Автор: Соколов А.А. Тернов И.М.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика электроны квантовая электроника
Год: 1974
Текст
ЛА. СОКОЛОВ, ИМТЕРНОВ
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ
ЭЛЕКТРОН
А. А. СОКОЛОВ, И. М. ТЕРНОВ
релятивистский
электрон
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗНКО МА1 ЕМАТИЧЕСК.ОЙ ЛИ 1 КРА1 УРЫ
Москва 1У74
530.1
С 59
УДК 539.12
Релятивистский электрон. А. А. Соколов,
И. М. Тернов, Монография. Издательство
«Наука», Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, 1974 г.
В книге изложена классическая и квантовая
теория движения и излучения релятивистских
электронов. Рассматривается ряд актуальных
вопросов, например, точное решение некоторых
задач излучения по классической электродина-
электродинамике, исследование классического релятивистского
уравнения Дирака — Лоренца с учетом силы ра-
радиационного трения и др. Все это находит, в осо-
особенности за последнее время, большое практиче-
практическое применение не только для описания микро-
процессов, но и при рассмотрении движения
ультрарелятнвистского электрона по траекториям
с макроскопическим радиусом кривизны (например
синхротронное излучение). Большое место отво-
отводится анализу подобных задач с помощью реля-
релятивистских квантовых уравнений, поскольку без
учета квантовых эффектов оказалось невозмож-
невозможным проектировать и сооружать современные
электронные циклические ускорители и накопи-
накопительные установки.
Рис. 18, библ. 203 назв
© Издательство «Наука», 1974.
20403-031
053@1)-74
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 7
Некоторые обозначения 8
I. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Введение 9
§ 2. Понятие о дельта-функции Дирака 12
а) Дельта-функция и система ортонормированных функций A2).
б) Дельта-функция и разложение Фурье A4). в) Обобщение не-
некоторых свойств непрерывной функции на дельта-функцию A8).
г) Некоторые свойства дельта-функции B1).
§ 3. Решение линейных уравнений с помощью дельта-функции ... 22
а) Дельта-функция в пространстве нескольких измерений B2).
б) Функция Грина B2).
§ 4. Решение некоторых простейших задач с заданными начальными
условиями 24
а) Простейшая задача механики B4). б) Уравнение теплопровод-
теплопроводности B5).
§ 5. Решение некоторых основных уравнений электродинамики .... 28
а) Уравнение Пуассона B8). б) Одномерный случай B8). в) Двух-
Двухмерный случай B9). г) Трехмерный случай C0). д) Уравнение
Даламбера C1). е) Интегрирование обобщенного уравнения Да-
ламбера C4).
И. КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 6. Основные уравнения классической электродинамики 37
а) Уравнения Максвелла — Лоренца C7). б) Интегрирование урав-
уравнений Максвелла — Лоренца C8).
§ 7. Уравнения Максвелла — Лоренца в четырехмерном виде .... 40
а) Ковариантные н контравариантные векторы и тензоры D0).
б) Релятивистски-ковариантная запись уравнений Максвелла—Ло-
Максвелла—Лоренца D2). в) Функция действия D4). г) Уравнения Лагранжа и
Гамильтона в релятивистской теории электрона D8). д) Уравнение
Гамильтона — Якоби в релятивистской теории E0).
§ 8. Решение некоторых задач с помощью уравнения Гамильтона —
Якоби S3
а^ Свободное движение E3). б) Движение по окружности E4).
в) Адиабатические инварианты E5). г) Проблема Кеплера (реля-
(релятивистская классическая теория водородоподобного атома) E6).
д) Траектория движения E8). е) Энергия и частоты колебаний
E9). ж) Движение электрона в постоянном и однородном маг-
магнитном поле F1). з) Движение электрона в поле плоской поля-
поляризованной по кругу электромагнитной волны F7). и) Движение
электрона в статическом магнитном поле и в поле плоской электро-
электромагнитной волны G1).
4 СОДЕРЖАНИЕ
§ 9. Проблема излучения 74
а) Энергия электромагнитного поля в вакууме и теорема
Пойнтинга G4). б) Уравнения Максвелла в среде G5). в) Гра-
Граничные условия G8). г) Эффект Черепкова G9). д) Эквипотен-
Эквипотенциальные поверхности при движении электрона с постоянной ско-
скоростью (84). е) Излучение гармонического осциллятора (87).
ж) Поляризация излучения гармонического осциллятора (90).
з) Суммарное излучение (91). и) Дипольное и квадрупольное
излучения гармонического осциллятора (91).
§ 10. Синхротронное излучение 92
а) Основные уравнения (92). б) Вывод формулы Шотта (94).
в) Поляризационные свойства излучения при движении электро-
электрона по винтовой линии (97). г) Угловое распределение излуче-
излучения A00). д) Спектральное распределение излучения A04).
е) Спектральное распределение излучения в нерелятивистском
случае прн круговом движении A05). ж) Асимптотическое пред-
представление бесселевых функций высокого порядка A07). з) Ультра-
Ультрарелятивистский случай прн круговом движении (ПО), и) Спек-
Спектральное распределение интенсивности излучения (приближенные
формулы) A12). к) Угловое распределение интенсивности излуче-
излучения (приближенные формулы) A15). л) Приближенные формулы
при движении по винтовой линии (U8).
§ 11. Классическое уравнение Дирака — Лоренца для точечного элект-
электрона 120
а) Вывод уравнения A20). б) Энергия излучения A25). в) Гипер-
Гиперболическое движение A26). г) Прямолинейное движение A27).
д) Гиперболическое движение для конечного промежутка вре-
времени A31). е) Движение электрона в, постоянном и однородном
магнитном поле с учетом силы трения A32). ж) Движение по
винтовой линии с компенсацией потерь энергии на излуче-
излучение A35).
III. КВАНТОВАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 12. Вариационные принципы для свободного (без зарядов) электро-
электромагнитного поля 139
а) Тензор энергии и тензор собственного момента количества дви-
движения A39). б) Законы сохранения в интегральной форме A43).
в) Решение уравнения Даламбера A44). г) Исследование поляри-
поляризационных свойств A45). д) Понятие о квантовании электромаг-
электромагнитного поля A47). е) Квантование электромагнитного поля в
общем случае A53).
§ 13. Скалярное релятивистское волновое уравнение Клейна — Гор-
Гордона 157
а) Вывод уравнения A57). б) Трансформационные свойства вол-
волновой функции A58). в) Плотность заряда и тскэ A59). г) Уравне-
Уравнение Клейна—Гордона для частицы в электромгг ;итном поле A60).
д) Вариационные методы A61). е) Свободное движение A63).
ж) Квантование свободного поля A65).
§ 14. Уравнение Дирака 168
а) Линеаризация оператора энергии. Матрицы Днрака A68).
б) Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока A71). в) Транс-
Трансформационные свойства волновой функции A73). г) Уравнение
Дирака в ковариантной записи A75). д) Тензорная размерность
матриц Дирака A77).
§ 15. Вариационные методы 179
а) Функция Лагранжа A80). б) Тензор энергии A81). в) Тензор
орбитального момента количества движения и спина A82). г) Ре-
СОДЕРЖАНИЕ 5
шегия, когда спин является интегралом движения A85). д) Сво-
Свободное движение электрона A90). с) Исследование спиновых
свойств свободного электрона A92). ж) Спиновые свойства при
наличии электромагнитного поля A96).
§ 16. О вторичном квантовании уравнения Дирака 199
а) Общие сведения A99). б) Матричное представление амплитуд
в случае статистики Ферми—Дирака B01). в) Вычислние матрич-
матричных элементов с учетом поляризационных эффектов B02). г) Вол-
Волновое уравнение для позитрона B06). д) Понятие о теореме Лю-
дерса — Паули B07). е) Теория нейтрино с ориентированным спи-
спином B03). ж) Теорема Людерса — Паули в теории нейтрино
с ориентированным спнном B14).
§ 17. Центрально-симметричное поле 218
а) Проблема Кеплера по уравнению Клейна — Гордона B13).
б) Движение электрона в поле центральных сил по теории Ди-
Дирака B24). в) Свойства полного момента. Шаровые спиноры B25).
г) Движение электрона в кулоновском поле но теории Дира-
Дирака B29). д) Спектр энергии B33). е) Волновые функции в пау-
левском приближении B35). ж) Понятие о гиперболических орби-
орбитах B36). з) Четность состояний B38).
§ 18. Теория излучения 239
а) Теория переходных процессов B39). б) Учет поляризационных
эффектов B44). в) Спонтанные и вынужденные переходы B46).
г) Диполыюе излучение B48). д) Магнитное и квадруполыюе
излучения B50). е) Дипольное излучение в водородоподобном ато-
атоме B51). ж) Магнитные и квадрупольные переходы в водородо-
водородоподобном атоме B57). з) Переходы с метастабильного уров-
уровня 2s,la B57).
IV. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ
КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
§ 19. Движение электрона в постоянном и однородном магнитном поле 263
а) Решение задачи в цилиндрической системе координат по урав-
уравнению Клейна — Гордона B63). б) Решение задачи по уравнению
Клейна — Гордона в декартовой системе координат B67). в) Дви-
Движение электрона в постоянном магнитном поле по теории
Дирака в цилиндрических координатах B68). г) Решение уравне-
уравнения Дирака в декартовой системе координат B75).
§ 20. Квантовая теория излучения электрона, движущегося в постоян-
постоянном и однородном магнитном поле 277
а) Общие формулы для спонтанного излучения с учетом поля-
поляризационных эффектов B77). б) Квазиквантовое приближе-
приближение B80). в) Влияние квантовых флуктуации на радиальное дви-
движение B87). г) Влияние синхротронного излучения на вертикаль-
вертикальное движение B90).
§ 21. Излучение с учетом квантовых эффектов 293
а) Общие формулы B93). б) Асимптотическое представление функ-
функций Лагерра B95). в) Излучение с учетом «поперечной» поляри-
поляризации спина электрона (эффект самополяризации) C00). г) Влияние
квантовых эффектов па интенсивность излучения C04).
§ 22. Взаимное превращение фотонов и электропно-позитрониых пар
в магмнтном поле 308
а) Общие положения C08). б) Одвсфотогное рождение пар элект-
электронов и позитронов в магнитном поле C09). в) Однофотонная
аннигиляция пары C17).
б СОДЕРЖАНИЕ
§ 23. Вакуумный магнитный момент электрона 319
а) Общие положения C19). б) Радиационные поправки к уравне-
уравнению Дирака C20). в) Случай малых п C24). г) Случай боль-
больших п C24).
§ 24. Рассеяние электроном электромагнитной плоской волны, поляри-
поляризованной по кругу 326
а) Нелинейная классическая теория C26). б) Теория рассеяния C27).
в) Квантовая теория излучения C32).
§ 25. Вынужденные переходы в теории синхротронного излучения . . . 335
а) Общие формулы C35). б) Вынужденное излучение в скрещен-
скрещенных полях C39).
§ 26. Влияние синхротронного излучения на движение электронов в не-
неоднородном магнитном поле 344
а) Движение электронов в аксиально-симметричном магнитном
поле C44). б) Общие формулы для матричных элементов и ве-
вероятности перехода при синхротронном излучении C49). в) Влия-
Влияние синхротронного излучения на потери энергии и на бетатрон-
ные колебания C52). г) Движение электронов в аксиально-сим-
аксиально-симметричном фокусирующем поле по теории Дирака C59).
§ 27. Заключение 362
а) Замечания о различных методах расчета синхротронного излу-
излучения C62). б) Решение с помощью релятивистских квантовых
уравн-ений C63). в) Квазиклассический учет квантовых флуктуа-
флуктуации C63). г) Операторный метод C70). д) Основы эксперимен-
экспериментального исследования синхротронного излучения и новое в его
практическом использовании C74).
Цитированная литература 380
Предметный указатель 386
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей монографии мы решили дать систематическое
изложение классической и квантовой теории движения реляти-
релятивистских электронов, включая ультрарелятивистскую область
энергий. Релятивистская теория движения электронов в микро-
микросистемах получила достаточно подробное изложение даже в
учебной литературе, однако теория движения ультрарелятивист-
ультрарелятивистских электронов по макроскопическим траекториям (класси-
(классическая и квантовая) была создана по существу лишь за два
последних десятилетия. В работах, посвященных созданию этой
теории, пришлось преодолеть ряд трудностей, в особенности ма-
математического характера. В частности, пришлось находить ре-
решения ряда новых задач и исследовать в то время еще мало
изученные асимптотические приближения различных специаль-
специальных функций.
В настоящее время основные дискуссионные вопросы этой
проблемы можно считать выясненными, причем теория синхро-
тронного излучения*) находит за последнее время все большее
и большее практическое применение. В разработке теории дви-
движения и излучения ультрарелятивистских электронов принимали
участие не только авторы настоящей монографии, но также
и многие теоретики как у нас (Д. Д. Иваненко, И. Я. Поме-
ранчук, Л. А. Арцимович, Н. П. Клепиков, А. А. Коломенский,
A. Н. Лебедев, А. Н. Матвеев, Ю. М. Лоскутов, В. Н. Байер,
B. Г. Багров и др.), так и за рубежом (Ю. Швингер, К. Робинзон,
М. Сэндс, Ф. Гутброд и др.).
Мы выражаем благодарность за большую помощь, оказан-
оказанную в нашей работе, В. Ч. Жуковскому, В. Р. Халилову,
Д. В. Гальцову, М. М. Колесниковой, Г. А. Лавровой, В. В. Ми-
хайлину, А. Б. Куканову.
*) На раннем этапе развития теории излучение ультрарелятивистских
электронов в ускорителях мы называли излучением «светящегося электрона».
В настоящее время более широкое распространение получило название «син-
хротронное» или «магнитоторыозное» излучение, причем последний термин
используется главным образом в астрофизике.
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Тензорные индексы. Четырехмерные тензорные индексы обозначены гре-
греческими буквами и пробегают значения I, 2, 3, 4; например, пространственно-
временные координаты;
Х\ = X, Х2=у, X3 = Z, Xi = i'ct.
Трехмерные тензорные индексы обозначены латинскими буквами и про-
пробегают значения 1, 2, 3.
Введены две мнимые единицы i и [', причем
Введение второй мнимой единицы позволяет четвертую составляющую
вектора считать эрмитовой А\= I Ao, Ai = /Ал-
Законы преобразования для ковариаптных и контравариантных четырех-
четырехмерных тензоров при введении второй мнимой единицы становятся одина-
одинаковыми:
А^В» = ЛХ = АпВп - A'jB0 = (А"В) - А]ВО.
Обычные величины и операторы в трехмерном пространстве. Обычные ве-
величины обозначаются курсивом: скалярные — светлым, а векторные — полу-
полужирным.
Прямой шрифт соответствует операторным величинам: светлый — скаля-
скалярам, а полужирный — векторам.
Некоторые специальные функции. Цилиндрические функции (бесселевы)
мнимого аргумента:
где ИЦ] (г) — функция Гангеля первого рода.
Функция Лагерра:
/„„, (р) = у~= в-Р'У»-»'>/2Q»r»' (p),
где Q"r"'(р) — полиномы Лагерра (п > п).
Постоянные.
Элементарный заряд е0 = 4,803 ■ 1СН° CGSE.
Масса электрона т0 = 9,109 • 10~28 г.
Постоянная Планка А = 1,054 • 1О7 эрг-сек.
Энергия покоя электрона )щс2 = 0,5110 ■ 106 эв.
Швиигеровское постоянное магнитное поле Но = т20с3JeQfi = 4,41 • 1013 гс.
гг «. 3 Я £
Параметр разложения g0 == тг ~п~ ~—г зависит от энергии электрона Е
Z /7 о IU-qC
и напряженности магнитного поля Н.
I. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении ряда новых вопросов по классической и
квантовой электродинамике нам пришлось прежде всего раз-
разработать соответствующий математический аппарат. Так, при
решении ряда задач классической теории поля был широко ис-
использован аппарат дельта-функции Дирака [1—3].
Особое внимание было уделено классическому релятивист-
релятивистскому уравнению Дирака — Лоренца, описывающему движение
точечного электрона (§ 11) с учетом силы радиационного тре-
трения. При этом были рассмотрены дополнительные гипотезы,
которые необходимо было ввести в классическую электроди-
электродинамику, чтобы исключить расходимость в силах самодействия,
возникающих благодаря обратному воздействию на точечный
электрон поля, создаваемого им же самим. Кроме того, были
найдены граничные условия, при которых уравнение Дирака —
Лоренца может допускать корректные решения.
Анализ проблемы излучения в случае ультрарелятивистского
движения электрона по траектории с макроскопическим радиу-
радиусом кривизны потребовал также пересмотра существующих ме-
методов классической теории. В самом деле, в известных методах
электромагнитное поле излучения обычно вычисляется при-
приближенно с помощью введения так называемой волновой зоны,
находящейся на расстояниях, значительно превышающих раз-
размеры источника излучения.
В задаче о синхротронном излучении этот вопрос требовал
дополнительного исследования, поскольку характерная область
движения электрона с ультрарелятивистской энергией Е ока-
оказывается вполне соизмеримой с расстоянием от электрона до
наблюдателя. Нам пришлось развить более точные методы рас-
расчета энергии излучения, не зависящие от расстояния, на котором
находится наблюдатель. В частности, был дан новый вывод
классической формулы Шотта, описывающей спектрально-угло-
спектрально-угловое распределение интенсивности излучения вращающегося по
окружности электрона. Шотт еще в 1907 г. пытался применить
эту формулу для описания дискретных спектральных серий
атома. В этой постановке задачи выделение им волновой зоны
было вполне естественным. Развитие теории атома пошло, однако,
10 § 1. ВВЕДЕНИЕ
по совершенно новому пути — по пути квантовой механики. Фор-
Формула же Шотта примерно через сорок лет после ее установления
впервые нашла практическое применение, а именно — легла в
основу теории синхротронного излучения. Ее вывод пришлось
уточнить и сделать пригодным для макроскопической траектории
электрона.
Одной из характерных особенностей синхротронного излуче-
излучения является наличие в спектральном распределении интенсив-
интенсивности излучения резкого максимума, который падает не на основ-
основной тон (v = 1), а на высокие гармоники *):
^макс ~ (Е!т0с2у.
Поэтому в целях анализа спектрального состава синхротронного
излучения оказалось необходимым найти асимптотические фор-
формулы для функций Бесселя высокого порядка (v^>l), причем
номер излучаемой гармоники v входит также и в аргумент бес-
бесселевой функции (х я» v — 0). Эти асимптотические формулы
были получены нами с помощью соответствующего обобщения
метода Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна (метод ВКБ), извест-
известного в квантовой теории. Метод ВКБ оказался весьма перспек-
перспективным. С его помощью нам удалось найти асимптотические
формулы для многих других специальных функций и, в част-
частности, для функций Лагерра, которые встречаются в квантовой
теории синхротронного излучения.
В связи с этим заметим, что наряду с численными методами
решения уравнений с помощью электронно-вычислительных ма-
машин, как мы думаем, полезно развивать и аналитические при-
приближенные методы, которые позволяют с высокой степенью точ-
точности выразить результаты через известные функции, что дает
возможность более полно проанализировать полученные зако-
закономерности.
Таким образом, новые методы, которые мы начали разраба-
разрабатывать ранее [3], получают в этой монографии дальнейшее раз-
развитие.
Существенное внимание мы уделили решениям квантовых
релятивистских уравнений Клейна — Гордона и Дирака для за-
заряда во внешнем электромагнитном поле различной конфигура-
конфигурации. Эти решения находят в настоящее время широкое примене-
применение во многих практических вопросах физики микро- и макро-
макросистем. При этом мы старались по возможности более полно
изложить математические выкладки, с тем чтобы читатель мог
не только ознакомиться, но и овладеть математическими мето-
методами современной релятивистской теории.
*) Заметим, что при энергии электрона Е « 500 Мэв мы найдем, что
с ~ Ю9, поскольку энергия покоя электрона nioc2 « 0,5 Мэв.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ И
Наряду с этим в монографии излагается теория вторичного
квантования электромагнитного и электронно-позитронного по-
полей в наиболее простом ее варианте, причем результаты приме-
применяются к исследованию конкретных задач: свободное движение
(§ 15), проблема несохранения четности (§ 16), водородоподоб-
ный атом (§ 17). При изложении квантовой теории излучения
было обращено, в частности, внимание на переходы с метаста-
бильных уровней водородоподобных атомов (§ 18). Особое
внимание мы уделили рассмотрению спиновых и поляризацион-
поляризационных эффектов.
Квантовая теория движения ультрарелятивистского элек-
электрона по траектории с макроскопическим радиусом кривизны
(§§ 19—27), нашедшая применение, например, при описании
свойств синхротронного излучения, — это, по существу, совер-
совершенно новая область, в которой рассматриваются явления, где
основную роль играют состояния с большими квантовыми чис-
числами [4].
Развитие макроскопической ультрарелятивистской квантовой
теории электрона привело к установлению ряда специфических
закономерностей для наиболее простого случая, когда движение
происходит в постоянном и однородном магнитном поле. В даль-
дальнейшем некоторые результаты обобщаются и на неоднородное
магнитное поле фокусирующего типа [5].
При исследовании движения электрона в магнитном поле
Н ~ 104 гс мы показали, что квантовые эффекты начинают про-
проявляться при энергии электрона Е <~ 0,5 Гэв и выше. Точнее,
в этом случае квантовые эффекты приводят к флуктуационной
раскачке бетатронных и синхротронных колебаний, а при до-
достаточно больших временах движения (например в накопите-
накопителях)— к возникновению радиационной самополяризации спина
электронов (§ 21). Таким образом, не только релятивистская, но и
квантовая теория начинают входить в инженерную практику, так
как вопросы динамики электронов в циклических ускорителях и
накопительных установках требуют учета квантовых эффектов.
В монографии также рассмотрен вопрос о движении элек-
электрона в поле плоской электромагнитной волны с круговой поля-
поляризацией. Показано, что при этом электроны должны двигаться
по винтовой линии или по окружности. В этом случае оказы-
оказывается возможным излучение гармоник, т. е. возникает своеоб-
своеобразный нелинейный эффект. Теории синхротронных мазеров и
лазеров посвящен § 25.
Заметим, что при более высоких энергиях электрона:
(#/#о)(£/тос2)~1, A.1)
где швингеровское постоянное магнитное поле Но — т1с3/е0Н =
= 4,41 -1013 гс, квантовые эффекты начинают влиять на
[2 § 2. ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА ФУНКЦИИ ДИРАКА
интенсивность синхротроиного излучения. В этих условиях ока-
оказывается возможным также рождение и аннигиляция электрон-
но-позитропных пар. При Н -~ 104гс равенство A.1) может иметь
место только для Е <~ 103 Гэв. Такие энергии экспериментально
еще не достигнуты. Тем не менее случай A.1) может найти при-
применение при исследовании излучения галактик, например Кра-
бовидпой туманности и, в особенности, пульсаров, поскольку
имеются основания считать, что магнитные поля могут там до-
достигать порядка 1011—1012 гс.
Отметим, что в 1972 г. появилось новое неожиданное приме-
применение теории синхротронного излучения: была высказана гипо-
гипотеза о том, что гравитационные волны, возможно, также пред-
представляют собой специфическое гравитационное излучение час-
частиц, движущихся благодаря гравитационному притяжению по
спирали к так называемой «черной дыре» [6]. Синхротронный
характер гравитационного излучения является весьма дискусси-
дискуссионным [7], и поэтому мы считаем нецелесообразным помещать
это в нашу монографию.
Более полно новейшие практические применения синхротрон-
синхротронного излучения будут изложены в заключительном § 27. В том
же параграфе мы изложим две другие приближенные теории,
включающие и квантовые эффекты. Математический аппарат
этих теорий значительно проще нашего и поэтому позволяет бо-
более полно учитывать различные технические детали. Однако
принципиальные выводы, которые следуют из этих теорий, не
являются столь надежными и ограничены сравнительно узкой
областью исследования.
§ 2. ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА
а) Дельта-функция и система орюнормированных функций.
Допустим, что имеется система ортонормированных (т.е. орто-
ортогональных и нормированных) функций tyn(x), где п — целое чи-
число, которое изменяется либо от нуля до бесконечности, либо от
минус до плюс бесконечности. Если tyn(x) —комплексная функ-
функция, то условие ортонормированности записывается в виде
где интеграл распространен на всю возможную область (конеч-
(конечную или бесконечную) изменения аргумента х.
Символ, стоящий в правой части равенства B.1) и получив-
получивший название дельта-символа Кронекера — Вейерштрасса, равен
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ 13
Отсюда легко получить, что
Д '»'*«„< -1 0; П< Щ ИЛИ П > П2. B-6)
Совокупность ортонормированных функций ф„ образует так
называемое гильбертово пространство с бесконечным числом из-
измерений. Условие ортонормированности представляет собою не-
некоторое обобщение скалярного произведения единичных векто-
векторов трехмерных декартовых координат:
(Ш = <W, B-4)
где п, я' = 1,2,3.
Аналогично разложению обычного трехмерного вектора по
системе единичных векторов:
з
х = 2 /„*„, хп = (/„*), B.5)
мы можем разложить любую функцию f (x) по системе бесконеч-
бесконечного числа единичных векторов гильбертова пространства (обоб-
(обобщенный ряд Фурье):
fW = S/VMx), B-6)
п
где целое число п принимает бесконечное число значений (см.
B.1)). Учитывая условие ортонормированности B.1), для коэф-
коэффициента fn легко найти следующее выражение:
{xrWM)dxr. B.7)
Подставляя B.7) в B.6), имеем
dx' f ^ < ^ ^п W- B-8)
Строго говоря, в равенстве B.8) необходимо вначале взять
интеграл, а затем сумму по бесконечному числу п, поскольку
сумма 2 ty*n (xf) tyn (х), вообще говоря, при х1 = х расходится.
п
Однако можно поменять порядок интегрирования и суммирова-
суммирования, вводя какой-нибудь вспомогательный множитель ап, разма-
размазывающий сумму 2 ап^*п(х')^п{х), т.е. делающий ее во всех
п.
точках конечной. Затем, взяв интеграл, множитель ап следует
стремить к единице, после чего равенство B.8) примет вид
/ (*) = lim J dx'f (х') ^ аЛ (дО % (х). B.9)
14 § 2. ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА
Величина
п
носит название дельта-функции (б-функции) Дирака [1—3]. Она
обладает следующим свойством *):
f{x) = \dx'f{x')b{x' -х), B.11)
т.е. является оператором подстановки х'-*х. Хотя интеграл
B.11) следует понимать в смысле равенства B.9), однако во
многих случаях окончательный результат, как правило, не зави-
зависит от способа размазывания и вспомогательный множитель ап
просто опускается.
б) Дельта-функция и разложение Фурье. Свойства дельта-
функции, а также возможные способы ее размазывания мы раз-
разберем на следующем конкретном примере. В качестве ортонор-
мированных функций выберем гармонические функции
2ягс .
ф„Сх) р=^е L '*, B.12)
дающие возможность произвести разложение в обычный ряд
Фурье. Для того чтобы получить полную систему ортонормиро-
ванных функций, мы должны предположить, что целое число п
изменяется в пределах от — оо до + оо. Величина L, называе-
называемая длиной периодичности, определяет область изменения х от
— L/2 до L/2. Тогда условие ортонормированности B.1) прини-
принимает вид
1/2
> f
L j
2
ах= B13
-Z./2
Правая часть выражения B.13) представляет собою дельта-
символ Кронекера — Вейерштрасса, так как при п = п' она
обращается в единицу, а при пфп' — в нуль, т. е.
sin л, (п — п')Ы (п — п') = 6„п'-
Согласно B.10) дельта-функцию можно записать в виде
оо 2ЯП .
1 a-i —г— ' (х'—х)
6 (*'-*)=•-£- ^ е L . B.14)
*) Равенство B.11) имеет место для функций f(x), разложимых по си-
системе ортонормированных функций, из которых составлена дельта-функция
B.10). Более строгое математическое обоснование теории дельта функции
дано в [81.
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ ФУРЬЕ 15
Вводя, далее, новую переменную k = 2nn/L и учитывая,
что Ak = Bn/L)An = 2n/L (поскольку Ап—\), вместо B.14)
получим
6(х' - x) = ^^Akeik(x'-x\ B.15)
Если стремить величину L к бесконечности (Д&-+0), то сумма
B.15) перейдет в интеграл:
Ь(х' — *)=-^J dkeik{*'-*\ B.16)
интегрирование по k производится в пределах от —сю до -f-oo *).
Отметим, что дельта-функция относится к числу несобствен-
несобственных интегралов и поэтому интеграл B.16) не имеет какого-либо
определенного значения, а при х = х' он вообще расходится.
Интеграл Фурье B.8) строго должен быть представлен в виде
^x^-k\dk\ dx'f М e'k (х'~х)> BЛ7)
причем порядок интегрирования здесь является весьма суще-
существенным (вначале по х\ затем по k). Если же мы хотим запи-
записать B.17) через дельта-функцию Дирака, когда следует произ-
производить вначале интегрирование по k, а затем по х', то мы
должны ввести, как было указано выше (см. B.9)), вспомогатель-
вспомогательный множитель и получить размазанную дельта-функцию**):
6(х' - х, а) = -^ J dke~a Ik \+ik<*'-*> =
оо
= ^ } dke-akcosk(xf —x). B.18)
*) В дальнейшем интегралы, стоящие без пределов, берутся от —°°
до +оо, а кратность интегралов определяется числом дифференциалов.
**) Заметим, что введение вспомогательного обрезающего множителя
в настоящее время часто используется при вычислении многих несобственных
интегралов. Например, интеграл
00
.г
. , , 1 COS k ОО
sin kx dx —
k
k k
0
не имеет определенного значения. Однако если ввести вспомогательный мно
житель е~ах (а >0), то интеграл
'= Iim e~"
a->0 J
ax sin kxdx — -r
k
приобретает вполне определенное значение. В этом смысле и следует рас-
рассматривать многие интегралы, встречающиеся в формализме дельта-функции,
16
2. ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА
Мы можем ввести вспомогательный множитель и другим спосо-
способом, например ограничить пределы интегрирования значе-
значением 1/а:
1/а
{x'-*K B.19)
= -^ J
-1/а
В равенствах B.18) и B.19) величина а>0 и после взятия ин-
интеграла ее следует положить равной нулю. Тогда интеграл Фурье
B.17) мы можем представить в виде
а->0
f(x')b(x' — x, a)dx'.
B.20)
Интеграл B.18) берется элементарно:
6 (хг — х, а) = 7г
noi+ixT^r- B-21)
При малых значениях а размазанная дельта-функция обладает
Рис. 1. Дельта-функция (размазанная).
острым максимумом при х' = х (рис. 1). Кроме того, при любых
значениях а мы имеем
B.22)
B.23)
B.24)
6{х' — х, a) dx'=l.
В частности, устремляя а к нулю, найдем, что
а интеграл
J 6 {х' — х) dx' = lim J 6 (л/ — х, а) ^л-' = 1.
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИИ ФУРЬЕ 17
Отсюда для функций, разложимых в интеграл Фурье, равенство
B.20) в обозначениях дельта-функции может быть представлено
в виде
J f (х') 6 (х' - х) dxf = f (х) | б (*' - х) dx' = f(x), B.25)
причем, использовав соотношение B.23), его легко распростра-
распространить также на случай, когда пределы изменения х' конечны
1; Ь>Х>а> B.26)
j 0; х > b или х < a.
Интеграл B.20) не зависит от способа размазывания дельта-
функции, если верхний или нижний пределы интегрирования не
совпадают с особой точкой.
В случае, когда один из пределов совпадает с особой точкой
(например а = х), интеграл B.26) может зависеть от способа
размазывания дельта-функции. Для примера размажем дельта-
функцию B.21) по закону
и в конечном результате оба параметра аир будем стремить
к нулю. Тогда, если пределы интегрирования лежат по обе сто-
стороны от особой точки, имеем
6 (л/ — х, а, р) dx' = 1.
Точно так же легко показать, что
lim Г 6 кх' - х, а, р) / (х') dx'= \ а<-х<Ь> B.28)
а, р->о J ! 0; х < а или х > Ь.
Последняя формула представляет собой обобщение свойств
дельта-символа Кронекера — Вейерштрасса (см. B.3)) па дель-
дельта-функцию.
Если же нижний предел совпадает с особой точкой (а = х),
то имеем
оо
I 6 {х' — х, а, р) dx' = ~ + - arctg —. B.29)
[8 § 2 ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА
Отсюда видно, что при а, р—► + О мы можем написать
о
im Г 6(х'-х, a, $)f(x')dx' =
R-»f) J
lim
и, Р->0
= f(x)
0;
r =x,
' = * — 0.
B.30)
Поэтому в дальнейшем следует обращать внимание на способ
размазывания дельта-функции только в том случае, когда один
из пределов совпадает с особой точкой.
в) Обобщение некоторых свойств непрерывной функции на
дельта-функцию. Поскольку при вычислении интегралов мы дол-
должны размазывать дельта-функцию, то, естественно, многие дей-
действия с непрерывными функциями имеют место и для дельта-
функции. Прежде всего введем вспомогательную функцию
(а>0)
Г
= -J e
о
оо
J e~a
о
sin k (х' — х)
B.31)
Дельта-функция (размазанная, см. B.21)) равна производной
от этой функции:
б (*' - х, а) = -^г у (х' - х, а). B.32)
Функция B.31) интересна в том отношении, что в противопо-
противоположность дельта-функции она имеет определенный смысл и в
предельном случае а = 0:
1/2; хг>х,
Y {хг — х) = lim у
х, а) — ■
- 1/2; х' < х, B.33)
0;
X — X.
На рис. 2 изображены размазанная функция B.31) (сплошная
линия) и ее предельное значение B.33) (пунктирная линия).
Наконец, мы можем вычислить производную от размазанной
дельта-функции B.21):
дЬ (х' - х, а) __ 2а (х' - х)
дх' п (а2 + (х' — хJJ '
B.34)
которая изображена на рис. 3. Из этого рисунка видно, что про-
производная от дельта-функции в особой точке \х' = х) обращается
в нуль. Однако в двух соседних точках (х' = х'+а) она
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
;
2
)
7<х -х.в.)
(
Х'=1 X
?
Рис. 2. Функция (размазанная), производная от которой дает дельта-функ
ffX-T.CC)
Рис. 3. Производная от дельта функции (размазанной),
20 § 2. ПОНЯТИЕ О ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА
принимает значения ±1/2яа2, которые при стремлении пара-
параметра а к нулю соответственно обращаются в плюс и минус
бесконечность. С помощью формулы B.34) легко доказать пре-
предельное соотношение
fix}dx= r{xl B35
ах
которое с помощью дельта-функции может быть записано в виде
J d%PJU
Pf(x')dx'=-f'{x). B.36)
Заметим, что при помощи дельта-функции мы можем описать
линейную плотность точечного заряда:
9 = е6(х), B.37)
которая отлична от нуля только при х = 0, а при интегрирова-
интегрировании по всей оси х дает значение полного заряда:
= e. B.38)
При помощи производной от дельта-функции мы можем опи-
описать плотность диполя:
р (jc) = е6(х — 1) — eb (jc) = - рб' (х). B.39)
Хотя полный заряд диполя равен нулю:
но его электрический момент согласно B.36) отличен от нуля:
J xp (x) dx = p = el. B.40)
Учитывая, что способы размазывания дельта-функции, а так-
также выбор системы ортонормированных функций, из которых она
образуется, не существенны (если предел интегрирования не сов-
совпадает с особой точкой), мы можем в основу теории дельта-
функции положить разложение в интеграл Фурье. Тогда
1/2; х>0,
1/2; х<0, B.41)
0; х = 0,
Jkx
I ( t^ К. X. U.K. — ~Z I С
0
0
=-^- [ eikxdk, B.42)
6'(*)=-- k sin kx dk = -i- ikeikxdk. B.43)
о
СВОЙСТВА ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ 21
Дельта-функцию мы можем составить с помощью системы
других ортонормированных функций, например функций Бесселя
или полиномов Лежандра, Лагерра, Эрмита и т. д.
г) Некоторые свойства дельта-функции [3]. Приведем некото-
некоторые формулы, которыми мы воспользуемся в дальнейшем*):
6(*) = 6(—*) B.44)
(т. е. дельта-функция является четной функцией);
6'(*) = -6'(-*) B.45)
(т. е. производная от дельта-функции является нечетной функ-
функцией, причем штрих означает производную но тому аргументу, от
которого зависит дельта-функция);
*£Ь B.46)
+ a> ; B.47)
=2
(xs — простые корни уравнения <${xs) = О, лежащие в рассма-
рассматриваемом интервале).
Дельта-функция позволяет также описать производную от
разрывной функции. В самом деле, пусть функция f(x) имеет
разрыв в точке х = х0. Тогда мы можем ее представить в виде
где fi(x) и Uix)—непрерывные функции, а у(х) определяется
равенством B.41). Принимая во внимание, что д(х— Хо) —
= у'(х — х0), а также полагая разрыв в точке х = хо равным
й, B.49)
найдем, что
f[(x); х <х
П{х). x>Xq_ B.50)
За всеми деталями, связанными с образованием дельта-функции,
а также с выводом формул, мы отсылаем читателя к моногра-
монографии [3].
*) Для доказательства равенств B.44) — B.48) мы должны левую и
правую части равенств умножить иа разложимую в ряд функцию f(x),
а затем произвести интегрирование по всей области, включающей особые
точки.
22 § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
§ 3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
а) Дельта-функция в пространстве нескольких измерений.
Дельта-функцию в пространстве п измерений определим следую-
следующим образом:
J dx\\ dx'2 ... h{x\-xv x'2-x2, ...)=1, C.1)
а, аг
при а,- < xt < bt;
b(x\-xv х'2-х2, ...)== О, C.2)
если соблюдается хотя бы одно неравенство xi ф х\.
Если одномерную дельта-функцию представим через инте-
интеграл Фурье:
of*7 —ж) = -^Je'*<*-*'> rf/s, C.3)
то двухмерная дельта-функция будет равна
lk^x~x')+ik^-y'] dkxdk2. C.4)
Трехмерную б3 и четырехмерную б4 дельта-функции мы можем
записать соответственно в виде
63(х' - х) = Ь{х' - х)Ь(у' - y)b{z' - 2) =
= б (Г' _ Г) = -^L J e« (г-г') d3A!> (з.5)
б4 (х' - х) = б (г' - г) б (Г - 0 = -j^r J e'* <г-г/)-^ <*-''> rf4fe, C.6)
причем
d3fe = d/s, dk2 dk3, d4k = d3fe dkA.
С помощью дельта-функции оказалось весьма удобным нахо-
находить также решения (точнее, вычислять функцию Грина) линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами (например уравнения Пуассона и Даламбера), играющих
большую роль в классической электродинамике.
б) Функция Грина. Пусть дано уравнение
Lu{xu х2, . ..) = —p(*i> х2, ...), C.7)
ФУНКЦИЯ ГРИНА 23
где L — линейный оператор:
1-> = &Q Т ^1 Г ^2 Г ■ • • т"ц <Г "Т" 2flj9 Г ... (^.о)
Эх[ dx2 dxf ' 5*!ах.
Решение уравнения C.7) будем искать в виде
и{хи х2, .. .) —
= f dx\dx'2... G(xl — x[, x2 — x'2> ...)p(x[, х'2, ...). C.9)
Величина G(x{ — x\, х2 — х2, ...) называется функцией Грина
или гринианом. Подставляя C.9) в уравнение C.7), получим сле-
следующее соотношение между функцией Грина и дельта-функ-
дельта-функцией [3]:
Т П (v vl v__v' \ Д / у v'\ А I у r'\ (Q \Г\\
X—J KJ I Л | Л < j Лп О? * * * I ^^^ ^ л 1 1 I ^ \ О О I * * * У \ * ^"^ /
т. е. дельта-функция позволяет описать поведение функции Грина
в особой точке.
Из уравнения C.10) имеем
= U] + и0, [о.11)
где сингулярная часть функции Грина
G^ -L~] 6(х{- х'{N(х2- х'2) ... =-~BпГп j dkidka...
удовлетворяет однородному уравнению (за исключением точки
х{ = x'v x2 = х2, ..., где особенность описывается дельта-функ-
дельта-функцией), а несингулярная часть функции Грина Go удовлетворяет
однородному уравнению LG0 = 0 во всех точках. При выводе
формулы C.12) мы должны несингулярную часть функции Грина
подобрать таким образом, чтобы в общем решении выполнялись
определенные граничные или начальные (при наличии времени)
условия.
При конкретных вычислениях нет смысла подчеркивать опе-
операторный характер дельта-функции или указывать там, где это
несущественно, способы ее размазывания. Проще всего придать
этим операторным равенствам обычный смысл дифференцируе-
дифференцируемых функций, тем более что при вычислении функции Грина,
получающейся в результате деления дельта-функции на опера-
оператор, даже ее несингулярная часть, как правило, становится
обычной функцией.
24 § 4. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ
§ 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ С ЗАДАННЫМИ
НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
а) Простейшая задача механики. Найдем уравнение движе-
движения x(t) материальной точки массы т = 1, движущейся под дей-
действием силы f{t). При этом мы должны исходить из уравнения
4£ = /@. DЛ)
которое будем решать при следующих двух условиях: во-первых,
предположим, что на смещение х, зависящее от времени t, могут
оказывать влияние только те значения силы f(t'), которые бе-
берутся в момент ? <; / (принцип запаздывающего действия), и,
во-вторых, мы должны учесть начальные условия.
Согласно формуле C.9) мы имеем
где функция Грина
G = G{ + G0.
В сингулярную часть.функции Грина (см. C.12))
v X dk=-\\t-V\ D.3)
мы включили расходящийся интеграл
1_ Г dk
1 ~ ~ 2я J ~W
(т. е. несингулярную часть), который делает эту функцию ко-
конечной.
Несингулярную часть функции Грина мы представим в виде
О0 = С>A-П + С2. D.4)
Чтобы удовлетворить принципу запаздывающего действия, мы
должны потребовать
G(t — tf) = O, /</', D.5)
отсюда
С, = -1/2, С2 = 0. D.6)
Подставляя выражение для функции Грина в формулу D.2),
получаем
x(t)= j dt'(t-nf(f). D.7)
— оо
Начальные условия мы можем задать либо обычным спосо-
способом, добавив к решению D.7) решение однородного уравнения
D.1):
A +
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 25
либо с помощью дельта-функции, подобрав такую силу, которая
сообщает точке мгновенно (в момент t — 0) конечную скорость
v0, а также конечное перемещение х0.
В частности, в случае свободного движения мы должны поло-
положить [2, 3]
f() b() + 6'(t). D.8)
Тогда согласно D.7) имеем
( vd 4- х0, t> О,
*@ = { n , .п D.9)
l и, / < и,
Таким образом, безгранично возрастающая сила vo8(t), дей-
действующая в течение короткого промежутка времени (мгновенная
сила), сообщает материальной точке конечную скорость Подоб-
Подобного рода силы встречаются, например, в теории удара. Сила
xo6'(t) сообщает материальной точке конечное перемещение х0.
Обыкновенную задачу механики, когда, кроме действующей
силы F(t), задаются также начальные условия (значение коор-
координаты х0 и скорости v0 при ^ = 0), мы также можем решать с
помощью нашей формулы D.7). Полагая в этом случае
D.10)
найдем следующее выражение для искомого смещения
t
J dt'(t-t')F{t'). D.11)
Аналогичным способом можно исследовать другие задачи ме-
механики, сформулированные с помощью линейных дифференци-
дифференциальных уравнений.
б) Уравнение теплопроводности. Уравнение теплопроводно-
теплопроводности, описывающее распределение тепла в стержне, имеет вид
Lu(x,t) = -~Q(x,t). D.12)
Здесь оператор
и(х, t) —искомая температура тела, зависящая от координаты х
и времени t, Q(x,t) —внешний источник,,который характеризует
количество тепла, сообщаемое извне единице длины стерж-
стержня в единицу времени, к и а2 носят соответственно название
26 § 4- РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ
коэффициентов внутренней теплопроводности и температуропро-
температуропроводности.
Мы ограничимся исследованием распространения тепла в
безграничном стержне, когда граничные условия отсутствуют.
Так же, как и в п. а), учтем принцип запаздывающего действия,
согласно которому на температуру и(х, t) могут оказывать влия-
влияние только те источники, которые взяты в момент времени t'4^t.
Кроме того, потребуем, чтобы G = 0 для всех t' > t.
Согласно C.9) решение уравнения D.12) следует искать
в виде
и(х, t) = - J dx' d? G(x- x', t-t')Q (xr, t'). D.14)
Для определения функции Грина имеем соотношение
i
e
V \dkl dk2e г + Go> D.15)
где Go — решение однородного уравнения D.12),
LG0 = 0. D.16)
Интегрируя выражение D.15) по переменной k2, получим
Q
£- [ dkxe-a4* «-<') cos Л, (* - х') + Go; t > f,
0
Go; t < t'.
Здесь было учтено следующее соотношение, хорошо известное из
теории функций комплексного переменного:
ir, D.18)
где 2^—сумма вычетов подынтегральной функции в верхней
(при Ь > 0) и нижней (при b < 0) полуплоскостях. В последнем
случае следует обходить обычные точки в обратном направле-
направлении, и поэтому в правой части равенства D.17) мы должны по-
поставить еще знак минус. В нашем случае единственный вычет
в точке k2 = ia k\) лежит в верхней полуплоскости. Чтобы удо-
удовлетворить принципу запаздывающего действия, мы должны по-
положить Go равным нулю.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 27
Выражение для функции Грина после вычисления интеграла
D.17) принимает вид *)
■в ««•(*-*'); t>t',
2/я (/-<') ' ' D.19)
0; t < t'.
Подставляя D.19) в равенство D.14), найдем следующее вы-
выражение для искомой температуры:
и (х, t) = —2— Г dx' f df e *аЦ{~П Q (xf, f). D.20)
2х у л J _J l^f — *'
Классическую задачу теплопроводности, когда в начальный
момент задано лишь распределение температуры, а внешние ис-
источники тепла при t > 0 отсутствуют, т. е.
u(x,Q) = f(x), Q(x,t) = 0, D.21)
мы можем сформулировать также с помощью дельта-функции.
В самом деле, вместо начальной температуры мы можем задать
мгновенный источник в виде
Q(x',t') = -£f(x')&(f), D-22)
поскольку при интегрировании по f мы находим обычное соот-
соотношение между количеством тепла и температурой:
I
D.23)
Подставляя D.22) в D.20) и интегрируя полученное выраже-
выражение по V, находим
{х-х'У
u(x, t) =
dx'\{x')e
2а \Па i ' v ' ' D.24)
0; /<0.
В частности, если внешний источник сообщает некоторое конеч-
конечное количество тепла Q в момент времени t = 0 лишь в точке
х = 0, то
Q(x', t') = Qb(x')b(t'), D.25)
*) Заметим, что если подобрать Go таким образом, чтобы выполнялось
опережающее действие, т. е. G = 0 при V > t, то соответствующая функция
Грина даст расходящийся результат. Наоборот, для оператора
дх2 + а2 <Э<
не существует решений с запаздывающим действием.
28 § 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
и выражение D.20) дает следующее значение для температуры:
и= aQ- е^. D.26)
2и у nt У '
Из равенств D.25) и D.26) следует
дх* a2 dt I 2 Vnt
D.27)
V
§ 5. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
а) Уравнение Пуассона. Одним из основных уравнений элек-
электродинамики является уравнение Пуассона
E.1)
которое описывает связь электростатического потенциала Ф
с плотностью заряда р. Решим это уравнение для некоторых
частных случаев.
б) Одномерный случай. В одномерном случае плотность за-
заряда зависит только от одной координаты х. Тогда при заданном
х вдоль всей плоскости yz имеет место одно и то же значение
р = р(лг). В этом случае дифференциальное уравнение E.1) для
определения потенциала Ф(х) принимает вид
й2Ф (х) л / \ /г г>ч
dxl =-4np(x). E.2)
Уравнение E.2) точно совпадает с D.1), и поэтому для опре-
определения Ф(х) мы можем воспользоваться решением D.2):
Ф(х) = 4я j dx'G (х-х')р(х'), E.3)
где
G (х - *') = - 1 \х - х' | + С, (х - х') + С2.
В отличие от D.1) уравнение E.1) не зависит от времени и
поэтому для определения постоянных d и С2 мы должны вос-
воспользоваться не принципом запаздывающего действия, а гранич-
граничными условиями. Например, в случае, когда заряд сосредоточен
лишь в плоскости yz с постоянной поверхностной плотностью а,
следует положить
() а6(х). E.4)
Тогда для потенциала E.3) находим значение
ф{х)= — 2ла\ а-| + С,* + С2. E.5)
ДВУХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 29
Требуя симметрию потенциала относительно замены х на —х,
т. е. относительно заряженной плоскости и полагая Ф = 0 при
х = 0, мы найдем, что С\ = С2 =0. Поэтому в этом случае
х\. E.6)
Подставляя E.6) и E.4) в E.2), имеем
Щх)- E-7)
Последнее равенство следует также из B.50), поскольку функ-
функция х/\х\ в точке х = 0 претерпевает разрыв, равный 2. Отсюда
видно, что решение E.6) удовлетворяет дифференциальному
уравнению E.2).
в) Двухмерный случай. Уравнение Пуассона на плоскости
описывает потенциал заряженного цилиндра, ось которого, не на-
нарушая общности, мы направим вдоль оси г.
Соответствующее значение для функции Грина может быть
определено из соотношения
' д2 д2 \ ,
,«' of/ J ■ / w .y ' . /
Отсюда с помощью формул C.11) и C.12) находим
1 Г ik,(x-x')+ik2(y-y')
G = -4- dkxdk2- ^ ^ r-G0. E.10)
4я ^ k\ + k'2
Для того чтобы получить конечное решение для G, следует поло-
положить Gq равным
?о=-тт dk.dk,» . E.111
Вводя цилиндрические координаты
приведем выражение E.10) к виду
оо
2я J fe
'- -к1п 77=~ i1п ^ - *'J
30 § 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
где /о — функция Бесселя нулевого порядка, а постоянную г0 мы
положили равной единице (г0 = 1). Отсюда легко получить, что
логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению
У^+У = 2п6(хN(у\ E.13)
Этот потенциал, точнее, величина
Ф = - 2х In Vx2 + у2, E.14)
соответствует потенциалу равномерно заряженной нити с линей-
линейной плотностью к.
г) Трехмерный случай. Найдем решение трехмерного уравне-
уравнения Пуассона, когда в уравнении E.1) следует считать, что плот-
плотность р зависит от координат х, у, г, а оператор Лапласа равен
V — з—? + ^rv + -*-? • E.15)
дх2 ' ду2 ' dz2 v '
Для определения функции Грина имеем уравнение
V2G = - б (г - г') = - Jp-1 е" <r-r'> d3^, E.16)
где
= dkldk2dk3, kr = k^ + k2y + k3z. E.17)
Из E.16) находим
ik(r-r')
В случае «естественных» граничных условий, когда G = 0 при
г—юо, мы должны положить несингулярную часть функции
Грина равной нулю (G0 = 0), поскольку мы не можем привести
такого решения, которое всюду удовлетворяет уравнению Ла-
Лапласа V2G0 = 0 и не расходится в бесконечности (г—* се).
Интегрирование выражения .E.18) легко произвести, вводя
сферические координаты (k, 0, ср) в пространстве волновых век-
векторов k:
\ k\, d5k = k2dksinQdQdy. E.19)
Направляя ось k3 по вектору R = г — г', находим
G = -^з- | dk | sin 9 eikR cos e dQ | dy. E.20)
0 0 0
Интегрируя выражение E.20) по сферическим углам с по-
помощью равенства
л 2л
e J ^ф = 4я-^Уг-, E.21)
о
УРАВНЕНИЕ ДАЛАМБЕРА 31
получаем
(в-»)
Отсюда решение уравнения Пуассона E.1) для трехмерного
случая имеет вид
/
В частности, если заряд является точечным, то, помещая его в
начало координат, мы можем плотность заряда записать в виде
р(г) = еб(г). E.24)
Соответствующий потенциал равен
O = f. E.25)
Отсюда легко показать, что
V2-i = -4n6(r). E.26)
Аналогичным путем можно определить потенциал точечного
заряда уравнения Юкавы, играющий большую роль в теории
ядерных сил. Найдем решение уравнения Юкавы в случае еди-
единичного ядерного заряда:
(V2 - k\) Ф = - 4я б (г) = - 2^f J еш d3k, E.27)
где т — hko/c — масса я-мезонов, переносящих ядерные силы
(fi — постоянная Планка). Производя деление на оператор
(У — &о), находим
1 Г elkr е~'г«г
Ф=в-Т "Г—2^k==I ■ E-28)
2я2 J k2 + k20 г к '
т. е.
д) Уравнение Даламбера. Как известно, в основе электроди-
электродинамики лежит уравнение Даламбера
DO (г, 0=-4яр(г, t), E.29)
где оператор Даламбера
п = V2 — — —
u v с2 dt2
32 § 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Решение дифференциального уравнения E.29) согласно
C.9) — C.12) следует искать в виде
Ф (г, t) = An ( р {г', f) G{r-r',t- П dH'dt', E.30)
где функция Грина
G = G, + G0 E.31)
состоит из сингулярной G\ и несингулярной Go частей, которые
мы можем представить соответственно в виде
^^r-^ E.32)
G°=w I f <
где R = r — r'.
Несингулярная часть функции Грина, очевидно, во всех точ-
точках удовлетворяет соотношению □ Go = 0, поскольку соответ-
соответствующее подынтегральное выражение содержит множитель
равный нулю.
Функция f(ki) должна определяться из условия запаздываю-
запаздывающего действия (см. D.5)):
G = 0 при t<t', E.34)
согласно которому на потенциалы Ф(г, t) влияют только плот-
плотности зарядов p(r',t'), взятые в моменты времени t'<.t. Соот-
Соответствующие потенциалы называют запаздывающими.
Интегрирование по k4 в выражении E.32) произведем в смы-
смысле главного значения. Тогда, учитывая формулу D.18), найдем,
что *)
Q — с t-t' Г !kR sin ck (t - У) .,, ,- осч
^i— \t-t'\ J e k dk- V-6b>
Для того чтобы получить запаздывающие потенциалы, мы
должны в E.33) положить функцию /(£4) равной следующему
значению:
fik^^nikJlk^. E.36)
*) Поскольку полюсы лежат на вещественной оси (kt — ±k), при инте-
интегрировании в плоскости комплексного переменного особые точки мы обходим
с помощью полуокружностей, благодаря чему правую часть равенства D.18)
мы должны поделить пополам, т. е. E.35) представляет собою главное зна-
значение интеграла.
УРАВНЕНИЕ ДАЛАМБЕРА 33
Тогда используя формулу B.47), найдем
Отсюда для запаздывающих потенциалов имеем
16я4
c ■ e
ick, (t-t>) Г ' + in т^- б {k2 — k2M d*k, E.38)
[k -ki \ki J
или
G0; t> f,
;0' t<t,_ E.39)
Если нас интересуют опережающие потенциалы Ga, то в
подынтегральном выражении формулы E.38) перед вторым чле-
членом мы должны взять минус. Тогда вместо E.39) будем иметь
t > Г,
<540»
Математически это означает, что на потенциалы Ф(г, t) будут
оказывать влияние только те источники, которые взяты в момент
времени t' > t. Опережающие потенциалы пока что не нашли
вполне определенного практического применения, хотя некоторые
задачи (например классическое уравнение Дирака — Лоренца)
невозможно корректно решить без введения опережающего воз-
воздействия (см. ниже).
Интегрируя E.37) по углам вектора k, получаем
Go= Лп2о sin kR sin ck(t — f)dk ■■
о
<5-4"
Аналогичным способом из E.35) для функции Gi находим
2 А. А. Соколов, И. М. Тернов
34 § 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Отсюда для функций Грина, описывающих запаздывающие и
опережающие потенциалы, соответственно имеем
E.43)
E.44)
Ограничиваясь запаздывающими потенциалами, мы с по-
помощью E.30) можем написать известное выражение для реше-
решения уравнения Даламбера:
Ф (г, 0=| — ^ — Р (»■'. О dtf rfV = f р (г^' П d*xf, E.45)
причем в последнем интеграле следует положить
j/ __ 1 ]^_
с
е) Интегрирование обобщенного уравнения Даламбера. Най-
Найдем решение обобщенного уравнения Даламбера [2]
ЬФ(г, *) = -4яр(г, t), E.46)
где оператор
L = V*-^-s^. E.47)
В случае s—*0 уравнение E.46) переходит в уравнение Далам-
Даламбера. При с2—» оо мы получаем трехмерное уравнение теплопро-
теплопроводности. Если ens отличны от нуля, то уравнение E.46) дает
уравнения электромагнитных полей в однородной проводящей
среде, причем коэффициент удельной электропроводности о свя-
связан с величиной s соотношением s = 4ло/с2 > 0. Функция Грина
уравнения E.46) согласно C.12) и E.32) равна
.ikR-ick, {t-t')
К функции G мы в принципе можем добавить еще несингуляр-
несингулярную часть Go (см. ниже). Интегрируя выражение E.48) по пере-
переменной ki при помощи формулы D.18), найдем
-— и-п Г '\\
&?е 2 J е1"Н К d3k'' t>1'' E.49)
0; t < Г,
где К = |//s2-s2c2/4.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА 35
■Таким образом, одна лишь сингулярная часть функции Грина
G) удовлетворяет принципу запаздывающего действия и поэтому
несингулярную ее часть Go мы положили равной нулю.
Вообще говоря, несингулярную часть функции Грина Go, удо-
удовлетворяющую при всех значениях t, r однородному уравнению
E.46): LG0 = О, мы можем представить в виде
Go = е'^ {''П / Се'** s'"W-ni d% E.50)
где С — произвольная постоянная. Равенство E 50) имеет место
как при t > ?, так и при t < V, т.е. дает расходящееся значение
при t —*— оо и поэтому его можно вводить только в том случае,
когда задача ограничена хотя бы со стороны отрицательных зна-
значений t.
Функция E.49) получена в предположении, что s > 0. Если,
наоборот, s < 0, то интеграл по kA дает функцию Грина, соответ-
соответствующую опережающему воздействию, которая обращается в
нуль при t>t'*).
После интегрирования по углам вектора k мы можем выра-
выражение E.49) представить в виде
°Г = -^ке~^A~ПЖВ^'*-П, E.50
где
B(R,t-f)=
{ с E.52)
[0; t<t' + j-.
Принимая во внимание, что выражение E.52), содержащее
функцию Бесселя от мнимого аргумента /о, в точке t = f + R/c
претерпевает разрыв, равный л/2, мы при дифференцировании В
*) Заметим, что в гринианах уравнения Даламбера E.38) и E.40) мы
можем также оставить лишь только сингулярную часть, если будем рас-
рассматривать их как предельное значение
С ikR-tch(t-t')
Gr-a= Mm —. —„ 5 d4k,
s-Ю 16лГ J кг — k\ — isck^
E.51a)
причем для запаздывающих потенциалов (Gr) мы должны считать .5 > Q
(*-*-0), а для-опережающих (G°), наоборот, s < 0 (s->-0).
36 § 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
по R согласно формуле B.50) наряду с обычной производной
должны поставить еще дельта-функцию. Тогда окончательно на-
находим
E.53)
В частности, в предельном случае s = 0 (вакуум) мы из
E.53) получаем значение функции Грина, соответствующее за-
запаздывающим потенциалам (см. также E.43)):
4nR
(t-t'-f). E.54)
В этом случае наличие дельта-функции приводит к замене У на
t — R/c (запаздывающее действие), что говорит о распростране-
распространении всех волн со скоростью с.
При наличии проводимости в (s = Ала/с2) функция Грина
будет содержать еще дополнительное слагаемое (пропорциональ-
(пропорциональное функции Бесселя от мнимого аргумента /j), отличное от
нуля для всех У < t — R/c, т.е. источник как бы начинает ис-
испускать еще дополнительные волны, распространяющиеся со
всевозможными скоростями, начиная от нуля и кончая с.
В другом предельном случае (с2—» оо и s = I/a2) мы полу-
получаем функцию Грина для трехмерного уравнения теплопровод-
теплопроводности (обобщение функции Грина D.19) с одномерного на трех-
трехмерный случай). Воспользовавшись асимптотическим значением
для функции Бесселя 1\:
/, (х) «* ex/V^x, E.55)
Х~> оо
мы найдем, что
е~4а'(<-П. E.56)
Окончательное решение исходного уравнения E.46) мы можем
представить в виде
ф (r, t) = 4п J р (/■', f) G(R, t- t') df dV, E.57)
причем вместо функции Грина мы должны подставить в общем
случае ее значение E.53).
И. КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
а) Уравнения Максвелла—Лоренца. Как известно, уравнения
Максвелла — Лоренца имеют вид*):
первая группа
^ F.1)
вторая группа
rot£ + i-4r = 0' divtf^O, F.2)
где Е и Н—векторы электрической и магнитной напряженно-
стей.
В случае точечного электрона плотность заряда р и плотность
тока / мы можем положить соответственно равными
9 = е6(г~г'), /=ур. F.3)
Здесь е — заряд электрона, а г' —радиус-вектор, характеризую-
характеризующий его положение. При движении электрона радиус-вектор за-
зависит от времени t, причем скорость электрона v равна
а для плотности тока мы имеем
i = jP=e±6{r-r'). F.5)
Очевидно, что плотность тока и плотность заряда удовлетво-
удовлетворяют уравнению непрерывности
±^ + d\vj = O. F.6)
*) Вывод уравнений Максвелла — Лоренца, который основан на обоб-
обобщении ряда законов, установленных экспериментально, мы опускаем. Урав-
Уравнения Максвелла — Лоренца должны удовлетворять релятивистской ковари-
ковариантности и могут быть получены из релятивистски-инвариантной функций
Лагранжа (вывод этих уравнений см. в [1, 2J),
33 § 6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В самом деле, из соотношений
следует равенство F.6), причем V' и V — операторы, составлен-
составленные соответственно из производных по г' и г, а скорость г' не за-
зависит от координат.
Уравнения Максвелла — Лоренца следует дополнить еще си-
силой Лоренца, действующей со стороны электромагнитного поля
на электрон:
{ ^} FJ)
где т0 — масса электрона, а |3 = v/c.
б) Интегрирование уравнений Максвелла—Лоренца. При
интегрировании уравнений Максвелла—Лоренца скалярный Ф
и векторный А потенциалы вводятся таким образом, чтобы авто-
автоматически удовлетворялись уравнения F.2). Для этого мы дол-
должны положить
Н = rot A, £=-gradO--i-^. F.8)
Соотношения F.8) не дают однозначного определения потен-
потенциалов, так как еще не заданы источники вектор-потенциала А
(т.е. величина divЛ). Поэтому если сделать переход к новым по-
потенциалам Л', Ф':
A' = A + gradf, ф' = Ф-±-§£, F.9)
где f — некоторая скалярная функция, то поля Н и Е с потенци-
потенциалами Л' и Ф' будут связаны, как и с Л и Ф, соотношением F.8).
Заметим, что преобразования F.9) называются калибровочными
или градиентными.
Как правило, калибровочная функция f выбирается таким
образом, чтобы потенциалы удовлетворяли дополнительному
условию Лоренца
divA + ^ = 0. F.10)
Условие F.10) не является единственно возможным. Например,
при исследовании распространения электромагнитных (свето-
(световых) волн накладываются другие условия:
div Д = 0, Ф = 0, F.11)
соответствующие наличию лишь поперечных колебаний.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА 39
Подставляя F.8) в первую группу уравнений Максвелла —
Лоренца F.1) и учитывая условие Лоренца F.10) для скаляр-
скалярного и векторного потенциалов, мы получаем уравнение Далам-
бера
П1 л ) = -4лр( * ), F.12)
1 д2
где □ = V2 г -т-2- — оператор Даламбера. Величины, стоя-
стоящие в скобках, являются по существу матрицами, причем еди-
единица, стоящая в правой части равенства F.12), относится к ска-
скалярному потенциалу Ф, a v/c — к векторному потенциалу А.
Решение уравнения F.12) в случае запаздывающих потен-
потенциалов мы можем согласно E.45) представить в виде
Ф(г, 0=J — jp—— Р(г", t')dt'd4", F.13)
где
R" = r — r", R" = \r — r"\.
В случае опережающих потенциалов мы должны в аргументе
дельта-функции перед R"jc поставить знак минус.
Аналогичное решение мы можем написать и для вектор-по-
вектор-потенциала, сделав под интегралом равенства F.13) замену
р -»■ pv/c.
В случае точечного электрона мы должны в F.13) подставить
значение плотности заряда F.3). Тогда после интегрирования по
г" найдем потенциал точечного заряда
JjF.14)
где
#' = | г - г' (Г) | = Vr°- + г'2 - 2 (гг*), F.15)
а радиус г' характеризует положение электрона в момент V.
Интегрируя выражение F.14) по ? с помощью формулы B.48),
найдем
FЛ6)
cR'
где v(f) = dZ/dt, a (v(t')R')/R — проекция скорости электро-
электрона на радиус R'= г — г'{('') в момент времени V, которое
40 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА
находится из уравнения
F.17)
Аналогичным способом мы можем найти выражение для век-
вектор-потенциала:
л- FЛ8)
Потенциалы точечного заряда, соответствующие запаздываю-
запаздывающему решению, носят название потенциалов Лиенара — Ви-
херта [3, 4].
§7. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА —ЛОРЕНЦА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ
ВИДЕ
а) Ковариантные и контравариантные векторы и тензоры.
Согласно специальной теории относительности волновые уравне-
уравнения, описывающие движение любых элементарных частиц, дол-
должны сохранять свою ковариантную форму при переходе от
одной инерциальной системы координат к другой. Это требова-
требование, являющееся обобщением многих экспериментальных фак-
фактов, на современном этапе развития физики, как правило, кла-
кладется в основу построения любой теории элементарных частиц:
как классической, так и квантовой.
При переходе от одной системы координат (х^ = х, у, z, ct)
к другой (х'а = х', у', г', ct') составляющие тензоров [2, 5] долж-
должны преобразовываться по определенным правилам [6]*).
Скалярные величины (тензоры нулевого ранга) при таком
переходе остаются неизменными:
В' = В; G.1)
векторные величины (тензоры первого ранга) преобразуются по
закону
дх'а
В'а = —— В*1 (контравариантный вектор), G.2)
д лг
дх^
Ва ——^-Вц (ковариантный вектор); G.3)
величины, образующие тензоры второго ранга, подчиняются
*) Здесь и в дальнейшем латинские буквы (например п) пробегают
значения 1, 2, 3 (х, у, г), а греческие (например а или |х) — '. 2, 3, 4
(х, у, ct или Vet). Наличие двух величин с одинаковым индексом означает
суммирование по этому индексу. Случаи, когда суммирования нет, будут
оговорены особо.
д#
дх'а
дх»
дху
дху
дх'&
дх'$
КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 41
следующим законам преобразования:
(контравариантный тензор), G.4)
, (ковариантный тензор), G.5)
„u ra v „^ (смешанный тензор). G.6)
Эти законы преобразования легко обобщить на случай тензоров
более высокого ранга. Заметим, что пространственно-временные
координаты точки преобразуются по закону G.2) и поэтому в
своей совокупности образуют контравариантный вектор.
Переход от одной инерциальной системы координат к другой
складывается в общем случае из параллельного переноса и четы-
четырехмерных поворотов одной системы отсчета относительно дру-
другой. При параллельном переносе, изменяющем лишь начало от-
отсчета, координаты связаны между собою соотношением
хГ = хУ- + а». G.7)
При пространственных поворотах, например вокруг оси z на
угол ф, мы имеем
х' = х cos ф 4" У s'n Ф> У' = — х sin Ф 4~ У cos ф,
z' = z t' = t ^7'8^
Наконец, преобразования Лоренца (пространственно-временной
поворот) имеют вид
../ . х — vt ,,r_,. ?> — ? у — * - vx/c2 G q\
х ——т , У —У, z —z, х , (/.у)
где k = Y\ — $2, a v = с|3 — скорость движения одной системы
координат относительно другой, которую мы направим вдоль
оси х. Вводя гиперболические функции
ch<po=l/&, sh(po = |V/e, G.10)
мы можем преобразования G.9) представить в виде (х^ =
= X, у, Z, Ct\ ЛГд = X, у, Z, —Ct)
х' = х ch ф0 — ct sh ф0, f х — х' ch ф0 4" ct' sh ф0,
ct' = ct сИф0 — л;зЬф0; \ ct — ct'ch q>0-\-x'sh щ.
Сравнивая формулы G.11) с формулами G.8), мы видим, что
преобразования Лоренца эквивалентны повороту в простран-
пространственно-временной плоскости на мнимый угол.
Заметим, что при параллельном переносе, а также при про-
пространственных поворотах законы преобразования для контра-
42 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ~ ЛОРЕНЦА
вариантных и ковариантных тензоров будут одинаковыми,
поскольку дх'/ду = ду/дх' и т. д., а при пространственно-времен-
пространственно-временных вращениях — различны, что видно из соотношения dx'/dct =
= —dct/dx', и т. д. Если формально ввести вместо времени мни-
мнимую составляющую {хп = х, у, z, i'ct)*), то преобразования G.11)
принимают вид
( х\ = х[ cos у + х4 sin y> ( х[ = х'{ cos у — х'4 sin у,
\ х\= хАcosy — -v, sin у, [ х4= х4cosy+ ■*:, sin y, G.12)
(Yf Y Yf у '
A2 "V 3 Л3'
где
cosy= r siny= г —• G-13)
Y\ + (/'PJ j/1 + (CpJ
В этом случае легко показать, что
dx'Jdx4 = dxjdx\ и вообще дх' jdxri = dxjdx',
т.е. законы преобразования для контравариантных и для кова-
оиантных тензоров будут одинаковыми, благодаря чему мы мо-
Aieu не делать различия между ними.
б)Релятивистски-ковариантная запись уравнений Максвел-
Максвелла—Лоренца. Для описания электромагнитного поля в реляти-
вистски-ковариантной форме введем четырехмерный вектор-по-
вектор-потенциал, составляющие которого связаны с трехмерным вектор-
чым потенциалом А и скалярным потенциалом Ф соотношениями
При переходе к другой инерциальной системе они преобразуются
так же, как и компоненты вектора перемещения:
дх„ дх,
A'a = —^AiL = —^-All. G.14)
дх^ дха
В трехмерных обозначениях, когда скорость движения v одной
инерциальной системы (штрихованной) направлена по оси х
относительно другой (нештрихованной), эти компоненты преоб-
преобразуются по закону G.9):
А'х = ±=®-. Ф' = ^#^, А'„ = АУ. A'Z = AZ. G.15)
*) Мы вводим две мнимые величины I и i' [7]. Квадраты обеих вели-
величин должны быть равны друг Другу:
i'2 = l'=—\. G.11а)
Однако эти величины должны различаться при переходе к комплексно-со-
комплексно-сопряженным значениям:
i' = — i, i'* = i'. G.116)
КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 43
Электромагнитные поля, образующие в четырехмерном про-
пространстве антисимметричный тензор второго ранга, равны
где
Ач, a = dAJdx[l. G-17)
Условие Лоренца F.10) в четырехмерной записи прини-
принимает вид
AVtV = dAv/dxv = 0. G.18)
Подставляя в G.16) значения для компонент четырехмерного
потенциала и учитывая F.8), мы легко установим связь между
компонентами тензора G.16) и полями Е и Н:
' Нх, Ну, Нг \ / #23, #зь Н
i'Ex, i'Ey, l'Ez) — \HiU HA2, H
Вторую группу уравнений Максвелла — Лоренца (см. F.2))
мы можем записать в четырехмерном ковариантном виде:
^ -^ ая^
дхк дхи дху ^ >
причем все греческие буквы ц, v, X, принимающие значения 1, 2,
3, 4, должны быть различными (четыре уравнения). Если два
или все три индекса равны между собою, то, учитывая антисим-
антисимметричность тензора Н^ (Нцу =—ЯУЦ) Нп = 0 и т.д.), мы
автоматически получим нуль.
Для того чтобы записать в релятивистски-ковариантном виде
первую группу уравнений Максвелла — Лоренца F.1), мы объ-
объединим плотность заряда F.3) и плотность тока F.5) в единый
четырехмерный вектор /V, равный [3]*)
^i(x-x')dx. G.21)
Здесь v'—dxrjdx = x'—четырехмерная скорость; четырехмер-
четырехмерная плотность 64 равна
64 (х -х') = д(г- г' (т)) 6(t-t' (r)), G.22)
а т — собственное время электрона, связанное с лабораторным
V соотношением
dx = df]f\ - (v'/cf, G.23)
где трехмерная скорость v' = dr'/dt''.
*) Здесь иод х понимаем совокупность координат г, t.
44 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА
Интегрируя выражение G.21) по собственному времени т,
найдем
/4 (JC) = i'e b{r-r' @) = «'р, / (х) = | ед (г - г' (*)) = у р, G.24)
где скорость и = dr'jdt. Поэтому первую группу уравнений Мак-
Максвелла— Лоренца (см. F.1)) с учетом G.16) мы можем пред-
представить в виде
дН^/дхх = Anjp, G.25)
причем в случае точечного электрона четырехмерный ток опре-
определяется равенством G.21).
Из равенств G.16), G.20) и G.24) следует, что уравнения
Максвелла — Лоренца в четырехмерном пространстве могут
быть записаны в ковариантном виде и поэтому при переходе от
одной инерциальной системы к другой тензор электромагнитного
поля должен преобразовываться по закону *)
дх' дх'л дх,. dxv
Я'с* = —2-—3-tf,xV = —t-4/V G.26)
дх^ dxv ц дха дх&
Силу Лоренца F.7) мы также можем записать в ковариантном
четырехмерном виде:
mox'^e7x'vH^{x'). G.27)
в) Функция действия. Напишем прежде всего функцию дей-
действия, которая, с одной стороны, приводит к первой группе урав-
уравнений Максвелла—Лоренца G.25), а с другой, — к уравнению
движения электрона G.26) **). Эта функция действия состоит из
трех частей:
5 = 5, + 52 + S3.
Первая часть Si описывает электромагнитное поле [3]:
*) В трехмерных обозначениях равенство G.26) мы можем представить
в виде
**) Вторая группа уравнений Максвелла — Лоренца автоматически сле-
следует из антисимметричности тензора электромагнитного поля G.16) (см.
уравнение G.20)).
ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИЯ 45
где
*£- = dx dy dz dt = dH dt, G.29)
l С
а функция Лагранжа (лагранжиан) Lu представляющая собою
инвариант, равна
Вторая часть функции действия 5г соответствует электрону.
Она также представляет собою скаляр:
2dx, G.31)
где т — собственное время (см. G.23)), а лагранжиан
Наконец, третья часть функции действия описывает энергию
взаимодействия электрона с электромагнитным полем:
S3 = e- J 64 (х - х') х'а А^ (х) ^f dx, G.33)
где величина 6а(х — х') и элемент объема d*x определяются со-
соответственно равенствами G.22) и G.29).
Если мы хотим получить первую группу уравнений Максвел-
Максвелла— Лоренца, ограничиваясь наличием одного электрона*), то
в функции действия мы должны оставить первую и третью ее
части, т. е. положить
S13 = Si+ S3=J £-13 Г ■ G-34)
причем лагранжиан (см. G.30) и G.33))**) будет равен
L.3 = - -Ш Н^ (*) ^v W + Т J Мх ~ х') К \ (х) dr. G.35)
*) Функции действия G.31) и G.33) написаны для одного электрона.
Если мы имеем несколько электронов, то мы должны взять сумму этих
функций действия по всем электронам, взяв для каждого из них свое
собственное время.
**) В трехмерных обозначениях, учитывая равенства G.19) и G.21), мы
можем лагранжиан электромагнитного поля представить в виде
Г" ~ Ф) б (Г ~ Г> {t))> G'35а)
где г и r'(t)—координаты соответственно электромагнитных полей и элек-
электрона, движущегося со скоростью v' = dr'ldt.
46 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА
Вариационный принцип дает следующие четыре уравнения
(ц-= 1,2,3,4) для описания электромагнитного поля [5]:
-4tl = 0. G.36)
Принимая во внимание соотношения G.16) и G.17), имеем
4 (*-*». G.38)
Подставляя G.37) и G.38) в G.36), получим первую группу
уравнений Максвелла — Лоренца в четырехмерном виде (см.
G.25)).
Уравнение движения электрона в электромагнитном поле
G.27), в правой части которого стоит сила Лоренца, мы можем
получить из функции действия, если оставим в ней вторую (S2)
и третью (S3) части (поскольку первая часть не зависит от коор-
координат электрона)*):
L23rfT, G.39)
где лагранжиан (см. G.31) и G.33))
jf-^)iHvW4f. G.40)
Вариационный принцип дает следующее уравнение движения
в четырехмерной форме:"
^^¥ 0. G.41)
*) В трехмерных обозначениях функция действия G.39) записывается
в виде
S23 = f l'ndt'. G.39а)
Здесь
где v' = dr'ldt' — трехмерная скорость электрона, а потенциалы Л' и Ф' ста-
становятся функциями координат электрона г',
Из
dLn
дх'а
G.40)
е
с
находим
дЦ,,
Г •'
[3]
тпсх
/ — х
д
дхп
ФУНКЦИЯ
в
vxv
А(х
ДЕЙСТВИЯ
Г
J 4'x
'\ d'x _
(' С
47
,1 х
ic
ГГТ7\3 '
xx)
\Г Г7Т7 i/ ГГГ7 т !
с(т V — xvxv у — xvxv \
d e Г d*x e Г дА,, (х) d%x
6(a-x') AAx) = x'b{xx')^
dx
e Г d*x e Г
64(a-—x') AAx)-j- = - x'vbA{x—x')
с J 4V > »K ' t'c с J v 4V '
Отсюда, учитывая G.41), получаем следующее уравнение движе-
движения электрона:
тг у т с Y I у y I р
где Н'^ = Н^(х').
Умножая равенство G.43) на х'ц,, суммируя по всем индек-
индексам (л и учитывая антисимметричность тензора Н'^, найдем, что
*Wv = 0. G.44)
Из последнего равенства следует ортогональность четырехмер-
четырехмерного ускорения к четырехмерной скорости, т. е.
« = 0. G.45)
Поэтому квадрат четырехмерной скорости должен оставаться
величиной постоянной:
-*Х = с2/72-*;*;; = const.
Постоянная величина может быть найдена из условия, что для
неподвижного электрона (/'= т) ^ = 0, i'=\. Поэтому
-x'vx'v = c4'2~x'nx'n = c\ G.46)
а уравнение движения для электрона (см. G.43)) принимает вид
что представляет собою релятивистски-ковариантную запись
рилы Лоренца (см. G.27)).
48 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА — ЛОГЕНЦА
г) Уравнения Лагранжа и Гамильтона в релятивистской тео-
теории электрона. В дальнейшем координаты электрона мы обозна-
обозначим без штриха. Это практически можно всегда сделать в случае
точечного электрона, когда при взаимодействии электромагнит-
электромагнитные поля и электроны следует брать с одними и теми же значе-
значениями четырехмерных координат. Кроме того, при рассмотрении
конкретных задач мы часто будем пользоваться трехмерными
обозначениями как для координат (г, i'ct), так и для полей. Пре-
Прежде всего запишем уравнение G.47) в трехмерных обозначе-
обозначениях, учитывая при этом равенства G.23) и G.19):
^ ^ + []), G.48)
dt Y\ -Рг с i
— -0= = е (vE), G.49)
dt V\ - |32
где v = dr/dt — трехмерная скорость электрона.
Празая часть уравнения G.48) представляет собою силу Ло-
Лоренца, а правая часть уравнения G.49) —механическую работу,
которую совершает в единицу времени электромагнитное поле
при движении заряда. Заметим, что механическую работу совер-
совершает только электрическое поле. Магнитное поле механической
работы не совершает, так как оно направлено перпендикулярно
к скорости движения*).
Лагранжиан должен быть выбран таким образом, чтобы из
вариационного принципа
6S = 6 J Ld/ = 0, G.50)
т. е. уравнения
dt dv дг ' \ • )
следовали уравнения G.48). С этой целью для лагранжиана L
мы должны выбрать выражение G.40а), т.е. положить [2]**)
Z. == - /1 — р2 т0с2 — е (Ф — (РА)). G.52)
*) Как будет показано ниже, магнитное поле все же совершает работу,
но не механическую, а (см. ниже) связанную с излучением, поскольку оно
сообщает электрону центростремительное ускорение, а ускоренно движу-
движущийся электрон должен излучать.
**) В нерелятивистском приближении, когда учитываются лишь члены,
включающие порядок р = v/c (р2 « 0), лагранжиан принимает вид
L _ moC2 = JWL _ е (ф - (рА)). G.52а)
Здесь от функции Лагранжа мы отняли постоянную величину т0с2, соответ-
соответствующую собственной энергии. Это не может изменить уравнения движе-
движения G.51).
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ 49
Тогда находим
а для трехмерного импульса имеем
Подставляя G.53) в G.51) и учитывая соотношения
dA = ЗА_ ,-, А
dt — dt (v ' G54)
V (vA) - (vV) A = [v [VA]] = [VH],
мы найдем для описания движения электрона уравнение G.48).
Уравнение же G.49) является следствием уравнения G.48).
В самом деле, умножая G.48) скалярно на» и принимая во вни-
внимание, что
G.55)
dt у 1 - р2 / dt I-I -
мы найдем уравнение G.49). Выражение
Ькпи = G.5о)
можно трактовать как кинетическую энергию электрона в реля-
релятивистском случае.
Заметим, что в четырехмерном представлении одно из четы-
четырех уравнений движения G.47) является следствием трех
остальных, благодаря тому, что существует соотношение G.45),
которое в трехмерных обозначениях принимает вид G.55).
Найдем, далее, функцию Гамильтона (гамильтониан), кото-
которая связана с лагранжианом соотношением [8]
Я = (рр) - L = - ^ 2 + еф. G.57)
Воспользовавшись тождеством
тпс
1 -
т\с2 , G.58)
а также значением импульса G.53), мы можем гамильтониан
G.57) записать через импульс*):
Я
= с |/(р - ~ АJ + ту + еф. G.59)
*) В нерелятивистском приближении (В2 да 0) гамильтониан прини-
принимает вид:
+ еФ.
50 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА — ЛОРЕНЦЛ
Канонические уравнения Гамильтона в релятивистской тео-
теории сохраняют тот же вид, что и в нерелятивистской. В самом
деле, из уравнений Лагранжа G.51) и связи лагранжиана и га-
гамильтониана G.57) следует первая группа канонических урав-
уравнений Гамильтона:
1—f- <™»
Дифференцируя G.59) по р и принимая во внимание соотноше-
соотношение G.53), найдем вторую группу канонических уравнений:
dt dp x '
Канонические уравнения Гамильтона позволяют найти пол-
полную производную по времени от некоторой функции, зависящей
от времени t, импульса р и координаты q [2]:
dF _ dF . dF dr д? dp
dt ~ dt ^ dr dt + dp dt '
Подставляя сюда вместо производных dp/dt и dr/dt их значения
из G.60) и G.61), находим
£ = £ + [Н,П G.62)
где
1 ' \ dr dp dp d
—классические скобки Пуассона.
Выражение G.62) представляет собою наиболее общую за-
запись канонических уравнений Гамильтона. В частности, полагая
в них функцию F равной р или г, мы получаем соответственно
уравнения G.60) и G.61).
