Численные методы в теории упругости и пластичности - Победря Б.Е.

Автор: Победря Б.Е.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация вычислительная математика численный анализ математика физика механика
ISBN: 5-211-03077-Х
Год: 1995
Похожие
Метод геометрического погружения в теории упругости
Теория упругости и пластичности
Аналитические методы в контактных задачах теории упругости
Вариационные методы в теории упругости и пластичности
Текст
                    IjFiK 22.193.
ГМ1
У /IK ГK0..Ч+ГI9.6
I '¦¦II. II nil 11,1
Научно-исследовательский имг-пиу i мех.шшп МГУ
профессор Jl.lt. Никитин
Победря Б.Е.
П41 Численные методы в теории упругости и пластич-
пластичности: Учеб. пособие. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ,
1995. — 366 с.
ISBN 5-211-03077-Х.
Дается краткое оригинальное изложение основ механики
деформируемого твердого тела (МДТТ). Рассматриваются
современные аффективные численные методы решения линей-
линейных и нелинейных краевых задач МДТТ. Описаны разностные
и вариационные методы, методы Монте-Карло и конечных эле-
элементов. Значительное внимание уделяется итерационным ме-
методам и способам улучшения их сходимости, а также методам
решения краевых задач МДТТ со свойствами, зависящими от
температуры и времени.
Для студентов и аспирантов, специализирующихся в об-
области механики деформируемого твердого тела.
1603040000D309000000)-081
П „77@2)-95
1S И N Г) 211 (Ш77 X © Б.Е. Победря, 1995 г.
© Издательство Московского
университета, 1995 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
I1 |к:дисловие ко второму изданию 5
I11 и'дис ловие 6
Чисть 1. Введение в механику деформируемого твердого тела . 8
I чаиа 1. Основные уравнения МДТТ 8
§ 1. Кинематика сплошной среды 8
§ 2. Основные законы МСС 16
§ 3. Операторные соотношения 21
§ 4. Связь между напряжениями и деформациями 27
§ 5. Определяющие соотношения при неизотермических про-
процессах 38
§ 6. Классификация и постановка задач МДТТ 44
§ 7. Вариационные принципы МДТТ 51
§ 8. Новая постановка задачи МДТТ и новый вариационный
принцип 65
I |.|ва 2. Некоторые классические среды 72
§ 1. Упругая среда 72
§ 2. Фундаментальные решения теории упругости 82
5 3. Интегральные уравнения теории упругости 93
5 4. Теория малых упругопластических деформаций 101
§ 5. Теория линейной вязкоупругости 106
!j 6. Нелинейная теория вязкоупругости 113
I i.nia 3. Простейшие задачи МДТТ 118
!i 1. Одномерные статические задачи 118
*j 2. Плоская задача МДТТ 121
5 3. Волны в упругой среде 131
§ 4. Волны в упругопластическом стержне 136
!j 5. Связанные задачи МДТТ 143
' I пгть II. Методы вычислений 156
I и па 4. Введение в разностные методы 156
§ 1. Разностные операторы 156
!i 2. Аппроксимация и устойчивость 167
^ 3. Метод прогонки 174
^ 4. Модельное уравнение теплопроводности 183
!j 5. Модельное волновое уравнение 191
^ 6. Сведение многомерных задач к одномерным 198
I i ' на 5. Итерационные методы 204
Ч 1. Простая итерация 204
si 2. Итерационные методы со сложными операторами обраще-
обращения 215
h 3. Решение статических задач теории упругости 224
!! 4. Итерационные методы решения задач нелинейной МДТТ . 229
'; 5. Быстросходящийся метод последовательных приближений 239
iiii.v 6. Вариационные и вариационно-разностные методы 247
f< 1. Проблема приближения 247
i 2. Методы, основанные на применении вариационных прин-
принципов 253
t 3. Метод Я-функций Рвачева 259

§ 4. Вариационно-разностный метод построения рачнос i них
схем 267
§ Д. Основы метода коночных элементов (МКЭ) 270
§ в. Формальное описание конечного элемента 277
Глана 7. Некоторые методы решения задач теории упругости и
пластичности 286
§ 1. Метод распада разрывов 286
§ 2. Разностный метод решения 291
§ 3. Методы теории потенциалов 295
§ 4. Методы Монте-Карло 299
§ 5. Метод блоков 309
§ 6. Особенности численного решения задач теории малых уп-
ругопластических деформаций 314
Глава 8. Методы теории вязкоупругости 317
§ 1. Метод преобразования Лапласа и ^-преобразования 317
§ 2. Метод укорачивания памяти 320
§ 3. Метод аппроксимаций 322
§ 4. Метод численной реализации упругого решения 323
§ 5. Неоднородные задачи линейной вязкоупругости 324
§ 6. Вязкоупругие композиционые среды 327
§ 7, Задачи нелинейной теории вязкоупругости 333
§ 8. Связанные задачи термовязкоупругости 336
Приложение I. Дельта-функции 341
Приложение И. Преобразование Лапласа 343
Приложение III. Z-преобрЖзование 349
Приложение IV. Формулы ¦тензорной алгебры 351
Приложение V. Соотношения между упругими постоянными 354
Литература , 355
Предметный указатель 362

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ
ИЗДАНИЮ
За время, прошедшее после выхода в свет первого издания
книги, в развитии численных методов произошли существенные
изменения. Сформировалось новое научное направление — вы-
вычислительная механика деформируемого твердого тела, целью
которого является получение решения задач с заданной степенью
точности с помощью ЭВМ. Создаются методы, позволяющие на-
наиболее эффективно использовать преимущества новых поколений
ЭВМ. С увеличением числа решаемых уравнений приходится
отказываться от ряда методов, хорошо зарекомендовавших себя
при решении сравнительно небольшого числа уравнений. В са-
самом деле, если для решения системы линейных алгебраических
уравнений второго или третьего порядка можно обойтись мето-
методом Крамера, то уже для решения системы 30 уравнений на ЭВМ
с быстродействием 1 миллиард операций в секунду потребуется
времени в 1.5 миллиарда раз больше, чем время существования
Земли [82]. Поэтому очевидно, что говорить об универсальности
того или иного метода, например метода конечных элементов,
наиболее распространенного среди инженеров, не имеет смыс-
смысла. Разумеется, не претендуют на универсальность и методы,
изложенные в настоящем издании.
Во втором издании из гл. 7 исключен параграф, посвящен-
посвященный численному решению задач механики упругих композитов
(в связи с выходом в свет книги Б.Е. Победри «Механика ком-
композиционных материалов»), добавлены три новых параграфа, в
которых описываются новейшие достижения вычислительной ме-
механики. Расширен список литературы и исправлены некоторые
опечатки и неточности.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Когда неискушенный читатель прочтет название книги, он по-
подумает, что существуют другие методы в теории упругости и
пластичности — не численные. Действительно, есть такие1: точ-
точные аналитические методы, которые позволяют записать решение
поставленной задачи в виде некоторых формул.
Например, если написано у = х2, то можно по заданному х
вычислить у на бумаге «столбиком». А если написано у = y/xl
Тут же сразу возникает вопрос о точности решения, которое
можно найти, скажем, с помощью алгоритма последовательных
приближений:
f), ,,, @.1)
Уп J
где за г/1 можно принять любое положительное число. При х = 2,
2/1=2 для достижения 9 верных цифр после запятой (верных
знаков) понадобится всего 4 приближения (п = 4). Однако далеко
не все алгоритмы так хороши.
Пусть, например, нам нужно вычислить число ж. В курсе
математического анализа для этой цели предлагается разложение
в ряд Тейлора функции
х3 хь х2п+1
5^Tr + .... @.2)
При х = 1 для ж получим «точное» аналитическое выражение
@-3)
Правда, реально мы можем найти ж(п) последовательными при-
приближениями, учитывая п слагаемых ряда @.3). Ввиду знако-
переменности этого ряда можно легко оценить ошибку 6 при
больших п:
Следовательно, для получения четырех верных знаков необхо-
необходимо 20 тысяч приближений, а для 9 верных знаков требуется 2
миллиарда приближений. Если же воспользоваться формулой
Виета
2 °° 7Г
П @-5)

то получим бесконечное произведение
2 2
@.6)
Для каждого приближения (т.е. учета нового сомножителя) здесь
придется вычислять квадратные корни хотя бы описанным выше
алгоритмом @.1), но зато после 8-го приближения получим 4
верных знака, а после 15 приближений — 9 верных знаков.
Итак, возникает проблема: к результату, который нам нужно
знать с наперед заданной точностью, следует добраться с на-
наименьшими затратами. Условно ее решение можно разбить на
несколько этапов:
1) постановка задачи, т.е. математическая формулировка сути
изучаемого явления;
2) доказательство корректности постановки: существование
решения, его единственность, непрерывная зависимость от вход-
входных данных;
3) дискретизация задачи, замена ее на более простую, допуска-
допускающую решение численными методами. Доказательство коррект-
корректности приближенной задачи и ее «близости» к исходной задаче;
4) выбор метода решения и оценка его эффективности;
5) программирование и решение на ЭВМ;
6) анализ численных результатов. Сравнение с экспериментом,
другими решениями.
В идеале механик должен был бы работать только на первом и
последнем этапах, а в промежутке ему могли бы помочь математик
B-й этап), вычислитель C-й и 4-й), программист E-й). Но,
увы! Практически на всех этапах в работу должен вмешиваться
механик. Ему-то и адресована настоящая книга, чтобы помочь
и какой-то мере приступить к выполнению третьего и четвертого
чтапов.
Книга основана на лекциях, которые автор читал начиная с
1969 г. на механико-математическом факультете МГУ по кур-
курсам «Теория упругости и пластичности» и «Основы методов
нычислений».
Книга состоит из двух частей. В первой очень кратко из-
излагаются основы механики деформируемого твердого тела, а
но второй — основы методов вычислений, приспособленных для
мех аников-пр очнистов.
Автор с удовольствием учтет все замечания читателей, на-
направленные на улучшение содержания книги. Он благодарит
' <> грудниц механико-математического факультета Л.С. Харькову,
II Н. Трупашеву, В.И. Шестакову и Э.А. Победря за помощь в
"формлении рукописи.

Часть 1
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО
ТЕЛА
Глава 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МДТТ
§ 1. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Мы будем рассматривать, как правило, трехмерную сплошную
среду, занимающую объем V, ограниченный поверхностью ?.
Движение такой среды обычно описывается уравнениями
x = x(X,t), A.1)
где х — радиус-вектор пространственного положения частицы,
которая в начальный момент времени t = <o занимала положение
X, т.е.
x = x(X,t0). A.2)
Такой способ описания движения называется лагранжевым. Его
обычно используют в МДТТ, тогда как в механике жидкости и
газа более распространен эйлеровский способ описания, когда
следят за изменением характеристик в некоторой фиксированной
точке пространства. Вектор перемещения й частицы определяется
разностью
u = x(X,t)-X, A.3)
а вектор скорости этой частицы
v = x(X,t) = u(X,t), A.4)
где точка обозначает частную производную по времени. Вектор
ускорения w определяется следующим образом:
w = x-(X,t) = u(X,t). A.5)

Мы будем считать, что введена некоторая система координат
Х{ (г — 1,2,3) с локальными векторами базиса е, и взаимного бази-
базиса е*. Представим градиент вектора перемещений по координатам
Х{ в выбранном базисе следующим образом:
Gradw = «je,®5'. A.6)
Тензор A.6) в литературе известен под названием тензора дис-
торсии, или тензора градиента деформации [29]. В дальнейшем
мы всюду будем считать, что выполняется условие
|Gradw|«l. A.7)
Если условие A.7) соблюдено для всех точек среды и для любого
момента времени, то деформации считаются малыми. В этом
случае пространственные координаты х частицы отличаются от
материальных координат X на бесконечно малые величины. Не
оговаривая особо, мы будем обычно подразумевать, что систе-
система координат Xi является прямоугольной декартовой, а запятая
перед индексом означает частное дифференцирование по соответ-
соответствующей координате. Разумеется, нетрудно дать обобщение на
произвольную криволинейную систему координат. Мы будем ши-
широко пользоваться и безындексной инвариантной формой записи.
Так как система координат считается всюду фиксированной, то
мы будем иногда называть тензором а и систему его компонент a,j.
Следует заметить, что в случае малых деформаций интерпре-
интерпретация вектора перемещений A.3) во многих случаях теряет смысл,
ибо лагранжевы и эйлеровы координаты в таком случае совпа-
совпадают и перемещения можно рассматривать лишь как векторное
поле, определенное в евклидовом пространстве R.3 [84]*.
Разобьем тензор дисторсии на симметричную и антисиммет-
антисимметричную части:
где
* Поэтому следует с осторожностью относиться к высказыванию некото-
|ii.ix авторов, что в результате малых деформаций некоторые две первона-
первоначально различные точки совпали [85].

Симметричный тензор е называется тензором малых деформа-
деформаций, а его выражение через вектор перемещения A.9) называется
соотношениями Коши. В безындексной записи эти соотношения
можно записать в виде
e = Defw. A.11)
Антисимметричный тензор ш называется тензором поворота. С
ним однозначным образом можно связать осевой вектор вращения
w = -rotu, и{ = -UjkUk,j, A.12)
следующим образом:
/1 1 Q\
Упражнение 1.1. Доказать тождества
шц,к = ekiJ - ?kj,i, A.14)
Пусть теперь известны как функции координат величины ?ij(x).
Требуется найти перемещения и,-. Тогда на A.3) можно смотреть
как на систему шести дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка для трех неизвестных функций щ(х)
при заданных «начальных» условиях. Например, пусть в неко-
некоторой точке Mq с координатами ж° заданы два вектора: и0 и и0.
Разумеется, задача интегрирования этой системы дифференци-
дифференциальных уравнений не всегда выполнима. Введем так называемые
условия их интегрируемости. Рассмотрим сначала односвязную
область и в ней точку Мо с координатами х®. Пусть в этой точке
известны перемещение «? и тензор поворота о>?-. Тогда перемеще-
перемещение в любой точке М можно выразить следующим образом:
м м
j dm = u? + j uitj d^j, A.16)
щ = u
Mo Mo
где интеграл берется по любому непрерывному пути, лежаще-
лежащему внутри рассматриваемой области. Применим к последнему
10

интегралу в A.16) формулу A.8) и произведем интегрирование
по частям:
м м
[ ujij d?j = Uijtj |JJ - / ?wy,m dU. A.17)
Mo Mo
Тогда получим
м м
щ = „° + uijXj - о;?-*? + Jeimdtm- J $«0> <%т. A.18)
Jlfo Mo
Добавляя и вычитая в правой части A.18) выражение ш,?-ху и
используя тождество A.14), получим
м
Мо
Эти формулы известны под названием формул Чезаро [62]. Они
позволяют для односвязной области однозначно выразить переме-
перемещения по заданным деформациям в данной точке М.
Выберем теперь замкнутый контур, т.е. предположим, что точ-
точка М совпадает в A.19) с точкой Мо- Тогда интеграл в A.19)
должен для односвязной области обратиться в ноль. Применим к
нему теорему Стокса о роторе [84]:
Ф aimd?m = / tpqm<limiqnpdY,. A.20)
Е
Тогда получим, используя формулу A.15),
tpqm J [Smq.i + (х, - ?j)enklenijemkiql]np offi = 0. A-21)
E
Достаточное условие обращения в нуль интеграла A.21) имеет
иид
т} = Inks = 0, rjpn = epqmenkiemk,qi = 0, A-22)
i < должен обращаться в нуль компонент некоторого симметрич-
о тензора второго ранга т], который носит название тензора
11

несовместности. Уравнения A-22) называются условиями совмес-
совместности. В конце настоящего параграфа будет доказано, что для
односвязной области они являются необходимыми и достаточными
условиями интегрируемости уравнений A.9). Лля многосвязной
области они являются только необходимыми.
Упражнение 1.2. Доказать, что для многосвязной области
V, в которой можно провести поверхности Sa, a = l,'2,...,q,
так, чтобы сделать область V односвязной, для интегрируемости
уравнений A.9) требуются дополнительные условия
= 0, A.23)
A.24)
где Га (а = 1, 2, ...,<?) — замкнутые контуры в V, причем каждый
из них пересекает только одну поверхность Sa [62, с. 491].
Упражнение 1.3. Показать, что если тензор деформации е
равен постоянному тензору с, не зависящему от координат, то
перемещения в точке М выражаются в виде
щ = «? + (w?. + Cij)(Xj - x]). A.25)
Упражнение 1.4. Показать, что если в условиях упражнения
1.3 содержится предположение о «жестком» защемлении точки
Мо, т.е. при Xj = х°
щ = 0, w,- = -?ijkuktj = 0, A.26)
то
ui=cij(xj-x°). Ш A.27)
Мы будем часто пользоваться разложением тензора деформа-
деформации на девиаторную и шаровую части:
€ = S + з в1> eiJ = е0 + з BSi>' A 28)
где в — первый инвариант тензора деформации, описывающий
изменение объема среды:
A.29)
12

