексной плоскости безrранично у.n:аляется от начала коор.n:инат. По
этому комплексную плоскость часто 'n:ОПОЛНЯlOт символической «бес
конечно у.n:аленной» точкой, считая эту символическую точку ПJю
'скости обра30 1 севернOI'О ПОJllоса сферы, Эту символическую точку
обозначают знаком СО. Дополненную точкоЙ z == со комплексную
плоскость называют расширенной ко шлексной ПЛОСКОСТЬЮ,
Окрестностью бесконеЧJ-f.о удалеН1iОЙ тОЧКll z == со будем Ha
,3bI\JaTb множество точек z, у.n:овлетворяющих неравенству
Izi> .
Е
_Леrко видеть, что при таком опре.n:елении окрестности бесконечно
у.n:алешlOИ точки, как и окрестности любоИ .n:руrой точки, отвечает
на сфере Kpyr с центром в образе этой точки при стереоrрафической
nроекции.
Расстояние d (ZI' Z2) меж.n:у точками
ZI ( 1' 111' Сд. Z2 ( 2' '/)2' С 2 ),
.()Твечающими КОМПJ,еКСНЫ f ЧИСЛЮl
ZI == Хl I iYl'
Z2 == Х2 I iY2'
21
КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ
279
равно V(e l 2)2 + (1Jl 1J2)2 + (1:1 С2)2. По.n:ставляя сю.n:а значения
Ek' 1Jk' C k И3 формул (1), получаем после неCJIOЖНЫХ преобраЗ0ваний
формулу
21Z' Z21
d(zl' Z2)== УI + I z,l" Уl + I z21"
Число d (ZI' Z2) называется хордальным расстОЯН.llея меж.n:у IЮ:\f
плексными числами ZI и Z2' Хор.n:алыюе расстояние :\Iежду .n:вумя KQ;\I
плексными числами у.n:обно Te:\f, что оно остается конечным и В слу -
чае, Kor'.n:a O'n:HO И3 комплексных чисел ухо.n:ит в бесконечность.
2. Кривые и области
Начнем с опре.n:еления понятия непрерывной иривой.
Пусть ер (t) и (t) непрерывные функции параметра t на OT
реЗI{е а t Ь. Множество точек Х + iy комплексной ПЛОСIЮСТИ..
описываемых уравнениями
Х == ер (t), У == tJ; (t),
при изменеllИИ параметра t от а .n:o Ь, взятое вместе с ПОрЯЩ{О:\1 сле
.n:ования этих точек, называется непрерывной KpIIBOii.
Уравнение
Z == ер (t) + i'J! (t),
a t b
(или, что то же самое, уравнения х ==? (t), У == У (t» называется пa
pa.lteтpll'leCKll.l1 ypaBHeHlle_l{ КрllВОЙ.
Два параметрических уравнения
и
Z == ХI (t),
Z ==Х2 (s),
аl t bl'
a2 s b2'
отвечают о.n:ной и той же иривой, ес.'IИ совпа.n:ают и множества TO -
чек, описываемых этими уравнениями, и поря.n:ок сле.n:ования точек.
Это возможно JIИlllЬ n случае, если существует МОНОтОННО возраста
ющая функция s (t), определенная на отрезке а l t b l , 'n:.'IЯ которой
S (аl) == а2, s (Ь.) == Ь 2 ,
Х2 (s (t» == Хl (t).
Если сре.n:и параметрических урапнений ирипой имеется хотя бы
O'n:HO такое, что функция Х (t) == ер (t) + i'jJ (t) непрерывно .n:ифферен
цируема на отрезке а t Ь, то кривая называется 2ладкой. He
прерывная крипая, составленная И3 конечноrо ЧИС.'Iа r ла.n:ких кривых,
называется КУСОЧНО 2ладкоЙ.
IIростейшим примером J{УСОЧНО I-.'Iа.n:кой крипой может служить-
ломаная линия с конечным числом звеньев.
'280
ПРЕ.n:ВАРИТЕЛЫ-IЫЕ СВЕДЕНИЯ
[rл, I
Произвольная непрерывная кривая может быть чрезвычайно слож
ной, но .n:ля наlllИХ целей пполне .n:остаточно иметь .n:ело с /<усочно-
r ла.n:кими кривыми, которые полностыо отвечают обихо.n:ному преk
ставлению о понятии «кривая». Всю.n:у в дальнейшем (если не or080-
рено протипное) по.n: терминами «кривая», «путь», «контур» мы будем
понимать кусочно-r ла.n:кую кривую.
Кривая называется замкнутой, если ее начало совпа.n:ает с ее
концом, т. е. если Х (а) == Х (Ь). В этом случае функцию Х (t) можно
-считать непрерывной перио.n:ической функцией от параметра t с пери
-О.n:ОМ Ь а, про.n:олжив ее за пре.n:елы отрезка [а, Ь] с ПОМОЩЬЮ ра-
венства Х (t + Ь а) == Х (t).
Вообще I"ОВОрЯ, кривая может пересекать себя любое число раз.
Кривая, не пересекающая себя и не касающаяся себя, называется npo
стой КрllВОЙ, Формулами отсутствие самопересечений и самокасаний
записывается так:
I х (t) Х (t*) 1 '* о
при t t*, отличном ОТ нуля (а если кривая замкнута, то от периода).
Леrко в и.n:еть , что отсутствие самопересечений и самокасаний не
.аависит от выбора параметрическоrо уравнения кривой.
Бу.n:ем I'ОВОрИТЬ, что после.n:овательность кривых Сп неnреРЫ8н.о аn-
пpOKCllJltllpyem КРИIJУЮ С. если .n:ля /<ривых С " можно выбрать такие
параl\lетрические уравнения
чтобы
z == Xn (t).
liш шах I х (t) Xn (t) . == О.
n.........".-::ю a.::::t:::,:::b
а t Ь,
Впе.n:ем еще понятие r ла.n:кой аппроксимации.
Пусть С, С/о С 2 , ... КУСОЧI!О-rла.n:кие кривые с параметриче
кими уравнениями
z ==х (t), z ==х/ (t), z == Х2 (t). ..., а t Ь.
Мы можем считать, что функции Х (t) и Xn (t) .n:ифференцируемы на
множествах Е и En, получающихся у.n:алением И3 отрезка [а, Ь] ко-
нечноrо числа точек (с увеличением числа п число у.n:аляемых ТОчек
может возрастать). Через Ео обозначим общую часть всех множеств
Е, Е1' Е2' .,.. Если .n:ля КРИВЫХ С и С " существуют такие парамет
рические уравнения, что
lim шах I х (t) Х" (t) 1 == о.
n OJ a { b
liш sup I i (t) x (t) 1==0,
n CO 'ЕЕо
!i 2]
КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ
281
ТО мы скажем, что после.n:оватеJIЬНОСТЬ кривых СП 2лад1СО aппp01Cca
,ltfZlрует 1СРllВУЮ С.
HeTPY'n:HO показать, что любую 1СУСОЧ1Ю 2лад1СУЮ 1СРllВУЮ можнО
2лад1СО аппРО1Саишровать ЛОАtaНЬUfll ЛllНllЯАtll. АППРО/(СИ!',lИрующие
ломаные можно составить, например, И3 на.n:лежаще по.n:обранных
xop.n: .n:анной кривой (или И3 отрез/(ов ее касательных). Более Toro,
.n:ля простой /(ривой можно построить аппро/(симирующую ломаную,
ниr.n:е не пересекающую HalllY кривую.
Перей.n:ем теперь к понятию области.
Пусть мы имеем некоторое множество 1'И расширенной KOMrIJIeK
сной плоскости. Все ТОЧJ{И ПJIOСJ{ОСТИ по отношению /( множеству М
распа.n:аются на три катеrории:
Точка называется внутренней точкой множества М, если He
которая окрестность этой точки состоит лишь И3 точек множе
ства М.
Точка называется внешней точкой к множеству М, если HeKOTO
рая окрестность этой точки не со.n:ержит точек множества М,
Точка называется 2раНllЧНОй точкой множества М. если любая ее
окрестность со.n:ержит и точки, прина.n:лежащие множеству М, и точ!ш,
не прина.n:лежащие ему.
Множество, состоящее только И3 внутренних точек, называется
от1Срыт ым.
Множество, со.n:ержащее все свои rраничные точ/(и, называется за
м/(нутым.
Совокупность всех rраничных точеI{ множества называется ero
zранzzцей. Леr/(о .n:оказывается, что rраниuа ЛlOбоrо множества явля
ется замкнутым множеством.
I'раниuу множества О бу.n:ем обознач31Ъ символом да.
Множество, полученное И3 множества О .n:обавлением к нему TO
чек е['о ['раниuы, называется замыканием множества О и обознача
ется символом О. Ясно, что o замкнутое множество.
Замкнутое множество раСlllиренной комплексной плоскости назы
вается СВЯЗным, если ero нельзя разБИ1Ъ на 'n:Ba замкнутых множе
ства, не имеющих общих точек.
Открытое множество называется связным, если ero нельзя раз
бить на 'n:Ba открытых множества, не имеющих общих точек.
Возможно и .n:pyroe опре.n:еление связности открытоrо множества:
Открытое множество называется связным, если любые 'n:Be ero
точки можно сое.n:инИ1Ъ ломаной линией, все точки которой прина.n:
лежат этому множеству.
Областью называется связное открытое множество.
Область, дополненная точками ее rраниuы, называется обычно
зам/(нутой областью, хотя этот термин и нельзя признать вполне
удачным.
"282
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[rл. I
Нам часто при.n:ется ПОЛЬЗ0ваться сле.n:ующим соображением:
Если замкнутое множество (например, кривая) лежит в об
ласти, то расстояние от amozo множества до zpaНZlЦbl области
положительно.
I'раницей области может быть чрезвычайно СJюжное множество.
Достаточно рассмотреть, например, области, изображенные на рис, 58
и 59, На рис. 58 внутри прямоуrольника ABCD прове.n:ены прямо
линейные разрезы от сторон АВ и CD, сrушаlOшиеся по мере при-
ближения к стороне вс. Областью является в этом случае множе.
ство точек, остающихся от внутренности прямоуrольника после y.n:a-
ления точек разреЗ0В, На рис. 59 областью является спиралеви.n:ная
полоска, асимптотически закручивающаяся BOI(pyr пре.n:елыюtА кривой А.
IJ I с
А В
Рис. 58. Рис. 59.
Нам при.n:ется иметь .n:ело r лавным обраЗ0М с областями, оrрани-
'Iенными конечным числом кусоч ю-rла.n:ких кривых или точек.
Полезно иметь в ви.n:у сле.n:ующий факт, носящий название тео-
ре.МЫ Жордана:
Простая замкнутая кривая разбивает пЛОСlсость на две об-
.ластll, для которых она является общей zраНllцей,
Для ПРОИ3ВОJIЬНЫХ непрерывных кривых теорема )l{op.n:aHa явля-
ется .n:оволыlO тонким утверж.n:ением, но .n:ля кусочно-r ла.n:ких кривых
()на очеви.n:на,
Существенной характеристикой области является ее ЧllСЛО связно-
сти. Для опре.n:еления этоrо понятия напомним, что "раница области
является некоторым замкнутым множеством. Это замкнутое множе-
ство, вообще rOBopH, может не быть связным, Tor.n:a ero можно раз-
бить на несколько замкнутых связных частей (компонент).
ОБJIaС1Ъ раСlllиренной комплексной плоскости называется п-связ-
ной, если ее rраница состоит И3 п компонент.
наиБолыllйй интерес пре.n:ставляет .n:ля нас односвязные области,
т. е. области, rраница которых состоит И3 o'n:Horo замкнутоrо СВЯ3-
Horo множества, например И3 о.n:ной замкнутой простой кривой или
И3 о.n:ной точки. Отметим O'n:HO важное свойство о.n:носвязных обла-
стей, которое может быть взято в качестве опре.n:еления о.n:носвязности:
Рl
КРИВОПИНЕйНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
283
Каждую замкнутую ломаную, лежащую в одНОСВЯЗНQЙ областll
.можно непрерывным из.менеюzе.м стянуть в любую точку этой
области.
Для областей, оrраниченных конечным числом простых кривых.
мы онре.n:елим положительное направление обхода 2раНlIЦЫ областZl
Рис. 60,
таким обраЗ0М. чтобы при .n:вижении по rраничным кривым в это r
направлении область оставалась слева.
Стоит заметить, что TaKoro po.n:a положительное направление обхо.n:а
rраниuы можно установить и JJ:]IЯ областей, оrраllиченных кривыми
с самокасаниями (рис. 60).
Разрезо.м какой-либо об
ласти но .n:анной кусочно
rла.n:кой кривой, лежащей в
этой области (за исключе
нием, быть может, ее Ha
чала и KOHua), наЗ0вем yдa
ление И3 области точек этоР
кривой.
Прове.n:я в п связной об
ласти п 1 разреЗ0В, мы
можем превратить эту об
ласть в о.n:носвязную. Дей
ствительно, .n:ля этоrо .n:ocTaTO'lHO
все I{омпоненты rраllИUЫ области
Рис. 61.
сое.n:ишп ь разрезами между собой
(рис. 61),
3. Криволинейные интеrралы
Пусть КУСОЧlю r ладкая кривая С, JIежаЩШj в ОЩlOсвязной области
О, за.n:аllа парамеТРИ'lеским уравнением
x.::=;-;p(t), y=== (t)
(1} t l<JJ,
284
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
rrл, I
и пусть Р (х. у) и Q (х, у) 'n:Be .n:ействитеЛЫJЫе непрерывные функ
ции. определенные в области О. По.n: криволинейным инте2ралом
Pdx+Qdy
с
бу.n:ем понимать опре.n:еленный инте1'рал
t.
{Р (ер (t), (t» ер' (t) + Q (ер (t), (t» ' (t)} dt,
t l
Леrко ви.n:еть, что величина интеrрала не зависит от выбора пара
метрическоrо уравнения кривой С.
Если функuии Р (х, у) и Q (х, у) остаются непрерывными в за
мыкании области О, то это опре.n:еление приrо.n:но и .n:ля случая,
Kor.n:a кривая С частично или полностыо совпадает с rраничной кривой
{)бласти О.
При изменении направления кривой С на обратное (т. е. при
изменении параметра t от t 2 К t 1 ) криволинейный интеrрал меняет
знак.
Если кривая С составлена И3 'n:BYX после.n:ователыю прохо.n:имых
кривых С 1 и С 2 , то
Pdx+ Qdy== Pdx+ Q dy+ Pdx+Qdy.
с с, С 2
Аналоrичное утверж.n:ение. имеет место, очевидно, и при разбиении
кривой интеrрирования на большее число частей,
Если D область, оrраниченная конечным числом простых замкну
тых кривых, то символом дD мы бу.n:ем обозначать совокупность ее
rраничных кривых, прохо.n:имых в положительном направлении (т. е.
так, чтобы область OCTaBaJlaCb слева по .n:вижению).
Пусть область D разбита на сумму конеЧНО20 Чllсла областей
D 1 , D 2 , .., Dn> каждая из которых 02раничена конечным числом
простых замкнутых кривых. ТО2да
n
Pdx+Qdy== )2 Pdx+Qdy.
дD k "'" 1 ()D k
Действительно, в сумме, стоящей в правой части равенства,
интеrрал по каж.n:ой части rраниuы области D встречается о.n:ин раз
и притом с тем же направлением (см. рис. 75), а интеrрал по каж.n:ой
части rраниuы области D k , не вхо.n:ящей в rраниuу обдасти D, BCTpe
чается дваж.n:ы, причем с противоположными направлениями (рис. (2).
Поэтому интеrралы по 'lастям rраниu областей D k , не вхо.n:ящим
в rраниuу области D, в сумме .n:ают HYJlb. ИнтеrраJIЫ же по частям
rраllИU, входящим в rраницу области П. дадут нам интеrраJI 110 этой
rранице.
i 3]
КРИВОЛИНЕйНЫЕ ИНТЕrРАJ1Ы
285
Заметим, что интеrрал по кривой С меняется непрерывно при
'r ла.n:кой .n:еформации этой кривой. Это 0значает, что если последо
вательность кривых C I , С 2 , С з ,.." лежащих в области О, 2ладко
пппрокспмирует КрZ1ВУЮ С, то
Pdx+Qdy==1im Pdx+Qdy,
(. n OJ С
n
Нас бу.n:ет сейчас интересовать вопрос, при каких условиях криво
-линейный интеrрал
Pdx+Qdy
с
не зависит от формы кривой С, а зависит ЛИlllЬ от начальной и
,конечной точек этой кривой. И3 'n:BYx кривых, имеющих обшее начало
и общий конец, мы можем co
ставить замкнутую кривую,
IIрОЙ'n:Я o'n:HY кривую в прямом
направлении, а .n:руrую в об
ратном. Интеrрал по этой зам
'кнутой кривой бу.n:ет равен
разности интеrралоп по наlllИМ
двум кривым. так как при пе
ремене направления кривой
J1нтеrрал меняет зн3I<, Поэтому
наш вопрос можно заменИ1Ъ Рис. 62.
вопросом: при каких условиях
КРИВOJlИнейный интеI'рал, взятый по любой за \I{НУТОЙ кривой, равен
.нулю? Ответ на этот вопрос .n:aeT сле.n:ующая Teope 1a:
т е о р е м а 1. Пусть фУНКЦZlll Р (х, у) и Q (х, у), а также их
'laCmHble производные Р;, (х, у) 11 Q (х, у) непрерывны в 02раНl1чен
ной односвязной области О. Для тО20 чтобы криволинейный
цнте2рал
Pdx+Q dy,
с
(1)
взятый по любой замкнутой КрZ1ВОЙ, лежащей в области О, был
равен нулю, нсобходи.ИО и достаточно, чтобы во всей области О
выполнялось равенство
Р; (х, у) == Q_ (х, у),
(2)
Начнем с .n:оказательства необхо.n:имости условия (2). Если интеrрал
по любому замкнутому пути равен нулю, то интеrрал по незамкнутому
пути не зависит от ero формы, а зависит ЛИlllЬ от начала и конна
этоrо пути. B03blvleM начало пути ИlIтеrрирования в неко'юрой фикси
ров анной точке, а конец в переменной точке с коор.n:инатами ( , 'Ij),
TOl'.n:a интеI'рал будет функцией от . 1j. которую мы оБО311ачим через
286
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[rJI. I
F ( , 'rj). ВОСПОЛЬЗ0ваВlllИСЬ определением криволинеt!ноrо интеrрала.
мы уви.n:им, что из непрерывности функций Р (х, у), Q (х, у), 'f' (t),
(t) и И3 кусочной непрерывности функций 'f" (t) и ' (t) сле.n:ует
непрерывность функции F ( , 'rj), Докажем, что эта функция дифферен
ЦI;pyeMa и что имеют место равенства
p ( , 'rj) == Р ( , 'rj), p ( , 'rj) == Q ( , 'rj).
(3)
При .n:остаточно малом I h I имеем равенство
E+h
р ( + h, "1) р ( , "1) .l \ Р ( ) d
h h -' х, 'rj Х,
Е
у
/32
Иlпеrрирования от точки ( , 'rj) .n:o точки ( + h, 'Ij)
люБЫ I, В частности прямолинеЙным (если, конечно,.
веJlИчина I h I достаточно мала).
По теореме о cpe'n:HeM праваЯ!
часть равенства может быть за
писана в ви.n:е Р (!; + &h, 'rj), r.n:e
0< &< 1. Перехо.n:я к пре.n:елу
при h """* О, Получаем, что p€, == Р.
Аналоrично .n:оказывается, что.
p == Q. Дифференцируя еще раз.
получаем, что
, 7J
так как путь
можно считать
"
).1
0:;,,8/
о
((,
а 2 :с
Fr'l==p ,
Р ' Q '
'1 == .
Рпс. 63.
По пре.n:положению, функции P
и Q непрерывны, Сле.n:ователыlO,
а значит, и P == Q . Тем самым .n:оказана
-.10 Teope le Юш'а р;." == р;:,
необхо.n:имоС1Ъ УCJю я (2{
Для .n:оказательства .n:остаточности условия (2) рассмотрим сначала
случай, Kor.n:a Hallla замкнутая кривая заключена внекотором прямо-
) j"ОЛЫlИке СХl Х (l;J, 1 y 2' лежащем внутри области О. В этом
прямоуrОJIышке построим функцию
Е '1
р(!;, 'Ij)== Р(х, l)dx + Q( ,y)dy
а, 1
(эта функция равна криволинейному интеrралу, R3ятому по пути,
изображенному на рис. 63). Дифференцируя функцию F ( , 'rj), мы
получаем, используя равенства (2), что
'1
e ( , 'Ij) == Р ( , 1) + P ( , у) dy == Р ( , 1J)
I
и аналсrичио чrо
F ( , 1J) == Q (!;, 1J).
з]
КРИВОЛИНЕйНЫЕ ИНТЕrРАЛЫ
287
Поэтому наш криволинейный интеrрал. взятый по любому пути. ле
жашему В прямоуrолы!Ике, можно записать В ви.n:е
t.;,
) Р dx + Q dy === - {P (<р (t), Ij; (t)) <р' (t) + Р; (<р (t), Ф (t)) Ij;' (t)} dt ===
ос 11
12
=== d {F(<p(t), lj;(t))}dt===F(Xl'Yl) F(xoYo)'
11
T.n:e точка (хо' Уо) начало пути, а точка (хl' Уl) ero конец. В част-
ности, .n:ля замкнутоrо пути начало совпа.n:ает с концом и интеrрал
-обращается в нуль. Таким обраЗ0М мы .n:оказали .n:остаточность УСlJОВИЯ
(2) для случая, Kor.n:a замкнутый путь целиком лежит внутри некото-
poro прямоуrолы!Ика, раСПOJlOженноrо в области О.
Пусть теперь мы имеем произвольную замкнутую кривую. Без
-оrраничения общности можем считать эту кривую ломаной линией.
так как 3l1аем. что любую кусочно-rла.n:кую кривую можно rла.n:ко
_аПl1роксимировать ло:ианой, и если мы докажем, Ч'IО интеrрал по любой
замкнутой ломаной равен НУJ-Ю то, перехо.n:я к пре.n:елу, получим. что
равен нулю и интеrрал по любой замкнутой кривой. Далее. мы можем
-оrраничиться лишь простыми замкнутыми ломаными. Действительно.
любую замкнутую ломаную можно разбить на сумму конечноrо числа
простых замкнутых ломаных, Для этой цели используется такой про-
цесс: и.n:ем по ломаной .n:o попа.n:ания IJ точку. в которой мы уже
были; участок от первоrо попа.n:ания в эту точку .n:o BToporo обо-
значаем С 1 и отбрасываем; затем применяем тот же процесс к оста в-
шейся после отбрасывания замкнутой ломаной; 113 нее вы.n:еJ!И 1 С\!
11 т. .n:.; в результате исхо.n:ная ломаная бу.n:ет пре.n:ставлена в Bl1.n:e
.суммы простых замкнутых ломаных С 1 . C\I' ".. С т ,
Итак, остается .n:ока3а1Ъ. что интеrрал по любой простой замкнутой
.ломаной. лежащей в области О, равен нулю. ДJlЯ этой цели заметим,
<по область п, оrраниченная такой ломаной, тоже лежит в области
(] (ПОСI<ОJIЬКУ область О о.n:носвязна и ломаную МОЖ1Ю стянуть в точку,
:не выходя за пре.n:елы области О). Область п, оrраниченную ломаной,
МОжно разбить на сумму конечноrо числа столь мелких областей пl'
D\I. ' .., пш чтобы каж.n:ая И3 этих областей БЫJ/а заКJlючена В неко-
тором прямоуrольнике, лежащем в области О. Тоrда по .n:оказанному
выше интеrралы по rраницам областей п 1 . D\I, ,.., Dn равны нулю.
ПОСI<ОJJЬКУ интеrрал по rранице области D равен, как мы знаем, сумме
интеrралов по I'раницам областей пl' п\!, ..., пn> то и он равен нулю.
Теорема доказана.
Заметим, что
утверж.n:ение:
Теорема
их частные
вместе с теоремой
мы .n:оказали и сле.n:ующее
:2, Пусть ФУЮСЦllll Р (х. )!) 11 () (х, )!). а также
пРОllзводные Ру II Q.... HeпpepbItJHbI в 02ра1illченной
288
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫF СВЕДЕНИЯ
[rл. I
односвязной области О, и пусть выполнено условие (2). ЕСЛll кривая
С, лежащая в области О, ll.Лtеет начало в фиксированноЙ точке
(хо, Уо), а конец в пере.менной точке ( .. 1), то инте2рал (1) пpeд
ставляет собой функцию от , 1), непрерывно дифференцируеAlУЮ
в области О. Частные производные этой ФУНКЦllll равны Р ( , 'rj)
и Q ( , 1) (первая по , вторая по 1).
При .n:оказательстве теоремы 1 существенную po.1Jb иrрало пре.n:
положение об О'n:НОСвязности области О. Для мноrосвязных областей
имеет место более слабое утверж.n:ение:
т е о р е 1'\1 а 1 *. При выполнеЮlll УСЛОВllЯ (2) llнте2рал по 2раНlIце
любой области, лежащей в области О (и оrраничеНIIОЙ конечным
числом простых замкнутых кривых).
равен нулю,
Доказывается это утверж.n:ение
совершенно так же, как и Teo
рема 1.
Для IIIН0rосвязных областей cy
ществуют замкнутые кривые, KOTO
рые lIельзя стянуть в точку, не BЫ
хо.n:я за пре.n:елы области (см" lIa
пример, рис. 64). ИIПеrралы по Ta
ким кривым не обязаны быть paB
Рис. 64. ными нулю. Рассмотрим, например,
в I{ачестве области О KpyroBoe
кольuо ('n:ВУХСВЯ3IIая область) с ueHTpoM в начале координат и возьмем
Р(х, у) == " + У " '
х у
х
Q(x, у) == х"+у" '
Для этих ФУНКЦИЙ условия (2), как леrко проверить, выполнены.
Вычисляя интеrрал
1== Pdx+ Qdy
с
ПО окружности ра.n:иуса r с ueHTpoM в начале коор.n:инат (ее пара
метрическое уравнение х == r cos <р, у == r sin <р, О <р 2 ). нахо.n:им
2п
1 == {Р (r cos <р, r sin <р)( r sin <р) + Q (r cos <р, r sin <р) r cos <р} d<p ===
о
2"
== d<p == 2 .
о
4]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ тополоrии
289
наlllИ рас-
(4)
в заключение заметим, что, лишь HeMHOrO .n:ополнив
суж.n:ения, мы моrли бы .n:оказать формулу
Р dx + Qdy=== (Q. P ;,)dxdy,
да о
носящую название формулы rрина-Остроrра.n:скоrо. Эта формула
справе.D:JIИва .n:ля функuий Р и Q, непрерывно .n:ифференuируемых
в за 1Ыкании области о.
4. Дополнительные сведения И3 тоnолоrии
Изложенные в 2 све.n:ения И3 теоретико-множественной тополоrии
бу.n:ут .n:ля нас вполне .n:остаточны, пока мы бу.n:ем иметь .n:е:ю только
с комплексной плоскостью. O'n:HaKo, как уже rоворилось во вве.n:ении,
мы намереваемся в .n:альнеЙlllем иметь .n:ело с так называемыми ри-
мановыми поверхностями. Разумеется, большинство необхо.n:имых све-
.n:ений И3 тополоrии поверхностей бу.n:ем излаrать по мере на.n:обности
там, rде в них возникнет необхо.n:имоС1Ъ. Сейчас сформулируем TOJIbl<O
понятие поверхности и отметим аналоrии и различия меж.n:у комплексной
плоскостыо и ПРОИ3ВОЛЫlОй поверхностью в простейших вопросах.
Начнем с опре.n:еления тополш-ическоrо (хаус.n:орфова) простран-
ства.
Пусть .n:aHo множество -5, элементы KOToporo бу.n:ем называть
точками. Множество .1') называется топОЛО2llчеСКllМ пpocтpaHCтBO.Al,
если в нем можно вы.n:елить систему по.n:множеств {и а }, называемых
окрес т нос тя Mll, у .n:овлетворяюшую сле.n:ующим условиям:
1. Пересечение любых 'n:BYx окрестностей и а И и , если оно не
пусто, со.n:ержит некоторую окрестность и,.
2. Для любых 'n:BYx различных точек а и Ь из множества .1') можно
найти окрестность И а , со.n:ержашую точку а и не со.n:ержащую точку Ь.
С помощью понятия окрестности мы, как и в 2 .n:ля плоскости,
можем опре.n:елить понятия внутренней, внешней и rраничной точек
множества. Отсю.n:а леrко получаем опре.n:еления OTKpbIToro и замкну-
TOI'O множества.
Пусть мы имеем 'n:Ba тоrlOлоrических пространства .1')1 и .1')2' И
пусть каж.n:ой точке пространства 4,)1 поставлена в соответствие o'n:Ha
точка пространства 4,)2. Тоrда мы бу.n:ем I'ОВОрИТЬ, что .n:aHo отобра-
:жеНllе j" тополоrическоrо пространства I в тополоrическое прост-
ранство .1')2. Точку а' Е .1')2' отвечающую точке аЕ 1 при отображении
j", бу.n:ем называть образом тОЧКll а при отображении f. Можно
rоворИ1Ъ и об образе множества Е е.51 при отображении f.
Отображение f ТШlOлоrическш-о ПРОС1:ранства J)1 в тополоrическое
пространство .1')2 бу.n:ем называть непрерыВНЫЛl, если обраЗ0М замкну-
Toro множества Ее .1')1 Bcel'.n:a бу.n:ет замкнутое множество Е'с 2.
Тополоrия, за.n:анная на всем пространстве .1') (системой окрестно-
стеН {и а }), ин.n:унирует ТОПOJlOrию и на каждом множестве точек
10 А. rурвиц, Р. КураllТ
:;:: U
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[rл, I
ЭТOI'О пространства (оставляем ЛИlllЬ те окрестности, которые со.n:ержат
точки этоrо множества, а затем выбрасываем И3 них точки, не при
на.n:лежащие множеству). Поэтому можно I'ОВОрИТЬ О непрерывности
отображения, опре.n:еленноrо не на всем тополоrическом пространстве,
а лишь на некотором множестве ero точек. Отображение f o'n:Horo
тополоrическоrо пространства в .n:pyroe можно рассматривать как
ФУНКIlИЮ, опре.n:еленную в O'n:HOM тополоrическом пространстве, при
нимающую значения И3 .n:pyroro тополоrическоrо пространства. He
"рерывное отображение это непрерывная ФУНКIlИЯ.
Пусть отображение f опре.n:елено на множестве Е с= {)1' И пусть
образ множества Е совпа.n:ает с множеством Е с= J.)2' Tor.n:a мы будем
rоворИ1Ъ, что f отображение множества Е на множество Е'.
Если отображение f множества Е на множество Е' устанавли
вает взаимно о.n:нозначное соответствие меж.n:у точками этих MHO
жеств, то сущеСТIJует обратное отображение f 1 множества Е' на 1Il0
жесТIJО Е.
Взаимно о.n:нозначное отображение множества Е с= {)I на MHO
жество Е' с= J)2 бу.n:ем на3ЫВа1Ъ топОЛО2ичеСКllЯ, если оба отобра
жения f и f l- непрерывны.
В тополоrическом пространстве леrко опре.n:елить различные ви.n:ы
кривых:
Непрерывной кривой в ТОПOJюrическом пространстве {) называется
образ отрезка О t 1 при непрерывном отображении этоrо отрезка
в тополоrическое пространство .
Заякнутой кривой в тополоrическом пространстве J.) называется
образ окружности при непрерЫIJНОМ отображении этой окружности
в тополоrическое пространство ,\j.
Простой Крl180Й lJ тополоriiчешом пространстве {) называется
образ отрезка О t 1 при тоrюлоrическом отображении этоrо
отрезка в тополоrическое пространство {).
Простой заAfкнутой КрllВОЙ в ТОПOJюrическом пространстве {)
называется образ окружности при тополоrическом отображении этой
окружности в тополоrичешое пространство J.).
Опре.n:елив понятие кривой, мы можем опре.n:елить rЮНЯТие об
ласти в тополоrическом пространстве:
Областью бу.n:ем назьшать открытое множество, любые две ТОчки
KOToporo можно сое.n:инить непрерЫIJНОЙ кривой. прина.n:лежащей
этому множеству.
Перей.n:ем к опре.n:елению понятия поверхности.
Тополоrическое пространство е мы бу.n:ем называть поверхностью,
если оно является областью и если любая скрестность И3 семейства
{и а } является обраЗ0М Kpyra х 2 у2 < 1 при тополоrическом OTO
бражеllИИ этоrо Kpyra в тополоrическое прспранство 6.
!i 41
ДОIIОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И3 ТОIIолоrии
291
Леrко видеть, 'по это определение вполне cor ласуется с наlllИМ
интуитивным представлением о понятии поверхности. Смысл опре
деления в том, что каждый .n:остаточно малый кусок поверхности
получается И3 куска плоскости непрерывной деформацией без складок
или разрывов. Комплексная плоскость и раСlllиренная комплексная
плоскость представляют собой поверхности в смысле этоrо опре
деления,
Две кривые на поверхности е будем называть 20MOmOпHbtMll,
если они имеют одинаковое начало и одинаковый конец и если их
можно перевести друr в друrа непрерывной деформацией (не двиrая
начало и конец и не выходя за пределы поверхности 6),
Можно rоворить и о rомотопности двух кривых в данной области
В на поверхности 6. Например:
Замкнутую кривую, лежащую в области В на поверхности 6,
будем называть 20.Аtoтопной нулю, если, непреРЫВIIО деформируя эту
кривую в пределах области В, ее можно стянуть в любую точку
этой области.
Область В на поверхности е будем называть односвязной, если
любая замкнутая кривая, лежащая в этой области, rомотопна нулю.
МОЖ1l0 дать и опредеJlение п связной области на поверхности,
хотя 0110 редко бывает нужно.
Область В на поверхности 6 называется п связной, если мини
lIIалыюе число разреЗ0В, которое необходимо провести в области В
для Toro, чтобы она стала односвязной, равно п 1.
Все сказанное ВЫlllе показывало аналоrию между поверхностями
и плоскостью. Отметим ОД1l0 существенное свойство, которым по
верХ1l0СТИ отличаются от плоскости: простая замкнутая кривая
не обязана разбllвать поверхность, Чтобы убедиться в этом, дocтa
точно представить себе тор и одну И3 ero параллелей. Об этих
свойствах поверхностей мы будем подробно rоворить в 1 r л. 9.
Заметим, что введенные нами понятия удобно употреблять и ДJIЯ
плоскости.
rлаВа вторая
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОЙСТВА
В теории фушщиЙ деЙствителыюrо переменноrо установился сле
.n:уюJItиЙ порядок изложения: сначала определяется общее понятие
ФУlllЩИИ как закона, по которому каж.n:оЙ точке области опредеJlения
ставится в соответствие некоторое деЙствительное число; затем класс
всех фунКlJ.ИЙ сужается до тех или иных пре.n:елов и нзучается этот
суженныЙ класс. При этом в анализе изучается .n:оволыю MHoro Ta
ких более узких классов: интеrрируемые, непрерывные, дифферен
ЦИРУбlЫе фУНКlJ.Ии и т. .n:. Все эти классы различны между собой
и требуют различных методов изучения.
В теории функций КОМllлеКСНОl'О переменноrо эта началыl3Я CTa
дия значитеЛhIЮ проще. Сужение обшеrо класса функций требованием
интеrрируемости или дифференцируемости приво.n:ит к O'n:HOMY и тому
же !{.'1ассу реrулярных функций. (Оказывается также, что и условие
1I03МОЖНОСТИ paBHOl\lepHOro приближения функции мноrочленами при
водит к I{лассу реrулярных фУНКIlИЙ. Этот результат, называемыЙ
теоре IOЙ PYHre, мы доказывать не будем *).)
1. Условие дифференцируемости
Общее определение фунКlЩИ комплексноrо перемеlllюrо ничем
не отличается от оБЫ'lНоrо опре.n:еления функции .n:ейстпительноrо
llepeMeHHoro, Именно:
Пусть !(аж.n:ой точке z == х + iy И3 области а комплексной пло
скости ставится в соответствие число 1;, == II + iv. Тоrда мы rоворим.
что задана фУЮЩllЯ 1;, == f (z) комплексноrо переменноrо z, oпpeдe
ленная в области а.
Заметим, что в определении функции комплексноrо переменноrо
можно обойтись без комплексных чисел. Действительно, cor дасно
определению функция комплексноrо переменноrо задана, если каждой
паре действительных чисел х, у (точка (х, у) принадлежит области а)
ставится в соответствие пара .n:ействитеJIЬНЫХ чисел и. v. Таким обра
*) Доказатсдьство теорсмы Руш'с мuжнu найти ,8 кнш'е А. И. MapKY
шевича, Теория анадитических функций, 1967.
!]
УСЛОВИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
293
зом, задание фУНКЦ1LU комплексною переменною I(z) == и + iv рав-
носильно заданию двух функций
и (х, у) == Re ЛХ + м, v (х, у) == 1т ЛХ + iy)
двух действительных переменных х и у.
Функцию I(z)== и (х, у) + iv (х, у) бу.n:ем называть непрерывной,
если мепрерывны функции 11 (х. у) И V (х, у).
Леrко проверить, что это опре.n:еление равносильно сле.n:ующему:
Функция /(z), опре.n:еленная в области а, непрерывна в точке zoE а,
если .n:ля любоrо 8> О существует такое 1\ > О, что .n:ля всех z
И3 Kpyra I z Zo 1<1\ выполняется неравенство I I(z) [(zo) 1 < 8.
Опре.n:еление дифференцируемости функции комплексноrо пере-
MeHHoro мы .n:а.n:им cOBepllleHHo аналоrично определению .n:ифференци-
руемости функции o'n:Horo .n:ействительноrо переменноrо:
Функция [(z), определенная в области а, называется дифферен-
цируемой в точке Zo Е а, если существует пре.n: ел
\" f (zo + h) f (zo)
1т h
h O
(не зависящий от способа стремления величины h к нулю). Этот пре
дел называется пРОllзводной функции I(z) в точке Zo и обозначается
символом f' (Zo).
Очеви.n:но, что .n:ля .n:ифференцируемости функции /(z) необходимо,
чтобы были дифференцируемы функции 11 (х, у) и V (х, у), Однако
.n:ифференцируемости функций 11 и V OTHlO'n:b не .n:остаточно .n:ля .n:иф-
ференцируемости функции /(z), как показывает пример I(z) == х == Rez.
Действительно, .n:ля этой ФУНКllИИ 11 == Х, V == О. т, е. функции 11 и V
диффереНllируемы, С .n:руrой стороны. при .n:ействителыlЫХ h имеем
\ . f(z+h) f(z) x+h x
1т h h 1,
h O
а при чисто мнимых h имеем
lim f(Z+hh f(Z) == х h х ==0.
h O
Т. е. произво.n:ная функции / (z) == х не существует.
Таким обраЗ0М, .n:ля .n:ифференцируемости функции I(z) функции и
и v .n:олжны бьпъ не только .n:ифференцируемы, но еще и связаны
некоторыми СООТНОlllениями. Для отыскания этих соотношений npe.n:-
положим сначала, что приращение h .n:ействительно, а затем, что оно
ЧИСТО мнимо. В первом случае най.n:ем, что
liт f (z + h k f (z) == и (х, у) + iv (х. у).
b O
294
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОйСТВА
[rn.2
а во втором
1" f(Z + h) f(z)
1т h
h O
{ll (х, у) + iv (х, у)}.
l
Для дифференцируемой функции j(z) оба эти выражения должны
быть равны. Сле.n:овательно, .n:ля .n:ифференцируемости функции j(z)
необхо.n:имо выполнение равенства
' + .. 1 ' + '
иХ lV x ===T"Y v y .
Разделяя .n:ействительную и мнимую части, мы можем nерепис31Ъ это
pa eHCTBO в ви.n:е
ди дv
дх === ду ,
дv ди
дx дy'
(1)
Итак, нами .n:оказаиа
т е о р е м а }, Для дифференцируемостll фУНКЦllll j(z) В обла
Сlпи а необходимо, чтобы фУНКЦllll и (х, у) и v (х, у) БЫЛll дllф
ференцируемы в этой областll и чтобы их частные производные
удовлетВОРЯЛll системе уравнений (1). Если. кроме тою, функ
ция j(z) имеет непрерывную в области а производную, то функ
ции 11 и v должны иметь Henpepl!tBHble частные производные в этой
области.
Докажем, что это условие является и .n:остаточным.
т е о р е м а 2. Пусть функции и (х, у) и v (х, у) имеют Henpe
рывные *) частные производные в области 0,11 пусть эти частные
производные удовлетворяют системе уравнеШ1й (1). Тоzда функ
ция /(z) === и (х. у) + iv (х, у) дифференцируема в области а.
Для доказательства положим h === r + is. На основании теоремы
Лаrранжа о конечном приращении мы можем написать
Q f(z + h) f(z)
h
u (х + r. у + s) u (х. у) + i[v (х + r, у + s) v (х, у)]
r+ ===
=== ru (Е. '1]) + su y (Е, '1]) + i rv (Е', '1]') + sv (Е', '1]')
r + is r + is ·
r.n:e + l1j и е' + i1j' 'n:Be точки прямолинейноrо отрезка, сое.n:иняю
щеrо точки z и z + h. И3 написаниоrо' равенства с помощью ypaB
*) Условие непрерывности частных производных ЯВ,1яется излишним.
Более тонкие результаты, относящиеся к дифференцируем ости, можно найти
в Кllиrе А. И. Маркушевича, Теория аналитических функций, 1967.
1]
УСЛОВИЕ ЦИФФЕРЕИЦИРУЕМОСТИ
295
IIений (1) нахо.n:им, что
ru (e, 1J)+isu (e', 1J ') + .rv x (<;', 1J')+isv (f;, 1J)
Q 1
r + is r + is
и (е', 1J') и (!i, 1J) +
=== и (е, 1j) + iv ( ', 1j') + is
r+is
+ v (е', 1J') v (е, 1J)
s .
r+is
Поскольку I r is 1< 1, И3 непрерывности частных произво.n:ных сле
.n:yeT, что
lim Q === ll + iv === lи у + v;,.
h O
ЭТОТ пре.n:еJI не зависит от способа стремления h к нулю, так что
функция f(z) дифференцируема. Теорема доказана.
Система уравнений (1), иrрающая фундаментальную роль в теории
аналитических функций, обычно называется систе_иой Коит Ри.Аюна.
Функция {(z), определенная в области а, называется рпулярной
функцией в этой областll, если функции
и (х, у) === Re f (х + [у), v (х, у) === 1т {(х + lу)
имеют в этой области непрерывные частные произво.n:ные, удовлетво
ряющие системе уравнений КОlllИ Римана (1).
COrJIaCHO .n:оказанному Bblllle это определение равносильно сле
.n:ующему:
Функция {(z), опре.n:еленная в области а, называется реzулярной
функцией в этой области, если она имеет в этой области непрерыв
ную производную.
Функция называется реzулярной на некоторо.м .множестве
(в точке, на кривой), если она реrулярна В некоторой области, со.n:ержа
щей это множество.
Дословно так же, как и .n:ля функций .n:ействительноrо перемен
Horo, .n:оказывается, что сумма, разность, произве.n:ение и частное (если
знаменатель отличен от нуля) .n:ифференцируемых функций тоже яв
ляются дифференцируемыми функциями. Поэтому:
Су.м.ма, разность, произведение II 'юстное (еСJIИ знаменатель
Отличен от нуля) ре2УЛЯРНЫХ в области а функций тоже явля
ются реzулярны.ми в этой области функция.ми.
COBepllleHHo анаJlOrично доказывается утверж.n:ение о реrулярно
сти сложной функции:
Пусть функция ер (z), рпулярная в области а, пpllftllMaem в этой
области значеftllЯ, лежаuще в области D. Если фvнкция {(z) pe
zулярна в области D. то ФУНКЦllЯ {(ер (z» реzулярна в области а.
296
РЕП'ЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОйСТВА
[rл.2
Так как функция f(z) = z, очевидно, реrулярна во всей КОlVlПлек
сной плоскости. то И3 сформулированноrо BbIllle утверж.n:ения вытекает,
что мноючлены от z являются ре2УЛЯРНЫМll ФУНКЦllЯМll во всей
комплексной плоскостll, а раЦlLOнальные ФУНК1 llи во всей пло
скости, за исключеНllем тех точек, 2де знаменатель обращается
в НУЛЬ.
2. Обратная функция
Сейчас выясним, какой смысл следует вкла.n:ывать В понятие об
ратной функции I( фуНlЩИИ комплексноrо переменноrо === f(z),
Функцию комплексноrо переменноrо :: === f (z), опре.n:еленную в об
ласти О, можно рассматривать как отображение области а в комплекс
ную ПЛОСI<ОСТЬ. Пусть 0* образ области О при этом отображении.
Об обратной функции z === 'р ( ), т. е. об обратном отображении MHO
жества 0* на область а, можно rоворить ЛИlllЬ тоrда, коrда фуНlЩИЯ
r.. === f (z) устанавливает Rзаимно однозначное соответствие между T01(
ками области О и множества 0*, Иными словами, обратная фуНlЩИЯ
к функции === f (z) существует ЛИlllЬ в случае, Kor.n:a уравнение
f(z)===r.
(1)
имеет ровно одно реlllение z в области а .n:ля любоrо значения
И3 множества 0*. В этом случае под функцией z === 'Р (r.), обратноЙ
к функции r.===- f(z), мы бу.n:ем понимать реlllение уравнения (1).
Для решения вопроса о сущеспювании обратноЙ функции BOC
1l0льзуемся сле.n:ующей теоремой, .n:ока3h1ваемой в курсах анализа:
Пусть ФУНКЦllll Ф ( , 1j, Х, У) и qr ( , 1j, Х, У) вместе с их ча
CfflHbIMll пРОllзводными по всем пере_иеННЫ.lt непрерывны в HeKoтo
рой окрестности точки ( o, 1jo' ХО' уо), II пусть в этой точке
выполняются условия
Ф ( O' 1jo' ХО' Уо) === о, qr ( O' 1jo' Х О ' Уо) === о
[1
t:" === t:" ( o, 1jo, ХО. Уо) === ф. qr'у qr:ф =;t: о.
(2)
Т02да для любых значеНllЙ ll1j, достаточно мало отли'laющихся
от o II 1jo соответственно, существует eallftCInBeHHoe решеНllе
Х === Iji ( , 1j), у === х ( , 1j) системы уравнеНllЙ
Ф ( , 1j, Х, У) === о, qr ( , 1j, Х, у) === О. (3)
удовлетворяющее УСЛОВllЮ
Ix xoI2+IY Уо 12<32,
2де 3 некоторое положительное ЧllСЛО, заВllсящее только от
уравнения (3). ПРll этом решение Х === Iji ( , 1j), У === Х ( , 1j) непрерывно
21
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
297
дифференцируемо в некоторой окрестности точки ( 0.1Io) и для
ею производных справедливы формулы
ф'1]r' 1]r'ф' ф'1]r' 1]r'ф' }
' Е у Е у ' '1 У '1 У
q,E ф' \]!' \]!' ф" q,'I ф' \]!' \]!' ф"
х у х \1 Х УХ}' (4)
, ФЕ\]! 'I,, ф , Ф \]! \]! Ф
ХЕ== ф'1]r' 1]J"ф' , X'I== ф'\]!' \]!'Ф"
ху ху ху ху
Применим эту теорему к частному СJlучаю, коrда система уравне-
ний (3) получается И3 уравнения (1) и притом коrда функция ==f(z)
pery лярна в точке Zo == хо + lyo. В этом СJlучае следует положить
Ф ( , 1j. х, у) == е и (х, у).
qr ( . 1j. х, у) == 1j V (х, у).
r.n:e
II (х. у) == Re /(х + iy). v (х, у) == 1т f (х + м,
а в качестве е о и 110 взять
е о == и (хо. уо)' 1jo == v (хо' уо)'
С помощью уравнений Коши Римана леrко получаем, что в нашем
случае
Il( , 1j. х. у)==ф qr; qr ф;==
== ll V V ll == и 2 + и 2 == I [' (х + iy) 12.
Поэтому сформулированная выше теорема анализа приво.n:ит нас
к утверж.n:ению:
Теорема 1. Пусть фУНКЦllЯ ==f(z) ре2улярна в точке Zo,
и пусть [' (zo) * О. ТО2да существуют такие положительные
числа о II е. что уравнение f(z) == для люБО20 :: llЗ КРУ2а
I f(zo):<e имеет единственное решеЮlе z==<p(1:), удовлетво-
ряющее УСЛОВllЮ I z Zo I < о. При этом функция z == <р ( ) является
ре2УЛЯрНОЙ функцией переменной в точке == f (zo) и для ее
прОllзводной справедлива формула
<р' ( ) == {' (; (С» . (5)
в силу сказаllноrо ВЫlllе в доказательстве нуж.n:ается JlИlllЬ pery-
JIЯрНОСТЬ функции z == <р (1:). Она немеДJlенно получается проверкой
условий Коши Римана .n:ля частных произво.n:ных, нахо.n:имых по
формуле (4), Формулу (5) также можно получить И3 формул (4). но
Можно вывести и И3 равенства
f(<p(r.»==1:.
0значаlOщеrо, что величина z == <р (r.) является решением уравнения
f(z) ==1:.
298
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОйСТВА
[rл.2
Итак, теорема 1 rарантирует нам существование и реrулярность
фУШЩИИ, обратной I( функции С === f (z), в окрестности каждой точки
r.o === f (zo)' если только [' (zo) # О.
Конечно, отсю.n:а нельзя с.n:елать никаких выво.n:ов о существова
нии функции, обратной к функции С === f (z), определенной на всем
множестве 01* (образ области О при отображении C===f(Z», .n:аже
если функция {' (z) не обращается в ну ль ни в о.n:ной точке обла
сти о. Однако если {' (z) # о в области и мы знаем, что обратная
функция существует, то И3 теоремы 1 сразу вытекает, что эта обрат
ная функция реrулярна.
Выве.n:ем еще о.n:ио интересное сле.n:ствие И3 теоремы 1:
Пусть фУНКЦllЯ С === f(z) реzулярна в областll О, II пусть ее
пРОllзводная (' (z) не обращается в нуль в областll О. ТО2да .мHO
жество 0*, состоящее llЗ значеНllЙ, пpllftll.AtaeMbtX фУНКЦllей f(z)
в областll О, также является областью,
ДеИствительно, И3 непрерывности функции f(z) следует, что MHO
жеСТRО 0* связано. С друrоЙ стороны, И3 теоремы 1 сле.n:ует, что
.n:ля каждой точки r.o Е 0* существует окрестность этой точки, в KO
торой уравнение f (z) === С имеет реlllение. Это 0значает, что вместе
С каж.n:ой точкой r.o в множество 0* вхо.n:ит некоторая окрестность
этой точки, т. е. что 0* открытое множество, Сле.n:овательно, 0*
связное открытое множество, т, е. область.
Доказанное сле.n:ствие носит название прllНЦllпа сохранения обла
CIllll при отображении реrулярноЙ ФУllIщиеИ. В дальнеЙlllем мы уви
дим (см, 1 I-Л. 4), что принцип сохранения оБJlасти имеет место
для любых функциЙ, реrУЛЯРllЫХ R области О (т. е. что условие He
обращения лроизводноЙ В нуль МОЖНО отбросить) и отличных от
тождественной постоянноЙ,
Заметим еще, что И3 приведенной выше теоремы анализа можно
вывести не ТОJlЬКО теорему о реrулярности обратной функции, но
и теорему о реrулярности неявной функции, которая .n:ля реrуляр
ных функций выrJIЯЩIТ сле.n:уlOЩИМ обраЗ0М:
т е о р е м а 2. Пусть фУНКЦllЯ F ( , z) двух ко.мплексных пepe
.менных С II Z непрерывна по cOBOKyпHocmll этllХ пере.менных в
OKpecmHocmll тОЧКll (СО. zo) 11 рпулярна по каждой llЗ этllХ пepe
.менных в той же окрестности, Если выполняются условия
F (со' zo) === О
II
F; (СО, zo) # О,
то существуют maKlle положитеЛЬНblе Чllсла Е и 1\, что для
любоzо С llЗ КРУ2а i С со I < Е ypaBHeHlle
F (С, z) === о
3]
ИНТЕrРИРОВАНИЕ РЕrУлярных ФУНКЦИй
299
и.меет единственное решение Z == 'Р ( ), удовлетворяющее условию
I Z Zo 1< 3. При это.м фУНКЦ11Я Z == 'Р ( ) реzулярна в точке o
и ее производная .может быть найдена из соотношения
Fc ( , 'Р ( » + 'Р' Ю F ( , 'Р ( » = о.
3. Интеrрирование реrулярных функций
В анализе .n:ля функций .n:ействительноrо переменноrо понятие инте
rрала может быть введено .n:вумя способами. С о.n:ной стороны, инте
rpaJI можно опре.n:елить как фу"ющию, получающуюся .n:ействием,
обратным .n:ифференцированию (<<неопределенный интеrрал»). С .n:руrой
стороны, интеrрал можно опре.n:елить как предел некоторых сумм
(<<определенный интеrраJI»). Для pery лярных функций положение
cOBepllleHHo аналоrичное, причем понятие опре.n:еленноrо интеrрала
имеет смысл .n:ля любых непрерывных ФУIIIЩИЙ комплексноrо перемен
Horo (а не только .n:ля реrулярных),
Пусть точки Zo и Z соединены кусочно r ла.n:кой кривой С, и пусть
функция /(z) непрерывна в некоторой области, содержащей кривую С
(или хотя бы только на этой кривой). Разобьем кривую С на части
точками Zo, ZI' ..., Zn == Z, занумерованными в порядке их .сле.n:о
вания по кривой. и составим сумму
n
Sn == /(Z .)(Z, Z, I)'
, l
r.n:e Z произвольная точка, расположенная на отрезке кривой С между
точками Z, 1 и Z, (включая эти точки). Если число точек .n:еления
безrранично увеличивать, причем так, чтобы веJIИчина шах I Z, Z, 11
,
стремилась к нулю, то сумма Sn будет стремиться к пре.n:елу, не за
висящему от выбора точек деления и от выбора точек zf, z , ..., Z .
ЭТО можно .n:оказать, действуя cOBepllleHHo аналоrИЧI!О доказательству
соответствующей Teope 1Ы для функций деЙСТВlIтельноrо перемеШIOI'О,
но можно и сослаться на сформулированную в 3 rл. 1 теорему
о действительных криволинейных интеrралах. ДействителыlO, пусть
f (х + iy) == и (х, у) + iv (х. у).
Z, Z, 1 == !::!z, == !::!х, + i!::!y"
z == x + iy .
Тоrда
n n
Sn== f(z )!lz,== {ll(X . y )!::!x, 'V(x . y ')!::!y,}+
, I , 1
n
+ i {v (x , y ') !lx, + и tX , y ) !ly,}.
, I
300
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и ИХ СВОйСТВА
[rл. z
После.n:ние 'n:Be суммы являются интеrральными суммами для криво
линейныХ интеrралов
11 dx v dy, i v dx + II dy,
с с
откуда и следует, что пре.n:елы ЭТИХ сумм Существуют.
Пре.n:ел суммы S" будем называть определенным llнте2ралом от
фУНКЦllll f(z) по КрllВОЙ С и обозначать одним И3 сле.n:ующих двух
символов:
f(z)dZ,
с
z
(С) /(z)dz.
Zo
Соrласно сказанному ВЫlllе имеем сле.n:ующее выражение опре.n:е
ленноrо интеrрала от функции f(z) == II (х, у) + iv (х, у) по кривой С
через .n:ействительные криволинейные интеrралы:
f(z)dZ== lldx vdy +i v dx+ lldy.
с с с
Пусть If(z) I на всем пути интеrрирования С не превосхо.n:ит
числа М, и пусть .n:лина пути интеrрирования равна [. Tor.n:a И3
опре.n:еления интеrрала через интеrральную сумму леrко получаем
важную oцeНl<y
(1)
I f(z)dz\ ML.
с
(2)
Совершенно очевидны сле.n:ующие свойства определенноrо интеr
рала:
{f(z) + g(z)} dz == /(z) dz + g(z) dz;
с с с
o.j(z)dz==o. /(z)dz
с с
(о. постоянная).
Если !<ривая С составлена И3 'n:BYX последовательно лроходимых
КРИВЫХ С 1 и С 2 , то
f(z) dz == /(z) dz + f(z) dz.
с С] с.
При изменении направления кривой С на обратное интеrрал Me
lIяет знак.
4. Теорема Коши
Понятие неопределенноrо интеrрала имеет смысл уже только .n:ля
реrулярных функций, Пусть функция f(z) реrулярна в области а.
и пусть в этой области опре.n:елена реrулярная ФУIIЮН1Я Р (z), .D:JIЯ
которой имеет MeCfo равенство F'(z)==f(z). Тоrда функцию F(z)
i 41
ТЕОРЕМ.А КОlllИ
301
бу.n:ем нззывзть неопределенны.м инте2рало.м (или первообразноЙ)
функции f (z). Для неопре.n:еленноrо интеrрзла мы будем ИСnОЛЬЗ0вать
обозначение
F(z} f(z)dZ.
Понятие неопре.n:еленншо интеrрала от реrулярной ФУНКЦИИ имеет
смысл rлавным обраЗ0М потому, что опре.n:еленный интеrрал от pery
лярной ФУНКЦИИ не зависит от пути интеrрирования, и неопределен
ный интеrрал можно выразить через опре.n:еленный интеrрал С пере
менным верхним пре.n:еJIOМ. Именно, справеДJ1Ива следующая фунда
ментальная теорема, носящая название meope_.JtbL Коши:
Пусть o конечная односвязная область II пусть фУНКЦllЯ
f(z) ре2улярна в этой областll. Если С КУСОЧНО 2ладкая КРllвая
С начало.м в точке Zo и концо.м в точке Z, лежащая в области О,
то инте2рал
z
(С) f(z)dz
Zo
(1)
не зависит от выбора uymll инте2РllроваНllЯ С, а заВllсит ЛlЩlЬ
от начальной и конечной точки этО20 пути. Считая точку Zo
фllКСllрованноЙ, .мы .може.м paccMaтpllBaтb инте2рал (1) как функ
ЦllЮ верхне20 предела Z. Эта фУНКЦllfl ре2улярна в области О и ее
ПРОllзводная равна f(z).
Докажем эту теорему с помощью резу льтатов 3 r J1. 1 о .n:ей
ствитеЛЫIЫХ криволинейных интеrралах. Мы знаем, что
z
(С) /(z)dz II dx vdy + i vdx+ lldy.
Zo с с
в силу системы уравнений КОlllи Римана оба криволинейных интеr
рала, стоящие в правой части равенства, не зависят от пути интеrри
рования (corJlaCHo теореме 1 3 rJl. 1). При фиксированном значе
нии Zo и при Z Х + i У эти интеrралы являются функциями только
от Х и У. Обозначим
И(Х, Y) II dx vdy,
с
V(X, Y) vdx+udy.
с
Cor ласно теореме 2 3 r л. 1 ФУНIЩИИ U (Х, У) и V (Х, у) обла
.n:ают непрерывными частными производными, .n:ля которых справед
ливы равенства
ди
ах== II (Х, У),
uV
iJX v(X, У),
ди
дT v (Х, },т),
II (Х, },т).
302
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОйСТВА
[rл.2
СледоватеJJЬНО, функция F (Z) == U (Х, У) + i V (Х, У) реrулярна В
области О. Ее производная равна
F'(Z)==ll(X, Y)+iv(X, Y)==j(Z).
Тем самым теорема доказана.
Приве.n:ем еше 'n:Ba .n:оказатеЛЬСтва теоремы КОlllИ, не опирающихся
на теоремы о криволинейных интеrралах от действительных фУllК
ций. При ЭТО:l>! будем доказывать ЛИlllЬ наиболее существенную часть
теоремы Коши:
ПУCfпь ФУЮ<ЦllЯ j(z) ре2улярна в конечной односвязноЙ обла
сти О. ТО2да llн.те2рал от фун.кции j(z) по любоЙ за.ftкн.утой
кривой, лежащеЙ в области Q, равен. нулю,
(Часто теоремой КОlllИ называют именно это утверждение,)
Для первоrо доказательства рассмотрим семейство r лаш<их замк
нутых КРИВЫХ, расположенных в области О. Пусть параметрические
уравнения КРИВЫХ этоrо семейства имеют вид
z==x(t; s)
O t 1,
rде s действитеЛЫIЫЙ параметр. Будем предполаrать, 'ПО парамет
ричеСJ{ие уравнения зависят от параметра s весьма r ладко, а именно
что функции
"1. (t; s), х; (t; s), "1. (t; s), "1.;' (t; s)
являются непрерывными периодическими по параметру t ФУНКЦИЯМИ
(с периодом 1), Обозначим через СА кривую HalllerO се lейства, OT
вечающую значению параметра s, равному а., и рассмотрим интеrрал
Cor лас но опре.n:елению
J o == /(z) dz.
с
а
I
Jo== f(X(t; a.»xi(t; a.)dt.
о
Дифференцируя по а., находим, что
1 I
'::; == /("1. (t; а» Xto (t; а.) dt + S f' ("1.) 'X Xf dt ==
(1 о
1 I
=== j ("1. (t; а.» "1.10 (t; а.) dt + д! (Уд;!' а» x (t; а.) dt.
о о
Интеrрируя последний ИllтеrраJJ по частям и замечая, что обинтеrри-
рованный член обратится в нуль в силу перио.n:ичности ФУНКЦИЙ
4)
ТЕОРЕМ.А коши
303
х (t; а) и X (t; сх), получаем, что
d
d ;Ja === О.
Таким обраЗ0М, интеrрал по кривой Са не зависит от выбора кривой
семейства. Но любую замкнутую КРИВУЮ, лежащую в односвязной
области, можно стянуть в точку. Иными словами, любую замкнутую
кривую можно рассматривать как кривую семейства Са содержащеrо
сколь yro'n:HO малые кривые. Интеrрал по малой кривой мал (напри
мер, в силу оценки (2) 3). Следовательно, интеrрал по любой кри
вой TaKoro семейства должен быть равен нулю; это 0значает, что
равен нулю интеrрал по любой замкнутой кривой. Для завеРlllения
доказательства остается освободиться от условий rладкости. Это не
составляет труда, так кш{ любая
кусочно r ладкая кривая может быть
rладко аппроксимиропана сколь
yro'n:Ho r лаДl{ИМИ КРИВЫМИ,
Второе доказательспю теоремы
КОlllИ, прина.n:лежащее rypca, ОТJIИ
чается тем, что в нем не требуется
непрерывности производной функ
ции f (z) (непрерьшность произво.n:
ной мы ВКЛЮЧИЛИ в требование pe
rулярности f(z», а требуется ЛИlllЬ Рис. 65.
существование этой ПРОИ3ВОДIIОЙ,
При .n:оказательстве этой теоремы мы можем оrраничиться слу
чаем, Kor.n:a Hallla замкнутая кривая является контуром произвольноrо
треуrОЛЬНИI<С!. Действительно, ПРОИ3ВО,1JЬНУЮ I<усочно rладкую замк
нутую кривую можно аппроксимировать ломаной. Замкнутую ломаную
можно разбить на сумму простых замкнутых ломаных (см. 3 rл. 1),
а область, оrраниченную простой замкнутой ломаной, можно разбить
на сумму треуrольнИI<ОВ.
Возьмем прОИ3ВОЛЫlЫЙ треуrО.1JbНИI( а, Jlежащий в области а
вместе со своей rраницей С, и обозначим
CJ.o===l f(z)dzl.
с
Разделим треуrолыlИК D. средними линиями на четыре равных Tpe
уrолышка, подобных треУ1'ОЛЬНИI(У D. (рис. 65). Сре.n:и этих треуrоль-
ников найдется хотя бы один (обознаЧИ 1 ero а 1 , а ero rраницу С 1 ),
.n:ля KOTOpOI'O будет спраl3едшlВО неравенство
а 1 ===! f(Z)dzl a; .
Сl
Действительно, интеrрал по I'ранице треуrольника .:l равен сумме
интеrраJIOВ по rраницам всех четырех меньшиХ треуrольников, и ХОтя
304
РЕrУЛЯРНЫЕ ФУНRЦИИ И их СВОйСТВА
[rл.2
бы ОДНО И3 слаrаемых должно быть не MeHbllle четверти всей суммы.
С треуrольником ,11 поступим так же, как поступили с треуrольни
ком а. Таким обраЗ0М, мы построим последовательность вложенных
.n:pyr в .n:pyra треуrОJJЬНИКОВ ,11' ,12, аз,..., подобных исходному Tpe
уrольнику а (треуrольнИJ{ a n по.n:обен треуrольнику f1 с коэффици
ентом подобия 2 n) и УДОВJJетворяющих условию .
a n == I f (z) dz I : '
Сп
Так как .n:иаметр треуrольника a n стремится к нулю при п --+ сх-.
все эти треуrолыIИКИ имеют O'n:HY общую точку С.
Оценим сейчас величину a n сверху, используя существование про
изво.n:ной у функции f (z) в каждой точке области О, в частности
в точке z == С. И3 существования производной в точке z == С следует.
что .n:ля любоrо s > О существует такое а> О, что для всех z из
Kpyra I z С I < а И:Vlеет место неравенство
rде
I а (z) I < Е,
а ( z)== f(z) f( )
z
l' (С).
НаПИlllем
f(z)dz==/(C) dz+f'(C) (z C)dz+ (Z )cr(z)dz.
Сп Сп Сп Сп
Заметим, что интеrралы
dz,
Сп
(z C)dz== zdz r. dz
Сп Сп Сп
равны нулю соrласно доказанному BbIllle варианту теоремы КОlllИ
(в этом, впрочем, леrко убедиться и непосредственно, исходя И3 опре
.n:еления интеrрала как предела интеrральных сумм). Поэтому
/(z)dz== (z C)a(z)dz.
Сп Сп
Последний интеrрал оценим с помощью оценки (2) 3. Очеви.n:но.
И:Vlеем
L == длина СП == ,
rде lо периметр треуrольника а, а при п>по(е)
м == тах [ а (z) (z С) I тах ! а (z) ! тах I z С[ е
zEC n zECn. zEC n
5]
ТЕОРЕМА КОlllИ ДЛЯ М.ноrосвязных ОБЛАСТЕй
305
(точка 1: лежит внутри треуrольника a n ). Сле.n:овательно, при .n:ocтa
точно БолыllмM п
rl n == I f(z) dz I==! (z 1:) а (z) dz I € . .
СП СП
а
Сочетание этоrо неравенства снеравенством rl n 4 дает
[ f(z)dZ [==а о €l .
с
Поскольку число € > О произволыю, это 0значает, что (1.0 == О, и Teo
рема доказана.
Еше раз по.n:черкнем, что в этом .n:оказательстве ниrде не исnоль
зуется непрерывность f' (z), а используется ЛИlllЬ ее существование.
В 7 мы покажем, что независимость интеrрала
z
/(z) dz
<о
ОТ пути влечет за собой реrулярность функции f(z). Поэтому в опре
делении реrулярности, данном в 1, можно оrраничиться требова
нием .n:ифференцируемости функции, а требование непрерывности про
изводной можно отбросить. Непрерывность производной сле.n:ует,
таким обраЗ0М, И3 ее существования.
5. Теорема Коши для мноrосвязных областей
и теорема о вычетах
Для справе.n:ливости теоремы Коши существенную роль иrрает
предположение об ОЩlOсвязности области О. Для мноrосвязных обла
стей имеет место СJJе.n:ующий ослабленный вариант этой теоремы:
Т е о р е м а 1. Пусть ФУЮ<ЦlIЯ f(z) ре2улярна в конечной обла
Cmll О, 02раНZlченной конеЧНЫ.11 ЧllСЛОМ простых замкнутых
КУСОЧНО 2лад1(llХ KpllBbIX, II непрерывна в за-llЫlсаНZlll этой обла
Cmll. ТО2да llнте2рал от ФУНКЦllll f(z), взятый по 2ранzще обла
Cmll в пОЛОЖllтельном направлеНllll, равен нулю.
Доказательство этой теоремы почти ничем не отличается от ДOKa
затеЛЬСfва OCHoBHoro варианта теоремы КОlllИ. Сначала мы заменяем
область О мноrоуrольником, лежащим внутри этой области, аппрок
СИмируя rраничные кривые области О простыми замкнутыми ломаными,
лежащими внутри области. Затем мы разбиваем полученный MHoro
уrольник на сумму треуrО.1JbНИКОВ. Интеrрал по rранице мноrоуrоль
ника равен сумме интеrралов по rраницам треуrольников. К инте
rралам по rранице треуrольников теорема КОlllИ уже применима, так
как любой треуrольник можно заключить в некоторую односвязную
часть области О. Поэтому интеrралы по rраницам треуrольников
306
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОйСТВА
[rл. z
равны нулю, а значит, равен нулю и интеrр .:J ПО rранице YlНoroyro.1Jb
ника. Увеличивая точность аппроксимации и переходя к пр"аелу, мы
получаем, что равен нулю и интеrрал по rранш:.: области О.
в частности, если О конечная двухсвязная область, оrраничен
ная двумя кривыми С 1 И С 2 , то, считая направление кривых С 1 и СА
выбранным так, чтобы оно было положительным не по отношению
\{ области О, а по ОТНОlllению к внутренности этих КРИВЫХ, мы
получаем, что
/(z) dz === f(z) dz.
С 1 С 2
Рассмотрим случай, Kor.n:a функция f(z) реrулярна во всей области
О, за ИС\{JJючением ОДНОЙ точки ZO' о поведении функции в которой
не пре.n:полаrается ничеrо. 060311;:':':''.1 через К 1 и К 2 'l'Je окружности
с центром в точке ZO' лежащие внутри области О B '.: 'те с оrрани
Ч iilаемыми ими круrами. Так кш{ ФУJllЩИЯ j(z) pery.<1 :." в 'n:BYX
СВЯ3НОЙ области, оrраниченной ОКРУЖI остями К 1 И К 2 . 11 110 OTMe
ченному BbIllle частному случаю Teope !ы 1 имеет месс {' ра:;енство
j(z)dZ=== /(z)rfz
КI К2
(интеrралы по обеим окружностям берутся :: направлении ,ротив
часовой стрелки). СJlедовательно, интеrралы по любой дост<:точно
малой окружности с центром в точке Zo имеют o'n:HY и ту же вели
1
чину, Произведение этой величины на 2 7 называется вычетом ФУ1iК
пl
ЦШI j(z) В точке Zo и обозначается res j(z).
z === Zo
Пусть теперь функция j(z) реrулярна в конечной области О и
на ее rранице, за исключением конечноrо числа внутренних точек ZI'
Z2' ,.., Zr' Опишем BOKpyr каждой И3 точек zs' s === [, 2, ..., r,
окружность Ks таким обраЗ0М, чтобы круrи, оrраниченные окруж
ностями К 1 , К2' .." Kr, не имели попарно обших точек и лежали
внутри области О. У.n:алим И3 области О кружки, оrраниченные OI{
ружностями KI' ..., Kr' и примеl1ИМ \{ полученной мноrосвязной
области теорему 1. Это даст нам равенство
/(z)dz /(z)dz ... j(z)dz===O.
дО КI Kr
З.n:есь интеrрал по да rранице области О берется в направлении,
положительном относительно этой области, а интеrралы по окруж-
ностям Ks против часовой стрелки. И3 этоrо равенства получаем,
что
f(z)dz=== f(z)dz+...+ f(z)dz.
с Кl К,.
6)
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУН ЦИИ
307
Но, соrласно определению вычета,
f (z) dz ==, 2r:i. res /(z).
Ks z zs
11 МЫ приходим К сле'n:УlOщему утверж.n:ению, известному по.n: Ha3Ba
нием теоремы о вычетах:
Пусть функц//я f(z) ре2улярна внутри и на 2раlillЦе конечной
<Jбласти О, за исключеНllе.м конеЧНО20 Ч/lсла внутренних точек Zt,
Z2' "" Zr' ТО2да интс?рал от фУНКЦlll/ f(z) по 2ранице области О
(В3ЯТЫЙ в положительном направлении) раВен су.м.ме Вblчетов функ
Ц//l/ f (z) В точках Zt' ..., zr' У.tfноженной на 2т;i.
Нетрудно убедиться, что требование ОДlЮСВЯ3НОСТИ области в
этой теореме БЫJlО бы COBepllleHHO И3ЛИllllll 'I.
В 4 rл. 3 будет .n:aH способ вычисления вычета реrулярной
ФУНКЦИИ без интеrрирования. Те,! самым теорема Коши о вычетах
.n:acт нам средство вычисления контурных интеrралов без интеrриро
ван ия. На этом основан весьма плодотворный MeTo.n: вычисления опре
.n:еленных интеrралов (см. 5 r л. 3).
6. Элементарные ФУНКЦИИ
Полученные нами резу JlbTaTbI позволяют распространить опре.n:е
пение всех элементарных функций анализа на комплексные значения
переменноrо. Для мноrочленов и рациональных функций мы это уже
с.n:елали в 1. Дифференцирование рациональных функций не дает
нам ничеrо HOBoro, Интеrрирование уже ПрИIIО'n:ИТ к новым функциям.
ПростеЙlllИЙ и весьма важный пример .n:aeT нам интеrрироuание функ
ции f(z)=== .
z
)
Функция реrулярна для всех значений z, отличных от нуля.
z
Коrда z стремится к нулю, эта функция Ilеоrраниченно возрастает
и потому не \lOжет быть реrулярной в точке z === О. Для замкнутых
кривых, обхо.n:ящих точку z===O, теорема Коши к функции l/z по
этому неприменима, Впрочем, в этом нетрудно убе.n:иться и непосре.n:
ственным вычислением интеrрала по какой либо окружности с цeHT
ром в начале координат, Действительно. параметрическое уравнение
такой окружности имеет вид
z===pc it , O t 27t
1
(р ее ра.n:иус), и .n:ля ИlIТеrрала по ней от ФУНКЦИИ получаем BЫ
z
ражение
2"
Z ===
IZI p u
2"
i реи , .
t dt == / dt === 27tl.
ре'
о
308
РЕrУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОйСТВА
[rл.2
На основании частноrо случая теоремы 1 преды.n:ущеrо nараrрафа
равенство
dz 2 ,
== 7tl
z
(1)
.n:оююю иметь место и .n:ля любой простой замкнутой !{ривой С, orpa-
ничиваюшей конечную область, содержащую точку z == О. Действи-
тельно, в этом случае радиус окружности р можно выбрать столь
малым, чтобы эта окружность лежала внутри кривой С. Тоrда кри-
вая С вместе с окружностью составят rраницу некоторой ДВУХСВЯ3-
ной области, не содержащей точку z == О (и конечной).
Заметим, кстати, что условие конечности области, входящее во
все варианты теоремы }{ОIllИ, весьма существенно. Действительно,
функцию l/z можно рассматривать ({ак реrулярную функцию в одно-
СВЯ3НОЙ, но бесконечной области во всей раСlllиренной плоскости
с вьшолотым началом коор.n:инат. Несмотря на это, интеrрал от этой
ФУНIЩИИ по окружности с центром в начале координат, как мы только
что показали, отличен от нуля.
}{ак известно И3 анализа, .n:ля .n:ействительных положительных зна-
чений z имеет место равенство
z
\' dt
ln z == ., Т'
1
Эту формулу примем за опре.n:еление лоrарифма и .n:ля комплексных
значений z. Заметим сразу, что при таком определении функция lп z
уже не будет однозначной, так как ТОЧКИ 1 и z можно соединить раз
ЛИЧНЫМИ путями интеrрирования, которые MorYT отличаться .n:pyr от .n:pyra
на замкнутую кривую, обхо.n:ящую исключительную точку z == О. Мы
ви.n:ели, что интеrрал по такой кривой может быть равен 27ti (а 3Ha
чит, и любому целому кратному 27ti),
Таким обраЗ0М, опре.n:еленная нами функция ln z является МНOI'о-
значной (.n:аже бесконечнозначной) функцией переменной z. Ее можно
сделать о.n:нозначноЙ, если оrраничить изменение путей интеrрирова-
ния какой-либо ОДНОСВЯ3НОЙ областью. В качестве такой ОДНОСВЯ3НОЙ
области берут обычно всю комплексную плоскость, разрезанную по
отрицательной части действительной оси. Эта область является [(OHe'l-
ной (она не со.n:ержит точки z == 00) О'n:НОСВЯ3НОЙ областью pery ляр-
ности функции l/z, По теореме }{ОIllИ интеrрал от функции l/z по
любому пути, лежащему в этой области, зависит ЛИlllЬ от начала и
конца этоrо пути. Поэтому формула (2) определяет реrулярную функ-
цию (в плоскости с разреЗ0М по отрицательной части действитель-
ной оси) и производная этой функции равна 1/z. Значение функции
lп z, определенное таким способом, называется 2лавным значеНZlе.Аt
лоzарuфма.
(2)
6]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
309-
Стоит заметить, что далеко не во всех случаях можно обойтисЬ.
рассмотрением только rлавноrо значения лоrарифма. Часто приходится
обращаться к рассмотрению всей мноrозначной функции. Естественно,
возникает вопрос, нельзя ли было определить лоrарифм в комплекс
ной области более удачным способом? Несколько ниже мы увидим,
что существует только одна pery лярная функция, совпадающая при.
.n:ействителыlЫХ положительных
значениях переменной с функцией iy
]п z, !3вестной в анализе.
О.n:ним И3 основных свойств
лоrарифма .n:ля .n:ействитеЛЫIЫХ
значений переменноrо SIБляется
«теорема сложеНllЯ»:
]п z. + In Z2 == In (Z.Z2). (3)
При комплексных значениях z. и О
Z2 равенство (3) сле.n:ует пони мать
так: при заданных значениях In z.
и In Z2 (скажем, при rлавных значениях этих лоrарифмов) одно из:
значений ]п (Z.Z2) равно сумме ]п Z. + In Z2. Теорема сложения дo
казывается без труда:
1
:Е
р
Рис, 66,
Z2 Z2 Z 1
\ dt \ d (ZI t) \' dt
Jnz.+ 1nz 2==]nz.+ r e==lnz.+ r Zl t т+
+ Zf" d t t _ == Zr . Z2 dt
J J т==]п (Z.Z2).
Zl I
Выведем еще простые формулы .n:ля вычисления значений Jп z
(без интеrрирования). Для этой цели положим
z == р (cos cf' + i sin ср),
r де р == I z 1, а cf' == arg z. Выберем путь интеrрирования состоя
щим И3 отрезка .n:ействителыюй оси от ] .n:o р и И3 .n:уrи ОКРУЖНОСТИ
ра.n:иуса р с центром в точке z == О (рис. 66). Tor.n:a имеем
dt dt С dt . С
Iп z== r t== r т+ т== Inp+ l d{}==ln p+iCf',
т. е.
In z == Iпl z I + i arg z.
(4}
I'лавному значению лоrарифма отвечает выбор arg z, заключенноrо
меж.n:у 'It И 'It. Для определенности rлавное значение лоrарифма
.n:ля .n:ействительных отрицательных значений z считают отвечающим
значению arg z, равному 7t. Это соответствует по.n:ходу к отрицатель-
ной части действительной оси сверху. При подходе к тем же точкам
310
РЕrУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И их СВОйСТВА
[rл.2
-отрицательной части действительной оси СНИ3У мы получили бы 3Ha
'чение ln z, отличающееся на 2'1':/.
Если рассматривать все значения функции ln z, то она может при-
'нимать все комплексные значения, так как функции ln I z I и arg z
MorYT принимать все действительные значения. Более TOrO, леrко
убедиться, чтО в различных точках фУНКllИЯ In z принимает различные
значения. Это 0значает, что функция t:.=== ln z имеет обратную функ-
щию, определенную .n:ля всех комплексных значений С. Cor ласно дока-
занной в 2 теореме об обратной функции эта обратная функция
должна быть ре1'улярна в окрестности каждой точки. а сле.n:овательно,
и во всей комплексной плоскости. Функцию, обратную к функции
С === ln z, естественно обозначить через еС. И3 сказанноrО BhIllle сле-
.n:yeT, что функция е С определена 11 ре2улярна ВО всей комплексной
пЛОС1сост1l С.
Положим I z 1=== 1 и обозначим arg z === <р. Tor да ln z === l<p или
z === cos <р + / sin <р === ei'P. (5)
Вообще, при z===p(coscp+/sincp) получаем И3 формулы (4) фор-
мулу
p(cos ср +/ sin ср)=== elllr+i'P.
Поскольку величина 111 р + /ср может быть любым комплексным числом,
-то, обозначая это число через z, мы можем написать
Re z === ln р,
I e Z I ===р,
-()ТI<у.n:а неме.n:ленно вытекает формула
I e Z I === e Re z.
(6)
В силу Toro, что лоrарифм ощюrо и Toro же числа z имеет все
значения, отличающиеся от kaKOI'o-либо одноrо значения на любое
целое '<ратное 21':1, ФУНlЩИЯ еС, обратная к функции ln z, обязана при-
нимать одинаковые значения в точках и С + 2'1':/, т. е. при всех С
имеет место равенство
e€+21ti === еС.
;Иными словами, функция е С имеет перlюд 21':1. В частности,
e 21ti === е О === 1.
И3 теоремы сложения (3) сразу получаем формулу
е 111 ZI elll Z2 === е111 Zl +111 Z2,
.-Т. е.
еае Ь === e al . b .
Р]
ИНТЕrРАЛЬНАЯ ФОРМ.УЛА КОlllИ
311
с ПОМОЩЬЮ формулы .D:JIЯ производной обратной функции леrко.
получаем, что
:z е === e Z .
Определив лоrарифм И nоказательную ФУНКЦИЮ, можем определить.
и степень с произвольным комплексным показателем а. ПрИ ПОМОЩW
равенства
z === e 1п z.
Опре.n:еленные в этом параrрафе элементарные ФУНКЦИИ мы иссле
дуем несколько по.n:робнее еще в r л. 5.
7. Интеrральная формула КОШИ
с помощью теоремы о вычетах докажем сейчас o'n:HY важную'
формулу, позволяющую найти значения функции, реrуляр"ой n обла
сти, через ее 3I1ачения на .'ранице этон области. Эта формула носит
название llнтezральной ФОРJlfУЛbl f{ОIlШ.
Т е о р е м а 1. Пусть ФУЮСЦllЯ f(z) реi!УЛflрна в конечной об
ластll О II на ее i!рающе да, состоящеЙ llЗ конеЧНОi!О Чllсла npo
стых за.JfкнутblХ KpllBblX. Для любоЙ тОЧКll z Е о сnраведЛllва
фС;'.Itула
f(z) \' .l..J!l.. dt.
2т . t z
да
(1)'
Пусть Zo внутренняя то'!ка области О. Функция f(z) реrуляр
Z Zo
на в области О и на ее rранице, за исключением точки Zo. Следо
вательно, по теореме о вычетах интеrрал от ФУНКЦИИ f (z) по rpa .
Z Zo
нице области О равен вычету функции f (z) в точке Zo. Иначе rоворя
z Zo
\' f(z) dz \' f(z) dz (2)
z Zo J z Zo '
С К
r.n:e К достаточно малая окружность с центром в TO'JKe zo, про
ходимая против часовой стрелки.
Нандем последний интеrрал. Параметрическое уравнение окруж
ности К имеет вид
+ i<p
Z Zo ре,
о ер 2тr,
и потому
Q"
\' f (z) dz i \' f (zo + pei<p) dep.
. Z Zo J
к о
312
РЕfУЛЯРНЫЕ функции И их СВОпСТВА
(Тп.2
Так как функция j(z) непрерывна в точке zo' то
шах I/(zo + pe i '!') f(zo) I === е (р),
0 ,!, 2"
r.n:e е (р) --+ О при р --+ О. Поэтому
, 2"
I [j(zo + pe i '!') j(zo)] dcp 2тre (р)
и, сле.n:овательно,
2"
) / (z o dz === i [/( Zo + pe i '!') j(zo) + f (zo) ] dcp === 2тri f (zo) + 11 (р),
rде 111 (р) I 2тre (р).
Интеrрал, стоящий в левой части формулы, как мы знаем, не
зависит от р ( он равен вычету res f (z) ) . Поэтому, nолаrая р --+ О.
Z Zo z zo
нахо.n:им, что этот интеrрал равен 2тri f(zo), и в силу формулы (2)
-получаем, что
\ f (z) ,-
dz === 2тrl f (zo).
ё Z Zo
Раз.n:елив в этой формуле обе части на 2тri, обозначип переменную
интеrрироваllИЯ через t и заменив Zo на z, при.n:ем к формуле (1).
Ясно, что условие реrулярности функции j(z) внутри и на rpa-
lIице области можно, как и в теореме КОlllИ, заменить условием pery-
лярности функции j (z) в области а и ее непрерывности в замыкании
этой области. -
Используя интеrраЛЫIУЮ формулу КОlllИ, докажем сейчас беско-
нечную дифференцируемость реrулярных функций. С этой целью
докажем сначала более общую теорему:
Т е о р е м а 2. Пусть 'f (t) неnреРblвная ФУНКЦllЯ на кривой С.
ФУНКЦllЯ, определяемая равенством
I ер (t)
F(Z)=== 2 ' t dt,
п! z
t
(3)
является реzулярноЙ ФУНКЦllеЙ в любоЙ областll, не содержащеЙ
точек КРllВОй С. V этой ФУНКЦllll существуют nРОllзводные всех
порядков, 11 для НllX сnраведЛllВbl ФОРJlfУЛbl
F n) ( ) \ ер (О d t
z 21ti (t z)"+1
(n === 1, 2, .. .).
(4)
Р]
ИНТЕrРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОlllИ
3]3
Действительно, пусть z какая либо TO'lКa области, не со.n:ержа
щей точек кривой С. При достаточно малых значениях I h I точкз
z h тоже лежит в этой области. НаПИlllем
F(z+h) F(z) С dt
h 21'.i d (t Z)2
=== 2 i 1O(t)! C ; h t 1 z ) (t 1 Z)2 ]dt==
1 С 1
=== 'J.;"T ., се (t) (t z h) (t Z)2 dt.
С
(5)
При фиксированном z и при достаточно малом I h I расстояние от
точеl< z и z + h .n:o контура С больше HeKoToporo фиксированноrо
положителыюrо числа (для всех достаточно малых ! h 1). Далее, функ
ция 10 (t) оrраничена на кривой С. Поэтому последний интеrрал в
формуле (5) стремится к нулю при h ---+-0 и, сле.n:овательно,
Нт F(Z+}I F(Z) F'(Z)== 2 :- \ (t'f(t»2 dt.
h O щ d z
Таким обраЗ0М мы .n:оказали существование первой произво.n:ной
ФУНКЦИИ F (z). Существование сле.n:ующих произво.n:ных и формулы
для них доказываются соверlllеИIlО аналоrично. Теорема доказана.
С л е Д с т в и е 1. ФУ/i1щия /(z), рпулярная в области О, Шlfеет
в этой областzz пРОllзводные всех порядков. Для ее пРOlzзводных
имеют место формулы
f(n) ( z ) == \ f(t). dt
21'.i J (t z)nTl
С
(п === 1, 2, ..,).
(6)
Здесь z произвольная точка областzz О, а С 2рающа области,
лежащеЙ внутри областzz О, но содержащеЙ точку z.
Действительно, в силу интеrралыlOЙ формулы КОlllИ имеет место
пре.n:ставлеllие
f(z)== \ JJ!l....dt
2щ d t z '
и IШlllе утверж.n:еllие сразу сле.n:ует И3 теоремы 2.
С л е Д с т в и е 2. ПРOlzзводная функции, рezулярноЙ в области
тоже рпулярна в этой области.
Действительно, по сле.n:ствию 1 ПРОИ3ВОДllая ФУНКЦИИ f' (z) сушест
вует (и равна 1" (z». Кроме Toro, в СИJIУ существования 1'" (z) эта
Производная непрерывна. Следовательно. функция l' (z) реrулярна.
:314
РЕrУЛЯРНЫF функции и их СВОпСТВА
(rл.2
Скажем еще несколько слов об интеrралах
\ dt,
2'1t! t z
называемых обычно llнтпралаМll mzma КОШll. Мы доказали, что функ
ция, пре.n:ставленная таким интеrралом, является pery лярной фУНIщией
в любой области, не со.n:ержащей точеl( кривой С. Кривая С может
разБИВа1Ъ плоскость на несколько областей. В каж.n:ой И3 этих обла
стей интеrрал пре.n:ставляет СIIОЮ реrулярную функцию. При cтpeM
лении точки z к точкам кривой С ни o'n:Ha И3 этих функций не обя
зана, вообще rоворя, стремиться к значению ер (t). (Можно показать,
'что при некоторых условиях rла.n:кости к этому пре.n:елу стремится
разность между пределами с двух сторон кривой с; см. 11 r л. 3.)
В случае. Kor.n:a кривая С является простой замкнутой кривой, вся
nЛОСl<ОСТЬ разбивается на 'n:Be области внутреннюю и внеlllНЮЮ по
отношению '( кривой С. Если к тому же функция ер (t) определена не
только на кривой, но и внутри области О, причем внутри она pery
лярна, то, соrласно интеrралыюй формуле КОlllИ, интеrрал равен ер (z)
во внутренней области, а во внеlllней области он равен нулю по Teo
реме КОlllИ (Kor.n:a точка z лежит вне области О, функция pery
t z
лярна в области О). Естественно, В03llИкает вопрос, каким условиям
должна у.n:овлетворять фушщия ер (t), за.n:анная на простой замкнутой
I(рИВОЙ, .n:ля TorO чтобы сушеСТlIовала функция, реrулярная внутри
этой кривой (и непрерывная в замкнутой области) и совпа.n:ающая на
этой кривой с функцией ер (t). Ответ на этот вопрос мы да.n:им
в [1 rл, 3.
С помощью сле.n:ствия 2 докажем сейчас так называемую тeo
реЛIУ Морера, .n:o некоторой степени обратную к теореме Коши:
Теорема 3. Пусть ФУНКЦllЯ f(z) непрерывна в областll О,
Zl пусть llнтпрал от этой ФУНКЦllll по любой замкнутой ложа
ной, лежащей в областzz, равен НУЛЮ. ТО2да ФУНКЦllЯ f(z) pпy
лярна в областll О.
Возьмем какую либо фиксированную точку Zo Е О и рассмотрим
:интеrрал
Z
F (z) == f(t) dt.
ZO
.И3 условий теоремы сле.n:ует, что он не зависит от пути интеrриро
вания и поэтому является функцией от z. Непосре.n:ственным вычис
лением леrко проверяется, что функция F (z) имеет в области О
производную, равную f(z) (можно применить и способ рассуждений,
ИСПОЛЬЗ0ванный при доказательстве теоремы КОlllИ в 4). Сле'n:Оllа
'тельно, функция F (z) является реrулярной функцией в области О. По
!i 8]
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
315-
сле.n:ствию 2 фуннuия I(z), равная производной функuии F (z), тоже-
pery лярна в области О.
Теорема Морера показывает, что при опре.n:елении понятия pery -
лярной функuии можно исхо.n:ить не из требования дифференцируе
мости, а И3 требования нещlВИСИМОСТИ интеrрала от пути, т. е. И3
существования неопре.n:еленноrо интеrрала.
8. Конформное отображение
Сейчас мы познакомимся с I"еометрическим выражением свойства'
pery лярности функции комплексноrо llepeMeHHoro.
Функция комплексноrо переменноrо r. === 1 (z), опре.n:еленная в
области О, ставит каждой ТОЧI{ z этой области в соответствие HeKO
торую точку 1: комплексной плоскости. Таким обраЗ0М, каж.n:ую функ
цию комплексноrо перемеШЮI'О, опре.n:еленную в области О, можно
rеометрически рассматривать как отображение области на некоторое
множество комплексной ПЛОСКОСТИ.
Если функция I(z) является реrулярной в области О функцией
и если ее произво.n:ная ОТЛИ'lна от НУJIЯ в области О, то, как мы уже
.n:оказали в 2, функция I(z) отображает область О также на HeKO
торую область комплексной плоскости. При этом .n:ocTaTO'lHO малая
окрестность каж.n:ой точки области О отображается функцией I(z}
взаимно о.n:нозначно (в силу .n:оказанноrо в 2 существования обрат
ной функции).
Прове.n:ем И3 точки z Е о 'n:Be кривые С 1 и С 2 , имеющие в этой
точке касательные t 1 и t 2 . Обозначим через 'Рl и 'Р2 уrлы наклона
касательных t 1 и t 2 К положительному направлению действительной
оси (направление касательных t 1 и t 2 берем И3 точки z, как и нап
равление кривых С 1 и С 2 ). Через 8 === 'Р2 'Рl мы обозначим уrол между
касательными t 1 и t 2 . Пусть ZI === Z + h 1 точка на кривой С 1 . а
Z2 === Z + h 2 точка на кривой С 2 . В силу дифференцируем ости функ
ции /(z) в точке z имеем равенства
liт f (z + h,) f (z) === /' (z)
h 1 O h l
Zl Е С,
и
Положим
11 ' т f(Z+}12) f(Z) f ' ( )
J === Z.
h2 0 (12
Z2 Е С 2
h 1 === rei'fl,
h 2 === re i 'f2
Поскольку f' (z) # О,
(aprYMeHTbI Фl И 1'2 за1ЗИСЯТ от r).
(1) и (2) вытекает. '1'1'0
1 " { f(Z+}12) f(z) ei'fl } l
1т . .
r O f(z+hl) f(z) e 'f2
(1)
(2)
(3)
И3 равенств
З16
РЕrУЛЯРНЫЕ функции и их СВОпСТВА
[rл,2
Поскольку всеrда можно считать aprYMeHTbI 1 (r) и \1 (r) выбран
ными так, чтобы
li т 1 === ер1'
,....0
Нт 2 === ер2'
,....0
мы получаем
Нт f (z + h 2 ) f (z) === е; ('/'2 '/'1) === ei6.
,....0 f(z+ h 1 ) f(z)
Если положить теперь
f(z + h 1 ) f(z) === P1 eiZ1 ,
f(z + h 2 ) /(z) === P2 eiZs
величины Р1' Р2' Х1' Х2 зависят от r), то преды.n:ущее равенство можно
записать в ви.n:е
Нт b е ; (Х2 - Хl) === еЦ'/'2 '/'1).
, o Рl
Сравнивая мо.n:ули и aprYMeHTbI обеих частей, мы можем записать
полученное равенство в ви.n:е 'n:BYx, раВlЮСИЛЫIЫХ ему:
Вт === 1, (4)
, O Рl
Нт (Х2 Х1) === ер2 ер1 (5)
, o
(после.n:нее равенство написано с точностыо .n:o слаrаемоrо, KpaT
lIoro 21':),
Функция I (z) отображает кривые С 1 и С 2 плоскости Z на кривые
r 1 и 1'2 ПJIOСI<ОСТИ 1:. И3 опре.n:елеilИЯ уrлов ХI и Х2 ясно. что эти
yr лы при r ---+- О стремятся к yr лам наклона касательных 'tl и 't\1 кри
БЫХ I't и r 2 в точке r.===t(z) к положительному направлению .n:ей
ствитеJlЫIOЙ оси в плоскости r.. Поэтому равенство (5) 0значает, что
уrол меж.n:у касательными 't1 и 't2 К кривым r l и r 2 в точке r.==I(z)
равен yr лу меж.n:у касательными t 1 и t 2 К кривым С 1 И С 2 В точке z.
Таким образом. мы .n:оказали утверж.n:ение:
Т е о р е м а 1. Отображенuе, совершаемое Ре2УЛЯРНОЙ фуюсцией
с производной, отличной от нуля, сохраняет У2ЛЫ между 1Cpll
выжи и направление отсчета У2ЛОВ.
Отображение, сохраняюшее уrлы меж.n:у кривыми, принято назы
вать 1Сонфоржныж (сохраняющим форму). Поэтому теорему 1 можно
сформулировать так:
ОтображеЮle, совершаежое реzулярной фУН1Сцией с производной,
отличной от нуля, 1Сонфоржно и сохраняет направление отсчета
уzлов.
. Прове.n:я те же рассуж.n:ения в обратном поря.n:ке, мы можем .n:oKa
эать, что если фУН1СЦllЯ t (z) == и + iv совершает 1Сонфоржное ото-
бражение с сохранениеж направления отсчета у<,лов 11 еСЛll, 1с тому
же, фУН1СЦllll II 11 V llжеют непрерывные частные пРОllзводные" то
фУН1Сция f (z) дифференцируежа.
8]
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
317
И3 равенств (1) и (2) ви.n:но, что величина
Ij'(z)' === V(U )2+(V )2 === Y(U;,)2+(V;)2
представляет собой коэффициент растяжения .n:уrи КрИВОЙ при OTO
бражении 'C.===j(z) в точке z. Этот коэффициент о.n:инаков по всем
направлениям, так что отображенuе 'C.===j(z) в малом является
nодобllеж (точнее rоворя, сочетанием по.n:обия, поворота и переноса).
Условие отличия от нуля производной .n:ля конформности отобра
жения сушественно. В 2 и 3 r л. 5 мы иссле.n:уем характер OTO
бражения реrулярной функцией и в окрестности точек, r.n:e ПРОИ3ВОД
ная равна нулю.
в .n:альнеЙlllем .n:ля краткости мы бу.n:ем под конформным отобра
жением Bcer да понимать конформное отображение с сохранением
направления отсчета yr лов. Конформные отображения с изменением
направления отсчета уrлов будем называть 1СонФоржньи,Ul отображе
НllЯJfl1l втОрО20 рода. ПростеЙlllИМ конформным отображением ВТОРOl'О
po.n:a ЯВJlяется зеркальное отражение всей плоскости в какой либо
прямой, скажем, в .n:ействительной оси. Функция. осуществляющая
упомянутое отображение. за.n:ается, очевидно, формулой j(z) ===;z,
в качестве .n:pyroro примера конформноrо отображения BToporo рода
можно назвать инверсию относителыIO окружности (об этом преобра
.зовании мы еще бу.n:ем rоворить в 3 rл. 4).
в заключение приве.n:ем 'n:Be простые формулы, ОТllосяшиеся к вычи-
слению длины и площа.n:и образа при конформном отображении.
ЕСЛll С не1Соторая 1СУСОЧНО 2ладкая КрllВая, а l' ее образ
при 1Сонфор_'4НО.Il отображеЮlll 'С. === j (z), то для дЛllНЫ Z 1СрllВОЙ l'
.сnраведЛllва формула
z === If' (z) [ : dzl.
с
Действительно,
Z === :d'C.j === dj(z)i === l' (z): :dzl.
l' С С
ЕСЛll а не1Соторая область, а D ее образ llpll 1СОНфОр.Jfном
отображеЮlll 'С. === I(z), то для nлotЩ )ll S областll D справедЛllва
форжула
s == ,1' (Z):2 dx dy.
G
Действительно,
S == du dv === :', ;) dx dy === (ll;V V;'l ) dx dy ==
D О О
== [(и )2 + (V )2] dx dy == 11' (z)j 2 dx dy.
о Q
r л a в а т р е т ь я
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ коши
В этой r лаве мы .n:окажем ря.n: полезных .n:ля .n:альнейшеrо общих
теорем о реrулярных функциях. Все эти теоремы являются в ТОЙ
ИJIИ иной степени сле.n:ствиями интеrральной формулы f{ОIllИ.
1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах
Сейчас мы займемся ВЫЯСIlС lИем свойств схо.n:ящихся последова
теЛЫlOстей и ря.n:ов реrулярных функций. Для начала напо IНИМ опре
деление понятия равномерной схо.n:имости (см. 1 rл. 1).
После.n:овательность функций 11 (z), [ (z), ..., опре.n:еленных на
некотором множестве М, называется равномерно сходящейся на
множестве М, если она сходится в каж.n:ой точке этоrо множества
и притом «О'n:ИlIaКОВО XOpOIllO». Точный смысл после.n:неrо выражения
ТaJЮВ: пусть I(z) пре.n:еЛЫIaЯ функция после.n:овательности 11 (z),
12 (z), ...; .n:ля каждоrо числа е> О существует такой номер N, что
при всех п 3 N неравеНСТIJО
i/n(z) I(z)! < е
имеет место при всех z Е М.
Ряд
[(z) ===-/1 (z) + (2 (z) +...
называется равномерно сходЯЩllМСЯ на .!ffножестве М, если после
.n:ователыlOСТЬ частных сумм этоrо ряда равномерно схо.n:ится на
множестве М.
Пусть ФУЮСЦllll ln (z) непрерывны на яножестве М (в частно
сти, на I<РИВОЙ или в области). ТО2да предельная ФУЮСЦllЯ paBHO
мерно сходящейся последовательностll (или сумма равномерно
схо.n:ящеrося ря.n:а) тоже является непрерывной ФУЮСЦllей на Aтo
жестве М.
Это утверж.n:ение доказывается .n:ословно так же, как и .n:ля фУНI}ЦИЙ
действительноrо переменноrо. .
Пусть ФУЮСЦllll 11 (z), 12 (z), ... непрерывны на 1СУСОЧНО 2лад1СОЙ
1Срuвой С. ЕСЛll последовательность (1 (z), [2 (z), ... равномерно
i 1]
ТЕОРЕМ.А ВЕйЕРlllТРАССА
319
.сходится на 1Сривой С то
lim /п (z) dz ' [ Iim /n (z)] dz.
1/.. OO;c С n........оо
Это утверж.n:ение ОПЯIъ таки доказьшается cOBepllleHHo так же.
как и для функций действитеЛЫlOrо перемеННОI'О, только .n:ля оценки
интеrрала
l/n (z) lim /n (z)] dz
с 1! 0)
'Используется неравенство (2) 3 I'Л. 2.
Для равномерно схо.n:ящихся ря.n:ов это утверждение часто фор
му лируется так:
Ряд нспрерывных ФУН1Сций, равномерно сходящиЙся на 1Са1СОЙ
Аибо 1Сусочно zлад1СОЙ 1Сривой, МОЖно почлснно интприровать по
.этой 1Сривой.
ИСПОЛЬЗ0вание своЙств ре1'УЛЯрНЫХ функций позволяет .n:оказаlЪ
важные теоремы о ря.n:ах реrулярных функций. Наиболее существен
ной является сле'n:УlOl1lая теорема, носящая название тсореды ВеЙер
штрасса:
т е о р е м а 1. Пусть фУН1СЦllll /1 (z), 12 (z), ... рсzулярны В пpo
llЗВОЛЬнОй 1Сонечноzl области о, и пусть ряд
f(z)===j (.z) + f (z) +...
равномерно сходШll{'Я в этой опЛ(1сти. Tozaa сужма ряда тоже
является рсzулярноЙ в области а фун1СЦШ!!!. и ряд ЖС:JlCнп !;JЧЛСННО
дифференцировать любое ЧllСЛО раз.
Для .n:оказатеJlьства заметим сначала. что С) :YIMa ряда является
непрерыпной в области а функцией и что рщ можно ПОЧJlенно Иllтеl
рировать по любой кусочно r лa.n:кой КРИlJOЙ, лежащей в области о.
Пусть D ПРОИ3ВОЛЫIaЯ о.n:носвязная область, лежащая в области О.
.а С произвольная замкнутая ломаная, лежащая в области D. Co
r лас но сказанному
/(z)dZ === /1 (z) dz + / (z) dz +...
с с с
Но по теореме f{ОIllИ все интеrралы, стоящие в правой части paBeH
СТва, равны нулю. Поэтому функция /(z) непрерывна в области LJ
и интеrрал от нее по любой замкнутой ломаной, лежащей в этой
области, равен нулю. По теореме Морера (см. 7 rл. 2) функция /(z)
pery лярна в области D. Пескольку D любая о.n:носвязная часть
области о, функция f(z) реrулярна и в области о.
Пусть теперь Zo произвольная точка области А, а С простая
заМкнутая кривая, лежащая в области (i вместе со своей BHYTpeHHO
стыо, содержащей в свою очередь точку Zo- В силу В03МОЖНОСПf
320
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМ.УЛЫ КОlllИ
[rл.3
почленноrо интеrрирования
п! . \ 1 (z) dz п\ \
21ti d (z ZO)n+1 21ti
11 (z) dz 11\ \
(Z ZO)n+1 + 21ti
с
12 (z) dz + . . .
(z ZO)n+1
Но в силу интеrральной формулы КОlllИ интеrрал в левой части
равенства равен fn) (zo), а интеrралы в правой части равенства равны
л n ) (zo), л n ) (zo), .... Поэтому
f(n) (zо)==л n ) (zo) + л n ) (zo) +.."
и теорема .n:оказан('.
Поскольку целые степени z являются реrулярными во всей ШIO
скости функциями, мы неме.n:ленно получаем И3 .n:оказанной теоремы
С л e.n: с т в и е. СУМ.ма степеННО20 ряда
a O +al(z zo)+ a2(z Zo)2+...
является рпулярной функцией в любой области, в которой этот
степенной ряд равнояерно сходzzтся.
Для .n:оказатеJlьства равномерной схо.n:имости ря.n: ов бу.n:ем чаще
Bcero ПОЛЬЗ0ваться сле.n:уюшим признаком, носящим название npи
знака Вейерштрасса:
Пусть ФУНКЦZZZZ 11 (z), 12 (z), .." определенные на множестве М,
удовлетворяют неравенствам
Ifk (z) 1-0:.;; с,,
(k == 1, 2, ., .).
(1)
ЕСЛZI числовой ряд с,, сходится, то ряд (1) равномерно сходzzтся
на Jlfножестве М.
Этот признак .n:оказывается .n:ословно так же, как и .n:ля функ
ций .n:ействительноrо nepeMeHHoro.
Иноr.n:а бывает у.n:обно ПОЛЬЗ0ваться сле.n:ующим критерием paB
номерной сходимости после.n:овательности:
Теорема 2. Пусть ФУНКЦZZZl 11 (z), f2(Z)' .,. непрерывны на
заJlfкнутом Jlfножестве М, ДЛЯ paBHo.lcepHoU сходимостZI после-
довательностZI 11 (z), 12 (z), ... на Jlfножестве М необходZZJlfО
и достаточно, чтобы для любой последовательности точек ZI'
Z2> ..., имеющей пределом точку z (все точки Zn И точка z прина-
.n:лежат множеству М), существовал предел последовательности
{l (ZI)' (2 (Z2)' ,..
Необхо.n:имостЬ очеви.n:ным обраЗ0М сле.n:ует И3 неравенства
Iln (zn) I(z)! -о:.;; :In (zn) /(zn)i + I/(zn) /(z)l.
(З.n:есь 1 (z) == lim {п (z).) Действительно, с возрастанием n первое
n O'J
слаrаемое будет стремиться к нулю в силу равномерной сходимости,
!i 2}
РЯДЫ ТЕйЛОРА И ЛОРАНА, ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
321
а второе в силу непрерывности пре.n:ельной функции и усло
вия z" z.
Для .n:оказательства .n:остаточности заметим сначала, что после.n:о-
вательность {l (z), {.з (z), ... схо.n:ится и что предельная функция
непрерывна. Действительно, схо.n:имоС1Ъ после.n:ователыюсти {/" (z)}
в любой точке Zo Е 1И сразу сле.n:ует И3 Toro, что все точки после
.n:ователыlОСТИ {z,,} можно взять совпадающими с zo. Далее, .n:ля
любой после.n:овательности {C k }, C k zo, можно выбрать номера {пk}
таким обраЗ0М, чтобы Iim U;'k (C k ) . /( k» == о. Определим теперь
k оа
точки после.n:овательности {z,,} равенствами
Zn == Zo (n::j::. пk)' Znk == C k ,
Очеви.n:но, что Iim z" == Zo. Но
11 ---Ф iY:
lim fn (z,,) == /(zo),
п* п/ l
Iim fn(zn)== Iim f(C k ).
11 == I1k k ---+ 00
Поскольку последовательность и" (z,,)} 'n:OJ1}KHa иметь пре.n:ел, мы
получаем отсю.n:а, что
Iiт f (C k ) == f (zo),
k CfJ
Так как {C k } произвольная после.n:овательность точек, схо.n:ящаяся
1{ точке Zo, функция /(z) непрерывна в точке zo,
Допустим теперь, 'по после.n:овательность {fn (z)} схо.n:ится HepaB
номер но. Тш.n:а существует последовательность точек {z;:}, Zh Е 1Н
и такое число а> о, что
Ifn(z ) f(Zh)I>(7.. (2)
Так как множество М замкнуто, то бесконечная после.n:ователыюсть
{z;:} .n:олжна иметь хотя бы одну пре.n:еЛЫIУЮ точку, и эта пре.n:еЛЫlан
точка должна ПРИllа.n:лежать множеству 1И. Без оrраничения общности
можно считать, что zh zo, Zo Е 1И. В этом случае пре.n:ельный пере-
xo.n: внеравенстве (2) приво.n:ит нас к противоречию, так как
Iim /" (z ) == /(zo), lim /(z;:) == f (zo).
11 ---+ 00
11---+(0
Теорема .n:оказапа.
2. Ряды Тейлора и Лора на. Теорема единственности
Интеrральная формула Коши дает возможность доказать, что
функция, реrулярная в области, разлаrается в окрестности каж.n:ой
ТОчки этой области в сходящийсн степенной ряд.
Т е о р е м а 1. Пусть ФУЮЩllЯ f(z) ре2улярна в конечной обла
Cmll о. В СЩJестностll каждой тОЧКll Zo Е о фУНКЦ1lЯ f(z) раз
/la2ается в ряд
/(z) == /(zo) + (z zo) f' (zo) + (z IZO)2 f" (zo) + ... (1)
11 А. rуршщ, Р. Курант
322
СЛЕДСТВИИ ИНТЕТРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ КОlllИ
[rл.3
Более точно, ряд (1) равно.мерно сходится 1< ФУН1<ции f(z) в любом
1<РУ2е jz zol р. лежащем в области О,
Ряд (1) называется рядом Тейлора .n:ля ФУНКЦИИ f(z) в oKpecТ1l0
сти точки zo'
Для доказатеЛЬС-fва возьмем произвольную точку Zo Е о и про
И3130льное число р, удовлетворяющее условию, что замкнутый Kpyr
Iz zol р лежит в области О. Tor.n:a сущеСТl3уе.1 число р'> ртакое,
что Kpyr 1 z Zo i р' все еще лежит в области О, Обозначим пер
I3ЫЙ Kpyr через К, а окружность l3Тoporo крр'а через С. СOl'ласно
l3ыбору KpyroB .n:ля любой точки z Е к имеет место интеrраЛЫlая
формула Коши
f (z) ==, \ ..lJ:L dt == с .l.J!L. 1 dt. (1 *)
21tl I Z 21t/ i t zo J Z Zo
t zo
Второй множитель под 311аком после'n:llеrо интеrрала можно разложиТl>
в ря.n:
I == 1 + z Zo + ( Z Zo ) + ...
J Z zo . 1 Zo 1 Zo
I Zo
(rеометрическая проrрессия), Этот ря.n: раl3lюмерно сходится по z В.
крр'е К и по t на окружности С, Tal, как ero члены не пре130СХОДЯТ
по мо.n:улю членоl3 сходящеrося чиСЛО130rо ря.n:а 13 силу lIеравенстl3
I Z Zo j n ,,;:::: ( .P ) n
t Zo р' ,
p < 1
р'
(признак Вейерштрасса), Поэтому написанный ря.n: можно по.n:стаВIПЬ
no.n: знак ИlIтеrрала и проинтеrрирОl3ать почленно. Это .n:acT формулу
f (z) == '2 ! , \ .lJ!l... dt + Z 2 ,,:0 (l f (1) 2 dt +...
1tl J I Zo "'/ Zo
С
в силу форму.'! .n:ля старших I1рОИ3ВО'n:I1ЫХ (см. формулу (6) 7 rл. 2)
получаем отсю.n:а ушерж.n:ение теоремы,
Да.n:им O'n:HO Оl1ре.n:еление:
Если ФУНКЦИЯ f(z), реl'улярная 13 точке zo' У'n:О13летnоряет услоl3ИЯМ
f(zo)== {' (Zo)==" ,==f!"H) (zo)==O' flт) (zo)"* О.
то бу.n:ем rОI30рИТЬ, что ФУНКЦИЯ j'(z) имеет 13 точке Zo нуль nо-
ряд1<а т,
Л е м м а. Если фУН1<Цl/Я f(z) ре2улярна в тОЧ1<е Zo l/ и.меет
в этой тОЧ1<е нуль nоряд1<а т, то ФУН1<ЦllЯ 'f (z) == ( 1. (2) ",
Z Zo
тоже будет ре2улярна в тоЧ1<е zo, если ее доопределить по непре-
pblBHOC11l11 в этой тОЧ1<е, причем 'f (zo) "* О.
2)
РЯДЫ ТЕйЛОРА И ЛОРАНА, ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
323
Так как функция [(z) имеет в ТОЧI<е Zo нуль порядка т, то ее
разложение в ря.n: Тейлора В окрестности точки Zo имеет вид
I(z)===(z zo)m (а + b(z zo) +,. .),
а=/:: о.
Сле.n:ователы10, функция 'f (z) при z"* Zo разлаrается в степенноil
ря.n:
'f (z)===a + ь (z zo) +...,
равномерно сходяшийся там же, r.n:e равномерно схо.n:ится ряд для
функции I(z). По сле.n:ствию И3 теоремы Вейерштрасса функция 'f (z),
.n:оопре.n:еленная в то'же Zo равенством 'Р (zo) ===а=/:: О, реrулярна в точке Zo.
Чрезвычайно важным для теории аналитических функций сле.n:ст
вием И3 В03МОЖIЮСТИ разложения реrулярной функции В ряд Тейлора
является сле.n:ующая теорема, носящая название meope31bt единс 17lBeH
носпlll аналитических функций:
Т е о р е м а 2, Пусть ФУIi1<ция I(z) рпулярна в области о.
Если внутренняя тОЧ1<а области О является предельноЙ тОЧh.Ой
нулеЙ ФУН1<Цllll [(z), то [(z) = о.
Рассмотрим множество точек области о, в коrорых ФУНКЦИЯ I(z)
равна нулю. Имеется три возможности: это множество (обозначим
е1'О Е) совпа.n:ает со всей областью о; множество Е не имеет пре.n:ель-
ных точек, лежаших в области о; множество Е имеет предельную
-точку zo' лежащую в области О и являющуюся rраничной точкой
множества Е. Нам нужно 'n:OI<азать, что третья В031\ЮЖНОСТЬ не ocy
ществляется. Допустим противное. Tor.n:a Б любой окрестности точки zo'
о которой и.n:ет речь в третьем случае, имеются точки, в которых
I(z)=/::O, и точки (отличные от самой точки Zo)' в которых I(z)===o.
Рассмотрим разложение функции /(z) в ряд Тейлора в окрестности
ТОЧI<И zo' Поскольку В любой окрестности точки Zo имеются точки,
в которых [(z) =/:: О, сре.n:и коэффициентов ря.n:а Тейлора есть хотя
бы о.n:ин, отличный от нуля. Поэтому интересующий нас ря.n: можно
записать в ви.n:е
[(z) === (z Zo)m (С т + С т +l (z Zo) +" ,)
(С т =/:: О).
Функция 'f (z) === с т Ст+1 (z Zo) +.., реrулярна в точке Zo и
If (zo) =F о. В силу непрерывности ер (z) =/:: О и в некоторой окрестно-
сти точки zo. В этой окрестности функция 1 (z) === (z zo)m ер (z) не
обращается в нуль НИ в о.n:ной точке, кроме самой точки zo. Мы
пришли к противоречию с .n:опущением, что в любой окрестности
точки Zo есть точки, в которых /(z) === О, отличные от точки zo'
Полученное противоречие доказывает наше утверждение,
И3 теоремы е'n:ИНСТllенности сразу вытекает, что любую ФУН1<ЦllЮ,
определенную для действительных значений пере.Utююй, .можно
11.
324
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ КОlllИ
[r". 3
расширить до ре2УЛЯРНОЙ ФУЮСЦllll 1<О.мпле1<СНОЙ переменной не
более чем одним способом.
И3 этоrо соображения сле.n:ует, в частности, что известные из
анализа степенные ряды для функций e Z , In (1 + z), (1 + z)r1. прю"одны
и для комплексных значений z. JIerKo проверяется, что ря.n: .n:ля функции e Z
схо.n:ится во всей комплексной плоскости, а ряды для функций In (1 + z),
(1 + z)r1. в единичном Kpyre Iz 1< 1.
Обобщением ря.n:а Тейлора является Tal, называемый ряд Лорана.
Отличием этих рядов является то, что при разложении в ря.n: Лорана
функция пре.n:полаrается реr"улЯрНОЙ в кольце,
т е о р е м а 3. Пусть ФУН1<ция f(z) ре2улярна в /Сольце
r <! z Zo 1< R.
ТО2да для /Ca:J/Caoii внутренней точ/Си этО20 1<ольца II.Meem .АСесто
раЗЛОJкение в ряд
со
f (z) === cn(z zo)fI,
'>'
(2)
zae
\' f ( z ) ( Z zoy-n--I dz
Сп === 2 i
iz z"1 р
(r<p<R).
(3)
Ироде тО20, в любоя 1<ольце r' I z Zo I R', 2де r < r' < R' < R,
ряд (2) сходится равномерно.
Ряд (2) называется рядом Лорана,
Возьмем произволыюе кольцо К:
r' I z Zo ! R',
и выберем числа r" и R" так, чтобы
r<r"<r',
R'<R"<R.
Окружность I z Zo! === R" обозначим через C 1 , а окружность Iz zo! ==
== r" через С 2 (обе окружности считаем проходимыми против часо
вой стрелки). Тоrда, применяя интеrральную формулу Коши к кольцу,
01"раниченному окружностями С 1 и С 2 , мы можем написать равенство
f(z)=== I(t) dt \' ..l.J!Ldt.' 7'
2т t Z 21tl t Z
1 С 2
справедливое для всех z И3 кольца К.
На внешней окружности С 1 напишем разложение
t z
(z Zo)n
""" (t ZO)fI+l
n O
21
ря.n:ы ТЕйЛОРА И JJOPAHA. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
325
а на внутренней окружности С 2 разложение
1
I {Z Zo)n
t z == "'" (t Zo)n+I .
n=== 00
По.n:ставляя эти разложения в интеrралы и интеrрируя почленно,
получаем ря.n: (2). Для получения формул (3) в окончательном виде
нужно еще вспомнить, что, cor ласно теореме 1{01llИ, интеr"рал
2 ' f(t) (t ZO) 'H dt
t zol p
не зависит от выбора окружности i t Zo I == р в кольце r <
< I t Zo I < R, так как подинтеrральная функция реrулярна в этом
кольце. Более Toro, окружность I t Zo I == р в этой формуле можно
заменить произвольной замкнутой кривой, которую можно непрерывно
деформировать в эту окружность, не выхо.n:я за пре.n:елы I<ольца
r<lt zol<R.
Заметим, что разложе1illе данной ре2УЛЯрНОЙ ФУIi1<цuи в ряд
Лорона в данном Кольце единственно. Действительно, пусть .n:ля
функции {(z), реrулярной на окружности I Z Zo I == р, имеются два
разложения в ряд Лора на
со
{(Z) == Ь" (z zo)",
oo
со
{(Z) == С" (z zo)",
oo
равномерно схо.n:ящиеся на этой окружности. TOI".n:a
)
(Ь" c,,)(z zo)n ==0
(i Z Zo I == р).
co
Умножим обе части последнеrо равенства на (z ZO) .т 1 И проин
теr"рируем почлсшlO, что законно ввиду равномеРI ОЙ сходимости
ряда. Tor.n:a получим
Но
со
(Ь" с,,) (z zo),, m 1 dz === О.
oo Iz zol p
2"
(z zo)" m I dz == ip,, m e i (n..m)<p d<p,
Iz Zol P (1
а после.n:ний интеrрал равен 2т.;l при п === т и нулю при всех осталь
ных n. Сле'n:Оllателыю, 2т.:; (b m С т ) == О, и поскольку т любое
целое ЧИСllO, наше утверждение доказано.
326
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬН(1й ФОРМУЛЫ коши
(rл, 3'
Соображение об единственности разложения в ряд Лорана часто
используется .n:ля отыскания ero коэффициентов (без интеrрирования).
Т е о р е м а 4. Пусть ФУН1<ция j(z), рС2улярная в 1<ОЛЬЦС"
r < I z Zo I < R, разла2астся в это3t 1<ОЛЬЦС в ряд
ro
f(z)== C"(z zo)"'
(4)-
ro
ТО2да при любо.lr( 3НQЧСЮШ р, r < р < R, для 1<оэффициснтов ря
да (4) Zl.lfCCm .lrfCCmO нсравснство
I с " : M (р) p ll,
[де
м (р) == тах I j(z) 1.
, Z Zo' p
в силу единственности разложения в ря.n: Лорана .n:ля коэффи
циентов сп .n:олжны быть справе.n:ливы формулы (3) с любым р, y.n:O
влетворяющим условию r < р < R, Оценивая интеrралы И3 формулы (3)
с помощью формулы (2) 3 rл. 2, приходим к утверж.n:ению Teo
ремы, так как на окружности I z Zo I == римеем, очеви.n:но,
тах I j (z) (z zo) ll 1 1== м (р) p n l.
!Z Zo I p
Разложение в ряд Лора на чаще BceI'o используется в тех случаях,
коrда функция j(z) опре.n:елена в некоторой окрестности точки zo.
но не опре.n:елена в самой этоЙ точке. Tor.n:a разложение в ря.n:
Лора на может быть написано в кольце 0< I z Zo I < r, Такое раз
ложение называется рядО.lrt Лорана для ФУН1<Цllll f(z) В 01<pccтHO
СfПll тОЧ1Сll zo.
Ле['ко убе.n:иться, что если функция j(z) реrулярна в точке zo.
то ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки Zo совпа.n:ает
с elC разложением в ря.n: Тейлора в окрестности этой точки. Действи
телыlО, в ЭТО:l<I случае коэффициенты ря.n:а с отрицательными номе-
рами равны нулю по теореме Коши.
Далее, коэффициент с 1 В ря.n:е Лора на .n:ля функции f (z) в окрест-
IIOCTII точки Zo равен
1 "
'Eti \ /(z) dz,
ё
r.n:e С сколь y['O'n:HO малая окружность с центром в точке Zo..
Поэтому
res j (z) == C 1
z== Zu
(см. определение вычета в 5 r л. 2),
Таким обраЗ0М. вычеты можно нахо.n:ить без интеrрирования, если
у.n:ается разложить функцию n ря.n: Лорана в окрестности IIнтересую
щей нас точки. Обычный прием таков: ФУН1<ция j(z) прсдставлястся
'!! 21
РЯДЫ ТЕйJlОРА И JlOPI\.HA. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
327
.в виде отношения двух рпулярных функций; чиСЛllтель а зна.llе
.натель разла2аются в ряд Тейлора (это можно сделать без инте
.rрирования), а зате.М ряд Лорана для отношения получается фор
AfаЛЬНЫAf делениеAf степенных рядов час/штеля и знаАlенателя.
Очень часто при отыскании вычетов полезно иметь в ви.n:у сле
дуюшее утверж.n:ение:
res I(z)== liш (z zo)/(z), (5)
Z===Z(I Z -+Zt1
.если только предел в правой часта равенства существует.
Действительно. обозначая liш (z zo) [(z) == С. мы можем напи
z........zo
-сать
res [(Z)== 2 i С
.z == Zo
Iz zol p
== 2 i
1 z Zo == р
[(z)dz ==
dz 1 \
z Zo + 2rr.i -'
Iz zoi.=::::::!:p
(z zo)f(z) с dz.
z zo
.но, как мы уже Heo'n:HoKpaTHo ви.n:ели,
1
21ёi
S ==1,
z zo
; Z - zol p
:а
2rr.i
I z zol P
(z zo)J (z) с dz О
z zo
(р 0)_
Перехо.n:я к пре.n:елу при р о (напомним, что вычет не зависит
'от р), прихо.n:им к формуле (5).
Если в разложении функции I(z) В ря.n: Лорана в окрестности
точки Zo имеется лишь конечное число членов с отрицательными
,степенями z zo' то точка Zo называется nОЛЮСОAf функции [(z).
