Геометрически (черт. 132) по этой формуле площадь криволинейной трапеции аАВЬ, которая соответствует интегралу й
$ ydx, заменяется суммой площадей заштрихованных прямо-а
угольников.
Погрешность формулы прямоугольников
<, х (Ь—а)2 -унБ,
где унб — наибольшее значение \у‘\ в интервале \а, 6].
11. Формула трапеций
^ydxtah	yL +У2+ •  • +уп-1 ) = Л +
Геометрически (черт. 133) по этой формуле площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихованных трапеций.
Погрешность формулы трапеций
«(п)^'-^^ уИБ,
где унб — наибольшее значение |у"| в интервале [я, 6].
1II. Формула параболических трапеций (Симпсона); п — число четное.
§ydxx^\y0+yn+m + 2 (Уа Н"У« + •	/1+Уз-Ь-  • +^л-1) + ...+уп-2)1.	(3)
— 231 —
Геометрически (черт. 134) ио этой формуле площадь каждой пары вертикальных полосок х;Р;Р1+,х1+.2 заменяется площадью одноименной параболической трапеции, получаемой при замене соответствующего участка кривой y = f(x) дугой параболы у = ах2+ 0хф у (с вертикальной осью), проходящей через три точки кривой с абсциссами xh xi+l = xt- -\-h и х1+2 = xz4-2/z.
Погрешность формулы Симпсона

где унв — наибольшее значение |у(4|| в интервале [а, Ь].
Очевидно, все указанные приближенные формулы будут тем точнее, чем больше взято п, т. е. при достаточно большом значении п посредством каждой из этих формул можно вычислить приближенное значение определенного интеграла с любой желаемой точностью.
При одном и том же значении п обычно вторая формула точнее первой, а третья точнее второй.
701.	Вычислить интеграл $Кбх— 5 dx по фор му ле Ньютона— 1
Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 8 равных частей. Затем оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
Решение. По формуле Ньютона— Лейбница
9	I г	1	3 ।9
1 =	= yJ (6х-5)2 d(6x-5) = -i-(6x-5)2 | =38.
i	i	i
Далее делим интервал интегрирования [1: 91 на 8 равных частей, находим длину одной части /г=1, точки деления xit значения у, подынтегральной функции у—убх — 5 в этих
— 232 —
точках:
*0=1	Уо = /7=1,0000
х1 = 2	yl = /7=2,6458
— 3	tJi = /13 = 3,6056
*з = 4	уа = /19 = 4,3589
х, = 5	/д =/25 = 5,0000
xfi = 6	Уб =/31=5,5678
xfi = 7	ув = /37 = 6,0828
х7 =8	у7 = /43 = 6,5574
хв = 9	(/а =/49 = 7,0000
и вычисляем интеграл по приближенным формулам.
По формуле прямоугольников (1) / Di = 34,8183.
Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по недостатку) равна 38 — 34,8183 = 3,1817, а относительная (про-.	-	3,1817-100 о о_0/
рентная) ошибка равна ——55----«8,37%.
□О 8
По формуле прямоугольников (la) 1 -^У/^40-8183-
Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а отно-2,8183-100 v лп0/ сительная ——=----я» 7,42%.
ио 7
По формуле трапеций 1 «4 +	= 37,8183.
t = 1
Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а отно-0,1817-100 п иОП/ сительная ——-----«0,48%.
ио
По формуле Симпсона
I «4-(8 + 4-19,1299+ 2-14,6884) «37,9655. О
Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная 0^100^0.09%.
702.	По формуле Симпсона вычислить приближенное значе-
ние интеграла J cosxdx с точностью до 0,00001. О
Решение. Вначале определим, на какое число п частей следует разделить интервал интегрирования ^0, чтобы получить заданную точность вычисления.
— 233 —
Полагая погрешность 6(и) формулы Симпсона меньше 10~5, имеем
(Ь—а)5 <4)	]Г|_5
180 п4 У,1Ь < 1	'
Подставляя а = 0, Ь—^,Унб=^ ^наибольшее значение | yw | = = | cos х | в интервале [о, yj), получим
2б 180 п4< 10 S’	]/ 26=8,5.
Далее, полагая п= 10 (ближайшее четное число, большее 8,5) определяем точки деления *г и соответствующие им значения у{ подынтегральной функции y = cosx (с одним лишним десятичным знаком, л ж 3,141592):
*0 = 0,000000	1/0 = 1,000000
*1 = 0,157080	У1 = 0,987688
*2 = 0,314159	у2 = 0,951057
х3 = 0,471239	Уз = 0,891007
х4 = 0,628318	у4 = 0,809017
х5 = 0,785398	Уъ = 0,707107
хв = 0,942478	у6 = 0,587785
*7= 1,099557	у, = 0,453991
*8 = 1,256637	у8 = 0,309017
*9= 1,413716	у9 = 0,156435
*ю = 1,570796	у10 = 0,000000
Подставляя в формулу Симпсона, получим искомое значение интеграла с точностью до 10-6:
Л
J cos X dx « 0,0523599 (1 +4 -3,196228 + 2 -2,656876) » 1,00000. О
В решении этой задачи показано, что для вычисления интеграла с заданной точностью, когда известно аналитическое выражение интегрируемой функции, можно, исходя из указанных неравенств для оценки погрешности приближенных формул, заранее определить необходимое число делений интервала интегрирования, которое бы обеспечило заданную точность.
Однако во многих случаях аналитическое выражение интегрируемой функции таково, что трудно найти наибольшее значение во всем интервале интегрирования для производных первого, второго или четвертого порядков, которые содержатся в неравенствах, определяющих погрешности формул прямоугольников,
— 234 —
трапеций или Симпсона. Поэтому в вычислительной практике вместо указанных неравенств для оценки погрешности приближенного вычисления интегралов часто применяют другие критерии, с которыми можно ознакомиться в специальных пособиях по приближенным вычислениям.
703.	Следующие интегралы вычислить по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 10 равных частей. Затем оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам. (Все вычисления делать с четырьмя десятичными знаками.)
2	1
704*. На сколько частей следует разделить интервал ннте-2 С dx
грирования интеграла \ —, чтобы вычислить его с точностью
1
до 10~2 по приближенным формулам: 1) прямоугольников, 2) трапеций и 3) Симпсона.
3
С dx
705. По формуле Симпсона вычислить интегралы \ и
2
Л
4
J sin (х2) dx, разделив интервал интегрирования на 10 равных о
частей.*
706*. Найти длину дуги эллипса x = 10cos/, у = 6 sin/, применив к интегралу, определяющему четверть всей дуги, формулу Симпсона.*
Все вычисления выполнять с тремя десятичными знаками.
ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения
Переменная и называется функцией п переменных (аргументов) х, у, г, . . ., t, если каждой системе значений х, у, 2, ..., t, из области их изменения, соответствует определенное значение и.
Функциональная зависимость и от х, у, г, ..t символически обозначается: u = f(x,y,2....t),	где после символа функции
(которым может быть не только буква f, но и другие буквы) в скобках указываются все переменные, от которых зависит данная функция.
Частное значение функции Р(х, у, 2, ..., t) при х=а, у = Ь, z=c,...,t = l обозначается Р (а, Ь, с, .. ., /). Например, если F(X,Z/, 7) = ^^, то F(-2;3; 10) = ^=-3.
Геометрически каждая система значений двух переменных х, у изображается точкой на плоскости, а функция двух переменных z = f (х, у)—некоторой поверхностью в пространстве', система значений трех переменных х, у, г изображается точкой в пространстве. (Обычно значения переменных рассматриваются как абсцисса, ордината и аиликата точки в прямоугольной системе координат.)
Система значений четырех и большего числа переменных не имеет геометрического изображения. Однако, в целях общности, для упрощения записей и рассуждений, систему значений любого числа п переменных х, у, г, . .., t называют точкой п-мер-ного пространства М (х, у, г, ..., t), а функцию и, зависящую от п переменных, называют функцией точки п-мерного пространства u = f(x, у, z, ..., =
Областью определения (существования) функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.
Для функции двух переменных г = f(x, у) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для
— 236 —
функции трех переменных и F (х, у, z) — некоторую совокупность точек пространства.
707. Вычислить частное значение функции:
1) / (*. У) = Vх1 ~ У2 при х =-- 5, у = — 3;
2) и = big*в точке А (6; 2; — 1).
Решение. 1) f (5;—3) = р 52—(—3)2=4;
2) u(A) = ln|=‘=0.
708. Построить область О изменения переменных х и у, заданную следующими неравенствами:
1) 2<х<6, 1 <1/^3;
3) 4 < х2 -|- г/2 С 9;
2)
4) 0<у<х.
Решение. 1) Данным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых х = 2, х = 6, t/=l и у = 3. Этот прямоугольник и есть область D изменения
Черт .135
Черт. 136
переменных х и у (черт. 135). Такая область, в которую входит и ее граница, называется замкнутой.
2)	Здесь область D есть совокупность всех точек, лежащих 1/2
внутри эллипса-д 4-^-= 1, так как все эти точки, и только они, удовлетворяют данному неравенству (черт. 136). Такая область, в которую не входит се граница, называется открытой.
3)	Здесь область D есть круговое кольцо, ограниченное окружностями х24-у2 = 4 и х2ф-у2 = 9 с общим центром в начале координат и радиусами = 2 и г2 = 3, черт. 137 (замкнутая область).
4)	Здесь область D (открытая) ограничена биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс (черт. 138).
— 237 —
709. Найти области определения следующих функций:
1) z = 4 — х — 2у;
4)	<7 = ^7=: V ху
2) р
*2и .
2* + // ’
5) и =
3) 2 = /1-х2-уг;
б) v = arcsin (х + у).
Решение. Руководствуясь довательно находим:
указаниями § 2, гл. I, после-
1)	Функция z, как и всякая целая рациональная функция, определена (может быть вычислена) при любых значениях хи у, т. е. область определения функции г есть вся числовая плоскость хОу, —оо < + оо, —оо <у <-j- сю. Геометрическое изображение (график) этой функции есть плоскость, пересекающая координатные оси в точках А (4; 0; 0), В (0; 2; 0) и С (0; 0; 4).
2)	Функция р определена при любой системе значений х, у, кроме системы х = 0, у = 0, при которой ее знаменатель обращается в нуль. Поэтому областью определения функции р является вся числовая плоскость, кроме точки (0; 0).
3)	Область определения функции г есть круг с центром в начале координат и радиусом г=1, включая и его границу — окружность х24-у2=1 (замкнутая область). Внутри круга подкоренное выражение положительно, на его границе —равно нулю, а вне круга — отрицательно. Графическим изображением функции является полусфера, расположенная над плоскостью хОу (черт. 139).
4)	Функция q определена в тех и только в тех точках плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют неравенству ху>0. Все эти точки лежат внутри первого и третьего квадрантов (открытая область).
5)	Областью определения функции и является вся плоскость хОу, за исключением прямой 2х-}-г/ = 0, в точках которой знаменатель функции и обращается в нуль.
— 238 —
6)	Область определения функции v есть совокупность систем значений х и у, удовлетворяющих неравенствам—1=Сх4-уг£1. На плоскости хОу эта область представляет полосу, ограниченную параллельными прямыми х -ф у ф- 1 = 0 и х-\-у—1=0 (черт. 140).
710.	ср(х, у) = |^~; вычислить <р(1; 2), <р(3; 1), <р(а; 2а), <р (2Ь, — Ь).
711.	F (х, у) = Зх2у—Ухв — ув; показать, что F (tx, ty) — = t3F(x, у).
712.	Построить области изменения переменных х и у, заданные неравенствами:
1) — 1<х<1, — 1<у<1;	2) х24-у2^9, усО;
3) х2 -ф2у2 <4, х>0, у>0;	4) 1^х —у^З.
713. Найти области определения функций:
1) z = a2—х2 — 2у2', 2) и = —/2 —х2 —2у2;
3)	4) w = /3^-^;
5)	р =	;	6) у = arc cos (х2 -ф у2).
V у—х
§ 2.	Предел функции многих переменных.
Непрерывность
Число А называется пределом функции f(M) в точке Мо: lini f(M) = A, м-+м„
если абсолютное значение разности f(M)—/(Л40) будет, меньше любого заранее данного положительного числа е, когда расстояние М Мо меньше некоторого положительного числа б (зависящего от е).
Функция f(M) называется непрерывной, в точке MQ, если lim =
M — MQ
— 239 —
Для непрерывности функции /(Л1) в точке Л40 необходимо выполнение следующих условии:
1)	f(M) должна быть определена в точке Л10 и вблизи этой точки;
2)	f (М) должна иметь предел, когда точка М—> Ма произвольным способом;
3)	этот предел должен быть равен f(Mu).
Функция f(M), непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.
714. Найти пределы:
1) х->з У
У -* О
2) lim -4-
V -+ «
Решение. Убедившись, что функция не определена в предельной точке, делаем преобразования, руководствуясь указаниями § 7, гл. I:
I) lim^-^ = limxlim—— = 3-1 ==3, так как lim—=1. х з У	ХУ	а -> <1 а
</-> о
2) lim -4~ = 'im—1------не существует, ибо отношение —
X -> n X +	1 _L_K.	х
ч -> •»	т X
не имеет предела при произвольном стремлении точки М (х, у) к точке Л4о(0; 0). Так, если М—>Л4(| вдоль различных прямых y — kx, то ~ = k, т- е- зависит от углового коэффициента пря
мой, по которой движется точка М.
715. В каких случаях функция многих переменных f(M) будет разрывна в точке Л40? Пояснить их примерами.
Решение. 1) Функция f(M) будет разрывна в точке Мо,
если она определена вблизи этой точки, но не определена в са-
мой точке Мо.
л.	1
Например, функция г = -	----
у х2 + 3г/2
определена на всей плоско-
сти хОу, но не определена в точке Мо (0; 0), поэтому в этой точке функция разрывна. Во всех других точках числовой плоскости она непрерывна.
2) Функция f(M) будет разрывна в точке 7И0, если опа определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет предела, когда точка М—>Л40.
Например, функция
sini4V ПрН х^0'
3 при х — у = 0
— 240 —
разрывна в точке А4(, (0; 0), так как она определена вблизи этой точки и в самой точке (на всей плоскости хОу), но не имеет предела при М—>Л40. В остальных точках плоскости хОу она непрерывна.
3) Функция f(M) будет разрывна в точке Л4и, если она определена вблизи этой точки и в самой точке, но lim f(M) =# f (Мп).
м->м„
Например, функция
| 5—х— у при х 1, у #= 2 |	1 при х = 1, у =2
разрывна в точке Л4П(Г, 2), ибо она определена вблизи этой
точки и в самой точке, но ее предел при М с частным значением в точке Л40; lim z =
М Ма
= 2^?(М0) = 1.
Графиком этой функции является вся плоскость 2 = 5— х — у без точки Р(1; 2; 2), вместо которой графику принадлежит точка Q(l; 2; 1) (черт. 141).
Функция двух переменных z = f (х, у) может иметь множество точек разрыва-, если они составляют линию, то она. называется линией разрыва функции.
Например, функция z — j—разрывна в каждой точке окружности х2 + у2 = 1. Эта окружность есть линия разрыва
716. Найти пределы:
Л4С не совпадает
Черт. 141
данной функции.
1)	^2-ХУ ;
Х->0 ХУ у «
3) lim^f х^о х +у
!/ ->• О
717. Указать точки или линии разрыва функций:
. v	Юх	3t/„.______ х2
2 —(х —1)2 + (I/ —I)2 ’	2“ 2х — у'	’ 2~ х2 — 2у2 — 4'
§ 3. Частные производные функции многих переменных
Функцию u = f(x, у, г, ..., t) можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.
Производная от функции и -- f (х, у, z, . . ., t) по х, взятая в предположении, что все остальные аргументы у, z, ..., I являются постоянными, называется частной производной от и по х
— 241 —
,	du
и обозначается или их, т. е. дх	*’
д_2_= и‘ = ц|П f(x + &x, ». г, .... t)—f(x, у, 2.Z)
дх * дх о	Дл
Аналогично определяются и обозначаются частные производные от функции и по каждому из остальных ее аргументов.
Частные производные функции многих переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной независимой переменной (гл. II).
718. Натти частные производные от функций:
1) z = x* + 5xy*-y*-,	2)п = ^ + |-|;	З)о=/Р.
Решение. 1) Считая z функцией только одного аргумента х, по формулам гл. II, находим || = 3х2 + 5у2.
Аналогично, считая г функцией только у, получим ~=
— \Qxy— 3<72.
2) Считая и функцией только х, затем только у и только 2, получим:
ди__ 1.г.	ди _	х .	1 ди_____ у	1
дх	у ' х2 '	ду ~	у2'	г	’ dz	z2	х
3) Заменяя корень степенью с дробным показателем и затем дифференцируя по каждой из двух переменных, получим:
. I V
V '	У V V = — ~г
v = ex\ v ——и х е*’ X	х2
719. Вычислить значения частных производных данных функций при указанных значениях аргументов:
1) /(«. 0) = cos(ma—п0); а = ^, 0 = 0;
2) 2 = In (х2 — у2); х—2, у=—1.
Решение. 1) По формулам дифференцирования (гл. II) находим частные производные:
f‘a ~ —т sin (ma — п0);	lp=n 3 * s’n (ma—И0).
Полагая а=~, 0 = 0, получим f'a(~, о) = — т; , о) = п.
2) Находим производные, затем вычисляем их частные значения в указанной точке:
. 2х .	2//	* /п ,.	4	» /Q , \	2
гх = ~2--2’ 2„—-----2“^’- Zv(2; — 1)=Т> Zn(2’’ ~0 = V
х X2 —у2	У	X2—у2 'X'1	' i 1 У к	' й
— 242 —
720.	Проверить, что функция z = xlny удовлетворяет урав-дг . dz
нению х^-4-u 5-= 2.
дх 1 я ду
Решение. Тождественно преобразуем данную функцию и находим ее частные производные по х и по у:
,,	,	, dz .	,	, I I) ,	02 X
z ~ х (in у— Inx); = = In у—Inx—l = ln-—1; — = —.
'	•*	>' dx u	x ду у
..	dz dz
Подставляя z, и в данное уравнение, получим тож-у=х1п-^; 0 = 0. Это значит, что дан-
дество х I in — К
ная функция удовлетворяет данному уравнению (является его решением).
Найти частные производные от функций:
721.	z = (5x3y2+I)3.	722. r = _fcy2.
723. v— In (х-|-)/х2 + у2). 724. р = arc sin
725.	f(m, n) = (2m)3"; вычислить f'm и f'n в точке А ; 2^.
726.	р(х, у, z) = sin2(Зх + 2у—г); вычислить р^(1; —1; 1), р-„а; I; 4). ₽;(-4; 0; -1).
727.	Проверить, что функция v = xy удовлетворяет уравнению a. _L^ = 2d
у дх In х ду
728.	Проверить, чтофункция ш = х-}-^—^ удовлетворяет урав-у ?
dw , dw . dw .
нению -ч-+ ч- + я-= 1.
дх ду dz
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных
Частным дифференциалом функции u = f(x, у, ...,/) по х называется главная часть соответствующего частного приращения ДЛ.и = /(х4 Дх, у, . .., /) — f (х, у, .. ., /), линейная относительно приращения Дх (или, что то же, дифференциала dx).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции и по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифференциалы функции и по х, по у, . .., по t обозначаются, соответственно, dxu, du, ..., dtu.
Из определения частных производных следует, что , ди ,	, ди .	, ди
axu — -5-dx- ауи = dm ...; dtu = -^dt.
х дх У ду J	1 dt
— 243 —

Полным дифференциалом функции u=-~-f(x, у, ./) называется главная часть ее полного приращения
Аи = f(x + Ax. у + &у, .... t + Ы)—f(x, у, t),
линейная относительно приращений Ах, Ду, А/ (или, что то же, дифференциалов dx, dy, . .., dt).
Полный дифференциал du функции и (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов
du = dxu -\-dyu -(-... +dtu = dx + ^dy + ... + ~df.
Функция и (x, у.....t) называется дифференцируемой в точке
(х, у, ..., !.), если в этой точке она имеет полный дифференциал.
При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом
Au « du.*
Вычисление полного дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее полного приращения. Поэтому указанное приближенное равенство используется для приближенных вычислений, простейшие из которых разъясняются в задаче 731.
729. Найти полные дифференциалы функций:
1) z = 3x2y5; 2) и = 2хуг; 3)* p=arccos^.
Решение.
1)	а. Находим частные производные данной функции: й=6^6; %= 15xV-
б.	Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
dxz = 6xys dx; d г = 15х2у4 dy.
в.	Искомый полный дифференциал функции найдем как сумму ее частных дифференциалов: dz= dxz 4- dyz = бху5 dx + 15х2у4 dy.
2)	Следуя указанному плану, последовательно находим:
а)	и'х = 2yzxuz~1; u^ = 2zx^2lnx; иг = 2ухиг1п х;
б)	dxti -= 2yzx"2-1 dx; dyu — 2zx!,z In xdy; dzu — 2yxyZ In x dz;
в)	du= 2x"2 f у dx + z I n x dy + у In x dz j .
7 du u2v Vuhi^-l ’ dv
* Исключая точки, где щ, — ul;= ... = u( = 0.
— 244 —
6)	d р = ..	• d n ==_______L“J _____ •
R\ dn =	1	4. M &Л
P	УиЧ-г — 1 I Ф1 + u\v\ ) •
730.	Вычислить значение полного дифференциала функции z=arcctg-^- при х=1, t/ = 3, dx = 0,01, dy = — 0,05.
Решение. Находим частные производные, затем частные дифференциалы и полный дифференциал данной функции:
дг  у дг _ х . .  xdy — ydx дх х2 ф у2 ’ ду х'2 ф у2 ’	2	х2 + у2
Подставляя заданные значения независимых переменных х, у, dx и dy, функцией которых является полный дифференциал dz, получим
&=Н-°.Щ-ЗА°!,_0|008. 1 4-у
731.	Вычислить приближенное значение:
1)	1,083-96; 2) slnl,49;fgbtg0’° - 
Решение. Если требуется вычислить значение функции f(x, у, t) в точке Л41(х1, у1, .. и если проще вычислить значения этой функции и ее частных производных в точке Л40(хс, 1/о> • • •> U» то ПРИ достаточно малых, по абсолютной величине, значениях разностей хх—x0 = dx, yt—y(j = dy, .. tx—t(,=^dt можно заменить полное приращение функции ее полным дифференциалом:
f(Ml)-f{M0)^fx(M0)dx-[fy(M0)dy + ... +f’(Mu)di, и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле
f(Mt) ^f(M0) + fx(M0)dx + f-i/(M0)dy+...+f't (M0)dt. (a)
1)	Полагая, что l,083/JC есть частное значение функции f(x, у) — ху в точке Mt (1,08; 3,96) и что вспомогательная точка будет Л40(1; 4), получим
I (Л40) = И = 1; fx (M0) = yx.v-i । x=i = 4. г* (Л1о) = хИп х | Х=1 = 0;
dx= 1,08—1 =0,08; dy = 3,96—4 = — 0,04.
Подставляя в формулу (а), пайдем
1,083-9е « f(M0) + fx (Л40)dx + fu (Л40) dy = 1 + 4 • 0,08 = 1,32.
— 245 —
... .,	sin 1,49-arc tg 0,07	,
2)	Пусть 1—22|Сд 6— есть частное значение функции трех переменных <р(х, у, 2) = 2х sin у arc tg z в точке Л41(—2,95; 1,49; 0,07) и пусть вспомогательная точка будет Мо — 3; -2-; о) . Тогда ах=—2,95—(—3) = 0,05; dy = 1,49—1,57 = —0,08; dz = 0,07;
<р(Л10)= 2-3 sin у arc tg 0 = 0; ср* (Л4П)=2Х 1п2-sin yarctg z | л<0=0;
% (Л4(,)=2Х cos у arctg z | л/о = 0; qf (Л40) = м° = 2~3.
Подставляя в формулу (а), получим
sin l,49^arcjg0,07 _ 2_3 0 07 ~ 0 0L
Найти полные дифференциалы функций:
732.	z = yln2x.	733. и = sin21 cos2x.
734. v=~ .	735. f(m, n, p) = e'im cos у .
736. Вычислить значение полного дифференциала функции:
X	1	1
1) 2 = —— при х = 2, t/= 1, dx = — у , dy = -,~ ;
2) f(x, у, z) = Vrx2 4- у2 -f- г2 при перемещении точки M (х, у, г) из положения Л4о(1О; —10; 5) в положение A4t(9; —И; 6).
737.	Найти приближенное значение 1,942е0-12, исходя из значения функции /(х, у) = хгеу в точке Л4О(2; 0) и заменяя ее полное приращение полным дифференциалом*.
738.	Найти приближенное значение sin 1,59 tg 3,09, исходя из значения функции 2 = sin xtgi/ в точке Мо	и заменяя
ее приращение дифференциалом*.
739.	Найти приближенное значение 2,68’1п0-05, исходя из значения функции 2 = x’in«/ в точке Л4(,(е, 0) и заменяя ее приращение дифференциалом.*
§ 5.	Дифференцирование сложных функций
Переменная z называется сложной функцией от независимых переменных х, у, . . ., t, если она задана через посредство промежуточных аргументов и, v, ..., w:
z = F (и, v, ..., w),
* Все вычисления выполнять с точностью до 0,01.
— 24b —
где
u = f(x, у, ..	/), и = <р (х, у, . .	t), ..., ау = ф (х, у, ..t).
Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:
dz _ dz ди , dz де	dz _
дх ди дх' dv дх ‘	' dw дх ’
dz dz ди dz dv	dz dw .
ду ди ду' dvdy^ ' ' ' ' dw ду ’
дг__дг ди . dz dv . dz dw	.
dt du dt dv dt ' ' ' ' dw dt "	' '
Если, в частности, все аргументы и, v, w будут функциями от одной независимой переменной х, то и 2 будет сложной функцией только от х. Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой
dz__dz du дг dv . .дг dw
dx~ dudx'ldvdx' ’ ' ’ dwdx '	'**’
(Она получается из формулы для полного дифференциала функции 2(ц, v, ..., ау) путем деления на dx.)
740.	Найти производные сложных функций:
1)	у = н2е®, и = sin х, n = cosx; 2) р = и0, и = In (х—у), v = e‘J\
3)	2 = х s"in v cos ay, v= In (x2 I), ay = — Kl —x2.
Решение. 1) Здесь у есть сложная функция одной независимой переменной х. Пользуясь формулой (**), получим
du ду du . ду dv a v	I 9 о /	•	\
-г = тгт~ + ?гтг = 2ue cos х + и2е (— sin х). dx ди dx dvdx	v '
2)	p есть сложная функция двух переменных х и у. По общим формулам (*), найдем
дх дидх dv дх	х—у	у
др	др ди , др dv	1	, В1 [	х
/ =	+	=	-----Е Ы In U • (---5 е ч ) 
ду	ди ду dvdy	у—х	\	у2	/
3)	2 есть сложная функция одной переменной х вида: г = = F(x, v, ay), v=f(x), ау = <р(х). Формулу для полной производной такой функции получим, полагая п = х в формуле («*):
dz _дг . dz dv dz dw
dx dx ‘ dv dx 'dwdx '
— 247 —
Согласно этой формуле, найдем
di .	,	2х	.	.	х
у- = Sin и COS ШЧ-Х COS О COS W—5-гт — х sin V sin и--——.— dx	x2 + l	j/1 _ x2
741.	u==ez~2,J, 2 = sinx, y~ x3; d~7
J	J dx
742.	2== In (e* + e'); найти 1) ~, 2)	, • если x = I3.
743.	P==«2lno, u = ±. v = 3x-2y,
744.	f(x) = arcsin у , z/=|/x24 1;
§ 6. Дифференцирование неявных функций
Переменная и называется неявной функцией от независимых переменных х,у, .. t, если она задана уравнением f (х, у, t, и) = 0, которое не разрешено относительно и. При этом, если функция f(x, у, . . t, и) и ее частные производные f'x, f .... f‘(, f'u определены и непрерывны в некоторой точке Л40(х0, у0.t0, и0)
и вблизи нее и если f(Mo) = 0, а f'u(M0) =^=0, то уравнение f(x, у, . . t, и) = 0 вблизи точки Р (х0, у0, . ., tQ) и в самой этой точке определяет и как однозначную, непрерывную и дифференцируемую функцию от х, у, ..., I.
Производные неявной функции и, заданной уравнением f(x, у....t, и) = 0, при соблюдении указанных условий оп-
ределяются формулами
ди____fx .	ди_____fe .	, ди ___ft	...
дх	г' ’	ду	/' ’	‘ ’ ’’ д/	р	’	' '
В частности, если у есть неявная функция одной переменной х, заданная уравнением f(x, t/) = 0, то
^ = / = -4-.	(Б)
dx J	f
1 у
745.	Найти производную неявной функции у, заданной уравнением; 1) х2 + у2-|-2х—6//+2 = 0; 2) xy~if, и вычислить ее значение при х=1.
Решение. 1) Обозначив левую часть данного уравнения через f(x, у), найдем частные производные ^ = 2хф-2, fti = 2y—6
и, подставив их в формулу (Б), получим у =л—-•
Далее, подставляя в исходное уравнение х=1, найдем два соответствующих значения функции yt=l и у2 = 5. Поэтому при х— 1 и производная имеет два значения: у^(1)= 1» у\(\)——Б
— 246 —
2) Преобразовав данное уравнение к виду ху—ух = 0, согласно формуле (Б), получим
dy 	(*у — ик)х  ух 1 п у—уху ~1
dx	(ху у*)'	ху 1п х — хух~*
При х=1 из данного уравнения определяем у — 1. Искомое значение у'(1)=1.
746.	Найти частные производные неявной функции 2(х, у), заданной уравнением: 1) х2-)-у2~уг2—z = 0; 2) ax-)~by—сг = = k cos (ax ] by—cz).
Решение. 1) Обозначив левую часть уравнения через <р(х, у, г) и пользуясь формулами (А), получим
dz_	2 л	dz_____%, _ 2у
дх~ <р’ ~	2г—1 ’ ду~	2z — 1
2) Преобразуя уравнение к виду ах-\-Ьу—cz—&cos(ax+ -\-by—C2)=Q и обозначая его левую часть через F (х, у, z) по формулам (А) найдем
дг__ F*____ а-ро/г sin(ox4-fti/—сг) _ а
дх	р'	—с—ck sin (ах4-by—cz)	с ’
dz 	_ b + bk sin (ax -f-by —cz)   b
dy	p'	—c—ck sin (ax 4- by—cz)	c
Найти производные неявных функций:
747.	l/^'Ч-= 1Л~С2.	748. uv =— In (uv)\
749.	у2 = ^"—; ~\	? 750. х: sin t/4-cos2y = cosy, (/'[ п ?
х--У ах I g =2	=
751.	х24-г/24-г24-2хг = 1; z’x? z? 752. e" = cost>cos/;
753.	Проверить, что функция 4 sin (Зх ф 2с/4-5г) = Зх (~2у 4- 5.г dz . dz . . n удовлетворяет уравнению +	—
§ 7.	Частные производные высших порядков
Функцию многих аргументов и = [(х, у, . .., t) можно дифференцировать по каждому аргументу. Полученные частные du du	ди ,	,	,
производные	(первого порядка) обычно зависят
от тех же аргументов и каждую из них также можно дифференцировать по каждому аргументу.
— 24У —
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:
д fди\  д2и у _ д /ди\  д2и у
=	~ду \dx)~dxdy = UxlJ ’
д (ди\__ д2и _ " _ д /ди\_____д2и_ •>
fa \ду)= dydi~Uyx ’	[d~y)~fa2~Uy,J’
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Они обозначаются:
д (д2и\_____д3и__ г” е	д (д2и\______ д3и __
дх \ дх2)	дх3	'ххх ’	ду \5x2J	дх-ду	'хху ’
д / д2и \____ д3и ___ с"' ,	д / д2и \ ____ д3и _____
ду \ах ду)	дхду2	'x,jy ’	дх \дх ду)	дх ду дх	'х
Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и других высших порядков.
Частные производные высших порядков, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны, если они непрерывны. Например,
д2и __ д2и . д3и ____ д3и __ д3и
дх ду ду дх ’ дх2 ду ду дх2 дх ду дх '
Согласно этому положению, функция двух переменных z = f{x,y) имеет три различных частных производных второго порядка
д22 д2г д2г
дх2 * дх ду ’ ду2 ’
четыре различных частных производных третьего порядка
д3г д3г d3z д3г
дх3 ’ дх2 ду ’ дх ду2 ’ ду3
и вообще п+1 различных частных производных н-го порядка.
Частные производные высших порядков находятся путем последовательного нахождения одной производной вслед за другой по правилам дифференцирования функции одной переменной (гл. 11).
754.	Найти частные производные второго порядка следующих функций: 1) z — x3—2x2y-f-3y2; 2) и (х, у, t) = exyt.
Решение. 1) Сначала находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка:
гх = Зх?—4ху, г„ — — 2х2 + бу;
Zxx = Gx—4у; zxu = zvx = — 4х; zvv = 6.
— 250 —
2) Последовательно дифференцируя, находим
tzx = y/eA-yt; tzy = xlexyt; ut == xyexyt;	u'xx = y2t2exyt;
иХу = tiyx = / (1 + xyt) exyt\ uxt = utx = у (1 + xyt) exyt;
Uyt = Uty = x(l-\-xyt)exyt-, utJy = x2t2exyt; utl — x2y2exyt.
755.	Проверить, что zXy = Zyx для функций: 1) z = cos(ax— by), 2) z = ln (,v24-z/2+1).
Решение. 1) Дифференцируя z по x, найдем zx = = — a sin (ax —by); дифференцируя zx по у, найдем (zjy = zxlJ = = a6cos(ax— by).
Дифференцируем в другом порядке: сначала найдем производную от z по у, zg — bim(ax — by), затем производную от zu по х, (Zy)x = ZyX = ab cos (ах—b)-
Сопоставляя полученные результаты, заключаем, что для данной фуНКЦИИ Zvy = Zy.v.
2) Последовательно дифференцируя, находим zxy, затем z"yX : '	2х	_ "	4xi/
2х “ х2 +1/2 + 1 ’ 2*" ~ ~ (х2 + у2+1)2 ’ ' ,	21/	.	"________4xt/
х2 + 1/2 + 1 ’ 7-УХ	(Х2 + у2+ 1)2 •
Следовательно, и для этой функции zxy = zyx.
756.	Проверить, что функция z = 2cos2^y—удовлетво-,,	о д2г . д2г
ряет дифференциальному уравнению 2 ^2-+	= 0.
Решение. Найдем частные производные второго порядка, содержащиеся в данном уравнении:
= 2 • 2 cos ох
(у—4) • [—sin (//—4)] • (—4)=sin^-g = -cos(2i/-x); g|- = 2cos(2i/-x).
Подставляя их в данное уравнение, получим тождество: 0 = 0.
757.	Найти частные производные второго порядка следующих функций: 1) z = 2~22з ; 2) и = е Sln У In х.
758.	Н айти , если u = ln(x4-w). ох2 ду	\	।
759.	Найти иХуу, если и = sin (ху).
760.	Найти	, если и = 2х-1'г.
ax ay az
761.	Проверить, что = для функций:
1)	z = ln-^; 2) z = arcctg(х + 2у).
У
— 251 —
~ап гт	Э3у dsv	.	t
762.	Проверить, что	= ^—для функции ц =— .
' г	дх ду ох ду дх2 1 J	хуг
763.	Проверить, что функция р = In (х2 -J- у2) удовлетворяет д2р д2р л
уравнению ^ + ^ = 0.
764.	Проверить, что функция и = е» удовлетворяет уравнено ди , д2и _
ПНЮ 5---г+'/Д—7Г = 0.
дх ду ' ' дх ду
§ 8.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка Л10(х0, у0, z„) лежит на ней, то:
касательная плоскость к поверхности в точке Мо определяется уравнением
(х-х0) Fx (Мо) + (у-у0) F'y (М„) + (г- z0) X (Л4„) = 0;	(I)
нормаль к поверхности в точке Мо (прямая, проходящая через точку Л1П перпендикулярно к касательной плоскости) определяется уравнениями
X Xq __ у у0_____	2	Hl)
FJMo) ~ F',(A1O) ~ F'2 (A1o) '	1 '
Точки поверхности F(x, у, z) = 0, где одновременнообращаются в пуль все частные производные первого порядка Fx, Fy, Fz, называются особыми. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.
765.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x2 + //2 в точке А (1; —1; 3).
Решение. Преобразуем уравнение поверхности к виду 2х2 + Н-1/2—z = 0 и, обозначив его левую часть через F (х, у, z), найдем частные производные Fx — 4x, Fy = 2y, Fz =—1, вычислим их числовые значения в данной точке FX(A) = 4, FV(A) — — 2, FZ(A) =—1 и, подставляя в общие уравнения (I) и (II), получим: уравнение касательной плоскости 4 (х—1)—2(х+1)—(z—3) = 0 пли 4х—2у—г — 3 = 0;
х—1 д+1 г—3 уравнения нормали—= —р .
766.	На сфере x2 + y2 + z2 = 676 найти точки, где касательная плоскость параллельна плоскости Зх—I2y + 4z = 0.
Решение. Пользуясь общим уравнением (I), составим уравнение касательной плоскости к данной сфере в ее точке (х0, у„, z0):
х0 (х—х0) + (</—//„) + z0 (2—г0) = 0
— 252 —
или
хох + У0У + ?OZ = х"и ф у„ -I- А = 676.
Согласно условию параллельности двух плоскостей, чтобы касательная плоскость была параллельна данной плоскости, в их уравнениях коэффициенты при текущих координатах должны
быть пропорциональны:	~ = Л.
Определив отсюда Л'о — За, у0 =—12А, z0 = 4X и подставляя в уравнение сферы, находим два значения коэффициента пропорциональности: Х-+2 и две искомых точки на сфере (6; —24; 8) и (—6; 24; —8), в которых касательная плоскость параллельна данной плоскости.
767.	Показать, что касательные плоскости к поверхности хуг = — т3 образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
Решение. Уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке Р (л0, у0, z0) будет yozox ф xozoy ф x„yoz = = 3л'оуого. Она отсекает на осях координат отрезки а = 3хо, Ь — = 3ул, c = 3z0. Эти отрезки являются взаимно перпендикулярными ребрами тетраэдра, образованного касательной плоскостью и плоскостями координат. Приняв одно из этих ребер за высоту тетраэдра, найдем, что его объем V = abc = уxuyaz0 = у т3 (так как точка Р лежит на данной поверхности) не зависит от координат точки касания Р. Из этого следует, что различные касательные плоскости к данной поверхности образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного (одинакового) объема.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
768. Л'2ф2у2ф3а2 = 6
769. 2г = х2—у2
— = 1 Р
77°- 4+-S аг Ь1
в точке (1; —1; I).
в точке (3; 1; 4).
в точках (лс, у0, z0) и (а, Ь, с).
771.	Найти касательные плоскости к эллипсоиду 4х2 ф4у-ф ф-г2 = 4, параллельные плоскости 12х—3//ф2г==0.
772.	Найти уравнения касательных плоскостей к параболоиду 4г = х2фу2 в точках пересечения его с прямой x — y = z.
713. Проверить, что поверхности х1—ху — Я.г2-|-5 — 0 и 4флф-2у = 1пг касаются друг друга, т. е. имеют общую касательную плоскость, в точке (2; —3; Г).
§ 9.	Экстремум функции многих переменных
Значение функции f(M) в точке Мо называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее. значениями во всех достаточно близких точках.
Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум.) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют*. Такие точки называются к р п т и ч е с к и м н.
Критическая точка Мо будет точкой экстремума функции f (М), если для всех точек М, достаточно близких к Л10(в окрестности Л40), приращение функции hf = f(M)—f (MJ) не изменяет знака. При этом, если А/ сохраняет положительный знак, то Л40 есть точка минимума, г если А/ сохраняет отрицательный знак, то Мо есть точка максимума функции.
Для функции двух переменных f (х, у) вместо исследования знака А/ можно исследовать каждую критическую точку Л40, в которой функция дважды дифференцируема, по знаку определителя д-|вс|-лс-В!'
где
Л = ДДЛ40), B = f"xy(M0), C = fBl/(M0).
При этом:
1)	если А>0, то М„ есть точка экстремума: при Л<0 (или С<СО) точка максимума, а при 4>-0 (или С>0) точка минимума;
2)	если А<0, то в точке Мо нет экстремума;
3)	если А = 0, то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точке Мо требуется дальнейшее исследование, например по знаку приращения А/ вблизи этой точки.
Условия 1) и 2) являются достаточными условиями наличия или отсутствия экстремума.
774.	Найти экстремумы функций;
1)	z = № + 8ys — вху 4- 5;	2) и = х3 4- у2 — 3x4- 4 ]/уБ;
3)	и=(х—у)24-(у—I)3;	4) w = x3 4-I/3 4-z«.
Решение. 1) Находим частные производные 1-го порядка 2Х и z‘y и критические точки, в которых они равны нулю или не существуют и которые лежат внутри области опре-
* Это необходимые условия экстремума (но недостаточные, они могут выполняться и в точках, где нет экстремума).
— 254 —
деления функции: zx = 3x2— бу; zy = 24у2 — 6х. Решая систему уравнений zx = 0, zy = 0, найдем две точки: Л4г (0; 0) и М2 (1;	.
Обе точки являются критическими, так как функция z определена на всей плоскости хОу. Других критических точек нет, так как 2Х и zy существуют при любых значениях х и у.
Далее исследуем критические точки Мх и М2 по знаку определителя Д, составленного из частных производных второго порядка: z"xx=A==6x; zxy = В = — б; zyy = C = 48y.
Для точки Мг получим А = 0, В = — 6, С = 0 и Д (М,) = АС — — В2 < 0. Следовательно, согласно достаточному условию 2), в точке Mt нет экстремума.
Для точки М2 имеем /1 = 6, В =— 6, С = 24 и Д (М.,)~>0. Согласно достаточному условию I), Л42 есть точка минимума. Zrnin= ?(Л42) = 4.	,	,	__
2)	Ищем критические точки их = Зх2 — 3; иу = 2у ф- 21Л/3. Из системы уравнений их = 0, иу = 0 найдем точки Pj (1; 0) и Р2 (—1; 0). Эти точки принадлежат области определения исследуемой функции: — оо<х<Доо, О^у-Сф-оо (которая представляет половину плоскости хОу, лежащую выше оси Ох, включая и ось Ох), но они расположены не внутри этой области, а на ее границе у = 0. Поэтому точки Рг и Р2 не являются критическими. Частные производные их и иу существуют во всей области определения функции и. Поэтому данная функция, как не имеющая критических точек, не имеет экстремума. (Если не учесть, что граничные точки не могут быть точками экстремума, то, определив знак Д в точке Рг, придем к ошибочному заключению, что она есть точка минимума.)
3)	Ищем критические точки щ = 2(х—у); vy —— 2(х —у)ф-ДЗ(у-1)2.
Решая систему уравнений щ = 0, су = 0, найдем единственную точку Л40(1; 1), которая является единственной критической точкой функции V.
Далее, чтобы установить, будет ли экстремум в точке М„, вычисляем значение А в этой точке: vlx = 2, v\y =—2, щ,у = 2ф-+ 6(у-1); Д(Мо) = 0.
Здесь оказалось, что Д (ЛД) не имеет знака (случай 3). Чтобы установить, имеет ли экстремум функция и в критической точке Л1о, исследуем знак ее приращения Ди = v (М) — и (Л10) = (х — у)'2 ф-ф-(у — I)3 вблизи точки Мо.
Пусть точка М лежит на биссектрисе у = х. Тогда Лп = (у—I)3. Если М будет ниже Л40, т. е. если ум< 1, то Дп < 0, а если М будет выше Мо, т. е. если ум>\, то Дп>0. Здесь оказалось, что вблизи Мо разность Дт> не сохраняет знака, вследствие чего в точке Мо нет экстремума.
— 255 —
,	2	2*2
4)	Ищем критические точки	= —j-—; &'.7 = ~ з /- ; wi ~	"
3 х 3 р/ у 3 р/ 2
Эти частные производные не обращаются в пуль ни при каких значениях х, у, z; они не существуют (обращаются в бесконечность) в точке Р„ (0; 0; 0). Точка Рс лежит внутри области определения функции иэ, которая представляет совокупность всех точек (х, у, г) пространства. Поэтому Ро критическая точка.
2	2	2
Исследуя знак разности ш(Р)— w(Pu) = x 3 -|-р3 + z3 вблизи точки/%, убеждаемся, что при любых отличныхотнуля значениях*, у, z она сохраняет положительный знак. Поэтому Рй есть точка минимума, tWmin = Ш(Р1)) = 0.
Исследовать на экстремум функции:
775.	z •= х2 -|- ху + 1/а — 6х — 9у. 776. и = х у — х2 — у ф- 6х | 3.
777. р = 2xt/ — 2х — 4у.	778. z = х3 ф- ху2 ф- бхт/.
779. <р = (х2ф-1/))/Р. 780. ? = 31п^-+21п z/4-ln (12-х —у).
781.*. z=2 + (x-l)4(y+1)в. 782*. и = 1 -(х-2р-yv.
§ 10.	Наибольшее и наименьшее значения функции
Понятия наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных определяются так же, как и для функции одной переменной (гл. Ill, § 5).
Наибольшее или наименьшее из всех значений функции нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значениями в соседних точках.
Если функция разрывна нли непрерывнавнезамкнутойобласти, то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функция f(M), непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области D, обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих, внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции f(M) в ci раниченной замкнутой области D, где она непрерывна, можно руководствоваться следующим правилом:
А.	Найти критические точки, лежащие внутри области D, н вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
Б. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области D.
В.	Сравнить полученные значения функции: самое большее (меньшее) из них н будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области D.
— 256 —
783. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) z = х2—y2-j-2a2 в круге х2у2 а2;
2) v = 2х3 + 4х2 у2 — 2ху в замкнутой области, ограниченной линиями у = х2 и у = 4.
Решение. 1) Согласно указанному правилу:
А. Найдем критические точки функции z, лежащие внутри круга, и вычислим ее значения в этих точках: г'х = 2х, z =—2у; решая систему уравнений z'x=0, z'==0, найдем критическую точку К (0; 0), которая лежит внутри круга. Других критических точек нет. Значение функции в этой точке з(Л') = 2а2.
Б. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе заданной области —на окружности х2+у2 = а2. Уравнение окружности связывает между собой переменные х и у. Определяя из этого уравнения одну переменную через другую, например у=±Уа2—х2, и подставляя в выражение функции Z; преобразуем ее в функцию одной переменной: z(х) =2х2 + а2, где х изменяется на отрезке [ — а, о].
Далее ищем наибольшее и наименьшее значения функции z(x) на отрезке [—а, а], которые и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции z(x, у) на границе заданной области — на окружности.
Согласно правилу, указанному в гл. III, § 5:
I.	Ищем критические точки функции z(x), лежащие внутри отрезка [ — а, а], и вычисляем ее значения в этих точках-, z'(х) = = 4х; z'(x) = 0 в точке х = 0. Эта единственная критическая точка лежит внутри данного отрезка. Значение z(x) в этой точке z(0) = a2.
II.	Вычисляем значения z(x) на концах данного отрезка: z ( — а) = z (о) = За2.
III.	Сравнивая вычисленные значения z (х) во внутренней критической точке х = 0 и на концах отрезка х=—а и х = а, заключаем: наибольшее значение функции z(x) на отрезке [—а, а] [или что то же, функции z(x, у) на границе данной области— на окружности х2-| у2 = а2] равно За2, а наименьшее значение z(x) на данном отрезке [или, что то же, z(x, у) на данной границе] равно а2.
В. Сравнивая значение z во внутренней критической точке К с ее наибольшим и наименьшим значениями на окружности, заключаем: наибольшее значение функции z в данной замкнутой области — круге равно За2 и достигается ею в граничных точках АД—а, 0) и А.Да, 0), а ее наименьшее значение в этой области равно а2 и достигается в граничных точках А3(0,—а) и А4(0, а), (черт. 142). Ординаты точек А}, Л2, А3, А4, которые лежат на окружности, вычислены из уравнения окружности по известным их абсциссам.
2) Руководствуясь указанным правилом:
9 Заказ № 3201
— 257 —
А. Ищем критические точки функции V, лежащие внутри заданной области (черт. 143) v'x = 6х2Ц-8х—2у; v'y = 2y—2х; решая систему уравнений у* = 0, v'; = 0, найдем две критические точки (0; 0) и ( — 1; —1), из которых ни одна не лежит внутри заданной области. Других критических точек функция и не имеет.
Б. Ищем наибольшее и наименьшее значения v на границе заданной области. Она состоит из двух участков АОВ и АВ, имеющих различные уравнения. Поэтому вначале найдем наибольшее и наименьшее значения v на каждом из этих участ
Черт. 142
Черт. 143
ков, затем, сопоставляя их, найдем наибольшее и наименьшее значения у на всей границе.
На участке АОВ имеем у = х2, ух (х) = х4 4- 4х2, где х изменяется на отрезке [ — 2; 2].
Согласно правилу гл. III, §5, ищем наибольшее и наименьшее значения ух на отрезке [ — 2; 2]:
I.	уС= 4х3-f-8х; у' = 0 при х = 0; ох(0) = 0.
II.	ох( — 2) = УХ(2) = 32.
III.	Сравнивая значения ух во внутренней критической точке х = 0 и на концах отрезка х =—2, х = 2, заключаем: наибольшее значение у, на отрезке [ — 2; 2] равно 32 (в точках х=±2), а наименьшее значение ух на этом отрезке равно нулю (в точке х = 0).
На участке АВ имеем у = 4, у2 (х) = 2х3 4- 4х2 — 8x4-16, где — 2=s£x<2.
Ищем наибольшее и наименьшее значения у2 на отрезке [-2; 2]:
I.	о'—-6х24-Вх — 8; внутри данного отрезка у'=0 при
2 2	(2 >	22
х =-д (в точке С)\ у2 J = 16 27 
II.	у2 (- 2) = v., (2) = 32.
— 258 —
III.	Наибольшее значение v2 на отрезке [ — 2; 2] равно 32 (в точках х = ±2), а наименьшее значение v2 на этом отрезке равно 16^7 точке x=yj.