Если вместо функции F подставить гамильтониан Н, мы най-
найдем, что [Я, Я] = 0 и поэтому
dH дН
dt dt '
Отсюда следует, что если потенциалы А и Ф не зависят от вре-
времени, т. е. dH/dt = 0, то мы получаем закон сохранения функции
Гамильтона, которую мы приравниваем энергии электрона:
# = £ = const. G.64)
д) Уравнение Гамильтона—Якоби в релятивистской теории.
При выводе уравнений Лагранжа задается множество произ-
произвольных траекторий, координаты которых должны обладать
лишь заданными значениями в начальный to = 0 и в конечный /
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 51
•моменты времени*). Затем находится реальная траектория, ко-
которая должна дать минимум функции действия (начало наи-
наименьшего действия):
S= \ Ldt. G.65)
Этому условию удовлетворяет уравнение Лагранжа G.51).
При выводе же уравнения Гамильтона — Якоби, наоборот,
задается множество реальных траекторий, удовлетворяющих ва-
вариационному уравнению Лагранжа G.51), а затем из них выби-
выбираются такие, которые проходят через заданные точки (началь-
(начальную и конечную) или удовлетворяют заданным начальным
условиям (начало переменного действия). Поэтому при анализе
уравнений Гамильтона — Якоби следует варьировать начальные
и конечные координаты, которые определяют произвольные по-
постоянные. Мы не будем более подробно останавливаться на этом
вопросе (он достаточно хорошо изложен во многих курсах теоре-
теоретической механики, см., например, [9]), а ограничимся простым
выводом уравнения Гамильтона — Якоби [10], которое обобщим
на случай релятивистского движения электрона в произвольном
электромагнитном поле.
Взяв полную производную по времени от функции действия
G.65) и учтя связь функций Лагранжа и Гамильтона G.57),
имеем
^. = (v^S) + -^- = l.=(vp) — H. G.66)
at ot
Отсюда мы находим связь импульса р и гамильтониана Н с
функцией действия S:
p = \S, H=—~. G.67)
Подставляя значения G.67) в G.59) и избавляясь от квадрат-
квадратного корня, мы найдем уравнение Гамильтона — Якоби в реля-
релятивистском случае [8]:
so / \ п
+ т\с\ G.68)
Решая уравнение G.68), найдем S как функцию времени t,
координат г (х, у, г) и трех произвольных постоянных а\, а2, а3.
Эти постоянные величины можно связать, например, с началь-
начальными координатами fo(xo,yo,zo). Для простоты рассуждений
ограничимся одномерным случаем, когда S является функцией
трех величин:
S = S(x, xQ, t).
*) Вместо конечных координат, как правило, задается начальная скорость.
52 § 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА
Отсюда легко найти вариацию (t = const)
6S=-t^-6x + -^-6x0. G.69)
С другой стороны, для определения той же вариации от S мы
можем воспользоваться соотношением G.65), из которого сле-
следует
dS=\(^dx + pxdx)dt, G.70)
о
где рх = dLldx.
Поскольку при выводе уравнения Гамильтона — Якоби все
траектории являются реальными, т. е. для них имеет место соот-
соотношение G.51), мы можем подынтегральное выражение правой
части равенства G.70) преобразовать к виду
— bx + pxbx=-jf (рхдх).
Учитывая это, из G.70) получаем
6S = рх дх — рцх бх0. G.71)
Сопоставляя равенства G.69) с G.71), находим
рх = dS/dx, G.72)
рОх = — dSldx0 = const. G.73)
Соотношение G.72) приводит нас вновь к связи импульса и
функции действия (см. G.67)), а соотношение G.73)—к так
называемой теореме Якоби, которую легко обобщить на случай
п степеней свободы.
Из теоремы Якоби следует, что, определив из уравнения Га-
Гамильтона— Якоби G.68) функцию действия S как функцию
времени t, координат хп и произвольных постоянных ап (п — чи-
число степеней свободы), а затем взяв от функции S частные про-
производные по произвольным постоянным ап и приравняв их но-
новым произвольным постоянным Ьп, мы получаем интегралы дви-
движения
dSldan = bn. G.74)
Формула G.74) представляет собою обобщение равенства
G.73) на случай нескольких независимых координат. Постоян-
Постоянные ап и Ьп фактически могут быть найдены из начальных усло-
условий. Если поля Ф и Л не зависят от времени, то должен соблю-
соблюдаться закон сохранения энергии G.64). Тогда согласно G.67)
мы можем представить функцию действия в виде
S(r,t) = -Et-JrS0(r). G.75)
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ 53
Подставляя G.75) в G.68), получим уравнение Гамильтона —
Якоби для стационарного случая:
(Е - еФJ = с2 (VSO - у Aj + т2с4. G.76)
Заметим, что теорема Якоби G.74) имеет место и для стацио-
стационарной функции S0(r).
При переходе к нерелятивистскому приближению мы должны
сделать замену
dS dSneP 2 и гиеп
Пренебрегая величинами порядка (З3, найдем следующие уравне-
уравнения Гамильтона — Якоби в нерелятивистском приближении:
в общем случае
^ (SHep
с
G.77)
в стационарном случае (когда потенциалы не зависят от вре-
времени)
Енер - еФ = ~ (vS^ep -yAJ2. G.78)
§ 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ
а) Свободное движение. Для свободного движения потен-
потенциалы равны нулю:
Ф = Л = 0, (8.1)
и поэтому уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид
f my. (8.2)
Мы удовлетворим уравнению (8.2), если функцию действия по-
положим равной
S = — Et + ахх + ауу + azz, (8.3
а постоянные величины (энергию Е и коэффициенты ах, av, аг)
свяжем соотношением
Е = с Val +al+al + m^ . (8.4)
Как видно из (8.3), коэффициенты ах,... равны составляющим
импульса:
Px = dS/dx = ax, ..., (8.5)
которые при свободном движении остаются постоянными.
54 § 8 РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Соотношение же (8.4) определяет известную связь между
энергией и импульсом в случае свободного движения:
Е=сУр'- + т20с!. (8.6)
В частности, из (8.3) и (8.4) с помощью теоремы Якоби G.74)
находим следующие уравнения движения:
х = ^- + Ьх, ..., (8.7)
или
r = -j-at + b. (8.8)
Здесь вектор b(bx,by,bz) описывает начальные координаты, а
вектор
— начальную скорость.
б) Движение по окружности. Ограничимся в данной задаче не-
нерелятивистским приближением. Полагая Ф = А = 0, а радиус
вращения R = const, приведем уравнение G.78) к виду*)
Отсюда найдем, что So = acp, причем постоянная а играет роль
импульса, так как pif = dS0/dcp = а и, как видно из (8.10), свя-
связана с энергией Е соотношением
Полная функция действия равна
„2/
^ + аФ. (8.12)
Отсюда, взяв частную производную по а и приравняв полученное
выражение новой постоянной ср0 (теорема Якоби), мы находим
уравнение движения:
«P-TS^ + Vb- <8ЛЗ)
Не нарушая общности, мы можем положить начальный угол ср0
равным нулю (фо = О), величина же a/moR2 = (n играет роль
угловой скорости. Таким образом, как и следовало ожидать, мы
получаем равномерное вращение по. окружности с постоянным
периодом
2я^ш^ (8.14)
*) В этом примере все величины относятся к нерелятивистской теории.
Однако индекс «пер» вверху, как в G.78), мы писать не будем.
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 55
Энергию Е, импульс p,f и скорость v можем выразить через ра-
радиус R и период Т:
2n2m0R2 2mn0R2 D 2nR ,Q .-,
£== jr2—, рф = —, v = Ra = -j-. (8.15)
в) Адиабатические инварианты. Докажем на примере движе-
движения точки по окружности теорему Эренфеста об адиабатических
инвариантах.
Допустим, что мы медленно (адиабатически) начинаем уве-
увеличивать радиус траектории: R = Ro + bt (для простоты мы
взяли линейный закон изменения). Адиабатическое изменение
означает, что за один период (t — Т) увеличение радиуса будет
много меньше его первоначального значения, т.е.
йГ</?0. (8.16)
Спрашивается, какие величины будут при этом сохраняться?
При вращении частицы на нее действует центробежная сила,
равная
В случае R = const работа силы (8.17) обращается в нуль (она
направлена перпендикулярно к движению). Если же происходит
медленное увеличение радиуса, то эта работа становится отлич-
отличной от нуля:
и будет происходить за счет уменьшения энергии частицы:
dE = -dW = -^f^^dR. (8.19)
Деля последнее равенство на энергию частицы (см. (8.15)), по-
получаем
-f = -^f. (8.20)
Отсюда следует, что
£#2 = const. (8.21)
Подставляя сюда вместо R2 его значение через Т и Е (см.
(8.15)), найдем, что при адиабатическом изменении радиуса
произведение энергии Е на период Т остается величиной посто-
постоянной:
ЕТ = const. (8.22)
Как видно из (8.15), это произведение равно
4,d<p = const, (8.23)
56 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
где круговой интеграл распространен на весь период изменения
координаты ф, т.е. от 0 до 2л. Поскольку в данной задаче рф =
= const, выражение (8.23) может быть записано в виде
рф2л = const. (8.24)
Равенство (8.23) выражает собою известную теорему Эрен-
феста, согласно которой при адиабатическом изменении пара-
параметров периодического движения при наличии одной или не-
нескольких степеней свободы адиабатические инварианты, взятые
по периоду каждой координаты qi, остаются величинами посто-
постоянными [11, 12]:
h = Ф Pi dqt = const. (8.25)
Через адиабатические инварианты мы можем выразить
энергию:
£ = £(/,, /2, ...). (8.26)
Тогда, взяв частную производную по какому-либо адиабатиче-
адиабатическому инварианту, найдем соответствующую частоту колебания:
ш, дЕ
<87)
Покажем это на примере вращательного движения. В этом слу-
случае энергия связана с адиабатическим инвариантом
^ (8.28)
соотношением
Отсюда для частоты колебаний находим значение (8.14):
г) Проблема Кеплера (релятивистская классическая теория
водородоподобного атома). Допустим, что электрон движется во-
вокруг ядра под действием кулоновского притяжения [12]. Вводя
для заряда электрона и ядра соответственно обозначения е =
= — е0 и еЯДра = Ze0 (е0 = 4,8-10~10 CGS — элементарный за-
заряд, a Z — порядковый номер ядра), найдем для потенциальной
энергии значение
Zel
еФ= ■-. (8.31)
Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени (со-
(согласно соотношению G.64)), наша система является консерва-
Проблема кеплера в классической теории 57
тивной, и поэтому гамильтониан может быть приравнен постоян-
постоянной величине, равной энергии частицы Е. При решении нашей
задачи мы можем воспользоваться уравнением G.76), полагая
в нем Л — 0.
Учитывая, что в поле центральных сил движение является
плоским, мы можем в полярных координатах написать выраже-
выражение для квадрата импульса:
dS° Y I ' ( dS°
dr ) r2 \ d<f
Поскольку координата ф не входит в потенциальную энергию,
решение уравнения (8.32) следует искать в виде
S0 = acp + /(r), (8.33)
где а — некоторая постоянная величина, равная импульсу:
рф = dSQfd(f = а = const, (8.34)
а функция от радиуса f{r) может быть найдена из уравнений
G.76) и (8.32):
-A + ^--~dr, (8.35)
где
A = —-—; , B = —j-^-, C = a2 Д. (8.36)
л2 ' nil pZ \ /
Интеграл (8.35) является неопределенным, и поэтому произволь-
произвольную постоянную мы можем положить равной нулю.
Для того чтобы функция действия была вещественной вели-
величиной, необходима такая область изменения радиуса г, чтобы
подкоренное выражение в равенстве (8.35) было положительной
величиной, т. е.
-А + Ц--^>0. (8.37)
Отсюда видно, что величина г ограничена с обеих сторон конеч-
конечными пределами, если величины А, В и С имеют положительные
значения. Из (8.36) мы найдем, что А > 0 и С > 0 при *)
| £ |< т0с2, -^ < а = Др, (8.38)
■ *) Согласно квантованию Бора наименьшее значение Рф равно А. По-
Поэтому устойчивое состояние водородоподобного атома (электрон не может
падать на ядро) ограничено значениями 2 < ZKp, где
^Kp = f|-=i37. (8.38а)
Последнее соотношение было установлено Зоммерфельдом.
58 § 8 РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
в то время как величина В всегда положительна. Крайние зна-
значения для г являются корнями уравнения (8.37), т.е. они равны
Для того чтобы корни были действительны и положительны,
кроме условия А > О и С > 0, необходимо потребовать еще,
чтобы
В2 > АС. (8.40)
д) Траектория движения. Для определения траектории мы
должны согласно теореме Якоби функцию действия (8.33) про-
продифференцировать по постоянной а и приравнять полученное вы-
выражение другой постоянной величине:
г
=ф- а] r^ (841)
Постоянная фо характеризует начало отсчета угла ср и поэтому,
не нарушая общности, мы можем положить ее равной —п/у.
Нижний предел мы положили равным гь а подкоренное выраже-
выражение (г2 ^ г ^ Г]) представим в виде
, , 2В С п1 В2 — АС /1 8\2
— А-\ -т — С
С2 \ г С
Интегрируя (8.41) и учитывая, что
1 B_ __ V В2 — АС
77 ~с ~ с '
мы легко можем найти уравнение траектории в полярных коор-
координатах:
1 — е sin (v(p + я/2) 1 — е cos уф ' '
где постоянные
С
(8.43)
В нерелятивистском приближении (с2—*оо) мы будем иметь
эллиптическую траекторию (у = 1) [11]:
г = ~ р- , (8.44)
1 — е0 cos ф v '
т. е. учет релятивистских эффектов лишь несколько изменяет
значение параметра р и эксцентриситета е. Появление же мно-
множителя у> отличного от единицы, в принципе изменяет характер
ЭНЕРГИЯ И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИИ
59
траектории. В самом деле, если первое наибольшее значение г
(перигелий) достигается при угле ср = 0:
'иякс
(8.45)
то последующее наибольшее значение достигается не при угле
= 2я, а при угле
(8.46)
т.е. эллипс, заключенный между двумя окружностями (рис. 4)
радиусами гмакс (см. (8.45)) и
'»„„ = -Пр7. (8-47)
начинает вращаться (розеточная траектория Зоммерфельда).
Как видно из формулы (8.46), угол поворота перигелия при
одном обороте электрона по эллипсу равен согласно (8.46)
Дф = я ■
,,2 4
(8.48)
\
Это явление напоминает собою вращение перигелия Меркурия,
когда его движение вокруг Солнца описывается не механикой
Ньютона, а общей теорией относи-
относительности.
Таким образом, частоты обращения
угла ф и радиуса г различны. Посколь-
Поскольку в общем случае эти частоты несо-
измеримы, движение называется услов- /
но-периодическим. В этом случае элек- '
трон должен двигаться по незамк- .
нутой траектории, которая с течением
времени как угодно близко пройдет
через любую точку, лежащую между
двумя окружностями с радиусами
(8.45) и (8.47).
Если частоты обращения радиуса и
угла будут одинаковыми (например
в нерелятивистском случае, когда тра-
траектория превращается в эллиптическую), движение становится
периодическим.
е) Энергия и частоты колебаний. Для того чтобы определить
энергию, мы должны прежде всего найти адиабатические инва-
инварианты. Учитывая, что p,t = const (см. (8.34)), имеем
Рис. 4. Розеточная траекто-
траектория Зоммерфельда.
/Ф ==
Ар dq> =
(8.49)
g0 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Точно так же для другого адиабатического инварианта находим
Ir = §pr dr, (8.50)
где импульс рт согласно (8.35) и (8.36) равен
Л + -^--£. (8.51)
Круговой интеграл означает, что его следует взять в пределах от
f\ до г2 со знаком плюс перед корнем (рг > 0) и от г2 до г\ со
знаком минус (рг < 0), т. е.
Л + ^--^г, (8.52)
где Г\ и Г2 > гь как было указано, являются корнями уравнения
-Л + -^---^ = 0. (8.53)
Интеграл (8.52) легко может быть вычислен:
(8.54)
Подставляя сюда значения для постоянных В, Л и С из (8.36) и
определяя энергию Е через адиабатические инварианты, полу-
получаем [11]
Е = т0с2
1 +
(8.55)
Взяв производную по /г и по 1,{, найдем соответствующие час-
частоты колебаний.
Формула (8.55) лежит в основе релятивистской теории водо-
родоподобного атома при полуклассическом боровском кванто-
квантовании, при котором мы должны положить адиабатические инва-
инварианты равными
/ф = 2я/тф) /r = 2nhnr, (8.56)
где h = 2яй == 6,62 эрг-сек — постоянная Планка, а яф =
= 1,2,3,4,... и яг = 0,1.2, 3,... — азимутальное и радиальное
квантовые числа.
Подставляя (8.56) в (8.55) и раскладывая полученное выра-
выражение по величине Ze^lch = Z/137, мы найдем формулу Зоммер-
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 61
фельда, характеризующую с учетом релятивистских эффектов
тонкую структуру водородоподобного атома [12]:
--т)], (8.57)
где целое положительное число п = пг-\- пщ = 1, 2, 3, 4,... назы-
называется главным квантовым числом.
ж) Движение электрона в постоянном и однородном магнит-
магнитном поле. Движение электрона в постоянном и однородном маг-
магнитном поле Н, которое мы направим по оси z (О, О, Я = const),
можно решать либо в декартовых координатах, выбрав состав-
составляющие вектор-потенциала А в виде
Л* = 0, А„ = Нх, Az = 0, (8.58)
либо в цилиндрических координатах, когда составляющие потен-
потенциала следует положить равными
Ах = -\Ну, Ау = \Нх, Аг = 0, Ф = 0. (8.59)
В том и другом случаях находим
Мы будем решать задачу в цилиндрических координатах
(г, ф, z), что дает возможность более наглядно геометрически
интерпретировать полученные результаты.
Поскольку потенциалы не зависят от времени, то, подставляя
их значения в уравнение G.76), находим
Полагая
dS0 \2 . / dS0 \2 / dS0
т
дх ) ' \ ду I \ дг I ' г2 \ dq>
= rcosq>, у = r sin ф,
мы приведем уравнение Гамильтона — Якоби к виду
(8.62)
1 (xfl 2 *\ / dSa \2 | ' / ^50 \2 / dS0 \2 5S0 , D9 „
с2 v ' \ дг ' г2 \ dw I ' \ дг I ' да>
где В = е0Н/2с.
Решение (8.62) ищем в виде
•Sq = /(O + Я1Ф + a2z> (8.63)
62 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ 34ДАЧ
причем постоянные ах и а2 являются постоянными импульсами:
a (8'64)
а функция /(г) связана с переменным импульсом рг соотно-
соотношением
Рг = dfldr.
Подставляя (8.63) в (8.62), получаем
f(r)=\ У A-^--BY-dr, (8.65)
где Г] и r2 > Г] — корни подкоренного выражения, причем вели-
величина г лежит в пределах г\ ^С г ^С г2, а для постоянной А нахо-
находим значение
А = —2-(Е2 — гщс*) — 2Ва1 — а\. (8.66)
Из (8.66), (8.65) и (8.64) мы можем найти энергию Е как
функцию адиабатических инвариантов
(8.67)
(8.68)
При вычислении интеграла (8.68) мы воспользовались (8.54),
сделав при этом замену г2 = р (pi и рг > pi являются корнями
подкоренного выражения). Поскольку координата z не является
циклической, величина /г не имеет смысла, и поэтому в энергии
мы оставляем постоянную составляющую импульса рг. Тогда из
равенств (8.66)—(8.68) получаем значение для энергии
у + c*pl + *-£* (/ф + 1Г) . (8.69)
Отсюда можно найти частоты колебаний по <р и г, которые, оче-
очевидно, будут равны друг другу:
дЕ о е0Нс /о _„ч
С02яУ (87°)
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
63
• Взяв от функции (8.63) частную производную по а{ и прирав-
приравняв полученное выражение согласно теореме Якоби новой произ-
произвольной постоянной ср0, находим уравнение движения в плоско-
плоскости ху:
f
= ф — Фо.
(8.71)
где гх и r2 > г, — корни подкорен-
подкоренного выражения, между которы-
которыми заключена переменная г (г} ^С
■^г^Сг2). Преобразуя подкорен-
подкоренное выражение к виду
А - -4- - В2г2 =А- 2а,В -
-\Вг~
(8.72)
Рис. 5 Круговая траектория при
движении электрона в постоянном
магнитном поле.
и принимая во внимание, что Вгх L = — УА — 2щВ, а также
полагая угол отсчета ф0 равным нулю (фо =0), мы находим
—^- = У А -
sin (ф+f
или
v-Z
а,
У А
25
2а,В
C0S
(8.73)
Последнее уравнение представляет собою уравнение окружности
в полярных координатах, центр которой смещен по оси х относи-
относительно начала координат*). В самом деле, возводя векторную
сумму (рис. 5)
R = r + a (8.74)
в квадрат, мы найдем уравнение окружности со смещенным цен-
центром:
г2 + 2racosф-(Я2-а2) = 0. (8.75)
*) Если бы мы не положили фо = 0, то центр был бы смещен относи-
относительно диаметра, составляющего с осью х угол фо; однако, не нарушая общ-
общности, по этому диаметру мы всегда можем направить ось х.
64 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Сопоставляя (8.75) с (8.73), находим величину вектора смеще-
смещения *)
a=^-*"fl (8.76)
и радиус окружности**)
= — ^ . (8.77)
Если мы перенесем начало координат в центр окружности
(а = 0), то мы должны положить
А = 2а1В. (8.78)
Отсюда согласно (8.66) для энергии имеем значение***)
Е = Ушу + сЧ\ + 2е0Яса,. (8.79)
Из последнего соотношения видно, что адиабатический инвариант
/ф = а12я равен сумме адиабатических инвариантов /ф и /г (см.
(8.67) и (8.68)):
Найдем теперь уравнение движения, когда центр окружно-
окружности помещен в начало координат, т. е. когда согласно (8.76) и
(8.77)
и R=Yal/B. (8.80)
*) Строго говоря, начало координат может быть вне окружности
(a>R). В этом случае импульс р(р = at должен быть меньше нуля
(а,<0).
**) Если произвести квантование по боровской теории, то мы должны
положить
/ф = 27мф, 1Г = 1Ъпг,
причем квантовое число Пц, может быть как положительным (а{ > 0, начало
координат лежит внутри круга), так и отрицательным (fli < 0, начало коор-
координат лежит вне круга). Если предположить, что движение вдоль оси г от-
отсутствует (pz = 0), то смещение а, радиус R и энергия Е связаны с кван-
квантовыми числами следующими соотношениями:
' еан ' ейН (8.77a)
Е = У т^с4 + 2ео#с (гег + пф).
***) Новые квантовые числа яг и пф при этом становятся равными пг = О,
«Ф = яф + пг. Тогда для смещения а , радиуса R и энергии Е в случае
цтоского движения имеем следующие значения:
.л- — - ■ ■ —
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ во
Подставляя эти значения в (8.65) и учитывая, что гх = г = г2,
имеем f(г) = 0. Для функции же действия согласно G.75) и
(8.63) находим
S= — £Y + a,cp + a2z. (8.81)
Взяв производную от 5 по <2] и п2 и приравняв найденные значе-
значения постоянным ф0 и zQ*), имеем
(8.82)
К этим равенствам мы должны добавить еще значение постоян-
постоянного радиуса (8.77).
Из (8.82) видно, что электрон в магнитном поле должен вра-
вращаться по окружности радиуса R с постоянной угловой ско-
скоростью
co = ^f = ^. (8.83)
Составляющие же скорости движения по окружности uj. (попе-
(поперечная составляющая) и по магнитному полю и у (продольная
составляющая) соответственно равны
Е — тпс — с р, аг с р
V± = K<U = ^ н—, щ = — =-1±. (8.84)
Поскольку скорость движения связана с энергией соотношением
найдем
v Vv\ +v;, ]fEl — mlcA
- = - L л- = - р—!L-, (8.85)
с с L у
E = /"°c" = const. (8.86)
(/' 1 - P2
С помощью соотношений (8.77), (8.82) и (8.83) мы можем
записать уравнения движения электрона в постоянном магнит-
магнитном поле в декартовых координатах (х = г cos ср, г/= г sirup,
z = z):
x = Rcos(at, y = Rsin-jit, z^-^p-t, (8.87)
где со и R определяются равенствами (8.80) и (8.83).
Уравнение (8.87) характеризует движение по винтовой линии.
Оно может быть получено непосредственно из G.47), если счи-
считать отличной от нуля лишь одну составляющую
#12 = Яг = Я = const,
*) Начальный угол и координату г мы положим равными пулю
(Фо = ?0 = 0).
3 А. А. Соколов, 11, M. Тернов
66 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
заряд электрона положить равным е = — е0, а у координат
х' и поля Н' убрать штрихи. Тогда получаем следующую
систему уравнений (х = dx/dx и т. д.):
^ Нх mz = O, mat = 0.(8.88)
Из последнего уравнения следует, что i = const, причем эта ве-
величина может быть определена из соотношения G.46).
Учитывая, что
ipi (8.89)
где с2р2 — трехмерная скорость, мы найдем, что
Е = тос4 = -JML_- = const. (8.90)
Последнее соотношение выражает собою закон сохранения пол-
полной энергии, которая равняется кинетической, так как потенци-
потенциальная энергия равна нулю.
Интегрируя первые три уравнения системы (8.88) и принимая
во внимание, что согласно (8.90) х = (mQc2/E)t (где т — собствен-
собственное время, a t — лабораторное), найдем
x = Rcosd)t, y = /?sinco/, z = vjit, (8.91)
где круговая частота и задается равенством (8.83), а продольная
составляющая Иц связана с соответствующим импульсом соот-
соотношением
Щ = ^Г- (8.92)
Для определения радиуса R запишем квадрат скорости
о 9 9
р2 1(#2+^) ~ОТ°С
Отсюда для радиуса вновь находим значение (8.77):
Ye2 - ту - CV
(8.93)
(8.94)
Заметим, что классическая релятивистская теория движения
электрона в магнитном поле с макроскопическим радиусом при-
приобретает большой практический интерес в связи с постройкой
циклических электронных ускорителей (движение по окружно-
окружности), а также при изучении магнитотормозного излучения галак-
галактик, когда электроны движутся по винтовой линии. Поэтому
к этому вопросу мы будем неоднократно возвращаться при изу-
изучении синхротронного излучения как по классической, так и по
квантовой теории.
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 67
з) Движение электрона в поле плоской поляризованной по
кругу электромагнитной волны. Рассмотрим случай, когда по
направлению оси z распространяется плоская электромагнитная
волна, поляризованная по кругу. Найдем закон движения элек-
электрона в этой волне, а также начальные условия, при которых
электрон должен двигаться по винтовой линии [13].
Вектор-потенциал электромагнитной волны мы зададим в
виде
4, = --^sin nog, /l,, = £^cosco0i, Л2 = 0, (8.95)
где Ей — амплитуда напряженности электрического поля, аргу-
аргумент £ = t — z/c указывает, что электромагнитная волна распро-
распространяется вдоль оси z со скоростью с, а величина g характери-
характеризует правую (g = 1) или левую (g = — 1) поляризацию волны
(Ех = Ео cos cod, Ev = gE0 sin too?)- Принимая во внимание, что
заряд электрона равен е = — е0, уравнение Гамильтона -— Якоби
можем представить в виде
(dS\? 1 / dSY , , , , ( OS
Я С
+ mYC0 =0' (8-96)
где постоянная
У = ^~Г (8-97)
(8.98)
характеризует внешнее электромагнитное поле.
Вводя новые переменные
которые приводят к соотношениям
дг с \ Sri dt )' с dt с
мы можем записать уравнение Гамильтона — Якоби в виде
с2 дг\ д% "^ \ дх ) "г I Cr/ j
ES ♦ dS
(8.100)
Решение этого уравнения следует искать в виде
S = тос\ахх + а2у —-^ас-ц 4- f (|)j, (8.101)
где аи а2 и а — постоянные величины, а функция f(|) —пока что
неизвестная функция от |.
58 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Из формулы (8.101) следует закон сохранения составляющих
импульса по осям х и у:
Ру = -^- = т0са2. (8.102)
Кроме того, величина
2 dS dS dS E „ ,<•, ,nOi
г-= st — -r- = Pz — m,,ca (8.103)
с дц с dt дг с z {> v '
остается величиной постоянной.
Подставляя (8.101) в уравнение (8.100), мы легко можем
найти f (|), а вместе с тем и функцию действия S:
S = тпс [diX 4- а2у —^асП — с ^ * ~
— (a] cosm0^ 4- a2g sin шо|) . (8.104)
Взяв от последнего выражения частные производные по постоян-
постоянным ах, а2 и а и приравняв полученные выражения новым произ-
произвольным постоянным тосхо, тосуо и тоСщ, мы согласно теореме
Якоби получаем следующие уравнения движения *)
x.v0 ^6 + cosaHi,
^-^ = ^^+5^5]п(й»ё' (8-105)
1 + V" + а] + 4 2Y
Л = -; I 4- -^-(«i cos «о? + ga-, sin (Out).
Умножая первое равенство на аи второе на а2 и третье на
— ас/2 и складывая полученные соотношения, найдем линейную
комбинацию координат и времени:
а, (х — А'о) + а., (у — у0) -f а^г = ctoh (8.106)
где
ая\ ( y + 1 — а\ — а%
остаются величинами постоянными. Равенство (8.106) может
быть записано в виде
(av) = ca4, (8.108)
причем составляющие вектора а, по направлению которого ча-
частица будет двигаться с постоянной скоростью va — cal\a^ рав-
равны ai, a2, a3.
*) Заметим, что начальные значения для !• и ц можно положить равными
нулю, так как всегда можно потребовать, чтобы при t = 0 координата г
также обращалась в пуль (г = 0).
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 69
Ось z определяет направление распространения волны. Од-
Однако, не нарушая общности, мы можем расположить вектор а.
в плоскости zy, т.е. положить ах = 0. Тогда уравнения траекто-
траектории (8.105) принимают вид
х — .v0 = R cos щ1, (8.109)
У - У г. = ~-l+ Rg sin ©,,£, (8.110)
П = ' + ^2+ п'2 I + ^~- sin mug, (8.111)
где радиус
^— — ~' С8 112^
Легко проверить, что в этом случае соблюдается соотношение
(8.106), которое теперь принимает вид
#2 (У ~~ У о) + chz = aiCt- (8.113)
Это движение становится особенно простым, когда аг = 0. По-
Последнее можно осуществить путем выбора соответствующих на-
начальных условии. В этом случае постоянная скорость поступа-
поступательного движения направлена по оси z и равна
а вращательное движение совершается в плоскости ху по окруж-
окружности радиуса R, т.е. уравнения движения принимают вид
a; —.Y0 = tfcosco0! = jRcoscu0(l — Ри)/, (8.115)
У — //„ = Rg sin co0| = Rg sin coo A — Рц) t, (8.116)
z = vl{t. (8.117)
Отсюда следует, что
{x-xQf + (y-yof = R-, (8.118)
причем радиус окружности и частота вращения соответственно
равны
/? = -^V, ш = ©0A-р). (8.119)
Заметим, что вид траектории не изменится, если мы положим
хо = Уо = 0.
Как видно из формул (8.115) и (8.116), вращение электрона
совпадает с вращением вектора поляризации плоской волны
(т. е. при g = 1 электрон будет описывать правую спираль, а при
g ~ —1 — левую).
70 § 8. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Произвольная постоянная величина а зависит от внешнего
поля Ео, частоты со0 и составляющей скорости вдоль оси г.
Из (8.114) следует
+J-- (8.120)
где р.. — v,,lc. Зная р.,, мы сможем определить также и радиус
круговой траектории:
Из равенств (8.114) —(8.117) можно найти квадрат скорости:
а также энергию частицы, которая (поскольку в волне отсут-
отсутствует скалярный потенциал) равна
!fL-
— Р2
(8.123)
Интересно отметить, что это же значение энергии может быть
получено из выражения для функций действия (8.104) при усло-
условии, что постоянные а{ и а2 равны нулю (движение по винтовой
линии вдоль оси z). Тогда для энергии мы найдем значение
Е=-§- = ^ + -т^£(у*+\). (8.124)
Подставляя сюда вместо постоянной а значение (8.120), мы
вновь найдем для энергии выражение (8.123).
Как видно из выражения для функции действия (8.104), энер-
энергия сохраняется только в том случае, когда поступательное дви-
движение совершается строго вдоль оси z*). Если поступательное
движение направлено под углом к оси z, то энергия уже не со-
сохраняется, поскольку в функции действия остаются члены, про-
пропорциональные sin wol = sin wo (^ — z/c). Точнее, на сохраняю-
сохраняющуюся часть должна накладываться еще синусоиадальная. Как
видно из формулы (8.103), в этом случае будет сохраняться
величина
JL - Pz = щоса. (8.125)
*) Заметим, что в квантовой теории (см. ниже) энергия при этом дви-
движении не является интегралом движения (т. е, не сохраняется) даже для
этого частного случая.
ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ И В ПОЛЕ ВОЛНЫ 71
Если составляющая скорости движения вдоль оси 2 равняется
нулю (оц ==0), то движение в электромагнитной волне с круго-
круговой поляризацией будет происходить по окружности радиуса
J (8-126)
со К 1 + у2
Уравнения движения (8.115) — (8.117) принимают вид
(8.127)
(8.128)
2 = 0. (8.129)
Заметим, что характер движения электрона резко изменяется,
если волна будет линейно поляризована [5].
и) Движение электрона в статическом магнитном поле и в
поле плоской электромагнитной волны. Уравнения классической
теории могут иметь точное решение также и в более сложном
случае, а именно при наличии одновременно постоянного и одно-
однородного магнитного поля и распространяющейся вдоль него
поляризованной по кругу плоской электромагнитной волны [14].
Рассмотрим общее релятивистское уравнение движения заря-
заряженной частицы (е = — е0)
mo-^-=~-^-H^vv, (8.130)
в котором производная по собственному времени т берется от
четырехмерной скорости
dxa ( dct Л < dr i'c )
v>-^={-'l'^hh-vT=w\- (fu31>
где
dAv дА.,
^v = -~-^ (8-132)
Л л волны ■ «поля
и = Ац -г Ац
В трехмерной записи уравнение (8.130) принимает вид
(8.133)
dx \ mac
где Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей,
а Е представляет собою кинетическую энергию:
)Ч § 8- РЕШЕНИЕ НИКОТОРЫХ ЗАДАЧ
Рассмотрим теперь случай, когда постоянное магнитное поле
Н = jzli направлено по оси г и вдоль топ же осп распростра-
распространяется плоская цпркулярно поляризованная электромагнитная
волна. Тогда
А\Г" = {0,кН,0}, (8.134)
а
Л[Г11Ы = {А (|), 0}, А (I) = - 4°- (/' sin f0'« - й/"cos Mnl) (8.135)
зависит только от переменной t = t — z/c, причем знаковый мно-
множитель g = ± 1 соответствует правой ( + ) или левой (—■) кру-
круговой поляризации, соо — частота, Ео — амплитуда электрического
поля волны, /ь /г, /з — орты единичных векторов, направленных
соответственно по осям х, у и z.
Учитывая, что Р — тог, Е2 = т'20с4 + с'гР2, запишем (8.133)
в виде
iifL = £ = _ JJL. (РЕ), Е = тос4.
(8.136)
Обозначая штрихом производную по | для суммарных полей,
имеем
Е=-\А'&),
(8.137)
н = нв0Л11Ы + яполя = --- и А' (|I + /ля.
Подставляя эти формулы в (8.135), получаем
^ ^^[Р/з1, (8.138)
(8.139)
Кроме того, из формул (8.136) и (8.137) следует, что
E-c(Ph)
тосг v '
Отсюда с учетом (8.138) и (8.139) находим первый интеграл
движения:
a=^E-c(Ph) =const (8.141)
triqc
Кроме (8.141), можно найти еще другой интеграл движения:
m,cf = P — -^-A — j-i ИЛ - ^r l/У] = const, (8.142)
ЭЛЕКТРОН В МЛПШПЮЛ ПОЛЕ И В ПОЛЕ ВОЛНЫ 73
где f — произвольный постоянный вектор, который соответствую-
соответствующим выбором системы отсчета можно обратить в нуль.
Для дальнейших расчетов заметим, что
aF 4£ aF, (8.143)
дх dt* ~ '
где F — произвольная функция от переменной |.
Далее оказывается удобным ввести вектор обобщенного им-
импульса, лежащий в плоскости ху;
гт = Р— /, (»оР) = — А — ——[ri-Л, (я/-) = 0. (8.144)
Переходя от производной по т к производной по | (см. (8.143)),
получим
тоса тоса l JUJ
1_а2 я1 (8.145)
2а" 2т со.'
где
P=moar', (hP) = 4^ A - а2) + тг-^—, Y = -fu£s-. (8.I46)
/ €Ч s f I? /^ f¥ Л1! /^ I'll
Введем частоту
^ (8.147)
moca
где е„Я//;гAс — циклотронная частота. Тогда решение уравнений
движения (8.145) запишем в виде
—
1 а _
iinoool, (8.I48)
м„
о- :~_ri.i cinU,-.>
где
l
2а2
1 +
coo
2
-ЦП, p = ^-, (8.149)
а также /?, cp, 20 — постоянные интегрирования (постоянную ср
в дальнейшем мы положим равной нулю).
В отсутствие резонанса (coi Ф w0) Движение электрона в пло-
плоскости, перпендикулярной к направлению распространения вол-
волны, является финитным, т.е. происходит в ограниченной области
74 § 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
пространства. Энергия электрона не остается постоянной, по-
поскольку, наряду с постоянным членом, имеется еще член, перио-
периодически зависящий от времени:
all-
«о
• — z'! =
\ (8.150)
Случай резонанса, когда wi = w0, должен быть рассмотрен
особо. При этом решения (8.145) принимают вид
X = Ru COS Моё — С —— | Sin
(8.151)
С «2
где ^о и г0 — постоянные интегрирования, а
имеет размерность частоты.
Таким образом, в условиях резонанса квадрат радиуса «ор-
«орбиты вращения» электрона (проекция траектории на ось плоско-
плоскости ху)
2 -2
x2 + y2 = R2 + c2^t\ (8.153)
а также энергия частицы (см. (8.150))
j (8.154)
растут квадратично с увеличением |. Рассмотренные здесь реше-
решения классической теории могут быть обобщены и на квантовый
случай.
§ 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
а) Энергия электромагнитного поля в вакууме и теорема
Пойнтинга. Запишем уравнения Максвелла—Лоренца F.1) и
F.2) в виде
4я д( ' 4я 4^ dt
(9.1)
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ 75
Умножая первое уравнение скалярно на вектор Е, а второе на
вектор Н и складывая их, получаем
Здесь мы учли известное соотношение из векторного анализа
div [EH] = {Н rot E) — (Е rot Я).
Интегрируя выражение (9.2) по некоторому объему, ограни-
ограниченному замкнутой поверхностью S, и применяя к члену, стоя-
стоящему в правой части, теорему Гаусса, найдем следующее выра-
выражение:
J
(jE) d?x = - §-L- ([EH] dS), (9.3)
S
причем в случае точечного электрона мы можем написать для
плотности заряда и для плотности тока следующие выражения:
p = e&(r-r'(t)), i = jP,
где v = dr/dt. Величины
Еполя = J U dzx и U = (Е2 + Я2)/8я
мы можем интерпретировать как полную энергию электромаг-
электромагнитного поля и как ее плотность.
Равенство (9.3) по существу выражает собою закон сохране-
сохранения энергии, согласно которому изменение энергии поля в еди-
единицу времени dEno!ialdt и потери энергии электроном в единицу
времени
С
^потери = _ с
равны энергии излучения
Й7ИЗЛ= J(®dS). (9.5)
Здесь вектор Пойнтинга *)
б) Уравнения Максвелла в среде. Как известно, движение
электрона в среде описывается следующими уравнениями:
с dt с v с
rot Е + -£- -2£ = 0, dive£ = 4jtp, divnH = 0, (9.6)
*) Если мы имеем движение, при котором энергия электромагнитного
поля не изменяется, например, потери энергии на излучение компенсируются
внешней силой, то потери энергии электроном равны энергии излучения:
^потери = В7изл1 (9_4а)
76 § 9 ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
где е, ц и о — соответственно диэлектрическая постоянная, маг-
магнитная проницаемость и удельная электропроводность среды. За-
Заметим, что при наличии проводимости среды (а Ф 0) плотность
заряда р является функцией времени, точнее, должна умень-
уменьшаться по экспоненциальному закону. Например, в случае точеч-
точечного заряда мы можем написать
р = е (/) б (г — г' (/)), v ■■== dr/iff.
Взяв дивергенцию от первого уравнения и подставляя произ-
производную по времени из третьего уравнения (9.6), получаем урав-
уравнение непрерывности
div р —И тт + р = 0.
г с ' I с dt с г ' '
ИЛИ
- г'
~
Принимая во внимание, что
находим уравнение для определения заряда
Интегрируя последнее, имеем
4яо
e(t) = e{O)e " .
Отсюда видно, что время релаксации заряда равно
0 Ало
и поэтому в проводящей среде невозможно длительное существо-
существование свободного заряда.
Время установления равновесия, при котором свободный за-
заряд e(t) обращается в нуль, тем меньше, чем больше проводи-
проводимость. Для металлов а ~ 1016 сек~1, поэтому t0 ~- 10~7 сек (если
е~1). Для полупроводников (например, для германия а~
~ 109 сек'1) время релаксации возрастает до t0 ~ 10~10 сек и,
наконец, для диэлектриков (например, для эбонита <т~ 10~4 сек'1)
время релаксации может достигнуть нескольких минут.
Проинтегрируем уравнение (9.6), т.е. выразим поля через
плотность заряда и плотность тока. Для того чтобы удовлетно-
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ 7"
-рить четвертому и второму уравнению (9.6), мы должны на-
написать
И = ~ rot A,
E = -|-fJ--gradO. (9.7)
Подставляя эти значения в первое и третье уравнения (9.6) и на-
накладывая па скалярный потенциал условие (типа условия Ло-
Лоренца)
±й1уЛ + ±(£+-^)вФ = 0, (9.8)
мы найдем для определения векторного и скалярного потенциа-
потенциалов следующие уравнения:
TA | = -4л(тр 1, (9.9)
\ е Ф/ V р J
где оператор
т г- 9 ец д2 4ita(.t r)
WdF ?- W
Решение уравнений (9.9) определено формулой E.53), в которой
следует сделать замену (ср. операторы E.47) и (9.9))
с 4ла\х
п у С ^
у ец с1
Найдем уравнение, характеризующее изменение энергии в
среде. Для этого умножим первое уравнение на —Eel An, а пторое
на Яс/4я (см. (9.6)), и сложим оба равенства, тогда получаем:
д
Интегрируя последнее выражение по некоторому объему, огра-
ограниченному замкнутой поверхностью S, найдем обобщение тео-
теоремы Пойнтинга на случай среды:
d
dt J 8л
= - §~([EH}dS). (9.10)
Сопоставляя формулу (9.10) с формулой (9.3), мы видим, что
проводимость среды приводит к дополнительным потерям на
джоулево тепло
W = j oE- d х,
78 § 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
а наличие диэлектрической постоянной е и магнитной проницае-
проницаемости ц приводит к следующему значению плотности электро-
электромагнитной энергии:
U = (е£2
в) Граничные условия. Допустим, что мы имеем две среды,
отличающиеся друг от друга различными значениями диэлектри-
диэлектрической постоянной и магнитной проницаемости. Выберем в каче-
качестве границы раздела плоскость ху. Нормалью к этой поверхно-
поверхности является ось z. Если мы имеем не плоскую, а другую поверх-
поверхность раздела (например сферическую или цилиндрическую), то
ось z мы должны заменить соответствующей нормалью в точке
раздела. Обозначим диэлектрическую постоянную при z < 0 че-
через еь а при z > О.через е2.
Найдем граничные условия с помощью формализма дельта-
функции. Для этого введем две функции [3]:
Yi(z)= 1/2 —y(z), Y2(z)= 1/2 + y(z),
которые свяжем с разрывной функцией
1/2 при z>0,
-1/2 при 2<0.
Производная этой разрывной функции равна дельта-функции
(см. B.42)):
Исходя из уравнений электростатики
и предполагая, что на границе двух сред могут возникнуть
заряды с поверхностной плотностью а(х,у), мы можем при на-
наличии двух сред написать
D = ylD[ + y2D2, E = ylEl + y2E2, p = YiPi + Y2P2 + b{z)o(x, у).
Отсюда следует, что
div D = Yi div Z>i + Y2 div D2 + y' (z) {D2z — Dlz) =
= 4n(YiPi + Y2P2 + 6B)a(x, y)),
т. е. для поверхностных зарядов находим
Точно так же, учитывая, что во всех точках rot£ = 0, мы
получим
[п(Е2 -£,)] = 0, (9.11)
т.е. тангенциальные составляющие вектора Е на поверхности
ЭФФЕКТ ЧЕРЕНКОВА 79
разрыва непрерывны, а нормальные составляющие вектора D
должны претерпевать разрыв.
Аналогично, если среды отличаются друг от друга магнит-
магнитными проницаемостями \i\ (при z •< 0) и [х2 (при 2>0), то
уравнения магнитостатики дают следующие граничные условия:
(n(B2-B,))-0, [п(»2-»1)] = 4я/, (9.12)
т. е. в данном случае, наоборот, нормальная составляющая век-
вектора В будет непрерывной, а тангенциальная составляющая век-
вектора Н должна претерпевать разрыв, определяющий поверхност-
поверхностные токи j(x, у).
г) Эффект Черенкова. Согласно теории относительности ско-
скорость движения электрона v не может быть больше скорости
света в вакууме (р = v/c < 1). Однако при движении электрона
в какой-либо среде его скорость и, оставаясь меньше скорости
света в вакууме, может превосходить скорость света в данной
среде: с/п < и < с, где п — показатель преломления среды.
В этом случае электрон начинает обгонять электромагнитное
поле, которое, отрываясь от него, начинает излучаться. Это явле-
явление наблюдал в 1934 г. Черенков [15] (в лаборатории Вавилова),
а теория излучения сверхсветового электрона в диэлектрике была
построена Таммом и Франком в 1937 г. [15]. Эффект Черенкова
напоминает собою волны Маха, которые излучают тела (напри-
(например самолеты) при движении в воздухе со сверхзвуковыми ско-
скоростями.
Теория излучения сверхсветового электрона в вакууме была
развита Шоттом и Зоммерфельдом еще в начале этого века в
предположении, что электрон может двигаться в вакууме со ско-
скоростью большей, чем скорость света. Однако после того как тео-
теория относительности ограничила скорость движения электрона
(и < с), это явление как будто бы не должно было найти ника-
никаких приложений. Тем не менее, после открытия Черенкова явле-
явление сверхсветового движения приобрело особый интерес. Вна-
Вначале оно наблюдалось в темноте в виде весьма слабого свечения.
В настоящее время каждый из нас может видеть в ядерных реак-
реакторах даже при дневном свете это весьма интенсивное голубо-
голубовато-зеленое свечение электронов.
Черенковские счетчики нашли также весьма широкое приме-
применение для обнаружения отдельной частицы в веществе по свето-
световой вспышке, позволяющей судить с помощью фотоумножителей
о скорости движения частицы, величине ее заряда и т. д. По-
Поэтому неудивительно, что спустя тридцать лет после этого откры-
открытия Черенков, Тамм и Франк получили в 1958 г. Нобелевскую
премию [16].
Для построения теории эффекта Черенкова предположим, что
точечный электрон заряда е = — е0 движется в диэлектрике
PO § 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
(ст = 0) с показателем преломления п = \ г (е > !, \х = 1) по оси
z с постоянной скоростью v. Тогда плотность заряда и плотность
тока будут соответственно равны (см., например, [3])
р = — е() б (х) 6 (//) б (г — vi), }х = jy = 0, /г = -^р. (9.13)
Они удовлетворяют уравнению непрерывности F.6), которое в
нашем случае принимает вид
f ±^ . (9.14)
с dt
Для определения скалярного и векторного потенциалов со-
согласно (9.9) имеем уравнения
р
Отсюда следует
Лг=:рп2Ф, Аи = Ах = 0. (9.16)
Из (9.15) для определения потенциала Ф находим
--vt). (9.17)
Составляющие векторов электрической и магнитной напряжен-
постен будут согласно (9.16) равны
„ М> F дФ Р _ дАр, дФ ,; дФ
х дх ' "■•' ду ' i с dt дг ' дг '
Здесь
(9
(9.19)
Кроме того, мы приняли во внимание равенство (9.16) и следую-
следующее соотношение:
-^T — Pf-- (9.20)
с dt ' dz y '
Подставим в правую часть (9.17) вместо трехмерной дельта-
фупкцнп разложение (см. C.5))
б (х) б (у) б (z — vt) = -g^r J ег (ft^+ft^+^ ^-^d2k dk3, (9.21)
где d2k = dkldk2, составляющие ku k2, k3 определяют составляю-
составляющие волнового вектора (т. е. направление распространения вол-
волны), а частота со связана с составляющей из соотношением
w = vkM (9.22)
эффр кт
81
Путем деления на оператор Даламбера (см. E.38)) мы можем
найти следующее значение потенциала Ф [3]:
Ф(г,
eg
2я2
X
_ pi lk,x \-k tj + k. lz—vi)) V
,2 c - • A
-, 2~ ~T nl О («У ~Г "
d2k dkv (9.23)
При далроненших исследованиях следует различать два случая:
1) y2> 1- 2) Y2< 1.
Случаи 2) относится, например, к вакууму (п = 1), где случаи
1) просто невозможен. Случай 1) может быть осуществлен толь-
только в диэлектрике, и то при достаточно больших скоростях (и >
> dn), когда аргумент дельта-функции в (9.23) может в некото-
некоторых особых точках обращаться в нуль. Как будет показано
ниже, при этом должно происходить излучение.
Благодаря излучению (черенковскому) электрон начинает
терять скорость, а вместе с тем и энергию поля, т.е. величина
£1,0.,,, =
sEz + Н2
(9.24)
начинает уменьшаться. Однако мы рассматриваем случай и =
= const, т.е. когда мы можем пренебречь изменением скорости.
Это возможно, например, при
(9.25)
-i- Ф ([ЕД] rfS) .
Образно говоря, в этом случае мы как бы «тянем электрон за
веревочку» с постоянной скоростью и*).
Согласно (9.4) энергия излучения может быть вычислена по
теореме Попптиига
WJ —- ~ f ЦЕН] dS), (9.26)
а также при условии (9.25) по формуле прямых потерь энергии
электроном (см. (9.4))
|- (9-27)
Оба способа в данном случае должны привести к одному и тому
же результату:
xwnoTepH twii3.i iw
*) Скомпенсировать потери скорости мы можем, например, с помощью
включения внешнего электромагнитного поля.
82 § 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
и поэтому мы воспользуемся более простым вторым способом
(см. (9.27)). При этом р задается дельта-функцией (электрон то-
точечный), и мы должны выражение (9.27) распространить на та-
такой объем, который охватывал бы лишь координату электрона.
Не нарушая общности, мы можем произвести интегрирование по
всему пространству [17].
Из формул (9.18) и (9.27) находим следующее значение для
составляющей Ez:
(k,r+k,u+k, Iz-vt)) у
2я2
1 , . h
' " ' 4 - Y"
Подставля в (9.27) значение плотности заряда из (9.13)
р = — е0 б (х) б (у) б (z — и/)
и производя интегрирование по пространственным координатам,
найдем
+ л |£31 б (^ + у%2 - y2^^)] cPk dks. (9.29)
При интегрировании по k3 в пределах от — сх> до + оо первый
член, стоящий в квадратных скобках правой части равенства
(9.29) (как нечетный относительно переменной k3), дает нуль, а
второй, пропорциональный дельта-функции (как четный), дает
удвоенный интеграл по k3 в пределах от 0 до -f °°- Вводя еще
цилиндрические координаты для вектора k
&2 = &i.sin<p, k3=k3, d2k = kx.dk xdq>,
мы найдем для потерь энергии (см. (9.29)) после интегрирования
по ф следующее выражение*):
\ dk3. (9.30)
*) Таким образом, только член, пропорциональный дельта-функции
6(&j_ — У^зI входящий в гриниан, дает излучение под действием поля,
создаваемого самим же электроном. Как видно из формул E.32) и E.33),
он равен полуразностн запаздывающих и опережающих потенциалов. Пер-
Первый же член в квадратных скобках равенства (9.28), пропорциональный
l/(fej_ — Y ^з) и равный полусумме запаздывающих и опережающих потен-
потенциалов, никакой работы для силы самодействия не дает.
эффект черенкова
83
При интегрировании по k\ благодаря наличию дельта-функ-
дельта-функции имеем
kL = yks = yw/v. (9.31)
Кроме того, вводя вместо составляющей &3 частоту ш (см.
(9.22)), мы найдем формулу для потерь энергии черенковского
излучения, полученную Таммом и Франком [15]:
■■-$■ J fl-
0
с/со.
(9.32)
Строго говоря, в интеграле (9.32) мы должны положить
Юмакс = °° (тогда этот интеграл будет расходиться). Однако по-
показатель преломления остается постоянной величиной лишь для
сравнительно длинных волн. С уменьшением длины волны
(увеличением частоты ю) по-
показатель преломления умень-
уменьшается, а для рентгеновских
лучей становится даже меньше
единицы. Поэтому верхний пре-
предел для интеграла по со сле-
следует определять из уравнения
Р«макс = 1 . (9.33)
где показатель пмакс зависит
ОТ (Омакс-
Найдем еще направление Рис. 6. Черенковское излучение,
векторов 6, Е и Н. Поскольку
мы имеем осевую (относительно оси z) симметрию, можно пред-
предположить, что волновой вектор k, параллельный ©, лежит в плос-
плоскости xz (рис. 6). Затем, вращая эти векторы вокруг оси г, полу-
получаем полную картину излучения.
Как видно из формулы (9.32), при k2 = 0 имеем
Учитывая, что вектор Пойнтинга должен быть направлен по
волновому вектору k, мы найдем угол 8, под которым должно
происходить излучение относительно оси z:
или
(9.35)
при любых значениях
8.) § ч пгогог.лп нзлучг.тшя
Разложим векторы Е и Н в интеграл Ф\рье вида ('J.23):
^Д J И"
в них только член, лтпощпп отличный от пуля вклад
в излучение. Учитывая, что и этом случае имеет место соотно-
соотношение (9.31), найдем согласно (9.18) для компонент Е(к) н Н(к)
следующие значения при к± = 0, kx = yk3:
Hx{k) = 0, Hy(k) = $n2Ex{k), /7Л&) = 0. (9.38)
Из формул (9.37) и (9.38) видно, что компоненты вектора
Н(к) будут направлены по оси у, а компоненты вектора E(k)
лежат в плоскости хг, причем составляют с направлением волно-
волнового вектора прямой угол (см, рис. 6) *), так как согласно (9.37)
F (h\/F (h\ — — л' — — I? 'I? (Q ЗОЛ
Поскольку угол 0 не зависит от значения вектора k, эти на-
направления сохранятся и для соответствующих интегральных
значений.
д) Эквипотенциальные поверхности при движении электро-
электрона с постоянной скоростью. Вычислим значение потенциала Ф
(см. (9.23)) при черепковском излучении. Если ввести цилиндри-
цилиндрические координаты вектора k (см. (9.30)) и вектора г (г = Yх2 -f- у2)
и учесть, что
е 1'cos ф dq> — 2л /о(й Lr), (9.40)
6
где Ju(k !_г) — функция Бесселя нулевого порядка, то мы найдем
оо
Ф = -4г Г -i- eik> (г-°" dk3 I kxJ0(kxr)dk±X
с
Г 1 k 1
— — + лг—l5(^-y*-). (9.41)
*) Поскольку волновой вектор, а также векторы электрической и маг-
магнитной напряжемностей взаимно перпендикулярны, причем при вращении
правого винта от вектора Е к вектору // он начинает двигаться по волно-
волновому вектору к, наше предположение, что направление вектора Пойнтинга
совпадает г направлением волнового вектора к, оказалось оправданным.
Излечение при заданном S будет обладать линейной поляризацией.
ДПП/КНППП ЭЛ1ЖТРО1П С ПОСТОЯННОП СКОГОСТЫО
Далее, принимая во внимание соотношения
оо
83
/г'[ — а"
@.42)
L=l2 JJar),
мы приведем (9.41) к виду
Ф
о
= е„ ) -L [sin /г, (г - vt) /„ fry /г,) +
-f cos /г (г — у/) /V,, Cry/г,)] с1кя. (9.43)
Из теории бесселевых функции известны соотношения
(9.44)
(9.45)
! sin^;,a/n(/e.1e)dA1= — j cos /г;,аЛ/г0(/г3|3)с1кл —
77=* I «>Р>0-
0;
которые для искомого потенциала дают
2е0
р > a > О,
Ф =
vt
п2 } (vt — гJ — v2r"
0; vt — z<
\т,
В частности, полагая / = 0, т.е. предполагая, что электрон нахо-
находится в начале координат, найдем
2е.,
- -777==-? 5 - г > уг,
ф =
(9.46)
0;
— z < уг,
откуда видно, что эквипотенциальными поверхностями будут ги-
гиперболоиды вращения
z- — yV2 = z- — у2 (х2 + г/2) = const (9.47)
при условии, что z << 0, т.е. электромагнитное поле как бы от-
отстает от электрона.
На рис. 7 изображена гипербола в плоскости xz, вращая ко-
которую вокруг оси г, мы получим эквипотенциальные поверхности.
На атом же рисунке проведены асимптоты (пунктирные прямые)
этой гиперболы, которые проходят через начало координат, где
86
§ 9. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧРНИЯ
находится в данный момент электрон. Уравнения этих асимптот
имеют вид
z= + \x. (9.43)
Нетрудно показать, что асимптота составляет с осью х углы,
тангенсы которых равны
г/х= + у, (9.49)
т.е. она направлена по вектору Е (см. (9.39)) и составляет с на-
направлением вектора Пойнтинга угол, равный я/2 (более подроб-
подробно об эффекте Черенкова и его применении см. в [181).
Рис. 7. Эквипотенциальные поверхности черенковского излучения.
Вычислим теперь потенциал при у2 <С 0 (второй случай, см.
(9.19)). Для простоты рассмотрим вакуум (п = 1). Тогда в ре-
решении (9.23) дельта-функция не содержит особых точек и по-
поэтому второй член в правой части мы можем просто отбросить.
Поскольку этот член целиком обусловливает излучение, то рав-
равномерно и прямолинейно движущийся электрон со скоростью,
меньшей скорости света (например в вакууме), не должен терять
энергию. Для соответствующего потенциала из (9.23) мы найдем
значение
ф = -
2я2
d3k. (9.50)
Вводя новую переменную
найдем
е°
cPk. (9.51)
ИЗЛУЧЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
87
Последний интеграл представляет собою функцию Грина урав-
уравнения Пуассона (см. E.18)). В частности, для потенциала то-
точечного заряда согласно E.22) мы можем записать
Ф=-ео/г, (9.52)
где
т. е. в начальный момент времени / = 0 имеем
Ф = — -77=—^ ° 2 r (9.53)
Эквипотенциальными поверхностями будут эллипсоиды враще-
вращения, впервые исследованные Хевисайлом (эллипсы, изображен-
изображенные на рис. 8, мы должны вращать вокруг оси z, причем
11 1 Г~л ^о\
е) Излучение гармонического
осциллятора. Допустим, что элек-
электрон совершает вынужденные гар-
гармонические колебания вдоль оси z
с амплитудой а и частотой со. Влия-
Влиянием излучения на эти колебания
мы будем пренебрегать. В отличие
от тривиального вывода рассмотре-
рассмотрения поля излучения в волновой зоне
мы дадим точный вывод для потерь
энергии в единицу времени, усред-
усредненной за один период.
Уравнение колебания осциллято-
осциллятора запишем в виде
z' = а sin со/, (9.54)
где координата z' характеризует положение электрона. Для
плотности заряда р имеем выражение
р=- — е0 6 (*) б (у) б (z — a sin со/) = — -^
(9.55)
Воспользуемся известными разложениями плоской волны по
цилиндрическим функциям [19]:
Рис. 8. Эллипсоид Хевисайда.
{hr—aks sin coi)
= 2 Jv{x)e
~iva
(9.56)
cosae-^sma =
88 § 9 ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
Отсюда найдем следующие значения для плотности тока, со-
составляющая которого отлична от нуля только вдоль оси г:
v аы cos со/ . . _ ,„ г_ч
1г = -9 = с Р- 1х = ]у = 0. (9.57)
Для дальнейших расчетов мы разложим величины, характе-
характеризующие плотность заряда, плотность тока и поля, в интеграл
Фурье:
+
>] J d4eikr-l^Fv. (9.58)
Тогда для амплитуд Фурье плотности заряда и тока имеем зна-
значение
(9.59)
где бесселева функция порядка v зависит от аргумента ak3.
Из соотношения между потенциалами и плотностями заряда
и тока
Р ' (9.60)
путем деления на оператор Даламбера □ с учетом запаздываю-
запаздывающих решений (см. E.38)) мы можем найти амплитуды Фурье
для потенциалов:
(9.61)
где сингулярная и несингулярная части функций Грина соответ-
соответственно равны (см. E.38))
i= р-. G0 = tn — b\k--v2—.,- . (9.62)
к V с2
Для определения амплитуд Фурье будем исходить из извест-
известных соотношений
Е = - grad ф — 1 -|i , Я = rot A, (9.63)
из которых следует
i +
^ (О, + Go) /v,
с k\ I
р Н — — — F FI — П
Излучение гармонического осциллятора
89
Поскольку в среднем за один период электрон переходит в свое
начальное положение, энергия электромагнитного поля остается
прежней, т. е.
т
1 Г ,, d Г Е2 + Н2
О V
(9.65)
Поэтому энергия излучения равна потерям и мы ее можем вы-
вычислить по формуле
TWH3.1
где
___ vjr
LEzd%
(9.66)
а период колебания Т = 2л/«.
Заметим, что \г является вещественной величиной; поэтому
мы можем написать }"г~!г- Однако при разложении в ряд нам
значительно удобней взять /I, так как, обозначая волновой век-
вектор через к' и частоту через се, при интегрировании по времени и
по пространству мы можем воспользоваться соотношениями
т
_L I pikat(v'-v) rff _,_ А
у, L UL UVV r
(9.67)
Подставляя сюда вместо jz и Е, разложения (9.58) и учитывая
также выражение (9.59), (9.64) и (9.62), найдем
У
cPk
X
VCO — С'К
Л ,2
c!ki
X
я| v|6 /г2 — v2
(9.68)
Принимая во внимание, что члены, нечетные относительно v,
при суммировании от — оо до + оо дают нуль, а четные — удво-
удвоенную сумму по v от 0 до оо, мы найдем для средней энергии
излучения
d3kll(ak3)vb /Г-
z \ 2 2 2,1
Ш \ V Ш — С k ,
. (9.69)
Здесь, как и в эффекте Черенкова, остается член, пропорциональ-
пропорциональный дельта-функции, т. е. равный полуразности запаздывающих
90
9 ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
и опережающих потенциалов. Вводя сферические координаты
вектора k(k, 8, ср) и учитывая, что благодаря наличию дельта-
функции
—
С
= v — cos 8,
С
k]
'==(
Ш . -
v — sin 8
vco
(9.70)
мы приведем выражение (9.69) после интегрирования по к2 и
углу ф к виду [20]
2 2
sin e
cos 8),
(9.71)
J
v=l 0
где р = aco/e.
ж) Поляризация излучения гармонического осциллятора.
Исследуем поляризацию электромагнитных волн, излучаемых
гармоническим осциллятором. Не нарушая общности, вектор fe,
направленный по вектору Пойнтинга ©, мы можем расположить
Рис. 9. Излучение гармонического осциллятора.
в плоскости xz (k2 = 0). Из равенств (9.64) и (9.70) легко найти,
Е /Е = k\lk E =0 (9.72)
что
т. е. амплитуда вектора Е также будет лежать в плоскости xz, но
направлена перпендикулярно к волновому вектору k. Как видно
из формулы (9.64), у амплитуды магнитного поля отличной от
нуля будет лишь одна составляющая #yv, перпендикулярная
к векторам k и Ev, причем если составляющая Ezv является поло-
положительной величиной, то составляющая Нуч также положитель-
положительна, поскольку в конечном результате мы ограничились положи-
положительными значениями v.
Направление вектора Пойнтинга <5, параллельного волновому
вектору k, а также векторов Е и Я изображено на рис. 9, из
которого видно, что если вектор Пойнтинга <5 составляет с осью
z (направление колебаний гармонического осциллятора) угол 8
ДИПОЛЬНОЕ И КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 91
И' лежит в плоскости xz, то вектор Е будет также лежать в пло-
плоскости xz, составляя с вектором <5 прямой угол, а вектор Я на-
направлен по оси у. Для получения полной картины излучения мы
должны совершить поворот вокруг оси г.
з) Суммарное излучение. Выражение (9.71) мы легко можем
просуммировать по гармоникам v при помощи известного соот-
соотношения [19] *)
У V2ll (vP COS 9) = P2 cos* 9 D +P2 cos2 9) ■
Ы 16A — B2cos29)/!
v=l
и получить формулу для углового распределения интенсивности
излучения:
}
. ,. ,п 4 +В2 cos2 9 ,п _.ч
, sind В а0 ■ тг • (9.74)
16с J A — B2cos29)/j
Далее, интегрируя последнее выражение по углам, мы найдем
общее выражение для энергии излучения:
™ eWW 4-362 (9>75)
12с О-В2)''
и) Дипольное и квадрупольное излучения гармонического
осциллятора. При сравнительно малых скоростях движения
электрона в гармоническом осцилляторе мы можем ограничиться
одним или двумя членами в равенстве (9.71). Первый член дает
дипольное излучение, второй — квадрупольное и т. д.
Принимая во внимание, что при малых значениях аргумента
функции Бесселя равны
мы найдем для вероятности излучения первой гармоники (ди-
(дипольное излучение, v = 1, частота излучения со) **)
sin e flfe tg2 е р2 cos2 e (l - 4- Р2 cos2 e) =
о
„2
(9.76)
*) Эта формула дана в [19] с опечаткой: вместо показателя степени 7/2
написано 1/2.
**) Формула (9.76) может быть получена из точной формулы (9.75),
если в последней ограничиться лишь членом, пропорциональным В2.
92 § 10. СИНХРОТРОППОЕ ИЗЛУЧЬНШ;
Точно так же найдем интенсивность квадрунолыюго излучения,
если в (9.71) положим v —2 (частота излучения 2w):
W2~ 15 ~Т~Р ~13"~?~- Ы-//}
Таким образом, отношение иитенсивностей частот 2ш и ш
равно
W2/W1 « Р2 « (асо/сJ « (а/А,J. (9.78)
Отсюда видно, что в нерелятивистском случае (|3 <С 1) мы мо-
можем ограничиться лишь первым (т.е. дигюльным) членом.
В ультрарелятивистском случае (fj—»1) разложение по гармо-
гармоникам теряет смысл. Максимум излучения должен падать на
высокие гармоники. Однако более подробно этот вопрос мы
разберем в § 10 на примере движения по окружности.
Заметим, что излучение гармонического осциллятора
при наличии перпендикулярной составляющей движения с
постоянной скоростью и- вдоль оси х, когда для плот-
плотности заряда вместо (9.55) следует написать выражение
р = — еоб (х — vt) 8(у) б (г — a sin со/), может быть положено в
основу теории ондулятора. Ондулятор является одним из источ-
источников излучения типа синхротронного. Подобное движение элек-
электрона может быть осуществлено с помощью соответствующих
установок источников электрических или магнитных полей. Наи-
Наибольший интерес представляет случай, когда и—*с, а колебания
вдоль оси z совершаются с нерелятивистской скоростью. Более
подробно этот вопрос мы рассматривать не будем и отсылаем
читателя к специальной литературе [21].
§ 10. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
а) Основные уравнения. Как известно, при движении элек-
электронов по окружности или по винтовой линии со скоростью,
близкой к скорости света, происходит интенсивное излучение,
получившее название синхротронного. Известные классические
выводы интенсивности синхротронного излучения основаны на
разложении по некоторому малому параметру (пропорциональ-
(пропорциональному отношению радиуса траектории к расстоянию наблюдателя
от электрона), т.е. относятся к так называемой волновой зоне,
когда наблюдатель находится на сравнительно большом рас-
расстоянии от электрона.
Однако для расчетов современных циклических электронных
ускорителей, где радиусы достигают порядка нескольких метров,
а наблюдатель может находиться от источника сколь угодно
близко, важно дать точный вывод формулы для синхротронного
излучения.
K ,vi'A!;1!l;hiiji 93
Если электрон движется по винтовой липни, то его коорди-
координаты изменяются по закону
x'=Rcos(at, г/=/Ыпш/, У — v*t, A0.1)
где R— радиус цилиндрической поверхности, по которой проис-
происходит движение, оч — круговая частота вращения, у и —скорость
движения вдоль оси z (продольная составляющая).
Заметим, что такое движение может быть осуществлено (если
пренебречь излучением) в постоянном и однородном магнитном
поле Я или в поле поляризованной по кругу электромагнитной
волны (см.'§ 8). В частности, в постоянном магнитном поле энер-
энергия электрона равна
Е = -^==, A0.2)
причем скорость электрона (см. (8.93)) связана с продольной v\\
ц поперечной и± = /?« составляющими при помощи соотношения
v =-. ср = VvprvT\, A0.3)
а частота со согласно (8.91) зависит от Е и Н\
A0.4)
Вообще говоря, благодаря излучению радиус траектории дол-
должен постепенно уменьшаться. Однако это уменьшение мало ска-
скажется на интенсивности излучения (см. § 11). В реальных син-
синхротронах эти потери компенсируются различными способами,
которые мы рассмотрим ниже (см. §§11, 27).
Учитывая уравнения движения A0.1), для плотности заряда
напишем выражение
р = сЬ (х — R cos at) Ь{у — R sin at) б (г — v{lf) —
= v^ ( £/1Veei*r~ifc3O"'-£ft-L7?SIUU, A0.5)
где а = at — ф -f я/2, а ф — полярный угол вектора k:
k\ = k± cos ф, ki — k 1 sin ф, /е-) = к?,,
\
,/7, ., ., \, (i0.6)
k± = V Гц + ki> 1г = kl + /e,i.
Из A0.1) находим проекции д~ш скорости:
vx ~=—Tf == — v± sin at — v 1 (cos a cos ф — sin a sin ф),
vu = v 1 cos со/= ox (sin a cos ф + cos a э!пф), 'ДО-')
г, -- у-,.
Отсюда, принимая по внимание соотношоппя (9.56), для плотно-
плотности тока имеем / — Р(_>. В дальнейшем все величины мы будем
94 § ю. синхротронное излучение
представлять разложенными в ряд и интеграл Фурье вида
') —W S J^'*r-"%'V(*^)FV, A0.8)
V=—оо
где частота
<bv = v© + сМз, (Ю-9)
а у амплитуды Fv зависимость от волнового вектора k ради про-
простоты писать не будем. Тогда для амплитуд плотности заряда и
плотности тока найдем
Pv ) (i\, (ixv) vco /созф\ / — sin -
где
Учитывая соотношения между потенциалами и плотностями
заряда и тока
1Ф" ' /(Л A0.11)
путем деления на оператор Даламбера с оставлением лишь за-
запаздывающих решений (см. E.38)) найдем амплитуды для по-
потенциалов:
где сингулярная и несингулярная части функции Грина согласно
E.38) равны
О /^в(А»-(ач/Су). A0.13)
Для компонент электрического
и магнитного
Я = rot Л
полей соответственно находим
б) Вывод формулы Шотта. Поскольку мы рассматриваем
случай, когда при движении электрона по винтовой линии энер-
энергия поля
поля £"
- J
ы ах
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ШОТТА 95
фактически не изменяется, т. е. dEn0JIH/dt = 0, то при вычислении
интенсивности излучения мы можем воспользоваться согласно
(9.3) формулой для потерь энергии
W = — c \ U*E)d3x, A0.15)
в которой вектор тока / заменен /*. Это мы можем сделать, так
как плотность тока является вещественной величиной (/* = /).
Подобная замена несколько упрощает ход вычислений. В са-
самом деле, ставя штрих в подынтегральном выражении A0.8)
у волнового вектора к' и целого числа v', мы при вычислении ин-
интеграла в равенстве A0.15) будем учитывать соотношения
(*-*')!•= б {k-k% A0.16)
которые при интегрировании по k' приведут к замене
k'-+k, a|/-*a|>.
Кроме того, при вычислении скалярного произведения (ДДД
переходя к цилиндрическим координатам вектора fe, когда эле-
элемент объема равен
d3k = Ydk\dk3d^, A0.17)
мы при интегрировании по углу а|з имеем
ei (v-v) ч> d^ = 2n6w'. A0.18)
Подставляя в A0.15) разложение A0.8) и учитывая A0.16) —
A0.18), найдем
2 со +°° °°
V=— оо — оо 0
где
т «*• A0-20)
Как видно' из формул A0.20) и A0.13), функция fv является
нечетной функцией относительно двойной замены v —* — v, k%—*
—»— k3, а гриниан Gt (см. A0.13)) при этом сохраняет свой
знак. Поэтому выражение, пропорциональное /vGi, как нечетная
функция этой двойной замены обращается в нуль. Подынтег-
Подынтегральное же выражение, пропорциональное fvG0, является четной
0D 5 Ю С1ШХРОТРО1ШОП ИЗЛУЧЕШШ
функцией относительно этой двойной замены, и поэтому соответ-
соответствующий интеграл в нуль не обращается. Подставим в A0.19)
вместо Go его значение из A0.13) и учтем, что интегрирование
по k\ благодаря наличию дельта-фуикции дает замену
к1---(к^ + ~У-1г1 A0.21)
Мы удовлетворим последнему соотношению, если положим
k^-—-^ T°os0-- A0.22)
ii
Отсюда следует
о
с 1-В,|Го.Г0 •
с 1 — fi:| ens G
A0.24)
j, __ vco d ms 0
где 8 — угол, который вектор к составляет с осью z. Таким обра-
образом, основная частота поля излучения (v — 1)
не будет совпадать с частотой вращения электрона со (доплероп-
ское смещение).
Поскольку выражение A0.20) при наличии соотношении
A0.22) и A0.24) является нечетной функцией \\ а при умноже-
умножении на знакопеременную функцию, равную в нашем случае
(Ov/| (Ov 1 == V,'| V |,
становится четной, мы можем сумму по у от — оо до оо заменить
удвоенной суммой от единицы до бесконечности (член, соответ-
соответствующий v = 0, обращается в нуль). Тогда, учитывая A0.22) и
A0.24), равенство A0.20) приведем к виду [22]*)
" - Г»,) COS
о Г/sO-
V"
A0.26)
где аргумент
vfi , sin 6
В частности, при отсутствии продольного движения (р;! = 0) мы
*) Аналогичный результат может быть получен из теоремы Пойптппга
также без введения волновой зоны [23].
Поляризационные свойства
97
получим известную формулу Шотта [24]
W =-
sine
A0.28)
v=l 0
где аргумент g — vf5 sin 8.
в) Поляризационные свойства излучения при движении элек-
электрона по винтовой линии. Исследуем поляризационные свойства
излучения электрона. Не нарушая общности, мы можем вектор
Пойнтинга <5 (параллельный волновому вектору k) расположить
в плоскости xz (&2 = 0, а|з = 0) под углом 0 к оси z (рис. 10).
В этом случае
£,/£3 = tge. A0.29)
Принимая во внимание A0.22), A0.24) и A0.10), находим из
A0.14)
p D
zv i - p.. cos e
_ cos 6 (cos 9-В„)
•4» ^xv — n Sine(l-B||cos6) •'■v»
A0.30)
•C-J/V6 " 1
1 — В., cos9
J've
где В — некоторая постоянная величина.
В равенствах A0.30) составляющие Ezv и Exv образуют так
называемую я-компоненту, a Eyv — о-компоненту. Обе эти ком-
компоненты перпендикулярны друг к
другу и к волновому вектору k
(см. рис. 10). Для о-компоненты
это очевидно (вектор k лежит
в плоскости xz, а вектор Eav на-
направлен по оси у). Для я-компо-
ненты это легко получить из урав-
уравнения A0.29), из которого сле-
следует, что
У
A0.31)
Рис. 10. Поляризационные свойст-
ва синхротронного излучения.
Сопоставляя равенство A0.31) с
равенством A0.29), мы видим,
Что векторы k и Еп, хотя и лежат в одной и той же плоскости xz,
но они будут взаимно перпендикулярными.
Найдем сдвиг фазы между л- и о-компонентами. Для этого
рассмотрим вращение вектора поляризации в плоскости ху:
„— iavt
Re£vxe v =£wcoscovf,
4 А. А. Соколов, И. М. Тернов
-'V+'Ts=i? sin
jvi/'
A0.32)
98 § ю. синхротронное излучение
т.е. вращение должно происходить от я- к а-компоненте. Иными
словами, при cos 8 >■ Рц должно излучаться эллиптически право-
поляризованное электромагнитное излучение, а при cos 8 < Рц —
эллиптически левополяризованное. При cos 0 = рл интенсивность
я-компоненты обращается в нуль, и излучение, содержащее
только а-компоненту, становится линейно поляризованным.
В случае движения электрона по окружности (Рц = 0) для
компонент вектора напряженности из A0.30) находим следую-
следующие значения [25] *):
£°v = — В cos 8 /v,
£°v = Scos0ctg9/v, A0.33)
i ~ i -
E°yve 2=Sp/;e 2,
t-
где e 2 = i, а аргументом функций Бесселя является величина
g = vpsin8 (см. A0.28)). Составляющие Ezv и Exv направлены,
так же как и при движении по винтовой линии, по углу 6 (точ-
(точнее, по направлению изменения угла 8) (см. рис. 10), образуя
я-компоненту **).
Из формул A0.336) и (Ю.ЗЗв) видно, что для острых углов
@ < 6 < я/2) обе амплитуды Eav и Eav имеют одинаковый знак.
Поэтому эллиптическая поляризация будет правополяризован-
ной. Наоборот, для тупых углов (я/2 < 8 < я) составляющие
Env и Eav имеют противоположные знаки, и эллиптическая поля-
поляризация становится левополяризованной. Наконец, при 6 = я/2
составляющая Env обращается в нуль ***\
i •
*) По абсолютному значению я-компонента равна
I Яет, | =4 В ctg в/, |. (Ю.33а)
Если учесть еще временную зависимость, то для я-компоненты мы можем
написать
Re ЕЯУе-iv(i>t = E°m cos va>t. A0.336)
Точно так же для 0-компоненты, направленной по оси у или в общем слу-
случае по углу ф, мы найдем
Re£ove 2 — Eaysinv(ut. (Ю.ЗЗв)
**) Если исходить из соотношения A0.14), то я-компонента магнитного
поля будет направлена по оси у или в общем случае по углу ф, т. е. парал-
параллельно компоненте Еа. Соответствующая же ст-компонента магнитного поля
будет направлена против угла 9 (антипараллельно компоненте Ел).
***) Таким образом, при любых углах вращение круговой поляризации
совпадает с вращением электрона, поскольку это вращение задается отно-
относительно направления волнового вектора k (при острых углах волновой
вектор k направлен в сторону положительных значений г, а при тупых —
в сторону отрицательных значений). Только при 9 = я/2 мы имеем вы-
вырожденный случай, когда поляризация становится линейной.
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА 99
Выражение для полной интенсивности излучения при движе-
движении электрона по окружности согласно A0.26) может быть пред-
представлено в виде (Ри = 0)
оо Я
W = Wn + Wa = eel 2 J sin 9 fifG (I Em I2 + I Eav |2). A0.34)
v=l 0
Эллиптическую поляризацию мы можем представить как две
круговых (правую Elv и левую E-lv). Для этого мы должны
положить
£„„ = (£,„+£_,„)//2". Eav = i(El4-E-lv)/V2'. A0.35)
Отсюда находим, что
£,„ = (£„„-/£„*)//2", E_lv = (Em + iEav)/V^. (Ю.36)
Строго говоря, мы будем точно знать поляризацию, если,
кроме амплитуд \ЕЛЧ\ и |£CTv|, будет еще задан сдвиг фазы
между ними
Ф = фа-Фя- (Ю.37)
который можно выразить через эти амплитуды и амплитуды кру-
круговой поляризации |£±iv|- Для этого каждую из составляющих
вектора электрического колебания следует представить в виде
Elv = el™t+i»t\Et4\, A0.38)
где I = п, а — линейная поляризация, / = ±1—круговая поля-
поляризация. Тогда формулы A0.36) принимают вид
ут
(Ю-39)
1 lv ' \Г2
Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, мы мо-
можем выразить разность фаз между а- и я-компонентами через
модули амплитуд:
"-'^T'pTi'iIt'V'- A0-4°)
Таким образом, сдвиг фазы ф может быть найден, если извест-
известны амплитуды (или интенсивности) линейных и круговых поля-
поляризаций.
Составляющие интенсивности, характеризующие круговую
поляризацию, равны
V=l 0
J sine fife I£±1,vr\
100 § Ю. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
где знак + относится к правой, а знак — к левой круговой поля-
поляризации. Таким образом, интенсивность спектрально-углового
излучения с характеристикой поляризационных свойств может
быть представлена в виде
2 2 ?
^SJsinedQU«ctgв/
Jv
v=l 0
где | — vp sin 9.
Для того чтобы получить интенсивность я-компоненты,
мы должны положить /я = 1, /G = 0. Для а-компоненты,
наоборот, 1Л = 0, /а = 1. Для правополяризованного излучения
£я = /а= l/|/ , а для левополяризованного, наоборот, 1п =
=--/„= 1/уТ.
Таким образом, в случае а-компоненты вектор Ео лежит в
плоскости ху, т.е. при круговом движении направлен примерно
по радиусу, а при винтовом движении — перпендикулярно к оси,
а для я-компоненты, наоборот, в плоскости ху будет лежать маг-
магнитное поле Н.
г) Угловое распределение излучения. При дальнейшем ана-
анализе формулы A0.26) и нахождении углового распределения из-
излучения, а также суммарного излучения введем новый угол 9о
и скорость с|3о, связанные со старыми при помощи соотношений
cos0 — р., V\ — Ри sin 0
COs9°=l-P,,cos6' sin9° = 1-р,соз8 '
. _ A0.42)
sin 90 cf90 = sin 9 cf9, 60 =
0 ° (i-pl(coseJ l0
Угол 90 и скорость с|30 соответствуют углу и скорости электрона
в другой инерциальной системе координат, которая движется от-
относительно первоначальной вдоль оси г со скоростью |3ц.
Подставляя A0.42) в равенство A0.26), мы найдем для энер-
энергии излучения следующее выражение [22, 23]:
тг
J
v=l 0
X[f«(v, 80) + fo(v, 80)], (Ю-43)
где
Q = co//l-p2, A0.44)
a
fK (v, 80) = ctg2 Go 1% (vp0 sin 80),
'4)
УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 101
Заметим, что при движении электрона по окружности в фор-
формуле A0.43) мы должны положить Рц равной нулю. Оказывает-
Оказывается, что энергия излучения в единицу времени W является скаля-
скаляром, и поэтому суммарный результат не может зависеть от Рц.
Излучение W зависит только от инвариантной скорости Ро.
Как видно из A0.43) и A0.44), член, пропорциональный
Ри cos 90, оказывает лишь влияние на угловое распределение ин-
интенсивности излучения. При интегрировании же по углу 0о выра-
выражение Рц cos во как нечетная функция относительно замены
9о -* я — 9о обращается в нуль:
sin 90 cos 90 d90 = 0,
о
поскольку остальной множитель подынтегрального выражения
является четной функцией относительно замены A0.45).