Угловые скобки означают след матрицы, описывающей соответ-
соответствующий тензор. В качестве второго инварианта тензора де-
деформации чаще всего будет приниматься интенсивность тензора
деформации еи:
Тензор
ец = ?ец A.31)
назовем тензором скоростей деформации. Из соотношений A.9)
и A.4) следует, что
Упражнение 1.5. Используя формулу (IV.15) приложения IV,
показать, что тензор несовместности т) может быть записан в виде
,.. „„,
Упражнение 1.6. Доказать, что тензор несовместности т) мож-
можно разбить на шаровую составляющую и девиатор fj следующим
образом:
ГИ} = -?П6Ч + Щ, A-34)
где
г} = Tjijeij = eki,ki - АО, A.35)
§ 6ц. A.36)
Упражнение 1.7. Доказать, что если справедливы уравнения
совместности A.22)
t)ij = 0, A.37)
то справедливы уравнения
eij>ij=A0 A.38)
и
13

Упражнение 1.8. Доказать, что уравнения A.37) и A.39) экви-
эквивалентны, т.е. если справедливы одниу то справедливы и другие.
Упражнение 1.9. Доказать, что если выполняется хотя бы
одно из условий — A-37) или A.39), то справедливы и условия
A.38). ¦
Очевидно, что если выполняются условия совместности A.37),
то выполняются условия обращения в нуль всех компонент сим-
симметричного тензора второго ранга Н:
Щ, = Asij + 0itj - eikikj - ejk<ki + fa (еы,ы - Д0) = 0, A -40)
где ? — произвольный симметричный тензор-константа второго
ранга. Очевидно, что
Hij = щ при iij = Sij, A.41)
Hij = щ при ^j = -S^. A.42)
Докажем теперь обещанную выше теорему о том, что в однос-
вязной области для интегрируемости уравнений Коши A.9) необ-
необходимо и достаточно вьшолнения условий совместности A-22).
В самом деле, каждое тензорное поле т (необязательно сим-
симметричное), обращающееся на бесконечности в нуль, можно од-
однозначно представить в виде [113]
r = V®5 + Vxi, Tij= ajti + eik,Aljik. A.43)
Но в силу той же теоремы такое представление справедливо и
для тензора А:
А = Ъ ® V + В х V, Aij=bij+ ejmnBim>n. A.44)
Подставляя A.44) в A.43), получим
тц = aj,i + Ci,j + tikiZjmnBim,nk, A-45)
где
с = V X b, Cij = eikibitjk. A.46)
Разобьем теперь тензоры г, В на симметричные и антисиммет-
антисимметричные составляющие
Tij ~ ?ij + qij, ?ij = ?ji, qij = -qji, A-47)
Вц = Si:i + Qij, S^ = Sji, Qij = -Qji A.48)
14

и, кроме того, положим
at + с,-.= и,-, а,- - с,- = t/,-. A-49)
Тогда из A-45) имеем
Отсюда
( +
,nk)- A.50)
o m,nk, A-51)
Следовательно, согласно A.51) всякий симметричный тензор
второго ранга е представим в виде
A.53)
Упражнение 1.10. Показать тождества
InkDef = 0, A.54)
DivInk=0. A.55)
Упражнение 1.11. Доказать, что если для тензора е выпол-
выполняется условие
Dive = 0, A.56)
то для него справедливо представление
e = Ink5. ¦ A.57)
Заметим, что если справедливы соотношения Коши A.11), то
Ink 5 = 0 A.58)
и из A.54) и A.53) следует A.22).
Пусть теперь выполнены условия A.22). Тогда в силу A.53)
имеем
InkInk5 = 0, A.59)
15

что эквивалентно
ДAпк5) = 0, A.60)
а в силу поведения тензора поля t на бесконечности отсюда вы-
вытекает A.58), а потому из A.53) следует A.11), что и требовалось
доказать.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МСС
Основными законами механики сплошной среды являются: за-
закон сохранения масс, законы об изменении количества движения и
момента количества движения. В интегральном виде эти законы
записываются следующим образом*:
0, B.1)
jt jpvdV= f PFdV+ fS^dE, B.2)
V V ?
-^ I p[x x v] dV = I p[x xF]dV+ fxx 3<п> rfS. B.3)
Здесь p — плотность вещества (г/см3), F — вектор массовых сил
(см/с2), ?>(") — вектор поверхностных сил, действующих перпен-
перпендикулярно к площадке, характеризующейся единичным вектором
нормали п. Известным образом можно ввести тензор напряжения
<х, причем
5<П> = ?-Й, $П) = <ГЦП;. B.4)
Этот тензор может быть разложен на дивиаторную и шаровую
составляющие:
<7 = s + crj, ffij = Sij + aSij, B.5)
где а — первый инвариант тензора напряжения, называемый
средним напряжением
0 = 3<7= (o-) = ff0-. B.6)
* Мы здесь не будем рассматривать полярные среды [69], т.е. среды, в
которых учитываются массовые и поверхностные распределения моментов.
16

В качестве второго инварианта тензора напряжения чаще всего
будет приниматься интенсивность тензора напряжения
"и = уДР) = VsiJs4- B-7)
Следствием закона сохранения масс является уравнение нераз-
неразрывности, которое при лагранжевом способе описания имеет вид
pdV = const. B.8)
Таким образом, в МЛТТ изменение плотности может быть найде-
найдено после определения изменения кинематических характеристик
среды.
Упражнение 2.1. Пользуясь соотношениями B.4), B.8) и A.4),
вывести из закона об изменении количества движения B.2) урав-
уравнения движения сплошной среды:
/т" = pF + Div <т, рщ = pFt + ffjtj. B.9)
Упражнение 2.2. Пользуясь соотношениями B.4), B.8) и B.9),
а также законом об изменении момента количества движения B.3),
доказать симметричность тензора напряжения:
<т = a, <щ = <Tji. ¦ B.10)
Умножим левую и правую часть уравнения B.9) скалярно на
вектор v и проинтегрируем по объему, занимаемому средой:
/pvvdV = f pFvdV+ f(m.va)-vdV. B.11)
V V V
Последний интеграл левой части B.11) преобразуем следующим
образом:
/ (Div <т) ¦ v dV = I (Tijti vt dV = I (Т|;- vt nj rfS - I <ri} vitj dV. B.12)
Подьштегральное выражение последнего члена в B.12) на основа-
основании B.10) и A.32) можно представить в виде
^ + "iMj) ~ 2aii(vij + vi,i) = Wij- BЛЗ)
Обозначим dE изменение кинетической энергии, 6А^ изменение
работьгчвнеДШих.хил, состоящей из изменения работы внешних
17

массовых сил 6А\е' и внешних поверхностных сил 5Ау, а 6А^ —
изменение работы внутренних сил:
B.14)
6А[е) = dt I pF ¦ vdV = Ipf ¦ dudV, B.15)
v v
e) = dt f <Tij ViJij rfS = / 5(nr) • du rfS, B.16)
s
6A& = -dt f ffijtij dV = - I ffijdeij dV. B.17)
v v
Тогда из B.11) получаем теорему живых сил
dE = 6А^ + 6А&, 6А& = 6А[е) + 6АBе). B.18)
Заметим, что dE является полным дифференциалом кинетической
энергии Е:
±Jv2dV, B.19)
чего нельзя сказать об изменении работы внешних и внутренних
сил. Этим и объясняется различие в обозначениях, т.е в символах
d и 6. В самом деле, например, выражение 8А\е' будет полным
дифференциалом работы внешних массовых сил
А[е) = I
pF ¦ udV B.20)
v
только при условии потенциальности массовых сил, т.е. сущест-
существования такой скалярной функции xf{^,u), что
Fi -
То же замечание относится и к работе внешних поверхностных
сил
Si"' = ^bi. B.22)
18

Заметим, что потенциалы \F и \s существуют, в частности, если
F и §(") не зависят от перемещений й.
Если рассматриваются неизотермические процессы, то требу-
требуется привлечение основных законов термодинамики. Первый из
этих законов постулирует существование функции состояния U,
называемой внутренней энергией, и записывается в интегральном
виде следующим образом:
jt Jp[tf+y]dV = J p[F .v + q]dV = JJS<") • «-«<»>] <ffi. B.23)
Здесь q — массовый приток тепла, qn — проекция вектора внеш-
внешнего потока тепла q на нормаль к поверхности Е:
q(n) = q.7t = qini. B.24)
Внутренняя энергия, как и любая функция состояния, зависит
от внешнего термодинамического параметра состояния, которым
является температура Т, и некоторых внутренних параметров
состояния, которые характеризуют рассматриваемую среду.
Второй закон термодинамики постулирует существование не-
некоторой функции состояния Н, называемой энтропией, и записы-
записывается в интегральном виде следующим образом:
где W* — так называемая функция рассеивания, причем W* 3> 0.
Если функция рассеивания равна нулю, то среда называется
обратимой; если она строго больше нуля, то среда необратимая.
Последнее слагаемое в правой части уравнения B.25) называют
производством энтропии Н*, причем
B.26)
Заметим, что все пять законов B.1), B.2), B.3), B.23) и B.25)
имеют одинаковую структуру «законов сохранения». Законом
изменения величины а называется выражение вида
j IpadV = IPAdV+ [в^с1Е+ ICdV, B.27)
V S V
19

где все величины а, А,В^"^ и С имеют одинаковую тензорную
структуру; А называется источником величины а; В^") — потоком
величины а:
В<"> = В п, B.28)
причем В — тензор на единицу большей валентности, чем а; С на-
называется производством величины а, если задано дополнительное
требование С > 0. Если А = В^п) = С = 0, то B.27) называется
законом сохранения величины />а. Пользуясь выражением B.28)
и применяя теорему Остроградского-Гаусса к выражению B.27),
получим закон изменения величины а в дифференциальной форме:
рл = рА + Div В + С. B.29)
Воспользуемся теперь теоремой живых сил B.18) и обозначениями
B.14)-B.17). Тогда первый закон термодинамики B.23) можно
переписать в виде
,i?,-,• + pq] dV-J e<"> rf?. B.30)
Упражнение 2.3. Проанализировав уравнения B.1)—B.3),
B.30) и B.23), установить, об изменении какой величины в каждом
из них идет речь, что является источником, что — потоком и
что — производством этой величины.
Упражнение 2.4. Пользуясь выражениями B.29) и B.25), пре-
представить первый закон термодинамики B.30) в дифференциальной
форме
plT = (Tijt'ij + pq- g,,«. B.31)
Упражнение 2.5. Пользуясь выражениями B.29) и B.25), пре-
представить второй закон термодинамики B.25) в дифференциальной
форме
pTH=pq-qiii + W*. B.32)
Упражнение 2.6. Вводя функцию состояния Ф, называемую,
свободной энергией, по формуле
B.33)
получить из выражений B.31) и B.32) закон сохранения в форме
рФ + РНТ + W* = <г0- eij. B.34)
20

Упражнение 2.7. Показать, что для «квазистатических» за-
задач, т.е. для случая, когда силы инерции пренебрежимо малы,
уравнения движения сплошной среды B.9) превращаются в урав-
уравнения равновесия:
Diva- + pF - О, (Ttjj + pFt = 0. ¦ B.35)
Дальнейшее развитие общих уравнений механики сплошной сре-_
ды будет дано после введения определяющих операторных со-
соотношений.
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В уравнениях движения B.9) массовые силы считаются извес-
известными, а компоненты вектора перемещения щ и симметричного
тензора напряжения ац — неизвестными величинами. Если рас-
рассматриваются изотермические процессы, то для замыкания систе-
системы уравнений МДТТ необходимо задать физические соотношения
между напряжениями и деформациями (определяющие соотноше-
соотношения) в виде некоторой операторной связи. В существовании такой
операторной связи сомневаться не приходится хотя бы потому,
что изменение деформированного состояния влияет на изменение
напряженного состояния. Однако понятие «операторной» связи
требует некоторого уточнения.
Мы будем каждый симметричный тензор второго ранга а(т)
в фиксированной точке трехмерного евклидова пространства R-з
[84] называть процессом и считать элементом некоторого фун-
функционального пространства Ht, т.е. пространства абстрактных
функций, заданных на числовом отрезке 0 ^ г ^ t. В пространс-
пространстве Ht можно ввести скалярное произведение двух произвольных
процессов aW и qB\ например, по формуле
C.1)
где p(t,r) — некоторая положительная функция (памяти). Можно
также рассмотреть пространства Ято таких абстрактных функций
Ч^*\т), которые определены на бесконечном интервале и вне от-
отрезка [0,<] тождественно равны нулю. В этом случае скалярное
произведение для произвольных двух элементов а*^ и а'B) можно
также определить формулой C.1). При этом мы будем понимать
21

t
интеграл f так:
о
t+a
= Шп / C.2)
О о- -<*
где а — положительное число.
Назовем симметричный тензор второго ранга смешанным фун-
функционалом Т от пары величин [50]:
о (?) = jF{a (r),?|, C.3)
где qt{r) —тензор-функция, а ? — число, если задан закон, ставя-
ставящий в соответствие каждой паре (gt,?) из #<» х Ri некоторый
тензор Ьг (шестерку чисел). Если в C.3) зафиксировать ?, то
получим тензор-функционал, а если зафиксируем а', то получим
тензор-функцию переменной ?. Таким образом, смешанный фун-
функционал определяет функциональный оператор, т.е. однозначное
соответствие между тензором а', рассматриваемым как незави-
независимая переменная, и тензором Ь%. Обратно, если задан функ-
функциональный оператор, то ему можно поставить в соответствие
вполне определенный смешанный функционал. Именно такие опе-
операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем при описании
определяющих уравнений. Лля случая t = ? оператор C.3) будем
обозначать сокращенно:
Ъ = Г{а}. C.4)
В случае, если значение тензора Ъ в момент времени t зависит от
значения процесса а только в момент времени t, будем говорить,
что C.4) является функцией процесса а. В этом случае вместо
t можно писать Т.
Процессы, которые входят в определение оператора f и кото-
которые должны для каждой теории определяться экспериментально,
называются материальными функциями.
Процессы, которые задаются как входные для определения
материальных функций, называются пробными. Совокупность
материальных функций называется индикатрисой оператора Т.
Порядок индикатрисы — это число материальных функций, кото-
которые полностью определяют оператор Т.
Другими словами, пусть задано несколько элементов прост-
пространства #оо
22

и пусть построены значения оператора C.3) на этих элементах
?a)tf.0. vw(t,t),-~,ulm)(t,t). (з.б)
Если т — минимальное число значений C.6), по которым по-
полностью определяется вид оператора C.3), то процессы C.5),
называются пробными, а величины C.6) — индикатрисой опера-
оператора C.3), а число т — порядком этой индикатрисы. Порядок
индикатрисы зависит от структуры оператора f, в частности
от группы симметрии преобразований в Кз, относительно кото-
которой оператор C.3) является инвариантным. В случае линейного
оператора Т числа пит равны единице, а индикатриса U(?,t)
является тензором четвертого ранга. В самом деле, каждой ком-
компоненте подобного процесса а* в некоторой системе координат
пространства Кз соответствуют шесть компонент тензора инди-
индикатрисы U(?,t). Если индикатриса имеет конечный порядок, то
построенный оператор Т определяет модель МЛТТ.
Предположим, что в качестве процессов, т.е. элементов прос-
пространства #оо могут быть выбраны и обобщенные функции [36].
Выберем в качестве пробного процесса а*(т) произведение еди-
единичного тензора J на дельта-функцию Лирака 6(t — r) [36]. Так как
этот пробный процесс является симметричной функцией от t — т,
то индикатрису, ему соответствующую, назовем симметричной
индикатрисой:
Us(t,i) = ?U6(t-'r),(}. C.7)
Упражнение 3.1. Доказать, что всякий линейный смешанный
функционал C.3) в пространстве Ноо представим в интегральном
виде [76, с. 99]: •
t
= J Us(t, т)а\т) dr. C.8)
о
Если в качестве пробного процесса выберем произведение еди-
единичного тензора J на единичную функцию Хевисайда h(t — т) [36],
которая является несимметричной, то индикатрису, соответст-
соответствующую этому процессу, назовем несимметричной индикатрисой
A
г), О- C-9)
Упражнение 3.2. Доказать, что всякий линейный смешанный
функционал C.3) в пространстве #оо представим в интегральном
ниде [76, с. 99]:
t
?{аЧт)Л}= [ UA{?,T)dqt{r). Ш C.10)
о
23