Сопоставляя значения и на участках АО В и АВ, приходим к выводу: на всей границе АОВА наибольшее значение функции v равно 32 (в точках А и В), а ее наименьшее значение равно нулю (в точке О).
В. Внутри заданной замкнутой области функция v не имеет точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе этой области. В граничных точках Д(—2; 4) и В (2; 4) функция v имеет наибольшее значение, оНб = v(A) = v (В) = 32, а в граничной точке 0(0, 0)
она имеет наименьшее значение, fHM =
=и(0) = 0.
784. Найти такую точку равнобедренного прямоугольного треугольника, для которой сумма квадратов расстояний до его вершин будет наименьшая.
Решение. Выберем прямоугольную систему координат хОу, как показано на черт. 144, тогда координаты вершин треугольника будут А (0, 0), В (а, 0), С(0, а). Возьмем произвольную точку треугольника
М (х, у) и определим сумму квадратов рассто-
яний ее до вершин треугольника и = МА2 4- МВ2 4- МС2 — Зх24-4- Зу2—2ау—2ах4-2а2. Она зависит от двух переменных хи у,
которые согласно условию могут принимать любые значения из замкнутой области треугольника АВС.
Далее,согласно правилу, указанному в начале этого параграфа, найдем наименьшее значение функции и (х, у) в треугольнике АВС:
А. и'х = бх—2а; и'у = 6у— 2а.
Из системы уравнений и’х = 0, иу = 0 найдем единственную критическую точку К ^у, у) , лежащую внутри треугольника АВС.
4
Значение и в этой точке н(/() = уа2.
Б. На стороне АВ имеем: у = 0, и(х, 0) = Uj = 3x2— 2ax4-4- 2a2, где 0 ss х a.
I.	u' = 6x—2a; uj = 0 при x = y (в точке Adj; ur ^y) = ya2.
II.	Uj(0) = 2a2; u1(a) = 3a2.
III.	Наименьшее значение (x) на отрезке [0, a] равно ya2.
На стороне ВС имеем: х = а—у (из уравнения прямой ВС); и(а—у, у) — и2 — 6у2—6ay4-3a2, где 0 a.
I. и'2 = 12у—6a; a'2 = 0 при y = | (в точке M2); a2 =y a2.
9
— 259
II. iz,(0) = iz2(a) = 3a2.
з
1П. Наименьшее значение u2 (у) на отрезке [0, а] равно ^аг.
На стороне С А имеем: х = 0; и (О, у) = и3 = Зу2— 2ау-\-2а2, где O^ys^a.
1.	u's = 6y—2a; и'3 = 0 при у — у (в точке Л43); “з(у) = уа2-
II.	tz3(0) = 2a2; tz3(a) = 3a2.
III.	Наименьшее значение tz3 (у) на отрезке [0, а] равно уй2-
Сравнивая значения и на сторонах АВ, ВС, СА, заключаем:
5 наименьшее значение и на всей границе АВС А равно ^а2.
В. Сопоставляя значением во внутренней критической точке К с ее наименьшим значением на границе области, приходим к выводу, что среди всех значений и в различных точках треугольника АВС наименьшим является ее значение в точке К (4-). Легко убе-диться, что точка К является центром тяжести данного треуголь-
ника.
Эту задачу можно решить и для любого треугольника;, искомая точка также будет его центром тяжести.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
785.	<р = х34-у3—9лл/-|-27 в квадрате 0	4, 0 ^//^4
786.	г==3ху в круге х2 4- У2 ^2.
787.	Найти наибольшее значение функции ц = ху(4—х—у) в треугольнике, ограниченном прямыми х=1, у = 0, х4-(/ = 6.
788*. Найти наименьшее значение функции u = sin х 4-sin у 4-4- cos(х4-у) в квадрате 0 ^х^ 1,5л, 0 sg у sc 1,5л.
789.	Найти точку треугольника А (0; 0), В (1; 0), С(0; I), сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наибольшее
значение.
790.	Какой треугольник с данным периметром 2/9 имеет наибольшую площадь? (Использовать формулу для площади треугольника по трем его сторонам.)
791.	Найти точку четырехугольника (0, 0), (а, 0), (а, а), (0, 2а), сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наименьшее значение.
792.	Из куска проволоки длиной I сделать каркас прямоугольного параллелепипеда с наибольшим объемом.
793.	Определить размеры открытого прямоугольного ящика с данным объемом V и с наименьшей поверхностью.
ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхностные интегралы, как и обыкновенные (однократные) определенные интегралы, служат для вычисления различных величин,
В главе V «Определенный интеграл» разъяснен общий метод вычисления различных величин как пределов соответствующих интегральных сумм. Суть его заключается в следующем:
1.	Искомая величина разбивается на большое число малых элементов.
2.	Вычисляется приближенное значение (главная часть) каждого элемента и путем их суммирования находится приближенное значение всей искомой величины в виде интегральной суммы.
3.	Находится предел этой интегральной суммы, который и дает точное значение искомой величины.
В простейших задачах, приведенных в главе V, вычисление величины сводилось к вычислению предела интегральной суммы, распространяющейся на прямолинейный отрезок изменения одной переменной, который называется простым или обыкновенным определенным интегралом.
В более сложных задачах, рассматриваемых в этой главе, вычисление величины сводится к вычислению предела интегральной суммы, распространяющейся или на плоскую область изменения двух переменных, или на пространственную область изменения трех переменных, или вдоль дуги некоторой кривой, или по некоторой поверхности, которые и называются соответственно двойным, тройным, криволинейным и поверхностным интегралами.
Все указанные определенные интегралы определяются вполне аналогично и отличаются друг от друга в основном лишь областью интегрирования.
— 2Ы —
§ t. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием
Если функция f (М) непрерывна в некоторой замкнутой плоской области D и если разбить эту область произвольным способом на п частичных областей с площадями Asn As2, As„, выбрать в каждой из них по одной произвольной точке М1г М2, .... Мп, вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
f (MJ AS1 + f (M2) As2 4-... 4- f (M„) As„ = 2 f (MJ As;, f = 1
то она называется интегральной суммой функции f(M) по области D.
Очевидно интегральная сумма зависит как от способа разбиения области D на п частичных областей, так и от выбора в них точек М/, т. е. для всякой данной функции f (М) и всякой данной замкнутой области D можно составить бесчисленное мно
жество различных интегральных сумм.
Однако при неограниченном увеличении п и при стремлении к нулю наибольшего из диаметров* частичных областей все эти
различные интегральные суммы имеют один общий предел, который называется двойным интегралом от функции f(M) по области D и обозначается f (M)ds.
D
Двойной интеграл обладает всеми основными свойствами обык-
новенного определенного интеграла: область интегрирования двойного интеграла можно разбивать на части, двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех слагаемых, постоянный множитель можно выносить за знак двой
ного интеграла.
Вычисление двойного интеграла
сводится к вычис-
D
лению одного или нескольких двукратных интегралов вида
^2 Р2	Ga	Рг
/! = У Ц F (а, Р) dpi da = § da§ F (a, P)dp
ai 31	«1	Pi
или
“// а//
/2 = J [ J F (а, р) da ] dp = J dp J F (a, P)da,
₽, a,	₽, a,
каждый из которых есть результат последовательного вычисления двух обыкновенных определенных интегралов.
* Диаметром области называется наибольшая из ее хорд.
- 262 —
В двукратном интеграле 1} вначале функция F (а, 0) интегрируется по 0, причем а рассматривается как постоянная, а затем полученный результат интегрируется по а.
В двукратном интеграле /2 интегрирование выполняется в обратном порядке: вначале по а, причем 0 рассматривается как постоянная, а затем полученный результат интегрируется по 0.
Как правило пределы при первом интегрировании являются переменными, зависят от той переменной, которая при этом рассматривается как постоянная. Пределы при втором интегрировании всегда постоянны.
Если область интегрирования D отнесена к прямоугольной системе координат хОу и если она разбивается на частичные
области сетью прямых, параллельных осям координат (черт. 145), то площадь частичной области ds = dxdy (как площадь прямоугольника со сторонами dx и dy) и
jjf (М) ds = f(x, y)dxdy.
D	D
Если при этом область D такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области параллельно оси Оу, пересекает ее границу в двух точках (черт. 145), то она определяется неравенствами вида
•Pi (х) ==£ у ==£ <р2 (х), а^х^Ь,
где y = ip1(x) и //=<р2(х)—уравнения нижней (•djA'fjB) и верхней (А2М2В) линий границы; а и b—абсциссы крайних слева и справа точек области D. В этом случае двойной интеграл выражается через двукратный интеграл по формуле
Ь <;2 (х)
^f(x, y)dxdy = §dx J f(x, y)dy.	(1)
D	a <Ti (xj
По этой формуле интегрирование выполняется вначале по у— в пределах от yY = <рх (л) до 1/„ = ф2(х), которые указывают гра
— 263 —
ницы изменения у при постоянном, но произвольном значении х, а потом по х,— в пределах от xt = а до х2 = Ь, которые являются крайними (наименьшим и наибольшим) значениями х во всей области D.
В этом случае, если окажется, что нижняя или верхняя линия границы состоит из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D следует разбить прямыми, параллельными оси Оу, на части, в каждой из которых нижняя и верхняя линии границы определялись бы каждая одним уравнением.
Так, для области D, изображенной на черт. 146, вычисление двойного интеграла приводится к вычислению двух двукратных интегралов:
с ([>, (*)	h
j У udx dy —	udx dy + udx dy = dx J udy + ^dx C udy.
D	D,	D2	a q>, <x)	<	q>, (x)
Если граница области D пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области параллельно оси Or (черт. 147), то она определяется неравенствами вида
Ф1 (у)	* =sS Фг («/), c^y^h,
где x — ty^y) и х = ф2(у)—уравнения левой (CNjH) и правой (CN2H) линий границы,
с и h — ординаты крайних снизу и сверху точек области D
В этом случае двойной интеграл выражается через двукратный интеграл по формуле
h Ч’г (</>
f(x, y)dxdy = ^dy У f(x, y)dx.	(2)
О	с гр, (у)
Здесь интегрирование выполняется в другом порядке: вначале по х, затем по у. Пределы внутреннего интеграла указывают границы изменения х при постоянном, но произвольном значении у.
— 264 —
пределы внешнего интеграла указывают границы, в которых может изменяться у во всей области D.
В этом случае, если левая или правая линия границы будет состоять из нескольких участков с различными уравнениями, то область D следует разбить прямыми, параллельными оси Ох, на части, где левая и правая линии границы определялись бы каждая одним уравнением.
Согласно этому положению, двойной интеграл по области D, изображенной на черт. 148, сводится к двум двукратным интегралам
ft	(У>
и dx dy — и dx	и dx dy = § dy § udx-{-
O	D,	D,	С	(y,
ft U'.-< («'
+ J dy § и dx.
ft (У)
Пределы внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы внутреннего интеграла, как правило, являются переменными и зависят от той переменной, которая рассматривается как постоянная; оба они будут постоянными только в том случае, когда область интегрирования представляет прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат.
794. Вычислить двукратные интегралы:
1 2Х	4	Ц
1)	Ii = ^dx § (х—у+ l)dy; 2) I2 = ^dy\ ^~dx.
OX	2	0
Решение. 1) Сначала вычисляем внутренний интеграл, где у является переменной, а х постоянной:
j (л—у + 1) dy = ху—4- у = х —.
К
Далее вычисляем внешний интеграл, — полученный результат интегрируем по х:
2) Здесь интегрируем сначала по х, считая у постоянной,
затем по у: ч	и
С -/3 Я - — 3 С —
J х2 -|- у2 х У J х'1 -р у2 о	о
у2 arc tg
|* = У  лу2 .
|х=о	4 ’
X
7
4
Г С nt/2 , л ч [4	14
2 ~: J У< IJ12 У' |2 “ У л 
— 265 —
Вычисление можно записывать короче:
4 У	4
arctgK:>=
2 0	2
=7 jyady=^y3 = 2
795. Вычислить двойной интеграл j ху dxdy, если область D: D
1) прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, х — а, №
Черт. 149
муле (1)],
y = Q, у = Ь\
2)	эллипс 4х24-у2 -С 4;
3)	ограничена прямой у — х—4 и параболой у2 = 2х.
Решение. 1) Построив данные прямые (черт. 149), получим прямоугольник О А ВС со сторонами, параллельными осям координат. При такой простейшей области интегрирования безразлично, вычислять ли двойной интеграл по формуле (1) или по формуле (2).
Интегрируя вначале по у, затем по х [по фор-пол уч им а b
а
xdx =
о о
О
Ьг С , У1 х2 Р а2Ь2 ~ 2 J xdx~ 2 ’ 2 L “ 4 '
О
Интегрируя в другом порядке—вначале по х, затем по у [по формуле (2)], получим тот же результат:
Ь л	b
xydxdy = §y dy xdx — ^ (j^ydy-= D	ooo
b а2 С , a2 u2 p a2b2 ~ TJ У dy— 2" ¥ lo^T’-0
2) Построив область D (черт. 150), будем сначала интегрировать по х, а затем по у [по формуле (2)].
Разрешая уравнение границы области D (эллипса) относительно х, найдем пределы внутреннего интеграла (с переменкой х):
х=—1|/4 —у2 и х=у/4 —у2.
— 266 —
Пределы внешнего интеграла (с переменной у) найдем как ординаты самой нижней и самой верхней точек области D (или как наименьшее и наибольшее значения у во всей области D): у——2 и у = 2.
Подставляя найденные пределы и интегрируя, получим
xydx dy =
D
так как пределы внутреннего интеграла отличаются только по знаку, а его подынтегральная функция нечетная (см. гл. V, зад. 592).
Тот же результат получим, интегрируя сначала по у, а затем
по х:	__
1	2 VT-X1
У У	xydxdy = j" х dx У ydy = Q.
4*' + УгЯ^4	-1	_а
Здесь границы изменения у (пределы внутреннего интеграла) найдены из уравнения эллипса путем решения его относительно у; границы изменения х (пределы внешнего интеграла) найдены как наименьшее и наибольшее значения х во всей области D.
3) Построив данные линии между точками их пересечения (2; —2) и (8; 4), получим параболический сегмент АОВ (черт. 151).
Если вначале интегрировать по х, а затем по у, то двойной интеграл по этой области выражается одним двукратным интегралом
4 У+t
xdx,
— 267 —
так как точки А и В (с наибольшей и наименьшей ординатами) разбивают границу области на левую (AGB) и правую (АВ) линии, у2 каждая из которых определяется одним уравнением: * = у и х=у + 4.
Пределы внутреннего интеграла (по х) можно найти иначе: рассматривая область интегрирования как заключенную в горизонтальной полосе между прямыми у ——2, у —4 и ограниченную линиями АОВ (слева) и В А (справа), получим пределы внутреннего интеграла, разрешая уравнения этих линий относительно х.
Вычисляя двукратный интеграл, получим
1	? 17" j ‘J	+ 4)2—т] dy =
-2	-2
Если интегрировать в другом порядке—сначала по у, а затем по х, то согласно замечанию к формуле (1) необходимо разбить область интегрирования прямой ВС, параллельной оси Оу, на две части, так как здесь нижняя линия границы состоит из двух участков, которые имеют различные уравнения: у=—l' 2x (ОВ) и у- V—4 (ВЛ).
Вследствие этого вычисления несколько усложняются:
-bjxdx J у dy — § х rfx-0+ xdx — 2	X-40	2
=	(10х2 —Xs— 16х) dx = ~ (™х3 — у х4 —8х2 ) |’ = 90.
Иначе пределы внутренних интегралов (пог/) можно найти, рассматривая область интегрирования как заключенную в вертикальной полосе между прямыми х = 0, х = 8 и ограниченную линиями ОВ и В А (снизу) и О А (сверху), путем решения уравнений этих линий относительно у.
В решении этой задачи оказалось, что при любом порядке интегрирования каждый двойной интеграл имеет одно и то же значение. Это не случайно, ибо вообще значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования. Однако для эконо
— 268 —
мии вычислительной работы следует, если это возможно, выбирать такой порядок интегрирования, при котором нет надобности разбивать область интегрирования на части.
796. Изменить порядок интегрирования в интеграле:
udx.
Решение. 1) Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая х равным пределам интеграла с переменной х, а у равным пределам интеграла с переменной у, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х =—2, х=2, у = х2, у = 4.
Построив эти линии па черт. 152, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси Оу.
Интегрируем в другом порядке — вначале пох, затем по у. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х уравнение параболы х=—Ку п х—\'гу. Пределы внешнего интеграла у = 0 н у = 4 находим как наименьшее и наибольшее значения у во всей области ОАВ. Следовательно,
2	1	4	V
J dx § f(x, y)dy — ^dy у f(x, y)dx.
2) Здесь область интегрирования ограничена прямыми у=1, у = 3, х = 0, х = 2у. На черт. 153 она представляет трапецию ABCD.
При интегрировании в другом порядке, вначале пог/, необходимо разбить область ABCD прямой ВН, параллельной оси Оу, на две части, так как нижняя линия границы этой области состоитиз
— 269 —
двух частей АВ и ВС, которые имеют различные уравнения:
У = 1 и у = у -
Вследствие этого и интеграл /2 при изменении порядка интегрирования будет равен сумме двух интегралов:
2	3	6	3
/ 2 = J dx § и dy + у dx J и dy. 0	1	2 X
3)	Написав уравнения линий, ограничивающих область интегрирования: х=—КЗ, х — I, у= — к 4—х2, у = 0и построив их на черт. 154, получим криволинейную трапецию ABCD.
Если интегрировать вдругом порядке, сначала по х, то область A BCD необходимо разбить прямыми ВВг и CCt, параллельными оси Ох, на три области, в каждой из которых левая и правая линии границы определяются каждая одним уравнением.
В области СгРС, заключенной в горизонтальной полосе между прямыми у=—2, у——|/3> левая линия границы CtP имеет уравнение х=—V4 — у2, а правая PC—уравнение х==]^4—у2.
В области fiCjCBj, которая заключена в горизонтальной полосе между прямыми у=—]Аз, у =— 1, левая линия границы определяется уравнением х =— ]/~4—у2, а правая — уравнением х= 1.
В области ABBJJ, заключенной в горизонтальной полосе между прямыми у=—1, у = 0, уравнение левой линии границы х=—V 3, а уравнение правой линии границы х=1.
Следовательно, при новом порядке интегрирования интеграл 13 будет равен следующей сумме трех интегралов:
— ^3 V4 — у2	— 1	1	О 1
/3= J dy у vdx-p У dy vdx-p dy odx.
-2 -Vt - у* -KV -Vt-y*	-У»
797. Вычислить двукратные интегралы:
2	.<1
1) У^Х1 (х2 + 2ху) dy, О о
3) С dv ev du\ о о
О У1
2) У dy (x + 2y)dx;
2 О
Б Ь~Х
4) У^х у \^4 + x + ydy.
О о
798. Вычислить двойной интеграл J j (хА-у)dxdy, где область
D
D—треугольник, ограниченный прямыми:
1) х = 0, у = 0, х-Ру — 3; 2) х = а, у —0, у = х.
— 270 —
799. Вычислить двойной
• если область D х2 -р уг
ограничена:
1) прямыми х — 2, у = х, х=2у\
2) параболой 2у = х2 и прямой у = х.
800. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:
1)	УУ x2ydxdy\ у = 0,
D
2)	уу sin (ху) dx dyi у = 0, о
3)	УУ x2(y—x)dxdy, о
у = \г2ах— х2
х = у\ у = х2.
801. Вычислить двойной интеграл (2x4-3t/-f-1)dxdy no
Q
области, ограниченной треугольником с вершинами (1; 3), (-1; -1), (2; -4).
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
802.
^dy^ [ (х, y)dx.
2 У
1	2- X*
804.
806.
“2
§ 2. Двойной интеграл
полярных координатах
i	Л
О
2 У
о
в
У
2	2
о
Если область интегрирования двойного интеграла отнесена к системе полярных координат <р, р и если она разбивается на частичные области лучами <р = <pf = const, исходящими из полюса, и концентрическими окружностями р = р(= const с центром в полюсе (черт. 155), то ds=pdq>dp (как площадь прямоугольника со сторонами pdcp и dp) и
f(M)ds =	)(<р, p)pd<pdp= F(q>, p)dcpdp.
D	D	D
— 271 —
Обычно двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида
Р	р2 (<е)
J dtp \ F (<р, р) dp,
a	Pt <Ф)
от <р; они оба будут
Черт. 155
где первое (внутреннее) интегрирование выполняется по р, считая <р постоянной, а второе (внешнее) интегрирование выполняется по ip.
Пределы интегрирования по р указывают границы изменения р при постоянном, но произвольном значении <р. Пределы интегрирования по <р являются наименьшим и наибольшим значениями <р во всей области D.
Как правило, пределы внутреннего интеграла (по р) зависят постоянными только в том случае, когда область круговой секторов внешнего янны.
В приложениях двойных интегралов к геометрическим и физическим задачам обычно искомая величина выражается посредством двойного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, а затем во многих случаях для упрощения вычислений полученный интеграл полярным координатам с помощью следую-
интегри рован ия п редставляет сектор или разность круговых с центром в полюсе. Пределы интеграла (по <р) всегда посто-
преобразуется к щего правила:
Для преобразования двойного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, в двойной интеграл в полярных координатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные координаты заменить полярными-, х = р cos ср, у = р sin ср, а вместо dxdy подставить р dtp dp.
При этом уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к полярным координатам (посредством указанных формул перехода от прямоугольных координат к полярным).
808.
Вычислить двойной интеграл / = р sin <р dp dtp, если о область D:
1)	круговой сектор, ограниченный линиями р = а, ч> = -у
и <р - л;
2)	полукруг р«s2acos<p, 0 <р sg;
3)	заключена между линиями p = 2-|-cos«p и р=1.
— 272 —
Решение. 1) Построив окружность р = аи лучи, образующие С полярной ОСЬЮ углы ф —и ф—л, получим круговой сектор О АВ с центром в полюсе О (черт. 156).
Интегрируя вначале по р, затем по <р, получим
2) Построив область D, черт. 157, интегрируем, как обычно принято в полярных координатах, сначала по р, затем по <р:
Л	л
2	2а COS(p	2
0	С	Ср2 l2fl C0S(p
/ = I sin <p dtp \ p dp = I j sin % dtp —
О	0	0
= 2a2 J cos2 ф sin <p d(p — — 2a2 J (cos <p)2 d (cos <p) = о	о
Л
ПГ 2 2
= T£l-
|o
2 2	,
— -x- a2 cos3 ф
tJ
3) Построив область D (черт. 158) и интегрируя, получим
2Л	2 +СО? (р	2Л 2 + C0SQ)
/=У sin ср dip J Р^Р = Уу| sin <р dip — О	1	0	1
2П	О
у j [(2 + cos ф)2—1| sin фб/ф= у J(ЗЧ-4со5ф + еоь2ф)б1со8ф =
О	2 Л
Г =°-
/ 12Л
= 4- ( 3 cos ср + 2 cos2 ф -|- cos3 ф Z \	о
809. Преобразовать к полярным координатам и затем вычнс-..	. С С dx ау	„
лить двоинои интеграл 1 — 1 i —- , где и—круговое кольцо, J.) V х2 + у2
D
— 273 —
заключенное между окружностями x2-f-y2 = l и х2 + у2 = 4 (т. е. 1 sg я2 +У2 4), черт. 159.
Решение. Пользуясь указанным правилом, получим:
2Д	2
/=	СС р tf<p dp _ _	Г Г ^(р^р — С	dcp f dp = 2л.
J J F p2 cos2 <p + p2 sin2 <p	J J J	J
1	<p<2	l<p<2 о	i
р=1 и p = 2—полярные уравнения данных окружностей.
Черт. 158
Черт. 159
810. Вычислить двойной интеграл \\ p2dipdp, если область Q ограничена:
1)	окружностями р = а, р — 2а\
2)	первым завитком спирали р = а<р и полярной осью;
3)	кривой p = asin2<p.
811. Вычислить двойной интеграл JJ р2 sin <р dpdcp по области, о
ограниченной кардиоидой р = а(1-j-coscp) и полярной осью, если
a) Osgcpsgn и б) л^<р^2л.
812. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойные интегралы:
1) уу xy2dxdy, если область R ограничена окружностями х2 + (у—1)2=1 и х2 + у2 = 4у.
2) ^e-^’-v’dxdy, если область Р— круг х2 + у2 а2, р
§ 3. Вычисление площади посредством
двойного интеграла
Площадь S плоской области D равна двойному интегралу от ds} распространенному на область D:
о
— 274 —
В прямоугольных координатах ds = dxdy и
S^^dxdy.	(1)
В полярных координатах ds = pd<.pdp и
813. Найти площадь области, ограниченной линиями:
1)	у2 = х3, у2 = 8 (6—х)3;
2)	у = 2х, у--=2~2Х, у = 4;
3)	p = acos<p, p = dcos<p, д>я>0;
4)	(х2-\-у2)2 = 2а2ху.
Решение. 1) Построив данные полукубические параболы (черт. 160), получим криволинейный четырехугольник ОАВС. Точки А и С пересечения кривых найдены путем совместного решения их уравнений.
Вследствие симметричности фигуры относительно оси Ох ее площадь S равна удвоенной площади криволинейного треугольника ОВС, расположенного в первом квадранте.
Черт. 160
Согласно формуле (1) площадь области ОВС равна двойному интегралу от
ному на эту область:
dxdy, распространен-
S = 2 У У dxdy = 2 у dy овс	о
Если интегрировать в другом порядке, то необходимо разбить область ОВС прямой, проходящей через точку С, параллельно оси Оу на две части. При этом
Разумеется, результат будет тот же самый.
— 275 —
2) Данные линии ограничивают криволинейный треугольник АВС (черт. 161).
Согласно формуле (1) искомая площадь
1п у
= dy J ^Х== J (пГ5 + 2к^)^ = 2кГ2 j
ABC	1	_ In у	1	1
2 In 2
Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям, получим
s-m<«Нти'4 |п4-3’- 12~ст •5'507-
И здесь при другом порядке интегрирования необходимо разбить область АВС на две области АЕС и АВЕ, вследствие
чего площадь S будет равна сумме двух двойных интегралов:
S= Cj dxdy = §§ dxdyA-^ dxdy — АВС	АЕС	ABE
3) Построив данные окружности в полярной системе координат (черт. 162), находим площадь S ограниченной ими области D по формуле (2):
h cos <р
р dp =
ABO
о
a cos ф
2
= (Ь2 —а2) у cos2 ср d<p О
л
Ь2 — а2 Г (л , о х .
—н— \ (1 + COS 2(р) Пф =
о
2
^7°* sin 2<р) I =Т^2 — а^-О
Здесь учтено, что обе окружности симметричны относительно полярной оси и что верхняя половина каждой из них получается при изменении угла <р от 0 до .
— 276 —
4) Площадь фигуры, ограниченной данной замкнутой кривой (лемнискатой), проще вычислить, перейдя к полярным координатам.
Полагая в данном уравнении кривой x = pcoS«p, i/ = psin<p, получим после упрощений полярное уравнение этой кривой р2 = о2 sin2<p.
Черт. 162
Черт. 163
Построив кривую (черт. 163) и замечая, что она симметрична относительно полюса и что при изменении <р от 0 до текущая точка (<р, р) опишет половину кривой, расположенную выше полярной оси, по формуле (2) найдем
Л	____ л_
2	a Vain 2<р	2
S = 2yd<p J р dp = а2 У sin 2<p d<p
0	0	о
л
°2 О I 2
— -2 cos 2<р	= а2.
о
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
814. Зх2 = 25у, 5z/2 = 9x.	815. ху = 4, А' + у = 5.
816. у=ех, у = е2Х, х = 1.	817. p = acos2<p.
818.	х-{-Зу=1, х = у, х = 2у.
819. p = 4sin<p, p = 2sinq>. 820. p = asin3q>.
821.	(х2+ у2)2— 2у3.	। Перейти к полярным координа-
822.	(х2+у2)3 = а2(х*+у*). / там.
§ 4. Вычисление объема тела
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости хОу и ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y) (черт 164), выражается двойным интегралом
V — zdxdy.	(а)
о
— 277 —
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).
823.	Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1)	у = х2 *, г/= 1, x-f-i/ + z = 4, z = 0.
2)	z = y2—х2, z = 0, y = ±2.
3)	z = 4 —x2 —t/2, 2z = 2 + x2 + y2.
4)	x2 -j-y2 + z2 — R2, z = a, z = b\ R>fe>a>0.
Решение. 1) Данное тело (черт. 165) представляет вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости Z —4 — х—у, а снизу — частью плоскости хОу, заключенной между параболой у = х2 и прямой у—1.
Согласно формуле (а) объем этого тела
1 у
V = ^zdxdy = ^dy § (4 — х—y)dx — ОАВ	о _
1	x=V у	1
= f [<4 —У)х~у] I dy = 2 f(4-У) УуаУ =ft-
"	x=-V'y	0
При интегрировании в другом порядке
_ 68
— 15 '
2) Гиперболический параболоид z = y2—х2 пересекает пло-
скость хОу (z = 0) по двум прямым у = ±х. Вместе с плоско-
стями z = 0, у = ±2 он ограничивает тело, симметричное отно-
— 273 —
снтельно плоскостей xOz и yOz. Согласно формуле (а) объем четвертой части тела, расположенной в первом октанте (черт. 166),
2	2
Т^У У zdxdy = dy — x2)dx = J (y2x —	=
OAB	оо	о
2
9 e	9
= yJl/3rfl/ = -3
0
bjl = | ; V = 32
4 |	3	о
о
3) Тело, ограниченное данными параболоидами вращения, изображено на черт. 167. Его объем можно найти как разность объемов двух вертикальных цилиндрических тел, которые имеют
Черт. 167
общее нижнее основание D на плоскости хОу, а сверху ограничены данными поверхностями.
V=V1-|/2 = yj,(4-x2-^)dxd!/-j’j’|(24-xs + ^)dxdy = D	t)
= -|	(2 — х2 —y2)dxdy.
Линия L пересечения данных поверхностей определяется системой из их уравнений: z = 4— х2 — у2, 2г = 2 ф-х2 + у2.
Исключая из этой системы z, получим х2 + у2 = 2—уравнение вертикальной цилиндрической поверхности, которая проходит через линию L и проектирует ее на плоскость хОу. Полученное уравнение будет и уравнением проекции линии L на плоскость хОу — окружности Llt ограничивающей область D.
Чтобы упростить вычисление интеграла, преобразуем его к полярным координатам. Полагая x-=pcos<p, y = psin(p и за
— 279 —
меняя dxdy через р Ар г/р, получим
2Л V2
^=4 Jj (2—p2)pd<p^p=4jd(pJ (2р—p3)jp= 0 0
9Л	__ ъзг
3 Г / „	р<\ 1^2	3 Г ,	3	|2Л о
= 2j kP“~^)L d(₽= 2 J	= W =3л
Л	о
а х2 + у2 + з2 = /?2 чивают шаровой слой (черт.
Черт. 168
(р=/2 есть полярное уравнение окружности х2 + у2 = 2).
и плоскости z = o и z = b ограни-168). Его объем V=V1 + V2 — ^з.
где Vn V2 и Vs — объемы вертикальных цилиндрических тел:
У1 = лОА2Ь; У3 = л.ОВ2о;
V2= j/Я2—х2—y2dxdy, D
где D — круговое кольцо
OA2==sx2 + y2^OB2.
Радиусы гх = ОА и г2 = 0В определяются из уравнений вер-
тикальных цилиндров, проектирующих окружности I и L на плоскость хОу.
Исключая z из уравнений сферы и плоскости z—b, получим уравнение х2 + у2 = Я2—Ь2, откуда О A = V R2—b2. Аналогичным путем из уравнений сферы и плоскости z — а получим уравнение x2 + y2 = R2—a2, откуда ОВ = /Я2^о2.
Следовательно, Р’1 = л/?(Я2—b2), V3 = na(R2 — a2).
Для вычисления двойного интеграла, определяющего V„, пе-рейдем к полярным координатам:
л
V2 =	V Я'2 — р2 р г/<р г/р--= 4 dtp(^Я2 — р2 р г/р =
о Г1 л
= - 4 (R2 - Р2р £ J	= т (Ь3 -«3)-
о
Искомый объем шарового слоя V =я,Ь (R2—b2)A~л (63 — о3) —
—ла (R2 -а2) = ~ (ЗД2 (Ь—а)+а3—63| =	(ЗЯ2—a2— ab—Ь2).
О	О
— 280 —
2
При а —О, b= R получаем объем полушара V = j nRa.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями*.
824.	Цилиндром х2+у2 = аг и плоскостями х + */+ z = 2а, z = 0.
825.	Плоскостями x+y±z = 2, Зх-|-у = 2, 3x-|-2z/ = 4, t/ = 0, 2 = 0.
826.	Эллиптическим параболоидом 2 = ^2+^ и плоскостями х=±1. у — ± 1-
827.	Плоскостями z/-|-z = O, 2 = 0 и цилиндром ^ + ^ = 1.
828.	Сферой х2 + у2 + г2 = 2а2 и цилиндром х2+у2 = а2*.
829.	Плоскостями у 4- 2=2, у — 2 = 2 и цилиндром x2+t/2 = 4 *.
830.	Конусом x2-\-y2 = z2, цилиндром х2 -|- у2 = 2у и плоскостью 2 = 0*.
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции
Если 6(7И) есть поверхностная плотность** в точке М (х, у) плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей область D, то ее масса т, координаты центра тяжести С и моменты инерции 1Х, 1у, /0 относительно осей Ох и Оу и начала координат О выражаются формулами:

1) т = б (М) dx dy, D
хб dx dy	J «/б dx dy
D	тх 'd
; = — —------------------
c m	in
(1)
(2)
2) x, c in	m
где mx и mv — статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу.
Если пластинка однородна, то б = const выносится за знаки интегралов п сокращается;
3) !х = у2б dx dy, lv=\\ х2б dx dy, "ь	'о
l0=lx + lv=\\(x2+y2)Kdxdy.
D
(3)
(4)
* В этой задаче для вычисления двойного интеграла полезно перейти к полярным координатам
** Поверхностной плотностью распределения массы в точке М пластинки называется предел отношения массы площадки, содержащей точку М к ее площади, когда эта площадка стягивается к точке М.
— 281 —
Для однородного вертикального цилиндрического тела (с образующей, параллельной оси Ог), имеющего своим основанием область D на плоскости хОу и ограниченного поверхностью z = f(x, У) (черт. 164),
J У хг dx dy
^Zdxdy '
D
У У yz dx dy
D	.
У У zdxdy
D
У У z2 dx dy
D_________
2 у у z dxdy
D
831.	Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке по верхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.
Решение. Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо, через гг и г, (г± < г2), и поместим полюс полярной системы координат в центре кольца; тогда уравнения окружностей будут р = г1 и р = г2, а поверхностная плотность в точке М (<р, р) кольца 6(Л'1)=-р.
Массу всего кольца найдем по формуле (1), преобразуя ее к полярным координатам:
m = 6prf<prfp= jy* -^г/(рс!р —-/? У г/(р J = J In р | rf(p = D	rt sj p Г2	ОГ,	О	Г,
= k In — У dtp = 2krt in .
0
832.	Найти массу пластинки, имеющей форму эллипса, если поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна ее расстоянию г от малой оси эллипса и при г= 1 она равна А.
Решение. Обозначим полуоси эллипса через а и b (а> Ь) и выберем оси Ох и Оу прямоугольной системы координат так, чтобы они совпали с осями эллипса, тогда уравнение эллипса у2 и2
будет --|-^=1.
Согласно условию задачи в точке М (х, у) пластинки плотность 6 (М) = А | х |.
По формуле (1) масса правой половины пластинки
у т =УУ ‘bxdxdy — А у dy У xdx = ^^(b2—y2)dy — D	-b и	—b
2fe2 \ J i ] \-b	3
Следовательно, масса всей пластинки тп = ~ а2ЬХ.
О
— 282 —
833.	Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы.
Решение. Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС гипотенуза АВ —2а. Тогда относительно системы координат, изображенной на черт. 169, уравнения катетов АС и ВС будут у — х-\-а и у — а — х.
Согласно условию задачи в точке (х, у) треугольника плотность b = ky.
Далее, пользуясь формулами (2), вычислим величины тх, ту и т для данного треугольника:
a	а—у	а
тх = [\ky2 dx dy = k \ у2 dy J dx — 2k\y2(a— y)dy = ABC	о	у—a	о
a	a —у	a
tny = $$ kxydxdy = k J ydy	xdx = k J ydy-0 = 0.
ABC	о	— (a—y)	о
a	a—y	a
m = j ky dxdy ~k\ у Ay J dx = 2k J у (a — y) dy =	.
ABC	о	у—a	о
Следовательно, x„ = —= 0,	= — = тг-
’ c m ' m l
Если бы по всей области треугольника масса была распределена равномерно, то его центр тяжести помещался бы в точке t,, а пересечения медиан I (J, у
834.	Найти момент инерции треугольника, данного в условии
предыдущей задачи, относительно его гипотенузы.
Решение. Относительно указанной на черт. 169 системы координат искомый момент инерции есть 1Х. Поэтому, поль-
Черт. 169
зуясь формулой (3), найдем
а	а—у
lx = ky3 dxdy = k у3 dy { dx =
АВС	о	у- а
а
= 2k § у3 (a-y)dy = ^-.
О
835.	Однородная пластинка ограничена двумя концентрическими эллипсами с совпадающими линиями осей (эллиптическое
— 283 —
кольцо). Найти моменты инерции этой пластинки относительно ее осей.
Решение. Пусть внешний эллипс имеет полуоси а± и Ьх, а внутренний — полуоси а2 и Ь2 и пусть оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии пластинки. Тогда уравнения эллипсов будут
а искомые моменты инерции будут /х и 1 . Применяя формулы (3) и используя симметричность пластинки (D) относительно осей координат, получим
/х=$$у26б/х<4/ = 4бШ y2dxdy— $$ y2dxdy D	\ L),	L),
где и D2 — расположенные в первом квадранте части областей, ограниченных соответственно внешним и внутренним эллипсами.
Интегрируем вначале по у, затем по х:
Для вычисления интегралов заменяем переменную. В первом интеграле—по формуле x = a1sin/, во втором — по формуле х= = а2 sin
cos1 tdt — a2b^ cos41 dt I О	/
Л
4 2
= у 6	— a2b3^ cos41 dt.
0
Согласно решению задачи 505 последний интеграл равен . Следовательно,
/х = ^лб (arf — а2Ь2).
Аналогично применяя вторую из формул (3), найдем
1у = ^л8 (Ь^ — Ьрг).
— 284 —
инерции кругового
Черт. 170
Отсюда при й2 = 62 = 0 получаем моменты инерции полного эллипса:
1Х — n8atbl; /1) = ул6Ь1а?.
При Ь1 = с1 и Ь2 = а2 получаем момент кольца: 7 = -^ лб(а? —а2), взятый относительно любого его диаметра.
Для круга радиуса а момент инерции относительно любого диаметра / = ~лба4.
836.	Найти центр тяжести однородной усеченной призмы, ограниченной координатными плоскостями и плоскостями х y + z = 4, х=1, //=1.
Решение. Построив данные плоскости (черт. 170), замечаем, что ограниченная ими усеченная призма симметрична относительно плоскости х — у. Вследствие этого хс = уе.
JXznee вычисляем интегралы, содержащиеся в формулах (5), \ xzdxdy = 55 х(4—х—у)dxdy = о	о А вс
= — У vrfx J(4-к—у)d(4 — х-у) = — У ;4~Х~ — |лdx =
I Г ,о ,	7 . ,	1 / 2 ,	7 2\ I" 17
= 2 J 7Х)6/Х= 2-(з-Л	=Г2*
1
12 =	~2 r/x dy = 5 5 <4 ~ v — dx dy =
•)	О А НС
dx 5 (4 — л — yY d (4—х—у) = — У (4.~^~уС | ' dx = о о	о
J
/3 = y^ 2dxdy -= dx j (4 — x — y)dy = — y 5 (4—л—^2[ -n Л<А = £)oo	о
=	p(3-x)2-(4-x)2|dx = l[^=^-^^j|" = 3.
Подставляя в формулы (5) найденные значения интегралоз,
— 285 —
получим:
/, 17	/2 55
х. = у. =	; z, =	.
с •Jc 13 36	с 2/3 36
837.	Найти массу круглой пластинки, если поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна квадрату ее расстояния от центра пластинки.
838.	Найти массу квадратной пластинки, в каждой точке которой поверхностная плотность пропорциональна сумме ее расстояний до диагоналей пластинки.
839.	Пластинка ограничена параболой у2 = 2рх и ее хордой, проходящей через фокус перпендикулярно к оси параболы. Найти массу пластинки, если в каждой ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна расстоянию точки до директрисы параболы.
840.	Найти массу прямоугольника со сторонами а и Ь, в каждой точке которого поверхностная плотность пропорциональна квадрату расстояния ее от одной данной его вершины.
В задачах 841—843 найти моменты инерции однородных плоских фигур:
841.	Прямоугольника со сторонами а и b: 1) относительно стороны а; 2) относительно одной из его вершин; 3) относительно точки пересечения диагоналей.
842.	Прямоугольного треугольника с катетами а и b: 1) относительно вершины прямого угла; 2) относительно катета а.
843.	Круга радиуса R: 1) относительно касательной; 2) относительно точки на окружности.
844.	Найти центр тяжести прямоугольного треугольника, катеты которого равны а и Ь, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна квадрату расстояния ее от вершины прямого угла.
845.	Найти центр тяжести расположенной в первом квад-д/2	^<2
ранте части эллипса ^ + ^=1 (пластинки), если в точке (л, у) поверхностная плотность 8 = kxy, где k — постоянная.
Найти центры тяжести следующих однородных тел:
846.	Полушара х2 4-у2 + z2 а2, 2 2г0.
847.	Тетраэдра, ограниченного плоскостями x±2y-]-z= 1, х = 0, у = 0, 2 = 0.
848.	Шарового слоя, заключенного между сферой х2 + */2 + + 22 = 7?2 и плоскостями х = а, х = Ь.
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М некоторой замкнутой пространственной области О и если разбить эту область произвольным способом на п частичных областей с объемами Д^,
— 286 —
Ди.,, .... Ду„, выбрать в каждой из них по одной произвольной точке Л4[, Л43, .... Мп, вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
f (Alt) ДУ1 + f (Л12) Дv2 + ... + f (М„) Ьи„ = У f (М^ Ди,-,
то она называется интегральной суммой функции f (Л4) по области G.
При составлении интегральной суммы можно различными способами разбивать область G на п частичных областей и в каждой из них можно произвольно выбирать одну точку М{. Поэтому для всякой данной функции f(M) и всякой данной области G можно составить сколько угодно различных интегральных сумм. И все эти интегральные суммы при неограниченном возрастании п и при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных областей имеют один общий предел, который называется тройным интегралом от функции f(M) по области G и обозначается J Jf(Л4) dv.
G
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного и обыкновенного определенных интегралов: область интегрирования можно разбивать на части; интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых; постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Вычисление тройного интеграла сводится к трехкратному интегрированию, т. е. к последовательному вычислению трех обыкновенных (однократных) определенных интегралов по каждой из трех переменных координат точки трехмерного пространства.
Если область интегрирования G отнесена к прямоугольной системе координат Охуг и если она разбивается на частичные области плоскостями, параллельными координатным плоскостям, то объем частичной области dv — dxdydz (как объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz) и тройной интеграл преобразуется к виду
$ 5 $ (М) dv ~ $ S $ f (х' У' г) d* dy dz. G	G
При этом, если область G такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области параллельно оси Ог, пересекает ее границу (ограничивающую ее замкнутую поверхность) в двух точках * (черт. 171), то тройной интеграл можно вычислить по
* Если область G имеет более сложный вид, то ее следует разбить на части указанного простого вида и затем вычислить данный интеграл как сумму интегралов по составляющим областям
— 287 —
формуле
z=4>, <*. 'Л
f(x, у, z)dxdydz — ^dxdy \ f(x, у, z)dz, (*)
°	Gxv	Z=4’1 (X, И)
где Gxy—проекция области G на плоскость хОу, z = ij\(x, у) и z = ip2(x, у)—уравнения нижней и верхней поверхностей, ограничивающих область G *.
По этой формуле вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенного (однократного) определенного интеграла с переменной г, причем х и у рассматриваются как постоянные, и двойного интеграла с переменными х и у по области Gxy, расположенной в плоскости хОу.
Как правило, пределы внутреннего обыкновенного интеграла являются переменными', они зависят от тех двух переменных, которые в этом интеграле рассматриваются как постоянные. Оба они будут постоянными только в том случае, когда область интегрирования G есть прямой цилиндр, образующие которого параллельны оси Oz, а основания расположены в плоскостях, параллельных плоскости хОу.
Меняя ролями переменные х, у и z в формуле (*), можно получить и другие аналогичные формулы для вычисления тройного интеграла посредством последовательного вычисления обыкновенного и двойного интегралов.
При вычислении тройного интеграла указанным путем после вычисления внутреннего обыкновенного интеграла иногда целесообразно бывает затем, для вычисления двойного интеграла, перейти от прямоугольных координат к полярным, как это разъясняется в § 2. Такой способ вычисления тройного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, называется вычислением его посредством преобразования к цилиндрическим координатам, ибо, как показано на черт. 172, переменные <р, риг являются цилиндрическими координатами точки М (х, у, г).
* Иначе, (х, у) и (х, у) — апликаты точек Л' и Q пересечения поверхности, ограничивающей область G, с прямой, проходящей через произвольную внутреннюю точку области G параллельно оси Ог.
•— 2в8 —
Тройной интеграл можно вычислять и иначе, как обыкновенный интеграл от двойного. I	I 2
849. Вычислить трехкратный интеграл / — dx dy (44-2)т(г -1	№ а
и построить его область интегрирования.
Решение. Последовательно вычисляем три обыкновенных (однократных) определенных интеграла, начиная с внутреннего:
. С/л । \j (4-J-г)2 I2 36—16	. „
= J (4 + z)dz = --|-!-|fi = -T-= 10;
О I	1
= 5 ?! dy = 10 dy = 10т/ |\ = 10(1 -x2);
/я = /= J 72Jx= 10 J(l—№)dx=10(x—= -1	-1
Здесь, как и при вычислении двукратного интеграла, можно пользоваться более краткой записью:
11	11	1
1 = dx J -   |2 dy— 10 J dx § dy = 10 (1 —ха) dx —
-IX2	-IX*	-1
1П/	*з\|1	40
= 10 x—77	= т •
\	з у I — i	о
Для построения области интегрирования данного трехкратного интеграла пишем вначале уравнения поверхностей, ограничивающих эту область. Приравнивая переменную интегрирования каждого интеграла его пределам, получим следующие уравнения: х =—1, х=1, у = х2, т/=1, z = 0, z = 2.
Построив в системе координат (Jxyz поверхности, соответствующие этим уравнениям (черт. 173), видим, что ограниченная ими область есть прямой цилиндр, образующие которого параллельны оси Ог.
850. Вычислить тройной интеграл / =
ласть G ограничена плоскостями:
1) х + //4-г=1, х = 0, // = 0, ?=0;
2) х = 0, х — 1, у —2, у = 5, 2 = 2, 2 =
Решение. 1) Построим данные плоскости. Ограниченная им!1 область G есть тетраэдр ОАВС (черт. 174). Любая прямая,
Ю Заказ № 3201
— —
проходящая внутри этого тетраэдра параллельно оси Ог, пересекает его границу (поверхность) в двух точках. Поэтому, согласно формуле (*), вычисление данного тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенного интеграла с переменной г и двойного интеграла с переменными х и у. Пределами однократного интеграла будут значения z = z^=0 (из уравнения плоскости АВО) и z=Zq=1—х—у (из уравнения плоскости АВС)-, областью интегрирования двойного интеграла будет треугольник АВО (проекция тетраэдра на плоскость хОу). Следовательно,	t_х_у
Черт. 174
Черт. 175
Вычисляя внутренний однократный интеграл, а затем двойной интеграл, получим:
АВО	АВО
2) Данные плоскости ограничивают прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат (черт. 175). При такой простейшей области интегрирования пределы всех трех однократных интегралов, к вычислению которых сводится вычисление тройного интеграла, будут постоянные.
Интегрируя вначале по z, затем по х и по у, получим:
ABCD	2	20
2	X —1	2
= 2 J 1п| 1—х—г/|| dy = 2§ (1п|г/| — 1п|у — 1 |)Jz/ =
б	X =0	б
12	4 *
= 2[у1п|у| —(у—l)ln|y —11] =101n -g-. I б	°
* Последний интеграл (с переменной у) найден по формуле интегрирования по частям, гл. IV, § 4.
— 290 —
851. Вычислить следующие тройные интегралы:
1) !	\ W i d'J dJ~~rcs ’ гДе область G ограничена плоско-
J J J (х "г У "г т *)
G
стями x-j-z = 3, у —2, х = 0, у —О, z~0;
2) J =	(x2 + y2-}-z2)dxdydz, где область W ограничена
° (к
поверхностью 3 (х2 + у2) + z2 = За2; ,
3) К = 555 ydxdydz, где область Т ограничена поверхностями т"
Черт. 176	Черт. 177
Решение. 1) Построив данные плоскости, получим треугольную призму (черт. 176). Пользуясь формулой (*), имеем:
l^^dxdy 5	(* + (/ + * + I)'3 dz —
G xy	ZN~°
ABCO	2=0
3	2
= 7 j КЛ' + 1У+ l)-2-(Z/ + 4)’2]dy = 0	0
3	l/ = 2	3
= 4 5 (“4Г4---Zl~7 11 dx = Y C ( !-f-------Г3—Tb}dx —
J *H x -|- у -f 1 I J J \x -r 1 x -|- 3	12 j
о	' у = о	о
= If 1 n I *_+l I _ 1Л |3 _ 4ln2~»
2	|x-f-3| I2J I ~	8
0
2) Область U7, ограниченная данной поверхностью, есть эллипсоид вращения (черт. 177). Его проекция W7ху на плоскость хОу
Ю*
— ^1 —
есть круг х2+у2<о2. Применяя формулу (*), получим:
J = ^dxdy J (х2 ф- z/2| г2) dz,
где г и 2 —значения г из данного уравнения эллипсоида, гЛ, ^ = т/3(й2-х2-у2).