Рассмотрим конкретные примеры излучения при движении по
винтовой линии. При движении электрона в постоянном и одно-
однородном магнитном поле частота
moc
(Ю.46)
зависит только от инвариантной скорости |3о- Вводя частоту
il A0.47)
получившую название циклотронной, мы найдем, что
Q = Qe/l—ро- A0.48)
Напомним, что с|30 является скоростью движения электрона в си-
системе, где Рц = 0.
Точно так же при исследовании движения электрона по вин-
винтовой линии в поле плоской волны, поляризованной по кругу (см.
(8.95)), мы должны принять во внимание соотношение A0.44):
pj|, A0.49)
а также формулу (8.19), связывающую частоту вращения элек-
электрона со с частотой внешней электромагнитной волны ©о:
со = сооA — р„). A0.50)
Тогда найдем, что
причем последняя частота сохраняет при преобразованиях Ло-
Лоренца свою инвариантность и равна частоте электромагнитного
102 § Ю- СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
поля с круговой поляризацией в системе координат, в которой
Рн = 0. Инвариантная скорость будет в этом случае согласно
(8.123) и (8.120) равна
+ У2, A0.52)
где согласно (8.96) имеем
Y = е0Е0/тпсщ.
Заметим, что при переходе от одной инерциальной системы
координат к другой скорость р0 должна оставаться инвариант-
инвариантной величиной.
Просуммируем выражение A0.43) по частоте при помощи
следующих соотношений (см. также (9.73)):
Х*2Т2,,_Х2D + Х2)
*•* v 16A— x2)k
v=l v '
Sty A J~ 4 v2
V/V(VX) = 5T-. A0.53)
V 16A -x2I'
v=l
Тогда мы приведем A0.43) к виду [22]
e?Q2 ,л
W =~ШГ } sin8ocf8o(l + Piicos8o)(/;It(8o) + fa@o)). (Ю.54)
о
Из этих формул видно, что в нерелятивистском случае
и Рн = 0) для энергии излучения имеем
2q2
dWHep = ~- р2 A + cos2 9) sin 9 dQ. A0.56)
Максимум интенсивности излучения лежит в направлении, пер-
перпендикулярном к плоскости вращения (9 = я/2).
Интегрируя выражение A0.56) по углу 9 и полагая Q = v/Rt
где R — радиус окружности, мы найдем для суммарного излу-
излучения
Как видно из формул A0.55), в ультрарелятивистском случае
(р-> 1) излучение происходит вблизи плоскости вращения F =
УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЮЗ
= я/2 -+- Д9) и будет сосредоточено практически внутри угла,
имеющего порядок
Д9 » /1 — р2. A0.58)
При вычислении суммарных интенсивностеи (т. е. проинте-
проинтегрированных еще и по Во) мы воспользуемся следующей фор-
формулой [26]:
, v f sin2ra+l90cos2*90rf90 _
{П, Ь)— J +|/> _
о U — Ро sin o0j
где s —целое число и 2я + 1 > 0. Тогда из A0.54) и A0.55) по-
получаем следующее значение для я- и ст-компонент полной интен-
интенсивности излучения:
Отсюда полная интенсивность излучения равна
W = Wn+Wa = ?- f\° A0.61)
d с i.1 ~ PoJ
а для величины, характеризующей поляризацию (т. е. отноше-
отношение интенсивностеи я-компоненты к а-компоненте), находим зна-
значение
Отсюда видно, что в нерелятивистском случае (Pq—>0) это отно-
отношение равно
анеР=1/3. A0.63)
Наоборот, в ультрарелятивистском случае (р§->1) находим*)
аРел=1/7, A0.64)
т.е. а-компонента будет в 7 раз интенсивнее я-компоненты.
*) Строго говоря, для инвариантной скорости мы имеем выражение
В ультрарелятивистском же приближении |3-»-1 и только при рц <£ [3 имеем,
что и Ро-»-1. Как видно из формулы A0.58), когда движение совершается
вдоль оси г (Рц = Р), интенсивность излучения обращается в нуль для лю-
любых скоростей.
104 § 10. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
д) Спектральное распределение излучения. Для того чтобы
получить спектральное распределение интенсивности, мы дол-
должны выражение A0.43) проинтегрировать по углам. В случае
движения электрона но винтовой линии это оказывается возмож-
возможным сделать точно, в противоположность гармоническому осцил-
осциллятору, где точное интегрирование по углу для каждой гармо-
гармоники произвести нельзя (см. (9.71)).
Воспользовавшись формулами
я 0
sin 60 dQ0 ctg2 90 /v (vp0 sin 90) = 2 InM. dx — — J2v (x) dx,
б о ° МО 65)
я
sin 90 dd0 J'v2 (vp0 sin 90) =
A0.66)
и учтя, что член в подынтегральном выражении A0.43), пропор-
пропорциональный множителю cos Go, при интегрировании обращается
в нуль, найдем формулу, характеризующую спектральное рас-
распределение интенсивности излучения:
§^v @) ( §) J \ A0.67)
Эта формула, так же как и формула A0.43), характеризующая
спектрально-угловое распределение интенсивностей излучения
в случае кругового движения, была впервые получена Шоттом
в 1912 г. [24]. Обобщение этой формулы на случай движения по
винтовой линии произведено сравнительно недавно [22,23]. Про-
Производя суммирование по v при помощи формул [19]
оо 2v|3, 3
Р
|
J
0
V=l V. HU/ V=l 0 ^ VQ>
A0.68)
мы получим выражение для полной интенсивности излучения
(см. A0.61)):
СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 105
Найдем полную интенсивность излучения для некоторых кон-
конкретных случаев.
1) В случае движения электрона в постоянном и однородном
магнитном поле частота Q определяется равенством A0.46). То-
Тогда имеем
И7 = _о _Г°=--±-£.1 5 1 ), A0.70)
3 т\сй 1 - р02 3 с V 1 - tf0 I V '
где Qc — циклотронная частота, определяемая равенством
A0.47). Если в это равенство вместо инвариантной скорости
подставить значение
то найдем
2) В случае движения электрона в электромагнитной волне
с круговой поляризацией вместо частоты Q мы должны подста-
подставить значение A0.51)
Q = со.
Учитывая, что радиус круговой орбиты электрона при этом вин-
винтовом движении равен (см. (8.97), (8.121) и A0.52))
R =
получим
q_ CY
где
= Y
шоссоо }' 1 + у'
Поэтому для характеристики спектрально-углового распределе-
распределения излучения при движении электрона в поле поляризованной
по кругу электромагнитной волны мы должны в формулу A0.43)
вместо Й подставить значение A0.72). Тогда
е) Спектральное распределение излучения в нерелятивистском
случае при круговом движении. Рассмотрим прежде всего нере-
нерелятивистский случай движения электрона по окружности ради-
радиуса R:
Р =0, р0 = р = vie = Q R/c. A0.74)
Юб § Ю- СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Тогда согласно формуле A0.67) для интенсивности гармоники
v мы находим значение
2 Г 2|JV -,
^ Bvp)-(l-p2) j hv(x)dx . A0.75)
В нерелятивистском случае (р<1) мы можем положить
2
J2v (x) dx = -j:
Bv)! ' **vv-vH/— 2Bv_1I •
A0.76)
Поэтому основной член формулы A0.75) принимает значение
+1
T~- A0.77)
v2v+1
Отсюда видно, что максимальная интенсивность излучения па-
падает на основной тон (v = 1):
Wl = ^-. A0.78)
A0.79)
Интенсивности последующих гармоник будут равны:
ИЛИ
W2~
т.е. разложение, по существу, идет по параметру р2, который
в нерелятивистском случае является малой величиной*).
*) В случае движения по винтовой линии возможна ситуация, когда
поперечное движение является нерелятивистским (Pj_ "С 1), а продольное —
релятивистским (Рц ~ !)■ Если при этом Pj_ <К \ 1 — pjj , то излучение бу-
будет происходить на основной гармонике (х = 1) по направлению продольной
составляющей скорости в пределах телесного угла Д8 ~ у \ — Pjj . Из фор-
формул A0.25) и A0.26) найдем для частоты и интенсивности излучения выра-
выражения
(О, = °—^, е,,= 1— р2, W = V~^- (Ю.78а)
Отсюда видно, что максимальная частота излучения (под углом 6 = 0) бу-
будет много больше частоты вращения электрона. Подобная система дает
направленное излучение высокой частоты и может быть использована в ка-
качестве источника ондуляторного типа (см. стр. 92).
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Ю7
В ультрарелятивистском случае C —♦ 1 разложение A0.79)
теряет свой смысл и максимальная интенсивность падает не на
основной тон (v = 1), а на высокие гармоники, поскольку при
W3>W2>WU A0.80)
В этом случае спектрально-угловое распределение интенсивности
может быть описано формулой A0.26) (в случае движения по
винтовой линии) или A0.28) (в случае кругового движения).
Для описания спектрального распределения имеет место форму-
формула A0.67). Поскольку в этих формулах номер гармоники входит
и в аргумент и в порядковый номер бесселевой функции, то при
исследовании излучения ультрарелятивистских электронов, дви-
движущихся по винтовой линии или по окружности, оказалось весь-
весьма удобным записать приближенное значение для бесселевой
функции, когда ее аргумент приближается к порядковому но-
номеру х -> v — 0 iS> 1. Это асимптотическое выражение проще всего
получить с помощью метода Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
(метод ВК.Б).
ж) Асимптотическое представление бесселевых функций вы-
высокого порядка. Как известно, бесселева функция порядка
v удовлетворяет уравнению
йг г / \ \ 1 djv(x)
Вообще говоря, нас будет интересовать асимптотическое выра-
выражение функции Бесселя, когда аргумент х-*\— 0. Однако для
определения постоянных нам необходимо воспользоваться зна-
значением функции Бесселя при х—*0:
/v(x)=="iCr- A0-82)
Таким образом, асимптотическое решение должно быть най-
найдено на следующем интервале изменения х:
0<x<v, A0.83)
что проще всего сделать с помощью метода ВКБ. С этой целью
введем новый аргумент
x = vey, y = \n(xh), A0.84)
который изменяется в пределах —оо ■< у ■< 0. Тогда вместо
уравнения A0.81) имеем
|iv = 0. A0.85)
Решение уравнения A0.85) ищем в виде
V/ A0.86)
108 § ю. синхротронное излучений
причем z' —■ dzldy, а аргумент г'пока что остается неизвестной
величиной. Подставляя A0.86) в A0.85), для определения функ-
функции F{z) найдем уравнение
£L ' dF ( ^'-^ ' i<l_i^T
2.1 '2 2 '* ~ '3
H? P П 2 \ ? 4-?* 4 7 9 7
116 £ U 6 \ <Cy 4<C у у
A0.87)
Неопределенный пока что аргумент z мы подберем из требова-
требования, чтобы
v A-е7) ==1 при z>Q A0.88)
Тогда из последнего равенства находим
о v
J v dy V 1 — ё*у = \ ~ ]/v2 — х2 =
о
z
^1п2±^Щ._у^=^, A0.89)
2 v — ]/ v2 — хг
Подставляя найденные значения г в A0.87) и учитывая, что
г' = - v 1/1 ~ е2"" = - v /I - (x/vJ", A0.90)
получим
Из формулы A0.89) следует, что для интересующей нас об-
области Xrr*v — 0 величина z равна
A0-92)
и поэтому формула A0.91) принимает вид
^0- <10-93>
Последнему уравнению удовлетворяет функция Бесселя от мни-
мнимого аргумента порядка '/3 /ч, (z) и Кчг(г), где*)
In{x) = i~"Jn{ix), A0.94)
Kn{x) = T-j^(l_n(x)-In(x)). A0.95)
*) Как видно из формулы A0.95), функция Кп(х) включает в себя
функцию 1п{х) и поэтому мы можем ограничиться лишь положительными
значениями п = Уз. Напомним еще известное соотношение
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Ю9
Принимая во внимание формулу A0.90), мы найдем, что при
х—>v — 0 выражение для функции Бесселя A0.86) с учетом
A0.92) может быть представлено в виде
Для того чтобы определить постоянные А и В, мы должны
написать асимптотическое значение функции /v в другом край-
крайнем случае: х-+0. Как видно из формул A0.89), при х—»0
z=-ln(xe/2v)v> I, z'y=-v, A0.97)
где е — основание натуральных логарифмов. Кроме того, учтем
асимптотические выражения бесселевых функций при больших
значениях аргумента z:
z A0.98)
(которые имеют место при любых значениях п, в том числе и
при гс = 1/з), а также то, что при больших 22>1 в уравнении
A0.93) членом 1/9г2 можно пренебречь по сравнению с единицей.
'Подставляя в A0.86) вместо функции F значения Кч3 и />/s и
принимая во внимание соотношения A0.98), а также формулу
Стирлинга
] }>r2nv
найдем
У 2я
я2 у 2nv \ x
мп mm
A0.101)
Принимая во внимание A0.86) и A0.82), для определения А
и В имеем выражение
£^ 4 (Ю.102)
V
2vv! 2nvx* 2vv!
откуда следует, что
= 1/п и Д = 0. A0.103)
no
§ 10. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Итак, асимптотическое выражение для функции Бесселя (см.
A0.97)) в интересующей нас области (x—*v— 0) равно*)
,'/a
я у а " \ 3
Взяв производную по х, найдем (x-+v — 0)
A0.104)
где
A0.105)
8=1-л:2Д>2. A0.106)
Здесь **), так же как и в формулах первого приближения, аргу-
аргументом цилиндрических функций Кк, и К2,, является величина
(v/3)e3/2. Второе приближение в последних формулах заключено
в квадратные скобки.
Последующие члены разложения в данном приближении (см.
A0.86)) нет смысла учитывать, так как они по сравнению с ос-
основным будут иметь порядок е2 ~
~ v~4/3, равный порядку отбрасы-
отбрасываемых вообще в этой асимптотике
членов [19],
з) Ультрарелятивистский случай
при круговом движении. Пользуясь
асимптотическими представлениями
функции Бесселя и ее производной
A0.104) и A0.105), исследуем уль-
ультрарелятивистское движение элек-
электрона по окружности [27]. Для этого
подставим эти асимптотические зна-
значения в формулу A0.41), полагая
A0.107)
Рис. !1. Движение и излучение
релятивистского электрона в
магнитном поле.
Тогда для спектрально-углового распределения интенсивности
излучения с учетом поляризационных эффектов мы найдем
*) Заметим еще, что функция Кх/з связана с функцией Зйри равенством
F(x)= cos (*3 + xt) dt ■■
**) В работе [22] было найдено следующее приближение для функции
Бесселя и ее производной, учитывающее члены порядка е:
A0.104а)
A0.105а)
—?= \Ки Л— е
V3 I k 5
V8'
УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 111
значение [25]
2
5
. A0.108)
Здесь 8=1—р2 sin2 в, причем в ультрарелятивистском случае
A — Р2<С1) все излучение должно быть сосредоточено вблизи
плоскости орбиты вращения электрона 8~л/2. (Излучение будет
происходить по направлению движения в узком конусе с углом
раствора, имеющим порядок согласно A0.58) А8 ~ |/l — р2; ко-
конус излучения изображен на рис. 11 пунктиром.)
Вводя новую переменную
A0.109)
* /е„ /во /1-Р2
имеем
Р=1-±е0~1, ctg9 = ftj^-^/^ф, A0.110)
2 у 1 — воф2
dcos9=/e7^. A0.111)
Поскольку функции /С'/, или /С'/з отличны от нуля лишь для аргу-
аргумента порядка единицы, а при больших значениях аргумента
они стремятся к нулю по экспоненциальному закону, то границы
интегрирования, которые при переходе к переменной г|з изме-
изменяются в пределах от —р/ео до +р/е0, мы можем растянуть от
— оо до + °°- Учитывая это, мы видим, что при суммировании
по v максимум в ультрарелятивистском случае (ео—♦ + 0) падает
на высокие гармоники (v ~ l/s^'). Поэтому сумму по v мы мо-
можем заменить интегралом, полагая при этом dv = 1.
Вводя новую переменную
9v 9p^2 9р3/2
* = £e?., dy = ^-d^^- A0.112)
и полагая для синхротронного излучения
a = c/R, eo = (moc2/EJ,
мы приведем равенство A0.108) к виду
ОО +0О
J
где
112
§ 10. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
а полная энергия излучения для ультрарелятивистского случая
равна
3 R'
Следует заметить, что согласно формулам A0.36), A0.37)
при г|; > 0 будет излучаться эллиптически правополяризованное
излучение, а при ty <С 0 — левополяризованное. При \|э = 0 я-ком-
понента исчезает и излучение становится линейно поляризован-
поляризованным, содержащим только а-компоненту.
Из A0.113) можно получить следующие формулы для угло-
углового распределения а- и я-компонент при заданном значении у.
для а-компоненты AЛ = 0, /<, = 1)
Wy(l + i|J)/t2/s(T)), A0.114)
для я-компоненты (/л=1, /„ = 0)
250 Мз5
A0.115)
Экспериментально поляризационные эффекты, предсказанные
теоретически в [25], впервые были проверены в опытах Короле-
Королева — Куликова и др. [28, 29, 30].
Сравнение экспериментальных и
теоретических зависимостей интенсив-
интенсивности излучения воспроизведено на
рис. 12.
Помимо подтверждения теории, об-
обнаружение поляризационных свойств
синхротронного излучения служит для
доказательства того, что нетепловое
излучение галактик, в том числе
Крабовидной туманности, носит син-
хротронный характер. Поэтому астро-
астрономы, наряду со спектральным распре-
распределением (см. ниже), должны были
обнаружить и поляризационные свой-
свойства синхротронного излучения. Эта
гипотеза была впервые высказана Аль-
феном и развивалась многими другими
авторами [31, 32] *).
Рис. 12. Теоретические и эк-
экспериментальные данные,
характеризующие линейную
поляризацию синхротронно-
синхротронного излучения.
и) Спектральное распределение интенсивности излучения
(приближенные формулы). Прежде всего проинтегрируем выра-
выражение A0.113) по углам (т.е. величине г|з) и найдем спектраль-
*) В гл. 3 работы [32] удачно используются теоретические работы по
синхротронному излучению для описания космического радиоизлучения.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ИЗ
ное распределение для п- и а-компонент. С этой целью восполь-
воспользуемся следующими интегралами [33]:
— ОО
+ ОО
A0.116)
(л) = у=
Полагая в формуле A0.113) соответственно 1а = 1, /я = 0 и
/а = О, /Л = 1, мы найдем следующие выражения для спектраль-
спектрального распределения сг- и л-компонент:
'-У
у И K'hWdx-K'iAy)].
\-у А
где
Ч D2 2 "
6 К \ тос I
A0.117)
A0.118)
Суммарное спектральное распределение будет определяться
формулой [27]
где
В случае малых значений у можем положить
Кт(у) ~ 2т~1Т(т)у' при г/->0,
а при больших у (у > 1, v > 3/28^)
Кт(У) *** Vn№y e~y при у—>оо.
Учитывая последние соотношения, имеем
A0.119)
A0.120)
8л
A0.121)
114
§ 10 СИИХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Максимум излучения для интенсивности достигается при у = '/з,
т. е. при
AJ(Vf A0.122)
280'
Из формулы A0.122) видно, что в ультрарелятивистском слу-
случае (е0 <S 1) максимум интенсивности излучения падает не на
основной тон (v=l), как в нерелятивистском случае (см.
fly)-
0,6
0,3
0,6
1,2
1,8
Рис. 13. Универсальная кривая, характеризующая зависимость интенсивности
синхротронного излучения от частоты.
A0.78)), а на высокие гармоники. Кривая спектрального рас-
распределения *), определяющая зависимость f(y) от у, представле-
представлена на рис. 13. Эта кривая носит универсальный характер. Изме-
Изменяя энергию в широких пределах, будем иметь только различную
зависимость у и f(y) от энергии Е.
Таким образом, если изобразить зависимость длины волны %
от энергии, то при увеличении Е максимум будет сдвигаться
вправо (см. [30], статья Хензела и Кунца). Например, для уско-
ускорителей с энергией Е = 50 Мэв и радиусом орбиты порядка
1 метра по нерелятивистским формулам должно было быть из-
излучение с длиной волны порядка 5 метров, в то время как по
релятивистской формуле A0.122) максимум излучения падает на
длину волны
тос
2 \3
юзА,
соответствующую видимой части спектра, т.е. электрон стано-
становится в буквальном смысле слова светящимся. При Е ~ 500 Мэв
и радиусе орбиты 2 метра максимум излучения будет лежать
в далекой ультрафиолетовой части спектра (Ямако ~ 10 А). И, на-
наконец, на синхротроне с энергией 5 Гэв (эти энергии достигнуты,
например, в Ереване, Гамбурге) максимум излучения прихо-
приходится на рентгеновскую область (Ямакс ~ 0,5 А).
*) Первое экспериментальное подтверждение этой кривой изложено
в [30] (см. работу Томбулиана и Гартмана).
УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ Ц5
, При вычислении суммарного (т.е. проинтегрированного по у)
выражения мы должны воспользоваться следующей формулой:
оо
J
о
A0.123)
при условии, что т + 1 > п. С помощью формулы A0.123) легко
показать, что
A0-124)
J ydy\ K%
J ^ ^
Отсюда для суммарных интенсивностей находим
A0.125)
^
а отношение интенсивностей я- и сг-компонент равно (см. также
A0.64))
a=WJWa=l/7. A0.126)
к) Угловое распределение интенсивности излучения (прибли-
(приближенные формулы). Если мы хотим найти угловое распределение
интенсивности излучения при заданной частоте, то мы должны
воспользоваться формулой A0.113), в которой нужно положить
у = const. Теоретически значительно удобнее исследовать про-
просуммированное по частотам угловое распределение, поскольку
при этом получаются простые аналитические выражения.
Интегрирование по величине у мы можем провести при по-
помощи следующей формулы [26]:
= IS г (i±|±^) г(ttpi) г(i^+i) х
2
С помощью формулы A0.127) мы легко можем вычислить
11E § 10. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
следующие интегралы:
J
18
1
AОЛ28)
JV.-,„,„- ,.
где r| = у (I + г|з2K'2/2. Учитывая эти интегралы, из формулы
A0.113) найдем следующее выражение для углового распреде-
распределения:
р2с\2
fn.aW- A0.129)
Здесь
f C^\__5/2 $! L7/2 ! I
'«W) Ь/лA + Ф2O/! °A+^2M/г Я
Полагая /л = 1, ta = 0, а затем /д = 0, 1а — 1, мы найдем
для компонент линейной поляризации соответственно значения
Эти формулы могут быть получены из точных формул A0.55),
если в последних положить Ри = 0 и ограничиться основным
относительно разложения по параметру 1 — р2 членом. Интен-
Интенсивности линейно поляризованного излучения в зависимости от
угла г|э изображены на рис. 14.
Полагая /я = /а=1/]/2 и /я = — /„= l/]/2, мы найдем ин-
интенсивность излучения, поляризованного по кругу:
П= 7+1% +-Ц=1 Ф .,-. (Ю.132)
' 2A+ф2)/! я]Аз A+о12)/г V
При / = 1 получаем интенсивность излучения, соответствующую
правой круговой поляризации, а при / = — 1 —левой.
Зависимость круговой поляризации от угла излучения изобра-
изображена на рис. 15. Сумма компонент интенсивностей линейной по-
поляризации должна, очевидно, равняться сумме компонент круго-
круговой поляризации и характеризует при заданном угле суммарную
интенсивность
УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ
117
-1 о 1 г з ф
Рис. 14. Зависимость линейной поляризации от угла излучения.
Рис. 15. Зависимость круговой поляризаций от угла излучения (левая—/_i,
правая — /+i).
118 § ш. синхротронное излучение
Для того чтобы вычислить проинтегрированную по углам
(т.е. по величинам г|з) интенсивность излучения, мы должны вос-
воспользоваться следующей формулой (см. [26]):
Дц. _Г('/,)Г(п-'/,)
Г
J
A0.134)
Тогда из A0.129) мы вновь получаем в данном приближении
формулы A0.125):
а 16е^2 ^ A+Ф2)% я
(ИШ5)
л) Приближенные формулы при движении по винтовой ли-
линии. В случае движения электрона по винтовой линии точная
формула для полной энергии излучения принимает вид
elil2f,l 2 el
—.2 =-qI-—
3 c(l — РоJ 3 с 1-
(Ю.136)
где инвариантная скорость р0 связана с общей скоростью дви-
движения р и ее продольной составляющей рп соотношением (см.
A0.42))
/ (Ю.137)
а инвариантная частота Q в случае движения в постоянном и
однородном магнитном поле равна (см. A0.46))
A0.138)
Для получения полной интенсивности излучения в формулах
A0.118) и A0.125) следует положить
<b = Q, eo=l-p§. A0.139)
Приближенное значение для интенсивности излучения равно
Г = -2 ---—-^==~ —Й2.-!^-. A0.140)
ДВИЖЕНИЕ ПО ВИНТОВОЙ ЛИНИИ 119
Из формул A0.136) и A0.140) видно, что, используя прибли-
приближение ВКБ, мы совершаем ошибку порядка 1 — р2, поэтому
учитывать продольную составляющую есть смысл, когда [22]
P,,>/r^F; A0.141)
в противном случае отбрасываемая ошибка будет больше того
вклада, который дает учет продольной составляющей. При
Pn < Yl — р2 в данном приближении следует пользоваться фор-
формулами для кругового движения.
Спектрально-угловое распределение при движении по винто-
винтовой линии характеризуется выражением (см. A0.43))
v=l 0
X [ctg2 0О J% (vp0 sin 90) + p2 /;2(vp0 sin 90)]. A0.142)
Воспользуемся асимптотическими формулами A0.104) и A0.105)
первого приближения, полагая при этом
е = 1 - pa sin2 90. A0.143)
Вводя переменные
б,, - 9 п/2 — % Ъ ,
*=тЬг ~т^Г *=т('-рэч A0Л44)
где углы 0о и 0 связаны между собой соотношением A0.42), а
cos0|( = pr A0.145)
найдем следующую приближенную формулу, характеризующую
спектрально-угловое распределение при движении по винтовой
линии:
п о +°° +°°
Q 2q2
A0.146)
где
т! = г/A+ф2)Л/2/2. A0.147)
Из формул A0.114) и A0.147) следует, что ст-компонента бу-
будет отсутствовать при "ф = 0. В случае движения по окружности
это соответствует углу 9 = л/2 (см. A0.109)), а при движении по
винтовой линии —углу 8 = Эй = Ри (см. A0.144)). Учитывая,
что при интегрировании по г|з члены, нечетные относительно ф,
рбращаются в нуль, мы найдем при движении по винтовой линии
120 § If. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
те же самые формулы, что и при движении по окружности
с заменой скорости р на инвариантную скорость р0 =
= V($2 — Pjj) /(I — Pjj)- В частности, для интегрального выраже-
выражения интенсивности получается формула A0.140).
Мы можем повысить точность наших расчетов, если в асимп-
асимптотическом приближении функций Бесселя учтем следующее
приближение (см. формулы A0.104а) и A0.105а)). Тогда про-
продольную составляющую есть смысл учитывать при более низком
значении продольной скорости:
Р„>1-Р2. A0.148)
Движение по винтовой линии имеет большое значение при
исследовании нетеплового излучения галактик [34, 35]*).
§ 11. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА
ДЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЭЛЕКТРОНА
а) Вывод уравнения. Классическое уравнение Дирака—Ло-
Дирака—Лоренца [36] для точечного электрона за последнее время приобре-
приобретает все большее и большее значение, поскольку оно является
релятивистски-инвариантным. В частности, это уравнение позво-
позволяет описать движение электрона в ультрарелятивистском слу-
случае с учетом силы радиационного трения. Все эти вопросы имеют
не только чисто теоретический, но и большой практический инте-
интерес в связи с усиливающимся строительством электронных уско-
ускорителей порядка одного и даже нескольких десятков Гэв.
В основу вывода классического уравнения Дирака — Лорен-
Лоренца мы положим уравнение G.27)
Здесь координаты электрона обозначены без штриха (хи —
= x,y,z,i'ct), а тензор электромагнитного поля определен ра-
равенством G.19).
В уравнении A1.1) электромагнитное поле HuV создается
внешними источниками. Если же мы хотим ввести так называе-
называемую силу самодействия, то должны учесть действие на электрон
электромагнитного поля #£v"> создаваемого им же самим. Тогда
уравнение A1.1) .принимает вид
*) Заметим, что в работах [34, 35] содержатся неточности. Так, в [34]
не учтен эффект Допплера, который должен появиться благодаря наличию
продольной составляющей скорости Оц, а в работе [35] при вычислении ин-
интенсивности пропущен множитель A — р, cos 0), связанный с наличием про-
продольной составляющей. Обе эти ошибки исправлены в [22].
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ 121
причем внешняя сила и сила самодействия соответственно равны
^ = |iv^V) A1.3)
Fcr-=JXVH;7. A1.4)
Для определения силы самодействия воспользуемся урав-
уравнением
/$■"(*) = у *v/^"(*)- (H.5)
Потенциалы поля самодействия могут быть найдены из уравне-
уравнения Даламбера
^ j^ A1.6)
где
*0, (II-7)
а координаты х^ и х'^ зависят соответственно от собственных
времен т и т', производные по которым мы будем обозначать
точкой, т. е.
x'^dx'Jdx', x^dxjdx. A1.8)
Решение уравнения A1.6) ищем в виде
' С (х — х') dxr, A1.9)
где гриниан
Gr(x-x')=-64(x~x/)/\J. A1.10)
Определяя компоненты поля
мы с помощью формулы A1.5) найдем следующее значение для
силы самодействия:
а функцию Грина, соответствующую запаздывающим потенциа-
потенциалам, согласно равенствам E.42) — E.44) представим в виде
G'^C + Go. A1.13)
Сингулярная G\ и несингулярная Go части функции Грина
соответственно равны полусумме и полуразности запаздываю-
запаздывающих и опережающих решений (см. E.44)):
^ A1.14)
122 § П. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
где гринианы зависят от величины
«=(^-*;)К-Ч)==я2-^-о2,
Учитывая соотношение
которое следует из A1.15), мы можем силу самодействия пред-
представить в виде
Введем новую переменную
т" = т-т'; A1.18)
при этом область интегрирования по т" должна включать осо-
особую точку х" = 0 (т/ = т)*). При вычислении интеграла A1.17)
мы должны взять несколько членов разложения по т". Тогда бу-
будем иметь
^ = ^(т-О = ^-т% + ут"%+ ... A1.20)
С учетом соотношений A1.19) и A1.20) и равенств E.45) и
E.46), которые мы запишем в виде
находим
л2 л2
Из A1.19) мы можем написать соотношения, которыми
воспользуемся при вычислении функции и (см. A1.15)):
где fy — drjdt — трехмерная скорость электрона, а
*) Заметим, что при %' ^ т следует положить д:^ = л^.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ 123
Функцию и представим в виде
и = сЧ2 (р | т" | - т") (р | %" | + т"), A1.25)
причем
{t-f)/}t-f\ = T"l\x"\. A1.27)
Соотношение A1.25) можно представить в виде
и=-с2х"\ A1.28)
однако при интегрировании по дельта-функции аргумент и луч-
лучше оставить в форме A1.25), позволяющей проследить прохож-
прохождение величины и через нуль при — 0 < т" < -f- 0.
Подставив A1.26) и A1.17) и воспользовавшись равенством
J dr"/ (т") j^ = - J Л" -^ G, A1.29)
имеем
причем для сингулярной и несингулярной частей функции Грина
соответственно находим
1 б (%" - р | х" |) ± б (т" + р | х" |)
= —•—— — • сп зп
Принимая во внимание соотношение
6(Т" ± PI х" 1)= 1±р^/!т"|' AL32)
имеем
% } = 1^т?ч{ х'71т"Г AL33)
Подставляя A1.33) в A1.30), получаем для силы самодействия
следующее выражение:
„сам ___£!, Г 6 (Т") d%" . 2е2
11 2с3 ^ J |т"| "*" Зс3
Заметим, что к первому члену правой части приводит гриниан
G\, а ко второму — гриниан Go.
Выражение A1.34) следует строго из классической электро-
электродинамики и представляет собою силу самодействия точечного
электрона. Член, пропорциональный х^, соответствует бесконеч-
бесконечной электромагнитной массе. Для получения классического
124 § 11. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
уравнения Дирака этот расходящийся член следует отбросить.
Это мы можем сделать двумя способами.
Во-первых, мы можем считать, что неполевая масса также
содержит расходящийся член, но уже отрицательный:
непол т f! б (%") dx"
J
тнепол т _ _f!_
— ° 2с3 ||
который в сумме с бесконечной электромагнитной массой
дает наблюдаемую конечную массу пг0. Этот способ напоминает
собой перенормировку массы в квантовой теории поля.
Во-вторых, мы можем предположить, что при вычислении
силы самодействия следует взять лишь полуразность запазды-
запаздывающих и опережающих потенциалов, т.е. положить гриниан
равным
G (GrGe) G;
тогда расходящаяся масса, пропорциональная гриниану Gi, дол-
должна вообще отсутствовать*). В этом случае классическое урав-
уравнение Дирака для точечного электрона, в котором учитывается
не только внешняя сила, но и сила самодействия, принимает вид
где Y = 2/3r0/c, а радиус электрона го = -^5 •
Уравнение A1.37) является релятивистски-инвариантным. Из
него автоматически следуют соотношения A1.21). Попытки по-
построить гамильтониан или лагранжиан, из которого можно было
бы получить уравнение A1.37), пока что не привели к каким-
либо результатам. Возможно, этого и нельзя будет сделать, так
как классическое уравнение Дирака — Лоренца учитывает силу
трения, приводящую к излучению, и поэтому описывает некон-
неконсервативную систему.
Уравнение A1.37) представляет собой новый тип уравнений,
который не встречался до сих пор в механике. Особенность его
заключается прежде всего в том, что оно содержит третью про-
производную по собственному времени. Кроме того, оно является
еще не линейным. На возможных точных его решениях (хотя
бы в некоторых частных случаях) мы остановимся ниже.
*) Более подробно см. монографию [3].
ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 125
б) Энергия излучения. Для исследования энергии излучения
выпишем четвертую составляющую уравнения Дирака — Лорен-
Лоренца (х4 = i'ct):
moci = — хпЕп + ymo\ci — — i(xnxn — c2i2)\. A1.38)
С L С J
Если мы введем понятия трехмерной скорости
v=.c$ = dr/dt A1.39)
и трехмерного ускорения
w = dv/dt = d2rfdt2, A1.40)
которые выражаются через составляющие радиус-вектора
r(xi,x2,x3), то легко найдем следующие соотношения, имеющие
место в общем случае:
. ; ; 1 7 (t>w) (VW)
c2
A1.41)
P (p) c2 V
Отсюда для квадратов четырехмерной скорости t>4 (временипо-
добный вектор) и ускорения w^ (пространственноподобный век-
вектор) имеем
v\ = сЧ2 — хпхп = с2 > 0,
^ = JEnJEn - сг? = (ш2 - [Ра;]2) /6 > 0. (!! '42)
Если для кинетической энергии электрона мы запишем выра-
выражение
Н£ A1.43)
то уравнение A1.38) будет описывать закон сохранения энергии:
JCKHH JCKHH . . ,
^Г^-^ST t = e(vE)t + ymo(c2t- tw%. A1.44)
Выражение WBBem = e(vE) представляет собою работу, совер-
совершаемую внешними силами в единицу лабораторного времени
(t = 1), а выражение
Г"°тери* = - ут0 {сЧ- tw$ A1.45)
— потери энергии электроном при ускоренном движении. Легко
показать, что эти потери равны работе, совершаемой трехмерной
силой трения
^fj^ A1.46)
в единицу времени, т. е.
1Готери = - (Fv). A1.47)
126 § 11. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
Заметим, что потери энергии A1.45) содержат две части:
обратимую
W06H = - ymoc2t" A1.48)
и необратимую
Wa3Jli = ytnoiwl A1.49)
Обратимая часть энергии, пропорциональная /, не может
излучаться даже в том случае, если в промежутке то < т < ti
электрон движется с ускорением. При этом мы должны предпо-
предположить, что при х <С т0 и т > Ti электрон двигался с постоянной
скоростью.
Необратимая же часть энергии
WmJI = ymowi A1.50)
пропорциональная w*, всегда будет величиной положительной,
т.е. характеризует потери энергии на излучение, если в какой-
либо промежуток времени ускорение электрона отлично от нуля.
Аналогичный результат был получен нами при выводе тео-
теоремы Пойнтинга из классической электродинамики. При этом
^потери определялась формулой (9.4), a Wa3n — формулой (9.5).
В ряде примеров, рассматриваемых ранее (излучение Череп-
Черепкова, равномерное движение электрона по окружности или по
винтовой линии), мы имели
^потерн = ^изл_ A1.51)
В нашем случае обе эти энергии будут равны, когда
'/ = 0, A1.52)
что эквивалентно в теореме Пойнтинга условию
Ч^ **-О- (П.53)
Иными словами, Wasn характеризует излучаемую в единицу вре-
времени энергию, которая никогда не может быть восстановлена, а
и^потер^ кроме этого излучения, еще описывает энергию электри-
электрического и магнитного полей, связанную с электроном, которая
может и увеличиваться и уменьшаться.
в) Гиперболическое движение. Гиперболическое движение
возникает при действии на электрон постоянной силы., имеющей
направление, совпадающее с направлением первоначальной ско-
скорости. Эта сила может быть создана, например, постоянным и
однородным электростатическим полем.
Если электрон движется в. направлении оси г, то уравнение
Дирака A1.37), описывающее это движение, принимает вид
A1.54)
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 127
где четырехмерная скорость и ускорение соответственно равны
С2 = сН2 - z\ w\ = г1 - сЧ2 > 0, A1.55)
а постоянная сила /о связана с электростатическим полем Ег
(Ех = Еу = О, Ez = const):
Частное решение уравнения A1.54) имеет вид *)
z = cshfo%, i = chfox. A1.57)
В справедливости этого решения нетрудно убедиться, подстав-
подставляя A1.57) в A1.54) и учитывая, что
w\ = c% t = f*chf0T, z = f§shf0T. A1.58)
На первый взгляд при этом возникает парадокс, на который
обратил внимание Борн в 1909 г. [37]. Борн указал, что потери
энергии электроном, вычисленные по формуле A1.45), обра-
обращаются в нуль:
№потери = 0. A1.59)
В то же время ускоренно движущийся электрон должен излу-
излучать, причем согласно формуле A1.50) для энергии излучения
мы найдем отличное от нуля значение **):
Wm'°=ym0c2fl A1.60)
На этот парадокс недавно было обращено внимание в работе
[38]. Однако если учесть, что формула A1.60) характеризует
только-излучение, а формула A1.59), кроме излучения, еще об-
образование обратимого электромагнитного поля, пропорциональ-
пропорционального i, то этот результат становится вполне возможным и мы
его более подробно разберем ниже.
г) Прямолинейное движение. Допустим, что электрон дви-
движется вдоль оси г под действием силы, зависящей от собствен-
собственного времени т, т. е. для описания движения следует воспользо-
воспользоваться уравнениями A1.54), в которых следует положить
/ = /(х). A1.61)
Тогда решение будем искать в виде
z = csh<7(T), i==chq{x). A1.62)
*) Мы пока что не обращаем внимания на начальные условия. Этот
вопрос будет рассмотрен ниже.
**) Аналогичный результат мы получим, если для определения
^потери и \^изл воспользоваться значениями (9.4) и (9.5), которые следуют
из классических уравнений Максвелла.
128 § П. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАЁНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
Легко показать, что при любых q выполняется соотношение
из которого следует, что
i = l/l/b=rP = ch9- A1.63)
Из A1.62) найдем следующие значения для трехмерных скоро-
скорости v = cfS и ускорения w:
?>2Kl\ A1.64)
а для четырехмерного ускорения имеем
w\ = c2q\ A1.65)
Подставляя A1.62) в A1.54), найдем следующее дифферен-
дифференциальное уравнение для определения величины q:
q-yq = f(t). (П.66)
Если положить f = 0 (движение по инерции), то решение
однородного уравнения A1.66) принимает вид
q = C1 + Cse*, A1.67)
т. е. наряду с движением по инерции {q = Сл) может появиться
также самоускоряющееся движение (<? = Сге"^). Поэтому мы
должны выбрать начальные (точнее граничные) условия таким
образом, чтобы избавиться от этого самоускоряющего движения.
Для этого наряду с обычными начальными условиями (коорди-
(координата и скорость)
t ldt 'Q A1.68)
необходимо потребовать, чтобы после действия всех сил ускоре-
ускорение обращалось в нуль, т. е. z'L — w = 0, или согласно A1.64) *)
<7,->. = 0. A1.69)
Из условия A1.69) получаем С2 — 0 и поэтому q = Си т. е.
самоускоренное решение исчезает и движение должно происхо-
происходить по инерции со скоростью
p = thC, = const. A1.70)
Найдем решение уравнения A1.66), учитывающего наличие
внешней силы, при условии A1.68) и A1.69). Это решение сле-
следует искать в виде
J A1.71)
*) Это условие было введено еще в 1947 г. [39] и использовано в рабо-
работах [3, 40, 41].
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 129
причем гриниан G удовлетворяет равенству
G — yG==6(t — т") =-73- [eik^-^dk. A1.72)
Гриниан, как обычно, мы представим в виде суммы
G = G, + G0. A1.73)
Сингулярная часть может быть найдена из равенства A1.72)
путем деления на оператор:
I/2 '
а несингулярная часть должна удовлетворять неоднородному
уравнению
Go-YGo = O,
Go = С, + C2e<^')'v. A1.75)
Таким образом, искомая величина q может содержать две
части:
q=*qr + qat
где
(т')йтЛ A1.77)
В решении A1.76) мы интегрируем по всем т/, меньшим, чем
время наблюдения т (запаздывающее воздействие). Наоборот,
в решении A1.77) мы интегрируем по всем т', большим, чем т
(опережающее воздействие).
Мы можем избавиться от опережающего воздействия, по-
полагая
С, = 1/2, С2 = -1. A1.78)
Однако в этом случае после действия всех сил остается само-
самоускоряющее решение. В самом деле, выбирая дельтообразную
внешнюю силу:
/ = Лб(т), A1.79)
действие которой прекращается при т > 0, мы найдем следую-
следующее значение для q:
0; т<0,
5 А. А. Соколов, И. М. Тернов
130 § И. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
т. е. после действия силы (т > 0) электрон будет двигаться с
ускорением.
Для того чтобы избавиться от самоускоряющего решения,
мы наряду с начальными условиями, согласно которым при
т = —оо электрон покоится*) и находится в начале координат:
2 = 0, t = x, <7 = 0 при т-> —оо, A1.81)
введем также конечное условие, требуя, чтобы после действия
всех сил ускорение обратилось в нуль:
q = 0 при т->оо. A1.82)
Мы удовлетворим условиям A1.81) и A1.82), если положим
С, = 1/2, С2 = 0. A1.83)
Тогда для искомой функции q(x) найдем **)
q= J f (г') dx' + J / (т') e«~x'^ dx'. A1.84)
— oo X
Определив величину q с помощью равенств A1.62) и начальных
условий, найдем значения для величин ги/:
X X
z=c J sh q (т')dx', t = x+ f (ch q(x') — \)dx'. A1.85)
— oo —oo
Сделаем некоторые выводы, которые следуют из уравнения
A1.84). Прежде всего заметим, что проблема Коши, имеющая
место в классической механике (постоянные интегрирования мо-
могут быть найдены только из начальных условий), для классиче-
классического уравнения Дирака — Лоренца не имеет места. В самом
деле, произвольные постоянные при интегрировании уравнения
Дирака — Лоренца определяются из граничных условий, т. е.
когда задаются не только начальные, но и конечные условия
[42—45].
Далее, как видно из A1.84), опережающая часть внешней
силы содержит лишь экспоненциально убывающий гриниан, и
поэтому практически электрон лишь за у секунд должен начать
*) Точнее, при т = —оо электрон должен двигаться с постоянной ско-
скоростью. Однако, не нарушая общности, мы можем выбрать такую систему
координат, в которой эта скорость обращается в нуль.
**) Если в решение A1.84) подставить значение f(т) = /о = const, то
для величины q мы найдем значение q = fox + Сь которое было использо-
использовано нами при исследовании гиперболического движения (см. A1.57)). По-
Постоянную Ci путем перенормировки собственного времени (т->т — C[/f0) мы
всегда можем обратить в нуль.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ВРЕМЕНИ 131
«чувствовать» появление внешнего поля. За это время электро-
электромагнитная волна пройдет расстояние
ус — 2/3г0 = 2/3 ео/тос2> A1.86)
которое мы можем интерпретировать как радиус электрона.
Таким образом, в теории точечного электрона Дирака — Ло-
Лоренца радиус электрона появляется совершенно автоматически.
В частности, формула A1.84) при введении дельтообразной
силы A1.79) приводит к решению
Аех1у; х < О,
А; т > О,
из которого видно, что после действия силы (т > 0) электрон
начинает двигаться без ускорения D = 0), т. е. по инеоции.
д) Гиперболическое движение для конечного промежутка
времени. Допустим, что величина q изменяется по закону [45]
0; т < О,
/от; 0<т<% A1.88)
f0V, т > О,
где fa = const и то = const, т. е. электрон движется по гипербо-
гиперболической траектории в течение времени т = то- Тогда для про-
производных от величины q найдем
A1.89)
<7 = Ы6(т)-6(т-т0)]. A1.90)
Для внешней силы, которая вызывает подобное движение, со-
согласно A1.66) имеем
[0; х < 0,
/V- 0<т<т0, A1.91)
0; т > т0.
Из A1.89) следует для т>0
% 0<т<т0,
0;
к,
0;
т
0
т
<
<
>
0
т
т
<т0>.
0>
0; т > т0.
Полная энергия излучения равна
т т
J <^<T«' (Ц.92)
о ^ • °' 0>
5*
132 § П. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА
где ^ = sh/ot//o — лабораторное время при 0< т < то, а ^о =
= sh foWfo — лабораторное время полного действия силы.
Для полной потери энергии имеем
х х
^потери = J гпотер„^ ^ = _ ^ J ^_
О О
0; 0 < т < т0,
т, ^ A1.93)
т. е. при действии внешней силы @ <С т <С т0) потери энергии
электроном равны нулю (внешняя сила с учетом опережающего
воздействия компенсирует излучение), в то время как £изл ф 0.
После же действия всех сил (т > to) обе эти энергии стано-
становятся одинаковыми:
потери
= Етл при т>т0. A1.94)
Наконец, работа внешней силы A1.91), имеющая размер-
размерность энергии, равна
Е =mQc z г (т) dx = тос2 \
о<т<то,
A1.95)
т. е. в итоге после действия всех сил (т > т0) сохраняется пол-
полный баланс энергии: работа внешней силы равна увеличению
кинетической энергии электрона ЕК1Ш = m0c2(iQ—1) и энергии
£изл, которую излучает электрон в течение всего времени то,
в течение которого он двигался с ускорением, т. е.
е) Движение электрона в постоянном и однородном магнит-
магнитном поле с учетом силы трения. В случае постоянного и однород-
однородного магнитного поля, которое мы направим по оси z (Hx =
= Ну = 0, //2 = Я), только одна составляющая тензора HuV
электромагнитного поля отлична от нуля:
Н12=Н = const. A1.97)
Рассмотрим частный случай движения в плоскости ху. То-
Тогда, вводя заряд электрона е = —е0 и новую переменную
u = x + iy, A1.98)
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА С УЧЕТОМ СИЛЫ ТРЕНИЯ 133
мы найдем из A1.37) следующие дифференциальные уравне-
уравнения для переменных и и t = xji'c*):
(^^ ^j A1.99)
где
fo — eoH/mQc = const, A1.100)
а квадрат четырехмерного ускорения равен
w] = uu-c4\ A1.101)
Решение уравнений A1.99) будем искать в виде
i = chq, х = с sh q cos <p, y = cshgsin(p. A1.102)
Отсюда следует, что
с2Р — х* — у2 = сг, A1.103)
u^cshqe^, A1.104)
w\ = c2q2 + с2ф2 sh2 q. A1.105)
Подставляя A1.104) и A1.105) в первое уравнение A1.99) и
приравнивая нулю как вещественную, так и мнимую части, мы
найдем два уравнения для определения неизвестных функций q
и <р:
ф = f0 + УФ + 2у^ф cth q, q = — усф2 sh q ch (? + y^. A1.106)
В общем случае уравнения A1.106) аналитически решить
практически невозможно. Поэтому найдем решение уравнений
A1.106) с точностью до величины у. Эти решения имеют вид
<p = f0T + C,, th<7 = C2e~vf°\ A1.107)
Не нарушая общности, мы можем положить С\ = 0, а для опре-
определения постоянной С2 учтем, что согласно уравнениям A1.102)
трехмерная скорость движения v = ср равна
i /~~TZ~
V *j + У2 = ш A1.108)
Поэтому постоянная С2 представляет собою скорость движения
р0 = vJc электрона по окружности в момент времени т = 0.
*) В работах [46—48] дано приближенное решение для релятивистского
случая. В перелятивистском приближении (линейные уравнения) эта задача
решена точно [49].
134 § "• КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
Отсюда находим
р = th q = Ров-^, ch q = ' = i,
V i - pge-2t/t«
--" KFFF AU09)
причем постоянная то, которую мы можем интерпретировать
как время, равна
1 3 1 Ь 1010 ... 11Г1ч
то = —5"= гт~—r> A1.110)
0 vfo 2 137 я го я
т.е. при магнитных полях порядка 105 гс время хо становится
порядка секунды.
По формуле A1.49) мы можем найти энергию, излучаемую
электроном за все время движения:
сю
£изл= J W«™idT. A1.111)
О
Учитывая, что
l
а значения для wt и i могут быть найдены соответственно по
формулам A1.105) и A1.102), имеем в первом приближении [47]
гизл 2г2п2 Г е/о drQ
т. е. излучение будет происходить до тех пор, пока электрон не
потеряет всю свою кинетическую энергию. Для того чтобы по-
получить полные потери энергии, мы должны к энергии излучения
добавить еще энергию
которая может быть вычислена по формуле A1.48). Учитывая
равенство A1.109), найдем
JV|_1. A1.114)
Отсюда видно, что в случае ультрарелятивистской начальной
энергии (Ро —*" 1) мы имеем
КОМПЕНСАЦИЯ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ НА ИЗЛУЧЕНИЕ 135
Далее, принимая во внимание соотношение A1.110), а также
связь начальной релятивистской энергии электрона Е =
= mQc2l Y1 ~ Ро с магнитным полем Н: E = e0HR, где R — ра-
радиус орбиты, мы найдем, что отношение A1.115) имеет порядок
Еобр/Е«зл~(гЦт0с2J R2H2~ l^R2^, A1.116)
т. е. обратимой частью излучения при движении в постоянном
магнитном поле мы практически всегда можем пренебречь и
считать, что
рпотери ризл
ж) Движение по винтовой линии с компенсацией потерь
энергии на излучение. Как мы только что показали, при движе-
движении электрона в постоянном и однородном магнитном поле, на-
направленном вдоль оси z:
Нх = Ну = 0, Нг = Н, A1.117)
учет радиационной силы трения приводит к потере энергии, и
поэтому скорость, а вместе с тем и радиус окружности должны
постепенно уменьшаться. Для того чтобы сохранить движение
по окружности (или винтовой линии) с постоянной скоростью,
мы должны приложить соответствующие электростатические
поля, которые скомпенсируют потери энергии на излучение [45].
Эти электростатические поля, так же как и магнитное A1.117),
должны быть подобраны таким образом, чтобы на траектории
движения не было никаких источников и зарядов, т. е. чтобы
выполнялись условия
rot» = div» = rot£ = divfi = 0, A1.118)
Для решения поставленной задачи компоненты вектор-по-
вектор-потенциала и скалярного потенциала, описывающие не только по-
постоянное магнитное поле A1.117), но и компенсирующие потери
энергии на излучение, представим в виде:
A1.119)
A1.120)
i 36 § И. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА
причем постоянные В и В\ мы подберем ниже. Тогда для со-
составляющих электростатического поля мы получаем
F — ' дАх дФ —R У
х с dt дх ~~ ° у2 + х2 '
х
(П.121)
дАу дФ х
В
dt дг
Отсюда легко показать, что div£' = 0 во всех точках про-
пространства (зарядов нет). При вычислении же rotE отличной
от нуля будет лишь одна составляющая (не на траектории):
МУ 8АХ A
Hz = rot2 A = -£ ~ = 2ncBt6 (х) б (у) + Н.
Заметим, что часть магнитного поля, компенсирующая потери
энергии на излучение (пропорциональная Bet), на самой орбите
(х2-\-у2 Ф 0) также обращается в нуль.
Найденные значения для электрического и магнитного полей
удовлетворяют уравнению Максвелла:
rot,£=-l^. A1.123)
Таким образом, для компенсации потерь энергии на излу-
излучение можно создать в центре круговой орбиты дополнительное
магнитное поле, направленное по оси z, и увеличивать его про-
пропорционально времени t:
Hz°n = 2nBct6(xN(y). A1.124)
Другое электростатическое поле Ez = —В\, являющееся по-
постоянным, также удовлетворяет условию A1.118). Постоянные
В и Вх должны быть найдены из условия: чтобы дополнительные
поля при движении по винтовой линии компенсировали потери
энергии на излучение. При наличии полей A1.121) и A1.122)
уравнения движения A1.37) для электрона принимают вид [39]
x = yfi — tfo х2 + у2 + y [х — -^ w\J,
A1.125)
ЛJ
■ tf ' г. ~ ' ' \~~ с. 4
КОМПЕНСАЦИЯ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ НА ИЗЛУЧЕНИЕ 137
где w\— квадрат четырехмерного ускорения (см. A1.42)), а
вместо четвертого уравнения A1.125) мы можем написать
t=^(c2 + x2 + f-+z^k. (И.126)
Подставляя уравнения, описывающие винтовое движение,
x = R cos сот, у = R sin сот, z — bx A1.127)
в A1.125), найдем, при каком значении постоянных
/ = *£ h = f
оно мол^ет быть осуществлено:
М ®. 12 -; , Н
Сг1
A1.128)
Здесь согласно A1.126) *)
V //=J A1.130)
Поскольку 'i = 0, то для работы радиационной силы (см.
A1.45)), а также для энергии излучения (см. A1.49)) мы най-
найдем одно и то же значение:
потери = wизл = moyw2 = | _J /?2ftL> ( 1 1.131)
и поэтому никакого «парадокса Борна» в этом случае возник-
возникнуть не может.
Чтобы уравнения A1.127) записать через трехмерные ве-
величины, мы должны, учитывая A1.130), ввести лабораторное
время t:
х = Д cos Qot, у = Rsin(oQt, z = v\\t, A1.132)
где
щ — a/i, vn = b/i. A1.133)
Отсюда легко определить составляющие трехмерной скорости
(поперечную срх и продольную ср№):
Р± = /?оэ0/с, р„==о|/с> A1.134)
а также трехмерную скорость ср и инвариантную трехмерную
скорость ср0:
*) Из A1.130) следует, что < = 0, <'-= 0, ...
138 § II. КЛАССИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - ЛОРЕНЦА
Принимая во внимание, что
flV = L- ^° A1.136)
мы найдем для энергии излучения выражение, полученное нами
из теории излучения классической электродинамики (см.
A0.61)):
ттглИЗЛ 0 '0 /11 1 О7\
=7 /?2(i-p2J' ( n
Выражение A1.137) определяет потери энергии электроном,
равные энергии излучения. Эти потери происходят за счет ра-
работы внешнего электростатического поля (магнитное поле ра-
работу не совершает):
В случае движения по окружности (Ь = 0) мы будем иметь
i^-Jb^T^+X2^12' f>E = e,HR. A1.139)
Отсюда для постоянной В находим
а для потока переменной части магнитного поля A1.24) (в цен-
центре орбиты), создающего ускоряющее электростатическое поле,
имеем
Здесь S — элемент поверхности, где магнитное поле отлично от
нуля. Этот пример позволяет проанализировать некоторые
принципиальные вопросы классической электродинамики и в
особенности дираковской радиационной силы трения. В суще-
существующих электронных синхротронах потери энергии на излу-
излучение компенсируются другим способом, например с помощью
автофазировки Векслера — Макмиллана, когда электрическое
поле можно разложить в ряд по бегущим волнам (см. § 27).
III. КВАНТОВАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ СВОБОДНОГО
(БЕЗ ЗАРЯДОВ) ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
а) Тензор энергии и тензор собственного момента количества
движения. Как было показано в § 7, лагранжиан свободного
электромагнитного поля имеет вид (см. G.35))
1 = --^^/^, A2.1)
где компоненты тензор-поля HnV связаны с компонентами век-
вектор-потенциала Ау соотношением
#nv = К, ц - \, v. A2.2)
где
AVl ц = д Ач/дхц.
В частности, вычисляя производную по координатам, мы
найдем тензор энергии и его законы сохранения
dL dL дА%, v д 1 ,., „ . 1
Ц Л., V Ц V V
Принимая во внимание, что в вакууме (см. G.25))
получаем закон сохранения для тензора энергии
дТ^/дхч = 0, A2.5)
где
L Л г_т г в /10 ft\
Отсюда видно, что этот тензор энергии, получивший название
канонического, не является симметричным, т. е.
Т^ФТ^. A2.7)
Отсутствие симметрии канонического тензора указывает на
наличие поляризационных свойств электромагнитных волн [1].
140 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В самом деле, введем понятие тензора момента количества дви-
движения поля *)
= 1^-{x])TvK~xvT]xK). A2.8)
Учитывая закон сохранения A2.5), найдем, что четырехмерная
дивергенция этого тензора третьего ранга равна
dML{Tv-T), A2.9)
причем в случае, когда тензор энергии несимметричен, она не
обращается в нуль. Для того чтобы найти так называемый пол-
полный момент, дивергенция от которого обращалась бы в нуль,
мы должны к орбитальному моменту добавить еще и соб-
собственный:
A2.10)
значение для которого будем искать в виде
Полагая
~ ~ (^И IvAJ ~ ' V [цА,])' A2.11)
t , ,, —А Н П919^
найдем, что
df»™ =^А»,кНкч, A2.13)
и поэтому
A2.14)
Отсюда, учитывая еще равенство A2.9), легко показать, что
полный момент A2.10) будет удовлетворять закону сохранения:
^^ = 0. A2.15)
Из A2.11) и A2.12) следует, что собственный момент, ко-
который характеризует поляризационные свойства электромагнит-
электромагнитного поля, равен
Sl^]K = ~(AvH^-A»Hvl). A2.16)
Заметим, что тензор энергии мы можем симметризовать. Для
этого к выражению A2.6) мы должны добавить выражение, ди-
дивергенция от которого обращается в нуль. Искомый симметрич-
*) Тензоры антисимметричны относительно индексов, стоящих в ква-
квадратных скобках.
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ 141
ный тензор энергии, получивший название метрического, имеет
вид
T^v = T^v -^j- /ц [VA] = -^ Hx^Hvb Lb^y. A2.17)
Л
Как известно, тензор электромагнитного поля Huv обладает
калибровочной (или градиентной) инвариантностью. В самом
деле, вводя новые потенциалы
Л = ^-^". A2.18)
где f — скалярная функция калибровки, нетрудно убедиться, что
электромагнитные поля Яцу связаны одинаковым соотношением
как со старыми Лц, так и с новыми А^ потенциалами:
л (iv == "V, ц "ц, v == "V, ц "ц, v (lZ.iy)
Лагранжиан не содержит в явном виде потенциалов и поэтому
не зависит от выбора калибровочной функции f.
Неопределенность выбора значений для потенциалов приво-
приводит к тому, что мы не можем однозначно задать потенциалы А^,
не наложив дополнительного условия на калибровочную функ-
функцию f. Допустим, что мы выбрали потенциалы Д1, для которых
дивергенция не равна нулю:
Тогда с помощью калибровочных преобразований A2,18) мы
получаем
A^,ll = All,ti+Of. A2.20)
Если подобрать калибровочную функцию таким образом, чтобы
f = Ai,jn, A2.21)
то потенциалы Аи будут связаны между собою условием Ло-
Лоренца
Ai,n = 0, A2.22)
которое в трехмерных обозначениях принимает вид
divA + j^- = 0. A2.23)
Подставляя A2.19) в равенство A2.4) и принимая во вни-
внимание условие калибровки A2.22), находим, что потенциалы
электромагнитного поля в вакууме подчиняются уравнениям Да-
ламбера без правой части:
д2А
142 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Заметим, что выбор калибровочной функции не является од-
однозначным. К решению A2.20) мы всегда можем добавить про-
произвольную функцию fo, удовлетворяющую уравнению Далам-
бера
П/0 = 0. A2.25)
Если к потенциалу Лц, подчиняющемуся условию Лоренца, до-
добавить калибровочный потенциал dfo/dx^, то в силу равен-
равенства A2.25) новый потенциал также будет подчиняться усло-
условию Лоренца.
В частности, когда заряды отсутствуют, т. е. когда потен-
потенциалы, так же как и функция f0, подчиняются уравнению Да-
ламбера, мы можем выбрать калибровочную функцию f0 таким
образом, чтобы скалярный потенциал обращался в нуль (Ф =
= 0), т. е. в вакууме могут существовать лишь одни попереч-
поперечные волны, для которых
Ф = 0, сНуЛ = 0. A2.26)
В этом случае
Ex = i'Hi4, Я; = Л3,2-Л2,3) ..., A2.27)
или в трехмерных обозначениях
Е=~ТЖ' H = rot^ A2-28)
Подставляя эти значения в лагранжиан A2.1), найдем:
1 = -^(£2-Я2). A2.29)
Точно так же из A2.17) мы найдем
для компоненты плотности энергии
U = TU = ^HMHin-L =-^(E2+ Я2), A2.30)
для компонент трехмерной плотности импульса
^ A2.31)
Из антисимметричного тензора третьего ранга A2.16), ха-
характеризующего поляризационные свойства, мы можем соста-
составить плотность вектора (трехмерного) спина*):
Sx = S[23]i, Sy = Sm}4, S^ = S[12]4, A2.32)
ИЛИ
Апс
*) Составляющие плотности спина при условии A2.26) мы будем обо-
обозначать строчными буквами.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ 143
Отсюда в случае свободного электромагнитного поля находим
значения:
для энергии
Я = -^ J (Я2 + E2) d4, A2.33)
для трехмерного импульса
для трехмерного спина
S = -^\[EA\d*x. A2.35)
б) Законы сохранения в интегральной форме. Закон сохра-
сохранения тензора энергии A2.5) мы можем записать в следующем
виде:
div Т„, + — —эр = 0, A2.36)
где составляющие трехмерного вектора Г^ равны ГцП. Умножая
равенство A2.36) на элемент объема d3x и принимая во внима-
внимание, что при интегрировании по всему объему
Jrf3Jc = 0, A2.37)
найдем
■§fJTVitePx=0. A2.38)
Отсюда следует закон сохранения в интегральной форме:
J T^d3x = const. A2.39)
Полагая \i = 4,n, получаем, что энергия (см. A2.33)), им-
импульс (см. A2.34)), а также трехмерный спин (см. A2.35)) не
должны зависеть от времени. Однако последний вывод отно-
относится только к поперечному электромагнитному полю, когда
выполняются соотношения A2.26). Покажем это на примере
х-составляющей трехмерного спина (см. A2.32)).
Полагая в равенстве A2.16) ц = 2, v = 3 и учитывая ра-
равенство A2.4), имеем
A2.40)
Легко показать, что при интегрировании по всему объему
J A3,nAtl,2d3x = 0. A2.41)
144 § 12- ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В самом деле,
л л — дА3 dAj . дА3 дА2 . дА3 дА3 (\о л<)\
Учитывая, что согласно условию поперечности (см. A2.26))
дА2 dAt дА3
0X2 ОX [ ОХ$
а также что при интегрировании по объему мы можем пере-
перебрасывать производную с одной функции на другую (изменяя
при этом лишь знак), мы легко можем доказать соотношение
A2.35), из которого, в частности, следует, что
— 5 =0
dt x '
т. е. трехмерный спин, так же как энергия и импульс, не зависит
от времени.
в) Решение уравнения Даламбера. Как видно из формулы
A2.24), вектор-потенциал А удовлетворяет уравнению Далам-
Даламбера
Частное решение этого уравнения имеет вид
где
к = ух2 + %l -f Ц, A2.44)
L — длина периодичности, введенная Борном, В — нормировоч-
нормировочный коэффициент, который будет найден ниже (см. A2.67)), и
а — вектор, характеризующий поперечность электромагнитных
волн:
(ка) = 0, . A2.45)
зависят от волнового вектора а [2].
Наложив на волновую функцию условие периодичности
Л* (х + L, у, z, t) = Л* (х, у, z, /),
Л» (х, y + L,z,t) = А, (х, у, z, t), A2.46)
Л» (х, у, z + L, t) = Л* (х, у, z, t),
или
С (-■ j • • . j
для составляющих вектора х найдем значения:
Отт Отг Отг
tCiJl iiJi ZrJi /10 А *7\
L. L> l-
где
Щ> «2. ^3 — °> ±}> ±2> ±3' •••
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ СВОЙСТВ 145
— целые числа, принимающие как положительные, так и отри-
отрицательные значения, включая нуль.
Учитывая, что все электромагнитные поля являются веще-
вещественными, для суммарного векторного потенциала найдем
A(r, t) = ~^B[ae-icKi+Ur + а+е'с*1-*г], A2.48)
где сумму по вектору х следует понимать как сумму по п1
п2, п3, т. е.
■— Zj Zj ju •
til П^ Щ
Отсюда находим для компонент полей следующие значения [2]:
для вектора электрической напряженности
E(r, t) = -~YiKB(ae~icni+i*r - a+eicnt-"-r), A2.49)
■я
для вектора магнитной напряженности
Я(г, /)=-^ У£([ха]е-'с*'+'*л-[ха+]е'е*'-'*')- A2.50)
Подставляя соотношения A2.49) и A2.50) в выражения для
полной энергии, импульса и спина (см. равенства A2.33) —
A2.35)), найдем (к° = к/к):
для энергии *)
Н^-^^ВЦа+а), A2.51)
для импульса
G=i1*Vje2(a+a)' A2.52)
к
для вектора спина
г) Исследование поляризационных свойств. Между тремя со-
составляющими вектора амплитуды a(aita2, a3), зависящими от
одного и того же волнового вектора х, имеется одно соотношение
(см. A2.45)):
() 0, A2.54)
*) Соотношение A2.51) получено в предположении, что амплитуды
an и о„ коммутируют друг с другом. В противном случае мы получили бы
(aa+)]- A2.51а)
146 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
выражающее собою условие поперечности. Поэтому из трех со-
составляющих амплитуд независимыми остаются только две. Эти
две составляющие характеризуют поляризационные свойства.
Мы можем выбрать эти составляющие таким образом, чтобы
они характеризовали либо линейную, либо круговую поляри-
поляризацию.
Если мы хотим описать линейную поляризацию, то вектор а
следует разбить на две взаимно перпендикулярные составляю-
составляющие [1]:
Р + Р A2.55)
при условии, что единичные векторы х°, fb и р3 перпендикулярны
друг к другу.
Вообще говоря, это условие не является однозначным. Од-
Однако если мы имеем какое-либо выделенное направление (на-
(например постоянное и однородное магнитное поле), характери-
характеризуемое единичным вектором /°, то векторы 02 и рз мы можем
положить равными
[*] x/) A2.56)
12 ^1- («0/0J* li l 12i J/ 1 _ («0/0J
В этом случае имеем
(а+а) = q+q2 + q+q3, [a+a] = х° (q+q3 - q+q2). A2.57)
Отсюда видно, что энергия, импульс и вектор спина соответ-
соответственно равны
A2.58)
т. е. энергия и импульс пропорциональны сумме интенсивностей.
Вектор же спина при наличии лишь одной линейной поляриза-
поляризации (?2 = 0 или qz = 0) обращается в нуль.
При исследовании круговой поляризации амплитуду вектор-
потенциала следует разбить на две составляющие несколько
другим способом:
2 A2-59)
где единичные векторы Р/ связаны с р, и Р3 соотношениями
LP2 + ИРз) = ^(Р* + И [*%]). A2.60)
ПОНЯТИЕ О КВАНТОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 147
Отсюда видно, что
р;=р_г A2.6D
Кроме того, легко получить, что
Учитывая эти соотношения, вместо A2.58) находим
при /= 1 спин направлен по волновому вектору а, т. е. по дви-
движению, а при / = —1 — против движения *).
Вообще говоря, мы можем ограничиться только линейной по-
поляризацией или только круговой поляризацией, если задана раз-
разность фаз между колебаниями, обладающими различной поля-
поляризацией [1]. При наличии двух линейных поляризаций вектор
напряженности электрического поля изменяется по закону**)
£2 = 9г cos (га/ + Фг). £з = 9з cosfco/ + Фз)- A2.63)
Для того чтобы найти сдвиг фаз ф = фг — Фз, мы должны
знать еще амплитуды круговых поляризаций q\ и q~\. Можно
каждое из линейных колебаний свести к двум круговым. Тогда
мы должны воспользоваться соотношением
q2 cos (со/ + Фг), ] 1 f <7i sin (со/+ ф() — ?_, sin(co/+ Ф-i)'
<7з cos (со/ + Фз)
Исключая фазы ср, и ф_,, найдем
д) Понятие о квантовании электромагнитного поля. Согласно
квантовой теории электромагнитное поле рассматривается как
совокупность фотонов с частотой со и волновым вектором а.
*) Состояние с / = 1 мы назовем правой круговой поляризацией, по-
поскольку вращение вектора Е и направление распространения волны обра-
образуют правый винт, а состояние с /=—I — левой круговой поляризацией.
В классической оптике, наоборот, поляризацию с / = 1 называют левой, так
как рассматривают вращение вектора Е относительно движения к наблю-
наблюдателю.
**) Амплитуды вектора электрической напряженности мы приравниваем
непосредственно Цг и <?з- Множитель пропорциональности здесь не существен.
148 § 12- ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Энергия Е и импульс р фотона должны определяться соответ-
соответственно соотношениями
Е = Ы, р = Ы. A2.65)
Учитывая, что масса покоя фотона т0 равна нулю, т. е. фотон
всегда должен быть релятивистским, имеем
Е = ср,
или
СО = СУ,.
Если в каждом из состояний х имеется Ыг фотонов, обла-
обладающих правой круговой поляризацией, и N~i фотонов с левой
круговой поляризацией, то полную энергию можем записать
в виде
H=yichx(Nl + N-l). A2.66)
и
Поэтому если мы квадрат амплитуды, точнее, величину
qfb = Nt,
приравняем числу фотонов, найдем значение для нормировоч-
нормировочного коэффициента *)
В = Y2nch/x; A2.67)
тогда энергия и спин будут соответственно равны
H = Iichn(q+ql + q±1q_l), S = 2А*о(?+<7,- ?±,<7_,)- A2.68)
Отсюда видно, что спин отдельного фотона в единицах Ь равен
по абсолютному значению единице, т. е. для фотонов должна
иметь место статистика Бозе — Эйнштейна.
Квантование уравнений Максвелла — Лоренца позволяет
описывать системы с переменным числом фотонов, что особенно
важно при построении теории излучения и поглощения фотонов.
Это квантование иногда называется теорией вторичного кванто-
квантования, так как под первым квантованием (или просто кванто-
квантованием) понимают переход от классической механики (элек-
*) Равенство A2.67), по существу, представляет собою условие норми-
нормировки. Как известно, условие нормировки в квантовой механике для заря-
заряженных частиц, например для электрона, заключается в том, что величину
-ф'ф d3x = N
мы приравниваем числу электронов, точнее, его заряду. Из компонент элек-
электромагнитного поля никакой плотности числа частиц мы образовать не мо-
можем, поэтому нормировку мы производим, воспользовавшись зависимостью
энерти от числа частиц (см. A2 66)).
ПОНЯТИЕ О КВАНТОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 149
трон — частица) к квантовой (электрон — волна). При вторич-
вторичном квантовании квантуется волновое уравнение, позволяющее,
наряду с волновыми свойствами, описывать также и корпуску-
корпускулярную структуру.
Процесс вторичного квантования, так же как и процесс пер-
первого квантования, производится с помощью квантовых скобок
Пуассона*), описывающих изменение амплитуд поля (см. [3],
а также [1]):
4 ). A2.69)
Подставляя в A2.69) значение гамильтониана из A2.68), кото-
который мы представим в виде
Н^ЪсЫ' 2 q\U\n A2.70)
получаем
- icm = S Ы S [qf (qfa - qtf,) - (qrf, - q'+q) «£]. A2.71)
Для того чтобы из A2.71) получить A2.69), мы должны счи-
считать амплитуды оА и qf операторами.
Законы коммутации определяются соотношением**)
ад''+-<7гЧ = 6,А*'- A2.72)
Аналогично находим
чя'г - я'м = °. ittf - <t\Ut = о.
*) Как известно, первое квантование мы можем произвести при помощи
соотношений
- Шпп'хп'п = J (Нх ~ хН)п>п< 1®пп'хп'п = jr{Hx- ХН)П,П.
**) Заметим, что, наряду с решением A2.72), гамильтониан A2.70) до-
допускает второе решение:
It'l'f + q[' Ч1 = Ьи>Кк'- A2.72а)
Более точно нам необходимо было учесть равенство A2.51а). Тогда гамиль-
гамильтониан A2.70) должен иметь вид
2(Л) A2-70а>
Гамильтониан A2.70а) допускает только решения A2.72), соответствующие
статистике Бозе — Эйнштейна (бозоны).
Решения A2.72а), соответствующие статистике Ферми — Дирака (фер-
мионы), мы получили бы, когда гамильтониан был бы равен
Н = S сЫ Т
х' V
Таким образом, для фотонов имеют место только перестановочные соотно-
соотношения A2.72).
150 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Из равенства A2.72) следует, что единственными некомму-
тирующими будут две комплексно-сопряженные амплитуды, со-
соответствующие одному и тому же импульсу и поляризации*)
-q+q—lf A2.73)
т. е. эти амплитуды не могут быть обычными с-числами (вели-
(величины, коммутирующие друг с другом), а должны быть неком-
мутирующими ^-числами (операторами).
Из A2.73) мы легко можем найти перестановочные соотно-
соотношения для компонент амплитуд ап электромагнитного поля.
Обозначая через s и s' единичные векторы двух каких-либо осей
прямоугольных координат и принимая во внимание условие
ортонормированности между этими единичными векторами:
(«Рз) (*'Рз)
I = Oss'>
мы с помощью формул A2.59) и A2.60) найдем следующие
правила коммутации для амплитуд вектор-потенциала:
asa+, — a+as = 6ss, — и°х°,. A2.74)
Если амплитуды as и a'sf~ принадлежат к различным импуль-
импульсам, будем иметь **)
asa\' — a's' as~fiss' — ^s^s')^**'* A2.75)
Мы сможем удовлетворить равенству A2.73), если положим
эти амплитуды равными эрмитово-сопряженным бесконечным
матрицам [2]
0
0
0
0
Kl
0
0
0
0
V2
0
0
0
0
ут
0
0 ..
0 ..
0 ..
vr ..
0
0
0
0
0
0
V2
0
0
0
0
0
]^3~
0
0
0
0
0
VT
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
A2.76)
*) Ради простоты рассуждений индекс I = ±1 мы опускаем. Тогда ра-
равенство A2.73) принимает вид:
qq+ — q + q=\. A2.73a)
Индекс / будет введен в окончательные результаты (см. A2.81)).
**) Заметим, что множитель 6CS, — xsks/ описывает условие попереч-
ности волн, так как он ортогонален вектору и0.
ПОНЯТИЕ О КВАНТОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
151
Из
или
соотношений
/1
(о
A2
0 0
2 0
0 3
0 0
qq+
.76)
0
0
0
4
-q
следует
0 ...ч
0 ... 1
0 ...
0...J
1
+ q=\
\
\
•
/
0
0
V0
q
0
1
0
0
+q
0
0
1
0
=
0
0
0
1
/°
г
0
V
J
0
1
0
0
\
\
■
/
0
0
2
0
0 ..
0 ..
0 ..
3 ..
т. е. при этом выборе матриц для амплитуд q и q+ мы получаем
закон коммутативности A2.73).
Квантование электромагнитного поля (называемое, как мы
указали, вторичным) позволяет описать квантовую систему с
переменным числом фотонов.
Для того чтобы удовлетворить установленным правилам ком-
коммутации, мы должны ввести функцию от числа фотонов в виде
f(N, N', N", ...) = f(N)f(N')f(N") ...
и считать, что операторы q и q+ действуют только на функцию
f(N), где N— число частиц с импульсом а и поляризацией /
(/=±1).
При выборе амплитуд q и q+ в виде матриц A2.76) функцию
от числа частиц f(N) мы также должны выбрать в виде беско-
бесконечных матриц:
f@) =
fB) =
A2.77)
где f@) описывает состояние, когда фотоны с импульсом у, и
поляризацией / отсутствуют, f(l)—когда в этом состоянии
имеется один фотон, fB) —два фотона, и т. д. Тогда, учитывая
A2.77) и A2.76), мы легко можем показать, что
или
_
qf(N)=VNf(N-l).
A2.78)
152 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Точно так же для действия сопряженных амплитуд находим
(см. [4, 5], а также [6, 7])
<7+/@) = /A), q+f(l)=]T2fB),
или
VWTTf(N+l), A2.79)
т. е. оператор q является оператором поглощения (N-+N—1),
a q+— оператором испускания (N—*N-\- 1).
Из равенств A2.78) и A2.79) следует, что
q+q f (N) = Nf (N), qq+ f(N) = (l + N)f (N),
т. е. произведения двух сопряженных операторов имеют соб-
собственные значения:
q+q = N, qq+ = l+N, A2.80)
где N — число частиц в начальном состоянии.
Как видно из формул A2.77), в каждом состоянии может
находиться любое число частиц. Иными словами, перестановоч-
перестановочные соотношения A2.62) ведут к статистике Бозе — Эйнштейна.
При наличии фотонов для двух квадратичных комбинаций
амплитуд as и а+ вектор-потенциала будем иметь *)
a+as = у (fiss- - 9&&)(#, + N-i),
, A2.81)
asat' = f (fiSS' - и2и°0B + Л^, + N-i),
из которых следует соотношение A2.74). Здесь число частиц N\
и Л/_1 зависит от импульса %.
Подставляя соотношения A2.80) в формулы A2.68) и учи-
учитывая, что вместо произведения q+qt мы должны подставить
значения (см. A2.51а))
ЧGЧ + +)> A2-82)
найдем
// = 2сАи(^| + ^_, + 1), S = 2jAx°(#,—#_,), A2.83)
т. е. частицы N{ и Л^_, обладают импульсом Ьх и различным
спином. Спин частиц N[A= 1) направлен по импульсу, а спин
частиц W-1 (/ = — 1)—против импульса. Как видно из фор-
*) Если ast , as относятся к различным импульсам, то правую часть
формулы A2.82) следует умножить еще на множитель бхх,. Начиная с фор-
формулы A2,81), мы восстанавливаем индекс /=±1, характеризующий круго-
круговую поляризацию.
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 153
мулы A2.82), по абсолютному значению спин в единицах й
равен единице *).
Заметим, что энергия поля даже в случае отсутствия частиц
(Л/, = Л/_, = 0) в нуль не обращается, а стремится к так на-
называемой нулевой энергии
Математически она обязана сумме нулевых энергий бесконеч-
бесконечного числа осцилляторов, образующих поле фотонов. Физически
она соответствует наличию электромагнитного вакуума, пред-
представляющего собою своеобразный резервуар так называемых
виртуальных фотонов.
е) Квантование электромагнитного поля в общем случае.
Если мы хотим исследовать поведение реальных фотонов, то
мы можем ограничиться только поперечными составляющими,
выделение которых с первого взгляда не носит релятивистски-
инвариантного характера. Тем не менее все результаты яв-
являются релятивистски-инвариантными, так как в любой инер-
циальной системе координат с помощью калибровочных преоб-
преобразований мы можем избавиться от продольных составляющих.
Если, кроме реальных фотонов, нас будут интересовать
процессы, связанные с взаимодействием электронов, то они мо-
могут быть описаны только с учетом продольных составляющих.
В этом случае компоненты четырехмерного вектор-потенциала
будут отличаться от компонент потенциала, описывающих лишь
поперечные составляющие, и поэтому мы введем для них не-
несколько другие обозначения:
ф„ == Ф, ф4 = г'ф0.
Если выбрать лагранжиан в виде
' ~Ш "(iv"nv> A2.85)
где
j % ц „ A2.86)
то для потенциалов получается уравнение
Мы проквантовали уравнение электромагнитного поля с по-
помощью двух дополнительных условий: условия Лоренца ©v, v =
= 0 и условия отсутствия продольной составляющей Ф4 = 0
(см. A2.22) и A2.26)). Оказывается, что квантование уравнения
*) Как известно, частицы с целым спшюм (например фотоны) подчи-
подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а с полуцелым (например элек-
электроны) — статистике Ферми —Дирака (см. ниже).
154 § 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
электромагнитного поля при наличии лишь одного классиче-
классического условия Лоренца A2.22) становится невозможным. По-
Поэтому Фок и Подольский (см. [8]) предложили при квантовании
электромагнитного поля в общем случае выбрать лагранжиан
в следующем виде:
^ = -^^Я^-^(Ф„,J; A2.87)
при этом уравнение движения
dL д 6L
= 0 A2.*
<ЭФц dxv д>
приводит непосредственно к уравнению Даламбера
ПФц = 0 A2.89)
для всех четырех составляющих потенциала, не связанных ме-
между собой уже условием Лоренца.
Соотношение A2.89) легко проверить, если принять во вни-
внимание, что
dL =0, —ip— == -L я — -L 6^ФКЛ. A2.90)
В этом случае электромагнитные поля подчиняются более об-
общим уравнениям, чем уравнения Максвелла:
Отсюда, принимая во внимание соотношение A2.86), получаем
дифференциальное уравнение A2.89).
Подставляя A2.90) в уравнение
^Ф^-Ч- A2.92)
находим следующее выражение для компонент канонического
тензора энергии:
?Vv= i Фл. »Hkv - ± ф„ „Ф,, к - 6^L. A2.93)
Из A2.83) для плотности энергии получаем
^(^J]. A2.94)
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 155
Из уравнения Даламбера A2.89) находим следующие зна-
значения для потенциалов:
Ф = W
фо = ^/7 2 У ^(foe-'cx'+'"r + foe'""-'"). A2.95)
Подставляя эти выражения в A2.94) и интегрируя по всему
пространству, находим
= 2 сйх (f+f - /+/0). A2.96)
Здесь мы воспользовались соотношением A2.51а), поскольку
нас не интересует нулевая энергия.
