В. А. Ф о к
НАЧАЛА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Книга написана выдающимся физиком-теоретиком. Она является
оригинальным систематическим курсом квантовой механики. Многие ее разделы
несут на себе печать научного творчества самого автора, внесшего значительный
вклад в создание и развитие квантовой теории.
Первое издание этой книги было выпущено в 1932 г. и в течение ряда лет оно
было единственным отечественным руководством для изучающих квантовую
теорию. Это издание не потеряло своего значения и поныне, но давно уже стало
библиографической редкостью.
Для настоящего издания автор переработал и значительно дополнил содержание
книги, введя в нее результаты своих последних работ по квантовой механике. В
ней расширено обсуждение теоретико-познавательных основ квантовой
механики, в частности, добавлено несколько параграфов, в которых
рассматриваются конкретные вопросы, углубляющие понимание теории;
добавлена глава по теории Паули и глава, посвященная решению
многоэлектронной задачи с приложением к теории атомов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 7
ЧАСТЫ
ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Глава I. Физические и теоретико- 9
познавательные основы квантовой
механики
§ 1. Необходимость введения	9
новых методов и новых понятий
для описания явлений атомного
масштаба
§ 2. Основные черты	9
классического способа описания
явлений
§ 3. Область применимости	11
классического способа описания
явлений Соотношения
Гейзенберга и Бора
§ 4. Относительность к средствам 14
наблюдения как основа
квантового способа описания
явлений
§ 5. Понятие потенциальной	15
возможности в квантовой физике
Глава П. Математический аппарат 18
квантовой механики
§ 1. Квантовая механика и задачи 18
на линейные операторы
§ 2. Понятие об операторе и	19
примеры операторов
§ 3. Оператор, сопряженный к	21
данному. Самосопряженность
§ 4. Произведение операторов.	23
Правило умножения матриц
§ 5. Собственные значения и	26
собственные функции операторов
§ 6. Интеграл Стилтьеса и	29
оператор умножения на
независимую переменную
§ 7. Ортогональность и	31
нормировка собственных функций
§ 8. Разложение по собственным 34
функциям. Замкнутость системы
функций
Глава Ш. Физическое значение	38
операторов
§ 1. Толкование собственных	38
значений оператора

§ 2. Скобки Пуассона	39
§ 3. Операторы для координат и 43
моментов
§ 4. Собственные значения и	46
собственные функции оператора
количества движения
§ 5. Квантовое описание состояния 49
системы
§ 6. Коммутативность операторов 50
§ 7. Момент количества движения 52
§ 8. Оператор энергии	54
§ 9. Каноническое преобразование 57
§ 10. Пример канонического	61
преобразования
§11. Каноническое	63
преобразование как оператор
§ 12. Унитарные инварианты	65
§ 13. Изменение состояния	67
системы во времени. Операторы
как функции от времени
§ 14. Гейзенберговы матрицы	71
§ 15. Полуклассическое	74
приближение
§ 16. Связь канонического	78
преобразования с касательным
преобразованием классической
механики
Глава IV. Вероятностное	84
толкование квантовой механики
§ 1. Математическое ожидание в 84
теории вероятностей
§ 2. Математическое ожидание в 85
квантовой механике
§ 3. Выражение для вероятностей 88
§ 4. Закон изменения	90
математического ожидания во
времени
§ 5. Соответствие между	92
понятиями теории линейных
операторов и теории квантов
§ 6. Понятие статистического	93
коллектива в квантовой механике
ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА
Глава I. Волновое уравнение	96
Шредингера. Пример вибратора
§ 1. Волновое уравнение и	96
уравнения движения
§ 2. Интегралы уравнений	98
движения
§ 3. Уравнение Шредингера для 99
гармонического вибратора
§ 4. Вибратор в одном измерении 101
§ 5. Полиномы Чебышева —	104
Эрмита
§ 6. Каноническое преобразование 107
на примере вибратора
§ 7. Перавенства Гейзенберга	110
§ 8. Зависимость матриц от	113
времени. Сравнение с
классической теорией
§ 9. Элементарный критерий	116
применимости формул
классической механики
Глава П. Теория возмущений	120
§ 1. Постановка задачи	120
§ 2. Решение неоднородного	121
уравнения
§ 3. Простые собственные	124
значения
§ 4. Кратные собственные	126
значения. Разложение по степеням
малого параметра
§ 5. Собственные функции в	128
нулевом приближении
§ 6. Первое и последующие	130
приближения
§ 7. Случай близких собственных 132
значений
§ 8. Ангармонический вибратор 135
Глава Ш. Излучение, теория	138
дисперсии и закон распада
§ 1. Классические формулы	138
§ 2. Плотность и вектор тока	140
§ 3. Частоты и интенсивности	144

§ 4. Интенсивности в сплошном 148
спектре
§ 5. Возмущение атома световой 149
волной
§ 6. Формула дисперсии	152
§ 7. Прохождение частицы сквозь 156
барьер потенциальной энергии
§ 8. Закон распада почти-	159
стационарного состояния
Глава IV. Электрон в поле с	163
центральной симметрией
§ 1. Общие замечания	163
§ 2. Интегралы площадей	164
§ 3, Операторы в сферических	167
координатах. Разделение
переменных
§ 4, Решение дифференциального 169
уравнения для шаровых функций
§ 5. Пекоторые свойства шаровых 173
функций
§ 6. Нормированные шаровые	177
функции
§ 7. Радиальные функции. Общее 179
исследование
§ 8. Описание состояния	183
валентного электрона. Квантовые
числа
§ 9. Правило отбора	185
Глава V. Кулоново поле	192
§ 1. Общие замечания	192
§ 2. Уравнение для радиальных 192
функций водорода. Атомные
единицы меры
§ 3. Решение одной	194
вспомогательной задачи
§ 4. Пекоторые свойства	197
обобщенных полиномов Лагерра
§ 5. Собственные значения и	201
собственные функции
вспомогательной задачи
§ 6. Уровни энергии и радиальные 202
функции точечного спектра для
водорода
§ 7. Решение дифференциального 206
уравнения для сплошного спектра
в виде определенного интеграла
§ 8. Вывод асимптотического	209
выражения
§ 9. Радиальные функции	212
водорода для сплошного спектра
§ 10. Интенсивности в спектре 216
водорода
§11. Явление Штарка. Общие	221
замечания
§ 12. Уравнение Шредингера в 222
параболических координатах
§ 13. Расщепление уровней	225
энергии в электрическом поле
§ 14. Рассеяние ос-частиц.	228
Постановка задачи
§ 15. Решение уравнений	229
§ 16. Формула Резерфорда	232
§ 17, Теорема вириала в	233
классической и квантовой
механике
§ 18. Замечания о принципе	236
наложения и о вероятностном
толковании волновой функции
ЧАСТЬ III
ТЕОРИЯ ПАУЛИ
§ 1. Момент количества движения 239
электрона
§ 2. Операторы полного момента 244
количества движения в
сферических координатах
§ 3. Шаровые функции со спином 247
§ 4. Пекоторые свойства шаровых 251
функций со спином
§ 5. Волновое уравнение Паули 253
§ 6. Преобразование оператора Р к 256
цилиндрическим и сферическим
координатам и выражение через
оператор М
§ 7. Электрон в магнитном поле 262

ЧАСТЬ IV
МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ
ЗАДАЧА КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ И СТРОЕНИЕ
АТОМА
§ 1. Свойства симметрии волновой 266
функции
§ 2. Оператор энергии и его	271
симметрия
§ 3. Метод согласованного поля 273
§ 4. Уравнение для валентного 279
электрона и оператор квантового
обмена
§ 5. Применение метода	281
согласованного поля к теории
строения атома
§ 6. Симметрия оператора энергии 286
водородоподобного атома
ЧАСТЬ V
ТЕОРИЯ ДИРАКА
Глава I. Волновое уравнение	291
Дирака
§ 1. Квантовая механика и теория 291
относительности
§ 2. Классические уравнения	292
движения
§ 3. Вывод волнового уравнения 293
§ 4. Матрицы Дирака	294
§ 5. Уравнение Дирака для	299
свободного электрона
§ 6. Преобразование Лоренца	301
§ 7. Вид матрицы S для	303
пространственного поворота осей
и для преобразования Лоренца
§ 8. Вектор тока	308
§ 9. Уравнение Дирака ири	309
наличии поля. Уравнения
движения
§ 10. Момент количества	312
движения и вектор спина в теории
Дирака
§11. Кинетическая энергия	315
электрона
§ 12. Вторая внутренняя степень 317
свободы электрона
§ 13. Уравнения второго порядка 320
Глава П. Применение уравнения 324
Дирака к некоторым физическим
задачам
§ 1. Свободный электрон	324
§ 2. Электрон в однородном	328
магнитном поле
§ 3. Интегралы уравнений	333
движения в задаче со сферической
симметрией
§ 4. Обобщенные шаровые	335
функции
§ 5. Уравнение для радиальных 338
функций
§ 6. Сравнение с уравнением	540
Шредингера
§ 7. Общее исследование	342
уравнений для радиальных
функций
§ 8. Квантовые числа	347
§ 9. Гейзенберговы матрицы и	349
правило отбора
§ 10. Другой вывод правила	353
отбора
§ 11. Атом водорода. Радиальные 358
функции
§ 12. Тонкая структура	361
водородных линий
§ 13. Явление Зеемана. Постановка 363
задачи
§ 14. Вычисление матрицы	365
возмущающей энергии
§ 15. Расщепление уровней в	368
магнитном поле
Глава Ш. 0 теории позитронов	372
§ 1. Зарядовое сопряжение	372
§ 2. Основные идеи теории	373
позитронов
§ 3. Модель позитронов как	374
незаполненных состоянии
Послесловие	375

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание этой книги отличается от первого главным
образом выделением в отдельную главу нерелятивистской тео-
теории электронного спина (теории Паули) и добавлением новой
главы, посвященной многоЭлектронной задаче квантовой меха-
механики. Кроме этого были внесены в виде отдельных параграфов
результаты некоторых работ автора. Основное же содержание
книги (как математическая теория, так и ее физическое толко-
вание) осталось прежним. Внесены только некоторые новые фор-
формулировки теоретико-познавательного характера (понятия отно-
относительности к средствам наблюдения и потенциальной возмож-
возможности) и в связи с этим выражение «статистическое толкование
квантовой механики» заменено выражением «вероятностное тол-
толкование». Эти новые формулировки вполне гармонируют с преж-
прежними и только уточняют их.
Назначение настоящей книги передается ее заглавием, в ко-
котором слово «начала» можно понимать и как «основные прин-
принципы», и как «начальные сведения».
Мы надеемся, что, несмотря на 40 с лишним лет, протекших
со времени написания книги, изложенный в ней материал не
устарел и книга может быть полезной для тех, кто изучает кван-
квантовую механику.
1974 г.	В. ФОК
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга была задумана как изложение ряда докладов по
теории Дирака, читанных автором в начале 1929 г. для сотруд-
сотрудников Государственного оптического института в Ленинграде.
Первоначальный план был, однако, расширен, и, кроме теории
Дирака, которая рассматривается в третьей части этой книги,
здесь изложены основания квантовой механики (часть I) и тео-
теория Шредингера (часть II).
Из всей обширной области, составляющей предмет теории
квантов, был выбран материал, ограниченный довольно узко

8	ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
в двух направлениях. Во-первых, здесь рассмотрены лишь ос-
основы и простейшие применения квантовой механики. В книгу
включено лишь то, что относится к задаче одного тела; кван-
квантовая же задача многих тел и изложение основного в этой
задаче принципа Паули уже выходит из рамок этой книги. Во-
вторых, автор стремился ограничиться изложением той части
теории, которая является ныне твердо установленной, т. е. кван-
квантовой механикой в собственном смысле; квантовая же электро-
электродинамика, не получившая еще своего завершения, в этой книге
не рассматривается.
Основной целью автора было ввести читателя в новый круг
идей, столь сильно отличающийся от привычного круга идей
классической теории. Автор стремился избегать заимствованных
из классической теории картин, не применимых в квантовой
физике, взамен чего он пытался сделать для читателя основные
представления о квантовом описании состояния атомной си-
системы по возможности понятными и привычными.
Что касается принятого способа изложения, то автор пола-
полагал, что достаточно подробное рассмотрение математической
части задачи скорее облегчает, чем затрудняет понимание, так
как оно устраняет математические затруднения, могущие воз-
возникнуть у читателя, который может поэтому сосредоточить свое
внимание на физической стороне зад-ачи.
При составлении книги автор имел в виду студентов физиков
и математиков старшего курса, а также лиц, обладающих до-
достаточной математической подготовкой.
Ленинград,	В. Фок
Оптический институт,
Август 1931 г.

Часть I
ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Необходимость введения новых методов
и новых понятий для описания явлений атомного масштаба
Квантовая механика возникла в первые десятилетия нашего
века на основе изучения явлений атомного масштаба. Строение
атома, свойства электронов и атомного ядра, самый факт устой-
устойчивости системы, состоящей из положительно заряженного ядра
и отрицательно заряженных электронов, излучение атомов и
молекул, наконец, явление дифракции электронов — все эти
свойства и явления требуют для своего объяснения существенно
новых идей и новых физических понятий, отличных от идей и
понятий классической физики.
Точная формулировка новых понятий требует применения
математического аппарата, с которым мы познакомимся в сле-
следующих главах этой книги. Но принципиальное отличие кван-
квантовой механики от классической мы попытаемся разъяснить уже
в этой вводной главе.
§ 2. Основные черты классического способа
описания явлений
Основная черта классического способа описания явлений
состоит в допущении полной независимости физических процес-
процессов от условий наблюдения. В классической физике предпола-
предполагается, что всегда можно «подсмотреть» явление, не вмешиваясь
в него и не влияя на него. Правда, если «подсматривать» физи-
физический процесс с разных точек зрения (и соответственно описы-
описывать его в разных системах отсчета), то вид его будет различ-
различным. Так, движение при свободном падении тела может ока-
оказаться в одной системе отсчета прямолинейным, а в другой —
происходящим по параболе. Но зависимость формы явления от
движения системы отсчета учитывалась всегда; учет этой

10	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
симости достигается путем простого пересчета от координат
одной системы отсчета к координатам другой. Изменение формы
явления, допускающее такой учет, очевидно, не вносит в ход
самого явления ничего нового; поэтому в классической физике
можно говорить о независимости самого явления от способа
наблюдения.
Квантовая механика показала, однако, что в случае микро-
микропроцессов это будет уже не так; там самая возможность наблю-
наблюдения предполагает наличие определенных физических уело*
вий, которые могут оказаться связанными с сущностью явления.
Задание этих условий не сводится к указанию применяемой
системы отсчета, а требует более детальной их характери-
характеристики.
Пренебрежение этим обстоятельством представляет собой
абстракцию, которую можно назвать абсолютизацией фи-
физического процесса. Если ее принять, то становится возможным
рассмотрение физических процессов как происходящих самих по
себе, вне зависимости от того, существует ли принципиальная
возможность их наблюдения (т. е. выполняются ли необходимые
для их констатации физические условия).
Применение этой абстракции вполне допустимо при изучении
явлений крупного (макроскопического) масштаба, по отноше-
отношению к которым воздействие, связанное с измерением, практи-
практически не играет никакой роли. Абсолютизация таких явлений и
процессов представлялась настолько естественной, что до воз-
возникновения квантовой механики никогда явно не оговаривалась.
Считалось само собой разумеющимся, что всякий физический
процесс происходит «сам по себе». Это чрезвычайно упрощала
описание физических процессов, поскольку отпадала необходи-
необходимость особо характеризовать условия наблюдения.
Вся классическая физика основана на абсолютизации поня-
понятия физического процесса. Эта абстракция является одной из ее
характерных черт.
Дальнейшей абстракцией является допускаемая в классиче-
классической физике возможность неограниченно уточнять наблюдение.
Под уточнением мы разумеем здесь не только более точное из-
измерение данной величины, но и одновременное измерение по-
помимо данной еще и любой другой величины, относящейся к на-
наблюдаемому объекту или явлению; такого рода уточнение можно
назвать детализацией измерения. Даже в тех случаях, когда
измерение разных величин требует неодинаковых условий на-
наблюдения, классическая физика признает возможным комбини-
комбинировать данные, полученные при неодинаковых условиях, в еди^
ную картину, описывающую изучаемый физический процесс.
Такое допущение возможности одновременного охвата разных
сторон и разных характеристик поведения объекта в данном

¦5 3]	ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ	И
физическом процессе логически связано с допущением незави-
независимости физического процесса от условий наблюдения, т. е. с его
абсолютизацией.
Представления классической физики приводят к мысли о воз-
возможности не только абсолютного, но и исчерпывающего описа-
описания состояния движения физической системы (с определенными
¦степенями свободы). При этом исчерпывающее описание состоя-
состояния («самого по себе») предполагается достижимым в резуль-
результате полной детализации наблюдений; после того как это до-
достигнуто, никакие дальнейшие наблюдения ничего нового при-
прибавить не могут.
§ 3. Область применимости классического способа
описания явлений. Соотношения Гейзенберга и Бора
Такие фундаментальные факты, как двойственная корпуску-
лярно-волновая природа света и частиц материи, убедительно
говорят о том, что классический способ описания явлений
к микрообъектам неприменим. Вместе с тем мы не можем его
просто отбросить, так как для объективного описания явлений
нам необходимо опираться, прямо или косвенно, на что-то не
требующее оговорок о способе наблюдения, а таковым является
как раз «абсолютный» способ описания, принятый в классиче-
классической физике.
Чтобы разумно применять классический абсолютный способ
описания, нужно прежде всего установить его пределы. Если
предполагать известным математический аппарат квантовой ме-
механики, то классические соотношения получаются из него как
некоторое приближение, а пределы применимости классического
способа описания получаются как условия применимости этого
приближения. Но в наших рассуждениях мы исходим из клас-
классической механики и можем пользоваться лишь простейшими
квантовыми соотношениями.
Рассмотрим простейшее явление — движение материальной
точки массы т. По классической механике состояние движения
материальной точки определяется для каждого момента времени
значениями ее координат х, у, z и составляющих количества
движения (импульса) рх, ру, рг- Было бы, однако, неправильно
рассматривать совместные значения тех и других величин, не
учитывая возможности их измерения; последние же лимити-
лимитируются квантовыми эффектами.
Как показал Гейзенберг (Heisenberg), локализация частицы
в какой-либо малой области пространства требует физических
условий, неблагоприятных для измерения ее количества движе-
движения (т. е. для локализации частицы в пространстве импуль-
импульсов), и, наоборот, условия, необходимые для точного измерения

12	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
количества движения частицы, исключают возможность локали-
зации ее в малой области пространства.
Квантовые эффекты, ограничивающие возможности измере-
измерения, проявляются, например, при взаимодействии частицы
с квантами света, облучающими частицу. Здесь существенно то,
что фотон, характеризуемый волновыми параметрами, является
в то же время носителем определенной энергии и количества
движения, т. е. обладает свойствами «частицы света». Волно-
Волновыми параметрами являются: частота v (или угловая частота
со = 2nv), длина волны % = c/v (где с — скорость света) и вол-
волновой вектор k, задающий направление распространения волны,
причем абсолютная величина его равна k =-?- = -^~ = — .
Если обозначить деленную на 2я постоянную Планка (Planck) h
через Ъ (так что h = 2пЬ), то энергия фотона Е и его количе-
количество движения р будут связаны с волновыми параметрами со-
соотношениями
Е = Ла, p = hk = ^-,	A)
где постоянная ft равна
h = 1,054 ¦ КГ27 эрг-сек.	B)
Из соотношений A) вытекает, что малая длина волны света,
благоприятная для локализации частицы в пространстве коорди-
координат, означает применение фотонов, несущих большую энергию
и способных сообщать частице большой толчок (большой им-
импульс) и тем самым сильно нарушающих ее локализацию в про-
пространстве импульсов; применение же фотонов малых энергий
означает использование света большой длины волны, что при-
приводит к расширению всех дифракционных полос и к уменьше-
уменьшению точности локализации частицы в обычном (координатном)
пространстве.
Соотношения A) связывают волновые и корпускулярные
свойства фотона: их правые части содержат величины со и k,
определяемые из интерференционных явлений, а левые части —
Е и р — характеризуют фотон как частицу.
Эти соотношения отображают, таким образом, корпуску-
лярно-волновой дуализм фотона как световой частицы. Корпу-
скулярно-волновой дуализм оказывается общим свойством не
только фотонов, но и всех частиц вообще. Это позволяет согла-
согласовать между собой представление об электронах как о частицах
с представлением о них как о волнах материи. Идея о волновой
природе материи была впервые выдвинута де Бройлем (de
Broglie) и нашла себе затем экспериментальное подтверждение
в явлении дифракции электронов. Более строгая формулировка

§3]	ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ	13
этой идеи заключена в надлежащим образом истолкованном
математическом аппарате квантовой механики.
Результат приведенных выше рассуждений Гейзенберга от-
относительно ограничения возможности измерений может быть
выражен в виде неравенств
^h,	C)
где величины Ах, Дг/, Az характеризуют размеры области лока-
локализации в пространстве координат х, у, z, а величины Арх, Ару,
Арг — размеры области локализации в пространстве импуль-
импульсов рх, ру, pz. Эти неравенства носят название неравенств Гей-
Гейзенберга. Они показывают, что частица по своей природе не
допускает одновременной локализации в координатном и в им-
импульсном пространстве.
Неравенства Гейзенберга иногда называют также соотноше-
соотношениями неопределенности Гейзенберга, разумея под неопределен-
неопределенностью в координатах (Ах, Дг/, Дг) и в соответствующих состав-
составляющих импульса (Арх, Apv, Apz) величины, характеризующие
их области локализации в соответствующих пространствах.
К неравенствам Гейзенберга C) можно присоединить соот-
соотношение
Д^Д (?'-?)> ft,	D)
связывающее неопределенность в изменении энергии (?" — Е)
частицы с неопределенностью в моменте времени, когда это из-
изменение произошло. Согласно соотношению D), акт переноса
энергии не может быть точно локализован во времени. Соотно-
Соотношение D) может быть названо соотношением Гейзенберга —
Бора (Bohr).
Соотношениями Гейзенберга и Бора C) и D) характеризуют
область классического («абсолютного») способа описания яв-,
лений. Ввиду малости постоянной Планка этот способ бесспорно
применим к макроскопическим телам и их взаимодействиям. Но
этим не ограничивается его значение. Он играет важную роль и
в описании квантовых процессов, поскольку применяется к тем
приборам, показания которых позволяют изучать атомные
объекты. Условия опыта (также и над атомными объектами)
всегда описываются классическим, «абсолютным» способом.
Приборы и средства наблюдения, включая органы чувств
человека (которые как бы играют роль приборов, вмонтирован-
вмонтированных в человеческий организм), являются необходимыми посред-
посредниками между человеческим сознанием и. изучаемыми атомными
объектами. Мы можем теперь уточнить понятие средств наблю-
наблюдения, указав способ их описания. Средства наблюдения дол-
о%ны описываться на основе классических абстракций, но с уче-
учетом соотношений Гейзенберга и Бора.

14	ОСНОВАНИЯ КВАНТОПОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
§ 4. Относительность к средствам наблюдения
как основа квантового способа описания явлений
Новый, квантовый способ описания явлений должен учиты-
учитывать реальные возможности измерений, связанных с микрообъек-
микрообъектами. Мы не должны приписывать объектам таких свойств (и
таких состояний движения), констатация которых принципиаль-
принципиально невозможна. Поэтому следует обратить особое внимание на
условия, необходимые для такой констатации. Мы должны
учесть устройство и действие приборов, создающих те физиче-
физические условия, в которых находится объект. Как мы уже гово-
говорили выше, приборы и внешние условия должны описываться
классически, путем задания параметров, их характеризующих.
Разумеется, эти параметры могут задаваться лишь с точностью,
допускаемой неравенствами Гейзенберга; иначе мы выйдем за
пределы реальных возможностей устройства приборов.
Микрообъект проявляет себя во взаимодействии с прибором.
Например, путь частицы становится видимым только в ре-
результате необратимого лавинного процесса в камере Вильсона
или в слое фотопластинки (при этом частица тратит энергию на
ионизацию воздуха или фотослоя, так что ее количество движе-
движения становится неопределенным). Результаты взаимодействия
атомных объектов с классически описываемым прибором и яв-
являются теми основными экспериментальными элементами, си-
систематизация которых на основе тех или иных предположений
о свойствах объекта составляет задачу теории: из рассмотрения
таких взаимодействий выводятся свойства атомного объекта,
а предсказания теории формулируются как ожидаемые резуль-
результаты взаимодействий.
Такая постановка задачи вполне допускает введение вели-
величин, характеризующих самый объект независимо от прибора
(заряд, масса, спин частицы, а также другие свойства объекта,
описываемые квантовыми операторами), но в то же время допу-
допускает разносторонний подход к объекту: объект может харак-
характеризоваться с той его стороны (например, корпускулярной или
волновой), проявление которой обусловлено устройством при-
прибора и создаваемыми им внешними условиями.
Новая постановка задачи позволяет рассматривать тот слу-
случай, когда разные стороны и разные свойства объекта не прояв-
проявляются одновременно, т. е. когда невозможна детализация по-
поведения объекта. Это будет так, если для проявления разных
свойств объекта (например, способности электрона к локализа-
локализации в пространстве и его способности к интерференции) тре-
требуются несовместимые внешние условия.
По предложению Бора, можно назвать дополнитель-
дополнительными те свойства, которые проявились бы в чистом виде лишь

§ 51	ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ	15
в разных опытах, произведенных при взаимоисключающих ус-
условиях, а при условиях, осуществимых в одном и том же опыте,
проявляются лишь в неполном, «смягченном» виде (например,
допускаемая неравенствами Гейзенберга неполная локализация
в координатном и в импульсном пространстве). Рассматривать
одновременное проявление дополнительных свойств (в их чистом
виде) не имеет смысла; этим и объясняется отсутствие противо-
противоречия в понятии «корпускулярно-волновой дуализм».
Положив в основу нового способа описания результаты взаи-
взаимодействия микрообъекта с прибором, мы тем самым вводим
важное понятие относительности к средствам на-
наблюдения, обобщающее давно известное понятие относитель-
относительности к системе отсчета. Такой способ описания отнюдь не озна-
означает, что мы приписываем объекту меньшую степень реальности,
чем прибору, или что мы сводим свойства объекта к свойствам
прибора. Напротив, описание на основе понятия относительности
к средствам наблюдения дает гораздо более глубокую и тонкую
объективную характеристику микрообъекта, чем это было воз-
возможно на основе идеализации классической физики. Такая ха-
характеристика требует и более развитого математического аппа-
аппарата — теории линейных операторов, их собственных значений
и собственных функций, теории групп и других математических
понятий. Применение этого аппарата к проблемам квантовой
физики позволило дать теоретическое объяснение ряда фунда-
фундаментальных свойств материи, не поддававшихся объяснению на
основе классических представлений, а также позволило теорети-
теоретически определить значения многих наблюдаемых на опыте вели-
величин (например, частот атомных спектров). Но кроме того,—
и это для нас не менее важно — физическое толкование исполь-
используемых в аппарате квантовой механики математических понятий
приводит к ряду глубоких принципиальных выводов, и, в част-
частности, к обобщению понятия состояния системы на основе поня-
понятий вероятности и потенциальной возможности.
§ 5. Понятие потенциальной возможности
в квантовой физике
Приняв за источник наших суждений о свойствах объекта
акт взаимодействия объекта с прибором и учитывая при описа-
описании явлений относительность к средствам наблюдения, мы вво-
вводим в описание атомного объекта, его состояния и поведения
существенно новый элемент — понятие вероятности, а тем самым
и понятие потенциальной возможности. Необходимость рассма-
рассматривать понятие вероятности именно как существенный элемент
описания, а не как признак неполноты наших знаний вытекает
уже из того факта, что при данных внешних условиях результат

16	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
взаимодействия объекта с прибором не является, вообще говоря,
предопределенным однозначно, а обладает лишь некоторой ве-
вероятностью. При фиксированном начальном состоянии объекта
и заданных внешних условиях серия таких взаимодействий при-
приводит к статистике, соответствующей определенному распределе-
распределению вероятностей. Это распределение вероятностей отражает
объективно существующие при данных условиях потенциальные
возможности.
Рассмотрим такой опыт над данной физической системой, ко-
который позволил бы делать прогнозы о результатах будущих
взаимодействий с различного рода приборами. Такого рода на-
начальный опыт должен включать в себя определенное приготов-
приготовление системы (например, приготовление пучка электронов оп-
определенной энергии) и создание определенных внешних условий,
в которых система будет находиться после приготовления (на-
(например, пропускание пучка электронов сквозь кристалл). Иногда
целесообразно рассматривать приготовление и создание внеш-
внешних условий как две различные стадии опыта, но можно рас-
рассматривать их и как единый начальный опыт, цель которого —
получение прогнозов. Начальный опыт всегда обращен к б у-»
дущему.
Способ приготовления и внешние условия в начальном опыте
описываются классически, но его результат, который должен
давать полную характеристику существующих при данных ус-
условиях потенциальных возможностей, требует для своей фор-
формулировки уже новых, квантовомеханических средств. Чтобы
представить себе, какие задачи должны выполняться этими
средствами, рассмотрим, как реализуются существующие при
данных условиях потенциальные возможности.
Прежде всего нужно иметь в виду, что заключительный опыт,
в котором они реализуются, может быть поставлен по-разному:
устройства регистрирующего прибора в этом опыте могут быть
различными (и притом они, как правило, будут исключать друг
друга). Как и в начальном опыте, устройство и действие при-
прибора описываются классически. Варианты заключительного
опыта и соответствующие устройства приборов могут быть оха-
охарактеризованы типом величин (координаты, количество движе-
движения и т. п.), для измерения которых они приспособлены.
Таким образом, при данном начальном опыте существует
прежде всего возможность выбрать для заключительного опыта
тот или иной тип прибора. В любом случае заключительный
опыт обращен кпрошлому (а не к будущему, как начальный
опыт) и его можно называть поверочным опытом, поскольку
он позволяет поверять прогнозы, даваемые начальным опытом.
Положим, что тип поверочного опыта выбран. Как форму-
формулируется его результат? Здесь нужно все время помнить, что

§ 5]	ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ	17
речь идет у нас о потенциальных возможностях, соз-
создаваемых в начальном опыте и реализуемых в поверочном
опыте. При данном выборе типа поверочного опыта эти потен-
потенциальные возможности формулируются как распределение ве-
вероятностей для данной величины (точнее, для могущих быть
полученными в поверочном опыте значений данной величины).
Таким образом, опытной проверке подлежит распределение ве-
вероятностей. Ясно, что такая проверка может быть достигнута
не единичным измерением, а лишь путем многократного повто-
повторения всего опыта (при одном и том же способе приготовления
объекта и одних и тех же внешних условиях). Получаемая в ре-
результате многократного повторения статистика и позволяет су-
судить о подлежащем исследованию распределении вероятностей.
Полный опыт (т. е. опыт, доведенный до конца и позволяю-
позволяющий сравнение с теорией) состоит из совокупности начального
и поверочного опытов, притом не однократных, а повторенных
много раз. Здесь уместно еще раз напомнить, что при данном
начальном опыте (при данных начальных условиях) заключи-
заключительный опыт может быть поставлен различным образом (в нем
могут измеряться различные величины) и для каждого типа
заключительного опыта существует свое распределение вероят-
вероятностей.
Таким образом, перед теорией стоит задача так характери-
характеризовать начальное состояние системы, чтобы из него можно было
получать распределения вероятностей для любого типа заклю-
заключительного опыта. Тем самым будет получена полная характери-
характеристика вытекающих из начального опыта потенциальных воз-
возможностей.
Поскольку заключительный опыт может относиться не к тому
же моменту времени, как начальный, а к более позднему, теория
должна давать также зависимость вероятностей и потенциаль-
потенциальных возможностей от времени. Установление такой зависимости
будет играть ту же роль, как и установление законов движения
в классической физике.

Г л а в а II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Квантовая механика и задачи на линейные операторы
Важным шагом на пути к созданию современной квантовой
механики было установление Бором двух постулатов, характе-
характеризующих свойства атомных систем.
Первый постулат Бора утверждает существование стацио-
стационарных состояний атомов и атомных систем, в которых они не
излучают и не поглощают энергию. В этих состояниях атомные
системы обладают энергиями, образующими дискретный ряд
Еи Е2, ..., Еп, . . . (уровни энергии).
Согласно второму постулату Бора, излучение, испускаемое
или поглощаемое атомной системой при переходе с уровня энер-
энергии Ет на уровень Еп, монохроматично, и его частота v опреде-
определяется из условия
Ет — Еп = hv,
где h есть постоянная Планка.
Эти постулаты резко противоречат требованиям классиче-
классической механики и электродинамики, но полностью подтверж-
подтверждаются на опыте.
Естественной поэтому является идея заменить классическую
теорию такой, какая гармонировала бы с постулатами Бора и
представляла бы логически стройную систему.
Задача об определении стационарных состояний атома, ха-
характеризуемых определенными значениями энергии (и некото-
некоторых других постоянных интеграции), представляет аналогию
с теми задачами математической физики, в которых определен-
определенные состояния системы выделяются из ряда остальных. Это —
задача на собственные колебания и, общее, на линейные опе-
операторы и их собственные значения (Eigenwertprobleme). В за-
задачах такого типа ряд значений данной величины сам собой
выделился бы из других мыслимых значений. Такого рода обос-
обоснование идеи квантования осуществляет квантовая механика,
начиная с основополагающей работы Шредингера (Schrodinger)

§ 2]	ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАТОРЕ И ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ	19
1926 года о квантовании как задаче на собственные значения
операторов. Квантовая механика сопоставляет каждой механи-
механической величине определенный линейный оператор, и математи-
математический аппарат, которым она пользуется, есть учение о линей-
линейных операторах.
§ 2. Понятие об операторе и примеры операторов
Подобно тому, как функция есть рецепт, позволяющий по
данному числу х найти другое число у = f(x), так оператор есть
рецепт, позволяющий по заданной функции <р(х) вычислить дру-
другую функцию
!!>(*)= МфМ].	A)
Линейным оператором называется такой, который обла-
обладает следующими свойствами:
L (Ф1 + Фа) = L Ы + L (фа),
где фь ф2, ф — произвольные функции и а — произвольная по-
постоянная. Мы будем иметь дело только с линейными операто-
операторами, поэтому можно не прибавлять каждый раз слова «линей-
«линейный».
Объектами применения операторов могут быть функции од-
одной или нескольких переменных как непрерывных (например,
координата), так и прерывных, принимающих только отдельные
значения (например, уровень энергии или его номер). Непре-
Непрерывные переменные могут либо принимать все значения, либо
меняться в определенном промежутке. Прерывные переменные
могут принимать как бесконечный, так и конечный ряд значений.
Независимые переменные мы будем всегда предполагать веще-
вещественными; функции же, к которым применяются операторы,
будут у нас, вообще говоря, комплексными.
Задавая оператор, нужно прежде всего указать, к функциям
от каких переменных он применяется.
Типичными операторами, действующими над функцией от не-
непрерывной переменной х, являются: умножение на х и диффе-
дифференцирование по х:
L[f{x)] = xf(x), L[f(x)] = -^f(x).
В случае умножения на х переменная х играет двоякую роль:
она входит, во-первых, как аргумент в f(x) и, во-вторых, как
оператор. Весьма часто встречается в физике оператор Лапласа
(Laplace), который обозначается обычно символом А

20	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЧ. I
Некоторые линейные операторы могут быть представлены
в виде определенного интеграла
ь
Lf{x)=\K{x,l)f{l)dl.	C)
а
В таком случае функция К(х, |) называется ядром опера-
оператора. В качестве примера ядра приведем решение уравнения
Пуассона (Poisson)
AF f
Если функция f(x, у, z) задана во всем пространстве и если пре«
дельные условия для F суть: F = 0 на бесконечности, то реше-
решение уравнения Пуассона, как известно, дается формулой
F(x, у, z) = G[f(x, у, Z)]=--L
Мы видим, что оператор G имеет ядро, равное
1	1
Anr	An V(* - IJ + (У - г)Г + (г - If '
Если из уравнения
L(F) = f	D)
и надлежащих предельных условий вытекает уравнение
M{f)^F,	E)
то операторы L и М называются обратными. В нашем при-
примере обратными являются операторы Д и G.
Если переменная принимает только отдельные значения, их
всегда можно перенумеровать: поэтому функцию от прерывной
переменной всегда можно представить как функцию от целого
числа — номера значения этой переменной. Всякий оператор,
действующий над функцией fn от целого числа п (точнее, ре-
результат его применения к этой функции), может быть представ-
представлен в виде суммы
Lfn — 2j Knmftn-	F)
m
Совокупность коэффициентов Кпт называют «матрицей»
этого оператора и говорят, что оператор представлен в виде
матрицы. Последняя формула представляет полную аналогию
с формулой C), причем роль ядра играет здесь матрица {Кпт)-

§ 3]	ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫЙ К ДАННОМУ	21
§ 3. Оператор, сопряженный к данному. Самосопряженность
Каждому линейному оператору L можно привести в соответ-
соответствие некоторый другой оператор L+, который удовлетворяет
определенному функциональному уравнению и называется «со-
«сопряженным» к данному оператору*); мы будем обозначать его
той же буквой, что и данный оператор, но с прибавлением
креста наверху (L+).
Общее определение сопряженного оператора может быть
сделано следующим образом.
Положим, даны две функции fug, удовлетворяющие неко-
некоторым общим условиям, которые будут указаны ниже,
а в остальном совершенно произвольные. Функциональное урав-
уравнение, из которого определяется сопряженный оператор L+,
имеет вид
][gL(f)-L+(g)f]dx = O,	A)
если независимые переменные непрерывны, и
тп
если они прерывны. В первой формуле интегрирование, а во вто-
второй — суммирование распространяются на все значения незави-
независимых переменных в данной области. Символ dx в первой фор-
формуле есть элемент объема области. Чертой сверху мы обозна-
обозначаем комплексные сопряженные величины. Общие условия для f
и g, о которых мы упоминали, состоят в следующем. Функции f
и g, во-первых, должны быть таковы, чтобы написанные суммы
и интегралы имели смысл, т. е. были сходящимися, и, во-вторых,
должны удовлетворять предельным условиям, вообще говоря,
различным, смотря по виду оператора L.
Если оператор L+ совпадает с L, то последний называется
самосопряженным.
В случае прерывной переменной оператор L может быть
представлен в виде F) § 2 и формула A*) примет вид
	?+ Л п f =0	B)
тп
Чтобы это равенство имело место тождественно при любых
fug, необходимо, чтобы коэффициент при каждом произведе-
произведении gnfm равнялся нулю. Приравнивая нулю величину комплекс-
*) В математической литературе употребляются также термины «присо-
«присоединенный» и «союзный».

22	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
ную сопряженную, получим следующее выражение для элемен-
элементов матрицы сопряженного оператора:
Лтга^Лвт»	(о)
Для самосопряженности оператора необходимо и достаточно,
чтобы элементы его матрицы удовлетворяли условию
Ктп = Кпт.	C*)
Такая матрица называется Эрмитовой (Hermite). Если распо-
расположить ее элементы в виде таблицы так, чтобы первый их зна-
значок давал номер строки, а второй — номер столбца, то все эле-
элементы на главной диагонали (т. е. с одинаковыми значками)
будут вещественны, а каждые два элемента, лежащие симме-
симметрично относительно главной диагонали, будут представлять
комплексные сопряженные величины.
Рассмотрим случай одной непрерывной переменной и поло-
положим, что оператор L имеет ядро К(х, |). Обозначая ядро сопря-
сопряженного оператора через К+(х, I) и пользуясь формулой C)
§ 2, можем написать условие сопряженности A) в виде
\ \ [К (х, I) - К+ (|, jc)] g (x) f (g) dx d\ = 0.	D)
Чтобы это равенство имело места для любых двух функций f
и g, необходимо, чтобы множитель при них под интегралом
равнялся нулю. Отсюда получаем следующее выражение для
ядра сопряженного оператора через ядро данного:
K+{x,l) = KKxj-	E)
Таким образом, ядро сопряженного оператора получается из
ядра данного перестановкой аргументов и переходом к ком-
комплексной сопряженной величине. Условие самосопряженности
имеет вид
К(х, 1) = КA, х).	E*)
Совершенно аналогично определяется ядро сопряженного
оператора в случае нескольких независимых переменных. В при-
примере, рассмотренном нами в предыдущем параграфе, ядро опе-
оператора G, обратного оператору Лапласа, не меняется при пере-
перестановке координат двух точек х, у, z и \, т), ?. так как, сверх
того, это ядро вещественно, то оператор G самосопряженный.
Если обратный оператор самосопряженный, то и данный опе-
оператор тоже самосопряженный. В частности, таковым должен
быть и оператор Лапласа; это легко проверить непосредственно,
пользуясь нашей общей формулой A).
Мы имеем, в обычных векториальных обозначениях,
g • А/ — Д? • / = div \g grad / — (grad g) f],	F)

§ 4)	ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ	23^
поэтому, если / и g обращаются в нуль на бесконечности, то
J [д • Л/ - Л? • /] dx = Jdiv [д grad f - (grad д) f]dx = 0 G)
по теореме Гаусса (Gauss).
Рассмотрим еще один пример. Положим
и найдем сопряженный оператор. Имеем
если только f = g = O на концах промежутка. Поэтому мы
можем положить
Таким образом, наш оператор L не является самосопряженным.
Но если мы умножим его на чисто мнимую постоянную, напри-
например на —i, то новый оператор
уже будет самосопряженным.
§ 4. Произведение операторов. Правило умножения матриц
Произведением двух операторов К и L называется опера-
оператор, состоящий в последовательном применении операторов К
и L. Если сперва применяется оператор L, а затем К, произве-
произведение их М записывается в виде
M = KL.
Если же сперва применяется К, а затем L, то произведение их
будет
N = LK.
Очевидно, что операторы М и N, вообще говоря, будут раз-
различны, так что произведение операторов зависит от порядка
множителей.
Положим, например, что К есть оператор умножения на х,
a L — оператор дифференцирования по х
KMx-f, Lf = ^.	A),

24	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
В этом случае будем иметь
x^,	B)
тогда как
Nf=LKf = -iL{xf) = xV_ + f.	C)
Мы видим, что в нашем примере KL Ф LK, причем
так что разность LK.—K.L в нашем случае есть оператор
умножения на единицу
LK-KL=\.	D)
Может случиться, что произведение операторов не зависит от
порядка множителей. В таком случае говорят, что операторы
обладают свойством переместительности или коммутативно-"
сти или, короче, — что они коммутируют друг с другом. В каче-
качестве примера коммутативных операторов можно указать опера-
операторы дифференцирования по двум независимым переменным.
Найдем оператор, сопряженный к произведению
M = KL..	E)
Мы имеем
Положим
Lf = f\
Тогда предыдущее выражение будет равно
по определению оператора К+• Положим далее
K+g = g'.
Тогда
\ (K+g) f'dT=\ g'Lf dx = \ ZV/ dx
по определению L+. Подставляя вместо g' его выражение, полу-
получим окончательно
\gKLfdx=\j(L+K+g)fdx.	F)
Сравнивая это равенство с определением сопряженного опера-»

§ 4)	ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ	25-
тора
\gMfdx=\(M+g)fdx,
получим
M+ = L+K+	G)
или
(KL)+ = L+K+.	(8)
Таким образом, оператор, сопряженный к произведению, ра-
равен произведению сопряженных операторов, взятых в обрат-
обратном порядке.
Если операторы К и L самосопряженные, то их произведе-
произведение, вообще говоря, не будет самосопряженным, так что
Если же самосопряженные операторы К и L перемести-
тельны, то и произведение их будет самосопряженным.
Рассмотрим произведение двух операторов, имеющих ядра
К(х, I) и L(x, |). Имеем
Lf=\L(x, l)f(l)dt, KLf=\K(x, S,)dgi$L(g,, l)f{l)dl.
Выполняя сперва интегрирование по %{ и вводя обозначение
,l)dtl,	(9)
можем предыдущую формулу написать в виде
dl.	A0)
Таким образом, произведение операторов KL имеет ядро, оп-
определяемое формулой (9).
Рассмотрим теперь произведение двух операторов, действую-
действующих над функцией от прерывной переменной и могущих быть
представленными в виде матриц.
Мы имеем
Щ)п = ^У„ (Kg)n = Z Knig,.	A1)
Если мы положим
§ = Ц,	A2)
то получим
или
(f Zfi,	A3)

26	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Т
где
(KL)nl = Y,Ka,Llt.	A4)
Эта формула дает правило умножения матриц. Элементы
-строки номер п матрицы К (стоящей слева) множатся на эле-
элементы столбца номер i матрицы L (стоящей справа).
Рассмотрим матрицу U с элементами Uih удовлетворяющими
условиям
ZutiU,k = bik, ZUuUtk = bik,	A5)
где, согласно принятому нами обозначению C) § 3,
Ut/=Uii.	A6)
Пользуясь правилом умножения матриц, мы можем записать
предыдущие равенства в виде
U+U=l, Ш+=1,	A7)
где под единицей следует разуметь единичную матрицу. Мат-
Матрица, удовлетворяющая условиям A7), называется унитар-
унитарной матрицей, а соответствующий оператор — унитар-
унитарным оператором.
Унитарный оператор обладает следующим свойством. Поло-
Положим
8 = Uf	A8)
или
gn=Zualft	A8*)
и составим сумму
Zgngn-Zutnujtfr
Пользуясь свойством A5), будем иметь
Z§ngn = Z~fifi.	A9)
п	i
Таким образом, унитарный оператор оставляет сумму A9) ин-
инвариантной.
§ 5. Собственные значения и собственные функции операторов
Основной задачей в теории операторов является исследова-
исследование уравнения
Ц = Ц,	A)
где к есть постоянная. Оператор L предполагается здесь «нор-

§ 5]	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ	27
мальным», т. е. удовлетворяющим условию
LL+ = L+L.	B>
Самосопряженный оператор является, очевидно, частным слу-
случаем нормального.
Линейное уравнение, которому можно удовлетворить, поло-
положив неизвестную функцию равной нулю, называется линейным
однородным уравнением; в частности, таковым является
наше уравнение A). При исследовании его приходится рассма-
рассматривать также и предельные условия для функции /, причем
эти условия тоже однородны, т. е. таковы, что им удовлетво-
удовлетворяет / = 0. Однородное уравнение с однородными предель-
предельными условиями составляют так называемую однородную
задачу.
При произвольном значении параметра Я однородная задача,
вообще говоря, не имеет решения, отличного от очевидного ре-
решения: / = 0 тождественно. Решение существует лишь при не-
некоторых определенных значениях Я; эти значения могут пред-
представлять либо ряд отдельных чисел ко, Х\, Яг, • • ¦, либо все числа
в некотором сплошном промежутке. Эти исключительные значе-
значения параметра Я мы будем называть собственными зна-
значениями оператора, а соответствующие им решения
однородной задачи — собственными функциями. В ма-
математической литературе приняты другие термины, а именно,
«характеристические числа» и «фундаментальные функции»; эти
термины не являются, однако, удобными для физических прило-
приложений. Совокупность собственных значений данного оператора
называется его спектром, при этом ряд отдельных собствен-
собственных значений называется точечным спектром, а собственные
значения, лежащие в сплошном промежутке, — сплошным
спектром. Собственные функции, принадлежащие к точечному
спектру, обладают тем свойством, что сумма
Lff
или интеграл
\ffdr,
распространенные на все значения независимых переменных,,
сходятся и представляют конечные числа, тогда как для соб-
собственных функций, принадлежащих к сплошному спектру, эти
выражения обращаются в бесконечность. В последнем случае
рассматривают, вместо самих собственных функций, их инте-
интегралы по параметру Я, взятые по бесконечно малому участку
сплошного спектра; если в предыдущих формулах подставить

28	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
вместо / такой интеграл, то получатся выражения, которые
остаются конечными.
Докажем следующую общую теорему.
Собственные значения самосопряженного оператора веще-
вещественны.
Пусть / есть решение уравнения A). Умножим обе части
уравнения на f и возьмем сумму или интеграл по всем значе-
значениям независимых переменных. Мы получим
или
откуда
X — у , ,	C)
или
[ fLf dx
х = 4	.	(з*)
fdx
Знаменатель дроби для X есть, очевидно, вещественное поло-
положительное число. Покажем, что и числитель его — число веще-
вещественное. В самом деле, мнимая часть числителя равна
или
2/
T\\fLf-(Lf)f]dx,
а это выражение, по определению самосопряженного оператора,
равно нулю. Следовательно, числитель, а значит, и все выраже-
выражение для X вещественно, что и требовалось доказать.
В некоторых случаях формула C) позволяет судить и о знаке
собственных значений оператора. Выпишем формулу C*) для
оператора Лапласа. Имеем
/±fdx	\ grad / • gfrad / dx
J
Оба интеграла в последней дроби положительны, а перед дробью
стоит знак минус. Следовательно, собственные значения опера-
оператора Лапласа отрицательны.

§ 6]	ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ НА НЕЗАВИСИМУЮ ПЕРЕМЕННУЮ	29
Примеры нахождения собственных значений и функций опе-
операторов будут постоянно встречаться на протяжении всей книги,
так что нет необходимости рассматривать их здесь отдельно.
§ 6. Интеграл Стильтьеса и оператор умножения
на независимую переменную
Напомним сперва обычное определение интеграла как пре-
предела суммы. Разобьем промежуток интегрирования от Ко до X
на более мелкие промежутки, вставляя числа АаДг, ¦¦-, А,„_,,
%п = Xi, и будем беспредельно увеличивать их число так, чтобы
даже наибольший из мелких промежутков стремился к нулю.
Тогда интеграл от %0 До Я можно определить как предел суммы
\	A)
где
Переходя к интегралу Стильтьеса (Stieltjes), положим, что
р(д) есть некоторая монотонная возрастающая функция или
разность двух монотонных функций, и составим сумму
где
Ар (Я,,) = р (Л,) - р (Я,,-,).
Интеграл Стильтьеса определяется как предел этой суммы при
бесконечном дроблении промежутка и записывается в виде
К	п
\ f (К) dp (X) = lim У f (Л,) Др (Я,,).	B)
Когда функция р(Х) непрерывна и имеет ограниченную произ-
производную, то с точностью до величины высших порядков малости
относительно ДА,*, исчезающих при переходе к пределу, можно
положить
Тогда выражение B) переходит в
/()'()а	C)
так что интеграл Стильтьеса переходит в обыкновенный инте-
интеграл. Но интеграл Стильтьеса может иметь смысл и тогда, когда

30	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
функция р(Я) разрывна, т. е. имеет скачки. С таким именно слу-
случаем мы имеем дело при исследовании оператора умножения на
независимую переменную, если эта переменная непрерывна.
Рассмотрим подробнее этот оператор. Уравнение для его соб-
собственных функций есть
*/(*, Я) = Я/(ж, Я).	D)
Этому уравнению мы никакой функцией в собственном смысле
слова удовлетворить не можем, так как пришлось бы предполо-
предположить, что f(x, к) равно нулю при всех значениях х, кроме
х = Х. Вместо уравнения D) рассмотрим интеграл от него, взя-
взятый (формально) по Я
х J / (х, Я) dk = J kf (x, к) dk.	E)
Положим здесь
\f{x,k)dk = F{x,k)	F)
и напишем E) в виде
x\dKF(x,k)=[kdkF(x,k),	G)
где интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса. Этому
уравнению можно удовлетворить, положив
F{x,X)=l, к>х,Л
F(x,k) = 0,k,<x.)	( '
В самом деле, все приращения
AF(x, h) = F{x, ki+1)-F(x, kt)
будут равны нулю, кроме одного, которое равно единице и
соответствует тем значениям Аг и A(+[, которые удовлетворяют
неравенствам
При бесконечном дроблении промежутка это Я,- приближается
кх, ив пределе выполняется уравнение G).
Таким образом, собственная функция f (x, к) оператора умно-
умножения на непрерывную независимую переменную не существует,
но существует функция F(x, к), соответствующая интегралу от
f(x, Я), взятому по параметру Я.

§ 7]	ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА	31
Если независимая переменная х прерывна и принимает ряд
значений
то уравнение D), которое мы напишем в виде совокупности
уравнений
xnf [хп, Я) = Я/ (*„, Я) (п = 1, 2, ...),	(9)
имеет решение в обычном смысле. В самом деле, положим
/(*„, Я)=1, если Я = *„,
/(*„, Я) = 0, если Кфхп.
Уравнение (9), очевидно, удовлетворится. Собственными значе-
значениями будут здесь, очевидно,
К = х„	(И)
а собственными функциями будут
§ 7. Ортогональность и нормировка собственных функций
Рассмотрим оператор, обладающий точечным спектром, и вы-
выпишем уравнения для собственных функций fn и fm, соответ-
соответствующих двум различным собственным зачениям Хп и Хт
Цт = Knfm> Цп = Kfn-	A)
По определению самосопряженности оператора имеем
Udx^0.	B)
Пользуясь уравнениями A), получаем отсюда
Ldx = 0.	C)
Так как по предположению Хт ф Л„, то отсюда следуют
(пФт).	D)
Это свойство называют ортогональностью. Таким об-
образом, собственные функции, относящиеся к различным соб-
собственным значениям оператора, обладают свойством ортогональ-
ортогональности.
Так как собственные функции оператора удовлетворяют од-
однородному уравнению, то, будучи умноженными на произ-

32	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
вольный множитель, они будут также ему удовлетворять. Этот
множитель можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство
[hfndx=l.	E)
Такой выбор множителя называется нормировкой, а самые
функции, удовлетворяющие условию E), называются норми-
нормированными. Нормировочный множитель остается не вполне
определенным, так как если заменить /„ на f'n = etanfn, где ап
вещественно, то /„ заменится на fn = e~ia"jn и условие E)
будет по-прежнему выполняться.
Свойства ортогональности и нормировки можно записать
в виде одной формулы
\mdr = 6nm.	F)
Собственному значению оператора может соответствовать
либо одна, либо несколько собственных функций, а именно,
столько, сколько линейно-независимых решений имеет для дан-
данного К = Кп уравнение
Lf f
Число решений (обозначим его через s) может зависеть от п.
Пусть эти решения будут
fnU fn2i • • •> fns-	G)
Тогда, очевидно, любая линейная комбинация их
fn = «if«i + a2fn2 + ... + asfns	(8)
будет тоже решением этого уравнения. Функции G) могут и не
быть ортогональными друг к другу, но мы их всегда можем за-
заменить такими линейными комбинациями вида (8), которые
были бы ортогональны, а также и нормированы. Предположим,
что это уже сделано: тогда fni и fnh будут для п = т удовле-
удовлетворять условию
nkdT = blk (l,k=l,2,...,s).	(9)
Иногда удобно обозначать всю совокупность функций G) одним
символом /„. Тогда условие (9) можно по-прежнему записывать
в виде E), причем под обеими частями равенства нужно разу-
разуметь матрицы с элементами (9).
Условие (9) не вполне определяет выбор функций /„;. В са-
самом деле, если мы положим
j	(Ю)

§ 7]	ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА	33
где akl удовлетворяют уравнениям
Е = в№	(П)
то условия (9) будут по-прежнему выполняться. Матрица А
с элементами а^, удовлетворяющими условиям A1), называется,
как мы знаем, унитарной. Тем же именем называется под-
подстановка, произведенная посредством унитарной матрицы. Поль-
Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что в случае кратного
собственного значения собственные функции определены с точ-
точностью до унитарной подстановки.
Рассмотрим теперь оператор, обладающий сплошным спект-
спектром. Напишем уравнение для собственных функций
и возьмем интеграл от обеих частей по к сперва по участку от Х\
до Х\-{-AiX, а затем по участку от Л2 до %2 + Лг^- Полагая, как
это мы делали при рассмотрении интеграла Стильтьеса,
F(x,k)=\f(x,X)dl,	A3)
получим
L[A,F(x,X)]= [ XdxF(x,X)	A4)
L[b2F{x,b)]= J ldkF{x,X),	A4*)
где мы положили для краткости
AkF(x,X) = F(x,Xk + Akl)-F(x,Xk) (ft =1,2). A5)
Величины Ль/7 называются собственными дифферен-
дифференциалами. Рассматриваемые как функции от х собственные
дифференциалы будут обладать интегрируемым квадратом,
тогда как самые функции f(x, X) им не обладают.
Умножим уравнение A4) на A2F, а уравнение, сопряженное
с A4*), на AiF, вычтем их друг из друга и проинтегрируем.
Слева мы получим нуль, а справа
A6)

34	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Т
Это уравнение справедливо для каких угодно значений Яь Яг, AiA>
и ДгЯ. Предположим теперь, что промежутки AiA и АгЯ разде-
разделены конечным интервалом, и будем считать их бесконечно ма-
малыми. С точностью до бесконечно малых мы можем заменить
тогда разность Я — [х на Я1 — Яг. Так как эта величина отлична
от нуля, мы можем на нее сократить и получим
A7)
Таким образом, собственные дифференциалы, соответствующие
различным промежуткам, обладают свойством ортогональности.
Предположим теперь, что участки Ai и А2 совпадают, и рас-
рассмотрим интеграл
$T	A8)
Выберем произвольно два числа Ai и Яг так, чтобы участок ле-
лежал внутри промежутка Xi и Яг, т. е.
Я, < Я< Я + АЛ < Я2.
В силу ортогональности собственных дифференциалов, относя-
относящихся к различным промежуткам, величина интеграла / не из-
изменится, если мы прибавим к нему выражение
$ X)dXj	$f j
Следовательно, интеграл равен
U) — F(x,bi)]dx.	A9)
Отсюда видно, что интеграл / будет первого порядка малости
относительно АЯ, а не второго, как это можно было думать. Его
можно нормировать так, чтобы было
jdx + $Aff j f{x,X)dx\dx.
lim -^-\\SF\4x=\.	B0)
В этом и состоит обычное условие нормировки для сплошного
спектра. Оно выполняется, например, функцией F(x, Я), рассмо-
рассмотренной в § 6.
§ 8. Разложение по собственным функциям.
Замкнутость системы функций
Рассмотрим собственные функции
Ш = !(х,К)	A)
оператора с точечным спектром: мы предположим их нормиро-
ванными. Пусть f(x) есть произвольная функция с интегрируе-

§ 8]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ	35
мым квадратом. Постараемся разложить ее в ряд по функциям
fn(x). Для этого положим
f(x)=takfk(x) + Rn(x).	B)
Сумма представляет собой первые п членов разложения,
a Rn(x)—остаток. Коэффициенты аь будем выбирать так, чтобы
получить возможно меньшую погрешность, причем за меру по-
погрешности примем интеграл
который равен
п	2
9п =
k=0
dx.	D)
Этот интеграл представляет квадратичную функцию относи-
относительно неизвестных aft. Мы будем искать минимум этой функции,
для чего приравняем нулю производные от нее по аи- Мы имеем,,
в силу ортогональности собственных функций,
k=0
Р„ = \ I / (*) fdx - ? ак J f(x)fk(x) dx -
п	п
— Yj йь \ f W fk W dx + Y акаь E)
в=Э
Легко убедиться, что мы можем дифференцировать по а* и аи,
как если бы это были независимые переменные. Приравнивая
нулю производную по аи, получим следующее выражение для
коэффициента разложения ah:
ak = \fk(x)f{x)dx.	F)
С этим значением ah выражение для среднего квадрата погреш-
погрешности 9п напишется
п
ак Р.	G)
Так как величина р„ по определению не может быть отрицатель-
отрицательной, то для всякого п мы имеем неравенство
(8)
4=0

36	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	(Ч. Г
Если для всякой функции 1(х) с интегрируемым квадратом
в пределе имеет место равенство
Шпря = 0	(9)
П->оо
или, что то же,
оо
Y\f{x)fdx,	A0)
то система функций //,(*) называется замкнутой. Название
это происходит от того, что тогда нельзя найти такой функ-
функции f(x), которая была бы ортогональной ко всем функциям
fh(x). В самом деле, для такой функции все ah, а следовательно
и интеграл \\f{x)fdx, были бы равны нулю, а это возможно
только, если сама функция f(x) равна нулю (за исключением
разве отдельных точек).
Равенство (9) означает, что в пределе остаточный член Rn (x)
обращается в нуль (кроме, может быть, отдельных точек), так
что имеет место разложение в ряд
f(x)=tajn(x).	A1)
п=0
Если другая функция g(x) разлагается в ряд
оо
g(x)=Zbnfn(x),	A2)
п—й
то имеет место равенство
$ f (*
A3)
представляющее собой обобщение формулы замкнутости.
В математике доказывается для операторов весьма общего
вида, что совокупность собственных функций представляет замк-
замкнутую систему.
Если собственные значения оператора кратные, то в разло^
жении
f(x)=Zanfn(x)	A1)
ге=0
каждый член
aJn (x)
нужно заменить суммой членов
(x) + an2fn2{x)-\- ... +ansfns(x),	A4*)

§ 8)	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ	37
где
aai~\hi(x)f(x)dx.	A5)
В случае сплошного спектра деленные на УДА собственные
дифференциалы
обладают всеми свойствами ортогональной и нормированной
системы функций. Поэтому мы можем написать разложение
в виде
Х=Л^(*, А),	A7)
где
\, X)f{x)dx	A8)
или, после перехода к пределу ДА->0,
/ (х) ==\с (A) dj.F (x, А),	A9)
где
с (А) = lim 4r \ AF(x, к) f (x) dx. B0)
ДЛ.-»0 аЛ J
В некоторых случаях эти формулы можно заменить более про-
простыми
f{x)=\c(k)f(x, %)dk, |
c(k)=\f(x, %)f{x)dx. j
Эти формулы представляют разложение в интеграл, аналогич-
аналогичный интегралу Фурье (Fourier), который представляет их ча-
частный случай.
Для сплошного спектра формула замкнутости напишется
B2)
или если Ь (X) есть «коэффициент разложения» другой функ-
функции g(x) (аналогичный с (к) для /(#)), то
\f(x)g(x)dx=\c(k)b(k)dk.	B3)
Если оператор имеет, кроме точечного, сплошной спектр, то
в разложение по его собственным функциям, а также в формулу
замкнутости будет входить кроме суммы еще и интеграл.

Г л а в а III
ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Толкование собственных значений оператора
В начале предыдущей главы мы указывали, что в квантовой
механике операторы сопоставляются физическим величинам.
Выясним здесь, в чем состоит это сопоставление. Мы видели, что
каждый оператор обладает определенными собственными значе-
значениями и собственными функциями, и нам предстоит теперь вы-
выяснить физический смысл этих математических понятий. Мы
начнем с толкования собственных-значений как понятия более
простого, и примем следующую гипотезу.
Собственные значения оператора, сопоставляемого данной
механической величине, суть те значения, которые может при-
принять эта величина в условиях, создаваемых ее измерением.
Необходимо подчеркнуть, что оговорка, касающаяся условий,
при которых величина принимает данные значения, является су-
существенной. При измерении другой величины, относящейся не
к той же самой группе (см. гл. I), что и данная, создаются новые
условия, в которых данная величина может не иметь определен-
определенного значения. Но измеряя данную величину, мы создаем такие
условия опыта, что в результате измерения должно обязательно
получиться одно из собственных значений ее оператора. Указан-
Указанное толкование мы можем формулировать короче следующим
образом: собственные значения оператора суть собственные зна-
значения соответствующей физической величины.
Отсюда вытекает следующее ограничение, которое должно
быть наложено на вид оператора для вещественной физической
величины. Так как все наблюдаемые значения такой величины
вещественны, то ее оператор должен иметь только вещественные
собственные значения, следовательно, он должен быть самосо-
самосопряженным.
Вещественная физическая величина описывается самосопря-
самосопряженным линейным оператором.

§ 2]	СКОБКИ ПУАССОНА	39
Мы знаем, что оператор может иметь как точечный, так и
сплошной спектр; поэтому посредством операторов могут описы-
описываться величины, принимающие как отдельные значения, так и
значения в некотором сплошном промежутке. По этому поводу
заметим, что старая квантовая механика могла формулировать
«квантовые условия» лишь для величин, меняющихся скачками,
и совершенно не охватывала случая непрерывно меняющихся
величин.
§ 2. Скобки Пуассона
Возникает теперь вопрос: как найти оператор для данной
физической величины? Здесь могут служить две руководящие
идеи. Во-первых, спектр собственных значений оператора дол-
должен совпадать с совокупностью наблюдаемых значений физиче-
физической величины. Во-вторых, соотношения между операторами
должны правильно передавать соотношения между физическими
величинами. Существенную роль в сопоставлении операторов
физическим величинам играет аналогия с классической механи-
механикой. Однако этой аналогией нужно пользоваться с осторожно-
осторожностью, так как она может оказаться не полной.
В классической механике механическая система может быть
описана при помощи так называемых канонических переменных,
т. е. обобщенных координат qi, <7г, . • •, <7п и обобщенных момен-
моментов р\, /72, .... рп- Определение понятия «канонической сопря-
сопряженности» координат и моментов может быть сделано при по-
помощи так называемых скобок Пуассона. Напомним определение
скобок Пуассона. Классические уравнения Гамильтона (Hamil-
(Hamilton) имеют вид
dqk dft dpk	дН
dt dpk ' dt	dqk
F=1,2, .... и).	A)
Пусть F есть некоторая функция от координат, моментов и
времени
F = F{qu ..., </„, р1г ..., рп; t).	B)
Составим полную производную от нее по времени
dt dt ^ Lj\ dqh dt ^ dph dt
Если мы подставим сюда вместо -^~ и -—¦ их выражения из
уравнений Гамильтона, мы получим
4г = 47" + [Я, F],	D)
at	ot	x '

40	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
где символом [Н, F\ обозначено выражение
которое и называется скобками Пуассона для величин Н и F.
Аналогично определяются скобки Пуассона для любой пары ве-
величин F и G:
t\dPk dq» ^dp
Основное свойство скобок Пуассона состоит в инвариантности
их относительно любого преобразования переменных ри и <7&,
оставляющего неизменным вид Гамильтоновых уравнений (так
называемого касательного преобразования). Кроме того, скобки
Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко вы-
выводятся из их определения:
[F, G] = - [G, F],	G)
[F,c] = 0,	(8)
где с есть постоянная, не зависящая от pk и от <7а-
Далее
[Fx + F2, G] = [FU G] + [F2, G],	(9)
[FXF2, G] = Fx [F2, G] + [Fu G] F2.	A0)
Наконец, имеет место тождество
[F, [G, L]] + [G, [L, F]\ + [L, [F, G]] = 0.	A1)
Для обобщенных координат и моментов скобки Пуассона
равны
[<7ь<7Л = О, [pk, Pt] = O, [pk,qi] = &ki.	A2)
Эти последние равенства и могут служить определением ка-
канонической сопряженности координат и моментов в классической
механике.
Как мы уже отметили, соотношения, формулированные при
помощи скобок Пуассона (например, выражение для полной
производной по времени), не зависят от выбора обобщенных ко-
координат и моментов. В виду этого можно ожидать, что, по-
поскольку имеется аналогия между классической и квантовой ме-
механикой, то и в этой последней должно существовать понятие,
аналогичное классическим скобкам Пуассона.
Вид этих квантовых скобок Пуассона был найден Дираком
(Dirac) на основании начала соответствия Бора, причем исход-
исходной точкой служила классическая формула F). Мы приведем

§ 2]	СКОБКИ ПУАССОНА	41
здесь другой вывод, также принадлежащий Дираку и основан^
ный на предположении, что квантовые скобки Пуассона для лю-
любых некоммутативных операторов должны обладать всеми свой-
свойствами G) — (И).
Выпишем формулу A0) и аналогичную формулу, получаемую
из нее путем замены букв F\ и F2 на G\ и G2, и G на F и ис-
использования свойства G).
[FtF2, Gl-F.t^, G] + [Flf G]f2,	A0)
[F, GXG2\ = G, [F, G2] + [F, G,] G2.	A0*)
Мы будем считать здесь F и G некоммутативными операто-
операторами, так что порядок множителей в A0) не будет безразличен.
Мы предположим, что порядок множителей выбран именно так,
как написано в формуле A0). Это можно мотивировать следую-
следующим образом. Если G = Н, то формула A0) соответствует, по
крайней мере в классической механике, правилу дифференциро-
дифференцирования произведения FiF2 по времени. Имея же дело с неком-
некоммутативными операторами, необходимо при дифференцировании
сохранять порядок множителей, как это и принято в формуле
A0), где Fi всегда стоит слева от F2.
Положим в A0) G = G\G2. Применяя A0*), можем фор-
формулу A0) написать в виде
[FtF2, GlG2] = FlG1[F2, G2] + F{[F2, G,]G2 +
+ Gi\FuG2]F2 + [F],Gl]G2F2. A3)
С другой стороны, положим в A0*) F = FiF2 и применим A0).
Мы будем иметь
[F,F2) Gfi2] = G,FX [F2, G2] + G, [Fu G2] F2 +
+ F1[F2,Gl]G2 + [Fl,Gl]F2G2. A3*)
Мы получили для одного и того же оператора [F\F2, GiG2]
два различных выражения, которые должны равняться друг
другу тождественно, т. е. при любом виде операторов F и G.
Приравнивая их, получаем
{Ffi.-G.F,)^, G2] = [Flt Gl](F2G2-G2F2).	A4)
Это выражение будет тождеством только в том случае, если
для любых двух операторов
[F, G) = c{FG-GF),	A5)
где с есть оператор, коммутирующий с любым другим операто-
оператором. Но этим свойством обладает лишь оператор умножения на
постоянную. Следовательно, с есть постоянная. Легко видеть,
что эта постоянная должна быть чисто мнимой. В самом деле,

42	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
мы должны потребовать, чтобы скобки Пуассона от двух веще-
вещественных величин были вещественны. Следовательно, если F и G
самосопряженны, то и [F, G] должно быть самосопряженным.
Но мы имеем [см. формулу (8) § 4 гл. II]
[F, G]+ = с(G+F+ -F+G+) = -c{FG-GF).	A5*)
Чтобы A5*) совпадало с A5), необходимо, чтобы с = — с, от-
откуда
c = jr,	A6)
где Ь вещественно. Таким образом,
[F, G] = j>(FG-GF).	A7)
Покажем, что это выражение удовлетворяет всем условиям
G) — A1). Справедливость равенств G), (8), (9) очевидна. Да-
Далее, имеем
^ (F{F2G - GFXF2) = \, Fx (F2G - GF2) + \, {Ffi - GF,) F2,
т. е. равенство A0). Наконец, для доказательства A1) доста-
достаточно в очевидном тождестве
FGL + GLF + LFG + LGF + FLG + GFL -
- FGL — GLF - LFG - LGF - FLG — GFL = 0
сгруппировать надлежащим образом члены. Таким образом,,,
можно считать доказанным, что квантовые скобки Пуассона
имеют вид A7). Остается определить вещественную постоян-.
ную Ь!. Чтобы скобки Пуассона имели правильную размерность,,
необходимо, чтобы Ы имело размерность действия. Чтобы найти
численное значение h\ можно было бы оставляя его неопреде-
неопределенным, построить нужные операторы и затем получить У из.
сравнения теории с опытом, например, из сравнения собственных
значений оператора энергии с экспериментально наблюденными
уровнями энергии. При этом получилось бы
h' = h = ~, h — 6,624 • 1(Г27 эрг • сек,	A8)
где h есть постоянная Планка. Мы будем с самого начала разу-
разуметь под h' эту величину.
Знание квантовых скобок Пуассона позволяет использовать
имеющуюся аналогию между классической и квантовой механи-
механикой для установления вида квантовых операторов. О том, в ка-
какой мере эта аналогия действительно имеет место, можно будет-
судить, сравнивая теорию с опытом.

¦§ 31	ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ КООРДИНАТ И МОМЕНТОВ	43
§ 3. Операторы для координат и моментов
Вид оператора для данной физической величины зависит от
выбора независимых переменных в функциях, к которым он
применяется. При этом оператор для независимой переменной
есть всегда умножение на эту переменную. Это вытекает из тре-
требования, чтобы собственные значения любой физической вели-
величины совпадали с собственными значениями ее оператора (см.
§ 6 предыдущей главы).
Например, если в системе с одной степенью свободы за неза-
независимую переменную взята координата х так, что операторы
действуют на функции от х, то оператором для координаты
будет умножение на х. Если бы мы вместо координаты взяли
за независимую переменную другую величину, например, энер-
энергию, то оператор для энергии имел бы вид умножения, тогда как
оператор для координаты имел бы другой, более сложный вид *).
При рассмотрении системы с несколькими степенями свободы
может возникнуть вопрос, какие величины можно брать за неза-
независимые переменные и можно ли брать в качестве таковых л га-
бую комбинацию величин (например, энергию, одну из коор-
координат и одну из составляющих количества движения для си-
системы с тремя степенями свободы). Ответить на этот вопрос
можно при помощи следующего рассуждения. Операторы для
независимых переменных представляют простое умножение и,
следовательно, коммутативны; но это значит, что в качестве не-
независимых переменных можно брать только такие величины,
операторы которых между собою коммутируют. Судить же
о том, какие величины коммутируют и какие — нет, мы можем
на основании аналогии между классическими и квантовыми
скобками Пуассона.
Электрон описывается в классической механике как мате-
материальная точка, обладающая тремя степенями свободы. Коор-
Координаты электрона обозначим через
х = хи у = х2, г = хъ	A)
и моменты, соответствующие этим координатам, через
Рх = Рь Ру = Ръ Рг = Рг-	B)
Классические скобки Пуассона для этих величин равны
[**, а-,] = 0, [pk, pi\ = О, [pk, xt] = 6k[.	C)
Постараемся перевести это описание на язык квантовой меха-
механики. Мы предположим, что квантовые скобки Пуассона имеют
тот же вид, что и классические, причем под операторами 0 и 1,
*) См. пример в § 6 гл. I ч. II.