Оператор C.3) называется циклически замкнутым, если его
можно поменять местами с производной, т.е. если из C.3) следует
равенство
?«) *{1*ш} (з.и)
Упражнение 3.3. Показать, что индикатриса циклически замк-
замкнутого линейного оператора имеет разностный вид [76, с. 100], т.е.
U(i,t) = U({-t). C.12)
Упражнение 3.4. Показать, что всякая тензор-функция U(?,t)
вида C.12) является индикатрисой циклически замкнутого опе-
оператора. ¦
Дифференциалом DT тензора-оператора f и его функциональ-
функциональной производной -^д- в процессе а назовем выражение
Df{a, h} = Щ ft] = ±({а + ?Л}е=0. C.13)
Если в каком-то процессе а оператор-дифференциал DT операто-
оператора Т{а) обращается в нуль для всех Л, то будем говорить, что
оператор Т имеет в а стационарное значение. Если производная
в правой части C.13) существует только в обобщенном смысле,
то будем говорить, что -gj- является обобщенной функциональной
производной оператора Т. Такие производные применяются в
МДТТ в случае «негладких» операторов Т. При этом будем
eJ~
считать, что DT линеен по Л. Нетрудно видеть, что -gjj- представ-
представляет собой тензор-оператор четвертого ранга. Аналогично можно
определить производные второго и более высокого порядков:
({а + 6ЛA) + • • • + ^A(fl)), C.14)
причем Dnf (п = 1,2,...) полилинеен по Л/*) (к = 1,..., п).
Назовем m-линейной формой выражение
iw • • A&U *Ъ, C-15)
где тензоры Л' ', hS2',..., ly-"' принадлежат некоторым линейным
нормированным пространствам Е\, Е'г,..., Ет.
24

Форма называется однородной, если
= ¦¦• = h(m).
Однородная форма второй степени называется квадратичной. Та-
Такие же определения справедливы и для скалярных операторов.
Например скалярным квадратичным оператором W называется
оператор вида
W = Aijuhijhk,. C.16)
Сумму однородных форм
м м
()i(m^m C-17)
назовем многочленом степени М относительно h.
Пусть теперь оператор Т в окрестности точки а — 0 представ-
представляется в виде сходящегося ряда
C.18)
m=0
Величины Ат представляют собой тензоры-операторы 2(m-f-l)-ro
ранга. Так как тензоры атлЪ симметричны, то тензоры А^У- ,- •
симметричны по индексам i, j, г'*, jk (к = 1,...,т). Кроме того,
они симметричны по парам индексов ikjk, idi (к, I = 1, ...,m).
Если они еще симметричны по парам индексов ij и ik
Д(т) _ Д(т)
ijiijiikjkij -^ikji
то говорят, что выполнены условия взаимности [67].
Заметим, что если оператор Т представим в окрестности про-
процесса а в виде ряда Тейлора, то под А в выражении C.17) понима-
понимается m-я тензорная функциональная производная в данной точке
(которая является тензором ранга 2(т + 1)), поделенная на тп\.
Мы скажем, что тензорный оператор инвариантен относитель-
относительно некоторой группы преобразований S, если для матрицы Q,
характеризующей преобразование S, из соотношения C.4) имеем
aQ). C.20)
25

Очевидно, для того чтобы тензорный оператор JF, представимый
в виде C.18), был инвариантен относительно группы преобразова-
преобразований S, необходимо, чтобы каждая т-линейная однородная форма
была инвариантна относительно S.
Если под S понимается полная группа движения трехмерного
евклидова пространства, то тензорный оператор, удовлетворяю-
удовлетворяющий уравнениям C.4), C.20) для всякой ортогональной матрицы
Q, называется изотропным.
Изотропный оператор Т называется квази-m-линейным, если
в его представлении C.18) могут участвовать только тензорные
степени тензора а не выше т. Тензорной степенью m тензора
а называется выражение
1т = аиЛп^Лъ) ¦ ¦ ¦ a.m_2im_1(rm_i)aIm_li(rm)e,- ® е,-. C.21)
Скалярной степенью т этого же тензора а называется след тен-
тензора C.21), т.е.
lm = (lm) = <4ii(n)ailia(T2). • .a,-m_a,-m^1(rm_i)a,-m_I,-(rm). C.22)
Здесь г,..., rm_i — значения параметра т Е [0, t]. В частности,
квази-1-линейный оператор называется просто квазилинейным.
Он является тензорно-линейным, а его нелинейность отражает-
отражается нелинейной зависимостью от инвариантов тензора-аргумента.
Оператор JF называется потенциальным, если существует такой
скалярный оператор W, что
C-23)
Если оператор Т аналитический (т.е. существуют все его фун-
функциональные производные), то его всегда можно представить в
виде C.18). Легко видеть, что выполнение условий взг^имности
эквивалентно потенциальности оператора Т.
Предположение о квази-m-линейности оператора Т называется
постулатом квази-т-линейности.
Если справедлив постулат квази-т-линейности для потенци-
потенциального оператора JF, то в его представлении C.17) не могут
участвовать скалярные степени тензора а выше m-f- 1. В самом
деле, из C.4) в силу C.23) следует, что
dwdin din
26

Так как в разложение C.17) должны по условию входить только
/„ при п < т, то из C.24) следует, что
8W
-— = 0 для п > т + 1. C.25)
oln
Упражнение 3.5. Доказать, что если оператор Т допуска-
допускает разложение C.18) и справедлив постулат квазилинейности, то
выполняются условия взаимности и оператор Т является потен-
потенциальным. ¦
Можно распространить понятия квазилинейности и потенци-
потенциальности операторов и на анизотропные среды [84]. В самом
деле, пусть имеется оператор C.4), инвариантный относительно
некоторой подгруппы группы движения (т.е. группы, характери-
характеризующей некоторый вид анизотропии). Тогда будем считать, что
и в этом случае выполняются соотношения C.23), но в качестве
параметров в эти соотношения входят тензоры базиса, инвари-
инвариантного относительно рассматриваемой группы преобразований
7j, 72>---> 1'N- (О выборе этого базиса в некоторых конкретных
средах речь пойдет в следующем параграфе.) Тогда более полно
соотношения C.23) можно будет записать в виде
8W
* = -?{s.71,72,---,7JV} = -^-- C-26)
Пользуясь понятием полного рационального матричного базиса
[84], можно и в этом случае дать представление оператора C.26) в
виде, аналогичном C.18). Естественно считать, что f называется
квазилинейным по а, если полученное его представление содержит
только члены, линейные по тензорному аргументу а.
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И
ДЕФОРМАЦИЯМИ
После введения понятия операторных соотношений можно
сформулировать определяющие соотношения МДТТ. Если рас-
рассматриваются изотермические процессы, то будем считать, что
тензор напряжения является оператором тензора деформации,
или процесса деформации:
« = ?{?)¦ D-1)
Если соотношения D.1) не зависят от того, в какой точке тела
они рассматриваются, то среда, описываемая определяющими
27

соотношениями D.1), называется однородной. В противном случае
среда называется неоднородной, и этот факт мы иногда будем
отражать.в записи определяющих соотношений
? = /{е,2}. D.2)
Разумеется, оператор Одолжен быть инвариантен относитель-
относительно группы преобразований, характеризующей некоторый класс
анизотропии изучаемой среды.
Если оператор JF является линейным, то, как было установлено
в предыдущем параграфе, его общий вид таков:
t
°H = / ТЦЫ С г)?*' (г) dr. D.3)
о
Эти соотношения принимаются в качестве определяющих в ли-
линейной теории вязкоупругости. Однако там Гу*/(<, г) — не
произвольные обобщенные функции, а функции, имеющие вид
Tijkiit, г) = ~Tijkl6'(t - г) + Tiit,6(t -r) + rijkl(t, г), D.4)
-1 О
где Г ,-j-jfci, Tijki — тензоры-константы, 6(t) —дельта-функция Ди-
Дирака, S'(t) — ее производная, a f (t, т) — обычная (не обобщенная)
функция. Наличие первого слагаемого в D.4) вызывает в теле
вязкое течение при мгновенном нагружении. Этой особенностью
обладают «жидкие» тела. В МДТТ обычно рассматриваются
«твердые» тела. Для таких тел
Г ijk, = 0, Tijki ф 0. D.5)
Условие D.5) обеспечивает однозначную разрешимость уравнений
D.3) в виде
t
dj = J Kijki(t, т)(тк,(т) dr, D.6)
о
где
о
При этом
t
rijkl(t, т)Кк1тп(т, т') dr = Aijmn6(t - г'), D.8)
о
28

где Aijmn — единичный тензор четвертого ранга:
Aijmn = ^(SimSjn + hn6jm). D.9)
Упражнение 4.1. Доказать, что если свойства материала не
зависят от начала отсчета времени (т.е. если два процесса дефор-
деформации e(t) и e(t — ?) совпадают, то совпадают и соответствующие
им по закону D.3) тензоры напряжения <r(i) и q(t — ?)), то яд-
ядра Tijici(t, т) и Kijki(t, т) являются ядрами разностного типа
[76, с. 110]:
fijkl(t,r) = fijkl(t-r), Kijkl(t,T) = Kijkl(t-r). Ш D.10)
Таким образом, в случае выполнения соотношений D.10) оператор
связи между напряжениями и деформациями является циклически
замкнутым (см. § 3). Для таких операторов можно дать другую
запись соотношений D.3) и D.6), принадлежащую Больцману.
Обозначим
tiMt) = -%jkI(t), Kijkl(t) = -U'iJtl(t) D.11)
и примем дополнительные условия
%ы@) = Гцы, П0-ы@) = Кцы. D-12)
Тогда получим
t
«ту = J Rijk,(t - т) dek,(r), D.13)
о
t
etj = j Uijk,(t - т) dak,(r). D.14)
Если оператор Т является нелинейным, то его можно пре-
представить или аппроксимировать в следующем виде [63]:
N
* *
»=i
o о
• ¦•*.1ш(тп) dn... drn,
D.15)
29

при этом ./V может быть и бесконечностью. Ядра Г^",-и1 ^^
(t, т\... г„) представляют собой тензор ранга 2(п + 1) и в тео-
теории вязкоупругости называются ядрами релаксации n-го порядка.
Эти тензоры инвариантны относительно некоторой группы пре-
преобразований, характеризующей определенный вид механической
анизотропии, и относительно симметрии по индексам этих тензо-
тензоров можно сказать все, что было сказано относительно операторов
А , фигурирующих в представлении C.18).
Если ядра первого порядка, т.е. Г^ц(г, г), имеют сингулярную
аддитивную составляющую в виде дельта-функции, то уравнения
D.15) можно обратить, т.е. выразить деформации через напря-
напряжения, причем все резольвентные ядра, которые в теории вязко-
вязкоупругости называются ядрами ползучести, находятся с помощью
квадратур по заданным ядрам релаксации [67]:
N
dr,
¦
D.16)
Некоторые физические соображения позволяют заключить, что
нелинейные ядра релаксации и ползучести содержат сингулярные
составляющие в виде дельта-функций [33, с. 172]. Исходя их раз-
различного типа допущений о характере этих сингулярностей, можно
построить много определяющих соотношений, являющихся част-
частным случаем соотношений D.15) и D.16). Если в этих определя-
определяющих соотношениях оставить только сингулярные составляющие
(т.е. члены, составленные только из дельта-функций), то получим
вместо D.15) и D.16)
N
D17)
I
n=l
где N также может быть бесконечностью, а С.'Л ,• .¦ .• и/.'Л „• .• •
являются тензорами-константами. Первый из них называется
тензором модулей упругости n-го порядка, а второй — тензором
упругих податливостей n-го порядка. При п = 1 эти тензоры
называются просто тензорами модулей упругости Cijki и тензором
упругих податливостей Jijki и для линейного случая соотношения
30

D.17) и D.18) примут вид
D.19)
D.20)
где тензоры Су*; и Jy-*/ взаимно обратные, т.е.
CijklJklmn = JijklCklmn = Aymn, D-21)
а тензор Ду-т„ определяется по формулам D.9).
Заметим, что размерность величин с}"^ • ,- • совпадает с
размерностью напряжений, т.е. кг/см2 или н/м2, 1 кг/см2 »
98066,5 н/м2. Размерность же величин J,^"^ _,• -п равна (см2/кг)п
или (м2/н)". В случае D.17) оператор Т превращается в функцию
(согласно определению, принятому в § 3).
Всякий тензор, инвариантный относительно некоторой группы
преобразований, являющейся подгруппой полной собственной ор-
ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного
числа тензоров со скалярными коэффициентами. Это множест-
множество тензоров, каждый из которых является инвариантным отно-
относительно рассматриваемой группы преобразований, называется
тензорным базисом этой группы преобразований.
Таким образом, для каждой группы преобразований, харак-
характеризующей определенный класс анизотропии, можно построить
некоторый тензорный базис и на его основе конструировать раз-
различные тензоры, инвариантные относительно этой группы, в час-
частности тензор четвертого ранга Гу*/.
Мы рассмотрим три самых распространенных вида анизот-
анизотропии.
К первому виду можно отнести изотропный материал, свойс-
свойства которого одинаковы во всех направлениях и при отражении
относительно любой плоскости.
Свойства «трансверсально-изотропного» материала остаются
неизменными при повороте на произвольный угол относительно
некоторой оси (например, третьей) и при любом отражении отно-
относительно плоскости, содержащей эту ось.
Наконец, материал, обладающий свойством «ортотропии»,
имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии.
Упражнение 4.2. Показать, что тензорный базис для изотроп-
изотропного материала состоит только из единичного тензора b{j и что
тензор четвертого ранга Гу-*/, симметричный по индексам i, j и
к, I, выражается через тензорный базис в виде
Гун = AiMh + А2(«««л + 6i,Sjk). D.22)
31

Упражнение 4.3. Показать, что тензорный базис трансвер-
сальной изотропии составляют вектор и тензор
*з*,7у = йцйи + ЬхЫ D-23)
и тензор четвертого ранга Г,-;-&/, удовлетворяющий всем условиям
симметрии, отмеченным выше для тензора, фигурирующего в
определяющих соотношениях, имеет вид
Jjkjil)
63j63i + Tjt^3.^3/ + 7«i^3j^3* + Tj/^
D.24)
Упражнение 4.4. Показать, что тензорный базис для ортот-
ропной среды имеет вид
7Jj° = SiaSja (e = 1,2,3) D,25)
и тензор Tijki представляется через него следующим образом:
D.26)
Упражнение 4.5. Показать, что выражения D.24) для транс-
версально-изотропной среды получаются как частный случай со-
соотношений D.26) для ортотропной среды, если в последних по-
положить
А6 = А7 = Ai + 2А2, А8 = А3, А9 = А5. D.27)
32

Упражнение 4.6. Показать, что выражения D.22) для изотроп-
изотропной среды получаются как частный случай соотношений D.24) для
трансверсально-изотропной среды, если в последних положить
Л3 = ЛЬ Л5 = Л2, A4 = Ai + 2A2. D.28)
Упражнение 4.7. Показать с помощью D.19), D.26), что если
для ортотропной среды тензор напряжения является линейной
функцией тензора деформаций, то между компонентами тензоров
напряжения и деформации справедлива зависимость
= Л3?ц + Л8?22 + Л4?33, , „-.
<Г23 = 2Лд?23,
где с учетом симметрии отличные от нуля компоненты тензора
модулей упругости таковы:
Л7 = C2222, Л8 = С2233> Л9 = С2323, 1
Л4 = С3ззз, A5 = Ci3i3, Л6 = Сцц, \ D.30)
Ai=C2211, Л2 = Ci212> Л3 = Сцзз- J в
Для изотропной среды связь между напряжениями и деформа-
деформациями D.19) с учетом D.22) имеет вид
, D.31)
где Аи/i —так называемые постоянные Ламе:
А=ЛЬ /г = Л2. D.32)
Связь D.20) в изотропном случае приобретает вид
еу=А'е«и + 2р'<гу. D.33)
Упражнение 4.8. Показать, что коэффициенты А' и ц' связаны
с коэффициентами Ламе следующим образом:
А' < •
¦I Победря Б.Е. 33