С помощью квантовых уравнений движения A2.69) находим
следующие отличные от нуля перестановочные соотношения:
где s = 1, 2, 3 (суммирования по s нет),
т. е. для амплитуд скалярного потенциала мы получаем пере-
перестановочные соотношения с обратным знаком (отрицательная
энергия). Поэтому, чтобы удовлетворить перестановочным соот-
соотношениям A2.97) и A2.98), мы должны положить
ftfs = Ns> fsft = l+Na, A2.99)
где Ns — число частиц в заданном квантовом состоянии. Для fo
и /+ из этих равенств следует
fo+fo=-tfo> Уо+ = -1-^о- A2-100)
Подставляя соотношения A2.99) в A2.96), имеем
Я = 2сЙи(^1 + ^2 + Л^з-^0). A2.101)
Отсюда следует, что скалярное электромагнитное поле обла-
обладает лишь состояниями с отрицательной энергией и поэтому ча-
частицы Л/о в виде реальных квантов существовать не могут. Ча-
Частицы, сопоставленные 4-й составляющей электромагнитного
поля, получили название «псевдофотоны». Они могут проявляться
только при наличии зарядов, обусловливая взаимодействие ме-
между ними.
156 § 12- ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Компоненты электромагнитного поля могут быть разбиты на
поперечные составляющие (число независимых компонент равно
двум):
<ls = f ,-*%№)> М2.102)
связанные между собою соотношением поперечности:
и на две продольные /о и q0.
В трехмерном пространстве первая продольная составляю-
составляющая f0 описывает амплитуду скалярного потенциала, связанного
с четвертой составляющей /4 четырехмерного потенциала равен-
равенством f4 = i'fo-
Вторая продольная составляющая в трехмерном простран-
пространстве представляет собою проекцию вектор-потенциала на на-
на0
правление волнового вектора к0:
A2.103)
С помощью формул A2.97) и A2.102) находим следующие
перестановочные соотношения для амплитуд поперечных со-
составляющих:
которые, как и следовало ожидать, совпадают с перестановоч-
перестановочными соотношениями, найденными для компонент поля фотонов.
Первая продольная составляющая (скалярный потенциал)
удовлетворяет перестановочному соотношению A2.98), а для
второй продольной составляющей с помощью A2.97) находим
-7оЧ=1- A2ло5)
При наличии зарядов продольные составляющие также мо-
могут быть исключены, как и при их отсутствии. Исключение про-
продольных составляющих приведет к кулоновскому взаимодей-
взаимодействию между ними (см. [1]).
В заключение найдем перестановочные соотношения для
квантованных потенциалов электромагнитного поля
Ф^> ^ = 7^ S (f^e'icyJ+lxr + /+е'^-<П A2.106)
Учитывая перестановочные соотношения для амплитуд
hf'v- ~ f»fU = йих'в»'. A2.107)
найдем перестановочные (четырехмерные) соотношения для
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ 157
квантованных потенциалов:
Ф» (г, ОФц'С'. 0-Фц'С'. ОФ|х(г, 0 =
= ^-6да<£>(г-г'; г-П, A2.108)
причем перестановочная D-функция задается формулой
A2.109')
§ 13. СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
КЛЕЙНА— ГОРДОНА
а) Вывод уравнения. Как известно, уравнение Шредингера
применимо лишь для описания движения частиц, скорость ко-
которых значительно меньше скорости света (в « с), Уравнение
Шредингера A3.1) соответствует нерелятивистской связи между
энергией Е и импульсом р частицы, обладающей массой покоя:
Подставляя в A3.2) вместо классических величин операторы
^ A3.3)
и действуя ими на волновую функцию \|з(г, t), получаем урав-
уравнение Шредингера A3.1). Это уравнение неинвариантно отно-
относительно преобразований Лоренца. Действительно, уравнение
Шредингера содержит первую производную по времени и вто-
вторые производные по координатам, в то время как специальная
теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы
пространственные и временные координаты входили равно-
равноправно.
Один из возможных путей обобщения нерелятивистского вол-
волнового уравнения на релятивистский случай был предложен
Клейном — Гордоном [9] и Фоком [10] в 1926 г. (см. также [11]).
Наиболее простой способ получения волнового уравнения
для релятивистской свободной частицы сводится к следующему.
Воспользуемся классическим релятивистским соотношением ме-
между энергией и импульсом частицы
Е2-с2р"'-ту = 0 A3.4)
и произведем в этом выражении замену классических величин
операторами A3.3), действующими на волновую функцию x\:(r, t).
158 § 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
Тогда получаем уравнение Клейна — Гордона
(Е2-с2р2-т1с*)у(г, 0 = 0, A3.5)
которое является релятивистски-инвариантным.
Релятивистская инвариантность уравнения A3.5) становится
более наглядной, если ввести четырехмерные импульсы и ко-
координаты
{ } A3.6)
Тогда уравнение Клейна — Гордона A3.5) можно записать
в виде
( 0 = 0- A3.7)
Заменяя, кроме того, массу покоя гп0 величиной ftkjc и произ-
производя сокращение на й2с2, окончательно получаем
(по индексу A, входящему дважды, необходимо произвести сум-
суммирование от 1 до 4).
Точно так же для сопряженного уравнения
б) Трансформационные свойства волновой функции. Рассмот-
Рассмотрим трансформационные свойства волновой функции при пре-
преобразованиях Лоренца и пространственных вращениях. Соглас-
Согласно общим принципам специальной теории относительности
физические законы не должны зависеть от выбора лоренцевой
системы координат. Поэтому уравнение Клейна — Гордона дол-
должно оставаться инвариантным относительно преобразований
Лоренца.
Рассмотрим ортогональные преобразования координат:
х'ц = a^xv, 0^0^ = 6^. A3.10)
Эти преобразования не изменяют квадрата длины четырехмер-
четырехмерного вектора и при надлежащем выборе коэффициентов auv со-
соответствуют вращению в трехмерном пространстве, а также соб-
собственным преобразованиям Лоренца.
Производя переход к новым переменным в уравнении Клей-
Клейна— Гордона A3.9), замечаем, что в силу неизменности квад-
квадрата длины четырехмерного вектора
x'vx'v = а^а^ххчхк = ^%xvx% = xvxv A3.11)
волновая функция преобразованного уравнения i|/ может
ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ТОКА 159
отличаться от исходной ф только постоянным множителем:
а|/ = А"ф, A3.12)
равным по абсолютной величине единице (|Я| = 1). Таким об-
образом, волновая функция уравнения Клейна — Гордона преоб-
преобразуется как скаляр*).
Заметим, что трансформационные свойства волновой функ-
функции при ортогональных преобразованиях A3.10) тесно связаны
со спином частиц. В частности, ранг тензора преобразования
волновой функции численно равен спину частицы, выраженному
в единицах постоянной Планка й. В соответствии с этим ска-
скалярные (и псевдоскалярные) волновые функции должны опи-
описывать частицы со спином, равным нулю.
Таким образом, уравнения Клейна — Гордона описывают
бесспиновые частицы, к числу которых относятся, например,
зх-мезоны [11], которые могут быть как заряженными (волновая
функция — комплексная), так и нейтральными (волновая функ-
функция — вещественная).
в) Плотность заряда и тока. Выражения для плотности за-
заряда и тока можно найти, полагая, что эти величины удовлетво-
удовлетворяют уравнению непрерывности
divc/ + -^- = 0. A3.13)
Умножая уравнение A3.8) слева на ф*, а комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженное A3.9)—на ф и производя вычитание одного из другого,
получаем
Это равенство можно преобразовать к виду
div {(grad г|)*)г|)—\|)*grad г|)}+4--^-{г|>* -4г г|) — [4т o])*U}=0. A3.15)
с ot [ от \ ot i )
Полагая плотность заряда и плотность тока соответственно рав-
равными
_ __££Й_
" 2тос2
*) Поскольку рассматриваемые преобразования непрерывны, величина к
просто равна единице 1=1. Если рассмотреть еще и дискретные преобра-
преобразования (инверсию координат), то при этом следует иметь в виду возмож-
возможность изменения знака волновой функции (к = —1). Величина, меняющая
знак при инверсии пространства, называется псевдоскаляром.
160 § 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА
и учитывая A3.15), удовлетворим уравнению непрерывности
A3.13).
Заметим, что плотность заряда и плотность тока образуют
четырехмерный вектор:
^1Hb^L A3Л8)
Постоянные, входящие в плотность и ток, выбраны так, чтобы р
и / в нерелятивистском пределе переходили в обычные выраже-
выражения теории Шредингера. Действительно, воспользуемся заменой
ihdldt->E (см. A3.3)), тогда из формулы A3.13) получим
Р = е-^г|)*ф, A3.19)
которое в нерелятивистском приближении (и «С с, Е ~ т0с2)
переходит в шредингеровское значение для р = ео|з*г|).
Существенно заметить, что введение плотности заряда
■£♦)-(£♦•)♦] . <•»■*»
можно положить в основу нормировки волновой функции:
Q = const. A3.21)
г) Уравнение Клейна—Гордона для частицы в электромаг-
электромагнитном поле. Чтобы ввести в рассмотрение взаимодействие
частицы с электромагнитным полем, заданным, как обычно,
векторным А и скалярным Ф потенциалами, можно исходить из
классической функции Гамильтона
еФ. A3.22)
После переноса еФ в левую часть и возведения обеих частей ра-
равенства в квадрат, нужно сделать замену классических величин
соответствующими операторами, действующими на волновую
функцию. Тогда приходим к уравнению Клейна — Гордона для
частицы в электромагнитном поле:
}(г, 0 = 0, A3.23)
которое может быть также получено из уравнения для свобод-
свободной частицы A3.6) введением обобщенных операторов
Р,и = Р, - 7 А»> А» = <Л> г"фЬ A3-24)
или, в обычной записи,
{E<b)i>
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 161
Повторяя расчет для плотности тока и заряда, приведший
нас к формуле A3.18), получаем выражение для четырехмерной
плотности в виде
<13-26>
или, в обычных обозначениях,
гей
Р =
2т0с2
При изучении стационарных состояний частицы в электро-
электромагнитном поле потенциалы Лц не зависят от времени явно.
В этом случае следует положить
1В .
поскольку уравнение A3.23) допускает разделение переменных
пространства и времени. Тогда для функции лр (г) = i|j мы полу-
получаем уравнение стационарных состояний:
£- еФJ- с2(у V-yAJ-m2c4}i|> = 0. A3.30)
Заметим, что плотность заряда в стационарных состояниях
принимает вид
д) Вариационные методы. Лагранжиан комплексного ска-
скалярного поля *)
(^ + W A3<32)
где
^ = ^, A3.33)
выбран таким образом, чтобы вариационная производная от
него приводила бы к уравнениям A3.8) и A3.9). В самом деле,
варьируя лагранжиан A3.32) по ip*, получим уравнение A3.8):
_i_J^:=0. A3.34)
6г|) <Эг|)
Отсюда следует, что
A3-35)
*) Нормировочный коэффициент выбран таким образом, чтобы для тока
получилось бы выражение A3.26).
6 А. А. Соколов; И. М. Тернов
162 § 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
Точно так же вариация по ф приведет к комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженному уравнению A3.9).
В случае наличия электромагнитных полей мы должны, как
обычно, вместо импульса рц = — -^— написать обобщенный
импульс:
4 4D^) A3.36)
Тогда лагранжиан A3.32) принимает вид
Варьируя лагранжиан A3.37) по г|)* (см. равенство A3.34)),
получим уравнение Клейна — Гордона при наличии поля
-^ = °- A3-38)
Взяв от лагранжиана A3.37) вариации по составляющим век-
вектора потенциала, найдем выражения для тока
• — 6L _ dL _
(.3.39,
с тем же нормировочным коэффициентом, что и в формуле
A3.26).
Так же как и в случае электромагнитного поля (см. A2.5)),
мы можем получить канонический тензор энергии:
dL dL . , dL ., . dL . dL ,
Ф + \ + * + %
dxv ft|j ^\аф* 5 ftf^j
д ,. „„ . .. _ , A340)
Отсюда, принимая во внимание соотношение A3.34), найдем
значение для компонент канонического тензора энергии:
который удовлетворяет согласно A3.40) закону сохранения:
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ 163
Учитывая, что для скалярного поля лагранжиан имеет вид
A3.32), для компонент тензора энергии имеем выражение
Т^ = - it №% + *Ж - \. Шх + Ь&Щ A3-43)
Отсюда видно, что в противоположность электромагнитному
полю тензор энергии скалярного поля является симметричным:
7Vv = 7V A3.44)
т. е. метрический тензор должен равняться каноническому. По-
Поэтому спин сопоставленных скалярному полю частиц должен
равняться нулю (напомним, что асимметрия канонического тен-
тензора энергии электромагнитного поля привела к тому, что спин
фотонов согласно A2.68) оказался равным единице).
Для полной энергии и трехмерного импульса мы находим со-
соответственно выражения
Н^^Ти d?x = const, Gn = ^-j Tn4d3x = const, A3.45)
причем согласно A3.43)
ги0 с at at A3.46)
ilr _ fi (д$* дф I дУ дф\
с itl ~ 2k0c \ dt дхп "i" дхп dt I'
Из законов сохранения A3.42) следует, что Я и Gn (см. A3.45))
остаются величинами постоянными.
Кроме сохранения полной энергии и импульса, согласно
уравнению непрерывности A3.13) должен сохраняться также
полный заряд:
J = const, A3.47)
где в случае свободного поля плотность р может быть пред-
представлена в виде
е) Свободное движение. Найдем решение скалярного волно-
волнового уравнения Клейна — Гордона в случае отсутствия электро-
электромагнитного поля:
A3.50)
Частное решение следует искать в виде
164 § 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
где волновой вектор k связан с импульсом р соотношением
р = fife, функция от времени A(t) будет найдена ниже, L3 —бор-
новский куб периодичности, когда на волновую функцию следует
наложить условия периодичности
г|)(х, у, z) = q>(x+ L, у, г), ...
Для волнового вектора fe имеем квазидискретную последова-
последовательность
kr = -~ (пхх + п2у + п3г), A3.51)
где «1, «2, «з — целые числа, принимающие как положительные,
так и отрицательные значения, включая нуль. В дальнейшем
следует устремить длину куба периодичности L к бесконечности
и снова перейти к непрерывному спектру. В этом случае функция
L"V*r A3.52)
подчиняется условию ортонормированности
J f{k')f(k)d4 = bkk, = bnAbnAbnA. A3.53)
Подстановка решения A3.50) в уравнение Клейна — Гор-
Гордона A3.49) приводит к следующему дифференциальному урав-
уравнению для определения коэффициентов A(t):
A3-54)
Отсюда находим решение уравнения Клейна — Гордона
%{r, t) = -^-{a{k)e-UKt+ikr + b+ {-k)elcKt+lk% A3.55)
где коэффициенты a(k), b+(—fe) описывают состояния соответ-
соответственно с положительной и отрицательной энергией Е =
= ±ic%K.*), a B{k) является нормировочным коэффициентом,
который, как будет показано ниже, зависит от модуля вектора fe.
Наличие решений с двумя знаками энергии является след-
следствием любой релятивистской теории, поскольку Е =
= ± У с2р2 + т^с4. Состояния с положительными и отрицатель-
*) Состояния с отрицательной энергией мы будем описывать эрмитово-
сопряженной амплитудой 6+(—к). Это оказывается весьма удобным при
вторичном квантовании, когда они соответствуют частицам с положительной
энергией, но с другим знаком заряда и противоположно направленным им-
импульсом. Заметим, что у амплитуд Ь+ и а+ мы пишем знак не комплексной,
а эрмитовой сопряженности. Для обычной функции обе сопряженности
совпадают друг с другом F+ = 6*). Однако при вторичном квантовании
амплитуды а и 6 становятся эрмитово-сопряженными матрицами (см. ниже),
и поэтому, учитывая возможность вторичного квантования, мы пишем знак
эрмитовой сопряженности.
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПОЛЯ
155
. ными энергиями разделены промежутками 2т0с2, поэтому в
классической теории, где динамические переменные должны из-
изменяться непрерывно, состояния с отрицательной энергией не
могут возникнуть, если их не было в начальный момент времени.
В квантовой теории решения с отрицательными значениями
энергии не могут быть исключены, поскольку квантовые пере-
переходы могут происходить между дискретными энергиями.
Общее решение задачи можно представить в виде фурье-
суперпозиции
Y{iKt*ik elcKt-ikT). A3.56)
Точно так же для комплексно-сопряженной волновой функции
будем искать
^{\икг1к -икШкг). A3.57)
Мы заменили во втором члене вектор k на —k.
ж) Квантование свободного поля. Для того чтобы прокванто-
вать скалярное поле, мы должны прежде всего найти выражения
для полной энергии, импульса и заряда [12]. Подставляя реше-
решения A3.56) и A3.57) в A3.47) и принимая во внимание при
интегрировании по объему соотношение A3.53), найдем после
суммирования по k', что
Y{++) A3.58)
где a = a(k)t a b = b(k). Отсюда, положив (условие норми-
нормировки)
B = Yt' A3-59)
для полного заряда найдем значение
A3.60)
Учитывая A3.59), для полной энергии и импульса (см. A3.45))
получим
^{+ +) A3.61)
A3.62)
Аналогичное значение для гамильтониана было найдено и
при квантовании электромагнитного поля (см. A2.68)). Тогда,
воспользовавшись ураэнением A2.69) для квантования амплитуд,
166 § 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
получим следующие отличные от нуля перестановочные соотно-
соотношения для амплитуд (см., например, [1]):
aa'+-a'+a = 6kk', bb'+ - b'+b = bkk', A3.63)
где
a'+ = a+(ft'), b'+ = b+(k'). A3.64)
Остальные амплитуды должны коммутировать друг с другом.
Амплитуды а и b являются операторами поглощения, а а+ и
Ь+ — операторами появления. Они действуют на соответствую-
соответствующие числа частиц по закону A2.78), A2.79) *).
Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотноше-
соотношениям A3.63), мы должны квадраты амплитуд связать с числом
соответствующих частиц следующим образом:
aa+=l+Na, bb+ = l+Nb.
Тогда для полной энергии, импульса и заряда находим соответ-
соответственно значения (см. A3.60) — A3.62)) ;
+ Ыь+1), A3.66)
G=|Aft(iVs + Nb).
Отсюда видно, что частицы сорта а и b обладают положитель-
положительной энергией, но противоположным знаком заряда. Если мы
частицы а отнесем к отрицательным зх-мезонам, то частицы
сорта Ь должны описывать положительные я-мезоны.
Наличие бесконечной положительной нулевой энергии
Я0=2с/г/С A3.67)
соответствует нулевой энергии бесконечного числа осциллято-
осцилляторов, которые образуют поле скалярных мезонов. В самом деле,
амплитуды скалярных мезонов подчиняются уравнению для
гармонического осциллятора (см. A3.54)). Отсутствие коэффи-
коэффициента 1/2 в выражении для нулевой энергии связано с тем об-
*) Перестановочные соотношения Бозе — Эйнштейна для амплитуд ска-
скалярного поля получились потому, что гамильтониан был пропорционален
сумме квадратов амплитуд: Н ~ а+а + 66+; если бы он был пропорциона-
пропорционален разности квадратов амплитуд: Н ~ а+а — 66+, как это имеет место для
дираковских частиц, то уравнения для квантования привели бы к статистике
Ферми —Дирака (см. ниже).
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПОЛЯ 167
стоятельством, что в каждом состоянии, характеризуемом им-
импульсом hk, может находиться две частицы (сорта а и сорта Ь).
Из перестановочных соотношений A3.63) мы можем также
найти правила перестановок для волновых функций A3.56) и
A3.57):
i|>(r, W', О-Ф'(г', П№> t) = -^-D(r-rf, t-П
A3.68)
где функция
D (R, Т) = -gL- J d?k -'** ь™ cKT . A3.69)
Отсюда можно показать, что при одинаковых значениях вре-
времени f = t отличным от нуля будет следующий коммутатор:
A3.70)
Таким образом, в скалярном уравнении в отличие от урав-
уравнения Шредингера нельзя ввести понятие плотности числа ча-
частиц
Ро = р/е,
поскольку оно описывает смесь двух сортов частиц, которые
обладают различными знаками зарядов, о чем мы говорили
выше (см. п. г.)). В самом деле, волновое уравнение Клейна —
Гордона является дифференциальным уравнением второго по-
порядка, поэтому возможно произвольное задание а]) и dty/dt для
некоторого момента t. Следовательно, в отличие от нереляти-
нерелятивистского выражения р0 = г^*^ плотность р0 A3.21), вообще
говоря, не является положительно определенной величиной. Фи- '
зически это связано с тем обстоятельством, что в теории Клей-
Клейна— Гордона (как и в любой релятивистской теории) возможно
осуществление решений с отрицательной энергией (более по-
подробно см. теорию Дирака).
Возможность появления отрицательных значений р0 некото-
некоторое время вызывало критическое отношение к уравнению Клей-
Клейна— Гордона, причем высказывалось даже предположение, что
это уравнение не описывает реальных частиц. Однако даль-
дальнейшие исследования (например вторичное квантование, кото-
которое мы только что провели) показали, что это уравнение может
описывать движение частиц как с положительным, так и с от-
отрицательным зарядом (я+-мезоны). В связи с этим следует рас-
рассматривать не плотность вероятности, а плотность заряда р =
= ер0. В этом случае различные знаки плотности р соответ-
соответствуют различным знакам заряда частиц, причем состояние
168 § 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
частиц с отрицательной энергией можно рассматривать как со-
состояния с положительной энергией, но с противоположным зна-
знаком заряда (зарядовое сопряжение).
На этом мы ограничимся рассмотрением общих вопросов
уравнения Клейна — Гордона. Конкретные примеры, связанные
с решением уравнения Клейна — Гордона при наличии внешних
электромагнитных полей, мы рассмотрим ниже после изложения
основ дираковскои теории электрона.
§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
а) Линеаризация оператора энергии. Матрицы Дирака.
В основу построения квантовой релятивистской теории следует
положить известное релятивистское соотношение между энер-
энергией Е, импульсом р и массой покоя частицы т0, которое в слу-
случае отсутствия электромагнитных полей (Ф = А = 0) имеет вид
Е = с Vp2 + тУ • A4Л)
Переход к уравнениям квантовой теории может быть осуществ-
осуществлен путем замены классических величин операторами
Е-*Е = Ш-ЦГ, p^p = -ihV, A4.2)
действующими на волновую функцию. Непосредственный пере-
переход к операторам в выражении A4.1) затруднен, так как опе-
операции дифференцирования, стоящие под знаком радикала, не
определены.
В § 13 был рассмотрен один из возможных путей избавления
от квадратного корня путем возведения выражения энергии
A4.1) в квадрат. Это привело к релятивистскому волновому
уравнению второго порядка с индефинитной плотностью вероят-
вероятности (уравнение Клейна — Гордона). Индефинитность плотно-
плотности вероятности связана с тем обстоятельством, что в теорию
Клейна — Гордона входит вторая производная по времени,
вследствие чего выражение для плотности вероятности содержит
не только г|), но и dty/dt, которые могут быть произвольно за-
заданы в начальный момент времени*).
Можно избежать появления отрицательных значений плот-
плотности вероятности, если в выражение для р0 не будет входить
производная от волновой функции по времени. Но тогда в са-
самом волновом уравнении производная по времени должна быть
не выше первого порядка, а в силу релятивистской инвариант-
*) Как было упомянуто в § 13, индефинитность плотности в уравнении
Клейна — Гордона свидетельствует о необходимости рассматривать частицы
с различными знаками заряда.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ. МАТРИЦЫ ДИРАКА 169
ности теории это относится и к производным по координатам.
Таким образом, была поставлена задача нахождения реляти-
релятивистского волнового уравнения, линейного относительно четы-
четырехмерного импульса. Она была решена [13, 14] Дираком
в 1928 г., предложившим метод «линеаризации» соотношения
для энергии A4.1) [2, 6].
Исследование, проведенное Дираком, привело к открытию
релятивистского волнового уравнения, играющего фундамен-
фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и кванто-
квантовой теории поля, поскольку оно оказалось примененным к опи-
описанию движения частиц со спином У2 (в единицах Ь). С этой
точки зрения релятивистское скалярное уравнение Клейна —
Гордона описывает движение только бесспиновых частиц, и по-
поэтому оно неприменимо к электронам.
С целью линеаризации оператора A4.1) (или символиче-
символического извлечения из него квадратного корня) представим со-
соотношение A4.1) в следующем операторном виде*):
iPu. A4.3)
Принимая во внимание, что
з
— с 2л Рр, A4.5)
и суммируя выражение A4.3) при его возведении в квадрат,
находим следующие соотношения, которым должны удовлетво-
удовлетворять величины ссц:
ам.ам./ + ам.'(хм. = 2вм.м.'. A4.6)
Аналогичным условиям антикоммутации, как известно, удов-
удовлетворяют двухрядные матрицы, с помощью которых Паули уда-
удалось в нерелятивистском приближении записать волновое урав-
уравнение для частиц, обладающих спином:
1 0/' 2~\i О/ J \0 -1
Матрицы Паули антикоммутируют между собою и квадрат ка-
каждой из них равен единице. Действительно, нетрудно найти, что
olo2 = m3 = — o2o A4.8)
*) «Извлечение» квадратного корня мы проделаем при отсутствии внеш-
внешних полей, т. е. когда операторы рй коммутируют друг с другом. Только
после извлечения квадратного корня введем электромагнитные поля.
170 § 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
и т. д. (в порядке циклической перестановки индексов), или
Заметим, однако, что для линеаризации оператора энергии
A4.1) необходимо располагать четырьмя матрицами ац, а не
тремя, как это имеет место для матриц Паули *). В связи с этим
Дирак предложил взять совокупность четырехрядных матриц
On и рп {п = 1, 2, 3), связанных с матрицами Паули при помощи
соотношений
"
A4.10)
IV 0' \
' 0' Г \ / 0' - /Г '
О'/' р2=1»Г 0',
где а'п— матрицы Паули A4.7), аО'и Г — соответственно ну-
нулевая и единичные матрицы:
/ о о\ . /101
°'Чо о
Свойства матриц ап и рп Дирака совершенно аналогичны
свойствам матриц Паули, что можно легко проверить непосред-
непосредственным вычислением:
2 = — о2о1 = 1а3, Р1Р2 = — Р2Р1 == г"Рз»
(п, п'=1, 2, 3). Отсюда следует, что
<VV + ап'°п = ЄЄ' + Р„'Р„ = 28пп"
A4.14)
т. е. матрицы ап и р„ коммутируют друг с другом.
В качестве матриц ац Дирак предложил выбрать следую-
следующие **)
, Q/ I 0 Рз @ _V
V 0' \
J A4.15)
*) С помощью матриц Паули можно извлечь квадратный корень при
наличии максимум трех членов, например
**) Символическое «извлечение» квадратного корня A4.3) можно произ-
произвести не только с помощью матриц, но и с помощью так называемых гипер-
гиперкомплексных чисел (алгебра Клиффорда).
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА. ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ТОКА
171
(п = 1, 2, 3). В обычной записи четырехрядные матрицы A4.15)
имеют вид
О оо
0 0 0 1
0 0 10
о
1 0 0
0 0 0
о
0 i
— i О
о о
— I
о
о
о
—1
0 0—1
0 0 О
о о
рз = а0 =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
—1
A4.16)
С помощью равенств A4.14) или путем прямого перемножения
матриц A4.16) нетрудно показать, что они удовлетворяют со-
соотношениям A4.6), т. е. все матрицы ссц антикоммутируют друг
с другом и квадрат каждой из них равен единице. Таким обра-
образом, выражение для энергии A4.3) принимает вид
Е = с Vp2 + ту = с (ар) + 9гтйс\ A4.17)
б) Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока. Переходя к
операторам в линеаризованном выражении для энергии A4.17)
и действуя ими на волновую функцию, получаем уравнение Ди-
Дирака для свободной частицы:
Е-ф = Н-ф, A4.18)
где операторы энергии и функции Гамильтона Н определяются
выражениями *)
}| A4.19)
В соответствии с числом строк и столбцов матриц а и рз вол-
волновая функция ф должна иметь четыре компоненты, которые
объединяются в виде матрицы, состоящей из одного столбца:
A4.20)
*) В классической теории соотношение между энергией и импуль-
импульсом A4.1) может быть представлено в виде, похожем на формулу A4.17):
Е = (vp) + ^1-Р2 т0с2.
Это равенство можно легко проверить, если учесть, что для свободной
частицы
Е = m0c2/fT=W, p = m0o/|/T=^.
Отсюда следует, что матрица а-*-о/с должна играть роль скорости, а
рз^-^1—Р2 —роль некоторого скаляра, характеризующего лоренцево со-
сокращение.
172 § И. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
причем матрица ф+ — эрмитово-сопряженная матрица, состоя-
состоящая из одной строки*):
■ф+= (ф^з*;)- A4.21)
В случае движения электрона в электромагнитном поле, ха-
характеризуемом векторным и скалярным потенциалами (Л, Ф),
в соответствии с общими правилами квантовой механики, сле-
следует перейти к обобщенным операторам:
E->F = /A -Hf-еФ, р->Р = -Й? — jA. A4.22)
Поэтому в общем случае движения электрона уравнение Дирака
может быть записано в виде [15]
Ш -~ - еФ - с (аР) - р3т0с2 }г|) = 0. A4.23)
Матричное уравнение Дирака A4.23) эквивалентно системе
четырех уравнений:
(F - т0с2) ifo - с(Р,- IPу) ф4 - сРгф3 = 0,
(F - т0с2) ф2 - с (Рх + iPy) ф3 + сРгф4 = 0,
(F + т0с2)ф3 -с(Рх- iPy)^2 - сРгф, = 0, A4<24)
(F + т0с2) ф4 - с(Рх + 1Ру)^ + сРгф2 = 0.
Заметим, что уравнение для комплексно-сопряженной волно-
волновой функции может быть также представлено в матричной
форме:
{} A4.25)
где действие операторов iti-^ и ~ih\ на волновую функцию,
стоящую слева от них, следует понимать как производную от
этой функции, взятую с обратным знаком:
— ф+й?-^й?ф+, ф+/Й-|-->-гЙ~-ф+. A4.26)
Таким образом, уравнения A4.23) и A4.25) могут быть
представлены в виде
(ih -|- - еф) ф - с{ а (- ih\ - у л)} ф - р3т0с2ф = 0, A4.27)
- с{ (ihV - у А) а|5+а }- т0с2ф+р3 = 0. A4.28)
*) Необходимость введения четырех компонент волновой функции физи-
физически обусловлена тем, что каждое квантовое состояние может иметь два
знака энергии, а также два направления ориентации спина.
ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ 173
Умножая A4.27) слева на ф+, а A4.28)—справа на т]: и
вычитая второе уравнение из первого, получаем соотношение
-|-^+^ + div^+caa|) = 0, A4.29)
которое можно интерпретировать как уравнение непрерывности
для плотности вероятности р0 и плотности тока /:
-±Po + divc/o = O, A4.30)
где
Ро = Ф+Ф. /о = Ф+«^- A4.31)
Если в A4.31) перейти к компонентам волновой функции для
плотности ро, то получим
Ро = ^+Ф = Ч>М>, + Ч>М>2 + Ч>М>8 + ^4, A4.32)
т. е. ро является матрицей, состоящей из одного элемента, и
поэтому представляет собою обычную функцию.
В отличие от теории Клейна — Гордона плотность вероятно-
вероятности A4.32) будет положительно определенной величиной. Од-
Однако это не означает, что в теории Дирака можно рассматри-
рассматривать частицы лишь одного знака заряда. Как и в теории
Клейна — Гордона, в теории Дирака, оказывается, существуют
частицы противоположного знака заряда — позитроны (см.
ниже).
в) Трансформационные свойства волновой функции. Со-
Согласно специальной теории относительности уравнение Дирака
(так же как и уравнения Максвелла и Клейна — Гордона)
должно быть инвариантным относительно преобразований Ло-
Лоренца. Исходя из этого, можно найти закон преобразования
волновой функции (тензорную размерность функции) при про-
пространственно-временных и просто пространственных вращениях
координат.
Найдем прежде всего закон преобразования волновой функ-
функции при лоренцевых преобразованиях координат:
ct' = ct ch ф0 — х sh ф0,
х' = х ch ф0 — ct sh ф0,
у' = у, г' = г, A4.33)
где
сЬфо== 1/V^1 — Э2 и sh<po = p/Vl —р2. A4.34)
При этом энергия и импульс преобразуются как четырехмерный
вектор, т. е.
Е = Е'ch ф0 + ср; sh ф0, A4.35)
ср1 = ср^сЬф0+Е/зЬф0. A4.36)
174 5 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Подставляя эти выражения в уравнение Дирака для свободной
частицы A4.18), получаем
{(Е' — са,рО(ch ф0 — а, sh ф0) — с(а2рг + а3рз + р3т0с)}ф = 0.
A4.37)
Умножая слева все это выражение на величину а + а\Ь и
учитывая антикоммутативность cci с матрицами аг, аз и рз,
получаем
{(Е' — ca,pf) [a ch% — b sh ф0 — а, (а sh ф0 — Ь ch qp0)] —
- с(а2р^ + «3Рз + Ратос)(а - а,6)} ф = 0. A4.38)
Принимая во внимание инвариантность уравнения Дирака
относительно преобразований Лоренца, мы должны считать, что
в штрихованной системе координат волновые уравнения должны
сохранять свой вид:
{Е'-с(ар')-р3тоС2И' = О. A4.39)
Тогда находим связь коэффициентов а и Ъ:
b = ashq>0/{\ +сЬф0), A4.40)
а уравнение A4.38) принимает вид
а{Е' — с (ар') — рзШоС2}^ — сцэпфо/О +сЬфо)}ф = О. A4.41)
Таким образом, для закона преобразования волновой функ-
функции мы получаем следующее выражение:
■ф' = а{1 — сцэЬфо/О +спфо)И. A4.42)
При обратном переходе, очевидно, скорость р = v/c надо за-
заменить на противоположную: р—*—Р; тогда
ф'. A4.43)
С учетом этого для величины а получаем значения
а2{1-зЬ2ф0/A+сЬф0J}=1, A4.44)
откуда следует, что а = сп(фО/2) и Ъ = sh(<po/2).
Итак, волновая функция -ф при пространственно-временных
вращениях координат в плоскости xt (преобразования Лоренца)
преобразуется по закону
■ф' = {ch (фо/2) — a, sh (фо/2)} ф = е~а^2^,
ф = {ch (фо/2) + «1 sh (фо/2)} ф' = е^'^ф'. A4.45)
Нетрудно найти закон преобразования для плотности заряда
и тока
Po = ^4. /о = Ф+оЧ>- A4.46)
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В КОВАРИАНТНОЙ ЗАПИСИ 175
С помощью соотношений A4.45) можно написать
4) = £M/. -4>+ = t'+Q*. A4.47)
где операторы преобразования имеют вид
Qxt =*(*№. A4.48)
Подставляя эти выражения в A4.46), мы убеждаемся в том, что
четырехмерная плотность тока преобразуется по законам для
четырехмерного вектора:
Po = PochcPo-/o*sh(Po' 4 = /o*chcPo-Psh(lV С14-49)
На основе равенства
фЧ = Ф'+Й^' = 'Ф'+(сЬфо + а18Ьфо)а|)' A4.50)
можно рассматривать оператор Q2xt как оператор преобразо-
преобразования для векторных величин. Волновые же функции преобра-
преобразуются и не как вектор, т. е. тензор первого ранга (целые
углы ф0), и не как тензор второго ранга (двойные углы фо),
а как «полувектор», преобразование которого характеризуется
углом фо/2.
Величины, преобразующиеся по закону A4.47), получили на-
название спиноров или тензоров половинного ранга.
Аналогичным образом можно показать, что при обычном
пространственном вращении (например вокруг оси г на угол ф)
спинор преобразуется по закону
г) Уравнение Дирака в ковариантной записи. Мы можем
придать уравнению Дирака-ковариантную форму записи с по-
помощью вьедения мнимых единиц либо V, либо i.
В представлении х4 = i'ct вводим матрицы
% = {«, *'/} A4.52)
и полагаем импульс равным
4
где
xn = x,y
Принимая во внимание, что
Е = -
мы сможем уравнение Дирака
(Е —с(ар) —
привести к виду
(адрд 4" Рз'
, z; x4 = i'ct.
- а'рь
■ р3тос2) -ф == 0
A4.54)
A4.55)
A4.56)
A4.57)
176 § 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Величина ацрц является самосопряженной, и поэтому для ком-
комплексно-сопряженного уравнения мы можем написать*)
•ф"^" (ctu ри —|— рз^ИдС) == 0, A4.58)
причем
Ф+Ри = — РцФ+- A4.59)
В представлении х[ = {с{, х'п — хп для записи уравнения Ди-
Дирака в инвариантной форме вводятся матрицы уц [6,16]
У и = — Фз«гс = Р2<Ь> Y4 = Рз- A4.60)
Матрицы уц являются эрмитовыми и удовлетворяют следую-
следующим перестановочным соотношениям:
Y^Yv + YvYu = 26nv. A4.61)
т. е.
Y2 = l, у Y =- Y Y • A4.62)
Поскольку в представлении x'4 = ict для временной составляю-
составляющей импульса имеем вещественное значение
Р/4 = -т-^7 = - — — = * —. A4-63)
I ОХ^ С ОТ С
благодаря чему она не является эрмитовым оператором.
Умножая A4.56) слева на матрицу фз и принимая во вни-
внимание соотношения A4.60) и A4.63), мы можем представить
уравнение Дирака в виде
(у р' — imoc) ф = 0, A4.64)
где
Четырехмерное скалярное произведение
A4.65)
а вместе с тем и комплексно-сопряженное уравнение, которое
следует из A4.64),
не является эрмитово-сопряженным. Для того чтобы привести
его к эрмитово-сопряженному виду, мы должны ввести функцию
■ф = ф+р3 или ф+ = фр3. A4.66)
*) В этом нетрудно убедиться, если расписать уравнения A4.57) и
A4.58) в виде системы четырех уравнений и учесть соотношение A4.59),
а также, что i'* = «', i* = —i (см. G.11) и G.12)).
ТЕНЗОРНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦ ДИРАКА 177
Тогда, принимая во внимание, что матрица рз антикоммутирует
с матрицами уп> имеем
;-/moc) = O. A4.67)
д) Тензорная размерность матриц Дирака. Из матриц Дирака
мы можем составить шестнадцать независимых матриц, обра-
образующих группу в том смысле, что умножая друг на друга две
любые матрицы, мы получим с точностью до постоянного коэф-
коэффициента одну из этих шестнадцати матриц [1, 16].
Прежде всего мы можем составить величину *)
/ = Ф+Рз^ = ^№- A4.68)
которая преобразуется как скаляр**).
Векторная матрица равна
«ll = Pi<Jn = («. П), A4.69)
где
о„ = (а, i'9x), A4.70)
т. е. величины
/ц = Ф+<М> A4.71)
преобразуются как четырехмерный вектор (вектор тока).
С другой стороны, при х'4—ict для четырехмерного вектора
мы можем написать выражение
/; = %^> A4-72)
причем
/ = /', t'U = U\- A4-73)
Образуем матрицы антисимметричного тензора второго
ранга (в представлении матриц а):
; ^^ A4.74)
составляющие которого могут быть записаны в виде таблицы,
составленной из эрмитовых матриц:
0B3 а31 «12 \ / РзОь рзСг. рзОз \
а14 а24 а34/ \г"р2сть i'p2a2, i'PioJ' ^ " '
*) При исследовании тензорной размерности функция г|5+ соответствует
случаю х4 = i'ct, а ф соответствует х4 = id.
**) Зная закон преобразования для волновых функций г|5 и г|з+ (см.
A4.47)), мы найдем, что величина A4.68) преобразуется как скаляр. Это
замечание относится к преобразованиям векторных и тензорных величин.
178 § 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
В представлении матриц у антисимметричный тензор имеет
вид
@ ^_V| 04.76)
причем
•, A4.77)
... A4.78)
Мы можем написать совершенно антисимметричную матрицу
тензора четвертого ранга с отличной от нуля компонентой, ко-
когда все индексы \i, v, e, p различны. В представлении матриц a
(лг4 = i'ct) мы имеем
A4.79)
из которой можно образовать с помощью символа Леви-Чи-
вита псевдоскалярную матрицу рг
- A4.80)
Заметим, что при инверсии пространства (г—*—г), т. е. при
переходе от правой системы координат к левой, псевдоскаляр-
псевдоскалярные величины в противоположность скалярным изменяют свой
знак. Например, при инверсии пространства волновая функция
преобразуется по закону ф' = р3ф (см. ниже). Поэтому псевдо-
псевдоскалярная величина изменяет свой знак:
в то время как скалярная величина остается неизменной:
Символ Леви-Чивита при каждой перестановке индекса из-
изменяет свой знак. Поэтому его составляющие можно положить
равными
8i234= 1» 82134 = — !. eIl34 = 0, A4.81)
т. е. отличными от нуля являются только те составляющие,
у которых различны все четыре индекса.
Из матриц y мы можем также составить антисимметричный
тензор четвертого ранга:
A4.82)
причем псевдоскалярная матрица от этого тензора равна
Yra4 = Y5=-Pi. A4.83)
Т- е. как псевдоскаляр будет преобразовываться величина
= ftj>Y61>- A4.84)
ТЕНЗОРНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ МАТРИЦ ДИРАКА 179
Наконец, мы можем образовать матрицу антисимметричного
тензора третьего ранга:
_ f «'р^рзСеРзОр (все индексы различны),
vep [О
(хотя бы два индекса одинаковы).
При помощи символа Леви-Чивита мы можем показать, что
матрицы ар, образуют четырехмерный псевдовектор*). Это сле-
следует из того факта, что они связаны с компонентами тензора
A4.85) соотношением
«vep = <W<V A4.86)
причем
<*l = «234! СТ4 = — «123 = i'Pl, A4.87)
т. е.
all = (a, r'Pl). A4.88)
. В представлении матриц \ компоненты четырехмерного псев-
псевдовектора мы можем записать следующим образом:
для пространственных составляющих
ф+ог^ = - /4>Y2YsY4* • • •. A4.89)
для временной составляющей
^ A4.90)
Ниже мы будем пользоваться исключительно а-представле-
нием (Xi = i'ct). Это, как нам кажется, значительно удобнее
при исследовании поляризации спина, на что мы в дальнейшем
обращаем особое внимание. Однако многие монографии (см.,
например, [6]) и научные статьи написаны в 7"пРеДставлении
{х\ = гс{}. Поэтому мы решили в этом параграфе изложить
переход от одного представления к другому.
§ 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
При изложении вопросов, связанных со вторичным кванто-
квантованием спинорных уравнений, мы используем вариационные
методы точно так же, как это делалось при квантовании мак-
свелловского и скалярного уравнений.
Для составления функции Лагранжа, тензора энергии и тен-
тензора спина уравнения Дирака проще всего ограничиться рас-
рассмотрением свободного движения. Тогда уравнение Дирака мы
можем записать в виде
^О, A5.1)
*) У псевдовекторных величин в отличие от векторных пространствен-
пространственные составляющие не изменяют своего знака при инверсии пространства
()
180 § 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
где
[1, kQ = moc/h, Xi = i'ct. A5.2)
Из A5.1) следует
ДA5.3)
Аналогично для комплексно-сопряженного уравнения имеем
а) Функция Лагранжа. Подберем плотность функции Лаг-
Лагранжа таким образом, чтобы уравнения Дирака явились след-
следствием вариационного принципа
0, A5.5)
т. е. уравнения Дирака для волновых функций ар и г|з+ получи-
получились бы соответственно из вариационных производных
6L дЬ д dL п Ы dL д dL a /ie c\
—т- = —т т- = 0, = = 0. A5.0)
бф+ Зф+ дХ Эф+ бф Эф дХ Эф
Для получения уравнения Дирака можно выбрать следую-
следующие два выражения для плотности функции Лагранжа:
— а„Ф> + «0P3^). ь" = — he I г г|г а + «0Ф>
A5.7)
которые отличаются друг от друга на величину, равную четы-
четырехмерной расходимости:
Эта величина, как известно, может быть отброшена, так как ва-
вариационная производная от нее равна нулю. В частности, мы
можем положить плотность функции Лагранжа равной любой
линейной комбинации функций Z/ и L".
Наиболее удобно для лагранжиана выбрать симметричный
вид относительно функций ф+ и г|з, т. е. положить
Отсюда с помощью уравнений A5.6) получаем уравнения A5.3)
и A5.4).
Заметим, что для реальных движений, подчиняющихся урав-
уравнениям A5.3) и A5.4), плотность функции Лагранжа обра-
обращается в нуль; однако это ни в коей мере не означает, что и
ее вариационная производная также обращается в нуль.
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ 181
б) Тензор энергии. Найдем компоненты тензора энергии, свя-
связанные с лагранжианом Lсоотношением (см., например, A3.41))
которые согласно A3.40) удовлетворяют закону сохранения
^ = 0. A5.10)
Принимая во внимание соотношения
dL fie , dL fie
2/ VT' дф„ 2/
имеем для искомых компонент тензора энергии следующее вы-
выражение:
4D<) ■ A5.11)
В частности, из A5.11) находим компоненты плотности энер-
энергии U и плотности импульса gn поля:
A5.12)
причем для энергии и импульса
Я = Г (У с?3л: = Г Г44 йЧ,
Г v A5ЛЗ)
имеют место законы сохранения, т. е. они не должны зависеть
от времени.
Учитывая уравнение Дирака
-4~г|> = Нг|> = {С(сф) + р3тоС2М>7 A5.14)
а также правило переброса производных, можем соотношения
A5.13) записать в виде
где p = y
Н= j Ц+ЩA3х, G = J ф+ргМ3*, A5.15)
182 § 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
в) Тензор орбитального момента количества движения и спи-
спина. Если ввести понятие оператора тензора
TVv = — J (Pnav + avPn)> A5.16)
то компоненты тензора энергии A5.11) будут равны
^v = V"Vl>- A5.17)
Оператор рй, стоящий после матрицы av, должен действовать на
волновую функцию- г|з:
Р^ = Н = 7^. П5.18)
а перед матрицей av — на волновую функцию г|з+:
Введем понятие орбитального момента количества движения,
который характеризуется четырехмерной плотностью Mltn,] \,
представляющей собою тензор третьего ранга, антисимметрич-
антисимметричный относительно индексов [д. и v:
= Ф+M^v] tf|>, A5.19)
где оператор М^и связан с каноническим тензором энергии
A5.16) соотношением
Mlnv] я = — (хДvx — XvTn^,), A5.20)
причем канонический тензор энергии Т^ удовлетворяет закону
сохранения A5.10). Однако в отличие от тензора энергии Twv
дивергенция тензора момента M^vu не обращается в нуль:
^^vu=^+M[tlv]^=--f^+(V-Tvtl)^ A5.21)
поскольку тензор энергии не симметричен относительно индек-
индексов [д, и v (T^v ¥= Tvu). Это обстоятельство говорит о том, что
у дираковских частиц, так же как и у фотона (см. A2.10)),
должен быть собственный (спиновый) момент количества дви-
движения.
Для того чтобы найти спин, учтем, что закону сохранения
A5.10) должен удовлетворять также любой тензор
TU==^iiv'~~dx^fv4y^v A5.22)
где произвольная функция /„[v4 подчинена условию
dxvdxh
ТЕНЗОР КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И СПИНА 183
т. е. является тензором третьего ранга, антисимметричным
относительно индексов v и к. Так же как и в случае поля фото-
фотонов (см. A2.17)), надлежащим выбором /й|лЛ] можно симмет-
ризовать канонический тензор энергии Т^ и получить симмет-
симметричный (метрический) тензор Т , приводящий к обобщен-
обобщенному закону сохранения момента количества движения
-^{M[tn,u + S(tlvU} = 0. A5.23)
Для решения указанной задачи функцию / мы должны вы-
выбрать в виде антисимметричного тензора третьего ранга
где матрица awVx определяется равенством A4.85) и удовлетво-
удовлетворяет следующему свойству:
°W — ~ anAv = — «vnv A5.25)
Найдем расходимость тензора A5.24), учитывая A5.25):
d/
ц [vA]
Ti
//
• A5-26)
Два штриха, поставленные у суммы, означают, что в этой сумме
согласно A4.85) мы должны исключить два члена, для которых
X = \х и К = v.
Из равенств A5 3) и A5.4) следует
оз^. A5.27)
2л ■*.<*.= — \Ь ам — ф..а..
Подставляя A5.26) в A5.27) и принимая во внимание соотно-
соотношение
ам.РзстцРз = Pi A5.28)
(в равенствах A5.27) и A5.28) суммирования по индексам ц
и v нет), получаем
Отсюда с помощью A5.22) для метрического тензора энергии
находим выражение
T'»i= ~ lf(*+av^ - ^av* + *+<V*v - ^v%t)- A5.29)
Для энергии же получаем старое выражение A5.13).
184 § 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Согласно A2.11) для тензора плотности «собственного» мо-
момента количества движения поля следует написать
Vi я = т (/, w - К >м) = 4 *+а^*- A5-3°)
Отсюда для пространственных составляющих тензора спина
имеем
й 4
Из формулы A4.86) находим
ct>^4 == И Р^гРз^зРз' Pi == — iG't^i === ^i- A5.31)
Поэтому
sx = -к- ty+0ity. A5.32)
Аналогичным способом получим
Заметим, что полный момент количества движения
/[ixv] я = ^+J[nv] ityd3x, A5.34)
где
т дд _I_ ^ « П Ч Q£\
удовлетворяет закону сохранения
" г п /1С ОС\
"з—•'[|xv]A — U. ^Ю.Ои^
Таким образом, мы приходим к понятию четырехмерного
псевдовектора спина 0Ц, с помощью которого можно характе-
характеризовать спиновые свойства электронов и позитронов. Однако
эта величина не является интегралом движения, поскольку со-
сохраняется только полный момент A5.34), пространственные со-
составляющие которого равны
J = [гр] + у а. A5.37)
Это обстоятельство приводит к ряду трудностей в решении кон-
конкретных задач. В самом деле, разделение решений уравнения
Дирака по спиновым состояниям с помощью оператора ап не
представляется возможным, поскольку он не коммутирует с га-
гамильтонианом уравнения Дирака (см. A4.19)) и поэтому не
может иметь общих с ним собственных функций.
Для характеристики спиновых состояний наряду с псевдо-
псевдовектором спина ац можно ввести тензор собственного (спина-
РЕШЕНИЯ, КОГДА СПИН - ИНТЕГРАЛ ДВИЖЕНИЯ 185
вого) магнитного и электрического моментов — антисимметрич-
антисимметричный тензор второго ранга
ta ч,; ц Ф v,
A538)
anv=='ll)+aMv't- A5.39)
Отличные от нуля компоненты этого тензора связаны со спи-
спиновым магнитным р30 и электрическим р2о моментами соотно-
соотношением A4.76). Однако компоненты тензора A5.38) также не
коммутируют с гамильтонианом уравнения Дирака и поэтому
тоже не являются интегралами движения.
г) Решения, когда спин является интегралом движения. По-
Поскольку нас в дальнейшем будут интересовать решения уравне-
уравнения Дирака с определенным состоянием спиновой поляризации,
т. е. с определенным направлением электронного спина, необ-
необходимо построить такой оператор поляризации, который обла-
обладал бы необходимыми свойствами ковариантности и являлся бы
интегралом движения. В нерелятивистском приближении такой
оператор должен быть пропорционален матрицам Паули, опи-
описывающим, с одной стороны, спин частицы и коммутирующим,
с другой стороны, при отсутствии магнитного поля с нереляти-
нерелятивистским гамильтонианом.
Введем оператор обобщенного спина, представляющий собой
псевдотензор [17, 18]*)
*^ с e^<W (РЛар + avapPx) —
i^P + <УрРл). A5.40)
Эта величина удовлетворяет закону сохранения
"^■ва^*+р^-0, A5.41)
благодаря чему временная составляющая псевдотензора Рц4, об-
образующая при интегрировании по трехмерному пространству
псевдовектор поляризации S^ является интегралом движения:
5ц = *' D+F^d3* = const. A5.42)
Из A5.40) получаем, что оператор псевдовектора поляриза-
поляризации имеет вид
^ np4)- A5.43)
*) Кампешевы псевдотензора P^v связаны с компонентами тензора
с помощью символа Леви-Чивита
186 § 15- ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В случае свободного движения р4 = г'Н/с и поэтому
A5.44)
где для любой из шестнадцати матриц Дирака введено обозна-
обозначение *)
^На + аН>- A5-45)
Пространственные и временная компоненты псевдовектора по-
поляризации A5.44)
S|1 = (S, i'St), S = p30 + Pl^, St^-^(op). A5.46)
являются интегралами движения [19, 20].
По аналогии с оператором F^ можно ввести оператор обоб-
обобщенного тензора спина (тензор третьего ранга)
{ + SvPJ. A5.47)
где ацд, — тензор магнитного и электрического моментов A5.38).
Эта величина удовлетворяет закону сохранения
^ ^=0> A5.48)
из которого следует, что четвертая составляющая (тензор поля-
поляризации) является интегралом движения:
AfBV = Г J г|)+Р^4г|) d3x = const. A5.49)
С учетом A5.47) находим [18, 21—23]
A5.50)
*) Заметим, что если из любой матрицы Дирака образовать выраже-
выражение A5.45), то в случае отсутствия электромагнитного поля оно станет ин-
интегралом движеиия. В самом деле, составляя коммутатор матрицы а с га-
гамильтонианом, найдем
На - аН = -^-Цг (Н2а - аН2) = 0.
Квадрат гамильтониана
2 22 ^4
не зависит от матриц ft и поэтому он должен коммутировать с любой из
шестнадцати матриц Дирака, благодаря чему выражение A5.45) является
интегралом движения.
РЕШЕНИЯ, КОГДА СПИН - ИНТЕГРАЛ ДВИЖЕНИЯ 187
Компоненты тензора поляризации спина можно представить
с помощью равенств
'М23 Mai Mi2\_/ Hi Ц2 Из \
«, М42 M«/~U'e, i'e2 t'ej' A5.51)
Тогда компоненты магнитной спиновой поляризации
Н}0 +
^ A5.52)
и электрической спиновой поляризации
е = - р2ог = — -Л-р {Нр2о + р2огН} = — — Рз[огр] A5.53)
коммутируют с гамильтонианом и являются интегралами дви-
движения.
Таким образом, величины Sy, и Mwv дают возможность раз-
разделить решения уравнения Дирака для свободного движения
электрона по двум состояниям спиновой поляризации, которые
являются интегралами движения. Например, если нас интере-
интересуют состояния с проекцией спина на направление движения
электрона, то волновую функцию г|з, удовлетворяющую уравне-
уравнению Дирака
Ш -J- ф = Щ, A5.54)
можно подчинить еще дополнительному условию
■Щ-^^sq, A5.55)
где согласно A5.46) (ар) = mQcSt. Собственные значения опи-
описывают ориентацию спина электрона (продольная поляризация)
либо по движению (s = 1), либо против него (s = —1).
В случае свободного движения частицы оказалось возмож-
возможным ввести еще такой оператор поляризации, который позво-
позволяет описывать проекцию спина на произвольное направление.
Тогда следует взять трехмерный единичный вектор спина о0,
составленный из пространственных и временной компонент че-
четырехмерного вектора поляризации S^ {21, 24, 25]:
fTo_pSf | [p[S, p]] _ p(ffp) . <rp2-p(ffp) Мсад
<*"— -jri j2 — —^2 l-Рз J2 • A5.56)
Если воспользоваться формулами A5.46), A5.53), а также
оператором
имеющим собственные значения Е = с Yp2 + m-jc2, то вектор
а° можно связать с собственным магнитным и спиновым
188 § 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
моментами при помощи соотношения
Вектор спина о0 в случае свободного движения коммутирует
с гамильтонианом и поэтому является интегралом движения.
Точнее, гамильтониан должен коммутировать и с любой его
проекцией, т. е. должно иметь место соотношение
(а°я°) ф = sip, A5.58)
где s°— единичный вектор произвольного направления. Приме-
Применяя оператор к равенству A5.58), мы получаем, что
(o°s°) (or°s0) i|) = s2ty.
Учитывая соотношение
находим s — ±1, т. е. матрица о0 играет роль трехмерного еди-
единичного вектора, который не обладает тензорными свойствами
и подчиняется при лоренцевых вращениях особому закону пре-
преобразования A5.94).
Для установления связи между операторами псевдовектора
поляризации A5.46), тензора поляризации A5.51) и единичного
трехмерного вектора поляризации A5.56), а также уточнения
их физического смысла обратимся к известному представлению
Фолди — Вутхаузена [26]. Как известно, у дираковской частицы
с положительной энергией имеется два независимых состояния
при каждом значении импульса. Эти состояния соответствуют-
двум возможным ориентациям спина. Однако волновая функ-
функция уравнения Дирака содержит всего четыре компоненты, что
соответствует существованию решений с отрицательным значе-
значением энергии. В связи с этим в обычной формулировке теории
Дирака возможность интерференции состояний с положительной
и отрицательной энергией накладывает характерный отпечаток
на интерпретацию операторных величин, наделяя их, на первый
взгляд, несколько необычными свойствами и затрудняя тем са-
самым их физическое истолкование*).
ФЛ
/ФЛ /4>з\
Интерференция «верхних» , и «нижних» , I комио-
нент волновой функции г|з приводит к особому характеру дви-
*) Так, в частности, можно рассмотреть оператор скорости
г = ~ {Яг — гН} = са,
причем, в силу того, что аг = 1, проекция этого оператора на любое на-
направление всегда давала бы значение с, что физически несостоятельно [2, 13].
РЕШЕНИЯ, КОГДА СПИН - ИНТЕГРАЛ ДВИЖЕНИЯ 189
жения электрона, накладывая на него так называемое «шредин-
геровское дрожание» — быстрые осцилляции с частотой © =
= 2E/h. Вместе с тем переход к двухкомпонентным волновым
функциям при фиксированном знаке энергии, очевидно, смог бы
устранить эти трудности, и тогда физическая интерпретация опе-
операторов могла бы стать более прозрачной.
Заметим, что в нерелятивистском приближении (v/c—*0) две
из четырех компонент функции Дирака, а именно, tyf и i|u обра-
обращаются в нуль. Это открывает возможность отыскания такого
представления, в котором волновая функция не только в системе
покоя (v = 0), но и в любой системе отсчета имеет всего две
компоненты, отвечающие двум значениям проекции спина. Эта
задача решается переходом к представлению Фолди — Вутхау-
зена, в котором волновая функция ф и оператор F преобра-
преобразуются по закону
^ф-в = eiw^> рФ-в = eiwpe-twt A5.59)
где унитарный оператор преобразования имеет вид [27]
E + moc*±P3c(ap)
c*) У '
Переход к двухкомпонентным волновым функциям устраняет
«шредингеровское дрожание», и операторы получают более на-
наглядное истолкование*).
Рассмотрим некоторые спиновые операторы в представлении
Фолди — Вутхаузена. Пусть в системе координат, связанной с
электроном, поляризация частицы описывается четырехмерным
спиновым оператором Sy, =(р3<т, 0). Тогда в представлении Ди-
Дирака этому оператору отвечает единичная трехмерная матрица
«2-0. A5.61)
*) Так, в частности, для оператора скорости вместо дираковского выра-
выражения г — са мы получаем в импульсном представлении
При выводе этого соотношения мы учли, что Нф"в = р3£ = р3 у т^с4 + с2р2
и х = гй ——. Производя преобразование, получаем, что в представлении
ОРх
Дирака этому соответствует оператор скорости вида
2р р3тос2 + с (ар)
£
190 § 15- ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В последнем равенстве мы учли выражение для оператора Га-
Гамильтона Е = с(ар) + рз/ПоС2. Это совпадает с выражением для
трехмерного вектора поляризации A5.56).
Перейдем к лабораторной системе координат с помощью
преобразований Лоренца, когда компоненты вектора преобразо-
преобразования изменяются по формуле
*n = V<> О5-62)
где матрица преобразования имеет вид (/, / = 1, 2, 3)
_ _ ., Pi E
a*4--a«--t— • «44— ^f-
• «44 ^
A5.63)
Представляя эту матрицу оператором, находим в лабораторной
системе координат
Sp = ailVe-iwsTBeiw = {S, iSt}. A5.64)
Здесь пространственные и временная компоненты с точностью
до постоянного множителя совпадают с выражениями для че-
четырехмерного псевдовектора поляризации A5.46):
Если, наконец, в системе, связанной с электроном, выбрать
в качестве оператора поляризации тензор, совпадающий с auv
(см. A5.38)):
СФ-В СФ-В СФ-В СФ-В n /ieee\
Si/ =SijkSk , Sj4 = S4* =0, A5.66)
то преобразование этой величины в лабораторную систему
^v = awavie-iwSlieia> A5.67)
приводит нас к тензору поляризации A5.51)
М^ = а^. A5.68)
Таким образом, псевдовектор поляризации и тензор поляри-
поляризации могут быть получены с помощью преобразования спино-
спинового оператора, взятого в системе координат, связанной с элек-
электроном, в лабораторную систему. Заметим, однако, что прове-
проведенные нами преобразования имеют место лишь для свободных
частиц.
д) Свободное движение электрона. Найдем прежде всего
полное решение уравнения Дирака с учетом двух значений энер-
энергии (положительной и отрицательной) и двух возможных на-
направлений спина.
Уравнение Дирака, разделяющее состояния электрона по
знаку энергии, имеет вид
Ei|> = Hi|>, A5.69)
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 191
где операторы энергии и гамильтониана соответственно равны
В качестве уравнения, разделяющего состояния электрона
по спинам, мы выберем уравнение A5.58), которое с учетом
р = — V и \p\ = hk может быть представлено в виде
г|э = st|). A5.71)
Нетрудно убедиться, что оператор St = (a\)/ik коммутирует с
гамильтонианом A5.70) и поэтому уравнения A5.69) и A5.71)
могут иметь одинаковые собственные функции.
Частные решения уравнений A5.69) и A5.71) будем искать
в виде
Здесь L — длина периодичности, с которой связан волновой век-
вектор k = p/fi соотношением
p л»=0, ±1, ±2, ±3, .... A5.73)
где
амплитуда b представляет собою матрицу
A5.75)
удовлетворяющую условию нормировки
b+b = b\bl + blb2 + blfo + b\bi= 1. A5.76)
Подставляя решения A5.72) в уравнения A5.71) и A5.69),
мы найдем для определения матриц Ь, а также величин ens
следующие матричные уравнения:
(ks — (ak))b==0, (е.К — $P\k — p3k0) b = 0, A5.77)
которые Мы можем записать в виде системы уравнений:
(Sk — £3) Ь\, 3 = &I2&2, 4, (Sk + £3) Ь% 4 = k12bi, з,
192
§ 15. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
где k12 = k\ -\- ik2. Отсюда мы находим два значения для спина:
s= 1 (спин направлен по движению) и s — —1 (спин направ-
направлен против движения) и два значения для энергии: е = 1 (по-
(положительная энергия, Е = сЬК) и е = —1 (отрицательная энер-
энергия, Е = -сЬК).
Решение для матрицы Ъ следует искать в виде
if л
&2
b л
1
~ 2
AiB2
A2Bi
A2B2
, "Z 1
A5.79)
Тогда для определения постоянных A\t2 и Ви2 получаем урав-
уравнения
(sk — k3)Bl = kUB2 (sk + k3)B2 = ki2Bi
( 0)
Условие нормировки A5.76) принимает в этом случае вид
b+b = -j{A]Ai + А1А2){В\В\ + В*2В2)= 1. A5.81)
Из уравнений A5.80) и A5.81) находим
— ekJK.
A5.82)
Аг = es Y1 — &kJK,
jt = Sg-*<p/2 /I + s cos 9, S2 = ег<р'2 |/l — scos9,
где 6 и ф — сферические углы волнового вектора k (k
& ^)
12
, 3 )
С помощью A5.82) легко также показать условие ортонор-
мированности матриц, соответствующих четырем решениям (е =
= ±1, s = ±1) при заданном импульсе k:
b+(k, s', e')b{k, s, e) =
A5.83)
Что касается полного решения уравнения Дирака A5.69), то
оно принимает вид
4>(г, 0 = -^Г S b^k' s> e)C(k> s> ^)e~lc^t+ikr, A5.84)
k,s, s
где C(k, s, e) — амплитуды (не матрицы), квадраты которых
определяют вероятности нахождения частицы в состоянии k,
s, e.
е) Исследование спиновых свойств свободного электрона.
Исследуем прежде всего поляризацию спина электрона, ограни-
ограничиваясь состояниями с положительной энергией (е = 1). Не на-
нарушая общности, мы можем ось 2 направить по импульсу ча-
СПИНОВЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА
193
стицы, т. е. положить kx = ky = 0, kz = k. Тогда решение A5.72),
описывающее подобное движение, принимает вид
, е=1) =
A5.85)
где амплитуды С\ и C_i характеризуют состояния соответствен-
соответственно с s = 1 и s — —1, причем согласно условию нормировки
СТС,+ CLiC_, = I. A5.86)
Поляризация спина может характеризоваться тремя величи-
величинами:
трехмерным вектором спина (см. A5.56)), составляющие ко-
которого при kx = kv = 0, kz = k становятся равными
О ~=OV Сг. = р,СТ,, СТ"=р,СТ„, A0.0/)
четырехмерным псевдовектором спина (см. A5.46)) с со-
составляющими
k
A5.88)
A5.89)
составляющими тензора второго ранга A5.52):
, k k
■~~т:рзСГ2)
Найдем средние значения от этих величин, которые даже
при введении отрицательной энергии не должны зависеть от
времени, так как соответствующие операторы коммутируют с
гамильтонианом:
для составляющих трехмерного единичного вектора спина:
A5.90)
= CL,C, + С]С_Ь
= J ^+p3a2il)d3x = I (C1,C, - CIC_
= J г|з+сгзг|)й3л; = С]С! — CLxC-i\
7 А. А. Соколов, И, М, Тернов
194 § IS. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
для четырехмерного псевдовектора спина
~ SX, 1I Sz=~fc~ S2> St=~j^~SZ> A5.91)
для тензора спина
К k
№х, у — ~j^ sx, у! l-iz = sz> ex,y — + ~k^sy-*• A5.92)
Отсюда видно, что квадрат трехмерного вектора спина с учетом
условия нормировки A5.86) равняется единице:
s2 + S2 + S2 = (qC1 + CriC_1J=l. A5.93)
Интересно отметить, что при лоренцевых преобразованиях
временная составляющая этого вектора не появляется. Что ка-
касается первых трех составляющих, то они преобразуются по за-
закону [21]
, . , A5.94)
sx~sxcosy ~szsmy, sy = sy>
где
В = /(p1 - p cos 9J + p2 A - p2) sin 9. A5.95)
Здесь cPi = ckjK—скорость частицы в нештрихованной систе-
системе координат, ср — скорость штрихованной системы координат
относительно нештрихованной. Эта. скорость лежит в плоско-
плоскости xz и составляет с осью z угол 0.
В штрихованной системе координат согласно формуле A5.94)
трехмерная длина вектора s' остается также равной единице:
s'2=l. A5.96)
Заметим, что при наличии одной лишь продольной поляриза-
поляризации (sy = sx = 0, sz = ±l) будем иметь круговую поляриза-
поляризацию. В отличие от терминологии, принятой в теории фотонов,
для дираковских частиц круговая поляризация называется спи-
ральностью. Спиральность характеризует вращение вектора по-
поляризации относительно импульса. При s3 = 1 (Cj = 1, C_i = 0)
мы имеем правую спиральность, а при s3 = — 1 (Cj = 0,
C_i = 1) —левую. В самом деле, как видно из формулы A5.85),
-fs?oji|). A5.97)
Учитывая зависимость волновой функции от времени г|з ~ ericKt,
мы находим, что вращение вектора поляризации будет совер-
совершаться от оси х к оси у, расположенной перпендикулярно к им-
импульсу (ось 2). Следовательно, случай s3 = 1 (правая спираль-
СПИНОВЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА 195
ность) описывает в правой системе координат правый винт, а
при s3 = — 1 (левая спиральность) —левый винт*).
Что касается четырехмерного псевдовектора спина (см.
A5.91)), то он является пространственноподобным псевдовек-
псевдовектором:
S2-S2t=l,
в противоположность четырехмерному вектору импульса, кото-
который является времениподобным вектором:
2 2 9
kt — k =ko,
где
kt = К = Vk2 + kl
При преобразованиях Лоренца составляющие псевдовектора бу-
будут преобразовываться так же, как и составляющие вектора.
Аналогично мы можем найти закон преобразования и для сос-
составляющих тензора спина. Заметим, что при нашем выборе коор-
координат (kx = ky = О, kz Ф 0) составляющие вдоль оси z описы-
описывают продольную поляризацию, а составляющие вдоль осей
х, у — поперечную.
Вообще говоря, для описания поляризационных свойств элек-
электронов можно ограничиться введением единичного трехмерного
вектора s, с помощью которого можно найти как продольную
(sz), так и поперечную (sx и sy) поляризации. Однако при вклю-
включении магнитных или электрических полей этот вектор может и
не сохраняться. В ультрарелятивистском случае поперечная со-
составляющая псевдовектора спина будет исчезающе мала по сра-
сравнению с продольной, а для тензора поляризации, наоборот, бу-
будет стремиться к нулю продольная составляющая. Поэтому в
ультрарелятивистском случае следует продольную поляризацию
описывать четырехмерным псевдовектором спина, а попереч-
поперечную— пространственными составляющими тензора поляризации.
В нерелятивистском случае (приближение Паули) мы можем
положить k/ko = O, K/ko=l, ря=1. Тогда у трехмерного еди-
единичного вектора, а также у псевдовектора спина и простран-
пространственных составляющих тензора спина останутся только три со-
составляющие, которые можно описывать матрицами Паули
<=Sx = nx = a;, <$ = Ьи = Чу = о'г a«=S2 = ^ = <, A5.98)
*) При инверсии пространства (г = —г), т. е. при переходе к левой
системе координат, наоборот, при «з = 1 будем иметь левый винт, а при
s3 = — 1—правый. Этот результат является вполне естественным, так как
в скалярном произведении «з = (sfe°), величина ft0 является полярным единич-
единичным вектором импульса, а s—аксиальным единичным вектором. Поэтому при
инверсии пространства вектор ft0 изменяет свое направление, а направление s
остается без изменения. Скалярное же произведение $з, хотя и изменяет свой
знак, но описывает ту же форму спиральности.
196 § 15- ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
поскольку у матриц Ъ (см. A5.85)) остается только по одной
составляющей, соответствующей функциям \J)i и i|J- В приближе-
приближении Паули мы можем положить *)
(
A5.99)
ж) Спиновые свойства при наличии электромагнитного поля.
Псевдовектор и тензор спина для свободной частицы (см.
A5.43) и A5.50)) допускают простое обобщение на случай дви-
движения электрона во внешнем электромагнитном поле
E = _grad(D-y-^-> # = rotA. A5.100)
Сохраняя необходимую релятивистскую ковариантность, мы дол-
должны для этой цели импульс ру, заменить на обобщенный им-
импульс Рц по формуле
Р^Р,= Р,-7^- A5Л01)
где Лд= (Л, ГФ) —четырехмерный вектор-потенциал. Тогда для
.составляющих четырехмерного вектора поляризации мы получим
выражение
^ A5.102)
Учитывая, что при наличии поля
p4==Z.(H —еФ), Н = с(аР) + р3'«оС2 + еФ, A5.103)
мы вместо A5.45) имеем
^ A5.104)
Если написать решение нерелятивистского уравнения Паули:
то для собственных значений найдем
05.98a)
СПИНОВЫЕ СВОЙСТВА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 197
Для компонент оператора псевдовектора поляризации получаем
следующие значения (см. A5.46)):
/%, A5.105)
где
S ^, Sf = p,=(aP)-^. A5.106)
Исследуем поведение этих операторов во времени, чтобы
определить условия, при которых какая-либо из компонент век-
вектора поляризации может стать интегралом движения. С этой
целью находим
§р Й A5Л07)
A5.108)
Отсюда следует, что в случае магнитного поля с фиксированным
направлением (Я0 = const) при отсутствии электрического поля
(Е = 0) интегралами движения являются временная составляю-
составляющая псевдовектора поляризации S« = (aP), а также проекция
пространственной компоненты на направление внешнего магнит-
магнитного поля (SH)/H. В случае же отсутствия магнитного поля
(Я — 0) интегралом движения будет проекция компоненты S,
направленная вдоль электрического поля.
Тензор поляризации спина (см. A5.50)) мы можем также
обобщить на случай движения электрона во внешнем электро-
электромагнитном поле:
^ A5.109)
Отсюда для компонент тензора поляризации вместо A5.52),
A5.53) находим [22, 25]
H = a + p2[aP] —, 8 = p3[aP] —. A5.110)
Изменение этих величин в единицу времени может быть най-
найдено по формулам
^ ], A5.111)
£]. A5.112)
В случае наличия лишь магнитного поля с фиксированным на-
198 § 15- ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
правлением (Е = 0) интегралом движения будет проекция спина
на направление магнитного поля и наоборот.
Заметим, что проекция единичного трехмерного вектора поля-
поляризации а0 (см. A5.56)) на направление внешнего магнитного
поля также является интегралом движения. Таким образом, при
движении электрона в электромагнитном поле поляризацию
спина можно описывать с помощью проекции спина на некото-
некоторые избранные направления. Направление спина можно описы-
описывать с помощью трехмерного единичного вектора а0, псевдовек-
псевдовектора S^ и тензора МцУ.
Однако положение несколько изменяется, если перейти к
уравнению Дирака, включающему дополнительный магнитный и
электрический моменты частицы [28]. Релятивистские свойства
уравнения Дирака не будут нарушены, если в уравнение будет
добавлен член, описывающий взаимодействие спинового магнит-
магнитного и электрического моментов с внешним электрическим и маг-
магнитным полями. Тогда уравнение Дирака может быть представ-
представлено в виде
-g-g-allv//|iVi|), A5.113)
где
Р(г=рд_^-Лд, A5.114)
g — безразмерный параметр*), |ло = еой/2тос — магнетон Бора,
Я^ — тензор электромагнитного поля:
dAv дАр,
Переходя к обычной записи уравнения Дирака, получаем
. A5.116)
Тогда при движении электрона в магнитном поле (Е — 0) един-
единственным интегралом движения остается проекция простран-
пространственных компонент тензора поляризации ц на направление маг-
магнитного поля. Остальные проекции перестают быть интегралами
движения.
Если же мы не учитываем взаимодействия с вакуумом и рас-
рассматриваем обычное движение электрона в электромагнитном
поле (g = 0), то в свете изложенного состояния продольной по-
*) В случае учета взаимодействия с электромагнитным вакуумом по-
постоянную g следует положить g = а/2я (a = e2jbc) (см., например, [1]).
Уравнения с g Ф0 вводят также для описания движения нуклонов — частиц,
у которых магнитный и электрический моменты пропорциональны ядерному
магнетону Цядерн = e0h/2Mc, где М — масса протона.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 199
ляризации электрона (проекция спина на направление движе-
движения) удобнее всего описывать с помощью 5гсоставляющей псев-
псевдовектора поляризации спина. Проекцию спина на направление
магнитного поля лучше всего определить с помощью тензора
поляризации *).
§ 16. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
а) Общие сведения. Ограничимся рассмотрением случая сво-
свободного движения [29, 30]. В этом случае имеем:
для функции Гамильтона (см. A5.15))
Н= j ^>+Щс13х= 5] cheKC+C; A6.1)
k, s, г
для трехмерного импульса частиц (см. A5.15))
G= Ja|)+pa|)d3*= Yi hkC+C> A6-2)
ft, S, 8
для заряда частицы (см. A4.31))
Q = e Ji|)+i|)d8x = e 5] С+С; A6.3)
k, s, г
для проекции спина на направление импульса (см. A5.71))
ft, S, 8
где
C = C(k,s,e), C' = C(k', s',e'). A6.5)
При получении выражений A6.1) — A6.4) мы использовали ре-
Хиение A5.84) и учли соотношение
б vi 6vs=6«'> (J 6-6)
а также условие ортонормированности A5.83). Для вторичного
квантования уравнения Дирака мы воспользуемся квантовыми
скобками Пуассона (см. A2.69)), которые имеют вид
j(HC-CH), A6.7)
*) Заметим, что если отсутствует движение электрона вдоль магнитного
поля, то проекция спина электрона на направление магнитного поля совпа-
совпадает с «поперечной» поляризацией электрона (перпендикулярной к его им-
импульсу). Как было показано в [21], поперечная составляющая псевдовек-
псевдовектора S в случае ультрарелятивистского движения становится исчезающе ма-
малой, в то время как составляющие компоненты тензора поляризации спина
практически не исчезают.
200 § 16 О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
т. е.
- кКгС = - у ^ сАе'* t(C'+C + СС'+) С'-С'+ {СС + С'С)}.
*'.в',в' A6,8)
Для того чтобы удовлетворить соотношениям A6.7) и A6.8),
мы должны написать следующие перестановочные соотношения:
С"С + СС" = 0, С'+С+ + С+С/+ == 0, A6.9)
т.е. отличным от нуля будет только один антикоммутатор
С+С + СС+ = 1. A6.10)
Эти перестановочные соотношения соответствуют статистике
Ферми —Дирака (см. ниже). В этом случае мы сможем сделать
так, что энергия всех частиц будет положительной как с е= 1,
так и с е = — 1.
Вообще говоря, если гамильтониан имеет вид
Я = 2сЙ/([С+(е=1)С(е= 1) ± С+ (е = - l)C(s = - 1)],
то при наличии знака плюс (см., например, поле фотона или
поле скалярных частиц) при вторичном квантовании мы должны
ввести бозевские перестановочные соотношения, при наличии же
знака минус—фермиевские. Мы сможем удовлетворить переста-
перестановочным соотношениям A6.10), если положим
C+C = N, CC+ = \-N, A6.11)
где N — число частиц в состоянии k, s, e. Поскольку эти произве-
произведения входят симметрично, то вторым решением, удовлетворяю-
удовлетворяющим уравнению A6.10), будет
C+C = \-N, CC+ = N. A6.12)
Для того чтобы энергия частиц оставалась положительной
величиной, мы должны для частиц с г = 1 выбрать соотношения
A6.11), а для частиц с г = —1 —A6.12).
Кроме того, в соответствии с формулами A6.1) — A6.4) мы
должны положить
С (k, s, е = 1) = С (k, s), C+ (k, s) С (k, s) = Ns (k),
C{k, s, e=- i) = C + (—k,s), C+(~k, s)C{-k,s)=*Ns(-k).
A6.13)
СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА 201
Тогда находим:
для функции Гамильтона *)
Н = 2 chK {Ns + ,VS - 2), A6.14)
k, s
для трехмерного импульса
G = 2 Ш (Ns + Ns), A6.15)
ft, s
для заряда частицы
Q = eIi(Ns-Ns + 2), A6.16)
k, s
для проекции спина на направление импульса
S=Ss(ls|*s), A6.17)
где
ffs(k) = Ns{k,e=l), Ns{k) = Ns(~k, в = -1). A6.18)
Отсюда можно сделать следующее заключение: только решения,
соответствующие статистике Ферми — Дирака, ведут к тому, что
оба сорта частиц Ns и Ns обладают положительной энергией.
Знак заряда обоих сортов частиц будет противоположным, т. е.
если частицы Ns соответствуют электронам, то частицы FJa — по-
позитронам (античастицам). Величина s = ± 1 описывает две воз-
возможные ориентации спина как у электронов, так и у позитронов.
Вектор спина s, так же как и вектор импульса k, при переходе
от частиц с отрицательной энергией к частицам с положительной
энергией изменяет свое направление, а величина s, равная ска-
скалярному произведению соответствующих единичных векторов:
s = (k°s°) должна оставаться без изменения. Кроме того, у нас
появляется бесконечная нулевая отрицательная энергия
A6.19)
k
и бесконечный нулевой заряд
Q0 = 22e; A6.20)
k
нулевое же значение спина и импульса исчезает.
б) Матричное представление амплитуд в случае статистики
Ферми—Дирака. Для того чтобы удовлетворить перестановоч-
перестановочным соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (например для
*) Если подчинить дираковские частицы статистике Бозе—Эйнштейна,
то мы не смогли бы избавиться от состояний с отрицательной энергией, так
как гамильтониан равнялся бы
ЯБ = 2 сЪК {Ns - Ns). A6.14a)
202 § 16- О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
поля фотонов), мы ввели бесконечные матрицы как для вто-
вторично квантованных амплитуд (см. формулы A2.76)), так и для
состояний, описывающих различное число частиц (см. A2.77)).
Эти бесконечные матрицы соответствовали тому, что в любом
квантовом состоянии могло быть любое число частиц.
Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотноше-
соотношениям Ферми — Дирака:
С+С + СС+ = 1, A6.21)
мы должны вместо бесконечных матриц выбрать двухрядные
матрицы как для амплитуд (см., например, [2]):
так и для числа частиц:
() () A6.23)
причем f@) описывает состояние, в котором частицы отсут-
отсутствуют, а /41) —состояние с одной частицей. Тогда автоматиче-
автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения A6.21).
Кроме того, амплитуды С являются операторами поглощения,
поскольку их действие на функцию от числа частиц по законам
матричного исчисления равно
Cf(O) = O, Cf(l) = f(O), A6.24)
а амплитуды С+ — операторами испускания
+ + . A6.25)
Отсюда видно, что в каждом квантовом состоянии может быть
не более одной частицы.
С помощью равенств A6.24) и A6.25) легко показать, что
C+Cf{N) = Nf{N) CC+f(N) = ([-N)f(N), A6.26)
т.е. квадраты амплитуд имеют собственные значения A6.11) и
A6.12).
в) Вычисление матричных элементов с учетом поляриза-
поляризационных эффектов. При вычислении матричных элементов лю-
любую независимую матрицу Дирака, число которых равно шестна-
шестнадцати, мы можем представить в виде [1, 31]
сф, v) = Puffv, A6.27)
где
Рц = (Р1. Рг, Рз, Л. <?v = (<Ь Op Oj, /). A6.28)
ВЫЧИСЛЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ 203
Тогда вероятность перехода частицы из состояния k', е', s' в со-
состояние к, 8, s должна быть пропорциональна матричным эле-
элементам вида
а = Ь+{к', г', s')a{n, v)b(k, е, s) =
= тЫ8'> s' 8' *К(е', sf, е, s), A6.29)
где
Пусть поляризация начального состояния описывается ам-
амплитудами Ci = C(e, s=l) и C-i = C(e,s = —1). Тогда для
амплитуд конечного состояния имеем
SW-fPiiv8'' sr, e, s)dv(e', s', e, s)Cs, A6.31)
p., v, s
где g^v — коэффициенты связи (своеобразные заряды), опреде-
определяющие взаимодействия, приводящие к искомому переходу.
Обозначим угол, который образует трехмерный вектор спина
с вектором импульса, через О, а угол, который он составляет
с некоторым выделенным вектором, перпендикулярным к напра-
направлению импульса, — через ср. В этом случае
d = С cos @/2), C_1 = Csin@/2)ei(f, A6.32)
а полная вероятность состояния определяется выражением
Компоненты трехмерного единичного вектора спина, характе-
характеризующие поляризацию, равны (см. A5.90)):
для продольной поляризации:
sz = С2 —- = cos ft,
для поперечной поляризации
Sx = = ^г ~ = S'n ^ C0S ф>
., . . • ч A6.34)
sy = ~' 1С2—' = sin ft sin ф.
Если нас интересуют лишь значения для эффективного сечения
(а ~ С2) и продольной поляризации (sz), то в вычислениях мы
можем ограничиться матричными элементами вида C'sr C's>
204 § 16- О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
(суммирования по s' нет), которые будут пропорциональны ве-
величинам
(а', а) =
= &+(£, 8, 5)а(ц', \')b(kf, г', s')b+{k', в', я')а(ц, v)b(k, е, s) =
= jp(n\ H)a(v', v), A6.35)
где
l+Pae-*-U, A6.36)
При выводе шпуров (Sp, т. е. суммы диагональных элементов
матриц) мы приняли во внимание равенства
1 — p.es -гг — epi -~-\ b (k, s, s) = О,
Ад/
, В, 5) = 0t
из которых, в частности, следует
, в, s).