Пусть точка Zo является полюсом фушщии [(z), и пусть член
ря.n:а Лорана функции I(z) в окрестности точки Zo. имеющий самую
1
:высокую степень
равен
z zo ..
C 'l
(z Zo)n
(C ll:j::. О. n 1).
TOI°.n:a точка Zo называется nОЛЮСОAf порядка п или п KpaтHbIAf
.fIOЛЮСОAf функции /(z).
Есла точка Zo является nОЛЮСОAf ФУНКЦllll j (z), то, каково
-бы на было число А> О, существует окрестность точки Zo.
8 которой выпОЛfтется неравенство t (z) I > А Иными словами,
есла Zo полюс функции 1 (z), то liш I(z) существует а равен
бесконечности. ;;:....zo
328
СЛЕДСТВИЯ ИНТl:rРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ коши
rrJl.3
Действительно, ряд Лора на .n:ля функции j (z) в окрестности ее
полюса Zo имеет вид
f(z)===c n(z zo)'" +.,.+ со + сl (z Zo) +...
ФУНКIJ,ия
(c " =J:- О, п 1).
g(z)===(z zo)" f(z)===c " + c nl_1 (z zo) +,..
реrулярна в точке 20 (как сумма равномерно сходящеrося в некото-
рой окрестности этой точки степеннor'о ря.n:а) и g(zo) =J:- О. Но
f(z) === ... g (z)
(z zo)n
(п 1).
Поэтому lim I(z) === 00 К3I{ пре.n:ел отношения 'n:BYx величин, И3 кото-
Z.......>J.Zo
рых числитель имеет пре.n:елом конечное число, а знаменатель имеет
пре.n:елом нуль.
в частности, И3 .n:оказанноrо факта вытекает, что полюс не лto-
жет быть предельной точкой для нулей.
3. Некоторые nриложения теоремы о вычетах
Теорема J{оши и тесно связанная с ней теорема о вычетах имеют
мноrочисленные применения не только в теории аналитических функ-
ций. Эти теоремы используются как существенное вспомоrателыюе
средство в самых различных областях математическоrо анализа. Мы
приве.n:ем сейчас несколько примеров применения теоремы о вычетах
к вычислению опре.n:елеНJlЫХ интеrралов от .n:ействителыlЫХ функций.
Речь бу.n:ет и.n:ти о вычислении несобст-
венных интеrралоu, вычисляемых cpek
ствами действительноrо анализа с большим
трудом.
При м е р 1. Рассмотрим интеr'рал
,.
1===
с
e'Z
zdz,
Рис. 67.
взятый по контуру, изображенному на
рис. 67. Подинтеr'раЛЫlая функция per'y-
лярна в области, оrраниченной контуром интеr'риропания, и на самом
контуре. Поэтому, соrласно теореме Коши,
1 === о.
(1)
с друrоЙ стороны, разбивая контур интеrриропания на части (по-
луокружности и прямолинейные отре3l<И), можно предстаВИТh
3]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ'"""fЕОРЕМ.Ы О ВЫЧЕТАХ
329
Иllтеrрал I в ви.n:е суммы интеrралов:
1 == е; dx
1t
+ e Rsin<p+iRcos<Pi drp +
о
r О
+ е; dx + e rsin <p+ircos<Pi d'f' (2)
я 1t
Положим теперь 1" О, R со (независимо друr от .n:pyra). Второй
инте["рал при R со стремится к нулю, так как е["о подинтеrраль
не превосхо.n:ит по MO
ная функция 1Iа всем отрезке интеrрирования
.n:улю единицы, а на любой внутренней ча
сти отрезка интеrрирования равномерно
стремится к нулю при R со. Четвертый
инте["рал при r О стремится к 'iti,
Наконец, сумма первоrо и TpeTbero иите-
rралоп равна .
R .
\" е'Х e lx
J х
r
ret'l'
R
d 2 ' sinx d
х == l х.
х
r
{l
рис, 68.
Поэтому, перехо.n:я к пре.n:елу при r О, R со, получаем в силу
равенства (1). что
ro
О ' +2 ' sinx d
== 'itl l Х
х
о
или
ro
(' sinx ==
"х 2'
о
При м е р 2. Рассмотрим интеrрал
1 == e z2 dz.
с
Б3ЯТЫЙ В положительном направлении по rранице KpyroBoro сектора
1t
с раствором 'f 2" изображешюrо на рис. 68. По теореме Коши
1 === О.
с друrой стороны, разобьем интеrрал I на сумму трех интеrралов
. (по радиусам и по .n:yre окружности). Вдоль дуrи окружности имеем
z === reio., О с1. ср, и потому
Z2 === ,2 ( cos 2а. + i sin 2а.).
о а. <р-
Следовательно (см. формулу (6) 6 ["л. 2),
I e z21 == e r2cos2o:_
330
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ КОШИ
[rл. 3'
Поэтому 'n:ЛЯ интеrрала по .n:yre ОКРУЖНОСТИ имеет место неравенство,
I п 'I' e z2 dz \ r e r2 С052" d!J._
r 11
Правая часть этоrо неравенства стремится к нулю при r со, Дей
ствительно.
r e r2"052"d!J. r e rec052"da.===
u 11
1t
1t
r \ 2 r '2 r2 217 r CO 2IJr' 'It
=== e r" sin {) df} < е 1t d& <, е 1t d& ===
2 . 2 2 . 4r
\) 1) о
(мы ИСПОЛЬЗ0вали неравенство: siп & : & при
Таким обраЗ0М, при r со интеrрал по .n:yre
IIIИТСЯ к нулю И равенС'ПJО 1===0 .n:aeT нам, что
rei'P r
liт e zedz===lim e x2dx,
Т....-.+ о) U r ro О
0<&< ; ).
OI<ружности CTpe
(3)
если только хотя бы о.n:ин И3 этих пределов существует. В СУШ,ество
вании правоrо И3 пределов убе.n:иться очень IIРОСТО. Более Toro, из
анализа известно, что
со <) ] _ r
e x dx===21/ 1t.
о
Так как при любом r> О имеем равенство
reir.p r
e z" dz === ei'f е e2i'l'x2 dx ===
" о
r
== ei'f e ,\'" С05 2'1' I COS (х 2 sin 2<р) i sin (х 2 siп 2<р) I dx,.
()
ТО И3 формулы (3) получаем. что
со
e х 2 С052'1' [cos (х 2 siп 2ср) i sin (х 2 sin 2ср)] dx == 1/ 1te i'f
1I
'ИЛИ, иначе rоворя, что
со
e х' С05 2'f cos (х 2 sin 2ср) dx == v.; cos rp,
(J
со
e'X2COS2'f sin (x 2 Si112:y)dx== V; sin ср.
u
,р]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
331
1t
В частности, при ff === 4 получаем значения так называемых интеrра
.ЛОВ Френеля
сх> со
f 2 d (. Q d 1 ,_r
) (OSX х===) SIП Х. Х===2 J' т:.
U (J
При м е р 3. Вычислим интеrрал
00
e xecosaxdx
oo
( oo<a< +(0).
Для этой пели рассмотрим вспомоrательный интеrрал
1 === e z2 dz,
р
1I3ЯТЫЙ по nараллелоrрамму Р. изображенному на рис. 69, r.n:e с
nроизвольное комплекСное число, а а. > О. По теореме КОlllИ 1 === О.
.с .n:руrой стороны, интеrрал 1
можно разбить на сумму че
тырех интеrраЛОR (по сторонам
параллелоrрамма). При фикси
рованном с и при а. ---+ + 00
Д.1ина сторон nараллелоrрамма,
не параллельных действитель
'ной оси, остается неизмснной,
11 то время как мо.n:уль no.n:
интеrралыюй функции ,на ЭТИХ
-сторонах стремится к нулю,
Поэтому, перехо.n:я '( пре.n:елу при а. ---+ + со, получаем равенство
c a
с
о
й
Рис. (,!)
сп сх>
e 'х + с)2 dx === е- Х " dx === v;.
oo oo
I .
с === 2' [а, нахо.n:им, что
сп ( Х + i .tr. ) 2 .1 а 2 00
у; == е 2 dx === е 4 e x2e iax dx,
oo oo
Полаrая
откуда получаем окончательно (отделяя .n:ействительную часть)
(.o
со aS
e x"cos axdx===e 4 y7t,
в следующем примере используем теорему о вычетах. Рассмотрим
Jiнтеrрал
\ ze iz
1 === d z +- k2 dz
(k> О),
332
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ КОШИ
Irл, 3
взятый В положительном направлении по rранице полукруrа, И30
браженноrо на рис. 70.
По.n:интеrральная функция реrулярна во всей плоскости, за исклю
чением точек z == ik и z == ik, В полукруrе, изображенном на
рис. 70, лежит лишь одна И3 этих точек z == ik. Поэтому, cor ласно
теореме о вычетах,
. ze 'Z
1 == 21tl res 2 + k 2 .
z ik z
Рис. 70.
Cor ласно формуле (5) 2
ze 'Z . , ze'Z
res 2 +k 2 Ilm.(z lk) 2+k2
z ik z , lk Z
. ze iz e "
== 11т .
z...... il, z + lk 2
Следовательно,
1 == 1tie k.
С друrой стороны, разобьем интеrрал на сумму двух интеrралов
(по диаметру полукруrа и по полуокружности). Для интеrрала 11'
взятоrо по полуОI(РУЖНОСТИ при r > k, имеет место оценка
I rei'fe rsin'f+ ircos'f. iri f I r2 " .
1/1 , == . d<p 2 k 2 e , SIП 'f d<p,
r2e21'f + k 2 r
о ,О
И3 которой видно, что при r + со этот иитеl'рал стремится к нулю.
Для интеrрала 12' взятоrо по диаметру полукруrа, имеет место pa
венство
r r r
\' хе'Х \' х (e iX e IX) , \ х siп х
12 == х2 + k2 dx == х2 + k" dx == 2! х2 + k 2 dx.
, t) О
Поэтому, перехо.n:я к пре.n:елу при r со, получаем, что
со
2 . \' х siп х d . k
1 х 2 + k 2 Х == 1tle
о
или
со
\' хsiпх 7t ,.
., x2+k2 dx =='2 е ,
о
Сейчас мы докажем одну теорему, с помощью которой можно
вычислять значения целоrо класса интеrралов, подобных интеrралу,
рассмотренному II последнем примере,
т е о р е м а 1. Пусть ФУI-i1СЦllЯ f (z) реzулярна в верхщй полу
плоскости 1т z> О, за исключе1-illе.м КOI./еЧI-iО20 числа точек
ZJ' Z2' .... zт, лежащих 8 этой полуплоскости. Пусть, кроме
3]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
333
тою, ФУЮСЦllЯ (z) непрерЫ6l-Ю 6 за.щснутой
Iш z О (за исключением тех же точек ZI' Z2' '.. ,
фУН1СЦ/l1l I(z) /IMeem .место неравенство
nОЛУnЛОС1СЫ: Inll
zm)' Если для
I/(z)I Clzl+O
(\ z I > Ro, Iш z > О)
(4) .
С Щ1Соторы.М а> О, то Neсобствеюtьtй llнте2рал от ФУН1СЦ//ll f(x)
ПО всей действllтелыюй ОС// существует //
со m
1 (х) dx -=== 2тci I: res 1 (z).
co k 1 Z Z"
Заметим прежде Bcero, что существование несобственноrо инте
rрала от Функuии I(x) по .n:ействитеJIЬНОЙ оси следует И3 HepaBeH
ства (4) и И3 схо.n:имости интеrрала
со
f 1 O d
)х х.
I
В силу СХО.n:имости интеrрала от f(x) по
всей деЙСТвительной оси справе.n:ливо
равенство
со R
I(x)dx-=== Iiш \ I(x)dx.
co Я +со Я
Обозначим через К я по.1УOl(РУЖНОСТЬ, изображенную на рис. 71.
прохо.n:имуlO по часовой стрелке, Cor ласно теореме о вычетах имеет
место равенство
R тя
I(x)dx-=== I(z)dz+ 2т;i I: res I(z)
-я К я ', I Z Zl,
я
R
Рис. 71.
(сумма распространяется на все точки Zk' лежащие в nолукруrе).
При R ---+ + со И3 неравенства (4) сле.n:ует, что
I J R I(z) dz \ т;R' С. R H Т;С. R o.
С.1едовательно, интеrра.1 по полуокружности К я стремится к нулю
при R ---+ + со. Перехо.n:я к пределу при R ---+ + со, получаем фор-
мулу
со m
1 (х) dx -=== 2тci I: res 1 (z).
co k l Z Zk
Тем самым теорема доказана.
Заметим, что утверждение леrко обоGщается и на случай беско-
нечноrо числа исключитеЛЫIЫХ точек ZI' Z2' .,., имеющих npe.n:e.'Ib-
ную точку ЛИlllЬ В бесконечности. При этом нужно лиlllь условие (4)
334
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОИ ФОРМ.УЛЫ КОШИ
[rп.3
заменить условиями
I/(x) I С(I х I + 1) I -о ( co <х< со);
lf(z)I C\zl+8 (lzl==R k . Il==l. 2. ..., Imz?O)
(в после.n:нем УС,10UИИ Rk некоторая бесконечная после.n:овате,1Ь
ность положительных чисе.'I. имеющая пределом + со) и потребо
в31Ъ, кроме TOrO, схо.n:имость ря.n:а
со
1: res 1 (z).
k 1 it Zk
Рассмотрим один пример применения .n:оказанной теоремы. Возьмем
1
I(z)== az"+bz+c '
rne числа а, Ь. с .n:ействительны и У'n:ОВ,1еТIIОРЯЮТ условию
Ь 2 4ас < (),
Функuия {(z) реrулярна ВО всей пло скости. за исключением точек
z == a ( b + i V 4ас Ь 2 ).
в которых знаменатель обращается IJ нуль. В верхней полуплоскости
лежит o'n:lla И3 этих 'n:BYx точек, а именно та, .n:ля которой знак корня
J/ 4ас 12 выбран СОlJпа.n:ающим со 311а1{ОМ числа а. Обозначим
эту точку через ZI. СОI'лаСIЮ формуле (5) 2
) 1 . Z ZI
res I(z)== Нт (z .2'1. ., ==1IJП
Z ZI Z zl az t bz+c Z ZI a(z zl)(Z ZI)
. 1
IIIn
Z ZI a(z zl)
1
i 1/4ac b2 .
Поэтому теорема 1 .n:aeT нам равенство
сп
\' dx 2л
J ах" +-- Ьх +-- с == -v 4ас j;; .
co
В заключение мы приве.n:ем o'n:HY теорему, получающуюся прямым
применением теоремы о lJычетах, Речь и.n:ет о формуле для по.n:счета
числа нулей и полюсов фушщии, реrулярной в некоторой области
(33 исключением, конечно, этих полюсов).
т е о р е м а 2. Пусть функция I(z) рС2улярна в областu О,
02ртщченной простоЙ заМЩ-iутой кривой С, за llсключс/шеАl KO
НСЧНО20 Чllсла полюсов. На са,lfOЙ кривой С предпОЛО:J1C1Ul фУI-iКЦllЮ
{(z) РС2УЛЯРНОЙ II отЛllЧ/Юй от I-iУЛЯ. ТО2да
1 \ f' (z)
Ъ:;i t f (z) dz == N Р,
!i 31
НЕКОТОРЫЕ припОЖЕНИЯ ТЕОРЕМ.Ы О ВЫЧЕТАХ
335
2де N Ч/lСЛО нулей ФУНКЦllll I (z) в области О, а Р ЧllСЛо ее
полюсов в этой област/l. Прll этОJll 1CaJlCabIU НУЛЬ llли полюс СЧ/l
тается столько раз, какова е20 кратность,
Пусть al' а2' ,.., G r полюсы функции {(z), расположенные
В области О, а b 1 . Ь 2 . .,., b s ее нули, Число ПО.1ЮСОВ конечно по
условию теоремы, а конечность числа нулей сле.n:ует И3 теоремы
е.n:инственности (см, теорему 2 2). cor ласно которой точка pery ляр
ности не может быть пре.n:ельной ТОЧI<ОЙ ну лей. и И3 замечания
В конце 2 о том. ЧТО ПО.1ЮС не может бы IЪ пре.n:ельной точкой
ну лей,
Рассмотрим в области О функцию j ( : . Она pery лярна в обла
сти О (и на ее rранице С), за исключением точеl( Gl' а2' .... а т и
b 1 . Ь 2 , ,.., b s . Для иссле.n:ования ее пове.n:ения в этих точках заметим,
что в окрестности нуля или полюса фУНIщию {(z) можно пре.n:ста
вить в ви.n:е
[(z) === (z zc)"g(z),
r.n:e k положительное или отрицате.1ьное целое ЧИс.10, а функция g(z)
реrулярна в точке Zc и g(zo) # о При этом число k равно поря.n:ку
нуля В точке zo' если точка Zo ЯВ.'Iяется нулем ФУНКllИИ {(z), а если
точка Zo является полюсом. то число k равно поряш<у полюса, В3Я
тому с обратным ЗН31<ом. Леrко ви.n:еть, что
{' (z) I {( (z)
i(z) z zo g{z) ,
откуда нахо.n:им, что
f' (z)
res f ( z ) === k.
Z=:'=Zf1
Применяя теорему о вычетах. нолучаем, что
r s
1 /' (z) '\' f' (Z) /' (z)
2 { ( ) dz=== res / ( ) + /. res f ( z) '
t c Z Iz a" Z z b"
Ее ли об0311ачить через ll" кратность ну ЛЯ l)n для ФУНКllИИ f (z). а
через hn кратность ее полюса а п , то ПОЛУЧИМ отсю.n:а
1 ,. (' (z)
ъ:а ., f{z) dz===(k 1 +, ..+ ks) (1/1 +... + h r ).
с
Эта формула равносильна утверж.n:ению теоремы.
COBeplllellHo аналоrично можно доказать формулу
s r
" Л /'{Z) d "ЬЛ '\' л
2тс; -' z f(z) z n an,
с 1 1
Сllраве.n:ливуlO в тех же предположениях, что и теорема 2.
(5)
336
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМ.УЛЫ КОlllИ
[rn. з
4. Принциn максимума и лемма Шварца
Пусть функция f(z) реrулярна в I<pyre ра.n:иуса р с центром
в точке z и на ero окружности. Tor.n:a. взяв в интеrралыюй формуле
КОlllИ в качестве контура интеrрирования ОКРУЖНОСТЬ этоrО I<pyra
и перей.n:я от криволинейноrо интеrрала к интеrралу по параметру ер,
ПОЛУЧИ1\! формулу
\!"
I С
f(z)== 2;] J f(z + pe''f')dep.
(1
(1)
Утверж.n:ение, содержащееся в этой форму.1е, можно выразить сле.n:у
ющими словами:
3NачеНllе рezулярноЙ футСЦUll 6 центре люБО20 1СРУ2а ре2УЛЯр
NОСnЩ ра6l-Ю cpeaHe.IIY арllф.JlетllчеС1СОАIУ се значеНllй /Ю 01СрУЖ
носnщ этО20 1СРУ2а.
Если число М равно верхней rрани значений I f(z) I на окруж
ности, ТО И3 фОР lу.1Ы (1) непосре.n:ственно вытекает, что и в центре
Kpyra значение функции по мо.n:улю не превосхо.n:ит Toro же числа М.
После.n:нее соображение используем сейчас, чтобы .n:оказать Teo
рему, носящую название прllНЦ1та AlG1CC1UIYAtG Аtoдуля:
т е о р е м а 1, Модуль ФУН1Cl 1111, РС2УЛЯРНОЙ 6 NC1COIlZOpoii областu,
Ne Ato:JlCem дости2ать /-Юllбольше20 З/ЮЧеNllЯ 6Hympll этой областu.
сслu тоЛЬ1СО ФутСЦllЯ отЛUЧNа от тождест6еНNОй постоящюй.
Заметим пре.n:варителыю, что мо.n:уль реrулярной Функции может
быть постоянным в области TOJlbKO в том случае, Kor.n:a сама фУНI(
пия постоянна в этой области. Ilействительно, И3 постоянства мо.n:уля
функции f (z) == II + iv мы ВЫВО'n:ЮI, что 11 2 + v\! == const. Ilифферен
пируя это равенство по х и У и ИСНОЛЬ3УЯ уравнения КОlllи Римана,
11О,ч.чаем 'n:Ba соотношения:
1l1l. + vv == О,
llV. Vll. === О.
Расснатривая эти соотношения как систему уравнений .n:ля ll. и V. ,
ви.n:им, что или опре.n:елитель этой системы, равный ll\! + v 2 , равен
нулю, или ll. == О, V == О. в обоих случаях имеем f' (z) = О, т. е.
f (z) == const. (Ilpyroe .n:оказательство этоrо утверждения мы Mor ли
по.1УЧИТЬ, рассмотрев реrулярную функцию In f(z), имеющую ПОСТОЯII
ную .n:ействительную часть lп I f(z) 1.)
Итак, .n:опустим, что ФУНКllИЯ f (z), а значит, и I f (z) I ОТ ЛИЧIIЫ
[1 области Q от тож.n:еСТ[lенной ПОСтоянной. Ilопустим, что теорема
неверllа. Tor.n:a должна существовать т3!<ая точка z* Е а, .n:ля KOTO
рой I f(z*) I == М, а в произвольно малой ее окрестности най.n:утся
ТОЧКИ, в которых I f(z) ! < М, Но r; этом случае най.n:ется Kpyr
с центром в точке z*. лежащий ВНУТРИ области а, на ОКРУЖНОСТИ
4]
ПРИНIlИП МАКСИМУМА И ЛЕМ.МА ШВАРЦА
337
KOToporo есть точки, r.n:e i t(z) I < Л1. Это противоречило бы вера-
венству
1 с" .
М 2" I {(z* + ре''!') i d'f,
(1
(2)
13h1текающему И3 равенства (1) и И3 условия I {(z*) i === м (напомним,
что I /"(z) i Л1 во всеЙ области). Полученное противоречие .n:оказы-
вает теорему,
С л e.n: с т в и е. Модуль ФУЮСЦllll, ре2УЛЯРНОй в област", не Дo
:жет дости2ать l-iall.меl-iьше20 ЗначеюlЯ Bl-iympu этой области,
если эта функция отЛ1lчна от постоянной и не обращается
.в I-iУЛЬ.
Пля .n:оказательства .n:остаточно применить принцип максимума
1
м o.n:y ля к функции T(Zj' которая бу.n:ет реrулярна в области, еСJlИ
ФУНКЦИЯ {{z) не обращается в нуль.
Следующая теорема носит название леJlt_ltbl Шварца:
т е о р е м а 2. Пусть ФУI-iКЦ1lЯ f(z) рпулярна в еди1il1ЧНОJlt
КРУ2е I z 1<1 11 удовлетворяет таJl! неравенству I {(z) I 1. Если,
JCpo.lte тО20, {(О)===О, то функция {(z) обязана удовлетворять
.в КРУ2е I z I < 1 и БОЛее С11ЛЫЮ.му l-iеравеl-iClnВУ
I {(z) i I z 1.
Пр11 этОJlt, если I {{z) I === I z I хотя бbl в одlШй Bl-iympel-i1ieii точке
едиНllЧl-iО20 КРУ2а, отЛ1lЧl-iОй от тОЧКll z === О, то
f (z) === ze i 1,
2де .. некоторое действllтельное ЧliСЛО,
Пля .n:оказательства рассмотрим функцию 'f (z) === f (z) . Разложив
z
функцию {{z) в ря.n: Тейлора и поделив этот ря.n: на z. уви.n:им, что
функция <Р (z) реrулярна в Kpyre I z 1< 1 (в том числе и в точке
z === О). В каж.n:ом Kpyre ! z I R, r де О < R < 1, MO'n:Y ль функции
"f (:) принимает наиБолыllеe значение на окружности I z 1=== R. Поэтому
шах If(z) ,
шах 1'f(z)I===,шах i<p(z)l== IZ! .
Iz: R IZI R
Перехо.n:я к пре.n:елу при R 1, получаем, что I <р (z) I 1 при I z I < 1,
т. е. что
\{{z)\ \z\.
Если равенство I {{z) 1===1 z! имеет место хотя бы в о.n:ной внут-
ренней точке е.n:иничноrо Kpyra, то это 0значает, что максимум
мо.n:уля функции i <р (z) I .n:остиrается внутри единичноrо Kpyra. Это
338
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЫЮй ФОРМУЛЫ коши
[rл.3-
возможно лишь В случае, Kor.n:a ф'УНlщия ep(z) постоянна (и по модулю
равна е.n:инице). Tor.n:a ер (z) == е'l, и мы получаем утверждение Teo
ремы,
Принцип максимума позволяет HeMHoro уси. ить теорему Вейер
lllTpacca о равномерной схо.n:имости после.n:овате.%lюстей реl'УЛЯрНЫХ
функций, Это усиление основывается на сле.n:ующем факте:
Пусть фУНКЦllll fl (z), {2 (z), ,., реzулярны в об/щсти. О 11 Heпpe
рывны в за.мыкаЮlll этой области, Если последовательность
{fn (z)} равнояерftО сходится на zраЮlЦе области О, то OIЮ
равно.нерно сходится 11 в за.l;lыкаЮlll области О.
5. Некоторые оценки. Теорема ЛИУВИЛЛЯ
ПРИНllИП максимума дает нам возможность написать неравенство
для мо.n:уля реrулярной ФУНКllИИ внутри области, если известна
оценка этой функции на rрающе области. С помощью интеrралыюй
фОр:\lу.1Ы Коши можно получить некоторые неравенства не только
.n:ля са!\IOЙ ФУНКllИИ, но и для ее произво.n:ных внутри области (если
известна оценка этой фУНКllИИ на rраниuе области):
Т е о р е м а 1. Пусть ФУftкция f(z) рпулярна в области О,
оzртщчеНlШЙ простой заякнутой кривой С. и IЮ ее zpaНZlЦe.
Тоzда для любой тОЧКII z Е G ияеет яесто неравенство
I f(n) (z) I < п! М. 2,, nH ' L (п == 1, 2. ,..). (1)
zде L дЛZUia КрllВОЙ С, а расстОЯНllе от точки z до КрllВОЙ С.
а М ,маКС1С\!У.\! .модуля фУНКЦIlll f (z) на кривой С.
Cor ласно формуле (6) 7 r л. 2
{ (n) ( ) . \' j (t) cft
z 2ni . (t z)n+1'
С
01lенивая этот интеrраJl с помощью неравенства (2) 3 r л. 2.
получаем неравенство (1).
Стоит заметить, что 113 самой интеrралыюй формулы KOlllH мы
совершенно аналоrнчно моrли бы нолучить оценку
, ) I M/
I ! (z < ъ f; .
O'n:HaKo эта оценка Болыllйй ценности не пре.n:ставляет, так как
кривая С, нахо.n:ящаяся от точки z на расстоянии, не MeHbllleM О,
имеет длину, не меныllюю чем 21ta, та" что написанная оценка Bcer.n:a
слабее. чем оценка I f(z) ! < М, получаемая ю IlРИllllИпа максимума,
С л e.n: с т в и е. Пусть фУНКЦllЯ f (z) реZYЛЯРIЮ в КРУ2е сцентроя
8 точке Zo 11 радllУСО,ll р. ЕСЛIl на OIсружности этоzо Kpyza lu!eem
i 6]
nРинцип КОNШАКТНОСТИ для РЕrулярных ФУНКЦИй
339
.место hepaBCl-iСmвО I I(z) I /11. то в точке Zo 1l.Jtеют .место
.неравенс тва
I f(n) (zo) I Mp.n
(п == 1, 2, ...).
(2)
Действительно, взяв в качестве области О Kpyr с иентром в точ
ке 2'0 и ра.n:иусом р, мы получаем И3 теоре1bl I неравенства (2).
Из полученных оценок леrко выво.n:им сле.n:ующуlO Teope IY, HO
сящую название meopeJltbi ЛиУВllЛЛЯ:
Т е о р е м а 2, ФУНКЦllЯ, реzулярная // О"IJaЮf1lенн.ая в() всей
плоскости, постОЯNна.
Действительно. .n:ля этой функuии бу.n:ут справе.n:ливы неравенст-
ва (2) с любым значением р. В частности, при п == 1 получаем, что
в каж.n:ой точке Zo функuия f (z) должна удовлетворять неравенству
1/' (zo) I м
р
-с любым р. Перехо.n:я к пре.n:елу при р 00, получаем. что (' (z) == О,
т, е. что 1 (z) COl1st.
6. Принциn компактности для реrулярных Функuий
с помощью оценок, полученных в преды.n:ущем параrрафе, мы
може 1 .n:оказать одно важное общее свойство класса реrулярных
функций, называемое ко.мпактностью этоrо класса. В анализе пос
тоянно используется свойство компактности конечномерноrо евклидова
пространства, состоящее в том, что И3 каж.n:оrо оrраниченноrо бес
конечноrо множества точек этоrо пространства можно Вhщелить
схо.n:ящуюся после.n:овательность, Различные классы функuий тоже
можно рассматривать как пространства, выбрав на.n:лежащуlO метрику.
При этом оказыиается, o'n:HaKo, что наиболее употребительные классы
функuий .n:ействителыюrо переменноrо не об.1адают сиойством KO I
ПaJ,ТНОСТИ. ТеШ, например, класс функuий ер (х), нещ ерывных на
отрезке (а, Ь), не об.1а.n:ает свойством компактности (естественная
метрика 'n:JlЯ этоrо класса 11 <р 11 == тах 1 ер (х) ). Действительно, не И3
всякоrо бесконечноrо множества оrраниченных в совокупности He
прерывных функuий можно иы.n:елить схо.n:ящуюся после.n:овательность
(например, И3 после.n:ователыlOСТИ sin пх, п == 1, 2, 3, .", нельзя).
Это обстоятельство Си.1ЫIO затру.n:няет решение мноrих вопросов
анализа. Одним И3 сущестиенных nреимуществ теории аналитических
функuий является наличие свойства компактноСТИ 'n:.1Я мноrих классов
реrулярных функuий. Объясняется это тем, что класс реrулярных
функuий КОМПJlексноrо переменноrо является очень У3КИМ подклассом
Bcero класса непрерывных функuий (определенных в той же области).
Приве.n:ем ЛИlllЬ одну И3 наиболее простых фОрМУЛИрОIIОК свойства
Компактности для одноrо И3 классов реI'УJlЯрНЫХ ФУНКЦИЙ.
340
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМ.УЛЫ КОШИ
[rn.
Сле.n:ующую теорему ПРИНЯТО называть прЩiЦСlпо-lt 1СОJlта1Стности;
Т е о р е м а 1. Пусть ФУН1Сции беС1Сонечной последовательностll
{l (z), {2 (z), 1з (z), .,.
(l)
ре2УЛЯрНЫ В облаСl1111 а и 02раЮlЧены по .J.toдулю в этой областп
одти{ и теJlf же число я lИ. ТО2да из этой последовательностп
3fO:JICNO выбрать подпоследовательность, раВНОJlfерно сходящуюся
Na любом заМ1СNутом .ttножестве, лежаще.J.! В области а.
Доказательство этой теоремы разобьем на несколько частей.
Пусть В nроизвольное замкнутое множество, лежащее в обла
сти а. Докажем преж.n:е Bcero, что ФУНКЦИИ последовательности (1)
paBNocmeпeHNo непрерывнЬ! на множестве В, т. е. что .n:ля любоrо
е> О существует такое число а> О, что неравенство
Iln(zl) fn (Z2)! < е
выполняется .n:ля всех п и .n:ля всех z, у.n:овлетворяющих условиям
! Zl Z'll < а, Zl Е В, Z2 Е В.
Для .n:оказательства заметим сначала, что расстояние от множества В
до rраницы области а, которое бу.n:ем в .n:альнеЙlllем обозначаТI>
через р, положительно. Поскольку во всей области а имеют место
неравенства
Ifn(z) I /11
(п == 1, 2, 3, ...),
If (z)! м
р
5, неравенства
(z Е В, п == 1, 2, 3, ...).
можем написать, соrласно следствию теоремы
Сле.n:ов ательно,
Z2
Ifn (Zl) fn (Z2) ! == I I (z) dz I 1 (Zl' Z2)'
zl
r.n:e I(Zl' Z'l) .n:лина кривой, лежащей в области а и сое.n:иняющей
точки Zl и Z2' Ясно, ЧТО I(Zl' Z2)== I Zl z21, KOr.n:a точки Zl и z'l
лежат в множестве В, а I Zl Z2! < р. Тем самым мы .n:оказали
равностепенную непрерывность функций после.n:овательности (1),
Возьмем теперь некоторое счетное множество Е, всю.n:у плотное
в области а (скажем, множество точек плоскости с рациональными
коор.n:инатами, лежащих в области (1). Точки множества Е будем
обозначать Zl' Z2' Z3' . .. (по nре.n:положению о счетности множес-тва Е
ero точки можно перенумеровать). И3 после.n:ователыlOСТИ (1) можно
выбрать по.n:после.n:овате,1ЬНОСТЬ
11.1 (z), 11,'1, (z), fl,З (z), ...
(2)
таким обраЗ0М, чтобы эта по.n:после.n:овательность схо.n:илась в точке
Zl Е Е. И3 nоследователыюсти (2) в свою очере.n:ь можно выбрать.
6]
ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ для РЕrулярных ФУНКЦИй
341
по.n:после.n:овательность
12,1 (z), 12,2 (z), 12,3 (z), .., (3)
так, чтобы она схо.n:илась еще и в точке Z2 Е Е, и т. д. Леrко
ви.n:еть, что .n:иаrональная после.n:овательность
{и (z), {2,2 (z), fз,з (z), ...
(4)
бу.n:ет схо.n:иться во всех точках множества Е.
Покажем теперь, что построенная нами .n:иаrональная последова
тельность у.n:овлетворяет условиям теоремы. Допустим противное.
Tor.n:a най.n:ется замкнутое множество В, лежащее в области а, на
котором наша после.n:ователыюсть не бу.n:ет схо.n:иться равномерно.
Это 0значает, что существует после.n:ователыюсть точек
ZI' Z2' Z3' ..., Zn Е В,
и такое число а> О, что при всех п ВЫПОJlНяется неравенство
Ifn.n (Zn) fn+m. n+т (zn) 1 а,
r.n:e т положительное число, зависящее от п.
Поскольку после.n:ователыlОСТЬ {Zn} СОСТОИТ И3 точек оrраничен .
Horo замкнутоrо множества, мы можем, не оrраничивая общности,
считать ее схо.n:ящейся I( точке Zo Е В.
В силу равностепенной непрерывности функций исхо.n:ной после
.n:овательности (1), а значит, и функций после.n:овательности (4) можем
найти такое число В> О, чтобы .n:ля всех Z И3 Kpyra I Z Zo J < В.
выполнялось неравенство
а
Ifn,n (Z) In,n (Zo) I < 8
(п == 1, 2, 3, ...).
Tor.n:a .n:ля всех точек Z И3 Kpyra ! Z Zo I < в будет выполнятьсSl
неравенство
а
Ifn,n (Z) fn+m, n-1m (z) I >2
(п>по (В»,
И3 KOToporo ЕИДНО, что после.n:овательность (4) не схо.n:ится ни в
о.n:ной точке kpYI-а I z Zo I < В. Это противоречит построению после-
.n:опательности (4) как после.n:овательности, схо.n:ящейся на множестве,
всю.n:у плотном в области О. Полученное противоречие .n:оказывает,
что построенная после.n:ователыlОСТЬ (4) обязана равномерно схо.n:иться
на каж.n:ом замкнутом множестве, лежащем в области О. Теорема
полностью доказана.
О.n:ним И3 важных сле.n:ствий принципа компактности является
сле.n:ующий результат, носящий lIазвание теоремы Вll1паЛll:
т е о р е м а 2, Пусть ФУЮСЦllll беС1Соuечной последовательности
(1) рnулярны в области Q и о?раничены там одни.м II тем же
числом. Если эта последовательность сходll1пся на 1Са1СОМ Лllб().
342
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕI'РАЛЬНОй ФОРМУЛЫ КОШИ
[rл.3
..множестве Е, llNсющем хотя бы одну предельную точ1СУ, ле:}fса
щую в обласпlll а, то она равномерно сходll/пся на lсаждом
заМlснутом Nножестве, лежаще..1f в областnи а.
Б силу теоремы 1 И3 после.n:ователыюсти (1) всеrда можно
вы.n:елить по.n:последопательность, равномерно сходящуюся на каж.n:ом
замкнутом множестве, лежащем в области а, Поэтому для доказа
теЛl,ства нашеrо утверж.n:ения достаточно убе.n:иться, что 'n:Be различиые
сходящиеся по.n:последовательности Bcer.n:a имеют о.n:ин и тот же
nре.n:ел. Допустим противное. Tor.n:a существуют 'n:Be подпосле.n:опа
тельности {/nk (z)} и {Jn" (z)}, схо.n:ящиеся к различным функциям
/(z) и g(z) соответственно. Вви.n:у равномерной схо.n:имости на I<аж
дой замкнутой части области Q пре.n:елыlЫС функции /(z) и g(z)
реrулярны в области а. Кроме Toro, в силу схо.n:имости всей после
.n:овательности {fn (z)} в точках нашеrо множестпа Е имеем, очеви.n:но.
равенства
f(z) == g(z) == lim 1" (z)
,, oo
(z Е Е).
Функция {(z) g(z) реrУЛЯрllа в области Q и обращается в нуль
во всех точках множества Е, имеющеrо пре.n:ельную ТОЧI<У, лежащую
в области а. По теореме е.n:инственности (см. теорему 2 2) эта
функция должна быть тож.n:ественным нулем. Таким обраЗ0М, пре.n:по
ложение о сущестповании 'n:BYx различных пре.n:елов по.n:после.n:ова
теЛЫlOстей не выполняется, Теорема .n:оказаllа.
7. Связь реrУЛIlРНЫХ функций с rармоническими
в 7 r л, 2 было .n:оказано, что pery ЛЯрllая функция беCl<онечно
.n:ифференцируема в области реrулярности. Отсю.n:а вытекает, что .n:ей
ствитеЛЫIaЯ и МIIЮlая части реrулярной функции имеют частные про..
изво.n:ные по х и по у всех порядков. Это 03l1ачает, n частности, что
уравнения КОlllИ Римана можно .n:иффереllцировать по Х и по у.
Используя равенства
д 2 l1 d 2 11
дх ду ду ох '
d"v д"1'
дх аУ аУ ох '
.лсrко получаем И3 уравнений Коши Римана урапнения
d 2 11 д 2 l1 д 2 v Q 2 v
дх" + ду' == о, д. + ду" == О.
(1)
Итак, .n:ействитеЛЫIaЯ и мнимая части реl"УЛЯрНОЙ функции являются
решениями уравнения
t.rp == О.
.r.n:e ИСНОЛЬ30ВaIЮ обозначеllие
д" д"
t. == дх2 + дУ 2 .
!i7]
свsiЗь РEfУЛЯРНЫХ функции С rАРМОНИЧЕСКИМИ
343
Дифференциальное уравнение в частных произво.n:ных /::щ == О
иrрает 60лыllюю роль в математической физике. Оно называется ypaB
HeНZleM Лапласа, а ero реlllения называются 2аР.АтничеС1CllМll функ
Цllями. Раз.n:ел математической физики. в котором изучаютсн rармони
ческие функции, называется теорией потенциала (в теории потенциала
изучаются rармонические функции не только 'n:BYX, 110 и 60льшеrо
числа переменных),
Мы ви.n:им, что С каждой реrулярной фУНКllией связаны 'n:Be rap
монические функции .n:ействитеЛЫlая и мнимая части этой ре1'УЛЯр
ной функции, Окззывается и обратно, с каж.n:ой rармонической функ
цией можно связать некоторую реrулярную функцию.
Мы .n:оrоворимся называть фУlllШИЮ и (х, у) 2аРЯОНllческой
в облаСl/l1l а, если она имеет в этой области непрерывные частные
произво.n:ные BTOpOr() поря.n:ка и у.n:овлетворяет уравнению Лапласа
I::.и == О.
Т е о р е м а 1. Пусть функция II (х, у) 2армонична в конечной
односвязной области а. ТО2да существует рпулярная в области Q
фуюсция f(z), для которой ll(x,y)==Ref(x+iy), При атом функ
ЦllЯ f(z) определяется по фУНКЦllll II (х, у) С точностью до Чllсто
MHll,ito20 постОЯННО20 сла2аеМО20.
Для доказательства рассмотрим интеl'рал
(.\', v)
V (х, у) == { l1 ( , Yj) d + 11. . ( , Yj) d1J}.
\.\'0' Уо)
Этот ИIIтеrрал не зависит от пути, поскольку функция 11 (х, у) Y'n:OB
летворяет уравнению Лапласа. Cor ласно теореме 2 3 r л. 1 функ
ЦШI V (х, у) имеет непрерывные частные производные, .n:ля которых
справе.n:ливы равенства
дп ди ди ди
дх ду , ду д.:С -
Таким обраЗ0М, ФУНКЦИИ и (х, у) и v (х, у) удовлетворяют системе-
уравнений КОlllИ Римана. ПQЭТОМУ ФУНКЦИЯ f (z) == и + iv является
pery лярной функцией н области О. Для завершения доказательства
теоремы остается заметить, что И3 равенства
Ref(x+iy) = O
мы JlerKO выво.n:им с помощью уравнений Коши Римана, что
:х 1т {(х I iy) О, Iтf(х + iy) = О,
1I, следовательно, что 1т f (х + iy) = cOn5t.
I'армоническую функцию v (х, у), связанную с rармонической функ
цией и (х, у) уравнениями J{ОIllИ Римана, назынают rаРМО11И 1 iеской
'344
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОИ ФОРМ.УЛЫ КОlllИ
[rл,3
-функцией, сопряженной с 2ар.Аtoнической функцией и (х, у), И3
теоремы 1 немедленно вытекает сле.n:ствие:
Для любой фУНКЦ1111 и (х, у), 2армонической в конечной oдHO
связной области О, существует сопряженная функция v (х, у),
2aP-ltoническая в области О. Пр11 этом функция v (х, у) oпpeдe
ляется с точностью до постОЯННО20 сла2аеМО20.
ДействителыlО, в качестве v можно взять Iшf(z), хотя проще
заметить, что функция v, сопряженная с 11, была построена в самом
,начале .n:оЮ'шатеJlьстна теоремы 1 с помощью криволинейноrо Иlпеl'рала.
Заметим еше, что условие 0.D:IЮСВЯ3IЮСТИ области О в теореме 1
.существенно.
Рассмотрим .n:na семейства кривых
и (х, у) == cOn8t,
v (х, у) == cOn8t,
T.n:e и и v сопряженные rармонические ФУНКЦИИ. При отображении
r.==f(z), r.n:e f(z)==n f iv, эти семейства переходят в семейстnа
прямых линий, параллеЛЫ1ЫХ I<оор.n:инатным осям в плоскости .
Поскольку конформное отображение сохраняет yr лы, эти семейства
ортоrональны, т. е, I<аж.n:ая крипая onHoro семейства пересеl<ает все
криные .n:pyroro семейства по.n: прямым У1'ЛОМ (впрочем, это пи.n:но и
непосреЛС'fвенно И3 уравнений Коши Римана). Иными словами:
ЛиНllll уровня сопряжеННblХ 2армонических функций образуют
ортО20наЛЬНblе семейства кривых.
В .n:аЛЫlеЙlllем нам бу.n:ет значителыlО УJlобнее записывать rapMo-
нические функции не как функции 'n:BYx .n:ействительных переменных Х
и у, а как функции o'n:Horo I<омплексноrо переменноrо z == Х I Ёу,
'сохраняя, o'n:HaKo, за частными произво.n:ными их прежний смысл,
В .n:аЛЫJейшем нам очень часто при.n:ется IIОЛЬЗ0ваться следующим
простым соображением:
Пусть функция и (z) 2аР,.IЮНl1чна в области О, а фУНКЦllЯ rp «()
рпулярна в области О 11 пР1иlll.lщет значения, лежащие в обла-
сти О. ТО2да функция и (rp ( » 2армонична в области О.
ДЛЯ .n:оказательства этоrо утверж.n:ения .n:остаточно заметИ1Ъ, что
Б окрестности любой точки Zo Е D мы можем, соrласно теореме 1,
написать и (z) == Ref (z). ФУНКЦИЯ f (rp ( » реrулярна в окрестности
каждой точки области О, Сле.n:ователыю, функция 11 (rp ( » rармонична
в области О.
8. Интеrрал Пуассона
Пусть функция /(z) реrулярна н Kpyre I z I <R и непрерывна
iII замкнутом Kpyre I z I R. Возьмем JIIобуlO точку
z==rei<jJ,
Ii 8]
ИНТЕrРАЛ ПУАССОНА
345
Jlежащую в Kpyre I z I < R. Соrласно интеrральной формуле f{ОШI-l
2"
{(z) === \ f(t) dt === \ f(Rei'f) Rei'f d'f
27tt ,) t z 2" . Rei'f rei<jJ ,
Itl R 11
или
2"
'<jJ 1 \ . Rei'f
{(re' ) === Ъ ,) f (Re''f) Rei'f rei<jJ d'f.
о
(1)
Леrко видеть, что точка
R 2 R 2 i
z* === . == ... е <jJ
z r
лежит вне Kpyra I z I R. Поэтому функция t f(t ;* реrулярна в круп '
I t I < R и по теореме J{ОIllИ
\ f(t) dt == О ,
'ЕоТ ,) t z*
Itl R
или
2"
] \ rei'f
О == ,) f (Rei'f) rei'f Rei<jJ d'f.
u
(2)
Вычитая равенство (2) И3 равенства (1), мы прихо.n:им к формуле
2"
i<jJ \ i'f ( Rei'f rei'f \
{(re ) 2" . f (Re ) Rei'f rei<jJ rei'f Rei<jJ ) dcp,
v
которая несложными преобраЗ0ваниями приво.n:ится к виду
2"
i<jJ ...1 i'f R 2 r" (
{(re ) 2 {(Re ) R" '2R ( t)+ 2 a 'f.
" rcos'f r
От.n:еJIЯЯ в обеих частях после.n:неrо равенства .n:ействитеЛЫIУЮ часть
и обозначая II (rei<jJ) == Re {(rei<jJ), получаем формулу
2"
i<jJ ...!... i'f R" r2 (
II (re ) 2 11 (Re ) R2 2R ( 1) 2 drp,
7t rcos 'p '1' ... r
о
(3)
которая называется llнтеi!ральной фОРАiУЛОЙ Пуассона или иHтe2pa
ЛОМ Пуассонq. Cor JIaCHO теореме 1 7 мы можем рассматривать
функцию II (re'<jJ) в этой формуле как ПРОИ3ВОJlЬНУЮ rармоническую
в I<pyre I z 1< R функцию.
346
СЛЕДСТВИ5/ ИНТЕrРАЛЬНОИ ФОРМ.УЛЫ коши
,
[fп.З ,
При r == О формула (3) принимает наиболее простой вид
2"
11 (О) == i7t 11 (Re;'I') d'f. (4)
II
Содержание этой формулы можно выразить сле.n:ующими словами:
ЗначеНlIе zaр.мОНlIчесlCОЙ ФУНlCЦ1l1l в центре КРУ2а (в котором
она rармонична) равно средnе.му аРllф.метllчесlCО.му ее значений на
ОlCружност/l этою крую.
Функцию V (z). сопряженную с функцией 11 (z), тоже можно Bыpa
зить через значения ФУlllЩИИ 11 на окружности Kpyra, Для этой цели
сложим равенства (1) и (2). Это .n:acT '
2"
{ ( ;'1' ) I \' f( R ;'1' ) ( Яе;'I' + re;'I' )
re Б;:- е Яе;'I' rei<j! re;'I' Rei<j! dr.p,
u
или
f (re;<j!) === 11 (rei<j!) + iv (re;<j!) ===
2"
I \' ( (R i'l' )+ ' (R i'l' » (1 + . 2Rrsiп(ф 'f') ) d
=== 2" 11 е lV е l Я 2 2Rr сos (1' Ф) + r2 ер.
[)
От.n:еляя мнимые части в обеих частях этоrо равенства и замечая, что.
соrласно формуле (4),
2"
2k V (Re;'I') dr.p === v (О).
о
получаем формулу
2"
;<j! I \' ;'1' 2Rr siп (ф 'f') d
v(re ) v(0)+ 27t .) /l(Re ) R2 2RrСОS(1' ф)+r' r.p.
[)
(5)
Скла.n:ывая эту формулу с формулой (3). получаем
2"
;<j! I ;'1' R2+2iRrsiП(' ; 'f') r2 d' + . О
/(re ) 2 Zl(Re) Я2 2Я ( ФН 2 1> lV()
7t rcos ф r
Ь '
2"
'. I \' ;'1' R2 r2+Rr(e;I<I' 'I" e il<j! 'I'»
lv (О) + 2" zl (Re ) Я 2 + r 2 i' Я/О (е; (' 'I" + е l '<j! 'I") dr.p
u
2"
. I \ ;'1' Rе;'I'+rе;Ф
17) (О) + 2 u (Re ) Яе''I' rе'Ф d({>.
ипи, вспоминая, что re;<j! === z, и обозначая Re;'I' === t.
f(z)=== \' 11(t) +zdt . (6)
27tl.) t z t
Itl R
Эта формула называется фор.мулой Шварца.
8]
ИНТЕrРАЛ ПУАССОНА
347
t '"
Разложим функцию t в ря.n:
z
со со
t + z =:::: I +- 2 ( ) " =:::: 1 +- 2 ( \" еin( нр);
t z .:.. \ t .:.. Я;
,, 1 n 1
умножим этот ряд на II (Rei'l') и проинтеrрируем почленно (это законно
ввиду равномерной схо.n:имости ряда). Tor.n:a получим
со
',1. а. ( r ) " .
f(re'1') =:::: iv (О) +- f +- -'- R cxneln<jJ,
,, 1
(7)
rде
2.
' .'
CX n ::::::: II (Re''I') е" ln'l' dep
1t .
О
(п::::::: О, 1, 2, .. .).
От.n:еляя в формуле (7) действительную и мнимую части, мы получаем
'n:Be формулы
со
II (rei<Ji)::::::: а.2' +- 1: ( )" (a n cos пф +- ь" sin пф), (8)
n l
со
v(rei<Ji):::::::v(O)+- I ( )"( ыlоsпф+-а" sin пф), (9)
,, 1
rде
2.
I (' .
a n === 7t .) II (Re''I') cos пер dep,
u
2..
1 \' .
ь " === J II (Re''I') sin пер dep.
о
J{аждый член ря.n:а u формулах (8) или (9) пре.n:стаВ.1яет собой
функцию, rармоническую во всей плоскости. Именно
r" cos пф::::::: Re z", r n sin п === Iш zn,
Тем самым формулы (8) и (9) .n:оставляют Ha 1 разложение произволь
ной ['ар:vюнической функции 11 и сопряженной с ней rармонической
функции v в ря.n:ы по наиболее простым rармоническим фушщиям.
Если в формулах (3) и (5) замеНИIЪ под интеrралом функцию
II (Rei'l') каl<ой либо непрерывной (или .n:аже КУСОЧ1ю непрерывной)
функцией g(ep), мы получим две функции
2..
"I R2 r2
II ( re'<Ji ) =:::: " g( w ) drn
1 27t. Т R2 2Rrcos(1' t)+r2 т'
u
2..
. i.} 1 \' ,_ 2Rr siп (<jJ 1')
vl(re ) 2п J g('!') R2 2Rrcos('J' tH r2 ([ер.
о
348
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМУЛЫ коши
[rл.3
Эти функции бу.n:ут rармоническими функциями в Kpyre I z I < R.
так как
и1 (z) == R.e 1 (z),
VI (z)== 1т f(z).
тде
f 1 \ t + z dt
1(z) 27ti J g(Ч') t z t'
Itl R
а функция 11 (z) В силу теоремы 2 7 rл, 2 реrулярна в Kpyre
I z I < R. В 1 О мы .n:окажем, что фУНКllИЯ 111 (rei<l') имеет предельные
значения g(Ч'), коrда r --+ R и --+ Ч" но преж.n:е, чем перехо.n:ить
к .n:оказательству этоrо факта, мы сформулируем ряд следствий И3
полученных BbIllle формул.
9. Следствия
с помощью интеrрала Пуассона можно .n:оказать ря.n: результатов
о rармонических фУНКllИЯХ, аналоrичных результатам. получаемым
для реrулярных ФУНКllИЙ с помощью интеrральной формулы КОlllИ.
И3 теоремы о среднем для rармонических функций (формула (4)
пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа) с помощью тех же рассуждений. что и при
доказательстве принципа максимума модуля реrулярных функций,
выводим ПРИНllИП максимума и минимума для rармонических функций:
т е о р е м а 1. ФУЮСЦllЯ, 2ар.мОНllческая внекоторой областll а,
не .может дости2ать во внутренней точке этой области ни
свое20 Нallбольше20, НZl свое20 наll.меньше20 значения, если она
отЛllчна от тождественной постоянной.
Аналоrично теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся по
следователыюстях реrулярных функций может быть перенесена нз
равномерно схо.n:ящиеся последовательности rармонических фУН1щий.
Именно, справе.n:лива следующая теорема, носящая название теоре.мы
Тарнака:
т е о р е м а 2. Пусть последовательность ФУНКЦllЙ
и1 (z), и (z). ..., (1) .
2ар.моничеСКllХ в области а и непрерывных в ее за.мыкаЮlll а,
равно.мерно сходlllпся на 2ранzще области а к ФУНКЦllll g (z) (оп
ре.n:еленной на rранице области а), Т0 2да последовательность (1)
равно.мерно сходится в за.мыкаНZlll а области а к ФУНКЦllll, 2ар-
.мОНZlческой в областll а и непрерывной в ее за.мыкаНllll. На 2pa
нице области а эта ФУНКЦllЯ совпадает с ФУНКЦllей g(z).
Для .n:оказатеJlьства этой теоремы замечаем сначала, что в силу
принципа максимума и минимума равномерная сходимость после.n:о
вательности (1) на rраНИllе области а влечет аа собой равномерную
схо.n:имость этой последователыюсти в замыкании области а. Поэтому
9)
СЛЕДСТВИЯ-
349
пре.n:ельная ФУНКЦИЯ после.n:овательности (1) непрерывна в замыкании
области О. Для .n:оказательства I'армоничности пре.n:ельной ФУНКЦИИ
в области О воспользуемся интеrралом Пуассона. Возьмем произволь
ный Kpyr, лежащий в области О. f{аж.n:ая ФУНКЦИЯ lln (z) может быть
представлена Иlпеrралом Пуассона через ее значения на окружности
этorо Kpyra. Перехо.n:я к пределу по.n: знаком инте['рала (что заКОНl10
ввиду равномерной сходимости), получаем, что и пре.n:ельная функция
представляется в каж.n:ом Kpyre (лежащем в области О) интеrралом
Пуассона через ее значения на окружности этоrо Kpyra, Но в конце
преды.n:ущеrо пара,рафа мы отмечали, что функция, представимая
интеrралом Пуассона, является rармонической функцией в COOTBeT
ствующем Kpyre. Таким обраЗ0М, мы .n:оказали, что предельная функ
uия последовательности (1) rармонична в окрестности любой точки
,области О. Теорема доказана.
с помощью интеrрала Пуассона докажем сейчас одну теорему
-о после.n:овательностях pery лярных фушщий, которая нам приrодитс я
в .n:аJlьнейшем.
Т е о р е м а 3, Пусть фУШСЦlll1 последовательностll {UJ n (z)} pe2Y
лярнbt в обласпZll О, II пусть эта последовательность сходllтся
JC нулю в одной точке областll О. ЕСЛll последовательность 2ар-
ЛОНllчеСКllХ фун1ClЩЙ lln (z) === Re UJ n (z) равножерно сходlllпся к нулю
во всей областll О, то последовательность {UJn(z)} paBHO.AtepHO
сходlllпся к нулю на любоя за.lfкнутом мно:нсестве, лежащем
(J областll О.
Докажем сначала, что если после.n:оватеJIЫЮСТЬ {UJ n (z)} схо.n:ится
в точке Zo Е О I( нулю, 1'0 она равномерно сходится к нулю в любом
Kpyre С центром в точке zo' лежащем в области О. Действительно,
в силу формулы Шварuа (см. формулу (6) 8)
I \' t + z dt ,
ш n (z) === 27ti J lln (t) t z t +- l lт ш n (zo),
i t Zo I===R
если только Kpyr I t Zo I < R лежит в области О, а точка z внутри
этоrо Kpyra. По, условию UJ n ('<0) --+ О, а значит, и lт UJ n (zo) --+ О. Далее.
считая точку z лежащей в KpYI'e I t Zo ! R 13, мы получаем
неравенство
I UJ n (z)! : UJ n (zo)! + 2R'O 'о тах ! lln (t) 1,
it Zol R
И3 KOToporo ВИ.D:IЮ, что наша после.n:овательность равномерно CTpe
мится к нулю В Kpyre I t Zo I R а. Так как ЧИСJIO R МОЖНО
В3ЯТЬ равным расстоянию от точки Zo .n:o rраницы области О, а число
13 > О сколь yro'n:Ho малым, Hallle утверж.n:ение доказано. Для ДOKa
зательства теоремы остается заметить, что .n:оказаlПюе выше утверж
.n:ение rарантирует отсутствие в области О rраlIИЧНЫХ TO'leK множе
Ства. на котором после.n:овательность (1) равномерно сходится к НУJIЮ.
350
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛhН()й ФОРМУЛЫ КОlllИ
[rл.3
Действительно, в любой окрестности такой l'раничноЙ точки .n:олжны
находиться точки caMoro множества, т. е. точки, в которых после.n:о
вательность (1) схо.n:ится к нушо. Но Tor.n:a этому множеству прина.n:
лежит (соrласно .n:оказанному Bblllle) и любой Kpyr с центром в этой
точке, лежащей в области О.
в заключение докажем полезные lIеравенства .n:ля ФУНКЦИЙ
2..
1 \' Rrcos('f' t) r"
g( ) R" 2Rrcos('f' t)+r" d'f
о
(2)
и
2..
\'. Rrsiп(t 'f') r" d'
'it ., g(:p) R" 2RrСOS('f ф)+r" l'
о
(3)
в предположении, что функция g(;o) у.n:овлетворяет неравенству
ig('f)I 1
(О 'f 21t).
(4)
Пре.n:положИМ для опре.n:еленности, чтО выражения (2) и (3) положи
тельны. Tor.n:a можно утверж.n:ать, что наибольшее значение интеrралов
.n:остиrается в случае, коrда g(;o)==+ 1 при тех <р, rде второй COMHO
житель по.n:интеrралыlOЙ Функции положителен, и g'( ер) == 1 там, r.n:e
этот со:нножитель отрицателен. Так как
R 2 2Rr cos (-:р ) + r9. R9. 2Rr + r9.>O,
остается рассмотреть ЛИlllЬ ЧИСJlИтели вторых множителей.
Итак, интеrрал в правой части равенства (2) при выполнении
условия (4) .n:остиrает CBoel'O наибольшеl'О значения, Kor.n:a
g(;o)== 1
r
при cOS('f 'f» Я '
r
при COS ('f 1jJ) Я '
g('f)== 1
Вычисляя соответствующий интеrрал, мы получаем неравенство
2..
1 \' Rrcos('f <J;) r" 4, r
J g('f) Я" 2RrСОS('f' ф)+r" d'f аrсsш .Я '
о
(5)
COBepllleHHo аналоrично .n:оказывается неравенсТlЮ
2..
( ' ) E<r sin (t 'f) d' < . 1п R+r
1: g l' Я" 2Rr cos ('!' ф) + ," 'Р 'it R r'
u
(6)
'!j 101
РЕШЕНИЕ 3АДАЧН ДИРИХЛЕ ДЛЯ KPyrA
351
10. Решение за.n:ачи Дирихле .n:ля KpYI'a
в 8 мы показали. что интеrрал Пуассона можно ИСПОЛЬЗ0вать
для восстановления rармонической в Kpyre ФУНКЦИИ по ее значениям
на rранице этоrо Kpyra, Сейчас мы покажем, что интеrрал Пуассона
можно ИСПОЛЬЗ0вать и .n:ля доказательства существования такой функ
ции, т, е, .n:ля решения так называемой задачи Дllрихле .n:ля Kpyra,
Преж.n:е чем перейти к делу, мы скажем несколько слов об общей
постановке задачи Пирихле,
Пусть нам .n:alla область Q и функция g(z), определенная и непре
рывная на rранице области О. Задача ДllР11хле, или первая краевая
.задача теории потенциала. состuит в построении функции, rармони
-ческой в области Q и непрерывной в ее замыкании О, которая на
rранице области Q совпа.n:ала бы с заданной функцией g(z).
Т е о р е м а 1, Задача ДиР11хле для 02раНllченной области Q
и,меет не более одНО20 решения.
ПействитеJIЬНО, пусть 1/) (z) И 112 (z) два реlllения задачи Пирихле
{с одной и той же ('раНИЧIЮЙ функцией g(z», Tor.n:a функuия 11 (z)===
и) (z) 112 (z) ('армонична в области О. непрерывна в ее замыка
нии Q и во всех точках rраницы области Q равна ну JIЮ. Со('ласно
принципу максимума и минимума для rармонических функций и (z) = О.
так кш{ и максимум и минимум функции 11 (z) должны дости('аться на
rранице области Q и потому равны нулю. Поэтому любые два pellle-
lШЯ за.n:ачи Дирихле совпадают, и теорема 'n:OI{азана.
Таким обраЗ0М. решение задачи Дирихле всеrда единственно. и
вопрос ЛИlllЬ В существовании ее реlllения, Покажем сейчас существо
вание реlllения задачи Пирихле .n:ля случая, Jшrда область й это
J{pyr I z I < R, и напишем явную формулу для ее реlllения.
Т е о р е м а 2. Функция
2..
'1 I r R'-.r"
11 (rе'Ч')===:&' .) p(1i) R" :ЩrСОS('I' <jJ)+r" d1i
/)
(1)
является решение.М задаЧll Дllрllхле в КРУ2е I z I < R с zраН11Ч Hot1.
функцией g===p (qJ). ИНЫ.ми словаJflll, для любой непрерывной фУf!1С
Ц1lll p(qJ) функция (1) является zаРМОНllческой фУНI(l ией в КРУ2е
Iz! <по которую _ffОЖНО nр должить по непрерывности на зам
ICI-/утый КРУ2, nОЛОЖ11В и (R 'Ч') == р ( ).
Сначала заметим, что для случая, ко('да ФУНКLЩЯ р (qJ) является
ТРИl'OIlОметрическим мноrочленом lIи.n:а
т
11 (qJ) === 02' + a n cos nqJ + b n sin nqJ,
п !
(2)
352
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОП ФОРМУЛЫ КОlllИ
[rл.3
утверждение теоремы заведомо справе.n:ливо. Действительно, функция
m
. а '\1 ( r ) n
II (re''') === 2. +..;,. R (a n cos nqJ . b n sin nqJ)
n 1
(3)
является rармонической во всей плоскости, как сумма конечноrо числа
фУНКllИЙ
r n cos пер === Re zn, r n sin nqJ === 1т zn
(z === re i ,,),
.'армонических во всей плоскости, Соrласно доказанному в 8 эта
функция II (z) может быть восстановлена по ее значениям на окруж
ности I z 1=== R с помощью интеrрала Пуассона
2"
i<j; 1 \' i" Я" r"
1l (re ) 2п 1l (Re ) Я" 2Я/' COS ('( tjJ) + r" dqJ.
о
НО И3 формул (2) и (3) ви.n:но, что 1l (Re i ,,) ===Р (qJ),
Для .n:оказательства утверждения теоремы 2 в полном объеме BOC
пользуемся теоремой ВейеРlllтрасса о том, ЧТО ПРОИ3ВОЛЫlУЮ непре
РЫБНУЮ функцию, определенную на всей оси и имеющую перио.n: 27t,
можно с любой точностью приБJlИ3ИТЬ триrонометрическим МНОI'очле
ном вида (2). Пусть {Pm(qJ)} последовательность триrонометрических
мноrочленов вида (2), равномерно сходящихся к задашlOЙ непрерын
ной функции Р (qJ). Обозначим через 11т (z) решение задачи Дирихле
в Kpyre I z I < R с rраничной функцией Рт (qJ). СOl'ласно доказанному
ранее это реlllение существует и может быть представлено в виде
2"
i<j; l' Я' r"
1l т (re )=== 2п Рт (9) Я" 2Rr cos ('( y) +r" d9,
[)
Соrласно теореме 2 9 последовательность {1lт (z)} равномерно cxo
дится Н Kpyre ! z I R к функции ll(Z), rармонической Б I<pyre Izl<R
и непрерывной в Kpyre I zl R. Ясно, что функция 1l (z) является
реlllением за.n:ачи Дирихле с rраничной функцией Р (qJ) и что для нее
имеет место формула (1). Теорема полностыо доказана,
3 а м е ч а н и е. Реlllение задачи Дирихле в Kpyre I z 1< R. с rpa
ничной функцией Р (qJ) можно также представить в виде
со
. а ( r ) n
II (re'<j;) === 2. + L Я , (a n cos ntjJ + b n siп ntj;),
n 1
(4)
rде
2"
a n === - \' Р ( qJ) cos nqJ dqJ,
1t
U
2"
1 \'
b n === J Р (qJ) siп nqJ dqJ.
о
ll)
rРАНИЧНЫЕ 3НАЧЕНИЯ ИНТЕrРJ\.ЛА ТИПА КОlllИ
353
Действительно, после Toro как докззана формула (1) и равенство
р (1') == II (Rei'P), мы можем ВОСПОЛЬЗ0ваться формулой (8) 8.
Несколько уточнив постановку за.n:ачи Дирихле на случай разрыв
ной .'раничной функции, мы моrли бы тем же MeTo.n:oM доказать, что
интеrраJI Пуассона .n:aeT реlllение задачи Дирихле в Kpyre I z I < R и
ДJIЯ любой оrраниченной интеrрируемой функции. Не бу.n:ем сейчас
останавливаться на этом вопросе, так как нам еще придется вернуться
к нему в rл, 6, .'.n:e бу.n:ут Докззаны БОJlее общие теоремы о реlllении
задачи Дирихле.
11. rраничные значения интеrрала типа Коши
Интеrралыыя формула 1{0lllИ позволяет восстановить ре.'улярную
функцию внутри области по ее значениям на .'ршпще этой области,
O'n:HaKo rраничные значения реl'УЛЯрНОЙ функuии нельзя задавать про
извольно, Действительно, по теореме 1 1 О об е.n:инственности реп)е
ния за.n:ачи Дирихле функuия Re j (z) е.n:инственным обраЗ0М опреде
ляется по ее значениям на .'ранице оБJIaСТИ, а по функuии Re j(z)
функuия Imj(z) (а значит, и сама функция f(z)) определяется с точ
ностью до ПРОИ3ВОJlЬНОЙ аддитивной ПОСтоянной. Поэтому произвол
в за.n:ании значений реrулярной функции на rранице области заведо ю
не Болыll,, чем Произволыюе задание .n:ействительной части этих 311a
чений (и еще одной постоянной). Мы видели, что в случае, K01'.n:a
область является KPYI'OM, произвол именно таков, В даJlьнеЙlllем по
кажем, что и для любых О.n:носвязных областей можно ПРОИ3ВОJlЬНО
за.n:авать значения .n:ействителыlOЙ части на I'ранице области, Но уже
сейчас мы в состоянии вывести необхо.n:имые и ДОстаточные условия,
которым должны удовлетворять rраничные значения функции, pe.'y
лярной в односвязной области, OI'раниченной простой куСоч.ю r ладкой
кривой. С этой целью будем исследовать llнте2рал типа КОШll
f(z)== l r 'f (t) dt,
27t1 J t z
с
(1)
который, как мы показали в 7 r JI. 2, определяет функцию, pery
лярную в любой оБJlасти, не содержащей точек кривой С.
Для далы еЙlllеrо нам пона.n:обится понятие 2лаВНО20 ЗначеНllЯ
интеrрала в смысле КОlllИ. Это ПОlIятие относится к несобственным
инте.'ралам, расходящимся в обычном смысле,
Пусть С простая кусочно rлаДI{ая кривая, а С р ее часть, лежа
щая вне Kpyra I z С I < р. Если предел
Нт S 'f (t) dt (С Е С)
p o 27t1 t C
С р
12 А, rуРВНц, Р, l(ypaHT
354
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОй ФОРМ.УЛЫ КОlllИ
[rл. э
существует. то мы бу.n:ем называть ero 2лавным значеНllем llHlIle2
рала (1) в смысле КОШll.
Т е о р е м а 1. Пусть С простан замкнутан КУСОЧНО 2ладкан
KpllBaH, II пусть фУНКЦllЯ 'f' (t), определенная на этой KPllBOii, yдOB
летворяет УСЛОВllЮ Тёльдера
I 'f' (t)) 'f' (t 2 ) I м I t 1 t 2 11'-
(f1 > О),
ТО2да i!лавное значеНllе lттеi!рала (1) в смысле !{ОШll существует
для любой тОЧКll С Е с. ЕСЛll В точке С KpllBaH С llMeem Kac'!:.
тельную, то
[ ер (t) d t 1 ер (t) ер ( ) d t + ( V )
.') tC ===2" ( 2 'f' l,
nt С nt ё
(первый интеrрал в правой части равенства является СХОДящимся
несобственным интеrралом в обычном смысле, что сразу видно И3
условия I'ёльдера для функции 'f' (О).
Для .n:оказательства напишем
\ ер т . dt === (' ер (t) 'f ( ) dt + 'f' (С) . (' t C! . .. ,
Jt d ( .)"
С р р С р
При р ---+ О первый интеrрал 11 правой части имеет пределом упомя
нутый несобственный инте.'рал. Поэтому нам остается лишь доказать
существование пре.n:ела последнеrо слш'аемOl'О, При достаточно Ma
лых р крипая С пересекает окружность I t С 1=== р лишь в 'n:BYX
точках. ДУ.'У окружности 1 t С I === р, соединяющую эти две точки
n том же направлении, что и кривая ер, и лежшцуlO в области, o.'pa
ниченной кривой С, обозначим через 1 р ' По теореме I{ОIllИ
t Еи === {dt ( .
СО 'р
Но последний интеrрал, кш( нетрудно видеть, равен ia. (р), r.n:e а. (p)
Уi'ловая мера ду.'и 1 р ' При F ---+ О величина а. (р) стремится, очевидно,
к yr лу меж.n:у касательными к кривой С в точке С (первая касатель
ная НрОfЮ'n:ИТСЯ к участку кривой С, следующему за точкой С, а BTO
рая.. к участку до точки С, причем направление первой касателыlOЙ
совпа.n:ает с направлением кривой С, а направление второй KaCaTeJlb
ной нротивоположно направлению кривой), Таким обраЗ0М, интере
сующий нас пре.n:ел, а следовательно, и Иlпеr'рал в смысле rJIaB
Horo значения существуют. Требуемая формула сразу получается,
если заметить, что для Heyr ловых точек кривой С у.'ол между упо
мянутыми касательными в точке С равен 'j;, Теорема полностью
доказана,
Т е о р е м а 2, Пусть С простан замкнутая 2лад,сая Kpll
вая, II пусть функция 'f' (t) по прежнему удовлетворяет УСЛОВllЮ
Il]
rРАНИЧНЫЕ 3НАЧЕНИЯ ИНТЕrРАЛА ТИПА КОШИ
355
Тёльдера (для удобства рассуж.n:ений с показате.'1е:н 1-", заключенным
меж.n:у нулем и е.n:иницей, что не оrраничивает общности), Интezрал
1 ( ) == \' 'f (t) y dt
j t 'o
С
в С-/lысле 2,zaBH020 знаЧСftllЯ по Ноши (существующий СОI'ласно тео-
реме 1) представляет непрерывную на кривоЙ С 'фУ1iКЦllЮ.
СОI'лаСIЮ теореме 1 при всех С Е С
I( ) == S 'f (t =i Ю dt + 11i<рЮ
с
(поскольку }(рИI3ая С rла.n:кая, т, е. не имеет УI'ЛОI3ЫХ точек), Поэтому
нам остается .n:оказюъ, что сходящийся несоБСТВtННЫЙ интеrрал
( EC)
10 ио) == \' 'f (t) 'f ио) dt
J t t o
С
представляет собой непрерывную функцию ТОЧЮ1 t o на кривой С.
Обозначим через С р часть КРИВОЙ С, лежащей вне KpYI'a i t t o I < (1,
а через ер часть КрИВОЙ С. лежащей I3нутри этоrо Kpyra, Тоrда мы
можем написать
rде
10 (t l ) 10 (t o ) == 11 +- 11 + 1:1'
1 == \' { 'f(t) 'f(tl) 'f(t) 'f(tO) } dt
J j t t I t t o J
.
Р
\' dt
12==[<p(to) <p(tl)] j t to'
с
р
1з== [<p(t) <p(tJ)]( t 1 t] t 1 tJdt.
с
р
Возьмем
р == 21 t l t o 1.
(2)
При .n:остаточн,О малых р справе.n:лива оценка
/111 М { I t tll"' 1 I dt' + I t t o ,"' 1 I dt I} М 1 р"'.
. .
р р
Далее, при р о имеем t dt t o 11Ё, и потому,
р
I 12/ м' I t J t o '''' М 2 р"',
Наконец, замечая, что на С р при .n:остаточно малых р И3 УСловия (2)
следует неравенство
0 < 't to I
a It tll A<oo.
12.
35б
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrрJ\.ЛЬНОй ФОРМ.УЛЫ коши
[rл, 3
получаем
11з1 м I t t 1 1['-
ё
р
Itl toi \ dt;
It tollt tll I
M"p I t t o 1['- 21 dt I М з р['-,
С р
Таким обраЗ0М, при достаточно малых I t 1 t o I имеет место Hepa
венство
11 (tt> 1 (t o ) I < Mil t 1 t o 1['-,
откуда и вытекает непрерывность интеrрала 1 (t o )'
За:\lетим, что мы .n:оказаJIИ не только непрерывность интеrрала 1 ( ),
но и ТО, что он удовлетворяет условию I'ёльдера с тем же nоказа
телем f1, 0< f1 < 1, что и функция 'f' (t).
Ясно, что, предположив кривую С КУСОЧНО I'ладкой, мы также
сумели бы .n:оказать непрерывность интеr ' .ла
10( ) === 'f (t = (С) dt
С
( E С),
но функция
1 ( ) === ;е (t dt === 10 (о + 'f' ( ) t d\
С с
уже не была бы непрерывноЙ, В уrЛОIJЫХ точках кривоЙ С эта функ
ция имеет разрывы.
Вернемся к HallleMY интеrралу типа 1{0lllИ (1). Если С простая
замкнутая КРlшая, то этот интеrрал опре.n:еляет две реrулярные ФУIIК
ции. O'n:HY {+ (z) В области D+' внутреннеЙ по ОТНОlllению к кри
воЙ С. И вторую f (z) в области D , внеlllнеЙ по ОТНОlllению к
кривоЙ С. I{роме TorO, если функция 'f' (t) у.n:овлетворяет условию
rёJlь.n:ера
I 'f' (t 1 ) 'f' и.д I м i t 1 t 2 1['-
(f1 > О),
(3)
на кривоЙ С определена функция
h ( ) === } \ « (t) dt
2пl ., t C
с
( EC)
(интеrраJl понимается в снысле I'JlaBHOro значения по I{о III и), которая
соrшJCНО теореме 2, непрерывна на этоЙ кривоЙ. Мы установим сеЙ
час СВIIЗЬ меж.n:у функциюlИ :р (t) и h (t), опре.n:еленными на кривой С,
и I'раничными значениями функциЙ {+ (z) И { (z), определенных в
областях D+ и D . имеющих кривую С их общеЙ rраницеЙ.
I1]
rРАНИЧНЫЕ 3НАЧЕНИЯ ИНТЕrРАЛА ТИПА I\ОШИ
357
т е о р е м а 3. Пусть С простая 2ладкая замкнутая кривая,
и пусть фУНКЦ11Я 'f' (t), определенная на КрllВОЙ С, удовлетворяет
на ней УСЛОВllЮ Тёльдера (3). ТО2да функциll [+ (z) II f (z), опре-
деленные инте2ралом (1) в областях D+ 11 D , имеющих кривую С
их общей 2раниЦей, можно продолжить по непрерывности на Kpи
вую С. При атом на кривой С имеют место соотношения
{+ ( ) === h (с) + i 'f' (с),
[ Ю === h Ю 'f' ( ).
(4)
Для доказательства возьмем произволы ую точку z Е D+ И обо-
значим через t o ближаЙlllУЮ к точке z точку кривой С (если их
несколько, то любую И3 них), Имеем
{+ ( z ) === (' 'f (t) 'f ио)
21tt . t z
ё
Последнее слаrаемое в правой части равно 'f' (t o ) (например, по тео-
1
реме о вычетах), а первое обозначим через 21ti К (z, t o ), Оценим раз-
ность К (z, t o ) К (t o ' t o ) при достаточно мальiх значениях I z t o 1.
с этой целью обозначим опять через С р ту часть кривой С, которая
лежит Ене кру.'а I t t o i < р, а через ер ту ее часть, которая лежит
внутри этоrо Kpyra. При любом р справедливо равенство
К (z, t o ) К (t o ' t o ) === 1, + 12'
+ 9 ио) \
21ti t z .
rде
B03MleM теперь
1 === (' { '? (t) '? (t o )
, J t z
Е
Р
12 === ['f' (t) 'f' (t o )] ( t 1 z t 1 tJ dt.
с
р
'f (t) 'f ио) } dt,
t to
р === I z t o 1.
Тоrда при .n:остаточно малых р имеем
I 1,/ 2 I 'f (t)t = oиo) 11 dt I М,рр.,
Ер
так как при .n:остаточно малых р можно считать, что на С выпол-
няется неравенство I t t o I 2 I t z 1, Аналоrично
t I М \ I t to 1P. 1 1 dt I 2М \ I t t 1p. 2' dt М р.
I 12 / I z о,' d I t z I I Р d о; I I 2Р'
р р
Следовательно, при достаточно малых р имеем
I к (z, t o ) К (t o ' t o ) I М' рр. === м' I z t o {.
358
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrр)\льнои ФОР1VIУЛЫ КОlllИ
[rn.3
Таким обраЗ0М, мы показали, что .D:JIЯ всех z, Jlежащих в области D-r
.n:остаточно близко J{ кривой С, имеет место неравенство
! f* (z) К (t o ' t o ) ер (t o ) : м' I z t o ;tJ.
(t o БJ/ижайшая к точке z точка КРИВОЙ С). Но, как было доказано
Б теореме 1,
1 7 (t) ф ио) 1
К (t o ' t u ) ===2 t t dt === h ио) 'f' (t o )'
1t1 ё о
Следовательно,
! f* (z) 11 (t u ) ер (t o ) \ м' I z t o itJ.. (5)
Пусть теперь точка z Е D+ стремится к точке <: Е с. Tor .n:a, оче-
БИ'n:НО, и t o , И3 непрерывности функций 'f' (t) и h (t) сдедует, что
h (t o ) h Ю и ер (t o ) 'f' (:), Поэтому И3 фОРМУJ/Ы (5) следует, что
1'+ (.2') /z (:) + ер ( ) (z :).
Те:\1 самым доказано, что функция f" (z) имеет предел при стремлении
точки z Е D+ К любой точке <: rраницы области ас, и что этот пре-
дел, КОТОрЫЙ естественно обозначить {+ ( ), равен h (О + 'f' ( ). Та-
ким обраЗ0М, чаСIЪ утперж.n:ения теоремы, относнщаяся к функции
f+ (z), .n:оказана, COBeplllellllO анаJIOПIЧНО доказывается и та часть
утвержденин теоремы, которая относится к функции { (z).
Результат, аналоrичный теореме 3, можно доказать и дЛН КУСОЧИО-
rладкой кривой, При ЭТОМ В точках, rде кривая С имеет KaCaTeJlb-
ную, фОр:l'lУЛЫ (4) сохраняются. В УI'ЛОВЫХ точках формулы (4) сде-
.n:yeT заменить формулами
1'+ со === h (:) + 21t ') а 'f ( ),
1t
(4*)
а
{ ( ) === h ( ) 21t 'f (<:),
З.n:есь а уrол, образуемый участками КРИВОЙ С в точке 1: (рассмат-
ривае:l'lЫЙ со стороны области п+),
Заметим еще, что формулы (4) или (4*) остаются В силе и для
случая, коrда кривая С не является замкнутой КРИВОЙ, В этом случае
ИIIТеrрал 1{0lllИ (l) представляет одну реl'УЛЯрНУЮ функцию, и под
1'+ ( ) сле.n:ует понимать предельное значение этой функции при стрем-
лении ТоЧКИ z к точ}(е <: Е С с левой стороны, а под f ( ) пре-
.n:еJ/ыюе значение этой ФУНКЦИИ при стреМJlении z к 1: с правой cтo
РОНЫ от КРИВОЙ. ДЛЯ доказательства формул в случае незамкнутой
КРИВОЙ С не нужно никаких новых соображений. Достаточно заме
тить, что добавление к КрИВОЙ С участка, не содержащеl'О точку <:,
II]
rРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕrРАЛА ТИIIА КОШИ
359
меняет интеrрал (l) на слаrаемое, непрерывное (и .n:аже реrулярное)
в точке С.
И3 теоремы 3 леп(О вывести необхо.n:имое и достаточное условие
Toro, что ФУНКЦИЯ 'f' (t) (у.n:овлетворяющая условию I'ёльдера) является
rраНИЧIlОЙ функцией некоторой функции, реrулярной в области, orpa
ниченной l{рИВОЙ С и непрерывной в замьшании этой области. Дей-
-ствителыю, пусть 'f (z) эта реrулярная функция. Соrласно интеrраль-
ной формуле КОlllИ функцию ер (z) можно представить интеrралом
ep(Z)=== 2 i t'f(t )zdt (z Е D+).
ДЛЯ z,. лежащих в области D , этот интеrрал должен быть равен
нулю. Следовательно, в обозначениях теоремы 3
j+ ( z)===w(z), f (z)===O, hЮ=== \ dt
т 21t1 d (
(последний интеrрал понимается в смысле rлавноrо значения по КОlllИ).
Поэтому формулы (4) .n:ают нам условие на ер (t): .
ер ю === ;i : (t)[ dt (С Е С). (6)
Тем самым доказана
Т е о р е м а 4. Пусть С простая 2ладтcuя за.мкнутая кривая.
Для тО20 ч.тобы функция ер (t), определенная на кривой С и yдOB
летворяющая условию rёльдера (3), совпадала на кривой С с функ
цией, РС2улярноЙ в области, 02ранuченной ТСрUВОЙ С, l/ непрерывной
в замыкаЮlll этой облаСТпll. необходlUСО l/ достаточ.но, чтобы
фУНКЦl1Я ер (t) удовлетворяла Сl/Н2УЛЯРНОМУ интС2рально.му урав-
неНllЮ (6).
И3 .n:oKa33HHbIx выше результатов можно получить еще одно дo
I{азательство Toro, что интеrрал Пуассона дает реlllение задачи Ди
рихле .n:ля Kpyra I z 1< R. Действительно, возьмем в качестве кри-
вой С окружность I z I === R и рассмотрим функцию
u (z) === 'f (t) dt с 3 (t). dt, (7)
21t1 t z 21t1 J t z*
с
r.n:e 'f' (t) за.n:анная на окружности I t I === R .n:ействитеЛЫIaЯ Функция,
а z* === R2jz. Kor.n:a точка z стремится к точке С окружности t I === R
изнyrри, точка z* стремится к той же точке С снаружи. Поэтому
Iiт'! \ 'f(t) dt===j+Ю,
z t 21t1 t z
Вт 2 \ t 'f (t) * dt === j (1:),
z t 1t1 Z
360
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНUй ФОРМУЛЫ 'КОlllИ
[Т'JI,3
формулы (4) дают
lim { , . 'f (t) dt '/' 'f (t) * dt } === ер Ю.
z c 2..1 t z 101 t z
С С
Таким обраЗ0М, функция, определенная формулой (7), имеет пре.n:ель
ные значения на окружности, равные 'f' (С). С .n:руrой стороны, вспо
l\lИная BbIBO'n: интеrрала Пуассона в начале 8, мы ви.n:им, что функ
цш! (7) представляет собой как раз интеrрал Пуассона, написанпый
.n:ля rраничной функции ер (t),
Стоит замепlТЬ, что приве.n:енное докззатеJIЬСТВО (в отличие от
полученноrо ранее) ИСПОJlьзует дополнительное предположение, что
функция 'f' (t) У.n:ОВJIетворяет условию I'ёJlьдера,
12. Течения ЖИДКОСТИ
Как мы уже rоворИJIИ, теория потенциала тесно связапа с рзз
личными задачами математической физики. Мы не собираемся з.n:есь
изл3!'ать приложения теории аналитических функций к математиче
ской физике и потому пе буде:\>I rоворить об этих САЯ3ЯХ сколько
нибу.n:ь подробно. O'n:HaKo, при изложении тех или иных наводящих
соображений нам будут необхо.n:имы некоторые наrлядные физические
нре.n:ставления, относящиеся к аналитическим функциям.
Рассмотрим плоское векторние поле н области О плоскости (х, у),
т, е, систему двух функций
Ьх===Р(Х' у), Dy===q(x, у),
определенных н каж.n:ой точке области О (мы бу.n:ем предполаrать
эти функции непрерывны:ю! и .n:аже .n:пажДЫ непрерывно .n:ифференп.и
руемыми в области О), Эти функп.ии естественно рассматривать как
составляющие иекотороrо вектора Ь. Векторное поле можно рассмат-
ривать как математическое описание 'n:OBOJlbHO lllирокоrо класса физи-
ческих величин (скорость, напряженность электрическOI'О поля, rpa-
диент температуры и т. .n:,). В теории аналитических функций исто-
рически сложился обычай rоворить о поле скоростей плоскопарал-
леJIЫI01'0 течения несжимаемой жидкости, Поскольку мы считае:\1
вектор D не зависящим от времени, то речь идет о стационарном
течении жи.n:кости,
Рассмотрим течение жи.n:кости, свободное в области О (которую
предположим односвязной) от источников. Физический смысл этоrо
термина ясен: через I'ранип.у каждой области, лежащей внутри обла-
сти О. должно вытекать столько же жи.n:кости, сколько втекает в нее.
Напишем сейчас и математическую формулировку этоrо условия,
Пусть С простая замкнутая кривая, лежащая в области О, и
пусть х === х (8), У === У (8) параметрическое уравнение этой кривоЙ,
в котором за параметр принята ДJlИпа дуrи I<РИВОЙ, отсчитывае:\lая
121
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
361
от какой либо ее точки. Возьмем какую либо точку (х, у) на I(РИ
вой С и бесконечно ма ую 'n:Y1'y, со.n:ержащую эту точку. Количество
жи.n:кости, вытекающей И3 области D, оrраниченной кривой С. через
эту бесконечно малую дуrу, равно l'n (х, у) ds, rде b n (х, у) прое/{
ция вектора Ь (х, у) на направление внеlllней нормали к кривой С
в ТОчке (х, у), а ds длина бесконечно маJюt:! .n:уrи (при ЭТG:\I
жищшсть l3ытекает, если оп> О, а если b n < О, она втекает), CY I
мируя по всей кривой С, мы получаем для КОJJИчества ЖIЩIШСТИ,
l3ытекающей И3 области D, 01'рапиченной кривой С. l3ыражепие
S Onds.
с
Это выражение называется llOfllOKO.1t веlстОрНО20 поля через KOH
тур С. Условие отсутствия ИСТОЧПШ<ОI3 BeKTopHoro поля в области а
0значает, что поток Э1'оrо BeKTopHol'O поля через любой ЗЮIКНУТЫЙ
контур, лежащий в области О, равен нулю. Но
b n Ь Х cos (пх) + Ь у cos (пу) р COS (пх) + q COS (пу),
r.n:e (пх) уrол внешней нормали к кривой С с осью х, (пу) ее
В dx dy
уrол с осью у. ектор с комrюпепта 1И ds ' ds является единичньН!
вектором касательной, а вектор с компонентами cos (пх), cos (пу)
е.n:иничным l3ектором I3неlllней нормали 1< КРИ130Й С. ПОЭТО IУ
d\. dx
cos (пх) === ds' cos (пу) === dS
и
S ) ( р(х, y) JJ q(X, y) ::\ds {' qdx+pdy.
s s /
с
Таким обраЗ0М, УСЛОl3ие отсутствия у BeKTopHorO поля ИСТочпиков
в области а принимает ви.n:
q dx + р dy === О,
с
r.n:e С любая простая замкнутая кривая, лежащая в этой области.
На осповании результатов 3 rл, 1 можем утверж.n:ать, ЧТО:
Необходllмое II достаточное УСЛОВllе отсутстВllЯ llстОЧЮl1СОВ
вектОРНО20 поля СОСf1lOllПl в ВblполнеЮIll УСЛОВllЯ
(1)
др cJq
дx aJ
(х, У)ЕО).
(2)
Теперь 13ыве.n:ем еще условие отсутствия Bllxpeii векторпоrо поля
13 области О. llля этой цели возьмем опять любую замкпутую I(ри
IIУЮ С. лежащую н области А, и вычислим количество движения,
которое ПОJlучает l<рl1ВШl С (если ее рассматривать как тонкую о.n:по
родную проволочку, опущенную в поток ЖИ'n:КОСТИ). ДJШ бесконечно
362
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕrРАЛЬНОI'I ФОРМУЛЫ КОlllИ
[rл.3
малой .n:уrи это количество .n:вижения равно t1 s (x, y)ds, rде Ds про
екция вектора Ь на направление касательной к кривой С. а ds
длина бесконечно малой дуrи. Суммируя по всей кривой С. мы ви.n:им,
что искомое количество .n:вижения равно интеrралу
R === Ь s ds,
с
который называется циркуляциеЙ Halllero BeKTopHoro поля ВДОJIЬ KOH
тура С. Так как
Ds(X' у)===р (х, у) cos (sx) +q(x, у) cos (sy),
а
dx
cos ( sx ) ===
ds'
d\.
cos (sy) === ds'
то
R === pdx +q dy.
с
Условие отсутствия вихрей BeKTopHoro поля в области О состоит в
равенстве нулю ЦИРКУJJЯЦИИ BeKTopHorO поля по любому заМКНУТОlllУ
контуру С. лежащему в области О, т, е. IJ равенстве
р dx + q d у === О,
с
На основании результатов 3 rл, 1 мы можем утверж.n:ать, что:
Необходl1.lюе 11 достаточное условие отсутствия у BeKтop
НО20 поля вихрей в областll О состоит в Вblполнеftll1l условия
др д1
ду дх
«х, у) Е О).
(3)
Система уравнений (2) и (3) совпа.n:ает с системой уравнений
f{ОIllИ Римана. Поэто:ну мы може:\1 утверж.n:аТI>;
Векторное поле
Ьх === р (х, у),
Dy === q (х, у)
не имеет в односвязной области О ftll истОЧftll1CОВ, ни вихрей
в то.ll и только в том случае, КО2да функция
{(х + iy)===p(x, у) iq(x, у)
F-вляetпся ре2УЛЯрНОЙ 8 области О Функцией.
И3 результатов 3 rл. 1 следует, что для безвихревоrо BeKTOp
Horo поля в о.n:носвязной области О компоненты р и q явл ются
частными ПРОИ3ВOlшыми от некоторой функции и (х, у):
р (х, у) === и (х, у), q (х, у) === 1( (х, у),
Эl'а функuиSl и (х., у) носит название потенциала скоростей.
12]
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
363
Аналоrично для neKTopHoro поля, не имеющеrо n ОДНОСВЯ3НОЙ
()бласти О источников, сушествует ФУНКЦИЯ v (х, у), для КОТОрОЙ
v (x, y)== q(x, у), v ;,(x, у)==р(х, у).
Эта ФУНКЦИЯ НОСИт наЗIJание фУНКЦl/ll тока.
Если векторное поле не имеет в О'n:НОСIJЯ3НОЙ области О ни вих
рей, ни источников, то существуют и потенциал скоростей, и функ
дия тока. При этом функция
Р(х + М==и (х, у)+ iv (х, у)
является реrулярной в области О Функцией. Функцию F (z) на3ЫIJают
в ЭТОм случае КО.АtIlлексньut ПО1llеНЦflаЛО_lt веК1ll0рНО20 ПОЛЯ,
И3 сказанноrо сле.n:ует, что для вектОрНО20 ПОЛЯ. не llдеюще20
JШ Bllxpeu, ни llстОЧllll1CОВ. потеНЦllал скоростей II ФУНКЦllЯ тока
являются сопряженнbt.Аfll i'ар.IЮНllчеС1Cll.Аfll ФУЮСЦllя.lfll,
В 7 мы отмечали, 'iTO се нейства линиtl УРОIJНЯ
l/ (х, у) == COl1st,
v (х, у) == const
()бразуlOТ взаимно ортоrонаЛЫlЫе семеЙСТIJа кривых. Линии v == const
называlOтся ЛllНllЯАт тока (по Этим ЛИНИШl перемещаются частицы
жи.n:кости), а линии II == const называются ЭКВll1WmеНЦllаЛЬНbt_llll Лll
НllЯ Ат.
Векторы нашеrо веКТОрIЮI'О поля очень у.n:обно записывать с по
мощью комплексных чисел (отвечающих ЭТОМУ вектору на плоскости).
I1ри такой записи
(x, у)==р(х, y)+iq(x, у),
и если F (z) комплексный потенциал Halllero BeKTopHoro поля, то
(х, у) == F' (х + [у).
Отметим еще выражения .n:ля потока
s== qdx+pdy== 1т F'(z)dz
с с
и для ЦИРКУЛЯЦИИ
R== pdx+ qdY==Re F' (z)dz.
с с
Тлава четвертая
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
в этой rлаве мы бу.n:е!ll rоворить об естественном лоrическом
развитии понятия реrулярной ФУНКЦИИ и о трудностях, которые B03
никаlOТ на этом пути. Эти трущюсти состоят В том, что при про
.n:олжении реrулярпой функции за пре.n:елы пеРIJоначалыюй области
ее опре.n:еления мы сталкиваемся с неизбежностью появления MHoro
значных ФУНКЦИЙ, ПознаКОМИВlllИСЬ с характером и причинами этой
мноrозначности, бу.n:ем rоворить о представлении мноrозначпых aHa
литических функций как ощюзначных функций, но опре.n:еленных не
на ПJlOскости, а на некоторой поверхности. TaKoro po.n:a поверхности
получили название римановых поверхностей, поскольку и.n:ея их упо-
требления была впервые высказана Риманом.
1. Общие nринциnы аналитическоrо продолжения
Пуст!> мы имеем функцию 10 (z), реrулярную в области О. Нас
бу.n:е1 интересовать вопрос, нельзя ли раСlllИРИТ!> область опре.n:еле
ния этой функции, сохранив, разумеется, реl'УЛЯрПОСТЬ. При этом
преж.n:е Bcero мы .n:олжны решить вопрос, как MHoro может быть
функций с более lllИРОКОЙ областью определения, совпа.n:аЮIllИХ с функ-
цией 10 (z) в ее области опре.n:елепия. Для удобства введем сле.n:уlO-
щее понятие.
Пуст!> функция 10 (z) реrулярна в области 00' Функцию 11 (z), pe
rулярную в области 01' со.n:ержащей область 00' бу.n:ем назыпать aHa
ЛllтllчеСТША! продолжение_1t ФУН1СЦllll {о (z) на область 01'
Сле.n:ующая теорема, носящая название принципа ава.'!итичеСкоrо
продолжения, имеет ОСНОВОllолаrающее значевие .n:ля построения поня
тия аналитической функции:
т е о р е м а }, Если аналитllчестсое продолжение ре2УЛЯрНОЙ
ФУНlCЦllll в данную более ширOlСУЮ область определеНZ1Я ВОЗ3fOжно,
то оно возможно лишь единственным образо3f.
Действительно, пусть j (z) И gl (z) два аналитических продол-
жения функции 10 (z), реrулярной в оБJI3СТИ 00' В одну и ту же об-
l]
ОБЩIIЕ IJРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕскоrо ПРОДОЛЖЕНИЯ
365
ласть 01 00' Tor.n:a ФУНКllИЯ ер (z) 11 (z) gl (z) реrулярна в обла
сти 01 и равна нулю в области 00' По теореме единственности (см.
теорему 2 2 r л, 3) эта фУНIщия обязана быть тож.n:ественно равной
нулю, т, е. { 1 (z) = 6i (z). Теорема доказана,
в СВЯ3И :: доказанной теоре IOЙ, естественно, возникает желание
нродолжить за.n:аi:i;УЮ реrулярную фушщию 10 (z) на возможно более
ШИРОКУЮ область, Это желаlf[l , как леrко .n:оrа.n:аться, неосущест
вимо, поскольку множество всех о()ластей нельзя упоря.n:очить с по
мощью соотношений вложения. Попытка аналитически про.n:олжить
за.n:анную реrулярную фушщию всю.n:у, куда это возможно, пр и Be.n:eT,
вообще rоворя, к мноr031IaЧНОСТИ,
Нам понадобится несколько расширу;ть понятие анС'литическоrо
про.n:олжения, BBe.n:eHHoe ВЫlllе.
Пусть фун:шия 10 (z) реrуляр,.а Б об ласт;: 00' а ФУНКllИЯ 11 (z)
pery лярна в области 01' и пусть переСС'Iеl'viе об.'1астей 00 и 01 также
является областью O (т, е. их пересечение состоит И3 o'n:Horo связ
Horo куска). Если в оБJlасти O фушщии {о (z) и 11 (z) совпа.n:ают,
то мы бу.n:ем rоворить. что ФУНlщия 11 (z) является анаЛll11111чеС1CllМ
продолжением функции 10 (z) на область 01'
Леrко ви.n:еть, что и при таком определении аналипlllчеСlсое пpo
должение ФУНКЦllll 10 (z) на область 01 из области 00 едиНСlllвенно
(если оно вообще сушествует).
BBe.n:eM и еще БОJlее общее понятие аналитическоrо про.n:олжения
по llепочке областей:
Пусть области 00, 01' ... , Оп обла.n:ают сле.n:ующим своЙством:
области А. и 0.+1 ('1 О, 1, ... , п 1) имеют своим пересечением
область O ; и пусть в каж.n:ой И3 областей А. опре.n:елена pery лярная
в этоЙ области фУНКllИЯ 1. (z). Если в каждой оБJlасти O ('1 =0-= О, 1, ".
. " , п 1) имеет место равенство 1. (z) 1.+1 (z), то фУНКllИЯ In (z)
называется аналитllчеС1CllМ продолжением ФУНКЦllll 10 (z) по це1l0Чlсе
областей 00' 01' ... , Оп'
Опять таки леrко ви.n:еть, что аналиlll11чеСlсое продолжение дaH
ной ре2УЛЯРНОЙ ФУНТСЦllll по данной Цепочке областей ВОЗ,IfОЖНО
лишь единственны.!! образом (если, конечно. оно вообще B03
можно).
Ясно, что при про.n:олжении .n:анной реrУЛЯРIIОЙ фушщии по 1le
почке областей, мы можем вернуться после HeKoToporo числа пере
ходов в исхо.n:ную область. При ЭТО:l1, вообще rоворя, мы можем
получить .n:pyrylO реrулярнуlO фушщию.
Практически аналитическое про.n:олжение мы Bcer.n:a
по некоторой llепочке областей. но это понятие еще
у.n:обно ЩШ получения ясноrо представления о характере
ности, возникаlOщей при аналитическом ПРОДОlJжении.
8ЫПОJI1I5I:-:\I
не вполне
мноrознач
Наиболее
366 АНАЛИ1ИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖРНИF. И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл. 4
у.n:обllЫМ .n:ля этой цели является ПОlIятие аналитичеСКО20 продолже
ния по кривой.
Пуст!> .n:aHa произволы13Я непрерывная кривая С и пусть на Этой
кривой определена функция ер ( ) (Функция .n:олжна быть опре.n:елена
именно на кривой, а не на множестве, состоящем иа точек этой кри
вой; ЭТО 0значает, что при вторичном попадании точки КрИIJОЙ в O'n:HY
и ту же точку плоскости значения Функции не обязаны совпадать).
Если с каж.n:ой ТОЧКОЙ кривой С связана ФУНКЦИЯ {с (z), реI'УЛЯр
ная в некоторой окрестности точки и совпа.n:ающая с функцией
ер (.2') на некотором участке кривой С, со.n:ержащем точку , ТО мы
бу.n:ем rоворить, что фУЮСЦllЯ ер ( ) доставляет нам анаЛllтuчеСlсое
ЩJOдолжеНllе фУЮСЦ1l11 fzo (z) (zo начало кривой С) в конечную
точку кривой С. Результатом аналитическоrо про.n:олжеllИЯ по кри
БОЙ С бу.n:ет фУНКllИЯ fz. (z), r.n:e z* конечная точка КРИIJОЙ С.
Как и paHbllle, леrко ви.n:еть, что анаЛllтичестсое продол..жеНllе
по кривой ВОЗJJfOЖНО (если В03МОЖНО) единственным образом.
И3 е.n:инствеНIIОСТИ аналитическоrо продолжения следует, IJ част
ности, что анаЛl1тl1ческое продол:ж:ение ФУft1СЦ1111, рС2УЛЯрной В HeKO
торой области, по любой кривой. лежащеЙ в этой области, воз
.можно 11 что в результате продолжения ль/ получае.м ту же
самую фУНКЦllЮ.
ДJ15! аllаJlИтическоrо про.n:олжеllИЯ за.n:анной pery ЛЯрllОЙ ФУIIIЩИИ
в.n:оЛ!> задашюй кривой можно преJJ:;'ЮЖИТЬ следующий способ (при
rо.n:ный. правда, JIИШЬ теоретически).
Разлаrаем заданную реrулярную функцию {о (z) === fzo (z) в OKpeCT
ности точки Zo (начала задаllНОЙ кривой С) в ря.n: Тейлора. Этот ря.n:
схо.n:ится внекотором Kpyre i z Zo 1< Ро. Обозначим 'lерез СО СВЯ3
ный участок КрИВОЙ С, со.n:ержащий точку Zo и лежащий в Kpyre
I z Zo I < Ро. Для каж.n:ой точки Е СО возьмем IJ качестве функции
[с (z) ря.n: Тейлора для функции fzo (z) в окрестности точки z === .
Конец .n:уrи СО обозначим через ZI' MorYT представиться 'n:IJe В03l\IOЖ
ности: или ни О.N:ИН И3 РЯ'n:ОIJ Тейлора {с (z), Е СО не имеет точку Zl
внутри cBoero Kpyra схо.n:имости. или .n:ля o'n:Horo И3 этих ря.n:ов
точка ZI лежит внутри Kpyra сходимости. В первом случае аналити
чеCl<;ое про.n:олжение по криво" С далыlle точки ZI неIJО3МОЖНО. ВО
втором случае можем В3ЯТЬ в качестве fz] (z) сумму Toro ря.n:а {с (z),
который сходитсн В точке ZI. После этоrо ПОIJторяем все наlllИ pac
суж.n:ения с заменой точки Zo на ZI' Если продолжение в.n:оль кри
вой С Б03МОЖI/О, то мы .n:ойдем таким обраЗ0М .n:o ее конца в конеч
ное число шаrов.
Описанный процесс аналитическоrо про.n:олжения практически не
употребляется иа-за крайней rромоа.n:кости, В любых конкретных
за.n:ачах Bcerjja находятся более эффективные, но и более сnециали
зированные способы аналитичеСКО1'0 ПРОДОJlжения.
!i 1)
ОБЩИЕ ПРИНЦИnЫ АНАЛИТИЧЕСКOl'О ПРОДОЛЖЕНИЯ
367
Аналитическое про.n:олжение в.n:оль кривой можно рассматривать
l<aK пре.n:ельный случай аналитическоrо про.n:олжения по цепочке об
ластей: вместо конечной цепочки областей и функций, реrулярных
в этих областях, берется непрерывное семейство и тех и .n:руrих.
Впрочем, И3 описанноrо способа аналитическоrо про.n:олжения в.n:О'ль
кривой ви.n:но, что про.n:олжение в.n:оль кривой Bcer.n:a Сво.n:ится к про
.n:откениlO по конечной цепочке областей,
т е о р е м а 2. Пусть КРllвая С соедllняет тОЧ1Cll Zo II z*. ЕСЛll
вдоль Крl160Й С возможно анаЛllтllчеСlсое продолжеНllе ФУНКЦllll
fzo (z), то возможно II анаЛllтllческое продолжеЮlе этой ФУНТСЦllll
по любой КРllВОЙ С', лежащей достаточно БЛllЗКО к КрllВОЙ С II
llжеющей те же начало 11 конец.
Для .n:оказательства заменим аналитическое про.n:олжение функции
fzo (z) в.n:оль кривой С аналитическим про.n:олжением этоf1 функции
по цепочке областей 00' 01' ". , О" (область 00 со.n:ержит точку zo,
а область ОП точку Z*). В пре.n:елах каж.n:ой И3 областей мы можем
произволыю .n:еформировать участок кривой С, лежащий в этой об
ласт и, не меняя результата аналитическоrо про.n:олжения по этому
участку кривой, а значит, и по всей кривой. Деформациями каж.n:оrо
от.n:елыюrо участка мы можем Ilревратить кривую С в Jlюбую, ДOCTa
точно близкую к ней кривую С'.
т е о р е м а 3, ЕСЛll при непреРЫВНО.1С llЗ_ltенеЮlll Крl160Й (с фикси
рованным началом и концом) анаЛllтllческое продолжеНllе данной
ФУНКl1,llll вдоль этой КрllВОЙ все время остается ВОЗ.ltОЖНЫ.Jt, то
реЗУ.llьтат продолжеНllЯ не яеняется,
Для сокращения записи наlllИХ рассуж.n:ений бу.n:ем на время 'n:OKa
затеЛЬСТllа называть 'n:Be кривые (с о.n:инаковыми началом и концом)
ЭКВllвалентНЫ.,lfll, если pe3YJlbТaT про.n:олжения .n:анной функции в.n:оль
этих кривых о.n:ин. и тот же, Возьмем 'n:Be кривые СО и С 1 И3 MHO
жеСТllа кривых, упомянутых в теореме. Соrласно пре.n:положению Teo
ремы существует семейство кривых Са' U а. 1, непрерывно зави
сящих от параметра а., !<оторое обла.n:ает сле.n:ующими свойствами:
1. Все кривые Са имеют о.n:инаковые начало и конец.
2, При а. == О КРИlJая Са обращается в кривую СО> а при а. == )
в криuую С\,
3. АналитичеCl<ое про.n:олжение данной функции по l<аж.n:оЙ И3
кривых Са' О а. 1, IJОЗМОЖНО,
Докажем, что все кривые Са' О а. 1, эквивалентны. И3 Teo
ремы 2 сле.n:ует, что при достаточно малом а. > О КРИlJые Са экви.,
валентны кривой Со' Обозначим через а.* точную нижнюю rраницу
тех значений а., О а. 1 (еСJIИ они существуют), .n:ля которых кри-
вая Са не ЭКВИlJалентна кривой СО' В силу ТОЛЬКО что сказанноrо
а.* > о, [{ривая Са" не может быть эквивалентна кривой Со, и не MO
жет быть не ЭIШИlJаJlентна еl.\, так как в силу теоремы 2 все кривые
368 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл. 4
С" при а., .n:остаточно близких к а.*, обла.n:али бы тем же свойством,
что и сама кривая Са" что невозможно в силу опре.n:еления числа а.*.
CJle.n:oBaTe.'lbHO, число а.* не существует, и наше утверж.n:ение об экви
валентности всех КрИIJЫХ Са' () а. 1, .n:оказано, Поскольку СО и
C 1 ПРОИ31юльные кривые И3 множества кривых, упомянутых в тео-
реме. .n:оказана и сама Teope:l-l3,
Доказанная теОрбlа имеет иСключительно IJажное значение .n:ля
теории мноrозначных аналитических функций, Обычно используется
ее частный случай (раIJНОСИЛЬНЫЙ. впрочем, самой теорем!:), НОсящий
на3IJание теоремы о МOIЮДРО:l-IИИ:
т е о р е м а 3*, ПУС/llЬ a односвязная область, II пусть 10 (z)
ФУft1СЦllЯ, рпулярная в неКО/llОрОЙ точке Zo Е о. ЕСЛll ФУНКЦllЮ
{о (z) .ltожно анаЛlllnZlчеСlCll продОЛЖllть по любой КрllВОЙ (с нача-
лом в точке zo), не выходящей за пределы областll а, то сущест-
вует ре2улярная в области Q функция, совпадающая с ФУНКЦllей
' (z) в О1срес тнос ти тОЧlCll zo.
Утверж.n:ение теоремы о моно.n:ромии 0значает, что результат ана-
литичеСl<оrо продолжения функции {о (z) в каждую точку области Q
не зависит от путп продолжения, !:сли только этот путь не выхо.n:ит
за пре.n:елы области О. Посколы(у все КРИIJые с о.n:инаковыми нача
лом и концом, лежащие в ОШlOсвязной области а, можно непрерывно
дефОр lИровать flpyr в .n:pyra, не выходя за пре.n:елы этой области,
этот факт неме.n:лешlO вытекает И3 теоремы 3.
Теорема о моно.n:ромии дает важное указание на причины БОЗ-
IIЮЖНОЙ lIIоr,)значности аналитическоrо про.n:олжения: мноrозначность
может возникнуть ЛИlllЬ при :Jбходе точек, через которые ПрО'n:О.'Iже-
ние I!cxo'n:lIoti функции неВОЮIOЖIlО.
2. Понятие аналитической функции. Особые точки
в СIJЯ3И С понятие 1 аналитичеСкоrо про.n:олжения, изложеllНЫ:И
в преды.n:ушем парю'рафе, Ha 1 будет ПОJlезно ввести соотвеТСТIJУЮ-
шую терминолоrию.
Эле.lfентОАl в точке Zo бу.n:е 1 называть функцию, опре.n:еJlенную
и реrулярную в некотороЙ области. содержащей точку zo'
АналllтичеС1СОй ФУft1сцией, порожденной эле.ltенто.м {о (z), будем
назыпать СОIJОКУПlIOСТЬ IJсех эле lентов, которые MorYT быть получены
аналитическим ПрО'n:ОJl}кением элемента {о (z). Эту аналитическую
функцию мы бу.n:ем часто обозначать тем же символом {о (z), что и
1I0рождающий ее элемент,
Наши заме'13ШIЯ об е'n:Иl!ствешlOСТИ аналитическOI'О продолжения
с помощыо термина «аналитичеСкая функция» MorYT быть сформули-
рованы так:
2]
nОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ. OCOlibIE ТОЧКИ
369
ЕСЛll каКОй-Лllбо элемент аliаЛllпlllчеСlСОй ФУНКЦllll тождест
венно равен нулю (в ero области опре.n:еJlения), то II вся анаЛllтll
ческая фУЮСЦllЯ тождественныЙ нуль.
Аналитическая функция не является функцией в оБЫЧНО 1 смысле
этоrо слова (т. е. законом, ста ВЯЩИ:l-I в соответствие каж.n:ой точке
HeKoToporo множества, называемоrо об.IШСТ!>Ю определения, опре.n:е
ленное число). Лействителыю, у аналитическоЙ функции не упо:\lИ
нается область определения, и каждой точке может ставиться IJ COOT
ветствие MHoro чисел, так как различные способы про.n:олжения в O'n:HY
и ту же точку MorYT привести к различным эле:\lентам.
Заметим, кстати, что хотя число различных элементов аналити-
ческой функции 8 О.N:НОЙ и той же точке может быть бесконечно
(8 чем мы убе.n:ились на ПрЮlере функции ln z), все же некоторые
OI'раничения имеются, как показывает сле.n:ующее утверж.n:ение:
Множество раЗЛllЧНЫХ эле.ltентов одноЙ /1 той же анаЛll1пll
ческой фУЮСЦllll в одноЙ II той же тОЧlсе не более че_l! счетно.
ДеЙствительно, разли'пше Э.'Iементы аналитической функции MorYT
быт!> получены про.n:олжением исхо.n:ноrо элемента, По теореме 2 1
резу.'JЬтат ПрО'n:ОJlжения по кривой не меняется при .n:остаточнО малой
.n:еформации этой КРИВ:JЙ, Поэтому мы Bcer.n:a можем считать, что
про.n:олжение исхо.n:ноrо элемента в .n:анную точку происхо.n:ит по JlOMa
ной с веРlllинами в точках, имеющих рационаЛЫlЫе коор.n:инаты. MHO
жество таких ломаных счетно, а потому счетно и множество элемен
ТОIЗ, получае:\IЫХ про.n:олжение:\I по таким лонаным.
В 3 покажем, что каж.n:ую аналитическую функцию можно pac
С:\Jатривать как функцию в оБЫЧНО 1 смысле, но за.n:анную не на пло
скости, а на lIекоторой поверхности. Там мы изберем .n:руrой пут!>
ЮiН построения таких поверхностей, но сеЙчас за:l-lетим, что мы Mor ли
бы считать аналитическую функцию о.n:нозиачной функцией на MHO
жестве, точками KOToporo являются пары, состоящие И3 точки пло
скости и И3 КРИIJОЙ, ве.n:ущеЙ в эту точку (И3 фиксированной исход
ноЙ точки), При этом пары c.l!e.n:yeT считать различными, если раз
личвы точки плоскости, вхо.n:ящие в эти пары, ИЛИ если ТОчки
совпа.n:ают, но продолжения по кривым, ВХО'n:ЯЩИ 1 в пары, приво.n:ят
к разным ре3уЛi:.т:нам, Ины:\1И слова:l-1И, точкой интересующеrо нас
множества можно считат!> пару, состоящую И3 точки плоскости И И3
HeKoToporo класса кривых, ве.n:ущих в эту точку. Описание таких
клаССОВ КРИIJЫХ раIJIЮСИЛЫЮ ПОJllIOМУ описанию характера мноrознач
ности данной аналитической функции. В качестве важноrо нримера
.n:а.n:ю! такое полное описание е.n:инствешюй пока XOpOlllO знакомоЙ
нам аналитической функцин ln z.
В качестве порождающеrо элемента аналитическоЙ функции ln z
ВОЗbllем, например. rлаIJное значение (ln z) (а в Ka'leCТBe исхо.n:ной
ТОЧКИ точку z === 1). Мы знаем (01, 6 rл. 2), что каждой точке
370 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИlI\АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл" 4
z #- О отвечает бесконечно MHoro элементов аналитической функции
ln z, имеющих ви.n:
(ln z) + 2k1r.i
(k===O, + 1, + 2, ...).
Леrко ви.n:еть, что аналитическое про.n:олжение исхо.n:ноrо элемента
возможно по любой кривой С, не прохо.n:ящей через точку z === О.
Это про.n:олжение .n:ается формулой
z'
ln z* ===(С) t .
I
Действительно, в качестве семейства функций [е (z) можно В3ЯТЬ
z
(' dt (' dt
fe(z)=== . т+ . т'
Се е
r.n:e Се отреЗ0К кривой С ОТ точки 1 дО ТО'IКИ Е с. Леrко .n:aTb
полное описание класса кривых C(z*, k), в.n:оль которых продолже
ние rлаВIЮl'О значения ln z И3 ТОЧКИ 1 в точку z*, возможно, И при
во.n:ит к результату (ln z*) + 2k1ti:
Кривая С принадлежит классу C(z*, k), еСЛ11 заякнуmая Kpи
вая С*, составленная из КРllВОЙ С II 113 nРОllЗВОЛЬНОЙ КР11ВОй, 11дy
щей 113 тОЧ1Щ z* в точку 1 11 не nересе1сающей отрицатеАЬНОЙ
части дейстВZ1тельной оси, удовлетворяет условию
t === 2k1ti.
с.
Это условие на кривую С* имеет чисто rеометрический смысл: lCp11
вая С* обходll1n точку z === О ровно k раз в положительноя
направле Hlll1.
HallleMY исследованию мноrозначности ЛOl"арифма можно ПРlщать
сле.n:ующую наrлядную rеометрическую картинку, описывающую эту
Мllоrозначность.
ВОЗЫlем бесконечное множество экземпляров ПJJOСКОСТИ z, разре
занной по отрицательной части .n:ействителыюй оси, и ПРИСВОИl\l им
номера О, + 1, + 2, ", Каж.n:ый экземпляр имеет 'n:Ba края разреза
по отрицательной части .n:ействительной оси верхний и нижний.
Приклеим нижний край разреза k ro экземпляра к BepxHe:\IY краю
разреза (k l) ro экзе:\lllJшра (/l === О, + 1, ",), в реЗУJlьтате TaKoro
СКJlеивания получим He'lТo Bpo.n:e бесконечной винтовой поверхности.
Эта поверхность по ОТНОlllению к кривым. обхо.n:ящим точку z === О,
Be.n:eT себя так же, как и лоrарифм. Именно, еСJlИ мы бу.n:ем .n:виrаться
по построенной поверхности И3 какой либо точки нулевоrо листа
в.n:оль кривой, обхо.n:ящей точку z === U ровно /l раз в I10ложитеJlЫЮМ
напраВJlении, мы при.n:ем на k-й лист построенной поверхности. По-
этому, если с точкой z === а на k M листе связать значение лоrарифма,
. 2]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
371
рапное (ln а) + 2kт:i, мы сможем рассматривать ]п z как о.n:нозначную
функцию на построенной поверхности.
Построенная поперхноС1Ъ называется рlUtaНОВОЙ повсрхностью
лоzaриф.ICа.
В .n:альнеЙlllем покажем, что TaKoro po.n:a римановы поверхности
можно строить .n:ля любых мноrозначных аналитических функций, но
сейчас займемся .n:руrим чрезвычайно важным понятием понятием
особой точки аналитическоЙ функции.
Преж.n:е Bcero опре.n:елим общее понятие особой точки *).
Пусть .n:aHbI исхо.n:ный элемент аналитическоЙ функции fzo (2')
В точке Zo и кривая С, ве.n:ущая И3 точки Zo В точку а. Бу.n:ем rOBo
рИ1Ъ, что пара (а, С) оnре.n:еляет особую точку аналитическоЙ функ
ции (полученной про.n:олжением исхо.n:ноrо элемента fzo (z», если ЭJ/е
мент fzo (z) можно аналитически про.n:олжИ1Ъ по кривой С в J/юбую
ее точку, кроме конечноЙ, а в конечную точку про.n:олжить нельзя.
При этом 'n:Be пары (а, С 1 ) и (а, С 2 ) считаем опре.n:еляющими o'n:HY и
ту же особую точку, если элементы fz] (z) и fZ 2 (z), отвечающие точ
кам 21 Е С 1 И Z2 Е С 2 , достаточно близким к общей конечноЙ точке а
.обеих этих кривых, можно получить .n:pyr И3 .n:pyra аналитическим
про.n:о.'Iжением по некоторой кривой, лежащеЙ в Kpyre I z а I < р.
р == шах { I 21 а 1, I Z2 а I }.
Строение произволыюй особоЙ точки аналитической функции
может быть очень сложным. Мы оrраничимся рассмотрением наиболее
npocToro класса особых точек ИЗ0ш!рованных особых точек,
Бу.n:ем rоворить, что пара (а, С) опре.n:еляет изолированную oco
бую точк:у аналитическоЙ функции, если элемент f z . (2'), r.n:e точка
ZJ Е С достаточно близка к конечной точке а кривоЙ С, можно aHa
литически про.n:олжить по любому пути, лежаще IУ в кольце
o< z а! <р, Р==I ZI а!.
Прп изучении И30ШlроваllНЫХ особых точек аналитическоЙ функ
ции (да и во мноrих .n:руrих СJiучаях) у.n:обно ПОЛЬЗ0ваться ПОНЯ1ием
ветви аналитической функции:
Сшюкупность всех элемент6в, полученных про.n:олжением исхо.n:
Horo элемента /zo (z) по кривым. не выхо.n:ящим за пре.n:елы .n:анной
.области О, бу.n:ем Ha3bIВaTb вствью анаЛllnzичсск:ой ФУНК:Цllll в об
лаС1Jlи О.
Если при этом про.n:олжение элемента 1zo (z) В03 lOжно по любой
кривоii, лежащеЙ n области О, мы будем называть .n:ля краткости
ветвь аналитической функции в области О ФУНК:ЦllСЙ, анаЛllf1ll1ЧС-
отй в обласпщ О.
*) Приводи:\IOС опредеш нис в существенных чертах совпадает с опре-
де. е!lием особой точки, предложенным Бибербахом (см. el'o учебник Lehr
buch der Fuпktiопепthеоriе, В. 1, Berlin, 192] или ero стап,ю в ЭНЦИКJIOпедии
Encyc]opadie der math. Wiss., " С 4, S. 40] 404).
372 АНАJ1ИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [с". 4
СО1'ласно теореме о моно.n:ромии фУН-ТСЦllЯ, аналитическая в
односвязной области, реzулярна в этой области.
Сре.n:и ИЗ0лированных особых точек наиболее простыми являются
изолированные особые тОЧКll однозначноzо характера. Эти точки
характеризуются тем, что элемент IZ 1 (z) в точке Z1' .n:остаточно близ
кой к конечной точке а кривой С (пара (а, С) опре.n:еляет HalllY
особую точку), можно про.n:олжить на все кольцо 0< I z а I < р,
р === I Z1 а I как pery лярную функцию.
Таким обраЗ0М, ИЗ0лированную особую точку о.n:нозначноrо xapaK
тера Bcer.n:a можно рассматривать как ИЗ0лированную rраничную
точку области реrулярности некоторой реrулярной функции (ветви
наlllей аналитической функции). Мы знаем (см. 2 rл. 3), что функ
цию I(z), реrулярную в кольце 0< J z а I < р, можно разложить
в этом кольце в ря.n: Лорана
00
/{z)=== >n(Z a)n
oo
(О <Iz al<p).
(1)
Если в разложение (1) в окрестности точки а вхо.n:ит ЛИlllЬ конечное
(но положительное) число членов с отрицатеЛbl--IЫМИ степенями z а,
особая точка а называется полюсом функции /(z). Если же раЗJ10
жение (l) со.n:ержит бесконечное число членов с отрицатеЛЫ1ЫМИ
степенями z а, точка а называется существенно особой точкой
функции /(z). (Если членов с отрицательными степенями z а нет,
то точка а не является особой точкой .n:ля функции I(z), так как функ
ция f(z) аналитически про.n:олжается в точку а с помощью разло
жения (1).)
Таким обраЗ0М, если точка а является полюсом функции I(z), ТО
функцию I(z) можно пре.n:ставить в ви.n:е
f(Z)===g(Z)+12( z 1 а)'
r.n:e функция g(z) реrулярна в точке а (сумма части ря.n:а Лорана
с положительными степенями z а), а функция 12 ( ) является MHoro
членом от . Степень мноrочлена 12 ( ) бу.n:ем называть в соответствии
с оnре.n:елением 2 rл. 3 порядком полюса.
Полюс можно было бы опре.n:елить любым И3 следующих свойств:
1. В окрестности точки а функцию f(z) можно пре.n:ставить
в ви.n:е
'f (z)
I(.'-)=== (z a)n '
r.n:e функция ер (z) реrулярна в точке а, ер (а) :-F О, а п целое поло
жительное число (поря.n:ок полюса).
2. Точка а является И30Jlированной особой ТОЧКОЙ реrу.'IЯРНОЙ
функции I(z) и /(z) 00 при z а (по любому пути).
!i 2)
nОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй функции. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
373
3. Функция ) I/(z) аналитически про.n:олжается в точку а и имеет
в этой точке нуль поря.n:ка п (r.n:e п поря.n:ок полюса функции /(z».
Относительно существенно особых точек оrраничимся УПО!llина
нием O'n:Horo свойства, носящеrо название теоремы Вейериипрасса:
В OIcpecmHocmll существенно особой тОЧКll ФУНКЦllЯ /(z) пpll
Нll.Ащет ЗНа'tеНllЯ, rколь У20дно БЛllЗКllе к любо.llУ ЧllСЛУ с.