44	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	\Ч. Г
стоящими в правых частях равенств C), мы будем разуметь
операторы умножения на 0 и на 1. Если мы будем считать, что
координаты электрона могут принимать все вещественные зна-
значения от — оо до + °°> то уравнения C) позволят нам найти
вид операторов для Хи и р^
Прежде всего уравнения C) показывают, что операторы для
Х\, х2, х3 переместительны между собой; следовательно, мы их
можем взять за независимые переменные, так что объектом дей-
действия всех операторов будут функции
¦ф(х, у, z) = -ty(xu x2, x3).	D)
Далее, уравнения C) дают
i
¦J (РуУ — УРу) ¦$> = $,	E)
-jr (pzz — zpz) гр == гр.
Операторы
являются, как мы знаем, самосопряженными и удовлетворяют
этим уравнениям, так как мы имеем, по сокращении на й,
[р*,*Н = ^И>)-*1Г = ^	G)
и аналогично для координат у и z.
Чтобы найти самый общий вид операторов рх, ру, pz, поло-
положим
?	? * ^ ^V	i% (8)
Из уравнений C) следует тогда, что
?**/-*#* = О (k, 1=1,2, 3),	(9)
т. е. что qx, qy, qz переместительны с х, у, г. Кроме того, они
должны быть самосопряженными. Следовательно, они представ-
представляют операторы умножения на вещественные функции от х, у, z
так, что, например,
ру = -m^ + qx (х, у, z) ар'.	A0)
Но р'х, о'ц, р'г должны также удовлетворять условиям

§3]
или
т. е.
откуда
ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ КООРДИНАТ И МОМЕНТОВ
45
дх.
— Pi -» == I
-3-^	д-5- I 1b' = 0,
rt y	fix I
xk oxt /
дЯ, дAь
дх.
дх,
(И)
Следовательно, qx, qv, (ft суть частные производные по х, у, г
от одной и той же вещественной функции от координат, так что
A2)
Покажем теперь, что путем подстановки над функцией t|> мы мо-
можем привести операторы A2) к более простому виду F). В са-
самом деле, положим
= е
—г- f (х, у,
е *
— I -—
= ен рхе н
A3)
A4)
и найдем вид оператора р*х. Мы имеем
Сравнивая A4) и A5), получаем
Присоединяя сюда аналогичные уравнения для у и z, можем
написать
Рх = Рх> Р*у = Ру> P'Z = PZ-	A6)
Таким образом, преобразованные операторы имеют вид F).
Связь между рх, ру, рг и рх, р'у, р'г дается формулами
Ру = еТ Руе Т »
рг = ет р'ге~т\ J
A7)

46	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
Мы будем предполагать, что это преобразование сделано с са-
самого начала, так что под операторами для моментов рх, ру, pz,
действующими над функциями от координат, мы будем разуметь
операторы F).
То обстоятельство, что оператор для одной и той же физиче-
физической величины может иметь различный вид [например, F) и
A2)], причем переходу от одного вида к другому [формулы A7)]
соответствует определенная подстановка над функцией i|> [фор-
[формула A3)], является характерным для квантовой механики. На
первый взгляд может показаться, что имеющийся здесь произ-
произвол влечет за собой неоднозна.чность ее законов. Однако это не
так. Все величины, которые могут быть сравнены с опытом (на-
(например, собственные значения операторов), получаются вполне
однозначно, так как они инвариантны относительно тех преоб-
преобразований, которые остаются произвольными. Мы вернемся ниже
(в § 12) к этому вопросу.
§ 4. Собственные значения и собственные функции
оператора количества движения
Мы установили на основании аналогии с классической меха-
механикой, что операторы для прямоугольных составляющих коли-
количества движения имеют вид
Найдем собственные значения и функции этих операторов.
Если мы обозначим через р'х, р', p'z собственные значения рх,
ру, рг, то уравнения для собственных функций напишутся
B)
Решение первого из этих уравнений есть
г)е~*хр\	C)
где /W не зависит от х. Чтобы это решение оставалось конеч-
конечным при всех значениях х, необходимо и достаточно, чтобы р'х
было вещественным числом. Таким образом, собственные значе-
значения оператора рх образуют сплошной спектр в промежутке от

§ 4]	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ	у	47
— оо до + оо. Аналогично напишутся решения остальных двух
уравнений
фB) = /B) B| х) е^УР\ у® = /'3) (х, у) е й '"*.	C*)
Легко видеть, что три уравнения B) имеют общее решение
фA) = 1рB)==фC)==г|,1	D)
— (хр'+(/р'+гр')
где "§ — ceh	, причем с есть постоянная, которая
может, впрочем, зависеть от р'х, р'у, р'г. Значение этой постоян-
постоянной мы определим из условия нормировки. Для этого рассмотрим
сперва одномерную задачу и положим
Условие нормировки в этом случае будет [см. гл. II, § 7,
формула B0)]
lim -I. \ |A?prf*=l,	F)
— оо
где
р+\р
J	' G)
В данном простом примере можно удовлетворить условию
нормировки, считая, что с не зависит от р. Мы имеем
IX
Далее,
—^ dl = 2nhcc, (9)
— oo
ибо, как известно,
Г o!n2S
(Ю)

48	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
Условие F) дает теперь
±е\	A1)
где а — вещественная постоянная, которую мы можем поло-
положить равной нулю.
Таким образом, нормированная функция -ф (лг, р) будет
, ±хр
$(x)Le* P.	A2)
Разложение произвольной функции по собственным функ-
функциям оператора рх напишется, согласно формулам B1) § 8
гл. II,
/2ЯЙ J '	-г -г,-г,	A3)
— оо
где
Эти формулы представляют собой интегральную теорему
Фурье.
Переходя к случаю трех переменных, мы должны будем на-
написать условие нормировки в виде
Hm—T-±7T-r\\\\№?dxdydz=l,	A4)
где
рУ+АрУ
dp'x \ dp'v \ dp'g$(x, у, г; р'х, р'и, р'г). A5)
Условие A4) будет, очевидно, выполнено, если
т \%> У' Z> Рх> Pyi Рг) =z Т ^» Рх)^г\У' Ру)*\?' Pz) ==
_	' еТУХрх+уру+грг) ^	(щ
Разложение произвольной функции от трех координат напи-
напишется теперь в виде тройного интеграла.

§ 5]	КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ	49
§ 5. Квантовое описание состояния системы
Мы видели в § 5 гл. II, что собственное значение оператора
выражается через соответствующую собственную функцию по
формуле
[ dx
A)
причем в том случае, когда ty принадлежит к сплошному спектру,
нужно брать вместо самой функции собственный дифференциал.
Таким образом, задание собственной функции позволяет найти
собственное значение соответствующей величины. В этом смысле
мы можем сказать, что функция описывает состояние системы.
Правая часть формулы A) сохраняет смысл и в том случае,
когда г|) не есть собственная функция оператора L. Физический
смысл выражения A) для этого случая мы выясним в следую-
следующей главе.
Функцию г|), описывающую состояние системы, мы будем на-
называть волновой функцией. Для выяснения важного по-
понятия об описании состояния системы посредством волновой
функции мы рассмотрим следующий пример.
Мы видели, что функция
является одновременно собственной функцией всех трех состав-
составляющих рх, ру, рг количества движения. Она описывает, следо-
следовательно, такое состояние электрона, в котором
Р* = Р*> Ру = Р'у Рг = Рг-	C)
Что касается остальных величин, например, координат элек-
электрона, то в состоянии, описываемом функцией B), они не
имеют определенных значений, ибо гр не является
собственной функцией операторов для координат.
Таким образом, квантовое описание состояния электрона та-
таково, что в нем только одна группа величин (например, рх,
ру, pz) может иметь определенное значение, тогда как другая
группа (в нашем примере х, у, г) остается неопределенной. Этот
вывод теории находится в связи с отмеченным в начале этой
книги обстоятельством, а именно, невозможностью одновремен-
одновременного точного измерения всех величин, которые в классической
теории характеризовали состояние электрона.
Возникает вопрос, какие величины могут быть измерены од-
одновременно и какие — нет. Чтобы ответить на этот вопрос, бу-
будем рассуждать следующим образом. Результат измерения

50	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
должен дать нам знание состояния системы, т. е. некоторую вол-
волновую функцию \|з. Если в результате измерения для двух вели*
чин L и М получились определенные значения X и ц, то, согласно
сказанному, волновая функция г|) должна быть одновременно
собственной функцией как оператора L (для собственного зна-
значения X), так и оператора М (для собственного значения д.). Но
для того чтобы два оператора L и М обладали общими соб-
собственными функциями, необходимо, чтобы .они удовлетворяли
некоторым определенным условиям, которые мы сейчас уста-
установим.
§ 6. Коммутативность операторов
Пусть о); = -ф(х; А, ц) есть общая собственная функция*)
операторов L и М, так что
~	(О
Применим к первому равенству оператор М, а ко второму
оператор L. Мы получим
= (J, • La])
и, следовательно,
; X, ц).	B)
Положим теперь, что общие собственные функции образуют
замкнутую систему. Тогда произвольную функцию ty(x) можно
разложить в ряд (или интеграл) вида
Так как равенство B) справедливо для каждого члена разло-
разложения, то (при условии сходимости ряда для М/д|)) оно спра-
справедливо и для суммы, так что для любой функции \р
ML$ = LMty	D)
или
0,	D*)
т. е. операторы L и М коммутативны. Таким образом, мы дока-
доказали следующую теорему.
Если общие собственные функции двух операторов L и М об-
образуют замкнутую систему, то операторы коммутативны.
*) Буква х обозначает здесь независимую переменную или совокупность
нескольких независимых переменных.

§ 6]	КОММУТАТИВНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ	51
Докажем теперь своего рода обратную теорему.
Если два оператора L и М коммутативны, то они имеют об-
общие собственные функции.
Пусть собственному значению X оператора L соответствует
одна или несколько собственных функций ty(x; X, k), где зна-
значок k служит для того, чтобы отличать разные функции, при-
принадлежащие одному и тому же X. Тогда самое общее решение
уравнения
L\|j = Ад|)	E)
будет
?*; X, k).	F)
Применим к уравнению
L^{x; X, k) = X^{x;X, k)	E*)
оператор М. Пользуясь переместительностью L и М, имеем
MLty = L (Мф) = X • Мф.	G)
Функция i|/ = Ah|) является, таким образом, собственной функ-
функцией оператора L, принадлежащей собственному значению К.
Следовательно, она будет линейно выражаться через а|з (х; X, k'),
так что
; X, k) = Z M (k\ k) if (x; X, k'),	(8)
k'
где коэффициент M(k', k) должен, очевидно, зависеть кроме k'
также и от k. Можно составить теперь такую линейную ком-
комбинацию функций г|)(л:; X, k) вида F), которая бы одновременно
удовлетворяла уравнению
цф.	(9)
Подставим в (9) выражение F) и воспользуемся равенством (8).
Приравнивая коэффициенты при ф(лг; X, k), получим
Число s этих уравнений равно числу возможных значений k
при данном X, т.е. равно кратности собственного значения X.
Если обозначить их решения через
и соответствующие им значения ц через
ци ц2, .... ц3,	A2)
то функции
ih* (Y % и ^ — > Ms) (Ь\ ih (v 5l b\	A Ч\
ft

52	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
будут одновременно решениями как уравнения E), так и урав-
уравнения (9), т.е. они будут общими собственными функциями
операторов L и М.
Таким образом, теорема доказана. При доказательстве мы
предполагали, что собственное значение к — конечной кратно-
кратности, так что ему соответствует конечное число собственных
функций, но теорема остается справедливой и в случае беско-
бесконечной кратности собственного значения.
Физический смысл доказанных теорем заключается в том,
что коммутативность операторов служит выражением возможно-
возможности одновременного измерения соответствующих величин и, об-
обратно, некоммутативность их показывает невозможность точного
одновременного их измерения.
Пример коммутативных операторов с общими собственными
функциями был нами рассмотрен в § 4 этой главы.
§ 7. Момент количества движения
В качестве примера некоммутативных операторов рассмо-
рассмотрим три оператора
mx = ypz - zpy,
тг=хру—урх,
составленных из операторов для координат и моментов по той
же схеме, как момент количества движения в классической ме-
механике. Мы увидим ниже, при рассмотрении квантовых уравне-
уравнений движения электрона, что выражения A) можно в самом
деле толковать как операторы для момента количества дви-
движения.
Составим скобки Пуассона этих операторов с операторами
для координат и моментов. Имеем
\шх, x\=-j-(tnxx xtnx) = 0,	B)
так как оператор тх не содержит дифференцирования по х и,
следовательно, коммутативен с умножением на х. Далее
[тх, у] = -г\ру, y) = ~z, |
[тх, г] = у [р„ г] = у.	)	[ '
Здесь мы воспользовались свойствами скобок Пуассона, из*
вестными нам из § 2. Аналогично получаем
C)

§ 7]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ	53
При помощи формул B) и C) получаем скобки Пуассона
для двух различных составляющих момента количества дви-
движения
[тх, ту] = [тх, zpx — хрг] = [тх, z]px—x [mx, рг\ =
= урх —хри = ~ тг.
Таким образом,
[ту, mz] = — mx, ~|
[тг, тх] = — ту, >	D)
[тх, my] = — mz. )
Полученные нами соотношения в точности совпадают с клас-
классическими.
Найдем собственные значения и функции операторов тх,
ту, mz. Уравнение для собственных функций mz напишется
где мы обозначили через m'z собственное значение mz. Если мы
введем цилиндрические координаты р, qp, 2:
то уравнение E) примет вид
Его решение будет, очевидно,
^ = ^(г,Р)е^тг\	F)
Чтобы эта функция была однозначной функцией точки в про-
пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией
от ф с периодом 2л. Отсюда
tn'z = m3h (m3 = 0, ± 1, ±2, ...),	G)
где тз — целое положительное или отрицательное число или
нуль. Таким образом, мы нашли собственные значения и функ-
функции для тг. Аналогично получаются они и для двух других опе-
операторов. Чтобы сравнить их между собой, удобно вернуться
к прямоугольным координатам. Функция F) (которую мы обо-
обозначим через \|)з) и собственные функции tpi и я|>2 для тх и ту
напишутся
(
(8)

154	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
лричем собственные значения суть
m'x = mlh, т'у = тгН, m'z — mzh,	(9)
где т\, т.2 и т3 — целые числа.
Мы получили результат, который на первый взгляд может
показаться парадоксальным: составляющая момента количества
движения по любому направлению может, будучи измерена,
принимать лишь значения, целые, кратные определенного
числа Ь. Особенно странным кажется этот факт в виду того, что
проекции вектора на бесконечно близкие направления беско-
бесконечно мало отличаются друг от друга.
Порадокс этот, однако, легко разъясняется. Прежде всего за-
заметим, что единственная общая собственная функция операто-
операторов тх, ту, mz соответствует одновременным значениям
га, = т1 = т3==0	A0)
и равна
Ъ = Ъ=Ъ = Ъз = ?{г) 0 = V*2 + У2 + г2).	A1)
Но в этом случае вектор момента количества движения,
а значит, и проекция его на любое направление равны нулю, так
что тут никакого парадокса нет. Если же хотя бы одно из соб-
собственных значений ти т2, т3 отлично от нуля, то общих соб-
собственных функций у операторов тх, ту, т2 нет. Следовательно,
не существует такого состояния электрона, в котором две или
три составляющие имели бы одновременно определенные значе-
значения, так что мы можем говорить только о целочисленности од-
одной из них. Физически это означает следующее. Чтобы измерять
составляющую момента количества движения электрона по ка-
какому-нибудь направлению, нужно определенным образом воз-
воздействовать на электрон, например, включить магнитное поле,
имеющее это направление. Это воздействие «настраивает» элек-
электрон так, что составляющая вдоль поля принимает целочислен-
целочисленное значение. Остальные же составляющие остаются при этом
неопределенными, ибо нет возможности их измерить, не меняя
направления поля, т. е. не портя прежней «настройки» элек-
электрона. Таким образом, вытекающие из теории свойства момента
количества движения являются выражением неизбежности влия-
влияния измерения на объект.
§ 8. Оператор энергии
В классической теории для обширного класса механических
систем закон изменения состояния во времени (уравнения дви-
движения) может быть задан при помощи Гамильтоновои функции,
представляющей энергию системы. Подобно этому, в волновой
механике задание оператора Гамильтона (оператора энергии)

§ 8)	ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ	55
определяет, как мы увидим ниже (§ 10), закон изменения со-
состояния во времени. Поэтому выбор оператора энергии является
существенным шагом в построении теории. Когда этот шаг сде-
сделан, то выбор операторов для других физических величин (на-
(например, момента количества движения) уже не связан с особым
произволом. Подобно тому как в классической механике из про-
простейших величин (координат и моментов) строятся различные
комбинации, которые обладают «удобными» свойствами (напри-
(например, остаются во время движения постоянными), так и в кван-
квантовой механике из простейших операторов составляются такие
комбинации, которые обладают простыми свойствами и допу-
допускают наглядное толкование. Говоря о свойствах операторов, мы
имеем главным образом в виду коммутативность их с другими
операторами и закон их изменения во времени. Так как этот за-
закон связан с видом оператора энергии (см. ниже § 13), то ясно,
что выбор «удобных» комбинаций простейших операторов нахо-
находится в зависимости от выбора этого основного оператора.
Классическая Гамильтонова функция имела различный вид,
смотря по тому, принималась ли во внимание теория относи-
относительности или нет. При этом Гамильтонову функцию, удовлетво-
удовлетворяющую требованиям теории относительности, удалось по-
построить лишь для задачи одного тела; для многих тел это ока-
оказалось невозможным. Такое же положение вещей мы имеем и
в волновой механике. И здесь оператор энергии для теории от-
относительности удалось построить лишь для одного тела, причем
он коренным образом отличается от нерелятивистского. Изуче-
Изучением его мы займемся в пятой части этой книги, посвященной
теории Дирака; здесь же мы рассмотрим оператор энергии без
поправки на теорию относительности.
В классической теории кинетическая энергия, выраженная
через прямоугольные составляющие количества движения, имела
вид
Если здесь рассматривать рх, ру, pz как операторы F) § 3,
то выражение A) будет представлять собой оператор, который
мы можем толковать как оператор для кинетической энергии.
Заметим, что если бы мы написали кинетическую энергию не
в прямоугольных, а, например, в сферических координатах
,	.. д	. д
и здесь толковали бы рг, р$, р» как —*«-т~. —ih-5K~>
— ih-g—, то мы получили бы другой оператор Т*, не совпадаю-
совпадающий с Т. Мы предположим, что переход от классической

56	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИК!-.	ГЧ. I
функции к квантовым операторам нужно делать именно в прямо-
прямоугольных координатах, а не в каких-либо других. Если класси-
классическое выражение в прямоугольных координатах не содержит
множителей, которые, будучи истолкованы как операторы, были
бы некоммутативны, то переход к операторам будет однознач-
однозначным. Однако необходимо еще убедиться, путем сравнения теории
с опытом, насколько аналогия между классической и квантовой
теорией законна.
Оператор A) для кинетической энергии может быть выра-
выражен через оператор Лапласа. Если мы заменим рх, ру, pz их вы-
выражениями F) § 3, мы получим
^ = -^Аф,	C)
где Д — оператор Лапласа. После того как вид оператора уста-
установлен, можно, разумеется, перейти к любым переменным, на-
например, к тем же сферическим координатам. Производя для
этого случая замену переменных, получим
V	^	\Slu "# Н
~ 2т { г* drV drj^rtsinft дЪ \Slu "# Н г2 %\v?fy d<p2 J '
D)
Если мы введем операторы
мы можем оператор D) написать в виде
Это выражение отличается от B) только порядком неком-
некоммутативных множителей: если бы они были коммутативны, то
оба выражения совпали бы.
Мы знаем, что собственные значения оператора Лапласа от-
отрицательны: следовательно, собственные значения кинетической
энергии положительны, как это и должно быть.
В качестве собственных функций кинетической энергии
можно взять, например, общие собственные функции операторов
Рх, Ру, Pz, которые, как мы знаем, имеют вид
Любая функция вида G), в которой сумма квадратов пара-
параметров р'х, р' p'z имеет определенное значение 2тТ';
р': + р'у2 + р': = р'2 = 2тГ,	(8)
а также любая линейная комбинация таких функций (сумма
или интеграл) есть собственная функция кинетической энергии,
соответствующая собственному значению Т = Т'. Следовательно,

§ 9]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	57
эти собственные значения бесконечной кратности. Из функций
вида G) можно составить такие комбинации, которые бы в то
же время были собственными функциями других операторов,
коммутирующих между собой и с оператором кинетической энер-
энергии. Физически это соответствует тому, что заданием кинетиче-
кинетической энергии состояние электрона еще не вполне определяется,
так что можно, кроме нее, задать также и значения некоторых
других величин, например, количества движения.
Для свободного электрона оператор кинетической энергии Т
является вместе с тем и оператором Гамильтона. Для элек-
электрона в поле с потенциальной энергией U(x, у, z) мы можем по
аналогии с классической теорией написать оператор Гамильтона
в виде суммы операторов для кинетической и потенциальной
энергии
н=1^(р1 + р2у + рд + и^У' *).	<9>
разумея под оператором U(x, у, z), действующим над функцией
от координат, умножение на U(x, у, z). Уравнение для собствен-
собственных функций оператора Н напишется
-^ЬЪ + и{х,у,г)Ъ = ЕЪ,	A0)
где Е характеризует энергию. Это уравнение было предложено
Шредингером в 1926 году и носит название уравнения Шредин-
гера. Мы займемся подробным исследованием его и решением
для ряда случаев во второй части этой книги; но мы укажем
уже сейчас, что следствия из него, за исключением некоторых
деталей, хорошо оправдываются на опыте, что служит подтвер-
подтверждением законности сделанных при его выводе гипотез.
Уравнение Шредингера может служить для описания состоя-
состояния электрона в электростатическом поле; естественно поэтому
пытаться обобщить его на случай наличия магнитного поля.
Оказалось, однако, что классическая модель электрона как за-
заряженной материальной точки недостаточна для объяснения по-
поведения его в магнитном поле и что необходимо приписать ему
некоторый магнитный момент. Обобщение уравнения Шредин-
Шредингера на случай магнитного поля мы выведем в пятой части
книги на основании теории Дирака.
§ 9. Каноническое преобразование
Мы видели, что состояние электрона может быть описано
функцией от координат или от других независимых переменных,
например, составляющих количества движения. Переход от од-
одних независимых переменных к другим называется канониче-
каноническим преобразованием.

8	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
Пусть волновая функция, выраженная через координаты,
есть \р (х, у, z) или, проще ty(x), если мы будем разуметь под х
совокупность всех трех координат. Положим, мы имеем опера-
оператор L с собственными значениями к и собственными функциями
<р(х, к), образующими замкнутую систему. Тогда функцию \р(х)
можно разложить по собственным функциям q>(x,k)
, k)dk,	A)
причем коэффициенты разложения (как c(Xh), так и с (к)) опре-
определяются через ty(x) следующим образом:
B)
Функция ty(x) вполне определяется совокупностью коэффи-
коэффициентов разложения с(къ) и с (к). Поэтому, если ч|з (л:) описывала
состояние системы в независимых переменных х, то с (к) описы-
описывает его в независимых переменных к. При этом, если ф(х) была
нормирована, то и с (к) будет нормирована, так как по теореме
замкнутости мы имеем
?$	C)
Такое состояние системы, в котором к = к„, описывается
в переменных к следующей функцией с {к):
с (Л) = 0 при Л Ф Я„. /	к '
Если в данном состоянии к = к', причем к' принадлежит
к сплошному спектру, то в формуле A) коэффициенты c(kh)
нужно положить равными нулю, а интеграл понимать в смысле
Стильтьеса и писать его в виде
где
г|з (х) = Ф (х, к') = J ер (х, Я) 4с (Я, Я'),	E)
с (Я, Я') =1 при Я > Я', "I
О'. J	F)
с(к, А/) = 0 при
Формулу B) можно рассматривать, как разложение функ-
функции с (к) по функциям
Ф+ (к, х) = ф(х, к),	'G)
причем коэффициентом разложения является здесь ty(x), опре-

§ 91	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	59'
деляемое по формуле A). Мы увидим ниже, что ф+ суть соб-
собственные функции оператора х в переменных к. Таким образом,.
между описанием состояния в переменных х и в переменных к-
имеется полное равноправие.
Посмотрим теперь, как преобразуются операторы при пере-
переходе от одних независимых переменных к другим. Возьмем
сперва тот самый оператор L, по собственным функциям кото-
которого ведется разложение. Применим его к функции гр (л:). Так
как ф(х, К) есть собственная функция L, то
L(f(x, к) = к<р{х, к),
и мы получим
Х) = ? kkc (kk) ф (х, Л*) + \ кс (X) ф (*, Я) йк.	(9>
Таким образом, переходу от ty(x) к Lty(x), т.е. применению
оператора, соответствует переход от с (к) к кс(к), т.е. умноже-
умножение на Я. Следовательно, оператор L, выраженный в независи-
независимых переменных К, представляющих его собственные значения,
есть умножение на К, как это и должно быть: в самом деле, мы
уже видели (в § 3), что оператор для независимой переменной
есть умножение на эту переменную.
Возьмем теперь вместо L некоторый другой оператор М и
применим его к функции г|)(х). Для простоты положим сперва,
что оператор L имеет только точечный спектр, так что разло-
разложение по его собственным функциям напишется:
Ч>(*)=?с(Л*)ф(*, W-	(Ю)
к
Применяя М к i])(&), получим
Л*Ч>(*)=?с(Л*)Мф(*, kk).	A1)
Функцию Мц>(х, кк) разложим в свою очередь по ф(х, кп):
МФ (х, Xk) = Z (К IM | кк) ф (х, К),	A2)-
где символом (кп\М\кк) обозначены коэффициенты разложения
(Л„ | М | Я») = $ Ф (*, AJ МФ (*, Я,) dx.
Подставляя A2) в A1), получим

60	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
где через с'(Хп) обозначена величина
с' (AJ = Мс (AJ =Z(K\M\Wc (A*).	A5)
Таким образом, переходу от 'ф(х) к Mty{x) соответствует
переход от е(А„) к с' (А„) = Мс (А„). Следовательно, оператор М,
выраженный в переменных А, имеет вид A5).
Если бы оператор L имел также и сплошной спектр, то
вместо формул A0), A2), A4) и A5) мы имели бы
г|> (х) = ? с (А*) ф (х, А*) + J с (А) <р (х, A) rfA,	A0*)
М<р(х, А) = ?(А„|Л* |А)ф(лс, А„) + $(А'|М|А)Ф(*, А'МА',	A2*)
и
Мг|> (л:) = 2 с' (АА) Ф (л, А*) + J С (А) Ф (х, A) rfA,	A4*)
с' (А) = Afс (А) = Л (А | М | Aft) с (Afe) + J (А | М | А') с (А') й?А',	A5*)
причем в A2*) и A5*) можно разуметь под А собственное зна-
значение, принадлежащее к сплошному или к точечному спектру.
Определение (А|М|А) аналогично A3). Может случиться, что
интеграл, выражающий (Х\М\КГ), расходится; это значит, что
оператор М в переменных А не имеет ядра. В таком случае под
оператором М в переменных А мы будем разуметь тот, который
переводит коэффициенты разложения с (А) функции ^>{х) в ко-
коэффициенты с'(%) функции Mty(x), хотя бы эти с'(А) и не вы-
выражались в виде A5*).
Рассмотрим пример. Положим, что М есть оператор для ко-
координаты х, так что, будучи применен к ty(x), он представляет
просто умножение на х. Рассмотрим вид оператора М = х
в переменных А. Уравнение для его собственных функций будет
к
(Л*) + J (A \x \X')c{%')dk' = xc{l).	A6)
Легко видеть, что ему удовлетворяют функции
с (А) = ф+ (А, х) = Ф (х, А),	A7)
где ф(х, А) есть собственная функция оператора L в перемен-
переменных х. В самом деле, если припомнить равенство
A8)

§ 101	ПРИМЕР КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	61
выражающее самосопряженность оператора х, и заменить с (Я)
на ф(л;, Я), то уравнение, комплексное сопряженное с A6), на-
напишется
\	= xv{x, Я), A9)
а это есть не что иное, как разложение произведения хц>(х, Я)
по ф(х, Я'). То же остается справедливым, если взять вместо х
любой оператор М. Таким образом, собственные функции опе-
оператора М в переменных L суть величины комплексные сопря-
сопряженные к собственным функциям оператора L в переменных М.
Этот результат остается верным и тогда, когда операторы не
имеют ядра.
§ 10. Пример канонического преобразования
В качестве примера канонического преобразования рассмо-
рассмотрим преобразование операторов для координаты х и количе-
количества движения р. Мы знаем, что собственные функции опера-
оператора р в переменных х
суть
Посмотрим, какой вид имеет оператор х в переменных р. По
определению этот оператор переводит функцию f {p), предста-
представляющую коэффициент разложения ty(x) в интеграл Фурье
в такую функцию f (p), чтобы выполнялось соотношение
Но мы имеем, интегрируя по частям,
Следовательно,
Пр) = /й|г,	E)

62	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
так что оператор х в переменных р есть
x = ih^.	F)
Это согласуется с видом скобок Пуассона
[p. x]=-fi(px — xp)=l,	G)
так как мы имеем
df .dp f __ ,
-PW + ~W~''	(8)
Собственные функции оператора х в переменных р будут
Здесь аргументом является р, а параметром х, тогда как в B) р
было параметром, а х аргументом.
Функция
4
от переменной х описывала такое состояние электрона, в кото-
котором количество движения имело определенное значение р. Со-
Состояние же с определенной координатой х' описывалось в пе-<
ременных х собственным дифференциалом
dF(x, x'),	A1)
где
F(x, х')=1, х>х',
F(x, ж') = 0, *<*'.
С другой стороны, в переменных р состояние с определенной
координатой х описывается функцией
а состояние с определенным количеством движения р' — соб-
собственным дифференциалом
dF(p,p'),	A4)
Где F(p, р') — такая же функция от р и р', как F(x, х') от х и х'.
Нетрудно видеть, что переход от одного представления к дру-
тому происходит, как и в общем случае, при помощи интеграла
Фурье, ибо мы имеем для состояния с определенной координа-
координатой х — х'
f (р) = гр+ (р, дс) = $ Ч>+ (р, х) dxF (x, x')	A5)

§ II]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАК ОПЕРАТОР	63
и для состояния с определенным количеством движения р = р'
Ч> (*) = Ф (х, />') = $* (х, р) dpF (p, р').	A6)
§ 11. Каноническое преобразование как оператор
Каноническое преобразование удобно писать в символиче-
символическом виде. Обозначим символом S(x, X) оператор, который пе-
переводит функцию с (Я), описывающую состояние в переменных X,
в функцию ар (лг), описывающую то же состояние в переменных х;
тогда разложение A) § 9 можно символически написать в виде
$(x) = S(x, Х)с(Х).	A)
Этот оператор отличается от рассмотренных нами раньше
тем, что он переводит функцию от данной независимой перемен-
переменной в функцию от другой независимой переменной х, причем
обе функции описывают одно и то же состояние, только в раз-
разных переменных.
Выражение с(X) через \р(дс), т.е. формулу B) § 9, можно
написать в виде
c(X) = S-l(X,x)$(x).	B)
Покажем, что этот обратный оператор S~l(X, x) совпадает с со-
сопряженным S+(X, x). Рассмотрим наряду с функциями х|з(я) и
с(Х) другие две функции i|/(x) и с'(Х), связанные между собой
теми же соотношениями A) и B). Обобщая прежнее опреде-
определение сопряженного оператора на случай разных независимых
переменных, определим S+(X, x) как оператор, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию
W(x) [S (х, X) с (X)] dx = J [S+(X, x)q'(xj] с (X) dX, C)
причем, в случае точечного спектра, интеграл нужно заменить
на сумму. Левая часть здесь равна
(X)c(X)dX	D)
по теореме замкнутости. Чтобы правые части в C) и D) были
равны при любом с(Х), необходимо, чтобы
c'(X) = S+(X,x)tf(x)	E)
для всякого i|/(x). Сравнивая это с B), получаем
S~l(X, x) = S+(X, х),	F)
так что
S(x,X)S+(X, x)=l,	G)
S+(X,x)S(x,X)=l.	G*)

64	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
Как мы знаем, оператор, удовлетворяющий этим условиям, на-
называется унитарным. Таким образом, переход от одних незави-
независимых переменных к другим производится посредством унитар-
унитарного оператора.
Посмотрим, как выразится при помощи 5 каноническое пре-
преобразование оператора для некоторой величины М. Если опе-
оператор в переменных х переводит ty(x) в г|/(л:)
Ъ'(х) = М(х)Ц(х),	(8)
то тот же оператор М в переменных Я переводит, как мы
знаем, с (Я) в с' (Я)
с'(Х) = М(Х)с(Х).	(9)
Но мы имеем
с (Я) = S+ (Я, х) i|/ (х) = S+ (Я, х) М (х) ф (*)	A0)
Подставляя A1) и A0), получим
с (Я) = S+ (Я, х) М (х) S (х, Я) с (Я).	A2)
Сравнивая это с (9), будем иметь
М (Я) = S+ (Я, х) М (х) S {х, Я).	A3)
Таким образом, преобразованию A1) функции ty(x) соот-
соответствует преобразование A3) оператора М (х).
Очевидно, что два последовательных унитарных преобразо-
преобразования могут быть заменены одним. В самом деле, вместо того,
чтобы сперва переходить от переменных Я к переменным х по-
посредством унитарного преобразования S(x, X), а затем от х к \х
посредством Г((л, х), мы можем сразу перейти от Я к \i при по-
помощи преобразования
U(ii,X) = T(ii,x)S(x,X),	A4)
которое, очевидно, будет тоже унитарным.
Унитарный оператор S(x, Я), вообще говоря, имеет ядро.
Сравнивая A) с A) § 9 и B) или E) с B) § 9, легко видеть,
что
ядро S (х, Я) = ф (х, Я),	A5)
ядро S+ (Я, х) = ф+ (Я, *) = ф {х, Я).	A5*)
Таким образом, ядро оператора унитарного преобразования
от переменных L (т. е. Я) к переменным х равно собственной
функции оператора L в переменных х.

§ 12]	УНИТАРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ	65
§ 12. Унитарные инварианты
При выводе оператора для количества движения и § 3 мы
столкнулись со следующим обстоятельством. Не только опера-
операторы
== —«A-IJ- F=1,2,3),	A)
но и операторы
—^ +
удовлетворяли всем условиям, вытекающим из вида скобок
Пуассона. При этом функции фиф' были связаны соотноше-
соотношением
а операторы pk и р'к — соотношением
~^f^f.	C)
Вещественная функция f(xi, х%, Хг) оставалась произволь-
произвольной. Сравнивая B) и C) и A1) и A3) § 11, мы видим, что
формулы B) и C) представляют унитарное преобразование,
с той особенностью, что оно не сопровождается заменой неза-
независимых переменных. Оператор S этого преобразования имеет
вид умножения на функцию от независимых переменных, по
модулю равную единице, так что в нашем случае
Lf
S = eH .	D)
Этот множитель называется фазовым множителем.
Как мы знаем, оператор для данной величины может быть
выражен в разных независимых переменных, причем даже после
того, как выбор независимых переменных сделан, остается еще
произвольным фазовый множитель. Но как переход от одних
независимых переменных к другим, так и введение фазового
множителя производится посредством унитарного преобразова-
преобразования. Поэтому любые два представления данного оператора свя-
связаны между собой унитарным преобразованием. Таким образом,
мы можем сказать, что вид оператора для данной физической
величины определяется свойствами этой величины лишь с точ-
точностью до унитарного преобразования.
Так как свойства физической величины не могут содержать
произвольных элементов, то они должны выражаться посред-
посредством таких математических соотношений, которые остаются ин-

66	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
вариантными по отношению к унитарным преобразованиям. Эти
инварианты должны играть поэтому большую роль в теории.
Такими унитарными инвариантами являются
прежде всего свойство самосопряженности и спектр собствен-
собственных значений оператора. В самом деле, по формуле A3) § 11
M(k) = S+M(x)S,	;5)
откуда, по правилу перехода к сопряженному оператору,
M+(k) = S+M+(x)(S+)+ = S+M+(x)S,	F)
так что из
М + (х) = М (х)
вытекает
М
Далее, уравнения
М(к)с(к) = цс(к)	(8)
эквивалентны, так как одно получается из другого подстановкой
(9)
Поэтому собственные значения jx у" них одни и те же. Этот ре-
результат тесно связан с теоремой замкнутости, на основании
которой
\^	A0)
для двух любых пар функций гр (х), с (к) и ty'{x), с'(к), связан-
связанных соотношениями вида (9). Выражение A0) представляет
собой унитарный инвариант. Таким же инвариантом является,
очевидно, выражение
dx= $ с (к) М {к) с (A) dk,	A1)
физический смысл которого мы выясним в следующей главе.
Наконец, всякое алгебраическое соотношение между опера^
торами, как-то:
()
или
N(x) = M(x)L(x),
является инвариантным, так как если над всеми тремя опера-
операторами L(x), M(x), N(х) произвести одно и то же преобразо-
преобразование, то преобразованные операторы L(k), M(k), N(k) будут
связанными теми же соотношениями, как и первоначальные.

§ 13]	ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ	67
Например, при преобразовании операторов х и рх к любым пе-
переменным скобки Пуассона
j {рхх — хрх) = 1
останутся равными единице.
§ 13. Изменение состояния системы во времени.
Операторы как функции от времени
Рассматривая операторы для различных физических вели-
величин, мы не вводили в рассмотрение время. Между тем в клас-
классической механике все величины были функциями от времени.
Что соответствует этому понятию в квантовой механике?
Мы знаем, что оператор для одной и той же физической ве-
величины допускает различные математические представления,
причем выбор того или иного из них остается произвольным.
Рассмотрим такое представление операторов, в котором мате-
математическая форма их остается одной и той же для всех значе-
значений времени t. Такое представление возможно, если только
спектр собственных значений оператора не меняется во времени,
как это и имеет место в большинстве случаев. Например, опе-
оператор для количества движения рх может быть представлен для
всякого t в виде рх = — ?й-у—. Если в начальный момент вре-
времени t — 0 данная величина имела определенное значение, на-
например рх равнялось р'х, так что
р*1> = рМ> С = 0),	A)
то в момент времени / она может, вообще говоря, принять другое
значение или стать неопределенной. В нашем примере
Рх* ^ Р> С > °)-	B)
Так как вид оператора (рх) по предположению остается неиз-
неизменным, то должен измениться вид функции т|э. Таким образом,
если принять такое представление операторов, в котором их ма-
математическая форма не зависит от t, то состояние системы
должно описываться функцией г|), зависящей от времени. Эта
зависимость может быть символически представлена в виде
${x,t) = S(t)${x,0),	C)
где S(t)—оператор, зависящий непрерывным образом от вре-
времени и обращающийся при 1 = 0 в единичный оператор
5@)= 1.	D)

68	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
Оператор S(t) мы предположим унитарным
S+(t)S(t)=l, S(t)S+(t)=l,	E)
так чтобы условие нормировки сохранилось для всех t
J ф (х, t) ф (х, *) «Гт = J ф {x, 0) ф (х, 0) dr.	F)
Рассмотрим теперь другой способ представления операторов.
Мы знаем, что унитарной подстановке C) над функцией ф со-
соответствует унитарное преобразование операторов вида
L'(t) = S+(t)LS(t),	G)
причем уравнения
tf	(8)
(8*)
эквивалентны, если
VW = sV(*. 0,	(9)
+, t).	(9*)
Упомянутый второй способ представления операторов будет за-
заключаться в том, что оператором для величины L в момент
времени t мы будем считать
L'(x) = S+LS.	G*)
Различию между обоими способами представления операто-
операторов соответствует различие в способах описания состояния,
а именно, в первом способе состояние описывается функцией от
координат и времени, а во втором способе — функцией только
от координат, причем время может входить только как пара-
параметр. Если начальное состояние было
ф (*) = !)(*, 0),
то состоянию во время t будет соответствовать, при описании
по первому способу,
( ) S()(),	C*)
а по второму способу — по-ирежнему
Чтобы узнать, будет ли величина L во время t иметь определен-
определенное значение, нужно, по первому способу, посмотреть, будет ли
функция i|)(jc, t) формулы C*) собственной функцией опера-
оператора L, а по второму способу — будет ли ty(x) собственной
функцией оператора L'(t). Таким образом, в первом способе от
времени зависит вид волновой функции, а во втором способе —

§ 13]	ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ	69
вид оператора. Очевидно, что оба способа вполне эквива-
эквивалентны.
Чтобы найти закон изменения состояния во времени, т. е. опе-
оператор S(t), примем второй способ описания. Так как здесь из-
изменение состояния физической системы проявляется в измене-
изменении вида оператора, то естественно толковать производную по
времени от оператора для данной величины как оператор для
скорости изменения этой величины во времени. Такое толкова-
толкование можно рассматривать как определение оператора для
скорости. Найдем производную по времени от оператора L'(t),
причем примем во внимание возможность явной зависимости от
времени оператора L. Мы получим
dL'd{tx) = S+LS + S+ ~- S + S+LS,	A0)
где точкой обозначено дифференцирование по времени. Пере-
Переходя теперь к первому способу представления, мы должны бу-
будем применять унитарное преобразование, обратное G), к опе-
оператору A0) и определить -j-, как
Вычисляя это выражение, будем иметь
l?=dL_ + SS+L + LSS+.	A2)
Но оператор S(t) — унитарный, так что
SS+=1,	A3)
откуда, дифференцируя по времени, получаем
SS+ + SS+ = 0.	A4)
Это равенство показывает, что оператор iSS+, который мы
обозначим через у #*:
+=|tf*.	A5)
будет самосопряженным. Вводя в A2) оператор Н* и пользуясь
при этом A4), получим
4	+ ^
Второй член здесь имеет вид квантовых скобок Пуассона, так
что мы можем написать

70	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. Г
Написанное в таком виде выражение для производной по вре-
времени совпадает по форме с классическим, если оператор Я* бу-
будет оператором энергии Я. Мы примем здесь это предположе-
предположение. Независимо от классической аналогии оно вытекает из за-
закона сохранения энергии и из правила частот Бора. В самом
деле, по закону сохранения энергии мы должны иметь
если только оператор энергии Я не зависит явно от времени.
Это равенство будет выполняться для любой механической си-
системы, т. е. при любом виде оператора Н, только в том случае,
если
Я* = /(#)•	A9)
Вид функции /(Я) можно было бы установить на основании пра-
правила частот Бора. Оставляя вид /(Я) неопределенным, мы по-
получили бы для частоты света, излучаемого при переходе-
с уровня Е на уровень Е', выражение
^	B0>
которое совпадает с экспериментальными, если f(E)= E.
Обратно, если бы мы, на основании классической аналогии,,
положили Я* s= Я, мы могли бы вывести закон сохранения
энергии и правило частот Бора.
Таким образом, можно считать установленным, что
H = H* = ihSS+,	B1)
так что выражение A6) для производной оператора L по вре-
времени напишется
или
Эти уравнения носят название квантовых уравнений
движения.
Если мы будем считать оператор энергии Я известным, то-
формулы C) и B1) дадут закон изменения состояния системы
во времени. В самом деле, дифференцируя C) по времени, имеем
Но

<§ 14]	ГЕЙЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ	71
поэтому
L = SS+^(x, t).	B4)
Заменяя 55+ его выражением B1), будем иметь
ihQ = 0.	B5)
Это уравнение принято называть волновым уравнением, хотя
оно и не принадлежит к тому типу уравнений, которые в мате-
математике называются волновыми.
Волновое уравнение можно было бы получить и на основа-
основании следующих формальных соображений. В классической ме-
механике энергию Н можно рассматривать как взятый с обратным
знаком обобщенный момент, сопряженный с временем:
H = -Pt	B6)
и по аналогии с операторами рх, ру, pz можно было бы напи-
написать
pt = -ih-Hr.	B7)
Приравнивая результаты применения к функции ^ операторов
Н и —pt, мы получили бы волновое уравнение B5). Против
этого вывода можно было бы возразить, что вид оператора рх
был получен из условия [рх, х] = 1, тогда как мы не рассматри-
рассматривали скобок Пуассона для энергии и времени.
§ 14. Гейзенберговы матрицы
Тот способ представления операторов, в котором зависимость
¦от времени переносится на самый оператор (мы его называли
в § 13 вторым способом представления), может быть осущест-
осуществлен следующим образом. Пусть
Ы*), 4>iM, •-., Ъ„(х), ••¦	(О
представляют замкнутую, ортогональную и нормальную систему
¦функций, например, собственных функций какого-либо опера-
оператора. Найдем решение tyn(x, t) волнового уравнения
m 4f = °>	B)
удовлетворяющее начальным условиям
%(х, 0) = Ч>„(*)-	C)
Можно показать, что полученные решения
г|H(х, О, ЪЛх, *),..., Ъп(х, t), ...	D)

72	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
будут представлять замкнутую, нормальную и ортогональную
систему функций для всех значений /. Это справедливо
даже и в том случае, когда оператор энергии Н зависит явно
от времени.
Разложим функцию у^(х, 0), описывающую начальное со-
состояние системы, в ряд по функциям A)
оо
а|>(*,0)= ?с„оМ*)-	E)
Тогда состояние в момент времени / будет описываться функ-
функцией
оо
ф(*. о=Ес„фв(*, о,	F)
ге=0
где сп — те же постоянные, что и в формуле E). Если мы при-
примем за независимую переменную число п (номер функции tyn)>
то в этих переменных состояние как в начальный, так и в лю-
любой последующий момент времени будет описываться одной и
той же функцией от п, а именно:
с(п) = ся.	G)
Следовательно, в этих переменных вся зависимость от времени
переносится на вид операторов, так что для получения искомого
их представления достаточно перейти к переменным п.
Нетрудно найти матрицу (ядро) какого-либо оператора L
в переменных п. По общей формуле A3) § 9 мы будем иметь
(га\L{t)\ л') = J й,(х, t)La|v (x, t)dr.	(8)
Такое представление операторов обладает тем свойством, что
dL
элемент матрицы для оператора -тг, представляющего скорость
изменения оператора L во времени, равен производной по вре-
времени от элемента матрицы для оператора L:
-	(9)
Это вытекает из того, что вся зависимость от времени перене-
перенесена на вид оператора. Формулу (9) можно, впрочем, доказать
и непосредственно (см. аналогичное доказательство в § 4 гл. IV).
В наших рассуждениях мы предполагали, что функции \рп
образуют дискретный ряд, например, являются собственными
функциями какого-либо оператора с точечным спектром. Это
предположение, однако, не существенно. Функции *|з могут быть
собственными функциями оператора со сплошным спектром,
а роль целого числа га может играть непрерывный параметр. По-

? 14] ГЕЙЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ	73
ложим, например, что решение волнового уравнения,	которое
при t = 0 приводится к
Ф(*,*)к=о = /(*),	(Ю)
может быть представлено в виде
г|> (jc, t) = \ ф (х, t; x0) f (x0) dx0.	A1)
Тогда формула A1) заменяет формулу F), причем функция
ty(x, t; Xq) играет роль tyn(x, t), параметр Хо — роль целого
числа п и функция f(x0)—роль сп. Сравнение формулы A1)
с определением C) § 13 оператора S(t) показывает, что функ-
функция гр(х, t; Хо) есть ядро S(t). Заметим, что в некоторых про-
простейших случаях (свободный электрон, электрон в однородном
электрическом поле, вибратор) функция ty(x, t; x0) выражается
в конечном виде *).
Особенно важную роль играет, ввиду его простоты, а также
применения к вычислению излучения атомов, то представление
операторов, которое получается, если в качестве функций A)
взять собственные функции оператора энергии Н (мы предпо-
предполагаем, что Н не зависит от времени). Пусть
х) = ЕпЪЛх).	A2)
Решением волного уравнения B) с начальными условиями C)
будет, очевидно,
фл*./)=в"я»Чл*).	A3)
Выраженные через эти функции элементы матрицы будут иметь
вид
(n\L(t) \п') = е^(Еп'Еп')г \ TJvM^IV (x)dx.	A4)
Гейзенберг в своей первоначальной «матричной» формули-
формулировке квантовой механики A925 г.) сопоставлял, не вводя по-
понятия об операторах, физические величины матрицам вида A4).
Мы будем поэтому называть эти матрицы Гейзенберго-
выми матрицами, а тот способ представления операто-
операторов, в котором вся зависимость от времени перенесена на
самый оператор,— Гейзенберговым представлением
операторов.
Из формулы A3) следует, что состояния с определенной
энергией суть стационарные состояния. В самом деле, функция
A3) остается собственной функцией оператора энергии для
*) См. главу 14 книги L. de В г о g I i e, Einfuhrung in die Wellenmecha-
nik (Leipzig, 1929).

74	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. i
всех t, так что если в начальный момент энергия имела опре-
определенное значение, то она будет иметь то же значение и в по-
последующее время. Это есть не что иное, как новое выражение
закона сохранения энергии.
В заключение этого параграфа сделаем одно замечание исто-
исторического характера. Волновая функция ty(x, у, z, t) была впер*
вые введена в рассмотрение в 1925 году де Бройлем (de Brog-
lie), который ввел понятие о «волнах материи» и тем самым
положил основание волновой механике. Идеи де Бройля были
затем развиты Шредингером, который в 1926 году нашел мате-
математическую формулировку задачи о стационарных состояниях
атома, приведя ее к нахождению собственных значений и функ-
функций некоторого оператора (оператора энергии). В том же
1926 году Шредингер показал также эквивалентность «волно-
«волновой» механики «матричной» механике Гейзенберга. Правильное
физическое толкование волновой функции выработалось, однако,,
лишь впоследствии.
§ 15. Полуклассическое приближение
В предельном случае, когда постоянную Планка можно счи-
считать малой по сравнению с встречающимися в данной задаче
величинами той же размерности, можно приближенно выразить,
решение уравнения Шредингера через решение уравнения Га--
мильтона — Якоби.
Рассмотрим уравнение Шредингера
--^ДЧ)+ ?/(*, у, г)Ъ = Ш^,	A>
где U есть заданная функция от координат и будет иметь его-
решение в виде
$ = №*,	B>
где \|/ есть формальный ряд по возрастающим степеням Ь. Под-
Подстановка выражения B) в уравнение A) дает
= th [± grad 5 grad ф' + JL ASl|/ + &¦] + ? Дф'. C)
Если мы пренебрежем здесь членом, пропорциональным Ь2, и
приравняем нулю член, не зависящий от Ь, и член, пропорцио»
нальный первой степени Ь, мы получим два уравнения
^(gradSJ + ?/ + -g- = 0,	D)
± grad S grad Г + i Д^° + ^Г = 0-	E)

^ 153	ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	75
Во втором из них мы заменили амплитуду г|/ ее приближенным
значением г|з°, соответствующим й -> 0.
Уравнение D) есть уравнение Гамильтона — Якоби класси-
классической механики. Уравнение же E) приводится к уравнению
неразрывности классической гидродинамики. В самом деле, ум-
умножим его на 2г|э° и положим
(Ч>°J = Р-	F)
Мы получим
-LgradSgradp + ^-p+^- = O	G)
или
Б классической механике grad 5 = р есть количество движения,
а —grad5 = v есть скорость; следовательно, уравнение (8)
может быть написано в виде
div(pfL—т- = 0,	(9)
т. е. в виде уравнения неразрывности.
Решение уравнения Гамильтона — Якоби принято называть
-функцией действия. Решение это можно получить, введя в рас-
рассмотрение функцию Лагранжа
"* — 2	' '
и вычислив интеграл
t
S=^2(t)dt	A1)
to
вдоль траектории частицы (интеграл действия). Для вычисления
интеграла действия можно выразить сперва функцию Лагранжа
через время и постоянные интегрирования (их будет шесть, так
как уравнения Лагранжа представляют три уравнения второго
лорядка). По выполнении интегрирования в A1) можно выра-
выразить результат через начальные и конечные значения координат
(и через время). Интеграл действия будет тогда удовлетворять
уравнению Гамильтона •— Якоби.
Полученное таким путем решение уравнения Гамильтона —
Якоби не единственно. Существуют и другие решения этого
уравнения, зависящие не от начального значения координат,
а от других постоянных интегрирования с\, с%, с3. Кроме того,
можно, очевидно, использовать вместо прямоугольных декарто-
декартовых координат какие-либо другие координаты. В дальнейшем
мы ограничимся случаем прямоугольных координат.

76
ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[Ч. I
Пусть
S = S(x,y,z,t,cuc2,c3)	A2)
есть решение уравнения Гамильтона — Якоби. Из классической
механики известно, что
dS	dS _	dS
дх я''1" ду —Pv> дг '
dS
:Pz> -лГ = ~
A3)
где рх, ру, рг — составляющие количества движения, а Н —
энергия (функция Гамильтона). Кроме того, производные от S
по постоянным с\, с2, с3 будут равны новым постоянным, кото-
которые мы обозначим через b\, b2, Ъ3, так что мы будем иметь
dS
dS
dS
(И)
В частном случае, когда в качестве С\, с2, с3 взяты начальные
значения х°, у0, г° координат, постоянные Ь\, Ь2, Ь3 будут на-
начальными значениями импульса, взятыми с обратным знаком.
Решим теперь уравнение (8) или (9) в предположении, что
решение A2) уравнения D) известно. Докажем, что в каче-
качестве р можно взять детерминант
	 _ d"S	d*S
дхдС)
Р =
дх
ду dci ¦
d*S
дудсг
дгдс\
d'S
dzdcj
дх дс3 ду дса дг дез
A5)
(или, поскольку р положительно, его абсолютное значение).
Дифференцируя уравнение D) по содержащимся в функ-
функции 5 постоянным d, Сг, с3, получим
1 as d'S , 1 dS d*S .1 dS d2S	d*S
m дх дх дси
m дг дг дск
i,i	/71 ду ду дс^	ш ил ил ub?
где k= 1,2,3. Пользуясь соотношениями
J_dS__ J_i?._	I dS
т дх *' т ду у> т дг
мы можем переписать уравнения A6) в виде
d2S ,	d"S .	d!S
* дх dck ' У ду dck z дг dck
dtdcu
A6)
A7)
A8)
(k = 1,2,3). Эти три уравнения могут быть решены относи-
относительно «неизвестных» vx, vy, vz, причем определитель из коэф-
коэффициентов при «неизвестных» как раз равен величине р [фор-
[формула A5)].

$ 15]
ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
77
Для упрощения дальнейших формул воспользуемся обозна-
обозначением A4). Тогда уравнения A8) напишутся
dbk ¦ dbk ¦ дЬь	dbk	/,n<
р, . +1),. -, + Р, -, =	ST-	A9)
x dx ' t> dy г dz	dt	v '
(эти соотношения показывают, что величины ftft во время дви-
движения не меняются, о чем мы уже говорили выше). Определи-
Определитель р будет равен
Р —
pvx = —
ррг = —
dbi
dx
dbi
dx
db3
dx
и pv
db,
dt
db2
dt
db3
dt
db,
dx
дЬ2
~dx~
db3
dx
dbi
~dx~
dbi
dx
db3
dx
db,
dy
dbi
dy
dbi
W
db,
dz
дЬг
dz
db3
dz
г будут
dbi
ду
дЬг
ду
db3
ду
db,
dt
дЬ2
dt
db3
dt
db,
dy
дЬ2
dy
db3
dy
dbi
~dz
dbi
~dz
dbi
dz
db.
~dz
db2
dz
db3
~dz
dbi
dt
db2
dt
db3
It
_ D(b,,bi,b3)
D(x,y,z)
равны соответс
D(bubi,
D(t,y,
D(bi, b2,
D(x,t,
D(bubi
D(x,y,
.тве
6a)
г)
6a)
z)
63)
0
B0)
B1)
B2)
B3)
Подставляя найденные значения величин р, pvx, pvy, pvz в вы-
выражение
d , \ л_ д 1 \ ¦ d , \ \ dp	/ол\
можно убедиться, что все члены сокращаются, так что это выра»
жение тождественно равно нулю. Таким образом, уравнение не-
неразрывности (9) выполняется, а следовательно, выполняется и
уравнение E) для функции г|э°, связанной с р соотношением F).

78	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
Проиллюстрируем изложенную в этом параграфе теорию на
случае свободного движения материальной точки. Так как при
свободном движении скорость постоянна, а потенциальная энер-
энергия равна нулю, мы будем иметь
t
= \-р-Л = -5-*	B5)
о
(мы положили to = O). В качестве постоянных интегрирования
мы возьмем начальные значения х0, уо, Zo координат х, у, г. Мы
будем тогда иметь
и, следовательно,
Определитель, составленный из вторых производных от S,
d2S	т_	d2S _ т	d2S	_от_
дх дх0	t ' ду дуа	t ' dz dz0	t
(вторые производные по разным координатам равны нулю) бу«
дет величиной, обратно пропорциональной t3, так что мы мо-
можем положить
const	/— 0 const
Р — —л— • "V Р == w == —з/7~ 1	B9)
и, следовательно, приближенное значение функции ф будет
' ехР (^77 К* ~~ *оJ + (У — УоJ + B — z0J]). C0)
Подстановка этого выражения в уравнение. Шредингера пока*
зывает, что оно будет даже не приближенным, а точным реше-
решением. (В этом можно убедиться и без вычислений, если восполь-
воспользоваться формулой C) и иметь в виду, что при я|/ = гр°, где гр0
имеет вид B9), будет Дг)/ = 0.)
§ 16. Связь канонического преобразования с касательным
преобразованием классической механики
Для систем, имеющих классический аналог, каноническое
преобразование операторов представляет аналогию с касатель-
касательным преобразованием классической механики.
Пусть <7ь <72, • ¦ •, Цп и р\, Р2	Рп — первоначальные ко^
ординаты и импульсы (моменты) системы, а
Q,, Qi	Qn и р„ Р2, .... Рп

§ 16]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	79
— преобразованные координаты и импульсы. Рассмотрим слу-
случай, когда функция преобразования зависит от старых и новых
координат
S = S(qu ..., qn; Q,	Qn).	A>
Касательное преобразование определяется соотношением между
дифференциалами
tprdqr-tPrdQr = dS,	B)
из которого следует
OS р	dS	. .
Р	р	{3>
Выражения для величин q, р через величины Q, Р и обратные
выражения получаются решением уравнений C). Это решение
всегда существует, так как определитель
предполагается отличным от нуля.
В квантовой механике такому касательному преобразованию
соответствует каноническое преобразование от представления,
в котором «диагональными» являются величины q к представ-
представлению, в котором «диагональными» являются величины Q. Это
каноническое преобразование имеет следующий вид. Обозначим
для краткости*) через xFq(^) общие собственные функции one*
раторов Qi, ..., Qn, выраженные в переменных qu q2, ..., qn-
Пусть F есть преобразуемый оператор. Тогда ядро или мат-
матрица преобразованного оператора F* будут иметь вид
E)
где под dq разумеется произведение дифференциалов
dq = dqu dq2, ..., dqn.
Собственную функцию WQ(q) можно рассматривать как ядро
(q\U\Q) унитарного оператора U = LJ-1 и писать формулу E)
в виде
F* = UFU~i.	F)
При F = 1 формула E) приводится к условиям ортогонально-
ортогональности, причем слева должно получиться ядро единичного опера-
оператора в переменных Q, т. е.
(Q'\l\Q) = MQ-Q'')^b(Qi-Q'i)...6(Qn-Q'n), G)
*) Совокупность переменных qu ..., qn мы будем часто обозначать од-
одной буквой q\ аналогичный смысл будут иметь обозначения р, Q, Р.

80	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
где б есть дельта-функция Дирака (формула G) может слу-
служить ее определением).
В полуклассическом приближении мы можем взять в каче-
качестве xirQ(q) выражение
= " VI
которое представляет обобщение выражения, полученного в пре-
предыдущем параграфе.
Здесь для краткости положено
dqdQ = * dq2 dQs '	^
а под корнем в (8) стоит абсолютное значение этого определи-
определителя. Постоянная с равна
c = Bnh)~n/2.	A0)
Проверим, что эти функции приближенно удовлетворяют ус-
условию ортогональности. Подстановка выражений (8) в инте-
интеграл E) при F = 1 дает под интегралом быстропеременный по-
показательный множитель е н , где 5' получается из S заме-
заменой Q на Q'. Этот множитель перестает быть быстроперемен-
ным, только если Q' близко к Q. Только при таком условии ин-
интеграл будет заметно отличен от нуля. Поэтому мы можем за-
заменить в показателе разность 5 — S' выражением
Г=1
или
r=l
A2)
где Рг имеет значение C). Формулу A2) можно для краткости
записать в виде
S-S' = (Q'-Q)P.	A3)
Во всех множителях при показательной функции мы можем по-
положить Q' = Q. Тогда получим
dq.	A4)
Но если Рг имеет значение (З), то определитель под интегра-
интегралом в A4) есть якобиан преобразования от Р к q, так что
dQdq
A5)

§ 16]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	8f
Поэтому формулу A4) можно записать в виде
T{Qf~Q)PdP.	A6)
Но оставшийся интеграл (умноженный на с2) ест% просто про-
произведение дельта-функций G). Отсюда окончательно
60{Q-Qf),	A7)
и, следовательно, условие ортогональности и нормировки выпол-
выполняется.
Рассмотрим теперь матрицу для произвольного оператора F,
выраженного через qr и рг = — ih-~—. Пусть
A8)
Результат действия такого оператора на показательную функ-
функцию ей будет в рассматриваемом приближении равен произ-
у
ведению этой функции на F^q,
То же справедливо и по отношению к функции (8). Поэтому
в формуле E) мы можем подразумевать под F не дифферен-
дифференциальный оператор, а функцию, стоящую в правой части A9).
Полагая, как и раньше, в множителях при показательной функ-
функции Q' = Q, будем иметь
(Ч\г \Ч) — с )f\q, dq )е	-щщ aq.	(ZU)
В качестве переменных интегрирования возьмем, как и в A6),
величины Р. Преобразуя к ним функцию F, будем иметь
F (q, p) = F(q (Q, P), p (Q, Р)) = F* (Q, Р),	B1)
где под р и Р разумеются классические выражения C). Вслед-
Вследствие приближенного равенства A3) мы можем написать
S—- lOf—O)Р
F*(Q,P)eH	dP.	B2)
Чтобы вычислить этот интеграл, заметим, что умножение со-
содержащейся в нем показательной функции на Р равносильно

82	'	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
применению к ней оператора —ih-^y-. Поэтому
\(	^)	B3)
о
Вынося оператор F* за знак интеграла и пользуясь результа-
результатами A6) и A7), получим
(Q' \F*\Q) = r (Q, - ih -щ) бо (Q - Q').	B4)
Здесь (как, впрочем, и в предыдущих формулах) можно было
бы взять в качестве первого, аргумента F* величину Q'. Так как
результат применения оператора F* к некоторой функции ty{Q)
определяется формулой
\	B5)
то, пользуясь выражением B4) для элемента матрицы, мы бу-
будем иметь
(±)	B6)
Таков будет вид преобразованного оператора F* (с точностью
до членов, зависящих от порядка множителей в нем).
Наши вычисления можно резюмировать следующим образом.
Применение приближенного равенства A9) позволило нам пе-
перейти от оператора F\q, —ih-^-jK функции F(q, p), затем эта
функция была выражена по классическим формулам для каса-
касательного преобразования через новые переменные Q, Р. От полу-*
ченной новой функции F*(Q, P), мы затем вновь перешли к опе-
оператору F" [Q,—^~до)' К0ГДа применяли метод дифференци-
дифференцирования по параметру к вычислению интеграла.
Таким образом, мы пришли к следующему результату.
Пусть дан оператор
F = F{q,p), p = -ihj^,	B7)
выраженный в переменных q. После канонического преобразова-
преобразования к переменным Q оператор F переходит в F*. Пусть опера-
оператор F*, выраженный аналогично B7), имеет вид
F* = F*(Q,P), P^-ih-щ.	B8)
Предположим, что собственные функции, при помощи которых
совершается каноническое преобразование от q к Q, имеют в по-
полуклассическом приближении вид (8), так что их фаза равна

§ 16]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	83
-g- S {q, Q). Тогда вид функции F* может быть получен из F
с точностью до членов, зависящих от порядка множителей *),
путем простого алгебраического преобразования при помощи
равенств
F{p) = r(Q,P),	B9)
ds и	dS
где 5 — функция, входящая в фазу унитарного преобразования.
Последние формулы представляют касательное преобразование
классической механики.
*) Разность членов, отличающихся порядком множителей, будет стре-
стремиться к нулю при /г->0»

Г л а в а IV
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ТОЛКОВАНИЕ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Математическое ожидание в теории вероятностей
Напомним прежде всего известное из теории вероятностей
понятие о математическом ожидании некоторой величины. Пусть
величина А может принимать значения
Ai, A2, ..., А*, ...,	A)
вероятности которых суть соответственно
Р\> Pi, • • •> Р*. •••.	B)
причем сумма вероятностей равна единице
Р1+Р2+ ... =1-	C)
Математическим ожиданием величины называется сумма
произведений каждого значения этой величины на вероятность
его появления, т. е.
м. о. А = ? Pkh>	D)
где буквы м. о. обозначают «математическое ожидание».
Поясним это понятие простым примером. Пусть имеется ЛГ
лотерейных билетов, из коих п\ выигрывают по Ai рублей, п%
по Аг рублей и т. д. Если лотерея не беспроигрышная, одно из
чисел А может быть нулем. Имеем
я, + л2 + ... =N,	E)
и если мы обозначим сумму выигрышей через Л,
п,А, + п2К2 + ... = Л.	F)
Средний выигрыш / на один билет (считая и нулевые выиг-
выигрыши) равен, очевидно,
'-?.	G)

§ 2]	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ "" 85
и вероятность выигрыша кк равна
Если мы в G) подставим выражение F) для Л и восполь-
воспользуемся (8), то средний выигрыш на один билет можно будет
написать в виде
/ = ?р*Л*.	(9)
Сравнивая это с общей формулой D), мы видим, что мате-
математическое ожидание выигрыша есть не что иное, как средний
выигрыш
м. о. к = 1.	A0)
Вообще математическое ожидание данной величины есть
среднее значение этой величины.
В теории вероятностей рассматриваются также вероятности
непрерывно меняющихся величин. Пусть Я, может кроме отдель-
отдельных значений к\, kz, ... принимать также и непрерывный ряд
значений в некотором промежутке. Вероятность величине к ле-
лежать между k a k + dk будет, вообще говоря, пропорциональ-
пропорциональной dk. Положим, что она равна
p{k)dk.	A1)
Сумма вероятностей по-прежнему должна равняться единице;
это условие напишется теперь
1.	A2)
где интеграл взят по всему промежутку непрерывного измене-
изменения. Наконец, формула для математического ожидания будет
иметь вид
?$	A3)
§ 2. Математическое ожидание в квантовой механике
Обратимся теперь к теории квантов. Мы видели, что состоя-
состояние электрона может быть описано посредством волновой функ-
функции г|>.
Это описание мы понимали в том смысле, что если г|> есть
собственная функция оператора L для величины к, соответ-
соответствующая собственному значению к', то задание г|з равносиль-
равносильно указанию, что в результате измерения величины к должно

.86	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
получиться Я = Я'. Собственное значение выражалось через соб'
ственную функцию следующим образом:
dx
•	(О
Естественно задать вопрос, как понимать описание состояния
посредством функции г|> в общем случае, когда она не является
собственной функцией какого-либо оператора L. Мы ответим на
этот вопрос, введя гипотезу о вероятностном характере такого
описания.
Положим, мы имеем много электронов, находящихся в оди-
одинаковом состоянии ф. Если мы будем на каждом из них изме-
измерять величину Я, то, согласно нашей гипотезе, отдельные изме-
измерения могут давать (вследствие влияния процесса измерения на
объект) разные результаты, но среднее из этих результатов бу-
будет определенным числом, которое будет представлять матема-
математическое ожидание величины Я в состоянии г|>. Таким образом,
наша гипотеза состоит в предположении, что результат отдель-
отдельного измерения может быть случайным, но что при большом
числе измерений среднее не будет зависеть от этого числа, лишь
бы оно было велико. Так как практически приходится, в боль-
большинстве случаев, иметь дело с большим числом электронов, то
среднее, т. е. математическое ожидание данной величины, даже
более непосредственно доступно опыту, чем значение этой вели-
величины для отдельного электрона.
Мы дали физическое определение понятия математического
ожидания. Нам предстоит выразить его через функцию г|з, ха-
характеризующую состояние электрона, и через оператор L, ха-
характеризующий данную величину.
Прежде всего выражение для математического ожидания
должно удовлетворять требованию инвариантности, т. е. оно не
должно зависеть ни от выбора независимых переменных в вол-
волновой функции, ни от выбора произвольной формы в представ-
представлении операторов. Короче говоря, оно должно быть инвариантом
по отношению к унитарным преобразованиям, рассмотренным
нами в предыдущей главе.
Кроме того, математическое ожидание должно обладать сле-
.дующими двумя свойствами, известными из теории вероятностей.
Во-первых, математическое ожидание суммы двух величин
должно равняться сумме математических ожиданий этих вели-
величин, безразлично, будут ли они независимыми или нет. Во-вто-
Во-вторых, если в данном состоянии величина Я имеет определенное
значение Я', то и ее математическое ожидание должно рав-
равняться Я'.

§ 2]	МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЖИДАНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ	87
Эти требования однозначно определяют вид выражения для
математического ожидания. Из условия инвариантности следует,
что оно должно выражаться через унитарные инварианты. Тако-
Таковыми являются, с одной стороны, собственные значения опера-
операторов и, с другой стороны, выражения вида
и т. п.	(*)•
Но мы не можем толковать собственные значения операторов
как математические ожидания, хотя бы потому, что собственные
значения суммы двух операторов, вообще говоря, не равны
сумме их собственных значений. Остаются, следовательно, вы-
выражения вида (*). Из них мы должны выбрать первое или ве-
величину, ему пропорциональную, так как из первого из упомяну-
упомянутых выше свойств вытекает, что математическое ожидание
должно выражаться через оператор L линейно. Множитель про-
пропорциональности получается однозначно из свойства второго.
Таким образом *),
\ ^/,г|) dx
m.o.L = ~_		B)
\ фф dx
или, если функция -ф нормирована,
м. о. L= ^Ltydx, \^dx = \.	C)
Это выражение удовлетворяет всем поставленным требованиям,
так как оно, как мы знаем, инвариантно по отношению к уни-
унитарным преобразованиям (теорема замкнутости), и, кроме того,
мы имеем
jj гр (L + М) а|> dx = ^Ltydx + ^АГф^т,	D)
так что
м.о. (L + Af) = M.o. L + м. о.М.	E)
Наконец, если в состоянии -ф величина с оператором L равна Я,
т. е. если
Lty = Лф,	F)
то и
м. o.L = Я.	G)
Таким образом, изложенные формальные соображения при-
привели к вполне определенному выражению для математического--
*) Мы обозначаем здесь величину той же буквой, как и ее оператор.

