Текст
Г. И. ЗАПОРОЖЕЦ
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Издание четвертое
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов втузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —1966
517-29
2-2-3
49-66
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 6
Глава 1. Введение в анализ .......................................
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение 7
§ 2. Область определения (существования) функции ... 12
§ 3. Построение графика функции по точкам ...... 14
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и дефор-
мации известного графика другой функции...............20
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество.
Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Предел функции.................23
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах........30
§ 7. Вычисление пределов.............................33
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов........45
§ 9. Сравнение бесконечно малых......................46
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции...........48
Глава II. Производная и дифференциал функции...................... 57
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение.
Непосредственное нахождение производной.............57
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригоно-
метрических функций...................................60
§ 3. Производная сложной функции.....................63
§ 4. Производные показательных и логарифмических
функций...............................................66
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций 67
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование...........69
§ 7. Логарифмическое дифференцирование...............71
§ 8. Производные высших порядков................... 73
§ 9. Производные неявной функции.....................75
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически 78
§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между
двумя кривыми.........................................79
§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость
и ускорение прямолинейного движения................. . 85
§ 13. Дифференциал функции ...........................88
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифферен-
цирование. Касательная к пространственной кривой 90
§ 15. Скорость и ускорение криволине иного движения , . 93
Глава III.
Исследование функций и построение их графиков .... 95
§ 1. Теорема (формула) Тейлора....................95
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению
предела функции...................................105
§ 3. Возрастание и убывание функции...............ПО
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции .... 111
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . .118
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях ве-
личии.............................................121
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба 127
§ 8. Асимптоты...................................130
— <3 —
§ 9. Общая схема исследования функций и построения их
графиков......................................134
§ 10. Приближенное решение уравнений...............144
§ 11. Кривизна плоской кривой .................... 149
Глава IV. Неопределенный интеграл.............................154
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Основные формулы интегрирования ...................154
§ 2. Интегрирование посредством разложения подынте-
гральной функции на слагаемые......................159
§ 3. Интегрирование посредством замены переменной . . 161
§ 4. Интегрирование по частям......................163
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный
трехчлен...........................................166
Г Ах+В , Г Ах + В . С .___________
I о . «... . I " > : _ uXI I 1/лу2 I I /,/fy
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций ... 170
§ 7. Интегрирование рациональных функций ...........173
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 178
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалге-
браических) функций.................................182
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование............183
Глава V. Определенный интеграл...............................184
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных
сумм, его свойства и связь с неопределенным инте-
гралом .............................................184
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле ... 186
§ 3. Схема применения определенного интеграла к вычис-
лению различных величин. Площадь плоской фигуры 189
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений 196
§ 5. Объем тела вращения ...........................199
§ 6. Длина дуги плоской кривой......................202
§ 7. Площадь поверхности вращения...................205
§ 8. Физические задачи..............................209
§ 9. Координаты центра тяжести......................223
§ 10. Несобственные интегралы........................225
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 230
Глава VI. Функции многих переменных..........................236
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и об-
ласть определения ..................................236
§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность 239
§ 3. Частные производные функции многих переменных 241
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных . . . 243
§ 5. Дифференцирование сложных функций..............246
§ 6. Дифференцирование неявных функций..............248
§ 7. Частные производные высших порядков............249
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 252
§ 9. Экстремум функции многих переменных .......... 254
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . 256
Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . 261
§ 1. Двойной интеграл, его вычисление двукратным
интегрированием ................................... 262
§ 2. Д ойнойриитеграл в полярных координатах .... 271
§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла 274
§ 4. Вычисление объема тела ........................277
— 4 —
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции .... 281
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным
интегрированием ................................ 286
§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 293
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и усло-
вие независимости от линии интегрирования . . . 301
§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных
интегралов.........................................307
§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311
§ 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведе-
нием к двойным интегралам .........................313
§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных
интегралов.........................................322
Глава VIII. Элементы теории поля................................328
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Гра-
диент ........................................... 328
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля .... 333
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля..............338
Глава IX. Ряды.................................................342
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необ-
ходимый признак сходимости ряда. Достаточные
признаки сходимости рядов с положительными чле-
нами ..............................................342
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопере-
менного ряда. Признак сходимости знакочередую-
щегося ряда....................................347
§ 3. Функциональные ряды.........................350
§ 4. Ряды Тейлора................................354
§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов
к приближенным вычислениям..................358
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 365
§ 7. Ряды Фурье.......................................369
§ 8. Интеграл Фурье...................................382
Глава X. Дифференциальные уравнения..........................386
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий
и частные интегралы................................386
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными .... 389
§ 3. Однородные уравнения первого порядка ........... 391
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения
Бернулли...........................................393
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах................396
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие пони-
жение порядка......................................397
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами.......................400
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших поряд-
ков с постоянными коэффициентами ..................403
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений
разных типов .....................................411
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411
§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования урав-
нений первого порядка..............................425
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов . . . 427
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений. . 431
§ 14. Уравнения математической физики.................435
Ответы............................................................443
— 5 —
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Руководство» предназначено для студентов высших техничес-
ких учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно,
без повседневной квалифицированной помощи преподавателя,
изучает математический анализ и желает приобрести необходи-
мые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы,
формулы и другие краткие сведения по теории и методические
указания, необходимые для решения последующих задач; затем
приводятся подробные примерные решения типичных задач
с краткими пояснениями теоретических положений; в конце
каждого раздела содержится достаточное количество методически
подобранных задач для самостоятельного решения с ответами
к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по мате-
матическому анализу для машиностроительных, приборострои-
тельных, механических, энергетических и строительных специ-
альностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов
технологических специальностей, которые могут опустить те
разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу
математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный
минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены
для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не пре-
вышают требований программы.
Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение
некоторых вопросов и надеется, что будет иметь возможность
устранить этот недостаток в следующем издании.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Предметом математического анализа является изучение пере-
менных величин и зависимостей между ними.
Понятия о функции и о пределе переменной величины состав-
ляют основу математического анализа.
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение
Интервалом от а до b называется совокупность всех чисел х,
удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
1) a^x^tr, 2) а<_х<.Ь; 3) а^х<Ь\ 4) а<х^Ь.
Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается
[а, Ь]\ открытый интервал 2 обозначается (а, Ь)\ полуоткрытые
интервалы 3 и 4 обозначаются соответственно [а, Ь) и (а, Ь].
Переменной называется величина, принимающая различные
числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех
принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного
или нескольких интервалов и из отдельных точек.
Взаимосвязанное изменение переменных называется функцио-
нальной зависимостью.
При изучении функциональной зависимости между двумя
переменными полагают, что одна из них является независимой
переменной, которой можно придавать произвольные значения
из области ее изменения, а другая — зависимой от нее. Незави-
симая переменная называется аргументом, а зависимая —
функцией.
Н. И. Лобачевскому принадлежит следующее определе-
ние понятия функции: переменная у называется функцией пере-
менной х, если каждому значению х, из области ее изменения,
соответствует определенное значение у.
Для сокращения записей употребляется символическое обоз-
начение функций: y = f(x), S = <p(/), u = F(v),...
Если функция от х обозначена символом Р (х), то Р (а) обоз-
начает частнсе значение этой функции при х = а.
— 7 —
Так, если Р (х) = х2 + 2х— 5, то
Р(3) = 32 + 2-3-5= 10; Р(0)=— 5; Р(а) = аг + 2а-5.
Основными элементарными функциями называются: 1) степен-
ная функция у = х"; 2) показательная функция у = ах, а>0;
3) логарифмическая функция y = \ogax, а>0; 4) тригонометриче-
ские функции y=sinx, y — cosx, y = tgx, y = ctgx, y = szcx,
у = cosec х; 5) обратные тригонометрические функции у = arc sin х,
г/= arc cos х, z/ = arctgx, z/ = arcctgx.
Функции, заданные одной формулой посредством конечного
числа арифметических действий и операций, определяемых
основными элементарными функциями, называются элемен-
тарными. Например:
</ = 5x3sin2x;
» Z2 С? Y___Y
Все остальные функции называются неэлементарными.
Например, неэлементарной является функция, определяемая
несколькими различными формулами для различных интервалов
изменения аргумента:
J х3 при х<0
( х + 2 при х>0.
Функция f(x), обладающая свойством f(x) = f( — х), назы-
вается четной, например х2, cosx, а обладающая свойством f(x) =
= — f( — х), называется нечетной, например х3, sinx. Многие
функции не являются ни четными, ни нечетными, например
ах, ]^х.
1. Определить и построить на числовой оси области измене-
ния переменных х, t и а, заданные следующими неравенствами:
1) х2<4; 2) |/-2|>3; 3) -9<1-2а<5.
Решение. 1) Извлекая квадратный корень из обеих частей
первого неравенства, получим х|^2. Отсюда следует, что
—2=сх«^ 2. Эти неравенства и определяют собой область измене-
ния переменной х, т. е. совокупность принимаемых ею числовых
значений. Она представляет закрытый интервал или отрезок
[—2; 2]. Построим этот отрезок на числовой оси Ох (черт. 1);
он будет симметричен относительно начальной точки х = 0.
-О .. I Ч.. о
-2-1012
-1 О
+ ОО
5 t
Черт. 1
Черт. 2
— 8 —
2) Избавляясь от знака абсолютной величины в неравенстве, со-
держащем t, получим два неравенства: t — 2< — 3 и/ —2>3.
Разрешая их относительно t, найдем £<—1 и £>5. Следова-
тельно, область изменения переменной t (черт. 2) состоит из
двух бесконечных открытых интервалов ( — оо; — 1)и(5; Ч-оо).
3) Решаем неравенства, содержащие а. Вычитая из всех
частей неравенств по единице и затем деля их на —2, получим
— 10sC — 2а <4, — 2<а<5.
Следовательно, область изменения переменной а (черт. 3) представ-
ляет полуоткрытый интервал (-—2; 5).
2. Вычислить частное значение
------Г"' | ' — о —
-2 0 5 сс
Черт. 3
1) f(x) = ]/x2-5x-|-4
а) при х = 0; б) при х = а4-1;
2) <p(x) = 2arcsinx + arctg2x при х= —
3) у — х2 arc cos у — Зх arc etg х. при х= —1.
Решение. 1а) Подставляя значение х = 0, получим соот-
ветствующее частное значение функции f (х):
f (0) = /02-5-0 + 4 = К4 = 2.
Здесь взято арифметическое значение корня, а не ±2.
Вообще в математическом анализе рассматриваются только
однозначные функции, которые могут иметь только одно значе-
ние при каждом значении аргумента.
16) При х = а + 1 частное значение функции f(x) будет
f (а + 1) = V(a + 1)2- 5(a +1)4-4 = /а2 - За.
2) Частное значение функции ф(х) при х=—
= 2 arc sin
7
12 Я-
Здесь учтено, что arc sin х и arc tgx —однозначные функции,
Л ТС * л
изменяющиеся между и у . При х>0 их значения бе-
рутся в первой четверти, а при х<0 — в четвертой.
* — у <arcsinx<— ; — — <arctgx<y.
— 9 —
3) При х =—1 частное значение функции у будет
у (— 1) = (— 1)2 arc cos ( — -0 - 3 (— 1) arcctg (- 1) =
2 .9 35
— 3 л + 4 л — 12л,
так как arc cos х и arc etgx—однозначные функции, изменяю-
щиеся от 0 до л*. При х>0 их значения берутся в первой
четверти, а при х<0 — во второй.
3. Найти корни хх и х2 функции F{x) — x2-\- 10x4-9 и вычис-
лить ее частные значения при х, равном среднему арифмети-
ческому и среднему геометрическому этих корней.
Решение. Корнями функции называются значения аргу-
мента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции F (х), приравняв ее нулю:
х24-10x4-9 = 0, откуда Хг=—9, х2=—1.
Среднее арифметическое корней хх и х3 равно их полусумме
—2^ = —g—=—-5, а среднее геометрическое —квадратному
корню из их произведения }/*Л = 1/9 = 3. Искомые частные
значения функции F (х) будут:
F (—5) = ( —5)24-10( —5)4-9 = -16;
Р(3) = 32 4- 10-34-9 = 48.
1 2
4. Дана функция Р (х) = х2 — 2х 4-Показать, что
/>(!)=₽(*).
Решение. Найдем Р (-^ , подставляя — вместо х в данное
у х у X
аналитическое выражение функции Р (х),
Следовательно, Р^^=Р(х) при любом значении х. На-
пример,
р ^1)=Р(2)=-|; Р(— 10) = Р( —0, 1)=120,21.
* 0<arc cos л:л; 0 < arc etg х < л.
— —
5. Определить, какая из данных функций является четной,
нечетной или не четной и не нечетной:
1) 2) <P(*W-2*4 + sin2r,
3) п(х)=х3 + 2х-1; 4) ^(х)=|±^.
Решение. Чтобы определить, будет ли некоторая функция
Q(x) четной или нечетной, необходимо найти Q(—x).
Заменяя х через — х, получим:
1) х)_ (—-И2 _—_—Д1_
’ ' ' ' sin2(—х) —sin2x stn2x
т. е. f( — х) — — f(x), значит, функция f(x) нечетная;
2) ф (— х) = 4 — 2 (— х)4 + sin® (— х) = 4 — 2х4 Ц- sin2 х,
т. е. ф(— x) = tp(x), следовательно, функция ф(х) четная;
3) н(-х) = (-х)3 + 2(-х)-1 = —х3 —2х—1,
здесь и(— х)У=н(х) и и(— х)=^= — и(х), поэтому функция н(х)
не четная и не нечетная;
.. , . 1Ц-а~кх а** 4-1
4) у( — х) = — -=—4—
1— a~kx akx—1
(числитель и знаменатель первой дроби умножены на акх), т. е.
у(— х) = — у(х), следовательно, функция у(х) нечетная.
6. Построить на числовой оси области изменения переменных,
заданные следующими неравенствами:
1) |х|<4; 2) (у-1)2^9; 3)-3<z + l<4; 4)2|х|+3>5.
7. /(х) = ха + 3х —1; вычислить: f(0), f(2), f( — 1), f (a + 1),
f(a) + l, f(a2), [f(a)]*.
« “ай™ f(0>’ f(2>’ F{i)- f(4)'
f (6)-F(l) + 7F(-l).
9. (p(0-/2; найти: 1)^Ьг-Ф(а); 2) .
10. f(x) —x2, ф(х) = х3; показать, что /Гт(2)1 = фff(2)1;
Ф(1+/(1)] = 2Л1+Ф(1)1.
11. Определить, какая из данных функций четная, нечетная
или не четная и не нечетная:
1) у = 3х—2 у^х; 2)z —5xsin3x; 3)ц = |/|— /3;
4) v = [х|ctg2x; 5) w=а2 +1a + 21; 6) х = ^=^.
— 11 —
§ 2. Область определения (существования) функции
Областью определения функции называется совокупность всех
точек числовой оси, в которых она имеет определенные действи-
тельные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет
не вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для
функции у = Vx областью определения является полуоткрытый
интервал 0^х<4-оо; для функции = область опреде-
ления состоит из двух интервалов: —оо<х<1 и 1<х<-|-оо.
Основные элементарные функции имеют следующие области
определения:
степенная функция у = хп с рациональным положительным по-
казателем п = — при нечетном 0 определена на всей числовой
оси —оо<х<-|-оо, а при четном 6 определена в интервале
0<х<-<-оо *;
показательная функция у=ах, а>0 определена на всей
числовой оси;
логарифмическая функция у — ^а^, а>0 определена в ин-
тервале 0<х<4-оо;
тригонометрические функции y — smx, y = cosx определены
па всей числовой оси; y = tgx, y = secx определены на всей
числовой оси, исключая точки xk = (2k+ 1)-у, k = 0, ± 1,
±2, ...; у —ctgx, y^cosecx определены на всей числовой оси,
исключая точки xk~kn\
обратные тригонометрические функции у = arc sin х,
у = arc cos х определены на отрезке —1 «S х sg I; y = arctgx,
arc ctgx определены на всей числовой оси.
При нахождении области определения элементарной функ-
ции, заданной формулой y = f(x), нужно обращать внимание на
следующие элементы формулы:
1) на радикалы четной степени—функция будет определена
только для тех значений х, при которых их подкоренные выра-
жения будут неотрицательны;
2) на знаменатели дробных выражений—функция будет опре-
делена только для тех значений х, при которых знаменатели
отличны от нуля;
3) на трансцендентные функции logo, tg v, etgo, seco, cosec о,
arc sin о, arc coso, которые определены не всюду, а только при
указанных выше значениях своего аргумента о.
Если эти перечисленные элементы отсутствуют в формуле
уf (х), то областью определения функции у будет вся число-
* При Р=1 показатель п будет целым числом.
— 12 —
вая ось (исключая те случаи, когда область определения функ-
ции ограничивается специальными условиями задачи).
12. Найти область определения каждой из следующих
функций:
I) 2) и =
3) о = ate cos 5) q-log, (x2 — 9).
Решение. 1) Поскольку аргумент х содержится под ради-
калом четной степени, то функция у будет иметь вещественные
значения только при тех значениях х, при которых подкорен-
ное выражение будет неотрицательно, т. е. 1—х2^=0. Решая
это неравенство, получим
х2 sS I; |x|sd; —l^x^I.
Следовательно, область определения функции у есть отрезок
[-1; И.
2) Здесь аргумент х содержится в знаменателе дроби. Поэтому
х не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель
в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв
знаменатель нулю, найдем эти значения х:
х2 —5х -1-6 — 0; Xi == 2; х2 = 3.
Второе слагаемое в выражении функции и не накладывает
никаких ограничений на значения х, поскольку показатель
радикала нечетный. Следовательно, областью определения функ-
ции и является вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3.
3) Функция v будет определена только для тех значений х,
।__________________2я
для которых —IsS—з—< 1. Решив эти неравенства, получим
-кх<2.
Отрезок [—I; 2] и является областью определения функ-
ции V.
4) Найдем значения х, которые обращают знаменатель функ-
ции р в нуль: sinx = 0; xk = kTt\ & = 0, ±1, ±2, ...
При этих значениях х функция р не имеет никаких значений.
Областью определения функции р является вся числовая
ось, кроме точек хй.
5) Логарифмическая функция q определена только для поло-
жительных значений своего аргумента (логарифмируемого выра-
жения), поэтому х2 —9>0.
Решая это неравенство, получим | х | > 3, откуда следует,
что —оо<х< —3 и 3<х<Ч-оо, т. е. область определения
функции q состоит из двух бесконечных интервалов (—оо; —3)
и (3; 4- оо).
— 13 —
13. Найти области определения функций и построить их на
числовой оси:
1) У = 2) г =
31 а*+1 4) Г — 1/ Ч1П со*
° 7 1+К а4 —9’
5) 1-Ух V = -у~=‘, У 3 cos 2х 6) и= 1g (х — 1) -4- arc sin у.
§ 3. Построение графика функции по точкам
Наглядное графическое изображение функциональной зави-
симости между двумя переменными х и у можно получить, рас-
сматривая значения этих переменных как координаты точек на
плоскости.
Графиком функции, заданной уравнением y = f(x), называется
совокупность всех точек плоскости, координаты которых удов-
летворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую
линию.
Построение графика аналитически заданной функции по
точкам выполняется в следующем порядке:
1) по данному аналитическому выражению функции состав-
ляется таблица соответствующих друг другу значений пере-
менных;
2) выбирается система координат с подходящими единицами
масштаба для каждой переменной.
Обычно применяется прямоугольная система координат
и одна общая единица масштаба для обеих координатных осей;
3) строятся точки, координатами которых являются соответ-
ствующие друг другу значения аргумента и функции, содержа-
щиеся в таблице;
4) полученные точки соединяются плавной линией.
Построенный этим способом график функции будет тем точ-
нее, чем больше значений переменных содержится в таблице,
чем больше точек будет нанесено на координатную плоскость.
Построение графика функции упрощается, если она является
четной, нечетной или периодической. Г рафик четной функции
симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции
симметричен относительно начала координат-, график периоди-
ческой функции получается путем повторения части ее гра-
фика, соответствующей одному периоду.
14. Построить графики функций:
1) у — хг— 2х— 1 на отрезке [—2; 4];
2) У = — jqpr на отрезке [—5; 5];
3) у — 7х2— 100+хг на отрезке |х|^7;
— 14 —
4) f/ = x2 — 4|x—1 ]+1 на отрезке [—6; 5];
5) ^ = 1^—1 между точками пересечения с осью Ох.
Решение. 1)В условии задачи указано, что независимой
переменной х можно придавать только значения, заключенные
на отрезке [—2; 4]. Учитывая это, составим следующую таб-
лицу, беря для простоты только целые значения х и вычисляя
из данного уравнения соответствующие значения у:
X У
—2 7
—1 2
0 -1
1 —2
2 — 1
3 2
4 7
Введем прямоугольную систему координат, как показано на
черт. 4, с одинаковыми единицами масштаба, которые указаны
числовыми пометками на координатных осях.
Построим точки, откладывая содержащиеся в таблице зна-
чения аргумента х по оси абсцисс, а значения функции у по
оси ординат. Соединим полученные точки плавной кривой,
которая и будет графиком данной функции. Эта кривая назы-
вается параболой.
Вообще графиком всякой квадратной функции у — ах2-\-Ьх + с
является парабола, ось симметрии которой параллельна оси Оу.
2) Функция у =----2-т-г—нечетная, так как для нее у(—х) =
х ~г *
=—у(х). Для значений аргумента, отличающихся только по
знаку, значения нечетной функции будут также отличаться
только по знаку. Поэтому при составлении таблицы здесь доста-
точно вычислить изданного уравнения значения функции только
для положительных значений аргумента. Значения функции
для отрицательных значений аргумента получим путем простой
перемены знаков.
Выберем систему координат с одинаковыми масштабами на
координатных ося.х (черт. 5).
Построим точки для каждой пары числовых значений х и у,
которые содержатся в строках таблицы. Соединяя эти точки
— 15 —
плавной кривой, получим
начала координат.
К У
0 0
±1 Т2
±2 00 |ю н-
±3 : «О |iO н-
±4 -г 16 Т 17
±5 _ ю Т 3
график, симметричный относительно
3) Функция у = 7х2 — 100 ]/1 + х2
является четной, так как при пере-
мене знака у любого значения аргу-
мента значение этой функции не из-
меняется, у{—х) = г/(х). Поэтому
здесь при составлении таблицы до-
статочно вычислить значения функ-
ции только для положительных зна-
чений аргумента; значения функции
для отрицательных значении
Составив таблицу, замечаем,
X У
0 —100
±1 7—100 /2 = —134
±2 28—100 /^ —195
±3 63—100 /Тб sis—253 -
±4 112—100 /17 =—300
±5 175—100/26 =—335
±6 252—100/37 =—356
±7 343—100/50 ==—364
аргумента будут те же.
что значения аргумента есть
числа 1-го порядка, тогда как
значения функции—числа 3-го
порядка. Поэтому для построе-
ния соответствующих точек
берем разные масшта-
— 16
бы абсцисс и ординат; они показаны числовыми помет-
ками на координатных осях* (черт. 6).
График данной четной функции симметричен относительно
оси ординат.
4) Составим таблицу значений функции у = х2—4|х—11Ц-1
для значений аргумента х, заключенных на отрезке [—6; 5J.
Затем строим точки и, соеди-
няя их сплошной линией, полу-
чим искомый график (черт. 7).
Данная функция не является
четной или нечетной. Поэтому ее
график не симметричен ни относи-
тельно оси Оу, ни относительно
начала координат.
X У
—6 9
—5 2
» —4 —3
—3 —6
—2 7
—1 —6
0 —3
. 1 2
2 1
3 2
4 5
5 10
5) Абсциссы точек пересечения графика данной функции
с осью Ох найдем из данного уравнения, зная, что в этих точ-
ках ордината у = 0. При у = 0, 16—х2 = 0, откуда х=±4.
Далее составляем таблицу значений данной четной функции на
отрезке [—4; 4] и строим ее график (черт. 8).
Когда х приближается к нулю слева или справа, значения
функции и ординаты ее графика неограниченно возрастают.
При х = 0 функция не имеет никакого числового значения, ее
график состоит из двух отдельных бесконечных ветвей.
* Порядком числа | N j 1 называется число его цифр до запятой,
а порядком числа [ W [ < 1 называется число нулей после запятой до пер-
вой значащей цифры, взятое со знаком минус.
— 17
15. Построить на одном чертеже графики функций ^=1 4-
4-уХ и ^2 = sinx. Путем сложения ординат полученных линий
построить график функции у= 1 4- yx-f- sin х.
X У
±0,5 63
± 1 15
±2 3
±4 0
Решение. График всякой линейной функции есть прямая
линия. Поэтому для построения графика первой данной функ-
ции, которая является линейной, достаточно иметь две пары
соответствующих друг другу значений переменных, т. е. две точки.
Для построения графика второй данной функции берем зна-
чения х в радианах, а значения у2 из тригонометрических таб-
X 0 2
У1 1 2
X 0 л И л 3 л т 2л 5л л 7л 6 4л т Зл 5л 11л 6 2л
3 6 2
У* 0 0,5 0,9 1 0,9 0,5 0 —0,5 —0,9 —1 —0,9 -0,5 0
X у
—1 —2,1
0 0,5
1 —0,9
2 —1,5
3 3,5
— 18 —
лиц. Учитываем также периодичность этой функции: построив
ее график на протяжении одного периода [0; 2л], затем повто-
ряем его. Алгебраически складывая ординаты точек линий yt
и у2, имеющих одинаковые абсциссы х, получим искомый график
функции У — У1+У2 (черт. 9).
16. Найти приближенные значения кор- 1
ней функции у = 0,8х3 — 2х2—0,2х-|-0,5, I
построив ее график на отрезке [—1;3]. |
Решение. Корни функции, т. е. зна- /
чения аргумента, обращающие ее в нуль, 1 I
можно найти как абсциссы точек Пересе- J
чения графика функции с осью абсцисс, так Гх~
как в этих точках у = 0. / \ I
Составив таблицу числовых значений /
переменных х и у, построим график данной /
функции (черт. 10). Из чертежа находим
искомые приближенные значения корней Черт'
функции: х^—0,4; х2 » 0,5; х3 « 2,6.
17. Построить по точкам на отрезке [—3; 3] графики сле-
дующих функций:
1) У = ^^\ 2)у=1-2х; 3) —|ха—Ц;
| 1—х при х^О
4) при х>0.
18. Найти области определения функций и построить их
графики:
1) ^ = 2/х + /б=х; 2) i/ = x]/8^P;
3)* t/ = Vx2—1 —1/16—х2; 4)* i/ = 4]/|xj — /х3.
19. Построить графики функций между точками пересечения
с осью Ох:
1) у = 6х — хг; 2) z/ = ^(x3~12x2 + 36x);
3) У = Х~^2^ 4)* 0 = |х-2(-3.
20. Построить графики функций между точками пересечения
с осями Оу и Ох:
1) y = 2-f/2T=8-, 2)у = х^, 3)* i/-|x2-6x|;
I 10 —х при х<5
’ У\ 14х-х2-40 при х^5.
— 19 —
§ 4. Построение графика функции путем сдвига
и деформации известного графика другой функции
Зная график какой-либо функции, можно построить графики
многих других более сложных функций чисто геометрическим
путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции y = f(x), можно посредст-
вом его сдвига или деформации построить графики для функ-
ций вида
y = f(x~a), y = f(.x) + b, y = Af(x),
y — f(kx), y = Af\k(x — a)] + b.
График функции y = f(x—а) получается из исходного графика
путем сдвига его вдоль оси абсцисс на а масштабных единиц
этой оси, вправо при а>0 и влево при а<0 (черт. 11).
График функции y = f(x) + b получается из исходного графика
путем сдвига его вдоль оси ординат на b масштабных единиц
этой оси, вверх при fe>0 и вниз
при ЬсЬ (черт. 11).
График функции у = А[(х) полу-
чается из исходного путем умноже-
ния ординат его точек на коэффи-
циент А. При этом, если |Л |> 1,
то ординаты всех точек исходного
графика увеличиваются по абсолют-
ной величине в | А | раз, если | А | <1,
то они уменьшаются по абсолютной
величине в -|-д-|-раз, если Л<0, то
изменяются еще и их знаки. График
функции у = Af (х) при Л<0 будет симметричен графику функ-
ции у = \ А | f (х) относительно оси абсцисс (черт. 12).
График функции y = f(kx) получается из исходного графика
путем деления абсцисс его точек на коэффициент k. При этом,
если |&|>1, то абсциссы всех точек исходного графика умень-
шаются по абсолютной величине в |fc| раз; если |&|<1,тоони
Черт. 12 Черт. 13
-20 —
увеличиваются по абсолютной величине в щ- раз; если k<zO,
то изменяются еще и их знаки. График функции y — f(kx), при
&<0, симметричен графику функции г/ = /(|£|х) относительно
оси ординат (черт. 13).
Выполняя указанные сдвиги и деформации графика функции
у ~ f (х) в последовательном порядке, одно вслед за другим,
можно строить графики и для функций более сложного вида:
y = Af\k(x—a)]-\-b. (1)
21. Построить по точкам график функции у —Ух на отрезке
[0; 9] и затем, исходя из этого графика, путем последовательных
деформаций его и сдвигов, построить график функции у =
= 2 /—3(х+1,5) -1,2.
Решение. Составим таблицу соответственных значений
переменных х и у для функции у —Ух и построим ее график
(черт. 14).
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 0 1,0 1,4 1,7 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Обозначим функцию У и символом f(u). Тогда данная функ-
ция преобразуется к виду
?/= 2/[—3 (x-f-1,5)]—1,2.
Сопоставляя ее с выражением (1), находим следующие зна-
чения параметров: А = 2; й = —3; а = —1,5; Ь = — 1,2.
— 21 —
Далее, согласно общим указаниям, строим искомый график
следующим путем: _
увеличивая в 2 раза ординаты точек графика функции y — Vx
и сохраняя неизменными их абсциссы, строим график функции
y = 2.Vx\
уменьшая в 3 раза абсциссы точек графика функции y = 2V х
и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции
у = 2 ]ЛЗх;
меняя знаки у абсцисс точек графика функции z/ = 2]/3x
и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции
у —2 К—Зх (графики функций г/ = 2]/Зх и у = 2У — Зх симме-
тричны относительно оси ординат);
перенося точки графика функции у = 2]Л—Зх в направлении
оси абсцисс на 1,5 единицы масштаба этой оси влево, строим
график функции у— 2~У—3(х4- 1,5); перенося точки графика
функции y = 2V—3(х+ 1,5) в направлении оси ординат на 1,2
единицы масштаба этой оси вниз, строим искомый график функ-
ции у = 2^—3(х+1,5)—1,2.
22. Исходя из графика функции z/ = sinx, путем его дефор-
маций и сдвигов построить график функции у = —• 3 sin (2x-j- 8).
Решение. Заменяя в выражении (1) символ произвольной
функции f символом тригонометрической функции sin, получим
у— A sin k (х — а) 4- Ь. (2)
Преобразуем данную функцию:
у = — 3 sin (2х 4- 8) = — 3 s'in 2 (х 4- 4)
и, сопоставляя ее с выражением (2), определим следующие зна-
чения параметров: А =— 3; 6 = 2; а — — 4; Ь — 0.
Построение искомо-
го графика выполняем,
руководствуясь общими
указаниями:
увеличивая в 3 раза
ординаты точек графи-
ка функции y=sinx
по абсолютной величи-
не, меняя их знаки и
сохраняя неизменными
абсциссы, строим гра-
фик функции у —
——3sinx (черт. 15);
— 22 —
уменьшая в 2 раза абсциссы точек графика функции у =
= — 3 sin л: и сохраняя неизменными их ординаты, строим график
функции у =— 3sin2x;
перенося точки графика функции у = — 3 sin 2х в направлении
оси абсцисс на 4 единицы масштаба этой оси влево, строим
искомый график функции у = — 3 sin 2 (х-|-4).
Пользуясь периодичностью данной функции, полученный
график можно продолжить в обе стороны.
23. Построить по точкам на отрезке [— 4; 4] график функции
</ = х2 и затем путем его деформаций и сдвигов построить (на
отдельных чертежах) графики следующих функций:
1) у = 2х2—5; 2) у = 3-f; 3) z/ = l(x-2)2-1.
24. Исходя из графика функции y — ]Sx (черт. 14), путем его
деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики
следующих функций:
1) у=1+/2х; 2) ^ = 3/=^2х-2;
3) у = 2-3/х+5; 4)* у = 1/2х^6-5.
25. Зная график функции у= sin х (черт. 9), путем его дефор-
маций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики
следующих функций:
1) у = 2 sin (х+ 1); 2) z/=l + 3sin2x;
3) у —— 2sin3(x— 1); 4)* у = 2 — sin-Цр.
26. Зная график функции t/ = cosx*, путем его деформаций
и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики функций:
1) «/=1 —ycosx; 2) «/ = 2,3 + 4cos(l,4 —х);
3) у = — 4cos(2x + 3); 4)* «/ = 4,2-3cos
О
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество.
Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Предел функции
Переменная величина определяется не только множеством тех
числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком,
в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математи-
ческом анализе переменная рассматривается как множество
чисел, расположенных в известной последовательности, т. е. как
упорядоченное числовое множество.
* Его можно взять из учебника.
— 23 —
Простейшим частным случаем переменной является такая
величина v, последовательные значения которой могут быть
перенумерованы: щ, v2, v3, ... , vn,...
Такое простейшего вида упорядоченное числовое множество
называется числовой последовательностью.
I. Число а называется пределом переменной х, если абсолют-
ное значение их разности а — х для всех значений х, следующих
за некоторым значением х0, будет меньше любого заранее дан-
ного положительного числа 8, как бы мало оно ни было.
II. Переменная а называется бесконечно малой, если все ее
значения, следующие за некоторым значением а0, по абсолют-
ному значению будут меньше любого заранее данного положи-
тельного числа 8, как бы мало оно ни было.
III. Переменная z называется бесконечно большой, если все ее
значения, следующие за некоторым значением г0, по абсолютному
значению будут больше любого заранее данного положительного
числа N, как бы велико оно ни было.
Если число а есть предел переменной х, то говорят, что х
стремится к а и пишут: \тх = а, или х—>а.
Бесконечно большая величина z не имеет предела, однако
для сокращения речи и записей условно говорят, что z стремится
к бесконечности, или предел г равен бесконечности, и пишут
г—> оо, или limz = oo.
Говорят и пишут также, что z—»- + оо, limz=+oo, или
z—> —оо, limz = — оо, если все значения бесконечно большой z,
следующие за некоторым значением z0, сохраняют положительный
или отрицательный знак.
Из определений предела переменной, бесконечно малой и
бесконечно большой величин следует:
1) предел бесконечно малой равен нулю (т. е. если а беско-
нечно малая, то lima = 0, или а—>0);
2) разность между переменной и ее пределом есть величина
бесконечно малая (т. е. если limx = a, то х — a = a);
3) величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно
малая (т. е. если z—>оо, то-—> (А;
\ г )
4) величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно
большая т. е. если а—>-0, то-----> оо .
\ а )
Если f(x)—+b, когда х—>а не совпадая с а, то число b на-
зывается пределом функции f(x) в точке а.
Предел функции можно определить иначе, не ссылаясь на
определение предела переменной: Число b называется пределом
функции f(x) при х—(в точке а), если для каждого числа
е > 0 можно найти такое число б > 0, что | f (х) — b | будет
меньше 8, когда \х — а\, при х=£а, меньше б.
— 24 —
Если число b есть предел функции f(x) при х, стремящемся
к а, то пишут:
1im f(x) = b, когда х стремится к а произвольным способом;
lim /(х) 6, когда х стремится к а слева, оставаясь меньше а\
х->з-о
lim f(x) — bt когда х стремится к а справа, оставаясь больше а *.
х->а+ о
При этом, если существует предел функции, когда х—>а
произвольным способом, то существуют и будут с ним одинаковы
односторонние пределы функции, когда х—*а только слева илн
только справа, т. е.
если lim f(x) = b, то lim f(x)= lim f(x) — b.
x-*a x-»a-o x->a->-o
Если же односторонние пределы различны или хотя бы один
из них не существует, то не существует и предел функции при
х—>а произвольным способом, т. е.
если lim f(x)#= lim f(x), то limf(x) не существует.
я~>а-о ж->а + о х-+а
27. Полагая n = 0, 1, 2, 3, ... .составить таблицу значений
переменных
х=1+0,1"; у = — 0,1-”, г = (—0,1)", и = (—1)” + 0,1"
и определить характер их изменения при неограниченном уве-
личении и, т. е. при п—>- + оо.
Решение. Вычисляя значения заданных переменных при
указанных значениях п, получим следующую таблицу:
п 0; 1; 2; 3; 4; 5; .; п —► + оо
X 2; 1,1: 1,01; 1,001; 1,0001; 1,00001; .; х-> 1+0
У —1; —10; —100; —1000; -10000; —100000; . •; У -* — оо
Z 1; —0,1; 0,01; —0,001; 0,0001 —0,00001; ..; г 0
и 2; —0,9; 1,01; —0,999; 0,0001; —0,99999;
Из рассмотрения этой таблицы можно заключить:
1) С увеличением п последовательные значения переменной х
приближаются к единице так, что при достаточно большом п
* Если а = 0, то вместо 0 + 0 (0—0) пишут просто +0 (—0).
— 25 —
е.
абсолютное значение их разности \х—1| будет меньше любого
заранее данного положительного числа е, как бы мало оно
ни было.
Это же можно и доказать. Пусть задано число е>0. Полагая
|х — 1 | = 0,1"<е, находим, логарифмируя обе части неравенства,
n>lgl, т. е. \х —1| будет меньше е, как только п станет
больше 1g —. Следовательно, согласно определению I переменная
х имеет предел, равный единице, limx=l, к которому она стре-
П->+ ОС
мится справа, оставаясь больше его, т. е. монотонно
(неизменно) убывая.
2) Последовательные значения переменной у с увеличением п
неограниченно убывают так, что при достаточно большом п они
по абсолютному значению будут больше любого заданного поло-
жительного числа N, как бы велико оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число N > 0. Полагая | у | = 0,1 > N, находим,
логарифмируя обе части неравенства, n>lg2V, т. е. | у | будет
больше N, как только п станет больше lg N. Следовательно,
согласно определению III, переменная у есть бесконечно большая
величина: lim г/ = — оо.
Л—►+ CD
3) С увеличением п последовательные значения переменной z
приближаются к нулю так, что при достаточно большом п они
по абсолютному значению будут меньше любого заданного по-
ложительного числа е, как бы мало оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число е>0. Полагая ]z| = O,l"<g, находим,
логарифмируя обе части неравенства, ft>lg-^-,T. е. jz] будет
меньше 8, как только п станет больше 1gу- Следовательно,
согласно определению II переменная z есть бесконечно малая
величина: lim z = 0. Она стремится к своему пределу —нулю,
колебл ясь около него, т. е. не монотонно.
4) Последовательные значения переменной и с увеличением п
не приближаются ни к какому определенному числу. Поэтому
переменная и не имеет предела. Она не является и бесконечно
большой, так как ее значения не растут безгранично вместе с п.
Переменная и —ограниченная величина.
„о гг г п I 0, если 0<а< I
28. Доказать, что lim а = < , ,
1 + оо, если а>1.
Решение. 1) Пусть постоянная а есть правильная поло-
жительная дробь 0<а<1. Тогда с увеличением п переменная
f(n) = an будет монотонно убывать, т. е. каждое следующее ее
значение будет меньше предыдущего. Докажем, что, начиная
с определенного значения п = п0 и для всех последующих зна-
— 26 —
чений п>п0, значения функции а" будут меньше любого задан-
ного положительного числа е.
Полагая ап° <е, найдем искомое значение п0. Логарифмируя
обе части неравенства, получим nolga<lg8, откуда найдем
(знак неравенства изменился, так как при 0 < а < 1
lga<0).
Следовательно, значение функции а при п — п0 и все после-
дующие ее значения при п>и0 будут меньше 8, как бы мало
оно ни было, т. е. доказано, что при0<а<1 и при п—>4-00
функция ап является бесконечно малой величиной, т. е. lima" = 0.
П ->+ со
2) Пусть a> 1. Тогда с увеличением п переменная ап будет
монотонно возрастать. Докажем, что, начиная с определенного
значения п = п0 и для всех последующих значений и>п0, зна-
чения функции а" будут больше любого заданного положитель-
ного числа ЛС
гт lgN
Полагая an°>N, найдем пп>г=—.
0 lg a
Следовательно, для всех значений п^п0 значения функции
ап будут больше N, как бы велико оно ни было, т. е. доказано, что
при о>1 и при п —>4-00 функция ап является положительной
бесконечно большой величиной, т. е. lim a" = 4-00.
29. Доказать, что:
1) 2) lim (2x4-1) = 7.
6Х 6 Х->3
2x4*3 2 1
Решение. 1) Составим разность—^ у — —. При х —>оо
эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная
бесконечно большой. А если переменная - отличается от
□X
постоянной у на величину бесконечно малую, то постоянная
является пределом переменной. Следовательно, lim = .
х-><» ix з
2) Положим х = 34-а и составим разность: (2x4-1)—7 =
= [2 (3а)1] — 7 = 2a. При х—>3 переменная а—* 0 и раз-
ность между функцией 2x4-1 и числом 7, т. е. 2a, будет беско-
нечно малой. Из этого следует, что lim (2x4-1) = 7.
Х-*3
30. Найти пределы функции у = 2^: ПРИ *2—0 и
2) при х—>-24-0. Пояснить решение таблицами.
Решение. 1) Если х будет стремиться к 2 слева, оставаясь
меньше 2, то 2—х будет положительная бесконечно малая,
— 27 —
a 2ZZ7 будет положительная бесконечно большая, т. е. если
5 5
х —>2 — 0, то (2 — х)—>-4-0, а 5--> + оо, или lim -^—-= 4- оо.
Х Х-.2-0 Х
5
Указанное поведение переменных х, 2 — х и поясняется
следующей таблицей:
X 1; 1.9; 1,99; 1,999; 1,9999; 1,99999; 1,999999; ...
2—х 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001; ...
5 2— х 5; 50; 500; 5000; 50000; 500000; 5000000; ...
2) Если х—>2 + 0, то (2 —х)—> —0, а — оо, или
lim — == — 00,
х^2 + в2-х
Таблица соответствующих значений переменных к, 2—х и
5
2— наглядно показывает их поведение:
X 3; 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001; 2,00001; 2,000001; ...
2-х —1; —0,1; -0,01; —0,001; —0,0001; —0,00001; —0,000001; ...
5 2—х —5; -50; —500; —5000; —50000; —500000; —5000000; ...
5
График функции у = 2^ изображен на черт. 16.
1
31. Найти пределы функции у=2х при х, стремящемся
к нулю: 1) слева, 2) справа и 3) произвольным способом.
Решение. 1) Если переменная х будет стремиться к нулю
слева, оставаясь отрицательной, т. е. если х будет отрицатель-
ной бесконечно малой, то у будет отрицательной бесконечно
1
большой и lim 2х =lim I-х- = -5- =0, что следует из
решения задачи 28 (1).
— 28 —
2) Если х—>- + 0, то * + °° и Пт 2* =2+*=+оо.
Х Х-> + 0
3) Если х будет стремиться к нулю произвольным способом,
не оставаясь с одной стороны от него (например, как z в за-
даче 27), то у будет стремиться к бесконечности, принимая
значения разных знаков. Вследствие этого при х —>-0 функция
I
2х не имеет предела, не будучи при этом и бесконечно боль-
1
шой величиной lim 2х =2”—не существует,
х—> о
1
График функции у = 2х показан на черт. 17.
32. Найти пределы функции у = якЛ%^’. 1) при х —> —0;
2) при х—>4- 0 и 3) при х—>0.
1 1л
Решение. 1) Если х —►— 0, то — —оо, a arctg ——*—,
т. е. lim arc tg = arc tg (— oo)_—.
2) Если x—>4-0, то -i-—>4-00, a arctg-i—t. e.
lim arctg-^ = arctg( } oo) = A.
*->+0 x z
3) Если x —> 0, то —> oo, a arc tg — не стремится ни к какому
X х
значению, т. е. lim arc tg — = arc tg оо не существует,
о x
График этой функции показан на черт. 18.
33. Полагая п=1, 2, 3, ....составить таблицу соответст-
вующих значений переменных: а1 = 2п; а2 = —2П; а3 = (—2)";
— 29 —
а4 = 2_"; аБ = — 2~п; ав = (—2)~п и определить характер их
изменения при п—>- + оо.
34. Полагая п=1, 2, 3, написать последовательности
значений переменных: х = -^-', у = (—1)" -4т; z = — ;
' «+1 э ' 7 n + i ’ n-f-2
, 3n COS ПП, a-n • nn
u ~~л~+з—* v~% sin ~2 и определить, у какой из этих пере-
36. Н айти следующие
1) lim —2) lim
Х-»3 -0 х J Х-+ 3 +0
менных существует предел
при п—►4-ос и чему он ра-
вен.
35. Доказать, что:
lim (Зх — 2)=1;
lim (х24-3)=7;
lim (х2 — Зх) = 0;
х —> з
.. Зх —2 3
— г-
lim У= —2.
3—х2
X —> во
1)
2)
3)
4)
5)
пределы:
Д; з)
4) lim 3X+1 ;
5) lim 3X+1; 6) lim 3X+1.
X-*-l+O
Пояснить решение таблицами.
37. Отрезок Л В длины I разделен на п равных частей (черт. 19)
и на каждой из них, кроме крайних, построены правильные
треугольники. Как будет изменяться площадь S„ и периметр Р*
полученной зубчатой фигуры, когда п—►-I-00?
АААААА
Черт. 19
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах
1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бес-
конечно малая.
II. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину
есть также бесконечно малая.
III. Предел постоянной равен самой постоянной.
IV. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме их
пределов:
lim (и 4- v—w) = lim и -f- lim v— lim w.
— 30 —
V. Предел произведения конечного числа множителей равен
произведению их пределов;
Нт (и v w) = lim «-lim v-lim w.
VI. Предел частного равен частному пределов делимого и
делителя, если предел делителя отличен от нуля;
lim—= Пти=/=О.
р limo
38. Найти пределы следующих функций:
1) f(x) = 2x—3—у при х — >1:
х3 — 3x2-f-2x—5 ,
2) £/=----------- при
3) y = x ‘siny при х~>0.
Решение. Пользуясь указанными теоремами, последова-
тельно находим:
1) lim (2х—3—И =Iim2-limx — lim3—^4 =
— 2-1—3—у = —2;
2) lim &—Зх2 2х — & (Пт х)8—3 (lim х)2 4-2 lim х—5
x-*-i х24-2 “ (Пт х)2 4-2 “'
^ (—1)« —3(—1)24-2(—1)—5 —1—3 —2—5 И.
= (—1)а4-2 ~ 3 “ 3 ’
3) при х—*0 аргумент ——>оо, а множитель sin-i будет
при этом колебаться между —1 и 4-1, не стремясь ни к какому
определенному числу, т. е. этот множитель не имеет предела, но
является величиной ограниченной, | sin 1. Поэтому согласно
теореме II данная функция, представляющая произведение
бесконечно малой х на величину, ограниченную sin у, есть
бесконечно малая величина, а ее предел равен нулю:
lim х sin — = 0.
Х-»0 Х
39. При п—>4-оо найти пределы следующих функций:
1) 5x(n) = ^ + | +...+V’
2) S2(n) = -^4--^4--^4-..
3) 53(п) = 4з + ^ + 7з+..-+2^-.
— 31 —
Решение. Каждая из данных функций представляет сумму
п — 1 членов арифметической прогрессии. Разность первой
прогрессии второй и третьей .
Выполняя сложение и переходя к пределу, найдем:
С _ Я 1 f | Ч 1 \ 1 Z < Ч
2 \n+ п )~'2^П 1)’
lim S1=-y-(limn—1)=4-оо.
2) 3,—(-1
lim 3, = 4
п ->• + 00 Х
3) з,=-^(4
lim S3 = j
п -► + 00 Х
|_2Lz±^JLf1_±>
r n2 J 2 \ n J
1___LL1
lim n у 2 '
_ n—1 \ e £ (J_1_
n9 j 2 I n n2
_>_____L_1 =0
limn (limn)2 J
В этой задаче, при п —> 4- со функции Sx, S2 и S3 являются
суммами бесконечно малых величин, число которых неограни-
ченно возрастает вместе с п. Полученные результаты показы-
вают, что Sj есть величина бесконечно большая, S2 —величина,
стремящаяся к S3—величина бесконечно малая.
Следовательно, решение этой задачи показывает: если число
слагаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма
может оказаться любой величиной.
40. Доказать, что lira —г = 0 при любом значении х.*
Л —> + 00 п‘
Решение. Каково бы ни было значение х, всегда найдутся
такие два последовательных целых положительных числа k и
k + 1, между которыми заключается |х|, т. е. Аг<|х|<&+ 1.
Исходя из этого, получим очевидное неравенство:
I Хп I ___| ? X X X X
I nI I | fel A-f-1 k-[-2 fe-f-3 ' ' ' n
x I n~ft
й + 1|
I x'*
Первый множитель Mt = не зависит от n и при любом
данном значении х является постоянным; второй множитель
IX Iп~k
при п—> + оо будет величиной бесконечно малой,
иб° ттт < I- (См. решение задачи 28.)
г? '“г’ 1 I
*) п! (п—факториал) есть произведение всех натуральных чисел от 1
до п; п!== 1-2-3...п.
— 32 —
Поэтому МГМ2, как произведение постоянной величины на
бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.
хп
Вследствие этого функция также будет величиной беско-
нечно малой, т. е. Пт -^- = 0 при любом значении х.
П-»+оо П-
Найти следующие пределы:
41. lira (хг + 5х + 6). 42. lim -1~--
ж-^-2 v 7 t+3
43. lim
(2x—у)3—siny
•<a+i/2 + tg2y
44. lim 5 sin--------
45. 1)
lim
X-* -0
|_2ctgx ’
2) lim
8
oCtg X '
3) lim —Ц—
+ i—2ctgx
f/->0
8
46. Как изменяются внутренний угол сс„ и апофема hn пра-
вильного многоугольника, когда число его сторон п неограни-
ченно возрастает?
§ 7. Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, определена она в пре-
дельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов
элементарных функций это обстоятельство имеет существенное
значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное зна-
чение аргумента принадлежит ее области определения, то вы-
числение предела функции сводится к простой подстановке
предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функ-
ции ?(х) при х, стремящемся к значению а, которое входит
в область ее определения, равен частному значению функции при
х = а, т. е.
lim f(x) = /(«).
х ->а
47. Найти предел функции:
1) f(x)=x3 — 5x2 + 2x4-4 при х-^ —3;
2) ф (/) - / —20—1g (^ + V? - 20) при 7->6.
Решение. Данная функция является элементарной, она
определена в предельной точке, поэтому находим предел функ-
ции как ее частное значение в предельной точке:
1) lim /(х) = /(—3) = (~3)3~5.(—3)2 + 2-(—3) + 4 = —74;
2) lim ф (/) = ф (6) = 6 V 62 -20- 1g (6 + / 62-20) = 23.
2 № 3201 — 33 —
Найти следующие пределы:
. l/~v3_4.
48. hm . 49. lim (х8 —5Х+14*3).
50. lim lg(2 + 2x + x2—х3). 51. lim sin x sin 2x sin Зх.
Г-* -2 n
X->-
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, ко-
торое не принадлежит области определения функции, то в каж-
дом таком случае нахождение предела функции требует специаль-
ного исследования.
В простейших из этих случаев можно найти предел функции
путем рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в ре-
шениях задач § 5 и 6.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов,
получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная а>0)
1.
3.
5.
7.
8.
lim ах = оо.
Л оэ
hm — = —оо.
х->-0 х
lim — = оо.
х -» 0 Х
о
lim я*==] .{..а;
> 4- сю
2. lim — = оо.
х-х а
4. lim — =4~оо.
V •
Х-+ + о л
6. lim -=0.
х
, если [а| < 1
>, если а > 1
э, если а <— 1*.
lim а* =
X — 00
О, если | а | > 1
4-оо, если 0<а< 1
оо, если —1<а<0*.
9. lim loge х =
Х-> +®
10. lim logax =
4- оо, если а> 1
— оо, если 0<а< 1.
— оо, если 1
4-оо, если 0<а< 1.
11. lim ^И- = 1 (х есть радианная мера угла).
X -+ О Х
f 1 \ X —
12. lim (14—) — lim (1 4- «)а —s & 2,71828.
х-ь оо \ х ) а -»• о
Этими простейшими пределами можно пользоваться как фор-
мулами.
* При а < 0 переменная х может принимать только целочисленные зна
чения; для всех значений х при а < 0 функция ах не определена.
— 34 —
_ , О 00
Более сложные случаи нахождения предела функции: -р > — >
о-оо, оо—оо, 1" рассматриваются далее каждый в отдельности.
1. Случай, когда при х—+а или х—>• оо функция f(x) пред-
ставляет отношение двух бесконечно малых величин [случаи 1 .
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно
ажное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахожде-
ние предела отношения бесконечно малого изменения функции
к бесконечно малому изменению аргумента является одним из
основных средств для изучения функций.
Найти следующие пределы:
52. 1) lim ;
2 х *
1- х6 + 2х4 + х2—Зх —10
3) Л™2 X4 + 2x3 W+ 57=2 :
2)
4)
lim ;
„ . . Зха — 14х—5
£ о
lim g8* .
1+COS3X
Решение. Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя
найти непосредственной подстановкой, что при указанном изме-
нении аргумента она представляет отношение двух бесконечно
/ „ 0 \ ,
малых величин I случаи 1 ; затем делаем преобразования,
чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1) Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь
на х — 2:
х—2 х—2 .. 1 1
» Т2 X2 —4 “ m (х + 2)(х--2) ~ 1т Г+'г — Z •
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо.
Согласно определению предела функции аргумент х стремится
к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая.
Поэтому здесь х — 2 =И= 0.
Вообще, если ищется предел функции при х —»а, то необ-
ходимо помнить, что х не принимает значения а, т. е. что
х а и х —а =#0.
2) Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители,
как квадратные трехчлены, по формуле
ах1 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2),
где хг и х2 —корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на х —5:
lim
5
2х2 — tlx-f-5 ..
3^=14—5 =1,т
2(х — 5)
3(х —5)
= Пт
2х — 1 9
Зх + 1 =16 *
— 35 —
3) Сократим дробь, разделив на х + 2 числител и знамена-
тель в отдельности:
lim х5 + 2х*+ха-Зх-10 х* + х-5 3
х_„_2 х42х3-}~ Зха + 5х — 2 ншх»4-3х—1~ 5‘
Вообще, если ищется предел дроби, числитель и знаменатель
которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке
х — а, то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без
остатка на х — а, т. е. такую дробь всегда можно сократить
на х—а.
4) Разложим числитель и знаменатель на множители и сокра-
тим дробь на 14-cosx:
sinax .. 1—cosax
1Ш1 -j—---x— = lim 7j—------;-----------5—r =
l-}-COS3X (l-j-COSX)(l—COS X-|-COSa X)
= lim_____L~cos.x____=2'
1—COS X-}-COS2 X 3
53. 1) hm ;
' Y.
x -> о Л
tgx
3) hm ~—-?=== •
’ x->0 1-У 1+tgx’
2— Vx
3—]<2x + i
l—V~x
2) lim
X -► 4
4) lim
X 1
Решение. Выяснив вначале, что при указанном изменении
аргумента данная функция представляет отношение двух беско-
нечно малых величин ^случай , преобразуем затем дробь
так, чтобы сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
1) уничтожаем иррациональность в числителе путем умноже-
ния числителя и знаменателя на затем сокращаем
дробь на х: ___ _____________ ________
lim 1=.^ = 1!п1<|-Гх+!)<дП±1). =
.. —X —1 1
= lim—----—=- = 1 im -—-т= = — -9-:
x(l-b|/x+l) 1+ ]<х + 1 2
2) умножаем числитель и знаменатель на произведение
(2 + /х)(3 + У2ГП)
и затем сокращаем дробь на 4 — х:
lim „ Ит«-Д0 + Г?7Д>. = = А.
х->4 3— /2х+1 (9—2х —1)(2+у X) 2(2-ЬУх) 4
3) умножаем числитель и знаменатель на 1 4-К1 + tgя и сок-
ращаем дробь на tgx: ____
hm---'У=- limJiilliKU-lL’1--
х-0 1— Kl-f-tg* 1 —1—tgx
=• — lim (1 4- V1 -b tg x) — - 2;
— 36 —
4) умножаем числитель и знаменатель на произведение
затем сокращаем дробь на 1—х:
1-/7 .. (1-х)(1 + /7+^
lim —~-z=. ~ lim----------
х->11-?/х (1—х)(1 + /х
l+i/x+j/x2 3
— lim------------= -у .
1 J. 1<4Z *
Иначе можно решить эту задачу путем замены переменной.
Полагая х = /6, получим /-* 1, когда х—>1 и
Ит 1-<3_Ит(1-0(1 + ^+^)_ ит1±£±1!=£
1-/2 пт (1_/)(1+/) 11т 1 + г 2*
2) lim 5-^--;
х-»о l~cosx’
lim
С->1 1—j/X /_»1
54. 1) lim^
лг —> о л
ях
COS у
3) lim 5--;
7 , 1—X
4)
Г х2 —4
JT2 arc tg (x + 2) •
Решение. Устанавливаем, что данная функция не опреде-
ленабв предельной точке, что при заданном изменении аргумента
она представляет отношение двух бесконечно малых величин
^случай -у). После этого подвергаем функцию преобразованиям
с тем, чтобы использовать 1-й замечательный предел:
.. sin а , . .
Hm-----= 1 (а—радианная мера угла).
а -» о а
1) lim
X о
sin3x v 3sin3x о .. sin Зх п о
-----= hm—q-— = 3 lim -5— = 3-1=3,
*----ix зх-»о 6х
2) Применяем
= 2 sin2 у :
тригонометрическую формулу 1—cosx =
/ * \2
у2 / О \
lim———=2 lim-^- =2-1=2.
2 sin2y I
3) Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел,
сделаем замену переменной: 1— х=/. Тогда при х->1 будет
г -+ 0 и
лх (л л \ .л
COS v COS I -q--— i sin t
lim -----= lim —= lim —-— =
X-*l l~X f->0 J 2
51п-=г
-ilim—a_=” l=i
~2l
— 37 —
4) Полагая arc tg (х + 2) — v, получим x-|-2 = tgy, y->0,
когда х — 2, и lira *8-4 _ Нт (tg v—2)3 —4 __ iim (tgo—4)tgu =
1X ж IX t . X AIXX х_>_2 arctg(x + 2) V
г tg г—4 . sin и = lim-5 lim — = COS V V — 4.1= — 4.
55. lim 56. lim a-T~^3.
57. lim ^+3. X->3 x2~9 58. lim 3/2~ z~2 z ™ 2/2+ 5/—7 *
59. lim + 2 „ , 24/3 + 7^4-6// • 60. lim . n sin Ф—COS ф
64. .. 1— 32’ 11 m «2 з'-i • 62. lim x X ->o 2— v x + 4
63. 1; 1— *2 lim x -> i 1 — V x 64. lim р->- 11 —У 1 +p+p2
65. lim 22?. x 66. lim p2 . x^a sin (x—a)
67. , • sin 3x lim -r—r. x-> о sln4x 68. lim tXlS. sin4x
69* .. x3 + l . lim r-7 . 70*. lim ?in-* - .
X-,.- 1 arc s,n (x + 1) *-►0 V l-f-tgx— V 1—tgx
II. Случай, когда при x - * а или xоо функция f(x) пред-
ставляет отношение двух бесконечно больших величин (случай — } .
Найти пределы:
71. I) 3x3—1 Дтоа5х2 + 2х’ 2) n lim - y ; 00 V na+ 1
3) .. l+7n+2 Д?» 3-7“ ’ 4) lim 2+4 + 6 + -+2n ' Л"» 1 + 3 + 5 + ... + (2n + l)’
5) ]im ‘e —Tctg(r-X) 6)* n lim ”3 “+»12 + 22 + 3a + -+n* '
Решение. Убедившись, что имеет место случай — , подвер-
гаем функцию преобразованиям.
1) Деля числитель и знаменатель дроби на х2 (наивысшая
здесь степень х), находим
3-2
.. Зх2 — 1 х2_3—0_ 3
Д™ 5х2 + 2х~Ит 2 5 ’
— 38 —
1 1 л
так как при х -+ оо величины и ~ являются бесконечно ма-
лыми. Эту задачу можно решить иначе, посредством замены
переменной. Полагая * — получим: а->0, когда х -* оо и
lim 3x2= Ит «2 __
ж“"5х2+2х
а2 а
lim
3—а2 3
5 + 2а — "5 •
Вообще, предельный переход при х -> оо всегда может быть
заменен предельным переходом при а-* О, если за новую незави-
симую переменную принять величину, обратную первоначаль-
1
нои переменной, т. е. если положить а = —.
2) Эту задачу можно решить теми же двумя способами, что
и предыдущую.
Деля числитель и знаменатель на п, получим
п
lim
/? -> — 4»
1
— 1
1,
или, полагая п = -~, найдем а-*—0 при «-* —оо, и
lim -?£=. = lim
п-*-«> + 1 а-*-о
Здесь появляется минус вследствие внесения под знак квадрат-
ного радикала (в первом решении) или вынесения за этот знак (во
втором решении) отрицательного делителя, ибо если я<0, то
aVb= — Vatb и Vatb^ — aVb .
Из этого решения следует, что при и —+оо предел данной
функции будет равен единице, а при п -* оо предел этой функ-
ции не существует.
3) Умножая числитель и знаменатель дроби на 7~п, получим
1+7п+2 7“п+72 0 + 49
„Н^оо 3 —7" ~ lm3-7-n— 1 ~ 0— 1 ~~ 49,
так как lim 7~п = 7_” = 0.
Я-> + со 4 * *
4) Здесь числитель дроби есть сумма п членов арифметической
прогрессии, а знаменатель есть сумма n-f- 1 членов другой арифме-
тической прогрессии. Преобразуя их по известной формуле,
— <35 —
получим
lim 2-{-4-]-6-}~--.+2и
Ц-3 + 5+...+(2л+1)
2 + 2n
~~г~п
= lim . 0 f ,-= lim = lim —Ц-
'+^+l(»+l> "+1 1+1
5) Тождественно преобразуем дробь так, чтобы затем сокра-
тить ее на множитель, стремящийся к нулю:
lim №
•ГТ L I Л»
ctg ( X—
п , ( Я
sin 2х sin х-----т-
= lim-------------v-----L
„ / л
cos 2х cos х-----т-
\ 4
sin 2х
у- lim
= lim
. / я
sin х------7-
lim —------------
cos 2х
6)* Преобразуя знаменатель с, помощью формулы для суммы
квадратов натурального ряда чисел:
р22 + 32+ ... Ч- п2 = /г<п+1)б(-?-±,Ч ,
получим
,. п3 I 6п3
» 12 + 23 + 33+...+п3 “ п (п+ 1) (2л + 1) “
= lim-;----r-r-z--р— = 3.
( 1+J_W 2-b-l^
\ п J \ п /
-л н УЛ4х2 +1
74. lim ---------г— .
х-> + « х-1
7б- io"+i+5 •
73. lim 1 *х\
х3 + 3
,. 1 + Кгх^Л
75. lim —— --------.
х
III. Случай, когда при х -* а или х -> оо функция f(x) пред-
ставляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно
большую (случай 0-со).
Этот случай нахождения предела функции приводится путем
преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев,
О 00
т. е. к случаю -у или к случаю —.
— 40 —
Найти пределы:
78. 1) lim (1 -x)tg
X -» 1 1
3) lim xarcctgx;
JC->+ 00
2) hm —-x cosec -|-x)
X ->--
4
4) lim x {-^-4-arctgx
X -> - 00 \ Z
Решение. Установив, что при указанном изменении аргу-
мента функция йредставляет произведение бесконечно малой ве-
личины на бесконечно большую (случай 0 • оо), преобразуем ее к
виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стре-
мятся к нулю или к бёсконечности.
(1—х) sin —
1) lim (1 -%)tg^=lim-----
х -* 1 cos ~
= lim sin ~ lim
1—х
лх
c°sT
1 dim—/—-—
, / л лх
sl"h—2-
Здесь можно было решать другим
Полагая 1— х = а, получим
путем, заменив переменную.
lim (1 — x)tg^ = limatg (%—= limactg^ =
х -> i z a -> о \zz/ z
n ла ла
a cos g да .. a . 2 .. 2 2
= Iim--— — limcos—-. lira —— = 1 • —-lim-=—
.ла 2 , ла л . ла л
sin-у sin у sin-у
2) Полагая —x~t, получим
lim (-^—х ) cosec [ —л + х ) = lim/созес(л — Л = Нш-Дг= 1.
л \ 3 4 J \4 J t ’ sin I
3) Полагая arcctgx = a, имеем x = ctga и
lim xarcctgx= lim actga —iim^^ = limcosadim-r^—== 1.
x->+gd a-> + 0 Sin a since
— 41 —
4) Положим arctgx = z, тогда х = tg г и
lim х (+ arc tg х ) = lim
со \ 2 . / л
Z ->----
2
/ л
tg z = lim
sin z
COS 2
= lim sinz- lim 2...
COS 2
79. lim xctg2x.
X -> О
81. lim n sin —.
л
1 г "2”
1 - hm——
• / л
smU
80. lim sin 2x etg x.
A' —> Л
82. lim 2ntg2~".
n -> + a>
IV. Случай, когда при x->a или x-+ оо функция f(x) пред-
ставляет разность двух положительных бесконечно больших
величин (случай оо — оо).
Этот случай нахождения предела функции можно привести
к случаю или ~ путем преобразования функции к виду
дроби.
Найти пределы:
83. 1) lim (—9—72^4); 2) lim (х —/х2 + 5х);
х -> 2 ' z л f x-*+a>
3) lim (j/tg2«4 seca —tga); 4) lim (2cosec2x —etgx).
Решение. Анализируя условие задачи, заключаем, что при
указанном поведении аргумента функция представляет разность
двух положительных бесконечно больших величин (случай оо—оо).
После этого преобразуем данную функцию к виду дроби,
числитель и знаменатель которой одновременно стремятся
к нулю или к бесконечности. Тем самым данный случай на-
, 0 оо
хождения предела функции оо — оо сводится к случаю-^-или — .
1) Производим вычитание дробей и полученную в результате
дробь сокращаем на х—2:
lim
X ->2
1
х—2
4 \ х — 2 .. 1 1
-5—= hm -5—т = hm —г-5 = -г.
х2 — х2 — 4 хЦ-2 4
2) Рассматривая данную функцию как дробную, со знамена-
телем, равным единице, избавимся от иррациональности в
числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби
— 42 —
на х:
.. / ..е"~< г (х—К*2 + 5х)(х+Кхг + 5х)
11 tn (X—V Xs 4- 5х) = 11ГП ----1—/4=^=—-— =
х-> + « x+V> + 5x
= li rn-= lim------y=.„— y—~.
x+r*2 + 5x 1+j/J+| 1 + 1 2
3) Как и в предыдущей задаче, переводим иррациональность
в знаменатель, затем умножаем числитель и знаменатель дроби
на cos а:
lim (Vtg2 а + sec а—tg а) = lim-se<^—--
#JL_0 Ktg2a + seca+tga
= lim____1 -_______=-’- = 1.
К sin2 a-(-cos a + sin a ! + • 2
4) Тождественно преобразуем данную функцию к виду дроби,
затем сокращаем дробь на sin х:
lim (2cosec2х—ctgх) = lim f-Д;----cosx\ _
r_*0' 6 \sm2x sinx;
= lim |~2cos- * = lim ——.-.= lim tg x = 0.
2sinxcosx sin X COS X
84. lim (/2x24-1—/x2 + l).
r -> ao
86. lim
X -+ 1
0
85. lim (Ух2 4- 2x—yrx2-hx).
x-> + ®
87. lim (tgx—secx).
V. Случай, когда при x-+a или x-*oo функция f(x) пред-
ставляет степень, основание которой стремится к единице,
а показатель—к бесконечности (случай Iх).
В этом случае для нахождения предела функции исполь-
зуется 2-й замечательный предел:
lim (14—) =lim (1 4-a)“ =е.
Число е — иррациональное; е = 2,7182818... Логарифмы с
основанием е называются натуральными и обозначаются In.
Натуральные и десятичные логарифмы чисел связаны форму-
лами:
lgx = Aflnx, Inx—-^-Igx,
где М = lge = 0,43429..., = In 10 = 2,30258...
— 43 —
Найти пределы:
2) lim У1 — 2х;
X -> о
88. 1) lim
П -> 00
1
' п /
4) lim (tg x)‘s2Х.
Решение. Убедившись сначала, что при указанном изме-
нении аргумента функция представляет степень, основание
которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности
(случай Iх), далее преобразуем функцию так, чтобы использо-
вать 2-й замечательный предел.
1) Полагая п — ах, получим х->оо, когда п-+<х>, и
,. /. а \ I \ах , Г/. 1 \ *1 а
hm 1 4—) — hm 1 4— ) = hm (1 — ) =
п^оЛ Х->Л v L\ х/ J
[«. / . 1 \ *1 а
|'"1(1+т) ] =е •
Возможно и другое решение без замены переменной:
lim (1 4-—V = lim [f 1 4 —) “1°= [ Hm (1 4 —а ]а = еа.
\ nJ [Д nJ J Ln -г j
а
2) Полагая —2х = а, найдем а->0, когда х -> 0, и
1 _2_ 1
lim (1 — 2х)х = lim (1 4-a) ° = [lim (1 Д a) “ ]~2 — е-2.
х->о a -* о
3) Исключив целую часть из дроби, полагаем —т-тл — х'
t -f-z
hm I7T9) = hm(i--—x) =llm U+*) x —
t -» a> Ut-^/ \ ‘"Г2/ x->0
~ [lim(1 4-x)x]~10• lim(1 4-x)~3 = e~w-1 =e~10.
4) Полагая tgx=14-a, получим a -* 0, когда x -> ~ , и
_ 2tg* _ 2(« + 1>
lgZA-l._tg2x~ a (a 42)’
j____2 (a 4-1)
lim(tgx)ts2JC = lim[(l 4 a)“] “+2
л a -> 0
так как
lim
a -> 0
2(a41)_
a42
— 44 —
п
89. lim (1 -\-kx)x .
X -> о
91. lim(l 4-cos x)2secx.
Л
2
90. lim f. . .
I » \f Г 1 /
92. lim(l 4-3 tg x)c‘sx.
X <+ Jt
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов
Найти пределы:
93. lim 4— .
х -> о 3 — 2х 4* 9
п
94. lim
95. lim(У^х2 4-x + 1 — ]/rx2 — x + 1). 96. lim .
x -> о
98. lim 4^4
1 -X2,
v __i 1 A
97. limx(Kx2 4-1 — х).
99. lim “3 + 4“2 + 4“
U-> -2
и2— и 6
sin —sin (х—ft)
101. lim
h -» о
103. lim f/1 4- sin x.
¥-> 0
105. lim t?£±J=j!±?
P— 2p2 + 3p— 6
ft
100. lim
n cos 2x
4
102. lim a-^.
t —1.1 — A 1
1ЛЛ и я4— 18х24-81
104’ 2х2 —Зх—9 •
р3—2р2 + ip—6
106. lim f—Ц—т——.
.г-> 1 X 1 ~X3 1 ~х‘
107. lim sin 3xctg5x.
х-> О
109*. lim
Л' —> — X 1/ х3 4* 1
ПО*, lim (sin х)‘=г r.
л
X ->---
2
111. Как изменяются корни xx и x2 полного квадратного
уравнения ах24-hx4-c = 0, когда коэффициент а--О? (Ь^О и
с — постоянные).
112. Прямоугольная трапеция
разделена прямыми, параллельны-
ми ее основаниям, на п равных по
высоте малых трапеций, и в каж-
дую из них вписан прямоугольник
(черт. 20). Как будут изменяться
площадь S„ и периметр Рп полу-
ченной ступенчатой фигуры, когда
п -* 4- оо?
Черт. 20
— 45 —
§ 9. Сравнение бесконечно малых
Чтобы сравнить между собой бесконечно малые величины а
и р, находят предел их отношения. При этом:
то а называется бесконечно малой выс-
то а называется бесконечно малой низ- •
1) если hm-Q- = О,
Р
шего порядка, чем р;
2) если lim-|- = oo,
шего порядка, чем Р;
3) если lira j- = Л (Л 5^0 и Л#=оо), то а называется беско-
нечно малой того же порядка, что и Р;
4) если lim = 1, то а и р называются эквивалентными
бесконечно малыми. Эквивалентность бесконечно малых аир
обозначается знаком приближенного равенства: аякр.
Эквивалентные бесконечно малые обладают следующими
свойствами:
I. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бес-
конечно малая высшего порядка, чем каждая из них.
II. При нахождении предела отношения двух бесконечно
малых можно каждую (или только одну) из них заменить дру-
гой бесконечно малой, ей эквивалентной, т. е. если а як ах и
P^Pi, то
lim — lim 4 = lim — iim .
р р pi pi
113. Если х-*0, то какие из следующих бесконечно малых:
1) 10 х; 2) х3; 3) У Ах-, 4) tg 4-; 5) lg(14--v) имеют порядок
О
высший, чем х, низший, чем х, и тот же, что х?
Решение. Находим предел отношения каждой данной бес-
конечно малой к бесконечно малой х:
10х
1) Ьт — =
ж —> о л
10.
Следовательно, 10х есть бесконечно малая того же порядка,
что х;
2) lim — = limx2 3 = 0;
х
Xs есть бесконечно малая высшего порядка, чем х;
3) lim -^ = lim 1/"4= + оо;
х-»+о х ' х
— 46 —
V3x есть бесконечно малая низшего порядка, чем х;
. X . X . х
tg-- Sinv Sin-=-
4) lim --— lim-----= lim ——- • lim--- ~
' X xx X
x->0 xcos-=- cos
5 a
5
tg у есть бесконечно малая того же порядка, что х;
5) lim = lim lg (1 + х)х =lge;
*->o x
lg(l+x) есть бесконечно малая того же порядка, что х.
114. Доказать, что при х->0:
1) sin ахлшх; 2) tgax^ax; 3) arcsin axzxax;
4) arctg ахлгах; 5) Kl + х — 1 х.
Решение. Чтобы доказать эквивалентность двух беско-
нечно малых, нужно найти предел их отношения. Если этот
предел окажется равным единице, то бесконечно малые экви-
валентны.
sin ах .. sin ах ,
1) hm -------= 1нп----------= 1.
х->0 ах ах-*о ах
2)
lim
лг-> о
ах
sin ах
ах cos ах
^•lim
1___
cos ах
11=1.
= lim
ах -> о
3) Полагая arcsin ах = а, получим:
lim
л:-* о
arcsin ах
ах
lim
а о
а
sin а
1.
4) Полагая arctg ах — г, найдем:
lim ?-r-ctg =
х->о ах
lim — lim -Л—limcos z= 1.
z^otgz smz
5)
lim
2
2 lim
1 4-x—1 1
7(/T+^+l)-2-2
115. Пользуясь тем, что при отыскании предела отношения
двух бесконечно малых можно заменять их эквивалентными
— 47 —
бесконечно малыми (свойство П), найти следующие пределы:
,, sin 4х
1) lim —5-;
7 0 sin Зх
.. xsin2x
х (arctg 5х)3 ’
2) lim ;
х ° sin3 ~
О
, о 1 , 3
tg3—-arctg—
4)* lim —2----------5' .
« -* + ® sin — . tg —• arcsin —
«’ Vn. n
Решение. Пользуясь тем, что sin а = tg а = arc sin а =s
==arctga = a при a —»0, что следует из решения задачи 114,
и применяя указанное свойство эквивалентных бесконечно ма-
лых, получим:
,. ,. sin4x 4х 4
1) lim = hm х-= ;
’ х _^6 sin3x Зх 3
.. tg22x ,. (2х)3 „
2) lim -—- = hm 7—^ = 36;
х -* о sin2 —- I — I
3 \ 3 )
,. xsin2x .. x 2x 2
3) lira :...g-n; = lira =- • г-=;
7 X _» 0 (arctg 5x)2 5x 5x 25
, , i . 3
tg8 — -arctg—-f= .
4)* hm —2----------j----------g- = hm
«-* + ® sin -ns • tg —— . arcsin —
V n n
_1\»____з_
« / ’ п V~
1 1 А
п3 ’ 1/~7 ’ п
= lim
0,3.
116. Доказать, что при
1) /бх+1- 1 « Зх;
3) /^8-2^;
117. Пользуясь свойством
найти следующие пределы:
sin5x
lim ——,;
х—>0:
2) sin x4-tgx а; 2х;
.. , „х х2
4) 1 — cos — » s—5.
’ т 2т2
эквивалентных бесконечно малых,
1)
3)
5)
arcsin Зх
lim —г—?—;
x_+0 arctg 6x
]. tg 2cp arcsin 3q>.
sm3<p arctg 2<p’
У~2х—х
2) hm .-..;
Х-» + 0 tg V X
.. .. sin2 (х—1)
4) hm ;
Х-> 1 л 1
sinx
6) lim ---.
’ х-»п*-п
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции
Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если
в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х—х0 = Дх
соответствует бесконечно малое приращение функции у—у0 = ^у,
— 48 —
т. е. если
Пт Аг/ = lim [f (х0 + Ах) — f (х0)] = 0.
дх->о дх-»о
Этому определению равносильно следующее:
Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если при
х—>х0 предел функции существует и равен ее частному значе-
нию в этой точке, т. е. если lim f (х) = f (х0).
XХп
Для непрерывности функции f (х) в точке х0 необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:
1) функция должна быть определена в некотором интервале,
содержащем точку х0 (т. е. в самой точке х0 и вблизи этой
точки)',
2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы
lim f (х) = Пт f (х);
X -> - О Х-»Хо + 0
3) эти односторонние пределы должны быть равны f(x0).
Функция f (х) называется разрывной в точке х0, если она опре-
делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не
удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Разрыв функции f (х) в точке х0 называется конечным, или
1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы
lim f(x) и Пт /(х). Все другие случаи разрыва функции на-
X ->хо- О Х->Хо+О
зываются разрывами 2-го рода; в частности, если хотя бы один
из указанных односторонних пределов окажется бесконечным,
то и разрыв функции называется бесконечным.
Скачком функции f(x) в точке разрыва х0 называется раз-
ность ее односторонних пределов lim f(x) — limf(x), если они
X -> Хо + О Х-+Ха-0
различны.
Если точка х0 является левой или правой границей области
определения функции f(x), то следует рассматривать значения
функции соответственно только справа или только слева от этой
точки и в самой точке. При этом:
1) если граничная точка х0 входит в область определения
функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз-
рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при
х—^х0 изнутри ее области определения равен или не равен f (х0);
2) если граничная точка х0 не входит в область определения
функции, то она является точкой разрыва функции.
Функция называется непрерывной в некотором интервале,
если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах,
в которых они определены.
При отыскании точек разрыва функции можно руководство-
ваться следующими положениями:
— 49 —
1. Элементарная функция может иметь разрыв только в от-
дельных точках, но не может быть разрывной во всех точках
какого-либо интервала.
2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той
точке, где она не определена, при условии, если она будет оп-
ределена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно
близких к ней точках.
3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точ-
ках, где она не определена, так и в точках, где она определена;
в частности, если функция задана несколькими различными ана-
литическими выражениями (формулами) для различных интер-
валов изменения аргумента, то- она может иметь разрывы в тех
точках, где меняется ее аналитическое выражение *.
118. Показать, что элементарные функции: 1) у=2х3—1;
2) v = cosec х непрерывны во всей своей области определения.
Решение. Найдем область определения функции и затем
убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция
будет непрерывна в этой же области.
1) Областью определения функции у является вся числовая
ось. Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Дх
и, подставив в данное выражение функции вместо х наращенное
значение x-f-Дх, найдем наращенное значение функции:
у-Г Дг/ = 2(х4-Дх)2— 1.
Вычитая из этого наращенного значения функции ее первона-
чальное значение, найдем приращение функции:
ку = 2 (х + Д х)2 — 1 — (2х2 — 1) = 4х Дх -4- 2 Дх2.
Пусть теперь Дх —* 0. Тогда lim Дг/ — 0 при любом значении х.
Дх -» 0
Следовательно, согласно определению непрерывности, функ-
ция у будет непрерывна при любом значении х, т. е. во всей
своей области определения.
2) Тригонометрическая функция cosecх определена на всей
числовой оси, за исключением точек x = kn, k — Q, ±1, ±2,...
Повторяя указанные выше рассуждения, найдем приращение
функции Ди и затем его предел при Дх—*0:
Дц = cosec (х + Дх) - cosec х = ^--2----^
, Ах\ . ( Ах\
. , , . 2 COS X 4- -X- Sin-5-
__sin х—sin (x-f- Ax) \ 2 / \ 2 / ,
sin (x4-Ax) sinx_________________sin (x-f-Ax) sin x ’
a i- cos Iх "г 2 J . f Ax\ 2cosx n n
lim До = hm . .• lim sin ( —-0=0
sin (x-f-Ax) sin x \. 2; sinax
при всех значениях x, кроме x — kn, k = 0, ±1, ±2,...
* Неэлементарные функции могут иметь весьма сложную структуру и
могут быть определены и вместе с тем разрывны в каждой точке числовой оси.
— 50 —
Следовательно, область непрерывности й область определения
элементарной функции cosec х полностью совпадают.
119. Дана функция. Найти ее точки разрыва, если они суще-
ствуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:
О 2) /2(х) = х24-2х+10 ’
3) f3 (х) = arc ctg 1; 4) Д (х) = ; 5) f6 (х) - 1g (х* + Зх).
Решение. 1) Функция /Х(х) определена, т. е. может быть
вычислена при всех значениях х, кроме х=±2. Эта функция
элементарная, поэтому она непрерывна во всей области своего
определения: —оо<х<—2,—2 < х < 2, 2 <х <4- оо. Она не
определена в точках хх = — 2 и х2 = 2, но определена вблизи
этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения 1-го условия
непрерывности, данная функция в точках хх и х2 имеет разрывы.
Для определения скачка функции в найденных ее точках раз-
рыва вычислим односторонние пределы этой функции при стрем-
лении аргумента х к точкам разрыва слева и справа:
a) lim -5—- = 4-00,
• Y* __ Д, • *
Х-»-2-0 Л 4
так как при х—>- — 2 — 0 величина х2 —4 является положитель-
ной бесконечно малой, а обратная ей величина является
положительной бесконечно большой;
так как при х—> —24-0 величина х2 —4 является отрицатель-
ной бесконечно малой, а обратная ей величина является отри-
цательной бесконечно большой.
Следовательно, в точке х =— 2 функция имеет бесконечный
разрыв (черт. 21).
б) ,im °°’
2-0 А
так как при х—*2 —О величина х2 —4 есть отрицательная беско-
нечно малая, а обратная ей величина есть отрицательная беско-
нечно большая;
так как при х—*24-0 величина х2 —4 есть положительная бес-
конечно малая, а обратная ей величина есть положительная
бесконечно большая.
Следовательно, и в точке х = 2 разрыв функции бесконечный.
— 51 —
2) Элементарная функция f, (х) определена на всей числовой
оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные).
Поэтому она и непрерывна на всей числовой оси, т. е. не имеет
точек разрыва.
3) Элементарная функция f3(x) определена, а следовательно,
и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точке
л ==0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой
окрестности этой точки, за исключением самой точки.
Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
lim arcctg — = arcctg (— оо) = л;
х->- о х
lim arcctg-i- = arcctg(-|-oo) = 0.
Х->+0 х
Следовательно, разрыв функции конечный (черт. 22); при
х = 0 она имеет конечный скачок
lim f3(x) — lim /3 (х) — 0 — л = —- л.
4) Функция lx) определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке х = 3
функция имеет разрыв.
Исследуем эту точку разрыва:
lim 1,
х->з-0 х—3
так как при всяком значении х<3
эта функция равна —1;
lim
Х->3 + 0
I х — 31
х—3
Черт. 23
так как при всяком значении х>3
эта функция равна + 1.
— 52 —
Следовательно, в точке х==3 функция имеет конечный разрыв
(черт. 23); ее скачок в этой точке разрыва конечный:
Нт /*(%) —lim f4(x) = 1—( —1) = 2.
Х->3 + 0 X—>3—О
5) Логарифмическая функция y = \gu определена только для
положительных значений своего аргумента и. Поэтому элемен-
тарная функция /Б (х) = 1g (х2 + Зх) будет определена и непрерывна
для значений х, удовлетворяющих неравенству х24-Зх>0. Ре-
шая это неравенство, найдем область определения и область
непрерывности функции,— она будет^ состоять из двух интерва-
лов числовой оси:
— оо<х< —3 и 0 <х <4- оо.
Во всех точках отрезка — 3 s^xsg 0 данная функция не опре-
делена, однако точками ее разрыва являются только граничные
точки х = —3 и х=0. В этих граничных точках функция не
определена, но она определена в сколь угодно близких точ-
ках слева от точки х = -3и справа-ют точки х = 0. Все осталь-
ные внутренние точки отрезка [— 3; 0], в которых функция также
не определена, как и в точках х — — 3 и х —0, не являются
точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек
функция не определена.
Точка, в которой функция не определена, будет точкой раз-
рыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя
бы с одной стороны вблизи этой точки.
Найдя односторонние пределы функции при стремлении х
к точкам разрыва изнутри области определения функции
lim lg (х2 4-- Зх) = 1g 0 — — оо; lim lg(x2 + Зх) = 1g 0 = — оо,
3—О Х-> + 0
заключаем, что в точках х = — 3 и х = 0 функция имеет беско-
нечные разрывы (черт. 24).
120. Для каждой из следующих функций найти точки раз-
рыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой
— 53 —
точке разрыва и построить график:
1) fW = ( 1 2 1 —— — ] 2 Х при xsg 2
( х при X. >2;
( 2 у х при 0<х^ 1
2) <р(х) = < 4 — 2х при 1 <х<2,5
2х — 7 при 2,5 х <с ~Ь ooj
(2х + 5 при — оо <Х < — 1
3) F(x) = при — 1 X < -Г оо.
Решение. 1) Функция f(x) определена на всей числовой оси.
Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой
оси, так как эта функция неэлементарная', она задана двумя
различными формулами для различных интервалов изменения
аргумента х и может иметь разрыв в точке х = 2, где меняется
ее аналитическое выражение.
Исследуя точку х —2, находим односторонние пределы функ-
ции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:
lim f(x) = limf—^-х2>)= —2,
X -* 2 -0 \ * J
так как слева от точки х = 2 функция f(x) =—g-x2;
lim f(x) = limx = 2,
X —► 2 + О
справа от точки х = 2 функция f(x) = x.
так как
Левый и правый пределы функции конечны, но не равны
между собой. Поэтому, вследствие невыполнения 2-го условия
непрерывности, в точке х = 2 функция
имеет разрыв (конечный).
В этой точке разрыва функция имеет
конечный скачок:
lim f (х) — lim f(x) = 2 —( — 2) = 4.
X —> 2 + 0 2-0
Во всех остальных точках числовой
оси функция f (х) непрерывна, так как обе
формулы, которыми она задана, опреде-
ляют собой элементарные непрерывные
функции.
График этой функции показан на черт. 25.
2) Неэлементарная функция <р(х) определена для всех зна-
чений х>0. Она может иметь разрыв в точках х=1 и х = 2,5,
где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных
точках своей области определения функция <р(х) непрерывна,
поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет
— 54 —
собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале
изменения аргумента х.
Исследуем точки х—1 и х = 2,5:
a) lim ф(х) = Нт2 Ух —2; lim ф(х) = Ит(4 —2х) = 2.
X -> 1 -О X —> 1 + О
Согласно условию значение функции <р(х) в точке х=1 опреде-
ляется первой формулой
Ф(1) = 2/Г=2.
Следовательно, в точке х—1 выполняются все условия не-
прерывности: функция определена в окрестности точки х=1 и
lim ф(х)= lim ф(х) = ф(1).
х -> 1 — о х -> 1 + о
Поэтому в точке х= 1 функция ф(х) непрерывна.
б) lim tp(x) = lim(4 —2х) = —1; Нт ф(х) = Нт(2х—7) = — 2.
X —> 2.5 — О X->2,5+0
Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одина-
ковы, т. е. не выполняется 2-е условие непрерывности. Поэтому
в точке х = 2,5 функция имеет разрыв (конечный), черт. 26.
Скачок функции в точке разрыва конечный:
lim Ф(х)— lim ф(х) =— 2 —(—1) — —1.
Х->2,5+0 Х—> 2,5—0
3) Неэлементарная функция F(x)
определена на всей числовой оси,
кроме точки х = 0. Это значит, что
в точке х = 0 функция разрывна.
Исследуем эту точку:
lim F(x) = lim — = —оо,
х->-о х
lim F(x) = lim—=+оо.
Х-> + 0 Х
Следовательно, в точке х = 0 функция F (х) имеет бесконеч-
ный разрыв.
Исследуем далее точку х =— 1. Поскольку функция F(x) не-
элементарная, она может иметь разрыв в этой точке, где меняется
ее аналитическое выражение:
lim F(x)--=lim(2x4-5) = 3, lim F(x) = lim —==—1.
X—>—1 —О Х->-1+0 х
Найденные односторонние пределы функции конечные, но
различные. Поэтому в точке х = — 1 функция имеет конечный
— 55 —
разрыв; ее конечный скачок в этой точке равен
lim F(x) — lim F(x) — — 4.
X-+-1 + 0 Х->-1-0
Во всех остальных точках числовой оси функция F (х) непре-
рывна; ее график показан на черт. 27.
121. Для следующих элементарных
функций: 1) у — х3 — 2х; 2) г = ]/х;
3) и — ; 4) V — cos2x проверить, что
область непрерывности функции совпа-
дает с областью ее определения.
122. Дана функция. Найти ее точки
разрыва, если они существуют, и ска-
чок функции в каждой точке разрыва:
= 3)!/ = 18(2х+1);
4) </ = arcsinl; 5) !/=у=; 6) • У=~ .
123. Для каждой из следующих функций:
2л + 1 ’ У = Х + |х + 2|’
3) у=^Е^> 4) у=х/ 2-1;
( — х при х < — 1
5)</=(A_ при х>-1; «)• ?-
1 — х2 при х <0
(х— I)2 при 0s^Xsg2
4 —х пои х?> 2
найти точки разрыва, скачок функции в каждой точке разрыва
и построить график.
ГЛАВА ll
ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение
Непосредственное нахождение производной
Производной функции у —fix) называется предел отношения
ее приращения &у к соответствующему приращению Ах незави-
симой переменной, когда Ах—>0:
Дх + 0Ах< Дх + 0 &* * * * * Х ' '
Производная обозначается у’ или f (х), или .
Нахождение производной называется дифференцирова-
нием.
Геометрически производная у' функции y—f(x) представляет
угловой коэффициент касательной к графику этой функции
(черт. 28):
У
N
;ДУ
дгг'|
0
“=-tgP; /= lim limtgp = tga.
Да-*о йх р->а
Функция называется дифференцируе-
мой в некоторой точке х, если в этой точ-
ке она имеет определенную производную,
т. е. если предел (*) существует и имеет
одно и то же значение при Ах—>0 лю-
бым способом; при этом функция будет
и непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное)
условие дифференцируемости функции. Функция, непрерывная
в некоторой точке х, может быть и недифференцируемой в этой
точке.
Простейшие случаи недифференцируемости непрерывной функ-
ции у = f (х) изображены на черт. 29.
В точке а при Ах—>0 отношение ~ не имеет предела, но
Черт. 28
— 57 —
имеет различные односторонние пределы при Лх—► —О и
Лх —* + 0, которые называются односторонними (левой и правой)
производными:
Jitn = и lim ^ = ^+)
Дх-*-о &x-f + oax
В соответствующей точке графика функции нет определенной
касательной, но есть две различные односторонние касательные
с угловыми коэффициентами:
= и k2 = y(+) (угловая точка).
В точках b и при Лх—>0 отношение является знако-
постоянной бесконечно большой величиной:
lim = —оо (или +оо).
Дл--»о йх
В этом случае говорят, что функция имеет бесконечную про-
изводную. В соответствующих точках график функции имеет
Черт. 29
вертикальную касательную (точ-
ки перегиба с вертикальной каса-
тельной).
В точке с односторонние про-
изводные являются бесконечно
большими величинами разных зна-
ков. В соответствующей точке
график функции имеет две слив-
шиеся вертикальные касательные
(точка возврата с вертикальной
касательной, частный случай угло-
вой точки).
В точках а, Ь, br и с функция y = f(x) непрерывна, но не
дифференцируема.
Для непосредственного нахождения производной у' от функ-
ции y = f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу х произвольное приращение Лх и,
подставляя в данное выражение функции вместо х наращенное
значение x-f-Лх, находим наращенное значение функции
y + &y=f(x + &x).
II. Вычитая из наращенного значения функции ее первона-
чальное значение, находим приращение функции
&y = f(x + &x) — f(x).
III. Делим приращение функции на приращение аргумента,
т. е. составляем отношение
Ду 7(х + Дх)—f (х)
Дх Лх
— 58 —
IV. Ищем предел этого отношения при Дх—>-0. Этот предел
н даст искомую производную у' от функции y = f(x).
124. Путем вычисления предела lim ~ найти производные
Дх-»в
следующих функций:
1) у = 3х2—4х; 2) y—V'x', 4) y = cos3x.
Решение: Руководствуясь указанным общим правилом для
непосредственного нахождения производной, последовательно
находим:
1) Для функции у = 3х2 —4х:
I) у 4- Ду = 3 (х 4- Дх)2 — 4(х4-Дх) = Зх2 4- бхДх4-
4-ЗДх2 — 4х —4Дх;
11) Ду=(Зх2 4- бхДх 4- 3 Дх2 — 4х—4 Дх)—(Зх2—4х) =
= 6хДх4- ЗДх2 — 4Дх;
III) ЗДх»-4_Дх = 6х 3Дх _ 4
' Дх Дх 1
IV) lira = lira (6x4-ЗДх—4) = 6х—4.
а*
~ dy d(3x*—4х) Л .
Следовательно, £ — Л —- = 6х — 4.
2) Для функции У = ~^'
I) =
I т \ д Ах #
*" Х + Дх~Т “ х(х + М 9
III) —— ?_’
) &х х(х4-Дх)
IV) lira ^=lim[-т-Ь—] =~ А
дх-оА* L х(х4-Дх)] х’
(1V 1
Следовательно, I — \ = — .
3) Для функции y~Vxt
Ш)
' Дх Дх
IV) у' = I». и
= lim —т-4=
lira #» ^lira/^-^
Дх
I
— 59 —
4) Для функции y = cos3x:
I) у 4- Ду = cos 3 (х 4- Дх);
II) Ду —cos3(x-f-Дх) —cos3x =
(3 X 3
Зх 4- у Дх 1 sin у Дх;
(3 \ 3
Зх 4--~- Дх ) sin -д-Дх
—-2______L__1_;
\х &Х
, 3 .
a.. f ч \ sin —Дх
IV) у' = lim = — 21imsin ( Зх + 4 Дх) • lim—s®
9Ах з
= — 2 sin Зх• lim -г— == — 2stn Зх •=• = — 3sin Зх. *
1лХ X
125. Исходя из определения у' = lim найти производ-
Ах-.о лх
ные следующих функций:
1) у = х24-5х-1; 2)у=Д; 3)у=4;
х ух
4) у = ]/4x 4- 1; 5) y = sin3x; 6)* y = tg2x.
§ 2. Производные простейших алгебраических
и тригонометрических функций
Понятие производной широко применяется для решения
разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз нахо-
дить производную путем предельного перехода, посредством тех
четырех операций, которые указаны в общем правиле диффе-
ренцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся
по формулам дифференцирования, как это разъясняется в после-
дующих задачах.
Простейшие формулы дифференцирования:
1) (с)' = 0; 3) (uv)' — u'v4-»'«; 2) (u + v—w)' = u' + u'— w*; 3a) (cu)‘ ==cu’\
/ «V u'v—o'u 4) \ 0) 0» • 46) (-¥ = —^ ; ‘ \ 0 / o1 6) (sinx)' = cosx; . , / u\’ u' 4a) 1 — 1 = —; \c / c 5) (хя)' = нхй-1; 7) (cosx)'——sinx;
8) (tgx)'=sec2x; 9) (ctgx)' = — cosec2x.
* Здесь при отыскании предела отношения двух бесконечно малых одна
3 3
из них заменена другой, ей эквивалентной: sinДх— Дх. См. свойства
Л Л
эквивалентных бесконечно малых в гл. 1, § 8.
— 60 —
Здесь обозначено: с —постоянная; х — независимая перемен-
ная; и, v, w—функции от х.
126. Пользуясь формулами дифференцирования, найти про-
изводные следующих функций:
1) у — х2 — 5х + 4;
3) z = Xs (2-у + 3х2) ;
2) У '— I'/'x + +Зх3 ’
6) R (а) =
cos a ctg а
1 + 2 tg с
Решение. 1) у’ = (№ — 5x4-4)' = (х2)' — (5х)' + (4)' (по фор-
муле 2);
у' = 2х — 5-1 4-0 = 2х — 5 (по формулам 5, За и 1).
2) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем
данную функцию:
2L -JL 1
г/ = х24-5х 3 — х-2+ у х~3.
Применяя формулы 2, 5 и За, получим
^1г^ + 5(-4)Н-(-2)х-’+4(-3)х-‘ =
____i 5_______|_2_1
2 К? х*'
3) 1-й способ. Пользуясь формулой 3, получим
г' = (х5)' (2 - + Зх2) + х5 ( 2 - у + Зх2у =
— 5х4 ( 2 — у + Зх2^ + х° f —у + 6х ) — 10х4 — 2х5 + 21хв.
2-й способ. Сначала раскроем скобки, затем дифференцируем,
как сумму:
z = 2x6—^-х« + 3х7; г'= 10х4 —2х5 + 21х«.
О
Этот способ предпочтительнее, так как быстрее приводит к цели.
Следует иметь в виду, что вообще не обязательно дифферен-
цировать заданную функцию сразу. Можно предварительно под-
вергнуть ее тождественным преобразованиям (если это целесо-
образно, т. е. ведет к упрощению дифференцирования).
—67 -
4) Пользуясь формулой 4, получим
( *8 У -(*2)' (*2+l)-(r2+l)'x2 _
I w ~ (х2+1)2 -
__2х(г2+1)—2х-х2 2х
~ (х24-1)2 — (х2+1)2 •
5) т' (I) = (_ 10 \' = _ Ю (a sin/—d cos/)'
' т V / \asin/—bcostj (a sin/—t>cos/)2
__ 10(acos / + &sin t)
(a sin/—fecos/)2
Здесь применена формула 46 (постоянный числитель), а не фор-
мула 4, что целесообразнее.
6) Пользуясь формулой 4а (постоянный знаменатель), получим
dR (cos a ctga)' — sin a ctg a + cos a (— cosec2a)
da 1 + 2 tgс 1 +2 tgc
__ cosa(l+cosec2a)
1 -|-2 tg c
127. Найти производную данной функции и затем вычислить
ее частное значение при указанном значении аргумента:
1) х = 0,01; 2)2-^, /=1;
Решение. 1) Вначале раскрываем скобки и производим
деление, затем дифференцируем:
г, х 1—2 У х + х 1 2 . . . п —L
F(x) =---= 1 =x-i-2x 2 + 1;
/ 1\ 1 1
F' (%) — — х 2 —2^—yjx 2= —^ + y=r.
Подставляя значение х = 0,01, получим
F' (0,01)= — —^+-^1= = — 1002+ 103 = — 9000.
' 0,012 1 у 0,01s
2) По формуле 4 найдем
,__(cos /)' (1—sin /)—cos t (1 — sin /)'_
2 ~ (1—sin/)2 “
— sin / (1 — sin /)—cos / (—cos /) —sin /4-sin2/ + cos2/ 1
(1 — sin/)2 (1 — sin/)2 — 1—sin/’
Полагая t = ^, получим 2'=у-У-5 = 2.
3) Применяя формулы 46 и 4а, получим
, (а + &) (3—2х\ , (5х*— 1)' 2 (д + &) . 20 г3
У (3 — 2х)2 "* а—b (3 — 2х)2 * а — b
— 62 —
2
При х = 0 найдем у' (0) = -^-(а + &).
По формулам дифференцирования найти производные следую-
щих функций:
128. z/ = x + 3x2-y.
130. у = (У х — У а)2.
132. z-3^x-2/x3 + 4.
134 у — х“ 3
V — *2_ь3 .
136. Г^1±Д1Ф.
Sin ф
129. у = х — 2Ух.
1st »=-Н4-
133. « = -Дг •
» ~r J
135. z/ = x2 sin x.
137. r/ = — 3cosfctg/.
138. f (x) — i ; вычислить f (1).
139. F (t) = ^- + — ; вычислить
' ’ t tn \dt Jt=m
140. г (<р) = ф sin cp 4-coscp; вычислить г' (л).
141. 2 = (уг — 2y) tgz/; вычислить z' (0).
/•2 / du \
142. U (r) = —~~T i ВЫЧИСЛИТЬ ( )
v ’ 2x2 r2 \dr )r-x
§ 3. Производная сложной функции
Если y — f(u), где м = ф(х), т. е. если у зависит от х через
посредство промежуточного аргумента и, то у называется слож-
ной функцией от х.
Производная сложной функции равна произведению ее произ-
водной по промежуточному аргументу на производную этого
аргумента по независимой переменной-.
du du du . , r, . . ,, .
Й=Й-£- ™ У «•
Так, если и = ф(х), то формулы 5, 6, 7, 8 и 9 предыдущего
параграфа будут иметь следующий общий вид:
5) (ип)’ = пип~г-и’; 8) (tgw)' =sec2w-w';
6) (sin и)' = cos и-и'\ 9) (ctg и)' — — cosec2u-«'.
7) (cosи)' = —sinu-u'-,
Полезно запомнить словесные выражения формул дифферен-
цирования:
производная степени равна показателю, умноженному на то
же основание с показателем на единицу меньше и на производ-
ную основания;
— 6д —
производная синуса равна косинусу того же аргумента, умно-
женному на производную от аргумента.
Выразить словесно остальные формулы дифференцирования
рекомендуется студенту самостоятельно.
Найти производные следующих функций:
143. 1) у = (1 + 5х)3; 2) у = sin 5х; 3) z/ = cos2x;
4) z/=sinx2; 5) y=]/r2^-xi.
Решение. 1) Полагая у = и2, где м=1 + 5х, и применяя
правило дифференцирования сложной функции, имеем:
—Зм2; ^ = 5; = = Зм2-5= 15(1 4-5х)2.
du dx dx du dx ' 1 '
Легко проверить правильность этого результата: возведя в
куб и дифференцируя полученный многочлен, приходим к тому
же ответу.
2) Полагая 5х = и и пользуясь формулами 6 и За, найдем
у' = (sin 5х)' = (sin «)' = cos и • и' — 5 cos 5х.