A6.38)
Из соотношений A6.36) с учетом, что масса дираковских ча-
частиц может быть различной (например, электрон и нейтрино),
для р можно получить (см. A6.36))
рB,2)
Р C, 3)
РD, 4) j
-ФA, 2) = фB, 1) | e*o_ e'ftj
рC, 4)= рD, 3) )— К +ПС~' 1 '
- ф B, 4) = ф D, 2) | ee'skk'Q _ ее Vfe'fe0
рA, 3)= рC, 1) )~~КК' ' WK '
— lp B, 3) = ф C, 2)( esk _ e's'k^
рA,4)= рD,
ВЫЧИСЛЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ 205
Для сг аналогичным способом находим (см. A6.36))
дD, A)=\+ss'^-,
а (л, га') = (яя') U-ss'^p-) +
ss'
d(n,4) } sk'kn + s'kk'n iss'(n[kk'})
5D, n) J kk' T £ft'
Отсюда видно, что при переходе к нерелятивистскому прибли-
приближению полезно учесть следующие правила.
1. Если частица переходит из одного состояния в другое с тем
же знаком энергии (ее'= 1), то матричные элементы, пропор-
пропорциональные матрицам pi или рг, имеют порядок vie по сравне-
сравнению с матричными элементами, пропорциональными матрицам
рз и р4 = 1, т.е. в нерелятивистском приближении, как видно из
формулы A6.39),
рC, 3) ~ рD, 4) ~ 1, рA, 1) ~ рB, 2) ~ -^ ==р2.
2. Если частица переходит из одного состояния в другое с
противоположным знаком энергии (ее' = — 1), т.е. из состояния
с положительной энергией в состояние с отрицательной энер-
энергией, или наоборот, то легко показать, что матричные элементы,
пропорциональные р3 и /, будут иметь порядок v/c по сравнению
с матричными элементами, пропорциональными pi и рг. В случае
(ее' = — 1), как следует из формул A6.39),
рA, 1) ~ рB, 2) ~ 1, рC, 3) ~ рD, 4) ~ -|т = Р2-
3. Если частица обладает равновероятными значениями для
направления спина, то мы должны усреднить квадратичную
форму матричного элемента по спиновым состояниям s и s':
f — —
S, S ^=— 1, -j- I
Отсюда видно, что при усреднении члены, пропорциональные s
или s', обращаются в нуль, а члены, не зависящие от s и s', дают
единицу.
В качестве примера вычислим среднее значение матричного
элемента (/,/). Согласно приведенным формулам A6.39) и
206
§ 16 О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
A6.40) имеем
т. е.
1
Тб"
kk'
ее
KK'
= -5-11+88'-
КК' )'
kk'
A6.42)
Аналогичным способом могут быть найдены другие средние зна-
значения квадратичных форм матричных элементов.
Заметим, что для вычисления средних значений квадратов
матричных элементов, мы можем произвести усреднение с по-
помощью формулы A6.41) непосредственно в выражении A6.35).
Тогда получаем формулу Казимира
. A6.43)
В частности, подставляя сюда вместо матриц а' и а единичные
матрицы, мы вновь находим выражение A6.42).
г) Волновое уравнение для позитрона. При исследовании ре-
решений с отрицательными значениями энергий при наличии элек-
электромагнитного поля, наряду с основным уравнением Дирака
= 0, A6.44)
запишем также и комплексно-сопряженное уравнение [1]:
'=l A6-45>
которое легко может быть получено, если учесть, что a* = a,,
a* = — a,, a* = a3, Рз = р3, а комплексно-сопряженная волновая
функция
Г
ь
A6.46)
ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ ЛЮДЕРСА - ПАУЛИ 207
отличается от эрмитово-сопряженной
Ф+ = 0№ВД. A6.47)
Заметим, что комплексно-сопряженное уравнение A6.45) со-
совершенно эквивалентно эрмитово-сопряженному уравнению
= 0 A6.48)
в чем нетрудно убедиться, если расписать в виде системы четы-
четырех уравнений уравнения A6.45) и A6.48) и учесть при этом
правило действия оператора, стоящего перед волновой функ-
функцией:
,+ д дф + д 3ib+ ,,„ .m
* IT-*-*-• * 17-* W- A6-49)
Сделаем замену в комплексно-сопряженном уравнении Ди-
Дирака A6.45)
■ф* = /а^рзф. A6.50)
Учитывая правило коммутации матриц Дирака, мы найдем для
волновой функции ф уравнение
Ъ д ,±,
i дх с
которое описывает движение позитрона, поскольку отличается
от'основного A6.44) заменой заряда е на —ее тем различием,
что мы должны у функции ф трактовать знак энергии иначе, чем
у функции ф*. Иными словами, состояния с положительной энер-
энергией в уравнении A6.51) следует отнести к позитронам, а со-
состояния с отрицательной энергией —к электронам.
д) Понятие о теореме Людерса—Паули. Уравнение Дирака
инвариантно относительно так называемого слабого обращения
времени (СТ-преобразование), сводящегося к совместному заря-
дово-сопряженному преобразованию (е—► — е, С-преобразова-
ние) и просто обращению времени (£-> — t, Ф ->—Ф, Т-преоб-
разование), получившего название сильного. В самом деле, в
случае СТгпреобразования уравнение A6.44) принимает вид
Uh д ,-гД \ 1Ъ д , е . \ . (Ь д
208 § 16. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Последнее уравнение в результате замены \|з—>ст2^* переходит в
комплексно-сопряженное уравнение A6.45) (аналогично ком-
комплексно-сопряженное уравнение переходит в основное).
Можно также показать инвариантность уравнения Дирака
относительно инверсии пространства г—*—г, А-*— А (Р-пре-
образование). В самом деле, в результате Р-преобразования
уравнение Дирака принимает вид
Ь д _Л . Г /Й д е л\ . (Ъ д е
■ — -гт— еФ Н" с Oi — -z, Ах\-\- а2\~ -=, /
i dt j ' L \ i дх с х I z \ i ду с
) = 0. A6.53)
Сделав в этом уравнении замену \|з—*р3г|), мы преобразуем его
к первоначальному виду A6.44).
Таким образом, уравнение Дирака инвариантно относительно
совместного тройного СРТ-преобразования (теорема Людерса —
Паули) [32].
е) Теория нейтрино с ориентированным спином. Уравнение
Дирака нашло еще одно применение, а именно: с его помощью
оказалось возможным описать нейтрино. В связи с этим мы хо-
хотим сказать несколько слов о предсказании и открытии нейтрино
вообще.
Как известно, внутри ядра нейтрон может существовать или
неопределенно долго (стабильные ядра) или испускать электрон
(нестабильные бета-радиактивные ядра). В свободном состоянии
нейтрон является нестабильной частицей с периодом полурас-
полураспада (для покоящегося нейтрона), равным примерно 12 мин
(время жизни равно 12/1п 2=17 мин « 1000 сек). При бета-рас-
бета-распаде масса нейтрона, превращающегося в протон, уменьшается
на величину, соответствующую энергии 2,5 тос2, в то время как
электрон, обладающий собственной энергией т0с2 ~ 0,5 Мэв, вы-
вылетает с самыми разнообразными энергиями, начиная от mocz и
кончая 2,5 тос2.
Средняя энергия электронов равняется примерно 1,6 т0с2,
т.е. при каждом акте распада теряется в среднем энергия по-
порядка 0,9 тос2. Кроме того, следует еще добавить, что все про-
процессы, протекающие в атоме и атомном ядре, должны быть, как
правило, дискретными: свет, излучаемый атомом, образует моно-
монохроматические линии; альфа-частицы, вылетающие из ядра, об-
обладают определенной энергией, и т. д. Поэтому, наряду с кажу-
кажущейся потерей энергии, оставалось совершенно непонятной
также и непрерывность бета-спектра. Для объяснения этого
факта Паули в 1930 г. [33] выдвинул гипотезу, согласно которой
при бета-распаде эта, казалось бы, потерянная энергия уносится
какой-то другой частицей, которая в настоящее время получила
ТЕОРИЯ НЕЙТРИНО С ОРИЕНТИРОВАННЫМ СПИНОМ 209
название антинейтрино v, т.е. реакция бета-распада имеет вид
п —> Р + е~ + v.
Аналогично при позитронном распаде образуется нейтрино*):
р->п + е+ + v.
Долгое время вообще было неясно, чем отличается нейтрино
от антинейтрино. Вначале можно было лишь сказать, что анти-
антинейтрино отличается от нейтрино тем, что первая образуется при
распаде нейтрона, а вторая — при распаде протона. Эти бета-
превращения совершаются крайне редко и обязаны так называе-
называемому слабому взаимодействию.
Вообще говоря, мы имеем три вида взаимодействия: сильное
(обусловливающее, в частности, ядерные силы), электромагнит-
электромагнитное и, наконец, слабое (приводящее, например, к распаду ней-
нейтрона), не считая еще гравитационного взаимодействия, которое
мы здесь не рассматриваем.
Нейтрино, а также антинейтрино обладают большой прони-
проникающей способностью и поэтому частицы в течение долгого вре-
времени оставались экспериментально ненаблюдаемыми. Нейтрино
свободно пронизывает Землю, Солнце и т.д. Поэтому только
в 1957 г. Райнесу и Коуэну [34] впервые удалось эксперимен-
экспериментально обнаружить антинейтрино, когда были построены мощ-
мощные источники этих неуловимых частиц (ядерные реакторы).
Антинейтрино было поймано протонами водородосодержа-
щего вещества по реакции, обратной бета-распаду:
Тонна воды поглощала лишь единичные частицы столь мощного
потока антинейтрино, и поэтому на каждый час приходилось еди-
единичное число превращений протона в нейтрон и позитрон (эф-
(эффективное сечение оказалось равным ~ 10~44 см2). Эта реакция
фиксировалась двумя вспышками, регистрируемыми фотоэле-
фотоэлементами. Первую вспышку давал позитрон, а вторую гамма-
квант, возникающий при захвате нейтрона ядром водорода.
Нейтрино может образовываться в результате термоядерных
реакций, происходящих на Солнце, например, в результате водо-
водородного цикла, в конечном результате которого четыре протона
переходят в гелий:
*) Заметим, что позитронный распад может происходить только в том
случае, когда протон находится внутри ядра. В противоположность нейтрону
свободный протон не может спонтанно распадаться, поскольку масса ней-
нейтрона больше массы протона, и поэтому при этом распаде не момет вы-
выполняться закон сохранения энергии.
210 § IS. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
причем нейтрино уносит несколько процентов всей энергии, излу-
излучаемой Солнцем. В качестве мишени для поимки нейтрино мож-
можно взять несколько десятков тонн четыреххлористого водорода.
Поглощение нейтрино должно происходить по реакции
Эффективное сечение захвата нейтрино, излучаемое Солнцем,
будет примерно таким же, как и захват антинейтрино в опытах
Райнеса и Коуэна, поскольку энергия обеих частиц в этих реак-
реакциях примерно одинакова и равна нескольким Мэв. Однако если
бы удалось получить нейтрино с энергией в несколько Гэв, то
эффективное сечение захвата должно резко увеличиться.
Большую роль в развитии теории нейтрино сыграло открытие
несохранения четности [35], которое в общих чертах сводится
к следующему [36—38]*).
1. При распаде нейтрона (n-^p-f-r-fv) или другой час-
частицы с ориентированным спином число электронов, вылетающих
по направлению спина нейтрона и в противоположном, будет
различным, т. е. мы будем наблюдать полярную асимметрию для
числа образовавшихся электронов N:
N=1-acos6, A6.54)
где а>0 — некоторый постоянный коэффициент**), a 9 — угол
между импульсом электрона и направлением, образующим пра-
правый винт с направлением круговой поляризации нейтрона, т.е.
спин частицы в этом случае следует описывать не аксиальным
вектором, направление которого зависит от выбора правой или
левой системы координат, а направлением вращения круговой
поляризации нейтрона, сохраняющей направление как в правой,
так и в левой системе координат.
2. Явление несохранения четности может также проявляться
при распаде бесспиновой частицы (я—> jx + v) или неполяризо-
ванного нейтрона (га—*р + е~ -\- v). Оно будет проявляться в том,
что хотя мы не будем наблюдать аксиальной асимметрии, однако
образовавшиеся заряженные частицы (мю-мезон или электрон)
должны обладать определенной круговой поляризацией.
Для объяснения явления несохранения четности Ли и Янг
[35], а также Ландау [40] на основе двухкомпонентной теории
предположили, что нейтрино должно отличаться от антинейтрино
*) Первые теоретические статьи по несохранению четности и их экспери-
экспериментальной проверке изложены в [39].
**) При распаде антинейтрона на антипротон, позитрон и нейтрино:
Я -*р~ + е+ + v
перед коэффициентом а мы должны поставить знак плюс.
ТЕОРИЯ НЕЙТРИНО С ОРИЕНТИРОВАННЫМ СПИНОМ 211
так называемой спиральностью. Нейтрино обладает левой спи-
ральностью, т.е. напоминает собою левополяризованный фо-
фотон *), а антинейтрино — правой.
3. Следующим шагом в развитии теории нейтрино является
открытие мюонного нейтрино [41]. Это открытие сводится к сле-
следующему: вместе с отрицательным мю-мезоном образуется пра-
вополяризованное нейтрино (или антинейтрино), которое, одна-
однако, не взаимодействует ни с электроном, ни с позитроном (в от-
отличие от электронного нейтрино или антинейтрино).
Все эти явления, связанные с несохранением четности, можно
объяснить, если ввести следующую гипотезу: все нейтрино и ан-
антинейтрино (электронные и мюонные) подчиняются уравнению
Дирака с массой покоя, равной нулю (четырехкомпонентная тео-
теория нейтрино) [42, 43].
Электронам е~, положительным мю-мезонам \а+ и нейтрино v
следует приписать положительный лептонный заряд (L= I), a
позитронам е+, отрицательным мю-мезонам рг и антинейтрино
v — отрицательный лептонный заряд (L = — 1), который во всех
реакциях должен сохраняться [44].
Мюонное нейтрино v^ (L — 1) должно обладать правой спи-
спиральностью (s = 1), а мюонное антинейтрино \>ц (L = —1)—-ле-
—1)—-левой (s = —1). Электронное же нейтрино ve (L=l), наоборот,
должно обладать левой спиральностью (s = —1), а антинейтрино
ve (L = —1) — правой (s=l), т. е. хотя мюонное нейтрино и
электронное антинейтрино обладают одной и той же спираль-
спиральностью (правой), однако лептонные заряды их различны и по-
поэтому отождествлять их нельзя.
Для того чтобы спиральность (см. A5.55) и A5.90)) при пе-
переходе от одной лоренцевои системы координат к другой остава-
оставалась неизменной (т.е. чтобы электронное нейтрино не смешива-
смешивалось с мюонным), необходимо положить массу нейтрино точно
равной нулю. В самом деле, как видно из законов преобразова-
преобразования A5.94) и A5.95), в этом случае pi = 1, и поэтому если в од-
одной инерциальной системе положить sz = ± 1, sx — sy = 0, то и
в любой другой инерциальной системе мы будем иметь для' ком-
компонент единичного трехмерного вектора те же значения:
s' = ±l. s'=s'=0.
х
Уравнения для нейтрино по четырехкомпонентнои теории мы
можем получить, полагая в уравнении Дирака массу покоя рав-
равной нулю (feo = O). Тогда согласно A5.77) имеем
= 0, (e —sp(N = O. A6.55)
*) Точнее, они должны отличаться друг от друга значением спина.
В единицах ft спин фотона должен равняться 1, а спин нейтрино — '/г.
212 § 16. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Отсюда следует, что s = ± s. Полагая s = —8, мы найдем
уравнение для электронного нейтрино:
A6.56)
Второе же значение (s = s) дает уравнение для мюонного ней-
нейтрино:
(ak)b = ekb. A6.57)
Рассмотрим простейшие примеры элементарных превращений
с участием нейтрино с ориентированным спином. В теории бета-
распада энергия взаимодействия может быть представлена в
виде
где %р и %п— волновые функции протона и нейтрона, т.е. тяже-
тяжелых частиц.
Предполагая, что нейтрон является покоящимся, мы можем
ограничиться нерелятивистским приближением (pi~p2 —0).
В этом случае отличные от нуля значения матричных элементов
дадут следующие члены взаимодействия: скалярное (as = рз),
тензорное (ат = рзо), векторное (av = /), аксиально-векторное
или псевдовекторное (ал-а), псевдоскалярное в данном слу-
случае равно нулю (ар = рг = 0). Например, ограничиваясь линей-
линейной комбинацией векторного (коэффициент связи gv) и аксиаль-
аксиально-векторного gA взаимодействий *), мы должны положить
<V = / = р4а4> ал = а„ = р4а„, п=\, 2, 3. A6.59)
При распаде покоящегося поляризованного свободного ней-
нейтрона (fcn = 0) [46] следует учесть, что часть импульса берет на
себя протон (ftp = —ke — ft/). Тогда мы найдем, что матричный
элемент, характеризующий этот распад (см. A5.81) и A5.82)),
пропорционален следующему выражению:
С (se) = -^A (se) (gvB4 + gA (Bl + B2 + B3)), A6.60)
где
причем в нашем случае (ер = е„ = ее=1, е? = —1) и в нереля-
нерелятивистском приближении для протона и нейтрона (kop/Kp —
= &о«//С«=1) имеем [47]
» г A6.62)
Ае2 = Se У 1 — ko/Ke , Avl = 1, Av2 = — Sy = — 1,
*) Это так называемый вариант Фейнмана — Гелл-Манна [45].
ТЕОРИЯ НЕЙТРИНО С ОРИЕНТИРОВАННЫМ СПИНОМ
213
т. е.
( k0/Ke-seVl-k0/Ke)- A6.63)
Точно так же для матричных элементов B(se), предполагая,
что спин нейтрона направлен по оси z (sn = 1), мы можем
написать
где
= spe 2
_Aр
р2 = е 2 \\ —spcos6p
A64)
= e 2
= e 2
Отсюда следует
X
i
-г
± e
~/l-spcos9p X
— secos9e)(l— cos6v)
].
t
secos9e)(l-cosev) ±e 2 X
X /A —secos6e)(l+cos9v)]. A6.65)
Для того чтобы исследовать поляризационные свойства выле-
вылетевших электронов, мы должны квадратичную комбинацию из
коэффициентов В*р и Вр просуммировать затем по состояниям
спина протона (sp = + 1, —1), а также проинтегрировать по
сферическим углам вылета протона (9Р, срР) и антинейтрино
@^ = л — Qv, q>v — л + <Pv) • Тогда находим
^) A6.66)
A6.67)
С помощью A6.66) мы можем получить формулы, характери-
характеризующие несохранение четности.
214 § 16. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
1. Допустим, что мы имеем нейтрон с ориентированным спи-
спином, который мы направим по оси г. Тогда, суммируя выражение
A6.66) по спину электрона (se — + U — 1)> MbI найдем для чи-
числа вылетевших электронов, импульс которых составляет со спи-
спином нейтрона угол 8е, формулу A6.54), причем коэффициент а
равен
а = Р(а2 — &2)/(а2 + &2). A6.68)
2. Если спин нейтрона не ориентирован, т. е. у нас не будет
выделенного направления, то выражение A6.66) мы должны
проинтегрировать по углу 8е. В этом случае мы найдем, что по
любому направлению будут вылетать электроны, обладающие
преимущественно левовинтовой спиральностью (противополож-
(противоположной спиральности антинейтрино). Зависимость числа вылетев-
вылетевших электронов (по любому направлению) от поляризации опре-
определяется следующей формулой:
N(se)=l-s£. A6.69)
Отсюда степень продольной поляризации будет характеризо-
характеризоваться выражением
Формула A6.70) находится в хорошем согласии с экспери-
экспериментальными данными, вне зависимости от соотношения между
коэффициентами gv и gA- Что касается численного значения для
коэффициента а (см. A6.54)), то для того чтобы получить со-
согласие с экспериментом, следует положить
gA~-l,2gv, A6.71)
т.е. для электронного нейтрино взять так называемое векторное
минус аксиально-векторное взаимодействие. Эксперимент для
коэффициента связи (постоянная Ферми) gv устанавливает сле-
следующее численное значение:
gv ~ 1,41 • \0~i9apa-см3. A6.72)
ж) Теорема Людерса—Паули в теории нейтрино с ориентиро-
ориентированным спином. В связи с открытием несохранения четности
был поставлен большой принципиальный вопрос об инвариант-
инвариантности уравнения нейтрино относительно инверсии пространства
(Р-преобразование) так называемого сильного обращения вре-
времени (Т-преобразование) и зарядово-сопряженного преобразо-
преобразования (С-преобразования) и вообще — выполняется ли для ней-
нейтрино теорема Людерса — Паули [47—50]?
Для анализа вопроса, связанного с инверсией пространства,t
изобразим графически правополяризованное антинейтрино в пра-
правой и левой системах координат. Из рис. 16 видно, что реальные
движения (импульс и вращение вектора поляризации) не зави-
ТЕОРЕМА ЛЮДЕРСА — ПАУЛИ В ТЕОРИИ НЕЙТРИНО 215
сят от выбора системы координат. Что касается вектора спина,
который лишь условно характеризует направление вращения
(так же как и аксиальный вектор, равный векторному произве-
произведению), то в правой и левой системах координат одно и то же
реальное вращение описывается противоположно направлен-
направленными векторами спина (sr и sl) и их проекциями на направление
импульса. Таким образом, для описания одной и той же спи-
ральности в правой и левой системах координат мы имеем раз-
различные значения для величины
s. В правой системе sr =
= {srp°) — 1, в левой системе
si =(sy)=—1 *).
Изменение знака у величи- s
ны s при инверсии пространст-
пространства, т. е. при переходе от пра-
правой системы координат к ле-
левой, можно интерпретировать рис. 16. Правополяризованное анти-
ПО-разному. нейтрино в правой и левой системах
1. Исходя из формально- координат,
математических соображений,
изменение знака у s при инверсии пространства можно рассмат-
рассматривать как неинвариантность волновых уравнений относительно
Р-преобразования (интерпретация Ли и Янга [35], Ландау [40]).
2. Физические же соображения показывают, что в результате
Р-преобразования спиральность не изменяется, а изменяется
только математическая форма ее описания (антинейтрино остает-
остается правовинтовым, а нейтрино — левовинтовым). С этой точки
зрения уравнение поляризованного нейтрино инвариантно отно-
относительно Р-преобразования [47—50]**).
Рассмотрим СРТ-преобразование с помощью волнового урав-
уравнения для нейтрино. Волновая функция, описывающая движение
нейтрино (е = 1) или антинейтрино (е = —1), равна
ij,v = -Lc(fe, s, e)b(k, s, г)е-"Ы*+'кг. A6.73)
Для нейтрино или антинейтрино (k0 = 0) имеем (8V = ■&)
' se'14 J/T+TcosT-
el<fl2Vl-scosft
_,ф/2 ir
ее vl у 1 + s cos ft
esel<i |/l -scosfl
*) Все наши дальнейшие расчеты, описывающие несохранение четности,
будут относиться к правой системе координат.
**) Заметим, что открытие мюонного нейтрино еще не окончательно, но
говорит в пользу четырехкомпонентной теории нейтрино [42, 43, 51].
216
16. О ВТОРИЧНОМ КВАНТОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
В случае, когда импульс нейтрино (s = 1) направлен по оси
z в правой системе координат (s = — 1), следует положить
kr = zk cosft, ср = О, ф = 0, K = \k\. A6.75)
Ограничиваясь записью зависимости волновой функции от спи-
спиновой матрицы и времени, что определяет спиральность, можем
написать (см. A6.73) и A6.74))
О
1
О
—1
e~tcKt.
A6.76)
Тогда векторы, характеризующие круговую поляризацию, равны
(см. A5.87))
&>()i&>() A6.77)
Отсюда, учитывая зависимость
щественных значений
о°х ty (t) = b cos
от времени, найдем для ве-
веo°yi>(t)=-bsincKt. A6.78)
Поскольку импульс направлен по оси г, найдем, что состояние
A6.76) согласно A6.78) соответствует левой спиральности (вра-
(вращение будет происходить от оси х к оси —у).
В случае инверсии пространства (Р-преобразование) мы дол-
должны сделать замену г-* —г. В этом случае все оси координат
будут иметь противоположное направление, и поэтому импульс
будет направлен против оси г; в скалярном произведении kr =
= kz cos Ф мы должны положить Ф = п. При определении же
новой матрицы b(s,e) надо еще сделать замену ф = л,
s—*■ — s = — 1. Тогда вместо выражения A6.76) мы найдем,
учитывая, что einl2 = i,
' 0
e~icKt.
A6.79)
Из A6.77) следует, что в левой системе координат вращение
также будет происходить по закону A6.78), т.е. от оси х к оси
— у, т.е. в том же направлении, что и в правой. Поскольку в ле-
левой системе координат импульс направлен по оси —г, то спи-
спиральность, описываемая круговым вращением, при этом переходе
не изменяется, хотя форма ее описания будет несколько дгугой.
В случае зарядово-сопряженного преобразования (С-преоб-1
разование) мы должны изменить лептонный заряд, т. е. волно-
волновую функцию A6.73) при в = 1 следует отнести к антинейтрино.
ТЕОРЕМА ЛЮДЕРСА - ПАУЛИ В ТЕОРИИ НЕЙТРИНО
217
Таким образом, уравнение для нейтрино не будет инвариантным
относительно С-преобразования, так как в результате этого пре-
преобразования антинейтрино будет обладать левой спиральностью,
а нейтрино — правой.
Точно так же уравнение A6.73) не будет инвариантным отно-
относительно сильного обращения времени t-* — t (Т-преобразова-
ние), поскольку в этом случае волновая функция нейтрино
A6.73), соответствующая левой спиральности, перейдет в волно-
волновую функцию антинейтрино с левой спиральностью.
Только совместное СТ-преобразование, или так называемое
слабое обращение времени, оставляет уравнение нейтрино инва-
инвариантным. В самом деле, в результате этого преобразования
волновая функция A6.73) переходит в комплексно-сопряженную
волновую функцию нейтрино с той же спиральностью, т. е. в
окончательном результате мы должны сделать замену ft—*■ — k,
0->я — ■&, ф->ф + я. Тогда A6.73) переходит в (см. § 16, п. д)
где
A6.80)
A6.81)
iesei(fl2fl +scos#.
Умножая матрицу A6.81)
sa2 =
-1 О
о о
О О -г
О i О
найдем, что
so2b{—k, s, e) =
= b*(k,s,e). A6.82)
Отсюда следует, что спиральность нейтрино (е = 1) и антиней-
антинейтрино в результате этого преобразования не изменяется.
Таким образом, с этой точки зрения уравнение нейтрино с
ориентированным спином должно быть инвариантным, т.е. спи-
спиральность не должна изменяться в случае Р-преобразования и
СТ-преобразования. Поэтому должна сохраняться и теорема
Людерса — Паули
СРТ = const.
218 § 17. ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
Более подробно на всех этих вопросах мы здесь не считаем нуж-
нужным задерживаться, так как они представляют для нас лишь ил-
иллюстрацию возможности использования спиновых свойств урав-
уравнения Дирака.
§ 17. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
а) Проблема Кеплера по уравнению Клейна — Гордона. Рас-
Рассмотрим движение отрицательно заряженной бесспиновой ча-
частицы (е = — е0) в кулоновском поле ядра заряда Ze0 (про-
(проблема Кеплера). Полагая потенциальную энергию внешнего
поля равной
и переходя к волновым функциям стационарных состояний*)
из общего вида уравнения Клейна — Гордона (см. A3.23)) по-
получаем
1 I / 7^\2 I
A7.3)
В силу центральной симметрии задачи удобно перейти к сфе-
сферическим координатам и искать решение в виде собственной
функции для операторов квадрата момента количества движе-
движения и проекции момента на ось z:
ф = 1Т@, Ф)/?(/■), A7.4)
где YJ1 {&, ф) — шаровая или сферическая функция**)
, Ф) - /ЩГЕЕЖ РТ (cos 0)
*) Здесь мы рассматриваем решения только с положительной (Е > 0)
энергией.
**) Шаровая функция, как известно, подчиняется уравнению
где оператор
д \ , 1 д
) +
удовлетворяет условию ортонормированности [27, 52]
!(K?')*Kfda = 6mm,V, A7.5b)
где dQ =a sin 0 d^ dip — элемент сферического угла.
ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА ПО УРАВНЕНИЮ КЛЕЙНА - ГОРДОНА 219
причем присоединенный полином Лежандра Р?{х) определяется
формулой
Р? (*) = (-1) ^±^~ РТт (х)=*A- Ф
в которой / = 0,1> 2,... — орбитальное и m = 0, ±1,..., /— маг-
магнитное квантовые числа.
Для радиальной функции при этом получается следующее
уравнение:
|у,_^М_1Ш1^}^о, A7.7)
где
V2 d2 I 2 d V2 1 V2 /17 Я\
а величины *)
/
4 2
A7.9)
тос е0 1
являются постоянными.
Введем безразмерную переменную р = 2кг и исследуем полу-
получающееся при этом уравнение
'('+1JZ2}-()- A7Л0)
р2 р dp 4 ' Я р
При р—>■ оо вместо A7.10) имеем асимптотическое уравнение
R'L-{R~ = 0 A7.11)
с решением
*) В случае дискретного спектра X2 > 0 выделим в полной энергии Е
энергию покоя:
£ = moc2 + £v. A7.9а)
Для не слишком больших скоростей (о <К с) имеем
,, (той2 + Е) (т0с2 — Е) 2т0с2 „, „ ,„.,,
Л Ftp *" 5*5~ ^ ^>и> A7.96)
ей ей
Заметим, что при с~+оо уравнение A7.7) точно переходит в нереляти-
нерелятивистское уравнение Шредингера для водородоподобного атома с энергией
Е' < 0. Появление члена, пропорционального a2Z2, можно формально рас-
рассматривать как введение дополнительной релятивистской энергии притяже-
притяжения (обратно пропорциональной квадрату расстояния), которая может при
некоторых условиях (см. ниже) изменить характер решения.
220 § 17. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
Чтобы исключить экспоненциально возрастающее решение, мы
должны положить С2 = 0, С\ = 1. Тогда
^ = е-Р/2. A7.12)
В другом предельном случае (р-+0) решение A7.10) ищем в
виде
R0 = Dp1'. A7.13)
Учитывая, что при р—>0 A7.13) должно удовлетворять уравне-
уравнению
^/('+V2Z4-0, A7.14)
для определения величин /' имеем соотношение
/'(/'+ l)-/(/ + l) + a2Z2 = 0, A7.15)
из которого находим
= - 7-2 ± V(l + V2J - «2Z2, A7.16)
т. е. согласно A7.13)
flo = Z>lP'' + iV'. A7.17)
Если aZ<'/2> то оба корня при любых значениях / будут
вещественными величинами, и мы должны ограничиться реше-
решением, при котором функция rR0 в нуле не расходится. Для этого
следует положить D2 = 0, D\ = 1. Точное решение уравнения
A7.10) будем искать в виде
е-е/у«(р), A7.18)
где «эффективное» орбитальное квантовое число /' определяется
равенством A7.16). Подставляя решение A7.18) в A7.10), полу-
получаем известное дифференциальное уравнение для вырожденной
гипергеометрической функции*):
ри" + [2 (Г + 1) — р] и + (-^f- - /'- l) и = 0. A7.19)
*) Вырожденная гипергеометрическая функция [53]
удовлетворяет уравнению
гФ" + (Ь — г)Ф'~аФ = 0 A7.19а)
с асимптотическим значением при г -*■ оо [54]
ф (а'ь'г) - nrh) (~ г)'а + Ш е*га~"- A7>20а)
ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА ПО УРАВНЕНИЮ КЛЕЙНА - ГОРДОНА 22!
Из A7.19) следует, что и = Ф и поэтому радиальная функция
A7.18) становится равной
), р}. A7.20)
Асимптотическое поведение гипергеометрической функции
(см. A7.20а)) показывает, что она возрастает при р—♦ оо как е*5.
Поэтому гипергеометрический ряд должен быть оборван за счет
выбора параметра Za/C/Я, содержащего энергию. В случае если
параметр гипергеометрической функции а (см. A7.18а)) равен
целому отрицательному числу, включая нуль (—a = k = 0, 1,2,...),
то гипергеометрический ряд обрывается и функция Ф(а, b,z)
сводится к полиному
ф(-й, s+l, p)=TIIi±iL_Qj(p)> A7.21)
где Q\{p) — обобщенный полином Лагерра:
к,
Os tn\ — ЛГ5 Л- fi-V+* — X (- 1 \'+k ftTfr + fe+Qp*-7
«*(Р)-ер dpke P -2j( 1) {k_j)lT{s + ]+k_j)}i ■
A7.22)
В соответствии с этим, исходя из условия убывания волновой
функции на бесконечности, находим
^■-/'-1 = 4, A7.23)
где k = 0,1,2, ... — радиальное квантовое число. Тогда решение
для радиальной функции становится равным
^'(p) = ^re-p/V'Qr+1(p). A7.24)
Рассмотрим выражение для спектра энергии. Полагая в фор-
формуле A7.23)
™L = l' + k+l=n' A7.25)
и подставляя вместо Я его значение A7.9), получаем
™-=п', A7.26)
У k\ - к2
где п'—«эффективное» главное квантовое число. Из A7.26) на-
находим
A^ f^lp, A7.27)
k0 тосг
ИЛИ
Г'/2
[ft + V2 + КG+ 7»J -
222 § 17. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
т.е. энергия зависит от двух квантовых чисел: орбитального
/ =0,1,2,... и главного п = 1 + I + k = 1,2,3,...
Для сравнения полученной формулы с нерелятивистской вы-
выделим в полной энергии Е энергию покоя т0с2 (см. A7.9а)):
и разложим выражение A7.28) в ряд по степеням a2Z2, оставляя
первые два члена. Тогда находим спектр энергии с учетом реля-
релятивистских поправок:
RbZ* S , , «2Z2 I n 3\] A7 29)
где п = 1,2,3,... — главное квантовое число, a R = moe*J2/г3—
постоянная Ридберга.
Первый член выражения A7.29) совпадает с соответствую-
соответствующей формулой нерелятивистской теории. Второе слагаемое, про-
пропорциональное квадрату постоянной тонкой структуры (а =
= 1/137), определяет релятивистские поправки и снимает вырож-
вырождение по /. Расщепление уровней при заданном п и различных /,
т. е. так называемая тонкая структура, уменьшается с ростом
главного квантового числа. Например, разность между s- и
р-термами равна
' ' i
Для примера подсчитаем дублетное расщепление серии Баль-
мера атома водорода (Z = 1, п = 2):
EL — EL 8 a2R
Опытные данные показывают, что теория Клейна — Гордона
дает расщепление в 8/3 раз больше наблюдаемого. Это связано
с тем обстоятельством, что тонкая структура энергетических
уровней атома водорода определяется не только релятивист-
релятивистскими эффектами, но и спиновыми эффектами.
Вначале уравнение Клейна — Гордона предполагалось ис-
использовать для описания движения релятивистских электронов.
Однако противоречия с опытными фактами помогли установить,
что это уравнение описывает движение бесспиновых частиц, в то
время как спин электрона равен й/2. Уравнение Клейна — Гор-
Гордона может описывать движение п-мезонов, не обладающих спи-
спином, в поле атомного ядра.
Рассмотрим теперь второе решение уравнения A7.16), когда
aZ>lli- При этом получается принципиально новое решение,
проблема кеплера по уравнению клейна - гордона 223
ибо при 1 = 0 оба корня — комплексные, вследствие чего для
асимптотического решения при р—*0 будем иметь решение
п _ 1С n'Yi -L С (\-i4\\ 11 7 49^
£\ q .— 1Ъ [ (J ^~~ Kj 2r J» V *■' * *-* }
У Р
где
В решении A7.32) оба слагаемых имеют одинаковую сингуляр-
сингулярность при р-+0 и поэтому спектр энергии для / = 0 (Е' <; 0)
будет непрерывным.
Существование водородоподобного атома по теории Клей-
Клейна— Гордона невозможно при Z— 1/2а = 137/2*).
Найдем волновую функцию A7.24), для чего необходимо
вычислить еще нормировочный коэффициент Nkv. Используя вы-
выражение для плотности заряда (см. A3.31))
2 /
' 0/ t*t /it оо\
р = — е0 j— ip гр = — еоРо> \1' ■"")
мы можем написать условие нормировки
Jpo^=l. A7.34)
С этой целью в интеграле **)
J
2 °°
-§£■ Je-Pp2/'+2(Qf+'Jrfp=l A7.35)
о
один из полиномов Лагерра запишем (см. A7.22)) в виде про-
производной порядка k:
j ^p. A7.36)
о р
Представляя другой полином Лагерра в виде ряда
Qf+1=(-l)*{pfe-£B/'+£+ l)p*-'+ •••} A7.37)
и применяя k раз переброс производной с использованием ин-
интеграла
со
J A7.38)
*) Учет спиновых эффектов (см. ниже) несколько изменяет эту оценку
и приводит к значению Z < 137, лежащему за пределами периодической
системы.
**) При вычислении A7.35) элемент объема был записан в сферических
координатах d3x = du(p2dp/8X3) и было учтено условие нормировки ша-
шаровой функции A7.5в),
224 § !?• ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
получим
A7-39)
Аналогично вычисляется и второй интеграл, входящий в фор-
формулу A7.33), пропорциональный Ze^/2. Сумма интегралов дает
n' k0
Используя равенство A7.27), получаем
Для волновой функции, учитывая равенства A7.4) и A7.24), мы
можем написать
*«т = ^Г(*. Ф)^гС-). A7.42)
б) Движение электрона в поле центральных сил по теории
Дирака. Рассматривая движение электрона по уравнению Ди-
Дирака в кулоновском поле ядра
V(r) = -Zel/r, r = Vx2 + y2 + z2, A7.43)
воспользуемся законами сохранения момента количества движе-
движения*). Как известно, в нерелятивистской теории Шредингера
в таком поле сохраняется орбитальный момент количества дви-
движения:
L = [rp]. A7 44)
Однако в теории Дирака, которая учитывает также спин элек-
электрона, положение несколько изменяется: орбитальный момент не
коммутирует с гамильтонианом
+V(r) A7.45)
и поэтому не является интегралом движения. В самом деле, рас-
рассматривая 2-составляющую орбитального момента A7.44) Lz =,
= {хру — урх), находим для коммутатора отличное от нуля зна-
значение:
^f-a2p,)^O. A7.46)
Чтобы найти закон сохранения момента для частиц, обла-
обладающих спином, воспользуемся еще соотношением
а н 1~ («аР* — aiVy)> A7.47)
*) Эти законы сохранения имеют место для любых центральных сил.
СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ 225
■из которого следует, что в теории Дирака в поле центральных
сил любая составляющая оператора
J = L + -|a = L-fS A7.48)
коммутирует с оператором Гамильтона Н и, следовательно, яв-
является интегралом движения. Этот результат можно интерпре-
интерпретировать следующим образом: электрон, наряду с орбитальным
моментом количества движения L, обладает также спиновым ме-
механическим моментом S (не связанным с перемещением элек-
электрона в пространстве), причем в случае центральных сил сохра-
сохраняется лишь полный момент количества движения.
Для электрона в s-состоянии орбитальный момент равен
нулю, благодаря чему выполняется закон сохранения спинового
момента, при этом для квадрата спина получаем
52 = ^ (af + al + a|) = -f Й2 = ^2s (s + 1), A7.49)
т.е. спин электрона характеризуется полуцелыми значениями
s = 1/2 (в единицах й).
в) Свойства полного момента. Шаровые спиноры. Операторы
проекций полного момента количества движения подчиняются
тем же перестановочным соотношениям, что и компоненты орби-
орбитального и спинового моментов*):
J*J, - V* = ш*- A7-5°)
Это нетрудно доказать прямым вычислением, учитывая, что опе-
операторы L и S действуют на разные переменные и поэтому ком-
коммутируют друг с другом.
Для оператора квадрата полного момента количества движе-
движения можно получить выражение
A7.51)
из которого видно, что квадрат полного момента коммутирует не
только с оператором Гамильтона, но также и с любой проекцией
Полного момента. Таким образом, одновременно могут иметь
собственные функции квадрат полного момента и одна из его
проекций (например Jz).
Правила квантования полного момента можно найти по из-
известным правилам квантования орбитального момента для нере-
нерелятивистского случая:
l), 1 = 0, 1, 2,...;
m = 0, ±1 ±1, { '
*) Путем циклической замены координат х-*-у, у -*■ г, Z-+X из A7.50)
можно получить еще два аналогичных соотношения.
8 А. А. Соколов, И. М. Тернов
226 § !7 ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
или спинового момента для s-состояния:
S2 = /z2s(s+I), s = y2; Sz = hms, т,= ±'/2.
Здесь / — орбитальное, т — магнитное и s — спиновое квантовые
числа. Подобная задача является частным случаем общей за-
задачи сложения моментов. Однако мы не станем рассматривать
общих выводов теории сложения моментов, а найдем точные
функции в случае, когда они являются собственными для опера-
оператора квадрата полного момента количества движения (орбиталь-
(орбитального плюс спинового) и его проекции на ось z. Заметим, что оба
последних оператора коммутируют с оператором Гамильтона и
поэтому являются интегралами движения.
Волновые функции, собственные для J2 и Jz, должны удовле-
удовлетворять соотношениям
A7.53)
где / называется внутренним квантовым числом и характеризует
абсолютное значение полного момента количества движения, а
т3 —его проекцию на ось г.
Поскольку выбор оси z для характеристики проекции мо-
момента при сферической симметрии не нарушает общности рас-
рассуждений, все направления являются равноправными.
Вводя двухрядные матрицы о' A4.7), а также разбивая
■ф-функцию на систему двухкомпонентных спиноров
получаем систему уравнений вида
т. е. угловые части спиноров ср и % являются независимыми.
Связь же между ними может быть установлена, если в уравне-
уравнениях Дирака учесть еще радиальную часть (см. ниже).
Подробное рассмотрение задачи о движении частицы в поле
центральных сил мы проведем несколько позже, в частности, при
наличии кулоновского взаимодействия. Сейчас мы рассмотрим'
лишь одно из уравнений A7.55), например, определим спинор
с компонентами я|>1 и ф2, поскольку для спиноров г|>з и яр4 мы бу-
СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ 227
дем иметь аналогичные уравнения. Из A7.55) следует, что ком-
попеты \\->t и 1|з2 удовлетворяют системе уравнений:
\) -\- ^rV - ±-Lz}^=(Lx- iLy)^2, A7.56)
2 = (LX + iLy)^. A7.57)
Для дальнейшего рассмотрения воспользуемся шаровыми
функциями (см. A7.5), A7.5а), A7.5в)). Учитывая, что орби-
орбитальное квантовое число / принимает только целые положитель-
положительные значения:
1 = 0, 1, 2, ...,
а также рекуррентные соотношения между сферическими функ-
функциями (см., например, 152]):
LzY7 = hmY?, A7.58)
(L, ± iLy)YT = - hV(l + i ± m)(l T m)YT±l, A7.59)
можно искать решение системы уравнений A7.56) в виде*)
ф, = С1Гр-1(*, ф), A7.60)
ф2 = С2У"(д>Ф). A7.61)
После подстановки A7.60) и A7.61) в систему уравнений A7.56)
и A7.57) сферические функции сокращаются, и мы находим
уравнения, устанавливающие связь между коэффициентами С\
и С2:
т -~) }, + /(+)( + )
A7.62)
A7.63)
Из равенства нулю определителя этой системы находим, что
внутреннее квантовое число / может иметь два значения при
/=1,2,3,...:
Y±±L A7.64)
A7-65)
*) При наличии центральных сил волновые функции A7.63) следует
умножить еще на функцию, зависящую от г (см. ниже),
228
§ 17. ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
а при 1 = 0 j принимает только одно значение: j = 1/2l т.е.
остается только одно соотношение A7.64), поскольку в этом слу-
случае коэффициент С2 согласно A7.65) обращается в нуль (/ =
= т = 0). Коэффициенты С\ и С2, определяющие связи между
сферическими функциями, при сложении двух моментов (в дан-
данном случае орбитального и спинового) носят название коэффи-
коэффициентов Клебша — Гордана.
Воспользовавшись условием нормировки: Ci -f- Сг = 1, нахо-
находим шаровой спинор при / = / + '/2> 1 = 0, 1, 2, ... (решение
первого типа):
i i :—:—~~
/ГП—1
A7.66)
-/:
+ 1 — т vm
21 + 1
В случае / = / — '/г, /—1, 2, 3, ... (решение второго типа):
Y
V
1 + т
11 + 1
- 1 ут-1
ут
A7.67)
Из соотношения A7.5в) находим условие ортонормированности
для шаровых спиноров:
6mm'. A7.68)
Шаровые спиноры A7.66) и A7.67) представляют собою спи-
норные обобщения обычных шаровых функций и являются угло-
угловой частью решения любых задач, связанных с движением час-
частиц с полуцелым спином в поле центральных сил. Как будет
показано ниже, при рассмотрении конкретных задач движения
электрона в поле центральных сил волновая функция включает
в себя оба найденных нами шаровых спинора.
Подставляя решения ср'1) и cp<2> в исходное уравнение A7.53),
находим, что проекция полного момента количества движения на
ось z принимает значения h = Ът,, причем квантовое число т,
равно Ш) = т— '/г- Для обоих типов решения (/' = / ± '/г) кван-
квантовое число т.) изменяется в пределах т3- = — / '+ /.
Таким образом, наши результаты сводятся к следующему:
квадрат полного момента количества движения имеет собствен-
собственные значения
/±'/2; 1Ф0,
'/г; / = 0,
A7.69)
ЭЛЕКТРОН В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 229
Т.е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом
внутреннее квантовое число*) / принимает полуцелые значения.
Собственные значения проекции момента на ось z также харак-
характеризуются полуцелыми квантовыми числами:
Jz = hmj, т} = —},..., +j. A7.70)
г) Движение электрона в кулоновском поле по теории Ди-
Дирака. Рассмотрим движение электрона в поле центральных сил,
когда потенциальная энергия V является функцией от т. Уравне-
Уравнение Дирака
{£-F-c(ap)-p3moC2}1|) = O A7.71)
допускает стационарные решения **) и может быть приведе-
приведено к системе двухкомпонентных уравнений с помощью матриц
Паули:
(l) {l) A7.72)
A7.73)
причем для кулоновского поля потенциальную энергию следует
положить равной
V = -Zel/r. A7.74)
Рассматриваемая задача является частным случаем общей
проблемы движения частицы в поле центральных сил. Поэтому
угловая часть функции ф (переменные в этой задаче разделяют-
разделяются) может быть представлена в виде шаровых спиноров (см.
A7.66) и A7.67)).
Для того чтобы установить связь между спинорами фих (см.
A7.54)), найдем действие на них оператора
(or'r0) = о[ sin ■& cos <p -f- o'2 sin О sin ф -f- о'3 cos О, A7.75)
где а'п — двухрядные матрицы Паули, а г° = г/г. Тогда с по-
помощью рекуррентных соотношений между шаровыми функциями
(см., например, [52])
cos W? = AYT+i + BY?-i, A7.76)
sm&e±l4'r = A±YT+±ll + B±YT-±l\ A7.77)
*) Это название связано с историей вопроса: число / было введено до
открытия спина эмпирически для объяснения спектральных закономерностей.
Термин «внутреннее» отражал на том этапе какие-то неясные свойства
электронов.
**) В дальнейшем мы ограничимся положительным значением энергии
Е = chK > 0, отвлекаясь от вопроса о существовании позитронов (см.
A5.72), A6.13)). Нестационарная волновая функция будет иметь вид
230 § 17- ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
1 де
(' +
(
(I +
2±
2/4
т) (
т)
-О
7-
i
С
B
- 1
+
+
fm
+ 1
1 ±
-3)
т)
) A — т)
)B/-1)
*
A7.79)
R _ _ r/(/+m)(/-l тт)
- ~ + К B/ + 1) B/ — 1)
имеем
(or)llm =Yi±im, A7.ои)
или
'/ш =1о^;^гт1т- (l/.ol)
Эти шаровые спиноры согласно A7.53) удовлетворяют урав-
уравнению
J2y^2) = /i2/(/+l)^m2). A7.82)
причем когда в верхних скобках стоит индекс «1», следует
положить / = /+'/2, а для индексов «2» — j — t — '/г-
С помощью уравнения A7.77) легко также показать, что
^.^ = -(«+1)^», A7.83)
где *)
к = - 1 -/(/ + 1) + /(/ + 1) + |= + (/ + '/г), A7-84)
причем верхний знак относится к случаю / = /+'/2. а ниж-
нижний—к \ = 1 — '/г- Волновую функцию для обоих типов ре-
решения мы будем искать в виде
причем верхний знак относится к первому индексу, стоящему в
скобках вверху, а нижний знак — ко второму.
Подставляя решения A7.85) в A7.72) и A7.73) и учитывая
при этом соответственно формулы A7.80) и A7.81), получим
F F0n ^ = ic (о'р) (о',) -^ ?№, A7.86)
G Y?^ = f (a'r)(a'p) fy|^ A7.87)
*) Введение постоянной X несколько упрощает дальнейшие вычисления.
ЭЛЕКТРОН В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 231
Принимая во внимание соотношения
|, A7.88)
а также равенство A7.83), находим
A7.90)
A7.91)
Уравнения A7.90) и A7.91) описывают оба типа решения, кото-
которые отличаются друг от друга только значением постоянной х
(см. A7.84)).
Переходя к безразмерной переменной р = 2Яг, Я = У k\ — К2,
и выбирая функции F и G в виде*)
g}/l±^e~V-1(Qi±Q2), A7.92)
где
Y = yV —a2Z2>0, A7.93)
получим из A7.90) и A7.91) систему уравнений для функции Q\
и Q2**):
Р (Qi + Q2)' + (Y + «) (Qi + Q2) - PQ2 + «^ |/^|(Q, _ Q2) = 0,
A7.94)
P (Qi - Q2)' + (Y - «) (Qt - Q2) + PQ2 - «^ l^^l (Qi + Q2) = 0,
A7.95)
причем штрихом обозначена производная по безразмерной пере-
переменной р.
Взяв сумму и разность уравнений A7.94) и A7.95), получаем
PQ, + [у ^- Q, + (х ^ Q2 = 0,
/ 7^ Ч / 7Ь N A7.96)
pQ2 + ^ + -j1- — р ] Q2 + (к + —jj^-J Qi = 0.
Учитывая, что
X
*) В A7.94) автоматически учитываются асимптотические решения при
р->оо и р->-0 (см. A7.18)).
**) Заметим, что в случае дискретного спектра k0 > К (К—k0 < 0).
232 § 17. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
приводим A7.96) к уравнениям для вырожденной гипергеомет-
гипергеометрической функции (см. A7.19а)):
A7.98)
2 \ A- /
Отсюда находим решения
},
»= ГBУ+1) ' A7"")
Q2 = ЛШ2ф{ у + 1 - ~~, 2Y + 1, P }.
Поскольку связь между коэффициентами Di и D2 должна сохра-
сохраняться для любых р, мы можем ее найти, полагая в A7.96) р=0:
A7.100)
Учитывая асимптотическое поведение гипергеометрической
функции при больших значениях аргумента (см. A7.20а)), най-
найдем, что постоянная а = у — a,ZK./X должна равняться нулю или
целому отрицательному числу. В противном случае волновая
функция (см. A7.92)) должна экспоненциально возрастать при
р—>оо. Таким образом, величину а мы должны положить равной
k, A7.101)
где радиальное квантовое число (см. также A7.23)) 6 = 0,1,2,...
При условии A7.101) решения A7.99) представляют собою
полиномы степени k. Заметим, что при 6 = 0 постоянная а, вхо-
входящая в функцию Q2 (см. A7.99)), обращается в единицу, и по-
поэтому эта функция должна экспоненциально возрастать. Однако,
как видно из A7.100), коэффициент ZJ в этом случае обра-
обращается в нуль, и поэтому решение Q2 вообще исчезает. Из
A7.101) для энергии находим значение
"' \ A7.102)
т0с2 к0 I (V*2 - «2Z2 + к)
Используя равенства A7.21), A7.92), A7.97), A7.99) и
A7.100), мы можем записать значения для радиальных волно-
волновых функций через полиномы Лагерра:
A7.103)
СПЕКТР ЭНЕРГИИ 233
причем верхние знаки относятся к функции F(r), а нижние —
к G(r). Коэффициент D\ может быть найден из условия норми-
нормировки
оо
J A7.104)
При переходе к безразмерному аргументу р = 2Хг условие
A7.104) принимает вид
оо
J A7.105)
При вычислении интеграла A7.105) проще всего воспользоваться
соотношением, хорошо известным в теории полиномов Ла-
герра:*)
+lN^,. A7.106)
о
Тогда для нормировочного коэффициента находим значение
д) Спектр энергии. Спектр энергии, определяемой формулой
A7.102), может быть записан в виде единой формулы, если вве-
ввести внутреннее квантовое число /, с которым величина % для
обоих типов решения согласно A7.84) связана одним и тем же
соотношением
*2 = (/ + V2J. A7.108)
Главное квантовое число « = / + 7г + k принимает целые поло-
положительные числа, начиная с единицы: п — 1,2,3,... Это следует
из того факта, что радиальное квантовое число изменяется от
нуля до бесконечности, а минимальное значение внутреннего
квантового числа / равно '/г (см. A7.69)).
Энергетический спектр A7.102) будет равен
С п272 ■>—'/»
Eni = т0с2 1 + 7 =ч?- .A7.109)
Поскольку минимальное значение внутреннего квантового числа
равно половине (/ = !/г), то устойчивость движения в кулонов-
ском поле точечного ядра по теории Дирака нарушается при
Z > ZKp =137. В этом случае становится возможным появление
*) Для доказательства формулы A7.106) можем воспользоваться мето-
методом, использованным при вычислении интеграла A7.35).
234 § 17- ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
электронно-позитронных пар, т. е. задача одного тела теряет
смысл (парадокс Клейна [55], см. также [56]) *).
При исследовании спектра энергии в водородоподобном
атоме достаточно ограничиться членами порядка а2. Это связано
с тем обстоятельством, что поправки к энергии порядка а4 пере-
перекрываются более сильными поправками ~ ее3, связанными с
влиянием на спектр электромагнитного и электронно-познтрон-
ного вакуумов.
Ограничиваясь членами порядка а2, находим формулу Зом-
мерфельда — Дирака, характеризующую тонкую структуру:
„/ г, 2 RhZ2 { . , a2Z2 / п 3 \ 1 /1 т 1 1 п\
Eni = bnj ~ тос = -^| 1 + -— \~jt^ - т) }■ (ПЛ1°)
где
^"1^-2^7 A7.111)
— постоянная Ридберга (a0 = h? j т^ — радиус первой бо-
ровской орбиты).
Энергетический спектр зависит лишь от главного п и внутрен-
внутреннего / квантовых чисел. Зависимость же от орбитального числа /
не входит в выражение для энергетического спектра, и поэтому
уровни энергии оказываются двукратно вырожденными. Полная
кратность вырождения равна 2B/+1), поскольку энергия не
зависит также от магнитного квантового числа m-s, принимаю-
принимающего 2/ + 1 значений: т,- == ± '/2, ± я!2, • • • - ± /•
Заметим, что учет релятивистских и спиновых эффектов по
теории Дирака приводит к хорошему согласию с экспериментом.
Однако более детальное исследование показывает, что одно-
электронная теории Дирака дает для энергетических уровнен не-
небольшие расхождения с экспериментом.
Согласно теории Дирака расщепление между уровнями серии
Бальмера в атоме водорода (Z = 1) с различными / должно рав-
равняться
£2V'~£zl/' =2Pl/.-2p,.=Aca. A7.112)
Подставляя в A7.112) значения энергии из A7.110), найдем**)
Ди = -^- = 10950 Мгц. A7.113)
*) В отличие от кулоповского поля при движении электронов в по-
постоянном магнитном поле все энергетические состояния (включая напннзшие)
будут устойчивыми (см. ниже).
**) 1 Мгц = 10й сек~1. Напомним, что круговая частота <о (выраженная
в сек~х) связана с v (выраженной в мегагерцах) соотношением
W = 2л-106 v.
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ В ПЛУЛЕВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 235
По теории Клейна — Гордона это расщепление получается про-
промерно в три раза больше (см. A7,31)).
Как видно из формулы A7.110), уровни серии Бальмера
(п = 2) с одинаковым значением / должны быть нерасщеплен-
ными: \аH = '2р,и — 2а'„2 = 0, так как энергия от / не зависит.
Этот теоретический вывод был предметом длительных экспери-
экспериментальных исследований, причем экспериментаторы, используя
оптические методы, уже в тридцатых годах высказывали сомне-
сомнение в этом, казалось бы, бесспорном заключении.
В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд [57] радиоспектроскопическим
•методом экспериментально доказали, что уровень 2s,,n сдвинут
вверх относительно уровня 2p,h примерно на 'До часть зоммср-
■фельдо-дираковского расщепления 2р„2— 2рч. Более точно рас-
расщепление, полученное экспериментально, равно
2р% — 2s1/2= 1058 Мгц.
Расхождение теоретических и экспериментальных данных не пре-
превышает 1 Мгц*). Согласно торетическим данным учет вакуум-
вакуумных членов дает следующее значение для расщепления, которое
нельзя получить из формулы A7.110):
A7.114)
причем для серии Бальмера (о = 2) 1п(&о/хо) = 7,6876.
Сдвиг уровней 2s^ относительно 2pl/s (/ = 1/2) складывается
из трех частей: сдвиг, пропорциональный 1п(/го/хо)—In 2 -f И/24,
обусловленный флуктуациями электромагнитного вакуума (ос-
(основной член); сдвиг, пропорциональный —1/5, обусловленный
флуктуациями электронно-позитронного вакуума, и, наконец,
сдвиг, пропорциональный 1/2, обязан взаимодействию вакуум-
вакуумного момента электрона (см. ниже) с электростатическим полем
ядра. Вакуумные поправки называют также радиационными.
Более точные теоретические расчеты (см., например, [1]) дали
для сдвига уровней еще более близкое к эксперименту значение
A057,19 Мгц).
е) Волновые функции в паулевском приближении. При вы-
'числении энергии мы должны ограничиться нерелятивистским
-случаем, т. е. отбросить члены, пропорциональные а2, а в
*•) Первое теоретическое объяснение лэмбовского сдвига [57] было дано
Бете [58]. Классические работы в этом направлении, выполненные Бете,
Швингером, Дайсоном, Фейнманом и др., изложены в [59, 60]. Особенно по-
последовательно математический аппарат квантованных полей с учетом радиа-
-циопных поправок был развит в монографин Боголюбова и Ширкова [61J.
236 § 17- ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
волновой функции учесть лишь спиновые эффекты. Тогда для
энергии электрона согласно A7.110) имеем
n\ A7.115)
При вычислении же радиальных волновых функций в A7.103)
следует положить
X = Vkl — К2 = Z/na0, aZkJX = re,
г ,/2". A7.116)
1Л±/(/*0 = Ц. ' p = 2Zr/na0.
Поэтому в случае решения первого типа (/ = / + '/г), когда со-
согласно A7.93)
(I, k = 0, I, 2, ...; ге=1, 2, 3, ...),
мы можем воспользоваться следующим рекуррентным соотноше-
соотношением для полиномов Лагерра [53]:
Qf+2 (Р) - k (ВД (р) = Q«+i (p) = Q«+/_, (p). A7.117)
В случае решения второго типа (j = I — '/г) в нашем прибли-
приближении
Y = x = /, n = l + k (/г = 0, 1, 2, ...; re, J=l, 2, 3, ...)
необходимо использовать несколько другое рекуррентное соотно-
соотношение для полиномов Лагерра [53]:
A7.118)
Тогда в рассматриваемом приближении для волновой функции
из A7.85) и A7.103) находим следующее значение:
*№ = Rni(r)Yk*>, A7.119)
причем радиальная волновая функция Rni(r) = ± F для обоих
типов решения будет равна
{9), A7.120)
где p = 2Zr/na0, а функцию G (см. A7.103)) следует положить
в данном приближении равной нулю. Шаровые спиноры задают-
задаются формулами A7.66) (первый тип решения, / = / + '/г) и A7.67)
(второй тип решения, /==/ — 1/2).
ж) Понятие о гиперболических орбитах. Дискретный спектр
в водородоподобном атоме мы получаем при К < k0, т.е. когда
энергия (без включения собственной энергии т0с2) будет отри-
ПОНЯТИЕ О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 237
дательной величиной. В квазиклассической интерпретации это
соответствует «эллиптическим» орбитам. В другом случае
К > k0, когда энергия частицы даже после исключения собст-
собственной энергии остается положительной, мы будем иметь так
называемые «гиперболические» орбиты.
В нерелятивистском приближении уравнение A7.91) для вол-
волновой функции принимает вид
(K + ko)G=-^-±±^F. A7.121)
Подставляя A7.121) в A7.90), имеем
^ л. 2 dF , lvl _ ,2 , „. aZ _ l(l+l)\ p _ .
dr2 ^ r dr
В этом случае для обоих типов решения мы можем положить
н(к+1) = 1A + 1), A7.123)
т° ' A7.124)
Тогда для определения радиальной волновой функции имеем
/?, = 0, A7.125)
где функцию F мы заменили функцией Ri, а функцию G со-
согласно A7.92) положили равной нулю.
Решение уравнения A7.125) может быть записано в виде
Я, = Сг1е~а'гФ {I + 1 + *vi. 2(f+l), 21"Л,г}, A7.126)
где Ф — вырожденная гипер'геометрическая функция (см.
A7.18а)). Учитывая асимптотическое поведение функции Ф (см.
A7.20а)), найдем
Полагая
Г(/+1±^,) = 1Г(/+1+/у1)|еТ'в' A7.128)
получаем для радиальной функции асимптотическое значение
£> —; -I /" 2 sin (^ir-nl/2 + Yi In 2X{r + &i) /j7 j2g.
причем коэффициент С был найден из условия нормировки на
дельта-функцию (непрерывный спектр):
— %\). A7.130)
238 § 17. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
В случае \l + iy[\^>i, воспользовавшись формулой Стирлинга
|Г(/+1-НУ1)|е-'в'~ ^^i±^±^l):'fl'" + 'Vl', A7.131)
можно найти для фазы значение
6/ = - (/ + '/2)arctg -ф;- - Yl (In V&TW + \1 -1). A7.132)
Приу)->0 (отсутствие кулоновских сил) формула A7.129) дает
асимптотическое решение для свободного движения.
з) Четность состояний. В теории Шредингера орбитальное
квантовое число / для центральных сил было интегралом движе-
движения при нахождении квадрата момента количества движения
L2 = Ъ'ЧA -f 1). В теории Дирака орбитальный момент, харак-
характеризуемый числом I, не является уже интегралом движения. Од-
Однако квантовое число / описывает еще одно важное квантовое
свойство частицы, а именно — четность состояния, т.е. поведение
волновой функции при инверсии пространства (Р-преобразова-
ние, см. A6.53)):
х = ~-х', у=-у', z = — z'. A7.133)
Чтобы это показать, введем оператор инверсии пространства,
превращающий правовинтовую систему координат в левовинто-
вую и наоборот:
h|>(f-) = t|> (—'О- A7.134)
Путем двукратного применения этого оператора можно легко
найти его собственные значения Я:
Vy(r) = X2q(r), X=±l. A7.135)
Таким образом, волновые функции при инверсии простран-
пространства либо вообще не изменяются (четные состояния, X = 1), либо
изменяют свой знак на противоположный (нечетные состояния,
К = — 1).
Найдем величину, определяющую четность волновой функции,
для частицы в поле центральных сил. В сферической системе
координат преобразование инверсии касается только угловой
части:
r' = r, e' = jt — e, ф' = я + ф A7.136)
(в чем нетрудно убедиться, исходя из связи сферических коорди-
координат с декартовыми: х = г sin 9 cos ср, у — г sin 9 sin cp, z = r cos В).
При этом угловая часть волновой функции изменяется по сле-
следующему закону:
I у? (9, Ф) == Y?(л — 9, л + ф) = const,
ибо
ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 239
Таким образом, четность квантового числа / определяет четность
шаровой функции.
В случае центральных сил шаровой спинор, входящий в вол-
волновые функции ( I' I. пропорциональный Y? , имеет одну чет-
ность, а шаровой спинор, входящий в волновые функции IT),
пропорциональный Y'tn+U — другую. Поэтому при инверсии про-
пространства интегралом движения является оператор (см. A6.58))
ID = p3I, A7.138)
который коммутирует с оператором Гамильтона
/ / р \ \
Н — cap Л т Pifnocг. A7.139)
\ \ с II
В этом случае при действии оператора ID знак у всех четырех
компонент волновой функции гр^ (ц = 1,2,3,4) будет либо не из-
изменяться (/ — четно), либо изменяться на противоположный
(/ — нечетно). Таким образом, в теории Дирака, хотя орбиталь-
орбитальный момент и не сохраняется, квантовое число / характеризует
четность состояния, так как мы имеем соотношение
1°я|> = (— 1L- A7.140)
§ 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Для построения квантовой теории излучения оказалось необ-
необходимым учитывать взаимодействие электрона с вторично кван-
квантованным полем фотонов.
В простейшем случае мы можем подчинить электроны не-
квантованному волновому уравнению (уравнение Шредингера
или Дирака и др.). Переходы, обусловленные квантованным
электромагнитным полем, оказываются возможными даже в том
случае, когда реальные фотоны отсутствуют (спонтанное излуче-
излучение; вероятность перехода характеризуется коэффициентом Эйн-
Эйнштейна А). При воздействии реальных фотонов возникают вы-
вынужденные или индуцированные переходы, характеризуемые ко-
коэффициентом Эйнштейна В. Вынужденные переходы возможны
как с испусканием, так и с поглощением энергии фотонов.
а) Теория переходных процессов. Подчиним электроны не-
квантованному уравнению Дирака*)
*) Здесь фупкиия U является оператором особого типа, действующим
на функцию от числа фотонов, поэтому мы не будем обозначать этот опера-
оператор прямым шрифтом.
240 § '8. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
где
( 2V
(е = — е0), а U = U~ + U+ — энергия взаимодействия электрона
с вторично квантованным полем фотонов, причем
u~= it 2. r
(ш+)е ■- . A8.4)
Здесь амплитуды вектор-потенциала являются операторами рож-
рождения (а+) и уничтожения (а), действующими на функцию от
числа фотонов f(N) *), которую мы для сокращения записи
включаем в электронную волновую функцию, полагая (/У)
fN
Уравнение Дирака A8.1), учитывающее переменное число фо-
фотонов, эквивалентно системе двух уравнений
A8.5)
+1),
в которых N— общее число фотонов. Таким образом, при дей-
действии операторов U+ и U~ на функцию от числа фотонов их об-
общее число должно соответственно увеличиваться или умень-
уменьшаться на единицу.
Представим решение основного уравнения Дирака A8.1) (без
поля излучения U = 0) в виде стационарных состояний:
■ф (t) = 2 С„г|)„е l H > A8.6)
где волновые функции г|зп удовлетворяют стационарному (не
квантованному) уравнению Дирака
(£„-Н)я|)п = 0 A8.7)
и подчиняются условию ортонормированности
■>t^nd3x = bnn,. A8.8)
*) Функция от числа фотонов определена равенством A2.77).
ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 241
Рассмотрим два квантовых состояния а и b (Еь > Еа) и бу-
будем искать решение системы A8.5) в виде
1),
где |Сь|2 и |Са|2 характеризуют вероятность пребывания элек-
электрона соответственно в состояниях b и а. Подставляя эти реше-
решения в систему уравнений A8.5) и учитывая действие операторов
[/- и U+ на функцию от числа частиц:
получим для определения коэффициентов Са и С& следующие
уравнения:
ihCa e h iba = U+Cb гЬь е h ,
в в A8.10)
ihCb e h tyb = U~Ca г|)а е h ,
где точкой обозначена производная по времени.
Мы опускаем здесь и в дальнейшем функцию от числа фото-
фотонов f(N), поскольку ее влияние будет полностью учтено переста-
перестановочными соотношениями для билинейных комбинаций ампли-
амплитуд а и а+. Действительно, если нас не интересуют вопросы, свя-
связанные с поляризационными свойствами излучения, мы можем
не разбивать по состояниям поляризации амплитуды а и а+.
Тогда перестановочные соотношения можно записать в следую-
следующем виде (см. A2.74)):
A8.11)
где индексы s,s' = 1,2,3 характеризуют проекции амплитуд век-
вектор-потенциала на оси координат.
Легко показать, что при исследовании спонтанного излучения,
когда в начальный момент фотоны отсутствуют (N — 0), отлич-
отличными от нуля будут только следующие квадратичные комбина-
комбинации (см. A2.81)):
I V V . >
A8.12)
242 § 18- ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
которые автоматически учитывают в уравнении Дирака рожде-
рождение фотонов. Слагаемое в A8.11), которое описывает поглоще-
поглощение фотонов, в этом случае переходов не дает (ajas —0).
• t
+
Умножим уравнения A8.10) на е й ^а и проинтегрируем
по всему пространству. Тогда получаем
|)+£/+гМ3*, A8.13)
где величина cb-лъа — Еь— Еа характеризует изменение энергии
электрона. Рассматривая переходы, сопровождающиеся излуче-
излучением фотонов (Еь->Еа), мы должны считать, что в момент вре-
времени / = 0 электрон с достоверностью находится в состоянии Ь,
причем состояние а свободно:
С6@)=1, Са@) = 0. A8.14)
Для решения уравнения A8.13), как и обычно, применяется
метод теории возмущений в предположении малости величины
U+. Тогда приближенное решение A8.13) имеет следующий вид:
Cb(t)~Cb@)=l,
A8.15)
где матричный элемент а равен
а = j ^ae~l'\d3x. A8.16)
Вероятность пребывания электрона в состоянии а равна
CtCа- Поэтому вероятность квантового перехода b-* а в еди-
единицу времени определяется формулой
^
а
A8.17)
ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
243
Для сравнительно больших промежутков времени нетрудно
получить *)
lim
= lim
Si" Ct (X ~ КЬа) 2л
Переходя от суммы по х к интегралу:
A8.18)
для вероятности спонтанных квантовых переходов в единицу
времени получаем выражение
^&ши), A8.20)
которое с помощью перестановочных соотношений A8.12) для
амплитуд anfl1 можно привести к виду
el Г d3K
где**)
ф = ([а V] [ах0]) = (а*а) — (х°а*) (х°а)
*) Здесь учтена формула Дирихле
Отсюда сразу же видно, что
lim
sin сЫ
= / @), a>0.
A8.22)
**) В случае уравнения Клейна — Гордона, т. е. для бесспиновой ча-
частицы, вместо величины а мы должны подставить соответствующее выра-
выражение для тока:
«=2^7 J е~ЫГ [(p>a)*6+ *ap*J d3x, A8.21а)
где операторы обобщенного импульса равны
P=^-V- — A. A8.216)
Условие же нормировки принимает вид
A8.21В)
где
244 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
а "л° — х/х—единичный вектор в направлении импульса фо-
фотона. При выводе выражения A8.22) мы воспользовались век-
векторным тождеством
([ab] [cd]) = (ас) (bd) - (ad) (be). A8.23)
Поскольку энергия излучаемого фотона пропорциональна час-
частоте (е = сЬх), для интенсивности излучения получаем фор-
формулу
се2
A8.24)
б) Учет поляризационных эффектов. Покажем, каким обра-
образом могут быть учтены поляризационные свойства излучения.
Поляризационные свойства излучаемых фотонов можно описать,
вычислив интенсивности излучения, соответствующие двум ли-
линейным и двум круговым состояниям поляризации.
Для линейно поляризованных фотонов амплитуду вектор-по-
вектор-потенциала а (см. A2.55)) следует представить в виде суммы двух
взаимно перпендикулярных составляющих:
а=ИМя = Р2</2+Рз</з. A8-25)
где отличная от нуля квадратичная комбинация вторично кван-
тованных амплитуд равна
Ws-us, (s,s' = 2, 3).
Здесь {Ь и Рз — произвольные единичные векторы, перпендику-
перпендикулярные друг другу и к направлению вектора импульса фотона к:
Рз = [и0Р2]. №) = (Ш = 0. A8.26)
В силу этих соотношений единичные векторы р2 и Рз можно по-
положить равными (см. A2.56))
*;(X°i0)f A8.27)
11 У\ — (и0/»J /1 - (х°;0J
Для исследования круговой поляризации излучения фотон-
фотонную амплитуду а разобьем на отдельные компоненты следую-
следующим способом:
1
а= S Р^^Р^ + Р-,?-,. A8-28)
причем отличная от нуля квадратичная комбинация (при v! = и)
равна qiq"r = бн-. Единичные векторы (ty связаны с {Ь и рз соот-
соотношением (см. A2.60))
У 1
УЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ 245
т. е. Р1, = РГ Из A8.29) следует
Для энергии Е и полного спина S электромагнитного поля
имеем (см. A2.33), A2.83))
F—■— \ (F2-\-Н2) ii3r — V ctiv СЛЛ -1- N Л
где М — число фотонов с заданной круговой поляризацией. От-
Отсюда видно, что оба сорта фотонов обладают одинаковой энер-
энергией, но разными направлениями спина. Спин фотонов с /= 1
параллелен вектору и0. Такое состояние поляризации называется
правой круговой поляризацией (правый винт). Спин фотонов с
/ = — 1 имеет противоположное направление, т.е. образует ле-
левую круговую поляризацию (левый винт).
Если мы хотим в интенсивности излучения учесть поляриза-
поляризацию фотонного излучения, то вместо формулы A8.24) должны
написать
се2 С
^)d^b()O A8.32)
где величина Фг зависит от типа поляризации:
для линейной поляризации (X = 2,3)
Ф^==КРх)(«РО. A8.33)
для круговой поляризации (Х=1, —1)
г) = 1 ([«ой'] [х°а]) _ LI (х« [а'а]). A8.34)
Следует заметить, что интенсивность излучения, обладающего
круговой поляризацией, не зависит от направления произволь-
произвольного единичного вектора /. От этого направления зависит лишь
интенсивность с заданной линейной поляризацией. Если линей-
линейная поляризация существует, то мы всегда можем выбрать на-
направление для вектора / таким образом, чтобы величина W2 со-
соответствовала максимуму, a W3 — минимуму излучения. Как
правило, для этой цели / следует ориентировать по какому-то
физически выделенному направлению. Очевидно, что величина
Ф, дающая возможность по формуле A8.21) вычислить суммар-
суммарную (по состояниям поляризации) интенсивность излучения,
будет равна
ф = Ф2 + Ф3 = Ф1 + Ф_1, A8.35)
246 § IS- ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ИЛИ
ф = ([jc<V] [лоа]) ^ (й*а) — (х°а*) (у.°а). A8.36)
Сдвиг фаз между двумя линейными поляризациями может быть
найден, исходя из формулы A2.64):
sinф = (Ф, — Ф_,)/2 1/Ф2Ф3. A8.37)
в) Спонтанные и вынужденные переходы. Формулы A8.21)
и A8.22) определяют так называемые спонтанные переходы, про-
происходящие самопроизвольно, т.е. независимо от наличия внеш-
внешнего поля. Эти спонтанные переходы могут совершаться только
сверху вниз (т.е. из состояний с большей энергией Е,-, в состоя-
состояния с меньшей энергией Еа) и обозначаются коэффициентом
Эйнштейна Аьа- После интегрирования по % формула A8.21)
дает следующее значение:
^§CiO, A8.38)
где _ _
ф = ([и°а*] [зс°а]) = (а*а) — (х°а*) (х°а),
Еь-Е - Г A8.39)
При наличии внешних фотонов, наряду со спонтанными, дол-
должны существовать также и вынужденные переходы, т. е. пере-
переходы под действием внешних фотонов. В этом случае при иссле-
исследовании переходов сверху вниз вместо перестановочных соотно-
соотношений A8.12) мы должны написать (см. A2.81))
asa's? = Fss, — «X') ^»'A "Ь N (*))> A8.40)
где N — число фотонов с импульсом х (усредненное по состоя-
состояниям поляризации). Тогда, если предположить, что внешнее из-
излучение изотропно (т.е. число N зависит только от модуля у),
мы для вероятности перехода сверху вниз вместо выражения
A8.38) найдем
где со = ех, а р(со) — плотность числа фотонов, связанная с iV(со)
(в случае изотропного излучения) при помощи соотношения
^~-N{<o). A8.42)
о * о
Отсюда для коэффициентов Эйнштейна Вьа мы находим значе-<
ние [62]
о — N (со) * л с д A0 дач
СПОНТАННЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ 247
Исследуем возможность переходов снизу вверх, т.е. с погло-
поглощением энергии (Еа >Е,„ Еа<Еь). Полагая в формуле A8.13)
Ca(t) = Са@) = 1, Сь@)=0, мы найдем для коэффициента
Chit), по аналогии с выводом формулы A8.15), следующую фор-
формулу:
Отсюда для вероятности перехода а->& вместо A8.20) находим
значение
%Y \^(аа+)(Ъ*а)Ь(ща-к). A8.45)
Принимая во внимание, что
(ср. с A8.40)) мы найдем для вероятности перехода (в случае
изотропного внешнего излучения) следующее выражение:
wa! = N{®)Aba = p{<i>)Bab. A8.47)
Отсюда видно, что спонтанное излучение снизу вверх, как и сле-
следовало ожидать, невозможно. Вероятности же вынужденных пе-
переходов сверху вниз (Ь—>■ а) и снизу вверх (а—*Ь) будут одина-
одинаковыми, т. е.
Ваь = ВЬа. A8.48)
С помощью формул A8.43) и A8.48) легко дать строгое кван-
товомеханическое обоснование формулы Планка, характеризую-
характеризующей состояние термодинамического равновесия между нагре-
нагретыми атомами и излучением (равновесное или черное излуче-
излучение). В этом случае число переходов сверху вниз (спонтанные и
вынужденные) должно равняться числу переходов снизу вверх
(вынужденные):
Nb Aba + Nbр(со) Bba = Nap(со)ВаЬ. A8.49)
Учитывая, что распределение атомов по энергиям задается фор-
формулой Максвелла
Nb = Ce *«T, Na = Ce k*T, A8.50)
где k0 = 1,38-10~16эрг/град — постоянная Больцмана, а Т—аб-
Т—абсолютная температура, и принимая во внимание, что Еь — Еа =
= йю, найдем из A8.49)
PW= ,д /д ьЛаЦьТ Г" A8.51)
248 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Учитывая соотношения A8.43) и A8.48), получим формулу
Планка для равновесного излучения:
г) Дипольное излучение. Для того чтобы определить вероят-
вероятность перехода, мы должны прежде всего вычислить матричный
элемент A8.16). Как будет показано ниже, при ультрареляти-
ультрарелятивистских движениях величина кг ~ 2n,R/X (где R — размеры ор-
орбиты, а % — длина излучаемого света) может стать больше еди-
единицы, и поэтому в матричном элементе множитель е~Ыг мы не
можем раскладывать в ряд.
Напротив, при нерелятивистских движениях или слабо реля-
релятивистских движениях (vz/c2—>0) величина х? является сравни-
сравнительно малой величиной (например, в атоме водорода R ~
~ 10~8 см, а К ~ Ю~5 см), и поэтому в этом приближении, назы-
называемом дипольным *), мы можем вообще положить яг »* 0.
В нерелятивистском (точнее, в паулевском приближении
у2/с2 = 0) уравнение Дирака при наличии внешнего магнитного
поля (см., например, равенства A7.72) и A7.73)) могут быть
записаны в виде
(J) (J) A8.53)
A8.54)
где в энергию Е' мы не включили собственную энергию т0с2
(т.е. полная энергия равна Е'-\-т0с2), а обобщенный импульс
У) р
равен Р= —V —уЛ. Подставляя A8.54) в A8.53) и прини-
принимая во внимание соотношение
(а'Р)(а'Р) = Р2+г>'[РР]). A8.55)
где
получим
(^M A8-56)
где г|/ = ( *' j — двухрядная матрица, а магнитный момент,
который можно интерпретировать как спиновый, равен
(е = - в0)
*) Вообще, вероятность этого излучения пропорциональна квадрату
матричного элемента электрического диполя (см. ниже A8.67)). Ради крат-
краткости мы его будем называть дипольным.
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 249
Таким образом, в нерелятивистском (или паулевском) при-
приближении, когда учитываются лишь члены порядка vjc, электрон
должен обладать собственным магнитным моментом.
Принимая во внимание, что механический момент электрона
в нерелятивистском приближении равен
S = y</, A8.58)
мы найдем, что отношение собственных моментов
Vz/Sz — — eofmoc A8.5Э)
в два раза больше соответствующего отношения для орбиталь-
орбитальных моментов
£ 08.60)
что находится в согласии с опытами Эйнштейна — де-Гааза.
В дипольном приближении (хг = 0) матричный элемент
A8.16) мы можем положить равным
адип = J ^+а^ь йЧ. A8.61)
В случае отсутствия магнитного поля мы имеем (см. A8.54))
где штрихованные функции i|^+ и я|з£ — это двухрядные матрицы
Паули: я|/= .' .
Исходя из свойств матриц Паули, легко показать, что
(о'р)а' + а'(а'р) = 2р. A8.63)
Отсюда для матричного элемента A8.61) находим
)'a+^bd2'X==Pab- A8.64)
Принимая во внимание соотношение
Раь = ~~ imo®barab, A8.65)
где
а также отношение
мы для вероятности спонтанного дипольнОго перехода находим:
4 3
~Т~ЩГ>ааь\ > A8.67)
250 § 18- ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
где матричный элемент электрического диполя равен
dab = erab-
Для интенсивности излучения мы можем написать
где
д)
жении
Магнитное и
а —
Kb
--ЫъаАТ —
квадрупольное
, 4
3 с» |rfa6
У\ь + zlb)-
излучения.
\
Если
A8.68)
A8.69)
мы в разло-
наряду с основным (т.е. единицей), учтем и следующий член
разложения, то последний дает магнитное и квадрупольное излу-
излучения*). Тогда в дополнение к матричному элементу A8.61) мы
будем иметь
-гЧ|)+а(хг)я|)& = я|/-ЧЧ6,, A8.70)
где двухрядная матрица у' равна
Воспользовавшись формулой
<в (f(f)) = CHf(f) f(r)H) A8 72)
и учитывая значение гамильтониана
Н = -^-+У(г), A8.73)
имеем
«аи (f {г))аь = -^ (у (V (г) Р) - Т v2f)ab • A8.74)
Полагая в A8.74)
найдем
1 1 ш, ft
)aft = - —- (Г (Xp))ab f- {Г (И
A8.75)
Принимая во внимание еще равенство A8.71), имеем
)ай-И*р))а6]-
*)аь> A8-76)
*) Вероятность этих излучений пропорциональна квадратам матричных
элементов соответственно магнитного днпольного и электрического квадру-
польного моментов.