Если свернуть левую и правую части равенства D.31) с единич-
единичным тензором 6ij, то получим
а = \<д = Кв, D.35)
О
где величина
К = Х + ^ D.36)
называется модулем всестороннего растяжения (сжатия). Если
теперь из D.31) вычесть равенство D.35), помноженное на единич-
единичный тензор Sij, то получим
Sij =2/*e,j. D.37)
Коэффициент Ламе /л называется иногда модулем сдвига и обоз-
обозначается G.
Если рассматривается одномерное напряженное состояние, т.е.
когда единственная компонента тензора напряжения, например
(Гц, отлична от нуля, то отношение сгц/ец называется модулем
Юнга и обозначается Е:
<ти=Ееп, D.38)
а отношение поперечного сужения к продольному удлинению
-т?22/?ц — коэффициентом Пуассона v:
v = -?-^. D.39)
Упражнение 4.9. Для одномерного напряженного состояния
доказать, что
Иногда бывает удобным ввести другой безразмерный параметр
ш [33]:
ш = Ш = -пП7- D41)
Соотношения между возможными упругими постоянными линей-
линейной изотропной среды приведены в приложении V.
34

Если тензор напряжения является изотропной тензорной фун-
функцией тензора деформации, то наиболее общее выражение D.1)
для этого случая имеет вид [112]
<Tij = ao6ij + aidj + a2eik?kj, D.42)
где ао, а\, 02 — функции от трех независимых инвариантов тен-
тензора деформации. Если зависимость D.42) предполагается ква-
квазилинейной, то
*у =°о*У+°1?У> D.43)
причем в этом случае ао и сц являются функциями только двух
независимых инвариантов, в качестве которых мы будем выбирать
в и ?„ A.29) и A.30).
Упражнение 4.10. Показать, что равенство D.43) адекватно
двум скалярным соотношениям
Sij =aie,-j, D.44)
<т = ао+\а1в. U D.45)
о
Для очень многих материалов изменение объема в происходит
пропорционально среднему напряжению <г, т.е. соотношения D.45)
имеют более простой вид D.35).
Соотношения D.35) иногда принимаются и для более сложных
определяющих соотношений, имеющих операторный вид. Так,
например, в случае теории малых упругопластических дефор-
деформаций Ильюшина [27], справедливой при рассмотрении простых
процессов (когда все компоненты тензора e,-j(t) изменяются про-
пропорционально одному параметру), связь между девиаторными
составляющими тензоров напряжения и деформации имеет слож-
сложную операторную зависимость
*у=а1е«> D-46)
а шаровые части этих тензоров изменяются по закону D.35).
Оператор ui входящий в D.46), не является гладким. Он зави-
зависит от направления процесса (разгрузка или нагрузка), и поэтому
записать его в явном виде трудно. Поэтому вместо аналитической
записи применяют словесную формулировку закона D.46). Гово-
Говорят, что если процесс происходит активно (нагрузка), то имеет
место соотношение
-и)ец, D.47)
35

где и = w(eo) — так называемая функция пластичности Ильюши-
Ильюшина, зависящая от интенсивности тензора деформации и определя-
определяющаяся экспериментально. Если же рассматривается пассивный
процесс (разгрузка), соотношения D.46) имеют вид
*у =*},-+2p(etf-ejy), D.48)
ej
где тензоры ej;- и s'^ соответствуют началу протекания процесса
разгрузки.
Отсюда видно, что при протекании только активного процесса
тензор напряжения является функцией тензора деформации. По-
Поэтому очень часто говорят, что соотношения D.47) описывают
физически нелинейную упругую среду.
Упражнение 4.11. Доказать, что квазилинейные трансвер-
сально-изотропные соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями могут быть записаны в виде
<т = ai + -a2 + 2а4е3з, D.49)
= «2 F3i63j - -6tj I + a3ey + a4 E3,e3j-
где ai, аг, а3, «4 являются функциями инвариантов
О, е33, у^еа-е.-з, еи. D.51)
Упражнение 4.12. Доказать, что квазилинейные ортотропные
соотношения между напряжениями и деформациями могут быть
записаны в виде
1 2
<* = «1 + г(«2 + «з) + g(«5eii + a6e22), D.52)
ij = «2 f 6il6jl - Г*у ) + a3 ( faSji - -6ij j
2 \ /
ieji + Sjien - -en6ij I + «6 I 6i2ej2 + ^г
J / V
^4.53)
где ai,..., a6 — функции инвариантов
ё^ё{2, еи. D.54)

Упражнение 4.13. Пользуясь определением функциональных
производных C.13) и C.14), показать, что из D.47) следуют со-
соотношения
dw \ejjekiemn _ JL_
>0)„еу + oimOjnefcj) - -ту ^ >• D.56)
Упражнение 4.14. Пользуясь определением функциональных
производных C.13) и C.14), показать, что из D.15) следует
{еы, hkl}=J T%(t, T)hkl(r)dT+
t t
о о
t t
/ / "*1'1-*"- ' D.57)
t t
о о
уУ
о о
ai—aK-2)At,._1j._1(rn-i)Afc.,1,(Tn)dTi...dTn, D.58)
t
Da{O,hk,}=jT§l,(t,T)hk,(T)dT. Ш D.59)
В заключение параграфа заметим, что операторные соотноше-
соотношения D.1) разрешены относительно деформацийд.е. если заданы
D.1), то всегда справедливы и операторные соотношения
5 = ?(?), D.60)
37

где оператор Q является обратным по отношению к f. Част-
Частными видами обратных соотношений D.1) и D.60) являются: D.3)
и D.6); D.13) и D.14); D.15) и D.16); D.17) и D.18); D.19) и D.20).
§ 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
Если рассматриваются неизотермические процессы, то требу-
требуется привлечение законов термодинамики, сформулированных в
§ 2, и их следствий. Прежде всего установим физические соотно-
соотношения между вектором потока тепла q и градиентом температуры
5=-ATgradr, qi = -XjjTJ. E.1)
Положительно определенный симметричный тензор Ат называется
тензором теплопроводности. Размерности величин, входящих в
E.1), следующие (размерность будем обозначать заключением
соответствующей величины в квадратные скобки): [q\ — кал/с-см2,
[Т] = °С, [Ат] = кал/с • см • °С A кал « 4,1868 Дж « 42,7 кг • см).
Линейные определяющие соотношения E.1) носят название
законов Фурье. С помощью этих соотношений второй закон
термодинамики в дифференциальной форме B.32) можно записать
в следующем виде:
рТН = div(AT • grad T) + pq + W*. E.2)
Уравнение B.34) запишем в дифференциалах:
pd* + pHdT +W*dt = <Tij deij. E.3)
Упражнение 5.1. Показать, что для изотропной .рреды с по-
помощью единичного тензора J тензор теплопроводности А может
быть представлен в виде
AT = ATJ, А? = А%-. E.4)
Величина Хт носит название коэффициента теплопроводности.
Упражнение 5.2. Показать, что для трансверсально-изотроп-
ной среды тензор А может быть представлен с помощью тензор-
тензорного базиса D.23) в виде
E.5)
38

Упражнение 5.3. Показать, что для ортотропной среды тензор
АТ может быть представлен с помощью тензорного базиса D.25)
в виде
Xfj = \k)l%\ *= 1,2,3. ¦ E.6)
Для неизотермических процессов на напряженное состояние
среды будет оказывать влияние не только деформация, но и тем-
температура. Тогда операторные соотношения D.1) можно записать
в виде
? = ?{?. Г}- E.7)
Гипотеза Дюгамеля-Неймана заключается в том, что в уравнени-
уравнениях E.7) аргументом правой части будет единственный тензор ет:
* = ?teTh E-8)
представляющий собой комбинацию
ет = е - ад, E.9)
где а — симметричный тензор теплового расширения среды
([1/°С]; мы будем считать, что его компоненты являются постоян-
постоянными), д — перепад температуры, т.е. разность между текущей
температурой Г и температурой недеформированного состояния
Го (предполагается, что такое состояние существует).
Упражнение 5.4. Показать, что тензор теплового расширения
для изотропной среды имеет вид
а = aJ, otij = a6ij, E.10)
для трансверсально-изотропной —
«и = «i*3i*3j + «270' E-П)
и для ортотропной среды —
*} * = 1,2,3. ¦ E.12)
Величина а в E.10) носит название коэффициента теплового
расширения среды.
Функции состояния Н, Ф, входящие в уравнения E.2) и E.3),
зависят от температуры Т и некоторых термодинамических пара-
параметров состояния ц... (t = 1,..., N), которые при описании среды
39

не всегда просто указать явным образом. Мы примем «основ-
«основную» гипотезу, заключающуюся в том, что параметры состояния
ft. являются операторами вида C.4) от тензора ет [28]:
Р@ = ?(,){€Т}- E-13)
Тензор ет в каждой точке является функцией времени ет, т.е.
процессом.
Полную вариацию 6Mt представим б виде суммы двух незави-
независимых вариаций: изохронной вариации ft...deT, когда при фикси-
фиксированном t варьируется вид функции ?Т(т) @ ^ т ^ t), и вариаций
ftl^dt, обусловленной варьированием независимого аргумента
Если ft. . является тензором второго ранга, то под величиной цс.
dfi
понимается функциональная производная Э^У, т.е. тензор чет-
четвертого ранга, а под величиной ft*.. — частная производная
оператора М по времени.
Поэтому уравнение E.3) запишется в виде
^ -P-Hc(i)deT + p-p-n\dt + PHdT+
%)-A) %)-' E.15)
*dt = f{e - at?}de, t = 1,2,... ,/V.
Приравнивая в E.15) выражения при независимых вариациях de,
dT, dt получим
ЗФ <ЭФ
Предположим, что все термодинамические функции состояния Ф,
Н, U имеют аддитивную составляющую, зависящую только от
температуры. Например,
^.^. E.19)
40

Тогда можно ввести две теплоемкости вещества: ср и с„ (кал/г •
град), причем, как следует из B.31) и B.33),
_ дЧ__ дн_
- тдт*~тдт'
р~ дт ~ дт2 дт
Поэтому
т
Я\Иг- Г /•
E.22)
дт
То
По закону Дюлонга-Пти у твердых веществ для температуры
выше некоторой, называемой температурой Лебая, ср = const. В
этом случае
?) E.23)
Если t? мало по сравнению с То, то
^Л E.24)
Сравнивая E.16) и E.17) и считая теплоемкость вещества за-
заданной, получаем, что функция энтропии Н полностью определена
законом связи между напряжениями и деформациями:
Г
рН = pcpln — + ajF{e-atf}. E.25)
То
Поэтому уравнение притока тепла E.2) примет вид
рсрТ = div(AT grad T) - Т[а({е_ - ati}} +pq+W*. E.26)
Упражнение 5.5. Показать, что для анизотропной среды, в
которой связь между напряжениями и деформациями описывается
линейным оператором
~r)d [еы(т) - ак,д{т)], E.27)
41

а термодинамические параметры ц. . (q — l,...,N) выражаются
через ет по закону
о
функция рассеивания выражается в виде [72, с. 229]
Упражнение 5.6. Показать, что при N = 1 из предыдущего
упражнения следует, что
W* = Vijefj - |по-„@)[«гу«гы]-, E.30)
где Uijki(t) — тензор ядер, обратный к тензору Rijki(t), т.е.
t
I Rijkl(t - т)ШкЬпп(т) = Aijmn - Rijkl(t)Ilklmn(O). E.31)
о
Упражнение 5.7. Пусть для изотропной квазилинейной среды
с определяющими уравнениями в виде
t t
Sij = j R(t- т) deij{T) + / Г(< - т, в!*, eT)ey(r) dr,
= j Rx(t - t) d9(r) + j Tx(t - т, 9тт,ет)9т{т) dr,
E-32)

где Г и Fi являются функционалами от величин 6% = в(т) —
3at?(r) и е = ejj(ri)e,j(r2), причем Т@,х,у) — Ti(O,x,y) = 0. Пусть
тензоры ц^ связаны с ет соотношениями, аналогичными E.32),
но с другими ядрами. Доказать, что в этом случае функция
рассеивания имеет вид [72, с. 231]
N
W* = Sfjefj + <г(в - Зад) - J^'V^' + 3*1<«У)-], E.33)
42

где
n(q) = Idpbs; Uq)J = (A? -^aM] - №*>ч)- E-34)
Упражнение 5.8. Показать, что для предыдущего упражнения
в случае N — \
W = s,ye,y + <г(в - Зад) - П@)<ги<г„ - IIi@)<r<r\ E.35)
где П(<) и Щ(<) — ядра, резольвентные к R(t) и Ri(t) соответ-
соответственно.
Упражнение 5.9. Показать, что если связь между напряжени-
напряжениями и деформациями описывается соотношениями теории малых
упругопластических деформаций D.47), D.35) и N = 1, то
W* = в*Л*«"(е„)]- = <ru[o>eu]- ¦ E.36)
Рассмотрим изотропную среду, в которой шаровые части тен-
тензоров напряжения и деформации связаны линейной зависимостью.
Для такой среды
<т = К(в- Зад), 8ц = Тц(е), E.37)
и уравнение притока тепла E.26) приобретает вид
рсрТ = (АТГ,),.- - ЗГао-' +pq+W*. E.38)
Если среда однородная, то
рсрГ = ХтАТ-ЗТа<т +pq + W*, E.39)
где Д — оператор Лапласа.
Используя первое из соотношений E.37), уравнение E.39) мож-
можно записать в виде
рсрТ = АТДГ - ЗаТв + pq + W*, E.40)
где
pcv = рср - 9а2КТ. E.41)
Если среда обратимая, то W* = 0. Если, кроме того, величина <т
не изменяется со временем, то получим из E.39) линейное уравне-
уравнение теплопроводности, замкнутое относительно температуры:
= \т AT + pq. E.42)
43

Заметим, что из E.41) следует, что обе теплоемкости ср и с„ не
могут быть одновременно постоянными (не зависящими от тем-
температуры). Поэтому очень часто принимается допущение о том,
чго во втором слагаемом правой части уравнения E.26) темпе-
температуру Т можно заменить на температуру То. Тогда уравнение
E.26) принимает вид
рср = div(AT grad T) - То[аТ{е - аЩ] + pq + W*, E.43)
а соотношение E.41) —
рс„ = рср - 9а2КТ0. E.44)
§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
МДТТ
При изотермических процессах мы можем получить замкнутую
систему уравнений движения, исходя из определяющих соотно-
соотношений D.1). В самом деле, подставляя их в уравнение B.9)
и воспользовавшись уравнениями Коши A.1) или A.9), получим
систему трех уравнений относительно трех неизвестных «,•:
/>3" = pF + Divj?{Def «}. F.1)
Будем выражение jf{Def 3} сокращенно записывать в виде
d-{3}=:F{Def3}. F.2)
Таким образом, запись <т{п} означает, что проделаны все выклад-
выкладки с тем, чтобы напряжения выразить через перемещения. Точно
также запись &{ё} означает, что вместо напряжений по опреде-
определяющим соотношениям подставлены деформации. Аналогичным
образом следует трактовать и запись ё{сг} (деформации по закону
D.60) выражены через напряжения). Тогда три уравнения F.1) в
компонентах можно записать в следующем виде:
m=pFt + *iU{uy (б.з)
К этим уравнениям следует добавить граничные условия. Пусть
на части границы Е? поверхности Е
g К + $Чк, = 1*ъ\ F.4)
44