3) Полагая cosx = u и применяя формулы 5 и 7, получим
у' = (cos2 х)' — (и2)' = 2и • и' = 2 cos х (— sin х) — — sin 2х.
4) При х2 — и по формулам 6 и 5 найдем
(sin х2)' = (sin и)’ = cos и и' — 2xpos х2.
5) Полагаем 2-\-xi = u, и, пользуясь формулой 5, имеем
______________ _ / _i_v . __2_
(/2 4-х4)' —($/и)' = \и2) и 3 и' =
= 1 (2 4- х4)~^~ 4х3 = .
d 3/(2 + х4)2
Дифференцирование этой сложной функции можно записать
иначе:
Г —1 '1 — Л 3
(/24-х4)'= (2 4-х4)3 =у(24-х4)-3 (24-х4)' = —
3 3 / (2 4- х4)2
Второй способ записи без особого обозначения промежуточ-
ного аргумента значительно проще. Этому способу записи и сле-
дует научиться при дифференцировании сложных функций.
144. 1) г = (Зах —х2)4; г'? 2) ₽ = 2 ]/ sin |
3) з=(2Гн) ’ вычислить s (—1).
4) г = sin32cp—cos32(p, вычислить
— 64 —
Решение. 1) Применяя формулы 5 и 2, найдем
г' — k (Зах — x2)k~1 (Зах — х2)' = k (За — 2х) (Зах — х2)*-1.
2) Используем формулы 5 и 6:
I _£
о/ п И • а \ 2 ( " а X' 7 а \ 2 „ а (а V
P' = 2.y^sin yj ’(sm у) =(smyj
а
cos3~
3 j/^sin у
3) Применяем формулы 5 и 4:
inf t V l-(2< + l)-2-i _ 10/e
* “ Ш\2Г-f-1/ ’ (2/-f-l)2 ~'(2/4-1)11*
При /= —1 получим s'(__l)=10‘
4) Сначала запишем данную функцию в виде
г = (sin 2ср)3—(cos 2<р)3,
что всегда полезно при дифференцировании степеней тригояо*
метрических функций.
Пользуясь формулами 2, 5, 6 и 7, получим
г' = 3 (sin 2q>)2 (sin 2ф)' — 3 (cos 2ф)2 (cos 2ф)' =
= 3 sin2 2ф • 2 cos 2ф—3 cos2 2ф• (— 2 sin 2ф) =
= 3 sin 4ф (sin 2ф 4- cos 2ф).
При ф = у найдем г ( у ) =3 sm у ( sm у 4-cos-y 1 =«3 у 2.
Найти производные следующих функций:
145. z/ = (2 + 3x)6. 146. у= sin (2х— 1).
147. z/ = ctgVx? 148. z — Y x + J/^x.
149. 151. 153. u = sin а/cos —. 150. а V ~ <Ti ; iil • 152. (1 4- sin 4z/)3 sinx --- » = 2c»s>x' ,И- г ~ 2 cos2 у . s =у tg3z —tgz + z. r^tg аф —b sec atp
155. у = sin2x+ sin х2; вычислить у' (0).
156. z/ = cosy + cosy; вычислить у’ (а).
157*. г— 1 -f-cosx4;
вычислить z
3 № 3201
— 65 —
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций
Общие формулы и их частные виды:
10) (аа)' =аа1па-и'; 11) (log«)' = ^-loge;
10а) (еа)'= еан'; 11а) (1пи)' = ~;
106) (ах)' = ах1па; 116) (logx)' =~ loge;
10в) (еху = ех; 11 в) (1пх)' =~.
Для дифференцирования логарифмической функции с основа-
нием а^=е можно предварительно преобразовать ее в логарифми-
ческую функцию с основанием е по формуле
loge и = loge е- In и.
158. Найти производные следующих функций:
1) у = х?Зх. 2) f (х) = j/3 + —< + 6Гх ; вычислить f' (1).
3) у — In cos Зх. 4) г = а'р6с₽сф + lg (5<р) — 41g]Ap.
5) # = 6) z/ = ln вычислить г/'(0).
Решение. 1) Дифференцируем как произведение и по фор-
мулам 5 и 106:
у' = (х3)' 3х + х3 (3х)' = 3х23* + х33х In 3 = х23х (3 4- х 1 п 3).
2) Вводим дробные и отрицательные показатели, затем диф-
ференцируем как сумму и по формуле 10:
/ 1 _1у 1 ,. .,
/'(х)=ЦЗх+2”6*4~6*2 J =3*1п3.(4) +
— ( —Y
+ 2'6*1п2.(-5х)'4-6х2 In 6-) =
= 1пЗ-5-2~5Х1п2 + 4-х“^6хЧп6.
х2 1 2
Полагая х—1, найдем f(l) = — 31п3 — Ц^4-31п6=^1п2.
3) Согласно формулам 11а и 7х имеем
, ,, о (созЗх)' —3sin3x
у = (In cos Зх) = -=-----=— = — 3 tg Зх.
а ' cos Зх cos Зх &
4) Здесь предварительно тождественно преобразуем данную
функцию:
г = (aftc)T + lg5 + lg(p—4-у lg(p = (aftc)? + lg5 —lge-lnq>.
— 66 —
Затем дифференцируем по формулам 106 и 116:
^ = {аЬс)ПП(аЬс)-^.
5) Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем
логарифм дроби в разность логарифмов числителя и знаменателя:
У = In = In (а2 - х2) - In (а2 + %2).
Согласно формуле На найдем
,__(а2 — х2)' (а2 + х2)'_— 2х__2х ___ 4а2х
У а2—х2 а2 + х2 а2—х2 а24-х2 х4—а4*
6) £/ = 1п]/ т^==|[1пе3*_1п(1+езх)]=|[3х_1п(1+езх)].
, 1 / Зезх \ 3 . '/лч — 3
1-f-e3*) ~~ 2 (14-е3*) ’ У W 4’
Здесь, как и в предыдущем случае, на основании свойств
логарифмов данная логарифмическая функция преобразована
сначала к более удобному для дифференцирования виду.
И юобще, если под знаком подлежащей дифференцированию
логарифмической функции содержится выражение, поддающееся
логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то
полезно сначала выполнить логарифмирование.
Найти производные следующих функций:
159. w = 2*4-2зХ. 160. y=a —e .
161. 2 = 3 xe~x 162. x = ea<F sin bq>.
163. c -- 1 ex_e-x* 164. y = \n(ax2 + bx + c).
165. у = cos2 x — 2 In cos x. 166. z = x(l — Inx).
167. и = In -j „ . 1 —X2 168. “-In /f§-
169. г = In -г—-г; вычислить г'(0).
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций
Общие формулы и их частные виды:
12) (arc sin и)' = ;
у 1 —и2
13) (arc cos и)’ — —......;
у 1—и2
14) (arctg ы)'= г-£—3;
i и
15) (arcctg«)'=
12a) (arc sin x)' =.7._- — ;
V 1 — x2
13a) (arccosx)' =---7 1 •
/1-Х2
14a) (arctgx)' = T2-^;
1 -f~ Л
15a) (arcctgx)'= -yJ-i-
— 67 —
170. Найти производные следующих функций:
1) у — 5 arc sin kx + 3 arc cos kx\ 2) y = arc sin-^- — arc etg;
3) r = arc tg + arc etg (m etg <p); r'(0)?, r' (я)?
Решение. 1) По формулам 12 и 13 найдем
»' = 5 (kx}' 4- з Г (fex)' 1 = _5L_ _
у Ki—(fex)2^ [ К1—(*х)2] /Ч—А2х2
3k 2k
К Г=№Г2 ~ К1—/г2х2
2) Используя формулы 12 и 15, имеем
так как ]/х2 равен не х, а |х| и х=#=0.
3) Применяем формулы 14 и 15:
tn V т
ср J (т etg <р)' ____ ср2 — т cosec2 <р
/п2 l-f-/n2ctg2qp cp2 + m2 14-/n2ctg2q>
1+^2 epi2”-
__ т . т
<р2 + m2 ~sin2 <р+m2 cos2 <р ‘
Подставляя вместо ф заданные значения Ойл, найдем
Z /Л\ 1 I 1 г\. ' т । 1 я>
Г (у> ~ т * т~®' г (п'~ П2 тг + т т (я2 _]_ ,п2) •
Найти производные следующих функций:
171. t/= arc sin К*- 172. у = arc etg
173. z = arctg-j-^-b. 174. г = arc cos
175. z/ = xarccosx — j^l—№. 176. o = arccos^.
177. x = cp arc tg <p — In ]/1 + <p2; вычислить x'( — 1).
178. z/ = x/l —x2 + arctgy==
вычислить у’ (0).
179. Q = arc tg ; вычислить Q'(0) и Q'(— 0-
— 68 —
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование
Найти производные следующих функций:
180. 0 y=r^5(asinx-cosx); 2) г = 1п
3) s = x2 (1 + т */е ); показать, что эта функция удовлетво-
ряет уравнению х2 (s'— 1) — (2х — 1) s.
Решение. 1) Последовательно применяя формулы 3, 10,2,
6 и 7, получим
у' = [(е<1Х)' (fl sin х—cosx) fl-eaX (a sin х— cosx)'] =
= y-^-j[aeax (a sin x — cosx) + eaX (acosx + sin x)] —
1 “p Cl
eax
= (a2 sin x + sin x) = eax sin x.
1 -[-a*' '
sec2 <p —sec2 <p
1 +tg<p 1— tg <p
1
2) Вначале преобразуем данную функцию согласно свойствам
логарифмов, затем дифференцируем по формулам 8 и 11:
r = -J-[ln(l+tgcp) — ln(l— tg Ф)];
ft = 1 ГU+tey)'_(1—tg<p)'l __L
dtp 4 L 14~ tg <p 1—tg q> J 4
seca <p (1 — tg <p 4-1 -f-tg <p) _1 __ £ „
4(1—tga<p) 2(cos2<p—sln2<p) 2
3) Заменим радикал дробным показателем и дифференцируем
по формулам 3, 5 и 10:
/ 2_\ ( 1 \
s — x2 \14- тех J ; s' = 2х \ 1 + тех ) +
4-х2тех (—} — 2х + тех (2х— 1).
Подставив s и s' в данное уравнение, получим тождество
[—1 ( —\
2х-~тех (2х— 1) — 1J =(2х— 1)х2 \ 1 + тех ); 0 = 0.
181. 1) у= -S; + lntg^ ; /? 2) # = arc sin (cos х); у'?
3) г = q>2arccos-^- —2]Лр2 —4; вычислить г’ (2) и г'(—2).
4)* у = | 1 —х21; найти у' ^-0 , у' (— 2) и точки, где функция
не дифференцируема.
— 69
Решение. 1) Последовательно применяя формулы 2, 4, 7,
5, 6, 11 и 14, получим
/, х у
г_____(cos х)'sin2 х—cosх(sin2*)' , v 2/
" ~~ sin4x ”* х
,е2
sec2 —-
__sin3х + 2 sinxcos2х , 2 sin2 x-f-2cos2x ,
~ sin4 х + “ X ~ sin3 X
atg-g-
.1 1 -f- cos2 x . 1 ___ 2
' _ . x x~ sin3x ' sinx ~ sin3x"
2 sin cos -g-
2) Пользуясь формулами
>== (cos ХУ
УI—COS2X {/ sin2 X
Смысл этого результата таков
у' — —1;вточках, где sinx<0, у'
т. е. x — kn, k = 0, ± 1, ±2,
ренцируема (черт. 30).
3) Заменив радикал дробным показателем и применяя фор-
мулы 2, 3, 5, 13 и 4, имеем
г' = (Ф2)'агс cos-^ + ф2
__ 2_
а 2 „ ф2
= 2ф arc cos -— ф2 —-^=
12 и 7, найдем
—sin х sin х
| sin х | "
в точках x, где sinx>0,
= 1; в точках, где sinx = 0,
данная функция не диффе-
о \' Г —
arc cos—2 [(фа—4)2
1
2. _ (ф2 — 4) 2 -2cp =
ф
;7=4=^ >так как v^h<pI-
у ф2—4/
2
о / 2 , I ф I
— 2 ( ф arc cos-h -Уе-—:
\ ]Лр2— 4
2
При ф>0: г' = 2фагссоз—; г'(2) == 4 arc cos 1 =0.
При ф<0: г' = 2^фагссозф У(р2__4/- > -< •
4)* а) При 1 — х2>0, т. е. в интервале — 1<х<1,
y'=z{\~х2)'— — 2х, поэтому у' (4’) = — U
б) при 1 — х2<0, т. е. в интервалах — оо<х< — 1,
и 1 <х<+ оо, у' = — (1 — х2)' =2х, поэтому у’ ( — 2)= —4;
в) при 1—х2 = 0, т. е. в точках х = ±1, данная непрерыв-
ная функция не дифференцируема; в этих точках производная у'
не существует, но существуют две различные (по знаку) левая
и правая производные: У(-)~ —2 и z/(+) = 2.
— 70 —
В соответствующих точках график функции (черт. 31) имеет
по две различных односторонних касательных с угловыми коэф-
фициентами kY =—2 и ^2 = 2 (угловые точки).
Черт. 30 Черт. 31
Найти производные следующих функций:
182. y = (l+f/x)3.
,84‘ у = (1—х2)» •
186. s = sin414- cos41.
188. x = 2el sin t cos21.
183. y — ,* .
185. x = V cos 4a.
187. r — ф sec2 acp.
189. i/ = x4(81n2x — 41nx-f- 1).
190. и — e2V In tg . 191. у = In (x + ]/x2 4- a) .
192. x=ln-FJ==. 193. u = ln l/~.
у i г 1—sin a
194. x = t (cos In t— sin In t). 195. w=-..= .
V У 2+K4 + 52*
196. y= arcsin l^sin x. 197. у = arccos (cos x).
1 4 /~\ A_X / 1 X
198. у = у arctg x — In у ; вычислить у'I—у 1 .
199. u—xV^ — x2 4-4 arc sin; вычислить u'(2)4-u'(0).
200*. y = ae~sinx + s*in x — 1; показать, что у' 4- у cos х = ~ sin2x.
201*. z/ = 2|cosx|4-cosx; найти у’ , у' и угловые
точки графика функции.
202*. у — \х\ех; вычислить у' (—1), у'(1) и односторонние
производные для угловой точки графика функции.
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование многих функций значительно упрощается,
если их предварительно прологарифмировать.
Если требуется найти у' из уравнения у = /(х), то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения (по основанию е)
In у = In f (х) = <р (х);
— 71 —
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где
In у есть сложная функция от х,
у = <р'(х) (согласно формуле 11);
в) заменить у его выражением через х и определить у':
У' = УЧ>' (x) = f(x)tp'(x).
Логарифмическое дифференцирование полезно применять,
когда заданная функция содержит логарифмирующиеся опера-
ции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение
корня) и, в частности, для нахождения производной от пока-
зательно-степенной функции у = и°, где и и о—функции от х.
203. Найти производные следующих функций:
1) у = хх\ 2) г = (cos a)sin ы;
3)s = -/J=; 4) /? = (х—1) р/(х+1)2(х —2)
у 1—/2
Решение. Применяя логарифмическое дифференцирование,
последовательно находим:
1) a) lnr/ = xlnx;
б) — = х' 1пх + х(1пх)' = 1пх4-х--^ = 1пх + 1;
у *
в) у' = у(1 4-1пх)=^хх(1 4-1пх).
2) a) In г = sin 2а In cos а;
б) г— = (sin 2а)' In cos а + sin 2а (In cos а)' — 2cos2alncosa-f-
4* sin 2a ( ——— =2 cos 2a In cos a —2 sin2 a;
1 \ cos a /
в) r' = 2 (cos 2a In cos a — sin2 a) (cos a),in 2a.
3) a) lns = ln24-ln/—In (1 —Z2);
s' 1 1 —2/ _ 1 t _ 1
s — t 2 ’ 1 — /2 “ t + 1-P- Hl— t2) ’
. , s 2/ 2
J/]ZP K(l—z2)3 ’
4) a) In # = ln(x—1) +-^-in (x+1)+4-In (x-2);
о о
R' 1 4. 2 4 1 — 2x2—Зх—1
0) R~ x— 1 + 3(x+l) + 3(x — 2) — (x2—l)(x —2) ’
в) R' = (x - 1)j/(x+l)2(x—2) = .
(x2 —1) (x —2) /(x+D (x —2)2
— 72 —
Найти производные следующих функций:
\ ах
—) .
а /
206. г = (810 9)’.
«АО ,,______Ч ТЧ
и • и~ (2 + П3(3+04 ’
210. $ = </”.
205. у = / х .
207 у —
У V'T-^ '
опа ц___ х (1 + ха)
2U9' У— V (1— х)* •
211*. v = xx\
§ 8. Производные высших порядков
Если у' есть производная от функции у = [(х), то произ-
водная от у' называется второй производной, или производной
второго порядка от первоначальной функции у, и обозна-
чается у", или f (х), или ~-t.
Аналогично определяются и обозначаются производные лю-
бого порядка:
производная третьего порядка (у")' = у'" = f" (х)=^ ;
производная четвертого порядка (//"')'= «/<4, = Г4’(х) = ^-|;
dnu
производная n-го порядка (у{п~1))' =ут = /<л’ (х) = .
Для нахождения производной какого-либо высшего порядка
от данной функции приходится последовательно находить все
ее производные низших порядков.
Для произведения двух функций можно получить производ-
ную любого п-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
(цц),л> = uin}v + nifn~" v' ul"~2) if + ... +
+ М»-1)....:fe.....(n-fe + 1) + ... + + Ыц<п>.
212. Для данных функций найти производные указанного
порядка:
1) у = х5—7х3 4- 2; у"’? 2) у = In х; z/,5)? 3) s = arctg 2х; s" (— 1)?
4) г/ = е_<р sin <р; показать, что функция удовлетворяет уравнению
у-’ + 2у' + 2у = 0. 5) у — ех(х2—1); yt2i>? 6) у = хт-, у^'?
Решение. 1) Дифференцируя функцию у, получим
(уУ =У' = 5х4 — 21х2.
Дифференцируя производную у', получим
(//')' = у" = 20х3—42х.
— 73 —
Дифференцируя вторую производную у", получим
(/)' = у"' = 60х2—-42.
2) у' = (1пх)' = 1 = х’1.
Для нахождения следующих производных здесь полезно
ввести отрицательный показатель степени:
24
у" —— х-2; у'" = 2х-3; у^ ~ — 6х"4; z/6) = 24x-5 = ^ .
3) s' = (arctg 2х)' = 1 + (2X)3 = 1 + 4Ха ;
2(1+4х2)'_ 16х
(1+4х2)2 (1-[-4х2)8’
При х = —1 найдем s" (—=
Zu
4) Найдем у' и у":
у' = sin <р + е-’ (sin ф)' = — e~v sin ф 4- e_If cos ф =
= е~т(соЗф—-sin ф);
у" = — (cos ф— sin ф)4-е~’р (— sin ф —соэф) = — 2е"тсозф.
Подставляя у, у' и у" в данное уравнение, получим тождество:
— 2е_,рсозф4-2е"'р (совф—sin ф) 4-2е~'р sin ф = 0; 0 = 0.
5) Применяя формулу Лейбница, получим
у™ = [е* (х2— 1 )](21> = (е*)<24) (х2— 1) + 24(e*)t23) (х2 - 1)' +
+ 24 23(ех)(2г)
Все следующие слагаемые равны нулю, ибо все высшие
производные от функции х2 —1, начиная с третьей, тождественно
равны нулю;
z/(21) =ех(х2—1) 4- 24ех-2х 4- 12-23е*-2 = е*(х2 4-48x4-551)
(так как производная любого порядка от ех есть ех).
6) Дифференцируя k раз, получим:
у = хт\ у^тх"1"1; у" ~т(т—1)хт~2; ;
у^ = т(т— 1) ... (tn — k 4- \)хт~к.
В частности, если т — целое положительное число, то
у(0” = /п! и у(0,+1>=у('п+2)= ... =0.
213. z=t2-|-sin5t; z'"? 214. o = a5lna; o'"?
215. x = (2p—I)5; x(1>(3)? 216. z/ = x2(?3*; /?
217. у = cte2X + czxe2X 4- ex; показать, что функция удовлетво-
ряет уравнению if — 4у' + 4у = ех.
— 74 —
218. //= a2*; t/<rt’? 219. у = (Ц-х)”;
220. z/ = xsinx; ^?221*. t/ = xn-1lnx; //'"’(I)?
§ 9. Производные неявной функции
Если у есть неявная функция от х, т. е. задана уравнением
f(x, У) — ^< не разрешенным относительно у, то для нахождения
производной нужно продифференцировать по х обе части ра-
венства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить
полученное равенство относительно искомой производной. Как
правило, она будет зависеть от х и у, ^ = ф(х, У)-
Вторую производную от неявной функции получим, диф-
ференцируя функцию ф (х, у) по переменной х и помня при этом,
что у есть функция от х:
day_d(p(x, у) _ dy_\
dx2~ dx ’ у’ dx)
Заменяя здесь через ф(х, у), получим выражение второй
производной через х и у.
= F[x, у, ф (х, z/)] = ф (х, у).
Совершенно так же и все высшие производные от неявной
функции можно выразить только через х и у. каждый раз,
когда при дифференцировании появляется производная , ее
следует заменять через ф(х, у).
К тому же результату приводит последовательное дифферен-
цирование равенства /(х, у) = 6 с последующим исключением
из полученной системы всех производных низшего порядка.
Для данных неявных функций найти производные указан-
ного порядка.
222. 1) -г—Й = 1; 2) ^-2 + гф-Зг-2 = 0; ?
' а2 о2 dx ' т \а<р/ф=з
3) хУ = Ух\ 4) x2 + z/2 —4х—10i/ + 4 = 0; у'х^>
Каков геометрический смысл решения этой задачи?
5) — arctgs = 0; $"? y = x-j-lny; у"?; х"?
— 75 —
Решение. 1) Дифференцируем по x обе части равенства,
где у есть функция от х, получим
2х 2уу' п » • Ь2х
-—^- = 0. Отсюда найдем у =
2) Дифференцируя по ф и считая г функцией ф, найдем
Тт dr е^~24-г
Из этого равенства определяем = з~—<р~ *
Подставляя данное по условию значение ф=- 2 в исходное
уравнение, найдем соответствующее значение гч>^2 = — 1.
Искомое частное значение производной при ф = 2 будет
Mr\ = е°—1 _ о
\d(p/<p=2 3—2
3) Логарифмируем обе части данного уравнения (по основа-
нию е), затем дифференцируем по у, рассматривая хкак функцию//:
z/lnx = x In у, у' In хф- г/ (In х)' = х' In у 4-х (In у)'\
х' 1
1-1пх4-// — = х' In//4-х— .
Отсюда найдем:
хг
, dx x (x—у In x)
~dy~y(y—x\ny) '
4) Дифференцируя по х, получим 2x4-2////' —4—10//'=0.
Отсюда имеем у' ~ .
D--у
Подставляя заданное значение х = 6 в исходное уравнение,
найдем два соответствующих ему значения у. У1 — 2-, у2 = 8.
Поэтому при х = 6 и производная у' имеет
У \ два значения:
f Ух-в ,у = 2~ У ’ Ух=а, y = s 3 ‘
Jf \ Геометрически, в прямоугольной системе
~п^2/ б---ж" координат, заданное в условии задачи уравне-
ние определяет окружность, у которой абсцис-
Черт. 32 су х = 6 имеют две точки: (6; 2) и (6; 8). Най-
денные значения производной представляют
угловые коэффициенты касательных к этой окружности в той и
другой точке (черт. 32).
— 76 —
5) 1-й способ. Дифференцируем по t и находим s':
1~s' + rf^ = 0’ s'=^ = l+s-2.
Последнее равенство снова дифференцируем по t и находим s":
sw = -2s-V = -^.
_ g2 i_ j
Заменяя здесь s' через , окончательно получим
2(s*+l)
5-----S5
2-й способ. Данное равенство последовательно дифференци-
руем по t два раза:
1—s' + г4~з = О; (а)
1 4-s3 v
_г4-s’Cl+s2)—2ss's' _п (М
s + (1-f-s2)2 U- W
Из уравнения (а) определяем s' и, подставляя в уравне-
ние (б), получаем соотношение между t, s и s', из которого и
выражаем s" через t и s. Результат будет тот же, что и при
решении 1-м способом.
6) а. Дифференцируем по х и определяем у':
у' = [ у'
v у у — 1
Дифференцируем последнее равенство по х и определяем у*
ия—у' =_ у'
у (у-D3 (У-1)3’
Подставляя вместо у' его значение, имеем
б. Дифференцируем данное равенство по у
1 / । 1 ' у—1
1 = х 4-— ; х =-— .
у У
Дифференцируем полученное равенство по у
у" =-----У—
у (у-1)3'
и определяем х':
и определяем х":
уП__1‘У * 1 (// ।) __ J_
~ ’ У2 ~ У2 ‘
г г 2
223. 5х2 4-Зху — 2у2 4-2 = 0; g-? 224. х3 4- у3 =а3 ; у'х=0?
225. eysin х = е~хсозу, ^-? 226. р/у = •'{/х ;
ау * у ’ ах
227. Xs + у3 — Заху = 0; у"? 228. у = tg (х 4- у)\ у"?
229*. ех— еу = у — х; у"7 230*. х + у = ех~у\ у"?
231. у4-ct 1пу = х4-с2; показать, что ytf — (f/')24-(//')3 = 0-
— 77 —
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически
Если функция у от независимой переменной х задана через
посредство вспомогательной переменной (параметра) t:
x = y = q(t),
то производные от у по х определятся формулами:
dy dy' dy"
" dx dx ’ У dx dxV & dx dx ’ ' ' ‘
dt dt dt
Все эти формулы составлены по одному общему правилу:
производная от параметрически заданной величины z по неза-
висимой переменной х равна отношению производных от z и
от х, взятых по параметру /.
Для следующих функций, заданных параметрически, найти
указанные производные:
{х = k sin 14- sin kt
y = kcost^-coskt\ \J^Jt ?
Каков геометрический смысл результата?
t х = а2 4- 2а ( х = 1 4- еа?
2) < . ,. (Ру ~ 3) < , - вч> d3y _
' ( t/=ln(a4-l); И = + е а?;
Решение. 1) Находим производные от х и от у по пара-
метру t
^ = /?cos/4-fe cos/?/; ^- = — k sin/ — k sin kt.
at at
Искомая производная от у по х находится как отношение про-
изводных от у и от х по /:
dy t-\-kt t—kt
dy dt k (sin /4-sin kt)_____sin g cos 2 . &4-1 ±
dx dx k (cos t-\-cos kt) „ t-\-kt t—kt ° 2
dt 2 cos —cos —
При / = 0 получим ^=0. Согласно геометрическому значе-
нию производной (§ 1) в точке (0; k +1), где / = 0, касательная
к графику данной функции параллельна оси Ох.
2) Находим производные от х и от у по параметру а:
~ = 2а4-2; %- = —L-
da da а 4-1
и искомую производную от у ПО X-
и< — — -----!______— /а 4- 11-2
» ~dx ~ da'da ~~ 2(а4 1)а— 2 ‘
— 78 —
Далее находим производную от у' по а, а затем искомую вторую
производную от у по х как отношение производных от у' и отх поа:
da~ u ’ y~dx~da'da 2(a+l) 2(a+l)4 *
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от
функции, заданной параметрически, получив
, dy dydx а—ае~а\ аф -здф.
У dx dtp ’ dtp aeaf ’
,f—dy' —dy' .dx _2ae~2a?—ae~a!P — Ор-за? _P-2av.
У ~ dx ~ dtp 'dtp ~~ aea?
-dy”. dy" dx 2ae-^-6ae-^_9 aav g t<
У ~dx~dtp'dtp~ aea'* ~
233.
x = /2
У = T- ?
s ’ dx
( x = acost
235. < .. , cPy^
I y = a sm t\ -j-v
' J dx®
За/
x =Гн3
За/® dy _
»”T+7-; S’
p = cosa4-asina
236. I . d*q..
I q = sin a—a cos a; -j-4?
v dp2
234.
r x = z2
237. \ . (d*y\ _
I у = z34-z (?
v v \dx*}z=i
/ x = acos3/ .
238. < . о , / d3iA
| 0 = <zsin3/;
4 ' 6
§11. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Угол между двумя кривыми
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе
координат (черт. 33), то уравнения касательной и нормали
к ней в точке М (х0, у0) имеют вид:
У-Уо = Уо(х— х0); у—у0=------l-(x—x0), (1)
У о
' • dy
где у<> — значение в точке х0 производной из уравнения
кривой.
Направление кривой в каждой ее точке определяется на-
правлением касательной к ней в этой точке. У гол между двумя
пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя
прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения
(черт. 34) по формуле
где kt и k2 — угловые коэффициенты касательных к кривым
в точке их пересечения Р(х0, у0), т. е. частные значения в точ-
— 79 —
ке х0 производных от у по х из уравнений этих кривых:
^1 = tga1 = ; k2 = tgа2 =
* О * \ лу lv_ ’ 4 О А I Яу / ..
\ил уx—Xq \их /Х=Х0
239. Составить уравнения касательной и нормали:
1) к параболе у = х2 — 4х в точке, где х=1;
2) к окружности х2 + у2 — 2х + 4// — 3 = 0 в точках пересече-
ния ее с осью 0х\
3) к циклоиде х = / —sin/, y=l— cost в точке, где / = ^-;
4) * к кривой //=|х3—1| в ее угловой точке.
Решение. 1) Подставляя в уравнение параболы заданную
абсциссу точки касания х=1, найдем ее ординату у=—3.
Для определения углового коэффициента касательной у0
находим производную от у по х из уравнения параболы и вы-
числяем ее частное значение в точке х=1‘
//' = 2х —4; у'0=у'(\) = — 2.
Подставляя значения х0, у0 и у0 в общие уравнения (1),
получим уравнение касательной
// + 3 = — 2(х — 1) или 2x4- //+1 = 0
и уравнение нормали
// + 3 = ^-(х—1) или х— 2у — 7 = 0.
Парабола, касательная и нормаль построены на черт. 35.
— 80 —
2) Решая совместно заданное уравнение окружности и урав-
нение оси Ох, у = 0, находим точки их пересечения: Л( —1;0),
В(3; 0) черт. 36. Дифференцируя по х уравнение окружности
2х + 2уу' —2 + 4у' = 0, находим производную у' — 1гг^ и вычи-
сляем ее значения для точек А и В: Уа=1, Ув— — 1.
Подставляя в общие уравнения (1), получим искомые уравне-
ния касательной и нормали:
для точки А соответственно х — у4-1 = 0 и х + у+1 = 0;
для точки В х + у — 3 = 0 и х — у—3 = 0.
3) Подставляя в уравнения циклоиды t — ~, находим коор-
динаты точки касания: х = — li У=1-
Затем определяем производную от у по х из уравнений
циклоиды, как от функции, заданной параметрически
dy о , t I
, di _ sint _2s‘n-2COST_ f t
У dx 1—cos/ _ . 2 t 2 ’
It 2s,n 2
и вычисляем ее значение для • точки касания у0 =у I у 1 = 1.
Подставляя х0, у0 и у0 в уравнения (1), получим уравнение
касательной 2х — 2у — л+ 4 = 0 и уравнение нормали 2х-\-2у —
— л = 0.
4)* Найдем производную у’ и затем угловую точку данной
кривой из условия, что для этой точки производная у’ не су-
ществует, но существуют различные односторонние производные:
у' = |х3- 1 |' = ±3х2,
где плюс соответствует интервалу х>1, в котором х3— 1>0,
а минус—интервалу х<1, где х3— 1<0.
Отсюда заключаем, что точка, где х=1, является угловой;
в этой точке кривая имеет две односторонние касательные с уг-
ловыми коэффициентами
*1= lim rf=/(-, (1)=~3и^= lim £ = /•+> (О^3-
Пользуясь общими уравнениями (1), получим уравнения
касательных Зх —у—3 = 0 и Зхфу —3 = 0 и уравнения норма-
лей х + 3у — 1 = 0 и х—Зу—1 = 0 (черт. 37).
240. Найти углы, под которыми пересекаются следующие
линии:
1) прямая х + у —4 = 0 и парабола 2у = 8 —х2;
2) эллипс х2 + 4у2 = 4 и парабола 4у = 4 —5х2;
3) синусоида y=sinx и косинусоида y = cosx.
— 81 -
Решение. 1) Совместно решая уравнения параболы и пря-
мой, находим, что они пересекаются в двух точках: А (0; 4) и
В (2; 2), черт. 38.
Далее находим производную от у по х из уравнения пара-
болы: 2у'=—2х, у' =—х и определяем угловые коэффициенты
касательных к параболе в точках А и В, как частные значения
этой производной:
г/д = £л = О; y'B = kB=—2.
Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точ-
ках; у данной прямой он равен —1.
Согласно формуле (2) получим
tgA = l, Л = 45°; = = В«18,5°.
1 £ о
Черт. 37
2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие
точки: А (1,2; —0,8), В(0; 1) и С(—1,2; —0,8), черт. 39.
Затем определяем угловые коэффициенты kt и k2 касательных
в любой точке эллипса и параболы как производные от у по х
из их уравнений
. х . 5
~~ “j И Ля —~ '“pc X.
1 4у 2 2
3
Подставляя координаты точки А, получим &i=-g- и k2= — 3.
Следовательно, в точке А:
4+3
tg(p = .» =_27; ф«92°.
Под таким же углом кривые пересекаются и в точке С вслед-
ствие их симметричности относительно оси Оу.
В точке В имеем: ^1 = A>g = 0, следовательно, в точке В кри-
вые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга.
В этой точке угол между кривыми равен нулю.
— 82 —
3) Абсциссы точек пересечения кривых (черт. 40) определя-
ются уравнением sinx = cosx, решая которое, получим
х = у-+пп (п — 0, ±1. ±2 ...).
Дифференцированием находим угловые коэффициенты каса-
тельных к синусоиде и косинусоиде: ^1 = cosx; k2= — sinx.
Искомый угол между кривыми определяем по общей фор-
муле (2)
К2 К2
, cosx + sinx ,2 2 , си/тг
tg <р = -—,— = ±-------;— = ± 2 V 2.
1—cosх sinx , 1
Положительному знаку соответствует острый угол <р « 70,5°,
отрицательному—тупой, смежный с ним угол 109,5°.
Черт. 39
241. В каких точках кривой x = t— 1, y-ts — 12/Н-1 каса-
тельная параллельна: 1) оси Ох; 2) прямой 9х+ //-)-3 = 0?
Решение. Используем здесь условие параллельности пря-
мых, заключающееся в равенстве их угловых коэффициентов.
Найдем производную от у по х из уравнений кривой:
, dy dx З/2 —12 1О
у =ж:г“—i—=3/ -12-
Эта производная представляет угловой коэффициент каса-
тельной к данной кривой в любой ее точке.
1) Приравнивая у' угловому коэффициенту оси Ох, который
равен нулю, получим З/2—12 = 0; /2 = 4; t — ±2.
Подставляя эти значения параметра t в данные уравнения
кривой, найдем координаты тех ее точек, где касательная па-
раллельна оси Ох: (1;—15); (—3; 17).
2) Приравнивая у' угловому коэффициенту данной прямой,
который равен —9, получим 3Z2—12=—9; /2=1; / = ±1.
По найденным значениям параметра t из уравнений кривой
определяем координаты искомых точек, где касательная к кривой
параллельна данной прямой: (0; —10), ( — 2; 12).
— 83 —
242*. Составить уравнения касательных к параболе у = х2 —
— проходящих через не лежащую на ней точку: 1) 0(0; 0);
2) Л(1; 1).
Решение. Уравнение касательной к данной параболе имеет
общий вид
у — уо = (х2 — 4х+1)'о(х — хо),
или
у — (Хо — 4х0 4-1) = (2х0 — 4) (х - х0),
где (х, у) — текущая точка на касательной;
(х0, Уо)~ неизвестная точка касания.
1) Так как касательная проходит через точку О, то
О —(Хо — 4х0 4-1) = (2х0 —-4)(0 — х0).
Решая это
точки касания
Черт. 41
квадратное уравнение, находим для абсциссы
х0 два значения: х0 = ± 1, а отсюда и уравнения
двух касательных: 2x4- «/ = 0 и 6x4 у = 0.
2) Для точки А те же рассуждения при-
водят к квадратному уравнению х% — 2х0 4-4 =
=0, корни которого комплексные. Поэтому
через точку А нельзя провести к данной
параболе ни одной касательной.
Полученные результаты имеют простой гео-
метрический смысл: из каждой точки, принад-
лежащей внешней области параболы, можно
провести к ней две касательные, а из точки,
принадлежащей ее внутренней области, —ни
одной (черт. 41).
В общем случае задача о проведении каса-
тельных к кривой у — f (х) через точку (а, Ь), не
лежащую на этой кривой, решается этим же спо-
собом, исходя из общего уравнения касательной
У—Уо = Уо (х-х0).
Эта задача имеет столько же решений, сколько вещественных
корней имеет уравнение
b — f(x0) = f'(x0) (а — х0).
В задачах 243—248 найти уравнения касательных и норма-
лей к данным кривым в указанных точках и построить кривые,
касательные и нормали.
243. К параболе у = 4—х2 в точке, где х= — 1.
244. К гиперболе у2 — 2х2=1 в точках, где х = 2.
245. К эллипсу х = 2/3 cos/, у = 2 sin / в точке, где t — .
— 84 —
246. К астроиде x —a cos3/, y — as\n3t в точке, где t = ^-.
247* . К кривой у = | sin х | в ее угловой точке, где х = л.
248* . К кривой z/ = |2r — х2| в ее угловых точках.
В задачах 249 — 254 найти углы, под которыми пересекаются
данные линии, и построить эти линии и углы.
249. 9// = х3; х —у = 0. 250. z/ = cosx; 2у = 1.
251*. у2 = 2ах+а2; y2~b2 — 2bx. 252. у = ех; у = езх.
253. х2 —z/2 = 6; х24-4«/2= 16. 254. у — sinx; z/=sin2x.
255. Зная, что касательная к параболе у = ах2\-Ьх-\-с в ее
вершине параллельна оси Ох, найти вершины следующих па-
рабол:
1) у = х2 + 2х— 1; 2) у=-1 4-8х — 2х2; 3) 2у~2х — х2 и по-
строить их.
256. На окружности x2H-z/2 = 25 найти точки, где касатель-
ная параллельна прямой Зх4-4«/—12 — 0. Построить окруж-
ность, прямую и касательные.
257. На каждой из следующих кривых:
1) у = 2х3 — 9х2+ 12х — 5; 2) у = х + ]/~х-
3) х = /2-}-1, г/ = 3 —/2; 4) x2 + 3z/2-2x + 6«/-8 = 0
найти такие точки, где касательная параллельна оси Ох.
258. Найти угол между касательными к эллипсу x = 2cos/,
у = 3 sin/, в точках, где t = ~^- и / = у. Построить эллипс и
касательные.
259*. Построить на отрезке [ — 2; 2] график функции у = | х3 +
4-х| и найти угол между касательными в его угловой точке.
260. Построить и найти углы, образуемые параболой у = 2х —
— х2 и хордой, соединяющей ее точки с абсциссами 1 и 4.
261*. Определить угол между касательными к параболе
у = х2 — Зх+1, проведенными из точки (4; 1). Построить пара-
болу и касательные.
§ 12. Скорость изменения переменной величины.
Скорость и ускорение прямолинейного движения
Если величина z изменяется с течением времени /, то скорость
„ dz
ее изменения определяется производной .
Зная зависимость между двумя переменными х и у, можно
найти зависимость между скоростями их изменения по формуле
производной сложной функции
ay dy dx
~di~ dx dt ‘
— 85 —
Если точка движется прямолинейно, то ее скорость и и уско-
рение w определяются первой и второй производными от пути г
по времени t:
ds dv d2s
V==di'' w=dt = dT2'
262. Точка движется по кубической параболе 12«/ = х3. Какая
из ее координат изменяется быстрее?
Решение. Считая в уравнении параболы г/сложной функ-
цией от времени t и дифференцируя его по t, получим
12^ = 3х3^.
at at
Отсюда найдем отношение скоростей изменения ординаты и
абсциссы:
do dx х2
dt ‘ dt~~~4 ‘
При |х|<2 это отношение будет меньше единицы, при |х| =
= 2 —равно единице и при | х | > 2 оно будет больше единицы.
Следовательно:
1) при —2<х<2 ордината изменяется медленнее абсциссы?
2) при х=±2 скорости изменения абсциссы и ординаты
одинаковы:
3) при х< —2 и х>2 ордината изменяется быстрее абсциссы.
263. Резервуар, имеющий форму полушара с внутренним
радиусом R(m), наполняется водой со скоростью Q (л) в секунду.
Определить скорость повышения уровня воды в резервуаре
в момент, когда он будет равен 0,5 А.
Решение. Обозначим через h уровень воды в м и через v
ее объем в м3. Найдем зависимость между переменными h и v,
пользуясь формулой для объема шарового сегмента
v = nh3(R— 41
\ /
Дифференцируя это равенство по времени t, найдем зависи-
мость между скоростями изменения переменных h и ц:
dv dv dh f* / „ Л\ 1 l9ldh ,пп. dh
= 3}-3h\dt=n&№-h>H-
Полагая, согласно условию, ~
dh 0,0)1 Q ( м \
получим -т~ = — .
J dt tth(2R— h) у сек J
n , R dh 0,004 Q
При = T получим ^ = -3^2-
264. Скорость прямолинейного движения тела пропорцио-
1альна квадратному корню из пройденного пути (как, например,
— 86 —
при свободном падении). Доказать, что это движение происхо-
дит под действием постоянной силы.
Решение. По закону Ньютона сила F, вызывающая дви-
жение, пропорциональна ускорению
Согласно условию = X Vs. Дифференцируя это равенство,
|дем
cPs X ds X . yr- Xs
dt*~ 2/Г* dt~ У5==2'
bl 2
Следовательно, действующая сила = (const).
265. Точка совершает прямолинейное колебательное движе-
ние по закону х=Дщп<йЛ Определить скорость и ускорение
движения в момент времени t = — . Показать, что ускорение
движения пропорционально отклонению х.
Решение. Найдем скорость v и ускорение w движения
в любой момент времени t:
dx a d?x
v = ~r=A(x) cos co/; ш = -тг„== —Лю2 sin со/.
dt di2
2зт
При t = —, v = Aa>, w = 0.
r 0)
Сравнивая выражения для ускорения w и для отклонения х,
видим, что первое отличается от второго только постоянным
множителем: w=— ш2х.
266. Зависимость количества Q вещества, получаемого в хи-
мической реакции, от времени t определяется формулой Q =
= а (1 +be~mt). Определить скорость реакции.
267. Точка движется по параболе у = 5 — х2 так, что ее абс-
цисса х изменяется с течением времени t по закону х = а/2.
С какой скоростью изменяется ордината точки?
268. Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью
2 см/сек. С какими скоростями возрастают поверхность и объем
шара? Каковы будут эти скорости в момент, когда г достигнет
10 см?
269. Движение точки по оси Ох определяется формулой х =
= (t— 2)2е“*. Определить скорость и ускорение движения и те
моменты времени,*когда точка меняет направление движения.
270. Точка массы т колеблется по оси Ох так, что в момент
времени t ее отклонение х от положения равновесия опреде-
ляется уравнением х — Ae~at cos (at + b). Найти скорость движе-
ния точки и действующую на нее силу.
— 87 —
§ 13. Дифференциал функции
Из определений производной / = Пт ~ и предела перемен-
Дх-»о
ной следует, что ^ = у'4-е или Дг/ = г/'Дх4-е Дх, где е—>-0при
Дх—*0, т. е. что приращение функции можно разбить на две
части.
Главная часть приращения функции, линейная относительно
приращения независимой переменной, называется дифференциалом
функции и обозначается знаком d:
dy = y' Ьх.
Дифференциал независимой переменной х равен ее прира-
щению, с/х = Дх. Поэтому
dy = y'dx, (а)
т. е. дифференциал функции равен ее производной, умноженной
на дифференциал независимой переменной.
Для всякой данной функции y = f(x) производная у' зависит
только от одной переменной х, тогда как ее дифференциал dy
зависит от двух независимых друг от друга переменных: х и Дх.
Нахождение дифференциала функции называется дифферен-
цированием, гак же как и нахождение производной, так как
согласно формуле (а), чтобы найти дифференциал какой-либо
функции, надо найти производную этой функции и умножить
ее на дифференциал независимой переменной.
Формула (а) верна и в случае, если у есть сложная функция,
т. е. если х есть функции переменной t.
При достаточно малых значениях |dx| приращение функции
может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой
относительной ошибкой:
&у dy*
Это приближенное равенство применяется для приближенных
вычислений, так как вычисление дифференциала функции значи-
тельно проще, чем вычисление ее приращения.
271. Найти дифференциалы функций:
1) у = х3 —3*; 2) F((p) = cos| + sin|;
3) г = In (1+e10X) + arcctg^5X; вычислить dz\х=о; d*=o,i.
Решение. Находим производную данной функции и, умно-
жив ее на дифференциал независимой переменной, получим
* Исключая точки, где у' =0.
88 —
искомый дифференциал данной функции:
1) dy = у' dx = (х8 - 3х)' dx = (ЗхI) 2 * - 3х 1п 3) dx;
2) dF (<р) = d (cos у + sin = (cos у + sin dq> =
= [-sinf ‘ (f) +cos|- (I)] d<P=-(4 sinf + ^os|)d<p;
04 ni+^r D' l .-jr f 10е10< \ ,
°)az~ [ iyeiojc lye10*] x—\l+«10X l+e,0J7
_5^(2e**-l) .
J-J-glO-V ux-
Полагая x = 0 и dx=O, 1, получим dz = 0,25.
272. Вычислить приближенное значение: 1) £/17; 2) arctg 0,98:
3) sin 29°.
Решение. Если требуется вычислить f(Xj) и если проще
вычислить f (х0) и f (х0), то при достаточно малой по абсолютному
значению разности x1 — x0—-dx можно заменить приращение
функции ее дифференциалом /(xj — /(х0) ж f (x0)dx и отсюда
найти приближенное значение искомой величины по формуле
(б)
I) Будем рассматривать £/17 как частное значение функции
f (х)= £/х при х= 17 = Xj. Пусть х0 = 16, тогда [ (х0) — £/16 = 2,
1 --
*
1 1
х_~4 УТёз-32’
X — 1 о у
dx = x1 — x0— 1.
Подставляя в формулу (б), получим
/Т7«Нх0) + Г (x0)dx = 2H-l. 1=||«2,031.
ох> ох
2) Пусть arctg0,98 есть частное значение функции z/ = arctgx
при х = 0,98 = Х!. Пусть х0=1, тогда ^(х0) = у, у'(х0)~
= Т+^|х=1 ’ dx = xi —х0 = —0,02.
Пользуясь формулой (б), найдем:
arctg 0,98 «у (х0)+у' (х0) dx = у + у (- 0,02)« 0,7754.
— 89 -
3) Полагая, что sin 29° есть частное значение функции у =
==sinx при х = ^-29 = х1 и что хо = jfo’30 = у , получим
y(x0) = sin^ = |; ^'(x0) = cosx =>J3;
х 6
f 29л л л ,
ах~х1 — Хо-|80 "б- 180’
sin 29°«у (х0) + у' (х0) dx = 1 + Q «0,4848.
Найти дифференциалы функций:
273. у = (а-\-Ьх}т. 274. z = e-‘(2-2Z-Z2).
275. и=^(1 —nlnx). 276. v = (1 — In sin ф) sin ф.
Вычислить с точностью до 0,01 дифференциалы функций:
277. у — х (1 Н- х) (1 — х) при х = —10 и dx = 0,l.
278. z = x]/'xi + 5 при х — 2 и dx=i.
2.9. г = ф + (ф2+ 1)агсс1§ф при ф = — и Лф = 0,2.
280. v — ------ при х = 0 и ах= —0,03.
281. Вычислить приближенное значение функции у = х'!—
— Зл4Н-4х3 —2 при х — 1,002, исходя из ее значения при х=1
и заменяя приращение функции дифференциалом*.
282. Найти приближенное значение tg44°56', исходя из зна-
чения функции у = tg х при х = 45° и заменяя ее приращение
дифференциалом *.
283. Найти приближенное значение arc cos 0,4993, исходя из
значения функции у = arc cos х при х = 0,5 и заменяя ее прира-
щение дифференциалом *.
284. Найти приближенное значение 1п 1,01.*
285. Найти приближенное значение j/31.*
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента
и ее дифференцирование.
Касательная к пространственной кривой
Переменный вектор г называется вектор-функцией скалярного
аргумента t, если каждому рассматриваемому числовому значению
t соответствует определенное значение г (т. е. определенный
модуль и определенное направление вектора г).
Все вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками.
— 90 —
Если начало переменного вектора г = г(/) неизменно поме-
щается в начале координат О, т. е. если г(/) есть радиус-
вектор ОМ, то при изменении скаляра t его подвижный коней М
описывает некоторую линию, которая называется годографом
этого вектора. _ _
При разложении радиуса-вектора r(t) по ортам r — xi-^yj 4-
+ zk его проекции rx = x(t), ry=y(t), rz — z{t) совпадают с ко-
ординатами его конца М (х, у, z), а система x = x(t), y = y(t),
z — z(t) представляет параметрические уравнения его годографа.
Производной вектор-функции г (/) называется предел
..Да „ dr — —,
hm —-; она обозначается — , или г, или г .
д/-»оAz dt' '
Правила дифференцирования (нахождения производной) век-
тор-функции r(t) аналогичны правилам дифференцирования
скалярных функций:
с' = 0, если с —постоянный векТор.
(И ±ггУ = г[±г'2, (ru)’ =F'u + ru'.
Если г = xi + yj -f- zk, то г = xi 4- yj 4- zk. Вектор г направлен
по касательной к годографу вектора г.
Если вектор r(t) изменяется только по направлению, то его
годограф представляет линию, расположенную на сфере радиуса
R — | г | с центром в начале координат, а вектор г перпендику-
лярен к годографу вектора г, если вектор г (/) изменяется только
по модулю, то его годограф представляет луч, исходящий из
начала координат, а вектор г направлен по этому лучу.
Всякую кривую можно рассматривать как годограф радиуса-
вектора ее текущей точки М (х, у, г). Поэтому, если х = х(1),
y = y{t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой и М0(х0,
у0, z0) —точка этой кривой, то касательная прямая к этой кри-
вой в точке Мо определяется уравнениями
х хо У—Уй г го ()
хо Уо
а нормальная плоскость (перпендикулярная к касательной)
определяется уравнением
(x-x0)x04-(i/-«/o)^o + (z-z0)z0-0. (2)
286. Найти уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости к кривой:
1) x = t3, y=t2, z = t в точке, где t = —1;
2) х — у3, y—z3 в точке, где г = 2.
— 91 —
Решение. 1) Определяем координаты точки касания:
х = — 1, у = 1, z =— 1 (подставляя / =— 1 в данные уравнения).
Находим производные от х, у и z по t и вычисляем их значения
в точке касания: х = 3/2, у = 2t, z = 1; х( — 1) = 3, у( — 1) =—2,
z(-l)=l.
Подставляя в общие уравнения (1) и (2) координаты точки
касания и вычисленные значения производных, получим урав-
нения касательной прямой —= f“ и уравнение нор-
мальной плоскости 3(х+1) — 2 (у — 1) + г+1=0 или Зх — 2у +
H~Z -J- 6 = 0.
2) Здесь кривая определена как пересечение двух поверх-
ностей. Вначале преобразуем уравнения кривой к параметри-
ческому виду. Полагая z = t, получим y = t2, x — t*.*
Далее определяем координаты точки касания: х=16, у = 4,
г = 2 и значения производных х, у, г в этой точке: х = 4/3,
у —2t, z=l; х(2) = 32, у(2) = 4, z(2)=l.
Подставляя в общие уравнения (1) и (2), получим уравнения
касательной
х—16___у—4___г — 2
~32~ ~ ~4~~ ~ ~Т~
и уравнение нормальной плоскости
32 (х — 16)+ 4 (у — 4) + z — 2 = 0 или 32х + 4у + г — 530 = 0.
287. Найти уравнения касательной к винтовой линии у = асоз/,
у = a sin/, z — bt в точке, где t — t0, и угол, образуемый ею
с осью Oz.
Решение. Обозначив координаты точки касания (х0, у0, z0)
и пользуясь общими уравнениями (1), получим следующие урав-
нения касательной:
х—_ у—у0 __ г—г0
—asin£0 a cos t0 b
Отсюда направляющий косинус угла, образованного каса-
тельной с осью Oz:
г b b
У^г + у2 + г2 И a2 sin2 Z0 + a2 cos2/0-|-62 уа2 + Ьг
Этот результат показывает, что все касательные к винтовой
линии образуют с осью Oz один и тот же угол.
* Можно получить и другие параметрические уравнения данной линии.
Вообще, если линия задана уравнениями f(x, у, z) = 0, F (х, у, г) = 0, то для
нее можно получить бесчисленное множество различных параметрических
уравнений вида х = ф!(/), у = <р2(/)> г = фз(0-
— 92 —
В задачах 288 — 290 написать уравнения касательной прямой
и нормальной плоскости к кривой:
288. х = 2/, у — In/, z=t2 в точке, где t—1.
289. x = cos2y, ^ = sin^, z=siny в точке, где t = n.
290. у = х, z — x2 — y'2 в начале координат.
291. * Найти направляющие косинусы касательного зектора
к кривой у2 = 2х, z2 = 8x в точках, где х = 2.
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения
Если в любой момент времени t положение движущейся
точки М определяется ее радиусом-вектором OM=r(t), то г есть
вектор скорости, г есть вектор ускорения, а годограф вектора г
есть траектория движения точки М.
Вектор скорости г направлен по касательной к траектории,
а его модуль равен производной от пути по времени |г|=^.
292. Зная уравнение движения точки, определить (назвать),
какую линию представляет ее траектория и найти скорость
и ускорение этой точки:
1) r = (3t — 2) i—4tj‘, 2) г = 2co^t-i 4- sin t k\
3) 7=(2/2-3)i‘-3/2/ + (4/2-5)fe;
4) r = a sin и/ • i + a cos at j 4- btk.
Решение. 1) Траектория точки есть годограф ее радиуса-
вектора r{3t — 2; — 4^}, т. е. линия, определяемая параметри-
ческими уравнениями x = 3t — 2, у = — 4/. Исключая из них па-
раметр (время) t, получим прямую 4x + 3z/ +8 = 0, расположенную
в плоскости хОу.
Скорость v и ускорение w движения точки найдем как первую
и вторую производные от г по t:
v — r = 3i~4j; w = r = 0.
Следовательно, точка движется прямолинейно с постоянной
скоростью, модуль которой |&| = /32 + (-4)2 = 5.
2) Здесь траектория точки есть эллипс, определяемый пара-
метрическими уравнениями x = 2cos/, z=sin/ или уравнением
-4-22=1, который расположен в плоскости xOz.
Скорость точки v = r — — 2sin М4-cos6/г, ускоренней =7=
= —2 cos t i — sin t -k.
— 93
3) Параметрические уравнения траектории точки x = 2t2 — 3,
у —— З/2, z = 4t2— 5 после исключения параметра t преобразу-
« х-4-3 и г 4-5
ются в канонические уравнения прямой = =
Скорость точки v = г = 4ti — 6tj 8/ft, ускорение w — г = 4i —
— 6/4-8ft—постоянно (не зависит от времени t).
Здесь движение точки является прямолинейным и равно-
мерно-переменным.
4) Траектория точки есть цилиндрическая винтовая линия
x = asin(o/, у = а cos (at, z = bt.
Скорость точки v =г = а(д cos co/.i — ска sin (at •/ + bk,
ускорение w= г = — aco2 sin (at -i—aw2 cos (at • j.
Здесь движение точки является равномерным, так как модуль
скорости | v | = Va2(a2 4~Ь2 остается неизменным.
293. Зная уравнение движения точки г = cos3/-г 4-sin3/-T,
уравнение движения точки г = cos3/-I 4*sin3t-f,
построить ее траекторию и векторы скоро-
сти и ускорения в моменты времени tx =
Л < Л
= -77- И t„ — ~,
о 2 4
Решение. Траектория точки или го-
дограф вектора г есть астроида х — cos3t,
у — sin3/.
В любой момент времени / скорость точ-
ки v = г = — 3cos2/sin t-i 4-3 sin2/ cos//,
а ее ускорение w = г = 3 cos / (3 sin2/—
— l)i’4-3srin /(3cos2/— 1) /'.
9 . , 3 VW- - 3 VW , 15 т
^ = -8-14—8-/,^ =---------8“ s'/•
В момент /2 = ~(j—I), w2 = (Г+ J).
Траектория точки и найденные векторы ее скорости и уско-
рения в моменты /i = -g и /2 = -у построены на черт. 42.*
В задачах 294—296 по данному векторному уравнению дви-
жения точки построить ее траекторию и векторы скорости
и ускорения в моменты времени / = 0 и /=1.
294. r — acost-i + a sin t-~[. 295. г = 3tj 4- (4/—/2)ft.
296. г = 3(/ — sin /)i-f-3(1—cos/)/.
* Координаты x, у начала каждого вектора определяются из уравнений
траектории по данным значениям t.
— 94 —
ГЛАВА Hl
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ИХ ГРАФИКОВ
§ I. Теорема (формула) Тейлора
Многочисленные применения дифференциального исчисления
в естествознании и технике основываются на теоремах Ролля,
Лагранжа, Коши и Тейлора. В каждой из этих теорем утверж-
дается существование некоторого среднего значения аргумента
х — с, вследствие чего все они называются теоремами о среднем.
Теорема Тейлора. Функция f (х), дифференцируемая
п + 1 раз в некотором интервале, содержащем точку а, может
быть представлена в виде суммы многочлена п-й степени и
остаточного члена Rn:
/(х) = /(а) + ^ (х—а) + У^(х— + (х-а)3 +
+ ...+^(х-аГ+ /?„), (Т)
Кп (п+1)! ( а) ’
где с —некоторое среднее значение между а и х,
с = а-f- 0 (х—а), О<0<1.
Эта теорема является самой общей теоремой о среднем, из
которой вытекают все остальные.
Формула Тейлора (Г) позволяет приближенно представить
(аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде много-
члена
f (х) « f(a) + ф (х - а) + ф (х - а)2 + ... + (х-а)п (*)
(называемого многочленом Тейлора) и вместе с тем позволяет
оценить возникающую при этом погрешность Rn, которая во
многих случаях может быть сделана как угодно малой. Поэтому
— 95 —
она является одной из важнейших формул математического
анализа, которая широко применяется и как тонкий инструмент
теоретического исследования и как средство решения многих
практических задач.
Частный, простейший вид формулы Тейлора при а —0 при-
нято называть формулой Маклорена:
/w=H0)+^+g^+q®x"+...+
+ + (М)
Она дает разложение функции по степеням самой независимой
переменной.
Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора
неприменима, ибо при х — 0 многие функции или их производные
не существуют ^например: In х; х\ ctgx;-^.
297. Каждую из данных функций аппроксимировать много-
членом п-й степени относительно х, оценить погрешность и
установить, при каких значениях х она может быть сделана
сколь угодно малой.
1) ех; 2) sin х; 3) cosx.
Решение. Чтобы получить приближенное выражение дан-
ной функции f(x) в виде многочлена относительно независимой
переменной х, следует написать для этой функции многочлен
Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возни-
кает в результате замены данной функции ее многочленом Мак-
лорена, следует найти остаточный член Rn формулы Маклорена,
применяя его общую формулу к данной функции, и, наконец,
для определения тех значений х, при которых погрешность
может быть сделана сколь угодно малой, необходимо исследовать
поведение остаточного члена при п —<-~Ьоо и при различных зна-
чениях х. Погрешность может быть сделана сколь угодно малой
только при тех значениях х, при которых lim /?„==0.
«-► + 00
1) Вычислив значения данной функции и ее производных
при х = 0:
f (х) = ех- Г (х) = Г (х) = Г " (х) = ... = f (х) = ех-,
/(0) = П0) = Г(0)=...=Г*‘(0)=1
и пользуясь многочленом Маклорена (*), получим искомое
приближенное выражение данной трансцендентной функции в
виде многочлена n-й степени:
Погрешность этого приближенного равенства определяется
остаточным членом формулы Маклорена. Для функции ех
— 96
получим
Rn
xn + 1
(п + 1)!
e®x,
о<е< 1.
Очевидно, что величина погрешности Rn зависит как от сте-
пени п аппроксимирующего многочлена, так н от значений
переменной х.
При неограниченном возрастании п и при любом значении х
хп +1
величина является бесконечно малой, что было установ-
лено в решении задачи 40, а величина евх является ограни-
ченной. Поэтому при любом значении х и при п—> + оо оста-
точный член в разложении функции ех неограниченно убывает,
стремясь к нулю:
.!™R”=lin’(^wee'=0-
Из этого следует, что при любом значении х можно аппрок-
симировать трансцендентную функцию ех ее многочленом Мак-
лорена с любой желаемой точностью и что последовательное
повышение степени аппроксимирующего многочлена дает н по-
следовательное повышение точности аппроксимации.
Полагая п=1, 2, 3, получим приближенные формулы
ех« 1 +х,
1*2
ех^ 1+х + у,
к*
е л 1 +x+y + -g,
которые расположены в порядке возрастающей точности.
2) Вычисляем значения функции sinx и ее производных
при х = 0:
/(х) ^sinx, /(0) =0,
/'(х) = cosx = sin ^х +-т0, f'(0) =Ь
f" (х) =—sin х = sin ^х + 2-у), f' (0) =0,
f"'(x) =— cosx — sin fx + 3-^Л, f" (0) =— 1,
/<*>(*) = sin (x + fcy), f*» (0) = sin k J.
Здесь при x = 0 все производные четного порядка равны нулю.
Поэтому аппроксимирующий эту функцию многочлен Маклорена
будет содержать только нечетные степени х:
vl у2И*1
sin X А?Х —зу+gj—ур + . . . ± (2Л1—1)1“
(х—радианная мера угла).
4 № 3201
— 97 —
Это приближенное равенство отчетливо выражает нечет-
ность функции sinx, т. е. что sin (—х) — — sinx.
Погрешность этого приближенного равенства определим по
общей формуле остаточного члена Rn формулы Маклорена.
Для функции sinx погрешность
sin [в* + (2и + 1)-2.], 0<е<1.»
Используя очевидное неравенство | sin а|^ 1, избавимся от
неизвестной величины 0 и получим простое выражение для
оценки погрешности, возникающей при замене функции sin х
многочленом (2) Ixl2"*1
I (2m+1)! •
Как было доказано в задаче 40 при п—>4-оо и при любом
хп
значении х величина стремится к нулю. Вследствие этого
при т—>+оо и остаточный член Rim формулы Маклорена для
функции sin х также стремится к нулю при любом значении х,
т. е. lim R2m = ®.
Следовательно, при любом значении х можно заменить функ-
цию sin х ее многочленом Маклорена с любой сколь угодно
малой погрешностью. При этом последовательное уменьшение
погрешности достигается путем последовательного увеличения
числа членов аппроксимирующего многочлена (2).
Полагая т—1, 2, 3, получим простейшие приближенные
выражения для sin х:
sin х та х, | R21 < ,
X3 I г> I _ I х Is
Sinx да X — -g, I ”4 >
smx~x 6 г |2q•
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
3) При х = 0 значения функции cosx и ее производных будут:
f(x) =cosx, f(0) =1,
Г (х) = — sin x = cos fxf (0) =0,
/"(x) = — cos x —cos ^x 4-2 f'(0) =—1,
f" (x) = sin x = cos ^x-f-3-^, f" (0) = 0,
/<*>(х) = соз(х4-Ц), f(ft> (0) = cos & у.
* Ritn соответствует многочлену Маклорена 2т-й степени, который для
функции sinx тождествен многочлену (2m — 1)-й степени.
— 98 —
+ 2
^(2/71 + 2)1’’
Здесь значения всех производных нечетного порядка равны
нулю. Поэтому многочлен Маклорена, аппроксимирующий функ-
цию cosx, содержит только четные степени х:
у>2 у4 у® у 2
C°S^1-2T- + 4--6! + ---±(feji- (3)
Эта приближенная формула отчетливо выражает четность
функции cos х, т. е. что cos(—x) = cosx.
Погрешность этой приближенной формулы будет
4-2 Г тг ”1
^+i = (2^+2jTCOS L0X + (2w + 2)t] ’ °<0<L
Избавляясь от неизвестной 0, в силу неравенства |cosa | 1,
получим неравенство
I Rim + l
которое позволяет легко оценить погрешность при замене функ-
ции cosx многочленом (3).
Исследуя поведение погрешности R2m+1 при различных зна-
чениях х и при т—> + оо, посредством таких же рассуждений,
как и в двух предыдущих задачах, приходим к выводу:
При любом значении х и при т—> + оо остаточный член
Rzm+i формулы Маклорена для функции cosx стремится к нулю,
Т. е. lim /?2и+1 = о.
/71-*+СО
Из этого следует, что при любом значении х функцию cost
можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой
заданной точностью, причем последовательное повышение точ-
ности аппроксимации достигается путем простого увеличения
числа членов аппроксимирующего многочлена (3).
Полагая т—\, 2, 3, получим простейшие приближенные
формулы для cosx:
cosx я i 1 2 ’ |Яз1 ! <£_ " 41 ’
cosx я i 1 ха .Л4 2 +24 ’ Xе 6! ’
cosx я i 1 X2 X* Xе "2 +24 720’ 1^1 X8 ^8Г ’
которые расположены в порядке повышающейся точности.
298. Аппроксимировать функции: 1) хт и 2) In х многочле-
нами n-й степени относительно двучлена х—1 и оценить по-
грешность. Затем, полагая х—1 — t, получить разложения функ-
ций по степеням t.
Решение. Чтобы аппроксимировать данную функцию f(х)
многочленом относительно двучлена х—1, следует написать для
нее многочлен Тейлора, полагая а=1. Погрешность, возникаю-
4*
— 99 —
тая при замене данной функции ее многочленом Тейлора, опре-
деляется величиной остаточного члена формулы Тейлора.
1) Для функции хт, где т — любое вещественное число, имеем:
/W =хт, /(1) =1,
f' (х) ~tnxm~1, f (1) =m,
f"(x) — т(т—\)хт~г, f"(1) = m(m — 1),
f"'(x) = tn(m—l)(m — 2)xm~s, f"(l) = m(m—l)(m —2),
fft)(x) = m (m — l)(m —2)... (1) = m (tn — 1) (m — 2)...
... (m — /?+ 1)х,л-*, ... (m — k 4-1).
Пользуясь многочленом Тейлора (*), получим
Хт Ъ 1 +-(Х- \) + т-{,П--1).(Х- 1)2 +
Погрешность этого приближенного равенства найдем по общей
формуле остаточного члена R„ формулы Тейлора, полагая
f (х) — хт и а = 1:
Rn - (-г - 1)"+1 [ 1 + 0 ~ 1 1 - О < 6 < 1.
Полагая х— l—t, получим
(1 -Н)” ~ 1 + % Z 4- 4-? (m~4rm~ 2) /3 + . +
। т(т — 1) ... (т —и+1)^
Rn = -+1 (1 + Qt) "-“-К
Последняя формула представляет обобщение бинома Ньютона
для любого показателя т. В частности, когда показатель т —
целое положительное число, то RBt обращается в нуль, а равен-
ство (4) обращается в элементарную формулу бинома Ньютона.
Если пг не будет целым положительным числом, то равенство
(4) дает приближенное выражение бинома в виде многочлена
с биномиальными коэффициентами, которые составлены потому же
закону, что и в элементарной формуле бинома Ньютона.
Как доказывается в теории рядов, погрешность Rn биноми-
альной формулы (4) может быть сделана сколь угодно малой
величиной, т. е. стремится к нулю с возрастанием п только
для тех значений t, которые по абсолютному значению меньше
единицы:
— 1 < / < 1.
— 100 —
Полагая n= 1, 2, 3, получим простейшие приближенные бино-
миальные формулы:
(1+/)'л« \ + mt,
(l + o* g» 1+м' + "l("-|> 1»,
(1 + 0"« l+rnl+S^’
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
2) Для функции 1пх получим:
f(x) = 1пх,
f(x) =х"1,
Г(Х) = —1-Х"2,
f"'(x)= 1-2-х'3,
(х) — — 1 • 2 • Зх~4,
f(l) =0,
Г(1) =1,
/"(1) =-1,
f'"(l) = 2l
/ч>(1) = —3!
п ’
/<*>(Х) = (— 1)!х-*, /•<*’(!) = (— 1)*-1 (£— 1)1
Погрешность этой приближенной формулы
R =(=jr Г х-1 у+1 о<0<1
Полагая х—1 = /, получим
. . t2 ts i*
In (1 + t) » t — у + у у + • • • “
n _(-i)nr t v+1
n +1
Здесь Rn —>0 с возрастанием n при — 1 <./^ 1, т. e. погреш-
ность вычисления логарифмов по формуле (5) можно довести до
любой сколь угодно малой величины только для значений t из
указанного полуоткрытого интервала.
При п=1, 2, 3 получим приближенные формулы
In (1 + 0 « t,
1п(1+0«^-у,
I
2'3’
которые следуют в порядке возрастающей точности.
Аналогичным образом, как в задачах 297 и 298, многие дру-
гие трансцендентные и сложные алгебраические функции можно
аппроксимировать посредством формулы Тейлора простейшими
алгебраическими функциями—степенными многочленами с любой
(5)
1п(1+0
— 101 —
заданной точностью, что имеет огромное теоретическое и прак-
тическое значение.
299. Вычислить с точностью до 10-6 приближенное значение:
1) cos 5°; 2) sin 49°; 3) £/83; 4) £/12L
Решение. 1) Воспользуемся приближенной формулой для
cosx, полученной в решении задачи 297.
Подставляя в эту формулу радианную меру угла 5°, получим
cos 5 — cos 36 да 1 — 2[ 362 + 4Г364 — • • • ± (2л)| 362" •
Чтобы определить, сколько взять первых членов этой формулы
для получения заданной точности вычисления, оценим величины
последовательных остаточных членов R2ot+v
, »гг2
I^I<2!==2tW2<0’004’
l*3l<£ = ^<0-000003-
j R51 < Й = Afi < 0,00000003.
101 o' 0! OOb
Величина [ R51 < 10-6. Поэтому для получения заданной точ-
ности вычисления достаточно взять три первых члена формулы,
предшествующих Ra:
cos 5° да + 1-0,0038077+0,0000024 да 0,96195.
£» * им X •
Здесь для обеспечения заданной точности значения числа л и
всех результатов промежуточных действий взяты с одним лиш-
ним знаком, т. е. с точностью до 10~7 (л да 3,1415917).
2) Чтобы вычислить sin 49°, напишем формулу Тейлора для
функции sin х:
, х — а . ( . л \ , (х—а)2 . ( , п л \ .
sinx = sin а-\—jy- sin I а + -у-1 + 2j sin ( a +2-у 1 + . ..
••• + (%7^ 3in (a + »i-)+R„.
= sin [fl + 0(* — «) + («+ b-y] . 0<9<l,
IR„|< (re + ij!.....> TaK KaK |sina|<l.
По этой формуле можно вычислять значения sin х при лю-
бых значениях х и а и с любой желаемой точностью, так как
по мере увеличения числа членов в ней погрешность R„ неогра-
ниченно убывает, стремясь к нулю. При этом чем меньше будет
величина разности |х —а|, тем меньше потребуется брать первых
членов этой формулы для достижения какой-либо заданной точ-
— 102 —
ности вычисления.
Полагая х = -5-.49 и а = т^«45, получим
1OU 1OV
х-а = ^(49-45) = А,
У2 /11я 1x2 я3 I I и" \ I п
Sin 49°= — (J + it 45 2! 452 3! 45» ‘ ‘ ‘ п! 45п J ’’’Л‘«’
дП +1
I Rn I (п 4-1)! 45”+1 •
Для определения числа первых членов этой формулы, обес-
печивающих заданную точность вычисления, оцениваем величины
последовательных остаточных членов Rn:
1^1^2П55-<0>003’
. тгЗ
|R2 1<зП5^ <0,0°0°6,
|/?3|<^<0,0000009<1°-в-
Следовательно, заданная точность вычисления будет достиг-
нута, если взять четыре первых члена формулы, предшествую-
щих ₽3:
л л2 Л3 \
4У~У452" 6-458 J
sin 49°« ^-(1 4
& \
« 0,7071068 (1 + 0,0698131-0,0024369 - 0,0000567) « 0,754709.
(Значения л, /2* и всех результатов промежуточных действий
взяты с одним лишним знаком, т. е. с семью десятичными
знаками.)
Иначе можно было вычислить sin 49° по формуле Маклорена
для функции sinx, однако при этом для достижения заданной
точности пришлось бы взять очень много членов этой формулы.
3) Преобразуем заданный корень
1
/83 = /81 + 2 = 3 (1 +^) 4
и применим обобщенную формулу бинома (4), полученную в реше-
нии задачи 298.
п , 2 1
Полагая t = gy и т = , получим
/83 = 3^1 + Jgjj— 162.108 + 162-108-486
7 \
— 162-108-436-54 + • • • •
— 103 —
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления
находим:
3l«.l<ra<0-0IW2-
31^1<теж<°-00(х’03-
31 «з < <-гагтнйвбТЯ-< °-ооооооов-
Следовательно, для получения заданной точности вычисле-
ния достаточно взять сумму четырех членов биномиальной
формулы, которые предшествуют остатку R3:
/83 «3(1+ 0,0061728-0,0000572 + 0,0000008) « 3,018349.
4) Преобразуя данный корень
1
/121= /125-4 = 5 (1 - jig) 3
4
й подставляя в биномиальную формулу / =— = — 0,032
1 ^0
1
т = -^ , получим
З/ймеЛ 0,032 0.0322 5-0,032s 10-0,032’ \
/ 121—0^1 3 g gl 243
Путем последовательных испытаний величины погрешности
51 Rn ] находим
X 0,032* (1 —0,0320)3 -3_| < 10-®,
т. е. находим, что заданная точность вычисления обеспечивается
четырьмя первыми членами биномиальной формулы, предшест-
вующими R3:
/121« 5(1 -0,0106667 — 0,0001138-0,0000020) « 4,946088.
Подобным образом с помощью формулы Тейлора можно нахо-
дить числовые значения всех других трансцендентных и сложных
алгебраических функций. Именно таким путем составлены все
таблицы числовых значений для логарифмических, показатель-
ных, тригонометрических функций, для квадратных и кубиче-
ских корней и для многих других функций.
300. Для каждой из следующих функций: 1
1) 3х, 2) cos ^х—, 3) хех
— 104 —
найти приближенное выражение в виде многочлена n-й степени
относительно х, определить возникающую при этом погрешность
и установить, при каких значениях х она может быть сделана
сколь угодно малой.
301. Найти приближенные выражения в виде многочленов
3-й степени относительно х для следующих функций:
1) tgх; 2) xcosx; 3) 1п(1—x-J-x2).
X
302. Аппроксимировать функции: 1) еа и 2) cosx многочле-
нами n-й степени относительно двучлена х—а и оценить возни-
кающую при этом погрешность.
303. Аппроксимировать многочленами 4-й степени относи-
тельно двучлена х—а функции: 1) х при а = — 1; 2) sin Зх
при а = g-; 3) tg х при a = -j-.
304. Вычислить с точностью до 0,001:
1) sin 18°; 2) /7; 3) /70; 4) /245.
305. Вычислить с точностью до 0,0001:
1) cos 10°; 2) /7; 3) /129; 4) sin 36°.
§ 2. Правило Лопиталя и применение его
к нахождению предела функции
В задачах § 7 гл. 1 были разъяснены элементарные способы
нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент
неограниченно возрастает или стремится к значению, которое
не входит в область определения функции. Кроме этих элемен-
тарных способов, весьма эффективным средством для нахожде-
ния предела функции в указанных особых случаях является
следующее правило Лопиталя: предел отношения двух бес-
конечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу
отношения их производных (если последний предел существует
или равен бесконечности).
а) Случаи нахождения предела:
.. о , ,
1) у—когда функция представляет отношение двух беско-
нечно малых величин;
2) —когда функция представляет отношение двух бес-
конечно больших величин.
Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять
отношение величин отношением их производных, т. е. если
Ф, (х) и ф2 (х) одновременно стремятся к нулю или к бесконечности
при х—*а или х—> оо, то
.. <г,1 (х) .. Vt (*)
hm -Ш-г = htn —— •
<₽2 (X) <р2 (X)
— 105 —
Если последний предел существует или равен бесконечности,
то он будет равен искомому пределу. Если же отношение произ-
водных также будет представлять случай
снова и снова применять правило Лопиталя,
до получения результата.
Найти пределы:
306. 1) lim ,R; 2
4) ит 5) Ит
ИЛИ —, то можно
00
если это полезно,
lim
ат
хп— ап ’
.. e2X — 1
lim —:— ;
x-*o sinx
где
k> О,
п — натуральное
число;
6) lim 7) lim
я secx ^»,* + 5,пх
X --
2
Решение. Убедившись, что
применяем затем правило Лопиталя.
%4—16 4Х3
имеет
„О оо
место случаи -д- или — ,
1)
2)
3)
4)
Здесь
5)
1«л * — 1 v 1 • w
x3-|-5x2 —6x—16 “ Um 3x2+10x—6
.. xm—am .. mxm~x m m_n
hm —=----= = lim —— — a ;
x_*a xn — an nxn 1 n
e2*—1 2e2X 2 o.
lim —— — lim--------— т — 2,
A._>0 sinx cosx 1
I—cosax asinax .. a2cosax a2
hm ------r- = hm = hm -гз---------•
x^fll—cos bx bsinbx b2 cos bx b2
правило Лопиталя применено дважды.
.. .. kekx .. k2^32
hm —= = 11Ш -,r=\ = *lm —7--==
*_> + «> * nxn 1 n(n— l)x" 2
kne*x
= ... — hm —r- = + oo.
n! '
3
32 _ 16 .
26 ~ 13 ’
Здесь
6)
Здесь
найти
правило Лопиталя применено п раз.
lira -IbL_lira |im |im-£i = ...
n secx secxtgx tg x secx
X —> —
i
применение правила Лопиталя бесполезно. Предел легко
без этого правила путем элементарного преобразования:
г tgx .. sin xcosx .. • „ ,
hm —-— = lim----------= hm sin x — 1.
я sec x cos x
X -*•-
2
lira i^sil±s,lim4^i,
J.*, x-fwn* l-f-cosx
7)
— 106 —
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно, ибо отноше-
ние производных । * — tg2~ не имеет предела при х—►оо.
Искомый предел можно найти элементарным путем:
1 s*nx
lim —7--‘ — = Пт---4— = 1, так как I sin х I 1.
^x-J-sinx J.sinx 1 1
~ X
Это не противоречит теореме Лопиталя, ибо в ней утверждается
лишь то, что если отношение производных стремится к пределу,
то к тому же пределу стремится и отношение функций, но не
наоборот. 307. lim • х->2 х3 — 12х+ 1b 308. lim . Л cosx X -> — 2
309. lim ; . х- + оэ 1п(1 + х) ,• ex4-e~x—2 310. hm —P- 7Г-. x-*o 1—cos 2x
311. lirn X -> — 2 .. Insinx 313. hm 1—• X-f+Q I*1 Sin 5* V *-2 1 312. hm — -. 314. lim JISiSlL. x->0 arc sin 5x
б) Случаи нахождения предела:
3) 0-оо —когда функция представляет произведение беско-
нечно малой величины на бесконечно большую;
4) оо — оо —когда функция представляет разность двух поло-
жительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю
у или Д путем преобразования функции к виду дроби.
315. Найти пределы: 1) limxctg2x; 2) lim х In х;
Х->0 х-* + о
3) lim (tg <р —зесчр); 4) Inn I 5) lim .
Решение. Установив, что имеет место случай 0> оо или оо —
— оо, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаме-
натель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконеч-
ности, затем применяем правило Лопиталя:
X 1 1
1)
— 107 —
2
2) lim >/xlnx = lim-^- = lim-— = —31imy/x=0j
p/r 3 f/x*
3) lim (tg ф — sec <p) = lim—- = lim-^~- — 0;
я costp —sinq>
4) lim (Д-
! Vn X
X \ v X—1—x\nx
---1 = hm —t-rn----
X—1/ (x—l)lnx
lim -’.V- -
lnx + --
X
•-= — lim
X In X
X In x + x— 1
lim
1-f-lnx
24-ln x — ~~
£ .
2 ’
здесь правило Лопиталя применено дважды;
5)
,. / 1 1 \ t—sin/ 1—cos г
hm -^—7 — -г I = lim . . = lim . ; ,-----7
f \ sin/ t j /sin/ sin/4-/cos/
= lim 5—!in 7 t — 0;
2 cos/—/sin/
здесь правило Лопиталя применено дважды.
316. Iimcosxtg5x.
п
2
Гх
318. hm х2е
Х-+0
320. lim f- . - .-----
Х-ч-1 \ Х°—1 х?—1
322. lim fctgqi — -М .
ф -> 0 г т '
317. lim (ctg 4—cosec 4
Х->0 \ 6 d
319. lim ctgx-ln(x4-e*).
№> 0
321. lim s‘in (2x—l)-tg лх.
1
X ->-
2
323.* lim (cosec21 — 4 cosec2 2/).
t —> 0
в) Случаи нахождения предела:
5) 1“ — когда функция представляет степень, основание кото-
рой стремится к единице, а показатель —к бесконечности;
6) оо° —когда функция представляет степень, основание кото-
рой стремится к бесконечности, а показатель —к нулю;
7) 0° — когда функция представляет степень, основание и
показатель которой стремятся к нулю.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю
п ( 0 °о \ ,
0-оо I а затем к случаю -д- или —1 следующим путем: функция
логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а
затем по найденному пределу логарифма находится и предел
— 108 —
самой функции.
324. Найти пределы: 1) lim (tgx)‘8®*; 2) lim (1пх)*;
Л X-> + <ю
X -*—
4
3) lim x1 + 2 ,n*; 4) limx*'-1.
x-> + 0 1
Решение. 1) Сначала устанавливаем, что имеет место слу-
чай 1“. Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее лога-
рифма:
а= lim (tgx)‘8®*;
Л
л ——
4
In а — In lim (tg x),g !* = limtg2x-lntgx — lim .
Л Cig
X -* —
4
Здесь нахождение предела свелось к случаю Применяя
правило Лопиталя, получим
lna = lim —2cosec22x)]= — 1.
л I tg X ' 'I
4
Теперь по найденному пределу логарифма функции находим
искомый предел самой функции: а = е~1.
2) Установив, что имеет место случай оо°, делаем преобра-
зования:
a— lim (Inx)*; lna = lim In(lnx) * =
+ r-* + <X %
получили случай . Применяем правило Лопиталя:
1па= lim —:1^=0,
г->+«Ах'п* /
откуда следует, что искомый предел а = е°=1.
3) Убедившись, что имеет место случай 0°, преобразовываем:
8 8 .
а= lim x1 + 2lnjc; 1па= lim 1 n х 1+2 hl * = lim г~, пгх—:
х^+о х++о 1+21ПХ’
получили случай Применяем правило Лопиталя:
1па = 6 lim )=64 = 3.
^+0 U 2
Следовательно, искомый предел а = е3.
— 109 —
4) Установив, что имеет место случай 1”, преобразовываем:
т т
a = limxJC‘_l; lna = limlnxxa-1 = lim^-^;
получили случай —. Применяем правило Лопиталя:
In а — /и lim
х->1
т
~2 ‘
Следовательно,
т ____
а = е^ =Ует.
325. lira (1-|-е*)х .
Х->- + со
327. lim (cos —.
x-nt> \ х J
329. lim (cos ka)a‘.
а->о
а
326. lira (х— 1)1пз
JC->1 + O
1
328. lira (ctg2x)lnJc.
JC-»+O
330. lim (2—x)tgT.
X->1
331. Доказать, что при x—>0:
1) e2x —ex x; 2) x — arctg x =5= ;
□
3) arcsin x — x = ; 4) 4x— In (4x+ 1) = 8x2;
5) /Г+х— 1 =s ; 6) eiX—4x— 1 8x2.
§ 3. Возрастание и убывание функции
При изучении поведения функции в зависимости от измене-
ния независимой переменной обычно предполагается, что во всей
области определения функции независимая переменная изменя-
ется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее зна-
чение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также
возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они
убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изме-
няются’ монотонно—только возрастают или только убывают (на
пример 2х, arcctg х).
Многие функции изменяются не монотонно. В одних интер-
валах изменения независимой переменной они возрастают, а в
других интервалах убывают (например, sinx, cosx).
Возрастание и убывание функции y = f(x) характеризуется
знаком ее производной у'\ если в некотором интервале г/'>0,
— 110 —
то функция возрастает, а если у' <0, то функция убывает в
этом интервале *
332. Определить интервалы возрастания и убывания следую-
щих функций:
1) р = 1п(1—х2); 2) z = x(l+2]/х); 3)*у = 1п|х|.
2х
Решение. 1) Производная р — — у—i положительна при
— 1<х<0 и х>1 и отрицательна при 0<х<1 и при
х<—1. Учитывая, что область определения функции р есть
интервал —заключаем: в интервале(— Г, 0)функция р
возрастает, а в интервале (0; 1) она убывает.
2) Функция 2 определена в полуоткрытом интервале
0<х< + оо; ее производная г' = 1 + 3’ргх>0— во всем этом
интервале. Поэтому функция г монотонная, она возрастает во
всей своей области определения.
3)* Функция у определена на всей числовой оси, исключая
точку х = 0; ее производная у' ==(1п | х |)'== = ± jyj = -^; t/' > 0
при х>0; у' <0 при х<0. Отсюда
следует, что функция у убывает в ин-
тервале (—сю; 0) и возрастает в интерва-
ле (0; + сю). График этой четной функ-
ции приведен на черт. 43.
333. Исследовать . на возрастание и
убывание следующие функции:
1) у = х3 + Зх2 + Зх; 2) у = х3 — Зх -f- 5;
4) y = J/(x2 —9)3; 5) у = cosx — х;
Черт. 43
3) у = е*х;
6)* t/ = x]xl.
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции
Значение функции f(x) в точке х0 называется максимумом
(минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по
сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках
слева и справа от х0.
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум)
только в тех точках, которые лежат внутри области опреде-
ления функции и где ее производная равна нулю или не суще-
ствует** Такие точки называются критическими. В соот-
ветствующих точках графика функции касательная параллельна
* В интервале возрастания (убывания) функции могут быть отдельные
точки, в которых у' =0.
** Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут
выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках ха, х5, х7,
черт. 44.
— 111 —
оси абсцисс (у’ — 0), или оси ординат (у' = со) или нет опреде-
ленной касательной (например, как в угловой точке).
На графике функции (черт. 44) отчетливо видно, что точками
экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведение
и непрерывна.
Точки хх и х4, при переходе через которые аргумента х
возрастание функции сменяется на убывание, являются точками
максимума, а точки х3 и х6, при переходе через котор&е аргу-
мента х убывание функции сменяется на возрастание, являются
точками минимума.
Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее
производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках,
где ее производная меняет свой знак, а сама функция непре-
рывна*.
Отсюда вытекает следующее правило исследования функции
на экстремум.
Чтобы найти точки экстремума функции y — f(x), в которых
она непрерывна, нужно:
I. Найти производную у' и критические точки, в которых
у’ — 0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые
лежат внутри области определения функции.
На. Определить знак у' слева и справа от каждой крити-
ческой точки.
Если при переходе аргумента х через критическую точку х0:
1) у' меняет знак с 4- на —, то х0 есть точка максимума;
2) у‘ меняет знак с — на +, то х0 есть точка минимума;
3) у' не меняет знака, то в точке х0 нет экстремума.
Иногда проще исследовать критические точки, где у'= О, по
знаку второй производной,— вместо правила Па можно поль-
зоваться следующим правилом:
Пб. Найти вторую производную ф' и определить ее знак в
каждой критической точке.
* Это достаточные условия экстремума (если они выполнены в какой-
либо точке, то она обязательно будет точкой экстремума).
— 112 —
Если в критической точке х0, где у' =0:
1) £/">0, то х0 есть точка минимума;
2) у" < 0, то х0 есть точка максимума;
3) у" = 0, то вопрос о наличии экстремума в точке х0 остается
Открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую,
можно исследовать по правилу Па.
Далее следует найти экстремумы функции, т. е. вычислить
значения функции в найденных точках экстремума.
При исследовании на экстремум некоторых типов функций
возможны существенные упрощения. Например, если функция
представляет дробь с постоянным числителем или корень с целым
положительным показателем.
Характер упрощений, возможных при исследовании на экстре-
мум указанных функций, разъясняется в решении задачи 335.
334. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) у = (1-х2)3;
3) y = 2j/x3—5/х2+1;
5) q = хя + Vxs;
7)* s — 11 arctg (х — 1) |.
2) и = хрг1 —х2;
4) р = х3 — 12х;
6) г = sin2x;
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на
экстремум:
I. Находим производную: у' = 3(1 — х2)2(— 2х) = — 6х(1 — х2)2
и критические точки. Полагая у' = 0, получим хх=0, х2=1,
х3 =— 1. Функция у определена и непрерывна на всей числовой
оси. Поэтому точки хх, х2 и ха являются критическими.
Других критических точек нет, так как производная у' су-
ществует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак у' слева
и справа от каждой этой точки (по правилу Па). Для сокра-
щения вычислений и для наглядности это исследование удобно
записать в виде следующей таблицы:
X —2 —1 2 0 1 2 . 1 2
у' + 0 -+ 0 — 0 —
У возр. нет экстр. возр. max убыв. нет экстр. убыв.
В первой строке помещены все критические точки в порядке
расположения их на числовой оси; между ними вставлены про-
межуточные точки, расположенные слева и справа от критиче-
ских точек. Во второй строке помещены знаки производной в
указанных промежуточных точках, т. е. знаки у' (—2), у' (—± ,
- 113 —
у' (у) и у'(2). В третьейстроке —заключение о поведении функ-
ции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума—точку
максимума х = 0, где t/max =у(0) = 1. До этой точки в интервале
( — оо,0) функция неизменно возрастает, а после нее в интер-
вале (0; -f- оо) она неизменно убывает (черт. 45).
2) I. Ищем критические точки. Производная и' = ~^=^=
обращается в нуль при х1>2 = ±-^= и не существует (разрывна)
при х3,4 = ±1. Однако критическими точками являются только
точки xi и х2: они лежат внутри области определения функции и,
которая представляет отрезок [ — 1; 1], и в них эта функция
непрерывна. Точки xs и х4 не являются критическими, так как
они лежат не внутри области определения функции и, а на ее
границах.
II. Исследуем критические точки по знаку производной и'
в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:
X — 0,9 Г2 0 й 0,9
и' — » + 0 —
и убыв. min возр. max убыв.
Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума:
точку минимума х=—-^=, где umin = u^— —А-, и
точку максимума х — -^~, где итак = и (= у (черт. 46).
3) . I. Находим производную
, „ 5 - г 2 —* 10 х— 1
v -2-y.t--5.yt s = y 57=
— 114 —
и критические точки: v' = 0 при х = 1; v' не существует (равна оо)
при х = 0. Функция v определена и непрерывна на всей числовой
оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II. Исследуем критические точки по знаку производной v'
в соседних с ними точках. Составим таблицу:
X —1 0 1 2 1 2
v’ + 00 0 +
V возр. А max убыв. min возр.
Из таблицы следует, что функция и имеет две точки экстре- •
мума: точку максимума х = 0, где отах = н(0)=1, и точку ми-
нимума х=1, где ит1п = ц(1) = — 2 (черт. 47).
4) I. Найдем критические точки. Производная р' — Зх2 — 12
равна нулю в точках х— ±2. Эти точки являются критиче-
и непрерывна на всей
скими, так как функция р определена
числовой оси. Производная р' сущест-
вует всюду. Поэтому других критиче-
ских точек функция р не имеет.
Черт. 47
Черт. 48
П. Исследуем критические точки по знаку второй производ-
ной р" в самих этих точках (по правилу II б): р" = 6х; р"(—2) =
= —12 < 0, следовательно, критическая точка х — — 2 есть
точка максимума, где ртах = р(—2)= 16; р" (2) = 12 > 0, поэтому
критическая точка х = 2 есть точка минимума, где pInin = p(2) =
= —16 (черт. 48).
5 -
5) I. Ищем производную q' = хs + 2х и критические точки:
q' обращается в нуль в точке х = 0. В этой точке функция q
непрерывна, но она не лежит внутри области определения функ-
ции q, которая представляет интервал 0=^х-<Н-оо. Поэтому
точка х = 0 не является критической; q' не обращается в нуль
в других точках и существует во всей области определения
- 115 —
функции. Поэтому функция <?, как не имеющая ни одной кри-
тической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области
определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо q' 2=0
во всей этой области (черт. 49).
Если не учесть, что точка х = 0 не лежит внутри области
15 —
определения функции «у, то, применяя правило Пб, q" = + 2,
</'(0) = 2>0, приходим к ошибочному заключению, что в этой
точке функция q имеет минимум.
6) I. Находим критические точки: г' = 2 sin xcosx = sin2х;
г' = 0 при хА=у, k — Q, ± 1, ±2, ...
Все точки хк являются критическими, так как функция г
определена и непрерывна на всей числовой оси; г' существует
всюду, поэтому других критических
точек нет.
II. Исследуем критические точки
по знаку второй производной в самих
этих точках: г" = 2cos2x; г"(хй) =
= 2cosfcri. При четном k, г"(хк) = 2>0, точки xft являются точ-
ками минимума, где гпнп = 0; при нечетном k, г''(хк) =— 2-<0,
точки хк являются точками максимума, где гтах=1 (черт. 50).
Здесь оказалось, что у функции г максимумы и минимумы
строго чередуются. То. же будет и у любой непрерывной функ-
ции, имеющей несколько экстремумов.
7)* I. Находим критические точки: s' = ± t ja, где
знак плюс соответствует интервалу 1 <Сх <Z 4- оо, а минус —
интервалу —оо<х<1. Про-
изводная s' нигде не обраща-
ется в нуль и существует всю-
ду, кроме точки х= 1. Эта точ-
ка является критической, так
как функция s определена и не-
прерывна на всей числовой оси.
II. Исследуем критическую точку х=1 по знаку производ-
ной s' слева и справа от этой точки. Составив таблицу, заклю-
чаем, что х=1 есть точка минимума, где smin = s(l)= I. На
х 1 2
s' не суш.. +
$ убыв. Y min возр.
- J16 —
графике функции (черт. 51) это будет угловая точка с двумя
различными односторонними касательными, угловые коэффици-
енты которых равны —1 и + 1.
335*. Найти экстремумы функ-
ций:
П 30
М # = 12—Збх2-|-20х3 —Зх4’
2) и = ]Л?*а-1.
1) Дробь с постоянным поло-
жительным числителем имеет
экстремумы в тех же точках,
что и ее знаменатель, но они
будут противоположного смысла: там, где знаменатель имеет
максимум, эта дробь имеет минимум, и наоборот. (Из этого
общего положения исключается случай, когда экстремум зна-
менателя равен нулю.)
Используя это свойство, найдем точки экстремума знамена-
теля, т. е. вспомогательной функции ух= 12 — 36х2 + 20х3 — Зх4.
I. Найдем критические точки. у[ = — 72х-(-60х2—• 12х3; t/'=0
в точках х = 0, х = 2 и х = 3. Все они являются критическими,
поскольку функция yt определена и непрерывна на всей чис-
ловой оси. Других критических точек нет, ибо производная у'
всюду существует.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производ-
ной в самих этих точках (по правилу Пб); y'i~ — 72 + 120х — Збх2;
У1 (0) =— 72 < 0, следовательно, критическая точка х — 0 есть
точка максимума; i4(2)>0, следовательно, точка х=2 есть
точка минимума; z/i (3) < 0, следовательно, точка х = 3 есть точка
максимума функции yv
Для заданной функции у найденные точки экстремума функ-
ции yt будут иметь противоположный смысл: для функции у
точка х = 0 есть точка минимума, где уп.Лп = у(0) = 2,5; х = 2 есть
точка максимума, где 1/тах = «/(2) =—1,5; х = 3 есть точка ми-
нимума, где ут1п = у(3) = — 2. ____
2) Точки экстремума сложной функции у — <р(х), при це-
лом положительном п, совпадают с точками экстремума подко-
ренной функции <р(х), лежащими внутри области определения
функции у.
Воспользуемся этим свойством и найдем точки экстремума
подкоренной функции иг=е*2—1.
I. Ищем критические точки: ul = 2xex2, ui = 0 в точке х = 0,
которая является критической, так как функция ut определена
и непрерывна на всей числовой оси. Производная сущест-
— 117 —
вует всюду, поэтому других критических точек функция ut не
имеет.
II. Исследуем критическую точку х = 0 по знаку второй про-
изводной в этой точке. Uj —2е*г(1+2xz); u'i(0) = 2>0, поэтому
точка х = 0 есть точка минимума функции их.
Согласно указанному здесь свойству точка х = 0, как лежа-
щая внутри области определения функции и, будет также точ-
кой минимума и для функции и. При х = 0, umin = 0.
Без использования указанного свойства решение этой задачи
было бы затруднительно. (Найденная точка является угловой
точкой графика функции и, где и' не существует.)
Исследовать на экстремум следующие функции:
336. у = х3(х-6).
338. у = х3 — Зх2 4- Зх.
г2 8
340. у = ^ + -2.
j 2 х2
342*. у=.з .
J 4х3—9х2 + 6х
344. у=е~х + е*х.
346. у — х3е~х.
348. у — sin х + cos х.
337. t/ = 3 —2х2 —х4.
4 у
339. w =
27 х2 + 4
341. // = 3 — 2 /х2.
343*. у = У 2х3 + Зх2 - Збх.
345. у — Зх -|- tg х.
347. //=Л.
17 In X
349*. у = | х3 - Зх21.
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшим значением функции называется самое большее, а
наименьшим значением—самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и
только одно наименьшее значение или может не иметь их со-
всем. Например, во всей своей области
определения функция sin х имеет наи-
большее значение, равное единице, и
наименьшее значение, равное минус
единице; функции tg х и х3 не имеют ни
наибольшего, ни наименьшего значе-
ний; функция—х2 имеет наибольшее
значение, равное нулю, но не имеет
наименьшего значения; функция 14-
4- p^fx] имеет наименьшее значение,
равное единице, но не имеет наиболь-
шего значения (черт. 52).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерыв-
ных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
— 118-
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном)
функция f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если
это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наимень-
шим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [а, Ь],
то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и на-
именьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках
экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого
отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наи-
большего или наименьшего значения функции f(x) на отрезке
[а, Ь], где она непрерывна:
I. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка [я, Ь],
и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь
в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого
вида).
II. Вычислить значения функций на концах отрезка, т. е. f(a)
и f(b).
III. Сравнить полученные значения функции: самое большее
из них будет наибольшим значением, а самое меньшее —наи-
меньшим значением функции на всем данном отрезке.
350. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из
следующих функций:
1) и = х3—3х2 — 9x4-35 на отрезке [ — 4; 4];
2) р = х21пх на отрезке [1, е];
[з
0; у л ;
4) «/==arctg№.
Решение. Согласно практическому правилу:
1) I. Найдем критические точки функции и, лежащие внутри
отрезка [—4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: и'—
= 3х2 — 6х — 9; и' —0 в точках х = —1 и х = 3. Эти точки лежат
внутри отрезка [—4; 4] и являются критическими. Других кри-
тических точек нет, так как производная и' существует всюду.
Значения функции и в критических точках: и(— 1) = 40; и(3) = 8.
II. Вычислим значения функции на концах отрезка [—4; 41:
и(—4) = — 41; и(4)=15.
III. Сравнивая все вычисленные значения функции во внут-
ренних критических точках и на концах отрезка, заключаем:
наибольшее значение функции и на отрезке [—4; 4] равно 40
и достигается ею во внутренней критической точке х = —1, а
ее наименьшее значение равно —41 и достигается на левой
границе отрезка х — — 4 (черт. 53).
2) I. Ищем критические точки: р' = х(\ + 21пх); р' = 0вточ-
_______________1_
ках Xj = 0 и х2 = е 2. Точка хх лежит вне области определения
данной функции 0<х<4-оо; точка х2 лежит вне заданного
- 119 —
отрезка [1; е]. Производная р' существует во всем интервале
определения функции р. Поэтому внутри заданного отрезка нет
критических точек.
II. Вычислим значения функции р на концах отрезка: р(1) =
= 0; р(е) = е2.
III. Поскольку внутри отрезка [1,е] нет критических точек,
то функция изменяется на этом отрезке монотонно и ее наи-
меньшее и наибольшее значения на этом отрезке достигаются
на концах отрезка: р,1М = р(1) = 0, рнб = р(е) = е2 (черт. 54).
3) I. Найдем критические точки: г' = 2cosx4-2cos2x =
при cos^ = 0 и соз=0; корни пер-
вого уравнения хЛ = -^- (2/? + 1),
корни второго уравнения xk —
= ji(2k± 1), где k = Q, ±1, ±2,...
Из них внутри заданного
ские точки = и хи = л. Производная г' существует всюду,
поэтому других критических точек функция г не имеет. Значения
функции в найденных внутренних критических точках х1 и хи:
( л
г (~з
—; г(л) = О.
II. Вычислим значения функции на концах отрезка: г(0) = 0;
г (у)=-2-
III. Сравнение вычисленных значений функции во внутрен-
них критических точках и на концах отрезка показывает, что
. / я X 3 У 3
ее наибольшее значение на этом отрезке гнв = г 1 -5-1 = —х—, а
/ЗлХ о \ ч /
наименьшее значение гнм = г ( — 1 = — 2.
— 120 —
4) Здесь изменение аргумента х не ограничено каким-либо
отрезком, а функция определена на всей числовой оси. Поэтому
следует рассмотреть все значения функции, принимаемые ею
при изменении х от — оо до 4- оо.
I. Найдем критические точки: у' = j-q—; у' = 0 в точке х = 0.
Эта точка является критической, так как функция всюду опре-
делена и непрерывна. Других критических точек нет, так как
производная у' существует всюду.
II. Исследуем критическую точку х = 0 по знаку первой про-
изводной слева и справа от этой точки (см. табл.). Это иссле-
дование показывает, что точка х = 0 есть точка минимума, где
ут\л == 0.
III. Основываясь на указанном выше свойстве 1 непрерывных
функций, заключаем: функция у, как имеющая единственный
экстремум —минимум и не имеющая точек разрыва, имеет наи-
меньшее значение, совпадающее с ее минимумом,
У нм Ут\п 0,
но не имеет наибольшего значения, хотя она не растет неогра-
ниченно. При х—► ± 00 она асимптотически приближается к зна-
чению -у (черт. 55).
X —1 0 1
у' — 0 +
У убыв гпТп возр
Найти наибольшие и наименьшие значения функций:
351. y = xz — 9х24- 24х — 10 на отрезке [0; 3].
352. и = х—21пх на отрезке [1; е].
353. v = 2 sin х -J- cos 2х на отрезке [О;.