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ВОДОРОДОПОДОБНОМ АТОМЕ 251
.т. е. в A8.70) матрицу у' следует положить равной
^ Aff/)]--^-('-(*r)). A8.77)
Полагая полный магнитный момент электрона равным
и подставляя первый член правой части равенства A8.77) в
A8.38), найдем для магнитного излучения следующее выра-
выражение:
, 2
где матричный элемент магнитного дипольного момента
Наконец, подставляя квадрупольный член (второй член пра-
правой части равенства A8.77)) в A8.38) и воспользовавшись при
интегрировании по углам, кроме равенства A8.66), еще соотно-
соотношением
yPB) (x1
= ~ [(АВ) (CD) + (AC) (BD) + (AD) (ВС)], A8.80)
найдем следующее выражение для вероятности квадрупольного
излучения:
а>1
где квадрупольный электрический момент (тензор) равен
Qss' = eCxsX/-r%s>). A8.82)
Для того чтобы полуить интенсивность излучения, мы дол-
должны соответствующие вероятности спонтанных переходов умно-
умножить на йозьа (см., например, A8.68)). Для нахождения же вы-
вынужденных переходов следует воспользоваться еще формулами
A8.43) и A8.48).
е) Дипольное излучение в вод^родоподобном атоме. Для
того чтобы определить правила отбора, а затем вычислить интен-
интенсивность дипольного излучения в содородоподобном атоме, мы
должны вычислить матричный элемент
Ж'ФЙМ8*- <18-83)
252 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Записывая решения в паулевском приближении в виде (см.
A7.119)) „ _ „ . _
причем случай / = /+72 следует относить к первому типу
решения, а случай } = 1— '/г — ко второму типу, мы можем
матричный элемент представить в виде
г = J r3RnrRnt dr § YpJ?qY{& dQ, A8.85)
о
где
q3 = cos ■01, g1! ± /^2 = sin fte*/(p.
При вычислении матричного элемента
1т
зависящего от углов, мы должны воспользоваться выражениями
для шаровых спиноров A7.66) и A7.67), которые мы можем
представить в виде
v'') I I
1 1т 1 / :\ . .- I .
где
I, m) = L2 \i,m)=y 21
— Сг"(/, tn) = C{i](/, т) =
Отсюда следует, что
qt=C\t">{l',m')Cf(l, m)&
+ Cp(l', m')Cf{l, m) | (У™у qtY?dQ. A8.86)
Подстагзляя в A8.86) рекуррентные соотношения для шаро-
шаровых функций A7.76) и A7.77), мы сможем при интегрировании
по углам воспользоваться только условием ортонормированности
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ВОДОРОДОПОДОБНОМ АТОМЕ 253
Тогда получаем следующие отличные от нуля значения для ма-
матричных элементов:
V
'•itmi 2/ ' A8.88)
+l, /- m, __ , - ,t-l, 1, m, __ m!
, U m{ ' — Ш1, /, m, ' — 2/ (j +
Аналогичным способом находим:
A8.89)
; 7
A8.90)
причем в формулах A8.89) и A8.90) мы должны всюду брать
либо верхние, либо нижние знаки.
Все матричные элементы, для которых А/ = /—-/'= ± 2, об-
обращаются в нуль. В этих формулах квантовое число ш, прини-
принимает только одно значение: rrij — m — lf2, а квантовое число / —
два: / = /±'/2. Поэтому правила отбора для дипольных пере-
переходов имеют вид
==Am/=0, ±1; Д/=/~/'=±1; Д/ = / — /'= ± 1,0, A8.91)
а дипольные переходы с Д/ = ± 2 запрещены.
Напомним, что для бесспиновой частицы (шредингеровское
приближение), когда матричные элементы вычисляются по фор-
формуле
§WL A8.92)
мы с помощью рекуррентных соотношений A7.76), A7.77) и
условия ортонормированности имеем для матричных элементов
типа A8.89) и A8.90) [63]
ГР -
B1+ l)B/ + 3) ' W3'!. m — У B/-l)B/+l) '
A8.93)
254 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Точно так же для других матричных элементов получаем
У' A8-95)
т. е. правила отбора шредингеровских частиц:
Дт = 0, ±1; Д/=±1. A8.96)
Вычислим с помощью формул A8.92), A8.93) угловую часть
квадрата матричного элемента при переходе из состояния /всо-
/всостояние /—1, т.е. переход /—*1—1. Для шредингеровских ча-
частиц согласно формулам A8.92) и A8.93) имеем
Й "Т + ^U + %U m+lf +
т.е. квадрат матричного элемента угловой части не зависит от
магнитного квантового числа т. Точно так же из тех же формул
легко найти квадрат матричного элемента при переходе /-W+1:
4- <18-98)
Найдем соответствующие квадраты матричных элементов при
переходе 1-+1—1 для паулевских частиц, когда следует вос-
воспользоваться формулами A8.88) — A8.90). Следует, однако,
учесть, что при переходе /—♦/—1 возможны два значения на-
начального значения внутреннего квантового числа /.
Переход с начального уровня / = / — х/2 возможен как на
уровень /' = /' —'/г (А/= / — /'= 1), так и на уровень / =
= I' + '/г = I — Уг (Д/ — 1), а с уровня / = / + Уг — только на
уровень /' = /' + '/г = I — '/г (А/ = 1), а на уровень /' = /' — 1/2
запрещен правилами отбора (Д/ = 2).
Для перехода с изменением внутреннего квантового числа
/ (Д/= 1) мы согласно формулам A8.88) — A8.90) имеем
21, /■ т, j
Mir- 08-99)
Из тех же формул следует, что при переходе I — !/2~W + '/2 =
5= !■ — V2 (Д/ = 0) квадрат матричного элемента равен
(W-'-Wnr- A8Л00)
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ВОДОРОДОПОДОБНОМ АТОМЕ 255
Отсюда, усредняя по начальному значению / (/ = /±'/2), най-
найдем (см. A8.97))
\Я Н — 2 № >и 1+уг + W ^, г-'/2 ^ ^ 'г. z-Y» J ~ 2/ + 1 *
A8.101)
В частности, при переходах p-*s угловая часть квадрата ма-
матричного элемента согласно A8.101) будет равна
(?2)? = J- A8.102)
Точно так же, как и для шредингеровских частиц, при переходе
1—*1-\- 1 мы найдем для паулевских частиц формулу A8.98).
Матричный элемент радиальной части перехода в водородо-
подобном атоме с учетом правила отбора для орбитального кван-
квантового числа I' = 1±\ согласно A8.85) равен*)
r= J r3drRn< ,±1{r)Rnl. A8.103)
о
Этот матричный элемент не обращается в нуль ни при каких
значениях п' (конечного главного квантового числа), и поэтому
правила отбора для главного квантового числа \п — п' — п при
дипольных переходах не существуют.
Здесь мы ограничимся вычислением матричного элемента
A8.103) при переходе электрона в основное состояние Is (n'=\,
/' = 0). Эти переходы возможны лишь из состояния пр (п > 1,
/=1). Соответствующие значения для радиальных функций
равны:
для конечного состояния
Rn- r = Rls = 2 [~f e-*l°>; A8.104)
для начального состояния
где p = 2Zr/na3, а для полинома Лагерра согласно A7.22)
имеем
е-уи-i. A8.106)
Подставляя выражения A8.106) для радиальных функций в
A8.103) и переходя от переменной г к переменной р, получим
оо
2 Г rfri-2
г = — -р= dppe-'^-DP—z-^e-ppn+K A8.107)
42 /(я-2)! («+ 1)! J dp"
*) Точное значение интеграла A8.103) вычислено в [63].
256 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Перебрасывая в интеграле A8.107) (п —2) раз производную,
найдем
л/г—2
4Z у (п - 2I. (п + 1I2'
>. A8.108)
Вводя новую переменную Х1ъ{п -f- 1)р = х и воспользовавшись
известным интегралом
оо
| -*л:*йл:=й!, A8.109)
найдем для квадрата матричного элемента радиальной части
следующее значение:
) и+Л ' A8Л10)
Отсюда полный квадрат матричного элемента, характеризую-
характеризующего переход p->s, согласно A8.102) и A8.110) равен
Соответствующая частота излучения может быть вычислена по
формуле A7.115):
Поэтому, воспользовавшись A8.67), получим следующее значе-
значение для вероятности дипольного перехода яр—► Is:
^^$^-. A8.113)
В частности, при п = 2 и Z = 1 (атом водорода) имеем
w2p-> is = [3-j a5—|-, A8.114)
а соответствующее значение для времени жизни в состоянии 2р
определяется выражением
г = 1-—» 1,5- 10"9 сек. A8.115)
ПЕРЕХОДЫ С МЕТАСТАБИЛЬНОГО УРОВНЯ 2s 257
ж) Магнитные и квадрупольные переходы в водородоподоб-
ном атоме. Согласно формуле A8.79) вероятность магнитного
дипольного излучения определяется выражением
АЬа=-ф-\Ра,,?, A8.116)
где матричный элемент
^6 = J ФХ <*3*. A8.117)
а оператор магнитного момента ц равен (см. A8.78))
^ ha'). A8.118)
Подставляя в A8.117) вместо волновых функций их значения
в паулевском приближении (см. A8.84)), которые выражаются
через шаровые спиноры A8.86), мы найдем правила отбора в
случае магнитного излучения:
= Дту = 0, ±1; Д/ = 0, ±1; Д/ = 0; Дя = 0. A8.119)
Для определения правила отбора для квадрупольного излу-
излучения необходимо вычислить следующие матричные элементы:
4kfyrt^f • A8Л20)
Принимая во внимание, что матричный элемент гП'п отличен от
нуля при любых значениях An = я — я', а для {qs)l ',-' ^т' имеют
место соотношения A8,91), мы найдем правила отбора для ква-
квадрупольного излучения:
= Дт/ = 0, ±1, ±2; Д/ = 0(/ Ф Ц%\ ± 1, ±2;
2
А/ = 0, ±2; Дя произвольно.
Учитывая, что квантовое число / характеризует четность вол-
волновой функции, дипольные переходы (Д/ = ± 1) возможны меж-
между четными и нечетными состояниями, а квадрупольные (А/ =
=' 0, ± 2) — только между состояниями, обладающими одина-
одинаковой четностью.
з) Переходы с метастабильного уровня 2si/2. Согласно фор-
формуле A8.91) дипольные переходы 2sy2—»■ lsy2 в атоме водорода
запрещены. Точно так же в паулевском приближении запрещены
с этого уравнения магнитные (см. A8.119)) и квадрупольные
(см. A8.121)) переходы. Поэтому уровень 2sy2 называется мета-
стабильным. Найдем, в каком мультипольном приближении и
с учетом каких релятивистских членов становится возможным
данный переход.
9 А. А Соколов, И. М. Тернов
258 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В s-состоянии (/ = 0, / = 7г) для водородоподобного атома
мы можем написать два решения (см. A7.103)):
спин направлен по оси z (nij = 7г, /и = 1):
+«■»/-* втЫ '™**« 1: A8Л22)
\ i sin Ь ег<р О„
спин направлен против оси z (nij = —7г. т = 0):
0
1 l-f»
A8.123)
i cos ftGre
Здесь «=1, 2, 3, ...—главное квантовое число, Fn и Gn —
радиальные составляющие волновых функций, е0 — заряд,
т0 — масса электрона, а г = Ух2 + У2 + z2.
В случае /г=1 (наинизшее состояние lsi/2) для энергии и
для радиальных функций соответственно находим (см. A7.110))
Е\ == т0с2 cos т) » /п0с2 A —2 ai)'
—-—а2
, , г A8-124)
_з_ i_
,2~2
где
а нормировочный коэффициент
cos -^ „
тй- <18-'26)
cos T)+-
B60 sin ti) cos -^
Приближенные значения A7.110) и A8.123) написаны с точ*
ностью до величины порядка а2.
ПЕРЕХОДЫ С МЕТАСТАБИЛЬНОГО УРОВНЯ 2s 259
В случае п = 2 (метастабильное состояние 2sy2) имеем
Е2 =m0c2 cos |~m0
F2 = D2ryek°rsin^A + ff,r) j-T1 r""' X
(I8.I26)
a2 !
— г 2~ e"
2
где
г с 4
а постоянная D2 в общем случае определяется из условия
нормировки:
COST1+—
U<x— ._..._ . .1/. I/ L0b> . l-oi> »
(Г(!+2со8г1))/2 У 4 2 4 1-1 «2
J/Та2 2 '
A8.127)
Вероятность перехода 2si/,-»lsi/, вычисляется по формуле
A8.21):
ел Г ^3«
® = -Ш) — б(х-х21)Ф, A8.128)
где
а величина
ф = (а+а)-(а+и°)(ах°) A8.130)
выражается через матричный элемент (см. A8.22) и A8.16))
a = J г|з+аг|Iе-'"г сРх. A8.131)
260 S 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Подставляя A8.122) в матричный элемент A8.131), найдем
для величины Ф следующие значения в случае перехода без
переворота (ф**) и с переворотом (фн) спина:
ф=-1
где
ф» =
6-2af ' "" ° X
a '
-Hi'
A8.132)
._ 2 _JL_i(i+_L a2 \
aIp 2 a V 24 1 /
oq \ -i 9
A8.133)
f(xr)= | dQ sinB cos Be-''159, A8.134)
о
а ■О и 0 являются углами, которые образует волновой вектор фо-
фотона и соответственно с осью г (первоначальным направлением
спина) и радиус-вектором г. Учтем разложение экспоненты по
парциальным волнам (разложение по орбитальному квантовому
числу /)
со
1) (-/)'/,+>/, (кг) Р, (cos 6). A8.135)
В A8.135) отличные от нуля вклады дают только члены с / = 1:
г, ч .-, /~ 2п . , ч о • I cos xr sin%r \
f(Kr)=-ty _/J/,(xr) = 2»(— ^-)«
Этот член соответствует магнитному дипольному излучению
(А/ = 0 при / = 7г) с учетом релятивистских членов, пропорцио-
пропорциональных а\.
Благодаря наличию в A8.128) дельта-функции будем иметь
х = хя « 1-Hi.. A8.137)
Вычисляя A8.133), имеем
Ф° = 1Г- A8.138)
Отсюда с помощью A8.128) находим вероятности перехода
ПЕРЕХОДЫ С МЕТАСТАБИЛЬНОГО УРОВНЯ 2s,, 261
2si/2—> Is./, как без переворота, так и с переворотом спина:
^^> 08-139)
о
я
= 2ffi;1^. A8.140)
о
Для суммарной же вероятности перехода [64] получаем
Щ| = ^4.^ = ^^1. A8.141)
Таким образом, однофотонный переход 2s./2 —* lst/2J который
для дипольного излучения является строго запрещенным, оказы-
оказывается возможным за счет релятивистских членов магнитного
излучения.
Брейт и Теллер [65] получили для однофотонного перехода
2si/2—>ls./2 формулу, отличающуюся от A8.141) численным коэф-
коэффициентом:
^^ A8.142)
Этот результат может быть получен, если в скобках равенства
A8.136) пренебречь членом ]/i0K2r2. Однако при вычислении ма-
матричного элемента основной член, стоящий в скобках и равный
единице, дает отличное от нуля значение лишь при учете в волно-
волновой функции релятивистских поправок, пропорциональных ctj
(приближение Брейта — Теллера), в то время как для второго
члена (ViokV2), имеющего порядок а; и не учтенного в работе
[65], мы можем ограничиться нерелятивистским приближением.
Поскольку оба члена в конечном счете дают результаты одного
и того же порядка, необходимо учитывать их оба.
Заметим, что эксперименты, поставленные с однофотонным
переходом, подтвердили формулу A8.141), а не формулу Брей-
Брейта—Теллера A8.142) [66].
С уровня 2si/2 на уровень \sv2 возможен еще двухфотонный
переход, вероятность которого равна [67]
Таким образом, отношение вероятности однофотонного перехода
2si/2-> ls/2 к двухфотонному равно
± A8.144)
262 § 18. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Отсюда видно, что для малых Z (например Z = 1) наиболее ве-
вероятным будет двухфотонный переход, а для больших Z вероят-
вероятность однофотонного перехода по сравнению с двухфотонным
начнет увеличиваться пропорционально Z4.
Если учесть еще лэмбовский сдвиг (см. A7.114)), согласно
которому уровень 2sy2 лежит выше уровня 2р>/2, то становится
возможным спонтанный переход
2s,/2-»2pv A8.145)
вероятность которого для атома водорода
ауЛ _ 0,83а14—за-
0,83а14—забудет примерно в 3000 раз меньше вероятности перехода 2si^ —»
—>lsi/2. Поэтому, несмотря на наличие разрешенного перехода
2ру2—* ls./2 со сравнительно большой вероятностью (см. A8.113))
'2\з_ к т^_^ A8.146)
превосходящей w\\
... чип о'0
-^—= £^(Za)-6. A8.147)
Вероятность спонтанного двойного перехода
2s1/f->2p1A->ls1/f A8.148)
будет меньше wu поскольку вероятность шл пропорциональна
кубу весьма малой частоты
_
Ь
При включении внешнего излучения с резонансной частотой
«о переход A8.148) осуществляется практически мгновенно, по-
поскольку вынужденное излучение не зависит от частоты соо. Этот
метод и используется для экспериментального определения лэм-
бовского сдвига.
IV. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ
КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
§ 19. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННОМ
И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а) Решение задачи в цилиндрической системе координат по
уравнению Клейна—Гордона. Рассмотрим движение электрона
(е = — е0) в постоянном (во времени) и однородном (в про-
пространстве) магнитном поле, направленном вдоль оси г (Н =
= @,0, Я)). Вектор-потенциал А следует положить равным:
Ах=-1/гУН, Ау = Ч2хН, Л2 = 0. A9.1)
Уравнение Клейна — Гордона [1, 2]
}y(r, 0 = 0 A9.2)
допускает переход к стационарной задаче:
ty(r, t) = e * -ф(г), A9.3)
причем для волновой функции г|з(г) = г|э, зависящей от коорди-
координат, получаем следующее уравнение:
п
J|} = 0. A9.4)
Ограничиваясь только положительными значениями энергии и
вводя обозначения К = Efch > 0, ko = moc/h, уравнение Клей-
Клейна— Гордона A9.4) в цилиндрической системе координат (х =
= rcoscp, г/ = г sin ф, z) мы можем записать в виде
| ^^ ^} = 0. A9.5)
Полагаем
Jk3z
где k3 = -у- «3i a / и п3 — азимутальное и вертикальное квантовые
числа, которые могут принимать как положительные, так и отри-
отрицательные значения, включая нуль. Для определения радиальной
функции /(г) получаем уравнение
j==0, A9.7)
264 § 19- ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
где
i- dr2 *~ r dr '
которое можно привести к более удобной записи, вводя безраз-
безразмерную переменную р = уг2:
где
К2 - kl - k\ eJi
Учитывая асимптотические значения для радиальной функции
при г—> оо и г—«•О, сделаем замену
A9.10)
которая при подстановке в (9.8) приводит к хорошо известному
уравнению для вырожденной гипергеометрической функции (см.
A7.19)):
(Ч1)
с решением
« = ф{-(я-4--Ц-1), /+1, р}. A9.12)
Как было отмечено (см. A7.20а)),гипергеометрическая функ-
функция возрастает при р—► оо по экспоненциальному закону еР. По-
Поэтому мы должны в решении A9.12) этот возрастающий член
обратить в нуль. Для этого согласно A7.23)необходимо потре-
потребовать
Х--^--Цр-=з, A9.13)
где s = 0,1,2,... — радиальное квантовое число. Подставляя
вместо к значение A9.9), имеем
г> п 9
К~ — kr\ — ^ч
Л L==/ + s+1/2 = rt+,/2) A9.14)
где п — 0,1,2,... — главное квантовое число. Из A9.14) находим
+Ъ)- A9.15)
Как известно, при условии A9.13) вырожденная гипергеомет-
гипергеометрическая функция сводится к полиному Лагерра:
Ф{-5, /+ 1, p} = TFZp7)TQs(p)- A9-16)
Благодаря этому решение A9.10) можно выразить через функ-
функции Лагерра:
/ = ^/„ЛР), A9-17)
РЕШЕНИЕ ПО КЛЕЙНУ - ГОРДОНУ В ЦИЛИНДР. КООРДИНАТАХ 265
где
Ins (р) = yL= e-plVn-s)p-Qns-s (p), A9.18)
а для полиномов Лагерра имеем *)
S
ds \*ч s! (s + /)! ps""'
"s \"' " dps \" i j^ •■ > j\ (s — j)\ (s -\-1 — j)\
/=o
A9.19)
Соотношение
(—l)'p~'Q7-w(p) = Qs(p) A9.20)
позволяет рассматривать не только положительные, но и отрица-
отрицательные значения орбитального квантового числа I. Физический
смысл квантовых чисел п, I, s мы установим ниже, а пока лишь
только отметим, что поскольку п и s принимают целые положи-
положительные значения, орбитальное число I может изменяться в пре-
пределах — оо < / < п.
Нормировочный коэффициент Nns в A9.17) следует опреде-
определять из равенства A7.33), которое в нашем случае (V = еф — 0)
принимает вид
[19.21)
Из A7.34) и A7.35) находим
Nns= V^2y l/ ^jf~ ■ A9.22)
Поэтому волновая функция электрона в однородном магнитном
поле согласно A9.3), A9.6) и A9.17) равна
%s(r, t) = e-w y^f-y^-^f V2^Ins(9)- A9-23)
В релятивистском случае спектр, определяемый формулой
A9.15), становится квазинепрерывным, ибо энергетическое кван-
квантовое число п достигает очень больших значений. Например, для
магнитного поля И « 104 гс и Е та 100 Мэв для главного кван-
квантового числа находим значение порядка 107.
*) В сферической (г = У х2 + у2 + г2) и цилиндрической (г = |/ х2 + у2 )
системах координат мы будем иметь один и тот же вид для полиномов Лл
герра (см. A7.22)), отличающихся друг от друга условием нормировки и
значением г. Равенство A9.16) было использовано нами также и в сфериче-
сферической системе координат (см. A7.21)) при изучении проблемы Кеплера.
266 5 19. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В нерелятивистском приближении для спектра находим вы-
выражение:
^ hQ(n + 42), A9.24)
где Q = — циклотронная частота.
Заметим, что энергетический спектр является вырожденным
по радиальному квантовому числу s. Это вырождение физически
связано с тем обстоятельством, что в однородном магнитном
поле при заданной энергии Е фиксируется только радиус орбиты
вращения частицы, но не центр орбиты.
Радиус окружности можно определить, воспользовавшись
следующим равенством классической теории:
$E = e0HR. A9.25)
Предполагая, что движение происходит в плоскости орбиты вра-
вращения (£з==0), сравним это выражение с квантовой формулой
A9.14):
ch Y^yin + 1/2) = e0HR. A9.26)
Тогда находим, что [3—5]
# = Y(n + l/2)/\ ~ Yn/V~- A9.27)
Если движение происходит по траектории с макроскопическим
радиусом, центр которой отстоит от начала координат на рас-
расстоянии а и лежит на оси х (<р = 0), то средний квадратичный
радиус будет равен
:я
= R2+a2. A9.28)
Средний квадратичный радиус можно определить и по квантовой
теории:
J !L±±i A9.29)
Сопоставляя формулу A9.27) с A9.28), получаем
#« Vn/y, a « Ys/y, A9.30)
т. е. квантовое число п характеризует радиус траектории, а
квантовое число s — расстояние между началом координат и
центром круговой траектории. Из формулы A9.14) находим
/ — п — s = y(Rz — а2), т. е. при положительных значениях /на-
/начало координат находится внутри окружности (R > а), а при
отрицательных — вне ее (R<a).
РЕШЕНИЕ ПО КЛЕЙНУ— ГОРДОНУ В ДЕКАРТ. КООРДИНАТАХ 267
Как правило, в задачах, связанных с синхротронным излуче-
излучением, мы будем рассматривать случай a2/R2 = s/n -С 1, хотя оба
квантовых числа при макроскопических значениях а и R будут
достигать больших значений. Если а ф О, то это приводит к ква-
квадратичным флуктуациям радиуса, которые могут быть найдены
по формуле
f = J О™ (г - U2 d3x = С - (rj- A9-31)
Определяя средний радиус [3—5]
находим
Таким образом, движение заряда в магнитном поле с задан-
заданными значениями п и s можно рассматривать как наложение
круговых орбит с одним и тем же значением радиуса R, но обла-
обладающих различными центрами, отстоящими от начала координат
на одно и то же расстояние а.
б) Решение задачи по уравнению Клейна— Гордона в декар-
декартовой системе координат. Проведенное нами решение не является
единственно возможным с точки зрения выбора системы коорди-
координат, поскольку энергетический спектр является вырожденным.
Это обстоятельство говорит о том, что возможно решение той же
задачи и в другой системе координат.
В декартовой системе вектор-потенциал следует положить
равным [6]
AX = AZ = О, Аи = хН.
Тогда решение стационарного уравнения Клейна — Гордона
Следует искать в виде
tksZ+ik.y
-ф = -^—j- F{x). ■ A9.35)
Для функции F(x) мы получаем уравнение
}^Q, A9.36)
которое с помощью замены
и f2 Ь2 ь2 г,
2 + f Я= -5 3-, У=-^- A9.37)
2у 2сй
268 § 19- ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
приводится к волновому уравнению гармонического осциллятора
Отсюда мы находим собственные значения:
Х = 2п+1, A9.38)
где главное квантовое число п = 0, 1,2, ..., и собственные
функции:
и»(Л) = )/^7^ е-™ Нп (л),
которые выражаются через полиномы Эрмита
-*• A9.40)
Из A9.37) и A9.38) для спектра энергии находим вновь вы-
выражение A9.15):
K=Vkl + kl + 4y(n+42). A9.41)
Производя нормировку с помощью соотношения A9.21), нахо-
находим волновую функцию уравнения Клейна — Гордона в декар-
декартовой системе координат:
f 2
Заметим, что спектр энергии не зависит от величины k2, т. е.
имеет место вырождение, которое соответствует тому, что центр
круговой траектории не фиксирован. Общее решение соответ-
соответствует набору круговых траекторий, обладающих различными
центрами, расположенными вдоль оси х, причем
*0=-£2/2Y. A9.43)
Из A9.42) следует, что волновая функция A9.42) является
собственной для оператора проекции импульса на ось z:
р3ф = ЙМ>. A9-44)
и для оператора р2, характеризующего центр окружности (см.
A9.43)):
в) Движение электрона в постоянном магнитном поле по
теории Дирака в цилиндрических координатах. Найдем прежде
всего решение в цилиндрической системе координат, естествен-
РЕШЕНИЕ ПО ДИРАКУ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 269
ным образом связанной с характером движения частицы в по-
постоянном и однородном магнитном поле, направленном по оси
z. Тогда вектор-потенциал будет определяться ' выражением
A9.1), а уравнение Дирака
) = 0 A9.46)
допускает переход к стационарному случаю, поскольку оператор
функции Гамильтона
^ ^Л A9.47)
A9.48)
не зависит от времени.
Положим
где величина е = ± 1 характеризует знак энергии, а Е =
= сЬК > 0 — ее абсолютное значение. Для компоненты волно-
волновой функции г|з = г|з(г) при этом мы получаем систему уравнений
[3-5]:
(гЕ + т0с2)фьз- с(Рх ~ iPtJ) ф4> 2 - сР2г|K, , = 0, A9.49)
т0с2) ф2,4 — с (Рх + /Р9) ^3>, + сР2ф4,2 = 0, A9.50)
из которой следует, что переменные г, ср, z разделяются. При ре-
решении уравнения Дирака положим
h)f, A9.51)
где функции
■■ЧТ5=- A9-52)
ортонормированы:
dcp J
-i/2
поскольку так же, как и в случае уравнения Клейна —Гордона
(см. A9.6)), h = 2miz/L, a /, п3 = 0,±1,±2, ... Значение ма-
матрицы f будем искать в виде
270 § 19- ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Подставляя решение A9.51) в уравнение Дирака A9.49) и
A9.50), учитывая равенства
Рх ± iPu — — ihe±l^ — ± — з— + утл ,
у Idr r dw ' J
д ейн A9.55)
а затем переходя к новой переменной р = уг2, получим систему
уравнений для определения функций fu:
(е/С + ko) L з + iR2U, 2 - ^з. i = 0, A9.56)
(е/С + ko) h* + iR.fa, i + ^4,2 = 0, A9.57)
где верхние знаки относятся к компонентам волновой функции
с первым индексом, а нижние —к компонентам со вторым индек-
индексом, а операторы Ri и R2 равны
A9.58)
A9.59)
Из A9.56) и A9.57) для каждой компоненты получим урав-
уравнение второго порядка типа A9.8):
dp2 + rfp+/l 2 4 4р
dp2+dp+A 2 4 4p"
Решение уравнений A9.60) было рассмотрено выше
(см. A9.12)). Собственные значения параметра X (см. A9.9)),
отвечающие требованию обращения в нуль решений обоих урав-
уравнений при р->оо, равны *)
К = п, A9.61)
где главное квантовое число п — I -\- s может принимать целые
положительные значения: п — 0,1,2,... Спектр собственных зна-
значений при этом зависит от главного квантового числа:
A9.62)
а компоненты f^ пропорциональны функциям Лагерра
(см. A9.18)).
С помощью рекуррентных соотношений между полиномами
Лагерра
^ ^ 09-63)
*) Равенство A9.61) легко может быть получено из A9.8) и A9.13).
РЕШЕНИЕ ПО ДИРАКУ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 271
можно найти
Ri//»-i,.(p)=-/4nY"/«,.(p).
R2In,s(p)=V^yIn-l,s(p)-
Тогда, полагая
и подставляя это выражение в A9.56) и A9.57), получаем урав-
уравнения для определения постоянных коэффициентов Сц:
,,2~к3С3>1 = О,
(в/С + &о) С2,4 - /4^Г С3,, + ^Q, 2 = 0.
Из условия нормировки радиальных волновых функций
J=l A9.67)
о
с учетом того, что
00
|ф/п,Пр)=1. A9.68)
о
находим
4
Sc;c, = i. A9.69)
n=i
Заметим, что волновая функция ф, полученная нами, является
собственной для:
оператора функции Гамильтона:
Щ = еЕЦ; A9.70)
оператора проекции импульса на направление магнитного
поля:
Рз1> = АМ>; A9.71)
оператора проекции полного момента на направление маг-
магнитного поля:
Jzij> = /i(/ —1/2) Ф- A9.72)
Операторы A9.71) и A9.72) коммутируют с оператором функции
Гамильтона и между собою и поэтому могут иметь общие вол-
волновые функции. Для полного определения квантового состояния
272
§ 19 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
необходимо введение четвертого квантового числа, характери-
характеризующего еще и спиновые свойства электрона*).
Учет спиновых свойств мы можем произвести несколькими
способами, а именно: 1) с помощью введения единичного трех-
трехмерного вектора спина, 2) с помощью псевдовектора спина и
3) с помощью тензора спина. При наличии магнитного поля не
все компоненты этих величин будут коммутировать с оператором
функции Гамильтона, и поэтому прежде всего мы должны подо-
подобрать соответствующие спиновые составляющие, коммутирую-
коммутирующие с Н**).
Одно из возможных решений системы уравнений A9.66)
имеет вид ***)
1 С, \ Г / еК + V
О
A9.73)
Условие нормировки A9.69) дает лишь связь между независи-
независимыми коэффициентами:
|D,P + |D_I|2=1. A9.74)
Подчиняя волновую функцию дополнительному условию
с°г£> = £г£>, мы найдем для £ два значения: £ = ± 1. При £ = 1 мы
*) Математически это связано с тем обстоятельством, что не только
определитель четвертого порядка системы уравнений A9.66), но и все ми-
миноры, т. е. определители третьего порядка обращаются в нуль.
**) Если обобщить выражение трехмерного единичного вектора спина
на случай наличия постоянного и однородного магнитного поля, то с Н бу-
будет коммутировать только составляющая, направленная по магнитному полю,
т. е. Стз< равная (см. A5.56)):
&K%ku (Pi - Ф2> Aа72а)
***) В случае положительных энергий (е = 1) решение A9.73) удобно
представить в следующем виде:
(!9J3a)
где b = 1^1 + kQ/K
по аналогии с классической теорией мы можем трактовать как составляю-
составляющие продольной и поперечной скорости электрона.
РЕШЕНИЕ ПО ДИРАКУ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
273
должны положить £>i = I, D-i = 0 (спин направлен по полю),
а при £ = — 1, наоборот, D, ==0, D_i = 1 (спин направлен про-
против поля).
Для описания продольной поляризации спина удобно вос-
воспользоваться оператором
() A9.75)
(см. A5.106)), коммутирующим с Н и характеризующим проек-
проекцию спина на обобщенный импульс, т. е. на направление движе-
движения частицы. Тогда, подчиняя волновую функцию г|з дополнитель-
дополнительному условию
) /г/г£г|), A9.76)
A9.77)
которую необходимо решить совместно с A9.66) *). Решение
дает
А1В1
находим для коэффициентов Си систему уравнений:
1
A^Bi
А2В,
где
A9.78)
A9.79)
Здесь k = VK —k0, £= + 1 характеризуют две возможных
ориентации спина электрона по отношению к направлению его
движения. Случай Z, = 1 соответствует ориентации спина по дви-
движению, £ = —1—против.. Таким образом, четвертое квантовое
число t, характеризует проекцию спина на обобщенный импульс
в единицах й/2.
Наконец, мы можем учесть спин с помощью тензора поляри-
поляризации A5.110), составляющая которого вдоль магнитного
поля **)
A9.80)
*) С помощью уравнения Дирака A9.46) оператор S* может быть пре-
преобразован к виду
с (аР) i|> = (pie£ + ф2тсс') г|з.
**) При рг = 0 оператор [Хз точно описывает поперечную поляризацию.
В случае движения электрона по винтовой линии (рз Ф 0) более точно сле-
следует говорить о поляризации вдоль поля.
274
§ 19. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
коммутирует с Н. С помощью уравнений Дирака оператор мож-
можно преобразовать к виду
тосц3г|з = (^f- P3CT3 — Ф2Р3) Н>- A9.81)
Подчиняя ф-функцию еще условию
йоМ> = Яо51>. A9.82)
находим для коэффициентов Си систему уравнений
'QK0)C2,4 = -k3Cit2, A9.83)
которую необходимо решать совместно с системой A9.66). Это
решение имеет вид
С,
ct J
1
B3 (A3 + Л4)
3 {А3 - Л4)
4 (Л4 + Л3) j
где
A9.84)
A9.85)
-йз, Е=±1. A9.86)
Случай £ = 1 соответствует ориентации спина электрона по на-
направлению, a Z, = — 1 — против направления магнитного поля.
Спрашивается, какой же из операторов предпочтительнее для
описания спиновой поляризации электронов в постоянном и од-
однородном магнитном поле. Заметим, что оператор сг^ (см.
A9.72а)) может быть связан с операторами ца и St при помощи
соотношения
St.
A9.87)
При описании продольной поляризации с помощью оператора
S( оба направления спина (по движению и против движения) со-
совершенно эквивалентны относительно магнитного поля (они фак-
фактически перпендикулярны к нему), и поэтому магнитное поле не
может привести к явлению продольной самополяризации. Кроме
того, учет весьма малого вакуумного или «аномального» момента
электрона приводит к тому, что оператор S* теряет свойства ин-
интеграла движения. Благодаря этому, если в начальный момент
пучок электронов был бы продольно поляризован, то в течение
сравнительно короткого времени аномальный момент электрона
их деполяризовал [5].
Таким образом для описания спиновой поляризации предпо-
предпочтительнее использовать операторы сг' или [i3, описывающие
РЕШЕНИЕ ПО ДИРАКУ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 275
«поперечную» поляризацию, поскольку направление спина по или
против магнитного поля дает различные значения для энергии
взаимодействия. При отсутствии продольной составляющей ско-
скорости (&з = 0), как видно из A9.87), оба оператора сг° и ц3
будут пропорциональны друг другу и поэтому приведут к оди-
одинаковому результату.
При наличии же продольной составляющей (k3 Ф 0) опера-
оператор цз остается интегралом движения даже при учете аномаль-
аномального магнитного момента (см. [5]), в то время как небольшая
часть оператора в^ включающая при k3 ф 0 оператор S*, теряет
свойства интеграла движения. Поэтому если нас не интересуют
вопросы, связанные с поляризацией спина, то мы можем пользо-
пользоваться любым из решений A9.73), A9.79), A9.84).
При учете поляризации спина наиболее разумно вводить до-
дополнительное условие A9.82), приводящее к решению A9.84)
(см. [5]). Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже.
Связь радиуса и квадратичной флуктуации амплитуды ради-
радиальных колебаний а с квантовыми числами п и s была детально
рассмотрена в случае уравнения Клейна — Гордона (см. A9.30)).
Уточним лишь некоторое детали, связанные с теорией Дирака.
В частности, для среднеквадратичного радиуса мы получаем вы-
выражение по квантовой теории (см. A9.29)):
А
=2 J 'Ч+. Аыd4=iL±ft^ • A9-88>
Заметим, что в A9.88) было произведено суммирование по со-
состояниям спиновой поляризации электрона £=±1. Вычисляя
по аналогии с этим (см. A9.32))
найдем квадратичную флуктуацию радиуса в виде (см. A9.33))
Таким образом, так же как и по теории Клейна — Гордона,
по теории Дирака находим
R2~n/y, f ~ s/2y. A9.91)
Учет спина может сказаться лишь в области малых значений
квантовых чисел.
г) Решение уравнения Дирака в декартовой системе коорди-
координат. В декартовой системе координат, когда постоянное и
Однородное магнитное поле направлено по оси г, следует
276 § ш- ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ПОЛОЖИТЬ [6]
Ах = Аг = 0, Ау = хН. A9.92)
При этом решение уравнения Дирака A9.48) можно искать в
виде (см. также A9.35))
. ЕЙ
ik7y+ik3z
, 0 =
■■ф,
= chK.
A9.93)
Подставляя это решение в уравнение Дирака и производя за-
замену переменных A9.37), получаем систему уравнений:
+ k0
решение которой записывается через функции Эрмита A9.39).
При этом для функции г[з получаем
A9.96)
4,2-^з,|=0, A9.94)
^Г-Л )Фз, 1 + ^3*4,2= 0, A9.95)
С3м„_,
С помощью рекуррентных соотношений между функциями
Эрмита (см. A9.39))
i-_ti «„_, = —I/2л ы„ A9.97)
получаем связь коэффициентов С^ в виде A9.66):
(е/С + ko)CU3 —
^()) ^2, 4
4> 2 — й,А, i = 0,
A9.98)
Если подчинить волновую функцию дополнительному усло-
условию A9.74):
а3эЧз = ^, A9.99)
где £=± 1, то для коэффициентов С„ найдем значение (см.
A9.73))
A9.100)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПОНТАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ 277
где коэффициенты Dt и D_] характеризуют состояния, когда
трехмерный спин а] направлен соответственно по оси г (ампли-
(амплитуда Du 'Q = 1) или против оси z (амплитуда D_i, £ = —1). Эти
амплитуды удовлетворяют условию нормировки:
D? + D11 = 1. A9.101)
§ 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА,
ДВИЖУЩЕГОСЯ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а) Общие формулы для спонтанного излучения с учетом по-
поляризационных эффектов. Как было отмечено в § 18, взаимо-
взаимодействие электронов с полем виртуальных фотонов обусловли-
обусловливает спонтанные переходы электрона из одного энергетического
состояния в другое. Согласно полученным ранее формулам (см.
A8.32)) интенсивность спонтанного излучения при квантовом
переходе электрона из состояния с энергией Еь в состояние с
энергией Еа (Еь > Еа) имеет вид
{, B0.1)
где величина Ф, зависит от типа поляризации излучения и свя-
связана с матричными элементами матриц Дирака а, равными (см.
A8.16))
причем:
для линейной поляризации (i = X, см. A8.33))
Ф„ = (а*(У(арл); B0.3)
для круговой поляризации (/ = /)
Ф; = (о*р;) (aft) = у {[и°о'] [ио«]} - ± I (*° [а*о]). B0.4)
В этих выражениях базисные единичные векторы р2 и р3 (см.
A8.27) и A8.29)) могут быть выражены через единичный вектор
/°, характеризующий, как правило, какое-то выделенное направ-
направление:
2 f\ — (х.°ру ' f\ — (кару '
Рг = -^{Р2+г7рз}, y? = -,
у 2 у,
а величина fix равна импульсу фотона.
278 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
От направления /° зависит, таким образом, интенсивность с
заданной линейной поляризацией. Поэтому если линейная поля-
поляризация существует, то можно выбрать выделенное направление
/° так, чтобы величина W2 соответствовала максимуму, a Wz —
минимуму излучения. В рассматриваемой задаче с этой целью
следует ориентировать /° вдоль магнитного поля, т. е. по оси г.
Тогда излучение W2 будет соответствовать (т-компоненте: вектор
электрического поля излучения лежит в плоскости ху и направ-
направлен почти по радиусу к центру. Излучение W3 соответствует
я-компоненТе: магнитный вектор лежит в плоскости ху, а элек-
электрический, направлен почти по внешнему магнитному полю.
При интегрировании по волновому вектору и введем сфери-
сферические кординаты:
Xj = xsin 0 coscp', 5<2 = xsin 0 sincp', x3 = xcos0. B0.6)
Заметим, что в силу аксиальной симметрии внешнего магнитного
поля интенсивность излучения не должна зависеть от угла ср'.
Поэтому, не нарушая общности, мы можем положить этот угол
равным любому значению, например ср' = л/2. Тогда находим
х° = 0, x° = sin0, x° = cos0, B0.7)
и для Ф(- получаем
<D2 = (a*ai), B0.8)
O3 = (a2cos0 — u3sin0J, B0.9)
фг = -1(Ф2 + ф3-г7Ф4), B0.10)
где
Ф4 = (aia2 — a|at) cos 0 — (a*a3 — азси) sin 0. B0.11)
Эти формулы лежат в основе квантовой теории синхротронного
излучения [5].
Найдем общие выражения для интенсивности излучения,
когда начальное состояние электрона характеризуется кванто-
квантовыми числами п, s, k3, £, а конечное — квантовыми числами п'',
s', k'3, I'.
Волновые функции (см. A9.52) и A9.53)) имеют следующий
вид (мы ограничимся решениями только с положительной энер-
энергией, е = 1):
ф ,. = ->=- Г— - f, B0.12)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПОНТАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ 279
где согласно A9.65)
а значение для коэффициента Сц в зависимости от выбора поля-
поляризации определяется равенствами A9.73), A9.73а), A9.78) или
A9.84).
Матричный элемент B0.2) можно представить в виде
L/2 2я
J j
J eH>)<fe j dq> jr
J
-иг о о B0.14)
где 0 — угол вектора и с осью z, а <р — полярный угол цилиндри-
цилиндрической системы координат электрона. Воспользуемся известными
равенствами
L/2
г \ dze ^ • ; = V,ft_Hcose- B0-15)
^ J 3 3
J
-L/2
2я
B0.16)
а при интегрировании по радиусу сделаем переход от перемен-
переменной г к переменной р = уг2 и учтем значение интеграла *)
J /w.B V*p")/ft'.S'(p)/«,s(p)rfp = U»'(*)/»'(*), B0.17)
*) Для вычисления интеграла B0.17) следует вместо полинома Ла-
герра Qsi, входящего в функцию /rt, s, (p), подставить его выражение
A9.19). Затем, раскрывая по частям интеграл s' раз и учитывая соотно-
соотношения
d* „( _ , j.fe si i+k
dpk s (s- k)\ s~k
\s'-k '~''~s'+fe
0
мы приходим к формуле B0.17) (более подробно см. [3—5]),
280 § 20- КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
в котором n' = t'-\-sf, n = l-\-s, a
х = к2 sin2 6/4у. B0.18)
Учитывая соотношение B0.17), а также равенства B0.14) и
B0.13), найдем, суммируя по k'3 (см. B0.15)),
1 3 ге,ге-1 4 1 2 3! re-I,re' ss', B0.19)
Из — [(С'Сз + СзС()/ге-1, /г'-1 — (С4С2 + С2С4) /re, re'] /ss',
причем аргументом функций /„ П' и /ss/ является величина х
(см. B0.18)).
Полная интенсивность излучения согласно B0.1) равна
2 -
W,-=-7^r ^ Л б (и — ИЬа)Фь B0.20)
v,.s',S'
а для соответствующей вероятности перехода имеем (см. A8.21))
причем суммирование по числу п' мы заменили суммирова-
суммированием по гармонике v = n — п'. Начальная и конечная энергия
электрона соответственно равны
К = Vkl + 4Y« + k],
. , B0.22)
У ' У/ ((fe2
где v = n — n' — номер гармоники, а из формул B0.15) и B0.22)
следует, что
k'3 = &з — -л cos Э, ща = К-~К'. B0.23)
Формула B0.23) выражает собою закон сохранения импульса
вдоль поля и закон сохранения энергии. Учитывая наличие в
B0.20) дельта-функции, мы найдем частоту излучения:
1 — р„ cos е / / 4vvsin2e \
pi I — I/ 1 — „2/. -д дг- , B0.24)
|/ /С2A — Рц cos Э) у' v 7
где скорость движения вдоль оси z (продольная составляющая)
равна Ри = £з/-К, а для определения аргумента х, от которого
зависят полиномы Лагерра (см. B0.17)), мы должны в B0.18)
подставить значение к из B0.24).
б) Квазиквантовое приближение. Как известно, в классиче-
классическом случае в постоянном и однородном магнитном поле движе-
движение электрона (если пренебречь излучением) должно происхо-
КВАЗИКВАНТОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ - 281
дить по винтовой линии (см. соответствующее-классическое урав-
уравнение (ЮЛ)):
x = Rcos<et, y = Rsin<et, z=v[{t, B0.25)
где R— радиус орбиты, со — механическая частота вращения, а
о и — продольная составляющая скорости. Из формулы B0.25)
мы найдем значение угловой скорости через поперечную состав-
составляющую скор-ости v±= У к'2 + У2 ■
B0.26)
Из формулы B0.24) в классическом приближении (й->0)
с учетом B0.26) найдем для частоты излучения
cos6)
Здесь целое число v определяет номер гармоники, а множитель
A — Рц соэЭ), появляющийся в знаменателе, описывает по суще-
существу эффект Допплера (см. [7]) *').
Аргумент х, от которого зависят полиномы Лагерра, согласно
B0.18) в этом приближении равен
"" ТШ' B0-28)
4n(l — P||COS6J '
а для радиуса орбиты получаем
#2 = n/Y.
В классическом приближении (Ь —>0) мы можем при вычис-
вычислении матричных элементов B0.19) пренебречь изменением им-
импульса вдоль поля, а также изменением энергии при излучении.
В самом деле, согласно B0.23) с учетом B0.27) имеем
E' = E — chx~E. B0.29)
Точно так же мы находим
р; = Р„ — Ах cos 8 «р„. B0.30)
Учтем, что в классическом приближении спиновые эффекты
не должны играть никакой роли. При вычислении матричных
элементов воспользуемся равенством A9.73а), в котором можно
положить
Di = £>i=l, D_, = D11 = O. B0.31)
*) Эту частоту можно получить также и по классической теории 18] (см.
также A0.24)).
282 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Тогда с помощью формулы B0.19) найдем
- (о, ) Jss, fb' _ b
a J = ~Т~ \Т $±1п< п'-1 + 1г Pj-7»-».
= -f- Px (ln,n'-i + /»-!,«'). B0.32)
«3 = :т:-(-1гРз + р-Рз)/п-1 »'-1 = Рз/8Л-1 »' Г B0'33)
^ ^ vgi'o о dj п— l.rt I 'oss n— 1, re — 1 ч '
Воспользовавшись формулой для предельного значения поли-
полиномов Лагерра [1]
lim /„, п-у (^2/4п) = /v (I), B0.34)
а также учтя рекуррентные соотношения между функциями Бес-
Бесселя
2v
jv_i (,sj-t- Jv+i\s) = "t~ Jvlb)) ""v-ivs; — J\+i (s)== ^'v(i), (zu.oo)
мы найдем следующие значения для матричных элементов:
1 — Эц cos 9
-7VA), a3==Pi/v(|), B0.36)
причем согласно B0.34) и B0.28) аргумент | равен
i = vpj. sin 9/( 1 — Рп cos 6). B0.37)
При вычислении интенсивности излучения'(см. B0.20)) после
интегрирования по дельта-функции в классическом приближении
для величины у. мы найдем значение B0.27), а в знаменателе мы
должны ввести множитель
д , v \ к'\ 1_1_ (я cos 8 — ^з) cos 6
1 . (Их cos 6 — р3) с , о ft ,gn „_.
1-^ Е-сПк ~1— Рп cos 0, B0.38)
учитывающий, что величина К' является функцией к (в выраже-
выражении B0.38) мы оставили лишь классические члены). Тогда для
интенсивности излучения (см. B0.20)) имеем
\^ll,(x) * B0.39)
v, s'O V " '
Где
й = fl±/# = е0Н/Ё B0.40)
^-круговая частота вращения (механическая), с которой свя-.
зана частота излучения cov гармоники v при помощи соотношения
(см. B0.27))
cov = vcu/A — Pi cos в). B0.41)
КВАЗИКВАНТОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 283
Для суммы квадратов матричных элементов находим значения
ф = ф2 + Ф3, B0.42)
где величины
cose-в \2
^1)
B0.43)
описывают соответственно о- и л-компоненты, а аргументы | и х
равны
vpx sin 9 2 р^ sin2 е
^= 1 — р„ cos9 ' * = v 4Ytf2(l-P|Cos9J ' B0.44)
В формулах B0.39) — B0.44) все величины являются класси-
классическими, за исключением аргумента х, который пропорционален
Ь, поскольку 1/у = 2сЬ/воН.
Однако при суммировании по величине s' этот квантовый
аргумент исчезает:
2 I2SS'(x)=l. B0.45)
s'=0
Тогда для интенсивности излучения получаем формулу классиче-
классического приближения (см. A0.26)):
w — с 2uv ) A-p., cos ер L\ sme
V=l 0 V " '
B0.46)
Здесь член, пропорциональный /v> соответствует л-компоненте,
а член, пропорциональный /С , — о-компоненте. Аналогичный
результат мы получили и по классической теории (см. п. в) § 10).
Вводя новые углы (см. A0.36) и A0.37))
B0.47)
sin80flf80= л—в cos 812 s'n^ °^'
а также выражение для инвариантной скорости
B0.48)
284 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В .МАГНИТНОМ ПОЛЕ
и принимая во внимание, что согласно B0.26) механическая
частота вращения равна
=
Е тас
мы приведем выражение для интенсивности излучения к виду
W = -^з" 0 - Ро) S v' J Sin e° rfe°X
0 v=l 0
[ 2], B0.50)
где аргумент g = vposin0o, а для частоты излучения гармоники
v согласно B0.41) имеем
е.Н , 1 +
Выражение B0.50) допускает точное интегрирование по углу
0о (см. A0.65) и A0.66)) и суммирование по величине v (см.
A0.68)):
} v* J sin 0O rf0o [ctg2 0о /2 (£) + Р*< (S)] = -^ тг^ • B0-52)
•^ oil — Dn I
V=l 0
о;
При интегрировании по углу члена, пропорционального Рц cos Go
получим нуль, в чем нетрудно убедиться, сделав замену
л — 0о —>■ 9о.
Учитывая соотношение B0.52) для полной интенсивности из-
излучения, находим выражение *)
4 9 9
w =-\т—^-Т' B0-53)
которое, как указал Швингер, является инвариантом. Так же как
и в классическом случае, для л- и о-компонент мы получаем
выражение A0.62).
*) Если при движении в постоянном и однородном магнитном поле про-
продольная составляющая скорости равна нулю (р^ = 0), т. е. траектория ста-
становится круговой и лежит в плоскости ху, то в формулах B0.50) — B0.53)
мы должны положить Рц =0, а Ро = р, где р — скорость движения электрона.
КВАЗИКВАНТОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 285
Для определения вероятности перехода воспользуемся ее
связью с интенсивностью излучения:
smBodQoha4w(v, s', %).
v, s' 0
Тогда, учитывая равенства B0.50), B0.51) и B0.39), получаем
4w
^ ^), B0.54)
где | = vp0 sin 9j. Для полной же вероятности перехода имеем *)
п
w = S С sinM0o2y(v, s', во)- B0.55)
v, s' 0
При вычислении вероятности перехода точное суммирование мо-
может быть произведено лишь по s' (см. B0.45)). Суммирование
же по v может быть произведено лишь приближенно **).
Для приближенного суммирования по v в B0.55) мы должны
прежде всего воспользоваться асимптотическими формулами для
функции Бесселя (см. A0.102)) и ее производной (см. A0.103)).
Тогда мы можем написать
v=l
Зя2
0
где
dvv (cos2 QQeKi (л) + <?Kv, (л)). B0.56)
e == 1 — R^ sin2 9n, Ti = -^e\
Переходя от переменной v к переменной т], найдем
оо
1 ^ = "I" I dTl ^ (^7^ & (Л) +1 *''. (л)) ■
о
*) Если продольное движение отсутствует, то в формулах B0.54) и
B0.55) мы должны положить Eц =0, [5о = р.
**) Заметим, что при вычислении интенсивности излучения мы могли
произвести точное суммирование и по v. Это связано с тем обстоятельством,
что спектральная часть интенсивности излучения пропорциональна v2 и точное
вычисление суммы возможно (см. B0.52)), в то время как спектральная
часть вероятности перехода пропорциональна v и точное вычисление суммы
становится невозможным
286 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
При вычислении интеграла по ц воспользуемся следующими фор-
формулами:
^-p), B0.57)
B0.58)
где Г(s) — гамма-функция Эйлера. Тогда с помощью B0.57) и
B0.58) легко получить
1 / 2 6 2
Интегрирование по углу Эо мы произведем с помощью сле-
следующей формулы @ = 0о, Р = Ро):
Г sine
J (l-
гI-£-±-i| г Ift — ■
е rfe coss e • M n |||(г
k-±
eo
Г (А)
имеющей место для ультрарелятивистского случая(ео= 1 — f^-C
-С 1), когда мы можем пренебречь членами порядка во. В этом
приближении находим
я
fsin0orf0o/@o) = -|~,
о
а для вероятности перехода (см. B0.55)) получаем
5 el е0Н V1 — Й
а, = ——--2.-2—1 Я. B0.60)
2/3 ch moc '
D частности, при отсутствии продольного движения имеем
w = —-=— . B0.61)
2/3 hR mac2
Для определения среднего значения числа излучаемых фото-
фотонов N за один оборот при |3ц = 0 мы должны w умножить на
время одного оборота, равное
____ 2nR _ _2я£
~ с е0Нс
КВАНТОВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ И РАДИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 287
Тогда мы находим, что *)
4^
Y3 сЬ тас2
B0-62)
Таким образом, синхротронные кванты излучаются флуктуа-
ционно. Например, при Е = 500 Мэв число излучаемых квантов
на один оборот будет равно 20.
в) Влияние квантовых флуктуации на радиальное движение.
Флуктуационный характер синхротронного излучения должен
накладывать свой отпечаток на классическое движение элек-
электрона. Физически это связано с тем обстоятельством, что при
флуктуационном излучении фотона большой частоты:
со„
R \ тас2
электрон должен получить заметную квантовую отдачу. Мате-
Математически это связано с тем обстоятельством, что в квазикван-
квазиквантовом приближении в выражение для интенсивности излучения
входит множитель l~SS'(x), аргумент которого пропорционален по-
постоянной Планка Ь (см. B0.44)). Правда, при вычислении интен-
интенсивности излучения при суммировании по s' этот аргумент исче-
исчезает (см. B0.45)), и в квазиквантовом приближении мы полу-
получаем классический результат. Однако эта отдача со стороны
излучаемого фотона сказывается в том, что центр круговой тра-
траектории начинает испытывать случайные «скачки», что приводит
к росту величины £2, т.е. к квантовому возбуждению радиальных
бетатронных колебаний._
Поскольку величина £2 пропорциональна квантовому числу
s (£2 = s/2y), то для решения нашей задачи мы должны
найти влияние излучения на изменение величины s. Для этого
*) Порядок величины N может быть оценен, исходя из отношения излу-
излучаемой энергии на один оборот:
к частоте, соответствующей максимуму интенсивности:
~ -L (-JLY
макс ^ ^ т0с2 / '
т. е. находим
W06 1 Е
Шмакс 137 1ПВС2 '
Таким образом, флуктуационный характер излучения связан с тем обстоя-
обстоятельством, что максимум излучения падает на высокие гармоники.
288 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
воспользуемся выражением B0.54), в котором при исследовании
радиальных колебаний можем положить |3ц = 0. Тогда будем
иметь
я
~ J
s', v 0
Принимая во внимание соотношение
• = ^ j sin Э dO (s' — s)w (v, s', 0). B0.63)
x, B0.64)
s'
где согласно B0.44)
x « v2ch/2e0HR2,
и подставляя в B0.63) выражение для m»(v, s', 0), с учетом ра-
равенства B0.64) найдем
где B0.65)
7 @)=-ш \ dv v" ^cos2 е гК*> № + *2Ki (л)).
о
Переходя от переменной v к переменной г\ (см. B0.56),
Ро = Р) и производя интегрирование по переменной г\ с помощью
формул B0.57) и B0.58), получим
3J/3
Вычисление интеграла B0.65) с помощью равенств B0.59)
дает [3]
ds 55 elc / Я \6
— = т= ~— • B0.66)
dt 48^3 m0c2R2 \m0c2) '
Оценим, при каких энергиях этот эффект может стать замет-
заметным экспериментально. Для этого необходимо, чтобы при одном
излучении величина s в среднем изменялась более чем на еди-
единицу. Из формулы B0.66) видно, что для этого мы должны взять
промежуток времени А/, равный обратной величине вероятности
перехода B0.60), т. е.
±UiHf^£l B0.67)
e2Q E
Отсюда при одном излучении квантовое число s в среднем изме-
изменяется на величину
Й (§5
24 mucR
КВАНТОВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ И РАДИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 289
Полагая As> 1, мы найдем энергию, при которой этот процесс
может стать заметным:
Е > Еч„ B0.69)
где
(±^)° . B0.70)
Коэффициент 2/з мы ввели просто для удобства дальнейших ис-
исследований (см. ниже). Вообще на порядок величины £3 он
влияния не оказывает.
Из критерия возможного появления квантовых эффектов мы
можем исключить радиус, который при Е = Еч, равен
R = B,Je0H. B0.71)
Подставляя B0.71) в B0.70), найдем, что
B0.72)
где
==4.41 • 10'3 гс
— постоянное швингеровское магнитное иоле.
Если принять во внимание, что в современных электронных
ускорителях магнитное поле имеет порядок Н ~ 104 гс, а соб-
собственная энергия электрона т0с2 ~ 0,5 Мэв, то £у, будет иметь
порядок нескольких сотен Мэв. Эта энергия и определяет на-
начало появления квантовых поправок.
Умножая равенство B0.66) на 1/2у и учитывая, что I2 = s/2y,
мы найдем выражение, характеризующее изменение квадратич-
квадратичной амплитуды радиальных бетатронных колебаний:
55 , „ П ( Е \5 /0П7Ч\
V—B0.73)
dt 48 УЗ u mocR
2 / 2 iq
где ro = eo/ tnoc ~ 10 еж—классический радиус электрона.
Формула B0.73) показывает, что причиной наложения на клас-
классическое вращение электрона квантовой раскачки радиальных
колебаний является флуктуационный характер излучения. По-
Поскольку при этом амплитуда радиальных колебаний достигает
макроскопических значений, то это движение можно назвать
своеобразным «макроатомом» [3, 9].
Квантовое «уширение» имеет и большое практическое значе-
значение, в особенности при постройке так называемых электронных
или позитронных накопительных колец. Однако в неоднородном
магнитном поле возникает еще классическое затухание, которое
уменьшает амплитуду вертикальных и радиальных колебаний.
Поэтому более подробно все эти вопросы мы рассмотрим ниже
при исследовании неоднородного магнитного поля,
Ю А. А. Соколов, И, М. Тернов
290 § 20. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
г) Влияние синхротронного излучения на вертикальное дви-
движение. Для того чтобы исследовать влияние синхротронного из-
излучения на вертикальное движение, т. е. на импульс k3, мы
должны воспользоваться дифференциальным значением для ве-
вероятности перехода, когда Cц Ф 0. Это выражение может быть
получено из формулы B0.54), если в последней произвести сум-
суммирование по s' с помощью формулы B0.45). Тогда найдем
s'
' "I. B0.74)
Изменение импульса вдоль поля может быть вычислено по
формуле
я
^ = 5] { sin 90 d% (р'3 - р3) w (v, 90), B0.75)
0
v 0
где
Pa = hka. B0.76)
Принимая во внимание закон сохранения импульса вдоль поля
B0.77)
и подставляя сюда вместо cov значение B0.51), а вместо cos 6—
выражение, найденное из B0.47):
р„ + cos en
e i B0-78)
имеем
Рз~Рз = - vhit?V TTTT(Pl! + cos9o)- B0J9)
Подставляя B0.79) в B0.75), получаем
X (Р>+Г"а) [ctg" 9„ II (у + й /;" Aо)]. B0.80)
Отсюда, принимая во внимание, что член, пропорциональный
cos 0о, при интегрировании обращается в нуль (нечетная функ-
функция) и что
Vl/c = ps/E, B0.81)
мы при интегрировании по 60 и суммировании по v можем
ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 291
воспользоваться формулой B0.52). Тогда для определения изме-
изменения рз получаем уравнение
т. е. импульс вдоль поля должен уменьшаться по экспоненциаль-
экспоненциальному закону.
Таким образом, в постоянном и однородном магнитном поле
эффект радиационного затухания влияет только на движение
электрона вдоль поля. Как было показано выше, на радиальные
колебания радиационное затухание не воздействует. Только
в неоднородном поле классическое радиационное затухание
влияет не только на вертикальные, но и на радиальные коле-
колебания.
Дадим физическую интерпретацию так называемого дэм-
пинг-эффекта B0.82). Учитывая, что
W = - dE/dt,
мы равенство B0.82) можем записать в виде
^-^- = 0. B0.83)
Из этого соотношения следует, что скорость вдоль поля, как и
следовало ожидать, должна оставаться величиной постоянной:
Рй = ср3/Е == const. B0.84)
Из формулы B0.82) следует, что квантовые флуктуации не
оказывают в среднем влияния на изменение линейной вели-
величины рз- Однако это не означает, что они вообще не влияют
на импульс рз, поскольку средний линейный разброс может быть
просто скомпенсирован. Квадратичный же разброс при наличии
случайных отклонений всегда возрастает и не может обращаться
в нуль. Изменение со временем величины р\ равно
^ = £ | sin 90 d% (pf - pf) w (v, 90). B0.85)
V 0
Воспользовавшись соотношением
p'l - p\ = 2p3 (p'3 - p3) + (p'3 - p3f B0.86)
и принимая во внимание B0.74), B0.75), B0.79) и B0.85),
10*
292 § 20 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а также асимптотическое значение для функций Бесселя, найдем
^= - 2р] -^+-^= -VJ sin 90 d% v^ (pj+cos2 90)/ (Go), B0.87)
к 1 ~ Pji # о
где /(9о) определяется выражением B0.65). Используя при инте-
интегрировании по углу Во формулу B0.59), получим
2"
)
dt ^3 £ I ' 64
13
BVlByfV B0.88)
24^3" °l "j 8 W2/ '
Вторым членом, стоящим в квадратных скобках, мы можем пре-
пренебречь, так как при существующих энергиях он слишком мал.
Точно так же в последнем члене мы можем положить 1 — р| «* 1.
Тогда для вертикальных колебаний с учетом флуктуационных
сил мы получаем выражение
4 * AY B0.89)
rf^ Гз £ 24 /3 ' ° R3 \ т0с
Таким образом, на импульс электрона в направлении маг-
магнитного поля одновременно действуют и классическое радиа-
радиационное затухание, и квантовые флуктуационные силы. После
промежутка времени t > т ~ (№/£)-' начальный импульс вдоль
поля практически становится ничтожно малым и далее радиа-
радиационное затухание ограничивает рост квадратичной флуктуации
квадрата импульса, вызванный флуктуациями излучения.
Для определения критерия энергии, начиная с которой можно
ожидать квантовое возбуждение движения электрона вдоль
поля, сравним выражение для величины относительных флуктуа-
флуктуации радиуса и импульса вдоль поля, отнесенных к промежутку
времени, равному периоду обращения электрона At = 2nR/c:
aL
R2 24 ^З m,,c2R mQcR
а* 55я el fi / E \5
Д— = =- ^ — , 20.90)
с no 13л en Й / Е \3
Д-^= ——^ . B0.91)
Ег 12|-лЗ m0e2/? mucR \ т0с21 '
Из сравнения этих формул следует, что, в отличие от радиацион-
радиационных колебаний, квантовые флуктуации импульса вдоль поля
начинают возбуждаться при более высоких значениях энергии:
''. B0.92)
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 293
В заключение отметим, что качественное проявление кванто-
квантовых флуктуации наблюдалось в экспериментах Сэндса на син-
синхротроне Калифорнийского Технологического института с энер-
энергией в 1,2 Гэв [10, 11] и в опытах Королева и Куликова [12, 5]
на синхротроне ФИАН F80 Мэв). При этом критерий начала
возбуждения квантовых флуктуации радиальных колебаний при
энергии порядка Eits следует считать подтвержденным экспери-
экспериментально. Более подробно все эти вопросы мы рассмотрим при
учете неоднородности магнитного поля (см. ниже § 27).
§ 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
а) Общие формулы. Интенсивность излучения с учетом кван-
квантовых эффектов мы будем вычислять по формуле B0.20), в ко-
которой, поскольку максимум излучения падает на большие v,
суммирование по v можем заменить (конечно, с большой точ-
точностью) интегрированием:
-*jdv. B1.1)
v=o d
Суммирование же по s' можно произвести точно при помощи
формулы B0.45), кроме того, следует выбрать такую систему
координат, относительно которой начальный импульс вдоль поля
равнялся бы нулю (ks — 0). Тогда формула B0.20) для интен-
интенсивности излучения принимает вид
B1.2)
где dQ — телесный угол волнового вектора фотона х, величина
£ = ±1 характеризует знак проекции спина на ось z, а для на-
начальной и конечной энергии электрона согласно B0.22) имеем *)
К' = Vk\ + 4у (п — v) + х2 cos2 9. B1.3)
Для определения величины Ф, (индекс i характеризует по-
поляризацию фотонов) мы можем воспользоваться формулами
B0.8) — B0.10), причем в матричных элементах B0.19), учиты-
учитывая последующее суммирование по s' (см. B0.45)), можно мно-
множитель lss, положить равным единице, поскольку 2 lls' — 1-
s'
Выбирая коэффициенты Q и Q, описывающие «попереч-
«поперечную» поляризацию, в виде A9.84), для матричных элементов
*) Величины £, К и др. без штрихов относятся к начальному состоянию,
а со штрихами — к конечному.
294 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
B0.19) найдем следующие значения:
4(Л.И4+ Л;Лз)
| iln-i. n'-i + ВШп. п>\ B1.4)
Согласно A9.85) при кг — 0, 8 = е' = 1 (положительные энер-
энергии) имеем
А ( 1 ^ -. Л _ xcosT
4/ = U';^ ~^~'
причем fe^=—xcos0, а аргументом функций Лагерра является
величина
X = x2sin29/4Y. B1.6)
В результате интегрирования B1.2) по величине v, от которой
зависят дельта-функции, в знаменателе должно появиться вы-
выражение
\dK'id\ 2/K' B1.7)
а для величины v, которая определяется из соотношения
х = К — К', B1.8)
следует подставить значение
V—2^7Y2Sie- B1-9)
Введем вместо переменной % новую безразмерную величину
которая изменяется в пределах от нуля (х = 0) до бесконечно-
бесконечности (Хмакс = К— К) *).
*) Заметим, что при переходе к классическому случаю (имаКс <И К),
когда можно положить
vB V 4vn E
/< р СП
величина у обращается в классическое значение (см. A0.112)):
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА 295
Из формулы B1.10), когда величиной порядка y&0 =
по сравнению с единицей можно пренебречь, находим
у — ^ и v — ^°к dy (9
) 19)
где
а Яо—швингеровское постоянное магнитное поле.
Используя выражение е0Н = E$/R =» EIR, пригодное в нашем
приближении {К 3> k0), мы можем представить переменную |,
в виде
где
т. е. величина 1о пропорциональна постоянной Планка fi.
Учитывая соотношения B1.7) — B1.12) после интегрирования
по величине v и суммирования по состояниям поляризации фо-
фотонов, приведем равенство B1.2) к виду
^1 Г^М ^УФ B1-13)
16я e^J (l+?0?/) ^
ф= 2Фг = Ф2 + Фз = 1Й1 I2 + I ct2cos 9 — а3 sin 9 |2. B1.14)
Если мы хотим найти соответствующие значения для вероят-
вероятности перехода w, то подынтегральное выражение B1.13)
должны поделить на энергию излучаемого фотона, равную со-
согласно B1.11) величине
ftco = hex = £|0«//( 1 + 1оУ)-
Тогда получаем
б) Асимптотическое представление функций Лагерра. Най-
Найдем асимптотическое представление функций Лагерра через
функцию Кч3 [4, 6, 13]. Для этого воспользуемся квазикласси-
квазиклассическим методом ВК.Б, как это было сделано для функций Бес-
Бесселя (см. A0.81) —A0.105)).
296 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
Прежде всего мы должны написать дифференциальное урав-
уравнение, которому подчиняются функции Лагерра /„„' = 1Пп'{х):
где
Из соотношения f (x) = О мы найдем два корня этого уравнения:
Верхний знак относится к первому корню х0, а нижний — ко
второму корню х'о > х0. При больших значениях п и п' эти корни
можем положить равными
} B1.17)
В дальнейшем нам важно знать асимптотическое значение
в следующих двух случаях:
1) х = х0-0, 2) х = < + 0.
Решение будем искать в виде
j --3^7 tf./s(z), z' = -g-, B1.18)
причем в случае х < х0
z= Г /(я-я'J
J
2д:
d
v u 2;v " Ldx. B1.19)
Из B1.19) найдем при х = х0 — О
2 = 4 V
а асимптотическое выражение для полиномов Лагерра прини"
мает вид
Для определения коэффициента А мы должны найти асим-
асимптотическое значение B1.18) при х-*0, когда функция Лагерра
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА 297
стремится к предельному значению:
Интеграл B1.19) может быть легко вычислен, если восполь-
воспользоваться выражением
\, B1.22)
где
= /a + bx -f ex2,
и учесть, что R(xQ) = Q. Полагая в B1.22) a = (n — n'J, b
= — 2 (n + n' + 1), с = 1, найдем при л:—>0
2jcz' = - (n — n').
Используя формулу Стирлинга (s ^> 1)
B1-23)
а также асимптотическое значение для функции КчЛг) ПРИ
z—> оо:
получаем из B1.18) при х-+0
1пп, (х) = Ал V2 |/^- (д_'я/I х^-»'^ B1.24)
Сопоставляя B1.24) с B1.21), находим
Л=1/л/2.
Поэтому асимптотическое выражение для функции Лагерра при
х = х0 — 0 принимает вид
/„„,(*) = _!—(l - JLY'1/с, (Z). B1.25)
298 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
Для того чтобы взять производную по х, необходимо восполь-
воспользоваться соотношением
Тогда получаем
4
Гпп. = -&, A - —) К% (г). B1.26)
Аналогичным путем мы можем найти асимптотическое зна-
значение для функции 1пп,(х) в другом случае х-> х'0-\- 0, где
согласно B1.17) х'о «* (V п + Уп'У [Щ- Для определения постоян-
постоянной А мы должны воспользоваться значением функции 1пп- при
х —> оо:
Повторяя расчет, который позволил нам получить формулы
B1.25) и B1.26), мы найдем для случая х = х/0-\-0 [13]
= (- if --3- (-4 - 1YA ^v. (z),
B1.27)
4
2 /
/7, (
где z = Tl/ хопп (—-
В теории излучения фотонов мы можем ограничиться асим-
асимптотическими формулами при х = хй — О*). В наших расчетах
мы учтем только члены порядка V е0. Следует отметить, что
величины |/е^ == V 1 — р2 sin2 0 и cos 9 также будут иметь по-
порядок Уео== /1 — Р2-
Вычислим в рассматриваемом приближении аргумент z. Для
этого мы должны прежде всего найти величину
. х , х2 sin2 9
х0
Полагая Рц =0 и воспользовавшись в указанном приближении
соотношениями
К ~ V^W, К' « V^yn7 = V4y (л — v),
*) Асимптотическим приближением для функций Лагерра при
х =. хй + 0 (см. B1.27)) мы воспользуемся в § 22 при рассмотрении рожде-
рождения пары в магнитном поле.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА
299
найдем
j i__ i _ .
Xo I
ve)
Последующие члены разложения мы отбросили, так как они
будут иметь порядок е (относительно основного). Тогда, учиты-
учитывая, что согласно B1.10)
получим
2 = 4-1/f—F\ B1.28)
При определении матричных элементов ап (см. B1,4)) не-
необходимо найти асимптотическое значение функции Лагерра, ко-
когда квантовое число п или п' уменьшается на единицу. Для
этого воспользуемся соотношениями (точными)
1п,п' —
_,/ х (п — п' — х , ,,
— |/ ~^7~ I ^ ""'— rtrt
Г х I п. — п' + х
'/1-1, П' — \
п \ 2х
х I п + п' — х
Упп'
2х
*пп' \ Lпп'
Iпп' I пп'
B1.29)
Подставим в B1.29) вместо 1ПП' и ГпП' их асимптотические зна-
значения B1.25) и B1.26), учтем, что в данном приближении со-
согласно B1.11) можем положить
а аргумент х, входящий в множитель перед 1пП' и /„„*, заме-
заменить его предельным значением
Тогда находим [5, 13]
'пп'
1п,п'-\
^ге-1, п'
1п-\, п'-\'
К,
, B1.30)
300 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
где нормировочный коэффициент
Л^ = A+^)'/2/2я КЗ. B1.31)
Аргументом функций /„„- и т. д. является величина х (см.
B1.6)), а аргументом функций /0Л, /(^—величина г (см.
B1.28)).
в) Излучение с учетом «поперечной» поляризации спина
электрона (эффект самополяризации). Для коэффициентов А и
В, входящих в равенство B1.5), имеем
Btl
- -s- lny cos b i, B1.32)
При выводе формул B1.32) мы ограничились основным членом
и членом _первого приближения, пропорциональным членам по-
порядка Veo- Кроме того, мы учли, что согласно равенствам
B1.11) и B1.9)
С помощью формул B1.4), B1.30) и B1.32) найдем следую-
следующие значения матричных элементов:
для 0-компоненты
% - (- я,J - лг2 {-Ч^ К2 + Щ в лл - е 7** ^ ^v,j2 +
+ -L=^1iyecos'->e/(?,|}, B1.33)
для я-компоненты
Ф3 = (п3 sin Э — а2 cos 9J = Л^2 [ X\W B + loyf cos2 0е ^ +
+ -Цг51 ^2 (е K>i, + S V'^ ^v,J] -B1.34)
Аналогичным способом могут быть выведены формулы и для
случая круговой поляризации (см. B0.10)).
ЭФФЕКТ «ПОПЕРЕЧНОЙ» ПОЛЯРИЗАЦИИ
301
Подставляя B1.33) и B1.34) в выражение для вероятности
перехода B1.15) и воспользовавшись интегралами*)
Г г Kl (z) sin 9 dQ = -^J- I Къ (x) dx + K% (y) ,
oJ '' 3 У U J
? Я8п'
I sin 9 cos 9 rf9 = Л_
e /C?,, B) sin 9 dQ = -^
1/3
(x) dx,
n
J e'/^v, B) K'/3 (z) sin 9^9 = -=^- /CVj (y),
Г
3 J' 3
а также соотношением
КчЛг)+К>,.(г)=-2КШ,
найдем
КЗ eg E
X I /(.,, (x) dx + 4 ^/3^ (j/) _ ^ (E _ 5 lly2\ K^
B1.35)
B1-36)
При вычислении B1.36) были удержаны члены порядка \оу
и ЦоуJ по сравнению с единицей (квазиквантовое приближе-
приближение). Взяв интеграл по у при помощи соотношения
B1.37)
*) Для того чтобы вычислить интегралы B1.35), мы должны сделать
замену и = cos 6 и растянуть верхний предел до бесконечности [5].
302 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
где Г ((q — p)/2) — гамма-функция Эйлера, получим
~Ш R тйс*\ 2 L1 45
В выражении B1.38) члены, пропорциональные множителям
A±££')/2, характеризуют переходы без переворота и с пере-
переворотом спина. Они не могут привести к явлениям самополяри-
самополяризации*). Члены же, пропорциональные £', приводят к тому, что
в результате квантовых «встрясок» может произойти явление
самополяризации. Соответствующая вероятность перехода с пе-
переворотом спина (£' = —£) равна
B1.39)
где время релаксации т равно
x=-wt^vt)vh-)' BU0)
При выводе формулы B1.39) вместо радиуса мы подставили
его значение R «* Е/е0Н и ввели еще швингеровское поле Но.
Из формулы B1.39) видно, что вероятность перехода из со-
состояния £ = 1 (спин направлен по магнитному полю, соответ-
соответствующее число частиц мы обозначим через п+) в состояние
£' = —1 (спин направлен против магнитного поля, соответствую-
соответствующее число частиц мы обозначим через щ) будет значительно
больше, чем обратный переход (£ = — 1, £' = 1)**).
Мы можем составить кинетическое уравнение для описания
процесса самополяризации электронов
-I, —-jr-=/1^ДО;=_ 1 — «^ДО£=1 B1.41)
при условиях, что
Щ + п^ = п = const.
*) Это связано с тем, что эти члены зависят лишь от взаимной ориен-
ориентации спинов £ и £,'.
**) Наглядно это можно объяснить следующим образом. В результате
излучения у электрона будет появляться тенденция перейти в состояние
с наименьшим значением энергии в магнитном поле, равным
рмагн = - (цЯ).
Поэтому спин электронов должен стремиться ориентироваться против магнит-
магнитного поля. Для позитронов, наоборот, преимущественное направление спина
должно быть параллельно магнитному полю.
ЭФФЕКТ «ПОПЕРЕЧНОЙ» ПОЛЯРИЗАЦИИ 303
Если в начальный момент времени (/ = 0) мы имеем электроны
с неполяризованным спином:
л°=л°=л/2,
то, интегрируя уравнения B1.41), найдем [14]
_ 15±8УзA-е-*П т .„
Предельное значение степени поляризации (t ^> т) равно
J*"+"?[ B1.49)
т. е. в предельном случае 96% электронов должно иметь спин,
ориентированный против магнитного поля.
Эксперименты по обнаружению эффекта самополяризации
были произведены под руководством французского физика
Пьера Марэна на накопительном кольце АК.0 (АСО) в лабо-
лаборатории линейных ускорителей в Орсэ (Orsay) [15]. Опыты про-
проводились с позитронами, с тем чтобы избежать излишнее рас-
рассеяние частиц на остаточном газе, ядра которого также имеют
положительный заряд. В этом накопительном кольце радиус был
равен 1,9 м, а максимальная энергия позитрона — 536 Мэв.
Время работы накопительного кольца могло быть доведено до
25 часов.
В основу обнаружения самополяризации была положена
формула рассеяния двух позитронов, находящихся в одном
пучке. Если рассеяние благодаря радиальным колебаниям про-
происходит на достаточно большие углы, то оба позитрона одно-
одновременно выходят из системы ускорения и на двух счетчиках,
настроенных на систему совпадений, одновременно наблюдается
регистрация обеих частиц. Этот так называемый эффект Ту-
шека зависит от направления спина частиц.
Численные же коэффициенты можно вычислить, зная раз-
размеры сгустка, размещения двух счетчиков и т. д. В частности,
для накопительного кольца АКР теория дает следующую зави-
зависимость числа выбывших пар позитронов от рассеяния в зависи-
зависимости от направления спина (более подробно см.[15]):
Г = const [1-0,22 (£, 6')]. B1.44)
Если в формулу B1.44) подставить теоретическое значение сте-
степени поляризации B1.42), то она принимает вид
y = fl_6(l_e-«/x). B1.45)
Эксперимент показал, что парное убывание числа частиц в 1 сек
действительно происходит закону B1.45), а стабилизация
304 § 21. ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
наступает через t3RCn = 167 ± 37 мин. При этом число частиц
с поляризованным спином стабилизируется и становится на 19%
меньше, если бы частицы были неполяризованы. Теория же дает
для времени ^теОр = 163 мин и уменьшение убывания по сравне-
сравнению с неполяризованными частицами на 22%.
Эффект самополяризации на накопительных кольцах был
обнаружен также в Новосибирском институте ядерной физики
группой Байера (см. [16]). В этих экспериментах были исполь-
использованы другие методы исследования.
Учет аномального момента, дающего вклад в оператор функ-
функции Гамильтона:
r"=JWM B1.46)
не может деполяризовать «поперечную» поляризацию, так как
энергия B1.46) коммутирует и с оператором Н A9.47), и с опе-
оператором [л3, описывающим «поперечную» поляризацию (см.
A9.80)). Как было отмечено выше, учет вакуумного момента
может деполяризовать лишь продольную поляризацию, по-
поскольку оператор продольной поляризации (см. A9.75)), хотя
и коммутирует с Н, но не коммутирует с оператором B1.46).
Поэтому если электроны вначале были даже продольно поляри-
поляризованными, то учет вакуумного момента быстро их деполяри-
деполяризует *).
г) Влияние квантовых эффектов на интенсивность излучения.
В основу теории мы положили формулу B1.13). В частности,
если вместо функций Лагерра, которые входят в матричные
элементы, подставить их асимптотические значения B1.33) и
B1.34), то после суммирования по конечным состояниям спина
(£' = ±1) и усреднения по начальным состояниям (£ = ±1)
найдем для полной интенсивности излучения следующее выра-
выражение:
оо Л
dyj Sin9dQОТШ [(' + ^ +1ЕУ) X
2 Щ) +
X (е?Цз + е cos2 Щ) + ~ ееДуЩ,] . B1.47)
*) Заметим, что в случае резонансов, когда частота прецессии спина
il = (а/2зт) еоН/тос, связанная с аномальным магнитным моментом электрона,
кратна линейной комбинации частот кругового движения too, бетатронных
Ык и аь и синхротрониых колебаний, поляризация становится неустойчивой.
В опытах Марэна A973 г.) наблюдалось две таких резонансных частоты
a)i = wo, оJ = 2оH — о)й при соответствующих значениях энергии электрона
440 Мзв и 509 Мэв [15].
ВЛИЯНИЕ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ 305
.Функции Кча и /0/з в этом выражении зависят от аргумента
z = Ч2У (e/eo)Vs.
Проинтегрируем полученную формулу по углу 9 с помощью
равенства B1.35):
W = WKX jf(y)dy, B1.48)
о
где функция
W [/ ^{) d + Ь * ()] B1 -49)
описывает спектральное распределение интенсивности излуче-
излучения по квантовой теории *). Величина
равна интенсивности излучения в классическом приближении,
a rQ~eymQc9— классический радиус электрона.
Рассмотрим квазиквантовый случай, когда энергия элек-
электрона Е остается меньше критического значения £\/2, т. е. Е <с
<С E'/2. В этом случае общие формулы допускают разложение по
параметру £., = (E/E^f < 1 '(см- B1-12)). Это соответствует
разложению интенсивности излучения по возрастающим степе-
степеням постоянной Планка fi. Ограничиваясь членами не выше чем
£2, имеем
у J
Интегрируя B1.48) при помощи формулы B1.37), найдем **)
B1.52)
*) Заметим, что если произвести расчет излучения для бесспинового
электрона, т. е. по теории Клейма — Гордона, то вместо функции B1.49) полу-
получаем [1, 5]
9£!