«8	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[Ч. I
ожидания величины, описываемой оператором L и характери-
характеризующей систему в состоянии \|з. На примере рассеяния а-частиц
(формула Резерфорда), который будет рассмотрен в конце гл. V
второй части, мы увидим, что теория согласуется с опытом.
§ 3. Выражение для вероятностей
Из формулы B) § 2 для математического ожидания выте-
вытекает простое выражение для вероятности получить в результате
измерения данной величины определенное значение или значе-
значение, лежащее в определенных пределах.
Пусть ty(x, X) суть собственные функции оператора L. Раз-
Разложим функцию ty(x), описывающую состояние электрона, в ряд
по этим собственным функциям
]	A)
Результат применения оператора L к функции \|з будет равен
Яс (А) ф (*, X)dX.	B)
Предположим функцию \р нормированной и составим выраже-
выражение для математического ожидания величины Я. По теореме
замкнутости мы будем иметь
м.о. А=$^1Мт = ?|с(АА)|2Яй+ \х\с(Х)ЫЬ. C)
k
Сравнивая это с формулой A3) § 1, мы убедимся, что вероят-
вероятность величине X быть равной Aft будет
рк = \с{Хк)\\	D)
а вероятность ей лежать в пределах A, X-\-dX равна
= \c{X)?dX.	E)
Сумма вероятностей равна единице, так как, в силу нормировки
функции а|э и по теореме замкнутости, имеем
A = l.	F)
Коэффициенты с (Aft) и с (А) представляют, как мы знаем,
волновую функцию, описывающую состояние электрона в пере-
переменных А. Формулы D) и E) дают, таким образом, прямое фи-
физическое толкование квадрата модуля волновой функции как

§ 3]	ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	89'
вероятности. Положим, например, что к есть совокупность ко-
координат х, у, z. Тогда вероятность электрону находится в объеме
(x,x + dx), (y,y + dy), (z,z + dz)	G)
равна по формуле (б)
\^{х,у, z)fdxdydz.	(8>
Рассмотрим теперь общий случай, когда к есть какая-либо
физическая величина. Когда исходное состояние задано, то для
нахождения вероятности получить при измерении величины к
определенное значение для нее нужно выразить в переменных к
волновую функцию, описывающую это состояние [другими сло-
словами, найти коэффициент с(Х) разложения ty{x) no ty{x, к)].
Квадрат ее модуля (т. е. квадрат модуля коэффициента разло-
разложения) дает искомую вероятность.
Положим, состояние характеризуется функцией ф(*, ц),
представляющей собственную функцию оператора М, соответ-
соответствующую собственному значению ц^:
ц*) = Hftq> (*, fife).	(9)
Это значит, что в данном состоянии измерение величины ц, дает
определенное значение. Какова вероятность получить в резуль-
результате измерения другой величины к значение, равное Хь? Приме-
Применяя формулу A) к функции г|э(л:)= ф(х, цй) и вспоминая выра-
выражение для коэффициентов разложения с (к), получим для иско-
искомой вероятности выражение
\2.	A0)
С другой стороны, если бы мы искали вероятность равенства
р. = fxfe при условии, что к = кп, мы пришли бы к тому же
выражению A0). Таким образом, вероятность равенства ц = ц6
при условии к = кп равна вероятности равенства к = кп при
условии ц. = ц.?.
Если к и ц. есть одна и та же величина, то функции ф и г|>
будут собственными функциями одного и того же оператора.
В силу ортогональности собственных функций, при ки Ф кп ин-
интеграл будет равен нулю, а при кн = кп он будет равен единице,
что вполне соответствует физическому смыслу выражения A0)
как вероятности. Таким образом, ортогональность двух волно-
волновых функций выражает тот факт, что описываемые ими состоя-
состояния несовместны.
Когда данная величина может меняться непрерывно, то
нельзя говорить о вероятности того, что она имеет опреде-
определенное значение: такая вероятность равна нулю. Взамен этого
можно говорить о вероятности того, что она лежит в известном

90	ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАН.	[Ч. I
промежутке, а также о «плотности вероятности», т. е. об отно-
отношении этой вероятности к ширине промежутка. Так, например,
«сть плотность вероятности для координаты.
С этим связано различие в нормировке функций для точеч-
точечного и для сплошного спектра; переходу от собственных функ-
функций к собственным дифференциалам соответствует переход от
плотности вероятности к вероятности лежать в известном проме-
промежутке.
§ 4. Закон изменения математического ожидания во времени
Математическое ожидание величины с оператором L
dx
A)
будет, вообще, говоря, зависеть от времени. Если мы выберем
такое представление операторов, в котором операторы для коор-
координат и моментов от времени явно не зависят, то в выражении
(]) функция \р будет удовлетворять волновому уравнению
где Н — оператор энергии.
Покажем прежде всего, что интеграл
стоящий в формуле A) в знаменателе, не будет зависеть от вре-
времени *). Мы имеем
и, пользуясь волновым уравнением, получаем
dt J	о J
Но вследствие самосопряженности оператора Н это выражение
равно нулю. Следовательно,
= 0,	C)
*J См. также формулу F) § 13 гл. III,

§ 4]	ИЗМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ВО ВРЕМЕНИ	91
и если мы положим в начальный момент времени
= l,	D)-
то эта нормировка сохранится во всякое время t. Предполагая
функцию 1|з нормированной, мы можем заменить выражение A)
на более простое:
м. о. L = \ tyLty dx,	E)
которое также остается справедливым для всякого t.
Найдем производную по времени от математического ожи-
ожидания L. Дифференцируя под знаком интеграла и заменяя про-
изводную -щ- ее выражением из волнового уравнения, получим
x + \ * -ш ^ dx>
и так как оператор Я самосопряженный
-^ \$Wx = { \q (Я - ih ±) L$ dx.	F)
Выполняя здесь дифференцирование, будем иметь
-ъ WL- LH)]*dx.	G)
Оператор под знаком интеграла есть не что иное, как оператор
для производной от L по времени
Таким образом, равенство G) выражает, что
(9)
т. е. что производная по времени от математического ожидания
равна математическому ожиданию производной, как это и дол-
должно быть. Если исходить из этого, то наши рассуждения даюг
вывод выражения (8) для полной производной от оператора по
времени — выражения, полученного нами ранее другим путем.
При рассмотрении волпового уравнения Шредингера (в ча-
части II) мы убедимся, что если в качестве L брать операторы для

92
ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[Ч. I
различных механических величин, то правые части уравнений
вида (8) будут по форме совпадать с классическими. Таким об-
образом, в квантовой механике между математическими ожида-
ожиданиями и их производными по времени существуют те же соот*
ношения, как между самими величинами и их производными
в классической механике.
§ 5. Соответствие между понятиями теории
линейных операторов и теории квантов
В заключение этой главы, а вместе и первой части нашей
книги отметим, что каждому понятию теории линейных опера-
операторов соответствует определенное понятие квантовой механики
так, что можно составить целый словарь для перевода с мате-
математического языка на физический. Словарь этот будет иметь
примерно следующий вид:
Математика	Физика
Линейный оператор L
Собственные значения Я'
(характеристические числа)
Собственная (фундаменталь-
(фундаментальная) функция т|з для собствен-
собственного значения (характеристи-
(характеристического числа)Я'
Коммутативность операто-
операторов
Квадрат модуля 11|) f
Нормировка \ | -ф fdx = 1
Переход к собственным
дифференциалам в сплошном
спектре
Ортогональность \-<pi|)dT=0
Замкнутость системы функ-
функций ty(x, Я')
Интеграл \ ф/,ф dx
Квадрат модуля коэффи-
коэффициента разложения ф(я) по
<Р (х, Я')
Возможность такого сопоставления показывает, насколько
тесна связь между обеими теориями и настолько необходим
язык теории линейных операторов для изложения теории квантов.
Физическая величина Л
Наблюдаемые значения фи-
физической величины
Состояние механической си-
системы, в котором Я = Я'
Одновременная наблюдае-
наблюдаемость физических величин
Плотность вероятности
Сумма вероятностей равна 1
Конечная вероятность нера-
неравенства Я' < Я < Я' + АЯ
Состояния ф и ¦ф несовместны
Значения Я', Я" и т. д.
единственно возможны
Математическое ожидание
величины Я в состоянии ф
Вероятность равенства Я=Я'
в состоянии ф

§ 6]	ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КОЛЛЕКТИВА -	93
§ 6. Понятие статистического коллектива
в квантовой механике
В первые годы развития квантовой механики, в ранних по-
попытках ее статистического (вероятностного) толкования, физики
еще не отрешились от представления об электроне как о клас-
классической материальной точке. Даже когда появилась идея де
Бройля о волновой природе материи, волны материи иногда тол-
толковались как нечто несущее точечные материальные частицы.
Впоследствии, когда были предложены соотношения Гейзен-
берга, эти соотношения толковались как соотношения неточно-
неточностей, а не соотношения неопределенности: об электроне говори-
говорилось так, как если бы это была частица с определенными зна-
значениями координаты и скорости, но неизвестно какими именно.
Квадрат модуля волновой функции толковался как плотность
вероятности частице иметь — независимо от условий опыта —
данные координаты (как если бы координаты всегда были опре-
определенными). Аналогично толковался квадрат модуля волновой
функции в пространстве импульсов, причем обе вероятности
(в пространстве координат и в пространстве импульсов) рас-
рассматривались совместно как вероятности некоторого сложного
события, состоящего в том, что частица имеет определенные
координаты и определенный импульс. Выражаемая соотноше-
соотношениями Гейзенберга фактическая невозможность их совместно
измерить представлялась при таком рассмотрении, как какой-то
парадокс или каприз природы, в силу которого, будто бы, не
все существующее познаваемо.
Все эти затруднения отпадают, если полностью признать
двойственную корпускулярно-волновую природу электрона вы-
выяснить сущность этого дуализма и понять, к чему относятся рас-
рассматриваемые в квантовой механике вероятности и в каком
коллективе они берутся.
Попытаемся дать сперва общее определение статистического
коллектива. Представим себе неограниченную серию элементов,
•обладающих различными признаками, по которым можно сорти-
сортировать эти элементы и наблюдать частоту появления элемента
с данным признаком. Если для появления элемента с каждым
данным признаком существует определенная вероятность, то
рассматриваемая серия элементов представляет статистический
коллектив.
В квантовой, как и в классической физике имеет смысл рас-
рассматривать только коллективы из элементов с определенными
значениями параметров, по которым производится сортировка
этих элементов. Это значит, что элементы статистического кол-
коллектива должны описываться классически; квантовый же объект
не может быть элементом статистического коллектива, даже если

94
ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[Ч. I
он находится в таких условиях, что ему можно сопоставить вол-
волновую функцию.
Элементами статистических коллективов, рассматриваемых
в квантовой механике, являются не самые микрообъекты, а ре-
результаты опытов над ними; эти результаты описываются клас-
классически и могут служить основой для сортировки элементов кол-
коллектива. При этом определенная постановка опыта соответствует
одному определенному коллективу. Поскольку же получаемые
из волновой функции распределения вероятностей для разных
величин относятся к разным постановкам опыта, они относятся
и к разным коллективам. Сама же волновая функция ни к ка-
какому определенному статистическому коллективу относиться не
может.
Сказанное можно иллюстрировать следующей схемой:
¦фг
• • •
Е
Р
X
• • ¦
Каждой клетке этой схемы соответствует определенный стати-
статистический коллектив со своим распределением вероятностей для
результатов измерения данной величины. В одной строке поме-
помещены коллективы, получаемые при измерении разных величин
(Е, р, х, ...), исходя из одного и того же начального состояния.
В одном столбце помещены коллективы, получаемые при изме-
измерении одной и той же величины, исходя из разных состояний
(Фь ^2, фз, ••¦)¦
Более глубокая причина того, что волновой функции нельзя
сопоставить никакого определенного статистического коллек-
коллектива, состоит в том, что понятие волновой функции относится
к потенциально возможному (к не произведенным еще опытам,
не только исход, но и тип которых не предрешен), тогда как
понятие статистического коллектива относится к осуществивше-
осуществившемуся (к результатам уже произведенных опытов определенного
типа).
При заданном начальном состоянии объекта вероятность того
или иного его поведения в данных внешних условиях опреде-
определяется внутренними свойствами объекта и этими внешними
условиями: эта вероятность представляет численную оценку

§ 6]	ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КОЛЛЕКТИВА	95
потенциальных возможностей того или иного поведения объекта.
Проявляется же эта вероятность в относительном числе осуще-
осуществившихся случаев данного поведения объекта; это число и
является ее мерой. Таким образом, вероятность относится, в сущ-
сущности, к отдельному объекту (а не к собранию объектов) и ха-
характеризует его потенциальные возможности; вместе с тем для
экспериментального определения ее численного значения необ-
необходима статистика осуществления этих возможностей, т. е. мно-
многократное повторение опыта. Отсюда ясно, что вероятностный
характер квантовой теории не исключает того, что она основы-
основывается на свойствах отдельного объекта.
Резюмируя можно сказать, что назначение основного в кван-
квантовой механике понятия — понятия состояния, описываемого
волновой функцией, — состоит в объективном описании всех при-
присущих микрообъекту потенциальных возможностей. Этим опре-
определяется и вероятностный характер теории.

Часть II
ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА
Г л а в а I
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
ПРИМЕР ВИБРАТОРА
§ 1. Волновое уравнение и уравнения движения
Как мы знаем, волновое уравнение, дающее закон измене-
изменения функции во времени, должно иметь вид
H^-ih-^- = 0,	A)
где Н — оператор энергии. Вид оператора энергии будет, вообще
говоря, различным для различных задач. В теории Шредингера
рассматривается тот случай, когда количество движения элек-
электрона мало по сравнению с величиной тс, где с — скорость
света, так что поправкой на теорию относительности можно -пре-
-пренебречь и когда магнитное поле отсутствует, так что электрон
движется в электрическом поле с потенциальной энергией
0(х, у, z). Обобщение уравнения Шредингера на случай нали-
наличия магнитного поля мы рассмотрим в третьей части этой книги.
В § 8 гл. III, ч. I мы написали, по аналогии с классической
механикой, следующее выражение для оператора энергии:
Н = Ш (Р* + Pi + Pl) + U (*> У' *)•	B)
Здесь первый член представляет кинетическую, а второй —
потенциальную энергию электрона. Заменяя операторы рх, ру, рг
их выражениями, мы можем написать волновое уравнение
в виде
—^-Дф + U(x, у, г)*- хА ¦$¦ = ().	C)
Рассмотрим уравнения движения, вытекающие из уравнения
Шредингера. Найдем операторы для скорости и ускорения.
Имеем, на основании B2) § 13 гл. III ч. I,
dx
dt
= j{Hx-xH).

§ 1]	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ	97
В выражении для Я все члены, кроме -~— р\, переместительны
с х, поэтому
№ Хр2) =	\? (РХ ХР) + (РХ *
Но мы знаем, что
\Рх> •*] = у (РхХ — хрх) = 1.
Поэтому
dx 	J_
~Ж~ тРх'
и аналогично
dy 	 1	]
~di ~m Py' !
~dt = ~т Pz'
Таким образом, оператор для скорости равен деленному на т
оператору для количества движения, как и следовало ожидать.
Найдем теперь оператор для производной ——-. Мы имеем
dpx
dt
¦ = j(Hpx-PsH).
Единственный член в Н, не коммутирующий с рх, есть U(x, у, z),
так что
dt
дру
dt
dt
дх '
dU
dU
dz "
Присоединяя сюда аналогичные соотношения для двух других
составляющих, получим
дрх _ аи \
E)
Уравнения D) и E) совпадают по форме с соответствую-
соответствующими уравнениями классической механики. Припоминая связь
между уравнениями движения и законом изменения математиче-
математических ожиданий, мы можем также написать
d2 Г -	Г dU -
т -щ \ х№ dx = — \ -тг— гЬгЬ dx	F)
at j	J и	ч '
и два аналогичных уравнения для координат у и z. Эти уравне-
уравнения носят название уравнений Эренфеста (Ehrenfest)!

98	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
§ 2. Интегралы уравнений движения
Введем теперь понятие об интеграле квантовых уравнений
движения. В классической механике интегралом уравнений дви-
движения принято называть такую механическую величину (функ-
(функцию от координат и моментов), которая остается постоянной
при любых начальных условиях. В квантовой механике можно
определить интеграл уравнений движения как величину, ма-
математическое ожидание которой остается, в силу волнового
уравнения, постоянным при любом начальном состоянии си-
системы.
Для того чтобы оператор L был интегралом, необходимо и
достаточно, на основании G) и (8) § 4 гл. IV ч. I, выполнение
условия
k+iWLLH) 0.	A)
Можно показать, что если оператор L удовлетворяет этому ус-
условию, то его собственные функции, т. е. решения уравнения
L$ = W,	B)
могут быть выбраны так, чтобы они одновременно удовлетво-
удовлетворяли волновому уравнению
4
причем это будет иметь место и тогда, когда оператор энер^
гии Н содержит явно время. Отсюда следует, что если в на*
чальный момент времени величина L имела определенное
значение X, то она будет иметь то же значение и в последующее
время.
Если оператор L не содержит явно времени, то условие A)
сводится к коммутативности его с оператором энергии.
Положим, например, что L = Н, причем оператор Н не со-
содержит явно времени. Мы уже знаем (§ 13 гл. III ч. I), что в та«
ком случае имеет место закон сохранения энергии, т. е. что со-
состояние с определенной энергией Е остается таковым во всякое
время t. Уравнение B) напишется в этом случае
//¦ф = ?ф,	D)
где Е — параметр, характеризующий величину энергии. Общее
решение уравнений C) и D) будет иметь вид
— Et
E)

§ 3]	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГАРМОНИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА	99
Из решений вида E) можно построить решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее произвольным начальным условиям
¦ф = f (х, У, z) при t = 0.	F)
Для этого нужно разложить начальное значение функции ф
в ряд по собственным функциям оператора энергии
f(x,y,z)=Tlc(E)^°Hx,y,z;E)	G)
и затем в каждом члене разложения добавить соответствующий
показательный множитель
Ъ=Ъс{Е)е~Ш^{х,у, z;E).	(8)
Выражение (8) и будет, очевидно, решением волнового уравне-
уравнения, удовлетворяющим начальным условиям F)*).
Знание интегралов квантовых уравнений движения облегчает
решение волнового уравнения. Пусть оператор энергии Н не со-
содержит явно времени, и, положим, мы нашли два оператора L
и М, которые коммутируют с И (и, следовательно, являются
интегралами) и, сверх того, коммутируют между собой. Тогда
уравнения
\	(9)
будут иметь общие собственные функции. Чтобы найти их,
можно начать с решения наиболее простого из уравнений, и это
решение подобрать так, чтобы оно удовлетворяло также и
остальным двум уравнениям. Этот способ мы будем постоянно
применять в дальнейшем.
§ 3. Уравнение Шредингера для гармонического вибратора
Рассмотрим пространственный гармонический вибратор с
энергией
H=s-L(Px + fi + Pl) + Tm К*2 + а'у2+<Ф2)- (О
Такого рода модель может соответствовать молекуле с тремя
колебательными степенями свободы. Для нахождения собствен-
собственных функций оператора энергии применим способ, упомяну*
тый в конце предыдущего параграфа, и постараемся найти
такие операторы, которые коммутировали бы между собой и
*) См. формулы E) и F) § 14 гл. III ч. I.

100	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
с оператором энергии. Такими операторами будут, очевидно,
#<*> = —!— п2 4- — mm2*-2
Р1 +
К уравнению
= ?ф	C)
мы можем присоединить три уравнения
Я<*>г|) = ?'*> i|j, Я(г/Ч|) == ?<»> гр, Я<г)ф = ?<г> ф,	D)
причем
Я = Я<*> + ЯW 4- Я<г>	E)
и
Е = &*>+ &* + &*.	F)
Так как все три уравнения D) одного и того же типа, то до-
достаточно рассмотреть какое-либо одно из них, например первое,
т. е., другими словами, рассмотреть вибратор в одном измере-
измерении.
Мы имеем
(¦ШР1 + Тта>**?)*=Е1х^	G)
или
Положим
Тогда уравнение G) напишется
	з~2~ ~Ь ?21Ф = 2Яф.	(9)
Обозначим через *ф° (|) решение этого уравнения, тогда
решение уравнения C) для пространственного вибратора будет
*а (х. у, z) = ^ (^^ . ,) . ^^ (^^1. ,) х
лричем, согласно F),
? = Й(сО1Я2 + ©2^2+Сй3Яз).	A1)
Таким образом, вся задача привелась к исследованию урав-
уравнения (9), которым мы сейчас и займемся.

'§ 4]	ВИБРАТОР В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ	101
§ 4. Вибратор в одном измерении
Рассмотрим уравнение
--|г + ^=2Ь|>.	A)
Так как коэффициенты уравнения остаются при конечных |
конечными, то единственными особенными точками его являются
| = +оо и g = — оо. Нам нужно найти такие решения, кото-
которые оставались бы конечными при ? = ± оо. Такого рода ре-
решения существуют, как мы увидим, лишь при некоторых опре-
определенных значениях параметра К; эти значения и являются ха-
характеристическими числами уравнения, т. е. собственными зна-
значениями соответствующего оператора.
Чтобы исследовать уравнения при ?—>-(-оо, произведем под-
подстановку
Тогда уравнение примет вид
Будем искать / в виде ряда
Подставляя D) в C), будем иметь
а%2 + 2аЬ% + Ъ2 + 2ас + а + ... = |2 - 2Я.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях |, получим
а?=1, 6 = 0, Bс + 1)а=-2А.	E)
Соответственно двум значениям а==±1 получаем два воз-
возможных решения
t,	.%	?_ _i_
/ S	t ~ • • •»
D*)
Беря интеграл от обеих частей B), получим для первого решения
*	м	— +
так что

102	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
и для второго решения
ф2 = е"^"A+ ...),	F*>
где невыписанные члены убывают с возрастанием модуля |»
Общий интеграл уравнения A) будет при больших положи-
положительных I иметь вид
и при больших отрицательных
G*>
Нам нужно, чтобы о|) оставалось конечным при | = + оо и
при |= — оо, а это возможно только, если одновременно
с, = 0, с| = 0.	(8>
Таким образом, то решение нашего уравнения, которое нас
интересует, должно быть вида
где F(l) при | = ±оо должно быть лорядка I*-1/». Найдем диф-
дифференциальное уравнение для F(Q. Подставляя (9) в A) и:
сокращая на показательный множитель, получим
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по сте-
степеням |. Так как | = 0 не есть особенная точка, то ряд этот
будет содержать только целые положительные степени §, т. е.
он будет вида
F=taklk.	A1)
Подставляя A1) в A0), получим
оо	оо
? k(k-l)aklk-2+Z (-26 + 2A,-
В первой сумме множитель k(k— 1) обращается в нуль при
k = 0 и k = 1 так, что суммирование можно начинать со зна-
значения k = 2. Если теперь заменить в этой сумме k на k + 2, та
новое k будет пробегать значения от 0 до оо, и мы получим
1)ak+2 + {-2k + 2h- 1)ak] f = 0.

f 4]	ВИБРАТОР В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ	ЮЗ
Чтобы сумма степенного ряда равнялась нулю, необходимо,
чтобы все коэффициенты равнялись нулю, откуда
_ Ш — 2Я + 1
Uk+2— (k + 2){k+l)ak-
По этой формуле можно последовательно определить коэф-
коэффициенты as, причем первые два коэффициента «о и щ остаются
произвольными. Ряд для F(?,) будет иметь вид
или
FiD^aoFoiD + a^d),	A4)
где через Fo и Ft обозначены соответствующие ряды. Когда | % |
возрастает, функция F (I) должна быть порядка 11 \к~'1г как при
положительных, так и при отрицательных значениях |. Но мы
имеем
-a^iD-	A5)
Следовательно, выражения a0F0(i,) и a\Fi(Q в отдельности
должны быть порядка не выше ^~'/г. Теперь возможны два слу-
случая: либо оба ряда Fo и Fi продолжаются до бесконечности, либо
хоть один из них обрывается. В первом случае они будут сходя-
сходящимися при всех значениях |, так как отношение двух после-
последовательных членов, равное
стремится к нулю с возрастанием k. Но из той же формулы A6)
видно, что все члены ряда, начиная с некоторого Г для которого
k > X —^) будут одного знака. Следовательно, ряд будет со-
содержать, с одним и тем же знаком, сколь угодно высокие сте-
степени |, и сумма его будет возрастать быстрее всякой конечной
степени |, что противоречит нашему условию (порядок не выше
|Л~'/2). Отсюда следует, что ряд непременно должен обрываться.
Но это возможно только, если при некотором k, скажем при
k = п, коэффициент aft+2 равен нулю, тогда как ah Ф 0. По фор-
формуле A2) это будет иметь место, если
Я = « + ^ (« = 0,1,2,...).	A7)

104	-	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. tl
Если п четное, то Fo(?,) будет полиномом, и, полагая а\ = 0,
мы получим решение, удовлетворяющее поставленным условиям;
при п нечетном полиномом будет Fi(l), и мы должны положить
а0 = 0. В обоих случаях решением будет полином степени п.
§ 5. Полиномы Чебышева — Эрмита
Полиномы, представляющие решения уравнения
при целом п, носят название полиномов Чебышева — Эрмита и
обозначаются символом #„(?•). Формула A3) § 4 дает для них
выражение
(Й ^#)	B)
при п четном и
при п нечетном. Постоянные а0 и а.\ принято определять так,
чтобы коэффициент при старшей степени % был равен Т. Для
этого нужно положить
— i
а0 = (— 1J • —~ (п четное),	D)
(т)-
п-\
а, = 2 •(—!) 2 • /Я^.1Ч	(п нечетное).	E>
Если расположить полиномы #„(|) по убывающим степеням |,
то получатся выражения
F)
справедливые как при четном, так и при нечетном п.
Покажем, что полином Эрмита может быть представлен
в виде
#„(?) = (-О"*6'-^-6'-	G)
Прежде всего легко видеть, что выражение в правой части
G) есть полином, старший член которого есть B|)" в самом
деле, этот член происходит от я-й степени производной от пока-

S 5]	ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА	105
зателя —g2. Так как уравнение A) имеет только одно решение
в виде полинома, то для доказательства равенства G) остается
показать, что правая часть G) удовлетворяет уравнению A).
Для этого заметим, что функция у = е~^г удовлетворяет урав-
уравнению
Дифференцируя это уравнение п + 2 раза, получим
у(»+2) _|_ 2|^»+ч + Bл + 2) г/<"> = 0
или
2" + 2?z' + Bra + 2)z = 0,
где
z =*/<»>.
Полагая, наконец,
получим для w уравнение
w" — 2lw' +	,
совпадающее с уравнением A) для Н{A).
Таким образом, формула G) доказана.
Дифференцируя уравнение
(8)
по I, получим
dH'n 4- Юг, 94
-^|—г \?п — 2)
Полином Н'п (|) удовлетворяет, следовательно, тому же
уравнению, как и Нп~{ (I), и может отличаться от него только
множителем. Так как старший член в Н'п есть 2«B|)"~', а в Нп-{
он равен B|)"~ , то мы имеем равенство
С другой стороны, дифференцируя выражение G), имеем
dHn 	n-t и и
dl	ё
A0)
Сравнивая оба выражения для производной, получаем рекур-
рекуррентную формулу, связывающую три последовательные поли-
полинома Эрмита
Нп+1-21Нп + 2пНп-1=0.	A1)
Функции
$n(t) = cae~jVHn{l)	A2)

106	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
являются собственными функциями оператора в левой части,
уравнения
и поэтому обладают свойством ортогональности
>
Ф* F) *,'(?)<?=* 0 при пфп'.	A4)
Чтобы они были нормированы, нужно определить постоянную сп.
из условия
+ ОО
или
+ 00
\ e-^Hl{l)dl = ^.	A6)
Вычислим этот интеграл. Заменяя Нп его выражением G)».
будем иметь
1	п С дп
/*	J fie
СП	_оо aS
Интегрируя п раз по частям, получим
dln ь>
но —?рг есть постоянная, равная
l
Поэтому
+ 00
\
+
\- = 2пп\ \ е-? d\ = У я • 2"л!.
Следовательно, функции
(I)

$ 6j	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЛЯ ВИБРАТОРА	107
<5удут ортогональны и нормированы. Если подставить в (9) и A1)
выражение Нп через *|>„, мы получим
Ч>«-1,	A9)
1% = д/т *«-> + л/^Чт*^"	B0)
а подставляя B0) в A9), будем иметь
В заключение приведем без вывода асимптотическое выра-
выражение для ipn(?). справедливое при условии 2п — |2 ^> 1:
cos [(" +1") arcsin
-п-$-\. B2)
§ 6. Каноническое преобразование на примере вибратора
При решении задачи о вибраторе мы пользовались в.каче-
в.качестве независимой переменной координатой |, так что состояние
вибратора описывалось функцией ф(?). Возьмем теперь в каче-
качестве независимой переменной квантовое число п — номер уровня
энергии вибратора. Функция ty(l) может быть разложена по
собственным функциям оператора энергии
4>(&)=EcBiMS),	A)
тде коэффициент разложения
сп= \ $n(t)*n(l)dt	B)
— оо
может быть истолкован, как мы знаем, как волновая функция,
выраженная в переменных п. Найдем вид простейших операто-
операторов
m<>>
Ь	i	dl V math
в этих переменных. Имеем

108
ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА
[Ч. It
Заменяя здесь ?,-фга его выражением B0) § 5 и группируя члены,
получим
Ю =
п=0
D)
Таким образом, оператор g переводит функцию с коэффи-
коэффициентами разложения сге в функцию с коэффициентами разложе-
разложения сп, где
,	/ га	, / я
Ся = Ся = Д/ У С"-' + Л/ ~
+ 1
E)
причем символ | следует понимать здесь как оператор. Это
равенство можно записать в виде
c'n=Y,(n\l\k)ck,	F)
к
___
-б„+1,ь	G)
где
так что
я+1
(8)
тогда как остальные элементы равны нулю. Таким образом,
оператор для координаты ? может быть представлен в виде
матрицы с элементами G). Эта матрица имеет вид
О	У1/2	0 0	0 ...
<\Л72	о	VI о	о ...
о	л/Г	о	Уз/2	о ...
о	о	Уз/2 о	Уг~ ...
(9)
Рассмотрим теперь оператор
Повторяя прежние рассуждения, заменяем в формуле
	 	 / > п
dt
производную -~- ее выражением из B1) § 5 и группируем члены
I	V1 (¦ I П	.In

§6]	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЛЯ ВИБРАТОРА	109
Таким образом, оператор р^ может быть представлен в виде
матрицы с элементами
{n\pl\k) = i д/у б„_,, k — i д/-^
Эта матрица будет иметь вид
О — i VT/2	О
I IVT75 о	_/VT
1 ' о «VT	о
Оператор энергии (в условных единицах)
я=1(р! + ?2),	A3)
выраженный в новых переменных, должен приводиться к умноже-
умножению. Проверим это. Мы имеем
в силу дифференциального уравнения A3) § 5, которому удо-
удовлетворяет i|v Отсюда видно, что
±)	A4)
Элементы матрицы для Н, которая, очевидно, диагональна,
равны
(\)nk.	A5)
То же самое мы могли бы получить, составляя квадраты
матриц Р| и |. Мы имеем
^. )х
X (Д/у б*-Ь »' + V~2~ б* + Ь «'j = у V" (« — 1) б„_2, „' +
««' + У У(«+!)(« +2)ба 12,„'. A6)

ПО	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Аналогично получаем для р|:
/191 /\	V1 ( I п л	/п+1 ,	\ . .
_ ft
(Ik	I k + 1	\	1 /
•*" \ V T^~brt' "~ V —2—°k+Un'J = —~2 V« (Я — I) 6rt_2, „' +
+ (л + у) в™- - у V(n + 1) (n + 2) б„+2, „-. A7)
Беря полусумму этих выражений, получаем
*'] = («+т)а»»-. A5*)
A8)
как это и должно быть.
Правило коммутации для | и
должно, конечно, также удовлетворяться нашими матрицами.
По правилу умножения матриц, мы имеем
(я I iPt |n') = j V« (я — 1) б„_2, „' +
+ у 6«п- ~ т V(»+l)(«-l-2) б„+2, „s
откуда
(п|/(р61-|ре)|л/) = бп„',	A9)
что и требовалось доказать.
§ 7. Неравенства Гейзенберга
Математическое ожидание какой-либо величины L в га-м
состоянии вибратора выражается формулой
м. о. L= ^nL^ndl	A)
и равно, очевидно, диагональному элементу (п\ L \п) матрицы
для оператора L в переменных п. Из наших формул следует,
/ й .
что математическое ожидание л; координаты х=л/-^ 1, а также
математическое ожидание /^ момента рл = ymha р\ равны нулю,
так как соответствующие диагональные элементы матриц исче-
исчезают:	=	=
* = 0, рх = 0.	B)

§7]	НЕРАВЕНСТВА ГЕЙЗЕНБЕРГА	Ш
Найдем математические ожидания квадратов отклонения
величин х и рх от их средних значений х и рх.
Мы имеем
м.о.(*-ГJ = м.о.х2==^м.о.|2==-^-(я!ё2|я), C)
так что, если мы обозначим левую часть через (АхJ, то
(Д*J = м. о. (х-хУ = -^(п + у).	D)
Аналогично получаем
м. о. (рх —~рху = м. о. р\ = mho (я | р| |я)	E)
или
(ДржJ=т/ко(я+1).	F)
Таким образом,
(« + у).
^ ( у)(8)
откуда
()	(9)
Величины Арх и Дл: мы можем толковать как средние квад-
квадратичные отклонения измеренных значений количества движения
и положения вибратора от математических ожиданий этих вели-
величин.
Выведенная нами формула обладает весьма большой общ-
общностью. Если понимать ее как соотношение между порядками
величины средних квадратичных отклонений и надлежащим об-
образом ввести квантовое число п, то она будет справедлива не
только для вибратора, но и для любой системы в я-м квантовом
состоянии. Произведение средних квадратичных отклонений бу-
будет наименьшим в основном состоянии (при п = 0), так что
всегда будет
ApxAx^jh.	A0)
Покажем, что это неравенство выполняется не только для
электрона в состоянии, описываемом одной из собственных
функций вибратора, но и для электрона в любом состоянии.
При доказательстве мы предположим, что математические ожи-
ожидания х и рх равны нулю (от этого ограничения нетрудно осво-
освободиться) .

112
ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА
[Ч. II
Пусть состояние электрона описывается функцией ф(л:). Вве-
Введем две вещественные постоянные а и р и рассмотрим очевид-
очевидное неравенство
dx>0,
(И)
справедливое при всех значениях аир. Вычисляя квадрат мо-
модуля, стоящий под интегралом, будем иметь
или
где
= \
x,
A3)
(H)
Чтобы квадратичная форма A3) была положительной, необ-
необходимо соблюдение неравенства 4АС ^ В2 или, так как все три
числа А, В и С положительны,
A5)
A6)
Но, согласно A4), мы имеем
откуда
Дл: > -g- Й,
что и требовалось доказать.
Аналогичные неравенства справедливы, очевидно, и для двух
других координат, так что мы имеем
ДрхЛх>уй, Д^Лг/^уЙ, Др2Дг>уй.	A7)
Неравенства A7) были указаны Гейзенбергом, который по-
показал на ряде физических примеров, как увеличение точности
в измерении координаты уменьшает точность в измерении коли-
количества движения и наоборот. Приведенный здесь формальный
вывод принадлежит Веилю (Weyl).

§8]
ЗАВИСИМОСТЬ МАТРИЦ ОТ ВРЕМЕНИ
113
§ 8. Зависимость матриц от времени. Сравнение
с классической теорией
Рассмотренное в § 6 каноническое преобразование не содер-
содержало времени и давало поэтому такое представление операто-
операторов, в котором математический вид их не зависит от времени
(см. § 13 гл. III ч. I). Перейдем теперь к другому представлению
операторов, в котором зависимость от времени перенесена, так
сказать, на самый оператор. Для этого нужно найти унитарный
оператор S(t), который бы переводил начальное состояние ф
в состояние в момент времени t:
¦ф (х, t) = S(t)ty(x, 0).	A)
Тогда вид оператора L как функции от времени получится по
формуле
Оператор S(t) принимает наиболее простой вид, если за не-
независимую переменную взять энергию. В этих переменных вол-
волновое уравнение
имеет вид
или
йсо
C)
D)
{Мы перешли здесь от условных единиц, которыми мы пользо-
пользовались в § 6, к абсолютным единицам.) Решение этого ураЕ-
нения есть
Cn = t
тг at
E)
Таким образом, применение оператора S(t) сводится к умно-
умножению с°п на показательный множитель е ^ 2' . Оператор S (О
может быть, следовательно, представлен в виде диагональной
матрицы
О
S(t) =
о
о
F)

114
с элементами
ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА
14. II
Вычисляя по формуле B) Гейзенбергову матрицу x(t), получим
( I пП
2mco
ИЛИ
ш
так что матрица
*@ =
Аналогично
(n\Px(t)\flf)
PAt) =
i Л
V 2
полу
- nh&i
0
0
1 х . i „-
/ 2mw и« '•«' ' *
x{t) будет иметь
0
h
та
0
ЧИМ
п 6п.
ш е
'V 2та
гш 0
для px(t)
/ ^ ham.
-ш л I
вид
1@/
д/п еш
(« Н
2
+ 1
- 1)й
0
Й -ги/
ЖО
0
0
/йс^Ге''м<...
0
A0)
Если бы мы по формуле B) составили оператор
H'(t) = S*(t)HS{t),
то мы убедились бы, что его матрица совпадает с матрицей
для Н и, следовательно, не зависит от времени. Этого и следо-
следовало ожидать, так как энергия вибратора остается постоянной.
Гейзенберговы матрицы x(t) и px(t) удовлетворяют, как не-
нетрудно проверить, уравнениям движения
rit —т Рх> ^ГГ— max.	(,iz>

§8]	ЗАВИСИМОСТЬ МАТРИЦ ОТ ВРЕМЕНИ	115
Здесь под —г- и —jf- нужно разуметь матрицы, элементы ко-
которых суть производные от элементов матриц x(t) и px{t). Урав-
Уравнения A2) совпадают по форме с классическими.
Элементы матриц x(t) и px{t) напоминают члены рядов
Фурье для соответствующих классических величин. Чтобы про-
проследить ближе эту аналогию, посмотрим, какая величина играет
роль классической амплитуды.
Вероятность получить для координаты ? значение, лежащее
между \ и g + dg, когда вибратор находится в состоянии п, вы-
выражается формулой
W
Из асимптотического выражения B2) § 5 видно, что при
больших п функция г|)„(?) имеет примерно характер синусоиды,
когда | меняется в промежутке от —-у/2п до л/2п. При этом
полином #„(?) обращается в нуль ровно п. раз. Вне этого про-
промежутка функция tyn{%) начинает быстро убывать вследствие
преобладания показательного множителя. Отсюда следует, что
плотность вероятности заметно отлична от нуля только в про-
промежутке — -у/2п < g < -\j2ti, так что величину
ёо = л/2^	A4)
можно считать «амплитудой» вибратора. В абсолютных едини-
единицах амплитуда будет
	 •	A5)
С другой стороны, энергия вибратора равна
«>~nh(?>.	A6)
Исключая из A5) и A6) п, получаем
,	A7)
так что связь между амплитудой и энергией здесь та же, что
в классической теории. Сравним элементы матрицы для x(t)
с выражением A5) для амплитуды. Мы можем написать
(п| х @ |п - 1) + (п - 1 \х @ |п) = дД^- (еш + е-"»') =
-л/—
cos (at = х0 cos co^. A8)
Таким образом, элементы матрицы x(t), ближайшие к tt-му
диагональному элементу, дают члены ряда Фурье, представляю-

Ш	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
щего классически величину x(t) в п-и состоянии (т.е. в состоя-
состоянии с энергией Е — Еп). (Число п предполагается здесь боль-
большим.) Эта формальная аналогия между членами классического
ряда Фурье и элементами матрицы, представляющей квантовый
оператор, послужили Гейзенбергу исходной точкой для построе-
построения квантовой механики, которая в этой первоначальной форме
называлась, как мы уже упоминали, «матричной» механикой.
§ 9. Элементарный критерий применимости формул
классической механики
Рассматривая в § 15 гл. III полуклассическое приближение
к решению уравнения Шредингера, мы нашли приближенное
выражение для волновой функции of через функцию действия S.
Применим полученные результаты к случаю стационарного-
состояния частицы. В этом случае уравнение Шредингера имеет
вид
д^ _j_ ^L (E — U) -ф = 0,	A)
а уравнение Гамильтона — Якоби классической механики на-
напишется
2^-(gradSJ+ ?/=?.	B)
Если S есть полный интеграл уравнения B), содержащий три
произвольные постоянные с\, Сг, с3 (включая постоянную энер-
энергии Е, но не считая аддитивной постоянной), то мы можем по-
положить в зависимости от граничных условий
^=VDet^%rel"s	C)
или
5 ,
C0
где под корнем стоит детерминант из вторых производных от 5,
а величина а есть постоянная фаза. Переход от уравнения A)
волновой механики к уравнению B) классической механики
формально аналогичен переходу от волновой оптики к геометри-
геометрической. Условие применимости приближенных формул C) или
D) может быть выражено на языке волновой оптики (или вол-
волновой механики) следующим образом: относительное изменение
показателя преломления (или длины волны) на расстояниях по-
порядка длины волны должно быть весьма мало по сравнению
с единицей. Если мы вместо длины волны Я будем считать ха-
характерной длиной величину — , то это условие можно записать

§9) КРИТЕРИЙ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Ц7
так:
I _
2Я "	Я	— S'"- 9тг. ^ I"	E)
В квантовой механике Я есть длина волны де Бройля, равная
Но так как мы рассматриваем область, пограничную между
квантовой и классической механикой, то критерий применимости
формул C) или D) может быть формулирован и на языке клас-
классической механики. В самом деле, подставляя в условие E)
выражение F) для Я, мы получим
Обозначая через v абсолютную величину скорости частицы и
через w — абсолютную величину ускорения, мы можем написать
У2т (Е - U) = mv,	(8)
|grad?/| = ma>.	(9)
Следовательно, условие G) дает
-^г<1	(Ю)
или
Это и есть тот критерий, который мы хотели вывести. По-
Помимо Ь (деленной на 2л постоянной Планка) в него входят
только величины классической механики, притом лишь кине-
кинематические величины и масса частицы.
Заметим, что по известной формуле кинематики мы имеем
где v — абсолютная величина скорости, р — радиус кривизны
траектории. Отсюда следует
.>?.	аз»
Подставляя это в неравенство A0), мы получаем
lk << 1	<14>
или

118	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. !Г
где Я по-прежнему обозначает де-бройлевскую длину волны. Та-
Таким образом, длина волны де Бройля должна быть весьма мала
по сравнению с радиусом кривизны траектории.
Критерий, выражаемый формулами A0) и A1), допускает
два различных применения. Во-первых, если мы будем считать
скорость и ускорение частицы функциями точки [формулы (8)
и (9)], то в той области пространства, где выполняется неравен-
неравенство A1), выражение C) или D) будет давать хорошее при-
приближение к шредингеровской волновой функции. Во-вторых, мы
можем ввести в наше неравенство вместо скорости и ускорения
некоторые средние их значения. Левая часть его будет пред-
представлять тогда некоторый постоянный параметр, порядок вели-
величины которого по сравнению с единицей будет характеризовать
применимость классических уравнений.
В начальный период развития квантовой механики Бор сфор-
сформулировал «принцип соответствия», согласно которому формулы
квантовой механики должны переходить в классические фор-
формулы при больших значениях квантовых чисел. Поэтому мы
должны ожидать, что упомянутый параметр [левая часть нера-
неравенства A1)] связан с характерным для данной задачи кванто-
квантовым числом. Покажем на простейшем примере, что это действи-
действительно так и будет.
Рассмотрим движение гармонического вибратора в одном
измерении. В этом случае скорость будет параллельна ускоре-
ускорению. В качестве параметров, характеризующих скорость и уско-
ускорение, мы возьмем средние квадратичные их значения.
Мы имеем
x = acosat	A6)
и, следовательно,
O2=j2=^.a2co2) ^2^15=^.^4,	A7)
Поэтому
ту3 та2а
Но энергия вибратора выражается через его амплитуду по фор-
формуле
E = jtnaW.	A9)
Следовательно, величина A8) равна
та2а 	_Е_
2Й ~~ ha
B0)
и неравенство, выражающее наш критерий, принимает для виб-
вибратора вид
— = —»Т

§9] КРИТЕРИЙ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Ц9
Но, согласно формуле A6) § 8, энергия вибратора равна
/ко,	B2)
где п — квантовое число вибратора в данном состоянии. Следо-
Следовательно, наше условие B1) приводится к требованию, чтобы
квантовое число п было велико по сравнению с единицей.
В заключение следует отметить, что применимость класси-
классических уравнений не означает еще применимости классических
представлений. Принципиальное отличие «вероятностного» спо-
способа описания явлений при помощи волновой функции от «абсо-
«абсолютного» способа описания при помощи классических величин
и классических понятий — отличие, о котором мы говорили в на-
начале части I этой книги — остается в силе и тогда, когда клас-
классические величины дают хорошее приближение для волновой
функции.

Г л а в а II
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Постановка задачи
Решения уравнения Шредингера и нахождение собственных
функций оператора энергии, а также других операторов может
быть выполнено точно лишь в простейших случаях. Приближен-
Приближенное решение некоторых более сложных задач (задачи многих
тел) требует применения существенно новых методов, например,
вариационного начала. Многоэлектронная задача будет рассмо-
рассмотрена в части IV этой книги. Здесь мы рассмотрим тот случай,
когда решение предложенной задачи может быть разбито на два
шага. Первый шаг состоит в упрощении данной задачи и в точ-
точном решении упрощенной задачи. Второй шаг состоит в вычис-
вычислении поправок, позволяющих приближенно учесть влияние ма-
малых членов, отброшенных при упрощении.
Существует общий метод для вычисления поправок, который
носит название теории возмущений. Изложением его мы и зай-
займемся в этой главе.
Положим, мы имеем оператор (будем считать для определен-
определенности, что это есть оператор энергии), который может быть
представлен в виде суммы двух членов
H = H° + eU.	A)
Первый член, Я0, есть оператор невозмущенной (т. е. упро-
упрощенной) задачи, а второй член, eU, представляет поправку
(возмущение), которую будем считать «малой»; для удобства
мы написали поправочный член в виде произведения малого па-
параметра е на оператор U. Возмущение мы будем предполагать
таким, что при уменьшении параметра е до нуля как собствен-
собственные функции, так и собственные значения оператора Н непре-
непрерывным образом переходят в собственные функции и значения
оператора Н°.
В некоторых случаях это условие не соблюдается, и возму-
возмущение меняет самый характер решения, например вводит сплош-

§ 2]	РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	121
ной спектр. Формальное решение, получаемое по способам тео-
теории возмущений, имеет, однако, физический смысл и в этих слу-
случаях. Оно дает волновую функцию, описывающую такое состоя-
состояние атома, которое является, если и не вполне, то почти ста-
стационарным. Под этим мы разумеем следующее. Если взять по-
полученную волновую функцию в качестве начального состояния
атома, то в течение значительного промежутка времени состоя-
состояние его будет мало отличаться от описываемого этой волновой
функцией. Теория почти стационарных состояний будет рассмо-
рассмотрена в § 8 гл. III.
Следует отметить, что ряды, получаемые в теории возмуще-
возмущений, могут оказаться и расходящимися, что, однако, не лишает
их физического смысла, если только первые члены их достаточно
быстро убывают; в этом случае используется только конечное
число членов ряда.
Обратимся теперь к нашей задаче. Предположим, что соб-
собственные функции г|^ (х) и собственные значения Ейп опера-
оператора Я0 известны точно, так что решения уравнения
х)	B)
известны. Требуется найти приближенные выражения для соб-
собственных значений и функций оператора Я, т. е. решить уравне-
уравнение
(Я° + е?/)гЫ*) = ?,ЖМ-	C)
Для решения поставленной задачи потребуется прежде всего
решить неоднородное уравнение
Я<4 - ?"г|> = f	D)
для того случая, когда параметр Е' равен одному из собствен-
собственных значений оператора Я0. Как в этой предварительной задаче,
так и в общей задаче теории возмущений рассуждения будут
различны, смотря по тому, будут ли собственные значения не-
невозмущенного оператора Я0 простыми или кратными. Чтобы
уяснить идею способа на возможно простом примере, мы будем
сперва рассматривать случай простых собственных значений,
а затем обобщим результаты на случай кратных собственных
значений.
§ 2. Решение неоднородного уравнения
Рассмотрим неоднородное уравнение
ЯЧ-?Ч = Л	A)
где / — известная, а ^ — искомая функция. Пусть параметр Е'
равен одному из собственных значений Е„ оператора Я0, так

122	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
что рассматриваемое уравнение имеет вид
Предположим сперва, что собственные значения Е°п — про-
простые, так что соответствующее однородное уравнение
яЧ-^ = о	C)
имеет только одно решение i|) = i|)°.
Разложим функцию / в ряд
S(?)^?	D)
т
и будем искать решение уравнения B) в виде аналогичного ряда
Подставляя D) и E) в B), будем иметь
dE. F)
В левой части этого уравнения коэффициент при г|)° равен
нулю; для того чтобы уравнение имело решение, необходимо,
чтобы соответствующий коэффициент был равен нулю и в пра-
правой части.
Условие
ап = 0	G)
может быть записано в виде
'fiJdx = 0.	(8)
Таким образом, чтобы неоднородное уравнение B) имело
решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогона-
ортогонален к решению соответствующего однородного уравнения. Если
это выполнено, то остальные коэффициенты ст и с(Е) могут
быть получены приравниванием соответствующих членов в обеих
частях равенства F). Мы будем иметь
(9)

5 2]	РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	123
так что разложение E) напишется в виде
где штрих у знака суммы означает, что нужно опустить член,
для которого т = п.
К этому выражению можно, очевидно, прибавить решение
однородного уравнения, т. е. член вида су\Рп, где с — произволь-
произвольная постоянная.
Если бы в уравнении A) параметр Е' не равнялся ни одному
из собственных значений Е°п, то на функцию / не нужно было
бы налагать никаких условий вида (8) и решение имело бы
вид
где значок т пробегает все значения без пропусков.
Обратимся теперь к случаю кратных собственных значений.
Мы будем по-прежнему разуметь под Е°о, Ё\, Ё1, ...различ-
...различные собственные значения, так что кратность их выразится
в том, что каждому Е\ может соответствовать несколько
(скажем s) собственных функций, которые мы обозначим через
С. ^2- •••- *Ъ,	A2)
причем число s может зависеть от п. Заметим, что собственные
значения, принадлежащие сплошному спектру, могут быть так-
также кратными; но мы будем, для простоты, писать наши фор-
формулы так, как если бы они были простыми.
Положим, что однородное уравнение
Я°Ч?-ВД = 0	C)
имеет s решений A2), и нам нужно найти решение неоднород-
неоднородного уравнения
Разложения заданной функции / и искомой функции if на-
напишутся в виде
т г=]
s
т г=\

124	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. IT
Подстановка A3) и A4) в B) дает
s
	 /70 \ V1 г ,|,1 I С (Р 	 Р0\ г (р\ ,1,0 Ар
\Е)^'ЫЕ. A5)
m r=\
Отсюда заключаем, что мы должны иметь
ani = an2= •¦• =а„* = 0,	A6)
т. е. что функция f должна удовлетворять s условиям
.:.,s).	A7)
Таким образом, чтобы неоднородное уравнение имело реше-
решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогонален
к каждому решению соответствующего однородного уравнения.
Определив коэффициенты ст и с(Е), получим для ty выра-
выражение
Т ^Z	~^f^EdE.	A8)
Мы видим, что случаи простых и кратных собственных зна-
значений приводят к вполне аналогичным формулам и что форму-
формулировка условия существования решения неоднородного урав-
уравнения для общего случая почти не отличается от предыдущей.
§ 3. Простые собственные значения
Обратимся теперь к нашей основной задаче: решению урав-
уравнения
= ?„^,	A)
причем рассмотрим тот случай, когда все собственные значения
оператора Н° простые.
Будем искать собственное значение Еп и собственную функ-
функцию <])„ в виде рядов, расположенных по степеням малого па-
параметра е:
? ?о+< + 2^+	B)
C)

<§ 3]	ПРОСТЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ	125
Подставляя эти ряды в уравнение A) и приравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим ряд равенств
= 0,	Dа)
= -иФп + К*Ъ	D6)
= -?/< + Е'Х + E^l,	Dв)
Первое из этих уравнений удовлетворяется само собою, так
как по предположению о|)^ есть собственная функция Я0 для
собственного значения El. Второе уравнение D6) представляет
неоднороднее уравнение для определения т|/. Как мы знаем,
для того чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы свобод-
свободный член был ортогонален к решению соответствующего одно-
однородного уравнения, т. е. к функции а|^. Пользуясь тем, что i|)°
нормирована, мы можем записать это условие в виде
Е'п = (п\Щп),	E)
где
\^x	F)
есть диагональный элемент матрицы для возмущающей энер-
энергии U. Таким образом, условие ортогональности позволило
определить неизвестную постоянную Е'п. Чтобы решить D6),
разложим правую часть по функциям о|)^ и -ф?:
?	tfm - \ {E\U\n)VBdE, G)
т
где
\mU^ndx,	(8)
°,?Л|)»Лг.	(8*)
Решение а|^ уравнения D6) получится теперь по формулам пре-
предыдущего параграфа, а именно,
Члена вида сг|^ мы не прибавляли, так как функция г]/, оче-
очевидно, ортогональна о|)^, а следовательно, функция

126	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
представляющая приближенное решение возмущенной задачи,
будет, с точностью до величин порядка &\, нормированной.
Переходя к следующему уравнению Dв), мы должны будем
прежде всего определить постоянную Е'п из условия, чтобы это
уравнение имело решение. Это условие дает
Подставляя сюда вместо ij/ разложение (9), получаем, на осно-
основании теоремы замкнутости,
Km |t/lit)!' . С \(E\U\n)\* ,p
El-El +J El-E ^
m	n m	n
Далее мы могли бы получить "§"п и затем третье и следующие
приближения. Вычисления ведутся по тому же способу, а имен-
именно, после того, как найдены
ib° il/	ih(*-') и Fa F' F"	F(*-D
из условия существования решения уравнения номер k опреде-
определяется Е&\ а затем и ^\ Формулы становятся все сложнее и
сложнее: но обычно бывает достаточно брать выписанные здесь
первое приближение для собственной функции и второе прибли-
приближение для собственного значения. В тех случаях, когда Е'п, т. е.
поправка первого порядка к собственному значению, не равна
нулю, можно — если не требуется особенной точности — ею и
ограничиться.
§ 4. Кратные собственные значения. Разложение
по степеням малого параметра
Займемся теперь решением уравнения
(H° + eU)$n = En$n	A)
для случая кратных собственных значений оператора #°. Пусть
невозмущенное уравнение
НХг-Е°п€г = 0	B)
имеет s решений
ч&. €2- •••> С-	C)
Мы знаем (§ 7 гл. II ч. I), что выбор этих решений остается
в известной мере произвольным, так как функции C) можно
заменить их линейными комбинациями, произведя над ними уни-
унитарную подстановку. Для дальнейшего удобно понимать под
¦ф°г решения, выбранные определенным образом, в зависимости

3 4]	КРАТНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ	127
от оператора U, первоначальные же (какие-нибудь) s решений,
линейными комбинациями которых являются i|/Jr, мы будем
обозначать символами
Фь Ф2» •••. Ф*>	D)
опуская значок п, который следует подразумевать.
Из алгебры известно, что при бесконечно малом изменении
коэффициентов алгебраического уравнения кратный корень мо-
может разбиться на несколько простых; по аналогии мы и здесь
можем ожидать, что кратное собственное значение Е°п может
разбиться, вследствие возмущения, на s простых Епт (г =
= 1, 2, ..., s). Мы будем поэтому искать собственные значения
в виде
Епг = Е°п + еЕпг + &Е'пг +-...,	E)
гдз поправочные члены зависят от номера г соответствующей
собственной функции. Для этой последней напишем разложение
Ьг = ГпГ + ^'пГ + еХг+ •••	F)
Подставляя E) и F) в уравнение A) (где мы должны заменить
Еп на Епг и г|)га на 0рпг) и приравнивая коэффициенты при сте-
степенях е, получаем ряд равенств
G6)
Gв)
которые отличаются от аналогичных равенств Dа), D6), Dв)
§ 3 только добавкой второго значка у собственных функций и
у собственных значений. Первое уравнение Gа) удовлетворяется
само собой. Чтобы второе уравнение G6) имело решение, не-
необходимо, чтобы правая часть была ортогональна к каждому
решению однородного уравнения, так что
пР(и-Е'пг)ГпГс1т = 0 (р=1, 2, .... s),	(8)
или, что то же самое,
p(t/-^)^rrfT = O (p=l,2, ..., s).	(9)
Уравнения (8) или (9), вообще говоря, не будут удовлетво-
удовлетворяться произвольными решениями уравнения B), и нам надле-
надлежит найти те комбинации
известных решений D), которые им удовлетворяют.

128	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
§ 5. Собственные функции в нулевом приближении
Найдем коэффициенты унитарной подстановки A0) § 4. Под-
Подставляя A0) § 4 в (9) § 4 и пользуясь ортогональностью и нор-
нормировкой функций ф,,, получим
«7=1
где
B)
Опуская второй значок у bqr и обозначая неизвестную вели-
величину Е'пг буквой Я, можем написать A) в виде
2 U b =kb	C)
«7=1 Vq Ч	Ч
Эти уравнения могут быть истолкованы как уравнения для
собственных функций b(q)= bq оператора, представленного ко-
конечной матрицей UPq. Оператор этот — самосопряженный, так
как матрица его эрмитова, как это видно из B). Поэтому его
собственные значения Я будут вещественны. Чтобы найти их и
решить уравнение C), можно применить известный, чисто алге-
алгебраический способ. Уравнения C) представляют систему линей-
линейных однородных уравнений относительно неизвестных bq. Чтобы
система эта имела решение, необходимо, чтобы определитель из
коэффициентов при неизвестных
Uu-X Un ... и1а
D)
usl uS2 ... uss~x
равнялся нулю. Уравнение D(%)'= 0 имеет s вещественных кор-
корней; каждому корню Я = Яг соответствует одно решение bg = bqr
уравнений C). Решения эти можно нормировать так, чтобы
было
Из общих свойств линейных операторов следует, что решения
bq = bqr и bq = bqp,
соответствующие двум различным корням
Я ^= Аг И Я == Ар,
друг к другу ортогональны, т. е.

§ 5]	СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В НУЛЕВОЙ ПРИБЛИЖЕНИИ	129
Корни D(X)= 0 могут быть и кратными: если, например, ко-
корень X = Хг двукратный, то ему соответствуют два независимых
решения bq = b'q и bq = b'q уравнений C). Как бы то ни было,
будут ли корни D(X) кратными или простыми, мы всегда можем
распорядиться так, чтобы все s решений уравнений C) были
ортогональны и нормированы, так что
bipbiq + b2pb2q + ... + bspbsq — 6Pr	G)
Но эти равенства означают, что матрица b с элементами Ьрд
будет унитарной. В самом деле, полагая, как принято,
В —bin	(8)
можем написать G) в виде
S
/_, bprbrq — bpq.	(9)
Отсюда следует, как нетрудно доказать, что
/¦=1
Равенства (9) и A0), которые в матричной символике будут
иметь вид
Ь+Ь=\, bb+=\,	A1)
выражают свойство унитарности матрицы Ь.
Таким образом, мы нашли унитарную подстановку A0) § 4,
коэффициенты которой удовлетворяют уравнениям A), причем
числа Е'пг являются корнями Хг уравнения D(X)= 0:
Из унитарности подстановки A0) § 4 вытекает, что функ-
функции ч\Р будут ортогональны и нормированы, если таковыми
были фр.
Необходимо подчеркнуть, что функции \р®г получаются
вполне однозначно лишь в том случае, если все корни опреде-
определителя D(X) различны. Если же, например, корень X = Хх дву-
двукратный, то вместо решений bql — b'q и bq2 = b"q уравнения C)
мы могли бы взять также
( '

130	ТЕОРИЯ ШРЕДЙНГЕРА	[Ч. 1Г
где матрица, составленная из коэффициентов vih, унитарна.
Подстановке A3) соответствует замена
Таким образом, каждому кратному корню соответствует про-
произвольная унитарная подстановка над функциями, относящи-
относящимися к этому корню. Эти унитарные подстановки, которые
остаются произвольными в первом приближении, вообще говоря,
определяются при рассмотрении дальнейших приближений, т. е.
уравнений G) в § 4 и следующих.
Величины Ernr — Xr могут быть выражены через функции ^
Если мы введем обозначение
»rC/^vdT,	A5)
то мы будем иметь, на основании (8) § 4,
(nr\U\n'r') = E'nrdrr',	A6)
откуда при г = г' получается искомое выражение для Е'пГ.
§ 6. Первое и последующие приближения
Обратимся теперь к решению уравнения G) в § 4.
Правая часть его удовлетворяет, при нашем выборе г|)^г,
условию, необходимому для существования решения. Разложе-
Разложение ее в ряд напишется
mp
где мы воспользовались обозначением A5) § 5 и положили
dx.	B)
Штрих у знака суммы в A) означает, что следует опустить
члены, для которых т = п. Решая уравнение G) в § 4 по спо-
способу § 2, получим
р=1
р=»1

§ 6]	ПЕРВОЕ И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	131
Здесь последняя сумма представляет решение однородного урав-
уравнения. Постоянные срг в ней неизвестны и подлежат определе-
определению из второго приближения. Переходя теперь к рассмотрению
уравнения Gв) § 4, мы должны прежде всего позаботиться
о том, чтобы правая часть его была ортогональна ко всем ре-
решениям однородного уравнения. Это условие напишется
q(U-Kr)Krdr.	D)
Подставляя сюда выражение C) для ty'nr и обозначая для крат-
краткости через U'qr сумму
p=!
Г (nq\V\E)(E\U\nr)
J	Е° -Е	 ' ^ '
Е° -Е
можем уравнение D) написать в виде
Elrb r = U"qr + (E'nq - E'nr) cqr,	F)
причем мы воспользовались равенствами A6) § 5. Для q ф г
это равенство приводится к
U"Qr + (Е'щ, - E'nr) cqr = 0 (q Ф г).	G)
Если все числа Е'щ (^= 1, 2, ..., s), т. е. все корни опре-
определителя D (Я) D) § 5, различны, то из G) можно определить
все cqr с неравными значками, а именно,
и"
[О)
Если же некоторые корни совпадают, например Е'п\ — Е'пч,
то соответствующее U"qr = U'n должно равняться нулю. Этому
условию можно удовлетворить, выбрав надлежащим образом
унитарную подстановку A4) § 5, которая оставалась произ-
произвольной. В самом деле, если заменить -ф^, и i]/J2 их комбина-
комбинациями i|)*°, и ¦ф'з, то величина U"qr заменится на
К= ^W'tiPur (<7> r =1,2).	(9)
Это выражение должно равняться, согласно F), E"nrbqr, т. е.
Jr = ^'A,	do)

132	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Отсюда, умножая на vpq и суммируя по q, получаем
Мы пришли к уравнениям того же типа, как уравнения A)
§ 5, и можем по изложенному в § 5 способу найти матрицу у**.
Может оказаться, что матрица v^, по тем же причинам, как Ьш
§ 5, определяется неоднозначно; тогда для полного определения
ее пришлось бы перейти к высшим приближениям.
Предположим теперь, что матрица v^ найдена и что функ-
функции 1|з° надлежащим образом «исправлены», т. е. заменены,
в случае надобности, их линейными комбинациями. Тогда урав-
уравнение G) для E'nq = Е'пт будет выполняться тождественно, так
что соответствующее cqr останется произвольным, а для E'nq ф
ф Е'пг величина cqr определяется по формуле (8). Согласно
уравнению F) для q = г величина с„ также останется произ-
произвольной и может быть положена равной нулю; тогда функция
^nr= ^lr ~1~ e^r будет, с точностью до величин порядка е2, нор-
нормированной. Наконец, поправка второго порядка к энергии, т. е.
величина Е'пг, будет равна
E"nr = U"rr,	A2)
где под Urr мы должны, конечно, разуметь «исправленное» U'fr,
которое мы обозначили через Urr.
В результате мы получим первое приближение для собствен-
собственной функции г|)пг и второе приближение для энергии. Таким же
путем мы могли бы получить и высшие приближения, но ввиду
сложности формул они не представляют практического интереса.
§ 7. Случай близких собственных значений
Из формул § 3 видно, что если два собственных значения
Е°п и Еп' невозмущенного оператора близки друг к другу, то
в выражениях (9) и A2) § 3 для г|/ и Е'^ проявляются малые
знаменатели Е°п — Е^'. Вследствие этого, получаемые прибли-
приближения будут плохими, а если знаменатели Еп — Еп> того же по-
порядка, как и числители (умноженные на е), то указанными фор-
формулами вообще нельзя пользоваться. Это значит, что в таком
случае нельзя разлагать искомые функции и собственные зна-
значения по степеням е. Вместо этого можно применить способ,
идея которого состоит в таком расположении вычислений, чтобы
во всех членах с малыми знаменателями числители обратились
в нуль. При изложении этого способа мы ограничимся получе-
получением «нулевого» приближения.

5 7)	СЛУЧАИ БЛИЗКИХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	133
Напишем исследуемое уравнение в виде	-
A)
где
Н = Н° -4- р/7	Ю\
и положим, что невозмущенный оператор Я0 имеет два близких
собственных значения Е\ и Е\, которым соответствуют собствен-
собственные функции 1|э° и г|J. Будем искать то решение уравнения (I),
для которого Е близко к Е\ и Е%. В качестве исходного при-
приближения нужно взять вместо i|)J или •Щ, как это делалось
в § 3, линейную комбинацию
i|)* = c^J -\- с2г|5°.	C)
В самом деле, из формулы (9) § 3 мы можем заключить, что
главный член в выражении для г|)[ будет пропорционален ¦$•
поэтому целесообразно принять его во внимание уже в исходном
приближении. Кроме того, из формулы A0) § 4 следует, что
в предельном случае, когда ?? совпадает с Е°2, функцией нуле-
нулевого приближения будет линейная комбинация ty® и i|)°. Под-
Подставляя выражение C) в наше уравнение A), получим прибли-
приближенное равенство
= 0.	D)
Умножая D) сперва на г^, а затем на ф2 и интегрируя, получим
два уравнения
(Я
где
\Щх (/,?=1,2).	F)
Заметим, что недиагональные члены Я12 и H2i здесь малы по
сравнению с диагональными Нц и Н22, так как для невозмущен-
невозмущенного оператора Я?2 = Я21=0. Уравнения E) служат для оп-
определения коэффициентов С\ и с2 и параметра Е. Приравнивая
нулю определитель
Н — Е #12
D(E)= и Н -
1	2 — ¦
и решая квадратное уравнение
G)
- (Я„ + Н22) Е + НпН22 -1 Я1212 = 0,	(8)

134	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. ГГ
получаем для Е два значения
у	Т И - Я22J + 4| Я12 |2 ,
которые мы обозначим через Е\ и ?2. Из B) следует, что
где Uih определяется формулой, аналогичной F). Поэтому Я12
будет порядка е, и если бы разность El — El не была мала, то
выражение (9) можно было бы разложить по степеням е; но
если эта разность мала, то разложение будет плохо сходиться
или даже будет расходящимся. Отсюда ясно, почему способ, из-
изложенный в § 3, неприменим к случаю близких корней. Два
значения Е, получаемых из (9), дают в первом приближении
возмущенные собственные значения Е\ и Е2 оператора Н, кото-
которые соответствуют невозмущенным значениям ?? и Е%. Из фор-
формулы E) можно найти коэффициенты С\ и с2. Это удобнее всего
сделать, введя две вспомогательные вещественные величины о.
и р по формуле
^	A1)
Из E), (9) и A1) легко вывести, что отношение — прини-
принимает два значения
;. «в; | A2).
Если мы теперь положим
Cl, = sinV^, ]
A3).
¦ Г*ОЧ —• Р	ft л *—" С1 П —— Р
с2, = —sin-g-e 2 , с22 = cos у е ^ ,
то мы получим нормированные решения уравнений E). Соот-
Соответствующие собственные функции будут
г|з* = cos -^- е 2^1 — sin^e 2/ф°,
В	.р	f	A4>
• : а » -тг т ,	а -« v a
¦ф, = sin-^"e ib. -j- cos — e it,.

•§ 8]	АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ВИБРАТОР	135
Эти функции и могут служить исходным приближением. Со-
Составленные при помощи них элементы матрицы оператора Н
будут
\	(i, k=\, 2),	A5)
так что #*2 = 0. Поэтому, переходя к следующим приближе-
приближениям и составляя при помощи г])*, г|)* и остальных функций 1|^,
-а])°, ... выражения, аналогичные (9) или A2) § 3, мы не получим
в них членов с малым знаменателем Et — ?2, так что эти выра-
выражения действительно будут представлять лишь малые поправки.
§ 8. Ангармонический вибратор
В качестве примера применения теории возмущений рассмо-
рассмотрим ангармонический вибратор в одном измерении. Предполо-
Предположим, что единицы меры выбраны так, что уравнение для соб-
собственных функций оператора энергии имеет вид
тде е|2 = eU представляет поправочный член. Предложим себе
найти первое приближение для собственной функции и второе
приближение для собственного значения. Для невозмущенного
уравнения
L d ^п
_1 ?2^0 _ ?0,1,0
2 6 ^я СЛ
собственные значения и функции нам уже известны, а именно
!6'
	•е*6*МЕ),	C)
2пп1
El = n + ±.	D)
Элементы матрицы для возмущающего оператора U — ?3
{n\U\n')=

136	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
получатся проще всего путем перемножения найденных в § 6
гл. I матриц для | и для |2, элементы которых равны
F)
-1) б„-2, п' +
+
j «+l)(« + 2) бп+2, П'. G)
Мы будем иметь
{п \U\ п') = (я | Щ п') = ? (п III ^) (Л 113 W) =
V«(«— l)(n —2) .	. /"9 Г
—i	^	: б„-з,Л' + Д/ J П3 б„_1, „' +
, х / 9 , мз . , л /(n + l)(« + 2)(n + 3) s	^
+ /y-g(n+ О 0„+1, »' + Д/	g	Ort+3, ft'. (8)
Диагональный элемент матрицы U равен нулю, как это,
впрочем, видно и непосредственно из формулы E). Следова-
Следовательно, поправка к собственному значению в первом приближе-
приближении исчезает. -Приближенное значение собственной функции будет
ф„=ч? + <.	О)
где, согласно (9) § 3,
, у' (m\U\n) „
В нашем случае отличными от нуля будут только четыре
члена этой суммы, а именно,
_ (n-3\U\n) 0 , (п-\\Ц\п) 0
Т~ рО рО	*ra+l ^ рО рО	^п+з- Ни /
cn cn+\	n Пп+Ъ
Подставляя сюда выражение (8) для элементов матрицы, полу-<
чим окончательно
3. A1)

$ 8]	АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ВИБРАТОР	137
Нам остается вычислить по формуле A2) § 3 поправку для
энергии во втором приближении. Мы будем иметь
Следовательно, приближенное значение энергии будет
Таким образом, поставленная нами задача решена.
Положим, что в операторе энергии имеется кроме е|2 еще
один поправочный член вида 8?4, так что уравнение для соб-
собственных функций напишется
) = ?ф.	A4)
Если здесь 6 будет порядка е2, то первое приближение для
собственных функций не изменится, а к выражению A3) для
собственного значения прибавится диагональный элемент мат-
матрицы для 6?4. Вычислим этот добавочный член. Мы имеем
(п \Z*\n) = (n\Z\n3)
так что
б(«Ц4|«) = -|б(«2 + п + 4).	A5)
Прибавляя A5) к A3), получим для собственного значения Еп
выражение	. ,г
^ = («+й + Dб-^е2)(« + 1J+4б-^е1 A6)
В частном случае, когда 6 = -je2, выражение A6) отличается
от Е°п только постоянным членом -^"б2-
В заключение заметим, что добавка к потенциальной энер-
энергии гармонического вибратора членов вида eg3 или 6|4 меняет
характер собственных функций оператора энергии. Поэтому мы
имеем здесь дело с упомянутым в § 1 случаем, когда формаль-
формальное применение теории возмущений приводит к расходящимся
рядам и дает не «вполне», а лишь «почти» стационарные состоя-
состояния. Формальный характер решения проявляется и в том, что
при больших значениях п поправка к уровню энергии в фор-
формуле A6) перестает быть малой.

Г л а в а III
ИЗЛУЧЕНИЕ, ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ И ЗАКОН РАСПАДА,
§ 1. Классические формулы
Квантовые законы, управляющие теми явлениями, в которых
конечная скорость распространения действий в пространстве не
играет роли, могут считаться ныне окончательно установлен-
установленными. Эти законы могут быть формулированы при помощи тех
понятий, которые были изложены в первой части этой книги,
а также некоторого нового принципа [принципа Паули
(Pauli)], необходимого при постановке задачи многих тел. Тео-
Теория Паули и многоэлектронная задача будут рассмотрены в ча-
части III и части IV этой книги.
Напротив того, теория явлений, в которых конечная скорость
распространения действий существенна, не получила еще своего
окончательного завершения. К числу этих явлений принадлежат
прежде всего те, которые изучаются в электродинамике и теории
относительности.
Квантовые обобщения этих теорий требуют рассмотрения си-
систем, состоящих из неопределенного числа частиц (фотонов
в случае электродинамики и электронов с позитронами в случае
релятивистской квантовой механики). Мы не будем излагать
здесь теорию таких систем, а также квантовую теорию излу->
чения (квантовую электродинамику) и ограничимся выводом
необходимых формул на основании аналогии с классической тео-
теорией. При этом нам придется совершить некоторую непоследо-
непоследовательность; а именно, мы будем пользоваться квантовым опи-
описанием атомной системы и классическим описанием излучения,
не вводя явным образом понятия о световых квантах (фотонах).
Кроме того, приближенный (полуклассический) характер теории
может служить оправданием некоторой неточности выражений,
подобных словам «электрон находится в данном объеме» (вме-
(вместо «электрон может быть обнаружен в данном объеме посред-
посредством определенного опыта»), и т. д.

