Г. И. ЗАПОРОЖЕЦ
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Издание четвертое
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов втузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —1966
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................................................................... 6
Глава 1. Введение в анализ....................... . .	7
§ 1.	Переменные величины н функции, их обозначение 7
§ 2.	Область определения (существования) функции ... 12
§ 3.	Построение графика функции по точкам....................................................................14
§ 4.	Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции................20
§ 5.	Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые н бесконечно большие величины. Предел функции.......................23
§	6.	Теоремы о бесконечно малых и о пределах...........................30
§	7.	Вычисление пределов .................33
§	8.	Смешанные задачи на нахождение пределов...........................45
§	9.	Сравнение бесконечно малых.........4G
§	10.	Непрерывность и точки разрыва функции............................48
Глава II. Производная и дифференциал функции..............................................................................57
§ 1.	Производная функции и ее геометрическое значение.
Непосредственное нахождение производной............................................................57
§ 2.	Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций..............................60
§	3.	Производная сложной функции.........................63
§	4.	Производные показательных и логарифмических
функций............................................................................................66
§	5.	Производные обратных тригонометрических	функций	67
§	6.	Смешанные задачи на дифференцирование	.....69
§	7.	Логарифмическое дифференцирование...........71
§	8.	Производные высших порядков...........73
§	9.	Производные неявной функции...........75
§	10.	Производные от функции, заданной параметрически	78
§ 11.	Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми..........................................79
§ 12.	Скорость изменения переменной величины. Скорость
и ускорение прямолинейного движения......................................................................85
§ 13.	Дифференциал функции ...................................................................................88
§ 14.	Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой 90
§ 15.	Скорость и ускорение криволинейного движения . . 93
Глава 111. Исследование функций и построение их графиков ....	95
§	1.	Теорема (формула) Тейлора.................95
§ 2.	Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции...................................105
§	3.	Возрастание и убывание функции............ПО
§	4.	Максимум и минимум (экстремум)	функции	....	111
§	5.	Наибольшее и наименьшее значения функции	....	118
§ 6.	Задачи о наибольших или наименьших значениях величин ........................................................................................................121
§	7.	Направление выпуклости кривой	и точки	перегиба	127
§	8.	Асимптоты................................130
1
— 3 —
§ 9.	Общая схема исслеловтния функций и построения их Гр:1Й>ИИОН...........................................134
§ 10.	Приближенное решение уравнений................144
§ 11.	Кривизна плоской кривой...................... 149
Г л а г. а IV. Неопределенный интеграл........................ .	. 154
§ 1.	Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования ....................154
§ 2.	Ин гогрнропаиие посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые ......................159
§ 3	Интегрирование посредством замены переменной . . 161
§ 4.	Интегрирование но частям......................163
§ 5.	Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен............................................166
Г Лх4-В .	Г Ах-т-В	.	С	г_________
I "л, । ; , 	1	-~г—- —---с'х-	I	ах2 + Ьхс dx
jax-+bx±c	1 |/o№ + bx + с	J
§ 6.	Интегрирование тригонометрических функций . . . 170
§ 7.	Интегрирование рациональных функций...........173
§ 8.	Интегрирование некоторых иррациональных функций 178
§ 9.	Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций.................................182
§	10.	Смешанные задачи на	интегрирование...........183
Глава	V.	Определенный интеграл.......................... 184
§ I.	Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом .................. . .	..............184
§ 2.	Замена переменной в определенном интеграле ... 186
§ 3	Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры 189
§ 4.	Объем тела ио площадям его параллельных сечений 196
§ 5.	Объем тела вращения...........................199
§ 6.	Длина дугк плоской кривой .....................202
§ 7.	Площадь поверхности вращения............... 205’
§ 8.	Физические задачи.................... .......	209
§ 9.	Координаты центра тяжести ......... 223
§ 10.	Несобственные интегралы......................225
§ 11.	Приближенное вычисление определенных интегралов 230
Глава VI. Функции многих переменных ....	............. 236
§ 1.	Функции многих переменных, их обозначение и область определения.................................2.3С
§ 2.	Предел функции многих переменных. Непрерывность 239
§ 3.	Частные производные функции многих переменных 241
§ 4.	Дифференциалы функции многих переменных . . . 243
§ 5.	Дифференцирование сложных функций............246
§ 6.	Дифференцирование неявных функций............218
§ 7.	Частные производные высших порядков.........24.9
§ 8.	Касательная плоскость i нормаль к поверхности 252
§ 9.	Экстремум функции многих переменных..........254
§ 10.	Наибольшее и наименьшее значения функции . . 256
Глава VI1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . 261
§ I.	Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием.......................................Ж	2
§ 2.	Двойной интеграл в полярных координатах .... 271
§ 3.	Вычисление площади посредством двойного интеграла 274
§ 4.	Вычисление объема тела.......................277
4 _
§ 5.	Масса, центр тяжести и моменты инерции .... 281
§ 6.	Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием ................................. 286
§ 7.	Вычисление величин посредством тройного интеграла 293
§ 8.	Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от липин интегрирования . . . 301
§ 9.	Вычисление величин посредством криволинейных интегралов........................................307
§ 10.	Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311
§ 11.	Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам ........................313
§ 12.	Вычисление величин посредством поверхностных интегралов........................................322
Глава VIII.	Элементы теории поля................................ 328
§ 1.	Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент ............................................328
§ 2.	Векторное поле. Поток и дивергенция поля . , . . 333
§ 3.	Циркуляция	и вихрь векторного поля..............338
Глава IX.	Ряды..................................................342
§ 1.	Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами .............................................342
§ 2.	Абсолютная и иеабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда....................................347
§ 3.	Функциональные ряды.........................350
§ 4.	Ряды Тейлора................................354
§ 5.	Действия со степенными рядами.	Применение	рядов
к приближенным вычислениям...................358
§ 6.	Числовые и степенные ряды с комплексными	членами	365
§ 7.	Ряды Фурье.......................................369
§ 8.	Интеграл Фурье...................................382
Глава X. Дифференциальные уравнения ...........................  386
§ 1.	Дифференциальные уравнения, их порядок, общий -и частные интегралы...............................386
§	2.	Уравнения	с	разделяющимися переменными .... 389
§	3.	Однородные уравнения первого порядка.........391
§ 4.	Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли..........................................393
§	5.	Уравнения	в	полных дифференциалах............396
§ 6.	Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.....................................397
§ 7.	Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами......................400
§ 8.	Линейные неоднородные уравнения высших .порядков с постоянными коэффициентами .................403
§ 9.	Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов......................................411
§ 10.	Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411
§ 11.	Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка ........................... 425
§ 12.	Интегрирование уравнений при помощи рядов. . . 427
§ 13.	Системы линейных дифференциальных уравнений. . 431
§ 14.	Уравнения математической физики.................435
Ответы.....................................'.......................443
— 5 —
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Руководство» предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.
Р> начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по математическому анализу для машиностроительных, приборостроительных, механических, энергетических и строительных специальностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов технологических специальностей, которые могут опустить те разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены для студентов, желающих глубже изучить предмет, по не превышают требований программы
Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение некоторых вопросов п надеется, что будет иметь возможность устранить этот недостаток в следующем издании.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Предметом математического анализа является изучение переменных величин и зависимостей между ними.
Понятия о функции и о пределе переменной величины составляют основу математического анализа.
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение
Интервалом от а до b называется совокупность всех чисел х, удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
1) asgxsgb; 2) a<x<b; 3) а<х<Ь; 4) а<х<Ь.
Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается (а, Ь|; открытый интервал 2 обозначается (а, Ь); полуоткрытые интервалы 3 и 4 обозначаются соответственно [а, Ь) и (а, Ь].
Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного или нескольких интервалов и из отдельных точек.
Взаимосвязанное изменение переменных называется функциональной зависимостью.
При изучении функциональной зависимости между двумя переменными полагают, что одна из них является независимой переменной, которой можно придавать произвольные значения из области ее изменения, а другая — зависимой от нее. Независимая переменная называется аргументом, а зависимая — функцией.
Н.	И. Лобачевскому принадлежит следующее определение понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х, из области ее изменения, соответствует определенное значение у.
Для сокращения записей употребляется символическое обозначение функции: y = f(x), S = (p(/), u = F(v),...
Если функция от х обозначена символом Р (х), то Р (а) обозначает частное значение этой функции при х — а.
— 7 —
Так, если Р (х) --- х2 -| 2х— 5, то
Р (3) = З2 + 2 • 3 - 5 = 10; Р (0) = — 5; Р (а) - д2 4 2а - 5.
Основными элементарными функциями называются: ^степенная функция у = х"-, 2) показательная функция у — ах, а>0; 3) логарифмическая функция у = logax, а>0; 4) тригонометрические функции у = sin х, у —cosx, у —tgx, y = ctgx, y = secx, у = cosec х; 5) обратные тригонометрические функции у = arc sin х, у = arc cos х, у = arc tgx. y = arcctgx.
Функции, заданные одной формулой посредством конечного числа арифметических действий и операций, определяемых основными элементарными функциями, называются элементарным и. Например:
г - о	I 14- iff Кх
у = 5х3 sin 2х; у = 1g ——.
Все остальные функции называются н е э л е м е н т а р н ы м и. Например, неэлементарной является функция, определяемая несколькими различными формулами для различных интервалов изменения аргумента:
( Xs пр и Ж 0 — ( х 4-2 при х > 0.
Функция f(x), обладающая свойством f(x) = f( — х), называется четной, например х2,созх, а обладающая свойством f(x) — =- — f( —х), называется нечетной, например х3, sinx. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными, например ах, i х.
1.	Определить и построить на числовой оси области изменения переменных х, t и а, заданные следующими неравенствами:
1)	x2sS4; 2) I/— 21 >3; 3) — 9===1—2а<5.
Решение. 1) Извлекая квадратный корень из обеих частей первого неравенства, получим |х|г^2. Отсюда следует, что — 2 х С 2. Эти неравенства и определяют собой область изменения переменной х, т. е. совокупность принимаемых ею числовых значений. Она представляет закрытый интервал или отрезок [—2; 2J. Построим этот отрезок на числовой оси Ох (черт. 1); он будет симметричен относительно начальной точки х = 0.
2)	Избавляясь от знака абсолютной величины в неравенстве, содержащем /, получим два неравенства: t —2<— Зи/— 2>3. Разрешая их относительно t, найдем t 1 и f>5. Следовательно, область изменения переменной t (черт. 2) состоит из двух бесконечных открытых интервалов ( — оо; —1) и (5; 4-оо).
3)	Решаем неравенства, содержащие а. Вычитая из всех частей неравенств по единице и затем деля их на —2, получим
— 10^ —2а <4, — 2<a==s5.
Следовательно, область изменения переменной а (черт. 3) представ-
ляет полуоткрытый интервал ( — 2; 5).
2.	Вычислить частное значение функции:
1)	/ (х) = ]/х2 — 5х + 4
а) при х = 0; б) при х = а+1;
-I "I
-2 о
Черт. 3
2)	<p(x) = 2arc sin хЧ-arc tg2x при х=—у;
3)	у = х2 arc cos у — 3xarcctgx при х=—1.
Решение. 1а) Подставляя значение х = 0, получим соответствующее частное значение функции f(x):
/(0) = ]/02-5-0-|-4 = /4 = 2.
Здесь взято арифметическое значение корня, а не ±2. Вообще в математическом анализе рассматриваются только однозначные функции, которые могут иметь только одно значение при каждом значении аргумента.
16) При х = а + 1 частное значение функции f(x) будет
[ {а + 1) = \'г(а + 1 )2 — 5(с + 1) + 4 = Va2 — За.
2) Частное значение функции <р(х) при х= —
гр ( —4) = 2агс sin (—у) + агс г8( —1) = 2(—4) + / л \	7
Ц 4	12 Л-
Здесь учтено, что arc sin х и aretgx — однозначные функции, изменяющиеся между —~ и . При х>0 их значения берутся в первой четверти, а при х<0 —в четвертой.
л	л л , л
— - <arcsmx<-2 ; - у < arc tg х <	.
— 9 -
3)	При х =—1 частное значение функции у будет
у (- 1) = (- I)2 arc cos (—4) — 3 (— 1) arc cig (— 1) =
так как arc cos х и arc etg л—однозначные функции, изменяющиеся от 0 до л,*. При л>0 их значения берутся в первой четверти, а при х<0— во второй.
3.	Найти корни и х, функции F (л) = х2 4- 10.Y 4-9 и вычислить се частные значения при л, равном среднему арифметическому н среднему геометрическому этих корней.
Решение. Корнями функции называются знекклм.я аргумента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции F (х), приравняв ее нулю:
х2 4- 10х 4- 9 = 0, откуда а\= — 9, х,= —1.
Среднее арифметическое корней jq к х., равно их полусумме л.ц-х, — S—1
-Hj—- = —-— = — о, а среднее геометрическое — квадратному
корню из их произведения |'лгг2 = |А) = 3. Искомые частные значения функции Fix) будут:
F (—5) = ( — 5)2 4-10 (— 5) 4 9 - - 16;
F(3) = 34-10-3-7-9-48.
4.	Дана функция Р (х) — х2 — 2х 4	Показать, что
Решение. Найдем (у) ’ п°Дста1,Л51Я ~ вместо х в данное аналитическое выражение функции Р (х),
Следовательно, Р (— j -- Р (Х.) при любом значении х. Например,
р fl) = P(2)=-~; Р(—10)-П(-0, 1)= 120,21.
О a:v cos л йГ л; 0 < al с ct^j .v < л
— 10 —
5.	Определить, какая из данных функций является четной, нечетной или не четной и не нечетной:
1)	2) <р (х) = 4 —2х4 4~ sin2x;
3) u(x)=x34-2x —1; 4) у(х) = |±^.
1 —aRX
Решение. Чтобы определить, будет ли некоторая функция Q (х) четной или нечетной, необходимо найти Q(—х).
Заменяя х через —х, получим:
1)	= =
X2
sin2(—x) —sin2.t sin2x’
t. e. f( — x) =—f(x), значит, функция f(x) нечетная;
2)	<p (— x) = 4 — 2 (—x)4 4- sin2 (— x) = 4 — 2x4 + sin2 x, t. e. <p(— x) = <p (x), следовательно, функция <p(x) четная;
3)	u( — x) — (—x)3 4-2( —x)—1 = —x3 —2x — 1, здесь u( — x)^=zz(x) и u(—x)^ — u(x), поэтому функция u(x) не четная и не нечетная;
4)	у(-х) = 1±^=^+’
1— a~kx akx — 1
(числитель и знаменатель первой дроби умножены на акх), т. е. у(—х) =—у(х), следовательно, функция у(х) нечетная.
6.	Построить на числовой оси области изменения переменных, заданные следующими неравенствами:
1)	)х|<4; 2) (у-1)2>9; 3) — 3<z+K4; 4) 21 х | + 3 > 5.
7.	f(x) = x24-3x —1; вычислить: f(0), f(2), f( — 1), f(a+l), f(o)+l, f(«2), [f(a)F-
8-	= «ай™ F(0). F(2), F (|) , F (1) ,
F(6)-F(1) + 7F(-1).
9.	<p(l) = /2; найти:	2) Ф («+*)—Ф (а—*).
' ' '	b — a	’	'	2h
10.	f(x) = x2, cp(x) = x3; показать, что f [<p (2)] = <p ff (2)];
<p[l + f(l)] = 2fn+<p(l)].
11.	Определить, какая из данных функций четная, нечетная или не четная и не нечетная:
1) у = 3х—2 р/х; 2) z = 5xsin3x; 3)u = |/|—/3;
4)	о = | х | ctg2 х; 5) u» = ot2 4-|а4-2[; 6) х = —~1.
§ 2. Область определения (существования) функции
Областью определения функции называется совокупность всех точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет ис вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для функции у = V х областью определения является полуоткрытый интервал 0 ssc а'<-[ос; для функции г = — у область определения состоит из двух интервалов: —оо <т<1 и 1 < х С -+- ос.
Основные элементарные функции имеют следующие области определения:
степенная функция у = х!' с рациональным положительным поте	л	..	..
казателем п==_р" ПРП нечетном р определена на всеи числовой оси —со <. х < -|- оо. а при четном р определена в интервале О е-u А' <+ ОО *;
показательная функция у—ах, й>0 определена па всей числовой оси;
логарифмическая функция y — logax, о>0 определена в ните р вале 0 < х < оо;
тригонометрические функции y = smx, y = cosx определены на всей числовой осн; y = tgx, y = secx определены на всей числовой оси, исключая точки xk = (‘2k ф- 1) ~, &-=0, + 1, ±2, .. ; у etg v, у--cosec х определены на всей числовой оси, исключая точки xfl- fcrt;
обратные тригонометрические функции у = arc sin х, у arccosx определены на отрезке —1«Сх<1; y==arctgx, у arcctgx определены на всей числовой оси.
При нахождении области определения элементарной функции, заданной формулой у = /'(х), нужно обращать внимание па следующие элементы формулы:
I)	на радикалы четной степени — функция будет определена только для тех значений х. при которых нх подкоренные выражения будут неотрицательны;
2)	на знаменатели дробных выражений — функция будет определена только для тех значений х, при которых знаменатели отличны от нуля;
3)	па трансцендентные функции log о, tg v, cig v, seen, cosect», arc sin v, arc cos v, которые определены не всюду, а только при указанных выше значениях своего аргумента о.
Если эти перечисленные элементы отсутствуют в формуле и /(л), то областью определения функции убудет вся число
* При р==1 показатель п будет целым чистом.
вая ось (исключая те случаи, когда область определения функции ограничивается специальными условиями задачи).
12.	Найти область определения каждой из следующих функций:
1)	2) и-^=^-е+	; П
3) v = arc cos ; 4) р = -Д-; 5) q = log2 (х2 — 9). О	о 111 л
Решение. 1) Поскольку аргумент х содержится под радикалом четной степени, то функция у будет иметь вещественные значения только при тех значениях х, при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т. е. 1— x2jsO. Решая это неравенство, получим
x2sgl; |х|^1; —Isgx^gl.
Следовательно, область определения функции у есть отрезок [-1; И.
2)	Здесь аргумент х содержится в знаменателе дроби. Поэтому х не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв знаменатель нулю, найдем эти значения х:
х2 — 5х + 6 — 0;	хг = 2; х2 = 3.
Второе слагаемое в выражении функции и не накладывает никаких ограничений на значения х, поскольку показатель радикала нечетный. Следовательно, областью определения функции и является вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3.
3)	Функция v будет определена только для тех значений х, ।________________2х
для которых —1	—з—s£l. Решив эти неравенства, получим
4	9	9
ООО
Отрезок [—1; 2] и является областью определения функции V.
4)	Найдем значения х, которые обращают знаменатель функции р в нуль: sinx = 0; xk = kn\ k = 0, ±1, ±2, ...
При этих значениях х функция р не имеет никаких значений.
Областью определения функции р является вся числовая ось, кроме точек xk.
5)	Логарифмическая функция q определена только для положительных значений своего аргумента (логарифмируемого выражения), поэтому х2 — 9>0.
Решая это неравенство, получим | х | > 3, откуда следует, что — оо<х<—3 и 3<х<4-оо, т. е. область определения функции q состоит из двух бесконечных интервалов (—оо; —3) и (3; + <»).
— 13 —
13,. Найти области числовой оси:
определения функций и построить их на
2) z = /l +г-2 /5-Г;
4) /- = р'sin
6) v — 1g (л — 1) -I- arc sin .
§ 3.	Построение графика функции по точкам
Наглядное графическое изображение функциональной зависимости между двумя переменными х и у можно получить, рассматривая значения этих переменных как координаты точек на плоскости.
Г рафиком функции, заданной уравнением у = [ (х), называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую линию.
Построение графика аналитически заданной функции по точкам выполняется в следующем порядке:
1)	по данному аналитическому выражению функции составляется таблица соответствующих друг другу значении переменных;
2)	выбирается система координат с подходящими единицами масштаба для каждой переменной.
Обычно применяется прямоугольная система координат и одна общая единица масштаба для обеих координатных осей;
3)	строятся точки, координатами которых являются соответствующие друг другу значения аргумента и функции, содержащиеся в таблице;
4)	полученные точки соединяются плавной линией.
Построенный этим способом график функции будет тем точнее, чем больше значений переменных содержится в таблице, чем больше точек будет нанесено на координатную плоскость.
Построение графика функции упрощается, если она является четной, нечетной или периодической. Г рафик четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат', график периодической функции получается путем повторения части ее графика, соответствующей одному периоду.
14. Построить графики функций:
}) у = х2— 2х — 1 на отрезке [—2; 4|;
4х
2)	у = —x«-|_ 1	на 0ТРезке I—5; 5[;
3)	у = 7х2— 100 И1 4-х2 па отрезке |х|~^7;
— 14 —
4)	у = х2 — 4 | я—11 + 1 на отрезке [—6; 5];
5)	—* между точками пересечения с осью Ох.
Решение. 1)В условии задачи указано, что независимой переменной х можно придавать только значения, заключенные на отрезке [—2; 4]. Учитывая это, составим следующую таблицу, беря для простоты только целые значения х и вычисляя из данного уравнения соответствующие значения у.
Введем прямоугольную систему координат, как показано на черт. 4, с одинаковыми единицами масштаба, которые указаны числовыми пометками на координатных осях.
Построим точки, откладывая содержащиеся в таблице значения аргумента х по оси абсцисс, а значения функции у по оси ординат. Соединим полученные точки плавной кривой, которая п будет графиком данной функции. Эта кривая называется параболой.
Вообще графиком всякой квадратной функции у = ах2 + Ьх-т-с является парабола, ось симметрии которой параллельна оси Оу.
4л
2)	Функция у = j — нечетная, так как для нее у(—х) = = —у(х). Для значений аргумента, отличающихся только по знаку, значения нечетной функции будут также отличаться только по знаку. Поэтому при составлении таблицы здесь достаточно вычислить из данного уравнения значения функции только для положительных значений аргумента. Значения функции для отрицательных значений аргумента получим путем простой перемены знаков.
Выберем систему координат с одинаковыми масштабами на координатных осях (черт. 5).
Построим точки для каждой пары числовых значений х и у, которые содержатся в строках таблицы. Соединяя эти точки
— 15 —
плавной кривой, получим начала координат.
график, симметричный относительно
3)	Функция у = 7х2 — 100 / 1 -}--л2 является четной, так как при перемене знака у любого значения аргумента значение этой функции не изменяется, у(—х)=у(х). Поэтому здесь при составлении таблицы достаточно вычислить значения функции только для положительных значений аргумента: значения функции
для отрицательных значении аргумента будут те же.
Составив таблицу, замечаем, что значения аргумента есть числа 1-го порядка, тогда как значения функции—числа 3-го “	порядка. Поэтому для построе-
v	у	ния соответствующих точек
' берем разные м а с ш т а
—100
7—100 /2^—134
-г 2	28—100 V5^—195
iip	63—100253
i-1	112—100 |/~17 =&—300
±5	175—100 /26^—335
Дб	252—100 Г’37	356
i ' d7	343—100K5U 364
/6 —
бы абсцисс и ординат; они показаны числовыми пометками на координатных осях* (черт. 6).
График данной четной функции симметричен относительно оси ординат.
4)	Составим таблицу значений функции у — х2— 4|х—11+1
для значении аргумента х,
SLOS.4 54
заключенных на отрезке [—6; 5[.
Затем строим точки и, соединяя их сплошной линией, получим искомый график (черт. 7).
Данная функция не является четной или нечетной. Поэтому ее график не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
5)	Абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох найдем из данного уравнения, зная, что в этих точках ордината у = 0. При у = 0, 16—х2 = 0, откуда х=±4. Далее составляем таблицу значений данной четной функции на отрезке [—4; 4] и строим ее график (черт. 8).
Когда х приближается к нулю слева или справа, значения функции и ординаты ее графика неограниченно возрастают. При х = 0 функция не имеет никакого числового значения, ее график Летоит из двух отдельных бесконечных ветвей.
* ПорЙдКо^ числа | N J 1 называется число его цифр до запятой, а порядкомЧчисла | N | < 1 называется число нулей после запятой до первой значащей, цифры, взятое со знаком минус.
15.	Построить на одном чертеже графики функций z/1=l 4-+ yYii z/, — sinА'. Путем сложения ординат полученных лини:! построить график функции у= 1 + у хф- sin г.
	и
±0,5	63
± 1	15
±2	3
±4	0
Решение. График всякой линейной функции есть прямая линия. Поэтому для построения графика первой данной функции, которая является линейной, достаточно иметь две пары соответствующих друг другу значений переменных, т. е. две точки.
Для построения графика второй данной функции берем значения х в радианах, а значения z/2 из тригонометрических таб
X	0	2
'/1	1	9
X	0	л 6"	Л У	Л У	2л	5л	Л	7л 6"	4л Т	Зл “2	5л ПГ	11л "6"	2л
					3	6							
У2	0	0.5	0,9	1	0,9	0,5	0	—0,5	—0,9	—1	—0,9	—0,5	0
— 18 —
лиц. Учитываем также периодичность этой функции: построив ее график на протяжении одного периода [0; 2л], затем повторяем его. Алгебраически складывая ординаты точек линий yt и у2, имеющих одинаковые абсциссы х, получим искомый график функции y = yi + y2 (черт. 9).
16.	Найти приближенные значения кор- 44	|
ней функции у = 0,8х3—2х2—0,2х + 0,5,	I
построив ее график на отрезке [—1; 3].	I
Решение. Корни функции, т. е. зна-	I
чения аргумента, обращающие ее в нуль, 1	I
можно найти как абсциссы точек Пересе-	/х	/
чения графика функции с осью абсцисс, так ~То~\г,	[х~
как в этих точках // = 0.	/	\	]
Составив таблицу числовых значений /	\____z
переменных х и у, построим график данной / функции (черт. 10). Из чертежа находим искомые приближенные значения корней	Черт.
функции: *!=—0,4; х2 « 0,5; х3 « 2,6.
17.	Построить по точкам на отрезке [—3; 3] графики следующих функций:
1) y =	2)^=1 —2Ж; 3) #= 1—|х2—11;
| 1—х при xsgO
| 1 ~р]/3х при х>0.
18.	Найти области определения функций и построить их графики:
1) у = 2/х + /б—х;	2)у = х/8—х2;
3)* у =	— /16—х2; 4)* у = 4/[х]—/х®.
19.	Построить графики функций между точками пересечения с осью Ох:
1) i/ = 6x —х2;	2) у = 1(х3-12х2 + 36х);
3) У =	4)* г/ = |х—2| —3.
20. Построить графики функций между точками пересечения с осями Оу и Ох:
1)	у = 2-^/2Г^8; 2)z/ = ^; 3)* у = |х2-6х|;
( 10 — х при х<5
( 14х — х2 — 40 при хзз5.
— 19 —
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции
Зная график какой-либо функции, можно построить графики многих других более сложных функций чисто геометрическим путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции y=f(x), можно посредством его сдвига или деформации построить графики для функций вида
tj = f(x-a), y = f(x) + b, y = Af(x), y = f(kx), у — Af\k(x — a)] + b.
Г рафик функции у = f(x — а) получается из исходного графика путем сдвига его вдоль осп абсцисс на а масштабных единиц этой оси, вправо при а>0 и влево при а<0 (черт. И).
График функции y = f(x)A-b получается из исходного графика путем сдвига его вдоль оси ординат на b масштабных единиц
этой осп, вверх при fe>0 и вниз
при й<0 (черт. 11).
График функции y = Af{x) получается из исходного путем умножения ординат его точек на коэффициент А. При этом, если |Л|>1, то ординаты всех точек исходного графика увеличиваются по абсолютной величине в | А | раз, если | А | <1, то они уменьшаются по абсолютной
1
величине в уд-рраз, если А <0, то изменяются еще и их знаки. График
функции у = Af (х) при Д<0 будет симметричен графику функции у=| А|f(х) относительно оси абсцисс (черт. 12).
График функции y = f(kx) получается из исходного графика путем деления абсцисс его точек на коэффициент k. При этом, если |&|>1, то абсциссы всех точек исходного графика уменьшаются по абсолютной величине в |&| раз; если |/г| <1,тоони
Черт. 12
Черт. 13
— 20
увеличиваются по абсолютной величине в щ- раз; если /г<0, то изменяются еще и их знаки. График функции y = f(kx), при k < 0, симметричен графику функции у = f (| k | х) относительно оси ординат (черт. 13).
Выполняя указанные сдвиги и деформации графика функции у = f (х) в последовательном порядке, одно вслед за другим, можно строить графики и для функций более сложного вида:
у= Af[k(x—a)] + b.	(I)
21.	Построить по точкам график функции у = ]/~х на отрезке [0; 9] и затем, исходя из этого графика, путем последовательных деформаций его и сдвигов, построить график функции у = = 2 У—3(х+ 1,5) -1,2.
Решение. Составим таблицу соответственных значений переменных х и у для функции у = ]/х и построим ее график (черт. 14).
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
У	0	1,0	1,4	1.7	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
Обозначим функцию и символом Тогда данная функция преобразуется к виду
£/ = 2f[—3(х+1,5)]—1,2.
Сопоставляя ее с выражением (1), находим следующие значения параметров: А = 2; k— 3; а =—1,5; Ь =—1,2.
— 21 —
Далее, согласно общим указаниям, строим искомый график следующим путем:	_
увеличивая в 2 раза ординаты точек графика функции у = У х и сохраняя неизменными их абсциссы, строим график функции у = 2]/х;
уменьшая в 3 раза абсциссы точек графика функции у = 2 Ух и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции у = 2 У Зх;	__
меняя знаки у абсцисс точек графика функции y = 2pz3x и сохраняя неизменными нх ординаты, строим график функции у —2 У—Зх (графики функций у = 2УЗх и у = 2У—Зх симметричны относительно оси ординат);
перенося точки графика функции у = 2 У—Зх в направлении оси абсцисс на 1,5 единицы масштаба этой осп влево, строим график функции у—2У—3(х4-1,5); перенося точки графика функции у = 2У—3(х4-1,5) в направлении оси ординат на 1,2 единицы масштаба этой оси вниз, строим искомый график функции у = 2|/—3(х-ь 1,5)—1,2.
22.	Исходя из графика функции y = sinx, путем его деформаций и сдвигов построить график функции у = — 3 sin (2x4-8).
Решение. Заменяя в выражении (1) символ произвольной функции f символом тригонометрической функции sin, получим
z/ = /lsinfe(x — a)-}-b.	(2)
Преобразуем данную функцию:
у = — 3 sin (2х 4- 8) = — 3 s’in 2 (х 4- 4)
и, сопоставляя ее с выражением (2), определим следующие значения параметров: А = — 3; /г = 2; а = — 4; & = 0.
Построение искомого графика выполняем, руководствуясь общими указаниями:
увеличивая в 3 раза ординаты точек графика функции z/ = sinx по абсолютной величине, меняя их знаки и сохраняя неизменными абсциссы, строим график функции у = = —3sinx (черт. 15);
— 22 —
уменьшая в 2 раза абсциссы точек графика функции у = = — 3 sinx и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции у = — 3 sin 2х;
перенося точки графика функции у =— 3 sin 2х в направлении оси абсцисс на 4 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции у =— 3 sin 2 (х 4-4).
Пользуясь периодичностью данной функции, полученный график можно продолжить в обе стороны.
23.	Построить по точкам на отрезке [— 4; 4] график функции у = х2 и затем путем его деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики следующих функций:
у 2	I
1) // = 2x2-5; 2)// = 3-^-; 3) // = ±(х-2)2- 1.
24.	Исходя из графика функции /у = |/х (черт. 14), путем его деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики следующих функций:
1) у = 1 + /2х;	2) у = 3/^2х-2;
3) у = 2 —З/х + 5;	4)* // = 1/2х^6-5.
25. Зная график функции у = sin х (черт. 9), путем его деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики следующих функций:
1) у — 2 sin (х4-1);	2) у = 1 4- 3 sin 2х;
3) у = — 2sin3(x—1); 4)* z/ = 2 —sin^=^.
26. Зная график функции z/ = cosx*, путем его деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики функций:
1) у= 1 — y cosx; 2) у — 2,3 4- 4 cos (1,4 — х);
3) у = — 4 cos (2x4-3); 4)* z/ = 4,2 — 3cos .
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции
Переменная величина определяется не только множеством тех числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком, в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математическом анализе переменная рассматривается как множество чисел, расположенных в известной последовательности, т. е. как упорядоченное числовое множество.
* Его можно взять из учебника.
— 23 —
Простейшим частным случаем переменной является такал величина и, последовательные значения которой могут быть перенумерованы: v,, щ, v3, ... , vn, ...
Такое простейшего вида упорядоченное числовое множества называется числовой последовательностью.
I.	Число а называется пределом переменной х, если абсолютное значение их разности а — х для всех значений х, следующих за некоторым значением х0, будет меньше любого заранее данного положительного числа е, как бы мало оно ни было.
II.	Переменная а называется бесконечно малой, если все ее значения, следующие за некоторым значением а0, по абсолютному значению будут меньше любого заранее данного положительного числа е, как бы мало оно ни было.
III.	Переменная 2 называется бесконечно большой, если все ее значения, следующие за некоторым значением г0, по абсолютному значению будут больше любого заранее данного положительного числа N, как бы велико оно ни было.
Если число а есть предел переменной х, то говорят, что х стремится к а и пишут: litux —а, или х—> а.
Бесконечно большая величина г не имеет предела, однако для сокращения речи и записей условно говорят, что 2 стремится к бесконечности, или предел z равен бесконечности, и пишут г— --оо, или Vim 2-00.
Говорят и пишут также, что 2—>Н-оо, li!nz=+°°, или 2—> — оо, lim 2 = —оо, если все значения бесконечно большой 2, следующие за некоторым значением 20, сохраняют положительный или отрицательный знак.
Из определении предела переменной, бесконечно малой и бесконечно большой величин следует:
1)	предел бесконечно малой равен нулю (т. е. если а бесконечно малая, то liincc-.= O, или а—>0);
2)	разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая (т. е. если linix = a, то х —а —а);
3)	величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая ^т. е. если z — *оо, то ' —» Ор,
4)	величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая (т. е. если а--О, то 1	- со V
Если f (х) —> Ь, когда х —> а не совпадая с а, то число Ь называется пределом функции f (х) в точке а.
Предел функции можно определив иначе, не ссылаясь па определение предела переменной: Число Ь называется пределом функции f (х) при х->а (в точке а), если для каждого числи ::> О можно найти такое число б>0, что |/(х) — Ь\ будет меньше е, когда |х — а|, при х-/=а, меньше б.
Если число b есть предел функции f(x) при х, стремящемся к а, то пишут:
lim f(x) = b, когда х стремится к а произвольным способом; х-^а
lim f(x) = b, когда х стремится к а слева, оставаясь меньше а; х-^а-й
lim f (х) = Ь, когда х стремится к а справа, оставаясь больше а *. х-ьа+о
При этом, если существует предел функции, когда х —>а произвольным способом, то существуют и будут с ним одинаковы односторонние пределы функции, когда х—> а только слева или только справа, т. е.
если lim f(x) = b, то lim f(x) = lim f(x) = b. x^a	x-^a — o	x->u + o
Если же односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции при х—>а произвольным способом, т. е.
если lim f(x)=/= lim f(x), то limf(x) не существует. х-^а + а	х-*а
27. Полагая n = 0, 1, 2, 3, ... .составить таблицу значений переменных
х= 1+0,1"; г/ = —0,1-", z = (—0,1)", u = (—1)"4-0,1"
и определить характер их изменения при неограниченном увеличении п, т. е. при и—
Решение. Вычисляя значения заданных переменных при указанных значениях п, получим следующую таблицу:
п	0;	1;		2;	3;	4;	5;	.; п -> -|- оо
X	2;	1,1;	1,01;	1,001;	1,0001;	1,00001;	.	.; х-н. 1+0
У	—1;	—10;	—100;	—1000;	— 10000;	—100000;	-; у — —
2	1;	-0,1;	0,01;	—0,001;	0,0001	—0,00001;	..;	0
и	2;	—0,9;	1,01;	—0,999;	0,0001;	—0,99999;	
Из рассмотрения этой таблицы можно заключить:
1) С увеличением н последовательные значения переменной х приближаются к единице так, что при достаточно большом п
* Если о —0, то вместо 0+О (0—0) пишут просто -|-0 (—0).
— 25 —
абсолютное значение их разности |х— 1| будет меньше любого заранее данного положительного числа е, как бы мало оно НИ г'-ыло.
Это же можно и доказать. Пусть задано число е > 0. Полагая |л— 1 | = 0,1"<е, находим, логарифмируя обе части неравенства, т. е. |х—1| будет меньше е, как только и станет больше 1g 4-. Следовательно, согласно определению I переменная х имеет предел, равный единице, lim х, — I, к которому сна стре-П + X мптся справа, оставаясь больше сю, т. е. монотонно (неизменно) убывая.
2> Последовательные значения переменной у с увеличением п неограниченно убывают так, что при достаточно большом п они по абсолютному значению будут больше любого заданного положительного числа N, как бы велико оно пи было. Докажем это.
Пусть задано число Л'>0. Полагая |у| = 0,1_”> N, находим, логарифмируя обе части неравенства, H>.lg.V, т. е. | у | будет больше N, как только п станет больше IgA/. Следовательно, согласно определению III, переменная у есть бесконечно большая величина: lim у = — оо.
3) С увеличением п последовательные значения переменной z приближаются к нулю так, что при достаточно большом п они по абсолютному значению будут меньше любого заданного положительного числа в, как бы мало оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число в>0. Полагая | z | = 0,1п < е, находим, логарифмируя обе части неравенства, n>lg —,т. е. \z\ будет меньше е, как только п станет больше lg~- Следовательно, согласно определению II переменная z есть бесконечно малая величина: lim 2 = 0. Она стремится к своему пределу — нулю, п -* + сс колеблясь около него, т. е. не монотонно.
4) Последовательные значения переменной и с увеличением п не приближаются ни к какому определенному числу- Поэтому переменная и не имеет предела. Она не является и бесконечно большой, так как ее значения не растут безгранично вместе с н. Переменная и — ограниченная величина.
«о тт	|-	„	/ 0, если 0<п<1
28.	Доказать, что 1ип а = \
1 + оо, если а > I.
Решение. 1) Пусть постоянная а есть правильная положительная дробь 0<а<1. Тогда с увеличением п переменная f(ti) = an будет монотонно убывать, т. е. каждое следующее ее значение будет меньше предыдущего. Докажем, что, начиная с определенного значения п = л0 и для всех последующих зпа-— 26 —
чений п>п0, значения функции а" будут меньше любого заданного положительного числа е.
Полагая ап« <е, найдем искомое значение п0. Логарифмируя обе части неравенства, получим пв lg а < 1g е, откуда найдем (знак неравенства изменился, так как при 0<а<1 lga<0).
Следовательно, значение функции ап при п = п0 и все последующие ее значения при п>пв будут меньше е, как бы мало оно ни было, т. е. доказано, что при0<а<1 и при п—>4* 00 функция ап является бесконечно малой величиной, т. е. lim а" = 0.
п ->+ оо
2)	Пусть а^> 1. Тогда с увеличением п переменная ап будет монотонно возрастать. Докажем, что, начиная с определенного значения п = п0 и для всех последующих значений п>п0, значения функции ап будут больше любого заданного положительного числа N.
Полагая an<>z>N, найдем
Следовательно, для всех значений п^пв значения функции ап будут больше N, как бы велико оно ни было, т. е. доказано, что при а>-1 и при п—>-4-оо функция ап является положительной бесконечно большой величиной, т. е. lim ап = +<х>.
п-*-+ 00
29.	Доказать, что:
1)	lim^tl = 4; 2) lim (2x4*1) = 7.
„	IX	2x4*3	2	1 „
Решение. 1) Составим разность—^-----------д- = — . При х—>-оо
эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная бесконечно большой. А если переменная —3~ отличается от 2
постоянной у на величину бесконечно малую, то постоянная „ ~	2x4-3	2
является пределом переменной. Следовательно, Нт - „ - = у •
X —*- OQ
2)	Положим х = 3-|-а и составим разность: (2x4-1) —7 = — (2(34-<х)4- 1] — 7 = 2а. При х—>-3 переменная с/. —► 0 и разность между функцией 2х-|-1 и числом 7, т. е. 2а, будет бесконечно малой. Из этого следует, что lim (2x4- 1) = 7.
Х-+3
5
30.	Найти пределы функции у =	О при х—*-2 —0 11
2) при х—>-24-0. Пояснить решение таблицами.
Решение. 1) Если х будет стремиться к 2 слева, оставаясь меньше 2, то 2 — х будет положительная бесконечно малая,
— 27 —
5 r	-	r
а 5--будет положительная сесконсччо большая, т. е. если
2—х J
к	.	5
х —> 2— 0, то (2 — х) —*4-0, а -► + «о, пли liui ~~~ -=^ + сю .
Указанное поведение переменных х, 2 — х и^- поясняется следующей таблицей:
X	1;	1,9;	1,99;	1,999,	1,9999;	1,99999;	1,999999;	
2—х	I;	0,1;	0,01;	0,001;	0,0001;	0,00001;	0,000001;	
5 2 — х	5;	50;	500;	5000;	50000;	500000;	5000000;	
2) Если		X	—> 2 -|- 0,	то		(2-х)--	\	5 — и . а -ре	* — оо ’	2 — х		или
liin - - — сю. г_>2 + в2-х
Таблица соответствующих значений переменных х, 2 — х и 5 г,— наглядно показывает их поведение:
к	3;	2,1;	2,01;	2,001;	2,0001;	2,00001;	2,000001; ...
1 г< i 1 1 *	—1; —0,1;	—0,01; —0,001;	—0,0001;	—0,00001; —0.000001; ...
1* '> 1 i iC4 1	—5; —50;	—500; —5000;	—50000,	—500000; —5000000; ...
5
[ рафик функции У = изображен на черт. 16.
31. Найти пределы функции у = 2х при х, стремящемся к пулю: 1) слева, 2) справа и 3) произвольным способом.
Решение. 1) Если переменная х будет стремиться к нулю слева, оставаясь отрицательной, т. е. если х будет отрицательной бесконечно малой, то будет отрицательной бесконечно
I	-	1
большой и lim 2* =НпЦ-^ ) 1 = (+ = 0 , что следует из решения задачи 28 (1).
— 28 —
2) Если х—*J-0, то — —» + оо и litn 2х =2+“ =+оо. х	jc-»+o
3) Если х будет стремиться к нулю произвольным способом, не оставаясь с одной стороны от него (например, как г в задаче 27), то — будет стремиться к бесконечности, принимая значения разных знаков. Вследствие этого при г—* 0 функция 1
2 х не имеет предела, не будучи при этом и бесконечно боль-1
шой величиной lim 2* =2“—не существует. X-* О 1
График функции у —2х показан на черт. 17.
32.	Найти пределы функции z/ = arctg-^-: 1) при х —♦—0; 2) при х—>-4 0 и 3) при х —>0.
Решение. 1) Если к—> —0, то у —*—оо, a arctgу —*—, т. е. lim arctg — = arctg( — оо) =-.
*-►-0	*	2
1	1л
2) Если х—>4-0, то — —>4 со, a arctg —, т. е. lim arc tg 1- = arc tg ( } a>) = i .
x->+0	X	Z
3) Если x—>-0, то ~ —» oo, a arctg 1 не стремится ни к какому значению, т. е. lim arc tg — = arc tg оо не существует.
* -> о x
График этой функции показам на черт. 18.
33. Полагая и=1, 2, 3, ....составить таблицу соответствующих значений переменных: а1 = 2п-, а2 =—2"; а3 = (—2)";
— 29 —
с'4 = 2_л; <7-6 = —2~"; «6 = (—2)"” и определить характер их изменения при п—>Ц-оо.
34.	Полагая п= 1, 2, 3, ... , написать последовательности значений переменных: х = ^-; (/ = (—1)"
3>1 cos пл
W =------о—
н -|-3
. пл v — 2 sin —
Черт. 18
= (~1)П + Зп .
п + 2
и определить, у какой из этих переменных существует предел при п —>4-оо и чему он равен..
35.	Доказать, что:
1)	lim (Зх —2) = 1;
3)
lim (х2 — Зх) = 0:
lim
5)
.•	2<24-l
111П ------7,-
36.	Найти следующие
пределы:
1)	111П ------
*-»з-о х-3
2) lim
Л —> 3 4-0
3) lim—-7;
4) lim 3X+1 ; 5) lim 3X + 1 ; t-> —1 -0	X->— 1 +0
6) lim 3
Пояснить решение таблицами.
37.	Отрезок АВ длины I разделен нап равных частей (черт. 19) и на каждой из них, кроме крайних, построены правильные треугольники. Как будет изменяться площадь Sn и периметр Рп полученной зубчатой фигуры, когда п—>--1-оо?
ЛЛАЛЛЛ
Черт. 19
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах
L Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая.
II.	Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть также бесконечно малая.
III.	Предел постоянной равен самой постоянной.
IV.	Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме их пределов:
lim {и v — а>) = lim и + lim v— lim w. — 30 —
V.	Предел произведения конечного числа множителей равен произведению их пределов:
lim (u v ti>) = lim«-limu-limw.
VI.	Предел частного равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя отличен от нуля:
,. и lim и <•	, п
lim—= -г—,	limw^O,
v hint)
38.	Найти пределы следующих функций:
1)	f(x) = 2x—3—у при х— * Г.
о.	х3 — Зх24~2х—5	,
2)	у =------------- при * —> — 1;
3)	z/ = xsin-^- при х—>-0.
Решение. Пользуясь указанными теоремами, последовательно находим:
1) lira (2х—3—= lim2-limx — lim3—=
X 1 V	х)	11111 х
= 2-1— 3—~ = — 2;
..	х3—Зх24-2х—5	(lim х)3 — 3(lim к)24-2 lim x—5  
X	^+2	~~	(lim x)24-2	~
(—I)3—3 (—1)24-2 (—1)—5 _ — 1— 3—2— 5_ 11 .