(к
8я A + go
у
Таким образом, учет спина неполяризованных электронов приводит к появле-
появлению в правой части B1.49) второго члена, пропорционального |j, т. е. вто-
второй степени относительно постоянной Планка (ft2).
**) Поляризация излучаемых фотонов была рассмотрена нами в класси-
классической теории (см. A0.117)). Обобщение же формул для интенсивности
с учетом поляризации фотона и спина электрона на общий случай кванто-
квантовой теории было произведено в монографии [5].
306 § 2L ИЗЛУЧЕНИЕ С УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
Последний член 8/31§, обусловленный спином .неполяризован-
ного электрона, пропорционален й2, поскольку при вычислении
интенсивности излучения для бесспиновых релятивистских ча-
частиц, подчиняющихся уравнению Клейна — Гордона (см.
B1.49а)), мы получим формулу B1.52) без члена, пропорцио-
пропорционального 8/з^о-
Полагая в B1.52) |0 = 0, находим классическую формулу
для интенсивности синхротронного излучения:
W = WK".
Квантовые же поправки для интенсивности излучения с учетом
членов, пропорциональных |0 (т. е. й), согласно B1.52) равны *)
B1.53)
—|тг г^ъ(т
16 lmocR\moc2
Рассмотрим ультраквантовый случай, когда
£>£>д или 6о>1. B1.54)
Взяв интеграл, входящий в формулу B1.49а), по частям:
2
О и О
для интенсивности излучения получаем
=4 J !ГНмУК'<Лу)ау- B15)
4ттг^ тгт1^И BL56)
о
Заметим, что функции У2К'/Лу) и У3К*/Лу) достигают макси-
максимума при у ~ 1, после чего они начинают экспоненциально убы-
убывать. В классическом и квазиквантовом приближениях, когда
go <S 1, учитываются обе области у < 1 и у > 1, и поэтому основ-
основной вклад в излучение получается при у ~ 1. В ультраквантовом
же случае, когда 1о > 1, благодаря наличию в знаменателе мно-
множителя A + 1о#J спектр обрезается при значениях у, много мень-
меньших единицы. Тогда для функций Ки(у) можно воспользоваться
*) Формула B1.53) по теории Дирака была получена нами при участии
Клепикова, а для бесспинового электрона — Швингером (цитаты обеих работ
приведены в [17]). Оба результата, как и следовало ожидать, совпадают
друг с другом, так как расхождение должно наблюдаться лишь в членах,
пропорциональных g^.
ВЛИЯНИЕ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ 307
асимптотической формулой
V B1-57)
которая для интенсивности излучения дает значение
г h_i!_+. &h 1 B1 58)
о
Воспользовавшись интегралом
1 Т(р+\)Т(д-р-1)
{•
находим [18, 19, 5]
WyKB=^-T(%)WK%>!\ B1.60)
где
Заметим, что, в отличие от квазиклассической теории (£)
(когда квантовые эффекты в интенсивности излучения прояв-
проявляются как небольшие поправки к классическим формулам), в
ультраквантовом случае основной член интенсивности излуче-
излучения уже обладает квантовой природой. Поэтому переход к клас-
классическому приближению становится невозможным. Это связано
с тем обстоятельством, что в квазиквантовом случае максимум
излучения соответствует частоте
а в ультраквантовом случае спектр обрывается на частоте
<аКкВс = 4 = Т <k < «макс- B1 -62)
Поэтому электрон не может излучать энергию большую, чем
его полная энергия. Наоборот, в квазиквантовом случае, когда
^(^)«С0У- B1.63)
т. е. когда
этот обрыв является несущественным, и квантовые эффекты
дают лишь небольшие поправки (см. B1.53)).
В современных электронных синхротронах магнитное поле Н
имеет порядок 104 гс, и учитывая, что Яо ~ 1013 гс, квантовые
эффекты могут стать заметными лишь в области энергии
308 § 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Е ~ Еч, ~ 103 Гэв (см., например, [20]). Однако этот критерий
относится лишь к интенсивности излучения. Квантовое возбу-
возбуждение бетатронных колебаний, а также явление самополяри-
самополяризации спина могут происходить при значительно меньших энер-
энергиях {Е ~ 500 Мэв).
С первого взгляда может показаться, что ультраквантовый
случай (£о>1) является в настоящее время неосуществимым.
Однако имеются серьезные основания предполагать, что в пуль-
пульсарах магнитное поле Н может достигнуть значений 1010—10" гс.
Тогда ультраквантовый случай может приобрести реальное зна-
значение при исследовании нетеплового излучения пульсаров. За-
Заметим, что при Н >■ Но представление функций Лагерра через
функции /С'/з и К21з теряет свой смысл и этот случай требует
дополнительного рассмотрения [21].
§ 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ФОТОНОВ
И ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННЫХ ПАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а) Общие положения. Как было отмечено выше (см. A5.84)),
уравнение Дирака допускает решения как с положительной
(е>0), так и с отрицательной (е < 0) энергиями. Решения с
отрицательной энергией являются характерными не только для
спинорного уравнения Дирака, но они возникают в любой реля-
релятивистской теории, включая даже и классическую. В самом
деле, в релятивистской теории энергия свободной частицы Е
связана с ее импульсом и массой покоя соотношением
£2 = С2р2 _|_ т2с^ B2.1)
из которого следуют два решения:
Е=± Уду + ту. . B2.2)
В классической теории состояния с отрицательной энергией
можно вообще не рассматривать, поскольку в процессе движе-
движения частицы ее энергия может изменяться только непрерывным
образом. Переходы электронов из состояний с положительной
энергией в состояние с отрицательной энергией, разделенные
барьером 2/пос2, являются невозможными. Поэтому, отбросив
в классической теории состояния с отрицательной энергией, мы
можем их в дальнейшем вообще не вводить.
Положение существенно изменяется в квантовой теории, где
переходы возможны не только при непрерывном изменении энер-
энергии, но также и между дискретными состояниями. Для того
чтобы избежать переходов электрона в состояния с отрицатель-
отрицательной энергией, Дирак предложил все уровни с отрицательной
энергией считать заполненными электронами (электронно-по-
ОДНОФОТОННОЕ РОЖДЕНИЕ ПАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 309
зитронный вакуум), благодаря чему электроны в силу запрета
Паули не могут в обычных условиях перейти на эти уровни.
С другой стороны, под действием гамма-кванта большой
энергии (Еу > 2т0с2) возможны вынужденные переходы элек-
электрона из состояний с отрицательной в состояния с положитель-
положительной энергией. Тогда возникают электрон с положительной энер-
энергией и «дырка» на фоне электронно-позитронного вакуума
(см. §16).
С помощью преобразования зарядового сопряжения мы мо-
можем показать, что эта «дырка» на фоне отрицательных состоя-
состояний представляет собою частицу с положительной энергией и
положительным зарядом, т. е. является позитроном (см.
A6.51))*).
Превращение гамма-квантов в электрон (е~) и позитрон (е+)
мы можем записать с помощью следующей реакции:
у + у->е- + е+. B2.3)
Теория Дирака допускает и обратный процесс. При наличии
«дырки» электрон с положительной энергией может перейти на
свободный уровень состояний с отрицательной энергией. Тогда
мы будем иметь превращение пары электрон — позитрон в гам-
гамма-кванты (аннигиляция)**):
е~-\-е+->2у. B2.4)
Все эти реакции могут быть вычислены как с помощью модели
«дырок», так и по теории вторичного квантования.
Экспериментальное открытие позитрона подтвердило теорию
электронно-позитронного вакуума Дирака. Таким образом, от-
открылся новый этап теории элементарных частиц, учитывающий
возможность их взаимных превращений.
б) Однофотонное рождение пар электронов и позитронов в
магнитном поле. Один гамма-квант, движущийся с импульсом
fix, не может спонтанно превращаться в пару электрон — по-
позитрон. В самом деле, при однофотонном рождении пары не мо-
могут быть одновременно удовлетворены законы сохранения энер-
энергии и импульса
х = ^- + /(+) x = k~ + k+, B2.5)
где к~ и k+ — соответственно импульсы, a K~ = V(k~) + &о и
*) Теорию позитрона, а также теорию электронно-позитронного вакуума
можно также изложить с помощью вторичного квантования. В этом случае
теория принимает по существу симметричный вид, т. е. электроны и пози-
позитроны являются равноправными частицами (см. A6.11) и A6.12)).
**) Если нет внешних электромагнитных полей, то электрон и позитрон
могут превращаться минимум в два гамма-кванта, иначе не будут выпол-
выполняться законы сохранения (см. B2.5)).
310 § 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
К+ — энергии электрона и позитрона. Поэтому для образования
пары необходимо, кроме гамма-кванта, наличие другой частицы
(или внешнего поля), которая взяла бы часть импульса на себя.
Например, пара может образоваться, когда гамма-квант боль-
большой энергии (Еу = сЪ% > 2т0с2) проходит вблизи ядра.
Рассмотрим однофотонное рождение пары в постоянном и
однородном магнитном поле. В основу расчета положим «ды-
«дырочный» вариант теории Дирака, согласно которому появление
пары рассматривается как вынужденный переход электрона с
отрицательного уровня (е' =—1) на положительный (е = 1).
При этом, очевидно, фотон должен обладать энергией не меньше,
чем 2тоС2. Энергию взаимодействия электрона с фотоном вы-
выберем в виде (см. A8.3))
U = -^-l/—(аа)е-'еХ'+'«-. B2.6)
Начальное состояние мы возьмем с отрицательной энергией (по-
(позитрон), а конечное — с положительной (электрон). Для вероят-
вероятности этого перехода, приводящего к рождению пары с учетом
спиновых состояний, следует взять выражение (см. A8.20)) *)
2 2
w = W 2 ("*а+) ("«) Ь{К + К'-х) б,3, Хз+ц. B2.7)
В B2.7) сумма берется по всем состояниям электрона п, s, kz, £,
т. е. частицы с положительной энергией (г = \, &К = К — К~ >
>0, 1г3 = {2п/Ь)п3 = кз, £ = ?Г), и позитрона п', s', k'3, £', т. е.
частицы с отрицательной энергией (е' = —1, —ь'К'=К' =
= /С+>0, k3 = Bn/L)n3= — kt, £' = — £+), где в скобках
указаны энергия, импульс и проекция спина на ось z, относя-
относящиеся соответственно к электронам (К~ и т. д.) и позитронам
(К+ и т. д.). В дальнейшем мы хотим найти вероятность пере-
перехода, в которой спиновая зависимость выделена явно. Тогда пол-
полная вероятность будет равна **)
о; = 2 о» (£). B2-8)
i
При суммировании по радиальному квантовому числу s' мы
учтем, что
s'=0
*) Значения матричных элементов а определяются формулой B0.2)
**) Выражение B2.8) означает
2»(Е)= 2 ™&-Л+). B2.«а)
б ;-.t+=±i
ОДНОФОТОННОЕ РОЖДЕНИЕ ПАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 311
Суммирование по s мы искусственно ограничим неким макси-
максимальным значением %акс. Благодаря этому двойную сумму мы
оборвем на этом максимальном значении:
2,/L'(*) = SMaKc =
S, S'
где а„ако — максимальный разброс центра орбиты круговой
траектории электрона, с которой величина sMaKo согласно (см.
A9.29)) связана соотношением
— V ^макс/Y •
Предположим, что площадь этого разброса определяется
площадью нормировочного объема (куба периодичности) вол-
волны, т. е.
Тогда
2&'(*) = -^2- B2.9)
Произведем суммирование по величинам п3 и п3. Для этого
предположим, что падающий фотон распространяется перпен-
перпендикулярно оси г:
9 = Ji/2, x3 = xcose = 0. B2.10)
Поэтому суммирование по Щ и п'3 дает следующее значение:
3. B2.li)
Кроме того, из B2.11) и B2.10) видно, что
П3 = П3 ИЛИ k3 = — k3 ,
т. е. электрон и позитрон вылетают с импульсами, проекции ко-
которых на ось z равны по абсолютному значению, но имеют про-
противоположное направление, т. е. эта сумма, так же как и проек-
проекция импульса начального фотона, равна нулю (закон сохране-
сохранения импульса вдоль магнитного поля). В плоскости ху часть
импульса берет на себя магнитное поле, и поэтому мы не мо-
можем записать в явном виде закон сохранения импульса.
Усредняя по состояниям поляризации начального фотона им-
импульса fix в равенстве B2.7), мы должны положить отличной
от нуля лишь одну квадратичную комбинацию:
/v+ {*j\ /v i»j\ ■ ■ /А rt,04,0 \ /ОО 1 Ol
aJ'{ I as\ I 9"(°м' —KsKs'l' \IZ.\1)
312
§ 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Тогда, принимая во внимание равенства B2.9) —B2.12), мы най-
найдем для вероятности перехода (см. B2.7) и B2.8)) выражение
т0с2 тьс2 Н
X
-x). B2.13)
При вычислении матричных элементов а в равенствах A9.84)
и A9.85) следует учитывать как положительные (е = 1), так и
отрицательные (е' = —1) энергии:
где
С,
С2
С,
С4
2^2"
Вз (-4, + А4)
В, (А., - Л3)
В3(А3- А4)
B4(At+ Л3)
B2.14)
<*■■«
\Ко=У К2 — k\). Тогда матричные элементы B1.4) будут равны
Ai Л4) (B3B3In-i, П'-\ + B'tBJn. n
B2.16)
причем функции Лагерра 1п,п, и т. д. при 0 = л/2 зависят от
аргумента (см. B1.6))
B2.17)
К+), мы мо-
B2.18)
Учитывая закон сохранения энергии (к =
жем написать
ki
i
х — \\/ " + 17+4Y +
1/ П' + $-
V Ау
Ay
С помощью B1.29) и B2.17) можно выразить все матричные
элементы через функцию 1п,п. и ее производную 1'п.п'-
Далее мы будем рассматривать наиболее интересный для
нас релятивистский случай, когда энергии электрона и пози-
позитрона столь велики, что величины ko/K и kJK мы можем по-
положить значительно меньшими единицы. Сохраняя в разложе-
ОДНОФОТОННОЕ РОЖДЕНИЕ ПАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 313
ниях члены не выше, чем ka/K или k3/K, получим для матричных
элементов
- №, « '+Г£+ -Й- К/ - /") '»«' + S V"P Inn') +
4 ]/ пп' _
+ '-р+ ,^/^, B2.19)
4 у'
а3
\ пп'
~ ,«']• B2.20)
8 Упп'
Здесь мы ввели обозначения
г = &з/4у, p — ko/4y, k3 = kj = — kt ■ B2.21)
В области больших энергий электрона и позитрона спектр
энергии становится квазинепрерывным, и поэтому в B2.13)
можно сделать переход от суммы по квантовым числам nun'
к соответствующим интегралам. Тогда будем иметь
оо оо
-оо 0 0
B2.22)
где Ф = ]а1Р + |а3р. Произведем интегрирование по п', учиты-
учитывая, что от этой переменной зависит дельта-функция *)
Vv
B2.23)
При этом следует установить пределы интегрирования по числу п
и переменной г = &з/4у- Пределы для верхнего значения п опре-
определяются из условия, что аргумент дельта-функции должен со-
содержать особую точку, обращающую его в нуль:
п' = х + п — 2 Ух (п + р + г). B2.24)
Полагая п' = п, находим верхний предел для величины
= л'/4 — р — г. Не нарушая общности, интегрирование мы
*) Напомним, что интегрирование при наличии дельта-функции следует
производить с помощью формулы (см. также B.48))
&!! ( 1! — 5 (х — х0)
U(X>}- \df{x)/dx\x^x-
314 § 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
можем производить при условии п^п', а затем удвоить
полученный результат. Из условия п = п' = 0 определяется
также верхний предел интегрирования по г: гмакс = х/4— р.
Итак, выражение для вероятности рождения пары прини-
принимает вид
х/4-р x/4-p-r
ei тс тс Н Г d Г
/р /p
ei тпс тпс Н Г dr Г
Ч^^Тп J ут J
о ' о
о ' о
B2.25)
Учитывая значение матричных элементов B2.20), получаем
2 гг
e И
где
хЦ—р хЦ-р—г
J J
B2.27)
/»»' С'} • B2.28)
Используем аппроксимацию функций Лагерра B1.27) при
х = х'0+0, где
(/£Я?Г |V^?iq^l. B2.29)
Введем новые переменные интегрирования, полагая
/1 = ^A— thyJ, r = psh2/. B2.30)
Тогда получаем
3 в. тос2 Я
где
00 ОО
д, = J dy' J dy ch3/ { 1+^ £+ [sh2/ch2у K\(z) +
о о
+ (ch2 у ch2 / — sh2 у') /С?/, B) — 2g~ sh г/ ch y'K4i (z) /C»/, B)] +
+ ' ^2r^+ tch2 ^ch2 ^ ^2/< B) + *v. B)) -
- 22- ch t/' ch2 г/ /Cv. B) /Cv, B)]} • B2.32)
ОДНОФОТОННОЕ РОЖДЕНИЕ ПАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 315
Здесь
^i^^iiliisSl, z = q№y'ctfy. B2.33)
3 /х 3 Н Еу чу у V
При интегрировании по переменной у' произведем замену пере-
переменной sh у' — t. Тогда, воспользовавшись соотношениями
OO Г" 00 -I
f A + ^J Kl (z) dt = —~ K,. (a) + f Klh (yf) dy' ,
j \ 1 / m/s w 2/3 a /iV J lhKy v
00 r 00 -1
A + ^2J Kl (z) dt = —^=- 3K*u (a) — K',, (yf) dy'
B2.34)
0
где a = 2qch2y, получаем
B2.35)
0
s = '+p+ (th2 y^2/ (a) + 2<7 sh2 ^/Cv, (a) - Г th y/C./3 (a)) +
+ '~~2 £ (^'л(а) — Г^'л(д)}- B2.36)
Дальнейшее интегрирование, к сожалению, в точном виде про-
провести пока что не удалось. Поэтому рассмотрим асимптотиче-
асимптотическое поведение этих выражений в двух крайних случаях.
Прежде всего рассмотрим случай сравнительно малых энер-
энергий гамма-кванта:
г-, „4 Н п
Вычисляя приближенно значение интегралов, используя асимп-
асимптотическое значение бесселевых функций:
Kn(z)w ]/фге-г, B2.38)
находим
J зКуКчЛ2дсКу)Лу~щ—,
B2.39)
о
где s = О, 1, ..,
3i6 § 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Из B2.35), B2.36) находим
где просуммированная по спинам обеих частиц полная вероят-
вероятность имеет вид [13, 18]
ЗуТ el тпс2 И
<»=Ш¥-£-1Ппе-"- *»'• B2-41)
Из этих формул следует, что более вероятным является рожде-
рождение пары с противоположно ориентированными спинами, при-
причем спин электрона должен быть ориентирован против магнит-
магнитного поля (£- = —1):
Рассмотрим другой предельный случай, когда
(сверхсильное магнитное поле или большие энергии фотонов).
Тогда, воспользовавшись асимптотическим поведением функции
Бесселя малого аргумента:
B2.44)
получаем
f/C'/,B<ych2y)dy = -^r ГE/бL.—L. B2.45)'
J '^ ч У) У }Аз ГG/вJ'« q'-
4.—L.
}з ГG/вJ'« q'-
и поэтому
{^(+) ^(+)} B2.46)
Суммируя по спиновым состояниям, найдем полную вероят-
вероятность рождения пары:
5 ГE/6) 1 e2n mJ- H
Из B2.46) следует, что и в случае очень больших значений
энергии фотона также более вероятным является рождение пар
с противоположно ориентированными спинами.
ОДНОФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ПАРЫ 317
В силу наличия экспоненциального множителя*) в формуле
B2.41) вероятность рождения пары при q^>\, т. е. при срав-
сравнительно малых энергиях фотона:
<-§--^, B2.48)
практически обращается в нуль. Только при больших энергиях
фотона:
Е 2 На
эта вероятность становится практически отличной от нуля. Мак-
Максимум вероятности рождения пары наступает при <7 = 0,1.
Таким образом, в сильных магнитных полях может наблю-
наблюдаться заметное поглощение фотонов вследствие рождения пар.
Вероятность этого процесса зависит не только от энергии фо-
фотона, но и от спиновых свойств частиц.
Исследование рождения пары в ультрарелятивистском слу-
случае приобретает интерес в связи с предположением, что в кос-
космических объектах (например в пульсарах) при изотропном
сжатии возможно образование сверхсильных магнитных полей
порядка 10й—1012 гс. При прохождении фотона в этом поле
должны возникать пары, которые в свою очередь порождают
фотоны и т. д. Возможно, что состояния с <7 — 1 могут быть
созданы и в земных условиях в сверхсильных ускорителях, ко-
которые могут породить гамма-кванты большой энергии.
Таким образом, может начаться каскадный процесс, весьма
похожий на тот, который может наблюдаться при прохождении
космической частицы сквозь вещество. Только в макроскопиче-
макроскопическом магнитном поле этот каскадный процесс будет характе-
характеризовать микроструктуру не обычного вещества (например
свинца или другого вещества), а электронно-позитронного и
электромагнитного вакуумов.
в) Однофотонная аннигиляция пары. Аналогичным путем мы
можем вычислить и обратный процесс, т, е. однофотонную ан-
аннигиляцию пары в магнитном поле. Если мы положим энер-
энергию электрона равной энергии позитрона (Е~ = Е+ = Е) и
*) Появление экспоненциального множителя, равного
_ 4 2тос2 Яо
q ~ 3
3 Еу Н '
при порождении частиц в результате движения частиц в магнитном поле
является весьма характерным, когда масса порождаемых частиц, т. е. вели-
величина 2т0, отлична от нуля. Такой множитель появляется, например, при
рождении протонами я-мезонов:
т„с2 н'п , М2..с3
318 § 22. ВЗАИМНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
предположим, что они вращаются в плоскости, перпендикулярной
к магнитному полю (k~ = kf = 0), то фотон будет излучаться
с энергией ЕУ = 2Е (х = 2К), и у него также будет отсутство-
отсутствовать импульс вдоль поля (хз = 0). Для вероятности однофотон-
однофотоннои аннигиляции следует воспользоваться выражением
S ^(п'а)(аа+)б(К- + К+к) B2.49)
1ЯГ S
я, и'
где
Производя усреднение по состояниям спиновой поляризации
электрона и позитрона, с помощью преобразований, аналогич-
аналогичных тем, с помощью которых мы вычислили однофотонное рож-
рождение пары (см. п. б)), найдем
2*?,, (?) + *&(?). B2.51)
4 Но т0с2 _ 2 На т0с2
Из формулы B2.51) легко найти, что
Ф(<7) =
B2.53)
Величину же L мы можем положить равной амплитуде верти-.
кальных бетатронных колебаний.
Заметим, что вероятность однофотоннои аннигиляции дости-
достигает максимального значения при q « 2, т. е. при*)
макс ^ "о" ^о^ гг • (^4»^4J
Если взять отношение максимальной вероятности однофотон-
однофотоннои аннигиляции йуодн при Е = £Макс к соответствующей этой же
энергии электрона и позитрона вероятности двухфотонной
аннигиляции, то это отношение будет равно
Но)
In (Я0/ЗЯ)
*) Энергия ^макс = '/г (£у)макс соответствует максимальной вероят-
вероятности однофотоннои аннигиляции.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 3+9
Отсюда видно, что при //<Яов основном должна преобладать
двухфотонная аннигиляция. Только при Н ~ Но эти вероятности
могут сравняться. Однако при Н > Но асимптотическое выра-
выражение для функций Лагерра (особенно при Н ~Э> Яо) может и
не иметь места [21]. Поэтому, как было отмечено, этот вопрос
требует дополнительного исследования.
§ 23. ВАКУУМНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
а) Общие положения. Как известно, теоретическое объясне-
объяснение природы аномального магнитного момента электрона и рас-
расчет его величины были впервые даны Швингером [22]. Рассмат-
Рассматривая часть энергии вакуумного взаимодействия электрона, по-
появляющуюся при наличии внешнего магнитного поля, Швингер
показал, что линейные по вектору напряженности магнитного
поля члены в нерелятивистском приближении приводят к изме-
изменению фактора Ланде g у электрона. Вследствие этого гамиль-
гамильтониан обобщенного уравнения Дирака должен иметь вид
Н = с(аР) + рзт0с2 + -|Г[ХоРз(оЯ)) B3.1)
где а==е\1%с — постоянная тонкой структуры, а цо = е0Ь/2т0с —
магнетон Бора.
Расчеты, проведенные вначале по теории возмущений с точ-
точностью до членов порядка а, в дальнейшем были продолжены
вплоть до величины а3. При этом оказалось, что электрон во
внешнем постоянном магнитном поле ведет себя так, как если
бы он обладал статическим магнитным моментом, равным
B3.2)
В связи с большими возможностями высокоразвитой преци-
прецизионной экспериментальной техники измерения магнитного мо-
момента электрона представляет интерес более полное исследова-
исследование энергии вакуумного взаимодействия.
Прежде всего следует заметить, что величина магнитного мо-
момента электрона в общем случае является довольно сложной
функцией, зависящей от величины напряженности внешнего маг-
магнитного поля. Впервые на эту особенность было обращено вни-
внимание Гупта [23], который в первом порядке теории возмуще-
возмущений по а рассмотрел не только линейный, но и высшие члены
разложения величины магнитного момента по характерному
1
параметру g-1, где
2Н
320 § Й. ВАКУУМНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
Это обстоятельство может оказаться интересным с точки зре-
зрения измерения величины магнитного момента, поскольку от-
отброшенные в формуле B3.2) поправки, зависящие от напряжен-
напряженности поля в первом порядке по а, могут стать заметными на
фоне более высоких степеней разложения теории возмущений
по квадрату заряда.
Далее необходимо подчеркнуть, что во всех перечисленных
работах рассматривалось нерелятивистское приближение за-
задачи. В связи с этим можно ожидать, что в случае релятивист-
релятивистского электрона величина его магнитного момента является не
только функцией напряженности поля, но может также ока-
оказаться зависящей и от энергии электрона.
Наконец, отметим, что во всех указанных работах был рас-
рассмотрен только случай, когда напряженность поля ограничена
пределами изменения 0 < Н <с Но. Несмотря на то, что крити-
критическое значение Но намного превышает по своей величине все
достигнутые к настоящему времени поля, исследование поведе-
поведения магнитного момента электрона в условиях «сильного» поля
может тем не менее представлять интерес с точки зрения общей
теории.
Здесь мы хотим провести исследование величины вакуум-
вакуумного магнитного момента электрона в первом порядке теории
возмущений по величине а, свободное от указанных выше огра-
ограничений. При этом мы распространим метод Латинжера [24] со
случая п — 0 на случай произвольных значений п(Я<//0).
б) Радиационные поправки к уравнению Дирака. Взаимо-
Взаимодействие электрона с электромагнитным вакуумом может быть
описано с помощью введения в уравнение Дирака радиацион-
радиационных поправок — оператора массы [4]. При этом уравнение Ди-
Дирака приводится к следующему виду:
{E - H} ф (г) = j G (г, г') ф (г') dV = R ф (г), B3:4)
где Е = сЬК—энергия электрона, а гамильтониан Н содержит
только внешнее поле. Ядро в правой части уравнения Дирака
GV'r ) — 'AnT Zi J ~V е"Г К-е(Кп, +х) б
предполагает суммирование по всем промежуточным состоя-
ниям, включая состояния с положительной (е=1) и отрица-
отрицательной (е = — 1) энергией. В этой формуле предполагается
также суммирование по индексу ц (от 1 до 4) (au = a, i'\), при-
причем функции tyn{r) удовлетворяют обычному уравнению Дирака
(без правой части).
Рассматривая далее правую часть уравнения B3.4) как воз-
возмущение, замечаем, что радиационные поправки к энергии, а
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 321
также вероятность переходов полностью определяются матрич-
матричными элементами оператора R, характеризующего эффектив-
эффективную энергию вакуумного взаимодействия.
Заметим, что оператор массы (правая часть уравнения B3.4))
содержит бесконечную полевую массу 8т. Эта бесконечная ве-
величина может быть скомпенсирована с помощью перенорми-
перенормировки массы. Однако в наших расчетах полевая масса выпадает
из рассмотрения, и результаты оказываются конечными без
всякой перенормировки.
Вычисление матричных элементов оператора R можно про-
провести обычным методом с помощью точных волновых функций
электрона в магнитном поле. Радиационная поправка к энергии
при этом определяется диагональным элементом оператора R:
Г^' = J ^(r)R^(r)^= J ^+nV{r)G{rr')%^r')d4d4'. B3.6)
Здесь индексы £, £'=±1 характеризуют зависимость энергии
вакуумного взаимодействия от начальной £ и конечной £' ориен-
ориентации спина.
Если мы воспользуемся соотношением cr°i|) = £i|) (см. A9.101),
B0.8), B0.9), B0.19)), то для B3.6) получим
l^IT^)^^e) + ^Ke)], B3.7).
п', е 0
где
F, = {йф\ + D-XD-i) \ {1 - е АЛ [il. n'-i + /«-., а>] ~
(\ КК')
k0 |-f2 I /2 1 О 4У^ПП' , \
е %к г [1п—\, п' — \ ~Г In, п'\ " 17177 'п, n''n—l, n' — l j ,
с (П г/ п г\'\ ko [(, К \п' — П КЛ\ ,2 ,2 1
F2={D-lD-l— DiDO -^[| 1-е jr)— ejr\[In,n—In-\.n>-\\
B3.8)
выражаются через известные функции Лагерра (см. B3.8)) от
аргумента
2 = x2sin29/4Y. B3.9)
Спиновые коэффициенты Dx и D-x удовлетворяют требованию
нормировки A9.102)
£? + £>2_, = 1. B3.10)
Заметим, что непосредственно с наличием аномального
магнитного момента электрона мы должны связать величи-
НУ Wf{>. Действительно, именно эта величина, пропорциональная
/211 А. А. Соколов, И. М. Тернов
322 § 23. ВАКУУМНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
билинейной комбинации {D-\D'-\ — D\D'[), в зависимости от вы-
выбора оператора поляризации либо явно зависит от ориентации
спина (поперечная поляризация), либо вызывает переходы с из-
изменением ориентации спина (продольная поляризация). Оче-
Очевидно, что W^l' этими свойствами не обладает.
Известно, что часть вакуумного оператора R (см. B3.4)), свя-
связанного с аномальным магнитным моментом, в нерелятивистском
приближении обычно заменяется оператором R' — Л|ирз(ог#)
(см. B3.1)), где постоянная величина ДA = —ацо/2я интерпре-
интерпретируется как аномальный момент электрона.
Паули показал, что подобное обобщение уравнения Дирака
является ковариантным, поэтому можно предполагать, что и
в общем случае замена R—*R' остается справедливой, однако
величина А^х может теперь оказаться функцией напряженности
магнитного поля и энергии электрона.
Сравнивая матричные элементы оператора R'
= J
с энергией вакуумного взаимодействия W^ B3.8), находим та-
такую замену возможной, если выбрать Л(х в виде
Wfi, a
Производя суммирование в W*£l> по знаковому множителю
е = Еп'/\ ЕП' I, для функции f(n, g) получим
Л/2
х dx sin 0 dQ . ,
■ -— 2—-X
22e+ ) l
°° Л/2
1 t] - 1 + x2 sin2 9 1r/2 (л .2
x sin2 0 у Ц + x2 cos2 6 J
I — 1 + x2 sin2 9
L *sn
причем
_ ko _ яо
Существенно, что выражение B3.12) не содержит расходимо-
стей и является конечным во всей области изменения энергии
и внешнего поля.
Случай «основного» состояния электрона (п = 0) является
в некотором смысле особым. В этом состоянии спин электрона
может быть ориентирован только против направления магнит-
магнитного поля (Di = 0, D-i = 1), и поэтому разделение энергии ва-
вакуумного взаимодействия на части указанным выше способом
невозможно. В этом случае вся величина энергии
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 323
связана с магнитным моментом электрона и для функции
f(O,g) получаем
°° ? nI2
х dxsinQ dQ
X
in2 9 +
w=^_f/o,I,,.1(Z)
B3,13)
причем
■n' — n =14- — ?' — у — ax1 sin2 ft
&
Это выражение содержит расходимость, которая не связана с
магнитным полем и устраняется перенормировкой массы.
Исследуем более детально слабое магнитное поле Н <§; Но
(g^>\). В этом случае оказывается удобным заменить сумму
по квантовому числу п' в B3.12) и B3.13) интегралом с по-
помощью введения дельта-функции:
оо 4-°°
Sf»'("')=]£ I fn>(K)b(K-n')d*, B3.14)
«'=0 re' — °°
поскольку суммы с функциями Лагерра легко берутся:
S (т2-2.). B3.15)
п'=0
С помощью этих соотношений получим
f(«, g)=
оо Л/2 оо оо
= -*£■ fxdx Г sinQdQ frf| f.r rfAe'X^-^ F, B3.16)
"J J _i Ь JJVl + l + x^ + xf-l
где функция F имеет вид:
1) при п Ф 0
Qn — полином Лагерра,
B3.17)
B3.18)
; B3.19)
324 § 23. ВАКУУМНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
2) при п = 0, Ф = Ф0 (регуляризованное выражение)
F -
x sin2 0 У 1 + £, +
B3.20)
причем Фо определяется выражением B3.19), если в нем поло-
положить п = 0.
в) Случай малых п. Рассмотрим далее область не слишком
высоких значений энергии:
Разлагая в B3.17) и B3.20) по величинам n + g> I, g> I,
причем n<g, получаем
ti, g),
^^) B3.21)
Из этих формул следует, что нелинейные поправки и величина
аномального момента наиболее заметны в «основном» состоянии
электрона (п = 0).
В возбужденном состоянии (п ф 0) поправки по полю имеют
квадратично-логарифмический характер и не зависят от энергии
электрона.
Таким образом, выводы Швингера о величине магнитного
момента электрона получают обобщение на случай возбужден-
возбужденных состояний, однако при релятивистских энергиях этот вывод
требует существенного уточнения.
г) Случай больших п. Исследуем поведение функции f(n,g)
в другом крайнем случае, когда
n/g = (E/moc*Y= 1/A -Р2)> 1,
однако при этом мы предполагаем, что g = #0/2#»l. Здесь
необходимо вернуться к исходной формуле B3.12). Основ-
Основной вклад при п ^ g У> 1 будут давать переходы на боль-
большие промежуточные уровни п' ^> 1, поэтому вместо сумми-
суммирования по п' можно перейти к интегрированию по переменной'
(УУ^IУ, т. е.
(! + „)* • dn' = — A+цK • B3.22)
СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ Л 325
Подынтегральное выражение в B3.12) имеет полюс при х==
= хр -f- ie (где е — бесконечно малая величина). Значение хр
с учетом того, что cos2 8 ~ g/n <C 1, легко находится:
Поскольку основной вклад в интеграл дает область вблизи по-
полюса B3.23), то для функций Лагерра In,n'{z) и In-\, n'-i(z),
зависящих от аргумента
J{( ) + U)}, B3.24)
применима аппроксимация через функции /0/3 и /С»/,, получен-
полученная ранее (см. B1.26), B1.30)). Выполняя интегрирование по
углам 6 с помощью формулы B1.35)', находим
"ou О О
где
X — Х„ П
и g
(g0 = 3/4 Ynlg3— введенный ранее B1.12) характерный параметр
синхротронного излучения).
Наконец, интегрирование по х проводим с учетом инте-
интегрального представления для функции Кч3(у);
+ ОО
КЧз (у) == -t= | dx exp{ I [х + -^г)}, B3.26)
а также соотношения
B3.27)
где первое, действительное, слагаемое в правой части равенства
представляет собой интеграл в смысле главного значения. Учи-
Учитывая, что действительная часть функции f(n,g) определяет
энергию взаимодействия вакуумного момента с магнитным по-
полем, а мнимая часть — интенсивность синхротронного излуче-
излучения, находим
Ref(n, g) = 2 jj^yj dt sin^ + jH. B3.28)
о о
11 А. А. Соколов, И. М. Тернов
326 5 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
Рассмотрим зависимость Л[д, от go, используя интегралы
xp-ldx = Г(р)Г(г)
(\ + ху+г Г(р + г) '
B3.29)
лгр-' sinA;dA; = r(p)sin^-.
о
Тогда для величины аномального магнитного момента получим
А[х а хз (/ \
a f , (квазиквантовый
~2^~> ьо **- ' случай),
Г,1П B3.30)
а1 ( 13) . ? ^ 1 (ультраквантовый
(. 9 |^3~B|0J/з ' случай).
Впервые случай п ~S> g3, т. е. go» 1, был рассмотрен Терно-
Терновым, Багровым и др. [25]. В дальнейшем численный коэффициент
был уточнен в работе Ритуса, а также Байера и др. [26]. Итак,
если энергия электрона удовлетворяет критерию
Е ^> Екр = тф1 —~, B3.31)
то величина аномального момента электрона резко убывает
с энергией:
ifi.= --5 2"i('/3J. . B3.32)
ц0 2я 9 КЗ B1o)/s ;
Таким образом, вакуумный магнитный момент электрона яв-
является сложной функцией напряженности магнитного поля и
энергии частицы. В заключение заметим, что случай сильного
(Н ~ Яо) и сверхсильного магнитного поля (Н ^> Но) требует
особого рассмотрения [21].
§ 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ, ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПО КРУГУ
а) Нелинейная классическая теория. Начало развития кван-
квантовой теории излучения заряда, движущегося в электромагнит-
электромагнитном поле плоской волны, было положено известной работой
Клейна и Нишины, в которой было рассмотрено рассеяние фо-
фотона на покоящемся электроне. При этом была получена фор-
формула изменения частоты рассеянного фотона в релятивистском
обобщении (эффект Комптона). В последующих работах были
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 327
детально изучены свойства рассеянных фотонов. В частности,
рассматривалась зависимость сечения рассеяния одиночного фо-
фотона от его поляризации, а также от ориентации спина элек-
электрона [27, 28].
До недавного времени отсутствовали источники мощных
электромагнитных волн, поэтому изучение роли интенсивности
волны в процессе рассеяния было ограниченным. Тем не менее,
в [29] была рассмотрена задача о взаимодействии электрона
с электромагнитной волной высокой интенсивности и было уста-
установлено, что при некоторых условиях формулы сечения рассея-
рассеяния существенно зависят от интенсивности электромагнитной
волны.
В связи с развитием лазерной техники и получением мощных
пучков монохроматического излучения в последние годы возник
интерес к процессам, происходящим в электромагнитной волне
высокой интенсивности. Результаты [29] получили дальнейшее
развитие в [30—33].
Некоторые важные особенности излучения электрона при
его движении в поле плоской электромагнитной волны были
установлены в работах [34, 35]. В частности, с помощью кова-
риантных операторов удалось детально проследить роль спина
электрона в процессах рассеяния в поле линейно поляризован-
поляризованной волны, а также выявить глубокую аналогию рассматривае-
рассматриваемой задачи с синхротронным излучением. Эта аналогия имеет
место и в классической и в квантовой теории и открывает путь
к новому пониманию физического содержания явления.
Рассмотрим сейчас задачу об излучении электрона, движу-
движущегося в поле плоской электромагнитной циркулярно поляри-
поляризованной волны, когда вектор-потенциал можно представить
в виде (см. (8.95))
А = — -^-(е, sinco0g — e2g cos (Dog). B4.1)
Волна распространяется вдоль оси z, £, — t — z/c, g характери-
характеризует правую (g = 1) и левую {g = — 1) круговую поляриза-
поляризацию [36].
б) Теория рассеяния. В поле поляризованной по кругу
электромагнитной волны электрон движется по спирали (см.
(8.114)), имея постоянную скорость вдоль направления распро-
распространения волны
где y — еоЕо/тоС(х>о, а = (Е — cps)/moc2 — интеграл движения, Е —
полная энергия электрона, рз — импульс вдоль оси г. При этом
в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения,
И*
328 § 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
волны (плоскость ху), электрон движется по окружности ра-
радиуса R *), равного
R = ео£оК<Ч- B4-3)
Таким образом, уравнения движения частицы имеют вид
х = R cos со0| = R cos со^, у — R sin co0g = R sin со/,
где со = со0A — Рй).
Рассмотрим излучение движущегося электрона методами
классической теории (см. § 10). Тогда для мощности излучения,
т. е. для энергии, излучаемой зарядом в 1 сек, мы получаем ана-
аналог формулы Шотта для случая движения заряда по винтовой
траектории (см. формулы A0.43) и A0.72)):
eel ^ f
= ~5Г Ро Ь v U1 + P|l cos 6о)sm 6о dQo X
v=l 0
X UaiVv (V^o s'n ^o) — Sln c^g 60^v (vP0 sin 60)|2- B4.5)
Эта формула учитывает поляризационные свойства излучения:
при /0 = 1, 1л = 0 мы, как и обычно, получим a-компоненту ли-
линейной поляризации, а при 10 = 0, 1п = 1—я-компоненту. Для
анализа круговой поляризации следует положить /а = /л== l/j/2
(правая) или 1а= — lu= l/Y'^ (левая). Величина р0, входя-
входящая в формулу B4.5), пропорциональна напряженности элек-
электрического поля волны (см. A0.72)):
Po=Y/Vl+Y2, Y = еоЕо/тоа>ос. B4.6)
В случае отсутствия движения частицы вдоль оси z (Рц = 0),
т. е. при чисто круговом движении |3о = aoR/c. Угол 80 связан
с обычным сферическим углом 0 преобразованиями Лоренца:
cos 8 — В,, V \ — Bf sin 8
COS 80 = ■
-0,00,9' SlnQ°= 1-P,,cos8 • <24-7)
И, наконец, частота излучения cov связана с частотой падающей
волны «о соотношением
п _.. О-Рц)*»о 1 + Р„ cos e0
*) В случае линейно поляризованной волны движение в плоскости,
перпендикулярной к направлению распространения волны, существенно отли-
отличается от окружности,
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 329
Интегрируя по телесному углу и суммируя по номеру гар-
гармоники v, получаем выражение для полной мощности излучения
Wo = ^^ WK'\ Wn = ~^- WK\ B4.9)
где (см. также A0.73))
Определим полное сечение рассеяния а как отношение мощ-
мощности излучения к величине падающего потока энергии плоской
волны:
W . _. . с cEl
B4.11)
В дальнейшем изложении мы ограничиваемся случаем чисто кру-
кругового движения, когда Рц = 0. Тогда
lTf. B4.12)
Суммируя B4.9) по состояниям линейной поляризации, находим
2 2
Г=4-^Ч2A +Y2)- B4.13)
При этом для полного сечения рассеяния мы получаем обобще-
обобщение формулы Томсона*):
8яг2п el
a = -^(l+Y2), го = -ф-- B4.14)
В случае очень слабого поля электромагнитной волны (у <С
<С 1) формула B4.14) переходит в классическую формулу
Томсона
а = ат=8яг2/3. B4.15)
Для более детального анализа роли интенсивности падающей
волны введено парциальное дифференциальное сечение рассея-
рассеяния, характеризуемое номером гармоники v. В случае чисто
кругового движения имеем
S ^ ^2 ^(vp0sine)}. B4.16)
*) Формула B4.14) имеет место в предположении малости эффективного
сечения (ст < Я2 = 4ji2c2/<Bq), т. е. без учета реакции излучения. В против-
противном случае необходимо использовать теорию затухания (см. [37—39]),
330 § 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
Рассматривая теперь случай слабого поля электромагнитной
волны:
po==_3L=-~Y = -«£!L-<l, B4.17)
у 1 + у т0с®0
мы приходим к аналогу нерелятивистского приближения теории
синхротронного излучения. Исходя из асимптотического поведе-
поведения бесселевых функций при малом значении аргумента х:
\ B4.18)
получаем
do., ri (vv sin 6)- cv~:
•^^fl + cos'Blv'1^.^- B4.19)
При v = 1 следует формула Томсона. Это соответствует общим
выводам теории синхротронного излучения: максимум интен-
интенсивности излучения нерелятивистского электрона падает на
основной тон v = 1. Излучение более высоких гармоник убы-
убывает как
Положение изменяется в случае сильного поля, когда у >■ 1.
Тогда, как это следует из общей теории синхротронного излуче-
излучения (см. A0.52)), максимум излучения ультрарелятивистского
электрона:
Ро=-т=L=-~1 —->1, Y>L B4.20)
падает на высокие гармоники:
v «« A — Ро)""''2 ~ Y3-
Поэтому роль интенсивности падающей плоской волны стано- •
вится существенной. Этот вывод является следствием классиче-
классической теории и не связан с учетом квантовых поправок*). В этом
случае максимум сечения приходится на гармонику
v « (eoEo/mocaof.
Найдем, наконец, полное сечение рассеяния. Интегрируя фор-
формулу B4.16) по телесному углу dQ, находим парциальное сече-
сечение рассеяния
av = -^ V2 j |p27/2 (vpo sin 6) + ctg2 e/2 ^q sin в)} sin 6 dQ. B4.21).
*) К аналогичному выводу авторы работ [30, 31] приходят ИЗ соображе-
соображений квантовой теории.
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 331
При этом полное сечение можно получить суммированием по но-
номеру гармоники v:
а
= 2 <tv. B4.22)
l
v=l
В случае слабого поля, когда у <^ 1, в сумме B4.22) доста-
достаточно ограничиться членом с v = 1. Тогда мы приходим к фор-
формуле Томсона а = сгт (см. B4.15)). В другом крайнем случае,
когда у^1> следует применить аппроксимацию функций Бес-
Бесселя, так же как в теории синхротронного излучения (см.
A0.102), A0.104)):
B4.23)
8 = 1 - р2 sjn2 0.
Производя интегрирование по углу 9 (см. A0.117), A0.119)
и A0.120)), а также заменяя суммирование по v интегрирова-
интегрированием по переменной у, имеем
a = avdv =
j
о
, ~ 2 °°
= —о—A -f- у2) Ф (y)dy ~ —г— Y2 4>(y) dy, y ^ 1> B4.24)
о о
где
oo
О l/~Q Г
q>(y) = ~—у Ks/3(x)dx, B4.25)
у
а переменная у связана с номером гармоники v соотношением
У=^-{1 — %)%- B4.26)
Интегрирование по переменной у в формуле B4.24) приводит
к результату B4.14) в случае больших у.
8Я/д
B4.27)
Таким образом, в случае больших значений интенсивности
падающей волны полное сечение рассеяния зависит от напря-
напряженности электрического поля волны (у = ейЕй1тасщ) и суще-
существенно отличается от томсоновского.
332 § 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
в) Квантовая теория излучения. Найдем мощность излуче-
излучения электрона, движущегося в поле плоской электромагнитной
волны, методами квантовой теории. Поступая по аналогии с тео-
теорией синхротронного излучения (см. B0.54)), с помощью точных
волновых функций теории Дирака (см. A9.52)) находим для
мощности излучения следующее выражение (просуммирован-
(просуммированное по состояниям поляризации фотонов и спина электрона):
_ сеХ у v2 f sin е0 ^е0 A + p., cos e0)
v=l 0
где
+-f A -COsQ0f) +
(l-cos90J]. B4.29)
Параметр g пропорционален постоянной Планка fi
-f y
B4.30)
Частота излучения отличается от классического выраже-
выражения B4.8):
A—P,i)vcon мкл
гл'=. v ";2 =(9A4U
= . (9A4U
-C0S6) 1+&A — COS60) ' lZ*-01>
где
1 + p., cos eft
™ ™ B4.32)
Этот вывод является общим следствием квантовой теории рас-
рассеяния света на электроне (комптон-эффект, см., например,
[4]) *). В случае перехода к классической теории (й-*0) пара-
параметр g следует устремить к нулю, и тогда мы возвращаемся к по-
полученным ранее результатам (см. B4.5)).
С целью упрощения дальнейшего рассмотрения задачи огра-
ограничимся чисто круговым движением электрона, когда (Зц = 0.
При этом
bwal Л B4.зз)
тйс*
или
. Vfflo ~ <В'
-cos6)ffl' '
*) Заметим, что обычная формула комптон-эффекта получается из
B4.31) при v = 1. Y = 0, Р„ = 0.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 333
Выражая все величины в формуле B4.28) через частоту из-
излучения фотонов электроном со' (см. B4.31)), получим [35] при
Pil = 0:
где
' , sin i
/j •
B4.35)
Для дальнейшего анализа полученных результатов нам не-
необходимо ввести понятие дифференциального парциального се-
сечения процесса рассеяния в случае квантовой теории. Определим
парциальное эффективное сечение как отношение вероятности
квантового перехода в 1 секунду с излучением кванта гармо-
гармоники v к плотности падающего потока, отвечающего поглощению
энергии fevcoo гармоники v:
tfa =_^=-__L ff = L° . B4.36)
x N йсо N 4я fivffi, v '
Тогда имеем
dev 4я
dQ cEl \ со' / dQ.
Заметим, что при переходе к классической теории (й->0) со'=
= vcoo, и мы получаем ранее приведенный результат (см. фор-
формулу B4.16)). Формула для дифференциального парциального
сечения рассеяния, таким образом, получает следующее выра-
выражение:
dav && / со' У _ (м
а%1 с t
где Sv определено соотношением
Sv = A+ -^-j {Pg /;2(vP0 sin 9) + ctg2 6/2v(vp0 sin 6I +
\ CO/1 • \ u it
+ (l -~^J(l-^)/2(vp0sin9). B4.39)
Рассмотрим частный случай слабого поля электромагнитной
волны, когда у< 1- При этом можно применить аппроксимацию
функций Бесселя в виде B4.18). Это приводит к формуле
_4(jLY{^+^_sln,eb<-v;">'r. B4.40)
2 \vcoo/ I со' ' vcoo J [(v— \)\\l v '
la
334 § 24. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
Поскольку Ро ~ Y ^ 1> все гармоники с v > 1 сильно подав-
подавлены, а для основного тона v = 1 мы получаем формулу Клей-
Клейна— Нишины в виде [35]
4
2
B4.4D
В другом крайнем случае больших значений напряженности
поля (v^l) формулы для интенсивности излучения B4.28),
B4.29) могут быть упрощены, если использовать аппроксимации
для функций Бесселя B4.23). Тогда после интегрирования по
углу 9 мы приходим к выражению
4fj(dr^ B4-42)
где
оо
J K',3(x)dx. B4.43)
be
Яо
3
2
Eo
Яо
Л/ {
1 \
Е
тйс
• Е
,т0с2
2 -^
У
При этом мы перешли от суммы по v к интегралу по у = 2/3vy~
и ввели новый параметр
2 У Но ~ 2 Но V \ т0с2) 2 т0с2 И- \^-^>
при
Заметим, что в этом приближении теория излучения в точности
совпадает с излучением ультрарелятивистского электрона в од-
однородном магнитном поле (см. § 21). Отсюда легко получить
эффективное сечение для рассеяния:
Т$ B4-45)
о
где
«р (у) - т TT+W {B + 2^ + %у2) *'•{у) ~
I
■-A + !о0)| *.,,(*)<** (• B4.46)
-У >
В частном случае классического приближения 'go = 0 эта фор-
формула переходит в B4.25).
Заметим, что аналогия излучения электрона в поле плоской
электромагнитной волны и синхротронного излучения обуслов-
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ
335
лена одинаковым характером движения электрона в обеих за-
задачах: и в том и в другом случае электрон движется по окруж-
окружности (или по винтовой линии), имея постоянную составляющую
скорости в направлении оси г.
§ 25. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ТЕОРИИ
СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
а) Общие формулы. Рассмотрим вынужденное излучение
электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном
поле.
Вероятность вынужденных переходов из состояния с энер-
энергией Еп в состояние Еп, определяется выражением [4]
i t
Wnn' — •
B5.1)
причем знак минус перед х соответствует вынужденному излуче-
излучению, а плюс — поглощению. В формуле B5.1)
— частота излучения, N(x) —число падающих квантов внешней
электромагнитной волны с импульсом Ьу = йаде0.
Если электрон в начальном состоянии обладает конечным
временем жизни т, то в формуле B5.1) интеграл по времени
следует заменить согласно
t 2
д
dt
4т
B5.2)
Последний интеграл взят в предположении, что t !S> т. В предель-
предельном случае больших значений т правая часть равенства B5.2)
обращается в дельта-функцию.
Число фотонов N(x) в объеме L3 связано с вектором элек-
электрической напряженности Е внешней электромагнитной волны
при помощи соотношения
Е2/4я = Пек N (x)/L3, B5.3)
поскольку левая и правая части этого равенства определяют
энергию поля в единице объема.
336 § 25. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СИНХРОТРОННОМ ИЗЛУЧЕНИИ
Если внешняя электромагнитная волна распространяется под
углом 9 к оси z, то выражение B5.1) мы можем привести к виду
s2е|б2Р)
2т
причем матричные элементы определяются выражением
B5.5)
Рассматривая плоское движение (k3 — 0) согласно A9.60)
для энергии будем иметь следующее выражение:
где
Еп = chKn = ch V kl + 4уп ,
у = e0H/2ch, р = у г2.
B5.6)
В дальнейшем рассмотрим слабо релятивистский случай, ко-
когда мы можем ограничиться лишь членами порядка р2. Тогда
для энергии электрона находим выражение
B5.7)
где Q = еоН/тос — циклотронная частота, а при вычислении ма-
матричных элементов B5.5) можно ограничиться дипольным при-
приближением (е-**г «1). Тогда матричные элементы B5.5) ста-
становятся равными
2я
> Ф) % ^ns (P.
B5-8)
Волновые функции согласно A9.53), A9.65) и A9.73) в слабо
релятивистском случае мы можем представить в виде
9
iemln, s (р)
B5.9)
,(Р, Ф) = "/£
ко
I
О
При выводе выражения B5.9) мы в равенстве A9.73) положили
К = ko, Di — 0, D-i — 1. Вообще говоря, если пренебрегать
спиновыми эффектами, то на коэффициенты D\ и D-X можно на-
наложить любые условия, лишь бы выполнялось соотношение
|D1|2 + I^_,|2=1. B5.10)
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 337
Учитывая условие ортогональности
оо
б//' J dpln', s'(9)In.s(p) = bnn-6ir, B5.11)
о
с помощью- B5.9) и B5.8) для матричных элементов, входящих
в равенство B5.4), легко найти следующее выражение:
^((rt+lNrt',n+I + «6n,,n_INssS B5.12)
т. е. в дипольном приближении возможны следующие переходы:
1) переход с излучением (п—>п— 1, s-+s):
2) переход с поглощением (п->п-{-1, s->-s):
|х„ B+i[= |£"~£"+l1 = JLfl --^LBn+ I)). B5.14)
ПС С \ ZtYlf\C I
Весьма существенным является тот факт, что эти частоты не
равны друг другу, т. е. благодаря учету релятивистских попра-
поправок уровни становятся не эквидистантными. Поэтому если одну
из частот, например кп, п-\, положим приближенно равной Q/c:
х„,„_1 «= Q/c, B5.15)
то другая будет равна
I х„,га+, l = Q/c-Q,/c, B5.16)
где Q, = hQ2/m0c2.
Для суммарной энергии вынужденного излучения и поглоще-
поглощения имеем следующую формулу:
e^2Q2x(l+cos2e) n (" +
~ moco2 \4t2(Q-coJ+ 1 4t2 (Q, — Q, - соJ +Т / '
B5.17)
Отсюда видно, что если уровни были бы эквидистантными (Qi =
= 0), то наша система всегда бы поглощала электромагнитное
излучение (W<0). Однако благодаря тому, что Qi ф 0, выра-
выражение B5.17) может стать положительной величиной.
Ограничиваясь в B5.17) линейными относительно Q! чле-
членами, найдем
ef,E2Q2x (I + cos2 д) Г. . 2xQx
338 § 25. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СИНХРОТРОННОМ ИЗЛУЧЕНИИ
где x = 2t(Q —«). При выводе формулы B5,18) мы учли зна-
значение для радиуса орбиты R = movc/eoH =Yn/y > из которого
следует, что
nhQ = m0v2/2. B5.19)
Кроме того, по сравнению с единицей мы отбросили члены по-
порядка р2 и выше.
Формула B5.18) была получена Шнейдером (см. [40], а так-
также [5]). Из этой формулы видно, что при нарушении резонанса
(со > Q) второй член может стать величиной отрицательной и
начать превалировать над первым. Тогда система станет источ-
источником излучения, т. е. образует своеобразный мазер (W^>0).
Эта идея легла в основу построения соответствующего прибора,
который уже работает [41, 42].
Заметим, что в общем случае можно получить следующую
формулу для суммарной энергии вынужденного поглощения и
излучения на гармонике v (для 9 = я/2 ± А9, А9 •< тосг/Е)
[43, 44]:
е^х moc2 4vl'v (vp)
Wv m0 E l+xsv2 A
у Р /v(vp) 2v 1 + xv j
где частота
В слабо релятивистском приближении (р < 1, р2 =^= 0, Q2 =
= й) выражение B5.20) мы можем привести к виду
B5.21)
При v = 1 это выражение переходит в формулу Шнейдера
B5.18) для случая 9 = я/2. Из B5.21) видно, что вынужденное
излучение гармоник может превышать поглощение (Wv>0),
так же как и для основного тона (v = 1), только при нарушении
резонанса (л:<0), причем интенсивность излучения высшей
гармоники относительно предыдущей имеет порядок р2.
В ультрарелятивистском же приближении (р->1) при ус-
условии
где Vmuko — номер гармоники, соответствующей максимуму спон-
спонтанного излучения, становится возможным излучение гармоник
даже в случае резонанса:
х = Q2 — co/v = 0. B5.23)
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 339
Тогда формула B5.20) для а-компоненты принимает вид
A62) У (»/,) е\Е\ т
W
з'Ч»<«/.) /' ( }
Отсюда видно, что излучение будет превалировать над поглоще-
поглощением лишь для гармоник
v<l/(l-p2)*==^w B5.25)
причем я-компонента всегда будет поглощаться.
Из формулы B5.24) следует, что интенсивность вынужден-
вынужденного излучения должна падать с увеличением v, обращаясь при
v~|/vliaKC в нуль. В случае v > |/vMaKC система должна на-
начать поглощать электромагнитное излучение.
б) Вынужденное излучение в скрещенных полях. Оказы-
Оказывается, что если к постоянному магнитному полю, характери-
характеризуемому вектор-потенциалом
Ах*=-Ч*Ну, Ау = У2Нх, Лг = 0, B5.26)
добавить еще и электростатическое с потенциальной энергией
V = — е0Ф, B5.27)
то можно подобрать его таким образом, что индуцированное
излучение будет превалировать над поглощением уже в основ-
основном нерелятивистском члене.
Конкретно потенциальную энергию электростатического поля,
добавляемого к магнитному (см. B5.26)), мы выберем в сле-
следующем виде [45]:
о
V = - ^- (г2 — 2z2), B5.28)
где г2 = х2 + У2- Этот вид потенциальной энергии используется
также при анализе работы магнетрона [46]. Потенциал B5.28)
выбран таким образом, чтобы в рассматриваемой области про-
пространства плотность внешних зарядов равнялась нулю:
Кроме того, чтобы движение по оси z было устойчивым, необ-
необходимо выбрать постоянную а, имеющую размерность см~3, по-
положительной величиной (а>0).
Для нахождения волновой функции электрона в скрещенном
магнитном и электростатическом (см. B5.28)) полях восполь-
воспользуемся уравнением Шредингера:
"^-(l^+^ + W. B5-30)
где Р = —ib\ + е0Д/с — оператор кинетического импульса.
340 § 25. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СИНХРОТРОННОМ ИЗЛУЧЕНИИ
Так как потенциальная энергия не зависит от времени и угло-
угловой координаты ф(х = г cos <p), то решение уравнения B5.30)
в цилиндрических координатах следует искать в виде
v(r)u(z), B5.31)
где / — орбитальное квантовое число, принимающее положи-
положительные и отрицательные целые значения.
Радиальная v и аксиальная и части волновых функций могут
быть найдены соответственно из уравнений
= 0, B5.32)
v" + -j v'+ (^ф- -£■- ХЧ2) v = 0. B5.33)
Здесь шгрих у функций v и и означает производные соответ-
соответственно по г и z, а для постоянных к и %] имеем выражения
Я-Y (!_*!"£.)*, v-M, ^ = ^1/2^.B5.34)
2еЙ ' 'v> П
Отсюда видно, что не только движение по z, но и движение по
радиусу г будет устойчивым, когда коэффициент а лежит в пре-
пределах
О < а < Н2/4т0с2. B5.35)
Таким образом, фокусировку циклического движения элек-
электрона мы можем производить не только с помощью введения
неоднородного магнитного поля (при 2 = 0Я = const f~i, при-
причем 0 < q < 1), но и с помощью добавления к постоянному маг-
магнитному полю (не дающему фокусировки по оси z) электроста-
электростатического поля B5.28) со значением постоянной а, удовле-
удовлетворяющей неравенству B5.35).
Отсюда легко найти следующее значение для энергии:
B5.36)
где
со.
nH , / 4amnc2
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 341
Для ортонормированных волновых функций мы находим выра-
выражения
V^ke~Klz212' B5-38)
B5.39)
где полиномы Эрмита
Hk(l) = (-l)ke^^0-, l=Vhz, B5.40)
а функции Лагерра B5.39), так же как и в задаче «светящегося»
электрона, равны
1п,АР) = у=== e-p/V/2Qi(p), р = Яг2. B5.41)
В случае отрицательных значений I мы можем воспользоваться
соотношением
Qrl"(p) = (-iyp"lQii|/|. B5.42)
Поскольку нижний индекс у полиномов Лагерра, а также
у полиномов Эрмита должен быть целым и положительным
(включая нуль), мы можем найти область изменения всех кван-
квантовых чисел:
аксиального:
/е = 0, 1, 2, ... ;
орбитального:
/ = 0, ±1, ±2, ...;
радиального:
О, 1, 2, ... при />0,
-/,—/+ 1, —1 + 2, ... при /<0
и главного:
/, /+ 1, 1+2, ... при />0,
0, 1, 2, ... при /<0.
Заметим, что при отсутствии электростатического поля (а = 0)
система становится вырожденной, т. е. зависимость Е от s ис-
исчезает.
В классическом приближении в плоскости ху траектория
движения описывается эпитрохоидой:
причем радиусы /?о и г0 связаны с квантовыми числами соот-
соотношениями
Яо = уп/к, r0 = YJJK. B5.43)
342 § 25. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СИНХРОТРОННОМ ИЗЛУЧЕНИИ
При квантовом переходе
(я, s, k)->(n', s', k') B5.44)
соответствующая частота может быть найдена из равенства *)
СО/у = jr {Ensk — En>s'k') = СОя (« — п') — С0£ (S — S') + C0z (k — k').
B5.45)
Для вероятности вынужденного перехода под действием
внешней электромагнитной волны частоты со = сп с волновым
вектором х, составляющим угол 6 с осью г, мы имеем выра-
выражение
2
B5.46)
где т — среднее значение времени пребывания электрона в на-
начальном состоянии, причем перед со должны выбрать соответ-
соответственно знак минус или плюс в зависимости от того, имеем ли
мы вынужденное излучение (со/,-' > 0) или поглощение (<»,■;< < 0)
фотонов; N (у)—число фотонов в объеме L3 связано с ампли-
амплитудой электрической напряженности Е внешней электромагнит-
электромагнитной волны при помощи соотношения B5.3).
В случае t ^> т мы можем положить (см. B5.2))
4т
4т*(
//,
B5.47)
Для матричных элементов, характеризующих переход B5.44),
имеем следующее выражение:
B5.48)
где
я У 2uk\
B5.49)
*) Под индексом / будем понимать три квантовых числа п, s, k.
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 343
Ограничиваясь дипольным приближением (е~Ыг ^ 1), имеем
+ V^+l*n.*+i.k + Vtitn.s-Lk}- B5.50)
Верхние знаки относятся к индексу х, а нижние — к индексу у.
Аналогичным способом находим
^«.H.-ZH.a-i). B5.51)
Учитывая условие ортонормированности, получаем
2 2
I2 = ^
B5.52)
Отсюда находим правила отбора и соответствующие ча-
частоты излучения *):
1) Ая= ±1, As = 0, Л& = 0, а„, nTi= ± сон;
2) Ап = 0, As = 0, Л*==±1, Юй1Йф1= ±сог; B5.53)
3)Лп = 0, As=±l, Л^ = 0, cos, s-i = + со£.
Найдем суммарную энергию вынужденного излучения и по-
поглощения.
В случае 1) с помощью формул B5.46) и B5.53) получаем
Wy = haH {wn, n-{ — wn, n+i) =
Выражение B5.54) при а = 0 дает первый нерелятивистский
член формулы Шнейдера (см. B5.18)). Как и следовало ожи-
ожидать, электромагнитные волны, лежащие вблизи частоты соя,
должны поглощаться (№<0). Напомним, что в данном случае
излучение возможно только за счет релятивистских поправок, и
то при нарушении резонанса (см. B5.18)).
*) Квантовые числа, которые при заданном переходе не изменяются,
в дальнейшем будем опускать.
344 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В случае 2) (изменяется квантовое число k) в области ча-
частот со ~ coz мы снова будем иметь поглощение, поскольку
W2 = h(oz (wki ft
•«*<'—"» • B5.55)
1 -f 4т.2 (coz — соJ
Наконец, в случае 3) (изменяется квантовое число s) на-
находим
\ = haE(wSiS+1 — wSiS-l) =
— соJ '
B5.56)
т. е. рассматриваемая система вынужденно должна излучать
даже в нерелятивистском приближении, причем максимум из-
излучения приходится на область резонанса (со = сое) *).
§ 26. ВЛИЯНИЕ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ
ЭЛЕКТРОНОВ В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а) Движение электронов в аксиально-симметричном магнит-
магнитном поле. Задачу о движении электрона в неоднородном аксиаль-
аксиально-симметричном магнитном поле проще всего решать в цилин-
цилиндрических координатах (г, ср, z):
г=]/х2+ У2, Ф = arc tg (y/x). B6.1)
Как будет показано ниже, устойчивое равновесие при движении
электрона вблизи равновесной квазиклассической орбиты воз-
возможно в поле, которое в плоскости этой орбиты (z = 0) изме-
изменяется по закону
НХ = НУ = О, Hz = br-", B6.2)
*) На базе этих теоретических расчетов был построен Грэффом и др.
[47] соответствующий прибор. Кроме магнитного поля Я, изменяющегося в
пределах 80—4000 гс, создавалось еще электростатическое поле типа B5.28)
с помощью четырехполюсной камеры. В магнитном поле при Н = 100 гс и в
области электростатического потенциала 10 в частота coz имела порядок
40 Мгц, циклотронная частота сон — 300 Мгц и частота смещения ч>е '—
5 Мгц. В этих экспериментах наблюдалась потеря энергии на частотах по-
порядка ©Z, ©н, а на частоте ©в, наоборот, — возбуждение колебаний, благо-
благодаря чему электроны начинают покидать камеру. Эти экспериментальные
факты находятся в согласии с теоретическими предсказаниями (см. B5.54) —
B5.56)).
ЭЛЕКТРОНЫ В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 345
причем показатель спадания поля q для устойчивости равнове-
равновесия должен лежать в пределах 0 < q < 1 (так называемая мяг-
мягкая фокусировка, см. ниже) *).
Учитывая условие отсутствия внешних токов
rot Я = 0, B6.3)
Z->0
находим соответствующие условию B6.2) составляющие век-
вектор-потенциала, пренебрегая величинами порядка (з/гL [5, 50]:
/ — у
Аг1 V 0/ 'в<2"'>
Из B6.4) для магнитного поля находим значения
пг — .я \ L о Ч ,2 > Ji^; r2
г
о
B6.5)
Мы будем рассматривать задачу в приближении, учитываю-
учитывающем лишь квантовые эффекты первого порядка по постоянной
Планка Ъ. Найдем прежде всего решения релятивистского ска-
скалярного уравнения Клейна — Гордона, т. е. пренебрегая спино-
спиновыми эффектами, во внешнем магнитном поле B6.4):
(£2-с2Р2-тоС4)\[) = О, B6.6)
где
Представляя уравнение B6.6) в виде
2 + c2ftV - elA2 - ^4^- (AV) - mtA ij, = 0 B6.7)
*) При жесткой фокусировке (\q\ > 1) траектория разбивается на ряд
участков, причем в одном из соседних участков q>0 (устойчивость по оси г
и неустойчивость в направлении г), а в другом — наоборот, g < 0 (устойчи-
(устойчивость по г и неустойчивость по г). Оказывается, можно подобрать такую
разбивку участков, что движение в целом становится устойчивым, а ампли-
амплитуда бетатронных колебаний будет значительно меньше, чем при мягкой фо-
фокусировке. Поэтому электронные синхротроны со сверхвысокими энергиями
(как правило, свыше 1 Гэв) построены с жесткой фокусировкой, например,
для ускорителя в Гамбурге ДЭЗИ Е = 7,5 Гэв, R = 32 ж, \q\ = 70, число
пар магнитных элементов 24. Точно так же на жесткой фокусировке по-
построены Кембриджский ускоритель СЕА и Ереванский ускоритель АРУС. Жест-
Жесткая фокусировка была предложена Кристофелесом и детально разработана
Ливингстоном и Курантом [48]. В нашей монографии мы не станем ее разви-
развивать и отсылаем читателям к специальной литературе по проектированию
ускорителей (например [49]).
346 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
и подставляя в него составляющие вектор-потенциала B6.4),
имеем
у г
B - <jL rl
-д-— moc ф = 0. B6.8)
В последнем уравнении мы пренебрегли членами порядка (zlrf.
Решение уравнения B6.8) ищем в виде
£ ~i~-t + il<f
^) = е-г~Ч-е v^ y^v{r)u{z). B6.9)
Из условия нормировки волновой функции
B6.10)
получаем
| v2dr=l, | u2dz=l.
0 —ОО
Подставляя B6.9) в B6.8), находим уравнения, которым под-
подчиняются функции v(r) и u(z):
$- + f(r)v = O, B6.11)
^ + F{z\ r)u = Q. B6.12)
f(r) = —c2fiT°C — «i — Л (г, /),
В равенствах B6.11) и B6.12) мы положили*)
РB2, r) = a,-F,(z2, г, /), B6.13)
где
/, (г) = у2/-2 »-»> + 2у1г-« + --^,
B6.14)
Fl {z\ r) = z?qB- q) fr~^ [ 1 + ^ r?-2
причем Y = eob/cbB — q), a ai является постоянной разделения.
*] В дальнейшем можно принять I2 — 1/4 я* I2 3> 1.
ЭЛЕКТРОНЫ В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 347
При решении уравнения B6.11) ограничимся приближением
малых колебаний около равновесной квазиклассической круго-
круговой орбиты, радиус которой R находится из условия минимума
эффективной потенциальной энергии в уравнении для v (г).
Вводя новую переменную p = r — R, характеризующую ра-
радиальные колебания, мы имеем
d2v _ d2v
dr2 ~ dp2 '
f(r) = /(p + tf) = f(tf) + pf(tf) + -£f"(tf)+ ■•■- B6.15)
причем радиус равновесной орбиты находится из условия
у (я) = _ М1Ш. = 2 A - q) 42Rl~2q - 2ylqR-"-1 - 212R~3 = 0.
B6.16)
Отсюда получаем, что
l 2
или
Введем новые постоянные величины
* / г>\ Е~ ~ °С б0 г>2 TJ21 г>\
B6.18)
Учитывая эти соотношения, дифференциальное уравнение для
радиальных колебаний B6.11) можем записать в виде
-0+(а-ЯУ)О = О. B6.19)
Точно так же для дифференциального уравнения 2-колебаний
(см. B6.12)) при г = R имеем
-^ + (а1-Я*г*)и = О, B6.20)
где
h=^VQ. B6.21)
Из формул B6.18) и B6.21) видно, что радиальные колеба-
колебания будут устойчивыми (А,2 > 0) при q < 1, а вертикальные ко-
колебания устойчивы (Ц > 0)при q > 0. Таким образом, параметр,
характеризующий радиальную неоднородность доля, должен из-
изменяться в пределах
0 < д < I
348 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
что обеспечивает устойчивость так называемой мягкой фокуси-
фокусировки электронов около равновесной орбиты.
Уравнения B6.19) и B6.20) являются уравнениями гармо-
гармонических осцилляторов с собственными значениями
a = XBs+l), а,=Я,,B* + 1), B6.22)
где s, k = 0, 1, 2, ... — радиальное и аксиальное (вертикальное)
квантовые числа. Соответствующая радиальная собственная
функция vs имеет вид
vs =
р), B6.23)
где р = г — R, причем г изменяется в пределах 0 sg: г < оо *).
Это решение имеет место при \p/R\ <C 1, когда пределы интегри-
интегрирования по р при вычислении нормировочного коэффициента
можно растянуть от —оо до +°°- Собственные функции верти-
вертикальных колебаний имеют вид
). B6.24)
В соотношениях B6.23) и B6.24) Hs и Hk являются полиномами
Эрмита.
С помощью формул B6.23) и B6.24) для средних квадратич-
квадратичных отклонений мы находим **)
B6.25)
а из B6.22), B6.18) получаем собственные значения для энер-
энергии электрона:
Elsk = VeW(R) R2 + т\с + 2e0H(R) (|/l — Ц chs + VI
- Ег + E'lsk. B6.26)
Здесь
Et = ^еоЯ2 (/?) /?2 + m^c4 B6.27)
*) В однородном поле под величиной р мы понимали значение \rz (см.
A9.8)). В неоднородном поле под р мы понимаем радиальные отклонения
от равновесной орбиты р = г — R.
**) Здесь а2 и б2 являются квадратами амплитуд радиальных и верти-
вертикальных (аксиальных) бетатроиных колебаний-
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА 349
— энергия, характеризующая вращение по окружности (основ-
(основная часть энергии), а
E'isk = ^Т^ (V^^ chs + V7 chk) B6.28)
— радиальные и вертикальные колебания. Используя форму-
формулу B6.26), а также соотношение Е = m0c2/ \г\ — р2, находим
выражение для скорости движения электрона (и = с|3):
2 (R) R" + 2е0Н (R) |У 1 - q сЬ (s + 1) + \/J сЬ {k + ~
B6.29)
Дифференцируя выражение B6.26) по адиабатическим инва-
инвариантам Ы, bs и bk, находим соответствующие значения для
круговой частоты вращения щ и частот радиальных cos и верти-
вертикальных Юй колебаний. Учитывая зависимость R от /, с по-
помощью формулы
OR с
Ьд1 e0H(R)R(\-q)
получаем
__ дЕ OR _
Ю; ~ OR Ьд1~
ce0H(R) {. сЬ
1 —
R*e0H (R)(\ - q)
-q) lV ч\ ^ 2
ce0H (R) . R
дЕ
= cooyi— q, B6.31)
dE =ao}/q. B6.32)
Для того чтобы определить вторую производную, мы должны
продифференцировать B6.30) по адиабатическому инварианту.
Тогда, отбрасывая малые члены, пропорциональные s и k, по-
получаем
б) Общие формулы для матричных элементов и вероятности
перехода при синхротронном излучении. Рассмотрим квантовые
переходы между состояниями электрона, заданными решениями
релятивистского скалярного уравнения. Эти решения, как было
350 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
показано в предыдущем параграфе, имеют вид
. B6.34)
Здесь р = г — R(l), а функция vs(p), uh(z) и энергия Е = Elsh
заданы формулами B6.23), B6.24) и B6.26). Вследствие излу-
излучения фотона электрон переходит из одного квантового состоя-
состояния n(l,s,k) в другое n'(l', s', k'), при этом энергия изменяется
на величину
t^lsk Lll's'k' ^^ /2@/2/2'
где v = I — /'. Учитывая формулы B6.30) — B6.33), находим ча-
частоту перехода
= co;v + cos(s - s') + щ(к- k') + -0^- (-j-2- + рг). B6.36)
Вероятность квантового перехода для скалярного случая
определяется формулой, аналогичной формуле для дираков-
ских состояний (см. A8.21)), с тем различием, что матричные
элементы берутся не от матриц Дирака а, а от оператора
тос
е2 Г d\
-Фп'пб(хпП'— х).
Здесь
тпс
Рх |2 + | Ру cos 0 — Рг sin 0 р], B6.38)
а матричный элемент равен
h=i JdH ^.'*- е~Ыг р 4w B6-39)
Частота испускаемого фотона со = кс, а волновой вектор фотона у,
лежит в плоскости zy.
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА 351
Для вычисления матричных элементов B6.39) учтем дей-
действие операторов импульса на волновую функцию:
1 -ql R
1 uk, B6.40)
Эти выражения справедливы с точностью до малых порядка
р//? и z//? включительно. Членами порядка p2/R2 и Z2IR2,,
а также 1// мы пренебрегаем.
Интегрирование в B6.39) по 2 и г в цилиндрической си-
системе координат (d2x — г dr dq> dz) сводится к интегралам двух
типов:
uk'k=
— оо
-y=}dx, B6.41)
Xexp | - x>- +1 (^ + tff) + x(i?, + 7?;) - / "^."Ф j rfx. B6.42)
В этих формулах p = r — R(l), p' = r — ^(П> A,(/) «« A, (/')> ^i =
Воспользуемся известным интегралом от произведения по-
полиномов Эрмита (т^п, ху = х + у, хг = х-\-г)
+ ОО
— оо
в котором Ctmm — обобщенный полином Лагерра (см. A7.105)).
352 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В результате интегралы B6.41) и B6.42) выразятся через функ-
функции Лагерра hw и ISS':
i .cose \k~k'T ,,..
, r ; i B6-44)
= (-l)s-s exp J /(s-s')a-Tx2(/?+/?') sin<p }/)
Здесь a = arctg[x2sincpA(/?— /?')], а аргументы функций Ла-
Лагерра равны
f = x23/2Xl, g = K(R — R'f/2 cos2 a. B6.45)
Принимая во внимание формулы B6.44) для интегралов
по z и г, приведем матричные элементы к виду
Рх\ (-О5'5' / , cos6 \k'k' f ,ncbyB-q)R1-<'
)~ [ iei j lkk'[J) x
2л
X fifcpexpfi'vqp —/gsin(p + m(s —s')} X
:cosa/costl4|, B6.46)
1 sin г ' '
moc 2n
2jt
X j dq> exp {/vcp — /g sin Ф + m (s - s')} Us- (g), B6.47)
о
причем в квантовом случае
Интегрирование по ср точно выполнить не удается. Однако в рас-
рассматриваемых частных случаях интегралы по ср берутся с доста-
достаточным для нас приближением.
в) Влияние синхротронного излучения на потери энергии и на
бетатронные колебания. Изменение некоторой физической ве-
величины Fn, связанной с переходом n{l,s,k)-*n'(l',s',k'), можно
описать формулой
(^) = y±{Fn'—Fn)wnn,, B6.48)
п'
в которой fflnn' — вероятность соответствующего перехода. С по-
помощью этой формулы получим прежде всего выражение для
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ 353
мощности излучения в классическом приближении. Рассмотрим
простейший случай, когда отсутствуют радиальные и аксиальные
колебания. Тогда, пренебрегая в матричных элементах B6.46),
B6.47) квантовыми членами порядка Ь и выражая интегралы
по ф через функции Бесселя и их производные /v и J'v, получим
вероятность перехода
Wnn'=-
,{g), B6.49)
где £ = xi? sin 9.
Полагая Fn = E и учитывая формулы B6.36) и B6.31) для
частоты перехода, найдем
Подставляя теперь B6.49) и B6.50) в соотношение B6.48), ин-
интегрируем вероятность по к с помощью дельта-функции. Сум-
Суммирование по k' и s' проводится точно, поскольку (см. B0.45))
'ss' \S) = .Zj JAfe' (./) = !• (ZD.Ol)
s' ft'
Таким образом, для мощности синхротронного излучения,
т. е. средней потери энергии, получим следующее выражение
в классическом приближении:
dQ sin 0 [ р2/;2 (|) + ctg2 0/2 (!)], B6.52)
v 0
где
g = vpsiqe. B6.53)
Поскольку мы с самого начала предположили отсутствие бета-
тронных колебаний, то эта формула в точности совпала с из-
известным классическим выражением для излучения в однородном
магнитном поле A0.28).
Интегрируя в B6.52) по 0 и суммируя по гармоникам v, так
же как и в § 10, мы легко получаем полную мощность излу-
излучения, а также ее приближенное значение в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском случае:
сеУ 2 ce
B6,54)
354 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
Найдем теперь влияние синхротронного излучения на бета-
тронные колебания. Для этого мы должны прежде всего вы-
вычислить изменение квантовых чисел k и s вследствие синхро-
синхротронного излучения.
При вычислении {dk/dt) следует положить
Fa> — Fn = k' — k, хпп, = ^- + (к-к')Ц^; B6.55)
при этом вероятность перехода с учетом членов порядка {k — kf)
в матричных элементах B6.46) и B6.47) представим в виде
Л оо
я Я
wnn> = -J- J dQ sin 0 j dx x 6 (x - xnn') [p2/'v2 (I) + P v c2°s /2 (I) -
0 0
- 2p -^- (Jfe — k') ]% (I)] /|ft, (f) /2s, (g). B6.56)
Функцию Бесселя и ее производную в этой формуле мы запишем
с помощью известного (см. A0.102), A0.104)) асимптотического
представления g—>v — 0, имеющего место в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском приближении.
Для дельта-функции, в аргумент которой согласно B6.55)
входит разность k'—k, нам достаточно ограничиться следую-
следующим разложением:
х) + ... B6.57)
Тогда сумма по k' для каждого слагаемого разложения B6.57)
может быть взята с помощью следующей формулы суммирова-
суммирования функций Лагерра:
£ in»!)]
B6.58)
@ () (^[пп (sin
п'—0
, = 0, 1, 2, ...), из которой, в частности, следует
оо
\^ In1 п\ /2 , { y\ — v ЮР, KQ\
^_J I / i ii) 1 tin V/ J (^и.ОУ I
V с„' nY I', (x) = r2 4- (In 4- lh /9fi (\O\
n'=0 V
И т< Д-
СЙНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИЙ 35S
Ограничиваясь первыми двумя членами разложения дельта^
функции B6.57), мы получим {dk/dt) в виде суммы двух сла-
слагаемых:
Первое слагаемое не зависит от k и получается при сумми-
суммировании линейных по (k' — k) членов с помощью формулы
B6.59):
\dt/i Rfq [ U
(J)l B6.62)
Здесь введена величина е= 1 — p2sin20, которая в ультрареля-
ультрарелятивистском случае много меньше единицы (е «=* е0 + cos2 0 <С 1,
Ео = 1 — Р2 <С 1); суммирование по гармоникам v заменено ин-
интегрированием, поскольку максимум синхротронного излучения
приходится на область больших v» 1.
Второе слагаемое пропорционально k и получается за счет
квадратичных по (k' — k) членов с помощью формулы B6.60):
lfQ sin e cos2 el -k
о о
+ 8 cos2 0/C?/t (I es/2)] - 2e/C?,t (y e3/=) J. B6.63)
Здесь мы учли следующее операторное соотношение, которое
легко проверяется путем интегрирования по частям по перемен-
переменной к:
Проведем необходимое интегрирование в равенствах B6.62)
и B6.63) с помощью общих формул
о
2р~3
I 2
р = 1, 2, 3, ...
п
sine cos" 6 _ Г(р-а-'А)Г(д+'/2)
f d& si
J (i-
356 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В результате для суммарного изменения квантового числа по-
получаем *)
13
( E \4 k
Ы ~ 7 rкл'
где №"(л определяется формулой B6.54).