354. у=е~х\ 355. i/= р/х2 — 1.
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших
значениях величин
Во многих геометрических, физических и технических зада-
чах требуется найти наибольшее или наименьшее значение ве-
личины, связанной функциональной зависимостью с другой
величиной.
— 121 —
Широкая распространенность и большое значение этих задач
послужили одним из главных поводов к развитию математиче-
ского анализа.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия,
выбрать независимую переменную и выразить исследуемую ве-
личину через эту переменную, а затем найти искомое наиболь-
шее или наименьшее значение полученной функции. При этом
интервал изменения независимой переменной, который может
быть конечным или бесконечным, также оп-
ределяется из условия задачи.
356, Из трех одинаковых тонких досок
изготовить желоб с наибольшим попереч-
ным сечением.
Решение. Поперечное сечение желоба
будет представлять равнобочную трапецию
(черт. 56), площадь которой s зависит от на-
клона боковых сторон. Выберем за незави-
угол а между боковой стороной и высотой
а
Черт. 56
или
симую переменную
трапеции и выразим через эту переменную исследуемую площадь s:
x = asina, h = a cos а и s = h(a + x)
s = a2(l -J- sin a) cos а,
где по смыслу задачи а может изменяться на отрезке £о; -yj .
Далее найдем наибольшее значение функции s (а) на отрезке
[0; f •
Найдем критические точки функции s, лежащие внутри этого
отрезка:
s' = a2 [cos2 а — (1 + sin а) sin а] = а2 (1 — sin а — 2 sin2 а).
Приравнивая производную s' нулю, получим уравнение:
2 s*in2 а + sin а — 1 — О,
решая которое, как квадратное, найдем
sin а = у и sin ос =— 1.
Из всех точек а, определяемых этими двумя уравнениями,
внутри отрезка 0; -yj лежит только одна точка а = у . Эта
точка является критической, в ней выполняются все необходимые
для этого условия. Производная s' существует всюду, поэтому
других критических точек нет.
Вычислим значения функции s в найденной внутренней кри-
тической точке и на концах отрезка £о; -yj :
а2 «1,28а2; s(0) = a2; sf^-')=O.
5 \ 6
4
— 122 —
достигается во внутренней точке а = .
Сравнивая эти значения, заключаем: наибольшее значение функ-
ции s на отрезке рЭ; —
Таким образом, желоб из трех одинаковых досок будет иметь
наибольшее поперечное сечение, когда это сечение представляет
равнобочную трапецию, верхнее основание которой вдвое боль-
ше нижнего.
357. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с за-
данным объемом с?ис наименьшей полной поверхностью.
Решение. Обозначив радиус и высоту цилиндра через г и h,
а его полную поверхность через s, получим
s—2nrh + 2nr2.
Здесь переменные г и /г не являются независимыми, а связаны
между собой равенством v = nr2h, так как согласно условию
цилиндр должен иметь заданный объем v. Определяя из этого
равенства h и подставляя в выражение полной поверхности,
получим
s = 2 (nr2 + -,
\ 1 г ) ’
где г изменяется в интервале 0<г< + оо.
Выразив таким образом исследуемую полную поверхность
цилиндра s через одну переменную г, найдем теперь ее наимень-
шее значение при изменении г в интервале (0; -|-оо).
Найдем критические точки; s' = 2 (2лг —= 2?3V^~Р
s' = 0 в единственной точке г =
лежит в рас-
сматриваемом интервале. Эта точка является критической, так
как в пей выполняются все необходимые для этого условия.
Других критических точек в интервале (0; оо) функция s не
имеет, так как ее производная s' существует во всем этом ин-
тервале.
Исследуем найденную критическую точку по знаку второй
производной в этой точке:
s" = 4(»+7,): £) = 12л>0,
откуда следует, что критическая точка г = — есть точка ми-
нимума. я
Функция s(r) непрерывна в интервале (0; H-оо). Поэтому
согласно свойству 1 непрерывных функций единственный мини-
мум функции s в интервале (0; + оо) совпадает с ее наимень-
шим значением в этом интервале.
ПРИ r= Vк получим Й = -=2 ]/^=2г.
— 123 —
Следовательно, цилиндрическая закрытая цистерна, имеющая
любой заданный объем, будет иметь наименьшую полную по-
верхность, когда ее осевое сечение представляет квадрат.
358. Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) по-
казаны на черт. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей
площадью.
Решение. Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника
через х и у. Тогда его площадь S = xy. Выразим у через х, исходя
из подобия треугольников BDC и ЛЕС:
£Ш=11—х; DC = y~6; АЕ = 8; ЕС = 4.
т-, BD АЕ И—х 8
Подставляя в пропорцию = gg , получим , откуда
23—х о
у — —2~. Заменяя у в выражении площади, имеем
S=l(23x-х2),
где х согласно условию задачи изменяется на отрезке [3; 11].
Ищем далее наибольшее значение функции 5 (х) на указанном
1 23
отрезке. S' =^-(23 —2х); 3' = 0 в точке х = , но эта точка ле-
жит вне рассматриваемого отрезка; S' существует всюду, по-
этому на отрезке [3; 11] нет ни одной критической точки. При
изменении х от 3 до 11 производная S'>0, а функция S неиз-
менно возрастает и достигает наибольшего значения на правом
конце отрезка х = 11.
Итак, прямоугольник, вырезанный из данного куска жести,
будет иметь наибольшую площадь, когда точка В совпадает
с точкой С; 5нб = 5(11) = 66дм2.
359. Выбрать место для постройки моста через реку, чтобы
длина дороги между двумя пунктами, расположенными по раз-
ные стороны от реки, была наименьшая.
Решение. Сделаем схематический план местности вблизи
указанных в условии объектов (черт. 58). Расстояния а, Ь, с и h
— 124 -
согласно условию задачи являются постоянными. Если мост
построен в указанном в плане месте, то длина дороги между
пунктами А и В
l=AC + h + DB.
Выбрав за независимую переменную х расстояние АУС, получим
ЛС = /а2 + х2, DB = ]//?2 + (c-x)2
I =z У а2 + х2 + h + У b2-\-(x —с)2,
где х изменяется на отрезке [0;с], что очевидно.
Теперь найдем наименьшее значение функции I (х) на отрезке
[0; с].
Найдем производную I и критические точки, лежащие вну-
три отрезка [0; с]:
,______х_______х — с ____х + U —с)2 + (х —г) V а2 + х2
)/аг-|-х2 У 62 + (х—с)2 У (а2х2) [Ь2(х—с2)|
/' = 0, когда х УЬ2 + (х — с)2 + (х — с) ]Л*2 + х2 = 0.
Решая это уравнение, получим
х2 [Ь2 + (х —с)2] = (х —с)2(а2 + х2); Ь2х2 = а2(х—с)2\
х
ас ас
----; И X, —г-? .
a — b i a-j-b
Точка х, лежит вне отрезка OsCxsSc: при а>Ь, хг>с;
при а <_Ь, хг<0. Точка х2 лежит внутри этого отрезка при
любых положительных значени-
X 0 X, с
г —— 0 +
1 убыв тТп возр.
ях а, b и с, так как при этом
х2>0 и т- е- Х2<-С-
Производная Г существует
всюду, поэтому функция I дру-
гих критических точек не имеет.
Внутри отрезка [0; с] функ-
ция / имеет одну критическую
точку х.2. Исследуя эту критическую точку по знаку производ-
ной Г слева и справа от нее, как это показано в таблице, убеж-
даемся, что точка х2 есть точка минимума.
Согласно свойству 1 непрерывных функций, в этой единст-
венной на отрезке [0; с\ точке минимума непрерывная функция I
имеет и наименьшее значение из всех ее значений на этом отрезке.
Следовательно, чтобы длина дороги между двумя пунктами,
расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая,
следует построить мост в том месте, где расстояние АгС~
ас
аА-Ь*
— 125 —
360. Из куска проволоки длиной I согнуть прямоугольник,
чтобы его площадь была наибольшей.
361. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает
к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы
должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равня-
лась 800 ж2, а длина забора была наименьшая?
362. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной
30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся
части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова дол-
жна быть-сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки
был наибольшим?
363. На прямой между двумя источниками света силы F и 8F
найти наименее освещенную точку, если расстояние между источ-
никами 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна рас-
стоянию ее от источника света.)
364. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить конус с наибольшим объемом.
365. Завод А расположен на расстоянии а км от железной
дороги, идущей в город В, и на расстоянии b км от города В.
Под каким углом к железной дороге следует
провести шоссе с завода А, чтобы доставка
грузов из Л в В была наиболее дешевой, если
стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже,
----------*—чем по железной дороге?
А 366. Керосиновая цистерна, имеющая фор-
Черт. 59 му цилиндра, завершенного конусом, должна
быть построена на данном круглом фунда-
менте и должна иметь заданный объем. Показать, что коли-
чество материала для постройки цистерны потребуется наимень-
шее, если угол при вершине осевого сечения конуса будет равен
2 arc cos -2-« 96°.
О
367. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную
площадь поперечного сечения. Если поперечное сеченне есть рав-
нобочная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых
сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на сопротив-
ление трения были наименьшими, т. е. чтобы сумма нижнего осно-
вания и боковых сторон трапеции была наименьшая?
368*. От канала шириной 4 м отходит под прямым углом дру-
гой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно
сплавлять по этим каналам из одного в другой (не учитывая
толщины бревен)?
369*. Две точки движутся по осям координат в положительных
направлениях с постоянными скоростями и v2. В какой момент
расстояние между движущимися точками будет наименьшее,
если в начальный момент они занимали положения (—3; 0) и
(0; 5)?
— /26 —
370*. Шар свободно скатывается по наклонной плоскости
(черт. 59). Если основание АВ остается неизменным, то каков
должен быть угол наклона <р, чтобы время скатывания шара
было наименьшее?
§ 7. Направление выпуклости кривой
и точки перегиба
Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой
своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она рас-
положена выше любой своей касательной, то называется выпуклой
вниз в этом интервале.
Точкой перегиба называется точка на
кривой, где меняется направление ее вы-
пуклости.
На черт. 60 в интервале (а, Ь) кривая
выпукла вверх, в интервале (Ь, с) она вы-
пукла вниз, а точка В есть точка перегиба.
Направление выпуклости кривой у —
— f(x) характеризуется знаком второй
производной у"-, если в некотором интервале «/">0, то кривая
выпукла вниз, а если у" <0, то кривая выпукла вверх в этом
интервале.
Абсциссы точек перегиба кривой y = f(x), или графика функ-
ции f(x), являются точками, в которых меняется поведение произ-
водной у'. Поэтому их можно найти по следующему правилу:
I. Найти у" и точки х, в которых у" = 0 или не существует, а
кривая непрерывна и которые лежат внутри области ее распо-
ложения.
11. Определить знак у" слева и справа от каждой из этих точек.
Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по
разные стороны от нее у" имеет разные знаки.
Интервалы, где кривая выпукла вверх и где она выпукла вниз,
определяются из условия, что их границами могут быть только
абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки
области расположения кривой.
371. Определить направление выпуклости и точки перегиба
кривых:
1) z/— Зх5 —5х4 + 4; 2) z/= 3 - |/(х + 2)’,
5)* у = 2 — | х5— 11.
Решение. Находим точки перегиба кривой, руководствуясь
указанным правилом.
— 127 —
1) I. Ищем точки х, в которых у" = 0 или не существует, а
кривая непрерывна и которые лежат внутри области расположе-
ния кривой:
у' = 15х4 - 20х3; у" = 60х3 - 60х2 = 60х2 (х - 1).
z/* = 0 в точках х = 0 и х= 1. Эти точки являются искомыми, так
как область расположения и область непрерывности данной кри-
вой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть
абсциссами точек перегиба, нет, так как у" существует всюду.
II. Исследуем найденные точки, определяя знак у" слева и
справа от каждой из них. Запишем это исследование в таблицу,
подобную той, которая составляется при отыскании точек экстре-
X — 1 0 1 2 1 10
у" — 0 0 +
У в. вверх нет перегиба в. вверх перегиб в. вниз
Из таблицы следует, что х — 1 есть абсцисса точки перегиба
Поскольку эта кривая непрерывная, то во всем
интервале (—оо, 1) она выпукла вверх, а во всем
интервале (1, 4- оо)— выпукла вниз (черт. 61).
2) I. Находим вторую производную:
7 —
У = — 5- U -I- 2)8 ;
у = _Ц(х+2)-‘
14
25 5/(7W
X — 10 —2 0
+ 00 —
У в. вниз перегиб в. вверх
Здесь tf нигде не обращается в нуль, а
при х =— 2 она не существует.
При х =— 2 кривая может иметь перегиб,
так как ее областью расположения и областью
непрерывности является вся ось абсцисс.
II. Исследуем значение х=—2
по знаку у" при значениях х,
меньших и больших его. Соглас-
но таблице х = — 2 есть абсцисса
точки перегиба.
Слева от нее во всем интер-
вале (—оо, —2) данная непре-
рывная кривая выпукла вниз, а
справа, в интервале (—2, 4-оо),
она выпукла вверх; у{—2) = 3.
— 12И —
Э 1
3) I. у'== 10(х—1)2 +30(х—1)2 ;
y" = 15(x- 1)T+ 15(x- 1)’T .
V x—1
Здесь у" обращается в нуль при х = 0 и не существует (равна
4- оо) при х= 1. Но ни одно из этих значений хне может быть абс-
циссой точки перегиба, так как областью расположения кривой
является интервал 1 sSx<4- оо; х = 0 лежит вне этой области, а
х=1 есть граница этой области, т. е. лежит не внутри ее.
Кривая не имеет точек перегиба; во всей области своего рас-
положения она выпукла вниз, так как во всей этой области у">0.
4) I. У — У - (х+1)5-
Здесь у" не может обратиться в нуль, а при х~—1 она не
существует. Однако х —— 1 не может быть абсциссой точки пере-
гиба, так как в этой точке кривая разрыв-
на. При х< — 1, у"<0; при х> —- 1, у" > 0.
Поэтому в интервале (—оо, —1) кривая
выпукла вверх, а в интервале (—1, +оо)
она выпукла вниз. Не имея точек перегиба,
эта кривая меняет направление выпуклости
при переходе х через точку разрыва х = — 1.
5)* I. у' = ±5х4; у" = ±20х3, где знак
плюс соответствует значениям х из интервала
(—оо, 1), в котором х5— 1<0, а знак ми-
нус соответствует значениям х из интервала (1, +оо), в кото-
ром х5—1>0. у" не существует при х=1; у" = 0 при х = 0.
Эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба данной
кривой, так как ее областью расположения и областью непрерыв-
ности является вся ось абсцисс.
Черт. 62
X — 10 0 1 2 1 10
у" — 0 + не сущ. ——
У в. вверх перегиб в. вниз перегиб в. вверх
П. Определяя знак у" слева и справа отточек х = 0 и х=1,
заключаем, что х = 0 и х=1 —абсциссы точек перегиба. Левее
точки х = 0 кривая выпукла вверх, между точками х = 0 и х=1
она выпукла вниз и правее точки х= 1 выпукла вверх (черт. 62).
Ординаты точек перегиба определяются из уравнения кривой по
5 № 3201
— 129 —
известным их абсциссам: z/(O)=l; ^(1) = 2. Здесь точка перегиба
(1; 2) совпадает с угловой точкой кривой, в которой она имеет
максимальное значение ординаты и две различные односторон-
ние касательные у—2=4:5 (х—1).
Найти точки перегиба и исследовать направление выпуклости
кривых:
372. у = х*—Зх1 2 —9x4 9.
374. г/= 1 — 1п (х2—4).
376. z/ = arctgy.
378*. i/ = arcsin —.
у х
373. z/ = x436x2-2x3—л4 *.
375. i/ = x + 2-^zx®.
377. у=-^.
379*. у = 1 —|х2 —2|.
§ 8. Асимптоты
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой
неограниченно приближается точка кривой при неограниченном
удалении ее от начала координат.
Кривая может приближаться к своей асимптоте теми же спосо-
бами, как и переменная к своему пределу: оставаясь с одной сто-
роны от асимптоты, как, например, в задаче 380 (1) или с разных
сторон, бесчисленное множество раз пересекая асимптоту и пере-
ходя с одной ее стороны на другую, как, например, в задаче
380 (3).
Для нахождения асимптот пользуются следующими положе-
ниями:
а) если при х = а кривая у = f (х) имеет бесконечный разрыв,
т. е. если при х-*а —0 или при х-*а + 0 функция f(x) стре-
мится к бесконечности (того или иного знака), то прямая х = а
является ее вертикальной асимптотой;
б) невертикальные асимптоты кривой y = f(x), если они суще-
ствуют, имеют уравнения вида y = kx+b, где параметры k и b
определяются формулами
k= lim и b= lim [f(x) — kx]
* • —ь. ж ля % V —ь. Ж лп
00 * Х->±00
при одинаковом в обеих формулах поведении х, т. е. в обеих фор-
мулах х-*4оо или х-> —оо.
380. Найти асимптоты кривых:
1) # = *\-6*,~^3; 2) у = хех\ 3)у = х+~-4) у = хarcctgх;
Л о Л
5) у = 1п (4 - х2); 6)* у = /х3-6х2.
Решение. 1) (а) При х = 3 данная кривая имеет бесконеч-
ный разрыв. Поэтому прямая х = 3 есть ее вертикальная асимп-
тота;
— 130 —
(б) далее ищем невертикальные асимптоты:
1_А+А
, 1- !(*) .. х3—6*4-3 хх2.
А = inn ------о~ = 1;
х^+о» х Х‘—4Х J_£
X
b — lim [f (х) — kx] = lim — х\ =
Х->+ со ' *
1-3
= lim = lim —т = — 3.
Х*“О 2 о
х
Подставляя найденные значения k и b в уравнение у = kx + b,
получим уравнение невертикальной асимптоты; у — х — 3. Дру-
гих невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при
х -+ — оо значения k и b будут те же самые. Кривая (гипербола)
изображена на черт. 63.
2) (а) Кривая не имеет, вертикальных асимптот, так как она
всюду непрерывна;
(б) k= lim — = lime* =-f-оо,
Х-++00 х
т. е. при х 4- оо угловой коэффициент асимптоты не существует,
вследствие чего при х->4-°о кривая не имеет асимптоты;
k— lim — = lime* = 0;
Х^-00 х
X 1
b - lim (у — kx) = lim хе* = lim —х — lim —— 0.
х-»—» е е
(Здесь применено правило Лопиталя.)
Следовательно, при х->~ — оо кривая имеет невертикальную
асимптоту у = 0 (ось Ох).
5*
— 131 —
3) (а) Кривая y — x + ^^- не имеет бесконечных разрывов,
поэтому не имеет и вертикальных асимптот;
(б) k — lim = lim (1 + = 1, так как | sin х | 1;
b~ lim (у — £x) = lim =0.
Х->+ 00 *
При х-+ —оо параметры асимптоты имеют те же значения.
Следовательно, при х-*4-оо и при —оо кривая имеет
асимптоту у = х. Эта кривая бесчисленное множество раз пересе-
кает свою асимптоту, переходя с одной ее стороны на другую
(черт. 64).
Способ приближения кривой к своей невертикальной асимптоте
определяется путем исследования знака разности ординат кривой
и асимптоты. Здесь эта разность укр— Уас — *~^ бесчисленное
множество раз меняет свой знак в точках, где
x = kn, k = ±. 1, ± 2, ...
4) (а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она
всюду непрерывна;
(б) k — lim — = lim arcctg х = arcctg (4-оо) = 0;
х-ц- <г> x
b= lim {y—kx) — lim x arcctg x = Птагсс.^-.
+ QO
X
Применяя правило Лопиталя дважды, получим
1
6 = lim -arccit-— — lim—Ц~-х = lim -.-x ,= lim-^- = 1.
«->+«> _L ________________L Ч-* 2x
X X®
Следовательно, при х — 4-оо кривая имеет асимптоту у—1;
k— lim — — lim arcctg х = arcctg ( —оо) = л;
X-f—x х
b = lim (у — kx) = lim (х arcctg х — лх) — lim х (arcctg х—л) =
х-ь — а>
1
-Um .rctg,-. = |i L
1 1 I + X®
X xt
Следовательно, при x-+ — <x> кривая имеет асимптоту у = лх + 1
(черт. 65).
5) (а) Кривая имеет две вертикальные асимптоты х = —2 и
х = 2, так как при х = ± 2 она имеет бесконечные разрывы;
— 132 —
(б) невертикальных асимптот кривая не имеет, ибо ее обла-
стью расположения является интервал —2<х<2 и поэтомух
не может стремиться к бесконечности (черт. 66).
6)* (а) Вертикальных асимптот кривая не имеет;
.. Ух3—6х» \Г\ 6
(б) k= lim —у-----=Ит у 1-~7=1,
Х-> + со *
Ь«= lim (t/—Ах) = lim (jZх8—6хй—х).
СО
Заменяя х через -j- и применяя затем правило Лопиталя, получим
/ 3 /~1 6 1 \ У1—6а— 1
S'-5i~'57=l'm S =
При x-f — оо значения парамет-
ров k и b асимптоты будут те же са-
мые. Следовательно, при х -+ 4-00
и при х —> — оо данная кривая име-
ет асимптоту у — х — 2. Эта непре-
рывная кривая пересекает свою асим-
2
птоту в точке, где х = -^-, и неограни-
О
ченно приближается к ней при
х->- — оо сверху, а при х -» 4- 00 снизу
(черт. 67).
Найти асимптоты кривых:
381.0 = ^. 382.1/ = -^.
383. у = хе~х.
385*. у = 2х- —
384. i/ = xarctgx.
386*. у = х + ^.
— 133 —
§ 9. Общая схема исследования функций
и построения их графиков
Общее исследование функций и построение их графиков удоб-
но выполнять по следующей схеме:
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пре-
делы в этих точках.
III. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или
периодической.
IV. Найти' точки пересечения графика функции с осями коор-
динат и интервалы знакопостоянства функции *.
V. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные и б) не-
вертикальные.
VI. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убыва-
ния функции.
VII. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его
выпуклости вверх и вниз.
VIII. Построить график функции, используя все полученные
результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то сле-
дует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее
уравнения. Построение графика функции целесообразно выпол-
нять по его элементам, вслед за выполнением "отдельных пунк-
тов исследования.
387. Исследовать функции и построить их графики:
1)»“—5—: 2)у = —;
3) у= (х+ I)1 2— у/(х— 1)а; 4) у = sin*x+cos*x;
5)z/ = x2|/e; 6) z/= х + 2 arcctg х; 7)* y = \ex —11.
Решение. Руководствуясь указанной общей схемой, после-
довательно находим:
1) I. Областью определения данной функции, как и всякого
многочлена, является вся числовая ось.
II. Функция не имеет точек разрыва. Как у всякой элемен-
тарной функции, ее область непрерывности совпадает с областью
определения.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио-
дической.
IV. При х = 0 из данного уравнения найдем y = Q, а при
y — Q найдем х = 0 и х = 4. Это значит, что график функции
пересекает координатные оси в точках (0; 0) и (4; 0).
1 Выполнение этого пункта исследования требует решения уравнения
f(x) — O н может быть опущено в задачах этого параграфа, если это решение
нельзя получить элементарным путем. Общий метод решения уравнений разъ-
ясняется в следующем § 10.
— 134 —
Интервалы, где функция сохраняет знак, определяются из
условия, что их границами могут быть только точки пересече-
ния графика функции с осью Ох, точки разрыва и границы
области определения функции.
Для исследуемой функции такими точками являются точки
x~Q и х = 4. Определяя знак функции при каком-либо значе-
нии х из интервала ( — оо, 0), например у(—-1)<0, заключаем,
что во всем этом интервале функция имеет отрицательные зна-
чения; во всем интервале (0; 4) функция имеет положительные
значения, ибо z/(l)>0; во всем интервале (4, -|-оо) функция
имеет отрицательные значения, так как х/(10)<0.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так
как она всюду непрерывна;
б) k~ lim ~ = ~Гппх2 (4 —х) = — оо.
х-+ + 00 Х й
При х—►— оо угловой коэффициент k асимптоты также не
существует. Поэтому невертикальных асимптот график функции
также ие имеет.
VI. у' = ~(12х2 — 4х3) = ух2(3-х);
/ = 0 в точках х=0 и х==3, которые являются критическими,
так как они удовлетворяют всем необходимым для этого усло-
виям. Других критических точек нет, поскольку производная
у' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку у' слева и справа
от каждой из этих точек:
X —1 0 1 3 10
у' + 0 + 0 —
У возр. нет экстр. возр. max убыв.
Следовательно, х==3 есть точка максимума: z/max — у (3) = 5,4.
Интервалы возрастания и убывания функции определяются из
условия, что их границами могут быть только точки экстремума,
точки разрыва и границы области определения функции.
Исследуемая функция всюду непрерывна и имеет единствен-
ную точку максимума х = 3. Поэтому в интервале ( — оо, 3) она
возрастает, а в интервале (3, 4-оо) — убывает.
VII. у"—^х (2 — х) всюду существует и обращается в нуль
при х = 0 и х = 2. Эти значения х могут быть абсциссами точек
перегиба. Исследуем их, определяя знак у" слева и справа:
— 135 —
X —1 0 1 2 10
у" — 0 + 0 —
У в. вверх перегиб в. вниз перегиб в. вверх
Следовательно, график функции имеет две точки перегиба
(0; 0) и (2; 3,2) (их ординаты найдены из данного уравнения).
Так как исследуемая функция непрерывна на всей числовой
оси, то, согласно таблице, в интервалах ( — оо, 0) и (2, + оо)
ее график обращен выпуклостью вверх, а в интервале (0; 2) он
обращен выпуклостью вниз.
м
Черт. 68
VIII. Учитывая все полученные результаты исследования-
строим график функции (черт. 68).
I_хз
2) I. Функция у = —-*- определена на всей числовой оси,
кроме точки л' = 0.
II. В точке х = 0 функция имеет бесконечный разрыв: при
х—>—0 и при х—>--|-0 lim«/=4-oo. Во всех других точках
числовой оси функция непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио-
дической.
IV. График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не
пересекает оси Оу.
Слева от точки разрыва, при — оо<х<0, t/>0; между
точкой разрыва и точкой пересечения с осью Ох, при 0<х< 1,
#>0; справа от точки пересечения с осью Ох, при 1<х<4-оо,
У<0.
— 136 —
V. а) Прямая x = 0 (ось ординат) является вертикальной
асимптотой графика функции, ибо при х = 0 она имеет беско-
нечный разрыв:
б) k—- lim — — lim-—
— 1;
b— lim (у — &x) = lim (-—=lim-^ =0.
«->• + «> \ / *
Следовательно, прямая y= — x есть невертикальная асимпто-
та. При х—<—оо параметры k и Ь имеют те же значения, поэтому
других асимптот нет.
VI. у' — —/=0в точке х = — ^2, которая является
критической; у’ не существует в точке х = 0, но эта точка не
является критической, так как она есть точка разрыва.
Исследуем критическую точку по знаку if г
следовательно, х= —у^2 есть точка минимума:
Ут1а=У(~ V 2)=з^--.
Слева от точки минимума при — оо<х<—£/2, у,у<0
функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва
при — р^2<х<0, />0 функция возрастает; справа от точки
разрыва при 0 <х < + оо, г/'<0 функция убывает.
VII. y" = ^i', jT=/=O; у" не существует при х = 0, но это зна-
чение х не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно
является точкой разрыва. Следовательно, график функции не
имеет точек перегиба.
Во всей области определения функции у">0, поэтому ее
график всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII. Используя все полученные данные, строим график
функции (черт. 69). ______ ___________
3) I, II. Функция у = %/(х+1)а — (х— I)2 определена и не-
прерывна на всей числовой оси.
III. Функция нечетная, ибо у( — х) = — у(х)-, ее график
будет симметричен относительно начала координат.
IV. График функции пересекается с осями координат только
в начале координат.
При х<0 значения у<0; при х>0 значения г/>0.
— 137 —
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет?
б) k — lim —=lim-----------------
z->+o= X X
i; / । 2 । 1 ^/1 2 . 1 \ n
= 1,ПЧ V 7 + V Г* + ^/ = 0;
b— lim (y — &x) = lim[p/(jc+ I)2 — y/(x—1)2] =
=Z _ (х+1)а-(х-1)а_________=0
3/(X + 1)4 + 3/(x + !)2 {x_ 1)4 + y{x_ J)4
Подставляя найденные значения k = b = Q в уравнение
y — kx + b, получим уравнение невертикальной асимптоты: у = 0.
Тот же результат получится и при х—* — оо.
VI. S'=|(x+1)-V_2(x_l)-T=|.v2z^±l,
у1 нигде не обращается в нуль; у' не существует в точках
х = ± 1, которые являются критическими. Исследуя критические
точки по знаку у' в соседних с ними точках слева и справа:
X —5 —1 0 1 5
у' — 00 + 00 —
У убыв. V min возр. Л max убыв.
заключаем, что х= — 1 есть точка минимума, где ут\а~у(— 1) =
= —а х=1 есть точка максимума, где угаах = У(1)=
Слева от точки минимума в интервале ( — оо, —1) и справа
от точки максимума в интервале (1, Н-оо), где у' <0, функция
убывает, а между точками минимума и максимума в интервале
(—1; 1), где z/'>0, функция возрастает.
у" —О в точке х = 0; у" не существует в точках х = ±1. Эти
точки оси Ох могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя
их по знаку у" в соседних с ними точках слева и справа:
X —5 —1 1 2 0 1 2 1 5
у" — — оо — 0 + + оо +
У в. вверх нет перегиба в» вверх перегиб В. вниз нет перегиба В. вниз
— 138 —
заключаем, что х=?=0 есть абсцисса точки перегиба; t/(0) =
= 0.
Слева от точки перегиба, в интервале (—оо, 0), где у" <0,
график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от точки
перегиба, в интервале (0, Ч-оо), где г/">0, график функции
обращен выпуклостью вниз.
VIII. Основываясь на полученных результатах исследования,
строим график функции (черт. 70).
4) I, II. Функция у — sin*x-j-cos*х определена и непрерывна
на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как у( — х) —у(х), и пе-
риодической, так как у(х) — у + , с периодом Доста-
точно исследовать поведение этой функции и построить ее график
в интервале 0; у) ; в остальных точках числовой оси поведе-
ние функции и ее график будут повторяться.
IV. При х = 0, t/==l; у=/=0. График функции пересекает ось
Оу в точке (0; 1) и не пересекает ось Ох. При любом значении
х функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот,
поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б) lim i=lim5!*i+^ = 0;
X + 00
b= lim (у — £x) = lim(sin*x + cos4x) — не существует.
При х—*—оо невертикальной асимптоты также не суще-
ствует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. / = 4 sin3xcosx — 4cos3xsinx = 4 sinxcosx (sin3x — cosax)=
= —2 sin 2x cos 2x = — sin 4x;
у' обращается в нуль в интервале |о, в точках х = 0 и
х = £, которые являются критическими. Других критических
— 139 —
точек в интервале |_0, yj нет, так как у' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку у" (по правилу Пб):
у" =—4cos4x; у"(0) =—4 <0, следовательно, х — 0 есть точка
максимума, где угаах=у(0) == 1; у" (yj=4>0, поэтому х = -£
( л\ 1
есть точка минимума, где уга1п = у I у ) = у •
В интервале ^0, у) , где у' <0, функция убывает, а в интер-
вале ^у , у у , где у'>0, функция возрастает.
VII. у" — —4cos4x; у" существует всюду и обращается в нуль
в интервале 0, у^ при и х = у. Эти точки оси Ох мо-
гут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку у"
в соседних точках:
X 0 л Т Л т Зя 8 я 2
у" — 0 + 0
У в. вверх перегиб в. вниз перегиб в. вверх
заключаем, что в интервале |^0, yj график функции имеет две
точки перегиба: I у , yj и (у, yj.
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения.
В интервалах Го, и [ где у"<0, график функ-
L 5 * * 8 / V82/ / я Зя\
> вверх, а в интервале (у, yj , где
у">0, он обращен выпуклостью
вниз.
VIII. Согласно полученным ре-
зультатам исследования строим гра-
фик функции в интервале ^0, ,
длина которого равна периоду дан-
ной функции, и затем повторяем его
периодическому закону (черт. 71).
1
ь интервалах и, у I и
ции обращен выпуклостью
У j ^з1п4х+соз*х
4
Черт.
влево и вправо
Я
г
71
ПО
(Б
0
5) I. Функция у = х2ех определена на всей числовой оси,
кроме точки х = 0.
II. В точке х = 0 функция имеет разрыв: она определена
вблизи этой точки, но не определена в самой точке
1
lim у = 0, ибо lim ех=е_" = 0.
Х->-0 Х->-0
— 140 —
При х—►4-0 имеет место случай нахождения предела 0-оо.
Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило
Лопиталя, получим
-1 1т ±
ех “Ре ех
lim у = lim -г- = lim-х— = lim -х- =
х-*+о _ _£ _£
№ Xs х
-2 т ±
.. е ОХ 1>+ж
= hm-----х— = hm — ==-x— = +оо.
<6 25 t*
X*
Следовательно, в точке х = 0 разрыв функции бесконечный.
В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио-
дической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; со-
гласно п. II исследования начало координат является предель-
ной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки
разрыва, например у( — 2)>0, и в какой-либо точке справа от
нее, например у (2) > 0, заключаем, что функция имеет поло-
жительные значения во всей своей области определения.
V. а) Вертикальной асимптотой графика функции является
прямая х = 0, ибо при х = 0 функция имеет бесконечный разрыв;
1 1
б) k= lim — ==limxex = Ч-оо, так как lim ех = 1.
х *->-+«>
При х—► — оо угловой коэффициент невертикальной асимпто-
ты также не существует, т. е. таких асимптот график функции
не имеет.
VI. у' = ех (2х—1); у' = 0 в точке х=у, которая является
критической; у' не существует в точке х = 0, но она не является
критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку у" в этой точке:
у. = 2,‘-2,+1Д,
1 / 1 \ е»
заключаем, что х — -^ есть точка минимума: ут\п*=у () = у •
Определяя знак у’ в интервалах, границами которых явля-
ются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
(—оо, 0) и (О; -И , где у' <0, функция убывает, а в интервале
(1 \ \ ^ /
, 4- °° , где у' >0, она возрастает.
z J
— 141 —
VII. y" =--r—]— ex нигде не обращается в нуль и суще-
ствует во всей области определения функции. Поэтому график
функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак у", в какой-либо точке слева от точки раз-
рыва, например «/"(—2)>0, и в какой-либо точке справа от
нее, например у" (3)>0, заключаем, что график функции всюду
обращен выпуклостью вниз.
VIII. Ввиду недостаточности полученных данных находим до-
полнительно несколько точек графика, беря подходящие значения
х и определяя соответствующие значения «/изданного уравнения:
(~2’й)’ <*е)-
Наконец, строим график функции (черт. 72).
6) I, II. Функция у — х4- 2 arcetg х определена и непрерывна
на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио-
дической.
V. а) Вертикальных асимптот нет;
б) 4 = lim Л=цш('1 + 2Н1£!И') = 1;
Х-+±00 Х \ х /
= lim (у — kx) — lim 2 arc etg x = 2 arc etg (+ oo) = 0;
Х-» +00
Z?2 = lim (y—6x)==lim2arcctgx = 2arcctg( —оо) = 2л.
— c©
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимп-
тоты: у — х и г/ = х + 2л.
2 ха_____1
VI. у'= 1 — ьртз = существует всюду и обращается
в нуль в точках х = ±1, которые являются критическими. Ис-
следуем эти точки по знаку второй производной:
= П-1Х0; /(1)>0.
— 142 —
Следовательно, х =—1 есть точка максимума, а х=1 есть точка
минимума: утм = у(— 1) = ^— 1; i/min = i/(l) = f-+1.
В интервалах (—оо, —1) и (1, +°°), где у' >0, функция
возрастает, а в интервале (— 1; 1), где у' <0, функция убывает.
VII. / = всюду существует и обращается в нуль
в точке х = 0. Определяя знак у" слева и справа от этой точки:
/( —1)<0 и «/"(!)>0, заключаем, что при х — 0 график функ-
ции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале (—оо, 0),
гдеу"<0, график функции обращен выпуклостью вверх, а справа,
в интервале (0, + °°), где ^">0, он обращен выпуклостью
вниз; «/(0) = у.
VIII. Согласно результатам исследования строим график
функции (черт. 73).
7)* I, II. Функция у = \ех—1| определена и непрерывна на
всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио-
дической.
IV. Функция всюду неотрицательна; ее график проходит
через начало координат.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) При х^О, у — ех—1; при х<0, у=\—ех,
tt лХ 1 рХ
k= lim — = lim-----= limv=+°°.
+ « x x 1
т. e. при x—>-+oo асимптоты нет;
k = lim — = lim^=^- = 0,
* x
b— lim (y — kx) = lim(1—e*) = l,
—- QO
т. e. при x—►—оо график функции имеет невертикальную асимп-
тоту у = 1.
VI. у' — где знак плюс соответствует значениям х из
интервала (0, -|-оо), где ех—1>0, а знак минус соответствует
значениям х из интервала (—оо, 0), где ех—1<0; у' нигде не
обращается в нуль и существует всюду, кроме точки х = 0,
которая является критической. Слева от этой точки, где у' =
=—ех <0, функция убывает, а справа от нее, где у'=ех>§,
функция возрастает. Это значит, что х = 0 есть точка минимума:
VII. у" = ±.е , где как и у у знак плюс соответствует зна-
чениям х>0, а знак минус соответствует значениям х<0;
if нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме
точки х = 0. Слева от этой точки, где /==—ех<0, график
__ 143 —
функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее, где
/=’еЛГ>0, график функции обращен выпуклостью вниз. Следо-
вательно, х = 0 есть абсцисса точки пере-
гиба; £/(0) = 0.
Здесь точка перегиба совпала с уг-
ловой точкой, в которой график функ-
ции имеет две различные односторонние
касательные: у——х, у=х и минимальное
значение ординаты.
VIII. Для построения графика функ-
ции дополнительно найдем несколько
его точек, например (1; е—1), (—1;
1—е-1)> (—2; 1—е~2) и определим угловые коэффициенты ка-
сательных (левую и правую производные) в угловой точке (0; 0):
= «/('-)(0)=—1, £2 = «л+)(0)= 1.
Согласно полученным данным график функции изображен
на черт. 74.
Исследовать функции и построить их графики:
388. у = х3 + 3х\ 389. у = 16х(х — I)3.
390. у- —391. у-jq-j.
392. у^УТ^х3. 393. Z/ = (x-3)/Z
X»
394. t/ = 2(x+l)—ЗУ(х+ 1)2. 395. i/ = xM.
396. у = sin х — cosх. 397. «/ = х—2arctgx.
398*. у~х— | sinх|. 399*. у —etc sin |x|.
§ 10. Приближенное решение уравнений
1) Графический метод. Отделение корней. Действительные
корни уравнения f(x) = O являются абсциссами точек пересече-
ния кривой у = f (х) с осью Ох, а если это уравнение преобра-
зуется к виду Ф1(х) = ф2(х), то его действительные корни будут
абсциссами точек пересечения кривых г/ = Ф1(х) и у — ф2(х).
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 16,
можно находить приближенные значения действительных корней
алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения
соответствующих’ кривых.
Однако этим графическим методом можно получить лишь
грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их
вычислить с наперед заданной большой точностью.
Поэтому графический метод обычно применяется лишь как
вспомогательное средство для определения числа действительных
корней уравнения и для их отделения, т. е. для нахождения
таких отрезков оси Ох, внутри которых содержится только по
__ 144 —
одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый
из них может быть вычислен с любой желаемой точностью
посредством аналитических методов.
2) Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных.
Если на отрезке [а, Ь] функция f(x) непрерывна, а ее производ-
ная f' (х) сохраняет знак и если / (а) •/(&)< О, то-внутри этого
отрезка содержится только один действительный корень функ-
ции f(x) или уравнения f(x) = O.
Если, кроме того, на этом отрезке f"(x) также сохраняет
знак, то можно найти границы ах и Ь1 более узкого отрезка,
содержащего тот же корень, по формулам
а b __6 И₽) m
где р—тот конец отрезка [а, Ь], в котором f(x) имеет тот же
знак, что и f"(x).
Геометрически (черт. 75) границы нового отрезка ах и пред-
ставляют абсциссы точек пересечения с осью Ох хорды АВ и
касательной ВЬЪ которые будут ближе
к искомому корню х0, чем границы ис-
ходного отрезка [а, 6]. - '
Далее, исходя из полученного сужен-
ного отрезка, по тем же формулам (*) мож-
но найти границы а2 и Ь2 еще более уз-
кого отрезка, содержащего в себе ко-
рень х0.
Повторяя этот процесс последователь-
ного сужения отрезка, содержащего ко-
рень х0, т. е. повторяя применение фор-
мул (*), можно найти приближенное значение
бой заданной точностью*.
Чтобы найти х0 с точностью до 6, следует вести вычисление
ап и Ьп до тех пор, когда впервые окажется
корня х0 с лю-
|an — или 6<|a„ —6„|<26. (**)
Тогда, с точностью до 6, в первом случае х0 » ап (или х0 « 6„),
ал
а во втором случае х0«...--.-.
400. Отделить действительные корни следующих уравнений:
1) х* 2 — cosx = 0; 2) 2х3 4-х 4-1 = 0; 3) х — ctgx = 0.
* 1) Здесь возможно Ьп. Если, как всегда а<Ь, то при р = 6 бу-
дет al<bl, a2<b2, ..., а при будет а2 >blt a2>b2, ...
2) При повторном применении формул (*) во вторую из них (формулу
касательных) всегда подставляется новая граница Ьп, вычисленная по этой
второй формуле.
— 145 —
Черт. 76
Решение. Чтобы отделить действительные корни данного
уравнения, т. е. чтобы каждый из них заключить внутри особого
небольшого отрезка, воспользуемся графическим методом.
1) Преобразуем данное уравнение к виду х2 = cosx и построим
кривые «/ = х2 и у = cosx, в одних и тех же координатных осях
и при одной и той же единице масштаба (черт. 76).
Число точек пересечения этих кри-
вых равно числу действительных кор-
ней данного уравнения, а их абсциссы
являются этими корнями.
Согласно этому положению нз чер-
тежа находим: данное трансцендентное
уравнение ха — cosx = 0 имеет два дей-
ствительных корня, один из которых
хг содержится на отрезке [ —1;—0,8],
а другой х2 на отрезке [0,8; 1].
2) Преобразуя уравнение 2х34-х + 1 = 0 к виду 2х3= —х—1
и построив кривые у=2х3 и у=— х— 1 в одних координатных
осях (черт. 77), заключаем: данное алгебраическое уравнение
имеет только один действительный корень, содержащийся на
отрезке [ — 0,6; —0,5].
3) Приводим уравнение х —ctgx = 0 к виду x==ctgx и пост-
роим кривые у — х и t/ = ctgx (черт. 78). Котангенсоида имеет
бесчисленное множество бесконечных ветвей, каждая из которых
пересекает прямую у — х. Поэтому данное уравнение имеет бес-
численное множество действительных корней. Наименьший по-
ложительный корень X, этого уравнения содержится на отрезке
[0,8; 0,9].
146 —
401. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень
уравнения
х6 — х—0,2 = 0.
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим
методом. Преобразуя уравнение к виду х5 = х4-0,2 и построив
кривые у = хь и у = х 4-0,2 в одних координатных осях (черт.
79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для
обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый
наибольший корень содержится на от-
резке [1; 1,1].
Далее вычислим приближенное зна-
чение корня с заданной точностью, поль-
зуясь методом хорд и касательных, т. е.
применяя формулы (*), сужающие отре-
зок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять' эти
формулы, следует убедиться в том, что
функция /(х) = х5—х—0,2 и найденный
отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а) значения функции f(x) на концах отрезка имеют разные
знаки и что
б) первая и вторая производные от функции на этом отрезке
сохраняют каждая свой знак:
a) f(l)=-0,2<0; f(l,l) = 0,31051>0;
б) /'(х) = 5х4-1>0 и /" (х) = 20х3 > 0
для всех значений х на отрезке [1; 1,1].
Так как f(x) имеет тот же знак, что и f"(x) при х— 1,1, то,
обозначив концы отрезка а=1, Ь=1,1 = р и применяя фор-
мулы (*), получим:
„ -1 (М
1 £(Ы)—f(i)
Ь — 1 1 — — 1
ГОД)-1
I ОД‘0’2___। non.
‘0,51051 ~ 1>иг5У>
0,31051 . «...
6Ж = 1’051'
К полученным новым границам at и более узкого отрезка,
содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):
а> = а‘- Ш-АЙ “ 1 039 + = 1,04469;
». “ “ Ш =1 -°51 - ”1 °4487'
Длина полученного отрезка [а2, Ь2] меньше 2d, но больше д:
0,0001 <| а2 — Ь21 = 0,00018<0,0002.
— 147
Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня
данного уравнения с точностью до 0,0001 будет
хо«?ф-4== * 1’0448-
402. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный ко-
рень уравнения 2 — к — lgx = 0.
Решение. Чтобы отделить иско-
\-и=2-х мый к0Рень> преобразуем уравнение
у= ~ — к виду lgx = 2 — х и построим кривые
= и у = 2 — х (черт. 80). По чер-
J тежу определяем, что искомый корень
"л TV-------содержится внутри отрезка [1,6; 1,8].
/ *\ Для проверки условий, соблюде-
I ние которых необходимо при пользо-
Черт. 80 вании методом хорд и касательных, вы-
числяем значения функции f(x) = 2 —
— х — 1g х на концах найденного отрезка и находим произ-
водные f'(x) и f"(x):
f (1,6) = 2 - 1,6 - 0,2041 = 0,1959>0;
f(l,8) = 2—1,8 —0,2553 = -0,0553<0;
Г(х)= — 1-ylge; f(x) = ^lge;
f'(x)<0, f"(x)>0 на всем отрезке [1,6; 1,8].
Убедившись, что на концах отрезка функция f(x) имеет раз-
ные знаки и что на всем этом отрезке производные f (х) и f"(x)
сохраняют каждая свой знак, обозначаем концы отрезка:
а =1,6 = 0; Ь— 1,8 и применяем уточняющие формулы (*):
а1=1,6-(^?6)А(1п)= 1,6 + 0,1559= 1,7559;
1(1.»)— Л (1.О)
&!= 1,6-1,6 + 0,1540= 1,7540.
Повторно применяем формулы (*) до тех пор, пока не получим
отрезок [Ь„, а„], длина которого будет удовлетворять одному
из условий (**):
п (1.7540 —1,7559)^(1,7559) , 7„ад.
Я2— 1,7559 f (1,7540)—f (1,7559) 1.75558,
Ь.= 1-754О-Ж1§=‘’75557;
а8= 1,7555816; b3 = 1,7555807.
Здесь длина отрезка [&3, а3] менее 0,000001; а3—Ь3 =
= 0,0000009. Поэтому искомое приближенное значение корня
данного уравнения с точностью до 0,000001
х0^Ь3 = 1,755581.
— 148 —
В задачах 403—406 определить число действительных корней
уравнения и вычислить наибольший из них с точностью до 0,01.
403. х3 — 9х — 5 = 0. 404. х4 —х —10 = 0.
405. х—sin2x = 0. 406. х —2+е* = 0.
В задачах 407—410 найти приближенные значения действи-
тельных корней уравнения с точностью до 0,01.
407. х3-6х + 3 = 0. 408. х4+10х-100 = 0.
409. (х—1 )2 — 2 sin х = 0. 410. ех-2(1-х)2 = 0.
§11. Кривизна плоской кривой
Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе коор-
динат и задана уравнением у — f (х) или уравнениями x = <p(f),
у — ф (/), то ее кривизна К в любой точке определяется формулой
iz \У* I \ху —у'х\
* =--------Т =------з? (1)
П + (/)2]2 (i2+?)a
где х, х, у, у — первая и вторая производные от к и у по пара-
метру t.
Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует откло-
нение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только
прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется
от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю; у других
линий кривизна может равняться нулю только в отдельных
точках. Кривизна окружности радиуса R всю-
л 1 У1
ду равна J
Величина R, обратная кривизне кривой в
некоторой ее точке, R = называется радиу- (
сом кривизны кривой в этой точке. )
Кругом кривизны кривой в ее точке М назы-
вается окружность с радиусом, равным радиусу —-----*•
кривизны кривой в точке М, центр которой С и х
лежит на нормали к кривой в точке М со Черт. 81
стороны ее вогнутости (черт. 81).
Координаты (X, У) центра кривизны (центра круга
кривизны) кривой в ее точке М (х, у) определяются формулами
у х х2 + у2 1+(у')2 ,
Л —х— — — у — X-------у ,
ху—'ух
Y^+J^i~y+l±S£t. (2)
'ху—'ух
— 149 —
Геометрическое место центров кривизны С(Х, Y) линии на-
зывается эволютой этой линии. Уравнения (2) являются пара-
метрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется
эвольвентой.
411. Найти кривизну кривой: 1) x = i2, z/ = 2/3 в точке, где
/=1; 2) «/ = соз2х в точке, где х = у .
Решение. 1) Находим производные x = 2t, х = 2, y = 6t2,
y=\2t, вычисляем их значения в точке, где /=1:
х = 2, х = 2, у = 6, у=12
и, подставляя в формулу (1), получим
д, | ху—ух | 2-12 — 6-2 3
- Т Т — 20 /То'
(xa+jr2)4 (2а-}-62)2
2) Из данного уравнения находим первую и вторую произ-
водные от у по х:
у' = _ 2 sin 2х, у" = — 4 cos 2х,
вычисляем их значения в данной точке: у (у)— 0, у lyH*»
4 71 и" I
и, подставляя в формулу (1), получим К = —- = 4.
[1 + (</')аР
412. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса
x = ac.ost, y — bsin t.
Решение. Найдем производные % — —a sin t, x=—acost,
y = bcost, y——bsint и определим радиус кривизны эллипса
в любой его точке:
з 3
D/M 1 (х2 + У2)2 (a2 sin2 /+&2 cos2/) 2
KW“K(t)~ ab
\xy—yx[
Для вершин эллипса, лежащих на его оси 2а, параметр t
равен 0 или я. Поэтому радиус кривизны эллипса в этих вер-
шинах R (0) = R (л) = .
В двух других вершинах эллипса, лежащих на оси 2Ь,
или г = у. В этих вершинах радиус кривизны эллипса
413. Найти координаты центра кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой:
— 150 —
1) у = 4х—х2 в ее вершине;
2) x — t — sin f, y—\ — cost в точке, где t — -^-.
Решение. 1) Данное уравнение определяет параболу, ось
которой параллельна оси Оу. Найдем ее вершину как точку,
где касательная параллельна оси Ох, т. е. где г/' = 0:
у' = 4 —2х; у'— 0 при х = 2; у (2) = 4.
Далее по формулам (2) находим координаты центра кри-
визны С данной параболы в ее вершине (2; 4)
у х 1+ <»')’»'-9- У 7
Л_Х-------5 у -2, Y-y-]-----------у
и строим параболу и круг кривизны в ее вершине (черт. 82).
2) Находим производные х=1— cost, x = sint, y — sint,
y = cost, их значения при ? =
• ( л \ , f п\ , • I л \ (п\ п
’ * k2j = 1, У ) = У V / =0’
и по формулам (2) координаты центра кривизны
Х^х—^-^у =т+1’ Y = y+ — L
ху—ух ху—ух
Затем строим данную циклоиду, ее точку Л^у —Г, 1), где
Z=Y» найденный центр кривизны С ^4-1; — 1) и круг кри-
визны (черт. 83).
414. В каких точках параболы у = У2х* радиус кривизны
равен единице?
Решение. Находим производные г/' = 2]/2~х, уп = 2У 2 и
по формуле (1) радиус кривизны параболы в любой ее точке
с абсциссой х:
— 151 —
Полагая R(x) = 1, получим абсциссы искомых точек
2К'2 = (1+8х2)т; (2/2)~=1+8х2; 8х2=1; х = ±-А=.
2 2
415. В какой точке кривая у — е* имеет наибольшую кривизну?
Решение. Находим производные у'=у" = е* и кривизну
данной кривой в любой точке:
К(х)
Далее ищем наибольшее
определена и непрерывна на
(1+е2Х)а
значение функции К(х), которая
всей числовой оси:
К'(х) = -II1-—2е'Р ; К' (X) = 0 при 1 - 2е2х =О,
(1+е2Х)Т
т. е. в единственной точке х0=—Определяя знаки К' (х)
слева и справа от этой критической точки: К' (— 10)>0, К' (0)<0,
устанавливаем, что она является точкой максимума функции
К(х). Поскольку х0 есть единственная точка экстремума непре-
рывной функции К(х) во всем интервале ( — оо, +оо), то в этой
точке она достигает и своего наибольшего значения. Следова-
( in 2 VITA z~.
тельцо, искомая точка есть I-j. (Ордината этой точ-
ки вычислена из данного уравнения кривой по известной ее
абсциссе.)
416. Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую
и ее эволюту:
1) х2 = 2(1—у); 2) x = acos/, у = 6sin/.
Решение. 1) Из данного уравнения параболы находим
производные: у'= — х, у"— — 1 и по формулам (2) находим
координаты любой точки на ее эволюте:
Х = х---2^-у' = х---—X); Х=—х3,
у_„. 1 + (Па„ , ,1+х2. |у__3„а
г—УН -р 1—2-1-—, I 2
Это параметрические уравнения эволюты. Исключая из них
параметр х, получим 27Х2 = —8У3 — уравнение полукубической
параболы. Данная парабола и найденная ее эволюта изображены
на черт. 84.
2) Из уравнений эллипса найдем производные х= — a sin/,
х = —a cos/, у = 6 cos/, у — —b sin / и по формулам (2) получим,
— 152 —
после упрощений, параметрические уравнения эволюты эллипса
X = -~-cos8/, У =gin3/, где с2 = а2 — &2.
Эллипс и его эволюта построены на черт. 85.
Черт. 84
Черт. 85
Найти радиус кривизны кривой:
417. ху = 4 в точке (2; 2) и в точке, где х = 8.
418. у = е~х' в точке пересечения с осью Оу.
419. х=а(/ —sin /), у = а(\ —cos/) в точке, где / = я.
420. x = acos8/, z/ = asin3/ в любой ее точке.
Найти координаты центра кривизны и построить кривую и
круг кривизны кривой:
421. 3j/ = x3 в точке, где х= — 1.
422. у3 = х2 в точке, где г/=1.
423. у = 1пх в точке пересечения с осью Ох.
424. у = ех в точке пересечения с осью Оу.
Найти точки кривых с наименьшим радиусом кривизны:
425. y -ln.r. 426. /"% + Ку=’/'а.
Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее
эволюту:
427. у3 — 2х —0. 428. х2— у3 = а3.
429. х = d (cos /-Н sin /), у — a (sin / — /cos/).
ГЛАВА IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Основные формулы интегрирования
Отыскание функции F (х) по известному ее дифференциалу
dF (х) = / (х) dx {или по известной ее, производной F' (x) = f (х)],
т. е. действие обратное дифференцированию, называется инте-
грированием, а искомая функция F(x) называется первооб-
разной функцией от функции
/(х).
Всякая непрерывная функция
f(x) имеет бесчисленное множе-
ство различных первообразных
функций, которые отличаются
друг от друга постоянным слага-
емым: если F(x) есть первообра-
зная от /(х), т. е. если F'(x) =
= / (х), то и f(x) + C, где С —
Черт. 86 произвольная постоянная, есть
также первообразная от f(x), ибо
[F(x) + C1' = F'(*) = /(*)•
Общее выражение F(x)-\-C совокупности всех первообразных
от функции f(x) называется неопределенным интегралом от
этой функции и обозначается знаком f:
/(x)dx = F(x) + C, если d[F (x) + C]=.f (x)dx.
Геометрически, в системе координат хОу, графики всех пер-
вообразных функций от данной функции f(x) представляют
семейство кривых, зависящее от одного параметра С, которые
получаются одна_из другой путем параллельного сдвига вдоль
оси Оу (черт. 86).
— 154 —
Свойства неопределенного интеграла.
I. f(x)dxj ~КХ) или dj f (x)dx = f (x)dx.
II. F'(x)dx = F(x)4-C или dF (x) = F (x) 4-C.
III. ^af(x)dx = a ^f{x)dx, т. e. постоянный множи-
тель можно выносить за знак интеграла.
IV. J [fx (х) 4- f2 (х) — f3 (х) ] dx = J (x) dx + J f2 (x) dx — J f3 (x) dx.
т. e. интегрЬл от суммы равен сумме интегралов от всех сла-
гаемых.
Основные формулы интегрирования:
1. §uadu = а^ь — 1.
2. Czz-1dzz= С — = С — dx =
J J и J и
= ln|uj4-C.
3. J aadu = ^ + C-, ^eadu =
= ett + C.
4. J sin и du = — cos и 4- C.
5.1 cos и du = sin и 4- C.
7. J cosec2 и du =— ctgu-l-C,
8J?T?“7arct^+c-
du . и , n
= arc sin—}- C.
a3 —u3 a
du
6. J sec2 и du = tg и 4- C.
В этих формулах а— постоянная, и — независимая перемен-
ная или любая (дифференцируемая) функция от независимой
переменной. Например:
Интеграл /i = JV/xdx==Jx2 dx представляет формулу 1 при
1 9—2
и = х, а = -х-. Согласно этой формуле = — х* = х34-С.
Интеграл /2=^3*dx представляет формулу 3 при ц = х,
3х
а = 3. Согласно этой формуле /2 = ^4-С.
Интеграл /з = У/з~рз представляет формулу 8 при u = tt
а ~ ]/3. По этой формуле /3 = p=arctgpL--4-С.
— 155 —
Интеграл Л — j представляет формулу 11 при и = <р,
а = —5. По этой формуле /4 = In | <р + ]/ф2 —51 + С.
Интеграл /5 = J —dx = J dx = J 4*^7" пРеДстав'
ляет формулу 2 при и = ха + 7, так как (х2 + 7)' = 2х. По этой
формуле /5 = In (х24- 7) 4-С. Здесь опущен знак абсолютной
величины, ибо всегда х24-7>0.
Вообще, в формулах 2, 9, 11 следует писать знак, абсолют-
ной величины только в тех случаях, когда логарифмируемое
выражение может иметь отрицательные значения.
Интеграл 1в = §5 sin Л = sin 5t d (5/) представляет фор-
мулу 4 при и = 51. Поэтому /в==—cos 5t + С.
Интеграл /7 = esin 9 cos <р dtp = j esln ч* d sin <p, так как cos <p dtp =
= dsin<p. По формуле 3 при u = sintp получим: /7 = e’fn<’> + C.
Интеграл /8 = J ft*—*- = J , так как exdx = dex. По
формуле 9 при и = ех, а=1, получим /8 = ~ In + С.
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый
результат интегрирования можно проверить путем дифферен-
цирования, ибо, как было упомянуто, интегрирование есть дей-
ствие, обратное дифференцированию.
В простейшем случае, когда заданный интеграл представ-
ляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования
сводится к простому применению этой формулы.
Во всех других случаях задача интегрирования состоит
в том, чтобы путем подходящих преобразований привести дан-
ный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирова-
ния (если это возможно).
430. Найти следующие интегралы и проверить результаты
дифференцированием:
1)Л; 2> 3> Р‘5'Л; 5) j^6.
Решение: 1) С С x-3dx = ^4-C = C—-Д», по фор-
муле 1, при и = х, а — —3.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции
и убеждаемся, что он равен подынтегральному выражению:
d (С~2?) = 4 dx = x-\4x = ^a.
Г* dx х
2) J = arc sin у==.+С, по формуле 10, при и = х,
а = У2.
— 156 —
Проверка, d ^arcsin-^4-CJ == ^arcsin dx =
( X \f
» vft; 4.
A / x V У 2=j?
3) С 3* 5f cfZ = С 15*d/ = г^ + С по формуле 3, при u = t,
а — 15.
Проверка. df-r^ + c'j =г~тк’ 15* 1п 15 d/ = 15fdt.
r г \1п 15 1 J In 15
4) J/FFT^ = J(«/+i)^(//+i)=-|(//+1A+c =
= yV(y +1 j3 + С, по формуле 1, при п = у+1, а-~, так как
d(y+ l)—dy.
Проверка, d у ]/"({/+ 1)3 + С = у • у (у+ ly dy = V~y+ldy.
согласно
5) fjL=lfA=L ‘ in +(
J 2xa —6 2jx’-3 2 2^3 х+КЗ
свойству III и по формуле 9, при_ы = х, а = УЗ.
Проверка.
A-=(^ni x~—
X —
-ln|x + /3|)'dx==-A/__*------^Adx=-....dx.
1 " 4f3V- Аз Х4-Кз/ 2(xa —3)
Здесь для нахождения производных (ln/x — A3J)' и(1п|х-|-
4-КЗ|)' применена формула (In | и |)' = у.
431. Найти интегралы:
2) УттЬа 3) Jcos3(Pd(P;
5) J sin (ax+b)dx; 6) J 5xy4dx.
(,3$= = 37=f^dx = TA 3xT + c=s
e 2 dx;
Решение.
3 О z__
= . /х24-С> согласно свойству III и по формуле 1, при
2 5
1
и = х, а = — у.
о\ Г di, — — Г ___J_ arc sjn I согласно
J з —«» 2 J к3—(20а 2- у 3
свойству III и по формуле 10, при и = 2t, а = УЗ.
— /57 —
3) Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель
3 под знак интеграла (согласно свойству III), затем под знак
дифференциала:
f cos 3® С cos Зф d (Зф) = 4- sin Зф 4- С,
по формуле 5, при о = 3ф.
4) Умножим и разделим интеграл на —2 и внесем делитель
—2 под знаки интеграла и дифференциала:
Je 2 dx =— 2^е 2 8
по формуле 3, при и = —
5) Умножая и деля на а и замечая, что adx = d(ах + Ь),
получим
J* sin (ax + b)dx = ~ § sin (ax-\-b)d(ax + b) =—cos (ax 4- b) 4- C,
по формуле 4, при u = ax-(-b.
6) Умножая и деля на 5, получим:
S й? dx ~ IS ЙТ4Лх ~ г1 п 15х+41+С'
по формуле 2, при и = 5x4-4; и'= 5.
Этот интеграл можно найти иначе:
f 5x + 4C?X=5' f ~4 dx = T}n | х+'5 | + С»
4
по формуле 2,-при u = xij, и =1.
Полученные результаты оба правильные, в чем можно убе-
диться путем их дифференцирования.
432. Найти интегралы
1) ^(3 —2х)Мх; 2) Jsec2(m — nx)dx\ 3) tg <р с?ф.
Решение. 1) Умножаем и делим на —2, вносим множи-
тель —2 под знак интеграла, согласно свойству III, и заме-
няя —2dx через d(3 —2х), что одно и то же, получим:
Г (3 - 2х)7 dx = — 4- f (3 - 2х)7 (—2dx) = — 1 С (3 - 2x)7d(3—2х)=
J 2 J 1 (3—2х)8 г 1
“ 2 ‘ 8
по формуле 1, при о = 3—2х, а = 7.
2) Умножая и деля на —п и используя равенство — ndx =
— d(m — пх), найдем:
С sec2 (т — пх) dx — —- С sec2 (т — пх) • (—ndx) =
J I P n J ।
-------\ sec2(m—nx)d(m — nx)~ — — tg(m—nx)4~C,
П-------il
по формуле 6, при u = m — nx.
— 158 —
3) Заменяя tg<p через получим:
f tg ф d(p = f (/<p = — C ——— de
J ь t t j COs <p т j cos ф
= — 1п|созф| + С,
d cos q>
costp
по формуле 2, при u = cos<p (и' =—sincp, du =— з1пфбкр).
Полезно запомнить словесное выражение формулы 2: инте-
грал от дроби, числитель которой является дифференциалом
знаменателя, равен логарифму абсолютной величины знаме-
нателя.
Найти следующие интегралы и проверить результаты диф-
ференцированием:
(Для сокращения записей в ответах к задачам этой главы
произвольная постоянная С опущена.)
433. j x4 dx.
435. (* dy J W
437. J (a—5)8da.
439. f dv
441. J К*’4-7 Г dx
J у 4—x3
443. J cosec3 2<p dy.
445. CM
J 52‘ *
447. f dx
J (3x4-2)»’
434. J f/Pdf.
436. f* dx
438. (* dx J x» + 9’
440. f dz-
J 2л»—4
442. I sin — dx.
J з
444. \e*xdx.
446. r dx
) 2x4-5'
448. I etg x dx.
§ 2. Интегрирование посредством разложения
подынтегральной функции на слагаемые
Если подынтегральная функция представляет алгебраиче-
скую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству IV,
можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.
Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме
более простых интегралов.
449. Найти интегралы:
1) J(3x2-2x4-5)dx; 2) J 3) J(14-И»dx;
<) 6)Jtga<pd<₽.
— 159 —
Решение. 1) Интегрируя каждое слагаемое отдельно, по-
лучим:
(Зх2 — 2х + 5) dx = 3x2dx —2xdx4- 5dx = 3 x2dx—
—2 f xdx-j-5 f dx = 3-^—2«^- + 5x + C = x3 —x24-5x + C,
w tz О Z
по формуле 1.
2) Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля
числитель почленно на знаменатель. Затем интегрируем каждое
слагаемое отдельно:
• Г—dx = 2 f Сx-2dx—Cx-3dx = 21njx|—у + ^ + С,
по формулам 2, 1.
3) Возводим в квадрат и, интегрируя каждое слагаемое, по-
лучим
J (1 +e*)2dx = J (1 +2ex + e2X)dx =
= J dx-|-2j ех dx + yj е2Х d (2х) = х + 2еж + уе2х + С.
4) Разложим подынтегральную дробь на две слагаемых
дроби, затем интегрируем по формулам 2 и 9:
f 2£±3(/х= [+3 f-^- = In [ х2 —5 | + -^-xln + С.
J х2—5 J х2 — 5 J х2 —5 \ 1 2 1^5 х+К5
5) Деля числитель на знаменатель, исключим из неправиль-
ной подынтегральной дроби целую часть*, затем интегрируем:
j = J 0 “ ^7i)dx = J dx~$ ^q4==*~arctgx + C.
6) Пользуясь тригонометрической формулой 1 + tg2 а = sec2 а,
имеем:
J tg2 ф dqp = j (sec2<p — l)d<p — § sec2 cpdqp — J dtp = tg <p—ф-j-C.
Найти интегралы:
450. j (2 р/х— /2х + 5) dx. 451. (sin ф —созф)Мф.
452. C^ilfx**. lx2 — 1 453. f5x2=6x±ldx> . J V X
454. 455. V (tgx-}-ctgx)2dx.
456. ( ’ (ex~e~x)3dx. 457. Р у2 О " ) х + 2 и •
* Алгебраическая рациональная дробь называется неправильной, если
степень многочлена-числителя выше или равна степени многочлена-знаме-
нателя.
** Здесь, как в решении 449(5), из подынтегральной неправильной дроби
нужно исключить целую часть.
— 160 —
§ 3. Интегрирование посредством замены переменной
Весьма эффективным методом интегрирования является метод
замены переменной интегрирования, в результате чего заданный
интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интег-
рала J f(x)dx можно заменить переменную х новой переменной t,
связанной с х подходящей формулой х = ф(/). Определив из этой
формулы dx = y' (t)dt и подставляя, получим
f (x)dx = f [ф (/)] ф' (t)dt — F(t)dt.
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирова-
ния t будет найден, то преобразовав результат к переменной х,
пользуясь исходной формулой х = ф(/), получим искомое выра-
жение заданного интеграла.
Г* dx
Например, чтобы найти интеграл J — J —у.- -, положим х = t2.
Тогда dx = 2tdt и
7“Гг!Й = 21ЧтГ1л = 2Я1-7Т1)Л=2Р'-
_2 = 21п(/+1) + С = 2]/х—21п(/х+1)+С.
Или иначе: пусть t— 1 +К*.Отсюдаx = (t~~\)2,dx = 2(t— 1)4/и
J = J2(Z-l)d<==2 J (1—= 2 j dt_2 J ~ = 2t — 2 in/ + С =
= 2(1 +Vx)—2 ln(l +Kx) + C.
Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2;
оба они правильные, в чем можно убедиться путем их диффе-
ренцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно
брать как формулу х = ф(/), выражающую х через t, так и фор-
мулу / = ф(х), выражающую t через х.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены перемен-
ной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее
правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Неко-
торые частные правила для важнейших типов интегралов даются
ниже.
458. Найти интегралы:
п С 2xdx . f sinxdx „ Г xdx
J *‘+3 ’ J VT+2^Tx ’ 6) J ;
4) f£l±K*dx; 5) 6) C .
J x J J K(l—P)»
6 № 3201
— 161 —
Решение. 1) Полагаем х2 = С дифференцируем 2xdx = dt,
подставляем в подынтегральное выражение, находим получен-
ный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной х'.
j'^=JA=F?arclgF3+C"^arctgF5+c-
2) Положим l + 2cosx = t Тогда — 2sinxdx = d/ и
[ sta^ 1Г й 1^ I 2/ Т + с =
J К1 + 2созх 2 J Y t 2 J
= С — /7 = С — /1+2 cosx.
3) Беря подстановку ха 4- а = г, имеем 2х dx — dz и
J j/x’ + я z J j/ z 2 J
= T /(Л2 + a)2 + C.
dx
4) Подстановка l + lnx = v дает — — dv и
(*K? dx— f /vdv = ^-v* + C = ^-/(1 + ln x)3 + £-
J X J о О
5) Берем подстановку еу +1 — t2, дифференцируем ey dy = 2tdt,
. 2tdt 2tdt
определяем dy — -^y- = -у» подставляем в подынтегральное
выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной у:
? *У ** _2С —-2- 1 In'"-1 I С-.
J J Н^-1) J /*-1 Z 21п/ + 1 + с=3
6) Полагая t — sin <р, получим d/ = cos<pd<p,
f dt = f d<P -+ггт । r-sin<p I Г- * I
J ______fijs J cos2q> ь Y г cos<p ' j__
Найти следующие интегралы и проверить результаты диффе-
ренцированием:
459. С Л . Подстановка t = х3.
46^’ J з~4^4е* ’ Подстановка z = 3 + 4е*.
461. £ tg3 <р d<p. Подстановка <p = arctg/.
462. \ х3]/а—x2dx. Подстановка Vra—x2 = z.
— 162 —
463. J (x~—2)»' ^X' Подстановка x — 2 = t.
464. j x]fa — xdx. Подстановка a—x — t2.
465*. C— Подстановка x = ^~.
JxKl+xa *
dx
466*. ( ^x-. Подстановка tgx = z.
Найти интегралы:
•c- f xdx .„о Г V x dx
473*.
eiX dx
ex— Г *
cos x dx
l+2sin2x
e2xdx
J l+Vx
470.
J X Jn X
472. f sin 2x dx
J У2-{-cos2x
474*. C .
§ 4. Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d(uv) = udv-\-vdu
интегрированием обеих частей равенства получается формула
интегрирования по частям:
^udv = uv—^vdu. (*)
По этой формуле отыскание интеграла J и dv сводится к оты-
сканию другого интеграла §vdu. Применение ее целесообразно
в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исход-
ного или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы интегрирования по частям к неко-
торому интегралу ^f(x)dx следует подынтегральное выражение
f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: и и dv,
за dv всегда выбирается такое выражение, содержащее dx,
из которого посредством интегрирования можно найти и; за и
в большинстве случаев принимается функция, которая при диф-
ференцировании упрощается (например: arcsin х, arctg 3x,lnx, Xs).
475. Найти интегралы:
1) ^xcosxdx; 2) J^-dx; 3) хarc tgxdx;
4) arc sin xdx; 5) §x2e3Xdx; 6) J e~x cos dx.
Решение. 1) Положив u = x, dv = cosxdx, найдем: du = dx,
v— § cosxdx — sin x. Подставляя в формулу (*), получим
f xcosxdx = x sinx— C sinxdx = x sin x + cos x-f-C.
6*
— 163 —
2) Пусть u = lnx, dv = ^, тогда du = ~, v = =
= Jx-3dx =— Подставляя в формулу (*), найдем
Pint , Inx С 1 dx __ In x 1 p „ 14-2 In X
J <3 ax~ 2x3 j 2x’" x~ 2хз 4x» + G-~G 4? '
3) Пусть u = arctgx, dv = xdx, тогда du — ~^s, o=Cxdx =
X %
= у. По формуле (#), получим
/ = Jxarctgxdx = yarctgx—-jJ p^-dx. (1)
Последний интеграл находим отдельно:
J = Jnr?2 * = J ( 1 -тттг) dx = *-агс *
Подставляя этот результат в равенство (1), имеем
/ =yarctgx—y-|-yarctgx4-C = C—y-b^i^arctgx.
dx
4) Полагая и — arcsinx, dv = dx, найдем: du = -~= ,
Г l-x’
и = J dx = x,. По формуле (*) получим
г* (* х dx
J = I arc sin xdx = xarcsin x—I r.>.:.. . (2)
J Jr 1-x2
Последний интеграл найдем, преобразуя его к формуле Г.
=-4 f
= — 4 J (1 —*a) d (1 —x2) - — (1 —x2)^-.
Подставляя в равенство (2), имеем
J —хак sin x-f-Kl—х2 + С.
5) Положим u = х2, dv = e3Xdx, тогда du = 2xdx, v—^e9Xdx =
= 4 J езхd (Зх) = 4езх. По формуле (#) найдем
/ = С x2e3Xdx = x^e3x—4 ? xe3Xdx. (3)
J <J о J
К последнему интегралу вновь применяем формулу интегри-
рования по частям. Положим и — х, dv—e3Xdx, тогда du = dx,
v= [esxdx = ±e3X. По формуле (*) получим
f xe3Xdx = ^-e3X-4-(e3Xdx^^e3X~e3x,
J *5 J о У
— 164 —
Подставляя в (3), имеем
/ = ^е3х—^ 1е8*) + С==^(9х2-6х + 2) + С.
Здесь понадобилось применить формулу (*) дважды. Оче-
видно, если бы под интегралом вместо х2 было х3, то пришлось
бы эту формулу применить три раза. Вообще, для нахождения
интеграла xnexdx, а также и интегралов ^x"sinxdx, ^x”cosxdx
(п—целое положительное число) требуется применить интегри-
рование по частям п раз.
6) Пусть и = е~х, dv = cos dx, тогда du —— e~xdx,
и = J cos y^x = 2 J cos yd (у) = 2 sin у . По формуле (*) имеем
1 = Je-Xcosy dx = 2e“*siny + 2 Je_*siny dx. (4)
К полученному интегралу 1г снова применяем интегрирование
по частям. Полагая и = е~х, dv=sin-ydx, получим du —— е~* dx,
V— § sin ~-dx~2 § sin yd ^yj = — 2cosy,
[e~xsin£dx =— 2e_*cos-4—2 \e“*cos^-dx =
= — 2e~*cosy—21.
Подставляя этот результат в (4), получим уравнение с неиз-
вестным интегралом /:
I = 2£~х sin у-1-2( —2e“*cosy—21 J ,
из которого находим
51 = 2е~х sin у—4e“*cosy, / = ^sin у—2coSyJ+C.
Если при отыскании выбрать и и do иначе: и = sin 4 ,
1 X
dv = e~xdx, то получим du = ycosydx, v = — е~х,
Ii — — e"xsin4 + -y (e"*cos4dx = —e~*sin44-4-/.
Подставляя Ix в равенство (4), получим бесполезное тождество
/ = 2e“*sin4 + 2 (—е~х sin П ! 0 = 0.
; Это решение показывает, что повторное интегрирование по
частям может привести к исходному интегралу /. В таком слу-
чае получается или уравнение, из которого легко найти 1, или,
при неудачном выборе и и dv в повторном интегрировании,
бесполезное тождество.
— 165 —
Найти интегралы:
476. ^х sin xdx.
478. Jln(x")dx.
480. J хsec2xdx.
482, JarcctgZdZ.
484. eax sin bx dx.
486* Pn x dx
* J(*+D2-
477. x2 In xdx.
479. j(x2+l)e-2Xdx.
481. ^xln(x—l)dx.
483. Jln(l+x2)dx.
485*.
487*. ^arctg]/r2x—idx.
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
f &х> f ^L== dx; ^ах^Ьх + сdx.
J ax*+bx+c J Kax’+dx + c J
Для отыскания указанных интегралов от функций, содержа-
щих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам
интегрирования следует вначале выделить полный квадрат
из квадратного трехчлена, в результате чего он преооразуется
в квадратный двучлен ах2 + bx-j-c = a ( х2 + -^-х-|- =
Sl=4(^+2-J2±^i.
= а
В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести
к формулам интегрирования посредством преобразований, при-
меняемых в решении следующих задач.
488. Найти интегралы:
D J
3) !
dx
х24-4x4-8 ’
Зх—2
х2 + 6х4-9 йХ'
п\ С 7—8х ,
2) J 2х2—Зх-|-1^Х:
.. Р бхз— 7x24-Зх— 1
J 2х—Зх2
Решение. 1) Выделив из квадратного трехчлена полный
кгадрат х2 4-4x4-8 = (х4~2)24~4, записав d(x4-2) вместо dx и
интегрируя, получим
С dx С d(x4-2) _ 1 arctc*+2 । г
J х’4-4х4-8 J (х4-2)’4-4 2 s 2
по формуле 8, при w = x-|-2, а = 2.
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат
— 166 —
з
и заменим переменную х, полагая х—-^ = t. Тогда получим:
dx~dt, 4
, Г (7—8х) dx 1 г 1—8/
' I 2х2—Зх-|-1 2 1, 1
J J * Тё
Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых ин-
теграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим
их по формулам:
г — 1 Г dt П Г ^dt _ 1 1
2 Ь2_1 ,1 1~2 • „ 1
J 16 J 1 16 “4
2-т-
In
‘-Т
'+4
—2 In I/2—1 +СЛ
10
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим
I = 1п | *~qs | —2 In | х2 — 1,5х + 0,514- С.
3) Выделяем полный квадрат х24-6х + 9 = (х-|-3)2, вводим
новую переменную / = х + 3; тогда получим dx — dt и
f (Зх—2)dx СЗ/-11 Г/3|ПЪ/ oCdt ,±
j^67+9=J-^dz=H7+-p;dZ==3jT-11V dt==
= 31п|Н + 11Г14-С = 31п|х + 3| + -^т + С.
X -f- о
4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби
целую часть, деля числитель на знаменатель:
6х»-7х*4-Зх-1_2 , . х —1
2х—Зх2 ~ z*^‘^2x-3x2’
затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
= — х24-х +
Интеграл Jt преобразуем к формулам 2 и 9:
* Первый интеграл по формуле 9 при u = t, я=~, второй интеграл
по формуле 2 при « = /’—
— 167 —
Окончательно получим
J — С—х2 + х-|-4- In I х—~1 — 4- In 1х|.
489. Найти интегралы:
П f dx 2\ С (Зх—5)dx
' J 4х —3’ ' J К9 + 6х — Зх»’
Решение. 1) Выделив из трехчлена полный квадрат х2—
—4х—3 = (х—2)2—7, записав d(x—2) вместо dx и интегрируя,
найдем
f ЛЙЬ =1п|х-2+К(х-2)«-7| + С
(по формуле 11, при и = х—2, а = — 7).
2) Выделяем из квадратного трехчлена полный квадрат 9+ 6х—
— Зх2= — 3(х2 — 2х — 3)= — 3[(х— I)2—4] = 3[4—(х — I)2]
и вводим новую временную г = х — 1. Тогда получим: dx = dz,
. Г (Зх—5)dx _ 1 Г Зг—2
~~ J v 9 + 6х —Зх» ~ V"3 J f 4^1» аг‘
Разложив полученный интеграл на два интеграла,
. 3 С zdi 2 С dz i/q I 2 г
находим каждый из них отдельно.
Первый интеграл преобразуем к формуле 1, умножая и деля
его иа —2 и заменяя —2zdz через d(4—г2):
М -|р4-гЛ(-2г*) =
1 г - — —
= —у (4—г2) 2 d(4—z2) = — (4—г2)2.
Второй интеграл находим по формуле 10, при u — z, а = 2:
. С dz .z
К = I -у= = arcsin -н-.
2 J /4—г2 2
Подставляя найденные интегралы и /2 и возвращаясь
к переменной х, получим
I = С — ИЗ (4—г2)—arcsin у = С—И9 + 6х—Зх2 —
2 . х—1
--arcsin—к- .
К 3 2
490. Посредством формулы интегрирования по частям
^udv = uv — ^vdu (§ 4) найти интегралы:
A) IVtH^bdt и Б) Va^Pdt.
— 168 —
Затем, пользуясь полученными результатами как формулами,
найти интегралы:
1) ^Vx^3dx; 2) $/x2 + 2x + 6dx; 3) 4- 4х—x2dx.
Решение. А) Полагая в формуле интегрирования по частям
и — ]/~t2-{-b, dv = dt, получим du = ~^==, v = t и
I=^Vi^+bdt^tVW+b-^y=dt.
Прибавив и вычтя постоянную b в числителе подынтегральной
функции последнего интеграла, разложим его на два интеграла:
/=t VW+ь—i + ь X -£=.
j j/>+*
Далее, перенося искомый интеграл / из правой части равен-
ства в левую и заменяя интеграл, оставшийся в правой части
равенства, по формуле И, получим
/.=(д)
Б) Пусть и — Уа2—t2, dv=dt, тогда du — -7^=dt, u=t
V а2 —t2
и по формуле интегрирования по частям
J = [/а2-/2dt = t /а2^? — С
J . 14 а’-/’
Последний интеграл разложим на два интеграла, прибавляя
и вычитая постоянную а2 в числителе его подынтегральной
функции:
J = t J + a2 f —r
J Va2—t2
откуда получим
2./ = /]/а2——
J Ка’ ’
J- J /а2—f2df = 4 /о237*2 -|-yarcsin4 + C. (Б)
1) Пользуясь равенством (А) как формулой, при/=»х, Ь — — 3,
получим
jK^3dx = |]4F^3—|1п|х+ ]/~х^З\ + С.
2) Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении
х22х4-6 == (хф-1)34-5, затем применяем формулу (А), полагая
— 169 —
в ней / = х 4- 1, b = 5:
]/х2 4- 2x4- 6 dx =4 ]/(х4~ l)24-5d(x4-1) =
= ф ]/(х+1)24-5 4- 41 п [х 4-1 4- Г(х4-1)24-5] 4- С.
3) Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении
34*4х —х2 = — (х2—4х —3) =—[(х—2)2 — 7] = 7 — (х — 2)2 и при-
меняя формулу (Б), при t = x—2, а2 = 7, получим
J /34-4х—x2dx = $ /7- (х—2)2 d (х—2) =
= Г7-(х-2)2 4- у arcsin 4- С.
Найти интегралы:
491. p dx 492. p dx
J x2 — x—6 * J x24- 4x 4-29 ’
493. P dx 494. C(4x — 3)dx
J 4x— 1 — 4x2 ' J x2 4-3x4-4 *
495. P(3x 4-4) dx J x2+5x ’ 496. f 18xa+13x . l ! /JY J 14-6x4-9x2 Л‘
497. p x8—2x24-4 , J x2+2x—3 aX’ 498. С dx
J V 24-x—x2
499. Г dx 500. p (x!4-3) dx
J У x2—2x ' J У1— 4x2
501. p(x —3) dx 502* p xdx
J Ух2 + 6x ’ J У1—2x—3x2 ’
503. I V x2 4-4xdx. 504. j ]/l—2x-x2dx.
§6. Интегрирование тригонометрических функций
Часто встречающиеся интегралы от выражений, содержащих
тригонометрические функции следующих видов:
1. J sin"xdx, cosnxdx, II. sin*"хcos”хdx,
III. ^tg"xdx, ctg”xdx,
где т и п—целые положительные числа.
IV. sin ах cos bxdx, sin ах sin bxdx, cosaxcosbxdx
можно свести к формулам интегрирования, а следовательно,
и найти, руководствуясь следующими правилами:
1. Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно
найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:
sin2H = 4(l—cos2«); cos2u = y (1 4-cos2h); sin u cos и = 4 sin 2u.
— 170 —
2. Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса можно
найти путем отделения от нее одного множителя и замены
кофункции новой переменной.
3. Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если т и п
оба четные, или по правилу 2, если т или п (или и т и п) нечетно.
4. Интегралы вида III можно найти путем замены tgx, или
соответственно, ctgx новой переменной.
5. Интегралы вида IV можно найти путем разложения на
слагаемые по формулам:
sin ах cos &х = у [sin (а + &)х + sin (а—6) х],
sin ах sin &х = у [cos (а—Ь)х—cos(a + &)x],
cos ах cos bx — у [cos (а + b) х + cos (а—b) х].
505. Найти интегралы:
1) Jsin33xdx; 2) Jcos4xdx;
3) j sin5 х dx;
4) \ sin4xcos3xdx; 5) \ sin® kxc.os3kxdx; 6) \ sin3xcos5xdx.
Решение. 1) Согласно правилу 1 имеем
С sin3 Зх dx = у J (I —cos 6x) dx = у J dx—J cos 6x d (6x) =₽>
= y —sin 6x + C.
2) Применяя правило 1, получим
J cos4xdx = J (cos3x)2dx = -|- J (1 + cos 2x)3 dx =
= у J dx + J cos 2x d (2x) + J cos3 2x dxj.
Первые два интеграла представляют формулы, последний
интеграл находим отдельно, по правилу 1:
J cos3 2х dx — у J (1 + cos 4x)dx Jdx -f-y J cos 4x d (4x) =»
= y + ysin4x.
Подставляя в предыдущее равенство, получим
р 1 / х 1 \
\ cos4xdx = y f х,+ sin 2х+у4-у sin4xj+C;-~
= 4 х + 4- sin 2х + sin 4х 4- С.
О Ч
— 171 —
3) По правилу 2 отделяем от нечетной степени один множи-
тель sin® лс = sin4 х sin х и заменяем кофункцию новой переменной,
т. е. полагаем cosx = z. Тогда получим —sin xdx = dz.
sin6xdx —j (1—cos2x)2 sinxdx = j (1—z2)2(—dz) —
= — J(l-2z2 + z4)dz = — z + ~~ ~ + C =
— C—cosx-]- -B-COS3 X-4COS6 X.
3 5
4) Применяя правило 3 (1), получим
I — J sin4 x cos3 x dx — J sin2 x (sin x cos x)2 dx =
fl — cos 2z sina2x , 1 /С • *n J C on n j A
= I---2---—4— dx = у H sin2 2xdx—\ sin2 2xcos2xdx \ .
Первый интеграл находим по правилу 1:
р 1 С 1 р
sin22xdx = y \ (1 — cos4x)dx=2-1 dx—у1 cos4xd(4x) =
1 1 • 4
= -7>- x—sm 4x.
Z о
Второй интеграл находим по правилу 3 (2), полагая sin 2x = z.
Тогда 2cos2xdx —dz,
f sin2 2x cos2xdx — X C z2dz = ~X sin3 2x.
J J 0.0
Подставляя эти результаты, имеем
/ = Х(Х х—X sin4х — X sin32xVt~C.
О у Z о О у
5) Согласно правилу 3(2) отделяем от нечетной степени один
множитель cos® kx = cos2 kx cos kx и заменяем кофункцию новой
переменной, т. е. полагаем sinkx = z. Тогда имеем kcoskxdx=*
== dz,
J sin®£x cos®£xdx = J sin® Лх (1 —sin2 Лx)cosЛxdx =
«=yj z®(l—z2)dz = X^J z*dz — J 28dz) = -i-(y—=
=X sin7 kx — X sin® kx + C.
6) Применяем правило 3(2): отделяем от одной из нечетных
степеней (низшей) один множитель sin®х = sin2 х sin х и заме-
няем cosx через г; тогда найдем: —sinxdx~dz и
sin® хcos6 xdx = (1 — cos2x) cos6 x sin xdx = —(1 — z2)z6dz==
= — Г z6dz-{- C z7dz = X z8—Xze + C= Xcos8x —Xcosex + C.
506. Найти интегралы: 1) Jtg4xdx; 2) J sin 3xcos5xdx.
— 172 —
Решение: 1) Применяя правило 4, полагаем tgx = z, тогда
х — arctg z, dx=Y^t,
§ tg4 х dx — § (z2~ 1 ^z = J z2dz—J dz +
4- J га_|_ j = -3— z + arctg z + C — -3- tg3 x — tgx 4*x 4~ C.
2) Применяем правило 5; разлагаем подынтегральную функ-
цию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой,
затем интегрируем:
j sin 3xcos5xdx = yJ [sin 8x-|-sin(—2x)]dx=-^J sin8xd(8x)—
—C sin2xd(2x) =-j cos 2x — cos 8x-j-C.
Найти интегралы:
507. ^cos25xdx.
509. J sin2 x cos2 x dx.
511. sin3xcos3xdx.
513. etg4 «/dz/.
515. sin 5x sin 6x dx.
517*. sin 3x sin 4xsin5xdx.
508. Jcos6xdx.
510. J sin3xcos2xdx.
512. J sin4xdx.
0 4
514. i cos x cos 3x dx.
V
516. J sin a/ cosbtdt.
518*. J (tgz-f-ctgz)3 dz.
§ 7. Интегрирование рациональных функций
Рацйональные функции всегда интегрируются в элементарных
функциях.
Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется
непосредственно:
J(aox" + a1x"-4+...+a„)dx = -^T х"+4 + ^-х" + ... +апх+С.
0 Р (хУ
Интеграл от дробной рациональной функции I yrj-^dx, гдеР(х)
и Q(x) многочлены, можно найти (выразить через элементарные
функции) путем разложения на слагаемые, которые всегда пре-
образуются к формулам интегрирования.
Неправильную рациональную дробь, у которой степень
числителя выше или равна степени знаменателя, можно делением
числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, у которой степень числителя
ниже степени знаменателя.
— 173 —
Правильную рациональную дробь можно разложить на
элементарные, всегда интегрируемые слагаемые дроби следующих
двух видов:
А Мх + М
(х—а)т ' (xs + px + q)n ’
где т и п—целые положительные числа. .
Для разложения правильной рациональной дроби на
элементарные слагаемые дроби нужно: 4 w
а) Разложить знаменатель Q (х) на простейшие действительные
множители.
В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это
разложение может содержать линейные и квадратные множители:
Q (х) = а0(х — а)т ... (х — Ь)к-(х* + px + q)n ... (х2 + cx+d)r.
б) Написать схему разложения данной дроби на элементарные
слагаемые дроби в следующем виде:
R (х) __ Л х । I • I Ат_______.
Q (х) х—а ' (х—а)г~'~ ' ’ ‘ ' (х—а)т‘
, &i । 82 . Af1x4~Ar1 .
x — b'1' (x—b)2 "Г • • • Т (x__byt "Гх2 + рх + ?“Г
। M2x -f- . i Mnx+JVn । । Ci* 4~ Di I
(хг + рх-|-<7)4~'_ (x4 4- px 4- q)n ‘ x2 + cx + d
. C2x + O2 . . Crx-[-Dr
~t'(xi + c.v+d)4~t • • • * (x2-|-cx4-d)r ’
где Alt ... , Blt ... , Mlt ... , Nlt ... , Clt ... , £>,, ... — некото-
рые постоянные. В эту схему для каждого множителя в раз-
ложении знаменателя Q (х) вписывается столько элементарных
слагаемых дробей, какова его кратность (т, k, п, г, ...).
Знаменателями элементарных дробей являются все целые
степени каждого множителя в разложении Q (х), начиная с пер-
вой степени и кончая той степенью, которую множитель имеет
в разложении Q (х).
Числителями элементарных дробей служат либо постоянные
А1г А2,... либо линейные функции 2Ихх + Nlt ... смотря по тому,
является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной
или квадратной функции.
в) Освободиться от знаменателей, умножая обе части равен-
ства на Q (х).
г) Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в обеих частях полученного тож-
дества. (Число этих уравнений должно быть равно числу не-
известных Лх, ... , Вх, ... , Мх, ... , Nt... , Сх, ... , Dj, ...).
д) Решить систему и подставить найденные значения At,... ,
Blt ... , Мг, .... Nlt ... в схему разложения.
После разложения на элементарные слагаемые дроби инте-
грирование всякой правильной рациональной дроби сводится
— 174 —
к
а
в
в
нахождению интегралов вида
I С dx И / -С Afx + # d
(х—а)т 2 J (хг + рх+<7)" Л‘
Интеграл IL при m=£l представляет формулу 1:
f —= f (х-а)-т d (х—а) = (х~а)~”+1 4- С,
J (к—а)т J ' ’ х ’ — т + 1
при т = 1 представляет формулу 2:
f = in j х—а 14- С.
J х—а 1 1 1
Интеграл /2 при л=1 можно найти по правилу, указанному
§ 5, а при и = 2, 3, 4, ... путем преобразований, показанных
решении следующей задачи.
519. Найти интегралы:
В f -ттгет dx< 2> f2x6dx-,
J + J x44-3xa
Су!1 + 4х2 —2x4-1, 4x С (xa—3)dx
> J x* + x ' J x-*4-10xa4-25 '
Решение. 1) Разложим подынтегральную правильную
рациональную дробь на элементарные слагаемые дроби. Согласно
указанному правилу:
а) разложим знаменатель иа простейшие действительные
множители: х3 4- 4х2 4- 4х — х (х2 4- 4х + 4) = х (х + 2)2;
б) напишем схему разложения подынтегральной дроби на
элементарные слагаемые дроби
Зх24-8 ^Д . В____ С
х(*4-2)а х ' *4-2 * (х4-2)а ’
в) освободимся от знаменателей, умножая обе части равен-
ства на х(х4~2)2:
Зх2 4~.8 — А (х 4- 2)2 4- Вх (х 4- 2) 4- Сх~
= (А 4- В) х2 4- (4 А 4- 2В 4- С) х 4- 4 А;
г) составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х в обеих частях полученного тождества
Л4-В==3, 4Л4-2В4-С = 0, 4Л=8;
д) решим эту систему: А = 2, В=1, С = —10 и подставим
найденные значения постоянных А, В, С в схему разложения
Зх«4-8 2 1 ю
х(х4-2)а’— х +х4-2 (х4-2)а‘
Подставляя под знак интеграла полученную сумму элемен-
тарных дробей и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем
f (3xa4-8)dx f Г2 , 1 10 1
J х®4-4ха4-4х J [х~^х + 2 (x4-2)aJ х~~
= 21п|х|4-1п|х4-2|4-7^ + С.
— 175 —
2) Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую
часть, деля числитель на знаменатель:
2х8 + бх3 +1 _ о „ , 1
х84-3х2 — + х* 4- Зх2 •
Разложим полученную в результате правильную дробь на эле-
ментарные слагаемые дроби:
а) х*4-3х2 = х2(х24-3);
л*, 1 __Л , В . Сх 4" D
' °' х2(х24-3) — ~х х2 + х24-3 ’
в) 1= Лх(х24-3)4-В(х24-3)4-(Сх4-О)х2 =
= (Л + С) х3 4- (В+D) х2 4- ЗЛх 4- ЗВ;
г) Л + С-0; B4-D = 0; ЗЛ = 0; ЗВ=1;
д)Л-0; В=|; С = 0; D =
1 1 1
х2 (х2 4-3) — Зх2 3(х24-3)'
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим
1
J х4 + 3xa J \ 1 х4 + Зх2 /
= J [2^4-3^—3(Х2 + 3)] dx = 2 Jxdx4--g Jx"2dx—
—4 (*-tzq=x2—г----------U-arctg-^=4-C.
3 J x24-3 3x 3 / 3 B /3
3) Разложим подынтегральную правильную дробь на элемен-
тарные слагаемые дроби:
а) х* + х — х(ха+ 1) = х(х4~ 1)(х2—*4-1);
х34-4х2—2x4-1 __ А В Cx + D
' х(х-|-1)(х2—х4-1) х -*~х4-1'х2—х-1-1’
в) х34-4х2—2x4-1 = Л(х34- 1)4-Вх(х2—х-|-1)4-
4-(Сх4-D)(х2 4-х) = (Л 4-В 4-С) Xs 4-(С 4-1> - В) х2 4-(В 4-О)х 4-Л;
г) Л4-В4-С=1; C+D—В = 4; B + D = — 2; Л = 1;
д)Л = 1; В = —2; С = 2; D = 0;
х34-4х2—2х-{-1 1 2 2х
х44-х х х-|-1 ' х2—х4-1 ‘
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим
f С х3 4- 4х2 — 2х 4-1 , 0 dx п С dx 1 9 Г х dx
xi + x ax~J X x4-l+ J x2 —x4-l “
= In I x I—21n|x4-l 14-2/j.
— 176 —
Последний интеграл /х находим отдельно, по правилу, ука-
занному в § 5. Выделяем полный квадрат в знаменателе х2—х+
(1 \2 3 1
х—у] + 4" и полагаем х —у = /. Тогда dx — dt,
, f V 2/ 1 С 2tdt . 1 f dt 1 . Л, . 3\
71 J з '=2 3 + 2 J—3=TlnV + Tj
p+_ p+_ p+_
+7TarctgrT==2ln(x x+1)+FTa,ctgW
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
/ - 2 2х-1 с
'-,п (х+1)* +/3-arctg-yr + C.
4) Разложим подынтегральную дробь на элементарные сла-
гаемые дроби:
а) х*+10х2 + 25 = (х2 + 5)2;
х«— 3 _Ах-[-В , Cx-{-D .
0' (^4-5)2— х2 +5 + (ха + 5)2 ’
в) х3—3 = (Лх + В) (х2 4-5) + Cx+D =
— Ах3 4- Вх3 + (5Л + С) х + (5В +£>);
г) А = I; В = 0; 5Л + С = 0; 5В + Р = —3;
д) Л = 1; В = 0; С=-5; D = — 3;
х3 — 3 х 5х + 3
(х2 4-б)2 ~~ х2 4 5 (*2 + 5)2,
Интегрируя, имеем
J(x2+5)2 Jx2 + 5
f х dx
J (x245)2~'
dx
(x2 + 5)2*
3 J
Первый интеграл преобразуем к формуле 2:
С х dx 1 Г 2х dx 1 0d(x2 + 5) 1 , /*-2
J x2 + 5“ 2 J x2 + 5~ 2 J x24-5 - 2 in v1 I-**/-
Второй интеграл преобразуем к формуле 1:
С -ЛЛ— = Л С (Х2 _1_ 5)-2 (хг । 5) = _L + =_______1
J (х2 + 5)2 2 а(х 2 -1 2(х2+5)‘
В третьем интеграле заменяем переменную x = yr5tgz; тогда
dx = ]/5 sec2 z dz,
f dx С Уб sec2 zdz If , ,
1 1 ё\ —оё-----г---= —i cos2 z dz —
J(x2+5)2 J 25 sec4 z 5 ]Лб J
= —f (1 + cos 2z) dz — —(z 4. A sin 2z^l =
10 Уб J 4 ’ 10 Уб 2 S1U zz;
ioW (arctg Vf +
— 177 -
Окончательно имеем:
/-Yl”()I’ + 5)+2WS)-ijb=(arctg^+^+C =
Найти интегралы:
520. j dx 521. Г dx
Xя —X2 ' ) *• + * ‘
622. J xdx 523. ! [* (x2 + l)dx
Xя—1 ’ ) x3—3x24-3.r —1 ’
524. J (7x—15)dx —2x24-5x ’ 525. 1 р2<»-2< + 1и# ) I — /4 ai'
526. j z2dz 527. p x4 dx
244-5z2-f-4 ’ ) x4—2х2 + Г
528*. ( * x4 + 4x2 + 4 ’ 529*. 1 e i—x4 , 1 гт T dx. ) 14-x4
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются
в элементарных функциях только в некоторых определенных
случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов
от иррациональных функций, которые выражаются через эле-
ментарные функции:
I. Интеграл J R (х, хл, х\ ...)dx, где R—рациональная функ-
/П1 о т,
ция, а = —, р = ——рациональные числа, сводится к ин-
tli пг
тегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается
в элементарных функциях с помощью подстановки x — tk, где
k—общий знаменатель всех дробных показателей у х.
Интегралы более общего вида^ R[x, (ах + &)’, (ax + b)\.. ,]dx
С nt { ах 4-b\x /'ax4-b\? 1. ,
или j R ’ (cx'+dу ’ находятся (приводятся
к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок:
ах+b = tk или — t*.
И. К интегралам от функций, рационально зависящих от
тригонометрических функций, сводятся интегралы:
J R (х, У а2—х2) dx—подстановкой х = a sin t‘,
$ R (х, Уа2 + х2) dx—подстановкой х = a tg t\
j R (x, Ух2—a2) dx— подстановкой x = a sec t.
— 178 —
III. Интеграл от дифференциального бинома § хт(a-\-bxn)Fdx
сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях: *
1) когда р— целое число, —разложением на слагаемые по
формуле бинома Ньютона,
2) когда —целое число,—подстановкой a + bxn = zr,
3) когда —целое число,—подстановкой a-rbxn = xnzT,
где г —знаменатель дроби р.
Р*!~ dx, где
у о
IV. Интеграл
Р„ (х) — многочлен
n-й степени,
v = ax2 + bx + c, можно найти по формуле
dx = (Л^""1 + А2хп~2 +...+An)Vv+B
где Лх, Л2, ... , В—постоянные, определяемые путем дифферен-
цирования этого равенства, умножения его на Уи и сравнения
коэффициентов при одинаковых степенях х.
Подобным путем можно найти и интеграл
j Pn(x)Yvdx = dx ==
— (Alxn+1 + А2хп + ... + Л„+2)Уги+ В J
пт тл f (Ax-\-B)dx
V. Интеграл I-----—J - можно наити подстановкой
J (х—a) Vax2^bx^c
1
х — а =у.
'530. Найти интегралы:
d х + f X v
Г dx P. C2x2 — x—5 , Г dx
4) |; 5) >- 6) I--•—t==.
J x2j/(l+x8)8 J /x2-2x J (x — 1)/1— x®
Решение. 1) Положив x==/4, согласно правилу I, получим
dx = 4tsdt и
'=I dx “ У 413 =4 У =
= 4/ + 21п(/2+ 1) — 4arctg/ + C.
Возвращаясь к переменной х, имеем
/ = 4 р/х + 21п(1+угх) — 4arctg y/x-j-C.
* Это доказано П. Л. Чебышевым.
— 179 —
j I JE
2) Применяя правило I, берем подстановку—/2, откуда
1 , 2tdt
найдем х = , dx = — (р_1)2,
S? vr4rdx=S <‘г- 2 Si,,u=
=-}е+с=с-1/ (l±f)’.
3) Применяя подстановку x = 2sin/, получим dx = 2costdt и
С К(4^Л = f K(4-W>< 2 COSI dt = ± f Л =
J x« J 64 sin8/ 4 J sin8/
4) Это интеграл от дифференциального бинома:
/=С—dx —— Сх~2(1Ч-х3) adx,
J viz
§
где m =— 2, n = 3, p = — .
О
Здесь - + P =— 2 —целое число.