Для .n:оказательства этоrо утверж.n:ения нам .n:остаточно .n:оказать,
1
что функuия g(z) === f (z) с не может быть оrраничена в окрестности
точки а. Но если бы эта ФУШЩИЯ была 0l'раничена, то она име.'Jа бы
точку а ИЗ0лировашlOЙ особой точкой (или анаЛИ1;jJчески про.n:олжа
лась бы в эту точку), Разлаrая эту функuию в ря.n: Лорана
cf)
g(z)=== 2>n(z а)n
Cf)
(0<: z а :<р),
мы МОI'ЛИ бы написать .n:ля коэффиuиентов этоrо ря.n:а неравенства
Icnl Mp n,
справе.n:ливые нри любом Р < r (см. теорему 4 2 r л. 3). Полаrая
р О, мы в и.n: Ш\I , что коэффиuиенты с отриuательными номерами
нули. Таким обраЗ0М, И3 Оl'раниченности функuии g(z)=== f( ) 1
z c
сле.n:ует, что эту функuию можно аналитически про.n:о лжИ1Ъ в точку
) ,
а. Поэтому ФУШЩИЯ 1 (z) === с g (z) при этом условии бу.n:ет иметь
в точке а полюс (или бу.n:ет реrулярна). Это противоречие с условием,
что точка а является существенно особой точкой функции f (z),
.n:oKa3bIBaeT теорему.
Переи.n:ем к классификаuии особых точек, в окрестности которых
функuия мноrозначна. В этом случае вы.n:еляемая ветвь уже не бу.n:ет
ФУНКUllеи, реl'УЛЯрlю:1 11 колwе 0< i z а ! < р. Она бу.n:ет аналИ1'И
ческой 11 этом Iюльuе Мl101'означной фушщиеи.
Пусть фУШШИЯ /(z) является аналитической фунющей в кольuе
0<1 z а 1< р (т. е. аналитически про.n:олжаю'Ся по любому пути,
лежащему в этом кольuе), Если функuия I(z) не являетсн ре1'УЛЯр
нои в этом 1юльuе, т. е. если существует точка Zl 113 этоrо кольuа
и какой либо элемент фУШШИИ /(z) в этой точке, который при aHa
литическом про.n:олжении по окружности I z а 1=== i ZI а I (обхо.n:и
мой о.n:ин раз против часовой стрелки) не возвращается '{ исхо.n:ному
значению, то точка а называется 1l.ЮЛllрованной точкой ветвлеНIIЯ
.n:ля функпии /(z).
Типичными примерами ИЗ0лированных точек ветвления l\101'YT слу
жить точка z == О для функuии ln z и точка z === О .N:ЛЯ функuии V-Z:
'374 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖtНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ rrл. 4
Пусть а ИЗ0лированная точка ветвления .n:ля аналитической в
кольце 0<: z а! < р функции j'(z). Возьмем элемент этой функ
ции В какой либо точке Zj этоrо кольца и будем аналитически про
.n:олжать ero по ОКРУЖНОСТИ I Z а i I Zj а [. MorYT пре.n:ставиться
две ВО3МОЖНОСТИ: или каж.n:ый обход окружности приво.n:ит '{ новому
элементу аналитической функции j'(z), или после т обхо.n:ов окруж
ности (В O'n:HOM направлении) мы возвращаемся к ИСХО.n:ному элементу.
В первом случае точка а нааывается лоzаРUф.Аlllческой тО'lКОЙ BeтB
леНllЯ r .n:ля функции f (z), а ВО втором случае точка а называется
тО'lКОЙ ветвлеюlЯ порядка т .n:ля функции f(z). Так, например,
точка Z О явлнется лоrарифмической точкой веТвления .n:лн функции
In z, а точка Z О .n:ля ФУНКЦИИ yz является точкой ветвления BTO
poro поря.n:ка.
Если точка а нвляется ИЗ0лированной точкой ветвления конечноrо
поря.n:ка .n:ля аналитической функции j(z) и если .n:ля любоrо элемента
этой ФУНКЩIИ, реrулярноrо в области, имеющей точку а rраничной
точкой, существует конечный или бесконечный пре.n:ел lim j (z), ТО
z a
точка а называется алzебраllческой особой тОЧ1СОЙ .n:ля функции f(z).
в окрестности точки ветвления конечноrо поря.n:ка .n:ля функции
можно написать разложение В pH'n:, аналоrичный ря.n:у Лорана.
Т е о р е м а 1, Пусть точка Zo является l1ЗОЛllрованной точ
.КОЙ ветвлеюlЛ порядка т для ФУНКЦllll j(z), анаЛllтllческой в
.кольце 0<1 z Zo ! < r. Tozaa в это.Af lсольце справедЛllВО разло
.жеНllе
со
n
f(z) ! cn(z zo)m.
п:::::::::: co
(2)
Для .n:оказательства расcr,ютрим функцию g( ) j'(zo + т). Леrко
ви.n:еть, что функция g( ) является функцией, аналитической в кольце
0<1 1< r llm . Покажем, что она реrулярна в этом кольце, Для этоrо
.n:остаточно убе.n:иться в ее ощюзнаЧIЮСТИ, т, е. показать, что аналити
чес кое про.n:олжение любоrо элемента этой функции по любой замк
нутой кривой, лежащей в HallleM I<ольце, возвращает нас к исхо.n:но
му элементу. Соrласно теореме 3 1 результат аналитическOl'О про
..n:олжения бу.n:ет о.n:ним и тем же .n:ля любых кривых (с о.n:инаковым
началом и концом), Которые МОЖНО непрерывно .n:еформировать .n:pyr
.В .n:pYl'a, не выхо.n:я за пре.n:елы кольца. Поэтому мы можем оrраlIИ
.читься рассмотрением аналитическО/.о про.n:олжения по ОКРУЖНОСТИ
I I р, 0< р < r 11т. Kor.n:a С pe i '!' проходит окружность ! I р
'о.n:ин раз в полОжительном направлении, точка z Zo + т
Zo + pmeim'f' обходит окружность I z Zo I рт В положителыюм
направлении т раз. Поэтому аналитическое про.n:олжение функции g( )
'в.n:оль окружности I с : === р, обхо.n:имоfi один раз в ПОложительном нап
.равлении, сводится к аналитическому nро.n:олжению функции j(z)
!i 2]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОй ФУНКЦИИ. ОСОБЫЕ rОЧКИ
375
ПО окружности i z Zo I == рt1l, обхо.n:имой т раз в положительном
направлении, Поскольку точка Zo является точкой ветвления nоря.n:ка
т .n:ля функции {-(z), после.n:нее про.n:олжение ПрИБО'n:ИТ к исхо.n:ному
элементу. Сле.n:ователыю, функция g( ) о.n:нозначна (а значит, и pery
лярна) в кольце 0< I I < r 1 / m . Разлаrая функцию g( ) в ря.n: Лорана
в окрестности точки ==O и выражая функцию I(z) обратно через
функцию g( ), получаем требуемое разложение (2).
С помощью теоремы Вейершrрасса о существенно особой точке
леrко .n:оказывается сле.n:ующее утверж.n:ение:
Для тО20 'lтобы изолированная точка ветвлеЮlЯ z == а KOHe'l
НО20 порядка была ал2ебрасlческой особой тО'lКОЙ, необ.ходll.АfO
и достаточно, что6ы разложеЮlе в ряд (2) в OKpecmHocmll этой
тОЧКll содержало конечное ЧllСЛО членов с отРlщатеЛЬНЫ.Аfll cтe
пеНЯ.Аtll Z а.
Еще раз но.n:черкнем, что мы l\101'ЛИ rоворИ1Ъ об особой TOllKe как
о точке плоскости только потому, что выбрали на.n:лежащуlO ветвь
всей аналитической фушшии. Kor.n:a мы rопорим обо всей аналитиче
ской функции, особую точку сле.n:ует понимать ЛИlllЬ как пару, coc
тоящую И3 точки плоскости И И3 кривой, ве.n:ущей в эту точку. Одной
и той же ТОЧI{е плоскости MorYT отвечать и точки реrулярности
аналитической функции, и особые ТОЧКИ самых различных ви.n:ов.
PeKoMeH.n:yeM читателю рассмотреть пример
]
I(z)== .
r z +]
в заключение ПОI"ОВОрИМ о так называемых критических точках.
Пусть функция I(z) реrулярна в точке zo. Точка Zo назыпается
КрllтllчеС/сой тO'lКOй порядка п .n:ля функции f(z), если функция
l' (z) имеет в точке Zo нуль поря.n:ка п.
В критической точке Zo разложение функции I(z) в ря.n: Тейлора
имеет вид
f'n+I I (z )
f(z)==t(ZO)+(Z Zo)n+1 (п+l) (I +Cl{Z ZO)+''')'
так что фУН1ЩllЯ 1 (z) 1 (Zo) ll.Ateem в КРllтllческой /llO'lKe Zo пO
рядка п нуль порядтса п + 1.
Если Zo критическая точка 1I0ря.n:ка п .n:ля ФУНКЦИИ I(z), то
в некоторой окрестности этой точки функцию I(z) можно пре.n:ставить
в ви.n:е
I(z) == /(zo) + [ер (Z)Jn+1,
(3)
r.n:e функция ep(Z) реrулярна в точке Zo и ер (zo)==O ер' (ZO) =1= О.
Действительно, мы можем положить
1 1
{ !,nHI (ZO) } n+l
cp(Z)==(Z Zo) (п+l)! (I+Cl(Z ZO)+...)n+l.
376 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОвы ПОВЕРХНОСТИ [rл, 4
1
{ /,n+1) (z) l n+l
r.n:e .n:ля (п + 1)1 f В3ЯТО любое И3 возможных значений, а по.n:
1
СИМВО.'IОМ (1 + w) n + 1 понимается функция, реrулярная в Kpyre I w! < 1,
опре.n:еленная биномиаЛЫ1ЫМ ря.n:ом. Леrко ви.n:еТL, что при таком опре
.n:елении функции ер (z) равенство (3) имеет место.
И3 пре.n:ставления (3) lIеме.n:ленно ВhlIЮ'n:ИТСЯ сле.n:уlOЩИЙ резу ЛI,тат:
Прll отображеЮlll === f(z) уzoл .между дВУAtя тераВЫ.Ат, ВЫХО-
дЯЩll.Аtll llЗ теРll1пllческой тОЧКll порядка п, увеЛllЧllвается в n + 1
раз,
Поскольку при отображении w === ер (z) уrол меж.n:у КрИIJЫМИ, вы-
ХОДящими И3 ТОЧКИ zo, сохраняется. остается .n:оказать Hallle утверж
.n:ение ЛИlllЬ .n:ля отображения I === W"+I (в точке W == О). Более Toro,
.n:остаточно выяснить, как меняется уrол меж.n:у лучами. ВЫХО'n:ЯЩИМИ
Н3 точки W == О, так как УI'ОЛ м ж.n:у КРИВЫll!И это yroJl меж.n:у их
l{асателыIыи.. Положим I === Re'o, а w === re''P. Tor.n:a (при на.n:лежа-
щем выборе значений fЭ и ер)
R == r n , {} === пер.
И3 после'n:llеrо равенства сле.n:ует наше утверждение.
За:\lетим, что И3 пре.n:ставления (3) вытекает также, что ПрШЩllП
сохранеНllЯ областll (см. конец 2 rл. 2) справедЛlТВ II без npeдno
ложеflllЯ о то.м, что ПРОllзводная Ре2УЛЯРНОЙ ФУНКЦllll, совершаю-
щей отобра:нсеНllе, не обращается в нуль. Действительно, и OTO
бражение w === ер (z). и отображение r: === f (Zo) + w n перево.n:ят область
в область. Поэтому тем же СIJОЙСТВОМ обла.n:ает и суперпозиция этих
отображений. т. е. отображение r: == f (z).
f{р пические точки были также ИСI<ЛlOчитеЛЫIЫМИ точками и .n:ля
теоремы о сущеСТIJОIJании обратной функции, Оказывается, что если
функция с=== [(z) Юlеет точку Zo критической точкоЙ. то обратная
функция Iшеет точку :0 == [(.1'0) точкоЙ ветвления.
Теорема 2. Пусть ФУШЩllЯ :===/(z) ре2УШlрна в точке Zo
II lтлсеет ее Крll!llll'lескоЙ точтеой порядка п. ТО2да существует
функция z===IJ;(:). анаЛШnZlческая в нетеоторолстеОЛЩе 0< <: <:ol<
<Р (з.n:есь :o===f(zo», обратная к ФУНКЦllll :===/(z). т. е, удовлет-
воряющая соотношеНllЮ
f ('1 (:» == r:.
Прll это.М точка :0 будет для фУНКЦllll 'f Ю llзолированной точ
кой ветвлеflllЯ ппрядка n + 1, II те ПlOJfty же ал;>ебратl'lестсой особой
точкой,
Для .n:оказательства рассмотрим урзвнение
r, === I (.z).
3]
РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
377
С ПОМОЩЬЮ представления (3) это уравнение можно заnисать в ви.n:е
1
( o) n+ 1 == ер (z).
(4)
Обозначим через (w) функцию, обратную к ФУНКЦИИ w == ер (z) (эта
ФУНКЦИЯ существует и реrулярна в точке w == О соrласно теореме
2 rл. 2, так как ер (zo) == О, ер' (zo) # О). Tor.n:a уравнение (4) можно
заменить равносильным ему равенством
1
Z == « t:o) n + 1 ).
ОТСI(ща мы уже непосре.n:ственно получаем Hallle утверж.n:ение.
[оворя об особых точках, мы все время считали соответствующие
точки конечными точками комплексноЙ плоскости. Не составляет
особоrо Tpy.n:a перенести все сказанное и из случаЙ, Kor.n:a интересую
шая нас точка является бесконе'шо у.n:аJlенноЙ, ПростеЙшиЙ способ
.n:ля TaKoro перенесения состоит в следующем. Полаrаем z == l' z* и
вместо ФУНКЦИИ f (z) в окрестности точки z == 00 рассматриваем
ФУНКЦИЮ g(z*) == / ( :* ) в окрестности точки z* == О.
& Римаиовы поверхности
В пре.n:ы.n:ущем параrрафе мы опре.n:елили понятие аналитической
ФУНКЦИИ, сле.n:уя и.n:ее Вейерштрасса. Оllре.n:еленное нами понятие очень
.n:алеко отхо.n:ит от обычноrо понятия функции. O'n:HaKo мы упоминали,
что есть возможность рассматривать аналитическую функцию и как
ФУНКЦИЮ в обычном смысле, но уже не на плоскости, а .на некоторой
поверхности (мы назвали такие поверхности римановыми поперхно
стями, но еше не опре.n:елили это понятие). Для аналитической функ
ции ]11 Z мы .n:аже построили риманону поверхность. В этом параrрафе
опре.n:елим понятие римановой поверхности .n:ля каж.n:ой аналитической
ФУНКЦИИ. Сначала опре.n:елим более простое понятие римановой поверх
ноСТИ. Чтобы отличать это понятие от более r лубокоrо понятия, KOTO
рое мы рассмотрим иемноrо ниже, будем rоворИ1Ъ сейчас о римано
ной поверхности в узком смысле слова.
Напомним, что элементом анаЛИ'fической ФУНКЦИИ в точке Zo назы
ваем функцию, опре.n:еJlенную и pel'y лярную в некоторой области,
со.n: е РЖ311lей эту точку. Два элем€нта в о.n:ной и той же точке Zo
бу.n:ем называть эквивалентными, если они совпа.n:ают внекоторой
окрестности этой точки. Часто элемент в точке Zo отож.n:еСТВJlЯЮТ с
ря.n:о м Тейлора в окрестности ТОЧКИ Zo (или с ря.n:ом по степеням 1/z,
если Zo == 00). Tor да условие эквивалентности элементов Clюдится к
тож.n:ественному совпадению рядов.
78 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРО'n:ОЛЖfOНИЕ и РИМ.АНОI3Ы ПОВЕРХНОСТИ [rл.4
Пусть нам .n:aHa теперь аналитическая функuия. т. е. Совокупность
Бсех элементов. которые можно получить И3 .n:аююrо исхо.n:ноrо эле
мента аналитическим про.n:олжением, Точкой РZUЩflОВОй пOBepXHocnzll
в узком СJflЬ/сле слова. расположенной Ha.n: точкой Zo, бу.n:ем назы
вать пару (zo, 1 (z», r.n:e 1 (z) какой либо элемент наlllей аналити
'ческой функuии в точке zo. При этом 'n:Be пары
(zo' 10 (z».
(zo' 11 (z»
-бу.n:ем считать опре.n:еляющими O'n:HY и ту же точку римановой ПОRерх
ности TOI'.n:a и только Tor.n:a, Kor.n:a элементы {о (z) и 11 (z) эквивалентны.
ДЛЯ TOI'O чтобы rоворить о множестве опре.n:еленных нами точек
как о поверхности, мы должны ввести на этом множе тве систему
-окреСТ1l0стей { и а } (см. 4 rл. 1).
ОкреС11lностью точкzz РО римановой поверхности (п узком смысле
-слова). опре.n:еляемой парой (zo, 10 (z». бу.n:ем называть множество
точек Р. опре.n:еляемых парами ( . /0 (z». r.n:e I Zo I < 8, а 8 про-
изволыюе положительное число. обла.n:ающее тем свойством, что
Функuия (о (z) pery лярна в Kpyre I z Zo I < е.
Сzzстемой окреи1lностей {и а } на римановой поверхности бу.n:ем
-считать систему всех окрестностей всех точек римановой поверхности.
Леrко проверИ1Ъ, что BBe.n:eHHaH нами система окрестностей позво
ляет рассматривать риманову поверхность как тополоrическое про
-странство (см, 4 r л. 1). Ясно также. ЧТО каж.n:ая окрестность явля
етсн ТОПОJlOrическим обраЗ0М Kpyra I z Zo I < 8, Действителыю,
точки римаНОRоtl поверхности, прина.n:лежащие окрестности точки
РО === (ZU' 1 (z». имеют ви.n: Р === (r" 10 (z». ['.n:e
I Zo ! < 8.
Поэтому меж.n:у точками этой окрестности и точками Kpyra I С Zo I < 6
меется IIзаимно о.n:нозначное и взаимно непрерывное соответствие
(С. /0 (z».
Наконец. ясно. что опре.n:еленная нами риманова поверхность является
-областью, так как любые 'n:Ba элемента аналитической функции можно
получить .n:pyr И3 .n:pyra анаJlитическим про.n:олжением по некоторой
крИВОЙ.
Таким обраЗ0М, опре.n:еленная нами риманова поверхность в узком
смысле слова .n:ействительно НВJlЯется поверхностью в смЫсле абстракт
Horo опре.n:еления 4 rл. 1.
Чтобы завершить опре.n:еление римановоtl поверхности (в узком
смысле слова). мы .n:олжны еще опре.n:еJlИТЬ nонятие тож.n:ества 'n:BYX
римановых поверхностей.
Пусть точка Р римановоtl поверхности опре.n:еляется парой
( . /0 (z». Точку комплексной ПлоскОСТИ будем называть проеКЦllей
-точки р римановой поверхности.
!\ з]
РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
379
Римановы поверхности, IЮJlучающиеся друr И3 .n:pyra тополоrиче
ским отображением, сохраняющим проекции каж.n:ой точки, бу.n:еllI
считать тождествеННЫ.fitll меж.n:у собой.
ЯСНО, что при таком опре.n:елении рима нова поверхность отражает
ЛИШh характер IIIноrозначности аналитической ФУНКЦИИ, но не свой-
ства самой ФУНКЦИИ. Любые 'n:Be аналитические ФУНКЦИИ с о.n:инаковым
характером мноrозначности имеют тож.n:ественные римановы поверх
ности,
Попытаемся получить наrля.n:ное rеометрическое пре.n:ставление
о римановой поверхности аналитической ФУНКЦИИ. С этой целью pac
смотрим четырехмерное пространство, точки KOToporo (z, w) за.n:аются
.n:вумя комплексными коор.n:ипатами z и w (т. е. четырьмя .n:ействи-
тельными). С каж.n:ой аналитической функцией F (z) можно связать
ее "rрафик», т, е, .n:вумерную поверхность этоrо четырехмеРНОl'О
пространства, состоящую И3 точек ви.n:а (z, F (z», r.n:e F (z) значения
всевозможных элементов наlllей аналитической функции в точке z.
Эту конкретную поверхность можно считаТh одной И3 реализаций
римановоЙ поверхности аналитичешой функции F (z) при O'n:HOM
дополнительном условии: в каж.n:ой точке различные элементы 'n:ОЛЖНhI
иметь различные значения. (Пример функции (z ])]п z показывает,
что это условие не обязано выполняться .n:ля любой аналитической
функции.) В противном случае некоторые точки четырехмерноrо
пространства при.n:ется считать состоящими И3 нескольких различных
точек поверхности. Соrласно нашей .n:оrоворенности римановы поверх
ности, получающиеся .n:pyr И3 .n:pyra тополоrическим преобраЗ0ванием,
не меняющим проекции каж.n:ой точки, тождественны меж.n:у собоЙ.
Поэтрму мы можем произвольно сплющивать нашу 'n:BYMepHYIO поверх
ность в четырехмерном пространстве по коор.n:инате w. В результаl'е
TaKoro сплющивания получим поверхность, состоящую И3 kakoro-то
количества экземпляров плоскости (точнее, областей плоскости).
Существенно, что при таком сплющивании не MOl-ут появиться скла.n:
ки окрестность каждой точки .n:олжна превратиться в плоский Kpyr.
Такую сплющенную поверхность мы може 1 пытаться пре.n:ставить
себе .n:аже не в четырехме.;:JlЮМ, а в трехмеРНШI пространстве. О.n:ин
пример такой римаllОВОЙ поверхности мы уже ностроили в пре.n:ы.n:у-
щем параrрафе риманову поверхность лоrарифма. Сейчас paCCMOT
рим еше о.n:ин пример.
т
Построим риманову поверхность аналитической функции 11 z.
Для этой цели прове.n:ем в плоскости z разрез по отрицательной
части .n:ействителыlOЙ оси и обозначим разрезанную таким обра30!ll
I r:::
плоскость через о. В области а аналитическая функция r z paCl1a
дается на т реrулярных ветвей
21tis
tAz) === (}tz) е ----т-
(s===U, 1, ..., m 1)
380 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАновы ПОВЕРХНОСТИ [rл. 4
(здесь <yz) rлавное значение корня; см. 6 rл. 2). При СПJIЮЩИ
ванин ,;'рафика» функuии VZ каж.n:ая И3 реrулярных ветвей .n:acT нам
ОЩШ ЭКЗ.::\;'IШlР области а. Это 0значает, что часть римановой поверх
IIОСТИ аналы. ческой функuии yz, лежащая Ha.n: областью а, пре.n:
ставляет сuбvЙ стопку И3 т экземпляров ЭТОЙ области. Добавляя к
ЭТОЙ стопке точки римановой поверхности, лежащие Ha.n: отриuатель
ной частью .n:ействительной оси, получаем KaKoe TO сое.n:инение листов
этой стопки, и мы .n:олжны выяснить какое. Для решения этоrо ВОП
роса воспользуемся тем, что реrулярные ветви fs (z) можно про.n:ол
жить по непрерывности lIа края разреза. Tor.n:a мы сможем отож.n:ест
вить те точки на краях разреЗ0В, в кото-
рых значения реrулярных ветвей одинаковы
(.n:ля функuии VZ различным элементам отве-
чают различные значения). Занумеруем наши
экземпляры области а таким обраЗ0М, чтобы
ветви fs 1 (z) отвечал 8-Й экземпляр (8 == 1,
2, ..., т). Значение ветви fs (z) на нижнем
краю разреза в точке z == х равно
2s-1
1ti
е т, а в той же точке на верхнем краю
.2s+\
,П
разреза оно равно е т Поэтому нижний
край k ro экземпляра следует соещ!Нить
с веРХНЩI краем (k 1 ) ro экземпляра при k == 2, 3, .." т, а ниж-
ний край первоrо экземпляра с верхшш краем l1l-ro экземпляра.
Получающаяся поверхноС1Ъ (при т == 2) изображена lIа рис. 72.
Риманова поверхность, полученная в результате таких сое.n:ине
ний, называется рll.ltановой поверхностью ТСОрНН т й cmeпeHll.
Рис, 7']"
За:нетим, что в трехмерном пространстве после.n:нее сое.n:инение
(первOl'О экземпляра с т-м) нельзя осуществить, не устраивая caMO
пересечения поверхности. Это не противоречит тому, что римаllова
поверхность lIе имеет самонересечений, так как в четырехмерном
пространстве соединение без самопересечений воююжно.
Способ построения римановой поверхности с помощью разрезания
и склеивания плоскиХ областей, описанный на:\1И .n:ля случая функuии
Vz, применим и в общем случае, причем без особых изменений.
Коротко l!3ЛОЖИМ описание этоrо проuесса' .n:ля .n:остаточно общеrо
и в то же время .n:остаточно простоrо случая.
Пусть F (z) ПРОИ3ВОЛЫ1ая аналитическая фушщия, И:\lеющая
только ИЗ0лированные особые точки. И3 каж.n:ой точки плоскости,
над которой лежит хотя бы o'n:Ha особая точка, прове.n:ем луч, и.n:у
щий И3 этой ТОЧКИ В бесконечность и не прохо.n:ящий через nроекuии
3]
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
381
друrих особых точек. Плоскость z, разрезанная по всем таким луча l,
пре.n:ставляет собой односвязную область О, По теореме о MOHO'n:pO
мии аналитическая функция F (z) распадается на счетное множество
реrулярных ветвей
Fs (z),
s === 1. 2, 3, . . .
f{аж.n:ой ветви Fs (z) ставим в соответствие о.n:ин экземпляр области
О. Листы полученной стопки экземпляров области О сое.n:иняе 1 меж.n:у
собой по тем же соображениям, что и в случае римановой поверх-
ности корня. И3 общих соображений (проекция окрестности любой
точки должна быть KpyroM) ясно, что сое.n:иняются между собой про
тивоположные края одноrо и Toro же разреза, но, возможно, от раз-
ных листов.
Исхо.n:я И3 описанноrо способа построения римановой поверхности.
мы можем дать определение римановой поверхности, не зависящее
от аналитической функции:
Рll.мановой поверхностью в УЗКОht с.мысле слова бу.n:е)1 назы-
вать поверхность. полученную склеиванием HeKoToporo счетноrо мно-
жества плоских областей, если при этом склеивании соблюдаются
условия: некоторая окрестность каждой точки римановой поверхности
является плоским KpyroM; проекuии точе склеиваемых областей со-
храняются.
На определенных таким обраЗ0М римановых поверхностях можно
задавать функции. Эти функции бу.n:ут о.n:нозначны на римановой
поверхности, но мноrозаачны на плоскости. В частности, на таких
римановых поверхностях можно рассматривать реrулярные ИJШ меро-
морфные функции, которые и бу.n:ут представлять собой аналитиче-
ские функции на плоскости. Иссле.n:ованию мероморфных функций
lIа римановых поверхностях TaKoro рода (и .n:аже более общеrо) посвя-
щена l'л,9 и отчасти rл.8, В rл. 8 докажем следующий замечательный
факт: для каждой plUrtaHOBOU пOBepXHocmll, определенной незаВllCll.мо
от анаЛllтllческой ФУНКЦllll, существует анаЛllтllческая ФУН1Cl llЯ,
рюианова поверхность которой тождественна с данной Рllлtано-
вой поверхностью,
Мы покажем сейчас, что для функций, заданных на римановой
поверхности, можно определить интеrрал по кривой или по области.
Для этой цели при.n:ется ввести еще некоторые понятия.
Множество риманово поверхности бу.n:ем называть одНОЛllстНЫ.tl,
если в этом множестве i1eT различных точек, имеющих одинаковые
проекции.
Множество римановой поверхности называется KO.tlnaKntHbt.tl,
если из любоrо покрытия этоrо множества совокупностыо окрест-
ностей И3 системы {и,,} можно выбрать конечное покрытие.
382 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРО'n:ОЛЖЕНlIE И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл. 4'
л е м м а 1. Каждое KOAfптcтHoe .множество ри.мановой пOBepx
ности .можно разбить на lсонечное ЧllСЛО однолистных частей,
Это утверж.n:ение неме.n:ленно вытекает И3 Toro, что каж.n:ая
окрестность точки римановой поверхности в узком смысле слова
является о.n:нолистной областью.
Если кривая С лежит в о.n:нолистной области римановой поверх
насти, то интеrрал
I(z)dz
С
опре.n:еляется так же, как и интеrрал по кривой на плоскости. Ес.'1И
же С произвольная компактная кривая, то мы Р:JЗбиваем ее на
отрезки С 1 , ( . .", СП> каж.n:ый из которых Jlежит II ОЩЮJIИСТНОЙ
области, и полаrаем
tI
/(z)dz=== 2: /(z)dz.
С k 1 C k
И3 опре.n:еления интеrраЛ2 по кривой на римаНОБОЙ поверхности
и И3 теоремы КОlllИ Ilеме.n:ленно вытекает.
т е о р е м а 1. Инте2рал
! (z) dz
С
.не .меняет своnо значения при непрерывной дефор.маЦllll кривой
С, оставляющей на десте концы этой КрllВОЙ, если функция f(z)
рnулярна в ка:JICдой точке кривой С, а непрерывная дефОРАtaция
не выводит кривую за пределы области ре2улярн.ОСПlll фУЮЩllll.
Эту теорему бу.n:ем называть в .n:альнейшем meope.ILOii Коши.
Частным случаем теоремы КОlllИ является
т е о р е м а 1 *. Пусть фун.кция I(z) рnулярна в кон.ечн.ой oдн.o
(;вязн.ой области В н.а Р1Uсан.овой поверхн.ости, ТО2да ин.тпрал
от фУНКЦllll f(z) по любоЙ за_lскн.утой кривой, лежащей в этой
облаСПlll, равен н.улю.
Перей.n:ем теперь к бо.'1ее широкому понятию римановой поверх-
ности (в .n:альнеЙllleI\! бу.n:ем иметь .n:ело исключителыщ с ним),
Эле.lfен.то.м (в широком смысле слова) в точке Zo аналитической
функции бу.n:ем называть ря.n:
со tI
2: Cn(z Zo)m
п===по
(пo> co)
(т целое положительное число), схо.n:ящийся в некоторой OKpeCT
насти точки Zo (при Zo === со мы .n:олжны заменить z Zo на 1/ z).
Используя это 1I0нятие эле lента, получаем более lllирокое поня
тие римановой поверхности. Леl'КО видеть, что риманова поверхность
3\
РИМАНОПЫ ПОВЕРХНОСТИ
383
в более lllИРОКОМ смысле отличается от римановой поверхности в
узком смысле слова лишь тем, что к ней присое.n:инены точки, в KOTO
рых аналитическая функция имеет полюсы или алrебраические oco
бые точки.
Нам нужно еще определить окрестность точки римановой поверх
ности в lllИРОКОМ смысле слова и показать, что получающееся MHO
жество с системой окрестностей бу.n:ет поверхностыо в смысле опре
деления 4 r л. 1.
Окрестность точки Р о , опре.n:еляемой парой (zo' 10 (z)), r.n:e
10 (z) элемент аналитической функuии в точке pery лярности или
В полюсе, опре.n:еляется так же, как и для римановой поверхности
в узком смысле слова. Окрестность точки Р о , опре.n:еляемой парой
(zo' 10 (z)), rде элемент 10 (z) имеет точку Zo точкой ветвления поря.n:ка
т, состоит из точек Р, опреа.еляемых парами (С, [о (z)), r.n:e С точка
т
римановой поверхности функции / z Zo' расположенная Ha.n: KpyroM
I z Zo i < Е, В котором сходится ря.n: .n:ля элемента 10 (z),
Таким образом, .n:ля римановой поверхности в lllИРОКОМ смысле
слова уже не каж.n:iш окреСТIIОСТЬ пре.n:ставляет собой плоский Kpyr.
Некоторые окрестности пре.n:ставляют собой т листные круrи с един
ственной точкой разветвления в центре, Но такой т листный Kpyr
m
можно отобразить на плоский Kpyr с помощью функции 11 Z ZO'
и это отображение бу.n:ет тополоrическим отображением. Поэтому
риманова поверхность в lllИРОКОМ смысле слова также бу.n:ет поверх
ностью в смысле опре.n:еления 4 rл. 1.
Риманову поверхность в lllИРОКОМ смысле слова можно строить
тем же способом, что и риманову поверхность в узком смысле слова
(добавляются ЛИlllЬ точки, в которых аналитическая ФУНКЦИЯ имеет
полюсы или алrебраические особые точки). Можно определить рима
нову поверхность и независимо от аналитической ФУIllЩИИ:
РUЛ(GНО80й поверхностью бу.n:ем называть поверхность, склеенную
из счетноrо числа плоских областеЙ с соблю.n:ением сле.n:ующих
условий:
1. При склеивании проекции точек сохраняются (проекцией точки
плоскоЙ области мы считаем саму эту точку),
2. Окрестностью каж.n:ой точки римановой поверхности является
<>.n:нолистный Kpyr или конечнолистный Kpyr с е.n:инственной точкой
разветвления в ero центре,
Точку римаНОЕОЙ поверхности, окрестность котороЙ представляет
собоЙ нсо.n:нолистный Kpyr, бу.n:ем назыпать точкой разветвления
этоЙ римановой поверхности.
На римановоЙ поверхности в широком смысле слова тоже можно
за.n:авюъ Функции, в частности реrулярные и мероморфные ФУНКЦИИ.
384 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл. '.
O'n:HaKo реrулярные и мероморфные функции на римановой поверх
I1ОСТИ в lllИРОКОМ смысле слова мы опре.n:елим несколько иным спо
собом, чем на римановой поверхности в узком смысле слова. Для их
опре.n:еления BBe.n:eM сначала понятие локальной переменной, отвечаю
щей данной окрестности И3 семейства {u.,}.
Если окрестность и а представляет собой конечный о.n:нолистный
Kpyr, то мы бу.n:ем называть локалыюu пере.мен.н.ой, отвечающей
этой oKpecmIiocmll, величину 't a === Z ZO' r.n:e Z проекция точки
этой окрестности, а Zo проекция центра окрестности. Если zo=== 00,
1
то мы полаrаем 't a === Z .
Если окрестность и а представляет собой т-листный Kpyr с точкой
разветвления Ha.n: точкой Zo, то локальн.ой пере.мен.н.ой, отвечающей
этой oKpecmIiocmll, мы бу.n:ем называть величину 't a === 11 Z Zo при
1
Zo Oj':c 00 и величину 't a === т при Zo === 00,
VZ
Функцию F (Z), опре.n:еленную на римановой поверхности, бу.n:ем
называть рпулярн.ой (.меро.'dОРфн.ой), если в каж.n:ой окрестности И3
системы {и а } эта функция реrулярна (мероморфна) как функция ло
кальной переменной, отвечаюшеt! этой окрестности.
Аналоrично вопрос о том, бу.n:ет ли .n:анная точка полюсом (нулем)
функции F (z), определенной на римановой поверхности, и каков поря
'n:OK этоrо полюса (нуля), бу.n:ем реlllЮЪ в локальных переменных.
За lетим, что .n:aHHoe нами опре.n:еление 0значает, что любая aн.a
литическая фун.КЦllЯ .'dеро.'dорфн.а н.а своей рll.'dан.овой поверхн.ости.
Иными словами, точки разветпления римановой поверхности мы счи
таем особенностями только римановой поверхности, а не функции,
опре.n:еленной на этой римановой поверхности.
Леrко ви.n:еть, что все сказанное об интеrрировании функций на
римановой поверхности в узком CMbICJle остается в силе и .n:ля ри
мановых поверхностей в lllИрОКОМ смысле.
В 9 мы уви.n:им, что можно определить понятие реrулярной
и мероморфной функции на поверхностях rораз.n:о более общеrо ви.n:а.
O'n:HaKo поскольку положение с интеrрированием и .n:ифференцирова
ниеlll функций на этих более общих поверхностях значительно слож
нее, не бу.n:ем rоворить об этих идеях paHbllle, чем это станет необ-
хо.n:имо.
в заключение .n:окажем 'n:Be теоремы о римаllОВЫХ поверхностях,
Первая И3 этих теорем является аналоrом теоремы о монодромии
для римановых поверхностей, построенных независимо от аналити
ческой функции.
41
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции
385
т е о р е м а 2. Если область О н.а риман.овой nоверхн.оспlll н.е co
держит точек разветвлен.ия, а ее nроекция одн.освязн.ая область,
то область О одн.олистн.а,
Допустим противное. Тоrда в области О найдутся две точки Р.
и Р2' различные меж.n:у собой, но имеющие одинаковую проекuию Zo.
Проекция любой кривой С, соединяющей точки Рl и Р2 (и лежащей
в области О), представляет собой замкнутую кривую С. лежащую
в о.n:носвязной области (J проекции области О. Окрестность каждой
точки области О пре.n:ставляет собой о.n:нолистный Kpyr, так как по
условию область О не со.n:ержит точек разветвления. Поэтому кри-
вая С и.n:ентична кривой С в окрестности каж.n:ой точки области о.
Будем теперь .n:еформировать кривую С в области (1. Каж.n:ой .n:e-
формации кривой С отвечает деформация кривой С. Kor.n:a мы стя-
rиваем кривую С, в точку zo. кривая С также .n:олжна стянуться
в точку. Сле.n:овательно, точки Рl и Р2 не MorYT быть различными.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Следующей теоремой нам придется ПОЛЬЗ0ваться довольно часто:
т е о р е м а 3. Пусть w === F (z) ан.алитическая Фун.КЦ1LЯ, Ото.
бражен.ие, совершае.tюе этой функцией. устан.авливает взаlUnн.о
однозн.ачн.ое соответствие между точка.lffи Рll.lffан.овой nоверхн.ости
аналитической фун.КЦllll F (z) и точками риман.овой nOBepXHocmll
функции <р (w). обратн.ой к фун.КЦllll F (z).
Для .n:оказательства заметим. что точки «rрафика» аналитической
функции F (z), как мы видели BbIllle, нахо.n:ятся во взаимно O'n:HO-
значном соответствии с точками римановой поверхности этой функuии
(если соответствующим обраЗ0М разделИ1Ъ точки, в которых rаз.
личные элементы имеют одинаковые значения), Но {<rрафик» обрат.
ной функции совпадает с «rрафиком» самой функции (при этом JlИlllЬ
меняются ролями координаты z и w), Отсю.n:а немедленно вытекает
Hallle утверж.n:ение,
4. Алrебраические функции
Сейчас про иллюстрируем, как применяются общие соображения
nреды.n:ущих параrрафов на примере иссле.n:ования так называемых
алrебраических функций.
Алzебраической фун.кцией бу.n:ем называть конечнозначную анали-
тическую функцию, имеющую ЛИlllЬ алrебраические особые точки
и притом в конечном числе.
т е о р е м а 1. В каждой точке комnлексн.ой плоскости, над
которой алzебраllческая фун.кция f(z) н.е имеет особых точек,
он.а имеет один.аковое число раЗЛllЧн.ых эле.lffен.тов.
Действительно пусть алrебраическая функция f(z) имеет особые
точки Ha.n: точками Zl. Z2' ..., Zr комплексной плоскости. Тоrд
18 А. rуРВНЦ, Р. курант
386 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОПЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл, 4
любой элемент аналитической функuии j(z) можно аналитически про
.n:олжить в.n:оль любой кривой С, не прохо.n:ящей через точки ZI' , . ., zr'
Если в какой либо точке Zo имеется п различных элементов, то, aHa
литически продолжая по о.n:ной и той же кривой эти элементы в лю
бую точку Z (отличную от точек ZI' ..., Zr), мы получим также раз
личные п элементов. Теорема .n:оказана,
Риманову поверхность алrебраической функuии нужно склеивать
поэтому из п листов. В качестве листов можно взять экземпляры
плоскости, разрезанной по линиям, сое.n:иняющим все точки ZI' Z2, . .. Zr'
шlш
I
Рис. 73,
с точкой 00 (и не пересекающимся между собой). Действительно,
плоскость с такими разрезами пре.n:ставляет собой о.n:носвязную область.
не со.n:ержащую особых точек аналитической функuии f(Z). По Teo
реме о монодромии каж.n:ый элемент аналитической ФУНlЩИИ {(z)
bт
I
Рис. 74.
можно анаЛИ1ически про.n:олжить .n:o функuии, реrулярной в этой
области. Таким обраЗ0М. Hallla алrебраическая функuия в плоскости
С указанными разрезами распадается на п различных реrулярных
функuий, Это и 0значает, что риманову поверхность этой алrебраи
чешой функuии можно склеить И3 п экземпляров плоскости с раз
резами.
При построении римановой поверхности алrебраической функuии
разрезы выбираются с Болыllйй степенью произвола (.n:аже высказан
ные BbIllle условия на эти разрезы не обязательны). При разных раз
резах схематические римановы поверхности MorYT иметь cOBepllleHHo
различный внеlllНИЙ вид (оставаясь, конечно, эквивалентными относи
тельно тополоrических преобра,юваний, сохраНЯlOlI1ИХ проеюlИЮ).
На рис. 73 и 74 nриведены два варианта схематической римановой
!i 4]
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции
387
поверхности аналитической функции f(z)== V l z для двух раз-
личных вариантов выбора разреЗ0В.
Если число листов п равно единице, т. е. если Hallla алrебраиче-
ская функция Однозначна, то особые точки этой функции обязаны
быть полюсами, так как в любой окрестности точки ветвления функ-
ция обязана быть мноrозначной. В окрестности каж.n:оrо И3 полюсов ZI'
Z2' ..., Zr имеет место разложение
f(z)==g. (z 1 zJ+ .(Z)
('1== 1, 2, ..., r),
rде g. (т) мноrочлен от своей переменной, а \..JЗ. (z) функция,
реrулярная в точке z. (при z. == 00 следует заменить Z Z. на ).
Разность
r
f(z) ! g. ( z 1 zJ
. 1
будет функцией, реrулярной во всей плоскости (в том ЧИСле и в бес-
конечности), По теореме Лиувилля (см. 5 rл. 3) эта функция
тождественная постоянная (реrулярность в бесконечности влечет за со-
бой оrраниченность в окрестности бесконечности). Следовательно.
нами доказана
Т е о р е м а 2. Однозначная аЛ2ебраическая функция является
раЦllOнальной функцией.
Пусть теперь п> 1. Обозначим через С 1 (z). .... Сп (z) значения
различных элементов функции f(z) в точке z, над которой нет осо-
бых точек. Рассмотрим основные симметрические функции от вели-
чин С 1 (z), ..., Сп (z), т. е. функции
ерl (z)==C 1 (z) +C 2 (z) +... + Сп (z),
ер2 (z) == С 1 (z) С 2 (z) +. " + Cп 1 (z) Сп (Z).
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
epn(Z)==C 1 (Z)C2(Z) ... Cn(Z),
Функции ер! (z), ..., ерп (z) можно аналитически про.n:олжать по любой
кривой, не прохо.n:ящей через точки, над которыми лежат особенности
аналитической функции f(z). Так как при аналитическом продолжении
в.n:оль любой замкнутой кривой TaKoro po.n:a значения С 1 (z), ..., Сп (z)
MorYT оказаться ЛИlllЬ перестав ленными, то функции ерl (z), ..., 'Рп (z)
о.n:нозначны. Палее очеви.n:но, что функции epk (z) будут алrебраиче-
скими функциями, так как сумма и произведение функций, имеющих
в точке Zs алrебраическую особенность, тоже имеют в этой точке
алrебраическую особенность. Cor ласно теореме 2 функции ерl (z), . ..
18.
388 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rn, 4
..., <Рп (z) являются рациональными функциями. Но значения Сl (z),
С 2 (z), ..., Сп (z), cor лас но теореме Виета, являются корнями уравнения
сп <рl (Z)Cn l +.. .+( 1)" <fn(Z)== О.
Умножив обе части этоrо уравнения на общий знаменатель рацио
нальных функций <Рl (z), <Р2 (z), ..., <fn (z), придем к уравнению, коэф-
фициентами KOToporo являются мноrочлены. Тем самым доказана
Т е о р е м а 3. Значения аЛ2ебраической функции удовлетво-
ряют аЛ2ебрazlческому уравнению, т. е. уравнению
po(Z)Cn+Pl(Z)Cn l +...+pn(z)==O, (1)
2де Ро (z), Рl (z),..., Pn (z) МНО20членbt от Z, не имеющие обще20
делителя,
3 а м е ч а н и е. Уравнение (1) неприводимо, т. е. ero левая часть
не может быть представлена в виде произве.n:ения 'n:BYx мноrочленов
от z и С, каждый И3 которых отличен от тождественной постоянной.
Действительно, допустим противное. Тоrда уравнение (1) можно
бу.n:ет записать в ви.n:е Р 1 (z, С) Р 2 (z, С) == О, r.n:e Р 1 (z, С) И Р 2 (z, С)
мноrочлены от z и С, не сво.n:ящиеся к тож.n:ественным постоянным.
Пусть (zo, со (z» точка римановой поверхности (в узком смысле
слова) наlllей алrебраической функции. И3 равенства Р 1 {z, 1.:0 (z» Х
Х Р 2 (z, СО (z» == О, справе.n:ливоrо в некоторой окрестности точки Zn,
видно, что хотя бы один И3 сомножителей Р 1 (z, СО (z» или Р 2 (z, СО (z»
обращается в этой окрестности в нуль на бесконечном множестве
точек, имеющем пре.n:ельную точку, лежащую в этой окрестности.
Тоrда этот множитель (.n:ля опре.n:еленности Р 1 (z, СО (z») будет по тео-
реме единственности равен нулю при любых продолжениях, т. .
Р 1 (z, f (z» О. Это 0значает, что уравнение Р 1 (z, С) == о должно
удовлетворяться всеми значениями С 1 (z), С2 (z), ..., Сп (z) аналитической
функции f(z) в точке z. Следовательно, функция Р 1 (z, С) как мно-
rочлен от С .n:олжна иметь степень не ниже п, и И3 равенства
Р 1 (z, С) Р 2 (z, С) == Ро (z) сп + Рl (z) cп l +. .. + Pn (z)
мы видим, что множитель Р 2 (z, С) не бу.n:ет зависеть от С. ОТ z он
также не может зависеть, так как мноrочлены Pk (z) по условию
не имеют общеrо делителя. Таким обраЗ0М, функция Р 2 (z, С) является
70ж.n:ественной постоянной. Полученное противоречие со с.n:еланным
допущением .n:oKa3bIBaeT Hallle утверж.n:ение.
Докажем теперь теорему, обратную к теореме 3.
Т е о р е м а 4. f{0pftll С 1 (z), С 2 (z), ..., Сп (z) неприводUМО20 аЛ2е
6раичеСКО20 уравнения (1) при любом z являются значеftlLЯми
-одной и той же аЛ2ебраической функции.
При любом z, отличном от корней мноrочлена Ро (z), уравнение (1)
имеет п корней. Среди этих корней будут равные только в случае,
s 4)
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции
389
J<оrда z является корнем ,.n:искриминанта уравнения (1). Известно *),
что дискриминант уравнения (1) это мноrочлен, который для непри
ВОДимоrо уравнения отличен. от тождественноrо нуля. Таким обраЗ0М,
.n:ля всех z, за исключением конечноrо числа точек (нулей MHoro-
члена Ро (z) и нулей дискриминанта) уравнение (1) имеет п различных
корней
Сl (z). С2 (z), ..., Сп (z).
Возьмем точку zo. отличную от всех исключительных точек, и обо
значим через СО о.n:ин И3 корней уравнения (1) при z == zo. По теореме
о неявноf1 функции (см. 2 rл. 2) существует функция Цz). pery-
лярная в точке zo. .n:ля которой С (zo) == со и
Ро (z) [С (z)]" + Рl (z) [С (Z)]n l +. .. + Рп (z) == О (2)
для всех z И3 некоторой окрестности точки Zo (теорема о неявной
функции применима, так как И3 отсутствия кратных корней у урав-
нения (1) при z == Zo следует, что производная левой части уравне-
ния (1) по С при z==zo. с==с о отлична от нуля). По теореме е.n:ин-
ственности равенство (2) сохраняет силу и для любых про.n:олжений
функции С (z). Ясно. что аналитическое продолжение функции С (z)
возможно по любой кривой, не проходящей через ИСключительные
точки (в силу той же теоремы о неЯБНОЙ функции). В результате
аналитическоrо про.n:олжения функции С (z) получим аналитическую
функцию (.n:ля которой сохраним то же обозначение), все значения
которой у.n:овлетворяют уравнению (1). Отсюда следует, в частности,
что эта аналитическая функиия будет не более чем п-значной. Дока-
жем, что все особенности аналитической функции С (z) являются алrе
браическими особыми точками,
Интересующими нас особенностями функции С (z) MorYT быть лишь
упомянутые BbIllle исключительные точки. Пусть z* одна И3 них
(.n:ля опре.n:еленности пре.n:положим. что z*::j::. 00; для случая. Kor.n:a
z* == 00, рассуждения проводятся совершенно аналоrично). Нам доста-
точно .n:оказать. что функиия 1j (z) == (z Z*)k С (z) при .n:остаточно
б-олыllмM k стремится к нулю при z z*. Действительно. тоrда И3
конечнозначности функции 1j (z) (и И3 Toro. что особые точки являются
ИЗ0лироваНIIЫМИ) бу.n:ет сле.n:овать, что точка z* является алrебраи-
ческой особой точкой .n:ля функции 1j (z), а следовательно, и для функ
иии С (z).
Функция 1j (z) == (z z*i с (z). как HeTpY'n:Ho убедиться, у.n:овлет
воряет уравнению
1jn + (z Z*)k Р. (z) 1jn l + . . . + (z Z*)"k Pn (z) == О. (3)
Ро (z) Ро (z)
При .n:остаточно БолыllмM k все коэффициенты этоrо уравнения (кроме
коэффициента при 1j") стремятся к нулю при z z*. Но тоrда и все
*) См., lIапример, А. [. к у р о Щ, Курс высшей алrебры, 1965.
390 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл, ..,
корни этоrо уравнения стремятся к нулю при z z*. Действительно,
И3 равенства
'Yjn+Ol'Yjn l +. ..+Оn==О
получаем оценки
n
1'Yj ,n I 'yj 'n 1 I 0.1 при I 'yj I 1,
. I
n
1'Yj In 10.1 при 1'Yj1< 1,
. I
йВ которых вытекает, что
n n I
I 'yj I тах { I 0.1, ( 1 о. I )n}
, I , I
Отсюда непосре.n:ственно видно, что все корни уравнения стремятся
к нулю. Kor.n:a стремятся к нулю коэффициенты.
Следовательно, мы .n:оказали, что аналитическая функция С (z) имеет
только алrебраические особые точки и притом в конечном числе,
т. е. что (z) алrебраическая функция. Эта функция не может при
НИlllать значения, отличные от корней уравнения (1). Если бы она
принимала не все значения корней уравнения (1), а ЛИlllЬ т < п
И3 них (хотя бы в одной точке, над которой нет особых точек), то
она была бы т значной алrебраической функцией. Cor ласно теореме 3
она удовлетворяла бы уравнению
vt(Z)c m +рТ (Z) т l +.. .+p (Z)==O.
Левая часть этоrо уравнения была бы .n:елителем левой части ypaB
пения (1), что невозможно, поскольку уравнение (1) неприво.n:имо.
Тем самым теорема .n:оказана.
Пусть С (z) некоторая алrебраическая функция. Каждая фушщия
вида R (z, (z)), rде R рациональная функция своих переlllенных,
очеви.n:но, однозначна на римановой поверхности аналитической функ
ции (z) и имеет на этой римановой поверхности ЛИlllЬ конечное
число полюсов. Справедливо и обратное:
Т е о р е м а 5. Любая анаЛllтllческая ФУНКЦllЯ w (z), однознач
ная на pzUrtaHOBoii поверхности ОЛ2ебраllческой ФУНКЦlllZ (z) II не
llмеющая на этой пOBepXHocmll llHbtX особых точек, кроме конеч
НО20 ЧZlсла полюсов, lиffеет вид
w (z) == R (z, (z)),
2де R раЦllональная ФУНКЦllЯ своих переменных.
Пусть п числО листов римановой поверхности алrебраической
функции (z). ОбознаЧИlll через Wl (z), ..., W n (z) значения, принима
еlllые аналитической функцией W (z) в точках РИlllановой поверхности
41 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции 391
ФУНlЩИИ С (z), расположенных над ТОчкой z. Образуем ФУНlЩИИ
WI (z) +.,. + w n (z) == <Ро (z), }
1 Z):I Z). ....: n.(Z C ( ) . :1 Z): (4)
Wl (z) [С 1 (z)]n 1 +. . . + w n (z) [СП (z)]n 1 == <Pn 1 (z),
rде С 1 (z), ..., Сп (z) значения, принимаемые функцией C(z) в соот-
ветствующих точках римановой поверхности, расположенных над точ-
кой z. Как и выше, доказывается. что функции <Ро (z), .,. '<Pn 1 (z)
рациональные функции z. Если рассматривать равенства (4) как
систему линейных уравнений .n:ля Wl (Z), ..., W n (Z), то определитель
этой системы равен KBa.n:paTHoMY I(ОРНЮ И3 .n:искриминанта ypaBHe
ния F (z, С) == О, кото юму у.n:овлетворяет Hallla алrебраическая функ-
ция С (z). Как мы уже отмечали, известно, что этот дискриминант
является мноrочленом. отличным от тож.n:ественноrо нуля. РазреlllИМ
систему (4) относительно Wl (z). Соrласно правилу Крамера
( ) D( (z. 1;2. ..., сn)
Wl Z == 1;; 1;;
D«(,.... n) ,
r.n:e D «(1. ..., Сп) опре.n:елитель системы (4), а DI (z, С 2 , .... Сп)
опре.n:елитель, получающийся И3 не['о заменой элементов первоrо
столбца (т. е. 1, 1:1 (z), .. ., c -I (z» на <Ро (z). ..., <Pn 1 (z). Леrко ви.n:еть,
'Что ОТНОlllение
D] (z, С2. .... I;;n)
D (1;;(. ..., t;;n)
является симметрической функцией С 2 , 1:3. ..., Сп (и числитель и зна-
менатель меняют зн3I<. если какие либо 1:k и C s поменять местами).
Кроме Toro, это ОТНОlllение является, очеви.n:но, рациональной функ-
l.I,Ией от С 1 . С 2 . .... Сп и от z. Рациональные симметрические функции
от С 2 , (3' ..., Сп выражаются ршщональным обраЗ0М через основные
рациональные функции от С 2 . С 3 ' ..., Сп. т. е. через коэффициенты
мноrочлена по С:
р (z, С) == (С С 2 (z» ... (С Сп (Z».
Но этот мноrочлен обязан совпа.n:ать с мноrочленом
F (z. 1;;) (1;; 1;;] (z» ... (1;; I;;n (Z»
t;; t;;(Z) t;; l;;l(Z)
l<оэффициенты KOTOpOrO являются раlI,иональными функциями от z и С.
Сле.n:овательно, интересующее нас ОТНОlllение выражается рациональным
обраЗ0М через z и С 1 (z). Таким обраЗ0М. wt (z) == R (z, С 1 (z». rде R
рациональная ФУНlщия своих переменных. По теореме е.n:инственности
отсю.n:а BЫTeKae , что и W (z) == R (z, «z». Теорема доказана.
392 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rjJ., .4
5. Принцип симметрии Римана Шварца
в 1 мы MHoro rоворили об общих и.n:еях аналитическоrо про-
должения. Сейчас мы И3ЛОжим о.n:ин конкретный прием, часто упот-
ребляемый для построения аналитическоrо про.n:олжения. Конечно, этот
прием применим .n:алеко не во всех случаях, но зато с ero помощью
аналитическое про.n:олжение строится исключительно просто. Преж.n:е
чем сформулировать этот прием, .n:окажем O'n:HY простую теорему,
Т е о р е м а 1. Пусть области а II 01 не llмеют общzlх точе!'
и .2раничат дРУ2 с дРУ20М по некоторой КУСОЧНО-2ладкой кривой L.
Пусть, далее, ФУНКЦ1111 I(z) II 11 (z) рпулярны в областях а 11 О 1
соответственно и непрерывны в замыканиях этих о б/щстf!Й.
Если значеНllЯ функций I(z) и 11 (z) на кривой L совпадщрт.
то функция 11 (z) является аналитическим продолжением функ-
Цlll1 I(z) на область 01 (и наоборот).
Лля .n:оказательства обозначим через 0* объе.n:инение областей а
и 01' а также кривой L, являющейся общей частью rраниц этих
областей. Через F (z) обозначим функцию, опре.n:еленную в замьжа-
нии 0* области 0* равенствами
F(z)==/(z)
(z Е О),
F (z) == 11 (z)
(z Е (]1)
(эти равенства непротиворечивы, так как на общей части rраниц
областей а и 01 значения фУНlщий 1 (z) и 11 (z) совпадают). Рассмот-
рим функцию
Ф(z)== С P(t} dt
27tl J t z
дО.
(дО* rраница области 0*). Соrласно теореме 2 7 rл. 2 эта.функ-
ция реrулярна в области 0*.
С .n:руrой стороны, если точка z не лежит на КрИВОЙ L, то, при-
нимая во внимание опре.n:еление функции F (z), получаем, что
Ф ( z ) == С f(t) dt + fl(t} dt ( 1 .)
27tl J t z 27tt t z
дО д 1
(мы добавили два интеrрала по кривой L, проходимые в различных
направлениях). При z Е а первый интеrрал в правой части равенства (1)
равен I(z) соrласно интеrральной формуле КОlllИ, а второй нулio
по теореме КОlllИ. Аналоrично при z Е 01 первый интеrрал равен
нулю, а второй 11 (z). Сле.n:овательно,
Ф(z)==F(z) (z Е а, z Е ад.
в силу непрерывности фУНlщий Ф (z) и F (z) это равенство справед-
ливо и во всей области 0*. Таким оБРВЗ0М, мы .n:оказвли реrулнрноць
.функции F(z) в области 0*, а отсюда .сразу вытекает утверждение
теоремы.
5] i
ПРИНЦИII СИМ. ЕТРИИ РИМ.АНА lllВАРЦА
393
Теперь сформулируем прием, о котором rоворилось. Сле.n:ующая
теорема носит название пpll1iЦlтa симметрии Римана Шварца:
Т е о р е м а 2. Пусть область О лежит с одноЙ стороны деЙ
стВllтельной оси и отрезок L действительной оси является частью
zраницы области а. Если функция I(z) реzулярна в области О
и непрерывна в ее замы1сниии О, а на отрезке L действительной
оси приНимает действительные значения, то функцию l(z) можно
аналuтически продолжить через отрезок L в область 01' сим
.метричную с областью О относительно действuтельной оси.
Продолжение осуществляется с помощью формулы
11 (z) == /(z)
(z Е о.).
(2)
Для доказательства заметим, что ФУНКIlИЯ h (z), опре.n:еленная
в области 01 равенством (2), реrулярна в этой области, так как
1 . 11 (z + h) /1 (z) 1 " ( /(Z + h) 1 (Z» ) j ' ( )
1т h .т z ,
h O h O h
т. е. ФУНКIlИЯ 11 (z) имеет произво.n:ную в каж.n:ой ее точке. }{роме
ТО{'О, ФУНКIlИЯ 1. (z) непрерывна в замыкании области 01. На 0трезке L
действительной оси имеем z == х и z == х, а также 1 (х) == j'(x) , "о-
СКОЛЫ<У ФУНКIlИЯ I(z) на отрезке L принимает .n:ействительные значе-
ния. Таким обраЗ0М, ФУНКЦИИ f(z) и 11 (z) реrулярны в областях О
и 01 И непрерывны в замьшаниях этих областей, а на отрезке L
общей rраницы этих областей принимают ОЛ,инаковые значения. Со-
rласно теореме 1 ФУНКЦИЯ 11 (z) является аналитическим про.n:олжением
ФУНКЦИИ I(z) И3 области О в область о. через отреЗ0К L. Теорема
доказана.
При формулировке теоремы 1 мы сделали совершенно необяза-
тельное предположение, что области О и 01 не имеют общих точек
(а в теореме 2 аналоrичное пре.n:положение, что область О лежит
с о.n:ной стороны .n:ействительной оси). От этих пре.n:положений леrко
освобо.n:иться, рассмотрев .n:остаточно малые части областей О и О.,
примыкающие к кривой L, разделяющей эти области. Стоит заметить,
'11'0, освоБО'n:ИВlllИСЬ от этоrо пре.n:положения, мы можем получить
аналитическое про.n:олжение исходной ФУНКIlИИ в точки, r.n:e она уже
была опре.n:елена, и ее новые значения не будут обязаны совпа'n:а1Ъ
с прежними.
ПРИНIlИП симметрии Римана ШваРllа .n:опускает широкое обоб-
щение, для формулировки KOToporo нам понадобится понятие анали-
тическоЙ кривой.
}{ривую, заданную параметрическим уравнением
z == х (t),
а t Ь,
394 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМ.АНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [rл, 4
бу.n:ем называть аналитической KPllBOU, если функция Х (t) является
реrулярной функцией переменной t на отрезке (а, Ь) (т. е. реrУЛЯрllОЙ
функцией комплексноrО переменноrо t в некоторой области, co.n:ep
жащей этот отреЗ0К) и если х' (t) *- о, а < t < Ь.
Т е о р е м а 3. Пусть 2раница области а содержит аналити
ческую дУ2У L, и пусть функция f(z) рпулярна в области а
и непрерывна в ее замыкании а. ЕСЛll значения фУНКЦllll f (z), пpll
Нllмаемые ею на дУ2е L, расположены на некоторой дРУ20й aHa
литllческой дУ2е Ll' то функцию j(z) можно анаЛllтически llpO
должить через дУ2У L (т. е, ни o'n:Ha внутренняя точка этой .n:уrи
не является особой точкой функции f(z».
Пусть параметрическое уравнение дуrи L:
z === Х (t),
o<t< 1,
а параметрическое уравнение дуrи L 1 :
Z===XI(t), O<t<l.
Не оrраничивая общности, можем считать .n:уrи L и L 1 простыми
.n:уrами, так как можно оrршшчиться иссле.n:ованием сколь уrодно
малой окрестности каж.n:ой точки .n:уrи L. Для простой дуrи co
ответствие меж.n:у точками дуrи и точками отрезка (о, 1), устанавли
ваемое параметрическим уравнением, взаимно о.n:нозначно. Это 0значает,
что существуют функции t === tj!1 (z) И t === tj!2 (z), обратные 1< функциям
z === ;(1 (t) и z === ;(2 (t). Cor ласно теореме об обратной функции (см. 2'
I'Л. 2) функции tj!l (z) И tj!2 (z) являются реrулярными функциями, опре
деленными в некоторой окрестности .n:yr L и L 1 соответственно.
Кроме TorO, эти окрестности .n:yr L и 1 1 (обозначим их D и D 1 )
можно выбрать столь малыми, чтобы функции tj!1 (z) И tj!2 (z) конформно
И взаимно о.n:нозначнО отображали ИХ на некоторую окреспюсть-
отрезка (о, 1) в комплексной плоскости t. Эту окрестность мы обо
значим через 1::.. Рассмотрим теперь функцию
g (t) === tj!2(f (;(1 (t»),
Эта функция опре.n:елена в некоторой части окрестности 1::. отрезкз
(о, 1), имеющей этот отреЗ0К частью ее rраницы. Ясно, что эта функция
реrулярна в своей области определения и непрерывна в ее заМЫI<ании.
J{poMe Toro, значения, принимаемыe этой фУНlщией на отрезке (О, 1).
лежат на отрезке (о, 1). Поэтому, примен,ЯЯ теорему 2. мы прихо.n:им
к HallleMY утверж.n:ению.
Не.n:остап{ом .n:оказанной теоремы является отсутствие формулы,
аналоrичной формуле (2) в теореме 2. Оказывается этот He.n:ocTaToK
можно устранить. вве.n:я понятие точек, симметричных относительно
аналитичешой кривой (указанием на соответствующие формулы я
обязан устному сообщению J{аратеодори):
's 5]
ПРИНI.{ИП СИМ.МЕТРИИ РИМ.АНА lllВАРЦА
395
Пусть аналитическая кривая имеет уравнение
Р(х, у)==О,
tI пусть
х== (t).
y== (t)
( oo<t<oo)
ее параметрическое уравнение. Равенство
F ( (t), (t» == О
(3)
заве.n:омо должно выполняться .n:ля 00 < t < 00, но мы будем
-считать, что оно выполняется и в некоторой окрестности действи
тельной оси. Произвольную точку плоскости, .n:остаточно близкую
1{ наlllей кривой, можно записать в ви.n:е
z== (t) + i (t),
.r.n:e t уже комплексное число (оно .n:ействительно ЛИlllЬ на самой
'кривой). Точка t симметрична с точкой t относительно действитель
'ной оси. Поэтому в качестве точки, Cllмметричной с точной z
относительно нашей аналитической кривой, сле.n:ует взять
z* == rp (t) + i (t).
Поскольку (t) и (t) реrулярные функции, принимающие на .n:ействи-
-тельной оси .n:ействительные значения, в силу теоремы 2 для них
'Имеют место равенства
(t) == (п
(t) == t!> (t).
Поэтому
z* == (t) i (t),
iИ CJlедовательно,
( t ) == z+ z*
2'
z z*
(t)== .
По.n:ставляя эти выражения в равенство (3), мы получаем, что
F ( Z z* , z /* ) == о. (4)
Уравнение (4) позволяет нам .n:ля каж.n:ой точки z опре.n:елить точку
z*, симметричную ей относительно аналитической кривой, заданной
уравнением F (х, у) == о.
Таким обраЗ0М, мы можем ВЫСI<азать сле.n:ующее .n:ополнеНllе к тео-
-реме 3:
При выnолнеНllll условий теоремы 3 аналитическое nродолже
ние функции /(z) через анаЛllтllческую дУ2У L дает фУНКЦllЯ /1 (z),
.построенная по следующему правилу: в точке z*, симметричной
с точкой z областll а относительно аналитической aY2l1 L,
фУНКЦllЯ /1 (z*) npllНllMaem значение, симметричное со значение.Аt
f(z) относительно кривой L 1 .
396 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [r'Ji, >1
в качестве примера выясним, как связаны меж.n:у соббй точки,
симметричные относительно окружности I z I == R. у равнение этой
окружности можно записать в ви.n:е
х 2 + y2==R2, .j
и уравнение (4) принимает ВИД
( Z Z* Y + ( Z 2/* / == R 2 ,
OTKy.n:a находим, что
zz* ==R 2 ,
. R2
z* ==
, z .
Таким обраЗ0М, точка z*, симметричная с точкой z относительно
окружностll, получается nреобразованиелt llН8epcии относительно
этой окружностll. f ,. '
Столь же просто доказывается, что точки, симметjщчные oт
носительно любой прямой, получаются друz из дРУ2а зетж&льны:м
отражением в этой прямой. . - -
в заключение параrрафа отметим O'n:HO следствие И3 теоремы 1:
С л e.n: с т в и е. Если функция, рezулярная в области а и не...
прерывная в ее замыкании, обращается в нуль на zладкой (Jyze
zраюlЦЫ области а, то эта фУНКЦllЯ тождественно равна нулю.
Действительно, эту ФУНКЦИЮ можно было бы аналитичесiш про
ДОЛЖИ1Ъ, СОrласно теореме 1, через упомянутую .n:yry, положив функ
ЦИЮ /1 (z) равной нулю. По теореме е.n:инственности вся аналитическая
ФУНКЦИЯ, полученная аналитическим продолжением ФУНКЦИИ 11 (z),
.n:олжна быть тож.n:ественным нулем. В частности, и ФУНКЦИЯ f(z)
должна быть тож.n:ественным нулем.
Это сле'n:Ствие является .n:o некоторой степени обобщением теоремы
единстненности, так как по теореме е.n:инственности реrулярная фУI;IК
ция (отличная от тождественноrо нуля) не может обращаться в нуль
на кривой, лежащей внутри области реrулярности, а .n:оказанное
сле.n:стВие утверж.n:ает, что это верно и для rлащшх КрИВЫХ, лежащих
на rранице области реrулярности.
Доказанное сле.n:ствие можно сформулировать еще и так:
Две различные функциll, рezулярные в области а 11 непрерывные
8 ее замыкании, не Mozym совпадать на сколь уzодно малой
zладкой дуzе zраницы.
rлава пятая
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
в пре.n:ы.n:ущих rлавах мы занимались rлавным обраЗ0М вопросами
обшеrо характера. Это было необхо.n:имо для вве.n:ения соответствую
щей терминолоrии и .n:ля доказательства основных рабочих результатов.
Сейчас займемся разносторонним исследованием наиболее употреби
тельных элементарных функций. Познакомимся с их особыми точками,
римановыми поверхностями и с соверlllаемыми ими отображениями,
а также со свойствами течений жи.n:кости, отвечающих задаваемым
ими комплексным nотешщалам.
1. Дробно линейные функции
Мы начнем со знакомства с ОДНОй И3 наиболее простых аналити
ческих функций с дроб1iО ЛIl1iеЙ1iОЙ функцией
c az+b
cz+d
(ad Ьс -::/:: О).
(1)
З.n:есь а, Ь, с, d комплексные числа. Условие ad Ьс =F- О 0значает,
что функция С (z) не сво.n:ится к постоянной.
Лробно линейную функцию называют также дробно линейным пре
обраЗ0ванием или дробно линейной подстановкой (иноrда употребляют
термин «линейная функция» или «линейное преобраЗ0вание»; мы
предпочтем сохранить эти термины для случая, коrда в равенстве (1),
опре.n:еляющем функцию С (z), с == О).
Лробfю линейная функция (1) является реrулярной ФУНIщией
во всей плоскости z, за исключением точек, r.n:e знаменатель обра
щается в нуль. При с == О (в случае линейной функции) таких точек
d
нет, а при с =F- О есть одна такая точка z == . Леrко видеть,
с
чтО при с =F- О дробно линейная фу НIщи я реrулярна и в бешонечно
d
у.n:алеНI-IОЙ точке. В точке z === -- функция (z) имеет простой по'
с
люс. Таким обраЗ0М, доказано:
398
ИССЛЕдовАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл,5
с пой с т в о 1. Дробн.о-лин.ейная ФУН1Сция (1) рпулярна ВО всей
d
расширенной плос1СОС ти z, за иС1Слючением тОЧ1Си z === , r де
r.
она имеет простой полюс.
Пусть мы имеем две дробно-линейные ФУНКЦИИ
у ( ) a 1 z + Ь 1 у ( ) a.z + Ь.
'"1 Z + d ' '"2 Z + d .
c 1 z 1 c.z.
Тоrда функция
a.z+ Ь. + Ь
а 1 + 1
Са (z)===C 1 (C2(Z»== c.z d. азz+Ьз
с a.z+ Ь. +d с з z + d з
1 c.z+d 2 1
также будет дробно-линейной функцией. Леrко проверить, что
аа=== alil-;! + Ь 1 С 2' Ь а == аl Ь 2 + b 1 d 2 ,
Са === Сl а 2 + d 1 C 2' d з == С1Ь2 + d 1 d 2
и что
aada ЬаСа === (aldl Ь 1 С l) (a2 d 2 Ь 2 С 2).
ДЛЯ этих формул существует простой способ записи: с дробно-ли-
ней ной функцией (1) связываем матрицу Т=== (; ). Tor.n:a, если функ-
цИИ С 1 (z) отвечает матрица Т 1 . а функции С 2 (z) матрица Т 2 , то
функции С 1 ( 2 (z» отвечает матрица Т 1 Т 2 . В СВЯ3И С такими обозначе-
ниями дробно-линейное преобраЗ0вание С 1 (С2 (z» часто называют про-
изведеНllем дробно-лин.ейных преобразований С. (z) и С 2 (z).
И3 равенства (1) лешо выразить z через :
cC a
z=== dC+b ' (2)
Это равенство 0значает, что ФУН1СЦllЯ, обратная 1с дроБНО-ЛllНейной
ФУН1СЦllll (1), та1Сже является дроБНО-ЛllНейной фУН1СЦllей. Отсюда
11 И3 свойства 1 сразу получаем
С в о й с т в о 2. ДроБНО-Лllнейная ФУН1СЦllЯ (1) устанаВЛllвает
взаимно однозначное coomBemCfflBlle между тОЧ1Сами раСШllренной
пЛОС1Состll z и тОЧ1СаМll расширенной пЛОС1Сости С. Это соответ-
ствие является, очевидн.о, 1Сон.фОР,IilНЫМ отображением.
Свойство 2 является характерным свойством .n:робно-линейной
функции. Оказывается, справе.n:лива сле.n:ующая
Теорема 1. Если ФУН1СЦllЯ C===f(z) отображает взаllМНО
однозначно II 1Сонформно расширен.ную пЛОС1Сость z н.а. расширенную
пЛОС1Сость С, то f(z) дроБНО-Лllнейная ФУН1СЦllЯ.
При .n:оказательстве мы можем без оrраничеllИЯ общности считать,
что f (00) === 00, так как ЭТОl'О можно добиться, совеРlllИВ над функ-
11
ДРОБНО ЛИНЕйНЫЕ ФУНКЦИИ
399
цией [(z) некоторое .n:робно линейное преобраЗ0вание, а мы 3Юlем,
что произве.n:ение .n:робно линейных преобраЗ0ваний является дробно
линейным преобраЗ0ванием (как и преобраЗ0вание, обратное к дробно
линейному). Если [(00)==00, то функция [(z) реrулярна во всей
конечной плоскости z, в бесконечно у.n:аленной точке имеет полюс
(поскольку [(z) 00 при z 00). По теореме 2 5 rл. 4 ФУНlщия
[(z) является мноrочленом. Если бы степень этоrо мноrОЧlIена была
BbIllle первой, то существовала бы точка Zo, в которой [' (Zo) == О.
в конце 2 rл. 4 мы установили, что в окрестности такой точки
(критическая точка) отображение С == [(z) не может быть конформным.
Сле.n:овательно. f(z) мноrочлен первой степени. и теорема доказана.
Нас бу.n:ет интересовать сейчас отображение с помощью .n:робно
линейной функции окружностей плоскости Z (будем называть окруж
ностями и прямые, считая их окружностями
бесконечно Болыllrоo ра.n:иуса).
Л е м м а. Точки Zl' z\!, zs' Z4 лежат на
одной окружноспш в том и только в том
случае, КО2да их аН2армоническое отношение
d ) ZЗ Zl Z, ZI
(Zl' Z2' Zs, Z4 == :
Z3 Z2 Z. Z2
равно действительному ЧllСЛУ.
Лля доказательства обозначим
Рис. 75.
Z. Zl ( ) ( )
а == arg.....:......... == arg Z3 Zl arg Z3 Z2 ,
Z3 Z2
== arg z. Zl == arg (Z4 Zl) arg (Z4 Z2)
z. Z2
(О a<2т:, O @<2т:).
Иными словами, а ЭТО тот наименыllйй уrол,
на который нужно повернуть против часовой
стрелки отреЗ0К (Zз, Z2) BOKpyr точки Zз, чтобы
он попал на луч, и.n:ущий И3 точки Z3 В точку Zl'
Уrол имеет тот же смысл с заменой ТОЧI<И Z3
точкой Z4' При HallleM опре.n:елении всеrда Рис. 76,
О а < 2т:, О < 2т:.
И3 рис. 75 и 76 леrко видеть, чтО а == , если точки Z3 И Z4
лежат на одной дуrе окружности, сое.n:иняющей точки Zl и Z2 (как
вписанные yr лы, опирающиеся на O'n:HY и ту же дуrу). Если же точки
Z3 и Z4 лежат на разных дуrах, то а == -+ т:. В первом случае имеем
eiU. == ei , а во втором eiU. == ei . В любом случае величина
d ) I ZЗ ZI Z4 ZI \ eiu.
(Zl' Z2' Zз, Z4 == : ii'
ZЗ Z2 Z4 Z2 е
Z4
.n:ействительна. Обратное утверждение доказывается с помощью тех же
соображений.
400
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМ.ЕНТАРНЫХ ФУНкЦИй
[rл,5
С в О fi с т в о 3. Прll дробно-линейном nреобразоваЮlll (1) анюр-
..моническое отношение любых четырех попарно различных точек
.сохраняется, т. е.
d (Zl' Z2' Z3' Z ) == d (tl' С2' С 3 ' C ),
.zде Сk==ЦZk)' k== 1, 2, 3, 4.
Действительно,
. C azk+b azт+b (ad bc)(Zk Zт)
"'k т cZk+ d czт+d ('::Zk+ d ) (czт+d)'
TKyдa без Tpy.n:a получаем, что
СЗ Сl .С' С\ ZЗ Zl .Z, Zl
С 3 С 2 . С. С 2 Z3 Z2 . Z. Z2 .
И3 свойства 3 и И3 леммы немедленно получаем
С в о fi с т в о 4. Дробно-линейное nреобразование (1) переводит
любую окружность плоскости Z в окружность плоскости С.
Это свойство часто называют КРУ20вым свойством дробно-ли-
нейной функции.
Для некоторых вопросов бывает полезно изображать значения
дробно-линейной функции С (z) не на от.n:ельной плоскости С, а на
70Й же плоскости z. При таком изображении особое значение получают
7е точки, которые остаются на месте после преобраЗ0вания. Эти
точки называются неnодвllЖНЫМll точками .n:aHHoro .n:робно-линейноrо
преобраЗ0вания. Условие непо.n:вижности точки z* при дробно-линейном
преобраЗ0вании (1) очеви.n:но. Оно имеет вид
z* == az*+b
cz* + d
или
CZ*2 + (d а) z* Ь == О.
(3)
Если а == d, а Ь == с == О, то преобраЗ0вание (1) является тождест-
венным, т. е. С (z) = z. В этом случае все точки плоскости z непо.n:-
вижны. Если исключить этот тривиальный случай, уравнение (3) имеет
два простых корня или о.n:ин .n:ВОЙllOй (при с == О мы считаем значение
z* == 00 корнем уравнения (3».
Предположим сначала, что уравнение (3) имеет 'n:Ba различных
конечных корня Zl и Z2' В этом случае каж.n:ая окружность, прохо.n:я-
щая через точки Zl И Z2' переводится преобраЗ0ванием (1) в некоторую
окружность, прохо.n:ящую через те же точки, Если обозначить через
К семейство окружностей, прохо.n:ящих через точки Zl и Z2' то можно
сказать, что семейство К переводится преобраЗ0ванием (1) в себя.
taK как преобраЗ0вание (1) конформно, то семейство К', состоящее
n3 окружностей, ортоrональных к окружностям семейства К, тоже
До.r.:жно переходить в себя. Сле.n:ует ра3ЛИЧа1Ъ три возможных случая:
1]
ДРОБНО ЛИНЕйНЫЕ функ:ции
401
1) Каждая О1сружность семейства К переводится преобразова
нием (1) в самое себя.
В этом случае мы можем предстаБЛЯТЬ себе, что каждая точка
плоскости переходит Б СБОЙ образ при отображении (1), ДБиrаясь
по ОКРУЖНОСТЯМ семеЙСТБа К. В этом случае преобра30Бание (1)
наЗЫБается i!иперБОЛllчеС1СllМ.
2) Каждая О1сружность семейства К' переводится преобразо
ванием (1) в самое себя,
В этом случае точки переходят в СБОИ образы, ДБиrаясь по окруж
ностям семейства К, а преобра30Бание (1) на3ЫБается ЭЛЛlттllчеС1Сим.
3) Ни одна 01Сружность семейства К и ни одна 01Сружность
семейства К' не переводится преобразоваНllем (1) в себя.
В этом случае преобра30Бание (1) на3ЫБается ЛО1СсодРОМllчес1ClUn.
ВЫБедем теперь общий БИД преобра30Баний этих трех типов.
С этой целью Бозьмем точки Z3 и Z на какой либо окружности, про
ходяш.ей через неподвижные точки Zl и Z2' И обозначим через 1:3 и 1:2
образы этих точек при отображении (l). Образы неподпижных точек
совпадают с ними самими. Поэтому И3 свойстпа 3 мы получаем pa
венство
Z3 Z\ . Z Zl СВ ZI . С ZI
Z3 Z2 . Z Z2 СВ Z2 ' С Z2 .
(4)
В случае, если преобраЗ0вание (1) является rиперболическим, точки
Zl' Z2' Zз, 1:3 лежат на одной окружности и, соrласно лемме, величина
С З Zl Z3 ZI
а=== СЗ Z2 : ZЗ Z2
деЙСТБительна (и отлична от нуля). Поэтому раБеНСТБО (4) дает
C ZI Z ZI
С Z2 === а Z Z2 (1т а === О, а # О). (5)
Обратно, И3 формулы (5) сле.n:ует, что точки Zl' Z2' Z, 1: лежат на
.о.n:ной окружности. Поэтому формула (5) дает нам общий вид
i!llперБОЛl1чеС1СОi!О преобразова1tllЯ с неподвижнbtМll тОЧ1Сами Zl 11 Z2'
Для эллиптическоrо преобразопания на ОСНОБании И3Бестной И3
элементарной rеометрии теоремы Аполлония можно написать равенство
I С ZI I === I Z Zj l ' (6)
C Z2 Z Z2
0значаюш.ее, что точки С и Z лежат на ОДНОЙ и той же окружн.о.-сти
из семеЙСТБа К'. Это равенство раБНОСИЛЬНО равенстпу
C ZJ Z ZI
С Z2 === а Z Z2 (1 а I === 1, a:f: 1). (7)
402
ИССЛЕдовАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл.5
Формула (7) дает нам оБЩllЙ вид эллиптическою преобразоваЮ1Я
с неподВllжными точками ZI и Z2 *).
Общий вид локсодро.J.lllчесКО20 преобразоваЮ1Я с неподвиЖНЫАfll
точками ZI 11 Z2:
Zl ==а Z ZI
Z2 Z Z2
(1т а # О, I а I *- 1).
(8)
Если одна И3 неподвижных точек, скажем Z2' уходит в бесконечность,
то мы можем записать преобраЗ0вание в ви.n:е
) z.
1: ZI==':J.(Z ZI
Z Z.
и перейти к пределу при Z2 00. Это даст нам формулы для пре
обраЗ0ваний, имеющих O'n:HY И3 неподвижных точек в бесконечности.
При этом rиперболическое преобраЗ0вание имеет вид
1: ZI == а (z zд
(1т а == О, а # О),
т. е. rиперболическое преобраЗ0вание с неподвижной точкой в бес
конечности шшяется преобраЗ0ванием подобия с центром в точке ZI.
Переходят в себя при таком преобраЗ0вании прямые, проходящие
через точку ZI. Эллиптическое преобраЗ0вание имеет вид
1: ZI ==a(z ZI)
(1 а I == 1, ':J. # 1),
т. е, оно является преобраЗ0ванием вращения BOKpyr точки ZI. При
этом преобраЗ0вании переходят в себя окружности с центром в точке
ZI. Локсодромическое преобраЗ0вание составлено и И3 подобия, и И3
вращения. При локсодромическом преобраЗ0вании перехо.n:ят в себя
лоrарифмические спирали с фокусом в точке ZI' Название преобразо-
вания объясняется тем, что лоrарифмические спирали называются
также ЛOl{содромиями.
Обратимся теперь к случаю, коrда обе неподвижные точки пре
обраЗ0вания (1) сливаются в одну, т, е. коrда уравнение (3) имеет
один .n:войнОЙ корень ZI. В этом случае преобраЗ0вание называется
параболичеСКll.lf. Общий вид TaKoro преобраЗ0вания при конечных ZI:
+
Zl Z Zl
( # О).
(9)
Действительно, если преобраЗ0вание (1), переводящее точку Z в точку
(" имеет двойную неподвижную точку ZI' то преобраЗ0вание, пере-
водящее точку Z ZI В точку 1: ZI' должно иметь двойную непо-
движную точку z* == о. И3 уравнения (3) мы видим, ЧТО это В03МОЖНО
*) При cl == 1 ПО.'Iучаем преобразование, которое является OДIIOBpe
менно и l'иперБОllИческим, и эллиптическим.
1]
ДРОБНО-ЛИНЕйНЫЕ ФУНКЦИИ
403
ЛИlllЬ В случае, Kor.n:a а d, Ь О, с * О, Это 0значает, что пре
обраЗ0вание, переводящее точку 1: Zl В точку Z Zl' имеет вид
а (Z Zl)
1: Z
1 С (Z Zl)+a
с
Обозначая , леrко получаем отсюда формулу (9).
а
При Zl 00 общий вид параболическоrо преобраЗ0вания дается
формулой
1: Z+1
(1 * О).
(10)
Параболическое преобраЗ0вание можно рассматривать как "pe
дельный случай преобраЗ0вания с двумя различными неподвижными
точками, При предельном переходе Z2 Zl по некоторой прямой
семейство окружностей К, проходящих через точки Zl и Z2' обращается
'в семейство окружностей, касающихся друr друrа в точке Zl (и Ka
сающихся той прямой, по которой Z2 zд. Семейство К' обращается
в этом случае в семейство окружностей, касающихся в той же точке
Zl перпепдикулярной прямой, При Zl 00 ЭТИ семейства окружностей
становятся .n:вумя ортоrона.1JbНЫМИ семействами параллельных прямых.
Дробно-линейная функция (1) зависит по существу ЛИlllЬ от трех
J10СТОЯННЫХ, поскольку все числа а, Ь, с, d можно умножить на про
113ВОJlЬНЫЙ множитель (отличный от нуля), не меняя значения функции.
Имея три параметра, мы можем потребовать, чтобы преобраЗ0вание
(1) переводило три заданные попарно различные точки ПJlOскости Z
В три друrие попарно различные точки плоскости 1:, Эта задача Bcer.n:a
разреlllима, в чем проще Bcero убедиться с помощью следующей
формулы для ее реlllения С Цz):
Cl . 3 1 Z Zl .ZЗ Zl
2 . 3 2 Z z . Z3 Z2 .
Так как три точки определяют окружность, отсюда следует, в част
ности, что с помощью дробно линейной функции можно найти KOH
форм ное отображение любых двух KpyroB друr на друrа. Для упро
щения выкладок при реlllt:НИИ ЭТОЙ задачи полезно понятие симметрии
точек относительно окружности (ср. 3 rл. 4):
Две точки плоскости называются симметричными оmНОСllmельно
vанной О1сружносmи, если они обе лежат на одном луче, выхо.n:ящем
113 центра ЭТОЙ окружности, и если произведение расстояний этих
точек от центра окружности равно квадрату ее ра.n:иуса.
Центр окружности будем считать симмеТРИЧНЫ:l1 относительно
окружности с бесконечно удаленной точкой. Коrда окружность вы-
рож.n:ается в прямую, симметрия точек относительно окружности пре
вращается в симметрию точек относительно прямой.
ПреобраЗ0вание плоскости, которое переводит каждую точку ПЛQС
НОСТи в точку, симметричную ей относительно заданной окружности,
404
ИССЛЕДОВАНИЕ HE OTOPЫX ЭЛЕМЕнТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл".11
называется llHBepCllea В этой окружности. Формула для преобразо
вания инверсии в окружности I z Zo I === r имеет вид
r 2
zo=== ,
z zo
Отсюда видно, в частности, что nреобразоваНllе llHBepCllll является
«онФормным отображеНllем С llзменением наnравлеН/lЯ отсчета
уzлов.
Понятие симметрии относительно окружности мы ввели ради
следующей теоремы:
Т е о р е м а 2. Пусть , ' II К' образы точе« z, z' и о«руж
ности К соответственно пpll дроБНО Лllнейном отображеН/ш.
Если тОЧ«ll z и z' Сllмметричны относительно о«ружности К. .,
то тОЧ«ll и r.: симметричны относительно о«ружности К'.
С помощью известной теоремы элементарной rеометрии (<<про
нзведение секущей на ее внеlllНЮЮ часть равно квадрату касатель
НОЙ») лепю доказыеается, что точки Zl И Z2 симметричны ОТНОСИ
тельно окружности r в том и только в том случае, коrда любая
окружность С, проходящая через точки Zl и Z2' ортоrональна окруж
ности r. Дробно линейное отображение переводит семейство окруж
ностей, проходящих через точки z и z' и ортоrональных окружности
К, в семействО окружностей, проходящих через точки и ' и OpTO
rональных окружности К'. Поэтому точки и ' симметричНы OTHO
сительнО окружности К'. Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров отыскания отображений дробно
линейными функциями.
в качестве первOfО примера найдем общий вид дробliO линейноrо
отображения верхней полуплоскости 1т z> О на внутренность еди
ничноrо Kpyra I I < 1. Если функция
=== az+b
cz+d
осуществляет искомое отображение, то коэффициент с не должен
равняться нулю, так как линейная функция переводит прямую в пря
мую, И действительная ось не перейдет в единичную окружность.
d
Поэтому точка === 00 будет обраЗ0М конечной точки z == .
с
По теореме 2 точки === о н === 00, симметричные относительно
единичной окружности I I === 1, должны быть образами точек, сим
метричных относительно действительной оси. Следова"телыiO, вели-
Ь d
чины (прообраз точки === О) и (прообраз точки == 00)
а с
должны быть комплексно сопряженными числами, т. е.
: === ,
с
d=== '
11
ДРОБНО ЛИНЕЙНЫЕ функции
405
J{poMe Toro, точка z == (прообраз точки == О) должна лежать.
в верхней полуплоскости, так как в е.n:иничный Kpyr переходят ЛИlllь.
точки верхней полуплоскости. Таким обраЗ0М, отображающая функция
сводится к виду
а z
== -------------=:
С z
(1т > о).
Так КЗ!< точка z == О, лежащая на .n:ействителыюй оси, должна пере
ходить в точку е.n:иничной окружности I 1== 1, то мы получаем еще
условие
, : - : /==/ ; /==1,
а .
== е'У
с
(1т т == О) .
Следовательно, отображающая функция обязана иметь вид'
==eiy z (ImT==O, Im >O). (11)1
z
Покажем, что любая функция вида (11) cOBeplllaeT требуемое--
отображение. Во первых, И3 равенства (11) сразу сле.n:ует, что длк.
всех действительных z
I I == I eiy z 1 == / Z \ == 1,
z z
так что действительная ось переходит в окружность I I == 1. Bo
вторых, точка z == из.верхней полуплоскости переходит в точку
!;, == О единичноrо Kpyra. Поэтому И3 соображений непрерывности BЫ ,
текает, что вся верхняя полуплоскость переходит в единичный Kpyr..
В формуле (11) имеется три почти произвольных деЙСтвитеJlЬНЫХ
параметра Т, Re , 1т (на один И3 них на 1т наложено условие
положительности). Это 0значает, что любым трем попарно различным
точкам .n:ействительной оси можно поставить в соответствие три по
чти произвольно заданные попарно различные точки единичной окруж
ности. Термин «почти» объясняется наличием условия 1т >0, а or
раничение, накладываемое на эти три точки, состоит в том, что Ha -
nравление обхода единичной окружности, определяемое этими тремя
точками, будет положительным ОТНОсительно единичноrо Kpyra, еСJIИ
соответствующие точки действительной оси взяты в поря.n:ке возра
стания.
в качестве BToporo примера найдем общий вид дробно линейноrо.
отображения единичноrо Kpyra на себя. Симметричным относи-
тельно окружности I I и== 1 точкам С == О и С == 00 должны отвечать.
. I
точки z == а и Z == -=-, симметричные относительно окружности Izl == 1..
а
Поэтому искомое отображение должно иметь вид
!;,==A
l Za'
406
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
'
[rл.5
причем I а I < 1, так как точка z === а является прообраЗ0М точки
.с === О. Далее, при z === 1 МЫ должны получить 11: I === 1, так что
I l a \
А === I А 1===1,
l a
А === e i '
(1т 't === О),
и формула .n:ля отображающей функции принимает ви.n:
1:===e i ' Z a
1 z
(1т 't === О, I а I < 1).
(12)
Леrко nоказать, как и в предыдущем примере, что любая функ
'ция вида (12) COBeplllaeT требуемое отображение.
И3 формулы (12) следует, в частности, что единичный Kpyr можно
конформно отобразить на себя таким обраЗ0М, чтобы заданная точка
перехо.n:ила в центр и чтобы заданное направление в точке, перехо-
дящей в центр, переходило в положительное направление .n:ейСТВИ-
тельной оси.
в заключение приведем без доказательства формулу для общеrо
вида дробно-линейных преобраЗ0ваний, отвечающих вращению сферы
Римана, Эти преобраЗ0вания имеют ви.n:
r.=== Z+ .
qZ p
тде р и q произвольные комплексные числа.
.
2. Функци И 1'.. === zn (n > О целое число) и z === i/[
Функция zn является простейшей аналитической функцией, имею-
'щей хотя бы o'n:HY критическую точку.
В первую очередь мы выясним, куда отображает функция
1'.. === Zn
,сеть полярных координат в плоскости Z, т. е. лучи, выходящие И3
начала коор.n:инат, и окружности с центром в начале координат.
Если положить
1'.. === pe i &,
z=== rei'P,
то при подходящем выборе слаrаемоrо 2kтci у арrументов z и 1: по-
лучим равенства
р === r n ,
{} === n'f.
'Сле.n:овательно, окружность I z I === r переходит при отображении фун-
кцией 1: === zn В окружность I r.1 === r n , а луч arg z === ер в' луч arg 1: ===
== пер. Таким обраЗ0М, сеть полярных 1Соординат в nЛОС1Сости z
переходzzт в сеть полярных 1СоордZLНат в пЛОС1Сости 1:.
И3 сказаНlIоrо Bblllle следует также. что при достаточно малом
'f уzoл
О < arg z < 'р
2]
n n
ФУНКЦИИ С 2 (n > () ЦЕЛОЕ ЧИСЛО) И 2 Vc
407
взаимно однозначно отображается ФУЮСЦllей 1:=== zn на уzол
О < arg < nчi.
При увеличении раствора уrла в плоскости z раствор уrла в пло
2п
скости увеличивается в n раз быстрее. При rp === обраЗ0М yr ла в.
п
плоскости Z будет IJСЯ плоскость r. с разреЗ0М по положительной части
.n:ействительной оси, При дальнейшем увеличении раствора yr ла в плос
кости z ero обраЗ0М бу.n:ет уже IJСЯ плоскость r. с выколотой ТОЧКОЙ
=== О. O'n:HaKo это отображение уже не бу.n:ет взаимно однозначным,.
так как точки
Zl === re ia ,
i (a+ )
Z2 === re
перехо.n:ят в одну и ту же точку плоскости .
ДJlЯ TOrO чтобы Har лядно представить себе, как происходит OTO
бражение yr лов Болыllrоo раствора, вообразим, что образ луча
arg z === rp с увеличением rp не только враш.ается против часовой
стрелки, но и слеrка ПО'n:нимается. Тоrда с увеличением rp этот луч
ОПИlllет некоторую поверхность, расположенную Ha.n: плоскостью r..
Точки этой поверхности, расположенные над одной и той же точкой
плоскости , отвечают о.n:инаковым значениям функции === Zn. КО\'Да
луч arg z === rp прохо.n:ит yroJI раствора 21t/n, ero образ обхо.n:ит часть
поверхности, накрываюш.ую всю плоскость r.. За то время, пока луч
arg z === rp обойдет всю плоскость z, ero образ пройдет Ha.n: плоскостью
ровно n РЗ3. Отображение" yrJia
о < arg z < rp
(О < rp < 21':)
на соответствующую часть описанной поверхности взаимно OДHO
значно, Для сохранения взаимной о.n:нозначности при отображении
всей плоскости z на эту поверхность мы должны соещшить образы
лучеЙ arg z === 21': И arg z === О (на плоскости z это один и тот же
луч). Это сое.n:инение прихо.n:ится пре.n:ставлять себе только мысленно,
так как в трехмерном пространстве соединить верхний край наlllей
IJИНТОВОЙ поверхности с ее нижним '(раем, не пересекая самой по
IJерхности, нельзя.
Ясно, что описанная выше поверхность есть не что иное, как ри
манова поверхность функции z === -}1[, обратной к функции r. === Zn.
Действительно, разным точкам ЭТОЙ поверхности, расположенным над
точкой , отвечают разные значения z, для которых Zn === r., т. е.
!'r
разные элементы функции z === JI r.,
Функция z === v[ является аналитической функцией, неоrраниченно
продолжаемой 110 любому конеЧIIОМУ пути, не проходящему через
1'ОЧКУ 1: ==>: О. ТОЧКИ r. === о и r. === сх) являются для этой ФУНКЦИИ ТОЧ
408
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл.5
'ками ветвления порядка n (это следует И3 Halllero построения римано-
БОЙ поверхности). Более Toro, эти точки являются алrебраическими
.()собыми точками. Все это видно также И3 Toro, что функция 1: ===
=== yri удовлетворяет неприводимому алrебраическому уравнению
-t n z=== О.
Рассмотрим еще некоторые отображения функцией 1: === z2.
Сначала выясним, какие линии плоскости z переходят при этом
-.отображении в прямые, параллельные осям координат в плоскости 1:.
.Положим
z===x+iy,
с == II + iv.
Уравнения прямых, параллельных осям координат в плоскости 1:, име-
ют вид
II === const,
v === const.
Поскольку
11 === х 2 у2,
v === 2ху,
(1)
мы ви.n:им, что ПРЯМЫМ II === const 11 v === COtlst отвечают два се-
мейства равнобочных 211пербол
х 2 у2 === const, ху === const.
Эти 'n:Ba семейства ортоrональны друr друrу, за исключением тех
'кривых, которые прохо.n:ят через критическую точку z === О. Там они
пересекаются под уrлом 1':/4.
Еще выясним, куда отображает функция 1: === Z2 прямые, параллель-
ные осям координат в плоскости z. Уравнение этих прямых
х===с,
у === с.
Поэтому И3 равенств (1) сразу получаем, что образ прямой х == с
.имеет уравнение
2 v"
II С 4С" '
. а образ прямой у == с уравнение
v"
II == 4с 2 с 2 .
:::Эти уравнения определяют два семейства софокусных парабол (рис. 77).
Найдем еще прообразы окружностей
и лучей
'1: 11==p
arg (С 1) == &.
::Попожим
z....x+ iy,
1: === 1 + pe i1t .
!I 31
ФУНКЦИЯ С (2 + 1/2)/2
409>
Тоrда
I Z2 1 12 === р2,
И для прообраза окружности 11: 11 === р получаем уравнение
х4+ yi 2 (х 2 + у2)+ 1 р2===О,
Это уравнение описывает некоторое семейство (при меняющемся р)
лемнискат.
Рис. 77.
Если положить
arg 1: === & === const,
то
x2 у2=== 1 +р cos &, 2ху===р sin &.
Исключая р, получаем уравнение для прообраза луча arg !;, === & в
ви.n:е
х 2 у2 2ху ctg &=== 1.
Это уравнение при любом & является уравнением равнобочной rиnер
болы, проходящей через точки Z == 1 и Z === 1.
3. Функция !;, === (Z + )
Выясним, Ky.n:a отображает эта функция ОКРУЖНQСТИ I z 1=== r а
лучи arg z === ер. Положим .
z === rei'P, 1: === 11 + iv.
Тоrда равенство 1: === (z + +) дает нам, что
11 ==} (, + ) cos ер, v === (, ) sin ер.
(1)
410
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[rл,5
Исключая И3 ЭТИХ ДВУХ уравнений параметр ер. прихо.n:им к уравнению
и' v'
[ ; (r + )T + [; (r )]" 1.
которое представляет собой уравнение эллипса с полуосями
a r ==={ (r+ ).
b r === ; Ir I
и с фокусами в точках === 1 и === 1. Сле.n:овательно. концент-
рические окружности I z I === r отображаются функцией ===
=== ; (z + +) в СОфОКУСНbtе аЛЛllпсbt с фокусаМll в точках === 1
Рис. 78.
II === 1 11 С полуосями a r 11 b r . При возрастании r от О до 1 полу-
оси ЭТИХ эллипсов монотонно убывают от бесконечности до значений
аl === 1 и Ь 1 === о. При r == 1 эллипс вырож.n:ается В отреЗ0К ( 1, 1).
прохо.n:имый дваж.n:ы, При дальнеЙlllем возрастании числа r полуоси
эллипсов начинают возрастать. так что каж.n:ый эллипс ВО31шкает
второй раз,
Исключая И3 уравнений (1) параметр r. приходим к уравнению
и' v'
....,.........-===1.
сos' <р 6Ш' '1'
которое представляет собой уравнение семейства rипербол. софокус-
ных с наlllИМИ эллипсами (и ортоrональное с семейством. этих эллип-
сов). Эти rиперболы являются образами лучей arg z === ер при отобра-
жении функцией r. === { ( z + ).
И3 сказанноrо следует: что функuия === ; (z + ) отображает
единичный Kpyr ! z 1<1 на всю плоскость . разрезанную по отрезку
4]
лоrЛРИФМ.ИЧЕСКАЯ и ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
411
( 1, 1) .n:ействительной оси. На ту же самую плоскость С с разреЗ0М
эта функuия .отображает и BHelllHocTb е.n:иничноrо Kpyra, т. е. область
I z I > 1. Взаимно однозначным обраЗ0М всей плоскости z при OTO
бражении функuией С == (z + + ) является 'n:BY JlИстная риманова по
верхность, которая склеивается И3 'n:BYx экземпляров плоско ти С С
разреЗ0М по отрезку ( 1, 1) (верхний Kpatj разреза первоrо листа
склеивается с нижним краем разреза BToporo листа, а нижний край
разреза первоrо листа с верхним краем разреза BToporo листа).
Эта риманова поверхность является римановой поверхностью функuии
z==t:+ V t:2 1,
обратной к функuии С == (z + ), И3 построения рима новой по
верхности ви.n:но, что точки С == 1 и С == 1 являются .n:ля этой
ФУНКЦИИ точками ветвления BToporo поря.n:ка (это ви.n:но, впрочем, и
прямо И3 формулы). Соответствующие точки z == 1 и z == 1 яв
ляются критическими точками ФУНКЦИИ t: (z) == (z + + ) .
Функuия t: (z) == + ( z + +) сво.n:ится к функuии С' (z') == Z'2 С по-
мощью .n:робпо-линейных преобраЗ0ваний, что непосредственно видно
И3 формулы
с (z) 1 ( 1 ) 2
, (z) + 1 z т- 1
4. Лоrарифмическая И показательная ФУНКЦИИ
МЫ знаем, что ФУНКЦИЯ t: == 111 Z является бесконеЧН0311ачной ана-
литической функuией, про.n:олжаемой по любой конечной кривой, не
прохо.n:ящей через точку z == о. В точках z == О и z == 00 ФУIIКUИЯ
С == 111 Z имеет лоrарифмические точки ветвления.
Риманова поверхность функuии С == 111 Z является о.n:ной И3 самых
простых. Мы уже строили ее в 2 rл. 4.
Положим
z == rei<p,
с == 1l + iv.
И3 равенств
ll==111 r, v==<p +2k'ltl
сле.n:ует, что луч arg z == <р np/l 'It < ер < 'It фующ/lЯ (111 z) + 2k 'lti
отображает в бесконечную прямую v == ер + 2k'lti, а дуzу
I z 1== r, а. < arg z < (а. > 'It, < 'It),
8 отрезок
u==r,
а. + 2k'lt < v < + 2kтr..
Следовательно, уzол
a.<arg z<
(а. > 'It, < 'It)
412
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[fn.6
.отображается функцией С === (1п z) + 2k1tl на полосу
а + 2k1t < V < + 2k1t.
весь k й лист (при HallleM выборе листов) рима новой
лоrарифма аналитическая Функuия 1п z отображает на
в частности,
поверхности
полосу
(k l)1t<v«k+ 1)1t.
Отсюда ви.n:но, что всю риманову поверхность лоrарифма аналитиче-
ская функuия с=== 1п z отображает взаимно о.n:нозначно на всю ком-
плексную плоскость. При этом точки римановой поверхности, лежа-
щие Ha.n: о.n:ной и той же точкой плоскости Z. на плоскости t;, соот-
ветствуют точкам, лежащим на о.n:ной вертикальной прямой на fJac-
<:тоянии друr от .n:pyra, кратном 21t.
Функuия Z === ее является функuией, обратной к функuии С === ln z,
так что она cOBeplllaeT те же отображения в обратном направлении.
Поскольку при отображении С === ln Z точка Z === О перехо.n:ит в
бесконечно у.n:аленную точку плоскости С, ФУНКIlИЯ е С не обращается
в нуль в конечной части плоскости. Поэтому
Показательная функция ее является целой функцией, не иже-
ющей нулей.
Заметим, что функuия ее является в некотором смысле nростей-
шей целой функuией, не имеющей нулей (если не считать постоян-
ную). Действительно, если h (с) uелая функция, не имеющая нулей.
то функция
h' (С)
g(t;,) === h (С)
-тоже является целой функцией. Это 0значает, что функция h (с) имеет
ви.n:
h' (С) аl;
h (с) === е h (1;) === e gj (1;),
r.n:e gl ( ) целая функция. Но простеЙlllей целой фУНlщией, отличной
.от тождественной постоянной, является функuия gl (с) = .
5. Триrонометрические ФУНКЦИИ
Равенства
etz e iz
sin Z === 2i
t sin z
gz=== cosz '
eiz + e iz
cos z=== 2 .
t cosz
с gZ=== sinz
-определяют функции, которые при .n:ействительных значениях "ере-
MeHHoro z совпа.n:ают с обычными триrонометрическими функциями.
ij 5]
триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функции
413
в силу nринциnа аналитическоrо продолжения эти функции есте-
ственно называть теми же названиями и для комплексных значений
nepeMeHHoro.
Оrраничимся здесь иссле.n:ованием некоторых отображений, совер-
шаемых функuией С === tg z. Для этой цели заменим отображение
1 e 2iz 1
С === tg z === т e2tz + 1
последовательным вьшолнением следующих трех отображений:
t === 2iz,
w === е/,
1 w 1
C===i w+l '
(1)
(2)
(3)
Отображение (1) состоит И3 комбинаuии подобия относительно на-
чала коор.n:инат (с коэффиuиентом по.n:обия 2) с поворотом плоско-
сти на уrол 1t/2 BOKpyr начала координат. Функция (2) cOBeplllaeT
отображение всей плоскости t на риманову поверхность лоrарифма.
а каж.n:ую полосу (J, < 1т! < {3 эта функuия отображает на yroJI
(J, < arg (!) < . Дробно-линейное отображение (3) знакомо нам по 1.
С ero помощью раСlllиренная плоскость W отображается на раСlllирен-
IIУЮ плоскость С, причем точка w === О переходит в точку === [. а
точка w === 00 в точку === [.
И3 сказанноrо сле.n:ует, что функция С === tg z взаимно однозначно
отображает всю комплексную плоскость z на риманову поверхность.
аналоrичную римановой поверхности лоrарифма. но имеющую Лоrа-
рифмические точки ветвления не над точками С === о и С === 00, а над
точками t;, === i и С === i. Эта поверхность склеивается И3 бесконеч-
Horo числа листов, каж.n:ый И3 которых представляет собой всю пло-
скость С с прямолинейным разреЗ0М, сое.n:иняющим точки === i и
С === l. Она называется римановой поверхностью функuии z === arctg С.
Функция arctg С леrко выражается через лоrарифм:
1 ] +iC
arctgC=== 2i ln 1 i/;. .
Аналоrичным обраЗ0М можно исследовать отображения некоторых
7t < 7t
частей плоскости z. Например, полосу T Re z< т функция (1)
7t 7t
перево.n:ит в полосу 2" < 1т t < 2"' Последняя полоса отображается
функuией (2) на правую nолуnлоскость в плоскости w. Функция (3)
отображает эту полуnлоскость на е.n:иничный Kpyr в плоскости С.
Следовательно, функция С === tg z взаимно однозначно отображает
414
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[fn.5
полосу
1 Re z I <
на eallНlll{HblU KpYZ I с I < 1.
COBepllleHHo таким же путем можно исследовать отображения, co
BeplllaeMbIe и друrими триrонометрическими функциями.
6. Степенная ФУНКЦИЯ с произвольиым показателем
Степенную функцию
C==zu.
с произвольным .n:ействительным или комплексным показателем ос
мы опре.n:еЛЯJIИ равенством
z(f. == eu.lnz.
И3 этоrо равенства видно, что функция С == zu. является о.n:нозначпой
ФУIIКllией от ]п z. Ее можно представить в параметрическом виде с
помощью ОЩЮ311ачных фУНКIlИЙ:
z==e t ,
C==eи.f.,
или, как rоворят, УНllФОРМl1311ровать.
ЕCJIИ ЧИСJЮ (J. не раllионально, то функция zu. так же, как и фун
КIlИЯ 1п z, бесконечнозначна, Действительно, если точка z обой.n:ет
точку z == О в положительном направлении п раз, то значение функ
ции zu. умножится на e 21ti и.n, и .n:ля различных значений п эти множи
тели различны. На римановой поверхности лоrарифма фУНКIlИЯ zu.
однозначна.
ЕCJШ же а. == раllиональное число (р и q целые числа И
q
q > О), то после q обхо.n:ов в nоложителыюм наnраВJlении точки z
BOKpyr точки z == О функция zu. вернется к первоначальному значе
нию (причем, если р и q не имеют общеrо .n:елителя, то она вернется
к первоначальному значению в первый раз). Поэтому в случае, коrда
(J. == Е.., фУНКlllIЯ z(f. о.n:нозначна уже на римановоfi поверхности корня
q
q й степени.
Рассмотрим конформные отображения, cOBeplllaeMbIe функцией
1: zu. с произвольным показателем степени. Если a . .n:ействитеJlыюе
число, то лучи arg z == ер при отображении функцией С == zu. lIepexo
дят в лучи arg С == аср, а окружности I z I == r в окружности I с I == ru..
Соответственно уrол, заключенный меж.n:у .n:вумя лучами, отображается
этой фУНКllией на уrол в а. раз Болыllrоo раствора (если, KOHetfHo.
раствор бо.'Iblllеrо И3 уrлов не превосходит 21t).
61
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
415
По.n:верrнем теперь плоскость z .n:робно линейному преобраЗ0ва
нию, перево.n:ящему ТОЧКИ ZI и Z2 В ТОЧКИ О и 00, а плоскость С
дробно линейному преобраЗ0ванию, перево.n:ящему ТОЧКИ 1:1 и С 2
В ТОЧКИ О и 00. Поскольку при .n:робно линейном преобраЗ0вании
окружности (в том числе и прямые) переходят в окружности, пре
обраЗ0вание С == С (z), определяемое форму JЮЙ
C CI == ( Z Zl ) "
C C2 Z Z2'
отображает область плоскости z, оrраниченную дуrами двух окруж
ностей. пересекающихся в точках ZI и Z2 под уrлом л, на область
плоскости С, оrраниченную .n:уrами двух окружностей, пересекающихся
в точках С I и С 2 по.n: yr лом ал. Области, оrраниченные дуrами двух
окружностей, пересекающимися в точках u и Ь, будем называть 1Cpy
20BblMll дВУУ20ЛЬflll1СU_.lfll С веРlllинами u и Ь.
С помощью описанноrо преобраЗ0вания Jlюбой круrовой .n:вууrоль
ник Bcer.n:a можно конформно отобразить, скажем, на полукруr. Для
этоrо нужно nо.n:обрать а таким обраЗ0М, чтобы произве.n:ение ал было
равно те/2, и сделать .n:ополнителыюе .n:робно линейное отображение,
перево.n:ящее o'n:HY И3 сторон ПОЛУЧИВlllеrося двууrолы!Ика с прямыми
уrлами в веРlllинах в прямую линию. Например, отображение С==Цz),
nределяемое формулой
С .../ Z
I C r I z'
дает нам отображение верхней ПОЛУПJlOскости 1т z> О (которую мы
можем рассматривать как .n:вууrольнИI{ с веРlllинами О и 00 и с yr лом
в веРlllинах, равным те) на полукруr в плоскости С, построенный на
отрезке (О, 1) как на диаметре (верхний полукруr или нижний,
зависит от выбора ветви квадратноrо корня).
Если а комплексное число, то отображения функцией С == z"
1Jмеют cOBepllleHHo иной характер. Пусть, например, а == Е. Рассмотрим
<Jтображение верхней полуплоскости 1т z> О функцией 1:== Zi. Поло
.жим
z == rei'l',
с == pe i &.
Tor.n:a
р == e ''f,
&==lnr.
.лучи arg z == 'f перехо.n:ят при этом отображении в ОКРУЖНОСТИ
I С I == е '1', а окружности I z 1== r в лучи arg С == ln r. В частности,
учам arg z == О и arg z == '/t, оrраничивающим полу плоскость 1т z > О,
<Jтвечают окружности I С I == 1 и I С I == e 1C (покрываемые бесконечное
число раз), Сле.n:овательно, образ м верхней полуплоскости 1т z> О
при отображении функцией С == z' будет кольцо е 1С < I с I < 1. Это
тображение не является взаимно однозначным. Верхняя полуплоскость
1т z> О взаимно однозна чно отображается функцией С == Zi на часть
416
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКUИй
[rл.5
римановой поверхности лоrарифма, расположенную над кольuом
e 1t<If:I<l.
Аналоrичным обраЗ0М можно иссле.n:овать отображения, COBep
lllaeMbIe функuией С == z", r.n:e а. имеет отличную от нуля и действи
тельную, и мнимую часть. В этом случае образами лучей и окруж
ностей будут два взаимно ортоrональных семейства лоrарифмических
cnиралей.
7. Течение жидкости в окрестности особых точек
и критических точек комплексноrо потенциала
Начнем с рассмотрения течения ЖИДКОСТИ, отвечающеrо комnлекс
ному потенuиалу
F(z)==ln z.
Мы знаем (СМ. 12 rл. 3), что линиями тока (т. е. траекториями
.n:вижения частиц ЖИДКОСТИ) течения, отвечающеrо комплексному по
тенциалу F (z), являются линии уровня мнимой части этоrо nOTeH
циала, т. е. линии 1т F (z) == const. В HallleM случае
1т F(z)== 1т In z == arg z,
и линии тока имеют уравнения
arg z == const.
ИНЫМИ словами, линии тока Halllero течения это лучи, выхо.n:ящие
И3 начала координат. Вектор скорости направлен по линии тока,
причем в HallleM случае леrко убедиться, что он направлен к началу
коор.n:инат. Соrласно формуле, nриведенной в конце 12, поток через
любую заМкнутую кривую, окружающую начало коор.n:инат, равен
1т р' (z) dz == 1т === 21t,
а циркуляuия по любой замкнутой кривой равна нулю.
Таким обраЗ0М, течение жи.n:кости С комплексным потенuиалом
F(z)== In z
имеет в точке z==O сток мощностью в 21t (а в точке z==oo
llC тОЧItll1C с той же мощностью). Вихрей Hallle течение не имеет.
Hallle течение пре.n:ставляет собой, следовательно, стаuионарное без
вихревое переливание жидкости И3 источника в сток.
С.n:елаем теперь .n:робно линейное преобраЗ0вание, переводящее
ТОЧКУ z == 00 в какую либо конечную ТОЧКУ, скажем в точку z == 1.
Тоrда мы получим течение жи.n:кости с комплексным потенциалом
z
F(z)==ln l '
z
Рl
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ в ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
417
которое пре.n:ставляет собой nереливание жидкости И3 источника
в точке z == 1 в сток в точке z == О. Линии тока этоrо течения
являются образами линий тока прежнеrо течения (т. е. лучей arg z' ==
z
== COllst) при отображении z' === z l' Поскольку при .n:робно-линей-
ном отображении окружности nерехо.n:ят в окружности, искомые
линии тока пре.n:ставляют собой окружности, прохо.n:ящие через точки
z == О и z == 1 (образы точек z' == о и z' == (0). ЭквипотенциаJlьные
линии образуют семейство ортоrональных окружностей. На рис, 79
линии тока изображены СПЛОlllНЫl\1И линиями, а эквипотенциальные
линии пунктиром.
Рассмотрев течение жидкости с комплексным потенциалом
F(z)==iln 1 '
z
мы получили бы тот же рисунок, но с друrим смыслом линии тока
и эквипотенuиаЛЫlЫе линии поменяются местами (так как поменяются
местами .n:ействителыI3Я и мнимая части). Для этоrо течения, как
HeTpY'n:Ho подсчитать, источников не будет, но зато в точках z == О и
z == 1 будут ПрОТНВОIIOJIOЖНО направленные вихри.
14 А. rуРВНЦ, Р, КураllТ
418
ИССЛЕДОВАНИЕ HEKUTOl'bIX ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
[Со. 5
Для течения с комплексным потенциалом
F(z)==(a: +i ) ln z z 1
(а: :;t: О, :;t: О)
в точках z == О и z == 1 бу.n:ут и вихрь и источник (и то и .n:pyroe
о.n:ной мощности, но противоположноrо направления). Линии тока
имеют В этом CJlучае .n:оволыю сложный характер. В простеЙlllем
случае комплексноrо потенциала
F(z)==(a: + i ) ln z
(a:f: О, :;t: О)
линии l'ока и эквипотенциальные линии образуют 'n:Ba ортоrональных
семейства лоrарифмических спиралей с фокусом В точке z == О.
И3 KOMIIJleKCHbIX потенциаJIOВ, имеющих лоrарифмическую особую
точку, простым пре.n:ельным перехо.n:ом ПОJlучаются КОМПJlексные по
тенциаJIЫ, имеющие полюсы. Действительно, рассмотрим КОМПJlеКСIIЫЙ
потенциал
F ( ) In z 1[1 (z. h) 1 1 z
hZ h h!l z h
(/1 > О).
Течение жидкости, отвечающее этому потенциалу, имеет источник
в TO'IKe z == /1 МОlllНОСТИ 2it/h и сток В точке z ==:= О той же мощ
насти. Перехо.n:я к пределу при h --4- О, мы получаем, что
Нт Fh (z) ==..!..
h O z
Этот КОМllлексный потенциал ОТIJечает течению ЖИ'n:КОСТИ, IJbI3bIBae
мому сое.n:инением в одной точке z == О источника и стока о.n:инако
ВОI1 бесконечно БоJlыllйй мощности. TaKoro рода обраЗ0вание назы
вается иноr.n:а диполем (это название Be.n:eT свое происхож.n:ение от
электрических анаЛОI"ИЙ).
Слияние полюсов приво.n:ит нас в свою очередь к полюсам более
BbICOKOI'O поря.n:ка. Для пре.n:стаВJlения I'еометрической картины линий
тока и эквипотенциаJlЬНЫХ линий В окрестности полюса .n:остаточно
выяснить, как BbIr JШ'n:ИТ эта картина .n:ля функций ви.n:а
с
F(z)== п
z
(эта картина, как леrко понять, опре.n:еляется старшим членом раз
ложения В ряд Лорана в окрестности ПОJlюса).
Картина линий тока и эквипотенциаJlЫIЫХ линий течения жи.n:ко
1
сти, отвечающеrо KOMnJleKcHoMY потенциалу F (z) == '-, приведена на
z
Р]
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ в ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
419
i
рис. 80. Для потеlщиала F (z) === картина остается той же, 110 ЛИIIИИ
Z
тока и эквипотенциальные линии меняются местами.
Аналоrично выrля.n:ят картины течения жи.n:кости и в окрестности
ПОJIЮСОВ БОJlее BbIcoKoro поря.n:ка. На рис. 81 представлепз картина
Рис, 80.
линий тока и эквипотенциальных линий (первые сплошные, вторые пуНl(
I
тирные) .D:JIЯ течения жи.n:кости с КОМПJlексным потенциалом F (z) === 2 '
z
Особый характер имеет картина течения жи.n:кости в окреСТl10СТИ
1СР'ШlllчеС1СllХ точе1С потенциала, т. е. тех точек, r.n:e прои:шо.n:ная
потепциала обращается в нуль. СnеЦИфИl(а этой картины по cpaBHe
пию С обычными точками в том, что через обычную точку проходит
только одна линия тока, а через критическую точку п ro порядка
п + 1 линий тока. Действительно, линия тока, прохо.n:ящая через
точку zo, это та кривая в плоскости z, которая при отображепии
=== F (z) переходит в прямую, проходящую через точку o === р (Zo)
параллельно мнимой ОСи в ПJIOскости . Если р' (zo) *- О, ТО
В окрестности точки Zo отображение === F (z) взаимно о.n:нозначно,
и такая кривая O'n:Ha. Если же функция F' (z) имеет в точке Zo нуль
порядка п, то, как мы знаем (см. 2 rл. 4), обратное отображение
(п+ l) значно, и таких кривых п+ 1.
14'
42О
ИССЛЕ'n:ОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИй
-[rл.5
/
/
/
I
I
,
\
\
\
,
,
.....
\
,
.........
Рис. 81,
Рис. 82.
s 8). ,
KPyr КАК плоскость ЛОБАЧЕвскоrо
421
Для пре.n:ставления картины течения жи.n:кости в окрестности кри
тической точки потенциала .n:остаточно рассмотреть картину течения
ЖИ'n:КОСТи, отвечающеrо потенциаJlУ
F(z)== zn
(п == 2. 3. ...)
(умноженйе на постоянную з.n:есь не меняет картины). Соответствую
щие картины при п == 2 и п == 3 изображены на рис. 82 и 83.
рис. 83.
Жи.n:кость течет по линиям, напоминающим по ви.n:у rиперБОJlЫ (при
п == 2 эти линии явJlяются обычными раIJ1юбочными I'иперболами),
Течение происхо.n:ит не38ВИСИМО в каж.n:ом И3 2п yr лов, на которые
окрестность точки z == О .n:елится линиями тока, прохо.n:ящими через
эту точку. Скорость течения в самой критической точке равна ну т0.
8. Kpyr как плоскость Лобачевскоrо
Покажем сейчас, что в е.n:иничном KpYI"e К на комплексной пло
скости можно ввести метрику таким способом, чтобы этот е.n:иничный
Kpyr превратился в ПЛОСIШСТЬ Лобачевскоrо. С этой целью ollpe.n:e
пим дllффереНЦllал dKs нееВКЛllдовой дЛllНЫ дУ211 равенством
Idz!
dKs== l lzl» '
(1)
422
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМ.ЕнтАРных ФУНКЦИй
Irл.5
Tor.n:a неевКЛllдовой дЛllНОЙ КрИВОЙ l' лежашей В единичном Kpyre К.
МЫ 'n:ОЛЖНЫ считать величину
(' I dz 1
1 , z '" ' 2)
1
НеевКЛllдовbl.ft расстОЯНllем рк(а, Ь) меж.n:у точками а и Ь едини'l
H.oro Kpyra К МЫ .n:олжны Считать величину
рк(а, Ь)== inf 1 l'2 '
1 1
r.n:e нижняя rpaHb берется по всем КРИВЫМ, лежашим в KpYI'e К и
сое.n:иняющим ТОЧКИ а и Ь. Кривую, .n:ля КОТОРОЙ эта нижняя l'рЩ1Ь
.n:остиrается, естественно назвать прядой лш-тей (относительно BBe
.n:енной нами метрики),
Для Toro чтобы описать прямые линии rеометрически, lIам у.n:об
нее Bcero 80СПОЛЬЗ0ваться сле.n:ующей леммой:
Лемма 1, НеевКЛllдова AfempllKa, введенная равенством (1).
инваРlюнтна относительно дроБНО ЛllнеЙНblХ отображеНllЙ КРУ2а К
на себя,
ИНЫ:\IИ словами, нам нужно .n:оказать, что .n:ля любоrо .n:робllО
линеЙllOrо отображения 1: == Цz) Kpyra К lIа себя имеет место равеll
ство
I dЦz) I I dz 1
1 I с (z)l" 1 I z ,. .
в 1 мы показали, что любое .n:робно линеЙllое отображение
== (z) е.n:иничноrо Kpyra К на себя имеет ви.n:
. z a
( z)==e"
I za'
r.n:e 't .n:ействителыюе число, а I а 1<1. Поэтому
" 1 Ia ,.
I d \,,(z) I 1I t1Z ,. I dz 1,
а
1 I Цz) ! 2== 1I z I' Iz" a 1" (1 t1z) (I az) (z a) (z а)
I 1 az I 11 t1z 12
(l I z 12) (1 I а (')
11 az 12
oTKy.n:a уже без Tpy.n:a получаем равенство
I dЦz) I I dz 1
1 i C(z) '2 1 1 z l' .