§ 1]	КЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ	139
Переходя к теории излучения, напомним прежде всего основ-
основные формулы классической теории. Уравнения Максвелла (Max-
(Maxwell) в форме Лоренца (Lorentz) имеют вид
Ч—-—ZJ- — 0, I
с dt	\	B)
d^	j
Здесь 0s и Ж суть векторы электрического и магнитного полей,
р — плотность электричества, v — вектор скорости электронов,
с — скорость света. Плотность заряда р и вектор тока pv, стоя-
стоящие в правых частях уравнений A), удовлетворяют «уравнению
неразрывности»
4f	O,	C)
которое, будучи написано в интегральной форме
-тг \ р dx = — \ pvn da,	D)
выражает тот факт, что изменение числа электронов внутри
объема Vo равно числу электронов, проходящих свозь поверх-
поверхность сто, окружающую этот объем. Положим
1 дА
& — — grad ф	-gr, Ж = rot A,	E)
где ф — скалярный и А — векторный потенциалы, которые мы
подчиним обычному условию
div А -\	^- = 0.	F)
Подставляя выражения E) для поля в уравнении Максвелла
A) и B), мы убедимся, что уравнения B) удовлетворяются
•тождественно, а уравнения A) напишутся, если воспользо-
воспользоваться F)
_w_
С ' }	G)
Мы предположим, что пространство, для которого вычис-
вычисляется поле, неограничено. Чтобы сделать решение уравнений G)
юднозначным, мы поставим условие, выражающее отсутствие

140	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
волн, приходящих из бесконечности. Это условие может быть
записано в виде
где / есть Ах, Ау, Аг или ф. Решение уравнений G), удовлетвО'
ряющее этому условию, выражается через «запаздывающие по-
потенциалы», а именно,
(9)
Если р и pv зависят от времени через посредство периоди-
периодического множителя
M,	A0)
то предыдущие формулы можно написать в виде
I г - г'
ф = еш
Таковы классические формулы для электромагнитного поля,
происходящего от некоторого сплошного распределения элек-
электричества. Нам нужно видоизменить их так, чтобы учесть кван-
квантовый характер описания материи.
§ 2. Плотность и вектор тока
В уравнениях Максвелла A) и B) § 1 материя характери-
характеризуется плотностью заряда р и вектором тока pv. Нам нужно
найти квантовые аналоги этих величин. Аналоги эти могут быть
двух родов: во-первых — математические ожидания, и, во-вто-
во-вторых, — операторы. Так как классические величины входят
в наши формулы как функции от времени, то для операторов
нужно выбрать ту форму представления, которая содержала
бы явно зависимость их от времени (см. § 14 гл. III ч. I).
Начнем с рассмотрения математических ожиданий. Вели-
Величина р dx представляет в классической теории заряд в объеме dx*
В квантовой теории математическое ожидание заряда полу-
получится, если мы умножим заряд —е одного электрона на матема-
математическое ожидание числа электронов. Если мы имеем только
один электрон, то это последнее будет равно вероятности элек-

§ 2]	ПЛОТНОСТЬ И ВЕКТОР ТОКА	141
трону быть в объеме dx, которая выражается, как известно,
формулой
Таким образом, величина р будет соответствовать
р —5» егр-ф.	A)
Рассмотрим число электронов в некотором малом объеме Vo;
обозначим это число через N(V0). Его математическое ожида-
ожидание будет
м. о. N{V0)=^Wdx.	B)
Vo
Составим выражение для производной от этой величины
по времени. Заменяя "ф и -ф их выражениями из волнового
уравнения, мы будем иметь
x.	C)
. Vo	Vo
Но для уравнения Шредингера
^	D)
Пользуясь уравнением D) и тем, что
А-ф • г|) — -ф Лг|з = div (grad -ф - -ф — ф grad -ф),
можно формулу C) написать в виде
Vt	Vo
где S есть вектор
Преобразуя E) по теореме Гаусса, получим
= -\sndo,	G)
d
dt
где п есть внешняя нормаль к поверхности а0, окружающей
объем Vo. Эта формула может быть истолкована в том смысле,
что изменение математического ожидания числа электронов вну-
внутри объема Vo равно математическому ожиданию числа элек^
тронов, проходящих сквозь поверхность а0. Величина
Snda

142	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
будет представлять тогда математическое ожидание числа элек-
электронов, проходящих за единицу времени сквозь элемент поверх-
поверхности da. При этом числа электронов складываются алгебраи-
алгебраически, так что если da пронизывается в обоих направлениях
одинаковым числом электронов, то Sn = 0. Вектор S дает, сле-
следовательно, плотность потока электронов, так что классическому
вектору тока pv мы можем сопоставить величину —eS:
pv-* — eS.	(8)
Из определения вектора S вытекает уравнение
0,	(9)
откуда следует, что квантовые аналоги A) и (8) величин р и
pv удовлетворяют уравнению неразрывности C) § 1.
Выражение F) для вектора S может быть преобразовано
следующим образом. Положим
¦ф = ае'а,	A0)
где а и а вещественны. Тогда, как нетрудно проверить,
S = -?-a2grada,	A1)
так что вектор S параллелен градиенту фазы волновой функ-
функции.
С другой стороны, можно в формуле F) выразить производ-
производные
д'ф <5ф <Эф
~W' ~ду~' ~дг~
через результаты применения операторов рх, ру, pz. Мы полу-
получим тогда
5* = ^[(Р^)Ф + ФОМ>)],	A2)
или
5*=2^[(**)Ф + (Ф*1>)]	A3)
и аналогичные формулы для двух других составляющих. В этих
формулах х, у, г суть операторы для составляющих скорости
(см. § 1 гл. I).
Выражения A3) представляют, с формальной стороны, есте-
естественное обобщение классических выражений рх, pi/, pz (раз-
(разделенных на заряд электрона —е), так как плотность р сопо-
сопоставляется с —eij)t|5, а составляющим скорости соответствуют
операторы х, у, г.
В пятой части этой книги мы увидим, что в теории Дирака
вектор S также может быть представлен в виде A3), хотя one-

§ 2]	ПЛОТНОСТЬ И ВЕКТОР ТОКА	143
раторы х, у, z имеют там совершенно другой вид, чем в теории
Шредингера.
Мы нашли квантовые выражения для математического ожи-
ожидания числа электронов, находящихся в данном объеме и про-
проходящих в единицу времени сквозь его поверхность. Рассмотрим
теперь соответствующие операторы.
Если мы имеем один электрон, то число электронов в объеме
Vo (равное нулю или единице) будет функцией /V, (х, у, z) от
координат х, у, z нашего единственного электрона, где / опре-
определяется следующим образом:
fvAx,y,z) = \, если х, у, z внутри \\, |
fVa(x, У, z) = 0, если х, у, z вне Vo. )
Поэтому оператором N(V0) для числа электронов, выражен-
выраженным в переменных х, у, z, будет умножение на эту функцию.
Математическим ожиданием этого оператора будет как раз ве-
величина B), как это и должно быть. Переходя к Гейзенбергову
представлению операторов, мы должны будем составить мат-
матрицу с элементами
(п | N | п') = \ % (х, t) f%, (x, t)dx,	A5)
где \рп(х, t) представляют замкнутую систему функций, удовле-
удовлетворяющих уравнению Шредингера, например собственных
функций оператора энергии. Так как функция / отлична от
нуля только внутри объема Vo, где она равна единице, то
i$a,dx,	A6)
где интегрирование распространено только по объему Vo.
Умноженный на заряд электрона элемент Гейзенберговой,
матрицы оператора N(V0) представляет аналог классической
величины
J>n,dx,	A7)
к,
а плотности р можно сопоставить величину
9пп' = ~е%%'-	A8)
Сопоставление это делается в том же смысле, как в § 8 гл. I,
где элементы Гейзенберговой матрицы для координаты х сопо-
сопоставлялись с классическими выражениями для той же вели-
величины.
Получив квантовый аналог для плотности р, мы можем вы-
вывести аналог для вектора тока pv, идя тем же путем, каким мы
получили формулу (8) из формулы A).

144	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Мы будем иметь, аналогично E) и F),
V,
где Snn' есть вектор
Snn> = -|j— (grad {f>re • a|v — tyn • grad i|v)>	B0)
и классическому вектору тока р» мы можем сопоставить вели-
величину
(pv)nn, = — eSnn,.	B1)
Выражения A2) и A3) заменятся теперь следующими:
и
Квантовые выражения для плотности и вектора тока были
выведены нами в предположении, что мы имеем только один
электрон, но они легко обобщаются и на случай нескольких
электронов.
§ 3. Частоты и интенсивности
Нам остается подставить элементы Гейзенберговых матриц
в классические формулы § 1. Прежде всего заметим, что если
$п(х, t) суть собственные функции оператора энергии
%(x,t) = e~^Ent$(x),	A)
то зависимость рпп, и {pv)nn, от времени будет чисто периоди-
периодической, с угловой частотой
, = ^^.	B)
Той же частотой будет, очевидно, обладать электромагнитное
поле, вычисленное на основании A1) § 1. Таким образом, полу-
получается правило частот Бора, согласно которому частота излу-
излучаемого атомом света равна деленной на постоянную Планка
h = 2яй разности уровней энергии атома в двух стационарных
состояниях. Самый процесс излучения удобно связывать с пе-
переходом атома из одного стационарного состояния в другое.

§ 3]	ЧАСТОТЫ И ИНТЕНСИВНОСТИ	145
Подставляя выражения A8) и B1) § 2 для плотности и век-
вектора тока в формулы (9) или A1) § 1 для потенциалов, будем
иметь *)
I т-т' I
Мы будем считать, что длина волны испускаемого света
W==^7	()
велика по сравнению с атомными размерами. Тогда можно пре-
пренебречь разницей в запаздывании электромагнитного поля, про-
происходящего от разных точек излучающей атомной системы**).
При таком предположении множитель -j—_ ,. е~Шпп' т~г ' под
знаком интеграла почти не будет меняться во всей той области,
где 'фя'фп' и Ьппг заметно отличны от нуля, и мы можем пре-
пренебречь г' по сравнению с г в выражении для АПП' и вынести
этот множитель за знак интеграла, а в выражении для упп'
заменить его линейной функцией от координат, по которым ве-
ведется интегрирование. Мы получим тогда
е - i®nn' v I т i (I i to
e	°)W[) +
где, согласно B3) § 2,
J m	2 J
Так как оператор для скорости — самосопряженный, то оба
члена в последнем интеграле равны между собой, и мы можем
написать
dx = ^ ij)rtfi|v dx.	F)
*) В наших формулах буква е встречается в двух значениях: как эле-
элементарный заряд и как основание натуральных логарифмов; мы думаем, од-
однако, что это не вызовет недоразумений.
**)¦ Влияние этой разницы может быть учтено в следующих приближе-
приближениях. Это необходимо делать в тех случаях, когда вычисленное в нашем
приближении поле оказывается равным нулю (см. ниже — правила от-
отбора),

H6	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. Г
В силу уравнений движения, элемент матрицы для скорости
равен производной по времени от элемента матрицы для коор-
координаты
¦dx = -^j \ ii>n#i|vdx = d. ,	G)
где
Хпп' = \ 'ФяЯ'фл' dx.	(8)
С другой стороны, в силу ортогональности и нормировки
функции i\)n,
Mv dx — Ьпп'.	(9)
Подставим эти выражения в формулы E) и положим сперва
п = п'. Так как диагональный элемент хпп> не зависит от вре-
времени, мы получим
Л 0 |
Ф««-—у. j
т. е. электростатическое Кулоново поле от электрона. Полагая
теперь п ф п', будем иметь
е „-™Пп'~ dxnn'
in'	cr e	dt
Ввиду того, что
пп'е п
мы можем вместо A1) написать
Составляя по формулам E) § 1 электрическое и магнитное
поле, мы будем считать, что, хотя длина волны велика по сравне-
сравнению с размерами атома, она тем не менее мала по сравнению
с расстоянием от него до той точки, для которой вычисляется
поле. При этом для упрощения вычислений мы можем рассма-
рассматривать только вклад, даваемый векторным потенциалом, ибо,
как можно показать, вклад скалярного потенциала влияет лишь
на численное значение коэффициента в окончательных форму-
формулах. Мы будем тогда иметь
пп'Г е	' )	A3)
' grad r.

§3]	ЧАСТОТЫ И ИНТЕНСИВНОСТИ	147
Эти формулы позволяют судить о поляризации и об интен-
интенсивности света данной частоты, соответствующей определенной
спектральной линии. Если, например, окажется, что для данной
пары значений пп' (т. е. для данного перехода) одна из состав-
составляющих вектора хпп>, например, гпп-, отлична от нуля, тогда
как две другие хпп' и упп> равны нулю, то свет поляризован по
оси г, если же, наоборот, хпп'?= 0, уПп'Ф§, тогда как znn' = О,
то свет поляризован в плоскости ху. Может случиться, что для
определенных пар значений пп' элементы матриц для всех трех
координат хпп', упП' и znn> равны нулю; тогда линии, соответ-
соответствующие этим переходам, отсутствуют или, как говорят, за-
запрещены. Во многих случаях можно установить определенные
правила, на основании которых можно судить, какие линии за-
запрещены и какие — нет. Эти правила носят название правил
отбора.
Чтобы судить об интенсивности излучения, можно составить
среднее по времени от вектора Пойнтинга (Poynting), взяв для
этого вещественные части <§' и Ж' от & и Ж. Вектор Пойнтинга
равен
Среднее по времени от этого выражения будет
¦ A5)
Таким образом, интенсивность спектральной линии частоты
<апп, пропорциональна выражению
'пп' е Ыпп' \ | Хпп' | т I Упп' I ' I Znn' \ )'	^1О^
так что отношение интенсивностей двух спектральных линий
дается отношением соответствующих выражений /„„'.
Если ввести вектор электрического момента электрона
то выражение A6) можно написать в виде
или, короче,
lnn' = <n"\{n\D\n')?.	A8*)
В том случае, когда атом содержит несколько электронов,
выражение A8) также может служить мерой интенсивности,

148	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
если только разуметь под D полный электрический момент, рав-
равный сумме моментов отдельных электронов. Правило отбора
будет тогда состоять в указании, какие элементы Гейзенберго-
вой матрицы для полного момента D отличны от нуля.
Для иллюстрации изложенного рассмотрим пример вибра-
вибратора, разобранный в предыдущей главе. Мы знаем, что эле-
элементы Гейзенберговой матрицы для координаты х равны [см.
(8) § 8 гл. I]
Отсюда следует, что только те элементы отличны от нуля
и, значит, только те переходы возможны, для которых кванто-
квантовые числа п и п' отличаются друг от друга на единицу:
п—л' = ±1.	B0)
В этом заключается правило отбора для вибратора. Частота
для этих «дозволенных» переходов равна основной частоте виб->
ратора, тогда как кратных частот в излучении не появляется.
Мерой интенсивности является для вибратора величина
.	B0
так что интенсивность пропорциональна квантовому числу п.
§ 4. Интенсивности в сплошном спектре
Для сплошного спектра формулы для интенсивностей дол-
должны быть несколько видоизменены. Положим, электрон выры*
вается из атома с определенного уровня Еп на бесконечность
с кинетической энергией Е (спектр поглощения). В этом случае
можно говорить, собственно, не об интенсивности монохромати-
монохроматического света определенной частоты со, где
со = -^-,	A)
а об интенсивности света в определенном интервале частот
Асо = -g- A?.	B)
Соответственно этому нужно в Гейзенберговых матрицах за-
заменить собственную функцию *|V (x) на собственный дифферен-
дифференциал, соответствующий интервалу
Е+&Е
1 *"' = ¦ .!_ ( г|ф
Vдя J
?

§5]	ВОЗМУЩЕНИЕ АТОМА СВЕТОВОЙ ВОЛНОЙ	149
и нормированный так, чтобы было
lim -±г[\АУ\Чт=\,	D)
в остальном же наши выводы не изменятся.
Указанная замена приводит к замене элемента матрицы
W = (?nl*|?«')	E)
на
/Ш ±[т.	F)
Но величина AW, входящая в эту формулу, приближенно равна
Ц(х,Е)АЕ,	G)
причем этим приближением можно пользоваться, если содер-
содержащий &Ч? интеграл не перестает сходиться от замены AW
на G). В нашем случае это так и будет, потому что в F) AW
множится на быстро убывающую функцию ¦фп(х)*). Поэтому
элемент матрицы в F) можно написать в виде
.	(8)
Определяя аналогично элементы матрицы для координат у
и z и делая в формуле A5) § 3 замену
Хпп'-+ (?д I х |?)л/Д?,	(9)
получим для меры интенсивности света, приходящегося на ин-
интервал
АЕ = Н- Дсо,
выражение
A0)
которое и нужно применять вместо A6) § 3 для случая сплош-
сплошного спектра поглощения.
§ 5. Возмущение атома световой волной
Когда плоская монохроматическая световая волна падает
на атомную систему, она вызывает некоторое добавочное излу-
излучение, частота которого может равняться, во-первых, частоте
падающей волны и, во-вторых, сумме или разности частоты
волны и собственных частот атома [явление Рамана (Raman)].
*) Напротив того, в D) замена G), очевидно, недопустима.

]50	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Это добавочное излучение интерферирует с падающим, причем
получается плоская волна измененной длины. Изменение длины
волны в данной среде можно характеризовать ее показателем
преломления или диэлектрической постоянной: эта величина бу-
будет, вообще говоря, зависеть от частоты, так что будет иметь
место дисперсия света.
Мы рассмотрим здесь в общих чертах описанное выше явле-
явление. Наша задача распадается на две части. Прежде всего мы
должны получить приближенное решение волнового уравнения
Шредингера при наличии возмущающего поля световой волны.
Затем мы должны найти частоты и интенсивности добавочного
излучения и вывести выражение для диэлектрической постоян-
постоянной.
Займемся решением возмущенного волнового уравнения.
Если длина волны падающего света велика по сравнению с раз-
размерами атома, то возмущающая энергия, соответствующая па-
падающей волне, будет приближенно равняться
U = -(Dx&x + Du&y + Dz&z) = -D-&,	A)
где <S есть вектор электрического поля, a D — вектор электри-
электрического момента атома. В случае одного валентного электрона
можно положить
Dx = — ex, Dy = — ey, Dz = — ez.	B)
Волну мы предположим монохроматической, так что
Поэтому зависимость возмущающей энергии от времени будет
вида
и = Uoe -f- Uq e >	D)
тде Uo и U? не зависят от времени. Обозначение U+ оправды-
оправдывается тем, что f/о" есть оператор, сопряженный, в смысле тео-
теории линейных операторов, с Uo.
Если Н° есть невозмущенный оператор энергии, то волновое
уравнение, приближенное решение которого нам предстоит
найти, будет иметь вид
• Н\ + (иоеш + ии~Ш) * - ih |f = 0.	E)
Мы будем считать внешнее электрическое поле малым и при
вычислении i|j ограничимся первым приближением. Положим
г|> = г|>* + v + w	F)

§ 5]	ВОЗМУЩЕНИЕ АТОМА СВЕТОВОЙ ВОЛНОЙ	151
и будем считать v и да малыми. Подставляя F) в E) и прене-
пренебрегая членами порядка Uv и Uw, получим
dv , .h dw
Этому уравнению мы удовлетворим, если выберем функции
¦ф*, v, w так, чтобы было
dt	'
(8)
Уравнение G) есть невозмущенное волновое уравнение; ему
удовлетворяет функция
¦ф = i])^e " .	\°'
Если подставить (9) в (8) и (8*), то будет ясно, что этим урав-
уравнениям можно удовлетворить, положив
A0)
',	A0*)
где v\ и w°n не зависят от времени. Для этих функций полу-
получаются уравнения
H°wnn -(Еп + Й<о)wl = — U^l	(IV)
При решении этих уравнений мы должны будем предполо-
предположить, что числа Еп ± На не совпадают ни с одним из собст-
собственных значений оператора Я0, т. е.
Еп-ЕП'±Н<*Ф0	A2)
или
iGWI^ICul,	A3)
где
Е„ — Е.
<*пп>= Ь ¦	(И)
Неравенство A3) выражает отсутствие резонанса между
собственной частотой атома и частотой волны. Если это нера-

152	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. If
венство не выполняется, то наш способ решения уравнения E),
основанный на предположении о малости v°n и w°n, становится
неприменимым.
При отсутствии резонанса уравнения A1) могут быть ре-
решены по способу § 2 гл. II. Предполагая для простоты, что крат-
кратные собственные значения и сплошной спектр отсутствуют, бу-
будем иметь
E(m | u0 I n) „
Em — En +ba> ^rn*
m (т\Щ\п) ,„
где
Так как мы предполагаем, что длина волны падающего света
велика по сравнению с размерами атома, то амплитуду S мы
можем считать в пределах интегрирования в A6) постоянной;
по формулам A), C) и D) мы получим
+ &l (m \D% | п)} = — -g- (m 18й • Z)° | и), A7)
где
На основании F), (9) и A0) мы можем написать приближен-
приближенное решение уравнения E) в виде
®°пе-ш),	A9)
где v°n и wun имеют значение A5) и A5*).
§ 6. Формула дисперсии
В классической электронной теории излучение атома может
быть характеризовано его электрическим моментом: квантовым
аналогом электрического момента является, как мы видели в § 3,
элемент Гейзенберговой матрицы для произведения заряда элек-
электрона на его координату, или сумма таких произведений, если
электронов несколько.
Падающая волна вызывает появление некоторого добавоч-
добавочного электрического момента, который для оптически изотропной

§ 6]	ФОРМУЛА ДИСПЕРСИИ	153
среды будет пропорционален электрическому полю, а в общем
случае будет линейной векторальной функцией от составляющих
поля. Зависимость коэффициента пропорциональности (или ко-
коэффициентов векторальной функции) от частоты и является ос-
основанием для объяснения явления дисперсии.
Зная приближенное решение а[зп волнового уравнения, возму-
возмущенного световой волной, мы можем составить элемент Гейзен-
берговой матрицы для электрического момента. Пренебрегая
квадратами и произведениями v°n и w°n, получим
v dx = еш™'* {п | D° | я') +
+1 Cnnrel (и-'+й)' +1C+ ,i (»*•'-»>', A)
где
Cm, = 2 \wlD^n,dx + 2 \ $°2H?, rfT>	B)
Ctn> = 2 J vlD^l' dx + 2\ ^nDwl' dx,	B*)
так что	_
что и оправдывает обозначение величины B*) крестом наверху.
Подставляя в B) вместо v\ и w\ их выражения A5) § 5 и
пользуясь A7) § 5, будем иметь
В формуле A) для электрического момента появляются,
кроме собственной частоты атома aw, сумма и разность частот
со„„/ ± со (явление Рамана). Члены
DL> = ^ Спа,е1 (»»»'+и) * + 1С+,е' (в«»'-м)'	E)
в формуле A) представляют добавочный электрический мо-
момент, возникающий вследствие возмущения атома световой вол-
волной. Диагональный элемент добавочного момента
К = Кп=Т Сю*« + Т Сппе~Ш	F)
имеет ту же частоту, как и падающая волна: он является по-
поэтому ближайшим аналогом добавочного момента классической
теории.

154	ТЕОРИЯ ШРНДИНГЕРА	[Ч. II
Рассмотрим зависимость вектора Dn от составляющих элек-
электрического поля. Выражение D) для СШ' Дает при п = п'
(D'x)n = вещ. ч. {(ахх)п 8хеш + (аху)п 8уе1«< + (axz)n
{Dry)n = вещ. ч. {(аух)п 8хе^ + {ауу)п8уе™ + (ауг)п Жге^}, [ G)
{D'z)n = вещ. ч. {(azx)n &хе^+{агу)п $уеш + (агг)„	J
где, например,
а остальные коэффициенты выражаются по тому же закону и
получаются из (8) заменой значков х и у соответствующими
значками.
Таблица коэффициентов
faxx axy ax
ауу ayz \	(9)
(мы опустили значок п) обладает Эрмитовой симметрией, так
что, например,
<V = a*y	(Ю)
Таким образом, добавочный электрический момент D' есть
линейная векториальная функция электрического поля, причем
в случае комплексных коэффициентов (9) фаза D' не совпадает
с фазой 8. Если же коэффициенты а вещественны (что будет,
например, в том случае, когда собственные функции ф° веще-
вещественны), то фазы D' и & совпадают, и уравнения G) могуг
быть написаны в виде
Ф'х)п = (ахх)п &х + {аху)п%у + (аХ2)п &г, Л
Фу)п — {о-ух)п^х + {аУу)п^у + {ауг)п&г, \	A1)
(D'z)n = (azx)n Sx + (azy)n Sv + {агг)п »z, >
где 8 есть вещественный вектор электрического поля. Особый
интерес представляет случай, когда
В таком случае зависимость между D' и & приводится к про-
простой пропорциональности
A3)

§ 6!	ФОРМУЛА ДИСПЕРСИИ	155
Наши выражения дают добавочный электрический момент
для одной частицы. Чтобы получить полный момент D* всех ча-
частиц в единице объема, обозначим через Nr число частиц в со-
состоянии г, находящихся в единице объема, и составим сумму
D*=ZNrD'n	A4)
г
которая равна
D* = a&,	A5)
где
a=J?lNrar.	A6)
По классической электронной теории диэлектрическая по-
постоянная связана с коэффициентом пропорциональности а фор-
формулы A5) соотношением
о 8 *~* 1
а
Таким образом, наши формулы дают связь между диэлектриче-
диэлектрической постоянной и атомными величинами.
В формуле A6) числа Nr зависят от температуры. По клас-
классической статистике Больцмана эта зависимость была бы вида
A8).
где N есть полное число атомов в единице объема и Ег есть
энергия одного атома в состоянии г. Коэффициенты же аг зави-
зависят лишь от свойств частицы и, кроме того, от частоты со падаю-
падающего света. Зависимость величины а от частоты и объясняет
явление дисперсии света. Как видно из наших формул, частота со
входит в выражение для а через посредство знаменателей
u>mn ± со; эти знаменатели являются характерными для формулы
дисперсии.
Изложенная в этом параграфе теория представляет лишь
общую схему, которая дает представление о воздействии света
на атом. Теория эта далеко не полна по следующим причинам.
Во-первых, связь между величинами, относящимися к одному
атому или молекуле (например, электрический момент), и вели-
величинами макроскопическими (например, диэлектрическая по-
постоянная) затронута здесь лишь вскользь, причем для характе-
характеристики статистического распределения систем по состояниям
мы привели лишь классическую формулу A8). Во-вторых, даже
величины, относящиеся к одному атому, описываются у нас по-
полуклассически, так как не вводится представление о квантах.

156	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
света, и лишь схематично, так как мы, например, не рассматри-
рассматриваем случая кратных собственных значений и не выясняем, при
каких условиях имеют место равенства A2). Наконец, уы ни-
ничего не говорим о том, что происходит в случае резонанса, и не
затрагиваем вопроса о ширине спектральных линий.
Как уже было сказано в начале этой главы, сколько-нибудь
полное изложение существующей теории излучения выходит из
рамок этой книги.
§ 7. Прохождение частицы сквозь барьер
потенциальной энергии
Рассмотрим задачу, которую в терминах классической меха-
механики можно было бы назвать задачей о прохождении частицы
сквозь барьер потенциальной энергии. Задача эта, по существу,
является нестационарной, но в качестве вспомогательных вели-
величин мы будем рассматривать также волновые функции, которые
являются собственными функциями оператора энергии.
Предположим, что потенциальная энергия U зависит только
от расстояния г до некоторого притягивающего центра, так что
задача обладает сферической симметрией. Будем рассматривать
лишь те состояния, в которых волновая функция зависит (кроме
времени) только от координаты г:
« = Ф(г,0	A)
(общий случай будет рассмотрен в следующей главе). Если мы
положим
то уравнение Шредингера
приведется к следующему:
й2 d2f
C)
Для состояний с определенной энергией мы можем положить
f(r,t) = f(r)e-*Et	E)
и уравнение D) примет вид

§7]	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР	157
Чтобы функция х|) оставалась всюду конечной, необходимо вы-
выполнение предельного условия
f@) = 0.	G)
Сделаем теперь определенные предположения о виде потен-
потенциальной энергии U(г). Пусть U(r) сперва монотонно возрас-
возрастает, начиная с некоторого конечного значения (или даже на-
начиная с — оо, как это будет для потенциальной энергии элек-
электрона U = —е2/г в Кулоновом поле ядра). Пусть затем U(г)
достигает максимума, после чего начинает неограниченно убы-
убывать. Мы будем рассматривать значения Е меньшие макси-
максимума U(г). Разность U(г)—Е обратится в нуль в двух точках
до и после максимума U(r), скажем, при г = г\ и г = г2. Таким
образом, область изменения г подразделяется на три участка,
характеризуемых неравенствами
I. О </¦</-,, II. г, <r<r2, III. r2<r.	(8)
Выясним общий характер функции f на соответствующих
участках. На первом участке, где U < Е, функция f будет
иметь колебательный характер. Если мы положим
г
S, (г) = \ V'2т (Е - U) dr,	(9)
то при г, меньшем Г] (и не слишком близком к г{), будет
в полуклассическом приближении, рассмотренном в § 15
гл. III ч. I,
где с и а постоянны. Для второго участка положим
г
S2(r)= J V2m(?/-?) dr.	A1)
г,
Тогда будет приближенно
4-s2
Наконец, на третьем участке будет
где
г
S3= $ У2m (?-?/) dr,	A4)

158	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
а величины с' и а' — новые постоянные. Согласно формуле B),
функция \|з отличается от / множителем 1/г, стремящимся к нулю
на бесконечности; поэтому поведение функции \р на первом и на
третьем участках будет различным и \р будет стремиться к нулю
на бесконечности.
В переходной области, где коэффициент Е — U в уравне-
уравнении Шредингера F) меняет знак (т. е. вблизи г = г2 и г = г{),
предыдущие выражения неприменимы, и там приближенные ре-
решения могут быть выражены через функции Эйри (Airy), пред-
представляющие решения простейшего уравнения
w"{t) = tw(t),	A5)
в котором коэффициент при неизвестной функции проходит че-
через значение нуль. На применении функций Эйри к нашей за-
задаче мы останавливаться не будем.
Наибольший интерес представляет случай высокого барьера
потенциальной энергии. Он характеризуется тем, что величина
¦ Is = is2(r2)	A6)
будет весьма велика по сравнению с единицей. В этом случае
поведение функции /, а следовательно, и г|з будет существенно
зависеть от значения коэффициента в формуле A2). Если С\ = 0,
то первый член в A2) отсутствует и функция будет быстро убы-
убывать при возрастании г от гх до г2, так что амплитуда \|э в обла-
области III будет гораздо меньше, чем в области I. Это значит, что
вероятность (точнее, плотность вероятности) обнаружения ча-
частицы в области внутри барьера будет гораздо больше, чем для
области вне его.
При произвольном значении параметра энергии Е нельзя
сделать так, чтобы постоянная С\ обращалась в нуль. Требо-
Требование Ci(E) = 0 выделяет некоторые значения Е подобно тому,
как в обычной задаче теории Шредингера выделялись соб-
собственные значения оператора энергии. Пусть Е = Ео — одно
из таких значений. Обозначим соответствующую функцию г|э че-
через УЕл(г).
Поскольку эта функция отлична от нуля и вне барьера, мы
не можем рассматривать ее как описывающую состояние ча-
частицы внутри барьера. Для описания такого состояния мы мо-
можем ввести близкую к ней функцию ^(z"), положив
%(r) = *Et(r) @<r<r2), |
t|>o(r) = 0	(r>r2). )

§8]	ЗАКОН РАСПАДА ПОЧТИ-СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ	159
Мы можем наложить на нее условие нормировки
l.	A8)
В состоянии, описываемом функцией tyo{r), частица находится
внутри барьера, но состояние это не стационарно, поскольку
функция \р0 не удовлетворяет при г = г2 условию непрерывно-
непрерывности, необходимому для собственной функции оператора энергии.
Состояние системы будет, однако, приближенно стационарным
в том смысле, что если в начальный момент времени t = 0 оно
описывалось функцией tyo(r), для которой вероятность нахожде-
нахождения частицы внутри барьера равна единице, то в последующие
моменты эта вероятность будет медленно убывающей функцией
от времени. Закон убывания этой вероятности можно назвать
законом распада системы, находящейся в почти стационарном
состоянии.
По классической механике распад системы был бы связан
с прохождением частицы через барьер потенциальной энергии.
Если бы можно было всегда локализовать частицу в простран-
пространстве, то пришлось бы сказать, что в области над барьером ее
кинетическая энергия проходит через отрицательные значения,
что невозможно. С другой стороны, такие явления, как выбра-
выбрасывание а-частиц из ядра атома или ионизация атомов во внеш-
внешнем электрическом поле, убедительно показывают, что распад
систем такого типа действительно может происходить. Сопостав-
Сопоставление этих двух заключений неизбежно приводит к выводу, что
к перечисленным явлениям классические понятия неприемлемы
и что истолкование их требует введения новых, а именно, кван-
квантовых понятий. Но согласно механике утверждение о том, что
частица находится над барьером, лишено смысла, пока не ука-
указано, каким образом это может быть констатировано. Констата-
Констатация же нахождения частицы в области над барьером требует
сообщения ей недостающей энергии. Тем самым устраняется
упомянутый выше парадокс.
§ 8. Закон распада почти-стационарного состояния
Закон распада почти-стационарного состояния системы мо-
может быть формулирован для весьма общего случая, если вве-
ввести в рассмотрение функцию распределения энергии в этом со*
стоянии.
Обозначим буквой х совокупность координат (или тех пере-
переменных, через которые выражена волновая функция). Пусть
1|з0 = ^(д;, 0) есть начальное значение волновой функции t|)(#, /)

160	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
рассматриваемой системы. Разложим ¦фо в интеграл по собствен-
собственным функциям у\>е(х) оператора энергии:
E.	A)
Тогда состояние системы во время t будет
ар (Х, t) = \ е~~ " с (Е) $Е (х) dE.	B)
Вероятность L(t) того, что через время t система может быть
обнаружена в начальном состоянии, равна квадрату модуля
«скалярного произведения»
^	, t)dx,	C)
так что мы имеем
L(t) = \p(t)f.	D)
На основании теоремы замкнутости для функций $е(х) вели-
величина p(t) может быть представлена как «скалярное произведе-
произведение» коэффициентов разложения функций A) и B). Мы имеем
^	E)
Но величина
dW (E) = w{E)dE = \c {E) I2 dE	F)
есть функция распределения энергии для начального состояния
(а значит, и для состояния во всякий последующий момент вре-
времени t). Поэтому выражение E) может быть написано в виде
(*)=$
~T Et
w СЕ) dE = J e~T Et dW {E).	G)
Таким образом, введенная выше вероятность того, что через
время t система еще не распалась, равна
*E'dW(E)
(8)
Мы получаем, таким образом, следующую теорему.
Закон распада состояния ф0 зависит только от функции рас-
распределения энергии в этом состоянии и выражается форму-
формулой (8).
При соответствующем определении интегральной функции
распределения W(E) формула (8) будет справедлива и в том
случае, когда функция W(E) разрывна (точечный спектр).
Заметим, что закон распада может быть одинаков и для двух
разных состояний, если только функция распределения энергии
для них одинакова. Следует также иметь в виду, что в формуле

§ 8]	ЗАКОН РАСПАДА ПОЧТИ-СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ	161
для вероятности распада время t отсчитывается с того момента,
когда (в последний раз) констатировано, что атом (или си-
система) еще не распался; самое же состояние •фо нераспадавше-
гося атома не меняется. Это можно, если угодно, выразить сло-
словами; атом не стареет, а распадается внезапно. Это следствие
справедливо для любого закона распада, не обязательно экспо-
экспоненциального.
Интересно отметить, что в формуле G) подвергается преоб-
преобразованию Фурье не амплитуда вероятности (не волновая функ-
функция), как обычно в квантовой механике, а сама вероятность.
Согласно терминологии, принятой в теории вероятностей, p(t)
есть характеристическая функция для распределения энергии.
Из свойств интеграла Фурье вытекает связь между быстро-
быстротой распада и плавностью функции распределения.
Выясним сперва условия, при которых вообще будет иметь
место распад.
Если существует дифференциальная функция распределения
энергии (плотность вероятности) w(E), то интегральная функ-
функция распределения W(E) связана с ней соотношением
Е'
W (?') -W{E) = \ w (E) dE,	(9)
Е
где Е и Е' — любые два значения энергии. Если Е' > Е, то на-
написанное выражение есть, очевидно, вероятность того, что энер-
энергия системы лежит между Е и Е'. Если точечный спектр отсут-
отсутствует, функция W(E) будет непрерывна для любого начального
состояния. При наличии же точечного спектра функция W(Е)
может быть непрерывна лишь в том случае, когда в начальном
состоянии обращаются в нуль все относящиеся к точечному
спектру вероятности.
Предположим, что функция W(E) непрерывна. Из связи (9)
между W(E) и w(E) следует, что непрерывность W(Е) равно-
равносильна абсолютной интегрируемости w(E) в обычном ее опре-
определении. Но если w(E) абсолютно интегрируема, то величина
интеграла E) стремится к нулю при неограниченном возраста-
возрастании t.
Таким образом, из непрерывности W(E) следует
L(f)->0 при t->oo,	A0)
где, согласно G) и (8), L(^) есть вероятность того, что во
время t система не распалась. С другой стороны, можно дока-
доказать, что из условия A0) вытекает непрерывность W(E).
Мы приходим к выводу, что необходимым и достаточным ус-
условием наличия распада является непрерывность интегральной
функции распределения энергии^

162	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Во многих задачах функция распределения энергии удов-
удовлетворяет гораздо более жестким условиям, чем простая не-<
прерывность W(E). Так, в задаче о вылете частицы из потен-
потенциальной ямы через барьер потенциальной энергии плотность
вероятности w{E) будет мероморфной функцией*) комплексной
переменной (задача эта была рассмотрена в предыдущем пара-
параграфе). Так как при вещественных значениях Е функция w(E)
будет вещественной, то полюсы ее будут расположены симме-
симметрично относительно вещественной оси, причем вычеты в полю-
полюсах будут величинами комплексными сопряженными (по физи-
физическому смыслу функции w(E) как плотности вероятности, она
не может иметь полюсов на самой вещественной оси). Пусть
ближайшая к вещественной оси пара полюсов будет
Е = Е0±1Г (Г>0).	A1)
Пусть следующая пара полюсов будет иметь мнимую часть Г'.
Нетрудно видеть, что если t настолько велико, что
Г'-Г
¦ t
> 1,	A2)
то значение интеграла G) будет обусловлено вычетом в одном
из двух полюсов A1), тогда как остальные полюсы не будут
играть роли. Но если бы функция щ{Е) имела только одну пару
полюсов, то мы могли бы положить**)
т. е. пришли бы к дисперсионной формуле распределения энер-
энергии.
Подставляя A3) в интеграл G), мы получаем
и, следовательно,
2Г
A5)
Таким образом, для получения обычной экспоненциальной
формы закона распада достаточно уже общего предположения
о мероморфном характере функции w(E)—предположения, ко-
которое может быть обосновано путем анализа уравнения Шре-
дингера для данной задачи.
*) Мероморфной называется функция, регулярная и однозначная на всей
плоскости, кроме отдельных изолированных точек, которые являются ее по-
полюсами.
**) Мы считаем здесь, что Г < Ео— Е*, где Е*—нижний предел интегри-
интегрирования в G) (обычно ?* = 0).

Г л а в а IV
ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
§ 1. Общие замечания
Задача об описании состояния электрона в поле с централь-
центральной симметрией имеет большой практический интерес, так как
решение ее дает не только теорию спектра водорода (движение
в Кулоновом поле), но также и приближенную теорию спектров
атомов с одним валентным электроном, например атома натрия.
В атоме водорода электрон находится в Кулоновом электро-
электростатическом поле ядра, так что потенциальная энергия U(х, у, z)
равна
В атомах с несколькими электронами последние как бы те-
теряют свою индивидуальность, так что нельзя, строго говоря, рас-
рассматривать состояние отдельных электронов и описывать их вол-
волновыми функциями \j), зависящими от координат одного элек-
электрона каждая. Вместо этого нужно рассматривать состояние
всего атома как целого и описывать его волновой функцией, за-
зависящей от координат всех электронов. При этом нужно учесть
наличие у электронов внутренней степени свободы (так назы-
называемого спина), а также свойства симметрии волновой функции
по отношению к перестановке электронов. Многоэлектронная за-
задача будет формулирована в части IV этой книги. Пока же огра-
ограничимся замечанием о том, что в известном приближении можно
выразить волновую функцию всего атома через волновые функ-
функции отдельных электронов. Тогда для этих последних полу-
получаются уравнения того же типа, как в задаче одного тела (с не-
некоторыми добавочными членами). Поэтому можно, например,
для атома с одним валентным электроном составить уравнение
для волновой функции этого электрона и говорить, что он нахо-
находится в поле ядра и остальных (внутренних) электронов. Это
поле будет, подобно полю в атоме водорода, обладать сфериче-
сферической симметрией, но оно уже не будет Кулоновым. Ввиду изло-
изложенного, случай не-Кулонова поля с потенциальной энергией

164	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
U(г), зависящей только от расстояния от ядра, представляет
большой физический интерес.
Теория Шредингера дает верную в общих чертах картину
спектров атомов с одним валентным электроном. Лишь некото-
некоторые детали, а именно, тонкая структура (наличие дублетов), не
получаются из уравнения Шредингера и могут быть объяснены
на основании теории Дирака, в которой принимается во внима-
внимание теория относительности. Кроме того, теория Дирака необхо-
необходима для объяснения поведения атома в магнитном поле [явле-
[явление Зеемана (Zeeman)]. Правда, уравнение Шредингера может
быть обобщено на случай магнитного поля, но так как поправки
на магнитное поле и на теорию относительности одного и того
же порядка, то необходимо учитывать их одновременно. Изло-
Изложение теории Дирака дано в пятой части книги.
§ 2. Интегралы площадей
Волновое уравнение Шредингера для электрона в поле с по-
потенциальной энергией U (х, у, г) имеет вид
iA-§? = 0,	A)
где оператор энергии Н равен
Положим, что потенциальная энергия U зависит только от
расстояния г от ядра атома, которое мы будем считать непо-
неподвижным и лежащим в начале координат
U (х, y,z) = U (г) (г = У*2 + #2 + 22).	C)
Волновое уравнение напишется
или, если мы выразим рх, ру, рг через производные, то
-j^Aq + U(r)^-ih^-=0,	E)
где А есть оператор Лапласа.
В классической механике в случае центрального поля имел
место закон площадей: составляющие момента количества дви-
движения вокруг начала координат
тх = ypz — zpy, ~\
mv=zpx—xpz, >	F)
tnz = xpy — урх )

§ 2]
ИНТЕГРАЛЫ ПЛОЩАДЕЙ
165
были интегралами уравнений движения. Посмотрим, не будут
ли эти величины интегралами и в квантовой механике, если мы
будем разуметь под ними операторы, рассмотренные нами в § 7
гл. III, ч. I. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что
они переместительны с оператором энергии. Для доказательства
переместительности их с оператором кинетической энергии мы
могли бы воспользоваться выражениями для скобок Пуассона,
выведенными в § 7 гл. III ч. I; но проще доказать это непосред-
непосредственно.
Мы имеем
и, следовательно,
дх ду
дхду
Переместительность mz с потенциальной энергией доказы-
доказывается аналогично, а именно,
так как если U=U(r), то
аи
У
аи
Следовательно, mz переместителен как с оператором Лапласа,
так и с потенциальной энергией, а значит и со всем оператором
энергии. Ввиду симметрии относительно координат х, у, z то же
справедливо для тх и ту.
Таким образом,
Нтх — тхН ==0, 1
Нту — туН = 0, ?	G)
Нт2 — mzH = 0, J
т. е. составляющие mx, my, mz момента количества движения суть
интегралы квантовых уравнений движения.
Но эти операторы не переместительны между собой; в самом
деле, мы знаем, что имеют место соотношения
(8)
ntyn
mzm
mxrt
iz — mztny =
ix — tnxtnz =
iu — mytnx =
inmx,
ihmy,
ihmz.

166	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
Отсюда следует, как мы знаем, что величины тх, ту, tnz не
могут иметь одновременно определенных значений (за исклю-
исключением значения нуль). Покажем, что оператор
т2 = т\ + т\ + т\,	щ
который мы можем толковать как квадрат момента количества
движения, коммутирует с каждым из операторов тх, mv, mz. Мы
имеем
= — ih (mxmy + тутх),
mlmz - mzml = ih (тхту + mymx)>
т\тг — tnzm\ = 0.
Складывая эти равенства, получим
т2тг — mzm2 = 0.
Ввиду симметрии относительно х, у, z можем написать три
равенства
т2тх — тхт2 = 0, "j
т2ту — тут2 —0, {	A0)
т2тг — тгт2 =0, )
которые означают физически, что квадрат момента количества
движения может иметь определенное значение одновременна
с одной из его составляющих.
С другой стороны, так как каждый из операторов пгх, ту, тх
коммутирует с оператором энергии, то и сумма их квадратов
обладает этим свойством. Следовательно, оператор т2 будет ин-
интегралом уравнений движения:
Нт2-т2Н = 0.	A1)
Кроме того, интегралом является самый оператор энергии Н.
Таким образом, мы имеем три оператора тг, т2 и Я, которые
коммутируют между собой и являются интегралами квантовых
уравнений движения. Из общей теории следует, что функцию,
удовлетворяющую волновому уравнению A), можно выбрать
так, чтобы она была одновременно собственной функцией всех
трех операторов и удовлетворяла уравнениям
?ф,	A2)
Щ,	A2*)
л&|>.	A2**)

$ 3]	ОПЕРАТОРЫ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ	167
§ 3. Операторы в сферических координатах.
Разделение переменных
Так как в рассматриваемой задаче поле обладает сфериче-
сферической симметрией, то для исследования наших операторов A2)
§ 2 удобно ввести сферические координаты г, ft, ф, положив
х — г sin ft cos ф, у = г sin ft sin ф, z = rcosft.	A)
Выразим операторы тх, ту, тг через производные по ft и
бо ф:
Оператор т2 = т2х + tn2y + /п^ будет равен
= - Ь2 (sin Ф ^г + ctg ft cos Ф ^) (sin Ф -Ц- + ctg Ь cos Ф
- П2 (cos Ф -J^ - ctg ft sin ф -щ} X
или, после упрощений,
Мы получили как раз тот дифференциальный оператор, который
фигурирует в известном из теории потенциала уравнении для
шаровых функций У; (ft, ф):
1 д
sin2 О <Э©
где целое число / (/ = 0, 1, 2, . ..) есть порядок шаровой функ-
функции. Из сравнения D) с уравнением A2) § 2 для собственных
функций оператора т2 мы можем заключать, что собственные
значения К оператора т2 равны
X = h2l(l+l) A = 0, 1,2, ...)•	E)
Чтобы найти преобразованный оператор энергии Я, восполь-
воспользуемся известным выражением оператора Лапласа в сферических

168	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч If
координатах. Мы получим
Совокупность производных по О и по ф здесь та же, что
в операторе пг2. Что касается производных по г, то мы можем
написать их в виде
где р* есть оператор
который мы можем, по аналогии с рх = — in -j—, толковать
как оператор для радиальной составляющей количества дви-
движения. Вводя пг2 и р* в Я, мы будем иметь
Написанный в таком виде оператор энергии совпадает по
форме с классической Гамильтоновой функцией в сферических
координатах.
Уравнения для общих собственных функций операторов Я
и пг2 могут быть написаны в виде
Пользуясь вторым из этих уравнений и выражением (8) для
оператора р"г, мы можем первое представить в виде
Уравнение A1) содержит явным образом только переменные
¦& и ф, уравнение A2)—только переменную г, поэтому мы мо-
можем искать решение этих уравнений в виде произведения функ-
функции от г на функцию от ¦& и ф. Чтобы функция \р удовлетворяла
также волновому уравнению
?г1) = Й^-,	A3)

¦§ 4]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ	169
мы должны ввести показательный множитель е н и положить
_±Et
aj> = e й -ф°(г, #, ф),	A4)
где, согласно сказанному,
of (г, Ъ, y)*=R(r)Yl{b, Ф).	A5)
Множитель, зависящий от углов ft и ф, мы положили рав-
равным шаровой функции порядка /, так как она удовлетворяет
уравнению D), совпадающему с (И). Множитель R(r) (мы бу-
будем называть его радиальной функцией) должен удовлетворять
уравнению A2), которое мы напишем в виде
^ + ±%-^R + $-\E-U(r)\R = 0. A6)
Таким образом, знание интеграла энергии и интегралов пло-
площадей позволило нам произвести разделение переменных, т. е.
привести решение волнового уравнения для функции от четырех
переменных t, r, •&, ф к решению более простых уравнений для
функций от меньшего числа переменных.
§ 4. Решение дифференциального уравнения
для шаровых функций
Мы видели, что уравнение A1) § 3 для собственных функ-
функций квадрата момента количества движения совпадает с урав-
уравнением D) § 3 для шаровых функций. Поэтому теория собствен-
собственных функций интегралов площадей есть не что иное, как теория
шаровых функций.
Найдем общие собственные ^функции операторов тг и т2.
Шаровая функция Yi (¦&, ф) будет собственной функцией опе-
оператора mz, если она будет удовлетворять уравнению
dtp	z '	^
решение которого есть
Yd-», Ф) = < ' m
Чтобы Yi была однозначной функцией точки в пространстве,
необходимо, чтобы она была периодической функцией от ф с пе-
периодом 2я. Отсюда следует, что собственные значения m'z опе-
оператора тг должны равняться
m'z = mh (Л1 = О, ±1, ±2, ...).	B)

170	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. IT
Этот результат мы имели уже раньше (в § 7 гл. III ч. I). Та-
Таким образом,
У( ) в()""<*.	C)
Подставляя это выражение в уравнение D) § 3 для шаровых
функций, получим
Если ввести в качестве независимой переменной величину
х = cos Ф,	E)
то уравнение D) примет вид
Значения х = + 1 и х = — 1 являются особенными точками
этого уравнения, так как если его решить относительно второй
производной, то коэффициенты обратятся при х = ± 1 в беско-
бесконечность. Если рассматривать / как неопределенный параметр,
то можно показать, что уравнение F) только в том случае
имеет решение, которое остается конечным при х = ± 1, когда /
есть целое число. Это значит, что шаровые функции являются
единственными решениями уравнения F), удовлетворяю-
удовлетворяющими поставленным условиям, т. е. единственными собственными
функциями оператора т2.
Найдем решение уравнения F) при целом /.
Рассмотрим сперва частный случай т = 0. Положим
и возьмем логарифмическую производную от у.
?_ __ 21х
у ~ х*-1
или
Продифференцируем это уравнение k + 1 раз по л: и поло-
положим
Мы получим
^	^	)z = 0. (8)
Если положить здесь k = I, получится уравнение, совпадаю-
совпадающее с F) (при т = 0). Решение этого уравнения, обращаю-

§ 4]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ	171
щееся в единицу при х = 1, обозначают символом Pi(x) и назы-
называют полиномом Лежандра (Legendre) порядка /. Поли-
Полином Лежандра отличается от выражения G) при k = I только
постоянным множителем. Определяя этот множитель из усло-
условия Р;A)= 1, ПОЛуЧИМ
Этот полином удовлетворяет, следовательно, уравнению
представляющему частный случай F). Рассмотрим теперь об-
общий случай т ф 0. Сделаем подстановку
т
Q = {\-x2)~Tv.	A1)
Для v получается уравнение
Если бы мы вместо A1) положили
m
e = (l-x2)~w,	A3)
то для w получилось бы уравнение, отличающееся от A2) лишь
знаком у т, а именно,
-2)х -^- + (/ + т)A —¦ т + 1)яу = 0. A4)
Оба уравнения A2) и A4) получились того же вида, как и урав-
уравнение (8), причем для A2) число k равно / + т, а для A4) оно
равно / — т. Поэтому мы можем положить
Приравнивая выражения A1) и A3) для 0, получим
~
2 -^(х2-1I. A7)

172	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Чтобы найти отношение постоянных Ci/сг, достаточно прирав-
приравнять оба выражения A8) для какого-нибудь частного значе-
значения х. Вычисление дает
cl(l + m)l = c2(—l)m(l-m)l	A8)
Принято полагать
и, следовательно,
2 2'/! V	(l-m)\
и обозначать соответствующее решение уравнения F) симво-
символом РТ {х). Таким образом, функции
рТ(х)(\ x2W dl+m (x2-])l	m\
PWV x)	B1)
2/n
равные также
удовлетворяют уравнению
d
B3)
и представляют те решения, которые остаются конечными при
х = ±\.
Выражения B1) и B2) определяют функцию РТ{х) как для
положительных, так и для отрицательных значений целого
числа пг, причем из сравнения B1) с B2) следует, что
B4)
При \т\~> I выражения B1) и B2) обращаются в нуль,
так что решений уравнения F), которые бы оставались конеч-
конечными при х = ± 1, не существует, поэтому при данном /
число т может принимать лишь значения
т = ~1, -/+1, ..., /-1, /	B5)
всего 21 + 1 значение. Неравенство
B6)
вытекает из физического смысла этих величин. В самом деле,
т2 есть с точностью до множителя h2 собственное значение one-

§ 5]	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ	173
ратора т\, а /(/+ 1) — собственное значение оператора т2 =
= ml-\- ml + ml, отсюда следует *), что
X	У	<¦
откуда
а так как \т\ и / суть целые числа, то предыдущее неравенство
эквивалентно неравенству B6).
Припоминая выражение (9) для полинома Лежандра, мы
можем шаровую функцию Р™ (х) с положительным значком т
представить в виде
т
pf^d-x2)-^ J— pl (х) (От ^ о).	B7)
В теории потенциала обычно рассматривают лишь функции
с положительным значком т и пользуются этой формулой в ка-
качестве их определения.
При исследовании дифференциального уравнения F) мы
предполагали, что т есть целое число. Однако в некоторых за-
задачах, связанных с теорией Паули и теорией Дирака, число т
может быть и полуцелым (т. е. половиной нечетного числа). При
этом функция A) уже не будет однозначной функцией точки,
так как она будет менять знак при увеличении ф на 2л. Но вы-
выражения A7) для в сохраняют смысл и в том случае, когда оба
числа / и т полуцелые, так что ими можно пользоваться и
в этом случае.
§ 5. Некоторые свойства шаровых функций	,
В дальнейшем нам придется пользоваться различными свой-
свойствами шаровых функций: поэтому мы рассмотрим их несколько
подробнее.
Припоминая формулу Коши (Cauchy)
2я/ J ()'+'
для производной порядка / от аналитической функции и пола-
полагая в ней
21Н
*) Если \|) есть общая собственная функция операторов т2 и mz, то
(тх + т) + ml) ф их = Ь2т\ + J$ {т\ + щ]) ^йх> Ь2т

174	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
мы можем представить полином Лежандра, определяемый фор-
формулой (9) § 4, в виде интеграла
Введем здесь новую переменную интегрирования ?, положив
2 — X 	 ?
22— 1 ~~У-
Решая это уравнение относительно z и беря то определение
корня, для которого z = x при ? = 0, будем иметь
Отсюда
dz
г - х ? Vl - 2xt,
и интеграл B) примет вид
откуда по формуле Коши A)
Следовательно, Р;(х) есть коэффициент в ряде Тейлора
Этой формулой удобно пользоваться для вывода различных
свойств полиномов Лежандра.
Дифференцируя E) по г, получим
?/•'-•/>,(*)•	F)
Умножая F) на 2г и складывая с E), будем иметь
¦Ы )/•'/>,(*)•	G)
С другой стороны, умножая F) на г2 к E) на г и складывая,
получим
г~хг2 ,. = У 1г1Р{-{ (х).	(8)

§ 5]	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ	175
Но сумма выражений F) и (8) равна выражению G), умножен-
умноженному на х:
=0	1=0
Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при отдельных
степенях г, будем иметь
B1 + 1) хР, (х) = A+ 1) Р1+1 (х) + /Л_, (х).	(9)
Полученное соотношение представляет рекуррентную фор-
формулу, позволяющую вычислить Pi+\(x), когда известны Pi(x) и
Pi-i(x).
Продифференцируем теперь разложение E) по х и разде-
разделим результат на г. Мы получим
Умножая это выражение на 1 — г2, будем иметь
1 dP,-x\
dx J-
(
У dx
Сравнивая A0) с формулой G), получаем
-%i-.	A1)
Соотношения (9) и A1) можно обобщить на шаровые функции.
Дифференцируя формулу A1) т раз по х и умножая затем на
m+I
A —x2) 2 , мы можем, на основании B7) § 4, написать ее
в виде
B/+ 1)A -хУР?(х) = ЯГ-и1 (х) - PT-V (х).	A2)
Дифференцируя же формулу (9) т раз и умножая затем на
т
A —х2J , получаем
B1 + 1) хР?(х) + B1 + 1) т A -х2J РТ~1 (х) =
Заменяя здесь, на основании A2), B/+ 0A — х2J Pf~x (х) на
PT+i(x) — P?-\ (х), получим формулу
B1+1)хР? (*) = (/ -т + 1)РГ+1 (х) + (t + m)PT-i (x), A3)

176	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
связывающую три последовательные функции с одинаковым
значком т.
Формулы A2) и A3) справедливы как для положительных,
так для отрицательных значений т. Если в шаровой функции
верхний значок окажется по абсолютному значению больше
нижнего, то ее нужно заменить нулем.
При изложении теории Дирака нам придется пользоваться
системой дифференциальных уравнений для шаровых функций,
которую мы сейчас выведем.
т
Умножим формулу B2) § 4 на A —х2J и продифференци-
продифференцируем по х. Мы получим формулу, которую можно написать
в виде
Г	т_	1	т — \
ЛЛ(\-х2У Р?(х)\ = -{1 + т)A-т-\
ИХ
или, если мы заменим т на /п + 1,
m+1	1	—
2 P?+l(x)\ = -(l + m+\)(l-m)(l-x2J
A4)
Умножим теперь B1) § 4 на A—х2) 2 и продифференцируем
по х. Мы получим
m+i
2 Pi (х).	A5)
Уравнения A4) и A5) образуют систему, из которой можно,
путем исключения р™+1 (х), получить уравнение B3) § 4 для
РТ(х). Введем в A4) и A5) вместо х независимую переменную
'& = arccosA:. Уравнения напишутся
-^ [(sin Ъ)т^рГ{ (cos *)] =
= (l + m+l)(l-tn)(sin$)m+lP?(cos-&), A6)
¦35- [(sin #)"m P? (cos #)] = — (sin ЪГт P?+1 (cos d) A7)
или, если выполнить дифференцирование,
~ Р? (cos Ъ)-т ctg ЬР? (cos О) = — Pf+' (cos О), A8)
^г/3Г+1 (cosd) + (m + l
T	A9)
С этими уравнениями мы встретимся в теории Дирака.

$ 6]	НОРМИРОВАННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ	1 7Г
§ 6. Нормированные шаровые функции
Рассмотренные в предыдущих параграфах функции РТ (х)
представляют замкнутую систему собственных функций само-
самосопряженного оператора в левой части уравнения
в /<'>
Они обладают свойством ортогальности
1
2
-l
-l
но еще не нормированы. Обозначим через
Pim(x)=clmP?(x)	B)
функции, нормированные так, чтобы было
= Ьш,	C)
и найдем нормировочный множитель с1т. Мы имеем
тДг= ( \.PT{x)fdx.	D)
' lm> _i
Для вычисления интеграла заменим в нем квадрат РТ про-
произведением выражений B1) и B2) § 4. Мы получим
2 _=( 1У» И + т)\ 1 f' d'~'"(x2-l)/ ^"(x2-!)'
(c;mJ	(Z-m)! B'/!J J	dxl~m " rf*'+m	A'-
Интегрируя / — т раз по частям и замечая, что
rf2'(*2-0'
будем иметь
Последний интеграл вычисляется легко; он равен
A —х) dx= 2l+ j • B/!) .

178	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Следовательно,
Отсюда
c^ju+T^/fcZ».	F)
и нормированными функциями будут
pf (х) = V27+T Vliir р?г<*>•	G>
Выразим их непосредственно через производные. По фор-
формулам B1) и B2) § 4 мы будем иметь
(l + m)l V	' dx!+"
(8)
Отсюда видно, что
Для нормированных функций рекуррентные формулы A3) и
A2) § 5 принимают вид
ft(x) +	Л(х), (И)
4/2 — 1
™+. }
В заключение выпишем несколько полиномов Лежандра и функ-
функций Р'Г(х):
Ро{х)=1, РЛх) = х, Р2(х) = ±.(Зх2-1),
Рз (х) = ^ Eх3 - Зх), Р4 (х) = 1 C5д:4 - ЗОх2 + 3),
' (х) = д/-^- A - х2),

¦§ 7]	РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ	179
= ^J^ (\ - х2)^ Eх2 - I).
§ 7. Радиальные функции. Общее исследование
Рассмотрим дифференциальное уравнение A6) § 3 для ра-
радиальных функций, которое мы для удобства выпишем здесь
еще раз:
d*R 2 dR 1A+1) D , 2т г п<г\]В — П	(П
Чтобы исследовать это уравнение, нужно сделать опреде-
определенные предположения относительно вида потенциальной энер-
энергии на больших и на малых расстояниях от ядра. Начнем со
случая больших расстояний. Положим, что при г->оо энергия
может быть представлена в виде
t/(r) = -y- + -J+ ...	B)
Член — А/г представляет Кулоново поле, действующее на
больших расстояниях. Для волнового уравнения валентного
электрона коэффициент А равен
А = N"e\
где N*e — эффективный заряд ядра (алгебраическая сумма за-
зарядов ядра и внутренних электронов), так что А положительно
(притяжение). Для волнового уравнения а-частицы коэффи-
коэффициент А (отталкивание) будет.отрицательным.
Постараемся выяснить характер решения при больших г.
Для этого положим
( ^	)	C)
где многоточием обозначены члены порядка 1/г2 и выше. Вы-
Вычисляя отдельные члены в дифференциальном уравнении A),
будем иметь
г dr

180	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Подставляя эти выражения в уравнение, и сокращая на г$еаг,
получим
( + ^-?)]1+ ... =0.
Отсюда выводим два уравнения
й2	I
D)
2 , 2т_Е Q
й2 —
для определения постоянных аир. Эти уравнения дают для а
и р два.значения
а = V

2тЕ
соответствующие двум знакам квадратного корня в выражении
E) для а. Подразумевая под а какое-нибудь одно значение
квадратного корня, мы можем написать главные члены общего
решения уравнения A) в виде
Мы видим, что характер решения различен, смотря по тому,
будет ли а вещественным или мнимым.
Если полная энергия Е положительна (что в классической
механике соответствует орбитам, удаляющимся в бесконеч-
бесконечность), то а — чисто мнимое:
?>0, a^i^—-.	(8)
Тогда общее решение G) будет, при г-*~оо, иметь знакопере-
знакопеременный характер и стремиться к нулю, как 1/г. Убывание его
будет, однако, настолько медленным, что интеграл
оо
\r2\R(r)fdr,	(9)
где г0 — некоторая конечная постоянная, будет расходящимся.
Если же полная энергия отрицательна, то величина а веще-
вещественна (мы можем считать ее положительной):
?<0, а = |д/-=#? .	A0)

§7]	РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ	181
В этом случае характер решения будет зависеть от того, бу-
будет ли постоянная С\ равна нулю или нет. Если С\ Ф 0, то вы-
выражение G) будет, при r-voo, беспредельно возрастать. Если
же постоянная С\ равна нулю, то функция R убывает на беско-
бесконечности по показательному закону и интеграл (9) будет сходя-
сходящимся.
Остается рассмотреть случай Е = 0. В этом случае нужно
искать решения в несколько другом виде, а именно,
Я = г*^A+ф+ ...).	A1)
Произведя выкладки, аналогичные уже сделанным, получим
a? 2mA X (	Ъ\	(а2 2тА \1 1
откуда
а1=2д/^§^-,	A2)
Bi = -f-	A3)
Следовательно, общее решение в этом случае будет
A4)
Если Л > 0 (притяжение на больших расстояниях), то ai —
чисто мнимое и R будет конечным; при А < 0 (отталкивание)
R будет, вообще говоря, возрастать на бесконечности.
Исследуем теперь уравнение A) при малых г. Предположим,
что потенциальная энергия при г = 0 обращается в бесконеч-
бесконечность не выше первого порядка
V{r) =	у- + (функция, конечная при г = 0). A5)
Это будет соответствовать Кулонову полю на малых расстоя-
расстояниях от ядра. Коэффициент А\ здесь может быть отличным от
А в формуле B). Для валентного электрона он будет равен
Л, = Ne2,
где Ne — заряд ядра.
Решение будем искать в виде
R = ra + Cra+i+ ...	A6)
Подставляя A6) в дифференциальное уравнение A) и прирав-
приравнивая нулю коэффициент при наинизшей степени г, получим

182	ТЕОРИЯ. ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
откуда
а = / или а —— 1 — 1.	A7)
Общее решение нашего уравнения будет вида
Д = С'г'A+а'г + ...) + C'V-'-'(l+a"r+ ...)• A8)
Таким образом, характер решения при г = О не зависит ни
от энергии Е, ни от коэффициентов в выражении A5) для по-
потенциальной энергии U(г). Чтобы получить решение, которое
остается конечным при г = О, мы должны положить С" = 0.
Сопоставляя этот результат с выводами, полученными при
исследовании уравнения для больших значений г, приходим к
следующему заключению.
При Е >• 0 всякое решение, в том числе и то, которое оста-
остается конечным при г = 0, обращается на бесконечности в нуль.
Поэтому, чтобы получить функцию R(r), конечную во всем про-
пространстве, достаточно взять решение, конечное при г = 0. Это
значит, что оператор энергии имеет сплошной спектр в проме-
промежутке от 0 до оо (значение Е = 0 принадлежит к сплошному
спектру лишь в случае притяжения). Вместе с тем при всяком
Е ^ 0 интеграл (9) расходится. Это указывает, что точечного
спектра при Е ^ 0 быть не может, ибо функции, принадлежа-
принадлежащие к точечному спектру, обладают интегрируемым квадратом.
Рассмотрим случай Е <с 0. То решение нашего уравнения, ко-
которое остается конечным при г = 0, переходит при больших г
в выражение вида G) с вещественным показателем а. Отноше-
Отношение постоянных С\: С2 в этом выражении будет вполне опреде-
определенным, и оно будет зависеть от параметра Е. Возможны два
случая: или это отношение отлично от нуля, и тогда функция
R(r) возрастает на бесконечности, так что соответствующее Е
не есть собственное значение оператора энергии. Или же это
отношение равно нулю, и тогда функция R(r) убывает на бес-
бесконечности и притом настолько быстро, что интеграл (9) схо-
сходится; соответствующее Е = Еп будет собственным значением,
принадлежащим точечному спектру. Таким образом, при Е •< 0
сплошного спектра быть не может, и либо существует точечный
спектр, либо вообще нет собственных значений. Первое будет
иметь место при притяжении, а второе — при отталкивании.
Таким образом, спектр собственных значений оператора
энергии, в случае притяжения, будет состоять из ряда отрица-
отрицательных чисел
?,, Е2	Еп, ... (точечный спектр)	A9)
и из сплошного промежутка
0^?<оо (сплошной спектр).	B0)

§ 8]	ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА	183
Так как в уравнение для радикальных функций входит в ка-
качестве параметра число /, то собственные значения, принадле-
принадлежащие к точечному спектру, будут зависеть также и от /, и мы
будем их обозначать через Eni. Соответствующие радиальные
функции мы будем обозначать через Rni(r) для точечного и че-
через Rm(r) для сплошного спектра.
Согласно вероятностному толкованию волновой функции, от-
относительная вероятность электрону, в состоянии с определенной
энергией и моментом количества движения, иметь (после соот-
соответствующего измерения) радиус-вектор между г и г-\-dr равна
\Rni(r)\2r2dr для точечного спектра (Eni < 0) и \REi(r) \2r2dr
для сплошного спектра (?>0). С другой стороны, в класси-
классической механике отрицательным значениям полной энергии со-
соответствуют конечные орбиты, а положительным — орбиты, про-
простирающиеся на бесконечность. Поэтому, на основании анало-
аналогии с классической механикой, мы должны ожидать, что для
точечного спектра (?„г < 0) вероятность обнаружить электрон
на большом расстоянии от атома будет несравненно меньше, чем
для сплошного спектра (?>0). Наше исследование радиаль-
радиальных функций показывает, что это действительно так и будет,
ибо |^?п;|2л2 убывает на бесконечности по показательному за-
закону, a \REi\2r2 остается, вообще говоря, конечным.
§ 8. Описание состояния валентного электрона.
Квантовые числа
Мы видели, что состояние электрона, движущегося в поле
с центральной симметрией (валентного электрона в атоме), опи-
описывается волновой функцией вида
для точечного спектра и
-±Et
tyE[m = e H REi{r)Ytm{b,(9)	B)
для сплошного спектра. Радиальные функции предполагаются
здесь нормированными так, чтобы было
\Rni(r)\2r2dr=l	C)
о
для точечного и
Е+&Е	2
) *Bi{r)dE r2dr=\	D)
Е
для сплошного спектра.

184	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. [I
Шаровая функция Ylm(§, ф) выражается, согласно результа-
результатам §§ 4 и 6, следующим образом:
Уш (*. ф) = -7==- etm»Pf (cos О),	E)
V 4я
причем нормировка здесь такова, что
я 2л
\ I ^//п ('в1, ф) I2 sin ¦& rf-в1 с?ф ^ 1.	F)
ф=0
Функции A) и B) суть общие собственные функции сле-
следующих операторов: оператора энергии Н, квадрата момента
количества движения т2 и составляющей его mz по оси г. По-
Поэтому в состоянии, описываемом функциями A) и B), эти три
величины имеют определенные значения, а именно,
значение Н равно Ent или Е, Л
» т2 » l{l+\)h\	>	G)
» mz »	mh.	)
Таким образом, состояние характеризуется тремя кванто-
квантовыми числами п, I, m или же одним непрерывным параметром
Е и двумя квантовыми числами / и- т. Квантовое число п назы-
называется главным квантовым числом: его принято определять
как сумму
п — пг + / + 1,	(8)
где пг есть число нулей функции /?„/(г). Это число пТ назы-
называется радиальным, а число / азимутальным кванто-
квантовым числом. Такое определение п возможно на основании того,
что собственная функция дифференциального оператора типа
A) § 7, принадлежащая точечному спектру, характеризуется
числом ее нулей. Так как пт не может быть отрицательным, то
главное квантовое число превышает азимутальное по крайней
мере на единицу.
Так как квантовое число m не входит в уравнение для ра-
радиальных функций, то уровни энергии Ещ от него не зависят,
так что по значению терма нельзя судить о величине т. Этого
и следовало ожидать, так как тЬ есть значение составляющей
вектора момента количества движения по оси г, а в случае цен-
центральной симметрии направление оси z ничем физически не вы-
выделяется. Если же имеется магнитное поле*), направленное по
оси 2, то уровни энергии будут зависеть также и от т; поэтому
число т называется магнитным квантовым числом.
*) Как мы отметили в начале этой главы, при наличии магнитного поля
нужно пользоваться уравнением Дирака.

§ 9]	ПРАВИЛО ОТБОРА	185
Для Кулонова поля энергия зависит, как мы увидим в сле-
следующей главе, только от одного квантового числа п.
Для общего центрального поля каждому уровню энергии Еп\
соответствует 2/ + 1 собственных функций, которые получаются,
если в выражении A) числу т давать значения
т = — 1, -/+1, .... 1-1, I.	(9)
Поэтому кратность уровня Eni будет равна 2/+ 1.
Для Кулонова поля кратность уровня Еп будет больше, так
как при данном п азимутальное квантовое число / может быть
равным
/ = 0, 1, ..., л-1,	A0)
а сумма кратностей этих значений равна
1 +3 + 5+ ... + 2я-1=га2.	A1)
В спектроскопии принято обозначать термы, имеющие одно
и то же п, но разные /, буквами s, р, d и т. д. Так, например,
терм п=\, / = 0 обозначается (Is),
»	п = 2,	/ = 1	»	Bр), ¦
»	п = 3,	/ = 0	»	Cs),
»	п^З,	/=1	»	(Зр),
»	« = з,	/ = 2	»	Cd).
Заметим, что каждый из этих термов получается по теории
Шредингера простым, тогда как на опыте все термы, кроме
термов s (соответствующих / = 0), оказываются двойными, т.е.
состоят из двух весьма близких отдельных термов (тонкая
структура). Как мы увидим ниже (в части V этой книги), объ-
объяснение этого явления возможно на основании теории Дирака.
§ 9. Правило отбора
Не зная точного вида радиальных функций, мы не можем
вычислить значения элементов Гейзенберговых матриц, харак-
характеризующих, согласно результатам § 3 гл. III, интенсивности
спектральных линий, соответствующих различным переходам.
Однако пользуясь тем, что зависимость собственных функций
от углов 9 и (р нам известна, мы можем указать, какие эле-
элементы этих матриц равны нулю, т. е. вывести правило отбора.
Для этого нам прежде всего нужно обобщить на случай не-
нескольких квантовых чисел и кратных уровней энергии формулы

186	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
для интенсивностей, выведенные нами в §§ 3 и 4 гл. III. Эти
формулы имеют вид
для точечного спектра и
1п(Е)АЕ =
= e\\{E){\{En\x\E)f + \{En\y\E)f + \{En\z\E)f}SE B)
для сплошного спектра. В нашем случае состояние электрона
описывается тремя квантовыми числами; поэтому элементы Гей-
зенберговой матрицы будут вида
xnn' = {nlm\x\n'llm')	C)
для точечного и
(En\x\E) = {nlm\x\Et'mf)	D)
для сплошного спектра. Под частотами ьэпп> и ап(Е) нужно,
очевидно, разуметь соответственно
«W = j (Eni — Еп'г),	E)
<ап(Е) = ±(Еп1-Е)	F)
или, вернее, абсолютные значения этих величин.
Одной и той же частоте могут соответствовать различные пе*
реходы, отличающиеся друг от друга значениями квантовых чи-
чисел т и т'. В обычных условиях (без магнитного поля) эти
отдельные переходы нельзя отличить друг от друга, и наблю-
наблюдается только сумма интенсивностей для всех переходов с од-
одной частотой. Поэтому величину |дс„„'|2 нужно в формуле A)
заменить на
i v
Un.,-12-* I Z \{nlm\x\n'l'm')f	G)
m——l т'=—Г
и аналогично для координат у и z. Наконец, в сплошном спектре
параметр энергии меняется непрерывно, так что по его значе-
значению нельзя судить о значениях квантовых чисел /' и т'. По-
Поэтому величину | (Е„\х\Е) |2 в формуле B) нужно заменить на
\(Еп\х\Е)?-+ НЕ \{п1т\х\ЕГт')?.	(8)
т=-1 /'=0 т=-1'
Заметим, что в силу правила отбора, которое мы выведем ниже,
¦сумма (8) содержит лишь конечное число членов.
С указанными изменениями формулы A) и B) будут спра-
справедливы и в рассматриваемом здесь случае.