Поэтому согласно правилу III полагаем l-{-x8 = x8z8. Тогда
*3 = ^з4т; 1+х8 = ?г^т; x = (z8-l)"r;
dx =— z2(z8—1) 8 dz\
7 = -J(z8-lF(^1)"b8(z8-l)"i’dz = j^dz-
Г , f , z-2 . z, „ l+2z3 „ 2 + 3x3
J J -2 2г2 2r^/(l+x»)2
5) Согласно правилу IV применяем следующую схему инте-
грирования:
/ = = (Ах + В) Кх2-2х + П [ г dx .
J ух2—2х J ух2—2х
Для определения постоянных А, В, D дифференцируем обе
части равенства, затем умножаем его на У х2—2х:
уГ х2—2х ' Л’-2х fx2-2x
2х2—х—5 = 4(х2 — 2х) + (Лх +В)(х— l)-{-D =
= 2Лх2 + (В—ЗЛ)х + (Р—В).
— 180 —
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,х в обеих
частях последнего равенства, получим систему уравнений:
2А = 2; В —ЗЛ=—1; £>—В = —5.
Решим эту систему: А — 1, В —2, D — — 3 и подставим зна-
чения А, В, D в схему интегрирования:
/=(ж+2)К^=й-зу^.
Последний интеграл преобразуем к формуле 11:
С.r d~ = С —= In | х— 1 + К(х- I)2-11 .
J /х2—2х J /(X—1)«—1
Подставляя в предыдущее равенство, окончательно получим
/ = (x + 2)]/x2-2x-31nJx— 1+/х2-2хЦ-С. j
6) Согласно правилу V применяем подстановку х— 1— у,
тогда dx —— jidt,
/ f f
j (X—1) /]— Хг I 1 1Z 1+2<
J J ~t У I*
Здесь учтено, что что подынтегральная функция
определена в интервале — 1<х<1, вследствие чего х — 1<0
и /<0 и что поэтому |/|= — t.
Далее преобразуем интеграл к формуле 1:
. /= [(-1-2/)"’Ь/= -yJ(-l-2/)’^d(-l-2O =
==_(_1-20^+С = С-‘|/Г-1-^т = С-
Найти 531. j интегралы:
’ dx 532. 1 x ]/3—xdx.
|(1+/х) Vx'
S33. J 534. f dx
J /(5—x3)3
535. 1 536. j x2 ]/ 4 — x2 dx.
537*. | " dx 538*. ^/(1 +2x3)2 J x« dx'
1 х Кх2—9
539*. | ’ dt 540. (* x2 dx
1 t V i—z3 J Ух2 + 2х + 3
541. ( ’ х2 + 4х , , -у—ДХ. 1 Vx2 + 2x + 2 542*. С x2 dx
J K2ax — x2
— 181 —
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных
(неалгебраических) функций
К интегралам от рациональных функций сводятся следующие
интегралы, где R — рациональная функция:
1. J R (sin х, cos x)dx—подстановкой z=tgy.
При этом sin х = г^, cosx = r;i7?, dx = T^.
II. ^R(tgx)dx —подстановкой tgx=z.
При этом х = arctg z, dx=~^.
III. { R(ex)dx—подстановкой ex = z. При этом х = In z,dx = ^ .
V •
543. Найти интегралы:
1) С-----;
' J 2sinх—cosx
о\ (* tg х dx .
' J 1—ctgax ’
C____—____«
' J 5 4- 4 cos ax ’
4) C ****
’ J e«*+l *
Решение. 1) Полагая tg~ —z и заменяя sinx, cosx и dx
указанными их выражениями через г, вытекающими из этой под-
становки, получим
С dx- ______С 2dz _____п f d(z+2) ___
j 2sinх—cosx J za + 4z— 1 J (z+2)2— 5
z + 2—/5
z+2+ /5
2-K5 + tg-J
24-/5 + tg-J
2) Полагая tg у = z, согласно правилу I имеем
1—zs . 2dz
— = - ^таг-т-агс184 + с“сагс1я(т‘г?)+С.
5+4cosax a J z2 + 9 3a ®3‘ 3a ®\3 ® 2/ •
3) Полагая tgx —z, согласно правилу II получим
f tgxdx p z3dz _ 1 f d(z«—1)_ 1 ! ,4 , I ,
J 1—ctg»x J z4— 1 ~ 4 J z*— 1 4 1 1'r
+ C = -|ln|tg4x-l| + C.
dz
4) Применяя подстановку ex = z, получим dx = — и
C e3x dx_Г z3 dz __ С гг dz _Г Л 1 > . _
J еа* + 1 — J (z’ + l) z~J г» + 1 ~ J V z*+l)az~
«= ^dz—^-~j = z — arctg z-t-C = ex — arctg ex-f- C.
— 182 —
Найти интегралы:
544.
546.
548.
550.
552*
cos х dx
1 + cosx ‘
dx
sin’x '
e2t—2e*
1 +e2‘
1 + tg x
sin 2x
dt.
dx.
545. Р dx J sinfcx
547. f dx
J 4 cos x + 3 sin x dx
549.
1+tgx •
551. "e*—1 . t—г 1
553*. ’ e2* dx
) (2+e* + e-*)2-
§ 10. Смешанные задачи иа интегрирование
В предыдущих параграфах указывались способы отыскания
заданных интегралов. Здесь студент должен самостоятельно
избирать тот или другой способ для отыскания каждого из
следующих интегралов:
554. { ax 555. j x cos2 x dx.
J У x + a+ У x
556. f x® dx 557. C 3e2*4-2e*j , J e2X_|_gX_2 аЛ’
J Ух2 + 1
558. П dz 559. p (x«+l)dx
J 9sin2z + cos2z' J X® — x2 + x—1 *
560. 561. J УН*
562. J arc cos x dx. 563*. p dr
J VrVi + Уг
564. C COS® t J. Jsin^- 565. f x4 dx
J У (1—X2)»
566. C-./--5 :dx. 567. J (x2 + x+ l)exd.r.
J У x2+ lOx
568. J*(l — In x)2dx. 569. J COSSX
570. J x* dx’ 571. f x2 dx
J K(4x+ 1)®
572. J arc 573. Г 2x — 3 . J (2x + 3)4 aX'
574. Г12х2 +21x+14 . 1 — :.L-. dx. 575.
J У 3x2 + 3x + 4 J
576. Г x® dx 577*. Г dx
J 2+ V4—x® J 4 + 3 tgx •
578. p dx 579. I x arc sin x dx.
J x— У x2— 1
580*. fSJSiidx. 581*. C dx
J X2 J (x+1) /1 —x2
— 183 —
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ L Определенный интеграл как предел интегральных сумм,
его свойства и связь с неопределенным интегралом
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и если:
1) разделить этот отрезок произвольным способом на п частичных
отрезков длиною Ахп Аха, Ах3, Ахв, 2) выбрать в каждом
частичном отрезке по одной произвольной точке |1, g2, g;j,
3) вычислить значения функции f(x) в выбранных точках к
4) составить сумму
f (ga Ах, + f (g8) Axa + f (g3) Ax3 + ... + f (U AxB = 2 f (gf) Axf>
1 = 1
то она называется интегральной суммой функции f(x)
на отрезке (а, Ь\.
По-разному деля отрезок [а, 6] на п частичных отрезков и по-
разному выбирая в них по одной точке можно для всякой
заданной функции f (х) и всякого заданного отрезка [а, 6] соста-
вить бесчисленное множество различных интегральных сумм.
При этом оказывается, что все эти различные интегральные
суммы при неограниченном возрастании п и при стремлении
к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, имеют один
общий предел. Этот общий предел всех интегральных сумм фун-
кции f (х) на отрезке [а, 61 называется определенным интегралом
ь
от f (х) в пределах от а до b и обозначается f(x)dx.
а
Простейшие свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
Ь а
J f(x)dx = — J f (х) dx.
а b
а
2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: J f (х) dx = 0.
а
— 184 —
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
Ь с b
f (х)dx — f (x)dx +^f(x)dx.
d а с
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
всех слагаемых:
ь ъ ь ь
$ Ifi W + W — fs(x)]dx = J Д (x)dx + J f3(x)dx — J f3(x)dx.
a a a a
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
ь ь
cf (x)dx — c^f(x) dx.
a a
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти
соответствующий неопределенный интеграл, служит формула
Н ь ю т о н а —Л е й б н и ц а
ь ь ь
$ f(x)dx = ^ f(x)dx = F(x) — F(b)~F(a), (*)
a a a
— определенный интеграл равен разности значений неопределен-
ного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
582. Вычислить интегралы:
3
1) j 3x2dx; 2)
2
7
С -
3)J /зТ+Д’
* / ХА
I } dx;
О
я
2а
4) J (x-f-3) sin axdx.
О
Решение. Применяя формулу Ньютона —Лейбница (*) и
свойства определенного интеграла, получим:
3 3
1) Зх2 dx — 3 х2 dx — х3
2 8
4 / х \ <
3
= 33 — 23= 19.
8
* Г X
\eld-^ =x-j-4e*
О
4 .
=4+4е — 4=4г.
О
о
О
3) J = 4 j (3/4-4)" * d(3/ + 4) = |(3^ + 4)2
1 =4(5-1)=4.
4) Здесь для нахождения неопределенного интеграла приме-
няем формулу интегрирования по частям V udv — uv— f vdu.
— 185 —
Полагая м = х + 3, dv=smaxdx, получим du~dx,
v = С sin axdx = — С sin ах d (ах) = —- cos ах,
J a j ' ' а ’
2Q sa
J (х + 3) sin ах dx = — cos ах + ± J cos ах dx j ==□
о о
л
20
х -j- 3 .1 .
=-----— cos ах + -j sin ах
а а*
о
Вычислить интегралы:
&
г*
583. 584.
0Л" " " &
1
2
s85- Ый-Рг И6-
1
а
587. f х cos — dx. 588.
J a
-a
л
589*. xsin xcosxdx. 590.
-n
1 I 3_l+3a
a* ‘ а аг
i
Г dz
J (2z+l)8‘
0
dx.
Л
x 3x
COS у COS y
o
dx.
J (14-ln y)2 dy.
1
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле
Для вычисления многих определенных интегралов полезно
заменять переменную интегрирования. При этом, если опреде-
ь
ленный интеграл ^f(x)dx преобразуется при помощи подста-
а
новки х = <р(О [или t — i|) (х)] в другой интеграл, с новой пере-
менной интегрирования t, то заданные пределы хг = а и х2~Ь
заменяются новыми пределами tr = a и /2 = 0, которые опреде-
ляются из исходной подстановки, т. е. из уравнений
д = ф(а), Ь = ф(0) [или a = i|)(a), 0 = 1[>(Ь)]. Если ф'(0 и
непрерывны на отрезке [а, р], то
ь з 3
f (x)dx = f [ф (/)] ф' (/)dt == F (0dt.
а а а
591. Вычислить интегралы:
V 8
Г (3^+1) dx .
у хгУ\—хг ’
л
8
Г dx
4) J 24-cosx'
о
0 I х dx ,
— 186 —
Решение. 1) Вводим новую переменную интегрирования,
полагая У14-Зх = Л Отсюда находим х = ^^, dx = -^tdt и
новые пределы интеграла: ^ = 1 при ;q = 0, t2 — 4 при ха = 5.
Подставляя, получим
Г xdx 2 (*,,« .... 2 f ta ,\ \
J Кl+3x 9 P ’ 9 k 3 J |
о i 1
Ц(-1_4+1)=4.
2) Полагая ex = t, имеем x = lnrf, dx=~; t1=2 npHXx = ln2;
/2 = 3 при xa = ln3 и
In 3 3 3
С dx _С dt dt _
J ех_е-х —J/(/—/-1) — J 73Z7T —
In 2 2 Я
3
1 1 { —11 1 2 , 1 \ In 1,5
2 ln i-f 11 2 (1П4 ln 3 / 2 *
Э
3) Полагая x = 2sin/, получим: dx —2cosZd/; = i при
xx=l; tt — -у при x2 = p3;
4) Заменяя переменную при помощи подстановки tg ~ = г,
найдем cosx = ^=^; dx = -~-% (см. гл. IV, § 9); zx = 0 при
1 -f-Z l*j-Z
хх = 0; za = I прн ха = -5- и
л
3 1 1
С dx п Г dz 2 . г 2 п я
I -------= 2 I ------= arctg -7= = —г=- • — = —.
J 2-f- COSX J г2 + 3 /Г F3 уз 6 3 КТ
0 0 о
— /87 —
592. Доказать, что для четной функции f(x):
о а
f(x)dx — 2 f (х) dx,
-а о
а для нечетной функции f(x):
а
J f (x)dx — 0.
-а
Решение. Разделив отрезок интегрирования [—а, а] точ-
кой х = 0 на две части, согласно свойству 3 получим тождество
а а о
$ f(x)dx = ^f(x)dx+ ^f(x)dx.
-а 0 —а
Заменив переменную в последнем интеграле по формуле х=
= —z, имеем dx —— dz; zt = a при хх =— а; г2 = 0 при х2 = 0;
о о а а
f(х)dx = — J f (— z)dz=^ f(— z)dz—^f(— x)dx,
-а а о о
так как значение определенного интеграла не зависит от того,
какой буквой обозначена переменная интегрирования. Следова-
тельно,
а а а а
$ f (x)dx = $ f (x)dx-b $ f (—x)dx= § [f(x)-j-f(—x)]dx.
-а в о о
Для четной функции f(—x) = f(x), а для нечетной функции
f(—x) = — f(x), поэтому
a
Jf(x)dx- 2p(x)dx, если f(x) четная,
~a 0, если f (x) нечетная.
Пользуясь доказанными положениями, можно упрощать вы-
числение некоторых определенных интегралов. Например;
1) без вычислений, заключаем:
я -з
$ (Зх — 2x5)dx = 0, Jsin72xdx = 0, J f8arcsin t dt = 0
-VT -« »
вследствие нечетности подынтегральной функции;
г г
„х Сх5 + 7х4 + х3 —5х«—2 . _ С7х4—5ха—2 .
J х» + х J х8+х а
-2 -2
2 2 3
, Рх5+х3, Л . о С ,, о х3 I 16
+ jF+7dx = ° + 2jxМх = 2т | =у,
-2 0 0
— 188 —
вследствие того, что под знаком первого интеграла функция
нечетная, а под знаком второго —четная.
Вычислить интегралы:
593.
594.
595.
596.
597.
О
|П 2
J dx.
о
3
х2 j/9— x2dx.
-3
Подстановка х + 1 = г.
Подстановка У ех = t.
Подстановка г = х2 + 1.
Подстановка t — 1 4- In х.
Подстановка x = 3cos<p.
г t dt
598' J V's+tt •
600.
1—е*
1+ех
Г 1 + tg2 <₽ .
J iH-tgv4*'
О
dx.
8 ____
«»2*-
о
2
603*. J sin3 ф j/cos<pd<p.
О
§ 3. Схема применения определенного интеграла
к вычислению различных величин. Площадь плоской
фигуры
Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактно-
сти широко применяется для вычисления различных геометри-
ческих и физических величин.
Для вычисления некоторой величины и при помощи опре-
деленного интеграла можно руководствоваться следующей
общей схемой (I):
1. Разбить и на большое число п малых слагаемых элемен-
тов Дир
п
« = Ди1 + Диа+ • • • +Л«„ = 12
— 189 —
2. Найти приближенное значение каждого элемента Диг
в виде произведения Au,/(х,)-Ах и затем приближенное
значение и в виде интегральной суммы
п
u~£f (х,) Дх, (#)
г=1
где х—один из параметров величины и, который по условию
задачи изменяется в известном интервале a^x^fe; f(x)—дан-
ная или определяемая из условия задачи функция от х;
х0 = а, хп х2, ... , хп — Ь — точки интервала [а, Ь], которые при
разбиении и на п элементов разбивают этот интервал на п
« * Ь—а
равных частей Дх = —— .
Здесь при нахождении приближенного значения малого эле-
мента Диг используются различные допущения. Например,
здесь допустимо малые криволинейные отрезки заменять стяги-
вающими их хордами; переменную силу (или скорость) на
малых участках пути здесь можно заменять постоянной силой
(или скоростью),— допуская, что она неизменно сохраняет на
всем малом участке пути ту величину и то направление, кото-
рые она имела в начальной или конечной точке этого малого
участка; переменную температуру непрерывно нагреваемого или
охлаждаемого тела в течение малых промежутков времени здесь
можно считать постоянной, допуская, что в течение каждого
малого промежутка времени она неизменно сохраняет то зна-
чение, которое имела в начале или в конце этого промежутка.
3. Если из условия задачи следует, что при п—>-|-сю по-
грешность приближенного равенства (*) стремится к нулю, то
искомая величина и будет численно равна определенному
ь
интегралу и — $ f (х) dx.
а
Многие величины можно выразить посредством определен-
ного интеграла, пользуясь другой схемой (II):
1. Полагаем, что некоторая часть искомой величины U есть
неизвестная функция ц(х), где х—один из параметров вели-
чины 17, который изменяется в известном из условия задачи
интервале а^х^Ь.
2. Найдем дифференциал du функции и(х), т. е. приближен-
ную величину (главную часть) ее приращения Ди при измене-
нии х на малую величину dx в виде произведения du — f(x)dx,
где /(х) данная или определяемая из условия задачи
функция от х.
При этом здесь также используются различные допущения,
которые в общем сводятся к тому, что при изменении аргу-
мента х на малую величину dx изменение функции и (х) счи-
тается пропорциональным dx.
— 190 —
3. Убедившись, что дифференциал du найден верно, что при
dx—<-0 бесконечно малые Ди и du будут эквивалентны, найдем
искомую величину U, интегрируя du в пределах от № а до х = Ь:
ь
U=^f(x)dx.
а
Так, согласно схеме II:
а) Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох, черт. 87,
дифференциал переменной площади S (х) = Sx,amx есть площадь
прямоугольника со сторонами у и dx, т. е. dS = ydx.
Черт. 87
Черт. 88
Площадь SXiABx„ если вся трапеция расположена над осью Ох,
выражается интегралом
х,
S=$ydx. (1)
х,
б) Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Оу, черт.
88, дифференциал переменной площади S (у) = SB1am» есть площадь
прямоугольника со сторонами х и dy, т. е. dS — xdy.
Площадь Ss,ABSa, если вся трапеция расположена справа от
оси Оу, выражается интегралом
»»
S—^xdy. (2)
4Г»
В частности каждая из параллельных сторон трапеции
а) или б) может свестись к точке.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной
системе координат, может быть составлена из площадей кри-
волинейных трапеций, прилежащих к оси Ох или к оси Оу.
в) Дифференциал переменной площади S(<p) = Soam, черт. 89,
есть площадь кругового сектора с центральным углом dq> и ра-
диусом р,
— /Р/ —
т. е. : y p2dq>.
Площадь криволинейного сектора О АВ выражается формулой
<₽2
s = p2d<p. (3)
<р*
В частности точка А или В или обе они могут совпасть с
полюсом О.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к полярной си-
стеме координат, может быть составлена из площадей криво-
линейных секторов.
604. Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:
1) параболой 4у — 8х—х2 и прямой 4у — х + &,
2) параболами у — 4—х2 и у = х2—2х;
3) кубическими параболами §х = у2—16// и 24x = i/3—
4) эллипсом х — a cost, у — a sin/;
5) кардиоидой р = а(14-cos<p);
6) окружностями р = 2рЛ3 acoscp и p = 2asinq).
Решение. 1) Совместно решая данные уравнения, опре-
делим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую
(7 X
1; -^-1, В (6; 3). Построив эти точки и проходящие
через них данные линии, черт. 90, видим, что искомая площадь
AN В равна разности площадей Sl = A1ANBB1 и S2 = Л1ЛВВ1.
Площадь Sj согласно формуле (1) выражается интегралом
6 6 6
Вг= ^ydx = ~ С (8х—x2)dx = Y (4%a—у) I =
V “ \ ** / I “С*
11 1
Площадь S2 трапеции Л1ЛВВ1 равна произведению полу-
суммы ее оснований на высоту:
Следовательно, искомая площадь 8 — 8Г—S2 = — 5 .
14) О х-т:
— 192 —
5
Если за единицу длины принят дециметр, то S = 5^ кв. дм.
2) Определив точки пересечения парабол А (— 1; 3) и В (2; 0)
и построив эти точки и параболы, черт. 91, видим, что искомую
площадь S можно найти как алгебраическую сумму площадей
криволинейных трапеций: S — Ва^св + Зово—Sa,ao-
2 2
Sa.acb={ (4—x2)dx = 4x—I =8-| + 4-1- = 9.
с/ О | О О
“1 -J
О о
Sobd = С(х2 — 2х) dx = ^—х2 , =— -|+4 = -!
V О I о и
2 2
Площадь OBD расположена под осью Ох, поэтому, чтобы
получить ее величину с положительным знаком, пределы ин-
тегрирования взяты справа налево.
О о
Sa.ao = j (х2—2х) dx = ^-x2| =1+1=±.
-1 -1
4 4
Следовательно, S = 9 + -x-—-о-= 9.
О о
Площадь S можно найти иначе, определив ее дифференциал ds
как площадь прямоугольника, у которого высота есть разность
ординат данных парабол, а основание dx, черт. 91:
ds~ (t/х — y2)dx= [(4—х2) — (х2 — 2х)] dx = (4 + 2х—2х2) dx.
2 2
Р 2 I
Отсюда S=l (4 + 2х—2х2)dx = 4х + х2 — = х3 =9.
«J I
-1 -1
3) Находим три точки пересечения данных парабол: 0(0, 0),
Л (0; —4), В(0; 4), затем строим эти точки и параболы, черт. 92.
7 Заказ № 3201
— 193 —
Искомая площадь 5 состоит из двух одинаковых частей; поло-
вину ее можно найти как разность площадей криволинейных тра-
пеций ОСВ и ODB, прилежащих к оси Оу. Согласно формуле (2)
имеем
о о
Socb = fxj dy = -jr С(^з_I6t/) dy;
V V
4 4
0 0
Sodb = = 16y)dy;
4 4
0 0
S = 2(Socb— Sodb)= 2 J(%i—x2)dy=±- §(У3 — lty)dy=
4 4
0
=t(~ 64+ 128)= 16.
4
4) Оси координат совпадают с осями симметрии данного
эллипса (черт. 93), и поэтому они делят его на четыре одина-
ковые части. Четвертую часть иско-
мой площади S, расположенную в
первом квадранте, найдем как пло»
щадь криволинейной трапеции, при-
лежащей к оси Ох:
а
-1 S = С у dx.
4 J 27
о
Черт. 93 Пользуясь данными параметри-
ческими уравнениями эллипса, пре-
образуем интеграл к переменной t; у —bsmt, dx = —asmtdt;
когда х = 0, то/=^у; когда х = а, то t = Q;
а о
S— 4^у dx =— 4аЬ^ sin2/d/ =
°
2
Л Л
2 2
*=2ab^ cos2t) dt— 2ab ^t—у sin 2t^ | = лаЬ.
о о
Отсюда при а = Ь получается формула для площади круга:
S = na2.
5) Кардиоида симметрична относительно полярной оси
(черт. 94). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади
— 194 —
криволинейного сектора О АВ- Дуга А ВО описывается концом
полярного радиуса р при изменении полярного угла <р от 0 дол.
Поэтому согласно формуле (3)
5 = 2-у j* р2 d<p ^=а2 j* (1 Ч-cosq))2 dtp =
О О
= а2
Л
— а2 § (1 +2с05ф+соз2ф)б/ф =
О
А ] р "I |л
йф + 2 cos ф + у Н1 + cos 2ф) dtp
= a2 fу ф + 2 sin ф +• y sin 2ф } = у ла2.
6) Решив совместно данные уравнения, найдем точку пересе-
чения окружностей Л ( Д- , al/З*). Построив окружности,
Y и /
Черт. 94
черт.*95, видим, что искомая площадь S равна сумме площа-
дей криволинейных секторов ОВА и ОСА.
Дуга АВО описывается концом полярного радиуса р большей
л л
окружности при изменении полярного угла ф от у до -у, по-
этому
Л Л я
2 2 2
S0B4=yJ рМф = 6а2 J со52фЛр = За2У (1 -j-cos2ф)dq =
Л Л Я
3 3 з
л
= За2 (ф + у sin 2ф) |= 3аг(т~~^~Г') •
3
Дуга ОСА описывается концом полярного радиуса р меньшей
окружности при изменении полярного угла от 0 до -у ,
7*
— 195 —
поэтому
«ПС
— “
Soc4=4J P2^<P=2a2J sin2<pdtp = a2J (1—соэ2ф)йф =
оо 0
л
2 / 1 . o \ I 3 » /Я K3\
= а2(ф—-у sin 2ф 11 =a2(^----j— I .
\ /|о \ о T /
Следовательно, S = S0B4 + 50сл = a2 3 ) ~ 0,89.
Найти площадь, ограниченную линиями:
605. Параболой у = 6х—хг и осью Ох.
606. Полукубической параболой у2 = х3 и прямыми х = 0,
у=4.
607. Астроидой x = acos3/, y = asm3t.
608. Одной аркой циклоиды x = a(t — sin/), у = а(\—cost)
и осью Ох.
609. Параболой у = х2 + 4х и прямой х—у + 4 = 0.
610. Цепной линией у = ~(е ^ + е а] и прямыми х = 0, х = а.
611. Гиперболой ху~6 и прямой у = 1—х.
612. Кубической параболой у = х3 и прямыми у = х, у—2х.
613. Окружностью x2 + z/2 = 4x и параболой у2 = 2х.
614. Лемнискатой р2 = а2соэ2ф.
615. Первым завитком спирали Архимеда р = а<р и полярной
осью.
616. Трехлепестковой розой р = асоэЗф.
617. Кардиоидой р=а(1—соэф) и окружностью р = а.
618*. Эллипсами ^ + ^= 1 и ^ + ^==1.
а* 'о* Ь2 а2
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений
Если известна площадь S(x) любого сечения тела плоско-
стью, параллельной некоторой
плоскости Р, где х—расстояние
сечения от плоскости Р, черт.96,
то при изменении х на величи-
ну dx дифференциал объема
тела равен объему прямого
цилиндра с высотой dx и пло-
щадью основания S (х), т. е.
dv = S (x)dx, а объем всего те-
ла выражается интегралом,
V= J S (х) dx,
где а и b — левая и правая границы изменения х.
— 196 —
619. Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью,
которая проходит через диаметр 2R его основания под углом а
к плоскости основания.
Решение. Изобразив половину данного тела, черт. 97,
замечаем, что всякое сечение его плоскостью, параллельной
плоскости АВС, представляет прямоугольный треугольник.
Найдем площадь сечения, отстоящего от точки О на расстоя-
нии ОР = х. Из прямоугольного треугольника АМР имеем
MP2 — R2 — (R — x)2. Из прямоугольного
треугольника PNM имеем MN = AfPtga.
Площадь сечения S(x), как прямо-
угольного треугольника с катетами МР
и MN:
S(x) = ~ MP-MN = ±-A4P2tga =
=4 [Я2 - (Я ~ *)2] tg a = j- (2/?х - х2) tg a.
При изменении х на величину dx ЧерТ( 97
объем v изменится на величину Ап, эк-
вивалентную объему прямого цилиндра (призмы) с высотой dx и
площадью основания S (х):
Au » dv — S(x)dx = ~(2Rx—x2)tgadx.
Всему искомому объему соответствует изменение х от 0 до
2R, поэтому
2R 2R
v = $ (2Rx-x2)dx = ^(Rx2-j^ =y/?8tga.
О о
2 2 2» 2
620. Найти объем трехосного эллипсоида ^ + ^2 + 72—1*
Решение. Плоское сечение эллипсоида, параллельное плос-
кости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y = h, черт. 98,
представляет эллипс
х2 , z2 , Л2 х2 . z2 .
+ б2"’ ~а2+~с2 — 1’
с полуосями
Я1 = ^Уь^й2 и сг = ^Vb^h2.
Площадь этого сечения, как площадь эллипса, найдем по
формуле, полученной в решении задачи 604 (4),
S(h) = nalC1=^(b2-h2).
— 197 —
Подставляя в формулу (*), получим объем всего эллипсоида
ь ь
V = ~ ^b2_h^dh==^wc^h-.^ | =±ЯаЬс.
О о
При а = Ь = с полученная формула для объема эллипсоида
преобразуется в формулу для объема шара У = ула3.
621. Найти объем, общий двум цилиндрам: х2 + у2 = а2
и y24-z2 — а2 (ограниченный данными цилиндрическими поверх-
ностями).
Решение. Построим восьмую часть тела, расположенную
в первом октанте, черт. 99.
Любое сечение тела плоскостью, параллельной плоскости xOz,
представляет квадрат. Площадь сечения PQNM, отстоящего от
плоскости xOz на расстоянии
квадрата со стороной
MP = MN = Va2-h2;
S(h) = a2—h2, O^h^a.
Весь искомый объем, согласно формуле (*),
интегралом
V—8 \(a2~h2)dh = 8^a2h—~) | = уа3.
о о
выразится
622. Найти объем тела, отсекаемого от эллиптического пара-
болоида Z = Ja + f2 ПЛОСКОСТЬЮ Z — k (&>0).
623. Найти объем, общий двум эллиптическим цилиндрам
у 2 ij2 y 2 о» 2
* И + =
а2 1 Ь2 а2 1 Ь*
624*. Найти объем тела, ограниченного параболическим ци-
линдром г — 4—у2, плоскостями координат и плоскостью х = а.
— 198 —
§ 5. Объем тела вращения
Если тело образуется при вращении вокруг оси Ох криволи-
нейной трапеции ххДВх2 (черт. 100), то любое его плоское
сечение, перпендикулярное к оси Ох, будет круг, радиус которого
равен соответствующей ординате кривой y — f(x).
Площадь сечения S (х), соответствующего абсциссе х, как
площадь круга, равна лу2.
Черт. 100
Дифференциал объема тела, соответствующий приращению dx,
будет dv = ny2dx, а весь объем тела вращения определяется
формулой
хг
V = n^yzdx (х1<х2). (Д)
Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криво-
линейной трапеции у1АВуг, прилежащей к оси Оу, черт. 101,
то dv = nx2dy,
Уг
V = n\x2dy (yt<y2). (В)
У1
625. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями:
1) у2 = 2рх, х = а вокруг оси Ох;
2) + а2'Ь2 вокруг оси Оу;
3) 2у = х2, 2х + 2у-3 = 0 вокруг оси Ох;
4) x = acos3/, z/ = asin8f вокруг оси Ох;
5) у = 4 — х2, у = 0 вокруг прямой х = 3.
Решение. 1) Построив параболу у2 = 2рх и прямую х — а,
получим параболический сегмент ОАВ, черт. 102. При враще-
нии его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения.
Объем этого тела, согласно общим указаниям, найдем по
— 199 —
формуле (А): хг а
V = л J y2dx = л 2рх dx = лрх2 = пра .
о
2) Если у данного эллипса Ь<а, то при вращении его
вокруг малой осн получается сжатый эллипсоид вращения,
черт. 103. Вычислим объем этого тела по формуле (В):
Уг Ь
Vt = л Г x2dy = ла2 С (1 — Ik) dy= 2ла2 { у — Г ==~ па2Ь.
1 J J \ о2/ \ |о 3
Ух -Ь
При вращении эллипса вокруг его большой оси получается
удлиненный эллипсоид вращения, черт. 104, объем которого
У2=улаЬ2. Очевидно, Vi>V2-
3) Ограниченная данными линиями фигура ОАВ, черт. 105,
при вращении вокруг оси Ох образует тело, объем которого
Черт. 105
можно найти как разность объемов тел, образованных враще-
нием вокруг оси Ох трапеций А1АВВ1 и А1АОВВ1.
Объем Vj, образованный вращением трапеции А^ВВу, можно
найти по формуле (А):
xt 1
V± = л У2 dx = л (1,5 — х)2 dx =
X, -з
1 1
f z , пм/ 1 л(х— 1 ,5)8 I 91
= л \ (х — l,5)2d(x — 1,5)= ——з—- =-^л
-3 -3
— 200 —
или как объем усеченного конуса по формуле элементарной
геометрии.
Объем У2, образованный вращением криволинейной трапеции
А1АОВВ1, найдем по формуле (А):
^=т Р‘^=т-тГ.,=й-<1 +243)-^".
-3
Искомый объем V = V1 — V2= \8~л.
4) Фигура, ограниченная астроидой, черт. 106, при враще-
нии вокруг оси Ох образует тело вращения, объем которого
определяется формулой (А):
Х-г
V = л у2 dx — л
а а
у2 dx = 2л у2 dx.
Исходя из данных параметрических уравнений астроиды
x = acos3t, y=asin3/, преобразуем последний интеграл к пере-
менной/: у2 = а2 sin’/;dx= — За cos2 /sin tdt\
/ = -^- при х = 0; / = 0 при х = а\
а о
И = 2л $ у2 dx = — 6а3л J sin* t cos21 sin t dt.
О Л
2
Далее тождественно преобразуем подын-
тегральное выражение и, применяя формулу
интегрирования степени, получим
О
V = 6а3л $ (1 — cos2 /)3 cos2t (— sin t) dt =
Я
2
О
= 6а3л J (cos21 — 3 cos41 + 3 cos’ t — cos81) d cos t —
n
о
л f4cos3 * — 4 cos6 * +4 cos5 * 71 —cos® I =4н ла3.
\ 3 5 7 9 /j 105
Я
V
5) Параболический сегмент ABC, ограниченный параболой
t/ = 4 — x2 и осью Ох, черт. 107, при вращении вокруг прямой
х = 3 образует тело, любое сечение которого плоскостью, пер-
пендикулярной к оси вращения, представляет круговое кольцо,
— 201 —
ограниченное концентрическими окружностями. Площадь такого
сечения, отстоящего от начала координат на расстоянии у,
3 = nR2 — лг2 = л [(3 + х)2 — (3 — х)2] = 12лх= 12л ]/4 —I/, так как
х есть абсцисса точки, лежащей на данной параболе, т. е.
х = У 4-у.
При изменении у на величину dy
дифференциал объема тела будет
' dv = S (у) dy = 12л У4 — у dy.
Весь искомый объем получается
при изменении у от 0 до 4. Поэтому,
интегрируя dv в этих пределах, полу-
чим
4
V= 12л \VT^ydy =
О
* I _з_
= — 12л J (4— у)* d(4 — у) = 8л(4— у) 2 | =64л.
О 4
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра-
ниченной линиями:
626. р = 1, у = 0, у = Ь вокруг оси Оу.
627. z/=sinx (одной волной), у = 0 вокруг оси Ох.
628. у24-х—4 = 0, х = 0 вокруг оси Оу.
629. ху = 4, у = 0, х = 1, х = 4 вокруг оси Ох.
630. #2 = (х + 4)3, х = 0 вокруг оси Оу.
631*. у = х2, _у = 4 вокруг прямой х=—2.
632. У х+Уу = Уа , х = 0, у = 0 вокруг оси Оу.
633*. Найти объем тора, образованного вращением круга
х24 (у — b)2 <sza2 (а<Ь) вокруг оси Ох.
634. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х — a(i —
— sin О, t/ = a(l—cos г1) и осью Ох.
§ 6. Длина дуги плоской кривой
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе
координат и задана уравнением г/ = /(х), или x = F(y) или
параметрическими уравнениями х = ф(/), г/ = ф(/), то дифферен-
циал dl длины ее дуги, черт. 108, выражается формулой
dl = У1 +(y')2dx = y 1 + (х')2 dy = У х2 + y2dt,
— 202 —
а длина дуги АВ определяется формулой
(В) ХВ __________ ,JB ____________
lab= $ dl= $ V1 +(у')Мх= J /1+(x')4z/=
(>) ХЛ УА
fB __________
=-- J Vx2+y2dt. (1)
fA
(.xA<ZxB', yA<ZyB;
Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат
и задана уравнением p = f(<p) (черт. 109), то dl = Vp2 + (р')2^Ф»
(В) <₽в
LAb= $ dl = J Кp2 + (p')W (Фя<Фв)- (2)
(Л) Фл
635. Вычислить длину дуги: 1) полукубической параболы
у2 = (х— I)3 между точками Л (2; — 1)иВ(5; —8); 2) одной арки|
циклоиды x = a(t — sin t), у = а(1— cos£); 3) кривой p=acos3-^-.
О
Решение. 1) Разрешаем данное уравнение относительно у
и находим у':
- 3 -
1/=±(х-1)а; /== ±2-(х-1)а.
(Знаки ± в выражении у указывают, что кривая симметрична
оси Ох; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат
на той ветви кривой, которая расположена ниже оси Ох.)
Подставляя в формулу (1), получим
хв 6-------------5
LAB = J У(У'Уdx== J V 1 + j(x—[)dx = ~^^V9x — 5dx
ХА г г
1 в — 1 —I &
= ^\ (9х —5)а d(9x-5)=^(9x-5)a «7,63.
10 i) I 2
2
— 203 —
2) Дифференцируем по/параметрические уравнения циклоиды
dx ' dy . ,
х = -3-. — а (I — cos /); у = = a sin t
dt ' ' 3 dt
и находим дифференциал ее дуги
dl — х2 + у2dt = ]/rа2 — cos /)2-ф a2 sin21 dt =
= а]/2(1 — cos t) dt = aj/' 4 sin2 у d/ = 2a sin yd/.
Одна арка циклоиды (черт. 83) получается при изменении
параметра / от 0 до 2л, поэтому
гл гл ал
L = 2а J sin yd/ = 4а § s‘in yd у = —4а cos у | = 8а.
о о о
3) Из данного уравнения кривой р = cos3-2 находим производ-
ную р' = ^==—a cos2 -2- sin у- и дифференциал ее дуги
d/= |/р2 + (р')2^<р = °-2 cos6-у a2 cos4 ^sin2^dtp=acos2yd<p.
Черт. Ill
Половина этой кривой, черт,
кого радиуса при изменении <р
формуле (2) длина всей кривой
ПО, описывается концом поляр-
з
от 0 до у л. Поэтому согласно
( I 3 • 2ф\ 12 3
= а ф+-н-зшпг =xvan.
\ £ о у |о &
636. Найти периметр фигуры, ограниченной кривыми у2 = х2
и у = ]/г2 —х2.
Решение. Совместно решая уравнения кривых, определим
две точки их пересечения А (1; 1)иВ(—1; 1). Построив эти точки
и проходящие через них данные кривые, получим фигуру, сим-
— 204 —
метричную оси Оу (черт. 111). Периметр этой фигуры L=
= 2(L^+L^).
' ОА АС'
Пользуясь формулой (1), найдем:
«а _____ 1 ____
f lM)'4 / 1+т»*"
Vo о
8 /13 V13
“27 \ 8
) «5,102.
,/-н • х I л К 2
= V 2arcsin =-4~.
О
(Это восьмая часть длины окружности, радиус которой V 2.)
Следовательно, искомый периметр фигуры
13 ПЗ-8 I л К"2
27 + 4
Вычислить длину дуги кривой:
637. 9«/2 = 4 (3—х)3 между точками пересечения с осью Оу.
63&. Астроиды x = acos3/, у = a sin31.
X X
639. Цепной линии у = ^ (еа +е а ) между прямыми х — —а
и х = 0.
640. 2у = х2—2 между точками пересечения с осью Ох.
641*. у = In х между прямыми х — У~3 и х = У~8.
642. Кардиоиды р = а (1 + cos (р).
643. Первого завитка спирали Архимеда р = щр.
644*. Эволюты эллипса х = —cos3/, t/=&-sin3/.
645. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями:
1) хг = {у+\у и г/~ 4; 2) уг = 2рх и 2х = р.
§ 7. Площадь поверхности вращения
Если поверхность образуется при вращении дуги AM плоской
кривой вокруг оси Ох (черт. 112), то дифференциал площади этой
поверхности равен площади боковой поверхности усеченного
— 205 —
круглого конуса с образующей dl и радиусами оснований у и
У + dy:
ds = dl = л (2у + dy) dl^2ny dl,
а площадь поверхности, образованной вращением дуги АВ,
определяется формулой
(В) (В)
S = у ds = 2л У ydl, (1)
(Л) (Л)
где (Д) и (В) обозначают значения в точках А и В выбранной
переменной интегрирования, dl—дифференциал дуги кривой.
паити площадь
оси Ох: 1) дуги
вокруг
У
1_
А
О
X
В
Черт.
114
Превращении дуги АВ кривой вокруг оси Оу (черт. 113)
(В) (В)
ds^2nxdl; S= У ds = 2n у xdl. (2)
(Л) (Л)
поверхности, образованной вращением
кубической параболы у = х3, заключен-
2 2
ной между прямыми х= —н х —-%;
2) астроиды x = acos3/, y = asin3/;
3) эллипса -5- + Ь- = 1, а>о.
Решение. 1) Построив дугу пара-
болы между точками А ~ ) и В
\ «J it I ]
( —у ;—27 ) (чеРт- 114), замечаем, что
1 вращением этой дуги вокруг оси Ох,
состоит из двух одинаковых частей. Поэтому и согласно формуле
(1), имеем
2 2
V 3
S-2- 2л у у + (У')2 dx = 4л у х3 /1 + 9х* dx.
о о
— 206 —
Для вычисления интеграла полагаем 1+9х4 =
тогда 36x3dx — dz; гх=1 при х = 0; z2 = y ПРИ х =
25 25
9 1 з —
s=4n С /7£Z = AC I9 0>845>
fj ОО tJ У О I и! j
11 1
2) Применяя формулу (1), преобразуя ее к переменной /,
исходя из уравнений астроиды, получим
Я
2
S = 2 • 2л j у Ух2 + у2 dt =
О
я
2
= 4л^ a sin81 К(—За cos2/ sin /)2 + (За sin21 cos t)2 dt =
0
я я
2 2
= 12а2л sin41 cos t dt = 12а2л J sin41 d sin t =
о 0
я
12 2 . R J2 12 2
= а2л sin5 H = -=- ла2.
5 I 5
о
(Четвертая часть астроиды, расположенная в первом квадранте
(черт. 106) получается при изменении t от 0 до у . j
3) Дифференцируя по х обе части уравнения эллипса
2х <1ии> Ь2х
^ + -^- = 0, уу = --? и подставляя в формулу (1), находим
а а
5 = 2л j yy[+(y')2dx=4n.^yy2 + (yy')2dx =
~а о
а ________________ а ____________________
л С ч/\? Ь2х2 . b4x2 j 4лЬ С о а2 — 2 л
= 4л] у Ь2—tf- + ^rdx = — J у а2--------^-x2dx =
о о
= ~а” J й2—&2x2dx,
О
г fl2 —62 С
где е = -------== — — эксцентриситет эллипса.
— 207 —
Полагая ex = a sin/, получим е dx = a cos t dt\ tx — 9 прих = 0}
t2 = arc sine при х=а;
S = — С Уa2—a2 sin21 y cos t dt = —C cos2 t dt =
a J e e j
о о ,.
G x /’ /
==2^J(1_|_COs2/) dt=^~^ / + ~sin 2/jl =2nb(fe +^-arcsinej .
о 0
Отсюда при e—*0 получается площадь поверхности шара
S —4ла2.
647. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу: 1) дуги окружности x2 + (y—b)2 = R2 между ее
точками, где у=ух и у = у2, 2) петли кривой 9ах2 = у(3а—у)2.
Черт. 116
Решение. 1) Если дуга данной окружности не пересекает
оси Оу (своего диаметра), то при вращении ее вокруг этой оси
образуется поверхность, называемая сферическим поясом
(черт. 115). Дифференцируя по у обе части уравнения окруж-
ности 2хх' + 2 (у—Ь) — 0, хх'=—(у—Ь) и подставляя в фор-
мулу (2), получим
Уг __________ Уг
S = 2л J х У1 + (х')2 dy = 2л J Ух2 + (хх')2 dy =
Уг Уг
Уг
= 2л ^УR2—(у —b)2+ (y — b)2dy =
Уг
Уг
= 2л R J dy~2n R (у„ — у= 2эт RH,
Уг
где // — высота пояса. При H = 2R получим формулу площади
сферы 5 = 4л/?2.
2) Петля данной кривой (черт. 116) описывается текущей точкой
при изменении у от 0 до За., Поэтому, дифференцируя по у
— 208 —
обе части ее уравнения: 18ахх' = (3а—у)2 — 2у (За — у) ~
= 3(3а— у) (а — у), хх' = ——— и подставляя в формулу
(2), получим
за за
S = 2nJ /х2 + (хх')Мр = 2л J + {3а~у^°2~у)* dy=
о о
За За
= 2л J ]/~а2 + 2ау + у2 dy = ~^ (За2 + 2ау — у2) dy = Зла2,
о о
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох:
648. Окружности x = acosZ, y = asmt.
649. Дуги параболы у2 = 2х между точками пересечения
с прямой 2х = 3.
650. Одной арки циклоиды х — a (t — sin t), у = а(\—cost).
651. Одной волны синусоиды у = sinx.
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу:
Is
652. Дуги полукубической параболы х = 4—у, У = ^ между
точками пересечения с осями координат.
653. Эллипса Зх2 + 4у2 — 12.
654. Найти площадь поверхности тора, образованного вра-
щением окружности х2 + р2 = а2 вокруг прямой у = Ь, Ь>а.-
§ 8. Физические задачи
655. Определить давление воды на вертикальный прямоуголь-
ный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Величина рдавления жидкости на горизонталь-
ную площадку зависит от глубины ее погружения х, т. е. от рас-
стояния площадки до поверхности жид-
кости: р = 6ах; 6 —удельный вес жидкос-
ти, а — площадь площадки.
Руководствуясь общей схемой (II) при-
X
dx
менения определенного интеграла к
вычислению величин, разделим шлюз на Черт. 117
глубине х горизонтальной прямой
(черт. 117). Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет
некоторой функцией р (х). Найдем дифференциал dp этой функ-
ции, т. е. приближенную величину (главную часть) ее прира-
щения Ар при изменении глубины х на малую величину dx.
Допустим, ввиду малости dx, что все точки заштрихованной
полоски находятся на глубине х, т. е. что она расположена на
— 209
глубине х в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная ве-
личина давления воды на эту полоску будет равна весу столба
воды, имеющего основанием эту полоску, и высотой — глубину х:
&.p^dp= 18dxdx= 18xdx. (Удельный вес воды 6=1*.)
Согласно условию задачи глубина х изменяется на отрезке
0sgxsg6. Поэтому искомое давление Р на весь шлюз найдем,
интегрируя dp в пределах от 0 до 6:
в в
Р = 18j xdx = 9х2 j = 3247^324000 -9,81н«3178440н**«3,18Мн.
О о
656. При условиях предыдущей задачи найти, на какой глуби-
не х = с надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы
давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было оди-
наково.
Решение. Определим давление воды на каждую часть шлю-
за, интегрируя dp в пределах от 0 до с и в пределах от сдоб,
затем приравниваем интегралы друг другу:
с 8
18§xdx=l8$xdx; х2 = х2|“; с2=36-с2.
О С
Решая полученное уравнение, найдем с — 3]/~2а;4,23 м.
657. Определить давление воды на вертикальную плотину, име-
ющую форму трапеции, размеры которой указаны на черт. 118.
" заштрихованная полоска располо-
жена на глубине х в горизонталь-
ной плоскости и что она является
прямоугольником со сторонами у
и dx, найдем приближенную ве-
личину давления воды на эту по-
лоску Лр х- xydx — dp и затем
давление воды на всю плотину:
h
Р = § xydx.
О
Для вычисления интеграла выразим переменную у через пере-
менную х. Проведя вспомогательную прямую СЕ параллельно
В А, из подобия треугольников DCE и MCN имеем пропорцию
(а — 6): (а — у) — h: х,
из которой находим у —а——
шение. допуская, что
В а С
Черт. 118
* Здесь и далее удельный вес задается в Пен?.
** н (ньютон)—единица силы (веса) в Международной системе единиц
СИ; 1н st 0,102 кГ; 1 кГ =5=9,81 н.
— 210 —
Подставляя в подынтегральное выражение и интегрируя, по-
лучим
л
Р = j х (а — Ь)J dx = a J х dx— J х2 dx Л Д°+26).
О
658. Найти давление воды на поверхность шара диаметром
4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности
воды.
Решение. Проведем через центр шара вертикаль-
ную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему
координат хОу, как показано на черт. 119.
Рассечем шар на глубине h горизонталь-
ной плоскостью. Тогда давление воды на
отсеченную часть поверхности шара будет
некоторой функцией р(/г).
При изменении h на величину dh площадь
S отсеченной части поверхности шара, как
площадь поверхности вращения вокруг оси
Ох, изменится на величину &s&2nydl = ds,
где dl—дифференциал дуги окружности, а
давление р(/г) изменится на величину
Др«2л hy dl = dp.
Выразив dp через одну переменную х и
интегрируя в пределах от х = — 2 до х = 2,
найдем давление
воды на всю поверхность шара. Из уравнения окружности
х2 + г/2 — 4 найдем
у'=—и затем dl — j/1 + (y')2dx= J/ l+^-dx = -|dx; из
чертежа находим h — 3 + х. Следовательно,
Р — 2п J(3-|-x) У ~ dx = 4n J (3-T x) dx •— 2л (3-|-x)2 j2 ==
= 48л(Т)а?470880л(«)?»0,471л(Л4«).
Давление на верхнюю половину поверхности шара получим,
интегрируя dp в пределах от —2 до 0:
= 2л (3 ~Тх)2 |° 2 = 16л (Г)» 156960л(н)^0,157л(Л4«).
Давление на нижнюю половину поверхности шара будет
Р2 = 2л (3 + %)2= 32л (Т)»313920л(«)»0,314л(М«).
— 211 —
659. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла
из вертикального цилиндрического резервуара высотой И = 6 м
и радиусом основания R = 2 м. Удельный вес масла 6 = 0,9.
Решение. Величина работы q, затрачиваемой на поднятие
некоторого тела, зависит от высоты х его подъема: q = Рх, Р—
вес тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резер-
вуара слоя масла толщиною х, черт. 120, есть некоторая функ-
ция q (х) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем v слоя масла уве-
личится на величину Ду = nR2dx, его вес р увеличится на вели-
чину кр=п8 R2 dx, а затраченная работа q увеличится на вели-
чину kq^nbR2 xdx = dq.
Всю искомую работу Q получим при изменении х от 0 до Н.
Поэтому
н н
Q=a6R2§xdx = n8R2Y = & 64800л (кГм) да
да 64800-9,81л (дж) т 635688л (дж).*
660. При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необ-
ходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара,
если его ось имеет горизонтальное направление.
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, полагаем,
что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя
масла толщиною х (черт. 121), есть некоторая функция q (х) и
найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем v слоя масла
увеличится на величину Дуда И ydx = dv, его вес р увеличится
на величину &р да 6 Ну dx — dp, а затраченная работа q увели-
чится на величину Д<? да 6 Hyxdx = dq.
Вся искомая работа Q выразится интегралом от dq в пре-
* дж (джоуль) — единица работы в Международной системе единиц СИ;
1 дж да 0,102 кГлг, 1 «/'л да 9,81 дж.
— 212 —
делах от х = 0 до x = 2R:
2R 2R
Q — 6H J xy dx — 26H J x]fR2— (x — R)2dx,
о 0
где переменная у выражена через переменную х из прямоуголь-
ного треугольника ONM.
Для вычисления этого интеграла полагаем x — R = R sin/.
Тогда dx ~ R cos tdt- / = —-упри х = 0; / = у при x — R]
Л
Q=26H § (R+R sin t) R2 cos21 dt = 26 HR3
Л
” 2
(J
cos21 dt +
Л Л
4-j*cos2/ sin/ d/^’^ = 26//7?8(-|-/+-|- sin 2/—у cos3/=
г г
= ti6HRa = 43200л (кГм) » 423792л (дж).
661. Шар лежит на дне бассейна глубиной Н— 14д,м. Опре-
делить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если
его радиус R = 3 дм, а удельный вес 6 = 2.
Решение. При подъеме шара до поверхности воды сила Ри
совершающая работу, постоянна и равна
шара и весом вытесняемой им воды:
Рх = |л/?3б-|л/?3=± л/?3(6 —1).
Поэтому работа <?х, необходимая для под-
разности между весом
Черт. 122
нятия шара до поверхности воды, опре-
деляется элементарным путем как произ-
ведениесилыРх на высоту подъема// — 2R:
4
Qi = рх (Н - 2R) = f nR3 (6 - 1) (Н-2R).
При дальнейшем подъеме шара сила р, совершающая работу,
будет изменяться в зависимости от высоты х надводной части
шара (черт. 122):
р (х) = РШ — рв,
где Рш — вес шара, рв — вес воды, вытесняемой подводной частью
шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой
h = 2R—x:
pe = nh2[R~\=^(2R-x)2 (Я+х) = 4(х3-3/?х2 + 4Я3)-
Очевидно, и работа, совершаемая силой р (х), будет некоторой
функцией q (х). Допуская, что при подъеме шара еще на малую
— 213 —
высоту dx сила р(х) остается неизменной, найдем приближен-
ную величину приращения работы
А^ « p(x)dx — (PM — pe)dx = ~ [4Л?3(д—1)—х3 + 3Rx2]dx = dq.
Интегрируя dq в пределах от х = 0 до x = 2R, найдем работу
Q2, которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бас-
сейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:
2R
Q2 = ~ j [4Я3 (б-1)—х3 + 37?х2] dx =
О
2R
= 4 Г4Я3(6-1)х-4 + /?х3] I ^^С26-1)-
□ L 1 | □
о
Вся искомая работа Q — Qx + Q2 = y л/?3[/? + (б— 1)Я] —
= 61,2л (кГм)« 600,4л (дж).
662. Определить работу, необходимую для запуска ракеты
весом Р — 1,5 Т с поверхности земли на высоту Я = 2000 км.
Решение. Сила Р притяжения тела землей или вес тела
зависит от его расстояния х до центра земли: где
X —постоянная.
Если Р есть вес тела, когда оно находится на поверхности
земли, т. е. на расстоянии земного радиуса R от центра земли,
то P — -gi, k —PR2 и сила F, преодолеваемая двигателем под-
нимающейся ракеты в момент, когда она находится на расстоя-
нии х от центра земли, является известной функцией от х:
Полагая, что работа, совершаемая двигателем ракеты при
подъеме ее на высоту х, есть некоторая функция q (х) и допуская,
что при дальнейшем подъеме ракеты на малую высоту dx сила Р
остается неизменной, найдем приближенную величину прираще-
ния работы
Ас? « F (х) dx — dx = dq.
При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту Н пере-
менная х изменяется от RroR+Н. Поэтому искомая работа Q
выражается интегралом
R+H
Q= j $ %=PR> -1)|
R R *
— 214 —
Прир = 1,ЬТ,Н = 2000км, R = MWkm Q«%285714,000/cni«
«22 422 854 340 дж.
Работу, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью
освободить ракету от земного притяжения, можно определить
как предел работы Q (Н) при неограниченном возрастании Н:
lim Q (Я) =lim
При указанных значениях Р и R эта работа составит
9 600 000 000 кГм «94176 000 000 дж.
663. Цилиндр высотой H = 1,5jh и радиусом K = 0,4jn, напол-
ненный газом под атмосферным давлением (ЮЗЗОкЛ/л2), закрыт
поршнем. Определить работу, затрачи-
ваемую на изотермическое сжатие газа
при перемещении поршня на расстояние
h —1,2 м внутрь цилиндра.
Решение. При изотермическом из-
менении состояния газа, когда его темпе-
ратура остается неизменной, зависимость
между объемом v и давлением р газа выра-
жается формулой pv = c — const. (Закон Черт' 123
Бойля — Мариотта.)
Поэтому, если поршень будет вдвинут на х м внутрь цилиндра
(черт. 123), то давление р(х) газа на единицу площади поршня
будет п(х) = —= —-, а давление на всю площадь S
V\Х) о (П
поршня будет P(x) = Sp (х) = ^-р
Полагая, что работа, затрачиваемая при вдвижении поршня
на х м, есть некоторая функция q(x), и допуская, что при
дальнейшем вдвижении поршня на малое расстояние dx испыты-
ваемое им давление Р(х) остается неизменным, найдем прибли-
женную величину приращения (дифференциал) функции q (х):
Aq « Р (х) dx = dx = dq.
Всей искомой работе Q соответствует изменение х от 0 до h,
поэтому
Л h
«=4я!=т=~с1п(//-*)1 =с,пи-'
о о
При Н— 1,5 м, Я = 0,4 м, h = 1,2 м, р0 = 10 330 кГ/м? най-
дем о0 = nR2H = 0,24л Л13; с = povo — 2479,2л; Q « 12533,3 кГмж
& 122951,7 дж.
— 215 —
664. При условиях предыдущей задачи определить работу
адиабатического сжатия газа *, при котором его объем v и дав-
ление р связаны соотношением pt? = c = const (закон Пуассона),
где k — постоянная для данного газа величина, большая единицы.
(Для воздуха кя 1,4.)
Решение. Повторяя те же рассуждения и употребляя те
же обозначения, как и в решении предыдущей задачи, найдем
следующее выражение для дифференциала работы:
dq ----..
S*-i(//_ X)k
Интегрируя в пределах от х —Одох = Л, получим всю иско-
мую работу
__ c
l—k
Л (
5й-1 J (ff—x)k J
0 h
— o=
h
„ PqVq Г ( H \
k — 1 \H—h)
О
1___________1_
(H— h)6-1 fl*"1
Полагая /7= 1,5м, k—1,4, найдем
Q ^479^ — j] 17593,4 кГм « 172591,3 дж.
Сравнение этого результата с предыдущими показывает, что
работа, затрачиваемая при адиабатическом сжатии газа, больше,
Черт. 124
чем при изотермическом.
665. Прямоугольный резервуар с площадью
-г горизонтального сечения S = 6m2 наполнен
I водой до высоты Н = 5м. Определить время, в
•pi течение которого вся вода вытечет из резер-
вуара через небольшое отверстие в его дне
площадью 8 = 0,01 м2, если принять, что ско-
рость истечения воды равна 0,61^2gA, где h —
высота уровня воды над отверстием, g—ус-
корение силы тяжести.
Решение. Согласно общей схеме (I) ра-
зобьем искомое время Т на большое число п малых про-
межутков Д/ъ Д/2, ..., Д/„, и пусть за каждый такой промежу-
ток уровень воды в резервуаре понижается на величину
Дх = -^(черт. 124).
* В адиабатическом процессе температура газа меняется: при увеличе-
нии объема она понижается, а при уменьшении объема повышается.
— 216 —
Если допустить, что в течение каждого малого промежутка
времени Д/(- скорость истечения воды через отверстие в дне ос-
тается постоянной, равной ее значению в начале промежутка
0,6 ]/r2g(/7—К;), то, приравняв объем воды, вытекшей с та’кой
скоростью через отверстие в дне за промежуток А/г-, объему опо-
рожнившейся за этот же промежуток части резервуара, получим
приближенное равенство
0,6s V—Xj) « SAx,
откуда
. , S Ax
At ж-----r. , . .
0,6s
Приближенное значение всего искомого времени Т будет равно
сумме
Т = ~ “ 0,6s K2g(W—xz) ’
где по условию задачи точки х,- заключены на отрезке [0, Н].
Убедившись, что с возрастанием п погрешность полученно-
го приближенного значения Т стремится к нулю, найдем точное
значение Т как предел интегральной суммы (*) при п—>4-оо,
т. е. как соответствующий определенный интеграл
Н 1 1 о __
Т =----$ (“(//_х)" 2 2S <Н_ху I = S Aff.
0,6sK2gJV 0,6s 2g I r g
0 n
Подставляя числовые значения параметров, получим Т «
« 1010 сек,« 16,83 мин.
Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась,
т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и
скорость истечения воды была бы постоянной, равной 0,6 ]/2g/t
В этом случае в каждую секунду через отверстие в дне резер-
вуара будет вытекать объем воды 0,6s ]^2gH, равный объему
прямого цилиндра с площадью основания $ и высотой 0,6 ]^2gH.
Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающейся
в резервуаре, вытечет из него за время
Т SH 1 S т/2Й
1 0,6s V2iH 2 0,6s V
Сопоставление этого результата с предыдущим показывает,
что время истечения Т, без возмещения убыли воды в резервуаре,
в два раза больше времени истечения 7\, при постоянном воз-
мещении убыли воды; Т — 27\.
666. При условиях предыдущей задачи определить, за какое
время уровень воды в резервуаре изменится на h м, если сверху
в него непрерывно будет протекать V м3 воды в секунду?
— 217 —
Решение. В этом случае за малый промежуток времени А/
объем воды в резервуаре изменится на величину
S Ах » [0,6s /2g (Я—х)—V] М,
откуда
А/ »------7.f Ax.,.:-— dt.
0,6s у2g(H—x)—V
Интегрируя dt в пределах от х = 0дох = h, найдем искомое
время Т2, за которое уровень воды в резервуаре изменится на/г(л():
h
rrt р dx
2 J уГн—х—Ь ’
о
где
S к У
а =-----— ь —----------т=-.
0,6s у 2g 0,6s/2g
Применяя подстановку У Н—x — z, получим dx =— 2zdz;zt =
~УИ при х = 0; г2 = /Я—h при х = /г;
Zz г, Ун
T2==a\~TZ^==2a f (l + ^zyW = 2a(z + &ln|z—&|) =
zx zs V'H—h
= 2a
Ун—b
Ун~—й—Ь
Здесь изменение уровня воды в резервуаре может быть двояким.
Если в начальный момент при Л = 0 скорость притока воды V
будет меньше скорости ее убывания из резервуара 0,6s V 2gH, то
уровень воды будет понижаться до тех пор, пока эти скорости
не станут одинаковыми. После этого вода будет оставаться на
постоянном уровне, меньшем первоначального уровня Н на
величину hlt определяемую из уравнения 0,6s У 2g (И—h^ — V.
Если же в начале процесса V> 0,6s У2gH, то уровень воды в
резервуаре будет подниматься до тех пор, пока не превысит перво-
начальный уровень Н на величину h2, определяемую из уравнения
0,б5/2^(7ГШ = И,
после чего уровень воды в резервуаре будет оставаться неизменным.
667. Два одинаковых сосуда имеют форму прямого круглого
конуса с вертикальной осью; их расположение и размеры показаны
на черт. 125. Оба сосуда наполнены водой и затем опорожняются
через небольшие одинаковые круглые отверстия внизу.
Определить время опорожнения каждого сосуда и в какой
момент времени вода в обоих сосудах будет на одном уровне,
если их опорожнение началось одновременно.
- 218 —
Черт. 125
Решение. Полагаем, что время t, за которое уровень воды
в первом или во втором сосуде понизится на величину х, есть
некоторая функция t (х) и найдем ее дифференциал dt при измене-
нии х на величину dx.
Пусть понижению уровня воды в сосуде на малую величину dx
соответствует малое приращение времени А/. Тогда, допуская,
что в течение этого малого промежут-
ка времени вода вытекает из сосу-
да с постоянной скоростью, равной
0,6 V2g(H—х), найдем, что объем во-
ды, вытекшей за время А/ через от-
верстие в дне площадью яг2, будет
Ао « 0,6лг2 У 2g (Н—х) №.
За это же время № объем воды
в сосуде уменьшится на величину
« ny2dx, которая должна быть равна объему вытекшей воды
At». Отсюда, из равенства Ao^At»!, получим
0,6г’ У~2ё(Н — х)
Время Т полного опорожнения первого или второго сосуда
получим, интегрируя dt в пределах от х = 0 до х = Д:
н
'Р _ 1 С у2 dx
0,6г’ У 2g J Ун^х ‘
Для вычисления этого интеграла выразим переменную у через
переменную х.
Из подобия треугольников АВС и NBM* имеем:
, „ Н Н—х R .
а) для первого сосуда -^- = —— , у = _ (// —х);
Н х R
б) для второго сосуда -д~ ——; у — -^-х.
Поэтому время 7\ полного опорожнения первого сосуда будет
Т = Ri С Ш-x)* dx = 7?’ .2 (Н-х)2
1 0,6г’//’к2gJ УН-^х 0,6ra№ |/*2g ' 5
__ 2/?’
3r2 V 2g *
* Здесь вследствие малости г по сравнению с другими размерами сосуда
и для упрощения вычислений допускается, что осевое сечение сосуда пред-
ставляет треугольник, а не трапецию.
— 219 —
Время Т2 полного опорожнения второго сосуда выражается
интегралом
Т — Ri Л-........
2 0,6ra//aK2g j Vh~x
Вводя новую переменную z = H—х, имеем: dx =— dz\ zr = H
при х = 0; za = 0 при х — Н;
Н О Н 1 1 3 б
С /5^... = _ f Iff ~f>a dz=i (H2z~ 8 — 2Яг2 +z3)dz=^H2 .
J Ун-х J /г J v 17 15
Подставляя найденное значение интеграла, получим Т2 —
=16/?а -i/fft
9r2 V 2g '
Сопоставив Т2 и 7\, взяв их отношение = 4 ’ заключа-
ем, что первый сосуд опорожняется значительно (почти в три
раза) быстрее второго. При этом, если опорожнение сосудов
начинается одновременно, то в начале процесса уровень воды
в первом сосуде будет выше, чем во втором, затем наступит
момент, когда уровни воды в обоих сосудах сравняются, после
чего уровень воды в первом сосуде будет неизменно и все бо-
лее ниже, чем во втором.
Для определения времени, спустя которое после начала од-
новременного опорожнения сосудов вода в них будет на одном
уровне, найдем зависимость времени t истечения воды от вели-
чины х понижения ее уровня для каждого сосуда.
Интегрируя dt в пределах от х = 0 до х — х, получим:
а) для первого сосуда
А ± 2 -ю 2 Г - -1
t = b i (Я — х)2 dx = у & (Я — х)2 I = у b [Н 3 — (Я — х)2 J ,
о
где
к__ R3
0,6га№ /2g ’
б) для второго сосуда
1 2 Н ( -J- з \
j [нзг 3 — 2Hz3 -j~zTJ dz —
0 H-x
/ 2. 4 A 2 H
= b ( 2Я2г2 — АЯг2 + 4?2
\ 3 5 / н
[яа-(Я-х)2]}.
— 220 —
Г s JL]
[Я2 - (Я —х)2] ;
Рассматривая полученные зависимости t от х для первого
и второго сосудов как уравнения с искомыми неизвестными
t и х и решая их как систему (исключая t), найдем:
9 Г — А.1 Г — -11
~ [Я2 -(Я-х)2] = 2Н2 [Н* — (Я — х)2] —
4 Г — —12
н [Я2 -(Я-х)2]+-|
Г JL JL1 9 Г -1 -1]
Н [Я2 -(Я-х)21—4 [Я2 -(Я-х)21 =0;
О J
/Я-^х(Я + 2х) = УЯ3; ЗЯ2 —4х2 = 0; х = ^Цр1.
По найденному значению х из первого (или второго) урав-
нения определяем I'.
2 — Г / У~зГ \—
t = ~bH2 1-(1--L±p .
По истечении этого промежутка времени t после начала од-
новременного опорожнения обоих сосудов вода в них будет на
одном уровне
/г = Я —х = Я &0Д5Н.
668. Определить массу шара радиуса г, если плотность
в каждой его точке пропорциональна расстоянию ее от центра
шара.
Решение. Пусть масса шара произвольного радиуса х есть
некоторая функция ш(х).
При увеличении х на малую величину dx объем v этого
шара увеличится на величину Av, равную разности объемов
шаров с радиусами х и x-j-dx:
Av = 4 л [(х + dx)3 — х3] =
О
= 4 л (3x2dx + Зх dx2 -ф dx3) л; 4лх2 dx = dv.
Допуская, что во всех точках малого объема dv плотность
остается неизменной и равной kx, найдем приближенную вели-
чину его массы dm = kx dv = 4knx3 dx.
Искомую массу M шара радиуса г получим, интегрируя dm
в пределах от х = 0 до х — г:
Г
М = 4/гл J х3 dx = knx* £ = kar*.
о
— 221 —
669. Квадрат со стороною 8 м вертикально погружен в воду
так, что одна из его сторон лежит на поверхности воды. Опре-
делить давление воды на весь квадрат и на каждую из частей,
на которые он разделяется диагональю.
670. Цилиндрический резервуар с горизонтальной осью и ра-
диусом 3 дм наполовину наполнен ртутью (удельный вес 13,6).
Определить давление ртути на каждую из плоских вертикаль-
ных стенок резервуара.
671. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды
из котла, имеющего форму полусферы с радиусом 2 м.
672. Цилиндрический сосуд объемом в 0,1 м3 наполнен ат-
мосферным воздухом, который, изотермически расширяясь, вы-
талкивает поршень (в пустоту). Найти работу, совершаемую
воздухом при увеличении его объема до 0,3; 0,4; 0,5 Л13. (Атм.
давление 10330 к.Г1м2.)
673. При условиях предыдущей задачи найти работу адиа-
батического расширения воздуха.
674. Прямой круглый конус с вертикальной осью погружен
в воду так, что его вершина находится на поверхности воды.
Определить работу, необходимую для извлечения конуса из воды,
если его высота 10 дм, диаметр основания 20 дм, а удельный
вес 3.
675. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вы-
числить работу, необходимую для извлечения балки из воды,
если известны ее размеры а = 6 м, b — 0,3 м, с = 0,2 м и удель-
ный вес 6 = 0,8.
676. Зная, что растяжение (удлинение) пружины пропорци-
онально растягивающей силе, найти работу, затрачиваемую при
растяжении пружины на 4 см, если для удлинения ее на 1 см
требуется сила 3 кГ.
677. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имею-
щая высоту Н и радиус основания R, заполнена водой.
Определить, за какое время через отверстие в дне пло-
щадью S опорожнится:
1) верхняя половина цистерны и 2) нижняя половина
цистерны. *
678. Определить количество воды, протекающей за 1 секунду
через прямоугольный водослив вертикальной плотины, если его
глубина h, а ширина а*.
679. Определить массу прямого круглого конуса, высота
которого равна Н, а угол между высотой и образующей а, если
плотность в каждой точке конуса пропорциональна расстоянию
ее от плоскости, проходящей через его вершину параллельно
основанию.
* См. указание к задаче 665.
— 222 —
§ 9. Координаты центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называ-
ется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих
точках.
Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные
координаты центра тяжести С определяются формулами
хс = —
с т
(В)
dl
(4)______
(В)
(А)
(В)
St/ dl
и — — <л>
т — (В)
(4)
(О
где т — масса дуги АВ; тх и ту — статические моменты этой
дуги относительно осей Ох и Оу; 6 (УИ) —линейная плотность
распределения массы в точке М (х, у) дуги; dl — дифференциал
дуги; (Д) и (В) обозначают значения выбранной переменной
интегрирования в точках А и В.
Если материальная дуга является однородной, то формулы (1)
упрощаются: постоянная 6 выносится за знаки интегралов и со-
кращается.
Для материальной однородной криволинейной трапеции, при-
лежащей к оси Ох (см. черт. 87),
xydx
Ус =
ь
yidx
а
b
2^ у dx
а
(2)
Центр тяжести однородной материальной линии или фи-
гуры, имеющей ось симметрии, лежит на этой оси.
680. Найти центр тяжести четверти окружности х2-\-у* = а2,
расположенной в первом квадранте, если в каждой ее точке ли-
нейная плотность пропорциональна произведению координат
точки.
Решение. Из уравнения окружности найдем у', затем dl;
2х-\-2уу'=0; y' = — j;
dl = /1 + (г/')2dx = l-f-^dx = = y dx.
— 223 —
Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1),
полагая, согласно условию, b = kxy\
J 6xdZ = y kxy-x-^ dx = ka§ x2dx = ^ x3J° = y~,
(Л) о о
(B) a a
J tydl = ka^ xydx = ka^ x Va2 — x2dx =
(Л) о о
0 j g
= у J (a2 - X2)Td (a2 - x2) = у (a2 - x2)T,
a
(B) a
C 8dl = /га C xdx = x2 I ° ~ .
J J 2 I о 2
M) о
Подставляя значения интегралов в формулы (1), получим
2
хс~ Ус —у а-
Очевидно, найденная точка не лежит на данной дуге, а рас-
положена ниже ее.
681. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды
х — a(t— sin/), у = а (1 — cos /), черт. 126,
Решение. Данная однородная дуга симметрична относи-
тельно прямой х = яа. Поэтому центр тяжести дуги лежит на
этой прямой, т. е. хс~яа. Для определения ус найдем диффе-
ренциал дуги циклоиды
dl = V х2-\-у2 dt = Уа2 (1 — cos/)2 + a2 sin2 tdt = 2а sin yd/
и вычислим интегралы, содержащиеся во второй из формул (1):
(В) 2 л
/г = J бу dl = 26a2 J (1 — cos /) sin у dt —
И) о
= 26a2 sin у dt — j* cos t sin у dt ) | =
= 26a2 { 2 j sin 4 d \ -1J [ sin 11 + sin (- £)] dt} | ™ =,
ns , / r> I , i з . \ 12Л 32 „
= 26a2 — 3 cos -77 4- v cos -75- / — -5- 6a2.
\ 2 о 2 ) j о о
(В) 2Л
/2 = У 6 dZ = 26a У sin-^ dt -= — 46a cos |2" ~ 86a.
(Л) 9
По формуле (1), yc — ^a.
— 224 —
682. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки),
ограниченной параболой х + Ку = Ка и осями координат.
Решение. Данная однородная фигура симметрична отно-
сительно биссектрисы первого коор-
динатного угла (черт. 127), поэтому
•'-с ~ Ус-
Черт. 127
Вычислим интегралы, содержащиеся в первой из формул (2):
Следовательно, хс = ус = у — -у .
683. Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности
х2 + у2 — а2, расположенной под осью Ох.
684. Найти центр тяжести однородного полукруга х2 + у2^а2,
расположенного над осью Ох.
685. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной
дугой эллипса х = асоз/, у — b sin/ и координатными осями,
расположенной в первом квадранте.
686. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограничен-
ной параболами х2 — 20у и у2 — 20х.
687. Найти центр тяжести однородной дуги астроиды х = a cos8/,
y~asmst, расположенной правее оси Оу.
688. Найти центр тяжести дуги астроиды, расположенной
в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке
пропорциональна абсциссе точки.
§ 10. Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функ-
ций называются несобственными.
8 Заказ № 3201 — 225 —
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами ин-
тегрирования определяются посредством предельного перехода:
+ со ₽
[f(x)dx — lim ^.f(x)dx, (1)
а Р-*+»а
Ь Ь
^f(x)dx = lim ^f(x)dx, (2)
-со а->-со“
+ со с Р
J f(x)dx = lim Jf(x)dx + lim {f(x)dx, (3)
-Ю а-*-®" Р-++а>с
где с—произвольное вещественное число.
II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными
разрывами также определяются посредством предельного
перехода:
если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х — с,
принадлежащий отрезку [а, Ь], и непрерывна во всех других
точках этого отрезка, то
Ь с-St Ь
{f(x)dx = lim f f(x)dx + lim C f(x)dx,
J г,-*-+o sa->- + o J
a a c + e2
(4)
где 8X и e2 изменяются независимо друг от друга.
Несобственные интегралы называются сходящимися или расхо-
дящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие
их пределы соответствующих определенных (собственных) интег-
ралов.
689. Найти следующие несобственные интегралы:
+ 00
1) j* e~xdx\
о
dx
F+"l
4)
Г dx
J у (7^1)5 ’
Пояснить решение геометрически.
Решение. 1) Пользуясь равенством (1), имеем
e~xdx = lim
£-> + <30
3 3
e~xdx — lim(— =lim(e° — е~$)= 1.
о о
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.
Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий
ь
определенный интеграл ^f(x)dx дает алгебраическую сумму пло-
а
щадей, ограниченных кривой y = f(x), двумя вертикальными пря-
мыми х — а, х — Ь и осью Ох. Поэтому, построив кривую у = е~х
п ее ординаты в точках х = 0 и х=0 (черт. 128), получим кри-
— 226 —
волинейную трапецию ОЛВ0, площадь которой
Р
S(0)= J e~xdx= 1— е~9.
о
При 0 —> + оо получим трапецию с бесконечным основанием,
которая имеет конечную площадь S(4-oo)== lim S (0)== 1.
CD
Черт. 129
2) Пользуясь определением (3), получим
+ 00 0 ₽ О
Г Лт - Ji j +„i. L-чп=lim arc H +
- 00 a 0 a
p
4-limarctgx = —arctg( —oo)4-arctg(4-oo) =
p
Геометрически (черт. 129) интеграл от функции f (х) =
в пределах от а до 0 выражает площадь криволинейной трапе-
ции аЛВ0, а данный несобственный сходящийся интеграл выра-
жает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая
неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем
имеет конечную величину л.
3) Здесь при х = 0 подынтегральная функция — имеет бес-
конечный разрыв. Согласно определению (4)
i 1 1
Г —«е lim С—= limlnx| =lim(lnl — lne)= —1п0=-f-oo,
J x e -* + o J x I
о <s в
т. e. этот несобственный интеграл расходится.
8*
— 227 —
Геометрически (черт. 130) полученный результат указывает,
что площадь криволинейной трапеции е.АВЬ
S(e) = J£=-lne
е
при 6—«-+0 неограниченно возрастает.
4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный раз-
рыв в точке х=1, лежащей внутри отрезка интегрирования
1 — 1; 2|. Поэтому, согласно определению (4),
Для графика подынтегральной функции y=^^L==
у (х О
(черт. 131) прямая х=1 является вертикальной асимптотой. Ин-
<?| € 8=1
Черт. 130
Черт. 131
тегралы от этой функции в пределах от — 1 до 1 — ех и от 1 Ч-е2
до 2 выражают площади криволинейных трапеций аАРе и i]QBb.
При —<-4-0 и е2—<-4-0 эти трапеции неограниченно прости-
раются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма
которых равна найденному значению данного несобственного
сходящегося интеграла.
690. Найти несобственные интегралы:
2 ' +«
(' x3dx n. In х ,
n -v--=; 2) I —^dx.
J f 4 —xl J xi
0 1
— 228 —
Решение.
1) Преобразуем интеграл к новой переменной. Полагая
x = 2sin/, получим: dx — 2 cos tdt; t — Q при x = 0; t = -y
при x = 2;
Л л
2 2 2 0
fyS= = 8 f —c2*ldt = 8 f sin8M/ = 8 f (1 — cos8/) d cos / ==
I У4-х’ J cost J J ' '
oo on
s
о
of j I 4 f I 16
= 8 ( COS /-у COS3 t ] = у.
я
3
Здесь в результате замены переменной данный несобственный
интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом
конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный
интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом
интегрирования, который вычислен обычным путем без приме-
нения предельного перехода.
Возможно и обратное. При замене переменной собственный
интеграл может перейти в несобственный.
2) Согласно определению (1)
+ 00 3
С In xdx С In х dx
J —“Л™ J—-
1 1
К последнему интегралу применяем формулу интегрирования
по частям J и dv~uv — vdu. Полагая н = 1пх, dv — x~3dx, по-
, dx 1
лучим du=—, v=—2^5 и
Р
f In х .
\—^-dx —
J Xs
In x 1 I
2xa 4x21
1
In P 11
20a 402 + 4 •
Подставляя в предыдущее равенство, имеем:
1 1
4 4₽а
lim
(3->+ 00
2ра / ' 4 2 Р3
4 2 ,im(p :2Р)~ 4 ’
Здесь для нахождения предела последнего слагаемого приме-
нено правило Лопиталя.
— 229 —
Найти несобственные интегралы:
1
691. е* dt. 692.
— CD
1
693. J In xdx. 694.
0
0
695. J xex dx. 696.
— co
6
697. C dx 898.
J У (4—x)2 2
dx
х2 -|- 2х -|- 2
2
f dx
о
2
(* xdx
J х2^]'
- 2
X
899. Найти площадь, заключенную между кривой у = е 3 и
осями координат (при х^эО).
700. Найти объем тела, образованного вращением кривой
X
У =
(при х^эО) вокруг ее асимптоты.
§ И. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Для приближенного вычисления определенных интегралов
имеется несколько способов. Если функция f (х) задана форму-
лой или таблицей, то приближенное значение определенного
ь
интеграла f(x)dx можно найти следующим путем:
а
1) разделить интервал интегрирования [а, Ь] точками хх, х2,
и t fa “ “ CL
х3, ...» на n равных частей h = —;
2) вычислить значения подынтегральной функции y = f(x)
в точках деления y0 = f(a), y^f^), y2 = f(x2), ...,уп^ =
= yn = f(b)-
3) воспользоваться одной из приближенных формул.
Наиболее употребительны следующие приближенные форму-
лы, основанные на геометрическом представлении определенного
интеграла в виде площади криволинейной трапеции.
1. Формула прямоугольников
Ь п-1
\ydx&h(iy0+yi+yi + ... +yn-i) = h Ц yi (1)
а 1=о
ИЛИ
6 , п
<\ydxxh(y1 + y2+y3 + ...+yn) = h'^iyl. (la)
a i = i
— 230 —
Геометрически (черт. 132) по этой формуле площадь криво-
линейной трапеции аАВЬ, которая соответствует интегралу
ь
J ydx, заменяется суммой площадей заштрихованных прямо-
а
угольников.
Погрешность формулы прямоугольников
с , X — (Ь—а)2 '
6(П)< ~^-УнБ,
где у'нб — наибольшее значение |//'| в интервале \а, Ь\.
II. Формула трапеций
ь
^ydxmh (^^ + У1 + Уг+ . . +yn-i ) = h +
а
п-1 \
+ (2)
г=1 /
Геометрически (черт. 133) по этой формуле площадь криво-
линейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихован-
ных трапеций.
Погрешность формулы трапеций
® (^) 12пг УНБ>
где Унб — наибольшее значение \у"\ в интервале 1а, Ь].
III. Формула параболических трапеций (Симпсона); п —
число четное.
ь
§ydx ж у [Уо + уп + 4 (У1+У3+ • • • +Уп-1) +
-4-2 (г/2-4-г/4-4- .. - 4-г/„_г)1. (3)
— 231 —
Геометрически (черт. 134) по этой формуле площадь каждой
пары вертикальных полосок x,P,Pi+2x/+2 заменяется площадью
одноименной параболической трапеции, получаемой при замене
соответствующего участка кривой y = f(x) дугой параболы у —
= ахг + 0х + у (с вертикальной осью), проходящей через три
точки кривой с абсциссами х(-, х/+1 = хг-|-й и xi+2 = х; + 2/г.
Погрешность формулы Симпсона
где Унб — наибольшее значение \у<*>| в интервале (а, 6}.
Очевидно, все указанные приближенные формулы будут тем
точнее, чем больше взято п, т. е. прн достаточно большом зна-
чении п посредством каждой из этих формул можно вычислить
приближенное значение определенного интеграла с любой же-
лаемой точностью.
При одном и том же значении п обычно вторая формула
точнее первой, а третья точнее второй.
9
701. Вычислить интеграл J j/~6x — 5 dx по формуле Ньютона—
I
Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, тра-
пеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 8 рав-
ных частей. Затем оценить в процентах погрешность результа-
тов, полученных по приближенным формулам.
Решение. По формуле Ньютона —Лейбница
• , • 1 , з , *
I = \^6x-5dx = i- С(6х—5)» d(6х — 5) =-Jr(6х — 5)2 =38.
J в t) *'1
I 1 I
Далее делим интервал интегрирования (1; 9] на 8 равных
частей, находим длину одной части /г=1, точки деления xit
значения yt подынтегральной функции у = ]/бх — 5 в этих
— 232 —
точках:
х0 — 1 х1~2 х2 = 3 х3 = 4 ^=/7=1,0000 ^=/7=2,6458 у2 =/13 = 3,6056 ys = /19 = 4,3589
х4 = 5 у4 = /25 = 5,0000
х6 = 6 у5 = /31 =5,5678
хл~7 Ул =/37 = 6,0828
х7 = 8 У1 = /43 = 6,5574
х8 = 9 уа = /49 = 7,0000
и вычисляем интеграл по приближенным формулам.
7
По формуле прямоугольников (1) / ^^у( — 34,8183.
Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по не-
достатку) равна 38 — 34,8183 = 3,1817, а относительная (про-
центная) ошибка равна У «8,37%.
8
По формуле прямоугольников (la) / «^ у, = 40,8183.
Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а отно-
2,8183-100 , лпа,
сительная ——-----» 7,42%.
ОО
7
По формуле трапеций / « 4 + = 37,8183.
Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а отяо-
0,1817-100 а л о о/
сительная ——™----«0,48%.
Оо
По формуле Симпсона
4-(8 + 4-19,1299 + 2-14,6884) « 37,9655.
О
Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная
°’o3g.:lg-°»O,O9%.
ОО
702. По формуле Симпсона вычислить приближенное значе-
Л
Т
ние интеграла J cosxdx с точностью до 0,00001.
о
Решение. Вначале определим, на какое число п частей
следует разделить интервал интегрирования ^0, y-j, чтобы по-
лучить заданную точность вычисления.
— 233 —
Полагая погрешность 6(п) формулы Симпсона меньше 10-5,
имеем
(Ь—а)* (4) 1П_5
180 п* УиБ < *0 •
Подставляя а = 0, 6=у,унБ=1 ^наибольшее значение |z/4) | =
= | cos х | в интервале Jo, у])» получим
28 180 10 5; п>$п ]/" 36 —8,5.
Далее, полагая п= 10 (ближайшее четное число, большее 8,5)
определяем точки деления х; и соответствующие им значения у(
подынтегральной функции y — cosx (с одним лишним десятичным
знаком, л « 3,141592):
х0 = 0,000000 у0= 1,000000
х4 = 0,157080 У1 = 0,987688
х2 = 0,314159 z/2 = 0,951057
х3 = 0,471239 у3 = 0,891007
х4 = 0,628318 z/4 = 0,809017
х5 = 0,785398 z/5 = 0,707107
хв - 0,942478 ув = 0,587785
х7= 1,099557 г/7 = 0,453991
х8= 1,256637 у8 = 0,309017
хв = 1,413716 у9 = 0,156435
х10 = 1,570796 z/10 = 0,000000
Подставляя в формулу Симпсона, получим искомое значение
интеграла с точностью до 10_fi:
Л
2
J cos X dx « 0,0523599 (1 +4-3,196228 + 2-2,656876) « 1,00000.
О
В решении этой задачи показано, что для вычисления ин-
теграла с заданной точностью, когда известно аналитическое
выражение интегрируемой функции, можно, исходя из указанных
неравенств для оценки погрешности приближенных формул,
заранее определить необходимое число делений интервала ин-
тегрирования, которое бы обеспечило заданную точность.
Однако во многих случаях аналитическое выражение инте-
грируемой функции таково, что трудно найти наибольшее зна-
чение во всем интервале интегрирования для производных первого,
второго или четвертого порядков, которые содержатся в нера-
венствах, определяющих погрешности формул прямоугольников.
— 234 —
трапеций или Симпсона. Поэтому в вычислительной практике
вместо указанных неравенств для оценки погрешности прибли-
женного вычисления интегралов часто применяютдругиекритерии,
с которыми можно ознакомиться в специальных пособиях по
приближенным вычислениям.
703. Следующие интегралы вычислить по формуле Ньютона —
Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников,
трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на
10 равных частей. Затем оценить в процентах погрешность ре-
зультатов, полученных по приближенным формулам. (Все вычи-
сления делать с четырьмя десятичными знаками.)
1
2) J
о
dx
F+T ’
704*. На сколько частей следует разделить интервал инте-
2
С dx ,
грирования интеграла 1 чтобы вычислить его с точностью
1
до 10~2 по приближенным формулам: 1) прямоугольников,
2) трапеций и 3) Симпсона.
3
о (/х
705. По формуле Симпсона вычислить интегралы \ и
2
Л
4
J sin (х2) dx, разделив интервал интегрирования на 10 равных
о
частей.*
706*. Найти длину дуги эллипса x = 10cosf, y = 6sin£, при-
менив к интегралу, определяющему четверть всей дуги, форму-
лу Симпсона.*
* Все вычисления выполнять с тремя десятичными знаками.
ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение
и область определения
Переменная и называется функцией п переменных (аргументов)
х, у, г, . . t, если каждой системе значений х, у, z, ..., t, из
области их изменения, соответствует определенное значение и.
Функциональная зависимость и от х, у, z, ... , I символически
обозначается: u = f(x, у, z, ...,t), где после символа функции
(которым может быть не только буква /, но и другие буквы)
в скобках указываются все переменные, от которых зависит
данная функция.
Частное значение функции Р(х, у, г, ..., t) при х — а, у — Ь,
z-==c, — l обозначается Р (а, Ь, с, ...,Г). Например, если
= то F(-2;3; 10) = з=^=-3.
Геометрически каждая система значений двух переменных
х, у изображается точкой на плоскости, а функция двух пере-
менных 2 — f (х, у)—некоторой поверхностью в пространстве',
система значений трех переменных х, у, z изображается точкой
в пространстве. (Обычно значения переменных рассматриваются
как абсцисса, ордината и апликата точки в прямоугольной
системе координат.)
Система значений четырех и большего числа переменных не
имеет геометрического изображения. Однако, в целях общности,
для упрощения записей и рассуждений, систему значений лю-
бого числа п переменных х, у, z, ..., t называют точкой п-мер-
ного пространства М(х, у, г, ..., I), а функцию и, зависящую
от п переменных, называют функцией точки п-мерного про-
странства u=f(x, у, z, ..., t) = f(M).
Областью определения (существования) функции называется
совокупность всех точек, в которых она имеет определенные
действительные значения.
Для функции двух переменных z — f(x, у) область определения
представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для
— 236 —
функции трех переменных u — F(x, у, г) — некоторую совокуп-
ность точек пространства.
707. Вычислить частное значение функции:
О f (х> У) = Кхг — У2 при х = 5, у =— 3;
2) и = 1по-+г в точке А (6; 2; — 1).
/ 2у —г ' ’
Решение. 1) f (5; — 3) = У 5а —(—3)а — 4;
2) п(Л) = 1п^ = 0.
708. Построить область D изменения переменных хну,
заданную следующими неравенствами:
1) 2<х<6, 1<!/<3;
3) 4 < х2 4- у2 9;
4) 0<г/<х.
Решение. 1) Данным неравенствам удовлетворяют коор-
динаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямо-
угольника, стороны которого лежат на прямых х = 2, х = 6,
у= 1 и у — 3. Этот прямоугольник и есть область D изменения
У
г
т
1
2SX&6
1&у43
Черт .135
Черт. 136
переменных хну (черт. 135). Такая область, в которую входит
и ее граница, называется замкнутой.
2) Здесь область D есть совокупность всех точек, лежащих
внутри эллипса-д 4-^-= 1, так как все эти точки, и только
они, удовлетворяют данному неравенству (черт. 136). Такая
область, в которую не входит ее граница, называется открытой.
3) Здесь область D есть круговое кольцо, ограниченное ок-
ружностями ха4-{/г = 4 и х24~Уг = 9 с общим центром в начале
координат и радиусами гг = 2 и г2 = 3, черт. 137 (замкнутая
область).
4) Здесь область D (открытая) ограничена биссектрисой пер-
вого координатного угла и осью абсцисс (черт. 138).
— 237 —
709. Найти области определения следующих функций:
1) 2 = 4 — х — 2у,
4) 9 =
V XIJ
2)
5)
Р х2Н-{/2’
х*у
3) 2 = /1-ха-//г;
6) v = arcsin (х+у).
и —
Решение. Руководствуясь
довательно находим:
указаниями § 2, гл. I, после-
Черт. 137
[.Черт. 138
1) Функция г, как и всякая целая рациональная функция,
определена (может быть вычислена) при любых значениях х и у,
т. е. область определения функции г есть вся числовая пло-
скость хОу, —oo<x<H-oo, — оо <у •<-)-оо. Геометрическое
изображение (график) этой функции есть плоскость, пересекаю-
щая координатные оси в точках А (4; 0; 0), В (0; 2; 0) и С (0; 0; 4).
2) Функция р определена при любой системе значений х, у,
кроме системы х = 0, у = 0, при которой ее знаменатель обра-
щается в нуль. Поэтому областью определения функции р
является вся числовая плоскость, кроме точки (0; 0).
3) 'Область определения функции 2 есть круг с центром в
начале координат и радиусом г=1, включая и его границу —
окружность х2 + у2=1 (замкнутая область). Внутри круга под-
коренное выражение положительно, на его границе —равно
нулю, а вне круга —отрицательно. Графическим изображением
функции является полусфера, расположенная над плоскостью хОу
(черт. 139).
4) Функция q определена в тех и только в тех точках пло-
скости хОу, координаты которых удовлетворяют неравенству
ху>0. Все эти точки лежат внутри первого и третьего квад-
рантов (открытая область).
5) Областью определения функции и является вся плоскость
хОу, за исключением прямой 2х-4-у = 0, в точках которой зна-
менатель функции и обращается в нуль.
— 238 —
6) Область определения функции v есть совокупность систем
значений х и у, удовлетворяющих неравенствам—1 4-у1.
На плоскости хОу эта область представляет полосу, ограничен-
ную параллельными прямыми x + y-f-l=0 и x-f-y—1=0
(черт. 140).
710. ф(х, у) = ’ вычислить ф(1; 2), ф(3; 1), ф(а; 2а),
ф(2Ь, — Ь).
711. F (х, у) = Зх2у—/х9 — ув; показать, что F(tx, ty) =
= t3F(x, у).
712. Построить области изменения переменных хну, задан-
ные неравенствами:
1) — 1<х<1, — 1<у<1; 2) x2+y2ss9, yssO;
3) х2 + 2у2<4, х>0, у>0; 4) 1<х-у<3.
713. Найти области определения функций:
1) 2 = аг—х2-2у2-, 2) « = — /2-х2 — 2у2;
3)=>=4^«; 4) ш=У~Эл—уД=;
5) р = ; 6) q = arc cos (х2 4- у2).
V у — х
§ 2. Предел функции многих переменных.
Непрерывность
Число А называется пределом функции f(M) в точке Мо.
lim f(M) = A,
м -+м0
если абсолютное значение разности f(M)—f(M0) будет меньше^
любого заранее данного положительного числа е, когда расстояние
ММ0 меньше некоторого положительного числа 6 (зависящего от е).
Функция f(M) называется непрерывной, в точке Мо, если
lim f(M) = f(M0).
М-+М„
— 239 —
Для непрерывности функции f(M) в точке Мо необходимо
выполнение следующих условий:
1) должна быть определена в точке Мо и вблизи этой
точки;
2) должна иметь предел, когда точка М—>М0 про-
извольным способом;
3) этот предел должен быть равен
Функция f(M), непрерывная в каждой точке некоторой об-
ласти D, называется непрерывной в этой области.
714. Найти пределы:
Нт ;
X -* 3 У
I/ -> о
2)
lim
X -> О
Д' -*0
X
* + </
Решение. Убедившись, что функция не определена в пре-
дельной точке, делаем преобразования, руководствуясь указа-
ниями § 7, гл. I:
1) lim^-^ = hmxlim^-^ = 3-1 =3, так как hm —=1.
х - 3 у ХУ а - о «
о
2) lim —= lim—J-------не существует, ибо отношение ~
х^.0Х±У 14--L х
У-* о ' X
не имеет предела при произвольном стремлении точки М(х, у)
к точке MQ (0; 0). Так, если М —► Л40 вдоль различных прямых
y — kx, то ~ — k, т. е. зависит от углового коэффициента пря-
мой, по которой движется точка М.
715. В каких случаях функция многих переменных f(M)
будет разрывна в точке Л40? Пояснить их примерами.
Решение. 1) Функция f(M) будет разрывна в точке Мо,
если она определена вблизи этой точки, но не определена в са-
мой точке Мо.
Например, функция z — —?=;— - определена на всей плоско-
V х -j- Зу
сти хОу, но не определена в точке Л4о(О; 0), поэтому в этой
точке функция разрывна. Во всех других точках числовой пло-
скости она непрерывна.
2) Функция f(M) будет разрывна в точке Мо, если она
определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет
предела, когда точка М—>М0.
Например, функция
I sinF+^ при х¥=0>
3 при х — у = 0
— 240 —
разрывна в точке Л40 (0; 0), так как она определена вблизи этой
точки и в самой точке (на всей плоскости хОу), но не имеет
предела при М—>Л40. В остальных точках плоскости хОу она
непрерывна.
3) Функция f(M) будет разрывна в точке Л40, если она
определена вблизи этой точки и в самой точке, но lim f(M}
М-+М,,
Например, функция
[ 5—х—у при 1, у 2
Z — \
( 1 при х — 1, у =2
разрывна в точке Л40(Г, 2), ибо она определена вблизи этой
точки и в самой точке, но ее предел при М
с частным значением в точке Л40; lim z~
мм»
= 2=£г(Л40) = 1.
Графиком этой функции является вся
плоскость 2 = 5 — х —у без точки Р(1; 2;
2), вместо которой графику принадлежит
точка <?(1; 2; 1) (черт. 141).
Функция двух переменных z = f(x, у) мо-
жет иметь множество точек разрыва-, если
они составляют линию, то она называется
линией разрыва функции.
Например, функция z= разры-
вна в каждой точке окружности х2 + //2 = 1.
Эта окружность есть линия разрыва
716. Найти пределы:
—*М0 не совпадает
Черт. 141
данной функции.
1) \та-^аг~хЯ.
х-+0 ХУ
2)
у-* о
Лм.05,П(^)
У -* 1
3)
X -* О Х ‘ У
у -* о
717. Указать точки или линии разрыва функций:
_________16*_______ . оч у ,_______*2
(х — l)a + (i/— I)2 ’ ’ 2х—у' 1 х2 — 2t/2—4’
§ 3. Частные производные функции
многих переменных
Функцию u = f(x, у, г, ..., О можно дифференцировать
по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные
аргументы постоянными.
Производная от функции u — f(x,y,z, ..t) по х, взятая в
предположении, что все остальные аргументы у, г, ..., t явля-
ются постоянными, называется частной производной от и по х
— 241 —
и обозначается или ах, т. е.
ди__ >_ f (х + Лх. У. г....Q —f (х, у. z, . . Q
Аналогично определяются и обозначаются частные производ-
ные от функции и по каждому из остальных ее аргументов.
Частные производные функции многих переменных находятся
по известным правилам дифференцирования функции одной
независимой переменной (гл. II).
718. Найти частные производные от функций:
1) г=х3 + 5ху2-у\ = | + 3) о =
уел
Решение. 1) Считая z функцией только одного аргумента х,
по формулам гл. II, находим ^==3x2 + 5t/2.
0л
а , dz
Аналогично, считая z функцией только у, получим
— \0ху—Зу2.
2) Считая и функцией только х, затем только у и только z,
получим:
du __ 1 ,z . ди_ х ,1 . du__ у 1
дх у ' х2 ' ду у2' г ’ dz г2 х ’
3) Заменяя корень степенью с дробным показателем и затем
дифференцируя по каждой из двух переменных, получим:
У у_ , _ 1 £
v = ex; v'x = — %ieX\ vy~~ х ех'
719. Вычислить значения частных производных данных функ-
ций при указанных значениях аргументов:
1) f(a, P) = cos(ma—пР); a=^, Р = 0;
2) z= In (х2 — у2); х=2, у=—1.
Решение. 1) По формулам дифференцирования (гл. II)
находим частные производные:
f'a = — т sin (ma—nP); f’^=n sin (ma—nP).
Полагая a=~, P = 0, получим , o) = —m\
2) Находим производные, затем вычисляем их частные зна-
чения в указанной точке:
гх= х2 —у2 ’ гу~ х2—у2 ’ Zx(2; ^=,3 ; гу^'’ ~~1)=3’ -
— 242 —
720. Проверить, что функция z = xlny удовлетворяет урав-
dz , dz
нению х ч- 4- у ^-= z.
дх' ду
Решение. Тождественно преобразуем данную функцию и на-
ходим ее частные производные по х и по у:
г = х(1пу — Inx); = — Inx — 1 =ln——1; = — .
ох х Оу у
г-, dz dz
Подставляя г, и в данное уравнение, получим тож-
дество —1) 4- у~ = х In у ; 0 = 0. Это значит, что дан-
ная функция удовлетворяет данному уравнению (является его
решением).
Найти частные производные от функций:
721. z = (5х3у2 + 1 )3. 722. г = Y^^by*-
723. v = In (х-|- /х2 -f- г/2). 724. p — arc sin у .
725. f(m, n) = (2m)3"; вычислить f'm и f'n в точке A ; 2 J .
729- p(x, y, z) = sin2 (3x + 2y—z); вычислить p’xQ; —1; 1),
p'(l; 1; 4), p;(—i-; 0; -1).
727. Проверить, что функция v = xy удовлетворяет уравнению
х dv , 1 dv n
— 35--H— 5- = 2u.
у dx In xdy
728. Проверить, что функция w = x4-^^удовлетворяет у рав-
у г
dw , dw , dw ,
нению д- 4- ч-+д- = 1.
dx 1 ду ' dz
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных
Частным дифференциалом функции u = f(x, у, t) по х
называется главная часть соответствующего частного прираще-
ния kxu = f (х 4 Дх, у, ..., t) — f(x, у, ..., f), линейная относи-
тельно приращения \х (или, что то же, дифференциала dx).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции и
по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифферен-
циалы функции и по х, по у, по t обозначаются, соответ-
ственно, dxu, dyu, ..., dtu.
Из определения частных производных следует, что
, ди , , du , , du ,,
dxu = -s-dx\ d,,u = -z-du; ...; dtu = -^dt.
x dx У dy v 1 dt
— 243 —
Полным дифференциалом функции и = [(х, у, ..., t) называ-
ется главная часть ее полного приращения
&и = f(x + &х, у + &у, t + &t)—f(x, у, ..., t),
линейная относительно приращений &х, ку, ..Д/ (или, что
то же, дифференциалов dx, dy, ..., dt).
Полный дифференциал du функции и (если он существует)
равен сумме всех ее частных дифференциалов
du = dxu+dyu+ ... +dtu = ^dx + ^dy+ ... +^dt.
Функция и (х, у, ..., t) называется дифференцируемой в точке
(х, у, ..., t), если в этой точке она имеет полный дифференциал.
При достаточно малых (по абсолютному значению) прираще-
ниях аргументов полное приращение функции можно с как
угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным
дифференциалом
Дм
Вычисление полного дифференциала функции значительно
проще, чем вычисление ее полного приращения. Поэтому указан-
ное приближенное равенство используется для приближенных
вычислений, простейшие из которых разъясняются в задаче 731.
729. Найти полные дифференциалы функций:
1) г = 3х2//5; 2) и — 2хуг\ 3)* * p=arccos^.
Решение.
1) а. Находим частные производные данной функции:
б. Умножая частные производные на дифференциалы соответ
ствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
dxz — 6ху& dx\ dyz = 15х2у4 dy.
в. Искомый полный дифференциал функции найдем как сумму
ее частных дифференциалов: dz = dxz+dyz = 6xy&dx + 15x2y4dy.
2) Следуя указанному плану, последовательно находим:
а) и'х = 2yzxyz~1-, иу = 2zxyz In х; u'z = 2yxyz In x;
6) dxu = 2yzxuz~1 dx-, dyu = 2zxuz\nxdy, dzu — 2yxyz\nxdz-,
в) du = 2xyz dx-j-z In xdy + z/In xdz'j .
3) * a) — = 1“ц । _J±1L_ •
ди и2о К—I ’ dv 1’
f I f
* Исключая точки, где ux = uy=‘ ... = ut=0.