т е о р е м а 1. ПРЯ.ftbt.lfll ЛUНUЯ.l>tll в метрике р) являются
окружностll, ортО20наЛЬНblе едllНllЧНОЙ окружности.
i 81
KPyr КАК плоскость ЛОБАЧЕвскоrо
423
Пусть сначала точка а совпа.n:ает с цeHTpO 1 Kpyra 1(. Cor ласно
определению неевкли.n:ова расстояния мы .n:олжны написать
. \' I dz I
рк(О, b)==lI1f J 1 lzI2 '
Т Т
Но очевидно. что нижняя rpaHb интеrрала в правой части равенства
достиrается, Kor.n:a кривая l' совпа.n:ает с прямолинейным отрезком,
'Идущим И3 центра Kpyra в точку Ь, Это 0значает, что неевкли.n:овой
ЩJЯМОЙ, прохо.n:ящей через центр Kpyra 1(, мы .n:олжны считать .n:иа
метр Kpyra.
Далее, И3 инвариантности метрики при .n:робно линейных отобра
жениях Kpyra 1( на себя сле.n:ует, что при таких .n:робlю линейных
отображениях прямые (неенкли.n:овы) 'n:ОJ/ЖНЫ останаться прямыми.
При любых .n:робllО линейных отображениях окружности (в частности,
прямые) перехо.n:ят в окружности. {{роме Toro, уrлы при .n:робно
линеЙllЫХ отображениях сохраняются, Следовательно. при любом
.n:роБНО JlИнейном отображении Kpyra 1( на себя 'n:И3 lетр Kpyra К
обязан перейти IJ окружность, ортоrонаЛbllУЮ е.n:иничной окружности.
ЛС1"КО убе.n:иться, что .n:руrих неевкли.n:овых прямых нет. Действи
тсльно. любую точку Kpyra 1( можно перевести в ero центр с по
мощью на.n:лежаще выбранноrо .n:робно линейноrо отображения Kpyra К
на себя, а через центр прохо.n:ит только o'n:Ha неевкли.n:ова прямая (ибо
минимум иитеrрала. который мы рассмотрели в иачале .n:оказате.'lbства,
достиrается только .n:JIя прямолинейноrо отрезка). Теорема .n:оказаиа.
Леrко проверить, что неевкли.n:овы прямые обла.n:ают свойствами:
Через каждые две тОЧКll проходтп ровно одна прямая.
Две раЗЛllчные nря.мые пересекаются не более чем в одной
точке.
Через каждую точку. не лежащую на данной nРЯ.АЮЙ, пpoxo
дllт беСfсонечно МНО20 прямых, не nересекаЮЩlfХ данную прямую.
Таким обраЗ0М. пятый постулат Евкли.n:а .n:ля наlllИХ прямых не
(!ыплняется..
Приведем еще формулу .n:ли неевкли.n:ова расстояния меж.n:у .n:вумя
точками:
( Ь) 1 I 1I аЬ I + I а Ь !
Рк а, 2 п.. .
1I аЬ I а Ь I
И3 этой формулы ви.n:но, что окружность Kpyra К находится на
беCl{Онечном расстоянии от каж.n:ой внутренней точки Kpyra.
Ясно, что с помощью конформноrо отображения неевкли.n:ову
метрику можно опре.n:едить не только в е'n:ИНИЧIЮМ Kpyre, но и
в любом .n:pyrOM кру/"е. Наиболее простые формvлы получаются, если
В3ЯТЬ в качестве Kpyra 1( верхнюю 1I0ЛУПЛОСКОС1Ъ.
Fлава шестая
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯ3НЫХ
ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ
в rл, 2 мы .n:оказали, что ре1'улярная функция cOBeplllaeT KOH
формное отображение окрестности каж.n:ой точки, в которой ее про
изво.n:ная отлична от нуля. Для мноrих вопросов бывает нужно найти
реrулярную функцию, отображаюш.ую взаимно о.n:нозначно .n:анную
область О на .n:анную область D. БОJIее Toro, часто .n:остаточно знать,
что такая функция сушествует. В этой r лаве мы решим вопрос о cy
Illествовании такой отображающей функции ДJIЯ простейшеrо случая,
Kor.n:a обе оБJ/3СТИ О и D о.n:носвязны, Именно. .n:окажем теорему
Римана о том, что любую о.n:носвязную область можно конформно
отобразить на конечный или бесконечный Kpyr. Тем Ca;\IЫM решится
и вопрос о конформном отображении любых 'n:BYx О'n:НОСВЯ<JНЫХ
областей .n:pyr на друrа, Кроме ТО['О, решим и вопрос об общем
ли.n:е отображающих функций (при за.n:анных областях),
Если реrулярная функция опре.n:еляется как отображение , щной
области па .n:руrую, то она опре.n:еляется только внутри области.
Поэтому вопрос о пове.n:ении отображающей ФУНIШ.ИИ вблизи rраницы
области нуж.n:аеl'СЯ в особом иссле.n:овании, которое также бу.n:ет
прове.n:ено л этой rлане. Кроме TOI'O, установим связь меж.n:у за.n:ачей
КОНфОрМIЮI'О отображения 0.D:IЮСВЯ3IЮЙ области и за.n:ачей Дирихле
(первая краевая за.n:ача теории потенциала) .n:ля этой области,
1. Обсуждение теоремы Римана
и всnомоrательные теоремы
Преж.n:е Bcero реlllИМ вопрос, в каких случаях бу.n:ет и.n:ти речь
об отображепии области на конечный КРУ1"
т е о р е м а 1. Вся раСlll1lренная плоскость иЛll ВСЯ раСШllрен
ная плоскость С одной выколотой точкой не _I{ожет БЫПlЬ кон-
фор.мно отображена на 02ранilченную облаr;ть,
Это УТIJержденпе .n:остаточно доказать для раСlllирешюй пло,"кости
с одной ВЫКОЛО'IОЙ точкой, К010РУЮ без OJ'раничеШ1l1 общности можно
!i 1]
ОБСУЖдЕНИЕ ТЕОРЕМ.Ы рИМ.АНА
425
считать бесконечно у.n:аленной точкой (этоrо можно добиться .n:робно
линейным отображением).
Пусть функиия === j(z) конформно отображает всю конечную
плоскость (т. е. .всю раСlllиреllНУЮ ПЛОСкость с выколотой точкой
Z == 00) на какую либо конечную область. Тоrда j(z) иелая функ
иия, оrраниченная во всей плоскости, По теореме ЛИУIJИЛЛЯ (см, 5
rл, 3) j(z) const, что и показывает невозможность искомоrо ото-
бражения.
Т е о р е м а 2. Любая односвязная область О, lUlеющая хотя
бы две 2раftllчные тОЧКll, может быть конформно отображена
на область, лежащую внутри едllНllЧНО20 КрУ2а II содержащую
наЧG(lр координат внутри себя.
Пусть а и Ь 'n:Be рааличные rраничпые точки области О. Без
оrраничения общности можно считать, что а === О, Ь === 00 (этоrо Bcer.n:a
можно добиться дробlю линейным преобраЗ0ванием). Рассмотрим
в области О аналитическую функиию V:Z (ее ветви в этой области).
Поскольку точки z === О и z === 00 не лежат в обllасти О, эта ФУНК-
цИЯ не имеет в области особых точек. Так как область О о.n:носвязна,
то в силу теоремы о моно.n:ромии Hallla двузначная аналитическая
,-
функция V z распа.n:ается в области О на две реrулярные ветви,
отличающиеся знаком. Возьмем какую либо И3 этих 'n:BYX реrулярных
ветвей и обозначим через 01 обраа области О при отображении этой
ветвью. Это отображение заве.n:омо взаимно о.n:нозначно, так как мы
3Haei\1, что аналитическая функция VZ === ZI взаимно о.n:нозначно OTO
бражает риманову ПОIJерхность квадратноrо корня на плоскость z!,
Заметим .n:алее, что область 01 имеет хотя бы O'n:HY внеlllНЮЮ точку а.
Действительно, часть римановой поверхности KBa.n:paTHoro корня,
лежащая над областью О, распа.n:ается на 'n:Be о.n:нолистные области,
отвечающие 'n:BYM реrулярным ветвям VZ в области О. Эти ОДIlО-
лист ые области отображаются аналитической функцией VZ на 'n:Be
области плоскости ZI' не имеющие общих точек. O'n:Ha И3 этих обла
стей плоскости ZI совпа.n:ает с областью 01' а .n:руrая симметрична ей
относительно начала координат (поскольку наlllИ 'n:Be реrулярные
ветви отличаются ЛИlllЬ 3НaIЮМ). f{аж.n:ая внутренняя точка второй
области бу.n:ет IJнешней точкой .n:ля области 01' Рассмотрим теперь
дробно-линейное отображение области
1
== .
zl a
Это отображение перево.n:ит область 01 в некоторую область 02'
имеющую точку r. == 00 внеlllней точкой. С помощью линейноrо пре
обраЗ0вания можем перевести область 02 в область АЗ. лежащую
внутри е.n:иничноrо Kpyra и содержащую ВНУТРИ себя начало KOOp
динат. Теорема доказана.
426
КОНФОРМНОЕ ОТОБРА <ЕНИЕ ОДНОСВЯ3НЫХ ОБЛАСТЕй
Irл. б
И3 теорем 1 и 2 сразу вытекает, что о.n:носвязную область, имею
щую ХОТЯ бы 'n:Be rраничные точки, нельзя конформно отобразить IШ
на всю раСlllиренную плоскость, ни на всю конечную ПЛОСЮJСТЬ.
Следовательно, теорема Римана rарантирует .n:ля таких G6ластей B03
можность конформноrо отображения на некоп>рыН конечный J<pyr.
Все конечные круrи можно отобрааиТ! Jtpyr Н:I друrа с помощью
линейноrо преобраЗ0вания. ПОЭТf1:\1У ."ЛЯ уменьшения ПРОИ3ВОJI3 в HЫ
боре отображающей фУНКIlИ!i Gy.n:eM rоворить об Gтобрзжении таJ<ИХ
областей на е.n:иничный КРУ1'. С Ilелью .n:альнейшеl'О уменьшения про
И3!Jола наложим на отображающую фУНКIlИЮ еш.е некоторые .n:опол
lIительные условия. Мы ви.n:ели в 1 r л. 5, что е.n:иничныl! I<pyr можно
конформно отобразить на себя с помощью .n:робно линеЙ}IOI.О отобра
жения таким обраЗ0М, чтобы любая за.n:аннаll точка переШJlа Jj начало
КООр'n:Иllат и чтобы любое за.n:анное в этой точке наllраВJlение пере
шло в положитеJlьное направление .n:ействительноЙ оси, Сле.n:ователыю,
если существует фушшия, конформно отображающая .n:анную область
на е.n:иничный Kpyr, то можно дополнительно потребовать, чтобы это
отображение переВО'n:ИJIO данную внутреннюю точку области в центр
Kpyra, а .n:aHHoe направление в этой точке в направление ПОложи
тельной части действительной оси.
ПО'n:ЬJТоживая все сказанное BbIllle, мы ви.n:им, что 'n:ОКЗЗ<JТUJl,.СТВО
теоремы Римана сво.n:ится J< .n:оказзтельству сле.n:ующей теоремы:
т е о р е м а А, Для любой односвязной оБЛU['fll11, лежащей
внутри единиЧНО20 Kpyza I z \ < 1 II содержащей внутри себя ';тч.Кj'
z === О, существует рezулярная в этой областll функцип ""'со f (i..),
КОНфОрNНО отображающая эту область на ea,1HIl'iHM,J Щ'У
I С! < 1 II удовлетворяющая, KpoNe тО20, условия.м
f (О) === О,
1(0»0.
Доказзтельство этой теоремы бу.n:ет содер;""';
параrрафа. Для по.n:rОТОБlШ ЭТОI.О .n:оказ<,Тf'Ф.;.'. ',. '.....
некоторые BCnOMoraTe.'IbHbIe реЗУJJьтаты,
Jlедующеrо
понадоБSIТСЯ еще
Преж.n:е Bcero познакомимся со свойствами о.n:ной вспомоrателыlOЙ
фУШШИИ, которую будем обозначать !J .n:альнейшем через -r === 'fI1' (/),
r де О < I [1 i < 1.
Функцию -r === 'fl'- (t) опре.n:елим сле.n:ующими свойствами:
1. ФУНКЦIIЯ -.: === 1/>1'- (t) является анаЛllтич.еской функцией в Kpyze
I t I < 1 с выколотой точкой t === [1, в которой она 1l.Meem точку
ветвлеНllЯ emopozo порядка,
2. ФУНКl ия 'i: === YI (t) взаиА1НО однозначно отображает на ea1l
нllЧНЫЙ KPYZ I'i: 1<1 ту часть pllNaHoeoii поверхности Kвaдpaт
HOZO корня (с точкой рззветвления Ha.n: ТОЧI<ОЙ t === р.), которая
лежит над КрУ20лt \ t 1<1.
3. Для одНО20 llЗ элеNентов фУНКl{lt11 1j!1 (t) в точке t === О вы
полняются условия 'fl-' (О) === О, Ij!; (О) > О.
2\ .
ОБСУЖдЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИМАНА
427
Такую функцию ф", (t) можно построить следующим спосоБО I.
ДроБНО-Jiинейным преобраЗ0ванием
t 1'-
tl I P.t
переведем е.n:иничный Kpyr I t I < 1 в е.n:иничный Kpyr ! t 1 ! < 1
(а точку t (.1 в точку t l О). При этом часть римановой поверх
ности функции V t (.1, лежащая Ha.n: KpyroM I t i < 1, перей.n:ет в часть
римановой поверхности функции vt., лежащую Ha.n: KpyroM I t 1 i < 1.
Точка t О перей.n:ет в точку t 1 (.1.
За fем взаимно о.n:нозначно отобразим с помощью функции
t2 Vf;
'Часть римаНОIJОЙ поверхности функции vt , лежащую Ha.n: KpyroM
I t 1 1 < 1, на е.n:иничный Kpyr I t 2 1 < 1. При этом отображении точки
рима11ОIIОЙ поверхности у4: лежащие Ha.n: точкой t 1 (.1, перейдут
11 точки t2 a, r.n:e a 1 vrl,
с flOМОЩЬЮ .n:робно линейноrо преобраЗ0вания
. t" a
't е и !. .
\ Ш 2
переведем е.n:иничный Kpyr 1 t 2 1 < 1 в е.n:иничный Kpyr 1 't 1<1 (а точ
I{У t 2 а в точку 't О). Действительную постоянную ':J, выберем
таким обраЗ0М, чтобы у.n:овлеТВОРЯJIOСЬ условие
ФI: (О) > О.
ПОCJlедовательно выражая 't через t 1 и t, мы сможем написать
'Явное выражепие Ш1Я функции 't == ф", (t). Впроче l, это яшюе Bыpa
жение lIам не понадобится. Нам бу.n:ет нужно лишь сле.n:ующее
Clюйство функции 't == 'fI", (t):
11 е м м а 1. При любом (.1, 0<1 (.11 < 1, в любой точке едщlдЧ-
ною КРУЮ I t 1 < 1 (ОТJIИЧIIOЙ от ero центра) выполняются нера-
lJeHl'mea
I ФI' (t) 1> I t 1,
ФI: (О) > 1.
Для .n:оказатеJ1ьства заметим, что функция t == Х ('t), обратная к
функции 't 71' (t), реrулярна в Kpyre I 't 1<1 (в этом проще Bcero
убе.n:иться. написав .n:ля этой ФУНКЦИИ явную формулу или заметив,
что все отображения, использованные .n:ля построения функции 'fI", (t),
.совершаются реrулярными функциями, если .n:виrаться в обратном
1l0ря.n:ке). {<роме Toro, ясно, что 1 х ('t) I 1 в Kpyre I 't I 1. По лем
ме Шварца (см. 4 rл. 3) имеют место неравенства
Ix('t)I<I't1
(О < I 't ! < 1),
Ix'(O)i < 1,
428
I(ОНФОРННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[r.л. 6
поскольку функция Х ('t) не является ,функцией ви.n:а ei"'C. Полаrая
'С === 1/>", (t), получаем, что
I t I < 11/>", (t) I
(поскольку, cor ласно опре.n:елению обратной функции,
Тем самым лемма .n:оказана (напомним, что I/> (О) > О).
(О < I t I < 1),
I (О) I > 1
Х (1/>", (t» === t).
Нам пона.n:обится еще o'n:Ha лемма о последовательностях OДHO
листных функций.
Функция g(z) называется однолистной в области D, если каж.n:ое
значение, принимаемое ею в области D, она принимает ровно
один раз.
Л е м м а 2. Если последовательность функций 11 (z), 12 (z), ' . . ,
рпУЛЯРНblХ и однолистных в области О, на каждом за.Jfкнутом
множестве, лежащем в областll О, равномерно сходится к Функ
Цllll I(z), отЛllЧНОЙ от тождественной постоянной, то функция
I(z) тоже рпулярна и однолистна в области О,
Реrулярность фуркции I(z) сле.n:ует И3 теоремы Вейерштрасса
о равномерно схо.n:ящихся последовательностях реl'УЛЯрНЫХ функ
ций, Для .n:оказатеЛЬСтва о.n:нолистности функции I(z) возьмем KaKoe
либо значение а, принимаемое функцией I(z) в области О, и выбе-
рем область 01' лежащую в области О вместе со своей rраницей д0 1
таким обраЗ0М, чтобы значение а принималось функцией I(z) в обла
сти 01' но не принималось на ее rранице. Tor.n:a число v нулей функ-.
ции f(z) a в области О равно (см. 3 rл. 3)
1 \ f' (z)
2 ; f( ) dz.
"! Z а
Ja
Поскольку после.n:ователыюсть {/n (z)} равномерно схо.n:ится к функ
ции 1 (z) на l'ранице области 01' функции In (z) при .n:остаточно боль-
lllИХ значениях номера п также не принимаlOТ значения а на rранице
области 01' и после.n:овательность функций . .
f (z)
fn(z) a
равномерно схо.n:ится к функции
f' (z)
f(z) a
на rранице области 01' Сле.n:овательно,
Iim r f (z) dz=== r
n 00 21tl "fn (z) а 2щ
да! да,
f' (z)
f (2) а dz == 'У.
Интеrрал
1 f (z) d
z
2r.i fn (z) а
дО1
, I
!i 2]
ДОl(А3АТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИМ.АНА
-429
равен числу нулей функции fn (z) а в области 01' В силу O'n:HO
листности функций fn (z) это ЧИСJlО нулей может быть равно ИJIИ
ну лю, или е.n:инице. С .n:руrой стороны, cor ласно выбору области 01'
число V не меньше е.n:иницы. Сле.n:ователыю, v === 1. Т3!{ как область
01 является произвольной по.n:областью области О, то это 0значает,
что число ну лей функции j (z) а в области О равно е.n:инице. Ины
ми словами, функция f(z) о.n:нолистна в области О, Ле;\;/ма .n:оказана.
2. Доказательство теоремы Римана
В этом параrрафе .n:окажем сле.n:ующую теорему, носящую Ha3Ba
ние теоремы Римана:
Т е,о р е м а 1. Любую односвязную область 1Сомпле1ССНОй пло
C1COCfflll .можно 1Сонформно отобразить на одну из следующих
трех областей:
1. Вся раСШllренная пЛОС1Сость.
2. Вся 1Сонечная пЛОС1Сость,
3. ЕдиНllЧНЫЙ 1CpyZ.
Прll этом, если интересующая нас область и.меет хотя бы
две zраЮlчные тОЧ1Си, то ll.Meem .lfecmo третий случай.
При обсуж.n:ении этой теоремы в 1 мы установили, что дока-
зательство ее сво.n:ится к .n:оказательству сле.n:ующей теоремы:
Т е о р е м а 1 *. Для любой односвязной области О, лежащей
в 1Cpyze 1 z ] < 1 и содержащей точ1СУ z === О, существует реzyляр..
ная в этой области фУН1СЦllЯ === f(z), 1Сонфор,мно отображающйя
область О на едllНllЧНЫЙ 1Cpyz i:: 1< 1 и удовлетворяющая, 1(pO
_,се mozo, УСЛОВllЯ_IС
1'(0) === О,
j"' (О» О.
Для .n:оказательства обозначим через Юl множество всех функций
<р (z), реrулярных в области О, у.n:овлетворяющих условиям <р (О) === О,
<р' (О) > О и КОНфОрМIIО отображающих область О на какую-либо
область, лежащую в е.n:иничном Kpyre I 1:.1 < 1. Множество ЭJl заведомо
не пусто, так как оно со.n:ержит функцию cf' (z) = z.
И.n:ея .n:оказательства состоит в том, что искомая отображающая
функция r. === j" (z) вьщеляется из функций класса W1 некоторым
экстремальным свойством, Именно. поставим сле.n:ующую экстремаль-
ную за.n:ачу: пусть а произвольная фи1Ссированная тОЧl1.а областll
О, отличная от тОЧ1Cll z === О,. требуется найтll такую фУН1Сцию
ч' (z) Е Юl, для 1Соторой велиЧllна I 'р (а) I была бы наибольшей.
Преж.n:е Bcel'o мы .n:олжны .n:окззать, что экстремальная функция
существует. Для этой цели заметим, что величина I ч' (а) \ имеет точ-
ную верхнюю rраllИЦУ а. (леrко ви.n:еть, что I а I 'J. -о:;::; 1). Поэтому
существует после.n:овательность функций 91 (z), СР2 (z), ,.., прина.n:ле-
жащих :\1Iюжеству т, для которых
liт I Cf'n(a)1 ==0..
n oo
430
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОuЛАСТЕП
[r.l.6
Так как все ФУНКЦИИ <1'n (z) отображают область О на область, лежа
щую в единичном Kpyre, то 1<1' (z)i < 1 (z Е О). в сиду ПРИНllипа
КОМПalПНОСТИ реrулярных ФУНКЦИЙ (см. 6 rJI. 3) И3 после.n:ователь
ности {<fn (z)} можно вы.n:елИ1Ъ после.n:овательность {<f n k (Z)}, paBHO
мерно схо.n:ящуюся 1< некоторой функции [(z) на любой замкнутой
части области о. Для этой функции
I [(а) 1=== Нт 1<1'11 (а) I === а.
k oo /,
J{poMe Toro, И3 выполнения условий <fn (О) === О, ? (О) > 0 сле.n:ует,
k /,
что [(0)===0, ['(0»0, а, соrласно лемме 2 1, функция [(z) O'n:HO
листна в области О как пре.n:ел после.n:овательности о.n:нолистных
функций r.pn k (z) (леrко ви.n:еть, что [(z) не является тож.n:ественноt1
постоянной, ибо /(0) === О, а I f(a)! ===а *- О). Ясно также, что I f(z) I 1
при z Е о. Сле.n:овательно, функция [(z) конформно отображает
область О на некоторую область, Jlежащую в еЩIIIИЧНОМ Kpyre, т. е.
f(z) Е ЭЛ, так что существование экстре lальноt1 ФУНКIlИИ в MHO
жестве ЭЛ доказано.
Теперь .n:окажем, что эта экстремальная функция f(z) ОСУIIJ,ествляет
конформное отображение области О на единичный Kpyr. Допустим
противное. Tor.n:a обраЗ0М области О при отображении ===f(z) бу
.n:eT некоторая область Н, лежащая в е.n:иничном Kpyre I i < 1, но
не совпа.n:ающан с ним. Это 0значает, что существует точка fJ-'
0<1 р. i < 1, не прина.n:лежащая области Н. РаССМОТрЮI фУНКIlИЮ
r.p (z) === ФI-' (/(z»,
r.n:e ФI-' (z) вспомоrатеЛЫlая функция, построенная в пре.n:ы.n:уще 1
параrрафе.
Леrко убе.n:иться, что <1' (z) Е т. Действительно, во-первых, функ
ция <f (z) аналитична в односвязной области О и не имеет особых
точек (ибо е'n:ИНСТIJенной особой точкой фующии ФI-' (t) является
ТОЧI<а t === (.1, а функция f (z) не принимает значения fJ- в области О).
ТaI< что по теореме о моно.n:ромии она реrУJlярна в области о. Bo
вторых, отображение С === r.p (z) взаимно о.n:нозначно, l<aK суперпози-
цИЯ 'n:BYX взаимно о.n:нозначных отображений :: === ФI-' (t) и t === f(z),
причем образ обдасти О при отображении лежит в е.n:иничном KpYI'e
I 1< 1. Наконеll, выполнение условий <f (О) === О, <1" (О) > О, очеви.n:но,
сле.n:ует Н3 выполнения аналоrичных условий ЮJН ФУНКЦИЙ У,... (t) и [(z).
Но в силу леммы 1 имеем неравенство
I r.p (а) 1===1 ФI-' ({(а» I > I f (а) 1.
Это неравенство противоречит свойству экстремалыюсти ФУШЩIIИ
С === f (z), соrласно которому величина I f (а) I являетсн наибольшей .n:ля
всех ФУНКЦИЙ множества л. Полученное противореЧflе показывает,
что функция === f (z) конформно отображает область О на весь
единичный Kpyr I I < 1.
Тем самым теорема полностью доказана.
2)
ДОКА3АТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИМАНА
431
Заметим, что \ ер (а) \ не единственная величина, которая достиrает
CBocro наибольшеrо значения в классе Юl .n:ля отображающей ФУнк
ции. С тем же успехом мы мOl'ЛИ бы ИСПОЛЬЗ0вать и величину <р' (О).
Это не потребовало бы никакоrо изменения рассуж.n:еllИЙ, только
IJместо неравенства I Ур. (t)i > i t I ПРИlllЛОСЬ бы ИСПОЛЬЗ0вать Hepa
венство ф (О) > 1.
Основной .He.n:ocTaToK приве.n:енноrо .n:оказательства это ТО, что
0110 является чистым .n:оказательством существования и не предла
I'ает КОIIСТРУКТИВllоrо способа построеllИЯ отображающей функции.
Мы можем предложить вполне конструктивное построение после.n:о
вателыюсти функций, равномерно схо.n:ящейся к отображающей функ
Itии на Jlюбой замкнутой части области а, но .n:ля .n:оказательства
сходимости этой после.n:ователыюсти пона.n:обится иСПОЛЬЗ0вать уже
доказанное существование отображающей ФУНКЦИИ,
Интересующую нас последовательность можем построить СJlе
дующим обраЗ0М:
Положим
90 (z) == z, 9n+I (z) === YI'n (<fn (z)) (п === О. 1, 2, ...),
('.n:e p'n ближаЙlllая I{ началу коор.n:инат точка rраllИЦЫ области
Hn образа об.'1асти а при отображении 1: === 9n (z) (если таких TO
чек несколько, то обозначаем через!-,-n любую И3 них). Как и в И3
ложенно:w BbIllle .n:оказательстве, убеждаемся, что все ФУНКЦИИ Cfn (z)
принадлежат классу Л. С помощью леммы 1 1 леrко доказы
вается также, что I!-'-n 1 1 при п со.
Пля .n:оказательства схо.n:имости после.n:ователыюсти {<fn (z)} pac
смотри:w последовательность фу"кций
h ( 1 'fn (z)
n z) === Il f (z) ,
r.n:e J(z) ФУНКllИЯ, отображающая оБJI3СТЬ а на Kpyr I 1< 1 (ветвь
лоrариф:wа в.ы.n:еляем условием, что величина h n (О) действительна).
И3 однолистности ФУНКЦИЙ <fn (z) и отображающей ФУНКЦИИ f (z)
вытекает, что ФУНКЦИИ '7( ; не обращаются в области а ни в "уль,
IIИ В бесконечность. Сле.n:ователыю, h n (z) анаJlитические в O'n:1I0-
связной области а ФУНlЩИИ, и по теореме о МОНО'n:РОМИИ ОIlИ pery-
ЛЯрllЫ в области а. И3 Toro, что ФУНКЦИЯ 1:===J(z) конформно OTO
бражает область а lIа единичный Kpyr I 1< 1, сле.n:ует, что при z,
стремящемся к rранице области а,
limjf(z)I===I,
а 11 СИЛУ опре.n:еления числа p'n должны иметь место предеЛЫIЫс
СООТНОlllения
l!-'-n l liт I <fn (z) I liт I Cf'n (z) I 1
432
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОПНОСВЯ3НЫХ ОБЛАСТЕй
[rл,6
(при z, стремящемся 1{ rранице области О). Поэтому при z, стремя
щемся к rранице области О, имеем
I I . \ 1 , I \ 7n (z) I 1 . 1 I 'fn (z) I О
111 :.!. n 1т 11 f (z) 1т 11 f (z) .
Поско.'lbI{У 111 I (J-n I О при fl ---+ 00, отсюда вытекает, что последо
вате.1JЫЮСТЬ rармонических функций
Re h (z) === 111 1 'f'n (z) I
n f (z)
в силу принципа максимума и минимума (см, 9 rл. 3) должна рав-
номерно сходиться к нулю в области О. Поскольку функции h n (z)
при z === О по условию действительны, h n (О) ---+ О при fl 00 И при
меняя теорему 3 9 rл. 3, получаем, что последовательность {hn(z)}
равномерно сходится 1{ нулю в любой замкнутой части области О.
Это 0значает, что последовательность {Cfn (z)} равномерно сходится
1{ ФУНI{ЦИИ f (z) в любой заМЮIУТОЙ части области О.
3. Непрерывная зависимость отображающей функции
от области
Идею, ИСПОЛЬЗ0ванную во втором доказательстве теоремы Рима на,
можно ИСПОЛЬЗ0вать и для доказательства теоремы о непрерывной
зависимости отображающей ФУНI{ЦИИ от области.
Мы будем rоворюъ, что последоватеJIЬНОСТЬ областей {оп} схо-
дится изнутри к области О, если выполнены УС.1JОВИЯ;
1. Все области 01' 02' ... лежат в области О.
2. Любое замкнутое множество Е, лежащее в области О, лежит и во
всех осластях ОП' начиная с HeKoToporO номера.
П редпо.1JОЖИМ, что дана ПОС.1Jедовате.1JЬНОСТЬ областей {ОП}, cxo
.n:ящаяся l3нутри к области О, и что все области ОП содержат неко-
торую точку а. Кроме Toro, предположим, что области ОП и О одно-
СВЯ3НЫ И имеют не MeHbllle 'n:BYx rраничных точек.
Tor.n:a справе.n:лива
т е о р е м а 1. Последовательность ФУН1сций Cfn (z), конфоР. lftо
отобра:;нсающих области ОП на едини'iНЫЙ КРУ2 и удО8летворяю
щих условиям Cfn (а) === О, cp (а) > О, равномерно сходится на лю-
бой за.юснутой чдстll областll О к фУЮСЦllll cf (z), конфор.11НО
отображающей область О на едиНll'iНЫЙ КРУ2,
ДОI'ОВОРИМСЯ обозначать через фn (z) функцию, обратную к ФУIШ-
ЦИИ <рп (z), а через Ф (z) функцию, обратную к функции ер (z), Через
Dn обозначим образ области ОП при отображении .w ==, ер (z). Пока
жем, что после.n:овате.'lbНОСТЬ областей Dn стремится И3НУТРИ 1{ е.n:и-
НИЧIIОМУ Kpyry i'W I < 1. Действительно, во-первых. сБJIaСТИ D n лежат
в е.n:иничном Kpyre \ w 1<1, так как оБJ1асти Оп лежат 13 области а,
31
3АВИСИМОСТЬ ОТОБРАЖАЮЩЕЙ фУНКЦИИ ОТ ОБЛАСТИ
433
3 отображение 'W === f (z) перево.n:ит область О в е.n:иничный Kpyr.
Во-вторых, любое замкнутое множество Е*, лежащее в единичном
Kpyre I 'w I < 1, является обраЗ0М при отображении 'w === cf' (z) HeKOTO
poro 33MKHYToro множества Е, лежащеrо в области О, так что свой-
ство 2 также выполняется.
Если обозначить через pn расстояние от ТОчки 'w === О до rраницы
области Dn, то сходимость после.n:овате.'lbНОСТИ областей п п к еди-
ничному Kpyry 0значает, что Pn ---+ 1 при п--+ 00.
Рассмотрим последовательность функций
'w === fn ( ), fn ( ) === ер (фn ( )).
Эти функции конформно отображают единичный Kpyr I I < 1 на
области Dn и удовлетворяют условиям fn (О) === о, f (О) > о. Посколь-
ку области Dn схо.n:ятся к единичному Kpyry изнутри, для этих
функций справе.n:ливы предельные СООТНОlllения
Pn Iim Ifn( )I lim lfn( )I l.
'C 1 ICI I
Рассматривая последовательность функций
hnЮ===lп fnr.Ю
(1т h n (О) === О),
реrулярных в Kpyre I I < 1, леrко убеждаемся, как и в конце пре-
ды.n:ущеrо параrрафа, что
sup 1 R.e Jz n Ю 1--+ О, h n (О) --+ О (1l--+ 00),
IC:<:;;1
а отсюда с помощью теоремы 3 9 r л. 3 выво.n:им, что nосле.n:о-
вательность {hn (z)} равномерно схо.n:ится к нулю в любой замкнутой
части е'n:ИНИЧНоrо Kpyra I I < 1. Следовательно, последовательность
{fn Ю} равномерно сходится к в любой замкнутой части единично-
ro Kpyra, а последовательность Cf'n (z) равномерно сходится к функ-
ции ер (z) в любой замкнутой части области о. Теорема доказана.
Заметим, что в этом .n:оказате.'lbстве мы моrли не считать заранее
известным существование функции ер (z), конформно отображающей
область О на единичный Kpyr. Ее существование леrко выводится
с помощью принципа компактности реrулярных функций и леммы 2 1.
Действительно, по принципу компактности И3 последовательности
{epn (z)} можно вы.n:ешlТЬ сходящуюся по.n:последователыюС1Ъ. Предел
этой подпосле.n:ователыюсти по лемме 2 будет О.n:НQ.1IИСТНОй в обла-
сти О функцией (если этот преде.'1 отличен от тождественноrо нуля,
в чем леrко убедиться). И3 Toro, что функции Cf'n (z) конформно
отображают области ОП на е.n:иничный Kpyr, леrко вывести, что пре
.n:елы ая функция бу.n:ет отображать область а, в которой она pery-
лярна и однолистна, тоже на единичный Kpyr, а не на меньщую
область.
434
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
rrл,6
С.n:еЛ3lшое замечание полезно при построении .n:руrих доказа
тельств теоремы РИ1\lана. Опираясь на это замечание (и на теорему 1).
можем .n:оказ31Ъ сначала теорему Римана только .n:ля таких областей.
с помощью которых можно приБJlИ3ИТЬ любую .n:руrую область,
Tor.n:a мы сможем заключить, что отображающая функция сущест
вует и 'n:JIЯ тех областей, которые можно приблизить.
Теорему 1 можно обобщить и на после.n:овате.'lbIЮСТИ областей.
сходящихся к области G не только изнутри. PeKoMeH.n:yeM читателю
Рис, 84,
Рис, 85,
иссле.n:ов31Ъ вопрос о схо.n:имости отображающих фушш.ий .n:ля обла
стей, изображенных на рис. 84 и 85, Kor.n:a переlllейки сжимаются
(для второй области можно написать отображение в явном виде).
4. Единственность отображения
Убедимся теперь, что отображающая функция, удовлетворяющая
поставленным условиям, только одна.
т е о р е м а 1, Пусть а не1Соторая fflO'i1Ca односвязноu обла
Cfflll а (имеющей не менее .n:BYx rраничных точек). ФУН1СЦllЯ == / (z).
1Сонформно отображающая область а на едll1ll1'iНЫU 1Cpyz I 1<1.
оонозна'iНО определяется условllЯМll /(а) == О II /' (а) > о.
Допустим. что == /1 (z) И == /2 (z) 'n:Be фушщии, конформно
отображающие область а lIа единичный Kpyr I 1< 1 и у.n:овлетворя
ющие условням
[l(а)== О, / (a»O, [2 (а) == О, / (a»O.
Обозначим через z == Хl ( ) функцию, обратную к функции == /1 (z).
И р;,ссмотрим функцию .
(j1 ю == /2 (Хl ( )).
Ясно, ЧТО функция 'W == ер ( ) конформно отображает е.n:иничный Kpyr
I I < 1 на е'n:ИIIИЧIIЫЙ Kpyr I w I < 1 и удовлетворяет условиям
4)
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
435
9 (О) === О, ер' (О) > О. ФУНКЦИЯ
g(l:) === 'f )
llе обращается в нуль в Kpyre :: i < 1 (в силу о.n:нолистности функ
ции ер (1:», а при 1:, стремящихся к rранице этоrо Kpyra,
,!i,m : g(I:): === 1.
,- ; I
В силу принципа максимума и минимума lIЮДУ.'1Я реrулярных функций
(см. 4 rл. 3) эта функция 'n:ОJlжна быть постоянной, равной по
мо.n:улlO единице, а И3 УСЛОВИЯ ер' (О) > О следует тоrда, что эта
функция равна единице, т. е. что ер ( ) = . Это означает, что
I1 (z) = [2 (z), И теорема .n:оказана.
Можно доказать и rораздо более общую теорему, не ИСПОЛЬ3УЮ
щую УCJlOвие О'n:НОСвязности области, Именно:
Т е о р е м а 2. Пусть а не1СО1JlOрая тОЧ1Са оzраНllчеftftoй обла
пnZl а. ЕСЛll ФУН1СЦ11Я /(z) 1СОНфОр.41но отображает область а
на себя 11 удовлетворяет УСЛОВllЮl /(а)===а, /'(а»О, то /(z) = z.
Без оrраничения общности lOжно считать, что /'(a) 1, так как
13 противном случае мы моrли бы взять вместо I(z) обратную к ней
функцию. Поэтому ря.n: Тейлора .n:.'1Я функции /(z) в окрестности
точки z === а имеет вид
[(z)===a + сl (z а)+ C2(Z а)2 +...,
CI 1.
Для .n:оказательства 1'01'0, что СI === 1, за lетим, что функции
[2 (z) === f (/ (z», [" (z) === 1 (/2 (z», ...
также совершают конформное отображение области а I/а себя. Раз
Jlожение функции /n (z) в ря.n: Тей.'1ора в окресТIIОСТИ точки z == а
имеет вид
[n(z)===а + Cf(Z а) +".
Ес.'1И обозначить через 11-'1 диаметр наlllеЙ оrраничеlllЮЙ области а,
ТО, учитывая, что точка z === а лежит в области а, JlerKO получаем
неравенство ! /n (z) а I м (значения функции [n (z) лежат в обла
оСТИ а). Обозначая через р радиус наиБолыllrоo Kpyra С центром
в ТО'II(е z === а, лежащеrо в области а, можем написать HepaBelKTUo
I/ (а) r === i (/n (z) a) a! !
р
(см. 5 r л. 3). Так как / (а) === Cf, то это 0значает, что при Jll<Jбом n
справе.n:ливо нерапенство
м
cn
I Р
Отсю.n:а немеДJlенно вытекает, что Сl == 1.
436
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
[rл, 6'
Остается .n:оказать, что все остальные коэффициенты в ряде .n:ля
функции j(z) равны ну.'1ю. Допустим противное. Tor.n:a разложение
в ря.n: Тейлора 'n:JlЯ функции j (z) можно записать в ви.n:е
j(z)==a+(z a) + Cv(z аУ +. ..,
C v "* О.
ПО ин.n:укции леrко .n:оказывается, что разложение в ряд Тейлора
для функции jn (z) В этом случае имеет ви.n:
fn (z)==a +(z а) + пс" (z а)" +...
(п == 2, 3, ...).
Cor ласно уже упо:v!Инавшимся BbIllle нерапенства:и 5 r л. 3 мы
получаем, что при любом п
пс" == I v\ j ) (а) I == ! I :;v (fn(Z) a)z a I :. .
Так как число п произволыlO велико, то это неравенство 0значает,
что С" == О. Противоречие с пре.n:положением c v "* О .n:oKa3bIBaeT, что
f (z) == z. Теорема .n:оказана.
Заметим, что в .n:оказанной теореме условие оrраниченности обла
СПI леrко заменИ1Ъ более слабым условием:
Трающа областll а имеет хотя бы одну 1Co.ltflOfteHmy (т, е.
связную часть), состоящую более 'le_lf llЗ одноЙ mO'l1Cll.
Д.'1Я доказательства теоремы с таким оrраничением на область О
.n:остаточно заметить, что в этом случае область а можно конформно
отобразить на область, лежащую в е.n:иничном Kpyre (см. теорему 2
1).
5. Соответствие rраниц при конформном отображении
Kor.n:a мы rоворили о конформном отображении областей, мы все
время имели в ви.n:у взаИlllНО О'n:НОЗllачное соответствие меж.n:у BHYT
ренними точками этих областей. O'n:HaKo во мноrих вопросах бывает
необхо.n:имо знать свойства отображающих функций вблизи rраницы
области. Мы уже Heo'n:HoKpaTHo пользовались сле.n:ующим очеви.n:ным
утверждением:
ЕСЛll ФУН1СЦllЯ (== j(z) 1СОНфОр.l{но отображает область О
на область 1', то пра стре.filлеНlllI mO'l1Cll z 1с 2ра1llще областll О
mO'l1Ca (== j(z) стре.fiштся 1с 2ранице областll 1'.
O'n:HaKo мы не имели при этом в виду, что при стремлении
точки z к определенной точке rраницы области О точка (== f(z)
стремится к опре.n:еленной точке rранииы области r.
Тем не менее это более сильное утверждение тоже справе.n:ливо
при некоторых .n:оволыю естественных оrраничениях на характер
rраницы областей а и r. Основной целыо настоящеrо nараrрафа
будет доказатеJIЬСТВО подобноrо рода резудьтатов.
5]
СООТВЕТСТВИЕ rРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
437
Т е о р е м а 1. Пусть а и l' односвязные области, каждая
из которых оzра1lllчена простоЙ за.fiщнутой кусочно zладкой
кривоЙ (обозначим их S и 1; соответственно). Tozaa ФУНКЦllЮ
[, == 1 (z), конформно отображающую область а на область r,
.filOжно продолжить 110 непрерывности на за.ltыкаНllе области а
II продолженная ФУНКЦllЯ [,==/(z) J'станаВЛllвает взаll.ltftО oдHO
значное II взаlUtflO неnреРЫ8ное coomBemCm81le .fitежду точкаМll
за_lщнутых областеЙ а II l .
Для доказательства этоt1 теоремы достаточно .n:оказать, что .n:шr
любоt1 точки РО Е s существует пре.n:ел функции I(z), коrда точка z
стремится к точке РО, оставаясь в области а (ясно, что этот пре.n:ел
обязан быть точкоt1 rраницы области l ). Деt1ствительно, в этом случае
мы сможем доопре.n:еJIИТЬ функцию I(z) в точках rраницы области а ее
предельными значениями, и .n:оопределенная функция необхо.n:имо
бу.n:ет непрерывна в замкнутоt1 области о. Поскольку области а и r
можно поменять местами, бу.n:ет непре
рывна в замкнутоt1 области r и функция,
обратная к функции 1 (z). Это и 0значает,
что отображение замкнутоt1 области а
на замкнутую область 1', устанавливаемое
функцией [(z), взаимно однознаЧl10 и
взаимно непрерывно.
Итак, бу.n:ем локазьшать, что в каж-
.n:ot1 точке РО Е s существует пре.n:е.'I
функции [(z), Kor.n:a точка z стремит-
ся к точке Ро, оставаясь в области о.
Допустим противное. ТOI'да существуют такие 'n:Be последоватепь
ности точек
(z)
s
Рис, 86.
{z;.}, {z }, z Е а, z Е а,
т
.5'
Рис. 87.
n==1, 2, ...,
для которых
liт Z == liт z;==P o , liт l(z )==Q', liт l(z )==Q"
п.......,..оо n oo п.......,..со n-.......,..оо
(Q' -:1= Q").
438
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[rл.6
Для .n:а.'lbнеЙlllеrо будем обозначать
f(z )==Q , f(z )==Q .
Без оrраничения общности можем считать, '11'0
1 Q Q I >o
(п == 1, 2, 3, ...).
Более тorо, мы можем провести через ТО'I!<И Q , Q , .., кривую ['.
а через точки Q;, Q;, ,., кривую С таким обраЗ0М, чтобы pac
,стояние меж.n:у этими кривыми было не меньше некоторой положи
тельной постоянной (и чтобы обе эти кривые лежали I1 области 1').
Обозначим через R наименьшее иа ДВУХ расстояний I z; РО i и
i z; РО 1. Прообразы КРИВЫХ L' и [" в об,1ШСТИ а обозначим через '(
и 1"' Ясно, что кривые l' и 1" прохо.n:ят через точки z и z;' COOT
ветствешlO, так как их образы кривые [' и [" проходят через
образы этих точек. Следовательно, кривые '( и 1" пересекают все
окружности 1 z РО I == r при любом r < R. Точку первоrо пересече
ния кривой l' (при движении от точки z ) с окружностью I z РО i == r
обозначим через P , а первую точку пересечения КрИВОЙ 1" с окруж
ностью I z РО I == r через P *. Образы TO'leK P и P * обозначим
через Q и Q *. Поскольку точки Q и Q * лежат на кривых L' и
1." соответственно, имеет место неравенС1'ВО
Р;*
I Q Q * 1==1 f' (z) dz I I {' (z)! dz,
р; Kr
\
T.n:e последний инте1 рал взят по .n:yre окружности I z Ро 1'== (,
.лежащей в области а. Для ero оценки воспользуемся неравенством
Шварца
( hgds)2 h 2 ds. g2ds,
,положив в этом неравенстве h == I f' (z) 1, а g== 1. Заме'lая, что инте
:rрал
I dz I
Kr
равен длине .n:уrи Kr и потому не превосходит 2т;;r, прихо.n:им к He
равенству
2 2т;;, I f' (z) 12 i dz 1.
Kr
Деля обе части этоrо неравенства на 2т;;, и интеrрируя по r от He
;которor'о е> О .n:o R, полу'шем. что
R
1п I f' (z) [21 dz i dr I f' (Ро + re ill ) 12 r dr d{}.
· К, Dr
5]
сооrВЕТСТВИЕ rРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
439-
Пос.'1е.n:ний интеrрал в этой формуле распространен на область D R .
состоящую из пересечения Kpyra 12 РО 1 < R с областью О. Соrлас
но формуле, полученной нами в конце 8 rл. 2, этот интеrрал
равен площа.n:и образа области Dя при конформном отображении
== f (z), Эта площа.n:ь не зависит от числа Е> О И не превосходит
площа.n:и всей области r. Таким обраЗ0М, мы пришли к выво.n:у, что
2 R
величина ;, 1п при любом Е> О не превосхо.n:ит некоторой конеч
L1t €
ной величины площа.n:и области r. При > о это невозможно.
Полученное противоречие .n:оказывает наше утверж.n:ение, а вместе
с ним и теорему.
МЫ провели .n:оказательство теоремы о соответствии rраllИЦ
при КОНфОрl\ШО 1 отображении .n:ля СJlучая, Kor.n:a области а и r
оrраllичены простыми заМЮIУТЫМИ КУСОЧlю rладкими кривыми и притом
о.n:носвязны. O'n:HaKo сама и.n:ея .n:оказательства приrо.n:на и .n:ля rораздо
более общеrо с луч о';!, С.n:елаем сначала ря.n: замечаний, ОТlIОСЯЩИХСЯ
к простейшим обобщениям .n:оказанной теоремы.
3 а м е ч а н и е 1, Утверж.n:ение теоремы полностыо сохраняет силу
и .n:ля конечносвязных областей, оrраниченных конечным числом
простых замкнутых КУСОЧНО-1"лащшх КРИВЫХ, Действительно, такие
области можно разрезать на конечное число о.n:носвязных областей
и применить теорему 1 1< каж.n:оЙ из частей_
3 а м е ч а н и е 2. Пусть области а и r имеют в составе своих
rраниц КУСОЧlю rла.n:кие .n:уrи S и соответственно, и пусть при
конформном отображении == / (z) области а на область r .n:yra S
переходит в .n:yry , т. е. точка === / (z) стремится 1< дуrе , Kor.n:a
точка z стремится к .n:yre S. Тоrда при z, стремящемся к любой
за.n:ашюЙ точке Р .n:уrи S функция /(2) имеет пре.n:ел.
Для доказате.'1ьства этоrо замечаlIИЯ нужно IJырезать И3 области О
часть, пРИМЫI<ающую к дуrе S, и приме1ШТЬ теорему 1.
И3 за;wечания 2 немедленно вытекает O'n:HO .n:ополнение к принципу
симметрии Римана Шварца:
Т е о р е м а 2. Пусть каждая 113 областей а 11 r ll.fiteem в coc
таве своей 2paНl1ЦЫ 110 аналитllческой дУ2е (см, 3 [.'l, 4) S II
соответствеNfЮ. Если при конфоР_'ltНОJrf отображеНlf1l ==/(z}
обласпт а на область l дуzа S переходl11п в ду.?у , то функцию
f(z) .fifOЖ1iО аналитически продОЛ:JfCиf/lЬ через ayzy S за пределы
области О.
Перей.n:ем теперь к обсуждению случая, Kor.n:a области О и r
имеют rраницу произволыюrо устройства. В этом случае нуж.n:ается
в изменеllИИ сама формулировка теоремы 1. Дело в том, что уже-
440
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
[rJI. (f
для весьма простых областей, rраница которых не является простой
заМЮIУТОЙ кривой, теорема 1 неверна. Например, пусть область а
это Kpyr / z i < 1 с разреЗ0М по ра.n:иусу (О, 1), а область l' I<pyr
I 1< 1. Ясно, что функцию ===f(z), конформно отображающую
область а на об.'1асть I , нельзя про.n:олжить по непрерывности на
замыкание области а (т. е. на весь Kpyr I z I 1), так }<ак в этом
случае функция f(z) по теореме 1 iЗ rл. 4 была бы реrулярна
в е.n:иничном Kpyre I z I < 1 и конформно отображала бы на Kpyr
j I < 1 не область а, а I<pyr I z 1<1.
Для формулировки теоремы, обобщающей теорему 1 на случай
областей с ПРШl3вольной rраницей, нам понадобится ввести O'n:HO
новое понятие.
ДостllЖll.lolOй 2раНll'iНОЙ mO'iKoii, лежащей над точкой Q rраницы
области а, наЗ0вем совокупность точки Q и простой кривой С
с концом в точке Q, лежащей в области а (за исключением ее конца),
При этом две кривые С и С (оканчивающиеся в точке Q) бу.n:ем
считать определяющими O'n:HY и ту же .n:остижимую rраничную точку,
если при любом р> О они попа.n:аюТ в O'n:HY и ту же связную часть
пересечения области а с KpyrOM I z Q I < р.
\
Интересно заметИ1Ъ, что .n:остижимые rраничные точки можно
рассматривать и как точки rраницы в обычном смысле, если ввести
в области сле.n:уюшее понятие расстояния меж.n:у точками:
РасстОЯНllе.лl 110 областll а меж.n:у точками Zl Е а и Z2 Е а
бу.n:ем называть точную нижнюю rраницу диаметров ломаных, лежащих
в области а и сое.n:иняющих точки Zl и Z2 *),
При таком опре.n:елении расстояния между точками каждая фун
..n:аменталы ая после.n:овательность точек области (не имеющая пре-
.n:елом точку области) опре.n:едяет достижимую rраничную точку об
.ласти.
В рассмотренном BbIllle примере Kpyra I z I < 1 с разреЗ0М по
ра.n:иусу (О, 1) каждой точке ра.n:иуса (О, 1) отвечают .n:ne достижимые
rраничные точки по одной на каж.n:ом краю разреза,
Теорема о соответствии rраниц может быть распространена на
случай, Kor.n:a rраницы обдастей а и I состоят толыш И3 .n:остижимых
rраничных точек. Это 0значает, что .n:ля TaKoro случая можно доказать
существование пре.n:е.'1а отображающей функции в каж.n:ой .n:остижимоЙ
rраничноЙ точке и равномерную (в смысле расстояния по области)
непрерывность отображающей функции.
Доказательство переносится на этот случай почти полностью.
Единственно, о чем нужно .n:ополнителыю позаботиться, это о разум-
*) Метрика, uпреДСJшемая в области О таким Сllособом, наЗbIвается
Jdетрикой Мазуркевича.
1)]
ФУНКЦИЯ rРИНА И 3АДАЧА ДИРИХЛЕ
441
110М опре.n:елении .n:уrи Kr окружности I z РО 1=== r, так как для
справе.n:ливости неравенства
Р:*
I [' (z) dz\ ! f' (z) 11 dz I
Р; Kr
необхо.n:имо, чтобы точки P и P * лежали на дуrе Kr. l1yry Kr
вполне можно опре.n:елить сле.n:ующим обраЗ0М: прове.n:ем в точку РО
какую либо кривую С, опре.n:еляющую данную .n:остижимую rраничную
точку; И3 первой ТОЧКИ пересечения кривой С с окружностью
I z РО I === r идем в обе стороны по этой окружности .n:o первой
встречи с rраницей оБJJасти. Лепю ви.n:еть, что .n:ля о.n:носвязной
области такая КОНСТРУКЦИЯ .n:уrи Kr позволяет провести остальную
часть .n:оказательства теоремы.
в СВЯ3И С .n:остижимыми rраничными точками упомянем без 'n:OKa
зательства о.n:ин теоретико множествеНIIЫЙ результат:
ЕСЛll область О 02раНllчена простой за_uкнутой KPllBOii, то ее
2раНllца cocmOllrrl только llЗ достllЖlUUЫХ 2раНllЧНЫХ точек, llpll
ЧСА! над каждоЙ точкой 2раНtlцы ЛСЖllт ровно одна достllЖllяая
2ранtlчная точка*).
И3 этоrо результата и И3 прове.n:енных BbIllle рассуж.n:ений видно.
что теорема 1 остается в силе, если отбросить требование, что rpa
НИЧlIые кривые областей О и r являются кусочно r латшми.
На ИССJJе.n:ованиях не.n:остижимых точек rраницы мы останавли
ва1ЪСЯ не бу.n:ем. Оrраничимся рис. 58, на котором демонстрируется
область, имеющая не.n:остижимыми rраничными точками точки верти
( , \
каЛЫlOrО отрезка О, j .
6. Функция rрина и задача Дирихле
Пусть О о.n:носвязная область, оrраниченная простой кусочно
r ла.n:коЙ кривой. Обозначим через ер (z, zo) ФУНКЦИЮ, КОНФОРМlIО OTO
бражающую область О на е.n:иничный Kpyr и у.n:овлетворяющую условиям
ер (zo' zo) === О, ер; (zo' zo) > О (1)
(zo некоторая точка оБJJасти О). Как мы ЗlIаем И3 теоремы 1 4.
эта ФУНКЦИЯ опре.n:еляется е.n:инственным обраЗ0М.
ФУНКЦИЮ
g(z, zo) === g(z, zo; О) === lt1jep (z, zo)!
*) См" например, статью Каратеодори: UIJtersuchuIJgen iiber die konformen
Abbildu!lgcn vоп fеstеп und vеrапdеrliсllСП GеЫеtеп, Math. Апп. 72 (1912).
107 144.
442
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
[rJ1.6
будем называть ФУЮ<Цllей Трина задаЧll ДиРllхле для области О
или просто фую<цией Трина (с указанием на область, если это необ
хо.n:имо ).
Заметим, что в опре.n:елении ФУНКЦИИ rрина можно требовать,
чтобы отображающая ФУНКЦИЯ 9 (z, zo) у.n:овлепюряла ЛИlllЬ первому .\
И3 условий (1), Действительно, отображающие ФУНКЦИИ, у.n:овлетво
ряющие ЛИlllЬ первому из УCJlOвий (1), MOl"YT отличаться от ФУНКЦИИ,
у.n:овлепюряющей обоим УСЛОВИЯ:\I (1) лишь постоянным множитеJlем {:i<
(число 't .n:ействитеJlЫЮ). На значение лоrарифма МО'n:УJlЯ отображающей
ФУНКЦИИ этот множитель, очеви.n:но, не влияет.
ПОCI<ольку ФУНКЦИЯ
( ) <:> (z, zo)
91 z, Zo === .
z zo
ре'улярна в области О и не обращается 11 HY,'Ib, реrулярна в обла
сти О и функция h (z) === 111 ерl (z, zo) (по теореме о моно.n:ромии).
Сле.n:ователыю, .n:ействитеЛЫlая часть этой ФУНКЦИИ
Re '/ (z) === 111 1 1 r.p(z, zo) 1 === l' (z, zo)
Z Zo
rармонична в обласrи О. Таким обраЗ0М, ФУНКЦllЮ Трина .можно
представить в виде
g(z. zo) === Iп :z Zo i +"( (z, zo)'
(2)
.zде .. (z, zo) 7аРAtОНllческая в областll О ФУНКЦllЯ пере.менноЙ z,
Далее, ПОСКОJJЫ<У функция С === f (z, zo) конформно оrображает область О
на е.n:иничный Kpyr, 19(Z, Zo)' ---+ 1, Kor.n:a точка z стремитси к [pa
нице области О, Поэтому
g(z, zo) ---+ О,
(3)
Kor.n:a точка z стремится к rраllице области О.
Заметим, что свойства (2) и (3) полностыо опре.n:еляют функцию
rрина «(z, zo; О). Действительно, ра31ЮСТЬ 'n:BYX функций, у.n:овлет
воряющих УСЛОIIИЯМ (2) и (3), была бы rармонична в области О,
непрерывна в замыкании области О и обращалась бы в нуль при z,
лежащих на rранице области О. По принщшу максимума и минимума
rармоничеCI<ИХ функций эта разность была бы тож.n:ественно равна нулю.
И3 сказанноrо вытекает, что функцию ['рина можно найти, реШИII
в области О за.n:ачу Ilирихле с l"раничными .n:анными 111 Iz zol (т. е,по
строив rармоническую 11 области О и непрерывную в ее замыкании
функцию l' (z, zo), принимающую на rранице области О значения
111lz zo!) и прибавив к ПОJIУ'jешIOМУ реlllению слаrаемое 111[z zol.
6)
фуНКция rРИНА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
443
Пусть теперь имеем 'n:Be о.n:носвязные области О и 0*. оrраниченные
простыми КУСОчно rла.D:I{ИМИ кривыми, и пусть I(z) какаЯ JIИбо ФуНl<
IШЯ, конформно отображающая область 0* на область О. Покажем, что
функции Трина, отвечающие ати.и областям, связаны соотношением
g(z, zo; O*)===g(/(z), 1 (zo); О).
(4)
ДеЙСТlJителыю, если ер (z, zo) Функция, конформно отображающая
об,!lасть О на е.n:иничный Kpyr и у.n:овлетворяющая условию ер (zo, zo) === О,
то ФУНКЦИЯ ер* (z) === ер (/ (z), 1 (z()), очеви.n:но, отображает об.1Jасть 0*
на е.n:иничный I<pyr и у.n:овлетворяет условию ер* (zo) === О. Отсю.n:а
неме.n:ленно вытеl<ает равенство (4).
Функция rрина 'n:ОПУCI<ает наrля.n:ную rи.n:ро.n:инамическую интер '
претацию. Бу.n:ем рассматривать rраницу области О как твер.n:ую rла.n:
кую стенку. Если в точке Zo Е О поместить вихрь мощности 27t, то
установившееся течение жи.n:кости в оБJlасти О, соз.n:анное этим вихрем,
бу.n:ет описываться комплексным потенциаJIOМ
F (z) === i 1п ер (z, zo).
Линии тока этоrо течения жи.n:кости бу.n:ут линиями уровня ФУНКЦИИ
I'рина (ФуНlЩИЯ I'рина бу.n:ет потенциалом тока этоrо течения).
Ясно, что ПО функции I'рина g(z, zo; О) можно восстановить ФУIII<
Ilию ер (z, zo), отображающую область О на е.n:иничный Kpyr и Y'n:OB
летворяющую условию ер (zo, '(0) === О. IlействитеJIЫЮ, по функции
,'(z, zo) === g(z, z() :""""1п ! z Zo!,
rармонической в оБJIасти О, мы можем построить сопряженную с ней
rармоническую функцию (z, zo). Tor.n:a
ер (z, zo) === еХР{1 (z, zo) + ia (.<, Zo)}' (z zo).
ПРОИ3ВОJIыюе постоянное CJIaraeMOe, вхо.n:ящее в функцию (z, zo),
можно опре.n:еJIИТЬ. еСJIИ потребовать. чтобы фушщия ер (z, zo) y.n:o
ВJIетворяла еще и УСJIОВИЮ ер; (Zo. zo) > О.
Построение функции ['рина сво.n:ится, как мы ви.n:еJIИ, к решению
неl<ОТОРОЙ спе1шаJIЫlOЙ за.n:ачи IlИРИХJIе. O'n:HaKO. зная фунюшю {'рина,
мы можем получить решение за.n:ачи IlИРИХJIt и с ПРОИ3ВОJIЬНЫМИ
rраничными .n:анными на rраНИIlе области О. IlействитеJIЬНО, зная функ
цию {'рина, мы 3Hae H тем самым фушщию, конформно отображающую
оБJlасть О на е.n:иничиый Kpyr. ЕСJIИ на rраНИIlе оБJIасти О за.n:ана про
И3ВОJIьиая rраничная фунюшя. то, соверlllая Iюнформное отображение
оБJIасти О на е.n:иничный I<pyr, ПОJIучаем, cor дасно теореме о COOT
ветствии rраНИlt при конформном отображении, некоторую r'раничную
фуню1ИЮ на окружности е.n:иничноrо Kpyra. По этой rраничной функ
ции мы можем реlllИ1Ъ за.n:ачу ДИРИХJIе 'n:JIЯ KpYI'a с lIОМОЩЬЮ
444
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖFНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
[rл; 6
интеrрала Пуассона (см. 10 rл. 3), Совершая обратное отобра
жение е.n:иничноrо Kpyra на область О, получаем искомое реlllение за.n:ачи
Дирихле.
Кстати, укажем на формулу, позволяющую получить реlllение за.n:ачи
Дирихле непосре.n:ственно через функцию I'рина (в этой формуле фую{
ция rрина считается известной .n:ля всех Zo Е О). Эта формула имеет
ви.n:
l' д
и (Zo) == 2п (8) дп g(z, Zo) d8.
С
(5)
3.n:ecb через Ф (8) обозначена rраничная функция, рассматриваемая
как функция от .n:лины .n:уrи 8 rраничной кривой С (отсчитываемой
д
'от некоторой точки), а через дп .n:ифференцирование по направле
нию внеlllней нормали к rраничной кривой.
По.n:робноrо .n:оказательства формулы (5) мы приво.n:ить не бу.n:ем.
Читателю, желающему получить доказательство этой формулы caMOCTO
ятелыlO, можно peKO:l1eH.n:oBaTb провести сле.n:ующую и.n:ею: пре.n:ставить
интеrральную формулу Пуассона в ви.n:е формулы (5), а затем заметить,
что формула (5) сохраняет свой ви.n: при конформных отображениях.
До сих пор мы рассматривали за.n:ачу Дирихле ЛИlllЬ в случае, Kor.n:a
rраничная функция (8) является непрерывной функцией на. rраничной
кривой. O'n:HaKo .n:ля написания формулы Пуассона не имело значения,
является ли rраничная функция непрерывной или имеет точки раз
рыпа, оставаясь оrраниченной и интеrрируемой. ПОЭТОМУ, естественно,
возникает желание сформулировать постановку за.n:ачи Дирихле таким
браЗ0М, чтобы .n:опускались и разрывные rраничные данные.
Бу.n:ем пре.n:полаrать область О оrраниченноЙ конеЧIЮ СВЯ3НОЙ обла
оСтью с rраницей, состоящей И3 конечнOl'О числа простых замкнутых
кривых, rраничную функцию ер (z), за.n:анную на ЭТИХ кривых, бу.n:ем
пре'n:ПОЛaI'ать имеющей конечное число разрывов первorо po.n:a (т. е. пре
делы функции при приближении к точке разрыва справа и слева
существуют, но не обязаны совпа.n:ать меж.n:у собой или со значением
фующии в точке разрыва).
Решением задачи ДиРllхле в области О для 2раЮ1ЧНОЙ фуюс
lillll ер (z) будем называть rармоническую в области О функцию и (z),
оrраниченную во всей области О сверху и СНИ3У и имеющую в каж
дой точке rраничной I{РИВОЙ области О, ЯВilЯющеЙся точкой непре
рывности rраничной функции ер (z), пре.n:ел, равный значению rранич
ноЙ функции в этой точке.
т е о р е м а 1. При сделанных предположеЮ1ЯХ относительно
области О и отНОСllтельно 2раничной ФУЮСЦllll решение задаЧll
Дllрихле (если ОНО существует) единственно.
6]
ФУНКЦИЯ rРИНА И 3АДАЧА ДИРИХЛЕ
445
Действительно, пусть иl (z) И и2 (z) 'n:Ba реlllения задачи Дирихле
(с о.n:ной и той же rраничной фующией cf (z». Обозначим
u (z) == 112 (z) 111 (z).
Функция II (z) rармонична и оrраничена в области Q. В каж.n:ой
-точке rраницы области О, за исключением точек разрыва rраничной
,функции cf (z) функция II (z) имеет пре.n:ел, равный нулю. Обозначим
'через ak, k == 1, 2,.. . п, все точки разрыва rраничной функции cf (z)
и рассмотрим функцию
n
и. (z) == II (z) Е '\1111 1 м l '
z ak
k 1
r.n:e число Е> О ПРОИ3ВОЛblЮ, а М .n:иаметр области Q. Ясно, ЧТО
при всех z Е О имеет место неравенство
и. (z) II (z).
Кроме Toro, HeTpY'n:Ho заметить, что в любой точке rраницы области О
,функция ll. (z) имеет неположительный пре.n:ел. Действителыю, е.n:ин
.ственное сомнение Mor ли 6ы ВЫ3В81Ъ ТОЧКИ Z == ak' но в них Нт ll. (z) ==
== со. Так как «нкция ll. (z) rармонична в области О, то И3 прин
ципа максимума следует, что
ll. (z) О (z Е О).
Это неравенстпо справе.n:ливо при лю60М Е> О, и, переходя к пре.n:елу
-при Е ---+ О, получаем, что
ll(Z) O (z Е О).
Рассмотрев ФУНКЦИЮ II (z), мы cOBepllleHHo аналоrичным рассужде-
нием .n:окажем неравенство
II (z);;?: О (z Е О).
'Сле.n:овательно, u (z) = О, т. е. III (z) = 112 (z), И теорема 'n:OI{азана.
Для случая О'n:НОсвязной области О изложенные BbIllle соображения
П03ВОЛЯЮТ pelllaTb за.n:ачу Дирихле не только с непрерывными rpa-
ничными .n:анными. Формула (5) также вполне приrо.n:на .n:ля этой цели.
ОrраничеюlOСТЬ получаемоrо с помощью интеrрала Пуассона реlllения
задачи Дирихле llепосре.n:ственно вытекает И3 ПОЛОжительности я.n:ра
в интеrралыlOЙ формуле Пуассона. ДействитеJJЬНО, это обстоятельство
лозволяет получить оценку .n:ля интеrрала, заменив rраничную Функ-
ЦИЮ ее наиБолыllмM (ИJJИ наименьшим) значением.
Для Toro чтобы пре.n:ставить себе пове.n:ение rармонической ФУНК-
ЦИИ u (z), реlllающей за.n:ачу Дирихле .n:ля разрывной I'раничной ФУНК-
ЦИИ в Оl{рестности точки разрыва ЭТОй rраничной функции, рассмот-
рим ФУНКЦИЮ
и о (z) == arg z
446
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[rЛ.1>
в верхней полуплоскости. Функция и о (z) является rармоническоtl функ
цией в верхне" полуплоскости. На положительной части действитеJJЬ
ной оси ее можно считать равно" нулю. Tor.n:a на отрицателыюtl части
.n:еtlствительной оси она равна 7t. При стремлении точки z к началу
коор.n:инат функция l10 (z) пре.n:ела не имеет. O'n:HaKo при стремлении
точки z к началу коор.n:инат по некоторо" кривоtl, имеющеtl касатель
ную в точке z == О, функция 110 (z) стремится к значению, равному
величине УI'ла, образуемоrо этой касательноЙ с ПОЛОжительным Ha
правлением .n:ействителыюй оси. Имея в ви.n:у разобранный пример.
мы леп(О сможем .n:оказать СJIе.n:ующее утверж.n:ение:
т е о р е м а 2. Пусть o односвязная область. оzраНllченная
простой замкнутой КУСОЧНО 2ладкой кривой. II пусть 11 (z) реШе
Юlе задаЧll Дl1рl1хле в областll а для 2раНllЧНОЙ ФУНКЦ11ll <р (z),
имеющей конечное число точек разрыва пеРВО20 рода. Если КРllвая
1, лежащая в обласrrт А, за 11сключе1tllе.At ее конца а (прина.n:лежа
щеrо rранице области а), ll.Ateem в rrlO'tKe а касательную, то функ
Цl1Я 11 (z) 11Meerrt предел nрll z а, z Е 1, Этот предел vaBeH
<р(а+О). , + "1, +<p(a O) , + "" 1 ,
1\ 1 (\.2 , I '2
2де <р (а + О) предел ФУНКЦllll <р (z) nрll z а в nоложитеЛЬНО.Аl
(соответственно отрицательном) наnравле1tllll по 2ра1tlще в обласrrт о.
а Л 1 и ). У2Лbl, образуелtblе кривой 1 в точке а с 2ра1tlЩей
облас тll о.
Для .n:оказательства нам .n:остаточно рассмотреть функцию
1
V(Z)==11(Z) -Л; +"2 [<p(a+O) <p(a O)] arg(z a)_
Эта ФУlIIЩИЯ, как и ФУНКIlИЯ и (z), является rармонической ФУНКIlией
11 области а, но ее rраничная ФУНКIlИЯ в точке z == а не имеет раз
рыва. Поэтому ФУНКЦИЯ v (z) имеет пре.n:ел, Kor.n:a z ----+ а, оставаясь
н области о. Сле.n:оватеJIЬНО, за.n:ача о нахож.n:ении пре.n:ельноrо значе
ния ФУНКЦИИ 11 (z) при стремлении точки z к точке а по кривоtl 1 CBe
лась к нахож.n:ению этоrо пре.n:ельноrо значения .n:ля фУНКIlИИ arg (.? а).
а этот вопрос был разобран в ПрИlllере.
7. «Знакопеременная метода» Шварца
И3 сказаннOI'О в преды.n:ущем параrрафе можно И3Вilечь еще одну
и.n:ею .n:оказательства теоремы Римана. Она состоит в том, чтобы по
строить решение за.n:ачи Дирихле (не опираясь на существование KOH
формноrо отображения), а затем строить конформное отображение
через реlllение за.n:ачи IlИРИХJIе. При этом вви.n:у теоремы о непрерыв
ной заВИСИlllOСТИ отображающей ФУНКЦИИ от области нам .n:остаточно
lJ.Qказать разрешимость за.n:ачи Дирихле лишь .n:ля TaKoro К.'1асса областеtl,
в котором можно найти последовательности, схо.n:ящиеся И3НУТРИ к JJlобой
О.D:IЮСВЯ3НОЙ об.'lасти.
7]
«ЗНАКОnЕРЕМ.ЕННАЯ м'ЕТОДА» ШВАРЦА
447
Изложим В этом параrрафе способ реlllения за.n:ачи Дирихле с
помощью так пазываемой «знакопеременной мето.n:ы» Шварца. Сначала
докажем O'n:HY лемму об оценке реlllения за.n:ачи Дирихле.
Пусть o односвязная область, оrраниченная простой замкнутой
j{УСОЧflO rла.n:кой кривой, раз.n:еленной на две 'n:У1'И А и В точками Р
и Q. Через С обозначим простую
кусочно r ла.n:кую кривую, сое.n:иняю
щую точки Р и Q и лежащую в об
ласти О, за исключением ее концов
(рис. 88). Бу.n:ем пре.n:полаr31Ъ, что
касательные к кривой С в точках Р
и Q не совпа.n:ают с касательными
к .n:yre В в тех же точках.
В этих предположениях спра
1Jе'n:JIИВ а
JI е м м а 1. Пусть II (z) pe Рис. 88.
шеНllе задаЧll Дllрихле в обла
Оll11 О С zраНllЧНОЙ фУН1СЦllей cf (z), удовлетворяющей условиям
cf (z) === О (z Е А), I cf (z) i м (z Е В).
Тоzда
тах Ill(Z)\ qM,
zEC
дe ЧllСЛО q < 1 не заВllCllrrl от zраНZ1ЧНОЙ ФУН1СЦ1111 cf (z).
И3 ПРИПllипа максимума и lшшимума .n:ля rармонических функций
сле.n:ует, что
lu (z) I М110 (z)
(z Е 0),
r.n:e llo (z) решение за.n:ачи Дирихле в области О с rраничной функ-
цией, равной нулю на .n:yre А и е.n:ишше на .n:yre В. Поэтому мы
можем положить
q === тах 110 (z).
z Е с
Если искомый м3!{симум .n:Остиrается внутри .n:уrи С, то он меНЫllе
.е.n:иницы, так как ФУНКIlИЯ llo (z) не ЯВJJяется тож.n:ественной постояп
ной, а ее максимум во всей области О равен еДИПИllе. С .n:руrой
СТОрОIlЫ, cor лаСIIО теореме 2 пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа, И3 условия,
что касательные к кривой С в ТОчках Р и Q пе совпа.n:аlOТ с Kaca
-тельными к .n:yre В в тех же точках, вытекает, что пределы
Нт ио (z), Нт ио (z)
z p z Q
z Е С z Е с
существуют и MeHbllle е.n:иницы, Поэтому q < 1 (и полностью опре.n:е
.ляется rе01l1етрическоЙ конфиrурацией), и лемма доказапа.
Так назьшаемая «знакопеременная MeTo.n:a» Шварца позволяет pe
шить задачу Дирихле .n:ля объе.n:инения 'n:BYX областей, если можно
448
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯ3НЫХ ОБЛАСТЕй
[rл.6
решить за.n:ачу Дирихле (с произвольной rраllИЧНОЙ функцией) ДJ!Я
каж.n:ой И3 этих областей, Будем пре.n:полаrать исхо.n:ные области
ощюсвязными областями, оrраниченными простыми КУСОЧlю r ла.n:кимИ
кривыми.
Для Описания алrоритма построения реlllения в объе.n:инении 'n:BYX
областей рассмотрим картину, изображенную на рис. 89, Через К
бу.n:ем обозначать область, оrраниченную .n:уrами А и D (области О и Н
оrраничены .n:уrами А, В и С, D соответственно). Бу.n:ем считать, что
в "rочках Р и Q дуrа В не касается .n:уrи С.
Пусть на всей rранице области К (т. е. на .n:yrax А и D) за.n:аllа
какая лнбо rраllичная ФУНКЦИЯ, не превосхо.n:ящая 110 IIlО'n:УilЮ значе
ния М. АЛ20рzzтм nосmроеНllЯ
решеНllЯ задаЧll ДllрZ1хле в обла
CJпи К С заданной 2раНllЧНОЙ
ФУ1tlЩllей ер (z) таков:
За.n:аем на .n:yre В ПРОИ3ВОJIЬ
ную функцию (скажем, равную
нулю) и pelllaeM в области О
зa.n:ачу Дирихле с rраllИЧ1l0Й функ
циеЙ gl (z), равной ер (z) на .n:yre А
и за.n:анной произволыю функции
на .n:yre В (.n:ля опре.n:еленности бу.n:ем считать эту произволыю за.n:ан
ную ФУНКЦИЮ равной нулю). Реlllение этой за.n:ачи Ilирихле обозначаем
через и1 (z). Затем pelllaeM за.n:ачу Ilирихле в области Н с rраничноЙ
функциеЙ IZ 1 (z), равной ер (z) на .n:yre О и 111 (z) на .n:yre С. Реlllение
ЭJОЙ задачи Ilирихле об0311ачаем через Vl (z). После Toro как опре
делены функции lln (z) И V n (Z), опре.n:еляем ФУНКЦИЮ lln + 1 (z) как
решение за.n:ачи Дирихле в области О с rраничной функциеЙ gn + 1 (z),
равной ер (z) на .n:yre А и v n (z) на .n:yre В. Функцию v n + 1 (z) опре
.n:еJlяеlll как реlllение за.n:ачи Дирихле в области Н с rраничной фУll({
цией h n + 1 (z), равной ер (z) на .n:yre D и Zln + 1 (z) на .n:yre С.
А
Рис, 89.
Утверж.n:аеlll, что последовательностll ФУНКЦllЙ {lln (z)} И {V n (z)}
равно_мерно сходятся в областях О II Н соответственно (Tor.n:a
ясно, что в пересечении областеЙ О и Н пре.n:елы этих последова
телыюстей совпа.n:ают). Отсю.n:а очеВИ'n:НЫlll обра301ll бу.n:ет следовать,
что функция w (z), равная пре.n:е,'1У после.n:ователыюсти {lln (z)} В об
ласти О и пре.n:елу после.n:ователыюсти {V n (z)} В области Н, является
реlllениеlll ИСХО'n:Il0Й за.n:ачи Дирихле .n:ля области К.
Для .n:оказатеJJьства схо.n:имости последовательностеЙ {lln (z)} И
{V n (z)} обознаЧИlll
п == 1, 2,...,
M n === тах Illn + 1 (z) 1ln (Z)I,
z Е о
п == 1, 2,...
M ===max:Vn+l(z) vn(z)l.
z Е н
!i 7)
«3НАКОnЕРЕМ.ЕННАя М.ЕТОДА» ШВАРЦА
4-19
Функция lln + 1 (z) lln (z) (при п::;:?: 2), cor ласно построению, является
реlllением за.n:ачи Дирихле в области О с rраничной функцией, равной
нулю на .n:yre А и v n (z) v n 1 (z) на 'n:YI'e В. Аналоrично функция
V n + 1 (z) V n (z) является реlllением за.n:ачи Дирихле в области Н
с rраничной функцией, равной нулю на .n:yre D и lln + 1 (z) llп (z)
на .n:yre С. Поэтому, применяя ПрИ IllИП максимума, получаем Hepa
венство
Mn maxlvn(z) Vn 1 (z)1
z Е в
(п == 2, 3,.. .),
а примеЮIЯ лемму неравенство
maxivn(z) Vn l(Z)I qlM': 1
zEB
COBepllleHHO аналоrично получаем, что
M maxilln + 1 (z) lln (z)1 qM n
z Е с
При п === 1 имеет
(п == 2, 3,.. .).
(п === 1, 2,.. .).
место неравенство
М 1 maxivl (z)1 ql M ,
zEJJ
так как функция 112 (z) 111 (z) является реlllение:н за.n:ачи Дирихле
в области О с rраничной функцией, равной нулю на .n:yre А и v 1 (z) на
.n:yre В, а функция Vl (z) на .n:yre В не превосхо.n:ит по мо.n:улю вели
чины qlM.
И3 полученных рекуррентных СООТНОllleIШЙ без труда находим
неравенства
Mn qn lq M,
M qnq M,
п === 1, 2,...,
п == 1, 2,...
Эти неравенства показывают, что ря.n:ы
II (z) == 111 (z) + (112 (z) 111 (z)) + (113 (z) 112 (z)) ...,
v (z) == v t (z) + (V2 (z) v 1 (z)) + (vз (z) v 2 (z)) +...
РaIшомерно схо.n:ятся в областях О и Н соотпетственно. Te:V1 самым
наше утверж.n:ение доказано.
С ПОМОЩЬЮ интеrрала Пуассона мы може:V1 решить за.n:ачу Дирихле
с ПРОИ3ВОJlЫlOЙ rраничной функцией, за.n:анной на окружности. «Зl1а
копеременная MeTo.n:a» Шварца П03ВОJlЯЕ Т .n:оказать разреlllIШОСТЬ за.n:ачи
Ilирихле (с любой rраничной функцией) п области, полученной объ
е.n:инением любоrо конечноrо ЧИСJJа круrоп. Тем самьш .n:оказаl10, что
.n:ля любой ОЩlOСВЯ31ЮЙ области, полученной объединением Jlюбоrо
конечноrо числа KpyroB, существует ФУНКЦИЯ, конформно отобра
жающая эту область на единичный Kpyr (см. построение отображающей
функции по функции I'рина в пре.n:ы.n:ущем параrрафе). ПОСКОiIЫ{У
JIl0бую область можно рассматривать как пре.n:ельную .n:ля последо-
15 А. rуРВНЦ. Р, Курант
450
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ односвязных ОБЛАСТЕй
[rп.6
вательности областей, полученных объединением конечноrо числа KPy
rOB, мы прихо.n:им к новой возможности .n:оказательства теоремы Римана.
Стоит заметить, что «знакопеременная MeTo.n:a» .n:ала нам больше,
чем еще O'n:HO .n:оказательство теоремы Римана. Доказательство суще
ствования реlllения за.n:ачи Дирихле с ее помощью не требует O'n:HO
связности области К, полученной объе.n:инением областей О и Н.
8. Теоремы искажения
С rеометрической точки зрения лемму Шварца, .n:оказаНIIУЮ нами
Б 4 rл. 3, можно сформулировать так:
ЕСЛll Ре2улярная фУЮЩllЯ r..===J(z), определенная в КРУ2е I z 1<1,
отображает этот КРУ2 (не обязательно взаимно о.n:нозначно)
в КрУ2 I \.1 < 1, а точку z === О переводllт в точку r..=== о, то pac
< ;. ;"; Чi;е тОЧКll r..o от тОЧКll r..=== о не nревосходит расстОЯНllЯ
Оlli ;;;..'! Т<ll Zo до тОЧКll z === о. Равенство расстОЯНllИ ВОЗ.Аto:JIСНО
ЛllШЬ В случае, lСО2да отображеН1lе r.. === J (z) сводllтся к враще1illЮ
вОКрУ2 тОЧТ<ll z == о.
Эта теорема lIалаrает опре.n:еленные оrраllичения на «искажения»
формы фиrур, Бозникающие при конформном отображении r..==j(z).
Эти оrраничения спраl.lеюJИВЫ .n:ля целоrо класса отображений, и YKa
занные rраницы достиrаются .n:ля некоторых функций этоrо класса.
Таким обраЗ0М, лемма Шварца 03l1ачает, что отображеН1lЯ r.. == J (z),
пР1lнадлежаЩllе классу отображеНllИ едll1illЧНОZО КРУ2а в себя,
остаВЛЯЮЩllХ неподВll:JIСНЫМ начало коордllнат, МО2ут перевести
точку Zo в любую точку КРУ2а I r../ / Zo I II только в точку
таКО2О КРУ2а.
Сочетая лемму Шварца с теоремой Римана о в031110ЖНОСТИ KOH
формнorо отображения, можно .n:оказать значительно более общиН
результат. Д!lЯ ero формулировки BBe.n:eM некоторые обозначения.
Пусть О и Н о.n:носвязные области, расположенные в плоско
стях z И r.. соответственно, и пусть каж.n:ая И3 них со.n:ержит начало
коор.n:инат. Через 9Я обозначим множество всех функций J (z), pery
лярных в области О, принимающих значения, лежащие в области Н,
и у .n:овлетворяющих, кроме Toro, условию J (О) == о.
Через ар и 'I1p бу.n:ем обозначать линии уровня функций l'рИllа:
ар: g(z, о; О) ==== 111 р,
'I1p: g(r.., о; Н) == 111 р.
Принимая БО внимание связь функции rрина с отображающей
функцией, мы ви.n:им, что линия I р является обраЗ0М окружности
I t 1== р (О < р < 1) при конформном отображении Kpyra I t I < 1 на
Gбласть О, перево.n:ящем точку t == О в точку z == О (и аналоrично
для области Н).
!i 8)
ТЕОРЕМ.Ы ИСКАЖЕНИЯ
451
Сле.n:ующая теорема пазывается прllНЦllпо.м Лllнделефа:
т е о р е м а 1. Прll отображеЮlll C===/(z), 2де I(z) Е illl, любая
точка Zo Е а, лежащая на ЛllЮlll 'р' переходит в точку Со, лежа
щую на ЛZZНlllZ "fJ o илzz внутри нее. Прzz это.м точка Со .может
лежать на ЛZZЮIZZ "fJo лzzшь в случае, КО2да фУНКЦllЯ С === f (z) KOH
фОрJ tно (взаимно ОЩIозначно) отображает область а на область Н.
Ддя доказательства пршщипа Лин.n:едефа достаточно конформно
отобразИ1Ъ Kpyr I t I < 1 на обдасть а, а область Н на Kpyr ! w I < 1
и применИ1Ъ к функции w (t) демму Шварuа.
PeKoMeH.n:yeM читатедю рассмотреть сде.n:ующие 'n:Ba важных частных
случая принuипа Линдедефа:
1) Область a KpY2 !z!<l, а область Н полуплоскость
ReC<a, а>О,
в этом частном сдучае IIРШЩИП Лин.n:едефа приво.n:ит нас к так
lIазываемому неравенству Каратео.n:ори,
2) Область а КРУ2 ! z I < R, а область Н полоса 1 <
<ReC< 1.
в этом частном случае принцип Лин.n:едефа даст неравенства (5)
и (6) И3 9 rл. 3, которые быди там .n:оказаны при помощи доводьно
сдожных выкладок (пре.n:оставденных, впрочем, читатедю),
в 6 rJI. 7 .n:окажем еще в качестве применения припципа Лин
делефа теоремы Шоттки, Лан.n:ау и Пикара.
Перей.n:ем теперь I{ теоремам искажения нескодько иноrо рода
(все они в основных чертах были подучены Кебе).
Бу.n:ем обозначюъ через D множество функций f(z), реrудярных
и о.n:нодистных в е.n:иничном кру,'е z I < 1 (т. е. конформно отобра
жающих е.n:иничный Kpyr на некоторую обдасть) и У'n:ОБдетворяющих
условиям f (О) === О, f' (О) === ). Разложение функции f (z) в ряд Теи-
дора в окрестности точки z === О имеет поэтому вид
f(z)=== z + G2Z2 + Gзz:1 +".
т е о р е м а 1. Пусть фУНКЦIZЯ j(z) прzzнадлежит
ТО2да при I z 1=== r < 1 zutеют .место неравенства
1 r 1/ ' ( ) ' l+r
(l+r)з z ; (1 r)3'
(1 r)2 I I(z) I (l r)2 '
(1)
классу D.
(2)
(3)
в обеzzх формулах ЗНGК равенства вОЗJ toжен лzzшь для функцzzй
Bzzaa
z
f(z) === (l +ei"z)2
(а. действительное чисдо).
15*
(4)
452
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СД!iОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[rл,6
Кроме mozo, для arg f' (z) справедливо неравенство
l+r
I arg f' (z) i 2 lп 1 r '
(5)
Доказательство всех перечисленных неравенств мы выведем из
следующей леммы, называемой теоремой площадей:
Л е м м а. Пусть f(z) Е о. Тоzда для 1СОЭффllЦиентов Ь n . oпpe
деляемых соотношением
t;Z) == ; +b o +b 1 z+b 2 z 2 +...
(6)
(леrко найти, что Ь о == а 2 , Ь 1 == a аз), справедливо неравенство
со
п I b n /2 1.
n 1
(7)
Эта лемма получила название теоремы площадей по той причине,
что неравенство (7) 0значает неотрицатеЛЬНОС1Ъ площади части IIЛО
1
скости, лежащей вне области, на которую функция == f (z) отобра
жает е.n:иничнЫй Kpyr ! z I < 1.
Для доказательства неравенства (7) рассмотрим отображение функ
цией == f z) KpyrOBoro кольца р < I z I < 1. rде 0< р < 1. По
1
скольку функция j(z), а значит и f (z) ' однолистна в Kpyre I z I < 1.
это отображение перево.n:ит кольцо р < I z I < 1 в некоторую об
ласть Ер' Область Ер является 'n:ВУХСВЯ3НОЙ областью, rраница KOTO
рой состоит И3 rраницы области Е образа единичноrо Kpyra при
1
отображении == f (z) и И3 образа окружности I z I == р при этом
отображении. Уравнение образа этой окружности может быть запи
сано в следующем параметрическом ви.n:е:
== 1;" + Ь о + b1pei'P + р2ш (р, ер) (О ер < 21t). (8)
ре r
r.n:e функция w (р, ер) оrраничена по мо.n:улю
РО < 1. Так как уравнение
it i('P+t) + I Ь I i('P+t)
"е е 1 ре
р
при всех ер и при р
( == arg Ь 1 )
является параметрическим уравнением эллипса с полуосями
1 1
ар == р + I Ь 1 I р. p == р I Ь 1 I р,
то площа.n:ь Р р области, оrраниченной кривой (8), отличается от 1t/p""
на величину порядка р. Но площадь области Ер' как показывает не.::
8I
ТЕОРЕМ.Ы ИСКАЖЕНИЯ
453
сложное вычисление, равна
1 2" со"
If'(rеi1');2rdrd<р==т:{ :. 1 + ! пlbnl2 ! п/b n / 2 p2 n }.
р о n J n ]
Если мы вычтем из Рр ПJIOll1а.n:ь области Вр' а затем положим р О,
ТО получим в пре.n:еле площа.n:ь части плоскости, лежащей вне об
JIасти В. Так как эта площа.n:ь неотриuательна, то отсю.n:а неме.n:ленно
вытекает неравенство (7).
- Докажем теперь с помощью формулы (7), что .n:ля фунrщий f(z)
Н3 класса D имеет место неравенство
la21 2,
(9)
причем знак равенства возможен ЛИlllЬ .n:ля ФУНIщий вида
f (z) =r= (1 + :i"Z)2
(1т (]. == О).
Для .n:оказательства воспользуемся следующим искусственным при-
емом, Функuия
g(z)== V f(Z2) ==z + a2 z3 +. ..,
как леrко в и.n:еть , тоже _ о.n:нолистна в единичном Kpyre. Разложение
.n:ля ФУНIЩИИ l/g(z) в ряд JIopaHa в окрестности точки z==O имеет
БИ'n:
( ) == + IZ+ 2Z2+...,
g z z
причем 1 === a . По лемме
со
I a2j2 == I 1 I ! п I n 12 1,
n l
и мы получим неравенство (9). Знак равенства в этом нера-
со
СЛУ ' lае, коrда " R I / 2 == ,---, п ! r , n 1 2 ,
венстве может достиrюъся лишь В. t' L..J t'
n l
Т. е. KOI'.n:a 2 == 3 ==. . . == О, Но Tor да
1 1 1 + ,,,
g (z) == V f (z') == z е z.
Отсюда без тру да находим, что
f(z) == ( ;z + e i .. V:ZY2 == (1 _+ :'''Z)' .
454
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[rл,6
Перей.n:ем теперь к доказательстпу неравенств (2) и (3) теоремы 1.
Для этой цели рассмотрим вспомоrательную ФУНКЦИЮ
/ С + Zo )
у f \I+Cz o f(zo)
g(...) == (1 I Zo 12) f' (zo) ,
r де Zo прuизвольная заданная точка Kpyra I z 1<1. Леrко прове
рить, ЧТО функция g(z) прина.n:лежит классу О. Действительно, усло
вия g(O) == О и g' (О) == 1 .n:ля нее выполняются, а ее однолистность
в Kpyre I z I < 1 следует И3 о.n:нолистности функции [(z) в Kpyre
I z I < 1. та" l'aI( отображение
C+z o
z== I+Cz o
является взаимно однозначным отображением Kpyra 11: 1< 1 на I<pyr
I z I < 1. Следовательно. дЛЯ ФУНI<ЦИИ g(z) .n:олжно выполняться He
равенство (9), С помощью несложных выкладок получаем, что
1 g" (0) 1 { f" (zo) (1 I 2 ) 2 }
а2 '2 1: f' (zo) Zo I Zo .
Поэтому неравенство (9) 0значает, что
I f" (Zo) 2 I
f' (zo) (1 I Zo I ) 2zo 4.
Таl<ИМ обраЗ0М, мы .n:оказали, что в каж.n:ой точке z окружности
I z I == r < 1 справе.n:ливо неравенство
\ f" (z) 2r 2 1 :0::::: 4r
z {' (z) 1 r 2 1 r 2 .
Отсюда немедленно вытекает неравенство
4r 2r 2 { f" (z) } 4r + 2r 2
1 r 2 R.e z f' (z) 1 r 2 ,
\ { f" (z) } \ 4r
1т z f' (z) 1 r 2 .
Но
{ f" (z)t д "
Re z f' (z) J r dr In I [ (z) I
(z == rei'l'),
а
Поэтому
1т {z j:' ( i } == r :r arg [' (z)
4 2r д 1 1 [ ' ( ) 1 4 2r
1 r 2 dr п, z I 1 r 2 ,
(z == rei'l').
4 д [ ' () 4
1 r 2 дr arg z 1 r 2 .
Интеrрированием первоrо неравенства ОТ О .n:o r получаем
1" (1 r) 31п (1 + r) lп ;[' (z) I lп (1 + r) 31п (1 r),
81
ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ
455
2 интеrрированием BToporo
I+r [ ' l+r
2In 1 arg (z) 2fn 1 .
r r
Тем самым Доказаны фОр:\IУЛЫ (2) и (5). Формула (3) без труда "o
Jlучается И3 формулы (2) с помощью еще o'n:Horo интеrрировапия.
Отметим одно сле.n:ствие И3 левorо неравенства формулы (3):
С л е д с т в и е. Область, явЛяющаяся образоя едzutllЧНОЮ КРУ2а
при отображеН/lll ФУНКЦllей r. ==== f (z) из класса D, все2да содержит
1
KPY 2 11:1<T.
Действительно, И3 левоrо неравепства (3) сле.n:ует, что .n:ля всех
точек z, лежащих на окружности : z 1==== r < 1, их образы '(. при OTO
бражении 1: ==== f (z) удовлетворяют неравенству I '(./ (1 r)" . Пере
ходя '{ пределу при r ---+ 1, мы ви.n:им, что образы точек ОКРУЖНОСТИ
I z 1====1, т, е. rраничные точки образа Kpyra I z 1<1, удовлетворяют
1
условию I '(./ Т-
Kpyr теорем, связанных с принципом JIинделефа, давал оценки
.n:ля функций, которые не предполаrались о.n:нолистными в COOTBeTCT
вующих областях. Для теорем искажения Кебе требование однолист
ности функции f (z) в е.n:иничном Kpyre существенно. O'n:HaKo B03
можны некоторые обобщения этих теорем, освобож.n:енные от требо
пания о.n:нолистности. Сре.n:и этих обобщений наиболее известна
теореяа Блоха, которую мы сформулируе l, не приво.n:я ее .n:оказа
тельства:
Пусть ФУНКЦllЯ f(z) ре2улярна в КРУ2е I z I < 1 и удовлетво
ряет условию f' (О) ==== 1. ТО2да plUfaHOBa поверхность, являющаяся
взаияно однозначныя образо.Jt КРУ2а I z I < 1 при отображеНZlll
с==== f(z), содержит на одно.А! llЗ листов открытый КРУ2 радиуса В,
2де В некоторая абсолютная положитеЛьная постоянная. из
I
вестно, что B 8'
Скажем еще несколько слов о функции
z
f (z) ==== (1 + z)" ,
.n:ля которой псе неравенства в теоремах Кебе обращаются в paBeH
сша, Эта функция конформно отображает единичный Kpyr 'Z I < 1
на плоскость '(. с разреЗ0М по положительной части .n:ействительной
оси от 1/4 .n:o + 00, Можно пока3а1Ъ, что и для друrих за.n:ач об
оценке искажения при отображении, cOBeplllaeMoM функцией П3 класса О
(и даже И3 мноrих .n:руrих классов однолистных фУНКЦИЙ), наиболь
456
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[fл,6
lllая или наименыllяя величина искажения .n:остиrается для функций.
конформно отображающих единичный Kpyr на плоскость с HeKOTO
рыми разрезами. Причина этоrо в том, что для экстремальной функ
ции небольшая вариация уже должна .n:елать отображение HeOДHO
листным. Более Toro, .n:ля очень широкоrо класса задач .n:оказывается.
что разрезы обязаны быть аналитическими дуrами (см.. например.
Шеф Ф е р и С п е н с е р, Экстремальные задачи на римановых по
верхностях, Москва, ИЛ, 1955).
9. Обобщения и приложения принципа максимума
Принuип максимума модуля реrулярной функции, .n:оказанный нами
в 4 rл, 3, утперж.n:ает, что наиБолыllеe значение мо.n:уля реrуляр
ной функции не может .n:остиrаться внутри области. Это позволяет
нам получить неравенство, оrраничивающее мо.n:уль функции, реrуляр
ной в области А, внутри этой области, если мы можем оценить Bepx
I!ИЙ предел значений моду ля функuии при стремлении переменной
к каж.n:ой точке rраницы области А, O'n:HaKo во мноrих случаях при
хо.n:ится оценивать мо.n:уль функции внутри области, зная пре.n:ельные
значения МО.n:УJIЯ этой функции не во всех точках rрашщы. Разу
меется, не накла.n:ывая на функцию .n:ополнителыlЫХ оrраничений, ни
каких результатов получить нельзя, но эти дополнительные оrрани
чения MorYT оказаться совсем необременительными. По.n:обноrо po.n: a
обобщения принципа максимума мо.n:уля используются весьма часто.
O'n:HO И3 таких обобщений (но .n:ля rармонических функций) мы ис
ПОЛЬЗ0вали в 6 при .n:оказательстве единственности реlllения за.n:ачи
Дирихле с I{усочно непрерывиой rраничной функцией. Аналоrичное
обобщение принципа максимума мо.n:уля реrуЛЯрНЫХ функций бу.n:ет
первым результатом, который мы докажем в этом параrрафе.
т е о р е м а 1. Пусть функция [(z) ре2улярна 11 02раНllчена 8
02раНllчеююй одНОС8ЯЗНОЙ области О. Если 80 8сех точках 2pa
НllЦЫ области А, за исключением конеЧН020 их числа, lиteem место
1iepa8eHC11l80
iТт I/(z) I м
z.....a
(z Е а, а Е да),
то I[(z) I м 80 8сей области А,
Возьмем ПРОИ3ВОЛЫlOе число Е> О, обозначим через М диаметр
. области А, а через аl' a , .", а п упоминаемые в условии теоремы
исключительные точки 1-раницы области О (в которых неизвестна
оценка .n:ля Нт I f (z) 1) и рассмотрим вспомоrательную функцию
z ak
n
fE(Z) f(Z) 11 ( Z M Gk/.
k l
9]
ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ nРИНЦИIIА МАКСИМ.УМА
457
Поскольку расстояние меж.n:у любыми .n:вумя точками замыкания об
.rlасти а не превосхо.n:ит .n:иаметра этой области, .n:ля всех z Е а имеет
место неравеНСТБО
If. (z) I I f(z) 1.
Далее, во всех точках rраницы области а справедливо неравенство
i1m I f. (z) i м
z a
(z Е а, а Е да).
Действительно, сомнение MorYT вызвать лишь исключительные точки
al' а2' .,., а п , но в них по построению ФУНКЦИИ f. (z) этот пре.n:ел
равен нулю (напомним, что по условию ФУНКЦИЯ f(z) оrраничена
в области а), Сле.n:овательно, соrласно принципу максимума, имеет
место неравенство
If.(z) I м
(z Е а)
или
n
lJ(z)i M П Iz akl .
k l
Поскольку число 8> О призволыю мало, мы получаем отсюда YTBep
ждение теоремы,
(z Е а).
Заметим, что условие конечности числа исключительных точек
.n:ля справе'n:ЛИ130СТИ теоремы не обязателыlO. Тем же способом Teo
рему можно .n:оказюъ и .n:ля счетноrо множества исключительных точек.
Условие оrраничешlOСТИ ФУНКЦИИ f(z) в области а тоже не яв
Jlяется необхо.n:имым. ФУНКЦИЮ можно считать растущей при по.n:хо.n:е
J{ исключитеЛЫJЫМ точка:\l, но скорость роста .n:олжна не превосхо
ДИТЬ HeKoToporo пре.n:ела, зависящеrо от rеометрической конфиrурации
rраницы области а в окрестности исключителыюй точки. В с л e.n:yю-
щей теореме, носящей название теоремы Фраrмена Лин.n:елефа, этот
предельный рост опре.n:еляется .n:овольно точно (.n:ля наиболее простой
конфиrурации rраницы).
Т е о р е м а 2, Пусть фуюсция f(z) ре2УЛЯрна в полуполосе Н,
определяемой неравенс mBa_ttll
1I h
XO 2 <X<XO+2; У>Уо (z===x+iy),
II непрерывна в за.JlЫ1СаНllll этой полуполосы, за иС1Слючением
1Сонечно удаленной тОЧ1Си, при подходе 1с 1Соторой фУН1Сция
llяеет рост, 02раниченный неравенство.м
\f(x+ ёу) I Сехр {С 1 ехр а.(у Yo)}'
бес
f(z)
'"
a.<7i"'
Если фУН1Сция f(z) во всех 1Сонечных тОЧ1Сах "раницы полуполосы
Н удовлетворяет неравенству If(z) i M, то это неравенство
справедливо u во всей полуполосе Н.
458
КОНФОРМ.НОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДfЮСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[fл.6
Без оrраничения общности можно считать, что хо === О, уо === О.
так как этоrо можно .n:обиться, взяв функцию 1 (z + хо + [уо) вместо
функции I(z). Выберем число а' так, чтобы а < а' < , и paCCMOT
рим вспомоrательнуlO ФУНКЦИЮ
{. (z) === 1 (z) ехр ( еехр а' z),
rде е произвольное положительное число. Используя равенство
1 ехр а j === ехр (R.e а), мы можем написать
I ехр [ e ехр а' (х + iy)] 1 === ехр ( (8 cos а'х) ехр а'у].
h h
Поскольку а' < , при "2 x "2 имеем
a'h
cos а' Х cos 2 === 8 > О,
Сле.n:овательно, в полосе Н имеет место неравенство
i ехр ( e ехр a'z) I ехр ( e8 ехр а'у) 1.
Отсюда вытекает, в частности, что на rранице полуполосы Н выnол
няется неравенство 11. (z) ! II (z) I М. Внутри полуполосы Н .n:ля
функции 1. (z) справе.n:лива оценка
! f. (х + iy) ! с ехр {С 1 ехр ау 108 ехр <у},
И3 которой видно (напомним, что а < а'), что : 1. (z) , ---+ О при z ---+ со
В полуполосе Н. Поэтому пре.n:ельные значения функции : 1. (z) I во
всех точках rраницы полуполосы Н не превосхо.n:ят числа М, и, при
меняя принцип максимума мо.n:уля, мы получаем, что
i/.(z): M
(z Е н)
или что
I/(z) I М ехр (еехр a'z)
(z Е Н).
Так как число е> О произволыlO, мы без Tpy.n:a получаем И3 этоrо
lIеравенства, что j/(z)! М (z Е н),
Чтобы оценить точность .n:оказанной теоремы, рассмотрим ФУнк
цию
f(z)===exp (ех р )
h h
в полуnолосе "2 х 2' У о. Из равенства
I [(х + iy) I === ехр ( cos ; . ехр Х )
видно, что на rранице этой полуполосы !/(z)! <е и что ВНУТРИ нее
I/(z) i ехр (ех р 10% ).
!i 9]
ОБОБЩЕНИЯ И nРИЛОЖЕНИЯ IIРИНЦИIIА М.АКСИМУМА
459
Ви.n:но также, что функция /(z) не оrраничена в нашей полуполосе.
Этот пример показывает, что в условии теоремы 2 требование
11: 11:
(]. < h нельзя замешlТЬ требованием (J. h '
С помощью конформноrо отображения теорему 2 леrко перено
сить на случай .n:руrой конфиrурации rраllИЦЫ в окрестности исклю
чительной точки. PeKoMeH.n:yeM читателю с помощью конформноrо
отображения С е yz получить аналО1"Ичный резу льтат .n:ля yr ла pac
твора 11:,.
Совершенно анаЛОrичные TeOpe:llbI тем же самым способом MorYT
быть получены и для rармонических функций (разница JIИШЬ в том,
что вспомоrательные функции получаются не умножением на HeKO
торое выражение, а прибавлением лоrарифма ero мо.n:уля).
Прием, ИСПОЛЬ30ванный нами при .n:оказатеJlЬС'fве приве.n:енных
обобщений прш!ципа максимума, встречается .n:оволыю часто. Тем же
приемом мы .n:окажем сейчас еще ОЩIo приложение принципа макси
мума, носящее название теоремы Ада-иара о трех Kpyzax:
Теорема 3. Пусть функция /(z) реzулярна в кольце
p<lzl<R.
ОбознаЧllМ через М (r) .Jtaксияум .ftoдуля фУНКЦllll / (z) на окруж
ности I z ' r, р < r < R. Tozaa функция ]п М (r) является вы
пуклой функцией от ]п r, т. е. для любых значений rl' r2, r з
(у.n:овлетворяющих условиям р < rl < r 2 < rз < R) IUteem десто He
равенство
] М( ) ] М( ) Iпr2 lпr, +1 М( ) Iпr;j lпr2
n rQ 11 r1 I ] 11 r з I I .
- п r з п r. n r з п r 1
Для доказательства рассмотрим вспомоrатеЛЫlУЮ функцию
{ 1 (z) [/(Z)]n Zm,
r.n:e т ПРОИ3ВОЛЫlOе целое число, а п положительное целое число.
Эта функция реrУЛЯрllа в кольце r1 I z! rз и, соrласно принципу
максимума,
шах I { 1 (z) ! шах { шах 1/1 (z)!,
izl r2 Izl r.
шах i /1 (z) !}.
!zJ===r3
Пролоrарифмировав это неравеllСТВО и выразив вхо.n:ящие в Hero
величины через вве.n:енную на:llИ функцию М (r), мы после несложных
преобраЗ0ваний получим неравенство
111 М (r2) шах { 111 r1 + 111 М (rl)' 111 r з + lп М (r з )} 111 r 2 .
460
КОНфОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОД:IОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕй
[rл. б
В этом HepaBellCfВe числа т и п можно выбирать ПРОИ3ВОJ\ЬНО lB
рамках с.n:еланных относительно них допущений). так что их ОТНОUlе
т
ние л == . может быть с.n:елано сколь yro'n:llo близким '{ люБО>\IУ
п
.n:ействителыюму числу. Сле.n:опателыlO, полученное неравенство спра
т
ведливО и при любом .n:ействителыюм значении отношения == Л.
/l
Выберем ero таким обраЗ0М, чтобы
л In r, + lп М (r,) == л lп rз + lп М (rз).
И3 этоrо условия нахо.n:им
т ==Л== lпм (r8) lп М (r,)
/l lnr" lnr,'
т
и, по.n:ставляя полученное значение в неравенстпо для lИ (r2)' после
п
неCJIOЖНЫХ преобраЗ0ваний приходим к утверждению теоремы.
rлава седьдая
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Теорема Римана, .n:оказанная в пре.n:ыдущей rлаве, устанавливает,
что С каждой односвязноЙ областью МОжнО связать аналитическую
функцию, конформно отображающую эту область на е.n:иничный Kpyr
(точнее rоворя, это отображение cOBeplllaeT одна И3 ветвей аналити
ческой функции). В общем случае нет средств .n:ля изучения постро
енных таким способом функций, В частности, нет способа получения
явных аналитических выражениЙ для них. O'n:HaKo, если отображаемая
область оrраничена прямолинейными отрезками или .n:уrами окружно-
стей, то принцип симметрии Римана Шварца (см. 3 rл. 4) дает
возможность весьма r лубокоrо изученин отображающей функции.
С ero помощью можно даже найти более или менее нвное аналити-
ческое выражение для отображающей функции. НаСТОНlцая r лапа посвя
щена rдавным обраЗ0М изучению различных классов специальных
ФУНКllИЙ, возникаЮIllИХ при отображении мноrоуrольникоп описанноrо
выше рода.
1. Формула Кристоффеля Шварца
Мы займемся сейчас задачеЙ отыскания явноrо выраж:ения для
функции z === ер ( ), конформно отображающей верхнюю полуплоскость
1т I: > о на пнутрешlOСТЬ
nроизвольноrо прямолинейноrо
мноrоуrольника.
Пусть П произвольный
n-уrольник (пока мы будем
считать ero оrраниченным) с
вершинами в точках Ь 1 , b , ...
. . ., ь n и С внутренними yr лами
в этих веРlllинах, равными ?:I'
'lta2' 'ltCX n соответственно
(рис. 90). Точки плоскости , KO Рис. 90.
торые при отображении z === ep( )
переходят в вершины нашеrО n-уrОЛЫlИка, мы будем обозначать соот-
ветстпенно аl' a , . . , , аn> причем для определенности бу.n:ем считать, '!ТО
oo<al <a.l<...<a n < +00
462
НЕКОТОРЫ!: СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rn.7
(это условие накла.n:ывает соответствующие оrраничения на HYMepa
цию вершин нашеrО мноrоуrольника). Отрезки .n:ействительной оси
меж.n:у точками а" и а"+1 будем оБО311ачать через 1", а через 10 обо
значим остаВlllУЮСЯ незанятой часть .n:ействительной оси (она состоит
Н3 отрезков [ oo, аl) и (a n , + 00 ]). ОбраЗ0М каж.n:оrо И3 отрезков
10' 11' "" In 1 при отображении z == ер ( ) является сторона Halllero
мноrоуrолышка. Сторону, являющуюся обраЗ0М отрезка 1", будем
,()бозначать через Л".
Функция z == ер ( ), конформно отображающая верхнюю полупло
скость 1т > О на внутренность Halllero мноrоуrольника П, опреде
лена и реrулярна в полуплоскости 1т > о. в силу теоремы о cooт
ветствии rраниц функцию ер ( ) можно по непрерывности продолжить
на .n:ействительную ось (мы уже ПОЛЬЗ0вались продолженной функцией).
На каждом И3 отрезков 1", k == О, 1, ,.., п 1, действительной оси
функция ер ( ) принимает значения, лежащие на прямолинейном OT
резке на стороне Л" нашеrо мноrоуrольника. В силу принципа
симметрии Римана Шварца функцию ер ( ) можно аналитически про
должить через каждый И3 отрезков 1" в нижнюю полуплоскость
1т < О. При продолжении функции ер ( ) через различные отрезки 1"
мы получим, rюобще rоворя, различные элементы аналитической функ
ции В нижней полуплоскости. Обозначим через ер" ( ) тот элемент,
который получается продолжением функции ер ( ) через отреЗ0К 1",
и найдем для Hero явное выражение через фУНКIlИЮ ер ( ) н уравнение
стороны Л" Halllero мноrоуrольника.
Cor ласно принципу симметрии Римана Шварца значение z ==
== ер" ( ) симметрично относительно стороны Л" со значением z* ==
== ер (О, принимаемым функцией ер ( ) в точке :, симметричной с точкой
относительно действительной оси. Чтобы найти выражение .n:ля точки
z*, симметричной с точкой z относительно стороны Л", наПИlllем ypaB
нение стороны J,,, в виде
А"х+ В"у + С,,== О
н воспользуемся рецептом для отыскания симметричных точек, изло
женным в конце 5 rл. 4. Соrласно этому рецепту симметричные
точки z и z* должны быть связаны соотношением
z+ z* z z*
A" +B,, 2i +C,, o.
Поэтому
Z *
A"+iВ,, + 2С" + 8
A" iВ,, z A,, iB" 1"z k.
и, сле.n:овательно,
I/f'" (:) == 1" ер ([) + 8"
(k==O, 1, ..., п l).
(1)
Точки z и z*, симметричные относительно некоторой прямой,
получаются .n:pyr И3 друrа зеркаЛЫ1ЫМ отражением в этой прямой.
1]
ФОРМ.УЛА I(РИСТОФФЕЛЯ lllВАРЦА
463
Поэтому ясно, что функция 'Р" ( ) конформно отображает нижнюю
полуплоскость на мноrоуrольник П k , получающийся И3 мноrоуrоль
/"-
ника П зеркалышм отражением в стороне Лk. Функция 'Р" (:), опре
.n:еленная равенствами
/'-.,
'Р" Ю == ер" ( ) (1т < О),
/'....
'Р" (r.) == Cf Ю
(1m >O, Е lk)'
определена и реrулярна в области Dk' Получающейся И3 всей пло
скости удалением части .n:ействительной оси, отличной от отрезка lk'
........
ФУНlшия 'Р" ( ) отображает эту область на объе.n:инение мноrоуrоль
ников П и П k , а также их общей стороны Л k . Это отображение
может и не быть взаимно однозначным во всей области Dk' так как
l\шоrоуrольники П и П k MorYT перекрываться, но в окрестности
точек стороны Лk это отображение конформно. Следовательно, про
/'-.,
изво.n:ная функции 'Р" ( ) не обращается в нуль в области D" (за исклю
чением, может быть, точки == со, если эта точка принадлежит обла
сти D k ).
Теперь вЫЯСНll,М, как связаны _Itежду собой два различных аЛе
яента 'Р. (z) и Cf l , (z). Полаrая в равенстве (1) k == v и k ['-, а затем
ИCl{лючая И3 написанных двух уравнений величину Cf ( ), получаем
СООТНОlllение
'Р. ( ) ==р СРи. Ю + q,
(2)
rде
)'t>-
p== ,
,.
\)'f1- ВfJ.)'.
q==
)'.
И3 равенства (2) немедленно вытекает, что
'f; (С) 'f (С)
'f (С) 'f (С)
" (С)
Это 0значает, что функция '(C) , которая, как и сама функция ер ( ),
аналитически про.n:олжается в нижнюю полуплоскость через любой И3
отрезков lk' продолжается туда однозначным обраЗ0М. Поскольку, как
/'....
мы отмечали BbIllle, функция 'Р" ( ) имеет производную, отличную от
нуля, во всех конечных точках области Dk' а число k можно взять
" (С)
J/юбым, фушщия '(C) реrулярна во Itсей ПЛоскости, за исключением,
может быть, точек а/, а2' ..., a n и точки == со.
(['-, v == О, 1, ..., п 1).
Исследуе.Аl характер особых точек ФУНКЦllll g( ) == : ( 1
Мы докажем, что ТОчка С == а" является простым полюсом функции
g(r.) с вычетом, равным а" 1, и что ТОчка == со является точкой
реrулярности функции g( ).
464
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл.7
Утверж.n:ение относительно точки === 00 .n:оказывается совсем
просто. Действительно, поскольку функция 'р ( ) реrулярна в точке
=== 00 (она лежит внутри отрезка lo), мы можем написать для нее
разложение
т ( У ) С О + + C + . . .
т " ' 2 ,
Сl #. о.
Отсю.n:а нахо.n:им, что
, r C 1 2С 2
'р (..)=== (2 t3 ... ,
(:/' ( r. ) === + + ...
. - " ,
и что
3С 2
2 c1+T+'.. 2 с'
gЮ=== Т + + === T+C: +...
c 1 .,.
Для исследования поведения функции g( ) в окрестности точки
С === ak рассмотрим сначала функцию
t === Ю, ( ) === [9 (о b k ] ak .
Эта функция конформно отображает достаточно малый полукруr
I ak:<p,
lт >O.
(3)
на область, оrраниченную отрезком прююй линии, прохо.n:ящей через
точку t === о, инекоторой криrJOй (обра30 1 полуокружности). Действи
тельно, стороны Halllero l\lНоrоуrольника в вершине z === b k образуют
1
уrол 7trJ'k' а преобраЗ0вание t === (z b k ) "k переводит уrол раствора
7t!lk с вершиной в точке z === b k В полуплоскость, оrраниченную пря-
мой, прохо.n:ящеЙ через точку t === о. При меняя принцип сим
метрии, мы можем анаЛИТИ'lески про.n:олжить функцию ( ) через
.n:иаметр полукруrа (3) на весь Kpyr
l ak! <р.
При этом продолженная функция бу.n:ет конформно отображать этот
Kpyr на некоторую область, со.n:ержащую точку t === о. Сле.n:овательно,
функция ( ) реrулярна в точке === ak и ее ПРОИЗВО'n:lIая в этоЙ
точке отлична от нуля. Поэт.ому функшпо y( ) можно пре.n:ставить
в ви.n:е
(о === ( ak) I ( ),
r.n:e функция )1 ( ) реrулярна в точке === ak и не обращается в этой
точке в нуль, Возвращаясь к фУНКllИИ 'р ( ), мы видим, ЧТО функцию
l' (:) можно представить в ви.n:е
'Р Ю === ( а)ан 2 ( ) + b k ,
1]
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ ШВАРЦА
465
r.n:e ФУНКЦИЯ 2 «() pery лярна в ТОчке С == ak и отлична от ну ля в этой
точке. Следовательно,
ер' ( ) == (: аkУk l з Ю,
r.n:e функция ф: «() реrулярна в точке : == ak и фз (ak) ;1:; О. Отсюда
имеем
d , ( ) ak ] L <J; (')
g(.)== dt ]п ер == ' ak I. 7з Ю .
ф' (r)
Так как ФУНКЦИЯ ; 3 ( : ) реrулярна в точке (== ak' а rJ.k =1= 1 (в про
't'3
.ивном случае точку z == Ь" неЛl,3Я было бы считать вершиной мно-
" (')
rоуrольника), мы видим, что ФУНКЦИЯ g( ) == , (О имеет в точке
1: == ak простой полюс с вычетом rJ.k 1.
Соrласно теореме 1 4 rл, 4
n
'Р" т '\1 ak 1
'Р' (,) -'- ' ak .
" I
И3 этоrо равенства с помощью двух интеrрирований получаем фор-
мулу
с
ер ( ) == С (t aд cl ... (t a n )(J.n.. 1 dt + с
(/
(4)
(С и С ПРОИ3110ЛЫlЫе ностоянные). Эта формула называется фор-
дулой НРllстоффеля Шварца.
Теперь .n:ля нас не составляет Tpy.n:a выяснить, как изменяется
формула (4), если одна И3 точек а 1 или a n ухо.n:ит в бесконечность,
В этом случае можем написать (ПрИl\lем для определенности, что
fl n 0:::»
С
ер ( ) == С* (t аl)'''I- 1 . . . (t an..l)'xn 1 - 1(1 ;J u. n I dt + с
о
и, перехо.n:я к пре.n:елу ПрИ с 00, получить, что
с
ep( )==C* (t al)u.I I...(t an l)"n I 1 dt+C. (4*)
()
Таким обраЗ0М, если a n == 0:::>, то множитель, отвечающий номеру п,
выбрасывается.
Заметим еще, что, выбрав точки а 1 , а 2 , ..., а п не на .n:еt!ствитель-
ной оси, а на окружности, мы получили бы ту же самую формулу
дЛЯ ФУНКЦИИ, отображающей на мноrоуrольник П внутренность или
466
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rn. т
BHelllHocTb Kpyra, оrраниченноrо этОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ. При этом OTO
бражение бу.n:ет на внутренность Kpyra, если после.n:овательности обхо.n:а
вершин мноrоуrольника П в положительном направлении отвечает
последовательность обхо.n:а точек а 1 , .,., а п по окружности против
часовой стрелки (т. е. в положительном направлении относительно
внутренности Kpyra). Аналоrично выясняется, будет JIИ функция ер (О
отображать на мноrоуrолыlИК П верхнюю или нижнюю полуплоскость.
Подчеркнем, что произвольно можно за.n:ать ЛИlllЬ три точки И3
точек аl, а2' ..., an. Остальные точки ak и постоянные С и С' в фор
муле (4) приходится определять И3 уравнений
ер (ak) === b k
(k===l, 2, ..., п).
Можно показать, что при конечных значениях Ь 1 , Ь 2 , . .' , b k эти ypaBHe
ния всеrда разрешимы.
Формула (4) сохраняет силу и .n:ля случая, коrда o'n:Ha (или даже
несколько) верlllина мноrоуrольника П уходит в бесконечность. В этом
случае лишь несколько усложняется (только теоретически) вопрос об
определении постоянных.
Если ер (:) функция, конформно отображающая верхнюю 1I0ЛУ
плоскость (или любой .n:руrой Kpyr) на мноrоуrольник П, содержащий
бесконечно у.n:аленную точку внутри себя, то формула для ер (1:) при
нимает несколько иной ви.n:
с
ер Ю === С (t ад"l 1 . , . (t an)"n l(t a) 2 dt + С.
о
Здесь 1: == а та точка, которая переходит в точку z === 00 при
отображении z === ер (1:).
2. Функции прямолинейноrо треуrольника
Б качестве простейшеrо чаСТНОrО случая применения формулы
f{ристоффеля Шварца рассмотрим отображение прямолинейноrо Tpe
уrольника. Положив аl === О, а2 === 1, аз === 00, получим, cor ласно фор-
муле (4*) 1, что
с
ср ю === С {"l 1 (t i)'2 - 1 dt + С.
о
Функцию (1) можно аналитически про.n:олжать с помощью прин-
ципа симметрии, как это было сделано в 1 .n:ля общеrо случая.
Аналитическое про.n:олжение функции (1) в нижнюю полуплоскость
возможно через отрезки (О, 1 ), (1, + 00) и ( oo, О). Полученная
при про.n:олжении функция (своя для каждоrо отрезка) отображает
нижнюю ПОJJУПЛОСКОСТЬ на треуrольник, симметричный с исхо.n:ным
(1)
2)
функции ПРЯМ.ОЛИНЕйНОI'О ТРЕуrОЛЬНИКА .
467
треуrольником относительно соответствующей стороны. Функцию, полу
ченную в нижней полуплоскости, можно поэтому В свою очередь
аналитически про.n:олжить через каж.n:ый из отрезков (О, 1), (1, +00)
и ( oo, О) действительной оси. Повторяя процесс аналитическоrО
про.n:олжения, мы определим аналитическую функцию 'f ( ) на римано
вой поверхности, состоящей из бесконечноrо числа листов Ha.n: каждой
точкой плоскости (, за исключением трех точек ветвления (=== О,
1: === 1 и (=== 00. Каждый лист римановой поверхности является экзем
nляром плоскости ( с одним И3 трех В031\ЮЖНЫХ разреЗ0В: отрезок
(О, 1), луч (1, + 00) и луч ( oo, О). Каждый такой лист конформно
отображает на четырехуrольник, составленный И3 двух треуrольников.
соединенных по общей стороне и симметричных относительно этой
стороны. Один ИЗ этих треуrолыlИКОВ получается И3 исходноrо Tpe
уrольника четным числом отражений в сторонах треуrольников, ПО3
никающих при этих отражениях. Множество всех таких четыреХУI'ОЛЬ
ников не обязано покрывать ПJlОСКОСТЬ z однократно. Оно образует,
вообще rоворя, довольно сложную риманову поверхность, являющуюся
римановой поверхностью фУIIIШИИ, обратной к функuии 'f (r:).
Нас будут !lнтересовать случаи, коrда покрытие плоскости z Tpe
уrольниками (или, что O'n:HO и то же, четырехуrОЛЫJИками) бу.n:ет
o'n:HoKpaTHbIM, т. е. случаи, Kor.n:a функния. обратная к функции 'f «().
однозначна. Это произойдет Tor.n:a и только тоrда, коrда после HeKO
Toporo четноrо числа отражений. сохраняющих на месте любую данную
вершину, треуrолыlИК возвратится на место, обойдя ПОJШЫЙ Kpyr
BOKpyr этой вершины. Это 0значает, что число 2'11: является ueJlbIM
четным кратным yr ла в любой верlllине исходноrо треуrольника, т. е.
что числа
2" )
rk=== ===
2. па!, ak
(k === 1, 2, 3)
целые. Так как, кроме TOrO, числа '11:'7:1' '11:'7:2' '11:7::\ являются уrлами Tpe
уrолышка, т. е. у.n:овлетворшот соотношению '11:7:1 ! 'I1:a '11:7:з === '11:, то
целые числа r1' r2. rз должны удовлетворять соотношению
+ + === 1. (2)
r] r2 r з
Таким обраЗ0М, нсе случаи однозначности функции., обратной
к функции (1), можно получить, найдя все реlllения диофантова ypaB
пения (2), в котором естественно ПОJIОЖИТЬ r} r,! ra, чтобы избе
жать симметричных повторений.