§ 9]	ПРАВИЛО ОТБОРА	187
При наличии магнитного поля можно отличать друг от друга
переходы, соответствующие различным значениям т; поэтому
могут представить интерес и отдельные члены суммы G).
Элементы Гейзенберговых матриц для координат х, у, z, со-
соответствующие точечному спектру, вычисляются по формулам
(nltn | х | n'l'm') = ] U r sin d cos q>tynimtyn'i'm'''2 sin # d® dq> dr, (9)
(nlm | у | n'l'm') = J U r sin d sin Фф^ФяТт'/'2 sin # Л* й?ф rfr, A0)
{nlm\z\n'l'm')= ^ гсозЩп^ц'пТ2sin®d®dcpdr,	A1)
где, согласно A) § 8,
Rn'i-YimYtw	A2)
или
		\ m m'
^nm^rm' = e^RalRar-^-P'i Pb e'»™'-»)»,	A3)
причем под и мы разумеем величину E).
Каждый из этих тройных интегралов разбивается на произ-
произведение трех простых интегралов, причем интеграл по г в (9),
A0) и A1) один и тот же, а именно,
.	A4)
о
Интегралы по ¦& и qp мы обозначим следующим образом:
(/m| sinflcosq>| I'm') = -^ ^pfP'^'e1 {m'-m)<psin2®cosydftdy, A5)
(Im | sin Ь sin q> I /'m') = ^- j J P^P*''""^ {m'~m) ф si * sin Ф M dcV> (! 6>
(//n | cos # | /'/n') = 4^ j } PfP^'e1 (m'-m) f sin d cos О dO й?ф. A7)
Таким образом, элементы матриц для х, у, z будут равны
(если опустить показательный множитель еш) произведениям
A4) соответственно на A5), A6) и A7). Для сплошного
спектра выражения останутся те же, только в A4) нужно сде-
сделать очевидную замену Rn>ir на Rei''.
^R^dr.	A4*>
Найдем значения интегралов A5), A6) и A7). Так как эти
интегралы входят множителями в выражения (9), A0) и A1)г

188	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. И
то если окажется, что при определенных значениях I, т, V, т'
они равны нулю, соответствующие элементы Гейзенберговых
матриц также будут равны нулю; в этом и будет заключаться
правило отбора.
Начнем с вычисления интеграла A7), как самого простого.
Выполняя интегрирование по ф, мы убедимся, что он может
быть отличен от нуля только, если т = т', так как
2я
jбтт^.	A8)
о
В интеграле по Ф вводим переменную
х = cos Ф,
после чего интеграл A7) напишется
1
Aт | cos d | I'm') = Ътт> ¦ у \ pf (х) Р\™ (х) xdx. A9)
-1
На основании формулы A1 § 6), заменяем здесь произве-
дение xPi (x) его выражением
и, пользуясь ортогональностью и нормировкой функций P*i (х),
получаем
(//n|cos#|/'m') =
Таким образом, элемент матрицы отличен от нуля только,
если / — /' = ± 1. Для вычисления интегралов A5) и A6) удобно
составить их линейную комбинацию
= (lm | sin ¦& cos ф | I'm') -f / (Im \ sin Ь sin ф | I'm'), B2)
из которой выражения для A5) и A6) в отдельности получатся
по формулам
(lm\ 8т
= j [(lm [ sin #ег<" | I'm') + (I'm'\ sinOe'1" | lm)], B3)
(lm | sin ¦& sin ф | I'm') =
2j
= — [(lm | sin de'" 1 I'm') — (I'm' | sin #е'* | /m)]. B4)

§ 9]	ПРАВИЛО ОТБОРА	189
Выражение B2) равно
Aт | sin Ъе* \ l'mr)=— J J Pfpf'e1 <m' -m+n<P sin2 b db dq>. B5)
Выполняя интегрирование по ф и вводя переменную x = cos$,
будем иметь
\~ X2fh Pf (X) Р\П ' (X)dx. B6)
Подставляя сюда выражение
V
B7)
получаемое из A2) § б заменой т на т — 1, и пользуясь орто-
ортогональностью и нормировкой Р*Г (х), а также равенствами вида
f{n&i.i'-i = f(l+lNi.r-u
получаем
= 0т-1,т'1 	/		 О/—1, Г	,	=	О/+1./' I,
\	д/4/2 — 1	V4(/ + lJ —1	/
B8)
отсюда
и элементы матриц A5) и A6) получаются, на основании B3)
и B4), как полусумма и деленная на i полуразность выражений
B8) и B9).
Мы видим, что выражения A5), A6) и A7), а следова-
следовательно, и элементы матриц для координат х, у, z могут быть
отличны от нуля только при условии
/ —/' = ±1.	C0)
В этом заключается правило отбора для азимутального
квантового числа I. Согласно этому правилу, переходы между
термами s и р, р и d и т. д. возможны, тогда как, например,
между sad переходы запрещены. Это правило согласуется
с опытом.

190	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРл	[Ч. II
Что касается магнитного квантового числа т, то элементы
матриц для координаты г могут быть отличными от нуля при
условии
т~т' = 0,	C1)
а элементы матриц для координат х и у при условии
т—т' = ±.\.	C2}
В этом заключается правило отбора для т. Переходы, удовлет-
удовлетворяющие условию C1), дают свет, поляризованный вдоль оси
г, а удовлетворяющие C2) —свет, поляризованный в плоскости
ху. Как мы уже отметили, переходы, соответствующие опреде-
определенным значениям т и т', могут наблюдаться лишь при нали-
наличии магнитного поля (направленного вдоль оси z).
Выпишем в виде таблицы элементы матриц A5), A6) и
A7), соответствующие отдельным переходам.
/' = / - 1
/, i ¦ a	ir I	i\ I V(' + т — \)(l + m)
(I, т | sin dcosqpl / — 1, т — 1) = — -
2	V4/2 — 1
/, i ¦ л ill I i\ I V(' — т)A — т—I)
(/, m| sin Acos<p|i — 1,/я + 1) =
2	V4/2 — 1
/, , . л ¦ I, i ,\ i V(l + т — \)(l + m)
(I, m | sindsm ф|/ — I, т — 1) =
2	V4/2 — 1
(/, m I sin 0 sin ф I / - 1, /я + 1) = - - -^	m)(l m	^-
2	V4/2 - 1
V/2 - m2
(l,m\cosQ\l— 1, m) =
V4/2 — 1
/' = /+ 1
./ , . „ ,, , 1 ,ч 1 V(/ — m + 1)(/ — m +2)
(/, m I втЛсоэф |/ + 1, m — 1) =
(l, т|8тАсо5ф|/+1,т + 1) =	-
(I, m | sin A sin ф | / + 1, m — 1) =	'
(/, m I sin A зтф \l + 1, m + 1) =
/, tn | cosd| / + 1. m) =

§ 9]	ПРАВИЛО ОТБОРА	191
Составим теперь суммы вида G), которые входят в выра-
выражения для интенсивностей. При помощи формулы
i
? т* = 1/(/+1)B/+1)	C3)
т——I
мы получим без труда
m|cosfl|/-lm')l2--=i
т, т'
и аналогично
(/,m|cosfl|/-l,m')l2--=i-/	C4)
m')\2 = jl	C5)
m, m'
(/, т|5т<Ыпф|/-1,/п')|2 = j/.	C6)
т, т'
Мы видим, что все три суммы имеют одно и то же значение
-=- /. Этого и следовало ожидать, так как после исключения
О
квантового числа т ось z уже ничем не выделяется, и все три
направления должны играть одинаковую роль. Суммы для слу-
случая /' = /+1 получаются из предыдущих заменой / на /+1,
так что они равны у(/ + 1).
На основании полученных результатов мы можем составить
окончательное выражение для интенсивностей. Мы будем иметь
для переходов в пределах точечного спектра
r (nl; п',1~\)\Н, C7)
Для переходов из сплошного спектра мы должны взять
сумму соответствующих выражений, умноженную на АЕ:
I(nt;E)AE =
\\r{nl; E,l-\) \2l+\r(nl; E, l+\) ?{l + 1)} AE. C8)
Наконец, для случая Кулонова поля, когда Еп1 не зависят
от /, мы должны наши выражения просуммировать также и по /.

Г л а в а V
КУЛОНОВО ПОЛЕ
§ 1. Общие замечания
Мы остановимся здесь на частном случае общей задачи,
рассмотренной нами в предыдущей главе, и исследуем состоя-
состояние частицы, притягиваемой или отталкиваемой от неподвиж-
неподвижного центра по закону Кулона. Задача эта интересна потому,
что, с одной стороны, к ней приводится ряд важных физических
задач, например, теория атома водорода, а с другой стороны,
она допускает точное решение. Результаты предыдущей главы
применимы, разумеется, в полной мере и к случаю Кулонова
поля; в частности, разделение переменных, зависимость волно-
волновой функции от полярных углов (шаровые функции) и правило
отбора могут быть перенесены сюда целиком. Но, кроме того,
для Кулонова поля можно строго решить уравнение для ра-
радиальных функций и найти уровни энергии, а также частоты и
интенсивности спектральных линий и довести тем самым реше-
решение задачи до конца.
Решение задачи получается достаточно простым, чтобы
можно было взять его в качестве исходного приближения при
рассмотрении возмущения атома водорода постоянным элект-
электрическим полем [явление Штарка (Stark)], которое мы также
рассмотрим в этой главе.
Наконец, теория движения частицы, отталкиваемой от не-
неподвижного центра но закону Кулона, дает вывод формулы Ре-
зерфорда (Rutherford) для рассеяния а-частиц и представляет
интересную иллюстрацию вероятностному толкованию кванто-
квантовой механики.
§ 2. Уравнение для радиальных функций водорода.
Атомные единицы меры
В атоме водорода потенциальная энергия электрона, притя-
притягиваемого ядром по закону Кулона, равна
t^r) = --f.	A)

§ 2]	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВОДОРОДА	193
где г — расстояние от электрона до ядра, которое, ввиду его
большой массы, мы будем считать неподвижным и находящимся
в начале координат. На основании формулы A6) § 3 гл. IV,
уравнение для радиальных функций атома водорода напишется
d*R ,2 dR /(/+1) n , 2т (	е*\	,
+	R + {E+)R = 0.	B)
Если бы мы приняли во внимание движение ядра, мы получили
бы уравнение того же вида, в котором вместо массы электрона
т стояла бы «приведенная масса» т', равная
где М — масса ядра.
Введем в качестве единиц меры деленную на 2я постоянную
Планка и заряд и массу электрона
П = -^ = ~ ¦ 6,626 • 1(Г27 эрг ¦ сек,
е=4,80- 10"'° ед. СГСЭ,	D)
т = 9,П • Ю~28 г.
Построенная на этой абсолютной системе единиц единица длины
будет равна
а ==¦— = 0,529 • \0~8 см,	E)
а единица энергии
?о = —р- = -— = е • — = 27,2 эв,	F)
тогда как единицей скорости будет величина -4-, равная -р,—
скорости света.
Положим в уравнении B)
После этого оно примет вид
d2R . 2 dR /? _2	/(/ + 1)\
rfrf rx drx \	л, г\ )
Подстановка
приводит уравнение (8) к виду
dr\ тх -drx
A0)

194	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
где мы положили
* = 2/ + 1.	A1)
Написанное в таком виде уравнение встречается, кроме рас-
рассматриваемой задачи, еще и в ряде других задач (атом водо-
водорода по Дираку, явление Штарка, рассеяние а-частиц), причем
параметр s в этих задачах не обязательно равен целому нечет-
нечетному числу. Поэтому мы рассмотрим уравнение A0) подробнее
и не будем считать s целым числом, а предположим только, что
s ^ 0, что, очевидно, всегда возможно, так как в уравнение
входит s2.
§ 3. Решение одной вспомогательной задачи
На основании результатов общего исследования уравнения
для радиальных функций (§ 7 гл. IV), мы знаем, что отрица-
отрицательным значениям параметра е соответствует точечный, а по-
положительным— сплошной спектр. Для исследования точечного
спектра мы введем в качестве независимой переменной вели-
величину
х = г1Л/=8е	A)
и положим
Я J	B)
У-
Величина X будет, очевидно, вещественной; мы будем счи-
считать ее положительной. Переменная х будет также веществен-
вещественной, и пределы ее изменения будут те же, что для г, а именно,
0 и оо. Уравнение A0) § 2 напишется теперь
d2y , dy
или
-тг(* 40+(*+?)»-*•	«••>
В левой части этого уравнения стоит самосопряженный опе-
оператор, а А играет роль параметра. Подстановкой A) и B) мы
как бы исключили сплошной спектр и привели решение уравне-
уравнения A0) для точечного спектра к решению некоторой вспомо-
вспомогательной задачи, а именно, к нахождению собственных значе-
значений и функций оператора C*).
Исследуем характер решения уравнения C) при малых и
при больших значениях х. Мы могли бы воспользоваться здесь
результатами § 7 гл. IV, но проще повторить наши рассуждения
применительно к уравнению C).
Для малых х полагаем
...	D)

§ Г,	РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ВСПОМОГАТЕЛНОИ ЗАДАЧИ	195
и получаем для а два значения
а = ±|.	E)
Для больших х полагаем
F)
и получаем для аир два значения
G)
а=-у. Р = -4"-Л.	G*)
Отсюда заключаем, что искомое решение должно быть при ма-
малых х вида
у = Сх*{\+ах + ...)	(8)
и при больших х вида
?	)	(9)
Поэтому, если мы положим
то функция Q(x) должна удовлетворять условиям
Q{x) конечна при х — 0,
Q{x) порядка х 2 при х—> оо.
Уравнение C) для у приводит к следующему уравнению
для Q{x):
' = 0.	A2)
Это уравнение можно решить двумя способами: при помощи
рядов и при помощи определенных интегралов. Мы применим
здесь первый способ, а аналогичное уравнение для сплошного
спектра будем решать по второму способу.
Будем искать решения уравнения A2) в виде ряда
00
Q=Zanxn.	A3)
л=0

196	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	(Ч. II
Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю коэффи-
коэффициенты при степенях х, получим ряд равенств вида
«-.=0,	A4)
которые служат для последовательного определения коэффи-
коэффициентов.
Коэффициент по остается произвольным, а остальные выра-
выражаются через него:
s ¦ '
.-Л
2.(s + 2) a'	\-2-(s+\)(s
A5)
Поэтому, если мы обозначим через F(a,y; x) обобщенный ги-
гипергеометрический ряд, составленный по закону
мы можем написать
Здесь возможны два случая. Если
К = ^-~- + р (р = 0, 1, 2, ...),	\Щ
то коэффициент ар+\ и все последующие будут равны нулю, так
что ряд обрывается и для Q получается не бесконечный ряд,
а полином. Если условие A8) не соблюдается, то ряд продол-
продолжается до бесконечности, причем он будет всегда сходящимся,
так как отношение двух последовательных членов
an-xxn	n(n + s)
при п-уоо стремится к нулю при всяком х. Но из той же фор-
формулы A9) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого, бу-
будут одного знака; следовательно, его сумма, при x-voo, будет
возрастать быстрее всякой конечной степени х, так что условие
A1) не будет выполняться. Поэтому второй случай отпадает, и
мы должны иметь

¦§ 4]	СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЛАГЕРРА	197
Таким образом, единственными решениями уравнения A2),
удовлетворяющими поставленным условиям, являются поли-
полиномы
Qp = a0F(-p, s+l; x)	B0)
или в раскрытом виде
_Р__А	i р(р — 1)	х2	,
•••+(-1>% + l)...
Если мы положим здесь
то соответствующие функции Qp, которые мы обозначим через
Ql (х), будут полиномами не только относительно х, но и от-
относительно s:
QpW=rr(|+o1) F(-P.s + 1; x)	B2)
или
... +(—l)"(s + p) ... (s+ 1)}. B2*)
Эти полиномы можно назвать обобщенными полиномами Ла-
Лагерра (Laguerre), обыкновенные полиномы Лагерра предста-
представляют их частный случай (при s = 0).
§ 4. Некоторые свойства обобщенных полиномов Лагерра
Обобщенные полиномы Лагерра, представляющие решения
дифференциального уравнения
*^ + (s+1-x)-rfF + ^ = 0'	A)
могут быть представлены в виде
р
B)

198	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
Для доказательства этой формулы умножим уравнение
B2*) § 3 на xse~x и напишем результат в виде
По формуле Лейбница (Leibnitz) для производной от произ-
произведения двух функций это выражение равно
sxl^-xxs+p,	.	B*>
что и требовалось доказать.
По теореме Коши мы можем представить это выражение
в виде
Вводя здесь новую переменную интегрирования
получим
Но это выражение по той же теореме Коши равно
xt
Отсюда получаем разложение в ряд Тейлора
р=0
Эта формула удобна для вывода различных соотношений.
между функциями QsP(x). Умножая ее на 1 — t, получим
р=0
С другой стороны, заменяя в F) s на s — 1, получим в ле-
левой части то же выражение. Сравнивая коэффициенты при сте-
степенях t, будем иметь
<Й~'(*) = <ад-/>&-¦(*)•	(8)

§ 4]	СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЛАГЕРРА	199
Эта формула позволяет выразить функции с разными знач-
значками s, отличающимися друг от друга на целое число, через
¦функции с одним и тем же (наибольшим) значком.
Дифференцируя обе части F) по х, получим, путем анало-
аналогичных рассуждений,
^U-pQ-'.W.	(9)
Дифференцируя G) по t и выражая обе части в виде рядов, бу-
будем иметь
sQl (х) - xQl+i (x) = Ql+i (x) -(p+i)Ql (Х)
или после замены s на s — 1
xQl (x) = (p + s) QT[ (x) - Q'p+\ (x).	A0)
Отсюда при помощи (8) выводим
Bр + s + I -x)Ql(x) = Q;+l(x) + р(р + s)Q;-l(x). A1)
Мы получили рекуррентную формулу, связывающую три
последовательные полинома с одним и тем же верхним значком.
Из (8), (9) и A0) нетрудно вывести соотношения
T
^^	.	A2*)
Дифференцируя A2*) по х и пользуясь (9), получаем для Ql(x)
дифференциальное уравнение A).
Из тех же формул легко выводятся соотношения
х dQSp~lx {Х) + (р + s - х) QU (х) = QI (х),	A3)
x^^—pQfP(x) = -p(p + s)Q'p-l(x),	A3*)
которые также приводят к дифференциальному уравнению A).
В дальнейшем нам понадобится вычислять интегралы вида
оо
J=\jxse-xQsP(x)f(x)dx.	A4)

200	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. И
Для этого удобно преобразовать интеграл A4), пользуясь вы-
выражением B) и интегрируя р раз по частям. Мы будем иметь
J ~xxP+sf(p)(x)dx. A5)
о	о
Полагая здесь
получим
оо
xse~axQl (x)dx = (а - 1)р J <Г<"У+Р rfx =
о
?Й?г(в + р+1). A6)
Более общий интеграл
оо
\xs+re-axQl{x)dx	A7)
получается, при г целом, дифференцированием выражения A6)
по параметру а.
Положим в A4) и A5) f(x) = xr, получим
xs+re~xQl(x)dx = (-l)pr(r-l)...(r-p+l)T(s + г+1). A8)
Если / (х) — полином степени ниже р, то интеграл A4) равен
нулю. Пользуясь этим замечанием, найдем интегралы A4) для
случаев
...I

§ 51	СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ	201
где невыписанные члены представляют полиномы степени ниже р.
Мы будем иметь
+ l) + (s+ l)(s + 2)}, A9)
(x)f dx = plT (s + p + l)Bp + s+ 1),	B0)
•7-	B2)
(s-lt/(J+i)'	B3)
€
Покажем, что полином Ql(x) имеет ровно р положительных
корней, так что все его корни вещественны и положительны.
Если бы число таких корней было меньше р, например равно q,
то, обозначив их через оя, аг, ..., ач, мы могли бы составить
функцию
f {х) = (х— а,) (х — а2) .. . (х — а„),
произведение которой на Ql(x) оставалось бы, при изменении
х от 0 до оо, все время одного знака, так что интеграл A4) был
бы отличен от нуля. Но этого не может быть, так как f(x) есть
полином степени ниже р, и по формуле A5) интеграл A4) дол-
должен равняться нулю. Следовательно, число положительных кор-
корней не может быть меньше р. Так как оно не может быть и
больше р, то оно должно быть равно р.
§ 5. Собственные значения и собственные функции
вспомогательной задачи
Возвратимся теперь к рассуждениям § 3. Мы там поставили
себе задачу найти собственные функции и собственные значения
оператора в левой части уравнения
Собственные значения оказались равными
A = P + ?4J" (P = 0, 1,2, ...),	B)

202	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
а собственные функции были выражены нами через обобщен-
обобщенные полиномы Лагерра
Постоянную Ср мы определим из условия нормировки
\ [уР(х)]Чх=1.
о
Вычисляя по формуле B1) § 4 входящий сюда интеграл, полу-
получим для постоянной ср выражение
ср= , 1	D>
Таким образом, функции
будут ортогональны и нормированы
причем система этих функций будет "замкнутой.
Пользуясь формулой B2) § 3, мы можем также написать
У"{х) =
Иногда удобно бывает пользоваться нормированными поли-
полиномами
при помощи которых функции уР(х) выражаются по формуле
§ 6. Уровни энергии и радиальные функции
точечного спектра для водорода
Обратимся теперь к нашей физической задаче. Найдем
прежде всего уровни энергии для водорода. Параметр энер-
энергии е в атомных единицах был связан с параметром Я нашей
вспомогательной задачи соотношением
J	=Я,	A)
V—2е

§ 61	УРОВНИ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ВОДОРОДА	203
причем А равнялось
= 0, 1, 2, ...)•	B)
Параметр s был связан с азимутальным квантовым числом /
соотношением
S--2/+1,	C)
а целое число р равнялось числу нулей радиальной функции,
т. е., по определению § 8 гл. IV, радиальному квантовому числу
пг. Поэтому параметр К будет целым числом
А = /гг + / + 1=л,	D)
которое мы условились называть главным квантовым числом.
Уровни энергии в атомных единицах будут равны
е« = -^г (л=1, 2, ...)•	E)
Они зависят, таким образом, только от главного квантового
числа. Эта особенность Кулонова поля имеет глубокие основа-
основания: она связана с той группой преобразований, какую допу-
допускает уравнение Шредингера для атома водорода, написанное
в пространстве импульсов. Группа эта, характеризующая осо-
особого рода симметрию атома водорода, совпадает с группой вра-
вращения четырехмерного шара. К этому вопросу мы вернемся
в конце части IV этой книги.
В обычных единицах уровни энергии атома водорода равны
Е — — е — 2nRt>	{r\
?¦— а е«— „2 •	(о)
где
пте* 2л2те*	, .
есть так называемая постоянная Ридберга (Rydberg). Числен-
Численное значение ее равно
R = 3,29 ¦ 1015 сек-К	(8)
Согласно замечанию, сделанному нами в § 2, чтобы принять
во внимание конечную массу ядра, нужно заменить в наших
формулах, и в частности в формуле G), массу электрона приве-
приведенной массой
тМ
т =
т + М '
По правилу частот Бора частоты спектральных линий выра-
выразятся формулой
т .	/I	I \
(9)

204	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. И
Если мы положим п' = 1 и будем давать значения
п = 2,3, ..., мы получим ряд линий, составляющих так назы-
называемую серию Лаймана (Lyman). Аналогично, значения п' = 2,
п = 3, 4, ... дают серию Бальмера (Balmer) и значения п' = 3,
п = 4, 5, ... серию Пашена (Paschen).
Выразим теперь радиальные функции через обобщенные по-
полиномы Лагерра. Аргумент х в этих полиномах связан с приве-
приведенным расстоянием п соотношением
х = Ц*-.	•	A0)
вытекающим из формул A) § 3 B) § 3 и D). По формулам (9)
§ 2, (9) § 5, а также B), C) и D) будем иметь
где сп — нормировочный множитель, который нужно определять
из условия
оо
S^IW»)]2*!-1-	A2)
Для вычисления интеграла введем по формуле A0) переменную
х. Мы получим
Если мы припомним связь между числами п, I и р, s, то вхо-
входящий сюда интеграл выразится как отношение B0) к B1) § 4.
Он будет равен
оо
J xs+le~x[Q*p {x)f dx = 2p-\-s+l= 2n,
о
отсюда
Cn ni ' Cn n2 '	' °'
так что нормированными радиальными функциями будут
A4)
Если ввести сюда выражение для Q* через обобщенный ги-
гипергеометрический ряд и принять во внимание, что / есть целое

§ 6]	УРОВНИ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ВОДОРОДА	205
число, мы получим
V(n0(n'+i)(n + 0X
где, согласно определению A6) § 3,
n + l+l, 21 + 2; ^f) =
, n-l-l 2г, . (w — f — !)(« — f —2) /2гЛ2
~~	B/+2)- 1 ' « "t" B/ + 2)B/ + 3) • 1 -2 V n ) '"
Отсюда можно легко вывести предельное выражение для
Rni(r\) ПРИ весьма больших п. Предел ряда A6) будет
1
1
B/+2)- 1 " B/ + 2)B/ + 3)-1 -2
r/"(V^) A7)
где символом J2i+i обозначена Бесселева функция порядка
21 + 1. Отсюда получаем без труда
lim rf'<Rnl{rx)=
ге-»оо
Функции A8) принадлежат уже сплошному спектру. Функции
Rni{r\) как нормированные собственные функции оператора
энергии обладают свойством ортогональности и нормальности
A9)
но они не образуют замкнутой системы, так как оператор
энергии имеет кроме точечного также и сплошной спектр.
В заключение выпишем несколько первых функций Rni(ri):
Rio(ri) = 2e-r\	B0)
T B1)
B2)
B2*)

206	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
§ 7. Решение дифференциального уравнеллл длл сплошного
спектра в виде определенного интеграла
Обратимся теперь к случаю сплошного спектра. В уравне-
уравнении A0) § 2
dr\ г, rfr,
параметр е будет положительным числом, и если мы введем пе-
переменную
хх = л, У*??,	B)
то она будет вещественной. Мы положим также
Я, = ^.	C)
Уравнение A) примет вид
Это уравнение отличается от C) § 3 лишь знаком одного из
членов. Оно получается из C) § 3 подстановкой
x = ix{, Л=-~-М1.	E)
Поэтому мы можем прямо применить сюда результаты § 3 и
утверждать, что решением уравнения D), конечным при х = 0,
будет
где Q удовлетворяет дифференциальному уравнению
= 0 G)
\	dxl I	2
и выражается в виде ряда
±1 + iku s + 1; /*,).	(8)
Нам понадобится ассимптотическое выражение для функций у
и Q, справедливое при больших значениях хх. Его легче всего
получить, если мы выразим Q в виде определенного интеграла.
Это нетрудно сделать, если применить способ Лапласа к реше-
решению дифференциального уравнения G). Способ этот заклю-
заключается в следующем. Будем искать решение G) в виде
""f(z)<fe,	(9)

§ 7]	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА	207
где f(z) —неизвестная пока функция, а интеграл берется по не-
некоторому контуру в плоскости комплексной переменной z. Под-
Подставляя (9), в G) и дифференцируя под знаком интеграла, бу-
будем иметь
j(s+ 1)Bг - l)]f (z)dz =
Чтобы освободиться от множителя х\ перед первым интег-
интегралом, производим в нем интегрирование по частям. Мы полу-
получим
= - 1е"*г(l-z)f(z)\ba+i\ е'** JL[z(l-z)f (z)]dz,
где пределы интегрирования обозначены через а и Ь.
Если мы потребуем, чтобы разность значений на пределах от
проинтегрированных членов обратилась в нуль,
e'*"z(l-z)f(z)|* = 0,	A0)
то результат подстановки (9) в G) примет вид
z = 0. A1)
Этому уравнению мы удовлетворим, если потребуем, чтобы
в A1) подынтегральная функция равнялась нулю, т. е. кодчи-
ним f(z) дифференциальному уравнению
?' (г) _ s — 1 1 — 2z . ikj	,.~
f(z) — 2 z(l-z) + z(I-z) '	(U)
Решая это уравнение, будем иметь
lg/ B) = —9—'§ t2^ — 2)] + г'А] lg -j~z—Ь lg с, A3)
откуда
f{z) = cz-t-+lU{\-zf^-l%\
Таким образом, решением" уравнения G) будет

208	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
если только контур интегрирования выбран так, чтобы выполня-
выполнялось условие A0), которое можно написать в виде
S+1 , .,	S+1
A5)
Мы ищем то решение уравнения A7), которое остается ко-
конечным при х = 0. Такое решение получится, если мы возьмем
в качестве пути интегрирования отрезок вещественной оси от
2 = 0 до 2= 1: при этом выборе контура будет, очевидно, вы-
выполняться и условие A5), если только s + 1 > 0, что всегда
имеет место, так как мы предполагаем 5^0. Подставляя в A4)
пределы, будем иметь
1	S— 1	S—1
'*'*z~r" \l -z)~~' ' dz.	A4*)
Чтобы проверить, что этот интеграл действительно совпадает
с рядом (8), разложим в A4*) показательную функцию в сте-
степенной ряд и проинтегрируем почленно. Пользуясь известным
интегралом Эйлера (Euler)
\	$$	A6)
о
мы будем иметь
k=0
¦
или
A7)
что и требовалось доказать. Из сравнения (8) и A7) видно, что
постоянные а и с в формулах (8) и A4*) связаны соотношением

§ 8]	ВЫВОД АСИМПТОТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ	209
Таким образом, мы доказали формулу
X
A9)
Зная, что оба выражения (8 )и A4*) суть интегралы уравне-
уравнения G), конечные при %\ = 0, мы могли бы, разумеется, вывести
формулу A8) простым сравнением этих выражений для х\ = 0.
Полагая в формуле A9) 2=1—z\, мы получим равенство
B0)
из которого следует, что функция у, определяемая формулой F),
будет вещественной, если только постоянная а в выражении
(8) для Q вещественна, что мы и будем предполагать.
§ 8. Вывод асимптотического выражения
Чтобы вывести на основании формулы A4) § 7 асимптотиче-
асимптотическое выражение для Q, справедливое при больших положитель-
положительных значениях х\, мы деформируем путь интегрирования в ин-
интеграле A4) § 7 следующим образом. Вместо прямолинейного
отрезка мы соединим точки 0 и 1 ломаной линией, идущей от
О до iA, от iA до iA -f- 1 и от iA + 1 до 1, где А —некоторое по-
положительное число. Так как между первоначальным и деформи-
деформированным контуром подынтегральная функция голоморфна, то
величина интеграла от гакой деформации не изменится. Если
мы будем увеличивать А до бесконечности, то интеграл по уча-
участку от iA до iA + 1 будет, вследствие показательного множи-
множителя e~XiA под интегралом, стремиться к нулю, и в пределе мы
получим
^=\ eix<zf(z)dz + $ e!^f(z)dz, A)
где f(z) имеет значение A3) § 7. В первом интеграле полагаем
t-
z=t,e 2	• B)
и во втором
\-z = tf^.	B*)

210	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
Пределы для ? будут в обоих интегралах 0 и оо. Мы будем
иметь
о
—L» 0 \QQ	\ 6™"^*С	A 	г* till	CLL.	l3V
J
о
Если мы введем переменную
* = ?*,,	D>
то можем написать
_ 2
где через / обозначен интеграл
S-1
а / есть сопряженная с ним величина. Асимптотическое выра-
выражение для / получить уже нетрудно; для этого достаточно
разложить подынтегральную функцию по обратным степеням xv
и проинтегрировать почленно. Ввиду того, что ряд
'Л|	2— и
s-1
J / it
сходится лишь при U I < I Х\ |, тогда как интегрирование по /
происходит до бесконечности, ряд, полученный почленным инте-
интегрированием, будет расходящимся (асимптотическим). Мы будем
иметь

$8!	ВЫВОД АСИМПТОТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ	211
где символ .F20 (a, Р; г) обозначает формальный ряд, составлен-
составленный по закону
F20(a,P;Z)^l+^,+ a(a+11).f+1)^+ ... (9)
На основании A7) § 7, мы можем наши результаты записать
в виде
-iX>s +1; -**0e
X f 20 (/А, + -Ц^ , /А, + -Ц^; -f)
A0)
причем знак равенства нужно понимать в смысле асимптотиче-
асимптотического равенства. Полученная формула справедлива не только
для вещественных, но и для комплексных значений \\ и Х\ при
условии —g-^arc^! ^^-. Так, например, если мы положим
где р — целое положительное число, то второй член в A0),
вследствие того, что
обратится в нуль, а формула A0) даст точное (а не толькд
асимптотическое) равенство
e~*F(-p, s+1; *) =
Из сравнения A1) с A1) § 3 и B2) § 3 ясно, что формула
A1) дает полиномы Ql(x), расположенные по возрастающиу
степеням х (слева) и по убывающим степеням х (справа).

212	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
§ 9. Радиальные функции водорода для сплошного спектра
На основании результатов предыдущих параграфов [фор-
[формулы (9), A1) § 2 и B), C), F), (8) § 7], мы можем радиаль-
радиальную функцию атома водорода для сплошного спектра написать
в виде
l=, 2/+ 2; «г,Уве). A)
причем эта. функция будет вещественна, если только а(е) ве-
вещественно. Чтобы получить асимптотическое выражение для
этой функции для больших г\, подставим в формуле A0) § 8
вместо s, Ль Х\ их значения и положим
1
1
7^I
B)
а ряды F2o заменим их предельными значениями /?20=1. Мы
получим тогда
R?l (г,) « а (е)
B/+1I
X ± cos [г, V2e + -^ lg (r, V«e) - (/ + 1) f + (a)] . C)
Нам нужно нормировать эту функцию так, чтобы было
lim -г-
е + Дв
\de
dr. = 1.
D)
Иногда бывает удобно ввести вместо е другой параметр k,
связанный с е соотношением
= f(k),
E)
где f(&) есть некоторая монотонная функция, и рассматривать
собственную функцию R(k, r), нормированную по формуле
k+\k
\ *<*•
йтх = 1.
F)

§ 9]	РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА	213
Найдем связь между функциями, соответствующими раз-
различным нормировкам. Мы имеем, считая Де и Aft положитель-
положительными,
е+Де	k+Ak
\ Rel(rx)de=f'(k) J R{k,rx)dk,
е	ft
так как Aft бесконечно мало. Подставляя эти выражения в D)
и сравнивая с F), получаем
G)
Формулу D) или F) можно преобразовать следующим об-
образом. Так как собственные дифференциалы, относящиеся
к различным участкам сплошного спектра, ортогональны, мы
можем вместо F) написать
оо , k + Ak	k + Atk	¦.
Пт тг\г\\ \ R{k',rx)dkf- \ R{k",rx)dk"\drx = \, (8)
О	ч в	в —Д,й	'
где A,ft > Aft. В этой формуле мы можем перейти к пределу
Aft->0, оставляя A:ft отличным от нуля. Мы получим
(9)
Пусть теперь R°{k, rx) — ненормированные функции, а с (ft) —
нормировочный множитель, так что
R(k, rx) = c(k)R°(k, rx).	A0)
Так как Ajft бесконечно мало, мы можем вынести множи-
множитель с (ft) из-под знака интеграла и получим для определения
его уравнение
RQ{k',rx)dk'drx.	A1)
Выражение в правой части не зависит от Ajft, как могло бы
показаться на первый взгляд.
Предыдущие соображения относятся не только к данному
примеру, но и к общему случаю нормировки собственных функ-
функций в сплошном спектре.
Для вычисления интеграла A1) разделим промежуток ин-
интегрирования по гх на две части: от нуля до некоторого rx = A
и от Л до оо. Интеграл в конечном промежутке (от 0 до А)

2\4	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
будет, очевидно, стремиться к нулю одновременно с A\k. По-
Поэтому остается интеграл от А до оо, и мы будем иметь
оо	k+\tk
1W = ^oSrW>r') J R4k',ri)dk'dri. A2)
A	k — Atk
Преимущество этой формулы в том, что, взяв А достаточно
большим, мы можем пользоваться асимптотическим выражением
для R0{k,rt).
Положим
fc=V2i	A3)
и возьмем в качестве R°(k, п) ту функцию, которая имеет асим-
асимптотическое выражение
^(	±	)	A4)
где у есть векторная функция от k, значение которой можно по-
получить из сравнения A4) с C). Можно показать, что при вы-
вычислении предела A2) члены -^-lg^i + Y под знаком косинуса
не играют роли, так как они малы по сравнению с главным чле-
членом kr\. Оставляя поэтому только .этот член, мы будем иметь
— lim \cos&r, \ cosk'rxdk'dr,=
oo
= lim \(l+cos2fer1)sln(A'fa'') drx. A5)
A,fe->0 J	rl
A
Легко показать, что
оо
lim С cos2feosinAlfer,	=Q
Б самом деле, это выражение равно
f If sin
I 2 j
1	Г sin Bk-blk)r±
2	j	r
sin B* + Д,*)г,	1 Г sin Bk-blk)r±
а величина в скобках представляет разность двух сходящихся
интегралов, которые при Afi = О совпадают. Остается, следо-
следовательно,
оо
~±drx.	A7)

§ 9]	РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА	215
Вводя здесь новую переменную t = rl&lk, получим
оо	оо
т_^_== Пт J iiBi^JjiiLL^jL, A8)
так что мы можем положить
с (k) = л I —.
Таким образом, собственными функциями, нормированными
относительно k, будут те, которые имеют асимптотическое
выражение
R (к, г,)« д/4 -?- cos (krx + J- ig r, + Y),	B0>
а нормированными относительно е будут, согласно формуле G),.
имеющие асимптотическое выражение
Формула C) дает теперь следующее значение множителя а (в)
в выражении A):
~w VS" v	B/+Di
Функцию
B2).
4=
д/2е
л/2е
нетрудно выразить через элементарные функции. Полагая
= Хи перемножая равенства
Г (/ + 1 + Л,) = (/ + /Я,) ... A + Л,) Г A + /Л,),
Г (/+ 1 - /Я,) = (/ - /А,) ... A - /Я,) Г A - /Aj)
и пользуясь формулой
Га+аЛГа-А,^-^,	B3)
получаем
J B ?)B + яО...(/2 + Я?)-^г B4>

216	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
ИЛИ
¦<24-)
У2е sh ¦ "
У2е
Подставляя это в формулу B2), получаем следующее оконча-
окончательное выражение для а(е)
С этим значением а (в) формула A), которую мы выпишем
здесь еще раз:
. 2/+ 2; ir, V8i) , A)
дает нормированные радиальные функции атома водорода для
сплошного спектра.
Представляет интерес выражение для предельного значения
Rei(ri) при б->0. Пользуясь формулой A7) § 6 и припоминая
A8) § 6, будем иметь
/-х- , 		1
Нт^ег(г,) = a/ — /2/+i(V8ri) = Нт n2Rnl(rt). B6)
§ 10. Интенсивности в спектре водорода
Найденные нами выражения для радиальных функций поз-
позволяют вычислять интенсивности спектральных линий, соответ-
соответствующих различным переходам, а также интенсивности
в сплошном спектре. Выпишем здесь формулы для интенсив-
ностей, выведенные нами в § 9 гл. IV, причем введем атомные
единицы меры и примем во внимание, что уровни энергии для
водорода не зависят от азимутального квантового числа /. Мы
будем иметь
1(п',1; п,1-\) = (еп'-епУ\г(п',1; п,1-\)\Ч,	A)
/(«', /; л, / + 1) = (е„'- е„L| г (п', 1;п,1+ 1) |2(/ + 1) A*)

§ 10]	ИНТЕНСИВНОСТИ В СПЕКТРЕ ВОДОРОДА	217
для переходов между дискретными уровнями и
/ («', /; е) Лв =
= (вп>-в)*{\г'(п',1;е,1-1)?1 + \/(«',/; г,1+ 1)|2(/+0}Ле B)
для переходов с точечного на сплошной спектр. Для произволь-
произвольных квантовых чисел п', п, I входящие сюда величины г(п', /;
п, I ± 1) выражаются довольно сложно, но для малых значений
п' различные функции Rn'i являются простыми полиномами, и
интегрирование по г можно выполнить для произвольных чисел п
или е без особого труда. Мы ограничимся здесь рассмотрением
случаев п' = 1 (серия Лаймана) иге' = 2 (серия Бальмера).
Для п' = 1 единственное возможное значение /' есть /' = 0;
поэтому надо вычислять лишь интеграл
оо
гA, 0; л, V=\rlRi0(rl)Rnl(r1)drl	C)
о
или
со
r(l,C;e,l) = )r3Rl0(rl)Rel(ri)drr	C*)
и
Для п' = 2 возможна два значения /', а именно, /' = 0, /' = 1.
Соответствующие интегралы будут
для 1' = 0
гB,0; п, \)=i\rlR2O(rl)Rnl(rl)dri	D)
о
и для /' = 1
оо
гB, U п, 0)=\r\R2l(rl)RnO(rl)dri,	E)
г B, 1; л, 2)=^-^,^,)^^,)^	F)
о
и, кроме того, такие же интегралы для сплошного спектра. Все
эти интегралы берутся в конечном виде при помощи формул
(8) § 4 и A6) § 4 и их непосредственных обобщений на соб-
собственные функции сплошного спектра. Упомянутые формулы
имели вид
Ql(x) = Ql+l (х)- pQl±\{x),	[(8) §4]
[A6) § 4]

218	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
Чтобы получить желаемое обобщение, выразим здесь поли-
полиномы Ql через ряды F по формуле B2) § 3. Мы получим
= (s+ 1 +p)F(~p, s + 2; x)-pF(-p + \, s + 2; x), G)
"°Vf(-P, 5+ 1; x)dx= rE+1} fl - -LY. (8)
В последнюю формулу можно ввести новый параметр Ъ, за-
заменив а на уихна Ьх, после чего она примет вид
—jp (_ р, , + 1; Ьх) dx = ЩЛ- (l --*¦)'. (9)
a	a
Нетрудно убедиться, что эти формулы справедливы не только
для целых р, но и для любых дробных и комплексных значений
этого параметра, если только постоянные а и Ъ таковы, что
|а|>|&| и интегралы (8) и (9) имеют смысл. Для доказатель-
доказательства G) достаточно сравнить коэффициенты при степенях х
в обеих частях равенства, а для доказательства (8) и (9) можно
разложить F в ряд и проинтегрировать его почленно.
Рассмотрим теперь интеграл C). Подставляя по формулам
A4) § б и B0) § 6 значения радиальных функций, будем иметь
г A,0; п, 1) =
Этот интеграл не совсем подходит под тип (9), так как сте-
степень г в нем совпадает со вторым аргументом у F, тогда как в
(9) этот аргумент на единицу больше степени х. Для вычисле-
вычисления его мы можем либо применить формулу, получаемую диф-
дифференцированием (9) по параметру а, либо увеличить, при по-
помощи G), второй аргумент у F на единицу, а затем уже вос-
воспользоваться формулой (9). Применяя один из этих приемов,
получим
— п—3
1-т) -0+т)

§ 10]	ИНТЕНСИВНОСТИ В СПЕКТРЕ ВОДОРОДА	о|9
Подстановка этого выражения в A0) дает
7	п—2
г A, 0; п, 1)= 16п2	—j-.	A2)
(п+\)+~2
Интегралы D), E) и F) вычисляются при помощи тех же
приемов; в результате довольно сложных выкладок получается
гB,0;я, 1) = 2«л/2/17(/12-1)т|я~5+з ¦	03)
(га + •?,)
A4)
7
9	1	п~~
гB, 1; п, 2) =-j=-nJ(п2 — 1)? ("~2)—г.	A5)
(я + 2)"+~
Подобно этому, можно вычислить соответствующие инте-
интегралы и для сплошного спектра. Для этого нет необходимости
повторять все выкладки, а можно воспользоваться готовыми ре-
результатами A2) — A5) на основании следующих соображений.
Сравнивая выражения A5) § 6, A) § 9 и B5) § 9 для радиаль-
радиальных функций точечного и сплошного спектра, мы убедимся, что
они могут быть представлены в виде
D (г \ =	Q (n I г- \	(\ (\\
„
где Q в обоих выражениях есть одна и та же аналитическая
функция от п, а именно,
п{п, I, r) =
С другой стороны, интегралы типа (9) представляют так-
также аналитические функции входящих в них параметров; так,

220	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
например, формула A1) справедлива и для чисто мнимого п =
= ,— ¦. Поэтому, если мы положим, например,
2 __ f („) AQ\
то, на основании (З), C*), A6) и A7), мы будем иметь
г'A,0; в, 1) = -
или
I 5	_ I _5_
= , 2 _ -8A +'УРе)^55 2-(l—г'У2е) ^ 2. B0*)
Аналогично мы могли бы получить г'B,0; е, 1), г'B, 1; е, 0) и
г'B, 1; е, 2), но проще сделать переход к сплошному спектру
уже в окончательных формулах для интенсивностей.
Чтобы получить интенсивность, соответствующую переходу
между данными уровнями энергии, нужно взять сумму выраже-
выражений A) и A*) по всем допустимым значениям /.
Для серии Лаймана сумма приводится к одному члену
/A, л) = D-
так что, по формуле A2),
Для серии Бальмера мы имеем
/B,-«) = ^-D-^гL{1/-B, 0;л, 1)|2 + |гB, 1;п,0)|2 +
+ 2|rB,l;n,2)p}
откуда, на основании A3), A4) и A5), получаем
1 {2 )	i	p' E
Чтобы получить отсюда интенсивности для сплошного спек-
спектра, умножаем эти выражения на квадрат отношения множите-
множителей при Q в формулах A6) и A7), т. е. на величину

§ 11]	ЯВЛЕНИЕ ШТАРКА. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ	221
и заменяем п на —т=~ • В результате получается
/A, е)Де =
16
Ае, B3)
= _ ^v_ • E + 8в) C + 8в) X
__ _?i__3	Ё	3
X(l +2/ д/2е)^2е ¦ (l — 2/ V2e) Vs . Дв. B4)
/ B, в) Дв
Чтобы освободиться здесь от мнимых величин, положим
в формуле B3)
V^=tgril (О < Tix < -J-)	B5)
и в формуле B4)
V^	(J)	B6)
Эти подстановки приводят наши формулы к виду
ifi-,-44ictgi1i
/A,е)Дв = ;_е-2л«еЦ1 -tgT|,AT|,,	B7)
> Де = ,2e~ZZz\> (! + 4 cos2 Лз)A + 2cos2ri,) tg Л2 Дть B8)
1	б
В заключение заметим, что интенсивности, наблюдаемые на
опыте, зависят кроме свойств отдельного атома также и от числа
атомов в «начальном» состоянии, которое будет различным при
различных условиях опыта. Поэтому сравнение выведенных
здесь формул с опытом может быть лишь косвенное.
§ П. Явление Штарка. Общие замечания
Если поместить атом в электрическое поле, то его уровни
энергии, а следовательно, и спектральные линии, соответствую-
соответствующие переходам между этими уровнями, расщепятся, вообще го-
говоря, на несколько компонент. Это расщепление спектральных
линий в электрическом поле носит название явления Штарка.
Для атома водорода расщепление будет пропорционально силе
поля; для других атомов оно пропорционально квадрату силы
поля. Это различие объясняется следующим образом. При нали-
наличии внешнего электрического поля, направленного, скажем,
вдоль оси 2, составляющая момента количества движения во-
вокруг оси z остается интегралом квантовых уравнений движения,
так что «магнитному» квантовому числу т можно по-прежнему

^22	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
приписать определенное значение. В случае не-Кулонова поля
данному уровню энергии Е = Ent будет соответствовать только
одна собственная функция с определенным значением т; для
Кулонова поля таких функций будет несколько. (Они будут от-
отличаться друг от друга азимутальным квантовым числом /).
Другими словами, для не-Кулонова поля уровни энергии будут
простыми, а для Кулонова поля они будут кратными. Поэтому
для вычисления поправки на внешнее поле нужно в обоих слу-
случаях применять различные методы теории возмущений. Так как
добавочная потенциальная энергия пропорциональна коорди-
координате z, то легко видеть, что для простых собственных значениГг
невозмущенной задачи поправка в первом приближении р;:зна
нулю. В самом деле, эта поправка равна диагональному эле-
элементу матрицы, который, вследствие правила отбора для г, ис-
исчезает. Таким образом, для не-Кулонова поля остается поправка
второго порядка, пропорциональная квадрату внешнего поля.
Иначе обстоит дело для Кулонова поля (кратные собственные
значения). Там поправку первого приближения, пропорциональ-
пропорциональную первой степени внешнего поля, нужно вычислять, прирав-
приравнивая нулю определитель D(X) [D) § 5 гл. II], причем она ока-
оказывается отличной от нуля.
Заметим, что состояние атома в электрическом поле не яв-
является, строго говоря, стационарным. Вследствие того, что по-
потенциальная энергия электрона на" больших расстояниях от
атома может убывать до — оо, электрон будет иметь конечную
вероятность оторваться от атома. Получаемое по методу теории
возмущений приближенное решение уравнения Шредингера со-
соответствует «почти стационарному» состоянию в смысле § 1
гл. II и §8 гл. III.
При изучении явления Штарка для водорода удобно, вме-
вместо непосредственного применения теории возмущений к урав-
уравнению Шредингера в сферических координатах, перейти сперва
к параболическим координатам. Этот прием имеет то преимуще-
преимущество, что в параболических координатах уравнение для возму-
возмущенной задачи допускает разделение переменных, причем за-
задача приводится к уравнениям, невозмущенные собственные
значения которых являются простыми. Мы ограничимся здесь
вычислением поправки первого порядка к уровням энергии.
§ 12. Уравнение Шредингера в параболических
координатах
Мы напишем уравнение для собственных функций опера-
оператора энергии сразу в атомных единицах. Оно будет иметь вид
*gz*E*.	A)

•§ 12]	УРАВНЕНИЕ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ	223
Возмущающая энергия равна здесь —gz, где g есть электриче»
ское поле в атомных единицах. Если обозначить поле в обычных
единицах через D, то
D = ¦?-g = g. 5,14-1QPв/см.	B)
Поэтому даже для сильных полей порядка 105 или 106 в/см па-
параметр g будет малым.
Введем параболические координаты
и — г + z, v = г — z.	C)
Поверхности и = const и v = const представляют ортогональ-
ортогональную систему параболоидов, как это видно из уравнений
х2 + у2 + 2uz = и2,
Переход к параболическим координатам и, v удобно сделать
в три приема, а именно, ввести сперва цилиндрические коорди-
координаты z, р, ф, затем положить
]
z + /р = у (I + щг	E)
и, наконец, выразить g, т) через и и v. Отделяя в E) веще-
вещественную и мнимую части, получим
z=j(l2-rf),	F)
Р = 1Ч,	G)
а беря модуль, будем иметь
г=4а2 + тJ).	(8)
Отсюда
|2 = r + 2 = M, TJ=r-2 = U.	(9)
Беря квадрат модуля дифференциала E) и выражая затем
5, г) через и, v, получим
1	/1	1 \
dz2 + rfp2 = (I2 + if) (rfg2 + drf) = — (u + v)[— du2 + — dv2),
так что квадрат элемента длины дуги
будет равен
A1)

224	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
Элемент объема равен корню квадратному из произведения
трех членов выражения A1)
dx = -^(u + v)dudvd(f.	A2)
Чтобы найти оператор Лапласа, проще всего воспользоваться
известной теоремой, согласно которой оператор Лапласа в кри-
криволинейных ортогональных координатах qlt q2, q3 имеет вид
Дг|з =
1
д ( h2h3 дОр \ , д (hshi дф \ , д (h,h2 дф N1
dqt \ A, dqi)^ dq2 \ h2 dq2 ) "^ dq3 V h3 dq3 )] '
где h\, h% h3 суть корни квадратные из коэффициентов в выра-
выражении для квадрата элемента дуги
+ hldql.	A4)
Применяя эту теорему к нашему случаю, мы получим
т и + v I дн V <3н / ' dv V dv J	4uv (Эф2 J v 7
Подставим это выражение в A) и выразим гиг при по-
помощи C) через и а и. После умножения на . " ° =г и пере-
переноса всех членов в правую часть мы будем иметь
д
du L" а« j "т" ~dv V dv J "*" Т V «" + 7Г
+уЯ(ы+И) + ^(и2-г2)]г1)==0. A6)
Нетрудно видеть, что это уравнение решается разделением пере-
переменных. В самом деле, если мы положим
ty = U{u)-V{v)-eim<t,	A7)
то уравнение A6) будет выполняться, если U(u), V(v) будут
удовлетворять уравнениям
где
a + b = l.	B0)
В этих формулах т есть не что иное, как «магнитное» кван-
квантовое число. Параметры а и Ь, связанные соотношением B0),
подлежат определению из условия, чтобы уравнения A8) и A9)
имели решения, конечные при всех значениях и и v от 0 до со.

§ 13]	РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	225
§ 13. Расщепление уровней энергии
в электрическом поле
Наша цель —найти поправки к уровням энергии водорода
для небольших значений главного квантового числа п в предпо-
предположении, что параметр g весьма мал.
Введем новые переменные
щ =ил/—2Е, и, =v\J—2E.	A)
Так как параметр Е у нас отрицателен (приближенное значе-
значение его равно ?= — ут) • то величины щ и v\ будут веществен-
вещественными и пределы их изменения будут 0 и оо. В новых перемен-
переменных уравнения A8) и A9) § 12 примут вид
где
D)
а параметры ах и bt равны
0, = -^=-, 6, = -^=,	E)
так что
, .	1	,„,
ai + bi==W^-	F)
Из уравнения D) следует, что постоянная gi будет малой
только в том случае, если значения главного квантового числа п
невелики, как это мы и предположили в самом начале. Если
считать gi известным, то уравнения B) и C) представляют
уравнения для собственных функций самосопряженных опера-
операторов, собственные значения которых равны а\ и Ъ\. Определив
эти собственные значения, мы найдем затем по формуле F) соб-
собственные значения энергии Е.
В уравнениях B) и C) мы будем рассматривать члены, со-
содержащие параметр g\ как возмущение. Уравнения невозмущен-
невозмущенной задачи будут вида
Это уравнение было подробно исследовано нами в §§ 3, 4 и 5.
Мы знаем, что собственные значения его суть
Я = Р+ lw' + 1 (p = 0, 1, 2, ...),	(8)

226 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. It
а собственные функции равны
ур(х) = х * e~2Qp]ml(x).	(9)
Поэтому собственными значениями и функциями уравнений B)
и C) в нулевом приближении будут
Д? = я,+ |W|2+' (л, = 0, 1, 2, ...),	A0)
6о = „2 + 1^1±_1 (/^ = 0,1,2,...),	A1)
Из A0) и A1) мы получаем, в том же приближении,
1	° + #° = я1 + л2 + |т|+1=га,	A3)
где целое число п принимает значения я = 1, 2, 3, ... и пред-
представляет не что иное, как главное квантовое число.
Все собственные значения оператора G) простые. Поэтому,
чтобы получить поправку первого порядка к A0) и A1), доста-
достаточно найти диагональный элемент матрицы для возмущающей
функции, каковой является для B)" величина —^-и\ и для
C) величина — v\. Интеграл вида
оо
\х2[ур(х)]Чх
о
уже был нами вычислен; по формулам A9) и B1) § 4 мы имеем
оо
J xg+2e~x [Q7 (x)]2dx = 6р2 + 6/7 (s + 1) + (s + 1) (s + 2). A4)
о
Поэтому собственные значения в первом приближении будут
ах=щ-\- о	^г\Рп\ + ^ni (I т 1+ 1) + (I m 1 + 0A tn | + 2)],
A5)
b\ — п2 + 2	b -^-[6«2 + 6гагA m 1+ l) + (l m I+ 0A т 1 + 2)].
A6)
Сумма этих выражений равна
з
ai + ^i == w + " ?in \п2 — Я]),	A7)

§ 13]	РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	227
где п имеет значение A3). На основании D) и F) мы имеем,
следовательно, приближенное равенство
1	, 3
A8)
Здесь мы можем в поправочном члене заменить д/~ 2? его
приближенным значением 1/п. Мы получим
1 =n+4gn4(«2-n,).	A9)
V— 2?	2
Решая это уравнение относительно Е, получим в том же при-
приближении
^	§п(пщ).	B0)
Таким образом, уровни энергии фактически зависят лишь от
двух квантовых чисел: от главного квантового числа п и от раз-
разности п2 — П\. При данном п эта разность может принимать все
значения от —(п—1) до п—1. Придавая ей все допустимые
значения, получим искомое расщепление терма во внешнем элек-
электрическом поле. Формула B0) находится в хорошем согласии
с опытом.
Мы видели, что состояние электрона в невозмущенном атоме
водорода может быть описано либо при помощи квантовых чи-
чисел п, I, m (сферические координаты), либо при помощи кван-
квантовых чисел п\, п2, т (параболические координаты). Так как
собственные функции tynim не совпадают с собственными функ-
функциями ty'nnm (одни являются линейными комбинациями других
с теми же значениями п и т), то состояния (nlm) и (п\п2т) бу-
будут разными. Может возникнуть вопрос: в каком же состоянии
находится в самом деле электрон в невозмущенном атоме водо-
водорода? На этот вопрос можно дать следующий ответ. О состоя-
состоянии атома мы можем судить, измеряя его энергию Е. Так как
невозмущенная энергия зависит только от п, то в невозмущен-
невозмущенном атоме с определенной энергией только это квантовое число
имеет определенное значение, тогда как, например, п\, п2 и т
в отдельности остаются не только неизвестными, но и физически
неопределенными. Все, что мы можем сказать о волновой функ-
функции такого атома — это, что она является линейной комбина-
комбинацией собственных функций с данными п и разными значениями
других квантовых чисел (причем эта комбинация может быть
выражена как через tynim, так и через ty'ninim). Чтобы сделать, на-
например, разность tii — п2 определенной, нужно оказать на атом
определенное физическое воздействие, а именно, поместить его
в электрическое поле. Когда это сделано и разность п.\ — п2 из-
измерена, то состояние электрона фиксировано уже с большей оп-

228	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
ределенностью, и мы можем утверждать, что его волновая функ-
функция выражается через собственные функции не только с опре-
определенным п, но и с определенным значением разности п\ — п2-
Таким образом, различие в получаемых состояниях имеет своей
причиной не математический произвол (тот или иной выбор ко-
координат или собственных функций), а то или иное физическое
воздействие на атом.
§ 14. Рассеяние а-частиц. Постановка задачи
Положим, что в начале координат находится тяжелое ядро
атома и со стороны отрицательных г (будем говорить, слева)
падает на него плоская волна, представляющая сс-частицу с оп-
определенным количеством движения pz = р > 0 и энергией Е.
Волна претерпевает дифракцию; справа (при z > 0) на пло->
скую волну налагается расходящаяся волна, идущая от рассеи-
рассеивающего центра. Это значит, что а-частица «отчасти» проходит
мимо рассеивающего центра, «отчасти» отклоняется им (это
нужно понимать в смысле принципа наложения состояний). Для
большей наглядности мы можем вообразить себе много рассеи-
рассеивающих центров и целый поток а-частиц; слева весь поток бу-
будет идти в направлении положительной оси z (направо), а спра-
справа он разобьется на два потока: прошедший и рассеянный.
Наша цель — описать это явление посредством волновой
функции \|) и найти отношение плотности отклоненного потока
к плотности падающего в зависимости от угла отклонения.
Обозначим через 2е и та заряд и массу а-частицы, через Ne
и М заряд и массу тяжелого ядра и положим
A)
^ та + М
При столкновении а-частицы с атомом тяжелого элемента
главную роль играет Кулоново отталкивание между а-частицей
и ядром, тогда как роль электронной оболочки атома незначи-
незначительна. Поэтому мы можем потенциальную энергию положить
равной
U{r) = ^-.	B)
Уравнение Шредингера нашей задачи будет иметь вид
-|> + ^-«1 = 0.	C)
Мы будем рассматривать состояние а-частицы с определен-
определенной энергией
В = 4г*	D)

§ 15]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	229
где р — количество движения частицы на бесконечности, и пред-
предположим, что момент количества движения частицы вокруг
оси z равен нулю, так что волновая функция не зависит от
угла ф
По условию при отрицательных г и больших г волновая
функция должна представлять плоскую волну
ф = ДB"-?г)	E)
при — оо<г<0иг->оо. Кроме того, чтобы сделать решение
однозначным, мы должны формулировать как особое условие
отсутствие сферических волн, приходящих из бесконечности.
Так как энергия частицы имеет определенное значение, мы
можем положить
ф = tf>e~T Е\	F)
где ф° не зависит от t и удовлетворяет уравнению
й2 А ,0 . 2Ne2 ,0 - ,о	Л7\
~"ЩГ ^ +~7~У =^Е^-	G)
Для упрощения коэффициентов уравнения введем в качестве
единицы длины величину
так что новыми координатами будут
,	 х	,	 у	,	 г	,	 г	,Q>
^0	^0	^0	^0
И ПОЛОЖИМ
*-.*?.	(.0)
Уравнение G) напишется
а условие E) примет вид
при — оо < z' < 0 и г'-* оо.
§ 15. Решение уравнений
Так как по условиям задачи ось z играет особую роль, мы
введем параболические координаты

230	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. IP
Мы можем здесь воспользоваться вычислениями § 12 и заим-
заимствовать оттуда уравнение A6) § 12 со следующими измене-
изменениями. Во-первых, Кулонова энергия имеет у нас обратный
знак, так что член +1 нужно заменить на —1; во-вторых, мы
должны положить g = 0 и, в-третьих, принять во внимание, что
^° не зависит от угла ср. Имея это в виду, мы получим
Условие на бесконечности напишется в параболических коор-
координатах
при и->оо и всех значениях и.
Этому условию можно удовлетворить только, если
где V не зависит от и и удовлетворяет предельному условию
V~e *2 при v->oo.	E>
Подставляя выражение D) в B), мы убедимся, что оно дей-
действительно будет решением, если только V удовлетворяет урав-
уравнению
тК-Й+Ол/*-1 +7 «О""»-	<6>
Так как е > 0, мы можем положить здесь
л/2^ = г>,,	G)
после чего получим
d / dV \ . с i 1 . 1 \,. _	,оЧ
	(«[	) + (	-р=-\—Vi 17 = 0.	(8)
dvi\ dvj \2 V2e 4 lJ	K
Это уравнение совпадает с тем, которое мы подробно	иссле-
подробно	исследовали в §§ 7 и 8, а именно,
В нашем случае
Полагая для удобства
1

<§ 15]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	231
мы можем, на основании F) и (8) § 7, написать решение урав-
уравнения (8), конечное при v\ = О, в виде
V = се 2 F{—ib, I; fo,) =
Постоянную с нам нужно определить из условия E), т. е.
—
V~e 2 при «,->оо.	A2)
Для этого мы должны воспользоваться асимптотическим вы-
выражением для ряда F, выведенным нами в § 8 (формула A0)
§ 8). Для наших значений параметров мы будем иметь
се 2
— ь
2	I t(~
U
сЬе1	1 .'(—-Ь1в°1)„ #,,„.,,.,	11 /13ч
где F20 суть формальные ряды, составленные по закону (9) § 8.
Мы видим, что условие A2) будет приближенно выполняться,
если мы положим.
с = е 2 ГA+/6).	A4)
Перейдем теперь к координатам г', z' и составим функцию -ф0.
На основании A), D) и G) получаем для \}з° следующие выра-
выражения.
Для малых v = г' — z'
и для больших v = г' — z'
' е
г'-г'
Заметим, что входящий в эти формулы параметр Ь пропор-
пропорционален длине волны.

232	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч ГГ
§ 16. Формула Резерфорда
Формула A6) § 15 дает полное решение нашей задачи. На
больших расстояниях от атома и не слишком близко от оси z
(на расстоянии по крайней мере в несколько длин волн от нее)
волновая функция состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое,
приближенно равное
представляет прошедшую плоскую волну, соответствующую не-
отклоненному потоку частиц. Второе слагаемое, приближенно
равное
ir'
~ib4^^	B)
^2— ° ГA -ib) г' -г'е
представляет рассеянную сферическую волну, соответствующую
отклоненному потоку частиц.
Чтобы судить об относительной интенсивности отклоненного
и неотклоненного потоков частиц, составим из A) и B) по фор-
формулам A0) и A1) § 2 гл. III величину, пропорциональную век-
вектору тока. Мы получим
(?	^^)	C)
-r-b	b lg r-^) ¦	D)
Мы видим, что вектор S\ направлен на больших расстояниях
по оси z, а вектор S2 — вдоль радиус-вектора от рассеивающего
центра.
Если мы обозначим через tide число частиц, проходящих
в единицу времени сквозь поверхности do, а через ФЛо число
частиц, проходящих в единицу времени в телесном угле d(o
(с вершиной в рассеивающем центре), то, на основании C) и
D), мы будем иметь
DJ\	E)
Обозначим через О угол отклонения потока частиц, так что
г' = г' cos Ь.	F)
Формула E) напишется тогда:
ПГпЬ4
G)

<> 17]	ТЕОРЕМА ВИРИАЛА	233
или, если мы подставим вместо г0 и b их значения, согласно (8),
A0) § 15 и A0) § 16, то
Эта формула выведена Резерфордом на основании классиче-
классической механики и была проверена им на опыте. Закон обратной
пропорциональности четвертой степени синуса от половины угла
отклонения вполне подтвердился.
§ 17. Теорема вириала в классической и квантовой механике
В классической механике для финитного движения матери-
материальных точек (т. е. для такого движения, в котором их коорди-
координаты и, разумеется, скорости остаются все время конечными)
имеет место теорема вириала, согласно которой среднее значе-
значение кинетической энергии Т связано со средним значением «ви-
«вириала», т. е. некоторого выражения, линейного относительно
производных от потенциальной энергии U по прямоугольным
координатам, с коэффициентами, пропорциональными этим ко-
координатам. В случае одной материальной точки мы имеем для
вириала выражение
т/	dU . dU , dU	,1Ч
У х +	+ г	<!>
где U — потенциальная энергия. Но из уравнений движения
тх--Ш- тй--™_ m.±^_dU_	m
дх	J	ду	dz	K '
вытекает, что
V = — т (хх -\- уу -\- zz).	C)
С другой стороны, мы имеем
JL{ 2_i_ 2 _|_ 2\_ о( ¦ 4- • 4- •)	(А)
dt
~ (х2 + у2 + z2) = 2 (х2 + у* + z2) + 2 (ATJE + yy + zz) E)
или
d^2 ^'"''m	in '	^ '
Но легко видеть, что среднее по времени от левой части выра-
выражения F) равно нулю (это есть разность значений выраже-
выражения D) для двух далеко отстоящих моментов времени, делен-
деленная на промежуток времени между ними).
Таким образом,
от —V	<7\
~* * ср	ср*	V /

234	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. 1Г
В этом и заключается теорема вириала классической механики
для случая материальной точки. Она легко может быть обоб-
обобщена на случай системы материальных точек.
Если потенциальная энергия U есть однородная функция
степени р от координат, то, согласно A), мы будем иметь
V = pU	(8)
и, следовательно,
2Гср = р?/ср.	(9>
Переходим теперь к квантовой механике. Среднему по вре-
времени от некоторой классической величины можно сопоставить
в квантовой механике математическое ожидание квантового ана-
аналога этой величины в состоянии с определенной энергией. Пока-
Покажем, что при таком сопоставлении в квантовой механике дей-
действительно будет иметь место соотношение, аналогичное теореме
вириала классической механики.
Уравнение Шредингера для материальной точки (а также
для системы материальных точек) может быть получено из ва-
вариационного начала
б/ = 0,	A0>
где
\$	A1)
причем Т есть оператор кинетической энергии, U есть потен-
потенциальная энергия, а Е — параметр энергии.
Мы ограничимся здесь случаем одной материальной точки.
Тогда
где А есть оператор Лапласа.
Если функция о|з нормирована так, что
то величина
$	04}
есть математическое ожидание кинетической энергии, а величина
— математическое ожидание потенциальной энергии.
Теорема вириала может быть сформулирована следующим
образом.

•? 17]	ТЕОРЕМА ВИРИАЛА	235
Если волновая функция гр принадлежит к точечному
спектру *) и потенциальная энергия есть однородная функция
степени р от координат, так что
= kpU{r),	A6)
то имеет место равенство
2Г0 = р{/0)	A7)
т. е. удвоенное математическое ожидание кинетической энергии
равно умноженному на р математическому ожиданию потен-
потенциальной энергии.
Для доказательства заменим в г|з(г) координаты г величи-
величинами, им пропорциональными (г->Хг), и рассмотрим функцию
Ч>>, Я) = Я3/г-ф (Яг),	A8)
которая при условии A3) также будет нормирована на еди-
единицу. Подставим ф* в интеграл действия A1) и обозначим через
Tq и UI математические ожидания кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии в состоянии, описываемом функцией г|)*. Так как
при замене х, у, г на %х, %у, kz (т. е. при изменении масштаба)
•оператор Т переходит в Х2Т, а условие нормировки для ijr* будет
то же как для ij;, мы получим
\	A9)
а также
?/S=$*Wd*=$$(r)?/(-j[-)iKr)rfT	B0)
и, в силу однородности функции U,
Ul = k-pU0.	B1)
Интеграл действия A1) будет равен
I = k2T0 + k~pU0-E.	B2)
Приравнивая нулю его вариацию по параметру к, получим
б/ = BЯГ0-рЯ"р~1{/0MЯ = 0.	B3)
Но решение вариационной задачи получается при %= 1. Отсюда
2Г0 = р?/0,	B4)
что и требовалось доказать.
*) Это соответствует требованию финитностк движения.

236	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	(Ч. Н
В общем случае произвольной потенциальной энергии мы
будем иметь
+ )у B5)
Наши рассуждения легко переносятся на случай системы ча-
частиц при условии однородности операторов Т и U, выражаемой
формулами A9) и B1).
Соотношение, выражающее теорему вириала, удовлетво-
удовлетворяется не только точным, но и приближенным решением задачи,
если только решение получено по вариационному способу, до-
допускающему вариацию масштаба. Под вариацией масштаба мы
разумеем преобразование волновой функции вида A8) (с соот-
соответствующим обобщением для многих частиц) и последующее
определение параметра Л, из вариационного начала. Таким свой-
свойством обладает, в частности, получаемый из вариационного на-
начала способ «самосогласованного поля», рассмотренный в ча-
части IV этой книги.
§ 18. Замечания о принципе наложения и о вероятностном
толковании волновой функции
Мы рассмотрели в §§ 14, 15 и 16 задачу о столкновении ча-
частицы с тяжелым ядром атома. Задача эта представляет особый
интерес ввиду того, что дает наглядное представление о физи-
физическом смысле волновой функции.
Как мы знаем, волновая функция ty(x, у, z, t) служит для
описания состояния одной частицы. Состояние может быть та-
таково, что данная физическая величина может не иметь опреде-
определенного значения. Пусть, например, волновая функция свобод-
свободной частицы равна
ij) = U,e* +c2eh )e h 2m .	A)
В этом состоянии энергия равна
но направление движения не имеет определенного значения; если
поставить опыт, позволяющий констатировать направление дви-
движения (например, при помощи определенным образом ориенти-
ориентированной диафрагмы с отверстием) и повторять его много раз,-
то окажется, что существует вероятность обнаружить ча-
частицу движущейся вдоль оси х со скоростью v = p/m, а также
вероятность обнаружить частицу движущейся вдоль оси у с той
же самой скоростью. Иначе говоря, в состоянии, описываемом-
волновой функцией A), частица имеет потенциальную

§ 18)	ВЕРОЯТНОСТНОЕ ТОЛКОВАНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ	. 237
возможность быть обнаруженной движущейся в том или
в ином из указанных двух направлений. Разумеется, это озна-
означает совсем другое состояние, чем то, которое соответствовало
бы движению по равнодействующей; если бы частица двигалась
по биссектрисе угла между осями х и у со скоростью, соответ-
соответствующей энергии B), то ее волновая функция равнялась бы
-±Et
C)
а это выражение совершенно отлично от A). Возможность со-
состояний, в которых данная величина не имеет определенного
значения, и которые получаются наложением состояний с опре-
определенным значением этой величины (принцип наложения со-
состояний), является самой характерной чертой квантовой меха-
механики, коренным образом отличающей ее от механики классиче-
классической. Описать такого рода «смешанное» состояние одной
частицы на языке классической теории совершенно невозможно;
необходимость же принять принцип наложения состояний выте-
вытекает хотя бы из того факта, что лишь на основании этого прин-
принципа можно вывести из общего источника двойственный харак-
характер света и вещества, проявляющихся как в виде волн, так и в
виде частиц. В первоначальной форме волновой механики вол-
волновая функция толковалась как некоторая волна в пространстве,
соответствующая собранию частиц, способных претерпевать ди-
дифракцию (волна де Бройля). На этой основе истолковывался
для волновой функции принцип наложения. Так, например,
в формуле A) член
(?0
соответствовал волне, изображавшей поток частиц, движущихся
в направлении оси х со скоростью v = р/т, а второй член, как
такой же поток, направленный по оси у. Вся волновая функ-
функция A) представляла бы тогда наложение этих двух потоков;
плотности их относятся друг к другу, как квадраты модулей
амплитуд, т. е. как | с{ \2: | с212.
Толкование волновой функции по де Бройлю, хотя и обла-
обладает наглядностью, но является, строго говоря, неточным:
«потоки» могут интерферировать между собой и их наложение
следует понимать как наложение волновых функций, их пред-
представляющих. Кроме того, мы знаем, что волновая функция опи-
описывает состояние одной частицы (а не потока частиц) и должна
быть истолкована на основе понятия потенциальной возможно-
возможности для тех или иных результатов опытов (измерений) над ча-
частицей. Об этом мы уже говорили в § 6 гл. IV ч. I. Мы выяснили
там, что элементом статистического коллектива не может быть

238	ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА	[Ч. II
квантовый объект. Поэтому не имеет смысла вводить в рассмо-
рассмотрение «ансамбли» из таких объектов, понимаемые в смысле
обычной статистической физики. Если уже считать, что само по-
понятие вероятности предполагает наличие некоторого ансамбля,
то таковым может быть только ансамбль из результатов опре-
определенным образом поставленных опытов.
Вернемся к волновой функции вида A). Рассматривая ее
с точки зрения понятия потенциальной возможности, мы можем
составить выражения для вероятностей обнаружить частицу дви-
движущейся в направлении оси х и в направлении оси у, если она
первоначально находилась в состоянии A). Вероятности эти бу-
будут пропорциональны квадратам модулей амплитуд и их отно-
отношение будет равно |ci|2 :|c2|2. Этот результат согласуется с тем,
какой получается из рассмотрения волн де Бройля как описы-
описывающих потоки частиц, если понимать слово «потока» не слиш-
слишком буквально и допускать возможность взаимного уничтожения
этих потоков в результате интерференции волн, их образующих.