— 244 —
хх . ~ | v I du . I и | dv
/X1 —I ’ oP~ M|v|/uM —1 ’
>) <1р=^=1=('1!Й+Ц^) .
КвМ-l \ vlul u I ° I /
730. Вычислить значение полного дифференциала функции
z=arcctg— при х—1, у — 3, dx = 0,01, dy— — 0,05.
Решение. Находим частные производные, затем частные
дифференциалы и полный дифференциал данной функции:
дг у . дг х , xdy— ydx
дх х2+уг' ду х2+у2' 2 хг + у2
Подставляя заданные значения независимых переменных х, у,
dx и dy, функцией которых является полный дифференциал dz,
получим
-0.008.
731. Вычислить приближенное значение:
1) 1,083-96; 2) Sinl:492g|*g-9^I.
Решение. Если требуется вычислить значение функции
f(x, у, ..., t) в точке yt, ..., tt) и если проще вычис-
лить значения этой функции и ее частных производных в точке
М0(х0, Уо> • • > ^о)> то ПРИ достаточно малых, по абсолютной
величине, значениях разностей хг—x0=dx, yt—y0 = dy, ...,
ti — t^=dt можно заменить полное приращение функции ее пол-
ным дифференциалом:
f(M1)-t(N[0)^f'x(N[0)dx-Yfy{N[0)dy + ... +ft(M0)dt,
и отсюда найти приближенное значение искомой величины
по формуле
f(Mt) &f(M0)+fx(M0)dx+fy (M0)d// + ... + £ (M0)di. (a)
1) Полагая, что l,083’96 есть частное значение функции
/(х, у) — ху в точке Л4Х (1,08; 3,96) и что вспомогательная точка
будет Л40(1; 4), получим
f(M0)=l4 = l; ^(Мо) = ух*'-1|Х=1 = 4; (М0) = хПпх|х=1 =0;
Г/ = 4 У = 4
dx = 1,08— 1 = 0,08; dy = 3,96—4 = —0,04.
Подставляя в формулу (а), найдем
1,083-96 » f(M0) + fx (Мо)dx + f’y (Мо)dy = 1 + 4-0,08 = 1,32.
— 245 —
оч т-т sin 1,49-arc tg 0,07 ,
2) Пусть------ум* -----есть частное значение функции трех
переменных ф(х, у, z) = 2x sin у arc tgz в точке 7WX(—2,95; 1,49;
0,07) и пусть вспомогательная точка будет Мо (—3; 0^ .
Тогда dx=—2,95—(—3) = 0,05; dy= 1,49—1,57= —0,08;
dz = 0,07;
ф(Л40) = 2~3 sin у arc tg 0 = 0; q/ (Л40)=2* 1п2 • sin yarctgz| м„=0;
<Р^ (Af0)=2^ cos//arctg z j Л/о = 0; Ф'г(Л40) = ^тУL = 2~3.
Подставляя в формулу (а), получим
2-3.0.07 ® 0,01.
Найти полные дифференциалы функций:
732. г = у\п2х. 733. и — sin2/cos2х.
734. и = у . 735. f(m, п, р) = еат cos- .
736. Вычислить значение полного дифференциала функции:
1) z = при х = 2, ;/= 1, dx=—у, dz/ = -j-;
2) f(x, у, z) = Vх2 +1/2 4- z2 при перемещении точки М(х,у, z)
из положения М0(Ю; —10; 5) в положение 4^(9; —11; 6).
737. Найти приближенное значение 1,942е°-12, исходя из зна-
чения функции f(x, у) = х2еу в точке Л4О(2; 0) и заменяя ее
полное приращение полным дифференциалом*.
738. Найти приближенное значение sin 1,59 tg3,09, исходя
из значения функции z=sinxtgy в точке Л40 и заменяя
ее приращение дифференциалом*.
739. Найти приближенное значение 2,68’in°-05, исходя из зна-
чения функции z = x’in«/ в точке Л40(е, 0) и заменяя ее прираще-
ние дифференциалом.*
§ 5. Дифференцирование сложных функций
Переменная z называется сложной функцией от независимых
переменных х, у....t, если она задана через посредство про-
межуточных аргументов и, и, ..., w;
z = F(u, v, ..., w),
* Все вычисления выполнять с точностью до 0,01.
— 24b —
где
u = f(x, у, .. t), и = <р(х, у, . .., t), ..w= ф (x, у, .... t).
Частная производная сложной функции по одной из незави-
симых переменных равна сумме произведений ее частных про-
изводных по промежуточным аргументам на частные производ-
ные этих аргументов по независимой переменной:
дг__дг ди . дг ди , .dzdw.
дх~ ди дх~*~ dv дх' ‘ ' dw дх ’
дг__дг ди . dzdv , dzdw .
ду ди ду~ dv ду‘ ' ' ’ ' dw ду ’
дг__dz ди . dz dv . .dzdw .
dt~dudl'dv'Tt^'''‘'dwdt’ <*'
Если, в частности, все аргументы и, V, w будут функ-
циямм*от одной независимой переменной х, то и z будет сложной
функцией только от х. Производная такой сложной функции
(от одной независимой переменной) называется полной производ-
ной и определяется формулой
dz dz du . дг dv . . dz dw . .
dx ~' du dx ' jdo dx ‘ dw dx ’ '**'
(Она получается из формулы для полного дифференциала функ-
ции z(u, v, ..., w) путем деления на dx.)
740. Найти производные сложных функций:
X
1) y = u2ev, u = sinx, o = cosx; 2) р = и°, м = In(х—у), v=e~-,
3) z = х sin v cosw, o=ln(x2 + l), w~—V1—x2-.
Решение. 1) Здесь у есть сложная функция одной незави-
симой переменной х. Пользуясь формулой (**), получим
Л=Й й+1Я = 2“f’ cos * + uV sin *>•
2) р есть сложная функция двух переменных х и у. По об-
щим формулам (*), найдем
£
др др ди.. др ди 1 , „, 1
4- = л* 5~ + Г" Т — vu ------р М ”1П«* — е»'
дх дидх ' dv дх х—у ' у
др др ди , др dv v-i 1 . ( х — I .
= = ш 1---------р иIn и• I---= еи } ‘
ду диду ' dvdy у—х \ у2 /
3) z есть сложная функция одной переменной х вида: г —
= F(x, v, w), v=f(x), йу = ф(х). Формулу для полной производ-
ной такой функции получим, полагая и = х в формуле (*»):
с!г _ дг , Эг dv , dz dw
dx~ dx~f dv dx' dw dx ‘
— 247 —
Согласно этой формуле, найдем
= sin v cos w4-хcos vcos —x sin v sin -7--—.
ax +1 у i xa
741. и—ег~г1>, z = sinx, y = x*\
’ a dx
742. z = ln(e*4-е'); найти 2) если x — P.
743. p = u2lno, u = —. u = 3x—2y;
' 1 у v дх dy
744. f (x) = arc sin у, у = Их2 4-1; ?
§ 6. Дифференцирование неявных функций
Переменная и называется неявной функцией от независимых пе-
ременных х,у, ..., t, если она задана уравнением f(x,y,t,u) = 0
которое не разрешено относительно и. При этом, если функция
f(x, у, .... t, и) и ее частные производные f'x, f' .... f', fu
определены и непрерывны в некоторой точке М0(х0, уй. ..., /0, и0)
и вблизи нее и если f(7Uo) = 0, a f^(Afo)^=O, то уравнение
f(x, у, .... t, и) = 0 вблизи точки Р(х0, у0, . /0) и в самой
этой точке определяет и как однозначную, непрерывную и диф-
ференцируемую функцию от х, у, ..., /.
Производные неявной функции и, заданной уравнением
f(x, у, ../, «) = 0, при соблюдении указанных условий оп-
ределяются формулами
du_____[х_ , ______ih\
dx f ' dy г' * ‘dt f ’ '
' 'll 'u
В частности, если у есть неявная функция одной переменной х,
заданная уравнением f(x, у) = 0, то
d/ = y' = -b-, (Б)
dx $ f ' ’
745. Найти производную неявной функции у, заданной
уравнением: 1) х24-р24-2х—6t/4~2 = 0; 2) ху = ух, и вычислить
ее значение при х=1.
Решение. 1) Обозначив левую часть данного уравнения
через f{x, у), найдем частные производные f'x = 2x4-2, fy = 2y—6
и, подставив их в формулу (Б), получим у
Далее, подставляя в исходное уравнение х = 1, найдем два
соответствующих значения функции и t/a = 5. Поэтому
при х= 1 и производная имеет два значения: y't (1) = 1, у'2 (1)=—1.
— 246 —
2) Преобразовав данное уравнение к виду ху—ух = 0, согласно
формуле (Б), получим
dy (хУ—Ух)х у* In у—уху~1
dx (ху yx)t хУ 1П х—ХУХ~1
При х-1 из данного уравнения определяем у—1. Искомое
значение у' (1) = 1.
746. Найти частные производные неявной функции г(х, у),
заданной уравнением: 1) x2+y2 + z2—z — 0; 2) ax + by—cz =
= k cos (ax-(-by —cz).
Решение. 1) Обозначив левую часть уравнения через
Ф(х, у, г) и пользуясь формулами (А), получим
dz____Ф_х_____ 2х . дг_____Чу_____ 2у
дх~ ф' ~ 2г—I ' ду~ 2г — 1
2) Преобразуя уравнение к виду ах+Ьу—cz—fccos(ax-j-
+by—cz) — 0 и обозначая его левую часть через F (х, у, г)
пр формулам (А) найдем
дг ?х д + afe si n (дх + by—сг) а
дх~ —с—ck sin (дх-f-by—сг) с ’
дг ?у _ b-i-bk sin (ax-j-by—cz) b
dy p’ —c—ck sin (ax + by—сг) c *
Найти производные неявных функций:
747. К x+)/~y—V 748. uv = —ln(uu);
749. ? 750. x sin t/-f-cos2z/ = cost/; y'( „?
x—у ax\y=.i
751. x2+y2+z2+2xz— 1; z> z? 752. ett — cosocos/;
753. Проверить, что функция 4 sin (3x+ 2y+5z) = 3x+2z/-f-5z
дг , дг . , Л
удовлетворяет уравнению ^ + ^+1=0.
§ 7. Частные производные высших порядков
Функцию многих аргументов u — f(x, у, . .., t) можно диф-
ференцировать по каждому аргументу. Полученные частные
производные , ..., (первого порядка) обычно зависят
от тех же аргументов и каждую из них также можно дифферен-
цировать по каждому аргументу.
— 249 —
Частные производные от частных производных первого порядка-
называются частными производными второго порядка. Они обозна-
чаются:
д !ди\ д2и “
дх \дх) дх2 Uxx ’
д (ди\ д2и
дх \ду) ду дх ~ Uyx ’
д /ди\ д2и __ "
ду \дх / дх ду Uxy ’
д fди\___д2и_
ду \ду) ду2 Uyy ’
Частные производные от частных производных второго порядка
называются частными производными третьего порядка. Они обо-
значаются:
д fd2u\__д3и__
Их \дх2)дх3~~ ’ххх
д ( __ г'"
ду \дх ду) дхду2 'хуу ’
д (д2и\ д3и г'”
ду \д%2/ дх2ду ’хху ’
д / д2и \___ д3и _____ г"
дх \дх ду / дх ду дх~ 'х
Аналогично определяются и обозначаются частные производ-
ные четвертого, пятого и других высших порядков.
Частные производные высших порядков, отличающиеся только
последовательностью дифференцирования, равны, если они непре-
рывны. Например,
д2и _ д2и . д3и_____д3и __ д3и
дх ду ду дх ’ дх2 ду ду дх2 дх ду дх ‘
Согласно этому положению, функция двух переменных г = f(x,y)
имеет три различных частных производных второго порядка
д2г д2г дгг
дх2 ’ дх ду ’ ду2'
четыре различных частных производных третьего порядка
д3г д3г д3г д3г
дх3 ’ дх2 ду ’ дх ду2 ’ ду3
и вообще и4-1 различных частных производных л-го порядка.
Частные производные высших порядков находятся путем пос-
ледовательного нахождения одной производной вслед за другой по
правилам дифференцирования функции одной переменной (гл. II).
754. Найти частные производные второго порядка следующих
функций: 1) z — x3—2x2t/-f-3t/2; 2) и (х, у, t) = exyt.
Решение. 1)Сначала находим частные производные первого
порядка, затем искомые частные производные второго порядка:
zx — Зх2—4ху, zy = — 2хг 4- бу,
z"xx = 6x—4y; zxy = zyx = — 4х; z'vv = 6.
— 250 —
2) Последовательно дифференцируя, находим
ux = ytexyt; Ug=;xtexyt; ut — xy&xyt; ихх = y2t2exyt;
иХу = UyX = t(\ + xyt) exyt; uxt = utx = y(l + xyt) exyt;
Uyt = uty-=x{\ + xyt}^.xyt\ uyy = x2t2exyt; utt = x2y2eXyt.
755. Проверить, что zxy = zyx для функций: 1) z = cos(ax — by),
2) z = \n(x2+y2+ 1).
Решение. 1) Дифференцируя z по x, найдем z'x =
—— a sin (ax—by); дифференцируя zx по у, найдем (z'x)'y — zxy =
— ab cos (ax —by).
Дифференцируем в другом порядке: сначала найдем производ-
ную от z по у, zy = b s\n(ax — by), затем производную от zy по
х, (zy)x = zyx^=abc.os(ax—b)-
Сопоставляя полученные результаты, заключаем, что для дан-
ной ФУНКЦИИ Zxy = Zyx.
2) Последовательно дифференцируя, находим zxy, затем zyx :
J 2х . _ 4ху
Zx ~~ х2 +1/2 +1 ’ Zxy ~ ~ (х2 + </2 + 1)2 ’
' _ 2у . »____4ху
*!)- х2 + </2 + 1 ’ ух~ (х2 + </2+1)2 •
Следовательно, и для этой функции zxy = z”yx.
756. Проверить, что функция z = 2cos2^//—удовлетво-
д2г
ряет дифференциальному уравнению
Решение. Найдем частные производные второго порядка,
содержащиеся в данном уравнении:
|| = 2-2cos (у—у) ’ [ — sin (у— у) • (—у) = sin (2//—х);
44 =—cos (2// — х); 4Ц- = 2соз(2у—х).
дх2 ' 3 ' ах ду v а '
Подставляя их в данное уравнение, получим тождество: 0 = 0.
757. Найти частные производные второго порядка следующих
функций: 1) z = а -- о ; 2) u = e*lny + sm«/lnx.
Zl/ о
758. Найти , если H = ln(x-f-w).
759. Найти ихуу, если и = sin (ху).
760. Найти -д^у дг-, если и = 2хуг.
761. Проверить, что = для функций:
1) z=ln-^; 2) z = агеetg(x-f-2#).
— 251 —
762. Проверить, что = для функции ц = ^.
763. Проверить, что функция р=1п(х2 + «/2) удовлетворяет
уравнению |^ + р = 0.
X
764. Проверить, что функция и — е» удовлетворяет уравне-
ди ди . д2и Л
НИЮ н---т+Ул—5- = 0.
дх ду ' э дх ду
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность задана уравнением F (х> у, z) = 0 и точка
Л4о(х0, Уоу zo) лежит на ней, то:
касательная плоскость к поверхности в точке Л40 определяется
уравнением
(х—х0) Fx (Мо) + (у—Уо) Fy (Л40) + (z— z0) Fz (Мо) = б; (I)
нормаль к поверхности в точке Л10 (прямая, проходящая через
точку Мо перпендикулярно к касательной плоскости) определяется
уравнениями
Х — Хй __ У — Уь _ 2 —г0 , j |
F'X(MO) F'y(Af0) F’t(M0)
Точки поверхности F (х, у, z) — 0, где одновременно обращаются
в нуль все частные производные первого порядка Fx, Fy, Fz, на-
зываются особыми. В таких точках поверхность не имеет ни
касательной плоскости, ни нормали.
765. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
эллиптическому параболоиду z = 2x2-\-yz в точке А (1; —1; 3).
Решение. Преобразуем уравнение поверхности к виду 2х2-|-
+ «/2—z = 0 и, обозначив его левую часть через F (х, у, z), най-
дем частные производные Fx — 4x, Fy — 2y, Fz ——1, вычислим
их числовые значения в данной точке Fx(A) — 4, Fy(A) =— 2,
FZ(A) ——1 и, подставляя в общие уравнения (I) и (II), получим:
уравнение касательной плоскости 4 (х— 1)—2(х+1)—(Z—3) =0
или 4х—2у—z —3 = 0;
х—1 у-М z—3
уравнения нормали-^- = 2^ =—-р .
766. На сфере х2+yz + z2 = 676 найти точки, где касательная
плоскость параллельна плоскости Зх—12z/ + 4z = d.
Решение. Пользуясь общим уравнением (I), составим урав-
нение касательной плоскости к данной сфере в ее точке (х0, у0, z0):
х0 (х—х0) + у0 (у—у о) + z0 (z—z0) = 0
— 252 —
или
хох + УоУ + zoz = *0 + «/о + Zo = 676.
Согласно условию параллельности двух плоскостей, чтобы ка-
сательная плоскость была параллельна данной плоскости, в их
уравнениях коэффициенты при текущих координатах должны
/г хп Уо г0 1
быть пропорциональны: -у = -7^~ Т = Л’
-Определив отсюда х0 = ЗА, у0 ——12Х, z0 = 4A и подставляя
в уравнение сферы, находим два значения коэффициента пропор-
циональности: 1-±2и две искомых точки на сфере (6; —24;
8) и ( — 6; 24; —8), в которых касательная плоскость параллель-
на данной плоскости.
= т3 образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоян-
ного объема.
Решение. Уравнение касательной плоскости к данной по-
верхности в точке Р(х0, у0, ?о) будет y0z0x + x0z0y-]-xt,yoz =
— 3xoyozo. Она отсекает на осях координат отрезки « = 3хо, Ь —
= Зу3, c = 3z0. Эти отрезки являются взаимно перпендикулярны-
ми ребрами тетраэдра, образованного касательной плоскостью и
плоскостями координат. Приняв одно из этих ребер за высоту тет-
19 9
раэдра, найдем, что его объем V = -g- abc = у x0y3z0 = у т3 (так
как точка Р лежит на данной поверхности) не зависит от коорди-
нат точки касания Р. Из этого следует, что различные касатель-
ные плоскости к данной поверхности образуют с плоскостями ко-
ординат тетраэдр постоянного (одинакового) объема.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверх-
ности:
768. х2 + 2у2 ф-3z2 = 6
769. 2z = x2—у2
у2 «2 ?2
770. 4
а2 Ь2 с2
в точке (1; —1; 1).
в точке (3; 1; 4).
в точках (х0, у0, z0) и (а, Ь, с).
771. Найти касательные плоскости к эллипсоиду 4х2 ф- 4у2 ф-
ф-а2 = 4, параллельные плоскости 12х—Зуф-2г — 0.
772. Найти уравнения касательных плоскостей к параболоиду
4z = х2 ф-у2 в точках пересечения его с прямой х — у = г.
773. Проверить, что поверхности х2—ху — 8хф-гф-5 = 0 и
4 + хф-2у=1пг касаются друг друга, т. е. имеют общую каса-
тельную плоскость, в точке (2; —3; 1).
— 253 —
§ 9. Экстремум функции многих переменных
Значение функции f(M) в точке Мо называется максимумом
(минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по срав-
нению с ее значениями во всех достаточно близких точках.
Функция многих переменных может иметь максимум или мини-
мум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области опре-
деления функции, в которых все ее частные производные первого по-
рядка равны нулю или не существуют*. Такие точки называются
критическими.
Критическая точка Л40 будет точкой экстремума функции f (М),
если для всех точек М, достаточно близких к Л40(в окрестности Л40),
приращение функции Af = f(M)—f(M0) не изменяет знака. При
этом, если Д/сохраняет положительный знак, то 2И0 есть точка ми-
нимума, а если Д/ сохраняет отрицательный знак, то Мо есть
точка максимума функции.
Для функции двух переменных f (х, у) вместо исследования зна-
ка Д/ можно исследовать каждую критическую точку Л40, в кото-
рой функция дважды дифференцируема, по знаку определителя
Д =
АВ
В С
= ЛС—В2,
где
A = fxx(M0), B = fxy(M0), C = fyy(Ma).
При этом:
1) если Д>0, то Мй есть точка экстремума: при А <0 (или
С<0) точка максимума, а при Д>0 (или С>0) точка мини-
мума;
2) если Д<0, то в точке Мо нет экстремума;
Ф 3) если Д = 0, то для решения вопроса о наличии или отсут-
ствии экстремума в точке MQ требуется дальнейшее исследование,
например по знаку приращения Д/ вблизи этой точки.
Условия 1) и 2) являются достаточными условиями наличия
или отсутствия экстремума.
774. Найти экстремумы функций:
1) z = х3 + 8«/3 — + 5; 2) zz = х3 + z/2 — Зх 4-4 У" z/5;
3) v=(x—у)2 + (у— 1)3;
2 2 2
4) w — xa + у3 + z 3.
Решение. 1) Находим частные производные 1-го порядка
z'x и zy и критические точки, в которых они равны нулю
или не существуют и которые лежат внутри области опре-
* Это необходимые условия экстремума (но недостаточные, они могут вы-
полняться и в точках, где нет экстремума).
— 254 —
деления функции: zx = 3x2—бу; г'у^24у2 — 6х. Решая систему
уравнений zx — 0, гу — О, найдем две точки: Л4Г (0; 0) и М2 ^1;
Обе точки являются критическими, так как функция z определена
на всей плоскости хОу. Других критических точек нет, так как
zx и Zy существуют при любых значениях х и у.
Далее исследуем критические точки Мх и Л42 по знаку опре-
делителя Д, составленного из частных производных второго по-
рядка: zxx = А — бх; zXy — В = — б; Zyy = C = 48y.
Для точки получим Л = 0, В =— 6, С = 0 и Д (М1) = АС —
— В2<0. Следовательно, согласно достаточному условию 2), в
точке Mi нет экстремума.
Для точки М2 имеем А = 6, В — — 6, С =24 и Д(Л42)>0.
Согласно достаточному условию 1), М2 есть точка минимума.
zmm = z(/W2) = 4. , ' _
2) Ищем критические точки их — 3х2 — 3; u^ = 2y + 2‘Kf/3- Из
системы уравнений их = 0, иу = 0 найдем точки Рх (1; 0) и Р2 (— 1; 0).
Эти точки принадлежат области определения исследуемой функ-
ции: — оо<х< + оо, О^у < + оо (которая представляет поло-
вину плоскости хОу, лежащую выше оси Ох, включая и ось Ох),
но они расположены не внутри этой области, а на ее границе
у — 0. Поэтому точки Pi и Р2 не являются критическими. Частные
производные их и иу существуют во всей области определения
функции и. Поэтому данная функция, как не имеющая крити-
ческих точек, не имеет экстремума. (Если не учесть, что гранич-
ные точки не могут быть точками экстремума, то, определив
знак Д в точке Рх, придем к ошибочному заключению, что она
есть точка минимума.)
v 3) Ищем критические точки vx — 2(x—у); vy — — 2(х — у) +
+ 3(«/-1)2.
Решая систему уравнений vx = 6, vy = 6, найдем единственную
точку Л40(1; 1), которая является единственной критической точ-
кой функции V.
Далее, чтобы установить, будет ли экстремум в точке Л40, вы-
числяем значение Д в этой точке: и"хх = 2, v"Xy =—2, у" =2 +
+6(у-1); Д(Л4о) = О.
Здесь оказалось, что Д (Л40) не имеет знака (случай 3). Чтобы
установить, имеет ли экстремум функция v в критической точке Л40,
исследуем знак ее приращения &v = v(M) — у(Л40) = (х — z/)2-|-
+ («/—I)3 вблизи точки Л40.
Пусть точка М лежит на биссектрисе у — х. Тогда Ду = («/—I)3.
Если М будет ниже Мо, т. е. если ум< 1, то Ду <0, а если М
будет выше Мо, т. е. если ум> 1, то Ду>0. Здесь оказалось,
что вблизи Л40 разность Ду не сохраняет знака, вследствие чего
в точке Л10 нет экстремума.
— 255 —
, 2 2*2
4) Ищем критические точки wx — — —37= ; wz — —3-7='
3 >/ х 3 |/ у 3 |/ г
Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких зна-
чениях х, у, z\ они не существуют (обращаются в бесконечность)
в точке Ро(0; 0; 0). Точка Ро лежит внутри области определения
функции w, которая представляет совокупность всех точек (х, у, г)
пространства. Поэтому Ро критическая точка.
2 а 2
Исследуя знак разности w(P) — w(P(j) = xa + уа 4-z3 вблизи
точкиРо, убеждаемся, чтоприлюбыхотлич ны х от ну л я з наче н и я х х,
у, z она сохраняет положительный знак. Поэтому Ро есть точка
минимума, £2>min = W(Ро) = 0.
Исследовать на экстремум функции:
775. z = х2 + ху-фу2 — 6х — 9г/. 776. о — хУ~у — хъ— у-|-6х-)-3.
777. р = 2ху — 2х — 4г/. 778. z = х3 + ху2 + бху.
779. <р — (х2 + у) Уеу. 780. q = 3 In + 2 In у 4~1п (12 — х — у).
781.*. z = 2 + (x— I)4(г/+1)®. 782*. и = 1 -(х-2)т — ут.
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции
Понятия наибольшего и наименьшего значений функции мно-
гих переменных определяются так же, как и для функции одной
переменной (гл. III, § 5).
Наиболыиее или наименьшее из всех значений функции нельзя
смешивать с максимумом или минимумом функции, которые яв-
ляются наибольшим или наименьшим значением функции только
по сравнению с ее значениями в соседних точках.
Если функция разрывна или непрерывнавнезамкнутойобласти,
то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функция f(M), непрерывная в некоторой ограниченной замкну-
той области D, обязательно имеет в этой области наибольшее и
наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точка#
экстремума, лежащих внутри области D, или в точках, лежащих
на границе области. I
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции f(M)
в ограниченной замкнутой области D, где она непрерывна, можно
руководствоваться следующим правилом:
Л. Найти критические точки, лежащие внутри области D, и
вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в ис-
следование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
Б. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на гра-
нице области D.
В. Сравнить полученные значения функции: самое большее
(меньшее) из них и будет наибольшим (наименьшим) значением
функции во всей области D.
— 256 —
783. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) z = x2—t/2 + 2a2 в круге х2 + У* а2-,
2) v = 2х® + 4х2 -|-у2 — 2ху в замкнутой области, ограничен-
ной линиями у = х2 и «/ = 4.
Решение. 1) Согласно указанному правилу:
А. Найдем критические точки функции z, лежащие внутри
круга, и вычислим ее значения в этих точках: z'x = 2x, zy ——2у;
решая систему уравнений zx = 0, z'y — Q, найдем критическую
точку К (0; 0), которая лежит внутри круга. Других критиче-
ских точек нет. Значение функции в этой точке z(K) — 2a2.
Б. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на
границе заданной области —на окружности х2+у2 = а2. Урав-
нение окружности связывает между собой переменные х и у.
Определяя из этого уравнения одну переменную через другую,
например «/=±Уа2—х2, и подставляя в выражение функции г,
преобразуем ее в функцию одной переменной: z(x) = 2x2 + a2,
где х изменяется на отрезйЬ [ — а, а].
Далее ищем наибольшее и наименьшее значения функции
г(х) нй отрезке [—а, а], которые и будут искомыми наиболь-
шим и наименьшим значениями функции г(х, у) на границе
заданной области —на окружности.
Согласно правилу, указанному в гл. III, § 5:
I. Ищем критические точки функции z(x), лежащие внутри
отрезка [ — а, а], и вычисляем ее значения в этих точках: г' (х)=
—4х; z'(x) = 0 в точке х = 0. Эта единственная критическая
точка лежит внутри данного отрезка. Значение z(x) в этой
точке z(0) = a2.
II. Вычисляем значения z(x) на концах данного отрезка:
z( — a) — z(a) — 3a2.
III. Сравнивая вычисленные значения г(х) во внутренней
критической точке х = 0 и на концах отрезка х=— а и х — а,
заключаем: наибольшее значение функции z(x) на отрезке {—а, а]
[или что то же, функции z(x, у) на границе данной области—
на окружности х2 + у2 — а2] равно За2, а наименьшее значение
z(x) на данном отрезке [или, что то же, z(x, у) на данной гра-
нице] равно а2.
В. Сравнивая значение z во внутренней критической точке К
с ее наибольшим и наименьшим значениями на окружности,
заключаем: наибольшее значение функции z в данной замкну-
той области — круге равно За2 и достигается ею в граничных
точках Ах(—а, 0) и А2(а, 0), а ее наименьшее значение в этой
области равно а2 и достигается в граничных точках А3(0,—а)
и Л4(0, а), (черт. 142). Ординаты точек Alt А2, А3, А4, кото-
рые лежат на окружности, вычислены из уравнения окружно-
сти по известным их абсциссам.
2) Руководствуясь указанным правилом:
9 Заказ № 3201
— 257 —
А. Ищем критические точки функции v, лежащие внутри
заданной области (черт. 143) if =6х2-|-8х—2у, v'y = 2y—2х; ре-
шая систему уравнений v'x = 0, г^ = 0, найдем две критические
точки (0; 0) и (—1; —1), из которых ни одна не лежит внутри
заданной области. Других критических точек функция v не имеет.
Б. Ищем наибольшее и наименьшее значения v на границе
заданной области. Она состоит из двух участков АОВ и АВ,
имеющих различные уравнения. Поэтому вначале найдем наи-
большее и наименьшее значения v на каждом из этих участ-
Черт. 142
Черт. 143
ков, затем, сопоставляя их, найдем наибольшее и наименьшее
значения v на всей границе.
На участке АОВ имеем у — х2, (х) = х4 + 4х2, где х изме-
няется на отрезке [—2; 2].
Согласно правилу гл. III, §5, ищем наибольшее и наимень-
шее значения vt на отрезке [ — 2; 2]:
I. о'=4х3-|-8х; и'—0 при х = 0; их(0) = 0.
II. ох( —2) = ух(2) = 32.
III. Сравнивая значения во внутренней критической точке
х = 0 и на концах отрезка х= — 2, х = 2, заключаем: наиболь-
шее значение ох на отрезке [—2; 2] равно 32 (в точках х= ±2),
а наименьшее значение на этом отрезке равно нулю (в точке
х = 0).
На участке АВ имеем у —4, о2 (х) = 2х3 + 4х2 — 8х + 16, где
— 2еС.г=с2.
Ищем наибольшее и наименьшее значения о, на отрезке
[-2; 2]:
I. о'=6х24~8х —8; внутри данного отрезка ^ = 0 при
х = 4 (в точке С)-, о2(4^ = 16^.
II. о2 (— 2) = (2) == 32.
— 258 —
III. Наибольшее значение v2 на отрезке [ — 2; 2J равно 32
(в точках х=±2), а наименьшее значение v2 на этом отрезке
.„22 / 2 \
равно 16(в точке х=—j.
Сопоставляя значения v на участках АОВ и АВ, приходим
к выводу: на всей границе АОВА наибольшее значение функции
v равно 32 (в точках А и В), а ее наименьшее значение равно
нулю (в точке О).
В. Внутри заданной замкнутой области функция и не имеет
точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения дости-
гаются в .точках, лежащих на границе этой области. В гранич-
ных точках А (—2; 4) и В (2; 4) функция v имеет наибольшее
значение, vll6 = v(A) = v (В) = 32, а в граничной точке 0(0, 0)
она имеет наименьшее значение, анм —
— о(О) = 0.
784. Найти такую точку равнобедрен-
ного прямоугольного треугольника, для
которой сумма квадратов расстояний до
его вершин будет наименьшая.
Решение. Выберем прямоугольную си-
стему координат хОу, как показано на
черт. 144, тогда координаты вершин треу-
гольника будут 4(0, 0), В (а, 0), С(0, а).
Возьмем произвольную точку треугольника
М (х, у) и определим сумму квадратов рассто-
яний ее до вершин треугольника и — МА2 + Л4В2 + Л1С2 = Зх2 +
+ 3z/2—2ау—2ах-ф2а2. Она зависит от двух переменных х и у,
которые согласно условию могут принимать любые значения из
замкнутой области треугольника АВС.
Далее,согласно правилу, указанному в начале этого параграфа,
найдем наименьшее значение функции и (х, у) в треугольнике АВС:
А. и'х = 6х—2а; и'у = 6у^2а.
Из системы уравнений и'х~0, иу = 0 найдем единственную кри-
тическую точку К ( v , т), лежащую внутри треугольника АВС.
\ о о j
4
Значение и в этой точке и(^ = уа2.
Б. На стороне АВ имеем: «/ = 0, и(х, 0) = их —Зх2— 2ах-\-
4-2а2, где О^х^а.
I. а'=6х—2а; а' = 0 при х = -| (в точке Л4Х); ах (у) = -|-а2.
II. и1(0) — 2а2-, ах(а) = 3а2.
III. Наименьшее значение их (х) на отрезке [0, а] равно ja2.
На стороне ВС имеем: х = а—у (из уравнения прямой ВС);
и (а—у, у) ~ и2 — 6у2—баг/+ За2, где О^г/^а.
I. и'„ = \2у—6а-, и'2 = 0 при у = -|-(в точке M2); uJ =-^а2.
Черт. 144
9*
— 259 —
II. rz2(0) = u2(a) = 3a8-
III. Наименьшее значение и2 (у) на отрезке [0, а] равно уа2.
На стороне С А имеем: х=0; и (0, у) = и3 — Зу2—2ау + 2а2,
где О^у^а.
I. я'=6у—2а; u'g — 0 при у = у (в точке M3); Ks(y)=ya2-
II. а3(0) = 2я2; а3(я) = Зя2.
III. Наименьшее значение и3(у) на отрезке [0, а] равно -|-я2.
Сравнивая значения м на сторонах АВ, ВС, СА, заключаем:
наименьшее значение и на всей границе АВС А равно -% а2.
В. Сопоставляя значением во внутренней критической точке К
с ее наименьшим значением на границе области, приходим к выводу,
что среди всех значений и в различных точках треугольника АВС
наименьшим является ее значение в точке К (у, у). Легко убе-
диться, что точка К является центром тяжести данного треуголь-
ника.
Эту задачу можно решить и для любого треугольника; иско-
мая точка также будет его центром тяжести.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
785. <р — х3+у3—9ху4-27 в квадрате 0^х^4,
786. r — Зху в круге х2-фу2^2.
787. Найти наибольшее значение функции v = xz/(4—х—у)
в треугольнике, ограниченном прямыми х — 1, у = 0, х + у = 6.
788*. Найти наименьшее значение функции и = sin% + sin у +
+ cos(х-фz/) в квадрате 0^х^1,5л, 0^у^1,5л.
789. Найти точку треугольника А (0; 0), В (1; 0), С(0; 1), сумма
квадратов расстояний которой до его вершин имеет наибольшее
значение.
790. Какой треугольник с данным периметром 2р имеет наи-
большую площадь? (Использовать формулу для площади тре-
угольника по трем его сторонам.)
791. Найти точку четырехугольника (0, 0), (а, 0), (а, а), (0, 2а),
сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наи-
меньшее значение.
792. Из куска проволоки длиной / сделать каркас прямо-
угольного параллелепипеда с наибольшим объемом.
793. Определить размеры открытого прямоугольного ящика
с данным объемом Кис наименьшей поверхностью.
ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхност-
ные интегралы, как и обыкновенные (однократные) определен-
ные интегралы, служат для вычисления различных величин.
В главе V «Определенный интеграл» разъяснен общий метод
вычисления различных величин как пределов соответствующих
интегральных сумм. Суть его заключается в следующем:
1. Искомая величина разбивается на большое число малых
элементов.
2. Вычисляется приближенное значение (главная часть) каждо-
го элемента и путем их суммирования находится приближенное
значение всей искомой величины в виде интегральной суммы.
3. Находится предел этой интегральной суммы, который и
дает точное значение искомой величины.
В простейших задачах, приведенных в главе V, вычисление ве-
личины сводилось к вычислению предела интегральной суммы, рас-
пространяющейся на прямолинейный отрезок изменения одной
переменной, который называется простым ил1/ обыкновенным
определенным интегралом.
В более сложных задачах, рассматриваемых в этой главе, вы-
числение величины сводится к вычислению предела интегральной
суммы, распространяющейся нли на плоскую область изменения
двух переменных, или на пространственную область изменения
трех переменных, или вдоль дуги некоторой кривой, или по
некоторой поверхности, которые и называются соответственно
двойным, тройным, криволинейным и поверхностным интегра-
лами.
Все указанные определенные интегралы определяются вполне
аналогично и отличаются друг от друга в основном лишь областью
интегрирования.
— 261 —
§ 1. Двойной интеграл, его вычисление
двукратным интегрированием
Если функция f(M) непрерывна в некоторой замкнутой плоской
области D и если разбить эту область произвольным способом на п
частичных областей с площадями As1( Asa, As„, выбрать
в каждой из них по одной произвольной точке Af1( М2, .., М„,
вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
п
Ast + f (Ма) Asa + .., + f (Mn) &sn = 2 f (Mz) As{,
Z=1
то она называется интегральной суммой функции f(M) по обла-
сти D.
Очевидно интегральная сумма зависит как от способа раз-
биения области D на п частичных областей, так и от выбора
в них точек т. е. для всякой данной функции f(M) и всякой
данной замкнутой области D можно составить бесчисленное мно-
жество различных интегральных сумм.
Однако при неограниченном увеличении п и при стремлении
к нулю наибольшего из диаметров* частичных областей все эти
различные интегральные суммы имеют один общий предел, кото-
рый называется двойным интегралом от функции f (М) по обла-
сти D и обозначается ^f(M)ds.
Двойной интеграл обладает всеми основными свойствами обык-
новенного определенного интеграла: область интегрирования
двойного интеграла можно разбивать на части, двойной интеграл
от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех сла-
гаемых, постоянный множитель можно выносить за знак двой-
ного интеграла.
Вычисление двойного интеграла f(M)ds сводится к вычис- ’
D
лению одного или нескольких двукратных интегралов вида
а» За а2 02
/х = ^ Ц F(a, P)d₽ da=y daj F (a, ₽)сф
«1 Pi a,
или
ail $11 au
/2 = J [ J F(a, ₽)da]dp= $ d$ J F (a, p)da,
»/ ₽, a,
каждый из которых есть результат последовательного вычисле-
ния двух обыкновенных определенных интегралов.
* Диаметром области называется наибольшая из ее хорд.
— 262 —
В двукратном интеграле вначале функция F (а, 0) интегри-
руется по р, причем а рассматривается как постоянная, а затем
полученный результат интегрируется по а.
В двукратном интеграле /2 интегрирование выполняется в об-
ратном порядке: вначале по а, причем 0 рассматривается как
постоянная, а затем полученный результат интегрируется по р.
Как правило пределы при первом интегрировании являются
переменными, зависят от той переменной, которая при этом
рассматривается как постоянная. Пределы при втором интег-
рировании. всегда постоянны.
Если область интегрирования D отнесена к прямоугольной
системе координат хОу и если она разбивается на частичные
Черт. 145
области сетью прямых, параллельных осям координат (черт. 145),
то площадь частичной области ds = dxdy (как площадь прямо-
угольника со сторонами dx и dy) и
Jj7(M)ds = £[/(*, y)dxdy.
D D
Если при этом область D такова, что любая прямая, про-
ходящая внутри этой области параллельно оси Оу, пересекает
ее границу в двух точках (черт. 145), то она определяется
неравенствами вида
(х) у <р2 (х), а^х^Ь,
где у = <р1(х) и //=ф2(х)—уравнения нижней (Д^^) и верх-
ней (Д2Л42В) линий границы; а и ^—абсциссы крайних слева
и справа точек области D. В этом случае двойной интеграл вы-
ражается через двукратный интеграл по формуле
y)dxdy~ Jdx J f(x, y)dy. (1)
D a <ft (*)
По этой формуле интегрирование выполняется вначале по у—
в пределах от У1 = Ф1(х) до у3 = ф2(х), которые указывают гра-
— 263 —
ницы изменения у при постоянном, но произвольном значении х,
а потом по х,— в пределах от xt — а до х2 —Ь:, которые являются
крайними (наименьшим и наибольшим) значениями х во всей
области D.
В этом случае, если окажется, что нижняя или верхняя линия
границы состоит из нескольких участков, имеющих различные
уравнения, то область D следует разбить прямыми, параллель-
ными оси Оу, на части, в каждой из которых нижняя и верхняя
линии границы определялись бы каждая одним уравнением.
Черт. 147
Черт. 148
Так, для области D, изображенной на черт. 146, вычисление
двойного интеграла приводится к вычислению двух двукратных
интегралов:
е <Рг (х> » Ч »W
udx dy = udx dy + udx dy = J dx § udy + ^dx § udy.
D Dt Dt а Ф, (x) с 4, (x)
Если граница области D пересекается в двух точках всякой
прямой, проходящей внутри этой области параллельно оси Ох
(черт. 147), то она определяется неравенствами вида
Ф1 (У) х < ф3 (у), c^y^h,
где х = ,ф1(^) и х — ^г(у)—уравнения левой (CNjH) и правой
(CN2H) линий границы,
с и h — ординаты крайних снизу и сверху точек области D
В этом случае двойной интеграл выражается через двукрат-
ный интеграл по формуле
Л M’s <?>
Jp(x, y)dxdy =^dy j f(x, y)dx. (2)
D e Mh W
Здесь интегрирование выполняется в другом порядке: вначале
по х, затем по у. Пределы внутреннего интеграла указывают гра-
ницы изменения х при постоянном, но произвольном значении у;
— 264 —
пределы внешнего интеграла указывают границы, в которых мо-
жет изменяться у во всей области D.
В этом случае, если левая или правая линия границы будет сос-
тоять из нескольких участков с различными уравнениями, то об-
ласть D следует разбить прямыми, параллельными оси Ох, на
части, где левая и правая линии границц определялись бы каж-
дая одним уравнением.
Согласно этому положению, двойной интеграл по области D,
изображенной на черт. 148, сводится к двум двукратным интег-
ралам'
* ♦» (.«>
и dx dy = J J udx dy + и dx dy — J dy § udx-j-
O Dt D,. с Ti (.V/
Л ф,
+ J dy § u dx,
к ♦. (#)
Пределы внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы внут-
реннего интеграла, как правиЖ), являются переменными и зависят
от той переменной, которая рассматривается как постоянная; оба
они будут постоянными только в том случае, когда область интег-
рирования представляет прямоугольник со сторонами, параллель-
ными осям координат.
794. Вычислить двукратные интегралы:
1 2Х 4 U
1) /^('dx £(x—y+l)dy; 2) /2= f dy Г -r^dx.
t) t) V Л I У
О X 2 0
Решение. 1) Сначала вычисляем внутренний интеграл, где
у является переменной, а к постоянной:
VX
fl
|4/==2Л
-у
Далее вычисляем внешний интеграл, — полученный результат
интегрируем по х:
Г2 X3 |« ________ 1
Т 6~ |о ~ Т*
/1 = J Л
о
2) Здесь интегрируем сначала по х, считая у постоянной,
затем по у:
а и
С У3 , ч С dx 2 х 1х~ к пи2
\ = dx-у3] -гт—а — у arctg— =-7-;
J + ” J х24-!/2 3 & У |х=0 4
о о
4
г — j
2
4 14
г~ 3 П-
— 265 —
Вычисление можно записывать короче:
4 II 4
/ — I z/li Г — rl V — I //3 ОГЛ +гг _
|х=0
J у J х2 + у2
2 О
2
Черт. 149
муле (1)],
2
795. Вычислить двойной интеграл j xydxdy, если область D:
D
1) прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, х = а,
У — 0> У = Ь\
2) эллипс 4ха + у2 4;
3) ограничена прямой у = х—4 и параболой
у2 = 2х.
Решение. 1) Построив данные прямые
(черт. 149), получим прямоугольник ОАВС со
сторонами, параллельными осям координат. При
такой простейшей области интегрирования без-
различно, вычислять ли двойной интеграл по
формуле (1) или по формуле (2).
Интегрируя вначале по у, затем по х [по фор-
получим
а b
а
xdx =
D
о о
а
о
о
х2 Iя_____агЪг
"2 |о~Т~
D
а2 у2 |Ь _ д2Ь2
2 * 2 |о~ 4
Интегрируя в другом порядке—вначале по х, затем по у
[по формуле (2)], получим тот же результат:
ba b
xdy — ^ydy^ xdx = § ^^ydy=-
0 0 о
b
а2 Г
2 J
о
2) Построив область D (черт. 150), будем сначала интегри-
ровать по х, а затем по у [по формуле (2)].
Разрешая уравнение границы области D (эллипса) относи-
тельно х, найдем пределы внутреннего интеграла (с перемен-
ной х):
х~ — уИ4—у2 и х=~У4—у2.
— 266 —
Пределы внешнего интеграла (с переменной у) найдем как ор-
динаты самой нижней и самой верхней точек области D (или как
наименьшее и наибольшее значения у во всей области D): у——2
и у = 2.
Подставляя найденные пределы и интегрируя, получим
2
^xydxdy = J у dy
D -2
J xdx —
-T
2
J ydy-Q = Q,
-2
так как пределы внутреннего интеграла отличаются только по зна-
ку, а его подынтегральная функция нечетная (см. гл. V, зад. 592).
Тот же результат получим, интегрируя сначала по у, а затем
по х: ___
1 2^1-Х’
xydxdy = § х dx J ydy = Q.
-гУТ^
Здесь границы изменения у (пределы внутреннего интеграла)
найдены из уравнения эллипса путем решения его относительно у,
границы изменения х (пределы внешнего интеграла) найдены как
наименьшее и наибольшее значения х во всей области D.
3) Построив данные линии между точками их пересечения
(2; —2) и (8; 4), получим параболический сегмент ЛОВ (черт. 151).
Если вначале интегрировать по х, а затем по у, то двойной ин-
теграл по этой области выражается одним двукратным интегралом
4 </ + 4
I = ху dx dy ~ J у dy У х dx,
D ~2 — иг
2 *
— 267 —
так как точки А и В (с наибольшей и наименьшей ординатами) раз-
бивают границу области на левую (АОВ) и правую (ДВ) линий,
и2
каждая из которых определяется одним уравнением: х — у и
х — 4-4.
Пределы внутреннего интеграла (по х) можно найти иначе:
рассматривая область интегрирования как заключенную в гори-,
зонтальной полосе между прямыми у=—2, i/ = 4 и ограничен-
ную линиями АОВ (слева) и В А (справа), получим пределы внут-
реннего интеграла, разрешая уравнения этих линий относи-
тельно х.
Вычисляя двукратный интеграл, получим
4 4
Р X2 . 1 С Г/ i J
= Js’L ydy = ~2 J у [0/ + 4) ~т] dy =
— 2 "5“ —2
=4 П»3+8!/!+16у-т)^=4(т+¥+8!'!-!?)|‘-,=90-
-2
Если интегрировать в другом порядке—сначала по у, а затем
по х, то согласно замечанию к формуле (1) необходимо рдзбить об-
ласть интегрирования прямой ВС, параллельной оси Оу, на две час-
ти, так как здесь нижняя линия границы состоит из двух участ-
ков, которые имеют различные уравнения: у=—У2х (ОВ) и
У~ х—4 (ВА).
Вследствие этого вычисления несколько усложняются:
2 / 2JT
1 = xydx dy + J J xydxdy — § xdx J ydy-\-
O, D, о -Vix
8 V~2X 2 8
4- J xdx J у dy — J x dx-0 4- J xdx —
2 X-4 0 2
8
= 4 C (10x2—x3—16x) dx = 4- ( —т x*—8x2 'j |e. = 90.
2
Иначе пределы внутренних интегралов (пр//) можно найти, рас-
сматривая область интегрирования как заключенную в верти-
кальной полосе между прямыми х —0, х = 8 и ограниченную
линиями ОВ н ВА (снизу) и ОА (сверху), путем решения урав-
нений этих линий относительно у.
В решении этой задачи оказалось, что при любом порядке
интегрирования каждый двойной интеграл имеет одно и то же
значение. Это не случайно, ибо вообще значение двойного интег-
рала не зависит, от порядка интегрирования. Однако для эконо-
— 268 —
мии вычислительной работы следует, если это возможно, выби-
рать такой порядок интегрирования, при котором нет надобности
разбивать область интегрирования на части.
796. Изменить порядок интегрирования в интеграле:
2 * 8 2»
f(x, y)dy; 2) /2 = §dyJ udx.
- 2 X* 10
1 О
3) /„ = J ^dx J vdy.
Решение. 1) Вначале по пределам интегрирования опреде-
ляем область интегрирования. Полагая х равным пределам интег-
рала с переменной х, а у равным пределам интеграла с перемен-
ной у, получим уравнения линий, ограничивающих эту область:
х=—2, х=2, у — х\ у = 4.
Черт. 153
Pt0;-2)
Черт. 154
Построив эти линии на черт. 152, получим параболический
сегмент ОАВ, симметричный оси Оу.
Интегрируем в другом порядке—вначале по х, затем по//. Пре-
делы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х
уравнение параболы х=—У у и х = Уу. Пределы внешнего
интеграла у = 0 и у = 4 находим как наименьшее и наибольшее
значения у во всей области ОАВ. Следовательно,
2 4 4
JdxJf(x, y)dy—^dy j f(x, y)dx.
-2 X» О
2) Здесь область интегрирования ограничена прямыми//=1,
у = 3, х = 0, х=2у. На черт. 153 она представляет трапецию
A BCD.
При интегрировании в другом порядке, вначале пог/, необходи-
мо разбить область ABCD прямой ВН, параллельной оси Оу, на
две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из
— 269 —
двух частей АВ и ВС, которые имеют различные уравнения:
У =1 и y =
Вследствие этого и интеграл /2 при изменении порядка интег-
рирования будет равен сумме двух интегралов:
2 3 в 3
/а = J dx и dy + J dx § udy,
01 2
2
3) Написав уравнения линий, ограничивающих область интег-
рирования: х=—КЗ, х= 1, у——^4—х2, у —Он построив их
на черт. 154, получим криволинейную трапецию ABCD.
Если интегрировать в другом порядке, сначала по х, то область
ABCD необходимо разбить прямыми BBt и СС\, параллельными оси
Ох, на три области, в каждой из которых левая и правая линии
границы определяются каждая одним уравнением.
В области СХРС, заключенной в горизонтальной полосе между
прямыми у =—2, у— —КЗ, левая линия границы СХР имеет
уравнение х =—К4—у2, а правая PC—уравнение х = ]/ 4—у2.
В области ВС^В^ которая заключена в горизонтальной поло-
се между прямыми у——1^3, у = —1, левая линия границы оп-
ределяется уравнением х=—УА—у2, а правая—уравнением
х— 1.
В области ABBJ), заключенной в горизонтальной полосе
между прямыми у —— 1, у = 0, уравнение левой линии границы
х——У 3, а уравнение правой линии границы х=1.
Следовательно, при новом порядке интегрирования интеграл
/3 будет равен следующей сумме трех интегралов:
- V~3 У4 - у‘ -1 1 0 1
/3— У dy у vdx+ У dy У vdx-j- Уdy у vdx.
-2 -1^4-у* -W -V4- у» -1 -V~9
797. Вычислить двукратные интегралы:
2 3
1) j d%y (х2-\-2ху) dy;
О о
Г Г —
3) j dv С е ° du;
о о
о у*
2) dy У (х 4- 2у) dx;
2 О
& 3-Х .
4) У«2х J УА + x + ydy.
О о
798. Вычислить двойной интеграл у( (x + y)dxdy, где область
о
D—треугольник, ограниченный прямыми:
1) х = 0, у = 0, х + у = 3; 2) х — а, у = 0, у = х.
— 270 —
799. Вычислить двойной интеграл (*(* l/?!» если область D
«7 J х Т У
D
ограничена:
1) прямыми х — 2, у = х, х^=2у,
2) параболой 2у = х2 и прямой у = х.
800. Вычислить двойные интегралы по областям, ограничен-
ным указанными линиями:
1) ^x2ydxdy\ у = 0, у = ]/2ах—х2;
D
2) jy sin(x + y)dxdyj у = 0, у=х, х-|-^ = -у;
D
3)JJ*2(0—x)dxdy\ х = у2, у = х2.
801. Вычислить двойной днтеграл (2х + 3у4- l)dxdy по
о
области, ограниченной треугольником с вершинами (Г, 3),
(-1; -1), (2; _4).
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
802. ^dy р(х, y)dx.
г у
1 а - х*
804. J dx J qdy.
О X
О У1 - X’
803. J dx udy.
-1 х+1
2 w
805. J dy j z dx.
1 t
У
2 2
807*. Jdx J dy.
® У гх-х*
§ 2. Двойной интеграл в полярных координатах
Если область интегрирования двойного интеграла отнесена
к системе полярных координат <р, р и если она разбивается на
частичные области лучами <р = <р{ = const, исходящими из полюса,
и концентрическими окружностями p = pf = const с центром
в полюсе (черт. 155), то ds =р dtp dp (как площадь прямоуголь-
ника со сторонами pd<p и dp) и
CJ f(M)ds=CC f(<p,p)pdtpdp = ^F((p, p)dtpdp.
Р D D
— 27/ —
Обычно двойные интегралы в полярных координатах выра-
жаются через двукратные интегралы вида
Р Ре <Ф>
$ d(p $ F((p, p)dp,
a Pi (ф)
где первое (внутреннее) интегрирование выполняется по р, считая
ф постоянной, а второе (внешнее) интегрирование выполняется
по <р.
Пределы интегрирования по р указывают границы измене-
ния р при постоянном, но произвольном значении ф. Пределы
интегрирования по ф являются наименьшим и наибольшим зна-.
чениями ф во всей области D.
Как правило, пределы внутреннего интеграла (по р) зависят
от ф; они оба будут
постоянными только в том случае, когда
область
круговой
секторов
внешнего
янны.
В приложениях двойных интегралов к
геометрическим и физическим задачам
обычно искомая величина выражается по-
средством двойного интеграла, отнесен-
ного к прямоугольным координатам, а
затем во многих случаях для упроще-
ния вычислений полученный интеграл
полярным координатам с помощью следую-
интегрирования представляет
сектор или разность круговых
с центром в полюсе. Пределы
интеграла (по ф) всегда посто-
=Ра(ЧЙ
flV Л
Черт. 155
преобразуется к
щего правила:
Для преобразования двойного интеграла, отнесенного к пря-
моугольным координатам, в двойной интеграл в полярных коор-
динатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные
координаты заменить полярными: х = р cos ф, у = р sin ф, а вместо
dxdy подставить р dtp dp.
При этом уравнения линий, ограничивающих область интег-
рирования, также преобразуются к полярным координатам
(посредством указанных формул перехода от прямоугольных
координат к полярным).
808. Вычислить двойной интеграл / == JJp зшфб/рЛр, если
с
область D:
1) круговой сектор, ограниченный линиями р — а, ф —
4U
и ф = л;
2) полукруг р«^2асо8ф, 0<ф<у;
3) заключена между линиями р = 2 + со$ф и р=1.
— 272 —
Решение. 1) Построив окружность р = а и лучи, образую-
щие с полярной осью углы ф = -у и Ф = Л, получим круговой
сектор ОАВ с центром в полюсе О (черт. 156).
Интегрируя вначале по р, затем по ф, получим
2) Построив область D, черт. 157, интегрируем, как обычно
принято в полярных координатах, сначала по р, затем по ф:
л л
2 яа COS<P 2
, С . . с , (*p2]2acos<p .
/=\sin<pd<p J рdp = 1 Sinф—
О 0.0
л л
V V
= 2а2 j* cos2 ф sin ф dtp = — 2а2 J (cos ф)2 d (cos ф) =
О о
л
2 2 ч 12 2 2
=—-q-a2cos3(p =va •
о Jo &
3) Построив область D (черт. 158) и интегрируя, получим
2Я 2+СО?ф 2Л 2 + C0S(p
С f р оа I
/=lsiпфdф \ р dp = 1 ~ б*1Пф4ф =
О 1 0 1
2Л О
= у J [(2-j-cos ф)2 — 1] sin фdф= у (З-f-4созф + соз2ф^созф =
О 2Л
= i ^3cos ф2cos2 ф + 4- cos3 ф^ 1° =0.
809. Преобразовать к полярным координатам и затем вычис-
лить двойной интеграл / —- С С , где D—круговое кольцо,
Jу +у2
— 273 —
заключенное между окружностями х2 + у2 = 1 и № + г/2 = 4 (т. е.
1 ^хг + у2 =sS4), черт. 159.
Решение. Пользуясь указанным правилом, получим:
Hpdtpdp
р2 cos2 <р + р2 sin2 ф
1 < р <2
2Л 2
dtp dp — dq> J dp = 2л.
I < p < 2 О 1
р=1 и р = 2—полярные уравнения данных окружностей.
Черт. 158
Черт. 159
810. Вычислить двойной интеграл Г С p2d<pdp, если область Q
ограничена:
1) окружностями р=а, р = 2а;
2) первым завитком спирали р = а<р и полярной осью;
3) кривой p = asin2(p.
811. Вычислить двойной интеграл р2 sin tpdpdtp по области,
о
ограниченной кардиоидой p = a(14-cos<p) и полярной осью, если
а) и б) л=Сф=с2л.
812. Преобразовать к полярным координатам и вычислить
двойные интегралы:
1) \\xyzdxdy, если область R сграничена окружностями
х* + (у—1)2=1 и х2 + у2 = 4у.
2) dxdy, если область Р—круг х2 +//2 «С а2.
§ 3. Вычисление площади посредством
двойного интеграла
Площадь S плоской области D равна двойному интегралу
от ds, распространенному на область D:
S-Hds-
D
— 274 —
В прямоугольных координатах ds = dxdy и
S^dxdy. (1)
D
В полярных координатах ds = р dtp dp и
S = jjpd<pdp. (2)
а
813. Найти площадь области, ограниченной линиями:
1) y* = xs, у2 = 8 (6—х)3;
2) у = 2х, у = 2~2Х, у = 4;
3) p = acos(p, p = &coscp, &>а>0;
4) (х2+уг)* = 2а2ху.
Решение. 1) Построив данные
полукубические параболы (черт. 160), по-
лучим криволинейный четырехугольник
ОАВС. Точки А и С пересечения кри-
вых найдены путем совместного «‘решения
их уравнений.
Вследствие симметричности фигуры
относительно оси Ох ее площадь S рав-
на удвоенной площади криволинейного
треугольника ОВС, расположенного в
первом квадранте.
•Согласно формуле (1) площадь обла-
сти ОВС равна двойному интегралу от
ному на эту область:
Черт. 160
dxdy, распространен'
2
. 1 .. 3
S = 2 JJ dxdy = 2^dy J dx = 2j*xj dy —
obc 0 2 ° T
3 У
у
,8
= 2 J (в - |Л)dy = 2 (бу-у’) I’ -2 (48-^ • 32) -38-1.
u
Если интегрировать в другом порядке, то необходимо разбить
область ОВС прямой, проходящей через точку С, параллельно
оси Оу на две части. При этом
4 V Xs в V» (в-Х)’
S = 2 Н dx § dy -f- J dx dy
'•О О 4 О
Разумеется, результат будет тот же самый.
— 275 —
2) Данные линии ограничивают криволинейный треуголь-
ник АВС (черт. 161).
Согласно формуле (1) искомая площадь
in у
4 1П 2 4 4
s==$$dxdy = $ dy $ dx== $ + 2hS) = 2hT§ J ]nydy-
ABC 1 In у 1 1
~2 In 2
Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования
по частям, получим
3-^(,1п0-,)|;-^(41п4-3)=12-^«5.5в7.
И здесь при другом порядке интегрирования необходимо
разбить область АВС на две области АЕС и АВЕ, вследствие
О х
Черт. 161
чего площадь S будет равна сумме двух
двойных интегралов:
АВС
АЕС
АВЕ
3) Построив данные окружности в по-
лярной системе координат (черт. 162), на-
ходим площадь S ограниченной ими обла-
сти D по формуле (2):
2 b COS Ср
S —§§pd(pdp = 2§§pd<pdp = 2 J dtp J pdp —
D ABO о a cos <p
= (bz —a2) J cos2 <p dtp = J (1 + cos 2ф) d(P =
о 0
я
2
= ^-(bz-az).
Здесь учтено, что обе окружности симметричны относительно
полярной оси и что верхняя половина каждой из них полу-
чается при изменении угла <р от 0 до
— 276 —
4) Площадь фигуры, ограниченной данной замкнутой кривой
(лемнискатой), проще вычислить, перейдя к полярным коорди-
натам.
Полагая в данном уравнении кривой х = рсозф, y = psin<p,
получим после упрощений полярное уравнение этой кривой
p2 = a2sin2<p.
Черт. 162
Черт. 163
Построив кривую (черт. 163) и замечая, что она симметрична
относительнополюса и что при изменении ф от 0 до — текущая
точка (<р, р) опишет половину кривой, расположенную. выше
полярной оси, по формуле (2) найдем
Л 31 л
V а Vsin 2<р 2 2
Г' О Г* 1
5 = 2 шф I pdp = a2 \ sin 2фЛр = — -£-соз2ф =а2.
ООО о
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
814. Зх2 = 25у, 5у2 = 9х. 815. ху — 4, х + у = 5.
816. у — е*, у — е2Х, х—1. 817. р = асоз2ф.
818. х+«/=1, х + 3?/=1, х = у, х — 2у.
819. р = 4шпф, р = 2з1Пф. 820. р = азшЗф.
821. (x2+y2)2 = 2z/3. 1 Перейти к полярным коордипа-
822. (x2 + z/2)3 = a2(x«4-y*). J там.
§ 4. Вычисление объема тела
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим
основанием область D на плоскости хОу и ограниченного сверху
поверхностью z = f(x,y) (черт 164), выражается двойным интег-
ралом
(а)
— 277 —
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится
к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких верти-
кальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными
оси Oz).
823. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1) у = х2, //=1, x + y + z = 4, ? = 0.
2) 2— у2—х2, 2 = 0, z/ = ±2.
3) 2 = 4 — х2—-уг, ?2 — 2-|-X2 + z/2.
4) х2 + {/2 + г2 = /?2. 2 = а, г = Ь; R> b> а>0-
Решение. 1) Данное тело (черт. 165) представляет верти-
кальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости
2 = 4—х—у, а снизу—частью плоскости хОу, заключенной
между параболой у = ха и прямой у= 1.
Согласно формуле (а) объем этого тела
1 ,z"y
V — ^zdxdy = ^dy J (4 —х—y)dx =
ОАВ о _ V~jj
1 x = V~y 1
= J [(4—У) у] | dV =2^(4—y)V"ydy =||.
При интегрировании в другом порядке
1 1
V= JdxJ(4—х—y)dy —
-1 X'
68
15'
2) Гиперболический параболоид z = ya—х2 пересекает пло-
скость хОу (z = 0) по двум прямым у = ±х. Вместе с плоско-
стями 2 = 0, у =±2 он ограничивает тело, симметричное отно-
— 278 —
сительно плоскостей xOz и уОг. Согласно формуле (а) объем
четвертой части тела, расположенной в первом октанте (черт. 166),
2 2
T1/ = J § zdxdy = ^dy^(y2 — x2)dx = ^^y2x — ^^~^dy =
ОАВ оо о
2 С , , 2 у*\ « ,,32
= зрт = Г7Н: V=3'
О
о
3) Тело,.ограниченное данными параболоидами вращения,
изображено на черт. 167. Его объем можно найти как разность
объемов двух вертикальных цилиндрических тел, которые имеют
общее нижнее основание D на плоскости хОу, а сверху огра-
ничены данными поверхностями.
V = V, - И2 = J J (4 - х2 - у2) dx dy - j (2 + x2 + у2) dx dy =
D D
= | JJ (2 —x2 —z/2)dx dz/.
£>
Линия L пересечения данных поверхностей определяется си-
стемой из их уравнений: z = 4 — х2 — у2, 2г = 2 4-х2 + У2-
Исключая из этой системы г, получим x2-}-z/2 = 2—уравне-
ние вертикальной цилиндрической поверхности, которая прохо-
дит через линию L и проектирует ее на плоскость хОу. Полу-
ченное уравнение будет и уравнением проекции линии L на
плоскость хОу — окружности Lp ограничивающей область D.
Чтобы упростить вычисление интеграла, преобразуем его
к полярным координатам. Полагая х~рсозф, z/ = psin<p и за-
— 279 —
меняя dxdy через р dtp dp, получим
«я VsT
^ = 4 Jj (2—p2)pd<pdp = y Jdcp J (2р —p3)dp =
iGF ® °
. 3 P ( 2 p'\ |VT 3 Г 3 Iwt _
d (p — 4-)|0 *P=2j d(P=-2 4 =3я
о e
а хх+У2 + 22 =
чивают шаровой слой (черт.
Черт. 168
(p==K2 есть полярное уравнение окружности x24-y2==2).
и плоскости z = а и z = b ограни-
168). Его объем V=V1 + V2—V3,
где Уц Уа и У9—объемы верти-
кальных цилиндрических тел:
Ух = лОА2Ь; У9 = лОВ2а',
V2 = $ $ //?2-х2-//2 dx dy,
о
где D — круговое кольцо
ОА2 х2 + #2 ОВ2.
Радиусы гх—ОА и г2 = ОВ
определяются из уравнений вер-
тикальных цилиндров, проектирующих окружности I и L на
плоскость хОу.
Исключая z из уравнений сферы и плоскости г = &, получим
уравнение х2+у2 = Z?2—&2, откуда О А = V^/?2—Ь2. Аналогичным
путем из уравнений сферы и плоскости г = а получим уравнение
х2 + у2 = /?2—а2, откуда ОВ = У R2 — а2.
Следовательно, Vx = nb(R2—b2), V3 — na(R2 — a2).
Для вычисления двойного интеграла, определяющего У2, пе-
рейдем к полярным координатам:
Л
2 Гъ
V2= l^R2 — р2 pd<pdp = 4 VR2 — Р2 Р dp =
» rt
Л
3 2
= -y(tf2-P2)T|r’J d<p~^-(b3-a3).
о
3
Искомый объем шарового слоя V—nb(R2—Ь2)+-^ л(63 — а3) —
—ла (R2 - а2) == у 13/?2 (b—a)+aa—b3\ = (3^г_а2_ ab—b2).
— 280 —
2
При а = 0, b = R получаем объем полушара V = y nR9.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
824. Цилиндром х2+у2 = а2 и плоскостями х+^4-г = 2я,
2 = 0.
825. Плоскостями х-[- y + z=*2, Зх4-«/ = 2, 3x-f-2«/ = 4, у = 0,
г = 0.
д^2 о2
826. Эллиптическим параболоидом 2 = ^+|5 и плоскостями
*ei h J/ = i 1.
* Х2
827. Плоскостями «/+г = 0, 2 = 0 и цилиндром ^+^ = 1.
828. Сферой х2 + «/2 + 22 = 2аа и цилиндром х2 + у2 = а2*.
829. Плоскостями «/4-2=2, у — г = 2 и цилиндром х2+«/2 = 4 *.
830. Конусом х2 + «/2 = 22, цилиндром х2+у2 = 2у и плоско-
стью z=0*.
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции
Если б(М) есть поверхностная плотность** в точке М (х, у)
плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей об-
ласть D, то ее масса т, координаты центра тяжести С и мо-
менты инерции 1Х, 1у, /0 относительно осей Ох и Оу и начала
координат О выражаются формулами:
1) Щ = S(M)dxdy; (1)
D
dx dy
где mx и mv — статические моменты пластинки относительно осей
Ох и Оу.
Если пластинка однородна, то S = const выносится за знаки
интегралов и сокращается:
3) /X=^y2ddxdy, l^^x2bdxdy, (3)
D D
/0 = /х + /у = JJ(x2 + z/2)6rfxdz/. (4)
D
* В этой задаче для вычисления двойного интеграла полезно перейти
к полярным координатам.
** Поверхностной плотностью распределения массы в точке М пластинки
называется предел отношения массы площадки, содержащей точку М к ее
площади, когда эта площадка стягивается к точке М.
— 281 —
Для однородного вертикального цилиндрического тела (с об-
разующей, параллельной оси Oz), имеющего своим основанием
область D на плоскости хОу и ограниченного поверхностью
z~f(x, У) (черт. 164),
хг dx dy уг dx dy J г2 dx dy
Y _ D_ D ___________________. ~ _______ ZK\
~ rp 'De pp ’ pp • Vм/
И z dx dy \\zdxdy 2 И z dxdy
D D D
831. Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке
по верхностная плотность обратно пропорциональна квадрату
расстояния ее до центра кольца.
Решение. Обозначим радиусы окружностей, ограничиваю-
щих кольцо, через гх и г2 (гх < г2), и поместим полюс полярной
системы координат в центре кольца; тогда уравнения окружно-
стей будут р = гх и р = г2, а поверхностная плотность в точке
k
М (<р, р) кольца 6(Л4)=-—а.
Массу всего кольца найдем по формуле (1), преобразуя ее
к полярным координатам:
2Л rt 2 Л Г2
т — Jj* 6pd<pdp = -^-depdp —& J dtp^ = J In р | d<p =
D ort 0 n
2Л
~k In — C dtp = 2kn In — .
ri J ri
0
832. Найти массу пластинки, имеющей форму эллипса, если
поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорци-
ональна ее расстоянию г от малой оси эллипса и при r = 1 она
равна X.
Решение. Обозначим полуоси эллипса через a nb (а>Ь)
и выберем оси Ох и Оу прямоугольной системы координат так,
чтобы они совпали с осями эллипса, тогда уравнение эллипса
*»2 //2
будет —2 + ^= 1.
J а2 Ь2
Согласно условию задачи в точке М (х, у) пластинки плот-
ность 6 (А4) — А | х |.
По формуле (1) масса правой половины пластинки
ь
y/n=JJ Udxd«/ = xjdy J xdx = ~^(b2 — y2)dy =
D -b о -6
Aa2/,2 у3 \ I* 2
з)1-.=7“
Следовательно, масса всей пластинки т — ~а2Ьк.
О
— 282 —
833. Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного
треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность
пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы^
Решение. Пусть в прямоугольном равнобедренном тре-
угольнике АВС гипотенуза АВ = 2а. Тогда относительно системы
координат, изображенной на черт. 169, уравнения катетов АС
и ВС будут у — х + а и у —а—х.
Согласно условию задачи в точке (х, у) треугольника плот-
ность б = ky.
Далее, пользуясь формулами (2), вычислим величины тх, ту
и т для данного треугольника:
а а—у а
тх — $$ ky2dxdy — k^ y2dy $ dx — 2k $ у3 (a — у) dy =
ABC о у—a о
= 2fe а%-
a a-у a
my = kxy dxdy = k^ydy J x dx = k J у dy • 0 = 0.
ABC о о
a a— у a
С С (* Г (* kcfi
m= }\kydxdy = k\ ydy J dx = 2k J у (a — y) dy == ~3~ .
ABC 0 у—a 0
Следовательно, xc=~
mr a
= 0, y‘==~m~'2
Если бы по всей области треугольника масса была распре-
делена равномерно, то его центр тяжести помещался бы в точке
пересечения медиан ^0, у 1 .
834. Найти момент инерции треугольника, данного в условии
предыдущей задачи, относительно его гипотенузы.
Решение. Относительно указанной на черт. 169 системы
координат искомый момент инерции есть /х. Поэтому, поль-
зуясь формулой (3), найдем
а а-«
lx~ ^ky3dxdy = k^y3dy у dx =
АВС о у-а
- 0
A = 2k\y3(a-y}dy=^.
Черт. 169
835. Однородная пластинка ограничена двумя концентриче-
скими эллипсами с совпадающими линиями осей (эллиптическое
— 283 —
кольцо). Найти моменты инерции этой пластинки относительно
ее осей.
Решение. Пусть внешний эллипс имеет полуоси ах и blt
а внутренний—полуоси а2 и Ь2 и пусть оси прямоугольной си-
стемы координат направлены по осям симметрии пластинки.
Тогда уравнения эллипсов будут
«Г
а искомые моменты инерции будут 1Х и 1у. Применяя фор-
мулы (3) и используя симметричность пластинки (D) относительно
осей координат, получим
= y2dxdy—^ у*dxdy} ,
D \ D, D„ /
где Dx и D2 — расположенные в первом квадранте части
областей, ограниченных соответственно внешним и внутренним
эллипсами.
Интегрируем вначале по у, затем по х:
/“i th аг \ /а, а2 >
/Я = 46М dx $ y2dy — dx J y2dy )=4 $( $ Vid*—$ Уьйх
\о О О О / Хо 0 '
Л1 Qz
Для вычисления интегралов заменяем переменную. В первом
интеграле—по формуле x = a1sin^, во втором—по формуле х=
= а2 sin t\
= ^b(axb\ — a.2d*) £ cos4 tdt.
0
Согласно решению задачи 505 последний интеграл равен .
Следовательно,
Л< = 4пб (aibi~ а*ь*У
Аналогично применяя вторую из формул (3), найдем
— 284 —
Отсюда при a2 — bz = 0 получаем моменты инерции полного
йллипса:
Ix = ^nba}b3i; /у = 1-лв&1о?.
При &i = at и 62 = а2 получаем момент
кольца: / = у лб (а* — а*), взятый относи-
тельно любого его диаметра.
Для круга радиуса а момент инерции
относительно любого диаметра / = -|-л6а*.
836. Найти центр тяжести однород-
ной усеченной призмы, ограниченной ко-
ординатными плоскостями и плоскостями
x + y + z — 4, х=1, у—\.
Решение. Построив данные плоско-
сти (черт. 170), замечаем, что ограничен-
ная ими усеченная призма симметрична от-
носительно плоскости х = у. Вследствие
инерции кругового
Черт. 170
этого хс=ус.
Далее вычисляем интегралы, содержащаяся в формулах (5),
xzdxdy = х(4—х—y)dxdy =
d о а вс
11 ’
= — JxdxJ (4 —х—y)d(4—х — у) — — J;4 jxdx=*
0 0 о
О
= 4 J &х* - 7х>dx = I" = :
lz = ^z2dxdy= (4~x—y)2dxdy=:
1> О А ВС
—— ('dx С(4—х—y)9d(4—х—у) —— С I "=1 dx —
t) и J о I г/=<1
0 0 о
о
= 1 J 1(3-х)»-(4-х)»| dx-1 -<i=^] |; -®;
1
11 1
/3 = j J zdxdy = Jdx J (4—x—y)dy = — ~ J (4—x—1/)2| dx==
Ooo о
= - И [(3-х)2 —(4—x)2] dx = 1 -£=^1 Г = 3.
I О «111
0
Подставляя в формулы (5) найденные значения интегралов,
— 285 —
получим:
с Уе /3 36 ’ ‘ 213 36*
837. Найти массу круглой пластинки, если поверхностная
плотность в каждой точке пластинки пропорциональна квадрату
ее расстояния от центра пластинки.
838. Найти массу квадратной пластинки, в каждой точке
которой поверхностная плотность пропорциональна сумме ее
расстояний до диагоналей пластинки.
839. Пластинка ограничена параболой у2 — 2рх и ее хордой,
проходящей через фокус перпендикулярно к оси параболы.
Найти массу пластинки, если в каждой ее точке поверхностная
плотность обратно пропорциональна расстоянию точки до ди-'
ректрисы параболы.
840. Найти массу прямоугольника со сторонами а и Ь, в каж-
дой точке которого поверхностная плотность пропорциональна
квадрату расстояния ее от одной данной его вершины.
В задачах 841—843 найти моменты инерции однородных пло-
ских фигур:
841. Прямоугольника со сторонами а и b\ 1) относительно
стороны а\ 2) относительно одной из его вершин; 3) относительно
точки пересечения диагоналей.
842. Прямоугольного треугольника с катетами а и b: 1) от-
носительно вершины прямого угла; 2) относительно катета а.
843. Круга радиуса R: 1) относительно касательной; 2) от-
носительно точки на окружности.
844. Найти центр тяжести прямоугольного треугольника,
катеты которого равны а и Ь, если в каждой его точке поверх-
ностная плотность пропорциональна квадрату расстояния ее от
вершины прямого угла.
845. Найти центр тяжести расположенной в первом квад-
ранте части эллипса ^+^—1 (пластинки), если в точке (х, у)
поверхностная плотность 8 — kxy, где k—постоянная.
Найти центры тяжести следующих однородных тел:
846. Полу шара х2 + у2 + z2 а2, z^O.
847. Тетраэдра, ограниченного плоскостями x + 2i/ + z=l,
х —0, «/ = 0, z = 0.
848. Шарового слоя, заключенного между сферой х2 + «/2 +
4-z2 = /?2 и плоскостями х — а, х = Ь.
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление
трехкратным интегрированием
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М некоторой
замкнутой пространственной области G и если разбить эту область
произвольным способом на п частичных областей с объемами Д^,
— 286 —
До.., .... До„, выбрать в каждой из них по одной произвольной
точке Л41( М2, М„, вычислить значения функции в этих
точках и составить сумму
п
f (Мх) + f (М2) Дv2 + ... + f (М„) Дt>„ = 2 f (Mi) Д
i=l
то она называется интегральной суммой функции f(M) по об-
ласти G.
При составлении интегральной суммы можно различными
способами разбивать область G на п частичных областей и в каж-
дой из них можно произвольно выбирать одну точку М(. По-
этому для всякой данной функции f(M) и всякой данной обла-
сти G можно составить сколько угодно различных интегральных
сумм. И все эти интегральные суммы при неограниченном воз-
растании п и при стремлении к нулю наибольшего из диамет-
ров частичных областей имеют один общий предел, который
называется тройным интегралом от функции f(M) по области
G и обозначается f(M)dv.
• о
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного
и обыкновенного определенных интегралов: область интегриро-
вания можно разбивать на части; интеграл от суммы функций
равен сумме интегралов от всех слагаемых; постоянный множи-
тель можно выносить за знак интеграла.
Вычисление тройного интеграла сводится к трехкратному
интегрированию, т. е. к последовательному вычислению трех
обыкновенных (однократных) определенных интегралов по каж-
дой из трех переменных координат точки трехмерного прост-
ранства.
Если область интегрирования G отнесена к прямоугольной
системе координат Oxyz и если она разбивается на частичные
области плоскостями, параллельными координатным плоскостям,
то объем частичной области dv=dxdydz (как объем прямоуголь-
ного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz) и тройной интег-
рал преобразуется к виду
JJJ f(M)dv — JJJ f (х, у, z)dxdydz.
О О'
При этом, если область G такова, что любая прямая, проходя-
щая внутри этой области параллельно оси Oz, пересекает ее
границу (ограничивающую ее замкнутую поверхность) в двух
точках* (черт. 171), то тройной интеграл можно вычислить по
* Если область G имеет более сложный вид, то ее следует разбить на
части указанного простого вида и затем вычислить данный интеграл как
сумму интегралов по составляющим областям.
— 287 —
формуле
Z-t>2 (X, /Л
^f(x,y,z)dxdydz=^dxdy J f(x, у, z)dz, (»)
° Oxy (x. У)
rjifi Gxy—проекция области G на плоскость хОу; х = ф1(х, у)
и г = ф2(х, у)—уравнения нижней и верхней поверхностей, ог-
раничивающих область G*.
По этой формуле вычисление тройного интеграла сводится
к последовательному вычислению обыкновенного (однократного)
определенного интеграла с переменной г, причем х и у рас-
сматриваются как постоянные, и двойного интеграла с перемен-
ными х и у по области Gxy, расположенной в плоскости хОу.
Черт. 171
Как правило, пределы внутреннего обыкновенного интеграла
являются переменными; они зависят от тех двух переменных,
которые в этом интеграле рассматриваются как постоянные.
Оба они будут постоянными только в том случае, когда область
интегрирования G есть прямой цилиндр, образующие которого
параллельны оси Ог, а основания расположены в плоскостях, па-
раллельных плоскости хОу.
Меняя ролями переменные х, у и г в формуле (»), можно
получить и другие аналогичные формулы для вычисления трой-
ного интеграла посредством последовательного вычисления обык-
новенного и двойного интегралов.
При вычислении тройного интеграла указанным путем после
вычисления внутреннего обыкновенного интеграла иногда целе-
сообразно бывает затем, для вычисления двойного интеграла,
перейти от прямоугольных координат к полярным, как это
разъясняется в § 2. Такой способ вычисления тройного интеграла,
отнесенного к прямоугольным координатам, называется вычис-
лением его посредством преобразования к цилиндрическим
координатам, ибо, как показано на черт. 172, переменные <р,
р и 2 являются цилиндрическими координатами точки М (х, у, г).
* Иначе, if 1 (х. у} и 4>s(x, у) — апликаты точек N и Q пересечения по-
верхности, ограничивающей область G, с прямой, проходящей через про-
извольную внутреннюю точку области G параллельно осп Oz.
— 2в8 —
Тройной интеграл можно вычислять и иначе, как обыкно-
венный интеграл от двойного.
112
849. Вычислить трехкратный интеграл / = $ dx $ dy $ (4+z)dz
-1 X* в
и построить его область интегрирования.
Решение. Последовательно вычисляем три обыкновенных
(однократных) определенных интеграла, начиная с внутреннего:
2
,1=Г(4 + г)&=<1±^|!=“^=10;
4 J Z |о Л
о
1 1
/3=$ ltdy= 10 $^=Юу|11 = 10(1— х2);
1 1
/3 = /= J /г^=10 x*)dx=M)(x—у)|1г=у.
-1 -1
Здесь, как и при вычислении двукратного интеграла, можно
пользоваться более краткой записью:
11 11 1
1 — J dx §14 I* dy = 10 J dx J dz/ = 10 J (1 —x2) dx =
Для построения области интегрирования данного трехкрат-
ного интеграла пишем вначале уравне-
ния поверхностей, ограничивающих эту
область. Приравнивая переменную ин-
тегрирования каждого интеграла его пре-
делам, получим следующие уравнения:
х =—1, х=1, z/ = x2, у—1, 2 = 0, z=2.
Построив в системе координат Oxyz
поверхности, соответствующие этим урав-
нениям (черт. 173), видим, что ограничен- х
ная ими область есть прямой цилиндр, х
образующие которого параллельны оси
Oz.
850. Вычислить тройной интеграл 1 = > если об'
о
ласть G ограничена плоскостями:
1) х + у-\-2— 1, х = 0, z/ = 0, z = 0;
2) х = 0, х= 1, у —2, у — 5, 2 = 2, z = 4.
Решение. 1) Построим данные плоскости. Ограниченная
ими область G есть тетраэдр ОАВС (черт. 174). Любая прямая,
1(1 Заказ № 3201
— 289 —
проходящая внутри этого тетраэдра параллельно оси Oz, пере-
секает его границу (поверхность) в двух точках. Поэтому,
согласно формуле (*), вычисление данного тройного интеграла
сводится к последовательному вычислению обыкновенного ин-
теграла с переменной z и двойного интеграла с переменными х
и у. Пределами однократного интеграла будут значения z = zN=6
(из уравнения плоскости АВО) и z = zQ = 1 — х—у (из уравнения
плоскости АВС); областью интегрирования двойного интеграла
будет треугольник АВО (проекция тетраэдра на плоскость хОу).
Следовательно, i -х_у
Черт. 174 Черт. 175
Вычисляя внутренний однократный интеграл, а затем двой-
ной интеграл, получим:
АВО АВО
2) Данные плоскости ограничивают прямоугольный параллеле-
пипед, ребра которого параллельны осям координат (черт. 175).
При такой простейшей области интегрирования пределы всех
трех однократных интегралов, к вычислению которых сводится
вычисление тройного интеграла, будут постоянные.
Интегрируя вначале по z, затем по х и по у, получим:
/.= CC^.^_fdz=fdX|‘r-^==
2 JJ 1— х—УЗ J HI— x~ у
ABCD' 2 20
2 X -1 2
= 2 J In I 1 —x—у | j dy — 2 J (In]y\ — In \y — 1 \)dy —
В X =0 б
= 2 [y In | у | —(г/—1) In | у — 11 ]| ^ = 10 In j. *
♦ Последний интеграл (с переменной у) найден по формуле интегрирова-
ния по частям, гл. IV, § 4.
— 290 —
851. Вычислить следующие тройные интегралы:
1) 1 = ССС -dxdydz
' JJJ (x+z/4-z + i)3
о
где область G ограничена плоско-
стями %4-г = 3, у = 2, х = 0, г/ = 0,
2) J =§§§ (x2-l-y2 + z2)dxdydz,
w
z = 0;
где область
ограничена
W
поверхностью 3(х2+у2) + ^=3а2-,
3) К= tjdxdydz, где область Т ограничена поверхностями
т
y = Vx2+z2 и y = h, h>0.
Р е in е н и е. 1) Построив данные плоскости, получим треуголь-
ную призму (черт. 176). Пользуясь формулой (*), имеем:
zq=9~x
I=^dxdy J (х + y + z+ l)-8dz =
G г.,«о
/ xy N
г=3-х
= И<,'1',-2+1)~’| =
АВСО z=O
3 2
= ~2 У J К* 4~ f/4~ 1) 2 — (^“Ь 4) 2] dy =
о о
з у = г з
2 У 4-4 х-|-г/4-1| ) 2У(х-|-1 x-f-3 12)
о у=о о
з
__ 1 Л |*+Ч * \ I _4 1п 2— 1
~ 2 \ П 1* + 3|— 12/ I — 8
о
2) Область W, ограниченная данной поверхностью, есть эллип-
соид вращения (черт. 177). Его проекция Wя? на плоскость хОу
10* — ‘^91 —
есть круг х2+у2^а2. Применяя формулу (*), получим:
Z~ZQ
J = j $ dx dy (x2 + y2 + z2) dz,
W z=z.,
xy N
где zN и zQ —значения z из данного уравнения эллипсоида,
2n. Q = +/3(a2 — x2 —у2).
Вычисляя внутренний однократный интеграл с переменной z
найдем:
ZQ __ _________
J = px2 + y2)? + yj | dxdy=2a2]^ 3 }fa2—x2—y2dxdy.
W zх‘ + уг <a!
x// N
Далее, чтобы упростить вычисление полученного двойного
интеграла, преобразуем его к полярным координатам. Полагая х —
= pcos<p, у = р sin <р и заменяя dxdy через pdcpdp, получим:
J = 2a2K 3 У а2 — р2 pd<p dp =
Р < а
з
2Л ° ] 2Л — 0
= a2/lj (а2-р2р d(a2-p2) = a2/3 J ^Т.Ра)... j dtp =
о а о а
2а5 КЗ f , 4лав
----
О
(р=а есть полярное уравнение окружности х2 + у2 = а2).
3) Ограниченная данными поверхностями область Т есть
конус, изображенный на черт. 178. Всякая прямая, проходящая
Черт. 178
через внутреннюю точку конуса парал-
лельно оси Оу, пересекает его границу
в двух точках, а проекция Тхг этого
конуса на плоскость -кОг есть круг
х2 + г2^/г2. Поэтому, меняя ролями
переменные г и у в формуле (*), по-
лучим
/< = dxdz уdy,
Jxz ______
где yN^Vx2+z2, yQ=-h.
Вычисляем однократный интеграл
rfrrfz = -^ JJ (h2— х2 — z2)dxdz,
— 292 —
а полученный двойной интеграл преобразуем к полярным коорди-
натам (полагаях= pcoscp, z = р sin <р и заменяя dxdz через pdtpdp):
2Л Л
К = 4 jj (Л2 — p2)pdq>dp = ^-J d<p J (й2р — р3) dp =
р <Л оо
2П
_ 1 (* f/i2p2
~ 2 Ч.
О
(р=Л есть полярное уравнение
852. Вычислить трехкратные
с b а
1) dz dy (х2 + у2 + z2) dx;
ООО
1 У X 2-2*
3) §dx § ydy § dz;
О О 1-Х
окружности х2 -f-z2 = /i2).
интегралы:
a h а-у
2) $ydy dx dz;
О 0 0
S3 3
4) §dy xdx^z2dz
© — у* ©
и построить их области интегрирования.
Вычислить тройные интегралы:
853. JJ^(2x-f-3i/ —г)dxdydz, где G —призма, ограниченная
о
плоскостями х —О, у = 0, z = 0, z = 3, х + у = 2."®'
854. $$$(1—х)2/1—у2dxdydz, где G—куб, ограниченный
oJ
плоскостями х = ± 1, у — ± 1, z == ± 1 •
855. JJ[p=dxdz/dz,
J g''
где область G расположена в первом
октанте и ограничена конусом 4z2 = x2 + y2 и плоскостями х — 0,
У = 0, I.
856. dxdydz, где G —
G
параллелепипед, ограниченный пло-
скостями х+ //=!, х + у — 2, y — Q, у—1, г —0, г = 3.
§ 7. Вычисление величин посредством тройного
интеграла
1. Объем пространственной области G
о)
а и
— 293 —
2. Масса тела, занимающего область G,
т= б(M)dv= б (х, у, z)dxdydz, (2)
о о
где б (Л4)—объемная плотность распределения массы в точке
М (х, у, г) тела.
3. Координаты центра тяжести С тела
myz mxz тху
хс = -^> Ус = ~, гс = —
(3)
где туг, тхг и тху—статические моменты тела относительно
координатных плоскостей:
/пу2 = $ $ хб dx dy dz, mxz = y&dxdydz, mXy = §§§z8dxdy dz.
GJ О OJ
Для однородного тела б = const выносится за знаки интегра-
лов и сокращается.
4. Моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу и Oz
и начала координат О
1Х = И(у2 + г2) б dxdydz, (x24-z2) 6dxdydz,
G G
I2=^^(x2 + y2)f>dxdydz, /0 = ^(x2 + y2 + z2)bdxdydz. (4)
6 G
857. Найти объем тела, ограниченного данными поверх-
ностями:
1) ^ + y + z — 4, х = 3, у = 2, х — 0, у = 0, z = 0;
2) x2 + y2+z2 = 2z, x2+y2 = z2-,
3) 2г = х2 + г/2, y + z — 4.
Решение. 1) Данные плоскости ограничивают шестигран-
ник G (черт. 179). Согласно формуле (1) его объем
4-Х-у
V = dxdydz—dx dy J dz = (4—x—y)dxdy —
JG Gxy 0 OABCD
13 2 4-y
= $dt/$(4—x— y)dx+^dy (4—x—y)dx =
00 10
= У[(4-Й
0
X=4-U
dy =
x^3
1 3
==j ^ + 4 J (4-y)2^ =
0 1
i 1 i 12 55
y2\ +i(t/-4)s
0 1 1
3
2 У 2
^294 —
Здесь при вычислении двойного интеграла по области OABCD
пришлось разбить ее прямой BE, параллельной оси Ох, на две
части.
2) Тело, ограниченное сферой х2 4-у24-z2 = 2z [с центром
в точке (0; 0; 1)] и конусом x24-f/2 = z2, изображено на черт. 180.
Его объем
г=г
с
V=^^dxdydz=^dxdy $ dz = ЭД (ze — zk) dxdy,
где G—область, занимаемая данным телом; Gxy—ее проекция
на плоскость хОу, г*—положительное значение г из уравнения
конуса, zk = ]/~x? + у2; гс —большее значение г из уравнения
сферы, гс= 1 4-К1—х2—у2. Линия, ограничивающая плоскую
Черт. 180
область Gxy, есть окружность x24-i/2=l; ее уравнение полу-
чается путем исключения г из данных уравнений сферы и конуса.
Переходя к полярным координатам, найдем:
V= И (ze~zk)dxdy = (14-/1 — р2 —p)pd(pdp =
+ Р<1
3
2Л 1 2Л —
= f dcp [ (р—р24-р/1—p2)dp = f 11 dq>=a.
</ W V " ** J I
0 0 О О
3) Параболоид вращения 2z = x2 + y2 и плоскость t/4-z = 4
(параллельная оси Ох) ограничивают тело, изображенное
на черт; 181.
По формуле (1) объем этого тела
V = ЭДУ dxdydz= У У dxdy § dz — ЭД (z2—zjdxdy,
— 295 —
где G — область, занимаемая телом; Gxy — круг х2 + (у+1)2^9*;
Z! = y(x2 + y2); z2 = 4—у.
Чтобы упростить вычисление двойного интеграла, перенесем
начало координат в центр указанного круга—в точку (0; —1),
а затем перейдем к полярным координатам. При этом перемен-
ные х и у заменяются по формулам х = р cosф, у — — 1 + р sin ф,
произведение dxdy заменяется произведением p<Apdp и двойной
интеграл преобразуется к простому виду:
2П 3
И = 4 П (9 — Р2) Р^Ф^Р = yj dtp J (Эр —р3) ofp =
р < 3 0 0
2Л 2Л
1 Г /9р2 р4\ 13 , 81 f , 81
= 2 J И-ТЛ/Ф=8.ПФ=4 Л
о о
(р = 3 полярное уравнение окружности х2 + (у + 1)2 = 9).
Черт. 181
858. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверх-
ностью хй = 2у и плоскостями у + z — 1, 2у + г = 2, если в каж-
дой его точке объемная плотность численно равна ординате этой
точки.
Решение. Согласно условию в точке М (х, у, г) тела
объемная плотность б(Л4) = у. По формуле (2) масса этого тела
т — ® (M)dv= ydxdydz,
о О
где G—область, занимаемая данным телом (черт. 182).
* Уравнение окружности ха-р(У +1)а = 9 получено путем исключения г
из двух данных уравнений.
— 296 —
Вычисляя тройной интеграл по формуле (*), получим:
1 ^2»
tn=^ydxdy J dz=^{/(l—y)dxdy=^(y— y2)dy dx —
Oxy l-У АО В 0 ~Vty
= (y—y2)2]f2ydy — 2 /2 (f yT_ 2 yT^ | * = 80 .
0
859. Найти центр тяжести сегмента шара, если в каждой
его точке объемная плотность пропорциональна ее расстоянию
от основания сегмента.
Решение. Обозначим радиус шара
через R, высоту сегмента через Л; по-
местим начало прямоугольной систе-
мы координат в центре шара и направим
ось апликат по оси сегмента (черт. 183).
Уравнения сферы и плоскости, которые
ограничивают сегмент (G), будут, соот-
ветственно, х2 +у2 + z2 = R2 и г =
= /? — h; объемная плотность в точке
М (х, у, г) сегмента выразится форму-
лой 6 = k (z—R + h.). Любое сечение
данного неоднородного сегмента плоскостью, параллельной его
основанию, есть однородный круг, центр тяжести которого ле-
жит в его центре. Поэтому центр тяжести данного сегмента
помещается на его оси, т. е. xc=yc = Q.
Для нахождения аплицаты центра тяжести применим фор-
мулу (3). Вычислим: 1) статический момент 1ху и 2) массу т
сегмента.
1) 1 ху = гбdxdydz = k (г—-a) zdxdydz, a = R—h.
G С,
Преобразуем тройной интеграл в двойной от простого:
Л
= dxdy^lz2—az)dz,
G а
ху
где Gxy—-круг x2 + y2^r2, r2 = R2—a2\ zl = ]^R2 — х1 — у2.
Вычисляем внутренний простой интеграл:
G = Т | = 4 К*2 “ ** - 1 (/?2 - хг - у2-а2).
Подставляем этот результат в предыдущее равенство и вычис-
ляем полученный двойной интеграл, переходя к полярным
— 297 —
координатам:
lXy = k J J I1Cixdy = k jj [1 (/?2_p2)i + £_
х‘ + у‘ < r‘ P <r
-|(fl2-p2)] pd^dp^kj pg-a_25(fl2_p2)V +
0
+ |(/?г-р2)2] |^Ф = 2йя{^ + у5[/?5-(^2-гг)^] +
+ f [(/?2-r2)2-/?4]} .
Исключая вспомогательные постоянные г и а, после упроще-
ний, получим
= (20/?2— 15ЯЛ + 3/12).
2) m — ^^Sdxdydz = k^^(z — a)dxdydz =
= k J J dxdy£(z—a)dz — -^-^ (z—a)2 £ dxdy —
a Gj-y
= I j*J (//?2—xs—r/2—a)2 dx dy=-^^ (V R2—p2—a)2 pdtpdp =
Xs + l/2^r*
2Л Г 1
=-| C dq> C R2—p2 — 2a(7?2 —p2)2 -}-a2l pdq>dp =
о 0
[£(/?2 + a2)—(R2 - p2)2 ]
Согласно формуле (3) искомая апликата центра тяжести дан-
ного сегмента
_ 1ху _ 20№— 15Яй + Зйа
Zc~ т 5(4/?—й)
Для полушара при h = R имеем
, 2йл/?8 knR* 8R
/*У=_ТГ'; т = ~Т~’ Zc = i5-
860. Найти центр тяжести однородного полого усеченного
цилиндра (черт. 184) и момент инерции этого цилиндра относи-
тельно его оси.
Решение. Обозначим внешний и внутренний радиусы ци-
линдра через R и г, а его высоту через Я. Тогда относительно
указанной на черт. 184 прямоугольной системы координат урав-
-298-
неиия цилиндрических поверхностей и плоскостей, ограничи-
вающих цилиндр (G), будут
хгН-г/2 = /?а; x2 + t/2 = r2; z = 0; Hy + 2Rz=HR.
Абсцисса центра тяжести данного однородного цилиндра равна
нулю, поскольку он симметричен относительно плоскости уОг.
Ординату и апликату центра тяжести
найдем по формулам (3), полагая в них
6=1,
Zn
1) ydxdydz=^ ydxdy^dz,
G G Xy о
где Gxy—круговое кольцо г2^х2 +
+ //2</?2;2п = ^(1-|У
Последовательно вычисляя внутрен-
ний простой интеграл, затем двойной
(с переходом к полярным координатам),
получим:
У (l-~'\dxdy= £ р sintp^l—^P)pdq>dp =
гл R
= -у J sin ф j* ^р2
О г
р3 sin ф
R
«Л
я г /^з__гз \ .. я Гг3 — я8
= -2"j L~3--------4/Г~ SIH ф^) Sinq>dq) = -2- [—— СОЗф—
о
R*—г* ( ф 8!п2фХ-||«* пН (г4 — /?4)
4/? \Т ~Т~/] I о “ 3R
Zn
lxy = jyy zdxdydz = §§ dxdy § zdz =
G Giy о
2)
_ Н2
— 8
2Я R 2Л
Й2 (* , С/ 2р2з!пф , р8з1п2ф\ , H’fR’—г2
-т J’MV’— +-/И>’ = т.) Н—
о т о
2(R3— г3) sintp , (R*—г4) sin2 ф”| , лН2 (R3 — гг) (З/?2— г»)
3R + 4/?2 J й<1> ~ 32 R*
3) Масса m данного полого усеченного цилиндра в предпо-
ложении, что его плотность 6=1, численно равна объему V этого
— 299 —
цилиндра. Его можно найти или по формуле (1) или элементар-
ным путем как половину объема полого неусеченного цилиндра:
т==у = ^-^.
Подставляя значения 1хг, 1ху и т в формулы (3), получим:
ус т 4/? ’ z°~ т ~ 16/?« •
Момент инерции данного цилиндра относительно его оси на-
ходим по формуле (4):
in
1 г = JJj 6 (х2 -j- z/a) dx dydz = 8 (х2 4- у2) dx dy^dz —
о oXjl о
= 7? £f (x2+y2) h—I) dxdy —
-% К
ал R an
6/7 f , f I , p4 sin <p\ , 8// f /p4 p5 sin <p ,
"т№ (’’-'т’Г'т) Сг-тягЧ.
О г о
2Л
6//Г//?4 —Г4 /?5 —Г5 . \ , п6/7(/?4 —Г4)
= 1Н (“4-------йГ 8>ПФ^Ф =-------4----L-
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
861. Сферой х2+у2 + z2 = За2 и параболоидом х2 + у2 = 2аг.
862. Цилиндрами х2 = у, х2 = 4—Зу и плоскостями z=0,
2=9.
863. Конусом x2-]-y2 — z2 и параболоидом х24-г/2 = 6—г;
г^О.
864. Цилиндром х2 + г/2=/?х и сферой x2 + y2 + z2— R2.
tp г2
865. Части эллипсоида ^а+^т+^ — L расположенной в пер-
вом октанте между плоскостями х — 0, у = 0, z = 0 и bx -f- ay — ab.
866. Найти массу куба, если в каждой его точке объемная
плотность численно равна сумме ее расстояний до трех граней
этого куба, проходящих через одну данную его вершину.
867. Найти массу цилиндра х24-у2^г2, 0<г^/т его мо-
мент инерции относительно диаметра основания, если объемная
плотность в каждой точке цилиндра пропорциональна квадрату
расстояния ее от его оси.
868. Найти массу вещества, заполняющего общую часть двух
шаров х2 -f- у2 -f- z2 R2 и х2 +y2 + z2^2Rz, если его плотность
в каждой точке пропорциональна расстоянию ее до плоскости хОу.
869. Найти центр тяжести:
— 300 —
1) однородного тела, ограниченного параболоидом с (х2 4-у2) —
= 2a2z и конусом с2(х2-|-г/2) = а2г2;
2) восьмой части однородного эллипсоида + sS 1,
расположенной в первом октанте;
3) полушара Q^z^^R2—х2—у2, у которого объемная
плотность в каждой точке численно равна ее расстоянию от
центра его основания,
870. Неоднородное тело ограничено плоскостями х = 2, у = 0,
у—\, z = 0 и цилиндром z2 = 6x. Объемная плотность вещества
в каждой его точке пропорциональна ее расстоянию от плоскости
хОу. Найти момент инерции этого тела относительно оси Oz.
871. Найти полярный момент инерции (относительно начала
координат) однородного тела, ограниченного конусом г2 = х2—у2
и сферой x2-\-y2-\-z2=R2.
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие
независимости от линии интегрирования
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М дуги АВ
и если разбить эту дугу произвольным способом на п частичных
дуг длиною Л/2, ...,А/„, выбрать на каждой из них по
одной произвольной точке Mt, М2..Мп, вычислить значения
функции в этих точках и составить сумму
п
UMJд/2 +... + f(M„)
/=1
то она называется интегральной суммой функции f(M) по
дуге АВ.
Очевидно при этом, что для всякой данной функции f(M) и
всякой данной дуги АВ можно составить бесчисленное множе-
ство различных интегральных сумм, — если по-разному делить
эту дугу на п частичных дуг и по-разному выбирать на каждой
из них по одной точке М{.
Но при неограниченном увеличении п и при стремлении
к нулю наибольшей из длин частичных дуг все эти различные
интегральные суммы имеют один общий предел, который назы-
вается криволинейным интегралом от функции f(M) по длине
дуги АВ и обозначается J
АВ
Криволинейные интегралы J P(M)dx, Q(M)dy или
АВ АВ
§ R(M)dz по координатам х, у или г определяются ана-
АВ
логично, как пределы интегральных сумм функций Р(М), Q(M)
или R(M), взятых по дуге АВ, с той лишь разницей, что при
— 301 —
составлении этих сумм значения функции в точках /И,- умно-
жаются не на длины частичных дуг Д/;, а на их проекции Дх,,
Дг/,- или Дг,- на координатные оси.
Криволинейный интеграл Pdx + Qdy + Rdz обозначает
АВ
сумму криволинейных интегралов указанных видов.
Криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии I при
положительном направлении ее обхода (против движения часо-
вой стрелки) обозначается ф, а при отрицательном направле-
+i
нии обхода обозначается ф.