Вычисляя внутренний однократный интеграл с переменной г, найдем:
zq dxdy=‘2a2^ 3	/а2
хЧ-у* < а’
—х2—у2 dxdy.
Далее, чтобы упростить вычисление полученного двойного интеграла, преобразуем его к полярным координатам. Полагая х-= pcos<jp, у = р sin <р и заменяя dxdy через pdcpdp, получим:
J = 2о2	3 J J а2 — р2 р d<p dp =
Р < о а 2Я О	х	0
= а2 l/lj d(pj(fl2-p2)“ d(o'--p2) = a2|/3	dtp =
о а	о"
2 Я
2а5 У~3 С , 4ла5 i J К 3 о
(р = а есть полярное уравнение окружности х2 + у2 — а2).
3) Ограниченная данными поверхностями область Т есть конус, изображенный на черт. 178. Всякая прямая, проходящая
через внутреннюю точку конуса параллельно оси Оу, пересекает его границу в двух точках, а проекция Т„ этого конуса на плоскость xOz есть круг х2 + ?2^/г2. Поэтому, меняя ролями переменные г и у в формуле (*), получим
Л =$ 5 dx dz ( у dy, ‘xz V=UN
где yN =- j/x2 -j- г2, yQ =.It.
Вычисляем однократный
интеграл
dxdz = -^ J J (/г2— x2 — z2)dxdz, yN
— —
а полученный двойной интеграл преобразуем к полярным координатам (полагая х — р cos <р, г = р sin <р и заменяя dx dz через p4<pdp):
(р = /г есть полярное уравнение 852. Вычислить трехкратные
г b а
1) $ dz f dy (л3 -|- у2 -j- г2) dx;
ООО
I	К	2 - 2 .Г
3) j dx j ydy J dz\ О О	1— X
окружности x" 4 z2 = II2). интегралы:
a	h a — у
2) у dy dx dz\
О	0	0
2	2	3
4) j|\dy	xdx\z2dz
°	^21/-»/3	°
и построить их области интегрирования.
Вычислить тройные интегралы:
853.	^^(2x4-31/ — z)dxdydz, где G — призма, ограниченная G
плоскостями х==0, у = 0, 2 = 0, 2 = 3, х 4-у = 2.
854-	—y2dxdydz, где G—куб, ограниченный
g J
плоскостями Х=±1, У = ±1, 2=±1.
855.	J dx dy dz, где область G расположена в первом о"
октанте и ограничена конусом 4г2 = х2 4- у2 и плоскостями х = 0, у = 0, 2=1.
856.	^^dxdydz, где G — параллелепипед, ограниченный пло-
скостями х 4- у = 1, х 4-у = 2, у --= 0, у = 1, г = 0, 2 = 3.
§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла
1.	Объем пространственной области G
у = ПРи=: О	о
(i)
— 293 —
2.	Масса тела, занимающего область G, т —	dv —	6 (х, у, z)dxdydz,	(2)
G	G
где 6 (М)—объемная плотность распределения массы в точке М (х, у, г) тела.
3.	Координаты центра тяжести С тела
tnyz	тхг	тху
Хс =	. ус= — . £с = —-
т	т	tn
(3)
где туг, тхг и тху— статические моменты гела относительно координатных плоскостей:
туг = xbdxdydz, тхг=^^ y&dxdydz, тху = ^^zbdxdydz. GJ	G	G
Для однородного тела 6 = const выносится за знаки интегралов и сокращается.
4.	Моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу и Ог ii начала координат О
/х = П$ (У2 + г2) bdxdydz, /v= SJS (x24-z2) bdxdydz, G	G
fT=~ (*2 + У2) bdxdydz, l0 = ^(x2 + y2 + z2)6dxdydz. (4) G	G
857.	Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями:
1)	х4-// + ? = 4, х = 3, у —2, х = 0, у = 0, 2 = 0;
2)	x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2;
3)	2г = х2 + у2, £/4-2 = 4.
Решение. 1) Данные плоскости ограничивают шестигранник G (черт. 179). Согласно формуле (I) его объем
4 —X — у
V =\^dxdydz=^ dx dy J dz =	(4—x—y)dxdy —
GJ	G	0	OABCD
xtj
13	2	4-0
= J dy У (4—x—y)dx+^dy	(4—x—y)dx —
oo	io
= J |(4-y)x—|	dy+§ [(4 — y)x — y] |	dy =
1	2
= J (-y —3y) dy + ^(4—y)2dy = 0	1
15	3 ,1 1	1	12 55
= 2^-2^	+I-(y-4)3	=g.
0	1
— 294 —
Здесь при вычислении двойного интеграла по области ОABCD пришлось разбить ее прямой BE, параллельной оси Ох, на две части.
2) Тело, ограниченное сферой х2 -ф у2 -фz2 --= 2г [с центром в точке (0; 0; 1)] и конусом x2-\-y2 = z2, изображено на черт. 180. Его объем
Z — Z с
V = \ \^dxdy dz=^^ dx dy $ dz = Ц (zc — zk) dx dy, G	G	z-z,	G
Xy	k	XtJ
где G—область, занимаемая данным телом; Gxy—ее проекция на плоскость хОу, zk — положительное значение z из уравнения конуса, zfc = Vx2 + y2; zc— большее значение z из уравнения сферы, гс=1фИ1—л-2—у2. Линия, ограничивающая плоскую
область Gxy, есть окружность х24-у2=1; ее уравнение получается путем исключения z из данных уравнений сферы и конуса.
Переходя к полярным координатам, найдем:
V = 55 (zc—zk)dxdy — 55 С1 +К1 — Р2 — р) (>d<pdp = Х2 + У2<1
2Л	1	2Л	(
= 5	j(p—р2 + р/1—p2)dp = |	—	(1~з2) ] | Лф = Л.
0	0	о	о
3) Параболоид вращения 2z = x2 + y2 и плоскость уфг = 4 (параллельная оси Ох) ограничивают тело, изображенное на черт. 181.
По формуле (1) объем этого тела
V = dxdydz— 55 dxdy 5 dz = 55 (z2—zi)dxdy,
G	G	z,	G
лу
— Z95 —
где G—область, занимаемая телом; GXi)— круг х2 + (У + I)'3	9*;
z, = у № + У2)'	= 4—у.
Чтобы упростить вычисление двойного интеграла, перенесем начало координат в центр указанного круга — в точку(0; —1), а затем перейдем к полярным координатам. При этом переменные х и у заменяются по формулам x=pcos<p, у~ —1 4-р sin<р, произведение dxdy заменяется произведением pdcpdp и двойной интеграл преобразуется к простому виду:
V = ~	(9—р2) pdtpdp =
Р < 8
2П Я
4-у (9р^р3) rfp о о
(р = 3 полярное уравнение окружности х2 4- (t/+ I)2 = 9).
858.	Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью х2 = 2у и плоскостями £/4-г=1, 2y4-z = 2, если в каждой его точке объемная плотность численно равна ординате этой точки.
Решение. Согласно условию в точке М (х, у, г) тела объемная плотность 6(/И) = у. По формуле (2) масса этого тела
т =	dv = J J J у dx dy d2,
G	G
где G—область, занимаемая данным телом (черт. 182).
* Уравнение окружности х24-(//4-l)z = 9 получено путем исключения г из двух данных уравнений.
— 296 —
Вычисляя тройной интеграл ио формуле (*), получим:
2 (1 - tit	1	lZ2O
= И ‘idxdy У dz = П\У<1 — УЫ*' dy = i" (у—y2)dy 5 (,х =
<•	t-u	ЛО/г	<i	-KJT-
P	_	__/9	9	\ I 1 q 1/"ci
= i (У-У2} 2 |Z2y dy = 2 к 2 ( f у ’ - y у2 ) | , = Ц-- .
О
859.	Найти центр тяжести сегмента шара, если в каждой его точке объемная плотность пропорциональна ее расстоянию
от основания сегмента.
Р е ш е н и е. Обозначим радиус шара через R, высоту сегмента через Л; поместим начало прямоугольной системы координат в центре шара и направим осьапликат по оси сегмента (черт. 183). Уравнения сферы и плоскости, которые ограничивают сегмент (G), будут, соответственно, х2 + /у2 + z2 — R2 и г = — R-h- объемная плотность в точке М (х, у, г) сегмента выразится формулой (z — R-\-h). Любое сечение
Черт. 18?
данного неоднородного сегмента плоскостью, параллельной его основанию, есть однородный круг, центр тяжести которого лежит в его центре. Поэтому центр тяжести данного сегмента помешается на его оси, т. е. хс = ус = 0.
Для нахождения апликаты центра тяжести применим формулу (3). Вычислим: 1) статический момент I и 2) массу т сегмента.
I)	I xv =	z6 dxdy dz = k	J (z—a)zdxdydz, a—R—h.
G	(I
Преобразуем тропной интеграл в двойной от простого:
О
/*„ =J $ dxdy J (г2—az) dz, (}	а
где GKfl— круг х2 -|- у2 •< г2, г2 = R2—a2. z, -- \ГR2 — к'! — у1. Вычисляем внутренний простой интеграл:
4 =	|?7’ = Т va-y2)"	л-2-//2-/.!2).
Подставляем этот результат в нредыдyiii.ee ртвенепю и с.ычнс-лясм полученный двойной интеграл, переходи к полярным.
— '9/ —
координатам:
lxy = k jj l.dxdy^k [A (f<2_p2^+^_ *s + j/’<rt	( <r
—|(/?2-p2)] pd<pdp = ftj Р^-г5(*?2-Р2Г + 0
+ “-(A,2-p2)2] |^<P = 2^ {^ + J[/?s_(R2_r2)Tj + + f [(7?2-г2)2-Я4|} •
Исключая вспомогательные постоянные г и а, после упрощений, получим
lxv =	(20/? 2 — 15Rh + 3/г2).
ЛУ ои
2)	т = JJJ 8dxdydz = k §§§ (z—a)dxdydz = оJ	G
=	dxdy §(2—a)dz~-^§§ (z—a)2^dxdy =
Gxy a	Gxs
а
= 4 J J (KR2—x-~y2—a)2 dx dy=^ J J (]/Z?2—p2—fl)2 p dtp dp = +	f-sir
2Л Г	1
=4	[^2—P2 —2a(R2 —p2)2 +a2] pd<pdp =
0	0
2Л	3
= 4 j [4(tf2 + a2)-£ +j(/?2-p2)2]|ur = to/i3(414~-)-
О
Согласно формуле (3) искомая апликата центра тяжести данного сегмента
/хУ_20/?2_	+
Zc'~ т 5(4/?—Л)
Для полушара при h — R имеем
__2/гл/?6 .
ХУ ~ ~15~ ’
knR4 _
гс =
SR
15 '
860.	Найти центр тяжести однородного полого усеченного цилиндра (черт. 184) и момент инерции этого цилиндра относительно его оси.
Решение. Обозначим внешний и внутренний радиусы цилиндра через R и г, а его высоту через И. Тогда относительно указанной на черт. 184 прямоугольной системы координат урав-
- 298 -
•2.
нения цилиндрических поверхностен и плоскостей, ограничивающих цилиндр (G), будут
х2 + ^ = /?2; х2 + //2 = г2; 2 = 0; Hy + 2Rz= HR.
Абсцисса центра тяжести данного однородного цилиндра равна нулю, поскольку он симметричен относительно плоскости yOz. Ординату и апликату центра тяжести найдем по формулам (3), полагая в них 6= 1,
2(1
') /~=Ш у dx dydz = у dx dy§ dz, G	<»ли	<1
где GXy — круговое кольцо
, ..Я	-	_	7/	( , У \
2
Последовательно вычисляя внутренний простой интеграл, затем двойной (с переходом к полярным координатам), получим:
1хг
)p dtp dp =
p sintp ~R~
dx dy =
R
2Л	R
= § sin <pdcp У ^p2
ра sin <р
2Л
r (R3—r3 R' — r* .
J (—--------4/rS,n<P
r3—R3
—3— COS <p —
0
2)
К4 — Г4
4R
<p sin
F '
lxy = yyj zdxdydz = dxdy J G	<ixy	0
| гл лН (г4 — /?4)
*п
2^2 =
SR
2П R
О r
2(R3—r3) sin <p (R3 — r11) sin2 <p
3K + w
R
p sin <p ~R~
2Л
\2
I p d<p dp =
о
лН2(К2 —г2)(3/?2—г2)
32 №
3) Масса m данного полого усеченного цилиндра в предположении, что его плотность 6 = 1, численно равна объему V этого
_ W2 ~ 8
— 299 —
цилиндра. Его можно найти или по формуле (1) или элементарным путем как половину объема полого неусеченного цилиндра:
m — V = —.
Подставляя значения 1хг, I и т в формулы (3), получим:
„	Z«-- ^ + '2. 7 1ху
Vе ~ т ~ 4R ' с~ т 16R2	’
Момент инерции данного цилиндра относительно его оси находим по формуле (4):
/г=	6 (х24~ у2)dxdy dz — С) ЭД (х2 у2) dx dy j dz =
G	Gx,,	0
= т П ^x2 + y^(l~^)dxdy =
r*-^x* + u*-SZ R2
2Л
6/7 (' /Л4 — r*
2 J \ 4 о
/?6 —r6
5R
лб// (/?*—r4) 4
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
861.	Сферой х2 4- у2 4- г2 = За2 и параболоидом х24~У2 = 2аг.
862.	Цилиндрами х2 = у, х2 = 4— Зу и плоскостями 2 = 0, 2 = 9.
863.	Конусом х24-у2 = га и параболоидом х24-у2 = 6—2; 2 5= 0.
864.	Цилиндром х24-у2 = Rx и сферой x2 + y2 + z2—R2. j^2	2^
865.	Части эллипсоида + + = 1. расположенной в первом октанте между плоскостями х = 0, у = 0, г=0 и bx-}-ay = ab.
866.	Найти массу куба, если в каждой его точке объемная плотность численно равна сумме ее расстояний до трех граней этого куба, проходящих через одну данную его вершину.
867.	Найти массу цилиндра х2+у2^г2,	его мо-
мент инерции относительно диаметра основания, если объемная плотность в каждой точке цилиндра пропорциональна квадрату расстояния ее от его оси.
868,	Найти массу вещества, заполняющего общую часть двух шаров х2 4-у2 + za R2 и х2 4-у2 4- г2 2Rz, если его плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию ее до плоскости хОу.
869.	Найти центр тяжести:
— 300 —
1)	однородного тела, ограниченного параболоидом с (х2 у2) = = 2a2z и конусом с2 (х2 + у2) = a2z2;
j^2	| / ‘2.
2)	восьмой части однородного эллипсоида + + расположенной в первом октанте;
3)	полушара 0 sS z R2—x2—у2, у которого объемная плотность в каждой точке численно равна ее расстоянию от центра его основания.
870.	Неоднородное тело ограничено плоскостями х = 2, у = 0, //= 1, 2 = 0 и цилиндром z2 = 6x. Объемная плотность вещества в каждой его точке пропорциональна ее расстоянию от плоскости хОу. Найти момент инерции этого тела относительно оси Oz.
871.	Найти полярный момент инерции (относительно начала координат) однородного тела, ограниченного конусом г2 = х2—у2 и сферой x2+y2 + z2 = R2.
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М дуги А В и если разбить эту дугу произвольным способом на п частичных дуг длиною Д/х, Л/2.....Д/„, выбрать на каждой из них по
одной произвольной точке Mit М2, .... Мп, вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
п
f (Мх) AZ, + f (M2) Д/2 + ... + f(Mn)	(Mf) AZz,
/=i
то она называется интегральной суммой функции f(M) по дуге АВ.
Очевидно при этом, что для всякой данной функции f(M) и всякой данной дуги АВ можно составить бесчисленное множество различных интегральных сумм,—если по-разному делить эту дугу на п частичных дуг и по-разному выбирать на каждой из них по одной точке Mz.
Но при неограниченном увеличении п и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг все эти различные интегральные суммы имеют один общий предел, который называется криволинейным интегралом от функции f (М) по длине дуги АВ и обозначается J f(M)dl.
АВ
Криволинейные интегралы P(M)dx, Q(M)dy или ЛВ	АВ
R(M)dz по координатам х, у или г определяются ана-АВ
логично, как пределы интегральных сумм функций Р(М), Q(M) или R(M), взятых по дуге АВ, с той лишь разницей, что при
— 301 —
составлении этих сумм значения функции в точках Л4,- умножаются не на длины частичных дуг А/,-, а на их проекции Ах,-, Ау/, или Az, на координатные оси.
Криволинейный интеграл Р dx Q dy 4- Р, dz обозначает
АВ
сумму криволинейных интегралов указанных видов.
Криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии I при положительном направлении ее обхода (против движения часовой стрелки) обозначается <$, а при отрицательном направле-'+/
нни обхода обозначается ф.
-/
Обыкновенный (прямолинейный) определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла, у которого линией интегрирования служит прямолинейный отрезок оси координат.
При перемене направления на кривой интегрирования криволинейный интеграл (по координатам) изменяет свой знак:
лд дл
Кривую интегрирования можно разбивать на части:
$4 + 5-ЛД АС СВ
Вычисление криволинейного интеграла j сводится к вычисле-
АВ
нию обыкновенного определенного интеграла: исходя нз уравнения (или уравнений) линии интегрирования Л В подынтегральное выражение криволинейного интеграла преобразуется к одной переменной, значения которой в начале и в конце дуги АВ будут пределами полученного обыкновенного интеграла.
Обычно криволинейный интеграл J зависит от линии инте-АВ
грирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки А и В, он будет иметь различные значения.
Но если в некоторой односвязной * области D выражение Р (х, у) dx О (х, у) dy является полным дифференциалом, то криволинейный интеграл J Р dx Q dy не зависит от линии инте-АВ
грирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.
* Плоская область называется односвязной, если любая замкнутая линия, лежащая в этой области, может быть стянута в точку, оставаясь в этой области.
— 302 —
Выражение P(x, y)dx 4- Q (x, y)dy будет полным дифференциалом функции и(х, у) в некоторой односвязной области D, если P,,= QX и если Р, Q, P(J, Qx непрерывны в этой области.
872. Вычислить криволинейный интеграл / = (ху—1) dx + -\-x2ydy от точки А(1; 0) до точки В(0; 2):	L
1)	по прямой 2х-^-у — 2\
2)	по дуге параболы 4х-(-у2 = 4;
3)	по дуге эллипса m=cos/-, у = 2 sin / (черт. 185).
Решение. 1) Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем его:	У = 2—2х, dy = — 2dx,
*R
— $ [*(2—2х)—1]dx + x2(2 — 2х)( — 2dx) = ХА О
= J(4x3—6х2 + 2л—!)dx = x4—2х3 + х2—х|"= L I
2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у: х= 1—^ , dx = — ^dy, ив^
^2 —
«'Л = 0
2
У3
2
О
__£
96-40	8
f i ^Г_—1 6 + 4 | ~	5 *
0
Черт. 185
3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной /, затем вычисляем ero:x = cos/, dx =—sin/d/; y = 2sin/, dy = 2 cos tdt:
/3= У (cos/-2sin/ —1)( — sin / d/) + cos2/-2 sin/-2 cos/d/= 'a=°
2
=У (4cos3 / sin t + sin t—2 sin2/cos/)dt = — 4 Jcos3 /dcos/-f-О	Л	Л
2	2
+ J sin / dt — 2у sin2 td sin / | = — cos4 /—cos/—sin3 /1 = y.
о	0
— 303 —
(Значения параметра t в точках А и В найдены нз данных параметрических уравнений эллипса по известным координатам этих точек.)
873. Вычислить криволинейный интеграл I =	х—
L
— 3]/~у) dl между точками Е(—1; 0) в 7/(0; 1):
1) по прямой ЕН;
2) по дуге астроиды x = cos3/, //—-sin3/.
Решение. 1) Вначале составляем уравнение линии интегрирования— прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей через две известные точки: у— х=1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для дифференциала дуги плоской кривой (гл. V, § 6), преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной х и вычисляем его:\
//=хД1, //'= 1‘, dl= |/1 -\-(y')2dx = V2dx, хн^о	_1_
/1==	(4 f/x — 3 |/х + 1) К2 dx ~ К 2 [4 jJx3 dx —
ХЕ=~1 1	4	з
-3$(x-i-l)Td(x+l)] |\ = /2[Зх3 — 2(х Р1)3] |°_г =-5/2?
2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной /, затем вычисляем:
x = cos3/, dx = — 3 cos21 sin t dt; i/ = sin3/, dy = 3 sin21 cos/ dt; dl = jEdy2 -]-dx2'—31 sin t cos 11 dt=— 3 sin / cos/ dt, ибо—- < / sg л;
п
\ /2 = (4cos/— 3|/sin3/) 3 sin / cos/d/==—12 ^cos2/dcos/—
Л	Л
\	Б	2	'7	2
— 9 J sin 2 t d sin / j = — 4 cos3 / — ~ sin 2 / | = — .
Л	ft
874. Даны точки .4(3;—6; 0) и fi(—2; 4; 5). Вычислить криволинейный интеграл / = ху2 dx ф-yz2 dy — zx2dz:
с
1) но прямолинейному отрезку ОВ и
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями х2-|-//2-|-4-г2 = 45, 2х -(-// = ().
Решение. 1) Вначале составляем уравнения линии интегрирования— прямой ОВ. Пользуясь общими уравнениями пря-
..	..	X — X, I) — Ух 2— 2х
моп, проходящей через две точки ----= —— =-------полу-
X Ц Z	-*2 — Х1 У?— У1 ?2 — г1
чим—о = т = Приравнивая эти равные отношения пара-
—4 О
— 304 —
метру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой ОВ к параметрическому виду: х =— 2t, y = 4t, z = bt.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной /, затем вычисляем его
/д=1
/1== J — 2/(4/)2(— 2dt)--4t(5t)24dt-5t(— 2t)25dt^
Ы = 0
1
= 364 J /8d/ = 91.
О
2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметрическому виду. Полагая x = t, получим у —— 2t (из второго данного уравнения), 2 = 1^45—5/2 (из первого уравнения). Отсюда
dx — dt, dy = — 2dt, dz =-и
V 45—5z2
<B=-2
I2 = J /(— 2/)2dZH-(— 2/)(45 —5/2)(— 2dl)-tA=3 — 2
- /45^5? t2 (-----= f (180Г - 17/3) dt = — 173 4 -
3
875.	Вычислить криволинейные интегралы:
1)	2x dx — (x 4- 2y) dy и 2) j) у cos x dx -|- sin x dy -i	+i
вдоль периметра треугольника и С (2; 0).
Решение. 1) Здесь (черт. 186) линия интегрирования (замкнутая) состоит из трех отрезков, которые лежат на различных прямых (с различными уравнениями). Соответственно этому криволинейный интеграл по ломаной АВСА вычисляем как сумму интегралов, взятых по отрезкам АВ, ВС и С А.
Составив уравнение прямой АВ,
с вершинами А (— 1; 0), В(0; 2)
у—2х = 2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволинейный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:	х =0
Л о
t/= 2x-}-2, dy = 2dx, ^= — 8 $ (x-|-l)i/x =
АВ	Хд=-1
= -4(х+1)2|°_1 = -4.
— 305 —
Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на отрезках ВС и С А, получим
"с=а
х — 2 — у, dx =— dy, § = J (у — 6)dy =	|° == 10;
вс ип^
"A"~l	-I
у = 0, dy = 0, J=2 xdx = x2| =— 3.
С A	tc = i	2
Следовательно,
$ =S +5 +S =-4+10-3 = 3.
А ВС А АВ ВС С А
2)	Здесь подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, n6o(ycosx)// = (sin x)x = cosx. Вследствие этого данный криволинейный интеграл, взятый по периметру данного треугольника, равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.
Вычислить криволинейные интегралы:
876.	J У(х~ y)dx-[-xdy по линиям: 1) у = 2х; 2) у = 2х2', ОА
3) у2 = 4х; 0(0; 0), А (1; 2).
877.	$ (х2—y)dx вдоль периметра прямоугольника, образо-+с
ванного прямыми х = 0, у = 0, х=1, у = 2.
878.	f г по отрезку прямой х—2у = 4; /4(0; —2), .1 К х2 + у2
АВ
73(4; 0).
879.	5 У dx + zdy + xdz: 1) по отрезку прямой ОС и 2) по ос
ломаной ОАВС-, 0(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), В(1; 1; 0), С(1; 1; !)•
880.	ф (х2—у2) dx + (х2 + у2)dy по эллипсу 7^2 +*а— 1-
-с
881.	J 2у sin 2хdx — cos2хdy по любой линии; М 2^ , MN 0 
\ о /
882.	(ухе*dx + (х—l)e*'dy по любой линии; Л (0; 2), В (Г, 2). АВ
883.	ф 2х (у — I)dx + х2 dy по контуру фигуры, ограниченной + G
линиями у = х2 и у = 9.
— 30b
§ 9.	Вычисление величин посредством криволинейных интегралов
Криволинейные, интегралы, как и все другие определенные интегралы, служат для вычисления различных геометрических и физических величин.
Наиболее просто посредством криволинейных интегралов вычисляются следующие величины:
1)	Длина дуги АВ плоской или пространственной линии
Lab~ $ dl.	(1)
АВ
2)	Площадь фигуры, расположенной в плоскости хОу и ограниченной замкнутой линией С,
s = xdy—ydx.	(2)
+с
3)	Масса материальной дуги АВ
т =	6 (Л1) dl,	(3)
АВ
где б(М) — линейная плотность вещества в точке М дуги.
4)	Координаты центра тяжести С дуги АВ
]' xb(M)dl	f yl>(M)dl	f
(В случае равномерного распределения массы 6 = const выносится за знаки интегралов и сокращается.)
5)	Работа, совершаемая силой F {Р, Q, Р}, действующей на точку при перемещении ее по дуге АВ,
Е= Р dx + Q dy -J- R dz.	(5)
AB
884. Найти длину кардиоиды x = 2acos/— acos2/, y = — 2a sin t — a sin 2/.
Решение. Применяем формулу (1); исходя из данных параметрических уравнений кардиоиды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой (гл. 5, §6), преобразуем криволинейный интеграл формулы (1)в обыкновенный интеграл с переменной t.
х —— 2а sin t А-2а sin 2t, у = 2а cos t — 2а cos 2/, dl = xl + у2 dt = 4a sin уdt.
— 307 —
Вся кардиоида (черт. 187) получается при изменении t от О до 2л. Поэтому
sin ~ dt — — Sa cos у
2Л
О
— 16а.
885. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой: 1) эллипсом x = acos/, y — bsinl',
2) петлей декартова листа >'3 + у'л— Зал// = 0.
fx =2acost-acos2t
[у - 2asint-asi,n2t
Черт. 187
Решение. 1) Применяем формулу (2). Исходя из данных параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вычисляем его:
2П
S = ~ ф xdy — ydx=	a cos td (b sin /) — b sin Id (a cos t) =
+ C	n
2Л
= ^ab § dt = nab.
0
2)	Вначале преобразуем данное уравнение к параметричс-,	За;	3afa
скому виду. Полагая y==xt, получим х =	,
Геометрически параметр /==у есть угловой коэффициент попарного радиуса ОМ (черт. 188); точка М (х, у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до 4-со.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы (2) в обыкновенный интеграл с переменной t, получим
с	I с ,	.	№ / t*df
>8	g J) xdy ydX— ? j (j ।	—
+- S	о
.“ T J <1 +	" < I + '! = T «•«r+'Ti E ”
0
— -iOS —
886.	Найти массу дуги АВ кривой z/ = lnx, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки; хл = 1, хв = 3.
Решение. Применяем формулу (3). Исходя из данного уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы (3) в обыкновенный с переменной х:
у'—±,	= I 1 + (lj’)idx= |/1 + / dx, 6 = Лх2;
Я	3	1
т — [ 6 dl = k | х2	—/р- dx — j* (х2 1)2 d (х2 + 1) =
АВ	1	1
= 4(*2+ !гГ = 4 (10/10-2/2) ~ 9,6 k.
О	I |	<j
887.	Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии х —a cost, y = asint, z = bt, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна аплнкате этой точки; ^л=-0, tg = n.
Решение. Применяем формулы (4). Вычислим криволинейные интегралы, содержащиеся в этих формулах, преобразуя их в обыкновенные интегралы с переменной /:
х= — a sin С y = acost, z = b\ dl = ]/ x2 -f- y2 -f- z2 dt = = /n24-b2d/;
xbdl=^ a cost • kbt}^a2 -\~b2dt = AB	о
= akb /a2 4- ft2 (t sin t cos t) |" = — 2abk /a2 4- 62;
12=- § ddl = J kbt /a2 -J- b2 dt = kb [Aa2 4- b2 -ур =
/3 = (j r/6 dl = J a sin t  kbt /a2 4- ft2 dt =
дв ’ 0
= abk /a2 4- b2 (sin t — t cos t) | o = abkn /a2 4- b2;
Л
14 = J z6 dl = J btkbt va2 4- b2 dt =	/a2 4- b2.
AH	0
„	I, 4a	2a	/.	2 ,
Следовательно, Xc=-f~—=	2c^-f=-^bn.
888.	Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы т по дуге АВ некоторой кривой.
— 309 —
Решение. Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси Oz совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила F = mgk, а ее проекции на оси координат Fx = Р = 0, Fy — Q = 0, Fz = R = tng.
Согласно формуле (5) искомая работа гв
Е — У Pdx + QdyA- Rdz = f tngdz = mg $ dz = mg(zB — zA).
АВ	АВ	z.
А
Она зависит только от разности апликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.
889.	Найти работу силового поля, в каждой точке (х, у) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) р = = (x-\-y)i — xj, когда точка массы т описывает окружность x = acosz, у — asin/, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Решение. Подставляя в формулу (5) проекции силы F = тр, действующей на точку: Fx = т (х 4-у), Fy — — тх, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим
Е = £ Р dx + Qdy — ф m (х 4- у) dx — тх dy —
-с	-С
— 2Л
= J т (a cos 14- a sin t)d (a cos t) — ma cos id (a sin /) = 0
-2Л
= — ma2 C (1-f-sin t cos t)dt = — ma2 (t 4-^-^ I гП=2лта2. fl
/4	t*
890.	Найти длину дуги кривой х = 2—, у = -g- между точками пересечения ее с осями координат.
891.	Найти длину дуги АВ кривой е2У(е2Х — 1) — е2Х4- 1; хА == 1, Xg - 2.
892.	Найти площадь, ограниченную кривой:
1)	кардиоидой x = 2cosZ — cos 2/, y = 2sin/ — sin 2Z;
2)	астроидой x = acos8Z, y = asin3/.
893*. Найти площадь: 1) ограниченную кривой у2 = х2 — х4;
2) петли кривой г/2 = х24-х3. (Перейти к параметрическим уравнениям, полагая y = xt.)
894.	Найти массу дуги ОА кривой:
1)	Зу = 2х V х, если в каждой ее точке М линейная плотность пропорциональна длине дуги ОМ, 0(0; 0), 4^4;
* к
2)y = y(ea4-f °), если линейная плотность в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, хо = 0, х.А = а.
— 310 —
895.	Найти цен гр тяжести однородной дуги АВ винтовой линии x = cos/, у = sin i, z — uit; tA = (), (в = 2л.
2	2	2
896.	Найти центр тяжести дуги NP астроиды л3 + z/3 —а3, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна абсциссе точки; N (0, а), Р(а, 0).
897.	Найти работу силового поля при перемещении точки массы т вдоль периметра кьадрата, образованного прямыми х = ±а, у^±а, если в каждой точке (х, у) поля напряжение (сила, действующая на единицу массы) р — (х—y)iA-xj.
898*. Точка массы т перемещается в силовом поле по дуге АВ кривой f(x, у) = 0. Найти работу поля, если в каждой его точке (х, у) сила, действующая на единицу массы, направлена к началу координат и по модулю равна расстоянию точки от начала координат.
§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
можно найти, интег-
У "г(хв,у) М[х.у)
"7|	X
Черт. 189
Если известен полный дифференциал функции двух переменных du — Р dx-f-Qdy, где Py = Qx, то ее рируя du по любой линии между произвольной фиксированной точкой А(х0, у0) и переменной точкой М (х, у):
и= ^Р(х, y)dx + Q(x, y)dy + C.	(*)
AM
Обычно в качестве линии интегрирования AM берется ломаная	или
ЛЛЛ2Л1 со звеньями, параллельными осям координат (черт. 189). При этом криво-
линейный интеграл J наиболее просто выражается через обык-АМ
повенные интегралы, и формула (*) преобразуется к виду
X	и
[Р(х, y0)dx+ Q(x, y)dy-\-C
хо	Vo
*	У
J P (x, y) dx -|- j <2 (a'o, y)dy-\~C. xo	Vo
(1)
(2)
Во многих случаях можно найти функцию и по ее полному дифференциалу du — Р dx-pQdy иначе.
Поскольку полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов du = dxu + dyu, dxu = Pdx, d u — Qdy, то интегрируя каждый из них отдельно, найдем два выражения искомой
— 311 —
функции U‘.
а)	и = Pdx-f- (р (у), считая у постоянной;
б)	и — Q -f--ф (х), считая х постоянной, где <р ((/) и ф (х) — неизвестные функции.
Беря все известные члены из первого выражения и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго выражения получим функцию и.
Решение такой задачи легко проверить: если функция и найдена верно, то ее полный дифференциал, найденный по фюр-муле du — uKdx + иу(1у, должен быть тождествен данному полному дифференциалу Pdx + Qdy.
899. Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции и (х, у), и найти и:
1)	(2х — 31/2ф- 1)гкф-(2 — 6xy)dy, 2) (exvф-5)(xdy ф- ydx)’,
3) (I — sin 2x)dy — (3 ф-2y cos 2x)dx.
Решение. 1) Обозначим коэффициенты при дифференциалах Р — 2х — 3//2ф-1, 0 = 2 — бху и найдем Ру—— бу и Qc= — бу. Так как здесь PU = QX и Р, Q, Ру, QK непрерыв! ы, то заданное выражение является полным дифференциалом некоторой функции и.
Найдем эту функцию по формуле (1), выбрав точку А в начале координат 0(0, 0)
« — 5 (%х + ^)dx ф- (2 — бху) dy + C = х2 ф- к ф- 2у — Зху2 ф- С. О	II
2)	Преобразуем заданное дифференциальное выражение к виду Pdx+Qdy и найдем Р„ и Qr:
у ф- 5) dx ф- х (+у ф- 5) dy. Ру = 5 ф- еКу (1 ф- ху) ----- QK.
Условие PB=Qr выполнено. Заданное выражение есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у).
Найдем эту функцию по формуле (2):
XV	X
ц = У у (еху ф- 5) dx ф- У х0 (ех‘у ф- 5) dy 4- С = eXv ф- бху | ф-ха	Vo	*а
ф- ф- 5хоу | ф- С = еху ф- бху — ех«у« — 5хоуо ф- С = еху ф- бху ф- С,, !/о
где С1 = С—ех»уо — бхоуо.
— 3/2 —
3)	Вначале находим частные производные
Ру = — (3 4 2у соз 2х)9 = — 2 cos 2х,
Qr = (1 — sin 2x)r == — 2 cos 2x и убеждаемся, что они тождественно равны и что заданное выражение есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у). Затем найдем эту функцию вторым способом, интегрируя каждый частный дифференциал Pdx и Qdy отдельно.
а)	и	(3 4- 2i/cos 2x)dx = — Зх— у sin 2х 4~<р (у), считая
у постоянной;
б)	и — J (1 — sin 2x)dy ~ у — у sin 2x4- ф (х)> считая х постоянной.
Объединяя эти два выражения — дописав к известным членам первого выражения недостающий член, зависящий только от у, из второго выражения получим одну из первообразных функций, а прибавив к ней произвольную постоянную С, получим общее выражение первообразной функции для заданного полного дифференциала и —у— Зх—у sin 2x4- С.
В задачах 900—905 проверить, что данное дифференциальное выражение есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у) и затем найти и:
900.	(Зх2у 4-1) dx 4- (х3 — 1) dy.
901.	cos х cos у dx—sin y(sin x 4- 4 cos y) dy.
902.	[I 4-cos(xj/)](z/dx4-xdt/).
903.	(y2exy—3)dx 4-exy (1 4-xy) dy.
904 хаУ—Уах доз (*+?У) dx+ydy x24-t/2 ’	‘	+
§ 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М гладкой* поверхности о и если разбить эту поверхность произвольным способом на п частичных поверхностей с площадями AsJt Ал.2, ..., Asn, выбрать на каждой из них по одной произвольной точке Mj, М2, .... Мп, вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
f (М,) As, + f (MJ As., 4- -   + f (M„) As„ = £ f (MJ As,.,
/ = 1
то она называется интегральной суммой функции f(M) по площади поверхности о.
Поскольку в описанном процессе составления интегральной суммы можно по-разиому разбивать поверхность о на п частич-
* Гладкая поверхность в важной своей точке имеет определенную касательную плоскость, положение которой непрерывно меняется вместе с точкой касания.
373 —
пых поверхностей н на каждой из них можно по-разному выбирать по одной точке Л4,, то для всякой данной функции f(M) н всякой дайной поверхности о можно составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом, если п будет неограниченно возрастать, а наибольший из диаметров частичных поверхностей будет стремиться к нулю, то все эти интегральные суммы будут иметь один общий предел, который называется поверхностным интегралом от функции f(М) по площади поверхности о и обозначается ^f(M)ds.
CJ
Поверхностные интегралы по координатам хи у, х п г или у и z
{^P(M)dxdy, ^Q(M)dxdz или ^R(M)dydz (*) о	о	о
определяются аналогично, как пределы интегральных сумм функций Р(М), Q (М) или R (Л1), взятых по поверхности о, с той лишь разницей, что при составлении этих сумм значения функции в точках Л1,- умножаются не на площади частичных поверхностей As,-, а на их проекции на координатные плоскости хОу, хОг или yOz.
Поверхностный интеграл по координатам общего вида
Р (M)dxdy-p Q (M)dx dz-ф R (M)dydz
а
представляет сумму поверхностных интегралов по координатам вида (*).
Вычисление поверхностных интегралов обоих типов сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности а подынтегральное выражение поверхностного интеграла преобразуется к двум переменным, областью изменения которых будет проекция о на соответствующую (этим переменным) координатную плоскость.
Если область интегрирования поверхностного интеграла — поверхность о имеет уравнение z = ip(x, у), то поверхностный интеграл первого типа (по площади поверхности) преобразуется в двойной интеграл (и затем вычисляется) по формуле
$р(х> У’ г)у. ф(*. (/)] /1 + (ф1)2+(фй)2^^, (1) О
где о — проекция области о на плоскость хОу, а поверхностный интеграл второго типа (по координатам) — по формуле
П f(x, у, z)dxdy = ±\\f[x, у, ф(х, y)]dxdy, (2) °	"-си
214 —
где двойной знак соответствует двум различным сторонам поверхности о: плюс соответствует интегрированию по верхней стороне поверхности о (обращенной в сторону положительного направления оси Ог), а минус —интегрированию по нижней стороне поверхности о (обращенной в сторону отрицательного направления оси Oz).
Если для всей поверхности о нельзя г выразить однозначной функцией от х и у, то ее следует разбить на части, для которых это возможно, и затем вычислить данный интеграл как сумму интегралов по составляющим частям.
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого и второго типов, когда поверхность о имеет уравнение вида f/ = <Pi(x, ?) или х = <р..(у, г).
При этом для поверхностного интеграла второго типа, как и в правой части формулы (2), перед двойным интегралом выбирается знак плюс или минус, смотря по тому, берется ли поверхностный интеграл по стороне поверхности о, которая обращена в сторону положительного или отрицательного направления соответствующей координатной оси (перпендикулярной к координатной плоскости расположения области интегрирования двойного интеграла).
Поверхностный интеграл по координатам х, у, взятый по куску цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ог, равен нулю. В аналогичных случаях равны нулю и поверхностные интегралы по координатам х, г или у, г.
Если о замкнутая поверхность, то интеграл по внешней ее стороне обозначается (jj), а по внутренней стороне (jj).
+а	-о
Интеграл по замкнутой поверхности о можно преобразовать в тройной интеграл по области G, ограниченной этой поверхностью, и, наоборот, по формуле Ост р о г р ад с к о го — Г аусса:
(jj) Р dydz + Q dxdz + R dx dy = J J J (P'x + Q'y + R'z) dxdydz, (3) +o	G
где функции P(x, у, г), Q (x, у, г), R(x, у, г) и их частные производные первого порядка должны быть непрерывны в области 6.
Интеграл по незамкнутой поверхности о связан с криволинейным интегралом по контуру I, ограничивающему эту поверхность, по формуле Стокса:
JJ	+ dxdy =
а
= (fi Р dx-\-Q dy + Rdz,	(4)
— 315 —
где функции Р (х, у, z), Q (х, у, г), R (х, у, г) и их частные производные первого порядка должны быть непрерывны в некоторой области G, содержащей о.
Направление обхода контура / и сторона поверхности о согласуются по следующему правилу: с той стороны поверхности о, по которой ведется интегрирование, обход контура I должен быть направлен против часовой стрелки *.
Если по этой формуле криволинейный интеграл по замкнутому контуру I преобразуется в поверхностный интеграл, то о может быть любая (кусочно-гладкая) поверхность, «натянутая» на Z и содержащаяся в области G.
В случае, когда а есть плоская область D на плоскости хОу (z = 0), формула (4) упрощается:
— P',j)dxdy = ^Pdx + Qdy.	(5)
D	+1
Этот частный вид формулы Стокса принято называть формулой Грина.
906. Вычислить поверхностные интегралы первого типа (по площади поверхности):
1) / =	(6x4-4г/4- 3z) ds, где о —часть
СТ
ПЛОСКОСТИ Х-^2у +
4-32 = 6, расположенная в первом октанте.
2) К = J J {у 4- г 4- |zo2 — х2) ds, где 117 — поверхность цилиндра
х24-г/2 = а2, заключенная между плоскостями 2 = 0 и z = h.
Решение. 1) Поверхность интегрирования о есть треугольник АВС (черт. 190). Пользуясь ее уравнением и формулой (1), преобразуем данный поверхностный интеграл в двойной интеграл с переменными х и у:
z = у (6 — х — 2у), ds = |/ 14- (z^)2 + (Z )2 dx dy — XX dx dy.
/ = XX j (5x 4- 2y 4- 6) dx dy,
где oxv — треугольник ABO, являющийся проекцией о на плоскость хОу.
* Точнее! При обходе контура I по стороне интегрирования поверхности о прилежащая к нему часть о должна быть слева.
— 31b —
Полученный двойной интеграл вычисляем двукратным интегрированием-
«Д = 3 *р = в~2(/
j dy J	(5x + 2i/ + 6)Jx =
W0=o *p=n
—(-|-№4-2xt/ + 6x|	=21<Г4 ( (у2 — Юг/ I =
О	Jt=O	о
= 2/14^—5y2 + 21y) ] = 54/14. 0
2) Здесь для всей поверхности W нельзя выразить одну из координат однозначной функцией от двух других координат Части цилиндрической поверхности, расположенные но разные
Черт. 191
стороны от вертикальных координатных плоскостей (черт. 191), имеют различные явные уравнения: часть И/„ расположенная слева от плоскости xOz, имеет уравнение у= —/а2 —х2, а часть lV'a, расположенная справа от этой плоскости, имеет уравнение // = /а2— №. Поэтому вычисляем данный интеграл К по поверхности 1*7 как сумму интегралов К, и /(2 по составляющим се частям U/t и W2.
Преобразуя поверхностные интегралы l(t н /(2 в двойные интегралы с переменными х и г, получим:
ds = /1 + (/)2 + (?/1)2 dx dz =
/ а2 —х2
К, =
dx dz.
Следовательно, к=к1+«,=2о [[ (| ABCD
— 317 —
Tai. как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхностей 1'<71 и UZ2 на плоскость xOz.
Вычисляя полученный двойной интеграл, найдем:
h a	h	х—а
l{=-2a^dz\ (14-p^=)dx = 2aJ(x4-zarcsin	)dz =
п -а	о	X--U
Л	Л
= 2а (2а4-лг)4г= 2а ^2az4-^-^ | = а/г (4а 4~ л/1). О	о
907. Вычислить поверхностные интегралы второго типа (по координатам):
1)	/ =	Ух2 + У2dxdy, где G— нижняя сторона круга
х2 фу2=Са2”
2)	J = J J 2dxdy + у dx dz — x2zdy dz, где T — внешняя сторона т
части эллипсоида 4х2 4- у2 4- 4г2 = 4, расположенной в первом октанте.
3)	К = <jj> ydxdz, где U7 — поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z~ 1, x = Q, г/ = 0, z = 0.
Решение. 1) Поверхность о совпадает со своей проекцией оху на плоскость хОу. Поэтому и согласно форм7ле (2), учитывая, что интегрирование распространяется на нижнюю сторону круга, получим:
/ = — J J	г/ х2 4- у2 dx dy =
x2 + t/2^aB
3	п ь_ а
JJ	р prfqxip = —J a'<p	J	р 2 dp = J	р 2 | d<p =	—g-л Ka\
й~~а	0	0	2Л	о
Здесь выполнен переход от прямоугольных координат к полярным.
2) Расчленяем данный поверхностный интеграл по координатам общего вида на три слагаемых интеграла
J = 2 J J dx dy 4-	у dx dz — J J x2 z dy dz
r	Jr	T
и, пользуясь уравнением поверхности T и формулой (2), пре-- 313 —
образуем каждый из них в двойной интеграл:
Л = 55 dxdy = dxdy, где Тху — проекция Т на плоскость хОу — часть ОАВ эллипса 4х2 -{-у2 4 (черт. 192);
J2 = 5 5 ydxdz = 2 55 1^1 — х2 — z2dxdz, где Тхг — часть ОАС т	тх,
круга х2-|- z2 1;
где —часть О ВС эллипса г/2--|-4г2^4.
Первый интеграл численно равен площади области Тху—четверти площади эллипса с полуосями а = 1, Ь — 2, т. е. 7Т==
= (см. задаЧу 604 (4), стр. 196).
Второй интеграл вычислим, переходя к полярным координатам:
Л _____	Т	1	-L
J2=--2 5 J V1 — p2pd<pdp = —5 dq> J 0 ~p2)2d(l — Р2) = ОАС	о	о
6
,Д ,	2 2(1—z2) 2
z2)
Следовательно, J = 2Jl-j-J2 — J3=g-n—
3) Замкнутая поверхность U? состоит из четырех частей — треугольников АВС, ВСО, АСО, АВО, расположенных в различных плоскостях (см. черт. 174). Соответственно этому вычисляем данный интеграл как сумму четырех интегралов.
Преобразуя поверхностный интеграл по внутренней (обращенной к началу координат) стороне треугольника АВС в
— 319 —
двойной интеграл и вычисляя его, получим:
I 1-1
$ [ ydxdz= — J J (1 — х — z)dxdz = [dx § (Ж~ l)dz-=
ABC	АСО	<>	<1
=|г:>=-и«- '»=—>-ь « 1
( \ i/dxdz=l\ \itdxdz~Q, так как плоскости BCD и ABO
HCO	ABO
перпендикулярны плоскости xOz (см. стр. 315);
у dx dz —	0 dx dz — 0.
АСО	АСО
..	tz	1
Следовательно, К =-g- -
908.	По формуле Остроградского—Гаусса вычислить поверхностный интеграл 1 —	4х3 dy dz -ф 4у3 dx dz—(jzidxdy, где о —
+ G
полная поверхность цилиндра, черт. 191, данного в задаче 906(2).
Решение. Путем сопоставления данного интеграла с левой частью формулы (3) определяем: Р — 4х3, Q = 4y3, R = — 6z4. Затем находим производные: Рх=12х2, Qy=l2y2, Rz = — 24z3, подставляем их в правую часть формулы (3) и таким образом вместо данного поверхностного интеграла по замкнутой поверхности о получим тройной интеграл по области G, ограниченной этой поверхностью:
/ = 12	(*2 + У2—2z3)dxdydz.
G
Интегрируя вначале по г, а затем переходя к полярпы?.! координатам, найдем
/ — 12 dx dy § (х2 + у2— 2z3)dz=l2	[(х2-}-уа)г —
''-су	О	L
—I c‘x ~ 12 J J (== o a
= 12/z	dp = &n.a2h (a2—h3).
0	0
909.	Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный интеграл K = ^exdx±z(л24-у2)2 dy + yz3dz, где I—замкнутая i
— 320 —
линия ОСВАО (черт. 193) пересечения поверхностей г = ]/х2 + у2. х = 0, х = 2, у = 0, у=1.
Решение. Сопоставляя К с формулой (4), определяем:
Р = ех, Q = z(x24-y2)2, R = yza.
Находим производные:
Ру = Рг = 0, Qx = 3xz|А'2 + z2, Qz = (x2 + y2)2, Rx==01
Rt/ = z3
и подставляя их в формулу Стокса, получим
К = 3 J $ xz Vх2 + у2 dx dy.
или кусочно-гладкая) контур /. Пользуясь
Здесь о может быть любая (гла поверхность, «натянутая» на даш этим, выберем в качестве а часть данной конической поверхности z — |/х2 4- у2, ограниченную контуром I.
Тогда, интегрируя по нижней стороне указанной поверхности, на которой заданный обход контура I направлен против часовой стрелки, найдем:
К = — 3 х (х2 + у2) dx dy — ° ху
= — J dy J (х3 4- ху2) dx — — 14
Черт. 193 (°ху—прямоугольник ОALBlCl).
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
910.	где о — часть плоскости х + у4-г = п, располо-
<1
женная в первом октанте.
911.	JJxtfs, где 7"—полусфера z = V<l—х2—у2, т
912.	(х2 -j-y2)ds, где 117 — поверхность, отсекаемая от napa-
lm
болоида х24- у2 = 2z плоскостью z — 1.
913.	$ (х2у2 4- x2z2 4- у2?2) ds, где о —поверхность, отсекаемая и
от полости конуса г = ]^х2±у2 цилиндром х2-[у2 = 2х.
И Заказ Ns 3201
— 321 —
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа: 914.	(у2 -\-z2)dy dz, где о—внешняя сторона части парабо-
а
доида х = а2—у2—г2, отсеченной плоскостью yOz.