&	(—1)24.2	~	3	3 ’
3) при x—>-0 аргумент —>00, а множитель sin у будет при этом колебаться между —1 и + 1, не стремясь ни к какому определенному числу, т. е. этот множитель не имеет предела, но является величиной ограниченной, sin ^-|	1. Поэтому согласно
теореме II данная функция, представляющая произведение бесконечно малой х на величину, ограниченную sm —, есть бесконечно малая величина, а ее предел равен нулю; lim х sin — = 0. х->о х
39.	При п—>--}-оо найти пределы следующих функций:
1)	s (п) = ±+_2_ + А+.. ,+ZLzL;
2)	S2(n) = ± + | + A+...4-^-;
о, c , ,	12	3	н —!
3)	(nj — 7 -|—7 -|—~	--7— .
7	3' 7 n3 1 n3 1 n3	/I3
— 31 —
Решение. Каждая из данных функций представляет сумму л —1 членов арифметической прогрессии. Разность первой 1 „1 .. 1 прогрессии —, второй и третьей — .
Выполняя сложение и переходя к пределу, найдем:
I
lim S1 = — (lim/г—I)— +оо. л + се
В этой задаче, при п—>-j-oo функции Sj, Х2 и Х3 являются суммами бесконечно малых величин, число которых неограниченно возрастает вместе с л. Полученные результаты показывают, что Х( есть величина бесконечно большая, S2 —величина, 1 с стремящаяся к , Х3 —величина бесконечно малая.
Следовательно, решение этой задачи показывает: если число слагаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма может оказаться любой величиной.
х'1
40.	Доказать, что lim —г = 0 при любом значении х.* П -+ + со ll-
Решение. Каково бы ни было значение х, всегда найдутся такие два последовательных целых положительных числа k и А1, между которыми заключается | х |, т. е. k < | х | < k-\- 1.
Исходя из этого, получим очевидное неравенство:
| Хп | I X* X X	X	X I I Хк I I .V I " *
| ТГ |- I ТГ  /г4-1 * Т+2 ’ /г 4-3   • К |<| 1Г I ’ I СП I
I хк I
Первый множитель Л4,= не зависит от и и при любом данном значении х является постоянным; второй множитель I V I п— А'
Л!.. — z —-j	при п —> + ос будет величиной бесконечно малой,
ибо |у^-[|<-'1. (См. решение задачи 28.)
') п! (п—факториал) есть произведение всех натуральных чисел от I до п\ л!- 1-2-3. ..л.
— 32 -
Поэтому	как произведение постоянной величины на
бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.
хп
Вследствие этого функция также будет величиной беско-
• х^
нечно малой, т. е. hm -^- = 0 при любом значении х.
П~> + ОО
Найти следующие пределы:
41.	lim (х2+ 5х + 6). — 2
43.	lim	.
р-о x2 + «/2 + tg2«/
45. 1) lim —^Ц-;
’ х-*-о 1—2С*£Л:
42. Игл
44. lim 5 sin —.
х-л х~п
2) lira —; 3) lim —. ’ х-> + о 1 —2cte* ’ х-*о 1-2с‘й*
46. Как изменяются внутренний угол ап и апофема hn правильного многоугольника, когда число его сторон п неограниченно возрастает?
§ 7. Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции f (х) при х, стремящемся к значению а, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при х = а, т. е.
lim f(x) = f(a). х-+а
47. Найти предел функции:
1) f (х)—х3 — 5х2 + 2х + 4 при х—* —3;
2) <р(/) = /У/2 —20 —lg(/ + ]/f2-20) при / — 6.
Решение. Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
1) lim f(x) = f(-3) = (-3)3-5-(-3)2 + 2.(-3) + 4 = —74;
2) lim <р (/) = <р (6) = 6 /б2 - 20 - 1g (6 + Иб2 —20) = 23.
t ->е
2 Kt 3201
— 33 —
Найти следующие пределы:
48. lim T^x2~- .	49. lim (х5-5*+1 + 3).
Х->2 2Х*Т‘1	Х->-1
50. lim lg(2-|-2x + x2—х3). 51. lim sin х sin 2х sin Зх. £->• — 2	Л
К->--
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
В простейших из этих случаев можно найти предел функции путем рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в решениях задач § 5 и 6.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов, получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная й>0)
1. lim ах = со.
X -► со
2. lira — = оо.
3.
5.
7.
8.
lim — =—оо. х
lim — = оо. х
О, lim = 1 4 00 > -► + 00
оо,
о,
lim а* = . 4-оо, х-* —оо
ОО,
4. lim — = 4- оо. г- + о х
6. lim — = 0.
X
если |а|< 1
если а > 1
если а <— 1*.
если | а |> 1 если 0 < а < 1
если —1
1 + оо, если а> 1
9. lim logax = \	..
х-и-оо	( — оо, если ()<Сс<1.
— оо, если а > 1
+ оо, если 0<й<1.
11. lim --п х- = 1 (х есть радианная мера угла). Y —*• Л	*
10. lim loga х =
К-> +0
12. lim fl +-Г= lim (! + «)“ =е^ 2,71828.
х -► <ю '	X/ п
Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами.
* При а < 0 переменная х может принимать только целочисленные значения; для всех значений х при а < 0 функция ах не определена.
— 34 —
Более сложные случаи нахождения предела функции:	,
0-оо, оо — оо, 1“ рассматриваются далее каждый в отдельности.
I. Случай, когда при х—или х—»• оо функция f(x) пред-( о \ ставляет отношение двух бесконечно малых величин ( случай 1 .
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахождение предела отношения бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента является одним из основных средств для изучения функций.
Найти следующие пределы:
62. 1) Нт 4-4 ;
' х-,2 *2-4
..	х24-2х4 + х2—Зх —10
3) Нт  , о , г к—о ;
7	_ 2 -F 2х3 + Зх2 + —2
2)
4)
Нт
X -» 6
2ха —Пх + 5
Зх2— Их—5
Кт
х -> П
sin2 х
1 4-cos3 х ’
Решение. Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин I случаи I ; затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1)	Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на х — 2:
х—2	,. х—2	..11
Il in -х—-г -= lim —-пгт-Sr = нт —-гг - —.
х2—4	(х-р2)(х—2)	x-f-2	4
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая. Поэтому здесь х — 2^=0.
Вообще, если ищется предел функции при х—> а, то необходимо помнить, что х не принимает значения а, т. е. что х Фа и х — а =#=0.
2)	Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле
ах2 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2),
где хг и х2 —корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на х —5:
Нт
6
2х2 — 11x4-5
Зх2—14х—5
= Нт
2(х-5) ( х—у)
3 (X-5) ( х+’д'^
.. 2х—1	9
1т 3x4-1 — 16
2’
— 35 —
3)	Сократим дробь, разделив на х-|-2 числитель и знаменатель в отдельности:
..	х54-2х44-х2—Зх —10 .. х4 + х—5	3
х "_2 х44-2х34~Зх24-5х — 2 ха + 3х — 1	5
Вообще, если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке х = а, то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без остатка на х — а, т. е. такую дробь всегда можно сократить на х—а.
4)	Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на 1 -j-cosx:
sin2x 	I—COS2 X
lim T-:--5—= lim 77-----sTi-----—---r =
x_*n 1 4*COS3 X (1 4-cos x) (1 —COS x 4-cos2 x)
1—cos x	2
= 11Гn -j----:---5- = П5- .
1 —COS X 4- COS2 X 3
CO IS 1	1 — Kx-f-l	os Г	2— V X
53. 1) lim ----—— -	2) lim  ----/	;
x-»0 x	3-K2X+1
o. 1- tgx	M r 1—K*
3)	lira ;—vrn— >	4) um ------tv=-
x-> о ! — У 1 + lgx’	l-^/x
Решение. Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух беско-вечно малых величин (случаи -1, преобразуем затем дробь так, чтобы сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
I)	уничтожаем иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя на 1 -|- Vх 4- 1, затем сокращаем дробь на х:
lim	_ II,n<l-K«-+T)(l+fi+lL =
х-ю х	х(14-К*4-1)
— х	.. —I	1
= lim—-------— = lira----
х(14-рх4-1)	14-Fx4-1	2
2)	умножаем числитель и знаменатель на произведение (2 4-/^)(3 + /2ГГТ)
и затем сокращаем дробь на 4 —х:
Пт	= ц,„?+£*+! = ’ ,
х->4 3— К2х4-1	(9—2х —1)(24- Ух)	2(2+Vx)	4
3)	умножаем числитель и знаменатель на 1 + К1 +tgx и сокращаем дробь на tgx:	____
|„„___= Нт1еч'+/'+1е«>-=
Х-> о 1— /4 4- tg X ___1 — 1—tgx
== — lira (1 I- V1 4- tg x) = — 2;
— 36 —
4) умножаем числитель и знаменатель на произведение
затем сокращаем дробь на 1—х:
(l-x)(i + f/x + f/^)	1-+Л
lim-------------------= lim-—-
(1—х)(1-f-/х)	1
lim -— -11-
~ 2 •
Иначе можно решить эту задачу путем замены переменной. Полагая х = /в, получим /—1, когда х -> 1 и
1;_ I-/3 1im(l-0(l + t + /2)_liml+t + i2_ 3 (1 — 0(14-0
-	X2
2) lim , *
X -> о 1 tos л
lim х-> 1
54.
lim-,—та i — j/x z-1 1—t*
1) lim^ '	X
X 0 A
ЛХ cos— lim 7—-;
, 1—X
2 •
..	x2 —4
hm —7—7—-нт . arc tg(x-|-2)
Решение. Устанавливаем, что данная функция не определена в предельной точке, что при заданном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай После этого подвергаем функцию преобразованиям с тем, чтобы использовать 1-й замечательный предел:
  sin а , ,	.
lim----= 1 (а—радианная мера угла).
- -> о а
sin^=Km3sin3x = 31im 81пЗх = 3 1=3
Зх	зх-0 Зх
тригонометрическую формулу 1—cosx =
3)
4)
- 2
(X
1) lim х о
2) Применяем
= 2 sin2
X2
X \ 2 lim—| x sinT/
= lim—=2
2 sme.
3) Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел, сделаем замену переменной: 1—x = t. Тогда при х->1 будет t -> 0 и
lim г
: —о 1—C°SX
= 2-1-2.
nx
COS -g- cos lim ------= lim —
:->i 1 x t-*o
Л Я , \	, П .
2	2*) Sn'2^Z
---------/=hnl__
л 2 л , л
2 lm л ~ 2 '1 ~ 2 ‘
2
— 37 —
4) Полагая arc tg (x + 2) = v, получим x + 2 = tgo, о->(), когда x-*— 2, и
lim Л->- 2	x2 —4	__ arc tg (x -J- 2)	.. (tga—2)2-hm —	— v	-4 = J j	(tgn —4) tgti =
			V
55. lim	COS 0	0 1 __ y3 !—- .	56.		— 4.1= —4. .. a2—x2 hm ——
X -► 1 57. lim	1—X x2—6x + 9	J 58.	c^-ao3 + x3 3/2 — t—2 Im =7	=-
X 3 59. lim	x2 — 9 2t/2 + 5t/ + 2	60.	/_kl 2/2 + 5t—7 * lim	cos2*
у->-2 61. lim a -> о	2y3 + 7y2+6y ' 1—32’ 3’—1 ’	62.	n sin <p—cos <p ’ lim 	x x-o 2— j/x + 4
63. lim	1—X2	64.	lim 		.
65. lim	1— Kx ‘ sin 2x	66.	p_._l i —p i +p + ₽2 lim ~fl2 4.
X -* 0 67. lim	X sin 3x	68.	x^a sm(x—a) 1— КПГх lim -—.'	.
X -► 0 69*. lim	sin 4x x3 + l	70*.	*^0	sindx lim -F	sin*
	j arc sin (x + 1)		x->0 V 1-f-tgx— V 1—tgx
II. Случай, когда при х->-а или х -> оо функция f (х) представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай .
Найти пределы:
71. 1) lim °* , ‘ ;
x^«,5x2 + 2x’
„. ..	1+7«+а
3) lim - Д-7—;
5) lim ---tgfe--
2) lim П —> — се r 
4) lim .2+4+6+-+2n .
7	l+3 + 5 + ...+(2n + l)’
6)* lim |а , 02 , Д3.—j—г.
„_>+ „ la + 22 + 32 +... 4-п2
Решение. Убедившись, что имеет место случай , подвергаем функцию преобразованиям.
1)	Деля числитель и знаменатель дроби на х2 (наивысшая здесь степень х), находим
.. Зх2—1
11 m rain л_^^г + 2,;
lim
х2 = з—о з
5 + А-5 + °~ 5 ’
X
— 38 —
так как при х —оо величины и — являются бесконечно малыми. Эту задачу можно решить иначе, посредством замены переменной. Полагая х = -^получим: а -* 0, когда х -* оо и
lim
К -► CD
Зх2—1 5х24-2х
lira а2 ‘_ = пт^-а-о 5	2	5 + 2а
а2 + а
3
5 ‘
Вообще, предельный переход при х -> оо всегда может быть заменен предельным переходом при а -* 0, если за новую независимую переменную принять величину, обратную первоначаль-1 нои переменной, т. е. если положить а =—.
2)	Эту задачу можно решить теми же двумя способами, что и предыдущую.
Деля числитель и знаменатель на п, получим
lim
п —► — сю
П
у^+1
1,
или, полагая п = — , найдем —0 при п -* — оо, и
lim = lim п-*-а> уП2+1	а->-о
I-	1
= 11111------Г
— К1 + а2
Здесь появляется минус вследствие внесения под знак квадратного радикала (в первом решении) или вынесения за этот знак (во втором решении) отрицательного делителя, ибо если а<0, то
a b = — Yа2Ь и Уа2Ь = — a ]/b .
Из этого решения следует, что при п 4- оо предел данной функции будет равен единице, а при п -* оо предел этой функции не существует.
3)	Умножая числитель и знаменатель дроби на 7_", получим
14-7«+2	..	7-и + 72	0-1-49 .п
п^оо 3 — 7" ~1т3.7~я —1~ 0—1 ~	49.
так как lim 7_" = 7~О0=0.
п~> + сю
4)	Здесь числитель дроби есть сумма п членов арифметической прогрессии, а знаменатель есть сумма п+ 1 членов другой арифметической прогрессии. Преобразуя их по известной формуле,
— 39 —
/
получим
Пт ._2+±+6+2,t__ „"Too l+3 + 5+...+(2« + l)
2 + 2n n
= lim - , 0 ? ,-=	= li
!+^±l(rt+i)	" + 1
5) Тождественно преобразуем дробь так, чтобы затем сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
6)* Преобразуя знаменатель с помощью формулы для суммы квадратов натурального ряда чисел:
Is + 22 + 3’+ ... + n® =	(2п+1)
получим п3	.	6п3
„ТТ« 12 + 23 + ЗЧ-..-+"! ~	« ('» + 1)(2«+ 1)
6
72.
74.
76.
lim
X —► со
= lim—
6х2 -|-5х— 1
Зх2 —х + Г ‘
lim
Х- + 00 Х~ 1
10я —
10"+’ +5
= 3.
п } \
73.
lim
75.
lim
1 — X — X2 х3 + 3 ‘
1 + 1г2х2 — У X.
III. Случай, когда при х-+а или х—со функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай О-ос).
Этот случай нахождения предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев, 0	00
т. е. к случаю у или к случаю —.
- 40 —
Найти пределы:
78. 1) lim (1-х) tg^;
х -> 1	z
3) lim x arc cig %;
X->+ CD
2) lim	—x coscc у л + x
X -*-
4
4) lim x(-^-H-arctgx).
X->- cc \ 2	1
Решение. Установив, что при указанном изменении аргумента функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай 0 • оо), преобразуем ее к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности.
..	, . пх
(1—X) sin —
«у	*/
1) lim (1 - х) tg	= lim-----=
Х 1	Г—
Здесь можно было решать другим Полагая 1—х = а, получим
путем, заменив переменную.
1	- ,,	. . пх ..	. / л па\ ..	. ла
11	m (1 — х) tg = lim a tg ---------------к- = hm а ctg = =
:-» l	z а->• о ' z	£
ла	па
a cos	д„
..	2	.. па а .2.-2	2
= 11П1----= limcos-=- • lim-=1 - —lim---= —
.па	2 .ла п . па л
sinT	sinT	Sln-T
2) Полагая —x = t, получим
lim —х) cosec (+ х') = lim /cosec(n — t) = lim-X-r= 1. п \ ’	1	\ 4	/ t -►о	slnr
с -*-
4
3) Полагая arc ctg х = а, имеем x = ctga и
lim xarcctgx= lim a ctg а = iim a^osa = lim cos a• lim^— = 1.
-+«>	a^ + o	s,na	s,na
— 41 —
4) Положим arctgx = z, тогда х = tg г и
,	х	,	х	I -7Г + 2 I sin 2
/ ЗТ	\	( ЗТ \	•	\ 2 f
lim х -f--}-arc tex = lim ( z tg z = lim---------------------------------
x->-«	\ 2	e 7	я \ 2	7	““
z -►----
2
Л
T + z
— lim sin z • lim---
COS 2
1-lim—-------v = —
sin ( у+ 2 1
1.1 = — 1.
79. lim xctg2x.
Л —► О
81. lim n sin —.
80. lim sin 2x ctg x. X Л
82. lim 2"tg2“".
П ->• + СЛ
IV. Случай, когда при x -> а или x^oo функция f (x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай оо —оо).
Этот случай нахождения предела функции можно привести О 00	,	.
к случаю — или — путем преобразования функции к виду дроби.
Найти пределы:
83. 1) lim f *--2) lim (х —рЛх2 + 5х);
2x4/	Л-.+ О,
3) lim (Ktg2 а sec а — tga); 4) lim (2cosec2x — ctgx).
Л	X о
а ->--о
2
Решение. Анализируя условие задачи, заключаем, что при указанном поведении аргумента функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай оо—оо).
После этого преобразуем данную функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности. Тем самым данный случай на-.	О 00
хождения предела функции оо — оо сводится к случаю или — .
1) Производим вычитание дробей и полученную в результате дробь сокращаем на х—2:
I- ( 1	4	\	х — 2	..	1 I
lim —о-------5—л = *lm ~i—л =	—гъ = Т •
\х—2 ха — 4)	х2 — 4	х4-2	4
2) Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим «целитель и знаменатель дроби
— 42 —
на х:
lim (х-/^ + М = Ит	х2 + 5х) =
^ + «	x+l<x2 + 5x
= lim----- 5*- = lim
—5	5
1 + 1~	2 *
3) Как и в предыдущей задаче, переводим иррациональность в знаменатель, затем умножаем числитель и знаменатель дроби на cos а:
lim (l^tg2 а + sec а—tg а) = lim secjt------------
r tg2a + seca+tga
2
Visin'2 a + cos a + sin a 1 + 1	2
4) Тождественно преобразуем данную функцию к виду дроби, затем сокращаем дробь на sin х:
2	cos x
sin lx	sin x
lim (2 cosec 2х—ctgx) = lim (
t -* о	V
,. 2—2cos2x	.. sin2x	„
— urn ;--------= lim --------= lim tg x = 0.
2slnX.C0SJC	sin X COS X	b
84. lim (/2x2+1 —/x2 + l).
X -* СЮ
86. lim	. H—5-rY
85. lim(p<x2+2x—j/x2 + *)-
JK—► +02
87. lim (tgx—secx).
V. Случай, когда при x->-a или x—> оо функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель—к бесконечности (случай I”).
В этом случае для нахождения предела функции используется 2-й замечательный предел:
lim
п-+ со
1+-—^ =lim (1 +a)“ =е.
п J «->0
Число е — иррациональное; е = 2,7182818... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются In. Натуральные и десятичные логарифмы чисел связаны формулами:
Ig х = Minx, In х = 1g х,
где M = lge = 0,43429..., -^ = In 10 = 2,30258...
-43 —
Найти пределы:
2) lim j/1 — 2х;
Л -> О
4)	lim (tg x)‘g1Х.
Решение. Убедившись сначала, что при указанном изменении аргумента функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель—к бесконечности (случай 1"), далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-й замечательный предел.
1)	Полагая п — ах, получим х—-оо, когда п->оо, и
Возможно и другое решение без замены переменной:
2)	Полагая —2х — а, найдем а -♦ 0, когда х-> О, и
1	__2_	_1
lim(l — 2х)х =lim(l -|-а) “ = [liin(l -j-а)“]-2 = е~2. х->о	а -> о
5
3)	Исключив целую часть из дроби, полагаем —73-5 = х:
ft—3\г/+1 j- f. 5 \2< + i	,	.~v~3
11111	=llm 1—7Т9 =lnn (1+x) x =
V'r2/	X-	x->0
= [lim (1 -}-x)x ]~10-lim (1 4-x)"3 = e-10-1 =e“10.
4)	Полагая tgx=l-|-a, получим a -> 0, когда x ->
И
tg 2x =
2 tg x ___	2 (a + 1)
1 — tg2x	a (a 4-2)’
1	2 (a i-1)
lim(tgx)‘82x = lim [(1-|-a)u] “+2 =e a -> 0
я i
так как
..	2(a+l)	.
lim - , ,4 = 1.
a + 2
— 44 —
п
89. lim (1 + kx)x .
x -> о
91.	lim (1 +cosx)2sec\
Л
X -*-
2
eo.ita(4r)'-
92.	lim(l + 3tgx)ct«\
X -> Л
§ 8. Смешанные задачи
на нахождение пределов
Найти пределы:
93.	lim
X —► О
sin Зх
3—/2х + 9‘
94.	lim --------.
и оо п j/ я* -|-1
95.	Iim(/xa4-x4- 1-/х2-х4-1). 96. lim
Х-* + аз	К-> О 1Ь
97.	lim х (Ух2 + 1 — х).
X -*• 4- 00
99. Нт “3+.*С..±<«. и^_а и3-и-6
98.	lim
, —,	1—Xs
ЮО. lim x(t~*gJC) я cos 2х
х Т
Ю1. lim
Л-о	Л
102.	lim
103.	lim у/1 4- sin х. х-* о
104.	lim
X-i-3
xl — 18хй + 81 2хй—Зх—9
105.	lim
0-> 2
p6—2p*4-pz—3p + ‘2 p3—2p24-3p—6
107. lim sin 3x ctg 5x.
0
106.	lim f-A_ i-2—
x^. 1 \ 1 —*3	1 —X*
, i- /2x—5\x-i ’°8-) •
109*. lim
X-* —co
Vх Xй +1 j/x3 + i ’
110*. lim (sin x)*^*.
111.	Как изменяются корни
xt и x2 полного квадратного
уравнения ах2 -[-Ьх 4-с = 0, когда коэффициент а -> О? (Ь=£0 и
с —постоянные).
112.	Прямоугольная трапеция разделена прямыми, параллельными ее основаниям, на п равных по высоте малых трапеций, и в каждую из них вписан прямоугольник (черт. 20). Как будут изменяться площадь Sn и периметр Рп полученной ступенчатой фигуры, когда п -* -ф <х>?
4epi. 20
— 45 —
§ 9. Сравнение бесконечно малых
величины а
Чтобы сравнить между собой бесконечно малые и р, находят предел их отношения. При этом:
1)	если lim-|-= 0, то а называется бесконечно шего порядка, чем Р;
2)	если liin-~= оо, то а называется бесконечно
шего порядка, чем Р;
3)	если lim = А (А =А= 0 и А=^<х>), то а называется бесконечно малой того же порядка, что и р;
4)	если lim^-=l, то а и р называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность бесконечно малых а и р обозначается знаком приближенного равенства: а^р.
малой выс-
малой низ-
Эквивалентные бесконечно малые обладают следующими свойствами:
1.	Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка, чем каждая из них.
II.	При нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной, т. е. если а« at и P^Pi, то
Пгп 4 = lim = lim == lim .
113.	Если х-*0, то какие из следующих бесконечно малых:
1) 10 х; 2) Xs; 3) КЗх; 4) tg-^-; 5) lg (1 + х) имеют порядок □
высший, чем х, низший, чем х, и тот же, что х?
Решение. Находим предел отношения каждой дайной бесконечно малой к бесконечно малой х:
1) lim — = 10. о Л
Следовательно, 10х есть бесконечно малая того же порядка, что х;
2) lim — = Jimx2 = 0;
х
х3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем х;
3) Нт ~^ = lim [Л^-= 4-оо; дг-> + 0 Х	Г Л
— 46 —
1^3х есть бесконечно малая низшего порядка, чем х;
, X	. X	. X
tg-if 8'П-ё- SinT .
4) lim -= lim-= lim---lim---=
r — n X	XXX
x~*°	X cos -=-	cos -=-
О	5
’	5
tg у есть бесконечно малая того же порядка, что х;
5) lim lgP +*) — lim 1g (1 -f- x)x = 1g e; x -»o	x
lg(l+x) есть бесконечно малая того же порядка, что х. 114. Доказать, что при х -> 0:
1) sinax^ax; 2) tgax^ax; 3) arcsin ах&ах;
4) arctgахяхах; 5) 1^1+x— l&yX.
Решение. Чтобы доказать эквивалентность двух бесконечно малых, нужно найти предел их отношения. Если этот предел окажется равным единице, то бесконечно малые эквивалентны.
1)
lim
Х-> 6
sin ах .. sin ах ,
------= 111П -------= 1 ах ах^о ах
2)
lim
Х->0
tg
ах
lim
sin ах_____у sin ах
ах cos ах ~~ах 0 ах
• lim
1
cosax
11=1.
3) Полагая arcsin ax = а, получим:
lim
X-»- о
arcsin ax ax
lim
a о
a sin a
1.
4) Полагая arctg ax = г, найдем:
lim -rctg aK = lim = lim lim cos z = 1. x->o ax z->otgz slnz
i; K14-x—•
5) lim -—!------=
x -»о A
2
2 lim
1+x—1	 Д
x(K14-x4-l)	2
115. Пользуясь тем, что при отыскании предела отношения двух бесконечно малых можно заменять их эквивалентными
— 47 —
,. sin 4x
1) hm
x sin lx
3) btn .------. c ;
’ x -> о (arcte 5x)
4x 4 lltn3i=T;
l- ^jc)2 Qc = lim —-^ = 36;
3
= lim
бесконечно малыми (свойство II), найти следующие пределы:
.. tg22x
2) hm —------;
*-*“ sin3y
, , 1 *	3
tg V ' arctg- ,r—
4)* lim —---------T- 5 .
n^- + « Sjn	. tg—__ . arcsin —
«3 V n n
Решение. Пользу ясь тем, что sin а tg а arc sin a =s ^arctga = а при a—>0, что следует из решения задачи 114, и применяя указанное свойство эквивалентных бесконечно малых, получим:
ta2 2х
2) lim
'-*0 sjn2 _
xsin2x i- х 2х 2
3) hm —г—c-^ = !ini г-•е- = оё;
7 х _» о (arctg 5х)2 ох 5х 25 ,	1	,	3
tg3 — -arctg —-т=
1-	" п У п
4 И 'Тоэ • 2 ,	1	• 5	2	1	5
"^ + ® sin	. tg -7= • arcsin—	--Z •	. —
и3 / П п	и3 / п п
= lira= 0,3.
10n4 V п
116. Доказать, что при 1) ]/6x4 1 — 1 » Зх;
3) УГГ8-2^^;
х —*0:
2) sin х + tg х яг 2х;
у	JC2
4) 1-созА^_^.
117. Пользуясь свойством найти следующие пределы:
эквивалентных бесконечно малых.
lim
* -> о
sin 5jc _ х + х2’
3)
Б)
lim
О lim ч> -+ о
arcsin Зх .
arctg 6х ’ tg 2ср arcsin Згр sin Згр arctg 2<р
г 1^2х—х 2) hm ’---;
+ о tg Кх .. sin2(x—1) 4) lim—~—i-t;
sinx
6) lim----.
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х—xD — i\x соответствует бесконечно малое приращение функции у—у0 = Az/,
— 48 —
т. е. если
lim Az/ = lim[f (х0-}-Дх) —f(xo)]=O.
Дх->о Дж-*о
Этому определению равносильно следующее:
Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если при х—»-х0 предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т. е. если lim f (х) = f (х0).
X -» х0
Для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1)	функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х0 (т. е. в самой точке х0 и вблизи этой точки)-,
2)	функция должна иметь одинаковые односторонние пределы lim f (х) = lim f (х);
х ->х0 - о х хо + о
3)	эти односторонние пределы должны быть равны f(x0).
Функция f (х) называется разрывной в точке х0, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Разрыв функции f(x) в точке х0 называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы lim f(x) и lim f(x). Все другие случаи разрыва функции на-х -»хо-о х->хо + о зываются разрывами 2-го рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.
Скачком функции f(x) в точке разрыва х0 называется разность ее односторонних пределов lim f(x)— lim f (x), если они
X-»Xo + 0	X-**0—О
различны.
Если точка х0 является левой или правой границей области определения функции f(x), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:
1) если граничная точка х0 входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой разрыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х—> х0 изнутри ее области определения равен или не равен f (х0);
2) если граничная точка х0 не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.
Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.
При отыскании точек разрыва функции можно руководствоваться следующими положениями:
— 49 —
1.	Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.
2.	Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.
3.	Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение *.
118. Показать, что элементарные функции: 1) у = 2х2 — 1;
2) t> = cosecх непрерывны во всей своей области определения.
Решение. Найдем область определения функции и затем убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непрерывна в этой же области.
1) Областью определения функции у является вся числовая ось. Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Ах и, подставив в данное выражение функции вместо х наращенное значение х4-Ах, найдем наращенное значение функции:
у -|- Ьу = 2 (х 4- Ах)2 — 1.
Вычитая из этого наращенного значения функции ее первоначальное значение, найдем приращение функции:
Аг/ = 2 (х 4- Ах)2 — 1 — (2х2 — 1) = 4хАх 4- 2Ах2.
Пусть теперь Ах—-0. Тогда lim Ау = 0 при любом значении х.
Ах-* о
Следовательно, согласно определению непрерывности, функ--ция у будет непрерывна при любом значении х, т. е. во всей св&ей области определения.
2) Тригонометрическая функция cosec х определена на всей числовой оси, за исключением точек x-=kn, й = (), ±1» ±2,...
Повторяя указанные выше рассуждения, найдем приращение функции Ао и затем его предел при Ах—>-0:
Ап = cosec (х 4- Ах) - cosec х = s7[1 (- slr' х =
2 cos (х 4-	sin f
_sinx—sin (x 4-Ax) 	\	2 у \ 2 / .
sin (x4-Ax) sin x	sin (x-f- Ax) sin x ’
о ( , Ax\
2 cos x 4--г-	,	. .	„
i- a i- \	2 1	. I Ax\ 2cosx „ n
lim Ao = lirn . . . , . -lim sin —-0 = 0
sin (x4- Ax) sin x	\	2 у sin2 x
при всех значениях x, кроме х = Ал, /г = 0, ± 1, ±2,...
* Неэлементарные функции могут иметь весьма сложную структуру и могут быть определены и вместе с тем разрывны в каждой точке числовой оси.
— 50 —
Следовательно, область непрерывности и область определения элементарной функции cosec х полностью совпадают.
119. Дана функция. Найти ее точки разрыва, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:
3) f3(x) = arcctg4; 4)Л(х) = ^=|';	5) f,(х) = 1g(х> + Зх).
Решение. 1) Функция Д(х) определена, т. е. может быть вычислена при всех значениях х, кроме х=£2. Эта функция элементарная, поэтому она непрерывна во всей области своего определения: — оо<х<—2, — 2<х<2, 2 <х< +оо. Она не определена в точках xL =— 2 и xs = 2, но определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения 1-го условия непрерывности, данная функция в точках хх и х2 имеет разрывы.
Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыва вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргумента х к точкам разрыва слева и справа:
a)	lim	—-=4-оо
'	у 2 -- Л	’	"
—2~0 Л 4
так как при х—> —2—0 величина х2— 4 является положительной бесконечно малой, а обратная ей величина -2^_4 является положительной бесконечно большой;
1-	1
11П1 -S--7 = — оо,
у2 —4
Х->-2 + 0
так как при х—>— 2-}- 0 величина х2 — 4 является отрицательной бесконечно малой, а обратная ей величина является отрицательной бесконечно большой.
Следовательно, в точке х — — 2 функция имеет бесконечный разрыв (черт. 21).
б)	lirn	= — °°<
Х-> 2-0 Л
так как при х—>2— 0 величина х2 — 4 есть отрицательная бесконечно малая, а обратная ей величина есть отрицательная бесконечно большая;
lim 3^4=+°°.
2 + 0
так как при х—>2 + 0 величина х2—4 есть положительная бесконечно малая, а обратная ей величина есть положительная бесконечно большая.
Следовательно, и в точке х = 2 разрыв функции бесконечный.
— 51 —
2)	Элементарная функция f2(x) определена на всей числовой оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные). Поэтому она и непрерывна на всей числовой оси, т. е. не имеет точек разрыва.
3)	Элементарная функция fa(x) определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точке х = 0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой окрестности этой точки, за исключением самой точки.
Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
lim arcctg — = arcctg(—оо) = л;
lim arcctg —= arcctg ( 4-оо) = 0. х-»- + о	х
Следовательно, разрыв функции конечный (черт. 22); при х = 0 она имеет конечный скачок
lim /з(х)—lim f8(x) = 0 — л = — л. —► + О	х->—о
следует, что в точке
4)	Функция ft (х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 3. Из этого функция имеет разрыв.
Исследуем эту точку разрыва:
У
У х-3
|х — 3|	,
111П !1, ->з-о *-3
1
1
И
Черт. 23
так эта
при всяком значении
так эта
как
функция равна—1;
г |х—3[	,
х->з + о
х—3
как при всяком значении функция равна +1.
X
х = 3
х < 3
— 52 —
Следовательно, в точке х = 3 функция имеет конечный разрыв (черт. 23); ее скачок в этой точке разрыва конечный:
lim — lim /4(х) = 1— (— 1) = 2.
Х->3+0	Х->3-0
5)	Логарифмическая функция z/ = Igu определена только для положительных значений своего аргумента и. Поэтому элементарная функция (х) = 1g (х2 + Зх) будет определена и непрерывна для значений х, удовлетворяющих неравенству х2 + Зх>0. Решая это неравенство, найдем область определения и область непрерывности функции,— она будет состоять из двух интервалов числовой оси:
— оо<х<— 3 и 0<х<4-оо.
Во всех точках отрезка —З^х^ 0 данная функция не определена, однако точками ее разрыва являются только граничные точки х = — 3 и х=0. В этих граничных точках функция не определена, но она определена в сколь угодно близких точках слева от точки х =— 3 и справа от точки х = 0. Все остальные внутренние точки отрезка [— 3; 0], в которых функция также не определена, как и в точках х = — 3 и х = 0, не являются точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек функция не определена.
Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.
Найдя односторонние пределы функции при стремлении х к точкам разрыва изнутри области определения функции
lim 1g (х2Зх) = Ig 0 = — оо; IimIg(x2-|-3x) = IgO==— оо, Х->-3-0	х-» + о
заключаем, что в точках х = — 3 и х = 0 функция имеет бесконечные разрывы (черт. 24).
120. Для каждой из следующих функций найти точки разрыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой
— 53 —
точке разрыва и построить график:
1) = J		при	х^2
	L х при X		> 2;
	2 / х	при	0 ^4 х С 1
2) <р(х) = <	4 — 2х	при	1 <х<2,5
	2х —7	при	2,5 sg х -< 4 00;
	' 2х -J-- 5	при	— 00 <х<— 1
3) F(x) =	К 1X	при	— 1 х < 4- оо
Решение. I) Функция f (х) определена на всей числовой оси. Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная', она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента х и может иметь разрыв в точке х = 2, где меняется ее аналитическое выражение.
Исследуя точку х —2, находим односторонние пределы функции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:
lim f(x) = limf—^-х2^ =— 2,
так как слева от точки х = 2 функция ,((х) =—^-х2;
lim f (х) = lim х = 2,
X -► 2 + 0
так как справа от точки х = 2 функция f(x) = x.
Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой. Поэтому, вследствие невыполнения 2-го условия
непрерывности, в точке х = 2 функция имеет разрыв (конечный).
В этой точке разрыва функция имеет конечный скачок:
lim ,f(x)—lim f(x) = 2 — (— 2) = 4.
X —> 2 + О	X -> 2 - о
Во всех остальных точках числовой оси функция f(х) непрерывна,так как обе формулы, которыми она задана, определяют собой элементарные непрерывные
функции.
График этой функции показан на черт. 25.
2) Неэлементарная функция <р(х) определена для всех значений х2э0. Она может иметь разрыв в точках х=1 и х = 2,5,
где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция <р(х) непрерывна,
поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет
— 54 —
собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента х.
Исследуем точки х = 1 и х —2,5:
a)	lim <p(x) = lim 2 ]/х = 2; lim <p(x) = lim(4 —2х) = 2.
X —* 1 — О	Х->1 + 0
Согласно условию значение функции <р(х) в точке х=1 определяется первой формулой
<р(1) = 2/Г=2.
Следовательно, в точке х = 1 выполняются все условия непрерывности: функция определена в окрестности точки х—1 и lim <р(х) = Нт <р (х) = <р (1).
1-0	X -* 1 + 0
Поэтому в точке х= 1 функция ср(х) непрерывна.
б)	lim <р (х) = lim (4 — 2х) =—1; lim <p(x) = lim(2x —7) =—2.
Х“->2,5 —0	*->2,6 + 0
Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, т. е. не выполняется 2-е условие непрерывности. Поэтому в точке х = 2,5 функция имеет разрыв (конечный), черт. 26.
Скачок функции в точке разрыва конечный:
lim <р(х) — lim ф(л') = — 2 —(—1) = —1.
► 2.В + 0	Х->2,Б-0
3) Неэлементарная функция F (х) определена на всей числовой оси, кроме точки х = 0. Это значит, что в точке х = 0 функция разрывна. Исследуем эту точку:
lim F(x) = lirn — = —оо, Х-Г--0	х
lim F (x) = lim — = + оо.
х -» + о	х
Следовательно, в точке х = 0 функция F (х) имеет бесконечный разрыв.
Исследуем далее точку х =— 1. Поскольку функция F (х) неэлементарная, она может иметь разрыв в этой точке, где меняется ее аналитическое выражение:
lim 7?(x) = lim(2x + 5) = 3, lim F(x) = lim — = — 1.
X~>—1-0	*->-1 + 0	x
Найденные односторонние пределы функции конечные, но различные. Поэтому в точке х = —1 функция имеет конечный
— 55 —
разрыв; ее конечный скачок в этой точке равен lim F(x) — lim F(x) =— 4.
x—>—1 + 0	x-> —1-0
Во всех остальных точках числовой оси функция F(x)Henpe-
Чевт. 27
1) У	хз—зхг—4х 
4) у = arcsin — ;
123. Для каждой
п _	4
0 У х2_2* + 1 ’
рывпа; ее график показан на черт. 27.
121. Для следующих элементарных функций: 1) у = х3— 2х; 2) z—j/x;
3) и = ^ат~д; 4) w = cos2x проверить, что область непрерывности функции совпадает с областью ее определения.
122. Дана функция. Найти ее точки разрыва, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:
у2__
2)^=ЙН1; 3) y = lg(2x+l); I Л 1 |
5) » =  г 1 . -- ; 6) * у = ~.
7 у ________1 ' cos
из следующих функций:
2) 4/=* + |х-|_2|;
4) ^ = */2—1;
( — х при
3) У = | при
X — 1 г
1 —х2 при х <0 (х— I)2 при x«S 2
4 — х при х> 2
найти точки разрыва, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.
ГЛАВА II
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение Непосредственное нахождение производной
Производной функции y = f(x) называется предел отношения ее приращения &у к соответствующему приращению &х независимой переменной, когда &х—>0:
lim^ = lim
Дх->о^* Дх->о
(*)
Производная обозначается у' или f' (х), или .
Нахождение производной называется дифференцирование м.
Геометрически производная у' функции y — f(x) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (черт. 28):
й =	У'= 1™ Й = l*mtg₽ = tga.
Дх-*о ₽-+а
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если в этой точке она имеет определенную производную, т. е. если предел (*) существует и имеет одно и то же значение при Дх—>-0 любым способом; при этом функция будет и непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие дифференцируемости функции. Функция, непрерывная в некоторой точке х, может быть и недифференцируемой в этой точке.
Простейшие случаи недифференцируемости непрерывной функции изображены на черт. 29.
В точке а при Дх—>0 отношение ~ не имеет предела, но
— 57 —
имеет различные односторонние пределы при Ах—> — 0 и Ах—*- + 0, которые называются односторонними (левой и правой) производными:
lim 7Г = У{-'1 и 1|т тг — у\+> Дх->-о Л* ' Дх-» + 0Д*	'
В соответствующей точке графика функции нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами:
(гг — у{_} и k2 = y(+y (угловая точка).
В точках b и Ьг при Ах—*0 отношение	является знако-
постоянной бесконечно большой величиной:
lim д^ = —оо (или -]-оо).
Дх->о ах
В этом случае говорят, что функция имеет бесконечную производную. В соответствующих точках график функции имеет
вертикальную касательную (точки перегиба с вертикальной касательной).
В точке с односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В соответствующей точке график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (точка возврата с вертикальной касательной, частный случай угло-
Черт. 29
вой точки).
В точках а, Ь, Ьг и с функция y=f(x) непрерывна, но не дифференцируема.
Для непосредственного нахождения производной у' от функции у = f (х) служит следующее общее правило.
I.	Придаем аргументу х произвольное приращение Ах и, подставляя в данное выражение функции вместо х наращенное значение х-|-Ах, находим наращенное значение функции
y + Ay = f (хЧ-Ах).
II.	Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции
Лу = /(*-!-
ill.	Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составляем отношение
At//(x-pAx)—/(х)
Ах	Ах
— 58 —
IV.	Ищем предел этого отношения при Ах—>0. Этот предел и даст искомую производную у' от функции y = f(x).
124. Путем вычисления предела lim ~ найти производные
Л.х->о следующих функций:
1)	у=3х2 — 4х; 2) У =	3) у = ]/х; 4) y = cos3x.
Решение: Руководствуясь указанным общим правилом для непосредственного нахождения производной, последовательно находим:
1) Для функции у = 3х2 —4х:
I) у 4- Ьу = 3 (х + Дх)2 — 4 (х 4- Дх) = Зх2 4- 6хДх-{-
4- ЗД х2 — 4х — 4Дх;
11) Ду = (Зх2 4- 6хДх 4- ЗДх2 — 4х — 4Дх) — (Зх2 — 4х) = = 6хДх4~ ЗДх2 — 4Дх;
6хДх-)-ЗДх2 —4Дх „ ,	.
Ш) Д7 =------Дх-------= 6x4-ЗДх —4;
IV) lim	= lim (6x4-ЗДх — 4) = 6х — 4.
Следовательно,	—14) = 6х — 4.
2) Для функции у = —:
У+ЛУ = 7Тд^;
И) =	—-=—ЛЧ-;
3	*4~Дх х x(x-t-Ax)*
IV) lim	lim Г---
дх-0Дх L Х(х4-Дх)] X»
Следовательно,	± .
3)	Для функции у = Кх:
I)	у4- Ду = Кх4-Дх;
II)	Ду = )/х4-Дх —Vxj
Ш) Ду — 1^x4-Дх— Ух .
IV)	у'= lim -^=iim ^+Дх-У~Г^
Лх->0А*	ДХ
lim - х+Дх-х =	1
Дх(Ух4-Дх4- Vx) 2Кх
— 69 —
4)	Для функции y = cos3x:
I)	у4-Ду = cos3(x4- Дх);
II)	Ay = cos 3 (х 4~ Дх) — cos Зх = (3	\ з
Зх 4- у Дх 1 sin у Дх;
,	2 sin 6з$4--тг sin -jrAx
JU) =----------k------------L_.;
1 Ax	Ax
3
A	/	S \ Sin "o' ДХ
IV) у' = lim ~ = — 21imsin( Зх4-4Дх)-Пт—x-------=
Дх -♦ о, V 2	/	Ах
'4Дх .	3
- — 2 sin 3x4im-T— =— 2s‘in Зх--^ = — 3sin Зх. * Дх	2
125. Исходя из определения у'— lim найти производ-Дх-»о
ные следующих функций:
1) у = х24-5х—1; 2) у = ^;	3)у = ~;
4) у = 1/Г4х4-1;	5) y = sin3x; 6) * y = tg2x.
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций
Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз находить производную путем предельного перехода, посредством тех четырех операций, которые указаны в общем правиле дифференцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся по формулам дифференцирования, как это разъясняется в последующих задачах.
Простейшие формулы дифференцирования:
1) W' = 0; 3) (uv)' — u'v-\-v'tr,	2) (u + v—w)' = u' + v' — w'; 3a) (cuY =cu'\
лх /	u'v—v'u 4) L; 6) (sin x)' = cosx; 8) (tg x)' = sec2x;	. , f и \' u’ 4a) ( — = — ; ' \ C J C ’ 5) (x”)' = nxn-1; 7) (cos x)' = — sin x; / 9) (ctg x)' = — cosec2x.
* Здесь при отыскании предела отношения двух бесконечно малых одна 3	3
из них заменена другой, ей эквивалентной: sin —Ахчг—Дх. См. свойства
эквивалентных бесконечно малых в гл. I, § 8.
— 60 —
Здесь обозначено: с —постоянная; л —независимая переменная; и, v, w—функции от х.
126.	Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) у = х2 — 5х 4- 4;
3) z = x5(2-y + 3x2) ;
5) <р (0 =	. ,10.--- ;
’	' ' asm t—bcost
2) y — Vx +	-^4-3a,3
r2
4)/(х) = -^т;
о MX ..cosactga
6) «(C)- i+2tgC
Решение 1) y' = (x2-5x4-4)'=(x2)'-(5x)'4-(4)' (по формуле 2);
у' = 2x — 5-1 4-0 = 2x — 5 (по формулам 5, За и 1).
2)	Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:
- -- 1 у = хг4~5х х-24-з-х 3,
Применяя формулы 2, 5 и За, получим
+5(~j)	-(-2)«-+|(-3)х-<-
I	5	2	1
3)	1-й способ. Пользуясь формулой 3, получим
z' = (x8)' f2-44-3x2Wx5f2-4 + 3x2Y = \ о	j	\ *J	j
= 5x4(2-y4-3x2^4-x6 (— 4-4-бх) = 10х4-2хБ4-21хв.