Часть III
ТЕОРИЯ ПАУЛИ
§ 1. Момент количества движения электрона
В § 7 гл. II мы рассматривали операторы момента количе-
количества движения, составленные из операторов для координат и
для количества движения по формулам
ург — zpy, 1
I	A)
Эти операторы можно сопоставить моменту количества движе-
движения материальной точки с тремя степенями свободы, соответ-
соответствующими движению в пространстве. Поведение электрона
в магнитном поле, а также свойства систем, составленных из
многих электронов (например, электронной оболочки атома),
показали, что электрон обладает также некоторой внутренней
степенью свободы, связанной с его собственным моментом коли-
количества движения, не зависящим от движения его в простран-
пространстве. Эту внутреннюю степень свободы (и соответствующий ей
собственный момент количества движения электрона) принято
называть английским словом («спин»*).
Свойства собственного (спинового) момента количества дви-
движения электрона можно изучать исходя из перестановочных со-
соотношений для обычного (орбитального) момента количества
движения
tnymz — тгту = ihtnx, "*
mzmx — тхтг = ihmy, I	B)
tnxmy — mymx = ihtnz, )
если считать, что спиновый момент удовлетворяет тем же пере-
перестановочным соотношениям, и ввести гипотезу о том, что опера-
операторы для каждой из составляющих спинового момента элект-
электрона имеют два и только два собственных значения, которые от-
отличаются лишь знаком.
*) Первоначальный смысл английского глагола «to spin» есть «вертеть
веретено».

240	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
Операторы для составляющих спинового момента можно по«
ложить равными
(>Пх)Сп = -J Ох, (>Пу)сп=-2аУ> (mz)cn = 7Г <*г,	C)
где ох, оу, ог— самосопряженные операторы, имеющие простые
собственные значения, равные ±1. Множитель 1/2 вытекает из
требования, чтобы операторы C) удовлетворяли соотноше-
соотношениям B).
При вычислении спина в единицах Ь (а не й/2) удобно поль-
пользоваться вместо ох, оу, Oz операторами
_ 1	_ 1	_ 1
sx — 2 °хг S!> — 2 °У Sz — ~2~ °г"
Эти операторы будут применяться в части IV при рассмотрении
многоэлектронной задачи.
Перестановочные соотношения для операторов ох, оу, oz
имеют вид
oyoz — ozoy = 2iox j
огох — охог = 2ioy, I	D)
Но мы имеем тождественно
а\о, — о,о2г = а, (ста. — сг <т i + (ого, — о ог) ог
X Z	Z X	X \ X Z	Z X/ ' \ X Z	?, X/ X
и, вследствие предыдущих соотношений,
Согласно нашей гипотезе, собственные значения ох
равны ±1, так что о\ имеет единственное собственное значение
о\ — 1 и будет уже не оператором, а числом, коммутирующим
с любым оператором, в том числе с оператором ог. Поэтому
правая часть последнего уравнения равна нулю. Записывая это
равенство вместе с двумя аналогичными равенствами, мы будем
иметь
On -Х- п п = П 
у^г I игиу *-*» I
ОгОх + ОхОг=0, \	E)
I	 /Л	1
Сопоставляя равенства D) и E), мы получаем
ozox = — охог = ioy, \	F)
G*Oy — — ОуОх = /Ог.

§ I]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА	241
Кроме того, мы имеем
o; = a* = aj=l.	G)
Величины ох, оу, ог можно рассматривать либо как матрицы,
состоящие из двух строк и столбцов, либо как операторы, дей-
действующие на функцию от некоторой новой (дополнительной
к координатам) переменной а, принимающей только два значе-
значения, например значения о = ±1. Обозначая эту функцию че-
через г|;(г, а), где г есть совокупность трех пространственных коор-
координат, мы можем удовлетворить соотношениям F) и G), поло-
положив, например,
охЦр(г, a) = i|)(r, —a), j
M>(r, a) = —/<n|)(r, —о), >	(8)
a).	J
Если записать функцию я|э в виде столбика
где | = фB, +1) и т) === -ф B, — 1), то предыдущие формулы
напишутся
\ i
A0)
ст</
а, 1 =
Таким образом, операторы ох, аи, а, принимают форму матриц
ах = аь оу = а2, oz = o3,	A1)
ГО П	@ —i )	fl 0)
ff' = {l о)' a^{i	о)' в' = {о -I/"
где
Эти матрицы носят название матриц Паули (Pauli). Выбор мат-
матриц для операторов ах, оу, ог определен лишь с точностью до
канонического преобразования (соответствующего линейной под-
подстановке над величинами |, ц). Поэтому, если, как это принято
в литературе, разуметь под о\, 02. <?з численные матрицы A2),
а сохранить за ах, оу, az физический смысл, вытекающий из
формул (8), то равенства A1) не являются обязательными, но
могут быть заменены другими эквивалентными равенствами.

242	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	ГЧ. III
Операторы ах, ау, а2, удовлетворяющие уравнениям F) и
G), обладают векториальным характером в том смысле, что
если мы введем три линейные комбинации
о у = ках + т2ои + n,az, I	A3)
где Ik, nth, nh (k = 1, 2, 3) суть косинусы углов между двумя
системами прямоугольных координат, то новые операторы
о'х, о'у, o'z будут обладать такими же свойствами F) и G),
как и старые ах, ov, az. Отсюда следует, что если мы будем рас-
рассматривать эти величины как составляющие вектора, то проек-
проекции этого вектора на любое направление будут иметь собствен*
ные значения ±1. Заметим, что если мы, согласно (И), возьмем
в качестве ох, оу, oz матрицы A2), то выражения A3) дают са-
самый общий вид матриц с двумя строками и столбцами, удов-
удовлетворяющих условиям F) и G).
Три матрицы A2) вместе с единичной матрицей образуют
полную систему в том смысле, что всякую матрицу с двумя стро-
строками и столбцами (т. е. с 4 элементами) можно выразить в виде
линейных комбинаций этих четырех с численными коэффициен-
коэффициентами. Если заданная матрица — самосопряженная, то эти коэф-
коэффициенты будут вещественными.
Переходим к построению операторов для полного момента
количества движения. Приняв для операторов спинового мо-
момента количества движения выражения C), мы приходим к вы-
выводу, что операторы для полного момента количества движения
электрона имеют вид
•Жх == tltx ~т" ~2 ^х> !
Жу = Шу + ^Оу, |	A4)
жг = tnz-^Y °z-
По общему свойству момента количества движения, опера-
операторы для результирующего момента количества движения удов-
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, как и опера-
операторы для слагаемых, так что мы должны иметь, аналогично B),
A5)
ЖХЖУ —	)
Равенства A5) можно проверить и непосредственно, используя

§ 11	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА	243
соотношения B) и D) для тх, ту, тг и для ах, ау, о2 и тот
факт, что орбитальный и спиновый моменты количества движе-
движения между собой коммутируют.
Из составляющих орбитального и спинового момента коли-
количества движения можно построить такую билинейную комбина-
комбинацию, которая коммутировала бы с каждой из составляющих
полного момента количества движения. В самом деле, положим
Ж — ахтх^оуту-\-агтг-\-Н	A6)
или, что то же самое,
Ж = ахЖх + суЖу + агЖг -1 Гг.	A6*)
Мы имеем по свойству тх, ту, тг
Жтх — тхЖ = — ih {аут, — огту)
и по свойству ох, ау, ог
Y {Жах — охЖ) = ih (aymz — ozmy).
Складывая эти два равенства, получаем в правой части нуль.
Выражение в левой части и аналогичные выражения для состав-
составляющих по осям у и z можно записать в виде
ЖЖу — ЖуЖ = О, >	A7)
Установим связь между оператором Ж и применяемым в тео-
теории Шредингера оператором для квадрата орбитального мо-
момента количества движения. Мы имеем
Ж2 - ЖП = т\ + ту + т\.	A8)
С другой стороны, если мы возьмем сумму квадратов операто-
операторов A4) для составляющих полного момента количества дви-
движения и воспользуемся соотношением A8), мы получим
\2.	A9)
Таким образом, квадрат вектора Жх, Жу, Жг отличается
от квадрата скаляра Ж только слагаемым — Й2. Мы будем на-
называть оператор Ж спиново-орбитальным скаляром момента
количества движения.
Правая часть A8) есть оператор, встречающийся в теории
Шредингера и не содержащий матриц Паули. Его собственные
значения равны Ъ21A-\-\), где / — целое положительное число

244	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
или нуль. Поэтому если мы обозначим собственные значения
оператора Ж через hk, то будем иметь
?(А--1) = /(/+1),	B0)
откуда при данном /
k = — l или А = /+1.	B1)
Но величина k не может равняться нулю. В самом деле, из фор-
формулы A9) следует, что математическое ожидание оператора Ж2
в любом состоянии будет больше -г Й2. Поэтому уравнение
Mty = khty	B2)
для собственных функций оператора Ж не может иметь соб-
собственного значения, равного нулю. Это значит, что при / = О
единственное возможное значение k есть k= 1, а при /^ 1 су-
существуют два значения k, даваемые формулой B1).
§ 2. Операторы полного момента количества движения
в сферических координатах
При рассмотрении задачи с центральной симметрией в тео-
теории Шредингера (гл. IV ч. II) мы нашли выражения для опе-
операторов орбитального момента количества движения в сфериче-
сферических координатах г, ¦&, <р, связанных с прямоугольными коорди^
натами х, у, г соотношениями
х = г sin ¦& cos ф, z/ = rsin'frsin(p, 2 = /"cos#.	A)
Положив
pr = -ih~, p^ = -ih-^r, Pfp = -i?iJL, B)
мы имеем, согласно формулам [B) § 3 гл. IV ч. II],
тх = — sin <р/7<) — ctg Ь cos фрф, "J
ту = cos фро — ctg # sin фрф) >	C)
mz = /V	)
Собственные функции операторов квадрата момента количе-
количества движения и его составляющей по оси z удовлетворяют
в теории Шредингера уравнениям
^	E)
и требованию однозначности на поверхности шара.

§ 2]	ОПЕРАТОРЫ ПОЛНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ	245
Переходя к полному моменту количества движения, вклю-
включающему спин, мы введем по формулам A4) и A6) предыду-
предыдущего параграфа операторы Жг и Ж. Будучи выражены через
рд и /?ф, эти операторы принимают вид
Лг = рф + у СГг,	F)
Ж — (— ах sin ф + ау cos ф) pe +
+ (— ах ctg ft cos ф — а у ctg ¦& sin Ф + стг) рф + Й. G)
Найдем общие собственные функции операторов Жг и Ж.
Эти функции должны удовлетворять уравнениям
(8)
= hky	(9)
и требованию однозначности на поверхности шара.
Собственные значения рассматриваемых операторов мы уже
установили: при данном квантовом числе /, отличном от нуля,
число k может принимать значения k = —/ и k = /+ 1, а при
/ = 0 будет единственное значение k = 1. Квантовое число т то
же, что и в теории Шредингера: оно принимает целые значения
от т = —/ до /п = +/.
Для упрощения выражений F) и G) для операторов Жг и
Ж применим каноническое преобразование
L' = SLS+, i|/ = Si|>,	(Ю)
где
S = cosf + iozsinf, S+ = cosf — iazsmf. (ll)
Если до преобразования было
						/ -j ("ч\
г	' <Эф ' 2 3>	U*5/
то после преобразования будет
о'х = cfj cos ф — ст2 sin ф,
а'у = ff2 sin Ф + о2 cos ф, f	A4)
/ _,
СТг = СГ3,
Заменяя в формуле G) операторы ох, ау, az на а'х, ау, а'г по
формулам A4) и оператор /?ф на
'	+ = рф — у ст3,	A6)

246	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
получим преобразованный оператор Л в виде
Л' = — a, ctg #рф + о2 (pfl - ~ ctg ф) + ог3рф + 4 • О7)
где под рч и р$ разумеются операторы B).
Для дальнейшего упрощения вида оператора Л применим
к нему последовательно два преобразования. Во-первых, положим
A8)
где
f==cos y + гст2 sin -j . Г == cos — — ia2 sin -j.	A9)
Мы получим
B0)
sin
Во-вторых положим
1
Я* = Vsin Ь Л" J_ , ib* = VsinOi|)",	B1)
V sin О
после чего преобразованный оператор Ж примет вид
Z	B2)
значительно более простой, чем вид исходного оператора G).
Оператор же Ж'г в результате преобразований A8) и B1) не
изменился, так что мы имеем
JTz = Pv	B3)
Рассматривая if как двухкомпонентную волновую функцию
на поверхности шара [см. (9) § 1]
и полагая
HI2 = l^!2 + |%i2,	B5)
мы можем принять в качестве условия нормировки соотношение
я 2л
l.	B6)
Тот же вид будет иметь условие нормировки для функций т|/
и г|Л Для функции же г|э*, отличающейся от ij/' множителем

5 3]
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ СО СПИНОМ
247
условие нормировки будет
л 2я
B7)
о о
Требование однозначности будет относиться только к исход-
исходной волновой функции. Что касается преобразованных волновых
функций, то вследствие того, что операторы преобразования A1)
содержат линейно sin -5- и cos -j. они будут менять знак при
увеличении ф на 2л и, следовательно, будут двузначными функ-
функциями точки в пространстве.
Уравнения (8) и (9) для собственных функций операторов
Jtz и Ж напишутся теперь:
(	)*,	B8)
B9)
§ 3. Шаровые функции со спином
Если писать двухкомпонентную волновую функцию ¦ф* в виде
столбца
/У\
(О
то уравнение B8) предыдущего параграфа напишется в виде
двух одинаковых уравнений
B)
" J
а уравнение B9) приведется к системе уравнений
i dZ dZ ..,
sin d dtp
dY
C)
sin d (Эф <Эд
Положим, чтобы удовлетворить также и уравнениям B),
Ь*)ФД@),
D),

248
ТЕОРИЯ ПАУЛИ
Гч ш
Тогда функции А{&) и
стеме уравнений
должны будут удовлетворять си-
сиdA
а условие нормировки для них будет
F)
Эти функции можно выразить через обыкновенные шаровые
функции -РГ (cos#), изученные нами в §§ 4—6 гл. IV ч. II, по-
посвященной теории Шредингера. Напомним некоторые их свой-
свойства. Функция
Р? (х) = Р? (cos ¦&)	G)
удовлетворяет уравнению
(8)
и представляет то его решение, которо'е остается конечным при
х = ±1. При т = 0 Р? (х) приводится к полиному Лежандра
dx'
а при т >= 0 будет равно
(9)
(Ю)
При отрицательных значениях т функции Р?{х) выражаются
через функции с положительным т по формуле
A1)

§ 3]	ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ СО СПИНОМ	249
Рассматриваемые как функции от угла ¦& функции P?(cos$)
и p™+l (cos в1) удовлетворяют системе уравнений первого порядка
rnrPi (cos#)—mctg'dPi (cos'&) = —
_^pm+l (cos^ _|_ (m _|_ 1) ctg'fl'Pr+l (COS #) =
= {l + m + l)(l-m)P?(cos#) j
[уравнения A8) и A9) § 5 гл. IV ч. II].
К этой системе уравнений приводятся уравнения E) для
функций А и В.
Переход от E) к A2) можно совершить, произведя сперва
преобразование
_. ?
2
А + /В = У sin ф e 2
аналогичное переходу от \|г* к ф', даваемому формулами A8) и
B1) предыдущего параграфа (величины А, В, уи у2 в фор-
формуле A3) мы считаем вещественными). Уравнения для у\ и у2
будут
Эти уравнения совпадут с уравнениями A2) для обыкновенных
шаровых функций, если мы положим
A5)
или
ух = -с'Р7т, y2 = c'{-k + m + \)PTm-\	A6)
и будем считать, согласно формуле B0) § 1, что
k(k-l) = t{l+l).	A7)
В качестве / мы можем взять то из чисел
— k, k-l,
которое не отрицательно. Это можно записать так:

250	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
Приравнивая выражения A5) и A6) и используя формулу A1),
мы получаем для отношения постоянных с' и с выражение
Значения этих постоянных определяются из условия норми^
ровки F), которое может быть написано в виде
л
^+ У1) sin® d$=l.	B0)
о
Мы получим
,,_.	1	1A —т)\	„'_/_
VI *	| Л/ (/ + m)! '	~~l
л/A + тI
l Л/ (/-«)! '
Если мы введем шаровые функции по формуле G) § 6 гл. IV
ч. II
B1)
IV
B2)
нормированные согласно условию
+ 1	я
у
-1
dx = j J [РГ (cos Э)]2 sin # rf# = 1, B3)
то мы будем иметь
		к ~г т	r>*m		 / « — т ~ 1 |-ч*ях-{-1 /л л \
У1 — ~~Ж*л.~\1*ь-^И1 ' У2 — Л/ чь-\ Fl • B4)
где корни квадратные нужно брать с положительным знаком.
Принимая во внимание соотношение A8) между k и /, мы мо-
можем написать эти формулы в виде
{k>0)' B5)
(*<0). B5*)
Из этих формул видно, что функции г/ с отрицательным
значком k выражаются через функции с положительным знач-
значком следующим образом:
(- k, m, О) = — *у
~ » (* + 1, /я,

§4]
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ СО СПИНОМ
251
Выпишем наши шаровые функции для нескольких значе-
значений k.
m = — 2
m = -l
m = 0
m=\
m = —
m = 0
m = —
1
1
*
*
2/i =
2/i =
=-,
=»— sin 9
= cos 9
= +2
(/ =
С —
(/ =
0)
1)
¦1)
У2
Уз
2/2 =
,	 1
= 0
cos 9
sin 9
= —r= sin d
V2
2/i =
2/i = —
— д/2~ cos d
у2 = V2 cos 0
1
У 2 ¦¦
~ V2"
г/2 =
sin ft
§ 4. Некоторые свойства шаровых функций со спином
Уравнения E) предыдущего параграфа, написанные в виде
[-
(О
можно толковать как уравнения для собственных функций са-
самосопряженного оператора
=?	'О9 -,л ~~
B)

252	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
соответствующих собственному значению k. Отсюда следует, что
функции А к В будут обладать свойством ортогональности
я
\[A(k, b)A(k', &) + B{k, b)B{kr, ft)]tfft = 0 {k=?k') C)
о
и будут представлять замкнутую систему функций.
Переходя по формуле A3) § 3 от А и В к г/i и у2, мы можем
заключить, что эти функции также будут представлять замкну-
замкнутую ортогональную систему. Принимая во внимание нормировку
их B0) § 3, мы можем написать
я
j J [y{ {k, m, ft) у, ()г\ т, ft) +
о
+ y2(k, m, b)y2{kr, m, ft)] sin ft d& — bkw D)
или короче
я
j J у (k, m, ft) у (kr, от, ft) sin ft dft = 5**',	E)
о
где под символом у мы разумеем совокупность двух функций
У\ и г/г-
Произвольную пару функций Mj(ft) и «2(ft), которую мы
также можем обозначить одним символом M(ft), можно разло-
разложить (при выполнении некоторых общих условий) по функциям
y(k, m, ft) в ряд вида
u{ft)=Y1c{k)y{k, от, ft),	F)
Под выражением F) следует понимать два равенства
up{b)=Ylc{k)yp{k,m,b) (p=l,2),	F*)
причем коэффициенты c(k) в обоих равенствах одни и те же.
Эти коэффициенты вычисляются по формуле
с (k) = у J г/ (/г, от, ft) u (ft) sin ft dft	G)
о
или подробнее
sin * rf0-
л
т
о
Имея в виду дальнейшие приложения, положим здесь
w (ft) = cos ft •«/(?(), от, ft).	(8)

§ 5)	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ	253
Для вычисления интегралов вида G*) можно выразить
y{k, т, ft) по формулам B5) и B5*) § 3 через обыкновенные
шаровые функции и воспользоваться рекуррентной формулой
A1) § 6 гл. IV ч. II. Вычисление показывает, что только три
коэффициента c(k) отличны от нуля, так что разложение F)
будет содержать только три члена; если мы будем писать k
вместо k0, то это разложение напишется в виде
От _1- 1
y(k, т, ft) = - \lZ.\ У(-к. т, ft) +
Справедливость этой формулы можно проверить, выразив
y(k, m, ft) через обыкновенные шаровые функции.
Если положить
и (ft) = sin ft# (k0, m - 1, ft),	(8*)
то получится, после аналогичных вычислений,
sinft-#(/e, /га —1, ft) = 2 Д'-?' У (—k, m, ft)—
Эта формула проверяется при помощи соотношений A2) § 6
гл. IV ч. II, обобщением которых она является.
Заметим, что соотношения (9) и A0) справедливы не только
для функций у\ и г/г, но и для функций А и В, так как одни яв-
являются линейными комбинациями других с коэффициентами, не
зависящими от k и т.
Изложенный здесь способ вывода рекуррентных соотноше-
соотношений, основанный на теореме замкнутости, является весьма об-
общим и применим, в частности, к обыкновенным шаровым функ-
функциям и к обобщенным полиномам Лагерра, рассмотренным
нами во второй части этой книги.
§ 5. Волновое уравнение Паули
В классической нерелятивистской механике функция Лаг-
ранжа для частицы с зарядом (—е) и массой т, находящейся
в электромагнитном поле с векторным потенциалом Ах, Ау, Аг

254	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	ГЧ ИГ
и скалярным потенциалом Ф, имеет вид
5? = у т (х2 + у2 + 22) - j(xAx + уАу + zAz) + еФ. A)
Обобщенные «моменты», сопряженные с координатами х, у, z:
_dS	_дЗ?	_dS	ov
Px~HF' PV~~W' Рг — ~~дГ	^>
не совпадают с составляющими количества движения
Рх = тх, Ру = ту, Рг = тг,	C)
а связаны с ними соотношениями
Px = Px—JA» РУ = РУ~ТАУ Рг-Рг-^Аг.	D)
Энергия частицы равна
Е = хрх + уРу + zPz - 2 =-i m {x* + tf + г*)-еФ. E)
Выразив энергию через обобщенные моменты, мы получим клас-
классическую функцию Гамильтона
н - ш [(р* + -с АО* + ('*+т ^ J2 + (р- + т л01 -еФ- F>
При отсутствии магнитного поля можно положить векторный
потенциал равным нулю и предыдущее выражение приводится
к виду
Н-4ц(р1 + р1+р1)-еФ	G)
или
н = -ш(Р2х + Р1 + Р1) + и(х'У>г)'	(8)
где
[/ = — еф	(9)
есть потенциальная энергия частицы.
Как мы знаем, в теории Шредингера оператор энергии полу-
получается из классической Гамильтоновой функции заменой обоб-
обобщенных моментов рх, pv, pz операторами
Введение новой степени свободы, связанной со спином, позво-
позволяет построить оператор
гРг	(И)
и использовать его при построении оператора энергии.

§ 5]	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ	255
Можно показать, что оператор Р антикоммутирует с рассмот-
рассмотренным в § 1 оператором
Ж = вхтх + ОуШу + ozm2 + ft	A2)
[формула A5) § 1], так что мы имеем
ЖР + Р.Ж = 0.	A3)
При доказательстве используются свойства F) § 1 матриц
<sx, оу, аг, а также соотношения
>Пург — pzmy = pymz — тгру = ihpx> "J
mzpx —pxinz = pzmx — mxpz = ihpy, >	A4)
тхРу - pymx = рхШу - турх = Щрг. )
Вычислений мы здесь приводить не будем, заметим только,
что вычисления значительно упрощаются, если проводить их не
в декартовых, а в сферических координатах. Это будет сделано
в следующем параграфе.
Если считать, как это делается в теории Шредингера, что
электрон обладает лишь теми степенями свободы, которые соот-
соответствуют движению материальной точки в пространстве коор-
координат х, у, z, то, вводя операторы в формулу (8), мы одно-
однозначно приходим к уже изученному нами Шредингеровскому
выражению для оператора энергии. Введение же новой степени
свободы электрона, связанной со спином, дает новые возмож-
возможности для перехода от величин классической механики к кван-
квантовым операторам.
Используя свойства матриц ах, ву, az и коммутативность
операторов рх, ру, pz, мы можем написать оператор энергии (8)
в виде
(°Р + ар + °zpz^ + U (*> у' z">'
так что введение оператора Р, определяемого формулой A1),
здесь ничего не вносит. Иначе обстоит дело при наличии маг-
магнитного поля, когда классическая функция Гамильтона имеет
вид F) и обобщенные моменты, канонически сопряженные
с координатами, не совпадают с составляющими количества
движения, а связаны с ними соотношениями D), которые мы
перепишем в виде
Если мы будем рассматривать эти величины как операторы,
то они уже не будут коммутативны, а будут удовлетворять

256	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч III
перестановочным соотношениям
±s/g
дг	дх ) с	\
fi v х У ч х' с \ дх	ду ) с z )
где Жх, с/в у, Звг — составляющие магнитного поля. Поэтому при
наличии магнитного поля переход от операторов рх, ру, рг
к операторам Рх, Ру, Рг дает различный результат в зависимости
от того, произведен ли он в уравнении (8) или в уравнении A5).
Если перейти от рх, ру, рг к Рх, Ру, Pz в уравнении (8), мы вер-
вернемся к выражению F), которое обозначим теперь через Н°,
так что
Если же сделать этот переход в уравнении A5) и использовать
соотношения F) § 1 для матриц ах, ау, аг и перестановочные
соотношения A7) этого параграфа для операторов количества
движения, то мы получим оператор
Н' = Н° + ц° {ахЖх + оуЖу + огЖг),	A9)
где мы положили для краткости
Постоянную ц° можно рассматривать как величину магнитного
момента электрона.
Оператор энергии A9) представляет обобщение соответствую-
соответствующего оператора теории Шредингера на случай наличия магнит-
магнитного поля (без поправки на теорию относительности). Мы будем
называть его оператором Паули, а волновое уравнение
— волновым уравнением Паули.
§ 6. Преобразование оператора Р к цилиндрическим
и сферическим координатам и выражение его через оператор Ж
Существенным шагом в переходе от уравнения Шредингера
к уравнению Паули является введение оператора
Р = ахРх + ауРу + агРг,	A)
зависящего от спина. Исследуем связь этого оператора с one-

§6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПЕРАТОРА Р
257
ратором спиново-орбитального скаляра момента количества
движения Ж. В § 5 мы уже установили антикоммутативность
этих двух операторов [формула A3) § 5]. Для более подроб-
подробного исследования удобнее всего преобразовать оба оператора
к сферическим координатам. Для оператора Ж такое преобра-
преобразование уже сделано в § 2. Чтобы удобнее провести его для опе-
оператора Р, мы разобьем его на два этапа: сперва преобразуем Р
к цилиндрическим координатам, а затем — к сферическим.
Поскольку вектор-потенциал Ах, Ау, Аг есть ковариантный
вектор, величины
Px = P* + jAx, Ру = РуЛ-~Ау, Р2 = Рг + ^Аг B)
преобразуются по тем же формулам, как рх, ру, pz; поэтому при
выполнении преобразования достаточно рассматривать случай,
когда вектор-потенциал отсутствует, и ввести его уже в окон-
окончательных формулах.
Введем цилиндрические координаты р, ф по формулам
sinqp, z = z.
C)
Частные производные от функции г|з по старым и по новым ко-
координатам связаны соотношениями
с)<р 		<9ф
— = COS ф -^
COS ф
sin
откуда
sinqj
рф,
. cos ф
ру = Sin ф рр + -у- рф>
тогда как рг остается без изменения.
Величину Р мы напишем в виде
D)
D*)
Р =
о2ру + а3рг,
E)
разумея под orlf а2, а3 матрицы A2) § 1.
Подстановка выражений D*) в E) дает
p = (<т, cos ф -f <x2sin ф) рр + j {— a, sin ф + a2 cos ф) рф -f ст2рг. F)
Это выражение может значительно упроститься после над-
надлежащим образом выбранного канонического преобразования
G)

258	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
Такое преобразование уже было нами выполнено в § 2 при
изучении операторов момента количества движения. Мы ввели
там матрицы
5 = cos -|- + /<т3 sin |-, S+ = cos -| — ia3 sin -|,	(8)
при помощи которых коэффициенты при рр, рф и pz в выраже-
выражении F) могут быть представлены в виде
(9)
— a, sin ф + ог2 cos ф = 5+a25,
as = S o3S
(последние формулы эквивалентны формулам A4) § 2). Приме-
Применяя преобразование к оператору F) и полагая
Pp = Sp9S+, ^ = 5рф5+, p'z = Sp2S+,	A0)
мы можем написать
^	A1)
Так как матрица 5 не содержит координат риг, она ком-
коммутирует с рф и pz, так что эти операторы остаются без изме-
изменения. Оператор же рц уже был вычислен нами в § 2 [формула
A6) § 2]. Используя этот результат, мы будем иметь
/>р = Рр> Рф = Ар — j °з, Pz = Pz	A2)
и, следовательно, преобразованный' к цилиндрическим коорди-
координатам оператор Р будет иметь вид
ф2)A3)
или, после замены а.а3 на ia{,
)	A4)
Чтобы принять во внимание вектор-потенциал, достаточно за-
заменить в A4) рр, рф, рг на
^ Р + Л ^ А + Л Р Р + Л
где Лр, Лф, Аг суть обобщенные составляющие вектор-потеи-
циала, вычисляемые по формуле
Ах dx + Aydy + Аг dz — Лр dp + Лф dq> + Аг dz.	A6)

§ 6]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРА Р	259
Найдем теперь вид оператора Р в сферических координатах.
Переход от цилиндрических координат к сферическим
z = rcosft, р = г sin-O-	A7)
совершается по формулам, аналогичным формулам перехода от
прямоугольных координат к цилиндрическим. Подобно D) и
D*), мы имеем теперь
Г.СА
(Эр	дг ' г §¦& j
откуда
рг = cos •& • рг — -^— Рв, |
Подставляя эти значения рг и /г,р в формулу A4), получаем для
оператора Р' выражение
Для упрощения этого выражения произведем каноническое пре-
преобразование, аналогичное преобразованию G), а именно,
Ч>" = 7У. Р"=ТР'Т+,	B0)
где матрицы Т и Т+ равны
r	^	|-, 7-+ = cos^-/ff2sin^. B1)
Матричные коэффициенты в первых трех членах выражения A9)
можно представить в виде
CTi cos ft —
<т2	=Т+а2Т, ^	B2)
о, sin ft + 03 cos & = T+a3T,
а коэффициент 0! в последнем члене в виде
01 = Т+ @! cos ft + 03 sin ft) T.	B2*)
Вычисляя преобразованный оператор Р, получаем отсюда
>J±% + ^«	';^L(OlCQSU + a3Sin$)t B3)

260	~ ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
где
pl = TpvT+, p^=TpJ+, р';=ТРгГ+.	B4)
Ввиду того, что матрица Т содержит только координату ¦&, мы
имеем
А? = Ар, Р'г = Рп	B5)
тогда как
pv = Pti — iftT-^j- = pv — Ya2-	B5)
Подставляя B5) и B5*) в формулу B3), получаем следующее
окончательное выражение для преобразованного оператора Р:
B6)
Заметим, что оператор Р в цилиндрических и в сферических ко-
координатах принимает несколько более простой вид, если произ-
произвести подстановку
¦ф* = VPФ'	для цилиндрических координат, B7)
•ф* = г Vsinйф" для сферических координат.	B8)
Подстановкам B7) и B8) соответствуют преобразования
операторов вида
=-	B9)
V р
C0)
/
г -у
Выполняя эти преобразования, получаем для цилиндрических
координат
*	^	C1)
и для сферических координат
I	^	C2)
Выражения для вероятности того, что в результате измерения
координат электрона получатся значения, лежащие в данных
пределах, также несколько упрощаются от подстановок B7) и
B8), а именно, вероятность неравенств
р < р' < р + dp, ф < ср' < Ф + dq>, z<z' <z + dz C3)
будет
\'2dd \*\2dd	C4)

§ 61	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРА Р	261
а вероятность неравенств
¦& <¦&'<¦& + dft, ф < ф' < ф + d(f, г < г' < г -\- dr C5)
будет (с новым значением -ф*)
| ф" |2 г2 sin О1 db dq> dr = | -ф* |2 dft ^ф dr.	C6)
Выразим исследованный здесь оператор Р через оператор
спиново-орбитального скаляра момента количества движения Ж.
Исследование удобнее всего проводить в сферических коор-
координатах. Преобразования, которым были подвергнуты оба опе-
оператора, одинаковы: матрицы преобразования 5 и Т одни и те
же для обоих операторов (см. формулы A1) § 2 и (8) § 6 для 5
и формулы A8) § 2 и B1) § 6 для Т). Поэтому мы можем ра-
работать с преобразованными операторами Р* и Ж*, которые
имеют вид
г Р« г sin О Р* а*Рг< ,	C7)
^ == — Sjn ф Р<р ~Ь ^Ре-
Легко видеть, что
C8)
Но по свойствам матриц cti и стг оператор Ж* антикоммутирует
с <Тз- Поэтому будет также справедливо равенство
C9)
В последних формулах матрицу Оз можно толковать как ради-
радиальную составляющую спина. В самом деле, если мы положим
j
вг = — (*<?, + уа2 + za3),	D0)
то мы будем иметь
TQrr Q^T"*" 	п	/Л\\
1 <jOr^ *		 Uo,	111 I
так что после примененных нами преобразований S и Т мат-
матрица ог переходит в аз. Поэтому формулам C8) и C9) соответ-
соответствуют до преобразования соотношения
Р = ог (pr + if) = [pr ~ i "f) crr>	D2)
которые можно проверить и непосредственно.
Согласно формуле A3) § 5, операторы Р* и Ж* (так же
как и Р и Ж) антикоммутируют друг с другом. Это легко

262	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. ПГ
проверить. В самом деле, умножая выражение C8) на Ж* еле»
ва, а C9) справа и складывая, получаем
М*Р* + Р*М* = рг{М*о3 + о3М*) = 0.	D3)
В заключение приведем здесь выражение для оператора Р
в криволинейных ортогональных координатах *). Если в коорди-
координатах <7ь <72, <7з квадрат элемента дуги равен
ds2 = h\ dq\ + hi dq\ + hi dqt,	D4>
то оператор Р имеет вид
j[P3 -i^ShA)], D5>
где через ph обозначены операторы
При наличии электромагнитного поля'нужно в этом выражении
заменить ph на
Р	+ А	D7)
с
где Ак суть ковариантные составляющие вектор-потенциала, оп-
определяемые по формуле
Ах dx + Aydy + Аг dz = Л, dq{ + A2 dq2 + A3 dq3. D8>
Нетрудно проверить, что в частных случаях цилиндрических
и сферических координат выражение D5) переходит соответ-
соответственно в A4) и в B6).
§ 7. Электрон в магнитном поле
Рассмотрим оператор Паули для случая постоянного магнит-
магнитного поля. Вычисления мы проведем для наглядности в прямо-
прямоугольных декартовых координатах. Если магнитное поле доста-
достаточно слабо, то членами в операторе Н°, содержащими квадрат
*) Эти выражения были даны для несколько более общего случая в ра-
работе автора «Волновое уравнение Дирака и геометрия Римана», ЖРФХО,
т. 62, стр. 133 A930).

§ 7]	ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	263
векторного потенциала, мы можем пренебречь, в линейных же
членах мы можем заменить Ах, Ау, Аг выражениями
A)
которые дают
Ахрх + Ауру + Агрг = у (тхЗВх + тД + тгЖг), B)
где тх, Шу, mz — составляющие орбитального момента количе-
количества движения электрона (см. A) § 1).
Используя B), мы получим для /7° приближенное выражение
я°№ + Р1 + Р1)еф + ^ О»* + тЛ + **) О)
Добавляя к Н°, согласно A9) § 5, члены, зависящие от спина,
мы будем иметь
«' № + р\ + рг)*> +
\(тх + Пох) Жх + (ту + ha у) Жу + (тг + Наг) Жг\. D)
В это выражение входит скалярное произведение магнитного
поля на вектор магнитного момента электрона
E)
Этот вектор складывается из двух частей: орбитальной и спи-
спиновой. Орбитальная часть пропорциональна орбитальному мо-
моменту количества движения электрона
тх, ту, тг	F)
и спиновая часть пропорциональна собственному (спиновому)
моменту
¦~haX) jhoy, jHaz.	G)
При этом множитель пропорциональности между магнитным и
механическим моментом для спиновой части вдвое больше, чем
для орбитальной. Этот факт иногда называют магнитной ано-
аномалией спина.
В задаче со сферической симметрией зависящая от магнит*
иого поля поправочная часть оператора энергии D) коммутирует

264	ТЕОРИЯ ПАУЛИ	[Ч. III
с главной частью (оператором G) § 5). Поэтому поправка к
уровню энергии на магнитное поле состоит просто в добавле-
добавлении к нему собственного значения поправочного члена в D).
Если направить ось г вдоль магнитного поля, то добавка будет
равна
^т'±1)Ж2,	(8)
где Ьт' есть собственное значение оператора тг.
Однако происходящая от спина поправка к АЕ, состоящая
в замене т' на т'± 1, не вносит новых уровней, поскольку т'
есть целое число. Существенную роль играют здесь лишь по-
поправки на теорию относительности.
В операторе энергии Паули Н* [формула D)] эти поправки
не учитываются. Учет их приводит к тому, что в поле со сфери-
сферической симметрией уравнение для радиальных функций будет
содержать не только квантовое число / теории Шредингера, но
и квантовое число k, входящее в уравнение для шаровых функ-
функций со спином
Ж$ = М-ф	(9)
[формула B2) § 1] и связанное с / соотношением
\) = l(l+\)	A0)
[формула B0) § 1].
Мы знаем, что при 1 = 0 будет единственное значение k = 1,
но при / = 1, 2, ... возможны два значения k, а именно, k =
= /+1 и & = — /. В результате Шредингеровский уровень, со-
соответствующий данному значению / (и определенному значению
главного квантового числа п), распадается при / ^ 1 на два
близких уровня, которые образуют дублет. Этот дублет принято
называть релятивистским дублетом.
В уравнении для радиальных функций порядок величины ре-
релятивистского поправочного члена по отношению к главному
(потенциальной энергии) может характеризоваться величиной у2,
где
есть безразмерная постоянная, которую принято называть по-
постоянной тонкой структуры. Влияние же магнитного поля на
уровни энергии характеризуется величиной (8).
Расщепление уровней энергии в магнитном поле носит на-
название явления Зеемана (Zeeman).
Полная теория явления Зеемана для атома водорода будет
изложена в конце этой книги на основе теории Дирака. Здесь же
мы хотели бы только подчеркнуть тот факт, что поведение элек-

§ 7]	ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	265
трона в магнитном поле убедительно доказывает наличие у него
новой степени свободы, связанной со спином.
Существование этой новой степени свободы электрона играет
особенно важную роль в квантовомеханической теории системы
многих электронов (например, атома или молекулы), которую
нельзя даже формулировать, не учитывая свойств симметрии
волновой функции по отношению к перестановкам электронов.
Эти свойства заключаются в требовании, чтобы волновая функ-
функция системы электронов, выраженная через совокупности пере-
переменных (х, у, z, а), относящихся к каждому электрону, меняла
знак при перестановке двух таких совокупностей, относящихся
к двум электронам. Требование это называется принципом
Паули или принципом антисимметрии волновой функции. Суще-
Существенно отметить, что в число переменных каждого электрона
входит, кроме его координат, также и его спиновая перемен-
переменная а. Это показывает, что введение спиновой степени свободы
электрона необходимо уже в нерелятивистской теории.
Многоэлектронной задаче квантовой механики будет посвя-<
щена следующая часть этой книги.

Часть IV
МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ И СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 1. Свойства симметрии волновой функции
В предыдущих главах мы рассматривали волновую функ-
функцию, описывающую состояние одного электрона. Для стационар-
стационарных состояний волновая функция должна удовлетворять урав-
уравнению Шредингера. В задаче об определении состояний си-
системы п электронов волновая функция должна также удовлетво-
удовлетворять некоторому условию симметрии (точнее, антисимметрии)
относительно перестановки координат и спиновых переменных
электронов. Условие это называется принципом Паули. Кроме
того, во многих задачах можно считать заданным полный спин
(собственный момент количества движения) системы электро-
электронов; в таком случае волновая функция должна удовлетворять
еще одному дополнительному условию.
Как мы знаем, волновая функция*одного электрона зависит
от трех пространственных координат х, у, z и от спиновой пере-
переменной <т, принимающей только два значения (например, а =
= + 1 ио = — 1). Обозначив буквой г совокупность трех про-
пространственных координат, мы можем написать волновую функ-
функцию одного электрона в виде
ty{x, у, z, о) = 1р(г, а).	A)
Волновая функция системы п электронов будет зависеть от всех
координат и всех спиновых переменных этих электронов. Мы бу-
будем иметь
Я); г2> 02; •••* гп, а„).	B)
Часто бывает удобно обозначать одной буквой х{ совокупность
всех переменных, относящихся к электрону номер i (т. е. сово-
совокупность его пространственных координат и спиновой перемен-
переменной). Волновую функцию системы п электронов можно тогда
писать в виде
•ф = !!>(*,, хъ ..., хп).	C)
Согласно принципу Паули, волновая функция должна быть ан-
антисимметрична относительно переменных хи дг2, ..., хп, т. е. она

S 1)	СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ	267
должна менять знак при перестановке любой пары этих пере-
переменных. Например,
т|з(х2, хи х3, ..., хп) = — $(хи х2, х3, ..., хп).	D)
Переходим теперь к формулировке требования, чтобы си-
система п электронов имела определенный результирующий спин.
Напомним сперва основные свойства спина, уже изученные нами
в предыдущей главе.
В случае одного электрона всякий оператор, действующий
яа спиновую переменную, может быть представлен как линей-
линейная комбинация трех операторов ох, ау, о2, определяемых равен-
равенствами
<М>(г. о) = ^{г, —о),	1
<Vl> (г> о) = — шгр (г, — а), >	E)
аг-ф (г, а) = сгф (г, а).	)
Если рассматривать г|) как двухкомпонентную волновую функ-
функцию, первая компонента которой равна ij)(r, -\-\), а вторая
•ф (г, —1), то действие операторов ох, оу, oz будет то же, что и
действие матриц Паули:
Операторы
удовлетворяют
/0 1\ /0 •
1 	 1
перестановочным
SySz - SzSy --
szsx - sxsz --
sxsy sysx :
Oj' °<
Г ° у Sz
/1
1
соотношениям
= isx, Л
= isv f
. 1
(8)
которые характеризуют свойства момента количества движения
(выраженного в единицах Ъ). Поэтому их можно толковать как
¦операторы для составляющих собственного момента количества
движения электрона. В случае многих электронов можно опре-
определить аналогично E) операторы oix, oiv, oiz, действующие на
спиновую переменную электрона номер /. Мы будем иметь
о!х^ = ^{гь а,; г2, а2; ...; гь — а,; ...), 1
О1У^ = — 1а1^(ги<У]\гъо2;...;г1,—а1\...), >	(9)
Oiz^ = o^(ru а г, г 2, а2; ...; Г(, at; .. .). J
Операторы для составляющих спинового момента количества

268	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
движения системы электронов, выраженные в единицах Ь, мо-
могут быть определены аналогично G), а именно,
sx = у(ст1х + сг2*+ ••• +опх),
Sy = -2(oiy + a2y+ ... +апу), }	A0)
Эти операторы удовлетворяют тем же перестановочным соотно-
соотношениям (8). Из перестановочных соотношений (8) можно вы-
вывести, что оператор
для квадрата собственного момента количества движения элек-
электронов будет коммутировать с каждым из операторов sx, sy, sz
и что его собственные значения будут равны s(s -f- 1), где s есть
половина целого неотрицательного числа. Если число п элек-
электронов — четное, то s есть целое положительное число или нуль.
Если же п — нечетное, то s есть полуцелое число (половина не-
нечетного целого числа). В обоих случаях число -^— s = k будет
неотрицательным целым числом. Это число k можно толковать
как число пар электронов с компенсированным спином.
При заданном s собственные значения каждого из опера-
операторов sx> sv> sz пробегают ряд чисел
-s, -s+1	s-l.s,	A2)
т. е. всего 2s -j- 1 значений.
Оператор A1) для s2 может быть представлен в виде
К1
где символ Рц означает перестановку спиновых переменных а*
и а,-.
Требование, чтобы система п электронов имела определен-
определенный результирующий спин, может быть теперь записано в виде
уравнения
s2o|> = s(s+ l)f.	A4)
Построим функцию, удовлетворяющую этому уравнению. По-
Положим k=-—s, и пусть ось яг, ••-. а& есть совокупность k
различных чисел, взятых из ряда 1,2	п. Пусть, далее,
Д»Л - Ч = F (а«,ст«2 • • • ач\ a°k+i°4+2 ¦ ¦ ¦ °Ч)
есть функция от спиновых переменных, симметричная как отно-

§ 1]	СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ	269
сительно аргументов аа,, (*а2, ..-, oak, стоящих до вертикальной
черты, так и относительно аргументов <*ак+1, °ak+2, ¦ ••> <7art,
(п\
стоящих после черты. Введем совокупность 1.1 функции
%{а2 ...аь = $(Ги Г2	Гп)	A6)
от координат всех электронов (эти функции уже не содержат
спиновых переменных). Функции A6), так же как и функции
A5), симметричны относительно значков ось «2, •••, ось. Соста-
Составим теперь сумму
¦ф(г,, <т,; г2, а2; ...; гп, <т„) =
= Е ¦Фаа, ...а.(/-,, Г2, . . ., rJFaa a ((Г,, (Т2, . . ., 0Ч). A7)
(a,...afc) " *V	12 fc
На основании формулы A3) можно показать, что функция A7)
будет удовлетворять уравнению A4) со значением s, равным
2	k, если только координатные функции A6) связаны соот-
соотношениями
где значок а пробегает все значения из ряда 1,2, ..., п, за
исключением значений аг, ..., аи- Число соотношений A8)
равно yk _ j
Для того чтобы полученная собственная функция опера-
оператора s2 представляла физически возможное состояние системы
электронов с заданным спином, необходимо, чтобы она удовле-
удовлетворяла также принципу Паули, т. е. была антисимметрична
относительно переменных х{. Этого можно достигнуть, выразив
по формуле
¦фа.a ...ojVii Г2, . . ., Гп) =
, Ч' •••• гч\г°к+1' г*ь+,> •••' Ч)
все функции A6) через одну функцию
r2	rh\rk+u rk+2	rn)	B0)
от координат электронов. В формуле A9) через ось а2, ..., ап
обозначены числа 1, 2, ... л, взятые в произвольном порядке, и
через Р — та перестановка
/1 2 ... и \
B1)

270	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
которая переводит 1 в oi, 2 в ог и т. д. Символом е(Р) обозна-
обозначено число, равное +1, если перестановка Р четная, и равное
— 1, если она нечетная.
Функция B0) должна удовлетворять следующим условиям
симметрии:
1)	у антисимметрична относительно первых k аргументов
(стоящих в B0) слева от черты), например,
•ф(г2, ги гъ	rk\rk+1	г„) =
= —"Ф^!, г2, г3, ..., rk\rk+l	г„), B2)
2)	ф антисимметрична относительно последних п — k аргу-
аргументов (стоящих справа от черты), например,
•ф(г,, г2, ..., rk\rk+2, rk+i, rk+3, ..., rn) =
~ — ^(ru r2	rk\rk+u rk+2, rk+3, .... rn), B3)
3)	if> обладает свойством циклической симметрии, которое
выражается равенством
•Ф(Г1	rk-b rk\rk + l, rk+2	Гп) =
rk, rk+2, ..., Гп)+ ...
• • •> rk+i-u Гк, rk + t + l, ...,/•„)+...
rk-x, r^\rk+l	rn-u rk). B4)
Правая часть этого равенства состоит из п — k членов, в кото-
которых аргумент rh ставится последовательно на место каждого из
п — k аргументов справа от черты.
Свойство циклической симметрии является следствием соот-
( п \
ношений A8). Каждое из этих I	I соотношений приводит
к одному из равенств вида B4). Проверить это можно непо-
непосредственным вычислением, учитывая свойства антисимметрии
B2) и B3). Если обозначить через Р циклическую переста-
перестановку аргументов (rk, rh+\, ..., гп), т.е. такую перестановку,
в которой каждый член цикла (гй, rh+\, ..., гп) заменяется сле-
следующим членом, а последний член — первым членом, то равен-
равенство B4) может быть записано в виде
A+Р + Р2+ ... +/>"-*)!> = 0	B5)
при п — k четном и в виде
A -Р + Р2— ... -/>"-*)ф = 0	B6)
при п — k нечетном.
В частном случае двух электронов состояние с нулевым спи-
спином (п = 2, к = 1) описывается симметричной функцией от

§2]
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ И ЕГО СИММЕТРИЯ
271
координат, а состояние со спином s = 1 (п = 2, k = 0) — ан-
антисимметричной функцией.
Весьма важным примером функции от п аргументов rt, г2, ...
..., гп, удовлетворяющей трем сформулированным выше усло-
условиям симметрии, является произведение двух определителей
где
B7)
B8)
Эти определители составлены из функций
B9)
зависящих от координат одного электрона, причем больший оп-
определитель содержит все п — k функций B9), а меньший —
только первые k из них.
Предыдущие рассуждения позволили нам выразить волновую
функцию B), которая зависит кроме координат еще от всех
спиновых переменных, через Шредингеровскую волновую функ-
функцию B0), зависящую только от одних координат. При этом как
принцип Паули, так и уравнение A4) для спинового момента
количества движения были учтены вполне строго.
Несмотря на то, что Шредингеровская волновая функция не
зависит от спиновых переменных, значение результирующего
спина отражается на ее свойствах, так как от него зависит ее
симметрия.
Этим объясняется тот факт, который на первый взгляд ка-
кажется парадоксом: ни уравнение Шредингера, ни волновая функ-
функция.спиновых переменных не содержат, между тем уровни энер-
энергии зависят от значения результирующего спина. Парадокс разъ-
разъясняется тем, что на волновую функцию, соответствующую
уровню с данным спином, дополнительно накладываются усло-
условия симметрии, различные для различных значений результи-
результирующего спина.
§ 2. Оператор энергии и его симметрия
Волновая функция, описывающая стационарное состояние
многоэлектронной системы, должна быть собственной функ-
функцией оператора энергии, который по аналогии с классической

272	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	ГЧ. IV
механикой можно написать в виде
п	п
:=1
п
е2
+
Здесь Аи есть оператор Лапласа, действующий на координаты
электрона номер k, a U(x, у, z)—потенциальная энергия поля,
внешнего по отношению к электронам (например, поля ядра для
атома или нескольких ядер для молекулы), двойная сумма есть
взаимная потенциальная энергия электронов. Оператор энер-
энергии A) соответствует тому случаю, когда магнитное поле отсут-
отсутствует; если бы система электронов находилась во внешнем
магнитном поле, то оператор энергии содержал бы дополнитель-
дополнительные члены, зависящие также и от спина.
Уровни энергии и стационарные состояния системы опреде-
определяются из уравнения
= ?i|>,	B)
где Н есть оператор A). Мы уже указывали на то, что хотя опе-
оператор Н не содержит спиновых переменных, тем не менее уровни
энергии Е зависят от квантового числа s (спинового момента
количества движения). Объяснение этого обстоятельства заклю-
заключается, как мы знаем, в том, что от значения s зависят свойства
симметрии Шредингеровской волновой функции \р.
В случае атома оператор Н обладает сферической симме-
симметрией, т. е. его вид не меняется при любом повороте координат-
координатных осей в пространстве. Тогда можно подчинить Шредингеров-
скую (координатную) волновую функцию требованию, чтобы
она была собственной функцией оператора для квадрата орби-
орбитального момента количества движения (квантовое число /) и
для составляющей его по одной из осей (квантовое число т).
Если эта функция, кроме того, обладает свойствами симметрии,
соответствующими определенному значению s, то при помощи
нее можно построить волновую функцию со спином s вида B)
§ 1, которая будет удовлетворять принципу Паули и будет соб-
собственной функцией следующих пяти операторов: 1) оператора
энергии, 2) квадрата орбитального момента количества движе-
движения, 3) квадрата спинового момента количества движения,
4) квадрата полного (орбитального плюс спинового) момента
количества движения, 5) составляющей полного момента ко-
количества движения по одной из осей. Построение достигается
при помощи векторной модели; мы на этом останавливаться
не будем.

§ 3]	МЕТОД СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ	273
В случае двухатомной молекулы оператор энергии обладает
не сферической, а лишь аксиальной симметрией (т. е. не ме-
меняется при повороте координатной системы вокруг оси, соеди-
соединяющей оба ядра). Аксиальная симметрия также может быть
использована для введения квантовых чисел и для частичного
определения волновых функций.
Использование сферической или аксиальной симметрии си-
системы позволяет вводить квантовые числа и тем самым класси-
классифицировать уровни энергии. Однако соображений симметрии
недостаточно для определения самих уровней и стационарных
состояний. Точное решение уравнения B) представляет (за
исключением случая одного электрона) непреодолимые матема-
математические трудности. Поэтому приобретает большое значение
развитие приближенных методов. Наиболее важным из этих ме-
методов является метод согласованного поля, к изложению кото-
которого мы и переходим.
§ 3. Метод согласованного поля
Уравнение для собственных функций оператора энергии мо-
может быть получено из вариационного начала
0,	A)
где W есть выражение
W = -^ \ i|)tfi|) dV, N=\^dV.	B)
В этой формуле мы можем разуметь под ty введенную нами
в § 1 координатную функцию, не зависящую от спиновых пере-
переменных. Элементом объема dV конфигурационного пространства
будет тогда произведение дифференциалов координат всех элек-
электронов
dV = dxx dt)\ dz\ ... dxn dyn dzn.	C)
Нормировочный интеграл Af мы можем считать заданной по-
постоянной.
Для доказательства нашего утверждения составим вариации
интегралов, входящих в B). В силу того, что Н есть самосо-
самосопряженный оператор, мы имеем
б jj {j)//t|) dV = \ бф//^ dV + сопряж.	D)
Кроме того,
¦ сопряж.	E)

274	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	|Ч. IV
Умножая второе равенство на постоянный вещественный мно-
множитель Е, вычитая из первого и приравнивая результат нулю,
получаем
$j	. =0.	F)
Это равенство должно выполняться при произвольной вариации
вещественной и мнимой части \р, что возможно только, если мно-
множитель при бф под интегралом равен нулю. Отсюда следует
Ег|>.	•	G)
Это есть уравнение для собственных функций оператора энер*
гии. Таким образом наше утверждение доказано.
Физический смысл величины W есть математическое ожида-
ожидание энергии системы в состоянии if). Экстремальное значение W
есть уровень энергии Е. Чтобы получить наинизший уровень, со-
соответствующий данному значению квантового числа s, мы
должны при варьировании интеграла допускать к сравнению все
функции ¦ф, обладающие нужными свойствами симметрии и
удовлетворяющие некоторым общим условиям (существование
производных, сходимость интегралов). Чтобы получить после*
дующие уровни, мы должны, сверх того, потребовать, чтобы вол-
волновая функция была ортогональна ко всем функциям, соответ-
соответствующим более низким уровням.
С целью упростить решение задачи мы можем наложить на
волновую функцию некоторые дополнительные условия, напри-
например потребовать, чтобы она выражалась, согласно B7) и B8)
§ 1, в виде произведения двух определителей, составленных из
одноэлектронных функций. В таком случае, вместо наинизшего
уровня, мы получим несколько более высокое значение энергии,
которое, однако, будет мало от него отличаться. Подобным же
образом мы получим для следующих уровней близкие к ним зна-
значения.
Вычислим результат подстановки в W произведения опреде-
определителей B8) § 2, причем будем предполагать функции tjjp(r)
ортогональными между собой:
= 6pq, dx = dxdydz,	(8)
что, очевидно, не нарушает общности. Для этого представим
оператор энергии A) § 2 в виде
где
*0 ^ П9	Э'7	>1У V
A0)

МЕТОД СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ	275
Мы получим тогда
= Z )b(r)H(r)%(r)dr+ ? )b(r)H(r)%(r)d
р=\	р=\
В этой формуле мы обозначили через р<'> и р<2) следующие вы-
выражения:
к
?{])(r,rf)=Y1^p(r)b(rl,	A2)
p=i
b%r').	A3)
p=i
Полученные формулы допускают наглядное толкование. Прежде
всего выражение полной волновой функции системы через вол-
волновые функции г|3р(г) соответствует предположению, что мы мо-
можем каждому электрону системы приписать свою волновую
функцию (мы можем условно сказать: свою орбиту). При этом
электроны распадаются на два «роя»: к первому рою относятся
электроны на «орбитах» t|?i, \|з2, ..., tyk, а ко второму — элек-
электроны на орбитах ipi, г|эг» • • • . фп-л- Оба роя отличаются друг от
друга противоположным спином. На орбитах ipi, t|?2	о|)& на-
находятся по два электрона с разным спином, а на остальных
орбитах о|)ь+1, ..., tyn-h по одному электрону с одинаковым спи-
спином. Спины электронов на первых k орбитах взаимно уничто-
уничтожаются, а спины электронов на остальных п — 2k орбитах скла-
складываются; так как абсолютная величина спина каждого элек-
электрона равна у то полный спин системы получается равным
-|- — k=s, как и следовало ожидать. Умноженная на заряд элек-
электрона е величина р(|)(л> г), равная
ер<1)(Г| r) = ell^(r)p,	A4)
p=i
может быть истолкована как пространственная плотность за-
заряда электронов первого роя; аналогичное толкование допу-
допускает величина ер№(г,г). Выражения же A2) и A3) с разными

276	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[ч. IV
аргументами г, г' не допускают классического толкования; их
можно условно назвать «смешанной плотностью».
Переходим к толкованию выражения A1) для энергии си-
системы электронов. Первая сумма представляет кинетическую и
потенциальную энергию электронов первого роя в поле ядер;
вторая сумма представляет то же самое для второго роя. Те
члены в двойном интеграле, которые содержат плотность р<'> от
одинаковых аргументов, представляют электростатическую энер-
энергию электронов первого роя. Член же со смешанной плотностью
не допускает классического толкования, и наличие его в выра-
выражении для энергии представляет специфически квантовый эф-
эффект (так называемая энергия квантового обмена). Второй двой-
двойной интеграл имеет тот же смысл для электронов второго роя.
Наконец, последний двойной интеграл представляет взаимную
электростатическую энергию обоих роев электронов.
Приведенное толкование наших формул хотя и не строго, но
отличается наглядностью, и потому полезно для понимания их
физического смысла. Строгое ж'е толкование выражения A1)
сводится к тому, что это выражение представляет результат
подстановки в варьируемый интеграл волновой функции, обла-
обладающей надлежащей симметрией.
Система уравнений для искомых функций г|)р(г) получается
путем вариации выражения A1) при добавочных условиях (8),
Эта система имеет вид
2 [Я (г) + V (г)] Ь (г) - е> $
n-k
^АДМ (/7=1, 2, .... Л), A5)
[Н (г) + V (г)] % (г) - е2 ] ]/_;,{ % (П dx' =
n-k
~?_,Кр%(г) (P — k + 1. • • -, n — k). A6)
G=1
В этих формулах величина V (г) имеет значение
V(r) = e
и может быть истолкована как умноженный на е потенциал всех
электронов. Величины Kqp суть лагранжевы множители, соот-
соответствующие условиям ортогональности (8), которые должны
быть учтены при составлении вариации 6W. Можно считать, что
недиагональные элементы матрицы XqP отличны от нуля только,

§ 3]	МЕТОД СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ	277
если один из значков больше или равен k + 1, а другой меньше
или равен k.
Заметим, что уравнение A6) для функции tyP(r) фактически
не содержит этой функции в своих коэффициентах, так что если
считать все остальные функции, кроме ¦фР(/'), известными, то
уравнение для tyP(r) будет линейным.
Это свойство уравнения можно формулировать следующим
образом. Положим
pj,2) (г, П = I! О - <W % (г) % (г')	A8)
и обозначим через Vp(r) выражение, аналогичное A7), но вы-
вычисленное при помощи сумм A2) и A8) вместо A2) и A3).
Тогда уравнение A6) сохранит свой вид, если в нем заменить V
на V и рB> на рB).
Перейдем теперь к уравнению A5). Выпишем его для того
случая, когда на каждой орбите имеется по два электрона, т. е.
когда s = 0. Тогда п будет четным числом, k = ~ и обе суммы
A2) и A3) совпадут так, что мы можем отбросить верхний зна-
значок при р. Кроме того, в этом случае можно считать XqP диаго-
диагональной матрицей и положить
Xqp = 2Epbqp.	A9)
В результате будем иметь
[Н (г) + V (г)] ^ (г) - е2 \ f??j Ь (rf) df = ЕРЪР (г), B0)
где
\ fjerpjdT	B1)
Ii(rH,(r).	B1*)
<7=1
Если теперь ввести новое определение Vp(r)
и обозначить аналогично A8)

278	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
то уравнение B0) перепишется в виде
Ш (г) + V, (г)] % (г) - е2 \ ^^~ ф, (rf) dx' = Ер% (г).
Если в нем отбросить интегральный член, то оно может быть
истолковано как уравнение Шредингера для электрона в поле
¦с потенциальной энергией
Ф = ?/(г) + К„(г),	B3)
тде U (г) есть входящая в A0) потенциальная энергия внеш-
внешнего поля, a Vp(r)— потенциальная энергия от всех прочих элек-
электронов, кроме данного. Действительно, Vp(r), вычисленная по
«формуле B2), пропорциональна потенциалу, соответствующему
плотности р—|^р|2- Интегральный же член в уравнении B0)
не может быть истолкован классически. Он получил название
поправки на энергию квантового обмена.
Уравнения B0) без интегрального члена (вернее, несколько
менее точные уравнения) были впервые предложены англий-
английским математиком Хартри (Hartree), который, однако, не дал
им удовлетворительного обоснования, ибо не пользовался при
их выводе вариационным началом и не рассматривал волновой
функции системы электронов, а исходил из только что приве-
приведенных наглядных соображений. Они были названы им уравне-
уравнениями самосогласованного поля (в том смысле, что потенциал V,
входящий в уравнения для волновых функций, сам выражается
через них).
Полные уравнения с интегральными членами, учитывающие
свойства симметрии волновой функции системы для данного
спина, были получены нами из вариационного начала. Тем са-
самым были обоснованы также и уравнения Хартри. Они получили
в литературе название уравнений самосогласованного или сопла-
сованного поля с квантовым обменом.
Уравнения согласованного поля с квантовым обменом допу-
допускают и другую формулировку, указанную Дираком и отличаю-
отличающуюся от изложенной тем, что спиновые переменные не исклю-
исключаются с самого начала, а входят и в одноэлектронные волновые
¦функции. Волновая функция C, § 1) системы электронов при-
приближенно выражается через один определитель вида
b (х\) ••• ¦$\(хп
B4)
содержащий одноэлектронные функции A) § 1, для которых и
получаются уравнения согласованного поля, аналогичные на-
нашим. Преимущество этого способа заключается в сравнительной
простоте выкладок (так как приходится иметь дело с одним оп-
определителем, а не с произведением двух определителей); недо-

§ 4|	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА	279
статком же является то, что уравнение A4) § 1 для оператора
спинового момента количества движения выполняется не тож-
тождественно, а лишь при надлежащем выборе одноэлектронных
функций. В случае сферической симметрии можно выразить вхо-
входящие в определитель B4) функции tyi(x) через радиальные
функции Rni и шаровые функции со спином так, чтобы уравне-
уравнения для радиальных функций совпали с получаемыми по нашему
первоначальному способу.
Уравнения согласованного поля для волновых функций со
спином могут быть выведены также из теории вторичного кван-
квантования.
§ 4. Уравнение для валентного электрона
и оператор квантового обмена
Рассмотрим сиагему, состоящую из нечетного числа п =
— 2k + 1 электронов и обладающую спином, равным 1/2, на-
например атом с одним валентным электроном. Полная волновал
функция такой системы, имеющая вид произведения двух опре-
определителей, будет содержать k волновых функций tpi, t]?2, ..., tyk,
которые будут входить в оба определителя, и одну волновую
функцию ф, которая входит только в больший определитель. Мы
можем сказать, что функции tpi, г|з2, ..., tyk описывают 2k вну^
тренних электронов с компенсированным спином (по два на
каждой «орбите»), а функция if описывает валентный электрон.
Пользуясь формулой A1) § 3, мы можем написать энергию
такой системы и в виде суммы
W = W0+W,	A)
где
есть энергия внутренних электронов и
+ g2 ЗД 2Р (г', г') 1 Ч, (г) Р - р (г', г) j (г) ч, (,')	(}
есть энергия валентного электрона в поле внутренних электро-
электронов. Под р(г, л') мы разумеем здесь смешанную плотность
P(r, r')=Y.%(r)bir').	D)

280	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
Если мы будем варьировать величину W по всем волновым
функциям одновременно, мы вновь получим уравнения согласо-
согласованного поля A5) и A6) §3.
Но мы можем несколько видоизменить задачу и определить
сперва волновые функции внутренних электронов из условия
минимума величины Wq. После этого мы можем, считая
ipi, ip2, ..., ipfe заданными, определить волновую функцию внеш-
внешнего электрона гр (г) из условия минимума величины W или W
(последние две величины отличаются друг от друга на постоян-
постоянную Wo).
Наша видоизмененная задача физически соответствует тому,
что мы сперва определяем стационарное состояние системы, со-
содержащей одним электроном меньше (атомный остов), а затем,
пренебрегая поляризацией атомного остова валентным электро-
электроном, находим состояние этого последнего.
Для волновых функций внутренних электронов мы получаем
систему уравнений B0) § 3, а для валентного электрона — ли-
линейное интегродифференциальное уравнение
[Я (г) + V (г)] яр (г) - ё2 \ ¦p(.f;l)y|f/) dx' = ?гр (г),	E)
где
F)
Волновая функция валентного электрона все время предпола-
предполагается ортогональной к волновым функциям внутренних элек-
электронов
»=1, 2, .... k).	G)
Нетрудно видеть, что р(г, г') и V(r), определенные в D) и F),
совпадают с B1*) и B1) § 3, а уравнение E) —с уравнением
B0) § 3. Следовательно, уравнению для валентного электрона
удовлетворяют также и все волновые функции внутренних элек-
электронов; все они являются собственными функциями одного и
того же линейного интегродифференциального оператора, стоя-
стоящего в левой части E). Отсюда также следует, что условия ор-
ортогональности F) выполняются сами собой (т. е. являются след-
следствиями самого уравнения). Параметры же Ер, входящие в B0)
§ 3, являются собственными значениями того же оператора и
могут быть истолкованы как уровни энергии внутренних элек-
электронов.
Введем линейный интегральный оператор s4-, определив его
равенством
(8)

§ 5)	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ	281
Припоминая значение A0) § 3 оператора Н(г), мы можем на-
написать наше основное уравнение E) в виде
-¦^b* + [U{r) + V{r)\V-st$ = E$.	(9)
Оператор —s4- входит слагаемым в выражение для энергии
электрона. Его можно поэтому толковать как особый вид энер-
энергии, который принято называть энергией квантового обмена. Из
вывода уравнения A3) § 3 следует, что наличие члена $$¦¦§ свя-
связано с учетом свойств симметрии волновой функции, а эти свой-
свойства, как и принцип Паули, связаны с неотличимостью элек-
электронов друг от друга и с невозможностью проследить за отдель-
отдельным электроном, когда он вступает в тесное взаимодействие
с другими электронами (невозможность наклеить на электрон
ярлычок, чтобы опознать его после взаимодействия). Эта не-
невозможность имеет место только в квантовой, но не в класси-
классической механике (где понятие траектории предполагается неог-
неограниченно применимым). Поэтому трудно придумать для опе-
оператора s& наглядное толкование и название. Принятое название
«квантовый обмен» связано с представлением, что электроны
при тесном взаимодействии как бы обмениваются местами.
§ 5. Применение метода согласованного поля
к теории строения атома
Наиболее простой многоэлектронной системой является атом.
Применение метода согласованного поля к расчету различных
атомов облегчается тем, что еще до возникновения современной
формы квантовой механики (теории Шредингера) Бором была
дана схема строения электронных оболочек всех атомов, входя-
входящих в периодическую систему элементов Менделеева. На осно-
основании этой схемы оказывается возможным приписать каждому
электрону в атоме определенные квантовые числа, аналогичные
тем, какими характеризуются в задаче одного тела состояния
отдельного электрона в поле со сферической симметрией. Схема
Бора была разработана им на экспериментальной основе,
а именно, на основании анализа спектров и химических свойств
атомов. Свое теоретическое обоснование схема Бора получила
с появлением квантовой механики Шредингера и с развитием
приближенных методов квантовой механики, в особенности ме-
метода согласованного поля.
На языке квантовой механики возможность приписать каж-
каждому электрону в атоме определенные квантовые числа озна-
означает возможность приписать ему определенную волновую функ-
функцию. Это есть как раз то предположение, которое лежит в
основе метода согласованного поля, где волновая функция всей

282	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
системы выражается через волновые функции отдельных элек-
электронов. Знание же квантовых чисел данного электрона позво-
позволяет определить общий характер волновой функции.
По схеме Бора электроны в атоме разбиваются на группы
эквивалентных электронов. Каждая такая группа характери-
характеризуется двумя квантовыми числами: главным квантовым числом п
и азимутальным квантовым числом /, причем п = 1, 2, 3, ... и
/ = 0, 1, ..., п — 1. Внутри группы электроны могут быть оха-
охарактеризованы двумя другими квантовыми числами: магнит-
магнитным квантовым числом т и спиновым квантовым числом ms,
причем т принимает значения т = — I, — / + 1	/ — 1, /,
a ms принимает два значения ms = ±-г-. В изложенной выше
теории (§ 3) мы учитываем два значения спинового квантового
числа тем, что подразделяем электроны на два роя. Поэтому для
характеристики волновой функции электрона с данными п и /
нам достаточно указать значение магнитного квантового
числа т.
Если обозначить через г, •&, ф сферические координаты с на-
началом в ядре, то волновая функция электрона с квантовыми
числами п, I, m будет иметь вид
^im = ^Rm(r)Ylm^,q>),	A)
где Уim — шаровая функция, нормированная так, что
4я.	B)
Необходимо отметить, что квантовые числа, которые служат для
подразделения электронов внутри группы, имеют условный ха-
характер вследствие произвола в выборе полярной оси. Этот про-
произвол не сказывается, однако, в том случае, когда группа экви-
эквивалентных электронов заполнена целиком, т. е. когда в ней
представлены электроны со всеми возможными значениями т.
В таком случае говорят, что мы имеем замкнутую электронную
оболочку.
Напишем выражение для смешанной плотности электронов
одного роя, входящих в замкнутую электронную оболочку. По
определению D) § 4, мы будем иметь
+/
Pnl(r,r')= ? Ъп1т{г,в,Ч)*пш{г',Ъ',ч').	C)
т = -1
Подставляя сюда значение ^пы из A) и пользуясь теоремой
сложения для шаровых функций, мы будем иметь
9т (г, г') = ^±1 Ral (r) Rnl {r') Pt (cos Y),	D)

§ 5]	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ	283-
где
cos y = cos О cos ¦&' + sin ¦& sin ¦&' cos (qp — q/),	E)'
a Pi есть полином Лежандра. Так как у есть угол между на-
направлениями (#, ф) и (¦&', ф'), то он не зависит от выбора по-
полярной оси. Формула E) позволяет заключить, что замкнутая
электронная оболочка обладает сферической симметрией.
Число электронов одного роя, входящих в замкнутую обо-
оболочку, равно 2/ + 1, и, следовательно, полное число электронов
такой оболочки равно 41 -)- 2.
Согласно схеме Бора, большинство электронов атома входит
в состав замкнутых оболочек. Эти электроны можно назвать
внутренними. Остальные электроны, которые можно назвать
внешними, располагаются в незаполненных оболочках. За ис-
исключением редких земель и немногих других элементов, неза-
незаполненной остается только одна оболочка, а в этих исключитель-
исключительных случаях — две оболочки.
Наиболее простым является тот случай, когда вне заполнен-
заполненных оболочек остается только один (валентный) электрон. В ка-
качестве примера такого атома мы рассмотрим атом натрия.
При решении конкретных задач, относящихся к атому,
удобно пользоваться введенными Хартри атомными единицами,
в которых заряд, масса электрона и деленная на 2л постоянная
Планка полагаются равными единице. Атомной единицей длины
будет тогда 0,53 ангстрема, атомной единицей скорости 1/137
скорости света, а атомной единицей энергии — удвоенный потен-
потенциал ионизации водорода, т. е. 27,2 электронвольта.
В атомных единицах оператор Н(г) для натрия будет равен
Я(г) = -{Д-^,	F)
так как заряд ядра натрия равен 11 единицам. Внутренние элек-
электроны атома натрия располагаются в трех замкнутых оболоч-
оболочках. Соответствующие волновые функции мы можем положить-
равными
¦Ф|='Ф|О, 0, ^2=^29,0. Фз = 1Ф21,-1, ^4 = ^21,0. ^5 = ^21.1» (?)
где tynim имеют значение A). Смешанная плотность всех трех
оболочек будет иметь вид
ю
(г) R20 (r')+W2l (г) /?21 (г') cos y]. (8)
Подставляя эти выражения в формулу B) § 4 для Wo, мы по-
получим энергию ионизованного атома натрия. В полученном вы-
выражении для Wo мы можем произвести интегрирование по углам,
и тогда оно будет содержать только радиальные функции /?ю,
Яго и #21- Дальнейшие вычисления можно вести двумя спосо-