915.	г2dxdy, где о—эллипсоид х2 + у2 + 2г2 = 2. -а
916.	§ zdxdy + ydxdz + xdydz, где о —поверхность куба, -О
ограниченного плоскостями х = 0, х=1, у = 0, у = 1, г = 0, г = 1.
917.	<й (г+ Vfdxdy, где W—сфера х2+у2 + г2 = R2. + 1Г
918.	Пользуясь формулой Остроградского—Гаусса, решить задачи 915, 916, 917.
919.	Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейные интегралы:
1) ^(2x + y)dx—2ydy, где L—периметр	треугольника
-L
Л (0; —1), 5(0, 2); С(2; 0). За поверхность о принять данный треугольник;
2) ф 8у К( 1—х2—z2)3 dx-\-xysdy-\-sin zdz, где I—замкнутый i
контур АСВА (черт. 192), данный в задаче 907 (2). В качестве поверхности о взять часть данного эллипсоида.
§12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов
1) Площадь S поверхности о
S=5S*'	<‘>
о
2) Масса материальной поверхности о
т~\ \ &(M)ds,	(2)
О
где 6(44)—поверхностная плотность распределения массы в точке М (х, у, г) поверхности о.
3) Координаты центра тяжести С поверхности о
а	а	а
где туг, тхг, mxv—статические моменты поверхности о относительно плоскостёй координат.
— 322 —
Для однородной поверхности 6 = const выносится за знаки интегралов и сокращается.
Другие применения поверхностных интегралов указываются в следующей главе.
920.	Найти площадь части поверхности:
1)	конуса г2 = 2ху, расположенной в первом октанте между плоскостями х = 2, у — 4;
2)	сферы х2 + у2 + г2 = Я2, расположенной внутри цилиндра х2 у2 = Ох;
3)	цилиндра л'2 + у2 = Rx, расположенной внутри сферы х2ф-+ у2 + г2 = ^2.
Решение. 1) Применяем формулу (1). Пользуясь уравне« нием конуса, преобразуем поверхностный интеграл в двойной интеграл с переменными х и у:
s = Jps = Jjj/j _|_ (г;)2 +	dxdy = JJ ( J +
О	Оау
+ j/"dxdy,
где oxv—проекция о на плоскость хОу — прямоугольник О АВС (черт. 194).
Вычисляя двойной интеграл, получим
2	4	___
о о
= 2/2	+^)dx = 2V2 (у/73 + 4/х )| ; = 16.
2)	Данная поверхность * симметрична относительно плоскостей хОу и хОг, в первом октанте помещается ее четвертая часть (о) (черт. 195), для которой апликата г = У R2— х2—у2. Поэтому согласно формуле (1) искомая площадь
S- *=4 ff Kl+(2;)-+(zj>dxd,j=4R^	•
a	at	at
где oA — полукруг, ограниченный окружностью x2 + y2 = /?x и осью Ох(х2ф-у2<: Rx, у^О).
* Верхнее и нижнее д^нования «тела Вивнани», вырезаемого цилиндром из шара. На черт. 195 изображена половина этого тела, расположенная над плоскостью хОу.
11
— 323 —
Переходя к полярным координатам и интегрируя, имеем: О р R cos <р,	0 s£ ср ;
С С Pd<PdP JJ
— 2R J dip
О
(R2-p2) !d(/?2-p2)
Л
Р I	I I R cos ф	и
= 2R Ц2 (R2-p2)2] I „ dcp = 4R2j (1 — sin ср) dtp = 2R2 (л —2) п	о
2
(р = R cos <р — полярное уравнение окружности х2 -|-у2 == Rx).
Черт. 195
3)	Данная поверхность* (черт. 195) также симметрична относительно плоскостей хОу и xOz\ в первом октанте помещается ее четвертая часть (7'), для которой ордината у = Rx—х2. Поэтому, преобразуя поверхностный интеграл формулы (1) в двойной интеграл с переменными х и г, получим
S - Д!	- 2R Я т== •
Т хз
где Тхг—плоская область, ограниченная осями Ох и Ог и параболой /, уравнение которой г2= R2— Rx получается путем исключения у из данных уравнений. (Эта парабола является проекцией на плоскость xOz линии пересечения цилиндра и сферы.)
Интегрируя, найдем
R	R .
во	о
* Боковая поверхность «тела Вивиапи».
— 324 —
921.	Найти массу полусферы, если в каждой ее точке поверхностная плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию-полусферы.
Решение. Поместим начало прямоугольной системы координат в центре основания полусферы и направим ось апликат перпендикулярно этому основанию. Тогда уравнение полусферы будет z—p^P2—х2 — у'1, где R— радиус полусферы; поверхностная плотность в точке М (х, у, z) полусферы будет 6 (М) = = KF+F; ds = Г1 + (г1)2 + (г;/)2 dx dy =	.
Подставляя в формулу (2), получим:
т —	6 ds = R
а
Г Г j/У2 + у2 dx dy
J J Y’
G!Ky
где °xy—круг x2 + y2^R2.
Переходя к полярным координатам, найдем
т =
р2 dtp dp /Т?2—р2
р2 dp Vr^-p2
2 ’
(Внутренний интеграл вычисляется посредством замены переменной по формуле р = R sin t.)
922.	Найти центр тяжести полусферы, данной в условии предыдущей задачи.
Решение. При том же расположении системы координат вследствие симметричного расположения данной поверхности и распределенной на ней массы относительно оси апликатхс=рс=О.
Для определения апликаты центра тяжести вычислим статический момент
тху = z6 ds = R	j/x2 4- у2 dx dy = R p2r/cp Jp==-|rt/?4.
Масса полусферы найдена в решении предыдущей задачи.
Согласно формуле (3) гс = _ тху = 4/?
т Зя
923.	Найти центр тяжести однородной поверхности параболоида y2 + z2=10x, отсеченной плоскостью х— 10.
Решение. Данная однородная поверхность (о) симметрична относительно оси абсцисс (черт. 196). Поэтому yr-zc-().
Черт. 196
— 325 —
Чтобы найти абсциссу центра тяжести, вычислим: 1) статический момент т и 2) массу т данной поверхности:
1) myz = $ 5 xf> ds = 6 J J х у 1 + (^)2 + (л.;)2 dy dz =
°	°цг
(у2 + г2)	dydz =
и1 + z!s; юо
= JJ P2/25 + p2 p dtp dp =
10
2Л 10
= dtp J p4Z25+p2prfp = yn6(l + 25/5). 0	0
Здесь после перехода к полярным координатам внутренний интеграл вычисляется с помощью подстановки /25 + р2 = t.
2) m = jj6ds = -|- У j* J/254-i/2 + z2 dydz = a	//'+/«=sio<i
= 4 УУГ25+РГР^^Р = У М (25 + pa)Vd(25 + p2) =
10	0	0
2Л	3
=4f |<25 + Р2)2 рФ=улб(5/5"-1).
w J О	| о	«j
о
ГТ л.	/04	тУ*	25/5+1
По формуле (3) хс =—— — 7=-------.
в j \ / с т	5 j/y_j
Найти площадь части поверхности:
924 . 2% + 2у +z = 8a, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = = R2.
925.	Цилиндра x2-\-y2 = R2, заключенной между плоскостями t/ + z = O и г = 0.
926.	Цилиндра y2-^z2=R2, заключенной внутри цилиндра X2 + y*=R2.
927.	Параболоида хг +у2 = 6г, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = 27.
928.	Сферы х2 + г/2 + г2 = Зя2, заключенной внутри параболоида х2 + у2 = 2аг.
929.	Найти массу цилиндрической поверхности х2 + у2 = R2, заключенной между плоскостями г = 0 и z = H, если в каждой ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.
— 326 —
930.	Найти массу поверхности куба, ребро которого равно единице, если в каждой ее точке поверхностная плотность численно равна произведению расстояний этой точки до трех граней куба, проходящих через одну данную его вершину.
931.	Найти центр тяжести полусферы г = ф</?2— х2—у2, если в каждой ее точке поверхностная плотность пропорциональна квадрату расстояния этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
932.	Найти центр тяжести однородной поверхности конуса а2г2 = Ь2 (х2 + у2), Os^z^b.
ГЛАВА V1H
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1.	Скалярное поле. Производная по направлению.
Градиент
Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой М которой связано определенное значение некоторой скалярной физической величины и-и(М'). Задание поля скалярной величины и равносильно заданию скалярной (числовой) функции и(М).
Функция и(М), определяющая плоское скалярное поле, как функция точки М (х, у), зависит от двух переменных и = и(х, у), а функция, определяющая пространственное скалярное поле, как функция точки М (х, у, г), зависит от трех переменных и = и (х, у, г).
Линией уровня плоского скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения. Линия уровня, во всех точках которой функция поля и (х, у) имеет одно и то же значение С, определяется уравнением и(х, у)==С; различным постоянным значениям С1, С2, С3, ... функции поля соответствуют различные линии уровня: и (х, у) = С1( tz(x, у) = С2, и (х, у)=С3, ...
Поверхностью уровня пространственного скалярного поля называется совокупность точек пространства, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения. Поверхность уровня, во всех точках которой функция поля и (х, у, г) имеет одно и то же значение С, определяется уравнением и (х, у, г) = С.
Через каждую точку проходит только одна поверхность (линия) уровня; они заполняют всю рассматриваемую область и не пересекаются между собой.
Производной функции и (Л4) по направлению МР называется предел отношения разности и(М^— и(М) к величине направленного отрезка MMV когда точка М± стремится к точке М, оставаясь на прямой МР.
Производная функции и по направлению I обозначается
— 328 —
ИЛИ Up.
ди 	..
—iT = Ui— Inn
al	M, --> M
и (Мб—и (M)
MM i
и вычисляется по формуле ди ди	.ди п , ди	-г-,	,
-37- = -5- cos а 4- -ч- cos | j -J- -5- cos у = N - 1°,	(а)
dl дх	ду 1 dz 1	'
„„„ Тг (ди ди
де idx’ ду ' dz/—нормальный вектор к поверхности уровня, /°{cosa, cos |3, cos y}—единичный вектор направления /.
Производная щ определяет величину скорости изменения функции и (Л4) при перемещении точки М по направлению I 
В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет производную по любому направлению.
Производные функции и (х, у, г) по положительным направлениям осей координат Ох, Оу, Ог равны ее частным производным их, иу и иг.
Производные по прямо противоположным направлениям отличаются только по знаку.
Производная функции и{х, у) по направлению линии уровня (касательному к линии уровня) и производная функции и(х, у, г) по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня (по любому направлению, касательному к поверхности уровня), равны нулю.
Градиентом функции (поля) и(М) называется вектор
. ди~ , ди—ди г
grad и = ч- i 4- Jr- 1 k.	(б)
ь	дх ду ‘ 1 дг	'
Направление вектора grad и в каждой точке М совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.
Из всех производных функции и(М), взятых по различным направлениям, наибольшее значение всегда имеет производная по направлению градиента функции
- l6rad„i_ /(£)*+(£)'<)’.
Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции.
933. Построить линии уровня плоских скалярных полей:
1)	и = х-\-у, 2) ы = х24-</2, 3) и =-^, соответствующие значениям и=1, 2, 3, 4, 5.
— 329 —
Решение. 1) Полагая и=1, 2, 3, 4, 5, получим уравнения соответствующих линии уровня: х+у=1; х + у = 2; х+у = 3; л-|-у = 4; х-)-у = 5. Построив эти линии в прямоугольной системе координат хбу, получим прямые, параллельные биссектрисе 2-го и 4-го координатных углов (черт. 197).
Черт. 198
Черт. 199
2)	Написав уравнения линий уровня: x2 + i/2=l, х2-\~У2 = 2., л2 -|~ у2 = 3, х2 + у2 = 4, х2 + у1 = 5 и построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (черт. 198).
3)	Линии уровня 2у = х2, у = х2, 2у = 3х2, у = 2х2, 2у = 5х2 представляют параболы, симметричные оси Оу с общей вершиной в начале координат (черт. 199).
934. Найти производную функции и=ух2 + у2 в точке А (3; 4):
1)	по направлению биссектрисы первого координатного угла;
2)	по направлению радиуса-вектора точки А;
3)	по направлению вектора у {4; —3}.
Решение. Находим частные производные функции и и вычисляем их значения в точке .4:
ди  х	ди I   3
ди  у	ди I	4
j/pTpp ’ ду |л ~ 5 *
— 330
Подставляя в формулу (а), найдем производную функции и в точке А по любому направлению / {cos a, cosfi}:
ди I	3	,4	Q
-тг =-=-cosa + -=-cosp. dl |д 5	'5 г
Находим далее косинусы углов аир, образованных заданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функции и по заданному направлению:
1)	Для биссектрисы первого координатного угла: а = р=45°, V2 cos а = cos р =	;
ди 13	4 K2_7J<2
dlt |д — 5 ' 2 ~г 5 * 2 ~ 10 ‘
2)	Для вектора ОД {3; 4}: cosa = -|-, cosp = -^-;
ди I _3->	4-> _ .
<Э/2|л~52 +52 ~ k
3)	Для вектора q {4;—3}: cosa = -^-, cosp = —	^|^=0.
935.	Найти производную функции u = xy + yz-\-l по направлению вектора / {12; —3; —4} в любой точке и в точках А (0; —2; —1) и В (3; 3; 5).
Решение. Найдем частные производные функции и и направляющие косинусы вектора /:
их =У~, и'у == х + z; uz = у, 12	„	3	4
cos а = ; cos р = —	; cos у = —	.
Подставляя в формулу (а), найдем производную функции и по направлению / в любой точке:
. 12	3 . , .	4	8и—3(х4-г)
1з(х + 2)-13# —	Тз '•
Подставляя координаты точек А и В, получим иДЛ) = —1; и'1(В) = 0.
936.	С какой наибольшей скоростью может возрастать функция и(М) =	+1' ПРИ переходе точки Л1 (х, у, z) через
точку Л1о(—1; 2; —2)? В каком направлении должна двигаться точка М при переходе через точку Л1£ (2; 0; 1), чтобы функция и (М) убывала с наибольшей скоростью?
Решение. Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции и (/И) при переходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли
— 331 —
точка Л1 при переходе через точку Р двигаться по направлению градиента функции в точке Р или по прямо противоположному направлению.
Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции и и по формуле (б)—ее градиент в любой точке:
grad и = _ __?2—_ (А/ | /// I 2k).
Далее находим: 1) grad и (Л40) =-|-(i—2;ф-2/г); его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания функции и (М) при переходе М через Л10, будет | grad п (7И0) | = = /ШЧЧу+ЩМ-
2) grad и (ЛД) = — -д i — — /г; искомый вектор, имеющий прямо ,	, ... ч Ю ~ . 5 ,
противоположное направление, будет —grad it (Л4Г) = -д t + д-«. Чтобы функция и (Л4) убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку 714, точка М должна двигаться в направлении вектора—grad и (A4J.
937.	Найти точки, в которых функция 2 = ех(х—у9 + 3у) стационарна (т. е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).
Решение. Чтобы в некоторой точке Р производная функции по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль. [Согласно формуле (а).|
Поэтому, найдя частные производные: z'x = e*(x—у3 + Зу-р О, z'--=3ex(l—у2) и решая систему уравнений z'x = 0, zC=0, получим две точки: (—3; 1) и (]; —1), в которых функция стационарна.
938.	Построить линии уровня скалярных полей:
1)	; = *‘ + 29, 2) 2 = ^-,.
соответствующие значениям 2 = — 2, —1, 0, 1, 2. Найти и построить градиент каждого поля в точках А (1; —1) и В (—2; —2).
939.	Найти производную функции z~ arctg-^- по направлению вектора Z = 3i + 4j в любой точке и в точках А (1; 3) и В (2; 1). Построить линии уровня соответствующего скалярного поля, проходящие через точки А и В, и его градиент в этих точках.
940.	Найти производную функции и=-ху2 в точке Q (1; —2; 2) по любому направлению и по направлению радиуса-вектора точки Q.
- 332 —
941.	По какому направлению должна двигаться точка М (х, у, г) при переходе через точку Л1„(—1; 1; —1), чтобы функция F(М) — ~ -ф ~	возрастала с наибольшей скоростью?
942.	С какой наибольшей скоростью может убывать функция и(М)—- In (х2—£/24-z2) при переходе точки М (х, у, z) через точку Л40(1; 1; 1)?
943.	Показать, что в точке 4(4; —12) производная функции z = х3 4- Зх2 4- Бху + у2 по любому направлению равна нулю (функция стационарна).
944.	Найти точки, в которых функция <р (х, у) = х34-у34-Зху стационарна.
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля
Векторным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой М которой связано определенное значение некоторой векторной физической величины а = а(М).
Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе координат Охуг, то вектор а будет векторной функцией, а его проекции ах, ау, аг на оси координат будут скалярными функциями от переменных х, у и г:
а(Л4) = а(х, у, г) = ах(х, у, z)7+ay(x, у, z)j+az(x, у, z)k.
Поэтому задание поля векторной величины а равносильно заданию трех скалярных (числовых) функций ах, ау, az.
Векторной линией векторного поля называется кривая, направление которой в каждой точке М совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке поля.
Потоком векторного поля, образованного вектором а {ах, ау, аг} через поверхность о называется поверхностный интеграл (скаляр)
К = axdydzd-aydxdz-j-a2dxdy.	(1)
Если вектор а определяет поле скоростей текущей жидкости, то интеграл Л выражает количество жидкости, протекающей через поверхность о за единицу времени. При этом если о — замкнутая поверхность, ограничивающая область G, и если интеграл (1) берется по внешней стороне о, то величина К называется потоком вектора а изнутри поверхности о; она дает разность между количествами жидкости, вытекшей из области G и втекшей в эту область за единицу времени (предполагается, что жидкость может свободно протекать через поверхность о).
При К>0 из области G вытекает жидкости больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источ-
— 333 —
пиков, питающих поток жидкости. При 7<<0 из области G вытекает жидкости меньше, чем втекает, что означает наличие в этой области стоков, где жидкость удаляется из потока. При К = 0 из области G вытекает жидкости столько же, сколько в нее и втекает.
Дивергенцией векторного поля, определяемого вектором а, называется скаляр
_ dav да.. да,
diva =-jF + -=r-4--ar’	(2)
дх ' ду дг	' '
Если diva(7M0)>0, то точка 7И0 называется источником, а если div а (7И0) < 0, то точка Л40 называется стоком, ибо в первом случае в любой бесконечно малой области, окружающей точку Л40, жидкость возникает, а во втором случае она исчезает.
Абсолютная величина diva(AI0) характеризует мощность источника или стока.
Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным. Поток такого поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Согласно формуле Остр о градского — Гаусса (гл. VII, § 11) поток и дивергенция векторного поля связаны между собой равенством
<jj) ах dy dz 4- ау dx dz + az dx dy = +<J
<3)
которое имеет следующий смысл: поток векторного поля через замкнутую поверхность (о) равен тройному интегралу по области (G), ограниченной этой поверхностью, от дивергенции поля.
945. Найти поток векторного поля p = xi—y2j + (х2+ z2—l)fe £y2	2*^
через поверхность -j + +-3-= 1 (эллипсоид) изнутри этой поверхности.
Решение. Согласно формуле (1)
А = (jj) х dy dz—у2 dx dz Д (ха + z2 — I) dxdy.
Расчленяем этот поверхностный интеграл (II типа) на три слагаемых интеграла и, пользуясь данным уравнением эллипсоида (о), сводим их вычисление к вычислению двойных интегралов.
1)	— <fyxdydz= xdydz-f- xdydz,
+о	о,	О2
где оу и о2—части данного эллипсоида, расположенные по разные стороны от плоскости уОг (см. черт. 98), которые имеют
— 334 —
различные явные уравнения:
/1 У2 г2 1—Лт—-г	и
о2 с2
/1	У	Z2
1-7S---3 •
&2 С2
Преобразуя эти поверхностные интегралы в двойные (по формуле, указанной в § 11 предыдущей главы), получим:
\ \ xdydz = —	—a]Z 1—|“dydz,
так как поверхность о4 обращена в сторону отрицательного направления оси Ох;
JJxdydz = JJ a)Z 1—	^dydz,
Ог
у л
так как поверхность о2 обращена в сторону положительного направления оси Ох.
Проекции (Gj)^ и (Oj)^ поверхностей Gj и о2 на плоскость yOz представляют один и тот же эллипс р + Поэтому ^ = 2п [[ |/ 1-g—|U/dz =
(0‘Ч
Л Zt
= 2a\dy\ ]/l-^-~dz,
—fe —Zi
где —положительное значение z из уравнения эллипса ^+-=1
b2 r С2
Вычисляя двукратный интеграл, найдем Кх — ^я.аЬс. ^Внутренний интеграл легко найти по формуле (Б), гл. IV, § 5, полагая а = 1/ 1 —у», t = —
I Ь2 с )
2)	К2 = у 2 dx dz =	у2 dx dz +	у2 dx dz,
+o	oa	04
где o3 и o4—части поверхности о, расположенные по разные стороны от плоскости xOz, уравнения которых
уа^= — Ь1/1-^—-, и уа=/?т/1—
^°з	г а2, с£	т а2 с2
— 335 -
Преобразуя поверхностные интегралы в двойные, получим
<0*>«
+ £f6"(l-5-i’)rfx* = 0,
так как проекции (о3)хг и (о4)гг поверхностей о3 и о4 на плоскость xOz одинаковы.
3)	По аналогичной причине вследствие четности подынтегральной функции поверхностного интеграла К3 и симметричности поверхности о относительно плоскости хОу
/<з =	(х2 + г2— 1) dx dy = 0.
+cr
Следовательно, К =	= 4 л а^с-
По формуле Остроградского—Гаусса эта задача решается проще: находим дивергенцию поля
div р = (х)1 -Г (—гу2)’, 4- (х2 4- г2 — 1)’, = 1 —2у 4- 2z
и подставляем в формулу (3):
К= 5$ div р dv = 5 5 5 (1 —4-2z) dxdydz,
2^
где область G—эллипсоид	+ +
Полученный тройной интеграл расчленяем:
К =	dxdydz—2^dxdz 5 ydy + 2 5 5 dx dy ^zdz,
b	^.rz	“ 4/1	G&y	“
где
Первый интеграл равен объему области G, т. е. объему эллипсоида К^^яаЬс (гл. V, § 4).
Второй и третий интегралы равны нулю, ибо равны нулю их указанные внутренние простые интегралы, как интегралы от нечетной функции (гл. V, § 2).
Следовательно, как и в первом решении, К = ^лаЬс.
— 336 —
946. Найти дивергенцию векторного поля:
1) 7 = хг + yj + zk; 2) р = —'±£-+А-_ ’
j/ (Л +V + Z)2
3) q = exy (jyj—xi + xyk).
Решение. Применяем формулу (2): дг, дг,, дг,
1)	divr (М) = ^4-^ + -^= 1 + 1 +1 =3.
'	' ’ дх 1 ду ‘ дг 1	1
2)	Рх = Ру = Р2=(х + !/ + г)”Г;
дРх __ дру _др2_	2
дх ~~ ду ~ дг ~ —зу^+у + г)»’
divp(M) = — 2(x4-t/4-z) 3=f(M)
3)	qx = -xexy-, qv = yexy- qz~xyexy‘,
~ = ~еху(\ + ху) = — д-^> ^ = 0; divrj(M) = O.
дх	'	ду дг	' ' '
Полученные результаты имеют следующий смысл:
1.	Каждая точка поля радиус-вектора г является источником постоянной мощности.
2.	Точка М поля вектора р в зависимости от ее координат может быть или источником, или стоком. Например, точка Мг (0; 0; 1), в которой divp — — 2, является стоком; точка Л42(—1; 0; 0), в которой divp==2, является источником.
3.	В поле вектора q нет ни источников, ни стоков. Поток этого соленоидального поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.
947.	Найти поток радиус-вектора г = xi + yj + zk. 1) через боковую поверхность цилиндра х2 + у2 R'1, —Н^г^Н в сторону ее внешней нормали; 2) через боковую поверхность конуса х2ф1/2<4г2,	в сторону ее внутренней нормали; 3) че-
рез полную поверхность куба —а^х^а,—а^у^а, —а^г^а изнутри этой поверхности.
948.	Найти поток векторного поля: 1) р = xyi + yzj ф- xzk через расположенную в первом октанте часть сферы х2 + У2 + ф-г2=1, в сторону ее внешней нормали; 2) q = x3i + у'лj ф- z3k через полную поверхность конуса х2ф-у2й^г2, O^z^H изнутри этой поверхности.
949.	Найти дивергенцию векторного поля:
1)	а — ху'Ч x2yj ф- zsk в точке Л(1; —1; 3);
2)	градиента функции и = ху2г3.
— 337 —
950.	Проверить, что векторное поле p = yz(4xi—yj—zk) является соленоидальным.
951.	Решить задачи 947 (3) и 948 (2), пользуясь формулой Остро гр адского—Гаусса.
тором а, называется вектор
rota =
i d_ dx ax da-
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля
Линейным интегралом вектора а вдоль линии I называется криволинейный интеграл
С= axdx-(-aydy-\-azdz.	(1)
/
В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении точки вдоль линии I (см. гл. VII, § 9).
В случае замкнутой кривой этот интеграл называется циркуляцией поля вектора а по контуру I. Циркуляция характеризует вращательную способность поля на контуре I.
Вихрем (или ротором) векторного поля, определяемого век-
Т k
д_ д_ __ ду dz ау az
.	<.	„ .	. daz\ — fdav дах\ _
=	1 + (	<£) k' (2)
Если через точку М поля а провести плоскость Р, определяемую единичным нормальным вектором п, то скалярное произведение rota(M)-n характеризует вращательную способность этого поля в точке Л1. Она зависит как от координат точки Л4, так и от направления плоскости Р и достигает наибольшей величины, равной | rot а (Л4) |, когда плоскость Р перпендикулярна вектору rota(A4).
Векторное поле, во всех точках которого вихревой вектор равен нулю, называется потенциальным (или безвихревым). В потенциальном поле линейный интеграл (работа) не зависит от формы линии, соединяющей какие-либо две его точки, а циркуляция всегда равна нулю.
Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.
Согласно формуле Стокса (гл. VII, § 11) циркуляция и вихревой вектор поля связаны между собой равенством
(fi axdx-\ ау dy -\azd.z=~-i
= J J (rot a)x dy dz + (rot a)y dx dz (rot a)z dx dy,	(3)
a
— 338 —
смысл которого заключается в следующем: циркуляция вектора по замкнутому контуру (I) равна потоку вихря вектора через поверхность (о), ограниченную этим контуром.
952.	Вычислить циркуляцию поля вектора:
1)	г = xj вдоль окружности x = acosZ, i/ = asin/;
2)	р = (х—2) i + (х + У) j—%zk вдоль периметра треугольника с вершинами Л(1; 0; 0), В (0; 1; 0), С (0; 0; 1):
3)	q {х2, —yz2, ху} вдоль замкнутой линии (L)z = x2—у2 + 2а2, х24-у2 = а2 (см. черт. 142, стр. 258) и вихревой вектор этого поля в точке А (0, —а, а2).
Решение. Применяя формулу (1), получим:
2Л	2Л
1)	C=(fixdy = a2^ cos21 dt = § (1 4- cos It) dt =
L	о	о
a2 (. , 1	. OA Ian
= тг * + -7Г sin 2t I —na2. £ \	&	/ |o
2)	C=	(x—2) dx 4- (x 4- y) dy—2zdz.
ABC A
Периметр ABC А треугольника состоит из трех отрезков, которые лежат на прямых, имеющих различные уравнения. Поэтому криволинейный интеграл по контуру АВСА вычисляем как сумму интегралов по отрезкам АВ, ВС и СА.
Составив уравнения прямой АВ: х4~У=1, 2 = 0 и исходя из этих уравнений, преобразуем криволинейный интеграл по отрезку АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:
АВ 1
0
Для отрезка ВС: у + 2=\, х — 0; J	— У)&У^— ту •
ВС 1
1
Для отрезка С А: х 4-г=1, £/ = 0; J = — §xdx =—
СА о
Следовательно, С= ф = Т J '
АВСА АВ ВС СА
3)	C=(fixzdx—yz2dy + xydz.
L
Для вычисления этого интеграла преобразуем данные уравнения кривой L в параметрические: полагая x = acost, получим y = asin/, z = я2 (24~cos2Z).
* Если выбрать другое направление обхода данного контура, то результат будет иметь противоположный знак.
— 339 —
Пользуясь этими уравнениями, преобразуем криволинейный интеграл С в обыкновенный интеграл с переменной /, затем вычисляем его:
2J1	2Л
С = — у у (2 +cos 20 sin 2tdt — J (2 +cos 202 Sin 2tdt — ч	0
2 JI
J sin2 2/ dt =
, a6 (2-(-cos 2/)3
+	12
a4 (2-|-cos 2/)2 8
= — ла4.
Вихревой вектор данного поля в любой его точке М(х, у, z) находим по формуле (2):
rot q (М) = (х + 2t/z) t + (x—у} j.
В данной точке А (0, —a, a2), rot q = aj — 2a3i.
953.	Пользуясь формулой Стокса, вычислить циркуляцию векторного поля а = xi + xzj + zk по контуру АСВА (черт. 200), образованному пересечением поверхности г2 = 4—х—у с пло
скостями координат.
Решение. По формуле (2) найдем вихревой вектор данного поля: rota = zk—xi. Подставляя его проекции в формулу (3),
получим:
С =	zdxdy—xdydz =
О
= zdxdy — ^х dy dz. о	а
В качестве поверхности о, ограниченной данным конту-ром, возьмем расположенную в первом октанте часть данной поверхности. Пользуясь се
уравнением, преобразуем по-
верхностные интегралы в двойные, учитывая при этом, что со-
гласно формуле Стокса о есть внутренняя сторона (обращенная
к началу координат) указанной поверхности, на которой заданный обход контура АСВА направлен против часовой стрелки:
С[ = zdxdy— —JJ \А4—х—ydxdy =
— 340 —
(оху есть треугольник О Л В);
4
(оуг есть криволинейный треугольник ОВС).
Следовательно, искомая циркуляция С = СТ—С2 = 0.
В потенциальном поле циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю. Но поле вектора а не потенциальное; его циркуляция по данному контуру равна нулю, а, например, по контуру окружности x = cos/, t/ = sin/, z= 1 она равна не нулю, а ±л.
954.	Вычислить циркуляцию векторного поля:
1)	р = x2ysi 4- j + zk вдоль окружности х2-\-у2 — а2, z = 0.
2)	q = (x—2z) i + (х + Зу 4- z)j h (5x + y) k вдоль периметра треугольника ACB, данного в условии задачи 952 (2).
955.	Найти вихревой вектор в любой точке векторного поля:
1)	"p^=xi — z2j+y2k; 2) q = yzi + xzj + xyk.
956.	Проверить, что векторное поле градиента функции и—у z является потенциальным.	_
957.	Проверить, что векторное поле вектора а = -у=	-
V (Х2 + У2+ Z-)3 является гармоническим.
958.	Решить задачи 954 (1, 2), пользуясь формулой Стокса.
ГЛАВА IX
РЯДЫ
Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций (гл. X).
Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.
Ряды представляют простой и весьма совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Числовым рядом называется выражение
о1 + а2 + а3+ ...+«„+•••= S аю 0)
П=1
где числа о1, а2, ... , а„, ... , называемые членами ряда, образуют известную числовую последовательность.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма п первых его членов Sn = ат + а2 + ...+«„ при п —оо имеет предел.
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если же lim Sn не существует, то ряд называется расходя-п-* + <х> щимся.
Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда ап, при неограниченном увеличении его номера п, стремится к нулю-. lima„ = 0. (Это необходимый, но недостаточный признак сходимости для всякого ряда.)
— 342 —
Если же limo„=/=0, то ряд расходится. (Это достаточный /7-* 4- (X
признак расходимости для всякого ряда.)
Для числовых рядов с положительными членами (оп>»0), при исследовании их сходимости, употребительны следующие достаточные признаки сходимости:
Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убывающими членами ar = f(n) сходится или расходится, смотря по тому, сходится или расходится несобственный ин-4- со
теграл j /(х)dx, где f (х)— непрерывная убывающая функция *. 1
Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена an = f(ri) имеет смысл не только для целых положительных значений п, но и для всех п, больших некоторого положительного числа т.
Признак Даламбера. Если lim = то при р<1
Г2-> 4- со ап
ряд сходится, а при р>1 расходится. При р=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Признак сравнения. Если ряд с положительными членами
ai+а2 4" аз 4~ • • • 4“ ап + • • •	(а)
сравнить с другим рядом с положительными членами
+1>2 4- b3 + — + Ьп + ...	(Ь)
сходимость или расходимость которого известна, и если начиная с некоторого номера п:
I) ап^Ьп и ряд (Ь) сходится, то и ряд (а) также сходится;
2) ап^Ьп и ряд (Ь) расходится, то и ряд (а) также расходится.
При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией
14-<7 + <?2 + <73+ ••• = 2 qn,	(*)
м = 0
которая при q<\ сходится, а при q^\ расходится, или с расходящимся гармоническим рядом
1+1+4 + ^+...=£±.	(..)
п = 1
* Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число из области определения Цх).
— 343 —
959. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда:
Решение. Ищем предел общего члена ап данного ряда при неограниченном увеличении его номера п:
2_JL	А
1) lim —lim---------^-==-?-• 2) lim = lim—= 0.
'«->+0,^ + 2	3 + _2	3’ \^+О0п2 + 1	1+^
Необходимый признак сходимости limon = 0 для первого ряда не выполняется. Поэтому этот ряд расходится. Для второго ряда необходимый признак выполняется, вследствие чего он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно установить лишь после дополнительного исследования (см. следующую задачу).
960. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
•)	2) з> 2-йтГ=4) 2^-
« = 1	Л = 2	П = 0 Г	п = 3
Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда ап = f (п) номер п непрерывной переменной х и убеждаемся, что полученная функция /(х) является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х. Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом
+ <ю	р
’) J x^dx71i+mJxvhdx=limln(x2+1)li=
= 1п( + оо) — In 2= ф-оо.
Здесь несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и данный ряд также расходится.
+ ао	Р
2) С —Д—ck = lim С (lnx)-3d (In x) = lim ( —Р =
' Jxln3x	R-^+o.J	'	\	2 1п2Х/|2
1	2
/ 1 1 \ 1
~ llmV21n22 2 In2 pj — 2 In2 2 ‘
— 344 -
+ 05
Р _ 1 p4x+l)“~J (4х+1) =
= 4- lim 2 ]/4x + 113 = 4- Jim (1^4(5 + 1 — lj = + oo. 4	I 0
+ co	P
.ч r x	1 1- C d(x2)	1 r 1 x2 —3|3
4) \ -i—adx=7T lim \ 7~2^-Лг=р) lnnln -j-rd ~
' J x‘— 9	2ц „ J (x«)«— 9	12	Х24-З|з
3	3
i	—A
I 11 P2—3 , 6 \	1 / i- । ~Pa	.1
~ 12 01 ( ln pa-l-3	П 12/ ~ 12 1111 П 3	П2
\	+F
Несобственные интегралы 2) и 4) сходятся, а интеграл 3) расходится. Поэтому согласно интегральному признаку и ряды 2) и 4) сходятся, а ряд 3) расходится.
961. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
=И1п2-
4) 2- (2/1—5)1 ' /1 — 3
з> Ёй;
П = 1
Решение. Зная п-й член ряда, находим следующий за ним (п+1)-й член, заменяя в выражении n-го члена п через п-f-l- Затем ищем предел отношения последующего члена а„+1 к предыдущему ап при неограниченном возрастании /г:
1)
_ л_Б • г,	+ 1)Г| •
 2« 1 un + i 2" + 1 ’
Здесь р<1. Поэтому согласно признаку Даламбера ряд сходится.
2)	ап ~ g3'< -1 > ап+1 2ап +2 ’
С2П + 3 ЗП-1 „
р = lim = нга	= — > 1.
П->.+ со	Z э	°
данный
3)
л! .	_ (л+ 1)1 .
gn > ил + 1	5п + 1 ’
р = lim = lim = lim '-4^ = + оо
4	л	су1’*' 1 fl J	Ч
л->+оо ап	5 /и	°
уЗМ	уЗЛ+3
4)	й« = (2п -5)! ’ Й«+1 = (2и-3)1 ’
p=lim ^ = Iim^<2^ п- + и ап	(2/1 —З)!73"
73
hm .-75----тг-775---55 ~ 0 < 1.
(2/1—4) (2/1—3)
— 345 —
Согласно признаку Даламбера ряды 2) и 3) расходятся, а ряд 4) сходится.
962. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:
О £ р^=1+р^+5Дз+--- ’	2)£^.
3) X. йГЛ==й72+кГз+йГ4+•' ’(«4-1)3“ * М=2	П=С
Решение. 1) Сравним данный ряд с гармоническим рядом (**). Каждый член a. = -L= данного ряда, начиная со второго,
У п
больше соответствующего члена Ьп — ~ гармонического ряда: —- >---> и так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.
2)	Каждый член ап=--ц данного ряда, начиная с третьего, меньше соответствующего члена Ьп бесконечной геометрической 4- оо
прогрессии У, ~= у+-^4-2з+ •• • > которая представляет схо-П— 1
дяшийся ряд, ибо ее знаменатель q = -^-<Z 1. Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
3)	Каждый член ап данного ряда больше соответствующего члена Ьп расходящегося гармонического ряда (**): [7777 Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд расходится.
4)	Каждый член а=-.—-у. данного ряда, начиная со вто-рого, меньше соответствующего члена bn = $i бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой ^ = — <1. Эта бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть ряд сходящийся. Поэтому согласно признаку сравнения данный ряд сходится.
В задачах 963—966 написать пять первых членов ряда и проверить, выполняется ли для него необходимый признак сходимости.
-г СО	4-00
963. У V~3n-	964. X г-_____ 
965. £ sin-1.	966.
n=l	n=l
— 346 —
Исследовать по 967. £ 1 . П = L М9- Ё Л • Л1 = 2	интегральному признаку сходимость ряда: "8- Е	• ^/(2rt-3)2 + 00 970. У	. (п+1) Кп
Исследовать по 971. 2 V • 973-2^. П=1	признаку Даламбера сходимость ряда: 972 У 	3" Z *	2л(2п + 1) ’ П — 0 974. £ Р пЗ"
Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда: + GO	-b Go
975- Sy=-.	976.
П = 0 tl -f- 1	П = 1
977- £ .Jp.	S78*. £!=^±H.
n=o 1	n=i v n*
Исследовать сходимость ряда:
979. X ,/-Д-П» *	98°- 1 + 1 + | + т+--’
^0Г(п + 1)3	3	5	'
9S1- Ё^-	sea. 1+2.4;+?;+...
983. £-4=.	984.!^ + !^ + !^+!^+...
КЧ« + 1>	4	9	16	25
пос V4 Юп2п!	пел* i i 21 i 31 i 41 ।
985-	986 • 14-^+33 + 44+
П- I
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда.
Признак сходимости знакочередующегося ряда
Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)
+ 05
К а„ = а1 + а2 + аз+---
И = 1
(1)
— 347 —
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, сос
тавленный из абсолютных значений его членов
X |а„| = |а1| + |а2| + 1аз1+---	(2)
П — 1
Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется неабсо-лютно сходящимся, если ряд (2) расходится.
Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходяшщйся.
Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чередуются) У, (—I)"-1 ал ==а1—о2 + аа—> «„>0 сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т. е. если ах>а2>а8>. .. и litna„ = 0. (Признак Лейбница.)	Л-и + со
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:
Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда * суммой нескольких его первых членов меньше абсолют нога значения первого из отброшенных членов.
987. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. (Определить, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно сходящимся или расходящимся.)
» £	= 2) £3) £	4) s .
П = 1	п=о	П — 1	п-1
Решение. 1) Члены данного знакочередующегося убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:
ряда
и litn
/ J	оо
1
2л — 1
= 0.
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно, м 1
исследуем ряд с положительными членами у < 9n ~1 > составленный из абсолютных значений членов данного ряда.
Применяя интегральный признак
4- 00	fl
J 2^^=тв1™Л£ет1)=4Пт1п(2х-1)Г1=
1 1 1
= -i- litn In (20 — 1) =	оо,
заключаем, что ряд с положительными членами расходится.
* С убывающими по абсолютному значению членами.
— 348 —
Следователыю, данный ряд 1) сходятся неабсолютпо.
2)	Заменим члены данного знакопеременного ряда , где. а— любое число, их абсолютными значениями и исследуем полу-
- х -i I cos па I	„
ченныи ряд у —! с положительными членами. Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией • которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена геометрической про-| cos па 1^1
грессип: —Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд 2) сходится абсолютно.
3)	Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: 2->e’>j2'>	»
lim д — 0. Поэтому согласно признаку Лейбница он сходится. Ряд у j , составленный из абсолютных значений членов данного ряда, также сходится согласно интегральному признаку
dx ___
х (*+ 1) Р
г <4*
= liru In
cxo-
c точ-
Лейб-
Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.
4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: lim ап = lim sin —не существует СП
[см. решение задачи 38 (3)]. Вследствие этого он расходится.
4- СО
988. Проверить, что знакочередующийся ряд У .	-
п = 1 дится и вычислить приближенное значение его суммы постно до 0,01.
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку
нпца: убеждаемся, что его члены убывают по абсолютному значению л что lim I а„ I = Нш -г-!—г = 0.
I « I	/тЗ Д_ 1
П-Ц-00	“ Л 1
Далее вычисляем несколько последовательных первых членов данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значение которого меньше 0,01:
_	1 • _ 1 - _	1 _ 1 _ 1
а1 —	2 ’	а'г ~ 9 ’	°3 ~	28 ’ °4 ~ 65 ’	°5 ~	126 '
Согласно указанному выше свойству знакочередующихся сходящихся рядов для вычисления суммы данного ряда с точ-
— 349 -
иостью до 0,01 достаточно взять сумму четырех его первых членов:
У ~________L -____________0 41
„з + 1 ~	2'9	‘28	65
п=1
В задачах 989—992 написать исследовать его сходимость:
шесть первых членов ряда и
989. У ( j*","1 .	990.
п=1 Иу п
4- ао
991. У ( —l)"cos£ .	992.
П = 1
Исследовать сходимость ряда:
OOQ ____________ _с ___________ I
1п 2	2 In 4^3 1п 6	4 1п8'
. cos 2 . cos 3 . cos 4
995. COS 1 + — + — + -yg- + . . .
4- 00
у <-))n
V 2«+ 1 '
+ 00
sin an
nl~ *
n = L
994*. j; (-l)"tgl n = l
996* У 11
Проверить, что данный знакочередующийся ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:
в»?. i_'<+;_;+... я».
§ 3. Функциональные ряды
+ оо
Ряд У ип (х) — ЬЦ (x) + l/2(x)+«8(x)-J ..., члены которого явля-/2 = 1
ются функциями от переменной х, называется функциональным.
При различных значениях х из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида
4- оз
S^ixn = a0 + aIx-ra'2x2 + a3x3 + •  •	(И
п=о
или более общего вида
4- со
2 а„ (х—х0)" = а0 4- aL (х—х0) + а., (х—х0)2 + ...	(2)
п=о
- 350 —
Следовательно, интервал сходимости данного ряда есть 1,45 < х < 1,55.
1000. Определить область сходимости функционального ряда:
1) У____!___•
' ^п(х + '2)п ’ П = 1
+ OS
2) У п р/sin“x.
П=1
Решение: 1) Используем признак Даламбера: _ 1 _ 1 l'n~ п(х + 2)п ’’ U"+1 ~(n + D(x + ‘2)'‘ + 1' р = liin I1 = liin	= । -'тег
П-» +00 I “« I 0+1) I x-|-21	|*+Д
|ж+2| < I’ I* + 2|>1; x4-2<—1, % + 2>l;^ jy-x.
— oo<x<—3, —l<X< + oo.	*
Гранины двух найденных интервалов исследуем особо. ’ ' При х =— 3 получим знакочередующийся числовой ряд ,	I
с общим членом д (_i)« • который сходится согласно признаку Лейбница.
При х =—1 получим гармонический расходящийся ряд.
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит нз двух бесконечных интервалов ( — оо, —31 и ( — 1, +°°).
2) ип = п p/sin"x; ип+1 = (п + 1) p/sin'‘+l х;
р = lira I	1 = lim	| ^/sin x| = | jZsin x |.
Этот предел p будет меньше единицы, а исследуемый ряд будет сходящимся, согласно признаку Даламбера, для всех значений х, кроме хА, = -^- + лй, k = Q, ± 1, ±2, ..., при которых р= 1.
При x — xk и при четном/г получим ряд 1+2 + 3+... + ^ + + -.., а при нечетном /г — ряд—1 + 2—3 +... + (—1)" л+ -.., которые оба расходятся вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.
Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся числовая ось, исключая точки xk.
Определить интервал сходимости степенного ряда:
1001. х + у + у+^+ ...	1002. £( —2)"ха".
п = о
1003.	l + 2lx + 3!xa + 4tx3+... 1004. £(—• n = l
12 Заказ № 3201
— 353 —
4- co
1005. £	(Х + 5Г+1.
n=l
<o«e. Eg*-.
Определить область сходимости функционального ряда:
1007. l + ^ + y + i
1009. tg х +	4
1008. У п п = 1
+ со
10Ю*. у-4
X—< х24-
§ 4.	Ряды Тейлора
Рядом Тейлора для функции f (х) в окрестности точки а называется степенной ряд относительно двучлена х—а вида
f (а) 4- ш (х—а) 4-	(х—а)2 4- ... 4- (х—а)п 4-...	(Т)
Этот ряд можно получить из многочлена Тейлора, указанного в гл. Ill, § 1, при неограниченном увеличении числа его членов. Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки а имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции 7(х) только при тех значениях х, при которых остаточный член ^„формулы Тейлора (гл. Ill, § 1) для этой функции при неограниченном возрастании п стремится к нулю.
При <1 = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной х:
и.дя,да1Ч...+^+...,	(М)
который принято называть рядом Мак лорена.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
А)	написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значения этой функции и ее производных при х = а и подставить их в общее выражение ряда Тейлора (Т) для произвольной функции;	;
Б) исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений х, при которых полученный ряд сходится к данной функции (т. е. при которых lim/?n = 0).
n-f 4- 00
Для многих функций, употребляемых в практических применениях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью совпадает с совокупностью тех значений х, при которых соответствующий остаточный член Rn—>-0, когда п—»-4-°°,т. е. для многих функций каждая точка х сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости этого ряда к породившей его
— 354 —
функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена Rn, что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.
1011.	Разложить в ряд Маклорена функции ех, sinx, cosx.
Решение. А) Значения данных функций и их производных любого порядка при х = 0 были вычислены ранее в решении задачи 297 (гл. Ill, § 1). Подставляя эти значения в общее выражение ряда Маклорена (М) для произвольной функции, получим ряды Маклорена для данных функций:
у2 уЗ
^11^21^3! •”гпП
у3	„7	у2П ~ 1
sinx = X	зг+sf	тр+---+(	0	1 (2/г —1)! +  • •
r2 r4 v6	V2H
COSX=1	2Г+4Г	§[• + ••+(	В	(2Щ! + • • '
Б) Каждый из этих рядов сходится к породившей его функции при всех значениях х, поскольку в решении задачи 297 было доказано, что для каждой из данных функций остаточный член Rn формулы Маклорена при неограниченном возрастании п стремится к нулю при любом значении х.
1012.	Разложить в ряд Маклорена функции: 1) (1+х)т, 2) In(1 -f-х).
Решение. 1) А. Исходя из решения задачи 298 и согласно определению ряда Маклорена для произвольной функции, получим
(1 + хГ=1+^х + ^^хМ-^^-^^хЧ-...
, /л(т—1) ... (т —п+1)
При целом положительном показателе т этот биномиальный ряд будет содержать конечное число m-f-l членов, ибо коэффициенты всех последующих членов будут равны нулю. В этом случае он обращается в элементарную формулу бинома Ньютона.
Б. Исследуем сходимость биномиального ряда, когда т не есть целое положительное число, по признаку Даламбера:
_/п (m—1) ... (т —п+1)	_т (т — 1) ... (т — п) „+1.
п(	“,.+1	(п+1)!	’
р = lim п —> + се

——1 п
1+— п
р < 1 при —1<х<1.
Следовательно, согласно признаку Даламбера биномиальный ряд (Б) сходится в интервале —1<х-<1 и, как доказывается в учебниках, он сходится именно к биному (1ДХ)'".
12
?55 —
2) А. Используя решение задачи 298, получим следующий ряд Маклорена для данной логарифмической функции:
v2 v3	П-1 уП
]п(1+х)=х-^ + ^—
Б. Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Да-ламбера: | ип | = *-Ll: | и„+г | =	;
р < 1 при —1<х<1.
При х, равном левой границе найденного интервала, т. е. при х—=— 1, получается числовой ряд—1 — —у——... , который расходится, так как все его члены отличаются от соответствующих членов расходящегося гармонического ряда только знаками.
При х=1 получается знакочередующийся ряд I—^ + 4 — — 4+..., который сходится согласно признаку Лейбница.
Следовательно, полученный ряд Маклорена для данной логарифмической функции сходится в полуоткрытом интервале (—1; 1 ]. Можно доказать, что он сходится в этом интервале именно к данной функции 1п(1+х).
1013.	Разложить в ряд Тейлора функции:
1	JT
1)	- - при а = — 2; 2) cos л при а = ~.
Решение. 1) А. Вычисляем значения данной функции нее производных при х = а~— 2:
f'(x) = -l-x-2	=
f"(x) = l-2x~3	Г (-2) =	21 23
1 •2-Зх-1	Г (~2) =	31 21
f<">(X) = (— 1)” п\ х-п~1	Г' (- 2) =	л! 2"+*
Подставляя эти значения в ряд Тейлора (Т) для произвольной функции, получим
1	1	1!Д + 2)	21 Д + 2)2 31 Д + 2)3	п!(х + 2)4
х ~ ~ 2 ~24!	23 2! 2i 3!	2п +1 п!
-------1||	+ ... + Ц2Д ...|.
— 356 —
Б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Да-ламбера: ип =	иа+1 --=
р= ]im | +> I = ЩД ;
п->+и1 “п I 2
1	I *+2|	1
р < 1, если —~— < 1.
Решая это неравенство, находим интервал —4<х<0.
Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд х = — 4, затем х = 0, получим числовые ряды 1 —1 + 1 —1+... и 1 + 1 + 1 + 1 + .. ., которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда lim о„ = = 0.
П--> + ОО
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть (—4; 0). Исследуя остаточный член Rn формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.
ут = COS
Б. Исследуем соответствующий остаточный член 7?п формулы Тейлора:
f _ДЛ”+1
Rn- *(n j J, - cos [f + е (х) + (» +1), о< о< 1.
/ л X”+1
I х— — \
При любом х lim ' , , — = 0, что было доказано в реше-
X + со (П+1)!
нии задачи 40, a |cosa|sgl. Поэтому lim /?„ = 0 при любом х,
П -> + со
т. е. полученный ряд Тейлора для cosx сходится к созх при любом х.
1014.	Написать три первых члена ряда ЛАаклорена для функции: 1) secx; 2) 1п(е* + х).
— 357 —
1015.	Написать три первых члена ряда Тейлора для функции:
1)	при а = 2; 2) х3 1п х при а = 1.
1016.	Разложить в ряд Маклорена функции: 1) 10х; 2) )п (1—х): 3)* cos (х— 1).
1017.	Разложить в ряд Тейлора функции:
1)	ех при а —— 2; 2) 1^х при а = 4; 3) cos-^- при о=-^-.
§ 5.	Действия со степенными рядами. Применение рядов
к приближенным вычислениям
Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда.*
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать.
Использование этих правил для разложения функций в ряды и применение рядов для вычисления приближенных значений функций и интегралов разъясняется в решении следующих задач.
1018.	Используя ряды Маклорена для функций ех, sin х, соях, (l-j-x)"1, In (14-х) и правила умножения и сложения степенных рядов, найти разложения в ряд по степеням х для следующих функций: 1) (14-х)ех;	2) sin2x; 3)	 4) e-xsinx;
5) In (1 4-Зх-Т 2х2).
Решение. 1) Рассматриваем двучлен 14-х как степенной ряд, у которого коэффициенты всех членов, кроме двух первых, равны нулю и который сходится на всей числовой оси. Умножая почленно этот ряд на ряд Маклорена для функции ех, который также сходится на всей числовой оси, получим искомое разложение в ряд данной функции:
(14-х)ех = (14-х)(1 4-п + Й+Й+ ••+S+ •••) =
которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех значениях х.
* Иногда в этот интервал включаются и некоторые точки, в которых сходится только один из исходных рядов.
— 35±
2)	Ряд для sin2x можно получить почленным умножением самого на себя известного ряда Маклорена для sin %:
sin2x = sin х sin x = (x — ^ + §7 — .. J (x —1) + ^— • •  ) =
=*2-p +ik- -• • +	w%2"+ • • •
Полученный ряд, как и ряд для sin х, сходится при всех значениях х.
Тот же результат можно получить, исходя из формулы sin2x =
—- + (1—cos2x) и пользуясь рядом для cos2x:
02	04	02П
coS2x=l-fjx2 + f]x^-...+(-ir^x-+...,
который получается из ряда Маклорена для cos х путем замены х на 2х.
х__з
3)	Преобразуем данную функцию в произведение 7——^ = (Х-Г
= (х — 3) (х+ 1)~2; рассматриваем двучлен х —3 как степенной ряд, сходящийся при любом значении х; пользуясь биномиальным рядом (Б), полагая в нем /п= — 2, разлагаем в ряд бином (1+х)-2:
(1 4-х)-2 = 1 — 2х + Зх2 — 4х3 4-...+(— I)”-1™"-1-!- ... (*)
Умножая почленно этот ряд на х—3, получим искомый ряд для данной функции:
^=^ = -34-7х-11х24-...+(-1)п-1(1-4н)хп-1Ч-...,
который сходится к данной функции в интервале (—1; 1), поскольку в этом интервале сходится к биному (14-х)“2 РЯД (*)•
4)	Ряд для функции е~х sin х найдем почленным умножением ряда для е~х (получаемого из ряда Маклорена для ех при замене х на —х) на ряд Маклорена для sin х:
-х  (л х . х2 х3 .	\ ( х3 х6 х7 А
е sinx — ^1 — jj + jfi 37+ • • • J '31 + 51	7]+ •  - J —
^_X2 + 1X3_2LX5+2_X6+...
Полученный ряд сходится к данной функции во всем своем интервале сходимости—на всей числовой оси, ибо ряды дляе“хи sinx сходятся к этим функциям на всей числовой оси.
5)	Преобразуем данную функцию: 1п(1+3х4-2х2) = 1п(14-Н~х) (1 4-2х) = 1п(1 4-x)4-ln (1 Ч-2х). Пишем ряды Маклорена
— 359 —
для полученных слагаемых функций:
1п(1 + х) = £
П—1
+ °°	9п Yn
ln(l + 2x) = £
— 1 < х -С I;
1 _ 1
2 <Х а= 2
(второй ряд получен из первого путем замены х на 2х) и складывая их почленно, имеем
)п(Ц-Зх + 2х2)=£ (_1)»-1(1+2“)^,
И = 1
Все полученные в решении этой задачи ряды для заданных функций являются рядами Маклорена для этих функций, ибо вообще, если какая-либо функция разлагается в степенной ряд, то он является ее рядом Тейлора.
1019. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до 0,0001: 1) In 1,1; 2) |/17.
Решение. Для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближенного значения суммы — она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов (§ 2).
В других случаях приближенные значения функции с заданной точностью вычисляются по формуле Тейлора (Маклорена), как это показано в решении задачи 299 (гл. Ill, § 1).
1) Возьмем ряд для функции In (14-х), полученный в решении задачи 1012:
у2	уЗ	уП
1П (14-х) = х-*2I)"-1 7г+"”
который сходится к 1п(1 -|-х) в интервале (—Г, 1], и, полагая X —0,1, получим ряд для вычисления In 1,1 с любой точностью:
ill л 1	°.12 , о,13	0,1*
Ini,1=0,1----2-4--3------Г
Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда (§ 2), для вычисления приближенного значения In 1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда
In 1,1» 0,1-^-4-^» 0,0953. z	о
— 360 —
2) Преобразуем данный корень {/17 — {/16+ 1 = 2 Q.
и применяем биномиальный ряд (Б), полученный в решении задачи 1012, полагая х = ^, т=^-:
о(1 4- - V — 2 Г1 4- —______1-3 4-___1-3-7___1
^16/ L ^4-16 4-8- 162^ 4-8-12- 163
Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления {/17 с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: £ZT= 1; а 0,01562; аа ~—0,00037; п4л 0,00001.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 2о4а а; 2-0,00001 <0,0001. Следовательно,
{/17 а; 2 (1 + 0,01562 — 0,00037) » 2,0305.
1020.	Найти разложение в ряд функции arctg х, исходя из
. Г dt выражения ее в виде интеграла: arctg х — \	 разлагая
о подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно его интегрируя.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию = = (1 + /2)-1 и разложим ее в биномиальный ряд (Б), полагая в нем х — t2, т = — 1:
(1+ /2)-l=l_Z2 + /4_Ze_|_
Интегрируя в пределах от 0 до х, получим искомый ряд arctgx = x-| + ^-| + ... + (-l)'-x/r_T+...,
который сходится к arctg х в интервале (— 1; 1), ибо разложение подынтегральной функции в биномиальный ряд справедливо в этом интервале. Можно доказать, что полученный ряд сходится к arctgx и на границах этого интервала при х = ±1.
1021.	Найти ряд Маклорена для функции arcsin х, исходя
из выражения ее в виде интеграла: arcsin х =
О
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, преобра
r dt
зуем подынтегральную функцию = (1 —/2) 2 , разложим
ее в биномиальный ряд (Б), полагая в нем х = — t2, т =—у: (1-/2)_^=1+4/2+й/4+К1/в+--- +
I 1 - 3.   (2>г	1) ,2и .
+ 2-4...2п 1 + ‘”
п интегрируя в пределах от 0 до х, получим искомый ряд , 1 х® . 1-3 х5 , 1-3-5 х’ , arcsinx — х + ~2 з+2.4 5+2-4-6 7 + ‘ +
1-3.. .(2п —1) х2"+1
+ 2-4...2п 2п + 1+	’
который сходится к arcsinx при |x|sgl.
1022.	Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих интегралов:
1)	^sinxMx; 2) §]/xexdx; 3)	— x3dx.
Решение. 1) Пользуясь рядом Маклорена для sinx, заменяя в нем х на х2, имеем
у6 г 10 у 14	У4»“2
^п^ = х2- + + |г-^г+...+(-1Г-1(И?+...
Почленно интегрируя, получим искомое разложение
Г*	уЗ	у7	у 11	у!Б
J sin x2dx = -^ — зГу + зПТ—7П5+ • • • + с>
которое справедливо при любом значении х.
2)	Заменяя функцию ех ее рядом Маклорена, почленно умножая его на У~х и интегрируя, получим
J vdx = j А (1 + i + g + .  + g +   ) <•» = /	з ь	ал+1 \
= К^+тг+^ + ---+^+---)^=
о ± о .1 о —	2	2П + 3
= У X2 +й5	^2Т7 * ' + ‘ • +'л! (2,г + 3) Х “ + •  • + С.
Полученный ряд сходится к искомому интегралу при х^О.
3)	Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд (Б)
= (1 - х3)+ = 1 х3 - 2^ - Й Xе “ • • •
^362 —
и интегрируя почленно, получим искомый ряд f --------------о , ,	. л’ х7 1-Зх10	.
jl/1 Х' dx~ А--ГПГ4 — 2Т&7~3! 23 10 — ‘
который сходится при | X|< 1.
1023. С помощью рядов вычислить с точностью до 0,0001 приближенные значения следующих интегралов:
1	1.5
/г= С -Adt-—; /,= f cos Ухс1х; j — arctg^-du.
J П-Н4 2 J ’ 3 i й 4 о	0
Решение. 1) Разложим подынтегральную функцию в бино-
миальный ряд (Б), полагая в нем х = 14, т=—: 1	- —	1	1.3	1 .3.3
- 1	=(1 4-/4) 2=1_____L /4 4-L-2/8 _ 1 ° ° /12 I
УГ+Т1	1	2 ^2-4	2-4-6
г
Этот ряд сходится к биному (1+Z4) 2 при |/1 < 1.
Интегрируя в пределах от 0 до , найдем 1
. _ 0 dt	1 Iй 1-3/» 1-3-5/13	|Т_
+ J уАртрТ! — 1 2 5 + 2-4 9 2-4-6 13 + ’ I ~
1	11-3	1-3-5
— 2	2-5-25 ‘ 2-4-9-2е 2-4-6-13-213 ' ‘ ‘
Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося сходящегося ряда (с одним лишним знаком): at = 0,50000; а2 —0,00313; а3х 0,00008.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда (§ 2), для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда 1г м а1-)-а2 да 0,4969.
Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т. е. меньше а3 да 0 00008.
" "2) Пользуясь рядом Маклорена для cosx, заменяя в нем х на Ух, имеем
cos Ух 1 - А +	+	0).
Интегрируя в указанных пределах, получим
l2 = Jcos/xdx^x-gig-l-^ig—614 + 815— - - - |о = о
= 1 —L । J-----— 4- ——
212' 413	614 '815
— 363 —
Пятый член этого знакочередующегося сходящегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:
1 — 4"	722880 ~ °-7635-
3) Пользуясь рядом Маклорена для arctg х, при х = у, получим
arctg -г = -.— тт-э+тг-? — г, э +    ( у < 4).
& 4	4	4Л-3	4б-5	47 - 7 1	1	'
Деля обе части равенства на v и интегрируя, найдем
, fl . V , V Vs .	V!‘	L7	|1.ь
J ~v arctg T(V ~ T 43-32 ^*4«-52 47Д2"^,,’|1 i
_ 1,5 — 1	1,53 — 1	1,5й — 1	1,5’ —1	_
“	4	43.32	4s-52	4’-72 r---~
«0,12500 — 0,00412 + 0,00026 — 0,00002 + . ..
Полученный результат представляет знакочередующийся сходящийся ряд. Взяв сумму трех его первых членов, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью: /3«0,1211, ибо абсолютное значение четвертого члена меньше 0,0001.
1024. Пользуясь рядами, полученными в решениях задач 1011, 1012, 1020, в правилами сложения и умножения степенных рядов, найти разложения в степенные ряды следующих функций:
1) xcos2x; 2) In ; 3) (1 -|-х2) arctgх;
4) 2ГД‘> 3)* e*sinx; 6)* (1+е*)2.
1025. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001: 1) cos 0,3; 2) sin 0,4; 3) arctg 0,2; 4) j/ЗО.
1026. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих интегралов:
1) j" хя arctg xdx-, 2)	3)
4) С '~с-—5)* f--^±^dx.
J x	J x
- 364 —
1027. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы:
0,5	0.2	1
1) j cos^-rfx; 2) J p/l+ x2rfx; 3) Jrfx; 0	0	о
0,25	0,125
4) In (1Vx) dx; 5)*	у/хcos2 х'dx.
о	о
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами
Числовым рядом с комплексными членами называется ряд
+ оо
С1 + С1 + • -  + сп + •   = 2 Сп • П = 1
где + с2 —a2 + fe2i.............cn = allA~bni, ...—комплекс-
ные числа (» = }/’— 1; ait bx, a.it Ь2, ап. Ьп, ... —действительные числа).
Сходимость и сумма числового ряда с комплексными членами определяются так же, как и для числового ряда с действительными членами (§ 1). Выполнение условия liincn = 0 есть необхо-п ~+ 4- (X
димый (по недостаточный) признак сходимости, а не выполнение этого условия есть дооаточный признак расходимости всякого числового ряда с комплексными членами.
Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к исследованию сходимости двух рядов с действительными членами:
Ряд с комплексными членами
4- ес	4 оо
2 сп = £ (ап + bni)	(1)
П = 1	п = 1
будет сходящимся, если сходятся два ряда с действительными членами
4-оо	4-оо
2 а„ II 2 Ьп.	(2)
П==1	П-1
При этом, если ряды (2) сходятся соответственно к суммам А и В, то ряд (1) сходится к сумме С — А + Bi. Если же хотя бы один из двух рядов (2) расходится, то и комплексный ряд (1) также расходится.
Ряд с комплексными членами (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с действительными положительными
— J65 —
членами
2	2 К+М= +	(3)
И = 1	n = l	n = l
составленный из модулей его членов. Если же ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется неабсолютно сходящимся.
Абсолютная сходимость ряда есть достаточный (но не необходимый) признак сходимости ряда, т. е. если ряд сходится абсолютно, то он сходящийся.
Для исследования сходимости комплексных рядов можно пользоваться признаком Даламбера: если lim ' =
= lim p^ =р, то при р<1 ряд сходится (абсолютно), а при I сп I
р > 1 расходится.
Если 2 есть комплексная переменная, т. е. величина, принимающая различные числовые комплексные значения, 2 = x-\-iy, где х и у— действительные переменные, то ряд
+ 00
aQ-\-a1z + a.J22-\-... + апга+... = 2 ап2п,	(4)
л = о
где ай, alt .... ап, ...—комплексные постоянные, называется степенным рядом с комплексными членами.
Если изображать комплексное число а-\-Ы точкой (а, Ь) плоскости хОу, то область сходимости всякого степенного ряда (4) с комплексными членами (т. е. совокупность точек, в которых ряд сходится) представляет круг с центром в начале координат*.
Радиус R круга сходимости комплексного степенного ряда называется радиусом сходимости этого ряда. При /?=0 ряд сходится только в одной точке (0,0), т. е. 2 = 0, а при R ~ Д- оо — во всех точках комплексной плоскости хОу.
Показательная функция ег комплексного аргумента 2 = x-\-iy определяется как сумма степенного ряда л ^2 уЗ
Г’= 1+ Н+2!+д+••	- ’
которая существует при любом значении z [см. решение задачи 1029 (2)].
Отсюда при 2 = iy (х = 0), затем при г =—iy получаются, соответственно, следующие ф о р м у л ы Эйлера:
ёу = cosy Д- i sin у, е~‘у = cosy — i sin у,	(5)
* На границе (окружности) круга сходимости комплексного степенного ряда могут быть как точки сходимости этого ряда, так и точки его расходимости.
— 366 —
которые выражают показательные функции через тригонометрические. Путем их сложения и вычитания получаются еще две
формулы:
е’У + е^'У . е'У—е~‘У cos у =---; sin у = ——
(6)
которые выражают тригонометрические функции через показательные. Они также называются формулами Эйлера.
1028. Исследовать сходимость ряда с комплексными членами:
3—2i	л(3/— 1),г
2- ПТ? 5”’	;
/1 = 0	Я = 1
п-о
Решение. 1) Заданный общин член ряда есть комплексное
3
число, действительная часть которого а„ =---и мнимая
1+Кп
2
часть Ьп =—1 ^г-. Здесь числовые ряды с действительными членами и ^Ь„ оба расходятся, что следует из сравнения их с гармоническим рядом У Д-. Поэтому данный ряд с комплексными членами также расходится.
2) Используем признак Даламбера. По заданному члену ряда с„ найдем следующий за ними член си+1:
_n(3f-l)".	_ (м-р l)(3i —1)"+1
gn » Hi + i	5”+/
и вычислим предел отношения их модулей
р = lim ' I' = lim I I = lim I	I _
|с„| I сп |	| 5л |
=!Ы|Ь!±!.!®.| «<]. 5	п	5	5
Следовательно, согласно признаку Даламбера, данный ряд абсолютно сходящийся.
3) Здесь ряды с действительными членами ап = 2>г—1 и ^п~ I_п»
= 2п+Т знакочередующиеся. Согласно признаку Лейбница оба они сходятся. Поэтому заданный комплексный ряд также сходится.
Ряд, членами которого являются модули членов данного ряда
4- СО	4- со _______ 4 со	______________
у |ая-|-у|=у Га* + ^ = У	L_=
X- 1 я 1 " 1 X-	X- V (2п—1)2^(2л-}-1)2
п-0	п=0	п=о	'	' ‘ '
V8n2 + 2
2- 4п2 —1 ’
— 867 —
расходится (согласно признаку сравнения, ибо
/8па + 2 рЛ8м'2
4п2—I 4п2
1
п К 2
и \
п ^2
Это же следует из расходимости рядов X | ап | и S | Ьп |).
Поэтому данный комплексный ряд сходится как таковой, но не абсолютно.
1029. Найти радиус сходимости степенного ряда с комплексными членами:
1) £ 2“(/л-1-0г“; 2) £	3) £(±У^г3"
п =«	п = 1	П=1
Решение. Пользуемся признаком Даламбера,
1) и„=2я(Ум—1 —i)z"; u„+1 = 2" + >(/n-i)2'1+1}
р = lim ~ = lim
2 ( V n -i) ? KiTi-i
= 2 J z | lim
(/~n —0(lrn—1+0
= 2 | z | lim 11 +	ОД I = 21 г | |im Е1Д+Л = 2 |z|.
Согласно признаку Даламбера при всех значениях г = х+п/. удовлетворяющих неравенству | z | -< у , данным ряд сходится, а при всех |г|>у он расходится.
Геометрически данный ряд сходится внутри круга = = К*2 + У2 < и расходится вне этого круга, т. е. искомый „ 1 радиус сходимости К=-^.
На границе круга сходимости— на окружности |z|=-i- или x2_py2__L данный ряд расходится, ибо во всех точках этой границы общий член ряда сп — ^гп—1— i при п—>-|-оа не стремится к нулю.
г”.	zn+* .
М»“п|‘ ММ “(«4-1)1 ’
р= lim ~“'1+.11 == lim -Ц1_ = 0. «-♦+ОЭ I “n I	"4-1
— 368 —
Согласно признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при любом комплексном значении г, т. е. его радиус сходимости 7? = со.
3)	=
Д"; и
= <3 + 4')И + 1 ,3«+3.
(»+1)а
р = lim
п—* -Р 00
1%+. I
I Ии I
№ (34-4/ ) (n + D2
г3
~ lim
= |2|3К32 + 421йпг^ = 5|2|3.
Следовательно, ряд сходится при 5|2|3< 1, т. е. искомый радиус сходимости ряда R = -^~- В точках на границе круга 1 1/5
сходимости |г| = уу—_ данный ряд также сходится, так как в этих I/ *'*
V» 1 точках сходится числовом ряд \	, составленный из модулей
его членов.
Исследовать сходимость ряда с комплексными членами:
1030. у ( +р—.	1031. У ГДп!
X- н!	Z-i ,t + i •
n = l	/!=:<
-р оо	4- QD
1032. У Г*+(_ 1)"11 .	1033. у
L“2	3«j	io" и
n = 1	« = 1
Найти радиус сходимости степенного ряда с комплексными членами:
1034. 1 + у g .	1035. У (п! - i) г2'1.
п=1	п=1
1036.	(1 +^)п zn. 1037. £ (— i)"J+l£k 2п.
Л=0	П=1
1038. У (14п-23"-	1039. У ^п-±-Ц-*.)П ni(—z)n.
(711—1)1	n2	v ’
п-1	п=1
§ 7.	Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
ап , / sue . , . пх \ . / 2лл , , . 2лх\ .
~ + I а1 cos -г + ог sin — I 4-1 а2 cos --у- 4- о2 sin -т- +
. / Зпх , .	. Злх\
+ (iigCos — 4-b3 sin y-j -Г .. . =
а<1 . I 'ШЯ , >	• члх\
+ 2-r"C0S-r+z?«sin •	(1)
В=1
— 369 —
где l>0, а0, ап, bn (л=1, 2, ...) — постоянные, называется тригонометрическим рядом.
Все члены тригонометрического ряда—синусы и косинусы углов, кратных у-, и их сумма S(x), если она существует, являются периодическими функциями от х с периодом 2Z; S (х) = ==S(х4-2/). Поэтому тригонометрические ряды широко применяются для изучения различных периодических процессов в электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических колебаний и во многих других областях естествознания и техники.
Разложение данной функции в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом, ибо этим достигается разложение какого-либо сложного периодического явления на простые гармонические колебания.
Рядом Фурье для функции f (х) в интервале [—1, 1\ называется тригонометрический ряд вида (1), если его коэффициенты ап и Ьп вычислены по формулам Фурье:
i
ап = у f (х) cos^ dx, n = Q, 1, 2, ... _ f
t
b„ = y5 f(x) sin ~dx, n=l, 2, 3, ...	(2)
-i
Простейшие достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье сформулированы в следующей теореме Дирихле.
Если в интервале I—/, /| функция f (х) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму S(x), во всех точках этого интервала. При этом:
а)	в точках непрерывности функции f (х) он сходится к самоа функции, S(x) = f(x)\
б)	в каждой точке разрыва xk функции—к полусумме односторонних пределов функции слева и справа,
S (xk) = 4 (lim f(x)+ lim f(x)(;
x^-xk + o
в)	в обеих граничных точках интервала [ — /, 1\—к полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала,
S(-/)=S(/) = y [lim Z(x)4-lim /(х)]. z x-»-L+o x-^l-a
Для четной функции f(x) = f( — х) все коэффициенты Ьп = 0* и соответствующий ряд Фурье не содержит
* Согласно решению задачи 592.
— 370 —
синусов + 00	Z
f , an , Vх n^x	2 P c . . rmx ,
f U')^^ + 2-flnc0S-r ’ a» = T J f(*)c°s~ dx, (3) n=l	0
n = 0, 1,2,...
Для нечетной функции f(x)=—f( — x) все коэффициенты ап — 0 и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы
ZW = Xd«sin^’ fe„ = 7p(x)sin^rf.r, «=1, 2, 3,... (4) « = >	о
Если функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является периодической, то на всей числовой оси ее ряд Фурье в точках непрерывности функции сходится к самой функции, а в каждой точке разрыва функции —к полусумме ее односторонних пределов.
Черт. 201
Функцию Цх), заданную в интервале [О, Z], можно произвольно продолжить в соседний интервал [ — /, 0) и поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы.
Ряд по косинусам получается при четном, а ряд по синусам при нечетном продолжении данной функции на соседний слева интервал [—/, 0). В первом случае график данной функции продолжается на интервал [ — /, 0) симметрично относительно оси- ординат, а во втором случае —симметрично относительно начала координат, черт. 201 а, б.
— 371 —
помощью формул Эйлера (§ 6) получается удобная во многих случаях комплексная форма ряда Фурье:
f(x) = У. спе ‘ . где с„ =/'(х) е 1 dx. (5) п= — 00
Если функция f(x) задана несколькими различными формулами на разных частях интервала | — I, /], то при разложении ее в ряд Фурье, ври вычислении интегралов в формулах (2) пли (5) для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в которых меняется аналитическое выражение функции, на части и затем вычислять указанные интегралы как сумму интегралов по составляющим частям.
При разложении функции f(x) в ряд Фурье в интервале [О, 211 пределы интегралов в формулах (2) или (5) будут 0 и 2/, а в случае произвольного интервала [а, Ь\ длины 2/ эти пределы будут а и а + 21.
1040. Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном интервале:
1) <р(х) = у; (0,2л);	6при0<х<2
3) ф(х)=е-*; (— л, л);	I Зх при 2<v<4;
4) и = | sin х|; [—л, л|. Пользуясь полученным разложением, пайги сумму S ряда -± + .^4 ^7 + -   + - jy(2fr + ij + • • •
Решение. Вначале проверяем, что данная функция в указанном интервале удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты аи и Ьп (пли сп) по формулам Фурье и, подставляя их в ряд (1) [или (5)], получаем искомое разложение данной функции в ряд Фурье; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких значениях х полученный ряд сходится к данной функции.
1) Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вычисляем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (2), полагая / = л и беря пределами интегралов 0 и 2л, поскольку функция задана в интервале (0, 2л):
2Л
1 С X	,	1 ( х.	If. j\|2
а„ = — \ 75- cos пх dx = 75— — sin пх--------\ sin пх dx
" л J 2	2л \ п	nJ	) |о
О
1
2^C0SnX
|2л_cos 2мл— 1
,0	2л и а
(Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям.)
При п=1, 2, 3........ п#=0,	а„ = 0; при и —0 полученное
здесь выражение для ап не имеет смысла. Поэтому коэффици
— 372 —
ент а0 вычисляем отдельно по формуле (2), полагая /1 = 0 (cosnx= 1):
1 О' X , Хг
== — \ =- dx = —	= л;
“ л J 2 4л |о и 2Л
,	1 Г х .	,	1 /sin их х cos пхХ |2гт 1
Ь„ = — \ = sin их dx — ^r-i —г,~------------- =-------.
” л J 2	2л \ /г2	п ) |о п
<1
Подставляя значения коэффициентов ап и Ъп в тригонометрический ряд (1), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье:
4- со
х _ л sin пх  л	sin.t sin 2х sin Зх
'2‘~У L п “7 Г” 2	3	’ ’ ‘
п = 1
Это разложение справедливо, т. е. полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения О <х <2л. (В граничных точках х = 0 и х = 2л сумма ряда равна ~, в этих точках все члены ряда, кроме первого, обращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указанных точках и по теореме Дирихле.)
2) Пользуясь формулами (2), полагая 1 = 2 и разбивая интервал интегрирования (0; 4) точкой х = 2 на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим:
4	2	4
i Р плх ,	1 / р Г пих ,	,	Р о ппх , \
ап = у \ у cos -g- dx = у ( 1 о cos —- dx -ф 1 бх cos-g- dx j =
в	0	2
1	Г12 . ппх |2 , „ /2л . ппх ,	4	ппх\ |4"1
= 77 ---Sin -х-	4-3 — sin -77- 4- -5-5 COS -77-	=
2	[пл 2 |о \ пл 2 п2л2 2 / I2 ]
= ^2(1—cos пл), п=/=0.
При п четном cos пл = 1 и о„ = 0; при п нечетном cos пл =
При п = 0 по формуле (2) получим:
4	2	4
й0 = у ^ydx = ~ ( 6dx + J Sxdx'j	+	= 15;
О	0	2
1 Р . ппх ,	1
= y^sin-2-dx = y о
1
~ Т
12
— cos пл
( „ . ппх .	.
\ 6 Sin — dx-^-
0 4 . imx 2х ...............
пгл2 2 пл 2^1'
112(1 — cos пл) + 3 (4 cos пл — 8)1 = ——
2пл -	'	/iv	/4
„	. ппх ,
Зх sin -g— dx
— 373 —
Искомое разложение данной функции имеет вид
Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале (0; 2) сумма ряда <S(x) = 6, а в интервале (2; 4) S(jc) = 3x. В точке разрыва х = 2, где функция не определена,
S (2) = у (lim у + limz/) = 6.
Х Я -> 2 —О X 2 + 0
3) Здесь удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (5):
-л	-л
е-(1+<П)Х |-л 2л (1 -j- in) |п
е(1 +'»>' e~(l+'nvx	е~е'г‘~ g-r.g-imt
2п(14-М)	2л (1 + in)
По формулам Эйлера е±lnn = cos пл ± t sin пл = (— 1)”.
Следовательно, сп = Н>л (i + m) ’	(а)
р-х_ У _ ртх _ еп—е~к У (—1)"е‘«* спс	2п	14-1,1
п= — <ю	п = — а>
В интервале ( — л, л) ряд представляет функцию е~х, а в точках х = ±л его сумма равна у(ея+е~П).
Чтобы преобразовать полученный ряд в комплексной форме к обычной тригонометрической форме ряда Фурье (если это нужно), следует объединить слагаемые с индексами п и —п и заменить в результате по формулам Эйлера (§ 6) показательные функции тригонометрическими:
_(—1)пе,пх	n„(l_t-„)e»-* + (l+<„)e->»*
Un+U-n	+ (_In ( О	1+и2
= 2	+	/1=1, 2, 3, ...
'	'	l-j-П2
Из равенства (а), полагая п = 0, вычисляем =	.
Следовательно,
е~х=е~г~ [т+У <cos ,lx+,г sin nx)] • П = 1
— 374 —
4) Данная функция четная (черт. 202), вследствие чего все коэффициенты bn = Q. В интервале [0, л] функция определяется формулой y = s'mx. Поэтому по формуле (3) при 1 — п получим:
Л	л
ап — — J sin xcosnxdx = -^J (sin (1 -ф л) х + sin (1—n)xJ5x = о	О
' 1	Pcos(l + n)x , cos (1—п) х]	Г 1 1	pi —cos(l+n).T ,
Л I	L 14-л	1	i—п J	|л Л I	L i+n 1
( 1-COS (1-П) Л, |
J •
4
Если п четное, n = 2k, то cos(l -+-п)л = — 1 и а„ = —.— ' — '	п л(1 —4А2)
Если и нечетное, п^=\, то п„ = 0.
При п=1 полученное здесь общее выражение для ап непригодно, вследствие чего коэффициент а} вычисляем отдельно, полагая п=1, в формуле (2)-
Л	л
2 С	2 С	- sin2 х (л
с, == — \ sin х cos х dx = — \ sin х с! sin х =- — 0.
л J	л	л | о
о	о
Подставив значения коэффициентов в ряд (1), получим искомое разложение
os 2х cos 4х cos 6х	cos 2kx	"]
13	+	+ (2fe—1) (2fe 4-1) + ’ • -J >
которое справедливо во всей области определения данной функции — л -< х -< л.
При х = 0 полученное разложение преобразуется в равенство
o=2_A[_L+_L+_L_u	+______2______+	1
л л |ьЗ^З-5^5-7  • • • ^(2/г —1) (2^ + 1)	-J ’
откуда и условии:
определяется сумма числового ряда, указанного в
Черт. 202
•>- 2 •
как и в решении за-(1, 2), оказалось, что
Здесь, дач 1040 для данной функции один из коэффициентов ряда нельзя было вычислить по найденному его общему выражению. Поэтому при разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения общих выражений для коэффициентов ап и Ьп, следует проверять, будут ли они пригодны при всех [указанных в формулах (2)j значениях п. Для тех значений п, при которых эти общие выражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие
— <375 —
коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значения п в общие формулы Фурье.
1041.	Разложить в ряд Фурье периодические функции:
1)	/(х)=х2 при —л«£х<л; f (х) — f (хф- 2л).
Пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда:
. .	1,1	1 ,	~ 1 , 1 , 1 , 1
о) 22 З2 42	‘	1 22 З2 42	"
2)	<р(х) = х2 при 0<х<л; гр (х) — гр (х 4- л).
3)	tz = cos-|- при 0 О =sc 2л; и (х) = и (x-f- 2л).
Решение. Все заданные функции удовлетворяют условиям теоремы Дирихле, что обеспечивает возможность их разложения в ряд Фурье.
1) Данная функция четная, ее график (черт. 203) симметричен относительно оси Оу. Все коэффициенты Ьи = 0, а коэффициенты ап вычисляются по формулам (3), при / = л:
2 Р „	,	2 1‘2х	. /х2	2 \ . Цл
а„ = — \ xt cos пх dx = — —, cos пх + I-= sin nx =
"nJ	Л | Л2	\ n n3 J J Io
= 1с^пл	4_ n¥=0
Л2 v	n2
(Здесь дважды применена формула интегрирования по частям.) При п —Q (и / = л) по формуле (3) найдем:
Следовательно,
„ л2 .[cost COS 2х , COS Зх	, . «чп-iCOsnX , 'I
х==Т-4|-р--------2^- + -у---••+(-!)
Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом значении х, т. е. полученный
Черт. 203	Черт. 204
ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью совпадают.
— 376 —
Полагая в полученном разложении х = 0, найдем сумму указанного в условии числового ряда (а):
1- —-Ь-------4-	4-( — I)"-1 — 4-	=~
22 'З2	'	12’
а полагая х = л, найдем сумму ряда (б):
1 + 22 + з2+ 4*’  • +^+-“ “б"-
2) Вычисляем коэффициенты Фурье данной функции по общим формулам (2), полагая 1—^- (период этой функции равен л, черт. 204):
а. = 2? х2 cos 2 пх dx = — Г~ cos 2 пх + (а-гЦ') sin 2/гх I Г =
“nJ	л 2п2	1 \2л	4п3 I	Но
= — С х2 sin 2пх dx = — п л J	л
о
|л _ п jo п
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (1), получим
О +®
<р (х) = - + у (cos 2пх— ~ sin 2/гх 1 .
п-1
Разложение справедливо во всей области определения данной периодической функции—на всей числовой оси, исключая точки xk = kn, /г = 0, ±1, ±2, в которых функция разрывна (не определена). В точках разрыва функции полученный ряд также сходится. Согласно теореме Дирихле, в этих точках его сумма равна . У графика данной функции нет точек с абсциссами xk\ график суммы ряда отличается от графика дан-„ ,	/ л2 \
нои функции наличием точек (xftI у).
3) Функция и. нечетная (черт. 205). Поэтому коэффициенты а„ = 0, а Ьп вычисляем по формуле (4):
— 377 —
Следовательно,
х	8
COS -у = — 2	Jt
2 sin 2х ( 3 sin Зх 3-5 + 5-7
n sin nx .
• • ‘ (2n—1) (2n + l)
Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности—при всех значениях х, кроме
Черт. 205
значений xk = 2nk, k = 0, ±1, ±2, .... которые являются точками разрыва функции. В точках xk по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна нулю. Это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в нуль. Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсциссами xk. У графика данной функции ординаты этих точек равны — 1, а у графика суммы ряда они равны 0.
1042.	Разложить данную функцию в указанном интервале в неполные ряды Фурье, содержащие только косинусы или только синусы:
. .	(	0,3 при 0<х<0,5
_с,3п£„ о,5<х<1.
2)	y~xcosx в интервале от 0 до л. Пользуясь полученным
v 4Л2+1
разложением, наити сумму ряда z , (4^,2 “	•
к = о
Решение. 1) а. Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжаем ее на соседний слева интервал (—1; 0] четным образом (черт. 206, а).
Тогда Ьп = 0, а по формуле (3), подставляя /=1, <р(х)=0,3 в интервале (0; 0,5) и <р(х) =—0,3 в интервале (0,5; 1), найдем
1	/0,5	1	\
ап = -^ С Ф (x)cosHn xdx — 2 ( J 0,3cos rrnxdx— 0,3 cos nnxdx J = о	x 0	0.6	'
„ /sin плх |o.s sinnnxp X 1,2 . пл ,n
= 0,6 —---------------= — SIH — ,	ll^Q.
\ ПП Io rm |0,5/ ПП 2,
Если n четное, то a„ = 0.
Если n нечетное, n — 4k—1, k=\, 2, 3, ... , to
1,2	• ( 1 зт \ »	1 \ k—1	1,2
a'‘ = (2Л —1) л Sln ( kn ~2 J =	(2fe —1) л *
— 378 —
При n = Q по формуле (3) найдем
(0,5	1	\
$ 0,3dx—^0,3dxj = 0.
О	0,5	/
Следовательно, искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы, таково:
, ,	1,2 Tcos лх cos Злх , cos5nx
<₽<Х)=М_----------з-+^Г~
Оно справедливо во всей области определения данной функции. В интервале (0; 1) график суммы полученного ряда отличается от графика данной функции наличием точки (0,5; 0).
б. Для разложения данной функции в ряд Фурье, содержащий только синусы, продолжаем ее на соседний слева интервал (—1; 0] нечетным образом (черт. 206, б).
Тогда ап = 0,а по формуле (4)
-1	-Д5!
—Ij	+
л-jcos (2k — 1) лх Д- 1
Черт. 206
1	.0.6	1
Ьп = т § <р (х) sin nnxdx = 2( 0,3 sin n nxdx— C 0,3 sin nnxdx
О	\ 0	0.5
= 0,6
cos ЛЛХ
ЛЛ
I COS ЛЛХ
0.5 ПЛ
°-Б \ о.ь /	n ли , « \
) =--- COSWl — 2 COS -ДГ- - 1 I .
[о / пл \	2 1 * * /
Если n нечетное, то bn = Q.
Если n четное, n — 2k, то б2й = °'6^-~~cosfejI-. kn
При четном k получим bn = 0, при нечетном k — 2m—1 bn = ‘-‘-г -, n = 2k = 2 (2m— 1), m = 1, 2, 3, ...
n (2m— 1)л	'	'	’ 1 ’
Искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы, имеет вид
. ,	1,2Гк'|п2лх , sin6nx , sin Юлх ,	. sin2(2m — 1)лх .	1
=	+ —- + —5— +•••+------------2т-1
Оно справедливо во всей области определения функции ф(х).
— 319 —
2) а. Продолжив данную функцию четным образом (черт. 207,а), имеем: Ь„ = 0,
Л
ан — ~ j* х cos х cos их dx о
J х [cos (л I) jc-f-cos (м— 1) x]dx== о
/	л
1 I	[ sin (п 4- 1) х	sin (я — 1) х~] 131_С pin	(п + 1)	х
л 1	|	«4-1	n—1. JI®	J I	п4-1
I	о
sin (п— 1) х!
J
dx> —
1 [ COs(n + 1)х I cos (n — 1) *1 Iя 1 [COS (n 4 1) л— 1 , cos (n — 1)л— I-] Л [ (114- I)3 + (п—I)2 I I» "" П I (11 +I)2	’	(Л—1)2 j •
Если n четное, n = ‘2k, то соз(л+1)л = —1 и
_	_	4(4/г2+1)
“«	2*	л(4/г2 —I)2 '
Если n нечетное, то соз(л+1)л=1 и an = Q, ny^l.
Коэффициент aL вычисляем отдельно, полагая л=1 в формуле (3):
Л	л
Gj = — X COS X COS X dx = 2 ( X ( 1 4-
о	о
л
4-cos 2х) dx= — [ \ х dx~
, f о > \	1 /х2 ,
+ 1 х cos 2х dx ) = — ("2 +
е	'
Черт. 207
, х sin 2* , cos 2x^1 " л
Н 2	' —f— о =	•
Таким образом, получаем следующее разложение данной
функции в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы,
2 , л
X COS X =----f- -o’ COS X—
Л 2
4 \7 '4Р + 1
— 4Г 2-(W-—"ij2 cos
fi + A' + ’l.
Подставляя в полученное разложение х = 0, имеем:
л3 , 1 т •
п л 2	4	4/<2+1	V 4А2+1
0 =	ТЕ" л 2- (4^=Г)3  0ТКУда следУет 2- (4F^TT2 - 8
k=i	ь-“

— 380 —
б. Продолжив данную функцию нечетным образом (черт. 207,6), имеем а„ = 0,
TL	Л
2 С	1 Р
Ьп = — \ х cos х sin пх dx = — I х [ sin (n 4- 1) x ф- sin (n — 1) xj dx = 0	0
__ if ГCOS (Лф I) X , COS (tl— л jx L «+•	«—i IL*7'
cos (n— 1) X n— 1
1 f Feos (n 4-1) л cos pi — 1) л 4 I ________________ n 2/i
Л I Л [ tl ф- 1	II — 1 J I '	' II2 — 1
Коэффициент bL вычисляем отдельно: л	я
,	2 f	.	,	1 С . „ ,	1
о. = — \ х cos х sin х dx — — \ х sin 2х dx = —	.
1 л J	л J	2
о	о
Следовательно,
х cos х =- —
+ СО
_р 2 У, (— 1)" sin пх\ 0 х < л.
П — 2
Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном интервале:
1043. /(х)---л —х; (0, 2л). 1044. ср (х) —х sin х; [ — л, л|.
( 0 при —3<х<0
1045.	i/= I '
'	| х при 0<;х<;3; пользуясь полученным разло-
жением, найти сумму ряда 1 ф-^ф- р 4-   - +-(2^~TF + • • • Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции: 1046. f(x) = |x| при —l<xsgl; f (х) = [ (х 4- 2),
5
1047.	<р (х) = sin-g-х при —л<х<л; ф (х) = <р (х ф-2л),
1048.	у(х)=ех при —2<х<2; у (х) =у (хф-4),
1049.	и = х(л—х) при 0^х<л; и (х) = и (х ф- л)
и построить графики каждой данной функции и суммы ее ряда Фурье.
Разложить данную функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы.
1050.	f(x)=cosx, 0, ~ ; пользуясь полученным разложе-
- 3^1 —
нием , найти сумму ряда
ГЗ^Гй-STz'l' * • • + (	,)*(2fe_i)(2ft-|.i)+   *
10S1.	,M.( I
I 0 при	пользуясь полученным раз-
+ со	4-00
«	\ sin м	Vz -j\п sin п
ложением, найти сумму ряда: а) /. —, б) > , (—1)	.
п = I	п — 1
1052.	Разложить функцию у=\ в интервале (0,1) в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы.
1053.	Разложить в неполные ряды Фурье: а) по косинусам и б) по синусам функцию
_ j х при	I
фМ — | 2—X при 1-s£XsS2.
§ 8. Интеграл Фурье
Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой + <»
оси, т. е. если интеграл | f (х) |dx сходится, и если она удовлетворяет условиям Дирихге на любом конечном интервале, то ее можно представить интегралом Фурье:
+ со
f (х) = У [A cos ах 4- В sin ах] da,	(1)
О
где А (а) = ~ § f (t) cos at dt, В (a) = — J f (t) sin at dt. — cd	— ot>
Эта интегральная формула Фурье получается из ряда Фурье для функции f(x) в интервале (—/, /) при I — >ф-оо.
Интеграл Фурье функции f(x) сходится к этой функции всюду, кроме, быть может, точек разрыва xk, где (как и ряд Фурье) он дает значение, равное
VГ ,im Кх)+ Hm [(х) .
В отличие от ряда Фурье, который дает разложение функции на гармонические колебания с дискретно меняющейся частотой п=1, 2, 3.............. интеграл	Фурье дает разложение
функции на гармонические колебания с непрерывно меняющейся от 0 до + 00 частотой а.
— 382 —
Для четной или нечетной функции интеграл Фурье упрощается: Если /(—x) = f(x), то
2 + 30	+ х
f(x) = — cos ах da J f (t) cosat dt. 0	0
Если / (— x) = — f (x), to
+ CO	+ X
^(x) = jT J sin ax da f (/) sin a.tdt. о	о
(2)
(3)
Если функция f (x) задана только в интервале [0, + оо), то, по-разному продолжая ее в соседний слева интервал (—оо, 0), можно затем представить ее различными интегралами Фурье. Обычно такую функцию представляют интегралом Фурье или по формуле (2) или по формуле (3); по формуле (2) при четном, а по формуле (3) при нечетном продолжении этой функции в интервал (—оо, 0).
С помощью формул Эйлера (§ 6) из формулы (1) получается комплексная форма интеграла Фурье:
+ СО	+ со
— X	— 30
(4)
1054. Данную функцию представить в виде интеграла Фурье:
f —е при Л'^0 о. . . I 1) <р (х) = > _х 1	2) р(х = <
/ Ч X /	| е X при	|
( 0 при х<0
3) q(x)= j ЛЛ ПР» 0<х< 1 | 0 при х > 1.
Решение. 1) Данная функция нечетная (черт. 208). Поэтому
согласно формуле (3)
+ х	+30
2 С	С
<р (х) = — \ sin ax da \ e~L sin at dt.
0	0
Черт. 208
Внутренний интеграл I вычисля-
ем отдельно по формуле интегрирования по частям (см. задачу 484):
Р
/= liin Се-'sin а/Л =	Ц1Д+Д-С^«.О
В—+«0	>+ а
о
2 при 0 < х <3
1 при х = 3
0 при х>3.
— 383 —
Следовательно,
4-со
. ,	2 f а sin ах da
J ~Г+а*---
О
Здесь х^=0, ибо при х = 0 полученный интеграл Фурье равен не <р(0) = — 1, а нулю—полусумме пределов данной функции при х —>—0 и при х—>4-0.
2) Функция р(х) определена только в интервале (0, 4-<х>). Поэтому ее можно представить различными интегралами Фурье.
При четном продолжении данной функции в интервал (—оо, 0] по формуле (2) получим:
4-оо	ч
р (х) = ~ J cos ах da§ 2 cos at dt = 1 0	0
cos ax sin 3a da a
При нечетном продолжении данной функции в интервал (—оо, 0] по формуле (3) получим:
+ со	3	I-®
. <	2 f . j Со  j и 4 f (1—cos 3a) sin ax da
р (х) = — \ sin ах da\ 2 sin at dt = — \  ---.
оо	о
Оба полученных интеграла Фурье представляют данную функцию во всей области ее определения, включая и точку х=3, в которой функция разрывна, ибо в этой точке значение каждого из полученных интегралов:
2
lim р (х) 4- lim Р U) X ->3 —G	<->34-0
= 1(2 + 0)=!
н значение данной функции р(3)=1—одинаковы.
3) Применяем формулу (1), вычисляем коэффициенты А и В:
4- сю	Го	1
А (а) = ~ J q (/) cos at dt = 1 J 0 • cos at dt 4- л § t cos at dt 4-— co	— ao	0
4-co t sin at
a i	-»
cos at I t = i a sin a + cos a— 1 .
В (a) = J q (t) sin at dt = J t sin at dt — CD	0
sin a— a cos a a2
Подставляя в формулу (1), получим +«
/ \ _ С (a sin a + cos a— 1) cos ax + (sin a — a cos a) sin ax , q (x) j
0
— 384 —
Это равенство справедливо, т. е. полученный интеграл сходится к функции q (х), на всей числовой оси, кроме точки х= 1, в кото
рой эта функция разрывна. В точке х=1 интеграл равен -у , тогда как <?(!) = л.
Решение будет короче, если воспользоваться комплексной формой (4) интеграла Фурье:
+ оз	4-оо	4- оо	1
=	§ е~‘аХ § q(t)e,atdt = ^ е~‘ах da § telat dt =
— аз	—оз	— оо	(J
е~,ах da = 1 f -^1-~Za)~-1 e~iaxda.
& J Ct
0	— CD
Разумеется, это представление данной функции интегралом Фурье в комплексной форме и полученное выше представление ее интегралом Фурье в обычной форме отличаются только по форме и могут быть преобразованы одно в другое с помощью формул Эйлера.
Построить графики данных функций и представить их интегралами Фурье:
cosX при 0<х=Сл
1055. у =
sinx при | к | <i л О при | x|Ss л.
1056. г =
1057. и =
'14-х при — 1 С х О
1 —х при 0<х<1 Ю58. О при | х |	1.
'О при xsgO sin хприО<х-<л О при х^л.
13 № 3201
ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Главная цель инженера-исследователя, изучающего какой-либо физический или технический процесс, заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.
Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.
Огромное значение этих задач как для практики, так и в теории обусловливает особо важное значение этого раздела математического анализа.
§ I. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
Дифференциальным, уравнением, называется равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными. Уравнения с частными производными рассматриваются лишь в последнем параграфе этой главы, а все остальное ее содержание посвящено обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Так, уравнение у" + 3ху'—Л/2 = 0—второго порядка, d3s , в ds с
—ts2^-t = 5—третьего порядка, у’ -|-уех = tg Зх—первого порядка.
— 386 —
Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т. е. обращающая его в тождество, называется интегралом (или решением) этого уравнения.
Например, функция у = 2х является интегралом уравнения х2у"—2ху’ 4~2у = 0, ибо, найдя производные этой функции у' = =2, у" = 0 и подставляя в данное уравнение у, у', у", получим тождество: —4х4-4х = 0.
Интеграл дифференциального уравнения называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения.
Так, функция y = L-^-\-C2, удовлетворяющая уравнению 2-го порядка ху" -\-2у' = 0 (в чем можно убедиться путем подстановки) и содержащая две произвольных постоянных Сх и С2, является общим интегралом этого уравнения, а функции У = у, «/= з
= —-7 + 5, у =—I (получающиеся из общего интеграла при различных значениях Сх и С2) являются его частными интегралами.
Геометрически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует плоская линия, его график, которая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения п-ro порядка (и=1, 2, 3, ...), удовлетворяющего п начальным условиям вида
У(хо) = Уо'> У'(хо) = Уо'> У”(хо) = Уо’, •••; У{П~1}(хо)=Уо~1}, называется задачей Коши.
В указанных п начальных условиях Коши задаются значения функции у и ее производных у', у",..., у'1"1 при некотором заданном значении аргумента х = х0. По этим п начальным условиям определяются значения всех п произвольных постоянных С1г С2, .... Сп, входящих в общий интеграл уравнения n-го порядка.