2-й способ. Сначала раскроем скобки, затем дифференцируем, как сумму:
г = 2хБ —4 хв + Зх7; г’ — 10х4 — 2х6 4- 21х®.
о
Этот способ предпочтительнее, так как быстрее приводит к цели.
Следует иметь в виду, что вообще не обязательно дифференцировать заданную функцию сразу. Можно предварительно подвергнуть ее тождественным преобразованиям (если это целесообразно, т. е. ведет к упрощению дифференцирования).
— 67 —
4)	Пользуясь формулой 4, получим
р /н _ / *2 \(х2+1)--(ха+1)‘х3 =
I W \х2+1 )	(х2+1)2
__2х(х2-(-1)— 2х-х2  2х -	(х2-г I)2	~ (х2 ТО2 
_	____/	10 у 	10 (о sin/—bcosty 
) *Р ( )	yasiii/—bco&t)	(asin t—bcos/)2
__	10 (a cos /-pbsin/) (a sin/—bcos t)2
Здесь применена формула 46 (постоянный числитель), а не формула 4, что целесообразнее.
6) Пользуясь формулой 4а (постоянный знаменатель), получим dR (cos a ctg а)' —si n a ctg а + cos а (— cosec2a) da ~ 14~2tgc	l-|-2tgc
__ cos a (1 + cosec3a) ~ I-f-2tgc
127. Найти производную данной функции и затем вычислить ее частное значение при указанном значении аргумента:
1) F(х) =~, х = 0,01; 2)z=^^—., /=£; V ' X ’	’	'	1 —sin t *	6 ’
а-\~Ь , 5х4—1 Л
3)У = 3=2^+^Г’ Х = 0-
Решение. 1) Вначале раскрываем скобки и производим деление, затем дифференцируем:
„ . .	1 — 2 х+х I 2	. ,	_1 п —— , <
F(x) =--------—— =---------^т-4-1==х *— 2х s-р ;
' ’	X	X |/х	1	’
/	1 X ——	1	1
F'(x) = —х"2 —2 —4) х 2= —J- + — ' ’	\	2 /	х2 ухз
Подставляя значение х = 0,01, получим
F'(0,01) = — -^+^2= = — 1002+103 = — 9000.
'	0,012 у 0,013
2) По формуле 4 найдем
,___(cos /)' (1 —sin /)—cos / (1—sin /)'_
2	(1—sin/)3
—sin / (1 —sin /)—cos / (—cos /) — sin / + sin2f + cos2/ 	1
=	(1 —sin/)3	~	(1—sin/)3	~ 1 —sin / '
т-i	j л	z / л \	1	n
Полагая i = получим z (= 2..
3) Применяя формулы 46 и 4а, получим
,	(a + Ь) (3 —2х)’ . (5х4 —1)'_ 2 (a-f-b) , 20х3
У ~	(Г<— 2х)3	а—b	(3—2x)2 ~f' а—b '
— 62 —
2
При х = 0 найдем r/'(O)=g-(a-|-b).
По формулам дифференцирования найти производные следующих функций:
128.	уЗ У = х + Ъх2-^. о	129.	y — x — i^x.
130.	y = (V х — V а)2.	131.	1 . 1 s ~ t + Р ‘
132.	2 = 3^х — 2Ул5 + 4.	133.	2/
			Z + 3 ’
134.	хг — 3 w = -2"Fq  х2 + 3	135.	у = х2 sin х.
136.	г _ 1 +cos Ф sin (р	137.	4/ = —3cosz ctg/.
138.	f(x) = -^~^; вычислить f'(l).
139.	F (t) =	; вычислить
' ’ t J т	\dt )t=m
140.	r(<p)=<p sin <pcos Ф‘> вычислить г' (л).
141.	г —(у2 — 2у) tg у, вычислить г'(0).
142.	и (г) = ^-2—~т‘> вычислить
' '	2х2 г2	\dr )г_х
§ 3.	Производная сложной функции
Если у — f (и), где tz = <p(x), т. е. если у зависит от х через посредство промежуточного аргумента и, то у называется сложной функцией от х.
П роизводная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной-.
du du du	, с,, .	,, .
= ИЛИ и =f (и)-и (х).
dx du dx J t \	' >
Так, если zz = q>(x), то формулы 5, 6, 7, 8 и 9 предыдущего параграфа будут иметь следующий общий вид:
5)	(ип)' = пип~1-и'-,	8) (tgu)'= sec2 tz-tz';
6)	(sinи)' = cosu-u';	9) (ctgu)' =— cosec2 zz-zz'.
7)	(coszz)' =—sinzz-zz';
Полезно запомнить словесные выражения формул дифференцирования:
производная степени равна показателю, умноженному на то же. основание с показателем на единицу меньше и на производную основания;
— 63 —
производная синуса равна косинусу того же аргумента, умноженному на производную от аргумента.
Выразить словесно остальные формулы дифференцирования рекомендуется студенту самостоятельно.
Найти производные следующих функций:
143.	1) у = (1 ф-5х)3; 2) г/= sin 5л:; 3) z/ = cos2x;
4) y=sinx2;	5) //=^2ф-л4.
Решение. 1) Полагая у = и?, где и=14-бх, и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:
^ = 3и2; ^- = 5;	^- =	~ = Зи2-5 = 15 (1 4-5х)г.
аи	ах	ах аи ах	\	/
Легко проверить правильность этого результата: возведя в куб и дифференцируя полученный многочлен, приходим к тому же ответу.
2)	Полагая 5х = ц и пользуясь формулами 6 и За, найдем у' — (sin 5х)' = (sin и)' = cos и - и' = 5 cos 5х.
3)	Полагая cosx = zz и применяя формулы 5 и 7, получим у' — (cos2 х)' = (и2)' — 2и.-и’ = 2cosх(— sin х) = — sin 2х.
4)	При х2 = и по формулам 6 и 5 найдем
(sin х2)' = (sin и)' = cos и  и' = 2х cos х2.
5)	Полагаем 24-х4 = и, и, пользуясь формулой 5, имеем
(|/2 4-*4)' =(/«)' =	= у«~м' =
1	——	4х3
= 1(24-х4) 3 •4х3 = -з7^=.
3	3 / (2-f-x4)2
Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:
(/2+5^)' = [(2 4- x4F] = | (2 4- х4)'^ (2 4- х4)' = -	.
3	3j/(24-x«)2
Второй способ записи без особого обозначения промежуточного аргумента значительно проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложных функций.
144. I) 2 = (3ах—х2)*; г'? 2) 0 = 2 ]/ sin -J;
3) s= (зГн)10’ вычислить
4) r= sin32(p — cos32<p, вычислить '"'(у)-
— 64 —
Решение. 1) Применяя формулы 5 и 2, найдем
г' = /г(Зах —х2)*-1-(Зах —х2)' = /г (За — 2х)(3ах — х2)*-1.
2)	Используем формулы 5 и 6:
_2-	2_
о/ л 1 ( • а \ s / ,. ау / .. а \ з а /а\'
P=2-2(s,ny) 4s,n з) ~\s,n-3 СО5ТЧз)
a cosr
3)	Применяем формулы 5 и 4:
, inf ‘ У 1-(2/ + 1)—24	10/2
S”IUV2/+1J *	(2Z-J-1)2	~ (2/4-1)11*
При t— — 1 получим s' ( — 1)=10.
4)	Сначала запишем данную функцию в виде г = (sin 2<р)3 — (cos 2<р)3,
что всегда полезно при дифференцировании степеней тригонометрических функций.
Пользуясь формулами 2, 5, 6 и 7, получим
г' = 3 (sin 2<р)2 (sin 2<р)' — 3 (cos 2ф)2 (cos 2ф)' =
= 3 sin2 2ф• 2cos2ф — 3cos2 2ф-( — 2 sin 2ф) =
= 3 sin 4ф (sin 2ф + cos 2ф).
При ф = у найдем г' ) = 3 sin у sin у + cos у) =« 3|/2!
Найти производные следующих функций:
145.	у = (2 + 3х)в.	146.	y= sin (2x— 1).
147.	у = Ctg У X.	148.	2 — ^ х + Ух.
149.	и = sin at cos —. а	150.	r = 2 cos2 у .
151.	_ 1 V (14-sin4z/)s •	152;	S =-i-tg3Z — tgz + z.
153.		 sinx 2 cos2 x ‘	154.	r tg Йф—b sec оф
155. у = sin2 х -|- sin х2; вычислить у' (0).
156. у = cos у cos у; вычислить у' (а).
157*. z —	1 cosх4; вычислить z'
(]/?)•
3 № 3201
— 65 —
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций
Общие формулы и их частные виды:
10) (а“)'= й“ 1пй-и';	11) (log и)' = ~ loge;
10a) (е“)' = Л/';	1 la) (In и)' = ~ ;
106) (йх)' = йх1пй;	116) (logx)' = у loge;
10b) (ex)'=ex;	Ub) (lnx)'=-^.
Для дифференцирования логарифмической функции с основанием а^=е можно предварительно преобразовать ее в логарифмическую функцию с основанием е по формуле
logfl и = loga е-1п и.
158. Найти производные следующих функций:
1) у = х33х.	2) f (х) = {/3+^4бГх ; вычислить /'(!).
3) //=lncos3x. 4) г = аУЬ'^с'? lg(5<p) — 4IgK<p.
5) z/ = ln^=j“. 6) z/=ln Увычислить z/'(0).
Решение. 1) Дифференцируем как произведение и по формулам 5 и 106:
у' = (х3)' 3х 4 х3 (3х)' = Зх2Зх + х33х In 3 = х23х (3 + х In 3).
2)	Вводим дробные и отрицательные показатели, затем дифференцируем как сумму и по формуле 10:
Г(х)=(з^ + 2“5*4-6хТ) =3'hn3.(iy +
+ 2“5*1п2-( —5x)' + 6xVln б-(х^) =
= —' 3^ 1п 3 - 5  2"5Х In 2 4 4- х"^6хТ In 6. X*	2
Полагая х= 1, найдем —31п3 — 5 2 4 3 1п 6 = |^1п 2.
3)	Согласно формулам 11а и 7а имеем
,	Zcos3x)' —3 sin Зх	о х-п
у = (In cos Зх) =1=------5— = — 3 tg Зх.
u	f cos Зх	cos Зх	°
4)	Здесь предварительно тождественно преобразуем данную функцию:
г = (йЬсД41g5 +1g<р —4 у 1g<р = (obc)!p41g5 —Ige-ln<р.
66 —
Затем дифференцируем по формулам 106 и 116:
^ = (°М<р1п(аМ-^.
5)	Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем логарифм дроби в разность логарифмов числителя и знаменателя:
/7 2
У = in = 1п (а2 - X2) - 1П (а2 + х2).
Согласно формуле На найдем
, _ (а2— к2)' _ (а2 + х*)' _ — 2х	2х _
У	а2—х2	а2-]-х2	а2—х2 а2-]-х2 х4—а4'
6)	У = !п /Иргх = 4 [1П е*х - In (1 + е3*)) = 4 [Зх - In (1 + е3*)[;
1 3,езх \	3	.	, п, 3
У 2	1-}-еЗА'/— 2 (14~е3*) ’	У'У)— 4-
Здесь, как и в предыдущем случае, на основании свойств логарифмов данная логарифмическая функция преобразована сначала к более удобному для дифференцирования виду.
И вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию логарифмической функции содержится выражение, поддающееся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то полезно сначала выполнить логарифмирование.
Найти производные следующих функций:
159.	у = 2* + 2зх.	160.	у = ах* — e~xi.
161.	2 = 3 V~xe-X	162.	x = ea<f sin 6<р.
163.	ех+е'х ех—е~х-	164.	у = In («х2 4- bx 4 с).
165.	у = cos2 х — 2 In cos X.	166.	2 = X(1 — In X).
167.	у2 и = In 1	 . 1 —X2	168.	-In /Ш-
169. г=1п ; вычислить г'(0).
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций
Общие формулы и их частные виды:
12)	(arc sin u)' = £— ; у 1 — tl2 13)	(arc cos u)' —	--u-	; ’	V\-U2 14)	(arctgU)' = ^L^; 1 -f- и 15)	(arcctg a)'= —	12a) (arc sin x)' 13a) (arccosx)'= — ^=L=; 14a) (arctgxy^j-L; 15a) (arcctgx)'=--=	•
3*
— 67 —
170. Найти производные следующих функций:
1) у = 5 arc sin kx + 3 arc cos kx\ 2) у — arc sin — arc ctg у ;
3) r = arctg-^- + arcctg(rnctg(p); r'(0)?, г' (л)? Решение. 1) По формулам 12 и 13 найдем
и' = 5___<М'	, 3 Г (W = ы _
у	К1—(М*	L yi-(kx)2] pl — k2x2
__	?>k_________2k___
V1—Л2х2 — l^l~k2x2 ‘
2) Используя формулы 12 и 15, имеем
а	I
х2 , а	а	а
1 а! + х2 ” а2 + х2 1x1 хг — а2 ’ о2
так как У х2 равен не х, а |х| и ху^О.
3) Применяем формулы 14 и 15:
т
(т ctg <р)' _	<р2	— т cosec2 <р
14-m2ct«2<p	/п2	1 -j-m2 ctg2 <р
<р2	<р2
__ т ।	т
<р2 + т2 ~si п2 q, -р ш2 cos2 <[> ‘
Подставляя вместо <р заданные значения Ойл, найдем , ,пч	1,1 л »/ v	т ।	*	п2__
Г	+'т- 0; Г (л)-	т ~т(п2^т2)-
Найти производные следующих функций:
171.	у = arc sin х.	172.	у = arc ctg у.
173.	z^arctg—^.	174.	г = arc cos 1.
175.	^ = xarccosx —J^l	—	х2.	176.	и = arc cos —.
177.	x = tparctg(p — ln/1	+<pz;	вычислить x'( —1).
178.	t/ x К1 — x2 + a re tg -pp— 2 > вычислить у'($).
179.	Q = arctg; вычислить Q'(0) и Q'(—1).
— 66 —
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование
Найти производные следующих функций:
>80. О У — sin х—cosx); 2) r = ln
3)	s = х2 (1 + m */е ); показать, что эта функция удовлетворяет уравнению x2(s'—1) = (2х—l)s.
Решение. 1) Последовательно применяя формулы 3, 10,2, 6 и 7, получим
У'=	К3 * * 6 ***)' (л sin х — cos х) 4- еах (a sin х — cosх)'] —
~	(а sin х — cos х) 4 - еах (a cos х + sin х)] =
еах
= j^2 (а2 sin х 4- sin х) = еах sin х.
2) Вначале преобразуем данную функцию согласно свойствам логарифмов, затем дифференцируем по формулам 8 и 11:
Г = [In (1 4- tg <р) — In (1 — tg ф)1;
dr I Г( 1 4- tg <p)' (1—tg<p)f'l 1/ sec8 <p  —sec2<p\ dq>~4 [ 14-*£<Р	1 — tg <p J V + tg<p~l—tg<p/ —
_ sec2<p(l—tg<p4-14-tg<p) ____1	__ 1	9
4(1 — lg2<p)	2(cos2<p—sln2tp)	2 Ь
3) Заменим радикал дробным показателем и дифференцируем по формулам 3, 5 и 10:
(1 \	/	I \
1 4- те к ) ; s' = 2х \ 1 4- те х у
+ x2mer (—^) =2х 4- те* (2х- 1).
Подставив s и s' в данное уравнение, получим тождество х2 [2x4-me“(2x-l)-l] = (2х — 1)х2 (1 4- тет) ; 0 = 0. 181. 1) у = — ^т + lntgi ;	2) у = arc sin (cos х); у'?
3) r = <p2arccos^- —2[Лр2 —4; вычислить г'(2) и г' ( — 2).
4)* У = |1 — х2|; найти у' , у' ( — 2) и точки, где функция не дифференцируема.
— 69 -
Решение. 1) Последовательно применяя формулы 2, 4, 7, 5, 6, 11 и 14, получим
( . X \'
I tgr - |
,   (cos х)' sin2 х—cos х (sin2 х)	\ 2 J
У	sin4 x	‘	, x
tg2
2 X
sin3 x-f-2 sin x cos2 x 2 __ sin2 x-|-2cos2 x sin4 x	' _ , x sin3 x
2tg?
1	_1 + cos2 x 1	2
„ . x x sin3x ' sinx sin3x‘
2 sin у cos у
2) Пользуясь формулами 12 и 7, найдем
sin х
| sin х |
точках х, где sinx>0,
/ =	(«>s х)’
У 1—COS2 X
— sin х __
V sin2x
Смысл этого результата таков: в у'= —Г.вточках, где sinx<0, у'=\‘, в точках, где sinx = 0, т. е. х = /?л, А = 0, ± 1, ±2, данная функция не дифференцируема (черт. 30).
3) Заменив радикал дробным показателем и применяя формулы 2, 3, 5, 13 и 4, имеем
= (Ф2)'агссоз
arc cos
о	2	ст®
= 2ср arc cos-----------ф2 —г — . -
4
2.1(ф2-4)"2 -2ф =
V <Р2
= 2Лрягс,ms —-4-	------, Л , так как ]/ф2=|ф1-
V Ф /ф2—4 W-4/
2
При ф >> 0: г' = 2фагссоз —; г'(2) = 4 arc cos 1 =0.
фаге cos —---; г'( —2)=+°°.
т	<р j/\p2_4/	'
!>0, т. е. в интервале — 1 <Zx < 1, 1;
При ф < 0: г'
4)* а) При 1 у' = (1 — х2)' = — 2х, поэтому у' =:
б) при 1 — х2<0, т. е. в интервалах — оо<х<— 1, и 1<х<4-оо, у'= — (1 — х2)' = 2х, поэтому у'{ — 2)=— 4;
в) при 1— х2 = 0, т. е. в точках х=±1, данная непрерывная функция не дифференцируема; в этих точках производная у' не существует, но существуют две различные (по знаку) левая и правая производные:	2 и у(+)=2.
— 70 —
В соответствующих точках график функции (черт. 31) имеет по две различных односторонних касательных с угловыми коэффициентами А1=—2 и /г2 = 2 (угловые точки).
О ? ж
Черт. 31
Найти производные следующих функций:
182.	У=(1 + /Т)3.	183. y — --x=-.: . Vl+x^
184.	_ 1 У (1 — №)а 	185. x = У cos 4a .
186.	s = sin4 Z + COS4 t.	187. r = tpsec2 a<p.
188.	x = 2e‘ sin t cos21.	189. y = x4 (8 ln2x — 4 In x+ 1).
190.	u = e2®ln tg^- .	191. у = ln (x+]/x2-t-a) .
192.	x = ln-7=^= . Vt*- i	.	ii / 1 + sin a 193. w=ln 1/ -r-1—;—. r	1—sin a
194. х = / (cos In t— sin In t). 195. y =-r
'	____ '	2 + / 4 + 5“
196. y = arcsin Ksin x. 197. y = arccos(cosx).
1	4 /"f_Lx	/	1 \
198. у =2"arctgx—In у рГД ; вычислить у' I —.
199. u=x]/r4 — x2 + 4 arc sin £ ; вычислить и’ (2) + и' (0).
200*. у = ae-sinx-|- s*in к— 1; показать, что у' -|- у cos х = ~ sin2x.
201*. y = 2|cosx|-)-cosx; найти у'	(т) и УГЛОВЬ1е
точки графика функции.
202*. у = |х|ех; вычислить у' (—1), у' (1) и односторонние производные дли угловой точки графика функции.
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.
Если требуется найти у' из уравнения y = f(x), то можно: а) логарифмировать обе части уравнения (по основанию е) lny = lnf(x) = <p(x);
— 71 —
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где In у есть сложная функция от х,
— — <р'(х) (согласно формуле 11);
в) заменить у его выражением через х и определить у':
У' = У<$' (х) = [ (х) ф' (х).
Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для нахождения производной от показательно-степенной функции y = uv, где и и v—функции от х.
203. Найти производные следующих функций:
1) у = хх; 2) г = (cos a)’in -а ;
3) s =	; 4) R = (х - 1) |/(х+1)2(*-2).’
Решение. Применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:
1)	а) 1п у = х 1п х;
в) у' = у (1 + In х) = Xх (1 + 1п х).
2)	a) In г = sin 2а In cos а;
г'
б)	— = (sin 2а)' In cos а + sin 2а (In cos а)' — 2cos2alncosa4-
+ sin 2a ( —	_ 2 cos 2a In cos a — 2 sin2 a;
1	\ cos a)
в)	r' = 2 (cos 2a In cos a — sin2 a) (cos a)’ln 2a.
3)	a) lns = In 2-pIn/—yln(l — t2)-,
s' 1	1	—2/	1 t	1
°) s — t ‘ 2 I—*2 — t ' I — /2 = t (I—/2) ’
. , s	2/	2
в) S =------ =-----------== г ' - •
/(1— Г2) I (1— <2) v 1-r2	^(1—/2)3
4)	a) In R = In (x — 1) 4 ~ (x + 1) 4- v In (x — 2);
R' 1 i 2 i 1	2x2—3x-I
°' R “x-l +3(x+l)+3U-2j (jc3-I)(jc-2) ’
.	2x2—Зх—1 .	—, , ,8 ,-2*2 — 3x—1
в) R =------------(x — 1) / (x+1 )2 (x—2) =	.
(x2 —l)(x —2)	/ (x + 1) (x-2)2
72 —
Найти производные следующих функций:		
204.	( X \ах	205. у = у/ х .
206.	r = (sin <р)ф.	207. y =	. V 1— X*
208.	(1+Ф	209 и — 1/
	(2+W-H)1 •	у у (1—х)а
210.	S = ф .	211*. v = xxX.
§ 8. Производные высших порядков
Если у' есть производная от функции y = f(x), то производная от у' называется второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции у, и обозна-
чается у", или Г (х), или .
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:
производная третьего порядка (у")' =у = f" (а) =
d4u
производная четвертого порядка (у'")'=у<4) =/<4> (х) ==^;
производная n-го порядка (у,п-1,)/=У<п‘ = Г"’(х)	•
Для нахождения производной какого-либо высшего порядка от данной функции приходится последовательно находить все ее производные низших порядков.
Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
(ыи),п» = и,г”о + пи’п_1’ п' + ^^Ц=^и<я-2,1Г+ ... +
4- "(Дг1)—- Ln-fe+J) «<"-*>	+ ... + пиД'"-п + uv<n>.
212. Для данных функций найти производные указанного порядка:
1)	у — хъ—7х3-|-2; у'"? 2) у = \пх; у151? 3) s = arctg 2х; s"(— 1)?
4) y = e_<psinq); показать, что функция удовлетворяет уравнению у’ + 2у' + 2у = 0.	5) у = ех(х2 — 1); у<24’? 6) у = хт-, у,г>?
Решение. 1) Дифференцируя функцию у, получим
(У)' = У' = ^ — 21х2.
Дифференцируя производную у', получим
(у')' = у" = 20х3—42л.
— 73 —
Дифференцируя вторую производную у", получим (у"У = у’" = 60х2 — 42.
2)	i/'= (In х)'= — = х~ \
Для нахождения следующих производных здесь полезно ввести отрицательный показатель степени:
</" = —х'2; y'" = 2x~s\ у“> = — 6х~*; г/,Б, = 24х-ь = ^ .
3)	s = (arctg 2х) = ] +(2а,)2 = , + 4х2 I 2(14-4х2)'_	16х
s— (1+4х2)2 ~	(14-4л2)2 *
При х =—1 найдем s" (—1) =	.
4)	Найдем у’ и у"\
у' = (e_<f)' sin <p + e_<f (sin ф)' = — e~'f sin <p + e~'f cos q> — — e~'t (cos <p — sin <p);
y" — e~'f (cos ф — sin <p)	(— sin ф — cos cp) = — 2e_!pcos <p.
Подставляя у, у' и у" в данное уравнение, получим тождество: — 2е_“ cos ф 4- 2e_!f (cos ф— sin ф) + 2е_'р sin ф = 0; 0 = 0.
5)	Применяя формулу Лейбница, получим
(/(24) = [е* (Х2_ 1 )]<24» =	(Х2_ J ) 24(еХ)‘23* (Х2 - 1)' +
Все следующие слагаемые равны нулю, ибо все высшие производные от функции х2 — 1, начиная с третьей, тождественно равны нулю;
ех (х2 - 1) + 24ех • 2х + 12 • 23ех • 2 = ех (х2 + 48х + 551)
(так как производная любого порядка от ех есть ех).
6)	Дифференцируя k раз, получим:
z/ = x”; у' = тх'п~1\ у" =	1) х"1-2; ... ;
= т (т — 1) ... (in — k + 1)
В частности, если т — целое положительное число, то ,/и» = т1 и z/(m+1, = ^/,",+2, = ... =0.
213.	z=/2 + sin5/; г"'?	214. u = a5lnct; o'"?
215. х = (2р-1)5; х(4)(3)?	216. у=х2еях\ у"?
217. г/= Cje2X +с2хегх + ех; показать, что функция удовлетворяет уравнению у" — 4у'4у = ех.
— 74 —
218. у = а*х-, y™>	219. у = (1+хГ; g?
220.	z/ = xsinx; ^?221*. y = x"-1lnx;
§ 9. Производные неявной функции
Если у есть неявная функция от х, т. е. задана уравнением f (к, у) = 0, не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от х и у, ^ = <р(.х> У)-d2u
Вторую производную от неявной функции получим, дифференцируя функцию ср(х, у) по переменной х и помня при этом, что у есть функция от х:
d2z/ _d<p (х, у) __ F ( dy\ dx2 dx	~	\ ’ y’ dx ) ’
Заменяя здесь ~ через <p(x, у), получим выражение второй
производной через х и у:
^ = F[x, у, <р(х, <у)] = ф(х, у).
Совершенно так же и все высшие производные от неявной функции можно выразить только через к и у: каждый раз, . л.	du
когда при дифференцировании появляется производная , ее
следует заменять через <р(х, у).
К тому же результату приводит последовательное дифференцирование равенства f(x, у) — 0 с последующим исключением из полученной системы всех производных низшего порядка.
Для данных неявных функций найти производные указанного порядка.
222.	1) Й = 1;	2) ет“2 + г<р —Зг —2 = 0;	?
f a2 b2 dx 7	ж	\“Ф/ф=2
3) хУ = ух; g? 4) х2 + у2 —4х—10t/4-4 = 0; у'х=в?
Каков геометрический смысл решения этой задачи?
5) t — s-paretgs = 0; s"? r/ = x+lnj/; у"?; x"?
— 75 —
Решение. 1) Дифференцируем по .г обе части равенства, где у есть функция от х, получим
2х 2уу‘ л	' Ь2*
~2—fr = 0. Отсюда найдем у
2)	Дифференцируя по <р и считая г функцией <р, найдем ^'2+<Р;г + г-3~ = 0.
1 v dtp 1 dq)
T,	dr e?-24-r
Из этого равенства определяем g^ = 3_^ -.
Подставляя данное по условию значение <р 2 в исходное уравнение, найдем соответствующее значение г<^2== —1.
Искомое частное значение производной^ при q> = 2 будет
=^=о
\d<p/q>=2	3—2
3)	Логарифмируем обе части данного уравнения (по основанию е), затем дифференцируем по у, рассматривая х как функцию у:
у lnx = x Inу\ у' In х-|-у (In х)' — х' lny + x (In у)';
1 • In X -ф у у = Х' 1П у + Ху .
Отсюда найдем:
х' 1пу)
х 	, dx х (х—у In х)
---1 п х; х = -г- =	~ .
У	dy у(у—х}пу)
4)	Дифференцируя по х, получим 2х-]-2уу'— 4—10у' = 0.
х' 2
Отсюда имеем у' = =—
Подставляя заданное значение х = 6 в исходное уравнение,
найдем два
соответствующих ему значения у: у^^ — 2', г/2-~8. Поэтому при х = 6 и производная у' имеет два значения:
' ± .  у = г 3 • Ух
Черт. 32
4
3 ’
Геометрически, в прямоугольной системе координат, заданное в условии задачи уравнение определяет окружность, у которой абсциссу х= 6 имеют две точки: (6; 2) и (6; 8). Найденные значения производной представляют
угловые коэффициенты касательных к этой окружности в той и
другой точке (черт. 32).
- 76 —
5)	1-й способ. Дифференцируем по t и находим s': l-s'4-r^ = 0; s'=^ = l+s-2.
Последнее равенство снова дифференцируем по t и находим s*: s" = — 2s-3s'= —
s3
s2 J_ |
Заменяя здесь s' через —p—, окончательно получим
2(s3 + l)
ss
2-й способ. Данное равенство последовательно дифференцируем по t два раза:
1-s' + rr^=0’	(а)
(б)
Из уравнения (а) определяем s’ и, подставляя в уравнение (б), получаем соотношение между i, s и s’, из которого и выражаем s" через /их. Результат будет тот же, что и при решении 1-м способом.
6)	а. Дифференцируем по х и определяем у’:
Дифференцируем последнее равенство по х и определяем у" и"—у'	_ У'
Подставляя вместо у' его значение, имеем у" = — (y — vp ' б. Дифференцируем данное равенство по у и определяем х':
, > , 1 < '/—1
1 — X “|-, X —----- .
У	У
Дифференцируем полученное равенство по у и определяем х":
1у— 1 (у-У*
223. 5х2 4-Зху — 2у2 4~ 2 = 0; ^-?
225. еу sin x = e~*cosy; ^-?
227. х34-у3-Заху = 0; у"?
229*. ех-еу = у— х\ у"?
231. у4-с11пу = х-|-с2; по
11 = 1
У2  2	2	2
224. хя 4-у3 =а3 ; yi=a?
226. У~у = 'J/F;	?
v J v ах,
228. y = tg(x4-y); у”? 230*. х + у=ех-У-, у"?
ь, что уу"-(у')24-(1/')® = 0-
§ 10.	Производные от функции, заданной параметрически
Если функция у от независимой переменной х задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) t:
x = y = <p(t), то производные от у по х определятся формулами: dy	dy'	dy"
dy__=	=	/Д)
dx dx ' y dx dx ' У dx dx ’	'
~dt	~dF	~dt
Все эти формулы составлены no одному общему правилу: производная от параметрически заданной величины г по независимой переменной х равна отношению производных от 2 и от х, взятых по параметру t.
Для следующих функций, заданных параметрически, найти указанные производные:
{x = k sin t -|- sin kt y — k cost Д cos kt-, Каков геометрический смысл результата?
I х = а2 + 2а	( х = 1 + ea'f
2)	<	.	.	d2y 3) <	, - a®	day .
I	*/ = ln(a+	1);	(	j/ = o<p + e	— ?
Решение. 1) Находим производные от хи от у по параметру /
= k cos 14- k cos kt\ ^r = — k sin t — k sin kt. at	at
Искомая производная от у по х находится как отношение производных от у и от х по t:
dy	п . t + kt t—kt
dy __ dt	_	fe(sin/ + sinfc/) _	2sln 2 C°S	2	_	tgfe + ‘	/
dx dx	k (cos Z + cos kt)	t-\-kt	t—kt	® 2
XT	2cos4— cos——
dt	2	I
При / == 0 получим 0. Согласно геометрическому значению производной (§ I) в точке (0; k + 1), где / = 0, касательная к графику данной функции параллельна оси Ох.
2) Находим производные от х и от у по параметру а:
^ = 2а-(-2;	=
da 1 da а +1
и искомую производную ОТ у ПО X' .^^.Ах	__1_____Д, , п_2
у dx da’da 2 (а+ 1)2 ~ 2 '	’
— 78 —
Далее находим производную от у' по а, а затем искомую вторую производную от у по х как отношение производных от//'иотхпоа:
^L==_i„I 1\-з.	» =	— (а+ П~3________1
da X ~г У дх da'da 2(a-f-l)	2(a-f-l)4'
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от функции, заданной параметрически, получим
• __dji__dy^.dx_ а—ае at -av -2<ч.
' dx dtp' dtp aea'f	’
,!<__dtj___dy . dx __2gg 2a,f ae q -sat_________o—2af-
J dx dtp dtp „t>av	1
ае°ч
dy" _ dy". dx _ Чае~га^—6ae~3a? dx dtp ‘dtp	aea<t
2е-з“?_бе-<а?.
x = /2
и = t3-	’
У ’ dx ‘
{x = a cos t
 t d2y~.
u — asint\ -v4?
J	dx2
( x — z2
237.	< а . fd2y\ -
Ь-**+*: (J)^?
(За/
*~з+/ d . 3at2 .
y-l + /SI dx
{p = cos a + a sin a
•	d2q _
q = sin a —a cos a; -5-5? ’	1 dp2
/ x = acos3/
238.	{	... (d2y\	-
I ?/ = «sIn3Z; (Д)/=я_?
§ It. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Угол между двумя кривыми
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат (черт. 33), то уравнения касательной и нормали к ней в точке М (х0, у0) имеют вид:
У — Уо = Уо(х- *<>); у — Уо =-1~(х—х0),	(1)
Уо
'	» dy
где у0 — значение в точке х0 производной ~ из уравнения
кривой.
Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (черт. 34) по формуле
где kt и /г2 —угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения Р(х0, у0), т. е. частные значения в точ
— 79 —
ке х0 производных от у по х из уравнений этих кривых: fe, = tga1=f^1V ; k2 = tg ct2 =
1 Б 1 \dx jx=x<, 2	6 2	) x—x0
239.	Составить уравнения касательной и нормали:
1)	к параболе у = х2 — 4х в точке, где х= 1;
2)	к окружности х2 + у2 — 2x4-4// — 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Ох\
3)	к циклоиде х = /— sin/, у—\—cost в точке, где / = ^-;
4)	* к кривой у = |х3—1| в ее угловой точке.
Решение. 1) Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу точки касания х= 1, найдем ее ординату у = — 3.
Для определения углового коэффициента касательной у0 находим производную от у по х из уравнения параболы и вычисляем ее частное значение в точке х=1:
у' = 2х —4; ув =/(!)=— 2.
Подставляя значения х0, у0 и у0 в обшие уравнения (1), получим уравнение касательной
у + 3 = — 2 (х — 1) или 2х 4- у 4- 1 = 0
и уравнение нормали
z/4-3 = -^-(x—1) или х— 2у — 7 = 0.
Парабола, касательная и нормаль построены на черт. 35.
Черт. 35
— 80 —
2) Решая совместно заданное уравнение окружности и уравнение оси Ох, у = 0, находим точки их пересечения: А ( — 1:0), В(3; 0) черт. 36. Дифференцируя по х уравнение окружности 2х -\-2yy' — 24- 4у' = 0, находим производную у и вычи* сляем ее значения для точек Л и В: ул=1, ув= — 1. Подставляя в общие уравнения (1), получим искомые уравнения касательной и нормали:
для точки А соответственно х — г/-ь I = 0 и х 4-у 4-1=0; для точки В х-<-у— 3 = 0 и х — у — 3 = 0.
3) Подставляя в уравнения циклоиды t = -^, находим координаты точки касания: х = ^— 1; у=1.
Затем определяем производную от у по х из уравнений циклоиды, как от функции, заданной параметрически
dy	о  {	1
-Т-.	. ,	2 sin — cos =-
, _ dt_ _ sin t _	2	2 _ t_
V dx	1 —cos t	_ . t C ® 2 ’
dt	2s,n 2
и вычисляем ее значение для точки касания у\ = у' (у) = 1. Подставляя х0, у0 и у0 в уравнения (1), получим уравнение касательной 2х — 2у — л 4-4 = 0 и уравнение нормали 2x4 2у — — л = 0.
4)* Найдем производную у' и затем угловую точку данной кривой из условия, что для этой точки производная у' не существует, но существуют различные односторонние производные:
у' = |х8-1 |' = ±3х2,
где плюс соответствует интервалу х>1, в котором х3 — 1>0, а минус—интервалу х<1, где х3—1<l0.
Отсюда заключаем, что точка, где х=1, является угловой; в этой точке кривая имеет две односторонние касательные с угловыми коэффициентами
*i = lim ^ = у'<_> (1)=— 3 и /г2 = lim ^=y'i+t (0 = 3.
Дх->-0ПЛ	Дх-> + оил
Пользуясь общими уравнениями (1), получим уравнения касательных Зх — у — 3 = 0 и Зх4у —3 = 0 и уравнения нормалей х4~3у—1=0 и х—Зу—1=0 (черт. 37).
240. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1)	прямая х+у—4 = 0 и парабола 2у = 8—х2;
2)	эллипс х24-4у2 = 4 и парабола 4у = 4 —5х2;
3)	синусоида y=sinx и косинусоида y = cosx.
— 81 -
Решение. 1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: >1(0; 4) и В (2; 2), черт. 38.
Далее находим производную от у по х из уравнения параболы: 2у'= — 2х, у'= —х и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках А и В, как частные значения этой производной:
У а = kA = 0; у в = kB--- — 2.
Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен —1.
Согласно формуле (2) получим
Черт. 37
Черт. 38
2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: /1(1,2; -0,8), В(0; 1) и С(—1,2; —0,8), черт. 39. Затем определяем угловые коэффициенты kr и k2 касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от у по х из их уравнений
з
Подставляя координаты точки А, получим	и k2= — 3.
Следовательно, в точке А:
tg<P = —9 =-27; <р~92°.
Под таким же углом кривые пересекаются и в точке С вследствие их симметричности относительно оси Оу.
В точке В имеем: k1 = k2 = 0, следовательно, в точке В кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
— 82 —
3) Абсциссы точек пересечения кривых (черт. 40) определяются уравнением sinx = cosx, решая которое, получим
х = —F пл (п = 0,	1, -4- 2 •..).
Дифференцированием находим угловые коэффициенты каса
тельных к синусоиде и косинусоиде: /j^cosxj k2= — sin х. Искомый угол между кривыми определяем по общей фор-
муле (2)
,	j---2	+2/2:
ь *	1—COS X Sin X	1	— '
Положительному знаку соответствует острый угол <р » 70,5°, отрицательному — тупой, смежный с ним угол ф! л 109,5°.
241. В каких точках кривой x = t — 1, y — t9 — 12/4-1 касательная параллельна: 1) оси Ох; ’2) прямой 9х -|-у 4- 3 = 0?
Решение. Используем здесь условие параллельности прямых, заключающееся в равенстве их угловых коэффициентов.
Найдем производную от у по х из уравнений кривой:
,/ dy.dx — Зг2 — 12_о,2
У dfdt 1	61 1Д
Эта производная представляет угловой коэффициент касательной к данной кривой в любой ее точке.
1) Приравнивая у' угловому коэффициенту оси Ох, который равен нулю, получим З/2—12 = 0; /2 = 4; / = ±2.
Подставляя эти значения параметра t в данные уравнения кривой, найдем координаты тех ее точек, где касательная параллельна оси Ох: (1; —15); (— 3; 17).
2) Приравнивая у' угловому коэффициенту данной прямой, который равен —9, получим З/2—12= — 9; /2 = 1; / = ±1.
По найденным значениям параметра t из уравнений кривой определяем координаты искомых точек, где касательная к кривой параллельна данной прямой: (0; —10), ( — 2; 12).
— 83 —
242*. Составить уравнения касательных к параболе у = х2— — 4x-f-1, проходящих через не лежащую на ней точку: 1) 0(0; 0); 2) А (1; 1).
Решение. Уравнение касательной к данной параболе имеет общий вид
У — Уо = (*2 — 4х + 1) о (х — х0),
или
У (Хо 4х0-|-1) — (2х0 4)(х х0),
где (х, у) — текущая точка на касательной;
(х0> Уо)— неизвестная точка касания.
1) Так как касательная проходит через точку О, то О - (х2 - 4х0 + 1) = (2х0- 4) (0 - х0).
Решая это квадратное уравнение, находим для абсциссы точки касания х0 два значения: х0 = ± 1, а отсюда и уравнения двух касательных: 2х-|-у = 0 и 6x4 у = 0.
Ь2) Для точки А те же рассуждения приводят к квадратному уравнению Хо— 2х0 +4 = =0, корни которого комплексные. Поэтому через точку А нельзя провести к данной параболе ни одной касательной.
Полученные результаты имеют простой геометрический смысл: из каждой точки, принадлежащей внешней области параболы, можно провести к ней две касательные, а из точки, принадлежащей ее внутренней области, — ни одной (черт. 41).
В общем случае задача о проведении касательных к кривой у = f (х) через точку (а, Ь), не лежащую на этой кривой, решается этимжеспо-Черт. 41 собой, исходя из общего уравнения касательной
У—Уо = Уо(х~ х0).
Эта задача имеет столько же решений, сколько вещественных корней имеет уравнение
b — f(x0) = f’(x0)(a — х0).
В задачах 243—248 найти уравнения касательных и нормалей к данным кривым в указанных точках и построить кривые, касательные и нормали.
243.	К параболе у = 4 — х2 в точке, где х= — 1.
244.	К гиперболе у2 — 2х2=1 в точках, где х = 2.
245.	К эллипсу х=-2ргУсоэ/, у = 2 sin / в точке, где/ = -^-.
— 84 —
246.	К астроиде х = a cos3t, y = asin3/ в точке, где / =
247*	. К кривой у = | sin х | в ее угловой точке, где х = л.
248*. К кривой // = 12х— х2| в ее угловых точках.
В задачах 249 — 254 найти углы, под которыми пересекаются данные линии, и построить эти линии и углы.
249.	9у = х3; х —у = 0.	250.	y = cosx; 2у = 1.
251*. уг = 2ах-\-а2\ у2 = b2 — 2Ьх.	252.	у = ех\ у = ейХ.
253.	х2 — у2 = 6; х2 + 4у2=16.	254.	y = sinx; y=sin2x.
255.	Зная, что касательная к параболе у = ах2 + Ьх -[~с в ее вершине параллельна оси Ох, найти вершины следующих парабол:
1) у = х24-2х—1; 2) у = 1-|-8х — 2х2; 3) 2у = 2х —х2 и построить их.
256.	На окружности х2 + у2 = 25 найти точки, где касательная параллельна прямой ЗхЦ-4у—12 = 0. Построить окружность, прямую и касательные.
257.	На каждой из следующих кривых:
1)	у= 2х3 — 9х24~ 12х — 5; 2) y = x-|-j/x;
3)	х = /а_|_1> у = з_/2-	4) х2 + 3у2 —2х + 6у —8 = 0
найти такие точки, где касательная параллельна оси Ох.
258.	Найти угол между касательными к эллипсу x = 2cos#, y = 3sin/, в точках, где / = у и < = Построить эллипс и касательные.
259*. Построить на отрезке [ — 2; 21 график функции у = | х3 + х | и найти угол между касательными в его угловой точке. 260. Построить и найти углы, образуемые параболой у — 2х— — х2 и хордой, соединяющей ее точки с абсциссами 1 и 4.
261*. Определить угол между касательными к параболе у = х2— Зх+1, проведенными из точки (4; 1). Построить параболу и касательные.
§	12. Скорость изменения переменной величины.
Скорость и ускорение прямолинейного движения
Если величина z изменяется с течением времени t, то скорость „ dz
ее изменения определяется производной
Зная зависимость между двумя переменными х и у, можно найти зависимость между скоростями их изменения по формуле производной сложной функции
ау__dy dx
dt dx dt'
— 85 —
Если точка движется прямолинейно, то ее скорость v и ускорение w определяются первой и второй производными от пути s по времени /:
ds dv d2s V = -77; w = -77 = -тъ . dt dl dl2
262.	Точка движется по кубической параболе 12у = х3. Какая из ее координат изменяется быстрее?
Решение. Считая в уравнении параболы I/сложной функцией от времени t и дифференцируя его по t, получим
12^-бХ dl.
Отсюда найдем отношение скоростей изменения ординаты и абсциссы:
dy dx_х2
dt‘‘di~T •
При |х|<2 это отношение будет меньше единицы, при |х| = = 2 —равно единице и при | х | > 2 оно будет больше единицы. Следовательно:
1)	при —2<х<2 ордината изменяется медленнее абсциссы;
2)	при х = ±2 скорости изменения абсциссы и ординаты одинаковы:
3)	при х<-2их>2 ордината изменяется быстрее абсциссы.
263.	Резервуар, имеющий форму полушара с внутренним радиусом R (м), наполняется водой со скоростью Q (л) в секунду. Определить скорость повышения уровня воды в резервуаре в момент, когда он будет равен 0,5 Р.
Решение. Обозначим через h уровень воды в м и через v ее объем в лгя. Найдем зависимость между переменными h и и, пользуясь формулой для объема шарового сегмента
v = nh‘2 (R—
Дифференцируя это равенство по времени t, найдем зависимость между скоростями изменения переменных h и и:
dv dv dh Г_, / „ h\ 1 . _1 dh lnrtL i->\dh
dt ~ dh * dl ~ Я [2Л з} з"Л J dt~	h^df
м
n	dv
Полагая, согласно условию, -п J	dt
dh 0,031 Q ,	,
J dl	nh (2R—h)\ceK.J
. R	dh 0,004 Q
При /г = т получим 3п/?2
264.	Скорость прямолинейного движения тела пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например,
— 86 —
при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.
Решение. По закону Ньютона сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению
Согласно условию = X |/$. Дифференцируя это равенство, найдем
d2s X ds X . ./- X2
Следовательно, действующая сила F = (const).
265.	Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону х = A sin at. Определить скорость и ускорение
2л
движения в момент времени / = — . Показать, что ускорение
движения пропорционально отклонению х.
Решение. Найдем скорость v и ускорение w движения в любой момент времени t:
v = = A a cos at\ w = -^ = —Лоз2 sin со/. dt	’ di2
При /==— v = Aa, w=Q.
Сравнивая выражения для ускорения w и для отклонения х, видим, что первое отличается от второго только постоянным множителем: w - — ю2х.
266.	Зависимость количества Q вещества, получаемого в химической реакции, от времени t определяется формулой Q — = а(1 А-Ье~т1). Определить скорость реакции.
267.	Точка движется по параболе у = Ь — х2 так, что ее абсцисса х изменяется с течением времени I по закону х = о/2.
С какой скоростью изменяется ордината точки?
268.	Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью 2 с м/сек. С какими скоростями возрастают поверхность и объем шара? Каковы будут эти скорости в момент, когда г достигнет 10 cjit?