-I
Обыкновенный (прямолинейный) определенный интеграл яв-
ляется частным случаем криволинейного интеграла, у которого
линией интегрирования служит прямолинейный отрезок оси
координат.
При перемене направления на кривой интегрирования криво-
линейный интеграл (по координатам) изменяет свой знак:
лв ВА
Кривую интегрирования можно разбивать на части:
$ = $+$•
АВ АС СВ
Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычисле-
АВ
нию обыкновенного определенного интеграла: исходя из урав-
нения (или уравнений) линии интегрирования АВ подынтеграль-
ное. выражение криволинейного интеграла преобразуется к одной
переменной, значения которой в начале и в конце дуги АВ будут
пределами полученного обыкновенного интеграла.
Обычно криволинейный интеграл J зависит от линии инте-
АВ
грирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки А
и В, он будет иметь различные значения.
Но если в некоторой односвязной * области D выражение
Р (х, y)dx + Q (х, у) dy является полным дифференциалом, то кри-
волинейный интеграл Pdx+Qdy не зависит от линии инте-
ав
грирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замк-
нутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.
* Плоская область называется односвязной, если любая замкнутая ли-
ния, лежащая в этой области, может быть стянута в точку, оставаясь в этой
области.
— 302 —
Выражение Р(х, y)dx+Q(x, y)dy будет полным дифферен-
циалом функции и (х, у) в некоторой односвязной области D,
если Ру= Qx и если Р, Q, Ри, Qx непрерывны в этой области.
. 872. Вычислить криволинейный интеграл 1 = ^(ху—l)dx4-
+x*ydy от точки А (1; 0)до точки В(0; 2): L
1) по прямой 2х + у = 2',
2) по дуге параболы 4х4-//2 = 4;
3) по дуге эллипса x = cos/, z/ = 2sin/ (черт. 185).
Решение. 1) Пользуясь данным уравнением линии инте-
грирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновен-
ный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем
ег0: у = 2—2х, dy — — 2dx,
XR
Л== $ [*(2—2х)—l]dx4-x2(2—2х)(—2dx) =
ХА
о
= 5 (4х8—6х2 + 2х—l)dx = x4 * *—2х8 + х2—х|° = !•
2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл
в обыкновенный интеграл с переменной у:
3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с перемен-
ной t, затем вычисляем ero:x = cos/, dx = — sin/d/; # = 2sin/,
dy = 2cost dt:
ls = j (cos/-2sin/—1)(—sin/d/)-|-cos2/-2 sin t-2 costdt =
<л=о
Л
2
= J (4 cos81 sin t 4- sin t—2 sin21 cos t)dt = — 4 J cos81 dcost 4-
О Л Л
a a
4- C sin t dt—2 f sin21 dsin t I = — cos4/—cos/—~ sin3 /1 = 4-.
v </ I О | и
о 0
— 303 —
(Значения параметра t в точках А и В найдены из данных па-
раметрических уравнений эллипса по известным координатам
этих точек.)
873. Вычислить криволинейный интеграл / = J(4^/ х—
_ L
— ЗУy)dl между точками Е{— 1; 0) и Н(0; 1):
1) по прямой ЕН\
2) по дуге астроиды x = cos3/, у = sin3t.
Решение. 1) Вначале составляем уравнение линии инте-
грирования-прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей
через две известные точки: у—х — 1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для диф-
ференциала дуги плоской кривой (гл. V, § 6), преобразуем
данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с пе-
ременной х и вычисляем его:
у = х-|-1, /=1; dZ = /l + (y')2dx = /2dx;
хн=о ±
/1= J (4 /x-3/xTi)/2dx = /2[4$x3dx-
Ля=-1
1 4 3
— 3 J (x+l)W+l)] |°_1 = /2[Зх3 -2(х+1)а]|°_1 =—5/2?
2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с пере-
менной t, затем вычисляем:
x = cos3/, dx =— 3 cos21 sin t dt', y=smat, dy — 3 sin2 / cos/d/;
dl = ydyz + dx*=31 sin t cos/1 dt=— 3 sin /cos/ dt, ибо-^-sg / < л;
Z2 = J (4cos/ —3Ksin3/) 3 sin / costdt=—12 ^cos2/dcos/—
Л Л
6 2 7 2
—9 J sin 2 td sin t | = — 4cos3/ —у sin2/ j —
Л Л
874. Даны точки Л (3; — 6; 0) и В(—2; 4; 5). Вычислить
криволинейный интеграл I = ^xy2dxA-yz2dy — zx2dz:
с
1) по прямолинейному отрезку ОВ и
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями х2 + у2 +
+ ?2 = 45, 2x + y = Q.
Решение. 1) Вначале составляем уравнения линии инте-
грирования-прямой ОВ. Пользуясь общими уравнениями пря-
„ „ х—х, у—у, г—г,
мои, проходящей через две точки --— -—— =------, полу-
х и г хз~х1 Уз — У1 га — Zj
чим—2==Т=5~' Приравнивая эти равные отношения пара-
— 304 —
метру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой
ОВ к параметрическому виду: х =— 2t, y = 4t, z — bt.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный
криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с перемен-
ной t, затем вычисляем его
‘в-1
J -2/(402(—2d0 + 4f(50a4d/-5/(—2025df =
Лг=о
1
= 364 $/»<# = 91.
О
2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметри-
ческому виду. Полагая x—t, получим у = — 2/(из второго дан-
ного уравнения), z = ]/45 —5/2 (из первого уравнения). Отсюда
dx — dt, dy —— 2dt, dz =--.......- и
а К 45-5Z*
/2 = J /(— 2t)zdt + (— 2/)(45-5f2)(— 2dt) —
-2
-I* = j (180/ —17/3) dt = — 1731.
z 3
875. Вычислить криволинейные интегралы:
1) ф 2х dx — (х -f- 2у) dy и 2) ф у cos xdx-j-sinx dy
+i
с вершинами A(— 1; 0), B(0; 2)
-I
186) ли-
вдоль периметра треугольника
и С (2; 0).
Решение. 1) Здесь (черт.
ния интегрирования (замкнутая) состоит
из трех отрезков, которые лежат на раз-
личных прямых (с различными уравнени-
ями). Соответственно этому криволиней-
ный интеграл по ломаной АВСА вычис-
ляем как сумму интегралов, взятых по
отрезкам АВ, ВС и С А.
Составив уравнение прямой АВ,
у—2х = 2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволиней-
ный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с пере-
менной х: Хп
В
у-—2х-[-2, dy — 2dx, J =—8 (x4-l)dx =
АВ хА=~1
= о
= -4(x+l)2|°_1=-4.
— 305 —
Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на
отрезках ВС и С А, получим
рс=°
x = 2—y,dx =—dy, J= J (у — 6)dy = *y~^— j* = Ю;
вс г/д=2
хд=-* Г1
у = 0, dy — O, j =2 ( xdx = x2\ = — 3.
С А *с=г 2
Следовательно,
ф = J + J +J =-4+10-3 = 3.
АВСА AB ВС CA
2) Здесь подынтегральное выражение есть полный диффе-
ренциал функции двух переменных, ибо (у соч х)д = (s\n x)x = cosx.
Вследствие этого данный криволинейный интеграл, взятый по
периметру данного треугольника, равен нулю. Он будет равен
нулю и по любому другому замкнутому контуру.
Вычислить криволинейные интегралы:
876. у(х — у)dx+xdy по линиям: 1) у — 2х; 2) z/ = 2x2;
од
3) у2 = 4х; 0(0; 0), Л (1; 2).
877. ф (x2 — y)dx вдоль периметра прямоугольника, образо-
+с
ванного прямыми х = 0, у = 0, х=1, у = 2.
878. f г—= по отрезку прямой х—2у = 4; Л (0; —2),
J М’ + !/2
АВ
В (4; 0).
879. J ydx-$-zdy + xdz: 1) по отрезку прямой ОС и 2) по
ломаной О АВС; 0(0; 0; 0), Л (1; 0; 0), В(1; 1; 0У, С(1; 1; !)•
880. $ (x2—y2)dx + (x2 + y2)dy по эллипсу ^ + ^=1.
-с
881. J 2у sin 2xdx — cos2xdy по любой линии; М^~;2^,
мы
Я (4; 1).
\ и /
->Г882. (ухе*dx+{x—V)t*dy по любой линии; Л(0; 2), В(1; 2).
АВ
883. 2x(y-Y)dx-(-x2dy по контуру фигуры, ограниченной
+о
линиями у=х2 и y = §.
— 306
§ 9. Вычисление величин посредством
криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы, как и все другие определенные
интегралы, служат для вычисления различных геометрических
и физических величин.
Наиболее просто посредством криволинейных интегралов
вычисляются следующие величины:
1) Длина дуги АВ плоской или пространственной линии
^ав~ $ dl. (1)
АВ
2) Площадь фигуры, расположенной в плоскости хОу и огра-
ниченной замкнутой линией С,
s = y$ xdy—ydx. (2)
+с
3) Масса материальной дуги АВ
tn=^b(M)dl, (3)
АВ
где б (М) —линейная плотность вещества в точке Л1 дуги.
4) Координаты центра тяжести С дуги АВ
[ х6(М)Л f yt>(M)dl f zb(M)dl
(В случае равномерного распределения массы 6 = const вы-
носится за знаки интегралов и сокращается.) **
5) Работа, совершаемая силой F{P, Q, действующей на
точку при перемещении ее по дуге АВ,
Е= $ Pdx-F Qdy-j-Rdz. (5)
Ав
884. Найти длину кардиоиды х —2асоз/— acos2/, у =
— 2а sin t —a sin 2t.
Решение. Применяем формулу (1); исходя изданных пара-
метрических уравнений кардиоиды и формулы для дифферен-
циала дуги плоской кривой (гл. 5, § 6), преобразуем криволиней-
ный интеграл формулы (1)в обыкновенный интеграл с переменной/.
х = — 2а sin 14- 2а sin 2/, у = 2а cost — 2а cos 2/,
dl = ]/~ х2 4- у2 dt = 4а sin yd/.
— 307 —
Вся кардиоида (черт. 187) получается при изменении t от
О до 2л. Поэтому
2Л
С / t 12л
£ = 4al sin yd/= — 8а cos у = 16а.
О *°
885. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом х — a cost, y — bs\nt\
2) петлей декартова листа х3 Н- у3 — Заху — 0.
[x=Zacost-a,coj2t
[jf = Zasint-asinZt
Черт. 187
Решение. 1) Применяем формулу (2). Исходя из данных
параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволиней-
ный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вы-
числяем его:
2Л
S = y ф xdy—ydx = у У a cos td (b sin /) — b sin td (a cos/) =
+C о
2Л
= -^abу dt — nab.
0
2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметриче-
п л За! ' За!2
скому виду. Полагая y = xt, получим х — , У = гт-ъ •
Геометрически параметр / = у есть угловой коэффициент
полярного радиуса ОМ (черт. 188); точка М (х, у) опишет всю
петлю кривой при изменении / от 0 до -f-оо.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы (2) в обык-
новенный интеграл с переменной /, получим
с 1 Л , , 9а« +f° t2dt
xdy ydx— g j
+ C о
e
3a2 , /ЧХ-2Л/1 , /чч 3a2.. 1 0 3a’
+ } ( + )=Т|,|пГ+7.#—Г-
— 308 —
886. Найти массу дуги АВ кривой г/ = 1пх, если в каждой
ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы
точки; хА = 1, хв — 2.
Решение. Применяем формулу (3). Исходя из данного
уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл фор-
мулы (3) в обыкновенный с переменной х:
dl = V\+{y’)2dx= У 1 + ^dx, б=Лх2;
3 ________ 3
т = [ 6 dl — k х2 dx — J (х2 + 1)2 d (х2 -j- 1) =
АВ 1 1
= 4u2+О = 4 (10/10-2/1)^9,6 А.
О |1 О
887. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой
линии x = acost, y = asint, z = bt, если в каждой ее точке
линейная плотность пропорциональна апликате этой точки;
/л = 0, /в = л.
Решение. Применяем формулы (4). Вычислим криволиней-
ные интегралы, содержащиеся в этих формулах, преобразуя их
в обыкновенные интегралы с переменной t:
х — — a sint, у = a cost, z = b\ dl = ^ x2 + y2 + z2dt~
= y^+~b*dt-,
n
li—\ xbdl = ^ a cost -kbtjfa2 A~b2dt —
ab о 4—"
= akbVra2 -\-b2 (t sin ? +cos f)|o = — 2abk /a2 + b2\
n
K — [bdl = [kbtV^+b2dt = kbV^+^ 4Г==
J J * 10
AB о
W?n2
= ~2~ V a +b -
Л
/3 = J yb dl = j a sin t kbt /a2 4- b2 dt =
AB 0
= abk /a2 + b2 (sin t — t cos t) |" = abkn /a2 + ft2;
/.= \zbdl=^btkbtVar^2dt^^^-V'^+b2.
* <J V
AB 0
/1 4a /3 2a /. 2 ,
Следовательно, xc=y- = —#c=y = —; Zc = y = yftn.
838. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при
перемещении точки массы т по дуге АВ некоторой кривой.
— 309 —
Решение. Если выбрать прямоугольную систему координат
так, чтобы направление оси Ог совпало с направлением силы
тяжести, то действующая на точку сила F = а ее проекции
на оси координат FJC = P —0, Fy=Q = 0, Fz = R = mg.
Согласно формуле (5) искомая работа
гв
Е = J Pdx-FQ.dy + Rdz = $ mgdz = mg j dz = mg(zB — zA).
AB AB z.
A
Она зависит только от разности апликат начала и конца
пути, но не зависит от формы пути.
889. Найти работу силового поля, в каждой точке (х, у) ко-
торого напряжение (сила, действующая на единицу массы) р =
= (x-Fy)i — xj, когда точка массы т описывает окружность
x = acos/, у — a sin/, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Решение. Подставляя в формулу (5) проекции силы F = тр,
действующей на точку: Fx = m (х-\-у), Fy=—mx, и преобразуя
криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, полу-
чим
Е = Р dx-F Qdy — ф т (х-F у) dx — тх dy =
-с -с
-2Л
= J т (a cost-Fa sin t)d(acost) — ma cos td (a sin t) =
0
-ал
= — ma2 f (1 4- sin t cos t)dt = — ma2 (t *П=2лта2.
V \ / |0
0
/4
890. Найти длину дуги кривой х — 2—, у=^ между точ-
ками пересечения ее с осями координат.
891. Найти длину дуги АВ кривой e2>r (е2*—1) = е2*+1;
хА = 1, хв ~ 2.
892. Найти площадь, ограниченную кривой:
1) кардиоидой x = 2cos/ — cos2/, г/= 2 sin/ — sin 2Z;
2) астроидой x = acos3/, у = a sin3/.
893*. Найти площадь: 1) ограниченную кривой у2 = х2—х4;
2) петли кривой z/2 = x2-j-x3. (Перейти к параметрическим
уравнениям, полагая y = xt.)
894. Найти массу дуги ОА кривой:
1) 3z/ = 2x ]/~х, если в каждой ее точке М линейная плотность
пропорциональна длине дуги ОМ, 0(0; 0), А ^4;
ДГ X
2)z/ = y(e°4-e а), если линейная плотность в каждой ее
точке обратно пропорциональна ординате точки, хо = О, хА=а.
— 310 —
895. Найти центр тяжести однородной дуги АВ винтовой
линии x = cosf, у — sint, z — mt\ tA = Q, tB = 2n.
2 2 2
896. Найти центр тяжести дуги NP астроиды х3 + у3 =а3,
если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна
абсциссе точки; N (0, а), Р(а, 0).
897. Найти работу силового поля при перемещении точки
массы т вдоль периметра кьадрата, образованного прямыми
х = -±а, у = ±а, если в каждой точке (х, у) поля напряжение
(сила, действующая на единицу массы) р = (х—y)i-\-xj.
898*. Точка массы т перемещается в силовом поле по дуге
АВ кривой f(x, у) = 0. Найти работу поля, если в каждой его
точке (х, у) сила, действующая на единицу массы, направлена
к началу координат и по модулю равна расстоянию точки от
начала координат.
§ 10. Нахождение функции
по ее полному дифференциалу
можно наити, интег-
у Nz(xB,y} М(Х,у)
о
0\ х
Черт. 189
Если известен полный дифференциал функции двух пере-
менных du = Р dx~-Qdy, где Py = Qx, то ее
рируя du по любой линии между произ-
вольной фиксированной точкой Д(х0, z/0)
и переменной точкой М (х, у):
и = J?(x, y)dx + Q(x, y)dy + C. (#)
AM
Обычно в качестве линии интегрирова-
ния AM берется ломаная ANLM или
AN2M со звеньями, параллельными осям
координат (черт. 189). При этом криво-
линейный интеграл наиболее просто выц^жается через обык-
АМ
новенные интегралы, и формула (*) преобразуется к виду
X р Р(х, y0)dxA-}Q(x, y)dy + C (1)
и= J du С = J AM 1 -Jo Уо I X у [Jp(x, у) dx + J Q (x0, y)dy + C. (2) xo Уо
Во многих случаях можно найти функцию и по ее полному
дифференциалу du = PdxA-Qdy иначе.
Поскольку полный дифференциал равен сумме частных диф-
ференциалов du = dxu 4- dyu, dxu = Pdx, dyu=Qdy, то интегри-
руя каждый из них отдельно, найдем два выражения искомой
— 311 —
функции IT.
a) u = J Р dx-)-4>(y), считая у постоянной;
б) н = Q 4-ф (х), считая х постоянной,
где <р (*/) и ф (х) — неизвестные функции.
Беря все известные члены из первого выражения и дописав
к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго
выражения получим функцию и.
Решение такой задачи легко проверить: если функция и
найдена верно, то ее полный дифференциал, найденный по фор-
муле du = uxdx + uudy, должен быть тождествен данному полному
дифференциалу Pdx-\-Qdy.
899. Проверить, что данное выражение является полным
дифференциалом функции и (х, у), и найти и:
1) (2х — 3z/2+ l)dx-b(2 — 6xy)dy, 2) (еху-\-5)(xdy-}-уdx)',
3) (1 — sin 2x)dy — (3 4-2г/cos 2x) dx.
Решение. I) Обозначим коэффициенты при дифференциалах
Р = 2х—3z/24*l, Q = 2— бху и найдем Ру— — бу nQx=—6y.
Так как здесь Py = Qx и Р, Q, Ру, Qx непрерывны, то заданное
выражение является полным дифференциалом некоторой функ-
ции и.
Найдем эту функцию по формуле (1), выбрав точку А в на-
чале координат 0(0, 0)
и = j (2х -j- l)dx4- j (2 — 6xy)dy + C = x2-\-x+'2y—Зху2-рС.
о о
2) Преобразуем заданное дифференциальное выражение к виду
Pdx+Qdy и найдем Ру и Qx:
у (еху + 5) dx + х (еху + 5) dy, Ру = 5 + еху (1 + ху) = Qx.
Условие Ру — Qx выполнено. Заданное выражение есть пол-
ный дифференциал некоторой функции и(х, у).
Найдем эту функцию по формуле (2):
х у х
u = ^y(exy + 5)dx + ^x0(ex°y + 5)dy + C = exy + 6xy | 4-
«о Уч
У
+ ехоу + 5хог/ | + С = еху 4- бху — —6xQyQ + С = еху + бху 4-
V»
где С1 = С—ехоу« — 5х0у0.
— 312 —
3) Вначале находим частные производные
Р'у — — (3 + 2у cos 2х)у = — 2 cos 2х,
Qx = (1 — sin 2х)х = — 2 cos 2х
и убеждаемся, что они тождественно равны и что заданное вы-
ражение есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у).
Затем найдем эту функцию вторым способом, интегрируя каж-
дый частный дифференциал Pdx и Qdy отдельно.
а) и= — (3 4-2у cos 2х) dx = — Зх — у sin 2х 4-<р (у), считая
у постоянной;
б) м = J (1 — sin 2x)dy = y — у sin 2х4-ф(х), считая х постоян-
ной.
Объединяя эти два выражения —дописав к известным членам
первого выражения недостающий член, зависящий только от у,
из второго выражения получим одну из первообразных функций,
а прибавив к ней произвольную постоянную С, получим общее
выражение первообразной функции для заданного полного диф-
ференциала и — у — Зх—у sin 2х-|- С.
В задачах 900—905 проверить, что данное дифференциальное
выражение есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)
и затем найти и\
900. (3x2y4-l)dx4-(x3-l)dy.
901. cosxcosydx—sin y(sin x 4-4 cos у) dy.
902. [ 1 4- cos (xy)j (y dx 4- x dy).
903. (y2exy—3)dx + exy + xy)dy.
904 xdy~ydx 9Q5 (x4-2y) dx + ydy
+ ' (*4-y)®
§ 11. Интегралы по поверхности,
их вычисление сведением к двойным интегралам
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М гладкой*
поверхности о и если разбить эту поверхность произвольным
способом на п частичных поверхностей с площадями А^, Д«2,
..., As„, выбрать на каждой из них по одной произвольной
точке Mlt Л42, .... Л4„, вычислить значения функции в этих
точках и составить сумму
п
Asx 4- f (М2) As, 4- • • • +f(Mn) bsn = g f (Af,) As,.,
то она называется интегральной суммой функции [(М) по пло-
щади поверхности а.
Поскольку в описанном процессе составления интегральной
суммы можно по-разному разбивать поверхность о на п частич-
* Гладкая поверхность в каждой своей точке имеет определенную ка-
сательную плоскость, положение которой непрерывно меняется вместе с
точкой касания.
— 313 —
ных поверхностей и на каждой из них можно по-разному вы-
бирать по одной точке Mit то для всякой данной функции f(M)
и всякой данной поверхности а можно составить бесчисленное
множество различных интегральных сумм. При этом, если п
будет неограниченно возрастать, а наибольший из диаметров
частичных поверхностей будет стремиться к нулю, то все эти
интегральные суммы будут иметь один общий предел, который
называется поверхностным интегралом от функции f(M) по
обозначается ^f(M)ds.
площади
поверхности о и
а
Поверхностные интегралы по координатам хи у, хи г
или у и г
Р (M)dxdy, ^Q(M)dxdz или ^R(M)dydz (*)
о а а
определяются аналогично, как пределы интегральных сумм
функций Р(М), Q (М) или R(M), взятых по поверхности о,
с той лишь разницей, что при составлении этих сумм значения
функции в точках М,- умножаются не на площади частичных
поверхностей As,-, а на их проекции на координатные плоскости
хОу, xOz или уОг.
Поверхностный интеграл по координатам общего вида
Р (M)dxdy + Q (М) dx dz + R (М) dy dz
О
представляет сумму поверхностных интегралов по координатам
вида (#).
Вычисление поверхностных интегралов обоих типов сводится
к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверх-
ности о подынтегральное выражение поверхностного интеграла
преобразуется к двум переменным, областью изменения которых
будет проекция о на соответствующую (этим переменным) коор-
динатную плоскость.
Если область интегрирования поверхностного интеграла —
поверхность о имеет уравнение г = ф(х, у), то поверхностный
интеграл первого типа (по площади поверхности) преобразуется
в двойной интеграл (и затем вычисляется) по формуле
У’ z)ds=^f[x, у, <р(х, «/)] V 1 + (q/)2 4- (ф^)2 dx dy, (1)
О Оху
где оху — проекция области а на плоскость хОу,
а поверхностный интеграл второго типа (по координатам) —по
формуле
П Нх, у, z) dx dy = f [х, у, <р(х, y)]dxdy, (2)
о
— 314 —
где двойной знак соответствует двум различным сторонам по-
верхности а: плюс соответствует интегрированию по верхней
стороне поверхности а (обращенной в сторону положительного
направления оси Oz), а минус —интегрированию по нижней
стороне поверхности а (обращенной в сторону отрицательного
направления оси Oz).
Если для всей поверхности о нельзя z выразить однозначной
функцией от х и у, то ее следует разбить на части, для которых
это возможно, и затем вычислить данный интеграл как сумму
интегралов по составляющим частям.
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого
и второго типов, когда поверхность а имеет уравнение вида
г/ = <р1(х, z) или х = ф2(«/, г).
При этом для поверхностного интеграла второго типа, как
и в правой части формулы (2), перед двойным интегралом вы-
бирается знак плюс или минус, смотря по тому, берется ли
поверхностный интеграл по стороне поверхности а, которая
обращена в сторону положительного или отрицательного на-
правления соответствующей координатной оси (перпендикуляр-
ной к координатной плоскости расположения области интегри-
рования двойного интеграла).
Поверхностный интеграл по координатам х, у, взятый по
куску цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz, равен нулю. В аналогичных случаях равны нулю и по-
верхностные интегралы по координатам х, z или у, z.
Если о замкнутая поверхность, то интеграл по внешней ее
стороне обозначается а по внутренней стороне (jj).
+О -а
Интеграл по замкнутой поверхности о можно преобразовать
в тройной интеграл по области G, ограниченной этой поверх-
ностью, и, наоборот, по формуле Остроградского —Гаусса:
(jj) Р dy dz + Q dx dz -j- R dx dy = j (P'x 4- Q^4- R'z) dx dy dz, (3)
+ a G
где функции P(x, у, z), Q (x, y, z), R(x, y, z) и их частные
производные первого порядка должны быть непрерывны в об-
ласти G.
Интеграл по незамкнутой поверхности о связан с криволи-
нейным интегралом по контуру I, ограничивающему эту поверх-
ность, по формуле Стокса:
JJ (Ry — Qz) dydz + (P'z — Rx)dxdz+(Ox — P'y) dxdy=*
a
= P dx+Q dy + Rdz, (4)
i
— 315 —
где функции Р (х, у, z), Q (х, у, z), Р (х, у, г) и их частные про-
изводные первого порядка должны быть непрерывны в некото-
рой области G, содержащей о.
Направление обхода контура I и сторона поверхности а
согласуются по следующему правилу: с той стороны поверхности
о, по которой ведется интегрирование, обход контура I должен
быть направлен против часовой стрелки *.
Если по этой формуле криволинейный интеграл по замкну-
тому контуру I преобразуется в поверхностный интеграл, то
а может быть любая (кусочно-гладкая) поверхность, «натяну-
тая> на Z и содержащаяся в области G.
В случае, когда а есть плоская область D на плоскости хОу
(2 = 0), формула (4) упрощается:
P'v)dxdy = (f) Pdx + Qdy. (5)
о +i
Этот частный вид формулы Стокса принято называть форму-
лой Грина.
906. Вычислить поверхностные интегралы первого типа (по
площади поверхности):
1) 1 = (6х 4-4г/4* 3z) ds, где о —часть плоскости х4*2г/4*
О
4-Зг = 6, расположенная в первом октанте.
2) + 2 4- Ко2 —х2) ds, где W — поверхность цилиндра
w
х2 + у2 — а2, заключенная между плоскостями г = 0 и z — h.
Решение. 1) Поверхность интегрирования о есть треуголь-
ник ЛВС (черт. 190). Пользуясь ее уравнением и формулой (1),
преобразуем данный поверхностный интеграл в двойной интеграл
с переменными х и у.
z = у (6 — х—2г/), ds = V 1 4-(г^)2 4-(г^)2 dx dy = dx dy,
1 (5x4-2i/4-6)dxd//,
где —треугольник ABO, являющийся проекцией о на пло-
скость хОу.
* Точнее! При обходе контура / по'стороне интегрирования поверхнос-
ти о прилежащая к нему часть ст должна быть слева.
— 31b —
Полученный двойной интеграл вычисляем двукратным интег-
рированием-
_ »в=3 *<?=«-«»
f dy J (5x + 2z/ + 6)dx =
Uq=O Xp=0
=--nrf (4-x2 + 2xz/ + 6x| ) dy = 2/Й j (//2-10г/ f21)d</ =
0 X = 0 0
= 2/14 0^- —5y2 + 21z/)| = 54/14.
0
2) Здесь для всей поверхности W нельзя выразить одну из
координат однозначной функцией от двух других координат
Части цилиндрической поверхности, расположенные по разные
Черт. 191
стороны от вертикальных координатных плоскостей (черт. 191),
имеют различные явные уравнения: часть расположенная
слева от плоскости хОг, имеет уравнение у = —/а2 — х2, а часть
расположенная справа от этой плоскости, имеет уравнение
у = /а2 —х2. Поэтому вычисляем данный интецрал К по поверх-
ности W как сумму интегралов К, и К2 по составляющим ее
частям Wr и 1^2-
Преобразуя поверхностные интегралы /(, и К2 в двойные
интегралы с переменными х и г, получим:
ds = /1 + (/)2 + (уJ2 dx dz = ,
= а ff Г2 + /„Г”
Следовательно,
K-Kt+K, = 2a JJ (l + 7=5)^*.
A BCD
— 317 —
так как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхно-
стей и UZ2 на плоскость xOz.
Вычисляя полученный двойной интеграл, найдем:
/( = 2aJdzJ -f- у. * -.Q dx = 2а J^x4-zarcsin ) dz =
о -а о х=-а
h h
= 2а J (2а 4-лг) dz = 2а ^2аг4-^-^ | =ah(4a-^-nh).
О о
907. Вычислить поверхностные интегралы второго типа (по
координатам):
1) / = J J $/х2 4* У2 dx dy, где о —нижняя сторона круга
О
х2 4-t/2^a2.
2) J = ^2dxdy + ydxdz—x2zdydz, где Т — внешняя сторона
т
части эллипсоида 4х2 4*У24- 4z2 = 4, расположенной в первом
октанте.
3) К = § у dxdz, где W — поверхность тетраэдра, ограничен-
ного плоскостями x4-z/4-z=l,
х = 0, t/ = 0, г = 0.
Решение. 1) Поверхность а
совпадает со своей проекцией сху
на плоскость хОу. Поэтому-и со-
гласно формуле (2), учитывая,
что интегрирование распростра-
няется на нижнюю сторону кру-
га, получим:
/= — П Уx2 + y2dxdy =
з о за
Р а dp =
2Л 0
2 g , 4 г—=
-g-Р j d<p = —-g л J/a
Здесь выполнен переход от прямоугольных координат к по-
лярным.
2) Расчленяем данный поверхностный интеграл по коорди-
натам общего вида на три слагаемых интеграла
J=2^ dx dy -4- у dx dz — $ J x2zdydz
r JT
n, пользуясь уравнением поверхности T и формулой (2), лре-
— <7/3 —
образуем каждый из них в двойной интеграл:
= dxdy — dxdy, где Тху — проекция Т на плоскость
Т rXj/
хОу — часть О АВ эллипса 4x24-z/2«C4 (черт. 192);
= ydxdz = 2^ lA— х2 — z2dxdz, где Тхг—часть ОАС
т тхз
круга x24-z2=C Г,
J3 = J J x2z dy dz = z ( 1 — —zA dy dz,
T Туг
где Гуг —часть ОВС эллипса (/24-4г2^4.
Первый интеграл численно равен площади области Тху— чет-
верти площади эллипса с полуосями а=1, Ь—2, т. е. Jt =
= 5^ = -^- (см. задачу 604 (4), стр. 196).
Второй интеграл вычислим, переходя к полярным коорди-
натам:
_____ 2 1 _1_
J2 = 2 J J Kl — p2pd<pdp = — J dq> J (1— p2)sd(l— p2) =
ОАС о о
Следовательно, 2Л-f-Д —Л =-|-n—-X.
3) Замкнутая поверхность W состоит из четырех частей —
треугольников АВС, ВСО, АСО, АВО, расположенных в раз-
личных плоскостях (см. черт. 174). Соответственно этому вычи-
сляем данный интеграл как сумму четырех интегралов.
Преобразуя поверхностный интеграл по внутренней (обра-
щенной к началу координат) стороне треугольника АВС в
— 319 —
двойной интеграл и вычисляя его, получим:
1 1 -х
5 '\)ydxdz= — 5 $ (1—х — z)dxdz=^dx 5 (x+z—1) dz =
АВС АСО О о
1 о
= С^+£-Р.2 \z~l~xdx= 1 С(х D2dx-(*~1)8| ° = -1-
J 2 I г=0 аХ 2 J аХ~ 6 I 1 6 ’
О I
5 ^ydxdz=^ J ydxdz = G, так как плоскости ВСО и АВО
ВСО АВО
перпендикулярны плоскости xOz (см. стр. 315);
^ydxdz= 55 Qdxdz = 0.
АСО АСО
Следовательно, К =—
908. По формуле Остроградского—Гаусса вычислить поверх-
ностный интеграл I = ^4x3dydz-^-4y3dxdz—&z4dxdy, где о —
+ а
полная поверхность цилиндра, черт. 191, данного в задаче 906(2).
Решение. Путем сопоставления данного интеграла с левой
частью формулы (3) определяем: Р = 4х3, Q = 4y3, R —— 6z4.
Затем находим производные: Рх— 12х2, *Q^= 12z/2, Rz— — 24г3,
подставляем их в правую часть формулы (3) и таким образом
вместо данного поверхностного интеграла по замкнутой поверх-
ности о получим тройной интеграл по области G, ограниченной
этой поверхностью:
7 = 12 555 (х2 + р2—2z3) dx dy dz.
о
Интегрируя вначале по г, а затем переходя к полярным
координатам, найдем
Л
1 — 12 dx dy J (х2 + р2—2z3)dz— 12 55 Г(х24-1/2)г—
G'cj, о a* L
|ZZo dxdy= 12 П (p2/l—4)pd(fdp=
P =£a
p J dp = 6na2h (a2—Л3).
0 0
909. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный
интеграл K=<fexdx-^-z(x24-Уг)2 dy~-yz3dz, где I—замкнутая
i
= 12й J J (р3 —4"
— 320 —
линия ОС В АО (черт. 193) пересечения поверхностей z = ух2 4- у2,
х = 0, х=2, t/ = 0, у=\.
Решение. Сопоставляя К с формулой (4), определяем:
Р=ех, Q = z (х2 4- у2)*\ R = yz5.
Находим производные:
<?;=и24-//2)\ £=0,
и подставляя их в формулу Стокса, получим
К = 3 j j xz 1^х2 + у2 dx dy.
Здесь а может быть любая (сладкая
поверхность, «натянутая» на данный
этим, выберем в качестве о часть
даннойконической поверхности
z==Kx2 + t/2, ограниченную конту-
ром I.
Тогда, интегрируя по нижней сто-
роне указанной поверхности, на ко-
торой заданный обход контура I на-
правлен против часовой стрелки,
найдем:
К =— 3 J J х (х2 + у2) dx dy =>
Qxy
1 2
= — dy $ (х3 4- ху2) dx — — 14
о о
или кусочно-гладкая)
контур I. Пользуясь
(оху—прямоугольник OAiBjCJ.
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
910. И ds, где о—часть плоскости 1*4- у 4- z = а, располо-
(Т
женная в первом октанте.
911. xds, где Т—полусфера г = угТ^—х2—у2,
т
912. j ] (х2 4-У2)ds, где W—поверхность, отсекаемая от пара-
нг
болоида х2 4- у2 = 2z плоскостью z — 1.
913. (х2у24-x2z24-y2z2)ds, где а—поверхность, отсекаемая
а ______
от полости конуса г = Ух2 4-у2 цилиндром х2 + у2 = 2х.
11 Заказ № 3201
— 321 —
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
914. (t/24-z2)dt/dz, где о—внешняя сторона части парабо-
а
лоида х = а2—у2—г2, отсеченной плоскостью уОг.
915. z2dxdy, где а—эллипсоид x24~*/24~2z2 = 2.
-а
916. zdxdyA-ydxdz + xdydz, где о—поверхность куба,
-а
ограниченного плоскостями х = 0, х=\, у —О, у—1, z = 0, z=l.
917. $(z+ l)dxdy, где IT—сфера x24-у24-z2 = R2.
+w
918. Пользуясь формулой Остроградского—Гаусса, решить
задачи 915, 916, 917.
919. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейные
интегралы:
1) $ (2x + y)dx—2ydy, где L—периметр треугольника
-L
Д(0; —1), В (О, 2); С (2; 0). За поверхность а принять данный
треугольник;
2) $ 8у У (1 — х2—z2)3 dx + ху3 dy 4- sin г dz, где I—замкнутый
t
контур АСВА (черт. 192), данный в задаче 907(2). В качестве
поверхности а взять часть данного эллипсоида.
§12. Вычисление величин посредством
поверхностных интегралов
1) Площадь S поверхности о
а
2) Масса материальной поверхности о
m=$$6(M)dS,
а
(1)
(2)
где 6(Л4)—поверхностная плотность распределения массы вточке
М (х, у, z) поверхности о.
3) Координаты центра тяжести С поверхности а
хс=
JJ*6*
myz а
а
( Г i/б ds Г f 26 ds
mxz __ р____. _ __тху __ о_____
" JS** ‘ ’
а а
(3)
где myz, тхг, тху—статические моменты поверхности а относи-
тельно плоскостей координат.
— 322 —
Для однородной поверхности 6 = const выносится за знаки
интегралов и сокращается.
Другие применения поверхностных интегралов указываются
в следующей главе.
920. Найти площадь части поверхности:
1) конуса z2 — 2xy, расположенной в первом октанте между
плоскостями х = 2, у = 4;
2) сферы х2+у2 + z2 = R2, расположенной внутри цилиндра
x2+y2 — Rx;
3 цилиндра x2 + y2 = Rx, расположенной внутри сферы х2 +
+ + =
Решение. 1) Применяем формулу (1). Пользуясь уравне-
нием конуса, преобразуем поверхностный интеграл в двойной
интеграл с переменными х и у:
S=WdS = W^TSFT®2 dxdy = +
G Q'ty
+ У ) dxdyj
где ожу—проекция о на плоскость хОу — прямоугольник О АВС
(черт. 194).
Вычисляя двойной интеграл, получим
2 4 ___ ______
о о
2
К2 J \ 3 " x/lw
о
2
= 2 КГ j (/Г + dx = 2 КГ (4 /Г3 +1 /Г) ( J = 16.
о
2) Данная поверхность * симметрична относительно плоскостей
хОу и хОг; в первом октанте помещается ее четвертая часть (а) (черт.
195), для которой апликата z = K#2—’*2—У2- Поэтому согласно
формуле (1) искомая площадь
5- 4Я*"4И^1+Й2 + Й)гdy-4R Д j.
a Gi 01
где оА—полукруг, ограниченный окружностью x2 + y2 = Rx и
осью Ох (х2 + у2 «С Rx, у^О).
* Верхнее и нижнее основания «тела Вивиани», вырезаемого цилиндром
из шара. На черт. 195 изображена половина этого тела, расположенная
иад плоскостью хОу.
11*
— 323 —
Переходя к полярным координатам и интегрируя, имеем:
OsS p=c/?cosq>,
п
3
а, о
5° Г 11 I Я cos <р
[2 (Я2-р2)2 J I 0 Жр =
/\ «ГС
о =с <р < -j-;
СОЗф i
J (Яа-Р2)“т^(/?2-р2) =
о
я
?2 (1 — sin ф)^ф = 2/?а(л—2)
О
2
(р = R cos <р — полярное уравнение окружности х2 -Ь у2 = Rx).
Черт. 195
3) Данная поверхность * (черт. 195) также симметрична отно-
сительно плоскостей хОу и xOz; в первом октанте помещается
ее четвертая часть (Г), для которой ордината у = У Rx—х2.
Поэтому, преобразуя поверхностный интеграл формулы (1)
в двойной интеграл с переменными х и г, получим
s=4 П Kl + ^’+te)’ « = 2R ft ,
T&Z ? asz
где Txz—плоская область, ограниченная осями Ох и Oz и пара-
болой I, уравнение которой z2 = R2—Rx получается путем исклю-
чения у из данных уравнений. (Эта парабола является проек-
цией на плоскость xOz линии пересечения цилиндра и сферы.)
Интегрируя, найдем
r d Vr!-rx r d
0 0 0
* Боковая поверхность «тела Вивиаии».
— 324 —
921. Найти массу полусферы, если в каждой ее точке поверх-
ностная плотность численно равна расстоянию этой точки от
радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
Решение. Поместим начало прямоугольной системы коор-
динат в центре основания полусферы и направим ось апликат
перпендикулярно этому основанию. Тогда уравнение полусферы
будет z = V R2—х2—у2, где R—радиус полусферы; поверхност-
ная плотность в точке М (х, у, г) полусферы будет 6 (М) =
= Ух2 + у2-, ds = У1 + (4)Ч(4)2 dx dy = .
Подставляя в формулу (2), получим:
т
Кх2 + у2 dx dy
У Rs—x2—y2
где оху—круг x2 + y2^R*.
Переходя к полярным координатам, найдем
т =
р2 rftp dp
2П R
о
о
р2 dp
у R2—p2
~ 2 ’
(Внутренний интеграл вычисляется посредством замены перемен-
ной по формуле р = R sin t.)
922. Найти центр тяжести полусферы, данной в условии
предыдущей задачи.
Решение. При том же расположении системы координат
вследствие симметричного расположения данной поверхности и
распределенной на ней массы относительно оси апликат хс=ус=0.
Для определения апликаты центра тяжести вычислим стати-
ческий момент
mXy = ^zdds = R + = R yj* p2dq></p=-|-nR4.
Масса полусферы найдена в
решении предыдущей задачи.
Согласно формуле (3) гс~
тху 4R
т. Зл
923. Найти центр тяжести одно-
родной поверхности параболоида
t/2-|-z2= 10х, отсеченной плоско-
стью х— 10.
Решение. Данная однород-
ная поверхность (о) симметрич-
на относительно оси абсцисс
(черт. 196). Поэтому ус = гс=0.
Черт, 196
— 325 —
Чтобы найти абсциссу центра тяжести, вычислим: 1) статиче-
ский момент туг и 2) массу т данной поверхности:
!) myt=^xbds = S $$x^l+(^)2+(^)2di/dz =
° 0JIZ
= УУ V2^+yz + z2dydz =
уг + Z2 100
= SS p2K25+p2pdq>dp =
p?io
2rt 10
=4f dtp С P2/25+ p2*pdp = ?ix6(1+25/5).
OU tJ v 0
0 0
Здесь после перехода к полярным координатам внутренний
интеграл вычисляется с помощью подстановки /25 + p2 = L
2) т — dds = у JJ /25 + у2 + z2 dydz —
211 io i
= 4 jj /25+/pd(pdp = А у йу (25 + p2)Td(25 + p2) =
p=S ю оо
2 Я 3
= 4>У у(25+р2)а (“dtp =|л6 (5/5-1).
О
~ , /оч myz 25/5+1
По формуле (3) хс = = —уу- •
Найти площадь части поверхности:
924. 2x + 2r/+z = 8a, заключенной внутри цилиндра *а + У2 —
— R2-
925. Цилиндра x2 + y2 = R2, заключенной между плоскостями
t/ + z = O и z = 0.
926. Цилиндра y2+z2~R2, заключенной внутри цилиндра
х2 + «/2== R2.
927. Параболоида х2 + z/2 = 6z, заключенной внутри цилиндра
х2 + у2==27.
928. Сферы х2 + у2 + г2 — За2, заключенной внутри параболо-
ида x2 + t/2 = 2az.
929. Найти массу цилиндрической поверхности x2-\-y2 = R2,
заключенной между плоскостями z = 0 и г = Н, если в каждой
ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна
квадрату расстояния ее до начала координат.
— 526 —
930. Найти массу поверхности куба, ребро которого равно
единице, если в каждой ее точке поверхностная плотность чис-
ленно равна произведению расстояний этой точки до трех граней
куба, проходящих через одну данную его вершину._______
931. Найти центр тяжести полусферы z ==У 7?2 —х2 —t/2, если
в каждой ее точке поверхностная плотность пропорциональна
квадрату расстояния этой точки от радиуса, перпендикулярного
основанию полусферы.
932. Найти центр тяжести однородной поверхности конуса
a2z2 = b2 (x2 + z/2), Q<z<6.
ГЛАВА VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению.
Градиент
Скалярным полем называется плоская и'ли пространственная
область, с каждой точкой М которой связано определенное зна-
чение некоторой скалярной физической величины и = и (М). Задание
поля скалярной величины и равносильно заданию скалярной
(числовой) функции и(М).
Функция и(М), определяющая плоское скалярное поле, как
функция точки М (х, у), зависит от двух переменных и = и(х, у),
а функция, определяющая пространственное скалярное поле,
как функция точки М (х, у, г), зависит от трех переменных
и = и(х, у, г).
Линией уровня плоского скалярного поля называется совЪкуп-
ность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет
одинаковые значения. Линия уровня, во всех точках которой
функция поля и (х, у) имеет одно и то же значение С, опреде-
ляется уравнением и(х, у) = С\ различным постоянным значе-
ниям Сх, С2, С3, ... функции поля соответствуют различные
линии уровня: и(х, у) = Сх, и(х, у) — С2, и(х, у) = С3, ...
Поверхностью уровня пространственного скалярного поля назы-
вается совокупность точек пространства, в которых функция
этого поля имеет одинаковые значения. Поверхность уровня, во
всех точках которой функция поля и(х, у, г) имеет одно и то-
же значение С, определяется уравнением и (х, у, z) — C.
Через каждую точку проходит только одна поверхность
(линия) уровня; они заполняют всю рассматриваемую область
и не пересекаются между собой. ___
Производной функции и (М) по направлению МР называется
предел отношения разности и{М^ — и(М) к величине направ-
ленного отрезка ММГ, когда точка Mi стремится к точке М,
оставаясь на прямой МР.
Производная функции и по направлению I обозначается
— 328 —
ИЛИ Up.
ди
~dl
— ui= lim
Mt~* м
«(Mj) —u(M)
и вычисляется по формуле
ди ди . ди л > ди * . ,л , .
-дг = 3-cosa + -s—cos р4--д-созу—/V.(а)
dl дх 1 ду г дг 1 '
где —нормальный вектор к поверхности уровня,
/°{cosa, cosp, cosy}—единичный вектор направления I.
Производная щ определяет величину скорости изменения
функции и (М) при перемещении точки М по направлению I.
В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет
производную по любому направлению.
Производные функции и(х, у, г) по положительным направ-
лениям осей координат Ох, Оу, Oz равны ее частным производ-
ным их, и'у и иг.
Производные по прямо противоположным направлениям отли-
чаются только по знаку.
Производная функции и (х, у) по направлению линии уровня
(касательному к линии уровня) и производная функции и (х, у, г)
по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня
(по любому направлению, касательному к поверхности уровня),
равны нулю.
Градиентом функции (поля) и(М) называется вектор
, ди— , ди— , ди г
егааы = д-I 4-д-/ +д-я. (о)
ь дх ду 1 ' дг 4
Направление вектора grad и в каждой точке М совпадает
с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, прохо-
дящей через эту точку.
Из всех производных функции и(М), взятых по различным
направлениям, наибольшее значение всегда имеет производная
по направлению градиента функции ч
^-lgradu|- /(Э2+^)’+^)а •
Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания
функции.
933. Построить линии уровня плоских скалярных полей:
1) и = х-\-у, 2) и = х24-//2, 3) и — соответствующие зна-
чениям и — 1, 2, 3, 4, 5.
— 329 —
Решение. 1) Полагая и — \, 2, 3, 4, 5, получим уравнения
соответствующих линий уровня: х + у=1; х-{-у = 2; х + у = 3;
х + у = 4; х-|-// = 5. Построив эти линии в прямоугольной системе
координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе
2-го и 4-го координатных углов (черт. 197).
2) Написав уравнения линий уровня: x2-(-z/2=l, х2-\-у2~2,
х2 + у2 — 3, x2-(-t/2 = 4, х2 + у2 — 5 и построив их в плоскости хОу,
получим концентрические окружности с центром в начале ко-
ординат (черт. 198).
3) Линии уровня %у = х2,
у = х2, 2у = 3х2, у=2х2,
2у = 5х2 представляют пара-
болы, симметричные оси Оу
с общей вершиной в начале
координат (черт. 199).
934. Найти производную
функции и = ]/гх2-'гу2 в точ-
ке А (3; 4):
1) по направлению бис-
сектрисы первого координат-
ного угла;
Черт. 199 2) по направлению радиу-
са-вектора точки Л;
3) по направлению вектора q {4; —3}.
Решение. Находим частные производные функции и и вы-
числяем их значения в точке А:
да___ х ди I 3 ф
дх ух2^.у2 ’ дх |А 5 ’
ди___ у . ди_ I _ 4_
ду ~ Уу ' ду |а — 5 *
— 330 —
Подставляя в формулу (а), найдем производную функции
и в точке А по любому направлению I {cos a, cos Р}:
ди I 3 .4 о
dl |д 5 1 5 и
Находим далее косинусы углов аир, образованных задан-
ным направлением дифференцирования с осями координат, и про-
изводную функции и по заданному направлению:
1) Для биссектрисы первого координатного угла: а = р = 45°,
i/"2~
cos а = cos р = -Цу- ;
ди I _ 3 /Т 4 У2_1У2
dl,.\а 5 ‘ 2 5 ’ 2 10 "
2) Для вектора ОА {3; 4}: cosa = -|-, cosp=-g-;
dal __3« . 4>.
3) Для вектора q {4;—3}: cosa = y, cos р = — у; =0.
935. Найти производную функции и = ху + yz + 1 по направ-
лению вектора I {12; —3; —4} в любой точке и в точках
Л (0; —2; —1) и В(3; 3; 5).
Решение. Найдем частные_производные функции и и на-
правляющие косинусы вектора /:
их=у; u'y = x+z‘, uz=y\ .
12 о з 4
cos a — pg; cos p = — ; cos у = — .
Подставляя в формулу (a), найдем производную функции
и по направлению I в любой точке:
, 12 3 . . . 4 8г/—3 (x-J-z)
а/~1зу 1з(х+г) 13 13
Подставляя координаты точек А и В, получим и1(А) =—1;
«; (В)=о.
936. С какой наибольшей скоростью может возрастать функ-
ция и (М) = -а —при переходе точки Л? (х, у, г) через
точку Мо(— 1; 2; —2)? В каком направлении должна двигаться
точка М при переходе через точку М1(2; 0; 1), чтобы функ-
ция и (М) убывала с наибольшей скоростью?
Решение. Наибольшая по абсолютной величине скорость
изменения (возрастания или убывания) функции и (М) при пе-
реходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента
функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или
убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли
— 331 —
точка М при переходе через точку Р двигаться по направле-
нию градиента функции в точке Р или по прямо противополож-
ному направлению.
Руководствуясь этими положениями, находим частные про-
изводные функции и и по формуле (б)—ее градиент в любой
точке:
grad и = - (Тг+^г2+1)Я (х7 + у] + zk).
Далее находим: 1) gradu(Af0) = -|-(i—2/4-2Й); его модуль,
численно равный искомой наибольшей скорости возрастания
функции ц(М) при переходе М через Мо, будет | grad и (Мо) | =
т/7 1 V I ( 2 \2 . / 2 V 3
= V Ы +<~5J =5--
Ю-- 5
2) grad u (MJ =— -gi—-^k\ искомый вектор, имеющий прямо
противоположное направление, будет —grad и (Мг) = -§
Чтобы функция и (М) убывала с наибольшей скоростью, при пе-
реходе через точку точка М должна двигаться в направле-
нии вектора —grad и (М^.
937. Найти точки, в которых функция z = e*(x—у3 + 3у)
стационарна (т. е. точки, в которых производная по любому
направлению равна нулю).
Решение. Чтобы в некоторой точке Р производная ^функ-
ции по любому направлению была равна нулю, необходимо и до-
статочно, чтобы в этой точке все частные производные первого
порядка функции одновременно обращались в нуль. [Согласно
формуле (а).]
Поэтому, найдя частные производные: z’x = ex(x—у3 + Зу +1),
z'y^3ex (1—у2) и решая систему уравнений 2^ = 0, zy — Q, полу-
чим две точки: (—3; 1) и (1; —1), в которых функция ста-
ционарна.
938. Построить линии уровня скалярных полей:
1) z = x3 + 2y, 2) z = ^2,
соответствующие значениям z =— 2, —1, 0, 1, 2. Найти и по-
строить градиент каждого поля в точках А (1; —1) и В (—2; —2).
939. Найти производную функции z = arctg-|- по направлению
вектора / = 3i + 4j в любой точке и в точках A (J; 3) и В (2; 1).
Построить линии уровня соответствующего скалярного поля,
проходящие через точки Л и В, и его градиент в этих точках.
940. Найти производную функции u = xyz в точке Q (1; —2; 2)
по любому направлению и по направлению радиуса-вектора
точки Q.
— 332 —
941. По какому направлению должна двигаться точка Л4 (х, у, г)
при переходе через точку Мп{—1; 1; —1), чтобы функция
F(Л4) = ~ +-^ возрастала с наибольшей скоростью?
942. С какой наибольшей скоростью может убывать функция
«(М)--1п(х2—у2 + ?2) при переходе точки М (х, у, г) через
точку Л40(1; 1; 1)?
943. Показать, что в точке А (4; —12) производная функции
г = Xs + Зх2 + бху + У2 по любому направлению равна нулю (функ-
ция стационарна).
944. Найти точки, в которых функция ф(х, у) = х3 + у3 + Зху
стационарна.
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля
Векторным полем называется плоская или пространственная
область, с каждой точкой М которой связано определенное зна-
чение некоторой векторной физической величины а~а(М).
Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе ко-
ординат Oxyz, то вектор а будет векторной функцией, а его
проекции ах, ау, аг на оси координат будут скалярными функ-
циями от переменных х, у и z:
а(М) = а(х, у, г) = ах(х, у, z)T+ay(x, у, zj~j + az(x, у, z)k.
Поэтому задание поля векторной величины а равносильно зада-
нию трех скалярных (числовых) функций ах, ау, az.
Векторной линией векторного поля называется кривая, на-
правление которой в каждой точке М совпадает с направлением
вектора, соответствующего этой точке поля.
Потоком векторного поля, образованного вектором
а{ах, ау, аг} через поверхность а называется поверхностный
интеграл (скаляр)
К = axdydz+aydxdz + azdxdy. (1)
' а
Если вектор а определяет поле скоростей текущей жидкости,
то интеграл К выражает количество жидкости, протекающей
через поверхность о за единицу времени. При* этом если о —
замкнутая поверхность, ограничивающая область G, и если
интеграл (1) берется по внешней стороне о, то величина К на-
зывается потоком вектора а изнутри поверхности а; она дает
разность между количествами жидкости, вытекшей из области G
и втекшей в эту область за единицу времени (предполагается,
что жидкость может свободно протекать через поверхность а).
При К > 0 из области G вытекает жидкости больше, чем
в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источ-
333 —
ников, питающих поток жидкости. При /С-<0 из области G вы-
текает жидкости меньше, чем втекает, что означает наличие
в этой области стоков, где жидкость удаляется из потока. При
К = 0 из области G вытекает жидкости столько же, сколько в нее
и втекает.
Дивергенцией векторного поля, определяемого векто-
ром а, называется скаляр
— дах dav да,
diva=-^ + -^ + ^. (2)
дх 1 ду 1 дг ' '
Если diva(Л4о)>0, то точка Мо называется источником,
а если div а (Л40) < 0, то точка Мо называется стоком, ибо в пер-
вом случае в любой бесконечно малой области, окружающей
точку Мо, жидкость возникает, а во втором случае она исчезает.
Абсолютная величина diva(M0) характеризует мощность
источника или Стока.
Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна
нулю, называется соленоидальным. Поток такого поля че-
рез любую замкнутую поверхность равен нулю.
Согласно формуле Остроградского — Гаусса (гл. VII,
§ 11) поток и дивергенция векторного поля связаны между со-
бой равенством
axdy dz + aydxdz + a!!dxdy =
+ 0
(3>
которое имеет следующий смысл: поток векторного поля через
замкнутую поверхность (о) равен тройному интегралу по обла-
сти (G), ограниченной этой поверхностью, от^дивергенции поля.~
945. Найти поток векторного поляр = х!—у2j + (х2 + z2— \)k
у2 gi
через поверхность ^+|a+j5-=l (эллипсоид) изнутри этой по-
верхности.
Решение. Согласно формуле (1)
К = х dy dz—у2 dx dz + (х2 + z2— 1) dx dy.
+a
Расчленяем этот поверхностный интеграл (II типа) на три
слагаемых интеграла и, пользуясь данным уравнением эллип-
соида (о), сводим их вычисление к вычислению двойных ин-
тегралов.
1) K1 = ^xdydz = xdydz-}- ^xdydz,
+a at a2
где <?! и o2—части данного эллипсоида, расположенные по раз-
ные стороны от плоскости yOz (см. черт. 98), которые имеют
— 334 —
различные явные уравнения:
и ^=ау
Преобразуя эти поверхностные интегралы в двойные (по фор-
муле, указанной в § 11 предыдущей главы), получим:
§§xdydz = — JJ —а]/" 1— J,—^dydz,
о I <а^уг
так как поверхность о4 обращена в сторону отрицательного на-
правления оси Ох;
^xdydz = ajf l—^—^dydz,
о2
так как поверхность о2 обращена в сторону положительного
направления оси Ох.
Проекции (Oj)^ и (о2)уг поверхностей о4 и о2 на плоскость
«»2 ^3
уОг представляют один и тот же эллипс ^ + ^=С1. Поэтому
ь г,_____________
= 2aJdyi V
-Ь -z,
где zx—положительное значение г из уравнения эллипса
^+-= 1
62-Г са— »•
Вычисляя двукратный интеграл, найдем = у л abc. ^Внут-
ренний интеграл легко найти по формуле (Б), гл. IV, § 5, по-
g. 2 \
1--> Т ==— . )
О2 С J
2) К 2 = <fyy2dxdz = У J y2dxdz+ y2dxdz,
+<т a, at
где о3 и о4—части поверхности о, расположенные по разные
стороны от плоскости xOz, уравнения которых
— 335 —
Преобразуя поверхностные интегралы в двойные, получим
к,=- П(*-э-1)dxdz+
«Т.)хг
+ 62 (1-^-5) dxdz = 0,
так как проекции (о3)хг и (<т4)хг поверхностей о3 и о4 на пло-
скость xOz одинаковы.
3) По аналогичной причине вследствие четности подынтег-
ральной функции поверхностного интеграла Ks и симметрично-
сти поверхности а относительно плоскости хОу
= § (№ + z2— 1) dx dy>= 0.
+ (Т
Следовательно, К = —Кг + К3 = ^паЬс.
По формуле Остроградского—Гаусса эта задача решается
проще: находим дивергенцию поля
d i v р = {х)х + (—у2),, + (х2 + z2 — 1 )г = 1 — 2у + 2г
и подставляем в формулу (3):
К— divp dv = J J J (1 —2y + 2z) dx dy dz,
G G
^2 y2 g2
где область G—эллипсоид +
йл ba cA
Полученный тройной интеграл расчленяем:
У\ г,
К = dxdydz—2^dxdz J ydy+ 2^ dxdy §zdz,
G Gx2 —gt Gxy —z,
где
l i / i x2 i / , x2 У2
</1 = 6'1/ *-5--5, Z,=C I/ 1----5—
у a2 c2 ’ 1 у a2 (ft
Первый интеграл равен объему области G, т. е. объему эл-
липсоида Ki = j л abc (гл. V, § 4).
Второй и третий интегралы равны нулю, ибо равны нулю
их указанные внутренние простые интегралы, как интегралы от
нечетной функции (гл. V, § 2).
Следовательно, как и в первом решении, К = лаЬс.
и
— 336 —
946. Найти дивергенцию векторного поля:
1) 7— xi + yj + zk-, 2) р = + "==;
/ -ГУ/-Г . н y(x + y + z}i
3) q = exy (yj—xi + xyk).
Решение. Применяем формулу (2):
1) divr’(/W)=^ + ^ + ^ = l + 14-1=3.
' ' 7 дх 1 ду 1 дг
2) px = py = pz=(x + t/ + z)'T;
дрх _ дру _дрг _ 2
~д7~ ду~77 з з/ х + у + г^’
div р(М) — — 2(x4-y4-z)~~ = f(M).
3) qx = — xexy-, qy = yexy] qt = xyexy-,
д~ = — exy(l + xy) = — = div9(M) = 0.
dx \ i v/ ду дг \ >
Полученные результаты имеют следующий смысл:
1. Каждая точка поля радиус-вектора г является источни-
ком постоянной мощности.
2. Точка М поля вектора р в зависимости от ее координат
может быть или источником, или стоком. Например, точка
(0; 0; 1), в которой divp = — 2, является стоком; точка
М2(—1; 0; 0), в которой divp = 2, является источником.
3. В поле вектора q нет ни источников, ни стоков. Поток этого
сОленоидального поля через любую замкнутую поверхность ра-
вен нулю.
947. Найти поток радиус-вектора r=xi+yj + zk". 1) через
боковую поверхность цилиндра x2-7y2^R2, —в сто-
рону ее внешней нормали; 2) через боковую поверхность конуса
x24-z/2^4z2, Osgzsgl в сторону ее внутренней нормали; 3) че-
рез полную поверхность куба —а^х^а,—а^у^а, —a^z^a
изнутри этой поверхности.
948. Найти поток векторного поля: 1) р = xyi 4- yzj 4- xzk
через расположенную в первом октанте часть _сферы х2 + у2+.
4-z2=l, в сторону ее внешней нормали; 2) q = xsi4-y3j4-z3k
через полную поверхность конуса x24*y2«Sz2, O^z^// из-
нутри этой поверхности.
949. Найти дивергенцию векторного поля:
1) a — xy2i + x2yj+ z3k в точке /1(1; —1; 3);
2) градиента функции и = ху2г3.
— 337 —
950. Проверить, что векторное поле p—yz(^xi—yj—zk) яв-
ляется соленоидальным.
951. Решить задачи 947 (3) и 948 (2), пользуясь формулой
Остроградского—Гаусса.
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля
Линейным интегралом вектора а вдоль линии I называется
криволинейный интеграл
С = J ах dx + ау dy + аг dz. (1)
i
В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении
точки вдоль линии I (см. гл. VII, § 9).
В случае замкнутой кривой этот интеграл называется цир-
куляцией поля вектора ~а по контуру I. Циркуляция харак-
теризует вращательную способность поля на контуре /.
Вихрем (или ротором) векторного поля, определяемого век-
тором а, называется вектор
i
/' k
д_ д_
ду dz
rota =
ау
[да, даЛ — [дах да,\ — [да., —
— ( ____У 1 j _i_ ( ____£ I / _l I _____* h
\ду дг / * \ дг dx / ' ^\dx dy J ’
(2)
Если через точку M поля а провести плоскость Р, опреде-
ляемую единичным формальным вектором_и, то скалярное про-
изведение rot а (М)-п характеризует вращательную способность
этого поля в точке М. Она зависит как от координат точки М,
так и от направления плоскости Р и достигает наибольшей ве-
личины, равной |rota(A4)|, когда плоскость Р перпендикулярна
вектору rota(M).
Векторное поле, во всех точках которого вихревой вектор
равен нулю, называется потенциальным (или безвихревым).
В потенциальном поле линейный интеграл (работа) не зависит
от формы линии, соединяющей какие-либо две его точки, а цир-
куляция всегда равна нулю.
Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным
и потенциальным, называется гармоническим.
Согласно формуле Стокса (гл. VII, § 11) циркуляция и вих-
ревой вектор поля связаны между собой равенством
ф axdx + а у dy -\-azdz =
i
= ЭД (rot а)х dy dz + (rot d)ydxdz 4- (rot a)z dxdy, (3)
О
— 338 —
смысл которого заключается в следующем: циркуляция вектора
по замкнутому контуру (/) равна потоку вихря вектора через
поверхность (а), ограниченную этим контуром.
952. Вычислить циркуляцию поля вектора:
1) г = X] вдоль окружности x = tzcos£, y = asvat\
2) р — (х—2) i + (x + y) j—2zk вдоль периметра треугольника
с вершинами Л(1; 0; 0), В(0; 1; 0), С (0; 0; 1);
3) q {xz, —yz2, ху} вдоль замкнутой линии (L)z — x2—у2 + 2а2,
х2 + у2 = а2 (см. черт. 142, стр. 258) и вихревой вектор этого
поля в точке А (0, >—а, а2).
Решение. Применяя формулу (1), получим:
1) C=(f)xdy = a2^ cos2/6# = yj (1 4-cos2t)dt =
L о о
= 1' + | sin 2*) |®" = ла2.*
2) C= (ft (x—2)dx-}~(x-}-y)dy—2zdz.
ABC A
Периметр ABC А треугольника состоит из трех отрезков, ко-
торые лежат на прямых, имеющих различные уравнения. Поэ-
тому криволинейный интеграл по контуру АВСА вычисляем как
сумму интегралов по отрезкам АВ, ВС и С А.
Составив уравнения прямой АВ: х-\-у—\, z=0 и исходя
из этих уравнений, преобразуем криволинейный интеграл по
отрезку АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:
О
14(х-з)л-^м.
АВ 1
о
Для отрезка ВС: y + z=\, х = 0; J = J(2—У)Лу ——
ВС 1
1
Для отрезка СА: х + г=1, у = 0; J = — §xdx = —
СА о
Следовательно, С— $ = J + J +
АВСА АВ ВС С А
3) C = j)xzdx—yz2dy + xydz.
L
Для вычисления этого интеграла преобразуем данные урав-
нения кривой L в параметрические: полагая х — acost, получим
y = asint, z = а2 (2 + cos 2t).
* Если выбрать другое направление обхода данного контура, то ре-
зультат будет иметь противоположный знак.
— 339 —
Пользуясь этими уравнениями, преобразуем криволинейный
интеграл С в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вы-
числяем его:
2Л 2Л
С = — — (2 +cos 2/) sin 2t di—J (2-j-cos2f)2 sin 21 dt —
ft 0
2Л
«« C sin 2 9/ df - a* <2 + cos 2<>a _l aa (2 +cos 20»
U 1 Olli lit " g | ""
0
2 \ 4 ) n
Вихревой вектор данного поля в любой его точке М (х, у, z)
находим по формуле (2):
rot q (М) = (х + 2yz) i + (х—у) j.
В данной точке Л (0, —a, a2), votq = dj — 2a3i.
953. Пользуясь формулой Стокса, вычислить циркуляцию
векторного поля а = xi + xzj + zk по контуру АСВА (черт. 200),
образованному пересечением поверхности z2 = 4—х—у с пло-
скостями координат.
Решение. По формуле (2) найдем вихревой вектор данного
поля: rota = z£—xi. Подставляя его проекции в формулу (3),
z. получим:
С = ^zdxdy—xdydz =
о = ^zdxdy-^xdydz.
/У ___________? ° °
X:” у' В качестве поверхности а,
ограниченной данным конту-
ром, возьмем расположенную
в первом октанте часть данной
Черт. 200 поверхности. Пользуясь ее
уравнением, преобразуем по-
верхностные интегралы в двойные, учитывая при этом, что со-
гласно формуле Стокса а есть внутренняя сторона (обращенная
к началу координат) указанной поверхности, на которой задан-
ный обход контура АСВА направлен против часовой стрелки:
Сг = J J z dx dy = —J J J/4—x—у dx dy =
(J G
soy
0 4-X 14 з
§ dx J (4—x—y)2 dy—^-§ (4—x—y)2 * dx =
4 0 0
0 q e
2 f ,A . 4 .. -тр 128
— 3 j (4 x) dx — 15 (4 x) I o — 15
4
— 340 —
(<зху есть треугольник ОАВу,
xdydz= — (4—у—z^dydz —
$ Vyz
о V\-y о __
= ^dy J (4—у —z2)dz = J [(4 —у) 2—
4 0 4
О о 5
О Р — 4 — И 128
~ 3“ J (4 у)л dy = -^ (4 у)2 | о = -jg-
4
(оуг есть криволинейный треугольник О ВС).
Следовательно, искомая циркуляция С = СХ—С2 = 0.
В потенциальном поле циркуляция по любому замкнутому
контуру равна нулю. Но поле вектора а не потенциальное;
его циркуляция по данному контуру равна нулю, а, например,
по контуру окружности x = cos/, z/ = sinZ, z=l она равна не
нулю, а ±л.
954. Вычислить циркуляцию векторного поля:
1) р = х2уя1 A- j + zk вдоль окружности х24-//2 = а2, 2 = 0.
2) у = (х—2z)Z + (x + 3y4-z)/ + (5x + i/) k вдоль периметра
треугольника АСВ, данного в условии задачи 952 (2).
955. Найти вихревой вектор в любой точке векторного поля:
1) "p — xi — z2j-\-y2k\ 2) q = yziA-xzj-\-xyk.
956. Проверить, что векторное поле градиента функции
u — Vx}/ у У z является потенциальным. _ _
957. Проверить, что векторное поле вектора а = р========
является гармоническим.
958. Решить задачи 954 (1, 2), пользуясь формулой Стокса.
ГЛАВА IX
РЯДЫ
Решение многих задач сводится к вычислению значений
функций и интегралов или к решению дифференциальных урав-
нений, содержащих производные или дифференциалы неизвест-
ных функций (гл. X).
Однако точное выполнение указанных математических опе-
раций во многих случаях оказывается весьма затруднительным
или невозможным. В этих случаях можно получить прибли-
женное решение многих задач с любой желаемой точностью
при помощи рядов.
Ряды представляют простой и весьма совершенный инстру-
мент математического анализа для приближенного вычисления
функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся.
Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами
Числовым рядом называется выражение
а1 + аг + аз+ • • • +ап+ • • • == 2 ап> (О
П = 1
где числа av а2, ... , ап, ... , называемые членами ряда,
образуют известную числовую последовательность.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма п пер-
вых его членов Sn — ах + а2 + ... + ап при п —>+ оо имеет предел.
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если же limS„ не существует, то ряд называется расходя-
Л->+оо
щимся.
Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член
ряда ап, при неограниченном увеличении его номера п, стремится
к нулю-. lima„ = 0. (Это необходимый, но недостаточный признак
П-*+СО
сходимости для всякого ряда.)
— 342 —
Если же Vim an=j^O, то ряд расходится. (Это достаточный
+ оо
признак расходимости для всякого ряда.)
Для числовых .рядов с положительными членами (а„>0),
при исследовании их сходимости, употребительны следующие до-
статочные признаки сходимости:
Интегральный признак Коши. Ряд с положитель-
ными убывающими членами an = f(n) сходится или расходится,
смотря по тому, сходится или расходится несобственный ин-
+ со
теграл § f(x)dx,fjief(x)—непрерывная убывающая функция *.
1
Этим признаком можно пользоваться, когда выражение
общего члена an = f(ri) имеет смысл не только для целых по-
ложительных значений п, но и для всех п, больших некоторого
положительного числа т.
Признак Даламбера. Если lim ^^ = р, то при р<1
п-> + « аП
ряд сходится, а при р>1 расходится. При р = 1 вопрос о схо-
димости ряда остается нерешенным.
Признак сравнения. Если ряд с положительными
членами
^ + 0.5 + 03+... (а)
сравнить с другим рядом с положительными членами
bi + b2 -j- b3 + ... + Ь„ + ... (Ь)
сходимость или расходимость которого известна, и если начи-
ная с некоторого номера п:
1) ап^Ьп и ряд (Ь) сходится, то и ряд (а) также сходится;
2) ап^Ьп и ряд (Ь) расходится, то и ряд (а) также рас-
ходится.
При использовании этого признака исследуемый ряд часто
сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией
1-Н + ?2 + <?3+...= %Яп> (*)
п = о
которая при q<_\ сходится, а при q^ \ расходится, или с рас-
ходящимся гармоническим рядом
‘+4+4+т+---“£4-
П = 1
* Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число
из области определения / (х). «о,
— 343 —
959. Проверить, выполняется ли необходимый признак схо-
димости для ряда:
1) _1+L + A+ . 2) У — =
4 Х-Зп+2 2 5 8 п«4-1
П=о П=1
=1+±+^4-...
Решение. Ищем предел общего члена ап данного ряда
при неограниченном увеличении его номера п:
2_.L 1
i)Hm ra=lim—г=т’ 2>Пга Лй=Ит-Лт==0-
и-*+о> dn + * 3_1__ “ n-*-+a>n Т * I [ 1
~ п ~ п2
Необходимый признак сходимости limon = 0 для первого
п->+®
ряда не выполняется. Поэтому этот ряд расходится. Для вто-
рого ряда необходимый признак выполняется, вследствие чего
он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно
установить лишь после дополнительного исследования (см. сле-
дующую задачу).
960. Исследовать по интегральному признаку сходимость
ряда:
1) S2) Е3) £ 4) 2^.
П = 1 П=2 /2 = 0 ' **/*-1“* /| = 3
Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена
ряда an = f (п) номер п непрерывной переменной х и убеждаемся,
что полученная функция f(x) является непрерывной и убыва-
ющей во всем бесконечном интервале изменения х. Затем на-
ходим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним
пределом
+ 00 3
1) ? = f-^-rdx = limln(x2+l)le =
' J *2 + 1 В-ь + а J *24-1 'll
1 1
= 1п( + оо)—In 2= 4-00.
Здесь несобственный интеграл расходится. Следовательно,
согласно интегральному признаку и данный ряд также рас-
ходится.
+ <ю 3
2> S лй‘,х=1‘”3<1пх>'1‘,<|пх)=ит(-лк)|’=-
1 1 \ _ 1
\,21п22 21п2₽/ 2 In2 2*
— 344- -
1
p _J_
3) I ‘ dx=4 lim C(4x4-1) «d(4x+l) =
.1 У 4x4-1 4p-> + «J
0 0
= -^- lim 2 j/4x + 11 о = lim (]/4p + 1 — 1) = 4-
+ oo 3
4) J rfX= f (xa)2-9
3 3
_Jiraln£zz3l3=
12 iUt х24-3|з
1—— \
lim In--1- — In -i- j = In 2.
l+p j
Несобственные интегралы 2) и 4) сходятся, а интеграл 3)
расходится. Поэтому согласно интегральному признаку и ряды
2) и 4) сходятся, а ряд 3) расходится.
961. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
i)S£;
я = 1
+ со +в0 ЗЛ
3) Xi5«; 4) (2п—5)! •
Я==3
Решение. Зная n-й член ряда, находим следующий за
ним (п4-1)-й член, заменяя в выражении n-го члена п через
п+1. Затем ищем предел отношения последующего члена а„+1
к предыдущему ап при неограниченном возрастании п:
l)a=—'a = <5±1Г
'> п 2п ’ п + 1 2”+1
p = lim to
»->• + <» ап
/п + 1У
\ п /
= ТПт
1
2
lim ~-
Здесь р<1. Поэтому согласно признаку Даламбера данный
ряд сходится.
+ х З2и+3
2) ап ~ 23"~1 ’ ап + 1 = 23«+2 ’
л2Л+3 q
Р = ПШ = НГП 9ЗП + 2 = Г > 1 •
П-4-+С0 ип 2 О °
31 а - 51 ’ п - (1+12!,
ап 5« > ап+1— 5«+i ’
р = нга lim& + lim 2+1 = + оо.
И п->+« s« 5n+1nl 5
73« тЗК+З
4) о, = -....’' л —____________*
ип (2п—5)! ’ И+1 (2п—3)! ’
р = lim = Пт—" ———= lim____________________о_____
и п^ + » (2П-Ы73п ПЛ(2п-4)(2п-3)
73
— 345 —
Согласно признаку Даламбера ряды 2) и 3) расходятся, а
ряд 4) сходится.
962. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:
+ 00 +00
1) У JL=i+4=+4=+... . 2)У4;
+ сю
V _L = _L+_L+JL+
*-*1пп 1п2‘ In 3 ' !п4~
Пв 2
+ «
(п+1)Зп
п=о
Решение. 1) Сравним данный
(**). Каждый член ап
ряд с гармоническим рядом
1
7= данного ряда, начиная со второго,
п
больше соответствующего члена Ьп—~ гармонического ряда:
—» и так как гармонический ряд расходится, то, сог-
ласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.
2) Каждый член ап — ~ данного ряда, начиная с третьего,
меньше соответствующего члена Ьп бесконечной геометрической
+ со
Vя 1 1 । 1 , 1 ,
прогрессии 2" = ‘2'+2з+2з+-‘ - » которая представляет схо-
И = 1
дящийся ряд, ибо ее знаменатель q — ~<Z 1. Поэтому, согласно
признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
3) Каждый член ап данного ряда больше соответствующего
члена Ьп расходящегося гармонического ряда (**):
Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд расходится.
4) Каждый член а = ъп данного ряда, начиная со вто-
рого, меньше соответствующего члена b =~ бесконечной гео-
метрической прогрессии, знаменатель которой = Эта
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть ряд
сходящийся. Поэтому согласно признаку сравнения данный
ряд сходится.
В задачах 963—966 написать пять первых членов ряда и
проверить, выполняется ли для него необходимый признак схо-
димости.
+ оо
963. S
П = 1
2п—3
п (п + 1)
964.
+ оо
965. £ sin •
П=1
966. £ .
П=1
— 346 —
Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
967. + 00 у 1 Я = 1 + 00 968. 2 -7=к_= . 7Г2/(2п-3)а
969. у _1_ п2—1 • й = 2 970. У . («+ 1) Кп
Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
971. £ . Й = 1 + оо 972 У — X- 2п (2п+ 1) • п=о
+ 00 + со
т- 2 (Ж • П=1 ' 974"grS-
Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:
975.
п = о V п + 1
к=о
««• Е 4=.
Л = 1
Исследовать сходимость ряда:
+ со
979. у 1 980. 1 + у + 5~ +
П = 0 К(« + 1)»
981. + 00 s Й = 1 п (л+1)2 • 982. 1 - 2+12+?!+ . 21 ' 3! ' 4! '
983. + оо у 1 984. 1п 2 . In 3 . In 4 In 5
П = 2 Kn(n-f-l) 4 9 16 ' 25
985. + 00 S П=1 10"2п! (2Я)1 ’ 986*. • l+g + | + ^+..•
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость
знакопеременного ряда.
Признак сходимости знакочередующегося ряда
Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)
+ 00
У а„ = а1 + а2 + а3+ ...
(1)
— 347 —
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, сос-
тавленный из абсолютных значений его членов
I ап I ~ I а1 I +1 а2 I +1 аз I + • • •
Й = 1
Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется неабсо-
лютно сходящимся, если ряд (2) расходится.
Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чере-
4- 00
дуются) ( — I)""1 а2 + а3—а4+ •• • , а„>0 сходится,
П = 1
если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к
нулю, т. е. если а1>а2>а3>... и liman = 0. (Признак Лейб-
ница.) п-*+оо
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно
ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускае-
мая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оцени-
вается для знакочередующихся рядов:
Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося
ряда* суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного
значения первого из отброшенных членов.
987. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. (Опре-
делить, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно
сходящимся или расходящимся.)
I) Ё2) Ё3) Ё& “) Ё Sin?
П=1 П=0 П=1 П=1
Решение. 1) Члены данного знакочередующегося ряда
убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:
1 1 1 г 1 п
> 3 > 5 > 7 > • • • 2n—1 °-
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно,
исследуем ряд с положительными членами j > составлен-
ный из абсолютных значений членов данного ряда.
Применяя интегральный признак
+» з
(2)
= ~ lim In (2р— 1) = + °°>
заключаем, что ряд с положительными членами расходится.
* С убывающими по абсолютному значению членами.
— 348 —
Следовательно, данный ряд 1) сходится неабсолютно.
2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где а—
любое число, их абсолютными значениями и исследуем полу-
ченный ряд у1' —~ с положительными членами. Сравним его
с геометрической бесконечно убывающей прогрессией У •
которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда
не превосходит соответствующего члена геометрической про-
I cos па I _ 1 т-т
грессии: '—' «с . Поэтому согласно признаку сравнения
ряд с положительными членами также сходится, а заданный
знакопеременный ряд 2) сходится абсолютно.
3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по
абсолютному значению, стремясь к нулю: ••• *
lim . 1 . =0. Поэтому согласно признаку Лейбница он
+ 00 ' Г )
сходится. Ряд у - ।j, составленный из абсолютных значе-
ний членов данного ряда, также сходится согласно интеграль-
ному признаку
+ » & d(x + —'j
С—. = lim I— , \-22 Л = limIn-j-. [P= In2.
1 x te+l) ₽-+«> 1Л , х-4-lfi
i ГДX'2J 4
Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.
4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется не-
обходимое условие сходимости: lim ап = lim sin —не существует
[см. решение задачи 38(3)]. Вследствие этого он расходится.
+ оо
988. Проверить, что знакочередующийся ряд V -у-.у схо-
П-1 '
дится и вычислить приближенное значение его суммы с точ-
ностью до 0,01.
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Лейб-
ница: убеждаемся, что его члены убывают по абсолютному
значению и что lim I а„ I = lim -т-1-,- . = 0.
Далее вычисляем несколько последовательных первых членов
данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значе-
ние которого меньше 0,01:
_ ! _ 1 1 . _ 1 1
а1— 2 ; аа — 9 i а8 — 28 ’ °4 ~ 65 : °5 ~ 126 •
Согласно указанному выше свойству знакочередующихся
сходящихся рядов для вычисления суммы данного ряда с точ-
— 349 —
ностью до 0,01 достаточно взять сумму четырех его первых
членов:
(-1)"____£ , £
пз+1 ~ 2 9
В задачах 989—992 написать
исследовать его сходимость:
989. £ .
П = 1 пу п
991. £(-!)«»£.
П = 1
Исследовать сходимость ряда:
одч I_____1 । 1______I I
In 2 21п4-|“3 1п6 4 1п8 '
72 = 1
шесть первых членов ряда и
990- S -4===
К2п+1
992. У .
п!
п = 1
994*. £(-l)"tgl
П = 1
995. cos1 + ^+^-3+^+ ... 996*.
Проверить, что данный знакочередующийся ряд сходится и
вычислить приближенное значение его суммы с точностью до
0,01:
W7- 1 -i. + 5 - i + • 998. £ .
§ 3. Функциональные ряды
+ 00
Ряд Szzrt(x) = «1(x)£w2(x)£«3(x)£..., члены которого явля-
П=1
ются функциями от переменной х, называется функциональным.
При различных значениях х из функционального ряда полу-
чаются различные числовые ряды, которые могут быть сходя-
щимися или расходящимися.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд
сходится, называется его областью сходимости.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее упо-
требительными являются степенные ряды вида
+ 00
^lan^' = aQ-i-a1x + a2x2-]-a3x3-i-... (1)
/1 = 0
или более общего вида
+ 00
2 а„(х—х0)п = а0 + а1(х~ х0) + а2(х—х0)2 + ... (2)
п=о
— 350 —
Областью сходимости всякого степенного ряда является один
интервал числовой оси, симметричный относительно точки х = 0
(для ряда 1) или х = х0 (для ряда 2), который может быть закры-
тым, открытым или полуоткрытым.
Для определения области сходимости функциональных рядов
обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те
значения х, для которых этот признак не решает вопроса о схо-
димости ряда (р=1), исследуются особо, посредством других
признаков сходимости рядов.
999. Определить интервал сходимости степенного ряда:
2"п| хгп.
(2п)1Х ’
V (х + 8)ЗП .
Л = 1
4) 2 102"(2х — З)2”-1.
Л = 1
Решение. 1) По известному члену ряда ип, заменяя в нем п
через п 4-1, находим следующий за ним член м„+1:
„ - <-*)" . - (-x)"+1
" Зп~1У'п ' "+1 3я /п+л’
Далее, используя признак Даламбера, ищем предел
р = lim
П-+ + 00
-lim
«»'> Зя./п + 1хя
3 г fl -J- 1 3
и определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше
единицы, т. е. решаем неравенство i^-!< 1; |х|<3; —3<х<3.
Согласно признаку Даламбера, при любом значении х из най-
денного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при | х | > 3
расходится.
Граничные точки х=±3 этого интервала, для которых р= 1
и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда,
исследуем особо.
При х = —<3 получим числовой ряд с положительными чле-
нами ^>2 pL, который расходится, что следует из сравнения его
с расходящимся гармоническимдцядом V, (Каждый член ис-
следуемого ряда больше соответствующего члена гармонического
ряда.)
При х = 3 получим числовой знакочередующийся ряд
У2( — 1)” который сходится"1 согласно признаку Лейбница.
(Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь
к нулю.)
— 351 —
Следовательно, интервалом сходимости данного степенного
ряда является полуоткрытый интервал —3<х<3.
2) Здесь и = ?^х2"- и — 2”+1 (п + 01 „гп+г.
р = lim jfg+1 ^Нт 2<n + 1)<2 а
р п^ + оо (2/г + 1)(2л+2)
Л + ±
= 2х2 lim --п^~—= 0 < 1,
(2+т)(2+)
т. е. для данного ряда р < 1 при любом значении х.
Следовательно, согласно признаку Даламбера этот ряд схо-
дится при любом значении х; его интервал сходимости есть вся
числовая ось —оо<х<+оо.
3) Здесь B.-^s
₽ = J^J^|“liral=^T?|-|jl+8|’lim(jTi)’=|x+8|’;
|х4-8|3<1; |х4-8|<1; — 1<х + 8<Г, —9<х<—7.
Границы найденного интервала исследуем особо.
При х = — 9 получим числовой знакочередующийся рядсоб-
(______________ 1)3 П (_|\П ь
щим членом ап — -.>......, который сходится согласно
признаку Лейбница.
При х = —7 получим ряд с положительными членами У*. 4;.
Исследуя его по интегральному признаку
+ 00 р
С lim Cx-2dx = lim(—-^P = limfl—s-) = l»
J s „ + e J k x) 11 \ ₽ )
выясняем, что он сходится.
Следовательно, интервалом сходимости ряда является отрезок
— 9 х —7.
4) Для данного ряда и = 102" (2х—З)2”-1; ы„+1.=
— Ю2П+2(2х—3)2"+1;
р= lim 1^д±1|= Ю2(2х—З)2.
П-» +<ю I ип I
102(2х—3)2< 1; |2х—3|<0,1; -0,1 <2х-3<0,1;
1,45<х< 1,55.
Границы найденного интервала исследуем особо:
подставляя в данный ряд х=1,45, затем х=1,55, получим чис-
ловые ряды —10—10—10— ... —10—... и 104- Ю+ Ю + ...
... + 10+..., которые расходятся, так как для них не выпол-
няется необходимое условие сходимости ряда lim ап — 0.
— 352 —
Следовательно, интервал сходимости данного ряда есть
1,45 <ж< 1,55.
1000. Определить область сходимости функционального ряда:
+ 00 +оо
О ^п(х+2)л ’ |/sin"x.
л=1 ' 1 П=1
Решение: 1) Используем признак Даламбера:
1 1
“л —л(х + 2)л’ “л+1 —(п + 1)(х+2)л+1’
р = lim I | = lim .
“« I (« + l)|x + 2| |x + 2|
iT^2|-< 11 |х+2|>1; x + 2<-1, X+2>1;
— oo<%<—3, —l<X< + oo.
Границы двух найденных интервалов исследуем особо.
При х =—3 получим знакочередующийся числовой ряд
, 1
с общим членом —, который сходится согласно признаку
Лейбница.
При х — — 1 получим гармонический расходящийся ряд.
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из
двух бесконечных интервалов ( — оо, —3] и (—1, +оо).
2) ип — п |/sin"x; an+1 = (п+1) p/sin"+’х;
р= lim 1^л±1 | = iim^^| p/sinx| = | р/sinx|.
Этот предел p будет меньше единицы, а исследуемый ряд будет
сходящимся, согласно признаку Даламбера, для всех значе-
ний х, кроме хй = -у4-л&, k = Q, ±1, ±2........при которых
р==1.
При х — хк и при четном k получим ряд 1 + 2 + 3 + ... + п +
+ ..., а при нечетном k — ряд—1 + 2—3 + ... + (— 1)”п + ...,
которые оба расходятся вследствие невыполнения необходимого
условия сходимости.
Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся
числовая ось, исключая точки xk.
Определить интервал сходимости степенного ряда:
+ 00
1001. х + ^ + ^ + ^+ ... 1002. £(-2)пх2П. ,
П-0
+ сс
1003. 1+21х + 31х2 + 41х3+... 1004. У (—.
п=1
12 Заказ № 3201
— 353 —
1»»5- S orW^+s)!’‘1- '««б- S'S*"-
Определить область сходимости функционального ряда:
Ю07. 1 + у + ^ + + ••• 1008.
n = i
1009. tgx + ^4--^+^+... 1010*.
n = l
§ 4. Ряды Тейлора
Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки а
называется степенной ряд относительно двучлена х—а вида
/ (а) + ф (х-а) + ф- (х-а)2 + ... + (х-а)п + ... (Т)
Этот ряд можно получить из многочлена Тейлора, указанного
в гл. Ill, § 1, при неограниченном увеличении числа его членов.
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, ко-
торая в окрестности точки а имеет производные любого порядка.
Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции/(х)
только при тех значениях х, при которых остаточный член ^„фор-
мулы Тейлора (гл. Ill, § 1) для этой функции при неограничен-
ном возрастании п стремится к нулю.
При а = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно неза-
висимой переменной х:
/(0) + фх+ф-х2+ ... +-ф1хя+... , (М)
который принято называть рядом Маклорена.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
А) написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить
значения этой функции и ее производных при х = а и подставить
их в общее выражение ряда Тейлора (Т) для произвольной функ-
ции;
Б) исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для
данной функции и определить совокупность значений х, при кото-
рых полученный ряд сходится к данной функции (т. е. при кото-
рых lim/?n = 0).
«-►4-00
Для многих функций, употребляемых в практических примене-
ниях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора
полностью совпадает с совокупностью тех значений х, при которых
соответствующий остаточный член R„—*0, когда п—>-4-оо,т. е.
для многих функций каждая точка х сходимости ряда Тейлора
является и точкой сходимости этого ряда к породившей его
— 554 —
функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тей-
лора можно вместо исследования соответствующего остаточного
члена Rn, что во многих случаях весьма затруднительно, иссле-
довать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степен-
ного ряда.
1011. Разложить в ряд Маклорена функции ех, sin х, cosx.
Решение. А) Значения данных функций и их производных
любого порядка при х = 0 были вычислены ранее в решении зада-
чи 297 (гл. Ill, § 1). Подставляя эти значения в общее выра-
жение ряда Маклорена (М) для произвольной функции, получим
ряды Маклорена для данных функций:
уЗ уб у»? у2Л—1
sinx = x— 5r + |f-^+...+(-
у2 у4 уб
+ + ..•+(-!)” Й1+---
Б) Каждый из этих рядов сходится к породившей его функции
при всех значениях х, поскольку в решении задачи 297 было дока-
зано, что для каждой из данных функций остаточный член /?„ фор-
мулы Маклорена при неограниченном возрастании п стремится к
нулю при любом значении х.
1012. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) (l-J-x)"1,
2) In (14-х).
Решение. 1) А. Исходя из решения задачи 298 и согласно
определению ряда Маклорена для произвольной функции, получим
(1 + х)» = 1 + ” Х х, + .
1I ol
। m(m — l) ... (ffi—n4-l)y» । (g)
При целом положительном показателе т этот биномиальный
ряд будет содержать конечное число /п4-1 членов, ибо коэффи-
циенты всех последующих членов будут равны нулю. В этом слу-
чае он обращается в элементарную формулу бинома Ньютона.
Б. Исследуем сходимость биномиального ряда, когда т не
есть целое положительное число, по признаку Даламбера:
_ т (m—1) ... (т —n-f-l) „ т (т— 1]I... (т — п) „+1,
п! л> “п+1 («4-1)1 х ’
р= lim I —..| = |х| Hm
„_> + 001 ип I | п4-1 | । ।
р < 1 при —1 <х< 1.
Следовательно, согласно признаку Даламбера биномиальный
ряд (Б) сходится в интервале —1<х<1 и, как доказывается
в учебниках, он сходится именно к биному (1+х)т.
12*
— 355 —
2) А. Используя решение задачи 298, получим следующий ряд
Маклорена для данной логарифмической функции:
у2 уЗ у4 П-1 уП
1П(1+Х) = Х—у4-у —^+...+(-1) у+...
Б. Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Да-
IгпI IхП+1I
ламбера: |uB| = '-TL! I «„+i | = »
р = lim |^^±jJ = lim —т-т|х| = |х|;;
r n->+J “n I « + 1' 1 1 1
р<1 при —1<х<1.
При х, равном левой границе найденного интервала, т. е. при
х = — 1, получается числовой ряд — 1— у—у—j—... , кото-
рый расходится, так как все его члены отличаются от соответствую-
щих членов расходящегося гармонического ряда только знаками.
При х=1 получается знакочередующийся ряд 1 — у4~у—
— j-l-..., который сходится согласно признаку Лейбница.
Следовательно, полученный ряд Маклорена для данной лога-
рифмической функции сходится в полуоткрытом интервале (—1; 1 ].
Можно доказать, что он сходится в этом интервале именно к дан-
ной функции 1п(1 4-х).
1013. Разложить в ряд Тейлора функции:
1 л
1) — при а = — 2; 2) созх при а=-у.
Решение. 1) А. Вычисляем значения данной функции и ее
производных при х = а = — 2: f(x)=x-! f(-2) = 2
f (х) = — 1-х-2 Г (~2) = 1! 22
f" (х) = Ь2х-3 f(-2) = 21 2»
f'(x)==— 1-2-Зх-4 Г (-2) = _ 31 24
= l)n nix-”-’ f,n>(-2) = п! 2я+1
Подставляя эти значения в ряд Тейлора (Т) для произволь-
ной функции, получим
1 1 1! (х + 2) 2!(х + 2)а 3!(х + 2)3 nl (x-f-2)”
V 2 2а 1! 23 21 24 31 2',+1п!
(<4-2)2 , (х + 2)3 , , (х 4-_2)2
2а "Г 23 т • • • Т 2я
= _ 1 [1 4-i+f
... — 2 L Т 2
— 356 —
Б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Да-
ламбера: = =
Р" ИЩ I I = ЬЦ£1 ;
п -* + Сю I ип I z
, | X 4" 2 | .
р < 1, если 1—1 < 1.
Решая это неравенство, находим интервал —4<х<0.
Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд
х =— 4, затем х = 0, получим числовые ряды 1 —14-1 —14-...
и 14-14-14-14-..., которые расходятся, так как у них не вы-
полняется необходимое условие сходимости ряда lim а„ = 0.
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора
для данной функции есть (—4; 0). Исследуя остаточный член Rn
формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в
указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной
функции.
о, . f л \ 1^2
2) А. у — cos х у у = ~2~
t f . л \ г f \ 1^2
у = — smx = cos(x4--yj —
«/" = —cosx = cos ^Х-Ь2~) —
у'" = sink = cos ^х4-3~) (т)=-?
ут = cos (х4-П-^-
Б. Исследуем соответствующий остаточный член /?„ формулы
Тейлора:
/ л \ "+1
I X-— I г .
= cos [т+в(х—т) + (л+°<0<1’
/ л \ п + 1
I X— -4 1
При любом х lim -> - - (— = 0, что было доказано в реше-
нии задачи 40, a |cosa|^l. Поэтому lim /?п=0 при любом х,
П“> + СО
т. е. полученный ряд Тейлора для cosx сходится к cosx при
любом х.
1014. Написать три первых члена ряда Маклорена для функ-
ции: 1) secx; 2) 1п(е*4-х).
— 351 —
1015. Написать три первых члена ряда Тейлора для функции:
1) при а = 2; 2) х31пх при а=1.
1016. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) 10х; 2) In (1—х);
3)*cos (х—1).
1017. Разложить в ряд Тейлора функции:
1 ) ех при а = — 2; 2) У~х при а = 4; 3) cos у при а—~.
§ 5. Действия со степенными рядами.
Применение рядов
к приближенным вычислениям
Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по
правилу умножения многочленов). При этом.интервалом сходимо-
сти полученного нового степенного ряда будет совокупность всех
точек, в которых одновременно сходятся оба ряда. *
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно
интегрировать, а внутри интервала сходимости можно почленно
дифференцировать.
Использование этих правил для разложения функций в ряды
и применение рядов для вычисления приближенных значений функ-
ций и интегралов разъясняется в решении следующих задач.
1018. Используя ряды Маклорена для функций ех, sinx, cosx,
(14-х)та, In (14-х) и правила умножения и сложения степенных
рядов, найти разложения в ряд по степеням х для следующих
функций; 1) (14-х)ех; 2) sin2x; 3) ; 4) e“xsinx;
5) In (14-3x4-2х2).
Решение. 1) Рассматриваем двучлен 14-х как степенной
ряд, у которого коэффициенты всех членов, кроме двух первых,
равны нулю и который сходится на всей числовой оси. Умножая
почленно этот ряд на ряд Маклорена для функции ех, который
также сходится на всей числовой оси, получим искомое разложе-
ние в ряд данной функции:
(У уЗ уЛ \
1 4- j-j 4- 27-^3! • • + ^7 + '
= 1+п*+я* +зт^+---+^гх
которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех
значениях х.
* Иногда в этот интервал включаются и некоторые точки, в которых
сходится только один из исходных рядов.
— 35И —
2) Ряд для sin2x можно получить почленным умножением
самого на себя известного ряда Маклорена для sinx:
sin2х — sinxsinx=(x—57— ...) fx—•••) =
\ ojoi j y uiOi i
= x2-l^+A5xe-...+(-1)”-2wx-4-...
Полученный ряд, как и ряд для sinx, сходится при всех
значениях х.
Тот же результат можно получить, исходя из формулы sin2x =
— у (1 — cos 2х) и пользуясь рядом для cos2x:
02 94 92»
cos2x = 1 —х2 +х4—...+(—1)"х2"4-...,
который получается из ряда Маклорена для cosx путем замены х
на 2х.
3) Преобразуем данную функцию в произведение =
= (х —3) (х-}~ I)-2; рассматриваем двучлен х—3 как степенной
ряд, сходящийся при любом значении х; пользуясь биномиальным
рядом (Б), полагая в нем т=— 2, разлагаем в ряд бином
(1+*)-2:
(1 +х)“2= 1 — 2х-|- Зх2 —4х3 + ... + (— I)"-1 пх"-14-... (*)
Умножая почленно этот р.яд на х—3, получим искомый ряд
для данной функции:
1^-2 = -3 + 7х-11х2+...4-(-1)п~4(1-4п)х"-4+...,
который сходится к данной функции в интервале (—1; 1), по-
скольку в этом интервале сходится к биному (1-f-x)-2 ряд (*).
4) Ряд для функции е~х sin х найдем почленным умножением
ряда для е~х (получаемого из ряда Маклорена для ех при заме-
не х на —х) на ряд Маклорена для sinx:
_х . /. х , х2 х3 . \ { х3 . Xs х’ . \
е sinx—п + г!-зТ+' • ‘ j 3i+5l~7l+• •'/—
= Х Х2 + -g X3 — 40*В + збб х& + •
Полученный ряд сходится к данной функции во всем своем ин-
тервале сходимости—на всей числовой оси, ибо ряды для е~х и
sinx сходятся к этим функциям на всей числовой оси.
5) Преобразуем данную функцию: 1п(1+Зх-}-2х2) = 1п(1 +
+ х) (1 + 2х) = ln (1 +х) + In (14- 2х). Пишем ряды Маклорена
— 359 -
для полученных слагаемых функций:
1п(14-х) = £ -1<х<1;
П=1
1п(14-2х) = £ (-1)”"1"» -Г<х<4
П = 1
(второй ряд получен из первого путем замены х на 2х) и скла-
дывая их почленно, имеем
1п (14-3x4-2x2) =2 (— 1)"“1(14-2'*)^ , -1<х<|.
И = 1
Все полученные в решении этой задачи ряды для заданных
функций являются рядами Маклорена для этих функций, ибо
вообще, если какая-либо функция разлагается в степенной ряд,
то он является ее рядом Тейлора.
1019. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точ-
ностью до 0,0001: 1) In 1,1; 2) /17.
Решение. Для вычисления приближенных значений функ-
ции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том
случае, когда соответствующий ряд является знакочередую-
щимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оце-
нить погрешность приближенного значения суммы —она меньше
абсолютного значения первого из отброшенных членов (§ 2).
В других случаях приближенные значения функции с задан-
ной точностью вычисляются по формуле Тейлора (Маклорена),
как это показано в решении задачи 299 (гл. Ill, § 1).
1) Возьмем ряд для функции 1п(1.4-х), полученный в реше-
нии задачи 1012:
у2 уЗ уН
1п(14-х) = х-^4-у-... 4-(-I)"-1 ~+ ...»
который сходится к 1п(14-*) в интервале ( — Г, 1], и, полагая
х = 0,1, получим ряд для вычисления In 1,1 с любой точ-
ностью:
til а 1 0-р । О-13 0,1* I
In 1,1 =0,1 — -2-4—3---4-+ • • •
Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше
0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходя-
щегося ряда (§ 2), для вычисления приближенного значения
In 1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых
членов ряда
ill л 1 0,01 । 0,001 л лаехо
In 1,1 «0,1--^-4--4—«0,0953.
£ о
— 360 ~~
2) Преобразуем данный корень £/17== £/16 + 1 = 2 ^1
и применяем биномиальный ряд (Б), полученный в решении
задачи 1012, полагая х==-^, т = ±-:
2 (1 4-—4 — 2 Г1 + —___——I-------------1
+ ^4-16 4-8-16г^4.8.12. 16»
Чтобы определить, сколько взять первых членов этого зна-
кочередующегося сходящегося ряда для вычисления £/17 с точ-
ностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых
членов ряда: ar= 1; а2«0,01562; а3 «* — 0,00037; а4«*0,00001.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда,
если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка
искомого приближенного значения корня будет меньше 2а4а*
« 2-0,00001 <0,0001. Следовательно,
£/17 « 2 (1 +0,01562-0,00037) « 2,0305.
1020. Найти разложение в ряд функции arctgх, исходя из
X
. f dt
выражения ее в виде интеграла: arctg x = j , разлагая
подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно его
интегрируя.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию =
= (1 + /2)-1 и разложим ее в биномиальный ряд (Б), полагая
в нем х = /2, т= — 1:
(1 + /2)-1= 1 - /2 + Г4-/в+ ... +(- i)«-iZ2«-a.
Интегрируя в пределах от 0 до х, получим искомый ряд
У3 уб г7 v2« -1
arctgx = x-| + £-| + ... + (-l)"-^+...,
который сходится к arctg х в интервале ( — 1; 1), ибо разложение
подынтегральной функции в биномиальный ряд справедливо в этом
интервале. Можно доказать, что полученный ряд сходится
к arctg х и на границах этого интервала при х = ±1.
1021. Найти ряд Маклорена для функции arcsin х, исходя
х
С dt
из выражения ее в виде интеграла: arcsinх=1
о
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, преобра-
зуем подынтегральную функцию
1
(1—/2) 2 , разложим
1
— 361 —
ее в биномиальный ряд (Б), полагая в нем х = — t2, т=—^:
(1-'’)’^=1+тр+я/‘+га', + • +
, 1-3...(2п-1) ЙВ ,
f 2-4... 2п 1
и интегрируя в пределах от 0 до х, получим искомый ряд
, 1 х® , 1-3 X6 , 1-3-5 х7 ,
arcsmx —x-f- 2 3 +2-4 5 2-4-6 7 + • • • +
. 1-3.. .(2n —1) х2"+1
+ 2-4...2n 2n + 1 + ’
который сходится к arcsin х при | х | 1.
1022. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих
интегралов:
1) ^sinxMx; 2) J'Kx^dx; 3) — x3dx.