1059. Проверить, что данная функция является интегралом (решением) данного дифференциального уравнения:
О У = V х . %уу' — 1-
2) 1пх1пу = с, у 1п удхЩ х In xdy = 0.
j. 1	• си d^s .	, ds . си
3) s = —f —-2 S1H2Z,	s = sin2L
13*
— 387 —
Решение. 1) Найдем производную данной функции у'= —7=-- Подставив в данное уравнение у = \^х и у' = 2 V х
——, убедимся, что оно обращается в тождество: 2]/х х
= 1; 1 = 1.
= 0; 0 = 0.
dx
2) Дифференцируем данную неявную функцию: 1пу— + Ч-1пх^ = 0 и находим dy =—* dx. Подставляя это выражение dy в данное уравнение, получим тождество: ylnydx-j-+ X In X ( —у
3) Дважды дифференцируя данную функцию, найдем = d%s
——1—cos2/, ^2= 2 sin 2t. Подставив эти выражения для первой и второй производных в данное уравнение: 2 sin 2/4-(—1 — — cos 2t) tg t = sin 2/; sin 2t — 2 cos2 t tg t = 0; sin 2/ — — 2 cos t sin / = 0; 0 = 0 убеждаемся, что оно удовлетворяется, т. е. обращается в тождество.
1060. Зная ренциального
Черт. 209
общий интеграл 4х2+ //2 = С2 некоторого диффе-уравнения 1-го порядка, найти и построить его интегральные кривые (частные интегралы), проходящие через точки (—1; 0), Ва(0;-3) и В3(2; 0).
Решение. Общий интеграл F (х, у. С) = =0 уравнения 1-го порядка f(x, у, у')=0 геометрически определяет семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра С. Подставляя в общий интеграл координаты какой-либо точки Р, найдем значение С, при котором из общего интеграла получается уравнение интегральной кривой, проходящей через точку Р.
Для точки В,: 4 = С2; 4х2-|-г/2=4.
Для точки В2: 9 = С2;
Для точки В3: 16 = С2
По найденным уравнениям интегральных кривых, проходящих через точки Blt кривые (черт. 209). Они представляют кон-
+ у8 = 9.
4xz + //z = 16.
В2, Bs, строим эти центрические эллипсы, оси которых расположены на осях координат.
Проверить, что данная функция является интегралом данного уравнения:
1061. у = Се~2Х-, у’ + 2у = 0.
— 388 —
1062. у^С^ + С^х2; х2у"—2ху'-\-2у = 0.
1063. х2 + 2ху=С', (х + y)dx-\- х dy = 0.
1064. s = /2ln/ + C1/2 + C2H-C3; ^ = 2.
1065*. y-x + C\lny = C2-, yt/'-(y'rd-(y')3 = 0-
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение первого порядка Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy — 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции Р и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:
fi (х) /2 (у) dx + <pj (х) ф2 (z/) dy = 0.	(*)
В таком уравнении путем деления его членов на f2 (у) • фх (х) переменные разделяются:
-МЦ- dx + - 'г *'у >- dy = 0.
Ф1М РЛу) у
После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:
С dx+{^-du = C *
J фД*) Мд) у
1066.	Найти общие интегралы следующих уравнений:
1)	(х + I)sdt/ —(у—2)2cfx = 0. 2) sec2 х sec у dx = — ctgxsin ydy.
3) (К^ + /Т)/-у = 0.	4) 2^ + 3*-2V = 0.
Решение. 1) Разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части на (хД- I)3 (у — 2)2: dy	dx
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
5 (y—2)~2d(y — 2)— j (хД- 1)-М(х+ 1) = С;
___!___l___!____— с у-2^2(х+1)2_____•
2)	Для разделения переменных делим все члены уравнения на sec у ctg х:
sec2 х tg х dx Д sin у cos у dy = 0.
Интегрируя, получим
j tgxdtg хД-J sin ydsiny=c; у tg2x-(-l sin2// = yC;
tg2x-f- sin2y = C.
* Если Ф1(Х1) = О (или /2(i/i) = 0), го x~x1(y — yl) также будет интегралом уравнения (»), который может быть потерян при разделении переменных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.
— 389 —
0.
3)	Выразим производную через дифференциалы переменных: у' = ^, умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициент при dy на множители:
(V~y + 1) V х dy—ydx = 0.
Далее разделяем переменные:
W+1 л	I / Л
— dy-----==. dx — Ci
у	V х
и, интегрируя, находим общий интеграл
J ( у 2-f-^dy—Jx 2 dx = C; 2]/ у -f-ln|i/|— 2рг г = С.
4)	Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициенты при dx и dy на множители:
2x2>'dx + 3’!3-2>'^ = 0.
Разделяем переменные, умножая на 2_у 3_х: 2хЗ-хс/хф-3-2>,2->'^ = 0, и интегрируем:
/_2 V ^-g=C.
1067.	Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий указанному начальному условию:
1) уdx + ctgхdy = 0;	= — 1-
2) s = s' cos21 In s; s(n)=l.
Решение. 1) Разделяя переменные и интегрируя, находим сначала общий интеграл данного уравнения:
tg х dx ф- ~ = 0; —1п | cos х | 4- In | у | = In С;
|t/| = C|cosx|; у= ± Ceos х = С1 cos х.
Затем, используя указанное начальное условие	=—1,
подставляем в общий интеграл заданные значения переменных (х=-^-, у~— 1) и определяем соответствующее значение произвольной постоянной: —1=CjCos-^-; Сх =— 2. О
— 390 —
При этом значении Ct из общего интеграла получаем искомый частный интеграл, удовлетворяющий заданному начальному условию, у =— 2cosx.
2) Умножая на ^-^-dt, разделяем переменные sec'2zdz = = ^-pds и, интегрируя, находим общий интеграл
d(tgZ) = ^lnsdlns-f-С} tg t = -i- In2s4-C.
Подставляя начальные значения / = л, s=l, определяем значение С:
tgn = yln 1 ф-С; С = 0.
Следовательно, искомый частный интеграл ln2s—2tg/ = 0.
Решить следующие дифференциальные уравнения (найти их общие интегралы):
1068. (у ф- ху) dx ф- (х— xy)dy — O.
1070. sin a cos Р da = cos ос sin Р dp.
1072. Зех sin ydx = (ex—l)secz/dy.
1069. yy' ф-х = 1.
1071. 1ф-(1ф-/)^ = 0.
1073*. x2(2yy'— 1)= 1.
Найти частные интегралы следующих уравнений при указанных начальных условиях:
1074. у2 ф-х2у'= 0; у(— 1)= 1.	1075.	2(1 ф-ех) уу' = ех\
z/(0) = 0.	1076.	(1 ф-х2) у3 dx—(уг— l)x3dc/ = 0;	t/(l) = —1.
§ 3. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка y’ = f(x, у) называется однородным, если f(x, у) можно представить как функцию только одного отношения переменных /(х,	=	, т. е. уравнение
вида y' = q>
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, а следовательно, и решается посредством замены функции у (или х) новой функцией и по формуле у —их (или х = иу).
1077. Проинтегрировать следующие уравнения:
1) (x24-t/2)dx—2xydy=0; 2) у — ху' = у\п^-\
3) xdy—ydx = ydy при условии у(—1) = 1.
— 391 —
Решение. 1) Разрешая данное уравнение относительно производной
X
устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных —, т. е. устанавливаем, что данное уравнение является однородным.
Далее вводим новую функцию и, полагая у —их; при этом + и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными
du I + u2	,	1 — и2 .
и + х-,-~-s— или xdu = -„- dx.
1 ax 2u	2u
,,	2u du dx
Разделим переменные:	и, интегрируя, найдем
— In| 1—u2| = ln|x|—InC или x(l — u2) — ±C — Cl.
Исключая вспомогательную функцию и (u="7)« окончательно ПОЛУЧИМ у2 = Х2 — CjX.
2) Вначале устанавливаем, что данное уравнение —однородное:
затем заменяем функцию у. Полагая у = их, получим уравнение с разделяющимися переменными
u-[-x<^ = u(l 4-lnu) или x^=ulnu.
dx
Умножая обе его части на хц |	, разделим переменные
du dx и In и х и интегрируем:
cd(inu)=edx ]пС in|lnu| = ln|x| + lnC. J In и J X 1	’	1	1 I I 1
Потенцируя и исключая вспомогательную переменную и, найдем искомый общий интеграл |lnu| = C|x|; и=ес**; у = хес^.
3) Выяснив, что уравнение однородное:
У
X
— 392 —
и полагая у —их, получим уравнение
,	< и	du	ц*
U-p XU = ;--- ИЛИ X ~г == ,-- .
1 — и	dx	1—и
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
- ~~,и- du = — , —--In I и I — In I x|— C
U*	XU	11	*	*
ИЛИ
I + In I xu\ = C.
Возвращаясь к переменной у, находим общий интеграл х = у(С— In |«/[).
Подставив заданные значения переменных: у = 1 при х =—1, находим, что С = —1.
Следовательно, искомый частный интеграл уравнения будет Х = — у(1 4- In I £/1).
Решить следующие уравнения:
1078. у—ху' = х-\-уу'.	1079. ydy-}-(x—2y)dx = 0.
1080. у dx-j- (2)/ху — x)J// = 0.	1081. у = х (у'—f/ey).
1082. (у2—3x2)dy -j-2xydx — 0l при условии у(1) =— 2.
1083*. у — ху'=х‘ьес^- при условии у(1) = л.
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли
Уравнение вида у'+ Р (х) у = Q (х), где Р(х) и Q (х) известные функции от х, линейное (первой степени) относительно функции у и ее производной у’ называется линейным.
Посредством замены функции у произведением двух вспомогательных функций y — uv линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.
Уравнение Бернулли у’ + Р (х) у = ynQ (х), отличающееся от линейного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции у, решается так же, как и линейное. Посредством подстановки y — uv оно также сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
1084. Решить уравнения;
1) У’ — f/ctgx = sinx; 2) х2угу' -j- ху3 = 1;
3) у dx — (Зх-|- 1 4-lnr/)Jy = 0 при условии у( — у)==1-
— 393 —
Решение: 1) Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем y=uv, тогда y' — u'v + v'u и данное уравнение преоб- > разуется к виду	/
u'v-\-v’u— wuctgx=sinx или u'v-}-u(v'—ctg х) = sin х.
Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v’—octgx = 0.
Тогда для отыскания и получим уравнение u'u=sinx.
Решая первое из этих уравнений, найдем щ разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:
^=ctgxdx; In v = In sin x= t>=sinx.
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий интеграл этого уравнения:
u'sinx=sinx; du = tfx; « = х4~С.
Зная и и v, находим искомую функцию у: y = uv = (x-\-C) sin х.
2) Разделив обе части уравнения на x2t/2:
y'+у = У"2-^ ,
убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где Р = х-1, Q = x-2. Заменяя функцию у по формуле y = uv, имеем у’ = u'v-\-v'u,
или
, ,	/ , . v \	1
и V 4- и I V 4-I = - а а .
1	\ X J xW
Отсюда, как и в решении предыдущей задачи, получаем два уравнения с разделяющимися переменными:
1) 1)'4--£. = о и 2)	=	.
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:
du . dx /ч ,	. ।	,	1
—[—=0; 1по4-1пх = 0; vx=l; v = — , V 1 X ’	1	X
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим и как общий интеграл этого уравнения:
- = -2; u2du = xdx; -=-4-т; и= у 2-х2+С.
— 394 —
Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения
з г q с
y = uv = 1/	.
г 2х х3
3) Преобразовав данное уравнение к виду dx Зх 1 + In у dx , ~	z ч
-----= —1----- ИЛИ 4- Р (у) х = Q (//), dy у у-------dy
выясняем, что оно является линейным, если рассматривать х как функцию от у.
Далее, заменяя функцию х по формуле x = /w, где и и v
,	dx du . dv
функции от у, имеем ~г = v т ~ги ;г и dy	dy dy
du . dv 3uv 1 + lnu
Vr	-----= —------
dy dy у у
или du , f dv 3tA 1 +ln у v -г- +u --------------------------------- .
dy \dy у j у
Отсюда для нахождения и и v имеем два уравнения:
,, dv Зо „	du 1-f-lnt/
’ dy у	’ dy у
Из первого уравнения находим и:
^ = 3^ф lnn = 31nz/; v--=y3.
V у
Подставляем и во второе уравнение и, решая его, находим иг ,,du 1 4- In у ,	1 4- In у ,
у3 -т- = —-- ‘ du = -	„ J dy;
J dy у	У1
и=^у~4 dy + ^y~4\nydy + C— + i 4-C.
Второй интеграл, обозначенный I, находим отдельно по формуле интегрирования по частям. Полагая u1 = lnz/, dv1 = y~idy, j dy	y~3
получим dUi—-^ ,	=	11
I = ^uldul = ulv1 — ^ul dut = —^r-T-y Jy~i^y = _ Ini/ 1
3y3	9;/3 •
Следовательно, и = —	9^ + ^'
Умножая и на v, получим общий интеграл данного уравнения:
х = Су3—у In у.
— 395 -
Подставляя сюда заданные значения переменных х =------1 ,
у=1, находим значение произвольной постоянной С = ~.
Следовательно, искомый частный интеграл будет
-----3 1ПУ-
Решить следующие уравнения:
1085. у' — у = ех. 1086. (х2ф-1)у'+ 4ху = 3.
1087. cosydx = (x + 2cos у) sin ydy. 1088. у’ -}-y = x\f у.
1089. (1 — х) (у' +у} = е~х при условии у(2) = 0.
1090*. ydx + 2xdy = 2y Vx sec2ydy при условии у(0) = л.
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
Если в уравнении 1-го порядка Pdx~\-Qdy = 0 коэффициенты Р и Q удовлетворяют условию	. то ег0 левая часть
есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)*. Такое
уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Записав такое уравнение в виде du = 0 и найдя первообразную функцию и (х, у) по правилу, указанному в гл. VII, § 10,
получим общий интеграл этого уравнения, полагая и(х, у) = С. 1091. Решить уравнения:
1) (2у—3)Лс + (2х + Зу2)гй/ = 0;
2) (x + ln|y|)dx+^l+y+siny)dy = 0.
Решение. 1) Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах:
Pv = (2y-3)^ = 2; Qx = (2х-\-Зу2)'х = 2\ P'V = Q'X.
Затем находим неопределенные интегралы:
<\!Pdx=\(2y—3)dx = 2xy—Зхф-ф(у), считая у постоянной, У Q dy= (2х + 3у2) б/у = 2ху + уа + ф(х), считая х постоянной.
Беря все известные члены из первого результата и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго результата, получим функцию и (х, у) —2ху—Зх-j-y3, полным дифференциалом которой является левая часть данного дифференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, получим искомый общий интеграл данного уравнения:
2ху—ЗхЦ-у3 —С.
* См. гл. VII, § 8.
— 396 —
2) Проверив, что в данном уравнении левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у):
(x+in|y|)^ = l=fl-f-^ + siny) ,
»	\ У	/ *
затем находим эту функцию, интегрируя каждый ее частный дифференциал отдельно:
и = С (х + In | у \)dx — -^ Н х In | у | + <р (у);
u=j +7 + sin У) dy^y + xln^\~ cosy+ty(x).
Далее составляем окончательное выражение функции и (дописываем к известным членам первого выражения недостающие члены, зависящие только от у, из второго выражения) и, приравняв его произвольной постоянной С, находим искомый общий интеграл данного уравнения:
-g-ф-хIn |у |-|-у—cosy = С.
Проверить, что следующие уравнения 1-го порядка суть уравнения в полных дифференциалах и решить их.
1092.	(Зх2у2 + 7) dx + 2х3у dy = O.
1093.	(еу + уех + 3) dx = (2—хе3’ —ех)dy.
1094.	sin (хф-у)dx-f-xcos(хф-у) (dx + dy) =0.
1095.	(2х + уе*>)dx-ф(1 + xexy)dy = 0 при условии у(0) = 1.
шлгч, Z</a + sin2x , , \ , /sinzx \ , г,
1096*. у---------1- 1 1 dx—(—j----x)dy = 0.
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1)	Уравнение n-го порядка y<n'= f(x) решается по-следовагельным интегрированием.
Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем уравнение (и—1)-го порядка: у(к-1)= J f (х) dx -|- Cr = q>j (х)ф-СР
Снова умножая обе части на dx и интегрируя, получаем уравнение (п—2)-го порядка: у’"-2* = «jpj (x)dx+ J Cj dx-f-C2 = = <p2 (x) ф- CjX + C2 и т. д.
После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл у этого уравнения в виде явной функции от х и п произвольных постоянных: у = ф„(х) + С)Хп-1ф-с2х"_2ф-... ф-сп.
— 397 —
2)	Уравнения 2-го порядка: A) f (х, у', у") = 0 и Б) F (у, у', у") = 0, не содержащие явно функции у или аргумента х, преобразуются в уравнения 1-го порядка посредством подстановки у' = р ^откуда У" = —аля уравнения А или у” — р^—для уравнения .
1097. Решить уравнения:
1) у"' = 60х2. 2) (х-3) у" + у' = 0.
3)	УУ"—(У'}2 = уа, если у(0) = —у, t/'(0) = 0.
Решение. 1) Умножая обе части данного уравнения 3-го порядка на dx и затем интегрируя, получаем уравнение 2-го порядка: у’” dx = 60x2 dx; у" = 20х3 ф- Сг.
Далее тем же способом получаем уравнение I-го порядка и затем искомую функцию—общий интеграл данного уравнения:
у" dx — 20х3 dx ф- Сг dx; у' — 5х4 ф- Сух ф- С2;
у' dx = (5х4 ф- С\х 4- С2) dx; у = х5 4- Сх -%-ф-С2х 4- С3.
2)	Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции у. Полагая у' = р, получим у" — ^ и после подстановки данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:
(x-3)g + p_0.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем 47 + 7373 — 0;
1п |р14-In|х—3| = 1пС;	[р(х—3)| = С;	р(х—3) = ±С = С1.
Заменяя вспомогательную переменную р через , получим уравнение (х—3)-^- = С1, Рещая которое найдем искомый общий интеграл:
= У = С11п|х-3| + С2.
3) Это неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно аргумента х. Положим у' = р; тогда у"~Р^~ и данное уравнение преобразуется в уравнение 1-го порядка:
dp	,	,	dp	р	у2
up -j-—p2 = tr или ~—— = —, dy 1 J	dy	у	р
которое является уравнением Бернулли, если р рассматривать как функцию от у.
— 398 —
Заменяя функцию по формуле p — tiv, имеем
dv ,	du	uv	и2	dv	,	[du	и \	y2
U-r-^V-j------= — ИЛИ Uj- + °h-----------=— .
dy	dy	у	uv	dy \dy	у J	uv
Отсюда для нахождения и и v получим два уравнения:
du	и	r.	dv	у2
-----= 0 и и ~г = — .
dy	у	dy	uv
Из первого уравнения находим и, как его простейший частный интеграл:
du dy п ,	
------ = 0; In и — 1п н; и—у.
и у
Подставляя и во второе уравнение, находим v. как его общий интеграл:
lJTy = ~^' vdv = dy’’ -y-:=y + ci; ^=±/2 (y + CJ.
Зная и и v, находим р = uv= ± у ]/2 (у Ц-6\).
Заменяя р через ~, получим уравнение с разделяющимися
переменными
^=±y/2(y + G).
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно определить значение постоянной Сг, используя заданные значе-
ния у = — —, у' = 0:
«-±4 /2(-±+С,); С, = 1.
уравнение, разделяя

Подставляя значение Cj в последнее в нем переменные и интегрируя, найдем
—" • — ± dx\ i х С2 = С -
J/K2// + 1	J;
Для отыскания интеграла 1 полагаем K2y-j-l=2, тогда 2у+ 1 =z2, dy = 2dz,
,=2f А
Следовательно,
С, ± х = In1^Jg+L1 .
2	1+К'2у+1
Наконец, используя заданные значения х = 0, у=^-, определяем значение постоянной С.2 = 1п|—11 = 0 и получаем искомый
= 1п|Ьп|=|п
— 399 —
частный интеграл
ж-Ч-In
1+1/2у+1
Как показано в решении этой задачи, при отыскании частных интегралов уравнений высших порядков (указанных типов) нет необходимости сначала находить общий интеграл, а лишь затем определять значения всех постоянных. Можно, и лучше, определять значение каждой постоянной немедленно после того, как она появляется в процессе решения.
Решить уравнения:
1098. у'" = е**.
1100. х(у"+ 1)4- у' = 0.
1102. у" 4- ау = Ь.
1099. y" = xsinx.
HOI. у" = /1—(у')2. 1103*. уу"-(у'У = У*.
В задачах 1104—1106 найти частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий указанным начальным условиям:
1104. у" = 3х2; у(0) = 2, у'(0)=1.
1105. (у"х—у')у’ = х3; у(1)=1, у'(1) = 0.
1106*. 2у(у'Г + у" = 0-, у(0) = 0, /(0) = -3.
§ 7.	Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейным однородным уравнением называется уравнение у<п, + р1У("'1’ + Р2У<"-2’+-.. +Р,!-1У' + Р,-1У = О, (1) все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты р1( р2, ...,рп—известные функции от аргумента х или постоянные.
Общий интеграл линейного однородного уравнения п-го порядка (1) имеет вид
У =	+ С2У2 + • • • + Спуп,
где У2,---,Уп—линейно независимые частные интегралы этого уравнения.
Если все коэффициенты р,- линейного однородного уравнения (1) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью характеристического уравнения
г"4-р1г"-14-р2г"~2+  • • +Рп-гг+ р„ = 0,	(2)
которое получается из этого уравнения, если сохраняя в нем все коэффициенты р;, заменить функцию у единицей, а все ее производные соответствующими степенями г. При этом:
1)	если все корни rlt г2, ...,гп характеристического уравнения (2) действительны и различны (однократны), то общий
— 400 —
интеграл уравнения (1) выражается формулой
у =	+ Сгег** + ... + Сае^-,	(3)
2)	если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексных сопряженных корней г1>2 = ос±р/, то в формуле (3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым
(С4 cos ₽х4- С2 sin Рх);
3)	если действительный корень гл уравнения (2) имеет кратность ^(г1 = г2 = . .. =rk), то соответствующие k членов в формуле (3) заменяются слагаемым
(сг+с2х+сах2 +... ч-
4)	если пара комплексных сопряженных корней r1>2 = a±Pt уравнения (2) имеет кратность k, то соответствующие k пар членов в формуле (3) заменяются слагаемым
е’* [(С2 -j- С2х + ... + Ckxk~т) cos Рх+ + (Ca+i4-Ca+2x+ ... Ч-С^х*-1) sin Рх].
1107.	Решить уравнения:
1)	у"-5у'-6у = 0;	2) </'''-6/4-13</' = 0;
3> да+4г+45=°;
5) t/<4’4- 13t/<2’4-36t/ = 0; 6) y<7, + 2t/’5) + t/<3) = 0.
Решение. 1) Заменяя в данном дифференциальном уравнении функцию у единицей, а ее производные соответствующими степенями г, напишем его характеристическое уравнение: г2— — 5г—6 = 0.
Корни этого уравнения r2 = 6, г2 = — 1 действительны и различны. Поэтому, согласно правилу 1, искомый общий интеграл данного уравнения будет у = С1еъх-\-С2е~х.
2)	По указанному правилу составляем характеристическое уравнение: г3—6г2+13г = 0. Оно имеет один действительный однократный корень г2 = 0 и пару комплексных сопряженных корней r2j3 = 3 ± 2i. Согласно правилам 1 и 2 общий интеграл данного уравнения у — Ст + е3* (C2cos2x + C3 sin 2х).
3)	Написав характеристическое уравнение г24-4г4-4 = 0, находим, что оно имеет равные действительные корни г1 = = г2 = —2. Согласно правилу 3, общий интеграл данного уравнения S = e~2/(C1 + C2/).
4)	Характеристическое уравнение г4—1=0 данного дифференциального уравнения z/(4‘—у = 0 имеет корни i\ =—1, г2=1, r3i4=±t. Поэтому, согласно правилам 1 и 2, искомый общий интеграл у =	х + С2ех + С3 cos х + С4 sin х.
5)	Дифференциальному уравнению г/<4,+13у<2) + 36[/ = 0 соответствует характеристическое уравнение г4+13г2+ 36 = 0 или
(г2 -}-4) (г2 + 9) = 0. Оно имеет две пары мнимых сопряженных корней 0,2= ± 2i, г3,4 = ± 3i. Согласно правилу 2, общий интеграл данного уравнения у = С, cos 2х 4-С2 sin 2х 4-Са cos Зх 4-4- С4 sin Зх.
6)	Дифференциальному уравнению у”14-2//<sl + у’31 == О соответствует характеристическое уравнение г7 4-2г5 + г3 = О или г3 (г2 4- 1)2 = 0. Оно имеет трехкратный действительный корень г = 0 (г, = г2 = г3 = 0) и пару двукратных мнимых сопряженных корней г = ± i (гц — гь — i, гв = г7 = — I). Согласно правилам 3 и 4, общий интеграл этого уравнения у = Сг4-С2х4-С3х24-(С4 4--j- С5х) cos х 4- (Св 4- С7х) sin х.
1108.	Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий указанным начальным условиям:
1) у" + 4у'4-5у = 0; у(0) = -3, у'(0) = 0.
2) у"'4-Зу" + Зу' + у = 0; у(0) = -1, у'(0) = 2, у"(0) = 3.
Решение. 1) Вначале находим общий интеграл данного уравнения. Его характеристическое уравнение г24-4г4-5 = 0 имеет корни г1>2 =—2 ± I. Поэтому, согласно правилу 2, общий интеграл у = е~2к (Сг cos х-|- С2 sin х).
Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных и С2. Подставляя в общий интеграл заданные значения х = 0, у = —3 (первое начальное условие), получим
—3 = е° (Ct cos0 4-C„ sin 0) или —3 = Ct.
Дифференцируя общий интеграл (как произведение)
у' = е~2Х [(С2 — 2CJ cosx — (Ct 4- 2С2) sin х]
и подставляя в результат заданные значения х = 0, у' = 0 (второе начальное условие), получим второе уравнение с неизвестными и С2:
0 = е° |(С2 —2Cj)cosO—(С\ 4-2С,) sin 0] или С2-—264 = 0.
Решая полученные уравнения, как систему, найдем,	= —3,
С2 = —6.
Подставляя значения Су и С2 в общий интеграл, получим искомый частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий данным начальным условиям: у=—Зе~2х (cos х 4- 2 sin х).
2) Характеристическое уравнение г3 4-Зг2-}-Зг 4-1 = 0 пли (г4-1)3 = 0 данного дифференциального уравнения имеет трехкратный действительный корень г = —l(ri=r2 = r3 = —1). Согласно правилу 3, общий интеграл есть у =е~х (Ст -|- С2х + Сах2).
Дважды дифференцируя его
у' = е~х\С2-С1 + (2С3-Са) х-С3х21;
у" = е~х [С, - 2С2 + 2С3 + (Са-4С3) х4- С3х2]
— 402 —
и подставляя в выражения для у, у' и у" заданные их значения при х = 0, получим для определения постоянных Clt С2, С3 систему из трех уравнений: —1 =С\; 2=С2—Сг; 3=С1—2С2+2С3, откуда найдем Сг ——1; С2 = 1; С3 = 3. Следовательно, искомый частный интеграл у — е~ж(Зх2-{-х—1).
Решить уравнения:
1109. у”—5t/' + 6y = 0.	1110. у'"—4/ + Зу' = 0.
1111. Й + 6 J< + 25^=0.	1112.^4-5^ = 0.
1113. y'" — 3y" + 3y' — y=0.	1114. y,4)—8t/<2)—9z/ = 0.
1115. -Й-4-20-^|-4-25// = 0.	1116*.	3^-4-4x = 0.
dx* dx2	dt3 dt3
1117. у" —y = 0, если z/(0) = 0, z/'(0)=l.
1118. y"-p2y’ 4-2// = 0, если у (0) = 1, г/'(0)=1.
1119*. *-+2a ^-4-а2р = 0, если p(0) = a, p'(0) = 0.
§ 8.	Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных
у<«) + Р1У<"- в + р2у(п-2» 4-... 4- Рп_ 1У' 4- рпУ = q (х),	(1)
отличающиеся от линейного однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции q от независимой переменной х.
Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла уг и общего интеграла и соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при q = Q).
Согласно этому свойству, для решения линейного неоднородного уравнения (1) с постоянными коэффициентами р: вначале находится функция и (по правилам § 7), затем функция У1. Их сумма и дает общий интеграл у неоднородного уравнения: У = «4-У1-
Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл У1 можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного интеграла У1, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем найти его без всяких квадратур в следующих простейших случаях:
1)	q (х) = етхР (х), где Р (х) — многочлен,*
2)	q (х) = еаж (Лх cos bx-j- А2 sin bx),
3)	q(x) есть сумма указанных функций.
* В частности, если т = 0, то q (х)—многочлен, а если Р(х)есть постоянная с (многочлен нулевой степени), то q (х) — показательная функция сетх.
— 403 —
В этих случаях yt есть функция, подобная (х), т. е. отличается от q (х) только числовыми коэффициентами.
Но если число т (для случая 1) или числа а ± Ы (для случая 2) являются корнями характеристического уравнения кратности k, то уг отличается от q (х) множителем хк.
Таким образом, для указанных видов правой части q (х), зная заранее вид функции ух и написав ее выражение с неопределенными буквенными коэффициентами по указанному правилу, затем находим их, подставляя в данное неоднородное уравнение и сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства.
В общем случае, при любой функции q (х) частный интеграл у{ уравнения (1) можно найти посредствомн квадратур (интеграций) по формуле
^qe-wdx'jdx... JdxJdx, (*)
где rlt r2, ...,rn—корни характеристического уравнения.*
Из этой общей формулы вытекают и правила нахождения частного интеграла yt для указанных специальных видов функции <?(х).
При и = 2, т. е. для уравнения второго порядка,
= ег>х У х qe~r‘xdx^ dx.
Для уравнения третьего порядка (и = 3)
уг = er*x ^e(r2-r>’ х е1'»-'’»’ * ( J qe~r*xdx^ rfxj dx.
(2)
(3)
Пользуясь этими формулами, полезно иногда выражать тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера (гл. IX, § 6).
1120. Решить уравнения:
1)	у" + бу' + бу = 25х2—2;	2) у”—Чу' + Юг/ = 37 cos Зх;
3) if—бу' + 9у = 3х—8е*;	4) у"' + 4у' = 8e2x-j-5ex sin х.
Решение. 1) Вначале находим общий интеграл и однородного уравнения if -фбу' 4-5(/ = 0, соответствующего данному неоднородному уравнению. Его характеристическое уравнение г2 + + 6гЦ-5 = 0 имеет корни гх = — 5, г2 ——1. Поэтому (согласно правилу 1, § 7) и =С1е~5х -}-С2е~х.
Далее находим частный интеграл у, данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения q(x) = 25x2—2.
* Если в формуле (») после каждой интеграции прибавлять произвольную постоянную С;, t = l, 2, ..., п, то получится не частный интеграл ylt а общий интеграл у уравнения (1).
— 404 —
согласно указанному правилу (случай 1, числом = 0 и не является корнем характеристического уравнения), у± есть функция, подобная q(x), т. е. многочлен второй степени: уг = Лх2 + Вх-^-С.
Отсюда, дифференцируя, находим у'1 = 2Ах + В, y"t = 2A и подставляя уп у', у'' в данное уравнение, получим равенство
2Л + 6 (2Лх + В) + 5 (Ах2 + Вх + С) = 25х2—2 или
5Лх2 + (12Л + 5В) х + (2 А + 6В + 5С) = 25х2—2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему
5Л = 25, 12Л+5В = 0, 2Л+6В + 5С=—2,
из которой находим Л = 5, В=—12, С= 12.
Следовательно, yj = 5x2—12х+ 12, а искомый общий интеграл данного неоднородного уравнения
у = и	= С±е~Ъх + С2е~х + 5х2— 12х + 12.
2)	Составляем характеристическое уравнение г2—2г4-10 = 0, лределяем его корни rli2=l±3i и (согласно правилу 2, §7) а ходим общий интеграл и однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению
и = ех (Сг cos Зх + С2 sin Зх).
Частный интеграл у2 данного неоднородного уравнения, соответственно его правой части g (х) = 37 cos Зх (случай 2 при а = О, 6 = 3, числа o±fei = ±3i не являются корнями характеристического уравнения), будет функция вида
уг = A cos Зх + В sin Зх. *
Подставляя функцию уг и ее производные
у' = —ЗЛ sin Зх-фЗВ cos3x,
у" = —9 Л cos Зх—9 В sin Зх
в данное неоднородное уравнение, получим равенство
(Л —6В) cos Зх + (В + 6Л) sin Зх = 37cos Зх,
которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов у подобных членов (у cos3x и у sin Зх) в обеих его частях:
А — 6В = 37; В4-6Л = 0.
* В данном уравнении q (х) = 37 cos Зх. Но если бы его правая часть была sin Зх или Лг cos Зх -|- А2 sin Зх, то все равно, согласно правилу, данному для случая 2, частный интеграл уравнения следовало искать в виде функции указанного вида, т. е. A cos3x4-S sin3x.
— 405 —
Решая эту систему, найдем 71 = 1; В =— 6. Следовательно, уъ = cos Зх — 6 sin Зх,
у = tz 4- У1 = ех (С, cos Зх + С., sin Зх) 4- cos Зх — 6 sin Зх.
3)	Написав характеристическое уравнение г2 — 6г 4-9 = 0 или (г —3)2 = 0 и найдя его корни г112 = 3, получим (по правилу 3, § 7) общий интеграл соответствующего однородного уравнения
и = е',х (С1 4- С2х).
Правая часть данного уравнения есть сумма многочлена первой степени Зх и показательной функции —8ех (случаи 3 и 1). Поэтому частный интеграл этого уравнения yt = АхА- В + Сех.
Подставляя ylf y't=A+Cex, у"=Сех в данное уравнение 94х 4- (9В — 6/1) 4- 4Сех = Зх — 8ех
и приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства, имеем систему: 94=3, 9В— 64=0, 4С=—8, из которой находим Л=у, В=~, С =—2.
Следовательно,
У1= |-х + |—2ех,
У — ч 4- У1 — ^зх (С\ + С2х) 4- у х -|--д- —2е .
4)	Характеристическое уравнение г34-4г = 0 имеет корни гг = 0, r2i3 = ±2i, поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть
и = С1 + С2 cos 2х 4- С3 sin 2х.
Частный интеграл у1 данного неоднородного уравнения, согласно указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), есть функция, подобная правой части;
уг = Ле2* + ех (В cos х 4- С sin х).
Для определения коэффициентов 4, В, С находим производные у'=2Ле2*4-е*[(В-| С) cosх4- (С — В) sinx], у" = 4Ае-х + 2е* (С cos х — В sin х), у"' = 8Ае2Х 4- 2е* |(С — В) cos х — (В + С) sin х], подставляем y't и у'" в данное уравнение:
16Ле2* 4-2е* [(В4-ЗС) cosx+ (С—ЗВ) sin х] = 8е2*4-5е* sin х и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему 164=8, 2(В + ЗС)=0, 2(С—ЗВ)=5, из которой находим Д=у , В = -|,с = 4-4 ’	4
— 406 —
Следовательно,
i/t = у е2*4- у ех (Sin х— 3cosx),
у = u4-y1 = C14-C2cos2x + C3 sin 2хф-у e2Jt4-y е* (sin x—3cosx).
1121. Решить уравнения:
D Э-30=9Л
3) 4y'" + y' = 3ex + 2 sin ~ ; 4) * y"'+y" = I —6х2е"*.
Решение. 1) Написав характеристическое уравнение г4—Зг2 = 0, находим его корни Г112 = 0, г3(4 = ±р'гЗ и, по правилам § 7, составляем общий интеграл и соответствующего однородного уравнения: и = С1-рС2х-рСвеУзхА-С^е~Узх.
Правая часть данного неоднородного уравнения есть многочлен второй степени, т. е. функция вида етх Р(х) (случай 1), где число ч = 0 и является двукратным корнем характеристического урав-:ия. Поэтому, согласно правилу, указанному в начале этого раграфа, частный интеграл уг данного уравнения отличается т правой части множителем х2, т. е.
уг = х2(Лх24-Bx-f-C)= Ах* ф- Вх34-Сх2,
Чтобы определить значения коэффициентов А, В, С, находим производные
= 4 Лх3 4- ЗВх2 4- 2Сх, у\ = 12 Лх2 4- 6Вх 4- 2С, у'" = 24Лх4-6В, у‘4’ = 24Л,
подставляем у" и у<4> в данное уравнение
24 Л — 3 (12 Л х2 4-6Вх 4-2С) = 9х2
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему: —36Л = 9, —18В = 0, 24 А—6С = 0, из которой получим Л =—у, В = 0, С =—1. Следовательно,
У1 = — —х2; у = и + у! = С; 4- С2х 4- С3е^х 4- С^~Узх—у — х2.
2) Здесь характеристическое уравнение г3—Зг24-2г = 0 имеет корни /4 = 0, r2= 1, г3 = 2, поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть функция и = С± 4-С.,е14-Сае2*.
Правая часть данного уравнения есть функция вида *Рг (/)4-4-е“’‘Р2(/) (случаи 3 и 1), где т, = 2, Pt(t) = 4, т2 = 3, P2(t) =—3, причем число т1 является однократным корнем характеристического уравнения. Поэтому частный интеграл Xj данного уравнения есть функция вида
х1 = А/е*‘+Ве3\
— 407 —
Далее, найдем произв >дные
x'1 = Aeii(l + 2t) + 3Be3/, x"t = 4Ae2‘ (1 4-Z)4- 9Ве3', х'/ = 4/е2/ (3 + 2!) 4- 27Be3t, подставим их в данное уравнение 2Ае2‘ -j-6Be3t = 4е2/— 3e3i и, сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства, получим систему 2Л = 4, 6В = — 3, из которой найдем А = 2, В=- — ~ .
Следовательно,
%! == 2te2t —~ е31,
х = и + хх = Сх -|- C2el + C~e2t + 2te2t — ~e3t.
3) Характеристическое уравнение 4г34-г = 0 имеет корни П = 0, г2,з = ±уС поэтому
u = Cj 4- С2 cos-^- + С3 sin ~.
Правая часть данного уравнения есть сумма функций вид. етхР(х) и еах (Aх cosbx4- А2 sin bx), где т—\, Р(х) = 3, а = 0, Ь = ^, Л1 = 0, А2 = 2. (Случаи 3, 1, 2.) Число т не является корнем характеристического уравнения, а числа а±Ы— + -^-1 являются его однократными корнями. Поэтому частный интеграл данного уравнения есть функция вида
у,= Аех А-х ^В cos у 4- С sin -*-) .
Для определения коэффициентов А, В, С трижды дифференцируем функцию у1г подставляем у' и у"' в данное уравнение
5Аех—2В cos-С—2С sin y = 3e*4-2 sin-^
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему 571=3, — 2В = 0, — 2С = 2, откуда имеем А = , В = О, С ——1, Следовательно,
3 х . х у1==-^е —х sin -g-,
ij u 4- iJi = Cr 4- G, cos j 4- C3 sin-|- 4-	—x sin j,
4) Характеристическое уравнение r‘4~r2 = 0 имеет корни Г112 = 0, r3 = — 1; общий интеграл соответствующего однородного
— 408 —
уравнения
U = С, -|-CjX-f-CgC *•
Правая часть данного уравнения есть функция вида етхР1(х) + ет^хР2(х), где т1 = 0, Р1(х)=1, т.2 = — 1, Р2(х) == =—6х2. (Случаи 3 и 1.) При этом число тг есть двукратный корень, а число т.> есть однократный корень характеристичес-ского уравнения. Поэтому частный интеграл данного уравнения
У1 = Дх2-Ь х (Вх2 + Сх + £)) е"х.
Подставляя эту функцию в данное уравнение, получим равенство
2Л + [ЗВх2 + (2С— 12В)х + (6В—4С+D)] е~х = 1 — 6х2е~х, откуда имеем систему
2/1 =1, ЗВ = —6, 2С— 12В = 0, 6В-4С+П = 0, из которой найдем
Д=1, в=— 2, С= —12, П= -36.
Следовательно,
уг = у х2—2х (х2 + 6хД- 18)е“х,
у = и + у1 = С1 + С2х + С3е~х + ^ х2 — 2х(х24-6х + 18)<?"х.
1122.	По общей формуле (*) найти частный интеграл уравнения:
1)	У" + 4у' 4-4y = e”2xsec2х; 2) у"4-5у'-}-6у = (е2х-|-1)
3)	у'” — Зу"-рЗу'—у = 5х3ех-Р Зе2Х; 4) у" + 4у = cos3х.
Решение. 1) Сначала составляем характеристическое уравнение г2 + 4гД-4 = 0 и находим его корни г112 = — 2. Затем подставляем эти корни и правую часть q(x) данного уравнения в формулу (2) и, дважды интегрируя, получим искомый частный интеграл:
у1 = е~2Х ( J sec2x dx) dx = e~2X tgxdx =— е~2х ln| cosx|.
2)	Характеристическое уравнение r24-5r + 6 = 0 имеет корни гх =— 3, г2 = —2. Подставляя их и правую часть данного уравнения в формулу (2), получим
yl = e~3x ех Q е2Х (с2х+ 1) ^dx] dx.
— 409 —
Интегралы находим отдельно:
С	-А I е	_А	-1
/1 = j е2х(е2х + 1) 2dx = T I (eSJi4-1) 2d(e2X + 1)=— (e2*4-l) 2;
4 = px Kdx= - j -p==^== = —In (ех+Уе^ + 1).
Следовательно, искомый частный интеграл данного уравнения yY = — е~Зх 1 п (ех + ]^е2Х+ 1).
3)	Характеристическое уравнение г3—3г24-3г—1=0 имеет корни r1 = r2 = r3— 1. Подставляя эти корни и правую часть данного уравнения в формулу (3) и трижды интегрируя, получим
У1 = ех S S + Зе*) dxj dx —
=Ш F?+Иdx}dx -= еХ У	+^х}dx=е* (£+Зе*) •
4)	Характеристическое уравнение г2 4-4 = 0 имеет корпи г11= = ±24. Пользуясь формулой (2), получим
yl==e2lx f е~4‘х (f e2'*cos3 xdx\ dx.
Выражая cos3x через показательные функции (по формуле Эйлера, гл. IX, § 6) и интегрируя, найдем
Г*	Р f I р“ \ з
/х = 1 e2ix cos3 х dx = I e2ix( —----1 dx =
/2 = У e~4lx f dx = ^~ j" ^^g-4-e“'x4-3e~3‘x—e-5'*) dx =
1 / elx	e~‘x	e”s« е_ылг\
8i \ 5i i i	' Ы ) '
y1 = e2ix /2 = ^2 z y£z
Вторично пользуясь формулами Эйлера, выразим результат через тригонометрические функции
1/2	„	\	1 I	1 о \
у, =— -б- -г- созЗх—2 cos х | = -7- cosx—т cos Зх .
-71	8\5	]	4 \	5 J
Решить уравнения:
1123.	у" 4- 4у = 5ех.	1124. у"+у'—2у = 6х2.
1125. if 4-бу' 4- 9у = 10 sin х. 1126.у'"—у"—4у'4*4у=хг-|-3.
1127. g-2x = /e-'.	1128. g-2 g = 4 (х-{-1).
1129. у"4-9у= 15 sin 2%, если у(0)= — 7, у'(0) = 0.
ИЗО. у"—3у' = 3х4-х2, если у(0) = 0, у'(0) = ^.
— 410 —
1|31- £+&=e_t+6/- 1132- ^+4S=4cos4'-1133*. у"—2y' + y = xex.	1134*. у"—5у' + 6у = 6 + 2ех + е2*.
1135*. у" — 4у' + 13у = е2Х cos Зх. 1136*. y<iy + 2у<2, + у = 8 cosx. По общей формуле (*) найти частный интеграл уравнения: 1137. у" — 5у'+ 6у = ех (ех-[- 4).	1138. у" + 2у' + y = xexcosx.
1139. у"-\-Ьу' +9у = е~зХ cos3 х. 1140. у" + 16у = sin3 г.
1141. у"—Зу' + 2у = е2Х (е* + I)-1. 1142. у"' + 4у' = sin2 х cosx.
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов
В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены наиболее употребительные типы дифференциальных уравнений, приводящихся к квадратурам, и указаны способы их решения. В нижеследующих задачах студент должен самостоятельно определить тип данного дифференциального уравнения и затем решить его соответствующим способом.
1143. хуу' + х2—у2 = 0.	1144. l+(xcosy—sin2y)y' = 0.
1145.	х-фуу'ф-Ц 4-у')ху = 0, если у(0) = 0.
1146.	(ycos-^—х) dx = xcos-^- dy. 1147. 2х3уу'+ Зх2у2+ 7 = 0.
1148.	у" + 4 = 8 cos2 х, если у (0) = у’ (0) = 0.
1149.	ху' cos у + sin у = 0. 1150. (1—ху3) dx = х2у2 dy.
1151. if sin х= (1 + у') cosx, если	У' (т) = —
1152*. y2dx—(2ху— 3)dy = 0, если у(1)=1.
1153. (1 — ye-x)dx+e~xdy=0. 1154*.у"—2y'+y=4e*+e-xsinx.
1155.	у" + у' = 2х2ех, если у(0) = 5, у'(0) = 0,5.
1156.	у" sin у — 2 (у')2 cos у = 0, если у(0) = —, у'(0) = 2.
1157.	у'" sin4 х= sin 2х. 1158*. у'" —Зу' — 2у —sin х = 2 cosx.
1159.	у"' — у" — у' + у = Зх + е* (24х— 4).
1160.	y" + y = secx. 1161*. y" + 2«y' + tz2y=/xe-ajc.
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого-либо физического, химического или технического процесса, уравнение (форма) линии или поверхности.
При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.
— 411 —
Дифференциальное уравнение задачи составляется по ее условию и в зависимости от условия задачи оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не отражающиеся на результатах. Так, например, подобно тому как и при отыскании дифференциала неизвестной величины (гл. V, §3), здесь можно небольшой участок кривой считать прямолинейным, небольшой участок поверхности — плоским, в течение малого промежутка времени переменное движение можно рассматривать как равномерное, а всякий физический, химический или технический процесс как протекающий с неизменной скоростью.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используется геометрический, физический или механический смысл производной (гл. II, §1,11, 12, 14, 15).
Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, механики и других наук и различные математические сведения.
1162.	У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?
Решение. Уравнение касательной в любой точке (х, у) искомой кривой будет V — у --= у' (X—х), где X, Y — координаты любой точки на касательной (гл. II, § 11).
Полагая в этом уравнении Y = 0, найдем абсциссу Хоточки пересечения касательной с осью Ох: Х0 = х— .
Согласно условию задачи, Xo-f-x = 0, т. е. 2х—^ = 0.
Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим
2^=^; 2 1п | yl =!п ) х| + 1п С; у2 = Сх.
Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.
1163.	Какую форму должна иметь однородная вертикальная колонна с круглым поперечным сечением, чтобы давление удерживаемого ею груза Р и ее собственного веса, приходящееся на единицу площади горизонтального сечения, было всюду одинаково? (Колонна равного давления.) Удельный вес материала колонны 6, а радиус ее верхнего основания г.
Найти затем радиусы верхнего и нижнего оснований мостового быка, чтобы давление в любом его горизонтальном сечении
— 412 —
было 3000 кГ/дм2, если удельный вес материала быка 2,5, его высота 12 м, а удерживаемый им груз 90000 кГ.
Решение. Пусть сечение колонны вертикальной плоскостью, проходящей через ее ось симметрии, имеет вид, изображенный на черт. 210.
Выбрав прямоугольную систему координат хОу, пересечем колонну горизонтальной плоскостью, проходящей через произвольную точку М (х, у) искомой кривой AAt и определим давление груза Р и собственного веса верхней отсеченной части колонны на единицу площади полученного горизонтального сечения MN.
Объем верхней отсеченной части колонны как объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции О AM В, прилежащей к оси Ох, вокруг оси Ох (гл. V, § 5),
tr
Черт. 210
площади лю-
v = п у2 dx, а ее вес Q — бц.
О
Взяв отношение P-f-Q к площади S — ny2 сечения MN, получим давление на единицу площади этого сечения, которое по условию задачи должно быть равно давлению на един! бого другого горизонтального сечения.
Давление на единицу площади верхнего основания колонны равно -Р-2, г = ОА, что следует из условия задачи. Поэтому
P + Q
5
или Рр Q = ^ > яг2	1 пг*
Р + лб ^y2dx = -^y2. о
Дифференцируя обе части этого равенства, получим дифференциальное уравнение кривой ААг
лбу2 dx = ~ у dy.
Решая его как уравнение с разделяющимися переменными, найдем
, 2Р dy	, 2Р .
dx =	;	x + c = -v?2 lot/.
лбл2 у ’	лбг2 v
,.	n	2Р In г
Из условия у = г при х — 0 находим, что постоянная с = ^,.2 .
Следовательно, уравнение кривой AAt есть
— 413 —
а искомая форма колонны равного давления есть поверхность, образованная вращением этой кривой вокруг оси Ох:
-Р Ку2 + г2 лб/2 г
При такой форме колонны давление во всех ее точках будет одинаково.
Для указанного в условии мостового быка радиус верхнего основания определяется из равенства
-°°°°=3000; г ж 3,09 дхц
а радиус нижнего основания путем подстановки известных величин в равенство (1)
,оп 2-90000	,	'1 . о ои
20 ~ л-2,5-3,092 п 3,09’ ri ~ 3,24 jn.
Аналогично определяется и форма длинных стержней или канатов, которые под действием собственного веса и некоторого груза имеют во всех поперечных сечениях одинаковое натяжение.
1164.	Найти зависимость скорости падения тела в воздух от времени, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости v и площади 5 наибольшего сечения тела перпендикулярного к направлению движения, F = kSv2.
Найти затем: 1) поведение скорости падения тела при возрастании времени и 2) радиус парашюта, чтобы при общем весе парашюта и летчика в 100 кГ наибольшая скорость падения не превосходила 5 м/сек, полагая k = 0,083.
Решение. Согласно условию задачи и второму закону Ньютона в механике, дифференциальное уравнение движенп центра тяжести падающего тела будет
m-^mg—kSv2 или Tt=g — av2, а = -, где т — масса тела, о —скорость падения тела в момент времени t, g— ускорение силы тяжести.
Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим =	^-4=1пУ+Р^+с.	(2)
g—at’2	2 J^ag V g —v ya
Из начального условия о = 0 при /~0 определяем значение постоянной с = 0, подставляем его в равенство (2) и, разрешая это равенство относительно v, найдем искомую зависимость
* Если линия f (х, у) —0, лежащая в плоскости хОу, вращается вокруг оси Ох, то уравнение полученной поверхности вращения будет L(x. ± Ki/2 + z2) = 0.
— 414 —
Зх
жащего ^б//(кг) соли, а выльется 3dt (л) рассола, содержащего dt (кг) соли, т. е. за время dt количество соли во втором резервуаре изменится на величину
dy = 0,03xdt — 0,03ydt, или dy = 0,03(x — y)dt.
Заменяя x в этом уравнении по формуле (4), получим лилейное уравнение 1-го порядка
dy = 0,03 (10е-0’03' — у) dt, у' + 0,03с/ = О.Зе-003*, общий интеграл которого
£у = е-о-оз,(с1 + 0,3/).
(Его легко найти способом, указанным в § 4.)
Значение постоянной с, =0 определяем из начального условия: у = 0 при / = 0.
Следовательно, зависимость количества соли у во втором сосуде от времени t будет
у = 0,3/е-°’03'.
Искомый момент времени, в который количество соли в обоих сосудах будет одинаково, найдем, полагая х -—у:
Юе-0’03* = 0,3/е“0,<’8‘; 10 = 0,3/; t = 33-сек. О
В этот момент в каждом сосуде будет по у а; 3,68 кг соли.
1167. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/час. Во сколько времени и на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса.
Решение. Согласно второму закону Ньютона в механике, дифференциальное уравнение движения локомотива будет
d2s л о mdi^ =	3,2mg,
где $— путь, пройденный за время /, т — масса локомотива, g — ускорение силы тяжести.
Умножая обе части этого уравнения на А и затем интегрируя дважды, получим
^ = — 0,2g/ + с,, s = — 0,1g/2 + с,/ + с2.
Значения постоянных су и с2 определяем по начальным условиям: при / = 0, s = 0,	= 72 сем/час = 20 ж/сек.
Из первого условия имеем с2 = 0. Из второго условия следует, что с, = 20.
14 № J201
— 417 —
Следовательно, уравнения движения локомотива будут:
/7с
— = v = 20 — 0,2g/ (м/сек),	(5)
s = 20/ — 0,1 gt2 (м).	(6)
Полагая v = Q в уравнении (5), найдем время торможения, в течение которого локомотив будет остановлен тормозом:
,	20	100 ,Л о
Z~0,2ff ~9,8 ~ *0,2 сек.
Полагая t 10,2 в уравнении (6), найдем тормозной путь: s» 20-10,2 — 0,1-9,8-10,22» 102 м.
1168. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/сек. Найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально квадрату ее скорости.
Решение. Пусть т — масса пули, s —путь, пройденный ею за время t, отсчитываемое от момента входа ее в доску. Тогда дифференциальное уравнение движения пули через доску будет
2 d2S	/ ds \ 2 k
dt‘ \dt) ’ т
Полагая в этом уравнении 2-го порядка	получим
уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
dti	„ dv	,,
— — av2, —— a at, dt	а2
интегрируя которое, найдем
1 , , 1
— = аг \- с. или v = —r~.— . v	1	at+ct
По начальному условию о = 200 при /=0, данному в задаче, .определим постоянную ct:
2,111 - Л
dzs md^=--~k
(7)
Следовательно, зависимость скорости движения пули через доску от времени будет
200
У 1 + 200а/ ’
Полагая в последнем уравнении v = ^, разделяя переменные и интегрируя, получим
ds =	. s = — 1 п (1 -р 200а/) ф- с.,.
1 4- 200а/	а '	1	' 1 2
— 418 —
Из условия s = 0 при / = 0 следует, что с2 = 0.
Следовательно, зависимость расстояния, проходимого пулей в доске, от времени будет
$ = —- In (1 4-200а/).	(8)
Полагая у = 50 в равенстве (7) и s = 0,l (л<) в равенстве (8}, получим систему уравнений с неизвестными / и а:
50=1гИг 0,l=lln(l+200oO.
Определив из первого уравнения 1 4~ 200а/ = 4 и подставляя во второе, найдем значение а:
0,1 ==—1п4; а=10 1п4. а
Наконец, подставляем значение а в первое уравнение решаемой системы и определяем из него искомое время полета пули через доску:
сп 200	, з ,, ЛП1
50 — 1 +(200-10 In 4)/ ’ 1 “ 2000 In 4 ~ 0,00 СвК‘
1169. Цепь, висящая на гладком крюке, соскальзывает вниз. В начале движения по одну сторону крюка свисает 10 м цепи, а по другую 8 м. Не учитывая сопротивлений, найти: 1) во сколько времени с крюка соскользнет вся цепь и 2) каковгт будет скорость цепи в начальный момент ее свободного падения.
Решение. Если в момент времени t длина движущейся вниз части цепи равна s (м), то в этот момент сила F, движущая .цепь, равна разности между весами частей цепи, свисающими по разные стороны крюка, F~8gs — 6g(18 — s) = 26g(s — 9), где 6 — масса 1 м цепи, g—ускорение силы тяжести.
Согласно второму закону механики, дифференциальное уравнение движения цепи будет
18fig=265(S-9) или 9§ = g(s-9).
Решим его как неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной t (§ 6)*.
ds	dzs dv ds	dv
Полагая -г,-= о, имеем Ti = 77T-V7-, dt	dt2 dt ds	ds
9v^ — g(s— 9); 9vdv=g(s— 9)ds;
| у2==А (s_9)2 + ^; 9o2 = g(s-9)* + ct.
* Иначе его можно решать как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8).
14*
— 419 —
Значение постоянной ct определяем из начального условия, данного в задаче: при s = 10, о = 0:
0 = g(10 —9)2 + q; Ci = — g;
9v2 = g(s — 9)2—g.	(9)
ds
Заменяя в уравнении (9)o = ^j, разделяя переменные и интегрируя, получим:
g-4r<S-9P-1;
7=^=1-ТЛ- 1п[5-9+Г(^9)‘-1Н»;“/+^
Значение постоянной с2 определяем из начального условия: при t = 0, s= 10.
In I = c«; c2 = 0;
/= ® ln[s-9 + K(s-9)2-l|.	(10)
V g
Время, за которое с крюка соскользнет вся цепь, найдем из уравнения (10), полагая в нем s= 18:
/ = -jL In (9 -|- /80)	2,9 сек.
Vg
Скорость цепи в начальный момент ее свободного падения найдем из уравнения (9), полагая в нем s= 18:
|Л8бд _	,
v = --3-^ « 9,3 м/сек.
1170. Шарик скатывается по гладкому желобу, изогнутому Не учитывая трения и сопротивлении воздуха, найти: 1) зависимость пути, проходимого центром тяжести шарика, от времени; 2) за какое время шарик скатывается от начала желоба до его низшей точки: а) по желобу и б) по прямой линии.
Решение. Если тело массы tn движется как угодно в плоскости или в пространстве, то равнодействующая F приложенных к нему сил и уско
рение w его центра тяжести связаны соотношением mw=F. (Второй закон Ньютона в механике.)
Из этого соотношения между векторами можно получить соотношения, содержащие скалярные величины, проектируя векторы F и w на какое-либо направление. Так, если проекция
по циклоиде (черт. 212).
Черг. 212
— 420 —
w на какую-либо ось есть wk, а проекция F на ту же оеь'есть Fk, то mwk = Fk.
Согласно этому закону механики, проектируя ускорение центра тяжести шарика и действующую на него силу на направление касательной к траектории (циклоиде), получим дифференциальное уравнение движения центра тяжести шарика:
d2s
= m£sin а'	(u)
где s = AM — путь, пройденный центром тяжести шарика за время t, т — масса шарика, g—ускорение силы тяжести.
1) Чтобы в этом уравнении было только две переменных, выразим sin а через $, исходя из параметрических уравнений циклоиды х — а((р — sin <p), у = а(\4-costp) относительно указанной на чертеже прямоугольной системы координат.
Найдем производную
, dy____ — a sin ф dtp
^ dx а (1 —cos <p) dtp
„ . to ф
2 Sin -£ cos тг
----------—ctg^
2sirfi^-	2
затем дифференциал дуги циклоиды
ds = Kl + (f/')adx = J/4 l-f-cig2y-2nsin2^-dtp = 2osin^-d<p
и длину ее дуги AM
ф
s = \ 2а sin dtp = 4с cos = 4а ( 1—cos^-).	(»)
О	*“ I Ф	X.	/
О
Отсюда cos^-=l— а из чертежа у' =tg(л — а) = — tga. Поэтому
ctg’
л	tg а	У	® 2	ф
sin а = tg а cos а == -~^=== = — .т==-~ = —/	= cos 2 ’
V 1 + tg2 а V 1 + (У )2 р/ ] +ct«2^
1 s
т. е. sin а— 1 —.
4а
Следовательно, уравнение (11) преобразуется к виду
Й = ^(1—или 4a^ + gs = 4ag.	(12)
Решаем его как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8)*.
* Иначе его можно решать как неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной t (§ 6).
— 421 —
Характеристическое уравнение 4ar24-g = 0 имеет мнимые корни rli2 = ±i	Поэтому общий интеграл соответ-
ствующего однородного уравнения и = cL cos kt -)-с2 sin kt.
Частный интеграл st неоднородного уравнения (12) подобен его правой части: st = А. Подставляя st в уравнение (12), получим gA-4ag, А —4а, т. е. sl — 4a.
Общий интеграл уравнения (12) есть
s u -| sl = 4а + cr cossin/?/.	(13)
Значения постоянных с1 и с2 определим из начальных условий при t—0. s = 0, ^j = 0. r	at
Из первого условия имеем: 0 = 4д,4-с1; сх =—4а.
Найдя =—<\k sin kt -f- c\k cos kt из равенства (13) и используя второе условие, получим: 0 = c2fe; с2=0.
Следовательно, искомая зависимость пути, проходимого центром тяжести шарика, от времени будет
s = 4afl—cos/’j/^V	(14)
2) В низшей точке В желоба а=--0. Поэтому из уравнения (11) следует, что ^|в =0. а из уравнения (12) следует, что ДВ=4а. (Длину дуги АВ циклоиды можно найти и по формуле (*) при <рв = л.)
Подставляя s = АВ = 4а в уравнение (14), найдем время скатывания шарика от точки А до точки В по циклоидальному желобу:
4а = 4а(1—cos/]/£); cos/ = t 1/J=4; /^ = ЯЛ.
Г 4а 2 ав Г g
При скатывании шарика по прямой АВ дифференциальное уравнение движения его центра тяжести будет
т = mg sin / ABO или gj4 = b, atA ь	ь д/2
где
b = g s i n Z А В О = g ™ = -	=	___= -	.
6	5 AB VOA^A-OB2 F4o2 + n2a2 /4 4-я2
Решаем это простейшее уравнение 2-го порядка последовательным интегрированием обеих его частей (§ 6):
J = 6/ + Cp s=^4-C1/4-Ca.
— 422 —
При тех же начальных условиях: s = 0 и ^ = 0 при 1 = 0, найдем С’1 = С2 = 0. Поэтому уравнение движения центра тяжести шарика по прямой АВ будет
s_ at2
Е 4 -р -t 2
Подставляя в это уравнение вместо s длину прямолинейного отрезка Л£ = а]/~4 4-л2, найдем время скатывания шарика из точки А в точку В по прямой линии:
/г’41"’’'
Простое сравнение полученных результатов обнаруживает замечательный факт:	АВ, a	т. е. хотя кратчай-
шее расстояние между двумя точками есть длина соединяющего их прямолинейного отрезка, время скатывания шарика по циклоиде значительно меньше, чем по прямой линии.
Объясняется это тем, что при скатывании шарика по дуге АВ циклоиды модуль его скорости возрастает быстрее, чем при скатывании по прямой АВ, хотя в точке В обе эти скорости по модулю будут одинаковы.
Циклоида обладает еще одним замечательным свойством: время скатывания шарика до низшей точки циклоиды не зависит от его начального положения на циклоиде. Если несколько шариков, положенных в разные точки циклоидального желоба, одновременно начнут скатываться, то все они одновременно достигнут его низшей точки.
В справедливости этого можно убедиться, если для выражения sin а через s в уравнении (11) вместо точки А за начальную точку движения шарика взять произвольную точку Аг циклоиды (Ф = <Р1). Это свойство, также кажущееся парадоксальным, ибо шарик А должен преодолеть тот же путь, что н шарик М, и еще путь AM, объясняется тем, что первый шарик пройдет путь МВ быстрее, чем второй, и это обстоятельство полностью компенсирует излишек пути AM первого шарика.
1171.	Найти кривую, у которой все нормали проходят через точку (2; —3).
1172.	Найти кривую, проходящую через точку (3; 4), у которой отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
1173.	Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству и что половина его первоначального количества распадается в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного количества а радия распадается в течение 100 лет.
— 423 —
1174.	В воде с температурой 20° в течение 10 мин тело охлаждается от 100° до 60°. Во сколько времени тело охладится до 30°, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?
1175.	В резервуаре находится 60 л рассола, содержащего 5 кг растворенной солн. В каждую минуту в него вливается 3 л воды и вытекает 2 л рассола, причем концентрация солн поддерживается равномерной. Сколько соли останется в резервуаре через 40 мин?
1176*. Найти форму поверхности, все точки которой одинаково освещены одним источником света. (Освещение.пропорционально косинусу угла падения и обратно пропорционально квадрату расстояния. Использовать полярную систему коорди
нат и формулу = 1'Де 6—угол между полярным радиу
сом и касательной.)
1177*. Найти кривые, у которых касательная и нормаль любой точки равноудалены от начала координат.
1178.	Моторная лодка движется со скоростью 18 км]час. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км]час. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за
15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости
движения лодки.
1179*. Материальная точка массы т брошена вертикально вверх с начальной скоростью о0. Считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости движения, найти:
1)	время Ч подъема точки до наибольшей высоты;
2)	наибольшую высоту /г подъема точки;
3)	скорость точки в момент ее падения на землю;
4)	время t.2 обратного падения точки до земли.
1180. Цепь длиной 6 м соскальзывает вниз с гладкой горизонтальной площадки. Не учитывая сопротивлений, найти, во сколько времени соскользнет вся цепь, если в начальный момент свисал 1 м цепи.
1181*. Решить задачу 1169, учитывая силу трения, равную весу 1 м цепи.
1182. Аэросани скользят по горизонтальному снежному полю со скоростью о0, преодолевая трение лыж о снег, пропорциональное весу саней, и сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости движения. Найти расстояние, пройденное санями после выключения мотора, по инерции.
1183*. Вагон, стоящий па прямолинейном горизонтальном участке пути, приходит в движение вследствие давления ветра, пропорционального квадрату скорости ветра относительно вагона.
Найти уравнения движения вагона, считая скорость ветра постоянной и учитывая силу трения, пропорциональную весу вагона.
- 424 —
Каково будет поведение скорости движения вагона с увеличением времени?
1184. Маятник, состоящий из небольшого тела массы т, привешенного на нити длиной I, отклонен от положения равновесия на небольшой угол 0О. Найти уравнение колебаний маятника и период колебания (не учитывая сопротивлений и полагая sin 0 » 6).
1185*. Решить задачу 1184, учитывая сопротивление воздуха, пропорциональное скорости движения.
§ II. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций (к квадратурам). Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.
Для уравнения 1-го порядка y' = f(x, у) можно составить таблицу приближенных значений частного интеграла, удовлетворяющего начальному условию у (х0) = у0, или приближенно вычертить интегральную кривую на некотором отрезке [х0, х„|, пользуясь методом Эйлера.
По методу Эйлера данный отрезок [х0, х„] разбивается точками xt, х2....хп_! на п частичных отрезков.
На первом частичном отрезке [х0, хД искомая интегральная кривая, проходящая через известную точку /И0(х0, у0), заменяется касательной к ней в точке Л1о:
У — Уо~(х~~*о)1/'(*о. Уо)>
откуда при х = хх получается приближенное значение yL искомого интеграла уравнения в точке хх:
У1 = Уи 4~ (•’“i хо) У (хо> Уо) ~Уо~^~^оУо-
Далее, тем же способом для отрезка [xlf х2] находим приближенное значение у2 искомого интеграла в точке х2:
У^ = У1 + (*2—*i) У' (-4. Уд =У1 + Кус
Продолжая этот процесс, последовательно находим приближенные значения уа, у1: ..., уп искомого интеграла в точках х3, х4, ..., хп.
С увеличением п, при достаточно малой длине частичных отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности решения.
Обычно заданный отрезок [х0, хД делится на частичные отрезки одинаковой длины h =.....и все пэследовательные приближенные значения у,, у2......уп интеграла уравнения у' —
= [{х, У)> удовлетворяющего начальному условию У(хд^Уо>
— 425 -
вычисляются по рекуррентной формуле
yk^Vk-i^ >1У[- J. >< 2. 3< • • •• п-	<*)
1186.	Пользуясь методом Эйлера, составить таблицу приближенных значений частного интеграла уравнения у'— у2—х2, удовлетворяющего начальному условию у (1) = 1, на отрезке [1; 2], разбив его на 10 равных частей.
Решение. Определив длину каждого частичного отрезка х __________________х 2__1
(шаг таблицы) /г = --л/г2==-^- = 0,1, находим точки 1,1; х2=1,2; ..., разбивающие данный отрезок [1; 2] на 10 равных частей.
Затем по заданным значениям xfl = 1, у0= 1 из данного уравнения у' = у2—х2 находим у' =0 и по формуле (*) вычисляем У1=~Уп + ^у'0=- 1.
Зная Xj и щ из данного уравнения находим у'=—0,210 и по формуле (*) вычисляем y.2 = yj+ ftyj =0,9790.
Далее, исходя из значений х2, у.2, вычисляем у3==у2Ч 6y'Q, затем, зная х3, у3, вычисляем у4 = у3 + Лу^ и т. д.
Результаты вычислений записываем в следующую таблицу:
k	xk	yt	y'k	htA
0	1	1	0	0
1	1,1	1	-0,210	—0,0210
2	1,2	0,9790	—0,4816	—0,0482
3	1,3	0,9308	—0,8236	—0,0824
4	1,4	0,8484	— 1,2402	—0,1240
5	1,5	0,7244	— 1 ,7252	—0,1725
6	1,6	0,5519	—2,2554	—0,2255
7	1,7	0,3264	—2,7834	—0,2783
8	1,6	0,0481	—3,2377	—0,3238
9	1,9	—0,2757	—3,5340	—0,3534
10	2,0	—3,8097		
Здесь столбцы хк и yk представляют искомую таблицу приближенных значений интеграла данного уравнения; остальные столбцы — вспомогательные.
В задачах 1187— 1190 по методу Эйлера на указанном отрезке, разделяя его на 10 равных частей, составить таблицу приближенных значений интеграла данного уравнения, удовлетворяющего указанному начальному условию. Вес вычисления вести с точностью до 0,001.
1187.	у'=л=]-у; у(— 1) = 0; [-1; 0].
1188.	у' = 2х—у2; у(0) = 0; [0; 1].
1189.	у'=у3—х; у(0) = 1; [0; 2].
1190*. у' —0,1у2 = ху; //(]) —0; [1, 2].
- 426 —
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов
Интеграл дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях или посредством конечного числа квадратур (интегралов).
В большинстве случаев каждое дифференциальное уравнение определяет собой особую функцию, которую можно, вообще говоря, представить лишь в виде бесконечного функционального ряда.
Интегралы многих дифференциальных уравнений, общие или частные, могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной.
В таком случае ряд, являющийся интегралом уравнения, можно найти или методом неопределенных коэффициентов или методом, основанным на применении ряда Маклорена (Тейлора).
Эти методы нахождения ряда, являющегося интегралом данного уравнения, разъясняются в решениях следующих задач.
1191.	Найти общий интеграл уравнения = в виде степенного ряда.
Решение. Пусть искомый интеграл есть степенной ряд
y = alt + atx + a2x2+ ... + апхп + ...,
(1)
где а0, а(, ..., ап, ... неизвестные, подлежащие определению постоянные.
Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором интервале значений х, найдем ряд для его почленным диф-ференцирова пием
£^aL + 2a2x + 3asx2+ ... + панхп~1 + ...
и ряд для у2—почленным умножением ряда (1) самого на себя: у2 = а2 -|- 2a6atx 4- 2а0а.2х2 4- 2аоа3хя 4-... + а2х2 4- 2ага2х3 4- - • -Подставляя эти ряды вместо и у2 в заданное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны только при этом условии, получим следующую систему:
а1 = а0
2а 2 — 2аоа1
За3 = 2а0а2 ф а2 4а4 — 2а0а3 -ф 2ata2
Решая эту систему, найдем: а,=а2; а2~а3; а3 — а^; ...!
— 427 —
Следовательно, искомое разложение в степенной ряд общего интеграла данного уравнения есть
У = «о(1 +о0х-|-п^2 + о^3+ • •  +<фс"+ • • •)
где а0 является произвольной постоянной.
Полученный ряд представляет бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q — a^x и при |<?|< 1 имеет сумму
Решение этой задачи показывает достоверность метода интегрирования уравнений с помощью рядов, так как непосредственное интегрирование данного уравнения, как уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, дает тот же результат.
1192. Найти в виде степенного ряда частный интеграл уравнения у" 4-—у = О, удовлетворяющий начальным условиям: у(0)==1, у'(0) = 0.
Решение. Полагая, что искомый интеграл представляет сходящийся степенной ряд (I), найдем ряды для у' и if' его почленным дифференцированием
у' = Oj + 2п2х+ Зо;,х2 4- ... ф- папхп~1
у" = 2п., + 3• 2пЗх 4 • 3(?4х2 4- ... -j- п (п — 1) апхп~2 4- ...
Используя начальные условия, найдем значения двух первых коэффициентов: у (0) = а0 = 1; у'(0) = (71 = 0.
Подставляя ряды для у, у' и у" в заданное уравнение и сделав приведение подобных членов, получим
(1 4- 22о2) 4- 32(73л- 4- (а.2 + 42п4) х2 4- (а3 4- 52ofi) х3 4- ... ••+[«„ + (п + 2)Ч+21 +-..== 0.
‘ Приравнивая нулю все коэффициенты ряда, находящегося в левой части этого равенства, так как только при этом условии ряд будет тождественно равен нулю, получим систему 1 4 22(?2 = 0;
З2а3 = 0; (?2 4- 42а4 = 0; а3 4~ 52(7Г1 = 0: ...; ап 4- (п 4- 2)2а(1 + 2 = 0; ..., из которой определяются следующие значения всех остальных коэффициентов: (?8 = с/5 = о7 = ... = с72,в+ ,==...= 0;
_____£. _ 1 . ________________1__.
^2 —	22 ’	22 |г ’	2242б2 ’ ' ' ' ’
_ (_|)<«
2"'	224й... (2m)2	4m(rn!)2’
Таким образом, искомый частный вия есть степенной ряд
интеграл данного уравпе-
X2 ,	Xе ,	( —1)“х2"’ (
~ 4ТПУа ' 42(21)2^‘PW2 ' ‘ ’  ’’’ 4'" (ml)2”
— 428 —
который сходится при любом значении х (согласно признаку Даламбера, так как здесь абсолютная величина отношения последующего члена ряда к предыдущему:
4“+l[(m + l)!]2: 4m (ml)2 = 4 (m-|-l)2
при любом x и при неограниченном возрастании т стремится к нулю).
1193.	Найти четыре первых члена разложения в степенной ряд частного интеграла уравнения у' -|- ху2 = 2 cos х, удовлетворяющего начальному условию: у(0)=1.
Решение. Как и в предыдущих задачах, ищем интеграле виде степенного ряда (1).
Согласно начальному условию у(0) = ао=1.
Далее, найдя ряды для уг и у' н подставляя их и ряд для COS X
. X- , X* Xs .
COS X - 1 — 2f + 4! 6f + • • •
в заданное уравнение, получим
at 4-(1 + 2о.г) х + (2а, + За3) х2 + .. . = 2—х2 + ...
Отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых сте-
пенях х из обеих частей равенства найдем aL — 2; аг=—;
Следовательно, искомый частный интеграл есть
«/ = 1 + 2х—^х2—-|х3Ч- . . .
1194.	Найти разложение в степенной ряд частного интеграла уравнения у" ху =0, удовлетворяющего начальным условиям: у(0) = 1, у'(0) = 0.
Решение. Пусть искомая функции у (х) разложена в ряд Маклорена
у(х) = у(0) + <^х + «фх2 + ..	(2)
где величины у(0), у' (0), £/"(0), ... являются значениями функции у(х) и ее производных при х = 0.
Два первых коэффициента у(0) и у' (0) даны в условии задачи, третий получим при подстановке известных величин в данное уравнение, у" (0)=0, а следующие коэффициенты найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения: у"' = — (У+ху'у, у(» =~(2у' + ху"); у*5'=—(3y"-f-xy"');...; у(и,= —[(и—2)у,п 3,4-ху(“-2']; ... Отсюда при х-0 получим: у'" (0) = — 1; у'4’ (0) = у(5‘ (0) = 0; у<8' (0) = 1-4; у’7' (0) = у'8' (0) = 0; у(»>(0)= —1-4-7; ...
— 429 —
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд Маклорена (2), получим искомый частный интеграл в виде ряда
1	1 ч । • ’4 <; 1-4-7 ,,	, ,т 1 -4-7...(3m—2)
У = 1 - 3! Х + Ы- Х---9Г Л '~ •••+<- 1) -----(3mjl-- Л3"1 + - - -.
который сходится при любом значении х.
1195.	Найти первые пять членов разложения в степенной ряд частного интеграла уравнения у"—уех=0, удовлетворяющего начальным условиям: у(0)==2, у'(0)=1.
Решение. Применяя тот же способ, что и в решении предыдущей задачи, получим:
=	У"(О) = 2,
/З’ = (у+у')ех,	у,3’(0) = 3,
l/<4, = (y-|-2y' + i/")ex,	t/,4) (0) = 6,
уЗ у4
у = 2 -J- х х2 + у	.
Этот второй способ определения коэффициентов степенного ряда, удовлетворяющего заданному дифференциальному уравнению, который основан на использовании ряда Маклорена*, в некоторых случаях требует меньшей вычислительной работы, чем метод неопределенных коэффициентов. Он применим для отыскания общего или частного интегралов уравнения, если оно разрешимо относительно производной высшего порядка и если путем его последовательного дифференцирования возможно получить производную любого порядка.
Интегрирование уравнений при помощи рядов имеет большое значение, однако следует иметь в виду, что не для всякого уравнения можно получить интеграл в виде пригодного степенного ряда.
Например, уравнение х2у'—у(х-)-1)==—х2(линейное) имеет общий интеграл
Однако предполагая, что существует интеграл в виде степенного ряда (1) и определив его коэффициенты, получим ряд
у = х2 (1 ф-1 !х 4- 2!х2 4- 3!х3 4-... 4- «!•«" +•••).
который практически непригоден, так как он расходится при всяком значении х, отличном от нуля.
1196.	Найти первые три члена разложения в степенной ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего ука
* Или ряда Тейлора в более общем случае, когда ищется разложение интеграла по степеням двучлена х—а.
— 430 —
занному начальному условию:
1) у'— у2 = х(х-у 1), у(0)=1; 2) у+у2=ех, у(0) = 0.
1197.	Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям:
1) у"—ycosx = x, у(0)=1, у'(0)=0;
2) у"—у' sin х + у= 1, у(О) = у'(О) = 1.
1198. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям:
1) у"—х2у — 0, у (0) — у' (0) =- 1;
2) y" + ycosx = 0, у(0) = 3, у'(0) = 0.
1199*. Найти разложение в степенной ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям:
1) tf—xy^Q, у(0) = 0, у'(0)=1;
2) хуп + 2у' + ху = 0, у(б) = 1, у'(0) = 0.
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений
Совокупность п линейных дифференциальных уравнений первого порядка с п неизвестными функциями yt, у2, .... уп от одной независимой переменной х:
У1 + РпУх + Р12У2 + •   + Pinyn =
Ун 4" Р21У1 4“ РгчУг 4~ •  • 4- РгпУп = Уч
Уп 4- PnlPl 4- РтУ2 + - • - + РппУп — Уп’
где коэффициенты plf! и правые части у,— данные функции от х или постоянные, называется нормальной системой линейных дифференциальных уравнений.
Общим решением (или интегралом) такой системы называется совокупность п функций от независимой переменной х и п произвольных постоянных С,, С2.....Сп
У1=У\(Х’	Со, .... Сп)
У2 = Уч(Х’ ^1’ ^2..
Уп=Уп(Х’	^2’ •••• С„),
которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.
Интегрирование системы (*), путем исключения п—I неизвестных функций (и их производных), как правило, можно
— 431 —
свести к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения n-го порядка относительно одной из неизвестных функций yk-.
y(kn* * + P^k ‘ П + РъУьп~2> + • • • + РпУк - Q•
Остальные n— 1 неизвестные функции выражаются через общий интеграл этого уравнения посредством одних алгебраических действий и дифференцирования*.
Например, чтобы найти общее решение системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка
| y’ + aly-\-bv2 = ql (х)
I z' +a2y-Lfe2z = 92(x),
где у и z — искомые функции от независимой переменной х; а,, bx, а2, Ь2— известные постоянные; qlt q2— известные функции от х, дифференцируем по х первое уравнение
у" + а^у' + 1\г' = q\	(2)
п, исключая г и г' из трех уравнений (1) и (2), получим одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
if ^-ау' ^-by = q(x}, a = at + b2, b = axb2 — a2blt q = q'1 + b2q1 — b1q2
и с одной неизвестной функцией у. Интегрируя это уравнение (см. § 8), найдем y=F1(x, Ct, (?2). Подставив найденное выражение функции у и ее производной у' в первое уравнение системы (1), найдем вторую искомую функцию z = F2(x,	С2).
Совокупность функций у и 2 и будет общим решением системы (1).
Чтобы найти частное решение системы (*), удовлетворяющее заданным начальным условиям уг (х0) = (У1)о, у2 (х0) = (у2)0, Уп (хо) = (Уп)о (задача Коши), следует из уравнений (**) определить соответствующие этим начальным условиям значения постоянных Ci, С2, ..., Сп.
Системы, содержащие уравнения высших порядков, также можно решать путем сведения их к одному уравнению. Существуют и другие способы решения систем.
1200. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
° f ^ + 24,-42 = 0	2)	6«'-и-7о + 5и1==10е*
< х	2о'-|-н4-о — ьу = О
I dz
+ У ~ = Зх2;	з^' _ и 2о — w=ех.
______у
* В исключительных случаях может получиться уравнение более низ-
кого порядка, причем отыскание некоторых из остальных искомых функций требует нескольких дополнительных операций интегрирования.
— 432 —
Решение. 1) Дифференцируем по х первое уравнение: у" + 2у'-4г' = 0, затем исключаем z и г' из полученного уравнения и двух данных уравнений. В результате получаем одно дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у: у" — у' — 2у=- 12х2.
Решая его как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8), найдем
у = Схе~х + С.^х — 6х2 + 6х — 9.
Вторую неизвестную функцию z находим из первого уравнения данной системы, подставляя в него найденное выражение функции у и ее производной у'= — C1e~*-|-2C2e2JC—12хЦ-6:
г==т	+С^Х ~ 3x2 “ 3-
Совокупность двух найденных функций есть искомое общее решение данной системы.
2) Дифференцируем по х первое уравнение: бы" —ы'—7ц'-|-5ш'= 10 е*
и заменяем в результате производные и' и ш' их выражениями из второго и третьего уравнений:
36и" —6ы'4-31ы4- а— 11ш=50е\	(а.)
Полученное уравнение опять дифференцируем ио х: 36м'" — 6ы" + 31ы' + о<- 11м/ = 50е*
и опять заменяем в результате производные v' и w' указанными их выражениями:
216м'" — 36ы" + 186и'-25ыЧ-41а- 19м> = 322е*.	(0)
Далее из первого уравнения данной системы и уравнения (а) определяем v и w через х, и, и', и"-.
а = -|- «"+ — и' 4-2zz — 5ех,	и' + Зи — 5ех (у)
и, внося их в уравнение (0), получим дифференциальное уравнение третьего порядка с одной неизвестной функцией и и”1 ±и' = 2ех.
Интегрируя это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8), находим
и =	+ С, cos х + С3 sin х | ех.
— 433
Подставляя найденное выражение функции и и ее производных и' и и" в равенства (у), находим две другие искомые функции:
0=267,4- у (Са—C2)cosx—у (С8 + С2) sin х,
w = 3Ct—у (С2 4-C3)cosx4- у (С, —С3) sin х-\-е*.
В решении последней задачи показан общий способ приведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению. Но во многих случаях это можно сделать проще.
1201. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений
~ 4" 2x4-о = sin Z;	—4х—2y = cos6,
n/-	at
удовлетворяющее начальным условиям: х(л) = 1, у (л) = 2.
Решение. Сначала находим общее решение данной системы. Дифференцируем по t первое уравнение: х" ф 2х' 4-// = cos I и, заменяя в результате производную у' ее выражение через t и х', определяемым из данной системы, получим уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией х:
х" 4- 2 sin t — 0.
Решая его как простейшее уравнение высшего порядка путем двукратного интегрирования обеих частей (§ 6) или как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8), найдем
х = С1/-рС24-2 sin/.	(а)
Подставляя найденную функцию х и ее производную х' =С, 4-4-2cosZ в первое уравнение данной системы, найдем
у = —2С2—СД2/4- 1)—2cosf — 3 sin С	(б)
Совокупность функций х и у есть общее решение данной системы.
Далее, исходя из заданных начальных условий, определяем значения постоянных С1 и С2. Из первого условия: х=1 при / = л и равенства (а) имеем уравнение
1 = С1л-рС2,
а из условия: у = 2 при 6=л и равенства (б) имеем второе уравнение с неизвестными С, и С.,
2 = — 2С2—С, (1 4- 2л) 4-2.
Решая эти уравнения как систему, найдем: CL=—2, Са = — 1	2л.
— 434 —
Наконец, подставляя эти значения Ct и С2 в общее решение, получим искомое частное решение данной системы, удовлетворяющее данным начальным условиям:
х = 1-—2 (/—л) -|-2 sin t; у-4 (t — л) — 2cos t — 3 sin t.
1202. Решить систему у"—2 = 0; z'-f-8y = 0.
Решение. Дифференцируя первое уравнение, определяем г', и, подставляя ее во второе уравнение, получим г/'' + 8д = 0. Отсюда находим (§ 7)
у = С{е~2* -f- ех (С2 cos |/3 х + Са sin ]/3 х).
Дважды дифференцируя у и подставляя в первое уравнение, находим
z 4Cte~2X2ех [(1/^3 Са—С2) cos У 3 х—(К3 С.2 + С3) sin j/TxJ .
Решить систему уравнений:
1203
' J + 2^+3z = 0, a*	1204.
т+^ = 0. dx v
I — 4v = ce&t
I d^ + u-\-2v = sin t.
tnr.r- 4и .	dv	„ dw	_
1205.	-г+u — v—щ = 0; □-------u-j-v—ш = 0; -=-----и—и—ау = О.
dx 1	dx 1	dx
Найти частное решение системы уравнений, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
1206.	^t + 3x + y = 0, ^—х + у = 0; х(0)=1, 0(0) = —1.
1207.	^ + 4о = cos2х, ^ + 4u = sin 2х; и(0) = 0, ц(0)=0,1.
Lt Л	€Лл
§ 14. Уравнения математической физики
Многие физические задачи сводятся к линейным дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка, которые поэтому и называются уравнениями математической физики.
Основными уравнениями математической физики для случая, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных, являются:
, „	д2и	.. <12и п
I. Волновое уравнение — п25-л = 0,
J r	at1 dx2
представляющее простейшее уравнение e частными производными второго порядка гиперболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и1 электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи о распространении колебаний в однородной среде.
— 435 —
., .,	ди 9 diu
П. Уравнение теплопроводности з; = а,—,, г	'	о/ дх2
представляющее простейшее уравнение с частными производными второго порядка параболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей или газов и многие другие задачи.
д2и
III. Уравнение Лапласа ^4-^ = О, 1	дх2 ду2
представляющее простейшее уравнение с частными производ ными второго порядка эллиптического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электромагнитных полей, о стационарном распределении тепла в однородном теле, о потенциале скорости безвихревого течения жидкости и многие другие задачи о свойствах стационарных (установившихся) процессов.
Задача интегрирования уравнения с частными производными, т. е. задача отыскания функции, удовлетворяющей этому уравнению, имеет бесчисленное множество решений. Например, урав-д2и п	д	п
нение з-s- = 0 можно записать в виде s- =0, откуда еле-дхду	ду\дх/	J
ди
дует, что не зависит от у, а является некоторой произвольной (дифференцируемой) функцией только от одной переменной х, т. е. |^ = /(х). Интегрируя это равенство по х, получим u — F(x)-\-C. Постоянная интегрирования С есть постоянная относительно х, но она может быть любой (дифференцируемой) функцией от у, т. е. С = <р(гу). Поэтому общее решение данного уравнения с частными производными второго порядка содержит две произвольные функции-. н = F (х) 4-ф (у)- А подставляя вместо произвольных функций F и ф различные определенные функции, можно получить из этого общего решения бесчисленное мно жество различных частных решений данного уравнения:
и— х—2//4-1; и -=х34- sin Зу; и = 7; ...
В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математической физики, всегда ищется не общее, а частное решение уравнения, удовлетворяющее некоторым определенным условиям, которые называются краевыми условиями.
Для решения уравнений математической физики обычно применяется метод Фурье:
Вначале ищутся частные решения данного уравнения в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. Затем, исходя из заданных краевых условий, определяются значения произвольных постоянных, содержащихся в этих частных решениях. В результате искомое решение, удовлетворяющее и данному уравнению и данным краевым условиям,
— 436 -
получается или в виде ряда, составленного из найденных частных решений, или в виде несобственного интеграла с бесконечными пределами. Этот метод разъясняется в решении следующих задач.
1208. Найти частное решение и(х, I) дифференциального уравнения —а2|^ = 0, удовлетворяющее краевым условиям:
1) и(0, /) = 0,	2) и(1, /) = 0,
3) и (х, 0) = <Pi(x), 4) Ut (х, 0) = <р2 (х).
Решение. По методу Фурье вначале ищем частные решения данного уравнения в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая только от t:
и(х, t)-=X(x)T(t).	(1)
Найдя производные ихх = ТХхх, иц = ХТц и подставив их в данное уравнение, получим
ХГ —а27Х" = 0, или =
X а2Т
В последнем равенстве переменные разделены. Левая его часть не зависит от I, а правая не зависит от х. Это возможно лишь в том случае, когда обе части равенства не зависят ни от I, ни от х, т. е. представляют одну и ту же постоянную. Обозначив эту постоянную через —X2, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
п	'Т'П
и ^7=-Х2’	(°)
или
Х" + Х2Х = 0 и F + WT = 0.
Решая их как линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (§ 7), найдем
X = A cosXx + В sin Хх; Т = С cosaX/ -pD sin oXz,
где <4, В, С, D — произвольные постоянные.
Подставляя эти выражения для X и Т в равенство (1), получим
u(x, t)= (Л cosXx-P В sin Xx)(CcosuX/Ц-D sin aht). (2)
Далее, исходя из данных краевых условий, определим значения постоянных. Подставляя в равенство (2) заданные значения х = 0, и = 0 (первое условие) и х= I, и = 6 (второе условие) и сократив на множитель Т(1) у=0, получим
0 = A cosO+ В sin 0, 0 = Л cosX/+ В sin XZ.
Из первого уравнения находим Л = 0, а из второго следует sin X/ = 0 (ибо В =7=0 при Л=0), откуда определяется параметр
— 437 —
к =	, n=l, 2, 3, который был также произвольным*-
Каждому значению X (или п) соответствует частное решение вида
,, —.	/ unnt , о armt\ . плх
ип = ХпТп = cos + Р„ sin — J sin — ,
где а„ = ВпСп, fin = BnDn — произвольные постоянные.
Вследствие линейности и однородности заданного уравнения сумма его решений также будет его решением. Поэтому и сумма ряда 4- оо	4-оз
,	V7 V7 ( annt , о . annt\ . плх
» (-V. О = X Ип = X COS — + р„ sin — ) sin -у (3)
есть решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям I) и 2).
Для определения постоянных ап и |3П используем два последних краевых условия. Подставляя в равенство (3) /=0, u=<pt(x) (третье условие), получим
Ч-оо
/ ч V* -	/ЛЧ
Ф1 W = а« sin ~г •	(4)
П-1
Дифференцируя по t решение (3)
4-	со ди апл / □ annt . апл(\ . плх
— cos -7--------ап sin -j- 1 sin —
и подставляя в результат / — О, ^ = <р2(х) (четвертое условие), получим
4-	оз
z х	апл q . плх	/С\
Ф2(^) = 2-“гР"81П7Г' « = |
Равенства (4) и (5) представляют разложения заданных функции <fi (х) и <р2(х) в интервале (0, /) в неполные ряды Фурье, содержащие только синусы. Коэффициенты таких разложений определяются по известной формуле, гл. IX, § 7:
4-оо
Если f(x) = sin ~ , то bn = -^- Jf(-c) sin ~~d.x.	(*)
* Если в равенствах (а) вместо —X2 взять +V, то X =
а для такого вида функции X выполнение условий 1) и 2) возможно лишь при Х = 0.
— 438 —
Согласно этой формуле
2 С , \  лях ,	v 2 f . . . ппх ,
«„ = т J <fi (х) sin — dx, Р„ = —- ф2 (х) sin — dx.	(6)
О	<1
Следовательно, искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям, есть функция (3), где постоянные ап и р„ определяются формулами (6).
Очевидно, что при различных исходных данных a, I, <рг (х), <р2(х) по формулам (6) будут получаться различные значения для ап и р„, а следовательно, и различные ряды (3) для функции и (х, /), удовлетворяющей данному дифференциальному уравнению и данным краевым условиям.
Решению этой задачи можно дать, например, следующее физическое истолкование. Натянутая струна, закрепленная концами в точках х=^0 и х = / оси Ох, в начальный момент времени / = 0 имела форму кривой ц = <р1(х), а каждая ее точка с абсциссой х имела скорость iz, = <p2(x); затем эта струна, предоставленная самой себе, колеблется, оставаясь в плоскости хОи. Даннэе уравнение есть дифференциальное уравнение поперечных колебании струны. ^Параметр	 *Де Л— натяже-
ние, р — плотность струны.^ Найденное его решение и(х,/) определяет форму струны в любой момент времени I.
1209. Найти решение уравнения с частными производными ди „ д2и
di~a2dx^y Удовлетворяющее краевым условиям:
1)	и(0, /) = 0, 2) и(1, /) = 0, 3) и (х, 0) = ф(х).
Решение. Пользуясь методом Фурье, полагаем
и (х, t) X (х)Т (1).
Тогда заданное уравнение преобразуется к виду
-f'
= ^7- == — Л’2
Л а-1
и распадается на два уравнения
Л" + Л2Х = 0 и Т'Ч-а2А2Т = 0, решая которые, найдем
X = A cos Ах Ч- В sin Ах, Т = Ce~aW, и(х, 1) = е~а*кч (a cos Ах+ Р sin Ах), где а = АС и Р = ВС—произвольные постоянные.
— 439 —
Используя первое условие: ы = 0 при х = 0 и второе условие: и —О при х — 1, получим
0 = a cos Оф- р sin 0, 0 = а cos X/-|-0 sin А/,
откуда следует: а = 0, Х = у, я=1, 2, 3, ...
Как и в решении предыдущей задачи, каждому значению Х(/г) соответствует частное решение
Л2/12Л2<
₽“	<2	• -	/23Т JC
пе 1 sin —,
сумма которых и (х, t} также будет решением данного уравнения
+ <ю	4-00	О2/12Л2/
«(* О = у = У. ~ sin .	(7)
П — 1	П=1
Используя третье условие: и = <р(х) при t = Q, получим для определения р„ равенство
4-	со
/ \	V’’ Р -
<₽(*) = УД sin —.
М=1
Это равенство есть разложение в интервале (0, /) данной функции ф(х) в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы. Поэтому согласно формуле (*)
i
0« = у ]<₽(*) sin — dx.	(8)
О
Таким образом, сумма ряда (7), коэффициенты которого определяются формулами (8), есть частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данным краевым условиям.
Решенная задача может иметь такой физический смысл.
Однородный стержень длины /, имеющий теплонепроницаемую боковую поверхность, расположен между точками х = 0 и х = / оси Ох; на его концах поддерживается постоянная температура и = 0 и в начальный момент / = 0 распределение температуры вдоль стержня есть известная функция ы = <р(х). Данное уравнение есть дифференциальное уравнение распространения тепла в стержне fпараметр а2 — — , где k — коэффициент теплопровод-пости, с—теплоемкость, р— плотность стержня], а полученное его решение и (х, /) определяет распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени t.
Распространению тепла в стержне неограниченной длины (бесконечного в обе стороны) соответствует то
— 440 —
же дифференциальное уравнение (II) и единственное начальное условие: и(х, 0) = <р(х), —оо < х < + оо, определяющее распределение температуры и вдоль этого стержня в начальный момент /=0.
По методу Фурье, полагая и = Х (х) Т (/), и в этой задаче получаем частные решения вида
и — е~а‘х‘‘ (a cos кх ф- 0 sin Хх).	(9)
Но здесь параметр X является совершенно произвольным, ибо нет никаких оснований (условий) для выбора каких-то определенных его значений. Здесь, в формуле (9), X может иметь любое значение от —оо до -ф оо. Поэтому здесь решением будет не сумма ряда, составленного из частных решений, как это было в предыдущих задачах, а несобственный интеграл по параметру X:
+ X, п(х, t) =	е~а‘'-4 (a cos Хх -]- 0 sin Хх) dX. (10)
— ас
Для определения коэффициентов а и 0 используем заданное условие и(х, 0) = ф(х), — подставляем t — 0, и = (х) в последнее равенство:
4-	X
<р(х)= (acosXx-j- 0 sin Xx)dX.
— ОО
Сопоставляя полученное равенство с формулой Фурье (гл. IX, § 8) для функции <р(х):
4- QD + •»
ф (*) = J { (J *₽ (2> COS А 2 dZ] C0S + — 03	— оо
4- оо
+ [	<p(z) sin Xz dz^sin Xx| dX,
— QO	f
находим для а и 0 следующие выражения:
4- ос	4-х-
a(M = £rtJ ф(z)cosXzdz, 0(X) С <р(z) sin X zdz. (U) — 00	— 03
Итак, искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, пли решение задачи о распространении тепла в бесконечном стержне, получено здесь в виде несобственного интеграла (10), где а и 0 определяются формулами (И).
— 441 —
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям:
12Ю. g-«2g = 0; «(0, 0 = 0, <(Z, 0 = 0,
и(х, 0) = <p(x), Uj (х, 0) = 0.
1211. J = a2§; «(0, 0 = 0, и (х, 0) = <р(х),
0=С х	+ 00 > i 0.
1212. g + g = O; и(0, у) = 0, и(а, i/) = 0,
и (х, 0) = <рЛ (х), и (х, Ь) = <р2 (х).
ОТВЕТЫ
6. — оо < у <;— 2, 4  у < и: — оо < к < — 1, 1 < х < -|- оо. 7. — 1; 9; —3; а24-5а-}-3; а2-|-За; а*4-3аг— 1. а*4-бо34-7а2— (ie+1. 8. 4: 2; 2 (За 4-8) х (4x4-3)	х24-1 ЗЬ -|- 4	л	_
	; -77—г-г • ТГТП  9- а + ь- 2а- н- Функции !) н 6) не-
а24-4	х24-1	3x4-4	Ь24-1
четные; 2) и 4) четные; 3) и 5) не четные и не нечетные. 13. ls^x<2t 2<х<4-оо; —К Z<5; —оо<а< — 3, 3<а<-|-оо; 2/гл <р <7 (2k -|- 1)л> (4/г—1)^-<х <(4*4-1)-5-. 1<х-<2. 18. О < х-<6; | х|<2 К 2; [— 4;—1|. [1: 4|; |0, 4-оо]. 33. аь а2 и а3— бесконечно большие величины: а4— а2 > — оо, а3—>.оо; а4, а5 н ав — бесконечно малые величины: а4—>4~0« а8—>—0, ав—- 0. 34. limx=l; lim z = 3, limt> = 0; limy и lima не существуют. 36. 1) —оо;	2)	4-оо;	3)	оо; 4)	0;	5)	4-оо; 6) не существует.
37. lims„— 0; limP„ = 3/.	41.	0.	42.	2. 43.	8х.	44.	Не существуем 45. 8; 0;
не существует. 46. lima„ = n; lim/i„=>i?— радиусу описанной окружности. 48. 0. 49. 1. 50. I. 51.	4 •	55-	3-	56.	Д . 57.	0.	58.	~ . 59. — 4 . 60 — У~2.
2	За	9	2
61. — 2. 62. —4 63.	4.	64.	2.	65.	2. 66.	2а.	67.	4-68. 4.69. 3 . 70. 1.
4	о
72. 2 7 5. 0. 74. 2. 75. — |А~2. 76. 0,1. 77. 2 . 79. 0,5. 80. 2 . 81. х. 82. 1. 84. 4-оо. 85. 0.5. 86. 1. 87. 0. 89. ек,‘. 90. е~1. 91. е2.’ 92. е3. 93. 9. 94. 3 95. 1. 9G.	97. ~ .98. 2. . S9. 0. 100.	. 101. 2cosx. 102. — оо.
17	1	3
103. с. 104. 0. 105. — . 106. --	107. =-	108. е~3. 109. —I. 110. е-®6.
7	2а
111. xt->-^; х2->оо. 112. liiuSn=^+2&)- ; liin Р„=2 (64-ft). 117. 5;
V 2;	.0; 1; —1. 122. 1) Функция имеет бесконечные разрывы в точках
х= — 1, х = 0 и х = 4; 2) функция разрывна в точке х=1, где ее скачок равен —2; 3) функция имеет бесконечный разрыв в точке х= —• 4) функ
ция не имеет точек разрыва, она определена и непрерывна в интервалах (— с», —1| и [1, 4-оо); 5) функция имеет бесконечные разрывы в точках х=4- 1; 6) функция имеет бесконечные разрывы в точках х = -^-(2*4-I).