269.	Движение точки по оси Ох определяется формулой х — = (t — 2)2е~*. Определить скорость и ускорение движения и те моменты времени, когда точка меняет направление движения.
270.	Точка массы т колеблется по оси Ох так, что в момент времени t ее отклонение х от положения равновесия определяется уравнением х = Ae~at cos (at ф- b). Найти скорость движения точки и действующую на нее силу.
— 87 —
§13. Дифференциал функции
Из определений производной у' = Нт и предела перемен-ной следует, что ^ = z/'-|-e или Ау=^'Ахф-е Ах, где е—*0 при Ах—*0, т. е. что приращение функции можно разбить на две части.
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d:
dy = у' lXx.
Дифференциал независимой переменной х равен ее приращению, г/х=Дх. Поэтому
dy — y'dx,	(а)
т. е. дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной.
Для всякой данной функции y = f(x) производная у' зависит только от одной переменной х, тогда как ее дифференциал dy зависит от двух независимых друг от друга переменных: х и Ах.
Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, гак же как и нахождение производной, так как согласно формуле (а), чтобы найти дифференциал какой-либо функции, надо найти производную этой функции и умножить ее на дифференциал независимой переменной.
Формула (а) верна и в случае, если у есть сложная функция, т. е. если х есть функция переменной t.
При достаточно малых значениях | dx| приращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:
А//» dy*
Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения.
271. Найти дифференциалы функций:
1) у = х3—3*;	2) F (гр) = cos у ф- sin ;
3) z = In (1 +eloX)-|-arcctgc5X; вычислить dz\х=0; dx=oa
Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим
* Исключая точки, где у' =0.
— 88 -
искомый дифференциал данной функции:
1)	dy = у’ dx = (х3 - 3х)' dx = (Зх2—3х In 3) dx;
2)	dF (<р) =-- d (cos у 4- sin	= (cos у 4- sin drp =
= [~sin з  (з)’+“5?‘	slnf+jpCOS?)dr;
Полагая х = 0 и dx = 0,l, получим dz = 0,25.
272.	Вычислить приближенное значение: 1)	17; 2)arctg0,98:
3)	sin 29°.
Решение. Если требуется вычислить f(Xj) и если проще вычислить f (х0) и f (х0), то при достаточно малой по абсолютному значению разности Xj —x0 = dx можно заменить приращение функции ее дифференциалом f (х,) — f (х0) a? f (x0)dx и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле
f (хг) f (х0) + f’ (x0)dx.
(б)
1)	Будем рассматривать 17 как частное значение функции
f (х) = £/х при х = 17 = Xj. Пусть х0 = 16, тогда f (х0) = р/16 = 2,
1 --f (х0) = ±х 4
1	j	1
22»	^Х — Xj	Л-'о 1
Подставляя в формулу (б), получим
/17«/(х0)4-Г (xo)dx = 2 4-^-l=g«2,O31.
2)	Пусть arctg 0,98 есть частное значение функции у = arctgх при х = 0,98 = Х!. Пусть х0=1, тогда у (х0) = у , у' (х0) = = Г+^|х=1==‘2’ dx =	~ Хо = “ °-02-
Пользуясь формулой (б), найдем:
arctg 0,98 »у (х0)4-у' (х0) dx = -£ 4- у (— 0,02)л 0,7754.
— 89 -
3)	Полагая, что sin 29° есть частное значение функции у = = sinx при х = ^-29 = х1 и что х0 = ^-30 =, получим
f/(x0) = sin-J = -b y'(x0) = cosx Л =
и z	х-—	2
G
,  	_29 л	л ___   л .
ах~х1 — х0	—-g_: — jgQ?
sin 29° « у (х0) + у' (х0) dx = j +	«0,4848.
Найти дифференциалы функций:
273.	z/ = (a + 6x)m.	274. г = е~* (2 — 2/-/2).
275.	и = ^(1—л 1пх).	276. ц = (1 — In sin <р) sin <р.
Вычислить с точностью до 0,01 дифференциалы функций:
277.	у = х(\ +х)(1 — х) при х = —10 и dx = 0,l.
278.	г = х/хаф5 при х = 2 и dx — ~.
2'9. г = <р + (<р2 + 1) arcctg<р при <р = —~ и d<p = 0,2.
oon	2sin2x—3cos2x	Л , л ло
280.	v =----------- при х = 0 и dx= — 0,03.
281.	Вычислить приближенное значение функции у = х"‘— — Зх4 + 4х3 — 2 при х— 1,002, исходя из ее значения при х=1 и заменяя приращение функции дифференциалом*.
282.	Найти приближенное значение tg44°56', исходя из значения функции у = tg х при х = 45° и заменяя ее приращение дифференциалом *.
283.	Найти приближенное значение arc cos 0,4993, исходя из значения функции у = arc cos х при х = 0,5 и заменяя ее приращение дифференциалом*.
284.	Найти приближенное значение In 1,01.*
285.	Найти приближенное значение |/31.*
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование.
Касательная к пространственной кривой
Переменный вектор г называется вектор-функцией скалярного аргумента I, если каждому рассматриваемому числовому значению t соответствует определенное значение г (т. е. определенный модуль и определенное направление вектора г).
Все вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками.
— 90 —
Если начало переменного вектора г = г(/) неизменно помещается в начале координат О, т. е. если r(t) есть радиус-вектор ОМ, то при изменении скаляра t его подвижный конец М описывает некоторую линию, которая называется годографом этого вектора.
При разложении радиуса-вектора r(t) по ортам r = xi-Eyi + + zk его проекции rx = x(t), ry=y(t), rz — z(t) совпадают с координатами его конца М (х, у, г), а система x = x(t), y = y(t), z = z(t) представляет параметрические уравнения его годографа.
Пр о из водной вектор-функции г(?) называется предел
<  Дл	_	dr —	—.
Inn -т-г; она обозначается — , или г, или г .
д/-»оdl
Правила дифференцирования (нахождения производной) вектор-функции r(t) аналогичны правилам дифференцирования скалярных функций:
с'=0, если с —постоянный вектор.
(Г1 ± г2у = r't ± г’а; (г и)' =7' и 4- Г и'.
Если г = xi + yj + zk, то г = xi -фyj + zk. Вектор г направлен по касательной к годографу вектора г.
Если вектор г (I) изменяется только по направлению, то его годограф представляет линию, расположенную на сфере радиуса R= |г| с центром в начале координат, а вектор г перпендикулярен к годографу вектора F; если вектор г (/) изменяется только по модулю, то его годограф представляет луч, исходящий из начала координат, а вектор г направлен по этому лучу.
Всякую кривую можно рассматривать как годограф радиуса-вектора ее текущей точки М (х, у, г). Поэтому, если x = x(f), 2 = 2 (/) —параметрические уравнения кривой и Л40(х0, у0, Zo) —точка этой кривой, то касательная прямая к этой кривой в точке Мо определяется уравнениями
X — У — 2 —20	(j)
*о Уо ?о
а нормальная плоскость (перпендикулярная к касательной) определяется уравнением
(х— хо)хо + (у-уо)уо + (2-го)го = 0.	(2)
286.	Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой:
1)	x = t3, y = t2, z = t в точке, где / = —1;
2)	х — у2, y = z2 в точке, где 2 = 2.
— 91 —
Решение. 1) Определяем координаты точки касания: х =— 1, у— 1, 2 = —1 (подставляя t. = —1 в данные уравнения). Находим производные от х, у и 2 по t и вычисляем их значения в точке касания: х = 3/2, y = 2t, 2= 1; х( — 1) = 3, у( — 1) =— 2, 7(-1)=1.
Подставляя в общие уравнения (1) и (2) координаты точки касания и вычисленные значения производных, получим урав-"	О X 4- 1 У — 1	2 -f- 1
нения касательной прямой	~ и уравнение нор-
мальной плоскости 3(х+1)—2(r/—l) + z+1 =0 или Зх — 2у + + 2 + 6 = 0.
2)	Здесь кривая определена как пересечение двух поверхностей. Вначале преобразуем уравнения кривой к параметрическому виду. Полагая г — t, получим y = t2, х = 1*.*
Далее определяем координаты точки касания: х=16, t/=4, 2 = 2 и значения производных х, у, 2 в этой точке: х = 4/3, y — 2t, 2=1; х(2) = 32, у(2) = 4, z(2)=l.
Подставляя в общие уравнения (1) и (2), получим уравнения касательной
х — 16	г/— 4_z—2
32 ~ 4 ~~ Т
и уравнение нормальной плоскости
32(х—16) + 4(// —4) + г —2 = 0 или 32х + 4«/ + г —530 = 0.
287.	Найти уравнения касательной к винтовой линии y = acost, y = asint, 2 = bt в точке, где t = t0, и угол, образуемый ею с осью Ог.
Решение. Обозначив координаты точки касания (х0, у0, z0) и пользуясь общими уравнениями (1), получим следующие уравнения касательной:
х—х0 _ у—у о _ 2—20
—asin/0 acostQ b
Отсюда направляющий косинус угла, образованного касательной с осью Ог:
г	ь	ь
COS V = - •  — = Г	--------   -- = —F-	.
|/г2 V a2 sin2/0-}-а2 cos2/0 + <>2	уа2-|-й2
Этот результат показывает, что все касательные к винтовой линии образуют с осью Ог один и тот же угол.
* Можно получить и другие параметрические уравнения данной линии. Вообще, если линия задана уравнениями / (х, у, z) = 0, F (х, у, z) = 0, то для нее можно получить бесчисленное множество различных параметрических уравнений вида х = <р1(/), y — (fz(t), z = <p3(f).
— 92 —
В задачах 288 — 290 написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой:
288.	x = 2t, y — \ut, 2 — t2 в точке, где t=\.
289.	x = cosay, z/ = sin/, z = siriy в точке, где t — n.
290.	у — х, z = x2 — y2 в начале координат.
291.	* Найти направляющие косинусы касательного вектора к кривой у2 = 2х, z2 = 8x в точках, где х = 2.
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения
Если в любой момент времени t положение движущейся точки Л1 определяется ее радиусом-вектором 0M=r (t), то г есть вектор скорости, г есть вектор ускорения,а годограф вектора г есть траектория движения точки М.
Вектор скорости г направлен по касательной к траектории, ।' । 4s а его модуль равен производной от пути по времени
292.	Зная уравнение движения точки, определить (назвать), какую линию представляет ее траектория и найти скорость н ускорение этой точки:
1) r=(3t — 2) i—4tj\	2) г = 2cos/-i + sin Z-й;
3) r = (2f2-3)i-3fa/ + (4f2-5)£;
4) г = a sin art  i 4- a cos <o/  j + btk.
Решение. 1) Траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора r{3t — 2; — 4?}, т. е. линия, определяемая параметрическими уравнениями x = 3t — 2, у = — 4t. Исключая из них параметр (время) /, получим прямую 4x-|-3y +8 = 0, расположенную в плоскости хОу.
Скорость v и ускорение w движения точки найдем как первую и вторую производные от г по t:
v = r — 3i — 4j-, w — r = 0.
Следовательно, точка движется прямолинейно с постоянной скоростью, модуль которой |о| = рЛ32-|-( —4)2 = 5.
2) Здесь траектория точки есть эллипс, определяемый параметрическими уравнениями x = 2cos/, z=sin/ или уравнением -^--|-z2=l, который расположен в плоскости хОг.
Скорость точки о = г =— 2 sin t-i -j-cosf-й, ускорение w = г = = — 2 cos t • i — sin t  k.
— 93 -
3) Параметрические уравнения траектории точки х = 2/2 —3, у = — З/2, г = 4/2 — 5 после исключения параметра t преобразу-„ х4-3 у z-j-5 ются в канонические уравнения прямой-^— = ^д =
Скорость точки v = r=Mi — 6tj-}-8tk, ускорение гш = г = 4i — — 6/4-8k — постоянно (не зависит от времени t).
Здесь движение точки является прямолинейным и равномерно-переменным.
4) Траектория точки есть цилиндрическая винтовая линия x = asinffl/, у = а cos mt, z = bt.
Скорость точки v = r'=amcosmt-i — am sin mt • j 4- bk, ускорение w= r = — am2 sin mt  i —ato2cos mt • j.
Здесь движение точки является равномерным, так как модуль скорости | v | = ]/а2со2 Ь2 остается неизменным.
293. Зная
уравнение движения точки г = cos3t-i 4* sin3 t-j, построить ее траекторию и векторы скорости и ускорения в моменты времени tx = л , л
= -Г И 12 = -7-. 6	1	4
Решение. Траектория точки или годограф вектора г есть астроида х — cos8/, у = sin3/.
В любой момент времени t скорость точки а=г=— 3cos2/sin/-i 4-3 sin2/ cos/./, а ее ускорение w-~- г = 3 cost (3sin2/— — 1) t 4-3 sin t (3cos2t — 1) j.
9 . , 3 /Т ~ ~ «i = -8 l+~8- ‘ ”
В момент /2 = ^, v2 = ~=.(j—i), Траектория точки и найденные векторы ее скорости и ускорения в моменты /|=-^ и /2 = ^- построены на черт. 42.*
В задачах 294—296 по данному векторному уравнению движения точки построить ее траекторию и векторы скорости и ускорения в моменты времени t = 0 и t=\.
294.	г = acost-i -}-а sin t-j. 295. г = 3//4-(4/ — t‘2)k.
3 КЗ , 15 тг /,^ =------— t 4-—
3	V.
2 /"2 1
w.
296.	г = 3(/—sin t)i4-3(1 —cost) j.
* Координаты x, у начала каждого вектора определяются из уравнений траектории по данным значениям t.
— 94 —
ГЛ А В Л III
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ
§ 1. Теорема (формула) Тейлора
Многочисленные применения дифференциального исчисления в естествознании и технике основываются на теоремах Ролля, Лагранжа, Коши и Тейлора. В каждой из этих теорем утверждается существование некоторого среднего значения аргумента х = с, вследствие чего все они называются теоремами о среднем.
Теорема Тейлора. Функция f(x), дифференцируемая n + 1 раз в некотором интервале, содержащем точку а, может, быть представлена в виде суммы многочлена п-й степени и остаточного члена Rn:
/(*) = /(a)+ r_j£) (х —а) + У^(х — а)2 + Ц^ (х — а)3 +
+ ...+^)(х-а)" + ₽„),	(Т)
= „+1
(п + 1)!	а> ’
где с—некоторое среднее значение между а и х, с = а + 0(х— а), О<0<1.
Эта теорема является самой общей теоремой о среднем, из которой вытекают все остальные.
Формула Тейлора (7) позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде многочлена
/(х)^/(а) + ф(х-а) + ф(х-а)2+... + О^(х-а)п (*)
(называемого многочленом Тейлора) и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность Rn, которая во многих случаях может быть сделана как угодно малой. Поэтому
— 95 -
она является одной из важнейших формул математического анализа, которая широко применяется и как тонкий инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.
Частный, простейший вид формулы Тейлора при а = 0 принято называть формулой Маклорена:
/(х) = Н0) + фх + фх2 + «х3+...+
Она дает разложение функции по степеням самой независимой переменной.
Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора неприменима, ибо при х — 0 многие функции или их производные не существуют ^например: 1пх; X’, ctgx;-0.
297.	Каждую из данных функций аппроксимировать многочленом п-й степени относительно х, оценить погрешность и установить, при каких значениях х она может Сыть сделана сколь угодно малой.
1) ех; 2) sinx; 3) cosx.
Решение. Чтобы получить приближенное выражение данной функции f (х) в виде многочлена относительно независимой переменной х, следует написать для этой функции многочлен Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возникает в результате замены данной функции ее многочленом Маклорена, следует найти остаточный член Rn формулы Маклорена, применяя его общую формулу к данной функции, и, наконец, для определения тех значений х, при которых погрешность может быть сделана сколь угодно малой, необходимо исследовать поведение остаточного члена при п —» +- оо и при различных значениях х. Погрешность может быть сделана сколь угодно малой только при тех значениях х, при которых lim Rn = 0.
п -►+ 00
1) Вычислив значения данной функции и ее производных при х = 0:
f (х) = ех; Г (х) = Г (х) = f"' (х) ==...= f '*> (х) = ех-, f(O) = HO) = HO)=...==rfc,(O)=l
и пользуясь многочленом Маклорена (*), получим искомое приближенное выражение данной трансцендентной функции в виде многочлена n-й степени:
Погрешность этого приближенного равенства определяется остаточным членом формулы Маклорена, Для функции ех
— 96 —
получим
R = хП+1.еех
(п + 1)!
0<G<J.
Очевидно, что величина погрешности /?„ зависит как от степени п аппроксимирующего многочлена, так и от значений переменной х.
При неограниченном возрастании п и при любом значении х хп h 1
величина	является бесконечно малой, что было установ-
0 + 1)!
лено в решении задачи 40, а величина евх является ограниченной. Поэтому при любом значении х и при п —> |- <ю остаточный член в разложении функции ех неограниченно убывает, стремясь к нулю:
Л” "•’""W'"0
Из этого следует, что при любом значении х можно аппроксимировать трансцендентную функцию ех ее многочленом Мак-лорена с любой желаемой точностью и что последовательное повышение степени аппроксимирующего многочлена дает и последовательное повышение точности аппроксимации.
Полагая п = 1, 2, 3, получим приближенные формулы
ех яа 1 + х,
у2 ех^1+х+Х2,
у2 гЗ ехк 1+х+^ + ^-,
которые расположены в порядке возрастающей точности.
2) Вычисляем значения функции sinx и ее производных при х = 0:
f(x)	= sinx,	f (0)	=0,
f'(x)	=cosx = sin ^x+y^,	f (0)	=1,
f"(x)	=—sinx= sin	+	/"(0)	=0,
f"'(x) =— cosx= sin	^x + 3y^, f" (0) = — 1,
f*>(x) = sin (x + fty),	/'* (0) = sin k J.
Здесь при x = 0 все производные четного порядка равны нулю. Поэтому аппроксимирующий эту функцию многочлен Маклорена будет содержать только нечетные степени х:
х3 х5 х’	х2®1"1
sinx as х 31 + 5| 7! +   • ± (2m_i)i	(2)
(х —радианная мера угла).
4 х, 3201
— 91 —
Это приближенное равенство отчетливо выражает нечетность функции sinx, т. е. что sin(—х) = — sinx.
Погрешность этого приближенного равенства определим по общей формуле остаточного члена Rn формулы Маклорена.
Для функции sin х погрешность -4* 1	f	тт ”1
^=(^+1)1 sin h + (2^+ От] . О<0< 1. *
Используя очевидное неравенство | sin а | <: 1, избавимся от неизвестной величины 0 и получим простое выражение для оценки погрешности, возникающей при замене функции sinx МНОГОЧЛеНОМ (2)	|х|2и + 1
I I	(2m + 1)Г '
Как было доказано в задаче 40 при п —> + оо и при любом хп значении х величина стремится к нулю. Вследствие этого при гп—>-\-оа и остаточный член R2m формулы Маклорена для функции sinx также стремится к нулю при любом значении х, т. е.	lim /?2я = 0.
Следовательно, при любом значении х можно заменить функцию sin х ее многочленом Маклорена с любой сколь угодно малой погрешностью. При этом последовательное уменьшение погрешности достигается путем последовательного увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (2).
Полагая т=1, 2, 3, получим простейшие приближенные выражения для sin х:
sin х л х,
X3	I п I I X Is
sinxax-g,
X3 X5	| п | I X I7
Sin XXX 5 + 120 •	I I -yj- .
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй. 3) При х = 0 значения функции cosx и ее производных будут:
f (х) = cos х,	f (0) = 1,
[' (х) =—sin x = cos (х-By),	f (0) =0,
f'(x) = — cosx = cos^x + 2-^y f"(0) —— 1, f” (x) = sin x = cos (x-|- 3|),	f"' (0) = 0,
f(ft) (x) = cos (x + k y) ,	f<*» (0) = cos k у .
* R2rn соответствует многочлену Маклорена 2т-й степени, который для функции sinx тождествен многочлену (2m—1)-й степени.
— 98 —
Здесь значения всех производных нечетного порядка равны нулю. Поэтому многочлен Маклорена, аппроксимирующий функцию cosx, содержит только четные степени х:
уС	у%т
cosx~ 1 —— 4-——.g|4--.. ±		(3)
Эта приближенная формула отчетливо выражает четность функции cosx, т. е. что cos(—x) = cosx.
Погрешность этой приближенной формулы будет
=	, пег cos
1.
(2m 4-2)1
Избавляясь от неизвестной 0, в силу неравенства | cos а |	1,
получим неравенство
|/?2
-у- 2
(2/п 4-2)1 ’
которое позволяет легко оценить погрешность при замене функ-ции cosх многочленом (3).
Исследуя поведение погрешности R2m+1 при различных значениях х и при т—>4-оо, посредством таких же рассуждений, как и в двух предыдущих задачах, приходим к выводу:
При любом значении х и при т—>4~00 остаточный член 7?2я1+1 формулы Маклорена для функции cosх стремится к нулю, т. е.	lim Я2и+1 = о.
/П -> + со
Из этого следует, что при любом значении х функцию cosx можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой заданной точностью, причем последовательное повышение точности аппроксимации достигается путем простого увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (3).
Полагая т=1, 2, 3, получим формулы для cosx:
1 х2 cos X яа 1 — у , х2 х4 1 — — 4- — 2	24 ’
. X2 , X4 Xе cos х 1	2 4- 24 720 ’
простейшие приближенные
COS X
41 ’ х®
6! ’
81 ’
которые расположены в порядке повышающейся точности.
298. Аппроксимировать функции: 1) хт и 2) In х многочленами и-й степени относительно двучлена х— 1 и оценить погрешность. Затем, полагая х—1=/, получить разложения функций по степеням t.
Решение. Чтобы аппроксимировать данную функцию /(х) многочленом относительно двучлена х—1, следует написать для нее многочлен Тейлора, полагая а=1. Погрешность, возникаю-
4*
-99-
щая при замене данной функции ее многочленом Тейлора, определяется величиной остаточного члена формулы Тейлора.
1) Для функции хт, где т — любое вещественное число, имеем:
/(х)	-х'",	/(1)	=1,
/'(х)	= mx“-1,	/'(1)	=т,
Г(х)	Г(1)	= m(m —1),
f'"(x) = tn(m — 1)(т — 2)х"'-3, f" (l) = m(m—l)(m —2),
f,ft> (xj = tn (m — 1) (tn — 2)... . . . (m— k 4- 1)х'л-А,
fik' (1) = in (m — Y)(m — 2)... ... (in — k + 1).
Пользуясь многочленом Тейлора (*), получим
Tfl I I /	1 \ I (^2	1i *
x“ ~ 1+TT(X“ 1)4 2!—-(x-l)2 +
m(m—1) (/a— 2) 3!
(x_ 1)a + ... + ->-» + )(x_ lf.
Погрешность этого приближенного равенства найдем по общей формуле остаточного члена Rn формулы Тейлора, полагая f (х) = хт и а = 1:
Rn =	(х — 1 )п+1 [ 1 + «(х- 11
0<6< 1.
Полагая х — 1 — t, получим
т t ,т(т — 1) /2 । tn (т — 1) (т — 2)
1! r-t 2!	1 *	31
, т{т — 1) ... (т — л + 1)/п
л	„I	1 •
(1 + 0
п!
п т(т 1) ... (т п) 1n + i г л i	f»—п—i
-------щтртй------1	(1 +
(4)
Последняя формула представляет обобщение бинома Ньютона дчя любого показателя т. В частности, когда показатель т — целое положительное число, то Rrn обращается в нуль, а равенство (4) обращается в элементарную формулу бинома Ньютона. Если т не будет целым положительным числом, то равенство (4) дает приближенно»; выражение бинома в виде многочлена с биномиальными коэффициентами, которые составлены потому же закону, что н в элементарной формуле бинома Ньютона.
Как доказываегся в теории рядов, погрешность Rn биномиальной формулы (4) может быть сделана сколь угодно малой величиной, т. е. стремится к нулю с возрастанием п только для тех значений t, которые по абсолютному значению меньше единицы:
- 1 </< 1.
— 100 ~
Полагая n= 1, 2, 3, получим простейшие приближенные биномиальные формулы:
(1 + 0'" ~ 1 + mt,
(1 + О'" ~ 1 ~ mt +‘ - /2,
(1 + t)m ж 1 + mt +	t2 _L.	/з
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
2) Для функции 1пх получим:
f (х) = 1пх,	/(1) -о,
/'(X) = х-1,	Г(1) =1,
Г(Х) =— 1-Х-2,	/"(1) =-1,
f" (х) = 1 -2-х-3,	Г'(1) = 21
(х) = — 1-2-Зх-4,	р4>(1) = —3!
f(А) (л) = (— 1 )А-1 (Л — 1 )!х-й, /<*> (1) = (- 1 )A-i (k - 1)!
Inx»^- +	. +(—
Погрешность этой приближенной формулы
Полагая х—1 = 0 получим /2	/3	/4	4П
1п(1 + 0«/-^- + ^—^-+ ...+(-	(5)
п г(-1)п/ t v,+i п n + i \i+e/J
Здесь Rlt—> 0 с возрастанием п при— 1<1<1,т. е. погрешность вычисления логарифмов по формуле (5) можно довести до любой сколь угодно малой величины только для значений t из указанного полуоткрытого интервала.
При п = 1, 2, 3 получим приближенные формулы
1п(1 + /)«/, 1п(1+-0~/- 2 ’ /2	/3
1п(1+0^<-^- + у,
которые следуют в порядке возрастающей точности.
Аналогичным образом, как в задачах 297 и 29S, другие трансцендентные и сложные алгебраические функции можно аппроксимировать посредством формулы Тейлора простейшими алгебраическими функциями — степенными многочленами с любой
— 101 —
заданной точностью, что имеет огромное теоретическое и практическое значение.
299. Вычислить с точностью до Ю-а приближенное значение: 1) с.г> 5°; 2) sin 49\ 3) {/83; 4) {/121.
Решение. 1) Воспользуемся приближенной формулой для созх, полученной в решении задачи 297.
Подставляя в эту формулу радианную меру угла 5°, получим cos 5-. cos « 1 -	-I-	. ± (-^ .
Чтобы определить, сколько взять первых членов этой формулы для получения заданной точности вычисления, оценим величины последовательных остаточных членов +1:
|Яз1^Г = 4!^<°-000003,
|^|^|?=ет<0’00000003-
Величина | R51 < 10-в. Поэтому для получения заданной точности вычисления достаточно взять три первых члена формулы, предшествующих /?5:
cos 5° ~ I - 2^24-~ 1 -°-0038077 + 0,0000024 «а 0,96195.
Здесь для обеспечения заданной точности значения числа л и всех результатов промежуточных действий взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до 10"7 (л 3,1415917).
2)	Чтобы вычислить sin 49°, напишем формулу Тейлора для функции sinx:
sin х = sin а 4- —-р— sin fa +	- sin (а ф- 2 ~ ) ф- . ..
• • • + sin (а+п т) +,г? ”
/\ =	sin 1аф-0(Х —а)ф-(иф- l)-4-l , 0<0< 1,
I R„ I <= —г4щ~ • так как I sin а I < 1.
' " 1	(П + 1) 1	1	1
По этой формуле можно вычислять значения sinx при любых значениях х и а и с любой желаемой точностью, так как по мере увеличения числа членов в ней погрешность Rn неограниченно убывает, стремясь к нулю. При этом чем меньше будет величина разности |х—а|, тем меньше потребуется брать первых членов этой формулы для достижения какой-либо заданной точ
— 102 —
ности вычисления.
Полагая х=,+ -49 и п = г+-45, получим
—а=^<49-45)=^'
1/"2^1	\ I
sin 49°= -у- (J I- *ТП5 21 452 — 3! 453 + •  • ± ;1! 45« i + Rn,
ID 1^
I " 1	(/I + 1) ! 45" + * ‘
Для определения числа первых членов этой формулы, обеспечивающих заданную точность вычисления, оцениваем величины последовательных остаточных членов Rn:
|/?1|<2li<0,003,
I/?21^3^ <0,00006,
II	0,0000009 < 10-e-
Следовательно, заданная точность вычисления будет достигнута, если взять четыре первых члена формулы, предшествующих R3:
/* 9 / Л	ЗТ.2
sin 49° яг -у- /	2-452
л3 \ 6-453 ;
«г 0,7071068(1+0,0698131 -0,0024369-0,0000567) яг 0,754709.
(Значения л, /2 и всех результатов промежуточных действий взяты с одним лишним знаком, т. е. с семью десятичными знаками.)
Иначе можно было вычислить sin 49° по формуле Маклорена для функции sinx, однако при этом для достижения заданной точности пришлось бы взять очень много членов этой формулы.
3)	Преобразуем заданный корень
1
/83 = /8Г+2 = з(1 +^ ’
и применим обобщенную формулу бинома (4), полученную в решении задачи 298.
„	.	2	1
Полагая < = gy и т = -^, получим
/83 = 3( 1 + -[go— 162.108+ 162-108-486
7	\
—162-108.406-54 + ‘ ‘ +^'J •
— 103 —
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 3находим:
<0.000003.
з|К^<ъ5лгаж<0-00000006-
Следовательно, для получения заданной точности вычисления достаточно взять сумму четырех членов биномиальной формулы, которые предшествуют остатку /?3:
}/83 я» 3(1 +0,0061728 —0,0000572 + 0,0000008) « 3,018349.
4)	Преобразуя данный корень
j/T21 = /125-"4 = 5 f 1 — 4= V
v	1	\	12э/
4
и подставляя в биномиальную формулу t = —	— — 0,032 и
I
tn - у, получим
3/ТоТ к Л 0,032 0.0322	5-0.0323	10-0,032’	\
j/ 121—0^1	3 g	81	243	. ..+K„J.
Путем последовательных испытаний величины погрешности 51 Rn | находим
1
ХО,О324(1 -0,0320/ ~3'* < 10-",
т. е. находим, что заданная точность вычисления обеспечивается четырьмя первыми членами биномиальной формулы, предшествующими R3:
З/Т2Т- И(1 -0,0106667-0,0001138-0,0000020) » 4,946088.
Подобным образом с помощью формулы Тейлора можно находить числовые значения всех других трансцендентных и сложных алгебраических функций. Именно таким путем составлены все таблицы числовых значений для логарифмических, показательных, тригонометрических функций, для квадратных и кубических корней и для многих других функций.
300.	Для каждой из следующих функций:
1) 3х, 2) cos f х—, 3) хех
— 104 —
найти приближенное выражение в виде многочлена п-й степени относительно х, определить возникающую при этом погрешность и установить, при каких значениях х она может быть сделана сколь угодно малой.
301.	Найти приближенные выражения в виде многочленов 3-й степени относительно х для следующих функций:
1) tgx; 2) xcosx; 3) ln(l—х + х2).
302.	Аппроксимировать функции: 1) еа и 2) cosx многочленами п-й степени относительно двучлена х—а и оцепить возникающую при этом погрешность.
303.	Аппроксимировать многочленами 4-й степени относительно двучлена х — а функции: 1) / х при а = —1; 2) sin Зх при а =— ~ ; 3) tgx при а = -^- .
304.	Вычислить с точностью до 0,001:
1)	sin 18°; 2) /7; 3) /70; 4) /245.
305.	Вычислить с точностью до 0,0001:
1)	cos 10°; 2) /7 ; 3) /129; 4) sin 36°.
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции
В задачах § 7 гл. I были разъяснены элементарные способы нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных (если последний предел существует или равен бесконечности).
а) Случаи нахождения предела:
.. 0
1) -Q — когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин;
2)	—когда функция представляет отношение двух бес-
конечно больших величин.
Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять отношение величин отношением их производных, т. е. если <р1 (х) и <р2(х) одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при х
•а или х—»оо, то
г 4'1 (х) г 44 (х) lim = lim ——•
Ф»	<р, (х)
— 105 —
ИЛИ — , ТО МОЖНО ю
если это полезно,
Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу. Если же отношение пронз-,	.. о
водных также будет представлять случаи снова и снова применять правило Лошталя, до получения результата.
Найти пределы:
306. 1) lim
Gx — 16
11Ш —,7  „ х"— а‘
3) li.:.I ;
<~<1 blRjc
...	1—cos ах	е,х
4) 1Ш1-.------г ; э) h m —-
х . о —COS	X Л > ''
i де
м — uaT'j'janbiioe
числе.;
6) lim
7)
sec х ’
lim
Решение. Убедившись, что
имеет место
„0	00
случаи -г или - , J (J	00
применяем затем правило Лопиталя.
х4—16	.. Зх3
1)
2)
Hill —т-----------	— ({гл	---_	_
t , 2 х-14- 5х-—6х — 16	о х2 -р 1 Ох—0	26	13
.•	х”—а'"	тхт~1	т т_п
11П1 --д--=11111 —й=г =—а	.
,	„ х —а	лх 1	п
3)
4)
.. е2Х—1 .. 2е2*	2 „
lim —; = lim---------= 7 = 2;
х 0 SIП X	COS X	1
I—cosax a sin ax lim 7-----==hm — . =lim
X_x 0 1 —cos bx b sin bx
a- cos ах а
b2cos bx
Здесь
5)
правило Лопиталя применено ekx	/;е!сл
lim —д- = Inn —тг~, = lim —,=
х+ сс Х	ПХ	Л (Л — 1 J А
= ...== 11,'П —— = -
nl
> дважды. яЛх
Здесь
6)
правило Лопиталя применено n раз. tgx .. sec'2 x .. sec i
111П -----=11111----------= 11111-7---=
sec x sec x tgx	Ig x
tg х sec
2
Ь* *
2
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно. Предел легко найти без этого правила путем элементарного преобразования:
lim
tgx =
sec х
lim
sin X cos X
COS X
lim bin x = J.
.. X—sinx 11111 —.— С-, a X-j-Sln X
lim
1 —COS X
1 -j- COS X
— 106 —
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно, ибо отношение производных *—	* = tg2 у не имеет предела при х—> оо.
Искомый предел можно найти элементарным путем:
1 sinx
х—siti х	x ,	। •	। ^ i
Iini------;— = hiii---------.— = 1, так как sin x 1.
J, X-f-Sln X	J sin X	1	1
‘ X
Это не противоречит теореме Лопиталя, ибо в ней утверждается лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, то к тому же пределу стремится и отношение функций, но не
наоборот.
307. lim	.	308. lim	.
x3 —12х + 1Ь	л cos x
A A - —
2
309. lim -г—-—- .	310. lim c* + e~x~j
A_>+«, ln(l + x)	Ам,(| 1— cos 2x
311. lim	312. lim V——
л tg3*	ХМ.-С»	x
2
313. lim	314. lim агс1.Ц* .
x_> + <] In sinox	x->(j arc sin 5x
б) Случаи нахождения предела:
3) 0• оо — когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую;
4) оо — оо — когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю
или путем преобразования функции к виду дроби.
315. Найти пределы: 1) litnxctg2x; 2) lim f/х Inx; X~*Q	X-* + О
3) liin (tgip-secT); 4) Jim	; 5) IhnQ-^-l) .
Решение. Установив, что имеет место случай 0- оо или оо — — оо, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:
X	11
1) lim хctg 2х — lim	= lim й= -к- ;
'	ь	tg2x 2sec22x 2 ’
— 107 —
lim '[/x In x — lim —4- =lim
-3 lim У г.0;
3)
4)
i- ,,	\	i- sirup —1	.. cosrp
Inn (tg w — sec tp) = lim------------=Jnn------Л- — ();
'	'	17	IDS ф	----Sin «J
1 x \	.. x — I— xfnx	—lux
7---------T =lim -----ту-,-= lim-----------
In X X—1/	(x—l)lnx	.	, X —
7	I n X -r-
X
.. X in X	1-	1 + In X
= — lim —j----;---г = — lim „—-j—
x In x + x—1	2ф!п x
здесь правило Лопиталя применено дважды;
/1	1 \	t — sin t
5) urn — -r = <m —— ' t \ sint t )	l sin t
. -	Mill
= lun ------------- . .
2 cus t —t sin I
0;
здесь правило Лопиталя применено дважды.
316. lim cosxtg5x. Л —
Vx
318. lim лЛ?
Х-* о
320. lim f—Д-i-------г—т
322. lim (ctg ср —	.
ф -> 0 '	ч /
317. lim (ctg 4 —cosec4) .
319. lim ctgx-ln (х-]~еА). X—>0
321. lim sin (2х—l)-tg лх.
1 к ->-
2
323.* lim (cosec21— 4 cosec2 2t) t -> 0
в) Случаи нахождения предела-.
5)	1“—когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель —к бесконечности;
6)	оо° — когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель — к нулю;
7)	0° — когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю О-со (а затем к случаю или —1 следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел
— 108 —
самой функции.
324. Найти пределы: 1) lim (tg x)lg 2Х; 2) lim (In x)*;
Л	X-*- + co
x -> — 4
3)	lim x1+2lnx; 4) limxx,_*.
X-* 4 (1	I
Решение. 1) Сначала устанавливаем, что имеет место случай 1“. Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее логарифма:
а= lim (tgx),g2x; Л л -> ----
4
In а = In lira (tg x)tg2Х = lim tg 2x- In tg x — lim 
*	4
Здесь нахождение предела свелось к случаю . Применяя правило Лопиталя, получим
In а — lim П^с -:(—2cosec22x)l =—1. L tg *	I
Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции: а = е-1.
2)	Установив, что имеет место случай оо°, делаем преобразования:
a — lim (lnx)x; 1па= lim In (In х)х = lim ln^ln ;
4-	СО	х—► + оо	%
получили случай Применяем правило Лопиталя:
1пп= lim (—г—:1^=0, г_>+аД*1пх /
откуда следует, что искомый предел й = е°=1.
3)	Убедившись, что имеет место случай 0°, преобразовываем: о	в	.
а= lim xl + 2lnx; lna= lim In x 1 + 21,1 x = lim ;
получили случай Применяем правило Лопиталя:
lna = 6 lim	==6-4 = 3.
Следовательно, искомый предел a=ea.
— 109 —
4)	Установив, что имеет место случаи 1“, преобразовываем:
a — lim xx‘~l ; In <2 = lim In хх‘~ ' == lim ,	;
V2 —- 1 X->1	Л-+1
получили случай . Применяем правило Лопиталя:
Следовательно,
325. lim (1 + ех)т.
X—► + оэ
( ТП \ 327. lim (cos — ) . _>.о \ Х )
329. lim (cos ka)u‘. a->o
331. Доказать, что п
1) е2Х-ех^х-
т
а = е -	\'’ет.
326. lim (х —
Л-rl-T О
328. lim (ctg2x)lnjc.
А-*+0
330. lim (2—X)2 .
ри х — * 0:
V3
2) х — arctg х у ;
А3
3) arcsin х — х == — ;	4) 4х— In (4х + 1)	8х2;
5) {/Г+1— 1 - ;	6) eiX—4x— 1	8х2.
§ 3. Возрастание и убывание функции
При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно—только возрастают пли только убывают (например 2х, arcctgx).
Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают (например, sinx, cosx).
Возрастание и убывание функции y~ j(x) характеризуется знаком ее производной у': если в некотором интервале у’>0,
— 110 —
то функция возрастает, а если у'<0, то функция убывает в этом интервале.*
332. Определить интервалы возрастания и убывания следующих функции:
1) р = 1п(1—х2);	2) z = x(l+ 2j/x);	3)* z/= In Jx[.
Решение. 1) Производная р = — -j—-2 положительна при — 1<х<0 п х2>1 и отрицательна при 0<х<1 и при х<— 1. Учитывая, что область определения функции р есть интервал —	заключаем: в интервале(— 1; 0) функция р
возрастает, а в интервале (0; 1) она убывает.
2) Функция z определена в полуоткрытом интервале 0^х<4-°о; ее производная z' = 1 + 3)/х>0 — во всем этом интервале. Поэтому функция z монотонная, она возрастает во всей своей области определения.
3)* Функция у определена на всей числовой оси, исключая точку х = 0; ее производная у' = (in | х))' =	= ± Д = —; у' >0
при х > 0; z/'-СО при х<0. Отсюда следует, что функция у убывает в интервале (—оо; 0) и возрастает в интервале (0; 4- оо). График этой четной функции приведен на черт. 43.
333. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:
1) у = х3 Зх2 + Зх; 2) у = х3 — Зх + 5;
4)	= У(х2 — 9)3;	5) у = cosx — х;
§ 4.	Максимум и минимум (экстремум) функции
Значение функции f(x) в точке х0 называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от х0.
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует** Такие точки называются критическими. В соответствующих точках графика функции касательная параллельна
* В интервале возрастания (убывания) функции могут быть отдельные точки, в которых у' =0.
** Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках х2> х5, х7, черт. 44.
— Ill —
оси абсцисс (у' = 0), или оси ординат (у' = оо) или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).
На графике функции (черт. 44)отчетливо видно, что точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведен иг и непрерывна.
Точки Xj и х4, при переходе через которые аргумента х возрастание функции сменяется на убывание, являются точками максимума, а точки х9 и хв, при переходе через которые аргумента х убывание функции сменяется на возрастание, являются точками минимума.
Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна*.
Отсюда вытекает следующее правило исследования функции на экстремум.
Чтобы найти точки экстремума функции y = f(x), в которых она непрерывна, нужно:
I.	Найти производную у' и критические точки, в которых у' — О или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции.
На. Определить знак у' слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента х через критическую точку ,г0:
1)	у' меняет знак с + на —, то х„ есть точка максимума;
2)	у' меняет знак с — на +, то х0 есть точка минимума;
3)	у' не меняет знака, то в точке х0 нет экстремума.
Иногда проще исследовать критические точки, где у' — О, по знаку второй производной, — вместо правила На можно пользоваться следующим правилом:
116. Найти вторую производную у" и определить ее знак в каждой критической точке.
" Это достаточные условия экстремума (если они выполнены в какой-либо точке, то она обязательно будет точкой экстремума).
— 1Г2 —
Если в критической точке х0, где у'~0:
1)	!/">0, то хо есть точка минимума;
2)	у"<0, то х0 есть точка максимума;
3)	у" —О, то вопрос о наличии экстремума в точке х0 остается открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую, можно исследовать по правилу На.
Далее следует найти экстремумы функции, т. е. вычислить значения функции в найденных точках экстремума.
При исследовании на экстремум некоторых типов функций возможны существенные упрощения. Например, если функция представляет дробь с постоянным числителем или корень с целым положительным показателем.
Характер упрощений, возможных при исследовании на экстремум указанных функций, разъясняется в решении задачи 335.
334. Исследовать на максимум и минимум функции:
1)	т/ = (1 —х2)3;	2)	u = xj/l—х2;
3) v = 2 р/х6— 5 р/х2 ф- Г,	4)	р = х3 — 12х;
5) q = х2 + 1/х5;	6)	л = sin2 х;
7)* s= l + |arctg(x—1)|.
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: у' = 3(1 — х2)2(— 2х) = — 6х (1 — х2)2 и критические точки. Полагая y' = Q, получим Xj=O, х2=1, х3 =— 1. Функция у определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки xt, х2 и х3 являются критическими.
Других критических точек нет, так как производная у' существует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак у' слева и справа от каждой этой точки (по правилу Па). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:
X	—2	—1	£ 2	0	1 2	I	2
if	+	1 0	+	0	—	0	—
У	возр.	нет экстр.	возр.	max	убыв.	нет экстр.	убыв.
В цервой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках, т. е. знаки у' (—2), у' (—j ,
— 113 —
у' f J и у' (2). В третьей строке —заключение о поведении функции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума—точку максимума х = 0, где утзх = у (0) = 1. До этой точки в интервале (— оо, О) функция неизменно возрастает, а после нее в интервале (0; + оо) она неизменно убывает (черт. 45).
I__2х'2
2) I. Ищем критические точки. Производная и' = ---------------
обращается в нуль при л112 = ±и не существует (разрывна)
при v;i. ! = ±1- Однако критическими точками являются только точки л( и х..: они лежат внутри области определения функции и,
которая представляет отрезок [-1; И. и в них эта функция непрерывна. Точки х3 и не являются критическими, так как они лежат не внутри области определения функции и, а на ее границах.
II. Исследуем критические точки по знаку производной и' в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:
X	— 0,9	К2	0	I /2	0,9
и'	-	>	+	°	—
и	убыв.	min	иозр.	max	убыв.
где umin = и
точку минимума х =
Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума:
1 2’	11
V 2 ’
точку максимума х = р=, где «тах = ы
у (черт. 46).
3)	. 1. Находим производную
v' = 2
_ 10 х— I
>А "~з'УГ V
— Ill —
и критические точки: и' = 0 при к = 1; о' не существует (равна оо) при х = 0. Функция и определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II.	Исследуем критические точки по знаку производной v' в соседних с ними точках. Составим таблицу:
X	— 1	0	_1_ У	1	2
	+	00	-	0	+
V	возр.	А max	убыв.	min	возр.
Из таблицы следует, что функция v имеет две точки экстремума: точку максимума х = 0, где отах = ^(0)=1, и точку минимума х=1, где 1'ппп = ц(1) = — 2 (черт. 47).
4)	I. Найдем критические точки. Производная р' = 3х2—12 равна нулю в точках х = ±2. Эти точки являются критическими, так как функция р определена и непрерывна на всей числовой оси. Производная р' сущест-	рн
Черт. 47
Черт. 48
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной р" в самих этих точках (по правилу II б): р" = 6х; р"(— 2) = = —12 <0, следовательно, критическая точка х = — 2 есть точка максимума, где ртах = р(—2) = 16; р" (2) = 12 > 0, поэтому критическая точка х — 1 есть точка минимума, где Pmin —р(2) = = —16 (черт. 48).
5)	I. Ищем производную q'=-^х2 ф2х и критические точки: q' обращается в нуль в точке х = 0. В этой точке функция q непрерывна, но она не лежит внутри области определения функции q, которая представляет интервал О^а'О-оо. Поэтому точка х = 0 не является критической; q' не обращается в нуль в других точках и существует во всей области определения
— 115 —
функции. Поэтому функция q, как не имеющая пи одной критической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо q'^0 во всей этой области (черт. 49).