Решение. 1) Пользуясь рядом Маклорена для sinx, заме-
няя в нем х на х2, имеем
уб vio у 14 v4rt-2
sinx2 = X2_|. + |__^+...+(_iri(Z__+...
Почленно интегрируя, получим искомое разложение
sin x2dx = ^
О
Х> , X11
3!7'5!11
Г1Б
7Т15
...+С,
которое справедливо при любом значении х.
2) Заменяя функцию е* ее рядом Маклорена, почленно
умножая его на /х и интегрируя, получим
J/x>dx = j'x^(l + ^ + ^+.. .4-^+.. .)dx =
/ 3 6 2Л+ 1 \
И i у а V а у 2 1
=JV,+ir+isr+---+ — +•>=
9 ± 9 Л 9 — 9 8,1 + 8
— — х 2 4- —- х 2 4- —— х 2 -4- 4- -- х 2 4- 4- С
3 х ^115 ^2! 7 х • • ^п!(2/г + 3) х t • • • + Ь.
Полученный ряд сходится к искомому интегралу при х>0.
3) Разложим подынтегральную функцию в биномиальный
ряд (Б)
— 362 —
и интегрируя почленно, получим искомый ряд
J У 1 Х аХ~ Х 112-4 2! 22 7 31 23 1 0
который сходится при |х|<1.
1023. С помощью рядов вычислить с точностью до 0,0001
приближенные значения следующих интегралов:
1 1.5
^2 = Jc0SKxdx; /3= f yarctg^-do.
о о
Решение. 1) Разложим подынтегральную функцию в бино-
миальный ряд (Б), полагая в нем x — t*, т=—~:
7^7? “ (1 + = 1 - 4 *' - 5^5 + •
1
Этот ряд сходится к биному (1-Н4) * при р I < 1.
Интегрируя в пределах от 0 до у, найдем
1
2 1
. _ Г' dt . 1 «5 l-3/з 1-3-5/13 . Т_
11 J /Т+“? 1 2 5 +2-4 9 2-4-6 13 # ~
1 1.1-3 1-3-5 ,
“ 2 2-5-25 + 2-4-9-2’ 2-4-6-13-213 + ’' ‘
Вычислим несколько последовательных первых членов полу-
ченного знакочередующегося сходящегося ряда (с одним лишним
знаком): at = 0,50000; а2 ж —0,00313; а3аг 0,00008.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда
(§ 2), для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно
взять сумму двух первых членов ряда аг та 0,4969.
Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного
значения первого из отброшенных членов ряда, т. е. меньше
а3аг 0,00008.
2) Пользуясь рядом Маклорена для cosx, заменяя в нем
х на Ух, имеем
COS ух — 1 2~! + 4У б] + 8! . . . (х 0).
Интегрируя в указанных пределах, получим
1
г» • х^ х® х4 х5
= J С03 ^xrfx = X“^ + 4!3—'бГ4"1~8Т5_
о
= 1__L+±__L+_L_
212^413 614^815
— 363 —
Пятый член этого знакочередующегося сходящегося ряда
меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближен-
ного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых
членов ряда:
Л«1-т+г2-^8б -0’7635.
3) Пользуясь рядом Маклорена для arctg х, при х = -^-, по-
лучим
arctg 43.3 + 4В.5 4777-Ь ‘ ’ (I I ^=4).
Деля обе части равенства на в и интегрируя, найдем
1,3
, fl , V , V V3 , Vя V7 , (1.3
1 S I ““ arCtff ~7~ dv - “7-JQ ОП *1 Ле £2 *" АЧ П9. • • • I =:
8 J v ь 4 4 43«32 45«52 47*72 1 |i
1
_ 1,5—1 1,53 —1 1,5е —1 1,5’ —1. ~
— 4 43.32 4в-52 4’-72 + • • • ~
« 0,12500 — 0,00412 + 0,00026-0,00002 + ...
Полученный результат представляет знакочередующийся схо-
дящийся ряд. Взяв сумму трех его первых членов, получим приб-
лиженное значение интеграла с заданной точностью: /3»0,1211,
ибо абсолютное значение четвертого члена меньше 0,0001.
1024. Пользуясь рядами, полученными в решениях задач
1011, 1012, 1020, и правилами сложения и умножения степенных
рядов, найти разложения в степенные ряды следующих функций:
1) xcos2x; 2) In ; 3) (1 + х2) arctg х;
4) 2^; 5)* e*sinx; 6)* (1-Н*)2.
1025. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001:
1) cos0,3; 2) sin 0,4; 3) arctg 0,2; 4) |/"30.
1026. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих
интегралов:
1) Jx3arctgxdx; 2) Jy-d/; 6) Jy==
4) 5)« f
v X J X
— 364 —
1027. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001
следующие интегралы:
1) j cos^dx; 2) j ^1+хЧх-, 3) js-^dx;
оо о
4) In(1 -f-prx)dx; 5)* $ y^xcos2xdx.
о о
§ 6. Числовые и степенные ряды
с комплексными членами
Числовым рядом с комплексными членами называется ряд
+ оо
С1 + сг + • • + сп + • • — 2 сп •
где c1 = a1-j-b1i, c2 — a2 + b2i, .... cn = an + bni, ...—комплекс-
ные числа = aJt bt, а2, b2, an, bn, ... —действи-
тельные числа).
Сходимость и сумма числового ряда с комплексными членами
определяются так же, как и для числового ряда с действитель-
ными членами (§ 1). Выполнение условия lim сп = 0 есть необхо-
П -* + со
димый (но недостаточный) признак сходимости, а не выполнение
этого условия есть досрочный признак расходимости всякого
числового ряда с комплексными членами.
Исследование сходимости ряда с комплексными членами
можно свести к исследованию сходимости двух рядов с действи-
тельными членами:
Ряд с комплексными членами
+ 00 + <ю
5 сп = 2 (an + bni)
л=1 п=1
(1)
будет сходящимся, если сходятся два ряда с действительными
членами
2 ап и 2 Ьп.
П=1 п=1
(2)
При этом, если ряды (2) сходятся соответственно к суммам
А и В, то ряд (1) сходится к сумме C = 4-|-Bi. Если же хотя
бы один из двух рядов (2) расходится, то и комплексный ряд
(1) также расходится.
Ряд с комплексными членами (1) называется абсолютно схо-
дящимся, если сходится ряд с действительными положительными
— 365 —
членами
2 К[- 2 l^n+ bni\= 2 Увп+Ьп, (3)
п = 1 п=1 п — 1
составленный из модулей его членов. Если же ряд (1) сходится,
а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется неабсолютно схо-
дящимся.
Абсолютная сходимость ряда есть достаточный (но не необхо-
димый) признак сходимости ряда, т. е. если ряд сходится
абсолютно, то он сходящийся.
Для исследования сходимости комплексных рядов можно
пользоваться признаком Даламбера: если lim L^-,11=
= lim|^~ =р, то при р<1 ряд сходится (абсолютно), а при
I сп I
р > 1 расходится.
Если z есть комплексная переменная, т. е. величина, прини-
мающая различные числовые комплексные значения, z = x-{-iy,
где х и у—действительные переменные, то ряд
+ 00
a0 + aiz + a222 + ... +anzn+ ... = 2 anzn, (4)
n = o
где a0, ax, ..., an, ...—комплексные постоянные, называется
степенным рядом с комплексными членами.
Если изображать комплексное число а-{-Ы точкой (а, Ь)
плоскости хОу, то область сходимости всякого степенного ряда
(4) с комплексными членами (т. е. совокупность точек, в которых
ряд сходится) представляет круг с центром в начале координат*.
Радиус R круга сходимости комплексного степенного ряда
называется радиусом сходимости этого ряда. При 7?=0 ряд
сходится только в одной точке (0,0), т. е. z = 0, а при R = -f-oo—
во всех точках комплексной плоскости хОу.
Показательная функция ez комплексного аргумента z~x-\-iy
определяется как сумма степенного ряда
е = 1+п+21 + 31 +•• -+^1+---
которая существует при любом значении z [см. решение задачи
1029 (2)].
Отсюда при z — iy (х = 0), затем при z=—iy получаются,
соответственно, следующие формулы Эйлера:
e'J» —cosz/-f-i sin у, e~‘y = cosy — i sin у, (5)
* На границе (окружности) круга сходимости комплексного степенного
ряда могут быть как точки сходимости этого ряда, так и точки его расхо-
димости.
— 566 —
которые выражают показательные функции через тригонометри-
ческие. Путем их сложения и вычитания получаются еще две
формулы:
cost/ =
eiy—e-‘y
sin у =---------
» 2i
(6)
2
которые выражают тригонометрические функции через показа-
тельные. Они также называются формулами Эйлера.
1028. Исследовать сходимость ряда с комплексными членами:
Л = 0 ‘ п=1 п=о
Решение. 1) Заданный общий член ряда есть комплексное
3
число, действительная часть которого ап =-------и мнимая
1 + У л
2
часть Ьп—--------тг=.. Здесь числовые ряды с действительными
1 У п
членами 11 °^а расходятся, что следует из сравнения
их с гармоническим рядом УПоэтому данный ряд с ком-
плексными членами также расходится.
2) Используем признак Даламбера. По заданному члену ряда
сп найдем следующий за ними член сп+1:
„ n<v-v>n. г (n+i)(3<-i)n+]
сп 5« ’ ьп+1 S'’4’'1
и вычислим предел отношения их модулей
р= lim — нт 1 I = lim I QL+,1) A ~I —
n —► + <30 > П I > П I I I
5 n 5 5
Следовательно, согласно признаку Даламбера, данный ряд
абсолютно сходящийся.
3) Здесь ряды с действительными членами ап = и Ъп =
(__1 у»
= к—А- знакочередующиеся. Согласно признаку Лейбница оба
2,71 “г* 1
они сходятся. Поэтому заданный комплексный ряд также схо-
дится.
Ряд, членами которого являются модули членов данного ряда
У К+М1=У V^+bn = y 1/_J +—!___________________=»
Z-I 1 « 1 Z-I n l Z* V (2n—l)a ' (2«+1)®
n=o n=o n=o '
/8n2 + 2
“2- 4n2 — 1 ’
— 367 —
расходится (согласно признаку сравнения, ибо
/8па + 2 1_ yS 1______
4n2—1 > 4n2 ~nV2 И п У 2
Это же следует из расходимости рядов 2 | ап | и 2 | Ьп |).
Поэтому данный комплексный ряд сходится как таковой, но
не абсолютно.
1029. Найти радиус сходимости степенного ряда с комплекс-
ными членами:
1) £2) £й; 3) £
П=0 П=1 П=1
Решение. Пользуемся признаком Даламбера,
1) ип= 2п(Уп — 1 — i)zn‘, u„+1 = 2n+t (Уп — i) zn+1j
р= lim
^±p = lim
I “J
lUVn-i)
= 2|z|lim
(Vn—i)(Vn—\+i)
(К^-1-0(К^1 + 0
= 21 г | lim <"~ ‘>+( К*- Г.-l)/J д 2| г । ||m £k+j = 2 |г|.
Согласно признаку Даламбера при всех значениях z = x-f-tt/,
удовлетворяющих неравенству |z|<y, данный ряд сходится,
а при всех |z|>y он расходится.
Геометрически данный ряд сходится внутри круга |z| =
— Ух2+у2 < и расходится вне этого круга, т. е. искомый
г, 1
радиус сходимости R=-^.
„ ill
На границе круга сходимости —на окружности |z|=-y или
Л/
x2-f-t/2 = -l- данный ряд расходится, ибо во всех точках этой
границы общий член ряда св = — 1 — i при п—*4-оо не стре-
мится к нулю.
о. г». гп+1
ип ni> ип+1 — (п 4-1)| *
р= Нт 1“2±х1вНт-Щ =0.
— 368 —
Согласно признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при
любом комплексном значении z, т. е. его радиус сходимости
7? = + оо.
31 и — (3 + 4/)" зя. _ (3+4/)"+* зп+з.
•V ип~ пг 2 » un + 1 (/i --2
р — lim “п+.1 = limlп* 2® I “
„-> + «> l«nl I <п-+1)а I
Нг|,ГЗ^Птиг"’1г, = 5И’.
Следовательно, ряд сходится при 5|z|® < 1, т. е. искомый
радиус сходимости ряда в точках на границе круга
1 /5
сходимости | z | = данный ряд также сходится, так как в этих
|/5
точках сходится числовой ряд У^, составленный из модулей
его членов.
Исследовать сходимость ряда с комплексными членами:
юзо. у<*+^
Хй П!
п=1
П=1
1031. У У п-{
п-|-1
п=о
1033. у
10" п
л = 1
Найти радиус сходимости степенного ряда с комплексными
членами:
1034. 1 +2 ’ Ю35. У («! -0 22П.
П=1 И=1
1036. У z". 1037. У (— 1 )п z".
П=0 «=1
1038. Е^ГТТГ23'1- 1039. +д2~1)П
п=1 П=1
§ 7. Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
«в I I а I ( 2лх , , . 2лх\ ,
~2 "t* cos — +ох sin — J + ^а2 cos-j—b2 sin -j- j +
+ ^а8 cos -t—I- b3 sin j-j + ...==
+ 0D
a0 » I I L. • fl^X\
— 2 ^flncos_7- + bn sin j j, (1)
n=l
— 369 —
где Z>0, а0, ап, Ъп (и=1, 2, ...)—постоянные, называется
тригонометрическим рядом.
Все члены тригонометрического ряда—синусы и косинусы
углов, кратных у, иих сумма S(x), если она существует, яв-
ляются периодическими функциями от х с периодом 2Z; S(x) —
= S(x + 2l). Поэтому тригонометрические ряды широко приме-
няются для изучения различных периодических процессов в
электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических
колебаний и во многих других областях естествознания и тех-
ники.
Разложение данной функции в тригонометрический ряд на-
зывается гармоническим анализом, ибо этим достига-
ется разложение какого-либо сложного периодического явления
на простые гармонические колебания.
Рядом. Фурье для функции f(x) в интервале [—1, 1} назы-
вается тригонометрический ряд вида (1), если его коэффициенты
аи и Ьп вычислены по формулам Фурье:
i
an=-j- § f (х) cos^dx, n = 0, 1, 2, ...
-i
i
bn — Y f (x) sin^dx, n=l, 2, 3, ... (2)
-i
Простейшие достаточные условия разложимости функции
в ряд Фурье сформулированы в следующей теореме Дирихле.
Если в интервале [—1, Z] функция f (х) имеет конечное число
точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число
точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье
сходится, т. е. имеет сумму S(x), во всех точках этого интер-
вала. При этом:
а) в точках непрерывности функции f(x) он сходится к
самой функции, S(x) — f(x)t
б) в каждой точке разрыва xk функции —к полусумме одно-
сторонних пределов функции слева и справа,
S(xA) = y llira Km
в) в обеих граничных точках интервала [ —Z, Z]— к полу-
сумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим
точкам изнутри интервала,
S(-l) = S(l)^ [lim f(x) + lim f(x)].
x-*-l+0
Для четной функции f(x) = f(—x) все коэффициенты
bn = 0* и соответствующий ряд Фурье не содержит
* Согласно решению задачи 592.
— 370 —
синусов
f (*) = у + IX cos , ап = | р (%) cos dx, (3)
n=i о
п = 0,1,2,...
Для нечетной функции f(x)——f( — x) все коэффи-
циенты ап = 0 и соответствующий ряд Фурье содержит
только синусы
f(x)=IXsin^,
П = 1
I
bn = |p(x)sin^pdx, п = 1, 2, 3,... (4)
О
Если функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы
Дирихле, является периодической, то на всей числовой оси ее
ряд Фурье в точках непрерывности функции сходится к самой
функции, а в каждой точке разрыва функции —к полусумме
ее односторонних пределов.
Черт. 201
Функцию f(x), заданную в интервале [0, /], можно произ-
вольно продолжить в соседний интервал 1 — 1, 0) и поэтому ее
можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим,
такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье,
содержащим только косинусы или только синусы.
Ряд по косинусам получается при четном, а ряд по сину-
сам при нечетном продолжении данной функции на соседний
слева интервал [ — I, 0). В первом случае график данной функ-
ции продолжается на .интервал [ — I, 0) симметрично относи-
тельно оси ординат, а во втором случае — симметрично относи-
тельно начала координат, черт. 201 а, б.
— 371 —
С помощью формул Эйлера (§ 6) получается удобная во
многих случаях комплексная форма ряда Фурье;
+ ® 1ппх . * тпх
f(x) = S ‘ • где cn = 2r\f(x)e~ 1 dx. (5)
flat — СО _i
Если функция f(x) задана несколькими различными форму-
лами на разных частях интервала [ — I, /], то при разложении
ее в ряд Фурье, при вычислении интегралов в формулах (2)
или (5) для коэффициентов ряда, следует разбить интервал ин-
тегрирования точками, в которых меняется аналитическое вы-
ражение функции, на части и затем вычислять указанные ин-
тегралы как сумму интегралов по составляющим частям.
При разложении функции f(x) в ряд Фурье в интервале
[О, 21] пределы интегралов в формулах (2) или (5) будут 0 и
21, а в случае произвольного интервала \а, 6] длины 21 эти
пределы будут а и а 4-2/.
1040. Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном
интервале:
1) ф(х) = у', (0, 2л); 2) у_ f 6 при 0<х<2
3) ф(х)=е-*; ( — л, л); I Зх при 2<х<4;
4) « = |sinxj; (—л, л]. Пользуясь полученным разложением,
найги сумму S ряда ^ + 3^ + + • • +^-Г)'^ + 1)4-
Решение. Вначале проверяем, что данная функция в ука-
занном интервале удовлетворяет условиям Дирихле; затем вы-
числяем коэффициенты ап и Ьп (или сп) по формулам Фурье и,
подставляя их в ряд (1) (или (5)], получаем искомое разло-
жение данной функции в ряд Фурье; наконец, основываясь на
теореме Дирихле, определяем, при каких значениях х полу-
ченный ряд сходится к данной функции.
1) Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вы-
числяем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (2), пола-
гая / = л и беря пределами интегралов 0 и 2л, поскольку функ-
ция задана в интервале (0, 2л):
2 Л
а„
1 С'Х , 1
— \ -5- cos пх ах =
JT tj it
о
1
2лп2
X . 1 Р . , \ 2”
— sin пх-----1 sin пхах) =
п п. j ) о
12Л
о
cos 2пл— 1
2л п3
(Для вычисления интеграла применена формула интегриро-
вания по частям.)
При п=1, 2, 3, .... п#=0, ап = 0; при п = 0 полученное
здесь выражение для ап не имеет смысла. Поэтому коэффици-
— 372 —
ент а0 вычисляем отдельно по формуле (2), полагая п — 0 (cosn№ 1):
1
а„ = —
0 л
х2 |2Л
7“ = Л
4Л [о
2Л
, 1 С х . , 1 /sin 1
b= — \ тг sin пх ах = -х- —»
" я J 2 2л \ п2
о
X cos пх
п
2Л 1
о п '
Подставляя значения коэффициентов ап и Ьп в тригономет-
рический ряд (1), получим искомое разложение данной функ-
ции в ряд Фурье:
х _ л sin пх л sin х sin 2х sin Зх
2~2~2u~n~~2 1 2 3 — •••
Это разложение справедливо, т. е. полученный ряд сходит-
ся к данной функции во всех точках ее области определения
0<х<2л. (В граничных точках х = 0 и х = 2л сумма ряда
л
равна -g , в этих точках все члены ряда, кроме первого, об-
ращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указан-
ных точках и по теореме Дирихле.)
2) Пользуясь формулами (2), полагая I = 2 и разбивая ин-
тервал интегрирования (0; 4) точкой х = 2 на две части, по-
скольку в каждой из них функция задана различными форму-
лами, получим:
о
1 I
2 4
=dx = 1 (У 6 cos dx + у Зх eosJS
0 2
плх|2 . о /2х . плх , 4 |4
in ~2~ L + 3(™Sln -2- + nwcos-2~ L
<£ [0 \ “ rt J* <£ / 12
6 v
= ^(1 — cosrtn), «=/=0.
При n четном cos пл = 1 и а =0; при п нечетном cos пл =
1 12
= — 1 и ап — —=.
п П2Л2
При п = 0 по формуле (2) получим:
a0=ry ji/dx = -i-(j6dx+ + = 15;
О 0 2
4 2 4
. 1Р. ПЛХ , 1 [ f с . ПЛХ , , С о . ПЛХ , \
Ьп — -у I У sin ~2~ах —2* \ ) 6sin ~2— "i” j sin — dx ] =&
О 0 2
1 Г12 плх К , о / 4 . плх 2х плх\ I*
= -2 I.™ C0S — к + 3 Sm "2------C0S ~г) к
= 2^ [12(1—C°snn) +3(4 cosn^-8)] = - А.
— 373 —
Искомое разложение данной функции имеет вид
15,12/ лх . 1 Злх , 1 5лх . \
Z/ —у + ^2 СО 5-2- +у COS 2 +25COS-2 Ь • • • )
“ (Sin Т +Т5111 -2~ +У5111 ~Т+ ’ • ) ‘
Оно справедливо во всей области определения данной функ-
ции: в интервале (0; 2) сумма ряда S(x) = 6, а в интервале
(2; 4) S(x) = 3x. В точке разрыва х = 2, где функция не оп-
ределена,
S(2)=y(lim//+ lim г/) = 6.
4Х-*2-0 Х->2 + 0
3) Здесь удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.
По формуле (5):
Л л
Сп = ± { e~xe~inx dx — \e~<1+in>xdx
-л -л
е-(1+т)л л
2л (1 + tn) |я
gd + iп )к g - (i+i п e*ein “е ~ve ~,пл
2л (1 in) 2л (1-f- in)
По формулам Эйлера е±Мп = созпл ± i sin пл = ( — 1)".
Следовательно, с„ = ,
+ оо
е~х~ 22 спе‘пх =
«=-<»
ек—е~к у ( — 1)" einx
2л 14- in
В интервале ( — л, л) ряд представляет функцию е~х, а в
точках х=±л его сумма равна у(ел + е-п).
Чтобы преобразовать полученный ряд в комплексной форме
к обычной тригонометрической форме ряда Фурье (если это
нужно), следует объединить слагаемые с индексами п и — п и
заменить в результате по формулам Эйлера (§ 6) показательные
функции тригонометрическими:
.. ... _(-1)ле,л* , (-1)-ле-,пх_/ 1чл(1-1п)е!ЛЛ + (1+<п)е-'лл
ип+и-п - 1+/п + ----и прр =
= 2(-1Г^ + уш пх> п=в1> 2> 3j
Из равенства (а), полагая п — 0, вычисляем а0 = е •
Следовательно,
е"—е~"Г1 , (—1)" , , . J
е =—у- [y + 22-^r(cosnx+nsinnx)j .
— 374 —
4) Данная функция четная (черт. 202), вследствие чего все
коэффициенты 6„ = 0. В интервале [0, л] функция определяется
формулой y = smx. Поэтому по формуле (3) при 1 — п получим:
Л
sin х cos пх dx =
О
[sin (1 -f-и)х4-sin (1—ri)x]dx=>-
2
л
~cos (1 J-n) x
1 4- fl .
cos (1—n) x~l 10_1
1—n я
1—COS (1 + n) я
+ «
! 1—cos(l—n) я'
1—n
Если n четное, n = 2k, to cos(1 ±n)n== —1 и а=—т-.—
Если n нечетное, n ^l, то an = 0.
При n = 1 полученное здесь общее выражение для а„ непри-
годно, вследствие чего коэффициент аг вычисляем отдельно^
полагая п=1, в формуле (2):
а, = — \ sin х cos х dx = — \ sin х d sin x =- = 0.
1 я J nJ я |o
о 0
Подставив значения коэффициентов в ряд (1), получим ис-
комое разложение
| sin х | --
2 4 Feos 2х
я я 1 -3
cos Ьх
4ИГ
cos 6х
cos 2kx
(2fc—1) (2А + 1)
которое справедливо во всей области определения данной функ-
ции—л Л.
При х = 0 полученное разложение преобразуется в равенство
я [1-3 ’ 3-5 ’ 5-7 1
1
(2k — 1) (2k + 1)
откуда и определяется сумма числового ряда, указанного в
условии:
Черт. 202
Здесь, как и в решении за-
дач 1040 (1, 2), оказалось, что
для данной функции один из коэф-
фициентов ряда нельзя было вы-
числить по найденному его общему выражению. Поэтому при
разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения
общих выражений для коэффициентов ап и Ьп, следует проверять,
будут ли они пригодны при всех [указанных в формулах (2)]
значениях п. Для тех значений п, при которых эти общие вы-
ражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие
— 575 —
коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значе-
ния п в общие формулы Фурье.
1041. Разложить в ряд Фурье периодические функции:
О f(x) = x2 при —л^х<л; f(х) = /(х+2л).
Пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда:
°) + —-р+ б) 1+^+^ + ^-+...
2) ф(х) = х2 при 0<х<л’ ф (х) = ф (х+л).
3) u = cos4- при 0<х^2л; а(х) = м(х4-2л).
Решение. Все заданные функции удовлетворяют условиям
теоремы Дирихле, что обеспечивает возможность их разложения
в ряд Фурье.
1) Данная функция четная, ее график (черт. 203) симметри-
чен относительно оси Оу. Все коэффициенты Ь„=0, а коэффи-
циенты ап вычисляются по формулам (3), при / = л:
2 С » , 2 Г2х . /х2 2 \ . Т [л
ап = — \ х2 cos nxdx — — cos пх +1----„) sin nxl =
n Л J Л [ П2 \n J IO
0
„=^0.
n2 v 7 n2 ’
(Здесь дважды применена формула интегрирования по частям.)
При п = 0 (и / = л) по формуле (3) найдем:
2х3 Iя__2л2
Зл |о 3 *
а0 = — С х2 dx =
° л J
о
Следовательно,
2 __ л2 .Гсоьх COs2x , cos Зх , , ].„_icosnx 1
•X з ]2 2а ' З2 •••!( о п2 ”'"]
Это разложение данной периодической и всюду непрерывной
функции справедливо при любом значении х, т. е. полученный
Черт. 203 Черт. 204
ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси.
Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью
совпадают.
— 37 Ь —
ла
12" *
Полагая в полученном разложении х = 0, найдем сумму ука-
занного в условии числового ряда (а):
1——+(— • • •
а полагая х=п, найдем сумму ряда (б):
1 ц-_L I 1 _i_J_ + — -с =_
1 -t- 2а -1- 32 -1- 4г- • • 1- „2 г • • • — 6 •
2) Вычисляем коэффициенты Фурье данной функции по об-
щим формулам (2), полагая / = у (период этой функции равен
л, черт. 204):
ап = — \
" nJ
о
2 Г х (1 \ i i л
lx dx = — н-5 cos 2 пх + 5--— sin 2пх
л L2na \2п 4п®) J |о
cos 2пл 1 . п
л
2 (
а0 = — )
“ nJ
о
9 Г у Z 1
— L-5 sin 2пх--[s--Г-:
л 12п2 \2п 4п3
2х» |л 2 ».
Зл |о ~ 3 11 ’
Jt
п
л
2 р
Ьп = — \ х2 sin 2пх dx =
nJ
о
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (1),
получим
Ф (х) = у + cos 2пх— — sin 2пх ) .
п = 1
Разложение справедливо во всей области определения дан-
ной периодической функции—на всей числовой оси, исключая
точки xk = kn, fe = 0, ± 1, ±2, в которых функция раз-
рывна (не определена). В точках разрыва функции полученный
ряд также сходится. Согласно теореме Дирихле, в этих точках
его сумма равна у. У графика данной функции нет точек с
абсциссами xft; график суммы ряда отличается от графика дан-
ной функции наличием точек (xk, у).
3) Функция и нечетная (черт. 205). Поэтому коэффициенты
ап = 0, а Ьп вычисляем по формуле (4):
л л
= C0ST sinnxdx\=y J^sin (п-Ь
о о
” ( , 1 \ ( и
COS I п +-К- ] X COS I п 7) \ X
«+4
. . ( 1 \ 1 ,
x+sin ( п-2 ) Xldx =
8п
2
л
1°
|я л (2n— 1) (2«+ 1) *
П~ 2
— 577 —
Следовательно,
х _ 8 fsinx . 2sin2x . 3sin3x . , nsinnx . "I
C0S 2 “ л [ 1-3 *" 3-5 + 5-7 + ••••+(2n —1)(2« + 1)+ " ' J’
Полученное разложение данной функции справедливо во
всей ее области непрерывности—при всех значениях х, кроме
У,
Черт. 205
значений xk=2nk, k = 0, ±1, ±2, которые являются
точками разрыва функции. В точках хк по теореме Дирихле
сумма полученного ряда равна нулю. Это же очевидно потому,
что в этих точках все члены ряда обращаются в нуль. Графики
суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсцис-
сами xk. У графика данной функции ординаты этих точек рав-
ны — 1, а у графика суммы ряда они равны 0.
1042. Разложить данную функцию в указанном интервале в
неполные ряды Фурье, содержащие только косинусы или толь-
ко синусы:
,. . . ( 0,3 при 0<х<0,5
_03 при 0,5<х<1.
2) y = xcosx в интервале от 0 до л. Пользуясь полученным
4- QO
4^2
разложением, найти сумму ряда / . /льг_ па-
й = о
Решение. 1) а. Чтобы получить разложение данной функ-
ции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжаем
ее на соседний слева интервал (—1; 0] четным образом (черт.
206, а).
Тогда bn = Q, а по формуле (3), подставляя /=1, ф(х) = 0,3
в интервале (0; 0,5) и ф(х)=—0,3 в интервале (0,5; 1), найдем
1 /0»5 1 \
2 Р / р р \
= у \ ф(x)cosnn; xdx — 2( \ 0,3cos nnxdx— i 0,3cosnnxdx ) =
О ' О 0.5 '
п „ /sin плх I».» sinnnxli \ 1,2 . пл
\ пл |о пл [о,5) пл 2
Если п четное, то ап — 0.
Если п нечетное, n = 2k—1, А=1, 2, 3, ... , то
а — 1,2 sin ( hr,___5Д _ (_n*-i.....1,2..
“п-(2й—1)лs n V 2 / ' (2fe—1)л‘
— 378 —
При п = 0 по формуле (3) найдем
(0,5
§
о
1 \
0,3dx— J 0,3dx j = 0.
0,5 /
Следовательно, искомое разложение данной функции в не-
полный ряд Фурье, содержащий только косинусы, таково:
. . 1,2 Feos лх cos Злх . созблх
------—+-5~
Оно справедливо во всей
области определения данной
функции. В интервале (0; 1)
график суммы полученного ряда
отличается от графика дан-
ной функции наличием точки
(0,5; 0).
б. Для разложения данной
функции в ряд Фурье, содержа-
щий только синусы, продолжа-
ем ее на соседний слева интер-
вал (—1; 0] нечетным образом
(черт. 206, б).
Тогда ап = 0, а по формуле (4)
fe-icos (2fe —1) пх
2k — 1
-1
-1
I
-да|
।
S)
ОД
0,5 1
\0,5 1
о--------!--------Г
Черт. 206
... + (-1)
У
о
У
= 0,6
1 ,0.5 1
JФ (х) sin nnxdx = 2( J 0,3 sin п nxdx—J 0,3 sin nnxdx
О X 0 0.5
cosnnxll СОЗПЛХ|0,5\ 0,6/ „ пл , . \
--------=— cos пл—2 cos -= 4-1 .
0,5 ПЛ 0 / пл \ 2 1 )
пл
Если n нечетное, то 6„ = 0.
T- nt. i. 0,6(1—cos fen)
Если n четное, n = 2k, to &2A = "' ------•
При четном k получим 6n = 0, при нечетном k = 2tn—1
= n = 2k = 2{2m—1), m= 1, 2, 3, ...
n (2m—1)л ' ” ’
Искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье,
содержащий только синусы, имеет вид
. . 1,2Г51п2лх , sin блх , sin Юлх
ф(х)=— —Г- + -з- + ^—
sin 2 (2m—1) лх
2m —1
Оно справедливо во всей области определения функции ф (х).
— 379 —
2) а. Продолжив данную функцию четным образом (черт. 207,а),
имеем: bn — Q,
Л л
2 0 1 С
ап = — 1 х cosхcos пх dx = — \ x[cos (n+ l)x + cos(n—l)x]dx =
о о
Ps‘n (n+ П * । sin (n — 1) | я psin (n + 1) x । sin (n—l)xjI _
л
ti—Л
о )
1 f'cos(n + 1)X COS (П—1)х1|Я 1 Гсоз (П + 1) Л—1 I cos (n—1)л—IT
“я[ (n+1)2 + (n — l)2 ]|о“л[ (”+l)2 4 (n—I)2 ]•
Если n четное, n = 2k, to cos(n±l)n =—1 и
a _____________________4(4^2+1)
n л(4&2—I)2’
Если n нечетное, то соз(п±1)л=1 и а„ — 0, п=£1.
Коэффициент а± вычисляем отдельно, полагая и=1 в фор-
муле (3):
л
л
о
/ я
X ~ "n \ J X +
\o
я
о
2
о '
xsin 2х , cos 2х\ I п л
4 J I о“ 2" ’
образом, получаем
разложение данной
неполный ряд Фурье,
П- 2 -Т
Таким
следующее
функции в
содержащий только косинусы,
2 . л
xcosx =-----Ь-к-cosx—
л 2
S (5~r^cos 2kx>
Подставляя в полученное разложение х = 0, имеем:
„л 2 4 V 4<!J+1 V* 4fe2 +1 л2 . 1
° ~ 2~~л~ n 2й(4*2—l)a ’ откуда следует — g~ + у •
— 330 —
б. Продолжив данную функцию нечетным образом (черт. 207,6),
имеем ап = 0,
Л л
2 С 1 Р
Ьп = — \ хcosx sin nxdx — — \ х [sin («+ 1) х-|- sin (n— 1) х] dx =
о о
[cos («4~ 1) X , cos («—l)x] I о
«4~1 ‘ n—1 J | Я '
я
, f* [~cos (n-j-l)x I cos (n—l)x
' j «4-1 ' n—1
0
£
Л
cos («4-1) л . cos(« —1) л] | 2«
«4-1 T ](~v «2 — 1 ’ "
Коэффициент bt вычисляем отдельно:
Л л
2 г ip 1
b, = — \ х cos х sin x dx — — \ x sin 2x dx = — -=.
я J я J 2
° о
Следовательно,
+ 00
sin JC I л / 4 \ и Tl > a
x cos x =--g-+ 2 (— 1) sin nx; 0<х<л,
П = 2
Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном ин-
тервале:
1043. /(х) = л —х; (0, 2л). 1044. ф(х) = xsinx; [ — л, л).
I 0 ПРИ —3<xss0
1045 и х
' у I х при 0<х<3; пользуясь полученным разло-
жением, найти сумму ряда 1 4-I4-I4-... +(2п11)2 +•••
Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:
1046. / (х) = j х | при —1<х^1; / (х) = /(х-{-2),
5
1047. <р (х) = sin -g-х при —л<х<л; <р (х) = ф (х-[-2л),
1048. у(х)=ех при —2<х<2; у(х) =у(х + 4),
1049. ц = х(л—х) при 0^х<л; и (х) = и (х + л)
и построить графики каждой данной функции и суммы ее ряда
Фурье.
Разложить данную функцию в указанном интервале в непол-
ный ряд Фурье, содержащий только косинусы.
1050. f (x) = cosx, О, у I , пользуясь полученным разложе-
— 381 —
нием, найти сумму ряда
“ ЬЗ + ЗТ5“5Т7+-•••+(— 1)* (2Л—1)(2Л + 1) + ’ ‘ ’
1051. ,W-| >"₽и »<''«=>
( 0 при 1<х^л; пользуясь полученным раз-
+ со + со
V \ Ч Sin Tl у- 1 кгг Sin п
ложением, наити сумму ряда: а) X------, б) > (—I)-------.
Л=1 Л=1
1052. Разложить функцию у=Л в интервале (0, /) в непол-
ный ряд Фурье, содержащий только синусы.
1053. Разложить в неполные ряды Фурье: а) по косинусам
и б) по синусам функцию
, . ( х при 0^х< 1
tW— I 2—х при ls^x«^2.
§ 8. Интеграл Фурье
Если функция f (х) абсолютно интегрируема на всей числовой
+ со
оси, т. е. если интеграл | f (х) |dx сходится, и если она удовле-
— 00
творяет условиям Дирихпе на любом конечном интервале, то ее
можно представить интегралом Фурье-.
+ 00
f (х) = J [Л cos ах + В sin ах] da, (1)
о
+ ао + со
где А (а) — J f (0 cos at dt, B(a) = ^ f(f) sin at dt.
— Л — 00
Эта интегральная формула Фурье получается из ряда Фурье
для функции /(х) в интервале (—I, I) при I— *+со.
Интеграл Фурье функции /(х) сходится к этой функции
всюду, кроме, быть может, точек разрыва хк, где (как и ряд
Фурье) он дает значение, равное
-И lim f(x)+ lim f(x) 1 .
— 0 X->X),+ 0
В отличие от ряда Фурье, который дает разложение функ-
ции на гармонические колебания с дискретно меняющейся часто-
той п=1, 2, 3, ... , интеграл Фурье дает разложение
функции на гармонические колебания с непрерывно меняющейся
от 0 до Ч-оо частотой а.
— 382 —
Для четной или нечетной функции интеграл Фурье упрощается:
Если f(— x) = f(x), то
+ со + со
f (х) = ~ § cos ах da J f (t) cos at dt. (2)
0 0
Если f(—x) =— f(x), to
+ 00 + »
f (x) = — C sin ax da C f (0 sin at dt. (3)
JT
о 0
Если функция f(x) задана только в интервале [0, + оо), то,
по-разному продолжая ее в соседний слева интервал (—оо, 0),
можно затем представить ее различными интегралами Фурье.
Обычно такую функцию представляют интегралом Фурье или по
формуле (2) или по формуле (3); по формуле (2) при четном,
а по формуле (3) при нечетном продолжении этой функции
в интервал (—оо, 0).
С помощью формул Эйлера (§ 6) из формулы (1) получается
комплексная форма интеграла Фурье:
+ 00 + во
/ (х) - J e'Ux da J f (О dt.
—сп — 00
(4)
1054. Данную функцию представить в виде интеграла Фурье:
1) Ф (*) = {
— ех при х«^0
е~х при х>0.
2) р(х)= •
О при х<0
2 при 0<х<3
1 при х = 3
О при х>3.
3) q(x) =
ПХ при 0=CXsCl
О при х> 1.
Решение. 1) Данная функция нечетная (черт. 208). Поэтому
согласно формуле (3)
+ 00 * + СО
Ф (х) = — С sin ax da С е~* sin at dt.
JT J ./м—шмма
о о —" "j*
y*-9*
Внутренний интеграл / вычисля-
ем отдельно по формуле интегриро-
вания по частям (см. задачу 484): Че₽т- 208
₽ .
I = lim sin at dt = ^:i<s'rla/+aco?a<)
0->+®J l+aa
0
t = 0
a
~"l+a»
r=3
— 383 —
Следовательно,
+ сс
. . 2 Р a sin ах da , п
о
Здесь х^=0, ибо при х = 0 полученный интеграл Фурье ра-
вен не <р(0) = — 1, а нулю—полусумме пределов данной функции
при х—►—0 и при х—>4-0.
2) Функция р(х) определена только в интервале (0, + оо).
Поэтому ее можно представить различными интегралами Фурье.
При четном продолжении данной функции в интервал
(—оо, 0] по формуле (2) получим:
+ оо 3 +сс
W2 р „ . Со__ . л 4 f cosax sin 3a da
= — \ cos ax da \ 2 cos atdt — — i -.
nJ J nJ a
оо о
При нечетном продолжении данной функции в интервал
(—оо, 0] по формуле (3) получим:
4-05 3 + со
. . 2f. . Рп . . 4р (1—cos 3a) sin ax da
р (х) = — \ sin ах da \ 2 sin at dt = — \ -
' nJ J nJ a
оо о
Оба полученных интеграла Фурье представляют данную функ-
цию во всей области ее определения, включая и точку х = 3,
в которой функция разрывна, ибо в этой точке значение каж-
дого из полученных интегралов:
и значение данной функции р (3) = 1 —одинаковы.
3) Применяем формулу (1), вычисляем коэффициенты А и В:
+ 00
Л(а)=-^ С <7(0cosafd/ = ^
— 00
“О 1
О • cos at dt + л J t cos at dt +
--оо 0
+ ®
+ J O«cosa/df
i
__t sin at , cos at I *=i a sin a-|-cosa — 1 ,
a ‘ a2 I <=o ~ a2 ’
+ oo 1
. Ip .... . ... p, . ... sina—acosa
B(a)=—\ q(t) sin at dt = j t sin at dt -------
— 00 0
Подставляя в формулу (1), получим
+ a>
(a sin a + cos a— 1) cos ax 4- (sin a — a cos a) sin ax
a2
о
— 384 —
Это равенство справедливо, т. е. полученный интеграл сходится
к функции q (х), на всей числовой оси, кроме точки х = 1, в кото-
рой эта функция разрывна. В точке х=1 интеграл равен ,
ж
тогда как <?(1) = л.
Решение будет короче, если воспользоваться комплексной
формой (4) интеграла Фурье:
+ 00 +00 +00 1
q(x) = ~ С е~‘*х da f q (t) dt = 4- C e~ia* da C teiat dt =•
v t) "J V
— 00
+ a>
_ 1 P (te‘at
~ 2 J V /a
— 00
eiat
z2a2
е~,л* da =-4 C ————Je“Zaxda.
2 J a2
Разумеется, это представление данной функции интегралом
Фурье в комплексной форме и полученное выше представление ее
интегралом Фурье в обычной форме отличаются только по форме и
могут быть преобразованы одно в другое с помощью формул Эйлера.
Построить графики данных функций и представить их ин-
тегралами Фурье:
sinx при |х|<л г = / cosx при 0< лл
1055.
1057.
a =
1— x при 0<х<1 Ю58. o=
О при xsgO
: sin хприО<х<;я
13 № 3201
ГЛ A ВАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Главная цель инженера-исследователя, изучающего какой-
либо физический или технический процесс, заключается в вы-
явлении его закономерности, в получении аналитического
выражения функциональной зависимости между переменными
параметрами этого процесса.
Большинство таких задач на отыскание связи между перемен-
ными сводится к решению уравнений, содержащих производные
или дифференциалы неизвестных функций.
Огромное значение этих задач как для практики, так и
в теории обусловливает особо важное значение этого раздела
математического анализа.
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок,
общий и частные интегралы
Дифференциальным, уравнением, называется равенство, содер-
жащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргу-
мента, то дифференциальное уравнение называется обыкно-
венным, а если она зависит от нескольких аргументов и
дифференциальное уравнение содержит ее частные производные
по этим аргументам, то оно называется уравнением с част-
ными производными. Уравнения с частными производ-
ными рассматриваются лишь в последнем параграфе этой
главы, а все остальное ее содержание посвящено обыкновенным
дифференциальным уравнениям.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Так, уравнение tf-\-4xy'—x3z/2 = 0—второго порядка,
d3s , , ds -
di3 — s di~^—третьего порядка,
z/'4-z/e* = tg3x—первого порядка.
— 386 —
Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению,
т. е. обращающая его в тождество, называется интегралом (или
решением) этого уравнения.
Например, функция у — 2х является интегралом уравнения
xzy"—2ху' 4~2г/ = 0, ибо, найдя производные этой функции у’=
=2, у" —О и подставляя в данное уравнение у, у’, у", получим
тождество: —4%4-4х==0.
Интеграл дифференциального уравнения называется общим,
если он содержит столько независимых произвольных постоян-
ных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего
интеграла при различных числовых значениях произвольных по-
стоянных, называются частными интегралами этого уравнения.
Так, функция у = с-^ + С2, удовлетворяющая уравнению 2-го
порядка xt/"4-2y'= 0 (в чем можно убедиться путем подстановки)
и содержащая две произвольных постоянных Ct и С2, является
общим интегралом этого уравнения, а функции У==—, у—
= —— 4- 5, у~—1 (получающиеся из общего интеграла при
различных значениях Сх и С2) являются его частными ин-
тегралами.
Геометрически каждому частному интегралу дифференциаль-
ного уравнения соответствует плоская линия, его график, кото-
рая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему
интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интег-
ральных кривых.
Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения
n-го порядка (п=1, 2, 3, ...), удовлетворяющего п началь-
ным условиям вида
У(х0) = у0‘, у'(х0)=у0; у" (х0) = у"а; у'п~" (х0) =у(9п~1},
называется задачей Коши.
В указанных п начальных условиях Коши задаются значения
функции у и ее производных у', у",..., уп~х при некотором
заданном значении аргумента х = х0. По этим п начальным
условиям определяются значения всех п произвольных по-
стоянных Су, С2, ..., С„, входящих в общий интеграл уравнения
n-го порядка.
1059. Проверить, что данная функция является интегралом
(решением)^ данного дифференциального уравнения:
1) z/ = Vr3F, 2уу'=\.
2) Inxlny — с, yin ydx-^xkixdy — 0.
л. 1 • съл d?s । . , ds • nj.
3) s sin 2/, ^-24-tg/ ^=sin2t
13*
— 387 —
Решение. 1) Найдем производную данной функ-
ции у' — у . Подставив в данное уравнение y = Y х и у' =
~2}^х ’ убедимся’ что оно вращается в тождество: 2у х х
х—U=-=l; 1 = 1.
2 f х
dx
2) Дифференцируем данную неявную функцию: Inz/— +
4- In Ху — 0 и находим dy =—dx. Подставляя это выра-
жение dy в данное уравнение, получим тождество: y\nydx- +
4- х 1п х ( —dx} — 0; 0 = 0.
1 V х In X j
ds
3) Дважды дифференцируя данную функцию, найдем —
d2s
=—1—cos2/, — 2 sin 2t. Подставив эти выражения для первой
и второй производных в данное уравнение: 2sin2/ + (—1 —
— cos 2/) tg t = sin 2t\ sin 2/ — 2cos4tgf = 0; sin 2/ —
— 2cos^sinf = 0; 0 = 0 убеждаемся, что оно удовлетворяется,
т. е. обращается в тождество.
1060. Зная общий интеграл 4x2 + t/2 = C2 некоторого диффе-
ренциального уравнения 1-го порядка, найти и построить его
Черт. 209
S2, Вя, строим ЭТИ
интегральные кривые (частные интегралы),
проходящие через точки В1 (—1; 0),
В2(0;-3) и В3 (2; 0).
Решение. Общий интеграл F (х, у, С) =
=0 уравнения 1-го порядка /(х, у, у') = ®
геометрически определяет семейство интег-
ральных кривых, зависящее от одного пара-
метра С. Подставляя в общий интеграл
координаты какой-либо точки Р, найдем
значение С, при котором из общего интег-
рала получается уравнение интегральной
кривой, проходящей через точку Р.
Для точки В,: 4 = С2; 4х2 + у2 = 4.
Для точки В2: 9 = С2; 4х2 + уг = 9.
Для точки В3: 16 = С2; 4x24~z/2= 16.
По найденным уравнениям интеграль-
ных кривых, проходящих через точки В{,
кривые (черт. 209). Они представляют кон-
центрические эллипсы, оси которых расположены на осях коор-
динат.
Проверить, что данная функция является интегралом дан-
ного уравнения:
1061. г/ = Сй"2Х; / + 2^ = 0.
— Ж —
1062. у — CjX + CjX2; х2у"—2х«/'4-2t/= 0.
1063. х2-\-2ху = С\ (х +y)dx-{-xdy = Q.
1064. s^t^nt + C^ + C^ + Cs, ^- = 2.
1065*. у-х+С1\пу = С2; УУ''-(у'У + (у'У = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение первого порядка Р(х, y)dx-^Q(x, y)dy = O назы-
вается уравнением с разделяющимися переменными, если функ-
ции Р и Q разлагаются на множители, зависящие каждый
только от одной переменной:
Л (x)f2(y)dx + <f1 (x)q2(y)dy = V. (*)
В таком уравнении путем деления его членов на /2 0/) • Ф1 (х)
переменные разделяются:
h^dx+^Ldy = Q,
ffi(x) п /2(ю *
После разделения переменных, когда каждый член уравне-
ния будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл
уравнения находится почленным интегрированием:
С dx + f TTXdy = С. *
1066. Найти общие интегралы следующих уравнений:
1) (х+ l)sdy-~ (у—2)2dx = 0. 2) sec2 х sec у dx = — ctgx sin ydy.
3) (Vxy + W)/-i/ = 0. 4) 2^ + 3x-2^' = 0.
Решение. 1) Разделим переменные в данном уравнении,
деля обе его части на (х-|- I)3 (у — 2)2:
dy dx _ л
(К-2)2 (%+1)з и-
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
J(y-2)-2d(t/-2)-$ (х+ l)~8d(x+ 1) = С;
__________!__ = С
у-2^2(х+1У G-
2) Для разделения переменных делим все члены уравнения
на sec у etg х:
sec2 х tg х dx + sin у cos ydy = O.
Интегрируя, получим
j" tgxdtg х+J sin yd sinz/ = c; у tg2x-|-y sin2t/ = yC;
tg2x + sin2y = C.
* Если ф1(х1) = 0 (или /2 (f/i) = 0)> то x=xi G/ = </i) также будет интегра-
лом уравнения (*), который может быть потерян при разделении перемен-
ных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.
— 389 —
3) Выразим производную через дифференциалы переменных:
у' = , умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф-
фициент при dy на множители:
(V у+ l)V"x dy—ydx = 0.
Далее разделяем переменные:
У 4" I , 1 j л
—^-2— dy-----„=. dx = О
у V х
и, интегрируя, находим общий интеграл
j(/T + |)d^-jx“Tdx = C; 2К7 + 1п|у|-2]/Г = С.
4) Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф-
фициенты при dx и dy на множители:
2x2ydx+3x3~2ydy = O.
Разделяем переменные, умножая на 2~у З-*:
2Х3~Х dx-^-3~2y2"ydy = Q,
и интегрируем:
(—V
" 3
1067. Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий
указанному начальному условию:
1) уdx+ctgхdy = 0; = — 1.
2) s = s'cos2 Hn s', s(n)=l.
Решение. 1) Разделяя переменные и интегрируя, находим
сначала общий интеграл данного уравнения:
tgxdx4-p = 0; —In| cosx14-In |у| = InC;
| у | = C | cos x t/ = ±Ccosx = C1cosx.
Затем, используя указанное начальное условие ^40——1,
подставляем в общий интеграл заданные значения переменных
f 31 1 \
х= —, у = —l и определяем соответствующее значение про-
\ о /
извольной постоянной: —l=C1cos4j-; С,=— 2.
О
— 390 —
При этом значении С, из общего интеграла получаем иско-
мый частный интеграл, удовлетворяющий заданному начальному
условию, у =— 2cosx.
2) Умножая на ~^dt, разделяем переменные sec2 tdi —
= '—ds и, интегрируя, находим общий интеграл
Jd(tg/) = y lnsdlns-|-Cj tg/ = -i-ln2s + C.
Подставляя начальные значения / = л, s=l, определяем
значение С:
tg« = A-ln 1 +Q С = 0.
Следовательно, искомый частный интеграл ln2s—2tg/ = 0.
Решить следующие дифференциальные уравнения (найти их
общие интегралы):
1068. (y-^-xy)dx-{-(x — xy)dy = 0.
1070. sin a cos pda = cos a sin Р dp.
1072. 3ex sin у dx = (еж—1) sec у dy.
1069. yy'-$-x= 1.
1071. 1 + (1 +/)^==0.
1073*. x3(2yy' — 1)= 1.
Найти частные интегралы следующих уравнений при ука-
занных начальных условиях:
1074. t/24-x2t/' = 0; у(— 1)= 1. 1075. 2(1 +ех)уу' = ех\
t/(0) = 0. 1076. (1 -|- х2) у3 dx—(у3—l)x3dt/ = 0; t/(l) =—1.
§ 3. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка y' = f(x, у) называется однород-
ным, если f(x, у) можно представить как функцию только
одного отношения переменных /(х, t/)==<p^j0, т. е. уравнение
вида у •
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяю-
щимися переменными, а следовательно, и решается посредством
замены функции у (или х) новой функцией и по формуле
у—-их (или х = иу).
1077. Проинтегрировать следующие уравнения:
1) (x2 + l/2)dx—2xydy = Q; 2) у — ху'= у In ;
3) xdy—ydx = ydy при условии у(—1)=1.
— 391 —
Решение. 1) Разрешая данное уравнение относительно
производной
/ у Ха
_ Х* + Уг _ 1 + „ ( У_\
dx У 2ху ^у_ ^\х)'
х
устанавливаем, что она является функцией только отношения
переменных у, т. е. устанавливаем, что данное уравнение
является однородным.
Далее вводим новую функцию и, полагая у—'их} при этом
d/у . du
— и после подстановки данное уравнение преобра-
зуется в уравнение с разделяющимися переменными
.du 1 + и2 , 1 — и2 ,
и + х^- — ~— или xd« = -75—dx.
1 dx 2и 2и
Разделим переменные: и, интегрируя, найдем
— 1п 11—u2| = ln|x|—1пС или х(1 —-и2) = ±С = С1.
Исключая вспомогательную функцию и оконча-
тельно получим у2 — х2—Схх.
2) Вначале устанавливаем, что данное уравнение —однородное:
/ = 2(1_1п£\=2(1 + 1п^=фМ,
затем заменяем функцию у. Полагая у = их, получим уравнение
с разделяющимися переменными
du ziii \ du ,
и 4-х^- = и (1 + In и) ИЛИ Xfa=ulnu.
Умножая обе его части на х~^~» разделим переменные
du _________________________dx
и In и х
и интегрируем:
С^ + 1пС; ln|lnu| = ln|x| + lnC.
J In и J X 1 ’ 1 1 I I 1
Потенцируя и исключая вспомогательную переменную и,
найдем искомый общий интеграл | In u| = C|x|; u=eCtX’, y = xeCiX.
3) Выяснив, что уравнение однородное:
у
, У X ( У \
!/ — х_у — — ( х )
X
— 392 —
и полагая у —их, получим уравнение
, , a du и*
и-\-хи ------ или х-г = ,---.
1 1 — и dx 1—и
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
lz^L(tu==— —-—ln|u| = ln|x| — С
и2 хи 11 11
или
7 + 1п| хи\ = С.
Возвращаясь к переменной у, находим общий интеграл
х = у(С—In | i/1).
Подставив заданные значения переменных: у=1 при х ——1,
находим, что С = —1.
Следовательно, искомый частный интеграл уравнения будет
х = — у(1 -|-In 11/1).
Решить следующие уравнения:
1078. у—ху' = х-\-уу'. 1079. ydy-\-(x—2y)dx = Q.
1080. у dx-Ь (2]/~ху— x)dy — 0. 1081. y = x (у'— т^еу).
1082. (у2—3x2)dy+ 2xydx — 0, при условии «/(!) = — 2.
1083*. у — ху' = х sec у при условии 1/(1)=л.
§ 4. Линейные уравнения первого порядка
и уравнения Бернулли
Уравнение вида у'+ P(x)y—Q(x), где Р(х) и Q(x) извест-
ные функции от х, линейное (первой степени) относительно
функции у и ее производной у' называется линейным.
Посредством замены функции у произведением двух вспомо-
гательных функций y—uv линейное уравнение сводится к двум
уравнениям с разделяющимися переменными относительно каж-
дой из вспомогательных функций.
Уравнение Бернулли y’ + P(x)y = ynQ(x), отличающееся
от линейного уравнения тем, что в правую часть входит мно-
жителем некоторая степень функции у, решается так же, как
и линейное. Посредством подстановки y = uv оно также сводится
к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
1084. Решить уравнения:
1) у' — z/ctgx = sinx; 2) х2у2у’ + ху3 — 1;
3) У £х.—(3х + 1 + In y)dy = Q при условии у ( —= 1.
— 393 —
Решение: 1) Убедившись, что данное уравнение линейное
Полагаем y=uv; тогда y' — u'v-}-v'u и данное уравнение преоб
разуется к виду
u'v+v'u — uvctgx=sinx или u'v-\-u (v'— vctgx)= sinx.
Так как одну из вспомогательных функций и или v можно
взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный
интеграл уравнения и'—uctgx = 0.
Тогда для отыскания и получим уравнение u'v = sinx.
Решая первое из этих уравнений, найдем о; разделяя пере-
менные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля
частный интеграл:
dv , , « 1
— = ctgxax; lna=lnsinxj v=sinx.
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем ,
как общий интеграл этого уравнения:
и' sin х= sinx; du = dx\ и-х-\-С>
Зная и и v, находим искомую функцию у:
y = uv=(x + C) sin х.
2) Разделив обе части уравнения на x2i/2:
у' + -%=у~2-^ .
убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где Р = х~х, Q = x“2.
Заменяя функцию у по формуле y = uv, имеем у' = u'v-^-v'u,
или
'I ( ' । v \ 1
и v + и{ V Н--= - , а-‘а .
1 \ X J XiUlVi
Отсюда, как и в решении предыдущей задачи, получаем два
уравнения с разделяющимися переменными:
1) и' + 7 = 0 и 2) u'v = ~^ .
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный
интеграл этого уравнения:
dv , dx п А , 1
—— = 0; lno+ nx = 0; vx—1; v — — .
v 1 х 1 х
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим и
как общий интеграл этого уравнения:
7 = ^; “du — xdx\ -3 = 2-+ -3-; “= у 2’Х2+С.
— 394 —
Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения
4/3 , С
= У % +
3) Преобразовав данное уравнение к виду
= йли dx
dy у у ay ' 'V' хг7/’
выясняем, что оно является линейным, если рассматривать х
как функцию от у.
Далее, заменяя функцию х по формуле x — uv, где аир
, dx du . dv „
функции от у, имеем и
du , dv 3uv 14- In у
•%+иъг~1-=-г-
ИЛИ
du , (dv 3v\ 14-In у
f)——
Отсюда для нахождения и и и имеем два уравнения:
1) = 0 и 2) =
’ dy у ’ dy у
Из первого уравнения находим v.
- = in v = 3In#; v = y9.
v у ’ V
Подставляем v во второе уравнение и, решая его, находим ах
y3du = l±lny. du^l±^ydy.
у dy у у*
и=^у-* dy±§ y~l\nydy + C=^±I4-С.
Второй интеграл, обозначенный /, находим отдельно по фор-
муле интегрирования по частям. Полагая ux = ln#, dv1=y~*dy,
du и““$
получим du,— — , v,——.и
у — J
/ = У ux duL — utut § dtii ~ 3y^"J”У У i=
____In у 1_
3y* 9y*
Следовательно, a = — 9^5+ ^.
Умножая и на v, получим общий интеграл данного уравнения:
х=су9—4—41п#.
— 395—
Подставляя сюда заданные значения переменных х —-------
г/= 1, находим значение произвольной постоянной С = ~-.
Следовательно, искомый частный интеграл будет
у3—4 1 ,
Х = ----3 1П/Л
Решить следующие уравнения:
1085. у' — у — ех. 1086. (х2 + 1)у’ + $ху — 3.
1087. cos i/dx = (х + 2 cos #) sin ydy. 1088. у' +у~х]/~~у'.
1089. (1— х)(у' + у) — е~х при условии у(2) = 0.
1090*. ydx-\-2xdy — 2yj/x" sec2ydy при условии у(0)=л.
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
Если в уравнении 1-го порядка Pdx-\-Qdy = 0 коэффициенты
„ Л дР dQ
Р и Q удовлетворяют условию то его левая часть
есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)*. Такое
уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Записав такое уравнение в виде du = Q и найдя первообраз-
ную функцию и(х, у) по правилу, указанному в гл. VII, § 10,
получим общий интеграл этого уравнения, полагая и(х, у)=С.
1091. Решить уравнения:
1) (2y-3)dx+(2x+3y2)dy = 0-
2) (x-f-ln | t/|)dx+f 1 + — -f-sin i/') dy — 0.
Решение. 1) Вначале убеждаемся, что данное уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах:
p;-(2z/-3); = 2; Q; = (2x + 3t/2)L = 2; Py = Qx.
Затем находим неопределенные интегралы:
J Р dx = $ (2у—3)dx = 2xy—3x + <p(i/), считая у постоянной,
J Q dy= J (2х4-3г/2) dy = 2xy + y3 + ty (х), считая х постоянной.
Беря все известные члены из первого результата и дописав
к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго
результата, получим функцию и(х, у) = 2ху—Зх-f-i/3, полным
дифференциалом которой является левая часть данного,/ диф-
ференциального уравнения, а приравняв ее произвольной посто-
янной, получим искомый общий интеграл данного уравнения:
2ху—Зх-\-у3 = С.
* См. гл. VII, § 8.
— 396 —
2) Проверив, что в данном уравнении левая часть есть пол-
ный дифференциал некоторой функции и (х, у):
(x+ln|z/|)^ = y = (1 + —+sini/^ ,
затем находим эту функцию, интегрируя каждый ее частный
дифференциал отдельно:
Р №
u = J (x+ln|i/|)dx = -2- + xln|«/| + (p(«/);
и = +y + sin «/)dt/ = z/4-xln|t/|—созг/ + ф(х).
Далее составляем окончательное выражение функции и (допи-
сываем к известным членам первого выражения недостающие
члены, зависящие только от у, из второго выражения) и, при-
равняв его произвольной постоянной С, находим искомый общий
интеграл 'Данного уравнения:
+ х In | у | + у—cos у = С.
Проверить, что следующие уравнения 1-го порядка суть
уравнения в полных дифференциалах и решить их.
1092. (3x2z/2 + 7) dx-}-2x2ydy = 0.
1093. (еу + уех + 3) dx == (2—хе*'—ex)dy.
1094. sin (х + у) dx + х cos (х + у) (dx dy) = 0.
1095. (2хуеху) dx + (\ + xexy)dy — 0 при условии у(0) = 1.
1096*. ("’-|-"п2*+ \)dx—(^~—x'\dy = 0.
§ 6. Уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
J) Уравнение n-го порядка yin} = f(x) решается по-
следовательным интегрированием.
Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем урав-
нение (п—1)-го порядка: у(П~1) = J f (x)dx + C1 — (p1 (x) + Cv
Снова умножая обе части на dx и интегрируя, получаем
уравнение (п—2)-го-порядка: y,n~2}—^([>1(x)dx-ir^C1dx-)-C2 —
= Ф2(х)Н-С1х+С2 и т. д.
После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл
у этого уравнения в виде явной функции от х и п произволь-
ных постоянных: # ф„ (х) + CjX"-1 + с2х"-2 ф- • • • + Сг
— 397 —
2) Уравнения 2-го порядка: A) f(x, у', у")=0 и
Б) F (у, у’, у") —О, не содержащие явно функции у или аргу-
мента х, преобразуются в уравнения 1-го порядка посредством
подстановки у' = р ^откуда у"~-^—для уравнения А или
—для уравнения .
1097. Решить уравнения:
1) 60х2. 2) (х-3)/ + у' = 0.
3) УУ" — (У')2 = У3, если у(0)= —у, /(0) = 0.
Решение. 1) Умножая обе части данного уравнения 3-го
порядка на dx и затем интегрируя, получаем уравнение 2-го
порядка: у’" dx = QQxz dx; i/" = 20x34-C1.
Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка и
затем искомую функцию—общий интеграл данного уравнения:
y"dx = 20х3 dx + dx; у'= 5х4 + С\х + С2;
у’ dx = (5х4 + С\х + С2) dx; у — х5 + С\ 4- С2х + С3.
2) Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функ-
ции у. Полагая у' = р, получим у" — -^ и после подстановки
данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:
(x-3)g + p = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем y + j^3 = 0;
In | р 14- In (x—31 = In C; |p(x—3) [ = C; p(x—3) = ±C = C1.
Заменяя вспомогательную переменную p через , получим
уравнение (х—3)-^- = ^, решая которое найдем искомый общий
интеграл:
= !/ = С11п|х-3|4-С2.
3) Это неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее
явно аргумента х. Положим у' = р; чогм у" = Р^ н данное
уравнение преобразуется в уравнение 1-го порядка:
dp „ , dp р у2
ур zr—Р—У или —- = — ,
яг dy г я dy у р
которое является уравнением Бернулли, если р рассматривать
как функцию от у.
— 398 —
Заменяя функцию по формуле p = uv, имеем
dv . du uv г/2 dv . (du и \ ya
UT4-V-,------= -Z— ИЛИ Uj—ЬЩ75--------- .
dy 1 dy у uv dy \dy у J uv
Отсюда для нахождения и и v получим два уравнения:
du и п dv и2
-j---= 0 и и-г = — .
dy у dy uv
Из первого уравнения находим и, как его простейший част-
ный интеграл:
——~ = 0; lnu = lnt/; и=у.
и у J J
Подставляя и во второе уравнение, находим о, как его
общий интеграл:
ЧТу*^'' vdv=sdy> -у' = ^ + С’; ^=±/2 (y + Ct).
Зная и и v, находим р = uv — уУ 2 (у Сх).
Заменяя р через получим ура&нение с разделяющимися
переменными
%-±цУ2{у+С,).
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно
определить значение постоянной Clt используя заданные значе-
ния у = — у, / = 0:
О-±1/2(-4-+С1); С,=1.
Подставляя значение Сх в последнее уравнение, разделяя
в нем переменные и интегрируя, найдем
±‘+с’=ЫтГ'-
Для отыскания интеграла / полагаем У2у-{-\=г, тогда
2г/+ 1 =z2, dy = zdz,
Следовательно,
I i-/Vh|
1+ K2t/ + 1
| K2y +1 -1 I
1 -f-1
C2 ± x — In
Наконец, используя заданные значения х = 0, г/ = у, опреде-
ляем значение постоянной (?2 = 1п|—1|=0 и получаем искомый
— 399 —
частный интеграл
1+ + l
Как показано в решении этой задачи, при отыскании част-
ных интегралов уравнений высших порядков (указанных типов)
нет необходимости сначала находить общий интеграл, а лишь
затем определять значения всех постоянных. Можно, и лучше,
определять значение каждой постоянной немедленно после того,
как она появляется в процессе решения.
Решить уравнения:
1098. y"' = eiX.
1100. х(/+1) + / = 0.
1102. у" + ау = Ь.
1099. у" = х sin х.
1101. у" = /1—
1103*. у//"-(//')2 = у4.
В задачах 1104—1106 найти частный интеграл данного урав-
нения, удовлетворяющий указанным начальным условиям:
1104. / = 3х2; z/(0) = 2, /(0)=1.
1105. (у"х—у')у'=х3-, t/(l)=l, i/'(l) = 0.
1106*. 2//(у')3 + / = 0; i/(0) = 0, /(0) = -3.
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами
Линейным однородным уравнением называется уравнение
£/<"> 4- Ply<"-v + р2у^ + ... + рп_,у' + рпу = 0, ( 1)
все члены которого первой степени относительно функции и ее
производных, а коэффициенты р2, р2, ...,Рп—известные функ-
ции от аргумента х или постоянные.
Общий интеграл линейного однородного уравнения п-го порядка
(1) имеет вид
У — С1У1. + С2у2 4- ... + С„уп,
где У1, у2,‘--,уп—линейно независимые частные интегралы
этого уравнения.
Если все коэффициенты р{ линейного однородного уравне-
ния (1) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью
характеристического уравнения
r”4-p1r"-14-p2r""24- • • •+Рп_1г+ рп = 0, (2)
которое получается из этого уравнения, если сохраняя в нем
все коэффициенты ph заменить функцию у единицей, а все ее
производные соответствующими степенями г. При этом:
1) если все корни гх, г2, ..., гп характеристического урав-
нения (2) действительны и различны (однократны), то общий
— 400 —
интеграл уравнения (1) выражается формулой
у = + С2е^ + . •. + Cnev, (3)
2) если характеристическое уравнение имеет пару однократ-
ных комплексных сопряженных корней r1)2 —a±|3i, то в фор-
муле (3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым
елХ (Сг cos |3х 4- С2 sin Рх);
3) если действительный корень гг уравнения (2) имеет крат-
ность k(rl = r2 = ... =rk), то соответствующие k членов в фор-
муле (3) заменяются слагаемым
ег'х (Сх 4- С2х 4- С3х* 4- • • • 4- С***-1);
4) если пара комплексных сопряженных корней r]i2 = a±Pi
уравнения (2) имеет кратность k, то соответствующие k пар
членов в формуле (3) заменяются слагаемым
[(Сг 4- С2х4-... 4- С\х*~*) cos 0х4-
4*(Cft+i 4*Cft+2x4* • • • 4-C2ftx*-1) sin 0х].
1107. Решить уравнения:
1) у"-5у'-6у = 0; 2) у’" - бу" 4- 13у' = 0;
3) 4)g-<,-0;
5) у<4> 4- 13у<2) 4- 36у = 0; 6) у’7» 4- 2у,б> 4- У(3) = 0.
Решение. 1) Заменяя в данном дифференциальном уравне-
нии функцию у единицей, а ее производные соответствующими
степенями г, напишем его характеристическое уравнение: г2—
— 5г—6 = 0.
Корни этого уравнения гг = 6, г2 =—1 действительны и раз-
личны. Поэтому, согласно правилу 1, искомый общий интеграл
данного уравнения будет у = С1еъх -]-С2е~х.
2) По указанному правилу составляем характеристическое
уравнение: г3—6г2 4-13г = 0. Оно имеет один действительный
однократный корень гх = 0 и пару комплексных сопряженных
корней r2>3 = 3±2i. Согласно правилам 1 и 2 общий интеграл
данного уравнения y = Cx4-e3*(C2cos2x4-C3sm 2х).
3) Написав характеристическое уравнение г2 4-4г 4- 4 = 0,
находим, что оно имеет равные действительные корни гх =
= г2 = —2. Согласно правилу 3, общий интеграл данного урав-
нения S=^e~2i(CL + C2t).
4) Характеристическое уравнение г* — 1 — 0 данного диффе-
ренциального уравнения у<4)—у = 0 имеет корни гг = — 1, г2=1,
r3i4=±i. Поэтому, согласно правилам 1 и 2, искомый общий
интеграл у = С1е~х 4- С2ех4- С3 cos х4- sin х.
5) Дифференциальному уравнению yt4) 4-13yl2) 4-36у = 0 соот-
ветствует характеристическое уравнение г44- 13г2 4- 36 = 0 или
— 401 —
(г2 4-4) (г2 4-9) = 0. Оно имеет две пары мнимых сопряженных
корней г1,2 = ± 2г, r3i4 = ± Зг. Согласно правилу 2, общий инте-
грал данного уравнения y = Cl cos 2х4-С2 sin 2х 4-С3 cos Зх 4-
4~ Ct sin Зх.
6) Дифференциальному уравнению у<7) 4- 2у<8) 4- yl3i = 0 соот-
ветствует характеристическое уравнение г7 4-2г® 4-г3 = 0 или
г3 (т24-1)2 = 0. Оно имеет трехкратный действительный корень
г = 0(г1 =г2 = г3 = 0) и пару двукратных мнимых сопряженных
корней г — 4; i (г4 = г9 = I, гв = г7 — — i). Согласно правилам 3 и 4,
общий интеграл этого уравнения г/ = С14-С2х4-С9х24-(С44-
4- С5х) cos х 4- (С9 4- С7х) sin х.
1108. Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий
указанным начальным условиям:
1) /4-4/4-5^ = 0; f/(0) = -3, /(0)=0.
2) /"4-3/4-3/4-0 = 0; у(0) = -1, /(0) = 2, /(0) = 3.
Решение. 1) Вначале находим общий интеграл данного
уравнения. Его характеристическое уравнение г2 4-4г 4-5 = 0
имеет корни г112 =—2 ± i. Поэтому, согласно правилу 2, общий
интеграл у = е~гх{С1 cosx4-C2 sin х).
Далее, используя начальные условия, определяем значения
постоянных С\ и С2. Подставляя в общий интеграл заданные
значения х = 0, у — —3 (первое начальное условие), получим
—3 — е° (С, cos 0 4- С„ sin 0) или —3 = С(.
Дифференцируя общий интеграл (как произведение)
у' = е~2* [ (С2—2С\) cos х—(С4 4- 2С2) sin х]
и подставляя в результат заданные значения х = 0, у' — О
(второе начальное условие), получим второе уравнение с неиз-
вестными Ci и С2:
0 = g0[(C2 —2C4)cosO—(С4 4-2С2) sin 0] или С2 —2С4 = 0.
Решая полученные уравнения, как систему, найдем, С4=—3,
С, = -6.
Подставляя значения С4 и С2 в общий интеграл, получим
искомый частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий
данным начальным условиям: у — —Зе-2*(cosx4-2sinх).
2) Характеристическое уравнение г3 + Зг2 4-Зг4-1 = 0 или
(г4- 1)3 = 0 данного дифференциального уравнения имеет трех-
кратный действительный корень г =—1 (f1 = r2 = r3 — —1).
Согласно правилу 3, общий интеграл есть у = е~х (Сг + С2х 4- СуХ2).
Дважды дифференцируя его
у' = е~х [С2—С4 4- (2С3—С2) х—С3х2];
у" = е~х [Сг ~2Сг 4- 2С3 4- (С2-4С3) х4-С3х2]
— 402 —
и подставляя в выражения для у, у’ и у" заданные их значе-
ния при х = 0, получим для определения постоянных С}, С2, С3
систему из трех уравнений:—1=Сг; 2=С2—Cf, 3=СГ—2С24-2С3,
откуда найдем С?! — —1; С2=1; С8 = 3. Следовательно, искомый
частный интеграл у — е~х (Зх2х—1).
Решить уравнения:
1109. у”—51/'4-бу = 0. 1110. у'"—4у"4-Зу' = 0.
1111. Й4-6 ^4-25^=0. ах3 1 ах2 ‘ ах ilia -4-5— — 0 11d/з । 6dta U.
1113. у'"-Зу’4-Зу'-у = 0. 1114. у,4>—8у<2)—9у = 0.
1115. -Я-4-20-^-4-25у = 0. dx4 1 ах2 1 1И6*. >-3^ + 4* = °‘
1117. у”—у —О, если i/(0) = 0, у'(0)=1.
1118. у" 4- 2у' + 2у = 0, если у (0) = 1, у' (0) = 1.
Ш9*. $’ + 2а4ф' + а2р = 0’ если Р(°) = а’ Р'(°) = °-
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение
первой степени относительно функции и ее производных
Р<"> + Р1Р<""1) + Р2Р<"_2) + ••• + рп-1У' + рпУ=Ч(х), (1>
отличающиеся от линейного однородного уравнения наличием
в правой части некоторой известной функции q от независимой
переменной х.
Общий, интеграл у линейного неоднородного уравнения равен
сумме какого-либо его частного интеграла yt и общего интеграла
и соответствующего однородного уравнения (получающегося из
неоднородного при q = 0).
Согласно этому свойству, для решения линейного неоднород-
ного уравнения (1) с постоянными коэффициентами р; вначале
находится функция и (по правилам § 7), затем функция yt.
Их сумма и дает общий интеграл у неоднородного уравнения:
y = u4-yt.
Для некоторых специальных видов функции q(x) частный
интеграл уг можно найти методом неопределенных коэффициентов.
По виду правой части q (х) можно заранее указать вид частного
интеграла где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и
затем найти его без всяких квадратур в следующих простейших
случаях:
1) q(x) — emxP(x), где Р (х) — многочлен, *
2) q (х) = еах (At cos bx + Л2 sin bx),
3) q (x) есть сумма указанных функций.
* В частности, если т — 0, то q (х)— многочлен, а если Р(х)есгь посто-
янная с (многочлен нулевой степени), то q (х)— показательная функция сеЛх.
— 403 —
В этих случаях уг есть функция, подобная q(x), т. е. отли-
чается от q(x) только числовыми коэффициентами.
Но если число т (для случая 1) или числа а ± Ы (для
случая 2) являютсй корнями характеристического уравнения
кратности k, то yt отличается от q(x) множителем хк.
Таким образом, для указанных видов правой части q(x), зная
заранее вид функции yt и написав ее выражение с неопределен-
ными буквенными коэффициентами по указанному правилу, затем
находим их, подставляя yt в данное неоднородное уравнение
и сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства.
В общем случае, при любой функции q (х) частный интеграл ук
уравнения (1) можно найти посредством п квадратур (интеграций)
по формуле
^ge-o<xdx)dx...Jdx}dx, (*)
где г\, г2, ..., г„—корни характеристического уравнения.*
Из этой общей формулы вытекают и правила нахождения
частного интеграла у, для указанных специальных видов функ-
ции q(x).
При и = 2, т. е. для уравнения второго порядка,
= er~x J х ( J qe-r*xdx} dx. (2)
Для уравнения третьего порядка (и = 3)
У1 = ег>х х [ J х ( J qe~r*xdx) dx] dx. (3)
Пользуясь этими формулами, полезно иногда выражать три-
гонометрические функции через показательные по формулам
Эйлера (гл. IX, § 6).
1120. Решить уравнения:
1) у"4-6у'4-5у = 25х2—-2; 2) у"—2у'+ 10y = 37cos3x;
3) у"—6у'4-9у = 3х—8ех; 4) у'" + 4у' = 8е2*4-5е* sin х.
Решение. 1) Вначале находим общий интеграл и однород-
ного уравнения у1' 4-бу'4-5у = 0, соответствующего данному неод-
нородному уравнению. Его характеристическое уравнение г2 4-
4-бг4-5 = 0 имеет корни гг =— 5, г2 =—1. Поэтому (согласно
правилу 1, § 7) и =C1e~Sx + С.,е~х.
Далее находим частный интеграл yt данного неоднородного
уравнения. Для правой части данного уравнения у(х) = 25х2—2,
* Если в формуле («) после каждой интеграции прибавлять произвольную
постоянную С,-, « = 1, 2, ...,и, то получится не частный интеграл уъ а
общий интеграл у уравнения (1).
— 404 —
согласно указанному правилу (случай 1, число/?г = 0 и нс являете?;
корнем характеристического уравнения), уг есть функция, по-
добная q(x), т. е. многочлен второй степени: yt = Ах2 + Вх + С.
Отсюда, дифференцируя, находим у'=24x4-В, у\ = 2А и
подставляя ух, у , у[ в данное уравнение, получим равенство
24 4-6 (24x4-В) 4-5 (4х24-Вх4-С) = 25х2 —2
или
54х2 + (12 А + 5В) х + (2 А + 6 В 4- 5С) = 25х2 — 2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из
обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тож-
дественным, получим систему
54 = 25, 1244-50 = 0, 24 4-6В4-5С=-2,
из которой находим 4 = 5, В = — 12, С =12.
Следовательно, x/j = 5х2—12х-|-12, а искомый общий интеграл
данного неоднородного уравнения
у = иА-у1 = С1е~5хА-С2е~х-[-5х2—12x4-12.
2) Составляем характеристическое уравнение г2—2г 4-10 = 0,
определяем его корни rli2=l±3i и (согласно правилу 2, § 7)
находим общий интеграл и однородного уравнения, соответст-
вующего данному неоднородному уравнению
и = ех (Сг cos Зх 4- С2 sin Зх).
Частный интеграл yt данного неоднородного уравнения, соот-
ветственно его правой части (х) = 37 cos Зх (случай 2 при а = 0,
6 = 3, числа a±6i = ±3xtHe являются корнями характеристи-
ческого уравнения), будет функция вида
yt = 4 cos Зх 4- В sin Зх. *
Подставляя функцию уг и ее производные
у' = — 34 sin Зх 4- ЗВ cos Зх,
= —9 4 cos Зх—9 В sin Зх
в данное неоднородное уравнение, получим равенство
(4—6B)cos 3x4-(В 4-64) sin 3x = 37cos3x,
которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов
у подобных членов (у cos3x и у sin Зх) в обеих его частях:
4—6В = 37; В4-64 = 0.
* В данном уравнении q (x) = 37cos Зх. Но если бы его правая часть
была Ла sin Зх или Лгсоз Зх4-Л2 sin3x, то все равно, согласно правилу,
данному для случая 2, частный интеграл уравнения следовало искать в виде
функции указанного вида/т. е. ух — A cos Зх-f-B sin Зх.
— 405 —
Решая эту систему, найдем А = 1; В —— 6. Следовательно,
= cos Зх — 6 sin Зх,
у = и + yt = ex cos Зх + С2 sin Зх)-f-cos Зх —-6 sin Зх.
3) Написав характеристическое уравнение г2 —6г4-9 = 0 или
(г —3)2 = 0 и найдя его корни гх>2 = 3, получим (по правилу 3,
§ 7) общий интеграл соответствующего однородного уравнения
и = езх(Сг + Сгх).
Правая часть данного уравнения есть сумма многочлена первой
степени Зх и показательной функции —8е* (случаи 3 и 1).
Поэтому частный интеграл этого уравнения yv = Ах 4- В 4- Сех.
Подставляя у1г у^ — А+Сех, у"1=Сех в данное уравнение
9 Ах 4- (9В - 6 А) 4- 4Сех = Зх - 8е*
и приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства, имеем систему: 9Л = 3, 9В— 64=0,
1 2
4С=— 8, из которой находим Л=у, В=у, С= — 2.
Следовательно,
у = и yt = езх (Сг4- С2х) 4- у х 4-g-2е*.
4) Характеристическое уравнение г34-4г = 0 имеет корни
rx=0, г218 = ±2г, поэтому общий интеграл соответствующего од-
нородного уравнения есть
и ~ Сх 4- С2 cos 2х 4- sin 2х.
Частный интеграл yt данного неоднородного уравнения, со-
гласно указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), есть функция,
подобная правой части;
уг = Ае2Х 4- ех (В cos х 4- С sin х).
Для определения коэффициентов Л, В, С находим производные
у'х = 2Ле2*4-е*[(В4-С) cosx4-(С — В) sin х],
y"t = 4Ле2* 4- 2е* (С cos х — В sin х),
= 8Ле2*4- 2ех [(С — В) cos х—(В 4- С) sin х],
подставляем у' и у'” в данное уравнение:
16Ле2* 4- 2е* [(В 4- ЗС) cos х4- (С—ЗВ) sin х] = 8е2*4- 5е* sin х
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему
16Л=8, 2(В4-ЗС)=0, 2(С—ЗВ) = 5, из которой находим Л =у ,
— 406 —
Следовательно,
У i = i е2* + 7 «х (Sirrx— 3 cos х),
у = и 4- уг — С\ + С2 cos 2х 4- С3 sin 2х 4- у в2*4- -у в* (sin х—3 cos х).
1121. Решить уравнения:
О й-ЗЙ = 9х2; 2)^ — 3^+2%*=4е*‘-3е3‘}
1 dx* ах2 ' dl9 dt2 1 dt
3) 4у"'+у' = Зе* 4- 2 sin 4 ; 4) * у'" + у" = 1—6х2е“*.
Решение. 1) Написав характеристическое уравнение
г4—Зг2 = 0, находим его корни г12 = 0, r3i4 = ±j/2T и, по пра-
вилам § 7, составляем общий интеграл и соответствующего одно-
родного уравнения: и = С1 + С2х+С2еУзх + С4е~ Узх.
Правая часть данного неоднородного уравнения есть многочлен
второй степени, т. е. функций вида етх Р (х) (случай 1), где число
т = 0и является двукратным корнем характеристического урав-
нения. Поэтому, согласно правилу, указанному в начале этого
параграфа, частный интеграл у4 данного уравнения отличается
от правой части множителем х2, т. е.
yt = х2 (Лх2 4- Вх+ С) = Лх4 4- Вх* 4- Сх2.
Чтобы определить значения коэффициентов Л, В, С, находим
производные
у'= 4 Лх3 4-ЗВх2 4-2(7х, yt = 12Лх24-6Вх4-2С,
у'“ = 24Лх4-6В, у(4) = 24Л,
подставляем у" и г/41 в данное уравнение
24 Л — 3 (12 ЛХ2 4- 6Вх 4- 2С) = 9х2
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
систему: —36Л = 9,—18В = 0, 24Л— 6С = 0, из которой получим
Л = —у, В = О, С = —1. Следовательно,
У1 = х2; У = и + у1 = С1 + С2х 4- С3е^х 4- С4е~Узх-х~ - х2.
2) Здесь характеристическое уравнение г3—Зг24-2г = 0 имеет
корни ri = 0, г2 = 1, г3 = §л поэтому общий интеграл соответству-
ющего однородного уравнения есть функция ы = С14-С2ее4-С3е2/.
Правая часть данного уравнения есть функция видае“1*Р1 (/)-{-
+e“»tPa(Z) (случаи 3 и 1), где = 2, P4(t) = 4, т2 = 3, Р2(0 =—3,
причем число т4 является однократным корнем характеристи-
ческого уравнения. Поэтому частный интеграл х4 данного урав-
нения есть функция вида
%1 = Л/е2' + Ве<
- 407 —
Далее, найдем произв одные
х; = Ае2'(I +2t) + 3Be3/,
х" =4Ае2‘ (1 4-/)4-9Ве3',
х"' = 44е2< (3 4- 2t) 4- 27Be3',
подставим их в данное уравнение 24е2/4-6Ве3' = 4е2/ — Зе3/ и,
сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства, получим систему 24 = 4, 6В =— 3, из
которой найдем 4 = 2, В = — ~ .
Следовательно,
x1 = 2te2'—~e3',
х — и 4- хх = Сх 4- С2е*4- C3e2t 4- 2te2' — ~е3'.
3) Характеристическое уравнение 4r34-r = 0 имеет корни
ri = 0. r2i3 = ±yi, поэтому
u = Cl + C2cos^ + С3 sin у.
Правая часть данного уравнения есть сумма функций вида
етхР(х) и ea*(41cos6x4-42sinbx), где т=1, Р(х) = 3, а = 0,
6 = у, 4х = 0, А2 — 2. (Случаи 3, 1, 2.) Число т не является
корнем характеристического уравнения, а числа а±Ы = ±у/
являются его однократными корнями. Поэтому частный интеграл
данного уравнения есть функция вида
у1 = Аех 4- х [в cos у 4- С sin у) .
Для определения коэффициентов А, В, С трижды дифференци-
руем функцию yL, подставляем у'г и у'" в данное уравнение
5Аех— 2B cos у—2С sin у = Зех 4- 2 sin ~
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему
54 = 3, — 2В = 0, —2С = 2, откуда имеем 4 = ~ , В — 0,С = —1.
Следовательно,
3 х . X
У1 = у6 — X Sin у ,
У = “ 4- Ух = 4- С2 cos у 4- С3 siny 4- -|е*—х sin ~.
4) Характеристическое уравнение г34-га = 0 имеет корни
ri.2 = 0> гз——1; общий интеграл соответствующего однородного
— 408 —
уравнения
и = С{ 4- С2х+ С^в ж.
Правая часть данного уравнения есть функция вида
е“*Р1(х)4-ет’*Р2(х), где m1 = Q, Р1(х) = 1, m2 = —1, Р2(х) =
=—6ха. (Случаи 3 и 1.) При этом число тг есть двукратный
корень, а число т2 есть однократный корень характеристичес-
ского уравнения. Поэтому частный интеграл данного уравнения
уг = Дх24-х(Вха4-Сх4-Р)е_*.
Подставляя эту функцию в данное уравнение, получим ра-
венство
2А 4- (ЗВх2 4- (2С — 12 В) х 4- (6В—4С +D)] е~х = 1 —6хае“\
откуда имеем систему
24 = 1, ЗВ = —6, 2С— 12В = 0, 6В — 4С 4-0 = 0,
из которой найдем
4=~, В=—2, С= —12, D=—36.
Следовательно,
У1 = ^ х*—2х (х24-6х4- 18) е~х,
у = и 4- уг = Сг 4- С2х 4- С3е~ * 4- у *2 — 2х (х2 4- 6х 4- 18) е~х.
1122. По общей формуле (#) найти частный интеграл уравнения:
1) У" + 4у'4-4«/ = e-a*sec2х; 2) t/"4-5y'4-6y = (e2X4-1) 2’»
3) у"' — Зу" A-ty'—у = 5х3е*4-Зеах; 4) tf 4-4у = cos3 х.
Решение. 1) Сначала составляем характеристическое урав-
нение г24-4г4-4 = 0 и находим его корни rlt2 = — 2. Затем под-
ставляем эти корни и правую часть q (х) данного уравнения
в формулу (2) и, дважды интегрируя, получим искомый частный
интеграл:
yt = e~2x sec2x dx^ dx — e~2X J tgxdx = — е~2Х ln|cosx|.
2) Характеристическое уравнение га4-5г4-6 = 0 имеет корни
rL — — 3, г2 = — 2. Подставляя их и правую часть данного
уравнения в формулу (2), получим
yL = e~Sx е2*(егх4- l)-«dxj dx.
— 409 —
Интегралы находим отдельно:
р --if* --
/1 = j е2х(ег* + 1) = у I (е2-Ч-1) 2d(e2*4-1)= — 0?9*4-1)
/2= (е* /1dx = — С - - = =— In (е*Ч-]/е2Х 4- 1).
2 J 1 J Не*)*-}-! '
Следовательно, искомый частный интеграл данного уравнения
yt —— e~Zx In (е*4- )/е2*4- О-
3) Характеристическое уравнение г3 — 3г24-3г—1=0 имеет
корни fj = г2 = г3 = ]. Подставляя эти корни и правую часть дан-
ного уравнения в формулу (3) и трижды интегрируя, получим
уг = е* j Q(5x34-3e*)dx] dx} dx —
= e*J [^4-Зе*] dx|dx = e*J |~4-3e*| dx = ex (^4-3e*) .
4) Характеристическое уравнение г2 4- 4 = 0 имеет корни
rIj2 = ±2i. Пользуясь формулой (2), получим
yv = ealx ( г~4,Л Г f e2/xcos3 xdx} dx.
Выражая cos8x через показательные функции (по формуле
Эйлера, гл. IX, § 6) и интегрируя, найдем
/1== I e*ixcos3 xdx= \ e*ix(—-J dx =
- I. j (еш + Зе”' + Зе" +e-‘«)dx-1 i
7, = j c-"' /, dx = -j, j f £ + e~“ + 3e'”'—e*s") =
1 7e‘* e~ix g—5/x\
8/ \ 5i i i ‘ 5i J ’
1 fe^ix ,x , e~31x\
yl = e^I2 = ^(-r-e‘x-e~lx+-T-}.
Вторично пользуясь формулами Эйлера, выразим результат
через тригонометрические функции
1/2 \ 1 / 1 \
у. — — -о ( -г cos3x—2cosx ) =-j- COSX—V- cos Зх ).
o\5 ) 4 \ Ь /
Решить уравнения:
1123. ff4-4y = 5e*. 1124. y” + y'—2y = 6x2.
1125. f/"4-6f/'4-9f/= lOsinx. 1126.#"'—y"—4z/'4-4i/=x24-3.
1127. g-2x = te-‘. 1128. g-2g = 4(x4-l).
1129. y"4-9z/= 15 sin 2x, если y(0)= — 7, y' (0) = 0.
1130. y“—3y' = 3x4-*2, если y(0) = 0, y'(0) = ^.
— 410 —
Н31. d/з “Ьd/а —e *4~6Л 1132. ^ + 4 ^ = 4 cos 4/.
1133*. f—2y' + y = xex. 1134*. y"—5y' + 6y = 6 + 2ex + e*x.
1135*. y” - 4г/' 4- 13y = e2X cos 3x. 1136*. y<*> 4- 2/3> 4-у = 8 cos x.
По общей формуле (*) найти частный интеграл уравнения:
1137. у4 — 5г/'4-6^ = 4-4). 1138. у"4-2//'4-у = хехcosx.
1139. г/"4-6^'4-9г/ = (?-3* cos3x. 1140. у" 4- 16у = sin3 г.
1141. у"—3r/'4- 2у-е2х(ех-\-1)-1.1142. г/'" 4-4^' = sin3 xcosx.
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование
уравнений разных типов
В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены
наиболее употребительные типы дифференциальных уравнений,
приводящихся к квадратурам, и указаны способы их решения.
В нижеследующих задачах студент должен самостоятельно
определить тип данного дифференциального уравнения и затем
решить его соответствующим способом.
1143. хуу' 4-х3 — у2 = 0. 1144. 14- (xcosу—sin 2г/) ^'=0.
1145. х4-г/у'4-(14-г/')хг/ = 0, если г/(0) = 0.
1146. ^cos^-—х^ dx — xcos-^ dy. 1147.2x3////'4-3x3y24-7 = 0.
1148. у" 4- 4 = 8 cos3 х, если г/(О) = г/' (0) = 0.
1149. ху' cos ^4- sin у = 0. 1150. (1—ху2) dx — х2у2 dy.
1151. у" sin х == (1 4-г/') cosx, если г/^у^=0, У' (у) — —Ь
1152*. y2dx—(2ху—3)dy = Q, если г/(1)=1.
1153. (1 — ye~x)dx+e~Kdy=Q.\A 154*.у”—2г/'4-г/=4ех4-е~*з1пх.
1155. у" -\-у' = 2х2ех, если ^(0) = 5, у' (0) = 0,5.
1156. у" sin у—2 (y'fcos у = 0, если г/(0) = -~ , г/'(0) = 2.
1157. у'” sin4x= sin 2хЛ 1158*. г/'"—Зг/'—2у—sinx = 2cosx.
1159. у’"-у"—/4-у = Зх4-еж(24х—4).
1160. г/" 4-г/= sec х. 1161*. у" -+-2ау' -f а2у = Vхе~ах.
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Задачи, решение которых приводится к интегрированию
дифференциальных уравнений, содержащих производные или
дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны.
В таких задачах ищется функция или зависимость между пере-
менными факторами какого-либо физического, химического или
технического процесса, уравнение (форма) линии или поверхности.
При решении этих задач вначале составляется дифференциаль-
ное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным
способом в зависимости от его типа.
— 411 —
Дифференциальное уравнение задачи составляется по ее усло-
вию и в зависимости от условия задачи оно получается либо как
соотношение между дифференциалами переменных величин, либо
как соотношение, содержащее производные неизвестной функции.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде
соотношения между дифференциалами переменных можно делать
различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не
отражающиеся на результатах. Так, например, подобно тому как и
при отыскании дифференциала неизвестной величины (гл. V,§3),
здесь можно небольшой участок кривой считать прямолинейным,
небольшой участок поверхности —плоским, в течение малого
промежутка времени переменное движение можно рассматривать
как равномерное, а всякий физический, химический или техни-
ческий процесс как протекающий с неизменной скоростью.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде
соотношения между производными используется геометрический,
физический или механический смысл производной (гл. II, § 1, 11,
12, 14, 15).
Кроме того, при составлении дифференциального уравнения
задачи, в зависимости от ее условия, используются известные
законы физики, химии, механики и других наук и различные
математические сведения.
1162. У какой кривой отрезок любой касательной, заключен-
ный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью орди-
нат пополам?
Решение. Уравнение касательной в любой точке (х, у)
искомой кривой будет Y — у = у' (Х — х), где X, Y — координаты
любой точки на касательной (гл. II, § 11).
Полагая в этом уравнении Y = 0, найдем абсциссу Хо точки
пересечения касательной с осью Ох: Х0 = х—.
Согласно условию задачи, Хо + х = О, т. е. 2х—— 0.
Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как
уравнение с разделяющимися переменными, получим
2— = —; 21п|г/| =ln |x| + lnC; yz = Cx.
Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной
в начале координат, симметричная относительно оси Ох.
1163. Какую форму должна иметь однородная вертикальная
колонна с круглым поперечным сечением, чтобы давление удержи-
ваемого ею груза Р и ее собственного веса, приходящееся на
единицу площади горизонтального сечения, было всюду одина-
ково? (Колонна равного давления.) Удельный вес материала
колонны 6, а радиус ее верхнего основания г.
Найти затем радиусы верхнего и нижнего оснований мосто-
вого быка, чтобы давление в любом его горизонтальном сечении
— 412 —
было 3000 кГ/дм.2, если удельный вес материала быка 2,5, его
высота 12 ju, а удерживаемый им груз 90000 кГ.
Решение. Пусть сечение колонны вертикальной плоскостью,
проходящей через ее ось симметрии, имеет вид, изображенный
на черт. 210.
Выбрав прямоугольную систему координат хОу, пересечем
колонну горизонтальной плоскостью, проходящей через произ-
вольную точку М (х, у) искомой кривой ААГ и определим давле-
ние груза Р и собственного веса верхней отсеченной части
колонны на единицу площади полученного
горизонтального сечения MN. р
Объем верхней отсеченной части колонны L . 1 ... _____
как объем тела, образованного вращением II &
криволинейной трапеции О AM В, прилежащей / |
к оси Ох, вокруг оси Ох (гл. V, § 5), I в- \
u—n\y2dx, а ее вес Q =
Взяв отношение P + Q к площади S~ny2
сечения MN, получим давление на единицу Черт. 2,9
площади этого сечения, которое по условию
задачи должно быть равно давлению на единицу площади лю-
бого другого горизонтального сечения.
Давление на единицу площади верхнего основания колонны
р
равно г = ОА, что следует из условия задачи. Поэтому
S — яг2
Р + лб fpadx = -Jy2.
Дифференцируя обе части этого равенства, получим диффе-
ренциальное уравнение кривой AAt
n8y2 dx = -^y dy.
Решая его как уравнение с разделяющимися переменными,
найдем
x + c = Hs72’n^
Из условия у— г при х = 0 находим, что постоянная с =
Следовательно, уравнение кривой AAt есть
(1)
— 413 —
а искомая форма колонны равного давления есть поверхность,
образованная вращением этой кривой вокруг оси Ох:
2Р . yV + z2*
x = -T-,ln—-
лог2 г
При такой форме колонны давление во всех ее точках будет
одинаково.
Для указанного в условии мостового быка радиус верхнего
основания определяется из равенства
90000
лг2
3000;
г 3,09 дм,
а радиус нижнего основания путем подстановки известных вели
чин в равенство (1)
2.90000 . rj „ о.
120~ я 2,5-3,092 П 3,09’ г1~3»24.и.
Аналогично определяется и форма длинных стержней или
канатов, которые под действием собственного веса и некоторого
груза имеют во всех поперечных сечениях одинаковое натяжение.
1164. Найти зависимость скорости падения тела в воздухе
от времени, если сила сопротивления воздуха пропорциональна
квадрату скорости и и площади S наибольшего сечения тела,
перпендикулярного к направлению движения, F = kSv2.
Найти затем: 1) поведение скорости падения тела при воз-
растании времени и 2) радиус парашюта, чтобы при общем весе
парашюта и летчика в 100 кГ наибольшая скорость падения
не превосходила 5 м/сек, полагая 6 = 0,083.
Решение. Согласно условию задачи и второму закону
Ньютона в механике, дифференциальное уравнение движения
центра тяжести падающего тела будет
dv ,п 9 dv , kS
т —mg—kSv2 или ^-=g — av2, а = — ,
где т — масса тела, у —скорость падения тела в момент времени
/, g — ускорение силы тяжести.
Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим
‘ + (2)
g—av* 2Vag Vg—vVa
Из начального условия v = Q при / = 0 определяем значение
постоянной с —0, подставляем его в равенство (2) и, разрешая
это равенство относительно v, найдем искомую зависимость
* Если линия f(x, у) —0, лежащая в плоскости хОу, вращается во-
круг оси Ох, то уравнение полученной поверхности вращения будет
l(x, ± K^24-z2)=0.
— 414 —
скорости падения тела от времени
V-V aeit^ + rV а \ eity^+J' 3
1) Полученная зависимость обнаруживает интересный и
практически важный факт: с увеличением времени скорость
падения тела в воздухе имеет предел: lim и= 1/ .
/->+« г а
Теоретически такую скорость падающее тело приобретает
лишь спустя бесконечно большой промежуток времени, но прак-
тически, как это следует из формулы (3), уже спустя несколько
секунд после начала падения величина скорости тела будет очень
близка к ее предельному значению, т. е. практически можно
считать, что через несколько секунд после начала падения тела
в воздухе оно становится равномерным.
2) Подставляя заданные значения величин в приближенное
равенство v ж 1/ £- = 1/ , найдем радиус парашюта:
rd т Rj
~ /~ГОб ~ 1 100 ~ о Q9 ..
V 0,083лг” Г ~ 5 V 0,083л ~ °’
1165. Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выхо-
дящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Решение. Пересечем поверхность зеркала плоскостью, про-
ходящей через данную точку парал-
лельно данному направлению. Выберем
данную точку за начало прямоуголь-
ной системы координат, расположен-
ной в этой плоскости, направим ось
Оу по данному направлению отражен-
ных лучей и найдем уравнение кри-
вой L, полученной при пересечении
искомой поверхности указанной пло-
Черт. 211
скостью (черт. 211).
Так как угол падения равен углу отражения, то и 21 Фз — X-Фа-
Но 21 Фз— 21 Фп поэтому треугольник M0N — равнобедренный
и ОМ = ON.
Написав уравнение касательной MN
Y — y = y'(X—x)
и полагая в нем Х = 0, найдем Y = —ON = у — ху' < 0. Длина
отрезка 0М = }^х2 + </2-
Приравнивая найденные выражения ON и ОМ, получим
дифференциальное уравнение кривой L
ху' —у = Vx2 +у2 или У'=-^++(~Y-
— 415 —
Решая его как однородное уравнение 1-го порядка (§ 3), легко
найдем его общий интеграл
х2—са
У = -?Г’
которому соответствует семейство парабол, симметричных оси Оу
с общим фокусом в заданной точке О.
Кривая L будет одна из парабол этого семейства, и так как
она расположена в произвольной плоскости, проходящей через
ось Оу, то искомая поверхность зеркала есть параболоид
х24-г2—с2
У = —2с------
образованный вращением кривой L вокруг ее оси.
Такие параболические зеркала, преобразующие расходящийся
пучок лучей в параллельный, употребляются для прожекторов.
1166. Сосуд емкостью 100 л наполнен рассолом, содержащим
10 кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3 л воды
и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости,
первоначально наполненный водой, из которого избыток жидко-
сти выливается.
В какой момент времени количество соли в обоих сосудах
будет одинаково?
Решение. Пусть в момент времени t (мин) в первом сосуде
содержится х (кг) соли и пусть в последующий малый промежу-
ток времени dt количество соли в этом сосуде уменьшится на dx.
За время dt из сосуда вытечет 3>dt (л) рассола. Концентрация
рассола (количество соли в одном литре раствора) в момент t
будет (кг/л). Если допустить, что в течение малого проме-
жутка времени dt концентрация рассола оставалась неизменной,
то за это время количество соли уменьшится на — dx = • 3dt
(так как dx<0).
Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим
-=— ~dt\ 1пх = —0,03/ + с.
х 100
Исходя из начального условия х= 10 при t = 0, определяем
значение постоянной с = 1п 10.
Следовательно, зависимость количества соли х в первом
сосуде от времени t будет
1пх =— 0,03/-j-in 10 или х— 10е~0’03'. (4)
Далее найдем зависимость количества соли у от времени t
для второго сосуда.
Во втором сосуде в момент t концентрация рассола будет
(кг/л). За время dt в него вольется 3dt (л) рассола, содер-
— 416 —
Зх
жащего y^dt (кг) соли, а выльется 3d/ (л) рассола, содержащего
dt (кг) соли, т. е. за время dt количество соли во втором
резервуаре изменится на величину
dy = Q,Q3xdt— 0,03ydt, или dz/ = 0,03(x — y)dt.