284	"	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА ,	[Ч. IV
бами: численно или аналитически. Для численного решения не-
необходимо составить вариационные уравнения для радиальных
функций; они будут иметь вид, аналогичный B0) § 3. Методика
численного решения вариационных уравнений основана на спо-
способе последовательных приближений и позволяет составлять
таблицы радиальных функций с желаемой степенью точности.
Для успешного ее применения необходимо иметь хорошее на-
начальное приближение, которое лучше всего получать аналити-
аналитическим путем. Для этого нужно искать Ri0, R20, R21 в виде ана-
аналитических выражений, содержащих небольшое число пара-
параметров. Мы можем взять, например,
( + p)] R	^r (9)
где a, b, с определяются из условия нормировки
\	A0)
и выражаются через а, р, V- Подставляя (9) в выражение для Wo,
мы получим Wo как дробную рациональную функцию от а, р, у.
Приравнивая нулю производные от Wo по параметрам а, р, у,
мы приходим к уравнениям, из которых эти параметры и опре-
определяются. В нашем случае мы будем иметь
о=10,68, Р==4,22, у = 3,49	A1)
и наши аналитические радиальные функции будут иметь вид
Rl0(r) = 69,804 е-'о.б8г;
R20 (г) =13,602A - 4,967r) e~4'22r,	A2)
R2i (г) = 26,276 ге~^г.
Беря эти функции в качестве исходного приближения, можно
получить более точные их значения из вариационных уравнений.
Функциям A2) соответствует значение энергии ионизованного
атома натрия, равное Wo = —160,9 атомной единицы, тогда как
более точным функциям, полученным в результате численного
решения уравнений, соответствует число Wo = —161,8.
Найдя радиальные функции Rw, R20 и R21, мы тем самым
полностью определили в данном приближении структуру вну-
внутренних электронных оболочек атома натрия. После этого мы
можем составить интегродифференциальное уравнение E) § 4
для волновой функции валентного электрона. Эта функция бу-
будет иметь вид A), где Rni(r) получается в результате числен-
численного интегрирования соответствующего уравнения, которое мы
не будем здесь выписывать.
Решение уравнения E) § 4 дает прежде всего оптические
термы атома натрия. Кроме того, оно дает, правда довольно

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
285
грубо, и значения рентгеновских термов. Чтобы судить о полу-
получаемой степени точности, мы приведем следующую таблицу:
Теория
Эксперимент
40,6
39,4
—3,00
-2,16
1,83
1,04
—0,1860
—0,1885
—0,1094
-0,1115
Все числа выражены в атомных единицах. Из таблицы видно,
что оптические термы (Е30 и Е3\) получаются с довольно боль-
большой степенью точности. Так, погрешность в терме Е3\ состав-
составляет только 1,9%. Для сравнения укажем, что если отбросить
в уравнении E) § 4 интегральный член, то значение терма E3i
получается равным — 0,08895, что соответствует погрешности
в 22,4%.
Кроме оптических термов наше интегродифференциальное
уравнение дает и волновые функции валентного электрона для
разных уровней, что позволяет вычислить и вероятности перехо-
переходов. Подобные вычисления были произведены для атомов нат-
натрия и лития, причем получилось качественное согласие с опытом.
В частности, в случае лития получился характерный для этого
элемента немонотонный ход зависимости вероятности перехода
Еп\ —Его от квантового числа п.
Изложенные выше результаты показывают, что теория ва-
валентного электрона в атоме действительно может быть с боль-
большой точностью формулирована как задача одного тела в задан-
заданном поле, если только учитывать силы квантового обмена при
помощи интегродифференциального уравнения E) § 4.
Одно из применений нашего уравнения относится к вопросу
о так называемом правиле сумм. Правило это относится к «си-
«силам осцилляторов», т. е. величинам, пропорциональным квад-
квадрату матричного элемента для координаты, соответствующего
данному переходу, и разности уровней энергии для этого пере-
перехода. Согласно обычной формулировке этого правила, сумма сил
осцилляторов, соответствующих всем оптическим переходам дан-
данной серии, должна равняться единице. Это правило строго со-
соблюдается для атомов с одним электроном (ионы, подобные
атому водорода). Что же касается других атомов с одним ва-
валентным электроном, то опыт показывает, что в ряде случаев
(литий, таллий и др.) уже первые «осцилляторы» дают в сумме
число, большее единицы. Наша теория дает этому обстоятель-
обстоятельству объяснение, основанное на том, что уравнение E) § 4
имеет замкнутую систему собственных функций, причем некото-
некоторые из них соответствуют рентгеновским уровням. Поэтому при
составлении суммы сил осцилляторов необходимо учитывать

286	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
также и те фиктивные осцилляторы, которые относятся к пере-
переходам на занятые рентгеновские (более низкие) уровни. Так как
для них входящая в выражение для «силы» разность уровней
отрицательна, то и «сила» их будет отрицательной. Поэтому
в выражение для полной суммы будет входить и несколько (ко-
(конечное число) отрицательных членов. Отсюда ясно, что если вся
сумма равна единице, то сумма положительных членов (кото-
(которые соответствуют наблюдаемым оптическим переходам) будет
больше единицы. Кроме того, нужно иметь в виду, что и вся
сумма будет равна единице только, если в ее выражении пре-
пренебрегать некоторыми малыми поправками, связанными с кван-
квантовым обменом.
Основные применения наших уравнений к атомам с одним
валентным электроном относятся к расчету уровней и интенсив-
ностей. Кроме того, были сделаны попытки учесть некоторые
релятивистские эффекты, а именно, расстояние между термами
дублета (дублетное расщепление).
Вследствие трудностей, связанных с определением волновой
функции валентного электрона на малых расстояниях от ядра,
попытки эти не дали хорошего численного совпадения с опытом,
а дали для дублетного расщепления термов натрия и лития
только правильный порядок величины. (Заметим, что прежние
попытки, основанные на более грубом приближении для волно-
волновой функции, не давали даже правильного порядка.) При этом
выяснилась важная роль, которую играют в формуле для дуб-
дублетного расщепления члены, дающие поправки на квантовый
обмен. Не исключено, что эти члены позволят объяснить наблю-
наблюдаемое для некоторых атомов отрицательное значение величины
дублетного расщепления. Представляется, однако, весьма ве-
вероятным, что для построения более точной теории дублетного
расщепления рассмотрение валентного электрона в фиксирован-
фиксированном поле внутренних электронов окажется недостаточным.
§ 6. Симметрия оператора энергии
водородоподобного атома
В предыдущем параграфе мы, следуя Бору, характеризовали
каждую атомную оболочку двумя квантовыми числами п и /.
При данном п число / может принимать значения / = 0, 1,2,...
..., п— 1, всего п значений. Совокупность всех п электронных
оболочек, принадлежащих данному п, образует одну «большую
оболочку». Такая «большая» оболочка обладает в атоме особой
устойчивостью. В одновалентных атомах лития, натрия и меди
полностью заполнены соответственно одна, две и три «большие»
оболочки. Большую оболочку удобно описывать при помощи
волновых функций водородного типа, соответствующих некото^

§ 6J	СИММЕТРИЯ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ АТОМА	287
рому эффективному заряду ядра, значение которого можно опре-
определить из вариационного начала.
Обозначим через Z истинный заряд ядра и через Zn эффек-
эффективный заряд для большой оболочки с квантовым числом п.
Вместо эффективного заряда Zn удобно рассматривать вели-
величину р„ = ZJn, представляющую среднее квадратичное коли-
количество движения электрона в большой оболочке номер п (в атом-
атомных единицах).
Описание атомных оболочек при помощи аналитических
функций водородного типа позволяет находить простые анали-
аналитические выражения для различных функций, характеризующих
свойства атома. Например, функция распределения количества
движения электронов внутри n-й оболочки, нормированная со-
согласно условию
\р = п\	A)
о
оказывается равной
Р„(Р)= 2/ Л 2ЧТ •	B)
Помимо применений к теории строения электронных оболо-
оболочек теория водородных функций, принадлежащих данному кван-
квантовому числу п, может иметь применение в теории явления
Комптона на связанных электронах и в других аналогичных за-
задачах, в которых приходится иметь дело с функциями, принад-
принадлежащими сплошному спектру. Для атома водорода мы имеем,
в атомных единицах,
C)
Для сплошного спектра энергия Е положительна и выраже-
выражение C) получается чисто мнимым. Это, однако, не исключает
применения теории водородных функций точечного спектра в тех
случаях, когда получаемые при их помощи соотношения форму-
формулируются при помощи аналитических функций от п. В таких со-
соотношениях можно формально переходить от точечного спектра
к сплошному, придавая величине п чисто мнимые значения. По-
Поэтому мы ограничимся в дальнейшем случаем точечного спектра.
Чтобы написать уравнение Шредингера для водородоподоб-
ного атома в пространстве импульсов, нужно прежде всего
найти, во что переходит в пространстве импульсов оператор ум-
умножения на 1/г. Волновые функции в пространстве координат и
в пространстве импульсов связаны соотношением
(Рх, Ру, Рг) = -^/7 S е~^ (ХРх+УРу+г"г\ (х, у, z) dx dy dz.
D)

288
МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА
[Ч. IV
Нам нужно найти вид оператора L, который переводит функ-
функцию 1|з в функцию Lt|), представимую в виде
. E)
Py> Pz) =
Но мы имеем
1
(dp')
Ip-рТ
_
у+ гРг) 1
где через (dp') = dp'xdp'йр'г обозначен элемент объема в про-
пространстве импульсов. Таким образом, оператор, который в про-
пространстве координат имеет вид умножения на \/г, преобразуется
в пространстве импульсов в интегральный оператор
L* (Рх, Р„ Рг) =
Поэтому уравнение Шредингера в поле с Кулоновой потенци-
альнои энергией 	 будет в пространстве импульсов инте-
интегральным уравнением вида
Так как мы рассматриваем точечный спектр, для которого энер-
энергия Е отрицательна, то можно ввести средний квадратичный
импульс	'
ро = У-2т?.'	(9)
Деленные на ро составляющие вектора количества движения
мы будем рассматривать как прямоугольные координаты на ги-
гиперплоскости, представляющей стереографическую проекцию
шара радиуса' единицы в четырехмерном евклидовом простран-
пространстве. Прямоугольные координаты некоторой точки на шаре бу-
будут
I = *РоРх2 = sin a sin ¦& cos ф,
Р
2
Pj ~Н Р
Г] =
5
Ро +
. ...
= Sln а Sin ^ Sm Ч>>
2роРг =
Ро + Р
(Ю)

§ 6]	СИММЕТРИЯ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ АТОМА	289
причем
i2 + 2 + e2 + 2i
Углы а, Ф и ф представляют сферические координаты на ги-
гиперсфере. Вместе с тем углы ¦0 и ф являются обыкновенными
сферическими углами, характеризующими направление количе-
количества движения. Элемент поверхности на гиперсфере равен
dQ = sin2 a da sin ftdftdy,	A2)
а полная поверхность гиперсферы равна 2я2. Введем вместо а|з(р)
функцию
W (а, в, Ф) = -^=- р^ (р\ + р2J ip (р),	A3)
для которой условие нормировки имеет вид
=L A4)
A5)
IP \
Если мы положим для краткости .
, Zme2	Zme2
2m?
и перейдем к новым переменным, то уравнение Шредингера (8)
примет вид
^J^l*ll	A6)
4 sin2-
Здесь 2sin-2" есть длина хорды, а со—длина дуги большого
круга, соединяющей точки а, Ь, ф и a', ft', ^ на четырехмер-
четырехмерном шаре, так что
4 sin2^- = F - ГJ + (л - Л'J + (С - ГJ + (X - X'J.	A7)
Уравнение A6) представляет собой не что иное, как интеграль-
интегральное уравнение для шаровых функций четырехмерного шара. Соб-
Собственными значениями будут целые числа Я = п (п = 1, 2, . . .),
а собственными функциями будут однородные гармонические
полиномы степени п — 1 от |, ц, ?, %, т. е. функции вида
? = «A, Л. ?. X).	A8)
где и{хи Х2, х3, Xi) есть решение уравнения Лапласа в четырех-
четырехмерном пространстве
а2» д2и . д2и . д2и _
+ + +	0

290	МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА	[Ч. IV
Как видно из A5), целое число п есть главное квантовое
число.
Таким образом, теория атома водорода оказывается связан-
связанной с четырехмерной теорией потенциала. Связь эта позволяет
легко вывести все свойства водородных функций и, в частности,
установить для них теорему сложения, справедливую не только
для целых действительных значений п (точечный спектр), но и
для комплексных п (сплошной спектр).
Наиболее существенным следствием наличия такой связи
является установление группы преобразований, допускаемых
уравнением Шредингера для атома водорода. Очевидно, что
уравнение A7) сохранит свой вид, если произвести над перемен-
переменными \, г], ?, % ортогональную подстановку, т. е. если подверг-
подвергнуть гиперсферу произвольному четырехмерному вращению. От-
Отсюда следует, что и исходное уравнение Шредингера обладает
не только обычной сферической симметрией, но и более высокой
степенью симметрии, соответствующей четырехмерным враще-
вращениям. Этим объясняется тот давно известный факт, что уровни
энергии для водорода зависят только от главного квантового
числа п. Использование такой более широкой группы преобра-
преобразований уравнения Шредингера и позволяет получить те резуль-
результаты, о которых мы говорили в начале этого параграфа. На под-
подробной формулировке этих результатов, а также на их выводе
мы здесь останавливаться не можем.'

Часть V
ТЕОРИЯ ДИРАКА
Г л а в а I
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
§ 1. Квантовая механика и теория относительности
Теория Шредингера, а также теория Паули носят нереля-
нерелятивистский характер. В этих теориях не принята во внимание
невозможность движения материальной частицы и распростра-
распространения каких-либо действий в пространстве со скоростью, превы-
превышающей скорость света. Релятивистское обобщение квантовой
механики требует привлечения новых физических понятий и
даже некоторого видоизменения интерпретации волнового урав-
уравнения. Это видоизменение связано с необходимостью введения
помимо спина еще одной новой степени свободы электрона и
с невозможностью ее истолковать, оставаясь в рамках задачи
одного тела.
Однако формальная постановка задачи одного тела (элек-
(электрона) в заданном внешнем электромагнитном поле — поста-
постановка, находящаяся в согласии с требованиями теории относи-
относительности, возможна. Эта формулировка была найдена Дира-
Дираком, предложившим свое уравнение для электрона.
В § 13 гл. III первой части мы видели, что волновое уравне-
уравнение, т. е. уравнение, определяющее закон изменения состояния
электрона (функции г|з) во времени, должно иметь вид
Яф-,-А^- = 0,	A)
где Н есть оператор энергии. В тесной связи с волновым урав-
уравнением находятся квантовые уравнения движения, из которых
нами было получено волновое уравнение (§ 13 гл. III ч. I) и
которые в свою очередь выводятся из него (§ 4 гл. IV ч. I). Нам
предстоит теперь, следуя идеям Дирака, обобщить волновое
уравнение A) на теорию относительности. Мы должны потребо-
потребовать, чтобы оно было инвариантным по отношению к преобра-
преобразованию Лоренца и чтобы из него получались классические урав-
уравнения движения теории относительности,

292
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[Ч. V
§ 2. Классические уравнения движения
Припомним, какой вид имеют классические уравнения дви-
движения теории относительности и соответствующие им Лагран-
жева и Гамильтонова функции.
В механике теории относительности количество движения
Рх, Ру, Рг связано со скоростью х, у, z соотношениями
рх=
ту
р
где
A)
A*)
и уравнения движения электрона с массой т и зарядом —е
в электромагнитном поле имеют вид
B)
Из них легко выводится уравнение
AT
де Т есть кинетическая энергия электрона
т=
тс'
C)
D)
Эти уравнения могут быть получены из функции Лагранжа
+ уАу + гАг) + еФ, E)
где Ф — скалярный и А = (Ах, Ау, Аг) — векторный потенциал.
Обобщенный «момент», сопряженный с координатой х, равен
_ д? _
Рх~~ дх ~
тх
F)
и аналогично для других координат; таким образом, «моменты»
Рх, Ру> Рг не совпадают с составляющими количества движе-

§ 3]	ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ	293
ния Рх, Ру, Pz, а связаны с ними, как и в нерелятивистском
случае, соотношениями
Рх = рх+^АХ, Ру = ру + ^АУ, Рг = Рг + ±Аг G)
(см. формулу A6) § 5 ч. III). Энергия электрона равна
p^- -еФ.	(8)
V
Выражая ее через обобщенные моменты, получим классиче-
классическую функцию Гамильтона
Якласс = тс2 д/1 + -^
§ 3. Вывод волнового уравнения
Нам нужно найти квантовый оператор, соответствующий Га-
мильтоновой функции (9) § 2. Мы начнем с простейшего случая
свободного электрона, когда электромагнитное поле отсутствует
и скалярный и векторный потенциалы равны нулю. В этом слу-
случае
Якласс = тс2 д/1 + -^ {pi + Р2У + Pi).	A)
Из-за характерной для теории относительности симметрии
уравнений относительно координат и времени, раз волновое
уравнение содержит линейно оператор дифференцирования по
времени, то оно должно содержать также линейно операторы
дифференцирования по координатам. Следовательно, кванто-
квантовый оператор энергии должен быть линейным относительно опе-
операторов
й	m рт4
т. е. он должен быть вида
B)
где Рй — неизвестные пока операторы, не содержащие рх> ру, pz.
Но эти операторы не должны содержать также и координат х,
у, z, ибо для свободного электрона все точки пространства рав-
равноправны. Следовательно, они должны действовать над ка-
какими-то новыми переменными, от которых волновая функция
теории Шредингера не зависела. Смысл этих новых переменных
мы установим ниже. Мы увидим, что они представляют обобще-
обобщение операторов, вводимых в теории Паули.

294	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Чтобы установить свойства операторов р*, мы потребуем,
чтобы между квадратом энергии и квадратом количества дви-
движения свободного электрона в квантовой механике имело место-
то же соотношение, как и в классической, а именно,
H2 = mV + c*(pl + pl + pl).	C)
Вычислим квадрат оператора B), имея в виду, что fife не со-
содержат координат и, следовательно, коммутируют с рх, pv, pz>
но могут не коммутировать между собой. Мы получим
+ (Plp4 + Ul) Рх + (Р2р4 + №) Ру + (РзР4 + Ш Рг +
Это выражение совпадает с предыдущим, если будут выпол-
выполнены условия
$\ = тЧ\ pj = pf = p$ = c2f РД + РЛ=О (^Л). E)
Если мы при помощи соотношений
Р, = са,, Р2 = са2, Р3 = соз, р4==тс2а4	F)
введем вместо рА пропорциональные им операторы а^, то опе-
оператор энергии Н напишется в виде
Н = с {щрх + a2pj, + a3pz) + ягс2а4,	G)
а новые операторы afe должны будут удовлетворять условиям
а1=1' «Л + аЛ=0 (i?=k), ¦	(8)
которые можно записать короче
<хгай + а*а, = 26ife (г, Л = 1, 2, 3, 4).	(9)
§ 4. Матрицы*Дирака
Как будет видно из дальнейшего, операторы ад можно рас-
рассматривать как подстановки над четырьмя функциями \|эь \|з2, t|Kv
г|з4 подобно тому, как матрицы Паули были подстановками над
двумя функциями. Таким образом, объектом действия операто-
операторов aft будет совокупность четырех функций, а самые операторы
можно представить в виде матриц, составленных из коэффи-
коэффициентов подстановок.

МАТРИЦЫ ДИРАКА
295
Совокупность функций \pir ty2, *|>з, tyi мы часто будем обозна-
обозначать одним символом \|з, а подстановку
*2 = «2i*i + «22*2 + «23*з + а24*4'
г|>з = ад,^, + а32а|J + азз'Фз + а34'*4'
*i = «41*1 + a42t2 + «43*3 + «44*4
будем писать сокращенно в виде
¦ф' = ат|>,
где, следовательно, а есть матрица
II «12 «13 a
(О
B)
C)
а33 а
а4! а12 а43 а
Выразим операторы щ, а2, а3, а4, удовлетворяющие соотно-
соотношениям (9) § 3, через операторы, аналогичные матрицам, рас-
рассмотренным в главе, посвященной теории Паули.
Построим из матриц аи а2, а3, а4 шесть матриц: во-первых,
три матрицы
D)
и, во-вторых, три матрицы
Ра = — 1ща2а3, pb = a,a2ct3a4, pc = a4.	E)
Легко проверить, что матрицы стх, ау, сгг будут удовлетворять
тем же соотношениям, как и матрицы Паули, а именно,
= — охаг =
F)
Квадрат каждой из них будет равен единице:
G)
Подобным же соотношениям будут удовлетворять и матрицы
Ра, Рб. Рс- Мы будем иметь
PbPc — — PcPb = Фа.
РсРа = — РаРс = Фб>
РаРб = — Рг>Ра = Фс>
(8)

296	ТЕОРИЯ ДИРАКА	14. V
а также
P2a = Pf = P«=l-	(9)
Произведения матриц р на матрицы а будут равны
Pcflz = Gz9a =
далее,
= аурь = га2а4>
Pft^z = ^zPft
и, наконец,
— ax9c= — m2ct3a4,
у — QyPc — — «a3a,a4, J.	A2)
Таким образом, каждая из матриц р коммутирует с каждой
из матриц a, и мы можем в известном смысле сказать, что
матрицы р и а относятся к разным степеням свободы электрона.
Пользуясь выражениями для матриц аг- через р и о, мы мо-
можем написать оператор энергии G) §'3 в виде
Я = сра (ахрх + ОуРу + агрг) + тс2рс.	A3)
Заметим, что к четырем матрицам ось осг, аз, а4, удовлетво-
удовлетворяющим соотношениям (9) § 3, мы могли бы присоединить пя-
пятую, положив сс5 = рь\ эта матрица будет антикоммутировать
с оператором энергии A3).
Займемся теперь построением матриц <: четырьмя строками
и столбцами, обладающих формулированными выше общими
свойствами. Для этого рассмотрим сперва три матрицы с двумя
строками и столбцами, уже встречавшиеся нам в теории Паули.
Обозначая их теперь через а*\, а°, в%, мы будем иметь
CTHi о)' стИг о)' стНо -1
Предположим, что подстановки
производятся не над одной, а над двумя парами чисел I )
одновременно. Эти две пары чисел можно рассматривать
•XV)

¦§4]
МАТРИЦЫ ДИРАКА
297
как одну четверку чисел тр,, ijJ, г|K, i|L, причем сопоставление
чисел |, i\, {¦*, ч\* с числами -фг, ijJ> г|з3, it>4 можно сделать раз-
различными способами.
Можно положить, например,
или же
A6)
A7)
В первом случае матрицы, соответствующие нашим подста-
подстановкам, напишутся в виде
о, =
0 10 0
10 0 0
0 0 0 1
0 0 10
о 2 ¦
0	—i 0	0
1	0 0	0
о о о	— «¦
0 0/	0
а во втором случае в виде
0 0 10
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 -i 0
0 0 0 —i
/000
0 1 0 0
1 0 0 01
0-10 О
0 0 10
О 0 0—1
10 0 0
0 10 0
0 0-1 О
0 0 0-1
. A8)
A9)
Очевидно, что подстановки ои а2, о3, взятые в отдельности,
и подстановки р1; р2, р3 в отдельности удовлетворяют тем же
соотношениям, что и подстановки A5) над двумя функциями,
а именно,
0203 = 	 0302 = |
B0)
а] — о\ — а23 — 1,
= — РзР2=ф1.
РзР1 = — PlP3 = 'P2»
PlP2 = — P2P1 = г'Рз.
р!==р| — р!— 1.
B1)
С другой стороны, можно проверить, что каждая из подстано-
подстановок о коммутирует с каждой из подстановок р, так что
(i> k=\, 2, 3).
B2)
Каждая из матриц р и о, а также их произведения B2)
имеют два двукратных собственных значения +1 и —1,

298
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[Ч. V
Три матрицы Oi, три матрицы р* и девять матриц (Xjpft обра-
образуют вместе с единичной матрицей систему 16 матриц, которую-
можно назвать п о л н о й в том смысле, что всякую матрицу с че-
четырьмя строками и столбцами, т.е. с 16 элементами, можно
выразить в виде линейной комбинации этих 16 матриц с чис-
численными коэффициентами.
В частности, мы можем выразить через pi и о* матрицы, вхо-
входящие в уравнение Дирака, и связанные с ними матрицы ра, рь>
рс и ах, ау, az. Это можно сделать различным образом, так
что матрицы, имеющие данный физический смысл, могут иметь
различную математическую форму. В литературе чаще всега
употребляется представление, введенное Дираком, который по-
положил
Оv ^ (Т|, (Гц = (Г?, О, = 0о, |
-	Г	B3)
Po = Pl. Pb = P2> Рс = Рз- )
Согласно формулам A5) и A0), соответствующие матрицы сс/;
будут иметь вид
= р{о2, аз =
а\ = р3
B4)
(мы снабдили эти матрицы штрихом, чтобы отличить их от тех,
которыми мы будем пользоваться в "дальнейшем).
Более удобным в некоторых отношениях является следую-
следующий выбор матриц:
ах = Рзст1> Ог(/==ОГ2>
Ра = Рз.	Pb = Pl^i-
Рс =
или в явной форме
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
_ 1
0
0
-1
0
' ау —
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
—1
» Рб "
— 1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
— 1
0
0	0	— i 1
0	i	0
— i	0	0
0	0	0
1 0
0	-1
0 0 -
0 0
0 0	0
0 0	1
О 1	О
-10	0
Отсюда получаются для матриц ak следующие значения:
B5>
о о
о о
-1 О
О 1
B6>
-г
о
о
о
B7>
B8)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА
299
и в явной форме
а3 =
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
-1
0
0
0"
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
-1
а2 =
. СС4 =
0
i
0
0
0
0
0
1
— i
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0 0
0 0
0 i
-i 0
-г
0
0
0
B9)
§ 5. Уравнение Дирака для свободного электрона
Мы можем теперь написать уравнение Дирака для свобод-
свободного электрона в раскрытом виде. Если Н есть оператор G)
§ 3, то волновое уравнение
#я|) = [с (щрх + ЩРу + «зРг) + тс2а4] г|э = ih -^-	A)
напишется в виде системы четырех дифференциальных уравне-
уравнений
dt
B)
Заметим, что удобнее исследовать уравнение Дирака, когда оно
написано в символической форме A), так что формулами
вида B) нам почти не придется пользоваться.
Мы рассмотрели два варианта выбора матриц. Первый из
них, предложенный Дираком, соответствует формулам B3) § 4,
а второй, предложенный нами, соответствует формулам B5) § 4.
Для некоторых целей удобно ввести такое представление
матриц as, чтобы соответствующая система уравнений для че-
тырехкомпонентной волновой функции свободного электрона
имела вещественные коэффициенты. Для этого достаточно пере-
переставить в формулах B5) § 4 матрицы рг и р3 и изменить знак
при матрице рь Мы будем тогда иметь вместо B5) § 4:
P =

300	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Чтобы отличить новые матрицы от прежних, мы снабдили их
значком °*). Все матрицы C) имеют чисто мнимые элементы.
Связь между новыми матрицами и прежними осуществляется
каноническим преобразованием с матрицей
jL	D)
которая является самосопряженной и унитарной, так что
Т~* = Т+ = Т, Т2=\.	E)
В самом деле, мы имеем
Тр2Т = р3, Тр3Т = р2, Тр1Т = — р1.	F)
Новые матрицы аи (которые мы обозначим теперь через с^) бу-
будут связаны с прежними матрицами каноническим преобразо-
преобразованием
а°к = T+akT.	G)
Они будут равны
а° = а,, а» = р2о2, aP3 = os, а° = р3а2.	(8)
Как показывает сравнение с B8) § 4, они отличаются от преж-
прежних перестановкой аг с а4- Элементы первых трех матриц a°k бу-
будут вещественными, а элементы а° — чисто мнимыми.
Систему четырех дифференциальных уравнений B) для вол-
волновой функции свободного электрона можно теперь написать
в виде
дх
дх '
дх
ду
ду
ди
dz
dz
dz
с
с
1
0
с
dt
dt
dll
dt
тс
t. Фо ~~
n T *
me
n '
me
me
1 Й "*^
r»
n
В заключение напишем в явной форме связь между волно-
волновыми функциями i])^, соответствующими выбору матриц a'k по
Дираку (согласно B4) § 4), с нашими волновыми функциями.
*) Так как речь идет теперь о четырехрядных матрицах, можно не опа-
опасаться смешения их с матрицами Паули A4) § 4,

§ 6]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
Мы имеем соотношения
г 	 *ф| — *ф4	, / 	 Т|>2
301
V2- '
Ъ~ V2" ' *4~ V2 "
Унитарная матрица 5, соответствующая преобразованию
равна
V2
[10 0 -1]
0 110
10 0 1
0 1-1 0
__ 1 — Фг # 1 + i<3;
-у/2 ' л/2
1 — грзст2
A0)
A1)
A2)
Что касается связи между функциями г|)° и *ф, соответствую-
соответствующей преобразованию
¦ф°=: Ггр,	A3)
то она дается формулами
1
V2"
A4)
Ввиду того, что Г2=1, такие же формулы дают выражения
для г|)г через ¦§). Мы имеем
A5)
§ 6. Преобразование Лоренца
Мы займемся теперь доказательством инвариантности волно-
волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца и ис-
исследованием геометрических свойств функций г|)ь грг, ^рз, ¦фЧ-
Положим
х = хи у = х2, z = x3, ct = xQ	A)
и введем четыре числа
B)

302	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
так, чтобы можно было написать квадрат четырехмерного рас-
расстояния (интервала) в виде
± ds2 = c2dt2 - dx2 — dy2 —dz2 = tl ek dx\.	C)
Напишем преобразование Лоренца в виде
/ 	 V1	/IV
где aik — вещественные числа, удовлетворяющие условиям
3
/. е^^пц = e^o^i,	E)
i=Q
которые вытекают из того, что преобразование D) должно
оставлять ds2 инвариантным. В силу этих условий решение урав-
уравнений D) относительно х{ дает
з
х=Те а х'	F)
а отсюда в свою очередь вытекают уравнения
3
/j Siujfian = e^d/ii-	G)
1=0
Умножая волновое уравнение A) § 5 на -т—, напишем его в виде
3
Zdib intc Эф _	/п\
(Хь ~х	 ~f" —т— Ct«u) —J— ~-^т	¦ ==== 0.	(о)
ИЛИ
3
Эф , imc ., »	/лч
Е
если мы будем разуметь под а0 единичную матрицу.
Сделаем теперь замену переменных F). Имеем
Поэтому
3 3
V V
L L
йф
3
/ i R
Эф
Эф
пШ dx't
i imc
Ъ

§ П	ВИД МАТРИЦЫ S ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА	303:
Если нам удастся найти такую (вообще говоря, не унитар-
унитарную) матрицу S, чтобы было
(/ = 0,1,2,3),	A1)
*4,	A2)
то уравнение A0) можно будет написать в виде
з
а затем, полагая
гр' = S-ф	A4)
и умножая A3) слева на (S+) (т.е. производя над четырьмя
уравнениями A3) подстановку, обратную S+), мы получим
3
> =0,	A5)
т.е. уравнение того же вида, как исходное (9), с прежними
матрицами ось, но с новыми независимыми переменными х'о, х[,
х'2, х'3 и с новыми функциями г|э{, ty'2> 'Фз' ^4- Таким образом,
будет доказано, что если сопровождать преобразование Лоренца
подстановкой A4) над функциями \\>, то волновое уравнение со-
сохранит свой вид. Другими словами, будет доказана инвариант-
инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию
Лоренца.
§ 7. Вид матрицы S для пространственного поворота
осей и для преобразования Лоренца
Мы покажем, что матрица S с нужными свойствами действи-
действительно существует и, при нашем выборе матриц а&, имеет вид
а р 0 0
у б 0 0
о о «
0 0 y
где а, р, Y. б —четыре комплексных параметра, связанных соот-
соотношением
a6-0Y = l .	B)

304	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
и называемых обобщенными параметрами Кэйлей — Клейна
(Cayley — Klein). Сопряженная (адъюнгированная) матрица 5+
будет иметь вид
0 0'
Прежде всего легко проверить непосредственным вычислением,
произведя последовательно три подстановки: сперва 5, затем а*
и, наконец, S+, что уравнение A2) § 6 выполняется тожде-
тождественно в силу соотношений B). Заметим, что, кроме того, вы-
выполняется равенство
S+a55 = a5.	D)
Чтобы убедиться, что для любого преобразования Лоренца
можно выбрать параметры а, р, y. б так, чтобы выполнялись и
уравнения A1) § 6, воспользуемся тем, что как преобразования
Лоренца, так и подстановки 5 образуют группу, т. е. что не-
несколько последовательных преобразований (подстановок) мо-
могут быть заменены одним преобразованием того же типа. Самое
общее преобразование Лоренца может быть получено последо-
последовательным применением преобразований частного вида, напри-
например, поворотом координатной системы вокруг осей х, у, z и пре-
преобразования
Р^	* ¦	E)
Если мы для каждого из этих частных преобразований най-
найдем соответствующую подстановку S, то подстановка S для об-
общего случая получится последовательным применением этих
частных подстановок.
Мы рассмотрим сперва вращение вокруг оси z, так как для
этого случая матрица 5 имеет наиболее простой вид. Формулы
для поворота осей напишутся
хГ2 — хх sin ф + х2 cos ф, I
V'—Y	F)
ЛЗ — -*з,	I
Хй = Х0.	|
Покажем, что этому повороту соответствуют параметры
а = р	R = f) v = 0 й = р	G\

§ 7]	ВИД МАТРИЦЫ S ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
так что матрица S будет
305
0
t
e
0
0
<p
2
0
0
i
e
0
<p
2
0
0
0
.0
Ее можно написать в виде
S == cos у — i sin -|- p3o-3,
или, на основании B5) § 4,
(8)
S = cos -|— i sin -|- аг.
(9)
A0)
Мы имеем
так что
= рй (cos-5- + isin-2-аЛax(cos-|— /sin-?¦ a ) =
= pa (cos ф + i sin ф0г) аЛ = ра (стх cos ф — ау sin ф),
a{ = S+a1S = a1 соэф — а2з}пф.	A1)
Аналогично доказываются равенства
а.2 = S a2S = О] sin ф -f- a2 cos ф,
/ 	 С"^~« С	™	/1 1 *\
Оз — О ОзО — (Хз>	^ 1 1 )
од = S+a0S = a0.
Таким образом, преобразованные матрицы a'k выражаются
через первоначальные ак так же, как преобразованные коорди-
координаты x'k через первоначальные Xk, т. е., другими словами, выпол-
выполняются соотношения A1) § 6.
Рассмотрим теперь поворот вокруг оси х = Xi:
Здесь
! = cos y ,
xr2 = х2 cos ф — а:3 sin ф,
х'з = х2 sin ф + х3 cos ф,
х'о = х0.
,	. . ф
>= — i Sin -к", y = — t
A2)
!¦§-. 6 = COS-|- A3)

306
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[Ч. V
и матрица S будет иметь вид
S = cosf
или
_	СП	. (Р
S = cos -|- — t sin -|- ax.
A4)
A4*)
Соотношения A1) § 6 доказываются аналогично предыду-
предыдущему случаю.
Наконец, для поворота вокруг оси у = х2:
х\ = хх cos ф + хг sin ф,
Х2 = X2t
Х3 = — Хх sin ф + х3 cos ф, '
х'о = х0,
значения параметров будут
Ф	О	• ф	• ф	S	ф	/-1ЛЧ
a = cos-7p, р = — sin^-, Y==sin 2 ¦ о = cos-75- A6)
и матрица S, составленная при помощи этих параметров, будет
равна
A7)
= cos-2--г sia-^
или
5 = cos -^— i sin -у а у.
A7*)
Во всех трех случаях повороту вокруг оси хк на угол ф
в положительном направлении соответствует унитарная ма-
матрица
A8)
S = cos -f- — i sin -y aXk,
причем этот результат не зависит от выбора матриц ah- Обоб-
Обобщая это, мы можем утверждать, что пространственному пово-
повороту на угол со вокруг оси с направляющими косинусами /, т, п
соответствует матрица
S==cos-^—i sin -у {lax + тау + noz).	A9)
Рассмотрим теперь собственное преобразование Лоренца E),
которое напишем в виде
= х2,
4 =
B0).

§ 7]	ВИД МАТРИЦЫ S ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА	307
Положим
?«th«,	B1)
так что
v
,-!—r-cha,	,-	r-shll.	B1*)
В этом случае параметры будут
и матрица S, которая здесь уже не будет унитарной, но при на-
нашем выборе матриц ah по-прежнему будет вида A), напишется
5 = ch|-sh|-a3)	B3)
или
5 = ch ~ — sh -|- a3.	B4)
Легко проверить, что и теперь соотношения A1) § 6 выпол-
выполняются.
Для преобразования Лоренца, соответствующего движению
со скоростью v = с th и вдоль оси xh, матрица 5 будет
S = ch~-sh-|-aA,	B5)
а для преобразования, соответствующего движению по направ-
направлению с косинусами I, т, п, матрица S напишется
Таким образом, во всех случаях можно найти матрицу 5 вида
A), удовлетворяющую условиям A1) § 6. Тем самым доказана
инвариантность волнового уравнения по отношению к преобра-
преобразованию Лоренца.
Заметим, что параметры Кэйлея — Клейна, а значит и мат-
матрица 5, определяются для данного поворота лишь с точностью
до знака. В наших формулах знак матрицы S выбран так, чтобы
бесконечно малому повороту, или преобразованию Лоренца
с бесконечно малой скоростью, соответствовала матрица, беско-
бесконечно мало отличающаяся от S = + 1.

308	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
§ 8. Вектор тока
Мы видели, что каждому преобразованию Лоренца соответ-
соответствует определенное (с точностью до знака) преобразование
функций грь г|з2, ^з. ^4- Эти функции представляют, таким обра-
образом, своеобразную геометрическую величину, подобную вектору
или тензору, которую можно назвать «тензором половинного
ранга» или «полувектором». Название это оправдывается тем,
что некоторые квадратичные комбинации \р преобразуются как
четырехмерный вектор. В самом деле, положим
Л* = Ч>М> (* = 0, 1, 2, 3, 4, 5),	A)
или подробнее (при нашем выборе ak)
А =
А = i
А = — t
}	B)
= №l — ^2 + ^3^3 — ^4^4.
Формулы A1) § 6 дают тогда
3
А\ = гр'аг\р' = ^S+a,Si|) = -фа^ = ? екаыАк {1 = 0, 1,2, 3),
:=0
а эти равенства показывают, что Ао, Аи А2, Л3 преобразуются
как составляющие четырехмерного вектора. Формулы же A2)
§ 6 и D) § 7 дают
Л4 = Л4, Ai = As,	D)
а это значит, что величины А4 и А5 суть четырехмерные инва-
инварианты. Величины /4ft связаны соотношением
Л1 + л! + ЛзЧЛ4 + 4 = Ло.	E)
Покажем, что если величины Ah составлены из функций ф,
удовлетворяющих волновому уравнению, то имеет место равен-
равенство
d^i . дА2 , дАг , 1 ,аЛ0 п	,~
-Г + + +	==0	^

§ 9]	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛЯ	309
Для этого выпишем уравнение (9) § 6 и сопряженное с ним
я
I
k=0
я
Едф	. тс -	п	,_*>
— щ-1 — ^ = 0.	G*)
k=0
Умножим первое из этих уравнений слева на ф, а второе справа
на г); и результаты сложим. Вторые члены в уравнениях сокра-
сократятся, и мы получим
я
™	=0,	(8)
т. е. уравнение F).
Интегрируя F) по некоторому объему V, ограниченному по-
поверхностью а, получим
-^ ] A, dx = — с J [Л, cos (л, х) + Л2 cos (я, у) + Л3соз(л, г)] йт. (9)
V
Физическое значение Ло есть плотность вероятности. Эта ве-
величина играет роль ajjtjj теории Шредингера. Из сравнения F)
и (9) с формулами (9) и G) § 2 гл. III ч. II вытекает, что век-
вектор cAh играет роль вектора S теории Шредингера и представ-
представляет аналог плотности потока электронов. Классической плот-
плотности электричества р и вектору тока pv соответствуют, таким
образом, квантовые аналоги
— еЩ = — еА0,	A0)
F = 1,2,3). A1)
§ 9. Уравнение Дирака при наличии поля. Уравнения движения
Выведенное в предыдущих параграфах волновое уравнение
для свободного электрона имело вид
ih^ = 0,	A).
где оператор энергии Н был равен
Н = с{щрх + а2ру + щрг) + тс2а^.	B)
Нам нужно обобщить это уравнение на случай наличия элек-
электромагнитного поля. Классическая Гамильтонова функция для
поля (9) § 2 получается из функции без поля, если к этой по-

310	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
следней прибавить потенциальную энергию —е<р и заменить «мо-
«моменты» рх, ру, рг составляющими количества движения Рх, Ру, Р2
по формулам G) § 2. Подобную замену мы делали уже в теории
Паули. Попробуем сделать такую замену и в нашем релятивист-
релятивистском квантовом операторе B) и положим
Н = с \ахРх + а2Ри + а3Рг] + тс2а4 - е<р,	C)
где
Р» = Рх + ТА*> РУ=РУ + ТАУ> Рг = Рг + ^Аг	D)
и под рх, ру, рг мы по-прежнему разумеем операторы
ч- д	., д	.. д
дх	ду	дг
Главным обоснованием такого перехода от уравнения без
поля к уравнению для электрона в электромагнитном поле яв-
являются следующие соображения. Непосредственно наблюдаем
мыми физическими величинами являются электрическое и маг-
магнитное поля & -л Ж. Потенциалы же являются вспомогатель-
вспомогательными математическими величинами, определяемыми лишь с точ-
точностью до преобразования
А'^Л + grad/, ф' = ф-1|.,	E)
которое оставляет поле без изменения. Мы должны поэтому по-
потребовать, чтобы все физические следствия, вытекающие из вол-
волнового уравнения, оставались без изменения при замене А и q>
на А' и ф'. Это требование будет выполняться в том случае, если
такой замене будет соответствовать унитарное преобразование
операторов и волновых функций. Покажем, что последнее дей-
действительно будет иметь место, если оператор энергии будет
иметь вид C).
Обозначим через Н' оператор вида C), в котором А и ф за-
заменены на А' и ф' по формуле E). На основании равенств вида
V F)
нетрудно показать, что если i|) удовлетворяет уравнению A),
то функция
tef
$' = е Нс$	G)
будет решением уравнения
H'tf-ih&-=*0.	(8)
Таким образом, прибавке градиента к вектор-потенциалу со-
соответствует введение фазового множителя в волновую функцию,
т. е. частный вид унитарного преобразования.

I 91	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛЯ	31 ^
Очевидно, что волновое уравнение A) с оператором энер-
энергии C) остается инвариантным по отношению к преобразова-
преобразованиям Лоренца, так как вектор-потенциал преобразуется по тому
1 д
же закону, как градиент, а скалярный потенциал, как	-гг.
Кроме того, как нетрудно проверить, по-прежнему будет иметь
место равенство F) § 8.
Формальной поверкой нового волнового уравнения могут
служить уравнения движения. Припоминая формулу B2) § 13
гл. III ч. I, для полной производной некоторого оператора L по
времени
подставим в нее вместо L последовательно х, у, z, Рх, Ру, Pz и
посмотрим, получатся ли у нас классические уравнения движе-
движения, подобно тому, как они получались из теории Шредингера.
Полагая
L = x, у, z,
получаем
.	 dx_		.	dy_		.	dz_		,._.
dt	dt	'	dt	^
Таковы операторы для составляющих скорости электрона.
Они не коммутируют между собой, и квадрат каждого из них
равен с2, т. е. квадрату скорости света. Собственные значения
каждого из них равны ±с. Таким образом, выходит, что каждая
из составляющих скорости электрона может, будучи измеренной,
принимать только значения ±с. Вопрос о том, имеет ли этот
парадоксальный результат физический смысл, остается откры-
открытым. Автор склонен видеть в нем недочет теории Дирака.
Положим теперь
Q
и вычислим —rf-. Для этого находим сперва
I	е (dAz дАп\ е
1>
i {РХРУ - РУРХ) = е- №¦ - %
Ь v х у v *> с \ дх ду
На основании этого имеем
^Г = 7 Чг + "F [«2 (рур* - р*ру) + «з (Р,Р* - РхРг)] -
f

312
ИЛИ
ТЕОРИЯ ДИРАКА
dt
— е&х.
[Ч. V
A2)
Введем теперь операторы х, у, z по формуле A0) и при-
присоединим к A2) уравнения для
dPy
It
dP,
dt
¦. Мы получим
dPy
dt
dPz
dt
- уЖх) -
= FX,
r == * y>
• =FZ.
A3)
Эти уравнения в точности совпадают с классическими урав-
уравнениями B) § 2.
§ 10. Момент количества движения и вектор спина
в теории Дирака
Рассмотрим теперь производные по времени от операторов
Ох, <Уу, 0z, представляющих обобщение операторов Паули. Для
вычисления их удобно выразить по формулам E) и A0) § 4
матрицы ak в операторе энергии C) § 9 через р и а и писать
этот оператор в виде
ахРх
azPz) + тс\ -еФ.
A)
Помня, что операторы а коммутируют с операторами р, на-
находим по общей формуле (9) § 9 для производной по времени
^f- = -^- [{оуох — охОу) Ру + {огах — ахаг) Рг].
Отсюда, на основании свойств F) § 4 матриц а, получаем
Это и два аналогичных соотношения переписываем, на осно-
основании выражений A0) § 4 для матриц ak через р и а и урав-
уравнений движения A0) § 9, в виде
C)
~2 dt
уРх.

§ 10]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДРИЖЕНИЯ И ВЕКТОР СПИНА	313
В классической механике Рх, Ру, Рг пропорциональны х, у, z
и правые части уравнений C) обратились бы в нуль; левые ча-
части также были бы равны нулю, так как переходу к классиче-
классической механике соответствует Ь = 0. Заметим, что порядок мно-
множителей в правых частях C) безразличен.
Правую часть первого уравнения C) можно написать в виде
d	dPz dPu
P + P(PP) +	f
Если заменить здесь Pv и Pz их выражениями из уравнений
движения A3) § 9, то уравнения C) дадут
= yFz — zFy	D)
и аналогично
— (zP — xP 4-— a} = ?F —xF )
j< \zrx xrz-x- „ Uji — ггх л.гz, i
d t	h Л	Г	D*)
^- (хЯ^ - УЯ, + т агJ = x/=\, - г/^. J
Эти уравнения можно толковать как аналог закону класси-
классической механики, согласно которому производная по времени от
момента количества движения равна моменту действующих сил.
Момент количества движения имеет здесь вид
~2 ох
E)
Эти выражения представляют обобщение тех, которые были под-
подробно изучены нами в разделах этой книги, посвященных теории
Паули. Они переходят в выражения Паули, если положить век-
вектор-потенциал равным нулю (так что Рх = рх, Ру = pv, Pz = pz)
и взять для операторов ах, %, oz представление в виде двухряд-
двухрядных матриц Паули.
Рассмотрим соответствующее обобщение оператора
Р = охРх + ауРу + azPz,	F)
уже изученного нами при изложении теории Паули. Составим
производную от оператора Р по времени, соответствующую опе-
оператору энергии A). Оператор энергии можно выразить через Р
следующим образом:
Я = сраР + тс2рс - еФ,	G)

314	ТЕОРИЯ ДИРАКА	'	[Ч. V
Отсюда видно, что единственным членом в Я, не коммути-
коммутирующим с Р, будет член, содержащий скалярный потенциал.
Поэтому
dt dt ^ Ь
е( дАх	дАу	dAz\	( дФ	дФ	дФ
{	+	+	)
ИЛИ
—
= — е {охёх -+- оу&у + агёг).	(8)
Таким образом, производная от Р по времени пропорцио-
пропорциональна скалярному произведению электрического поля на век-
вектор спина а, и, когда электрическое поле равно нулю, оператор
Р будет интегралом уравнений движения. Заметим, что такое
же уравнение движения для оператора Р получилось бы и
в теории Паули, где оператор входит в выражение для опера-
оператора энергии не линейно, а квадратично.
В теории Паули мы встречались с оператором
Ж = ахтх + ауту + ozmz + h.	(9)
Мы показали там, что этот оператор антикоммутирует с опе-
оператором Р. Поэтому оператор Ж не будет интегралом уравне-
уравнений движения теории Дирака даже для свободного электрона.
Но в силу того, что матрица рс антикоммутирует с матрицей ро,
входящей в первый член выражения G) для Н и коммутирует
с остальными членами, оператор Мт> = рсЖ будет, при отсутст-
отсутствии поля, коммутировать со всеми членами оператора Я и тем
самым будет интегралом уравнений движения.
При отсутствии поля оператор Ж может быть написан в виде
J[ = oxJ(x + OyJ[y + ozJ[z — Y<	A0)
где Жх, Жу, Жг имеют значения E). Будем разуметь под Ж
выражение A0) также и в том случае, когда входящие в фор-
формулы E) операторы количества движения Рх, Ру, Рг содержат
вектор-потенциал. Составим для этого (общего) случая выра-
выражение для полной производной по времени от оператора
J4-D = 9с^- Мы будем иметь
dt~ ~ ~lt ^Ж) =
= - ерс[ах {уёг - 2ёу) + а у (гё\ - x%z) + az (хё\ - уёх)\
[а, (уЖг - гЖу) + ау (гЖх - хЖг) + аг {хЖу - уШх)\.

§ 1II	КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНА	315
Правая часть этого выражения обращается в нуль не только-
при отсутствии поля, но и в том важном для физических прило-
приложений случае, когда магнитное поле равно нулю, а электриче-
электрическое поле направлено по радиус-вектору (центральное поле).
Задача об электроне в поле с центральной симметрией будет
рассмотрена в следующей главе.
§ 11. Кинетическая энергия электрона
Если мы в выражении C) § 9 или A) § 10 для оператора
полной энергии электрона отбросим член с потенциальной энер-
энергией, мы получим оператор
Т = с (щРх + а2Ру + а3Рг) + тс\,	A >
или
Т = сра (ахРх + ауРу + агРг) + шс2Рс,	B)
который можно толковать как оператор для кинетической энер-
энергии, представляющий аналог классической величины
где v — скорость, ар — количество движения электрона. Это
толкование подтверждается, во-первых, аналогией между кван-
квантовым и классическим выражением для производной от Т по-
времени и, во-вторых тем, что собственные значения опера-
оператора Т по абсолютной величине больше тс2. Еще ближе будет
аналогия, если мы будем сопоставлять классическим величинам
не самый оператор Т, а усредненное значение Гейзенберговой
матрицы для этого оператора, которое мы найдем в следующем
параграфе.
Составим прежде всего выражение для производной от опе-
оператора Т по времени. Мы имеем по общей формуле
¦W-W + j(HT-TH^	D)
причем
Н = Т — еФ.	E)
Но Т зависит явно от времени только через посредства
вектор-потенциала, входящего в операторы Рх, Ру, Рг. С другой
стороны, единственный член в Я, который не коммутирует с Т„
есть — еФ. Поэтому будет
dT ( дАх	дАу	дАл	( дФ	дф	дф

316	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
ИЛИ
*L = - ее (щ$х + а^у + щ8г).	F*)
Но в § 9 мы видели, что, согласно уравнению Дипака,
х = сщ, у = са2, z = ca3.	G)
Поэтому формулу F*) можно написать в виде
4L = -e(i$x + ggy + ?gt).	(8)
Формально это выражение в точности совпадает с уравнением
C) § 2.
Чтобы убедиться, что собственные значения оператора Т по
абсолютной величине больше тс2, составим его квадрат. Мы
получим, пользуясь формулой B) и свойствами матриц р,
Г = т2с* + сгР\	(9)
Второй член представляет умноженный на с2 квадрат самосо-
самосопряженного оператора
P = oxPx + oyPy + ozPz,	A0)
уже изученного нами в теории Паули (ч. III). Если мы обозна-
обозначим его собственные значения (которые будут вещественны)
через Р', то собственные значения Т2 будут
Г2 = с2(т2с2 + Р'2).	(И)
так что
T' = ±c-\Jm2c2 + P'2	A2)
и, следовательно,
\Г\>тс2.	A3)
В формуле A2) мы написали перед выражением с квадрат-
квадратным корнем двойной знак. Покажем, что в самом деле теория
дает для кинетической энергии собственные значения обоих
знаков. Напишем уравнение для собственных функций опера-
оператора Т:
Гф = сра (охРх + оуРу + azPz) ф + тс29с$ = Т% A4)
Если функция ф есть решение этого уравнения для собствен-
собственного значения Т, то функция
Ф* = РьФ	A5)
будет решением для собственного значения —Т. В самом деле,
в силу того, что матрица рь коммутирует с матрицами ах, ау, аг
и антикоммутирует с р, и рс, мы будем иметь

§ 12)	ВТОРАЯ ВНУТРЕННЯЯ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ ЭЛЕКТРОНА	317
т. е.
7у = _Га|Л	A6)
что и доказывает наше утверждение.
§ 12. Вторая внутренняя степень свободы электрона
Возможность отрицательных значений кинетической энер-
энергии представляет существенную трудность теории. Эта труд-
трудность тесно связана с отмеченным выше парадоксом, который
заключается в том, что собственные значения операторов скоро-
скорости равны ±с. И то и другое представляет проявление второй
внутренней степени свободы электрона, описываемой операто-
операторами ра, рь, рс (первой внутренней степенью свободы мы счи-
считаем ту, которая описывается вектором спина с составляющими
ах, Оу, Oz) ¦ Эта вторая внутренняя степень свободы имеет реля-
релятивистское происхождение. Физическое значение ее состоит, по-
видимому, в том, что уравнение Дирака в известном смысле
описывает не только электроны, но и позитроны — частицы с той
же массой, как электроны, но с зарядом, равным по величине и
противоположным по знаку заряду электрона.
При таком понимании уравнения Дирака оказывается невоз-
невозможным полностью сохранить обычную интерпретацию волно-
волновой функции как величины, описывающей состояние одной час-
частицы. Обычная интерпретация остается в известном смысле при-
применимой к тем величинам (и прежде всего к тем элементам
Гейзенберговых матриц), которые не связаны с переходами из
состояний с положительной энергией в состояния с отрицатель-
отрицательной энергией (или с обратными переходами). Чтобы выделить
эти величины, нужно построить для соответствующих операто-
операторов Гейзенберговы матрицы и отбросить в них те элементы,
которые относятся к переходам между значениями энергии про-
тивоположных знаков (между значениями порядка -\-tnc2 и по*
рядка —тс2). Поскольку эти элементы матрицы содержат бы-
стропеременные множители типа е±ш, где частота со порядка
—-г—, такая операция приближенно соответствует усреднению
за промежуток времени, большой по сравнению с 1/со, но малый
по сравнению с обратной величиной частот, соответствующих
обычным переходам. Проиллюстрируем эти соображения на
простом примере.
Построим Гейзенберговы матрицы для операторов ра, р6, рс,
входящих в оператор энергии
Н = сра (охРх + вуРу + агРг) + тс2рс ~еФ.	A)
Согласно формуле (8) § 4, эти операторы удовлетворяют

ТЕОРИЯ ДИРАКА
318
соотношениям
р< = 1, Р2й=1
РбРе = iPa, PcPa =
Пользуясь обозначением
¦=,.}
напишем оператор энергии в виде
Н = сраР + тс2рс — еФ.
[Ч V
B)
C)
D)
Принимая формулу (8) § 10
ау&у + аг8г),
мы можем утверждать, что при отсутствии электрического поля
величина Р является константой движения.
Для построения Гейзенберговых матриц операторов ра, рь, р0
составим для них уравнения движения. Полагая для краткости
со = -
2тс2
мы получим
ЧГ
dpb	p
—тг = cop™ — со — pr, \
dt	va	me VCJ !
dt
F)
G)
J
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая, когда
электрическое поле отсутствует. Поскольку в этом случае Р
есть константа движения, мы можем в уравнениях G) разуметь
под Р не оператор C), а эту константу. Тогда эти уравнения
будут иметь постоянные коэффициенты и решаются весьма
просто.
Введем вместо ра, рь, рс три матрицы
1 +
Р2
(8)
Эти матрицы удовлетворяют таким же соотношениям B), как
^b == Рь>
1	( P , \

§ 12]	ВТОРАЯ ВНУТРЕННЯЯ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ ЭЛЕКТРОНА
и матрицы ра, Pi, pc, а именно,
319
О)
Матрицы р выражаются через матрицы т по формулам
ST Va "Г" тс ХЧ '
V
1 +
т2с2
ф
Р2
(Ю)
коэффициенты которых отличаются от коэффициентов в фор-
формулах (8) только знаком при Р.
Уравнения движения для матриц т будут иметь вид
dXg
dt ~~
dt
dt
= 0,
(П)
где для краткости положено
Уравнения A1) с условиями (9) легко решить. Мы будем иметь
%а = — Tj Sin Vt — Т2 COS Vt, "J
rb = T) cos v^ — т2 sin v/, /¦	A3)
тс = t3,	)
где ti, т2, т3 — постоянные матрицы, удовлетворяющие соотно-
соотношениям
т?-1, т?=1, т|=1,	|
A4)
аналогичным формулам (9).
Применим к найденным Гейзенберговым матрицам опера-
операцию усреднения, о которой мы говорили в начале этого параг-
параграфа. Мы будем иметь
Тд = 0, тй —0, тс = т3.	A5)

320	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Таким образом, усредненные значения Гейзенберговых матриц
для операторов р получаются равными
Р	п	тс
Т Р 0 Р	Х
Р	п
Ра = /—г-2-T-d^ Т3' Р* = 0> Ре = /-ГТТ
¦\т2с2 + Р-	л/т2с2 4-
Подставляя эти значения в оператор энергии D), будем иметь
Н = ст3 л/т2с2 + Р2- еФ.	A7)
Если учесть, что тз — постоянная, квадрат которой равен еди-
единице, то это выражение полностью соответствует классическому
выражению C) § 11 для кинетической энергии.
§ 13. Уравнения второго порядка
Из волнового уравнения Дирака, представляющего систему
четырех дифференциальных уравнений первого порядка для че-
четырех функций, можно исключить две функции и составить си-
систему двух уравнений второго порядка для двух функций каж-
каждое. Из этой системы можно затем, путем предельного перехода
с->-оо, получить нерелятивистское волновое уравнение для элек-
электрона в магнитном поле. Это приводит нас к теории Паули,
рассмотренной в части III этой книги.
Так как вывод уравнения Паули из уравнения Дирака пред-
представляет интерес и сам по себе, мы приведем его здесь, хотя
результат известен нам заранее.
Чтобы получить из волнового уравнения Дирака систему
двух уравнений второго порядка, напишем волновое уравнение
в виде
/Й^-,	A)
где Т есть рассмотренный в § 11 оператор кинетической энер-
энергии электрона. Применим к обеим частям этого равенства опе-
оператор Т еще раз; мы получим после некоторых преобразований
2/ЙеФ -Ц- - Й2 ~^-.	B)
Выражение в квадратных скобках в правой части представ-
представляет, как легко видеть, умноженную на —ih полную производ-
производную оператора Т по времени, которую мы уже вычисляли (фор-
(формула E) § 11). Выражение для Т2 мы также вычисляли, но мы
должны его несколько преобразовать. Вычисляя оператор Р2 во

§ П]	УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	321
втором члене (9) § И, получим, на основании формул A1) § 9
и свойств матриц о,
f = tnc + с2 {Р\ + Р2У + Pt) + hec (ахЖх + оуЖу + агЖг). C)
Если раскрыть выражения вида
и воспользоваться для краткости векториальными обозначе-
обозначениями, получим отсюда
Т2 = т2с4 + с2р2 + 2ес (Л • р) - ihec A iv А + е2А2 + bee (a ¦ Ж). D)
Подставим это выражение в B) и воспользуемся формулой
(8) § 11 и соотношением
сПуЛ + 1^Г = 0.	E)
Мы получим
[т2с* + с2р2 + 2ес(Л-р) + е2(Л2- Ф2) + Нес (а ¦ Ж) + ihe (х • S)\ $ =
= 2^Ф^-Й2^.	F)
Это уравнение можно также написать в виде
G)
Написанное выражение представляет собой четыре уравнения
для четырех функций 1|зь ip2, Фз, ф4- При нашем выборе матриц
ось в первые два уравнения входят только первые две функции
гр 1 и 1|з2, а в последние два — только \|э3 и \р4) так что уравне-
уравнения G) распадаются на две отдельные системы.
Выражение G) отличается от релятивистского обобщения
уравнения Шредингера, предложенного разными авторами до
введения понятия электронного спина и до теории Дирака,
двумя последними членами, содержащими матрицы о и х.
Посмотрим, какое уравнение получается из F) или G), если
пренебречь поправкой на теорию относительности, т. е. произ-
произвести предельный переход с -> со в предположении, что энергия
частицы близка к энергии покоя тс2.
Для этого положим
o|) = i|)*e h	(8)
и будем считать, что г|)* меняется со временем весьма медленно
по сравнению с ф.

322 ТЕОРИЯ ДИРАКА	14. V
Для стационарных состояний это предположение	соответ*
ствует тому, что в выражении
г|) = г|Аг н	(9)
мы полагаем
W = mc2 + E	A0)
и считаем, что Е весьма мало по сравнению с тс2. Подставляя
выражение (8) в уравнение F) и деля на 2тс2, мы	получим
без пренебрежений
= 2S?[-'»«(*•« + («* 4-й-It)']*'- (">
Переходя здесь к пределу с->-оо, мы должны помнить, что
множитель \/с в членах, содержащих магнитные величины А
и Ж, происходит от употребления электростатических единиц,
т. е. является константой. Ввиду этого мы должны в левой части
A1) сохранить все члены, тогда как правую часть можно заме-
заменить нулем. Таким образом, приближенное уравнение будет
-Л + ^О.*)]*=*&-. A2)
Оператор в левой части уравнения A2)
будет самосопряженным. Если разуметь здесь под о совокуп-
совокупность двухрядных матриц Паули, то оператор Я* совпадет
с оператором Паули, рассмотренным в § 5 третьей части этой
книги, а волновое уравнение A2) совпадет с уравнением Паули.
Введение четырехрядных матриц ничего не изменит по суще-
существу, так как уравнение A2) для четырехкомпонентных функций
приведется тогда к двум эквивалентным системам уравнений
для двухкомнонентных функций.
То обстоятельство, что уравнение Паули получается из урав-
уравнения Дирака как приближение, является его дополнительным
обоснованием.
В заключение напишем волновое уравнение A2) в раскры-
раскрытом виде. Обозначая, согласно формуле A8) § 5 ч. III, через Я0
оператор
У
не содержащий матриц, мы будем иметь
°@'Я),	A5)

§ !3]	УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	323
где
есть величина магнитного момента электрона.
Разумея под 0 двухрядные матрицы Паули, введенные
в § 1 ч. III,
/01\	/<о-/\	/1 о \
и иод ф* двухкомпонентную волновую функцию (первые две
компоненты четырехкомпонентной функции Дирака), мы можем,
при нашем выборе матриц ах, ау, az (формулы B6) § 4 этой
главы), написать уравнение A2) в виде ,
*
н%+и° гад+(^ - эд 1>п - w 41=о, _
A8)
Аналогичный вид будут иметь уравнения для последних двух
компонент (t|)j и я|>*). Они будут отличаться от A8) изменением
знака в членах, происходящих от Gi и о?з (иначе говоря, в чле-
членах, пропорциональных Жх и Жг). При выборе матриц по Ди-
Дираку (формула A8) § 4) уравнения для последних двух компо^
нент будут простым повторением уравнений для первых двух.