Если не учесть, что точка х = 0 нс лежит внутри области 15 — определения функции q, то, применяя правило Пб, q" -- — хг + 2, q" (0) = 2>0, приходим к ошибочному заключению, что в этой точке функция q имеет минимум,
6)	I. Находим критические точки: г' = 2 sin хсозх = sin 2х; г' = 0 при хА = у, /г = 0, ±1, ±2, ...
Все точки xk являются критическими, так как функция / определена и непрерывна на всей числовой оси; г' существует всюду, поэтому других критических точек нет.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках: г" = 2 cos 2х; г" (хк) —
= 2 cos/гл При четном /г, г”(хк) =-2>0, точки хк являются точками минимума, где rmi„ = 0; при нечетном k, г" (хк) =— 2<0, точки хк являются точками максимума, где гтах=1 (черт. 50).
Здесь оказалось, что у функции г максимумы и минимумы строго чередуются. То же будет и у любой непрерывной функции, имеющей несколько экстремумов.
7)* I. Находим критические точки: s' = ± р+(л.-_1|)г, где знак плюс соответствует ।глервалу 1 < х < 4- оо, а минус — интервалу —оо<х<;1. Производная s' нигде не обращается н нуль и существует всюду, кроме точки х = 1. Эта точка является критической, так как функция s определена и непрерывна на всей числовой оси.
И. Исследуем критическую точку х = 1 по знаку производной s' слева и справа от этой точки. Составив таблицу, заключаем, что х=1 есть точка минимума, где sinin=s(l)= 1. На
А		1	
s'	-	не сущ.	+
	убыв.	Y min	возр
— 116 —
графике функции (черт. 51) это будет угловая точка с двумя различными односторонними касательными, угловые коэффици-
енты которых равны — 1 и 1.
335*. Найти экстремумы функций:
н ___________30
12—36х24-20х3—Зх4 ’
2) u=j/e*2-l.
1) Дробь с постоянным положительным числителем имеет экстремумы в тех же точках,
что и ее знаменатель, но они
будут противоположного смысла: там, где знаменатель имеет максимум, эта дробь имеет минимум, и наоборот. (Из этого общего положения исключается случай, когда экстремум знаменателя равен нулю.)
Используя это свойство, найдем точки экстремума знаменателя, т. е. вспомогательной функции yt = 12 — 36х2д20х3— Зх4.
I. Найдем критические точки, г/' =— 72х + 60х2 — 12х3; t/'=0 в точках х=--0, х = 2 и х = 3. Все они являются критическими, поскольку функция у! определена и непрерывна на всей числовой оси. Других критических точек нет, ибо производная г/' всюду существует.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках (по правилу Пб); г/" =— 72 ф 120х—36х2; У1 (0)=- — 72 < 0, следовательно, критическая точка х —0 есть точка максимума; уг(2)^>0, следовательно, точка х = 2 есть точка минимума; у, (3) < 0, следовательно, точка х = 3 есть точка максимума функции yt.
Для заданной функции у найденные точки экстремума функции у1 будут иметь противоположный смысл: для функции у точка х = 0 есть точка минимума, где = г/(0) = 2,5; х = 2есть точка максимума, где утах-у (2) =—1,5; х = 3 есть точка минимума, где t/min = t/(3) = — 2.	____
2) Точки экстремума сложной функции у= у/ <р(х), при целом положительном п, совпадают с точками экстремума подкоренной функции <р(х), лежащими внутри области определения функции у.
Воспользуемся этим свойством и найдем точки экстремума подкоренной функции их=ех* — 1.
I. Ищем критические точки: иг = 2хех\ г4 = 0 в точке х = 0, которая является критической, так как функция иг определена и непрерывна на всей числовой оси. Производная «j сущест
— 117 -
вует всюду, поэтому других критических точек функция ut не имеет.
II. Исследуем критическую точку х = 0 но знаку второй производной в этой точке. ы1=2ех‘:(1 4-2х2); У (0) = 2> О, поэтому точка х = 0 есть точка минимума функции их.
Согласно указанному здесь свойству точка х = 0, как лежащая внутри области определения функции и, будет также точкой минимума и для функции и. При х = 0, umitl = 0.
Без использования указанного свойства решение этой задачи было бы затруднительно. (Найденная точка является угловой точкой графика функции и, где и' не существует.)
Исследовать на экстремум следующие функции:
336. г/ = х2(х —6).
338. у — х3 — Зх2 4- Зх.
340.	= y +
344. у~е~х 4 е2Х.
346. у = х2е~х.
348. у = sin х 4- cos х.
337. у = 3— 2х2 —х1.
4 Y
339. ц =
'	х24-4
341. у = 3-2 >/х2.
343*. у == У Ух3 4-Зх2 — 36х.
345. у = Зх -у tg х.
347. 7 = ^.
•' In х
349*. у == | х3 — Зх21.
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меныиее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция sinx имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции tgx и х3 не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция —х2 имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция 1 4-4- |/Zfx] имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (черт. 52).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается па следующих свойствах этих функций:
— 118 -
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном} функция f (х) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум}, то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция } (х) непрерывна на некотором отрезке [а, Ь], то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции f(x) на отрезке [а, />], где она непрерывна:
1.	Найти критические точки, лежащие внутри отрезка [о, fc], и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
II.	Вычислить значения функций на концах отрезка, т. е. [(а) и f(b).
III.	Сравнить полученные значения функции: самое большее из них будет наибольшим значением, а самое меньшее —наименьшим значением функции на всем данном отрезке.
350. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:
1)	и = хя — Зх2 — 9хф 35 на отрезке [—4; 4];
2)	р = х21пх на отрезке [1, е];
3)	г = 2 sin х ф sin 2х на отрезке рТ, 4 -’’]’
4)	у = arctgx2.
Решение. Согласно практическому правилу:
1)	I. Найдем критические точки функции и, лежащие внутри отрезка [—4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: и'= = Зх2 — 6х — 9; и' = 0 в точках х = — 1 и х = 3. Эти точки лежат внутри отрезка [—4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная и' существует всюду. Значения функции и в критических точках: и(— 1) = 40; и(3) —8.
II.	Вычислим значения функции на концах отрезка [—4; 4]: и(—4) = — 4Г, и(4)=15.
III.	Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции и на отрезке [—4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке х = —I, а ее наименьшее значение равно —41 и достигается на левой границе отрезка х =— 4 (черт. 53).
2)	I. Ищем критические точки: р' = х(1 4 21пх); р' = 0вточ-_ 1
ках хщ 0 и х2 =-е 2. Точка хг лежит вне области определения данной функции Осхсфоо; точка х2 лежит вне заданного
- 1!9 —
отрсчка Производная р' существует во всем интервале опреде 'ония функции р. Поэтому внутри заданного отрезка нет критических точек.
II.	Вычислим значения функции р на концах отрезка: p(|j_ = 0; р(е)=с!
III.	Поскольку внутри отрезка [1,е] нет критических точек, то функция изменяется на этом отрезке монотонно и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке достигаются на концах отрезка: р„Л = р (1) = 0, рн6 = р(е) = е2 (черт. 54).
3)	1 Найдем критические точки: r' = 2cosx-|-2cos2x = при cos —= 0 и cos-^ = 0; корни первого уравнения xk =	(2k 4- 1),
корни второго уравнения х,. == (2/г т 1), где А-=0, ±1, ±2,. ..
Из них внутри заданного отрезка 10; лежат критические точки *i = -y и Хц==л. Производная г' существует всюду, поэтому других критических точек функция г не имеет. Значения функции в найденных внутренних критических точках х{ и х„: /п\	3 /3	. .	„
Г^’3’) = —2“ ’ '	=
II.	Вычислим значения функции на концах отрезка: г(0) = 0; /Зл\ „
rUJ=_'2-
III.	Сравнение вычисленных значений функции во внутренних критических точках и на концах отрезка показывает, что ,	/ л \	3 К 3
ее наибольшее значение на этом отрезке г„6 = г I у I — —>а наименьшее значение г = — 2.
— 120 —
4)	Здесь изменение аргумента х не ограничено каким-либо отрезком, а функция определена на всей числовой оси. Поэтому следует рассмотреть все значения функции, принимаемые ею при изменении х от — оо до -j-oo. 2х
1.	Найдем критические точки: у' = [	1 У' = 0 в точке х = 0.
Эта точка является критической, так как функция всюду определена и непрерывна. Других критических точек нет, так как производная у' существует всюду.
II.	Исследуем критическую точку х = 0 по знаку первой производной слева и справа от этой точки (см. табл.). Это исследование показывает, что точка х = 0 есть точка минимума, где 1/min О-
III.	Основываясь на указанном выше свойстве 1 непрерывных функций, заключаем: функция у, как имеющая единственный экстремум — минимум и не имеющая точек разрыва, имеет наименьшее значение, совпадающее с ее минимумом,
У нм = f/min = О, но не имеет наибольшего значения, хотя она не растет неограниченно. При х —> ± со она асимптотически приближается к значению (черт. 55).
у'
у бы»
min
возр
Черт. 55
х
— 1
О
О
Найти наибольшие и наименьшие значения функций:
351.	у = х3 —-9х2 + 24х—10 на отрезке [0; 3].
352.	и = х — 21пх на отрезке [1; е].
353.	v = 2 sin х 4- соз 2х на отрезке [б;.
354.	у = е~х*.	355. у = ^/ х3— 1.
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин
Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.
— /2/ -
Широкая распространенность и большое значение этих задач послужили одним из главных поводов к развитию математического анализа.
Для решения такой задачи следует, всходя из ее условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также оп-, х ределяется из условия задачи.
\ :	I* /	356. Из трех одинаковых тонких досок
 / изготовить желоб с наибольшим попереч-\:	\/ ным сечением.
'----'	Решение. Поперечное сечение желоба
будет представлять равнобочную трапецию
Черт. 56 (черт. 56), площадь которой s зависит от наклона боковых сторон. Выберем за независимую переменную угол а между боковой стороной и высотой трапеции и выразим через эту переменную исследуемую площадь s:
x = asina, й = асоэа и s = h(a-\-x) или
$ = и2 (1 -р sin a) cos а, где по смыслу задачи а может изменяться на отрезке 0; yj • Далее найдем наибольшее значение функции s(aj на отрезке
[0; А] .
Найдем критические точки функции s, лежащие внутри этого отрезка:
s' = al [cos2 а — (1 -ф sin a) sin а] = а2 (1 — sin а — 2 sin2 а).
Приравнивая производную s' нулю, получим уравнение:
2 s‘in2 а ф sin а— 1 = 0, решая которое, как квадратное, найдем
sinot = -Jy- и sina = —1.
Из всех точек а, определяемых этими двумя уравнениями, внутри отрезка ^0; лежит только одна точка сс = -^-. Эта точка является критической, в ней выполняются все необходимые для этого условия. Производная s' существует всюду, поэтому других критических точек нет.
Вычислим значения функции s в найденной внутренней критической точке и на концах отрезка jO; :
s 09 ==-^«z~ 1.28а2; s(0) = a2; *(-^ = 0.
— 122 —
Сравнивая эти значения, заключаем: наибольшее значение функции s на отрезке ^0; -yj достигается во внутренней точке а =	.
Таким образом, желоб нз трех одинаковых досок будет иметь наибольшее поперечное сечение, когда это сечение представляет равнобочную трапецию, верхнее основание которой вдвое больше нижнего.
357.	Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объемом о и с наименьшей полной поверхностью.
Решение. Обозначив радиус и высоту цилиндра через г и h, а его полную поверхность через s, получим
s = 2nrh -}- 2 л г2.
Здесь переменные г и h не являются независимыми, а связаны между собой равенством п = лг2/г, так как согласно условию цилиндр должен иметь заданный объем v. Определяя из этого равенства h и подставляя в выражение полной поверхности, получим
s = 2 ( лг2 + — ^ ,
\ г J
где г изменяется в интервале 0<г<; + оо.
Выразив таким образом исследуемую полную поверхность цилиндра $ через одну переменную г, найдем теперь ее наименьшее значение при изменении г в интервале (0; + оо).
Найдем критические точки; $ = 2 ( 2лг — -^-1=2 —— 5
s =0 в единственной точке г= I/ которая лежит в рассматриваемом интервале. Эта точка является критической, так как в пей выполняются все необходимые для этого условия. Других критических точек в интервале (0; 4-оо) функция s не имеет, так как ее производная s' существует во всем этом интервале.
Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке:
откуда следует, что критическая точка г = 1/ есть точка минимума.
Функция s(r) непрерывна в интервале (0; +°о). Поэтому согласно свойству 1 непрерывных функций единственный минимум функции $ в интервале (0; -|-оо) совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале.
/ и	D	/ V
ПРИ Г = V 2л П0ЛУЧИМ /г=^ = 2 V 2п=2г-
— 123 —
Следовательно, цилиндрическая закрытая цистерна, имеющая любой заданный объем, будет иметь наименьшую полную поверхность, когда ее осевое сечение представляет квадрат.
358.	Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) показаны на черт. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение. Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника через х и у. Тогда его площадь S = ху. Выразим у через х, исходя из подобия треугольников BDC и ЛЕС:
BD^ll—x-, DC = y-fr, АЕ = 8‘, ЕС-4.
BD АЕ	11—х 8
Подставляя в пропорцию -., „ - =	, получим-—й- = —, откуда
23—х о
у--—— . Заменяя у в выражении площади, имеем
S = y (23х —х2),
где х согласно условию задачи изменяется иа отрезке [3; 11]. Ищем далее наибольшее значение функции Х(х) на указанном 1	23
отрезке. S' = у (23 — 2х); S' = 0 в точке х=у, но эта точка лежит вне рассматриваемого отрезка; S' существует всюду, поэтому на отрезке [3; 11] нет ни одной критической точки. При изменении х от 3 до 11 производная S'>0, а функция S неизменно возрастает и достигает наибольшего значения на правом конце отрезка х = 11.
Итак, прямоугольник, вырезанный из данного куска жести, будет иметь наибольшую площадь, когда точка В совпадает с точкой С; SH6 = S(11) = 66 дм2.
359.	Выбрать место для постройки моста через реку, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая.
Решение. Сделаем схематический план местности вблизи указанных в условии объектов (черт. 58). Расстояния а, Ь, с и h
— 124 —
согласно условию задачи являются постоянными. Если мост построен в указанном в плане месте, то длина дороги между пунктами /1 и В
/ = AC+h+DB.
Выбрав за независимую переменную х расстояние AjC, получим
АС = /а2 + х2, DB = УЬ2 + (с—х)2
и
I -.= ]/«2 -f- х2 + h + Vb2 + (х — с)2,
где х изменяется на отрезке [0; с], что очевидно.
Теперь найдем наименьшее значение функции / (х) на отрезке [0; с].
Найдем производную Г и критические точки, лежащие внутри отрезка [0; с]:
___ х . х —с _______________х Е Ь2 + (х —с)2 + (х — с । Е а‘ -р х2 ( Ea2-f-x2 Е fc2 + (*—с)а____E'(g2 + х2) [ft24-(х—с2)|
—0, когда х + (х — с)2(х — с) р7п2 4~х2 = 0.
Решая это уравнение, получим
х- [Ь2 + (х — с)2] = (х — с)2 (а2 4- х2); Ь2х2 = а2 (х — с)2;
ас	ас
X. =------ II X, = —Г-,- 
1 а—b	2 «4-ft
Точка хх лежит вне отрезка ()<х<с: при п>Ь, х1>с; при a<Z.b, х1<0. Точка х2 лежит внутри этого отрезка при любых положительных значени-
X	0	х2	с
/'	—	0	+
1	убив	гпТп	возр
ях а, b п с, так как при этом х„ > 0 и —— < 1, т. е. х, < с.
1	а+b ’	2
Производная Г существует всюду, поэтому функция I других критических точек не имеет.
Внутри отрезка [0; с] функ
ция I имеет одну критическую точку х2. Исследуя эту критическую точку по знаку производной /' слева и справа от нее, как это показано в таблице, убеж-
даемся, что точка х,2 есть точка минимума.
Согласно свойству 1 непрерывных функций, в этой единственной на отрезке [0; с] точке минимума непрерывная функция I имеет и наименьшее значение из всех ее значений на этом отрезке.
Следовательно, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая,
следует построить мост в том месте, где расстояние AtC =—7
— 125 -
360.	Из куска проволоки длиной / согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.
361.	Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м1, а длина забора была наименьшая?
362.	В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был наибольшим?
363.	На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна расстоянию ее от источника света.)
364.	Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.
365.	Завод А расположен на расстоянии а км от железной дороги, идущей в город В, и на расстоянии b км от города В.
Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже, -----—----чем по железной дороге?
366.	Керосиновая цистерна, имеющая фор-
Черт. 59 му цилиндра, завершенного конусом, должна быть построена на данном круглом фундаменте и должна иметь заданный объем. Показать, что количество материала для постройки цистерны потребуется наименьшее, если угол при вершине осевого сечения конуса будет равен 2 arc cos у «= 96°.
367.	Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть равнобочная трапеция, то каким должен быть угол паклонаее боковых сторон, чтобы при движении воды по каналу потерн на сопротивление трения были наименьшими, т. е. чтобы сумма нижнего основания и боковых сторон трапеции была наименьшая?
368*. От канала шириной 4 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять по этим каналам из одного в другой (не учитывая толщины бревен)?
369*. Две точки движутся по осям координат в положительных направлениях с постоянными скоростями и щ. В какой момент расстояние между движущимися точками будет наименьшее, если в начальный момент они занимали положения (—3; 0) и (0; 5)?
— 126 —
370*. Шар свободно скатывается по наклонной плоскости (черт. 5S). Если основание АВ остается неизменным, то каков должен быть угол наклона ср, чтобы время скатывания шара было наименьшее?
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба
Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой
вниз в этом интервале.
Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.
На черт. 60 в интервале (а, Ь) кривая выпукла вверх, в интервале (Ь, с) она выпукла вниз, а точка В есть точка перегиба.
Направление выпуклости кривой у = = [ (х) характеризуется знаком второй
производной. у"-. если в некотором интервале у">б, то кривая выпукла вниз, а если у" <0, то кривая выпукла вверх в этом
интервале.
Абсциссы точек перегиба кривой y = f(x), или графика функции f (х), являются точками, в которых меняется поведение производной у’. Поэтому их можно найти по следующему правилу:
I.	Найти у" и точки х, в которых у" = 0 или не существует, а кривая непрерывна и которые лежат внутри области ее расположения.
11.	Определить знак у" слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее у" имеет разные знаки.
Интервалы, где кривая выпукла вверх и где она выпукла вниз, определяются из условия, что их границами могут быть только абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки области расположения кривой.
37(. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривых:
1) у = Зх5-5х4 + 4;	2) г/= 3 - f/(x + 2)’-
3) // = 4/(x-iy + 20K(x-l)3;	4) «/—т—туй
т Ч
5)* г/ = 2 —|х5 —1|.
Решение. Находим точки перегиба кривой, руководствуясь указанным правилом.
— 127 —
1) I. Ищем точки х, в которых у" = 0 или не существует, а кривая непрерывна и которые лежат внутри области расположения кривой:
// = 15х4— 20х3; у" — бОх3 — 60х2 — 60 г4 (х — 1).
у" = 0 в точках х = 0 и х — 1. Эти точки являются ш комлями, так как область расположения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как у" существует всюду.
11. Исследуем найденные точки, определяя знак у" слева и справа от каждой из них. Запишем это исследование в таблицу, подобную топ, которая составляется при отыскании точек экстремума:
X	— 1	0	1 2	1	10
У	—	0	—	0	+
У	в. вверх	нет перегиба	в. вверх	перегиб	В. вниз
Из таблицы следует, что х=1 есть абсцисса точки перегиба
кривой: //(!) = 2.
Черт. 61
Поскольку эта кривая непрерывная, то во всем интервале (—оо, 1) она выпукла вверх, а во всем интервале (1, -i-oo)— выпукла вниз (черт. 61).
2) I. Находим вторую производную:
у' = _1(х-Ь2Г ;
14
25 •’/Д+Д3'
Здесь у" нигде не обращается в нуль, а при х = — 2 она не существует.
При х = — 2 кривая может иметь перегиб, так как ее областью расположения и областью непрерывности является вся ось абсцисс.
11. Исследуем значение х=—2
X	— 10	— 2	0
у"	+	ОО	—
У	в. вниз	перегиб	в. вверх
по знаку у” при значениях х, меньших и больших его. Согласно таблице х = — 2 есть абсцисса точки перегиба.
Слева от нее во всем интервале (—оо, —2) данная непрерывная кривая выпукла вниз, а справа, в интервале (—2, +оо), она выпукла вверх; у(—2) = 3.
/ = -^(х + 2)‘‘
— 72о —
3	1
3) I. y‘= 10(x— 1)2 + 30(x— 1)2 ;
<y“=15(x-l)V+i5(x-l)’V = -Д=.
V x— 1
Здесь у" обращается в нуль при х = 0 и не существует (равна + оо) при х — 1. Но ни одно из этих значений хне может быть абсциссой точки перегиба, так как областью расположения кривой является интервал 1 <x<-f оо; х = 0 лежит вне этой области, а х=1 есть граница этой области, т. е. лежит не внутри ее. Кривая не имеет точек перегиба; во всей области своего расположения она выпукла вниз, так как во всей этой области
41 L У (х-Н)4’ У ~ (х+1)“‘
Здесь у" не может обратиться в нуль, а при х——1 она не существует. Однако х = — 1 не может быть абсциссой точки перегиба, так как в этой точке кривая разрывна. При х <— 1, у" <0; при х>—1,у">0.
Поэтому в интервале (—оо, —1) кривая выпукла вверх, а в интервале (—1, 4-оо) она выпукла вниз. Не имея точек перегиба, эта кривая меняет направление выпуклости при переходе х через точку разрыва х = — 1.
5)* I. у' = ±5х4; t/" = ±20x3, где знак плюс соответствует значениям х из интервала (—оо, 1), в котором х5—1<0, а знак ми
нус соответствует значениям х из интервала (1, + оо), в котором Xs—1>0. у" не существует при х=1; £/" = 0 при х = 0. Эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба данной кривой, так как ее областью расположения и областью непрерывности является вся ось абсцисс.
Черт. 62
X	— 10	0	1 2	1	10
у"	—	0	+	не сущ.	—
У	в. вверх	перегиб	В. вниз	перегиб	в. вверх
П. Определяя знак у" слева и справа отточек х = 0 и х=1, заключаем, что х = 0 и х = 1 — абсциссы точек перегиба. Левее точки х = 0 кривая выпукла вверх, между точками х = 0 и х=1 она выпукла вниз и правее точки х= 1 выпукла вверх (черт. 62). Ординаты точек перегиба определяются из уравнения кривой по
5 № 3201
— 129 —
известным их абсциссам: у (0) = 1 • у(\)-=2. Здесь точка перегиба (1; 2) совпадает с угловой точкой кривой, в которой она имеет максимальное значение ординаты и две различные односторонние касательные у—2=4:5 (х—1).
Найти точки перегиба и исследовать направление выпуклости кривых:
372. у = х3 —Зх2 — 9х + 9.
374. у — 1 — 1п(х2 — 4).
376. y = arctgy.
378*. w.= arcsin —.
27	X
373. у==х+36х2-2х3-х\
375. у == х 4-2 -/ха.
377. у=-Х- -
379*. у=1 —|х2—2|.
§ 8.	Асимптоты
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Кривая может приближаться к своей асимптоте теми же способами, как и переменная к своему пределу: оставаясь с одной стороны от асимптоты, как, например, в задаче 380 (1) или с разных сторон, бесчисленное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую, как, например, в задаче 380 (3).
Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:
а)	если при х = а кривая y = f(x) имеет бесконечный разрыв, т. е. если при х-+а— 0 или при х-»-а4-0 функция f (х) стремится к бесконечности (того или иного знака), то прямая х = а является ее вертикальной асимптотой;
б)	невертикальные асимптоты кривой у = f (х), если они существуют, имеют уравнения вида y = kx + b, где параметры k и b определяются формулами
k= lim —- и Ь= lim [f(x) — kx] co X	x-*± co
при одинаковом в обеих формулах поведении х, т. е. в обеих формулах х--*-4-о° или х ->— оо.
380. Найти асимптоты кривых:
,.	х2 — 6x4-3	х	, sin х	,
1) У = х-З" ’ 2) У = хе ' 3) У = х+—> 4) y = *arcctgx;
5) у = In (4 — х2); 6)* (/= j/x3 — 6х2.
Решение. 1) (а) При х = 3 данная кривая имеет бесконечный разрыв. Поэтому прямая х = 3 есть ее вертикальная асимптота;
г- 130 —
(б)	далее ищем невертикальные асимптоты:
й = lim	=	---^ = 1;
х	х2—Зх	f_3
X
b = lim [/ (х) — kx] ~ lim (* ~6* + 3_ Л _ Х-> + m	\ X й	у
А_3
= lim *~2_3g - lim -—у = — 3.
' х
Подставляя найденные значения £ и ft в уравнение y — kx 4- ft, получим уравнение невертикальной асимптоты: у = х — 3. Других невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при
х-> —оо значения k и ft будут те же самые. Кривая (гипербола) изображена на черт. 63.
2) (а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она всюду непрерывна;
(б) k= lim — = lime* =-|-оо, х->+си X
т. e. при x -> 4- оо угловой коэффициент асимптоты не существует, вследствие чего при х->4~°° кривая не имеет асимптоты;
k= lim — = lime* = O;
Х->- оо Х
ft = lim (у —- kx) = lim xex = lim ~ = lim —= 0.
OD	e	e
(Здесь применено правило Лопиталя,)
Следовательно, при х-> — оо кривая имеет невертикальную асимптоту у —0 (ось Ох).
5*
— 131 —
3) (а) Кривая y = x-|-^^ не имеет бесконечных разрывов, поэтому не имеет и вертикальных асимптот;
(б) k = lim — = lim f 1 + —= 1, так как | sin х |	1;
х~» + СИ *	V Х /
6= lim (у — Ах) = lim =0.
Л'-> + оз
При х->— оо параметры асимптоты имеют те же значения.
Следовательно, при х->4*°° и при х -»—оо кривая имеет асимптоту у = х. Эта кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту, переходя с одной ее стороны на другую (черт. 64).
Способ приближения кривой к своей невертикальной асимптоте определяется путем исследования знака разности ординат кривой и асимптоты. Здесь эта разность укр—уас = ^~ бесчисленное множество раз меняет своп знак в точках, где
х = kit, k = ± 1, ± 2, ...
4)	(а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она всюду непрерывна;
(б)	k= lim — = lim arcctg х = arcctg (Н-оо) = 0;
Х-» + си Х
,	,•	, .	,	, arcclg х
b— hm (у—kx) =lim х arcctg х =1нп—t—.
*-* + СИ	_L
X
Применяя правило Лопиталя дважды, получим _______________________________i
,	arcctg х	14-х2	х2	2х .
0= hm ------;-^- = lim---4—= lim-i-r-. = lim-к-= 1.
X	x'1
Следовательно, при х->Ч-оо кривая имеет асимптоту у--1;
k— lim — = lim arcclg x — arcclg ( — 00) = л;
X ->— x X
b== hm (y — Ax) = lim(xarcctg x —лх) = lim x (arcctg x—л) = X-+— »
1
arcctg x — n ..	14-x2 .. x2 ,
= Inn ----5----= Inn----—- = hm	= 1.
T	X2
Следовательно, при x -»—00 кривая имеет асимптоту у = лх4-1 (черт. 65).
5) (а) Кривая имеет две вертикальные асимптоты х~—2 и х = 2, так как при х=±2 она имеет бесконечные разрывы;
132 —
(б) невертикальных асимптот кривая не имеет, ибо ее областью расположения является интервал —2<х<;2 и поэтому к не может стремиться к бесконечности (черт. 66).
6)* (а) Вертикальных асимптот кривая не имеет; iy У*3—б-*1 i/~i 6 (б) k — lim — = lim-— -------=lim у
b— lim (y — kx) = lim(y^xa—6x2 — x). CD
Заменяя x через -i- и применяя затем правило Лопиталя, получим
= limv	= - 2.
При х — оо значения параметров k и b асимптоты будут те же самые. Следовательно, при х->--]-оо и при х —> — оо данная кривая имеет асимптоту у = х — 2. Эта непрерывная кривая пересекает свою асим-2
птоту в точке, где х = —, и неограниченно приближается к ней при х-> — оо сверху, а при х -> 4- оо снизу (черт. 67).
Найти асимптоты кривых: 2х%_________Ч	х,]
381. у- ,-, . 382. у = -£-
J х-{-2	э х4—1
383. ухе х.	384. z/ = xarctgx.
385*. у = 2х —386*. у = х + '™.
— 133 —
§ 9.	Общая схема исследования функций и построения их графиков
Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
I.	Найти область определения функции.
II.	Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках.
III.	Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
IV.	Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции1.
V.	Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные и б) невертикальные.
-	VI. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
V	II. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.
V	III. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения. Построение графика функции целесообразно выполнять по его элементам, вслед за выполнением отдельных пунктов исследования.
387. Исследовать функции и построить нх графики:
4х3—х4	I—х3
1) У = ~— ;	2)у = -^-;
3) y=l/(x-\ I)2— f/(x — I)2;	4) у = sin4x + cos4x;
5)	у = х2 е;	6) у = х + 2 arcctg х; 7)* у — | ех — 11.
Решение. Руководствуясь указанной общей схемой, последовательно находим:
1)	I. Областью определения данной функции, как и всякого многочлена, является вся числовая ось.
II.	Функция не имеет точек разрыва. Как у всякой элементарной функции, ее область непрерывности совпадает с областью определения.
III.	Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV.	При х = 0 из данного уравнения найдем у = 0, а при у = 0 найдем х = 0 и х = 4. Это значит, что график функции пересекает координатные оси в точках (0; 0) и (4; 0).
1 Выполнение этого пункта исследования требует решения уравнения
/(х) = 0 и может быть опущено в задачах этого параграфа, если это решение
нельзя получить элементарным путем. Общий метод решения уравнений разъ-
ясняется в следующем § 10.
— 134 —
Интервалы, где функция сохраняет знак, определяются из условия, что их границами могут быть только точки пересечения графика функции с осью Ох, точки разрыва и границы области определения функции.
Для исследуемой функции такими точками являются точки х = 0 и х = 4. Определяя знак функции при каком-либо значении х из интервала (— оо, 0), например у(—1)<0, заключаем, что во всем этом интервале функция имеет отрицательные значения; во всем интервале (0; 4) функция имеет положительные значения, ибо у (1)> 0; во всем интервале (4, -фоо) функция имеет отрицательные значения, так как i/(10)<;0.
V.	а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она всюду непрерывна;
б)	k = lim — = -Llimx2 (4 —х)= —оо.
+ а х й
При х—► — оо угловой коэффициент k асимптоты также не существует. Поэтому невертнкальных асимптот график функции также не имеет.
VI.	у' = 1(12х2-4х3) = 4-х:;!(3-х);
у' = 0 в точках х=0 и х = 3, которые являются критическими, так как они удовлетворяют всем необходимым для этого условиям. Других критических точек нет, поскольку производная у' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку у' слева и справа от каждой из этих точек;
X	—1	0	1	3	10
у'	+	0	+	0	—
У	возр.	нет экстр.	возр.	max	убыв.
Следовательно, х = 3 есть точка максимума: утах = у (3) = 5,4.
Интервалы возрастания и убывания функции определяются из условия, что их границами могут быть только точки экстремума, точки разрыва и границы области определения функции.
Исследуемая функция всюду непрерывна и имеет единственную точку максимума х = 3. Поэтому в интервале ( — оо, 3) она возрастает, а в интервале (3, -фоо)— убывает.
12
VII.	у"=-$х (2 — х) всюду существует и обращается в нуль при х = 0 и х = 2. Эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуем их, определяя знак у" слева и справа:
135 —
X	—1	0	I	2	10
у"	—	0	+	0	—
У	в. вверх	перегиб	В. вниз	перегиб	в. вверх
Следовательно, график функции имеет две точки перегиба (0; 0) и (2; 3,2) (их ординаты найдены из данного уравнения).
Так как исследуемая функция непрерывна на всей числовой осн, то, согласно таблице, в интервалах (— оо, 0) и (2, 4 оо) ее график обращен выпуклостью вверх, а в интервале (0; 2) он обращен выпуклостью вниз.
Черт. 68
VIII.	Учитывая все полученные результаты исследования, строим график функции (черт. 68).
| _ д<3
2)	I. Функция у= определена на всей числовой оси, кроме точки х = 0.
II.	В точке х = 0 функция имеет бесконечный разрыв: при х—* —0 и при х—>- + 0 Iimy= 4-оо. Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
III.	Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV.	График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не пересекает оси Оу.
Слева от точки разрыва, при — оо<х<0, у>0; между точкой разрыва и точкой пересечения с осью Ох, при 0<х< 1, у>0; справа от точки пересечения с осью Ох, при 1 <х<-роо, у<0.
— 136 —
V.	а) Прямая x = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции, ибо при х = 0 она имеет бесконечный разрыв;
б) k= lim — = lim^=^= —1;
х_+а, X	X3
b= lim (у — fex) = lim +	= limi =0.
*-»+«! '	\ x	j	X
Следовательно, прямая y= —x есть невертикальная асимптота. При х —> — оо параметры k и b имеют те же значения, поэтому других асимптот нет.
VI.	у'~	; у' = 0 в точке х= — у/2, которая является
критической; у' не существует в точке х = 0, но эта точка не является критической, так как она есть точка разрыва.
Исследуем критическую точку по знаку у";
следовательно, х-= — у/2 есть точка минимума:
Слева от точки минимума при — оо<х<—1^2, «/’<0 функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва при —1^2 <х<0, у' >0 функция возрастает; справа от точки разрыва при 0<х< + оо, у'<0 функция убывает.
VII.	у" = 4; у" ¥=0; tf не существует при х = 0, по это значение х не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.
Во всей области определения функции г/">0, поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII.	Используя все полученные данные, строим график функции (черт. 69).________________________
3)	I, II. Функция у = у/(х+ 1)2—у/(х—1)г определена и непрерывна на всей числовой оси.
III.	Функция нечетная, ибо у( — х)= — у(х); ее график будет симметричен относительно начала координат.
IV.	График функции пересекается с осями координат только в начале координат.
При х<0 значения г/<0; при х>0 значения у>0.
— 137 —
V.	а) Вертикальных асимптот график функции не имеет}
б) k— 111П -2- = llm----------------=
х^.+а, X	X
/ 3 у !	9 f з/-'! —2	1 \	_
= lim( I/ ——а’-Ьгз— v---------«4—ч) — О»
\ Г х х2 х3 г х х2 Xs/
b — lim (у —£х) = 1пп[У(л4-1)2 —£/(х—1)2J =
JifnT	..<X_+1J2—1х—2)а___ = о.
уи+1)4+|/(*+1)2 (х-1)2+у(х-1)4
Подставляя найденные значения k~b = O в уравнение у = kx-\-b, получим уравнение невертикальной асимптоты: у = 0.
Тот же результат получится и при х—»— оо.
VI.	у'=4(х+1) з-4(х-1) 8=4-	’
у' нигде не обращается в нуль; у' не существует в точках х = ±1, которые являются критическими. Исследуя критические точки по знаку у' в соседних с ними точках слева и справа:
X	— 5	— I	0	1	5
у'	—	оо	+	00	—
У	убыв.	V min	возр.	А max	убыв.
заключаем, что х= — 1 есть точка минимума, где ymln = y(— 1) = = —р/4, а х=1 есть точка максимума, где утак = у (1) = j%4.
Слева от точки минимума в интервале (— оо, —1) и справа от точки максимума в интервале (1, 4* оо), где у' <0, функция убывает, а между точками минимума и максимума в интервале (— 1; 1), где у' >0, функция возрастает.
2 -А 2	--
VII.	у"=—|(х+1) 3 +|(х-1) 3
2 f/(x+l)4-t3/(x-l)\
9 ‘ ’
у"==0 в точке х = 0; у" не существует в точках х = ±1. Эти точки оси Ох могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку у" в соседних с ними точках слева и справа:
X	— 5	—1	1 ~’2	0	1 2	1	5
у"	—		00	—	0	+	+ 03	+
У	в. вверх	нет перегиба	в. вверх	перегиб	в. вниз	нет перегиба	В. ВНИЗ
— 138 —
заключаем, что х = 0 есть абсцисса точки перегиба; т/(0)== = 0.
Слева от точки перегиба, в интервале (— оо, 0), где у” <0, график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от точки перегиба, в интервале (0, -J-оо), где ^">0, график функции обращен выпуклостью вниз.
VIII.	Основываясь па полученных результатах исследования, строим график функции (черт. 70).
4)	I, II. Функция 1/== sin4x-f-cos4 х определена и непрерывна на всей числовой оси.
III.	Функция является четной, так как у(—х) — у(х), и периодической, так как у(х) = у[х-\-~^, с периодом Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале 10;	; в остальных точках числовой оси поведе-
ние функции и ее график будут повторяться.
IV.	При х = 0, у—\\ Ут^0. График функции пересекает ось Оу в точке (0; 1) и не пересекает ось Ох. При любом значении х функция имеет положительное значение.
V.	а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой осн;
,,	,	у	sin4*+cos4x	п
б) k= lim — = Iirn------—------= 0;
'	X	X
х-* + оэ	Л	Л
b— lim (у— kx) — lim(sin4х -ф cos4х) — не существует.
4-ОЭ
При х—*—оо невертикальной асимптоты также не существует.
Г рафик функции не имеет никаких асимптот.
VI. у' — 4 sin3 х cos х— 4 cos3 х sin х = 4 sin х cos х (sin2 х — cos2x)== = — 2 sin 2x cos 2x = — sin 4x;
у' обращается в нуль в интервале ^0, у) в точках х = 0 и x = ~t которые являются критическими. Других критических
— 139 —
точек в интервале ^0, yj нет, так как у' существует всюду. Исследуем критические точки по знаку у" (по правилу Пб): z/'-=—4соз4х; у"(0)=—4<0, следовательно, х = 0 есть точка максимума, где утах = у(0) = 1; у"^)=4>0, поэтому х — ~
( Л \	1
есть точка минимума, где ylllin = у I •
В интервале ^0,	, где у' <0, функция убывает, а в интер-
вале у), где у'>0, функция возрастает.
VII.	у"= —4cos4x; у” существует всюду и обращается в нуль в интервале ^0, при * = -£ и х = Эти точки оси Ох могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку у" в соседних точках:
	0	л т		Зя 8	л т
у"	—	0	+	0	—
У	в. вверх	перегиб	в. вниз	перегиб	в. вверх
заключаем, что в интервале | 0, у j график функции имеет две - /л 3 \ /Зя 3 \
точки перегиба: ( —, — } и ( -, ^-1.
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения.
В интервалах Го, и	, где у" <0, график функ-
,	L ° /	\ °	* /	( п Зл\
ПИИ обращен выпуклостью вверх, а в интервале l-g-, — 1 , где
у">0, он обращен выпуклостью вниз.
VIII.	Согласно полученным результатам исследования строим график функции в интервале 0,	,
ч 7(	длина которого равна периоду дан-
ной функции, и затем повторяем его влево и вправо по периодическому закону (черт. 71).
5) I. Функция у = х2ех определена на всей числовой оси, кроме точки х = 0.
II. В точке х = 0 функция имеет разрыв: она определена вблизи этой точки, но не определена в самой точке
1
lim у = 0, ибо lim ех=е_“ = 0.
Л - О	X -► - о
— 140 —
При х—>4-0 имеет место случай нахождения предела 0-оо, Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
А 1 Т А ек ~ х*е	ех
lim у = lim -р = lim -а— = lim -а- = х -> + О	_	___—
X2	Л3	X
1 Т	—
----а е	х
= lim—А — = lim -- = -А_ = 4- оо.
Следовательно, в точке х = 0 разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III.	Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV.	С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например у(— 2)>0, и в какой-либо точке справа от нее, например у(2)>0, заключаем, что функция имеет положительные значения во всей своей области определения.
V.	а) Вертикальной асимптотой графика функции является прямая х = 0, ибо при х = 0 функция имеет бесконечный разрыв;
1 1
б) /г = lim — = lim хе* — 4-со, так как lim ех = 1. х->+® Х	х-х4-<а
При х—> —оо угловой коэффициент невертикальной асимптоты также не существует, т. е. таких асимптот график функции не имеет.
A	j
VI. у'=е* (2х—1); у ==0 в точке х = —-, которая является критической; у' не существует в точке х = 0, но она не является критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку у" в этой точке:
^ = 2х2-2х+1 А;
1	/ 1 \ е*
заключаем, что х = -^ есть точка минимума: ymin = y(~ у •
Определяя знак у' в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах (—оо, 0) и (0; 4 ), где у' <0, функция убывает, а в интервале /1 \\ \ 2 /
(у , 4- 00 ) , где у' >0, она возрастает.
— 141 —
9у;2_2v-4-l —
VII.	у" —----А2~- ех нигде не обращается в нуль и суще-
ствует во всей области определения функции. Поэтому график функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак у" в какой-либо точке слева от точки разрыва, например у"(—2)>0, и в какой-либо точке справа от нее, например у"(3)>0, заключаем, что график функции всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII.	Ввиду недостаточности полученных данных находим дополнительно несколько точек графика, беря подходящие значения х и определяя соответствующие значения у изданного уравнения:
Наконец, строим график функции (черт. 72).
Черт. 73
6) I, И. Функция у = х + 2arcctgх определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V. а) Вертикальных асимптот нет;
б) k= lim =	+	=
Х-> + СО Х	\	Х )
= lim (у — kx) = lim 2 arc ctg x = 2 arc ctg (+ oo) — 0;
X-+ + co
b2= lim (ij—Ax) = lim2arcctgx = 2arcctg( —оо) = 2л.
—co
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимптоты: у = х и у = х + 2п.
2 х2______1
VI. у'= 1 —12р7а = х2_|_1 существует всюду и обращается в нуль в точках х = ± 1, которые являются критическими. Ис-следуем эти точки по знаку второй производной:
ч1 “Г л )
— 142 —
Следовательно, х — — 1 есть точка максимума, а х = 1 есть точка минимума: утах = у (—1) = ^—1; ут1п = у(1) = у + 1.
В интервалах (— оо, -1) И (1, + оо), где у' > 0, функция возрастает, а в интервале (— 1; 1), где //'<0, функция убывает.
VII.	у" =	всюду существует и обращается в нуль
в точке х = 0. Определяя знак if слева и справа от этой точки: у"{—1)<0 и у"(1)> 0, заключаем, что при х = 0 график функции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале (—оо, 0), где у"С 0, график функции обращен выпуклостью вверх, а справа, в интервале (0, ф-оо), где у">0, он обращен выпуклостью вниз; у(0) = -|.
VIII.	Согласно результатам исследования строим график функции (черт. 73).
7)*	I, II. Функция у — \ех —1| определена и непрерывна на всей числовой оси.
II	I. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV.	Функция всюду неотрицательна; ее график проходит через начало координат.
V.	а) Вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) При	у = ех—1; при х<0, у=1—ех,
k= lim — = Ипь—= lim ^-= +оо, X	X	1
т. е. при х —>-4- оо асимптоты нет;
k = lim — = lim—— --0, х->_а> х	х
b= lim (у — kx) = lim(l—ex)=l,
X-*- — OO
т. e. при x—>—оо график функции имеет невертикальную асимптоту у = 1.
VI.	у' = ±ех, где знак плюс соответствует значениям х из интервала (0, +оо), где ех—Г>0, а знак минус соответствует значениям х из интервала (— оо, 0), где ех—1<0; у' нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки х = 0, которая является критической. Слева от этой точки, где у' = = —еА <0, функция убывает, а справа от нее, где у' >0, функция возрастает. Это значит, что х = 0 есть точка минимума: Утш = У(0) = 0-
VII.	у" — ±ех, где как и у у' знак плюс соответствует значениям х>0, а знак минус соответствует значениям х<0; f нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки х = 0. Слева от этой точки, где у" ——ех <0, график
— 143 —
функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее, где = >0. график функции обращен выпуклостью вниз. Следовательно, х — 0 есть абсцисса точки перегиба; у (0) = 0.
Здесь точка перегиба ловой точкой, в которой ции имеет две различные касательные: у=—х,у=х значение ординаты.
VIII.	Для построения ции дополнительно его точек,
совпала с уг-график функ-односторонние и минимальное
графика функ-найдем несколько например (1; е—1), (—1;
1—е-1), (—2; 1—е~2) и определим угловые коэффициенты касательных (левую и правую производные) в угловой точке (0; 0): ki (0) = — 1, /г2 = у('+)(О)= 1.
Согласно полученным данным график функции изображен на черт. 74.
Исследовать функции и построить их графики:
388.	«/ = х3 + 3х2.	389.	у 16х(х— I)3.
390.	у =	391.	1/ = 4$Т-
J	х—2	а х2-|-1
392.	y^f/1—х3.	393.	у = (х-3)]/х?
Л2
394.	у = 2(х+1)—ЗУ(х+ 1)2. 395.	у = хе
396. у — sin х — cos х.	397. z/ = x —2arctgx.
398*. y = x— |sinx|.	399*. y = arc sin | x|.
§ 10. Приближенное решение уравнений
1) Графический метод. Отделение корней. Действительные корни уравнения f(x) = O являются абсциссами точек пересечения кривой y = f(x) с осью Ох, а если это уравнение преобразуется к виду <pi (х) = <р2 (х), то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых t/ = <pt(x) и y = <f2(x).
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 16, можно находить приближенные значения действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения соответствующих кривых.
Однако этим графическим методом можно получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их вычислить с наперед заданной большой точностью.
Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения, т. е. для нахождения таких отрезков оси Ох, внутри которых содержится только по
— 144 —
одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой точностью посредством аналитических методов.
2) Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных. Если на отрезке [a, fe] функция f(x) непрерывна, а ее производная f (х) сохраняет знак и если / (а) • f (b) < 0, то внутри этого отрезка содержится только один действительный корень функции f(x) или уравнения Цх)= 0.
Если, кроме того, на этом отрезке /"(х) также сохраняет знак, то можно найти границы а, и более узкого отрезка, содержащего тот же корень, по формулам
Oj =CZ
(b—a)f(a)
b -6-^
1~Р Г(₽)’
(*)
корня х0 с лю-
где 0 —тот конец отрезка [a, t>], в котором /(х) имеет тот же знак, что и f''(x).