Заменяя х в этом уравнении по формул? (4), получим линей-
ное уравнение 1-го порядка.
dy — 0,03 (10e-0,03t—у) dt, у' + 0,03г/ = 0,3e~u’031,
общий интеграл которого
у = е-о.оз« 4.0,3/).
(Его легко найти способом, указанным в § 4.)
Значение постоянной с1 = 0 определяем изначального условия:
у = 0 при t = 0.
Следовательно, зависимость количества соли у во втором
сосуде от времени t будет
у = О,3/е-°’03'.
Искомый момент времени, в который количество соли в обоих
сосудах будет одинаково, найдем, полагая х = у.
10е-0’03' = 0,3/4Го’0«‘; 10 = 0,3/; / = 33 4- сек.
ij
В этот момент в каждом сосуде будет по у а; 3,68 кг соли.
1167. Локомотив движется по горизонтальному участку пути
со скоростью 72 км/час. Во сколько времени и на каком рассто-
янии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движе-
нию после начала торможения равно 0,2 его веса.
Решение. Согласно второму закону Ньютона в механике,
дифференциальное уравнение движения локомотива будет
= —0,2mg,
где s—путь, пройденный за время /, т — масса локомотива, g —
ускорение силы тяжести.
Умножая обе части этого уравнения Had/ и затем интегрируя
дважды, получим
| = -0,2g/4-C1> s — O,lgt*+ctt + ca.
Значения постоянных q и с2 определяем по начальным
условиям: при /=0, s = 0, ^- = 72 км/час = 20 м/сек.
Из первого условия имеем с2 = 0. Из второго условия следует,
что с, = 20.
14 № J2V1
— 417 —
Следовательно, уравнения движения локомотива будут:
/7 с
Л~и~ 20 — 0,2gt (м/сек), (5)
s = 20Z — 0,1 gt2 (м). (6)
Полагая о=0 в уравнении (5), найдем время торможения,
в течение которого локомотив будет остановлен тормозом:
, 20 100 о
/-0,2g 9,8 ~ 10,2 сек-
Полагая t« 10,2 в уравнении (6), найдем тормозной путь:
s»s 20-10,2 - 0,1-9,8-10,22 « 102 м.
1168. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью
200 м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/сек.
Найти, сколько времени продолжалось движение пули через
доску, если сопротивление доски движению пули пропорцио-
нально квадрату ее скорости.
Решение. Пусть т — масса пули, s—путь, пройденный ею
за время t, отсчитываемое от момента входа ее в доску. Тогда
дифференциальное уравнение движения пули через доску будет
d2s , I ds \ 2 d2s I ds \ 2 k
т -гг$ = — k Нт или = — а-г , а = — .
dt2 \dt) dt2 \dt) m
Полагая в этом уравнении 2-го порядка и, получим
уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
do , dv
—= — av2, — — adt,
dt ’ v2 ’
интегрируя которое, найдем
1 , , i
- = at4-ct или v — -r-,—.
v 11 at-{-Ct
По начальному условию v = 200 при t — Q, данному в задаче,
определим постоянную ct:
200 =сГ’ С1 = 200‘
Следовательно, зависимость скорости движения пули через
доску от времени будет
_ 200
U~ 14-200af •
ds
Полагая в последнем уравнении v = разделяя перемен-
ные и интегрируя, получим
*=Т^Й5Й- »=41п(1+200<./) + с,.
(7)
— 418 —
Из условия s = 0 при / = 0 следует, что с2 = 0.
Следовательно, зависимость расстояния, проходимого; пулей
в доске, от времени будет
S = 1 In (1+200а/). (8)
Полагая v = 50 в равенстве (7) и $ = 0,1 (м) в равенстве (8),
получим систему уравнений с неизвестными / и а:
50=НЖ> 0,1=|1п(1+200»0.
Определив из первого уравнения 1-}-200а/= 4 и подставляя
во второе, найдем значение а:
0,1 =1 In4; а= 10 In4.
Наконец, подставляем значение а в первое уравнение решае-
мой системы и определяем из него искомое время полета пули
через доску:
ко_______200___. /___________3 ~ о 001 сек.
~ 1 +(200-10 In 4)/ ’ 1 ~ 2000 In 4 ~ е
1169. Цепь, висящая на гладком крюке, соскальзывает вниз.
В начале движения по одну сторону крюка свисает 10 м цепи,
а по другую 8 м. Не учитывая сопротивлений, найти: 1) во
сколько времени с крюка соскользнет вся цепь и 2) какова
будет скорость цепи в начальный момент ее свободного падения.
Решение. Если в момент времени / длина движущейся
вниз части цепи равна $ (м), то в этот момент сила F, движущая
цепь, равна разности между весами частей цепи, свисающими
по разные стороны крюка, F = 8gs — 6g(18 — s) = 26g(s—9), где
б—масса 1 м цепи, g—ускорение силы тяжести.
Согласно второму закону механики, дифференциальное урав-
нение движения цепи будет
186 — =2б£($-9) или 9g = ^($-9).
Решим его как неполное уравнение 2-го порядка, не содер-
жащее явно независимой переменной / (§ 6)*.
n ds das dv ds dv
Полагая -п = и, имеем = —.-r = v -r-,
dt dt2 dt ds ds ’
9a^=g(s — 9)\ 9vdv = g(s — 9)ds;
4^ = |($-9)^ + ^; 9a2=£($-9)2 + cv
* Иначе его можно решать как линейное неоднородное уравнение с по-
стоянными коэффициентами (§ 8).
14*
— 4/5 —
Значение постоянной с, определяем из начального условия,
данного в задаче: при $ = 10, о = 0:
0 = £(10-9)2 + ci; ct = -g-,
9v2 = g(s-9)2-g. (9)
Заменяя в уравнении (9)v — разделяя переменные и ин-
тегрируя, получим:
v(d£Y==g<s~W-g-’ | = ^/(«-9)2-1;
\ III / Ul о
..= In[s-9 + /(s-9)2-1] = ^-Z4-c2.
/(5 — 9)8—1 3 1 v ' J 3 2
Значение постоянной c2 определяем из начального условия:
при t — 0, 5=10.
In 1 = с2; с2 = 0;
Z = -^ln[s-9 + /(s-9)2-l]. (Ю)
V g
Время, за которое с крюка соскользнет вся цепь, найдем
из уравнения (10), полагая в нем s=18:
з in(9 + ygo)
» 2,9 сек.
Vg
Скорость цепи в начальный момент ее свободного падения
найдем из уравнения (9), полагая в нем $=18:
v — j£30g. ~ 93 ЛiceK'
1170. Шарик скатывается по гладкому желобу, изогнутому
по циклоиде (черт. 212). Не учитывая трения и сопротивления
воздуха, найти: 1) зависимость пути,
проходимого центром тяжести шарика,
kA(OZa) от вРемени1 2) за какое время шарик
V' скатывается от начала желоба до его
низшей точки: а) по желобу и б) по пря-
ф мой линии.
~д——"" Решение. Если тело массы т
движется как угодно в плоскости или
Черг. 212 в пространстве, то равнодействующая
F приложенных к нему сил и уско-
рение w его центра тяжести связаны соотношением mw = F. (Вто-
рой закон Ньютона в механике.)
Из этого соотношения между векторами можно получить
соотношения, содержащие скалярные величины, проектируя
векторы F и w на какое-либо направление. Так, если проекция
— 420 —
w на какую-либо ось есть wk, а проекция F на ту же ось есть
Fk, то mwk = Fk.
Согласно этому закону механики, проектируя ускорение
центра тяжести шарика и действующую на него силу на на-
правление касательной к траектории (циклоиде), получим диф-
ференциальное уравнение движения центра тяжести шарика:
d2s
m-^ = mgsma, (11)
где s = А М — путь, пройденный центром тяжести шарика за
время t, ш —масса шарика, g— ускорение силы тяжести.
1) Чтобы в этом уравнении было только две переменных,
выразим sin а через s, исходя из параметрических уравнений
циклоиды х = а(<р—sin <р), у = а(\4-cos<p) относительно указан-
ной на чертеже прямоугольной системы координат.
Найдем производную
Л . ф ф
, j 2 Sin -7г COS -х-
,'dV = — Д sin <р dtp_______2 2 = _ ф_
dx а(1—созф)йф 2 sin2— ° 2 *
затем дифференциал дуги циклоиды
ds = К1 + (у')2 dx — 1 -|- ctg2 у • 2а sin2 ~ dtp = 2а sin dq>
и длину ее дуги AM
<₽
S— f 2а sin dtp = 4а cos 1 ° =4а [ 1 — cos^Y (»)
J I ф \ *• }
о
Отсюда cpsy=l—а из чертежа у' = tg(ji — «) = — tga.
Поэтому
, ' ctg
tg а ц s 2 m
sin a = tg a cos a = r ° — — —7=^==== = —-?=== = cos J-,
ri + tg2a KT+W j/i+ctg2^ 2
. s
t. e. sin a = 1 — T- .
4a
Следовательно, уравнение (11) преобразуется к виду
= g (j — Та) или ^a-^ + gs = 4ag. (12)
Решаем его как линейное неоднородное уравнение с постоян-
ными коэффициентами (§ 8)*.
* Иначе его можно решать как неполное уравнение 2-го порядка, йе со-
держащее явно независимой переменной t (§ 6).
— 421 —
Характеристическое уравнение 4ar3+g = 0 имеет мнимые
корни г1>2 = ±1 = ±fei. Поэтому общий интеграл соответ-
ствующего однородного уравнения u = clzoskt-irc2sinkt.
Частный интеграл Sj неоднородного уравнения (12) подобен
его правой части: st = А. Подставляя $г в уравнение (12), полу-
чим gA=4ag, А=4а, т. е. sl~4a.
Общий интеграл уравнения (12) есть
s = u4-s1 = 4a4-c1cos£f+ с2 sin&/. (13)
Значения постоянных сг и с2 определим из начальных условий
при t=0, s = 0, 77=0.
Из первого условия имеем: 0 = 404-^; с1——4а.
Найдя —crk sin kt 4-c2fecosfef из равенства (13) и ис-
пользуя второе условие, получим: О=с2й; с2 = 0.
Следовательно, искомая зависимость пути, проходимого цент-
ром тяжести шарика, от времени будет
s = 4a(l—cosfl/jQ. (14)
2) В низшей точке В желоба а = 0. Поэтому из уравнения (И)
= 0, а из уравнения (12) следует, что АВ=4а.
dPs
следует, что в
(Длину дуги АВ циклоиды можно найти и по формуле (*) при
Фв = л.)
Подставляя s = ДВ = 4а в уравнение (14), найдем время ска-
тывания шарика от точки А до точки В по циклоидальному
желобу: _ _
4а = 4а ( 1 —cos t 1/ -£• ); cos / 1/ / =0;
\ т 4а/ г 4а ’
t =
т 4а 2 ав т g
При скатывании шарика по прямой АВ дифференциальное
уравнение движения его центра тяжести будет
m^2 — mg sin / АВО или gjT2=b,
dt2 4— о »
где
Ь = g Sin Z Л ВО = £ 2^ = z..:.л = - ...: =я..
АВ уОА2+ОВ* У4о2 + п2аа /4 + л2
Решаем это простейшее уравнение 2-го порядка последова-
тельным интегрированием обеих его частей (§ 6):
^ = 6f + C1; s = —
— 422 —
При тех же начальных условиях: s = 0 и О при / = 0,
найдем С1 = С2 = 0. Поэтому уравнение движения центра тяже-
сти шарика по прямой АВ будет
......
У 4+ л2
Подставляя в это уравнение вместо s длину прямолинейного
отрезка ЛВ = а)/4 +л2, найдем время скатывания шарика из
точки А в точку В по прямой линии:
а’/т+^=7Й;
Простое сравнение полученных результатов обнаруживает
замечательный факт: ЛВ>ДВ, a т. е. хотя кратчай-
шее расстояние между двумя точками есть длина соединяющего
их прямолинейного отрезка, время скатывания шарика по цик-
лоиде значительно меньше, чем по прямой линии.
Объясняется это тем, что при скатывании шарика по дуге АВ
циклоиды модуль его скорости возрастает быстрее, чем при ска-
тывании по прямой АВ, хотя в точке В обе эти скорости но
модулю будут одинаковы.
Циклоида обладает еще одним замечательным свойством: вре-
мя скатывания шарика до низшей точки циклоиды не зависит
от его начального положения на циклоиде. Если несколько
шариков, положенных в разные точки циклоидального желоба,
одновременно начнут скатываться, то все они одновременно
достигнут его низшей точки.
В справедливости этого можно убедиться, если для выраже-
ния sin а через s в уравнении (11) вместо точки А за началь-
ную точку движения шарика взять произвольную точку
циклоиды (<p = <p1). Это свойство, также кажущееся парадоксаль-
ным, ибо шарик А должен преодолеть тот же путь, что и
шарик М, и еще путь AM, объясняется тем, что первый шарик
пройдет путь МВ быстрее, чем второй, и это обстоятельство
полностью компенсирует излишек пути AM первого шарика.
1171. Найти кривую, у которой все нормали проходят через
точку (2; —3).
1172. Найти кривую, проходящую через точку (3; 4), у ко-
торой отрезок любой касательной, заключенный между осями
координат, делится в точке касания пополам.
1173. Известно, что скорость распада радия пропорциональна
его наличному количеству и что половина его первоначального
количества распадается в течение 1600 лет. Определить, какой
процент данного количества а радия распадается в течение
100 лет.
— 423 —
1174. В воде с температурой 20° в течение 10 мин тело охлаж-
дается от 100° до 60°. Во сколько времени тело охладится до 30°,
если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна
разности температур тела и охлаждающей среды?
1175. В резервуаре находится 60 л рассола, содержащего 5 кг
растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды
и вытекает 2 л рассола, причем концентрация соли поддержи-
вается равномерной. Сколько соли останется в резервуаре через
40 мин?
1176*. Найти форму поверхности, все точки которой оди-
наково освещены одним источником света. (Освещение пропор-
ционально косинусу угла падения и обратно пропорционально
квадрату расстояния. Использовать полярную систему коорди-
нат и формулу tg0 = ^-, где 9—угол между полярным радиу-
сом и касательной.)
1177*. Найти кривые, у которых касательная и нормаль
любой точки равноудалены от начала координат.
1178. Моторная лодка движется со скоростью 18 км/час. Через
5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до
6 км/час. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за
15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости
движения лодки.
1179*. Материальная точка массы т брошена вертикально
вверх с начальной скоростью v0. Считая, что сопротивление
воздуха пропорционально квадрату скорости движения, найти:
1) время подъема точки до наибольшей высоты;
2) наибольшую высоту h подъема точки;
3) скорость v2 точки в момент ее падения на землю;
4) время t2 обратного падения точки до земли.
1180. Цепь длиной 6 м соскальзывает вниз с гладкой гори-
зонтальной площадки. Не учитывая сопротивлений, найти, во
сколько времени соскользнет вся цепь, если в начальный момент
свисал 1 м цепи.
1181*. Решить задачу 1169, учитывая силу трения, равную
весу 1 м цепи.
1182. Аэросани скользят по горизонтальному снежному полю
со скоростью v0, преодолевая трение лыж о снег, пропорцио-
нальное весу саней, и сопротивление воздуха, пропорциональ-
ное квадрату скорости движения. Найти расстояние, пройденное
санями после выключения мотора, по инерции.
1183*. Вагон, стоящий на прямолинейном горизонтальном
участке пути, приходит в движение вследствие давления ветра,
пропорционального квадрату скорости ветра относительно вагона.
Найти уравнения движения вагона, считая скорость ветра
постоянной и учитывая силу трения, пропорциональную весу
вагона.
— 424 —
Каково будет поведение скорости движения вагона с увели-
чением времени?
1184. Маятник, состоящий из небольшого тела массы т, при-
вешенного на нити длиной I, отклонен от положения равновесия
на небольшой угол 0О. Найти уравнение колебаний маятника и
период колебания (не учитывая сопротивлений и полагая
sin 0 л; 0).
1185*. Решить задачу 1184, учитывая сопротивление воздуха,
пропорциональное скорости движения.
§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования
уравнений первого порядка
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести
к интегрированию известных функций (к квадратурам). Поэтому
большое значение имеют различные приближенные методы интег-
рирования уравнений.
Для уравнения 1-го порядка y' = f(x, у) можно составить
таблицу приближенных значений частного интеграла, удовлет-
воряющего начальному условию у(х0)=у0, или приближенно
вычертить интегральную кривую на некотором отрезке [х0, хп],
пользуясь методом Эйлера.
По методу Эйлера данный отрезок [х0, хп] разбивается точ-
ками хх, х2, ..., х„_, на п частичных отрезков.
На первом частичном отрезке [х0, хх] искомая интегральная
кривая, проходящая через известную точку М0(х0, у0), заме-
няется касательной к ней в точке Л40:
У — Уо = (-^ *о) У С^о> Уи)>
откуда при х = хг получается приближенное значение yL иско-
мого интеграла уравнения в точке хк:
У1 = Уо + (xL—x0) у’ (х0, у0) = у0 + h0y'o.
Далее, тем же способом для отрезка [хх, х2] находим при-
ближенное значение у2 искомого интеграла в точке х2:
Уг = У1 + (^2—^1) У' (xi> У1>=У1 + КУг
Продолжая этот процесс, последовательно находим прибли-
женные значения у3, у±...... уп искомого интеграла в точках
Х3 f ^4 • • • > хп*
С увеличением п, при достаточно малой длине частичных
отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности
решения.
Обычно заданный отрезок [х0, хп] делится на частичные от-
резки одинаковой длины h = и все последовательные при-
ближенные значения yL, у2, ..., уп интеграла уравнения у' —
— f(x, у), удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0,
— 425 —
вычисляются по рекуррентной формуле
yk^yk-i + hy'k-i’ А=1> 2> 3> •••- п- (*)
1186. Пользуясь методом Эйлера, составить таблицу при-
ближенных значений частного интеграла уравнения у'—у2—х2,
удовлетворяющего начальному условию у (1) = 1, на отрезке [1; 2],
разбив его на 10 равных частей.
Решение. Определив длину каждого частичного отрезка
(шаг таблицы) h = = находим точки х1=1,1;
х2= 1,2; ..., разбивающие данный отрезок [1; 2] на 10 равных
частей.
Затем по заданным значениям х0=1, у0 = 1 из данного урав-
нения у' —у2—х2 находим у'9 = 0 и по формуле (*) вычисляем
У1 = Уо+Ьу'9 = 1.
Зная и уг из данного уравнения находим у[ — —0,210 и
по формуле (*) вычисляем уг = ух 4- hyx — 0,9790.
Далее, исходя из значений ха, у2, вычисляем ya — ya + hy'2,
затем, зная ха, уа, вычисляем yt = ya + hy'a и т. д.
Результаты вычислений записываем в следующую таблицу:
k х/г Ук Ук
0 1 1 0 0
1 1,1 1 —0,210 —0,0210
2 1,2 0,9790 —0,4816 —0,0482
3 1,3 0,9308 —0,8236 —0,0824
4 1,4 0,8484 — 1,2402 —0,1240
5 1,5 0,7244 —1,7252 —0,1725
6 1,6 0,5519 —2,2554 —0,2255
7 1,7 0,3264 -2,7834 —0,2783
8 1,8 0,0481 —3,2377 -0,3238
9 1,9 —0,2757 —3,5340 —0,3534
10 2,0 —3,8097
Здесь столбцы xk и ук представляют искомую таблицу при-
ближенных значений интеграла данного уравнения; остальные
столбцы — вспомогательные.
В задачах 1187 — 1190 по методу Эйлера на указанном отрезке,
разделяя его на 10 равных частей, составить таблицу прибли-
женных значений интеграла данного уравнения, удовлетворяю-
щего указанному начальному условию. Все вычисления вести
с точностью до 0,001.
1187. у' — х + у; #(—1) = 0; [ — 1; 0].
1188. у' = 2х — у2\ у(0) = 0; [0; 1].
1189. у'—у2—х\ z/(0)=l; [0; 2].
1190*. у'~0,1у^ху, z/(l) —0; [1; 2].
— 426 —
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов
Интеграл дифференциального уравнения не всегда можно
выразить в элементарных функциях или посредством конечного
числа квадратур (интегралов).
В большинстве случаев каждое дифференциальное уравнение
определяет собой особую функцию, которую можно, вообще гово-
ря, представить лишь в виде бесконечного функционального ряда.
Интегралы многих дифференциальных уравнений, общие или
частные, могут быть представлены в виде степенного ряда, схо-
дящегося в некотором интервале значений независимой пере-
менной.
В таком случае ряд, являющийся интегралом уравнения,
можно найти или методом неопределенных коэффициентов или
методом, основанным на применении ряда Маклорена (Тейлора).
Эти методы нахождения ряда, являющегося интегралом дан-
ного уравнения, разъясняются в решениях следующих задач.
1191. Найти общий интеграл уравнения ^ — у* в виде сте-
пенного ряда.
Решение. Пусть искомый интеграл есть степенной ряд
У — ао + ^ix + + • • + апх" + • • • ’ (1)
где а0, а1г .... а„, ... неизвестные, подлежащие определению
постоянные.
Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором
интервале значений х, найдем ряд для его почленным диф-
ференцированием
^ = а14-2а2х + За3х24- ... + папхп~1 + ...
и ряд для у2—почленным умножением ряда (1) самого на себя:
у2 = а* + 2floaix + 2а0п2х2 + 2а0а3х3 п2х2 4- 2а1а3х3
Подставляя эти ряды вместо и */2 в заданное уравнение
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из
обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны
только при этом условии, получим следующую систему:
х1
X2'
X3
=
2п2 — 2аоаг
За3 = 2аоа24-а*
4а4 = 2а0а3 4- 2а1а2
Решая эту систему, найдем: ал = а*', а2 — а’; а3 — а*‘, ...;
а„ = а"+1; ...
— 427 —
Следовательно, искомое разложение в степенной ряд общего
интеграла данного уравнения есть
У = ао (1 +a0x + alx2 + a30x3+ ... +а"х"+ • • •),
где ап является произвольной постоянной.
Полученный ряд представляет бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем q = aQx и при |д|<1 имеет сумму
aQ
У ==т—2— •
1—аох
Решение этой задачи показывает достоверность метода инте-
грирования уравнений с помощью рядов; так как непосредст-
венное интегрирование данного уравнения, как уравнения 1-го
порядка с разделяющимися переменными, дает тот же резуль-
тат.
1192. Найти в виде степенного ряда частный интеграл урав-
нения z/" 4~ —+ у = 0, удовлетворяющий начальным условиям:
у(0)= 1, /(0) = 0.
Решение. Полагая, что искомый интеграл представляет
сходящийся степенной ряд (1), найдем ряды для у" и у" его
почленным дифференцированием
//' = а1 + 2а2х+За3х24-... 4- папхп~14-...
у" = 2а2 + 3• 2а3х 4- 4 • За4х2 4- ... 4- п (и — 1) апхп~2 4-...
Используя начальные условия, найдем значения двух первых
коэффициентов: z/(0) = ao=l; у' (0) = а1 = 0.
Подставляя ряды для у, у' и у" в заданное уравнение и сде-
лав приведение подобных членов, получим
(14- 22а2) + З2а3х 4" (аг 4" 42Я1) х2 4* (я3 4- 52аь) х3 4-...
• • • + [ап + (л 4- 2)2а„ + 2] хп 4-... = 0.
Приравнивая нулю все коэффициенты ряда, находящегося в
левой части этого равенства, так как только при этом условии
ряд будет тождественно равен нулю, получим систему 14 22л2—0;
32а8 = 0; а24-42а4 = 0;а34-5га5 = 0; ...; ап4-(п4-2)2ая + 2 = 0; ...,
из которой определяются следующие значения всех остальных
коэффициентов: as = а5 = о7 = ... = а2т+1 —...== 0;
_ 1 . _ 1 _ 1
^2 22 ’ °4 2242 ’ °в 224262 ’ ‘ ‘ ’
п _ (~П'Я _ (-1)т .
2и 2242... (2m)2~4'e (ml)2 ’
Таким образом, искомый частный интеграл данного уравпе-
1шя есть степенной ряд
_. X2 . ХЛ Xе ( — 1)тх'2п
У ~ 1 —’ПЛ)2 ‘ 42 (21р~43 (З!)2 4- • • • 4- 4^ (т|)2 т • • • >
— 428 —
который сходится при любом значении х (согласно признаку
Даламбера, так как здесь абсолютная величина отношения
последующего члена ряда к предыдущему.
х2т + 2 х2т X2
4'B+1[(m4-l)!]2:4'B(m!)2==4 (т+1)г
при любом х и при неограниченном возрастании т стремится к
нулю).
1193. Найти четыре первых члена разложения в степенной
ряд частного интеграла уравнения у' 4- ху2 = 2 cosх, удовлетво-
ряющего начальному условию: z/(0)= 1.
Решение. Как и в предыдущих задачах, ищем интеграле
виде степенного ряда (1).
Согласно начальному условию z/(O) — ao= 1.
Далее, найдя ряды для у2 и у’ и подставляя их и ряд для
cosx
, х2 , х4 х« .
cosx= 1— 2J--+-4j—бГ+ • •
в заданное уравнение, получим
a, 4” (1 + 202) % + (2^14” Зо>з) Х“ 4-... = 2 —х2 4- • •
Отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых сте-
пенях х из обеих частей равенства найдем а1 = 2; а2=—у!
5
а3 = —у.
Следовательно, искомый частный интеграл есть
У — 1 4-2х—~ х2 —— у х34-...
1194. Найти разложение в степенной ряд частного интегра-
ла уравнения у" -+-'ху = 0, удовлетворяющего начальным усло-
виям: у(0) — 1, z/'(0) = 0.
Решение. Пусть искомая функции у(х) разложена в ряд
Маклорена
, . ZA\ I у' (0) I у" (0) 2 1 I Л I
у(х) = у(0)4-^1^х4-^2у2х24-.. .4-^-у^хп4-..., (2)
где величины 1/(0), у’ (0), г/"(0), ... являются значениями функ-
ции у {х) и ее производных при х = 0.
Два первых коэффициента у (0) и у’ (0) даны в условии за-
дачи, третий получим при подстановке известных величин в дан-
ное уравнение, z/"(0)— 0, а следующие коэффициенты найдем
путем последовательного дифференцирования данного уравнения:
у"' = — (У+хуУ, у14’= —(2/4-х»/"); у™ = -(3/4-ху'");...;
2)г/<п-3>4-х//(п-2>]; ... Отсюда при х==0 получим:
у'" (0) = — 1; у^ (0) = у™ (0) = 0; у(в> (0) = 1 4; у™ (0) -//8> (0) = 0;
/»(0) = —1-4-7; ...
— 429 —
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд Маклорена (2),
получим искомый частный интеграл в виде ряда
у — 1---LхЗ I 111 Xе l-4'.? х®-j- 4- ( 1 )т —2) Зт .
который сходится при любом значении х.
1195. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд
частного интеграла уравнения у"—уех = 0, удовлетворяющего
начальным условиям: //(0) = 2, у' (0) — 1.
Решение. Применяя тот же способ, что и в решении пре-
дыдущей задачи, получим:
у"^уе\ У"(0) = 2,
f/<s’ = (f/+/)e\ !/'3>(0) = 3,
у'4’(0) = 6,
у = 2-т-х-4~*24~'24"‘4'4~ • • •
Этот второй способ определения коэффициентов степенного
ряда, удовлетворяющего заданному дифференциальному урав-
нению, который основан на использовании ряда Маклорена*,
в некоторых случаях требует меньшей вычислительной работы,
чем метод неопределенных коэффициентов. Он применим для
отыскания общего или частного интегралов уравнения, если оно
разрешимо относительно производной высшего порядка и если
путем его последовательного дифференцирования возможно полу-
чить производную любого порядка.
Интегрирование уравнений при помощи рядов имеет большое
значение, однако следует иметь в виду, что не для всякого
уравнения можно получить интеграл в виде пригодного степен-
ного ряда.
Например, уравнение х*у'—= —х2 (линейное) имеет
общий интеграл
Однако предполагая, что существует интеграл в виде степен-
ного ряда (1) и определив его коэффициенты, получим ряд
z/=x2(l 4- 1!х-|-2!х2-|-3!х34- ... +я!х"+ ...),
который практически непригоден, так как он расходится при
всяком значении х, отличном от нуля.
1196. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего ука-
* Или ряда Тейлора в более общем случае, когда ищется разложение
интеграла но степеням двучлена х—а.
— 430 —
занному начальному условию:
О У'~ У* = х(х+ 1), у(0)=1; 2) /4-р« = еж, i/(0) = 0.
1197. Найти первые четыре члена разложения в степенной
ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего
указанным начальным условиям:
1) у’—ycosx = x, y(Q)=\, t/(0)=0;
2) У"—У' sinx4-y= 1, {,(0) = /(0) = 1.
1198. Найти первые пять членов разложения в степенной
ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего
указанным начальным условиям:
1) у —х2у = 0, у(0) = /(0) = 1;
2) / + j/cosx = 0, </(0) = 3, /(0) = 0.
1199*. Найти разложение в степенной ряд частного интег-
рала данного уравнения, удовлетворяющего указанным началь-
ным условиям:
1) «/’—xi/ = 0, у(0) = 0, /(0)= 1;
2) ху" + 2у' + ху = Ь, у(0)=1, /(0) = 0.
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений
Совокупность п линейных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка с п неизвестными функциями yt, yt, ..., уп от
одной независимой переменной х:
Г У1 Л-РцУ1 + РхгУг 4- • • • 4- РгпУп ~Яг
I У* 4- Р21У1 4- Р22У2 4~ • • • 4" РгпУп ~ Яг
Уп 4* РпхУ г 4~ РпгУг 4- ... 4~ РппУп ~Яп>
где коэффициенты plk и правые части ^ — данные функции от х
или постоянные, называется нормальной системой линейных диф-
ференциальных уравнений.
Общим решением (или интегралом) такой системы называется
совокупность п функций от независимой переменной х и п про-
извольных постоянных Clt С2.....Сп
y\=yt(x< ^2» ••••
У2~Уг(х> ^г> ••> £») (**)
Уп~Уп(Х’ ^1’ ^2» •••» Сп)<
которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.
Интегрирование системы (*), путем исключения п — 1 неиз-
вестных функций (и их производных), как правило, можно
— 431 —
свести к интегрированию одного линейного дифференциального
уравнения n-го порядка относительно одной из неизвестных
функций yk-.
У^ + Р1У^ 1} + РгУкП 2)4~ • •• 4- РпУк~ Q-
Остальные п— 1 неизвестные функции выражаются через об-
щий интеграл этого уравнения посредством одних алгебраических
действий и дифференцирования *.
Например, чтобы найти общее решение системы двух линей-
ных дифференциальных уравнений первого порядка
I y' + aiy + b1z = q1(x)
| z' + a2y + b2z = q2(x),
где у и z —искомые функции от независимой переменной х; ах,
blt а2, &2—известные постоянные; qlt <?2 — известные функции
от х, дифференцируем по х первое уравнение
/4-ai(/'4-M' = /i (2)
и, исключая г и г' из трех уравнений (1) и (2), получим одно
линейное дифференциальное уравнение второго порядка с посто-
янными коэффициентами
y* + ay’ + by = q(x),
a = ax + b2, Ь^афг — афг, q = q‘l + b2ql — b1q2
и с одной неизвестной функцией у. Интегрируя это уравнение
(см. § 8), найдем у = рг{х, Сх, С2). Подставив найденное выра-
жение функции у и ее производной у' в первое уравнение сис-
темы (1), найдем вторую искомую функцию z = F2(x, Clt С2).
Совокупность функций у и z и будет общим решением системы (1).
Чтобы найти частное решение системы (*), удовлетворяющее
заданным начальным условиям ух (х0) = (У1)о, у2 (х0) = (у2)0,
уп(хо) = (у„)о (задача Коши), следует из уравнений (»») опреде-
лить соответствующие этим начальным условиям значения посто-
янных С1( С2, .... Сп.
Системы, содержащие уравнения высших порядков, также
можно решать путем сведения их к одному уравнению. Сущест-
вуют и другие способы решения систем.
1200. Найти общее решение системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами:
Г ^4-2у —4z = 0 f u — 7v-i-5w = 10е*
/ dx < 2о' + « 4-о—u> = 0
| ^ + y — 3z = 3x2; I Зау' — и 4- 2о — w — ех.
* В исключительных случаях может получиться уравнение более низ-
кого порядка, причем отыскание некоторых из остальных искомых функций
требует нескольких дополнительных операций интегрирования.
— 432 —
Решение. 1) Дифференцируем по х первое уравнение:
y" + 2z/'-4z' = 0,
затем исключаем z и г' из полученного уравнения и двух дан-
ных уравнений. В результате получаем одно дифференциальное
уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у:
у" — у' — 2у = 12х2.
Решая его как линейное неоднородное уравнение с постоян-
ными коэффициентами (§ 8), найдем
у = С1е~х + С^2Х — 6х2 + 6х—9.
Вторую неизвестную функцию z находим из первого уравне-
ния данной системы, подставляя в него найденное выражение
функции у и ее производной у'= — С1е-х4-2С2е2Л— 12х-}-6:
z = = 1 С1в-* + Сзе** - Зх2 - 3.
Совокупность двух найденных функций есть искомое общее
решение данной системы.
2) Дифференцируем по х первое уравнение:
6u" — u'-7v, + 5w'= 10е*
и заменяем в результате производные о' и w' их выражениями
из второго и третьего уравнений:
36а*—6а' + 31а-|-о—11&у=50е*. (а)
Полученное уравнение опять дифференцируем по х:
36а'"-6а*4-31и' + а' — 11а»' = 50е*
и опять заменяем в результате производные v' и w' указанными
их выражениями:
216а'" — 36а’-|- 186а' — 25а 4-41о — 19ау = 322ех. (0)
Далее из первого уравнения данной системы и уравнения
(а) определяем v и w через х, а, а', а":
V — у а’+у и' 4-2а — 5е*, ау=^-а"—-^-u' + За — 5е* (у)
и, внося их в уравнение 0), получим дифференциальное урав-
нение третьего порядка с одной неизвестной функцией и
и"' + и'=2е*.
Интегрируя это линейное неоднородное уравнение с посто-
янными коэффициентами (§ 8), находим
и = + С2 cos х 4- С3 sin х е*.
— 433 —
Подставляя найденное выражение функции и и ее производ-
ных и' и и* в равенства (у), находим две другие искомые функ-
ции:
v = 2С± 4- у (С3—-С2) cos х—(С3 4-С2) sin х,
w = 3Ct——(С2 4-C3)cosx4-|-(C,2 — С3) sin х4-е*.
В решении последней задачи показан общий способ приве-
дения системы линейных дифференциальных уравнений к одному
уравнению. Но во многих случаях это можно сделать проще.
1201. Найти частное решение системы дифференциальных
уравнений
^4-2%4-у = sin t; ~—4х—2y — cost,
удовлетворяющее начальным условиям: х(л) = 1, у (л) = 2.
Решение. Сначала находим общее решение данной системы.
Дифференцируем по t первое уравнение: х’4- 2x'4~/ = cos/
и, заменяя в результате производную у' ее выражение через t и
х', определяемым из данной системы, получим уравнение вто-
рого порядка с одной неизвестной функцией х:
х" 4- 2 sin t =0.
Решая его как простейшее уравнение высшего порядка путем
двукратного интегрирования обеих частей (§ 6) или как линей-
ное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§ 8),
найдем
x = Ctt 4-С24-2 sin t. (о)
Подставляя найденную функцию х и ее производную х' =Cj4-
4- 2cost в первое уравнение данной системы, найдем
у — —2С2 — Ci(2/4- 1) — 2 cos/— 3sin/. (б)
Совокупность функций х и у есть общее решение данной
системы.
Далее, исходя из заданных начальных условий, определяем
значения постоянных С, и С2. Из первого условия: х=1 при
t=n и равенства (а) имеем уравнение
1 = С fl 4- С2,
а из условия: у = 2 при t = n и равенства (б) имеем второе
уравнение с неизвестными С} и С2
2=—2С2 —С1(14-2л)4-2.
Решая эти уравнения как систему, найдем: CL = —2, Са =
= 14- 2л.
— 434 —
Наконец, подставляя эти значения CL и С2 в общее решение,
получим искомое частное решение данной системы, удовлетво-
ряющее данным начальным условиям:
х = 1 —2(f — л)4-2 sin t\ у = 4 (t — л) — 2cos/ — 3 sin t.
1202. Решить систему у"—z — 0', z' + 8y = 0.
Решение. Дифференцируя первое уравнение, определяем
г’, и, подставляя ее во второе уравнение, получим у'" + 8у~0.
Отсюда находим (§ 7)
у = Сге~2Х + ех (Сг cos]/3 х + С3 sin ]/3 х).
Дважды дифференцируя у и подставляя в первое уравнение,
находим
z = 4С1е"2Х + 2ех [(/3 С3—С2) cos /3 х—(/3 Са + С3) sin /3~xJ .
Решить систему уравнений:
1203.
^4-2z/ + 3z = 0, | 2и—4ц = соз/,
1 1204. <
£ + У = I ^+« + 2o = sint
ил иь
du , п dv , п dw п
1205. —и—О’=0; j—u-j-v—= -т—и—v—w = 0.
dx 1 ах dx
Найти частное решение системы уравнений, удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
1206. ^ + Зх + у = 0, ^-х + у = 0; х(0)=1, у(0) = -1.
1207. ^4-4о = cos2х, + 4и = sin 2х; z/(0) = 0, о(0)=0,1.
ил ил
§ 14. Уравнения математической физики
Многие физические задачи сводятся к линейным дифферен-
циальным уравнениям с частными производными второго поряд-
ка, которые поэтому и называются уравнениями математической
физики.
Основными уравнениями математической физики для случая,
когда искомая функция зависит от двух независимых перемен-
ных, являются:
г г, 1 д2и д2и А
I. Волновое уравнение —zr-r^ = 0,
J r at2 ох2
представляющее простейшее уравнение с частными производными
второго порядка гиперболического типа. К решению такого
уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и
продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнит-
ных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи
о распространении колебаний в однородной среде.
— 435 —
r, ,, ди . dau
II. Уравнение теплопроводности
r l dt дх2'
представляющее простейшее уравнение с частными производными
второго порядка параболического типа. К решению такого урав-
нения сводятся задачи о распространении тепла в однородной
среде, о фильтрации жидкостей или газов и многие другие
задачи.
111. Уравнение Лапласа + =
г дх2 ' ду2 ’
представляющее простейшее уравнение с частными производ-
ными второго порядка эллиптического типа. К решению такого
уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электро-
магнитных полей, о стационарном распределении тепла в одно-
родном теле, о потенциале скорости безвихревого течения жид-
кости и многие другие задачи о свойствах стационарных (уста-
новившихся) процессов.
Задача интегрирования уравнения с частными производными,
т. е. задача отыскания функции, удовлетворяющей этому урав-
нению, имеет бесчисленное множество решений. Например, урав-
й2и Л д ( ди\ п
нение = 0 можно записать в виде з- 3- =0, откуда сле-
дхду ду \дх j J
ди
дует, что не зависит от у, а является некоторой произволь-
ной (дифференцируемой) функцией только от одной переменной х,
т. е. |^ = f(x). Интегрируя это равенство по х, получим
u = f(x)4-C. Постоянная интегрирования С есть постоянная
относительно х, но она может быть любой (дифференцируемой)
функцией от у, т. е. С = <р(у). Поэтому общее решение данного
уравнения с частными производными второго порядка содержит
две произвольные функции: u = F (х) + ф(у). А подставляя вместо
произвольных функций F и ф различные определенные функции,
можно получить из этого общего решения бесчисленное мно-
жество различных частных решений данного уравнения:
и— х—« = x3+s’in3z/; и = Т, ...
В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математи-
ческой физики, всегда ищется не общее, а частное решение
уравнения, удовлетворяющее некоторым определенным условиям,
которые называются краевыми условиями.
Для решения уравнений математической физики обычно при-
меняется метод Фурье:
Вначале ищутся частные решения данного уравнения в виде
произведения функций, каждая из которых зависит только от
одного аргумента. Затем, исходя из заданных краевых условий,
определяются значения произвольных постоянных, содержащихся
в этих частных решениях. В результате искомое решение, удов-
летворяющее и данному уравнению и данным краевым условиям,
— 436 —
получается или в виде ряда, составленного из найденных част-
ных решений, или в виде несобственного интеграла с бесконеч-
ными пределами. Этот метод разъясняется в решении следую-
щих задач.
1208. Найти частное решение и(х, t) дифференциального
й2и о d2u п
уравнения —а дх^ = ^’ Удовлетворяющее краевым условиям:
1) ы (0, 0 = 0, 2) и(1, 0 = 0,
3) и(х, 0) = <р1(х), 4) u't (х, 0) = ф2(х).
Решение. По методу Фурье вначале ищем частные реше-
ния данного уравнения в виде произведения двух функций, из
которых одна зависит только от х, а другая только от t:
и(х, i) = X(x)T(t). (1)
Найдя производные ихх = ТХхх, utt^XT"tt и подставив их в
данное уравнение, получим
XT"—a2TX'' = Q, или =
л а21
В последнем равенстве переменные разделены. Левая его часть
не зависит от t, а правая не зависит от х. Это возможно лишь
в том случае, когда обе части равенства не зависят ни от t,
ни от х, т. е. представляют одну и ту же постоянную. Обозна-
чив эту постоянную через —X.2, получим два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
V» rpti
Т=-Х2 и <«)
или
Х" + Х2Х = 0 и T" + WT = Q.
Решая их как линейные однородные уравнения с постоян-
ными коэффициентами (§ 7), найдем
X — A cosXx + В sin Хх; Т = С cos aki -j-D sin akt,
где А, В, C, D — произвольные постоянные.
Подставляя эти выражения для X и Т в равенство (1), по-
лучим
u(x, t) = (A cos Хх + В sin Xx)(CcosaX/-(-D sin akt). (2)
Далее, исходя из данных краевых условий, определим зна-
чения постоянных. Подставляя в равенство (2) заданные значе-
ния х = 0, w = 0 (первое условие) и х==/, и = 0 (второе условие)
и сократив на множитель T(t)^O, получим
0 = A cosO+ В sin 0, 0= A cos kl-{- В sin kl.
Из первого уравнения находим Л = 0, а из второго следует
sin X/— 0 (ибо В ф0 при Л =0), откуда определяется параметр
— 437 —
k=™, n=l, 2, 3......... который был также произвольным*.
Каждому значению X (или и) соответствует частное решение
вида
V m ( anitf I а • ППл1\ • ППХ
ип ~ „ — ^a„ cos ——|- р„ sm -у- j sm —,
где ап — ВпСп, fin = BnDn—произвольные постоянные.
Вследствие линейности и однородности заданного уравнения
сумма его решений также будет его решением. Поэтому и сумма
ряда
+ м> +00
, V1 V1 ( annt . о • annt\ . ппх /оч
и(х, t)=2* ип = 2^ (а„ cos — + 0„ sm-у- ) sm-у (3)
n-1 ti-1 4 Z
есть решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям
1) и 2).
Для определения постоянных а„ и используем два по-
следних краевых условия. Подставляя в равенство (3) / = 0,
м = ф1(х) (третье условие), получим
+ О>
S. ППХ ...
а„ sm у-. (4)
П=1
Дифференцируя по t решение (3)
+»
ди апл (о „ annt . апл1 \ . плх
57 = X — I Р« COS ~1-------------а» sin “ ) sin —
re = l v '
и подставляя в результат t~Q, ^=оф2(х) (четвертое условие),
получим
+ 00
/ \ Мк О ft Л л ПЛХ
Ф2(Х)==Л"ГР«51П“Г- (5)
П = 1
Равенства (4) и (5) представляют разложения заданных функ-
ций (х) и ф2 (х) в интервале (0, /) в неполные ряды Фурье,
содержащие только синусы. Коэффициенты таких разложений
определяются по известной формуле, гл. IX, § 7:
Если f (х) = V bn sin , то bn — у j* f (x) sin dx. (*)
n=l 0
* Если в равенствах (а) вместо —X2 взять -|-Х2, то Х= Ле“х*-|-Вех*,
а для такого вида функции X выполнение условий 1) и 2) возможно лишь
при А'=0.
— 438 —
Согласно этой формуле
а„ = j-j q>i(x)sin^dx, ₽„=— j Фг (х) sin — dx. (6)
о о
Следовательно, искомое частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее указанным краевым условиям, есть функция
(3), где постоянные а„ и Р„ определяются формулами (6).
Очевидно, что при различных исходных данных a, I, фх(х),
Ф2(х) по формулам (6) будут получаться различные значения
для а„ и р„, а следовательно, и различные ряды (3) для функ-
ции и(х, t), удовлетворяющей данному дифференциальному
уравнению и данным краевым условиям.
Решению этой задачи можно дать, например, следующее фи-
зическое истолкование. Натянутая струна, закрепленная кон-
цами в точках х — 0 и х — 1 оси Ох, в начальный момент вре-
мени t = Q имела форму кривой и = Ф1(х), а каждая ее точка
с абсциссой х имела скорость И/ = ф2(х); затем эта струна, пре-
доставленная самой себе, колеблется, оставаясь в плоскости
хОи. Данное уравнение есть дифференциальное уравнение попе-
речных колебаний струны. ^Параметр аа = -^-, где h—натяже-
ние, р—плотность струны.) Найденное его решение и(х, t)
определяет форму струны в любой момент времени t.
1209. Найти решение уравнения с частными производными
ди , д2и
^- = а2^5, удовлетворяющее краевым условиям:
1) и(0, 0 = 0, 2) и(1, 0 = 0, 3) и(х, 0) = ф(х).
Решение. Пользуясь методом Фурье, полагаем
и (х, f) = X(x)T(f).
Тогда заданное уравнение преобразуется к виду
г _
X ~а2Т~
и распадается на два уравнения
Х"+&гХ = 0 и Г + ааЛ2Т = 0,
решая которые, найдем
Х = Лсоз A.x-j-jB sin Хх, Т = Се~а>Кч f
и(х, t) — e-a,M (асоз Ax-f-P sin 2ix),
где а=ЛС и Р = ВС—произвольные постоянные.
— 439 —
Используя первое условие: и = 0 при х = 0 и второе условие:
w = 0 при х—1, получим
0 = acos0 +р sin 0, 0 = acosM-f-P sin X/,
откуда следует: а = 0, \ — п=1, 2, 3, ...
Как и в решении предыдущей задачи, каждому значению
к (п) соответствует частное решение
₽f2 1 ’ • ПЛХ
пе 1 sin -у-,
сумма которых и (х, t) также будет решением данного уравнения
+ » +<» агпгя‘1
и(х, 0 = ' sin5?- (7)
H-l П = 1
Используя третье условие: ы = ф(х) при / = 0, получим для
определения р„ равенство
Ф (x) = £P„sin^p.
n~l
Это равенство есть разложение в интервале (0, /) данной
функции ф(х) в неполный ряд Фурье, содержащий только си-
нусы. Поэтому согласно формуле (*)
i
Р„ = у j ф (х) sin ~ dx. (8)
о
Таким образом, сумма ряда (7), коэффициенты которого опре-
деляются формулами (8), есть частное решение данного уравне-
ния, удовлетворяющее данным краевым условиям.
Решенная задача может иметь такой физический смысл.
Однородный стержень длины I, имеющий теплонепроницаемую
боковую поверхность, расположен между точками х = 0 и х — 1
оси Ох; на его концах поддерживается постоянная температура
и = 0 и в начальный момент / — О распределение температуры
вдоль стержня есть известная функция ы = ф(х). Данное урав-
нение есть дифференциальное уравнение распространения тепла
в стержне (параметр а2 = —, где k—коэффициент теплопровод-
V ср .
ности, с—теплоемкость, р— плотность стержня), а полученное
его решение и (х, t) определяет распределение температуры вдоль
стержня в любой момент времени t.
Распространению тепла в стержне неограни-
ченной длины (бесконечного в обе стороны) соответствует то
— 440 —
же дифференциальное уравнение (II) и единственное начальное
условие: и(х, 0) = ф(х), 00 Сх<;-|-оо, определяющее распре-
деление температуры и вдоль этого стержня в начальный момент
/ = 0.
По методу Фурье, полагая u = X(x)T(t), и в этой задаче
получаем частные решения вида
u = е~а!1,/(acos Ах +Р sin Ах). (9)
Но здесь параметр X является совершенно произвольным,
ибо нет никаких оснований (условий) для выбора каких-то
определенных его значений. Здесь, в формуле (9), А может иметь
любое значение от —оо до + оо. Поэтому здесь решением будет
не сумма ряда, составленного из частных решений, как это
было в предыдущих задачах, а несобственный интеграл по
параметру А:
п(х, t)— (a cos Ах + р sin Ах) dk. (10)
— з>
Для определения коэффициентов а и Р используем заданное
условие и(х, 0) = <р(х), — подставляем / = 0, ы = ф(х) в последнее
равенство:
+ 00
Ф (х) = (a cos Ах + Р sin Xx)dk.
— оо
Сопоставляя полученное равенство с формулой Фурье (гл. IX,
§ 8) для функции <р(х):
+ 00 + 00
»»=5 У {[ 5 Ф (z) cos А z dz j cos Ах -f-
— 00 — 35
+ 00
+ [ ( ф (z) sin Az dz] sin Ax| dA,
— 00 .
находим для а и P следующие выражения:
a(A) = J- С ф (z) cos A zdz, P(M=v~ С ф (z) sin A zdz. (11)
ZJl zjt J ►
— qo — oo
Итак, искомое частное решение данного уравнения, удовлет-
воряющее данному начальному условию, или решение задачи о
распространении тепла в бесконечном стержне, получено здесь
в виде несобственного интеграла (10), где аир определяются
формулами (11).
— 441 —
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее
указанным краевым условиям:
1210. д~—а2~=0; и(0, 0 = 0, и' (I, 0 = 0,
и(х, 0) = ф(х), «Дх, 0) — 0.
1211. |==a2gh «(0, 0 = 0, и(х, 0)==ф(х),
х<+оо, /^0.
1212. ^ + § = 0; м(0, г/) = 0, и(а, у) = 0,
и (х, 0) = фх (х), и (х, Ь) = ф8 (х).
ОТВЕТЫ
6. —oo<i/<—2, 4 < I/< 4-—оо < х <— 1, 1<х<4-оо. 7. —1;
9; —3; а24-5а-|-3; а24~3а; а44~3а2—1; а4-|-6а34-7а2 — ба-J-l. 8. 4; 2;
2 (За 4-8) х (4х 4~ 3) х24~1 3^4~4 л , . ~ ..
~Ь+4-; : -зттг; 41 • •а+ : • у“ °и 6) не'
четные; 2) и 4) четные; 3) и 5) не четные и не нечетные. 13. 1 < х < 2t
2<х<4-оо; — оо<а<—3, 3<а<4-оо; 2Ьт<<р <(2&4-1)я;
(4k — V)^-<x<(4k + V)^~, 1<х<2. 18. 0<х<6; |х|<2К 2; [—4;—1J.
• *
[I; 4]; [0, 4-оо]. 33. аь аа и а3—бесконечно большие величины: ах—>4-оо,
Og—>— оо, а3—>оо; а4, а5 и ав — бесконечно малые величины: а4—>4-0,
а5—>—О, а8—"0. 34. limx=l; Hmz==3, limo = 0; limу и lima не сущест-
вуют. 36. 1) —оо; 2) -f-oo; 3) оо; 4) 0; 5) 4-°°; 6) не существует.
37. limsn = 0; НтР„ = 3/. 41. 0. 42. 2. 43. 8х. 44. Не существует. 46. 8; 0;
не существует. 46. lima„ = n; litn/?„ = /? — радиусу описанной окружности.
48. 0. 49. I. 50. 1. 51. 4 • 55. 3. 56. . 57. 0. 58. . 59. - . 60 — У"2.
61. —2. 62. —4. 63. 4. 64. 2. 65. 2. 66. 2a. 67. 4-68. 4 . 69. 3. 70. 1.
4 о
72. 2. 73. 0. 74. 2. 75. — 76. 0,1. 77. 2. 79. 0,5. 80. 2. 81. х. 82. 1.
84. 4-оо. 85. 0,5. 86. 1. 87. О 89. е*л. 90. е"1. 91. е2. 92. е». 93. 9.
94. * 95. 1. 96. “ 97. -1.98. 4 .99. 0. 100. 4-- «И- 2 cos х. 102. — оо.
2 & 2 2 4
17 1 3
103. е. 104. 0. 105. — . 106. Л. 107. . 108. е~3. 109. —I. ПО. е-®’».
7 2 5
111. xt —> —; ха —> оо. 112. limS„ = ^y^; lira Р„ = 2 (&4-/1). 117. 5;
г- 1
у 2; ; 0; 1; —1. 122. I) Функция имеет бесконечные разрывы в точках
х ——1, х = 0 н х = 4; 2) функция разрывна в точке х=1, где ее скачок
равен —2; 3) функция имеет бесконечный разрыв в точке х=—-% : 4) функ-
ция не имеет точек разрыва, она определена и непрерывна в интервалах
(— оо, —1] и [1, 4-°0); 5) функция имеет бесконечные разрывы в точках
х=+ 1; 6) функция имеет бесконечные разрывы в точках x = ^-(2k-(-1).
123. 1) Функция имеет бесконечный разрыв в точке х=1; 2) функ-
ция разрывна в точке х ——2, где ее скачок равен 2; 3) функция разрывна
в точке х — 0, где ее скачок бесконечный, и в точке х=1, где ее
скачок равен —4; 4) функция имеет бесконечный разрыв в точке х = 0;
— 443 —
5) функция разрывна в точке х =— 1, где ее скачек равен
х = 1, где ее скачок бесконечный; 6) функция разрывна в
2 1 2
ее скачок равен ’. 125. 2x4- 5; ;;----—=; —т== ;
«3 2 к х3 pAx+i
128. 14-6х — х2. 129. 1---1= . 130. 1—1/ — .
V х г х
—2, ив точке
точке х = 2, где
3cos3x; 2sec22x.
132. -1^-3 Kx. 133. ® . 134. j2/--.. 135. x(2sinx + xcosx)
э/х2 (<4-3)2 (х2-}-3)2
136. - 1 + C,-S-ff . 137. 3(1 4- cosec2 Г) cos t. 138. / . 139. 0. 140. —л. 141. 0
sin2<p ' 8 _
142. A. 145. 15(3x4-2)*. 146. 2cos(2x—1). 147. —
14-2 V" x t 1 t
148. ---——: — 149. a cos at cos----------sin a/sin— . 150. —sin®
AV x(x+V~x) a a a
12cos4j/ 14-sin2x , ... .
(1-|-siri 4p)4' 152- / 2‘ ,5X 1^7-’ *54- a(cosa<P + ^sina'P)
155. 0. 156. 0 157. — 1/ 159. (2*4-3-23*) in 2.
V 8
151.
160. 2x (a*2 In a-f-e-*2)
161.
3e~*(l—2x)
162.
ee? (a sin 6<p4-fecos6<p).
163.
4
(ex — e~*)2
164.
169.
2ax-j-b
ax2 + bx + c'
4- - :
165. 2tgx
1
sin2 x.
172.
166. — Inx. 167.
1
175.
182.
arc cosx. 176. ---..
I x| p/4x2—1
J4-X 9). 183. .7.. .
K(*2-b i)8
177.
173. -г/Ц.
14- x2
--i. 178.
4
174.
2.
. 168. ,---t
1 —x2
2
ф Кф* — i
179. 1; 1
6x
(x2—!)* ’
2 sin 4a
, , , p^eos4a
— sin4t 187. (14-2a<p tg a<p)sec2 a<p. 188. ef cos t (3cos 2t 4-sin 2t — I)
J__ 192 . <4+'
гга'ш- /(t*-l)
186.
189. 32x3 ln2x. 190. e2” f cosec o-}-2 In tg
184.
185.
1
2
52x In 5
193. secx. 194. —2 sin In t. 195. >
pr44-52x
где sin x > 0;
sinx ,
197. 1 У =1 в интервалах,
196. -----— -°-*--------.
2 р^(1 —sin x) sin x
y' = — 1 в интервалах, где
sinx<0; в точках x = kn, где sinx = 0, функция не дифференцируема
Х2 4 г____3 у 2
(черт. 213). 198. 199. 2р<4-х2; 4. 201. -у; ,
— 444 —
x = (2k + i)~, черт. 214. 202. 0; 2e; </'_({0)=— 1, y('+)(0)=l.
204. ay (1 In —. 205. In — . 206. r (<pctgq>4- In sin <p) 207. ——— .
к а/ x2 x \ т о т • -г/
2 (/ + 1)(5/2 + .14/+5) у(х*-Зх2-х-1) /1 \
208.-----_+2)4(f+—. 209. x(x_1)(x2yjy 210. Se — + ln«p j .
211. vxx + lnx4-ln2x^ . 213. — 125cos5x. 214. a2(474-60 In a).
215. 1920(2p —1). 216. е^(9х2+12x-f-2). 218. (2lna)"a2*. 219. m(m —l)(m—2J...
...(m—£-+-1). 220. lOcosx—xsinx. 221. (n —1)1 223. 224. — 1/ - .
' 4p—3x r x
225. _£;*-siny+*;si^. 226.4*+g;n4.227.444.228. _ .
e x cos у + ey cos x x(i/-f-xlnx) (ax-j-p2)3 if>
229 (^-И(ех+1-1) 230 4(x + «/) 3 2/-M
22Э- (^4-1)3------• 23°- (TR+T)5 2- 234- I-2T3-
235. cosec2 t. 236. . 237. 1 238. . 243. y—2x = 5; x4-2u = 5.
a2 a 2 27a
244. 3y — 4x=l, 3x4~4{/=18; 4x4-3y =—1; 3x—4p=18. 245. x4~</ = 4;
x—y — 2. 246. (x4-y) = a; y = x. 247. p=±(x—л). 248. В точке (0; 0):
у—— 2х, х — 2у, у — 2х, х ——2у. В точке (2; 0): 2x-f-p = 4, х—2р = 2;
1 Кз
2х—у —4, х-(-2у = 2. 249. 45°; arctg-»-. 250. arctg—=-. 251. 90°.
252. arctg 4-. 253. 90°. 254. arctg3; arc tg-|-. 255. ( — 1; —2), (2; 9);
^1; . 256. (3; 4); (—3; —4). 257. (1; 0), (2; 1); таких точек нет; (I, 3),
4 1^"3 3
(1; 1); (1; —3). 258. arc tg . 259. 90°. 260. arctg3, arctg-^.
Io 1У
261. arctg-i. 266. ~ = k{a— Q). 267. ^=-4a2f. 268. ^=16лг-- ;
& 5 dt dt dt сек
~—8яггсм3/сек. 269. v=(6t—t2— 8)е~*; w=(t2—8t4~ 14)e-t; /x = 2, t2 = 4.
270. v= — ae~at (cos (at 4-6)4-sin (at 4-6)]; F = 2ma2e~at sin (at 4-fc).
273. bm (a4-6x)'n-1 dx. 274. t2e_*dt. 275.—x"-1 In xdx. 276. cos<p In cosec<p dtp.
277. —29, 90. 278. 0,87. 279. —0,31. 280. —0,39. 281. 0,0140. 282. 0,9976.
283. 60°3'. 284. 0,0100 . 285. 1,9875. 288. = = 2x-[-y + 2z = 6.
289. A = |=^2:, = 0. 290. 2U| = |;x4-p = 0. 291. f ,± |, ±| .
294. v=aco&t-j—asint-t; w=—r. 295. u = 3/4-(4 — 2/)fe; w=—2k.
. xln3 , x2ln23 , , x”ln”3 „ Jcn+1ln" + 13o9r n rt
300. 14- — 4— 2i—+ . • • +—•. 3 • n₽”
x К2/. , x x2 , x"\ „ I x"*1 Г» л
бом x; —(J4____-...±_J, /?„ = |{___cos[0x--T4-
+(n4-l)y-l I, >0 при любом x; + +^j~ •
— 445 —
, . х3 х3 , х3 . 2х2 Г х—а (х-а)2
при любом X. 30t. x4--g-; X— ~2- + -3- • 302. е 1 + ~ПУ 4- ' 2)~а2~ +
, , (х — а)п4 п п . х—а / , я \ .
4- • • • + ~f—w~ I . Rn—’° при любом х; cos а 4-—cos ( а 4—I 4-
fl I О' | л» \ 2* j
(х—а)2 / , „ л V , , (х—а)п ( л \ „ ____ „
4----ат—cos I 04-2-s-)4-...-f-i—r-i- cos I a4-n, Rn—>-0 при лю-
2A \ / П1 \ Z J
бом x. 303. — 14
27
8
x + 1 (x+1)2 5(x+l)3 10(x+l)\ 9 ( л V
— +—9—+ ST- + 243~~ ’ -1+2V + T)
304. 0,309; 1,648; 4,121; 3,004. 305. 0,9848; 1,3955; 2,0022; 0,5878. 307.4-.
О
13 9 3
308. —3. 30». 4-oo. 310. 4. 311. у. 312. —1. 313. к 314. 4* 316.—4.
2 a 5 5
9
317. 0. 318. 4- 00. 31». 2. 320. 1.321. — — . 322. 0. 323.—1.325. e.326. ел. 327. 1.
л
А
328. е-1. 329. е 2 . 330. в". 333. 1) Функция возрастает в интервале (— оо,
4-<ю); 2) функция возрастает в интервалах (—со, —1) и (I, 4-<ю) и убы-
вает в интервале (— 1; 1); 3) при ft>0 функция монотонно возрастает, а
при k < 0 монотонно убывает на всей числовой оси; 4) функция убывает
в интервале (—оо, —3] и возрастает в интервале [3, 4*<»]; 5) функция
убывает на всей числовой оси, 6) функция возрастает на всей числовой оси.
336. утлх ~ У (0) = 0; Jfmjn= (4)== 32. 337. #п1ах = у (± 1) = 4; l/min= 11 (0)=3.
338. Нет экстремума, 339. 1/пНп:=2/(' 2)=:=э- 1. Утах^У (2)^^ 1- 340. l/n>in==a
<=y(±2) = 4. 341. (/max=t/(0) = 3. 342. ymin==y (0,5) = 8; ymax = y (1) = IO.
343. Утах~У( 3) = 3 j/3; //min = у (2) =—j/44. 344. Ую\п~у(—4“^ ~
3 4
= з7=. 345. Нет экстремума. 346. ymln*=y (0) = 0; утах = у (2)=^.
У 4 e
347. l/min='/(<?) = <? 348. утах = у ^4- 2л^= У 2; z/min ==«/^4* 2nfe)
Ут!п ~ У (0) = У (3)===0. 351. —//max (2) = 10;
е=у(0)=.— Ю. 352. ин(-^и (1)= 1; инм = ит1П^=и (2) = 2 (1 — In 2). 353. vh6 =
= vHM=v(0) = v(^\=l. 354. yHff = ymax = y(0)=l;
Черт. 216
наименьшего значения функция не имеет (черт. 215). 355. уНЛ, = ^т1п—
= у(0)=—1; наибольшего значения функция не имеет (черт. 216). 360. Пря-
моугольник должен быть квадратом. 361. 20 м. и 40 м. 362. 6 см. 363. 1о м
от более сильного источника света. Зб4. Центральный угол сектора должен
— 446 —
быть равен 2я радианов, или около 294°. 365. cos а при усло-
вии, если k :> ~ 367, 60о> 368. 7 8,3 л (определяется как минимум
функции Z = 2sec<p-f-4cosec<p, где <р—угол между бревном и одной из сте-
нок канала). 36». t = 370. ф = 45°. (Использовать зависимость пути
vl +°2
от времени при равномерно-ускоренном движении.) 372. Точка перегиба
(1; —2); при — оо < х < 1 кривая выпукла вверх, а при 1 < х < -J- оо вы-
пукла вниз. 373Точки перегиба (—3; 294) и (2; 114); при—оо < х <—3
и 2<х<4-оо кривая выпукла вверх, а при —3<х<2 выпукла вниз
374. Кривая выпукла вниз во всей области своего расположения: —оо <
<х<—2 и 2<х< + <»- 375. Точка перегиба (0; 2); при х<0 кривая
Черт. 218
выпукла вниз, а при х>0 выпукла вверх. 376. Кривая не имеет точек
перегиба, но меняет направление выпуклости в точке разрыва х = 0: слева
от нее она выпукла вверх, а справа выпукла вниз (черт. 18). 377. Точек
перегиба кривая не имеет; направление ее выпуклости меняется в точках
разрыва х= ± 2; при —оо<х <—2 и 2 < х < + оо кривая выпукла вниз, а
при —2 < х < 2 она выпукла вверх (черт. 21). 378. Кривая не имеет точек
перегиба; при —оо < х < — I она выпукла вверх, а при 1<х<4-оо вы-
пукла вниз (черт. 217). 379. Точки перегиба (—У" 2; 1) и (V^ 2; l) в угло-
вых точках кривой, где у" не существует; при —оо <х<—Y2 и У 2 <
<х<4-оо кривая выпукла вверх, а при —V2 < х < 2 она выпукла
вниз (черт. 218). 381. х = —2 и </ = 2х—4. 382. х=—1, х=1 и у=х.
383. у = 0 при х->-+оо. 384. у=~х—1 при x-f-f-oo; у —---------~х—1 при
х— оо (черт. 219). 385. х = 0, р = 2х. Наклонную асимптоту кривая пере-
— 447 —
= </(—2) = 4; = !
делена и непрерывна
пат в точках (0; 0) и
секает бесчисленное множество развточках х = -^- (2k -f-l). 386. х- 0, у=х.
388. Функция определена н непрерывна на всей числовой оси. График пе-
ресекает оси координат в точках (—3; 0) и (0; 0). Асимптот нет. um,y =
1/(0), = 0. Точка перегиба ( —1; 2). 389. Функция опре-
на всей числовой оси. График пересекает оси коорди-
/ 1 \ 27
i (1; 0). Асимптот нет. ут1п = у -г Точки пе-
\ 4 у io
1 ) . 390. Функция определена и непрерывна всюду,
региба (1; 0) и
кроме точки х«=2, которая является точкой бесконечного разрыва. График
пересекает оси координат в точках (—1; 0) и ^0; —. Асимптоты х = 2
и У = х-(-4; утах==у(—1) = 0; ут\я = у (5) = 12. Точек перегиба нет (гипер-
бола). 391. Функция определена и непрерывна всюду. Нечетная. График
пересекается с осями координат только в их начале. Асимптота у = 2х-
Экстремумов нет, функция всюду возрастает. Точки перегиба — ^3;
3 1/"3\ / г •- 3
----—1, (0; 0) и / Г 3; —L— ). 392. Функция определена и непре-
рывна всюду. График пересекает оси координат в точках (0; 1) и (1; 0).
Асимптота у = —х. Экстремумов нет, функция всюду убывает. Точки пере-
гиба (0, 1) и (1; 0). 393. Область определения и непрерывности х^0. Гра-
фик пересекает оси координат в точках (3; 0) и (0; 0)—концевая точка.
Асимптот нет. pmjn = i/(1)== — 2. Точек перегиба нет. 394. Функция опре-
делена и непрерывна всюду. График пересекается с координатными осями
в точках (—1; 0), ( -j-; 0 ] и (0; — 1). Асимптот нет. i/max«=p (—1) = 0(точка
\ о у
возврата); pn)jn‘= у (0)=—1. Точек перегиба нет. 395. Функция определена
и непрерывна всюду. Нечетная. График пересекает оси координат в их на-
чале. Асимптота у = 0. «/min =£/(— 1) = — 0,6; ymaii = у W =.
У е У е
Точки перегиба (— 3; — J , (0; 0) и ( Y 3; • 396. Функ-
ция определена и непрерывна всюду; периодична с периодом 2л. Асимптот
пет. На отрезке [0, 2л]< график пересекает оси координат в точках ; 0^,
(j; о) и (0,-1); утах~у К'2’, Ут1п^У 2’ ’очки,1е‘
региба , о) и ; 0^ . 397. Функция определена и непрерывна всюду,
нечетная. Асимптоты р»»х—л при х—► -(-<» и i/«=x-j-n при х—►—оо;
1. £/n>ina!/ d)“l—J • Точка перегиба (0; 0) (черт. 220).
398. Функция определена и непрерывна всюду, монотонно возрастает. Гра-
фик пересекает оси координат в их начале; асимптот и точек перегиба не
имеет. Угловые точки с абсциссами fe«=>0, ± 1, ±2, ... расположены
на прямой р«=х, для каждой из этих точек р(_)“,2, р( + )»=0 (черт. 221).
399. Функция определена и непрерывна на отрезке [ — 1; 1], четная. Гра-
фик проходит через начало координат. Асимптот нет. !/min=oy (0) = 0 (угло-
вая точка, где //'_j = —1, Точек перегиба нет. Концевые точки
— 44Ь —
(—1, Н (1; (черт. 222). 403. 3; 3,25. 404. 2; 185. 405. 3; 0,95.
400. 1; 0,44. 407. —2,66; 0,52; 2,15. 408. —3,40; 2,90. 409. 0,27; 2,25.
>— К257» 1 /
410. 0,21. 417. 2 V 2; —gj- 418. . 419. 4а. 420. 1,5а sin 2L 421. (О;
_±\ . 422. f-vi tV 423> <3: ~2)’ 424- (-2; 3)- 423-
3 J \ 2 3 у \К2 2 / '
426. 427. 8Х3 = 27Г2. 428. Xs— Г3=(2а)3. 429. Х24-У2 =
«а2. 433. ^.434. -J Vf. 435. -1. 436. 1п|х4-3|. 437.
О / г оу У
Черт. 222
438.
441.
у arctg 439. In (о4- /1^+7). 440. ~^1п
arcsin-^-. 442.—Scos-^-, 443.—-^-ctg2<p* 444. 4-е4*. 445.
2 3 2 4
г—/~2
г+/2 ’
3-5~2‘
21п5*
446. 1П 12*±51. 447. 448. In | sin х |. 450. х ¥ х~
Zt О ^ОХ о
3 ¥2 3Z- 1 |х— II
-----— х у х-(-5х. 451. ф4~"2"cos 2ф. 452. х4~ In • 153. 2 к х(х—I)3.
454. •£ —3ln(xa4-6). 455. tgx—ctgx. 456. -1 (е2*—2х. 457. +
& &
4-21п |х4-21. 459. ^у=1п
4- In | cos <p |. 462.
460. 1п (34-4е*). 461. — tg2q>4-
^+±а у (a_x2)3 463. 1П I х_2 .464. 2 X
Х(3х2—ах—2а2) Vеа—х. 465. ± In---, где «4-» соответствует
I ± у 14-*2
I X I
значениям х > 0, «—» — значениям х < 0, или короче In --;=====.
14- /ГЛ2
466. 1 In | tgx). 467. 2-ln (х24-КГТ74). 468. х-2 j/‘x4-21n(14-K^).
15 № 3201
— 449—
469. e*4-ln[e* — 11. 470. In J In x |. 471. -jy=.ln ^sinx 4* sin2 x^ .
472. -2 / 24-cos2x. 473. ^(3a*-4) p/(e*4-l)3. 474. у[У?3-
— In (1 4- p/x3)J> 476. sinx—xcosx. 477. у (3 In x—1). 478. nx (In x—1).
2x24-2x4-3 . . x2—I. . . . x2 x
479--------Jax----• 48°- xtgx4-ln|cosx|. 481. —ln|x—11———y.
482. tarcctgt4-yln(14-t2). 483. x In (x24-1)—2x4-2arc tgx.
,D. eax(asinbx—6cos6x) .o_ . 1 — К1—x2 1 . xlnx
484. ---i-----5-7-75-----. 485. In---------------arc sin x. 486. ——r—
а* + Ь2 x x x 4-1
— In | x 4-1 |. 487. x arctg ^2^1 — 1 1^27=4. 491. 1 Ш I I . 491. -^-X
2 D | X 4“ 21 о
Xarctg^i?. 493. 4^2- 494. 2 In (x2 4-3x4-4)—arctg .
495. -J-In j x 14-У-1П I x4-5 496. 2x4--|-f5-^-r + ln I 3^+11 V 497.1 x2-
Du У \oX-f-l i 2*
q 41 о у_i
—4x4-In |x—114-—In | x4-31. 498. arcsin—-5—. 499. ln|x—14-
4 X О
4- Кx2—2x |. 500. 1 arcsin 2x — 1 /1—4x2. 501. /x24-6x—6 In | x 4-
2
4-34- Vx24-6x|. 502.- —L-.arcsinу Кl-2x-3r2. 503. ^X
xK x24-4x—21n|x4-24-/x24-4x|. 504. Kl—2x—x24-arcsin.
2 У 2
у 1 2 1 V 1
507. -^4-r^sin lOx. 508. sin x —sin3 x 4- sin5 x. 509. — — sin4x.
Z 2л) О О о
510. 4~ c°s6 x—^-cos3x, 511. -i sin4x—-i- sin6 x. 512. —x—~ sin 2x4-
5 3 4'0 84
1 1 3 13 3 5 1
4-^sin4x. 513. y+^gy—у etg3 y. 514. ^sin у x-|-^ sin у x. 515. у sinx—
cos (a—b) t cos (a4-6) t cos 12x cos 6x cos 4x
“22SlnlU 5161 ~^b^)---------2(^+бГ-517- “48-----------------24-16—
— -0S2x . 518. ^-(tg2z — ctg2z)4-21n| tgz|. 520. — 4-In I 1--1.521. InX
О 2 X I X J
lx I 1 , |x—1| , 1 .2x4-1 ,
X ' — . 522. v in .... 4- arctg 523. In x — 1 —
v2 J_ 1 3 ' 1Л 3 1< 3 ‘ 1
529.
2x—1 о. Ух2—2x4-5 „ . x— 1 1 । 14-/1
-(7=1Г 524' 31n-------[71---+ 2arc'8 —' 525' T >" I та| -
— /24*y arctg 526- у arctg у — у arctg z. 527. 2 (x2 —1) ln j Г4Й | •
___ x—2 ,1 x , ,
528. 4 (x2 -j- 2) 4 j/~2~ аГС^ (подынтегральная Дробь-элементарная).
1 ,
---7= In
2J<2
1 * r
r= arctg у—x2 [знаменатель разла-
— 450 —
гается на множители; х4+1 =х4-|-2ха +1—2х2«=.(ха-|- 1)а—2ха => (х2 +1-f-
+ х КГ)(х2 + 1 - X Kn 531. 6 ®/х — 6 arctg £/Г. 532. 0,4 (ха—
—х—6) Уз—х.
..* . 535.
5 У5-х2
х
х--2
х
In (X + )/‘ха4-1) —
х
— 1 3
х2. 537. ±-Tj-arccos —; -j- при
и X
533.
In |x|
534.
X X
536. 2arcsin+ —2^
при
538. -4- х-® (2х® + 1) 3 . 539. 4- In 11-*3'-. 540. Ух* + 2х + 3 .
5 ' 3 1+ /1—х® 2
541. ^ф^К^ + 2х + 2-4-1п(х + 1+ Г ха + 2х + 2). 542. ^arcsin^=^-
Z Z 4 Ci
£±^/2ах-х2. 544. x-tg|. 545. ‘ I tg^l. 546. Iflnltg-jl-
л» /г j z | z y I I
COS X
sin2 х
547. 4- In
О
l+2tg|
2-igy
549. | (x + in | sin x + cos x | ).
z
548. ±tg4 3x —^tg2 3x —-4- In | cos Зх I.
1Z О О
550. 4" 1° (e2t + 0 — 2 arctg Л
z
551. 2 In (e*-j-1)—x. 552. 4^ <tg x + In | tg x |). 553. ln(e* + D +
z
18e2X + 27e* + ll 2 r .r-—r—- ./•—i xa cos 2x . x sin 2x
+ 6(^+l)3 • 554. ^[K(x+a)3-/V]. 555. t + —4—
556. Ц— Kx2+1. 557. — 1п[(ех + 2)4|ех —1 I6]. 558. -4 arctg (3 tg z).
О О и
559. 4г+х+1п -14=44 — arctgx. 560. У1—х2 +arcsinх. 561. 6 ^/(х+1)2Х
2 у х* +1 и
X ——^q~^' +—• 562. х arccos х— УI —х2. 563. 4 V"1 + У г .
564. cosect—’ cosed-/. 565. Xx^-—4arcs|nx. 566. Kx2+10x —
3 2Kl-x2 2
— 101n|x4-5+/x2+10x|. 567. (x2—x + 2)e*. 568. x(In2x—4 Inx-f-5).
569. 2 sec x. 570. Zg. 571. 6x" + . 572. (o-|-1) arctgKv -
21x3 12/(4x + l)3
-/V. 573. 4(2^j3« 574' 2(x + 2) КЗха + Зх + 4. 575. ln^-
-1П(1^~Х)-. 576. x24-l K(4=^)5. 577. l(4x + 31n | 4cosx + 3sinx|).
578. ^.(х+Ух*-Г) -4-ln|x+Kx'2^T|. 579. ± [* Kb=xr+ (2x2 - 1)X
Z Z
Xarcsinx], 580. _|x| --£I£tgx _ g83. .
Kx2+1 * У 1+x 3
584.4-585. 4-In A 586.^4-1^. 587. 0. 588. 0. 589. -4-. 590. 2e-l.
» О 4 6 z z
15s
— 451 —
593. 594. 595. 3. 598. 0,8 (2 £/2—1). 597. .
598. 599. In2. 800. In . 601. 1,5 (In 4 — 1). 802.
b 3 v 2
(подстановка x = 6sin2/). 803. • 805. 36. 808. ?K2 . 607. -5—.
21 и ' О
195 a2 M2__11
608. Зла2. 609. -к-. 610. —611. 6,76. 612. 1,5. 613. 0,95.
о 2е
614. я2. 615. 4-а2л3- «16. -тл«2- 617. 2я2 —1 Y 618. 4a&arctg —
3 4 \ о ) а
(перейти к полярным координатам). 622. -1 abk2n, 623. -|-яЬ2< 624. .
626. -~ла2Ь. 627. л2. 628. 34л. 629. 12л. 630. 631. 632. .
3 1и 35 3 15
633. 2л2я26. 634. 5я3л2. 637. . 638. 6а. 639. (е—е-1). 640. Кб 4-
о L
+ 1п(К2 + Кз')- 641. 1 4- у 1п у. 642. 8я. 643. ля К4л24-14-
4-41п (2л 4- К4^+Т). 644. 645. ю(^4-КН; р[24-
4- К2'4-1п (1 4- К2)]. 649. 650. ла2. 651. 4л [К2 4-Ш(14-К2)].
*5 3
652. 29,6л. 653. 2л(44-31п3). 654. 4а&л2. 669. 2567; Т; 170Г.
670. 244,8 кГ. 671. 4000л кГм. 672. 1134 кГм; 1430 кГм'. 1661 кГм.
673. 919 кГм; 1099 кГм; 1226 кГм. 674. 750л кГм. 675. 62с2аЬ =
= 23,04 кГм. 676. 0,24 кГм. 677. аУ&; a V"R* (2 К? — 1), где а =
= _Н_№_ 678. 0,4яй V2gh. 679. клНЧ^а / _2я\
0,9S Kg 4 \ " /
684. (о, 685. 686. (9; 9). 687. (, о). 688. (,
у Зл j у Зл Зл у у о у \ о
. 691. е. 692. л. 693. —1. 694.^-^125. 695. —1. 696. Расходится.
256 / г
697. 6 у/2. 698. Расходится. 699. 3. 700. 2л. 703. 1) 1п 2 ss 0,6931;
0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932; 2) =s= 0,7854; 0,8100; 0,7600; 0,7850;
4
0,7854. 704. п, > 100; па>4; п3> 1. 705. 1,118, 0,157. 706. 34,008.
5
710. 0; 5; 0; . 713. 1) Вся числовая плоскость; 2) точки, лежащие вну-
три эллипса ха4-2#2 = 2 и на этом эллипсе; 3) вся плоскость хОу, кроме
прямых у=±х; 4) хй:0, у>0—первый квадрант плоскости хОу,
5) у > х, у > 0, х Ф 0—второй квадрант и точки, лежащие выше биссек-
трисы первого координатного угла плоскости хОу, 6) круг х24-р2,<1-
716. ~; 1; не существует. 717. Одна точка разрыва (1| —1); линия раз-
рыва—прямая у = 2х, линия разрыва—гипербола х2 — 2у2 = 4. 721. г*а
— 452 —
= 45хV (5х*у2 4- 1)«; г'и = 30x»i/ (5х»у2 +1 )2. 722. ; ~=-^- .
РХ t“ 0Ц f*
723 dv^ 1 <* =___________*-______________ 724 др - 1 *1 -.
дх ух2 + у*’ду (х+/х2 + У3) Кх2 + у2 ' ' дх t Уt2 —х2
=........... . 725. 12; 0. 726. 0; 2sin2=l,82; — sin( — 1) =
dt 111 У i2 —x2
= 0,84. 732. — dx-}-ln 2x dy. 733. sln2/cos2xd(— sin2 ( sin 2x dx.
uzdx + xzdy—xy dz ___ am( bn , b . bn . ,
734. —---——x-2--------—. 735. ea ( a cos — dm------sin — dn 4-
z2 \ p p p '
.L^s'in^dp^ 736. A; A 737. 4,24. 738. —0,05. 739. 1,05.
P2 p / 3 3
/41. ег-2->'(cos x—6x2). 742. —A—. £_A2L|_ . 743. A (3x + 2o In a); —^(y+
ех-}-ег ex-}-el иУ VD
+ vlno). 744. 747. - ]/ A. 748. -A. 749. -9. 750. -1.
75E -1;~db-752- 757-йНДз; Д=-(2Д?:
d2z _ 8x2 . d2u x sinx. d2u _e* cosy. d2u ex
dy2-(2y — 3)3’ dx2==e ny~ x2 ' dxdy~y^ x ’ dy2=s y2
9
—sin у Inx. 758. 7—:—759. —2xu —x2t/cos (xy). 760. (1 +x2y2z2 In2 2 +
(*~r У) .
V— 1 /J |- 1 7—— 1
-f-3xt/zln2) 2*^ In 2. 768. x—2y + 3z = 6, —— =^_=—769. 3x-
1 ~о
— у—z = 4. 770. + =1. 771. 12x-3y + 2z=± 13. 772. z = 0;
dr tr C*
x-{-y—z = 2. 775. 2mln = z(l; 4) = — 21. 776. umax = o(4; 4)=15. 777. Нет
экстремума. 778, 2min = г(Уз, —3) =—6 УЗ; zmax = z(—У3, —3)=в
_ 2
= 6 /3. 779. <рт1п = <р(О; -2) = --. 780. угаах=у (6; 4) = 51п 2.
781. В единственной критической точке Мо (1; —1) определитель Д = 0.
Исследование знака z (Л1) —г (Л10) показывает, что Мо есть точка мини-
мума, где г = 2. 782. В единственной критической точке Ро (2; 0) функция
не дифференцируема. Исследование знака и (Р) — «(Ро) показывает, что Ро
есть точка максимума, где «₽=1. 785. фнб = Ф (4; 0) =3 ф(0; 4) = 91; фнм =
= Ф(3; 3) = 0. 786. гвб = г(1{ 1)«=г(-1; -1) = 3, ги1=г(1; -1) =
= г(_1; 1)==—3. 787. онб = о('А; AVg Инм==и/'^1
= —3. 789. Вершины В и С. 790. Равносторонний треугольник.
791. f-A , . 792. Куб с ребром X. 793. Искомый ящик имеет квад-
К 2 2 j х2
ратное основание и высоту, равную половине ребра основания. 797. 26;
- 11,2; е-=2; 798. 9; -у. 799. A_2arctgA; In2. 800. АЛ ’ •
4 X 1 У-1
~Елл- 801’ 3- 802- dx { Hx,y)dy. 803. С dy С udx.
«лН J J J у
2 2 0
— 453 —
Черт. 223
Черт. 224
S 2
+ J dy^ dx. 810, у-ла3; у п4а3; 0.
1 о
814. 5. 815. — 4 In 4. 816.
821. . 822. ла2 (черт. 223).
8Ц. — а3’, — ±а3. 812. 0; л(1—е“а2).
3 3
ттп2 7 ла2
817. 818. 819. Зл. 820. -j- .
4 4 (а2 + t>2)
824. 2 ла3. 825. -д . 826.
Черт. 225
Черт. 226
(черт. 224). 827. — (черт. 225>- 828> 41ю8 (20-1). 829. 16 л
(черт. 226). 830. у. 837. -1 fenR4. 838. . 839. kp (4 —л).
840. ^(а2 + &2). 841. ; —(& + &), 842. ^(а2+ &2);
454 —
Q
— itR*. 844.
ab3
12
843. 4 aR\
4
g(3aa + &2). b (a2 4-3d2)
5(a2 + &2) ’ 5(a2 + &2) ’
если катеты а и 6
лежат на осях координат Ох и Оу. 845.
8а 86 \
15 * 15/
«’• (т’ г- т)-
дЗА 1
Х(о8 + Ьг+с«); _Л; -L; ВО.
/З(а-Ь&) (2/?2—а2 —62)
4(ЗЯ2 —Л2 —62 —лб)
853.11. 854.
□
846. ^0; 0, .
; 0; О') 4 852. ~х
4
855. -к- . 856. 3.
У
861. ^(6^3—5). 862. 16. 863. у л(Оху-круг х24-у2 <4). 864. — 12
(черт. 1195). 865. (5 VI— 4). 866. |-а4. 867. .
868. l^(GXy-круг х2+г/2<-| /?2) . 869. (О, 0, с); (у а, ~b, | с) j
(о, 0, • 87°- 87L 2-2~. -лб/?5. 876. у; -А.
\ 5 / о о ои 1 а
877. 2. 878. In L+A1C®. 879. 1,5; 1. 880. 0. 881. —0,5. 882. 2. 883. 0.
890. 891. |-1п(е2 + е-2)^=1,01. 892. 6л; ля2. 893. 1 А-
о 2 о о 10
894. -i & (63—5 V 5); k. 895. (О, 0, /пл). 896. , ~^) * 897. ± 8а2/п.
898. -у (г2в— /д). 900. х3у-\-х— у+С. 901. sinxcosy4-cos2y4-C’. 902. ху4-
4“ sin (ху)+С. 903. у^У — Зх + С. 904. arc tg 4-С. 905.1п | х + у |-------- +
__ _х __ х~гУ
+ С. «Lp. 0. 912. 2+^3. 913. И4. £.
2 ОО о 2
1 4 32
915.0.916.—3.917.-3 л^з. gl9. 3;2f. 924.3л/?2. 925.4/?2(черт.-225). 926.8R3(черт.
О о
99). 927. 42 л. 928. 2 ля2 (3 — V 3). 929. 2 ok arctg— . 930. . 931. ( 0, 0, .
/\ 4 \ о J
932. (о, 0, ~. 938. 2Н-2?: 27-47; 2j; --Ь. 939. »
\ 3 / 2 5 (х2 + у2)2
940. 2(cosp—2cosa—cosy); —у. 941./{1; 0; —1}. 942. 2V 3. 944. (0; 0);
(_1; —1). 947. 4nR3H; —4л; 24Я». 948. Ал; -1 я№. 949. 29; 2хг(г24-3У2).
954. ±^; 3. 955. 2(у + г)Т; 0. 963. Да. 964. Нет. 965. Да. 966. Да.
О
967. Сходится. 968. Расходится. 969. Сходится. 970. Сходится. 971. Схо-
дится. 972. Расходится. 973. Сходится. 974. Сходится. 975. Расходится.
976. Сходится. 977. Сходится. 978. Расходится. 979. Сходится. 980. Рас-
ходится. 981. Расходится. 982. Сходится. 983. Расходится. 984. Сходится.
985. Сходится. 986. Сходится. 989. Сходится абсолютно. 990. Сходится не
абсолютно. 991. Расходится. 992. Сходится абсолютно. 993. Сходится не
абсолютно. 994. Сходится не абсолютно (сравнить с гармоническим рядом).
995. Сходится абсолютно» 996. При |а| > Г сходится абсолютно; при
| а |=> 1 сходится не абсолютно; при | а | < 1 расходится. 997. 0,96. 998. 0,04.
— 455 —
1001. —1«Сх<1. 1002. —< * <-_L_ . 1003. Сходится только при
И 2 у 2
* = 0. 1004. 3<х<5. 1005. — оо<х<+оо. 1006. |х|<4. 1007. ( —оо,
— 1); (1, 4-со). 1008. [0,1, 10). 1009. (*-1) л < (*+-*-) л, k=0,
±1» ±2, ... 1010. —оо<х<4-оо (использовать интегральный признак).
у2 Зх® 1 1 уЗ
1014. 1+^ + ^-+... ; 2х-^-+^+ ... 1015.-1+(х-2)-(х-2)2 +
+ ••• : х— 1 + -|-(х— 1)2+^(х—1)3+... 1016. Iч-^2 ,
/1=1
-»<«<+-> -Е £.->•»«; (£-£+£--•)-"+
/1 = 1 ' '
х2 , х*
2Г + ТГ
cos
I, —оо <х < + со. 1017. е~г
/1=1
2
л
t+JZI
112
П = 1
Л \2
Х 2 /
2! 22
।п-1* ‘3'5... (2п 3)
n!23/I
л \я
Х~"2)
п\2п
__ 02/1 у2Л+1
1024. 1),+£
/2 = 1
v x2n~1
2d2n —1 ’
Я=1
4* оо 4* оо
U-D^+D- 4> '+«’+T-
П=1 Л=1
Xs
30
K^Sin^
1----i—-хп + ...,
п!
+ 00
5) 4+£(2+2”)£ .
/1 = 1
— оо<х< + оо. 1025. 0,9554; 0,3894; 0,1973;
3,1072.
3) С + х4
__1)и“ 1 х2”+3
(2п—1)(2п + 3)’
Зх»
8-9
+ 00
4- ..., 1х1<1; 4) С + 2
П = 1
+ со
(х|<1; 2) С + 1п[/|+2
Л = 1
-1)я~1х2П
(2п)!2п ’
5) C + J^ ( —1)'1“1^, |х[<1. 1027. 0,500;
Л = 1
/1>0;
— оо<х< + оо;
0,201; 0,946;
+ »
1026. 1) С +
П = 1
0,072; 0,047. 1030. Сходится абсолютно. 1031. Расходится.
1032. Сходится не абсолютно. 1033. Сходится абсолютно. 1034. 1.
+ <х>
ES1D ПХ
~П~ *
П = 1
^456 —
+ «
1ПЛЛ 1 C0SX O V (— *) cosnx
1044. 1 -----2-4-2
П-2
q £ +«5
1045. -4-—^ 22 (2n —l)a X
0 = 1
(2n — l)nx 3 (—I)” плх ла
Xcos---5-----— —~sin-y; -у (при x = 0).
Л=1
1 4
,046- -2 “
+ co _
cos (2n + 1) jvc
2* (2n 4-1)3
n=l
1047.
+ co
36. v (-1Г nsinnx
я 2 25—36na
e4— 1 Г 1
1048. -2^2- у +
n = l
(-1)"
H + n2n2
/„ плх
^2cos —
1050.
±Г1_у r i/os2flx •
я 2 ' *’ 4n2 — 1 ’
"=i
_1____я
2 4
л + 00 _
я2 cos 2nx
’049- -6—
n-l
2 / 1
(при x = 0). 1051. “('2’ +
+ ® \ + co
, V1 sinn \ я—1 , „w 1 , . 4 гч 1
+2-~cosnx ); ~2~ (при Х==°У’~~2 <ПРИ х=я)' ,052- ^2-«2п^ТХ
п=1 ' П=1
.. (2п—1)ях
X sin 1~—
1 4 cos (2n—I)nx 8 у (—1)"
2“2Z- " (2л —I)2 ’’ я2 2- (2n+l)2.
л=1 и=0
a sin rcacos xa ,
----“i----5-----
1 — a2
+ a> +<o
X sin(2l.+ 1)«xt 1055. A f sinxasinna 2
2 я J 1—а2 я
о 0
+ CD +oo
2 f a (1+cos na) sin xa , t iAB_ 2 f (1 — cos a) cos ха , 1Л^О
— I ——!—5— -----------daf x=6n. 1057. — \ /------da. 1058.
я J a2—1 я J a2
о о
+ ®
1 r (eITO+l)da
2я J (1 —a2)e‘*a ’
1068. x—y + ln|x</| = C. 1069. (x —l)2 + y2 = C2.
1070. cosp = Ccosa. 1071. (e^ ex = C. 1072. tg y = C (ex— I)3. 1073.
x(y2 + Q = x2 —1. 1074. x + ?/ = 0. 1075. 2е^2 = ех+ 1. 1076. x~2 + z/“2 =
=2(1+1”lfl)-
1078. arctg ^- +In C K*2+//2 = 0. 1079. x = (z/—x)X
У
X In С (у—x). 1080. /х~ + HF In Cy = Q. 1081. e"T+lnCx = 0. 1082.
3t/3 = 8 (x2—y2). 1083. sin In | x | = 0. 1085. z/ = (x + C)ex. 1086. z/(x2+l)2 =
( --Г
= x8 + 3x + C. 1087. 2x cos y = C—cos 2y. 1088. y=\x—V + Ce 2 ) .
1089. y = — e~x In | 1 —x | . 1090. xt/2 = (ln | cos у | + у tg y)2. 1092. x3//2 + 7x = C.
1093. хеУ + yex + 3x— 2y = C. 1094. xsin(x + y) = C. 1095. x2 + t/+e^ = 2.
1096. х(1+У)+^^ = С. 1098. у = -^ + С1х2 + С2х + С3. 1099. у~СЛх±
У о
* у2
+ са—xsinx— 2cosx. 1100. y=^Cl In | х |— ур + Са. 1101. у=Са —
— 457 —
—cos (x + CJ. 1102. at/ = b-j-Cl sin (x У a 4-Ca). 1103. « = C, sec Ci (x + C2).
1104. 4y«x« + 4x + 8. 1105, 225 (y —1)2 = 8 (x — I)3(3x4-2)2. 1106. y3 —y=>3x.
1109. y=>C1eiX-]-C2^* * * * * * * * * x. 1110. у^С1 + С2в*+Сяеах. 1111.
4-e~3*(C2cos4x4-C3sin4x). 1112. S = Cr4-C2<4-C3e-s*. 1113. u==ex X
Х^+Сах + Сдх2). 1114. у=»С1е_8* + С2е3*+С3со8х4-С'481пх. 1115. y=>
= Cj cos x4-C2 sin x 4* C3 cos 5x4-C4 sin 5x. 1116. x = C1e~t-]-eit (Cs4-C3<).
1117. У = ~2 (e*—e-*)- 1118. y = e-x (cos «4-2 sinx). 1119. p = ae~a<> (1 -j-a<p).
1123. z/=ex + C1cos2x + C’2sin2x. 1124. y=,Cie~iX 4-C2e* — 3x2— 3x — 4,5.
1125. jt=e-®*(C1 + C2x)—0,6cosx + 0,8siDX. 1126. y = C1e“2X + C’2ex +
+ C3e2X +4~ + у+У- 1127- ^С1г~*Уг 4-С/Г2 +(2-i)e-<. 1128.y =
= С1 + С2в2д;— x2— Зх. 1129. z/ = 3 sin 2x—7 cos Зх—2 sin Зх. 1130. y = e3X—
-1-Ax3-^x2-A|x. 1131. x = C14-C2<4-(<4-C3)e"‘ + <3-3/a. 1132.
S = С2/+ С3/2 + С4е-4(+у^(со5 4x—sin 4x). 1133. y^e*(C1-\-C2x+^-\ .
1^0 о i
1134. у = С1е2* + С2езх+14-ex—хе2Л. 1135. y = e2X (cr cos 3x + C2 sin 3x4-
4--g-sin3x^. 1136. у = (С! + С2х—x2)cosx+ (C3 + C4x) sinx. 1137. У1 = 2ех—
—xe2X. 1138. z/1 = ex(2sinx —xcosx). 1139. t/i = — .
ов** \ о j
И40. У1==^-П41. У1 = е*[1+хе*-(1+е*)1п(1+е*)]. 1142. У1 =
id ZO
И43- y2 + 2x2 !nCx = 0. 1144. x = Ce-sin*—2 (1 — sin y).
1145. x + z/=ln|(x+l)(z/+l)|. 1146. sin^-4-ln| x| = C. 1147. x3z/24-7x = C.
1148. z/ = 2sin2x. 1149. xsiny=>C. 1150. 2x3z/3 = 3x24-C. 1151. 2(x4-z/) = n.
1152. xz/=l. 1153. x4-z/e-x = C. 1154, y=>ex(Cl-\-C2x-\-2x2) +
4--—(3 sinx + 4c°sx). 1155. y=> 1,54-e*(x2—3x4-3,5). 1156. 2x4-ctg</= 1.
1157. y^C^ + CiX + Ca + ln | sinx |. 1158. y=ae“*(C14-C2x)4-C'3e2*—0,5sinx.
1159. {/=C1e“*4-e*(2x?—4x24-C2x4-^з) + 3 (x-|-1). 1160. y = C’1cosx4-
4-Casin x-f-r sinx4-cos x !hlcosx|. 1161. y=,e~ax ( C2x4-^Kxe ] .
1171. (x—2)24-(t/4-3)2 = C. Дифференциальное уравнение задачи 34-у=»
= -i;(2—х). 1172. ху=12; у dx-\-xdy=Q. 1173. х = с^\ при/ = 0
__
. а L. 1п2 Л~1в00
х = а и с = а, при <=1600 х = —; й = — •; х = а-2 ; при
luUv
1
£ = 100 “ = 2 16 ^=0,958. По истечении 100 лет распадается только 4,2 °/0
а
радия. 1174. ~-=k(T— 20); T = 20 4-cefcl; при < = 0 Т = 100; при < = 10 Т=60;
2х dt
Т =204-80-2“°-lt; при Г = 30 <=30 (мин.) 1175. 1,8кг; dx = — — ;
Ov -f-1
x~(604^i|()a ’ ,176‘ (-:ФеРа' образованная вращением окружности р = с вокруг
диаметра, или поверхность, образованная вращением лемнискаты
— 458 —
pa=a sin (2ф4-с) вокруг ее оси, если источник
1177, In j/ х2 + г/2 =о ± arctg у . Расстояние от
тельной Y — у = у' (X— х) равно
V 1 + {у )2
света помещен в полюсе,
начала координат до каса*
, а до нормали равно d.{ =
= .!Л + УУ'1... d d х + уу'*=,±(у-ху’). 1178.5 = 1313 л; т%~-kv,
К1 + (У')2 dt
lnv= — k1t + c1t при t = 0 0"=18 км/час = 300 м/мин-, при / = 5 о= 100;
о=300.з"в; s = - !^.3'* +с2; прй t=0 s = 0, с2 = ^< 1179. m^ =
In 3 In 3 at
= —mg — kv2; /к=-Д= (arctg o0 1/ — — arctg v
V ag \ ? g
при
t I t i fa
'1=a Vag аГС^в V f
c_ ‘ ,,/+<
д-2я g+av2’
g + av*
X In-------. При
О г
Г g + «o2
UV n *
падении —=g—av , s=^
t=—inKi±^G=-
^Vag ^g-vVa
1П —2
g—ao2
при
а=в —; при v = 0
m
n , 1
o = 0 /1 = 5- X
2a
при s==h o2 =
o=oa t2 =>
_ ' |„°->'° + Г8+^; 1180. g = f при 1=0 ,-0.
V ag V g _
s= 1, In (s+ Ks2—l) = t j/"; при S=6 t = l,94ce/c. 1181. ^|=-^(2s—19)l
при t = 0 o = 0, s = 10; o = -^X yr(2s — 19)a — 1, t= у - In [2s —19-f-
------------ ---------------------- do
+ V (2s —19)2 — 1]; при s=18 0 = 8,9 м/сек, t = 3,4 сек. 1182. m — =
«=—kmg—ao2; при
n- *n
2a
avl \
0 I
Img/
m , kmg + avl
0=00 s=0, s = 2a In ^s + avi> "PH
f Wc \ 2
1183. m-j--2 = k2 la—-7-) — Mmg;
at2 \ at J
v = 0 sL =
В
v = a—r-X
k
А-В + (А + В)е2& m (A + B)e^-(A-B)e-^
X---------------7 , o==at — -rs m------5-5 > где л—ак,
В — А + (А + В)е2& k2 2B
___ fT В d?s . a
В=Л mg, D = k\y 1184. — = -gsme, s-
d20 , g a .
длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия, или ^г‘+у“—°
(для окружности 5 = 0/); при /= О б —0О, 0 —0ocos(t у ~г) ’’
Г_____________________________ • lit
период колебания Т = 2л j/ П85. ^2 +— Ч-у-0=>О; 0 = 0ое 2тХ
X (cos at +* sin at), «= 6 = 2^; T^‘ ”96. t/= 1+ x+
— 459 —
3 X? v2 v3 v5
+ 2-x2+...: y=l+x + -g +... 1197. У=1 + 2[ + з[- +jji•+...; y*=x +
+ Й+5Г-5Г+- ^1+*+Г2+5+Й+-^=3-¥+т-
Зх® x8
80 + 2688~
... 1199. y = x + -oo <x< + oo;
+ 00
y= 1)0-1 (£rji’ -•»<*< + «>. J203. y = Cie-^x + C.^, z =
W=1
= -| Сге-зя —C2e* 1204. (1+20—2C2—2cos 1—3 sin 1, v = Ci—C1t +
+ 2sin/. 1205. u = C1e2X + C.ie~x + Cse~2x, v = Cte2x + С2е-х — Сле~2Х, w =
^2С^е2х — Сге-х. 1206. x = (C1 + C2 — Cxt)e~2\ у^СЦ—СДе-*, x=-e~21-,
y = — e~2t. 1207. u—Cie~ix + C2e4X + 0,3 sin 2x, u = C'1e"lx—C2elx + 0,l cos2x.
+ CD
E(2n+l)ani . (2n+l) nx
a„cos-----------sin ----->
Zb Zi
n = o
I +«
an~~ C q> (x) sin ^n-~^1)—dx. 1211. u (x, 0= к ae~XS£,!* sin Xx dl, a (X) ==
о 0
+ QD + ao nny nny
== ~ f ф(z) sinX гdz. 1212. и (x, v)=^fanea +P„e ° s*n~^“ •
" « h n=1
nab nab
^A^tea -/2); 4 =--------
a a —e a 'j
a a
P , ПЛХ . , f , , . nnx .
= \ Ф1 (x) sin dx, /2= \ фз (x) sin -y- dx.
о о
517-29
Григорий Иванович Запорожец
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
•
Редактор А. И. Селиверстова
Художественный редактор А. К. Зефиров
Художник В. Н. Панферов
Технический редактор Н. Н. Баранова
Корректор Л. П. Тарасова
Т-05237. Сдано в набор 4/ХП-65 г. Подп. к печати ll/IV-ббг.
Формат бОхЭО’/ц. Объем 29 печ. л. Уч.-изд. 26,92 л.
Изд. № ФМ-312. Тираж 300 000 зкз. Цена 1 руб.
Тематический план. Изд-ва «Высшая школа» (вузы и техникумы)
на 1966 г. Позиция № 49
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14
Издательство «Высшая школа»
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28. Заказ № 3201
2-2-3
49-66