где a)j\ b)y — некоторые положительно определенные матрицы,
jv(«) — вектор контактных усилий. Мы будем в большинстве
случаев рассматривать частный случай граничных условий F.4),
а именно: на части границы Si будут заданы перемещения й°, а
на части Иг — нагрузки (усилия) 50:
щ |El= «?B,t); *,у{3}пу |Е,= S?(x,t). F.5)
Для классификации граничных условий принята такая терми-
терминология. Бели на границе заданы только перемещения (только
кинематические условия), т.е. в F.5) ?г = 0, то такие условия на-
называются граничными условиями первого рода, а задача МДТТ,
использующая эти условия, — первой краевой задачей. Если на
границе заданы только усилия (только статические условия), т.е.
в F.5) Ei = 0, то граничные условия называются граничными
условиями второго рода, а соответствующая задача МДТТ —
второй краевой задачей. Условия F.5) называются смешанными
граничными условиями, а задача МДТТ, их использующая, —
смешанной краевой задачей МДТТ. В некоторый момент t = to
должны быть заданы и начальные условия. Например,
при t = t0 щ = Ui(x), «,- = Vt(x). F.6)
Если тело не ограничено, то должны еще быть заданы условия на
бесконечности. Итак, изотермическая задача МДТТ заключается
в решении трех уравнений F.3) с граничными условиями F.4) или
F.5) и начальными данными F.6). В этом и состоит постановка
динамической задачи МДТТ в перемещениях. Сюда, разумеется,
следует добавить требование гладкости разыскиваемого решения,
границы и «входных данных»: pF,-, Sf, «°, Ui и VJ.
Статическая задача МДТТ заключается в решении уравнений
равновесия в перемещениях
*«{3}+ />?* = 0 F.7)
при выполнении граничных условий F.4) или F.5).
Если определяющие соотношения или входные данные заданы
так, что решение может зависеть от времени, то задача F.7),F.5)
называется квазистатической задачей МДТТ.
Если определяющие соотношения явно зависят от координат,
то динамическая, квазистатическая или статическая задачи на-
называются неоднородными. В противном случае она называется
однородной.
45

Заметим, что решение динамической задачи uM(x,t) иногда
может стремиться к решению статической задачи uc(x,t):
ие(х) = lim йдB,*). F.8)
t—1-00
Это явление связано с диссипацией, или рассеиванием энергии.
Условие F.8) может и не вьшолняться, как, например, в идеальных
упругих средах. В таком случае статическая задача МДТТ
является самостоятельной задачей о равновесии среды и никак
не связана с динамической задачей, в которой рассматривается
распространение волн и кинетической энергией среды пренебречь
нельзя.
Для второй краевой задачи МДТТ, когда граничные условия
имеют вид
an |Ea= S°(x,t), ffijtij |S2= Sf(x,t), F.9)
можно дать постановку задачи в напряжениях (для одно.связной
области V). Для этого в уравнения совместности A.14) требуется
подставить определяющие соотношения в форме D.51):
т \г /"* J \ — г\ v s л (\ /л 1 г\\
Тогда статическая (или квазистатическая) задача МДТТ заклю-
заключается в решении системы уравнений F.10) при удовлетворении
уравнений равновесия в напряжениях
Div <т + pF = 0, ffijj + pFi = 0 F.11)
и граничных условий F.9).
Если массовые силы являются градиентом некоторой скаляр-
скалярной функции Х-, так что
pF = gradx, pFi = X}i, F-12)
то можно ввести симметричный тензор функции напряжения Ф,
такой, что напряжения выражаются следующим образом:
а = 1пкФ + xi, o%j = eikiejmn$kn,im + xhj- F.13)
Тогда уравнения равновесия F.11) удовлетворяются тождествен-
тождественно и постановка статической задачи с использованием функций
46

напряжения заключается в следующем. Требуется найти реше-
решение системы из шести уравнений
InkG{Inkf + x/} = 0 F.14)
относительно шести неизвестных Ф,-у при удовлетворении гранич-
граничным условиям
Inkf -n\S2=S0-xnh2. F.15)
Для динамической задачи МДТТ также можно дать постанов-
постановку в напряжениях. Для этого применим к уравнениям движения
B.9) операцию Def A.11):
ре' = р Def(F) + Def Div a. F.16)
Подставляя сюда определяющие соотношения D.60), получим сис-
систему шести уравнений
р[д{<т}]- = Def(pF) + Def Div <т. F.17)
Сформулируем теперь начальные условия. Применяя к ус-
условиям F.6) операцию Def и воспользовавшись определяющими
соотношениями D.60), получим
?{?} = !#}, kk)Y = ?{V}. F.18)
Тогда динамическая задача МДТТ состоит в решении системы
уравнений F.10), F.17) при удовлетворении граничным условиям
F.9) и начальным данным F.18).
В конце § 5 мы столкнулись с ситуацией, когда требуется
решить «чистое» уравнение теплопроводности E.43) без механи-
механических членов
рсрГ = XTAT+pq. F.19)
Это уравнение для анизотропной и неоднородной среды будет
иметь вид
рсрТ =(\$Т;)>{ + рд. F.20)
Для уравнений F.19) или F.20) также должны быть начальные
данные:
при t = 0 Т = То. F.21)
47

Вообще говоря, для тел конечных размеров начальные условия
оказывают влияние лишь на первой стадии нестационарного про-
процесса. Начиная с некоторого момента наступает режим, при
котором распределение температуры практически не зависит от
начальных условий. В этом случае говорят, что решается ста-
стационарная задача
q = 0, F.22)
или
{)%Tj) + pq = 0. F.23)
Если источники тепла отсутствуют, то в F.22) температура ста-
становится гармонической функцией
AT = 0. F.24)
На поверхности тела может быть задана температура (гранич-
(граничное условие первого рода, или условие типа Дирихле):
T|E=T°B,t). F.25)
На поверхности тела может быть задан вектор теплового пото-
потока (граничное условие второго рода, или условие типа Неймана):
\Ъ-Т;т\2=-я0(х,г). F.26)
Наконец могут быть заданы граничные условия, соответствующие
теплообмену с окружающей средой по закону Ньютона (граничное
условие третьего рода):
ATTin<|S=/3(T-r0)|s, F.27)
где Т° — заданная температура окружающей среды, а /3 — ко-
коэффициент теплоотдачи (кал/см2 • с • град). Могут встретиться
и более сложные (нелинейные) граничные условия, например для
случая теплопередачи излучением. Однако мы будем рассматри-
рассматривать только линейные граничные условия. Их можно объединить
следующим образом. Пусть на части Е? поверхности Е
c^Tirij + Ь^Т = Т°м, F.28)
где c\j, &(') — некоторые величины, зависящие, вообще говоря,
от координат и времени.
48

Итак, нестационарная задача теплопроводности заключается
в интегрировании уравнения F.20) при выполнении начального
условия F.21) и граничного условия F.28) или условий на бес-
бесконечности.
Стационарная задача теплопроводности заключается в ин-
интегрировании уравнения F.24) при удовлетворении граничного
условия F.28).
Разумеется, и здесь необходимо добавить требования, пре-
предъявляемые к гладкости разыскиваемого решения, границы и
входных данных.
Как уже было отмечено здесь, решение нестационарной задачи
Ta(x,t) связано с решением стационарной задачи Тс(х) условием
TcB) = (limTHB,t). F.29)
Если входные данные стационарной задачи зависят от времени
как от параметра, то задача F.23), F.28) называется квазистаци-
квазистационарной. Если \т явно зависит от координат, то стационарная,
квазистационарная или нестационарная задача называется неод-
неоднородной. В противном случае она будет однородной.
Если рассматривается изотермическое деформирование, то в
уравнения движения B.9) следует подставить вместо определяю-
определяющих соотношений D.1) уравнения E.7) или E.8). Тогда получим
уравнения движения
ри,- = РП + &ы{Ъ,Т} F.30)
или уравнения равновесия
&Hj{u,T} + pFi = 0 F.31)
и граничные условия типа F.4) или F.5):
t), F.32)
Ui|Sl = u?B,t); *y{2.r}ny|Ea = S?(S>t). F.33)
Если в уравнение притока тепла не входят механические чле-
члены, т.е. оно имеет вид F.20) или F.23), то его можно решить
отдельно, найти температурное поле, а затем уже решать уравне-
уравнения F.30) или F.31), считая температуру известной. Такие задачи
называются несвязанными задачами термомеханики. Например,
несвязанная динамическая нестационарная задача термомеханики
заключается сначала в решении уравнений F.20) при выполнении
49

граничных условий F.28) и начальных данных F.21), а затем в ре-
решении уравнений F.30) при вьшолнении граничных условий F.32)
и начальных данных F.6).
Упражнение 6.1. Дать постановку несвязанных задач тер-
термомеханики в перемещениях: статической (квазистатической)
нестационарной, статической (квазистатической) стационарной
(нестационарной).
Упражнение 6.2. Дать постановку указанных в упражнении
6.1 несвязанных задач термомеханики в напряжениях. ¦
Бели в уравнение притока тепла включены и механические
члены, то его нужно решать совместно с уравнениями F.30) или
F.31). Такая задача называется связанной задачей термомехани-
термомеханики. Уравнение притока тепла E.26) можно переписать в виде
рсрТ=(^Т^-Т[а^^{й,Т}]+рЧ+\?*. F.34)
При этом конкретное выражение W* в виде зависимости от « и Т
считается заданным. Тогда, например, связанная динамическая
нестационарная задача термомеханики заключается в отыскании
величин м,-, Т из системы уравнений F.30), F.34) при удовлет-
удовлетворении граничным условиям F.32), F.28) и начальным данным
F.6), F.21).
Упражнение 6.3. Описать постановку связанных задач термо-
термомеханики в перемещениях: статической (квазистатической) неста-
нестационарной и статической (квазистатической) стационарной (ква-
(квазистационарной).
Упражнение 6.4. Описать постановку указанных в упражне-
упражнении 6.3 связанных задач термомеханики в напряжениях. ¦
Заметим, что если оператор Т определяющих соотношений
является линейным, то несвязанная задача термомеханики после
определения температурного поля может быть сведена к задаче
МДТТ при изотермическом деформировании. В самом деле, в
силу линейности оператора f из E.8) и E.9) следует
? = •?{€} -({<*$)¦ F-35)
Подставляя F.35) в (б.ЗО)-(б.ЗЗ), имеем соответственно
(б.зб)
F-37)
? $ ?('\ F.38)
= «"B,0, #y{3}ny |Sa= 5?°B,t). F.39)
50

Уравнения F.36)-F.39) совпадают формально с соответствующи-
соответствующими уравнениями при изотермическом деформировании F.3), F.7),
F.4) и F.5). Разница между ними заключается лишь в том, что
в уравнениях F.36)-F.39) «силовые» входные данные помечены
звездочкой, причем
pF;=pFi-&tjj{a0}, F.40)
N$q) = Nt + a\?*jk{ad}nk\vt, F.41)
S;° = S? + <70-{atfK|S2. F-42)
Заметим, что если изотропная среда является несжимаемой,
то мы получаем вместо уравнений (б.ЗО)-(б.ЗЗ) следующие:
рщ = pFi + 8iU {3, Г} - p,i, F.43)
eijj.{ii,T}-pti + pFi = O, F.44)
[а$ё„{й,T}nk + b$UJht = N^(x,t) + 4fP(x,t)nj|s,, F.45)
«,|Sl = u?(S,t); *ц{3,Г}п,-|Еа = SfB,t) +p(J,<)n,|S2, F.46)
«,,,- = 0, F.47)
где добавляется лишняя неизвестная функция p(x,t) и одно кине-
кинематическое уравнение F.47).
§ 7. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МДТТ
Рассмотрим статическую (квазистатичекую) задачу МДТТ,
т.е. уравнения равновесия F.7)
*ij,j{v}+pFi = 0 G-1)
и граничные условия частного вида.F.5)
«*|ei = 0, <г4,-{а}п,-|Еа = S?(x,t). G.2)
Как следует из замечания, сделанного в конце предыдущего па-
параграфа, к задаче G.1), G.2) иногда сводится и соответствующая
несвязанная задача термомеханики.
Помножим уравнение G.1) на некий вектор Vi(x), удовлетворя-
удовлетворяющий нулевым кинематическим граничным условиям G.2), и про-
проинтегрируем по объему V. Применив формулу Остроградского-
Гаусса и воспользовавшись условиями G.2), получим
J &ij{u}e{j (v) dV = f pFiVidV + f Sfvi dE. G.3)
51

Очевидно, правая часть G.3) представляет собой работу внешних
сил на перемещении «,• (§ 2):
Л(е)(?)= fpFiVidV+ fSiVidZ. G.4)
V Е2
Предположим, что оператор Т является потенциальным C.22):
Здесь W^{e} называется потенциалом деформации. Воспользуем-
Воспользуемся определением дифференциала оператора Т и функциональн'ой
производной C.13). Тогда
ОШ{ец(и),ец(ь)} = DW{u,v) = &ц{й}ец(ь). G.6)
Определим оператор потенциальной энергии деформации ф по
формуле
<=fw{e}dV. G.7)
Тогда, очевидно, соотношение G.3) можно записать в следую-
следующем виде:
D<p{u,v}-A^(v) = 0. G.8)
Итак, с каждой задачей G.1), G.2) связаны равенства G.3) или
G.8) для произвольного дифференцируемого векторного поля v(x),
удовлетворяющего условию
«••Ы,= 0. G.9)
Заметим, что в уравнения G.1) входят вторые производные по ко-
координатам вектора и, поэтому решение задачи G.1), G.2), должно
быть по крайней мере дважды дифференцируемым.
Можно отказаться от этого требования и понимать решение
задачи G.1), G.2) в обобщенном смысле. А именно, назовем и
обобщенным решением задачи G.1), G.2), если для всякого диф-
дифференцируемого вектора v(x), удовлетворяющего условию G.9),
справедливо тождество G.3) или G.8). От входных данных тре-
требуется лишь условие существования интегралов в правой части
52

G.3). Заметим, что обобщенное решение будет классическим, если
оно является дважды непрерывно дифференцируемым.
Упражнение 7.1. Доказать, что если оператор W является
квадратичным C.16), то справедливо соотношение
J<rij?ijdV = 2ф. G.10)
Упражнение 7.2. Доказать, что если оператор W является
однородным m-й степени, то справедливо соотношение
G.11)
v
Упражнение 7.3. С помощью представления функции
)}, G-12)
дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке 0 ^ ? ^ 1 и
допускающей на этом отрезке представление
/A) = /@) + /'@) + \f"{fl)\ О < ч < 1, G.13)
доказать тождество
у anj{ui}[?ij(u2) - ?,j(«i
dV+
V. G.14)
Упражнение 7.4. С помощью той же функции G.12) доказать
тождество
ф{й2} =<р{щ} + Л(е)(ы2 - «i)+
+ 2
G.15)
53

Упражнение 7.5. Показать, что в случае потенциального опе-
оператора Т работа внутренних сил выражается формулой
А® = -ф = - fwdV, G.16)
v
причем изменение работы внутренних сил B.17) является полным
дифференциалом от выражения G16).
Упражнение 7.6. Показать, что в случае потенциального опе-
оператора Т и потенциальности массовых и поверхностных сил B.21)
и B.22) из теоремы живых сил B.18)
dE = dA^ + dA® G.17)
следует, что
С = Е- Л(е) + ф = const. ¦ G.18)
Оператор С называется лагранжианом системы, а системы,
для которых он имеет постоянное значение, — консервативными.
Умножим уравнения движения сплошной среды B.9) на не-
некоторый произвольный вектор и,-, проинтегрируем результат по
объему V и применим теорему Остроградского-Гаусса. Тогда
мы получим следующее тождество:
/ pu'i'vi dV = / pFiVi dV + I (TijiijVi rfS + / (TijUjVi cE — / <Xjj?y dV.
v v ~?i s2 v
G.19)
Это тождество справедливо для любой сплошной среды, так как
мы не пользовались определяющими соотношениями.
Положим теперь в этом тождестве v = и и воспользуемся
граничными условиями F.5):
/ pu-UidV = I pFf UidV+ I 5?щ dH + I <r,_,-nyи? dT,- j <тг>?,_,- dV.
V V E2 Ei V
G.20)
Предположим теперь, что массовые и поверхностные силы, фигу-
фигурирующие в B.9) и F.5), а следовательно и в G.20), обладают
потенциалом (или просто не зависят от перемещений). Тогда
первые два слагаемых правой части G.20) представляют собой
работу внешних сил G.4) на перемещениях щ. Третье слагаемое
называется работой внутренних сил на заданном перемещении w°:
ЛЕх = J <т^и1 dX. G.21)
54

Интеграл в левой части G.20) представляет собой работу сил
Д'Аламбера, или инерционных сил:
АЕ= I pu-UidV. G.22)
v
Упражнение 7.7. Показать, что изменение сил Д'Аламбера
совпадает с изменением кинетической энергии B.14):
dAE = dE = I рщ в.щ dV. ¦ G.23)
Если оператор Т является потенциальным, причем Й^е} — одно-
однородный оператор степени т, то из G.20) следует так называемая
теорема о работе:
АЕ=А^-тф + Аъ1. G.24)
Если силы инерции отсутствуют, кинематические граничные ус-
условия нулевые и оператор И^{е} квадратичный, то из G.24) сле-
следует теорема Клапейрона
А^ = 2ф. G.25)
Рассмотрим теперь статическую (квазистатическую) задачу
МДТТ. Пусть заданы уравнения равновесия
<rij,j + pFi = 0, G.26)
соотношения Коши
Ч = 2^ + uw) G-27)
и определяющие соотношения
G-28)
Пусть, кроме того, заданы граничные условия
,- |=ж= «?, G.297)
"jls3=S?. G.29")
55