Геометрически (черт. 75) границы нового отрезка аг и Ь± представляют абсциссы точек пересечения с осью Ох хорды АВ и касательной Bbt, которые будут ближе к искомому корню х0, чем границы исходного отрезка [а, Ь].
Далее, исходя из полученного суженного отрезка, по тем же формулам (*) можно найти границы а2 и Ь2 еще более узкого отрезка, содержащего в себе корень х0.
Повторяя этот процесс последовательного сужения отрезка, содержащего корень х0, т. е. повторяя применение фор
мул (*), можно найти приближенное значение бой заданной точностью*.
Чтобы найти х0 с точностью до б, следует вести вычисление о„ и Ьп до тех пор, когда впервые окажется
К-М<б илн А<|о„ —Ь„|<26.	(**)
Тогда, с точностью до б, в первом случае х0 ж ап (или х0 » Ьи), ап + &и
а во втором случае х0 «	2~” ‘
400. Отделить действительные корни следующих уравнений:
1) х* 2 — cosx —0; 2) 2х3 Т х ]-1 = 0; 3) х — ctgx = O.
* 1) Здесь возможно а„ $ Ьц. Если, как всегда а<Ь, то при р = Ь будет < bt, а2 < b2, ..., а при р = а будет аг > blt а2 > Ь2, ...
2) При повторном применении формул (*) по вторую из них (формулу
касательных) всегда подставляется новая граница Ьи, вычисленная по этой второй формуле.
— 145 —
и при одной и той же
Черт. 76
Решение. Чтобы отделить действительные корни данного уравнения, т. е. чтобы каждый из них заключить внутри особого небольшого отрезка, воспользуемся графическим методом.
1)	Преобразуем данное уравнение к виду x2 = cosx и построим кривые д/ = х2 и t/ = cosx, в одних и тех же координатных осях цинице масштаба (черт. 76).
Число точек пересечения этих кривых равно числу действительных корней данного уравнения, а их абсциссы являются этими корнями.
Согласно этому положению из чертежа находим: данное трансцендентное уравнение х2—-cosx = 0 имеет два действительных корня, один из которых хг содержится на отрезке [ —1; —0,8], а другой ха на отрезке [0,8; 1].
2)	Преобразуя уравнение 2х3 + х4-1=0 к виду 2х3 = — х— 1 и построив кривые у — 2ха и у— —х—\ в одних координатных осях (черт. 77), заключаем: данное алгебраическое уравнение имеет только один действительный корень, содержащийся на отрезке [ — 0,6; —0,5].
3)	Приводим уравнение х—ctgx = 0 к виду x = ctgx и построим кривые у = х и y = ctgx (черт. 78). Котангенсоида имеет
бесчисленное множество бесконечных ветвей, каждая из которых пересекает прямую у = Х. Поэтому данное уравнение имеет бесчисленное множество действительных корней. Наименьший положительный корень х, этого уравнения содержится на отрезке [0,8; 0,9].
^-146 —
401. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения
х3 — х—0,2 = 0.
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду х5 = х + 0,2 и построив кривые z/ = x5 и у = х + 0,2 в одних координатных осях (черт. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,Ц.
Далее вычислим приближенное значение корня с заданной точностью, пользуясь методом хорд и касательных, т. е. применяя формулы (*), сужающие отрезок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять эти формулы, следует убедиться в том, что функция /(х) = х5—х—0,2 и найденный
отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а)	значения функции f(x) на концах отрезка имеют разные знаки и что
б)	первая и вторая производные от функции на этом отрезке сохраняют каждая свой знак:
а)	/(1) = —0,2<0; /(1,1) = 0,31051 >0;
б)	/'(х) = 5х4-1>0 и /"(х) = 20х3>0
для всех значений х на отрезке [1; 1,1].
Так как f(x) имеет тот же знак, что и /”(х) при х = 1,1, то, обозначив концы отрезка а= 1, Ь = 1,1 = 0 и применяя формулы (*), получим:
_ . (1.1 —1)/(1)
1	7(1.1)—1(1)
.	0,1-0,2
1	0,51051 —
1,039;
7(1,1)	, .	0,31051
7'(1,1)~ 1,1	6,3205 “
1,051.
К полученным новым границам а, и Ьг более узкого отрезка, содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):
W4S =1 039 + "•"ХГ -> -04469;
Ь, = Ь,-^=1,051-в=<-04487.
Длина полученного отрезка [а2, й2] меньше 26, но больше 6: 0,0001 <| о2 — М = 0,00018<0,0002.
— 147
Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня данного уравнения с точностью до 0,0001 будет
х0 ж a'J4>~ = 1,0448.
402. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный корень уравнения 2 — х — lgx = 0.
Решение. Чтобы отделить иско-\	мый корень, преобразуем уравнение
у" х_________— к виду lgx = 2 — х и построим кривые
y = lgx И у = 2 — х (черт. 80). По чер-тежу определяем, что искомый корень ---------— содержится внутри отрезка (1,6; 1,8].
/	\	Для проверки условий, соблюде-
I	ние которых необходимо при пользо-'
Черт 80	вании методом хорд и касательных, вы-
числяем значения функции f(x) = 2 — — х — 1gх на концах найденного отрезка и находим производные [' (х) и
f(l,6) = 2 — 1,6 —0,2041 =0,1959>0;
/(1,8) = 2 — 1,8 — 0,2553 = — 0,0553<0; f'(x)=-l-|lge; f"(x) = llge;
Д(х)<0, f"(x)>0 на всем отрезке [1,6; 1,8].
Убедившись, что на концах отрезка функция /(х) имеет разные знаки и что на всем этом отрезке производные Д(х) и f' (х) сохраняют каждая свой знак, обозначаем концы отрезка: а = 1,6 = 0; Ь= 1,8 и применяем уточняющие формулы (*):
°i=	1,6 + 0,1559= 1,7559;
/>. = 1,6- Дттд = 1,6 + 0,1540 = 1,7540.
1	1, (1,6)
Повторно применяем формулы (*) до тех пор, пока не получим отрезок [Ьп, а„], длина которого будет удовлетворять одному из условий (**):
п 7559 U'7540-1,7^59) f (1,7559)
0,- 1,7559	(1,7540)— Д 1.7559)	4/5558,
ь.='.7^0-^0,-1,75557;
а3= 1,7555816; b3= 1,7555807.
Здесь длина отрезка [Ь3, а3] менее 0,000001; а3—Ь3 = = 0,0000009. Поэтому искомое приближенное значение корня данного уравнения с точностью до 0,000001
х0=&&8 = 1,755581.
— 148 -
В задачах 403—406 определить число действительных корней уравнения и вычислить наибольший из них с точностью до 0,01. 403. х8— 9х —5 = 0.	404. х4—х-10 = 0.
405. х— sin2x = 0.	406. х — 2 4-ех = 0.
В задачах 407—410 найти приближенные значения действительных корней уравнения с точностью до 0,01.
407. х3— 6х + 3 = 0.	408. х4 + 10х —100 = 0.
409. (х—I)2-2 sin х = 0.	410. ех — 2(1 — х)2 = 0.
§11. Кривизна плоской кривой
Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y = f(x) или уравнениями х = <р(/), y—ty(t), то ее кривизна К в любой точке определяется формулой
1У" I . I-Ч/ —У*1
в отдельных
Черт. 81
К—--------Т---------7.
114-(у')2]2 (*2+№)2 где х, х, у, у — первая и вторая производные от х и у по параметру t.
Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует отклонение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю-, у других линий кривизна может равняться нулю только точках. Кривизна окружности радиуса R всю-1 оу равна -r .
Величина R, обратная кривизне кривой в некоторой ее точке, R — ~ , называется радиусом кривизны кривой в этой точке.
Кругом кривизны кривой в ее точке М называется окружность с радиусом, равным радиусу кривизны кривой в точке М, центр которой С лежит на нормали к кривой в точке М со стороны ее вогнутости (черт. 81).
Координаты (X, Y) центра кривизны кривизны) кривой в ее точке М (х, у) определяются формулами
v	Х24-У2		l-L(o-)2 ,
Х=х~:.-.: у=х—,
ху—ух
(1)
(центра круга
У^у-4
х2 + У2 '	, 1+(Л*
....•	у" ху—ух
(2)
— 149
Геометрическое место центров кривизны С(Х, У) линии называется эволютой этой линии. Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
411. Найти кривизну кривой: 1) х = /2, z/ = 2/3 в точке, где /=1; 2) i/ = cos2x в точке, где х = -^-.
Решение. 1) Находим производные x = 2i, х = 2, z/ = 6/2, у =12/, вычисляем их значения в точке, где / = 1:
х = 2, х = 2, у = 6, t/=12
и, подставляя в формулу (1), получим
„ | ху — ух |  2-12 — G-2 	3
Л	~ 20 Pio ‘
(х2+у2)3	(22 + 62)2
2) Из данного уравнения находим первую и вторую производные от у по х:
у' — — 2 sin 2х, у" = — 4 cos 2х,
вычисляем их значения в данной точке:	У" (у) =
и, подставляя в формулу (1), получим /( =—
[!+(!/' )21Т
412. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса x = acos/, y = bsint.
Решение. Найдем производные х =—a sin /, х——acos/, y = bcost, у——b sin / и определим радиус кривизны эллипса в любой его точке:
R(t)
1
K(t)
3	3
(х2 + t/2) 2 _ (fl2 sill2 fq-Ь2 cos2 <) 2
77.	ab
\xy — yx[
Для вершин эллипса, лежащих на его оси 2а, параметр / равен 0 или л. Поэтому радиус кривизны эллипса в этих вершинах R (0) = R (л) = -у .
В двух других вершинах эллипса, лежащих на оси 2Ь, .л , Зл ~
t=~2 или	В этих веРшинах радиус кривизны эллипса
Чт) = «(¥)=?•
413. Найти координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
— 150 —
1) у = 4х—х2 в ее вершине;
2) x = t — sin/, у=\— cos/ в точке, где / = у.
Решение. 1) Данное уравнение определяет параболу, ось которой параллельна оси Оу. Найдем ее вершину как точку, где касательная параллельна оси Ох, т. е. где у' = 0:
у' = 4 —2х; у' = 0 при х = 2; у(2) = 4.
Далее по формулам (2) находим координаты центра кривизны С данной параболы в ее вершине (2; 4)
Л—X------уГ— у — 2, г — у-\-----= у
и строим параболу и круг кривизны в ее вершине (черт. 82).
Черт. 82
2) Находим производные 1=1—cos/, x = sin/, y = sin/, y = cos/, их значения при / = у:
и по формулам (2) координаты центра кривизны
v х2 + у2 • л .	, х24-у2 •	,
Х = х—- ~у у =	1; Y = y + -—~х = — 1.
ху—ух	ху — ух
Затем строим данную циклоиду, ее точку А ^у — Г, 1), где /--у , найденный центр кривизны С^у+1; — 1) и круг кривизны (черт. 83).
414.	В каких точках параболы у = ]/2х2 радиус кривизны равен единице?
Решение. Находим производные у' = 2]/г2х, у" = 2]/2 и по формуле (1) радиус кривизны параболы в любой ее точке с абсциссой х:
3
SWJ1±"£.
2 / 2
— 151 —
Полагая /?(х)=1, получим абсциссы искомых точек
2 |/‘2 = (Ц-8л-2)т; (2K1)V= 1+8х2; 8х2 = 1; х = ±—
415.	В какой точке кривая у ~ех имеет наибольшую кривизну? Решение. Находим производные у‘ — у" — ех и кривизну данной кривой в любой точке:
/<(х) = —
(Н-е2Ж)2
Далее ищем наибольшее значение функции /<(х), которая определена и непрерывна на всей числовой оси:
/(' (х) = —(1 ~-ер ; К’ (х) = О при 1 - 2е2Х = О,
(1+е2*)2
т. е. в единственной точке х0=—Определяя знаки К'(х) слева и справа от этой критической точки: /<' (— 10)>>0, К' (0)<0, устанавливаем, что она является точкой максимума функции К (х). Поскольку х0 есть единственная точка экстремума непрерывной функции К(х) во всем интервале (— оо, +оо), то в этой точке она достигает и своего наибольшего значения. Следова-/ In 2
тельно, искомая точка есть I---\	1. (Ордината этой точ-
ки вычислена из данного уравнения кривой по известной ее абсциссе.)
416.	Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее эволюту:
1) х2 —2(1 — у)\ 2) x = acost, у— bsmt.
Решение. 1) Из данного уравнения параболы находим производные: у'— — х, у" = — 1 и по формулам (2) находим координаты любой точки на ее эволюте:
v l+(£/ )Z г 1+*2/	\	( v ч
Х—х— -™’-у =х---------гт<-А')-	Х=—х3,
Y — u 4-	1 X2 14-Х2.
г -у + у- — 1	2^-1’	Ч
Это параметрические уравнения эволюты. Исключая из них параметр х, получим 27Л'2 = —8У3 — уравнение полукубической параболы. Данная парабола и найденная ее эволюта изображены на черт. 84.
2) Из уравнений эллипса найдем производные х——asin/, х= — a cost, y = bcos(, у——bsmt и по формулам (2) получим,
— 1Ь2 —
после упрощений, параметрические уравнения эволюты эллипса
Х = -—-cos3/, Y=—^-sin3/, где с2 = ci2 — b2.
Эллипс и его эволюта построены на черт. 85.
Черт. 84
Найти радиус кривизны кривой:
417.	х«/ = 4 в точке (2; 2) и в точке, где х = 8.
418.	у=е~*г в точке пересечения с осью Оу.
419.	x = a(t— sin/), у = а(\ — cos/) в точке, где /==л.
420.	x = acos3/, z/ = nsin3/ в любой ее точке.
Найти координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
421.	3// = х3 в точке, где х- —1.
422.	у3 х2 в точке, где у — 1.
423.	t/ = ln х в точке пересечения с осью Ох.
424.	у = ек в точке пересечения с осью Оу.
Найти точки кривых с наименьшим радиусом кривизны:
425.	у = 1пх. 426. V х + 1^ y=\f а.
Найти уравнение эволюты крнвой и построить кривую и ее эволюту:
427.	у3 — 2х = 0. 428. х? — у2==а2.
429. х = a (cos / + / sin /), у — a (sin / — /cos/).
ГЛАВА IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования
Отыскание функции F (х) по известному ее дифференциалу dF (х) — f(x)dx [или по известной ее производной F' (х) = f (х)\, т. е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F (х) называется первообразной функцией от функции /W-
Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым: если F (л) есть первообразная от f(x), т. е. если F'(x) = = f(x), то и F(x) + C, где С — произвольная постоянная, есть также первообразная от f(x), ибо [F (х) + С\'= F'(х) = f (х).
Общее выражение F(x)-\-C совокупности всех первообразных от функции /(л) называется неопределенным интегралом ст этой функции и обозначается знаком
f (х) dx — F (х) 4- С, если d[F (x) + C] = f(x)dx.
Геометрически, в системе координат хОу, графики всех первообразных функций от данной функции f(x) представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра С, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Су (черт. 86).
-— 1и4 —
Свойства неопределенного интеграла.
I.	Q f (х) dxj = f (х) или d f (х) dx = f (х) dx.
II.	у F' (x)dx = F (х) + С или dF (х) = F (х) + С.
III.	§af(x)dx = a ^f(x)dx, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
IV.	J [/\ (х) + f2 (х) — f3 (х)1 dx = J (x) dx + J f2 (x) dx — J f3 (x) dx,
T. e. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых.
Основные формулы интегрирования:
1.	J uadu = ~qrf + C. а=/= — 1.
2.	J и-1 du = J = J ~ dx — = ln|u|-f-C.
3.	f attdu = ~ + C-, ^eudu — = eu + C.
4.	J sin и du = — cos и + C.
5.	I cos ttdu = sin и + C.
7. j cosec2 и du = — ctg и-FC.
a 0 du 1	„ . _ и , ~
8- \ ~i~,—5 = — arctg—PC.
J n2-pa2 a b a 1
du
u2 — Й2
1
‘la
«« C du	. и .
10. I -r-	= arc sin—-C.
J Ka2—u2 a
— In | и + Vu? + a| + C.
6. sec2 и du = tg и 4- C.
В этих формулах a — постоянная, и — независимая переменная или любая (дифференцируемая) функция от независимой переменной. Например:
—	J
Интеграл Л= \ V^xdx= I х 2 dx представляет формулу 1 при
и = х, а — -^-. Согласно этой формуле x‘z 4-С=-д-р х34-С.
Интеграл /2=^3*dx представляет формулу 3 при и = х, 3*
а = 3. Согласно этой формуле 72==й7з_гС.
С dt
Интеграл = представляет формулу 8 при u — t,
а = ]/3. По этой формуле /3==-p=-.arCtgС.
— 155 —
Интеграл /4
а = —5. По этой формуле 74 = In |<р 4-}Лр2 —514-С.
Интеграл 16 = f -^-= dx = f dx = С d [	пРВДстав-
у 2 5 представляет формулу 11 при « = <р,
ляет формулу 2 при u = x2-f-7, так как (х2 + 7)'= 2х. По этой формуле /5 = In (х24-7)4-С. Здесь опущен знак абсолютной величины, ибо всегда х24-7>>0.
Вообще, в формулах 2, 9, 11 следует писать знак абсолютной величины только в тех случаях, когда логарифмируемое
выражение может иметь отрицательные значения.
Интеграл f6 = j 5 sin 5Z dt = sin 5td (5t) представляет формулу 4 при и = 51. Поэтому /в = —cos 5/ -f- С.
Интеграл /7 = J е’|п«> cos <р dtp = е’*п<М sin ср, так как cos tp dtp = = d sin <р. По формуле 3 при u = sin<p получим: /7 = е51"* + С.
Интеграл 7а = \	= J /ехр_ i » так как exdx = dex. По
1 I еХ___1 I
формуле 9 при и = ех, а=1, получим /я=-^- In - + С.
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, ибо, как было упомянуто, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.
В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этой формулы.
Во всех других случаях задача интегрирования состоит в том, чтобы путем подходящих преобразований привести данный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирования (если это возможно).
430. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
2> 3> 5>
Решение: 1)	—J x-8dx = ^4-C = C—7^2, по фор-
муле 1, при и = х, а~— 3.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции и убеждаемся, что он равен подынтегральному выражению:
у(х 2)' dx = x~3dx = ^3.
d (С—4-2
2) Jp==L= = arc sin pL-|-C, по формуле 10, при и = х, а = ^2.
— 156 —
Проверка, d ^arc sin
arc sin
. dx
.-.dx
V 2—Xs ‘
по формуле 3, при u = t.
a= 15.
Проверка, d
4) |/ЯИ^==|(у+1)М(1/+1) = -| (*/+l)T + C =
= у K(f/ + I)3 + С, по формуле 1, при u=y-\-\, a = y, так как d(y + \) = dy.
Проверка, d	1)3 + с] = y
5) C_*L_ = Lf_^_ = 1. _L^-in J 2x2 —6 2J x3—3	2 2 /3
свойству III и по формуле 9, при u = x, n = /3.
Проверка.
15* jnT5
Дн15'1п15Л=15'Л.
In 15
-|(z/+ I)3 dy = Vy7\-\dy.
согласно
’ (ln|x-K’3|-
-In
— In I x + j/31)' dx = -
4
dx
2(x2—3)
Здесь для нахождения производных (In | х —/3|)' H(ln|x-f-+ /3"[)' применена формула (ln|u|)' = —.
431. Найти интегралы:
°№;	М;	3) jeos^dq,;
4) J е 3 с/х;	5) J sin (ax-j-b)dx;	6) J 5x^4Jx.
Решение. 1)	f/^= = T^=fx 3 dx = -T1.-- xs -f-C =
J l/5x У 5J	/5 2
3 з z—
= -i |/ x3-f-C, согласно свойству Ш и по формуле 1, при
2 V 5
1 и=х, а = — у .
С dl If d(2t)	1	. 2t , „
2)	I h  = — I r—- 	~ arc sin -з==+ С,	согласно
' J /З-4/s 2 J /З—(2/)2 2 F3
свойству III и по формуле 10, при u = 2t, a = j/3.
— 157 —
3)	Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель 3 под знак интеграла (согласно свойству III), затем под знак дифференциала:
С cos Зср dcp = 4 С cos 3<p d (Зф) = 4- sin Зф 4- С,
V	б J	'J
по формуле 5, при и = 3ф.
4)	Умножим и разделим интеграл на —2 и внесем делитель —2 под знаки интеграла и дифференциала:
.	2 dx =—	2 d^—т) =	2 +С,
по формуле 3, при и = —
5)	Умножая и деля на а и замечая, что adx = d(ax-\-b), получим
С	1 С	1
\ sin (ах + b) dx = — \ sin (ах + b)d (ах + Ь) =   cos (ах 4- Ь) + С, по формуле 4, при и = ах + Ь.
6)	Умножая и деля на 5, получим:
С dx = ~ С - у -dx —4-1п | 5x4-4 | + С, J 5x-f-4	5 J 5*4-4	5	1	1	’
по формуле 2, при и = 5*4-4; и' = 5. Этот интеграл можно найти иначе:
f ‘ dx = 4- f —Ц-dx = 4- In I x4--| 14-C
I 5*4-4	5 1	,4	5	5 1
J J*+3-4 по формуле 2, при u = x + ~§, u'=\.
Полученные результаты оба правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
432.	Найти интегралы
1)	^(3 —2x)7dx; 2) sec2 (tn — пх) dx’, 3) ^1§фЛф.
Решение. 1) Умножаем и делим на —2, вносим множитель —2 под знак интеграла, согласно свойству III, и заменяя —2dx через d(3 —2х), что одно и то же, получим: f (3 - 2х)7 dx = — 1 f (3 - 2х)7 (—2dx) = — 1 С (3 - 2x)7d(3—2х)= J	J _ 1 (3~2х)й , г J
~	2 '	8	'
по формуле 1, при и = 3 — 2х, а = 7.
2)	Умножая и деля на —п и используя равенство —ndx = = d(m — пх), найдем:
С sec2 (т — пх) dx =-- f sec2 (tn — пх) • (—ndx) =
J 1 p	J	J
= — — i sec2 (m — nx) d (m — nx) — — — tg(m—nx)-±C, по формуле 6, при u = m— nx.
— 158 —
3)	Заменяя tg <р через , получим:
ftg<pd<p=C ^dq>=-f=^Ap = -C^₽
J ° J coscp ‘ J cos<p r J cos <p
= — In | coscp 14-C,
по формуле 2, при u = cos<p (u'~—sintp, du = — sin <p dtp).
Полезно запомнить словесное выражение формулы 2: интеграл от дроби, числитель которой является дифференциалом знаменателя, равен логарифму абсолютной величины .знаменателя.
Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
(Для сокращения записей в ответах к задачам этой главы произвольная постоянная С опущена.)
433. (	। x4 dx.	434.	। x/t^dt.
435. (	' diL 1 3y2'	436. 1	1 x + 3
437. 1	(a—5)8da.	438. 1	3 dx— ) x24-9’
439. |	Г* dv	440. |	Г dZ
	1 у V24-7		1 2z2—4 ‘
441. |	" dx	442.	j" sin ~*~dx-
	I /4 —x2		
443. ।	i cosec2 2<p dtp.	444. ।	je4Xdx.
445. |	1 52' ’	446. j	' dx 1 2x4*5
447. 1	" dx	448. ^ctgxdx. »J	
	! (3x4-2)3‘		
§ 2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые
Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству IV, можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.
Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме более простых интегралов.
449. Найти интегралы:
1) J(3x2-2x-j-5)dx; 2)J — ~^dx; 3) J(14-e*)adx;
4) J dx< 5) J jirp dx’ 6) J Ф d(f-
— 159 —
Решение. 1) Интегрируя-каждое слагаемое отдельно, получим:
(Зх2 — 2х 4- 5) dx = J Зх2 dx — 2х dx 4- J 5dx = 3 J х2 dx —
—2 fxdx + 5 jdx = 3 y-2-j + 5x + C = x3-x2 + 5x + C, по формуле 1.
2) Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель. Затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
С - Л*"1 dx = 2 Г —С x~2dx—[x~sdx — 2 In I x j——+оЦ + С, J x3	J x 1 J	J	1 1 x 1 2x2 '	’
no формулам 2, I.
/о)' Возводим в квадрат и, интегрируя каждое слагаемое, получим
J (1 +ex)2dx= J (1 + 2ex + e2X)dx =
=J dx-f-2§ ех dx-L~§ е2Х d (2х) = х + 2ех + ~ е!х + С.
4)	Разложим подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, затем интегрируем по формулам 2 и 9:
f?£+?jx= f -?L*:+3f-^- = ln |х2-5Ц—In
J х2-5 J x2-5 J x2-5	1	| Г2/5	r+K5|
5)	Деля числитель на знаменатель, исключим из неправильной подынтегральной дроби целую часть*, затем интегрируем: J = J 0	= ^T = x-arctgx + C.
6)	Пользуясь тригонометрической формулой 1 4- tg2 а = sec2 а, имеем:
tg2 <рЛр — (sec2q>—l)d<p = J sec2 гр dtp — dq> = tg <р — ф4-С.
Найти	интегралы:		
450. $	(2 /х—/2x4-5) dx.	451. '	\ (sin <р—cos ф)2 dtp.
452. J	4±-Uc**.	453. 1	ре-^+',,х.
	X2— 1		)	/х
454 S	-^..dx**. х2 -|-6	455. 1	f(tgx4-ctgx)2dx.
456. j	(ex~e~xydx.	457. (	? J^dx*. | х4-2
* Алгебраическая рациональная дробь называется неправильной, если степень многочлена-числителя выше или равна степени многочлена-знаменателя.
** Здесь, как в решении 449(5), из подынтегральной неправильной дроби нужно исключить целую часть.
— 160 —
§ 3.	Интегрирование посредством замены переменной
Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла j f(x)dx можно заменить переменную х новой переменной t, связанной с х подходящей формулой х = <р(/). Определив из этой формулы Лх = ц>' (t)dt и подставляя, получим
J f (х) dx = J f [ф (0] ф' (/) dt = J F (t) dt.
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то преобразовав результат к переменной х, пользуясь исходной формулой х = ф(/), получим искомое выражение заданного интеграла.
г* dx
Например, чтобы найти интеграл J = I -—, положим х = /2.
Тогда dx — 2tdt и
•'=И1Д=2!Чтт!‘"=Д('-Д-.)‘"=2Р'-
—2	=	2 1п(<+1) + С = 2 ]Лх—2!п(/7+1) + С.
Или иначе: пусть t = 1	Отсюда х = (/ — I)2, dx — 2(l— I)dtu
7 =	J(l—1)^ = 2 J dt—2 J y = 2/-21n/ + C =
= 2(1 + /%) —2 In (1 +Kx) + C.
Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба они правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно брать как формулу х = ф(?), выражающую х через t, так и формулу ^ = ф(х), выражающую t через х.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов интегралов даются ниже.
458.	Найти интегралы:
6 № 2201
— 161 —
Решение. 1) Полагаем х2 = /; дифференцируем 2xdx = dt, подставляем в подынтегральное выражение, находим полученный новый интеграл н возвращаемся к заданной переменной х".
С 2х dx Г dt 1	t । r, 1	. x’L _
I -5-^5 = I , t = ^=arc tg-7=4-6 = == arc tg4~ C.
J x* + 3 J /2-1-3 y< 3	6 уЛ 3 1 Y 3	6 у 3 1
2)	Положим 14-2cosx = /. Тогда — 2 sin xdx = dt и
г sinx^ = _ 1 Г= _ 1 [ t~~*dt = — 1 -21 T + C =
J	14- 2cosx	2 J	t 2 J	2
— C — V t — C — У1 4- 2 cos x.
3)	Беря подстановку x24-a = z, имеем 2xdx = dz и C xdx 1 C dt 1 f -4 .	1 3	„
^=-2-r2'+c=
=T »ф’+«),+с-
4)	Подстановка 14-1пх = и дает ~ = dv и
J V~i + lnx^==Jy-^= +С = -||/"(1 + ln x)34-c-
5)	Берем подстановку еу + 1 = /2, дифференцируем еу dy = 2t dt, , 2tdt 2tdt
определяем dy = -^y = <я_у-, подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной у:
г dy f 2tdt _9 г dt _9 1,1-1 г
J	/(Р-1)	Р-1 ~2' 2 1П/4- 1 + с~
6)	Полагая t = sin <р, получим d/ = cosq)dq), f-T=^^=f-^=tg<P4-C=^4-C=-TL=^4-C.
J	j cos2<p	cos<p ‘	yi—(2 
Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
459.	J . Подстановка t = х3.
460.	С • Подстановка z = 3 4- 4ех.
461.	Jtg3<pd<p. Подстановка <p = arctg/_
462.	( х3 У а — х2 dx. Подстановка У а — х2 = г.
— 162 —
Г*  Y
463.	\ тг—ой ^х- Подстановка x — 2 = t.
J Л)
464.	$ х^а — xdx. Подстановка а — x— t2.
465*. f—dL— . Подстановка х = ~.
Jxl^l+x2	t
С dx
466*. I  9 ~ • Подстановка tgx = z.
-J S1 П Z A
Найти интегралы:
C x dx
e2X dx
ex—Г * cos x dx
1 + 2 sin2*
473*. V .
J /l + e*
468. f ^xd*
J 1+Kx 470. f-^-.
J x in x 472 f £’n dx
J Y2 + cos2* 474* f Vх dx
J1 + У*3 '
§ 4.	Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d (uv) = и dv-j- vdu интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:
^udv = uv—^vdu.	(»)
По этой формуле отыскание интеграла § и dv сводится к отысканию другого интеграла §vdu. Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу f(x)dx следует подынтегральное выражение f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: и и dv; за dv всегда выбирается .такое выражение, содержащее dx, из которого посредством интегрирования можно найти v; за и в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается (например: arcsin х, arctg Зх,1пх, х3).
475. Найти интегралы:
1)	Jxcosxdx;	2) Jdx;	3) ^xarctgxdx; 
4)	Jarcsinxdx; 5) ^x2e3Xdx; 6) J e_*cos-^-dx.
Решение. 1) Положив u — x, dv = cosxdx, найдем: du = dx, v= Jcosxdx = sinx. Подставляя в формулу (*), получим
( xcosxdx = x sin x— \ sinxdx = x sin x + cosx-|-C.
6*
— 163 —
2)	Пусть u = lnx, dv = —^, тогда du = — , =	=
= § x~sdx =— Подставляя в формулу (*), найдем
Pltix ,	Inx , f 1 dx	In x 1 , r. r l-|-2hix
J х*йХ	2x2 J — 2x2 ' 7—	2*2—4x« + c -G — ~4&	
3)	Пусть u = arctg x, dv=xdx, тогда du = j , D = Jxdx== X2
= . По формуле (*), получим
/ = Jxs.rctgxdx = yarctgx—-i J j-^-dx.	(1)
Последний интеграл находим отдельно: р х2 , fl -f-х2—1 , f f ,	1	\ ,
\ т~;—u dx = \	—- dx = \ 1 —ч-7—г dx = х—arc tg х.
J 1 4-х2 J 14-х	14-х2/	&
Подставляя этот результат в равенство (1), имеем
I = у arc tg х—у + У arc tg X + С = С—у + -у- arc tg х.
dx
4)	Полагая u = arcsinx, dv = dx, найдем: du =-~^=^ ,
У 1—х2 o(dx = x. По формуле (*) получим
J = arc sin xdx = xarc sin х—Jy* d*= .	(2)
Последний интеграл найдем, преобразуя его к формуле Г.
Г ^ = -2. С (l-x2)‘4-2xdx) =
J у 1 —X- z J
= __L J (1—х2)“тd(!— хг) = — (!— х2)т.
Подставляя в равенство (2), имеем
J = х arc sin х + ]/1 — х2 4- С.
5)	Положим u = x2, dv — e3Xdx, тогда dzi = 2xdx, u= J e3Xdx — IP	1
— у \ езхd (Зх) =у езх. По формуле (*) найдем
/ = С х2езХdx = x~-e3X—4-f xe3Xdx.	(3)
3	о J
К последнему интегралу вновь применяем формулу интегрирования по частям. Положим « = х, dv = e3Xdx, тогда du = dx, v — ^e3Xdx — ^-e3X. По формуле (*) получим
J xesxdx= x3 езх—4 рзхг!х = у^Л—уе:1\
— 164 —
Подставляя в (3), имеем
/-= 4 е3х--| (е3*-± eSx)+C =	(9х2-6х + 2) + С.
Здесь понадобилось применить формулу (*) дважды. Очевидно, если бы под интегралом вместо х2 было я3, то пришлось бы эту формулу применить три раза. Вообще, для нахождения интеграла xnexdx, а также и интегралов ^x"sinxdx, ^xncosx</v (n—целое положительное число) требуется применить интегрирование по частям п раз.
6)	Пусть и = е~х, dv = cos ~ dx, тогда du = — e~xdx, v= \ cos4~dx = 2 \ cos ~d (4 ) ==2 sin 4 . По формуле (*) имеем
I = i e-xcos4dx = 2e~x sin 4 + 2 Ce~x sin 4 dx. (4) •J	J
К полученному интегралу /г снова применяем интегрирование по частям. Полагаяи = е-Х, dv = sin 4 dx, получим du = — е~х dx, u = J sin 4^ = 2 J sin 4^ ^4) == — 2cos4 .
/j = J e~x sin 4 dx = — 2e_xcos 4—2 J e_*cos4dx =
=— 2e-xcos 4—2/.
Подставляя этот результат в (4), получим уравнение с неизвестным интегралом Г.
/ = 2e~*sin4 + 2( — 2e"*cos4 —2/ J , из которого находим
5/ = 2e~*sin 4—4e~*cos 4,	I = ^e~x (sin 4—2cos
Если при отыскании /t выбрать и и dv иначе: и = sin ~ , dv = e~xdx, то получим dti = ^-cos^-dx, v = — e~x,
Ii = — e x sin -g+y J e cos-g-dx = — e sin-g-j-^/.
Подставляя /г в равенство (4), получим бесполезное тождество 1 = 2е~х sin 4 + 2 ( — е"* sin 4 + у	> 0 = 0-
Это решение показывает, что повторное интегрирование по частям может привести к исходному интегралу /. В таком случае получается или уравнение, из которого легко найти I, или, при неудачном выборе и и dv в повторном интегрировании, бесполезное тождество.
— 165 —
Найти интегралы: 476. S х sin xdx.
478. J ln(x")dx.
480. J х sec2 х dx. 482. J arcctg tdt.
484. eax sin bx dx.
48fi* Cln X dx
’ J(*+l)2 '
477. i	l х2 In xdx.
479. (	। (x2 4- l)e~2Xdx.
481. j	! xln(x—l)dx.
483. 1	J In (1 -f-x2)dx.
485*. (	' arc sin x , | x2 dX-
487*. ।	i arctg ]/2x—Idx.
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
[ —f	dx-, f \ах2 + bx \ cdx.
J ax2 + 6x + c	J V^ax^+bx + c J
Для отыскания указанных интегралов от функций, содержащих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен ах2-|- Ьх-\-с = а ( х2ф--^ хф- =
Г/ , Ь \2 , с ft2 1 Г/	, b V ., 1
. =flLr + 2j + “4<| =аК ±FJ-
В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести к формулам интегрирования посредством преобразований, применяемых в решении следующих задач.
488. Найти интегралы:
d J 3> у
dx
x2-f-4x + 8 ’
Зх — 2 х2 + 6х+д ах>
2) С____-__8х. dx~
’ J2x2 —Зх-pl ’
.. Р 6х3 *—7х24-3х—1
J	2х —Зх2
Решение. 1) Выделив из квадратного трехчлена полный квадрат х2 + 4х4-8 = (хф-2)2Ц-4, записав d(x4-2) вместо dx и интегрируя, получим р dx J х2 4-4x4-8
— С d(x + 2)_=±	х + 2
](хф2)2ф4	2 drL ё 2
по формуле 8, при w = x4-2, а = 2.
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат 2x2-3x+l=2fxs-4x + 4-j=2 г(х-4)2 + 4—XI
=2Их-ХУ-Л1
— /66 —
з
и заменим переменную х, полагая х—Тогда получим: dx — dt,
,Г (7 — 8х) dx __ 1 Г 1— 8/ ,,
1 ~ I 2x2 —3x + I ~ 2	2_J at"
J	J * 16
Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формулам:
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим
/ = !п |	1—2 !п |х2 — 1,5х+0,51+С.
3) Выделяем полный квадрат х2 + 6х + 9 = (х + 3)2, вводим новую переменную / = х + 3; тогда получим dx = dt и
= 31n|q+lir1 + C=31n|x + 3| + j^3+С.
4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
бхз—7х2 + 3х—1 _	। 1 , х—1
2х—Зх2	ZX-t- 1 + 2л._3х2 ,
затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
6X3 2/^ Эх2*"'" dx = ~2 f-Kdx+fdx+C = —х2+х + Л.
Интеграл преобразуем к формулам 2 и 9:
= -|lnlx-|| + |
* Первый интеграл по формуле 9 при по формуле 2 при u = t2—
(х—1) dx_
2х —Зх2'~
— 167 —
Окончательно получим
J = C—x2 + % + -i- In | x—~|—'-In |x|.
489. Найти интегралы:
n f dx	2) f (3x—5)dx
’ J Кx2 —4x —з’ ’ J /9 + 6х —Зх2 *
Решение. 1) Выделив из трехчлена полный квадрат х2— — 4х—3 = (х—2)2—7, записав d(x—2) вместо dx и интегрируя, найдем
f	= f	= In lx—2 + И(х—2)2—71 + C
J /*2—4x_3 J у (x_2)2—7	1	r v	11
(по формуле 11, при u = x—2, a = — 7).
2) Выделяем из квадратного трехчлена полный квадрат 9-убх— — Зх2= —3(х2 —2х —3)= —3[(х — I)2—4] = 3[4 — (х — I)2] и вводим новую временную z = x — 1. Тогда получим: dx = dz,
I = С = -4= С  1г~2-- dz.
.1 V 9 + 6х — Зх2 V 3,1 V 4 — z2
Разложив полученный интеграл на два интеграла,
КЗ J /4—z2 / 3.1 /4—г2 1 /3 2
находим каждый из них отдельно.
Первый интеграл преобразуем к формуле 1, умножая и деля его на —2 и заменяя —2zdz через d(4—z2):
Л = f	f (4	(-2гЛ)-
= —^ ^(4—z2)~T d(4—г2) = —(4—г2)т.
Второй интеграл находим по формуле 10, при u = z, а = 2:
.	С dz	z
I= I 	= arcsin -5-.
2 J /4-z2	2
Подставляя найденные интегралы и /2 и возвращаясь к переменной х, получим
/ = С — К3(4—г2)--= arcsin — С—]/9-|-6х—Зх2 —
уз
2	. х — 1
---arcsin —7- . /з 2
490. Посредством формулы интегрирования по частям ^udv — uv — ^vdu (§ 4) найти интегралы:
A) JVt2 + bdt и Б) Va2—t2dt.
— 168 —
Затем, пользуясь полученными результатами как формулами найти интегралы:
1) $Vx2 — 3dx; 2) $j/x2+'2x + 6dx; 3) J /3 + 4х—x2dx.
Решение. А) Полагая в формуле интегрирования по частям н=)/724-Л, dv = dt, получим du =	. v=t и
i = J* y^+bdt = t Vr+Ъ- f y=^-
Прибавив и вычтя постоянную b в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, разложим его на два интеграла:
I = tVt2 + b — l + b
Далее, перенося искомый интеграл / из правой части равенства в левую и заменяя интеграл, оставшийся в правой части равенства, по формуле 11, получим
21 = tlrir+'b + b
dt
У"^+ь’
i=^Vfi + bdt = ^Vt2+b+-^\n\t + yt2+b\+c.
Б) Пусть u = Va2—t2, dv- dt, тогда du = —dt, у а2 —/2 и по формуле интегрирования по частям
(А)
v = t
Последний интеграл разложим на два интеграла, прибавляя и вычитая постоянную а2 в числителе его подынтегральной функции:
J = t |/о^72—Л-a2 f	,
J Л2 — р откуда получим
2J = t Va2—t2 + a2 Г  ?	,
J \'а2 — t2
J — § V а2—t2dt = ^yra2—t2 4-^-arcsin	(Б)
1)	Пользуясь равенством (А) как формулой, при/=»х, b = — 3, получим
J ]/х^З dx = ~ /х2-3—In | х + /х^З | + С.
2)	Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении х2Ц-2х-г-6 = (х+ 1)а + 5, затем применяем формулу (А), полагая
— 169 —
в ней / = х+ 1, 6 = 5:
J /х2 + 2х + 6dx = J /(х+1)2 + 5d (х + 1) =
=	]/(х+1)2 + 5 + | In [х+ 1 + ]/(*+1)2 + 51 + С.
3)	Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении 3 + 4х — х2 = — (х2—4х — 3) = — [(х—2)2-7] = 7-(х—2)2 и применяя формулу (Б), при t = x—2, а2 = 7, получим
J УЗ-|-4х—x2dx = 1^7 — (х—2)2d(x—2) =
=	(х_ 2)2 4--1 arc sin х-~-±С.
Найти интегралы:		
491.	f* dx	n	dv 4Q9 1
	J x'1— x — 6 *	J x2 + 4x +29‘
493.	P	dx	494. C(t<~3)-g.. J x2 -p 3x + 4
	J 4«— 1 — 4x‘2 *	
495.	P (3x 4- 4)dx	496. C18<+2?x
	J x2 + 5x	J 14-6x + 9x2	’
497.	f x3—2x2-J-4 .	498 C- dx
	J x2+2x—3	'	J V 2 + x — x2
499.	Г dx	500
	J |zx2—2x	J У1—4x2
,501.	f (x —3) dx	502*. f -	 xdx
	J Kx2 + 6x ‘	J У1-2Х-ЗЛ2
503.	\ У x2 4-^xdx.	504.	]/ 1 — 2x — x2 dx.
§ 6, Интегрирование тригонометрических функций
Часто встречающиеся интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции следующих видов:
1. sinnxdx, соз”xdx, II. J sin"1 хcos”хdx,
III.	tg"хdx,	J ctg" xdx,
где m и n — целые положительные числа.
IV. \ sin ax cos bxdx,
sin ax sin bxdx,
J cos ax cos bxdx
можно свести к формулам интегрирования, а следовательно, и найти, руководствуясь следующими правилами:
1.	Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:
й’т2а = -^-(1—cos2a); cosau = у (1 + cos2u); slnacosw = -^-sin2u.
— 170 —
2.	Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса можно найти путем отделения от нее одного множителя и замены кофункции новой переменной.
3.	Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если тип оба четные, или по правилу 2, если т или п (или и m и п) нечетно.
4.	Интегралы вида III можно найти путем замены tgx, или соответственно, ctgx новой переменной.
5.	Интегралы вида IV можно найти путем разложения на слагаемые по формулам:
sin ах cos	= у [sin (а + Ь)х + sin (а—Ь) х],
sin ах sin bx = ~ [cos (а—Ь) х—cos (а ф- Ь) х],
cos ах cos dx = -i- [cos (а ф- 6) х ф- cos (а—b) к].
505.	Найти интегралы:
1)	Jsin23xdx; 2) Jcos4xdx; 3)Jsin5xdx;
4)	J sin4x cos2xdx; 5) J sin® &xcos3Z>xdx; 6) sin3xcos5xdx.
Решение. 1) Согласно правилу 1 имеем
У sin23xdx = у J (1 —cos6x) dx = -^ J dx—cos6x d(6x) — X 1	- £• I
= — Sltl 6x + C-
2)	Применяя правило 1, получим
У cos4 х dx = у (cos2 x)2 dx — j у (1 cos 2x)2 dx = = [У dx + У cos 2x d (2x) ф- у cos2 2x dx] .
Первые два интеграла представляют формулы, последний интеграл находим отдельно, по правилу 1:
У cos2 2хdx = у у (1 + cos 4x)dx — ~ § dx § cos 4хd (4х) = =4+rsln4x-
Z о
Подставляя в предыдущее равенство, получим
У cos4xdx = -^ ^хф-sin 2х-фу 4--i-sin4x^ ф-С”
= хф--|- sin 2х+~ sin4x + C.
— 171 —
3)	По правилу 2 отделяем от нечетной степени один множитель sin5 х — sin4 х sin х и заменяем кофункцию новой переменной, т. е. полагаем cosx = z. Тогда получим —sm xdx = dz.
§ sin5xrix = J (1—cos2x)2 sinxdx=-J (1—z2)2(—dz) =
f*	9 7^ 76
= _l (1-2z2 + z4)dz = — z + ^- — y + C =
2	1
= C — COS X4- „- COS3 X-F COS5 X.
3	о
4)	Применяя правило 3 (1), получим
J = J sin4 xcos2 xdx = § sin2 x (sin xcos x)2dx —
== 1~c°s 2* • sin^2%dx = J sin2 2xdx — J sin2 2x cos2xdx^ .
Первый интеграл находим по правилу 1:
С sin22xdx = -4 С (1 — cos4x)dx = -^ § dx—~ § cos4xd(4x) =
— ~П х— -К- sin 4х. z о
Второй интеграл находим по правилу 3 (2), полагая sin 2x = z. Тогда 2 cos 2х с/х == dz,
С sin2 2x cos 2x dx = 4- C z2 dz = = 4- sin® 2x.
J	2 J б ь
Подставляя эти результаты, имеем
/ = 4-	х—4- sin 4х — 4- sin® 2х) -фС.
5)	Согласно правилу 3(2) отделяем от нечетной степени один множитель cos® kx = cos2 kx cos kx и заменяем кофункцию новой переменной, т. е. полагаем sinftx = z. Тогда имеем kcoskxdx = — dz,
§ sin® kx cos® kxdx — § sin® kx (1 — sin2 kx) cos kx dx =
=	z®(l— z2)riz = -i-(J z«dz —Jz«dz)=-^j—J) + C =
= s'n7 kx — 4- sin® kx-\- C.