Первое решение уравнения (2) r} === r2 == ra == 3. В любом друrом
1
реlllении число r} .n:олжно быть меньше 3. Если r} === 1, то
r 2
1
=== r:; === О, т. е. r2 === rз === 00, Этому пределыюму случаю должен
отвечать треуrолы1ИК, У KOToporo два Y"Jla равны нулю, а третий
468
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ оrОБРАЖЕНИЯ
[rл,7
равен '11:. Таким вырож.n:енным треуrолышком является бесконечная
полоса, заключенная между .n:вумя параллеЛЫIЫМИ прямыми. Если rl === 2,
1 1 1
то + === 2 ' что ВОЮIOЖIЮ .n:ля r 2 === r 3=== 4, или Л.'lя r 2 === 3,
r 2 r з
r з :=:;; 6, или. наконеll, для r :=:;; 2, r з :=:;; 00.
Все перечисленные случаи представлены в следующей таБЛИllе
.N2 I rJ I r2 I rз
] 3 3 3
2 1 (х) (х)
3 2 4 4
4 2 3 6
5 2 2 (х)
в вырождеШЮ:V1 случае 2 отображающая фУНКIlИЯ ':р «() при надле
жащем выборе постоянных в фОРМУJiе (1) будет равна
с
r dt 1
. 1 t :=:;; 111 1 С .
u
Это вполне отвечает нашему исследованию конформных отображений
совершаемых лоrарифмической фУНКllией (см. 5 r л. 5).
Случай 5 отвечает также вырожденному треуrольнику с yr лами
'11:/2, '11:/2, О, т. е. полуполосе. Отображающая фушщия при надлежащеl\l
выборе постоянных IJ формуле (1) имеет вид
с
':р (:):=:;; y !)
о
Это равенство, как HeTpY'n:HO убедиться, можно записать и в виде
:р ( ):=:;; arcsin (2( 1).
1t
2 .
В случаях 1, 3 и 4 интеrралы для отображающей фушщии уже
не берутся в элементарных фушщиях, Эти интеrралы при надлежащем
выборе постоянных имеют вид
.
,
z==
о
dt
V t2 (1 t)2 '
.
z:=:;;
u
dt
Vt2(1 t)3 '
с
z===
u
dt
V t3 (1 t)'
В следующем параrрафе мы уви.n:им, что фУНКIlИИ, обратные к этим
интеrралам, являются ЭЛЛlтпul'tес1СИ.МИ ФУН1Сция.тl.
Эллиптичес1СОЙ фУНЮ'llей называется однозначная аналитическая
фУНКIlИЯ, не i'нсющан в конечной части плоскости особых точек
отличных от полюсов, и имеющая 'n:Ba перllOда U)1 и U)2, отношение
которых не есть действитеJlьное число, Последнее 0значает, что
!i 3)
ОТОБРАЖЕНИЕ пряМ.оуrОЛЬНИКА
469
эллиптическая ФУНКЦИЯ ПрИ всех Z удовлетворяет соотношеНИН f.
f(z+wI)===/(Z) и f(z-+O) )===f(z),
Ясно, что функция f (z), имеющан два периода 0)1 и O)J' имеет
и бесконечно MHOrO периодов, так как любые числа вида
0)===тlO)l+т20)2 (т 1 === О, + 1.." nZ2===0' ::1=1, ..,)
также будут перио.n:ами ФУНКЦИИ f(z). Пара периодов (Wl' ( 2 ) назы
вается при этом основной парой периодов, еСJШ любой период функ
ции f (z) имеет ви.n:
W === тtWt + т2Ш2,
rде fп! и fп2 Ilелые числа,
Каж.n:ый параллелоrраМ:\1 с вершинами в точках
l10' 110 + Wt, l10 + 0)1 + Ш2' 110 -+ Ш2
называется параллеЛО2ра.I(.АЮ_I( пер110дов ФУНlЩИИ f (z).
3. Отображение прямоуrольника. Эллиптические функции
Применим теперь формулу КРИСТОффеля ШваРllа к отображе .
нию полуплоскости на прямоуrольник.
Пусть вершины Halllero прнмоуrольника лежат в точках
(()1 (i)1 + '
2'"2 {Ш 2 ,
"" + '
2 {Ш2'
"',
"2
(1)
(рис. 91), r.n:e Ш! и Ш 2 произвольные действитеЛbllЫе ПОЛОжительные
числа.
Прежде чем применять формулу Кристоффелн Шварllа, проведем
некоторые рассуждения относительно выбора точек ak (прообраЗ0В.
верlllИН прямоуrольника). Мы
.((), .
хотим получить не любое OTO -2+lW2
бражение верхней полуплоско
сти на прямоуrолыlИК, а такое,
при ({ото ром правая половина
полуплоскости перешла бы в
правую половину прямоуrоль
ника, а левая в левую, Это
Bcer да можно осуществить.
Действительно, если отобра
вить первый ({Ba.n:paHT: Re > О, 1т > О, на правую половину иа
шеrо прямоуrольника так, чтобы мнимая ось переходила в отреЗ0К
(О, iUJ ), ТО это отображение по ПРИНIlИПУ симметрии можно будет'
аналитически про.n:олжить через мнимую ось на всю верхнюю полу-
плоскость, и продолженнан ФУНКЦИН будет осуществлять конформ ,
ное отображение верхней полуплоскости на весь прямоуrОЛbllИК.
Отображение первоrо !ша.n:ранта на правую половину нашеl"О ПрНМО
уrольника полностью определяется заданием соответствия трех точек..
iW2
&, .
y+lWg
W t
2
о
&,
Т
Рис. 91.
170
НЕКОТОРЫЕ СПЕцИАЛЬНЫЕ КОНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл.1
Это отображение будет обладать нужным нам свойством, если потре
.бовать, чтобы точки
О, 1, 00
,ШlOскости переlllЛИ в точки
О "'1
, 2'
iW 2
плоскости z. Тоrда точка z == l + IШ2 будет обраЗ0М некоторой точ
1
'ки t: == , о < х < 1. При отображении верхней полуплоскости на
"1-
-весь наш прямоуrолыlИК в ero вершины (1) перейдут точки
1, 1
% "1-'
--соответственно, Поэтому формула Кристоффеля Шварца дает сле
дующее выражение .n:ля отображающей функции:
с
'Р (t:) == С f dt
о 11 (t' 1) (t' ;, )
-:или, если обозначить хС через С,
С
Ю с \' dt
'Р Y(l t') (l "1-'t')
о
(2)
.этот интеrрал называется llflте рало.м Лежандра пepsozo рода.
Постоянные с и 'j( можно определить, еСJlИ заданы величины IШ 2
:и шl' с помощью уравнений
I
"'1 \' dt
2==С V(l t2) (1 1(,'t2) ,
О
I (3)
х
IШ2 == С \' dt
V (l (') (\ )1ft')
1
'Видно, что постоянная х зависит ЛИlllЬ от отношения Ш 1 /Ш2' т. е. .n:ля
tlо.n:обных прямоуrольнИ!{ов она одна и та же, Величина с зависит от
размеров нрямоуrОЛЫlИка. В дальнейшем значение корня в фор
муле (2) бу.n:ем считать положительным при t == О, что rарантирует
нам положительность постоянной с. Нетрудно показать, что любой
заданной паре значений шl и Ш2 отвечает ровно одна пара значений х,
0< х < 1, и с> о. Пля этоrо достаточно проверить, что при изме
нении х от О до 1 ОТНОlllеlше сторон, определяемое И3 формул (3),
онотошlO возрастает от О ДО 00.
!i 3]
ОТОБРАЖЕНИЕ nрямоуrОЛЬНИI\А
471'
Чтобы выяснить характер ветвления аналитической функции, опре
деJlенной интеrралом (2), применим обычные рассуждения с принци
пом симметрии.
Обозначим стороны Halllero прямоуrолышка символами 1, Н, II1
lV (рис. 92), а соответствующие им отрезки .n:ействительной оси
символами 1', 11', 111', IV'. Аналитически про.n:олжая по принципу сим
метрии функцию (2) через отреЗ0К l' .n:ействитеJIЬНОЙ оси, мы ви.n:им,
что про.n:олженная функция конформно отображает нижнюю полупло
Cl<OCTb на прямоуrОJIЬНИК, полученный И3 Halllero ИСходноrо прямо
уrольника зеРКaJlЬНЫМ отражением в стороне 1. Всю плоскость ,
разрезанную по отрезкам Н', Ш' и IV', эта функция конформно отобра '
жает на пару сосе.n:них прямоуrОJIЬНИКОВ, склеенных по стороне 1.
К аналоrичному результату приво.n:ит аналитическое про.n:олжение'
функции (2) через отрезки Н',
HI' и IV' .n:ействителыюй оси,
На крест, получающийся при-
клеиванием к основному прямо- 1
уrолышку всех сосе.n:них, ото-
бражается часть римановой по-
верхности аналитической функ-
ции (2), получаемая сле.n:ующим
обраЗ0М: к о.n:ной верхней по-
луплоскости приклеивается че-
тыре нижних по отрезкам
1', Н', Ш' и IV'. В каж.n:ой И3 рис, 92,
этих нижних полуплоскостей
снова возможнО анаJlИтическое
про.n:олжение через отрезки 1', Н', HI', IV'. Продолжение череа::
один И3 этих отрезков возвращает нас на нсхо.n:ную верхнюю
полуплоскость, а через остальные приводит ){ новым листам.
Поэтому при .n:альнеЙlllем построении римановой поверхности аналити
ческой функции (2) мы .n:олжны к каж.n:ому экземпляру нижней полу
плоскости ПРИКJlеить по три экземпляра верхней полуплоскости
(склеивание произво.n:ится по всем еще свобо.n:ным отрезкам 1', Н',
111', IV'). O'n:HaKo сре.n:и приклеиваемых экземпляров верхней полу
плоскости далеко не все ра3J1ИЧНЫ меж.n:у собой некоторые экземп
ляры верхней полуплоскости нужно приклеивать к 'n:BYM экземплярам
нижней полуплоскости (разумеется, по различным отрезкам .n:ействи-
тельной оси). Так, например, нижнюю полуплоскость, приклеенную
к исхо.n:ной верхней полуплоскости по отрезку 1', мы должны прм
клеить по отрезку II' к той же верхней полуплоскостм, 1< которой
ПрИКJlеивается по отрезку l' нижняя ПОJIУПЛОСКОС1Ъ, llриклеенная
1< исхо.n:ной верхней полуплоскости по отрезку Н'. Действительно,
зеркальное отражение исхо.n:ноrо прямоуrОЛЬНИI<а сначала в стороне 1,
а потом в стороне 11 (уже BToporo прямоуrолышка), приво.n:ит нас
I< тому же прямоуrольнИI<У, что и отражение el'o CHa'laJI3 в стороне 11..
J J 1
V 11 JV 11
11/ 11/ fff
/V // /У ff
/ 1 1
/V ff /V 1/
fff /ff Iff
472 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ rrл. 1
а затем в стороне 1, Про.n:олжив этот процесс, получим всю риманову
поверхность аналитической функuии (2),
И3 описания построения IIИ'n:НО, что риманова поверхность aHa
.литической ФУНКЦllll (2) является бесконечнолистной рима новоЙ
поверхностью, КОПlOрая имеет над каждой из точек -+- 1, -+- . ,
х
бесконечно АтО20 точек ветвления втОрО20 порядка.
ФУНКЦllЯ, обратная к аналитической ФУНКЦllll (2), является
однозначной. Действительно, если после kakoro-то количества про
.n:олжений мы при.n:ем к элементу аналитической функции (2), прини
мающему значения в исхо.n:ном прямоу!'ольнике, то этот элемент
.n:олжен быть опре.n:елен в верхней полуплоскости (поскольку попасть
в исхо.n:ный прямоуrольник можно лишь ПОСJlе четноrо числа зер
кальных отражений в сторонах), и он .n:олжен конформно отображать
верхнюю полуплоскость на исхо.n:ный прямоуrольник, перево.n:я точки
1
-+- 1 и -+- в ero вершины. Это 0значает, что полученный элемент
х
соuпа.n:ает с исхо.n:ным элементом функции (2). Сле'n:ОllателыlO, различ
ные элементы аналитической функции (2) принимают различные 3Ha
чения, т. е. обратная функuия опре.n:елена о.n:нозначно.
Заметим еще, что значениям, принимаемым аналитической ФУI1К
'uией (2) над о.n:ной и той же точкой плоскости , отвечают KOH
rруэнтные точки н прямоуrольниках, изображенных на рис. 92, с о.n:и
нш<ово ориентироваl1НЫ:НИ сторонами. Любые .n:ue такие точки ZI и Z2
связаны меж.n:у собой СООТНОlllением
ZI === Z2 211l1 Ш ) + 2im2W2'
r.n:e тl и т2 целые числа. Сказанное 0значает, что функция С===ф(Z),
обратная к функuии (2), принимает в ТaI<ИХ точках о.n:инаковые 3Ha
чения, т. е. что
ф (z + 2тlWl + 2im2W2) === Ф (z)
(тl===О, +" 1, "., 1112===0, ....... 1, ...).
Таким обраЗ0М, мы показали, что функция === (z), обратная
J( аналитической ФУНКЦllll (2), является однозначной функцией,
.имеющей два пеРlюда 2Шl и 2iW2' Эта функция является о.n:ной И3
наиболее простых эллиптических функuий.
Тем же способом можно исследовать и фушщии, описанные в пре..
.n:ы.n:ущем параrрафе, ПОСТрОИII И3 треу1'ОЛЫlИКОВ прямоуrОJIЬНИI<И. ИJIИ
nараллелоrраммы.
Впрочем, справедливости ра.n:и сле.n:ует ПОД'lеркнуть, что описан..
.ный способ XOpOIll для иссле.n:ования ЛИlllЬ некоторых ЭЛЛИI1Ти
4]
модУЛяРНАя ФУНКЦИЯ
473'
ческих ФУНlЩИЙ, В общем случае при произвольном параJIЛелоrрамме'
перио.n:ов эллиптические функции не обязаны конформно отображать
какую либо простую часть этоrо параллелоrрамма на полуплоскость
4. Модулярная ФУНКЦИЯ
Перей.n:ем теперь к изучению отображения верхней ПОЛУПЛОСКОСТИ
на так называемые KpyroBbIe мноrоуrольники, т. е. на области, orpa
ниченные .n:уrами окружностей, За.n:ача об отображении KpyroBoro 'n:BY
уrольника была разобрана нами в 6 rл. 5. Следующим по простоте:
KpyroBblM мноrоуrольником явля
ется равностороннuй КРУ20ВОЙ
треУ20ЛЬ1illК, все У2ЛЫ котОрО20
равны нулю, За.n:ачей иссле.n:ования
конформноrо отображения Bepx
ней полуплоскости на такой Tpe
уrолы!Ик мы сейчас и займемся.
Пусть а такой круrовой
треуrолыIИК, и пусть ero Bep
lllИНЫ лежат на е.n:иничной окруж
1IOСТИ (рис. 93). Соrласно Teo
реме Римана существует функция
=:::::; f (z), pery лярная в треуrольни
ке а и конформно отображающая
ero на верхнюю полуплоскость
1т 1: > О таким обраЗ0М, чтобы Bep
шины треуrОЛЫiИка а перехо.n:или в Рис. 93.
точки О, 1 и со .n:ействительной оси.
Мы иссле.n:уем эту функцию с nОМОЩЫО принципа симметрии, не
нахо.n:я явноrо выражения ДJIЯ нее.
Обозначим стороны треуrольника а символами 1, 11, Ш, а COOT
ветствующие им отрезки .n:ействительной оси Символами 1', 11' и Ш'.
По принципу симметрии фУНЮlИю 1: =:::::; f (z) можно аналитически про
.n:олжить через каж.n:ую И3 сторон 1, 11, Ш треуrольника а на Tpe
уrольник, симметричный с треуrольником а относительно этой CTO
роны (напомним, что точки, симметричные относительно окружности,
получаются .n:pyr И3 .n:pyra преобраЗ0ванием инверсии в этоЙ окруж
ности). Про.n:олженная ФУНlщия бу.n:ет конфорlYlНО отображать сим
метричный с треуrольником а треуrольник на нижнюю ПОЛУПЛОСIЮСТЬ;
а фиrуру, склеенную И3 caMoro треуrольника а и треуrольника, сим
метричноrо с ним, на всю плоскость 1: с разрезами по отрезкам
.n:еllствите.'lbНОЙ оси, отличным от образа той стороны треуrОЛЫiИка а,
через которую про.n:олжали. ТреУ20ЛЬНUК, сuмметрuчный с треУ20ЛЬ
HUKO.tt а ОfllНОСll1llельно любой е20 стороны. хотя II не будет
paBHOCПZOPOfl1ill.tt, но будет по преЖflему имеtnь нулевые У2ЛЫ, u
-474
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ отОБРАЖЕНИЯ
[r;r, 7
.е20 вершuны снова будут лежать на едuничной О1сружности. Дей
ствительно, мы ви.n:ели, что преобраЗ0вание инверсии является KOH
формным преобраЗ0ванием с изменением направления отсчета yr лов,
так что величину уrлов оно сохраняет. Поэтому yr лы симметричноrо
треуrольника будут равны нулю, а единичная окружность перейдет
в себя. поскольку она ортоrонаЛЫIa сторонам треуrолышка О. Значит,
и веРlllина симмеТрИЧНоrо треуrольника по прежнему бу.n:ет лежать
на е.n:иничноЙ окружности.
Мы продолжили функuию t === j (z) в треуrолыlИКИ, симметричные
.с нашим исхо.n:ным треуrолышком О относительно ero сторон 1, 11, 111.
Но в каж.n:ом И3 симметричных треуrолышков функuия С === f (z)
обладает теми же свойствами (только она конформно отображает эти
треуrольники на нижнюю ПОJIУПЛОСКОСТЬ). Поэтому Функuию C===j(z)
можно аналитичеСI<И про.n:олжить 110 принuипу симметрии и через
каж.n:ую И3 сторон симметричных треуrолышков. Эти треуrольнИ1Ш
BToporo ПOl<оления бу.n:ут опять таки обла.n:ать теми же свойствами,
по функuия С === j (z) бу.n:ет отображать их на верхнюю полуплоскость
(треутлыlИКИ, отображаемые функuией r. === f(z) на верхнюю ПОJIУ
плоскость, на рис. 93 заlllтрихованы).
Продолжая наш проuесс аналитическоrо про.n:олжения .n:альше,
мы можем .n:аже и.n:ти не от треуrольника к треуrольнику, а более
крупными шаrами. Будем СЧИТа1Ъ, что аналитическое про.n:олжение
функuии j (z) осуществляется сле.n:ующим обраЗ0М: сначала nро.n:ол
жаем функuию f(z) в треуrолыlИКИ, примыкающие к треУl'ОЛЫIИКУ О
вдоль одной И3 ero сторон; в результате получим продолжение
функuии f(z) в круrовой шестиуrолыIИК с нулевыми уrлами и С Bep
lllинами на единичной окружности; этот lllестиуrолышк обозначим
через 01; затем про.n:олжаем функuию f(z) через каж.n:ую И3 сторон
шестиуrОЛЫlика о. Б lllеСТИУl'ОЛЫIИКИ, примыкающие к нему в.n:оль
каж.n:ой И3 ero сторон; в результате получим продолжение Функuии
f(z) в 30 уrольник, который обозначим 02' и Т. д.
Докажем. что npll n сх) область ОП стре.tf.иnzся 1с единичному
1СрУ2У. Для этоrо .n:остаточно доказать, что на единичноЙ окружности
нет .n:yr, свободных от веРlllИН областей ОП при любом значении п
(напомним, что стороны фиrуры ОП являются окружностями, OpTOro
наЛЫIЫМИ к единичной окружности). Для .n:оказательства .n:опустим
противное. Тоrда существует .n:yra е.n:иничноЙ окружности, свобо.n:ная
>()т верlllИН фиrур ОП' Обозначим через л n сторону фиrуры ОП, co
.е.n:иняющую две вершины, ближаЙшие (с 'n:BYX сторон) к этой .n:yre.
При п сх) сторона Л П В силу МОНОТОШlOсти ее концов должна име;IЪ
пределом некоторую .n:yry л окружности, ортоrоналыюЙ к единичной
>()кружности. Эта пре.n:е.п.ЫIaЯ .n:yra обла.n:ает тем свойством, что меж.n:у
нею и е'n:ИНИЧIIОЙ окружностью нет точек области ОП- O'n:HaKo OTpa
жение исходноrо треуrОЛЫlИка О в стороне Л п фиrуры ОП при
4]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
47&
11 00 стремится к ero отражению в ДУI'е Л, а это после.n:нее OTpa
жение обязано иметь точки, лежащие меж.n:у дуrоl1 л и е.n:иничноЙ
ОКРУЖНОСТЬЮ (и даже вершину на запретноl1 дуrе е'n:ИНИЧllоl1 окруж
ности). Поскольку отражение треуrольника О в стороне л n области оп.
заведомо вхо.n:ит в область On+l' мы прихо.n:им к противоречию с .n:опу
щением, и наше утверждение .n:оказано.
Итак, мы .n:оказали, что функция j(z) .может быть аналuти
чески продолжена на весь единичный 1CpYZ. HeTpY'n:Ho убедиТl,СЯ.
что за пределы едиНllЧНОZО 1Cpyza функцию j(z) продолжить нельзя,
т. е. что каж.n:ая точка е.n:иничной окружности является .n:ля этоЙ
функции особоl1 точкой. Действительно, в треуrолышке О ФУНКЦИЯ
f(z) стремится к бесконечности при стремлении точки z к о.n:ной из
верlllИН, так что эта вершина заведомо является особоl1 точкой.
В каждом И3 отраженных треуrолышков также еС1Ъ o'n:Ha такая Bep
lllина. С помощью тех же рассуж.n:ений, что и BbIllle, HeTpY'n:Ho пока
зать, что эти вершины образуют на е.n:иничноl1 окружности всю.n:у
плотное множество.
с ОВОКУПlЮСТЬ отражений треуrолы!Ика О образует плотное и без
перекрытий «замощение» е'n:ИНИЧноrо I{pyra (сеть этих треуrольников
называется еще «мо.n:улярноl1 фиrуроl1»). J{аж.n:ый И3 треуrольников-
конформно отображается функциеЙ == j (z) на верхнюю или нижнюю
полуплоскость (в зависимости от Toro, получен этот треуrольник иа.
треуrолыlкаa О четным или нечетным числом отражений). Весь е.n:и
IIИЧНЫЙ Kpyr отображается фунюrиеl1 С == j(z) на беCJ{онечнолистную
риманову поверхность, ветвящуюся Ha.n: точками О, 1 и 00. Эта рима
нова поверхность может быть построена сле.n:ующим обраЗ0М.
Обозначим через l' отреЗ0К (О, 1), через П' луч (1, + 00) и череа.
Ш' луч ( oo, О). J{ верхнеl1 полуплоскости по разрезам 1', П' и
1П' приклеиваем три экземпляра нижней ПОЛУПЛОСКОСТИ. На каж.n:ом
И3 этих экземпляров нижней полуплоскости остается 'n:Ba свобо.n:ных
разреза. J{ каж.n:ому И3 свободных разреЗ0В приклеиваем ПО экземп
ляру верхней полуплоскости и т. .n:.
В отличие от римановой поверхности эллиптическоrо интеrрала.
которую мы строили в пре.n:ьщущем параrрафе, з.n:есь мы ДОЛЖНЫ
каж.n:ый раз nриклеивать новый экземпляр полуплоскости.
И3 построения ВИ'n:НО, что Ha.n: каждой И3 точек О, 1 и 00 эта
риманова поверхность имеет бесконечно MHoro лоrарифмических
точек ветвления.
Построенная риманова поверхность является римановой поверх
ностью ФУНlЩИИ z == ер (1:), обратной к функции С == j (z). И3 СJ{азан
lIoro BbIllle неме.n:леНIIО вытекает справедливость сле.n:ующих YTBep
ждений, относящихся к этой обратной ФУJjКЦИИ:
476
НЕкОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл. 7
т е о р е м а 1, Функция z === ер ( ), обратная к построенной выше
ФУНКЦllll, конформно отображающей КРУ20вой треу20лыil1< с HY
левыми У2лами на верхнюю полуплоскость, .ttожет быть анали
тичеСКll продолжена по любой кривой, не проходящей через
точки О, 1, 00. Значения, принuмаемые любы.tt элементо.tt анали-
тической ФУНКЦllll, порожиае.ttой эле.ttентО.tt ер ( ), лежат в eall
lillЧНО.tt КРУ2е.
Укажем еще на связь построенной нами ФУНКЦИИ j(z) с MO'n:Y
лярными ФУНКЦИЯМИ теории эллиптических функций. Обозначим через
(О)
.
'-с)
(1)
се)
о
(J)
1
(00)
о
1
Рис. 94.
Рис. 95,
7 ('t) .n:робно-линейное отображение полуплоскости 1т 't> О на е.n:и
Jшчный KPYI', перево.n:ящее точки О, 1, 00 в веРlllИНЫ Halllero KPYI'O
Boro треуrольника О. При этом в треуrольник О перей.n:ет область а,
заll1трихованная на рис. 94 (эта область а также является KpyroBbIM
треуrолышком с нулевыми уrлами). ФУНКЦИЯ f(z ('t)) совпа.n:ает TOI'.n:a
с модулярной ФУНКЦllеi1, обозначаемой в теории эллиптических функ-
ЦИЙ через )(2 ('t). И3 прове.n:енноrо нами иссле.n:ования вытекает, ЧТО
.функция ===)(2 ('t) КОНфОрМНО отображает область а на верхнюю
JlОЛУПЛОСКОСТЬ в плоскости .
в треуrольнике а прове.n:ем все ero «высоты», Т. е. окружности,
выхо.n:ящие И3 всех ero вершин и opTOrOHaJlbHbIe .n:ействительной оси
и стороне, противолежащей веРlllине (рис. 95). Обозначим через 0*
круrовой треуrольник, заlllтрихованный на рис. 95 и имеющий O'n:HY
И3 вершин в бесконечности. У треуrолышка 0* уrол в бесконечно
у.n:аленной веРlllине равен нулю, уrол в вершине 1 + i равен ,
,,;
'It
а уrол в вершине е 3 равен 3' ФУНКЦИЯ, которая КОНфОрМНО отобра-
щает стреуrольнИI{ 0* на верхнюю IЮJIУПЛОСКОСТЬ и переводит ero
, 4]
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
477
1ti
:БерlllИНЫ е 3, 1 + i, со в ТОЧКИ О, 1, со Соответственно, обозначаетсЯ'
]! теории ЭЛЛИПтических функuий через J('t).
И3 соотношения между треУI'ольниками а и 0* можно вывести
,(мы не будем этоrо делать), что между Функuиями J('t) и х 2 ('t) имеется
<СООТНОlllение
4 [%' (1:) %2 (':) +- !]2
J('t) === 27 %4(1:) [1 %2 (1:)J"
Функuия J('t) Т3I,же называется мо.n:улярной фушщией. (По.n:роб
Пiее об опре.n:елении МО'n:УЛЯрllЫХ функuий рассказано в rл. 4 второй
'Части этой книrи.)
Отметим O'n:HO важное свойство BBe.n:eHHbIX нами мо.n:улярных
,функuиЙ.
ТреуrольнИlШ, полученные И3 ОСНОвпоrо треуrольника 0* или а
'четпым числом инверсий в Сторонах, конформно отображаются COOT
!ветствующей мо.n:улярной функuией на верхнюю полуплоскость. При
.этом вершипы треуrолышков перехо.n:ят в фиксированные точки О, 1, со.
Леl'КО ви.n:еть, что четное число инверсий в окружностях равносильно
:некоторому дробlю линейному преобраЗ0ванию (ибо o'n:Ha инверсия
jpаВНОСИJlьна комбинаuии .n:робlЮ ЛИllейноrо преобраЗ0вания с перехо
.дом к сопряженным веJlИчинам). llокажем сейчас, что пРll этllХ пpe
.образоваНllЯХ .модулярная ФУЮСЦllЯ не .ltсняется. Действительно,
!\lYCTb '" === T('t) дробно-линейное отображепие, отвечающее четному
'числу ипверсий в сторонах, п пусть оно перево.n:ит основной Tpe
'уrолыIИК (.n:ля опре.n:еленности 0*) в треуr()лыlИК of (мы знаем, что
IПрИ этом вершины переходят в вершины). Рассмотрим функuии
'lJ!l('t)===J(T(,» и Ф2('t)===.1('t). Обе эти фупкuии отображают треуrоль
'IШК 0* на верхнюю ПОЛУПJIOСКОС1Ъ и перево.n:ят ero верlllИНЫ в о.n:ни
:и те же точки, HeTpY'n:Ho убедиться, ЧТО такое конформное отображение
.е.n:ипственно. Поэтому .1(T('t» = .1('t), и Hallle утверж.n:ение .n:оказано.
Множество всех .n:роб lO линейных преобра30llаний, отвечающих
'Четному числу инверсий в сторонах осповноrо треУI'ОЛЫIИка, образуют
IfРУППУ, если под произве.n:ением 'n:BYX .n:роб lO линейных преобраЗ0ва
lНИЙ понимать после.n:овательное их выполнение (см. 1 rл. 5). Эта
1fруппа является по.n:rруппой всей rрупиы .n:робно линейных преобра
зований. Для области 0* она состоит И3 .n:робно-линейных преобра
зований вида
T('t)=== O't+-Ь
C1:+-d'
и ad Ьс === 1.
Эта rруппа называется
u'.n:e а, Ь, с, d uелые числа
MO'n:Y лярноЙ rруппой *).
*) Об этих вопросах несколько БО,1ее подробно рассказано в r л, 4 ч. 2
-этой книrи, а еще более полную информацию (11 библиоrрафию) можно найти
.f! кнш'е Н. И. Ахиезера, Э,1емеНТbl теории эшшптических функций, Москва,
СПИ, 1948. I
478
НЕКОТОРЫЕ СnЕUИАЛЬНЫЕ КО ФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл.1
О'n:II0знаЧllые функции комплекснOI'О переменноrо, для которых
{(Т (т.)) = f(т.)
для всех .n:робно-линейных преобраЗ0ваний Т (т.) И3 некоторой rруп
"ы r, называются авто.ltoРфНЫМll ФУЮСЦllЯМZZ (ОТ1l0сительно rруп
пы r).
После перио.n:ических и эллиптических функций мо.n:улярные функ
ции пре.n:ставляют собой простеЙll1ИЙ пример автоморфных фУliКЦИЙ.
с помощью отображений KpyroBbIx мноrОУl'ОЛЫIИКОВ можно полу
чить И .n:руrие примеры автоморфных ФУIll<UИЙ, Рассмотрим круrовой
Рис. 96.
мноrоуrольник Р, лежащий в единичном Kpyre и имеющий СIЮИМИ
сторонами Jlуrи окружностей, ортоrональных е.n:иничной окружности.
Отобразим этот мноrоуrольнИ!{ с помощью функции t === F (z) на
полуплоскость 1т 1:> О. I{ак и при иссле.n:овании мо.n:улярных функ
ций, мы можем аналитически продолжать эту функцию через стороны
Мllоrоуrольника Р с помощью ПРИIlцина симметрии. Условие opToro
нальности сторон мнorОУI'ОJlьника Р е'n:ИIIИЧНОЙ окружности rараllТИ
рует нам, что отражения мноrОУI'ольника Р в е1'О сторонах не вый
'n:YT за пределы е.n:иничноrо Kpyra.
. 5]
ТЕОРЕМА ПИI\АРА
479
Как и в случае прямолинейных треуrолышков, мы леrко pelllaeM
за.n:ачу о необходимых и .n:остаточных условиях .n:ля однозначности
функнии, получаемой аналитическим продолжением функции F (z).
Эти условия таковы;
Уrлы мноrоуrольника р .n:олжны быть равны
'It 'It 'It
r 1 ' r 2 ' ...) r n '
.rде rl' r2' ,." r n целые ПОложительные числа (или (0). На рис. 96
изображена фиrура, анаЛОI'ичная мо.n:улярной фиrуре, отвечаЮlllая
случаю, Kor.n:a Р треуrольник, а rl == 2, r2 == 3. r з == 7.
Как и .n:ля МО'n:УЛЯрной функции, можно .n:оказать, что при выпол-
нении указанных условий Получается «замощение» е.n:ИНичноrо Kpyra
без .n:ыр и перекрытий. J1erKo показать Т3I<же, что построенная функ-
ция является автоморфной функцией. На этих вопросах мы OCTaHa
ВЛИВ31ъся не бу.n:ем *).
Об автоморфных функциях еще бу.n:ем rоворить (в несколько ином
аспекте) в 6 rл. 9.
5. Теорема Пикара
с помощью Мо.n:улярных функций леrко доказывается так назы
ваемая теорема Птсара, представляющая собой существенное уточне-
ние теоремы Вейерштрасса (см. 2 rл. 4) о поведении реrулярной
функции вбшl3И существенно особоЙ точки.
Т е о р е м а 1. Целая ФУН1сция.. отличная от тождественной
постоянноii, пpllHll.Jtaem Все значения, за иС1Слючением, может
быть, одНО20.
При мер ФУНКllИИ e Z показывает. что одно ИСключительное зна' IеНИ е
может существовать.
Для .n:оказательства теоремы Пикара предположим, что целая функ-
llия O(s) не принимает каких-либо двух значений а и Ь. Tor.n:a целая
G (8) . a
функция g(s)== b не принимает значений О и 1. Кроме Toro,
a
g(s), как целая функция, не принимает и значения 00. Рассмотрим
вспомоrатеЛЫIУЮ функцию
F (s) == ер (g(s»,
l'.n:e ер ( ) функция, обратная к функции == f (z). построенной с по
мощью конформноrо отображения KpyroBoro треуrольника с нулевыми
уrлами в пре.n:ы.n:ущем параrрафе. Поскольку функция g(s) не прини-
мает значений О, 1 и 00, любая кривая в плоскости s при отображе-
*) Подробное обсуждение различных вопросов TaKoro рода, ОТНОСЯЩИХСR
к автоморфным функциям, можно найти в книrс: Р r i е k е и. К 1 е i п.
Vorlеsuпgеп iiber die Theorie der аutоmorрhеп Рuпktiопеп. Bd. 1, Leipzig.
1890, Bd. П, Leipzig, 1892.
480
НЕКОТОРЫЕ СПЕUИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[r.1, 7
нии == g(S) перей.n:ет в кривую, не прохо.n:ящую через точки О, 1 и 00.
Поэтому в силу теоремы 1 4 функиию F (s) можно аналитически продол
жить по любой кривой, лежащей в конечной части плоскости s. Но вся
конечная плоскость о.n:носвязная область, так что в силу теоремы
о МОIlО'n:рОМИИ F (s) иелая функиия. Далее, соrласно теореме 1 4,
значения всех элементов аналитической функиии ер ( ) лежат в е.n:инич
ном Kpyre. Сле.n:овательно, .n:ля иелой функиии Р (s) при всех s спра-
ве.n:ливо неравенство iF(s)1 1. По теореме Лиувилля (см. 5 rл. 3)
or"раниченная иелая функиия тож.n:ественная постоянная. И3 равенства
F (s) = const сле.n:ует, что g(s) const, так как функиия ер ( ) заве.n:омо
отлична от тож.n:ественной постоянноЙ. Тем самым теорема Пикара
.n:оказана.
6. Теоремы ШОТТКИ и Ландау
С помощью тоЙ же функиии tjJ (1:), конформно отображающей Bepx
нюю полуплоскость на круrовой треуrолышк с нулевыми уrлами,
.n:окажем еще теоремы Шопки и Ландау о функииях, не принимающих
3l1ачений О и 1 n конечном Kpyre.
Теоре.ltа ШоттКZ1 относится к теоремам искажения Toro же po.n:a,
что лемма Шварн,а и приниип Лин.n:елефа (см. 7 rл. 6). Ее форму-
лировка такова:
Теорема 1. Пусть функция F(t) ре2улярна в КРУ2е Itl<R
II не пpll1il1Maem в этО.lf КРУ2е значе1il1й О 11 1, а F(O)==1: o , zде
l1:oi 8,
1
l1:ol 8'
ICo 11 8 (8)0).
ТО2да при люБО.1! r < R UNeem .1!есто неравенство
тах IF (t)i < м ( , 8),
It! r
2де постоянная М (р, 8) зависит только от р 11 8.
Преж.n:е чем .n:oKa3bIBaTb теорему ilIоттки, .n:окажем o'n:HY лемму,
которую можно рассматривать как обобщение леммы Швариа,
Л е м м а. Пусть фУНКЦ11Я g(t) реzулярна в Kpyze :tl < R, и пусть
Ig(t)i<1 в этОN КРУ2е, а :g(O)i a<l. Tozaa при любо.1! r<R
имеет место неравенство
! r+aR
тах g(t)I R+ .
Itl r ar
Для .n:оказатеJlьства леммы рассмотрим вспомоrательную функиию
h(t)== g(t) g .
1 g (t) g (О)
!i 6]
ТЕОРЕМ.Ы 1ll0ТТКИ И ЛАНДАУ
481
Так как значения ФУНКЦИИ w === g(t) лежат в е.n:иничном Kpyre Iwl < 1,
а .n:робно линеfiная ФУНКЦИЯ
W a
l wa
(a===g(O»
конформно отображает этот Kpyr на себя, то значения функции h (t)
тоже лежат в е.n:иничном Kpyre. Кроме Toro, 11 (О) === О. Поэтому, при
меняя к ФУНКЦИИ h(R't) лемму Шварца, получаем неравенство Ih(t)j
' I (справе.n:ливое при I t 1< R), т. е. неравенство
I g(t) g(O) I M <:tl<R).
l g(t)g(O) R
И3 этоrо неравенства получаем, обозначив .n:ля краткости
g(t) === w, g(O) === а.
Ш р
Я ,
неравенство
I w a I
p.
l Wa
Воспользуемся леrко проверяемой ФоРМУЛОЙ
11 waI2===lw a/2+(1 laI2)(1 lwI2).
с ее помощью леrко получаем, что
2 I W a / 2 IW aI2
р;::: l wa Iw aI2+(1 lal")(1 lwi2) ;:::
::>:: (lwl lal)"
(/wl lal)2 + (1 1 а 12)(1 IW/")'
Полученное неравенство можно записать в виде
(1 p2)(1 wl la:>2 (1 ,а/ 2 )(1 Iw: 2 ) О.
Отсю.n:а, реlllая KBa.n:paTHoe уравнение, без Tpy.n:a нахо.n:им, что
f I I а 1 + р а + Р I t I + аЯ
I (t)I===lw l+pl a l l+ар === R+altj '
Тем самым лемма .n:оказана.
Перей.n:ем теперь к доказательству теоремы Шопки. Об0311ачим
через ljJ ( ) ФУНКЦИЮ, конформно отображающую верхнюю полупло
скость 1т > О на равносторонний круrовой треуrольник а с ну ле
выми уrлами и с верlllинами на единичной окружности (в веРlllИНЫ
треуrольника а переход.ят точки О, 1 и 00). Мы знаем, что ФУНКЦИЮ
ljJ ( ) можно анаЛИТически про.n:олжить в нижнюю полуплоскость
через отрезки (О, 1), (1, + 00) и ( oo, О) действительной оси. Бу.n:ем
обозначать тем же символом ljJ ( ) ФУНКЦИЮ, получающуюся аналитиче
ским про.n:олжением исхо.n:ноrо отображения на всю плоскость
16 А. rУРВIIЦ. Р. Курант
482
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rп.7
с разрезами (1, + (0) и ( oo, О), .n:оопре.n:еленную по непрерывности
на верхних краях этих разреЗ0В. Tor.n:a ФУНКЦИЯ CjJ ( ) конформно
отображает свою область опре.n:еления на фиrуру, составленную И3 caMoro
треуrольника О (.n:ополненноrо ero сторонами, но не вершинами) и Tpe
уrольника, полученноrо отражением треуrОJIьника О в OJ. ной И3 ero
сторон. Точка :0' у.n:овлетворяюшая условиям
I or o, I o! +, ' o l! o (0)0),
лежит в области опре.n:еления ФУНКЦИИ H ) и icjJ( o)1 a(o)< 1 (по-
CKOJIbl<y в точки е.n:иничной окружности отображаются лишь точки
О, 1 и 00, отвечаюшие вершинам треуrолы!Ика О).
Рассмотрим вспомоrательную функцию
g (t) === CjJ (F (t)).
Она опредеJlена в некоторой части Kpyra I t I < R. со.n:ержашей точку
t === О (и реrулярна в этой части). По теореме 1 4 мы знаем, что
ФУНКЦИЮ CjJ ( ) можно аналитически ПрО'n:ОJIЖИТЬ по любому пути, не
прохоцяшему через точки О, 1, 00. Поскольку ФУНКЦИЯ Р (t) реrулярна
в Kpyre I t I < R и не принимает значений О и 1, отсю.n:а вытекает,
что функцию g(t) можно аналитически про.n:олжИ'lЪ по любому пути,
лежащему в Kpyre i t I < R. в силу теоремы о моно.n:ромии про.n:олжен-
ная ФУНКЦИЯ бу.n:ет о.n:нозначна, а сле.n:ователыlO, и ре['УJlярна в Kpyre
! t 1< R (Kpyr о.n:носвязная область). Кроме Toro, по той же теореме 1
4 мы знаем, что значения всех ЭJ1ементов функции CjJ (О лежат в
е.n:иничном Kpyre. Поэтому, обозначая про.n:олженную функцию ,ем же
СИМВОJlОМ g(t), ви.n:им, что эта ФУНКЦИЯ реrулярна в xpyre I t 1< R
и УДОВJIетворяет условиям
!g(t) I < 1
(t < R),
:g(O)! a(o)< 1.
в силу 'n:ОЮ13анной IJbIllle леммы получаем отсю.n:а, что
, r + а (8) R r
,т:" Ig(t)i R+a(8)r ===р(я,о)<I,
it 1........... r
Обозначим теперь через j(z) мо.n:улярную ФУНКЦИЮ, обраТ1lУЮ к ана-
литической ФУНКЦИИ CjJ ( ). Мы знаем, что она реrулярна в Kpyre I z 1< 1.
COrJ1aCHO опре.n:елению ФУНlЩИИ g(t) имеет место равенство
F (t) === j(g(t)).
Поэтому
тах !P(t)1 тах Ij(z)1
[1 i ::о: r I z [ ::о: р
r
(р === Р (R' о)),
и теорема .n:оказана,
с помошыо теоремы 1110ПКИ лепю доказывается теорема Ландау,
HeCKOJ1bKO уточняющая теорему Пикара.
71
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
483
Теорема 2. Пуппь функция 0(z)ре2улярна в КРУ2е Iz al<R
11 не пр'lнu.мает в атом КРУ2е значений О и 1. ТО2да
i а (a)i k I-'-(O(a»,
2де 1-'- (8) постоянная, заВllсящая только от 8.
COI'J/acHo фОРМУJlам, Полученным в 5 rл. 3,
1
i а (а)/ шах 10(z)/ (, < R).
rlz ai r
1
Положим, в частности, r == 2" R и воспользуемся .n:ля оценки величины
шах iO(z)1
!Z a! r
теоремой 1, nримененной к функции F == O(t + а). ЭТО даст нам
неравенство
2 1
/а(а)! R М(2' О(а»,
КОторое равносильно утверж.n:ению теоремы.
в Случае, Kor.n:a функция O(z) целая, R == со, и И3 теоремы Лан
дау вытекает, что а (а) = о. Таким обраЗ0М, теорема Пикара является
частным случаем теоремы Лан.n:ау.
7 Дифференциальные уравнения для отображающих функций
I{pyroBblx мноrоуrольников
в отличие от функций, совершающих конформное отображение
flОЛУПЛОСКОСТИ (или Kpyra) на flРЯМОлинейный мноrоуrольник, .n:ля
функuий, совершающих конформное отображение ПОлуплоскости на
круrовой мноrоуrольник, уже нельзя .n:aTb явное выражение через
интеrралы от элементарных функций. O'n:HaKO с помощью тех же MeTO
доп можно вывести дифференциальные уравнения, которым .n:олжны
у.n:овлетворять отображающие функции.
Преж.n:е чем начинать вывод этих уравнений, BBe.n:eM O'n:HO обозна
чение и .n:окажем o'n:HY лемму.
ДllффереНЦllaЛЬНЫМ llftBapllaHInOM {и варца или шварциаНОJlI
функции {(С) наЗ0вем выражение
1'" (С) 3 ( /" <'» 2
{f, С} == {' ю 2" l' (С) .
Л е м м а. Пусть ФУНКЦllll {(с) II g(C) связаны соотнощеЮlем
а/ Ю + ь
g(C)== CI( )+d (ad bc=/=U). (1)
16-
484
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КUНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл.7
Tor.n:a
{f, ц == {g, Ц.
ЗаПИlllем равенство (l) в ви.n:е
g(c{+d) af ь==о
и про.n:ифференцируем ero ПО три раза, что .n:acT три равенства
с (/g)' + dr! af' == О,
с (/g)" + (!g' af" == О,
с (/g)'" + dg" af'" == О.
Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений ОТIю
сителыю с, d, а, ви.n:им, что Оflре.n:елитель ЭТОЙ системы .n:оюкен
быть равен нулю. Сле.n:ователыю, функции {( ) и g( ) связаны COOT
НОlllением
(/ g)' g f'
D (/, g) == (/g)" g' f" == О.
(! g)'" gт {т
(2)
Вычитая И3 первоrо столбца опре.n:елителя D (f, g) второй, умножен
ный на f, и третий, умноженный на g, получаем, что
О g {'
D(f,g) == 2f'g' g' {"
3 (/" g + f' g") g" lт
Раскрывая опре.n:елитель по элементам перВОI'О столбца, записываем
СООТНОlllение (2) в ви.n:е
3(/"g + f'g')(f'g f'g") 2f'g(/"'g fg")==O,
который уже леrко преобразуется к ви.n:у {f, } == {g, }.
Перей.n:ем теперь к выводу .n:ифференциальноrо уравнения для отоб
ражающих функций KpyrOBbIX мноrоуrолыlИКОВ.
Пусть o круrовой п уrолы{Ик (бу.n:ем считать ero оrраниченным),
имеющий верlllИНЫ в точках z == b k , k == 1, 2, . .., п, и уrлы в этих
вершинах, равные lJ.k' k == 1, 2, , .., п.
Через z==f( ) бу.n:ем обозна'lать функцию, КОllфОрМНО отобра
жающую верхнюю полуплоскость 1т > о на круrовой мноrоуrоль
ник О. Мы бу.n:ем обозначать через щ, а2' ..., a n точки .n:ействитель
ной оси плоскости , перехо.n:яшие при отображении z == f ( ) в Bep
lllИНЫ Ь 1 , Ь 2 , "., b n мноrоуrольника О. Мы, l<aK и в 1, бу.n:ем счи
тать верlllИНЫ ь 1 , Ь 2 , "" h n занумерованными в таком порядке, чтобы
00 < аl < а2 <. .. < а п < + 00.
'!i7]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
485
Через каждый И3 отрезков lk (меж.n:у точками Gk и Gk+t> .n:ействи
тельной оси функцию {( ) можно аналитически про.n:олжить в ниж
нюю ПОJlУПJIOСКОСТЬ 1т < О ПО принципу симметрии. При аналити
ческом ПРО'n:олжении через разные отрезки lk мы получаем разные
элементы аналитической функции. Как и в 1, JlerKO устанавливается,
что эти ра3личные элементы, скажем {. (О и ffL ( ), Bcel'.n:a СВЯ3ШIЫ
соотношениями
f. ю al v (С) +Ь
fL с Iv Ю + d
(а, Ь, с, d ПОСТоянные, зависящие от v и (1), поскольку 'n:Be после
довательные инверсии можно заменить о.n:ним .n:робно линейным пре
обраЗ0ванием. Поэтому, cor ласно лемме, функция
1'" (С) 3 ( /" (С» ) 2
{f, } I'(C) 2 I'Ю
является о.n:нозначной функцией, реrулярной во всей плоскости , за
исключением точек == Gk' k == 1, 2, ,.., п (и, быть может, точки
== 00).
Иссле.n:ование особых точек == Gk, k == 1, ,." п, и точки == 00
прово.n:ится теми же сре.n:ствами, что и иссле.n:ование особых точек
функции g(C) == j: iij в 1, В окрестности Точки == 00 имеем
{f, } == 'с1 + ,с; +...
(3)
При иссле.n:овании пове.n:ения функции {f, } в окрестности точек
С == Gk (прихо.n:ится различюъ 'n:Ba случая CJ.k * О И CJ.k == О) удобно
ВОСПОЛЬЗ0ваться тем, что, соrласно лемме {f, } == {g, }, r.n:e g( ) ==
J,( j t; любое .n:робно линейное преобраЗ0вание функции Л ).
ЭТО дробно линейное преобраЗ0вание сле.n:ует по.n:обрать таким обра
30М, чтобы стороны KpyrOBoro мноrоуrОЛЫlИка, пересеl<ающиеся в
интересующей нас верlllине, переlllЛИ при этом преобраЗ0вании в
прямые линии. Tor.n:a (при Clk *- О) С ПОмощью тех же рассуж.n:ений,
что и в 1, мы пре.n:ставим функцию g(C) в ви.n:е
g(C) == bi. + (С Gk)"-k gl (:),
r.n:e gl (С) функция, реrулярная в точке С == Gk, И gl (Gk) =:;':: О, И3
этоrо пре.n:ставления леrко нахо.n:им, что
{f,C}=={g,c}== l 2 ak2 (C [ak)2 (1 +< (C Gk)+...). (4)
Иссле.n:ование случая Clk == О прово.n:ится COBepllleHHO аналоrично, только
нельзя сослаться на I'ОТОВЫЙ результат. В этом случае .n:робно линейное
преобраЗ0вание по.n:бирается таким обраЗ0М, чтобы I<руrовой
мноrоуrольник, на который отображается наша лолуплоскость
486
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл,7
функцией z === g(O, имел интересующую нас вершину в бесконечности
и чтобы ero стороны совпа.n:али вблизи этой вершины с лучами
1т z === О,
Rez< т;
Rez< т.
1т z === 'it,
Тоrда с по !Ощью тех же соображений, что и в 1, доказывается,
что функция ехр (g( )) реrулярна в точке === ak и имеет в этой
точке производную, отличную ОТ нуля. Это позволяет получить .n:ля
функции g( ) пре.n:ставление
g(C) === 1п ( ak) + gl Ю,
r.n:e функция gl ( ) pery лярна в точке : === ak- С ПОмощью этоrо пре.n:
ставления леrко убеж.n:аемся, что формула (4) сохраняет силу и 11 этом
случае.
Таким обраЗ0М, .n:оказывается, что функция {f, } имеет во всей
плоскости только ПОJllОСЫ BToporo поря.n:ка === ak' k 1, 2,..., п,
в окрестности которых .n:ля нее справе.n:лива формула (4). Заметим,
что формула (4) не опре.n:еляет полностью всей rлавной части ря.n:а
Лорана .n:ля функции {!, О в окрестности полюса === ak' Поэтому мы
можем написать .n:ля этой функции лишь формулу
n
{f, } { 1 ak" 1 C k }
, === (C ak)" + l; ak '
1, l
(4*)
в которой имеется п неизвестных коэффициентов C k . Прав.n:а, на эти
коэффициенты накла.n:ываются еще три условия:
n n n 1 о n n
C k === О, ! akCk === ! 2 a k , ! aJ:C k === ! ak (l 0.];),
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
вытекающие И3 формулы (3). Эти условия 0значают, что коэффИltи
1
енты разложения функции {f, } в ря.n: по степеням в OKpecтнo
сти точки ===oo при l, } И 3 равны нулю_ Таким обраЗ0М, в
.n:ействительнОСТИ имеется ЛИlllЬ п 3 неизвестных постоянных. Поэтому
.n:ля п === 3 .n:ифференциальное уравнение .n:ля отображающей функции
может быть полностью опре.n:елено.
Те о р е м а 1. ФУfI1ЩllЯ Z ===f(C), конфор.мно отображающая
Верхнюю полупЛОС1сость 1т > о на КРУZОВОЙ треуzолыilкK с уzла.мll
В верШllнах, paBHbJ.tJll 'ito. 1 , 'it?'2, 'it(7.з, удовлетворяет дllффереНЦllаль
]{ОЯУ уравнеНllЮ
fm <С) 3 [ f" (') ] 2 I ai (а l а 2 )(а 1 а.)
J'(C) 2 f'(C) === . (С аl)"(С а2Ж а.) +
I a (а 2 0.)(а 2 a l ) + I aJ (аз (1)(а. а 2 )
+ . (r. а1Ж а2)2(r. оз) . (С а1Ж 02Ж аз)i ,.
7]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
487
<?де а., а2' аз тОЧКll дейстВllтелы-юй OCll, nереходЯЩllе npll OтO
бражеНllll Z==f( ) в ВерШlLНbl КРУ20ВО20 треУ20ЛЬНllка.
Деt!ствительно, не СОставляет особоrо Tpy.n:a Проверить, что рацио
нальная функция, Стоящая в правоt! части написанноrо уравнения,
у.n:овлетворяет условиям (3) и (4),
Заметим, что в написаННGе .n:ифференциалыюе уравнение не вхо.n:ят
вершины нашеrо KpyrOBoro треуrОльника. Они MorYT быть выбраны
ПРОИ3ВОльно за счет трех ПРОИ3ВОJlЬНЫХ Постоянных, ВОзникающих
при интеrрировании .n:ифференциалыюrо уравнения TpeTbel'o порядка.
Если выбрать а. == О, а 2 == ], аз == 00, то BbIBe.n:eHHoe нами ypaB
нение ПРИнимает значителыlO более простоt! ви.n:
{ т «() 3 [ Т(С) ] 2 I a I a; a1+a;+ail 1 ( 5 )
{'«() 2 I'(C) . == 2(" + 2«( 1)" + 2Ч( I) .
В частности, полаrая а. == а 2 == 7: а == О, мОжем ПОЛУЧИ1Ъ И3 ypaB
нения (5) уравнение ЩIЯ МО.n:улярноt! ФУнкции )(2 (-t). Деt!ствитеJlЬНО,
уравнение .n:ля обратноt! к ней функции Пишется сразу, а меж.n:у
шварцианами {z, } и { , z}, r.n:e z ( ) и Цz) взаимно обратные
функuии, существует простая связь
1
{z, } == ('2(Z) { , z}.
Поэтому уравнение .n:ля мо.n:улярноt! функции )(2 (-t) (о которой rовори
JIOCb в 4) имеет БИ'n:
(...2 (т»'" 3 ([...2 (т) ]")" 1] 1 1
0...2 (т)]')" +2 ([...2 ('1:)]')4 2 [(...2 ('1:)] 2+ 2 (...2(т) 1)2 ...2 ('1:) (...2('1:) 1) .
1 1
Аналоrично при а. 3 ' а2 == 2 ' Clз == О, ПОлучаем .n:ля .n:pyrot! MO
дулярной функuии J(-t) (см. 4) уравнение
Jm (т) 3 [J" ('1:)]2 4 3 23
[J' (т)]" + 2 [J' (т)]4 == 9]2 + s (] ])2 72] (J 1) .
Соображения, и3ложенные нами в СВЯ3И с построением отобража
ющих функциt! KpyroBbIx мноrоуrодьников, можно положить в OCHO
ву rораз.n:о более общих иссле.n:ований, О которых мы можем упомя
нуть з.n:есь лишь в нескольких СЛОвах.
Функцию f ( ), аналитическую во всей плоскости, за ИСКJlючением
конечноrо ЧИСла точек а., а 2 ,..., аn> бу.n:ем Ha3bIВaTb ЛllнеЙНО nОЛll
морфноЙ, если аналитическое ПРо.n:олжение любоrо элемента этоt!
функции по любому замкнутому пути приво.n:ит к ЭJlементу, Получа
ющемуся И3 прежнеrо .n:робно линеt!ным преобраЗ0ванием.
Соображения, ИЗложенные Выше, показывают, что любая Лllнейно
пОЛllморфная ФУНКЦllЯ f( ) удовлетворяет дllффереНЦllальному
уравнеНZlЮ третье20 порядка
q==RЮ 00
488
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНФОРМ.НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[rл.7
2де R ( ) ФУЮСЦllЯ, ре2улярная ВО всей плоскости, за исключе
ние.м точек аl' а2"'" a n , (Обычно на линейно полиморфные функ
ции накла.n:ываются ДОПОJJIштеЛЫlые условия, обеспечивающие рацио
нальность функции R ( ).)
Уравнение TpeTbero поря.n:ка (6) в .n:еЙствителыlOСТИ леrко сво.n:ит
ся к линейному O'n:HOpO'n:HOMY дифференциалыlOМУ уравнению BTOpO
ro поря.n:ка. Для этой нели .n:остаточно заметИ1Ъ, что lllварциан можно
записать в ви.n:е
{f, }=== 2( y)<o )"V f'Ю.
После этоrо требуемое све.n:ение осуществляется с помощью замены
{' Ю === [z ( H2 '
И уравнение .n:ля функнии z ( ) принимает ви.n:
z" Ю + ; R Ю z ( ) === О.
(7)
J{стати rоворя, .n:ля функции KpyrOBbIX треУI"ОЛЬНИКОВ уравнение (7)
является так называемым 2ипеР2ео.метрическим уравнением.
HeTpY'n:llo показать, что отношение 'n:BYX линейно независимых
решений уравнения (7) является решением уравнения (6). Действи
тельно, пусть Zl ( ) И Z2 ( ) 'n:Ba линейно независимых решения
уравнения (7). Tor.n:a по известной теореме теории .n:ифференциалыlхx
уравнений ИХ вронскиан
W(Zl' Z2)=== Z Ю Z2 Ю z Ю Zl (:)
равен постоянной, которую без оrраничения общности можно счи-
тать равной единице. Но
( ZI <О ) Z (С) Z2 (С) Z (С) ZI (С)
dC Z2 (С) [Z2 (Щ2 [Z2 (С)]2'
а уравнение (6) сво.n:илоСь к уравнению (7) заменой f' ( ) === [z (lс) ]2 .
Следовательно, функция f ( ) === : Ш у .n:овлетворяет уравнению (6)
(в это уравнение сама функция f( ) не вхо.n:ит, вхо.n:ят лишь ее
производные ).
Далее, с помощью 'n:BYX линейно независимых решений Zl ( ) и
Z2 ( ) (с вронскианом, равным е.n:инице) уравнения (7) мы можем
построиТь и общее решение уравнения (6). Для этоrо достаточно
положить
f ( ) === AZ 1 (С) + BZ 2 (С)
CZ 1 (С) + DZ 2 (С)
и связать постоянные А, В, е, D условием AD ве === 1, обеспечи
вающим, как nerKO про верить, равенство е.n:инице вронскиана pellle
7]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
489
ний AZ 1 ( ) + BZ 2 ( ) и CZ 1 ( ) + DZ 2 ( ). Написанное решение ypaBHe
ния (6) зависит от трех произвольных параметров и пре.n:ставляет
собой общее реlllение этоrо уравнения.
И3 доказанноrо леrко усмотреть, что любое реlllение уравнения
(6) является линейно полиморфной функцией. Действительно, любое
реlllение уравнения (6) можно пре.n:ставить в ви.n:е :; i , rде ZI (С) и
Z2 (О решения уравнения (7). Поэтому е.n:инственными ВО3МОЖными
ТОчками ветвления .n:ля реlllения уравнения (6) явЛяются точки BeTBJle
ния решений уравнения (7). т. е. особые точки функции R ( ) (pery
лярность реlllений уравнения (7) в ТОчках реrулярности функции R ( )
.n:ока3ывается очень леrко; например, с помощью разложения решения
в ря.n:). При аналитическом ПРО.n:олжении решений ZI (С) и Z2 ( ) ПО
любому замкнутому пути мы получим И3 реlllений Z, ( ) и Z2 ( )
некоторые .n:руrие реlllения I ZI I Ю и I Z21 Ю уравнения (7). Эти новые
реlllения можно записЗ1Ъ в ви.n:е
21 ( ) == AZ 1 (С) + BZ 2 ( ),
22 ( ) == Cz, Ю + DZ 2 ( ).
Сле.n:оватеJIЬНО, НОвый элемент функции f( ) (полученный И3 прежнеrо
аналитическим Про.n:олжением по какому либо замкнутому пути) может
быть пре.n:ставлен в ви.n:е
1 ( ) == \ (С) == AZ 1 (С) + BZ 2 (С) === Af (С) + В .
Z2 (С) Cz\ (С) + DZ 2 (С) С! (С) + D
Это и 0значает, что f (С) линейно полиморфная функция.
Тлава восьмая
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
мноrосвязных ОБЛАСТЕЙ
Всю эту r лаву мы посвятим изложению совершенно ИНОI'О по.n:
xo.n:a к задаче о конформном отображении. Этот по.n:хо.n:, основанный
на физических соображениях, был впервые ИСПОЛЬЗ0ван замечательным
немецким математиком Бернrар.n:ом Риманом (1826 1866), и.n:еи KOTO
poro оставили rлубокиt! след почти во всех оБJlастях анализа. ДOKa
зательства Римана, как показал Bet!eplllTpacc, были не.n:остаточно CTpO
rими, и по.n:хо.n: Римана был временно забракован, как не.n:остаточно
обоснованный. O'n:HaKo некоторое время спустя .n:pyrot! замечателышt!
немецкий математик Дави.n: rильберт показал, что по.n:хо.n: Римана может
быть полностыо обоснован. После этоrо первоrо успеха по.n:хо.n: Ри
мана ИССJlе.n:овался в Tpy.n:ax мноrих математиков, f{ настоящему Bpe
мени стало ясно, что этот по.n:хо.n: (названныЙ самим РимаНО 1 пpZZfl
ЦZlпО.м ДllрZlхле) .n:aeT наиболее у.n:обное cpe.n:cTBo .n:ля .n:оказательства
мноrих теорем существования в теории аналитических функuиt!.
В этоЙ rлаве при изложении ПрИНLlипа ДИРИХJlе бу.n:ем иметь в ви.n:у
O'n:HY Н3 простейших за.n:ач, pelllaeMbIx с ero помощью, за.n:ачу о KOH
формном отображении плоскоt! мноrосвязноt! области на некоторую
каноническую область. Несколько первых параrрафов посвятим поста
новке экстремальноt! 3 а.n:ач и, а затем перей.n:ем к .n:оказательству суще
ствования экстремальноt! функции. После этоrо закончим построение
отображающеt! функuии и перей.n:ем к распространению MeTo.n:a на
.n:руrие задачи,
1. Наводящие соображения
В этом параrрафе покажем, ч]'о теорема Римана о конформном
отображении О'n:НОСВЯ3110Й области на Kpyr является интуитивно оче
пи.n:ной с точки зрения rи.n:ро.n:инамических анаJlOrий. Более Toro, мы
ВКЛЮЧИМ эту теорему в более общую теорему об отображении MHO
rосвязных областей. При этом ВЫЯСНИМ, r.n:e лежат КОрНИ этой интуи
тивНОЙ очеви.n:ности, и наметим подхо.n:ы к .n:оказательствам.
lJассмотрим в некоторой области КОМПJlексной ПЛОСКОСТИ, оrрани
чеllIЮЙ конеЧI{Ы;\1 чи.слом простых замкнутых КРИВЫХ, течение жид
i 1]
НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
491
кости, не ВЫхо.n:ящее за пре.n:елы этой области. Это 0значает, что ['pa
ничные кривые оБJJасти (мы можем пре.n:ставлять их себе r ла.n:кими
стенками cocy.n:a с жи.n:костью) являются линиями тока нашеrо течения.
На течение наложим .n:ополнительное условие:
Потенциал скоростей течеftllЯ дОЛ.жен быть однозначной Функ
11,ией В июnересующей нас областll.
Это условие равносильно сле.n:ующему:
Циркуляция течеНllЯ по любой замкнутой КрllВОЙ, лежащей
.(J области, равна НУЛЮ.
Выясним, как MorYT вести себя линии тока TaKoro течения
траничных кривых области (которые са fИ являются линиями
В принципе ВОзможны 'n:Ba варианта
попедения течения около r ла.n:кой
замкнутой стенки cocy.n:a. О.n:ин Ba
риант вихревое .n:вижение BOKpyr
-этой стенки, т. е. .n:вижение, при KO
TOpO 1 частицы жидкости все время
'остаются на этой стенке, обхо.n:я ее
BOKPYI'. Этот вариант в Halllel\l слу
чае невозможен, так как циркуля
ция по такой rраничной кривой
(а значит, и по любой .n:остаточно
близкой к ней замкнутой кривой,
лежащей в области) была бы OT
лична от нуля. Второй вариант co
стоит п том, что rраничная кривая
обтекается потоком жи.n:кости, про
ХО'n:ЯЩИМ мимо, TOI'.n:a чаСТИllЫ жи.n:-
кости прихо.n:ят на rраничную кри
вую в какой то о.n:ной точке, раз.n:е
ляются в этой точке на 'n:Ba потока,
расходшцихся в разные стороны от
-этой точки; затем эти 'n:Ba потока встречаются в .n:руrой точке rpa
ничной кривой и ухо.n:ят с нее, Этот вариант и является в HallleM
СЛУ'liiе е.n:инственным возможным. Поэтому пове.n:ение линий тока Ha
шеr'о течения вблизи rраничной кривой .n:олжно иметь ви.n:, изобра
женный на рис. 97. Сре.n:и линий тока Halllero течения ЖИ'n:кости
имеется конечное число линий тока, выхо.n:ящих на rраничные кри
вые. С каж.n:ой И3 rраничных кривых встречаются 'n:Be такие линии
тока (по О.n:ной из них частицы жи.n:кости прихо.n:ят на rраничную
кривую, по .n:руrой ухо.n:ят с нее).
вблизи
тока).
рис, 97.
За.n:а.n:имся теперь ПРОИ3ВОJIЬНОЙ оБJIастью О, оrраниченной конеч
ным числом простых замкнутых кривых, и раСС\ЮТРИl\l в ней опре
деденное течение жи.n:кости, У'n:ОВJIетворяющее постаВJIеННЫl\l выше
492
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[r.".8
условиям. Именно, рассмотрим течение жи.n:кости, образованное в об
ласти О (пре.n:ставляемой нами как cocy.n: с rла.n:кими стенками) источ
ником в точке а Е О и стоком той же мощности в точке а' Е О. с
точки зрения наlllИХ интуитивных пре.n:ставлений, основанных на по
Bce'n:HeBHbIx наблю.n:ениях Ha.n: жи.n:костями, существование тако['о Te
чения очеви.n:но.
Для Болыllrоo у.n:обства будем считать источник и сток сЛIIВ
lllИМИСЯ В о.n:ин 'n:ИПОJ1Ь в точке а (мощность .n:иполя и направление
ero оси значения не имеют),
Итак. пусть F (z) === u (z) + iv (z) комплексный потенциал тече
ния жи.n:кости, ОПИСafIНО['О BbIllle. {{ак мы ви.n:еJIИ в 7 ['л. 5, нали
чие .n:иполя в точке z === а у течения жи.n:кости 0значает, что KOM
плексный потенциал F (z) этоrо течения имеет в точке а простой
полюс. Обозначим через Ас JIИНИИ тока Hallle['O течения ЖИ'n:КОсти. т. е.
JIИНИИ уровня V (z) === С мнимой части КОМПJ1ексноrо потенциала.
В.n:оль линий тока частицы жи.n:кости наше['о потока перетекают из
источника в сток (оба они в о.n:ной и той же точке а Е О), так что
по самому их смыслу они .n:олжны БЫТh замкнутыми кривыми,
прохо.n:ящими через точку а. Иссле.n:уем линии тока несколько по
.n:робнее.
Посколы<у функция F (z) === u + iv имеет в точке z === а простой
полюс, отображение w === F (z) взаимно о.n:нозначно внекотороЙ
окрестности этой точки. Образом .n:остаТОЧIIО малой окрестности о
точки z === а является некоторая область t:., со.n:ержащая точку w === 00.
При отображении w === F (z) линии тока Ас переходят, очевидно. в
прямые 1т w === С. При С, .n:остаточно близких к oo, скажем при
С < С каж.n:ая прямая 1т w === С целиком лежит в области t:.. Сле.n:о
вательно, ее прообраз линия тока Ас целиком JIежит в окреспю
сти о точки z === а и является, очеви.n:но, простой замкнутой кривой,
прохо.n:ящей через эту точку. Обозначим через Dc область, оrрани
ченную линией тока Ас (и конечную). ОбраЗ0М этой области при
отображении w === F (z) является полуплоскость 1т w < С (при С < С).
Выясним, что происхо.n:ит с линиями тока Ас при .n:альнеЙlllем
увеличении параметра с. В принципе мor'ут существовать 'n:Be причи
ны, по которым раСlllиряющиеся с возрастание f параметра С кривые
Ас MorYT пере стать быть простыми заМКIIУТЫМИ кривыми при С === сl
(оставаясь таковыми при С < С). Первая причина кривая Ас! вый
.n:eT на rраницу области О. Вторая кривая АСI коснется себя самой.
Заметим, что вторая причина при наших пре.n:положениях относитель
но течения жи.n:кости невозможна. Действительно, участок линии то-
ка АСI от первоrо попа.n:ания в точку самокасания .n:o BToporo был бы
Tor.n:a замкнутой ЩlНией тока, не прохо.n:ящей через 'n:ИIlОЛЬ. ДвижеlIие
частиц жи.n:кости в.n:оль такой линии тока происхо.n:ило бы в O'n:HOM
напр::.влении, и циркуляция п.n:оль этой линии тока была бы отлична от
нуля, что невозможно в силу наlllИХ пре'n:ПОJIOжений. Сле.n:овательно:
..
!i 1]
НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
493
Лllftllll тока Ас при с< С 1 являются простЫАlll заЛf.КнутЫ.llи
кривыми, проходящими через точку z === а. ЭJ1lll кривые конформ
НО отображаются функцией w === F (z) в пРЯ-,tlые 1т w === С. Прll
С === С} лиНllЯ тока Ас! выходит на 2ранzщу областll О,
Теперь выясним, что случится с линиями тока при с> с}. f{or.n:a
параметр с непрерывно меняется, часть линии тока Ас, лежащая B.n:a
ли от rраницы об.'lасти О, тоже меняется непрерывно. Поэтому при
перехо.n:е от значений С, HeMHoro меныllхx с}, к значениям, HeMHoro
БолыllмM с}, линия тока Ас может резко измениться ЛИlllЬ на том ее
участке, который при с с} стремится к rранице области О. В Ha
чале параrрафа мы ви.n:ели, что линия тока Halllero течения, попа.n:ающая
на rраницу области О, на rраничной крипой раз.n:ваивается. При этом
близкие линии тока обтекают rраничную кривую с 'n:BYX сторон
(при меныllхx значениях параметра с о.n:ной стороны, при боль
lllИХ С 'n:РУI'ОЙ; см. рис. 97), Поэтому при с с}, с < с}' участок
линии тока Ас, выхо.n:ящий на r'раниuу области О, стремится к о.n:ной
.n:yre rраничной кривой, а при с с}, с> с}, к .n:руrой ее 'n:YI'e
(обе .n:уrи вместе образуют всю rраничную кривую о.n:ной компонен
ты rраницы области О). Таким обраЗ0М, ЛllНllЯ тока Ас при знаЧе
НllЯХ С, неМНО20 БОЛЫ/tих с}, также является простой замкну
той КРllВОЙ. ФУНКЦllЯ w === F (z) llO преЖнему КОНФОР_ltно отобра
жает ату КРllВУЮ на прЯ-,tlУЮ 1т w === с.
Про.n:олжая увеличивать параметр с, мы с помощью совершенно
аналоrичных рассуж.n:ений придем к nbIBo.n:y:
При всех с, 00 < с < + 00, за llсКлючеНZlем конеЧНО20 Чll
сла значеНZlй с}' С2"", с т ' ЛIIНZIЯ тока Ас представляет собой
простую замкнутую КрllВУЮ, ле,жащую в областll О и проходя
щую через точку z === а. ФУНКЦllЯ w === F (z) КОНфОр.ltно отобра
жает КРllВУЮ Ас на пРЯ-,tlУЮ 1т w === с.
Ясно, что при изменении с от 00 до + 00 линии тока Ас
заметают всю область О (в противном случае были бы замкнутые
линии тока, не прохо.n:ящие через .n:иполь, что противоречило бы Ha
llleMY пре.n:положению о том, что циркуляция течения по любой зам
кнутой кривой, лежащей в области О, равна нулю). Выясним, Ky.n: a
отображает область О функция w === F (z).
Бу.n:ем считать числа с}, С2"'" с т занумерованными в поря.n:ке
возрастания и .n:ополним их после.n:оватеJJЬНОСТЬ числами со === 00
и с т +} === + 00. Через Os обозначим об.'lасть, заметаемую линиями
тока Ас при с s < С < С 5+}' Tor.n:a И3 сказанноrо nbIllle непосредствен
но вытекает, что функция w === F (z) конформно отображает область
Os на полосу с s < 1т w < с 5+}' Область О получается из объе.n:ине
ния областей 0." если .n:ополнить это объе.n:инение частями линий TO
ка ACk' k === 1, 2,..., т, лежащими в области О. Образами этих
494
ПРИНUИII ДИРИХЛЕ
rrл.8
частей линий тока л. Сk бу.n:ут части прямых 1т W === Ck' Сле.n:овательно,
образом области О при отображении ! === F (z) бу.n:ет вся плоскость
w с разрезами по конечному числу отрезков прямых 1т W === Ck'
k === 1, . . ., т, ЭТИ разрезы являются образами rраничных кривых
области О, тal{ что число разрезов равно числу связности области О.
Тем саМЫ:\I, используя интуитивные .n:опущения о сущеспювании
lIeKoToporo течения жи.n:кости, мы показали, что
Любую п связную область О, 02раниченную пpOCmblMIl замкну
тыми KPllBblMll, можно конфорAtно отобраЗl11пь на всю плоскость
С п разрезами по отрезкам прямых, параллельных дейстВllIпсль
ной OCll.
Яспо, что при п === 1 это утверж.n:ение равносильно утверж.n:ениlO
о том, что любую о.n:носвязную область, оrраниченнуlO простой зам
IШУТОЙ кривой, можно конформно отобразить на е.n:иничный Kpyr.
Действительно, конформное отображение внешности o'n:Horo прямо
линейноrо отрезка на Kpyr осуществимо IНIOJlIle элементарными Cpek
1 ( 1 \
ствами (скажем, с помощью функщlИ, обратной к Функuии 1: === .2 z+z);
см. 3 rл, 5),
Нам остается теперь сказать несколы<о слов о математическом
смысле с.n:еланноrо .n:опущения (о существовании течения жи.n:кости)
и объяснить причину, по которой существовапие TaKoro течения
кажется нам очеви.n:ным.
Рассмотрим ПрОИ3lJолыюе течение жи.n:кости IJ области В, дЛЯ
KOTOporO uиркулшщя по любому замкнутому контуру, лежащему в
этой области, равна нулю. Tor.n:a .n:ля '11'01'0 Тtчения существует O'n:HO
значная в области В .n:ействительная функция II (z), ЯIJЛЯlOщаяся 11O
тепциалом скоростей этоr.О течения (см, 12 r л. 3). Кинетическая
энерrия этor.о течсния жи.n:кости в области В выражается величиной
т V 2 dx dy === т [(ll )2 + (1<1,)21 dx dy
n n
(т общая масса жищюсти в области В). Известно, что жи.n:кость,
пре.n:оставленнаSl самой себе, выбирает такой способ течения, при
,<отором кинетическаSl энерrия всей ее массы бу.n:ет наименьшей.
Покажем несколько ниже. что это условие приво.n:ит к I'армонично
сти фуНlЩИИ II (z), Hallle .n:опущение состою в l1ре.n:положении суще
СТIJОlJания HeKoToporo экстремальноr.о течения (TaKoro po.n:a .n:опуще
ния часто I{ажутся очеви.n:ными), Мы покажем, что это экстремаль
ное течение существует без каких бы то ни было предположений
относительно оБJIасти (.n:аже без тех пре.n:положений, которые мы
сделали в начале параr.рафа). O'n:HaKo, преж.n:е чем перехо.n:ить к .n:o
казательствам, мы .n:олжны поставить соответствующую экстремаль
ную за.n:ачу. Именно эту uель мы и будем иметь в ви.n:у в ближаЙlllИХ
парш'рафах.
21
ИНТЕrРАЛ ДИРИХЛЕ И ФОРМУЛА rРИНА
495
2. Интеrрал Дирихле и формула rрина
Пусть В произвольная область комплексной плоскости,
а ер (х, у) произвольная .n:ействитеЛЫ1ая функuия, непрерывно .n:иф-
фереНllируемая во внутренних точках этой области. Величину
D fep! == D B [ерl == {(ер'х)2 + (ер'у)2) dx dy
в
(1)
бу.n:ем называть llнте2ра.ло.м Дllрихле от фУЮЩllll ер (z) по обласпlll
В (указание на область В бу.n:ем опускать, если это не может выз
нать не.n:оразумеllИЙ), Инте1'рал, вхо.n:ящий в формулу (1), является,
вообще rоворя, несобственным. Мы бу.n:ем понимать ero как верхнюю
rpaHb интеl'ралов, раснространенных на любую конечную замкнутую
область, лежащую в области В.
В полярных координатах шпе1'рал Дирихле принимает ви.n:
Dl3 [ср]== Hep?+ 2 ep 2)rdrdfJ.
l3
(2)
Интеrрал Дирихле обла.n:ает свойством llHBapllaHmHocmll oтHO
сительно lCОНфОр.Jlных отображеНllЙ, т. е, верно сле.n:ующее УТ[Jерж
.n:ение:
т е о р е м а 1, Пусть фуюсция w== f{z) lCонфор.мно отобража
ет область В на область В*, и пусть ер (z)==ф(f(z». ТО2да
(ep 2 + ffJ}) dx dy == (tj;;,2 + tj; 2) dll dv,
В в.
2де z == х iy, а w == и + iv.
ДействителыIO, по формулам .n:ифференuирования сложной Функuии
ep == tj;;,. ll + tj; . v ,
ep , == tj; . ll + tj; . v;,
и используя уравнения f{оши Римана
a == v;"
v == и;,
мы без Tpy.n:a получаем равенсТlЮ
'2 + '2 ( ,,:2 . I '2 ) ( '2 + '2 )
ерх epv У" ' Ifv ах lly.
с .n:руrой стороны, величина a 2 + ll ,2 n силу тех же уравнений
J{оши Римана равна якобиану ll v; "l1_ V преобраЗ0вания II == II (х,у),
V === V (х, у), Поэтому замена переменных в .n:войном интеrрале .n:aeT
нам требуемое СООТНОlllение.
496
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
IrJI.8
в частности, полаrая в формуле, .n:оказанной в теореме 1, ер (z)
Ref(z), получаем, что
DB [ер] == If' (z) 12 dx dy dll dv,
Н в'
Иными словами:
Инте2рал Дllрllхле от 2армонической ФУНКЦllll Re f (z) ер (z)
по области В равен площадll образа области В при конформно.ft
отображеН/lll w == f (z).
Очевидно, что инте2рал ДllРllхле llHBapllaHmeH II npll конформ-
ных отображеНllЯХ с llЗ.меНСНllе..lt направлеНllЯ отсчета У2ЛОВ,
в частностll npll зеркальном отражеНllll в прямой llЛll В окруж-
HOcmll.
BBe.n:eM еще обозначение
D [ер, tJ;] D B [ер, tJ;1 (ep;. + ep tJ;.;,) dx dy
IЗ
(сначала .n:ля случая, Kor.n:a интеrралы не являются несобственными).
При любых значениях постоянных л и fJ. справе.n:ливо тож.n:ество
D [Лер + !1tJ;] ),2 D [ер] + 2лfJ. D [ер, ] + fJ.2 D [tJ;]. (4)
Это тож.n:ество может служить опре.n:елением интеrрала D [ер, tJ;]
в случае, Kor.n:a интеrралы D [ер] и D [tJ;] существуют как несобствен-
ные интеrралы (тота в силу неравенства I),g :J.hI2 (л 2 +- fJ.2) (g2 h 2 )
существует и интеrрал D [лер + fJ. J),
(3)
Замечая, что выражение D [Лер !1У J неотриuательно при любых .n:ейст-
вительных Л и fJ., получаем неравенство
(D [ер, \j! ])2 D [ер] . D [tJ;],
(5)
Инте2рал D [ер, у] также llнварllантен отНОСllтельно конформ
ных отображеНllИ. Это можно .n:оказать, как в теореме 1, но проще
вывести И3 тож.n:ества (4),
Нам пона.n:обится еще o'n:Ha формула .n:ля интеrрала Дирихле, на-
3ывемаяя Фор"ttУлой TpllHa:
D [ер, tJ; 1 == ep tJ; dx dy -+ ер ds. (6)
в дВ
д
(З.n:есь дп .n:ифференuирование по направлению внеlllней нормали
к rраниuе оБJJасти В.) Формула I'рина справе.n:лива в предположении,
что функuия ер (z) непрерывно .n:ифференцируема, а функция tJ; (z)
.n:важ.n:ы непрерывно .n:ифференuируема в замыкании области В. Об-
ласть В при этом пре.n:полаrается уже не IIрОИ3ВОЛЬНОЙ, а конечно-
3]
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМ.Ы О rАРМ.ОНИЧЕСКИх ФУНКЦИях
497
Связной областью, оrраниченной конечным числом простых замкнутых
кусоЧНо r ла.n:ких кривых,
Формула I'рина ЯВJIЯется простым сле.n:ствием XOpOIllO известной'
Н3 анализа формулы I'рина Ocтporpa.n:cKoro
Pdx + Qdy== ( ; )dXdY. (7)
дЕ в
Действительно,
д<j; д<j; /"-.. д<j; /"-..
-дп == дх cos (пх) + ду cos (пу),
/"-.. /"-..
а ds. cos (nx)==dy, ds.cos(nY)== dx, так что
ер ds == Н ер t dx + ер :! dy) .
дЕ дЕ
Применяя к после.n:нему интеrралу формулу (7), получаем, что
"со tds == " " { ( ер д<j; ) + ( ep д<j; )} dxdy
-' т дп -' j дх дх ду ду ,
дВ В
oTKy.n:a с помощыо несложных преобраЗ0ваний Прихо.n:им к формуле
rрина (6).
3 а м е ч а 11 и е. Бу.n:ем называть функцию ер (z) 1СУСОЧНО непрерывно
дифференцируемой в области В, если она непрерывна в области В,
а ее частные произво.n:ные ep и ер; MorYT иметь разрывы первоrо
po.n:a в.n:оль конечноrо числа КУсочно r ла.n:ких кривых. HeTpY'n:Ho убе
диться, что формула I'рина (6) остается в силе и в пре.n:положении,
что ФУНКЦИЯ ер (z) кусочно непрерывно .n:ифференцируема в замыка
нии области В. Действительно, мы можем в этом случае разбить об
пасть В на части, в каж.n:ой И3 КОТОРЫХ функция ер (z) непрерывно
диффереНllируема, и применить формулу I'рина к каж.n:ой И3 этих
частей, а затем сложить полученные результаты. Сумма криволиней
НЫХ интеrралов по rраницам частей .n:acT интеrрал по всей rранице
области В вви.n:у непрерывности функции ер (z).
3. Некоторые теоремы о rармонических функциях
Сначала BbIBe.n:eM И3 .n:оказанной в пре.n:ы.n:ущем параrрафе формулы
rрина некоторые формулы, ОПIOсящиеся к rармоническим функциям.
Если функция (z) rармонична в замыкании области В, то фор
мула rрина (формула (6) 2) .n:aeT равенство
ер :% ds == DB [ер, ф] == (ep ф; + ер; Ф;) dx dy, (1)
дВ в
"Н1О
ПРИНЦИП ДИРИХJJЕ
Irл.8
справедливое для любой функции ер (z), непрерывно .n:ифференuируемой
в замыкании области Е,
Полаr'ая, в частности, в равенстве (1) ер (z) = 1, мы прихо.n:им к
формуле
ds==O,
дВ
(2)
справе.n:ливой .n:ля любой функuии tJ; (z), rармоничной в ЗЮlЫкании
области. Более Toro, формула (2) справе.n:лива и .n:ля фУНКllИЙ tJ; (z),
rармонических только внутри области Е и непрерывно .n:ифферен-
цируемых в замыкании этой области. Действительно, rраНИllУ области
можно rла.n:ко аппроксимировать изнутри области (см. 3 rл, 1),
Д.1Я каж.n:ой И3 аппроксимирующих кривых формула (2) верна, а
сле.n:овательно, она верна и .n:ля пре.n:ельной кривой, т. е. для l'рaIJИ
llЫ области Е.
Если обе функции ер (z) и tJ; (z) rармоничны в замыкании области Д
то, вычитая из формулы (1) формулу, полученную И3 нее переменой
мест ер (z) и tJ; (z), приходим К формуле
\ ( дtjJ д<f )
J ер дn tJ; дn ds о.
дВ
(3)
J{aK и относительно форму.'Ib! (2), леrко .n:оказывается, что формула (3)
справе.n:лива в пре.n:положении, что функции ер (z) и tJ; (z) l'армоничны
внутри области Е и непрерывно .n:ифференцируемы в замыкании этой
области.
Сле.n:ующая формула, во MlloroM напоминающая инте1'раЛЫlУЮ
формулу J{ОIllИ .n:ля реrулярных функций, .n:оказывается несколько
сложнее.
Пусть функция II (z) rармонична внутри области Е и lIепрерывно
.n:ифференцируема в ее замыкаllИИ, и пусть Zo некоторая точка
области Е. Обозначим .n:ля краткости через r расстояние от точки Zo
.n:o точки z, т. е. r ==!z . z()l. Тor'да имеt:т место формула
\ ( дlпr ди )
\ II дil дп IH r ds == 2'it II (zo).
д13
(4)
Для .n:оказательства заметим прежде все1'О, что функция ln r ==
== R.e ln (z zo) является rармонической фУНЮLИей в замыкании об
ласти Е с выколотой точкой z == zo, Далее возьмем число Р> о
столь малым, чтобы Kpyr I'Z zol р лежал в области Е, и обозна
чим через Ер область, полученную И3 области Е у.n:алением этоrо
Kpyra. Применяя к функциям ер (z) == II (z) И tJ; (z) == lп r в области Вр
31
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМ.Ы О rАРМ.ОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИях
499
формулу (3), ПОлучаем, что
(ll d; r lnr)ds===O.
дВ р
l'раница области Вр состоит И3 rраницы области В и И3 окружности
/z zo: === р, а направление внешней нормали к I'ранице оБJlасти Вр
fI точках этой ОКРужности протИвоположно направлению ее радиуса,
ПОЭТО IУ носле.n:нее равенство можно записать в ви.n:е
(ll d r lnr)ds===, llds lnp ds,
дВ Iz zol р Iz zo; р
Но по формуле (2)
\ ди
, , ds === О
._ дп
Iz Zo/ Р
<1 по теореме о среднем .n:ля rармонических функций (см. 7 rл. 3)
II ds === 21ёр II (zo).
Iz zol р
Отсю.n:а неме.n:ленно получаем формулу (4),
Используем теперь формулу (4) .n:ля .n:оказательства некоторых
теОрбl о лро.n:олжении rармонических функций.
т е о р е м а 1. Пусть об/юсть В разделена на две чаСI7111 В, и
В 2 КУСОЧНО 2ладкой кривой С. Пусть далее в областll Bk llмеется
функция llk (z) (здесь k === 1, 2), 2аРМОНllческая внутРll этой обла
стll 11 непрерывно дllффереНЦllруемая в ее заJflЫКаЮlll. ЕСЛII на
КрllВОЙ С, разделяющей 06ласпт В 1 II В 2 . Il.ttеЮJп место равенства
dUI dU2
llj === ll2, 'дп дп-
( д .n:иффереНllирование по каJ(ому либо направлению нормали к
кривой С, скажем по направлению нормали из области ВI в область
В 2 ), то ФУНКЦllЯ II (z), определенная во всей областll В равенствами
II (z) === { llj (z) (z Е В 1 ),
112 (z) (z Е В 2 ),
аРМОНllчна BHYIllpll облаСJпll В.
Для .n:оказательства заметим, что при С Е В", соrласно формуле (3),
1 \ ( д In r dUk ) d "
21ё J llk д/l дп In r s === ll" (.) (r === /z С!),
дВk
а при: Е Bk' соrласно формуле (2),
- (' ( llk д (п r Uk In r ) ' ds === О.
2п дп дп
дВ k
500
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8"
Сле.n:овательно, при всех \:, лежащих в области В, но не лежащих.
на кривой С, имеет место равенС1"ВО
1 \ ( д1п r ди 1 \ 1 \ ( () 1п r дll 2 \
2-:;;.' а1 дп дп 1п r J ds + z;;,., ll дп 1п r) ds == II ( ).
дВ, дВ.
Но
\ ( а1 д 1n r дu 1 1п r ) ds ' \ ( и д 1n r Оll2 In r ) ds==
J & & J &
дВ, дВ.
== \ ( II О 1п о'!. In r ) ds,
., \ дп дп I
дВ
поскольку направление нормали к кривой С, рассматриваемой как
часть I'раницы области Вl' противоположно направлению нормали к
этой кривой, рассматриваемой как часть rраниuы области В2' так
что интеrралы, взятые по кривой С, встречаются 'n:Ba раза и взаимно
уничтожаются. Интеrрал в правой части после.n:неrо равенства преk
ставляет собой rармоническую функцию параметра , так как функ
ция In Iz I является rармонической функuией параметра \: в обла
СПI В, если точка z лежит на rраниuе этой области. Поскольку
сумма интеrралов в JJевой части равенства равна функuии 21t l/ ( ),
мы прихо.n:им к утверж.n:ению теоремы,
{{ак и в 3 rл. 4, от продолжения по непрерывности леrко
nерехо.n:им к про.n:олжеllИЮ по симметрии.
т е о р е м а 2. Пусть фуюсцzzя III (z) 2ар.!fOнzzчна в области В
II непрерывно дzzффереНЦlтруема в замыкают этой области, ЕСЛll
2рающа области В содержит аналитllчес«ую дУ2У l, на «отороЙ
дll
выполняется равенство а1 (z) == О l/Лl/ равенство дп ! == О, то фун
КЦl/Ю а1 (z) можно продолжzzть через эту дУ2У за пределы обла
сти В (с сохранением rармоничносп) В случае, «О2да II == О
нд дУ2е l, продолжеftие осуществляется с помощью формулы
ll(Z)== l/I(Z*) (z*E В) (5)
(через z* обозначаем точку, симметричную с точкой z относительно
дп
аналитической .n:уrи l; см, 3 rл. 4), а в случае, КО2да д: == о на
дУ2е l, с помощью формулы
l/(Z)==l/I(Z*) (z*E В). (6)
Для .n:оказательства .n:остаточно показать, что функция, определен
ная с помощью формулы (5) или (6), являетсЯ rармонической функ
цией внекоторой оБJJасти, примыкающей к ДУ1'е l со стороны, про
тивоположной той, С которой примыкает к ней область В, и что на
дуrе l выполняются условия теоремы 1. Все это достаточно проверить
для СJIучая, коrда аналитическая .n:yra l является отрезком действи
\131
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О rАРlIЮНИЧЕСКИХ функциях
501
тельноtj оси, а z* == z, ибо произвольныtj случай сво.n:ится к этому
частному случаю с помощью конформноrо отображения, переводящеrо.
дуrу 1 в требуемый отрезок.
Нам понадобятся еще некоторые оценки для rаРмонических функ
циtj С MaJIbIM интеrралом Дирихле,
т е о р е м а 3. Пусть ФУН1щия и (z) 2арЖОНllЧJla внутри обла
сти В, II пусть DB [и] М. ТО2да llжеет Jlcecmo неравенство
'9 ( ) + '2 ) М
11'; Z и у (z п!/
2де В расстояние от тОЧКll z до 2раНlщbt области В.
ДЛЯ доказательства Iюзьмем любую точку z Е в и рассмотрим
функцию II (t) в Kpyre " z/ р, rде р < В, Через f(t) обозначим pe
rулярную в этом Kpyre функцию, для которой фУНКIlИЯ и (t) является
деtjствителыlOЙ частью, По интеrралыlOЙ формуле Коши
f'(z)== \' f'(t) dt
2пl t z
It zl p
и, сле.n:овательно,
2"
1/' (z)1 ;п 11' (z + pe i !}) 1 d&.
11
Умножая обе части после.n:неrо неравенства на р и интеrрируя 01'
нуля .n:o В, нахо.n:им
1f'(z)I 2 If'(t)lpdpd&== 2 II'(t)ld d1j.
I t-z I ::::: 6 I t-z 1::::: 6
Применяя теперь неравенство IUBapua, получаем
1/' (z) 12 ; 1/' (t) 1 2 de d1j,
I t-z 1:::::6
(1}
Но в силу уравнений I{ОIllИ Римана
1/' (z) /2 == 1l 2 (z) + ll} (z),
и нера13енство (1) .n:aeT нам
и 2 (z) + 11) (z) п (11 2 + 11}) de d1j п 2 D B [и].
It zl:::::6
Теорема .n:оказана,
Эта теорема представляет собой о.n:ин И3 вариантов теорем иска
жения,
с л e.n: с т в и е. ЕСЛll последовательность 2аРЖОНllческих внутри
областll В функций lln (z) обладает теж свойствож, что
D B [lln] О (п со).
::502
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8
.ll если эта noследователыюсmь сходится хотя бы в одной точке
.zo областll В, то она раВНО.lfерно сходllтся к некоторой постоян
.ной в любой зажкнутой частll области В.
ДеЙСТlJИтелыlO, И3 теоремы 3 следует, что частные произво.n:ные
фуНlЩИЙ после.n:ователыlOСТИ {/l п (z)} равномерно СХо.n:ятся к нулю
в любой замкнутой части области В, а отсю.n:а HeMejtJleHHO вытекает,
что и после.n:ователыlOСТЬ {ип (z) ип (zo)} (zo фиксированная ПРОИ3-
'вольная точка области В) равномерно схо.n:ится к нулю в любой
.замкнутой части области В.
4. Экстремальная задача, относящаяся
к задаче л.ирихле
Преж.n:е чем перехощпъ к постановке экстремальноЙ задачи, спя-
:занной С отысканием отображающей функции, мы рассмотрим 'n:Be бо-
.лее простые экстремальные за.n:ачи.
Проще Bcero отыскивается экстремальная за.n:ача, отвечаюшая за-
..n:аче Дирихле. Как мы знаем (см, 8 rл. 3 и 5 rл, 6), за.n:ача Ди-
рихле состоит в следующем:
А. Дана непрерывная ФУНКЦ/1Я (z), определенная на zpaHlIqe
области О. Найт/, Юр.ltoНl/ческую В области О функцию и (z),
.непрерывную в зажыкаЮll1 области О /1 приЮUпающую на ZpaHl1Ue
.эmой областll значеНllЯ, равные (z).
Покаже:\1 сеt;час, что функция и (z), rешающая за.n:ачу Цирихле,
во МНОПIХ случаях ЯВЛllется экстремальноЙ функцией сле.n:ующеi1 за-
. .n:ачи на минимум:
А*, Среди фУНКЦllll Ф(z), непрерывных в зажыкаЮll1 области О
l/ llрини.МQЮЩI/Х на zpaHl/qe области О значения, равные (z),
.найти функцию и (z), для которой I/нте2рал Дирихле Do l ф I
luсел бы Нaluсеньшее знQtlеНl1е. (Всю.n:у l! .n:альнейшем бу.n:ем накла-
.ДЫI1aTb на фУНКIlИИ Ф (z) ДОПОЛlIителыiые оrраничения: бу.n:ем считюъ
их кусочно непрерывно .n:ифференцируемыми в области О и имею-
щими конечный интеrрал Дирихле.)
J{ постановке этой экстремадыlOЙ задачи леrко прийти И3 фИ3И-
ческих соображений. Например, можно интерпrетиропать за.n:ачу Ди.
.рИХJlе как за.n:а'lУ ()тыскания равновесия УПРУ1'ОЙ о.n:норо.n:ноЙ мемб.
.paHf,I, закрепленной на краях в фиксированном положении (за.n:авае.
мом функцией ер (z». Tor.n:a 11 положении равновесия .n:олжна быть
Ml-Iнималыlйй потеНIlI!Эльная эперrия упруrих сил, Это условие и при-
'водит нас к искомий постановке экстrемалыюй за.n:ачи,
Не будем сеЙ'lас по.n:робнее объяснять фнзический пыво.n: поста-
новки экстремальпой за.n:ачи; а .n:окажем две теоремы, носящие cTporo
:математическиi1 характер,
т е о р е 1\1 а 1. Если миНll.llaЛЬНQЯ ФУНКЦllЯ и (z) экстремальной
.задаЧll А * дважды непрерывно диффереНЦllруежа в зажыка1illll об.
4] ЭI(СТРЕМАЛЬНАЯ 3А'n:АЧА, ОТНОСЯЩАЯСЯ 1( 3АДЛЧЕ ДИРИХЛЕ 503:
ластll О, то эта ФУНКЦllЯ u (z) является II решеНllе.м задаЧ11 Ди
рuхле А.
Пусть u (z) минимальная фующия за.n:ачи А * (пока произволь
ная), Tor.n:a .n:ля любой функции h (z), непрерывной в замыкании об .
ласти О и равной нулю на ее rранице, функция II + o.h при любом .n:ей
ствителыlOМ значении числа Е прина.n:лежит к множеству тех функциЙ
Ф (z), сре.n:и которых ищется минимум в за.n:аче А *. Поэтому
D [и + o.ll)? D [и],
oTKy.n:a получаем с помощью формулы (4) 2, что
2 Е D [11, 111 + Е\! D [1/1 о,
Это неравенспю .n:олжно ВЫПОJIlIЯТЬСЯ при любом .n:ействительном Е,
Сле.n:ователыю, коэффициент при первой степени Е должен быть pa
вен нулю, т. е,
D Ill, h 1 === о,
(1 ),
Это равенство .n:олжно иметь место .n:ля любой фУНЮlИИ 11 (z), .n:ля которой
интеrрал D [11] конечен (а сама она непрерывна в замыкании области
и равна нулю на ее rранице),
Теперь используем пре.n:положение о том, что минимальная функ
IlИЯ u (z) дваж.n:ы непрерывно .n:ифференцируема в замыкании области О.
Бу.n:ем считать HalllY произвольную фУНКJlIIIО 11 (z) непрерывно .n:иф
ференцируемой в замыкании области О и применим формулу {'рина
(6) 2, Это .n:acT
И11. Ди dx dy === О
Q
(2),
(криволинейный интеrрал исчезает, тан как h (z) === О на rраНИllе об
ласти О).
Равенство (2) с ПРОИ3ВОJlЬНОЙ функцией h (z) (.n:аже непрерывно
.n:ифференцируемой в замьшании области О и равной нулю на ее rpa
НИllе) возможно лишь в случае, Kor.n:a Дц === О всю.n:у в области О,.
т, е, Kor.n:a фУНКIlИЯ 11 (z) rармонична в этой области, Действителыю,
пусть в какой либо точке Zo области О фУНКIlИЯ Дц отлична от нуля
(скажем, положительна). Tor.n:a в силу непрерывности она положи
теЛЫIa и в неко'юрой окрестности точки zo, Выбирая функцию 11 (z).
положительной в этой окрестности и равной нулю вне ее, мы ви.n:им,
что интеrрал в формуле (2) положителен, а это не так Полученное-
противоречие показывает, что И3 равенства (2) вытекает rармонич
ность фУНКIlИИ U (z) В области О.
Таким обраЗ0М, функция u (z) rармонична в области О и ПрИIIИ
мает на rранице этой области значения, равные ер (z) (по условию-
экстремальной за.n:ачи А *), Сле.n:ователыlO, фУНК!lИЯ u (z) является pe
lllением за.n:ачи Дирихле А, и теорема .n:оказана.
И.n:ею замены некоторой краевой за.n:ачи .n:ля rармонических функ
ций за.n:ачей минимизации интеrрала Дирихле Риман назвал пр1LНЦllпо.м:
'504
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[fл, 8
ДllРllхле. При этом существование функции, минимизирующей ин
теrрал Дирихле, считалось очевидным. На необосновашюсть ЭТО1'О
мнения обратил внимание ВейеРlllтрасс, показаВlllИЙ, что минималь
ная функция за.n:ачи А * может и не существовать. Более Toro, он по
казал, что сам класс функций, сре.n:и которых ищется минимаЛЫIaЯ,
может быть пустым, если требовать от функций этоrо класса конеч-
ности интеrралов Дирихле. Таким обраЗ0М, 'n:JIЯ ПРОИ3ВОЛЬНЫХ непре
рывных функций ер (z), за.n:анных на rранице области О, за.n:ачи А и А *
не вполне эквивалентны, Тем не менее оказывается, что эти задаЧll cтa
новятся эквивалентными, если наложить дополнительное тре-
бование, что класс функций Ф (z), непрерывных в замыкаюш
областll О, имеющих конечный инте2рал Дllрихле и равных на 2ра-
1ilще области О функции ер (z), не пуст, (Это требование оrрани-
чивает выбор rраничной функции ер (z).) Мы не будем .n:oKa3bIBaTb
этот факт в полном объеме, оrраНИЧИВlllИСЬ ero .n:оказательством ЛИlllЬ
для случая, Kor.n:a область О е.n:иничный Kpyr,
Т е о р е м а 1*. Пусть существует хотя бы одна ФУНlсция Ф О (z),
непрерывная в КРУ2е Izj 1, ll.lfеющая конечный интпрал ДиРllхле
по это-ltУ lСРУ2У и равная на окружности Izi == 1 заданной Функ-
Ц1Ш ер (е т ). ТО2да среди всех ФУЮСЦllЙ тШСО20 рода существует
функция 11 (z), для которой июппрал Дирихле имеет J11:11ЮUtaЛЬ
ное значение. Эта функция дает решение задаЧll Дирихле в еди-
НllЧНОJ11: КРУ2е с 2раничной ФУНКЦllей ер (e i 1).
Мы знаем (см. 1 U r л. 3), что реlllение и (z) за.n:ачи Дирихле в
Kpyre :Zi < 1 с rраничной функцией ер (e i &) можно пре.n:ставить в ви.n:е
aJ
II (re iIJ ) == a + ! r n (а " cos п& + Ь п sin п&),
" 1
rде
2"
a n == ер (e i &) COS п& d&,
о
п == О, 1, 2,...,
2"
Ь " == ер (e iIJ ) sin п& d&,
u
п== 1, 2, 3,...
,Обозначим
2"
a n (r)== Фо(rе i &) cos n&d&,
u
п == О, 1, 2,...,
2"
Ь п (r) == Ф О (re i &) sin п& d&, п == 1, 2, 3,...
u
Из непрерывности функции Ф О (z) в Kpyre Izj 1 следует, что ал (r)
!i 4] ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ 3АДАЧА. ОТНОСЯЩАЯСЯ К 3АДАЧЕ ДИРИХЛЕ 505
и /У" r) непрерывные функции
Ф О ((;itl) == ер (e i1J ), получаем о тсю.n:а,
a n (1) == аn>
Ь п (1)== Ьn>
Соrласно формуле (2) 2
r на отрезке
что
[О, 1]. Поскольку
п == О, 1, 2,...,
п == 1, 2, 3,...
1 2.п
D [Фоl == {[д Фо(rе i1J )Т+ [ Фо(rеi&>Т}r dr d&,
11 11
а соrласно формуле Парсеваля И3 теории ря.n:ов Фурье
211: OJ
[/(&)]2 d&== 1 + ! (A + B )
11 fl l
(An и В п коэффициенты Фурье функции 1(&». Леrко видеть, что
коэффициенты Фурье функции :r фо (re i {) равны
А п == a (п, Bn == b (т),
1 д "{)
а коэффициенты Фурье функции r (j{t фо (те' ) равны
п
An == b n (т),
r
п
Bn== a n (т).
r
Поэтому
1
D[Фо]==7t{} a't{r)rdr+
о
OJI
+! [а;и+ь и+ ;: (a (r)+b (r))]rdr}, (3)
n lll
и условие конечности интеrрала Дирихле для функции фо (z) равно-
сильно условию схо.n:имости ря.n:а (3).
BBe.n:eM функции
m
ерт (e i {)== + (a n cos п& + ь п sin п&),
fl l
m
llm(re i {) == ;0 + ! , п (a n cos п& + ь п sin п&),
n 1
m
Фm(rе i1J )== aoi r ) + !(a n (т) cos п& + b n (r) sin n&).
n l
Ясно, что функция 11т (z) rармонична во всей плоскости и является
решением задачи Дирихле для Kpyra izl < 1 с rраничной функцией
506
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rп.8
'Рт (e i &). Ясн также, TO функция Ф т (z) непрерывна в Kpyre /zl 1
'и что Ф т (e'1J) == Фт (е'&), Кроме Toro, ясно, что интеrрал Дирихле от
функции Фт (z) по Kpyry !z! < 1 конечен и равен
I
D[ФтJ== a 2(r)rdr+
о
'" I
+ 7t! {a 2 (r) + b 2 (r)+ ;: [ a (т) + b (r) ]} r dr .
n III
Отсю.n:а ви.n:но, что
D [ФтJ D [фо)
(m==I, 2,3,...),
Теперь можем применить теорему 1, соrласно которой
D [ит] D [ФтJ D [Ф О )'
Но
ro
D [и) == 7t п (а;' + ь;,) == Вт D [umJ,
m......оо
n 1
Поэтому
D [и] D [ФоJ,
и теорема 'n:ОЮ13ана.
в качестве сле.n:ующей за.n:ачи рассмотрим экстремальную за.n:ачу
о минимизаLlИИ интеrрала Дирихле Do IФI, Kor.n:a значения функции
Ф (z) за.n:аются не на всей rранице области О, а лишь на некоторой
ее части. Если ВОСПОJlЬЗ0ваться той же интерпретацией, о которой мы
rоворили в связи с за.n:ачей Дирихле, эта экстремаЛЫlая за.n:ача OTBe
чает за.n:аче отыскания положения равновесия о.n:норо.n:ной УПРУ1'ОЙ
мембраны, у KOTOpofl часть rранипы закреплена, а часть оставлена
свобо.n:ной, С помощью этоrо соображения можно найти уравнения,
которым должна У.n:ОВJlетворять экстремаJIЫIaЯ фующия, И3 физиче
ских соображений, Как и с за.n:ачей Дирихле, мы не бу.n:ем останавли
ваться на развитии этих физических соображений, а перей.n:ем к CTpOl'O
математическим иссле.n:ованиям.
Итак, .n:aHa экстремаЛЫIaЯ за.n:ача
В*. Среди фующий Ф (z), непрерывных BHymp/l обласmll О и на
дУ2е л ее 2рающы, прllН/lМаЮlЦllХ на эmой дУ2е л заданные значе
Н1lЯ ер (z) 11 1lмеЮllЩХ конечный инmnрал ДиР/lхле Do [ФI, найти
функцию 11 (z), для коmороЙ эmот llнmnрал Дllр11хле 11Meem МllНll-
мальное ЗНQ'lеНllе,
Т е о р е м а 2. Пусmь обласmь О 02раничена lCонечным ЧllСЛОМ
простых за,UlCнуmых lCУСОЧНО 2ладlCих КрllВЫХ, 11 пусть Л t часmь
2раюlЦЫ обласmи О, отличная от дУ211 Л. Если мuнимальная фУНlc
ЦllЯ 11 (z) ЭlCс mремальной задачu В* дважды непрерывно дифферен
!i 4] ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 507
цuруема В за.ttы1сниии области О, то эта фуюсция и (z) 2аржо
ди
нюща В области 0.. и ее нормальная nроизводная д . В точках
II
дУ2 Л 1 равна нулю,
Иными словами, теорема 2 0значает, что при Соответствующих
условиях на r ла.n:кость rраницы области О и на r ла.n:коС1Ъ минимаJIЬ
ной функции и (z) экстремаЛЫIaЯ за.n:ача В* раВНОСИЛЫIa сле.n:ующей
краевой задаче Для rармонических функций:
В, Дана дую л 2раlilЩЫ области О и фУНКЦllll ер (z), HenpepЫB
ная на этой дУ2е. Haumll функцию и (z), 2аРМОlillчеClСУЮ в обла
Cmll О и удовлетворяющую на ее 2раlilще условиям
и (z) !), == ер (z),
ди I о
д1l ),\
(л\ == дО л),
Перей.n:ем к .n:оказатеJIЬСТВУ теоремы 2. С ПОМОщью тех же pac
суж.n:ений, что и при доказательстве теоремы 1, получаем, что
Do 'и, hJ == О
(4)
Аля любой функции h (z) с конечным интеrралом Дирихле, обращаю
щеt!ся в нуль на .n:yre л rраницы области О. Поскольку выбор функ
циt! h (z) в HallleM случае .n:аже боrаче, чем в случае теоремы 1, мы
сразу же получаем, что !::J. и == О всю.n:у в области О, Таким образом,
функция и (z) rарМонична в области О и равна (по условию экстре
мальной за.n:ачи) функции ер (z) на .n:yre л rраницы области О.
Для иссле.n:ования пове.n:ения функции II (z) на rранице области О
в точках .n:yr Л\ (.n:ополнение к .n:yre л .n:o всей rраницы) применим
к равенству (4) формулу rрина (6) 2. Принимая во внимание, что
Д и == О в области О и что h == О на .n:yre Л, получаем равенство
h ds == О.
1.1
Поскольку Значения функции h (z) на .n:yrax Л 1 ПРОИЗВОЛЫIbI, это pa
, ди
венство ВОЗМОжно лишь в случае, Kor.n:a -дп == о 110 всех точках .n:yr
л\, Теорема .n:оказана,
Ясно, что все рассуж.n:ения о существовании или не существова
нии минимиЗирующей функции и (z), иЗложенные после теоремы 1,
остаются в силе и .D:JIЯ экстремальной за.n:ачи В*. Прав.n:а, сле.n:ует OT
метить O'n:HO новое обстоятельство, За.n:ача А * при всех условиях по-
ставлена хуже, чем за.n:ача А, так как в за.n:аче А требуется от pellle
ния ЛИlllЬ непрерывность вблизи rраницы, а в задаче А* еще и су-
ществование интеrрала Дирихле от ЭТОrо решения. За.n:ача В* уже
имеет и некоторые преимущества по сравнению с за.n:ачей В (хотя
508
nРИНЦИn ДИРИХЛЕ
[rл.8
имеет и не.n:остатки), Эти преИМуШ.ества состоят в том, что в за.n:а
че В* от решения вблизи rраничнЫх .n:yr 1.1 требуется лишь существо
вание интеrрала Дирихле, а в за.n:аче В требуется непрерывная диф
ференuируемость реlllения вблизи этих .n:yr, (Не.n:остатки относятся к
пове.n:ению реlllения вблизи .n:уrи Л, и они те же, что и у за.n:ачи А*.)
Для за.n:ачи В* справе.n:лив результат, аналоrичный теореме 1 *.
Т е о р е м а 2*. Пусть существует хотя бы одна ФУН1Сция Ф О (z),
непрерывная в 1СрУ2е I z 1<1, дополненном дУ20й л 01СРУЖНО
сти I z I == 1, имеющая IСОНе.чный инте2рал Дирихле и равная на
дУ2е л заданной ФУН1СЦllll ер (е'!}), ТО2да среди всех фующий та1СО20
рода существует ФУЮСЦllЯ 11 (z), для 1Соторой инте2рал Дирихле
имеет минимальное значение. Эта ФУН1Сция 2армонична в IcpY2e
I z 1<1, дополненном дУ20Й 1.1 (СОСТОЯШ.еt! из точек е.n:иничной OK
ружности, отличных от точек .n:уrи л), и в тОЧICGХ эпlOй дУ2и 1.1
11яеет место равенство
д i!}
дr и (re )Ir 1 == О,
ДЛЯ .n:оказательства возьмем конформное отображение z == z ( )
полукруrа s:
s:{ \CI< 1, R.e >O},
на Kpyr I z 1<1, перево.n:ящее полуокружность в .n:yry Л, а .n:иа-
метр в .n:yry 1.1 (это отображение леrкО построить элементарными
сре.n:ствами). Обозначим
(ei<jJ) == ер (z (ei<jJ»,
ФоЮ==Фо (z ( »
и про.n:олжим эти фУНКllИИ симметричным образом на полукруr .5',
симметричный с полукруrом S относительно .n:ействителыlOЙ оси.
......Т .....
Ясно, что про.n:олженные функuии ер (е'о/) и фо ( ) бу.n:ут непрерывны
соответственно на окружности I 1== 1 и в Kpyre I I 1. Ясно так-
же, что
Ds+s 1<1>0] == 2Ds [Фоl == 2D [фо]
(после.n:нее равенство справеюlИВО в силу инвариантности интеrрала
Дирихле при конформных отображениях; см, 2), Применяя Teo
рему 1 *, мы ви.n:им, что 'n:JIЯ реlllения u (1:) за.n:ачи Дирихле I! Kpyre
I I < 1 с rраничной функuиеt! (ei<Ji) справе.n:ливо неравенство
Ds+s [и] Ds+s [(1\],
Далее И3 симметричности rраничной функuии (ei<Ji) вытекает, что
функция С! Ю также симметрична. т. е, с; Ю == u (Q, в этом проще
BcerO убедиться, пре.n:ставив функuию и (1:) чеРt::3 rраничную функ
цию (ei<Ji) интеrралом Пуассона.
5]
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМ.АЛЬНОй ЗАДАЧИ
509
Из симметричности Функиии II ( ) неме.n:ленно следует, что
Ds [и] Ds [(1\]
11 что произво.n:ная функции и ( ) в точках диаметра полукруrа S
по направлению нормали к этому .n:иаметру равна нулю,
Сле.n:овательно, функция ii ( ) rармонична в полукруrе S, непре
рывна в ero замыкании (а на .n:иаметре .n:аже rармонична) и на по
луокружн()сти равна функции (ei<l'), а на .n:иаметре имеет нормаль
ную произво.n:ную, равную нулю. Кроме Toro,
Ds[u] Ds[Ф],
Обозначая теперь ll(Z)==ll(ЦZ», r.n:e ==ЦZ) отображение
з{руrа I z I < 1 на 1I0лукруr S, обратное к отображению z == z (С),
.получаем функцию, существование которой уrверждаJЮСЬ в теореме.
Заметим, что теорему 2* (а сле.n:овательно, и ее частный слу
ай теорему 1 *) с помощью конформноrо отображения можно pac
.пространить на любые о.n:носвязные области с КУСоЧно r ла.n:кой
ifраницей (прав.n:а, rармоничность экстремальной функции II (z) на .n:y
{'ах Л j доказать уже не у.n:астся). Однако распространение этой Teo
ремы на МIIO!'осuязные области является уже более TPY'n:HOt! за.n:ачеt!.
5. Постановка экстремальной задачи,
отвечающей за.n:аче отыскания отображающей ФУНКЦИИ
Опираясь на исследование экстремальной задачи В*, прове.n:ен
!юе в пре.n:ыдущем параrрафе, мы можем сразу же пре.n:ложить о.n:ин
-способ построения отображающей функции (о которой мы rOBo
рили в 1) с птющью реlllения экстремальных задач. Действительно,
Б 1 :\IЫ видели, что для построения отображающей функции .n:oc
аТОЧIIО построить потенциал скоростей течения жи.n:кости, образован
НOl'О u области О (рассматриваемой как cocy.n: с твер.n:ыми rла.n:кими
-i:теш{ами) .n:иполем в точке а Е о. Поскольку стенки TBep'n:bIe и rла.n:
кие, во всех точках rраницы области О искомый потенииал II (z)
ди
ДО.'Iжен удовлетворять условию дп == О. к этим условиям сле.n:ует
добавить условие, что в точке а Е о имеется за.n:анныt! 'n:иполь. Это
'Можно с.n:еЛа1Ъ следующим образом: у.n:алим И3 области О Kpyr
ос центром в точке а и с .n:остаточно малым ра.n:иусом р; на окруж
11ОСТИ этоrо Kpyra за.n:а.n:им значения функции ll, равные значениям
на этой же окружности потенциала скоростей течения жи.n:кости,
,образованноrо тем же .n:иполеi\1 во всей плоскости. Реlllение такой
за.n:ачи молою свести, как мы ви.n:ели в 4, к реlllению экстремаль-
ной за.n:ачи В*. ДЛЯ ПОЛУ'lения нужноrо нам реlllения при.n:ется еще
.совеРlllИТЬ предельный нереход при р.... О. Этот нре.n:ельный переход
510
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл. s
cOBepllleHHo нежелателен, и 1I0ЭТОМУ мы пре.n:почтем несколько услож
нить экстремальную за.n:ачу (но зато упростить ее реlllение),
И.n:ея 1I0строения нашей экстремалыlOЙ за.n:ачи состоит в том,
чтобы при фиксированном значении р по.n:обрать поправку к значе
ниям, за.n:аваемым на окружности I z а I == р. Для Toro чтобы по
-rенциал, построенный по исправленным значениям, Qыл именно тем,
который нам нужен, эта поправка .n:олжна у.n:овлетворять некоторому
уравнению, Это уравнение вместе с уравнением .n:ля caMoro потенциала
образует некоторую систему уравнений, 11 эту систему мы заменим
экстремальной задачей, Приве.n:ем сейчас краткий BbIBO'n: этой систе IЫ
уравнений, хотя без нее можно было бы обойтись,
Потенциал скоростей течения жи.n:кости во всей плоскости, об
разопанноrо .n:иполем в ТОЧI<е z === а, имеет ви.n:
А
110 (z) == Re + с.
z а
Для опре.n:еленности будем считать, что А== 1, а с==о.
Пусть II (z) искомый потеlщиаJI СI<оростей течения жи.n:кости
в области а, обраЗ0ванноrо тем же .n:иполем в точке z == а. Tor.n:a
II (z) === Re + 112 (z),
z a
rJte 112 (z) функция, rармоническая в области G (в том числе и
в точке z == а).
Обозначим через К Kpyr I z а ! р, через 1t ero окружность,
а через а область, получающуюся у.n:алением из области G Kpyra К
(число р бу.n:ем считать столь IaЛЫМ, чтобы Kpyr К лежал в области О).
Пусть теперь фУllКЦИИ 111 (z) И 112 (z) оБJIaдают сле.n:ующими свой
ствами:
ФУН1СЦl1Я 111 (z) zар.ltDНl1ЧНД в областll а 11 на части ее 2pa
Н1щы, отЛllЧНОЙ от окружностll х, удовлетворяет УСЛОВllЮ
д == О
дп .
ФУНКЦllЯ 112 (z) 2Gр.мОНllчна в КРУ2е К. На окружностll х функ
1 1l11 111 (z) 11 112 (z) связаны УСЛОВl1Я.Юl
llt(Z)==1l2(z)+Re z a ' 111(Z) == :r {112 (z) +Re z 1 а} (1)
( :r .n:ифференцирование по направлению ра.n:иуса Kpyra К).
Перечисленных условий .n:остаточно .n:ля то['о, чтобы функция
{ 111(Z)
II (z) === ( ) + R 1
112 Z е
z a
(z Е а),
(z Е к)
51
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМ.АЛЬНОй ЗАДАЧИ
511
совпа.n:ала с интересующим нас потеНllиалом с точностью до ПрОИ3
ВОЛЫlOrо Постоянноrо слаrаемоrо. Действительно, по теореме 1 3
И3 условий (1) пытекает, что ФУНКllИЯ II (z) rармонична в области Q
с выколотой точкой z === а. Поэтому разность между искомым потен
циалом и ФУНКllией II (z) бу.n:ет rармонична в области А, а во всех точ
ках rраницы этой области она буде"r иметь нормальную произво.n:ную,
равную нулю. Такая функция обязана быть постоянной (это немедленно
вытекает И3 формулы (1) 3, если положить в ней rp(z)=== (z»,
И3 опыта исследопания экстремальных задач, полученноrо нами
ди
в 4, мы знаем, что условия типа дп === о наиболее удо()ны .n:ля за
мены дифференциалыюrо уравнения экстремальной за.n:ачсй. Можно
ди ди
ожи.n:ать, что условие д . === д тоже окажется удобным. Поэтому
Il Il
функцию 112(Z) В выве.n:енной нами системе уравнений лучше несколько
б (1) диl ди"
изменить, что ы второе И3 уравнений приняло вид ar === -д':-'
Для этой цели достаточно взять вместо функции 112(Z) фУНКllИЮ
. ( ) z a
ll" ( z) === 112 Z Re -..,. .
p
Все преды.n:ущие рассуждения носили чисто предпарительный xa
рактер. Они БыJlи нужны ЛИlllЬ для Toro, чтобы объяснить, почему
мы будем рассматривать следующую экстремальную за.n:ачу.
Обозначения нримем те же, что и выше:
Через К обозначим KPYI' I z а I р, rде а Е а, а число р > о
выбрано столь малым, чтобы Kpyr К llеликом лежаJl в области О.
Окружность Kpyra К обозначим через '1(, а область, получающуюся
И3 области а удалением Kpyra К, через 0',
Кроме ТOl'О, обозначим через S (z) функцию, опре.n:еленную равен-
ствами
{ R ( 1 + z а )
S(z) === о е z a 7
(z Е К),
(.? Е а'),
которые удобнее записать в виде
S(a + rei )==={ ( 6 + ;. )
cos {}
(r р),
(r > р),
Функция S (z) име€т на окружности '1( разрыв, но ее нормаЛЫIая про-
изводная на окружности '1( остается непрерывной она равна нулю,
Экстремальная задача S.
Допустимыми фун.'ЩllЯМll экстремальн.ой задачи S будем на-
зывать фУНКllИИ
ф (z) === { Фl (z)
Ф2 (z)
УДОВJlетнорюощие УСJЮНИЯМ;
(.? Е 0'),
(z Е К),
512
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл,8
1. Функuия Ф (z) непрерывна и кусочно непрерывно диффереНIlИ
руема во всей области а, за исключением окружности х, на которой
эта функuия имеет разрыв первоrо рода.
2. Функuия Ф (z) + s (z) непрерывна в точках окружности Х"
3. Интеrралы Дирихле DQ' [Фl} И Dк[Ф } конечны,
Экстремальная задача S состоит в отыскании допустимой функ-
LlИИ, .n:ля которой величина
D [Ф} == DQ' [ФIJ + D K [Ф2J
(2)
минимальна.
Заметим, что интеrрал Дирихле от .n:опустимой фУНКLlИИ Ф (z) по
всей области а не имеет смысла, так как любая допустимая фУНКLlИЯ
терпит разрыв на окружности х', но .n:ля сокращения записи бу.n:ем
называть Ilнте2рало.м ДиРllхле по области а от допустll.мой Функ-
Цllll величину D [Фj, опре.n:еленную равенством (2),
Экстремальная задача S и является той задачей, которая нас инте
ресует с точки зрения построения отображающей фУНКLlИИ, как мы
nокажем HeMHoro ниже, Пока сделаем несколько предварительных
замечаний.
л е м м а 1. Класс допустимых функций экстре.мальной задачи S
8се2да не пуст.
Действительно, возьмем число р' > ртаким обраЗ0М, чтобы Kpyr
I z а I р' лежал в области а. Тоrда фУНКLlИЯ
(rq'),
(р <r < р'),
(r ::? р'),
I о
. 2 ' r
Ф (a+re''f)== 6 :' p
как леrко проверить, является .n:опустимой фУНКLlией экстремальной
задачи S.
Доказанная лемма позволяет (по аналоrии с рассмотренными
в преды.n:ущем nараrрафе экстремальными за.n:ачами) на.n:еяться, что
МИlШМИЗИРУЮlllая ФУНКLlИЯ экстремальной за.n:ачи S Bcer.n:a существует.
Следующие 'n:Ba nараrрафа посвятим .n:оказательству этоrо факта,
а сейчас займемся выяснением свойств минимизирующей функции
в пре.n:nоложении, что она существует.
Минимизирующую функuию будем
{ 11l(Z)
и (z) ( )
и2 z
обозначать в .n:аЛЫlейшем
(z Е 0'),
(z Е К),
и наряду с ней будем рассматривать ФУНКIlИЮ
11 (z) == и (z) + s (z).
(3) ,
5]
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМ.АЛЬНОН 3Л'n:АЧИ
513
При исследовании свойств минимизирующей функпии удобнее Bcero
опираться на слеДУЮlllУЮ лемму:
Л е м м а 2, Пусть ФУЮСЦUЯ H(z) непрерывна U кусочно Heпpe
рывно дuфференцuруема в областu а, а ее uнте2рал Дuрuхле по
области а конечен. ТО2да IIMeem место равенство
D [ U, Н] == О.