Нетрудно видеть, что соотношения G.26)-G.29) описывают поста-
постановку статической (квазистатической) задачи в перемещениях.
Кинематической системой назовем произвольное непрерывно
дифференцируемое векторное поле й(х), а статической системой —
произвольное тензорное поле <т{х) (необязательно удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям совместности). Кинематически допустимой называ-
называется кинематическая система, удовлетворяющая кинематическим
граничным условиям G.297). Статически допустимой называется
статическая система, удовлетворяющая уравнениям равновесия
G.26) и статическим граничным условиям G.29//). Действитель-
Действительной кинематической системой й(х) и действительной статической
системой <т{х) называются соответственно вектор перемещения и
тензор напряжения, удовлетворяющие всем соотношениям G.26)-
G.29).
Построим теперь лагранжиан для задачи G.26)-G.29):
С = <р-А(-е\ G.30)
где слагаемые в правой части определяются формулами G.7)
и G.4)
Вариационный принцип Лагранжа (теорема Лагранжа) заклю-
заключается в следующем.Из всех кинематически допустимых систем
действительная система отличается тем, что для нее и только для
нее лагранжиан G.30) имеет стационарное значение, т.е.
?>?{«, <5ы} = 0, G.31)
или, если использовать определение дифференциала оператора
C.13) и соотношение G.28),
/ ацSeij dV= f pFt6m dV + f Sf6u{ dE, G.32)
V V S2
где считается справедливым G.27):
Под 6щ можно понимать разность между двумя кинематически
допустимыми системами.
Необходимость требования G.31) вытекает сразу же из тож-
тождества G.19), в котором следует положить
рщ = 0, ы = 6щ. G.34)
56

Чтобы доказать достаточность, подставим G.33) в G.32), восполь-
воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и учтем, что
6ui\Sl=0. G.35)
Тогда получим
= J(aijnj - SfNui <ffi, G.36)
6ut dV
откуда в силу произвольности 6щ следует G.26) и G.29//).
Итак, при формулировке вариационного принципа Лагранжа
G.30), G.31) мы требуем выполнения соотношений Коши G.27) и
кинематических граничных условий G.29/), а из условий стацио-
стационарности G.31) следуют уравнения равновесия G.26) и статичес-
статические граничные условия G.297/).
Введем теперь понятие преобразования Лежандра для опера-
операторов. Прежде всего напомним, что дифференцируемой функции
f(x):
df = Xdx, X = f-, G.37)
dx
обычное преобразование Лежандра ставит в соответствие функ-
функцию F(X), такую, что
dF = xdX. G.38)
При этом выполняется тождество
/ + F - хХ - const. G.39)
Обобщение преобразования Лежандра на операторы заключает-
заключается в замене обычной производной функциональной производной.
Пусть задан скалярный оператор РУ{е}:
8W
DW{e, 6eJ = <гу бец, ац = ^—. G.40)
Ставим в соответствие оператору W, т.е. потенциалу деформа-
деформации, оператор й>{<т}, который назовем потенциалом напряжений,
причем
CijSffij, ?,_,• = -^-. G.41)
57

При этом выполняется тождество
W + w - o-ijSij = const. G-42)
Заметим, что если й>@) — 0 и W@) = 0, то константа в правой
части G.42) равна нулю. Итак, операторное преобразование Ле-
жандра ставит в соответствие потенциалу деформации потенциал
напряжения. Можно ввести и оператор потенциальной энергии
напряжения Ф аналогично введенному оператору потенциальной
энергии деформации G.7):
Q=(wdV, D&{<t,6<t}= feijSatjdV. G.43)
Заметим, что последнее выражение G.41) предполагает потенци-
потенциальность оператора Q D.60):
еЧ=вч{°) = -Щ, G-44)
и, кроме того, разрешимость уравнений G.28) в виде G.44). Таким
образом, мы можем сформулировать статическую (квазистатичес-
(квазистатическую) задачу в МЛТТ В напряжениях. Она заключается в решении
уравнений равновесия G.26) и уравнений совместности, которые
можно благодаря определяющим соотношениям G.44) записать в
напряжениях:
tikitjmnekn,im{<r} = 0 G-45)
при удовлетворении граничным условиям G.29).
Итак, задача в перемещениях записывается соотношениями
G.26), G.27), G.28), G.29), а задача в напряжениях соотношениями
G.26), G.45), G.44), G.29).
Построим теперь для задачи G.26)-G.29) так называемый кас-
тильяниан
? = -Ф + ЛЕ1, G.46)
где слагаемые правой части определяются формулами G.43) и
G.21).
Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно) зак-
заключается в следующем. Из всех статически допустимых систем
действительная система выделяется тем, что для нее и только для
нее кастильяниан G.46) имеет стационарное значение, т.е.
D)C{<t,6<t} = 0, G.47)
58

или с использованием определения дифференциала оператора
C.13) и соотношения G.43)
/ e,j 6<Tij dV = 16<Tij и, u° dS:
Под 6а можно понимать разность двух статически допустимых
систем.
Необходимость требования следует из тождества G.19), в ко-
котором следует положить
р = О, ы = u?, (Tij = 6<Tij
и учесть, что #<Ту — разность статически допустимых систем.
Чтобы показать достаточность условия G.47), заметим, что
оно выражает условный экстремум, ибо должны удовлетворять-
удовлетворяться еще уравнения G.26) и граничные условия G.29"). Поэтому
введем систему функций х\ (х), х G V и х] (у), у G Иг (обоб-
(обобщенные множители Лагранжа). Построим оператор
1 = К- J xP^ijj + PFi) dV-J xpV.-i"; - S?) dZ. G.48)
Применяя к выражению /х} 'a^jdV формулу Остроградского-
v
Гаусса
J хРстц; dV = J 4V)aijnj dE - J xgV,,- dV, G.49)
V S V
получим из G.48)
= J [-е
*ц dV+
+ J6<гУ1»;(и? - *{P) dS-J 6<rnnj{x{p + xp>) dE. G.50)
Si S2
Отсюда в силу произвольности 6ffij получим
^ = |(*S) + ^)). >4V)k=«°. G.51)
59

Значит, существует единственное поле «множителей Лагранжа»
xt = 4V). G.52)
Для того чтобы существовало непрерывное поле х(х), как следу-
следует из первого соотношения G.51) и § 1, необходимо выполнение
условий совместности деформаций A.22), которые в силу опре-
определяющих соотношений G.44) можно записать в напряжениях в
виде G.45). Следовательно, вектор х имеет смысл вектора пе-
перемещения ы и второе условие G.51) определяет кинематические
граничные условия.
Итак, при формулировке вариационного принципа Кастилья-
но G.46), G.47) мы требуем выполнения уравнений равновесия
G.26), определяющих соотношений G.44) и статических гранич-
граничных условий G.29//), а из условия стационарности G.47) следуют
уравнения совместности G.45) и кинематические граничные ус-
условия G.297).
Можно сформулировать вариационный принцип, более общий,
чем принцип Лагранжа. Назовем его обобщенным принципом
Рейсснера.
Запишем оператор X:
e] - <тц (etj - it*,, - \ujt^j - pF^ dV-
J <Ttinj (u,- - u?) d? J Sfui dE, G.53)
где под символом а подразумевается совокупность величин ы, е,
<т. Обобщенный принцип Рейсснера формулируется так. Из всех
кинематических, статических систем и систем, описываемых тен-
тензором §B), действительная выделяется тем, что для нее оператор
G.53) имеет стационарное значение, т.е.
dJ{q,6q} = 0. G.54)
В самом деле, воспользовавшись определением дифференциала
оператора C.13) и теоремой Остроградского-Гаусса, получим
E, S2
60
G-55)

откуда, учитывая произвольность величин 6а, т.е. 6й, бе и 8<т,
получим G.26)-G.29).
Если воспользуемся преобразованием Лежандра, то оператор
1{а] G.53) можно переписать в виде
9) = j [^o("»j + Ч*) ~ <Н?> - рПщ] dV-
v
- j (Tij («,- - u?) «ffi - / Sfin dS, G.56)
где под символом а понимается теперь совокупность величин и и а.
Упражнение 7.8. Исходя из оператора Рейсснера G.56), сфор-
сформулировать вариационный принцип и вывести из него соотноше-
соотношения G.26), G.29) и соотношение
G-57)
Упражнение 7.9. Показать, что лагранжиан является частным
случаем оператора G.53), если считать заранее справедливыми
соотношения Коши G.27) и определяющие уравнения G.28).
Упражнение 7.10. Воспользовавшись преобразованием
2 / ffij(ui,j + ui,d dV = - (TijjUi dV + VijTijUi dV, G.58)
показать, что кастильяниан является частным случаем операто-
оператора G.56), если удовлетворяются уравнения равновесия G.26) и
статические граничные условия G.29//).
Упражнение 7.11. Воспользовавшись принципом Д'Аламбера,
т.е. вводя инерционные силы заменой
pFi^pFi+рщ, G.59)
сформулировать вариационные принципы Лагранжа, Кастильяно,
Рейсснера для случая, когда учитываются силы инерции. ¦
Предположим теперь, что определяющие соотношения G.28)
таковы, что для любого тензора h
mhijhij, m>0. G.60)
61

Тогда можно доказать, что стационарная точка лагранжиана
G.31) является точкой минимума. В самом деле, полагая в
тождестве G.15) «2 = v (любой кинематической системе), а щ = й
(решению задачи G.26)-G.29)), имеем, учитывая G.60),
C{v) = tp{v} - A^e\v) > ф{и) - А^(и)+
ф{и) - A^(u) = ?{«}. G.61)
При выполнении условия G.60) справедлива также теорема един-
единственности обобщенного решения задачи G.26)-G.29).
В самом деле, предположим противное: существуют решения
«1 и г»2- Тогда из G.3) следует, что они удовлетворяют тождеству
У"(«7О{Й2} - *„{«!»?,•,• (v)dV = 0. G.62)
V
Далее,
. G.63)
Поэтому, полагая в G.63) ?ij(v) = ?ij(U2) — ?yCi), получим из G.60)
0 ^ Jl&ijfa} - *<y{3i}]kjC2) -^(SxMdV ^
^ m I eij(u2 - щ)е^(й2 - u^dV. G.64)
v
Отсюда следует, что
G.65)
т.е. поля «i(Z) и йг(^) могут различаться между собой только на
смещение тела как жесткого целого. Однако в силу условий G.29*)
такое смещение недопустимо. Отсюда следует единственность
решения задачи G.26)-G.29).
62

Если же граничные условия являются только статическими,
то решение задачи МДТТ единственно с точностью до движения
тела как жесткого целого:
«,(*) = u?+ eiy**Jug0, G.66)
где uf и й00 — два произвольных постоянных вектора. Исклю-
Исключить жесткое смещение тела можно, закрепив его какую-нибудь
точку я0:
при х = х° и = 0, и = О, G.67)
или, например, потребовав, чтобы
fudV = 0, /vxwdV = 0. G.68)
V V
Заметим также, что при статических граничных условиях о
разрешимости задачи МДТТ можно говорить лишь в том случае,
когда «система самоуравновешена», т.е. для всего тела выполня-
выполняются уравнения B.2), B.3), которые для случая равновесия можно
записать в виде
/ PFdV+ fs°dZ = 0, G.69)
V Е
fp[xxF]dV+ /xx§°rfE = 0. G.70)
Упражнение 7.12. Используя доказанную теорему единст-
единственности, доказать, что точка минимума лагранжиана является
единственной. ¦
Потребуем теперь, чтобы для определяющих соотношений
G.44) выполнялось неравенство для произвольного симметрич-
симметричного тензора Л:
n>0-
Тогда можно доказать,что стационарная точка кастильяниана
G.47) является точкой максимума.
63

В самом деле, легко показать, что
lJ L * J G.72)
с помощью рассмотрения функции
B) (D G.73)
на отрезке 0 ^ ^ ^ 1, для которой справедливо представление
G.13).
Из G.72) и G.47) следует, что
2
G74)
Поэтому, принимая <т2 = г (любой статической системе), а <7Х = а
(действительной статической системе), имеем из G.74), учиты-
учитывая G.71),
К{т} = -Ф{г} + AEl(r) ^ -Ф{<т} + ЛЕ1(<7)-
; - <го)(го- - Vij)dV ^ -Ф{*} + АъЛ?) = ^{^}, G-75)
что и требовалось доказать.
Упражнение 7.13. Доказать, что в положении равновесия,
характеризующемся вектором перемещения и* и тензором напря-
напряжения <т*, лагранжиан совпадает с кастильянианом
?{и*} = ?{?•}. ¦ G.76)
Отсюда и из предыдущих теорем следует, что для любых и,
а выполняются неравенства
С{и}>С{й*} = К{<т*}^1С{а}. G.77)
Неравенства G.77) служат мощным источником получения так
называемых двусторонних оценок
64

§ 8. НОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МДТТ И
НОВЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Рассмотрим уравнения совместности в форме A.40) гл. 1:
= 0,
где ? — произвольный симметричный тензор-константа второго
ранга. Рассмотрим далее уравнения движения
5; = <tOiJ+^-K-=0 (8.2)
или в в случае квазистатических (статических) задач МДТТ
уравнения равновесия
5,- = aijj + PFi = 0. (8.3)
Очевидно, вектор S получается из вектора S* пренебрежением
инерционными членами ри". Применим оператор Def к вектору
S* (или вектору 5):
Stj = ±(Sij + S,-,0 = |(<r«,t> + *ikM) + p(Fitj + Fjti) - ptii = 0. (8.4)
Предположим, что Q является симметричным тензором-операто-
тензором-оператором от тензора S* (или тензора S), таким, что выполняются
условия G.60), т.е. для произвольного симметричного тензора h
выполняется неравенство
dS~ ^hk]hii > m<>hiJhiJ' ™o > 0- (8-5)
Тогда в силу доказанной в предыдущем параграфе теоремы един-
единственности следует, что уравнения
Qijj{S*} = 0 (8.6)
имеют единственное тривиальное решение (8.2), если на границе
области V заданы граничные условия
Пусть теперь нам заданы определяющие соотношения D.60),
граничные условия F.5) и начальные условия F.6). Будем счи-
считать область односвязной. Выразим уравнения (8.1) и (8.4) с
3 Победря Б.Е. бс

помощью определяющих соотношений D.60) через напряжения.
Тогда граничные условия F.5) можно записать в виде
=$, (8.8)
а начальные условия F.6) — в виде
при t = t0 (щ = <Tij(U), e,;(?) = e.j(i0- (8-9)
Образуем теперь шесть уравнений относительно компонент тен-
тензора напряжений <т:
Иц(?) + Он{§*) + (tij ~ 6a)Qkk{S*} = 0. (8.10)
Новая постановка МДТТ в напряжениях заключается в интегри-
интегрировании шести уравнений (8.10) при удовлетворении шести гра-
граничным условиям (8.8) и (8.7), а также начальным данным (8.9).
Покажем, что данная постановка эквивалентна классической
постановке задачи в напряжениях, данной в § 6.
В самом деле, если справедливы уравнения совместности (8.1)
и уравнения движения (8.2), то отсюда немедленно следует спра-
справедливость уравнений (8.10) и (8.7). Пусть теперь дана новая
постановка задачи (8.10), (8.8), (8.7), (8.9).
Свернем (8.10) с единичным тензором 6ij. Получим
B - 1)[Щсг) - ?,•;,¦; (?)] + (I - 2)Qkk(S*) = 0, (8.11)
где
о
Предположим, что ? ф 2. Применим оператор Div к уравнени-
уравнениям (8.10):
^ij-Oj)[^(i)-?k,,k,^)]j+QiJj(S*) + (^-^j)QkkAS*) = 0. (8.12)
Воспользовавшись соотношениями (8.11), получаем из (8.12) урав-
уравнения (8.6), а из них в силу (8.7) — уравнения движения (8.2). Тог-
Тогда из уравнений (8.10) следуют уравнения (8.1), а из последних в
силу произвольности тензора ? — уравнения совместности в виде
Яч = tikl?jmn?kn,lm = 0. (8.13)
66