6)	Применяем правило 3(2): отделяем от одной из нечетных степеней (низшей) один множитель sin®x = sin2x sin х и заменяем cos х через z; тогда найдем: —sin xdx-dz и
sin® х cos5 х dx = (1 —cos2х) cos5 х sin хdx = —J (1 — z2)z6dz = = — J z5dz-}-J z’dz = -|z8 —4-z®4-C==-j-cos8x —4-cos®x4-C.
506.	Найти интегралы: 1) f tg4 xdx; 2) ( sin 3xcos 5xdx.
— 172 —
Решение: 1) Применяя правило 4, полагаем tgx = z, тогда А . dz х= arctg 2, dx ,
J tg4 x dx = J	dz = J z2 — 1 4- г2-~ j) dz = § z2dz — § dz-p
+ f ^I = -f -z + arctgz + C = ^-tgax-t^x + x + C.
2) Применяем правило 5; разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой, затем интегрируем:
j sin Зх cos5xdx = -^ J I sin 8x4- sin (—2x)|dx = i J sin 8x d (8x) — —yj sin2xd(2x) — ^-cos2x — i cos8x4-C.
Найти	интегралы:		
507. J	cos2 5xdx.	508. I	i cos3 xdx.
509. J	sin2 х cos2 х dx.	510. I	i sin3xcos2 xdx.
511. J	sin3 x cos3 xdx.	512. ’	i sin4xdx.
513.	1 ctg4 ydy.	514.	\ cos -x- x cos 3x dx. «J
515. J	sin 5x sin 6x dx.	516. ’	i sin at cos bt dt.
517*.(	sin 3x sin 4x sin 5xdx.	518* J	\ (tg z4-ctgz)3dz.
§ 7. Интегрирование рациональных функций
Рациональные функции всегда интегрируются в элементарных функциях.
Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется непосредственно:
j (аохп 4- О1х»-4 4- • • • 4- ап) dx ==	хп+4 4- % + • - - + апх 4- С.
С Р (х}
Интеграл от дробной рациональной функции \ y-y-^dx, гдеР(х) и Q (х) многочлены, можно найти (выразить через элементарные функции) путем разложения на слагаемые, которые всегда преобразуются к формулам интегрирования.
Неправильную рациональную дробь, у которой степень числителя выше или равна степени знаменателя, можно делением
числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.
— 173 —
Правильную рациональную дробь можно разложить на элементарные, всегда интегрируемые слагаемые дроби следующих двух видов:
A	Мх + .\
(х—а)т ’	(х24-рх+1?)" ’
где tn и п—целые положительные числа.	,
Для разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые дроби нужно:
а)	Разложить знаменатель Q (х) на простейшие действительные множители.
В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это разложение может содержать линейные и квадратные множители:
Q (х) = а0 (х — а)т ... (х — Ь)к • (х2 4- рх + q)" .. . (х2 4- сх 4- d)r.
б)	Написать схему разложения данной дроби на элементарные слагаемые дроби в следующем виде:
В (х)  Аг . А2 .	. А т____,
Q (х) х—а' (х—а)2'	' (х—а)т
I Bi . В2	 Вк . 7И]Х4--^1 ।
+ Ь "Г(х — b)2 I" • • • "*	-Г x2 + px + q 1
। М2х -|-Л'-2	. Ajnx-[-Nn	. Cix 4- C'i .
' (x24-p*4-<7)2	' (x2 4- px 4- <?)"	' xa4-cx4 d '
I Czx 4~ Da ।	 Crx-j-Dr
' (x24-cx4-rf)2 ' ' ’' ' (x24-cx4-d)/’ ’
где Al, .... Blt ... , Л/j, ....	... , Ci, ... , D,, ... — некото-
рые постоянные. В эту схему для каждого множителя в разложении знаменателя Q (х) вписывается столько элементарных слагаемых дробей, какова его кратность (т, k, п, г,...).
Знаменателями элементарных дробей являются все целые степени каждого множителя в разложении Q (х), начиная с первой степени и кончая той степенью, которую множитель имеет в разложении Q (х).
Числителями элементарных дробей служат либо постоянные Ai,A2,... либо линейные функции М1X4-Л/1, ... смотря по тому, является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной или квадратной функции.
в)	Освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства на Q (х).
г)	Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного тождества. (Число этих уравнений должно быть равно числу неизвестных 41, ..., В1г ... , М1г ... , N1 ... ,Clt ... , Dlt ...).
д)	Решить систему и подставить найденные значения Alt ... , Bt, ... , Mlf ... , Nlt ... в схему разложения.
После разложения на элементарные слагаемые дроби интегрирование всякой правильной рациональной дроби сводится
— 174 —
к нахождению интегралов вида
. _С dx	, __С Mx-}-N ,
И - ~ J (х2 + рх + q)n Х‘
Интеграл Ц при т/= I представляет формулу 1:
j <7^4= = J <х —о (х-о) = |,i:r+7l + с.
а при т=1 представляет формулу 2:
Интеграл /2 при п=1 можно найти по правилу, указанному в § 5, а при п = 2, 3, 4, ... путем преобразований, показанных в решении следующей задачи.
519.	Найти интегралы:
|)С	2)С"±^±1 dx;
’ J xJ j-4x2-j-4x	’ J x4-}-3x2
r x3 + 4x2—2x+l . дх Г (x3 —3)dx
J x4 + x a ' J x4+10x2 + 25 
Решение. 1) Разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на элементарные слагаемые дроби. Согласно указанному правилу:
а)	разложим знаменатель на простейшие действительные множители: х34- 4х2 4- 4х = х (х‘г + 4х + 4) = х (х4- 2)2;
б)	напишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые дроби
Зх2 + 8 _ А	В С
х(х + 2)2~ х+х + 2 + (х+2)2’
в)	освободимся от знаменателей, умножая обе части равенства на х(х4-2)2:
Зх2 4- 8 = А (х 4- 2)2 4- Вх (х 4- 2) 4- Сх = = (Л4-й)х24-(4Л4-2В 4-0*4-44;
г)	составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного тождества Л4-В==3, 444-2В4-С = 0, 44 = 8;
д)	решим эту систему: 4 = 2, В—\, С = —10 и подставим найденные значения постоянных А, В, С в схему разложения
Зх2 + 8 _2Х 1	10
х(х4-2)2~х > х4-2	(х + 2)2'
Подставляя под знак интеграла полученную сумму элементарных дробей и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем
О (3x24-8)dx __ Г Г 2	1 ю 1,
J х84-4х24-4х J[x+x + 2 (x-|-2)2J йХ ~
=2Ут+Ь-Д-|^^+2)’1«(«+2>-
= 21п|х|4-1п|х4-2|4-^4-С.
— 175 —
2) Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
z	2г»4-6хз_|-1	,	1
х44-3х2	х^ + Зх2'
Разложим полученную в результате правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:
а) х44-3х2 = х2(х24-3);
1	_Л । В . Сх -р D _
' х2(х24-3) ~Т + х2 *" х^рЗ ’
в)	1= Лх(х2 + 3)4-В(х24-3)4-(Сх4-£>)х2 = = (Л + С) х34-(В + Г>) х24~ЗЛх4-ЗВ;
г)	Л4-С = 0; В4-£> = 0; ЗЛ=0; ЗВ-1;
д)	А = 0; в = 1; с=°; о=—4; о	«д
1 1 1 х2(х2-рЗ)~ Зх2 3(х24-3)’
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим Г2х6-рбх3-р1 , С /о ,	1	\ .
J х4-рЗх2 dX~ J (2Х I" x4p3x2j dX~
= S [2Л + зГ2^':Г(х24-3)] dx = 2 § К^ + 'зУ Х idx~
—|	= Л----------U-arctg-£= + C.
3 J х2-рЗ Зх з/з 6 Кз
3) Разложим подынтегральную правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:
а) х44-х = х(х34- 1) = х(х4-1) (х2—х4- 1)1 х3-р4х2—2x4-1  А , В । Сх~рD ' х(х-р1)(х2—х-р 1)	х ' x-pl ' х2—х-р 1 ’
в)	х34-4х2—2x4- 1 = А (х3-р 1)4-Вх(х2—х4- 1)4-4-(Сх4-£))(х2 4-х) = (Л 4-В 4-Q х3 4-(С4-В> — В) х2 4-(В 4-О)х-р Л;
г)	Л 4- В 4-С - Г, C-x-D — В = 4; B + D = — 2; Л = 1;
д)	Л-1; В = —2; С = 2; £> = 0;
х34-4х2 —2x4-1 _ J___2 2х
Х44-Х	X x-pl ' х2 — Х-р1‘
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим
Гх. + 4^--2> + 1	2f
J х44-х	J х J x-pl
х dx х2—х-рТ
— In | х [—21 п | х 4-11 4-2/х.
— 176 —
Последний интеграл 1Х находим отдельно, по правилу, указанному в § 5. Выделяем полный квадрат в знаменателе х2—х-|-
=	—-у] +4- и полагаем x--^- = t. Тогда dx = dt,
1 1	1/2	1 1\ I 1	2x—1
4- -7Г-.arc tg -7^- = 77 In (x2 — x + 1) + -7— arc tg —r — /3 /з 2 v	'	yf 2,	/3
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
,	, | jc | (ха—x-f-1) ,	2	. 2х— 1 , _
/ = 1 п' 1; ,	+ ~г= arctg —-j-С.
х-Н)2 /з у/з
4) Разложим подынтегральную дробь на элементарные слагаемые дроби:
а) х1 + Юх2 + 25 = (х2 5)2;
х*—3  Ax-j-B Cx-j-D
°) (х2+5)2 ~ ~*2 + 5 1" (х24-5)2 ’
в) л3—3 = (Лх4-В)(х24-5)4-Сх4-D —
= Лх3 + Вх24-(бЛ 4-Qa'4~(5B 4-jD);
г) /4 = 1; В = 0; 5Л+С = 0; 5В4-£) = —3;
д)Л = 1; В = 0; С= — 5; D = —3;
х3 — 3   х 5х + 3 (х^+Щ2 ~ х2!7?)—'(х^Гб)2 '
Интегрируя, имеем
,	Р х3—3 л , Р х dx	г р х dx о р dx
1 ~ (х2 + 5р аХ ~ J х24-5 J (х2+5)2“d J (х24-5)2 *
Первый интеграл преобразуем к формуле 2:
Р xdx __ 1 P2xdx __ 1 С<^(х24-5)_ 1 .	.
J х24-5	2 J х24-5	2 J х24-5 yin(x 4-э)-
Второй интеграл преобразуем к формуле 1:
j <373? - 4 У +5г*«+5» - 4	=
1
2 (х2+5) •
В третьем интеграле заменяем переменную х = j/5 tg г; тогда dx = V5 sec2 2 dz,
С dx Р sec2 г dz 1 С > j \ z~9 .	\	—он—г— = —г7 \ cos- 2 dz —
J (х2+5)2 J 25 sec4 z 5^5 J
= —( (1 4- COS 2z) dz = —f2 -4- — sin 2z^ —
10 j/5 J V	7	10|/5\*^2	2;~
1	/	. x , x /5 \
= —I arctg —r~ 4- -г--г j.
10 /5 v b /5 rx- + 5/
— /77 -
Окончательно имеем:
i 1 । z о 	<	5	3	/ l х , хУ'б') . „
I =-к-1п (х24-5) 4-о- „ , е ----( arc tc—4- „ , с Н-С =
2	'	'	2(х24-5) Ю 1<5 \	& /5 х2 4-5/
1 ।	/ п । г-k  25 Зх	3	, х .
= -и- In (х24- 5)4-	, с>------=— arc tcr—^= + С.
2 v ' 1 10(х24-5) ю уз &К5
Найти интегралы:
520. (	- dx	521. 1	Г“ dx
	1 Xй—х2'		) *3 + х ‘
522. 1	xdx	523. I	Г (x24-l)rft
	) х3—1 ’		] х3—3х24-3х— 1 •
524. |	* (7х —15) dx | х3—2х2 4-5х "	525. ।	Г2<3-2,4-1 . )	1-i4	•
526. 1	Г* z2 di	527.	Р х4 dx
	) z4-f-5z24-4 *		J х4— 2х24-1 ’
528*.	Р (x4-l)dt J х4 4- 4х2 -f- 4 *	529*.1	
§ 8.	Интегрирование некоторых иррациональных функций
Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции:
I.	Интеграл R (х, хл, х\ .. ,)dx, где R— рациональная функ-т, п т«
ция, а=—, р = —,...—рациональные числа, сводится к ин-П1	«а
тегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается в элементарных функциях с помощью подстановки x = tk, где k—общий знаменатель всех дробных показателей у х.
Интегралы более общего вида^£[х, (ах 4-6)“, (ох 4-. .]4х или R I х, . (cx+'d ) ’	нах°Дятся (приводятся
к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок:
 L 1k cix 4” 6 ,Ъ ax+b = tR или —= ‘ •
‘	сх 4- d
П. К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
J R (х, ]/ а2—хг) dx—подстановкой х = a sin /;
J 7?(x,‘|/ra24-x2)dx—подстановкой x = atg/;
j R (х, ]/х2—a2) dx — подстановкой х = a sec t.
— 178 —
III.	Интеграл от дифференциального бинома J хт (а bxn)pdx сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях: *
1)	когда р —целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона,
2)	когда	—целое число, — подстановкой а + Ьха~г',
3)	когда —4-р—целое число,—подстановкой a4-6x" = x"zr, где г — знаменатель дроби р.
IV.	Интеграл J ^^dx, где Рп (х) — многочлен л-й степени, v = ax2-i~bx-rc, можно найти по формуле
f	dx == (Ajx'1-' 4- А.,хпЛ„) /Й4- В f ~ ,
J V v	J V v
где At, А.,, .. . , В—постоянные, определяемые путем дифференцирования этого равенства, умножения его на v и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х.
Подобным путем можно найти и интеграл
J Вп (х) Vv dx = J “у*- dx =
= (4xxn+4 4- A2x" + ... 4- An+2) Vv 4- В f .
J V v
,, T,	(4x-|-B)dx
V.	Интеграл I -r_____= можно наити подстановкой
J (*—«) /ах2 4-6x4-с
1
x — a — —.
530. Найти интегралы:
J x-j- Y x	J	J •'
C dx	rx C 2x2— x— 5 j C	dx
4)	—^-7==; 5) I —7==- dx; 6) I--------------r__.
J x2 j/\l 4-x3)5	.] У x2— 2x	J (x—1) Г I—x2
Решение. 1) Положив x==/4, согласно правилу I, получим dx = 4tsdt и
, = L+ri 7'+Г"4'1‘" = 4|"+!<,,= “41(,+Йт)‘"=4(5Л+У?Тг-5г»Тг)-= 4/4-2 In (f2 4-1) —4 arctg/4-С.
Возвращаясь к переменной х, имеем
/ = 4 p/x-f-21п(1 4-]/^) — 4 arc tg {/х-j-С.
* Это доказано П. Л. Чебышевым.
— 179 —
1 I  X
2) Применяя правило 1, берем подстановку —J—= t2, откуда 1	,	2tdt
найдем х = -^f, dx = — (75——2,
=_|/.+с=с_^/(шу.
3) Применяя подстановку x = 2sin/, получим dx=2cos/ dt и
-= tJ яЙ Л = - Н с‘8*,Л с*8' “ - tf‘8‘'+ С - С -
4) Это интеграл от дифференциального бинома: с dx е	-6 *
/ = I -^-Д== \ х~2(1+х8) *dx, J х2£/(1+х3 4 5)° J
5 где т = — 2, я = 3, р = —т.
О
о	m +1 ,	о
Здесь ——Ьр = — 2 —целое число.
Поэтому согласно правилу III полагаем 14-х3 = х3г3. Тогда
1	г3
=	1 + х3 = г-5Ьг’ х = (г3-1) 3;
dx = — z2 (z3 — I) 3 dz\ f ±z 2з x-L „	_£	Cl—2з
I — — J (z3 — I)3 (^TZi) 3 z2(z3“ 0 3 dz = J “Is- dz =
1 -3 . C .	z~2‘	, „ „ 1 +2z8 „	2 + 3№
J	J -2	2z2	2« 3/(1+х8)8
5) Согласно правилу IV применяем следующую схему интегрирования:
г2х3-х-5= дх + дуух2_2x + D С r^L_______
J К*2 —2х	J К*2 —2х
Для определения постоянных А, В, D дифференцируем обе части равенства, затем умножаем его на х2 — 2х:
= AVx2-2x + (Дх4-В)	+ Р... ;
Ух*—2х	Vх2—2х ^х2—2к
2х2—х—5= А (х2 —2х)4-(Дх4-В)(х—	—
= 2Дх24-(В—ЗД)х4-(Л —В).
— 180 —
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях последнего равенства, получим систему уравнений:
24 = 2; В-ЗА = — 1; Г> —В = —5.
Решим эту систему: 4 = 1, В = 2, D =— 3 и подставим значения 4, В, D в схему интегрирования:
/ = (x + 2)]A^2^-3j7T^.
Последний интеграл преобразуем к формуле И:
Г= f	.. = 1п | х— 1 + /(х-1)2-11 .
J /х2 —2х J V(x-1)2- 1	1	'	’	1
Подставляя в предыдущее равенство, окончательно получим
I = (х + 2) /х2-2х-31 и | х — 1 + Ух2-2х | + С.	j
6) Согласно правилу V применяем подстановку х—1=—, , 1 1 тогда dx — — -fidt,
функция х — 1 < О
Здесь учтено, что 1/Т2 = |/|, что подынтегральная определена в интервале —1 < х < 1, вследствие чего и /<0 и что поэтому |/|=—t.
Далее преобразуем интеграл к формуле 1:
ч	(-1-2Q		2t) 2d(—l—2t)^=
= -( Найти 531.	-l-2t)~^ + C = C-интегралы: Г	dx	532. j	2 _r 1/ *+* x— 1 G Г 1— x । x ф^З—xdx.
	) (l+j/х) /х '		
533.		534. |	Г	dx
			1 /(5—x2)3'
535.		536. 1	x21^4 — x2 dx.
537*. 539*. 1 541.	Г	dx 1 х х2—9 ' f	dt —	538*. | 540. 1 542*	'1/(1 +2x3)2 		7	dx. 1	X" Г	x2dx
	1 t fl-i3 ‘ f x2 + 4x	, I r- = dx. 1 Kx2 + 2x + 2		J }/x2 + 2x-|-3 С x2 dx
			J V ‘2ax—x2
— 181 —
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций
К интегралам от рациональных функций сводятся следующие интегралы, где R — рациональная функция:
I.	JR (sinx, cosx)dx— подстановкой z = tg-^.
„	. 2z	1—z2 3 . 2<fz
При этом sin x = i, cos x =	, ax =	.
r	1 zi	1 + z*	1 т z
II.	R(tgx)dx —подстановкой tgx = z.
При этом x = arctg z, dx —	.
III.	у R (ex) dx — подстановкой ex = z. При этом x — In z, dx = у .
543.	Найти интегралы:
i \ С
' J 2 sin x—cos x ’ o- f tg x dx .
’ J 1- ctg2x’
Решение. 1) Полагая tg~ = z и заменяя sinx, cosx и dx указанными их выражениями через z, вытекающими из этой подстановки, получим Р dx J 2sinx—cosx
dx ------------ ч 5 + 4 cos ах * е3* dx
!	_ о С <Ф4-2)
— I J(z-|-2)3—5“
=4-,п
/5
Z + 2-K5
-Lin
К5
2-r5+tg-|
2+/5“+tg-|
2) Полагая = согласно правилу I имеем
I—z2	, 2dz
COS ах =	а , dx — г-„а, ,
14-гл ’	0(1 +za)
Г dx 2 Р dz 2	, г , „	2	/ 1 ах\ , „
J 5+ 4 cosox- V J ?+9 —3aarCtg 3’+С —3oarCtg ( 3 tg 2 J +С'
3) Полагая tgx = z, согласно правилу II получим
Р tgxdx С z3dz 1 С d(z“—1)_ 1	! ,4 lt,
J 1 -ctg2 х ~ J 7^1 ~ т j z^r - T 1П1 2	1| +
+ C = 4ln|tg4x-1| + C.
4) Применяя подстановку ex = z, получим dx = y и
P e3x dx_P z3 dz __C za dz _P f.__ 1 \ j ___
(z’+l) Z~J 241 “J V z’-H/ ~
=Jdz—J 	t = z — arctgz+C=ex—arctgex + C.
— 182 —
Найти интегралы:
546. f .
J sin3 X
548. С tg5 Зх dx.
550.	----#- dt.
1 4-е2'
552*. CU^dx.
J sin2x
545.	Г dx J sin/ex
547. 1	р	dx
	J 4 cos %4-3 sin x
549. j	’ dx
	1 + tgx ‘
551. (	'ex — 1 , -j7-, . dx.
553*. 1	p	e2* dx
	| (2 + ex + e-x^‘
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование
В предыдущих параграфах указывались способы отыскания заданных интегралов. Здесь студент должен самостоятельно избирать тот или другой способ для отыскания каждого из
следующих интегралов:			
554.	[	ax	555. |	। x cos2 x dx.
			
	J x-)-a+/x		
556.	p x3 dx	557. (	” 3e2JC4-2e\’ | e^x + ex—2dx-
	,1 Kx2+ 1		
558.	(*	dz	559. ।	p (x’+l)dx
	J 9 sin2 z + cos2 г *		) X3 — x2 + x—1
560.		561. 1	- «-+12Р ) y/l+x
562.	У arc cos x dx.	563*. |	'	dr
			| Vr V 1 + У r ’
564.	f cos3 z dt	565. I	" x’ dx
	J sin’t		1 У(1 —X2)3
566.	f	dx.	567. (	। (x2 +x-y l)exdx.
	J У x24- lOx		
568.	У (1 — lnx)2dx.	569. (	1 sin 2x , ! 	7— dx. I COS3 X
570.	f /X2_7 J x’ dX-	571. ।	p x2 dx
			! У(4х+ I)6
572.	arc tg l^vdv. .	573. 1	p 2x—3 , . } (2x4-3)’ aX'
574.	P2^+2^+!^x.	575. 1	[ISl^dx.
	J уЗх2 + Зх + 4		1	X2
576.	p	x3 dx	577*.	p dx
	J 2 + У 4 —x2 x		) 44-3 tgx ’
578.	p	dx	579. у	x arc sin x dx.
			
	J x—У x2—1		
580*.	f^dx.	581*.	P	dx
			
	J X	J (x+1) V 1 —x»	
— 183 —
ГЛ A BA v
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1.	Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и если: 1) разделить этот отрезок произвольным способом на п частичных отрезков длиною Axj, Дх2, Дх3, .... Дх„, 2) выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке £2, £3, 3) вычислить значения функции f(x) в выбранных точках и 4) составить сумму
f (^) Дх, + f (g2) Дх2 + f (g3) Дх3 + ... + f (£„) Дх„ = 2 f Дх,-, -	1 = 1
то она называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке |а, Ь].
По-разному деля отрезок [а, Ь\ на п частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке можно для всякой заданной функции f (х) и всякого заданного отрезка [а, Ь] составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании п и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, имеют один общий предел. Этот общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке |а, Ь] называется определенным интегралом ь
от f (х) в пределах от а до b и обозначается J f(x)dx. а
Простейшие свойства определенного интеграла:
1.	При перестановке пределов изменяется знак интеграла-.
Ь	а
J f(x) dx — — J f (x) dx. a	b
a
2.	Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю; f(x)dx = 0. а
— 184 —
3.	Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
Ь	с	Ь
f (х) dx = J f (x)dx + f (A> dx. a	a	c
4.	Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:
ь	b	b	ь
j [fl (*) -I- f2 (*) — f3 W1 dx =- J fl (x) dx + J f2 (x) dx — J fs (x) dx. a	a	a	a
5.	Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
ь	ь
cf (x)dx = с f (х) dx. а	а
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула II ьютона-Лейбница
b
ь	ь
J f(x)dx = J f (x)dx
а	а
F(x)
= F(b)-F(a),
a
(*)
— определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
582. Вычислить интегралы:
1) j 3x2dx; 2) || (1 +е 4 ) dx;
2	О
Л
С	dt	™
3)J y^t _|2 4 *	4) J (х + 3) sin axdx.
-1	о
Решение. Применяя формулу Ньютона —Лейбница (*) и свойства определенного интеграла, получим:
3	3	3
1)	J Зх2 dx = 3 J х2 dx = х3 2	2	2
З3 —23= 19.
4 / _к \	4	4 х_
2)	J 4-е4 ] dx = §dx 4-4 Je 4d-^ = x4-4e4 0	0	0
4
=44~4e — 4=4e.
3)	j	J <3,+4>'  <43/+4)=|<3/+4)- | -
4) Здесь для нахождения неопределенного интеграла применяем формулу интегрирования по частям f и dv = uv— f vdu.
— 185 —
Полагая а = х4-3, dv~ sin ахdx, получим du~dxt С	If	1
v = \ sin axdx = — \ sin ах d (ах) = — — cos ах,
JL	л
20	20
(х + 3) sin ах dx = —	cos ах + 4 f cos ах ^х |
о	о
л
20
х-|-3	1 . I
—— cos ах4-—9 sin ах
а	а2
14- Л = ]+3а а2 ' а а2
о
Вычислить интегралы:			
583.	6 C dx	584.	1 C dz
	J Зх—2* i		J (2z+l)8' 0
585.	2 P dt	586.	2 J x2+ 4 0
	J /24-5/4-4 • I		
	a		л
587.	§ x cos у dx.	588.	P x 3x , \ cos cos dx.
	— a		0
	л		e
589*.	\ x sin x cos x dx.	590.	
-л
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле
Для вычисления многих определенных интегралов полезно заменять переменную интегрирования. При этом, если опреде-ь
ленный интеграл ^f(x)dx преобразуется при помощи подста-а
новки x = q>(/) [или / = гр(х)| в другой интеграл, с новой переменной интегрирования t, то заданные пределы х1 = а и х2 = Ь заменяются новыми пределами /1 = <х и /2 = Р, которые определяются из исходной подстановки, т. е. из уравнений а = <р(а), Ь = <р(Р) [или a = ip(a), 0 = чр(Ь)]. Если ср' (/) и f [<р(£)1 непрерывны на отрезке [а, 0], то
ь	Р	р
f (x)dx = J f [<p (/)] <p' (/) dt = J F (/) dt.
a	a	a
591.	Вычислить интегралы:
6	in з
f 2) f —dX-i
J/1+Зх 'in'2eX-e *
Eg
(x»4-l)dx . J х2У4—x2’
л
2 f dx
4) J 2-|-cosx’
0
— 186 —
Решение. 1) Вводим новую переменную интегрирования, у-	^2___ 1	2
полагая У14-Зх = Л Отсюда находим х = —х— , dx = — t dt и *j	3
новые пределы интеграла: tt=\ при х1 = 0, t2 — 4 при х2 = 5< Подставляя, получим
2)	Полагая ex — t, имеем х=1п/,	= y ; tx = 2 прил'х ==1п 2;
f2 = 3 при х2 = 1пЗ и
3)	Полагая x = 2sin£, получим: dx = 2 cos tdt; tx = i при хх=1; ti = ^- при х2=УЗ;
4)	Заменяя переменную при помощи подстановки tg у = zt 1_____________22	2dz
найдем cosx = y-j-^; dx—--рр(см. гл. IV, § 9); z1 = 0npn х1 = 0; z2=l при ха = у и Л Т	1	1
С dx _ л Г dz __ 2 z I_________________2 я _ л
J 2-1-cos J z* +3~ У"з агс g У"3 | /У 3 /Т * 0	0	о
— 187
692. Доказать, что для четной функции f(x): а	а
J f (x)dx = 2 J f (x) dx, -а	о
а для нечетной функции /(x): a
J f (x) dx = 0. —a
Решение. Разделив отрезок интегрирования [—а, а] точкой х = 0 на две части, согласно свойству 3 получим тождество а	а	о
J f (х) dx = § f (х) dx + J f (х) dx.
—а	о	—а
Заменив переменную в последнем интеграле по формуле х= «=—2, имеем dx =— dz; гх = а при хх — — a-, г2 = 0 при х2 = 0;
о	а	а
J /(x)dx = — J f(—z)dz—^ f(—z)dz= f (—x) dx,
—а	а	о	о
так как значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования. Следовательно,
а	а	а	а
J f (х) dx = J f (х) dx 4- J f (— x) dx = [f (x) + f (— x)] dx. — fl	0	0	0
Для четной функции /(—x) = f(x), а для нечетной функции /(—х) =— f(x), поэтому
а
f(x)dx =
—fl
а
2^f(x)dx, если f(x) четная, О
О, если / (х) нечетная.
Пользуясь доказанными положениями, можно упрощать вычисление некоторых определенных интегралов. Например:
1)	без вычислений, заключаем:
W	Л	-3
J (Зх —2xs) dx = 0, Jsin72xdx = 0, J te arcsin t dt = 0
-УТ	3
вследствие нечетности подынтегральной функции;
Гхб+7х4 + х3—5ха—2
J ^4-х
2	2	2
fxE-f-X3J Л I Г) С 2. n X3 I 16
+ j ^T+T^ = ° + 2p2dx = 2y | -2	О	О
— 188 —
вследствие того, что под знаком первого интеграла функция нечетная, а под знаком второго — четная.
Вычислить интегралы:
1
Р х2 dx 593‘ hTW-
о
111 2
594.	]/~ех — 1 dx.
О
595.	(	.
•1_/(х2+1)2
I 3
596.	j ^l+-nxdx.
1
3
597.	^x2l^9^x2dx. -3
f tdt 598‘ J /5 + 4? •
Б 0 г 1___ex
600. l-^-dx.
J l+e*
In 3
8
602*. J Vg^X-
Подстановка x 4- 1 = z.
Подстановка ye* — 1 = t.
Подстановка z = x24 1.
Подстановка t — 1 4- In x.
Подстановка x = 3cos<p.
П
4
f 1 + tg2 <₽ t
599.	, f- dm.
J 1 + tg <p Y 0
(I
501. f-----£=-.
J l + /x+l “1 л
2
sin3 <p Vcos<p dip.
603*. i
0
§ 3.	Схема применения определенного интеграла
к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры
Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактно-с?и широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.
Для вычисления некоторой величины и при помощи определенного интеграла можно руководствоваться следующей общей схемой (I):
1.	Разбить и на большое число п малых слагаемых элементов
п
и —	4- Дн2 4-... 4- Дп„ — У, Дм,.
— 189 —
2.	Найти приближенное значение каждого элемента Аи£ в виде произведения Ди,-»/(х,-)-Дх и затем приближенное значение и в виде интегральной суммы
Л
И « у f(x£) Ах,	(*)
i=i
где х—один из параметров величины и, который по условию задачи изменяется в известном интервале aCxCb; f(x)—данная или определяемая из условия задачи функция от х\ хп = а, хъ х2,	, хп = Ь — точки интервала [а, Ь], которые при
разбиении и на п элементов разбивают этот интервал на п
о А Ь О> равных частей = —.
Здесь при нахождении приближенного значения малого элемента Ди,- используются различные допущения. Например, здесь допустимо малые криволинейные отрезки заменять стягивающими их хордами; переменную силу (или скорость) на малых участках пути здесь можно заменять постоянной силой (или скоростью),— допуская, что она неизменно сохраняет на всем малом участке пути ту величину и то направление, которые она имела в начальной или конечной точке этого малого участка; переменную температуру непрерывно нагреваемого или охлаждаемого тела в течение малых промежутков времени здесь можно считать постоянной, допуская, что в течение каждого малого промежутка времени она неизменно сохраняет то значение, которое имела в начале или в конце этого промежутка.
3.	Если из условия задачи следует, что при п—>-|-оо погрешность приближенного равенства (*) стремится к нулю, то искомая величина и будет численно равна определенному ь
интегралу u = J f (х) dx. а
Многие величины можно выразить посредством определенного интеграла, пользуясь другой схемой (II):
I.	Полагаем, что некоторая часть искомой величины U есть неизвестная функция и(х), где х —один из параметров величины U, который изменяется в известном из условия задачи интервале а sg х -С Ь.
2.	Найдем дифференциал du функции и(х), т. е. приближенную величину (главную часть) ее приращения Ди при изменении х на малую величину dx в виде произведения du = f(x)dx, где f(x) данная или определяемая из условия задачи функция от х.
При этом здесь также используются различные допущения, которые в общем сводятся к тому, что при изменении аргумента х на малую величину dx изменение функции и (х) считается пропорциональным dx.
— 190 —
3.	Убедившись, что дифференциал du найден верно, что при dx—>-0 бесконечно малые Ди и du будут эквивалентны, найдем искомую величину U, интегрируя du в пределах от х = а до х = Ь:
ь
U = $ f (х) dx.
а
Так, согласно схеме II:
а)	Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох, черт. 87, дгфференциал переменной площади S (х) = Sx,amx есть площадь прямоугольника со сторонами у и dx, т. е. dS = ydx.
Черт. 87	Черт. 8в
Площадь SXlAnxa, если вся трапеция расположена над осью Ох, выражается интегралом
*г
S ^ydx.	(1)
б)	Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Оу, черт. 88, дифференциал переменной площади S (у) = SytAMy есть площадь прямоугольника со сторонами х и dy, т. е. dS = xdy.
Площадь Sy,Ai3y., если вся трапеция расположена справа от оси Оу, выражается интегралом
Уг
S = J х dy.	(2)
Vi
В частности каждая из параллельных сторон трапеции а) или б) может свестись к точке.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох или к оси Оу.
в)	Дифференциал переменной площади 5 (<р)=боям. черт. 89, есть площадь кругового сектора с центральным углом d<p и радиусом р,
— 191 —
т. е. dS = р2 dtp.
Площадь криволинейного сектора ОАВ выражается формулой
S = -^Jp2d(p.	(3)
о>1
В частности точка А или В или обе они могут совпасть с полюсом О.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к полярной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных секторов.
604.	Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:
1)	параболой 4у = 8х—х2 и прямой 4у = %4-6;
2)	параболами у = 4—х2 и у = х2—2х;
3)	кубическими параболами 6х = у3—16у и 24х = у3 — 16//;
4)	эллипсом x = acos/, у — a sin/;
5)	кардиоидой р = а (1 + cos <р);
6)	окружностями р = 2рПГасо8<р и p = 2«sin<p.
Черт. 89
Решение. 1) Совместно решая данные уравнения, определим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую площадь, А ^1;	В(6; 3). Построив эти точки и проходящие
через них данные линии, черт. 90, видим, что искомая площадь AN В равна разности площадей Sx = AlANBB1 и S2 = А^АВВ^
Площадь Sx согласно формуле (1) выражается интегралом
6	6	6
S1 = Jydx = lj(8x-x2)dx = l(4x2-^) | =^. 11	I
Площадь S2 трапеции А1АВВ1 равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
с >41Д-|-В1В , д ___95
2	8 ’
-	с _	„	205 95	_ 5
Следовательно, искомая площадь S — —S2 =
— 192 —
Если за единицу длины принят дециметр, то S^5~ кв.дм. 2) Определив точки пересечения парабол Д (—1; 3) и В (2; 0) в построив эти точки и параболы, черт. 91, видим, что искомую площадь S можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций: S = S.i1.icb + Sobd—S.-i,4o.
Sa.acb^ (4—x2)dx = 4x—=8-| + 4 —y = 9. — 1 — 1 0	(I
Sobd = J (x2 —2x) dx = 'j—x2 | = —	4-4 ==y .
2	2
Площадь OBD расположена под осью Ox, поэтому, чтобы излучить ее величину с положительным знаком, пределы интегрирования взяты справа налево, о	о
$4,40=^ (X2—2х) dx = ~— х2|	=
-1	-1
4	4
Следовательно, S = 94--g—у = 9-
Площадь S можно найти иначе, определив ее дифференциал ds кзк площадь прямоугольника, у которого высота есть разность
ординат данных парабол, а основание dx, черт. 91:
ds = (yt — y2)dx = [(4—х2)—(х2 — 2х)] dx—- (4 4-2х—2№)dx.
Отсюда S =	(4 2х—2х2) dx - 4х 4- х2
-1
-1
3) Находим три точки пересечения данных парабол: 0(0, 0), А (0; —4), В(0; 4), затем строим эти точки и параболы, черт. 92.
7 Заказ № 3201
— Ш
Искомая площадь S состоит из двух'одинаковых частей; половину ее можно найти как разность площадей криволинейных трапеций ОСВ и ODB, прилежащих к оси Оу. Согласно формуле (2) имеем
О	о
8 ОСВ = f Г J dy = j* (у3 — 1 бу) dy;
4	4
О	О
Sodb = ^хгЛу = ы J (у3—16y)rfy;
4	4
О	О
S = 2 (Socb —Sod в) = 2 j (xt-x2) dy = | J (y«- 16y) dy =
4	4
О
=	=t(-64+128)=16.
4
4)	Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (черт. 93), и поэтому они делят его на четыре одинаковые части. Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первом квадранте, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох:
а
о
Черг. 93	Пользуясь данными параметри-
ческими уравнениями эллипса, преобразуем интеграл к переменной t; у —bsmt, dx =—asmtdt; когда х = 0, то	когда х = а, то / = 0;
а	о
S=4^ydx =— 4ab § sin2/d/ = О	л
2 Л	Л
~2	2
^=2ab J (1 — cos2/) dt = 2ab (t—у sin 2/) | =лаЬ.
О	о
Отсюда при а = Ь получается формула для площади круга: S = ла2.
5)	Кардиоида симметрична относительно полярной оси (черт. 94). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади
— 194 —
криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом юлярного радиуса р при изменении полярного угла ф от 0 до л.
Поэтому согласно формуле (3)
S = 2--^ J р2 J<p =а2 у (1 + cos <р)2 <7ф = О	о
= а2 J (1 ф- 2 cos ф ф-cos2 ф) б'ф = О
= а2 j j1 dkp-}-2 J соэф б/ф + у У (1 ф-cos 2ф) dtp j =
~а ( у ф ф- 2 sin ф ф- у sin 2ф \ I = у ла2.
6)	Решив совместно данные уравнения, найдем точку пересечения окружностей А (у ,	) . Построив окружности,
Черт. 94
Черт. 95
черт. 95, видим, что искомая площадь S равна сумме площадей криволинейных секторов ОНА и ОСА.
Дуга АВО описывается концом полярного радиуса р большей л л окружности при изменении полярного угла ф от — до , поэтому л	л	л
2	2	2
Soba = у Р2 ^ф = 6а2 cos2 ср Лр = Зд2 (1 + cos 2<р) гАр = _Л	Л	л
3	3	' 3
л
Q , 1 • п \ I 2	• > 2 ( л	[А 3 \
= За2 ( ф + -л- sin 2ф I	= За2(  ----- I.
\	' л	\
3
Дуга ОСА описывается концом полярного радиуса р меньшей окружности при изменении полярного угла от 0 до ,
— 195 —
поэтому
2L	я	я
зз	Т
SOc/ = 2-J р2 tty = 2а2 J sin2(p </<p = a2J (1—cos2<p)(/<p = 0	0	0
n
, / i n \ 13	2(я V з A
= a2 ((p—sin 2<p I =a2 ( -g--I .
(C	r--X
-g- л — у 3 j » 0,89.
Найти площадь, ограниченную линиями:
605.	Параболой у = 6х—х2 и осью Ох.
606.	Полукубической параболой t/2 = x3 и прямыми х = 0, у = 4.
607.	Астроидой x = acos3/, у = a sin3/.
608.	Одной аркой циклоиды x = a(t — sin /), y~a(l—cost) и осью Ox.
609.	Параболой у = х2 + 4х и прямой х—у + 4 = 0. / X	X >
610.	Цепной линией у = ~(е а + е а ) и прямымих = 0, х = а.
611.	Гиперболой ху = 6 и прямой у = 1—х.
612.	Кубической параболой у = х3 и прямыми у — х, у=^2х.
613.	Окружностью х2 + у2 = 4х и параболой 1/2 = 2х.
614.	Лемнискатой p2 = a2cos2<p.
615.	Первым завитком спирали Архимеда р = п<р и полярной осью.
616.	Трехлепестковой розой p = acos3<p.
617.	Кардиоидой p = a(l—cos<p) и окружностью у —а.
v 2 fj 2	у 2 ft 2
618*. Эллипсами + га = 1 и а2 Ь2	о2 а2
§ 4.	Объем тела по площадям его параллельных сечений
Если известна площадь S (х) любого сечения тела плоскостью, параллельной некоторой
плоскости Р, где х—расстояние сечения от плоскости Р, черт.96, то при изменении х на величину dx дифференциал объема тела равен объему прямого цилиндра с высотой dx и площадью основания S(x), т. е. dv — S (х) dx, а объем всего тела выражается интегралом,
а
где а и b — левая и правая границы изменения х.
— 196 —
619.	Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью, которая проходит через диаметр 2R его основания под углом а к плоскости основания.
Решение. Изобразив половину данного тела, черт. 97, замечаем, что всякое сечение его плоскостью, параллельной плоскости АВС, представляет прямоугольный треугольник.
Найдем плошадь сечения, отстоящего от точки О на расстоянии ОР = х. Из прямоугольного треугольника АМР имеем MP2^=R2— (R—x)2. Из прямоугольного	„
треугольника PNM имеем MN =-MP tg а. 2?
Площадь сечения S(x), как прямо- \ угольного треугольника с катетами МР 1\	N
л MN:	\	/Я
S (х) = ~ MP-MN = ~MP2 tg « =
= у U?2 - (Я ~ X)2] tg а = 1 (2Rx - X2) tg а.
о
При изменении х на величину dx	Черт. 97
объем и изменится на величину До, эквивалентную объему прямого цилиндра (призмы) с высотой dx и площадью основания S (х):
Д v « dv = S (х) dx = -% (2Rx—x2) tg a dx.
Всему искомому объему соответствует изменение х от 0 до 2R, поэтому
Г = ¥ J (2Ях-х2)Лх-Ц-(/?х2-^)|
9
= f /?3tg а.
Xs II2 Z2
620.	Найти объем трехосного эллипсоида
Решение. Плоское сечение эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y — h, черт. 98, представляет эллипс
х2 z2______. Л2 X2 , 22___________.
С12‘ С2	Ь2 ’ й2 ' с2 ' ’
с полуосями
= у^2—	11 ci = b2 — li2.
Площадь этого сечения, как площадь эллипса, найдем по
формуле, полученной в решении задачи 604 (4),
5 (//) = лаусу = рс (b2 - й2).
— 197 —
Подставляя в формулу (*), получим объем всего эллипсоида b	ь
V = ^[(b2-h2)dh=‘~(b2h-l^\\ =~лаЬс.
b2 J v 7 о2 \	3/|	3
о	о
При а = Ь = с полученная формула для объема эллипсоида преобразуется в формулу для объема шара У = ула3.
621.	Найти объем, общий двум цилиндрам: х2 + у2 = а2 и у2-\-г2 = а2 (ограниченный данными цилиндрическими поверхностями).
Решение. Построим восьмую часть тела, расположенную в первом октанте, черт. 99.
Любое сечение тела плоскостью, параллельной плоскости xOz, представляет квадрат. Площадь сечения PQNM, отстоящего от
плоскости xOz на расстоянии OM = h, найдем как площадь квадрата со стороной
MP = MN = Va2-h2-,
S(h) = a2 — h2, O^h^a.
Весь искомый объем, согласно формуле (*), выразится интегралом а	а
Р	/	/?3\ I 16
V = 8 \(a2-h2)dh = 8(a2h—у Н =^а3. О	о
622.	Найти объем тела, отсекаемого от эллиптического пара-болоида z —^а + |а плоскостью z = k (/г>0).
623.	Найти объем, общий двум эллиптическим цилиндрам х2 . у2 . х2 г2 .
а2~^Ь2~ И а2~^Ь2~~^
624*. Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром 2 = 4 —у2, плоскостями координат и плоскостью х = а.
— 198 —
§ 5.	Объем тела вращения
Если тело образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции	(черт. 100), то любое его плоское
сечение, перпендикулярное коси Ох, будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой y = f(x).
Площадь сечения S(x), соответствующего абсциссе х, как злощадь круга, равна пу2.
Черт. 100	Черт. 101
Дифференциал объема тела, соответствующий приращению dx, будет dv = ny2dx, а весь объем тела вращения определяется формулой
хг
V	= n^y2dx (xl<Zx2).	(Л)
Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции у1ЛВу3, прилежащей к осн Оу, черт. 101, то dv = n.x2dy,
Vi
V = n\x2dy (у1<у2).	(В)
th
625. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1) у2 = 2рх, х = а	вокруг	оси	Ох;
2) "2 + Й=1 ' а2 Ь2	вокруг	оси	Оу,
3) 2y = x2, 2x-f-2y — 3 = 0	вокруг	оси	Ох-
4) x = acos3/, y = «sin3/	вокруг	осп	Ох-,
5) у = 4-х2, у = 0	вокруг	прямой т = 3.	
Решение. !) Построив	параболу у2=	2рх	и прямую х = а,
получим параболический сегмент ОАВ, черт. 102. При вращении его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела, согласно общим указаниям, найдем по
— 199 —
формуле (А): хе	а
V = л у2 dx = л 2рх dx = лрх2 [° = яра2. xt	о
2)	Если у данного эллипса b<za, то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения,
черт. 103. Вычислим объем Vt этого тела по формуле (В):
Уг	Ь
Vy = n x2dy = ла2 J (1 —dy = 2ла2
Vi	—ь
4	91.
= .wo.
О
При вращении эллипса вокруг его большой оси получается удлиненный эллипсоид вращения, черт. 104, объем которого V2=yлаЬ2. Очевидно, Vl>V2.
3)	Ограниченная данными линиями фигура ОАВ, черт. 105, при вращении вокруг оси Ох образует тело, объем которою
Черт. 105
можно найти как разность объемов тел, образованных вращением вокруг оси Ох трапеций А1АВВ1 и АуАОВВу.
Объем Vy, образованный вращением трапеции АуАВВу, можно найти по формуле (А):
л\.	1
Vy = л \ у2 dx= п J (1,5 — х)2 dx =
X,	-3
= л J (х— 1,5)М(х— 1,5)= —з 1	| =у л
-8	-з
— 200 —
или как объем усеченного конуса по формуле элементарной геометрии.