ДЛЯ .n:оказательства заметим, что функпия U (z) + еН (z) является
допустимой функпией экстремальной за.n:ачи S. Поэтому при любом
.n:ействительном е сnраве.n:ливо неравенство
D[U+ еН]::? D[U],
которое можно записать в ви.n:е
2eD [и, Н] + e 2 D [Н]::? О.
Отсю.n:а леrко получаем утзерждение леммы.
В качестве первоrо применения леммы 2 .n:окажем сле.n:ующий
резулы'ат:
т е о р е м а 1. Еслu MllliU.A-lllЗllрующая ФУНКЦIIЯ экстремальной
задаЧll S существует, то она единственна с точностью до пpo
llЗВОЛЬНО20 постОЯННО20 сла2аеМО20.
Действительно, пусть и ! (z) и и 2 (z) 'n:Be минимизирующие функ
пии экстремальной задачи S. Тоrда функпия
н (z) == и 1 (z) и 2 (z)
непрерывна в области а, кусочно непрерывно дифференцируема и
имеет конечный интеrрал Дирихле. Поэтому, применив лемму 2 с
U (z) == и ! (z) и U (z) == и 2 (z) (и С е == 1), получим равенства
D [и 1 , и 1 U 2] == о, D [и 2 , и 1 и 2 ] == О.
Вычитая И3 первоrо равенства второе, нахо.n:им, что
D [И ! и 2 ] == О,
откуда следует, что U 1 (z) U 2 (z) = сопst. Теорема .n:оказана.
т е о р е м а 2. ФУНКЦUЯ U (z) построенная по МllНUМllзuрующей
ФУНКЦllll и (z) равенством II (z) == U (z) + S (z), не заВllсuт от ЧllС
ла р (радиуса КРУ2а К), участвующею 8 определеЮlll экстремаль-
ной задаЧll S,
Пусть Рl И Р2 два произвольных положительных числа, облада
ющих тем свойством, что круrи I z а I Рl И I z а I Р2 J1ежат
в области а. Без оrраничения общности можем считать, что Рl < Р2'
Экстремальную задачу S, отвечающую числу р, будем обозначать Sp'
а соответствующую функцию Sp(z).
17 А, rуРВНЦ, Р, К)'рант
514
ПРИНЦИn ДИРИХЛЕ
(rл.8
J]erKo ви.n:еть, что если функция Ф (z) является .n:опустимой функ
пией экстремальной за.n:ачи Sp , то функция
I
Ф (z)::::::: Ф (z) + SPI (z) SP2 (z)
является .n:опустимой ФУНКllией экстремальной за.n:ачи SP2 J]erKo ви.n:еть
также, что имеет место равенство
D [Ф] === D [Ф] + 2D [Ф, SPI Sp) + D [Spl Sp)- (4)
Мы покажем, что .n:ля любой допустимой функпии Ф (z) экстре
мальноЙ задачи SPI имеет место равенство
D [Ф, SPl Sp.1 === О.. (5)
С этой целью заметим, что
SPI (z) SP2 (z) === О ( I z а I > Р2)'
SPI (z) SP2 (z) === SP2 (z) (Р! < 1 z а I < [J2),
так что, обозначая через К ! Kpyr I z а I < pJ, а через R колыю
Р! < I z а I < Р2, можем написать
D [Ф, SP 1 Sp) === DКI[Ф' SPl Sp) D R [Ф, SpJ
Применим теперь формулу [рина (формула (1) 3), принимая во
внимание, что ФУНКltии SPI (z) и SP2 (z) rармоничны во всей плоскости,
кроме окружностей I z а I === Р! И I z а I === Р2 соответственно, Учи
тывая еще, что по построению
д д S P (а + rei'f) \ === О,
r r p
получаем равенства
, с д
DK, [Ф, Sp, Sp, ] === Ф (z) дr SP2 (z) ds,
I z а t Р.
DR IФ, Sp,] === Ф (z) : Sp, (z) ds.
I z - а I р,
Складывая эти равенства, приходим к равенству (5).
Равенство (4) с учетом равенства (5) приобретает вид
D [Ф] === D [Ф] + I) [Sp, SP2 ].
Это означает, что интеrралы Дирихле D [Ф] и D [Ф] отличаются ЛИlllЬ
постоянным слаrаемым, если функции Ф (z) и Ф (z) связаны paBeHCT
вом
Ф (z) === Ф (z) + Sp. (z) SP2 (z).
Отсюда сле.n:ует, в частности, что минимизирующие фУНКLlИИ U(z)
и й (z) экстремальных задач SPl и Sp. СООтветственно связаны меж.n:у
51
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ 3АДАЧИ
515
собой соотнощением
или
й (z) == U (z) + Sp. (z) SP2 (z)
jj (z) + SP2 (z) == U (z) + Sp, (z).
После.n:нее раненство совпадает с утверждением теоремы.
Перейдем теперь к иссле.n:ованию свойств минимизирующей функ
ции экстремальной задачи S (в предположении, что эта МИllИмизирую
щая функuия существует).
Свойство 1. ФУНКЦllЯ ll(Z)== U(z) +S(z) 2ар_ltoftllчна в об
ластll О с выколотой точкой z == а, а в окрестности этой
тОЧКll представима в виде II (z) == S (z) + 112 (z), 2де ФУНКЦllЯ 112 (z)
2ар.мОНllЧна.
Ввиду Toro что ФУНКLlИЯ S (z) rармонична во всей плоскости,
за исключением точек окружности I z а I == р, а ФУНКLlИЯ II (z), co
rласно теореме 2, не зависит от выбора числа р, достаточно доказать
rармоничность функций а1 (z) И а2 (z) В области о' и Kpyre К соот-
ветственно. Оба факта .n:оказываются cOBepllleHHo аналоrично, так что
мы оrраничимся .n:оказательством rармоничности ФУIIКLlИИ III (z) в об
ласти 0'.
Возьмем произвольный Kpyr К, лежащий в области 0', и обозна,.
чим через 00 .n:ополнение к этому Kpyry .n:o области а. Tor.n:a мы мо-
жем написать
D [И] == DQo [И] + DKo [и11,
Обозначим через llо (z) решение за.n:ачи Дирихле в Kpyre КО .n:ля rpa-
ничной фУНКLlИИ, совпа.n:аюшей с функuией III (z) на окружности
Kpyra Ко. Положим
- { llО (z)
U (z) ==
U(z)
(zE Ко),
(zEOo).
Tor.n:a й (z) .n:опустимая фУНКLlИЯ и
D [й] == Dao [И] + DKo [110]'
Но мы знаем (см. 4), что
DKo [llоl DKo [lll]'
Следовательно,
D[V] D [И].
По теореме ] это возможно ЛИШЬ В случае, если й (z) = U (z), т. е.
если фУНКLlИЯ 111 (z) rармонична в Kpyre Ко. Поскольку Kpyr КО вы-
бирался подчиненным только одному условию он .n:олжен был
лежать в области 0', фУНКLlИЯ аl (z) должна быть rармонична в об-
ласти 0'. Свойство доказано.
17-
516
nРИНЦИП ДИРИХЛЕ
rrл.8
Сле.n:уюшие 'n:Ba свойства минимизирующих функций .n:окажем в He
которых пре.n:положениях относитеl!ЬНО rраницы области О,
С в о й с т в о 2, Пусть область О 02раничена конечны.М числом
простых замкнутых КУСОЧНО 2ладких кривых. TOi?aa функция и (z)
непрерывна в Замыкании области О, l1З котОрО20 удалена сколь
У20дно малая окрестность тОЧКl1 z === а.
Для доказательства возьмем nроизвольную точку z === Ь на rpa
НИllе области О и выберем число (, > о СТОль малым, чтобы пересе
чение Kpyra I z Ь I < 8 с областью О было о.n:ной областью Ко, ле
жащей в области а. Дополнение к области КО .n:o всей области О
опять обозначим через О и опять наПИlllем равенство
D [И] === D Qo [И] + DKo [ll1]'
Кш< и при .n:оказательстве свойства 1, заменим функпию 111 (z) В об
ласти КО некоторой функцией llо (z), совпадающей с функпией 111 (z)
на той части I'ранипы области Ко, которая состоит И3 внутренних
точек области О. При этом И3 всех таких функций выберем в каче
стве 110 (z) ту, .n:ля которой интеl'рал Дирихле по области КО мини
мален. Соrласно результатам 4 такая фУНКlшя существует, и ее
можно построить сле.n:уюшим обраЗ0М.
Обозначим через : === ер (z) конформное отображение области Ко
на Kpyr I \.1 < 1, а через z === ( ) обратное отображение, Через л
обозначим дуrу окружности I \.1 === 1, в которую перехо.n:ит при ОТ04
бражении \. === ер (z) та часть rраницы области Ко. которая состоит
И3 внутренних точек области О, а через Л 1 остальную часть е.n:и
ничной окружности. Построим функцию Vo (\.), rармоническую
в Kpyre I \.1 < [ и у.n:овлетворяющую условиям
V o (:) === 111 ( (\.»
(\.Ел);
g* === о (\.ЕЛ 1 )
(существование такой функции и ее непрерывность на .n:yre Л 1 мы
доказали IJ теореме 2* 4). Остается положить
110 (z) ===vo (ер (z»,
ДеЙствительно, функпия llо (z), определенная этим равенством, будет
непрерывна на части rраницы области КО' отвечающей .n:y,'e Л 1 , так
как ФУНКllИЯ V o ( ) непрерывна на Ayre Л 1 , а функция \. === ер (z) в за
мыкании области Ко по теореме о соответствии rраниц. Кроме Toro,
интеrрал Дирихле D Ivo] (взятый по Kpyry I \.1 < ]) бу.n:ет минималь
ным сре.n:и интеrралов Дирихле от функпий, кусочно непрерывно
.n:ифференцируемых в Kpyre I \.1 < 1 и принимающих на .n:yre л за.n:ан
lIые значения (но теореме 2* 4). В силу инвариантности интеrрала
Дирихле нри конформном отображении мы видим. что функция llо (z)
обладает требуемым минимальным свойством. Следовательно.
DKo [llо] D K . [иl].
5]
ПОСТАНОВКА ЭКСТРЕМАЛЬНОН ЗАДАЧИ
517
и, рассуждая тем же способом, что и при .n:оказательстве свойства 1,
получаем и. (z) === 110 (z) В области КО'
Поскольку функция 110 (z) непрерывна на .n:yre rраницы области Ко.
состоящей И3 точек rраницы области О (образ .n:уrи л при отображе
нии z === (С», функция и. (z), а значит и функция 11 (z), тоже .n:олжна
быть непрерывна на этой .n:yre, Ввиду произвольности выбора точки
z === Ь на rранице области О Hallle СВОЙСтво полностью .n:оказано.
с в о й с т в О 3. Пусть точка z === Ь лежит на аналитической
дУ2е, входящей в 2раН1ЩУ области О. ТО2да функция 11 (z) 2apMO
Нl1чна в этой точке, а ее nРО11зводная ПО нормали к 2раН11ЧНОй
дУ2е равна нулю.
Для .n:оказательства проведем то же построение, что и при .n:oKa
зательстве СlJойства 2, но воспользуемся тем, что по той же Teo
реме 2* 4 функция 7J o (С) не только непрерывна, но и rармонична
на nyre л.. Кроме Toro, функцию С === 'f (z), конформно отображаю
щую область Ко на Kpyr I С I < 1, можно аналитически продолжить
через аналитическую .n:yry Т, вхо.n:яшую в rраницу области Ко по прин
ципу симметрии Римана Шварuа (см. 5 rЛ.4 и 5 rл. 6), Отсю.n:а
вытекает rаРМОНИЧIЮСТЬ функuии 11 (z) В каж.n:ой точке этой аналити
ческой .n:уrи, в частности в точке Ь, Аналоrичным обраЗ0М И3 yc
dv ди
ловия дп О === О (СЕл.) получаем, что дп === О в каж.n:ой точке Ha
шей аналитической дуrи.
В заключение параrрафа покажем, что при некоторых довольно
сильных пре.n:положениях (пока) с помощью минимизирующей функuии
экстремальной за.n:ачи S можно получить искомое конформное OTO
бражение (о котором мы rоворили еще в 1).
Т е о р е м а 3. Пусть область О 02раНl1чена конечным число.м
простых кусочно аналитических кривых, и пусть миlil1миЗllРУЮ-
щаЯ функция и (z) экстремальной задачи S для этой области
существует. ТО2да ФУНКЦ11Я С:::=: F (z), для которой ФУНКlJ,ия
11 (z):::=: и (z) + s (z) является действительной частью, однозначна
в област11 О и конформно отображает ее на плоскость С с раз
резами ПО конечному числу 20ризонтальных отрезков.
Для ясности докажем сначаJIа утверж.n:ение теоремы .n:ля СJIучая, Kor.n:a
кривые, оrраl1ичивающие оБJIасть О, ЯВJIЯЮТСR анаJIитическими, а затем
оправдаем наlllИ .n:ействия и в случае, Kor.n:a имеются yrJIOBbIe точки.
Для произво.n:ной Р' (z) функции F (z), имеющей функцию 11 (z)
своей .n:ействительной частью, можно написать формулу
Р' (z) :::=: 11 (z) iu (z),
И3 которой ви.n:но, что эта производная ОЩIOзначна в области О.
Кроме Toro, И3 равенства
1
II (z):::=: S (z) + 112 (z)::::: Re z а + 113 (z)
518
ПРИНЦИП 'n:ИРИХЛЕ
[rл.8'
ви.n:но, что ФУНКllИЯ F (z) однозначна в окрестности точки z === а и
имеет в этой точке простой полюс с вычетом, paBHbIlV! еДИНИllе, По
этому значения ФУНКllИИ F (z) в о.n:ной и той же точке области а MO
rYT отличаться ЛИlllЬ постоянными слаrаемыми вида
) F' (z) dz,
с
r.n:e С замкнутая кривая, лежащая в области а.
Соrласно свойству 3 и HallleMY пре.n:положению об аналитичности
кривых, оrраничивающих область а, ФУНКllИЯ F' (z) реrулярна в за
мыкании области а (с выколотой точкой z === а). Интеrрал от F' (z)
по любой замкнутой кривой, лежащей Б области а, можно npe'n:CTa
вить в виде суммы интеrралов по простым замкнутым кривым, каж
.n:ая И3 которых содержит внутри себя только одну компоненту rpa
ниllы области а (или точку z === а, но вви.n:у однозначности функ
ции F (z) в окрестности точки z === а интеrрал по таким кривым
равен нулю), В силу реrУl!ЯрНОСТИ функции р' (z) в замыкании обl!а
сти а (с ВЫКОl!ОТОЙ точкой), мы можем rоВОрИ1Ъ об интеrраl!ах
от р' (z) по компонентам rраницы обl!асти а. Дl!Я .n:оказательства
о.n:нозначности функции F (z) в области а остается доказать, что ин
теrрал от функции F' (z) по каждой компоненте rраницы равен нуш().
Пусть C k любая компонента rраНИllЫ обl!асти а. Cor дасно фор
муде, выражающей произво.n:ную F' (z) через фУНКllИЮ 11 (2'), можем
написать
\ F' (z) dz === \ ( U i д ) ds === \ i}y, ds /\ i}u ds
., ., ds дп J дs J дп
( а д .n:иффереНllирование по напраВl!ению касательной, а d il по Ha
s n
праВl!ению нормали к контуру интеrрирования, ds .n:ифференuиал
.n:лины .n:уrи). Первый интеrраl! в правой части написаlllюrо равенства
равен НУЛl вви.n:у однозначности функции II (z), а второй вви.n:у
ди
условия дп === О (zЕдО) (свойство 3), Следовательно, интеrрал от функ
llии F' (z) по каждой компоненте rраницы обl!асти а равен НУl!Ю.
Отсюда и И3 сказанноrО BbIllle мы БИ'n:ИМ, что интеrраl! от функ
ции F' (z) по любой замкнутой кривой, l!ежащей 13 области а (и не
проходящей через точку z === а), равен нулю и фУНКllИЯ F (z) OДHO
значна n области а,
Итак, мы .n:оказали, что фУft1СЦllЯ F (z), для которой ФУНКЦllЯ II (z)
является дейстВllтельной частью, рпулярна в за.МЫ1СаНШl обла
Cmll а, за llС1СлючеНZ1е},l тОЧКll z === а, 2де она 11.lleem простой пo
люс с вычетом, равны},! едlllilzце.
Перей.n:ем к исследованию конформнш-о о'rображения, COBepтae
1'.101'0 ФУНКllией 1: === F (z).
51
пост АНОВКА ЭКСТРЕМАЛI>НОН 3АДА чи
519
Бу.n:ем обозначать
1: == II + iv,
F (z) == II (z) + iv (z),
, .
Соrласно уравнениям КОlllИ Римана на каждой компоненте rраниuы
()бласти а можем написать равенство
дv ди
д8 дп
( :8 .n:ифференцирование по направлению касательной к rраничной
д
кривой, а дп дифференuирование по направлению нормали к ней).
Равенство == о (вытекающее И3 равенства == о) 0значает, что
функuия v (z) сохраняет постоянное значение на каждой компоненте
I'раниuы области О. Следовательно, обраЗ0М компоненты C k rраниuы
()бласти а является отреЗ0К, лежаlllИЙ на некоторой прямой lm С == C k .
Рассмотрим интеrрал
1 Р' (z) 1
/k== 2 . Р() dZ 2 ' d ln (F(Z) c)
п! Z . с 7tl '
С Ь Ck
rде с произвольное комплексное число, не l!ежащее на образе Ck
компоненты Ck- Интеrрал / k равен, как леrко Би.n:еть, изменениlO
функu ии 2 i Jn (С с), Kor.n:a точка С обхо.n:ит образ ,С" компоненты
C k - Поскольку этот образ является прямолинейным отрезком, а точка
с не лежит на этом отрезке, это изменение равно нулю и интеrрал
/k равен нулю. Сле.n:овательно, если точка с не лежит ни на O'n:HOM
И3 отрезков, являющихся образами компонент rраНИlIЫ области а, то
имеет место равенство
, 1 Р' (z) ! 1 Р' (z)
/ == 2 . . р ( ) dz == "'" р ( ) dz == О,
1tt Z с L1tl Z с
дО " ё"
С .n:руrой стороны, интеrрал / равен, как мы знаем (см. 3 rл. 3),
разности между числом нулей Функuии F (z) с в области G и чис
лом ее полюсов в этой области. Поскольку функuия F (z) имеет Б обла
СП! G ровно о.n:ин простой полюс, равенство нулю интеrрала 1 03
начает, что функция F (z) принимает в области G ровно один раз
каж.n:ое значение С, не лежащее на некоторых отрезках, парёJЛлель
ных действительной оси. Это и 0значает, что функция С == F(z) KOH
формно отображает область G на всю плоскость С, И3 которой BЫ
брошены упомянутые отрезки.
Таким обраЗ0М, теорема .n:оказана нами в предположении, что об
пасть G оrраничена аналитическими кривыми, Пока же м теперь, как И3
менить доказательство на случай, коrда эти кривые бу.n:ут ЛИlllЬ KY
со чно аналитически ми.
520
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл,8
Разниuа между этими .n:вумя случаями состоит в том, что функ
uия F' (z) уже не бу.n:ет реrулярна в тех точках rраниuы области а,
rде сое.n:иняются две различные аналитические Кривые. В этих точках
ФУНКLlИЯ F' (z) бу.n:ет, вообще rоворя, обращаться в бесконечность, и
интеrрировать по самой компоненте rраниuы уже нельзя. Нам при
дется окружить каж.n:ую точку соединения различных аналитических
кривых .n:остаточно малой окружностью с иентром в этой точке и
устроить контур интеrрирования обхо.n:ящим такие точки по .n:yraM
этих окружностей внутри области а. Если у.n:астся .n:оказать, что
интеrралы
I F'(z) I ds
по таким дуrам стремятся к нулю при стремлении к нулю ра.n:иусов
окружностей, то все проведенные рассуждения полностью сохранят
силу.
Таким обраЗ0М, для завеРlllения доказательства теоремы 3 'n:OCTa
точно доказать сле.n:ующую лемму:
Л е м м а 3. Пусть область Br 02раничена двумя анаЛllтиче
скими ICfJllBblMll [ 1 II [ 2 , ВblходЯlЦllМll llЗ точки 20 (и не имеющими
друrих общих точек), II заключенной между ними дУ20й ОКРУЖНО
стиl z Zo I === ro. ЕСЛll 2арМОНllЧеская в областll Bro ФУНКЦllЯ W (z)
удовлетворяет УСЛОВllЯ.М
: === о (zE [ 1 ); : == о (zE [ 2 ) (6)
и
ntJ
DBro [w] < 00,
Нт V w . (z) + w. . (z) ds == О,
I! 01.
(7)
2де Т. дУ2а окружности I z Zo I === Е, леЖаlЦая в областll Bro'
И3 условий (6) сле.n:ует, что Функuию w (z) можно IIрО'n:ОЛЖИТЬ
через кривые [ 1 и [ 2 по принuипу симметрии Римана llJварuа в обла
сти в; и в;, симметричные с областью Br относительно этих кри
вых (если, конечно, число r> О .n:остаточно мало). Обозначая функ
ции, полученные продолжением функции w (z) в области в; и в;,
через WI (z) и W2 (z) соответственно, можем написать равенства
D B ; [WIJ === D B ; [W2] === DBr [w]
(8)
(леrко вытекающие И3 инвариантности интеI.рала Дирихле при KOH
формном отображении). Через j'jr обозначим область (расположенную,
вообще rоворя, на римановой поверхности лоrарифма с точкой раз
ветвления над точкой zo), полученную объе.n:инением областей Br. в;
и в;. Функцию W (z) вместе с ее про.n:олжениями Wl (z) и W2 (z) MO
жем рассматривать как функuию w (z), rармоническую в области Br
!i 61
СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИ3ИРУЮЩЕй Функции
521
И3 равенств (8) вытекает, что
D1I Iw] === 3D B [w].
r r
Возьмем теперь произволыюе .n:остаточно малое значение е> О и
применим к функции w (z) в области В.. теорему 3 3, соrласно
которой
W . (z) + W ,2 (z) п 2 D В 2 . [w1,
r.n:e 8 расстояние от точки z .n:o rранипы области В2е" Если, в ча-
стности, точка z лежит на .n:yre 1., то это расстояние 8 не MeHbllle,
чем некоторая постоянная, умноженная на .n:лину .n:уrи 1. (эта посто-
янная зависит ЛИlllЬ от кривых 1'1 И r 2 , но не зависит от е, если е
достаточно мало), Отсю.n:а леrко получаем опенку
vw?(z) + w}(z) ds MvDB..[W].
УВ
В силу условия (7) величина, стоящая в правой части неравенства,
стремится к нулю при € ----+ о. Лемма .n:оказана.
Стоит ОI'ОВОрИТЬСЯ, что лемма 3 необхо.n:има ра.n:и возможности
леrко обобщить наlllИ результаты на более общий случай, о котором
бу.n:ем rоворить ЛИlllЬ в rл. 9, Для случая областей на плоскости
(о котором только и шла пока речь) вполне .n:остаточно областей с
аналитической rраllИllей, а для теорем о рима новых поверхностях
знакомоrо нам ви.n:а можно было бы обойтись областями, оrраничен-
ными прямолинейными ломаными.
6. Существование минимизирующей фу Нlщии для областей,
оrраниченных дуrами Оl{ружностей
Сейчас перехо.n:им к наиболее существенной части наlllИХ постро-
ений к доказательству существования минимизирующих функций
экстремальной за.n:ачи S в случае, коrда область G является объе.n:и-
нением конечноrо числа KpyroB.
Наше .n:оказательство существования разобьем на сле.n:ующие этапы:
1) Изучение свойств минимальных последовательностей.
2) Изучение свойств операции сrлаживания.
3) Доказательство сходимости сrлаженной минималыюй после-
довательности.
1) Пусть
d === inf D [Ф 1.
rде нижняя rpaHb берется по всем .n:опустимым функциям Ф (z).
Cor ласно определению нижней rрани существует последовательность
522
ПРИНЦИII ДИРИХЛЕ
rrл. g
'n:ОПУСТИМЫХ фунюшй {Ф n (z)}, .n:ля которой
lim D [Ф n ] == d,
(1)
n oo
и в то же время для любой .n:опустимой функuии Ф (z) выполняется
. неравенство
D[Ф];?:d. (2)
После.n:овательность .n:опустимых Функuий {Ф" (z)}. .n:ля которой имеет
место СООТНОlllение (1), бу.n:ем называть Мll1illмальной последователь
нос тью.
.У становим сейчас некоторые свойства МИНЮlальных после.n:ова
тельностей.
С в о й с т в о 1. ОбознаЧll.ill
Cln==suрID[Ф т fl]/,
zae верхняя ZpaHb берется по всем ФУН1СЦllЯ.ilf fl (z), непреРЫВНЫА!
11 1Сусочно непрерывно дllффереНЦllруе.ilfbtМ в областll О, удовлет
ВОРЯЮЩllМ УСЛОВllЮ D [fl] == 1. Тоzда
Cl n --+ О (п --+ 00).
Ясно, что без оrраничения общности можно считать, что 'n:ЛЯ
функций fl (z) выполнено условие fl (а) == О, так как .n:обавление к
функции fl (z) постоянноrо слаrаемоrо не изменяет интеrралов D [hJ
и D [Ф, fl]. Поэтому функция Ф n (z) + Efl (z) при любом Е будет .n:опу
стимоЙ функцией, и, cor ласно неравенству (2), можем написать
D [Ф n + Efl] == D [Ф n ] + 2ED [Ф т fl] + E 2 D Ifl];?: d
или, обозначив 'n:ЛЯ краткости 8" == D [Ф n ] d и ИСПOJIЬЗ0вав, что
D [/l] == 1,
8n + 2ED I Ф n ' fll + Е 2 ;?: О.
Этот ква.n:ратный трехчлен может быть положителен при всех .n:еЙст
вительных Е ЛИlllЬ при выполнении условия
(D [Ф т 'т2 8n.
Сле.n:ователыIO.
iDIФ",h]i "; 8n == ";DIФnl d--+О (n--+оо),
и свойство 1 .n:оказано.
Интеrрал Дирихле D [Ф J не меняется при .n:обавлении к функции
Ф (z) произвольной постоянной. Поэтому мы можем без оrраничения
общности нормировать .n:опустимые функции экстремальной за.n:ачи S,
эа.n:авая их 311ачение в какой либо точке. Всю.n:у в .n:альнеЙlllем функ
пии минимальных после.n:овательностей будем нормиропать условием
Ф n (а) == О,
С в о й с т в о 2, ЕСЛll {Ф" (z)} .iltllНll.iltаЛbfIGЯ последователь:'
ность, то
lim D I Ф,,+m ФnJ == О,
п cx;
6]
СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮlllЕИ ФУНКЦИИ
523
дe т nоложительн.ое целое ЧllСЛО, nРОilЗ80ЛЬн.ы.м образо.lt за81l
€ящее от n.
Для .n:оказательства заметим, что при любых .n:ействитеЛЫIЫХ 311a
чениях постоянных л и t.t функция
Ф ( ) }'Фn+m(z) + fLФn(Z)
z Л+fL
бу.n:ет .n:опустимой функцией, так что D [Фl d. Раскрывая это He
равенство, получаем
D [ЛФn+m -+ t.tФnJ (л -+ t.t )2d ===
===л 2 (D [Фn+mJ d) -+ 2лt.t (D [Фn+m' Фnl d) +t.t 2 (D [Фnl d) О,
ПоложительнОСТЬ этшо KBa.n:paTHoro трехчлена при всех .n:ействитель
ных л и t.t влечет за собой неравенство
(D [Фn+m' ФnJ d) 8 n + m . 8n, (:3)
r.n:e обозначено
8s===D [ФsJ d.
Далее,
D [Фn+m Фnl===D [Фn+mJ 2D [Фn+m' ФnJ + D [ФnJ ===
=== 8 n + т 2 (D [Фn+m; ФnJ d) -+ 8n,
инеравенство (3) дает нам, что
D [Фn+m Фnl 8n -+ Оn+т -+ 21/ 8n 8 n+m.
Тем СЮiЫМ свойство 2 .n:оказано, так как по опре.n:елению минималь
ной последовательности n О при n CXJ.
2) Произвольная минимальная после.n:овательность {фn (z)} не обя
зана схо.n:иться в области О, O'n:HaKo мы покажем, что любую мини
мальную после.n:овательность можно исправить так, чтобы она стала
схо.n:ящейся. С этой целью опре.n:елим и изучим операцию С2ла:J1C118а
ния .n:аНllОЙ .n:опустимой функции экстремальной за.n:ачи s.
Пусть В некоторая о.n:носвязная часть области О, не со.n:ержа
щая точен окружности 1(, rраницу области В бу.n:ем считать анали
тической кривой (в Болыllнствеe случаев область В можно считать
KpyroM),
Бу.n:е:.i rОВОрИТЬ, что фУЮЩ11Я Ф (z) получена 11З ФУ1i1Щl111 Ф(z)
С2лажи8аf/11е.м по области В, если:
1. ФУНКllИИ Ф (z) И Ф (z) совпа.n:ают в точках области О, отлич
:ных от точек области В.
2. ФУНКIlИЯ Ф (z) непрерывна в замыкании области В.
3, Функция Ф (z) rармонична в области В,
4. ФУНКIlИЯ Ф (z) В точках l"раницы области В, являюшихся точ
ками rраНИllЫ области О, имеет нормальную произво.n:ную, равную нулю:
u..:;'t
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8
Условиями 1 4 полностью опре.n:еляют функцию Ф (z) по лю
бой .n:опустимой функции Ф (z).
ИЗ теоремы 2* 4 неме.n:ленно вытекает сле.n:ующее свойство
операции сrлаживания.
С в о й с т в о [. Если функция Ф (z) допустима, то функция
Ф (z) также допустима и D IФ] D [Ф].
Немноrим сложнее .n:оказыпается и
С в о й с т в о 2, Пусть {Ф n (z)} МllliимаЛьная последователь
ность, и пусть функции фn (z) получены из функций фn (z) С2лажи-
ванием по области В. ТО2да последовательность {фn (z)} также
является минимальной последовательностью и она равномерно
сходится в любой замкнутой части области В.
Минимальность после.n:ователыюсти {фn (z)} неме.n:ленно вытекает
И3 свойства ] операции cr лаживания, так как, cOr ласно ему,
О D [фn] d D [Ф n ] d=='8n О.
Кроме Toro, И3 свойства 2 минимальной после.n:ователыюсти
вытекает, что
D [Фn+m <]\] О
(п со, т;?: О),
Функции фn (z) rармоничны в области В, Поэтому, соrласно следствию
И3 теоремы 3 3, отсю.n:а вытекает, что
IФn+m (z) фn (z)1 о
(п со, т;?: О)
равномерно в любой замкнутой части области В, По критерию Коши
после.n:овательность {фn (z)} равномерно схо.n:ится в любой замкнутой
части области В, и свойство 2 полностью .n:оказано.
3 а м е ч а н и е. Последовательность {фn (z)} равномерно схо-
дится и вблизи тех участков 2раницы области В, которые вхо-
дят в 2рающу области О. При этО)ff равномерно сходятся f/e
только сами функции фn (z), но II их производные всех порядков.
Действительно, на упомянутых участках rраницы области В имеет
дФ
место равенство дn n == О. Поскольку эти участки прямо линейны, со-
r лаСIIО теореме 2 3, функции фn (z) про.n:олжаются по симметрии
через них в область В', получающуюся объединением области В
с областью, симметричной с нею относительно нашеrо ПРЯМОлинейноrо
участка rраницы. Про.n:олженные функuии, очеви.n:но, равномерно (хо-"
дятся в любой замкнутой части области В'. В частности, они равно-
мерно схо.n:ятся на любой замкнутоtl части нашеrо участка rраниuы
области В, не содержащей ero Концов. Cor ласно теоремам о cxo
61
СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕН фУНКЦИИ
525
дим ости ПОследовательностей rармонических ФУНКЦИЙ (см. 9 rл, 3)
схо.n:ятся не только сами ФУню1ИИ, но и их произво.n:ные всех ПОрЯ'n:КОВ_
в очень БЛИ3КО:ll po.n:cTBe с замечанием нахо.n:ится
С в о й с т в о 3. Пусть Мllнимальная последовательность {Фn (z)}
равномерно сходится в области В 1 1с 2армоничес1СОЙ фУН1Сции, 11
пусть фУN1СЦllll Фn (z) получены из фУН1Сций Фn (z) С2лажива1illе.м
по области В2' имеющей нспустое пересечение с областью В 1 ,
ТО2да последовательность {Фn (z)} равномерно сходится не толь1СО
в любой заМ1Снутой части области В 2 , но и в любой заМ1Снутой
части об'ОединеЮIЯ областей В 1 11 В 2 .
Сначала покажем, что
D [<з\ Фn] О
(п со).
Для этой цели
заметим, что после.n:овательность {W n (z)},
(п === 2т),
(п=== 2т + 1),
{ Фт (z)
W n (z) === Фт (z)
является минимальной после.n:овательностью, так как после.n:ователыlOСТИ
{Фn (z)} И {Фn (z)} минимальны. Поэтому, соrласно свойству 2 мини
мальных после.n:овательностей,
D [Фп Фn] === D [W 211 + 1 W 2n ] О
(п со),
Функции Фn (z) Фn (z) rармоничны в пересечении областей ВI и
В 2 , причем на части rраllИЦЫ области В 2 , лежащей в области Вl' эти
функции обращаются в нуль (по опре.n:елениlO операции сrлаживания
данной функции). Cor ласно сле.n:ствию И3 теоремы 3 3 получаем,
что функции Фn (z) Фn (z) равномерно стремятся к нулю в любой
аамкнутой части пересечения областей В 1 и В 2 . Применяя те же pac
суж.n:ения, что и в аамечании к свойству 2, убеж.n:аемся, что схо.n:и
мость равномерна и вблизи любоrо прямолинейноrо участка rраницы,
на котором Фn (z) Фn (z) === о.
3 а м е ч а н и е. Леrко ви.n:еть, что пре.n:ельная ФУНКlLИЯ nосле.n:ова
тельности {Фn (z)} rармонична не только в области В2' но и В объе
динении областей ВI и В2' так как в пересечении этих областей
nре.n:ельные rармонические функции совпа.n:ают.
3) Перей.n:ем теперь к описанию процесса построения минимальной
nосле.n:ователыlOСТИ, равномерно сходящейся к прс.n:ельной функции.
Теперь мы по существу используем Hallle пре.n:положение о строении
области О,
Итак, пусть область О пре.n:ставляет собой объе.n:инение КОllечноrо
числа КРУ1"ОВ В 1 , В 2 , ..., Вт. Для наших целей существенно лишь то.
526
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8
что такими областями можно аппроксимировать изнутри произвольную
область, Поэтому мы вправе с.n:еЛа1Ъ некоторые 'n:ОПОлнительные пре.n:по
ложения об этих Kpyrax,
С экстремальной за.n:ачей 8, ОТlюсящейся к области О, связаны
точка а Е о и Kpyr К, К С О. имеющий точку а СIIОИ!\I центром.
Бу.n:ем пре.n:полаrать, что Kpyr Вт совпа.n:ает с KpyroM К, а круrи
Вl' В2' ..., Bт 1 не со.n:ержат точку а.
При этих пре.n:положениях построим по любой минимальной 1I0сле.n:о
вательности {фn (z)} экстремальной за.n:ачи 8 минимальную после'n:Оllа
тельность {U n (z)}, схо.n:ящуюся к минимизирующеtt функции U (z)
этой экстремальной за.n:ачи, Построение прове.n:ем сле.n:уюuшм обраЗ0М.
Выберем Kpyr К 1 с нентром в точке а так, чтобы этот Kpyr не
имел общих точек с круrами Вl' В2' ..., Bт I' ПО минимальной по
сле.n:ователыюсти {фn (z)} экстремальной за.n:ачи 8 (с Kpyr'oM Вт.
взятым В качестве Kpyra к) построим минимальную после.n:овательность
{W n (z)} экстремалыюй за.n:ачи 81 с KpyrOM Кl' 113ЯТЫМ в качестве
Kpyra К. Как ви.n:ели при .n:оказательстве теоремы 2 5, для ЭТО1 О
сле.n:ует положить
W n (z) === фn (z) + 8 (z) 81 (z),
rде
8 (а + rei )=== { ( t p ) cos ер
(r < р).
(r > р)
(р радиус Kpyra Вт)' а
81 (а + rei )=== { ( t ю cos ер
(Рl ра.n:иус Kpyra К.).
Теперь совеРlllИМ сrлаживание минимальной после.n:Оllателыюсти
{W n (z)} по Kpyry В 1 (это возможно, так как Kpyr В 1 не имеет об
щих точек с KpyroM К.). Сrлаженная последовательность {W I (z)}
В силу свойства 2 операции cr лаживания также бу.n:ет минимальной
после.n:ователыюстью, и она бу.n:ет равномерно схо.n:иться в любой зам
кнутой части Kpyra В 1 . После.n:ователыюсть. полученную cr лажива
нием минималыlOЙ после.n:ователыюсти {W ) (z)} по Kpyry В 2 . обозна
чим через {W 2'(Z)} и т. .N:, И3 свойства 3 операции сrлаживания He
ме.n:ленно вытекает, что 1I0сле.n:оватеJlЬНОСТЬ {W(mn l) (z)} также будет
минимальной после.n:овательностью и что она бу.n:ет равномерно cxo
.n:иться в любой замкнутой части объе.n:инения KpyroB Вl' В 2 . ,..
.. ., Bт 1 (произво.n:ные функций этой минимальной после.n:овательности
тоже равномерно схо.n:ятся, если только эта замкнутая часть не co
держит точек окружностей KpyroB Вl' В2' ... , Вт 1)'
Положим теперь
фn (z) === W m l) (z) + 81 (z) 8 (z).
(r < р.),
( r> Рl)
!i 6]
СУЩЕСТI30ВАНИЕ МИНИМИ3ИРУЮЩЕ!'1 функции
527
После.n:ователыlOСТЬ {фn (z)} бу.n:ет минималыlOЙ после.n:овательностью
экстремальной за.n:ачи S (с KpyroM Вт В качестве Kpyra К). Эта по
сле.n:овательность равномерно схо.n:ится на окружности Kpyra Вт И
В любой замкнутой части области СУ (области О с у.n:аленным И3 нее
KpyroM Вт)' Совершая cr лаживание после.n:овательности {фn (z)} по
Kpyry Вт' получаем минимальную после.n:ователыlOСТЬ {U n (z)}, paBHO
мерно схо.n:ящуюся в любой замкнутой части области О, ДейстI3И
тельно, в этом конкретном случае cr лаживания леrко показать, что cr ла
женная после.n:ователыlOСТЬ равномерно схо.n:ится в замкнутом Kpyre Вт'
В самом .n:еле, сrлаживание по Kpyry Вт фушщии Ф (z) сво.n:ится
к замене значений этОЙ функuии в Kpyre Вт значениями функции, rapMo
нической в Kpyre Вт И совпа.n:аюшей с фуш<uией Ф (z) на ОКРУЖНОСТИ
этоrо Kpyra, И3 равномерной схо.n:имости значений функuий Ф (z) на
ОКРУЖНОСТИ Kpyra Вт сле.n:ует (по ПрИНIlИПУ максимума и минимума)
равномерная СХОЮIМОСТЬ в замкнутом Kpyre Вт функций, rармони
ческих в этом Kpyre и совпа.n:ающих с функциями Ф (z) на ero окруж
ности,
Таким обраЗ0М, мы построили минимальную после'n:ОI3ательнссть
{Un(z)} экстремальной за.n:ачи S, равномерно СХО'n:ЯШ'уюся в любой
замкнутой части области О к функции U (z). При этом произво.n: ны е
функций U N (z) равномерно схо.n:ятся к произво.n:ным ФУНКЦИИ U (z)
в любой замкнутой части области О, не со.n:ержащей точек окружно
стей KpyroB В 1 , В 2 , "" Вт' Сле.n:овательно, ФУНКIlИЯ U(z) кусочно
непрерывно .n:ифференцируема в области О. Непрерывность ФУНКЦИИ
U (z) + s (z) на ОКРУЖНОСТИ Kpyra К очеви.n:ным обраЗ0М вытекает И3
.n:опустимости функций U N (z) И И3 равномерной схо.n:имости этой по
сле.n:овательности. Поэтому функция U (z) ЯI3ляется .n:опустимой фун
кцией экстремальной за.n:ачи S. Кроме Toro, И3 схо.n:имости произво.n:
ных от функций U n (z) К произво.n:ным ФУIllШИИ U(z) во всей обла
сти О, за исключением конечноrо числа .n:yr окружностей, неме.n:ленно
вытекает, что
D [и] . lim D l U n ]'
n ro
Но минимальность после.n:овательности {U n (z)} 0значает, что
lim D [U n ] === inf D [ф],
n --+CO Ф
Сле.n:ователыiO, функция U (z) является l\lИнимизирующей функцией
экстремальной за.n:ачи S.
3а.n:ача, которую мы поставили пере.n: собой в этом nараrрафе,
полностью pellleHa. Перехо.n: от областей, являющихся объе.n:инением
конеЧllоrо lJисла KpyroB, к ПРОИ3ВОЛЫIЫМ областям плоскости не
пре.n:ставляет особоrо Tpy.n:a. Мы осуществим этот переход в сле.n:у-
IOщем параrрафе.
528
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8
7. Непрерывная зависимость минимизирующей ФУНКЦИИ
экстремальной задачи от области
Задачей этшо параrрафа является .n:оказательство существования
минимизирующей функции экстремальной за.n:ачи 5 .n:ля произвольной
области О комплексной плоскости.
Бу.n:ем Н2зывать после.n:овательность областей {оп} расширяющейся
последовательностью, сходящейся изнутри 1с обласпlll О, если
01 С 02 С .. . с О
и если любая точка Zo Е О вхо.n:ит в области ОП> начиная с HeKOTO
poro номера.
Леrко убе.n:иться, что любую область О комплексной плоскости можно
аnпроксимирсвать изнутри после.n:ователыlOСтыо областей, каж.n:ая И3
которых пре.n:ставляет собой объединение конечноrо числа KpyroB
(при этом МОжно считать, что за.n:анная точка а Е О вхо.n:ит лишь
в о.n:ин И3 этих KpyroB и что этот е.n:инствепный Kpyr имеет ее своим
пентром). Поэтому существование МИlшмизирующей функции экстре
мальной за.n:ачн 5 неме.n:ленно вытекает Н3 сле.n:ующей теоремы, npe.n:
ставляющей и некоторый самостоятельный интерес:
т е о р е м а 1, Пусть {Оп} раСШllряющаяся последовательность
областей, сходящаяся изнутри 1с области О, и пусть все области
Оп содержат точ1СУ z == а II 1СРУ2 К С l{п/тром в этой тОЧ1Се.
ЕСЛll для 1Саждой области ОП существует ми1illмиЗllрующая ФУН-
1СЦllЯ U n (z) Э1Сстре.иальной задачи 5, то для области О та1Сже
существует ми1ill.llизирующая фУН1Сция U (z) Э1Сстремальной за
дачи 5 и U n (z) U (z) при п со равнодерно в любой заМ1Снутой
части области О.
Обозначим через d n нижнюю rpaHb интеrралов Дирихле .n:ля .n:o
пустимых функций экстремальной за.n:ачи 5, относяшейся к области
ОП> а через d аналоrичную нижнюю rpaHb .n:ля области о. HeTpY'n:Ho
убедиться, что
d 1 d2 .,. d.
(1)
Действительно, любая .n:опустимая функция задачи S, Относящейся
к области ОП> бу.n:ет .n:опустимой фупкцией и .n:ля за.n:ачи S, отпося
щейся к любой области От, т n, а .n:оnустимая функция за.n:ачи S,
относящейся к оБЛ:lСТИ О, бу.n:ет .n:опустимой функцией и .n:ля задачи
S, относящейся к любой Н3 областей оп. При этом, очеви.n:но,
Da m [Ф] Da n [Ф] (т 11), Da n [Ф] Da [Ф].
Отсю.n:а неме.n:ленно вытекают неравенства (1).
Поскольку U N (z) минимизирующая функция экстремальной за-
дачи S, дЛЯ любой ФУНКЦИИ h (z), непрерывной в замыкarlИИ области
Оп и I1I\,еющей конечный интеrрал Дирихле, должно ВЫПОЛНЯТЬСЯ
7]
НЕПРЕРЫВНАЯ 3АВИСИМОСТЬ
529
равенство (см. лемму 2 5)
Oon[U n . h]===O.
Положим, в частности, h(z) == Un+m(z) и п (z). Тоrда при т?= О
dn+m?=Oon[Un+m]===Oon[Un t (U n + m U n )]===
==Oon[Un]+Don[Un+m Un]==dn+Oon[Un+m U n ],
т, е.
OOn[ U n + m U n ] d11+m d n ,
(пку.n:а сле.n:ует, что
OOn[Un+m Un] O (п oo, т?=О) (2)
(в силу неравенств (1) после.n:овательность {dnl имеет nре.n:ел).
Считая ФУНКllИИ U N (z) нормированными условием U N (а) == О, BЫBO
дим отсюда с помощью сле.n:ствия И3 теоремы 3 3, что nосле.n:о
вательность ФУНКllИЙ {u n (z)} равномерно схо.n:ится в любой замкну
той части области (J и n любой замкнутой части Kpyra К. Поскольку
ФУНКllИЯ ll n (z) == U n (z) + s (z) не зависит от выбора Kpyra К (см.
теорему 2 5), после.n:овательность {U n (z) } равномерно СХО.n:ится на лю
бой замкнутой части области о. Более Toro, И3 rармоничности мини
мизирующих ФУНКllИЙ U n (z) В области О (за исключением точек ок-
ружности Kpyra к) сле.n:ует, что произво.n:ные ФУНКllИЙ Un(Z) paBHO
мерно схо.n:ятся к произво.n:ным ФУНКllИИ U (z) на любой замкнутой
части области О. Поэтому ФУНКllИЯ U(z) является допустимой функ
иией экстремальной за.n:ачи S в области О и
Оп [и] Нт О п [u n [ d,
n OO
r.n:e В любая замкнутая часть области о, а значит и
00 [И] d.
Так как d точная нижняя rpaHb интеrралов Дирихле 00 [Ф] по
всем .n:опустимым ФУНКllИЯМ экстремальной за.n:ачи S в области о, это
0значает, что {J (z) минимизирующая ФУНКllИЯ экстремальной задачи S
в этой области. Теорема .n:оказана.
Hallle утверж.n:ение о существовании минимизирующей ФУНlшии эк
стремальной за.n:ачи S для любой области О комплексной плоско
сти, в частности, влечет за собой сле.n:ующий результат:
т е о р е м а 2. Пусть О произвольная область комплексной
плоскостll, содержащая точку z == а. Bcezaa существует 2ap.мo
Jillческая в областll О (за исключением точки z == а) функция и (z).
.обладающая CBoucmBaMll:
1. В окрестности точки z === а функция II (z) им ел вид
1
и (z)==Re +llo(z),
z a
:lде ФУНКЦllЯ ИО (z) zар.мОНllчна в oKpecmHocmll mочки z == а.
530
nРИНЦИП ДИРИХЛЕ
[rл.8
2. Инте2рал ДиРllхле DQ' [11], 2де область о' получается из об
ласти О удалением сколь У20дно малой окрестности точки z === а,
конечен.
Для .n:оказательства этой теоремы мы должны взять В качестве
функции и (z) ФУНIЩИЮ и (z) + S (z), r.n:e U (z) минимизирующая фун
кция экстремальной за.n:ачи S .n:ля области И,
В 9 обобщим теорему 2 на случай rаРМОllической Фу НК'LИи
С более или менее произвольно за.n:анной особенностью в точке а
или .n:аже внекотором Kpyre,
8. Конф(,РМ;Jое отображение о.n:нолистной области
на плоскость с разрезами
И3 теоремы 3 5 и теоремы 1 7 сле.n:ует, что любую область
О комплексной плоскости, оrраниченную конечным числом простых
кусочно аналитических кривых, можно конФормно отобразить на всю
комплексную плоскость с разрезами по конечному числу rОРИЗ0Н
тальных отрезксв, С помощью тех же соображений, которые были
ИСПОЛЬЗ0ваны при .n:оказательстве теоремы 1 7, это утверж.n:ение
леrко переносится на ПрОИ3ll0льные области комплексной плоскости.
Именно, справе.n:лива
т е о р е м а 1. ДЛЯ любой области О КОJuплексной плоскостu
z существует ФУН1Cl ия w===F(z), обладающая свойствами:
1. Функция F(z) рпулярна в области О, за Ilсключе1illе.л1 за
данной точки а Е О, в которой она имеет простой полюс с BЫ
четом, равны_1t единице,
2. Функция w==F(z) конфоряно отображает область О на
некоторую область о' ко_иплеКСNОЙ плоскости w.
3. Каждая компонента 2раницы области а является llли точ
кой, или отрезком прямоЙ, параллельной дейстВllтельной оси в пло
скости w.
Для .n:оказательства теоремы выберем расширяющуюся после.n:о
вательность областей {оп} (каж.n:ая И3 которых О1'раничена конечным
числом простых кусочно-аналитических кривых), схо.n:ящуюся изнутри
к области О. Через U N (z) обозначим минимизирующую ФУНКI1ИЮ эк
стремальной за.n:ачи S .n:ля области ОП> а через lln (z) функнию
U n (z) + s (z), Мы знаем, что ФУНКllИЯ Iln (z) rармонична в области О,
за исключением точки z == а, в окрестности которой она предста
ВИ:\lа в llи.n:е
1
u n (z) == Re z а + ll n\ (z)
(функция ll\,n) (z) rармонична в окрестности точки z === а),
Через Р п (z) об03113ЧИМ ФуНlЩИЮ, имеющую ФУНКI1ИЮ Iln (z) .n:ей
СТllительной частью, СО1'лаСIIО теореме 3 5 функция F n (2) O'n:HO
значна и о.n:нолистна в области ОП (т. е. конформно отображает об
. 8]
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНОП ОБЛАСТИ
531
.ласть ОП на некоторую область d n комплексной плоскости), Кроме
Toro, фУНКllИЯ Fn (z) реrулярна в области ОП> за исключением точки
z === а, в которой она имеет простой полюс с вычетом, равным еци
НИllе.
Обозначим eH e через U(z) минимизирующую фУНКIlИЮ экстремзль-
оЙ задачи S .n:ля области О, через 11 (z) функцию U (z) + s (z),
а через F (z) ФУНКllИЮ, имеющую фУНКllИЮ II (z) своей действительной
'частью.
Cor ласно теореме I 7
lln (z) ---+ 11 (z)
(п ---+ CXJ)
равномерно в любой за;\IКНУТОЙ части области О. С ПОмощью тео-
pe!V1Ы 3 9 r л, 3 леrко выведем отсю.n:а, что
Fn (z) ---+ F (z)
(п ---+ CXJ)
раВIЮ;\lерно в любой замкнутой части области О (при ПО'n:ХОlJ,ящем
выборе постоянных слаrаемых, с точностью до которых опре.n:е.'1ЯЮТСЯ
'ФУНКllИИ Fn (z) ПО фУНКllИЯМ lln (z», Отсю.n:а неме.n:ленно вытекает,
что построенная нами фУНКllИЯ F (z) обла.n:ает свойством 1, Прини-
мая во внимание, что. соrласно лемме 2 1 rл, 6, предел ОДнолист
ных фУНКllИЙ является о.n:нолистной фУНКllией (если он отличен от
'тож.n:ественной постоянной), мы видим, ЧТО фУНКllИЯ F (z) обла.n:ает
и свойством 2,
Остается .n:ока3а1Ъ, что функция F (z) обла.n:ает свойством 3, Для
этой ,цели воспользуемся леммоЙ 2 5, cor ласно которой имеет
место равенство D r и, 11] === О для любой функции /z (z), кусочно не-
прерывно .n:иффереНllируемой в области О и имеющей конечный ин-
теl'рал Дирихле IЮ этой обл 1Сти. Для случая, KOr.n:a функция h (z)
равна нулю в Kpyre К, равенство D [и, 11 J === о можно записать в ви.n:е
D [ll, h] === О,
(1)
'Cor ласно теореме 2 5 функция u (z) не зависит от выбора Kpyra К,
так что равенство (1) справе.n:ливо .n:ля любой фУНКllИИ h (z), кусочно
непрерывно .n:иффереНllируемой в области О, имеющеЙ конечный Иli-
теrрал Дирихле по этой области и равной нулю в сколь yrO'n:HO м,,-
лой окрестности точки z === а.
Интеrрал Дирихле инвариантен при КОНфОРМНЫХ отображениях,
Поэтому, соверlllая конформное отображение w === F (z) области О
.на область А, мы можем записюъ равенство (1) в ви.n:е
H;l (11, v) dll dv === О,
О'
( )
УДе функция Н(ll, v) кусочно непрерывно .n:ифференпируема в об-
.ласти А, имеет конечный интеrрал Дирихле по этой области и равнз
]JJУЛЮ в сколь уrодно малой окрестности бесконечно удаленной точки.
532
[rл.8'
ДИРИХЛЕ а
ПРИНЦИn ы области
а rраНИIl йстви
бая компонент ЭJlлеЛЫlOй.n:е ,..,
что лю ой пар ЮнентЭ """-
жно .n:окэзать, отрезком прям С у 'ществует КОМI
Нам ну кой ИJIИ О е Tor.n:a
и точ , Р отивн,
является ил Допустим п Щ ая точки
ы о й O 'oo V l
тел, б эсти , ( V ), Or
ЭIIИIlЫ о л ) В2 1l2, 2 О , компонента
"Р В, (и,. '" . блести . < на HeKOTO
лежит о < 1т W V.!
прина.n: У Vl
чка W 00 ивает полос
П оскольку то О м у она разб Е
Поэт
раничена,
Е
Рис. 98, ео r р аничен
o'n:Ha н
най.n:ется а ее пере
которых через ВО' не
стеИ. сред" Об",","им ее . 'ю-nрежнему О
Р ое количествО О р :ченная слева. В'. Множество а ;ежит Области > ;
ва н о. о' через " oo nрин '" "е w
н"' сnра обл",тыо " ТОЧ"а w бы nолуnлос"ос множества
сечение с справа, так ка Болыllм,, Ч ТО g связную часть В , оrрани
аничено > 0 стол.ь ерез бласть
о.р ем чнсло с '" обозиачим ч Ясно, что о 'мых 1н> w ",
Быбер в области О, Р ямой Re W с. отрезками пр е жаlllИМИ rpa
лежала ю " н '<е w с, ринам
В , примыкаЮlllУ < 1т W < V2' ножествами, п
о' ом Vl орыми М
чена отрез" та,,,," не"от ( ") ра,ио.
и 1т W V2, Э О ' (р ис. 98). ФУ НКIlИЮ Н 1l,
б асти е.n:елим
ниuе о л и В' мы опр ) 2 ( V V 2 )2.
Б облэст (v Vl
81
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНОй ОБЛАСТИ
533:
Тоrда ФУНКI1ИЯ Н (и, v) бу.n:ет равна нулю на части rраНИI1Ы области:
Б', состоящей И3 отрезков прямых 1т w === Vl И 1т w === V2'
Лоопре.n:елим ФУНКI1ИЮ H(ll, v) еще в прямоуrольнике Б",
Б": {vl<lmw<v2' c R.ew<2c},
равенством
н (ll, v) === (v Vl}2 (v V 2 )2 (2 ).
Тоrда фУНКI1ИЯ Н(и, v) бу.n:ет опре.n:елена и непрерывна в области
в' n Б" (объе.n:инеlше области в' с прямоуrолышком Б") и равна.
нулю в точках rраНИllЫ этой области, отличных от rраничных точек
области 0', Положим фУНКllИЮ Н равной нулю в остальной части
области 0'. Tor.n:a к построенной фУНКllИИ Н можно бу.n:ет применить
равенство (2), так как она непрерывна в области 0', равна нулю
в окрестности бесконечности и кусочно непрерывно дифференцируема
(ее интеrрал Лирихле, очевидно, оrраничен), Поскольку
H (и. v) === О (w Е Б"),
H (и, v) == (v V J )2 (v V:.!)2 (w Е Б"),
с
получаем
1 V 2
н;, (и, v) d11 dv == H (и, v) du dv == с (v V t )2 (v V2)2 dv < о.
О' Б" 'V 1
Таким обраЗ0М, Hallle .n:опущение о том, что компонента rраНИllЫ об -
ласти о' может быть отлична от rОРИЗ0нталыюrо отрезка, привело"
нас к противоречию с равенством (2).
Теорема полностью .n:оказана,
ИСIЮЛЬЗ0ванные нами соображения, сое.n:иненные с теорией интеr -
рала J1ебеrа, позволили бы .n:оказать утверж.n:ение:
Множество тех значений с, д/i.Я которых nря-мдя 1Пl w == с не-
полностью принадлежит области 0', 11.меет .меру нуль.
O'n:HaKo мы избеrаем ПОЛЬЗ0ваться теорией интеrрала Лебеrа и по -
этому .n:окажем несколько более слабый результат:
Т е о р е м а 2. Множество ZРШtllЧНЫХ точек области о' имеет
площадь, равную нулю, т. е. это .множество .можно .nокрыть
конечны.м Ч11СЛО.м .мНОZОУZОЛЬНllков со сколь уzодно .малой nло -
щадью.
Для доказательСтва ЭТОrО факта опять воспользуемся равенством
(2). На этот раз применим ero к функции Н. равной нулю в OKpeCT -
ности бесконечности, а в .n:остаточно БолыllмM Kpyre I w I < R (co
.n:ержащем все rраничные точки области 0') равной 11, (Между
окружностью ! w I == R и упомянутой окрестностью бесконечности дo -
страиваем функцию Н (ll, v) так, чтобы она была непрерывно .n:иф -
q:еренцируема.) Аппроксимируя изнутри область о' последовательно
534
nРИНЦИII ДИРИХЛЕ
[rл.8
стыо раСlllИРЯЮЩИХСЯ областей a , оrраниченных nростыми замкну
тыми ломаными, мы получаем
liт н;, dll dv === H du dv === О.
n oo O а'
Но, сor'ласно формуле rрина (6) 2 (с 'f === Н и Н", v) == и),
tn п т п
H du dv === н dv === S и dv,
O k , CIl k , Ck
r.n:e C k простые замкнутые ломаные, оrраничивающие наши беско-
нечные области a , С 'n:РУI'ОЙ стороны, интеrрал
11 dv,
С
взятыtl по простой замкнутой спрямляемой кривой С, равен площа.n:и
конечной оБJlасти, оrраничешlOЙ этой кривой, Сле.n:овательно, сумма
площа.n:ей конечных областей, оrраниченных ломаными С 1 , С 2 ,... ,С m ",
стремится к нулю. Тем самым теорема .n:оказана.
Перей.n:ем к теоремам об е.n:инствешюсти отображения на плоскость
с разрезами,
Т е о р е м а 3, Пусть хотя бы одна из 1Со.мпонент zраницы обла-
Cm11 а содерЖ11т более одной тОЧ1Cl1. TozcJa существует единст-
венная ФУН1СЦ11Я w == F (z), 1СОНфОр.Jто отображающая область а
на пЛОС1Сость w С разреза.ltll по отреЗ1Са.м пря.мых, параллельных
действительной оси, и 1utеющая в 01Срестност11 данной тОЧ1Cll а Е а
.разложение
F(z)== +c,(z а)+С 2 (z a)2+...
z a
(3)
Пусть w===F,(z) и w===F2(z) две функции, конформно отобра-
жающие область О на ПЛОСКОСlт w с разрезами по rОРИЗ0нталыlЫМ
- -отрезкам и имеющие в .n:анной точке а Е а разложение (3). 060зна-
чим через z == 'f,(W) отображение, обратное к отображению w === F,(z).
TOl'.n:a функция
с == ер, (Р 2 (z» === /(z)
-соверlllает конформное ОТQбражение области а на себя и перево.n:ит
точку z == а в точку С === а, Най.n:ем разложение фУНКllИИ С == / (z)
в окрестности точки z === а, И3 разложения (3) без труда нахо.n:им,
что в окрестности точки w === сх) функция z == cp,(w) имеет разложе-
иие вида
( ) I \ I с;
Ш , -'Ш а . - .,.
Т. I W I W
.Поэтому
j(z)====a + (z а) + С; (z а)2+...
9]
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ 3АДАЧИ С друrиМ.и ОСОБЕННОСТЯМИ
535
Применение теоремы 2 4 rл, 6 .n:aeT нам, что I(z) = z, oTKy.n:a HeMe.n:
леннО следует утверж.n:ение наlllей теоремы. (Мы .n:олжны примеНИТh
теорему 2 4 rл, 6, ИСПОЛЬ3УЯ замечание, с.n:еланное в конце ДOKa
зательства этой теоремы.)
Заметим еще, что .n:ля случая конечносвязных областей мы MO
жем считать все компоненты rраНИllЫ точками без ущерба .n:ля СПра
ведливости теоремы, Действителыю, в этом случае отображение об
ласти а на плоскость с разрезами сво.n:ится к отображению всей pac
ширенной плоскости на себя, т. е. к .n:робно линейному отображению.
9. Экстремальные за.n:ачи с .n:руrими
особенностями допустимых функций
COBepllleHHo теми же мето.n:ами, что и в пре.n:ы.n:ущих параrрафах
можно .n:оказать существование минимизирующих функций .n:ля целоrо
класса экстремальных за.n:ач. Эти за.n:ачи отличаются от paCCMOTpeH
ной ВЫlllе экстремальной задачl1 S ЛИlllЬ иным заданием функции S (z),
опре.n:еляющей особенность минимизирующей функции. Опре.n:елим
сейчас общий класс таких за.n:ач, доrОВОРИВIllИСЬ пре.n:варительно,
о некоторых обозначениях.
Через а по прежнему бу.n:ем обозначать данную произвольную
область комплексной плоскости. Через К бу.n:ем теперь обозначать
уже не обязательно Kpyr, но некоторую ОЩlOсвязную область, ле-
жащую в области а вместе со своей rpаницей х (которую бу.n:ем
пре.n:полаrать аналитической кривой), Через а бу.n:ем обозначать .n:o
полнение к замыканию области К .n:o всей области О, Функцию ci (z),
которую будем Ha3bIВaTb в .n:альнеЙlllем функциеЙ особенностеЙ, бу
дем считать реrулярноt! (и однозначной) на rранице области К, т, е,
на кривой х. Через '1IK(Z) будем обозначать функцию, rармоническую.
в области К и у.n:овлепюряющую условию
c,""'k \ dRccr l
дп х дп х'
(С помощыо КОНфОРМIlOrо отображения области К на Kpyr леrко убе-
.n:иться, что такая функция всеrда существует и что она опре.n:еляется
е.n:инственным обраЗ0М с точностью .n:o произвольноrо ПОСТОlIнноrо
слаrаемоrо.)
ФУНКllИЮ
S (z) опре.n:елим равенством
S(z)-=={ ReCi(Z)o '1IK(z)
(z Е К),
(z Е 01.
(1 ).
Из построения видно, что
I == О.
д1l "
:536
ПРИНЦИn ДИРИХЛЕ
[rп.6
Интересующий нас класс экстремальных эа.n:ач определяется сле
.n:ующим обраЗ0М:
Допустимыми фующиЯМll Э1Сстремалыюй задачи, отвечающей
.данной ФУН1Сциll особенностей (] (z), будем считать функции
{ Фl (z)
Ф (z) == Ф2 (z)
(z Е 0'),
(zЕЮ,
удовлетворяющие условиям:
1. Функция Ф (z) непрерывна и кусочно непрерывно дифференци-
руема во всей области а, за исключением кривой х, на которой эта
функция имеет разрыв первorо рода.
2. Функция Ф (z) + s (z) непрерывна в окрестности кривой х.
3. Интеrрал Дирихле D [Ф] (понимаемый как сумма ишеrралов
Дирихле D о ,[Ф 1 ] + DК[Ф2]) конечен.
Экстремальная за.n:ача состоит в минимизации интеrрала Дирихле
D [Ф] в классе .n:опустимых функций,
Эту экстремальную за.n:ачу будем в дальнейшем .n:ля краткости
.называть Э1Сстремальной задачей (],
Мы не бу.n:ем, конечно, полностью воспроизводить доказательство
существования минимизирующей функции этой экстремальной задачи,
.а оrраничимся тем, что проследим изменения, которые потребуются
на ра3ЛИЧIIЫХ этапах доказательства.
При .n:оказательстве сушествования минимизирующей функции мы
ИСПОЛЬЗ0вали леммы 1 и 2 5, теоремы 1 и 2 5, свойства 1 и 2
минимизирующей функции И3 5, а также и.n:ею сrлаживания мини-
мальной после.n:овательности И3 6 и теорему 1 7 о непрерывной
зависимости минимизирующей функции от области.
Доказательство леммы I о непустоте класса допустимых функций
экстремальной задачи изменяется .n:оволыю сильно. Явное выражение
для .n:опустимой функuии становится, вообще rоворя, очень сложным.
O'n:HaKo с ПРИНllипиальной точки зрения не составляет никакоrо Tpy.n:a
построить функцию Ф (z), равную нулю вне некоторой кольцеобраз-
ной области (внутренней rраllИLtей которой является аналитическая
кривая х) таким обраЗ0М, чтобы эта фунКllИЯ была непрерывно диф-
ференцируема в замыкании этой кольцеобразной области, непрерывна
'вблизи внеlllней кривой, а на кривой химела за.n:анные значения
(совпа.n:ающие со 31щчениями фунКlJ.ИИ S (z), реrулярной на этой
КРИВОЙ).
Доказательства леммы 2 и теоремы 1 5 не нуждаются ни в ка-
,ких изменениях.
Доказательство теоремы 2 5 тоже можно провести без всяких
изменений, только .n:еформации кривой х сле.n:ует пре.n:полаrать .n:ocTa
точно малыми (чтобы они не выно.n:или эту кривую И3 области pery-
..JIярности функции особенностей (] (z».
!i 9]
8I(СТРЕМ.АЛЬНЫЕ 3АДАЧИ С друrиМ.и ОСОБЕННОСТЯМИ
537
Доказательства свойств ] и 2 И3 5 не нуж.n:аются ни в каких
изменениях.
Рассуждения 6 и 7 тоже полностью остаются в силе.
По.n:ытоживая сказанное, мы можем сформулировать следующие
результаты:
Т е о р е м а 1. Для любой области а 1Со.мпле1ССНОй плоскости и
для любой ФУН1Сции особенностей cr (.<) (у.n:овлетворяющей условиям,
сформулированным при постановке экстремальной за.n:ачи cr в начале
параrрафа) существует мини.мизирующая функция и (z) Э1Сстре
мальной задачи а. Эта ФУН1Сция единственна с точностью до
прои3ВОЛЬНО20 постОЯННО20 сла2аеМО20.
В частности, И3 теоремы 1 вытекает
Т е о р е м а 1 *. Для любой области Q и для любой ФУН1СЦllll
особенностей cr (z), рпулярной на окружности даННО20 КРУ2а К
(лежащеrо в области вместе с ero rраницей), существует функция
и (z), обладающая свойствами:
1. Функция и (z) юржоничпа в области а, за исключением тех
точек КРУ2а К, в которых ФУН1Сция cr (z) имеет особые точки.
В этих точках особенности функций и (z) и Re cr (z) одина1СОВЫ,
т, е. функция и (z) Re cr (z) 2армонична в КРУ2е К.
2. Интпрал Дирихле от функциии(z) по области a==a K
конечен.
Теоремы 1 и 1 * можно в значительной мере обобщить. Об этих
обобщениях будем rоворить в следующем параrрафе (и в сле'n:УЮlllей
rлаве),
Сейчас HeMHoro пorоворим о применении теоремы 1 к задачам
о конформном отображении,
Разумеется, при произвольной функции особенностей cr (z) функ
ция F (z), .n:ля которой функция и (z) == и (z) + s (z) является .n:ей
ствителыюй частью, уже не обязана быть функцией, конформно OTO
бражающей область а. Прав.n:а, теми же сре.n:ствами, что и раньше,
леrкО показать, что отображение w == F (z) обязано переводить каж
дую компоненту rраницы области а в прямолинейный отреЗ0К плос
кости w, параллельный мнимой оси, но функция F (z) не обязана
быть ни однозначной, ни о.n:нолистной в области а. Тем не менее
экстремальную за.n:ачу cr можно ИСПОЛЬЗ0вать .n:ля доказательства cy
ществования конформноrо отображения в области Q на некоторые
друrие канонические области. И.n:ея состоит в том, что для данной
фУНКllИИ особенностей cr (z) мы подбираем функцию ер (w) таким обра
30М, чтобы функция
1: == ер (Р (z»
была однозначна и о.n:нолистна в области а. Тоrда эта функция бу.n:ет
КОНфОрМIlО отображать область Q на всю плоскость 1: с разрезами.
538
nРИНЦИn ДИРИХЛЕ
[rn.8
по .n:yraM КРИВЫХ, являющихся образами прямых 1т w == const при
{)тображении == ер (w),
Укажем на 'n:Ba соображения, значительно упрощающие по.n:бор
таких функций ер (w) по .n:aHHbIM функциям ci (z),
Первое соображение состоит в том, что исследование ОЩlOзнач
ностИ функции С == 'f' (Р (z» .n:остаточно провести в области К, так как
вне области К функция F (z), а значит и функция ер (Р (z», однозначна.
Действительно, ОJJ:lюзначность функции F (z) вне области К .n:оказы
вается с помощью тех же рассуж.n:ений, что и в теореме 3 5.
Второе соображение Состоит в том, что .n:ля .n:оказательства O'n:HO
листности функции ер (Р (z» в области а .n:остаточно убедиться, что
эта функция имеет в области а о.n:ин простой полюс и не имеет дpy
rих особенностей. Tor.n:a о.n:нолиспюсть фУНКllИИ ер (Р (z» опять таки
доказывается тем же рассуж.n:ением, что и в теореме 3 5.
В заКJJlочеl1ие приве.n:ем три типичных примера отображений.
1 E a
Первый пример получим, положив cr (z) == n b ' rде а и Ь 'n:Be
E
произвольные точки области а (отличные друr от .n:pY1'a). За область К
примем любую ощюсвязную область, лежащую в области а и содер-
жащую точки а и Ь. В качестве фУНКllИИ ер (w) возьмем функцию e W .
Тоrда функция
(Р( » F(z) cr (zHF 1 (Zl E a F 1 (z)
ер . Z ==е ==е == E be
реrулярна в области а, за исключением O'n:Horo npocToro полюса
в точке z==b. Сorласно сказанному выше фующия eF(z) должна
конформно отображать область а на всю плоскость 1: с разре
заМll по отрезкам лучей, быходЯЩllХ из начала KOopallHam (ибо
лучи arg С == const являются образами прямых 1т w == const при OTO
бражении С == e W ),
E a
Второй пример получим, взяв ci (z) == i lп b ' rде а и Ь опять
E
две произвольные точки области а. В этом примере, очевидно, сле
дует положить ер (w)==e- iW . Функция e-iF(z) конформно отобра
жает область а на всю плоскость С с разрезами по ayzaM KOH
центрических окружностей с центром б начале координат.
Третий пример содержит
1 E a
ci (z)== ln b '
а E
оба пре.n:ы.n:ущих. Он отвечает случаю
'р (w) == eo. w
(сх * О).
ОБЛQС1hЬ а в атом примере конформно отображается функцией
с == ео. F (Е)
10]
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ 3АДАЧИ НА РИМ.АНОВЫХ nОВЕРХЫОСТЯХ
53!!
на ВСЮ nЛОС1Сость 1: с разреза.АЩ ПО дУ2а-и ЛО2арllфмич е С1СllХ cпи
ралей
I I == е С arg С, С == const,
Я6ЛЯЮЩllХСЯ образаМ!l прямых Iш а' == const npll отображеНllll
С == e aw .
10. Экстремальные задачи на римановых поверхностях
в этом параrрафе бу.n:ем rоворить об O'n:HOM важном обобщении
результатов, полученных в пре.n:ы.n:ущих параrрафах. Это обобщение
состОИТ в том, что область а бу.n:ем считать расположенной не на
комплексной плоскости, а на произволыюй римановой поверхности,
лежащей над этой плоскостью. При этом имеем в ви.n:у риманову HO
верхность, построенную независимо от какой либо аналитической фУНК
ции (см. 3 rл. 4),
Напомним, что pllMaHoeoil. поверхностью .n:оrоворились называть
поверхность, склеенную И3 конеЧllоrО или счетнOI'О числа экземпля
ров областей комплексной плоскости таким обраЗ0М, чтобы при склеи
вании ВЬШОШIЯЛИСЬ условия:
]. Проекция каж.n:ой точки римановой поверхности совпа.n:ает с точ
кой склеиваемой области комплексной плоскости.
2, Окрестность каждой точки римановой поверхности пре.n:став-
ляет собой или ОЩlOлистный Kpyr, или МНОI'ОЛИСТНЫЙ Kpyr с точкой
развеТlJления Ha.n: этой точкой (т. е. часть римановой поверхности
корня т й степени, расположенную Ha.n: KpyrOM с центром в точке
разветвления).
Те точки римановой поверхности, окрестностью которых является
мноrолистный Kpyr, мы .n:оrоворились называть точкаМll разветвле
Н1lЯ римановой поверхности, Если Kpyr т листный, бу.n:ем rоворить
о тОЧ1Се разветвления поряд1Са т.
Нам бу.n:ет у.n:обllО ПОЛЬЗ0ваться понятием ЛО1Сальной пере-иенной,
отвечающей данной o1CpecmHocmll на римановой поверхности.
ЛО1Сальной переменной, отвечающей окрестности КОнечной Т,очки
римановой поверхности, не являющейся точкой разветвления, бу.n:ем
называть величину 't == Z ZQ' r.n:e Z проекция точки окрестности,
а ZQ проекция центра этой окрестности. Если zQ == 00, то будем счи
1
тать локальной переменной величину 't == Z .
ЛО1Сальной пере-иенной, отвечающей окрестности точки разветвления
поря.n:ка т, будем называть величину 't == 'iY Z ZQ , rде z проек
ция точки окрестности, а Zo проекция точки разветвления. При ZQ со
1
в качестве локальной переменной берем величину 't == v: ,.
"540
принцип ДИРИХЛЕ
[rл.8
Экстремальную за.n:ачу а можно рассматривать и на произвольной
римановой поперXlЮСТИ <5, если считать, что фУНКllИЯ особенно
"стей а (z) задается в какой либо окрестности К на этой римановой
поверхности как фУНКllИЯ локальной переменной, отвечающей этой
<Jкрестности.
Леr"ко просле.n:ить, что все 1JalllИ рассуждения, относящиеся к .n:o
j{азательству существования минимизирующей ФУНКllИИ экстремальной
за.n:ачи а, пОлностью сохраняют силу. (О за.n:аче конформноrо отобра
жения римановой поверхности будем rоворить особо.) Поэтому мы
.можем высказать сле.n:ующую теорему:
т е о р е м а 1. Для произвольной ри.мановой поверхности е и
.для произвольной функции особенностей а (z), заданной в данной
окрестности К на Рll.мановой поверхности е (и удовлетворяющей
условиям, наложенным на эту фУНКllИЮ в начале 8 при постановке
экстремальной за.n:ачи о), существует .мllНи.мllзирующая функция U(z)
.,9кстре-м.альной задаЧll о. Эта функция едllНственна с точностью
до пРOZlЗВОЛЬНО20 nост6ЯННО20 сла2ае.мО20.
в частности, И3 теоремы 1 вытекает сле.n:ующая теорема, иноrда
-более у.n:обная в употреблении:
т е о р е м а 1 *, Пусть <5 nроизвольная риманова поверхность,
К произвольная окрестность на ней, а а (z) nроизвольная
функция, ре2улярная на 2ранице этой окрестности. Вспда суще
ствует фУНКЦllЯ и (z), обладающая свойствами:
1. ФУНКЦllЯ 11 (z) 2ар.монична на всей ри.мановой поверхности
<5, за исключение.м тех точек oKpecmHocmll К, в которых функ
ЦllЯ о (z) имеет особые тОЧКl1. В этих точках функция и (z)
и.меет те :нее особенности, что и функция Re а (z), т. е. функ
ция 11 (z) Re а (z) юр.монична в окрестности К.
2. Интezрал Дирихле от фУНКЦllll и (z), взятый по всей pи.мa
новой поверхности 15, за исключением oKpecmHocmll К, конечен.
в качестве первоrо применения теоремы 1 * .n:окажем сейчас сле
дующий интересный факт:
т е о р е м а 2. Для каждой римановой поверхности е суще
ствует аналитическая функция I(z), ри.манова поверхность KO
торой совпадает с данной ри.мановой поверхностью 6.
Это утверждение 0значает, что мы не раСlllИРИЛИ класса изучае
мых объектов, перей.n:я от римановых поверхностей аналитических
фУНКllИЙ к римановым плоскостям, склеенным И3 плоских областей.
Для доказательства теоремы мы .n:олжиы посrроить функцию.
мероморфную на заданной римановой поверхности <5 и имеющую раз
личные 9лементы в различных точках этой римановой поверхности.
Заметим, что последнее услоние будет ВhlПОJfllепо па всей поверхно
сти, если оно выполнено в окрестности каждой точки р азвет-
вления.
10] ЭI(СТРЕМАЛЬНЫЕ 3АДАЧИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 541
Обозначим точки разветвления .n:анной римановой поверхности Е>
'Через P t , Р 2 , Р з , ." (И3 определения римановой поверхности видно,
что то',ек разветвления счетное множество) и свяжем с каждой И3
'них окрестность Ks, содержащую точку Ps (8== 1, 2, .. .). Порядок
точки разветвления Ps обозначим через т s ' В окрестности I<.s зада
m m!r
дим функцию особенностей cr (z) == , r.n:e 't s == r z Zs локаль-
't s
'ная переменная, отвечающая окрестности Ks (а Zs проекция точки
р s)' Без оrраничения общности можем считать, что Ha.n: бесконечно
удаленной точкой нет точек разветвления римановой поверхности е
{этоrо Bcer да можно достичь дробно линейным преобраЗ0ванием KOM
плексной плоскости),
Обозначим теперь через Ils (z) функцию, rармоническую на всей
римановой поверхности е, за исключением точки Ps' в которой она
m
'Имеет особенность Re s (эта функция существует по теореме 1 *),
't s
Функция
f (z) == дu s i дu s
s дх ду
{)днозначна на римановой поверхности Е> и реrулярна в окрестности
каждой ее точки, не являющейся точкой разветвления (в точках раз-
ветвления, как мы сейчас увидим, эта фУНКllИЯ может иметь полюсы).
Для исследования функции fs (z) в окрестности точек разветвления
заметим, что в окрестности каждой точки существует однозначная
(только в этой окрестности) функция Ps (z), имеющая функцию Ils (z)
своей действительной частью. Ясно, что функция Fs (z) реrулярна
в окрестности, о которой lllла речь, если функция Ils (z) rармонична
в этой окрестности, а если функция 11s (z) имеет ту же особенность,
m
что и функция Re , то функция Fs (z) имеет ту же особенность,
't s
что и функция f1ls/'ts. Ясно также, что в любом случае имеет место
равенство fs (z) == Р; (z).
Если функния F (z) в точке разветвления Р порядка т имеет ту
же особеlllЮСIЪ, что и функция A/'t, то В окрестности этой точки
для функции Р (z) имеет место следующее разложение в ряд:
F (z)== +Ао +At't +A2't 2 +
,п
по локальной IIсременной 't == iI z Zo, Отсюда находим, что функ-
ция Р' (z) имеет разложение
Р ' ( ) , AI 1 т + 2A2 2 т +
Z m't m +11 т 't т 't ...
И3 полученной формулы мы можем вывести следующие сведения
()тносителыlO функций fs (z):
Функции fs (z) мероморфны на римановой поверхности е. Их
полюсы раСlIоложены ЛИlllЬ в точках P k . При этом функция fs (z)
542
nРИНUИП ДИРИХЛЕ
[rл. в-
имеет Б точке P k при k 7: S полюс порядка, не преБосходящеrо
mk 1, а в точке ]у s полюс порящ,а ms + 1 с rлаБНЫМ членом
1
't ms + 1 .
s
Интересующую нас ФУНКllИЮ f (z) построим Б Би.n:е ря.n:а
ro
f (z) === L. с sfs (z).
S 1
(1)
rде Бсе числа C s ' s=== 1,2, ""., отличны ОТ нуля, но стремятся к нулю
при s --+ ос) с .n:остаточной быстротой, Скорость стремления к нулю
коэффициеНТОБ C s устаНОБИМ следующим обраЗ0М:
Обозначим через {оп} раСlllИРЯЮЩУЮСЯ послеДОБательность KO:\l
пактных областей, стремящихся изнутри к римаНОБОЙ поверхности е;.
Через O обозначим область ОП> И3 которой удалены точки, прина.n:
лежащие окрестностям Ks точек P s " Положим
М 1I . S === шах I fs (z) 1,
zEa
М " === шах Mn, s'
s:::;:п
Палее обозначим
(1k,s === шах I л (z) 't s+11
zEKs
и положим
M === шах L. P'k. s'
k п s
rде сумма распространена на те значения s, для которых точки Ps
лежат Б области ОП (ББИДУ компактности областей ОП таких точек
конечное число),
Положим теперь
1
С .
k (Mk+M ) 2k
JlerKo видеть, что при таком Быборе постоянных Ck ряд (1) раБНО
мерно сходится на любой компактной части римаНОБОЙ ПОБерхности
Е), И3 которой удалены окрестности Ks точек Р s' Кроме Toro, ряд
со
't: s + 1 f(z) === L.Ck't:s+l fk (z)
k 1
раБномерно схо.n:ится Б окрестности Ks точки Ps' Отсюда немедленно
Бытекает, что ФУНКllИЯ f(z) мероморфна на римаНОБОЙ ПОБерхности 6,
причем ее полюсы расположены ЛИlllЬ в точках ра3БеТБления Ps' В точ
ке Ps функция f{z) имеет полюс порядка ms + 1 с rлаБНЫМ членом
C s
't ms + 1 "
s
10] ЭК:СТРЕМАЛЬНЫЕ 3АДАЧИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 543
Рассматривая функцию I(z), мероморфную на римановой поверхности
<5 как аналитическую функцию на комплексноЙ плоскости, получаем,
что каждой точке Ps отвечает точка ветвления аналитической функ-
ции I(z), имеющая порядок ms, так как разложение функции {(z)
в окрестности точки Ps имеет ви.n:
-1 J... l
f(z)=== Cs(Z Zs) ms +A(f)(Z zs)mS +...
1
(напомним, что (z Zs)mS == 't s локальная переменная, отвечающая
()крестности Ks точки Ps)' Теорема доказана,
3 а м е ч а н и е, Мы доказали, что данная риманова поверхность е
является, вообще rоворя, некоторой областью на римановой поверх-
ности аналитической функции 1 (z), Вся риманова поверхность анали-
тической функции I(z) может содержать риманову поверхность е
как часть. O'n:HaKo не составляет БОЛЫl10rо Tpy.n:a .n:ополнить наше
построение таким обраЗ0М, чтобы риманова поверхность аналитичес-
кой функпии I(z) в точности совпадала с римановой поверхностью 6.
Для этой цели следовало бы написать последовательность точек Qs
римановой поверхности 6 (отличных от ее точек разветвления) таким
()браЗ0М, чтобы множество предельных точек этой последовательно-
<:ти совпадало с множеством rраничных точек римановоll поверхности
<3 (рассматриваемоЙ как область на более lllИРОКОЙ римановой поверх-
ности анаЛИТИ'lеской функции 1 (z», построить функции gs (z), имею-
щие в точках Qs полюсы, а затем построить функцию g(z) в виде
ряда
ro
g(z)== lJsgs(z)
s 1
(с .n:остаточно быстро стремящимися к нулю коэффициентами lJ s ).
Тоrда сумма функuий I(z) и g(z) даст нам функцию, .n:ля которой
риманова поверхность в точности совпадает с римановой поверхно-
<:тыо 6.
Перейдем к вопросу о конформном отображении римановых по-
верхностей,
Преж.n:е Bcero отметим, что все рассуждения 8 полностью при-
менимы и для случая, коrда О не область комплексной плоскости,
а риманова поверхность, если только мы докажем, что эту риманову
поверхность можно аппроксимировать раСlllиряющейся после.n:ователь-
НОСТЫО областей {Оп}, .n:ля которых справедлива теорема 3 5,
Таким обраЗ0М, мы .n:олжны выяснить, при каких условиях тео-
рему 3 5 можно перенести на области О, расположенные на ри-
мановОЙ поверхности е (по-прежнему предполаrая эти области
544
nРИНЦИn ДИРИХЛЕ
[rJl,8
компактными множествами, OI'раниченными конечным числом простых
кусочно аналитических кривых),
Заметим, что в доказательстве теоремы 3 5 есть три места,
которые нуж.n:аются в изменении при переходе к случаю, коrда об
ласть О является областью на римановой поверхности. Преж.n:е чем
переходить к иссле.n:ованию этих мест, несколько напомним схему
.n:ш{азательства теоремы 3 5.
Выбираем некоторую точку а области О и со.n:ержащую ее окрест-
ность К. ПО теореме 1 существует минимизирующая ФУНКllИЯ и (z)
экстремальной задачи, отвечающей ФУНКllИИ особенностей cr (z) ==
1 1
== (или cr (z) == , если точка а не является конечной точкой,
z a 't
отличной от точек разветвления). Обозначаем u (z) == и (z) + s (z). В
качестве отображающей ФУНКllИИ берем ФУНКllИЮ F (z), для которой
ФУНКllИЯ U (z) является действительной частью.
Для исследования свойств ФУНКllИИ F (z) строим ее производную
Р " ) ди . ди
t z ==' дх l ду .
Эта производная является однозначной ФУНКllией в области О и функ
цию F (z) строим по ней с помощью KOHTypHoro интеrрала
Z
F (z) == F' (z) dz.
ZO
Первое различие состоит в том, что ФУНКllИЯ р' (z) уже не бу
дет реrулярной ФУНКllией в области О с выколотой точкой а, В слу
чае, коrда область О является областью на римановой поверхности,
ФУНКllИЯ F' (z) имеет еще и полюсы в точках ра3!Jетвления римано
вой поверхности (см. доказательство теоремы 2). Это различие не
иrрает роли, так как однозначность функции F (z) в окрестности
каждой точки области О очевидна.
J{aK и для области плоскости, устанавливается, что фУНКllИЯ
V (z) == 1т F (z) сохраняет постоянное значение на каждой компо
ненте rраницы области О и что интеrрал от ФУНКllИИ F' (z) (и от
Р' (z)
фУНКllИИ Р (z) с ) по каждой компоненте rраНИllЫ области О pa
вен нулю.
Для Toro чтобы доказать однозначность фующии F (z) в области
О, нужно убе.n:юъся, что интеrрал по любой замкнутой кривой, ле
жащей в области О (и не проходящей через полюсы), от функции
р' (z) равен нулю.
Не делая никаких дополнительных пре.n:положений относительно
области О, мы можем .n:оказать только, что равны нулю интеrралы
от фУНКllИИ F (z) по любой компоненте rраНИllЫ области О и по
rранице любой окрестности К, принадлежащей области О (послед
нее из однозначности функции F (z) в любой такой окрестности).
10]
ЭКСТРЕМ.АЛЬНЫЕ 3АДАЧИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
545
Аналоrичная трудность имеется и при доказательстве однолист
ности функции F (z) в области О. Действительно, доказатеJIЬСТВО
однолистности основано на том, что Иllтеrрал
r Р' (z) d
РИ с z
дG
равен сумме вычетuп подинтеrральной функции в области а.
Таким обраЗG:\I, доказательство теоремы 3 5 удастся перенести
на области а, лежащие на римановой поверхности (5, если для лю
бых мноrосвязных областей этой римановой поверхности справеk
лива теорема о вычетах. Нетрудно проверить, что это будет иметь
место, если римаllова поверхность:5 удовлетворяет следующему про
стому rеометрическому условию:
Каждая простая за.Аuснутая 1СрllВСЯ, ле:нсащая на Рllhlановой
поверхност//, дО.л:J/Cна разбllвать ее jД два hlножества.
Римановы поверхности, удовлетворяющие это !у условию, назы
ваются по всрхностЯМ/l, подоБНЫ.Мll одНОЛllстНЫhl,
Высказанные BbIllle соображения позволЯl )Т утверждать справед
ливость сле.n:ующей теоремы:
Т е о р е м а 3. Любую риманову поверхность, подобную oдHO
ЛllС1/lНОЙ, hroжно 1Сонформно отобраз//ть на облаС1/lЬ 1СОhтле1СС
д .ар...............
нои пЛОС1СОС1/lll, 1Саж ая 1COhтOHeHma omopoll является /lЛll точ
1Сой, llЛll 01/lрез1СО.М, параллельны.АС дейстВ/l1/lельной оси.
Заметим, что любая односвязная риманова поверхность всеrда
подобна ОД1IОJIИСТНОЙ. Поэтому важным частным случаем теоремы 3
является
Т е о р е м а 3*, Любую односвязную pllhlaHOBY поверхность hlОЖ
но 1Сонфор.Atно отобраз//ть на 1Сонечный //Лll беС1Сонечный 1CpYi!.
Эту теорему, являющуюся обобщением теоремы Римана (см. 1
r л. 6), f<ебе назвал «общим принципом униформизации».
С помощью неБОЛЫl10rо обобщения теоре:\!bI 2 4 rл. 6 можно
.n:оказать и теорему об единственности отображения (правда, лишь
для компактных областей, так как ВОСПОJlьзоваться замечанием к
это Н теореме уже не удастся). Интересно отметить, что теорема об
единственности конформноrо отображения для произвольных обла
стей римановых поверхностей, как показал Кебе *), уже неверна,
В качестве приложения теоремы 2 докажем один результат:
Т е о р е м а 4, КОhта1Стная pllhlaHOBa поверхность, подобная
одНОЛllстной // llhlеющая 1Сонечное число листов, является pи.мa
новой поверхностью ФУН1Сции, обратной 1с рациональной ФУН1Сll/Щ.
*) См, статью Кебе, Ober die Uпifоrшisiеruпg beliebiger ana1ytischer
Кurvеп, " Journ. f, d. rеiпе и, апgеw. Math, 138 (1910).
18 А. rуРВНЦ, Р, 1\.ураllТ
546
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
rrJI,8
Действителыю, по теореме j такая риманова поверхность отобра
жается на всю раСlllиреннуlO плоскость. Функция, обратная к отобра
жающей функции, должна быть поэтому реrулярна во всей расширен
ной плоскости, за исключением конечноrо числа полюсов. По теореме 1
5 rл. 4 эта функция рациональна. Отсюда и вытекает наше утверж
дение.
И3 доказанной теоремы косвенным обраЗ0М вытекает существо
вание областей на римановых поверхностях, отличных от областей,
подобных о.n:нолистным.
Действительно, любая ри
манова поверхность алrе
браической функции (см.
5 r л. 4) является замк
нутой конечнолистной ри
мановой поверхностью.
С .n:руrой стороны, ясно,
что .n:алеко не любая ал-
rебраическая функция является функцией, обратной к рациональ
ной. Следовательно. алrебраические функции, обратные к KOTO
рым не рациональны, имеют, соrласно теореме 4, римановы по-
верхности, не подобные о.n:нолистным. На таких поверхностях
должны быть замкнутые кривые, не разбивающие поверхность. Такие
кривые называютСя ЦII1СЛllчеС1СZl.АUI сеченZlЯЖZl. Впрочем, в существо
вании таких кривых можно убедиться и непосредственно. Например,
так ой кривой на римановой поверхности аналитической функции
V(Z2 а\!) (Z2 Ь 2 ) является кривая, обходящая разрез ( a, Ь),
но не обходящая разрез (Ь, а) (рис. 99). В первом параrрафе сле.n:у
IOщей r лавы мы по.n:робнее 0знакомимся с природой циклических
сечений на алrебраических римановых поверхностях.
'\. '\ '\.. '\.. '\.. "-
"
G"\\\\\\\\' '
'\. " .... "
Рис, 99.
rлава девятая
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Эту rлаБУ ПОСБЯТИМ применению результаТОБ после.n:них параrра
фОБ пре.n:ы.n:ущей rлаБЫ к изучению мероморфных функций на рима-
НОБЫХ ПОБерхностях. Этот подход даст нам Б03МОЖНОСТЬ изложить
мноrие rлубокие БОПрОСЫ теории аналитических функций с единой
точки зрения. Изложим ОСНОБные факты теории алrебраических
функций и абелеБЫХ интеrР ЛОБ, докажем некоторые теоремы ИJ
теории аБТОМОРфных функций и теоремы об униформизации аналити-
ческих функций.
В этой r лаБе нам при.n:ется Б Болыllйй степени, чем прежде,
стаЛКИБаться с некоторыми элементарными фактами И3 тополоrии И
алrебры. О некоторых СБе.n:ениях И3 тополоrии будет и.n:ти речь Б
перБОМ параrрафе, друrие будут БХОДИТЬ по мере надобности.
1. Тополоrические образы алrебраических римановых
поверхностей
Как мы уже rОБОрИЛИ, Б этой rлаБе бу.n:ем изучать функции.
мероморфные на римаНОБЫХ ПОБерхностях. При этом нас бу.n:ут особо
интереСОБать функции на римаНОБЫХ поверхностях, не подобных
ОШIOЛИСТНЫМ. В СБЯ3И С этим нужно ближе П03НaI<ОМИТЬСЯ со строе-
нием таких ПОБерхностей.
Сре.n:и Бсех римаНОБЫХ ПОБерхностей наиболее простым устрой-
ством обладают так назыпаемые аЛi!ебраllчеС1Сllе Рll.мановы nоверх-
НОСnlll, т. е. 1Со.мnа1Стные римаНОБЫ ПОБерхности. Соrласно определе-
нию римаНОБа ПОБерхность на3ЫБается 1Со.мllа1Стной, если ее можно
покрыть конечным числом окрестностей. Отсю.n:а немедленно Бытекает,
что такая римаНОБа ПОБерхность должна иметь ЛИlllЬ конечное число
точек ра3БеТБления, а значит, и конечное число ЛИСТОБ. Ясно также,
что Н3 УСЛОБИЯ компактности Бытекает ОТСУТСТБие у РИ:\laIIOВОИ
ПОБерхности краев. Поэтому алrебраическая риманова ПОБерхность
может быть склеена И3 конечноrо числа экземпляров раСlllИРбшоil
комплексной плоскости, разрезанной по конечному числу лучеtl_
(Часто у.n:обнее пре.n:стаБЛЯТЬ себе раСlllиренную комплексную ПJЮ-
скость Б Биде сферы.)
18.
548
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
Мы доrоворилиСЬ считать 'n:Be римановы поверхности совпада
ющими (см. 3 rл. 4), если они получены .n:pyr И3 .n:pyra тополоrи
ческим отображением, сохраняющим проекции точек. ДальнеЙlllеrо
упрощения можно достичь, если рассмотреть любые тополоrические
образы римановой поверхности. Разумеется, при этом потеряются
некоторые свойства римановой поверхности, но мноrие важные свой
ства сохранятся. В частности, очевидно, что при тополоrических
отображениях циклические сечения останутся циклическими сечениями
(напомним, что Цll1СЛllчес1СИ.м сечение.м называется замкнутая кривая,
лежащая на поверхности, но не разбивающая ее на 'n:Be части).
В СВЯ3И с тем, что нас бу.n:ут занимать в основном римановы поверх
ности, не подобные однолистным, вопрос О циклических сечениях
на римановых поверхностях будет нам особенно интересен.
Преж.n:е чем переходить к описанию общеrо процесса преобразо
вания произвольной алrебраической римаl10ВОЙ поверхности к простей
тему виду, рассмотрим два примера TaKoro преобраЗ0вания.
в качестве первоrо примера рассмотрим риманову поверхность
аналитической функции
w ==== V (Z2 a 2 )(z2 Ь 2 ), О < а < Ь.
Леrко видеть, что эта функция .n:вузначна, т. е. ее риманова поверх
ность состоит И3 двух листов, Леrко проверить также, что эта фУI1К
ция становится однозначной после проведения в плоскости z разреЗ0В
( co, Ь), (Ь, + со) и ( a, а). Действительно. по теореме О MOHO
дромии функция 11 Z2 Ь 2 однозначна в плоскости с разрезами
( co, Ь) и (Ь, + со), а функция -V 22 а 2 о.n:нозначна в плоско
сти С разреЗ0М ( a, а). Поэтому риманова поверхность функции
Рис. 100,
Рис, 101,
V(Z2 а 2 ) (Z2 Ь 2 ) склеивается И3 'n:BYx экземпляров сферы с раз
резами ( a, а), ( co, Ь) и (Ь, + со) (последние два разреза
представляют собой на сфере один разрез). Разрезы, которые нужно
склеить меж.n:у собой, помечены на рис. 100 о.n:инаковыми буквами.
Непрерывно деформируя сферы, мы можем превратить I1рорези на
сферах в круrлые дыры (рис. 101), а затем превратить одну И3 сфер
1]
тополоrИЧЕСКИЕ ОБРАзы
549
в изоrнутый цилин.n:р. СовеРlllая склеивание, получаем фиrуру, изобра-
женную на рис. 102.
Эту фиrуру мы моrли бы при желании непрерывно деформировать
в тор.
Рис. 102,
в качестве BToporo примера рассмотрим риманову поверхность
аналитической функции
w == v (Z2 а 2 ) (Z2 Ь 2 ) (Z2 с 2 ),
О<а<Ь<с.
-
Те же соображения, что и в первом примере, позволяют нам убе-
диться, что эта риманова поверхность может быть склеена И3 двух
экземпляров сферы с тремя разрезами
( c, Ь), ( a, а), (Ь, с).
Непрерывной деформацией превращаем прорези на
сферах в круrлые дыры, а затем превращаем одну
И3 сфер в по.n:обие тройника водопроводной трубы.
Склеивая их меж.n:у собой, получаем фиrуру, изобра-
женную на рис. 103. Эта фиrура получена И3 фи-
rypbI рис. 102 добавлением второй ручки, соеди- Рис. 103.
няющей тело сферы с первой ручкой. Непрерывной
деформацией можем переместить место присое.n:инения второй ручки
на тело сферы. Tor.n:a получим фиrуру, изображенную на рис. 104.
Покажем ниже, что любая аЛi!ебраическая ри./;(анова поверхность
топОЛОi!ически эквивалентна сфере с HeKomopbIhl число./;( ручек.
Число ручек является важной тополоrической характеристикой алrеб-
раической римановой поверхности. Это число называется родо./;( (или
жанро'/;() римановой поверхности.
Прежде чем переходить к .n:оказательству сформулированноrо
утверждения, выясним некоторые свойства сферы с g ручками, как
тополоrическоrо объекта.
Заметим прежде Bcero, что все сферы с одинаковы./;( число./;(
ручек топОЛОi!ически эквивалентны hlежду собой. Этот факт можно
CTporo .n:оказать, но он достаточно очевиден И3 на1"JIЯДНЫХ rеометри-
ческих соображений, так как место прикрепления ручки к поверхности
55U
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rn.9'
можно непрерывной .n:еформациеи перевести в любое место поверх
ности (в частности, на любую друrую ручку).
Будем пре.n:ставлять себе сферу с ручками в наиболее простом.
ви.n:е, коrда все ручки прикрепляются обоими концами к телу сферы
и расположены .n:остаточно далеко друr от .n:pyra (переплетение ручек
между собой в пространстве не имеет значения, но и от Hero леrко
освободиться, передвиrая место прикрепления ручек ({ сфере).
На сфере с g ручками леrко найти 2g попарно не rомотопных
(т. е. не получающихся O'n:HO И3 друrоrо непрерьшноИ деформацией
в пределах нашей поверхности) циклических сечениИ. Именно имеем {[
сечений, идущих поперек каждой ручки, и g сечений, идущих вдоль
каж.n:ой ручки (рис. 104).
Рис, 104,
rеометрически очеви.n:но, что перерезав каждую И3 g ручек по
перек, мы получим сферу с 2g дырками. Столь же очеВИДIlО и
обратное утверждение: если склеить между собой края .n:ырок на
сфере с 2g .n:ырками, получим сферу с g ручками.
Эти 'n:Ba утверждения сформулируем сеИчас в несколько более
четком виде:
Л е м м а 1. Пусть .мы ll..MeeAt сферу с 2g cIbIpKaMll
11' 1;; 1\1' 1 ; _..; Ig' 1
(под Ik И 1/' l\1Ы понимаем кривые, оrраничивающие эти дырки).
YcmaHOBll.:U топОЛОi!llческое coomBemcmBlle .между точкаhlll Kpll
ВЫХ Ik II 1 II отождестВll.:U hlежду собой тОЧКll, cooтBeтcтBY
ЮЩllе дРУ2 cIpyzy. ТО2да сфера с 2g дырка.ми, дополненная.точка.Мll
i!раНllЧНЫХ KpllBbIX Ik II 1 (k === 1, 2, .." g), топОЛО2llчеСКll ЭКВllва
лентна сфере с g ручкаhlll, еСЛll только выполнено УСЛО611е:
а) Прll каждОhl k === 1, 2, .,., g топОЛОi!llческое COOmBcmcm611e
hlежду КрllВОЙ Ik II 11, устанаВЛllвает протllвоположную oplleHma
ЦllЮ этllХ KpllBblX отНОСllтельно пOBepXHocmll сферы.
Условие а) cOBepllleHHo необходимо .n:ля Toro, чтобы после скле
ивания 'n:bIPOK получить орllентllруе.Af.УЮ (т. е. двухстороннюю) поверх
< 1]
ТОnОЛОП1ЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
551
IЮСТЬ. Сформулированную лемму также можно .n:оказать с полной CTpO
rостью, но на уровне тех rеом трически наrлядных соображений.
которыми мы пользуемся, ее следует считать очевидной.
Введем сейчас важное .n:ля .n:альнеЙlllеrо понятие полноzо рассече
.fIllЯ сферы с g ручками.
Будем rоворить, что система циклических сечений
r 1 , r 2 , .." r 2g
(1)
дает полное рассечение сферы с g ручками. если циклические сече
ния r k удовлетворяют условиям:
1. Все сечения системы (1) проходят через одну и ту же точку,
но не имеют .n:руrих общих точек (ни .n:ля одной пары сечений).
2. После прове.n:ения разрезоп по всем сечениям системы (1) наша
-сфера с ручками превращаеl'СЯ в ОДНОСВЯ3НУЮ область.
Покажем сейчас (на обычном rеометрически наrлядном уровне),
что для сферы с g ручками можно построить полное рассечение,
С этой целью сначала проведем циклические сечения Ql' Q2' ...
. ", Qg' идущие поперек каждой И3 ручек, Затем возьмем на сфере
с ручками некоторую точку РО. а также по о.n:ной точке Р ,. на каж
ДОМ И3 сечений Qk' Далее, через точки РО и Р ,. прове.n:ем цикличе
ское сечение Qi, (оно идет в.n:оль соответствующей ручки). При этом
сечения Qj, выбираем таким образом, чтобы они не имели попарно
общих точек, за исключением точки РО (ВО3МОЖIЮСТЬ этоrо rеометри
чески очевидна, так как мы можем вы.n:елить каждой ручке свою
'n:OJlbI<y сферы и проволить все линии, опюсящиеся к этой ручке
в ее дольке). Наконец, сечение Qk бу.n:ем непрерывно .n:еформировЗ1Ъ,
передвиrая точку Р ,. по сечению Qi. .n:o совпа.n:ения с тОчкой РО.
Поскольку при непрерывной деформации сечение остается ЦИКJlИче-
ским, получаВlllаяся [! результате система сечений
I't === Q , r 2 === Q , ..., r g === Q . r g+1 === дl' ,.., r 2g == Qg
удовлетворяет условию 1. С друrой стороны, проводя разрезы по
циклическим сечениям Ql' Q2, ..., Qg' получаем сферу с 2g .n:ырками.
После проведения этих разреЗ0В каждое сечение Qj, распадается
на две части, каждая И3 которых сое.n:иняет точку РО С одной Н3
'n:BYx дырок, В03НИКlllИХ от разреза по сечению Qk. Поэтому после
проведения разреЗ0В по сечениям Ql' Q2' ..., Q g получаем сферу
с 2g дырками, каждая из которых соединена с точкой РО половиной
.сечения Qj,. Сле.n:овательно, прове.n:я еще и разреаы по сечениям
Q , Q , ..., Q , получим И3 наlllей сферы с g ручками сферу с одноЙ
дыркой, т. е. о.n:носвязную область. Проведенное рассуждение спра-
ведливо при любом положении точек Р ,. на сечениях Qi" и потому
ero результат остается в силе. K01-.n:a эти точки сливаются с точкоЙ Ро-
Таким обраЗ0М, условие 2 для наlllей системы циклических сечениЙ
552
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНI<ЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
также удовлетворено, и существование полноrо рассечения сферы
с g ручками доказано.
Каждый разрез наlllей сферы с ручками по циклическому сече
нию r k имеет 'n:Be стороны Р1; и Р;;, Поэтому после проведения на
наlllей сфере с g ручками всех 2g разреЗ0В по сечениям системы (1)
получаем о.n:носвязную область 0*, оrраниченную 4g кривыми
rt, 1';, .", rt g , Р 1 , 1'2:, ..., 1'2: g .
Эта область тополоrически эквивалентна 4g уrольнику, Стороны
этоrо 4g уrольника разбиваются на пары
1'1;, Р;; (k === 1, 2, ..., 2g),
причем между стороной rk и стороной Р;; имеется тополоrическое
соответствие соответствующие точки отвечают одной точке наlllей
сферы с ручками, Склеивание соответствующих точек сторон 4g уrоль
ника .n:aeT нам обратно сферу с g ручками,
Докажем сейчас и значительно более важное утверж.n:ение, .n:o He
которой степени обратное к сделанному выше:
Л е м м а 2. Пусть дан 2п УZОЛЬftllК со сторонами
11", 11; 1;' 12:; ...; 1 ' 1;;'
II пусть для каждой пары сторон 11; II 1-'; установлено тОnОЛОZll
ческое соответствие между точкаМll этих сторон, удовлетво
ряющее условиям:
а) Для каждоzо k === 1, 2, ..., n Орllентация сторон 11; II Ik
по отношению к внутренности 'мНОZОУZОЛЬftlша (устанавливаемая
тополоrичесКИМ соответствием между ними) протllвоnоложна.
б) В веРШllftах нашеzо МНОZОУZОЛЬftllКа тополоzические cooт
ветствия примыкаЮЩllХ к этllМ веРШllна.и сторон соzласованы.
Тоzда наш 2п уzольник, к которому присоедllнены тОЧКll ezo
сторон, nрllчем соответствующие тОЧКl1 сторон 11; II 1-'; отож
дествлены, топОЛОZllчески эквивалентен сфере с g ручка.tfZl, zде
rn
ЧIIСЛО g удовлетворяет неравенству g 2.
Покажем, что наш 2п уrольник со склеенными сторонам и тополо-
rически эквивалентен сфере с 2g дырками (которые также склеива-
ются парами), и применим лемму 1. С этой целью проведем следу-
ющий процесс.
Сначала склеим какую либо пару сторон, скажем li и 11' в силу
условия а) получим ориентированную понерхность. Она будет сферой
с о.n:ной или двумя .n:ырками, и каж.n:ая 'n:blpKa будет оrраничена
сторонами Halllero мноrоуrольника. далыlle склеим еще одну пару
соответствующих сторон, лежащих в о.n:ной дырке, и будем продолжать
такие склеивания .n:o тех пор, пока не окажется, что ни в одной 'n:blpKe
нет пары соответствующих сторон. Tor.n:a начнем склеивать пары
1)
тоnолоrИЧЕСКИЕ ОБРА3Ы
553
сторон, лежащие в разных дырках (но .n:ырки, оrраниченные только
ОДНОЙ стороной, мы не ТРО1'аем). При склеивании пары сторон,
лежащих в разНЫХ дырках, на сфере с .n:ырками образуется одна
ручка, а Число дырок уменыllетсяя на единицу (за счет слияния двух
.n:ырок в одну). Tor.n:a разрежем обраЗ0ваВlllУЮСЯ ручку поперек
(она была склеена вдоль). Эту операцию бу.n:ем проделывать до тех_
пор, пока не окажется, что каж.n:ая И3 дырок оrраничена ЛИlllЬ о.n:ной
И3 сторон Halllero мноrоуrольника (или возникла от .n:ополнительных
разреЗ0В). Поскольку все наши .n:ействия сохраняют тополоrическуlO
эквивалентность (l'раницы возникаЮIlJ,ИХ новых разреЗ0В, разумеется,
отождествляются), мы показали, что Halll мноrоуrолышк ТОПОЛО1'ически
эквивалентен сфере с некоторым числом отождествленных дырок,
а сле.n:оватеJIЫIO, и сфере с некоторым числом ручек. Остается oцe
нить число ручек. Для этоrо достаточно заметить, что при склеивании
одной пары сторон число дырок в сфере увеличивается не больше
чем на единицу. Поэтому число .n:ырок не превосхо.n:ит п, а число
n
ручек "2 .
Опираясь на лемму 2, .n:окажем теперь сформулированную ВЫlllе
теорему.
т е о р е м а 1. Любая алzебра1lчеС1Сая plUraftOBa поверхность
топОЛОZllчеС1С1l Э1СВllвалентна сфере с не1Соторым Ч1lСЛОМ руче1С.
В силу леммы 1 .n:остаточно пока3а1Ъ, что любая алrебраическая
риманова поверхность тополЬrически эквивалентна мноrоуrольнику
С отождествленными сторонами (с соблюдением условий а) и б)).
Для этой цели вьr.n:елим то'П(и аl' а2' ..., a s ' над которыми наша
риманова поверхность имеет точки разветвлении, и проведем И3 этих
точек попарно непересекающиеся лучи (по O'n:HOMY лучу из каж.n:ой
точки). Комплексную плоскость, И3 которой удалены эти- лучи,
обозначим через В. Область В односвизна, и потому (см. 4 rл. 4)
часть римановой поверхности, лежащая Ha.n: областью В, распа.n:аетси
на т экземпляров области В. Вся риманова поверхность получается
склеиванием этих т экземплиров по разрезам, состаnЛИЮIЦИМ rраницу
области В. При этом склеивании каждому краю каждоrо разреза
каждоrо из т экземпляров области В ставится в соответствие ровно
один край HeKoToporo разреза одноrо И3 экземпляров, именно тот
самый, с которым выбранный край сое.n:инялси .n:o разрезания римано
вой поверхности. Поскольку на римановой поверхности каж.n:аи точка
разреза имеет своей окрестностью однолистный Kpyr, тополоrическое
соответствие точек склеиваемых разреЗ0В заве.n:омо удовлетворяет
условию а). В силу отсутствии у алrебраической римановой поверх
ности rраничных точек условие б) выполняется аВТОматически.
Область В тополоrически эквивалентна внутренности HeKoToporo
мноrоуrОЛbllИка. Ero сторонат.lИ ивляются ирая разреЗ0В. Поэтому
БСЯ Hallla риманова поверхность тоnолоrически эквивалентна т MHoro
554
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.ЛНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9'
уrОЛЫlИкам, у которых вся совокупность ИХ сторон разбита на отож
дествленные пары, ЭТИ мноrоуrольники после СКJlеиванин всех отож
.n:ествленных сторон соединяются в связное множество (мы знаем,
что риманова поверхность по построению является связным MHO)l{e
ством). Поэтому мы Bce1'.n:a можем занумеровать наши мноrоуrолыlИКИ
так, чтобы у k ro и у (k + 1 ) ro мноrоуrольника при любом
k == 1, 2, ,.., т 1 существовала хотя бы одна общая сторона.
Приклеивая по имеющейся общей стороне первый мноrОУI'ОJ1ЫIИК
ко второму, второй к третьему и т. .n:" мы ви.n:им, что римаНОllа
поверхность тополоrически эквивалентна O'n:HOMY мноrоуrолыlИКУ, COBO
купность сторон KOToporo разбита на отож.n:ествленные пары. Тем
самым теорема доказана,
Отсюда немедленно вытекает
Т е о р е м а 2. На любой алzебраической римановой nOBepXHocmll
рода g существует система циКЛllческих сечений
Ql' Q2' "" Q2g'
(2)
дающая полное рассечеНСlе этой ри.мановой nовеРХНОСnlll.
3 а м е ч а н и е. Сре.n:и всех возможных систем (2), дающих полное
рассечение римановой поверхности, можно выбрать такую систе 1У,
которая помимо условий 1 и 2 у.n:овлетворяет еще и условию
3. Любому данному циклическому сечению Qs системы (2) OTBe
чает ровно O'n:HO циклическое сечение Q;, также входящее в систему
(2), которое пересекает сечение Qs 11 точке РО, общеЙ .n:ля всех
сечений этой системы (остальные сечения системы (2) лишь ПрИ({(lCа
ются в этой точке к сечению Q s' не переходя с одной ero стороны
на .n:руrую).
ДеЙствительно, для сферы с g ручками такая система ЦИКЛИ'1е
ских сечений существует. Именно ее мы построили .n:ля доказатеJIЬ
ства существования ПОЛНО1'0 рассечения сферы с ручками.
Полное рассечение римановой поверхности, удовлетворяющее
условию 3, бу.n:ем называть каноническим рассечеНСlея этоЙ рима
новой поверхности.
Сечения Qs и Q;, упоминающиеся в условии 3, называютCI
соnряжеННЫ.ми циклическими сечениями.
Дли каноническоrо рассечения римановой поверхности бу.n:ем
ИСПОЛЬЗ0вать специальные обозначения: систему циклических сечений,
дающих каноническое рассечение римановоЙ поверхности, бу.n:ем
записывать в виде
А 1 , А 2 , ..., Ag, В 1 , В2' ..., Bg.
rде сечения As и Bs являются сопряженными циклическими сечениями.
Пусть .n:aHa РЮ13IlOва поверхность О. После проведения К3IIOllИче
cKoro рассечения эта риманова поверхность превращается В UД1IO
!i 21
АБЕJlЕВЫ ИНТЕrРАJlЫ
555
<:вязную область 0*. rраница этой области состоит И3 краев разреЗ0В
110 циклическим сечениям As и Bs' Каж.n:ый разрез имеет два края,
которые мы бу.n:ем об03l1ачЗ'JЪ через A,t и А; (соответственно, Bi
11 В;), Об/ость 0* ТОПОЛО1'ически эквивалентна 4g уrольнику. сторонам
KOToporo отвечают края разреЗ0В
Aj. A . ..., А;. А.... .. A:g. Bt.. .., В;. В.. ..., Bg.
Нетрудно убе.n:юъся. что эти стороны сле.n:уют .n:pyr за .n:pyroM в
<:ле.n:УlOщем поря.n:ке (при по.n:ходящем выборе нумерации):
At. Щ, AJ' . At. B . А2' B2 ' .... А;. и;, A:g. Bg.
Произвол В выборе каноническоrо рассечения римановой поверх
lЮСТИ довольно велик. В частности. какова бы ни была о.n:носвязная
{)бласть К на римановоЙ поверхности. Bcer.n:a можно выбрать канони
ческое рассечение таким обраЗ0М. чтобы область 0* со.n:ержала
()блаС1Ъ К.
2. Абелевы интеrралы
О.n:ним И3 крупных .n:остижениЙ, полученных в результате разви
"fия и.n:ей Римана. является решение вопроса о структуре множества
алrебраических функциЙ. однозначных на .n:анной алrебраической ри
маllОВОЙ поверхности. Об этом вопросе и бу.n:ем rоворить в ближай
lllИХ двух параrрафах. Оказывается, что структура множества самих
ащебраических функциЙ значительно сложнее, чем структура мНоже
<:тва неопределенных интеrралов от этих функциЙ. Поэтому И3УЧИМ
Оlа'lала эти неопре.n:еленные интеrралы, называемые обычно абелевыми
интеrралами по имени норвежскоrо математика Абеля. обраТИВlllеrо
внимание на важность изучения этих интеrралов .n:ля теории аЛI'ебра
ичеСIШХ функциЙ и занявшеrося систематическим их исследованием.
Поскольку мы начинаем не с понятия алrебраическоЙ функции.
а с понятия абелева интеrрала, нам естественно определить абелев
юпеrрал независимо от понятия аЛ1'ебраической функции.
С этоЙ целью заметим, что на римановой поверхности, как и на
комплексной плоскости, можно рассматривать не только однозначные,
но и мноrозначные аналитические функции.
Абелевым llнmеzралом на алrебраическоЙ римановоЙ поверхно
сти О будем называть произвольную мноrозначную аналитическую
,функцию j (z) на этой поверхности. обла.n:аlOЩУЮ своЙствами:
1. Значения любых 'n:BYX элементов функции j (z) в одной и тоЙ
же точке римановой поперюIOСТИ О отличаются ЛИlllЬ постоянным
,слаrаемым.
2, В окрестности каж.n:ой точки римановоЙ поверхности О функ-
ЩIЯ j (z) или мероморфна, или может быть предстаВJlена в виде
j(z)== с ln (z а) + f(z).
556
МЕроморфНЫЕ функции НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
r.n:e ФУНКЦИЯ f(z) мероморфна в этой окрестности, а с постоянная.
Иа этоrо опре.n:еления сразу же вытекает сле.n:ующее очеви.n:ное
утверж.n:ение:
Для mozo чmобы мноюзначная анаЛllmllчеС1Сая ФУН1СЦllЯ j (z)
на алzебраllчес1СОЙ рll.мановой nOBepXHocmll О была абеЛСВЫ_lt llHmez
ралод, необходllМО и достаточно, чтобы ее nроизводная j' (z) бы
ла ФУН1СЦllей, .мероморфной на эmой Рll.ftановой nOBepXHocmll.
Поскольку функция, мероморфная на алrебраической римановой
поверхности, является алrебраической функцией, мы связали Hallle
определение с опре.n:елением, о котором rопорили в начале параrрафа.
Абелевы интеrралы принято делить на три po.n:a по характеру их
особых точек:
Абелевым llнmezраЛО.Аt nepBozo рода называется абелев интеrрал,
не имеющий особых точек на всей римановой поверхности о-
Абелевым инmezралом Bmopozo рода называется абелев инте1'рал,
имеющий на рима новой поверхности О только полюсы.
Абелевым llнmеzрало.lt mpembezo рода называется абелев интеr-
рал, имеющий на римановой поверхности О и лоrарифмические осо-
бые точки.
Нас бу.n:ет интересовать характер мноrозначности абелевых ин-
теrралов на римановой поверхности О. Чтобы характеРИЗ0ВЮЪ эту
мноrозначность, естественно ввести в рассмотрение величину
var j (z) ==== dj (z),
с с
r.n:e С произвольная замкнутая кривая на римановой поверхности О,
не прохо.n:ящая через особые точки абелева интеrрала j (z). Эту Be
личину будем называть llЗ.менеЮlем абелева llнmеzрала j (z) по за.М-
1Снутой 1Сривой С.
JlerKo ви.n:еть, что величина var j (z) равна разности меж.n:у 3l1аче-
с
нием исхо.n:ноrо элемента абелева интеrрала j (z) в какой-либо точке
кривой С и значением элемента, полученноrо И3 ИСХО'n:НОrо аналю'и-
ческим про.n:олжением по кривой С.
И3 определения абелева интеrрала видно, что var j (z) не зависит
с
от выбора исхо.n:ноrо элемента абелева интеrрала j (z) в точке кри-
вой С.
И3 опре.n:еления абелева интеrрала ви.n:но также, что абеле в ин-
теrрал является о.n:нозначной функцией точки римановой поверхности
в каж.n:ой окрестности, не со.n:ержащей ero лоrаРИф lИческих особых
точек. Поэтому величина var j (z) не меняется при непрерывной де-
с
формации кривой С в пределах каж.n:ой такой окрестности. Тем са-
мым мы доказали, что имеет место
!i 2)
АБЕЛЕВЫ ИНТЕrРАЛЫ
557
с в о 11 с т в о 1. Изменение абелева /lНтеzрала по за.Аt1СНУnZОЙ
кр//вой не меняется при непрерывной деформаЦ/11l эnzой KPllBOU,
еСЛ/1 nzолько кривая не переход//nz через лоzаРl1фМl1чеС1С11е особые
точки абелева инmezрала.
Пусть теперь имеем абелев интеrрал j (z) с лоrарифмичеcz<ими
особыми точками аl' а2,..., a r , в окрестности которых .n:ля Hero
имеет место разложение
j(z)==C k ln 'tk
(k==l, 2,..., r),
r.n:e 'tk локальная переменная, отвечающая окрестности точки ak
(см, 3 rл. 4 и 10 rJI. 8). Величину Ck бу.n:ем называть вычеmом
а6елева 1/нmеzрала j (z) в лоzаР/lфмической особой mочке ak'
Прове.n:ем на римановоЙ поверхности О циклические сечения
А 1 ,..., Ag, В 1 ,.,., Bg, (1)
обра3УЮlцие каноническое рассечение этой римановоl1 поверхности.
Можем считать, что это каноническое рассечение выбрано таким
обраЗ0М, чтобы сечения (1) не прохо.n:или через лоrарифмические
особые точки абелева интеrрала j (z). Обозначим
As==varj(z) (8==1,2,.." g),
As
Bs == var j (z)
в
s
(8 == 1, 2,..., g).
с в о й с т в о 2, ИЗ.lfенение а6елева //нтezрала j (z) по любой
замкнутой кривой С, не проходЯ1цей через ezo особые тОЧК/l,
равно
g r
(nZsAs + mg+sBs) + 2т;iСk' 1l1;"
s 1 k 1
zде тl' т2"'" m2g 1/ т;, т ,..., т целые Чllсла, определяемые
по КРllВОЙ С.
Для .n:оказатеЛЬСПJа этоrо своЙства замеТИ:\I, что величина
var j (z)
с
является ад.n:итивноЙ функцией замкнутых кривых С, т. е. если замк
нутая кривая С составлена И3 пвух последовательно проходимых
кривых С 1 И С 2 , то
var j (z) == var j (z) + var j (z).
с С 1 С 2
Кроме Toro, своЙство 1 0значает, что
var j (z) ==:: var j (z),
с С'
558
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
если кривые С и С rомотопны на римановой поверхности О с BЫ
колотыми точками а., а2"'" a r . С .n:руrой стороны, леrко .n:oKa3bIBa
ется, что любая замкнутая кривая, лежащая на римановой поверхно
сти О и не прохо.n:ящая через точки а., а2'.'" a r , может быть
представлена в ви.n:е суммы простых замкнутых кривых, каж.n:ая И3
которых rомотопна о.n:ноЙ И3 сле.n:ующих кривых:
1) O'n:HO И3 циклических сечений системы (1);
2) окружность сколь yro'n:Ho маЛОrо радиуса с центром в точ
ке ak
(или может быть стянута в точку, отличную от точек аl'.'" a r ).
Отсю.n:а неме.n:ленно вытекает свойство 2.
Числа Ak и Bk бу.n:ем называть Цll1СЛllчеС1СllМll периодами абелева
интеrрала j (z), а числа 27tiCk ero полярНЬL-llll периодами. Кроме
Toro, циклические перио.n:ы Ak бу.n:ем называть иноrда А периода.tfll
абелева интеrрала j (z), а циклические периоды Bk соответственно
В периода.Шl.
Полярные периоды имеются лишь у абелевых интеrралов TpeTb
ero po.n:a, абелевы интеrралы первоrо и BToporo рода обла.n:ают ЛИlllЬ
циклическими периодами.
Меж.n:у периодами абелева интеrрала существуют важные зависи
мости.
т е о р е м а 1. СУМ.АЮ всех полярных периодов абелева иHтa
рала равна нулю.