Упражнение 8.1. Показать, что квазистатическая (статичес-
(статическая) задача МДТТ в напряжениях заключается в решении шести
уравнений относительно компонент тензора напряжений
F,- - бц)Окк{$] = о. (8.14)
при выполнении граничных условий (8.8) и условий
5,-|Е = 0. (8.15)
Упражнение 8.2. Показать, что динамическая задача МДТТ
в деформациях заключается в решении шести уравнений относи-
относительно компонент тензора деформаций
Ни + Qij {S*} + (fc,- - 6{j )Qkk {S*} = 0, (8.16)
где компоненты тензора S* выражены с помощью определяющих
соотношений D.1) через тензор деформаций
S*j = \[*»,ц E) + *;*,«(?)] + P(Fi,j + Fj,i) - К) (8-17)
при удовлетворении граничным условиям, выраженным в дефор-
деформациях,
«i(€)si = «?. *у(?)";1вя = S?, (8-18)
5*|е = {»iU{e) + PFi - р[тШ'}Ы = 0- (8.19)
и начальным данным:
при t = t0 etj = ецф),etJ = etj(V). (8.20)
Упражнение 8.3. Показать, что квазистатическая (статичес-
(статическая) задача МДТТ в деформациях заключается в решении шести
уравнений относительно компонент тензора деформаций
Ни + Qij{§} + (tn - 6ij)Qkk{S} = 0, (8.21)
где компоненты тензора 5 выражены с помощью определяющих
соотношений D.1) через тензор деформации
+ Fj,i), (8.22)
67

при удовлетворении граничным условиям (8.18) и
E = O. ¦ (8.23)
Образуем теперь от векторов S* или S, соответствующие
вектор-операторы R(S*) и R(S*), такие, что уравнение
k(S) - 0 (8.24)
имеет единственное решение
5 = 0. (8.25)
Тогда можно сформулировать основные уравнения в дивергентной
форме. Для этого заметим, что
Aij(S) = Hij + Rij(S) + Rj,i(S) - tijRk,k0) = 0. (8.26)
Динамическая задача МДТТ в напряжениях (8.26) заключается
в решении шести уравнений
ЛуC*) = 0 (8.27)
с использованием определяющих соотношений D.60) при выпол-
выполнении граничных условий (8.7), (8.8) и начальных данных (8.9).
Соответствующая квазистатическая (статическая) задача МДТТ
в напряжениях заключается в решении шести уравнений (8.26) с
использованием определяющих соотношений D.60) при удовлет-
удовлетворении граничным условиям (8.8), (8.15). Покажем, что при-
приведенная постановка задачи эквивалентна классической. Пусть,
например, дана постановка квазистатической задачи (8.26), (8.8),
(8.15). Свернем уравнения (8.26) с единичным тензором 6{j:
B - О(Д0 - eiLij) - B - 0ДмE) = 0. (8.28)
Применим теперь оператор Div к уравнениям (8.26):
Fц - 6,)(Д0 - ekl,ki),j + ARi(S) + {6ц - tij)Rk,kj(S) = 0. (8.29)
о
Из (8.29) и (8.28) при 2 ф ? следует, что
АЩ§) = 0. (8.30)
68

Учитывая граничные условия (8.15) и свойство оператора (8.24),
(8.25), получаем уравнения равновесия (8.3), что и требовалось
доказать.
Введем теперь следующие обозначения:
ey.ttfy = 0к, eij<k6jk = еь
и рассмотрим тензор третьего ранга
Ецк = еу,* + «к f jjfy " ej J + <**; f ifi ~ ei
+tij(ek - Ok) + RiiWjk + RjWik - tijRk(q)- (8-32)
Тогда уравнения (8.26) можно записать в виде
Eijk.it + Уц = 0, (8.33)
где
Гц = Rij(X) + Riti(X) - tijRkMX), (8-34)
X = PF. (8.35)
Пусть на границе заданы нагрузки
^¦nj|= = 5?- (8-36)
Условия (8.15) можно переписать в виде
9<|s = -^.-Ь- (8-37)
Пусть, кроме того, заданы взаимнообратные определяющие со-
соотношения D.1) и D.60):
*« = ^iife). (8-38)
е« = &}(*)• (8-39)
Очевидно, что квазистатическая (статическая) задача МДТТ в
напряжениях заключается в решении уравнений (8.33) с учетом
определяющих соотношений (8.39) при удовлетворении граничным
условиям (8.36), (8.37). Та же задача в деформациях заключает-
заключается в решении уравнений (8.33) при удовлетворении граничным
69

условиям (8.36) и (8.37), если воспользоваться определяющими
соотношениями (8.38).
Дадим теперь вариационную постановку рассматриваемой за-
задачи. Для этого определим такой скалярный оператор 2$, за-
зависящий от градиентов напряжений, что выполняются условия
потенциальности тензора (8.32)
(8.40)
Tijtk
Назовем тензором потоков симметричный Тензор второго ранга
X, определенный на поверхности S:
(8.41)
Запишем функционал
В - Yijffij) dV- J хат dZ+
V E
+ / ^(Aqtqi + B(Tijnj(xiknk) + AXiqi - BS^ijTij rfS, (8.42)
E
где А и В — некоторые размерные постоянные.
Упражнение 8.4. Показать, что формулировка задачи (8.33),
(8.36), (8.37), (8.39) вытекает из вариационного принципа
?>/(<гу,йгу) = 0, (8.43)
причем при варьировании функционала (8.42) потоки х не варьи-
варьируются (считаются «замороженными»), а подставляются их вы-
выражения по формуле (8.41).
Упражнение 8.5. Показать, что для линейной изотропной
среды при
(8-44)
тензор Ецк (8.32) примет вид
(8.45)
70

где
1 ш + е- 1
w = - , 6 = а— —. (8.46)
1 + t/ l-2w v
Упражнение 8.6. Показать, что для того, чтобы оператор
Div E был симметричным, необходимо выполнение условия
Упражнение 8.7. Показать, что для того, чтобы величина
В = ^y**y,* (8-48)
была положительно определена, необходимо, чтобы кроме условий
(8.47) выполнялись условия
1<и<1, (8.49)
о
причем параметр е должен выбираться следующим образом:
e^l-w. (8.50)
Упражнение 8.8. Показать, что область (8.49) для и можно
расширить:
ш > w0, (8.51)
где ыо » —0.27981 является корнем уравнения
(w + l)Dw - 5ы2 - 1) =.15A - ш)(ш - wx)(w2 - w), (8 52)
4-^46 4 + V46
«-^-й- - <* = —п— (83)

Глава 2
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
§ 1. УПРУГАЯ СРЕЛА
Определим упругое тело следующим образом. Обратимая
среда, в которой термодинамическими параметрами состояния
являются температура Т и тензор деформации е, называется
упругой средой.
То, что в этом определении говорится об обратимой среде,
означает, что функция рассеивания W* = 0. Из предположения о
параметрах состояния следует, что всякую термодинамическую
функцию состояния, например свободную энергию ф(Т, е) можно
представить в виде
ф1(ет), A.1)
где
ет = Е-ад. A.2)
Упражнение 1.1. Показать, что из A.1) следует
дТ~ дТ де?"''~ дТ fj
" (L4)
В силу представления A.1) из результатов § 5 гл. 1 следует
(см. формулу E.17))
дф
A.5)
72

Отсюда и из формул E.20), E.21) гл. 1 получим выражения теп-
лоемкостей ср и с„:
pcv = —pi —- = pcp — 1 —^-ayajfcj « />cp — i0—^raya*;. (!•')
HI Kl
Из E.25)гл. 1 получим выражение энтропии
Т д
рН = рсрIn —- + «туay я» рср— + o-ijOcij. A.8)
Jo Jo
И наконец, из E.26) гл. 1 следует уравнение притока тепла для
упругой среды
, ,. = (A/j-Tj),,- - Tayoy- + />g. A.9)
Как следует из E.43) гл. 1, последние уравнение может быть
линеаризовано:
Т( л Т т1 \ т1 i /1 1 л\
=: v^tj-'jJ.1 — JOay0'ji ~т Pi- l^-^"J
Используя связь между теплоемкостями A.7), можно записать
уравнение A.10) в виде
Т/ л Т rri \ гтл U&ij . /1 1 1 \
= (A,-i j ),-— Jot; aij?ki <~ РЯ- (л-И.)
Всюду ранее мы предполагали тензор <т потенциальным, т.е. в
данном случае должна существовать скалярная функция Wi(e),
называемая упругим потенциалом, такая, что
С"»
Как видно из A.5), при изотермических процессах, т.е. когда 1? = 0,
упругий потенциал совпадает со свободной энергией:
Wi = Рф. A.13)
Нетрудно видеть, что если рассматриваются адиабатические про-
процессы, то в уравнении B.31) гл. 1 pq — 0, g,- = 0 и мы получим
о-у = р-т—, A.14)
73

т.е. при адиабатическом процессе упругий потенциал совпадает
с внутренней энергией:
Wi = pU. A.15)
В общем случае мы введем в рассмотрение так называемый тер-
термоупругий потенциал W, зависящий от тензора ет, причем
QTTT
°ц = д—, W= W(eT). A.16)
В линейно-упругой среде определяющие соотношения должны
быть линейными.Это будет достигнуто, если выражение термоуп-
термоупругого потенциала считать квадратичным:
W=^CijkieleTkl. A.17)
Тогда закон связи между напряжениями и деформациями в ли-
линейно-упругой среде (закон Гука), как следует из A.16) и A.17),
имеет вид
°ц = CijkleTkl = Cijkl(ekl - atl0) A.18)
и обратно
A-19)
Как было указано в § 4 гл. 1, Cijki называется тензором модулей
упругости, a Jijki — тензором упругих податливостей. Введем
тензор второго ранга /3 и скаляр /3 следующим образом:
Pij = СцЫаки /3 = рцац. A.20)
Тогда определяющие уравнения линейной упругости A-18) можно
записать в виде
а связь между тепло емкостями ср и с„ A.7) для линейной упру-
упругости — в виде
рс„=рср-Т0ъРср-То/3. A.22)
74

Упражнение 1.2. Используя формулы D.22), D.32) и E.10)
гл. 1, показать, что для изотропной среды
рц = а(ЗА + 2nNij, C = За2(ЗА + 2ц) = 9а2 К. A.23)
Упражнение 1.3. Используя формулы D.24) и E.11) гл. 1,
показать, что для трансверсально-изотропной среды
+ А2) +
/Ззз = 2а2Л3 + aiA4, 0 - 4a|(Ai + A2)
A.24)
Упражнение 1.4. Используя формулы D.26) и E.12) гл. 1,
показать, что для ортотропной среды
, /З22 =
/Ззз = aiA3 + а2Л8 + а3Л4, A.25)
/3 = а^Лб + а\Кт + азЛ82а!а2Л1 + 2а1а3Лз + 2а2а3Л8.
Упражнение 1.5. Показать, что для изотропной среды урав-
уравнения A.21) имеют вид
ац = \06ц + 2цец - а(ЗА + 2цNц. A.26)
Упражнение 1.6. Показать, что для трансверсально-изотроп-
трансверсально-изотропной среды уравнения A.21) имеют вид
o-i 1 = (Ai + 2А2)ец
<Т22 = AiEn + (Ai + 2Л2)?22
?22)
G12 = 2A2?i2,
G23 =
Упражнение 1.7. Показать, что для ортотропной среды со-
соотношения A-21) имеют вид
Gц =
G22 =
"3 =
"2 =
"3 =
Аб?ц Ч
Ai?n 4
Аз?ц Ч
2A2?l2j
2Лэ?23-
- Ai?22 H
¦ Л7?22 Н
- Л8?22 Н
¦
75
1- Л3?зз -
h Л8?33 -
Ь Л4?33 -

При выводе соотношений A.22) мы пользовались выражениями
CiJk, = %%- = %Ш-. A.29)
Эти выражения справедливы при постоянной температуре. Поэ-
Поэтому модули Cijki называются изотермическими. Однако можно
дать определение так называемым адиабатическим модулям уп-
упругости
(Р) A-зо)
H=const
Лля их вычисления из выражения энтропии A.8)
РН = рсР—+ рцец -№ = pcv — + fcjZij A.31)
Jo Jo
выразим д и подставим в A.21).Тогда получим
*у = Cijk,ekl - ^^(Я - А,еы). A.32)
pcv
Отсюда и из A.30)
C5li = cii« + — Aj/?«- A-33)
Исходя из общих постановок задач МЛТТ, приведенных в § 5
гл. 1, дадим постановку задач теории упругости, или, как обычно
говорят, «упругих» задач.
Связанная динамическая нестационарная задача линейной те-
теории термоупругости для анизотропной неоднородной среды зак-
заключается в интегрировании трех уравнений движения
(Wt = PFi + (Суыufci, - *Ду )tj A.34)
и уравнения притока тепла A.11)
pcvT = (\TjTj),i - Topkluktl + pq A.35)
при выполнении граничных условий
b{q)T = T*{i){x,t), q = 1,2, A.37)
76

и начальных данных:
при t = t0 «,- = Ui(xt), щ = Щх); A.38)
при t = t0 T = T0(x). A.39)
Заметим, что связанные задачи в линейной теории упругости
чаще всего представляют академический интерес, ибо величина
To/3t/«jt;, входящая в A.35), значительно меньше остальных чле-
членов. Поэтому практический интерес представляет рассмотрение
несвязанных задач термоупругости. А для таких задач, как бы-
было указано в конце § 6 гл. 1, после решения отдельно задачи
теплопроводности, т.е. уравнения
pCvT ^(XfjTjli+pq A.40)
с граничными условиями A.37) и начальными данными A.39), мо-
может быть решена динамическая задача упругости в перемещениях
для изотермических процессов, т.е. система уравнений
ри- = pFt + (Cijklukt,)j A.41)
с граничными условиями
и<|2 = «?, Cijkluk,,nj\z2 = S;° A.42)
и начальными данными A.37). Звездочку у величин pF* и 5,*°:
pF; = PFi - (Mfc, ST = Sf + Щnj\^, A.43)
мы будем опускать, и только если понадобиться рассмотреть
неизометрические процессы, мы вспомним о выражениях A.43).
Для однородной среды оператор L:
1и = Сцк,Щ, A.44)
называется оператором Ламе, а оператор (:
lik = Cijkld,njt A.45)
— оператором напряжений.
Упражнение 1.8. Доказать, что для изотропной среды опера-
операторы Ламе L и напряжений / имеют соответственно вид
A.46)
Ш A.47)
77

С помощью оператора Ламе можно сформулировать поста-
постановку задач теории упругости для однородных сред.Например,
статическая задача теории упругости заключается в решении
уравнений
Lu + pF = 0, LijUj + pFi = 0 A.48)
(которые называются уравнениями Ламе) при выполнении гра-
граничных условий
«.•!*=«?, hjUjb2 = S°. A.49)
Для того чтобы дать постановку задачи теории упругости в
напряжениях, нужно выразить условия совместности деформаций
A.22) гл. 1
T)ij = (ikl(jmn?kn,lm = 0 A.50)
в напряжениях.
Упражнение 1.9. Выражая в формулах A.39) гл. 1 деформации
через напряжения по закону A.19) для изотермического случая и
считая среду однородной, доказать, что уравнения совместности
в напряжениях имеют вид
Д<7т„ = Qmnklffkl, A.51)
где
Qmnki = Cmnij(Jipkidpdj + Jjpkidpdi - Jpgkitpqdidj). A-52)
Упражнение 1.10. Подставляя в формулу A.39) гл. 1 соотно-
соотношения, обратные к A.26), и считая среду однородной, доказать,
что справедливы уравнения
A.53)
гт>г^ (L53r)
Упражнение 1.11. Выражая в уравнениях движения F.16) гл. 1
деформации по закону A.19) для изотропной однородной среды,
доказать справедливость уравнений
„л о,л
¦ A.55)
Е
78

Итак, в случае динамической задачи мы имеем уравнения
движения, выраженные в напряжениях A.54), и уравнения сов-
совместности, выраженные в напряжениях A.52).Для статической
задачи имеем те же уравнения совместности A.52) и уравнения
равновесия
<гы+рЪ=0. A.56)
В уравнениях A.53) можно освободиться от правой части с по-
помощью выражений A.54) и от Д0 с помощью A.53') и A.55).
Тогда получим
1 DV
A<Tii + T+^e'ij + p{FiJ + Fj'{) + \^Fk'kki =
)<7ii + l-i/
аЕ
т
Итак, статическая задача теории термоупругости заключает-
заключается в решении уравнений совместности
p(Ft
АТ^ +
при удовлетворении уравнениям равновесия A.56) и граничным
условиям в напряжениях
^O"»»jb = S?- A-59)
Динамическая задача термоупругости заключается в решении
уравнений A.54), A.57) при удовлетворении граничным условиям
A.59) и некоторым начальным данным F.18) гл. 1.
Как следует из § 8 гл. 1, можно дать и другую постановку
задачи теории упругости в напряжениях. Для изотропной среды
нужно решить шесть уравнений относительно шести независимых
компонент тензора напряжений:
ij + a((riktkj + ffjk.ki) + 6o-H,fc<uj +
e+w-1 A.60)
Fjti) + (a+ 1) j^_ ^ pF^j ^ 0,
где
w+e-1 _ 1
Ь = т^%га' ш = тт;- (L61)
79