123. 1) Функция имеет бесконечный разрыв в точке х=1; 2) функция разрывна в точке х= —2, где ее скачок равен 2; 3) функция разрывна в точке х —0, где ее скачок бесконечный, и в точке х—1, где ее скачок равен —4; 4) функция имеет бесконечный разрыв в точке х —0.’
— 443 —
5) функция разрывна в точке х==— 1, где ее скачок равен —2, и в точке х = 1, гае ее скачок бесконечный; 6) функция разрывна в точке х = 2, где
ее скачок равен 1. 125. 2x4-5;----------------- ;------== ; —-	; 3cos3x; 2sec22x.
ха 2 \[ i-з / 4х + I
IS2-	'33‘ (ТРзр- *34’ (хЗ-Т.зр• 13S- * (2 sin х 4-х cos х).
Г.6. _ 1 + cos ф 137 з(| + Cosec2/) cos t. 138. 4. 139. 0. 140. —л. 141. 0. sin2<p	'	8
142. —	145.	15(3x4-2)’.	146. 2cos(2x —1).	147.	—	-Д— .
x	2 f «
4 k x (x + К x)
149. a cos at cos-sin a? sin—. 150. —simp.
a a	a
151. — Z?^ C<-S *52. tg’z. 153.	S''1 — . 154. a (cos mp4- b sin tup).
(I 4-sin 4t/)’	_	2cos3x	' v	'
4 /~ тгЭ
155. 0. 156. 0 157. _ 1/	159. (2*4-3-23*) In 2. 160. 2x (a*2 In a +e~x2).
T О
161.
3e~x(l —2x)
162.
ta" (a sin b<p b cos fc<p).
163.
164.
169.
2ax-|-fc
ax2 -|- bx c ‘
1. m.;
165. 2 tg x
sin2x. 166. —Inx. 167.
1
X2
172.
H- x2 
173.
x(l—x2) ’
2
- r2 
174.
168. ------
1 — x2
2
175.
arc cos x. 176.
182.
2
183.
| x| k4x2— 1
1
177.
. 178. 4
2.
<p k^<p’ — 1
179. •; 4
K(*2 +1)«’
— sin it. 187. (1-|-2a<p tg a«p) see5 189. 32x3 In2 x. 190. e2® (cosec t)4-2 Intc
186.
184.
;2 a<p. 188.
£	- 191-
6x
(x2—1)’  el cos t (3 cos 2/ 4-sin 2/ — I)
___1___ 192	f<+'
V^+~a' ' Z(Z4 —1)
185.
2 sin 4a k~cos 4a
2
4
193.
197.
5^ In 5	cos x
seex. 194. — 2 sin In t. 195. ~ --- -. 196. —----------- *------.
k44-5M	2/(1- sin x) sin x
sin x ,	,	.	n ,	,
| sin'x'l ’ k = I в ччтервалах, где sin x > 0; у = — 1 в интервалах, где
sinx<0; в точках х = Лл, где sinx = 0. функция- не дифференцируема х2	4	<----- 3	2
(черт. 213). 198. у;	199. 2 к4-х2; 4. 201.	;	,
- 444 —
х = (2й-j-1)-5-, черт. 214.
202. 0; 2е;	10)=-1,	^ + )(0) = 1.
. 205. In — . 206. г (фс(Цф4*1п sin ф) 207. * ^?3*	.
X- х	У(1—х2)8
208.
(/ + 1)(5/2 + 14/ +5)	{/(х3-Зх2-х-1)
(/ + 2Г(/+3)?	• "•
4- In <р ) .
x(x— l)(x2+ 1)
213.	— 125 cos 5x.	214. a2 (47 + 60 In a).
1920(2p — 1). 216. e3X(9x2 4-12x4-2). 218. (2lna)"a2x. 219. m(m — l)(ai — 2)...
... (m—*4-1). 220. 10 cos x—x sinx. 221. (n —1)! 223.. 224. — |Л.
e~xsiny 4- e-v sinx 226 ytx-j-ylny) 22? 2a3xy	2 (t/24~ 1)
’ x (i/4-xlnx)' '(ax 4- y2)3
230. 74j--|4U	233. ~t
(Х4-У4-1)3	2
I	32
237. -. 238. =г-. 243. y — 2x = 5; x -)-2i/ = 5. 2	27a
4x-f-3y=—1; 3x — 4y= 18. 245. x4-t/=4;
y = x. 247. y=± (x—n). 248. В точке (0; 0):
211.
215.
225.
229.
235.
vx
у
234
(eJ' + D3
-A, cosec2 /. 236. Sec3". а2	а
3// — 4х=1, Зх-|-4(/=18;
. .. = о;
х = 2у, у = 2х, х=—2у. В точке (2; 0): 2х|~гл-4, х— 2у = 2\
1	1Л 3
x + 2i/ = 2.	249.45°; arctg — .	250. arc tg . 251. 90°.
244.
х—у — 2. 246. С~2(х-|-у) = у = —2х,
2х—у==4.
е х cos у -|-eJ' cos х
252. arctg у. 253. 90°. 254. arc tg 3; arc tg у . 255. ( — 1. —2); (2; 9); (1;	. 256. (3; 4), (— 3; —4). 257. (1; 0). (2; 1); таких точек нет, (1, 3);
4 1^3	Ч
(I. 1); (I; —3). 258. arc tg —py . 259. 90°. 260. arc tg 3, arctg^. 261. arctg 4- 266. d-£- = k(a — Q) 267. ^=-4a2/3. 268. ^|=16n/-—;
5	dt	dt .	dt сек
~=8лгг см3/сек. 269. v=(6t—t2—8)e-z; te = (/2— 8/ 4- 14)e_/; tt = 2, /2=4. 270.	—ae~at (cos (at 4-6)4-sin (at 4-6)|;	F =2ina2e~al sin (at 4-6).
273. bm (a-(-bx)m~1 dx. 2l4.l2e~ldt. 275.—x"-1lnxrfx. 276. cos ф in cosec ф Лр.
277. —29, 90. 278. 0,87. 279. —0.31. 280. —0,39. 281. 0,0140. 282. 0.9976. г —9	// z__ 1
283. 60°3'. 284. 0,0100. 285. 1,9875. 288.	= =	2х4-у4-2г = 6.
289. =yl ; ty=0. 290. -^ = | = | -. x4-y = 0. 291. -j . + 1 . +4 .
294. v=acost-j—aslr>/-i; w= —r. 295. c = 3/4-(4 — 2/) k;	—2b.
тл i , x In 3 x2 In2 3	x" In" 3 „ x" + 4n" + 1 3 nx
300. 1 4- --JJ-4-2!—+ • • • 4-n!— ’•	~(n 4- Г)1~3 ’ Rn ° np” ‘"'°’
Com x. —g— + И4 1)-^]|,
< т 11	21	ti\) ’
R„ —»0 при любом x;
Rn |(n4-1)! C0S [°X	4 *"
v2	-f-1
*+п+21 + -+-;г-
— 445 —
при любом х. 301. х + у ; х—~ ; — х + ^- + ~ . 302. е Г1 +	' оГ^а- +
<j z	z <_>	।	11 и	zi а
,	, (х —а)н1 г, n	-	I х — а ( , эт \ ,
4~  • • 4~ п| Д7Г~	 "п—*0	при любом	х,	cos а 4--------ц—cos ( aJ—2~)‘
(х— а)2	/	„ л \ ,	, (х — а)"	/	. л \	„
+ —2|~- cos ( а + 2-g } + ... +---- cos ^o + n-g- j , На~»0 при лю-fln. v ,ft, , , -t+l . U+l)2 , 5(х+1)2 10(х + 1)\	..V nV.
бомх. 303.-1-Г —-г—g—+—й—+ —^3—,	+
-slx+-6-J; 1+2Г—гЛ2Г~т) +з{х—4-) +зЧХ~Т) 
304.	0.309; 1,648; 4,121; 3,004. 305. 0,9848; 1,3955; 2,0022; 0,5878. 307._
•J
308.	—3. 309. 4-со. 310.	311. 4-- 312. —1. 313. 1., 314. 4, 316. — -?-.
2	5	5	5
9
317. 0. 318. 4- со. 319. 2. 320. 1. 321. — — . 322. 0. 323. —1. 325. е.326. еа. 327. 1. л
328. е-1. 329. е 2 . 330. еп . 333. 1) Функция возрастает в интервале!—со. 4-со); 2) функция возрастает в интервалах (—со, —1) и (1, 4-со) и убывает в интервале (— 1; 1); 3) при k > 0 функция монотонно возрастает, а при k < 0 монотонно убывает на всей числовой оси; 4) функция убывает в интервале (—оо, —3] и возрастает в интервале [3, 4-°°]; 5) функция убывает на всей числовой оси; 6) функция возрастает на всей числовой оси. 336. утах = у (0) = 0; ymi„ = у (4) = - 32. 337.	= у (± 1) = 4; ymjn = у (0)=3.
338. Нет экстремума* 339. Ут\п==У (— 2) = — 1; с/тах = £/(2) = 1. 340. ymin = ={/(±2) = 4. 341. (/max=J/(0) = 3. 342. ymin==y (0,5) = 8; утах = у (1)= 10. 343. 4/тах = '7(—3) = 3 р/3; ymil) = у (2) = — р/44. 344. //min = p — lit2) = 3	4
=	345. Нет экстремума. 346.	= y (0) = 0; утйх^=У (2) = -^.
у 4
347. ^п,ш=р(е) = е. 348. утак = у	4- 2л/г) = 2; упйп = у 4* 2л/г) =
= -^2. 349. ymin = y(0) = y(3) = 0. 351. уио- = утах = 1/(2)=10; уи„ = •=У(0) =—10- 352. им6 = и (11= Г, инм = uinill = u (2) = 2 (1—1п2). 353. vh6 = = L’max —	= ‘5’ * J» = и 1^1	( ~2~ ) = "	354.	= Утчх ~ У (^) “ ’»
Черт. 215	Черт. 216
наименьшего значения функция не имеет (черт. 215). 355.
= у(0) = —1; наибольшего значения функция не имеет (черт. 216). 360. Прямоугольник должен быть квадратом. 361. 20 м и 40 м. 362. 6 см. 363. 16 м от более сильного источника света. 364. Центральный угол сектора должен
— 446 —
быть равен 2л у у радианов, или около 294°. 365. cosa=y при усло-
вии, если k g? ~ z—367. 60’. 368. I 8,3 м (определяется как минимум у Ь2 — а2
функции / = 2sec<p + 4cosec<p, где <р — угол между бревном и одноГг из сте
нок канала). 369. t — —1 ' / . 370. <р = 45°. (Использовать зависимость пути aj +
от времени при равномерно-ускоренном движении.) 372. Точка перегиба (1;—2); при —оо < х < 1 кривая выпукла вверх, а при 1 < х < -у оо выпукла вниз. 373. Точки перегиба (— 3; 294) и (2; 114); при—оо < х < — 3 и 2 < х < -у оо кривая выпукла вверх, а при —3<х<2 выпукла вниз 374. Кривая выпукла вниз во всей области своего расположения: —оо < < х <—2 и 2<х< + оо. 375. Точка перегиба (0; 2); при х<0 кривая
Черт. 218
выпукла вниз, а при х>0 выпукла вверх. 376. Кривая не имеет точек перегиба, но меняет направление выпуклости в точке разрыва х=0: слепа от нее она выпукла вверх, а справа выпукла вниз (черт. 18). 377. Точек перегиба кривая не имеет; направление ее выпуклости меняется в точках разрыва х=±2; при —оо<х<—2 и 2 < х < -У оо кривая выпукла вниз, а при —2 < х < 2 она выпукла вверх (черт. 21). 378. Кривая не имеет точек перегиба; при —со < х < — 1 она выпукла вверх, а при 1 < х<4-оо выпукла вниз (черт. 217). 379. Точки перегиба (—V 2. 1) и (У 2; 1) в угловых точках кривой, где у" не существует; при — оо < х <— V2 и у 2 < < х < -у оо кривая выпукла вверх, а при —V 2 < х < 1^ 2 она выпукла
Черт. 220
вниз (черт. 218).	381. х= — 2 и у = 2к— 4.	382. х =—1, х = 1 и у = х.
383. «/=0 при х-)--(-оо, 384. у=~х— 1 при х-^Ц-оо; у =----------5-х—1 при
х-*— оо (черт. 219). 385. х = 0, у = 2х. Наклонную асимптоту кривая пере-
— 447 —
секает бесчисленное множество развточках х — — (2k 4- 1). 386. т=0, у—х. 388. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График пересекает оси координат в точках (— 3; 0) и (0; 0). Асимптот нет. ута» = = {/(—2) = 4; (/min = У (0) = 0. Точка перегиба (— 1; 2). 389. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График пересекает оси коорди-/ ( \	27
пат в точках (0; 0) и (1, 0). Асимптот нет. = ( 7 ) =—jg - Точки перегиба (Г, 0) и . Q . 390. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х = 2, которая является точкой бесконечного разрыва. График пересекает оси координат в точках (—1, 0) и ^0; —. Асимптоты х — 2 и у=х + 4; pmax = |/(—1) = 0; ymin = p (5)= 12. Точек перегиба нет (гипербола). 391. Функция определена и непрерывна всюду. Нечетная. График пересекается с осями координат только в их начале. Асимптота {/ = 2jc.
Экстремумов нет, функция всюду возрастает. Точки перегиба — 1^3;
_ 3 V 3\ , до. Q) и /у g.	392. Функция определена и ненре-
2 /	\	2 J
рывна всюду. График пересекает оси координат в точках (0; 1) и (Г, 0). Асимптота у = —к. Экстремумов нет, функция всюду убывает. Точки перегиба (0, 1) и (1; 0). 393. Область определения и непрерывности х^0. График пересекает оси координат в точках (3, 0) и (0; 0)—концевая точка. Асимптот нет. 4/mln = 4/(1) = — 2- Точек перегиба нет. 394. Функция определена и непрерывна всюду. График пересекается с координатными осями в точках (—1; 0),	и (0;—!) Асимптот нет. !/так=> у (—1) = 0(точка
возврата); уго|п = |/(0)=—1. Точек перегиба нет. 395. Функция определена и непрерывна всюду. Нечетная. График пересекает оси координат в их начале. Асимптота (/=(). (/mln-=y(—1) = —0,6; 4/max-=i/(!)=—^- .
у е	у е
Точки перегиба 3; — J , (0; 0) и ^^3;	. 396. Функ-
ция определена и непрерывна всюду, периодична с периодом 2л. Асимптот нет На отрезке [0, 2л]: график пересекает оси координат в точках (7 ; °) и (О’ — 1)’ Pmax = ®	2; 0’nin = 0 ( г) 2’ Т°ЧК"
региба (у • и ^7* >	• 397- Функция определена и непрерывна всюду,
нечетная. Асимптоты у«™х—л при х—»-{-оо и р = х-)-л при X—»—со; «/тах=!/(—В=-^—1. {/min = '/ (’)“ •---7 Точка перегиба (0, 0) (черт. 220).
398. Функция определена и непрерывна всюду, монотонно возрастает. График пересекает оси координат в их начале; асимптот и точек перегиба »е имеет. Угловые точки с абсциссами х~Лл, fe = 0, ±1, ±2, ... расположены на прямой у=х, для каждой из этих точек (/(_)“2, р( + )=«0 (черт. 221). 399. Функция определена и непрерывна на отрезке [—1; 1], четная. График проходит через начало координат. Асимптот нет. r/m|n“у (0) = 0 (угловая точка, где ?/(_) = —1,	+	'• Точек перегиба нет. Концевые точки
— 448 —
( — 1, А) И (1. -5-j (черт. 222). 403. 3; 3,25. 404. 2; 185. 405. 3; 0,95. 406. 1; 0,44. 407. —2,66; 0,52; 2,15. 408. —3,40; 2,90. 409. 0,27; 2,25.
—	V" 2573	j	/
410. 0,21. 417. 2 У 2; —. 418. — . 419. 4д. 420. 1,5а sin 21. 421. ( 0;
— I) . 422. (“у = у) • 423- <3’- —2)- 424- (—2; 3). 425.	-
2	2	2
426	(£•	427. 8Х3 = 27У2. 428. ХТ-УТ=(2а)Г. 429. Х2 + У2 =
\ 4	4 /
= <А 433. ^-.434.	У?- 433- —Д • 436. 1п|х + 3|. 437. (“~5^.
О	/ *	оу	У
438.
441.
446.
Черт. 221	Черт. 222
у arctg439. In (и +/17+7).	440. jp=yln
у-	X	1	1
arcsin . 442. —3cos-^-. 443.— — ctg2<p* 444. -r-eiX. 445. Z	о	Z	'т
2—/2
2+ V 2 ' 3-5~2t
21n5'
In |2x + 5|	.	1
2	’	'	6(3x + 2)2‘
448. In | sinx I-
450. 4
•J
X
3 iZ 2 з z—	1	I Jt II	__
-----—x у x + 5x. 451. <p + у cos 2<p. 452. x + ln | —, । . 453. 2 \fx(x—I)2.
454. ----3ln(x2 + 6). 455. tgx— ctgx. 456. -i (e2X—s 2t)— 2x. 457. —	-]-
I	i-З _L 1/ 5
+ 21ЩХ + 21. 459. ^In
+ In | cos <p |. 462. — Зх_ + 2а у 10
460. ln(3 + 4ex). 461. A tg2 <p +
463. ln|x-2|-^^.464.1x
г---	X
X(3x2—ax—2a2) V a — x. 465. ± In --, где «+» соответствует
I X I
значениям х>0, «—« — значениям x<0, или короче In-----.. т-
1+ /Т+х5
466. -у In | tg x |. 467. -A- In (x2+ /Г4-Г+ 468. x—2 /7+2 In (l + /7).
15 № 3201
— 449—
469. е* + 1п|г*—1 [. 470. 1п]1пл[. 471. -p^ln ^sinx + J/ ~+sin2xJ . 472. —2 V 2 4-cos2 x. 473. 1 (3ex — 4) (ex4-l)3.	474. l[j/73-
— In (1-f-p/x3)]. 476. sinx—xcosx. 477. ~ (3 In x— 1).	478. nx (In x—1).
479.	48°- xtgx + ln |cosx|. 481.	2 - In | x— 1 |— —y,
482. /arc ctg t-\- 1 In (1 4-/2).	483. x In (x2 4- 1)—2x-)-2arc tgx-
484.
e x(asinbx—bcosbx)	, 1—/1—x2 1	.	x In x
---s---=—rs	.	485. In--	arc stn x. 486. ——r-a2 + b2--------------------------x x
— ln|x-f-l|. 487. xarctg/2x—1—-?-/2x—1. 491. 1 In
2,	b
.491. lx b
Xarctg^±2. 493. 4^2.	494. 2 In (x2 4-Зх-Ь 4)—arctg
495. In |х| + У-1п|х + 5|. 496. 2x + -l(^-j 4-ln 13x+ 1 Q . 497.1 x2-
Q	41	9x__1
—4x+-^-ln|x—1 l + -j In I x + 31.	498. arcsin——. 499. In | x—1-f-
4-/x2— 2x |.	500. 1 arcsin 2x— 1 V1 — 4x2.	501. /x24-6x— 6 1n|x +
+ 3 + /x2 + 6x |. 502.-— arrsin	V1—2x—3x2. 503.	-1-^X
3 / 3	23	2
xV x2-f-4x—2 In | x4-2-|-/x2-f-4x | . 504. ^-11/1 —2x—x2-|-arcsin	.
2	V 2
r	1	2	1	x 1
507. -1-4-^sin lOx. 508. sinx — — sin3 x + -=• sin5 x. 509.	— sin 4x.
2	2\J	о	D	о o2
510.	cos5 x ~~“o' cos3 x*	511.	sin4 x— -p~ sin®	x. 512.	—— x —= sin2x~f—
5	3	4	b	о 4
4-lsin 4x. 513. !/+ctg(/—yctg3y. 514. Isin yx + -l sin-|-x. 515. 1 sin x—
1	<< r.z. cos (a—b) t cos (a + b)t cos 12x cos 6x cos 4x
-ggsmllx. 516. - 2-(6_o)-------2-(-+-fc)- • 5П.	------------------
_S£^. 518. | (tg2 z - ctg2 z) + 2 In | tgz |. 520. lj
X Л*1	522. Lin- I"'1—+ -Uarctg^±l. 523. ln|x—l| —
J<x2+1	3	Kx2 + x+l	/3 К 3	11
2x— 1	Vx2—2x + 5	x — 1	1 I 1 4-1 I
~ (x —I)2'	524* 3 "	|7|	+ 2arctg —. 525. — in J-j-—J _
—/24-l arctg/. 526. | arctg 1 arctg z. 527.	4-| In |	| .
X — 9	1	x
528‘ 4(x24-2)~^~ 4 pz2 arCtg V"! (подынтегральная дробь—элементарная).
1 . x24-х/2"4-1 , 1	, к У/~2 ,
--=1п---------7=3=	Ь—arctg -г---X [знаменатель разла-2/2 х2— х/24-1--------------------/2	1— х2
. 521. InX
529.
— 450 —
4-х /2) (х* 2 + 1 — х V~2). 531.6? — х—6) /"З^х. 533.
гается на множители: х*+1 =*х4Н-2х24-1—2х2 => (х2 + I)2—2х2 «=>(х2 + 1 +
X
5 /б^х2'
X И4— х2.
534.
+ при
при
± —arccos —; 3 х
536. 2arcsiny4-y(x2—2)х
532.	0,4 (х2 —
538. -4- х~в (2х3 + 1) 3 , 539. 4 In  -Q. 540.	/х2 4-2x4-3 .
J	2	14- V 1 — хя
541.	j/’x2 4-2х-f-2 — 7Ц1(х4-1 + Кх2 + 2х4-2). 542. -^-arcsin——- —
&	Л	L.	й
Х-±^ ^Ых-х2 . 544. x-tg^. z	z
_ COS X \ sin2 х J
547. 4-In
5
Ч-М
2— tg —
К 2
549. -у (х + In | sin х + cos х | ).
MS. 1|.,£|. 5®. 4(ln|lBi|-
. 548. -pdg1 3x —^-tg2 3x —1 In I cos 3x |. 1Z	О	О
550. In (e2£ + 1) — 2 arctg e4.
551. 2ln(ex4-l)—x. 552.	~ (tg x 4- In | tg x |).
553. In (e* 4-1)4-
18e2x4-27ex+11	2 r,/—1 x2 , cos 2x . xsin2x
+ ~ 6(? + Гр- ' 554‘ ^[C(x4-«F-|/x4- 555. T4—§-4—4-.
K2 9	_____ i	t
556. —— Kx24-1.	557. -.in[(ex4-2)4|ex —1 |5]. 558. 4 arctg (3 tg г).
«5	o	<5
( 5x2—6x4-9
an----T------ъ--I • 562. x arccos x—	1 —x2.
cu	I J
[	x /3__j£2\	3
564.	cosect—— cosec3/. 565. ' /	——;,-arcsinx.
3	2 /T-^x2 2
563. 4 ]A 4-	.
566. Vrx24- lOx — x (In2 x—4 In x-|-5).
— 101n|x4-54-prx24-10x|. 567. (x2—x4-2)e*.	568.
569. 2 sec x. 570.	7)3 . 571.	6x--±6x+-L . .572. (04-1) arctg/о—
21x3	12K(4x4-l)3
573‘	574. 2 (x-f-2) У^Зх2-f-Зх4-4. 575. In^-
—,ln (1	576. x2_|_A.|/'(4—x2)3f 577. _L(4x4-3in I 4cosx4-3 sinx I ).
X	0	25
578.	(X4- Kx2 —1) -2. In |x4-	579. 2-[x КГ=хГ4-(2х2-1)Х
XarcsinxJ. 580.	581. -1/Ip. 583.	.
Kx24-1 x	'f 1+*	3
584. |. 585. 4-In-|-. 586. ^4-^- 587 . 0. 588. 0. 589. —4-- 590. 2e— 1. У	0	4	<5 z	z
15*
— 451 —
593.	Д. 594. 1—595. 3.	596.	0,8(2 J/2—1).	597.	.
24	2	•'о
598.	— —. 599. In	2.	600. In -4--	601.	1,5 (In 4 — 1).	602.	-
6	3	'	2
(подстановка % = 6sin2/). 603.	605. 36. 606.	2 . 607.	.
I9S	оЧр2____И
608. Зла2. 609.	610. —Ц—L. 611. 6,76. 612. 1,5. 613. 0,95.
6	2е
4	1	{ 5л.	\	h
614. а2. 615. — а2л3. 616. — ла2. 617. 2а2	—1 ). 618. 4abarctg —
•э	4	у 8	у	а
(перейти к полярным координатам). 622. abk2n. 623. -|-аЛ2. 624.	.
4	2	2048л	128л	№
626. ^ла2Ь. 627. л2. 628. 34 л. 629. 12л. 630.	631.	. 632.	.
3	1<э	35	3	1э
633. 2л2а2й. 634. 5а3л2. 637. ??. 638. 6а. 639. ^-(е—е-1). 640. V& + о	2
+ 1п(/'2’+ VT)- 641. 1 + A- In .	642. 8а.	643. ла К^л^+П В
+ In (2л + )<4л2 + 1).	644. -- {а3а~^  645. Ю^+Уб); р[2 +
+/2+1п(1 + /2)]. 649.	650. ^ла2. 651. 4л[]<2+ln(l + /2j],
3	«3
256	2
652. 29,6л. 653. 2л (4 4-3 In 3). 654. 4аЬл2. 669. 256Г; -у-7’; 170Г. 670. 244,8 кГ.	671. 4000л кГм. 672. 1134 кГм;	1430 кГм-, 1661 кГм.
673. 919 кГм; 1099 кГм: 1226 кГм. 674. 750л кГм. 675. -1б2с2аЬ = = 23,04 кГм. 676. 0,24 кГм. 677. а’/Ж а (2 У~2 — 1), где а = = "	 678- 0,4a/i K2g/i. 679. ЬтН* tg2a 683 /	— — V
0.9S Kg	'	4	k 31 /
684.	685.	686. (9; 9). 687. (	, 0 V 688. (	,
\ 3л J	\ Зл 3 л j	\ 5 j \ 8
. 691. e. 692. л. 693. —1. 694. ^-,/125. 695. —1. 696. Расходится.
256 /	о 1
697. 6 ^/2. 698. Расходится. 699. 3. 700.2л. 703. 1) In 2 =5= 0,6931; 0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932; 2)	0,7854; 0,8100; 0,7600; 0,7850;
0,7854. 704. n, > 100; a2 > 4; n3 > 1. 705. 1,118, 0,157. 706. 34,008.
5
710. 0; 5; 0;	713. 1) Вся числовая плоскость; 2) точки, лежащие вну-
три эллипса x2-f-2y2 = 2 и на этом эллипсе; 3) вся плоскость хОу, кроме прямых у=±х; 4) х^0, у > 0—первый квадрант плоскости хОу; 5) у > х, у > 0, х 0—второй квадрант и точки, лежащие выше биссектрисы первого координатного угла плоскости хОу; 6) круг х2 + {/2<1. 716. g^-; 1, не существует. 717. Одна точка разрыва (1; —1); линия разрыва— прямая у = 2х, линия разрыва—гипербола х2 — 2у2=>4. 721. гл=*
— 452 -
= 45x2j/2 (5xV 4- I)2; z' = 30x3y (5x3j/24- I)2.	722. ^=- ; ^-- =	.
y	dx r dy r
723. Д’ = —*	;	____________У-___________ 724	
дх Vx2 + y2 dy (x+Vx2 + y2)Vx2 + y2 dx tVt2—x2‘
dp _ x
dt |« | К<2—x2‘
725. 12; 0.	726. 0; 2 sin 2	1,82; — sin( — 1)
^0,84. 732. dx 4- In 2x dy. 733. sin 2/cos2 хЛ—sin2 t sin 2x dx.
74,,	yzdx + xzdy—xy	dz	(	bn	. b	. bn	, ,
'34.	-----------------.	735. eaml a cos —dm----sin — dn 4-
z2	\.	p p p
t-^sin— dp\. 736. Д; Д. 737. 4,24 .	738. —0,05 .	739. 1,05.
P~ P J	3	3
.41. e?-^(cos Jt —6x2). 742. ——•; £j+3f2** . 743. _ (3x4-2ti In г4, —^(y+
ex + et	ex + ^	W	w/2
4-vln0. 744. -тД-г. 747. — 1/-L. 748. — —. 749. —9. 750. —1. x2 4-1	Г x	и
u	d2z 2 d2z
75L -^-^Tz-752-	757.^=2j-3;
d2z _	8x2
dy2 ~ (2y -3)2 ’’
d2n r
3-5 = ex In у
dx2 s
sin x
x2 ’
d2u  e* cos у _ cP и  e* dxdy y'x' dy2~~ y‘
2
—sinj/lnx. 758.	 759. —2xu—x2ycos (xy). 760. (1 4-x2y2z2 ln22-|-
4-3x«/zln2) 2*^ In 2 768. x—2{/4-3z = 6,	769. 3x-
_(y—z = 4. 770.^4-^ — ^=!. 771. 12x —3r/4-2z=± 13. 772. г = 0; x + y — z = 2. 775. zmin = z(l; 4) = -21. 776. omax = o(4; 4)=15. 777. Нет экстремума. 778, гт1п = г(рл3, —3) = —6)A3; zmax = z(—|/"з,—3)=> = 6 КЗ. 779.	(0; — 2) = — Д.	780. ?max = ? (6; 4) = 5 In 2.
781. В единственной критической точке Л40 (1; —1) определитель Д = 0.< Исследование знака г(Л4) — г(Л40) показывает, что Л40 есть точка минимума, где г = 2. 782. В единственной критической точке Ро (2; 0) функция не дифференцируема. Исследование знака и (Р)— и (Ро) показывает, что Ро есть точка максимума, где и — 1. 785. фнй = ф (4; 0)=ф(0; 4) = 91; <рим = = Ф(3;	3) = 0.	786.	гн6	=	г(1;	П = г(-1;	-1)=3,	гнм = г(1. -1) =
	к	о	-гоч	(	4 \	64	/Зл Зл\
r ( I. О f 3. 787. оий ° 3 * "з" у 27 ’	W|IM ’— ^"2" 1 ~2~у —
= —3.	789.	Вершины	В	и	С.	790. Равносторонний треугольник.
791.	, у	.	792.	Куб	с	ребром	. 793.	Искомый	ящик имеет квад-
ратное основание и высоту, равную половине ребра основания. 797. 26; - 11,2; е-=1;	798. 9;	799. " 2arctgl ; In 2. 800. Д а\ Д;
z it)	z	z	2.	□	2
4	X	1	tj-l
-55.	801.	3.	802. f dx f f (x, y) dy. 803. f dy ( udx.
OLH	J	J	J	J
22	о V
— 453 —
3	2
+ ( dAdx. 810. iljw3; 0. 811. L’; -^-a3. 812. 0; л(1 — e~a\ «J J	J J	о	о
1 о
814. 5. 815. ~ —4 In 4. 816.	. 817.^. 818. T^. 819. 3л. 820. ~ .
~	£	£	JL £Xj
821.	822. ~ ла2 (черт. 223).	824.	2ла3. 825. -1 . 826.
Черт. 225	Черт. 226
(черт. 224). 827. 4г at>2 (черт. 225)- 828- 4 ла3 (2 К 2—1).	829. 16 л
О	«J
(черт. 226).	830. у. 837. ~kn^.	838. fe°3. 839. kp(4~л).
840. ^(tf + i3).	841.	^(а2 + Ь2); °^(а2 + Ь2).	842. ^(а3+63);
«3	О <j	1Z
— 454 —
843.
lnRi 844 °(3a! + b2). b(a* + №) 2 K '	5(a? + b2) ' b(a? + b2) '
если катеты а и b
лежат на осях координат Ох и Оу. 845.
8а 8Ь\
15 ’ 15J '
847.
- -V 8'4/
848.
3(a + fe) (2R2 — а2 — Ь2) 4 (3R2 —Я2 —ft2 —об)
G^h 1	4Tt
x(a2 + ft2 + c2);	;	30.	853. 11.	854.
846. fo; 0,	.
\ ° /
; 0, 0) t 852.
4
855. у . 856. 3.
£
4 '
861.	~ (6 K’3-5). 862. 16. 863.|?n(Gxv-KPyrx2+z/a<4).864.?^^— о	о "	9
(черт. 195).	865. ^(5^2-4). 866. |a*. 867.	.
z4	/2	А	о
868.	^(0ху-круг xa + g2<| K2) . 869. (0, 0. c); a, ~ b. | c) ; (0, 0,	 87°- 14^. 871. 2(2~	лб/?5- 876. -L ; 11; -A.
\ D J	5	о ou 15
877.	2. 878. In lilial. §79. 1>5; j 880. 0 . 881. —0,5. 882. 2. 883 . 0.
890.	15. 891. 1-1п(е2 + е-2)5=1,01.	892. 6л; -f ™а. 893. 4 • ТЕ •
894.	4 k (63— 5 К 5); к. 895. (0, 0, игл). 896.	, 1|^\ . 897. ± 8а2т.
898. ~ (г2в—гд). 900. х3у+х—у+С. 901. sin х cos y+cos 2у-[-С. 902. ху +
+ sin (хг/)4-С. 903. уехУ—Зх-f-C. 904. аге tg — + С. 905. In | х + у |-- +
__	х	_ к~гУ
+ С. 910. -2	911. 0. 912. -55+^J<3-. 913. ^-1-?л. 914.
2	65	8	2
4	32
915.0.916.—3.917.-х л/?3. 919.3;—. 924.ЗиЛ2. 925.4К2(черт.-225). 926.8Я2(черт. О	о
939. _	.
99). 927 . 42 л. 928. 2 ла2 (3— V 3). 929. 2 л/г arctg-^- . 930.
932. fo, 0, —} . 938.	27 + 27; 2/—47; 2f;---L/.
\	О 1	Л	»	.	,
940. 2(cosp— 2cosa — cos у); —	. 941./{1; 0; —1}. 942. 2К“3. 944. (0;0);
Q О
( —1; —1). 947. 4л/?2//; —4л; 24а». 948. л;	л№. 949. 29; 2хг(г2+3г/2).
954. ±^; 3. 955. 2(g + z)T; 0, 963. Да. 964. Нет. 965. Да. 966. Да.
О
967. Сходится. 968. Расходится. 969. Сходится. 970. Сходится. 971. Сходится. 972. Расходится. 973. Сходится. 974. Сходится. 975. Расходится. 976. Сходится. 977. Сходится. 978. Расходится. 979. Сходится. 980. Расходится. 981. Расходится. 982. Сходится. 983. Расходится. 984. Сходится. 985. Сходится. 986. Сходится. 989. Сходится абсолютно. 990. Сходится не абсолютно. 991. Расходится. 992. Сходится абсолютно. 993. Сходится не абсолютно. 994. Сходится не абсолютно (сравнить с гармоническим рядом). 995. Сходится абсолютно. 996. При | а | > 1 сходится абсолютно; при | a | = 1 сходится не абсолютно; при | а | < 1 расходится. 997. 0,96. 998. 0,04.
— 455 —
1001. —1 <х < 1. 1002.--i—< х < —1=_. 1003. Сходится только при
К2 К2
х = 0. 1004. 3sSx<5. 1005. — оо<х< + оо. 1006. | х | <4. 1007. ( — со, — 1); (1, 4-оо). 1008. 10,1, 10). 1009. (й— -1) п^х	я’ fe = 0,
±1. ±2, ... 1010. —оо<х<4-оо (использовать интегральный признак).
у2	1 1 уЗ
1014.14-^4-^4-... ; 2х-^-4-~+... 1015.-1+(х-2)-(х-2)2 +
К	1 1
4-... ; х-14-у(х-1)24-^^-1)3+...
хп 1пп 10 п!
1016.
1024.  )« + £
х2"-1
; 2>2
+ со	+ 03
„ (_ 1У»“1х2И + 1	— п
г”+2£ к-п^-нг 4> S 2Н
п—1	П = 1
уЗ
х I < 2; 5) х 4- х2 4- --------
О
{	Г Л 0111 -г-	 —
у5	А	ж«	уП
-Зб+-+--------nt---*" + •••	6) 4 + £(24-2")- .
П = 1
— оэ<х< + оо. 1025.	0,9554;	0,3894;	0,1973;	3,1072.
+ сю	+оэ
(— 1\П-1у2П+3	„	/П
"C-|-SU-l)^ + 3)- 1«1<,-2>С+'"1<1+ЕЭТ. 1<1><к
П=1	п—1
+ 03
3| С+,+т5.-8-5+... . |»| <1; О с+^	-»<,<+„;
П—1 + со
( —1)п-1±_,	|х|<1.	1027.	0,500;	0,201;	0,946;
П = ]
0,072; 0,047.	1030. Сходится абсолютно. 1031. Расходится.
1032. Сходится не абсолютно. 1033. Сходится абсолютно. 1034. 1.
+ CD Х-Ч Sin их
1035. 0. 1036. 2. 1037. 1. 1038. +оо. 1039. 1. 1043. 2 > —— .
п=1
— 456 —
1044.
2	n2 — 1
П = 2
1045.
(2л — l)nx 3	(—1)п	nnx n2
Xcos——_j24^sin-3-: T
Л=1
^cos(2n + l)nx	36 у nsinn^
X 2^ (2n-(-l)2	'	,U,/- л 2- ( U 25—36n2
n=l	n — j
. 1 4 1040.
e4—1 Г 1 , 1048. j ¥ + n2___cos 2nx
6	2-i	na
n — l
„ ППХ . ПЛХ
2 cos —---nn sin —g-
1049.
cos nx
4 1050. — л
. (2n — l)nx
X sin i----------
. (2л-|-1)лх x sin-----—
„ cos 2nx [In	2/1
(-’)"4T^n •	2—T (прнх = 0).	1051. -(y +
4- c»
; (при x=0);-— (при x=n). 1052. A V - 1 x 2	2	Л 2fl — 1
<3 = 1
1	4 ул cos (2n—1)лх.	8 ул (—1)"
2 7? 2-	(2n—I)2 ’	n2 2-< (2n-H)2 X
n — 1	n = n
2 f sinxasinna.	2 f a sin nczcos xa ,
1055. — \	;------z--da. 1056. — \ -— --------da;
л J 1—a2	л J 1 —a2
2 Г a (1 J-cos na) sin xa .	,
— \	!/----------da, x л. 1057.
nJ	a2 — 1	r
n
(1 —cos a) cos xa
1058.
J_ C (e'^ + Qda 1Q6g A:_J/ + ]n |	| = C. юбэ. (x — I)2 + p2 = C2.
2л J (1—a2)e'x“ — co
1070. cosp = Ccosa. 1071. (еУ + 1) ex = C. 1072. tg y = C (e* — I)3.	1073.
x (I/2 + C) = x2 — 1.	1074. х-(-у = 0. 1075. ЪеУ1 = ex + 1. 1076. х"24-1/_2 =
= 2HJ-In — j. 1078. arctg — 4-ln С [/"х24-/y2 = 0. 1079. x==(y — x) X \ I У I /
XlnC(r/ —x). 1080. Kx +Vy lnC// = 0.	1081. e r+lnCx = 0. Ю82.
3t;3 = 8(x2— i/2). 1083 sin^--|-]n |x| = (). 1085. y = (x + С) ex. 1086. у (x2 + I)2 == = x3 + 3x + C. 1087. 2xcosi/ = C—cos2p. 1088. i/=(x—2 + C.r "} . 1089. y = —e~x In | 1—x| 1090. xt/a = (1 n | cos I/1 + V tg y)a- 1092. jc’ii2 4-7.V = C. 1093. xey yex-f-3x—2y = C. 1094. x sin (x-|- y) — C. 1095. x2 J- у 4-exl, = 2 1096. x(l + /y) + S1^--=C. 1098. у=4- + С1Х2 + С.гх + С3. 1099. I/=CIxH-
У	8
y2
-|-C2—xsinx—2cosx.	1100. i/ = Cjln|x|----^-Ч-Сг- HOI- l/ = /-a —
— 457 —
—cosfx + Cj). 1102. ay = b-{-C1sin (x Ya +C2).	1103. и = Cj sec Ct (x4-C2).
1104. 4y = x4 4-4хф-8. 1105. 225 (4/ — I)2 = 8 (x — l)s(3x4-2)2. 1106. и3—u = 3x. 1109.	4/ = С1еал4-Саезх. 1110.	4/ = C1-|-C2eJC4-Cse3*. ЦП. у = Сг +
+ e 3X(C2 cos 4x + C3 sin 4x).	1112. S=Ci4-Cal4-C3e-5t.	1113. y—ex X
X (Ci4-C2x4-C3x2). 1114. «/ = С1е_зл + Саезл + С3созх4-С451пх. 1115. y= •=Ct cos x + C2 sinx + C3 cos 5x +C4 sin 5x.	1116. x = Cie~*4-ea<(Ca4- Cst).
1117. y = ±-(ex—e~x). 1118. y=e“*(cos x-|-2 sinx). 1119. p — ae~a'f (1 4-atp).
1123. f/=e*4-ClCos2x4-C2sin2x. 1124. ?/ = C1e-a*4-Cae*—3x2—3x—4,5. 1125. y = e~3X(C1 + C1x)— 0,6cos x4-0,8 sinx. 1126. y^Cie~3X+C2ex + 4-C3fi“4-4- + -J+y ‘ ,,Z7’ x==C1e~/V2 4-C/Va 4-(2-Z)e-‘. 1128.?/ = = C14-Cae2X—x2—Зх. 1129. t/ = 3sin2x—7cos Зх—2sin3x. ИЗО. y = eaX— _1 ' X3-^X2-^X. 1131. x = C14-C2<4-(<4-C3)e-<4-ls-3<3. 1132.
У	lo Z/
1	X3 \
S = CI4-C2i4-C3/24-C4e-4'4-— (cos4x— sin4x). 1133. y=ex (Cj + Qc-Hr . Izo	о J
1134. y = C1e2X-t-C2eM+I+ex—xe2X. 1135. y=e2X (^C1 cos 3x4-Ca-sin 3x-f-4--|-sin3x^. 1136, y = (Cl + C2x—x2)cosx4-(C34-C4x)sinx. 1137. у1 = 2влг— —xe2X. 1138. j/j =e* (2 sinx—xcosx). 1139. yt =—	^2-|-~Og *) *
1140. 4/, = ^-^. 1141.	1142.//! =
+	,,43‘ Уа + 2х2|пСх=0- I*44- x=Ce~,iav—2(1 — sint/).
1145. x4-4/ = ln|(x4-l)(4/4-l)|. И46. sin-^-4-ln| x| = C. 1147. x3?/24-7x = C. 1148. 4/ = 2sin2x. 1149. xsint/=C. 1150. 2x3y3 = 3x24-C. 1151. 2(x4-t/)=n. 1152. xy=l. 1153. x-\-ye~x = C. 1154. y = ex (C,4-Cax4-2x2)4-e~x
4—=-(3 sin x4-4cosx). 1155. 4/= 1,54-e* (x2—3x4-3,5). 1156. 2x4-ctgt/= 1. 25
1157. i/ = C1x24-C2x 4-C34- In I sin x |. 1158. y=e~x (Cj -|- Cax)4- C3e2X—0,5 sinx. 1159. t/ = C1e-x4-ex(2x3—4x24-Cax4-C3)4-3(x4-l). 1160. y^C1ca^x-!r 4-Ca sin x4-x sin x-i-cos x in I cos x 1.	1161. y=e~ax ^Ci4-Cax 4-	.
1171. (x—2)24-(4/4-3)2 = C. Дифференциальное уравнение задачи Зф-4/ = =-?-;(2—х). 1172. xt/ = 12; у с'хЦ-х dy=0. 1173. ^-=kxt х=сеы\ при 1 = 0
х = а и с = а,
,	а	1п2	n leno
при 1=1600 х = —; k — —	; х = а-2	, при
2	1о00
1 = 100— = 2 18 а
dT
0.958. По истечении 100 лег распадается только 4,2 °/0
радия. 1174. ^-=Л(7’—20). 7 ='20 |-ccw; при 1 = 0 Т = ЮО; при 1 = 10 Т=60;
Or Я/
Т = 20 4-80-2-в,1(; при Г = 30 1=30 (мин.) 1175. 1,8кг; dx = — 6Q + <- ;
Х=(60+7)2 ’ **76* Сфера, образованная вращением окружности р=с вокруг диаметра, или поверхность, образованная вращением лемнискаты
— 458 —
p2=a sin (2фД-с) вокруг ее оси, если источник света помешен в полюсе. 1177. In + z/2=g ± arctg —. Расстояние от начала координат до каса-«	,1 II — ху' I	.
тельной Y — у=»у (X— к) равно дг д-bg- -, а до нормали равно а.2 =• V 1 + G/')2
==—=Ц=; dj=<i2; х+уу' = ± (у—ху'). 1178. S=s= 1313 л; т^=—/го;
о= 100;
Ino =—при t = 0 v<= 18 км!час = 300 м/мин", при
__t	t_
о = 300-3 ®~; 8 = -1™-3~й +с2; при 1=0 « = 0, с2 = — . 1179.	=
In 3	In 3	dt
^ — mg—kv2, t = -X_ farctgo0 _ arctg о V ag \	V g
fe
—; при v = 0 m
.	1	♦	1/ a „	1 , g + “fo
li = arctgon I/ —; S = =-ln—-----------= ; при
V ag	V g 2a g-f-av2 r
£ + “^	_	dv 2	1 . g
X In------. При падении -=- = ₽—av2, s = =- In----=
о_____	dt	2a	g—av2
/g	1	, V~ g 4- о V~a
— ----;	t = —== 1 n	; при
g + аод	2 l^ag	о \a
v = 0 Л = X 2<i
при s = h o2 =>
0 = V2	t-i =
1 o0 l^a+V g+av*	{?$ P
=	------P7------ ;o2<o0,Za>/1.1180.5? = -S; при 1 = 0 o = 0,
s=l, ln(s+Ks2—1) = 1 l/^-g-; при S=6	1,94 сек. 1181. —=yg(2s—19);
17g r____________
при 1 = 0 o = 0, s= 10;	1 (2s—19)2—1,
3
l = y^ln[2s-19 +
+ |/(2s—19)2— 1]; при s = 18 о =5:8,9 л/сек, /=5=3,4 сек.
dv 1182. m — = dt
=—kmg—av2, при
Л — Й+(Л + В)е2о/ В — А + (Л+В) e2Dt’
m , *mg + <202
o = o0 s = 0, s== - In ~------------=; при
2a kmg+av2 r
/ fie \ 2
1183. m—1г2 (	mg;
dt2 \ dt
o = 0 S] =>
В v—a—т-X fe
с , «г . (Л + В)еО‘— (Д — B)e~Dt .	.
S = at—fp 111 —1-------, где A=ofe,
]^mg, 0 = 11^
длина дуги, отсчитываемая
В = К
lim о = а——. 1184.	—gsinO, s —
k	dt2
4/20 , £ й n
от положения равновесия, или ^2"+Д° = и
(для окружности S = 01); при 1=0 ^=0> 0=0о> O = 0ecos(l у — I ; _____________________________
период колебания 7= 2л 1/ — . 1185. ~ + —- ~г,	0 = 0; 0 = 0ое 2"‘Х
г (J	Cll П1 Cl I	I
X (cos at -)-b sin at), a=° 1/4—-г—s, b=^—; T = — . 1196. i/ = l-)-x4-'	1	’ Г I 4m2 2am a
— 459 —
+ ух2 + ...: »=l+x+U... 1197. 0=1+1-+* +*+...; 0 = х + z	Z! о! D!
I . *4	*5 I коя	. ,	, X4 . Хв , X8 ,	Зх2 , X4
+ 2!+4! 51+”‘	98’ г/‘=’1+х + 12 + 20 + 672 + "-: У=3-Г+Т~
Зх8 х8
80 +2688
1199. 0 = х+ У, М = 1
2-5-8 ... (Зп-1) (Зя+1)1
— оо <х< + оо;
У ° У 1>"~* ;о*  jfi . —оо <х< + оо. 1203. у-=(\е зХ + С2ех, z = /1 = 1
= у С1е-зх—С2ех. 1204. u = Cj(l+2f)—2С2—2cos t—3 sin £, v=C2—Ctt + + 2sini 1205. и = Cle2x + Cse~x + C3e~2x, v = C,e2x + C2e~x—Cse~2x, ^2€\e2X-C.2e~x. 1206. x = (Cl + C2—C1t)e~2‘,	x=.e"21;
0 = — e~2'. 1207. u=C1e“4x+C2e4X+ 0,3 sin2x, t^C^-4* —C2e4X + 0,l cos2x.
u = 0,3sin2x, n = 0,lcos2x. 1210. и (x, i)= У a„cos	sin
n 2/	21
ч=о t	+ co
J q) (x) sin	dx. 3211. и (x, 0= ae~Kta 1 sin XxdX, a (1) -=>
о	о
+ co	+ao ПЛ//	nsiy
— — C <p (z) sin X г dz. 1212. и (x, у) = У (ane a + P„e ° \ sin ;
о	4=1 4
пзтЬ	млб
ап=л(/2-/1е“). ₽п = л(/1е~-/Л Л =--------------nn/2- nnb-.
I	. ftJVA .	.	1	. ИЛЛ .
«=- \ (pt (x) sin ax, /2= \ Ф2 W sin ax.
0
0
617-29
Григорий Иванович Запорожец
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ •
Редактор А. И. Селиверстова Художественный редактор А. К- Зефиров Художник В. Н. Панферов Технический редактор Н. Н. Баранова Корректор Л. П. Тарасова
Т-05237. Сдано в набор 4/ХП-65 г. Подп. к печати 1IJV-66 г.
Формат 60х901/1в- Объем 29 геч. л. Уч.-изд. 26.92 п.
Изд. № ФМ-312. Тираж 300 000 экз. Цена 1 руб.
Тематический план. Изд-ва «Высшая школа? (вузы и техникумы) на 1966 г. Позиция Хе 49
Москва, И-51, Неглииная ул., д. 29/14
Издательство «Высшая школа»
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполнграфирома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28. Заказ № 3201
2-2-3
49-66