Г л а в а И
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА К НЕКОТОРЫМ
ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
§ 1. Свободный электрон
Волновое уравнение для свободного электрона имеет вид
ib^- = 0,	A)
где, согласно G) § 3 и A3) § 4 гл. I,
Н = с {щрх + о.2ру + а3>2) + тс2а4,	B)
или
Я = сра (ахрх + Оуру + агрг) + тс2рс.	C)
Так как для свободного электрона имеет место закон сохране-
сохранения энергии, мы можем к волновому уравнению присоединить
уравнение для собственных функций оператора энергии
Ягр = Гя|).	D)
Далее, операторы рх, ру, рг коммутативны с Я и поэтому яв-
являются интегралами уравнений движения. Так как они комму-
коммутативны и между собой, мы можем считать составляющие коли-
количества движения заданными числами р'х, р'у> р'г и подчинить
функцию г|з добавочным условиям
E)
Математически это равносильно тому, что мы зависимость всех
четырех функций г^ от координат и времени предполагаем

§ 1]	СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН	325
в виде
т. е. рассматриваем плоскую волну.
Еще одним интегралом является оператор
Р = <*хРх + Оуру + Огрг,	G),
который коммутирует как с Н, чак и с рх, ру, pz. Мы можем,
следовательно, подчинить \р также условию
Ргр = Р%	(8)
С оператором Р мы уже встречались в теории Паули, но там
нам не приходилось вычислять его собственных функций, по-
поскольку в уравнение Паули входит только его квадрат, кото-
который при отсутствии поля равен
р2 = р1 + р1 + р1	(9)
Поэтому, когда р'х, р'у, р'г заданы, величина Р' может при-
принимать только два значения
+Ру+Рг-	(Ю)
Оператор Н, выраженный через Р, будет иметь вид
Н = сРаР + тс2рс.	A1)
Так как
//2 = mV + c2P2,	A2)
собственные значения W оператора Н будут
W = + VmV + c2P2 и W = — у m2c4 + c2P2. A3)
Таким образом, при заданном значении количества движения
мы имеем всего четыре решения
первое	W=-\-\W\,	p = -\-\p\t
второе	W = + \W\,	P = -\P\,
третье	W- — \W \,	р=.+\р\, '	^14^
четвертое	W- — \W\,	P = —\P\.
Первые два соответствуют положительной кинетической
энергии, из них первое — магнитному моменту или вектору
спина, совпадающему по направлению с направлением движе-
движения, и второе — направленному противоположно движению. По-
Последние два соответствуют отрицательной энергии и не имеют
физического смысла в рамках обычной квантовой механики,
оперирующей с сохраняющимся числом заряженных частиц;

326
ТЕОРИЯ ДИРАКА
14. V
в существовании таких решений мы уже убедились в общем слу-
случае в § 11 гл. I.
Найдем теперь собственные функции, описывающие эти че-
четыре состояния.
Мы имеет систему алгебраических уравнений D) и (8), ко-
которые напишем (отбросив везде штрихи) в виде
Г {<УхРх + ОуРу + GzPz) 1|> = /Ч,	A5)
I	(cpaP + mc^c)^ = W^.	A6)
Эти уравнения служат для определения четырехкомпонентной
функции тр. Но уравнение A5) сохраняет смысл и для двухком-
понентной функции теории Паули.
Если мы, согласно формулам § 1 ч. III, будем разуметь под
Ox, Oy, Qz матрицы Паули
то уравнения A5) напишутся
(Рх	1Ру) "§2 I Г2ЧЧ	' Ч> I	...
I _1_ • \	D I I	\*°/
Вследствие соотношения (9) определитель этой системы урав-
уравнений равен нулю. Мы можем положить
где X — постоянная.
Если же мы будем рассматривать A5) как уравнение для
четырехкомпонентной функции и возьмем, в соответствии с фор-
формулами B6) § 4 гл. I, в качестве ах, оу, oz матрицы
gx = su oy = s2, az = s3,	B0)
где
10 0 0
0—1 0 0
0 0-10
0 0 0 1
B1)
то уравнения A8) для функций tyi и г|>2 сохранят свой вид, но
к ним присоединятся два аналогичных уравнения для функций
г|з3 и гр4, а именно,
	(D
\Г X i 'Г у it	i~ *- • -j	i J' |	/ОО\
B3)
s,=
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0 0-1
0
1
0
0
— i
0
0
0
0
0
0
i
0
0
— i
0
' S3 —
Решение этих уравнений мы можем написать в виде

¦§ 1]
СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН
327
Таким образом, решение уравнения A5) для четырехкомпонент-
ной функции ф содержит две произвольные постоянные Я, и (д..
Отношение их можно определить из уравнения A6).
При нашем выборе матриц мы имеем, согласно B7) § 4 гл. I,
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
-1
о о -;1
о i
-i О
о о
о)
0
0
0
	1
0
0
1
0
0
1
0
0
—1
0
0
0
1
B4)
и уравнение A6) в раскрытом виде напишется
B5)
Выражая по формулам A9) и B3) компоненты волновой функ-
функции через Яиц, получим отсюда два уравнения
{W — сР) Я — mc2\i = 0, |
- тс2К + (W + сР) ц = О, J	B6)
которые повторяются в BE) по два раза. Эти уравнения дают
X _ W + сР _ тс2	т.
ц ~ тс2 ~ W -сР •	К '
Отсюда следует, что отношение Я/ц вещественно и его знак
совпадает со знаком энергии W. Из формул B7) следует также
Я2 + \х2 	 W	Я2 — jj.2 	 Р
тс2 ' 2Лц	тс
B8)
Подставляя найденные значения A9) и B3) компонент вол-
волновой функции в выражения для вектора тока, приведенные
в § 8 гл. I, и пользуясь соотношениями B8), мы будем иметь
Л5 = 0	B9)
и для пространственно-временных составляющих вектора тока
тс2 4 ' тс 4 г тс 4 й тс *
При И? > 0 можно нормировать функции ф так, чтобы было
А4 = тс2, а при W < 0 так, чтобы было Л4 — — т°2- Тогда будет
при W>0
Ao—W, Al = cpx, A2 = cpy, А3 = срг	C1)

328	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
и при W<0
Ao = — W, Ai = — cpx, A2 = — cpy, A3 = — cpz. C3)
Таким образом, пространственные компоненты вектора тока про-
пропорциональны количеству движения, а отношения их к времен-
временной компоненте соответствуют отношению скорости частицы и
скорости света.
В заключение заметим, что в нерелятивистском предельном
случае, когда энергия W близка к -\-тс2, величины X и j.i близки
друг к другу, вследствие чего имеют место приближенные ра-
равенства
Ч»1 « — Ч>4. Ф2~Фз (W>0).	C3)
Если же | р | -С тс, но энергия отрицательна, то будет
Ч>,»4>4, ^«-Фз № <0).	C4)
§ 2. Электрон в однородном магнитном поле
Влияние однородного магнитного поля на уровни энергии
электрона было рассмотрено нами в нерелятивистском прибли-
приближении в конце части III, посвященной теории Паули. Здесь мы
рассмотрим более простую задачу, предположив, что никакие
силы, кроме однородного магнитного поля, на электрон не дей-
действуют, но будем решать ее на основе'теории Дирака уже без
дальнейших пренебрежений.
Положим, поле направлено по оси z и по абсолютной вели-
величине равно \Ш\. Вектор-потенциал мы можем положить равным
Ах=-\\Ж\у, Ау = \\Ш\х, Л2 = 0,	A)
что соответствует в цилиндрических (полярных) координатах
B)
значениям
Ap = yl^lp2, Лр = 0, Л2 = 0.	A*)
Задачу нашу мы сформулируем в декартовых координатах и
перейдем к цилиндрическим (полярным) только в конце вычис-
вычислений.
Оператор энергии будет иметь вид
H = cpa(axPx + oyPy + azPz) + mc2Pc,	C)
где
Рх = Рх—&\Зв\у, Ру = Ру + -^\Ж\х, Pz = pz. D)
Здесь, как и в случае свободного электрона, интегралом урав-
уравнений движения является оператор
Р = <УХРХ + ОуРу + <УгРг, .	E)

$ 2]	ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	329
который входит в выражение для оператора Н. Другим интег-
интегралом будет оператор рг, который коммутирует с Р.
Мы можем поэтому рассматривать совокупную систему урав-
уравнений
F)
G)
г	(8)
Как и в случае свободного электрона, каждому собственному
значению оператора Р будут соответствовать два значения W,
а именно,
W=± л/т2с* + с2Р'2 .	(9)
Задача приводится к нахождению собственных функций опе-
оператора Р, т. е. к решению уравнения G). При нашем выборе
матриц первые два уравнения G) могут быть написаны в виде
(о{Рх + о2Ру + o3Pz) ф = Р'ф,	A0)
где ak — двухрядные матрицы Паули. Найдя i|)i и ф2 из этих
уравнений, мы можем получить затем г|з3 и ф4 из уравнения
A6) § 1.
Применяя к A0) оператор Р еще раз и пользуясь переста-
перестановочными соотношениями между операторами Рх, Ру, Рг (при*
веденными в § 5 ч. III и в § 9 гл. I ч. V), получим
= Р%	A1)
Если мы разделим это уравнение на 2т, то получим в левой
части оператор, входящий в оператор энергии Паули A9) § 5
ч. III и совпадающий с ним, если электрическое поле равно
нулю.
В уравнение A1) входит уже только одна матрица сг3, кото-
которая притом будет диагональной. Поэтому уравнение A1) рас-
распадается на два, причем каждое из них будет содержать только
одну функцию \|). Имея в виду C) и (8), мы можем написать
их в виде

330	ТЕОРИЯ ДИРАКА	14. V
Эти уравнения отличаются друг от друга только знаком у члена,
содержащего Й. Выразим в них операторы рх и ру через произ-
производные и положим для краткости
Мы получим
341 341
dx
A4)
A4*)
В полярных координатах B) эти уравнения принимают вид
A5)
A5*)
К этим уравнениям мы могли бы прийти и более прямым путем,
исходя из оператора Р, преобразованного по формулам § 6 ч. III
к цилиндрическим координатам.
Уравнения A5) и A5*) легко решаются разделением пере-
переменных. При этом достаточно рассмотреть уравнение для одной
из функций i|)i или гр2> так как в силу G) эти функции связаны
соотношениями
^	^ir + p',)*» A6*)
которые являются обобщением уравнений A8) § 1 на случай
наличия магнитного поля.
Уравнения A4) и A4*) получаются из A6) и A6*) в резуль-
результате исключения одной из функций г|л и гр2-
Положим
^2 = %e-im^f,	A7)
где Я есть постоянный множитель, т есть целое число, a f зави-
зависит только от р, и введем новую независимую переменную
$ = Ь92.	A8)

§ 2]	ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	331
Вытекающее из A5*) уравнение для / будет
Это уравнение только обозначениями отличается от уравне-
уравнения для функций, связанных с обобщенными полиномами Ла-
герра, которое было рассмотрено в гл. V ч. II, посвященной
теории Шредингера [уравнение C*) § 3 гл. V ч. II]. Мы видели,
что собственные значения оператора в левой части A9) суть
. . т + \ _ |ml + 1 ¦	, 0 , 2 ч
так что / будет целым неотрицательным числом
1 = 0, 1, 2, ...	B0)
При данном I число т может принимать значения
m = -t, -/+1, -.., -1, 0, 1, 2, ...	B1)
В качестве собственных функций мы можем взять при т > 0
_! HL
11т\Ъ) ¦—с g V/ Vb^>	Vzz/
при m < 0
/;» (I) = (-l)me" V^Q/T» (S),	B2*)
где Q суть обобщенные полиномы Лагерра, подробно исследо-
исследованные нами в § 4 гл. V ч. II. С этим значением ftm{Q мы
можем положить
Функция /ф1 выражается через ар2 по формуле A6), которую
в полярных координатах можно написать в виде
B4)
Подставляя сюда выражение B3) для г|э2, будем иметь
*i = — Я. , , е~'^+ »ф _— 2| -Jp- + (S - т)/ . B5)
Р —Pz	VI L rfg	J
На основании свойств полиномов Qp (ж):
^^-^-pQ;t\(x), [(9) § 4 гл. V ч. II]
x^^- + sQl(x) = (p + s)QTl(x), [A2) § 4 гл. V ч. II]

332	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
нетрудно показать, что как для положительных, так и для от-
отрицательных значений т имеет место равенство
[Ъ + F -т)!ш] = ~2tf«-..»+..	B6)
Подставляя B6) в B5), будем иметь
^	-	B7)
Равенства B7) и B3) перепишем для краткости в виде
% = Щ, % = Щ,	B8)
где ф° и iJj^ суть определенные выше функции.
Уравнения A0) для двухкомпонентной функции г|з представ-
представляют первые два уравнения системы .
$ = Pfip	B9)
для четырехкомпонентных функций. В уравнениях A0) аь аг, сгз
суть двухрядные матрицы Паули, а в уравнениях B9) su s2, s3
суть четырехрядные матрицы B1) § 1. Структура этих четырех-
четырехрядных матриц такова, что первые два уравнения системы B9)
совпадают, как мы только что говорили, с'уравнениями A0), а
последние два получаются из них заменой i|)i на —г|>4 и \|J на г^з-
Поэтому если функции B8) удовлетворяют первым двум урав-
уравнениям системы B9), то вместе с функциями
Ф3 = И& ^4 = — -Ф?	C0)
они будут удовлетворять всем уравнениям этой системы. Это
имеет место независимо от вида операторов Рх, Ру, Рг, в частно-
частности, и для рассмотренного нами в § 1 случая свободного элект-
электрона, причем уравнения A9) и B3) § 1 соответствуют уравне-
уравнениям B8) и C0) § 2.
Ввиду такого соответствия можно не повторять выкладок
§ 1, а только напомнить формулу A3) § 1, связывающую соб-
собственные значения W и Р':
C1)
и вытекающее из A3) § 2 выражение для Р':
C2)
В заключение заметим, что зависимость функций B3) и B7)
от угла ф показывает, что они являются собственными функ-
функциями оператора
%оа = р9+1оа	C3)

§ 3]	ЗАДАЧА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ	333
для собственного значения
C4)
Оператор Мг коммутирует со всеми тремя операторами Я, Р и
pz, входящими в уравнения F), G) и (8). Этот факт выражает
аксиальную симметрию рассматриваемой задачи.
§ 3. Интегралы уравнений движения в задаче
со сферической симметрией
Рассмотрим задачу об описании состояния электрона в поле
с центральной симметрией по теории Дирака. Та же задача
была разобрана нами по теории Шредингера в гл. IV и V ч. II;
кроме того, в части III, посвященной теории Паули, мы изучили
свойства момента количества движения электрона, обладающего
спином. Теперь мы познакомимся с теми отличиями, которые
вносятся теорией Дирака; эта теория объясняет наличие дубле-
дублетов и дает полную картину расщепления уровней энергии в маг-
магнитном поле.
. Подобно тому как это делается в классической механике,
удобно сперва рассматривать задачу в прямоугольных декарто-
декартовых координатах, а затем уже переходить к сферическим.
В прямоугольных координатах оператор энергии для нашего
случая имеет вид
Я = саа {Gxpx + Оуру + Gzpz) -f mc2pc + U{r),	A)
или
где
Р = °хРх + Оуру + Gzpz	C)
есть оператор, введенный нами при рассмотрении волнового
уравнения Паули [формула A1) § 5 ч. III). Различие здесь
только в том, что в теории Дирака операторы для составляющих
спина gx, cry, 0г представлены четырехрядными матрицами, а
в теории Паули — двухрядными.
В теории Паули были введены операторы
-^ haff,
D)

334	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
для составляющих полного (т. е. орбитального плюс спинового)
момента количества движения. Эти операторы удовлетворяют
перестановочным соотношениям
ЖуЖг-ЖгЖу = 1ПЖх, Л
ЖХЖУ — ЖУЖх = ШЖг, )
а составленный из них оператор
Ж = охЖх + ОуЖу + огЖг —s" /г,	F)
который можно представить в виде
Ж = охтх + ОуШу + огтг + П,	G)
коммутирует с каждым из операторов Жх, Жу, Жг. Кроме
того, как показано в § 5, ч. III, оператор М антикоммутирует
с оператором Р, определяемым формулой C):
ЖР •+ РЖ = 0.	(8)
В оператор энергии B) теории Дирака входит оператор Р,
умноженный на матрицу ра, и, кроме того, входят два члена,
коммутирующие с рс. Так как матрицы ра и рс антикоммутируют,
то отсюда непосредственно следует, что оператор
g — п # — #n	(Q\
будет коммутировать с раР, а тем самым и со всеми членами
оператора энергии Я, так что мы имеем
fj М 	 j0 fj __ Q	A0^
а значит и
Таким образом, для поля со сферической симметрией величина,
соответствующая оператору Жв, будет постоянной. Для произ-
произвольного поля производная по времени от этой величины была
вычислена нами в § 10 гл. I (формула A1) § 10).
Мы убедились, что в задаче со сферической симметрией три
оператора: Я, Жо = рсЖ и Жг коммутируют между собой;
поэтому мы можем рассматривать совокупную систему урав-
уравнений
A2)

§41
ОБОБЩЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
335
Последние два уравнения тесно связаны с уравнениями для
шаровых функций со спином, которые мы изучали в части III
этой книги.
Мы обозначили здесь целое число, пропорциональное соб-
собственному значению оператора Жв, той же буквой k как целое
число, пропорциональное собственному значению оператора Ж
теории Паули (формула B2) § 1 ч. III). Это не может вызвать
недоразумений, поскольку число k принимает в обоих случаях
одни и те же значения и физический смысл операторов Ж и Жт>
в соответствующих теориях аналогичен.
§ 4. Обобщенные шаровые функции
Для нахождения общих собственных функций операторов
J(D = РсЖ и Жг необходимо преобразовать их к сферическим
координатам. Это преобразование мы будем сопровождать ка-
каноническим преобразованием четырехкомпонентной волновой
функции, аналогичным тому, какое применялось в § 2 ч. III
к двухкомпонентной волновой функции теории Паули.
Четырехрядные матрицы ах, av, oz, соответствующие нашему
выбору матриц Дирака, мы будем обозначать *) через Si, s2, s3.
Согласно формулам B6) § 4 гл. I ч. V, мы имеем
s,=
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
—1
0
> S2
0
i
0
0
— i
0
0
0
0
0
0
i
0
0
— i
0
. «3 =
10 0 0
0—1 0 0
0 0-10
0 0 0 1
A)
Чтобы выразить операторы Жг и Ж в сферических координа-
координатах, мы можем воспользоваться формулами, выведенными
в § 2 ч. III на основе теории Паули, с той только разницей, что
мы должны заменить фигурирующие в них матрицы аи 02, аз на
Sj, s2, s3. Выпишем главнейшие из этих формул вновь (в новых
обозначениях).
В сферических координатах г, ft, <р, связанных с прямоуголь-
прямоугольными х, у, z обычными соотношениями
x = r sin Ф cos ф, y = r sin* sin ф, z = r cos ft,	B)
операторы Жг и Ж имеют вид
		. и
C)
: (— Sj sin ф + s2 cos ф)
+ (-¦
— SaCtgfts^ + Ss^ + ft, D)
*) Смешения этих матриц с введенными в части IV операторами sx, sv,
s2 для составляющих спинового момента количества движения системы элек-
электронов можно не опасаться.

336
ТЕОРИЯ ДИРАКА
(Ч. V
где, как обычно, рг, /?й, рф означают операторы
Pr = ~lh-~r, Pt = ih-§?, Pv = — ib±.	E)
±.
(впрочем, оператор рг в выражения для Мг и Ж не входит).
Произведем каноническое преобразование операторов и функ-
функций по формулам, аналогичным G) и (8) § 6 ч. III, а именно,
2' = SZS+, т|/ = ЭД>	F)
где
_,	ф	I	.	•	ф	ГлЛ-	Ф	.	.	ф	/—Ч
S = cos-^- + is3sm-^-, S+ = cos у — is3sm-f-.	G)
После преобразования мы будем иметь
' = -sx ctg
s2 (ръ - -f- c
(9)
Применим затем преобразование, аналогичное B1) § 6 ч. III,
а именно,
где
71 = cos-|- + is2sin4-, r+ = cos-^-/s2sin^. A1)
Мы получим, как и в теории Паули,
Наконец, полагая
будем иметь
A2)
A3)
A4)
Согласно G) и A1), матрицы канонического преобразования S
и Т содержат только операторы slt s2, s3, но не содержат ра,
р6, рс. Поэтому вид этих последних операторов при преобразо-
преобразовании не меняется. В частности, мы имеем, согласно фор-
формуле B7) § 4 гл. I,
0 0 0 -Г
0 0 1 0
0 10 0
— 10 0 0
A5)

§4]
ОБОБЩЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
337
После умножения на рс уравнение для собственных функций
оператора M*D = рсЛ* можно написать в виде
Ж у =
A6)
Соответствующая уравнению A6) система уравнений для четырех
компонент функции ip* будет иметь вид
A7)
Если выразить операторы рф и рв через производные и изменить
знак в обеих частях некоторых из этих уравнений, мы можем
написать их в виде двух одинаковых систем уравнений для
двух функций каждая, а именно,
sin {
i
sin г'
/
sin -0-
/
> (Эф
} (Эф
*
dqp
*
Зф,
A8)
A8*)
Уравнения A8*) отличаются от A8) только знаком при k.
Такие уравнения уже встречались нам в теории Паули при
рассмотрении шаровых функций со спином (§ 3 ч. III). Мы их
писали там в виде
	1	dZ
sin ft	(Эф
1	dY
sin #	da
dZ
<ЭФ
dY
__,7
A9)

338	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Решением наших уравнений A8) и A8*) будут функции
B0)
где функции f(r) и g{r) уже от ¦& и ф не зависят. Зависимость
их от г определяется уравнением для собственных функций опе-
оператора энергии.
§ 5. Уравнение для радиальных функций
Обратимся теперь к оператору энергии. После преобразова-
преобразования к сферическим координатам его можно написать в виде
+ mc2Pc + U(r).	A)
Оператор Р* для четырехкомпонентных функций получается
из соответствующего оператора для двухкомпонентных функций
заменой матриц Паули а\, аг, аз на четырехрядные матрицы
S\, s2, s3. На основании формулы C7) § 6 ч. III мы имеем
Этот оператор связан с изученным в § 4 оператором
B)
таким же соотношением, как и в теории Паули (формула C8)
§ 6 ч. III), а именно,
P* = s3(pr + i^-).	D)
Мы предполагаем, что четырехкомпонентная функция ty* есть
собственная функция оператора
Жо^РсЖ\	E)
который (в отличие от Ж*) коммутирует с оператором энергии.
Поэтому мы можем воспользоваться формулой A6) § 4 и поло-
положить
*	*.	F)
В силу соотношения D), будет
)	G)

§5]
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
339
и, следовательно,
V = «3 (РаРг + 9Ь "у
(8)
+ cpbs3 -f^- +
В это уравнение входят матрицы
Таким образом, уравнение для собственных функций оператора
энергии напишется
+	f^ + mc2pe + ?/(r)}i|>'= Га|>*. (9)
»5Я. Хс = Ро	(Ю)
A1)
как и матрицы ра> ps, pc. Для удобства дальнейших вычислений
выпишем матрицы ха, ть, хс в явной форме. Мы имеем
A2)
которые удовлетворяют тем же соотношениям
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0'
0
0
—1
0
0
0
/
0
0
i
0
0
— i
0
0
— i
0
0
0
. *с —
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
A3)
Перепишем уравнение (9) в виде
Я*-ф* = { схаРг + схь~у- + тсНс + U (г) } V =
Пользуясь выражениями A2) для матриц ха, хь, хс, мы можем
написать уравнения A3) в раскрытом виде. После перенесения
члена с потенциальной энергией в правую часть мы получим
КП , *	о i *	/11/7	Т Т\ * *
—	1С-
—	ic-
' + ic-
\>; = (W-u)tf,
A4)
-cp2<f\-\-ic^\-mc% = {W -U)^\.
Подставляя сюда значения 1|з* из формулы B0) § 4 и заме-
заменяя оператор рг его выражением через производную, мы полу-
получим для радиальных функций /(г) и g(r) систему уравнений
повторенную два раза.
= {W-U)g,
A5)

340	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
§ 6. Сравнение с уравнением Шредингера
В уравнениях A5) § 5 можно избавиться от комплексных
коэффициентов, положив
= f T = h	A)
откуда
fi + tf2 = V2f, fi-t?2 = V2ff.	B)
Складывая и вычитая оба уравнения A5) § 5, получим для
новых функций f\ и /г систему из двух уравнений первого по-
порядка с вещественными коэффициентами
dfi k , _ - we2 -w + U
~dF~TTi~	Тс
df2 , k f _ — me2 + W — U
C)
Когда энергия W близка к ~-\-тс2, коэффициент при /г в пер-
первом уравнении гораздо больше коэффициента при /i во втором
уравнении; поэтому /г весьма мало по сравнению с ft:
I /2 К I /. I, '	D)
а следовательно, функции / и g в уравнении A5) § 5 почти
равны друг другу (и почти вещественны). Для сравнения си-
системы уравнений C) с уравнением Шредингера положим
Г 9 1 г*1	/г* \
?	? 	 U
и будем считать величины —j- и 	— весьма малыми по
сравнению с единицей. Если мы ими пренебрежем, мы получим
df, k	2mc
dr г м	Й '2>
'z I	f 0	 	 f О
/¦
где f° и /° — приближенные значения функций fx и f2. Исключая
из этих уравнений Ц, получим для f° уравнение
2m rfr2 ^ 2/иг2
Если мы положим здесь
—4
(8)

5 6]	СРАВНЕНИЕ С УРАВНЕНИЕМ ШРЕДИНГЕРА	341
то уравнение для R(r)
d2R . 2 dR k(k—\)D. 2m
(9)
в точности совпадет с уравнением Шредингера для радиальной
функции A6) § 3 гл. IV ч. II, если только Шредингеровское
квантовое число I связано с нашим квантовым числом k соот-
соотношением
k(k-l) = 1A + 1),	A0)
которое совпадает с A7) § 3 ч. III. Таким образом, введенное
в § 3 ч. III число / (т. е. порядок обыкновенных шаровых функ-
функций, через которые выражаются шаровые функции со спином)
есть не что иное, как азимутальное квантовое число теории
Шредингера.
Из уравнений C) можно исключить /2 и не делая пренебре-
пренебрежений; при этом получается
d2fi _ k(k—\) с , 2т_ ,р _
1	dU f dfx k f \ (Е- UJ
( dfx _ k f \ _
VdF r h)
2mc2 + E — U dr
В правой части стоят малые члены, представляющие по-
поправку на теорию относительности и на спин. Для двух зна-
значений
k = l + \ и k = -t,	A2)
для которых левая часть A1) одна и та же, значения этой по-
поправки различны. Разность поправок к уровням энергии (диаго-
(диагональных элементов матрицы для поправочных членов) дает при-
приближенное значение расстояния между термами, а именно,
о
где f^(г)— решение уравнения G), нормированное так, чтобы
было
оо
?(r)]2 rfr =1.	A4)
Отметим здесь одно преобразование уравнения A1). Если мы
положим.

342	ТЕОРИЯ ДИРАКА	14, V,
то уравнение для <р будет
iftp _ k(k — 1) . 2т_ /я _ц\ _
_	1	(\ d*V . * Л/\	(?-t/J „ .
2mc2 + E — i
(dU\*
?-?/)» VdT) ф'
Это уравнение уже не содержит первой производной от неиз-
dU
вестной функции. Если считать, что
"С тс, то последний
член в правой части A6) можно отбросить. В первом члене пра-
правой части можно пренебречь величиной Е—II по сравнению
с 2тс2.
§ 7. Общее исследование уравнений для радиальных
функций
Обратимся теперь к исследованию- уравнений C) § 6. Эти
уравнения имеют две особые точки:
г = 0 и г — оо.
Начнем с исследования вблизи г = 0. Положим, что при малых
г потенциальная энергия И (г) разлагается в ряд вида
Коэффициент —А\ равен, как мы уже отметили в § 7 гл. IV
ч. II, произведению заряда ядра We на заряд электрона —е, так
что А\ = Ne2.
Отбрасывая в коэффициентах правых частей уравнений C)
§ 6 все члены, кроме тех, которые обращаются в бесконечность
при г = 0, получим
~dr Т '' = Ъс ' Т '2 "г---- (
df2 I k f 	 A i 1 j ,
"лг + 7'2~7'Т'1"+" •••
Положим, что вблизи г = 0
и подставим эти выражения в уравнения B). Приравнивая
коэффициенты при гЕ-', получим систему- линейных однородных

S 7]	ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	343
уравнений
о, (в-А)+ -^-02 = 0, ]
— -j± ах + (е + k) а2 == О
для определения aj и а2. Эти уравнения имеют решение, если
определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю
е2 - k2 + ~ = 0.	E)
Отсюда получается для показателя s значение
-^т=±в0,	F)
где во есть положительная величина
е2
Постоянная -т- есть отвлеченное число, равное приблизи-
приблизительно -j^-.
Поэтому при всех допустимых значениях N и k величина,
стоящая под корнем в F), будет положительна. Постоянная
е2 1
носит название Зоммерфельдовской (Sommerfeld) постоянной
тонкой структуры.
Таким образом, вблизи /- = 0 общее решение уравнений C) § 6
имеет вид
Чтобы функции fi и /2 обращались в нуль при г = 0, необ-
необходимо, чтобы постоянная 6 равнялась нулю.
Если &2== 1, то ео= а/ 1 — (тзт) ^ *' Поэтому, хотя ^! и f2,
а следовательно, и гр* будут обращаться в нуль при г = 0, но
первоначальная функция ib = —f	 будет (для |й|=1) обра-
v
щаться при г->0 в бесконечность, как
(9)

344	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
В этом можно видеть некоторый недостаток теории. Это
обстоятельство связано, быть может, с тем, что нельзя экстра-
экстраполировать Кулонов закон притяжения на расстояния столь
малые, что
Ne2 .	о	/irw
— > тс2,	A0)
т. е.
r<N-S- Ю~13 см.	A1)
Займемся теперь исследованием уравнения для больших
значений г. Положим, как и в § 7 гл. IV ч. II, что на больших
расстояниях потенциальная энергия имеет вид
Будем искать решения уравнений C) § 6 в виде
Подставим эти выражения в уравнения и приравняем коэф-
коэффициенты в членах порядка еагг$ и еагг^~К Мы получим
, тс2 + W n I
аха+а2	^— = 0, |
а\	f~c	r-fl2a=0, j
, . , тс2 + W	.. ,.	А ]
b{a + b2	j-	= — a,(p— k) — a2l-, j
Приравнивая нулю определитель в уравнениях A4), полу-
получаем для постоянной а значения
a = ±-^Vffl2c4-r.	A6)
Левые части уравнений A5) имеют те же коэффициенты,
что и уравнения A4). Пользуясь тем, что определитель из этих
коэффициентов равен нулю, мы можем исключить из уравне-
уравнений A5) bi и Ь2< если умножим первое уравнение на —а, второе
тс2 -L Ш
на —гг1	 и сложим. Мы получим
тс2 _(- Ц7
откуда, выражая а2а и а2—т^— при помощи A4) через аи

§ 7]	ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	345
будем иметь после упрощений
Это уравнение дает для р значение
Постоянных b{ и b2 мы определять не будем.
Сообразно двум знакам у а общий интеграл будет иметь
вид
,.-с ^Г^(. +4+..
ИЛИ
( +-^-+...). A8*)
Если мы предположим
\W\>mc2,	A9)
то величины а и |3 будут часто мнимыми и функции /i и /2 будут
при г->оо оставаться конечными при любом выборе постоян-
постоянных С] и С2. Но эти постоянные мы можем выбрать так, чтобы
/i и /2 обращались в нуль при г = 0. Следовательно, мы можем
утверждать, что область A9) принадлежит сплошному спектру.
Точечного спектра в этой области быть не может, так как при а
чисто мнимом /i и /2 не обладают интегрируемым квадратом.
Если же
- тс2 < W < тс2,	B0)
то величина а будет вещественной: мы будем считать ее поло-
положительной. Поэтому функции f\ и /2 либо быстро возрастают
(если СуфО), либо быстро убывают (если С! = 0) на беско-
бесконечности, так что в этом промежутке сплошного спектра быть
не может, и либо существует точечный спектр, либо вообще нет
собственных значений.
Если, наконец,
W = ±mc2,	B1)
то величина а равна нулю, а р обращается в бесконечность, так
что выражения A8) становятся неприменимыми. Асимптотиче-

346	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
ские решения наших уравнений нужно искать в виде, аналогич-
аналогичном A1) § 7 гл. IV ч. II. Если мы положим
a°=V"T'	B2)
мы получим, путем рассуждений, аналогичных только что изло-
изложенным, для случая W = —тс2
и для случая W = + тс2
L
Когда мы имеем на больших расстояниях притяжение, то
Л >0 и величина ао вещественна. В этом случае точка W =
= -\-тс2 принадлежит к сплошному^ спектру энергии, а точка
W — —тс2 нет. В случае же отталкивания А <С 0 и ао чисто
мнимо; тогда к сплошному спектру относится точка W = —тс2,
а не W = +тс2.
Таким образом, мы установили, что областью сплошного
спектра будет в случае притяжения
W < — тс2, W^ + тс2 {А > 0)	B5)
и в случае отталкивания
W^-mc2, W>mc2 (Л<0),	B5*)
тогда как точечный спектр возможен только, если
\W\< me2.	B6)
Из уравнений C) § 6 для радиальных функций мы можем
вывести некоторые общие следствия относительно расположения
уровней энергии точечного спектра.
Умножая первое уравнение C) § 6 на /2 и второе на fi и
складывая, получим
¦? Ш = - -ш К™8 + W-U)ft + (me2 -W + U) ff]. B7)
Интегрируя это выражение от 0 до оо и учитывая поведение
функций точечного спектра на пределах, получим слева нуль,

§ 8]	КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА	347
тогда как правая часть дает
оо	оо
\u(f\- ff) dr = -\ {[тс"- + W) fl + (me* - W) Щ dr. B8)
о	о
Но мы знаем, что для точечного спектра W лежит между —тс2
и -\-tnc2, поэтому правая часть отрицательна, и мы имеем нера-
неравенство
00
\u(Pl-ff)dr<0.	B9)
о
Отсюда следует, что при U отрицательном (притяжение) f2
в среднем больше ]\. Как мы видели в § 6 формула D), это
будет в том случае, когда W близко к -{-тс2, т. е. когда W > 0.
Следовательно, в случае притяжения отрицательных уровней
энергии, принадлежащих точечному спектру, не существует.
В случае же отталкивания (?/>()) не существует положи-
положительных уровней энергии, но могут оказаться отрицательные.
Эти отрицательные уровни (как и состояния с отрицательной
кинетической энергией, о которых мы говорили в § 12 гл. I) не
могут иметь прямого физического смысла.
§ 8. Квантовые числа
Согласно результатам нашего исследования, стационарное
состояние электрона в центральном поле может быть характери-
характеризовано параметром энергии и квантовыми числами k и т, из ко-
которых первое связано с полным моментом количества движения,
а второе — с составляющей его по оси г. Для точечного спектра
энергия W будет зависеть от некоторого третьего (главного или
радиального) квантового числа, которое вводится при решении
уравнения для радиальных функций, и, кроме того, от числа k,
которое входит в эти уравнения как параметр. Таким образом,
здесь, как и в теории Шредингера, состояние электрона для
точечного спектра описывается тремя квантовыми числами, при-
причем энергия зависит от двух из них.
Как мы показали в § 6, главные члены уравнения второго
порядка, аналогичного уравнению Шредингера, содержат квад-
квадратичное выражение k(k—1), тогда как число k в отдельности
входит лишь в поправочный член. При этом k(k—1) входит
в уравнение так же, как /(/+ 1) в уравнении теории Шредин-
Шредингера, так что можно положить
k(k-l) = 1A+1),	A)

348	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
откуда
~~т
Поэтому те два уровня энергии, которые соответствуют од-
одному и тому же главному квантовому числу п и одному и тому
же / Гили k —"о" ) • но ДВУМ разным значениям k:
будут весьма близки друг к другу, они будут образовывать дуб-
дублет. Исключение представляет случай / = 0. Так как k не мо-
может принимать значения нуль, то остается только один уро-
уровень, для которого k = +1.
Расстояние между термами дублета было вычислено нами
в § 6 [формула A3)].
Таким образом, теория Дирака дает требуемое опытом уд-
удвоение (по сравнению с теорией Шредингера) уровней энергии,
причем уровень, для которого / = 0, получается простым, как
этого и требует опыт. В этом удвоении проявляется одна из двух
добавочных (внутренних) степеней свободы электрона, о кото-
которых мы говорили в § 12 гл. I.
Два уровня дублета принято отличать друг от друга значе-
значениями некоторого нового квантового числа, которое обозна-
обозначается буквой /. Квантовое число /, так же как и /, однозначно
выражается через k, а именно,
/ = 1*|-у-	D)
Таким образом, / может принимать положительные значе-
значения, равные целому числу с половиной.
Так как число значений магнитного квантового числа m при
данном k равно 2\k\, число / дает кратность уровня, которая
будет равна
21 ? | — 2j -у- 1.	E)
Из сравнения D) с B) следует, что / отличается от / на
гЬ'/г, а именно,
/ = I + —- при k > 0, |
*	F)
/ = / — у при k < 0. !
Зная I и /, можно по этой формуле получить знак k, а следова-
следовательно, и самое k.
В спектроскопии принято обозначать термы с различными
значениями / = 0, 1, 2, ... буквами S, P, D, ..., причем значе-
значение / приписывается у этих букв в качестве нижнего значка.

¦§ 9]	ГЕЙЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ И ПРАВИЛО ОТБОРА	349
Сопоставление квантовых чисел различным термам можно пред-
представить в виде следующей таблицы;
k = +\,	1 = 0,	/=1/2,	5,
k = -l,	1=1,	/=1/2,	Рщ,
k = + 2,	1=1,	/ = 3/2,	Яз/2,
? = -2,	/ = 2,	/ = 3/2,	Dm,
й = + 3,	1 = 2,	/ = 5/2,	Ds/2,
Вопрос о том, между какими термами возможны переходы,
решается на основании правила отбора.
§ 9. Гейзенберговы матрицы и правило отбора
Волновую функцию, соответствующую квантовым числам п,
к, т (где п — главное квантовое число), мы будем обозначать
буквой г|з или какой-нибудь другой буквой без штриха, а вол-
волновую функцию с квантовыми числами п', k', m' — символом г|/
или соответствующей буквой со штрихом (звездочку *, кото-
которой мы отмечали в § 4 волновые функции в сферических коор-
координатах, мы здесь отбрасываем).
Если функция г|з нормирована так, чтобы было
\ U Щ dr dft d<p = 1,	A)
то элемент Гейзенберговой матрицы для какой-нибудь из коор-
координат, например х, будет равен
(п, k, m\x\n', k', m')=
Если подставить в A) вместо i|I( ty,, i|K, i|34 их выражения B0) § 4,
условие нормировки напишется
/ + gg) (YY + ZZ) drd&dq>=l.	C)
Это условие будет выполнено, если
\
D)
9
И
я 2л
E)

350	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Подстановка же выражений B0) § 4 в формулу B) дает
(п, k, т \х I п', k', tn') = \ ^ х (ff + gg') (YY' + ZZ') dr db dq>. F)
Аналогичные выражения получаются для координат у и z.
Как и в теории Шредингера, тройные интегралы вида F)
разбиваются на произведения простых интегралов, и если мы
положим
rD(л, k; п', k')=\r(ff + gg')dr,	G)
о
то элементы Гейзенберговых матриц для координат х, у, z бу-
будут равны произведению величины G) соответственно на
(k, m\ sin О coscp]fe', m')= JJ sin*cos?Gr + ZZ')dbdy, (8>
(k, m\sinQsin<f\k',m')=Wsini>&in<f(YY' + ZZ')dbd(?, (9>
[ft, m| cos О |/г', m/)=55cosft(fr + ZZ')rf^d9.	A0)
Для вычисления этих интегралов выразим У и Z по фор-
формулам D) и A3) § 3 ч. III через ух .и г/2. Мы будем иметь
YY' + ZZ'=-± е1 <»'-«> «р (у^; + г/2^) sin О.	A1)
Вычислим сперва интеграл A0). Очевидно, что он будет от-
отличен от нуля только, если т' = т\ в этом же случае он будет
равен
(k, т | cos * | k', m) = ~ J cos «¦ (г/^; + г/^) sin О rf*, A2)
о
или, если мы воспользуемся обозначениями § 4 ч. III,
л
{k, m|cosft|fe'm) = yjjcosd-z/(/s, m,#)y(k', m, *)sin^rfO. A2*>
о
Выражая здесь произведение cosOy(&, m, ¦&) по формуле (9)
§ 4 ч. III
cos* • y(k, m, ¦&) —
мы можем, на основании ортогональности функций у, заклю-

$ 91 ГЕЙЗЕНБЕРГОВЫ МАТРИЦЫ И ПРАВИЛО ОТБОРА	351
чить, что интеграл A2) может быть отличен от	нуля только
в трех случаях:
k' = -k, k' = k + \, k' = k-\.	A4)
В этих же случаях он равен соответственным	коэффициен-
соответственным	коэффициентам в формуле A3), а именно,
(k, m|cosfl|-fc, От) = —gL±i,	A5)
(k, /fi|cos<>|ft + l, w)s=V(fc-mH* + m + lLt A5*)
-l,m) = A±f2)fe(i7|m),. A5**)
Аналогично вычисляются два первых интеграла (8) и (9).
Для вычисления удобно составить, подобно тому, как это мы де*
лали в § 9 гл. IV ч. II, их линейную комбинацию
{k, m\smbei<9\k', m') =
= JLjJe'<i»'-m+i>«Psin20-0(Jfe, m,®)y{k', m',b')d®dq,, A6)
которая будет, очевидно, отлична от нуля только, если т' =
= т — 1. При выполнении же этого условия она равна
{k, mlsmfte^lk', m — l) =
sin2O • r/(fe, m,®)y(k' m — \,b)db. A7)
о
Выразив здесь произведение sin# • y{k', m — 1, ¦&) по формуле A0)
§ 4 ч. Ill
^k'2l y(—kr, m, Ъ) -
Ak — 1
+	±1у(у+1>т|д)>
мы убедимся, что интеграл A7) отличен от нуля лишь в тех
трех случаях A4), когда он равен
Vfe'2 — m2
, m — 1) =
Akri -
1, m| sinОе" \k\ m - l)=
A9)

352	ТЕОРИЯ ДИРАКА
или, если мы выразим k' через k,
(k, m
[4. V
A9*)
Отсюда получаются по формулам, аналогичным B3) и B4) § 9
гл. IV ч. II, элементы матриц (8) и (9), которые мы выпишем
в виде таблицы:
ft'
m'
ft'
in
ft'
in
ft'
//(
?'
k'
in
= —
¦— in

— m
= k
— m
= ft
— in
= ft
= m
— ft
= m
-1
+ 1
— 1
+
+
—
—
;
;
;
+ i
(ft,
1
2
1 дЛ
2
1
2
1
2
m | sin d соэф
Vft^T^
4ft2-1
Vft2 — (m +
4ft2 — 1
V(ft — m)(k -
2ft+
fe + m+l)(ft
2ft+1
V(ft + m)(ft -f
2ft —
V(ft—m—1)(/
2ft-
|ft'
IJ
— m
1
+ rr
- m -
1
m')
+ 1)
+ 2)
-1)
г — in—2)
1
{
2
2
(ft, m | sin
.. Vft2
i V(^ —
2
V(ft + "i
г V(ft4
2
V(ft — m
ft sin ф
Vft2 — r
4ft2-
— (m +
4ft2- 1
m)(ft-
2ft + 1
+ D(ft
2ft + 1
- m)(ft -
2ft-
- l)(ft
2ft - 1
ft', m')
1
IJ
m+ 1)
+ m+2)
N- 1)
1
— m — 2)
Полученные результаты заключают в себе правило отбора,
на основании которого можно судить, между какими термами
переходы возможны и между какими они невозможны.
Правило отбора для квантового числа т будет то же, что
и в теории Шредингера, а именно, для координаты z (свет, по-
поляризованный по оси z)
т' = т	B0)
и для координат х и у (свет, поляризованный в плоскости ху)
m' = m±l.	B1)
Уровни, отличающиеся друг от друга значением квантового
числа т, можно различить лишь в магнитном поле, нанравлен-
ном по оси z\ поэтому неудивительно, что в правиле отбора для

§ 10]	ДРУГОЙ ВЫВОД ПРАВИЛА ОТБОРА	353
т ось z играет особую роль: ее направление физически отме-
отмечено направлением магнитного поля.
Правило отбора для k будет
К = К, К = к -р 1, К = К 1.	\^"^1
Согласно этому правилу, квантовое число / = k —к —j
всегда меняется на единицу, как и в теории Шредингера. Но не
все переходы вида /' = /± 1 возможны: необходимо еще второе
условие для квантового числа /, а именно, чтобы оно либо оста-
оставалось без изменения, либо менялось только на единицу. На-
Например, переход между термами А/, и ?Ь/2 возможен, тогда как
между А/2 и ?Ц он запрещен.
§ 10. Другой вывод правила отбора
Ввиду важности правила отбора, мы приведем здесь другой
его вывод, менее элементарный, но не требующий знания шаро-
шаровых функций. Идея этого вывода принадлежит Дираку.
Рассмотрим оператор

с собственными значениями
- — Пог
!)*.
Матрица этого оператора будет диагональной относительно
квантового числа т. Если мы будем писать только это кванто-
квантовое число, подразумевая остальные, то мы будем иметь
Рассмотрим теперь матрицы для координаты z с элементами
(m| e|m').
Из равенства между операторами
= Ъ	A)
вытекает следующее равенство между элементами матриц:
(т + у)й(т|2|т')-(т|2|т')(т'+1)А=0, B)
или
(т — т')(т|2|т')==0.	B*)
Следовательно, только те элементы матрицы для z отличны от
нуля, для которых т' = т. В этом заключается, как мы уже
знаем, правило отбора для z относительно квантового числа т.

354 ТЕОРИЯ ДИРАКА	14. V
Заметим теперь, что празила отбора для х, у,	г те же, что
для х = сраох, у = сраау, z = срдст2, поэтому мы	вместо коор-
координат х, у, z можем оперировать с матрицами
что в некоторых случаях бывает проще. Например, из равен-
равенства
Жга3 — аъЖг = О,
или
Лгг — гЖг = 0	C)
вытекает
(m — m')(m|z|m') = 0,	D>
т. е. прежний результат.
Выведем правило отбора для х и у или, что то же, для х
и у. Имеем
ЖгХ — XMZ == Сра {MZGX — ОхЖг)	y
или
Жгх — хЛг = ihy	E)
и аналогично
Лгу — уЖг = сра {Жгву — оуЖг) = — ihcpaax,
или
JT-.'./ — уЖг = — гйх.	F)
Умножая F) на i и складывая с E), будем иметь
Ж2 {х + iy) ~{x + iy) Жг = Н{х + iff).	G)
Переходя к элементам матрицы, получим
(m-m'-l)(m|i + a/]/n') = 0,	(8)
т. е. тот же результат, какой вытекает из A6) § 9.
Аналогично получается
(т — т' + \){т\х — iy\m') = 0.	(9)
Отсюда условие, чтобы элементы матрицы для х и для у
были отличны от нуля:
т' = т±1.	A0)
Этот вывод можно несколько видоизменить. Из E) и F) сле-
дует
Ж\х — 1ЖгхЖг + хЖ1 — Н2х = 0.	A1)
Переходя к элементам матриц, будем иметь
(т + уJ\т\ х\т') -2{т + j)(m\ x\m')(m'
+ {m\x'\m')(tn' +i-

•§ 10]	ДРУГОЙ ВЫВОД ПРАВИЛА ОТБОРА	355
или
{{т~-т'J — \]{т\х\т') = 0,	A2)
•откуда получается прежний результат A0).
Выведем теперь правило отбора относительно квантового
числа k. Величина kh есть собственное значение оператора
Жо = рсЖ,	A3)
где
Ж = ахтх-\-а!1ту-\-агтг-\-П.	A4)
¦Жа есть рассмотренное в § 3 обобщение оператора теории
Паули. Согласно формуле A8) § 1 ч. III, оператор Ж удо-
удовлетворяет соотношению
Ж2 = ПЖ + {т\ + т\ + т\).	A5)
Рассмотрим оператор
ЗЁ = ЛО {jChz — гЖъ) — (Л\± — ±Жь) Жо.	A6)
В силу формулы A3) и вытекающего из нее равенства
Ж% = Ж2,	A7)
оператор ? может быть написан в виде
& = (р,Ж) {Ж2г - гЖ2) - (Ж2г - гЖ2) (РсЖ).	A8)
Вследствие того, что матрица рс коммутирует с Ж и антиком-
мутирует с 2 = сраа2, мы можем написать выражение для S?
в виде
g = рс\Ж (ЖЧ - гЖ2) + {Ж2г - ±Ж2) Ж).	A9)
Но из формулы A5) вытекает равенство
Ж2г-гЖг=П{Ж± — ±Ж).	B0)
Пользуясь им, мы можем написать вместо A9)
2 = Прс [Ж (Жг - гЖ) + (Жг - гЖ) Ж].	A9*)
Здесь члены вида ЖгЖ сокращаются и мы получаем
а? = Прс{Ж2г-гЖ2)	B1)
и после повторного применения равенства B0)
& = П2рс (Жг - гЖ).	B2)
Возвращаясь к оператору Дирака Жо и учитывая антиком-
антикоммутативность z и рс, мы будем иметь
.	B3)

356	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Приравнивая исходное и окончательное выражения A6) и B3)
для оператора Я?, мы получим равенство
jfDz - JtDzJtl - JClzJto + zJ& - h2 {JtDz + zMD) = 0. B4)
Перейдем от операторов к матрицам в том представлении,
в каком оператор Жо диагоналей. Элемент матрицы для каж-
каждого члена в B4) получится из элемента матрицы {k \z\k') для z
умножением на собственные значения Ш или hk' оператора JlD
в соответствующей степени (на hk, если JlD стоит слева, и
на hk', если JCD стоит справа от ?). Сокращая на й3, будем
иметь
О3 - kk'2 - k2k' + k'3 - k - k') (k | z | k') = 0,	B5)
или
(k + k'){k-kf - l)(k — k'+ l)(*|z|*') = 0,	B5*)
откуда вытекает правило отбора относительно k:
k' = — k, k' = k+l, k' = k — \,	B6)
которое мы уже выводили иным путем.
§ 11. Атом водорода. Радиальные функции
Для атома водорода, в котором потенциальная энергия
равна
?/(/¦) = --f	A)
уравнения C) § 6 для радиальных функций, допускают точное
решение. В данном случае эти уравнения имеют вид
B)
Мы ограничимся рассмотрением точечного спектра, когда
W2<ni2ci. Положим
а Ьс '	W
причем будем считать а положительным. Имея в виду асимпто-
асимптотические формулы A8) § 7, введем в качестве новой	независи-
новой	независимой переменной величину
х = 2аг	D)
и положим
W = mc2cose, a = -^-sine @ < е < л).	E)

§ II] АТОМ ВОДОРОДА. РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	357
Символом y мы обозначим Зоммерфельдовскую	постоянную
тонкой структуры
е2 1	/С\
Y	F>
с которой мы уже встречались.
После замены переменных уравнения B) примут вид
± l\f	(
dx ^ xh~\ 2 tg 2
Угол e рграет здесь роль параметра: его нужно определить
так, чтобы уравнения G) имели решения, конечные и непрерыв-
непрерывные во всем промежутке 0 < х < оо и обращающиеся в нуль
при х = 0 и х = оо.
Введем теперь по формулам
/.=~. /2 = ^	(8)
2 sin—	2cos —
две новые функции F н G; эти функции выражаются через /j
и /2 следующим образом:
F (а:) = /, sin у + f2 cos 7. |
}	(9)
= -U sin| + f2cos|. j
Умножая первое уравнение G) на ± sin -|-, второе на cos —
и складывая, получим
Из этих уравнений мы можем исключить одну из функций G
или Z7; результатом исключения будет соответственно
или
Эти уравнения того же типа, как уравнение

358	ТЕОРИЯ ДИРАКА	.	[Ч. V
которое было нами подробно исследовано в главе, посвященной
нерелятивистской задаче об электроне в Кулоновом поле (§§ 3, 4
и 5 гл. V ч. II). Чтобы получить совпадение уравнения A1)
для F с уравнением A2) для у, достаточно положить
r72, p+| = Yctg8.	A3)
Для уравнения A1*) параметр s будет иметь то же значение,
а число р будет на единицу меньше. Следовательно, собственные
значения параметра у ctg e равны
(р = 0, 1, 2, ...),	A4)
а собственными функциями будут
T'^Ql(x),	A5)
Так как F и G связаны системой уравнений A0), отношение
постоянных С и С будет вполне определенным.
Решая первое из уравнений A0) относительно G, будем
иметь
sin e
С	1 _?
——	 v^P *
sin e
. A6)
Но по свойству полиномов Qp, выведенному нами ранее, мы
имеем
§	s)C#-i. 1A3*) § 4 гл. V ч. II]
Кроме того, из A3) следует
Поэтому функция G(x) равна
G М = С • (lib ~ k)
Тем самым постоянная С в A5*) выражена через С.
Постоянную С нужно определить из условия нормировки.
Обозначим, как мы это делали при изложении теории Шредин-

§ 11]	АТОМ ВОДОРОДА. РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	359
гера, буквой а атомную единицу длины
A9)
и буквой Г[ расстояние от ядра в атомных единицах, т. е. отно-
отношение
/¦!=¦?¦•	B0)
?
Постоянная а формулы C) будет равна
VmV - It?2 I sine
a =
r	=	,
nc	ay
так что переменная х связана с гх соотношение.
x = 2ar = 2-^-r,.	B2)
В качестве условия нормировки возьмем
\ + fbdrx = \,	B3)
о
или
о
Выражая ft и f2 через F и G, получим
f2 + f2 = -^1— (F2 + G2 — 2FG cos e).	B4)
Подставляя B4) в B3*) и принимая во внимание, что F и G
друг к другу ортогональны, мы можем написать условие нор-
нормировки в виде
оо
о
Вычисляя отсюда значение постоянной С, получим
B5)
или, на основании A7),
V sin е ) sin' 8
г2 _

360	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Отсюда, вводя функции
,S	1	1
будем иметь
B6)
Величину .Y удобно обозначать через и*:
Sin 8
Квадрат ее равен
B7)
- Y2 + &2>	B8)
так что величина п* мало отличается от целого числа
n = p + \k\,	B9)
Которое можно толковать как главное квантовое число.
Вводя п* в выражения B6) и B6*), можем написать их
в виде
(зо,
При данном главном квантовом числе п число k может
принимать значения
k = -n+\, -Л + 2....-1, +1, ..., п-\, п, C1)
всего 2п — 1 значение. Число k не может равняться —п, так как
тогда нижний значок Qp!_iB C0) стал бы отрицательным; значе-
значение же k = + п возможно, так как в этом случае, согласно B9),
будет р = 0 и, в силу B8), п* = k, так что множитель д/"* — &
при Q'p-i обращается в нуль.
Число р близко связано с радиальным квантовым числом пт
теории Шредингера; а именно, на основании равенств
и связи между / и k мы имеем
р = пг	при k>0
р = пг + 1 при /г < О
' ]	C2)

§ 12]	ТОНКАЯ СТРУКТУРА ВОДОРОДНЫХ ЛИНИЙ	361
Таким образом, мы нашли собственные функции, соответ-
соответствующие точечному спектру. Не представляет особого труда
найти решение наших уравнений для значения W = + тс2, со-
соответствующего границе между точечным и сплошным спектром,
а также для сплошного спектра, но на этом мы останавливаться
не будем.
§ 12. Тонкая структура водородных линий
Выразим теперь энергию через квантовые числа. Мы имеем,
на основании E) и A4) §11,
и/7	9	тс2 (р + -siк2 — V2)	,1Ч
W = тс2 cos е = —, г	г	(I)
V( V^2J + 2
или, на основании B7) § И,
J-^.	(Г)
Формула A) носит название формулы Зоммерфельда.
Как мы уже отметили в конце § 7, теория Дирака дает здесь
только положительные уровни. Наименьший уровень (основное
состояние водорода) соответствует квантовым числам k = + 1,
р = о, (п — 1), он равен
Wo —тс2 л/1 —у2.	B)
Весь точечный спектр располагается в промежутке
тс2 V1 — y2 ^ W < тс2,	C)
тогда как в промежутке
— mc2<W< тс2 Vl — у'г	D)
собственных значений энергии нет.
Для сравнения формулы Зоммерфельда с формулой Рид-
берга, полученной нами по теории Шредингера, мы перейдем
к приближенным формулам. Извлекая приближенно квадратный
корень в A*), мы будем иметь
W = mc2 л/l -JL = mc2-^^y--lJ^t-. E)
V	п*2	2 «*2	8 и*4	У '
Но, согласно F) и A9) § 11,
тогда как формулы B8) и B9) § 11 дают
G)

362	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
Пользуясь этими выражениями, получаем, с точностью до чле-
чле26
нов порядка mc2Y6
Ж
Первый член дает постоянную энергию (релятивистскую
энергию покоя). Второй член дает формулу Ридберга, а тре-
третий— релятивистскую поправку к ней. Эта поправка зависит не
только от главного квантового числа п, но и от числа к. Поэтому
уровень энергии водорода, который по теории Шредингера за-
зависел только от и и не менялся при изменении азимутального
квантового числа I, распадается здесь на ряд весьма близких
друг к другу уровней, которые получаются, если в формуле (8)
давать числу к все допустимые значения C1) § 11. В резуль-
результате получится наблюдаемая на опыте тонкая структура
водородных линий. Заметим, что уровни энергии зависят
только от модуля k (т. е. от /, а не от /), так что, например,
термы Рз/г и />/2 для водорода совпадают.
Найдем теперь разность тех уровней энергии, которые со-
соответствуют дублету общей теории центрального поля (дублету
щелочных металлов), т. е. величину
L\W = W (я, k) -W(n, —k + 1).	(9)
Формула (8) дает, если считать k > 0 и положить k = I + 1,
С другой стороны, мы вычисляли ту же величину для общего
случая центрального поля (формула A3) § 6). Применим эту
формулу к водороду. Мы имеем
jr.	A1)
о
В этой формуле мы должны положить
r = aru [f?(r)]2dr = r?^(r,)rfr,,	A2)
так что
оо
AE = ^Bl+\)\Rli(ri)^-.	A3)
о
Пользуясь выражением A1) § 6 гл. V ч. II для Rni{rx) и
2г,
вводя переменную интегрирования * = —, получим

§ 13]	ЯВЛЕНИЕ ЗЕЕМАНА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	363
Обозначим интеграл через /. Если мы положим п — I — 1 = р,
21 -\- 1 = s, его можно написать в виде
DO
/ = J xs-2e-x[Qls (x)f dx.	A5)
о
Этот интеграл мы уже вычисляли в § 4 гл. V ч. II [фор-
[формулы B1) и B3)], он равен
, _ 2р + s + 1	п
' (sl)s(s+l) 2B/
Подстановка этого выражения в A4) дает
ас 2а пЧ{1 + 1) '
т.е. прежний результат A0).
§ 13. Явление Зеемана. Постановка задачи
Уровни энергии для центрального поля зависят, как мы ви-
видели, только от двух квантовых чисел п и k; третье квантовое
число т в выражение для энергии не входит, так что один и тот
же уровень может соответствовать состояниям с разными зна-
значениями числа т.
Если же поместить атом в магнитное поле, то каждый уро-
уровень расщепляется на несколько отдельных уровней, отличаю-
отличающихся друг от друга значением квантового числа т. В этом
состоит так называемое явление Зеемана (Zeeman). Для объяс-
объяснения этого явления теория Шредингера оказывается недоста-
недостаточной; теория же Дирака дает, как мы сейчас покажем, полную
теорию этого явления, вполне согласующуюся с опытом.
Обобщение уравнения Шредингера на случай наличия маг-
магнитного поля — уравнение Паули — было рассмотрено нами
в § 5, ч. III. Но в уравнении Паули отброшены поправки на тео-
теорию относительности; между тем расщепление уровней от маг-
магнитного поля, вообще говоря, того же порядка, как эти поправ-
поправки, так что их нужно рассматривать одновременно. Поэтому для
объяснения явления Зеемана необходимо рассматривать уравне-
уравнение Дирака, учитывающее как теорию относительности, так и
магнитное поле.
Положим, что мы имеем постоянное магнитное поле Ж, на-
направленное вдоль оси 2. Вектор-потенциал этого поля будет, как
мы знаем,
Ах = -±\98\.у, Ау = ±\3в\-х, Аг = 0,	A)

364	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
а обобщенная составляющая вектор-потенциала по углу ф най-
найдется по формуле
или
откуда
Добавочный член, который нужно прибавить к оператору энер-
энергии без поля
Н* = с9а (-5L /,<, + -^ Pv + s3/>,) + mc2Pc + U(r), C)
получится, по общему правилу, путем замены рф на
' Ф == Рф "Т [Г "ф"
Обозначим этот член буквой R; он будет равен
\	D)
Чтобы найти поправку к энергии, происходящую от этого
члена, нужно применить теорию во'змущений и вычислить эле-
элементы матрицы оператора R, соответствующие различным пере-
переходам. Как мы видели в § 7 гл. II ч. II, главную роль играют
элементы, соответствующие переходам между уровнями, весьма
близкими между собой, т. е., в нашем случае, между уровнями
одного дублета. Поэтому мы будем рассматривать только эти
переходы и положим
п' = п,	E)
k'(k'-l) = k(k-\).	E*)
Что касается квантового числа т, то оператор R коммути-
коммутирует с оператором дифференцирования по ф, т. е. с операто-
оператором Жг, собственное значение которого есть (т + у)#; поэтому
(см. второй вывод правила отбора в § 10) матрица оператора R
будет диагональной относительно т, так что нужно положить
т' = т.	F)
Нам нужны, таким образом, следующие элементы матрицы:
(k\R\k), (k\R\-k+l),
(-k+\\R\k), (-k+l\R\-k+l)
(квантовые числа пит мы для краткости опускаем).
J

§ 14]	ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ЭНЕРГИИ	365
Полный оператор энергии будет равен
H = H* + R,
и уравнение для его собственных функций напишется
(H* + R)q = W-q.	(8)
Применяя способ, изложенный в § 7 гл. II ч. II, будем искать
приближенное значение \р в виде
i|> = Cii|)ft + C2i|>Lft+i,	(9)
где г|)* — собственные функции невозмущенного оператора энер-
энергии Н*. Подставим (9) в (8), умножим слева на tyl и проинте-
проинтегрируем; затем умножим на ^-k+i и проинтегрируем. Мы полу-
получим два уравнения
2 = Wcl, -)
> = Wc2, J
-k+l\R\k)cl + [W-k+1 +(-k + l\R\~k+l]c
где Wh есть невозмущенный уровень, соответствующий кванто-
квантовому числу k. Приравнивая нулю определитель из коэффициен-
коэффициентов при неизвестных С\ и с2, мы получим для W квадратное
уравнение, корни которого суть
W = 1 (Wk + W-k+l + Rk + R-k+i) ±
± у л/(№к - W-k+l + Rk - R-k+lJ + 4\(-k+l\R\k)?. (И)
где мы положили для краткости
Rk = {k\R\k).	A2)
Формула A1) и дает исправленные значения уровней энергии.
§ 14. Вычисление матрицы возмущающей энергии
Обратимся теперь к вычислению величин G) § 13. Пользуясь
значением B9) § 4 гл. I матрицы pas2 = «2 и выражением B0)
§ 4 для функций г|э*, получим
{k\R\k') =
= ie\3e\^rsin{H(gf'-fg')(ZY' -YZ')drd®dy. A)
Выразим здесь fug через f\ и f% при помощи B) § 6
f_h±Ik q= h-&

.366	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
причем будем считать /: и /2 вещественными. Функции же
Y (ft, ф) и Z (¦&, ф) от углов ft и ф мы выразим по формулам
C)
д/4я
через функции Л (ft) и В (ft), зависящие от одного угла ft (см.
§ 3 ч. III). Так как при т = т' подынтегральная функция в A)
не будет зависеть от ф, то интегрирование по <р сведется к умно-
умножению на 2л. Мы получим
оо
\	. D)
Покажем, что интеграл можно приближенно вычислить, не
решая уравнений для радиальных функций. Согласно фор-
формуле C) § 6, эти уравнения имеют вид
_dh__±f _ - тс2 - W + U f }
dr 2 '' ~	he .	'2> I
dr "*" 2 '2	Йс	''• j
Мы видели в § 7, что радиальные функции точечного спектра
убывают на бесконечности по показательному закону и обра-
обращаются в нуль при г = 0. Поэтому мы имеем тождество
Заменяя в правой части производные их выражениями из
дифференциальных уравнений E), получим
= - (ft + ft') 5 (/,fi - У0 dr +
0
ГМ + Ш dr + J^ J ^ (/^ - Щ dr. G)

§ 14]	ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ЭНЕРГИИ	367
Второй член в правой части есть не что иное, как искомый ин-
интеграл, входящий в формулу D). Заметим теперь, что /г весьма
мало по сравнению с /ь и что для рассматриваемых значений k
и k', для которых k(k—1) —k'{k'—1), разность W—W (ши-
(ширина дублета) весьма мала по сравнению с 2тс2, а /' весьма
мало отличается от f{ (обе функции f{ и /j приближенно удов-
удовлетворяют одному и тому же уравнению G) § 6). Принимая во
внимание нормировку функций, получим из G) приближенное
значение интеграла, входящего в формулу D), а именно,
(8)
Обозначим буквой со так называемую Ларморовскую (Larmor)
частоту, т. е. величину
^.	(9)
и введем выражение (8) в формулу D). Мы получим
л
(k| R \k') = - 1 A© {k + k' + 1) J sinO (BAf + AB')rf«. A0)
о
Нам остается вычислить интеграл
л
/= J sin*(BA' + AB')dQ.	A1)
о
Интегрируя по частям и пользуясь уравнением E) § 3 ч. III для
функций А и В, имеем
я
/= J cos О-~ (ВА' + AB')db =
=-{k + k')^ cos Ъ (AAr-BB')d®. A2)
о
Умножая A1) на k-\-kr и складывая с A2), получим
(k+k'+l)J = -(k + k')-вещ. ч.(^(А + 1В) {A'+ iB')dA. A3)
Вводя теперь по формуле
Vl ~~ (г/! + iy2)

368	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
наши функции yt и у2, уже использованные в теории Паули
(формула A3) § 3 ч. III), будем иметь
{k + k'+l)J = -(k+ k')\ (yiy[ - у2у'2) sinftfito, A3*)
о
так что
я
^	A5)
)
В силу ортогональности шаровых функций Р} , через которые
выражаются у\ и у2, интеграл A5) отличен от нуля только в том
случае, когда V = I, т. е. при условии E) § 13. Поэтому эле-
элементы матрицы G) § 13 являются не только самыми важными
для вычисления поправок, но и единственными отличными от
нуля, (при условии п' = п).
Для вычисления интеграла A5) достаточно выразить у\ и у2
по формуле B4) § 3 ч. III через обыкновенные шаровые функ-
функции и воспользоваться нормировкой этих последних. В резуль-
результате получается
	(k+m)(kr + т)
¦\J\(k + m)(k'.+ m)\
-tn-\){k' — m — \)\y A6)
Давая здесь k' значения k' = k и k' = — k-\-\, получим
A7)
(k\R\ +)	1 2fe
Заменяя в A7) k на —k-\- 1, получим
R-k+l =(-k+l\R\-k+l) = tto
Таким образом, все величины G, § 13) нами вычислены.
§ 15. Расщепление уровней в магнитном поле
Чтобы найти смещенные уровни энергии, нам остается только
подставить найденные выражения для элементов матрицы R
в формулу A1) § 13. Мы обозначим для краткости полусумму
термов дублета через Wo:
|(r* + r-*+i) = ^o	A)

§ 15)	РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	369
И ПОЛОЖИМ
дег 	\J7_ = дде^	B)
Подставляя эти выражения, а также A7), A8) и A9) § 14
в формулу A1) § 13, мы получим
W = W0 + Йю (т + 1/2) ±
Йо 	г- + Й2со2 . C)
Эта формула дает полное описание явления Зеемана.
Когда магнитное поле слабо, так что величина йсо мала по
сравнению с расщеплением термов дублета AW, можно прибли-
приближенно извлечь квадратный корень, пренебрегая квадратом йш.
При этом получится два уровня:
W" = Wo — 4- АН? + fi(a (т + 4-1 ^ ~ !	D*>
2	\	2 /	1	^
или, если подставить вместо 1^0 и &W их значения A) и B),
E)
E*)
Каждый терм расщепляется в магнитном поле на 2\k\ от-
отдельных термов, соответствующих значениям
m = -\k\, -\k\+l	\k\-l.	F)
Расстояние между соседними термами равно
^	G)
k~~2
где

370	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
есть так называемый множитель Ланде (Lande). Так как этот
множитель всегда положителен, его можно представить в виде
(9)
где / и / имеют обычное значение. Для различных термов, соот-
соответствующих значениям k=\, —1, 2, —2, ..., множитель
Ланде пробегает следующие значения:
k I I терм g
I о 1 s 2
-1 1 i- p $-
2	1 3 Р 4 •
-2 2 1 П 1
z z 2 3/2 5
3	2 | Д5/2 А
4	Ч 5 F '6
— ci d " ^5/2 У
Рассмотренный случай представляет собой так называемое
«аномальное» явление Зеемана.
Перейдем теперь к «нормальному» явлению Зеемана, имею-
имеющему место в сильных магнитных полях. Когда поле настолько
сильно, что йсо велико по сравнению с AW, можно приближенно
извлечь квадратный корень, пренебрегая квадратом AW. Мы по-
получим тогда два уровня
т+-к-
W* = W0 + tto(m + l) + bW-urirr.	A0)
m+\	A1)
W** = Wo + ham - AW
или, если мы пренебрежем также и AW,
W* = W0 + fUo(m + l),	A2)
W** = W0 + ham.	A3)
В этом случае расстояние между компонентами	Зееманов-
ского мультиплета уже не зависит от квантового	числа k и
равно fico. Таким образом, при усилении поля несколько компо-
компонент, соответствовавших одному и тому же т, но	разным k,

§ 151	РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	371
сливаются в одну; в этом и состоит переход от «аномального»
явления Зеемана к «нормальному».
Если AW >¦ 0, то при усилении поля терм W переходит в W*
и терм W" в W**; при AW < 0, наоборот, W переходит в W** и
W" в W*. Так как корень квадратный в C) при изменении вели-
величины fico сохраняет свой знак, то оба терма при изменении маг-
магнитного поля не пересекаются.
Вся эта картина в точности подтверждается на опыте, и вы-
выведенные здесь формулы были найдены сначала эмпирическим
путем.
Явление Зеемана дает возможность сравнить с опытом отно-
относительные интенсивности линий, соответствующих переходам
между термами с данными k и k' и различными значениями т
и т'. Эти интенсивности могут быть вычислены без знания ра-
радиальных функций. В самом деле, в выражениях вида F) § 9
для элементов Гейзенберговых матриц множитель rD(n,k; n', k')
не зависит от т и т'\ поэтому, согласно формуле A6) § 3 гл. III
ч. II, интенсивности будут пропорциональны величинам
I = {\(k, m\sm$cos<f>\k'm')\2 +
+ \(k, m|sin<binqp|?'m')l2 + l(fe, m\cosb\k', от') Р}. A4>
Пользуясь таблицей § 9 и формулами A5) § 9, мы получим,
например, для значения k' — k-{-\ и для случаев т' = т — 1,
т' = т и т' = т + 1 следующие значения величины /:
г 1 (k — m)(k — m+ 1) /„/_„, i\	цс\
/-=Y	Bfe + lJ	 (m=m — 1),	A5)
T (k — m)(k + m+\)	, ,	>	....
IJ
\)(k+m
/+==-2"	Bk + IJ	 {m=m+\). A7)
Величина /0 дает интенсивность света, поляризованного по
направлению магнитного поля, а величины /_ и /+ — интенсив-
интенсивности света, поляризованного в плоскости, перпендикулярной
этому направлению. Сумма этих величин
/_ + /0 + /+ = 2А- + 1
не зависит от т.
Заметим, что множитель rD(n, k; n', k') зависит главным об-
образом только от квантовых чисел / и /' и приближенно равен со-
соответствующему множителю г(п, I; п', V) теории Шредингера
(формула A4) § 9 гл. IV ч. II), так что для двух компонент
дублета значение его почти одно и то же. Это замечание дает
возможность сравнивать между собой интенсивности Зееманов-
ских компонент, принадлежащих к различным компонентам дуб-
дублета.

Глава III
О ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ
§ 1. Зарядовое сопряжение
В главе I теории Дирака (§ 5) мы указывали на возмож-
возможность такого выбора матриц, при котором система четырех урав-
уравнений для компонент волновой функции свободного электрона
имеет вещественные коэффициенты (уравнения (9) § 5). Со-
Согласно формулам (8) § 5, соответствующие матрицы Дирака бу-
будут равны
«? = (Т1. <Ч = р2о2, а° = <т3, . а° = р3а2,	A)
где сгь а2, а3 и р1( р2, р3 — матрицы Дирака A8) и A9) § 3
гл. I. Элементы матриц а°, а°2, а° вещественны, а элементы
матрицы а° — чисто мнимы.
Напишем соответствующее этому выбору матриц уравнение
Дирака для электрона в электромагнитном поле.
Мы имеем
и для стационарных состояний, когда волновая функция зави-
C)
сит от времени через посредство множителя е п
где
= ао (_ /йс^1 + еАху>) + ао (_ ihc д^_ + еА
— ihc ~?- + eAz^ + mc2a°i|)° — еФ^> = W^. D)
Напишем теперь уравнения, комплексные сопряженные с D),
причем изменим знак в обеих частях равенства. Мы будем

§ 2]	ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ	;{?3
иметь
а° (- шс^- - еАуГ) +
^	^	E)
Эти уравнения отличаются от предыдущих (помимо замены *|э°
на ty°) только изменением знака при заряде электрона —е и
при значении энергии W. Таким образом, величина, сопряжен-
сопряженная с волновой функцией частицы, имеющей отрицательный за-
заряд и отрицательную энергию (с волновой функцией электрона
в состоянии с отрицательной энергией), может быть в известном
смысле сопоставлена с волновой функцией частицы, имеющей
положительный заряд и положительную энергию (с волновой
функцией позитрона в состоянии с положительной энергией).
Это сопоставление не является, однако, прямым и оно не мо-
может быть истолковано в рамках задачи одного тела: такое тол-
толкование противоречило бы основам квантовой механики. Оно
открывает, однако, путь к интерпретации загадочных состояний
электрона с отрицательной кинетической энергией и связанной
с ними второй внутренней степени свободы электрона, о которой
мы говорили в § 12 гл. I теории Дирака.
§ 2. Основные идеи теории позитронов
Физическая интерпретация второй внутренней степени сво-
свободы электрона основана на рассмотрении задачи о физической
системе, которая состоит из переменного числа заряженных час-
частиц, не в которой полный заряд не меняется (так что имеет
место закон сохранения полного заряда).
Математическая формулировка этой задачи требует введе-
введения операторов нового типа, а именно, таких, которые дейст-
действуют не на волновую функцию от определенного числа перемен-
переменных (соответствующих определенному числу частиц), а на по-
последовательность волновых функций от переменных для одной,
двух, трех и т. д. частиц, переводя каждую такую функцию
в функцию от переменных для числа частиц на единицу боль-
большего (оператор «рождения» частицы) или на единицу меньшего
(оператор «уничтожения» частицы).
Эти операторы нового типа являются формальным обобще-
обобщением волновой функции от переменных одной частицы, а именно,
операторы «рождения» обобщают саму волновую функцию, а
операторы «уничтожения» обобщают величину, комплексную со-
сопряженную с ней.
Операторы, представляющие формальное обобщение волно-
волновой функции, называют иногда «квантованной волновой функ-

374	ТЕОРИЯ ДИРАКА	[Ч. V
цией», а переход от обычной волновой функции к квантованной
называют «вторичным квантованием». Вторичное квантование
применяется также к системам, состоящим из неопределенного
числа незаряженных частиц — световых квантов или фотонов.
Это составляет предмет квантовой электродинамики.
Мы не будем излагать здесь теорию вторичного квантова-
квантования, а сошлемся лишь на нашу книгу «Работы по квантовой
теории поля» *).
§ 3. Модель позитронов как незаполненных состояний
В заключение скажем несколько слов о предложенной Дира-
Дираком модели для позитронов как незаполненных состояний («ва-
(«вакансий» или «дырок») в некотором фиктивном «полном наборе»
электронов в состояниях с отрицательной кинетической (и пол-
полной) энергией. Заряд этого «полного набора» предполагается
каким-то образом нейтрализованным.
Модель «полного набора электронов» представляет в изве-
известном смысле обобщение (или «экстраполяцию») понятия за-
заполненной электронной оболочки атома, отрицательный заряд
которой нейтрализуется положительным зарядом атомного ядра.
Недостаток одного электрона в атомной оболочке проявляется
как наличие одного положительного заряда, равного по абсо-
абсолютной величине заряду электрона, и представляет своего рода
аналог или модель позитрона.
Применение понятия «полного набора» к теории позитронов
не является, однако, логически безупречным. Во-первых, непо-
непонятно, почему этот «полный набор» оказывается нейтрализован-
нейтрализованным, так что исходное представление о «нейтрализованном пол-
полном наборе» является нефизическим. Во-вторых, самое понятие
«полного набора состояний» имеет математический смысл только
тогда, когда эти состояния дискретны. В случае же сплошного
спектра отличить «полный» набор от «неполного» невозможно и
исходное понятие теории лишается математического смысла.
Таким образом, мы должны признать, что замкнутой, логи-
логически безупречной теории позитронов в настоящее время еще
не существует. Построение такой теории, вероятно, потребует
введения существенно новых физических понятий, в дополнение
к тем, какие применяются в обычной квантовой механике.
Поэтому мы не ставили здесь своей задачей сколько-нибудь
полное изложение современного состояния теории позитронов,
а ограничились общими замечаниями к основам этой теории.
*) В. А. Ф о к, Работы по квантовой теории поля, Изд. Ленинградского
университета, 1957. (В сборник вошли работы, выполненные и впервые опуб-
опубликованные в 192&—1929 гг.)

ПОСЛЕСЛОВИЕ
Владимир Александрович Фок по праву принадлежал к той
блестящей плеяде физиков-теоретиков, трудами которых было
построено величественное здание квантовой теории.
Сорок пять лет прошло со времени написания им первого
издания этой книги — оригинального и систематического курса
квантовой механики — первого в СССР и одного из первых в
мире.
За это время книга не только не устарела, но даже, наобо-
наоборот, характер и последовательность изложения, трактовка част-
частных вопросов и т. п. кажутся теперь более естественными, чем
это было тогда — сорок пять лет назад. Таким свойством обла-
обладают лишь те книги, авторы которых сами активно участвовали
в создании предмета и понимали его гораздо глубже, чем боль-
большинство современников.
Практически каждый раздел курса связан с оригинальными
работами самого В. А. Фока — большинство этих работ вошло
в «золотой фонд» квантовой теории — и это придает курсу осо-
особую прелесть «первичности» — фундаментальности.
В соответствии с заголовком, курс не претендует на полноту
изложения. Помимо изложения фундаментальных понятий тео-
теории даются лишь простейшие приложения. Многие более слож-
сложные вопросы, такие как теория молекул, атомных ядер, твердого
тела и т. п., в курс не вошли.
Изменения и дополнения, которые внесены во второе изда-
издание, связаны прежде всего с вводной частью курса — главой I о
философских основах квантовой теории. В. А. Фок считал
исключительно важной задачу правильной материалистической
формулировки основ квантовой механики. Взгляды, изложенные
в главе I, были выработаны им после многочисленных дискус-
дискуссий и обсуждений, включая и дискуссию с Нильсом Бором
(в частности, критика В. А. Фоком «принципиальной ненаблю-
ненаблюдаемости», по-видимому, привела Бора к отказу от этого поня-
понятия в его поздних работах). Внимание к теоретико-познаватель-
теоретико-познавательным вопросам, их подробное последовательное материалистиче-
материалистическое изложение выгодно отличает эту книгу от многих других
курсов квантовой механики.

376	ПОСЛЕСЛОВИЕ
Кроме того, в книгу добавлены такие разделы, как метод
самосогласованного поля, внутренняя симметрия атома водо-
водорода и другие. Благодаря этому второе издание полнее отра-
отражает вклад В. А. Фока в развитие теории.
Наконец, несколько изменен раздел, связанный с уравнением
Дирака и теорией позитрона, — теорией, которая была сенса-
сенсационной новостью во время написания книги. В. А. Фок призна-
признавал гениальность теоретического предсказания античастиц, но
всегда подчеркивал неполноту теории позитрона, связанную с не-
невозможностью строгого описания процессов рождения и анниги-
аннигиляции с помощью уравнения для одной частицы.
Одна из замечательных особенностей научного творчества
В. А. Фока — его поразительная математическая мощь — умение
решить сложные математические задачи простейшими и неожи-
неожиданными методами. Конечно, в наибольшей степени это свойство
проявляется в оригинальных научных работах, но и при чтении
этой книги легко можно почувствовать яркую математическую
индивидуальность автора, сочетающуюся со строгостью, общно-
общностью и простотой.
Подготовка к печати второго издания «Начал квантовой ме-
механики» оказалась последней работой Владимира Александро-
Александровича, которую он продолжал еще в последние дни своей жизни.
Можно выразить уверенность, что читатель, который будет
изучать квантовую механику по этой книге, почувствует радость
приобщения к первоисточнику, почувствует дух того замечатель-
замечательного времени, когда за несколько лет горизонты человеческого
познания были неимоверно расширены. В. А. Фок был очевид-
очевидцем и активным участником этого процесса.
Автор не дожил до выхода книги в свет, однако успел прак-
практически полностью подготовить ее к печати.
Физический институт	Профессор М. Г. Веселое
Ленинградскогодсударственного	Профессор Ю. Н. Демков