Для цоказатеJlьства произве.n:ем каноническое рассечение римано
воЙ поверхности О и рассмотрим изменение абелева интеrрала j (.2')
по всей rранице односвязной области 0*, получающейся в резуль
тате этоrО рассечения. С о.n:ноЙ стороны,
var j (z) === О,
дО>
так как
g g
varj(z)=== (var j(z) varj (z» + (var j(z) varj (z»,
дО> k 1 А!; Ak k l В;; B'k
а
var j (z) === var j (z), vaLr j (z) === var j (z)
Ak А!; Bk В!;
(ибо кривые А!; и AJ;, соответственно В1; и Bj;, совпадают .n:pyr с
друrом). С .n:руrой стороны, на римановой поверхности О с ВЫКОЛ0
тыми точками а., а2"'" a r rраница односвязной области 0* rOMo
топна сумме окружностеЙ достаточно малоrо радиуса с центрами в
TO'lKax аl' а2"." a r . Поэтому
r r
var j (z) === . var j (z) === 27ti Ck'
дО> k 1 iZ ak: p k l
!i 2]
АВЕЛЕВЫ ИНТЕrРАЛЫ
559
Сле.n:овательно,
r
2: Ck==O,
1F=1
и теорема доказана.
Циклические перио.n:ы абелевых интеrралов мы опре.n:елили пока
с точностью до зн<:ка. Для сле.n:ующих теорем нам понадобится ис
ключить эту неопределенность. С этой целью фиксируем произволь
ным обраЗ0М направление циклических сечений А 1 ,..., Ag. Направле
ние края At возьмем совпадающим с направлением caMoro сечения
Ak и положительным относительно области 0*. Tor.n:a направление края
А!; будет совпадать с направлением сечения A k , но бу.n:ет отрицатель
ным относительно области 0*. Циклическое сечение Bk сопряжено с
циклическим сечением A k , т. е. оно является е.n:инственным сечением
наlllей системы, пересекающим сечение Ak' Направление сечения ВТ,
возьмем таким, чтобы оно ШJlО от края А!; к краю At. Направление
краев Bt и В!, определим так же, как и .n:ля сечений Ak'
Леrко проверИ1Ъ, что при таком выборе направлений циклических
сечений справе.n:ливо утверж.n:ение:
Л е м м а 1. Абелев llftтezрал j (z) пеРВО20 или втОрО20 рода пpeд
ставляет собой однозначную ФУН1сцию в области 0*, полученной
1СаНОНllчеС1Сим рассечеНllем Рllмановой пOBepXHocтll О. При этом
для однозначной в области 0* ветви абелева I/нте2рала j (z)
справедливы формулы
j (z) ' А + j (z) IA == Bk'
k Т,
j (z) !Bt j (z) I B ,; == Ak
(разности берутся в соответствующих точках краев разреза).
Действительно, однозначность абелева интеrрала j (z) следует И3
о.n:носвязности области 0* и И3 свойства 1 абелевых интеrралов: лю
бую замкнутую кривую С, лежащую в области 0*, можно стянуть
в точку (в силу ощюсвязности области 0*), и потому var j (z) == О
с
(в силу свойства 1).
Далее, ра31ЮСТЬ
j (z) I A + j (z) \A
k Т,
не зависит от выбора точки на разрезе Ak (в силу свойства 1).
Поэтому мы можем взять точку, общую всем сечениям Ak и ВТ,.
Tor.n:a
j (z) 'А+ j(z) \A ==varj (z)== Bk'
k k Bk
COBepllleHHo аналоrично доказывается и второе равенство.
560
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОвЕРХНОСТЯХ
[rл.9
Интеrралы TpeTberO po.n:a не бу.n:ут о.n:нозначными функциями в
области 0*, так как они имеют лоrарифмические особые точки.
Для выделения однозначной ветви в области 0* абелева интеrрала
треlъеrо J:'o.n:a необхо.n:имо провести еще и разрезы, сое.n:иняющие эти
лоrарифмические особые точки меж.n:у собой. Доrоворимся прово.n:ить
эти разрезы следующим обраЗ0М.
Пусть j (z) абелев интеrрал TpeTbero po.n:a, и пусть
аl, а2,"" ak
все ero лоrарифмические особые точки с вычетами Сl", "СkJф
соответственно (без оrраничения общности мы Bcer да можем считать
их внутренними точками области 0*), Обозначим через 11' 12" ", Ik 1
простые попарно непересекающиеся кривые, и.n:ущие И3 точек аl' а2" , .
. ,., ak l' соответственно, в точку ak (и лежащие в области 0*), CTO
рону кривоЙ Is' расположенную справа, мы обозначим 1;' а CTOpO
ну, расположенную слева, I$".
В этих обозначениях имеет место
Л е м 111 а 2. Абелев l1нте2рал j(z) mpembezo рода является oдHO
значноа ФУЮСЦllса в областZl 0* с разреза.lm по KpllBblM 11" .., Ik l'
При это.4t справедЛllВЫ фор.ltулы
j(z) A:t j(z) A$"===Bs' s== 1, 2,.,., g,
j (z) I в + j (z) IB === As' s == 1, 2,..., g,
s s
j(z) I + j (z) I === 27tic s ' s== 1,2,..., k 1.
Is 1 s
Сначала докажем однозначность абелева интеrрала j(z). Для это-
ro мы должны показать, что изменение абелева. интеrрала j(z) по
любой простой замкнутой кривой С, лежащей в области 0* и не
пересекающей кривых Is' равно нулю. Имеются два различных типа
таких замкнутых кривых. Кривые nepBoro типа можно стянуть в точ
КУ, кривые BToporo типа содержат внутри себя все кривые Is' И3
меНбlИе абелева интеrрала по кривым первоrо типа равно нулю co
r '1аСIlО свойству 1. Изменение абелева интеrрала по любой кривой
BToporo типа равно изменению этоrо абелева интеrраJIа по всей l'pa
нице сбласти 0*. Последнее изменение мы вычисляли при доказатель
стве теоремы 1 и убе.n:ились. что оно равно нулю. Таким обраЗ0М,
И311енение абелева интеrрала j(z) по любоЙ простой замкнутой кри-
вой, лежащей в области 0* с разрезами по кривым Is' равно нулю,
и однозначность Halllero абелева интеrрала в этой области .n:оказана.
Теперь остается .n:оказать лишь после.n:нюю И3 трех формул, nри
Be.n:eHHbIx в утверж.n:ении леммы, так как первые 'n:Be формулы .n:oKa
зываются точно так же, как и в лемме 1. С этой целью заметим, что
j(z) I + j (z) I == var j (z),
Iр 'Р l'
2]
АБЕЛЕВЫ ИНТЕrрАЛЫ
561
r.n:e r произвольная простая замкнутая кривая, лежащая в области
0* с разрезами по всем кривым Is' кроме 'р' и пересекающая кри
вую Iр ровно О'n:ИII раз в направлении справа налево. Можем считать,
что область, оrраниченная кривой r (в об.'lасти 0*), содержит ТОЧКУ
ар, Cor ласно свойству ] величина var j(z) не зависит от выбора Ta
r
КОй кривой 1', так что :\!ы може:\! считать КРИВУЮ l' лежащей в
сколь yro'n:Ho малой окрестности точки ар, Переходя к локально й
переменной, отвечающей этой окрестности, и используя представление
i (z)== С р ln 'ер + f(z),
справедливое .n:ля интеrрала j (z) в окрестности точки ар, мы прихо
дим к интересующей нас формуле. Лемма .n:оказана.
л е м м а 3. Пусть j (z) II jl (z) однозначные ветви абелевых
интпралов в области 0* (с соответствующими разрезами). Тоzда
имеет место равенство
g
jl (z) dj (z) === AkBk AkBk'
дО. k 1
2де Ak II Bk Цll1СЛllчеСlще nерllOды абелева llнтпрала j (z), а Ai,
u Bk Цll1СЛllчеС1Сllе neplloabt абелева llнтпрала jl (z).
rраница области 0* состоит И3 краев разреЗ0В А1; и В1;, прохо
димых В положительном направлении относительно области 0*, и И8
краев А!;" и Bk' прохо.n:имых в отрицательном направлении относи-
тельнО этой области. Поэтому
g g
hW W== hW W hW W+
-дО. k 1 А}; k 1 А!;"
g g
+ jl (z) dj(z) jl (z) dj (z).
k 1 в1; k 1 В!;"
Учитывая равенства
il (z) !.4J; jl (Z)!Ak == Bk'
jl (z) !в+ jl (Z)lB == Ak'
/, /,
имеющие место cor ласно лемме 2, а также равенства
dj (z) == Ak'
А:Т
k
dj(z)==B k ,
Bi:.
k
имеющие место cor ласно опре.n:елению циклических периодов Ak и
Bk' прихо.n:им К утверждению леммы.
562
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rЛ, 9
3 а м е ч а н и е. Те же самые рассуж.n:ения приве.n:ут нас, очеви.n:но,
и к формуле
g
jj (z) dj (z) === Ak Bi, Ai, B k .
да" k l
Вычисление интеrрала, фиrурирующеrо в лемме 3, .n:руrим спосо
бом дает СООТНОlllения меж.n:у uиклическими перио.n:ами абелевых ин
теrралов, О.n:ним И3 наиболее простых и изящных СООТНОlllений яв
ляется бllЛllнейное соотношеНllе P1l)rfaHa .n:ля перио.n:ов абелевых ин
теrралов первоrо рода:
т е о р е м а 2. Пусть j (z) 11 jj (z) абелевы 1Iнтпралы nеРВО20
рода с ЦllКЛll'iеСК1I,Мll nep1l0iJa,Mll A J , A,I"", Ag, B 1 , В 2 "", Bg 11 A ,
A ",., A , B , B ,..., B соответственно (построенными по O'n:HO-
му П тому же каноническому рассечению рима новой поверхности О).
ТО2да имеет место соотношеНllе
g
AkBi, AkBk===O'
k 1
(2)
llля .n:оказательства заметим, что выражение j\ (z)dj (z) является
.n:ифференuиалом реrулярной ФУIIIЩИИ, если рассматривать это Bыpa
жение в локальных переменных, отвечающих окрестности любой точ-
ки римановой поверхности. ПОЭТШIУ интеrрал от ЭТОI'О выражения не
меняется при непрерывной .n:еформаuии пути интеrрирования в OKpeCT
IIOСТИ любой точки. Отсю.n:а сле.n:ует, что интеrрал
jj(z) dj(z)
с
по любой замкнутой кривой, СТЯПlВаемой в точ'ку, равен нулю. В
частности, интеrрал от выражения jj(z) dj (z) по rраниuе ощюсвязной
области 0* равен нулю. Отсю.n:а и из леммы 3 неме.n:ленно получаем
Hallle утверж.n:ение.
т е о р е м а 3. Пусть j(z) абелев llнте2рал nеРВО20 рода. ТО2да
11-1сеет .Ilecmo соотношеНllе
g
(Ak Bk Ak Bk) === и(о*),
k l
(3)
2де J (0*) площадь образа облаС"lll 0* nрll конформном отобра
жеНZlll 1.Q.1===j(z).
Для .n:оказатеJlьства рассмотрим интеrрал
iJ (В) === j (z)dj (z),
с
r.n:e С простая кривая, оrраничивающая односвязную область В на
рима новой поверхности О (и ее направление относительно этой об
пасти положительно). Сначала вычислим этот интеrрал .n:ля случая,
2)
АБЕЛЕВЫ ИНТЕrРАЛЫ
563
Kor.n:a о.n:носвязная область В .n:остаточно мала, а функция w == j {z)
]юнформно отображает эту область на о.n:нолистную область В*. Cдe
лаем замену переменноrо w == j (z) и обозначим w == и + iv. Tor.n:a
получим
iJ (В) == (и iv)(d11 + i dv).
дВ*
Но
(и iv) (du + i dv) == d (и 2 + v 2 ) + i (и dv v du).
)
Интеrрал от ПОЛllоrо диффереНllиала :2 d (112 + v 2 ) по замкнутой кри
вой дВ* равен ну.'lЮ, а интеrрал
и dv v du
дЛ*
равен, как известно Н3 анаШl3а, П.'lоща.n:и области В*. Сле.n:овательно,
интеrрал
J (В) == - и dv v du
дВ*
(4)
равен ШIOща.n:и образа области В при отображении w==j(z). По
СКОЛЫ(У интеrра.'l (4) является, как HeTpY'n:Ho ви.n:еть, аддитивной фун
Кllией области, после.n:нее утверж.n:ение справе.n:ливо и .n:ля любой
-о.n:носвязной об.'lасти В на римановой поверхности (образ области В
мы .n:олжны рассматривать на римановой поверхности фуНlЩИИ, обрат
пой к фующии j (z». Теорема .n:оказана.
Отметим 'n:Ba важных сле.n:ствия И3 теоремы 3.
С л e.n: с т в и е 1. Если абелев инте2рал j (z) пеРВО20 рода 1Uteem
Есе A пepиoды (И.'lИ все В перио.n:ы) раВНЫ.ии нулю, то он тожде
ственно равен постоянной.
llействителыlO, И3 равенства (3) в этом случае вытекает, что пло
ща.n:ь образа области 0* при отображении w == j (z) равна нулю, что
возможно ЛИlllЬ В случае, коrда j (z) = const.
С л e.n: с т в и е 2, Если абелев инте2рал j (z) пеРВО20 рода и.llеет
все Цll1сличеСIC1lе периоды Ч11С1ll0 действительны.;\Ш (И.'lИ чисто MНI(
мыми), то j (z) = COllst.
В этом С.'lучае И3 равенстла (3) тоже вытекает, что шюща.n:ь об
раза об.1lасти 0* при отображении w == j (z) равна нулю.
в заК.'I!очение приве.n:ем еще обобщение билинейноrо соотнОlllения
Римана на СЛУ'lай, K01'.n:a абелев интеrра.'l j (z) не является абе.'lевым
интеi'ра.'lОМ первоrо рода.
Относительно абеJlева инте1'рала jl (z) мы по прежнему пре.n:поло
жим, что он является абелевым ИlIтеrраJlОМ перllоrо po.n:a с llикли
ческими перио.n:ами А;, A ".., A , В;, B ,.", B , вычисленными OT
flOСИТСЛЬНО .n:aHHoro каНОничеClЮ('О рассечения римановой повеРХIlО-
564
lv\ЕРОllЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИIv\АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл, 9>
сти О. Абелев интеrрал j (z) пре.n:полоЖИМ абелеВЫl\! интеrралом
TpeTbero po.n:a, имеющим лоrарифмические особые точки аl' а2"'.
.. . а т с вычетами Сl' С2"'.' С т соответственно, Через АI' ' . . .Ag, В 1 ....
. . ., Bg обозначим llиклические перио.n:ы абелева интеrраJIa j (z) (выи
сленные относительно Toro же каноническоrо разбиения).
т е о р е м а 4. При сделанных выше предположеюlЯХ ,uteem ,Me
сто равенство
g т
AkB" A"Bk == 21ti c s jl (a s )'
k 1 s l
zде под jl (a s ) пОНllдаются :щачения в точках a s одноЙ и той'
же ветви абелева llН1/lпрала ;1 (z) в области О*.
В силу леммы 3 Hallla за.n:ача сво.n:ится к вычислению инте['рала
jl (z) dj (z).
да'
При наlllИХ пре.n:положениях выражение jl (z) dj (z). как ФУНКllИЯ ло-
калыlOЙ переменной, является .n:иффереНllиалом реrулярной ФУНКllИИ
в окрестности каждой точки римановой поверхности, за исключением
точек аl. а2".,' а т . Поэтому интересующий нас инте1'рал равен CYM
ме интеrралов
т
jl (z) dj (z).
s 1 дК s
r.n:e Ks .n:остаточно малые окрестности точек a s ' Но в окрестности
точки a s мы имеем разложения по соответствующей локальной пере
менной 't s
jl (z)== jl (a s ) + C I 't s + C2't +....
dj (z)==d(c s lп 't s + C + C 'ts +., .)== ( + C 'ts +..,) d't s .
Сле.n:овательно,
jl(z)dj(z)== (i1 :S) cs+C +C;'ts+...)d'ts==21ticsj(as}
дК s I'"slo=:e
и
т
jl (z) dj (z) == 21ti с sjl (a s )'
да' s 1
Отсюда немедленно ПО,lIучаем утверж.n:ение леммы.
Стоит заметИ1Ъ. что наlllИ рассуж.n:ения указывают путь "к вычис
лен ию интеrрала
jl (z) dj (z)
да'
для любой пары абелевых интеrралов jl (z) И j (z) (любоrо po.n: a ).
З]
ТЕОРЕМ.Ы О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
565
3. Теоремы о существовании и единственности
для абелевых интеrралов
в пре.n:ы.n:ущем параrрафе мы исследовали свойства абелевых ин
теrралов на алrебраической римановой поверхности, не за.n:аваясь
вопросом об их существовании. В этом парю'рафе .n:окажем сущест
вование абелевых интеrралов на любой алrебраической римановой
поверхности, опираясь на результаты rл. 8. Кроме Toro, укажем
условия, позволяющие опре.n:елить абелев интеrрал е.n:инственным
обраЗ0М.
Всю.n:у в этом параrрафе бу.n:ем считать, что на наlllей алrебраи .
чеСI{ОЙ римановой поверхности О po.n:a g зафиксировано некоторое
каноническое рассечение, опре.n:еляемое системой uиклических сече
ний
Аl' А 2 ,..., Ag' 81' 82...., 8 g .
О.n:носвязную область, по.1учаiощуюся И3 римановой поверхности а
этим каноническим рассечением, бу.n:ем обозначать 0*.
Мы начнем с .n:оказательства существования одноrо спеuиальноrо
абелева интеrрала тре1ъеrо po.n:a, имеющеrо Bcero 'n:Be особые точки.
Л е м м а 1, Пусть ТСРllвая С с началом а II концом Ь леЖll1п
в нетсоторой oKpecmHocmll К на Рll.;\fановой пOBepXHocmll О, Суще
ствует абелев llнте2рал 'р (z; с, С) третьею рода, обладаЮЩllЙ
свой с mBa,,'rfll:
]. Абелев llнте2рал 'р (z; с, С) llMeem в точтсах а II Ь ЛО2арllф
,МllчеСКllе особые тОЧl(ll с вычетаМll с II С соответственно II
не llMeem дрУ2llХ особых точек на pllMaHoBoa пOBepXHocmll.
2. ФУНТСЦllЯ Re 'Р (z; с, С) одНО8начна на plUtaHOBou пoвepXHO
cmll а с pa8pe80.;\f по ТСРllвой С.
Пусть 't локальная переменная, отвечающая окрестности К, а а-
и значения этой локальной переменной, соответствующие точкам
а и Ь. Мы можем рассматривать на римановой поверхности О экс
тремалЫlУЮ за.n:ачу cr (см. 10 I'Л. 8) с функuией особенностей, за
данной в окрестности К с разрезом по кривой С равенством
't a
cr(z)===c]n 't . '
Соrласно теореме 1 * 10 rл. 8 существует ФУНlщия II (z), rармони
ческая на всей римановой поверхности Q с разреЗ0М по кривой С,
а в окрестности К пре.n:ставимая в ви.n:е
ll(Z)=== Re (с 1 < ) + llo(Z),
rде ФУНКЦИЯ llO (z) rармонична в окрестности К.
(1)
566
М.ЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rЛ.9
Обозначим через F (z) мноrозначную аналитическую фУНКllИЮ,
имеющую своей .n:ействительной частью rармоническую ФУНКllИЮ 11 (z),
построенную BbIllle, Ее произво.n:ная F' (z) выражается через функцию
l1 (z) С помощью равенства
F' (z) == r:. i ди
дх ду'
И3 KOToporo ви.n:но, что ФУНКllИЯ Р (z) О'n:Н0311ачна на римановой ПО
верхности а с разреЗ0М по кривой С (и .n:аже ре1'улярна там, за
исклЮчением полюсов в точках разветвления римаповой поверхности
а; см, .n:оказательство теоремы 2 1 О). И3 равенства (1) с учетом
,формулы II (z) == ReF (z) получаем
F(z)== с1 П: + Fo(Z)
и
P(z)== ( ) d +F (z).
, а , dz
Первая И3 этих форму Л показывает, что ФУНIщия F (z) имеет в точ
к ах а и Ь (отвечающим значениям 't == а. и 't == ) лоrарифмические
особые точки с вычетами с и с соответственно, а вторая формула
показывает, что произво.n:ная ФУНКllИИ р' (z) о.n:нозначна (и мероморфна)
и в окрестности К. Поскольку ФУНКllИЯ F (z) имеет производную,
мероМОрфНУЮ на римановой поверхности а, эта функция абеJlев
интеrрал (см. начало 2). Этот абеJlев интеrрал обладает всеми
,свойствами, требуемыми в лемме.
3 а м е ч а н и е 1. Ясно, что вместо фУНКllИИ особенностей
T O:
o(z)==cln
'мы Mor ли бы с Te 1 же успехом взять фУНКllИЮ особенностей
о (z)== I + J' +.. ,+ :,
Это позволило бы нам утверж.n:ать существование абелева интеrрала
BToporo po.n:a, имеющеrо 11 заданпой точке а римаНОIIОЙ поверхности
а полюс с за.n:анной r лавной частыо (в локаJIЫIOЙ ш ремеIllIOЙ) и не
имеющеrо .n:руrих особых точек. При ЭТЩI действительную часть
этоrо абелева Иllтеrрала мы Mor ли бы считать о.n:позначной на всей
римановой поверхности а.
3 а м е ч а н и е 2. Построенный абелев интеrрал 'р (z; с, С)
же1\! опре.n:ешпъ и .n:ля случая, КОI'да С про iзво.'lbпая
на римановой I10верXllОСТИ а, Для этой цеЛll Ра30бьем
С на участки С 1 , С 2 ".., СП' каж.n:ыИ И3 которых Jlежит
мы MO
кривая
кривую
в своеИ
3]
ТЕОРЕМ.Ы О С 'ЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
567
окрестности, и ПОJlQЖЮI
n
ер (z; С, С) == ер (z; С, C k ).
k 1
Леп{о видеть, что это опре.n:еление не зависит от способа разбиения
КРИВОЙ С на участки.
ОПfjе.n:еленный таким способом абелев интеrрал <р (z; С; С) оБJlа
.n:aeT всеми СВОЙСТlзами, указанными в лемме. IlеЙствителыю, при сло
жении инте1'ралов ер (z; с, C k ) лоrарифмические особые точки в коние
участка C k и в начале участка C k + 1 взаИl\ШО уничтожаются, и сумма
имеет лоrарифмические особые точки ЛИlllЬ в начале участка С 1 и в
коние учзстка Сп> т. е. в начале и в коние кривоЙ С (если кривая С
замкнута, то абелев Интеrрал ер (z; С, С) не имеет особых точек).
О.n:нозначность .n:ействительноЙ части абелева интеrрала ер (z; С, С) на
римановоЙ поверхности а очеви.n:на, ибо сложение не может Hapy
lllИТЬ этоrо свойства.
И3 замечания 1 немедленно вытекает
т е о р е м а 1. Существует абелев llIiтеzрал второю рода, ll.мe
ЮЩllЙ в заданных точках pllMaHoBou пOBepXHocmll а полюсы с за
даННЫ.Иll zлаВНЬL-lftl частЯ_lfll II не ll.меЮЩllй apYZllX особых точек.
ПРll это.м дейстВllтельную часть эmоzо абелева llнтпрала .мож
но СЧllтать однозначной на Рllжановой пoBepXHocmll а.
Леrко доказьшается и аналоrичная теорема .n:ля абелевых интеrра
лов тре1ъеrо po.n:a:
т е о р е м а 1*, Пусть аl' а2"'" От nРо/lзвольные тОЧКl1 pll
.мановой пOBepXHOCfIlll, а сl' С2,'", с т пРОllЗВОЛhНblе КО.ffплеl(СНЫ
числа, удовлетворяющие УСЛОВllЮ сl + С2 +"" + с т == О. Сущесm
вует абелев llнтеzрал mpembezo рода, lurtеюlЦUЙ в точках а!;'
лоzаРllф.ШlчеСКllе особые тОЧКll С вычета.lflll C s 11 не ll.ltеЮЩllЙ
apYZllX особых точек.
Ilля построения такOl'О абелева интеrрала возьмем ПРОИ3ВОЛЫ1УlO
ТОЧКУ а о , отличную от всех точек 01' 02"'" От' И сое.n:иним ее с
точками аl, а2"'" а т кривыми 11"'" lт' Tor.n:a абелев интеrрал
т
i (z)== ер (z; c s ' 15)
5 l
будет обла.n:ать требуемы:\IИ свойствами, так как [! точке а о он не
имеет особенности вви.n:у равенства сl + С2 f . , , + с т == О.
с ПОМОЩЫО абелевых интеrра.'lОВ ер (z; с, С) леrко СТрОЯТСЯ и
абелевы интеrралы перВО1'0 po.n:a.
т е о р е м а 2. На pll.tfaHOBOii nOBepXHocmll а существует g l(ОЯ
плексно Лllнейно незаВllClurtых абелевых llнтпралов пеРВО20 poдa
568
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rJ1.9
Любые g+ 1 абелевых интnралов пеРВО20 рода комплексно ли
ней но зависимы, т. е. некоторая их линеЙная комбинаЦllЯ с пo
стоянны),(и КОАтЛСКСНЫМll коэффиЦllентаAtll тождественно равна
постоянной.
Заметим преж.n:е Bcero, что утверж.n:ение теоремы равносильно
утверж.n:ению о том, что максимальное число вещественно линейно
независимых абелевых интеrралов первоrо po.n:a равно 2g, Действи-
тельно, комплексная линейная независимость абелевых интеrралов
jl (z), j2 (z)".., jg (z)
раВНОСИЛЫIa вещественной линейной независимости абелевых интеrралов
jl (z), иl (z), j2 (z), ij2 (z), ..., j g (z), ij g (z),
В качестве полной системы вещественно линейно независимых
сабелевых интеrралов возьмем абелевы интеrралы
'Ps(z)=='P(z; i, A s ), s==I,2, g,
s(z)=='P(z; i, Bs), s==I,2, g.
Соrласно замечанию 2 к лемме 1 эти абелевы интеrралы являются
абелевыми интеrралами первоrо рода, причем действительная часть
абелева интеrрала 'Ps (z) о.n:нозначна на римановой поверхности а
с разреЗ0М по uиклическому сечению As, а .n:ействительная часть
абелева интеrрала s (z) на римановой поверхности а с разреЗ0М
по uиклическому сечению Bs. Кроме Toro, леrко убедиться, что
Re 'Ps (z) I A + Re 'Ps (z) IA == 2r.,
s s
R e ,'\ ( z ) I + Re ,1, ( z ) I 2r.
'I'S Bs iS Bs .
Действительно, cor ласно лемме 2 2 .n:ля абелева интеrрала TpeTbero
po.n:a С? (z; С, С) с любой простой незамкнутой кривой С имеет место
равенство
'Р (z; С, С) \с+ 'Р (z; с, С) \c == 2r.ic,
тде с+ правая, а С- левая сторона кривой С. Ясно, чТО это
равенство остается в силе и .n:ля любой простой замкнутоt! кривой,
не разбивающей риманову поверхность а, в частности .n:ля uикличе-
ских сечений As и Bs' Переходя к .n:ействительным частям, получаем
требуемые равенства.
И3 полученных равенств сле.n:ует, в частности, что абелевы инте-
'rралы 'Ps (z) и Ys (z) не постоянны. Более Toro, произвольная их ли-
нейная комбинаuия с .n:ействительными коэффиuиентами, среди которых
есть хотя бы о.n:ин отличный от нуля, тоже не постоянна. Это и 0зна-
чает, что 2g абелевых интеl'ралов первоrо po.n:a
1'1 (z), ..., C?g (z), 1 (z), ..., g (z) .
вещественно JlИнейно lIезаВИСИМbI.
!i 3]
ТЕОРЕМ.Ы О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТи
569
Покажем теперь, что любой абелев интеrрал j (z) первоrо рода
можно пре.n:ставить В ви.n:е
j (z) === СХl'Рl (z) +. '. + СХк'Рк (z) + ltjil (z) +. .. + gtjig (z) + const,
r.n:e CX s и s .n:ействительные постоянные. Для этой uели обозначим
через As и Bs соответственно А перио.n:ы и В перио.n:ы абелева инте
rрала j (z). По лемме 1 2
As === j (z) ' А + j (z) IA
s s
Bs === j (z) lв+ j (z) IB
s s
(8 === 1, 2,
. ..,
g),
g).
(8 === 1, 2,
. ..,
Положим
]
CX s === 2" Re As'
1
s === 2" Re Bs
(8 === 1, 2, .." g)
и рассмотрим абелев интеrрал первоrо po.n:a
j* (z) === j (z) СХ 1 'Рl (z) . , CXg:Pg (z) ltjil (z) . ., gtjig (z).
Для Hero имеют место равенства
R e j '* ( z ) I ... Re J '* ( z ) I === о
.As IAs'
Rej* (z) 1 в ! Rej* (z) ' в ,;=== О,
т. е. все ero uиклические перио.n:ы чисто мнимы. Соrласно сле.n:ст
вию 2 И3 теоремы 3 2 получаем, что j* (z) = const.
Таким обраЗ0М, мы .n:оказали, что имеется ровно 2g вещественно
линейно независимыx абелевых интеrралов первоrо po.n:a. COr.'laCHO
замечанию, сделанному в начале .n:оказате.'lьства, это равносильно
утверж.n:ению теоремы.
Интересно отметить, что абе.'lевы интеrралы 'Ps (z) и tjis (z) можно
было бы строить и непосре.n:ственно с помощью реlllения сле.n:ующей
экстремальной за.n:ачи на римановой поверхности а:
Среди фующий Ф (z), непрерывно дифференцируе..Jtblх на pиMa
новой поверхности О. за иСlслючением данноzо Цll1СЛ1IЧеС1СОZО сече
НZIЯ Q, zде ОЮI и.Jlеют разрыв пepвozo рода со скаЧ1СО.Jl, равным
единице, найт" ту фующию, для которой интezрал Дирихле Da [Ф}
идеет наименьшее зна чен ие.
Теми же сре.n:ствами, что и в r л. 8, можно .n:оказать, что миними
зирующая функuия этой экстремальной за.n:ачи существует и что она
rармонична на римановой поверхности а с разреЗ0М по uиклическому
сечению Q. Леrко .n:оказывается, что фушшия, имеющая эту миними
зирующую функuию своей .n:ействительной частыо, совпадает с абеле
вым интеrралом 2 'Р (z; Ё, Q).
-570
М.ЕРОllЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИlI\АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
Cor ласно теореме 2 множество всех абелепых интеrралов первоrо
рода на .n:анной рима иов ой поверхности О образует линейное BeKTOp
ное пространство комплексной размерности g. В качестве базисных
векторов этоrо BeKTopHoro пространства у.n:обнее Bcero выбирать
абелевы интеrралы
Фl(Z)' Ф2(Z)' ..., Фg(Z),
.n:ля которых матрица А перио.n:ов является е.n:иничной матрицей,
т. е. такие, что
A"s == о
(k =1= s),
Ass == 1,
r.n:e
A"s == var Ф s (z)
А"
(ll, S == 1, 2, ..., g).
Абелев интеrрал BToporo или TpeTbero po.n:a (не имеющий особых
точек на циклических сечениях А s и В s' s == 1, 2, .." g) бу.n:ем
называть 1i0P)rfllpOBalilibt)rf, если все ero А перио.n:ы равны нулю.
И3 TeOpe:ll 1, 1 * и 2 очеви.n:ным обраЗ0М вытекает
т е о р е м а 1 **. Существует едllнственный НОр)rfllрованный абе
лев llнте2рал с задаННЫ)rfll особенностялtll в заданных точках
(не лежащих на циклических сечениях .n:aHHoro каНОllическоrо pacce
чеиия). 3адавас. tые особенности должны удовлетворять едllнст
BCHHO)rfY условllЮ: сумма вычетов во всех Л02арllфAtllчеСКllХ точках
должна быть равна нулю.
Заметим, что е.n:инственноС1Ъ нормированноrо абелева интеrрала
с задаНllЫМИ особенностями неме.n:ленно вытекает И3 сле.n:ствия 1
теоремы 3 2.
Теорема 1 ** .n:aeT довольно полное описание множества всех
абелевых интеrралов на римановой поверхности О.
Скажем еще несколько слов о В периодах нормированных абеле
вых интеrралов BToporo и тре1ъеrо рода. Их можно опре.n:елить через
значения базисных абелевых интеrралов фs (z) (или через значения
их произво.n:ных) в особых точках интересующих нас нормированных
интеrралов. Получим соответствующую формулу .n:ля о.n:иоrо наиболее
простоrо случая.
Пусть кривая С лежит в области О. Бу.n:ем обознаЧа1Ъ через W (z; С)
абелев интеrрал 'f' (z; 1, С), нормированный (с помощью прибавления
к нему подходящей линейной комбинации интеrралов фs (z» так,
чтобы ero А перио.n:ы стали равны нулю. Иными словами,
g -
\}' (z, С) == 'f' (z; 1, С) As (С) фs (z),
s .1
!jЗI
ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
571
rде
As(C) var?(z; 1, С).
As
,
т е о р е I а 3. ОбознаЧlси B пepllOabt абелева llнте2рала qr (z; С)
через В.(С), ..., Bg(C). ТО2да
Bs (С) 2тci dФs (z),
с
Применим теорему 4 2, положив в ней
j(z) q"(z; С) j.(z) Фs(z).
Tor.n:a в обозначеllИЯХ этой теоремы aj начало кривой С, з а2
ее конец,
Ak O'
Ak O,
k l, 2, ,.., g;
k * s, As 1,
и ее утверж.n:ение ПрИI!Юlает ви.n:
Bs 21ti (фs (а2) фs (aj»,
r.n:e Фs(а2) и Фs(аj) значения В точках а2 и aj о.n:ной и той же
ветви абелева интеrрала фs (z) в области а. Отсю.n:а немедленно BЫTe
кает утверж.n:ение теоремы.
Абелев интеrрал qr (z; С), опре.n:еленный нами .n:ля кривых, лежа
щих в области 0*, можно опре.n:елить и .n:ля любых кривых С при-
мерно тем же способом, который мы ИСПОЛЬЗ0вали для опре.n:еления
абелевз интеrрала 'р (z; с, С). С этой нелью сначала опре.n:елим абелев
интеrрал qr (z, С) .n:ля случая, KOr.n:a о.n:ин И3 концов кривой С BЫXO
ДИТ на rраницу области 0* с помощью пре.n:ельноrо перехо.n:а. Такое
определение равносильно тому, что мы HeMHoro .n:еформируем цикли-
ческие сечения, образуюш.ие наше каноническое рассечение, таким
обраЗ0М, чтобы кривая С оказалась внутри .n:еформированной области 0*.
Для произвольной кривой С опре.n:еляем Halll абелев инте-
rрал qr (z; С), разбивая кривую С на участки C j , ..., Сп> каждый
Н3 которых лежит в области 0*, и полаrая
n
qr (z; С) 1: qr (z; C k ).
k 1
ЛеrкО ви.n:еть, что опре.n:еленный таким обраЗ0М абелев инте
rрал qr (z; С) обла.n:ает свойствами:
Если КРllвая С составлена из последовательно проходижых
кривых C j II С 2 , то qr (z; C) ч; (z; Сд + qr (z; С 2 ).
Если кривые С II С* 20.tютопны, то qr (z; С*) == IJ!' (z; С).
Опираясь на эти Свойства, сможе 1 доказать формулы для перио
дов абелевз интеrрала qr (z; С) и в случае, Kor.n:a С произвольная
кривая:
572
МЕРОМ.ОРФНЫЕ фУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rJI.9
т е о р е м а 3*. Обозначд.м А перllоды абелева llflте2рала W (z; С)
-через А 1 . .... Ag. а е20 В перllоды через В 1 , .... Bg. ТО2да
А s ==2т:iqs' s== 1,2. .... g, (2)
дe q1' Q2, ..., Qg некоторые целые Чllсла. а
Bs == 2т:! dФs (z) + 2т:iрs'
с
(3)
дe Р1' Р2, ..., Pg тоже некоторые Целые Чllсла.
Соrласно теореме 3 В случае, KOr.n:a кривая С лежит в области 0*.
имеют место формулы
As == о
(4)
и
Вs==2Т:i dФs(Z). (5)
с
В общем случае эти формулы перестают быть справе.n:ливыми, так
как после разбиения кривой С на участки, лежащие в области 0*,
перио.n: ы абелевых интеrралов IJ! (z; C k ), отвечающих этим участкам,
вычисляются, вообще rоворя, по несколько различныМ Llиклическим
сечениям. Эти различные сечения ХОТЯ и rомотопны, но меж.n:у ними
лежат лоrарифмические особые точки. O'n:HaKo если ЩJЯ какоrо либо
фиксированноrо значения s кривая С не пересекает Llиклическое сече
иие As' то 'n:JIЯ этоrо значения s формула (4) сохраняет силу. AHa
лоrично формула (5) сохраняет силу, если кривая С не пересекает
циклическое сечение В s'
Заметим теперь, что формулы (2) и (3) достаточно доказать ЛИlllЬ
для замкнутых КрИВЫХ С, так как произвольную кривую Bcer.n:a можно
-составить И3 замкнутой КРИВОЙ и И3 КРИВОЙ, лежащей в области 0*.
Абелев интеrрал IJ! (z; С), r.n:e С замкнутая кривая, является абе
левым интеrралом первоrо po.n:a, так что при отыскании ero перио.n:о в
мы можем заменять сечения As и Bs любыми rомОТОПНЫМИ им Llикли
чески ми сечениями.
Сначала докажем, что формулы (2) и (3) имеют место .n:ля абе
левых интеrралов IJ! (z; A k ) и IJ! (z; B k ). С этой Llелью заметим, что
все А перио.n:ы абелевых интеrралов IJ! (z; A k ) равны нулю (LlИКЛИ
ческое сечение Ak Bcer.n:a можно заменить rомотопным ему сечением,
не пересекаlOЩИМ ни одноrо И3 сечений As)' По следствию 1 Teo
ремы 3 2 это 0значает, что
IJ! (z; A k ) = о,
k == 1. 2, ..., g.
Далее, абелев интеrрал IJ! (z; B k ) обла.n:ает тем свойством. что все
ero А перио.n:ы, кроме O'n:Horo (отвечающеrо сечению A k , сопряженному
с сечением B k ), равны нулю. Этот е.n:инственный период равен 2т:i,
так как для любых кривых С имеет место равен 'I'БО
IJ! (Zj С) Ic+ w (z; С) \c == 2т:l,
f]
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
573
д соrласно лемме 1 2
i (z) lnt j (z) 'в;; === Ak.
Таким обраЗ0М, в случае, Kor.n:a кривая С совпа.n:ает с о.n:ним И3 цик-
лических сечений Ak или B k , формула (2) .n:ля А перио.n:ов инте
rрала IJ! (z; С) имеет место. Кроме TOro, для интеrралов IJ! (z; B k )
()бязана иметь место формула (5) .n:ля В перио.n:ов, так как цикличе
ское сечение Bk можно замеНlПЬ rомотопным ему циклическим сече
нием, не пересекающим ни o'n:Horo И3 сечений Bs. Для интеrра
лов чr (z; A k ) (рапных, как мы показали, тож.n:ественному нулю)
справе.n:ливость формулы (3) устанавливается непосредственной про
веркой:
{ о k s
dФs(z)=== ' --r,
А 1, k === s.
k
Итак, .n:ля абелевых интеrралов IJ! (z; A k ) и IJ! (z; B k ) формулы (2)
и (3) справе.n:ливы. Но любую замкнутую кривую С на римановой
поверхности Q можно заменить rомотопной ей кривой С*, COCTaB
ленной И3 HeKoToporo числа после.n:оватеЛbllO прохо.n:имых цикличе
ских сечений As или Bs. Отсюда неме.n:ленно вытекает справе.n:ливость
теоремы.
4. Алrебраические ФУНКЦИИ
Мы перей.n:ем теперь к изучению множества всех функций, Mepo
морфных на .n:анной ашебраической римановой поверхности, т, е. функ
iJ,ИЙ, имеющих на этой римановой поверхности своими особыми точ
ками лишь полюсы. Леrко проверить, что такие функции являются
2шебраическими функциями в смысле опре.n:еления, данноrо в 5 rл. 4.
Функпии, :\Iероморфные на .n:ашюй алrебраической римановой поверхно-
сrи, можно получить И3 абелевых интеrралов, но, как мы уже OTMe
чали, строение множества всех таких функций существенно сложнее
.строения множества всех абелеВhlХ интеrралов.
Докажем з.n:есь несколько Основных теорем о функциях, мероморф-
:ных на данной ашебраической римановой поверхности, чтобы дать
:некоторое пре.n:ставление о за.n:ачах и MeTo.n:ax.
т е о р е м а 1. Отличная от тождественной постоянной ФУН1С
ция, .меРО_Jюрфная на а.ll2ебраичес1СОЙ рll.ltановой поверхности, при-
J-I.llяает 1Саждое значение одина1СОВое ЧllСЛО раз.
Заметим преж.n:е Bcero, что функция j(z), мероморфная на алrебраи
>ческой римановой поверхности Q и ОТJlИчная от тож.n:ественной по
>СТОЯНlIOЙ, принимает каж.n:ое значение конечное число раз. Это утвер-
ж.n:ение сразу вытекает И3 компактности алrебраической римановой
.fIоверхности и из теоремы единственности ДJШ реrулярных функций.
0/4
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАнutlblХ lIutll:.I'ЛНUL1}lХ
[1 Л, !1
1
При этом значение со не является исключением, так как функция (
f z)
также мероморфна на римановой поверхности О.
Рассмотрим теперь фУНКLlИЮ ln (f(z) а.), rде а. любое КОll<lПле-
ксное число. Эта фУНКLlИЯ пре.n:ставляет собой абелев интеrрал TpeTbero
po.n:a на римановой поверхности О. Ero особыми точками являются
только лоrарифмические особые точки в полюсах и в нулях ФУНКLlИИ
f (z) а.. Вычет лоrарифмической особой точки, отвечающей нулю
фУНКLlИИ f (z) а., равен кратности этоrо нуля, а вычет точки, отве-
чающей полюсу, равен кратности полюса с обраТНЫ 1 знаком. По
теореме 1 2 сумма вычетов абелева интеrрала TpeTbel'o po.n:a по
всем ero лоrарифмическим особым точкам .n:олжна быть равна нулю.
Это 0значает, что числО нулей фУНКLlИИ f(z) а. .n:олжно быть равно
числу ее полюсов. Так как полюсы функции f (z) 'J. совпа.n:ают
с полюсами фУНКLlИИ f(z), а чиСЛО а. ПРОИ3ВОЛЫЮ, мы получаем утвер-
ж.n:ение теоремы.
Естественно, В03Н11Кает вопрос, можно ли построить мероморфную
на римановой поверхности О ФУНlщию, имеющую нули и полюсы
в пре.n:писанных точках (при условии, что число нулей и число полю-
сов о.n:инаково)? Оказывается, что, вообще rоворя, положение нулей
и полюсов нельзя за.n:ать произвольно. ПолныЙ ответ на этот вопрос
.n:aeT сле.n:ующая теорема, носящая название теореяы Абеля.
Т е о р е м а 2. Пусть al' а2"'" а т II Ь 1 , Ь 2 , ..., Ь т тОЧКll
рll.tсановой пOBepXHocmll О (сре.n:и точек ak и сре.n:и точек b k MorYT
быть равные, но ни при каких k и s равенство ak === Ь s не .n:опу-
скается). Для тО20 чтобы тОЧКll ak II b k АЮ2Лll быть соответст-
венно нуля.tlll II полюса.мll ФУНКЦllll f(z), .uеро.морфной на pll.ltaHO-
ВОй пOBepXHoctnll О II не ll.uеющей дРУ211Х нулей llЛll полюсов,
необходll.АЮ 11 достаточно, чтобы суzцествоваЛllllростые KpllBble Ik'
llдУZЦllе от тОЧКll ak 1с тОЧ1Се b k , обладаЮЩllе те.и свойствО_-ll, что
m
dj(z) === О
k 11k
для люБО20 абелева llнте2рала j (z) первО20 рода.
Сначала докажем необходимость. С этой целью рассмотрим ото-
бражение римановой поверхности О функцией w === f (z). Cor лаСllО
теореме 1 эта фУНКLlИЯ конформно отображает риманову поверхность а
на т-листную риманову поверхность 01' не имеющую rраничных
точек, т. е. также на некоторую алrебраическую риманову поверхность.
Проведем И3 начала коор.n:инат в плоскости w луч L таким обраЗ0М,
чтобы риманова поверхность 01 не имела точек разветвления Ha.n: этим
ЛУЧО I, и обозначим через L 1 , L 2 , ..., Lm лучи, лежащие на римановой
поверхности 01 Ha.n: лучом L, а через 11' 12, .,., 1т прообразы лу-
чей L 1 , L 2 , ,.., Lm при отображении w === f (z). П('}кажем, что кривые
11' ..., 1т обладают требуемым свойством.
i 4)
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции
575
ЯСНО, что каж.n:ая кривая Ik и.n:ет И3 HeKoToporo нуля функции I(z)
в некоторый полюс этой функции и что разные кривые Ik сое.n:инЯIСТ
разные пары нулей и полюсов (кроме тех случаев, коrда нули или
полюсы кратпые). Далее, если j* (w) какой либо абелев интеrрал
nepBoro po.n:a на римановой поверхности О.. то j* (/(z» абелев инте
rрал первоrо po.n:a на римановой поверхности О, и наоборот. Поэтому
достаточно .n:оказать, что
т
1: dj* (w) == О
k 1 Lk
(1)
для любоrо абелева интеrрала j* (w) первоrо po.n:a на римановой по-
верхности о.. Но
т т
1: dj* (w) == d 1:л (w),
k 1 Lk L k 1
T.n:e
п (w), Л (w), ..., j':n (w)
значения абелева интеrрала j* (w) в точках римановой поверхно-
<:ти 01' лежаших Ha.n: точкой 'w (эти значения опре.n:еляются лишь
с точностью .n:o постоянных слаrаемых, что несущественно, так как
они стоят поц знаком .n:ифференциала). Равенство (1) бу.n:ет .n:оказано,
если мы покажем, что функция
п (w) + л (w) +, .. + j':n (w)
(2)
ПОСтоянна (при некотором выборе постоянных слаrаемых, вхо.n:ящих
в определение значений Л (w».
Для иссле.n:ования функции (2) покроем всю плоскость w конечным
числом окрестностей точек w.' W2' .,', w p == со, выбранных таким
браЗ0М, чтобы в окрестности точки w 5 не было точек, над которыми
лежат 'rочки разветвления римановой поверхности О., за исключением
самой точки 'w 5 , В каж.n:ой И3 этих окрестностей функция (2) O'n:HO-
.3начна. так как обхо.n: точки ветвления приво.n:ит лишь к перемене
поря.n:ка слаrаемых. Кроме TorO, фушщия (2) реrулярна во всех точ
ках этой окрестности, за возможным исключением самой точки w 5 .
Далее. поскольку j* (w) абелев интеrрал первоrо po.n:a, функция (2)
оrраничена в ::'той окрестности, Сле.n:ователыlO, фУНКLlИЯ (2) реrулярна
и в самой точке и'5' В пересечении двух окрестностей построенные
там фУНКllИИ (2) MorYT отличаться ЛИlllЬ постоянным слаrаемым. Ясно,
что эти постоянные слаrаемые можно по.n:обрать таким обраЗ0М, чтобы
построенные функции (2) совпа.n:али во всех пересечениях, Torna полу-
чим функцию (2), реrУЛRРНУЮ во всей раСlllиренной плоскости, По
теореме J1пувилля эта фУНКLlИЯ .n:олжна быть тождественной постоян
ной. Тем самым .n:оказательство необходимости условия, входящеrо
Б теорему Абеля, завершено.
ыь
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rJI. 9
Перей.n:ем к .n:оказательству .n:остаточности, Пусть существуют
простые кривые '1 k' k ==== 1, 2, ..., т, идущие от точки ak к точке Ь k
И обладающие тем свойством, что
т
L: dj (z) ==== О
k 1 1k
(:3)
.n:ля любоrо абелева интеrрала j (z) первоrо po.n:a. ИСПОЛЬ3УЯ условие (:3),
построим сейчас абелев интеrрал h (z) тре1ъеrо po.n:a, который можно
рассматривать как lnf(z), r.n:e f(z) искомая функция, мероморфная
на римановой поверхности о. ПЛЯ этоrо необхо.n:имо и достаточно,
чтобы абелев интеrрал h (z) у.n:овлетворял условиям:
1. Абелев интеrрал h (z) имеет лоrарифмические особые ТОЧЕИ
а1' ..., а т и b l ,.,., Ь т с вычетами 1 и 1 соответственно и не имеет
.n:руrих особых точек.
2. Все Llиклические периоды абелева интеrрала h (z) являются
целыми кратными 2т:i.
J{or.n:a такой абелев инrеrрал h (z) построен, искомая фУНКllИН j(z)
vпре.n:еляется формулой
f (z) ==== e h (z).
В качестве абелева интеrрала h (z) возьмем функцию
т
L: w (z; 'Ik)'
k 1
(4)
J.n:e W (z; С) абелев интеrрал, иссле.n:ованный нами в конце 3.
Обозначая через A 1 , А2' ..., Ag И В1' В 2 ",., Bg циклические IIерио.n:ы
абелева Иllтеrрала h (z), нахо.n:им с помощью теоремы 3* 3, что
As ==== 2т:iq ,
8 ==== 1, 2, ..., g,
т
В s ====2т:i L: dФs(z)+2т:iр ,
k ) 1k
8 ==== 1, 2, ..., g,
r де Ф s (z) (8 ==== 1, 2, .." g) ба3ИСllые абелевы интеrралы с е.n:инич
ной матрицей А периодов, а р1 и q: некоторые целые числа.
Соrласно условию теоремы
т
L: dФs(z)===О
k 1 1 k
так что циклические перио.n:ы абелева интеrрала h (z) являются целыми
кратными 2т:i. Кроме Toro, полярные периоды ЭТОrо абелева инте
rрала равны + 2т:i, так как интеrрал W (:; С) имеет лоrарифмиче
ские особые точки с вычетами 1 и 1 в начаJre и в конце кри
вой С.
(8===1,2, ..., g),
4)
АлrЕБРАИЧЕСКИЕ функции
577
Таким обраЗ0М, абелев интеrрал h (z) у .n:овлетворяет всем поста-
вленным условиям, и достаточность условий .n:оказана. Тем самым
теорема Абеля полностыо .n:oKaaaHa,
Заметим, что хотя теорема Абеля и дает необхо.n:имые и .n:ocTa
точные условия .n:ля существования мероморфной функции с нулями
и полюсами в за.n:анных точках, эти условия не СЛИlllКОМ просто про-
верить. Поэтому теорема Абеля не .n:aeT ответа .n:аже на самые про
стые вопросы/ например на вопрос, при каком числе полюсов суще
ствует мероморфная функция на римановой поверхности. Ответ на
этот вопрос и на мноrие .n:руrие вопросы .n:aeT следующая теорема,
носящая название неравенства Римана:
т е о р е м а В. Пусть Ь 1 , Ь 2 , .,., b n пРОllзвольные попарно
разлuчные точки аЛ2ебраuческой рu.tсановой поверхности Q рода g,
Если обозначить через N чuсло Лllнейно независимых функций,
Juероморфных на PlUcaHOBOU поверхности Q II не и.Atеющих особых
точек, кроме, возможно, простых полюсов в точках Ь 1 , ..., Ьn>
то справедливо неравенство
N"?;; п g+ 1.
Для .n:оказательства обозначим через jk (z) (k == 1, 2, ..., п)
абелев интеrрал BToporo po.n:a, имеющий в точке b k полюс с r лавной
1
частью b (и не имеющий .n:руrих особенностей), нормированный
z k
условием, что все ero А перио.n:ы равны нулю. Мы знаем (см. 2),
что такой абелев интеrрал существует и что он опре.n:еляется с точ
lOстью .n:o произвольноrо постоянноrо слаrаемоrо. Очеви.n:но, что
интересующие нас мероморфные функции пре.n:ставляют собой абелевы
интеrралы ви.n:а
G. J jl (z) + 1'J.2j2 (z) +. " + G.nj n (z)
с циклическими перио.n:ами, равными нулю. Поскольку А перио.n:ы
абелевых интеrралов jk (z) равны нулю, нам прихо.n:ится наложить
на п произвольных постоянных аl' I'J.2' ..., G. n только g условий,
обеспечивающих paBeHcТI30 нулю всех В nериодов. Эти условия
линейны. Обозначив
B ks == var jk (z)
Bs
(k == 1, 2, ..., п; s == 1, 2, ..., g),
их можно записать I3 I3и.n:е
11. 1 В 11 + а2В21 +. . . + G.nBnl == О,
аIВ12 + I'J.2В22 + . . . + G.nBn2 == О,
,
а 1 В 1к + B2g +...+ G.nB ng == О.
1/219 А. ('урвнц. Р. Курант'
,)10
M.t:l-'UМUl-'ФНЫt:. Ф Нl\ЦYlYl МА .....yl1 v l.J-\.ПuDDlл llvDLrлП\л.......}1.л
LJ.oI'l. '"
Эта система линейныХ уравнений имеет не менее п g линейно He3a
висимых реlllений. Сле.n:овательно, имеется не менее 11 g линейно
независимЫХ мероморфных функций интересующеrо нас ви.n:а, имею
щих хотя бы о.n:ин полюс. Добавляя к этим функциям функцию, тож
.n:ecTBeHHo равную е.n:инице, получаем п g+ 1 линейно независимых
функций. Теорема доказана,
З а м е ч а н и е. Ясно, что N == п v + 1, r.n:e v paHr матрицы
( :: :: ... :: )
lg B 2g ... Bng
Этот paHr не nревосхо.n:ит тin (п, g), но может быть и MeHbllle.
В 5 получим выражение этоrо paHra через число линейно незави
симых абелевых .n:ифференuиалов, по.n:чиненных некоторому .n:ополни
тельному условию.
Заметим еще, что требование b k *- Ь[ отню.n:ь не является обяза-
тельным. Теорема остается в силе и при любых b k . если доrово
риться, что повторение сре.n:и точек b k О'n:НОй и той же точки р раз
означает наличие не более чем p KpaTHoro полюса в этой точке,
И.n:ея .n:оказательства остается той же, но формулы становятся более
rромоз.n: кими ,
Отметим O'n:HO важное сле.n:ствие И3 неравенства Римана:
С л е .n: с т в 11 е. На каждой алzебраllческой ри.мановой пoвepXHO
с/nи рода ({ существует по .меньшей ..Itере одна отЛllчная от пo
с/nоянной .lCеро.морфная функция, и.ltеющая не более g + 1 полюrпв.
И3 неравенства Римана вищlO также, что вычеты мероморфной
функции в .n:aHHblx полюсах нельзя, вообще rоворя, за.n:авать ПрОИ3
вольно. Этим римановl.I поверхности рода g> о существенно отли
чаются от римановых поверхностей рода нуль, например от раСlllИ
ренной комплексной плоскости. O'n:HaKo сказывается, что если на
римановой поверхности выколоть хотя бы o'n:I1Y точку и рассмотреть
мероморфные функции с бесконечным числом полюсов, сrущаюш.ихся
к вЫКОЛОТОй точке, то r лаВl1ые части в этих полюсах уже можно
бу.n:ет за.n:авать произвольно. Таким образрм, оказьшается, что теорема
Миттаr Леффлера о разложении трансцен.n:ентной мероморфной функции
в ря.n: рациональных .n:робей переносится на любые некомпактные
римановы поверхности конечноrо po.n:a *).
*) Этот результат был IIолучен Бенке и Ш,ейном, Ero изложение можно
найти в книrз Behnke und Sommer, Theorie der ana1ytischen Funktionen einer
komp1exen Veranderlichen, Berlin, 1955,
!i 51
АБСТРАКТНЫЕ РИМ.АНОВЫ nОВЕI'ХНОСТИ
579
5. Абстрактные римановы поверхности
До сих пор мы имели .n:ело с римановыми поверхностями, склеен
ными И3 раарезанных экземпляров плоскости, O'n:HaKo большинство
полученных результатов переносится и на римановы поверхности
более общеrо ви.n:а. При этом мноrие результаты становятся не-
только более общими, но и более прозрачными.
в отличие от римановых поверхностей, о которых мы rоворили
.n:o сих пор, бу.n:ем употреблять .n:ля этоrо HOBoro понятия название
абстрактная pllMaHOBa поверхность.
Абстрактной Рll.lfановой поверхностью бу.n:ем называть ПрОИ3
вольную поверхность (в смысле опре.n:еления 4 rл. 1) е, на KOTO
рой опре.n:елена КОАtплексная структура, т. е.
1. Для каж.n:ой окрестности И а существует тополоrическое OTO
бражение Л а этой окрестности на Kpyr I 't a I < 1. Величину 't a бу.n:ем
называть локальной перейенной, отвечающей OKpecmHocmll И а ,
2. Если 'n:Be окрестности И а И Ив имеют непустое пересечение,
то соответствуюшие им локальные переменные 't a И 't B являются
реrулярными функциями .n:pyr от .n:pyra в областях. отвечающих
пересечению этих окрестностей. Иными словами, если Вар И В ра
образы пересечения окрестностей И а И Ир при отображениях Л а и Л
соответственно, то отображение ..
'ta==lap('t B ),
I
la == Л а ' Л р
является конформным отображением области В ра на область Вар'
Две системы окрестностей {И а } и {И:} (вместе с отображениями
Л а и л:) считаем опре.n:еляющими o'n:HY и ту же комплексную CTPYK
туру, если система окрестностей, состоящая И3 объе.n:инения систем
{И а } и {И -}, у.n:овлетворяет условиям 1 и 2.
ЛеI-КО ви.n:еть, что риманова поверхность, склеенная И3 листов
плоскости, является частным случаем абстрактной римановой поверх
ности. Дfiйствительно, тополоrическое отображение Л а в этом случае
получается композицией проекции на плоскость с линейным, .n:робно
линейным или степенным отображением. При этом локальные пере
менные бу.n:ут, очеви.n:но, реrулярными функциями друr от .n:pyra, так
как они являются реrулярными функциями от проекции точки.
Две абстрактные римановы поверхности <5 и 6* нааовем lCOH
фордно ЭКВllвалентнbt.Jfll, если существует тополоrическое отобра
жение этих поверхностей, при котором окрестности И а тополоrически
отображаются на окрестности И:. и возникающее отображение KPY
[а I 't a I < 1 на Kpyr I 't 1<1 явлнется конформным отображением..
1/219.
Абстрактную риманову поверхность (5 бу.n:ем назынать 1Солта1ст
.ной, если И3 множества всех окрестностей {И а } можно вы.n:елить
,конечное их множество, покрыпаюшее всю поверхность 6.
Множество В абстрактной риманоной понерхности :5 наЗ0вем
.tco.tma1CmHbtM, если И3 любоrо множества окрестностей И а . покры
вающих множество В, можно вьщелить конечное их множество,
.обла.n:ающее тем же свойством.
.Мы знаем (см, 4 rл. 1), что в любом тополоrическом Простран
стве можно опре.n:елить понятие замкнутоrо и OTKpbIToro множества,
непрерывной кривой, простой непрерывной кривой, области. Все эти
понятия опре.n:елены и на абстрактной римановой поверхности, ибо
она является тополоrическим пространством. O'n:HaKo на абстрактной
риманоной поверхности можно опре.n:елить и понятие той или иной
rла.n:кости кривой. Например:
Кривая С на абстрактной римановой поверхности 6 называется
JCУСОЧНО 2лад1СОЙ, если часть этой кривой, лежащая в любой OKpeCT
ности И а ' переходит при отображении па в кусочно rла.n:кую кривую,
лежащую в Kpyre I 't. 1<1.
Аналоrичным обраЗ0М можно определить ПОНЯ'fИе 2ладlСОЙ и даже
аналитllчес1СОй кривой.
Таким же обраЗ0М опре.n:еляется понятие той или иной степени
r ла.n:косТИ функции, за.n:анной в некоторой области на абстрактной
римановой поверхности, Общий смысл всех опре.n:елений о.n:ин и тот
же: функция I(z), опре.n:еленная в области В на абстрактной рима
новой поверхности, нааывается непрерывно дифференцируемой (pe2Y
.лярной, Juероморфной, 2армоничес1СОЙ и т. .n:.), если функция 1 (Л';1 ('t a ))
является таковой в локальных переменных 't a , отвечающих каж.n:ой
окрестности И а С В.
Интеrрирование на абстрактной римановой поверхности требует
уже вве.n:ения некоторых НОВЫХ понятИй.
Пусть В локальных переменных 't a , отвечающих каждой OKpeCT
RОСТИ И а С В, нам за.n:ано выражение
Ра ('t a ) d a + qa ('t a ) dТja'
" == R.e 't", 11. == 1т 't".
причем выполнены условия cor ласования
Ра d a + qa dТj. == P d + q@ dll '
't a == 'Ха@ ('t@)
(1)
при перехо.n:е от о.n:них локальных переменных к друrим (з.n:есь 'Ха@
конформное отображение, упоминаемое в условии 2 опре.n:еления
абстрактной риманоной поверхности). Tor.n:a мы r!?ворИМ, что в обла
.,{:ти В за.n:ана дифференциальная форма (J) (z) первой степени.
5]
АБСТРАКТНЫЕ РИМ.АНОRЫ ПОВЕРХНОСТи
581
АнаJ оrично пусть в локальных переменных 't , отвечающих каж
.n:ой окрестности и а С В, за.n:ано выражение
Аа ('t a ) d ad'Yj , 't a == + i''I ,
и выполнены УСJЮВИЯ cor ласования
Аа ('tJ d ad'Yja == A ('t@) d d'Yj ,
Tor.n:a мы rоворим, что в области В задана
.лfa Q (z) второй степени.
";;а == Xa ('t ). (2)
дифференциальная фОР
Для .n:иффереНllиалыюй формы первой степени мы можем опре.n:е
лить uнте2рал
w (z),
С
rде С кусочно rла.n:кая (или .n:аже спрямляемая) кривая, лежащая
в области опре.n:еления этой .n:ифференциальной формы. Для этой цели
кривая С разбивается на конечное число кусков С 1 , .,., СП> каждый
И3 которых лежит в своей окрестности и а1 , .... U an ' Для любоrо
И3 участков С 1 , С 2 , ..., Сп полаrае;\I
w (z) == Pak ('t ak ) d ak + qak ('t ak ) d'Yjak'
C k Ck
r.n:e Ci, образ кривой C k в Kpyre I 't ak 1< 1 при отображении П аkО
Интеrрал по всей кривой С опре.n:еляем равенством
n
w(z)== w(z).
С k l C k
Аналоrично .n:ля любой Компактной подобласти В области опре.n:еле
ния .n:ифференциальной формы Q (z) второй степени можем опре.n:е
лить uнте2рал
н Q (z).
в
Для этой цели разбиваем компактную
неперекрывающихся областей В 1 , В 2 ,
заключена в своей окрестности и а1 ,
областей Bk полаrаем
область В на конечное число
. . " ВN> каждая И3 которых
и а ., ..., и аn , Для любой И3
Q (z) == Аа ('t a ) d ad'Yja'
Bk Bi,
r.n:e Bi, образ области Bk в Kpyre I 't a 1<1 при отображении Па'
Интеrрал по всей области В опре.n:еляем равенством
n
П Q (z)== Q(z).
в k 'IBk
19 А. rуРВНЦ. Р. Курант
582
МЕРОМОРФНhlЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[С,. 9
Леrко ви.n:еть. что незаВИСИl\lOСТЬ значения интеrралов от выбор а
разбиения на части кривой С или области В обеспечивается усло
виями соrласованности (1) или (2) соответственно.
Рассмотрим несколько примеров .n:ифференциальных форм первой
и второй степени.
1) Пусть F (z) непрерывно .n:ифференцируемая ФУНКllИЯ. опре
.n:еленная в области В на абстрактной римановой поверхности. Диф
ференциальные выражения в локальных переменных 't a (отвечающих
любой окрестности И а С В). имеющие ви.n:
1е: (Р (л;I ('t a ))) d a -+ д a (Р (л2 ('t a ») d1ja'
зацают в области В цифференциальную форму. которую естественно
обозначить символом dF (z).
Для .n:оказательства этоrо утверж.n:ения нужно проверить выпол
нение УСJЮВИЙ соrласованности (1) (ясно. что .n:ифференциальная фор
ма dP(z) имеет первую степень). Пусть окрестности И О С В и И, С В
имеют непустое пересечение, и пусть Л а ' Л@ И 'lo соответствующие
отображения, учаСТIJующие в опре.n:елении абстрактной римановой
поверхности. Для у.n:обства обозначим
F (л;;1 ( a -+ i1jo» === f ( a' 1ia)' ]
F (л 1 ( @ -+ i1j » === g( @. 1j:).
'la ( @ -+ i1j ) === и ( . 1j ) -+ iv( @. 1j ),
(3)
(4)
Tor.n:a .n:ифференциальные выражения (3) в локальных переменных 't a
заПИlllУТСЯ в ви.n:е
д /( a' "lJa) d a -+ д д /( a' 1ja) d1ja === df ( a' 1ja)'
a
а условия cor ласованности (1) бу.n:ут 0значать, что
df ( a' 1ja) === dg( @, 1j )
(5)
при замене переменных
a === 11 ( B' 1j@), 1ja === V ( B' 1js). (6)
НО Л,/ ('t o ) и л l ('t@) являются о.n:ной и той же точкой наlllей рима
IЮIЮЙ поверхности. если значения 't a И 't связаны соотношением
't a === 'lоjЗ ('t@), т. е. если переменные a' 1ja И З' 1j связаны CooTHollle
ниями (6), Поэтому ,
F (л; 1 ('la ('t@») === F (л 1 ('t@».
t (и ( , 1j@). v ( B' 1j@» === g( @. 1j@).
т. е.
(7)
И3 после.n:неrо рапено'ва в силу инвариантности .n:l1фференциала при
замене переменных неме.n:ленно вытекает равенство (5).
5]
АБСТРАКТНЫЕ РИМАНОвы ПОВЕРХНОСТИ
583
Нетрудно убе.n:иться, что отношение dF(z)jdO(z) двух диффе
ренциальных форм dF(z) и dO(z), определенных 8 области fj на
Рluщновой пoвepXHocти , представляет собоЙ ФУН1Сцию в этой
области рима новой поверхности, хотя и не обязательно Heпpe
рывную. В частности, если ФУН1СЦllll F (z) II O(z) меро.ftорфны
в облаС11lll В, т0 фУН1СЦllЯ
Н ( ) dF (z)
z dO(z)
лzероморфна в облаС11lи В.
2) Пусть F (z) непрерывно .n:ифференцируемая функция, опре
.n:еленная в области В абстрактной римановой поверхности. Диффе
ренциальные выражении в локальных переменных 't", имеющие ви.n:
д д (Р (п;;' ('t,,))) d " + д (Р (п;;1 ('t,,))) dТj",
" "
(8)
задают в области В дифференциальную форму, которую обозначают
обычно СИмволом * dF (z).
Для доказательства опить воспользуемся обозначениями (4) пре
.n:ы.n:ущеrо примера. В этих об0311ачениях .n:ифференциальные выраже
ния (8) в локальных переменных 't" примут ВИД
д f ( ", "IJ")d ,, + д f ( '" Тj,,) dТj",
a fc a
а условия cor ласоваНIIОСТИ вид
f'r.Q. (и ( G' 'I) ), v ( , '1))) du ( G' 'I) ) +
+ л" (и ( p' "IJ ), v ( p' ТjG» dv ( G' Тjp) ==
== g fJ ( P' "lJfJ) d p + g€fJ ( G' ТjG) d'l)G' (9)
Формула (7) по прежнему справе.n:лива, Дифференцируя ее, получаем,
что
и, сле.n:овательно,
dg д! да + д! до
де; де" де; д дe .
dg д! да д! до
- - + -
д p де" d G d"lj" d G'
dg. dg d
d - d;R + д O '1),==
"Ij - P"
д j ( a-V a-v ) д! ( да да )
== д д d B F dТj" + F д d G + де d'l) .
,,"lJiJ B a"IJG з
(10)
Но в силу условия 3 опре.n:еления абстрактной римановой поверх
ности функция X"G ('t G ) реrулярна, так что rармоничеCI<ие функции
и ( q' Тj ) и v ( G' ТjGJ у.n:овлепюряют уравнениям f{ОIllИ Римана
ди dv ди dv
дер д"IJ р ' д"IJ == дер '
19*
584
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
Поэтому
до до да > да >
дYj дe dТj == дe d S +д:;;[; dТjs == du ( , Тj ),
да да до до
дYj d s + де s dТjs == дe d s + д dТjs == dv ( P' Yj ),
и, по.n:ставляя эти выражения в формулу (10), мы ви.n:им, что УСЛО-
вин cor ласованности (9) выполняются.
С помощью .n:ифференциальных форм dF (z) и .др (z) HeTpY'n:HO
написать уравнения Коши Римана, связывающие действительную и
мнимую части реrулярной ФУНКllИИ, не перехо.n:я к локаJIЬНЫМ пере-
менным:
Для ре2улярностll ФУНКЦllll f(z), определенной в областll В на
абстрактной Рll},ЮноВОЙ поверхности 6, необходllМО и достаточно,
чтобы выполнялось равенство
dv (z) == *du (z)
(z Е В),
[де
II (z) == Re /(z),
v(z)==Imf(z).
3) Пусть F (z) непрерывно .n:ифференцируемая функция, опре.n:е-
ленная в области В абстрактной римановой поверхности. Дифферен-
циальные выражения в локальных переменных 't,,, имеющие ви.n:
{[ д " F (:n;;1('t,,})J2 + [ д " F (:n;;1 ('t,,» п d " dТj", (11)
задают в области В дифференuиальную форму второй степени, ко-
торую обозначают обычно СИМВОЛОМ dF (z) * dF (z). (Эта .n:ифферен-
циальная форма второй степени является внеlllНИМ произве.n:ением
.n:ифференциальных форм dF(z) и *dF(z).)
Для проверки условий соrласоuэнности (2) опять воспользуемся
обозначениями (4) примера 1. В этих обозначепиях .n:ифферепциаЛЫlЫе
выражения (11) II локальных перемеНI!ЫХ 't" примут вид
{[/,; ( a' Тja)]2 + [f ( a' "1/,,) ]2} d a dТja>
а . а
а условия cor ласованности (2) ви.n:
{fi: (и ( S' ТjS), v ( , Тjs) + f : (и ( s' Тjp), v ( , Тjp»)} дд :д1J:)
== gi ( P' Тjp) + g ( P' ТjS). (12)
Как и в примере 2, получаем И3 формулы (7), что
gi == л . иi + f . vi '
Р '" Р а
g ==л. .и + 1; .v
а 3 а
и, сле.n:овательно,
gi2 + g 2 == fi 2 . (1lе 2 + ll 2) +
а р
+л ,/ .(ll .v +v ,и )+/ "(V "+V 2).
а а р . а р р
5)
АБСТРАКТНЫЕ РИМ.АНОвы ПОВЕРХНОСТИ
585
Используя опять уравнения КОlllИ Римана цля функций u и V, леrко
получаем оТсю.n:а, что условия (12) выполняются.
С помощью тех же рассуж.n:ений .n:оказывается, 'по дифференциаль
ные выражения в локальных переменных 't a , имеющие вид
{д (Р (71: '('tа)))'д (0(71:;;1 ('t a ))) + дд (Р (71:;;' ('t a ))) д д (0(71:;;' ( 't a ))) } d a dТja'
задают в области В .n:ифференциальную форму второй степени (если
ФУНКllИИ F (z) и O(z) непрерывно дифференцируемы в области В).
Эта .n:ифференциальная форма обозначается обычно символом
dF (z) * dO(z) (внешнее произве.n:ение .n:ифференциаJIЬНЫХ форм dF (z)
и * dO(z)).
4) Пусть F (z) дваж.n:ы непрерывно .n:ифференцируемая функция,
опре.n:еленная в области В абстрактной римановой поверхности. Диффе
ренциальные выражения в локальных переменных 't a , имеющие вид
{ :е: (Р (л;;' ('t a ))) + дд: (Р (л;;1 ( 't a ))) } d a dТja,
а "lJ a
(13)
ва.n:ают в области В .n:ифференциальную форму второй степени, KO
торая обозначается обычно символом /::"Р (z).
Для проверки условий соrласованности опять воспользуемся обо
значениями (4), в которых .n:ифференциальные выражения (13) примут
ви.n:
{ д2 д2. }
дe f ( a> Тja) + a"IJ f ( a' Тja) d a dТja.
а условия cor ласованности (2) ви.n:
{л € (и ( ,o. Тjв)' V ( o. Тjэ)) + f 1) (и ( O' Тj,,). V ( O' Тjэ))} д д U д ' v) ==
а а е е' а а "е е, p"IJp
== g[p€p ( s' ТjS) + g p1) ( p' Тjp)' (14)
Дифференцированием равенства (7) без Tpy.n:a получаем, что
" Е!' '2 +2 1'" " +1 " '2 I r " +1 ' "
g,: Е == J Е Е иЕ J Е 1) lle VE 1) 1) Vo -т 1Е Щ Е 1) VE Е ,
'р Р а а S а а р S а а 'р а р S а S р
g 1) ==л Е 11 2 + 2Л 1) ll V + f 1) V 2 + л и 1) + f V 1)'
'р р а а р а а S S а а р а S S а S S
oTKy.n:a с помощью уравнений КОlllИ Римана для функций и и V
прихо.n:им к равенству (14),
Заметим еще. что еСЛll F (z) непрерывная фуюсция, oпpeдe
ленная в области В на абстрактной рuмановой поверхности,
а w (z) дифференциальная форма (первой или второй степени).
определенная в той же области, то пРОllзведение F (z) w (z) тоже
является диффереНЦIШЛЬНОЙ фОрJltoй (1011 же степени, что и
586
МЕРОМОРФНЫЕ Ф НКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
rrл.9"
дифференциальная форма w (z», определенной в той же области В.
Это замечание позволяет нам опре.n:еJIИТЬ дифференциальные формы
F(z)dO(z), F(z) * dO(z), F(z)dO(z)*dO(z), F(z)t..O(z).
На абстрактной римановой поверхности можно определить понятие
интеrрала Дирихле от кусочно непрерывно дифференцируемой функ
ции Ф (z) по области В. Именно, если функция Ф (z) непрерывно
.n:ифференцируема в компактной области Во на римановой поверх
ности, то llНтnрало.м ДUPllхле от ФУН1СЦllll Ф(z) по области Во
наЗ0вем интеrрал
dФ (z) * dФ (z) == DBo lФ].
Во
Если функuия Ф (z) кусочно непрерывно .n:ифференцируема в KOM
пактной области Во, то эту область можно раэбить на сумму конеч
Horo числа неперекрывающихся областей В 1 , В 2 , .", В ш в I<аж.n:ой.
И3 которых функция Ф (z) непрерывно дифференцируема. Tor да
инте2раЛО.tl Дирихле от ФУН1СЦllll Ф (z) по области Во наЗ0вем
сумму
DBo [Ф] == DBl [Ф] +. '. + DBn lФ],
Наконеи, если область В не компактна, то llнтnрало.м Дирихле от
ФУН1СЦllll Ф (z) 110 области В наЗ0вем верхнюю rpaHb интеl'ралов
Дирихле от функции Ф (z) по всем компаКТНЫ 1 по.n:оБJIaСТЯМ области В.
Если интеrралы ДИРИХJlе от функций Ф (z) и qr (z) по области В
конечны, то можно опре.n:елИ1Ъ интеrрал Дирихле
D B [Ф, чr] == П dФ (z) * dW (z)
в
равенсшом
1 1
Dв[Ф, W]==4Dв[Ф Wl 4Dв[Ф W].
Как только мы опре.n:еЛИЛI1 на абстрактной римаllОВОЙ поверх
нопи интеrрал Дирихле, можем рассмотреть для любой области а
на этой римановой поверхности экстремаJlьные за.n:ачи (j (см. 9
rл. 8) с функцией особенностей (j ('t), за.n:аваемой в какой либо фиксиро
ваннОй окрестности и о с О с помощью JlOкалыюti перемеНlIОЙ 't.
Точная постановка экстреМaJlЫIOЙ за.n:ачи (j lIа абстрактной римановоfi
поверхности такова:
Пусть О область на абстрактной римановой поперхности 6,
а и о некоторая окрестность, лежащая в оБJlасти О вместе со своим
замыкаНl1ем и о . Пусть, .n:алее, в Kpyre t 't t < 1, rде 't локаJIЫlая пере
менная, отвечающая окрестности и о , за.n:аllа ФУНКЦИЯ особеllllOстей
(j (-.:), реrулярная на окружности l't I == 1. Функцию v ('t) Оl1редеJIИМ
условиями;
. ]
АБСТРАКТНblЕ РИМ.АНОВЫ nOBEPXI-ЮСТИ
587
Функция v ('t) rаРМОНИ'Iна в Kpyre I 't I 1, она обращается В нуль
4lрИ 't == О, а на окружности I 't I == 1 имеет место равенство
д д
д V{'t)== д Recr{'t).
fl fl
ФУНКЦИЮ S (z) опредеJIИМ равенствами
S{z)=={ Recr{3to{z) V{3t o {z»
'r.n:e через О' обозначена область, состоящая И3 точек области О, не
прина.n:лежащих замыканию и о окрестности и О .
Функцию Ф (z), опре.n:е,пенную в области О, наЗ0вем дОllустuжой
ФУЮЩllСЙ э1сстрсжалыiйй задачи cr для области О, если эта функuия
удовлетворяет условиям:
1. Функция Ф(z) непрерывна и кусочно непрерытю дифференци
руема во всей области О, за исключением точек rраницы окрестности
и о . rде она имеет разрыв первоrо po.n:a,
2. Функция Ф (z) +- s (z) непрерывна в точках rраницы области и о .
3. Инте1'рал Дирихле D LФJ (понимаемый как сумма по, [Ф] +
+ оио [ФJ) конечен,
ЭкстремаJlьная задача cr состоит в отыскании .n:опустимой функции,
1VIинимизирующей интеrраJl Дирихле D [Ф].
(zE и о ),
(zE 0'),
Леrко убе.n:иться, что все теоремы 1 О r JI. 8 сохраняют силу и
для абстрактных римановых поверхностей. Все .n:оказателЬСтва пол
(юстью переносятся, только интеrрирование функций сле.n:ует всю.n:у
заменить интеrрированием соотнетствующих .n:ифференциаJIЬНЫХ форм.
Заметим в этой связи, ЧТО БОЛЫllИНСТВО формул, ОТlюсящихся
К интеrриронанию, имеет анаJюr и на абстрактных римановых по
uерхностях. Например, формула rрина
F ds == F6.0dx dy + Dп [Р, 01
dП В
на абстрактной римановой поверхности принимает ви.n:
F *dO== р, 6.0+ dF *dO.
дВ п В
Она справеЩlИва .n:ля любой области В, по.n:обной о.n:нолистной, имеющей
){усочно rла.n:кую rраницу дВ. при условии, что функция F (z) кусочно
непрерывно .n:ифференцируема в замыкании области В, а функция
O(z) .n:важ.n:ы кусочно непрерывно .n:ифференцируема в замыкании
области В, Доказательство этоrо утверждения неме.n:ленно получим,
разбив оБJIaСТЬ В на сумму неперекрывающихся областей В). В2' . , " В п ,
каждая Н3 которых лежит в Своей окрестности, и перей.n:я к локальным
леременным.
588
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rn.9
Более Toro, введя понятие произво.n:ной дифференциальной формы,
можно получить общие формулы, охватывающие БолыllIlствоo формул
интеrральноrо исчисления. Это особенно важно .n:ля пространств
раз ерности, БоJIыllйй двух. На этих вопросах мы не бу.n:ем OCTaHa
лив аться *).
Основываясь на утверждении о существовании минимизирующей
функции экстремальной задачи cr 'n:JIЯ всей римановой поверхности 6,
получаем все результаты, И3Jюженные в 2 4. ЧитатеJIЬ леrко
проверит, что проведеННhI.е рассуждении не нуж.n:аются ни в каких
изменениих, если только мы предположим, что абстрактная риманова
поверхность е тополоrически эквивалентна сфере с g ручками. Можно
доказать, что
ЕСЛll абстрактная pllMaHOBa поверхность е КОАтактна, то
она топОЛО2llчеСКll ЭКВllвалентна сфере с кон.еЧНblА1 ЧllСЛОМ ручек.
O'n:HaKo этот результат нам не очень нужен, а ero .n:оказательство
довольно КРОПОТJlИво **).
Кроме Toro, нуждается в неБолыllмM уточнении теорема о cy
ществовании ероморфной функции на произвольной римановой по-
верхности, .n:оказанная нами в 10 rл. 8. Дело в том, что мы про-
вели там .n:оказательство СJlе.n:ующим обраЗ0М: сначала построили
функцию, rармоническую (и о.n:нозначную) на всей римановой по-
верхности и имеющую простые полюсы в данных точках; затем рас-
смотрели функцию F (z) === ll (z) ill; (z), После.n:нее .n:ействие на
абстрактной римановой поверхности невозможно, так как .n:иффереl1
цирование функции на абстрактной ри ановой поверхности дает уже
не функцию, а .n:ифференциальную форму первой степени. O'n:HaKo это
доказательство исправляется без особоrо Tpy.n:a: нужно построить
не o'n:HY rармоническую функцию, а 'n:Be (и притом с различными
полюсами), взять для этих функций .n:ифференциаJlьные формы
dll (z) + i * dи (z),
а затем рассмотреть ОТНОlllение этих дифференциальных форм. Леrко
убе.n:иться, что это ОТНОlllение .n:acT нам искомую функцию, меро-
морфную на римановой поверхности.
Вря.n: ли стоит повторять, что на абстрактной римановой поверх
ности можно рассматривать и мноrозначные аналитические (и rармони-
ческие) функции. Построение теории мноrознаЧНhlХ анаJlИтических
функций на абстрактной римановой поверхности прово.n: ится .n:ословно
тем же способом, что и на шюскости. Доказательства всех Teope
*) Бодее подную информацию читатедь найдет в книrе Де Рама, Диф
ференцируемые мноrообразия. 1954,
**) Жедающим подробнее ознакомиться с TaKoro рода вопросами можно
рекомендовать книrу П. С. Адександрова и В. А. Ефремовича, Очерк OCHOB
ных понятий тополоrии, Москва, 1936.
6]
АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, ТЕОРЕМА РИМАНА. РОХА
589
полностью остаются в СИJlе (в частности, остается в силе теорема
о монодромии). С каж.n:ой мноrозначной аналитической функцией на
абстрактной римановой поверхности можно Связать риманову поверх
ность над абстрактной рима новой поверхностью. Эту риманову по-
верхность Ha.n: римановой поверхностью можно пре.n:сТаВлять себе
склеенной И3 разрезанных экземпляров исхо.n:ной римановой поверхности,
но ее можно опре.n:елить и как абстрактную риманову поверхность.
Это .n:елается сле.n:ующим обраЗ0М: .если точка новой римановой по
верхности не является точкой ветвления, то она является внутренней
точкой o'n:Horo И3 склеиваемых экземпляров исходной римановой по-
верхности. Поэтому она имеет окрестности ии., лежащие на этом
склеиваемом экземпляре (и не со.n:ержащие точек разреЗ0В). Все эти
окрестности мы и бу.n:ем считать окрестностями .n:анной точки на
новой римановой поверхности. Для точки разветвления поря.n:ка т
мы склеиваем т листную окрестность И3 .n:остаточно малых окрест-
ностей ии. на всех т экземплярах исходной римановой поверхности,
соединяющихся в точке разветвления. Отображения :n:и. перево.n:ят
построенные окрестности в о.n:нолистные и т листные круrи соответ-
ственно, Конформно отображая т-листный Kpyr с помощью функции
т
.,; '1:и., прихо.n:им к системе окрестностей на новой РИ:\IaНОВОЙ поверх-
ности, у.n:овлетворяющей условиям опре.n:еления абстрактной римановой
поверхности.
В случае, Kor.n:a риманова поверхность <5*, построенная Ha.n:
абстрактной римановой поверхностью е;, не имеет Ha.n: ней rраничных
точек, риманова поверхность <5* назьшается на1СрЫвающей пOBepx
ностью .n:ля римановой поверхности <5. Точка римановой поверхности
Е, Ha.n: которой расположена точка Р накрывающей римановой по
верхности <5*, называется прое1Сцuей точки Р.
6. Абелевы дифференциалы. Теорема Римана Роха
ИСПОЛЬ3УЯ понятие, близкое к понятию .n:иффереНllиальной формы,
BBe.n:eHHoMY нами в пре.n:ьщущем параrрафе, мы сможем формулировать
в более у.n:обном ви.n:е мноrие результаты, относящиеся к абелевым
интеrралам. С этой целью покажем сейчас, что С каж.n:ым абелевым
интеrралом j (z) на римановой поверхности О можно взаимно O'n:HO-
значно связать так называемый абелев дllффереНЦlzал.
Пусть в каж.n:ой окрестности ии. римановой поверхности (мы не
делаем различия между абстрактной рима новой поверхностью и ри-
мановой поверхностью, склеенной И3 листов комплексной плоскости)
за.n:аllа функция Ши. ('1:и.) локальной переменной '1:и.' отвечающей этой
окрестности. Если функции ши. ('1:и.) мерОМОрфllЫ в Kpyrax I '1:и.! 1
и связаны условиями соrласованности
ши. (Хи.р ('1: р » X p ('1: р ) == ш р ('t p )'
(1)
590
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РШ\lАНОI3ЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9'
бу.n:ем rоворИТЬ, что за.n:ан .'rlеро.ftoрфный (или абелев) дифференциал
на ризтновой пoBepXHocтll О.
Мы не можем rоворить о значении абелева дифференциала в точке
римановой поверхности, так как И3 условий соrласованности (1) ви.n:но,
что это значение определяетси ЛИlllЬ с точностью до умножении на
'X. fJ ("Са) (наПОМНИ:\-I. что точки 't" И 't@, связанные СООТНОlllением 't a ==
о=='Х."з ('t з )' отвечают одной и той же точке римановой поверхности;,
см. опре.n:еление абстрактной римановой поверхности в начаJlе 5).
O'n:HaKo в силу конформности отображения 't a == 'Х.а@ ('t@) произво.n:наll'
'X. @ ('t@) ОТJlИчна от нуля, и мы можем rоворюъ о НУЛЯХ и полюсах
абелева .n:ифференциала. Более Toro, имеет смысл понятие порядка
нуля или полюса абелева интеrрала в данной точке римановой по
верхности.
Леrко ви.n:еть, что за.n:ание абелева .n:ифференциала равносилыю
за.n:анию .n:ифференциаJIЫIOЙ формы первой степени .n:иффереШLИаJJЬНЫМИ
выражениями Ша ('t a ) d't a В локальных перемеllllЫХ. Эту дифференциаJIЬ
ную форму бу.n:ем обозначать символом
Ш (z) dz
(в .n:алыlйlllемM не бу.n:ем прово.n:ить особоrо различия меж.n:у а6елевым
.n:ифференциалом Ш (z) и этой .n:ифференциаJJЫIOЙ формой).
Пусть .n:aH абелев .n:иффереШНlал w (z). Мы можем опре.n:елить
интеrрал
Ш (z)dz
с
по любоЙ кривой С. пе прохо.n:ящей через ero полюсы. И3 опреде
ления интеrрала от дифференциальной формы (см. 5) пеме.n:леН11O
вытекает, что интеrрал (2) не меняется при lJепрерЫIlНОЙ деформации
кривой С, если не перехо.n:ить через полюсы абелева .n:ифференциалз
Ш (z) (ибо функuии Ш а ('tJ мероморфны).
Вычето.fl абелева .n:ифферепциала W (z) в полюсе, раСIIОJюженпом
в точке а рима новой поверхности О, наЗ0вем величипу
2 \' W (z)dz,
1tt J
дЕ
(2)
r.n:e В ОЩlOсвязная область, содержащая ТОЧI<У а и не со.n:ержащая
.n:руrих полюсов нашеrо абеJlева .n:ифференциала. (Это опре.n:еление
имеет смысл вви.n:у независимости иптеrрала (2) о пути.)
И3 скаэаШlOrо выше ви.n:по. что иптеrрал
z
W (z)dz == j (z)
Zo
' 6)
АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, ТЕОРЕМ.А РИМАНА РОХА
591
'опредеJlяет мноrозначную аналитическую функцию на рима НОвой по-
верхности а, если w (z) абелев .n:ифференциал. Любые 'n:Ba элемента
этой аналиТической функции в о.n:ной и той же ТОЧ1{е римановой по
:nерхности различаются на постоянное слаrаемое
W(z)dZ,
с
T.n:e С не1ю т орая заМlшутая кривая на римановой поверхности а,
не прохо.n:ящая через полюсы абелева .n:ифференциала W (z). Особыми
точками этой функции MorYT быть только полюсы абелева .n:ифферен
циала W (z). Разложение в окрестности ЭТИХ особых точек по локаль
ным перемепным 't a (значение 't a ==== О отвечаеr соответствующей особой
ТОЧI{е) имеет ви.n:
n
ia('t a )==== С: +сlП't а +f('t а ).
,!:'
k 1 а
[де f('t a ) -- фушщия, реrулярная при 't a ==== О. (Леrко про верить, что
ПОСТОЯlIная с равна вычету абелева .n:ифференциа.'lа W (z) в ТОЧI{е ри
мановой поверхности, отвечающей значениlO 't a ==== О.) Таким обраЗ0М,
ФУIl1ЩИЯ j (z) пре.n:ставляет собой абелен интеrрал на римановой по
'fIерХIIОСТИ а.
HeTpY'n:Ho ПОI{азать, что и обратно, если j (z) абелев llнтezрал.
то дифференциальная форAtа dj (z). определенная в каждой точке
рezУЛЯРНОСl1lll абелева llнтеzрала j (z). является абелеВЫАt дllФ
фереНЦllаЛОAt на РllAtановой поверхности а. ПРll этоAt полюсы II
лоzаРllФ_ltllчеСКllе особые тОЧКll абелева интеzрала становятся
JlолюсаАtll абелева дllффереНЦllала.
Таким обраЗ0М. между абелевыми интеrралами и абе.'lевыми .n:иф
ференциалами можно установить взаимно ОJщозначное соответствие.
Иметь .n:ело с абелевыми .n:ифференциаJlами лучше. та1{ как в неlЮТОРЫХ
1Jопросах ну ли абеJlеIJЫХ дифферепциаЛОIJ иrрают сушественную
роЛl>. В качеСi'ве первоrо реЗУJlьтата, I1снользующеrо све.n:еНI1Я' о
нулях абеJlевых .n:ифференциалов. докажем теорему, УТО'IIIЯЮЩУЮ Teo
рему 3 4:
Т е о р е м а 1, Пусть a рияанова поверхность рода g. а ее
тОЧКll Ь., Ь 2 ,.,., b n попарно раЗЛllЧНЫ, ОбознаЧllAt через N 'tllСЛО
Лllнейно незавиСlu.(ых А(еРОАtoрФных ФУНКЦllЙ на pIU.taHoBOU пo
веРХНОС11lи а, не имеющих особых точек, за ВОЗ.ltoЖНЫAt llСКЛю
чеНllеА( простых полюсов в точках Ь., Ь 2 ,.", Ь ш а через М*
ЧllСЛО линейно незаВllСIU(ЫХ абелевых дифференциалов, не и.ltеющих
полюсов на Всей РllAtановой поверхности а II llА(еЮЩllХ НУЛll
13 тОЧlсах Ь., Ь 2 , "" !I n , Тоzда
N====п g+ 1-+ М*.
592
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ IJОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
Вернемся к обозначениям, BBe.n:eHHbIM при .n:оказательстве теоремы 3
4. Пусть jk (z) (k == 1, 2,.." п) абелев интеrрал. имеющий полюс
с r лавноЙ частью 1/'i. В точке b k и не имеющий .n:руrих особых точеl{.
Эти абелевы интеrралы нормируем условием равенства нулю их
А перио.n:ов, а их В перио.n:ы обозначаем через B ks :
B ks == var jk (z) (k == 1, 2,..., п; s == 1, 2,..., g).
Bs
Ка1{ мы ви.n:ели в теореме 3 4 (см. замечание к ней).
N==n g+l +\1,
r.n:e \1 paHr матрицы
( В1I В12 ..,
В 21 В 22 ...
. . . . .
B n1 B n2 ...,
BIg )
B 2g
Bng
(3)
Сейчас най.n:ем связь меж.n:у числами \1 и М*. Пусть W (z) абелев
.n:ифференциал, не имеющий полюсов и имеющий нули в точках Ь 1 ,
Ь 2 , .,., b n , Этот абелев .n:ифференциал можно е.n:инственным обраЗ0М
пре.n:ставить в ви.n:е
W (z) == СХldФl (z) + СХ2dФ2 (z) +. ., + схgdФg (z),
r.n:e Фk (z) абелеп интеrрал первоrо po.n:a, .n:ля KOTOporO все А пе-
рио.n: ы равны нулю. кроме перио.n:а, отвечающеrо ЦИl{лическому сече-
нию A k , а этот перио.n: равен е.n:инице (ясно, что число CXk равно
перио.n:у абелева дифференциала W (z). отвечающему сечению A k ),
Обозначим через 0* о.n:носвязную область, получаемую канони-
ческим рассечением римановой поверхности О (по циклическим сече-
ниям А 1 , ..., Ag. 81' ..., 8g) и рассмотрим интеrрал
1== jk(Z)W(Z).
дО*
Cor ласно лемме 3' 2 имеет место равенство
g
J (z) dJ* (z) == (AsB A Bs)'
дG* s 1
r.n:e А 1 . .,., Ag, В 1 . .." Ва ЦИl{лические периоды абелева интеrрала
J(z), а A , A , B , .. , B циклические перио.n: ы абелева инте-
rрала J* (z). Поэтому
g
I== CXsBkS'
s 1
С .n:руrой стороны, 1 == О. та\{ как подинтеrраЛlVlое выражение не
имеет полюсов в ОJJ:llOСВЯ3НОЙ области 0* (полюс абелева интеrрала
;k (z) компенсируется нулем абелева дифференциала в той же точке),
61
АВЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, ТЕОРЕМА РИМАНА РОХА
593
а контур интеrрирования можно произволыю .n:еформиров31Ъ, не пере
ходя через полюсы. Сле.n:ователыю, если абеле в .n:ифференциал
W (z) === аlФl (z) +. .. + аgФg (z)
имеет нули в точках b l , Ь 2 , ..., Ьn> то числа al' ..., a g должны YДOB
летворять системе уравнений
BBal + B l2 a 2 + . . . + Blg'J' g === О, ]
(4)
.8 nl a J + B n2 a 2 +... + Bngag===O.
Вви.n:У взаимно однозначноrо соответствия Jеж.n:у наборами чисел
a l , а 2 , ..., a g
и абелевыми .n:ифференциалами W (z), не ЮJеющими полюсов, число
Jlинейно независимых реlllений системы (4) равно числу М*. С друrой
стороны, число JlИнейно независимых реlllений системы (4) равно,
очевидно, paHry матрицы (3), т, е. числу v. Таким обраЗ0М М* === v
и N===n g+ 1 + М*. Теорема 'n:Ol{азана.
Доказанная теорема является важным частны:и случаем теоремы
Римана Роха, которую докажем HeMHoro позже.
Мы знаем, что .n:ля мероморфных функций на КОМПа!ПНОЙ рима
новой поверхности ра31ЮСТЬ меж.n:у числом нулей и числом полюсов
не зависит от выбора функции она всеrда равна нулю (см. Teo
рему 1 3). HeTpY'n:Ho показать, что разность меж.n:у числом нулей
и числом полюсов абелева .n:ифференциала тоже не зависит от выбора
абелева дифференциала. С этой целью заметим прежде Bcero, что
ОТНОlllение 'n:BYx абелевых .n:ифференциалов является мероморфной
функцией на римановой поверхности. Действительно, если функции
Ш а (-r,,) и Ш: ('t a ) В локальных переменных 't a отвечают абелеВЫ:\1 диф
ференциалам W (z) и ш* (z), то они .n:олжны у .n:овлетворять условиям
соrласованности (1), И3 этих условий сле.n:ует, что
"': ('Xa ('t » "'W ('t[J)
"'а ('Xa ('ti3» "'р ('t[J) ,
"': ('!: )
а это 0значает, что функции ( " ) в локальных переменных опре
Ша 't'a
.n:еляют фующию на римановой поверхности. Поскольку функции
Ш", Ш мероморфны, эта функция мероморфна на римановой поверх
ности. Далее, если обозначить через п (!) ра31ЮСТЬ меж.n:у числом
нулей и полюсов j(z) (r.n:e j(z) функция или абелев дифференциаJI),
то, очеви.n:но, имеет место равенство
п( :* ) ===п(ш*) п(ш).
594
МЕРОМ.ОРФНЫЕ функции НА РИМА НОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
ПоС!{ольку, соrласно теореме 1 3, для любой функции I(z), Mepo
морфной на римановой поверхности, п (j) === О, мы получаем, что
п (ш*):::::::: п (ш), и Hallle утверж.n:ение .n:ОI{азано.
Доказанное только что утверж.n:ение нетрущю .n:ополнИ'lЪ, найдя
величину п(ш).
Т е о р е м а 2. Для люБО20 абелева дифференциала w (z) на 1COAt
па1Стной Рll.мановой поверхности а рода g разность .между ЧllСЛО.1t
нулей и ЧllСЛО.м полюсов равна 2g 2.
Рассмотрим сначала случай g?=': 1, Tor.n:a существует ровно g
линейно независимыХ (с точностыо .n:o постоянной) абелевых интеrра
лов первоrо po.n:a
ФI (z), Ф2 (z), ..., Фg (z).
Обозначим через Ь\, Ь 2 , b n нули абелева .n:ифференциала
dФ\ (z) (каж.n:ый нуль пишем столы{О раз, какова ero кратность).
Леrко ви.n:еть, что число линейно независимых абелевых .n:ифферен
циалов, имеющих нули Ь\, Ь 2 , ..., Ь п и не lшеющих полюсов, равно
е.n:инице, Деtlствителыю, ОТНОlllение любоrо TaKoro абелева .n:ифферен
циала I{ абелеву .n:ифференциалу dФ\ (z) является мероморфной функ
цией, не имеющей полюсов на всей римановой поверхности, а такая
фУНlщия по теореме 1 4 является тож.n:ественной постоянной,
llaJlee, число линейно независимых функций, не имеющих на всей
римановой поверхности а полюсов, ОТЛИЧНЫХ от точеl{ Ь!, Ь 2 , .... Ь п
(с кратностыо. не превосхо.n:ящей кратности соответствующеrо нуля
абелева дифференциала dФ\ (z», равно g. Действителыю, все функции
TaKol'o po.n:a имеют ви.n:
{( dФI (z)..L dФ2 (z) L I dФg (z)
z) СХ! dФ, (z) I СХ 2 dФ, (z) I "'1 cx g dФI (z)
(ибо выражение I(z) dФ\ (z) обязано быть абелевым .n:ифференциалом
без полюсов, т. е. дифференциалом абелева интеrрала первоrо рода).
Поэтому в обозначениях теореЮ,l 1
N === g.
М* === 1,
и следовате.'1ЫЮ, теоре:иа 1 .n:aeT нам, ЧТО п === 2g 2. Таким обра30 1,
мы доказали, что число нулей абелева .n:ифференциала dФl (z) равно
2g 2, а поско.'1Ьку полюсов этот абелев дифференциал не 1HleeT, то
эта величина равна разности меж.n:у числом ero нулей и числом ero
полюсов. Но мы 'n:ОI{азали, что эта разность не зависит от выбора
абелева .n:ифференциала (непосре.n:ствеlllЮ пере.n: теоре:\IOЙ), Тем самьш
теорема доказана в пре.n:положении, что po.n: g наlllей римановоtl
поверхности положителен, и остается доказать. что она остается спра
ве.n:ливой и .n:ля римановой поверхности po.n:a нуль.
Риманову поверхность рода нуль можно 1<ОНфQРМНО отобразить
на расширенную плоскость. Меж.n:у абелевыми .n:ифференциалами YCTa
навливается взаимно о.n:нозначное соответствие, при котором ни число
!i 51
АБI,ЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА РИlv\АНА - РОХА
595
нулей, ни число полюсов не меняется. Поэтому нам остается найти
ра31ЮСТЬ меж.n:у число:vl нулей и числом полюсов .n:ля какоrо-либо
абелева .n:ифференциала на расширенной плоскости. Рассмотрим абе-
лев .n:ифференциал
w(z)==d ( ) == dz.
z j Z
Он имеет при z == О полюс BToporo поря.n:ка. В I{оиечной части
плоС/юсти этот абелев .n:ифференциал. очевидно. не И:vlеет нулей. Для
выяснения ero пове.n:ения в точке z == со сле.n:уе l' перейти I{ локаль-
ной переменной 't == Tor.n:a получаем, что w (z) == d't, т. е. в точке
z
z == CO нет ни нуля, ни полюса. Сле.n:опателыю, .n:ля выбранноrо нами
абелева .n:ифференциала (а значит, .n:ля любоrо .n:pyroro) разность
меж.n:у числом нулей и числом полюсов равна 2. Тем самым тео-
рема .n:оказана и в случае, Kor.n:a g == О,
При ИСС,1Iе.n:оваIlИИ аJIfебраичеClШХ функций чрезвычайно у.n:обно
пошпие дllВllзора,
ДllВllЗОрО.и мы бу.n:ем назыв31Ъ символ
ра 1 1 . p 2 . . . рат,
" т
r.n:e Р 1 . P'l.' ..., Р т точки римаНО130Й поверхности, а СХl> ..., СХ т
целые числа, причем 'n:Ba Т3Iшх си:ивола, отличающиеся лишь поря.n:-
ком точек P 1 , Р2' "., Р т (или заменой произве.n:ения P P одним
членом P + Р), считаются О'n:ИНaI<ОВЫМИ.
Множество всевоз.ltожнЬ/х дllВllЗОРОВ (ОПlOсящихся К ОШlOiJ и
той же римановой поверхности) образует абелеву 2рУnnУ ПО Y.llHO-
жеНl1Ю, еСЛll оnераЦllЮ умножеНllЯ дllВllЗОРОВ оnредеЛllть равен-
ством
( а1 Р ат ) (Q r\ Q r, ) Р аl P am Q r1 Q r,
Р 1 ... т l' ., r 1'" т 1'" ,.
ДllВllЗОРО.JU .AlеролlOрфНОЙ ФУНКЦll/l f (z) или абелева дифферсн-
циала w (z) наЗ0ве:н 'n:ИВИЗ0Р
аl Р а Q r1 Q r
Р 1 ... ,:[1 . 1 . ., , "
r.n:e Р 1 . P'l.' ..., Р т нуди, а Ql' Q2' .... Q, полюсы функции I(z)
(или абелева .n:ифференциала w (z», При ЭТО:\I число CX k равно крат-
ности нуля P k . а число k l{ратности полюса Qk-
ДИВИЗ0Р фушщии 1 (z) бу.n:ем обозначать СИМ130Л0:\1 (/), а дипизор
абелева .n:ифференциала w (z) соответственно символом (ш).
ДШН130Р P l... Р:т бу.n:е:\1 называть целЬ/д дllВllЗОРО_ll. если псе
числа CXk положительны (или соответствующие то'нш отсутствуют).
596
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКllИИ нА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rп.9
Часто rоворяТ, что функция I(z) (или абелев .n:ифференциал)
делuтся на данный дUВllЗОр (1. Это 0значает, что 'n:ИВИ3Ор (j). (1 1
является целым .n:ивизором.
Число п (а) == (7.1 +. .. а. т называется степенью дuвизора
Р ""l Р ""
i\ == 1 ... ':;1.
Мноrие полученные результаты леrко сформулировать с помощью
понятия дивизора, НаПРИ lер, теорема 1 4 0значает, что степень
дllВllзора любой ФУНКЦllll, AtерО_ltoрфной на компактной рима новой
поверхности, равна нулю. TeopeC\la 2 0значает, что степень allBll
зора люБО20 абелева дuфференциала на компактной римановой
пOBepXHocml1 рода g равна 2g 2.
Особо отметим ФОРМУЛИРОВКУ в этих терС\lИнах теоремы 1. Она
имеет сле.n:ующий ви.n::
Пусть а целый диВlIЗОР, а a кояпактная ри.манова пOBepx
ность рода g. Еслu N ЧllСЛО лuнейно незавuсимых мероморфных
функцuй, деЛЯЩllХСЯ на дuвизор 11 1, а Jt* число Лlzнейно незави
C1UlbtX абелевых дllффереНЦllGЛОВ, деЛЯЩllХСЯ на дивизор (1, то
N==n(I1) g+ 1 + N*.
Докажем сейчас. что n ЭТО:vl утверждении условие, что 'n:ИВИ3ОР
а является целым 'n:ИВИ3ОрО:.!. cOBepllleHHo И3ЛИlllне. Сле.n:ующая Teo
рема, .n:ополняющая reopeC\IY 1, называется теоремой Римана Роха:
т е о р е м а 3. Пусть a КО.ипактная риманова поверхность
рода g. Обозначuд через N(I1) чuсло лuнейно незавиСllМЫХ Функ
Цllll, яеро.лtорфных на Рllяановой поверхности а, делящuхся на
дивизор 11, через N* (11) ЧllСЛО лuнейно независиМblХ абелевых
дllффереНЦllGЛОВ на этой Рll_иановой поверхности, делящихся на
дuвизор (1. а через п (11) стспснь дuвuзора 11. ТО2да для люБО20
дuвuзора 11 ((.I[eCIll .I[CC то равснс тво
N(11 1) == п (11) g + 1 + N* (1). (5)
Cor ласно Teope le 1 равенство (5) имеет место .n:ля любоrо целоrО
.n:ивизора (1. Покажем сначала. что это равенство имеет место и .n:ля
любо("о .n:ивизора 11, пре.n:стаВИС\IOrо в ви.n:е
а == 111 . (/0);
111 целый 'n:ИВИ3Ор, r.n:e t!(/,,) 'n: И ВИ3Ор какой либо функции. Дей
ствительно, при этом условии И lеет место равенство
N(I1 1)== N(i!11),
так I<aK функции I(z), .n:елящиеся на 'n:ИВИ3Ор (1 1, и функции 11 (z),
.n:елящиеся на 'n:ИВИ3Ор а 1 1 == 11 I . (/0)' МОЖIlО ПОСТaI ИТЬ во взаимно
ОДН0311ачное соответствие с по:vlОЩЫО равенства
11 (z) == 1 (z). j (z).
6]
АБЕЛЕ ВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМ.А РИ1\1АНА РОХА
597
По аналоrичной причине
N* (а)== N* (аl)'
Кроме TOrO, очеви.n:но, что п «1) == п (111) + п «/0))' а степень .n:ивизора
функции по теореме 1 3 равна нулю. Поэтому при замене .n:иви
зора (1 ДИВИЗ0рОМ а 1 ни o'n:Ha И3 величин, вхо.n:ящих в равенство (5),
не меняется.
Покажем теперь, что формула (5) справе.n:лива при условии, что
N(a l) > О.
Действительно, в этом случае существует отличная от тож.n:ествен
Horo нуля функция [о (z), .n:елящаяся на 'n:ИВИЗ0р a l, и .n:ивизор аl ==
== (f == (/0) а бу.n:ет целым 'n:ИВИЗ0рОМ. Для дивизора al' а соrласно
.1
доказанному выше и для .n:ивизора а формула (5) бу.n:ет справе.n:лива.
Теперь .n:окажем формулу
N( :0») ==N*(11)' (6)
r.n:e 11 произвольный 'n:ИВИЗ0р, а ш о (z) произвольный абелев .n:иф
ференциал на римановой поверхности а. Эта формула вытекает И3
1'01'0, что меж.n:у фушщиями /(z), делящимися на ДИВИЗ0р а. (Шо) "
и абелевыми .n:ифференциалами W (z), делящимися на ДИВИЗ0р (1, можно
установить взаимно о.n:нозначное соответствие с помощью равенства
с ПОмощью формулы
дение:
ЕСЛll хотя бы для одНО20 абелева дllффереНЦllала ш о (z) имеет
.место неравеНСlllВО
i(z) == i=.L .
"'о (z)
(6) пеrко дока3Ь1вается
следующее утверж
N ( ш:» ) >0,
то для дllВllзора а сnраведЛllва фордула (5).
Пействитепьно, в этом случае формула (5), соrласно .n:о к азанному
BbIllle утверж.n:ению, справе.n:лива для .n:ивизора IC 1 (ш о )' и это дает
нам равенство
N ( ) == п ( ("'о) ) g + 1 + N* ( ) . (7)
\ (ш о ) .. 11 / .11
Но В сипу формупы (6)
N ( » ) == N* (а), N* ( ("'о» ) == N(11 1),
("'о 11 J
Кроме TOro, п «Ш о )' 11' 1) == n «ш о » п (а), а п «ш о » == 2g 2 по тео-
реме 2. По.n:ставляя эти выражения в равенство (7), попучаем фор-
мулу (5) для дивизора а.
598
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[r.1.9
Таким обраЗ0М, осталось .n:оказать формулу (5) ЛИlllЬ .n:ля случая,
Kor.n:a выПОJIНЯЮТСЯ условия
N«1 1)===0,
N ( :__J === О
("'о) )
(8)
(шо (z) произвольный абелев .n:ифференциал). Заметим, что второе из
условий (8) в силу формулы (6) равносилыю условию
N* (.1) === О.
Поэтому .n:оказательство теоремы при выполнении условий (8) CBO
дится к .n:оказательству равенства
u(.1)===g 1.
(9)
ДЛII .n:оказательства ЭТОI-О равенства пре.n:ставим 'n:ИВИЗ0Р 11 в ви.n:е
(1 === {,. сl, r.n:e Ь и с взаимно простые целые 'n:ИВИЗ0РЫ. Co
r лас но теореме 1 имеет место неравенство
N(t' 1)$n(ь) g+l.
ПОСКО'lЫ<У Ь === .1. С и потому п (Ь) === п (11) + п (с), это неравенство
можно записать в ви.n:е
N({\ I) п (с) + п (11) g+ 1. (10)
Число N(b l) липейно независимых функций, .n:елящихся на .n:ивизор b l.
не .n:олжно быть больше степени п (с) .n:ивизора r. Действителы/О, в про
тивном случае можно БЫJlО бы по.n:обрать линейную комбинацию функ
ций, .n:елящихся на 'n:ИВИЗ0р Ь 1, таким обраЗ0М, чтобы она .n:еJlИлась
на 'n:ИВИЗ0р r. Tor.n:a эта линейная комбинация .n:елилась бы и на .n:иви
зор 11 1 === ь l. С, что невозможно из за условия N(11 1) === О. HepaBeH
ство N(Ь I),-o;;: п (с) выполняется соrласно неравенству (10) лишь в C,lY
чае, KOr.n:a
U(11),-o;;:g 1,
(11 )
Мы вывели неравенство (11) И3 пре.n:положения N (a 1) === О, Если
ИСПОЛЬЗ0ВЮЪ равенство N(Cl. (шо) 1) === О, то мы при.n:е:\1 к неравенству
n(Cl I'«(J)о»,-о;;:g 1.
Так как 11 (.1 I . (шо» === 11 « шо» - 11 (11), а 11 « шо» === 2g 2 по теореме 2.
ПО.1учае:\l, что 11 (.1)?:: g 1. Отсю.n:а вытекает равенство (9). Тем ca
мым теорема Римана Роха .n:оказана полностью.
в заключение этоrо параrрафа приве.n:ем O'n:HO приложение теоремы 2.
о степени .n:ивизора абелева .n:ифференциала, Именно, .n:окажем с по
мощью этой теоремы так называемую формулу Римана Турвzща
для опре.n:еления po.n:a римановой поверхности по числу ее ЛИСТО1
и краТlЮСТИ точек разветвления.
...)' е о р е м а 4. Пусть o компG1стная рuяанова поверхность.
а o накрывающая ее риманова поверхность, uмеющаJl т Лllстов
6)
АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, ТЕОРЕМ.А РИlv\ЛНА РОХА
599
II кон.ечн.ое 't11СЛО точек разветвлен.llЯ с lсратн.остЯАlll k l , _, _, /lr'
Tozaa род g р,исан.овой пOBepXliocmll 6 выражается через род g
Рll_IШн.овой пOBepXliocmll О формулой
r
(2g 2) == т (2g 2) + (/ls 1).
s 1
И.n:ея .n:оказательсша состоит в TO ', чтобы по абелеву .n:ифферен
циалу. имеющемуся на римановой поверхности О, построить абелев
.n:ифференциал на На!<рывающей римановой поверхности д, а затбl
.сравнить степени' их 'n:ИВИЗ0рОВ и ВОСПОЛЬЗ0ваться теОрбlOЙ 2. Пли
осуществления этой и.n:еи у.n:обнее все'"о будет ИСПОЛЬЗ0вать абеле вы
.n:ифференциалы ви.n:а dP (z). r.n:e Р (z) мероморфная функция на ри
мановой поверхности а. Ясно, что эту функцию можно рассматривать
и как ФУIIIЩИЮ на накрывающей римановой поверхности О, принима
ющую о.n:инаковые 311ачения в точках, лежащих Ha.n: опной и той же
ТОЧ1<ОЙ римановой поверхности Q. Пля получения све.n:еllИЙ об абеле
130М .n:ифференциале dP (z) мы .n:олжны найти выражение функции Р (z)
Б локальных пере 'енных на обеих рима новых поверхностях О и Q.
Обозначим
"а == Л а (z)
(z Е Ии. с О)
(z Е ИаС О).
"а == Л: а (z)
и
в конце пре.n:ы.n:ущеrо параrрафа мы показаЛII. что на накрывающей
римановой поверхности 6 отображения Па (а с.'Iедовате.'lbIIO. и ЛОI<аль
1Iые переменные ,,) сле.n:ует вво.n:ить таким обраЗ0М:
Если окрестность И а ОЩIOJlИстна и ее проекцией на поверхности О
является окрестность И а . ТО мы полаrаем
Л: а == Л: а ,
't === 't a "
Если окрестность И" со.n:ержит TO KY разветвлення пор .n:ка /l Ha
крываЮlllей римановой поверхности О, то окрестность И а СОСтоит
И3 /l экземпляров проеlЩИИ. И" этоЙ окрестности, разрезанных и скпеен
НЫХ таким образом. чтобы они обраЗ0вали часть римановой поверхно
сти l<ОрНЯ /l Й степени. В этом случае ПОJlаrаем
1
=="k.
а а
k ...
Ли. == ,/ Л а '
Теперь обозначим
Ра ("а) == Р (л;I ("а»'
Ра ( a) == Р (n;' ( ,J).
Cor ласно сказанному BbIllle
Ра (';а) == Ра (;а)'
600
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[r.1.9
если значению .;" == О отвечает не точка разветвления накрывающей
римановой поверхности д, и
k
Р" ('t,,) == Р" ('t,,),
(12)
если значению ,,== О отвечает точка разветвления поря.n:ка k.
Абелев .n:ифференциал dP (z) на римановой поверхности а за.n:ает
ся выражениями ш" ('t,,) == p ('t,,) в локальных переменных, а на рима
новой поверхности Ь абелев дифференциал dF(z) за.n:ается выражени
ями ,,(;,,) == p (';,,). Бу.n:ем считать .n:ля простоты, что нули И полюсы
абелева .n:ифференциала dF (z) на римановой поверхности а располо
жены в ТОЧI{ах, над которыми не лежат точки разветвления римано
вой поверхности б. Tor.n:a каждому нулю (и полюсу) абелева .n:иффе
ренциала dF (z) на римановой повеRХНОСТИ а отвечает т нулей (или
полюсов) абелева дифференциала dP(z) на рима новой поверхности а
(поскольку в одну точку римановой поверхности а проектируется т
точек римановой поверхности О), Кроме топ в каждой точке раз
ветвления поря.n:ка k" абелев .n:ифференциал dP (z) на римановой по
верхности д имеет нуль поря.n:ка k 1, так как, соrласно равенству (12).
, d, k k-I, k
F"('t,,)== (F,,('t,,»==k't,, Р" ('t,,).
d-r:"
Следовательно, обозначая через п ра31ЮСТЬ между числом нулей
и числом полюсов абелева .n:иффереНllиала dP(z) на римановой по
верхности а, а через п разность меж.n:у числом нулей и ЧИСЛЩI по
люсов абелева .n:ифференциала dP (z) на римановой поверхности а.
получаем СООТНОlllение
r
п==тп+ 2:(ks 1).
s 1
в силу теоремы 2 п == 2g 2, а п == 2g 2, и мы прихо.n:им к YT
верж.n:ению теоремы.
в случае, коrда a раСlllиренная плоскость, g==O и формула
Римана rурвица принимает ви.n:
r
"\1 . ks l
g== 2
s 1
т+1.
7. Автоморфные функции
о понятии автоморфной функции мы уже упоминали вскользь R
rл. 5, коrда rоворИЛИ о конформном отображении треуrолышков. В
этом параrрафе бу.n:ем rоворитЬ о них значительно по.n:робнее. Нач
нем с точноrо опре.n:еления понятия автоморфной функции.
РI
АВТОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
601
Пусть О некоторая область раСlllиреllНОЙ плоскости или рима
новой поверхности, расположенной Ha.n: раСlllиренной плоскостью, а
@ КaI<ая либо rруппа .n:робllо линейных преобраЗ0ваний вида
Т=== T(z)=== az +Ь
cz+d
(ad bc===l),
конформно отображающих область О на себя.
Функцию F (z), мероморфную в области О и у.n:овлетворяющую
условию
P(T(z)) = F(z)
для Jlюбоrо преобраЗ0вания Т И3 rруппы @, бу.n:ем называть функ
цией, авто.ftoрфной в области О относительно 2руппы @.
Функцию F (z), мероморфную в области О и удовлетворяющую
условию
F (Т (z)) (Т' (z))m F (z)
.n:ля любоrо преобраЗ0вания Т И3 rруппы @, мы бу.n:ем называть
автО.ltoРфной фОрNОЙ порядка т в области О относительно
2руппы @.
И3 определения автоморфной фушщии и автоморфной формы He
I10Cpe.n:cTBe1llIO вытекают следующие утверж.n:ения:
АвтоAtорфная форяа порядка нуль аВ/llОAtорфная функция.
ПрОl1зведеН/1е 11 частное двух аВ/llО.Jtорфных фор.Jt авто.Jtорф
ная форда. При пере.!lножеНIll1 авто.llОрфНЫХ фор.Jt их порядКll
складываются, а при делеН/lll ВЫЧll1паются.
При изучении автоморфных функций существенную роль иrрает
понятие фактор пространства.
Две точки области О бу.n:е:\1 называть кон2руэнтны311 oтHocи
тельно 2руппы @, если они MorYT быть переведены друr в .n:pyra
какими-либо преобраЗ0вания:lШ И3 rруппы @.
Множество всех точек области О, конrруэнтных с .n:анной точкой
Zo' бу.n:ем называть траекторией р (Zo)' опре.n:еляемой точкой Zo'
Множество, элементами KOToporo являются траектории точек об.
ласти О, бу.n:ем называть фактор пространство.Jt О/@ области О по
rруппе @.
Ясно, что любую функцию, авто.Jtорфную 8 областu О oтHO
С11тельно 2руппы , .Jtожно рассяатривать как фУЮБЦ11Ю, oпpe
деленную на фактор пространстве О/@.
Фактор пространство % можно rеометрически Har ля.n:но изобра-
жать с помощью так называемой фундаментальной области.
602
М.ЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rЛ, 9
Понятие фун.n:а \енталыIOЙ области опре.n:еляется с .n:оволыlO боль
1ll0Й степенью свободы, Пусть существует область 0* с:= а, обла.n:аю
щая сле.n:ующими свойствами:
1. Для каж.n:ой точки z Е а существуют такая точка z* Е 0* и
такое преобразование Т Е @j, что z == Т (z*).
2. Если точка z* прина.n:лежит области 0*, то точка Т (z*) не
прина.n:лежит области 0* ни при O'n:HOM преобраЗ0вании rруппы Q),
кроме тож.n:ественноrо.
Tor.n:a область 0* называется Фундадентальной областью rруп
п ы @ .n:ля области а.
Наиболее типичным является случай, Kor.n:a в качестве фун.n:амен
тальной области 0* у.n:ается выбрать криволинейный 2п уrолыIИК со
,сторонами
C 1 , С 2 ,..., СП' С;, C ".., C ,
обладающими тем свойством, 'по сторона C k переводится в сторону
С;' преобразованием 1'k И3 rруппы (. ,
в r л, 5, Kor да мы рассматривали простеЙlllие примеры авто IOРф
ных функций (функции прямолинейноrо треуrОЛЫlика, эллиптические
функции, мо.n:улярные фУНКЦИИ), мы брали за основу ФУllда:\lенталь
ную область и преобразования 1'1' 1'2"'" Tn. По этим преобразова
нию\ строили rруппу @j, считая ее состоящей И3 всевоз:vюжных пре
обраЗ0ваний вида
T'I1' E 2 ТЕт
1ft k2... /lт,
rде числа Es равны 1 или 1, а lю \ера ks принимают значения 1,
2,. . ., п. Область а мы также строили по фундаментальной области
и по rруппе Oj, склеивая ее И3 обраЗ0В фун.n:а \енталыIOЙ области
при отображениях различными преобразования 1И rруппы ф, При этом
нас Болыlle Bcero интересовал случай, Kor.n:a ЭТИ образы укла.n:ыва
ются в «паркет», покрывающий всю плоскость или некоторый конеч-
ный Kpyr, но с тем же успехом мы моrли бы рассматривать такой
«паркет» и на каких нибу.n:ь римановых поверхностях (скажем, на ри
мановой поверхности лоrарифма),
Иссле.n:ование автоморфных ФУНКЦИЙ значительно упр01Jlается, если
исхо.n:ить не из фун.n:аменталыlOЙ области, а прямо из области а и
rруппы 03. Именно этим путем мы и пой.n:ем в настояще 1 параrрафе.
Основной за.n:ачей, которую мы Ha \epeHЫ решить, является задача
построения ФУНКЦИЙ, автоморФных в .n:анной области а относительно
данной rруппы Сб. Разумеется, .n:алеко не для любой rрунпы ) cy
ществует хотя бы' o'n:Ha автоморфная в области а относителыю I'PYH
"ы ( j ФУНКЦИЯ, отличная от тож.n:ественной ПОСТОЯllliой, Леrко найти
условие, которому обязана у.n:овлетворять rруппа 0.
Р]
АВТОl\ЮРФНЫЕ ФУНКЦИИ
603
rруппу будем называть собственно разрывной в области O
если множество всех точек, конrрУЭНТНblХ J/юбой фиксированной rочке
области О, не имеет пре.n:еЛЫ1ЫХ точек в 06.тJасти О.
Л е м м а 1. ЕСЛll 2руппа не является собственно разрывной
в области О, то любая ФУН1<ЦllJl, авто.морфная в области О oт
носительно 2рупllЫ C \, тождественная постоянная,
Действительно, .n:опустим, что сущеСТJзует от JIИЧная от 1I0СТОЯIIJIOЙ
функция Р (z), автоморфная в области О относитеJIЬНО rруппы 0. Во
всех точках, конrруэнтных между собой, функция Р (z) принимает о.n:и
наковые значения. ПОЭТО IУ пре.n:еЛЫ1ая точка не может быть (в силу
теоремы единственности; см. 2 rл. 3) ни точкой реrулярности, ни
ПОЛЮСО:\I ФУНКЦИИ Р (z), Поскольку функция F (z) меро юрфна в об
ласт О, это означает, что предельная точка не принадлежит об.тшсти
О, т. е. что rруппа собственно разрывна. ЛеМ lа .n:оказана.
Оказывается, условие, что rруппа собственно разрывна в обла
сти О, является не только не06ходимым, но и .n:остаточным условием
существования автоморфной функции, отличной от тож.n:ественной
постоянной. Докажем это, опре.n:елив фактор пространство Qj как
абстршпную риманову поверхность. Tor.n:a автоморфные функции OKa
жутся мершюрфными функциями на этой римановой поверхности, и
их существование бу.n:ет сле.n:овать И3 теоремы 2 10 (с учетом .n:o
полнений к ее .n:оказательству, о которых мы rоворили в КOJш,е 6).