Точно так же при вычислении изменения радиального кван-
квантового числа s мы должны положить
B6.67)
В этом случае необходимо учитывать уже четыре члена в раз-
разложении дельта-функции:
•[*+<-•о^
-s')}«»(f-X). B6.68)
Сумма по s' находится с помощью формулы B6.58) для функции
hs' (§■), после чего проводится интегрирование по ф в матричных
элементах B6.46), B6.47). Получающиеся при этом функции
Бесселя заменяем их асимптотическими выражениями A0.102),
A0.104) и в результате находим
dV <26-69>
Первое слагаемое, аналогичное B6.62), получается при сум-
суммировании линейных по (s — sf) членов и не зависит от s:
2 оо л
.ds. = се,
\/
Г Г dQ Г / v_ \
-?)/s J J L /5\3 /
B6.70)
*) Первый член правой части равенства B6.66), описывающий квантовые
возбуждения, был получен в работе [50]; второй же член, соответствующий
классическому затуханию, — в работе Гутброда [51] (см. также [5]). Обратим
внимание на то, что первый член в разложении B6.57) является квантовым и
лишь второй член дает классическое затухание.
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ 357
второе (сумма второго, третьего и четвертого членов разложения
B6.68)) дает слагаемое, пропорциональное s:
О,=- 4- w Jdv v JdQ sin
о
' з" IF (e /a^./AvJ + 2 ар" (8 /2/Ч*У ~
__|.cos2 0^.(bV./C1/i/C,/i)]. B6.71)
ОДССЬ А'/3 ^^ А'/з I ~о~ Б '21 .
Необходимо иметь в виду, что разложение дельта-функции
B6.68) является, по существу, разложением по малому пара-
параметру 1 — р2, при этом основные члены сокращаются, и поэтому
при разложении необходимо учитывать члены более высокого
порядка по 1 — р2. Интегрирование в равенствах B6.70) и B6.71)
проводится с помощью формул B6.65), после чего для первого
слагаемого получаем
» USi ОО
\dtli 48 /3" R2mc2
а для второго слагаемого
ids\ s eel Г/ 2 1 1
\dt/2 E R2 LV 3 1 -q 3/A
2 1 2\ 1
е2с / £ \6
5г . B6.72)
1 1 а 1 1
£Л2\3 1-7 3/A-Р2J— 1-9 Е п • \"»-">
Отсюда для полного изменения радиального квантового числа s
имеем (см. [51], а также [5]) *)
/ds\ 55 е\с ( Е \6 q s
(— ) = p=r ^ ^ : WK\ B6.74)
Xdt< 48)АЗ /?2гас2 A - qI- \ тс2 j \-q E '
Из формул B6.66) и B6.74) видно, что при учете синхро-
тронного излучения квадраты амплитуд бетатронных колебаний
с2 и Ь2 (см. формулы B6.25), B6.26)) будут изменяться по
закону [5]
— от
а^ 24 (/ 3 A — о) Rtrirfi' \ тпс I 1 — а Е
d62 13 elb ( Е \3 .„ 1ГКЛ
dt 24/3 qRm20c2 \m0c
lb I E \ 1Г
tt\ 5-1 ~b2 . B6.76)
2c2 \mc2 J E K
*) Так же как и для вертикальных колебаний, первый член в разложе-
разложении B6.68) является квантовым, а три последующих дают в сумме классиче-
классическое затухание.
358 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
Первые слагаемые в правых частях равенств B6.75) и
B6.76) характеризуют квантовое возбуждение бетатронных ко-
колебаний, связанное с флуктуационным характером излучения.
Они представляют собой типичные квантовые члены и обра-
обращаются в нуль при й-*0. Вторые слагаемые в этих равенствах,
не зависящие от й, описывают обычное классическое затухание
колебаний вследствие излучения. Они могут быть также полу-
получены классическими методами.
В предельном случае da2/dt = О мы находим максимальное
значение амплитуды колебаний а2:
2 _
55bR
абет 1б|Аз q(\-q)mac \mo
Аналогичным путем находим предельное значение
/26 77\
161/ 3 q moc
Наконец, определим еще первую квантовую поправку к мощ-
мощности синхротронного излучения. Ради простоты найдем ее при
отсутствии радиальных и вертикальных бетатронных колебаний
(s — k = 0). В этом случае согласно B6.36) мы должны поло-
положить
\-q
Основным членом в правой части этого равенства будет первый
член ~ v. Все остальные дадут поправки порядка 1 — р2, и в на-
нашем приближении могут быть отброшены. В самом деле, соглас-
согласно B6.59) мы можем написать
B6.80)
с v2cb cos2Э
Учитывая B6.80), мы видим, что основной член в последнем сла-
слагаемом в B6.79) сокращается со вторым слагаемым ~ s', a
остальные члены имеют порядок 1 — р2 по отношению к первому.
Таким образом,
B6.81)
ФОКУСИРУЮЩЕЕ ПОЛЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 359
Подставляя это равенство в формулу B6.48) и используя ма-
матричные элементы B6.46) и B6.47), для мощности излучения
с учетом первой квантовой поправки имеем следующее выра-
выражение:
х [e'Ki (те3/2) +е cos2 е Ц. De3/"-)] •
где v' = v(l + five/RE). Отсюда с помощью интегралов B6.65)
получаем
W=-№) = wll -Mi* (-ЛJ). B6.83)
\ dt / \ - 16 macR \ т0с2} I x '
Классическая мощность излучения №кл была уже вычислена
нами ранее (см. B6.53)). Второе слагаемое в равенстве B6.83)
представляет собой искомую квантовую поправку, которая также
совпадает с соответствующим значением для случая постоянного
и однородного магнитного поля (см. B1.53)).
Аналогичным способом мы можем найти также квантовые
поправки к синхротронным колебаниям [52]. Однако этот воп-
вопрос мы разберем более простым квазиклассическим методом
(см. §27).
г) Движение электронов в аксиально-симметричном фокуси-
фокусирующем поле по теории Дирака. Задача о движении реляти-
релятивистского электрона в неоднородном аксиально-симметричном
магнитном поле фокусирующего типа допускает решения не
только по уравнению Клейна — Гордона (см. B6.9)), но также и
по теории Дирака [53]. Для определения собственных функций
задачи'мы рассмотрим лишь члены, соответствующие гармони-
гармоническим колебаниям (см. также B6.19) и B6.20)), когда в эффек-
эффективной потенциальной энергии учитываются члены, пропорцио-
пропорциональные квадрату отклонения от равновесной орбиты. Членами,
начиная с кубического, описывающими, в частности, связь между
радиальными и вертикальными колебаниями, будем пренебре-
пренебрегать.
Магнитное поле вблизи равновесной орбиты (z = 0), так же
как и в случае теории Клейна — Гордона, имеет вид B6.2)
@<^<1, мягкая фокусировка), а соответствующее значение
для вектора потенциала определяется равенством B6.4).
Решение уравнения Дирака
^, Р = р + -^Л, B6.84)
360 § 26. ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ.
можно искать в виде
-■ ■ ■ - л
-*т< N
ут
*Чз
B6.85)
где I = 0, ±1, ±2, ... —• азимутальное квантовое число, Е = ЬсК—
полная энергия электрона, а N — нормировочный коэффициент.
Система четырех уравнений для компонент волновой функции
фи (ц= 1,2,3,4):
д
д1 ' ' B6.86)
' (К -+" k0) 1|J, 4 + «Rl^3, 1 ' ~^J ^4. 2 = 0,
где
Rl.2="
k0 = moclfr, y — еФ1{% — q) ch>
допускает лишь решение в приближении гармонических колеба-
колебаний (независимые бётатронные вертикальные и радиальные
колебания).
С этой целью разложим операторы Ri,2 по малым величинам
отклонения от равновесной орбиты
r-R
R
z
радиус которой R, так же как и в случае уравнения Клейна —
Гордона, определяется из требования обращения в нуль линей-
линейных по р членов при / ~3> 1:
т.е. (см. также B6.17)).
Квадрируя B6.86), получим уравнения второго порядка, в
которых переменные риг разделяются, если ограничиться чле-
членами порядка 1~31\ Положим
i, 2 = vs (У К р ± |) [Ф, {УХ1 г) ± Ф-
± у) [Ф3 {УКг) ±Ф4
г)],
B6.88)
где vs — ортонормированные функции Эрмита (см. B6.23)), а
постоянные Я и Ai определяются равенствами B6.18) и B6.21).
ФОКУСИРУЮЩЕЕ ПОЛЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 361
Тогда волновая функция принимает вид
4
X
B6.89)
Здесь vs и «а — функции Эрмита; s = 0, 1, 2, ... и А = 0, 1,2, ... —
радиальное и вертикальное квантовые числа; посгоянные а и Ь\
соответственно равны
а= VI—,
B6.90)
2-9
числа С2 и С3 характеризуют спиновые состояния электрона и
удовлетворяют условию
Для спектра энергии получаем выражение
2 + e0H(R) VT^q ch Bs + 1) +
e0H (R) V~q ch Bk + 1) + (chkoff - Et + £г'5ь B6.91)
Здесь £i соответствует энергии вращения электрона на равно-
равновесной орбите:
Eisk = h№o[Vl — q{s + V2) + VI (k + V2)] B6.92)
12 А. А. Соколов, И. М. Тернов
362 § 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
— энергии бетатронных колебаний. В случае однородного маг-
магнитного поля (q = 0) спектр энергии совпадает с найденным
выше (см. A9.60)) значением
где п = / + s — главное квантовое число.
Заметим, что в случае неоднородного магнитного поля с
аксиальной симметрией оператор поляризации (тензор поля-
поляризации)
не является интегралом движения. Поэтому проекцию спина на
заданное направление можно характеризовать лишь средним
значением, которое при вычислении с помощью волновой функ-
функции B6.89) равно _
(|^) B6.94)
При движении электрона в плоскости орбиты вращения элек-
электрона коэффициенты С2 и С3 допускают простую интерпретацию:
при C2 = C3=l/i/2 спин электрона направлен вдоль оси сим-
симметрии поля; при С2 = — C3=l/]/2 направление спина проти-
противоположно полю. В случае аксиальной фокусировки (q ф 0)
проекция спина на направление поля несколько изменяется, од-
однако это изменение остается малым, пока амплитуда z колеба-
колебаний достаточно мала:
Поэтому учет неоднородности поля не может изменить порядка
эффекта самополяризации, вычисленного для случая однород-
однородного поля (см. B1.43)).
§ 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
а) Замечания о различных методах расчета синхротронного
излучения. При малых энергиях (Е < 100 Мэв) синхротронное
излучение описывается классической электродинамикой и приво-
приводит лишь к небольшим потерям энергии электрона. Однако при
возрастании энергии электронов до значений выше нескольких
сотен Мэв это излучение становится столь существенным, что
Приходится компенсировать эти потери с помощью автофази-
ровки Векслера — Мак-Миллана. Начиная с энергий Е ~ 0,5 Гэв
и выше, без учета квантовых эффектов становится невозможной
постройка современных электронных синхротронов и в особен-
особенности накопительных колец электронов.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ УЧЕТ КВАНТОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ 363
Ниже мы кратко хотим охарактеризовать основные суще-
существующие методы расчета.
б) Решение с помощью релятивистских квантовых уравне-
уравнений*). Решая задачу с помощью уравнения Клейна — Гордона
или Дирака, необходимо найти собственные значения для энер-
энергии и волновые функции электрона во внешнем макроскопиче-
макроскопическом магнитном поле. Полученные таким образом решения дают
возможность вычислить частоты и интенсивности излучения. Этот
метод может быть использован в любой области энергий элек-
электронов, начиная с нерелятивистской и кончая ультраквантовой.
В области Е < Е'/ц = т0с2 (-^—I = излучение является класси-
классическим, и квантовыми эффектами можно вообще пренебречь.
При £,/5 < Е -С £\/2 — m0c2\-^Y~) 2 (квазиквантовая область)
излучение происходит в основном по классическим законам. Од-
Однако квантовый характер излучения приводит к возникновению
флуктуационного уширения орбиты электронов, а также (в нако-
накопителях) к самополяризации спина электронов. В ультракванто-
ультраквантовой области Е ~ Еиг не только существенно изменяется форма
спектра излучения, но и становится существенным однофотонное
рождение электронно-позитронных пар и даже возникновение
ливней.
Метод решения с помощью релятивистских квантовых урав-
уравнений изложен в четвертой части настоящей монографии (см.
§§ 20—21). Он может быть использован как для однородного
магнитного поля, так и для неоднородного поля для ускорителей
с мягкой фокусировкой.
в) Квазиклассический учет квантовых флуктуации. Этот ме-
метод основан на том, что в классическое уравнение движения
электрона с радиационным затуханием вводятся флуктуацион-
ные силы **), учитывающие дискретный характер излучения фо-
фотонов. В основу берутся классические уравнения Дирака — Ло-
Лоренца для точечного электрона (см. § 11)
B7.1)
где точкой обозначена производная по собственному времени,
Е и Н — соответственно внешнее электрическое и магнитное
*) См. работы Соколова, Тернова и др. [3—5, 13].
**) См. работы Сэндса [54], Коломенского, Лебедева, а также Робин-
Робинзона [49, 55].
12*
364 § 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
поля, a w4 = х2 + У2 + z2 — сЧ2 — квадрат четырехмерного уско-
ускорения.
Рассмотрим слабофокусирующее магнитное поле, которое
в цилиндрических координатах г и ф в плоскости ху, т. е. при
z->0, имеет вид (см. B6.5))
Hr = -zqb/r«+\ Яф = 0, Hz = b/r", B7.2)
где г2 = х2 + у2, a q — показатель спадания поля, который в слу-
случае слабой фокусировки лежит в пределах 0 < q < 1. Электри-
Электрическое ускоряющее поле в простейшем случае можно выбрать
в виде одной бегущей волны [5]
^т(ф-<ооО, £2 = °- B7.3)
Внешнее магнитное поле B7.2) стремится удержать элек-
электроны в плоскости 2 = 0 около равновесной круговой орбиты, а
электрическое поле B7.3) направлено по касательной к круговой
траектории и не создает дополнительного магнитного поля, по-
поскольку rot Е = 0. В ультрарелятивистском случае Е ^> тоС2
в уравнениях B7.1) можно пренебречь членами ~г и i [5] и,
кроме того, положить
ш\~{Е1тйс2уш2, B7.4)
где w2 — квадрат трехмерного ускорения электрона. Тогда, учи-
учитывая, что величина
равняется классической интенсивности излучения в магнитном
поле, уравнения B7.1) могут быть записаны в цилиндрических
координатах следующим образом:
с2 с
Ъ _ г' <27-5>
В последних уравнениях от производных по собственному вре-
времени мы перешли к производным по времени t, которые обозна-
обозначены штрихом.
Введем теперь малые отклонения
p = r—R0, г|> = ф — aQt — ф0, z, е = Е — Е0 B7.6)
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ УЧЕТ КВАНТОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ 365
от равновесных постоянных значений
а угол фо подбирается из условия, чтобы в уравнениях для коле-
колебаний отсутствовал постоянный член (см. ниже).
Ограничиваясь в дальнейшем линейными членами относи-
относительно малых отклонений, мы из условия
гсо = Яощ = с
получаем
ф' = _ср/Яа. B7.7)
Учитывая соотношения B7.6) и B7.7), имеем
B7.8)
'\0
Отсюда в линейном приближении находим:
для квадрата трехмерного ускорения
-Р._2Л\ B7.9)
Ro с )
для энергии излучения
r = W70(l+ -^--2-|--2-^-), B7.10)
где постоянная
B7.11)
представляет собою излучение электрона, находящегося на рав-
равновесной орбите.
Заметим, что одно из релятивистских уравнений Дирака —
Лоренца B7.5) является следствием трех остальных (см.
A1.21)). Поэтому первое из этих уравнений мы можем отбро-
отбросить.
Подставляя в B7.5) вместо ф — соо^ его значение из B7.6),
получаем
-»7s. B7.12)
366 § 27 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подберем точку равновесной фазы ф0 из условия, что правая
часть равенства B7.12) (т.е. постоянный член) обращается
в нуль. Тогда для определения фо имеем:
sinqTo=^o» B7.13)
а из B7.5) найдем следующие уравнения для определения коле-
колебаний:
р" + (оо2A - q)p + -^ sin Фор'- сщ^- = 0, B7.14)
e,_JVOoCOS^ Г28+_£_A_2I Q 5)
2л т UL Eo R J
г" + ^г + -^ г' = 0. B7.16)
Решение системы уравнений B7.14) —B7.15) с учетом B7.7) мо-
может быть записано в виде
Р = Рбет + Рейн, B7.17)
-г -
' 2 cos(@1; + 61), B7.18)
-r2i
Рейн = а2е 2 cos (a>2t + б2), B7.19)
где собственные частоты колебаний wi и «г и декременты зату-
затухания Г[ и Г2 при условии, что ускоряющее поле — слабое:
F°cos Ф° < I C27 20)
£■„A-9) ^ ь ^/./uj
равны *)
СО1=СО0 1/1—^, ®2 = <»o[
Г — q Wa V 3~
где Уо —ускоряющее сравнительно слабое поле.
Таким образом, при условии B7.20) уравнения B7.14) и
B7.15), описывающие радиальные бетатронные и синхротронные
*) Коэффициент затухания для радиальных бетатронных колебаний сле-
следует также из формулы B6.75), полученной нами из релятивистского кванто-
квантового уравнения для мягкой фокусировки @ < q < 1). Квазиклассический ме-
метод позволяет обобщить эту формулу и на случай жесткой фокусировки
(\q\ » 1, причем величина q принимает попеременно то положительные, то
отрицательные значения). В случае жесткой фокусировки коэффициент Fi
становится отрицательной величиной, т. е. мы имеем не затухание, а экспо-
экспоненциальное по времени возбуждение колебаний, даже ограничиваясь клас-
классической теорией («антидемпинг»-эффект). Мы не будем более подробно оста-
останавливаться на этом вопросе; заметим лишь, что способы борьбы с «анти-
демпинг»-эффектом рассмотрены в специальной литературе (см. [49]).
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ УЧЕТ КВАНТОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ 367
колебания, разделяются, и р может быть представлено в виде
суммы быстрых бетатронных рвет и медленных синхротронных
колебаний рсин с соответствующими частотами (Oi и ш2 и декре-
декрементами затухания Г< и Г2.
Решение для вертикальных колебаний может быть найдено
из B7.16):
г = beT^cos{V^a^-{■&), B7.22)
где декремент затухания
Г = W0/Eo. B7.23)
Значения энергии е и фазы г|з могут быть легко получены из
уравнений B7.15) и B7.7).
Как видно, классические уравнения Дирака — Лоренца B7.5)
описывают лишь радиационные затухания, которые в отсутствие
квантовых эффектов привели бы к сжатию электронного пучка
в точку и к прекращению работы ускорителя. Однако учет кван-
квантовых эффектов приводит к флуктуационной раскачке.
Таким образом, электронные синхротроны (в особенности
накопители) работают по принципу того, что классическое зату-
затухание Коломенского — Лебедева — Робинзона приходит в состоя-
состояние равновесия с квантовым возбуждением Соколова — Тернова
(см. ниже). В самом деле, на основании формулы для вероят-
вероятности излучения B0.62) легко найти, что за один оборот элек-
электроном будет излучаться единичное число фотонов:
С учетом формулы D.8) внезапное изменение положения
мгновенной равновесной орбиты ARi при испускании кванта в
момент времени ti описывается с помощью дельтообразной силы
вида
Fr ^m^Ri — bit-U), B7.25)
i
где т = Е/с2 — масса движущегося электрона. Точно так же
излучение кванта изменяет проекцию импульса на ось г на вели-
величину ApZj, что эквивалентно введению мгновенной силы
Fz = 2ibPztb(t-ti). B7.26)
Принимая во внимание вышесказанное, мы можем учесть
Ёлияние флуктуационного характера излучения на радиально-
368 § 2?. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
фазовые колебания путем введения в правую часть уравнения
B7.15) флуктуационного члена
2to,6(i-^)~W0, B7.27)
t
где ©г — частота испущенного фотона. Чтобы проинтегрировать
полученную таким образом неоднородную систему B7.14)—
B7.15), запишем дельта-функцию в виде интеграла Фурье:
*(<-'i)~5rJ'<toe"l('"''). B7.28)
Тогда для вынужденной части решения ркв мы находим
4т d« = . B7.29)
dt J (со2 - со*) (со2 - 4) + ш -ff (- Зсо2 + со2, C - 4,))
Беря интеграл по со с помощью теории вычетов, получаем
cos :a {t'
B7.30)
Амплитуда колебаний а=|/2(р2) определяется с помощью
усреднения, которое производится по формуле
= lim Ург=! dyw(y)[dfv>(f), B7.31)
где Mi=^ti+1 — t{, а до(«/) — вероятность излучения (см. фор-
формулу B1.36) при | = 0).
Учитывая B7.31), а также тот факт, что фотоны излучаются
статистически независимо, т. е. для среднего значения мы имеем
1
COS @,, 2 (t — *j) COS C0,f 2 (* — //) = j дц,
и вычисляя интеграл по у, находим:
B7.32)
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ УЧЕТ КВАНТОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ 369
где
55 е2пЬ r..,(E0(t')\B (
dt (-t-H exP ~
24/3 Ramlc A — q) J \ moc:
flL.@ = '
eg „at ,• / и r *' > \5
+ 24/3- RQmy (I-,J J * l-V-j 6XP (~f>
Здесь мы учли медленное адиабатическое изменение энергии
Ео = E0(t) в ускорителе и сделали замену Tt~> Г (Г) Л'.
о
При больших значениях времени t 3> 1/Fi и / S> 1/Г2 для ам-
амплитуды радиальных колебаний а получаем следующее предель-
предельное значение *):
"бет I 55
Таким образом, с учетом флуктуационного характера излучения
амплитуда а стремится не к нулю (как следовало из классиче-
классической теории), а к конечному пределу B7.33), что находится в со-
согласии с экспериментальными данными, полученными Короле-
Королевым, Куликовым и др. на синхротроне ФИАН (рис. 17), а также
Воробьевым и др. на Томском синхротроне «Сириус» [56], [57].
Оценим также влияние квантовых флуктуации на синхро-
тронные фазовые колебания. С учетом формулы B7.7) из B7.30)
легко получить _
\2 . , , 55 У~3 Ьс тос2 ,
*) Подставляя в B7.33) вместо коэффициента затухания значения
B7.21), мы с помощью метода Коломенского — Лебедева — Робинзона [49]
найдем предельное значение для амплитуды бетатронных колебаний, совпа-
совпадающее со значением, полученным с помощью релятивистской квантовой тео-
теории (см. B6.77)).
370
27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При сравнительно больших ф0 эта флуктуационная величина
может достигать значений, выходящих из области устойчивых
колебаний, охватываемой так называемой сепаратриссой [58, 59],
и электроны будут выбывать из стационарного режима ускорения.
Подобное явление было экспериментально наблюдено Сэндсом
[11], который обнаружил на синхротроне Калифорнийского Тех-
Технологического института, что квантовые флуктуации фазы выво-
выводят электроны из стационарного режима и поиводят, если не
12
гоо
300
400
500
600
700
Е0,МзВ
Риг. 17. Экспериментальное обнаружение квантового возбуждения радиальных
бетатронных и синхронных колебаний.
принять соответствующих мер, к прекращению работы синхро-
синхротрона *).
Заметим, что развитый выше метод может быть использован
лишь в квазиклассическом случае, и с его помощью нельзя рас-
рассматривать самополяризацию электронов. Однако его преимуще-
преимуществом является относительная простота и возможность примене-
применения как к слабофокусирующему, так и к жесткофокусирующему
полю (|g|S> 1, «антидемпинг»-эффект).
г) Операторный метод **). В основе метода лежит использо-
использование зависящих от времени (гейзенберговских) операторов г(^)
и v(/) электрона в магнитном поле. При этом квантовые эф-
*) Предельное значение для амплитуды вертикальных колебаний может
быть найдено из уравнения B7.6) путем введения в правую часть дополни-
дополнительной флуктуационной силы B7.26), что приводит к результату B6.76).
В формуле B7.26) мы должны положить Apz; = Йи cos9;/c. Заметим, что
эксперимент дает значительно большее значение для амплитуды вертикальных
колебаний, чем это следует из данного вывода. Этот факт остается еще не-
объясненным. Возможно, что это связано с перекачкой радиальных колебаний
в вертикальные.
**) См. Швингер [17], Байер и Катков [60].
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД §71
фекты, связанные с некоммутативностью динамических перемен-
переменных электрона между собой, малы и имеют порядок
йи0 _ Н
где ao = c/R, R — радиус квазиклассической орбиты электрона,
2 3
а его энергия Е ~^> т0с2 и магнитное поле Я<йо=—1Г =
= 4,41 • 1013 гс. Поэтому некоммутативностью операторов элек-
электрона между собой можно пренебречь, учитывая лишь их ком-
коммутаторы с операторами электромагнитного поля излучения.
Матричный элемент перехода электрона при излучении фо-
фотона в первом порядке теории возмущений
J
B7.35)
Q = —4^ (аа+) е~Ыг —i=-
/2Н /2Н
записывается с помощью квазиклассических волновых функций
частицы во внешнем поле, когда волновые функции г|зо и г|зь, за-
заданы в операторной форме:
здесь фь (г) и фа(>")—квазиклассические скалярные волновые
функции начального b и конечного а состояний электрона, а спи-
спиноры v, и v.,, которые описывают их спиновые свойства, имеют
вид
vc(P№)= @P) ... , B7.36)
где составляющие четырехмерного оператора импульса
Принимая во внимание, что x4 — i'ct, Л4 = г'Ф = 0, найдем:
Величина ш^ = ( Ш£1 I представляет собой двухкомпонентный спи-
спинор, описывающий спиновые свойства электрона, а и а+ — ампли-
372 § 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
туды излучаемых фотонов, с помощью которых можно, в частно-
частности, учесть и их поляризацию. Заметим, что явный вид функций
ф(г) в дальнейшем не используется. Переходя в B7.35) к гейзен-
гейзенберговскому представлению для операторов частицы г(^) и ско-
скорости v(/) и производя суммирование по конечным состояниям
с учетом полноты системы волновых функций cpa, находим веро-
вероятность излучения:
* С)
B7-37)
где tl = t + т/2, t2=t — т/2. В формуле B7.37) оператор
^(^))MM1I B7,38)
зависит от времени t, Р' — Р (t) — Ш (где х4 = i'%\,
Н' (t) = Р'4ф- = Н (t) — сПк, P'(t) = P(t) — Ax.
Оператор Гейзенберга Pu(t) зависит от времени t. Вычисле-
Вычисление B7.37) сводится к коммутированию операторов г(^) и г(/г)
и последующему усреднению по квазиклассическим состояниям
фь, приводящему к замене операторов г(/) и v(/) соответствую-
соответствующими классическими величинами. Окончательно получается сле-
следующая формула для вероятности:
б0 &d@ jo
he 4я2
— оо
»0, B7.39)
где £' = £ — /ко, х° = х/х, © = сх.
С помощью B7.37) — B7.39) легко получить вероятность син-
хротронного излучения, выраженную через функции /0/» и ^/з> а
также самополяризацию спина электронов B1.36).
Изменение динамической величины F(Pil) частицы под влия-
влиянием излучения описывается уравнением
^@) - F(P,@I + Dг),. B7.40)
где (dFjdt)i не зависит от излучения, а вероятность dw опреде-
определяется формулой B7.39). Заметим, что в B7.40) P^t), Р^@ =
= Р @ — их — классические значения импульса частицы (не
оператора), связанные с оператором Рц@ соотношением P()
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД 373
Используя B7.39) и B7.40), можно получить как классиче-
классическое затухание, так и квантовую раскачку бетатронных и син-
хротронных колебаний частицы в неоднородном фокусирующем
поле ускорителей (см. B7.32)).
Итак, при исследовании синхротронного излучения в настоя-
настоящее время применяются три теоретических метода. Первый из
них [3—5] основан на решениях уравнения Дирака и позволяет
описать движения электрона в постоянном и однородном маг-
магнитном поле. Его применение дает возможность получить точ-
точные формулы и лишь при конкретном их анализе сделать те
или иные приближения, порядок которых легко оценить мате-
математически.
Этот метод позволяет провести исследования во всем интер-
интервале изменения энергии, начиная с нерелятивистского и кончая
ультраквантовым случаем. С его помощью удалось получить не
только классические релятивистские формулы, но учесть также и
квантовые эффекты, которые начинают проявляться в так назы-
называемой квазиквантовой области (при Н ~ Ю4 гс) с энергиями
порядка 500 Мэв (£у.<1£ <С Еу2). Точно так же впервые было
предсказано квантовое возбуждение бетатронных колебаний и
явление самополяризации и было впервые исследовано влияние
квантовых эффектов на интенсивность излучения, которые начи-
начинают проявляться в так называемой ультраквантовой области
Е ~ 103 Гэв (Е ^ £\/2). На основе этого метода удалось получить
не только квантовое возбуждение (основной член), но и в неод-
неоднородном поле—классическое затухание бетатронных колеба-
колебаний, которое, как ни странно, описывается последующими чле-
членами разложения.
С помощью теории Дирака пока что не удалось исследовать
так называемую жесткую фокусировку и учесть различные тех-
технические детали в синхротроне, которые вносят некоторые по-
поправки к полученным результатам. Все основные явления, впер-
впервые предсказанные с помощью квантового метода, затем были
обнаружены экспериментально.
Возможно, что только с помощью релятивистской квантовой
теории удастся исследовать движение электрона в сверхсильных
магнитных полях Н ^ Яо, существование которых по всем .
данным должно наблюдаться в пульсарах, или нейтронных
звездах.
Второй метод учета квантовых эффектов, развитый в работах
[49, 54], в математическом отношении значительно проще первого
и позволяет довольно элементарно учесть многие технические де-
детали, влияющие на квантовые эффекты, например, неоднород-
неоднородность поля и классический эффект затухания, который в случае
мягкой фокусировки приводит к «демпинг»-эффекту, а в случае
жесткой фокусировки — к «антидемпинг»-эффекту.
374 § 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Однако введение квантовых флуктуационных сил в классиче-
классическую теорию носит полуэмпирический характер. Поэтому выводы
этой теории могут быть проверены .лишь на основе предельного
перехода к задачам, допускающим точные решения по квантовой
теории Дирака. Наконец, третий метод исследования, который
можно назвать операторным, был развит в работах [60]. Он по-
позволяет учесть не только квантовые флуктуационные силы, как
в [49], но и исследовать также явление самополяризации. В опе-
операторном методе приходится вводить приближения с самого на-
начала и исследовать в процессе всего вычисления порядок отбро-
отброшенных членов. Многие результаты, полученные в квазикванто-
квазиквантовой области с помощью точных решений уравнения Дирака, в
том числе явление самополяризации, могут быть получены также
с помощью весьма перспективного операторного метода, позво-
позволяющего сравнительно просто учитывать многие технические
детали.
Операторный метод, по-видимому, пригоден только для боль-
больших квантовых чисел (точнее, при Е > тос2) при сравнительно
слабых магнитных полях Н <С #о, в противоположность точному
методу, основанному на квантовом уравнении Дирака, позво-
позволяющему исследовать область как больших, так и малых кван-
квантовых чисел, т. е. случаи Е ^ т0с2 и любые Я, включая область
д) Основы экспериментального исследования синхротронного
излучения и новое в его практическом использовании. В весьма
краткой истории развития синхротронного излучения можно от-
отметить три этапа.
На первом этапе синхротронное излучение рассматривалось
как исключительно отрицательное явление, поскольку потери
энергий на излучение определили верхнюю границу энергии элек-
электронов в бетатроне*). После появления первой работы Иванен-
Иваненко и Померанчука A944 г.) [61] все запроектированные и строя-
строящиеся бетатроны в США с энергией в несколько сот Мэв и выше
были законсервированы. Поэтому была поставлена задача «борь-
«борьбы» с синхротронным излучением. Автофазировка, разработан-
разработанная Векслером в СССР и Мак-Милланом в США в 1954 г. [63],
дала возможность строить электронные циклические ускорите-
ускорители— синхротроны на более высокие энергии, поскольку она по-
позволяла компенсировать не только релятивистское увеличение
массы (как в бетатроне), но и потери энергии на излучение.
Второй этап связан с изучением физических свойств самого
синхротронного излучения с помощью обобщения классической и
квантовой электродинамики на ультрарелятивистский случай и
экспериментальной проверки этих свойств.
*) Теория бетатрона была разработана Видероэ, Терлецким, Керстом
(см. монографию Воробьева [62]).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ375
В 1948 г. Иваненко и Соколов [38] нашли формулу для спек-
спектрального распределения синхротронного излучения. Тот же ре-
результат годом позже A949) был опубликован и Швингером (см.
формулу A0.119)). Само синхротронное излучение впервые было
обнаружено Блюиттом по радиационному сокращению радиуса
орбиты, а в 1947 г. Сьютс и группа Поллака наблюдали синхро-
синхротронное излучение визуально. Спектр синхротронного излучения
исследовался Адо и Черенковым [64] на ускорителе ФИАН С-25
при энергии электронов 150—225 Мэв. Томбулиан и Гартман де-
детально изучили спектр синхротронного излучения в вакуумной
ультрафиолетовой области спектра (так называемый вакуумный
ультрафиолет) при максимальной энергии электронов в 320Мэв
[65] (русский перевод см. в [66]).
Систематическое экспериментальное исследование свойств
синхротронного излучения у нас в стране было начато учеными
Московского университета совместно с учеными Физического
Института АН СССР еще в 1954 г., сначала на синхротроне С-25
с энергией 250 Мэв, а несколько позже на синхротроне С-60
с энергией 680 Мэв.
Поляризационные свойства синхротронного излучения были
экспериментально исследованы Королевым и Куликовым с со-
сотрудниками на синхротроне ФИАН (см. § 10). В этих опытах
в согласии с теоретическими расчетами были обнаружены две
компоненты линейной поляризации излучения, а затем и круго-
круговая поляризация [13]. Согласно теории, начиная с энергии по-
порядка 500 Мэв квантовые флуктуации должны менять классиче-
классическую картину движения электрона в ускорителе [3]. Эксперимен-
Экспериментально квантовые флуктуации радиуса были обнаружены в опы-
опытах Королева и Куликова с сотрудниками [56] на синхротроне
ФИАН на 680 Мэв, а затем группой Воробьева на Томском уско-
ускорителе «Сириус»*). Помимо радиационного затухания, в этих
опытах было наглядно подтверждено существование квантового
возбуждения колебаний (см. выше рис. 17).
В 1963 г. был предсказан теоретически еще эффект самополя-
самополяризации электронов в магнитном поле за счет синхротронного
излучения [14]. Недавно этот эффект был обнаружен экспери-
экспериментально на накопителе в Орсе (Франция) [15, 16]. Кроме того,
как мы указывали выше, синхротронное излучение нашло при-
применение в астрофизике (астрофизики его называют магнито-тор-
мозным).
Наконец, наступил третий этап развития синхротронного
излучения, связанный с широким его использованием в
*) Томский ускоритель «Сириус» обладает наибольшей энергией A,2 Гэв)
из существующих электронных синхротронов с мягкой фокусировкой. Более
подробно он описан в статье Воробьева и др. [67].
376 § 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
экспериментах по физике твердого тела, химии, биологии и др.
В связи с этим встал вопрос о строительстве специальных источ-
источников синхротронного излучения, лучшими из которых наряду
с ондуляторами и электронными синхротронами оказываются
накопительные кольца*).
Особенно интересными являются последние работы по при-
применению синхротронного излучения для рентгеноструктурного
анализа в молекулярной биологии. При этом синхротрон исполь-
используется как мощный источник рентгеновских лучей. Интенсивность
излучения при К = 2 А после монохроматизации на два порядка
выше, чем у лучших рентгеновских источников. Заметим, что
максимум интенсивности излучения для ускорителя ДЭЗИ при-
приходится на 0,3 А.
Изучение фотохимического действия синхротронного излуче-
излучения позволяет перекрыть область энергии квантов, промежуточ-
промежуточную между обычной фотохимией и радиационной химией.
Этот практически единственный калибровочный источник (с
заданной поляризацией и кривой для интенсивности излучения)
в области вакуумного ультрафиолета и мягкого рентгена исполь-
используется так же, как светометрический стандарт.
При всем многообразии методов исследования спектроскопии
твердого тела наиболее плодотворным до настоящего времени
оказался метод с использованием синхротронного излучения.
Оптические исследования твердого тела до этого были суще-
существенно ограничены отсутствием подходящих источников -в обла-
области энергий, превышающих 10 эв (длина волны короче 1200 А).
Синхротронное излучение позволило надежно измерять оптиче-
оптические характеристики твердого тела в широкой области спектра
от ультрафиолета до рентгена. В диапазоне энергий от 5 до 50 эв
сосредоточена основная структура электронного спектра, харак-
характерная для твердого тела: межзонные переходы, экситоны, плаз-
моны. Важную информацию об электронной структуре кристал-
кристалла дают также и спектры электронных переходов из внутренних
оболочек, образующих кристалл атомов. Возбуждение этих пере-
переходов требует уже энергий до нескольких сотен электрон-
вольт.
Исследования спектров поглощения и отражения твердых тел
дополняются изучением рентгеновских эмиссионных спектров при
возбуждении синхротронным излучением. Важную информацию
дают также изучения энергетического и углового распределения,
фотоэлектронов, исследование спектров действия синхротронного
излучения в области больших энергий кванта, в частности, изме-
измерения спектров возбуждений люминесценции.
*) Более подробно применение синхротронного излучения описано в сб.
[66] (см. также [68—721).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ377
Исследования свойств самого синхротронного излучения про-
продолжаются и имеют большое значение для выяснения новых воз-
возможностей использования синхротронного излучения, а также
для проверки ряда выводов релятивистской электродинамики.
В настоящее время во многих странах, где имеются электрон-
электронные ускорители, ведутся спектроскопические и рентгеноструктур-
ные исследования с применением синхротронного излучения.
Большая группа экспериментаторов под руководством Хензела и
Скибовского *) работает на электронном ускорителе ДЭЗИ
(Гамбург, ФРГ), занимаясь главным образом спектроскопией
твердого тела. В последнее время здесь начаты работы по биоло-
биологии и молекулярной спектроскопии. Пуск накопителя ДОРИС
в комплексе этого научного центра, а также строительство но-
нового оптического канала на синхротроне позволяют существенно
расширить работы по биологии, молекулярной спектроскопии и
спектроскопии твердого тела.
В США эксперименты с использованием синхротронного из-
излучения были начаты в Национальном бюро стандартов. В на-
настоящее время группа Висконсинского университета ведет иссле-
исследования по спектроскопии твердого тела и газов на накопителе
с энергией 240 Мэв. На ускорителе в Кембридже (Массачузеттс,
США) также ведутся спектроскопические работы. В Японии
большая группа синхротронного излучения работает в Инсти-
Институте ядерных исследований Токийского университета. Помимо
действующего синхротрона здесь строится накопитель, который
будет использоваться как источник излучения. Два оптических
канала для спектроскопических исследований созданы в Дарз-
бери (Англия) на ускорителе НИНА на 4 Гэв. Есть оптические
каналы на ускорителе во Фраскати (Италия), в Лунде (Швеция)
и в Орсэ (Франция).
Многие устаревшие для задач ядерной физики ускорители
используются исключительно как источники света. Вместе с тем
строятся новые накопители, специально предназначенные для ис-
использования в качестве источников синхротронного излучения.
С 1968 года группа сотрудников МГУ, занимающихся синхро-
тронным излучением, совместно с лабораторией электронов вы-
высоких энергий ФИАН, руководимой Черенковым, используют для
вакуумной ультрафиолетовой спектроскопии синхротронное из-
излучение ускорителя ФИАН на 680 Мэв. Для этой цели создан
специальный оптический канал. На этой установке впервые по-
получены оптические характеристики многих кристаллов в спек-
спектральной области до 50 эв [68,70].
Использование синхротронного излучения позволило полу-
получить спектры отражения ряда диэлектриков и полупроводников
*) Эти работы изложены в сб. [66], а также [72].
378
§ 27. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
в области фундаментального поглощения, в частности, в лабора-
лаборатории ДЭЗИ были исследованы .монокристаллы сапфира, фто-
фторида кадмия (рис. 18), сульфида цинка, щелочно-земельных
сульфатов и целого ряда других соединений. Исследовались
оптические характеристики щелочноземельных оксидов и суль-
сульфидов. Высокая степень поляризации синхротронного излучения
была использована, в частности, для измерения спектров отра-
отражения сапфира при различной ориентации оптической оси кри-
кристалла по отношению к электрическому вектору синхротронного
излучения [66].
35 40 hv,38
Рис. 18. Спектр отражения монокристалла фторида кадмия, полученный с
помощью синхротронного излучения.
Интересные результаты были получены при исследовании
спектров возбуждения люминесценции кристаллофосфоров. При
возбуждении квантами, энергия которых превышает две ширины
запрещенной зоны, наблюдалось увеличение квантового выхода
люминесценции — эффект фотонного умножения, заключающий-
заключающийся в том, что один квант, возбуждающий радиации, рождает два
и более квантов свечения.
Работы по вакуумной ультрафиолетовой спектроскопии и син-
хротронному излучению продолжаются экспериментаторами и
теоретиками МГУ совместно с лабораторией фотомезонных про-
процессов ФИАН на новом ускорителе на 1,3 Гэв в Пахре (в лабо-
лаборатории Черенкова), который впоследствии будет использован в
качестве накопителя. На ускорителя в Пахре сооружается не-
несколько оптических каналов, на которых можно проводить эта-
эталонирование, а также проведение экспериментов по физике твер-
твердого тела, молекулярной физике и биологии [70].
Эксперименты по синхротронному излучению развертываются
и в других научных центрах нашей страны: в Ереване на уско-
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ379
рителе АРУС на 6 Гэв (см. [73]), но с жесткой фокусировкой и
малым временем жизни, в Томске на 1,2 Гэв с мягкой фокуси-
фокусировкой и сравнительно большим временем жизни [67], в Ново-
Новосибирске, где впервые в СССР построены накопительные кольца
[16], в Институте Физических проблем АН СССР, где проекти-
проектируется специальный источник синхротронного излучения [71].
Спектроскопия синхротронного излучения, включающая в
себя вакуумную ультрафиолетовую и рентгеновскую части спек-
спектра, развивается все шире и ш'ире, открывая перед теоретиками
и экспериментаторами (см. [74—76]) новые области, ранее мало
доступные для исследования*).
Много интересных результатов с элементарными частицами
получены на Серпуховском протонном ускорителе с энергией
70 Гэв (см. [78]).
Весьма перспективны эксперименты на электронном синхро-
синхротроне по исследованию волновых свойств отдельных частиц (на-
(например интерференция одного электрона или одного фотона)
[79]. С другой стороны, возникают и новые проблемы, связанные
с ультрарелятивистским движением пучка электронов, состоя-
состоящего из многих частиц.
*) Самым мощным синхротроном с жесткой фокусировкой является элек-
электронный синхротрон (Корнельский — США) с энергией в 10 Гэв [77].
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
I. Дельта-функция и ее применение
1. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960.
2. А. Л. Соколов, Дельта-функция и ее применение к решению некоторых за-
задач геофизики, Свердловск, 1946.
3. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, Классическая теория поля, Гостехиздат,
1951.
4. Сб. «Синхротронное излучение», под ред. А. А. Соколова и И. М. Тер-
нова, «Наука», 1966; A. A. Sokolov, I. M. Ternov, Synchrotron Radiation,
Academie-Verlag, Berlin, 1968.
5. Сб. «Сиихротронпое излучение в исследовании твердых тел», составленный
О. Ф. Куликовым и В. В. Михайлиным, под ред. А. А. Соколова, «Мир»,
1970.
6. С. W. Misner, Phys. Rev. Letters 28, 994 A972); /. A. Tyson, D. H. Doug-
Douglass, Phys. Rev. Letters 28, 991 A972).
7. M. Davis et al., Phys. Rev. Letters 27, 1466 A971).
8. И. М. Гельфанд, Г. E. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними,
Физматгиз, 1958.
II. Классическая электродинамика
\. И. Е. Тамм, Основы теории электричества, Гостехиздат, 1946.
2. Я. И. Френкель, Электродинамика, т. I, ОНТИ, 1934.
3. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, Классическая теория поля, Гостехиздат,
1951.
4. Р. Беккер, Электронная теория, ОНТИ, 1936.
5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, 6-е изд., «Наука», 1973.
6. В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.
7. А. А. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, Физматгиз, 1958.
8. Я. И. Френкель, Курс теоретической механики, Гостехиздат, 1940.
9. А. Вебстер, Механика материальных точек, твердых и жидких тел, ОНТИ,
1933.
10. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов, Квантовая механика,
«Просвещение», 1965.
11. Л. Бриллюэн, Атом Бора, ОНТИ, 1935.
12 А. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, т. I, Гостехиздат, 1956.
13. D. M. Volkov, Zs. f. Phys. 94, 750 A935).
14. R. Redmond, J. Math. Phys. 6, 1163 A965).
15. П. А. Черенков, ДАН СССР 2, 451 A934); С. И. Вавилов, ДАН СССР
2, 457 A934); И. М. Франк, И. Е. Тамм, ДАН СССР 14, 107 A937).
16 П. А. Черенков, И. Е. Тамм, И. М. Франк, Нобелевские лекции" 1958 г.,
УФН 68, 377, 387, 397 A959).
17. А. Б. Куканов, Вестник Моск. унив., Физика и астр., № 5, 606 A971).
18. Д. Джелли, Черенковское излучение, ИЛ, 1960.
19. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. I, ИЛ, 1949.
20. А. Н. Матвеев, Вестник Моск. унив., Физика и астр., № 10, 33 A951).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 381
21. Н. Motz, J. Appl. Phys. 22, 527 A957); сб. «Миллиметровые и субмилли-
субмиллиметровые волны», ИЛ, 1952; Н. А. Корхмазян, С. С. Элбакян, ДАН СССР
203, 791 A972); В. И. Байер, В. М. Катков, В. М. Страховенко, ЖЭТФ
63, 2121 A972).
22. А. А. Соколов, И. М. Тернов и др., Изв. вузов, Физика, № 5, 43 A968);
Zs. f. Phys. 211, 1 A968); А. А. Соколов, В. Ч. Жуковский, М. М. Колес-
Колесникова, Изв. вузов, Физика, № 2, 108 A969).
23. А. А. Соколов, Д. В. Гальцов, М. М. Колесникова, Изв. вузов, Физика,
№ 4, 14 A971).
24. G. A. Schott, Electromagnetic Radiation, Cambridge, 1912.
25. А. А. Соколов, И. М. Тернов, ЖЭТФ 31, 473 A956).
26. И. С. Градштейн, И. /VI. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений, 5-е изд., «Наука», 1971.
27. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, ДАН СССР 59, 1551 A948); /. Schwin-
ger, Phys. Rev. 75, 1912 A949); Phys. Rev. D 7, 1696 A973).
28. Ф. А. Королев, О. Ф. Куликов и др., ДАН СССР 110, 542 A956); P. Jost,
Phys. Rev. Letters 4, 558 A960); А. А. Воробьев, М. М. Никитин, А. В. Ко-
Кожевников, Атомная энергия 29, 389 A970); M. Н. Никитин и др., Изв.
вузов, Физика, № 4, 164 A972); № 3, 104 A972).
29. Сб. «Синхротронное излучение», под ред. А. А. Соколова и И. М. Тер-
нова, «Наука», 1966.
30. Сб. «Синхротронное излучение в исследовании твердых тел», составлен-
составленный О. Ф. Куликовым и В. В. Михайлиным, под ред. А. А. Соколова,
«Мир», 1970.
31. Н. Alfven, N. Herlofson, Phys. Rev. 78, 616 A950); И. С. Шкловский,
Космическое радиоизлучение, Гостехиздат, 1956; Д. Я- Мартынов, Курс
общей астрофизики, «Наука», 1971.
32. А. Пахольчик, Радиоастрофизика, «Мир», 1973.
33. К. Westfold, Astrophys. J. 130, 241 A959).
34. В. Л. Гинзбург, С. И. Сыроватский, УФН 87, 65 A965).
35. В. Л. Гинзбург и др., УФН 94, 63 A968).
36. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A167, 1948 A938).
37. M. Born, Ann. d. Phys. 30, 1 A909); В. Паули, Теория относительности,
Гостехиздат, 1947.
38. В. Л. Гинзбург, УФН 97, 569 A969).
39. А. А. Соколов, Вестник Моек: унив., Физика и астр., № 2, 33 A947);
ЖЭТФ 18, 280 A948).
40. Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
41. F. Rohrlich, Amer. J. Phys. 28, 639 A960).
42. A. A. Sokolov, B. A. Lysov, Phys. Rev. 128, 2422 A962).
43. M. Schwarts, Phys. Rev. 123, 1903 A961).
44. А. А. Соколов, Б. А. Лысое, М. М. Колесникова, Труды МОПИ по тео-
теории поля, 1965, вып. 1, стр. 3.
45. А. А. Соколов, М. М. Колесникова, Вестник Моск. унив., Физика и астр.,
№ 2, 198 A971); А. А. Соколов, в сб. статей памяти А. 3. Петрова «Гра-
«Гравитация», Наукова Думка, Киев, 1972, стр. 255.
46. Г. Е. Гернет, ДАН СССР 168, 63 A966).
47. А. В. Борисов, Ю. В. Грац, Изв. вузов, Физика, № 3, 87 A972).
48. N. D. Sen Gupta, Phys. Letters 32A, 103 A940).
49. G. N. Plass, Rev. Mod. Phys., 33, 37 A961).
III. Квантовая релятивистская теория
1. А. А. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, Физматгиз, 1958.
2. А. А. Соколов, И. М. Тернов, Квантовая механика и атомная физика,
«Просвещение», 1970.
3. W. Heisenberg, W. Pauli, Zs. f. Phys. 56, 1 A929); 59, 168 A930).
4. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. АП4, 243 A927).
382 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
5. P. Jordan, О. Klein, Zs. f. Phys. 45, 751 A927).
6. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика, 3-е изд.,
«Наука», 1969.
7. В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
8. V. A. Fock, В. Podolsky, Sow Phys. 1, 801 A932).
9. О. Klein, Zs. f. Phys. 37, 895 A926); W. Gordon, Zs. f. Phys. 40, 121
A926).
10. V. Fock, Zs. f. Phys. 38, 242 A926).
11. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
12. W. Pauli, V. Weisskopf, Helv. Phys. Acta 7, 709 A934).
13. P. A. M. Dirac, Proc; Roy. Soc. AU7, 610 A928); 118, 341 A928).
14. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960.
15. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Релятивистская
квантовая теория, ч. I, «Наука», 1968.
16. В. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.
17. Ю. М. Широков, ЖЭТФ 21, 748 A951); 35, 1005 A958).
18. A. A. Sokolov, Ann. d. Phys. 8, 327 A961).
19. A. A. Sokolov, J. Phys. USSR 9, 363 A945).
20. V. Bargman, E. Wigner, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 34, 211 A948).
21. А. А. Соколов, М. М. Колесникова, ЖЭТФ 38, 1778 (I960); А. А. Соко-
Соколов, И. М. Тернов, Ю. М. Лоскутов, ЖЭТФ 36, 930 A959).
22. D. Fradkin, R. Good, Rev. Mod. Phys. 33, 343 A961).
23. /. Hilgevoord, S. Wouthysen, Nucl. Phys. 40, 1 A963).
24. S. Stech, Zs. f. Phys. 144, 214 A956).
25. Сб. «Синхротронное излучение», под ред. А. А. Соколова и И. М. Тер-
нова, «Наука», 1966.
26. L. Foldy, A. Wouthuysen, Phys. Rev. 78, 29 A950).
27. А. С. Давыдов, Квантовая механика, 1-е изд., Физматгиз, 1963.
28. W. Pauli, Rev. Mod. Phys. 13, 203 A941).
29. P. Jordan, E. Signer, Zs. f. Phys. 47, 631 A928).
30. D. D. Iwanenko, A. A. Sokolow, Sow. Phys. 11, 590 A937).
31. A. A. Sokolov, I. M. Ternov, Ju. M. Loskutov, Ann. d. Phys. 5, 241 A960);
А. А. Соколов, Ю. П. Иванов, М. М. Колесникова, Изв. вузов, Физика,
№ 6, 51 A964).
32. G. Luders, Det. Kong. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Fys. Modd. 28,
№ 5 A954); Сб. «Н. Бор и развитие физики», под ред. В. Паули, ИЛ,
1958.
33. W. Pauli, Papp. Septieme Conseii Phys. lo Solvay, Brusseles, 1933.
34. F. Reines, С Cowan, Phys. Rev. 92, 830 A953).
35. T. Lee, С Yang, Phys. Rev. 104, 254 A956).
36. C. Wu et al., Phys. Rev. 105, 1413 A957).
37. R. Garwin, L. Lederman, M. Weinrich, Phys. Rev. 105, 1415 A957).
38. /. Fridman, V. Telegdi, Phys. Rev. 105, 1681 A957).
39. Сб. «Новые свойства и симметрии элементарных частиц», под ред.
И. М. Халатникова, ИЛ, 1957.
40. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 32, 405 A957).
41. G. Danly et al., Phys. Rev. Letters 9, 36 A962).
42 A. A. Sokolov, В. К. Kerimov, Ann. d. Phys. 2, 46 A958); A. A. Sokolov,
Phys. Letters 3, 21 A963).
43. Б. М. Понтекорво, УФН 104, 3 A971).
44. E. Konopinski, H. Mahmoud, Phys. Rev. 92, 1045 A953).
45. R. Feynman, M. Gell-Mann, Phys. Rev. 109, 193 A958).
46. Б. К. Керимов, Изв. АН СССР, сер. физ„ 23, 923 A959).
47. А. А. Соколов, Несохранение четности как проявление поляризационных
свойств. Некоторые материалы совещания по слабым взаимодействиям
элементарных частиц, 9—11 мая, 1961 г. Труды ОИЯИ, Дубна.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 383
48. A. A. Sokolov, Max-Plank-Festschrift., Berlin, 1958, s. 309.
49. A. A. Sokolov, I. M. Loskutov, Ann. d. Phys. 5, 42 A959).
50. А. А. Соколов, Элементарные частицы, изд-во МГУ, 1963.
51. Б. К. Керимов, Ю. В. Романов, Изв. АН СССР, сер. физ. 29, 1172 A965).
52. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов, Квантовая механика,
«Просвещение», 1965.
53. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений, 5-е изд., «Наука», 1971.
54. Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, т. I и II, ИЛ,
1958.
55. О. Klein, Zs. f. Phys. 53, 1957 A929).
56. А. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, Гостехиздат, 1956.
57. W. Lamb, R. Retherford, Phys. Rev. 72, 241 A947); S. Tribwasser, E. Day-
hoff, W. Lamb, Phys. Rev. 89, 98 A953).
58. H. Bethe, Phys. Rev. 72, 339 A947).
59. Сб. «Сдвиг уровней атомных электронов», под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ,
1950.
60. Сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», под ред. Д. Д. Ива-
Иваненко, ИЛ, 1954.
61. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей,
Гостехиздат, 1957.
62. Г. Эйринг, Д. Уолтер, Д. Кимвал, Квантовая химия, ИЛ, 1948.
63. Г. Бете, Квантозая механика простейших систем, ОНТИ, 1935.
64. В. Ч. Жуковский, М. М. Колесникова, А. А. Соколов, И. Херрманн, Оп-
Оптика и спектроскопия 28, 622 A970).
65. G. Breit, Е. Teller, Astrophys. J. 91, 215 A940).
66. R. Schmieder, R. Marrus, Phys. Rev. Letters 25, 1692 A970).
67. Б. А. Зон, Л. П. Раппопорт, Письма ЖЭТФ 7, 70 A968).
IV. Синхротронное излучение с учетом
квантовых эффектов
1. А. А. Соколов, А. Н. Матвеев, И. М. Тернов, ДАН СССР 102, 65 A955).
2. А. Н. Матвеев, ЖЭТФ 31, 479 A956).
3. А. А. Соколов, И. М. Тернов, ЖЭТФ 25, 698 A953).
4. А. А. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, Физматгиз,
1958.
5 Сб. «Синхротронное излучение», под ред. А. А. Соколова и И. М. Тер-
нова, «Наука», 1966.
6. А. А. Соколов, Н. П. Клепиков, И. М. Тернов, ЖЭТФ 23, 632 A952).
7. А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Г. Багров, Изв. вузов, Физика, № 5, 13
A968); Zs. f. Phys. 211, 1 A968).
8. А. А. Соколов, В. Ч. Жуковский, М. М. Колесникова и др., Изв. вузов,
Физика, № 2, 108 A969).
9. А. А. Соколов, Д. Д. Иваненко, И. М. Тернов, ДАН СССР 111, 334
A956).
10. М. Sands, Proc. of the CERN Conf. of high energy accelerators and Instru-
Instruments; Geneva, 1959.
11. M, Sands, Nuovo Cimento 25, 599 A969).
12. Ф. А. Королев, О. Ф. Kt/ликов и др., ДАН СССР 134, 314 A960); Nuovo
Cimento 18, 1033 (I960).'
13. A. A. Sokolov, I. M. Ternov, Synchrotron Radiation, Akademie-Verlag, Ber-
Berlin, 1968.
14. А. А. Соколов, И. М. Тернов, Труды Международной конференции по
ускорителям, Дубна, 21—27 авг. 1963; ДАН СССР 153, 1053 A963).
15. /. LeDuff, Р. С. Marin и др., Orsay, Rap. Techn., 4—73 A973); Е. Storck, Zs.
f. Naturforsch. 23a, 1914 A968).
384 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
16. В. Н. Байер, В. М. Катков, ЖЭТФ 52, 1422 A967); В. Н. Байер, УФН,
105, 441 A971); Я. С. Дербенёв, А. М. Кондратенко, ЖЭТФ 64, 1918
A973).
17. А. А. Соколов, Н. П. Клепиков, И. М. Тернов, ЖЭТФ 24, 249 A953);
J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. 40, 132 A954).
18. H. П. Клепиков, ЖЭТФ 26, 19 A954); А. А. Соколов, А. Н. Матвеев,
ЖЭТФ 30, 126 A956); Т. Erber, Rev. Mod. Phys. 38, 626 A966).
19. D. White, Phys. Rev. D5, 1930 A972); D6, 2080 A972); С Shea, D. White,
Phys. Rev. Letters 28, 455 A972).
20. В. В. Владимирский, ЖЭТФ 18, 392 A948); /. Schwinger, Phys. Rev. 75,
1912 A949).
21. A. A. Sokolov, V. Ch. Zhukovskii, N. S. Nikitina, Phys. Letters 43A, 85
A973).
22. /. Schwinger, Phys. Rev. 73, 416 A948); Ch. M. Sommerfield, Phys. Rev.
107, 328 A957); R. G. Parsons, Phys. Rev. Letters 20, № 5; A9
A968).
23. N. D. Sen Gupta, Nature 163, 686 A949).
24. J. M. Luttinger, Phys. Rev. 74, 893 A948).
25 И. М. Тернов, В. Г. Багров и др., ЖЭТФ 55, 2273 A968).
26. В. И. Ритус, ЖЭТФ 57, 2176 A969); В. Н. Байер, В. М. Катков,
В. М. Страховенко, ДАН СССР 197, 66 A971).
27. N. D. Sen Gupta, Bull. Calcutta Math. Soc. 44, 175 A952).
28. А. А. Соколов, Б. А. Лысое, ЖЭТФ 34, 1351 A958).
29. M. М. Альперин, ЖЭТФ 14, 3 A944).
30. И. М. Гольдман, ЖЭТФ 46, 1412 A964).
31. L. Brown, Т. Kibble, Phys. Rev. 133A, 705 A964).
32. А. И. Никишов, В. И. Ритус, ЖЭТФ 46, 776 A964); 47, ИЗО A964).
33. /. М. Ternov, V. G. Bagrov, A. M. Khapaev, Ann. d. Phys. 22, 25 A968).
34. И. М. Тернов, В. Г. Багров и др., Изв. вузов, Физика, 2, 50 A968).
35. И. М. Тернов, В. Г. Багров и др.. Изв. вузов, Физика, 8, 77 A967).
36. D. Volkov, Zs. f. Phys. 94, 250 A935).
37. A. A. Sokolov, J. Phys. USSR 5, 231 A941).
38. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, Классическая теория поля, 2-е изд., Гос-
техиздат, 1951.
39. Я. Б. Зельдович, в сб. статей «Проблемы теоретической физики». Памяти
И. Е. Тамма, «Наука», 1972.
40. /. Schneider, Phys. Rev. Letters 2, 504 A959).
41. /. Hirshfield, J. Wachtel, Phys. Rev. Letters 12, 533 A964).
42. А. В. Гапонов и др., Письма ЖЭТФ 2, 430 A965); А. В. Гапонов,
М. И. Петелин, В. К- Юлпатов, Изв. вузов, Радиофизика, № 9—10 1376
A967).
43. А. А. Соколов, И. М. Тернов, ДАН СССР 166, 1332 A966); Письма
ЖЭТФ 4, 90 A966).
44. М. Friedman, M. Herndon, Phys. Rev. Letters 29, 55 A972).
45. А. А. Соколов, Ю. Г. Павленко, Оптика и спектроскопия 22, 3 A967).
46. П. Л. Капица, УФН 78, 181 A962).
47. G. Graff, E. Klempt, Zs. f. Naturforsch. 22a, I960 A967); P. Urban,
K. Wittman, Acta Physica Austriaca 35, 9 A972).
48. E. Courant, M. Livingston, H. Snyder, Phys. Rev. 88, 1190 A952) (перевод:
«Проблемы современной физики», ИЛ, № 11, 1954); М. Ливингстон, Уско-
Ускорители, ИЛ, 1956.
49. А. А. Коломенский, А. Н. Лебедев, Теория циклических ускорителей, Физ-
матгиз, 1962; К- Robinson, Phys. Rev. Ill, 373 A958).
50. А. А. Соколов, И. М. Тернов, ЖЭТФ 28, 431 A955); А. А. Соколов,
И. М. Тернов, Г. М. Страховский, ЖЭТФ 31, 439 A956).
51 F. Gutbrod, Zs. f. Phys. 168, 177 A962); А. А. Соколов, И. М. Тернов,
Ю. М. Лоскутов. Вестник МГУ, 3, 101 A964).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 385
52. А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Г. Багров, Изв. вузов, Физика, № 4, 12
A970); Ann. d. Phys. 25, 44 A950).
53. В. Ч. Жуковский, Б. В. Холомай и др., Теор. и матем. физика 6, 78 A971).
54. М. Sands, Phys. Rev. 97, 470 A955).
55. А. А. Коломенский, А. И. Лебедев, ЖЭТФ 30, 207 A956); 30, 1161 A956).
56. Ф. А. Королев, О. Ф. Куликов, А. Г. Ершов, ДАН СССР 134, 314,
A960); см. А. А. Воробьев, А. Н. Диденко, А. В. Кожевников, Атомная
энергия 24, 25 A968); 28, 260 A970).
57. Ф. А. Королев, А. Г. Ершов, О. Ф. Куликов, Ускоритель электронов на
680 Мэв, Атомиздат, 1962.
58. М. С. Рабинович, Труды ФИАН СССР 10, 23 A958).
59. N. Frank, Phys. Rev. 70, 177 A946) (перевод: в сб. «Резонансные цик-
циклические ускорители элементарных частиц» ИЛ, 1950).
60. В. И. Байер, В. М. Катков, ЖЭТФ 53, 1478 A967); В. И. Байер, В. М. Кат-
Катков, В. С. Фадин, Излучение релятивистских электронов, Атомиздат, 1973.
61. Д. Д. Иваненко, И. Я. Померанчук, ДАН СССР 44, 343 A944).
62. А. А. Воробьев, Ускорители заряженных частиц, Госэнергоиздат, 1949.
63. В. И. Векслер, ДАН СССР 44, 393 A944); Е. М. Mac-Millan, Phys. Rev. 68,
143, 144 A945).
64. /. Blewett, Phys. Rev. 69, 87 A946); С. Suits, Sci. News Letters 51, 339
A947); F. Elder et al., Phys. Rev. 71, 829 A947); Ю. M. Ado, П. А. Черен-
Черенков, ДАН СССР ПО, 35 A956).
65. D. Tombulian, P. Hartman, Phys. Rev. 102, 1423 A956).
66. Сб. «Синхротронное излучение в исследовании твердых тел», составлен-
составленный О. Ф. Куликовым, В. В. Михайлиным, под ред. А. А. Соколова,
«Мир», 1970.
67. А. А. Воробьев и др., Атомная энергия 21, 435 A966).
68. А. А. Соколов и др., Изв. вузов, Физика, № 12, 7 A972).
69. В. В. Михайлин, С. Н. Иванов и др., ФТТ 15, 1574 A973).
70. Д. Ф. Алферов, П. А. Черенков и др., Труды III Всесоюзного совещания
по ускорителям заряженных частиц, т. I, стр. 39, «Наука», 1973.
71. С. П. Капица, Природа, № 10, 22 A971).
72. W. Hayes, Comtemporary Physics 13, 441 A972).
73. А. И. Алиханян, Природа, № 12, 10 A972).
74. С. Shen, Phys. Rev. D6, 2736 A972).
75. М. Е. Герценштейн, А. Н. Малахов, Р. Ч. Бокун, Радиофизика 12, 1401
A969).
76. /. D. Londstreet, Phys. Rev. 153, 1372 A967).
77. Л. А. Арцимович, С. Ю. Лукьянов, Движение заряженных частиц в элек-
электрических и магнитных полях, «Наука», 1972.
78. А. А. Логунов, В. А. Ярба, Природа, № 11, 13 A970).
79. И. А. Гришаев и др., ЖЭТФ 63, 1645 A972).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автофазировка Векслера — Макмил-
лана 138, 374
Адиабатические инварианты 55
Аксиально-симметричное магнитное
поле 344
Амплитуда Фурье 88
Аннигиляция пары в магнитном поле
двухфотонная 318
однофотонная 317
Антидемпинг-эффект 366, 373
Антинейтрино мюонное 211
— электронное 211
Антинейтрон 210
Антипротон 210
Бальмера серия 22
Бета-распад 212
Больцмана постоянная 247
Борновская длина периодичности 14,
144
Борновский куб периодичности 164
Брейта — Теллера приближение 261
Вакуум электромагнитный 153
— электронно-позитронный 201
Вакуумная ультрафиолетовая спек-
спектроскопия 376, 378
Вакуумный магнитный момент элек-
электрона 319
Вариационный принцип 46, 179
уравнения Дирака 179
- Клейна — Гордона 161
электромагнитного поля 139
Вектор аксиальный 195, 215
— ковариантный 40
— контравариантный 40
— магнитной напряженности 43, 145
— Пойнтинга 75, 83, 86, 90, 97, 245
-— полярный 195
— электрической напряженности 43,
145
Вектор-потенциал трехмерный 38, 39,
40, 42, 53, 144
— четырехмерный 42, 45, 153
Вероятность переходов 239
вынужденных 246, 335, 339
спонтанных 243, 246, 285
Взаимодействие аксиально-векторное
212
— векторное 212
— псевдоскалярное 212
— скалярное 212
— тензорное 212
Водородоподобный атом 56
в паулевском приближении 235
по квазиклассической теории
Бора 56, 59, 60
квантовой теории Дирака
229, 233
— . Клейна — Гордона 218
Время релаксации 76
Вырожденная гипергеометрическая
функция 220, 232, 264
— — —, асимптотическое приближе-
приближение 220, 237
Гамильтониан 49, 191, 199, 240, 269
Гамма-функция 224, 233, 286, 301, 302,
316, 318, 326
Гармонический осциллятор 87
, излучение 90, 91
Гильбертово пространство 13
Гиперболические орбиты 236
Гиперболическое движение 126
Граничные условия 30, 130
— — для векторов электрической и
магнитной напряженностей 78
Движение электрона в магнитном
поле 66, 263, 344
— статическом магнитном поле
и в поле плоской электромагнитной
волны 71
— — по винтовой линии с компенса-
компенсацией потерь энергии на излучение
135
предметный указатель
387
Дельта-функция 9, 12, 20, 82, 282, 294
313
в пространстве нескольких из-
измерений 22
— — двухмерная 22
— —, плотность точечного заряда 37,
121
.производная 18, 19, 21
, — от разрывной функции 18,
21, 35
, простейшие свойства 21
.разложение Фурье 14
Дельта-символ Кронекера — Вейер-
штрасса 12, 17, 164
Демпинг-эффект 373
Дираковская теория движения элек-
электрона в поле центральных сил 224
— — позитрона 204
Закон сохранения момента количе-
количества движения 140, 182
тензора энергии 139, 162, 181
четности состояния в теории
Дирака 239
Запаздывающее действие (воздей-
(воздействие) 24, 26, 35, 129
Излучение электрона в поле плоской
электромагнитной волны 101, 328,
330, 332
— •— вынужденное в постоянном и
однородном магнитном поле 335
— — — — скрещенных полях 339
, диполыюе 91, 97, 248, 251, 256
, интенсивность 241, 385
, квадрупольное 32, 91, 250, 257
— —, магнитное 251, 257
Инвариантная скорость 101, 103, 120,
283
Инверсия пространства 195, 214, 216
Интеграл Фурье 84, 88, 94
Канонические уравнения Гамильтона
в релятивистской теории 50
Квадрупольные переходы 250 256,
257
Квантование (вторичное) уравнения
Дирака 199
— — — Клейна — Гордона 165
— электромагнитного поля 147
153
— по Бору 60
Квантовая система с переменным чис-
числом фотонов 151
Квантовое возбуждение бетатронных
колебаний 289, 357
— число внутреннее 229, 233
главное 221, 222, 264, 268
— — магнитное 226, 234
орбитальное 222, 234
радиальное 233, 264
спиновое 226
— — эффективное 221
Квантовые флуктуации в неоднород-
неоднородном магнитном поле 357, 363, 367
— — — постоянном и однородном
магнитном поле 287, 292
Квантовый синхротронный мазер 338
Классическая электродинамика Мак-
Максвелла — Лоренца 37
Классический радиус электрона 289
Классическое затухание 289, 292 356,
357, 366
— уравнение Дирака — Лоренца 9,
120, 367
, гиперболическое движе-
движение 126
— — — —, — — для конечного про-
промежутка времени 131
— —, движение по винтовой
линии с компенсацией потерь энер-
энергии на излучение 135
— — — — для магнитного поля с
учетом силы трения 132
— — — — и «парадокс Борна» 137
— — — —, начальные и конечные
условия 128
— — — —, потери энергии 126
— — — —, прямолинейное движение
127
Коэффициенты затухания бетатрон-
бетатронных и синхротронных колебаний 366
— Клебша— Гордана 228
— Эйнштейна для индуцированного
(вынужденного) перехода 11, 239,
247
— спонтанного перехода 239,
246
Крабовидная туманность 12, 112
Лагранжиан 45, 46, 48, 49, 142, 161
•— дираковского поля 180
— комплексного скалярного поля 161
— электромагнитного поля 45
Лептонный заряд 211
Лэмбовский сдвиг 262
Магнетон Бора 198
Магнитный момент электрона 185,
319
388
предметный указатель
Матрицы антисимметричного тензора
177
— третьего ранга 179
— — — четвертого ранга 178
— Дирака 350, 170, 176
— единичные трехмерные 189
— комплексно-сопряженные 206
— Паули 169, 170
— эрмитово-сопряженные 172
Матричный элемент 312
Метод Вентцеля — Крамерса —
Бриллюэна 107, 119, 295
Мнимые единицы (i н £') 8, 42, 175
Момент количества движения орби-
орбитальный 182, 224
— — — полный 184
спиновый 182
Мю-мезоны 210, 211
Начало наименьшего действия 51
Нейтрино 209, 215
—, двухкомпонентная теория 210
— мюонное 211
—, четырехкомпонентная теория 211
— электронное 211
Нейтрон 209
Непрерывный спектр в кулоновском
поле 237
, нормировка волновых функций
237
Несохранение четности 210, 213, 214,
215
Нулевая энергия 153, 166
Ондулятор 92
Оператор Гейзенберга 372
— Даламбера 39
— импульса 157
— испускания частиц 166, 202
— Лапласа 30, 218, 263
— момента количества движения 184,
225
— обобщенного спина 185
тензора спина 186
— поглощения частиц 166, 202
— функции Гамильтона 171
— энергии 157, 171
Операторный метод 370
Опережающее воздействие 129
Опыт Королева — Куликова 112, 375
— по обнаружению эффекта самопо-
самополяризации 303, 375
— Сэндса 370
— Хензела — Скибовского 377
Парадокс Борна 137
Парциальное сечение рассеяния 330
Паулевское приближение 235
Перенормировка массы 323
Перестановочная функция 157
Перестановочные соотношения в слу-
случае статистики Бозе — Эйнштейна
156, 166
Ферми —Дирака 202
для амплитуд волновых функ-
функций Дирака 200
Клейна — Гордона
166
поперечных составляю-
составляющих вектор-потенциала электромаг-
электромагнитного поля 150, 156
— потенциалов электромагнит-
электромагнитного поля 156
Переходные процессы 239
Пи-мезоны 210
Плоская волна 71, 326
Плотность вероятности нахождения
частицы 192, 241
— заряда 171, 223
— тока 171
— энергии 171
Позитрон 206, 209
Полином Лежандра присоединенный
219
Полиномы Лежандра 221, 223, 264,
265, 268, 270, 282
Поляризация спиновая 185, 187, 194,
214, 273, 274, 293
— электромагнитного излучения 98,
99, 147, 277
Поперечные колебания 38
Постоянная Планка 8, 148, 157,
305
— Ридберга 222, 234
— тонкой структуры 222, 234, 319
Потенциал векторный 39
— запаздывающий 14, 15, 33, 34, 36,
39
— опережающий 34
— скалярный 39
— точечного заряда 39
Правила отбора 253, 257
— — для дипольных переходов 253
— — — квадрупольных переходов
257
— магнитных переходов 257
— перестановок для волновых функ-
функций 167
Представление Фолди — Вутхаузена
188, 189
Преобразование зарядового сопряже-
сопряжения 309
предметный указатель
389
Преобразование инверсии простран-
пространства 195, 208, 214, 216
— калибровочное 38, 141
— Лоренца 41, 42, 173, 174
— обращения времени 207, 217
Приближение для функций Бесселя
ПО
Принцип запаздывающего действия
24, 26, 32, 36
Проблема Кеплера по релятивистской
классической теории 56
— уравнению Дирака 229,
234
Клейна — Гордона 218,
222
— Коши 130
Протон 209
Псевдовектор 179
— поляризации спина 186, 188, 190,
193
Псевдоскаляр 159
Псевдофотоны 155
Разложение плоской волны по цилин- •
дрическим функциям 87
Распад нейтрона 210
— протона 209
Рассеяние электроном электромагнит-
электромагнитной плоской волны, поляризованной
по кругу 326
Релятивистская квантовая механика
139
Решение уравнения Дирака в акси-
аксиально-симметричном магнитном
поле 359
— — — — кулоновском поле 229
— — постоянном и однород-
однородном магнитном поле 268, 275
случае свободного дви-
движения 192, 196
Клейна — Гордона в аксиально-
симметричном магнитном поле 345
— — — — — кулоновском поле 218
— — — постоянном и одно-
однородном магнитном поле 261, 267
— — — случае свободного
движения 163
Рождение пар электронов и позитро-
позитронов в магнитном поле 309, 314
— — — — — — — —, однофотон-
ное 309
Розеточная траектория Зоммерфель-
да 59
Самополяризация спина 300, 375
Самоускоряющее решение 130
Сверхсильное магнитное поле 316
Сила Лоренца 54
— лучистого трения Дирака — Ло-
Лоренца 121, 132
— самодействия 121, 122
Сильное обращение времени 214, 217
Символ Леви-Чивита 178, 179, 185
Синхротронное излучение, влияние
квантовых флуктуации 287, 369
— — в неоднородном магнитном
поле 344
— —, движение по винтовой линии
96, 101, 103, 106, 118, 119
— —, затухание бетатронных и син-
хротронных колебаний 292, 256, 357,
366, 369
, интенсивность в квазикванто-
квазиквантовом приближении 306
, ультракваитовом случае
307
— —, нерелятивистское приближение
106
— —, основные классические уравне-
уравнения 92
— —, поляризационные свойства 97,
98, 116, 118, 283, 284, 375
— —, приближенная формула для
спектрального распределения 113,
374
.приближенные формулы 113,
115, 118, 285, 288
.спектральное распределение
Шотта 94, 97, 328
, угловое распределение 100
, ультраквантовый случай 306,
308
— —, экспериментальные исследова-
исследования 374, 376
, эффект самополяризации 303
Скобки Пуассона квантовые 149
— — классические 50
Скорость четырехмерная 127
Слабое обращение времени 207, 217
Состояние с отрицательной энергией
155, 164
Спектральное распределение излуче-
излучения в нерелятивистском случае при
круговом движении 105
Спектрально-угловое распределение
синхротронного излучения при дви-
движении по винтовой линии 119
Спин 153, 163, 192
Спин во внешнем поле 196
Спина псевдовектор 194, 272
— тензор 141, 143, 184, 194, 272
— трехмерный единичный вектор 193,
194, 272
390
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Спиновые свойства при наличии элек-
электромагнитного поля 196
свободного электрона 192
Спиноры 226
— шаровые 225, 227
Спиральность 21, 216
Среднее значение радиуса 267, 275
Средне-квадратичное значение радиу-
радиуса 266, 275
Статистика Бозе — Эйнштейна 148,
152, 153
— Ферми — Дирака 153, 166, 200, 201
Сферическая или шаровая функция
218
Тензор антисимметричный 178
второго ранга 43
— единичного трехмерного вектора
поляризации 188
— ковариантный 40, 41
— контравариантный 40
— орбитального момента количества
движения 182
— плотности «собственного» момента
количества движения 184
— поляризации 186
— «смешанный» 41
— энергии 139, 141
канонический 139, 154, 162, 181,
182
метрический 114, 141, 182, 183
Теорема Людерса — Паули 207
— Пойнтинга 74, 77, 81, 96, 126
— Эренфеста 56, 60, 64
— Якоби 52, 53, 54, 62
Томсона формула 329
Тонкая структура по релятивистской
теории Клейна — Гордона 222
— теории Дирака 234
,экспериментальная проверка
234, 235
Точечный заряд 76
— электрон 75
Трансформационные свойства волно-
волновой функции 173, 174
Угловое распределение излучения 100
интенсивности излучения (при-
(приближенные формулы) 115, 116
я- и а-компонент 112
Умножение матриц 169, 170
Уравнение Гамильтона — Якоби в не-
нерелятивистском приближении 53
— — релятивистской теории
50, 51, 67
Уравнение Гамильтона—Якоби для
поляризованной по кругу электро-
электромагнитной волны 67
— — постоянного однородного
магнитного поля 61, 65
— — проблемы Кеплера 57
— — — — свободного движения 53
стационарного случая 53
— — — при движении по окружно-
окружности 54
— Даламбера 31, 34, 35, 39, 121, 141,
154
обобщенное 34
— движения для точечного электрона
47
— Дирака в ковариантной записи 175
— — для свободной частицы 190
квантовое 168, 171, 172, 173,
180, 268, 275
с радиационными поправками
320
— Дирака — Лоренца (классическое)
33, 120, 130
— Клейна — Гордона 158, 168, 218,
243, 267, 268, 275
, волновая функция 159, 218,
219, 263, 267
— — — для свободного движения
163
— Лагранжа 51
и Гамильтона в релятивистской
теории 48
— Максвелла в среде 75
Лоренца в трехмерных обозна-
обозначениях 37
— четырехмерном виде 40,
42, 43
— — —, вторая группа 43
,интегрирование 38
, квантование 148
— , первая группа 43
—, релятивистски-ковариаш
ная запись 42
— непрерывности 37, 80, 159, 173
— Пуассона 28
двухмерное на плоскости 29
— — одномерное 28
трехмерное 30
— теплопроводности 25, 36
— Шредингера 157, 219
— Юкавы 31
Ускорение четырехмерное 127, 128,
137
Условие Лоренца 38, 43, 77, 141
— нормировки 223
— ортонормированности 164, 199, 252
— периодичности 144
Предметный указатель
391
Фейнмана — Гелл-Манна схема 212
Фокусировка жесткая 345
— мягкая 345
Формула Зоммерфельда 60
— Казимира 206
— Планка 248
— Шнейдера 337, 343
— Шотта 97, 329
Функция Бесселя 84, 91, 282, 285, 292,
316, 353, 356
— —, асимптотическое значение в
первом приближении 36, 107, ПО,
116, 331
— —, во втором приближении
110
— — мнимого аргумента 35, 36, 108
— Гамильтона 49, 199, 240, 269
— Гангеля 8
— Грина двухмерного уравнения Пу-
' ассона 22, 26, 29, 32, 34, 35, 36, 87
— — одномерного уравнения Пуас-
Пуассона 28
трехмерного уравнения Пуас-
Пуассона 30
уравнения Даламбера 33, 36
— — , несингулярная часть 24,
32, 88, 94, 121
, сингулярная часть 24, 32,
35, 88, 94, 121
теплопроводности 27, 36
Юкавы 31
— действия 44, 45, 51, 54
— калибровочная 141
— Лагерра 8, 264, 270, 294, 312, 323,
341
, асимптотическое значение 295,
298, 299
— Лагранжа 45, 46, 48, 49, 142, 180
— от числа фотонов 151
— Эрмита 276, 348, 361
Центрально-симметричное поле
218, 229
Циклотронная частота 73, 266
56,
Частота колебаний 56
Четность состояний 238
Четырехмерный псевдовектор поляри-
поляризации 190
Шаровые спиноры 225
— функции 227
Швингеровское магнитное поле 8, 289,
295
Шпуры 204
Эквипотенциальные поверхности при
движении электрона с постоянной
скоростью 84
черенковского излучения 86
Электронный синхротрон 138
Корнельский 379
Эллипсоиды Хэвисайда 87
Эллиптическая поляризация 98
Энергия кинетическая электрона в ре-
релятивистском случае 49
— черенковского излучения 83
Эрмита полиномы 268, 341, 348
Эрмитово сопряжение 207
Эрмитово-сопряженная амплитуда
164
бесконечная матрица 150
— — матрица 164, 172
Эффект Допплера 120
— Комптона 327
— самополяризации 300, 375
— Тушека 303
— Черенкова 79, 84
Арсений Александрович Соколов
Игорь Михайлович Тернов
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭЛЕКТ) ~
М„ 1974 г., 392 стр. с илл.
Редакторы: Л. И. Гладнева, М. М. Колесникова
Техн. редактор С. Я- Шкляр
Корректор Е. В. Сидоркица
Сдано в набор 21/VIII 1973 г. Подписано к печати 19/П 1974 г.
Бумага 60X9Qr/i6. Тип. №. I. Физ. печ. л. 24,5. Условн.
печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 22,64. Тираж 4000 экз. Т-02972.
Цена книги 2 р. 16 к. Заказ № 776.
Издательство «Наука»
Глазная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская
типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфлромя при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29
Стр.
Строка
СПИСОК ОПЕЧАТОК
Напечатано
Должно быть
13
76
111
112
112
116
116
147
149
164
351
1 синзу
7 снизу
4 снизу
12 сверху
14 сверху
2 сверху
17 снизу
12 снизу
14 снизу
15 снизу
8 снизу
10 7 сек
27
J t? dyK4t(i\)
sin ф =
0 2
29243
= ± icDK
сек
27
16я2
27
sin ф = —
Зак.