Объем 1/2, образованный вращением криволинейной трапеции Aj^AOBBi, найдем по формуле (А):
X5 I
*з=^(1 + 243)=^.
2
Искомый объем У = — V2 — 18л.
4)	Фигура, ограниченная астроидой, черт. 106, при вращении вокруг оси Ох образует тело вращения, объем которого определяется формулой (А):
Х2	о	О
V = л у2 dx = л у2 dx = 2л § у2 dx.
—а	о
Исходя из данных параметрических уравнений астроиды
x = acos3/, y = asin3/, преобразуем последний интеграл к пере-
менной/: у2 = а2 sinet;dx=—За cos2/sin tdt\ i=^- при х = 0; /=0 при х = а;
а	о
V = 2л J у2 dx = — 6а3л sin® t cos2 t sin t dt.
0	rt
г
Далее тождественно преобразуем подынтегральное выражение и, применяя формулу интегрирования степени, получим
V = 6а2п J (1 —cos2 /)3 cos21 ( — sin t)dt = л 2*
О
= 6а3л J (cos2t — 3 cos4t + 3 cos® I — cos8 t)d cos t = Jt
2
0
= 6а3л (4-cos31 — ~ cos5 * *1 +4- cos’ t —4 cos9	I = пЯ ла3.
\ 3	5	7	9 j |	10d
л
2
5) Параболический сегмент ABC, ограниченный параболой
i/ = 4 — x2 и осью Ох, черт. 107, при вращении вокруг прямой
х = 3 образует тело, любое сечение которого плоскостью, пер-
пендикулярной к оси вращения, представляет круговое кольцо,
— 201 —
ограниченное концентрическими окружностями. Площадь такого
сечения, отстоящего от начала координат на расстоянии у, S = л/?2 —лг2 = л [(З+х)2 —(3-х)2| = 12лх = 12л Г 4 — у, так как х есть абсцисса точки, лежащей на данном параболе, т. е.
х = У 4 — у.
При изменении у на величину dy дифференциал объема тела будет dv ~-S (y)dy — 12л |/4 — у dy.
Весь искомый объем получается при изменении у от 0 до 4. Поэтому, интегрируя dv в этих пределах, получим
4
V = 12л j/4 — ydy =
О
= — 12л j (4— у)2 d (4 — р) = 8л(4 — у) 2 | О
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
626.	^2—ь2~	У = 0, у = Ь вокруг оси Оу.
627.	</=sinx (одной волной), у = 0 вокруг оси Ох.
628.	у2-\х — 4 = 0, х = 0 вокруг оси Оу.
629.	лт/ = 4, у = 0, х=1, .г = 4 вокруг оси Ох.
630.	»/2 = (.v4-4)3, х = 0 вокруг оси Оу.
631*. у = х2, у = 4 вокруг прямой х=—2.
632. j/ x-j j/y =]/а , х = 0, у —0 вокруг оси Оу.
633*. Найти объем тора, образованного вращением круга х2 4-{у—Ь)2 а2 (а <Ь) вокруг оси Ох.
634. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х — а(1—-— sin О, у — «(1—cos?) и осью Ох.
§ 6. Длина дуги плоской кривой
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением p = /(x), или х = Е(р) или параметрическими уравнениями х = <р(?), у = ф(/), то дифференциал dl длины ее дуги, черт. 108, выражается формулой
= y 1 ф- (y')2dx = р 1 -y(x')2dy = V x2 + y2dt,
— 202 —
а длина дуги АВ определяется формулой
(В) хв	,JB
lab= $ dl = $ /l+(z/')2rfx= 5 /l+(x')2rfz/ =
(A)	xA	tjA
fB___________
= J Vx2+y2dt.	(1)
‘a
(хд<хв, Уд <2 У д'.
Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат и задана уравнением p = f(<p) (черт. 109), то d/ = Кр2 + (р')2(^Р<
(В)	ТВ
lap.= $ dl= J Kp2 + (p')W (фд<Фв).	(2)
(А)	(РА
635. Вычислить длину дуги: 1) полукубической параболы п2 = (х—I)3 между точками А (2; —1) и В (5; —8); 2) одной арки циклоиды x = a(t — sin/), у = а(\— cos/); 3) кривой p=acos3-^-. □
Решение. 1) Разрешаем и находим у'-.
У = ± (х—1)т;
данное уравнение относительно у
3	—-
У' = ±4(х-1р.
(Знаки 4: в выражении у указывают, что кривая симметрична оси Ох\ точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси Ох.)
Подставляя в формулу (1), получим
О	и	----------- и
1-ля= J V Н- (y')2dx = J ]/ 1 + j(x—l)dx = -^ J/9x —5dx=
ха	2
IP-	1	— I
= 18 j (9x —5)2 d(9x —5) =27(9x — 5)2 |
2
5
2
«7,63.
— 203 —
2) Дифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды dx .,	dii .	,
х- = -г- = а (1 — cos t); у = ~ — а sin t dt '	’ J dt
и находим дифференциал ее дуги
dl = 1/Гх2 + y2dt = }/а2 (1 — cos /)2 + a2 sin21 dt =
о/2 (1 — ms /) Л = о 4 sin2rtf = 2а sin ^dt.
Одна арка циклоиды (черт. 83) получается при изменении параметра / от 0 до 2л, поэтому
2Л	2Л	2Л
L = 2а [ sin dt = 4а sin ~ d	— 4а cos ~ | — 8а.
0	0	о
3) Изданного уравнения кривой р =cos3 находим производ-
, dp ную Р
— a cos2 -5- sin	и дифференциал ее дуги
О	О
dl= Кр2 + (р')2dip — у a'2 cos0 + a2 cos4 ysin2—acos'^rlrp.
Половина этой кривой, черт. ПО, описывается концом поляр-з
кого радиуса при изменении <р от 0 до л. Поэтому согласно формуле (2) длина всей кривой
3	3
	Л	-31 2-----------------2
L = 2a cos2 '--dip — а §	1 cos=
О	о
А л
/	। 3 . 2<(А | 2	3
= а +	=-ил.
ГЛ6. Найти периметр фигуры, ограниченной кривыми у3 = х2 в у=|/2 —.V2.
Решение. Совместно решая уравнения кривых, определим две точки их пересечения А (1; 1) и В(— 1; 1). Построив эти точки и проходящие через них данные кривые, получим фигуру, сим
— 204 —
метричную оси Оу (черт. 111). Периметр этой фигуры L=
ОА АС
Пользуясь формулой (1), найдем:
«А___________
L^=.( 40	о
4 C/i I 9 \т л( X , 9 \	8/1,9
- 9j I1 + ~ЬУ) ( 1У) = 27 ( 1+ Т | = о	о
8 /13 УТЗ . “ 27 \	8	' 1 J '
X л А	1	______ 1
L®=f I'wM )/ хс	о	о г
1 _
,/•"5	. х I л У 2
= V 2 arc sin -7.— = —-—.
У 2 |	4
О
(Это восьмая часть длины окружности, радиус которой )/ 2.) Следовательно, искомый периметр фигуры
L = 2 (-3 ^‘3 ~	~ 5,102.
Вычислить длину дуги кривой:
637.	9г/2 = 4 (3—х)3 между точками пересечения с осью Оу.
638.	Астроиды x = acos3/, у = a sin3/. X	X
639.	Цепной линии у = -^(еа +е а ) между прямыми х = —а п х = 0.
640.	2у = х2— 2 между точками пересечения с осью Ох.
641*. у=1пх между прямыми x = V 3 и х = ]/8.
642.	Кардиоиды р = а (1 + cos <р).
643.	Первого завитка спирали Архимеда р = о<р. с-	с2
644*. Эволюты эллипса х=—cos3/, r/=7-sin3/. a	J b
645.	Найти периметр фигуры, ограниченной линиями:
1)	х2 —(у+1)3 и г/ = 4;	2) у2 = 2рх и 2х = р.
§ 7. Площадь поверхности вращения
Если поверхность образуется при вращении дуги AM плоской кривой вокруг оси Ох (черт. 112), то дифференциал площади этой поверхности равен площади боковой поверхности усеченного
— 205 —
круглого конуса с образующей dl и радиусами основании у и У + ^Li-
ds =	dl = л (2у + dy) dlл2лу dl,
а площадь поверхности, образованной вращением дуги АВ, определяется формулой
(В)	<В)
S = ds = 2л j ydl,	(1)
(Л)	(Л)
где (Z) п (В) обозначают значения в точках А и В выбранной переменной интегрирования, dl—дифференциал дуги кривой.
При вращении дуги АВ кривой вокруг оси Оу (черт. 113) (33)	(В)
ds^2nxdl', 5= ds = 2:i xdl.	(2)
oi)	(Л)
646. Найти площадь вокруг осн Ох: 1) дуги
поверхности, образованной вращением кубической параболы у = х3, заключен-2	2
нои между прямыми х= —и х = ^-;
<J	о
2) астроиды x = flcos3/, у = a sin3/;
3) эллипса ~ = 1, а > Ь.
'	а‘ Ь2
Решение. 1) Построив дугу пара-,	л / 2	8 \ о
болы между точками А ( у ; и В (	2	8 \ ,	....
(—;—=) (черт. 114), замечаем, что
поверхность, образуемая вращением этой дуги вокруг оси Ох, состоит из двух одинаковых частей. Поэтому и согласно формуле (1), имеем
з	3
5 = 2  2л J у [/1 ф (у‘У dx — 4л л3 J/Al -j- 9,v* dx. о	о
— 2С6 —
Для вычисления интеграла полагаем 1 + 9л4 = г, 25	2
тогда 36л3 dx = dz; ?!=! при х = 0; z2 = -q при х = -~\
У	<j
25	25
9	1	3 —
S“441Z7S = V.j t~‘u~T 4'“Г
1 1 1
2) Применяя формулу (1), преобразуя ее к переменной t, исходи из уравнений астроиды, получим
Л
2
S = 2-2nf у Vx2 + у2 dt =
О л
2
= 4л J a sin3 t V(—За cos2/ sin /)2 + (За sin2t cos t)2 dt = 0
л	л_
2	2
= 12а2л sin4 t cos t dt — 12а2л sin4/dsin/ =
о	0
Л
12 2	•	12	2
= -=- агл	sinJ	t	= -=- na2.
5	|	5
0
(Четвертая часть астроиды, расположенная в первом квадранте (черт. 106) получается при изменении t от 0 до у . j
3) Дифференцируя по х обе части уравнения эллипса 2х 2ии'	Ь2к
^ + -^- = 0, уу' =—и подставляя в формулу (1), находим
Х = 2л J у V I -V(y")2dx = 4л J Vy2-\-(yy'Y dx = —а	о
. f	Г,, b2x2 Idx2 . 4лЬ f -.Г „ а2—62 , ,
= 4nj У +	= У а2-----------^x dx=:
о	о
=	— е2х2 dx,
о
V с? —Ь2 с где е=--------= ——эксцентриситет эллипса.
— 207 —
Полагая ex = a sin t, получим edx = a cos t dt\ /т — 0 прих = 0; t2 = arc sine при x=a:
S = ~ у j/a2—a2 sin2/ cos / dt = ~~ J cos21 dt = О	о
= J(l+cos2/) dt = ~( Z + ySin 2/)| =2лй(ь -|--|arcsine) .
0	0
Отсюда при e—>0 получается площадь поверхности шара 5 = 4ла2.
647. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Otj: 1) дуги окружности х2-| (у—b)2~R2 между ее точками, где у=г/г и у=у2, 2) петли кривой 9ах2 = у (За—у)2.
Черт. 115
Решение. 1) Если дуга данной окружности не пересекает оси Оу (своего диаметра), то при вращении ее вокруг этой оси образуется поверхность, называемая сферическим поясом (черт. 115). Дифференцируя по у обе части уравнения окружности 2хх' + 2 (у—Ь) = 0, хх'——(у—Ь) и подставляя в формулу (2), получим
S = 2л У х J/"1 + (х')2 dy = 2л у У х2 ф- (хх')2 dy =
>/i	Hi
У	г
= 2л У V R2_(y_b)2+(y_b)2dy =
У1
Иг
= 2nR у dy — 2л R (у., — у 2) ~2л RH,
<л
где Н— высота пояса. При Н— 2R получим формулу площади сферы 5 = 4лР2.
2) Петля данной кривой (черт. 116) описывается текущей точкой при изменении у от 0 до За. Поэтому, дифференцируя по у
— 208 —
обе части ее уравнения: 18ахх' = (3а— у)2 — 2у(3а — у) — = 3 (За — у) (а—у), хх' = ——~~~—— и подставляя в формулу (2), получим
ла	за
S = 2л j Ух2 + (хх'У dy = 2л J У (3дГУ)2 +	d,J-
о	о
= 2яУ Ка2 + 2ау + у2 dy = ^ § (За2 + 2ау ~ у2) dy = Зпа2. О	о
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох:
648.	Окружности x — acost, y = asmt.
649.	Дуги параболы у2~2х между точками пересечения с прямой 2х = 3.
650.	Одной арки циклоиды х — а (I — sin/), у = а(\—cost).
651.	Одной волны синусоиды y = sinx.
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу:
t2 t3
652.	Дуги полукубической параболы х—4 — у, У = ^ между точками пересечения с осями координат.
653.	Эллипса Зх2 + 4у2 = 12.
654.	Найти площадь поверхности тора, образованного вращением окружности х2 + у2 = а2 вокруг прямой y b, Ь^>а-
§ 8. Физические задачи
вияииииииияииию.
655.	Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м. п высотой 6 м.
Решение. Величина р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины ее погружения х, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости: р = бах; б — удельный вес жидкости, а — площадь площадки.
Руководствуясь общей схемой (II) применения определенного интеграла к вычислению величин, разделим шлюз на глубине х горизонтальной прямой (черт. 117). Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией р (х). Найдем дифференциал dp этой функции, т. е. приближенную величину (главную часть) ее приращения Др при изменении глубины х на малую величину dx.
Допустим, ввиду малости dx, что все точки заштрихованной полоски находятся на глубине х, т. е. что она расположена на
— 209 —
глубине х в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная величина давления воды на эту полоску будет равна весу, столба воды, имеющего основанием эту полоску, и высотой— глубину х\ &pz&dp= 186xdx= 18х</х. (Удельный вес воды 6 = 1*.) Согласно условию задачи глубина х изменяется на отрезке
0sgxsg6. Поэтому искомое давление Р на весь шлюз найдем, интегрируя dp в пределах от 0 до 6:
в	в
Р = 18 J xdx = 9х21 = 3247^324000  9,81н«3178440н**«3,18Мн. о	о
656.	При условиях предыдущей задачи найти, на какой глубине х = с надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было одинаково.
Решение. Определим давление воды на каждую часть шлюза, интегрируя dp в пределах от 0 до с и в пределах от с до 6, затем приравниваем интегралы друг другу:
с	и
18 Jxdx= 18 J xdx; о	с
х2 | = х2|°; с2 = 36 — с2.
Решая полученное уравнение, найдем с = 3]/ 2^4,23 м.
657.	Определить давление воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, размеры которой указаны на черт. 118.
Решение. Допуская, что заштрихованная полоска расположена на глубине х в горнзонталь-Д _______£_________ной плоскости и что она является
j.	прямоугольником со сторонами у
д \)уMj\ \N и dx, найдем приближенную ве- y^^ZZZ^ZZZZZZZZZZZZZT.	личину давления воды на эту по-
|_	\;	\ лоску txp к ху dx = dp и затем
: л	в в~ к	Е давление воды на всю плотину:
h
ЧеРт- 1,8	P=Jxydx.
о
Для вычисления интеграла выразим переменную у через переменную х. Проведя вспомогательную прямую СЕ параллельно В А, из подобия треугольников DCE и MCN имеем пропорцию
(а — Ь):(а—у) — 1г. х,
из которой находим z/ = а—(а — Ь).
* Здесь и далее удельный вес задается в Г/см3.
** н (ньютон)—единица силы (веса) в Международной системе единиц СИ; 1//^ 9,102 кГ; 1 кГ =^9,81 н.
- - 210 —
Подставляя в подынтегральное выражение и интегрируя, получим
h
Р = х |^а—(а —	dx = а § х dx —	x2dx |Л = А <a + 2fc).
о
658.	Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности воды.
Решение. Проведем через центр шара вертикальную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему координат хОу, как показано на черт. 119.
Рассечем шар на глубине h горизонтальной плоскостью. Тогда давление воды на отсеченную часть поверхности шара будет некоторой функцией p(h).
При изменении h на величину dh площадь S отсеченной части поверхности шара, как площадь поверхности вращения вокруг оси Ох, изменится на величину As«s2nf/d/ = 6fs, где dl—дифференциал дуги окружности, а давление р (h) изменится на величину Арж2л hy dl = dp.
Выразив dp через одну переменную х и интегрируя в пределах от —2 до х = 2, воды на всю поверхность шара. л2 = 4 найдем
найдем давление
Из уравнения окружности
i	х
и =------и затем
J У
dl = ]/'l +(y')2dx=	1 + ~-dx = jdx; из
чертежа находим h~-3-\-x. Следовательно,
Р = 2л J (34-х) у^ dx — 4л у (3-|- x)dx = 2n (34-х)2 = 48л(7')«470880л(л)«0,471л(Л4л).
Давление на верхнюю половину поверхности шара получим, интегрируя dp в пределах от —2 до 0:
Р1 = 2л(34-х)2 |° = 16л (Г)л 156960л (н)лО,157л(Л4н)-
Давление на нижнюю половину поверхности шара будет
Р2 = 2л (3 + х)2= 32л (Т)«313920л(н)«0,314л(Л1н).
— 211 —
659.	Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Д = 6л( п радиусом основания /?=2 м. Удельный вес масла 6 = 0,9.
Решение. Величина работы q, затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты х его подъема: q—Px, Р— вес тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною х, черт. 120, есть некоторая функция q (х) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем v слоя масла увеличится па величину Др = лR2dx, его вес р увеличится на вели
Черт. 121
чину Др=л6 R2 dx, а затраченная работа q увеличится на величину Дрдалб/?2 xdx = dq.
Всю искомую работу Q получим при изменении х от 0 до //. Поэтому н	н
Q = лб/?2 §xdx = nbR2 ~ =-	~ 64800л (кГм) х
да 64800-9,81 л (дж) да 635688л (дж).*
660.	При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, полагаем, что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною х (черт. 121), есть некоторая функция q (л) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем v слоя масла увеличится на величину До да Н у dx — dv, его вес р увеличится на величину Др да 6 Ну dx = dp, а затраченная работа q увеличится на величину Др да 6 Hyxdx = dq.
Вся искомая работа Q выразится интегралом от dq в пре-
* дж (джоуль) — единица работы в Международной системе единиц СИ; 1 дж да 0,102 кГм\ 1 к/'лда9,81 дж.
— 212 —
делах от х = 0 до x = 2R: zR	zR
Q = bH §xydx = 2ёН J x	dx,
о	0
где переменная у выражена через переменную х из прямоугольного треугольника ONM.
Для вычисления этого интеграла полагаем х — R = R sin/.
Тогда dx = R cos tdt] t — — -^-прн x = 0; / = у при x = Ri Л
2
<2 = 26// J* (R+R
Л
sin t)R2cos2t dt =
2&HR3 (J
cos21 dt 4-
2
Л	Л
4-Ceos2/ sin / d/) 12 = 2&HR3(±-14-4- sin 2/—|-cos3/^|2 =
J	/ I Л	\ A 4	<5	/ |_л_
” 2	2
= n§HR3 = 43200л (кГм) » 423792л (дж).
661.	Шар лежит на дне бассейна глубиной /7=14дл1. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус R = 3djn, а удельный вес 6 = 2.
Решение. При подъеме шара до поверхности воды сила Ри совершающая работу, постоянна и равна разности между весом шара и весом вытесняемой им воды:
Pi = у л/?3д - у л/?3 = у л/?3 (б - 1).
Поэтому работа Q1T необходимая для под
Черт. 122
нятия шара до поверхности воды, опре-
деляется элементарным путем как произведение силы на высоту подъема Н — 2R:
Qi = Pt (Н - 2R) = ~ nR3 (6 - 1) (Н— 2R).
При дальнейшем подъеме шара сила р, совершающая работу, будет изменяться в зависимости от высоты х надводной части шара (черт. 122):
Р (х) = Рш — рв, где Рш — вес шара, рв — вес воды, вытесняемой подводной частью шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой h = 2R — х:
ре = nh2 (R -4) = у (2/? - л)2 (/? + х) = (х3 -3Rx2 4-4/?3).
Очевидно, и работа, совершаемая силой р (х), будет некоторой функцией q (х). Допуская, что при подъеме шара еще па малую
— 213 —
высоту dx сила р(х) остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы
hqxp (х) dx = (Рш—рв) dx — у [4/?3(6— 1)—х3 + 3/?х2] dx = dq.
Интегрируя dq в пределах от х = 0 до x = 2R, найдем работу Q.2, которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:
2R
Qa = ~ J [4/?3 (б - 1) - х3 + 3Z?x2] dx = О
2R
=4 [47?3 (6—1)х-4-+я*з11 = 4(2б- о* u l	*	| | о
о
Вся искомая работа Q = Qj + Q2 = -у л/?3 [/? +(б — 1) Н] = — 61,2л (кГм) к 600,4л (дж).
662.	Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом /э= 1,5 Т с поверхности земли на высоту Н = 2000 км.
Решение. Сила F притяжения тела землей или вес тела Г. . , А зависит от его расстояния х до центра земли: г(х) = -р, где А — постоянная.
Если Р есть вес тела, когда оно находится на поверхности земли, т. е. на расстоянии земного радиуса R от центра земли, X
то Р = -рг, "k = PR2 и сила F, преодолеваемая двигателем поднимающейся ракеты в момент, когда она находится на расстоянии х от центра земли, является известной функцией от х:
Полагая, что работа, совершаемая двигателем ракеты при подъеме ее на высоту х, есть некоторая функция q (х) и допуская, что при дальнейшем подъеме ракеты на малую высоту dx сила F остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы
!Xq » F (х) dx =	dx = dq.
При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту F1 переменная х изменяется от/? до/? +Н. Поэтому искомая работа Q выражается интегралом
R	R	*
— 214 —
При Р = 1,57’, 7/= 2000 юн, /? = 6400к.и Q «2285714 000 к/л1« & 22 422 854 340 дж.
Работу, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения, можно определить как предел работы Q (Н) при неограниченном возрастании Н:
lim Q (tf) = lim = lim [₽/?: (4 + 1Л =Р/?.
Н—>оо	*	L \	J J
При указанных значениях Р и R эта работа составит 9 600 000 000 кГм «94176 000 000 дж.
663. Цилиндр высотой //= 1,5лг и радиусом R = 0,4 лт, напол-
ненный газом под атмосферным давлением (ЮЗЗОкР/ти2), закрыт
поршнем. Определить работу, затрачиваемую на изотермическое сжатие газа при перемещении поршня на расстояние /г=1,2 м внутрь цилиндра.
Решение. При изотермическом изменении состояния газа, когда его температура остается неизменной, зависимость
между объемом v и давлением р газа выра-
жается формулой ри = с == const. (Закон	Черт‘ 123
Бойля — Мариотта.)
Поэтому, если поршень будет вдвинут на х м внутрь цилиндра (черт. 123), то давление р(х) газа на единицу площади поршня
будет р(х)= v= $ (н—х) ’ а Давление на всю площадь S поршня будет Р (x) = Sp =
Полагая, что работа, затрачиваемая при вдвижении поршня на х м, есть некоторая функция q(x), и допуская, что при дальнейшем вдвижении поршня на малое расстояние dx испытываемое им давление Р(х) остается неизменным, найдем приближенную величину приращения (дифференциал) функции q(x)-.
kq « Р (х) dx = dx = dq.
Всей искомой работе Q соответствует изменение х от 0 до h,
поэтому
г н
с\п(Н—х) =с1п
о
При И—1,5 м, $ = 0,4м, Ь = 1,2м, ро = 10 330 кГ/м? найдем ц, = лР2/7 = 0,24л л<3; с = р(р0 = 2479,2л; Q « 12533,3 кГм « « 122951,7 дж.
— 215 —
664. При условиях предыдущей задачи определить работу адиабатического сжатия газа *, при котором его объем v и давление р связаны соотношением рг/ = с = const (закон Пуассона), где k — постоянная для данного газа величина, большая единицы. (Для воздуха /е^1,4.)
Решение. Повторяя те же рассуждения и употребляя те же обозначения, как и в решении предыдущей задачи, найдем следующее выражение для дифференциала работы:
(*) =
с dx
Интегрируя в пределах от х = 0 до x = h, получим всю искомую работу
* = TF7 $	= A	(Н-.У-
П '	Il
__ с {Н — x),-ft|o_ pBvok Г 1	__ 11
~ sk~l 1—*	~ Х*-1 (/<• — 1) [	Hk~l\
Полагая /7=1,5 м, k =1,4, найдем
Г1 ^2479,2 л
Ч Щ4-
« 17593,4 кГм^ 172591,3 дж.
Сравнение этого результата с предыдущими показывает, что работа, затрачиваемая при адиабатическом сжатии газа, больше,
Черт. 124
зобьем искомое
чем при изотермическом.
665. Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения 5 = 6 м2 наполнен водой до высоты Н == 5 м. Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне площадью s = 0,01 лг3, если принять, что скорость истечения воды равна 0,61/2g/?, где ft — высота уровня воды над отверстием, g—ускорение силы тяжести.
Решение. Согласно общей схеме (1) ра-время Т на большое число п малых про
межутков A/n А/2, ..., А(„, и пусть за каждый такой промежу-
ток уровень воды в резервуаре понижается на величину Ах = -^-(черт. 124).
* В адиабатическом процессе температура газа меняется: при увеличении объема она понижается, а при уменьшении объема повышается.
— 216 —
Если допустить, что в течение каждого малого промежутка времени А/,. скорость истечения воды через отверстие в дне остается постоянной, равной ее значению в начале промежутка 0,6 ]/2g(/7—х,-), то, приравняв объем воды, вытекшей с такой скоростью через отверстие в дне за промежуток А/,-, объему опорожнившейся за этот же промежуток части резервуара, получим приближенное равенство
0,6s V2g(H—x^)	» SAx,
откуда
. ,	S Ax
А/, »----r— ________.
0,6s у 2g (H —x,j
Приближенное значение всего искомого времени Т будет равно сумме
П	п	ГЛ
т=~ o,6s K2g(//—х,) ’
где по условию задачи точки заключены на отрезке [0, Н].
Убедившись, что с возрастанием п погрешность полученного приближенного значения Т стремится к нулю, найдем точное значение Т как предел интегральной суммы («) при п— т. е. как соответствующий определенный интеграл
Н	_ I	1 о	_
----^=f(//—x)~Tdx = -^7=(//—х)3 I =-^-1/2".
0,6s K2gJ	0,6s	°-6s Г «
Подставляя числовые значения параметров, получим Т яэ « 1010 сек 16,83 мин.
Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась, т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и скорость истечения воды была бы постоянной, равной 0,6]/2g//. В этом случае в каждую секунду через отверстие в дне резервуара будет вытекать объем воды 0,6s ]/2g//, равный объему прямого цилиндра с площадью основания s и высотой 0,6 |/2g//. Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающейся в резервуаре, вытечет из него за время
Т SH --- 1 S
1	0,6s V'igH 2 0,6 s У g 
Сопоставление этого результата с предыдущим показывает, что время истечения Т, без возмещения убыли воды в резервуаре, в два раза больше времени истечения 7\, при постоянном возмещении убыли воды; Т = 27\.
666.	При условиях предыдущей задачи определить, за какое время уровень воды в резервуаре изменится на h м, если сверху в него непрерывно будет протекать V м3 воды в секунду?
Решение. В этом случае за малый промежуток времени Л/ объем воды в резервуаре изменится на величину
X Дх як [0,6s l/2g(f/—x)—V] Д/, откуда
Интегрируя dt в пределах от х = С)дох = /г, найдем искомое время Т2, за которое уровень воды в резервуаре изменится най(лг):
h
Т2 = а f --------,
2	J УН — х — Ь о
где а =----------------------==.. b =------.
0,6s у 2g	0,6s V 2g
Применяя подстановку У Н—х — г, получимdx —— 2zdz', z1^= — Ун при х = 0; z2 = K^—h при x = /t;
Z1	V Ц
Т2 = а§ ~^^ = 2а( (1 +^-}dz = 2a(z + blnlz—bl)[ ________ =
?i	z2	V H—h
Ун—h—b
Здесь изменение уровня воды в резервуаре может быть двояким.
Если в начальный момент при h = 0 скорость притока воды V будет меньше скорости ее убывания из резервуара 0,6s У 2gH, то уровень воды будет понижаться до тех пор, пока эти скорости не станут одинаковыми. После этого вода будет оставаться па постоянном уровне, меньшем первоначального уровня Н на величину h1, определяемую из уравнения 0,6s У 2g (И — h1) = V.
Если же в начале процесса V >» 0,6s У2§Н, то уровень воды в резервуаре будет подниматься до тех пор, пока не превысит первоначальный уровень Н на величину h2t определяемую из уравнения
0,6sl/2g(// + /i2) = E,
после чего уровень воды в резервуаре будетоставаться неизменным.
667.	Два одинаковых сосуда имеют форму прямого круглого конуса с вертикальной осью; их расположение и размеры показаны на черт. 125. Оба сосуда наполнены водой п затем опорожняются через небольшие одинаковые круглые отверстия внизу.
Определить время опорожнения каждого сосуда и в какой момент времени вода в обоих сосудах будет на одном уровне, если их опорожнение началось одновременно.
- 218 —
Черт. 125
Решение. Полагаем, что время/ , за которое уровень воды в первом или во втором сосуде понизится на величину х, есть некоторая функция t (х) и найдем ее дифференциал dt при изменении х на величину dx.
Пусть понижению уровня воды в сосуде на малую величину dx соответствует малое приращение времени Д/. Тогда, допуская, что в течение этого малого промежутка времени вода вытекает из сосуда с постоянной скоростью, равной найдем, что объем воды, вытекшей за время через отверстие в дне площадью лг2, будет Ди л; 0,6лг2 ]/2g (Н—х) ДЛ
За это же время объем воды в сосуде уменьшится на величину
Д^! « ny2dx, которая должна быть равна объему вытекшей воды Ду. Отсюда, из равенства Ду = Дп1, получим
y-dx
Ы «---------_________ =dt.
0,6г2	X)
Время Т полного опорожнения первого или второго сосуда получим, интегрируя dt в пределах от х = 0 до х = Н:
н
 1 Р у2 dx
Для вычисления этого интеграла выразим переменную у через переменную х.
Из подобия треугольников АВС и NBM* имеем:
а)	для первого сосуда -^- = —— .	У = ~н~\‘‘— x)i
..	Н х	R
б)	для второго сосуда *^ = ~ I У =
Поэтому время 7\ полного опорожнения первого сосуда будет
н	— о
₽2 Р w—x}2 dx _ R2 > 2 (Н—х)2 I 0,6r2№]/2gJ У"н^~х Х ~0,6r2№K2g"	5
_2R2 ,Гн
Ar2 V 2g ‘
* Здесь вследствие малости г по сравнению с другими размерами сосуда и для упрощения вычислений допускается, что осевое сечение сосуда представляет треугольник, а не трапецию.
— 219 —
Время 7'а полного опорожнения второго сосуда выражается интегралом и
'г	R2 с х2 ,
/, =-------г= \ —=-- dx.
0,6r2ft2V2gJ уГН—х
Вводя новую переменную z = H—х, имеем: dx =— dz; гг = Н при х = 0; z2 = 0 при х = Н;
Н	о	Н	I	1	я	б
С	x2dx	Р	(Н—?)2	,	С /09	Я	пи V	I	2 \	.	16	2
in^a-=-}—77-d!=!i<H 2 ~2Нг +2 >‘,г"15н  О	И	о
Подставляя найденное значение интеграла, получим Т2 = — |6/'2 1 ~ 9»2 г 2g 
Сопоставив Т2 и 7\, взяв их отношение ^ = |, заключаем, что первый сосуд опорожняется значительно (почти в три раза) быстрее второго. При этом, если опорожнение сосудов начинается одновременно, то в начале процесса уровень воды в первом сосуде будет выше, чем во втором, затем наступит момент, когда уровни воды в обоих сосудах сравняются, после чего уровень воды в первом сосуде будет неизменно и все более ниже, чем во втором.
Для определения времени, спустя которое после начала одновременного опорожнения сосудов вода в них будет на одном уровне, найдем зависимость времени t истечения воды от величины х понижения ее уровня для каждого сосуда.
Интегрируя dt в пределах от х = 0 до х = х, получим:
а) для первого сосуда
г	—	2	-1<>	2 Г -	А ]
t = b \(Н—х)2 dx = ^b(H-x)2 I --=^b [И 2 -(Н-х)2 ] , о где
0,6г2//2 f2g ’ б) для второго сосуда
Г гМх Г f	- А А
t—b \~~=b \H2z 2 -2Hz2 +z2 J dz--=
J V H-x ,) 4	' J
0	Z/-X
= 6 {2.H2 [n~‘ -(H-xy* ] — IH [,'/T -(// -	+
Рассматривая полученные зависимости t от х для первого и второго сосудов как уравнения с искомыми неизвестными t и х и решая их как систему (исключая t), найдем:
у [/7Т—(77—х)т] = 2/72 [/7т-(77 —хр] —
Г з	_з!	9 Г а	JL1
—~Н [Н2 -(77-х)2] +у [ 77 2 -(77-х)2 J ;
Н [т7т—(Я —х)т] — у [/7Т —(77—хр] =0;
/7Л^(Т7-|-2х) = /773; 3772 - 4х2 = О;	х = -Ц^-.
По найденному значению х из первого (или второго) уравнения определяем I:
t = 1 fo77v Г1 - (1 - Xf )Т1 •
По истечении этого промежутка времени t после начала одновременного опорожнения обоих сосудов вода в них будет на одном уровне
h=H—x=H ( 1	«0,157/.
668.	Определить массу шара радиуса г, если плотность в каждой его точке пропорциональна расстоянию ее от центра шара.
Решение. Пусть масса шара произвольного радиуса х есть некоторая функция т(х).
При увеличении х на малую величину dx объем v этого шара увеличится на величину До, равную разности объемов шаров с радиусами х и x-j-dx:
Ду = у л [(х + dx)3 — х3] =
= п (3x2dx + Зх dx2 -|- dx3) 4лх2 dx = dv. О
Допуская, что во всех точках малого объема dv плотность остается неизменной и равной kx, найдем приближенную величину его массы dm = kx dv = 4knx3 dx.
Искомую массу M шара радиуса г получим, интегрируя dm в пределах от х = 0 до х = г:
Г
Л7 — 4kn Xs dx = /елх4— /г л И.
О
— 221 —
669.	Квадрат со стороною 8 м вертикально погружен в воду так, что одна из его сторон лежит на поверхности воды. Определить давление воды на весь квадрат п на каждую из частей, на которые он разделяется диагональю.
670.	Цилиндрический резервуар с горизонтальной осью и радиусом 3 дм наполовину наполнен ртутью (удельный вес 13,6). Определить давление ртути на каждую из плоских вертикальных стенок резервуара.
671.	Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму полусферы с радиусом 2 лг.
672.	Цилиндрический сосуд объемом в 0,1 м'л наполнен атмосферным воздухом, который, изотермически расширяясь, выталкивает поршень (в пустоту). Найти работу, совершаемую воздухом при увеличении его объема до 0,3; 0,4; 0,5 ма. (Атм. давзение 10330 кГ/м2.}
673.	При условиях предыдущей задачи найти работу адиабатического расширения воздуха.
674.	Прямой круглый конус с вертикальной осью погружен в воду так, что его вершина находится на поверхности воды. Определить работу, необходимую для извлечения конуса из воды, если его высота 10 дм, диаметр основания 20 дм, а удельный вес 3.
675.	Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды, если известны ее размеры а = 6 м, Z? = 0,3 м, с = 0,2 м и удельный вес 6 = 0,8.
676.	Зная, что растяжение (удлинение) пружины пропорционально растягивающей силе, найти работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 4 см, если для удлинения ее на 1 см требуется сила 3 кГ.
677.	Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имеющая высоту И и радиус основания R, заполнена водой.
Определить, за какое время через отверстие в дне площадью S опорожнится:
1) верхняя половина цистерны и 2) нижняя половина цистерны. *
678.	Определить количество воды, протекающей за 1 секунду через прямоугольный водослив вертикальной плотины, если его глубина h, а ширина а*.
679.	Определить массу прямого круглого конуса, высота которого равна Н, а угол между высотой и образующей а, если плотность в каждой точке конуса пропорциональна расстоянию ее от плоскости, проходящей через его вершину параллельно основанию.
* См. указание к задаче 665.
— 222 —
§ 9. Координаты центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.
Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести С определяются формулами
(В) dl
(Л)_____
с т (В)
W
(-4)
(В)
I St/ dl
Ус т (В)
W (Л)
(1)
где т — масса дуги АВ; тх и ту— статические моменты этой дуги относительно осей Ох и Оу; б (Л4) —линейная плотность распределения массы в точке М (х, у) дуги; dl — дифференциал дуги; (Л) и (В) обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках А и В.
Если материальная дуга является однородной, то формулы (1) упрощаются: постоянная б выносится за знаки интегралов и сокращается.
Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох (см. черт. 87),
ху dx хс-—ь-----i
У У dx а
(2)
Центр тяжести однородной материальной линии или фигуры, имеющей ось симметрии, лежит на этой оси.
680.	Найти центр тяжести четверти окружности x2-f-z/2 = я2, расположенной в первом квадранте, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.
Решение. Из уравнения окружности найдем у', затем dl;
2х + 2уу’=О; у’ = — ^;
d/ = Kl + (//')Mx= У li~dx= ]/^dx = ^dx.
— 223 —
Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1), полагая, согласно условию, b = kxy:
§ 6х dl = J kxy -х--^ dx — ka§ x2dx = ~ x31 ° =	>
(Л)	о	о
(B)	a	a
j' by dl = Aa$ xy dx = ka^ x ]/ a2 — x2dx =
(Л)	о	о
°	i	я
= у J (fl2 - x2) M (fl2 - x2) = (a2 - x2p| “ =	,
a
IB)	a
С К П . f t •> I fl Ла3
\ о dl = ka \ xdx = -6 x2 =
J	J	Z | 0 Z
(Л)	<>
Подставляя значения интегралов в формулы (1), получим
2 хс - ус---у fl.
Очевидно, найденная точка не лежит па данной дуге, а расположена ниже ее.
681. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды
x = a(t — sin/), // = а (1 — cos /), черт. 126.
Решение. Данная однородная дуга симметрична относительно прямой х = ла. Поэтому центр тяжести дуги лежит на этой прямой, т. е. хс = ла. Для определения ус найдем дифференциал дуги циклоиды
dl -= Кх2 -}- y2dt = а2 (1 —cos /)2 + a2 sin2 t dt =-- 2а sin -^dt
и вычислим интегралы, содержащиеся во второй из формул (1):
(В)	2 Л
= § by dl = 2ba2 (1 — cos /) sin у dt = (Л)	n
= 26a2 sin -~dt — J cos t sin-^dt ) | ™ =
= 26a2^2 J sin A	|sin -J/ + sin (—y)] dt} | Г =
= 26fl2 Г— 3 cos 4 + 4- cos A / ) 12" = 3| 6fi2.
У	Z □	Z / [ о о
(В)	2Л
/2 = J bdl = 2ba sin dt — 46a cos A |	~ 86a.
M)	о
4
По формуле (1), yc^-^a.
— 224 —
682.	Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки),
ограниченной параболой	х+ \7у	а и осями координат.
Решение. Данная однородная сительно биссектрисы первого координатного угла (черт. 127), поэтому
Ус-
фигура симметрична отно-
Вычислим интегралы, содержащиеся в первой из формул (2):
Следовательно, хс=ус =	.
683.	Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности х24у2 = о2, расположенной под осью Ох.
684.	Найти центр тяжести однородного полукруга х2-\-у2^ха2, расположенного над осью Ох.
685.	Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной дугой эллипса x = ocos/, у = bsmt и координатными осями, расположенной в первом квадранте.
686.	Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной параболами х2 = 2бу п //2 = 20х.
687.	Найти центр тяжести однородной дуги астроиды х = a cos3/, r/ = flsin3/, расположенной правее оси Оу.
688.	Найти центр тяжести дуги астроиды, расположенной в нервом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна абсциссе точки.
§ 10. Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функ. ций называются несобственными.
S Заказ Д’» 3201
— 225 —
I.	Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются посредством предельного перехода:
4- со	Р
f(x)dx = lim ^f(x)dx,	(1)
о	₽->- + “о
b	b
\f(x)dx = lim ^f(x)dx,	(2)
-оэ	“а
4- оо	С	Р
f f(x)dx= lim j/(x)dx-|- lim ^f(x)dx,	(3)
-a,	а — -”а	P— + “c
где c—произвольное вещественное число.
II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:
если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х — с, принадлежащий отрезку [а, Ь], и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то
Ь	С —El	Ь
{f(x)dx — lim f /(ф!х |- lim f f(x)dx, (4)
J	e, ->- + o	e,-> + o
a	a	' c + e2
где nt и e2 изменяются независимо друг от друга.
Несобственные интегралы называются сходящимися или расходящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие их пределы соответствующих определенных (собственных) интегралов.
689. Найти следующие несобственные интегралы:
4) jу=тр •
О	0	— 1 V
Пояснить решение геометрически.
Решение. 1) Пользуясь равенством (1), имеем
Р
e~xdx = lim (— е~х) J = lim (е°—е~Э) = О
1.
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.
Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий ь
определенный интеграл ^f(x)dx дает алгебраическую сумму пло-а
щадей, ограниченных кривой y = f(x), двумя вертикальными прямыми х = а, х = Ь и осью Ох. Поэтому, построив кривую у = е~х И ее ординаты в точках х = 0 и х = 0 (черт. 128), получим кри
— 226 —
волинейную трапецию OABfl, площадь которой
Р
S (Р) = е~х dx = 1 — е-?.
О
При Р—> + оо получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь S( + °о) = lim S (Р) = 1,
>+ <х>
Черт. 128	Черт. 129
2) Пользуясь определением (3), получим
+ со	0	0	0
— со	а	о	а
р
+ limarc tgx =—arctg( —оо)-paretg (оо) =
Геометрически (черт. 129) интеграл от функции f(-K) = J^p в пределах от сс до Р выражает площадь криволинейной трапеции аЛВР, а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину л.
3) Здесь при х = 0 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (4)
J у я» lim Уу = Нт1пх| =lim(ln 1 — 1пе)= — 1п0= -роо, о £ е	е
т. е. этот несобственный интеграл расходится.
8*
— 227 —
Геометрически (черт. 130) полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции чАВЬ
s«== е
при е-—>-4-0 неограниченно возрастает.
4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке х=1, лежащей внутри отрезка интегрирования [ — Г, 21. Поэтому, согласно определению (4),
+ 31im(j/l--j/e2) = 3(y/2 + 1).
Для графика подынтегральной функции у= ^1= у (*—I)2 (черт. 131) прямая х=1 является вертикальной асимптотой. Ин-
Черг. 130	Черт. 131
тегралы от этой функции в пределах от — 1 до 1 — ех и от 1 -4-ег до 2 выражают площади криволинейных трапеций аАРе и t\QBb. При е,—<-4-0 и е„—> + 0 эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.
690. Найти несобственные интегралы:
ш л .
—г dx.
xi
28 —
Решение.
1) Преобразуем интеграл к новой переменной. Полагая x = 2sin/, получим: dx = 2cos/d/; / = 0 при х = 0; t =^-прн х = 2;
Л	л
2	2	2	0
=8 Г sin3 i COS t C sin3/c// = 8 f (1—cos2/)dcos/=^ .1 |/4—X2	J	cost	J	J	’
о	0	0	Л
T* 0
Q /	.	1	О . \ [	16
= о [ COS t—-x-COS3r	=Q--
\	<J	j I	□
л 2
Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода.
Возможно и обратное. При замене переменной собственный интеграл может перейти в несобственный.
2) Согласно определению (1)
К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям J и dv = uv— vdu. Полагая iz = lnx, dv = x~3dx, по-
I dx	1
лучим du = — , V——и
Р	р	р
Г1ПХ , 1пх 1 Р dx I In X 1 I _______ In Р I 1
J ~^зйх~ +	T3| 1ST ~ —2p ~4р«+т*
i	i	i
Подставляя в предыдущее равенство, имеем:
Здесь для нахождения предела последнего слагаемого применено правило .Лопиталя.
— 229 —
Найти несобственные интегралы:
1	4- <Ю
69». С е* dt.	692. С dx ,
J	J x2-i-2x + 2
— 00	— 00
I
693. ( Inxdx.	694. i хdx. .
J	J Vxi ~4
0	2
0	2
695. C xexdx.	696.
J	J (* —1)2
— 00	0
6	2
697. [ -z dx ..	698. I .
j j/(4— x)2	J x	1
2;	-—2
699. Найти площадь, заключенную между кривой у = е ’ и осями координат (при х5э0).
700. Найти объем тела, образованного вращением кривой //=—£= (при Л'2з=0) вокруг ее асимптоты.
V ех
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов
Для приближенного вычисления определенных интегралов имеется несколько способов. Если функция f(.v) задана формулой или таблицей, то приближенное значение определенного ь
интеграла f(x)dx можно найти следующим путем: а
1)	разделить интервал интегрирования [а, ft]точками xt, xit „ , h—a
x3, .... x„_L на n равных частей ft =;
2)	вычислить значения подынтегральной функции у=f(х) в точках деления y0 = f(a), yl = f(x1), y.2 = f(x2),	=
= fK-l). Un=f^)\
3)	воспользоваться одной из приближенных формул.
Наиболее употребительны следующие приближенные формулы, основанные на геометрическом представлении определенного интеграла в виде площади криволинейной трапеции.
/. Формула прямоугольников
Ь	п-1
ydx « /iQ/o + Pi + z/2-!- ... +'/„-1) = /г£ У,-	(1)
a	i=0
ИЛИ b	П
ydx№h(y1 + у.2-^уя +-... +у„) = ft<1й) a	i = 1
— 23U —