Преж.n:е че:\l определять фаlПор пространство QjСЯ как рИ lанову
поверхность, при.n:ется .n:оказ31Ъ некоторые вспомоrате.'Ibные резуль
таты.
Л е м м а 2. Пусть 2РУllllа 0 дробно линейных отображений обла
сти Q на себя собственно раЗрЫвна в области О, ТО2да любая
достаточно яалая Ol,срестность lтждой тОЧ1Ш 20 Е О, не являю
щейся наподвижной точкой lтl{О20 либо llреобразования из 2рупllЫ 6j,.
не содержит mO'tel,c, 1,сОН2рузнтных .между собой отНОСll1llельно.
2РУllllЫ .
Без оrраничепия 06щности можно считать, что Zo конечная точка.
Tor.n:a ее окрестностью 6y.n:eT KPYi' I 2 20 < Е. 060значим этот Kpyr
через К, а ero образ при отображении преобразование'll Т Е (
через КТ' Так как rруппа 6j собственно разрывна, П"J в любой KOM
нактноЙ части области О лежит лишь конечное число KpyroB КТ'
J{оrда Е -» О КРУ/' К стяrивается к точке zo' а Kpyr КТ к точке Т (zo)'
Поэтому Kpyr К может пересекаться с KpyroM К т при всех Е> о.
ЛИlllЬ В случае, если 1'(20)==20' т. е. если точка 20 является непо
.n:вижной ТОЧКОЙ o'n:Horo И3 преобразований rруппы . В противном
случае Kpyr К при достаточно малых Е не имеет общих точек с ero
образами при отображениях нреобраЗ0ваниями Т И3 rруппы C . Это
и 0зна'lает, что в Kpyre К нет точек, конrруэнтных относительно.
rруппы . Лемма .n:оказана.
604
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[fл.9
3 а м е ч а н и е. Попутно мы доказали сле.n:ующий важный для
даЛЫlейшеrо факт: ЧUСЛО раЗЛllЧНЫХ преобразованuй 2руппы , u.мею
ЩUХ данную точку Zo Е а неподвuжной mОЧ1СОЙ, lсонечно.
Сначала пакажем, как с.n:елать фактор пространство a/ абстракт-
най римановой поверхностью в наиболее простом случае, Kor.n:a rруп
па не талька сабственна разрывна в абласти а, но и не садержит
преобраЗ0ваний, имеющих в абласти а непа.n:вижные точки.
Cor ласна опре.n:елению фактор пространства a/ era точками явля
ются траекторсш, т. е. множества точек области а, конrруэнтных между
собой относительна rруппы . Траектарию, со.n:ержащую точку z,
мы .n:оrоварились абазначать через р (z).
Опре.n:елим теперь понятие окрестности каж.n:ой траектарии И3
фактар-прастранства a/ .
Пусть траектория р Е a/ содержит точку Zo Е а. Саrласно
лемме 1 (и HallleMY условию об атсутствии в области а неподвиж-
ных точек преобразаваний Т E ) существует такая окрестность
точки Zo' которая лежит в области а и не са.n:ержит тачек,
конrруэнтных относительно rруппы . 01срестносmью mpaeKmopllll
р == р (Zo) будем считать множество траектарий р (z), r.n:e z .тпабая
тачка И3 упомянутой окрестности точки zo'
Пастраив в фактор-пространстве a/ систему окрестнастей, мы
с.n:елали ero таполоrическим пространством (см. 4 rл. 1). Балее Taro,
ясно, что эта тапалоrическое пространство является поверхностью,
так как каж.n:ая И3 построенных окрестностей тополоrически эквива-
лентна окрестности некоторай точки абласти а, расположенной на
поверхности, а та в сваю очере.n:ь fополоrически эквивалентна Kpyry
на плоскости.
Покажем теперь, что. фактор пространство a/ является абстракт-
ной римановой поверхностью. llля этаrо нужна проверить выполнение
условий 1 и 2 апре.n:еления абстрактной римановой поверхности
(см. 5).
у славие 1 фактически уже проверена, Мы lJи.n:ели, что. каждая
{)крестность и а С a! тополоrически отображается на некоторую
{)крестность Ка С а. Окрестность К. комформно отображается на
Kpyr : "Са ! < 1, так как а область пласкости или римановой по-
верхнасти, склеенной И3 листав плоскости. В качестве лакальнай пе-
ре:\lенной мы можем ИСПОЛЬЗ0вать не толька переменную "С", меняю
щуюся в е'n:ИЮIЧНО:\! I<pyre, но и пере:\lеннуlO z", меняющуюся в
окрестности К". При этом вазникает некотарое неу.n:абство, связан-
ное С те:\1, что абласти изменения локальных переменных, отвеч ющих
различным окрестностям, различны, O'n:HaKo это неу.n:обспlO' вполне
акупается тем, что .n:ля всех окрестностей -К" мы имеем, по существу,
{)дну и ту же локаЛЫIУЮ переменную, меняющуюс-я в области а;
у.n:обно, каrда a конечная область плоскости (в эта м случае
()крестнасти К" канечные круrи).
Р]
АВТОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
605
Перейдем к проверке условия 2. Пусть мы имеем две окреспlO
сти и а И и снепустым пересечением. Tor.n:a окрестности Ка и К",.
отвечающие окрестностям и а И и , вообще rоворя, не обязаны имет'ь
непустое пересечение. O'n:HaKo Bcer.n:a существует такое преобраЗ0ва
ние Т Е @r, что образ K окрестности K при отображении преобра
зованием Т пересекается с окрестностью Ка' Локальные переменные,
отвечающие окрестностям Ка И K , совпадают. ПОЭТОМУ локальные
переменные Za И Z , отвечающие окрестностям и а И и , связаны co
ОТНОlllением Za == Т (z ). При желании мы моrли бы перейти и к ло
каЛЫIЫМ переменным 't a И 't , которые также бу.n:ут реrулярными
функциями одна от друrой (8 областях, отвечающих пересечению
окрестностей и а И и ). Следовательно, условие 2 определения абст
рактной римановой поверхности тоже выполнено.
Таким обраЗ0М, нами 'n:OI<азана
Т е о р е м а 1. Пусть 2руппа (Sj, состоящая из дробно лuнейных
отображений областll О на себя, удовлетворяет условиял:
1. Труппа G; собственно разрывна в области О.
2. Ни одно nреобразоваНUЕ 2руппы G; не llMeem неподВllЖНЫХ
точек 8 области О.
ТО2да фактор пространство OjG; является абстрщстной pи
3faНОВОЙ поверхностью.
Леrко .n:оказывается и следующий результат:
Т е о р е м а 2. Фуюсции, автоморфные в областll О oтHocи
тельно 2руппы G; (при условиях теоремы 1), являются мероморф
ными фуюсциЯJUU на Рll.lfaНОВОЙ поверхнос ти OjG;, а автОJtlорф
ные формы пер8020 порядка абелевыми дифференциала_ltll.
Функция F (z), автоморфная в области О относительно rруппы Ф,
принимает о.n:инаковые значения во всех точках, образующих Tpael<
торию. ПОЭТОМУ функцию F (z) можно рассматривать как функцию
на фактор-пространстве OjG;. Эта функция будет мероморфна в каж
.n:ой окрестности и а С OjG;, так как в качестве локальной пере
меН1IОЙ, отвечающей любой окрестности и а , можно В3Я1Ъ переменную
Za' меняющуюся в области О. Функция F (Za) как функция Za по
определению мероморфна в области О.
Автоморфную форму Р 1 (z) первorо поря.n:ка уже нельзя paCCMaT
рИВа1Ъ как функцию на рима новой поверхности OjG;. O'n:H3l<O в каж
.n:ой окрестности и а С OjG; автоморфную форму Р 1 (z) можно pac
сматривать как функцию локальной координаты Za' отвечающей этой
окрестности, При этом, соrласно выбору локальной координаты Za'
мы имеем равенство
Ра (Za) === Р 1 (Za)'
Если и а и и 'n:Be окрестности снепустым пересечением, то, как
мы ви.n:ели, Za=== T(z ), а по определению автоморфной формы пер-
80ro порядка
F 1 (T(z» T(z)===F 1 (z).
606
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОБЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл" 9
Следовательно,
F а ('Xa (ZB)) 'X ;, (z ) == р в (ZB)'
Это и означает, что автоморфная форма первоrо поря.n:ка является
абелевым дифференциалом на римановой поверхности O!(f] (см. опре
деление абелева дифференциала в начале 6).
в дальнеЙlllем изложении нам бу.n:ут нужны теоремы 1 и 2 лишь
в том ви.n:е, в котором мы их .n:оказали. O'n:HaKo .n:ля друrих прило
жений эти теоремы не вполне у.n:овлетворителыIЫ. Так, например,
теорему 1 нельзя применить цаже к одному И3 наиболее простых
случаев, Kor.n:a область это верхняя полуплоскость, а rруппа
мо.n:улярная rруппа, состоящая И3 .n:робно линейных преобразований
ви.n:а
T(z)== az+b
cz+d'
ad Ь. == 1,
r.n:e а, Ь, с, d целые числа. Действительно, преобраЗ0вание
T(z)== z l ,
очеви.n:но, принадлежит мо.n:улярной rруппе, но, как JIerKO убедиться,
это преобразование имеет непо.n:вижную точку
1 +iУЗ
zo 2
Докажем сейчас, что теоремы 1 и 2 остаются в силе, .n:аже если
отбросить условие 2 теоремы 1, Для простоты бу.n:ем считать теперь,
что область О является областью плоскости, а не римановой поверх
ноет и (для .n:альнейшеrо это обобщение на:\1 вообще не пона.n:обится).
Сначала придется .n:оказать еще один результат, уточняющий лем
му 2:
JI е:\1 1\1 а 3. Множество всех nреобразоваfllLЙ 2руппы , llмею
ЩllХ данную точку Zo Е О неподВllЖНОU тОЧl,соu, состОllт llЗ пpe
образоваНllЙ j"S, 8==0, 1, 2"", п 1, rде преобраЗ0вание t oпpe
деляется равенством
,., 2r.:i
T(z) z z z
о en
1" (z) а о z а о
(п целое положительное число).
Без Ol"раничения общности може:\1 считать, что Zo == 00, так как
область О можно по.n:верrнуть .n:робllO линеЙНо)lУ преобраЗ0ванию S,
а nреобраЗ0вания Т rруппы заменить преобраЗ0ваниями STS l
(также образующими rруппу, И30:\IOРФнУЮ rруппе 6j). .
ДРО9НО'Jlинейное преобразование с непо.n:вижной точкой в беско
нечности эт() линейное преобраЗ0вание. MorYT пре.n:ставиться дпе
Р!
АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
607
возможности: или вторая неподвижная точка этоrо преобраЗ0вания KO
нечна, или это преобраЗ0вание имеет в бесконечности .n:войную непо
движную точку. В первом случае это преобраЗ0вание имеет вид
T(z)===a + А (z а),
(1)
а по втором случае пи.n:
(см, 1 rл. 5),
Если преобраЗ0нание т прина.n:лежит rруппе 63 и имеет непо.n:виж
ную точку zo' то все б'О степени тоже обла.n:ают этими свойствами.
O'n:HaKo, соrласно замечанию к лемме 1, число преобразований с Ta
I(ИМИ свойствами I<онечно, Следовательно, некоторая коне'lНая степень
интересующеl'О нас преобраЗ0вания т .n:олжна Совпа.n:ать с тож.n:ест
венным преобразованием. И3 формулы (1) находим, что
TP(z)===a+AP(z a), (1*)
T(z)===Z+B
(2)
а из формулы (2), что
ТР (z) === Z + рв.
(2*)
Леrко ви.n:еть, что преобразование Т, Qтличное от тож.n:ественнorо
преобразования Е и обла.n:ающее Te СВОЙСТВО:\I, что Т N === Е, должно
f 11l )
иметь вид (1) со значением A===expI27ti , r.n:e т и п целые
\ п
числа.
Обозначим множество всех интересующих нас преобраЗ0ваний
через o. Ясно, что (Sjo коне'шая по.n:rруппа rруппы (S). Пусть эта
по.n:rруппа СОСТОит И3 преобраЗ0ваний Е, Т 1 ,..", т N" Cor JlaCHO 'n:0Ka
зашlOМУ преобраЗ0вания Т.. имеют вид
2п i !
7 (z) === а .. + е ns (z а.).
(3)
Покажем в первую очередь, что все числа а .. равны меж.n:у собой.
ДJН1 .n:оказательства .n:опустим противное. Тоrда существуют преобра
З0вания Т 1 Е @о' 72 Е (s)o и аl # а 2 . Подберем целые числа Рl и Р2
б б 11l, т" б
таким о разом, что ы ЧИСJlа Рl И . Р2 ыли равными (и не были
11 1 п 2
целыми), РасоlOТРИМ преобраЗ0вание т === Tfl Т;;-Р2. Очевидно, TE o.
Соrласно формуле (1 *) имеем равенства
27ri т1 Рl
Tfl (z) === аl е nl (z ад,
27ti т2 р.,
Т;;Р2 (z) == а2 + е nJ (z а2)'
с помощью которых леrко получаем фОрМУJIУ
. , 2ni т l Р,
1 === 7f' T 2 (z)=== Z .j (аl а 2 )(1 е п! ).
608
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
m 1 б
Поскольку аl * а2' а Рl не целое число, то прео разование Т
Il 1
имеет вид (2) с В * О, что, как мы ви.n:ели, невозможно, Получен
ное противоречие .n:оказывает, что все числа a s равны меж.n:у собой.
Сле.n:овательно, преобраЗ0вания rруппы o' отличные от тождест
BeHHoro преобраЗ0вания, имеют ви.n:
т
2r.i "
Ts (z) == а + е ns (z а),
8==1,2,..., N,
(3*)
rде m s и n s целые числа, которые можно считать взаимно прос
тыми (причем n s > 1 при всех 8).
Выберем теперь целые числа Рl' Р2,.. о, Р N таким образом, чтобы
имело место равенство
ml + те + + InN 1 ( d )
Рl P2 000 PN== то 1,
Il 1 Ilе Il N n
rде п наименыllеe общее кратное чисел пl' п2'...' п N . JlerKO убе
диться, что преобраЗ0вание
7 ' T P1 7 'P2 7 ,PN
1 2... N
бу.n:ет иметь вид
2п;
T(z)==a+e n (z a).
Ясно, что все преобраЗ0вания Ts являются степенями преоБРЗЗ0вания
7: Поэтому rруппа o состоит И3 преобразований
то, тl, Т 2 ,..., in I,
Это утверж.n:ение сохраняет силу, KOl".n:a все преобраЗ0вания Т rруппы
заменяются преобраЗ0ваниями STS I, При этом преобраЗ0вание Т
заменяется преобраЗ0ванием
t==SiS l.
JlerKo убе.n:иться, что преобраЗ0вание t == si S l при любом выборе
преобраЗ0вания S имеет вид, указанный в лемме.
Тем caMЫ 1 лемма .n:оказана.
Т е о р е м а 3, УтверждеНllЯ теорем 1 11 2 сохраняют С1lЛУ,
еСЛ11 отБРОСllть УСЛОВllе 2 теоремы 1 на 2руппу .
В точках фактор пространства, состоящих И3 точек, не являющихся
непо.n:вижныМи точками каких либо преобраЗ0ваний Т E , сохраним
прежнее определение окрестности. Нам остается лишь дать опреде
ление окрестности траектории р Е O/ , состоящей из неПО'n:lJИЖIIЫХ
точек преобраЗ0ваний rруппы .
Итак, пусть р Е O/ какая либо траектория, <I Zo одна из
точек области О, образующих эту траекторию, и пусть точка Zo является
непо.n:вижной точкой КЗI(ОI'о-либо преобразования rруппы (ОТЛИЧ1l0rо
7]
АВТОN\.ОРФНЫЕ функции
609
от тож.n:ественноrо). Возьмем преобраЗ0вание Т, существование f{O
Toporo утверж.n:ается в лемме 2. Это преобразование определяется pa
венством
о 21ti
Т (z) Zo === е n z zo
t (z) а о z а о .
Окрестностью траектории р === р (Zo) назовем СОвокупность
р (z), rде точка z лежит в секторе
I Z Zo 1< О z zo < 2п
Е, arg
z ao z ao n
траекторий
(4)
(значение Е> О .n:остаточно мало).
В качестве локальной переменной возьмем величину z, определя
емую равенством
z zo ( z zo ) n
Z а о z а о .
Леrко видеть, что эта локальная переменная изменяется в Kpyre
' Zo l <En
Z ao
(5)
и что она является реrулярной функцией от переменной z, которую
можно Считать локальной пере lеНIIОЙ Zu. .n:ля любой .n:руrой окрест-
IЮСТИ фактор пространства О/Ф (не со.n:ержащей траекторий, состо-
ящих И3 непо.n:вижных точек). Поэтому фактор-пространство бу.n:ет
абстрактной РИ:\lановой поверхностью, если только отображение 01(-
реСТIIОСТИ й траектории р (Zo) на Kpyr (5) является ТОполоrическим
отображением.
Итак, мы должны доказать, что соответствие меж.n:у траектори-
ями И3 окрестности и и точками z И3 Kpyra (5) взаИ IНО о.n:нозначно
и взаимно непрерывно (если Е> О .n:остаточно мало).
Заметим прежде Bcero, что точки из Kpyra I z Zo 1 < Е MorYT быть
z ao
конrруэнтны (при достаточно малом Е) ЛИlllЬ относительно преобра-
З0ваний
т, ]'2....' tn l.
Поэтому в секторе (4) нет конrруэнтных меж.n:у собой точек, Это
0значает, что соответствие между точками сектора (4) и траектори-
ями р (z) И3 окрестности rJ взаимно О.n:нозначно. Следовательно, со-
отв€тспше между точками Kpyra (5) и траекториями окрестности и
тоже взаимно о.n:нозначно, Взаимная непрерывность соответствия меж.n:у
траеюориями Оl рестности rJ и точками I(pyra (5) очеви.n:на всю.n:у.
z zo
кроме дуrи arg === О. НеПР6РЫВНОСТЬ соответствия вблизи этой
z ao
610
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл,9
.n:уrи бу.n: ет .n:оказана, если мы покажем, что точки z и z*, дЛЯ KOTO
рых
Z Zo
arg ==O,
Z Go
Z* zo 2.",
arg z * G ==n'
о
I z Zo I == I z* Zo I
z а о z* а о '
конrруэнтны. Но леrко проверить, что z* == t (z).
Тем самым мы доказали, что фактор пространство а/ф является
абстрактной римановой поверхностью, т. е, что теорема 1 справе.n:
лив а и без пре.n:положения, что преобразования rруппы @ не имеют
неподвижнЫХ точек в области а. Доказательство теоремы 2 не Tpe
бует изменений.
Как мы уже I'ОВОрИЛИ выше, и3 .n:оказанной теоремы немедленно
вытекает сле.n:ующее утверждение:
Т е о р е м а 4. Если 2руппа (jjj собственно разрывна в областll
а, то существует отЛllчная от постоянной функция, автожор
фная в области а относительно 2руппы ф.
Действительно, для .n:оказательства этоrо утверждения lIам ДOCTa
то'шо построить отличную ОТ постоянной функцию, мероморфную на
римановой поверхности aj(fj. Существование такой функции было дo
казано в теореме 2 1 О r л. 2 для случая, Kor.n:a риманова поверх
1ЮСТЬ СК.'1еена из листов плоскости, а в конце 5 мы указа,1JИ, что
это утверждение переносится и на абстрактные римановы поверхности
(с помощью реlllения экстремальной за.n:ачи строятся 'n:Ba абелевых
дифференциала на римановой поверхности, а функция получается как
ОТllOlllение двух абелевых .n:ифференциалов).
Если фактор пространство а/@ пре.n:ставляет собой компактную
РЮlанову поверхность, то мы можем применить к изучению автомор-
фных функций результаты, полученные нами в 2, 3, 4 и 6 для
аJlrебраических функций и абелевых дифференциалов.
Отметим один результат, не имеющий ТОЧ1l0rо эквивалента сре.n: и
результатов, полученных в 6, но леrко доказываемый с их помощью:
Пусть aj(jjj КО.lfпактная рижанова поверхность рода g, а
F (z) автожорфная фор.ltа порядка т в области относитель-
но 2руппы Ф. Если функция F (z) не llжеет Ю! нулей, ни полюсов
на 2раюzце фундаментальноЙ области а, то разность между ЧllС
ЛО.lt нулеЙ ФУНКЦllll F (z) в области а II число.,t ее пО/lЮСОВ в
этой области равна 2т (g ]).
Эта теорема .n:o некоторой степени обобщает теорему 1 4 и
теорему 2 6 (о числе нулей и полюсов алrебраической функции и
абелева .n:ифференциала). Доказательство этой теоремы немедленно
сводится к этим двум TeopeMaC\l.
8)
'НИФОРМ.ИЗАЦИЯ
611
Заметим, кстати, что вопрос о компактности фактор пространства
и о po.n:e римановой поверхности Oj(J), Kor.n:a она компактна, pellla
ется чрезвычайно просто, если нам .n:aHa фундаментальная оБJlасть
rруппы (S). Именно:
P1LAtaHoBa поверхность OjiJJ компактна, еСЛll Фундаменталь
нан область 0* леЖllт в областll О вместе со своей 2раницей.
В случае, коrда фундаментальная область 0* пре.n:ставляет собой
'2п уrольник с попарно отож.n:ествленными сторонами
с 1 , с;; с 2 , c ,..,; сп> c
(перехо.n:ящими .n:pyr в друrа при отображе:ши преобраЗ0ваниями Т.,
72' .,.. Tn), мы можем построить тополо!'ический образ римано
вой поверхности O/<Jj тем же способом, что и в 1. Это .n:aeT простоЙ
rеометрический MeTo.n: опре.n:еления po.n:a римановой поверхности O/(JJ
по фун.n:аментальной области.
Изложенный нами MeTo.n: построения автоморфных функций по за
.n:анной области О и по rpyrl1le (Jj не является е.n:инствешlO возмож
ным. ИноЙ метод был впервые пре.n:ложен замечательным француз
<жим математиком Пуанкаре. Ero метод аналоrичен MeTo.n:y построе
ния ЭЛJlИптических функций с помощью тета ря.n:ов. И.n:еи Пуанкаре
были ВПОCJlедствии развиты Риттером *).
8. Униформизация
в связи с автоморфными функциями коснемся сейчас одной Иlпе
ресной за.n:ачи, носящей название за.n:ачи униформизации мноrозначных
внаJlИтических функций,
Пусть .n:aHa мноrозначная аналитическая функция === J (z). За.n:ача
УНllфОрАlllзаЦllll состоит в том, чтобы найти 'n:Be о.n:нозначные анали
тичеCl(ие ФУI1lЩИИ 'f (s) и (s), мероморфные в некоторой области
комплексной шroскости s таким обраЗ0М, чтобы равенство
Hs)===J(cp(s»
было тож.n:еством по s,
Э"lементарные примеры униформизации строятся леrко. Например,
функция: === Za при любом комплексном значении униформизируется
функциями
Z === e S ,
1:; === e as .
Функция 1:; === V 1 Z2 униформизируется функциями
Z === sin s,
1:; === cos s,
или
2s
Z===
1 + s-'
) S2
1:;=== 1 +S2 '
*) См. книrу Prike und Кlеш. цитированную на стр. 479.
612
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ Ф 'НКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[r. , 9
в r л. 5 ч. 2 этой книrи мы в идели, что фу нкция
=== 11 4z 2 g2 Z ga,
rде g2 И ga некоторые комплексные постоянные, удовлетворяющие
условию 27 g: *- О, униформизируется функциями
z === SJ (s),
===SJ'(s),
r.n:e 8 J (s) функция ВейеРlllтрасса с инвариантами g2 и ga.
Во всех перечисленных примерах униформизация осуществляется
с помощью рациональных, перио.n:ических или двоякоперио.n:ических
функций. Оказывается, униформизацию любой мноrозначной аналити
ческой ФУНКllИИ Bcer.n:a можно осуществить с помощью рациональ
ных или автоморфных функций.
За.n:ача униформизации .n:o некоторой степени обратна к за.n:аче
построения автоморфных функций с за.n:анной областью а и rруппой
@. I'рубо rоворя, там основная часть за.n:ачи состояла в превраще
нии данной фун.n:аментальной области в какую либо риманову поверх
ность, а здесь в превращении данной римаНОIJОЙ поверхности в
какую либо фундаментальную область. При реlllении задачи об уни
формизации степень произвола довольно велика. Мы можем за.n:ать
заранее область а и искать только rруппу @). В этом параrрафе
будем брать в качестве области а некоторый Kpyr К, который MO
жет оказаться конечным }<pyroM, всей конечной плоскостью или всей
раСlllиренной плоскостью. В сле.n:ующем параrрафе изложим еще о.n:ин
метод униформизации, связанный с друrим выбором области а.
Преж.n: е чем перехо.n:ить к реlllению за.n:ачи об униформизации,
придется ввести некоторые новые понятия.
Пусть дана абстраюная риманова поверхность <5. в конце 5
мы ввели понятие рима новой поверхности, накрывающей риманову
поверхность <5. Мы определили это понятие с помощью Har ля.n:ных
предстаВJIений о склеивании накрывающей поверхности И3 разрезанных
экземпляров исходной римаllОIJОЙ поверхности 6. в этом параrрафе
нам при.n:ется поближе познакомиться с одним частным ви.n:ом Ha-Кpы
вающих римаНОIJЫХ поверхностей, не имеющих точек разнетвлеиия
(ясно, что такие поверхности устроены особенно просто). По.n:ой.n:ем
к определению интересующих нас накрывающих поверхностей с He
сколько иной точки зрения, .n:ля Toro чтобы естественным обраЗ0М
нвести некоторые новые понятия и термины, у.n:обные для фОр IУЛИ
ронки результатов об униформизации.
в первую очере.n:ь мы .n:олжны определить чрезвычайно поле31l0е
тополоrическое понятие фун.n:амента.'lbНОЙ rруппы' римановой понерх
ности (будем rоворить здесь только о римановых поверхностях, но
8]
УНИФОРМ.ИЗАЦИЯ ..
613
понятие фун.n:аментаЛbllOЙ rруппы имеет смысл .n:ля J/юбоrо ТОполоrи
ческоrо пространства).
Сначала опре.n:елим операцию умножения для кривых на римано
вой поверхности.
Пусть конец непрерывной кривой С 1 совпа.n:ает с началом непре
рыв ной кривой С 2 . Тоrда пРОllзведением С 1 С 2 кривых С 1 И С 2 будем
называть кривую, полученную последовательным прохождением CHa
чала кривой С 1 , а затем кривой С 2 .
При таком опре.n:елении произве.n:ения кривых по.n: символом C 1
естественно понимать кривую С, ПрОХо.n:имую в обратном направлении,
Множество всех непрерывных замкнутых кривых, прохо.n:ящих
через фиксированную точку РО Е и rомотопных меж.n:у собой, будем Ha
3ЫВа1Ъ 20мотОnZlчески..Ц lслассом. I'омотопический класс, со.n:ержа
щий кривую С, бу.n:ем обозначать символом [С],
С помошью операции умножения кривых естественно определить
операцию У.АtliожеЮ1Я 20.АtoтопичеСl(ИХ классов (относящихся к o.n:
ной и той же точке РО), положив
[С 1 ]. [С 2 ] == [С 1 С 2 ].
Леrко ви.n:еть, что это опре.n:еление имеет смысл, т. е. что произведе
ние rомотопических J{Jlасс<;ш не зависит от выбора пре.n:ставителей
этих классов.
Множество всех 20мотопичеС1CllХ классов (отвечающих о.n:ной
и той же точке РО E , образует 2руппу относительно определен
ной выше операции умножения 20мотопических классов. Эта rруппа
называется фундаментальной 2руппой римановой поверхности OT
носительно точки РО и обозначается символом '11:1 (6, РО).
Действительно, умножение rомотопических классов обла.n:ает, как
леrко проверить, свойством ассоциативности. Далее, обозначая через
е rомотопический класс, состоящий И3 кривых, которые можно He
прерывным изменением стянуть в точку РО, леrко получаем, что
11е == 11,
са == а,
rде а любой rомотопический класс И3 множества '11:1 ( , РО). HaKO
нец, леrко видеть, что
[C I] . [С] == е,
[С]. [C I] == е.
Поэтому множество '11:1 (6, РО) и опре.n:еленная на нем операция YM
ножения у.n:овлетворяют всем аксиомам, которым должна у.n:овлетво
рять rруппа (ассоциативность умножения, существование е.n:иницы и
обратноrо элемента '( любому элементу).
Нетрудно доказать, что rруппы '11:1 ( , РО) И '11:1 ( , Р:) дЛЯ любых
точек РО и P ИЗ0МОрфНЫ между собой, т. е что между их элемен
тами можно установить взаимно однозначное соответствие таким об
разом, чтобы произведению элементов одной rруппы тоже соответст-
повало произведение элементов друrой rруппы. Поэтому обычно ro-
RОрЯТ о фун.n:аментальной rруппе римановой поверхности @3, опуская
указание на' точку РО'
Фун.n:аментальную rруппу римановой поверхности S будем обо-
значать в дальнеЙlllем символом 'itl (6).
Фун.n:аментальная rруппа римановой поверхности @3 характеризует
основные тополоrические свойства римановой поверхности. Отметим,
например, следующий очеви.n:ный результат:
Для односвязности римановой пoeepXHocmll @3 необходимо 11
достаточно. чтобы ее фундаментальная zpyппa 'itl (@3) состояла
llЗ одНО20 элемента с (е.n:иница rруппы).
ФундаментаJlьная rруппа римановой поверхности описывается в
Болыllнствеe случаев довольно просто. Для ее описания у.n:обно поль-
З0ваться сле.n:ующим термином:
Элементы 111' а2' ..., а т rруnпы @) называются ее обраЗУЮЩИ'л'fll,
если любой элемент rруппы @) можно пре.n:ставить в ви.n:е
а == a" k 1 a" k 2 . .. a.r,
1 2 k
r
r.n:e числа Es равны 1 или 1. а индексы ks принимают значения 1,
2, ..., т.
Между образующими rруппы MorYT иметься СООТНОlllения. Если
СООТНОlllений между образующими нет, то rруппа называется сво-
бодной.
Приве.n:ем два важных примера описания фун.n:аментальной rруппы.
1) Пусть рима нова поверхность тополоrически эквивалентна
сфере с п дырками. Tor.n:a Б качестве образующих фундаментальной
rруппы 'it 1 (@3) можно взять rомотопические классы
al==[C t ]' ..., an==[C n ],
rде C k простая замкнутая кривая, оrраничивающая область, co.n:ep-
жащую k-ю 'n:bIPKY и не со.n:ержащую остальных 'n:bIPOK. Перечислен-
ные образующие связаны меж.n:у собой о.n:ним очевидным CooTHollle-
нием. Именно, если считать, что кривые C k прово.n:ятся в положитеJIЬ-
ном напраВJlении относительно оrраничиваемых ими областей, то
\11 а2 . . . а п == с.
Смысл этоrо СООТНОlllения в том, что кривая, оrраничивающая об-
ласть, со.n:ержащую все п 'n:bIPOK, rомотопна нулю.
Если в качестве тополоrическоrо образа наlllей римаНОl10Й поверх-
ности @3 возьмем не сферу с п .n:ырками, а конечный Kpyr с п 1
дырками, то ви.n:но, что у.n:обнее взять в качестве ОQразующих rOMo-
топические классы, отвечающие кривым, обходящим эти п 1 дырок.
Между этими образующими уже не будет СООТНОlllений. Поэтому
81
УНИФОРМIIЗАЦИ51
615
ФундаменталЬ1ШЯ zpyппa п связной области, подобной одноли
стной, ЯВляется свободной zpyппou с п 1 образующими.
2) Пусть 6 компактная риманова поверхность рода g. Тоrда в
качестве образующих можно ВRЯТЬ rОмотопические классы
(11 === [A 1 J, ,.., (Ig===[AgJ, 61===[BIJ, ..., 6g===[BgJ,
r.n:e As и Bs циклические сечения, обра3ующие какое либо Ka
Ноническое рассечение наlllей римановой поверхности <5 (см. конец
1). Эти образующие также связаны между собой соотношением
(I1 ы 1 G lVll '" GgV g (Ig1V g 1 === С
(направление циклических сечений мы считаем выбранным по спо
собу, описанному в 2). Смысл написанноrо СООТНОlllения ДОВольно
прозрачен: rраница односвязной области <5*, получающейся после Ka
ноническоrо рассечения рима новой поверхности <5, rомотопна Нулю.
С.n:еланные BbIllle утверж.n:ения о фундаментальной rруппе MHoro
связной области, по.n:обной однОлистной, и о фундаментальной rруппе
компактной римановой поверхности равносильны сведениям о замкну
тых кривых на этих поверхностях. Этими све.n:ениями мы MHoroKpaTHO
ПОЛЬЗ0вались на протяжении этой книrи. Поэтому подробное .n:оказа
TeJlbCTBO ВЫCl(азанных утверждений предоставим провести читателю *).
Теперь перейдем к более подробному изучению накрывающих по
верхностей, не имеющих над римановой поверхностью <5 точек раз
ветвления.
В случае, коrда риманова поверхность ОДносвязна, она не может
иметь накрывающей поверхности без точек разветвления, отличной
от нее самой (в силу теоремы о монодромии), Если же риманова по
верхность не О'n:Носвязна, то ее фундаменталыlЗЯ rруппа Состоит бо
лее чем И3 O'n:Horo элемента, и мы построим сейчас накрывающую
поверхность S (1t o ), отвечающую каж.n:ой по.n:rруппе 1t o фундаменталь
ной rруппы 1t 1 (<5).
Точку накрывающей поверхности S (1t o ) определим парой вида
(Р, С), rде Р точка римановой поверхности <5, а С любая непре
рывная кривая, идущая из фиксированной точки РО Е <5 в точку Р,
При этом 'n:Be пары (Р, Сд и (Р, С 2 ) будем считать определяющими
одну и ту же точку накрывающей поверхности <5 (1t o ), если rOMOTO
пический класс [С 1 с,;1] принадлежит подrруппе 1t o .
Точку Р римановой поверхности Ь. участвующую в определении
точки Q === (Р, С) накрывающей поверхности -5 (1t o ), будем называть
*) Можно рекомендовать также обратиться к книrе: Р. К Р о у э п п,
Р. Ф о к с, Введение в теорию уз.юв, МИр», 1967.
'''I..l.:.r,-,''w.l. '' ....."I.LJIL WJПж--.................. '..4.. .. .... ...............................L".. ..................&..... "...... .......,.,," 1........ i;1
проекцией точки Q. (Ясно, что можно rоворить и о проекции любоrо
множеСтва накрывающей поверхности.)
Ив определения накрывающей поверхности ('lt o ) леrко усмотреть,
чТО в случае, коrда подrруппа 'lt n совпа.n:ает со всей фун.n:аментальной
rруппой 'ltl (е), накрывающая поверхность совпа.n:ает с самой римано
вой поверхностью е. Для нас пре.n:ставляет особый интерес друrой
крайний случай Kor.n:a подrруппа 'lt o состоит И3 o'n:Horo элемента е
(единица rруппы). Накрывающая поверхность (е) носит название
универсальной накрывающей (эпитет «универсальная» объясняется
тем, что поверхность -5 (е) накрывает не только риманову пов рх
ность , но И все поверхности ('lt o »'
у ниверсальную накрывающую (е) римановой поверхности бу.n:еу!
обозначать в дальнеЙlllем 6.
Halll интерес к универсальной накрывающей объясняется в значи
тельной мере сле.n:ующим фактом:
Л е м м а 1. Универсальная накрывающая @ произвольной pи.мa
новой поверхности S односвязна.
Нужно доказать, что любую замкнутую кривую (; на универсаль
ной накрывающей @ можно стянуть в точку. Для этоrо .n:остаточно
показать, что можно стянуть в точку ее проекцию С на риманову
поверхность . Кроме Toro, используем еще O'n:HO замечание.
Пусть имеем 'n:Be точки Qo и Q накрывающей поверхности и кри
вую i\ и.n:ущую И3 точки Qo в точку Q. Обозначим через РО, Р и r
nроекции точек Qo, Q и кривой r на риманову поверхность 15. Если
считать. что самой точке РО (т. е. паре (РО' О)) отвечает точка Qo
накрывающей поверхности, то паре (Р, r) отвечает точка Q HaKpы
вающей поверхности, ДействитеJIЬНО, эта точка Q определяется HeKO
торой парой (Р, r 1 ), и вопрос, бу.n:ут JIИ пары (Р, r) и (Р. 1\) опре
.n:елять одну точку, реlllается ПРИllа.n:леЖНОС'IЪЮ rомотопическоrо класса
[rr l] соответствующей по.n:rруппе 'lt o , Но, заменив точку Q любой
точкой Ql на кривой r, мы не изменим этот rомотопический класс.
Поэтому .n:остаточно реlllИТЬ вопрос о совпа.n:ении пар ЛИlllЬ .n:ля слу
чая, коrда точка Ql совпа.n:ает с точкой Qo. а для нее этот вопрос
pellleH по предположению.
Возьмем теперь на кривой (; две точки Qo и 9 с проекциям РО
и Р соответственно. Эти точки разбивают кривую С на 'n:Be части С 1 и
(;2 (начало (;1 в точке Qo, а начаJIO (;2 в точке Q) с проекциями
С 1 и С 2 . Соrласно с.n:елапному BbIllle замечанию пары (РО' Сд и
(РО' С;l) опре.n:еляют o'n:HY точку Q универсаJIЬНОЙ накрьwающей (если TO
чка Qo отвечает точке РО). Поэтому rомотопический класс, определя
емый кривой С == С 1 (С;l) 1, должен (cor ласно определению точки Ha
!i 8]
УНИФОРМ.И3АЦlI5I
617
крывающеt! поверхности :3 (тс о ) при 'тс о === \') совпадать с еДИIIИЧIIЬВj
ЭJlемеlIТОМ (' ФУlI.n:аменталыюп rруппы. Это и 0значает, что кривую
С можно стянуть u ТО[!I(У Ро. Лемма 'n:ОКJзана.
н ;Чlыuсющпе поверхности JlerKO по.'1учить и СКJlеивание j. Объ
ЯСНЮI, как это .n:еJlается на простеЙlllем примере универсальной
накрывающей,
Проведем на риманопой поверхности разрезы A j , А 2 , '" таки:
обраЗ0М, чтобы она стала о.n:носвязной оБJIастью *. Края разрезоп
А" обозначим А!;" и Ak' Склеиваем так:
Возьмем о.n:ин экзе ШJIЯр оБJIасти S*. К каж.n:ому разрезу А".
приклеим еще 'n:Ba экземпляра об.ilасти *. О.n:ин из IIИХ lbJ прикле-
ипаем краем At к краю A k , второй '(раем Ak" к краю Ak' ПОСЛ.::
ПРИН:Jlеивзния к каж.n:ому краю каж.n:оrо разреза по O'n:HOMY ЭКЗЕ' ш.'1::ру
оБJlасти 6* получаем О'n:НОСВЯ3НУЮ область, которую обознаЧИl\1 Sj.
К каж.n:ому краю каж.n:оrо своБОДН01'О разреза, имеющеrо на обла
сти Sj, приклеиваем еще по одному экзе шляру области е* (pa3YMe
ется, мы Bcer.n:a приклеиваем сторону А!;" разрезз А". к стОроне Ai;
1'01'0 же разреза, но у дрУI'оrо экзеМПJiЯра области е*). БезrраНИЧIIО
ПрО'n:ОJlжая этот процесс, мы при.n:ем к универсаJIЫЮЙ накрывающей 6.
j
Перейде 1 теперь к решению задачи об униформизации ПрОИ3
ПО:1ЫЮЙ мноrозначной анаJlИтическоt! функции.
т е о р е м а 1. Пусть c'===/(z) пРOllЗВольнал АfНО20Значнал
анаЛlllnическая функция. Все2да существуют две функции ер (в)
и ljJ (8), .!fероморфные в конеЧНОАt или бесконеЧНо.!t КРУ2е К и
обладающие те.А! свойствО.!t, что для люБО20 элеAtента аналипт
ческой фУЮСЦllll I(z) 11 для люБО20 ЗНШfения 8 из КРУ2а К иА(еет
место равенство
1jJ(8) === /(ер (z».
ИНЬUfll слова.ми, nтюизвольную аналиптческую функцию === I(z)
все2да .АfOЖJ-Ю УНZ1фОРАfllзировать с ПОМОЩЬЮ функций
Z===1'(8), с,=== у (8),
меро.llОрфНЫХ В Конечном иЛll бесконечно.At lСРУ2е К.
Мы обозначим через S риманопу поверхность аналитической
функции I(z), а через @ ее универсальную накрыuающую. Соrласно
лемме 1 и теореме 3* 10 rл. 8 универсальную накрывающую <5
можно КОМфОрllШО отобразить на конечный или бесконечный Kpyr К
(т. е, lIа единичный Kpyr I s I < 1, на всю конечную ПJЮСI<ОСТЬ 8 или
на всю раСlllиренную плоскость 8). Обратное отображение Kpyra К
на универсальную накрывающую <5 обознаЧИ j через Q (8).
Функции z и c'===/(z) являются, о'rеви.n:но, меро:wорфны:wи функция
ми lIа римановой поверхности 6 Но любую функцию, мероморфную
20 А, rуРННЦ, Р. Курант 1793
618
М.ЕРОМ.ОРФНЫЕ ФунКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
на римановой поверхности 6, можно рассматривать и как Mepo
морфную функцию на универсаJIЬНОЙ накрывающей <5 (притом
зависящую TOJlbKO от проекции р (Q) точки Q Е <5 на риманову
поверхность 6). Поэтому мы можем написать
z == F (р (Q)),
== о (р (Q)),
(1)
r.n:e р (Q) проекция точки Q Е 6 на риманову поверхность 6,
а F (Р) и О (Р) мероморфные функции на римановой поверхности 6.
Очепищю, что для любorо элемента аналитической функции f(z) и
для любой точки О универсальной накрывающей <5 имеет место
равенство
О(р (Q))== /(Р(р (Q))).
Полаrая теперь
ер (8) == Р(р (Q (8))),
q; (8) == О (р (Q (8))),
(2)
r.n:e Q (8) конформное отображение Kpyra К на универсальную
накрывающую ,3, получаем требуемую Уllиформизаuию. Тем самым
Teope 13 доказана,
Таким обраЗ0М в теореме 1 pellleH вопрос о существовании
униформизирующих функций. Ниже покажем, что они являются
автоморфными функuиями, если только риманова поверхность ь
униформизируемой функции не о.n:носвязна. ДJIЯ этой uели при.n:ется
исследовать один важный класс отображений накрывающей поверх
ности 8 ('lto) на себя,
ТОПOJlOrическое отображение Q* == t (Q) накрывающей поверхности
6 ('lt o ) на себя, сохраняющее проекции всех точек, бу.n:ем называть
nреобразовaJше.lt скольженllЯ этой накрывающей поверхности.
в первую очере.n:ь .n:окажем o'n:HY лемму, дающую у.n:обное Bыpa
жение .n:ля преобраЗ0ваний скольжения.
Напомним, что точки накрывающей поверхности 6('lt o ) мы опре
.n:еляли парами (р, С), r.n:e Р точка римановой поверхности 6,
а С кривая на римановой поверхности 8, и.n:ущая И3 фиксирован
ной точки Ро Е 6 в точку Р.
Л е м м а 2. Каждому nреобразованию скольжеЮ1Я t(Q) HaKpы
вающей noeepXHocmll ('lto) .можно поставить в соответствие
некоторую замкнутую кривую r на pllMaHoeoU поверхности 6
(прохо.n:ящую через фиксированную точку РО Е 6) таким обраЗО.Аl,
чтобы для nреобразования Q* == t (Q) имела место формула
t «Р, С)) == (Р, rC).
При это,Ж nреобразоваюlЯ скольжения, отвечающие двум КРИВЫ.lt
r l 11 r 2 , будут совпадать mOlaa и только mOlaa, KOlaa тОЧ,/Сll
8]
;VНИФОРМИ3АЦИЯ
619
накрывающей поверхности, определяеАlые пара.ми (ро' 1'1) 11 (РО, 1'2)
совпадают.
Пля .n:оказательства возьмем произвольное преобраЗ0вание сколь
жения Q* == t (Q) и обозначим через Qo точку накрывающей поверх
1l0СТИ 6 ('lt o ), опре.n:еляемую парой (РО, О), а через Qri точку t (Qo).
Через j' обозначим каКУIO либо кривую, сое.n:иняющую точки Qo и Qri
на НaI<рывающей поверхности 6 ('lt o ), а через l' проеКllИЮ этой
кривой на риманову поверхность е. Поскольку преобраЗ0ваllие
скольжения сохраняет проеКllИИ всех точек, l' замкнутая кривая.
Соrласно HallleMY построению точка Qri опре.n:еляется парой (Po,1'),
и потому имеет место равенство
t «Р()' О» == (Ро, 1').
Возьмем теперь какую-либо окрестность U поверхности S, содержа
щую точку Ро, и ПРОИЗВОJIЬНУIO кривую СО' лежащую в этой OKpeCT
ности и И'n:УЩУЮ И3 точки Ро В точку Р 1 . СущеСТIJУЮТ окрестности
V и V* на накрывающей поверхности ('It(), содержащие точки
Qo и Qt соответственно и проектирующиеся в окрестность U. В этих
окрестностях есть кривые О() и 06, проектирующиеся в кривую со.
Если обозначить КО1ЩЫ этих кривых через Ql и Qt, соответственно,
то имеют место равенства
Qt == t (Q.),
Ql === (P 1 , СО),
Ql ===(Рl' ['Со),
так как кривая ,о;\' на накрывающей поверхности ('lt o ) идет И3 точ-
ки Qo в точку Qt и ее проеКllИЯ совпа.n:ает с кривой 1'co- И3 Ha
писанных равенств вытекает, что
t «Р 1 , со» == (Р 1 , 1'C o ).
Тем самым требуемая формула .n:ля преобраЗ0вания скольжения
t(Q) .n:оказана в случае, Kor.n:a кривая С лежит в некоторой OKpeCT
ности точки Ро'
Мы можем теперь повторить наlllИ рассуждения, заменив точку Ро
кониом кривой СО. Это докажет справедливость формулы .n:ля преоб-
раЗ0вания t (Q) в случае. коrда С=== С о С 1 , rue кривая СО лежит в
окрестности ее начала Ро, а кривая С 1 в окрестности ее начала Р 1
(совпа.n:ающеrо с кониом кривой Со). По ИНДУКllИИ мы леrко докажем
требуемую формулу для любой кривой С.
Для завеРlllения .n:оказательства леммы остается заметить, что
при совпа.n:ении исходных точеl< Qo и Qri Hallle рассуж.n:ение приводит
нас к тождественному преобраЗ0ванию.
Последнее замечание можно сформулировать также в ви.n:е сле.
дующеrо свойства преобразований скольжения:
20*
620
М.ЕРОМОРФНЫЕ 1> 'НКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОGЕРХНОСПIХ
[rл.9
с G О Й С т в о 1. Преобразование скольжения не имеет непоj)вllЖ
НЫХ точек,
Определим произпедение t 1 t 2 преобразопаниtl скольжения (данной
накрывающеЙ поверхности) t 1 и t 2 равенством
t 1 t 2 (Q) === tt (t 2 (Q)).
Очевидно, имеет место следующее свойстпо:
С в о й с т в о 2. .ll1ножество всех I2реобразоваюlй скольжения
данной накрывающей поверхности образует 2руппу (ОТlюситеJIЫЮ
опре.n:еJlенной BbIllle операции умножения).
с пой с т в о 3. Труппа преобразований скольжения собственно
разрывна на накрывающей поверхности 6 ('lt o ). т. е. точки пoвepx
ности <5 ('lto)' lСОН2руэнтНblе любой данной точке относительно
этой 2руппы, не llмеют предельных точек на поверхности е ('lt o )'
ДействитеJIЬНО, все точки, конrруэнтные между собой относитеJIЫЮ
rруппы преобраЗ0ваний скольжения, имеют одну и ту же проекцию,
а потому они имеют непересекающиеся окрестности с одной и той же
проекцией. Пре.n:ельная точка тоже .n:олжна была бы обладать этим
СВОЙСТIюм, что неВ03:\IOЖIIO.
с в о й с т в о 4, Труппа преобразоваЮlЙ скольжения накрывающей
noeepXHocnlll <5 ('lt o ) llзо.морфна фактОР 2руппе 'ltl (3)/'lto'
Действителыю, cor.'1aCHO лемме 2 кривые 1'1 и 1'2 опре.n:еляют
O'n:IIO и то же преобразование скольжения Tor.n:a и только Torlta,
Kor.n:a точки накрывающей поверхности, определяемые парами (ро' 1\)
и (Ро, 1'2) совпа.n:ают, СОl'ласно опре.n:елению накрывающей поверх
ности 3('lt o ) пары (ро' 1'д и (ро' 1'2) определяют одну и ту же точку
накрывающей поверхности 6 ('lt o ) Tor.n:a и только Tor да, Kor.n:a rOMo
топический класс [1\1'2"'] прина.n:лежит по.n:rруппе 'lt o фун.n:аменталыlOЙ
rруппы 'ltl (8). Сле.n:ователыю, каж.n:ому преобраЗ0ванию сколЬ)кения
накрывающей поверхности 6 ('lto) можно поставить во взаИМl10 O'n:HO
значное соответствие KJlaCC {1'} замкнутых кривых римановой поверх
ности 6, обла.n:ающий тем спойством, что .n:ля любых 'n:BYx кривых
1'1 и 1'2 И3 этоrО класса имеет место равенство
11'11 [1'21 1 === 11,
I1E'lto.
Это равенство можно записать и в ви.n:е
[1'1] === а [1'2]'
aE'lto,
()TKy.n:a В\Щ11О, что класс {r} получается И3 фун.n:аментальной rруппы
"'-\ (3) отож.n:еСТВJlением меж.n:у собой всех элемеНП;JВ ('руппы 'lt 1 (6).
представимых в ви.n:е а. с. r.n:e с .n:анный элемент rруппы 'ltl (<5).
2 \1 какой yroltHo элемен-r nодrрупnы 'lto. По опре.n:елению это и
8)
УНИФОРlv\ИЗАЦИЯ
621
{)значает, что классы {1'} являются элементами фактор rруппы
11:1 (6)/11:0'
Таким обраЗ0М, мы показали, что преобраЗ0вания сколыкения
нахо.n:ятся во взаимно о.n:нозначном соответствии с элементами фактор
rруппы 11:1 (6)/11:0' Леrко убе.n:иться, что это соответствие является
ИЗ0МОРФизмом rрупп. Действительно, если преобраЗ0вание скольже
ния t 1 опре.n:еляется кривой 1'1' а преобраЗ0вание t 2 опре.n:еляется
кривой 1'2' то И3 леммы 2 ви.n:но, что их произве.n:ение t 1 t 2 опре.n:еля
ется кривой 1'11'2' Так как, очеви.n:но,
{I\1' 2 } === {1' 1 } {1' 2 },
мы ви.n:им, что произве.n:ению преобраЗ0ваний скольжения отвечает
произве.n:ение соответствующих им элементов фактор rруппы,
С в о й с т в о 5. ПреобразоваНllе скольжеНШt накрывающей пo
8срхности 5 (11:0) является конФОРМНЫМ отображением этой pи
. шновой поверхности на себя.
Действительно, окрестности римановой поверхности 6 ('it'o), пере
хо.n:ящие .n:pyr в .n:pyra при преобраЗ0вании скольжения, имеют о.n:и
наковые проекции. Но локальная переменная, отвечающая .n:анной
окрестности накрывающей поверхности, совпа.n:ает с локальной пере
менной, отвечаюшей проеКllИИ этой окрестности (напомним, что точек
разветвления в нашем случае нет). Поэтому локальные переменные,
отвечающие перехо.n:ящим .n:pyr в .n:pyra окрестностям, совпа.n:ают,
и отображение конформно.
Основываясь на установленных свойствах преобраЗ0ваний сколь
жения, мы без Tpy.n:a .n:окажем интересующий нас результат.
Т е о р е м а 2. Унифор.лтзирующие функции if> (8) и Ф (8), oпpeдe
ленные в теореме 1, автоморфны в КРУ2е К относительно Hel<:O
торой 2руппы дробно линейных отображений КРУ2а К на себя.
Эта 2руппа изоморфна фундаментальной 2руппе 'it'1 (6) римановой
поверхности 6 унифор.лтзируемой ФУЮ<:Цllll r.===j(z),
Напомним, что в теореме 1 мы опре.n:елили функции <р (8) И (8)
равенствами
<р (8) == F (р (Q (8))), }
(8) === Q (р (Q (8))),
(3)
r.n:e F (Р) функция точки римановой поверхности 6, равная значе
нию проекции этой точки на плоскость z, а Q (Р) функция точки
римаНОБОЙ поверхности 6, равная значению r.===j(z) в этой точке
римановой поверхности; функция р (Q) функция точки Q универсал(,
ной накрывающей 6, равная проекции точки Q на риманову поверх
ность .z; наконец, Q (8) ФУНIЩШI. конформно отображающая KPYI' К
на универсаJIЫ1УЮ накрывающую 6 (обратное отображение мы обо
значаJIИ S (Q)).
622
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
Определим теперь .n:ля каж.n:оrо преобраЗ0вания сколЬ)кения t (Q)
функцию Т (s) равенством
T(s)==S(t (Q (s»),
(4)
Эта функция, как леп,о ви.n:еть, осушествляет конформное отображе
ние Kpyra К на себя и потому является .n:робно линейной функцией.
Множество всех функций T(s) образует rруппу , ИЗ0МОРФнУЮ
rруппе преобраЗ0ваний скольжения универсальной накрывающей 6.
Поско.'lbку 6 == Ei (е), а 1tl (6)/е == 1t1 (:5), это 0значает в силу свой
ства 4 преобраЗ0ваний скольжения, что rруппа ИЗ0:wорфна фУII.n:а
ментальной rруппе 1tl (6) римановой поверхности 6.
Остается проверить, что имеют место равенства
<p(T(s»==<p(s), (T(s»==q;(s).
Но, соrласно формуле (4),
Q (T(s» == t (Q (s»,
(5)
и сле.n:овательно,
р (Q (s» ==р (Q (т (s»),
так как проекция р (Q) точки Q совпа.n:ает с проекцией точки t (Q)
по опре.n:елению преобраЗ0вания скольжения. Поэтому И3 формул (3)
неме.n:ленно получаем равенства (5). Teop Ma .n:оказана.
3 а м е ч а н и е. Не составляет Tpy.n:a построить и фу н .n:амента.1ЬНУЮ
область опре.n:еленной нами rруппы О, относительно которой aBTO
морфны функции <р (s) и (s). Для этоrо нужно провести на римано
вой поверхности 6 разрезы, преврашающие ее в о.n:носвязную область
6* (скажем, если (5 компактная риманова поверхность, нужно про
вести каноническое рассечение). Tor.n:a универсальная накрывающая 6
распэ.n:ется на стопку экземпляров ОДНОСВЯ3НЫХ областей 6*. При
отображении s==S(Q). универсальной накрывающей .s на кру" К
эти экземпляры отобразятся в конrруэнтные меж.n:у собой относи
тельно rруппы Q области, осуществляющие паркетное замошение
Kpyra К, Любую И3 этих областей можно принять, как леrко ви.n:еть,
за фун.n:эментальную область "РУШIЫ о.
В заключение коснемся еще o'n:Horo вопроса, относящеrося скорее
к пре.n:ы.n:ущему параrрафу. Именно, выясним, сколь великО pa3HO
обрэзие возможных rрупп Ф .n:ля случаен, Kor.n:a Kpyr К бесконечен,
т. е, является всей конечной плоскостью или всей расширенной IJЛО
скостью. При этом rруппу Ф в силу свойств 1 и 3 преобраЗ0ваний
сколЬ)кения мы .n:олжны считать собственно разрывной в Kpyre К и
не со.n:ержащей преобразовэний с непо.n:вижными ТОЧК lIШ в Kpyre К.
Для случая, K01'.n:a Kpyr К вся раСlllир нная плоскость, вопрос
реlllается проще Bcero:
8]
УНИФОРМ.ИЗАЦИЯ
623
Труппы @, состоящей из дробно линейных отображений pac
ширенной пЛОСкости на себя, не 1u,tеющих неподвижных точек,
не существует,
Действительно, мы знаем (см. 1 rл. 5), что каждое дробно линей
ное преобраЗ0вание имеет хотя бы O'n:HY неподвижную точк
Для случая, Kor.n:a Kpyr К вся конечная плоскость, ответ более
со.n:ержателен:
Труппа @, состоящая llЗ дробно линейных отображений всей
lсонечной плоскости на себя, не имеющих конечных неподвижных
точек, и собственно разрывная в конечной плоскост11 состоит
llЗ преобразований вида
т (8) . 8+пы (n==0, + 1, + 2, ...) (6)
11Л11 llЗ преобразований вида
т (8) == 8 + п. 001 + п 2 Ш 2 , (7)
2де п 1 11 n2 пРО11звольные целые числа, а Шl 11 002 отличные от
нуля комплексные числа, удовлетворяющие УСЛОВl1Ю
1т "'1 ,*0,
"'2
Для .n:оказательСтва заметим, что все преобразования rруппы (Sj
обязаны иметь в бесконечности .n:войную непо.n:вижную точку. Это
0значает (см. 1 rл.5), что эти преобраЗ0вания имеют ви.n: Т(8)==8+Ш
(число 00 .n:ля каждOI'О преобраЗ0вания свое). Поскольку вместе с пре
обраЗ0ванием Тв rруппу@ вхо.n:ит и преобраЗ0вание T n , а T n (8)==8+n Ш,
преобраЗ0вания Т (8) == 8 + п ш вхо.n:ят в rруппу @ при любых uелых
значениях п.
Множество Q всех возможных значений ш является, очеви.n:но,
множеством точек, кою'руэнтных с точкой 8 == О ОТНОСительно rруппы @,
Поскольку rруппа @ собственно разрывна, множество Q не может
иметь пре.n:ельных точек в конечной части плоскости. Кроме TOrO,
множество Q перехо.n:ит в себя при с.n:виrе на любое значение ш Е Q,
так как преобраЗ0вание т (z) == z + ш перево.n:ит точки, конrруэнтные
нулю, в точки, конrруэнтные нулю.
MorYT пре.n:ставиться 'n:Be возможности: или множество Q располо
жено на о.n:ной прямой, или нет,
В первом случае обозначим через ш O'n:HY И3 'n:BYx отличных от
нуля точек множества Q, ближаЙlllИХ к нулю (соrласно сказанному
BbIllle такие точки существуют). Tor.n:a расстояние меж.n:у любыми
двумя точками множества Q не MeHbllle !(I)I, и мы без Tpy.n:a получаем,
что множество Q состоит И3 чисел вида п ш, r.n:e п любое uелое
'число. Это равносильно формуле (6).
Во втором случае обозначим через Шl O'n:HY И3 ближайших к нулю
точек множества Q, а через Ш2 o'n:HY И3 ближайших к нулю точек
9Toro же множества, не лежащих на о.n:ной прямой с точками s == О и
624
М.ЕРОМ.()РФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИlv\АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
s == (j)t. JIerKo убе.n:иться, что при таком выборе значений ш. и Ш2
В треуrолышке с верlllинами О, ш. и Ш2 (и .n:аже в параллелоrрамме
с вершинами О, (1'1' (J)2' :- '1 + (j)я) нет точек множества Q. Отсю.n:а мы леrко
прихо.n:им к формуле (7).
Тем самым Hallle утверж.n:ение полностью .n:оказано.
Функции, мероморфные во всей расширенной плоскости, это
рациональные функции. Функции, автоморфные в конечной ПЛОСкости
относительно rруппы преобраЗ0ваний ви.n:а (6), это перио.n:ические
функции с перио.n:ом ф. Функции, автоморфные в конечной плоскости
ОТНОСительно rруппы преобраЗ0ваний ви.n:а (7), эллиптические функ
ции с перио.n:ами Шt И Ш2. Таким обраЗ0М, случай, Kor.n:a Kpyr К
вся расширенная плоскость, приво.n:ит нас к униформизации рацио
наЛЬНЫМ!1 функциями, а случай, Kor.n:a Kpyr К вся конечная пло
скость, К униформизации перио.n:ическими или .n:воякоперио.n:ическими
функциями. К более сложным автоморфным функциям мы можем прийти
лишь в случае, Kor.n:a Kpyr К конечен.
Вспомним (см. 8 rл.5), что конечный Kpyr К можно paCCMaT
ривать как плоскость JIобачевскоrо, Tor.n:a мы можем ска3а1Ъ, что три
возможности .N:ЛЯ Kpyra К отвечают трем rеометриям: сферической
rеометрии, евкли.n:овоtl rеометрии и rеометрии JIобачеRскоrо. Любое
.n:робно линейное преобразование Kpyra К на себя, не имеющее в этом
Kpyre непо.n:вижных точек, можно рассматривать Tor.n:a как преобразо
вание параллеJIЬНOI'О переноса в соответствуюшей rеометрии, (Ясно,
что в сферической rеометрии преобраЗ0ваний параллельноrо переноса
нет.) Такой rеометрический по.n:хо.n: у.n:обен во мноrих отношениях.
С ero помощью можно проще фОрМУJlИровать мноrие утверждения.
Например, обозначив через р (а, Ь) расстояние меж.n:у точками а и Ь
в rеометрии, отвечающей Kpyry К, мы можем высказать утверж.n:ения:
Для тО20 чтобы 2руnnа @;, состоящая 113 nреобраЗ0ваfl11Й nарал
л.еЛЬНО20 пере носа, была собственно разрывна, необходИ.JfЮ и дocтa
точно, чтобы веЛ11Ч11на
d (s) == inf р (s, Т (s»
ТЕ@
T"f'E
была положительна для всех s 113 1<:РУ2а К.
Для «o,Jf,tna«mHocт11 фа1(fпор пространства К/@; необход11.JfО II
достаточно, чтобы веЛИЧllна d (8) была равномерно 02раНllчена для
всех s из «РУ2а К.
Заметим еще, что, ИСПОЛЬ3УЯ аналоrию меж.n:у евкли.n:овой ПЛОСI{О
стью и плоскостью JIобачевскоrо, мы можем провести построение
фундаментальной области .n:ля любой rруппы преобраЗ0ваний парал
лельнOI'О переноса. Это построение ПрОИ3RО'n:ИТСЯ на основании pac
суж.n:ений, мало чем отличающихся от рассуж.n:ений, применеНllЫХ
HeMHOro BbIllle для построения фундаментальной оБJJaСТИ rруппы параJl
!! 9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА KPyrOBbIE ОБЛАСТИ
625
лельных переносов в случае евкли.n:овой плоскости. Разница закJНО
чается в том, что выбор значений ш, конrруэнтных нулю, не обязан
закончиться не только после 'n:BYX шаrов, но и после любоrо конеч
HOrO их числа. Пре.n:лаrаемый способ построения фун.n:аментальной
области rруппы значительно элементарнее способа, пре.n:ложенноrо
в замечании к теоре:\lе 2, Кроме TorO. этот способ позволяет по
СJрОИТЬ фун.n:аментальную область, оrраниченную прямыми линиями
(в соответствуюшей rеометрии).
9. Отображение на KpyroBbIe области и униформизация
с неполным рассечением римановой поверхности
В этом параrрафе изложим еще о.n:ин MeTo.n: униформизации, при
спосоБJlеНIIЫЙ в основном .n:ля униформизации алrебраических функций.
Сначала разъясним и.n:ею этоrо MeTo.n:a на .n:оказательстве еще о.n:ной
теоремы об отображении мноrосвязных областей, по.n:обных O'n:HO
листным, на канонические области.
НаЗ0вем кру<,овой областью множество, получающееся И3 pac
lllиренной комплексной плоскости у.n:алением конечноrо числа замкну
тых KpyroB, не И:\lеющих общих точек.
Теорема, о которой rоворилось BbIllle, r ласи'с
Теорема 1, Любую конечносвязную ри.манову поверхность,
подобную однолuстной, .можно l<;ОНфОР.мно отобразить на неко-
торую КРУ20ВУЮ область.
Начнем с некоторых пре.n:варитеЛЫIЫХ рассмотрений.
Соrласно теореме 3 10 rл. 8 любая риманова поверхность,
по.n:обная о.n:нолистной, может быть конформно отображена на всю
плоскость с разрезами по rОРИЗ0нтальным отрезкам. Поэтому мы
вправе интересоваться отображением на KpyroBbIe области лишь Ta
киХ областей,
Итак, пусть О плоскость z с разрезами по rОРИЗ0нталыlЫМ
OTpe3Ka 1 1:1' 1:2' ..., 1:n. По области О построим сейчас некоторую
после.n:овательность римановых поверхностей
о С 01 С С. .. с Осо,
иrрающих существенную роль в решении за.n:ачи.
Обозначим через 0(5) область, полученную И3 области О OTpa
жением в разрезе 5 (при таком отражении сам разрез 1:5' очеви.n:но,
остается на месте). Риманову поверхность 01 склеим И3 областей
О, QlI), ,o(n),
приклеивая нижний край разреза 1:5 в области О [{ верхнему краю
разреза 1:5 в области 05' а верхний край разреза 1:5 в области О
к нижнему краю разреза 1:5 в области 0S'
626
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТях
[rл,9
JIerKo ви.n:еть, что риманова поверхность О состоит И3 п + 1
листов, причем на каж.n:ом И3 этих листов, кроме O'n:Horo, имеется
п 1 разреЗ0В (а на O'n:HOM ИCl(лючительном ни O'n:HOro разреза).
Разрезы, имеющиеся на римановой поверхности О, перенумеруем
зiшово и обозначим .
I), . . ., :
(ясно, что пl === п (п 1 ».
Через O\S) обозначим риманову поверхность, получающуюся И3
римановой поверхности 01 отражением в разрезе 1). Риманову
поверхность 02 склеим И3 римановых поверхностей
01' ар), ... , G1 щ )
cOBepllleHHo аналоrично тому, как была склеена риманова поверх
ность 01 И3 областей о, 0(1), 0(2), ' .. , o(n). Разрезы, имеющиеся на
римановой поверхности 02' перенумеруем заново и обозначим
2), ;2),... ,
(ясно, что п2 === пl (пl 1 ».
Повторением описанноrо процесса получим последовательность
римановых поверхностей
ОС О IС 0 2С'"
lIредел этой раСlllиряющейся после.n:овательности римановых поверх
ностей обозначим символом OXJ'
И3 описания построения леrко усмотреть, что риманова поверх
IIOCTb О. состоит И3 п. листов и что на ней имеется п.. 1 === п. (п. 1)
(., (.) (.! П
разреЗ0В LJl ' L..J2' .,. , L..Jn' ри этом на п. 1 листах риманова
поверхность О. разреЗ0В не' имеет (именно эти листы и со.n:ержат
риманову поверхность O. I)'
Поясним причину, по которой нас интересуют римановы поверх
ности О. и ОСО' Пре.n:положим, что мы построили функцию === ер (z),
конформно отображающую область О на круrовую область К,
rраница которой состоит И3 окружностей С 1 , ... . Сп выброшенных
KpyrOB Кl' ... , Kn. При отображении === ер (z) каж.n:ыЙ разрез 1;s
перехо.n:ит в O'n:HY И3 rраничныx окружностей круrовой области К
(без оrраничения общности можно считать, что в C s )' На каж.n:ом И3
краев разреза 1;s функция === ер (z) принимает значения, лежащие
на окружности. По принципу симметрии функцию === ер (z) можно
аналитически про.n:олжить через каж.n:ую И3 сторон этоrо разреза.
Про.n:олжеllная функция бу.n:ет опре.n:елена в области O(S), и она KOH
форм но отображает эту область на область K(S), симметричную с
областью К относительно окружности C S , Это 0значает, что анали
тическая функция == 1i (z) продолжается на риманову поверхность о.
91
ОТОБРАЖЕНИЕ НА KPyrOBblE ОБЛАСТИ
627
и конформно отображает риманову поверхность 01 на круrовую
область К 1 , полученную объе.n:инением области К с областями K(S)
(и с окружностями С,) (s=== 1, 2, ... , п).
Область К 1 снова является круrовой областью, оrраниченной
окружностями C(I), ... , C l: (пl === п (п 1 )), и мы можем повторить
наlllИ рассуждения. В результате получим, что аналитическая функ
IЩЯ === <р (z) про.n:олжается на все римановы поверхности О" (\/ === 1,
2, ,..) и ОШ' Она конформно отображает их соответственно на области
К С К 1 С К 2 С. . . с Кш
комплексной плоскости. При этом области К" являются круrовыми
областями. С увеличением номера \/ увеличивается (при п> 2) число
Рис, 105.
выбрасываемых И3 плоскости KpyroB, а размеры этих КРУ10В YMeHb
шаются (на рис. 105 изображены области К, К 1 , К 2 .n:ля п;;::::::: 3),
Hallla и.n:ея доказательства теоремы 1 основана на том, что об
lIaСТЬ Кш можно рассматривать не толькО как пре.n:ельный случай
круrовой области, но и как пре.n:елыlЫЙ случай плоскости с выбро
шенными rОРИЗ0нтаЛЬНЫIl1И отрезками. СОlllлемся на Teope:\.IY о cy
ществовании конформноrо отображения любой рИ:\.lаНОБОЙ поверх-
ности, по.n:обной о.n:нолистной, на плоскость с выброшенными
отрезками, имея в ви.n:у риманову поверхность Ош, а затем построим.
по этому отображению интересующее нас конформное отображение
области О на круrовую область.
628
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл, 9'
Для применения теоремы о существовании конформноrо отобра
жения на плоскость с выброшенными rОРИЗ0нтаЛЫIЫllIИ отрезками
нужно еще .n:оказюъ, что построенная нами риманова поверхность-
по.n:обна оююлистноИ. Для .n:оказательства этоrо факта .n:остаточно
заметить, что свойство риманоноИ поверхности быть или не быть-
по.n:обной о.n:нолистноИ является тополоrическим свойством, т. е.
сохраняется при тополоrических отображениях,
Тополоrическое же отображение римановой поверхности О. на
область К. леrко строится независимо от существования конформноrо
отображения области О на круrовую область К. Поэтому римановы
поверхности О. и их пре.n:ел риманова поверхность Оса являются
римановыми поверхностями, по.n:обными о.n:нолистным.
Сле.n:овательно, cor ласно теореме 3 1 О r л. 8:
Для каждой точки z == а Рlитновой поверхности 000 и длн
каждО20 значения А =F о существует хотя бы одна функция
C==j(z), реzулярная на всей Рl1.Jtановой поверхности 000' за исклю
чение.Jt точки z === а, в которой она lu,teetn простой полюс с BЫ
чето.Jt А, конфор.ино отображающая риданову поверхность Qф
на неl<;оторую часть КО.Jtплеl<;СНОЙ плоскостl1 .
Ни O'n:Ha И3 теорем об е.n:инственности отображения, .n:оказанных
в r л. 8, неприменима к HallleMY случаю. Поэтому при.n:ется .n:оказать
теорему е.n:инственности, специально приспособленную к обстоятеJIЬ
ствам:
Л е м м а 1. Пусть функция g(z) === и (z) + iv (z) рezулярна 11
оzрuничена на ри.мановой пOBepXHoctnll 000' Если, кроме тосо, ФУН1{
ция 11 (z) имеет конечный интezрал Дирихле Dooo [ll], то Функ
ЦllЯ g(z) тождествеllНО равна постоянной.
Поскольку римаIlова поверхность 000 является пре.n:елом расши
ряющеt1ся пост .n:оватеЛЫЮСТI1 рима новых поверхностей О.' имеет
место соотношение
Нт Do, [11] === Dooo [11].
' oo
Поэтому если обозначить через д, часть римановой поверхности
не со.n:ержащую точек римановой поверхности О,, то
Нт D A [ll]===О,
"IJ CO \1
Оценим интеrрал Дирихле Оо, [и] через интеrрал
С этой целыо построим вспомоrательные римановы
обла.n:ающие тем свойством, что
0,+1'
(1)
Дирихл DA.\II].
поверхности O ,
О, С O С 0..1 (\/ === 1, 2, ".).
(2)
Для построения римановой поверхности O обозначим через а поло
жительное число, не превосхо.n:ящее половины расстояния меж.n:у лю
быми двумя разрезами s в области О (ясно, что расстоя,ние меж.n:у
9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА KPyrOBblE ОБЛАСТИ
629
любыми .n:вумя разрезами на любом .n:pyroM листе, вхо.n:ящем в рШlа
нову поверхность o.v+l' тоже не MeHbllle 28). Затем у.n:алим И3 рима
новой поверхности множества точек, отстоящие от разреЗ0В + 1),
s::== 1, 2, "" n v +l' на расстояние, не превосхо.n:ящее 8. ОстаВlllУЮСЯ
часть римановой поверхности o.v+l мы и обозначим через o. . ЛПКО
ви.n:еть, что условие (2) выполнено.
rраница построенной нами римановой поверхности o. состоит И3
n v +l простых замкнутых ломаных o. v+l) (пря:\юуrолыIИКОВ), окружаю
щих разрезы v+:). Применяя формулу rрина (см. формулу (1) 3
rл. 8), получаем равенство
\ i} ds ::== \ ov ds::== О
.) дп os
cj;+I) cl v + 1 )
( ди дv ov
дп ::== os по формуле КОlllИ Римана, а интеrрал от функции ds по
замкнутОЙ ломаной C " + 1) равен нулю вви.n:у о.n:нозначности функции
v (z)::== 1т g(z) на римановой поверхности o. o). l\Iоже:\1 записать полу
ченное равенство .n:ля интеrрала Дирихле в ви.n:е
nv+l
DO [ll]::==! (ll (z) II (ak») ds,
k 1 Cj;+l)
( . 1)
rде ak ПРОИ3ВОЛblIая точка ломаной C k VT .
Обозначим
пv+1
ОО' [ll]::==
v .....
k I
с(' + \)
k
ди
II дп ds.
Замечая, что
l1(v+ 1)::== шах V1/ 2 (z) + 1/} (z).
s .
ZEC v+l)
Tor.n:a, очеви.n:нО,
\ дп . 1 (v+ 1)
дп C +I) 11" '
а в силу формулы
с 2 ди
11 (Z2) II (ZI) === дs ds
Zl
мы можем написать
III (z) II (а,,) I Ч;+I)!J. + 1)
rде Lk'+l) длина ломаной C v+1). Но
L +l) 21 + 8'a::==L
(z Е C},v+I»).
(3)
630
МЕРОМ.ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ IJОВЕРХНОСТЯХ
[rл, 9
(l длина наиБолыllrоo И3 разреЗ0В 1:s в области О). Поэтому мы
lIолучаем И3 равенства (3) оценку
n\1+1
Do [ll] L2(f-1j;'+I)2.
k l
(4)
Таким обраЗ0М, для оценки интеrрала Дирихле Do [ll]
лишь оценить величину
(f-1};+1)2===
нам остается
тах (ll " (z) + ll} (z»,
2Ec +1)
Для этой цели ВОСlIользуемся теоремой 3 3 rл. 8, соrлаСно которой
и 2 (z) + ll} (z) -п 2 D B [ll], (5)
r.n:e В некоторая о.n:нолистная область rармоничности функции II (z)
а () расстояние от точки Z Е в .n:o rраницы области В.
Бозьмем в качестве области В .n:ля оценки величины f-1j,'. 1) rOT
лист римановой поверхности 0'+1' на котором лежит разрез 1:),' + 1',
и обозначим этот лист через B + 1). Лист B + 1), как и любой .n:py
;'ой лист римановой поверхности ош, или совпа.n:ает с областью О,
или Получается И3 нее отражениями в разрезах, Поэтому rраницей
листа В}; + 1) бу.n:ут некоторые отражения разреЗ0В 1:s. а расстояние
от точек JIоманой С}; + 11 .n:o этих разреЗ0В бу.n:ет не меньше () (по
построению области O ). Сле.n:оватеJIЫЮ, неравенство (5) .n:aeT нам, что
]
(f-1k'+I)2 -по" DB +I) [ll].
I10.n:ставляя полученную оценку внеравенство (4), получаем Hepa
венство
п, +1
L .!
D o ' [zz] "" D в(' + 1) [и],
, 7tu k
k 1
Заметим теперь, что совокупность всех листов B + l\, на кото-
рых лежат разрезы 1: ' + 1), .n:aeT нам множество д, === 0'+1 О" по
крытое п 1 раз (на каж.n:ом листе B + 1) лежит п 1 разреЗ0В
l: ' + 1). Поэтому после.n:нее неравенство можно записать в виде
nL
Do)ZZ] €2D<l, [ll],
в силу соотношения (1) получаем отсю.n:а, что
liт Do' [ll]==O.
" oo \1
9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА KPyrOBbIE ()БЛАСТИ
631
Но, cor ласно СООТНОlllениям (2),
lim ОО. [и] === О,
' co
и потому
ООсо [11] === О.
Отсюда немедленно вытекает, что :1 (z) == const, а следовательно, и
g(z) const. Лемма .n:оказана.
с помощью .n:ОК<lза1l1IОЙ ЛБIМЫ леrко докажем следующую теорему
е.n:инственности щш конформноrо отображения области Осо,
т е о р е м а 2. Пусть каждая из фуftкций === /1 (z) и === /2 (z)
К(JftфоряftО отображает Р1l.-1тнову llOверхность О:д иа какую либо
область ко.мплексftой плоскости. ТО2да эти дВе фуftКЦ1111 связаftЫ
дробftО Л11ftейftЫJlf соотftошение.-!(
l' af1 и+
12 (z) === If1 (2) +0 (a. 1 === 1).
СовеРlllИВ Ha.n: ФУНКЦИЯМИ /1 (z) И /2 (z) на.n:лежаще по.n:обранные
дробно линеЙные преобраЗ0вания, мы BCer.n:a сможе;\.! .n:обиться, чтобы
ФУНКЦИИ
( ) G!f1 (2) +Ь! ( ) G 2 f2 (2) +Ь 2
gl z c!fl(z)+d1' g2 Z c2f (z)+d2
имели в одноп и тоЙ же точке римановоЙ поверхности О::д простоЙ
полюс с о.n:инаковым вычетом (и не имели .n:руrих особенностей).
Обозначим через и о некоторую достаточно малую окрестность точки
римановой поверхности Осо, В котороЙ ФУНКЦИИ gl (z) И g2 (z) имеют
полюс. Образ римановой поверхности Осо и о при отображении
=== gl (z) (или === g2 (z» лежит в оrраниченной области комплексной
плоскости, поскольку в окрестность бесконечности перехо.n:ит OKpeCT
ность и о . Интеrрал Дирихле
ООсо U о [и,,] === [Uk '" (z) + и;, (z)] dx dy,
Осо
r.n:e 11" (z) === R.e g" (z), можно записать в виде
Doco U о [и,,] === I g;, (z) 12 dx dy.
Осо
(6)
Поэтому этот интеrрал Дирихле равен nлоща.n:и образа римановоft
поверхности Осо и о при отображении === g" (z). Посколы{у этот
образ лежит в оrраниченной области плоскости , ero площа.n:ь KO
нечна. СледоватеJIЬНО,
Doco U о [и.] < 00,
ОО И [1121 < 00,
со О
(7)
rде
иl (z) === R.e g. (z),
112 (z) === R.e g2 (z).
632
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОI3ЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rд.9
Рассмотрим теперь функцию g(Z) === gj (Z) g2 (z). Она реrулярнз
аз всей римановой поверхности 000' так как полюсы фу:нщий g, (z)
и g2 (z) нахо.n:ятся в одной и той же точке и И lеют одинаковую
rлавную чаС1Ь. Далее, обозначая
II (z) === Re g(z) === 111 (z) 112 (z),
можем написать, что
Dooo [ll] === Du o [11] + Dooo и о [ll].
Ввиду конечности окрестности и о и реrулярпости функции g(z) на
всей римановой поверхности 000
Duo [ll] < 00,
а в силу перавенств (7)
Do -и [llJ o/rDo -и [lll] + уОо _u[щ] ) 2 < 0о.
со о со О со о
Таким обраЗ0М, функция g(z) У'n:ОlJлетворяет УСЛОВИЯ I леммы 1, и
потому g(z) ссс= const. Отсюда видно, что функции gl (z) И g2 (z),
а зпачит, и функции /1 (z) И {2 (z) связаны .n:робно линейным COOTHO
шением. Teope la доказана.
Доказанная теорема 0значает, что все плоские области конфор но
эквивалентные РЮ1ановой поверхности Ош получаются .n:pyr из .n:pyra
дробно линейньш преобраЗ0ванием. ИСПОЛь3УЯ это свойство рЮlaIЮ
вой поверхности Ос.о, 1Ы уже сможе l без особоrо труда .n:оказать
теорему 1.
Доказательство теоремы 1. Воспользуемся теоремой 2 и тем, что
отражение римановой поверхности АС" IJ каждом И3 разреЗ0В 1:1'
1:2' "" 1:n переlJО'n: ИТ ее в себя самое (это ви.n:но И3 построения
риманопой поверхности 000)'
Пусть .n:aHa КaI,ая либо функция === / (z), конформно отображаю
щая риманову поверхность Осо на область I<омплексной плоскости.
Выяспим, куда переходит при этом отображении разрез 1:s области О.
С этой целью обо:шачим через z* точку, симметричную с точкой z
относительно прямой, на которой Jlежит разрез 1:s. Если уравнение
этой прямой 1т z === 'J. s ' то, как леrко Вlщеть, z * === 2ia.. s + z. ФУНКЦИil
g(z) === {(z*) === /(2ia.. s + z)
является аналитической функцией, Так как отражение римановой по
верхности 000 в разрезе s пеrево.n:ит эту риманову поверхность
в са юе себя, функция g(z) конформно отображает эту риманову по
верхность. По теореме 2 это 0значает, что
{(z*) === af(z) +Ь .
cf(z) +d
(8)
9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРуrОВЫЕ ОБЛАСТи
633
Но отражение в разрезе 1:s оставляет на месте точки этоrо раз
реза. Поэтому при z Е 1:s имеем z* =:::i: z. Обозначая через точки,
принадлежащие образу разреза 1:s при отображении функuией f (z),
получаем в силу равенства (8) уравнение
;; аС + ь
.. === сС I d .
Если это уравнение является уравнением некоторой кривой (а оно
оqязано быть уравнением кривой, так как точки разреза 1:s явля
ются внутренними точками рима новой поверхности Оса' отображаемой
функuией f(z», то эта кривая может быть ТОлько окружностью (Ha
помним, что прямые мы также называем окружностями).
Таким обраЗ0М, при отображении === f (z) римановой поверхно
сти Оса все разрезы Ll' L2,..., Ln> оrраничивающие область а,
переходят в окружности. Следовательно, Функuия === f (z) конформно
{)тображает область О на круrовую область.
Тем самым мы .n:оказали, что любая область, пре.n:ставляющая
собой всю плоскость с конечным числом разреЗ0В по rОРИЗ0нталь
ным отрезкам, может быть конформно отображена на кру.'овую об
ласть, Объе.n:иняя это утверж.n:еllие с теоремой 3 10 rл. 8, прихо
дим к утверж.n:ениlO теоремы 1.
И3 е'n:ИlIственности отображеllИ Р:lмановой поверхности осо (с точ-
ностью .n:o .n:робно линейноrо отображения) леrко выво.n:им, что и OTO
бражение на круrопую область определяется с ТОчностью до дробно,ли
нейноrо преобраЗ0вания,' Этот факт у.n:обнее Bcero формулировать в
пи.n:е:
Если существует КОНфОР.Jfное отображеftllе одной КРУZОВОЙ
одластll на друzую, то это КОНфОР,Лfftое отображение дробно ли
lieu но.
Теоремы об отображениях мноrосвязных областей на круrовые
области Болыll,' чем какие либо .n:руrие теоремы TaKoro po.n:a, анало
rичны теореме Римана о конформном отображении ОЩlOсвязных об
JIастей.
Скажем еще несколы<о Слов О приро.n:е областей Кса' на которые
I<ОНфОрМНО отображаются римановы поверхности Оса' Ясно, что при
lZ === 2 область Кса обращается в расширенную плоСкость с .n:вумя
выколотыми точками, а при 1l> 2 представляет собой cOBepllleHHoe
ниr.n:е не плотное множество. Можно показать, что площа.n:ь этоrо
множества при любом п равна нулю.
Перейдем теперь к вопросу об униформизации алrебраических
функций.
634
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
Т е о р е м а 3. Пусть ===/(z) аЛ2ебрazlческая функция, и пусть
ее Рll.манова поверхность и.меет род g"?;; 1. Функцию f(z) .можно
унифор.м//зировать с nО.Аtoщью функций
z === rp (8),
=== tj> (8),
авто.морфных в некоторой области К llлоскост/1 8, отНОCllтель
но 2РУllllЫ ф, состоящей llЗ дроБНО Л/lнейных отображеЮIЙ обла
Cm1l К на себя. При это.J( область К обладает свойстваМЕЕ:
1. Любое конфор.ltное отображеЮle области К на себя дроб-
но-л/lftейно.
2. Площадь .множества точек плоскости 8, не принадлежа-
Щ/IХ области К, равна нулю.
rpyппa Ф обладает свойстваоllи:
1. Она является свободной 2рУnnОЙ с g образу ю IЦEE.Atll.
2. Ее эле.llенты не IUfеЮlll неnодВllЖНЫХ точек в области К.
3. Она собственно разрывна в области К.
Идея .n:оказательства теоремы состоит в сле.n:ующем.
По римановой поверхности е .n:анной алrебраической ФУНКllИИ
f(z) строим некоторую накрывающую ее поверхность е, по.n:обную
о.n:нолистной. Доказываем, что любые 'n:Ba конформных отображения
накрывающей поверхности е на какую либо плоскую область свя
заны между собой .n:робно линейным СООТНОlllением (хотя бы одно
такое отображение существует соrласно теореме 3 10 rл. 8). Тем
же способом, что и в пре.n:ыдущем параrрафе, строим по отображе-
нию накрывающей поверхности 6 на плоскую область К униформи-
зирующие ФУНКllИИ rp (8) И tj> (8) И убеж.n:аемся, что эти ФУНКllИИ ав-
томорфны в области относительно rруппы ф, порождаемой преобра-
З0ваниями сколыкевия накрывающей поверхности <5,
Преж.n:е Bcero построим накрывающую поверхность е, о которой
rоворилось BbIllle (сначала с помощью разрезания и склеивания ис
хо.n:ной алrебраической римановой поверхности е),
Пусть
А 1 , А 2 ,..., Ag, 81, 82"'" 8g
Iщклические сечения римановой поверхности 3, .n:ающие канони-
ческое рассечение. Пров дем разрезы только по сечениям Ak' Тоrда,
как мы знаем (см. 1), риманова повt:рХНОСТЬ 3 превратится [J
2g связную область 6', по.n:обную однолистной (тополоrически в сферу
с 2g дырками). Каждый разрез Ak имеет два края (каждый край or
раНИЧИl .ает свою дырку) А;; и А;. Склеивание накрывающей поверх-
ности е И3 бесконечноrо числа экзеМПЛЯрОll области е: произве.n: ем
следующим обраЗ0М.
636
МЕРОМ.ОРФНЬШ ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9'
на KPZZBOli, а и (z) функция, 2армоническая в за.ltыкании 06ла
cmzz В. При этих условиях ZZAf.eem место неравенство
I (u(z) u(a» * du (z) I MDBluJ (11)
с
(опре.деление веЛИЧИlнdzz(z) и D B [ZZ] см. В 5). Постоянная М,
входящая в это неравенство, зависит от областzz В II от Kpll
вой С, но не заВllсит от ФУНКЦZlll и (z) II от точки а Е с.
Вви.n:у компактности римановой поверхности .n:остаточно .n:оказать
это неравенство .n:ля случая, Kor.n:a область В со.n:ержится в одной И3
окрестностей системы окрестностей {И,,} (см. определение абстрактной
римановой поверхности в 5). В локальной переменной ", отвеча
ющей этой окрестности, неравенство (11) можно бу.n:ет записать
тоrда в ви.n:е
I (Zl ('t) zl (а') ) ds I MD B ' [z ],
с'
Для .n:оказательства этоrо неравенства применим, как и при .n:оказа
тельстве леммы 1, теорему 3 3 rл. 8. Соrласно этой теореме
о '. о '0 1 о
тах (Zle ('t) + и у : ('t) .... D B ' [и],
, Е С' -, 1tU
J'.n:e о расстояние от кривой С' .n:o rраницы области В'. Поэтому
I !:. I -. / D B ' [z;] ,
дп С' oJf 1t V
(11 *)
и при 't Е С'
't
Iz; ('t) Z; (а') 1===1 g ds O J ;' -v D п ' [z;] ,
а'
,"де L .n:лина кривой С' (в качестве пути. интеrрирования можно
взять отрезок кривой С'). Отсюда леrче получае)1, что
1), (u('t) Zl (а'» d s 1 1t : D B ' [Zl],
и нераненспю (11 *) .n:uказано, а В:\1есте с ним .n:оказана леМ:\1а.
Опираясь на HepaB HCTBO (11), .n:окажем теперь утверж.n:еilие,
полностью аналоrИЧllое лемме 1:
Л е м м а 3, Пусть е накрывающая поверхн?сть аЛ2ебрazzче
ской РZlAf.ановой поверхности е, отzсанная выше, а f(z)===u(z)+
+ iv (z) функция, ре2улярная на поверхности 6. Если функцzzя
и (z) имеет конечный llнте2рал Дzzрихле D [и), то функция
f(z) тождественная постоянная.
Обозначим через {8.} расширнющуюся после.n:овательность ри
мановых поверхностей, имеющих пре.n:елом риманову поверхность 6.
9]
ОТОБРАЖН-IИF НА КРуrОВЫЕ ОБЛАСТИ
637
накрывающую HalllY алrебраическу ,) риманову поверхность 13. Для
опре.n:еленности выберем после.n:овательность Ео сле.n:ующим образом.
Исходный экземпляр разрезанной по llиклическим сечеНИЯ:ll Аl'
А 2 " . , ,Ag римановой поверхности е' мы обозначали через 13'. Область.
6' тополоrически эквивалентна сфере с 2g .n:ырками. I{ каждой .n:ырке
приклеиваем (соответствуюш:ей дыркой) еще о.n:ин экземпляр той же
сферы с дырками. Получившуюся поверхность обозначаем через е'1'
I{ каж.n:ой .n:ырке поверхности е l приклеиваем (опять таки cooтвeTCT
вующей .n:ыркой) еще по экзе:llПЛЯРУ исходной сферы с дырками
(области е"). Полученную поверхность обозначае" e и т. .n:,
Риманова поверхность 6, подобна О'n:НОлистной (тополоrически
она эквивалентна сфере с .n:ырками), Ее rрашща СОстоит И3 lIeKOTO
poro числа кривых, лежащих на накрывающей поверхности е Ha.ll
llиклическими сечениями A J , А 2 ,..., Ag. Все эти rраничные кривые-
перенумеруем 3ШIOво и обозначим
'), ;'), ..., .
Кроме Toro, мы обознаЧIШ через д, риманову
\S, I' т. е, часть римановой поверхности 6'+1'
чек римановой поверхности \S, I'
naJlee, заключим каж.n:ое сечение As, s == 1, 2, '... g, в область Bs
на нашей алrебраическоtt рима новой поверхности е, В качестве такой
области Bs у.n:обнее Bcero взять полоску, заключепную меж.n:у двумя
llиклическими сечениями, rомотопными сечению As и лежащими
по разные стороны от Hero. Tor.n:a и каж.n:ой rраничной кри
вой ;;) римановоН поверхности е', бу.n:ет отвечать содержащая ее
область B ), проеКllИЯ которой совпадает с о.n:ноЙ И3 областей Bs'
Леrко ви.n:ет что
В(') с д
k ,
поверхность 6'+1 -
не содержащую TO
(k == 1, 2, ..., п,).
Теперь все необхо.n:имые обозначения вве.n:ены, и мы може:ll при
ступить к olleHKaM, которые мало чем отличаются от оценок, прове
денных в лемме 1.
Применим к римановоЙ поверхности е', формулу rрина
DrfEv [ll] == dll * dll == II * dll (Llll == О)
rfEv дrfE v
(эта формула применима, так как риманова поверхность е', подобна
однолистной), Поскольку rраница римановой поверхности е', состоит
И3 кривых 2: '\i), s== i, 2, ,.., п" можем заПИС8ТЬ эту формулу в виде-
nv
DrfEv [ll] == II (z) * dll (Z).
S 1 1V)
9]
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРуrОВЫЕ ОБЛАСТИ
639:
так что пре.n:ельный переход внеравенстве (13) дает нам, что
D@;llll O,
oTKy.n:a немедленно вытекает доказываемое утверждение.
л е м м а 4. Любые две фУЮ<Цllll 8 SI (Q) II 8 S2 (Q), конфор
Ато отображаЮЩllе накрывающую поверхность е на '(аКУЮ Лllба"
область плоскостll 8, связаны дроБНО ЛllнеЙНЫJfl соотношеЮlеАl
со (Q) '! l (Q)+b ( d Ь 1)
V2 CSI (Q)+d а c ,
Доказательство этой леммы .n:ословно совпа.n:ает с .n:оказатеЛЬСТВОl\f'
теоремы 2, только вместо леммы 1 мы должны бу.n:ем сослаться на
лемму 3.
И3 теоремы 2 1 О r л. 8 следует, что
Существует хотя бы одна фУНКЦllЯ S(Q), конформно
отображающая накрывающую поверхность е на некоторую об
ласть К плоскостll 8. Бу.n:ем считать, что точка 8 00 лежит в К.
Покажем, что область К обла.n:ает свойствами, перечисленными
в теореме.
Для установления свойства 1 обозначим через Т (8) произвольное
конформное отображение области К на себя. Тоrда функции S (Q) и
т (S(Q» являются конформными отображениями накрывающей ПОlJерх
нQсти \S на область К, ПО лемме 4 эти отображения связаны дpo
бно линейным соотношением, т. е. отображение Т(8) .n:робно-линейно..
и своЙство 1 получено.
Длн .n:оказатеJlьства свойства 2 обозначим через К, образ рИ:\lа
новой поверхности <5, при отображении s S (Q), Этот образ
нре.n:ставляет собоЙ область плоскости 8, оrраниченнуlO п, аналитиче
(,\ ( '" (,\
скими кривыми о,,' ооразы кривых L.Jk" оrраничивающих риманову
поверхность е), С возрастанием номера v области К. расширяlOТСН, CTpe
мнсь к области К, Свойство 2 области К бу.n:ет доказано, если мы .n:oKa
жем, что сумма площа.n:ей конечных областей x ), оrраниченных кри
выми ot), стремитсн /( нулю при v . 00, Длн площа.n:и VJ:) области:
xz) можно написать выражение
v1V) l1dv (8 ll+iv).
(,)
crk
С.n:елаем в этом ИlIТеrрале замену l1 ll(Q), 'l1 V(Q), rде ll{Q)===
ReS(Q), v(Q) 1т S(Q), ЭТО .n:acT формулу
у1'! S II (Q) dv (Q) 11 (Q) '" dll (Q)
) )
640
МЕРОМОРФНЫF. ФУНКЦИИ НА РИМ.АНОВЫХ IJОВЕРХНОСТЯХ
[rЛ,9
(последний nepexo.n: использует равенство dv (Q) === * dll (Q». Про
водя оценки тем же способом, что и в лемме 3, получаем HepaBeH
ство
nv
h V};) MgD.:..[II]
k 1
( . === \sv+l \Sv l).
Поскольку 11 (Q) === Re S (Q). r.n:e функция 8 === S (Q) конформно OTO
бражает риманову поверхность 8 на область К, величина D!lv [lll ра-
вна площади образа РИ Iановой поверхности v' Ясно поэтому, что
D.:.v [ll] О
('11 00),
а сле.n:ователыlO, и
nv
L; V ;) о
k 1
('1I ' 00).
Свойство 2 области К доказано.
Построим теперь униформизирующие функции ер (8) И tj> (8), С этой
llелью обозначим через Р(Р) и О(С) фУНКllИИ Z и r..===/(z). рассма-
триваемые как функции точки Р римановой ПОlJерхности е наlllей
алrебраической функции I(z), Эти функции являются. очевидно, ме-
роморфными функциями на римановой поверхности е, Эти же функции
на накрывающей поверхности е можно записю'Ь в ви.n:е
z === F (р (Q»,
r.. === О(р (Q».
А
T.n:e р (Q) проеКllИЯ точки Q накрывающей поверхности е на рима
вову поверхность 13, Эти функции являются мероморфными функци-
ями на накрывающей поверхности 6. Функции
ер (8) === F (р (Q (8)}),
tj> (8) === О(р (Q (8»),
r.n:e Q (8) отображение, обратное к отображению 8 === S (Q), явля-
юrСЯ мероморфными функциями в области К и .n:ают искомую уни-
формизацию,
rруппу СЭ, относительно которой функции ер (8) И tj> (8) автомор-
фны в области К. строим, как и в теореме 2 7, с помощью пре
обраЗ0ваний скольжения Q* === t (Q) накрывающей поверхности 8.
Свойства 1 3 rРУПI1Ы СЭ немедленно получим из свойств преобразо
ваний скольжения накрывающих поверхностей, доказанных нами в 8.
Тем самым доказательство теоремы заверlllено.
10)
КЛАССИФИКАЦИЯ РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕй
641
10. Классификация рима новых поверхностей
с точки зрения конформных отображений
Пусть К е.n:иничный Kpyr, конечнзя плоскость или сФ': ра Рима.
на, а 63 произпольная собственно разрывная rруппа .n:робно-линей-
ных отображений Kpyra К на себя, не имеющих неподвижных точек
в Kpyre К.
Основываясь на идеях 7 и 8, леrко можем доказать следую-
щее утверждение:
т е о р е м а }, Любую рижанову поверхность <2: .лЮЖНО кон-
фор.ино отобразить на фактор-пространство К/Ф снекоторой
2рутlOЙ Ф, изоморфной фундаментальной 2руппе "1 (13). При этом
фаКl1l0р пространства К/Ф 1 11 К/Ф тО2да и только тО2да кон-
фор.лlНО ЭКВ1lвалентны, КО2да 2руппы Ф 1 II Ф связаны соотноше-
ниел Ф 2 === ТО Ф 1 To l, 2де То некоторое дроБНО-Л1lliейное отобра-
жение крУ2а К на себя.
Для доказательства рассмотрим конформное отображение s === S (Q)
универсальной накрывающей (5 римановой поверхности <2: на Kpyr К.
rруппа !J преобраЗ0ваний скольжения универсальной накрывающей <5
(ИЗ0морфная, как мы знаем, фун.n:аменталыюй rруппе "1 (<2:» перейдет
при Э1"ОМ отображении в некоторую rруппу Ф автоморфизмов Kpyra К.
Соrласно определению rруппы Ф точки универсальной накрывающей е,
имеющие о.n:инаковые проекuии, перехо.n:ят при отображении s == S (Q)
в точки Kpyra К, конrруэнтные относительно rруппы Ф. Поэтому
отображение s === S (Q) можно рассматривать и как конформное
отображение фактор пространства е/!; на фактор-пространство К/63.
НО, как леrко проверить, фаl{тор пространство е/!; совпадает с нашей
римановой поверхностью <5.
Следовательно, конформное отображение универсальной накрыва-
ющей е на Kpyr К можно рассматривать как конформное отобра-
жение римановой поверхности <5 на фактор-пространство К/Ф, и
первая часть утверждения теоремы .n:оказана.
Пусть мы имеем фактор-пространство К/Ф. Kpyr К можно рас-
сматривать как универсальную накрывающую этоrо фактор простран-
стпа, если проекuией точки Kpyra К на фактор пространство считать
траекторию, содержащую эту точку. Конформное отображение двух
римановых поверхностей леrко распространяется .n:o конформноrо
отображения универсальных накрывающих. Поэтому И3 конформной
эквивалентности фактор-пространств К/Ф1 и К/Ф следует существо-
вюше конформноrо отображения Kpyra К на себя, при котором
точки, конrруэнтные относительно rруппы Ф1, переходят в точки,
конrруэнтные относительно rруппы !J2. Это конформное отображе-
ние KpyraK осуществляется .n:робно-линейным преобраЗ0ванием То,
и мы ви.n:им, что каждому преобраЗ0ванию Т Е Ф 1 :I10ЖНО поставить
в соответствие преоБРЭЗ0вание. Т* Е (,В2 С помощью равеНСТ8а
642
мЕром.орфныIE функции НА РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
[rл.9
т === То Т* ТО 1. Это И 0зна чает, что @1 === Т i}j2 ТО 1. Теорема ДO
казана.
Простейшую классификацию римановых поверхностей можно
провести по характеру Kpyra К. Именно:
Риманова поверхность е называется рима новой поверхностыо эл
липтичеСТ<020 типа, если ее универсаЛЫlая накрывающая е конфор
мно эквивалентна всей сфере Рима на.
Риманова поверхность <5 называется римановой поверхностью na
раболичеСТ<020 типа, если ее универсаЛЫJая накрывающая 6 KOH
форм но эквивалентна всей конечной плоскости.
Риманова поверхность е называется рима новой поверхностью
2иnерболичеСТ<020 типа, если ее универсаЛЫlaЯ накрывающая е KOH
формно эквивалентна единичному Kpyry.
Эти три типа римановых поверхностей сильно различаются KO
личеством содержащихся в них поверхностей, Так, например:
Ри.мановой поверхностью ЭЛЛll11тичеС1С020 fnll11a, ст<леею..юй из
листов пЛОС1Сости, .может быть толь1СО ри.манова поверхность
ФУН1СЦllll, обратной 1с рациональной.
Это утверждение немедленно вытекает И3 теоремы 4 1 О rл. 8,
так как ПРОИ3ВОЛЫlая риманова поверхность эллиптическоrо типа
обязана быть ощюсвязной (деЙСТlJительно, rруппа @;, ИЗ0морфная фун
даментальной rруппе этой римановой поверхности, состоит только И3
единичноrо элемента, так как на сфере Римана нет дробно-линейных
преобраЗ0ваний без неподвижных точек).
С помощью рассуждений теоремы 4 1 О rл, 8 леrко показы
вается также, что
Односвязная ри.манова поверхность nараболичеС1С020 типа (ec
ли она склеена И3 листов плоскости) является ри.мановой пOBepx
.ностью фУН1Сции, обратной 1с не1Соторой фУН1Сции, .uеро.морфной
во всей 1Сонечной пЛОС1Сости.
Некоторое премя была в моде так называемая пробле.ма типа.
.эта проблема состояла в отыскании условий, позволяющих леrко
различать односвязные римановы поверхности параболическоrо и I'И
nерболическоrо типов. Проблема оказалась чрезвычайно трудной, и
интерес 1( ней постепенно заl'ЛОХ.
И3 мноrосвязных областей плоскости римановой поверхностью
параболическоrо типа является ЛИlllЬ сфера Римана с двумя выколо
тыми точками. Сфера с тремя выколотыми точками представляет co
бой уже риманову поверхность rиперболическоrо типа. В этом про
ще Bcero убедиться с помощью функций KpyroBoro треуrОЛЫlИка
{см. 4 rл. 7). И3 построения этих функций нетрудно усмотреть,
10]
КЛАССИФИКАЦИЯ РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕй
С4З:
что они совеРlllают конформное отображение единичноrо Kpyra на
универсальную накрывающую сферы с тре IЯ выколотымИ точками,
Приведем еще результат, rOlЮРЯЩИЙ о типе компактной римано
вои поверхности,
Т е о р е м а 2. J{омnактная Рluщнова поверхность рода НУЛЬ-
является римановой поверхностью аЛЛlштllчеСКО20 тlша. KOM
nактная рима нова поверхность рода 1 является римановой no
верхностью nараБОЛll'iеСКО20 типа. J{олnактная pllMaHOBa пOBepx
насть рода 15> 1 является PlUcaHOBOU поверхностью 211nерБОЛll
чеСКО20 тlша,
СоrлаClЮ теореме 1 любую риманову поверхность б можно KOH
формно отобразить на фактор пространство КjФ, rде rруппа Ф И30
морфна Фун.n:амеIlТалыlOЙ rруппе "1 (<2:), Мы знаем, что в HallleM случае
фун.n:аментаЛbIJая rруппа "1 (<2:) пре.n:ставляет собой rруппу с 2g об
разующими, Сl3язанными одним СООТlЮlllением (см, 8), С друrой CTO
роны, в 8 мы показали, что .n:ля случая, кш'да Kpyr К конечная
плоскость, "руппа ( не может иметь Болыlle двух образующих, Поэ
тому любая компактная риманова поверхность рода g> 1 не может
быть римановой поверхностыо эллиптическш'о или параболическorо-
типа, и последнее утверж.n:ение теоремы .n:оказано.
Поскольку первое утверж.n:ение очеви.n:но, остается доказать, что
любая компактная риманова поверхность po.n:a 1 является римановой
поверхностью параболическоrо типа. Для этой uели воспользуемся
и.n:еей униформизаuии с неполным рассечением римановой поверхности.
Как было показано в начале доказательства теоремы 3 9, некоторая-
На!<рывающая е римановой поверхности (2: рода 1 конформно отобра
жается на всю конечную плоскость с выколотой тлочкой z == О. Уни
версальная накрывающая римановой поверхности <5 совпа.n:ает с уни
версаЛЬ1l0Й накрывающей римановой поверхности (2:, Кроме Toro, если
'n:Be римановы поверхности конформно эквивалентны, то конформно
эквивалентны и их универсальные накрывающие, Следовательно,
универсальная накрывающая Е: компактной римановои поверхности <5
po.n:a 1 конформно эквивалентна универсальной накрывающей всей
_ конечной плоскости с выколотым началом КООРДИНаТ. Последняя уни
версальная накрывающая есть не что иное, как риманова поверхность
лоrарифма. Риманова поверхность лоrарифма конформно отобража
ется на всю конечную плоскость фующией s == е. Таким обраЗ0М.
универсалы ая накрывающая 6 конформно эквивалентна всей конеч
ной плоскости, т. е. риманова поверхность (2: параболическorо типа.
Теорема полностью .n:оказана,
в СВЯ3И С классификаuией римановых поверхностей с точки зре
НИЯ их конформной ЭКlJиваленТlЮСТИ естественно поставить вопрос
о числе различных видов конфqрмно неэквивалентных римановых
'644
М.ЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ IJОВЕРХНОС15ТХ
[i"л,9
поверхностей TOI'O или иноrо сорта. Конечно, число т.эких видов в боль
lllИlJCтве случаев бесконечно, и считать при.n:ется не число, а pa3Mep
ность множества в разумно выбранном пространстве f'зрзметров.
Докажем сначала два наиболее простых результата TaKoro рода.
Множество Вllдов t<:онфор.мно неЭКВllвалентных двухсвязных
рилtaновых поверхностей. подобных однолистны.м, зависит от од-
НО20 дейстВluпеЛЬНО20 пара.метра, который .моЗ/сно считать .мe
НЯЮЩll.мся от нуля до единицы.
Воспользуемся теоремой 1 8, соrласно ксторой любую 'n:BYX
связпую риманову поверхность, по.n:обную О.D:IЮЛИСТlюй, можно KOH
формно отобразить на всю расширенную плоскость, И3 которой BЫ
брОlllены два Kpyra, не имеющих общих точек, С помощью надле
жаще подобранноrо .n:робlю линеtlноrо преобраЗ0вания эту КРУI'ОВУЮ
область можно конформно отобразить на КОЛbLLO И3 конuентрических
окружностеЙ с пентром в начале. Более Toro, если хотя бы один И3
выбрОlllенных KpyroB не сво.n:ится 1< точке, то мы можем с.n:елать pa
.n:иус внеlllней окружности равным е.n:инице, Tor.n:a в качестве инте-
ресующеrо нас параметра можем взять ра.n:иус внутренней окружности
кольuа, Нетрудно убе.n:иться, что кольuа
p<lzl<1 и p'</z:<l
конформно неэквивалентны, если р *- р' (соrласно доказашюму в 9
.n:остаточно убедиться, что их нельзя перевести друr в друrа с по-
мощью .n:робlю линеЙных отображений),
Столь же просто .n:оказывастся и второе утверждение:
Множество видов конфор.мно неэквивалентных ко.мпактных
ри.мановых поверхностей рода 1 зависшп от одНО20 ко.мплеКСНО20
пара.метра, который .можно считать .меняющи.мся ВО всей ко-
нечной плоскостu.
Действительно, соrлаClЮ теоремам 1 и 2 любая компактная ри
манова поверхность рода 1 конформно эквивалентна фактор простран
ству К I (Sj, rде К вся конечная плоскость, а rРУllпа 0 состоит И3
преобраЗ0ваниtl ви.n:а
Т (z) == z + пlШI + п2Ш2
(пl' п2 == О, + 1, -+- 2, . , .)
(см. конеп 8). Перехо.n: от rруппы 0 к I'руппе То (Sj Т-;;I В нашем
случае сводится к умножению чисел Ш1 и Ш2 па ПРОИ3ВОЛЫJУЮ комп-
лексную постоянную. За с<:ет этоrо умножения можем с.n:ел3'lЪ число
Ш1 равным единиuе. Кроме Toro, пришlВ ШI == 1, мы можем удовлетво
рить условию 1т Ш2 > О, заменив, еСJIИ потребуется, число Ш2 на Ш2
(что не изменит rруппы 0).
"!i 10)
КЛАССИФИКАЦИЯ РИМ.АНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕй
645
Заметим теперь, что rруппа Ф, отвечающая наlllей римановой по
верхности е;, не изменится, если мы заменим числа Ш1 и OO числами
wf ::::::::: CUY.z + dw l ,
wi ::::::::: а(О2 + ЬШ1'
r.n:e а, Ь, с, d произвольные целые числа, связанные СООТНОlllением
ad Ьс == 1. Это 0значает, что числа
* = =: , == : ( * == : t )
также отвечают о.n:ной и той же rруппе ф. (Переход от чисел (о,, Ш2
К числам wf, ш это перехо.n: от одной пары основных перио.n:ов
эллиптических ФУНКllИЙ к .n:руrой.) Поэтому римаllОВЫ поверхности
рода 1 нахо.n:ятся во взаимно о.n:нозначном соответствии с точками
фактор пространства Н / r, r.n:e Н верхняя полуплоскость, а l'
мо.n:улярная rруппа. Это фактор пространство конформно эквивалентно
всей конечной плоскости, Отсюда мы и вьшо.n:им наше утверждение.
Аналоrичные результаты (хотя и не llо.n:дающиеся столь полно
му анализу) можно ПО.l!учить для п-связных римановых поверхностей,
по.n:обных однолистным, при п> 2, а также .n:ля компактных рима
новых поверхностей рода g> 1. Мы изложим основные моменты
доказательства этих результаl'OВ, не останавливаясь на деталях.
Если 6 является п связной римановой поверхностью, по.n:обной
ОДНОЛИСТIЮЙ, то ее можно (соrлаClЮ теореме 1 9) конформно
отобразить на круrовую область, С помощью .n:робно линейноrо OTO
бражения эту круrовую область можно сделать кольцом
p<IZI<I,
из KOToporo выбрОlllены п 2 Kryra
I Z r kei"'k i < Pk, k == 1, 2, ..., п 2.
Учитывая, что наше колыLO можно поворачивать на произвольный
уrол, ви.n:им, что наша КРУl'овая область описывается параметрами
р, r " .,., r n- 2' Р" ..., Pn 2' СХ 2 СХ I , ... ,CXn 2 СХ"
причем различным значениям этих параметров отвечают (за ре.n:ким
исключением) конформно неэквивалентные области. По.n:считывая
число пара:l1етров, прихо.n:им к утверж.n:ению:
Множество видов 1Сонфор.мно неЭ1Свuвалентных n связных pи
.мановых поверхностей, подобных однолuстны.м, при п >2 зависuт
от 3п 6 действшпельных nара.метров.
Пусть теперь е компактная риманова поверхность рода g> 1.
Ей отвечает rруппа j .n:робно-линейных отображений единичноrо
Kpyra К на себя, имеющая '2g образующих, Связанных о.n:ним соотно-
шением. Каждая образуюшая определяется тремя действительными
646
МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ IJОВЕРХНОСТЯХ
[rп.9
параметрами (в 1 rл, 5 МЫ показали, что произвольное дробно ли
неЙ1l0е отображение е.n:иничноrо Kpyra на себя зависит от трех дей
ствителыJЫХ параметров). При произволыюм .n:остаточно мапом И3
менении параметров, определяющих эти образуюшие, снова получим
rруппу отображений KpYI"a на себя. Это произвольное малое изменение
опре.n:еляется 6g действительными параметрами. Три параметра И3 этих
6g мы .n:олжны истратить, чтобы у.n:овлеТllОрИТЬ соотношению меж.n:у
образующими. Остается 6g 3 параметров, Кроме Toro, образующие
т т И ST т 1, rде S произвольное дробно линейное отображение
Kpyra К на себя (одно и то же при т === 1, 2, .", 2g), мы должны
отождествить меж.n:у собой, так как фактор простраНСТIJа К/О'), OТBe
чающие произво.n:имым ими rруппам, конформно эквивалентны, На этом
теряем еще три параметра (преобраЗ0вание S тоже опре.n:еляется тремя
параметрами), Оставшиеся 6g 6 действительных параметров опреде
ляют rруппы 0 таким обраЗ0М, что фактор пространства К/0, OTBe
чаюшие rруппам 0 с различными значениями пар'аметров, конформно
неэквивалентны. Остается проверюъ, что этим значениям параметро13
отвечают компактные римановы поверхности po.n:a g. В этом проще
Bcero убедиться, заметив, что при малых изменениях образуюших
фун.n:аментальная область также мало меняется. Поэтому
Множество Вllдов 1Сонфор.'ltНО неЭ1СВllвалентных 1Со,мпа1Стных
рllяановых поверхностей рода g> 1 заВllСllт от 6g 6 дейстВll
тельных пapa_JtempOB.
Более точное описание области изменения параметров, опре.n:е
ляющих конформно неэквивалентные виды компактных римановых
поверхностей рода g> 1, .n:оволыю трудная задача.
Заметим, что рассмотренные сначала случаи п === 2 и g === I не
укладываются в обшую формулу. Это СВЯ3aIЮ С тем, что круrовая
область при п === 2 имеет о.n:нопараметрическое семейство дроБНО JII1
нейных отображений на себя.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
A6eneB l\иq,q,ереIlЦНЗЛ 589
IIl1теrрал 555
A6enH теорема 574
Автоморq,IIЗН <рорма 601
q,YIIK[(Hh 478, 601
Аllамара теорема 459
Аnrе6раИ'lеСI<а "риван 236
Jlе>каllllра 239
- q,УIllЩИН 3%, 575
АналитичеСI\аЯ I<ривая 366
q,УIllЩПН 51, 368
АllаЛIIТН'lеСI<ое rrрОIIод>кеllне 364, 365, 3{)6
Бескон чно удаленная точка 20
Блох" теорема 455
Бюрмаllа-Jl"rраllжа РНII 141
Венерштрасса rrpH31181' 320
- теорема (о РНllах) 72
- 105
о-q,уНlЩНН 164
Ветвь (аllаJIНТН'lеСI<ОИ q,УIIК[(ИИ) 54, 371
- - peryn pllaH 55
BHTanH теорема 341
BbI'leT a6en>na IIнq,q,ереll[(иаnа 590
- ШlТеrраn" 557
- q,уНlЩНН 105, 306
ramma-q,уНlЩНН Эйлера 130
fapMOIIH'leCI<a q,уНlЩНН 3'13, 497
rapll""a теорема 348
l иперrеометричеCJoюе уравнение 488
r лаВНО2 Значение интеrрзла тина Коши 354
- norapllq,Ma 78, 303
степенной Фуш,щии 83
[омотопичеСI{ИЙ I{Л3СС 613
[омотопныс I<ривые 291
Дnою<оrrерIЮIIН'lеСI<а q,уНlШНН 154
ДИRН30Р 595
- a6eJIena днq,q,ерен[(наnа 595
MepoMopq,1I0H <РУIIК[(НН 595
[(enbIH 595
Днrrоnь 418
Днрнхnе заllа'lа 351, 441, 444, 502
Hllтerpan 495, 512, 586
rrршщнrr 503, 504
ДНСI<рНМНllаIlТ 167
Днq,q,ереll[(наnыш форма 580, 581
Дополнение модуля .216
Достижимая rраНИЧная ТОЧI{3 440
Дро6110-ЛНllеИllан q,уНlЩПН 397
Жордаllоnа Крllnан 88
Измеllеllне абеnев" HIITerpana (rro замкнутоЙ
крнвон) 556
ИIIвариаllТЫ 229, 230
ИIIтеrраJI 88, 234, 382, 581
тнпа KomH 314, 353
IС.аноничеСlше рассечение 554
KerrJIepa ураВllеllне 148
КОМПJlекснан структура 579
Конформная :ШвиваJJентность 579
J{оиq,oРМllое ото6ра>кеllllе 316
Кош н ИIIтеrра.1Ьпа q,ормул" 10\ 311
- меТОII ]20
теорема 97, 253, 301, 305
Коши РИМ3.Н3 система уравнениЙ 295
крнстоq,q,ел Шв"р[(а q,opMyna 465
КритичеСI{ШJ ТОЧI{3 I10РЯДI<3 n 375
потенциала 319
!{pyroBaH 06JIaCTb 625
Л8Iщау теорема 482
J1arrnaca ураВllенне 343
ЛежаНl\ра ннтеr ал (rrepBoro рода) 470
МlIоrочлены 145..
СООПIOПIСIIИ 176
ЛНllllеnёq,а rrРИlщиrr 451
ЛНllеНllо-rrоnиморq,lIан q,УIIК[(ИН 487
ЛИlШН TOI<a 363, 491
ЛНУВН,1JIЯ теорема 66. 339
J10rариq,м 77, 411
:IШШЛЫIШJ переМСIIН3Я 3 4. 539
JlOl'СОllРОМНН 402
Jlораll" РНII 46, 324, 326
теорема 66, 339
М3I,снму м а МОllУЛ rrршщнrr 336, 456
M.epoMopq,lla q,уНlЩНЯ 1\2
Минимальная послеДовательность 522
М.нттаr Леq,q,лера теорема 1\3, 578
M.ollYnb 151, 152
Э':iЛИПТИЧССI{ИХ Фуш{ции Яlшби 215
ЭДJIиптичеСI{оrо ИIlтеrралз 270
м'ОllУ ДЯрllа rpyrrrra 225
- <рорма 229
q,уНlЩНН 228, 473, 476
М.орера теорема 314
Н3I'рывающан rro epxllocTb 589, 615
Не вклидово расстоянне 422
Неопредсленныи HHTcrpan 87
Нуди a6eJIeвa днq,q,ереlщнаnа 590
- q,ушщнн 37, 322
Область Оl\lюсвнзна 291
n-сnНзнан 291
648
IJPE.D:M.ETHbIH УКА3АТЕЛЬ
06paТlla q,УНlЩНЯ 139
Определенный иитсrрал 300
Ос06ан TO'lI<a 311
- аnrе6раИ'lескан 374
изолированная 371
однознзчноrо харю{тера 372
ОсобенностеЙ фуш,щия 535
nepepa3nO>KellHe РНАа 40, 41
llеРНОА q,УШЩНН 151
9J1лиnтиqеСI\Оrо интсrрала 255. 255
IJеРИОi\Н'IеСl<ан q,УlIlЩНН 154
ПСРНОi\ОВ rrapa.1JleJIOrpaMM 155, 469
IIериоды осаовные i 15, 4ОЭ
Пшшра TeO;JCMa 473
IJoBepxllocTb 280
IJoJIlloe рассе'lс.ше (cq,epbI с g PY'IKaMH) 551
Полюс 64, 1)5, 327, 372
- а6слева 1\1Iq,q,epell[(Hana 590
IIолюсоВ полная система 158
- сумма 161
IJO.'HpllbIe rrepHOi\bI (H-rrерllоi\bI) 558
IJОРЯi\ОК 1I0nюса 64, 372
IlOTell[(Han Cl<opocTeH 362, 363
nре06раЗ0ваllне rrородка n 259
Приш ип аllалитическоrо продолжения 365
- СIIмметрнн Phmalla-lllвар[(а 393
nр06лема THrra 642
IlРОi\ошке.ше степеllllоrо рнда 50
непосредстненноз 44
nуаССОllа III1Terpan 345
PerYnHplla q,УНlЩНН 6 , 295, 384
Римана билиаейное соотношение 562
нераnенство 577
- теорема 429
Phmaha-fУРвн[(а q,opMyna 598
Рнмаllа-Роха теорема 596
Phmalla-lllвар[(а rrршщнrr снмметрнн 393
Рпмаllова rroBepxllocTb 242, 383, 539
- - а6страКТllан 579
- - anre6paH'Ie I<aH 547
- - в У31<ОМ CMbIcne CnOBa 378, 381
I\ОрНЯ n...й степени 380
- - norapHq,Ma 371
Руше теорема 110
CI<Onb>KellHH rrреобраЗ0ваllНН 618
С06ствеllllО раЗрЫВllан rpyrrrra 603
CoxpalleHPI" 06ластн rrpHII[(Hrr 298, 376
CTerrellllaH q,УНlЩ 82, 406. 414
Степенных рядов МDноrенная система 50
CTerrellb i\нвнзора 596
СуществеllllО oc06a TO'lKa 64, 372
С ТОЧеК полная система 161
- сумма 161
Teiinopa P A 322
Теорема единственности 37
- rrnoII\ai\eii 452
- о BbI'IeTax 106, 307
Теорема О АВОНIIЫХ рндах 25
- - МО:Юi\РОМНИ 61, 368
сложения 3Jlrебраическая 169
дл фУШЩИН С (а) 178
умножеllНН i\Л q,УШЩНИ r (Щ 173
Teta-q,УIIКЦНН 188, 192, 195, 197
Те'lеIШН ЖIIДКОСТll .360, 416
Тип римановои поверхности 642
ТО 9 lеСlше теРМНIIЫ 53, 54, 279 283.
Тополоrическо€ пространство 290
TO'lKa ВетВлеНIIН 243, 539
изолпронзнная 373
- nоrарнq,МИ'IеСl<ан 374
- rrор ДКJ n 374
особ.НJ Е9
perY.1HpIlOCТlf 59. 63
Траеl<ТОРИН 601, 604
Траllсцеllдеllтнан q,УШЩНН 58
ТрнrOlюмеТРН'IеСlше <РУIIК[(НН 75, 412
Универсальная накрывающая 616
'НIIq,ормнза[(IIН 611
а.1rе6раН'IеСl<ОЙ КРНВОЙ 236, 414
q,УНlЩИН 633, 634
Ф8l,тор-rrростраIlСТВО 601
фундаменталыlии область 602
MOi\YJI"PIlOH rpyrrrrbI 227
ФУНlЩНН С (и) 175
- о (и) 179
- Тока 363
. аналитическая в областн 371
Цедан q,УНlЩНН 58, 66, 125
ЦШ'ДН'Iескне нерИОi\Ы (А rrерН3i\Ы) 559
Се'lеIlИН 546, 548
- COrrpH>KellllbIe 554
Шварца «знакопеременная метода» 446
- лемма 337. 450
q,ормула 346
Швар[(нан 483
Шотпш теорема 480
aHnepa ramma-q,уIПЩНН 130
постоянная 130
ЭI{вива..'iСНТНОСТЬ тополоrическая 240
Эквивалентные пары периодов 185
- 'IHCen 222, 224
ЭIшипотеI циаЛЬJlые линии 363
Эl<сrrонеllта 73, 310, 411
Эl<стремаnЫIaН заi\а'lа 502
- - S5l1
- о 536, 587
Эnемент аllаЩПН'IеСIШЙ q,УНlЩНН 51, 36S
ЭnnнrrТl1'1еСl<ан q,УНlЩН 157. 468
ЭnnнrrТН'IеСlше q,у.шшш Яl<06н 214
Эллиптичеrкии инт<:rраJ1 247
1I0рмаnыIЫЙ 251