Пусть выполнятся граничные условия A.59) и
= 0. A.62)
Если в A.6) положить о = е = 0, то получим уравнения Бельтрами-
Мичелла.
Для того чтобы доказать единственность решения статической
задачи теории упругости A.48), A,49), воспользуемся теоремой,
доказанной в § 7 гл. 1. Для этого нам нужно только показать, что
для упругой среды удовлетворяется неравенство G.60). В нашем
случае оно принимает вид
Qjkihijhk, >т, т > 0, A.63)
где h — произвольный симметричный тензор второго ранга. Но
A.63) представляет собой не что иное, как требование положитель-
положительной определенности тензора модулей упругости. Следовательно,
если это требование выполнено, то решение задачи теории упру-
упругости A.48), A-49) может быть только единственным. В часности
рассматривая изотропную среду и выбирая в качестве тензора h
тензор деформации е, имеем
\в2 + 2цечеч = Га + ?/iJв2 + 2/ieyey > 0. A.64)
Отсюда следует, что единственность имеет место при выпол-
выполнении условии
/i>0, -l^i/<^. A.65)
Для доказательства единственности решения динамической
задачи предоложим, что существует два таких решения uj и йг-
Для разности этих решений и = их — и2 имеем однородную задачу,
т.е. однородные уравнения движения Ламе
pu^LijUj, A.66)
однородные граничные условия
«,-|еж.= 0, UjUj\v2 = Q A.67)
и однородные начальные условия
при t = 0 и,- = 0, и,- = 0. A.68)
80

Так как рассматриваемая система является консервативной,
то для нее лагранжиан (G.18) гл. 1) имеет постоянное значение
С = Е- А(е) + ip = const, A(e)=0. A.69)
Но кинетическая энергия Е зависит только от скоростей и', не мо-
может принимать отрицательные значения и в силу A.68) равна нулю
в начальный момент t — 0. Потенциальная энергия деформации
<р = f WdV зависит только от деформаций, не может принимать
v
отрицательные значения и в силу A.68) равна нулю в начальный
момент t = 0. Следовательно константа в A.69) равна нулю, а
отсюда следует единственность, если W является положитель-
положительно определенной функцией деформаций, что выполняется, если
тензор модулей упругости является положительно определенным.
Упражнение 1.12. Сформулировать вариационный принцип
Лагранжа для задачи теории упругости и доказать, что стацио-
стационарная точка лагранжиана является точкой минимума.
Упражнение 1.13. Вводя упругий потенциал напряжения w и
потенциальную функцию напряжения
w=-Jijkt0ijaki, <$>=lwdV, A.70)
сформулировать для задачи теории упругости вариационный при-
принцип Кастильяно и доказать, что стационарная точка кастилья-
ниана является точкой максиума.
Упражнение 1.14. Сформулировать для случая упругой сре-
среды общий вариационный принцип Рейсснера и рассмотреть его
частные случаи.
Упражнение 1.15. Показать, что для изотропного однородного
тела формулы A-43) приобретают вид
pF* =PFi-ZKad}i, S;0 = S? + ZKadm\z,. A.71)
Упражнение 1.16. Показать, что уравнение равновесия Ламе
A.48) для изотропной среды могут быть записаны в виде
(А + /j)grad divu + цАй + pF = 0 A.72)
и соответственно уравнения движения — в виде
ри = pF + (А + ^)grad divw + fiAu. A.73)
81

§ 2. ФУНЛАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Рассмотрим тензор напряжения <г{х) и никак не связанный с
ним тензор деформации §'(ж). Все величины, связанные с г', будем
помечать сверху штрихом, а величины, связанные с <т,оставлять
без штриха. Если <т(ж) — непрерывно дифференцируемое поле,то
имеем тождество
J a^dV = J вгци{п,-(й] - j aijju'jdV. B.1)
Если тело считается упругим, то тензор напряжения а можно
выразить через деформации по закону Гука:
(Гц = Cijkieu. B.2)
Тогда подьштегральное выражение левой части B.1) представляет
собой билинейную функцию деформаций
<т,,4 = di^kie'ij = 2WC, S'). B.3)
Выразим деформации B.2) через перемещения по соотношени-
соотношениям Коши
?ij = gKf+«*.*)» B-4)
воспользуемся обозначениями A.44) и A.45) и подставим результат
в B.1).Тогда получим
/ u'ilijUjdV = j u'JijUjdE -2 [ W(u, u')dV. B.5)
Это так называемая первая функция Бетти. Полагая в ней и' — и,
получим вторую формулу Бетти
/mUjUjdV = j UiUjUjdT. - 2 / WdV, B.6)
V S V
где
W = \Сцк1ецек1 B.7)
82

— упругий потенциал. Вычитая из B.5) взаимное выражение,
получим третью формулу Бетти
B.8)
Обсудим следствия из этой формулы. Лля этого рассмотрим
задачу A.48), A-49) причем в A.49) будем считать, что заданы
только статические граничные условия
huj\s = S°. B.9)
Тогда из третьей формулы Бетти имеем
J р[п^ - UiFDdV + /"[«{S? - UiS^dE = 0. B.10)
v s
Пусть, например, в теле отсутствуют массовые силы и в некото-
некоторых точках поверхности уо и yi действуют сосредоточенные силы
S°(x) = S8(x-y0), 3°'B) = 5'e(x-y1). B.11)
Тогда как следует из B.10),
2'(So)-5 = aEi).3/. B.12)
Формула B.12) представляет собой так называемую теорему вза-
взаимности. Рассмотрим изотропную среду. С помощью формулы
B.10) можно найти изменение объема тела под действием массовых
и поверхностных сил. Для этого заметим, что изменение объема
= fOdV = juitidv= I щщат,. B.13)
Положим
Тогда
Имеем из
Л,
B.10)
s
V
83
/ xi
(To'1!) ui = <T°oT'-
у I
ar^V + J Si i,-dEj .
s
B.14)
B.15)
B.16)

Упражнение 2.1. Пусть упругий прямой цилиндр длиной / и
площадью сечения ? поставлен основанием на плоскость. Извес-
Известно, что его вес Q. С помощью формулы B.16) показать, что
изменение объема этого цилиндра
Упражнение 2.2. Пусть упругое изотропное тело нагрето до
температуры д(х). Пользуясь формулами B.16) и A.71), показать,
что в этом случае изменение объема
AV
= 3а I' ddV. Ш B.18)
Формулы Бетти служат источником получения многих важных
формул. Рассмотрим, например, задачу о действии сосредоточен-
сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве. Предположим,
что в точке ? среды действует сосредоточенная массовая сила
pf = X B.19)
в направлении оси ж* с единичной интенсивностью р:
B.20)
Вектор X B.19) мы будем называть объемной силой, ибо он имеет
размерность силы, поделенной на объем. Итак, требуется решить
уравнение Ламе A.48) для массовых сил B.20) в неограниченной
среде. Лля единственности решения потребуем, чтобы на бес-
бесконечности перемещения обращались в нуль. Назовем решение
такой задачи
a=?A(*)B,0 = ^*)B,?)?,- B.21)
решением Кельвина, а тензор Щ (ж,?H — тензором перемещений
Кельвина. Верхний индекс (к) обозначает направление действия
сосредоточенной силы, приложенной в точке ?, нижний индекс i —
направление соответствующего ей перемещения в точке х. Итак,
тензор перемещения Кельвина является решением уравнений
LijU}k) + Х$к) = 0. B.22)
Упражнение 2.3. Пусть в точке ?' приложена сосредоточенная
массовая сила,действующая в направлении оси х\\
pF'W = *'('> = р6(х- ?')?,, B.23)
84

а соответствующий вектор перемещения «', полученный из реше-
решения уравнений A.48)
й' = й^(хЛ') = и^1\хЛ%. B.24)
Пользуясь формулой B.10), доказать теорему Максвелла о сим-
симметричности тензора перемещений Кельвина:
ul'\U') = u{k\t',O- ¦ B-25)
Применив к решению Кельвина оператор напряжений A.45), по-
получим тензор напряжений Кельвина
}к\1). B.26)
Заметим, что у полученного тензора второй векторный аргумент
? — любая точка, принадлежащая телу, (?У,а первый аргумент
принадлежит некоторой поверхности, на которой вычисляется / .
Поэтому будем обозначать его у, у € Е, т.е.
Р?\у,Ъ или Р?\у,3).
Упражнение 2.4. Используя формулу B.8), доказать что
') = и?\у,?')Р?\у,Ъ B.27)
для любых точек у G ? (любая поверхность внутри тела, занима-
занимающего объем V), ?,?' G V. Ш
Воспользуемся теперь снова формулой B.10), положив в ней
J\K\x,OpFi{x) - щ(хNк,6(х - Q]dV =
= Pi (y,Z)S?(y)-u?(y)P>k)(y,Z)]di:. B.28)
s
Отсюда
/л
pUj [Xy^jFjfxjdV -\- I [?/.¦ (y, ?)S: (y) — и? (y)Pj (y,?)]rfE.
J
v s
B.29)
85

Последняя формула носит название формулы Сомильяны. С ее
помощью вектор перемещения и в любой точке ? ? V может быть
найден, если на поверхности Е, ограничивающей объем, извес-
известны одновременно и вектор перемещения и°(у), и вектор усилий
S°(y), У € ?. Так как одновременно эти векторы на границы
заданы быть не могут, то формула B.29) непосредственного прак-
практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она
может быть использована для получения многих важных результа-
результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное
выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные
частные решения статической задачи упругости, т.е. решения,
которые удовлетворяют уравнениям Ламе A.72), но не обязатель-
обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения
обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не-1
которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым,
чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуас-
Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому урав-
уравнению. Такое выражение принято называть «представлением»
решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям A.72)
один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = дгд{.
Тогда получим соответственно
(А + nWdj&Uj + цА?щ + АХ( = 0, B.31)
где Д2 — бигармонический оператор, т.е. оператор Лапласа,
примененный дважды. Подставляя выражение B.30) в B.31),
получим
Д2й = М-Х, ДЧ- = ЩХ,, B.32)
где
M
/J
Тензор-оператор М B.33) назовем оператором Галеркина. Ищем
решение уравнения Ламе A.74) в виде
й = М-Т, Ui = MijTj, B.34)
где Г называется вектором Галеркина. Подставляя B.34) в B.32),
получим уравнение
А2М -Г- М -X, B.35)
86

которое будет удовлетворяться, если положить
Д2Г = X. B.36)
Выражение вектора перемещения через вектор Галеркина B.34),
который удовлетворяет уравнению B.36), называется представ-
представлением Галеркина. Заметим, что в случае отсутствия массовых
сил, как следует из B.32), B.36) и B.30), векторы перемещения
и и Галеркина Г будут бигармоническими, а дилатация в —
гармонической функцией.
Ввиду формальностей вывода представления Галеркина может
показаться,что оно не является общим, т.е. не всякое достаточно
гладкое решение уравнения Ламе может быть представлено в виде
B.34), B.35). Покажем, однако, что решение Галеркина является
общим. Как известно (например [113, т. 2, с. 207]), для всякого
векторного поля й(х) с условием Й(оо) = 0 найдутся такие вектор
xCf) и скаляр ф(х), что
и = rotx + gradt/i, B.37)
причем такое разложение является единственным и
divx = 0. B.38)
И обратно, для всяких в и ш (divw = 0)
0 = div«, w=-rotu B.39)
найдутся такие х и Ф'-
Аф = в, Ах = -2w(div х = 0), B.40)
что по заданным в(х) и ш(х) строится векторное поле и в виде
B.37). Запишем соотношение B.34) с учетом B.33) в виде
и = * + (* . grad div f - -AT. B.41)
^(A + 2^) fx
Сравнивая B.41) и B.37), мы видим, что необходимо доказать,
что существуют зависимости
B-42)
Af = rotx + gradt/>2, B.43)
87

при этом
1>i + Фг = ф. B.44)
Предположим сначала, что существует достаточно гладкий вектор
Г, затухающий на бесконечности вместе со своими производными
первого и второго порядков. Тогда для вектора ДГ согласно тео-
теореме Гельмгольца существуют скалярная функция ф2 и векторная
X, такие, что выполняется B.43) при условииB.38) и
Аф3 = --й\у(АТ), B.45)
Ax=-rot(Af), B.46)
причем можно предположить,что выполняется B.41). Тогда спра-
справедливо B.44). Обратно, пусть заданы функции ф и \, причем
выполняется условие B.38). Тогда согласно теореме Гельмголь-
Гельмгольца можно построить разложение B.43) так, чтобы выполнялись
условия B.42), B.44)-B.46). Подставляя выражение
й(х) = АЦ>{1) + /B) grad ф(х) B.47)
в уравнения Ламе A.72), получим
(А + 3/i)/,t ^,н + (А + 2^)/Дт/>,, + (А
+ /,,-Дт/О + n(AA<pi + Д/т/v) + Xi = 0.
B.48)
Упражнение 2.5. Полагая в B.47)
(представление Нейбера), показать, что уравнения Ламе будут
удовлетворяться, если вектор <р удовлетворяет уравнению Пу-
Пуассона
а между Тр и ф существует зависимость
At/; = 2div?. B.51)
Упражнение 2.6. Полагая в B.47)
Л = ^А++2^ ¦ Лг) = -^. №) = 2-Ф + ФоC) B.52)

(представление Папковича), показать что уравнения Ламе удов-
удовлетворяются, если функции (р(х) и фо(х) удовлетворяют уравне-
уравнению Пуассона
Аф + -^-Х = 0, B.53)
-Х = 0. B.54)
Упражнение 2.7. Полагая в B.47)
А = ~, f(x) = -xa, a =1,2,3 B.55)
(представление Треффца), показать, что уравнения Ламе удов-
удовлетворяются, если
Д? + ! = 0, B.56)
Аф = 0 B.57)
и существует связь между <р(х) и ф:
(А + Зц)ф,а + (А + /i)y,M = 0. B.58)
Упражнение 2.8. Полагая в B.47)
А = ±, /(S?) = i-(r2-a2), B.59)
где
г = у/х{х{, B.60)
а a = const (представление Треффца), показать, что в случае, если
массовые силы являются градиентом некоторой скалярной функ-
функции х (см- соотношение F.12) гл. 1), уравнения Ламе допускают
первый интеграл в виде
Найдем производные функции г, заданной соотношением B.60)
и 1/г:
89

Из формулы B.63) видно, что функция 1/г удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа всюду, кроме начала координат:
B.64)
В то же время объемный интеграл от выражения B.64) по любому
шару дает
B65)
Из B.64) и B.65) видно, что функция 1/г удовлетворяет уравнению
Пуассона
ГЛ =-Ш(х). B.66)
Теперь, чтобы получить решение Кельвина, достаточно восполь-
воспользоваться представлением Галеркина. Решим сначала уравнение
B.36) для специальной правой части
&2Т=-р8(х), B.67)
где р — единичный вектор силы.
Упражнение 2.9. Разыскивая решение уравнения B.36) в виде
Г,- = Ср{г B.68)
и используя формулы B.62), B.63) и B.66) показать, что B.68)
является решением уравнения B.67), если
c=h- B-69)
Упражнение 2.10. Используя решение B.68), B.69) уравнения
B.67), показать, что вектор перемещения й, соответствующий
этому решению, по формуле B.41) выражается в следующем виде:
_ Pj( + V) Ы] + 3/ jj_
8^(A + 2/j)L r3 A + ^ г \
90

Из формулы B.70) легко получаем решение Кельвина, полагая
р = рек, B.71)
= у/(х{-&)(*-&), B.72)
Упражнение 2.11. Используя формулы B.26) и B.73), показать
что явное выражение тензора напряжений Кельвина имеет вид
B.74)
R = y/(yt-ti)(yj-ti)- B-75)
Пользуясь решением B.73), можно получить другие особые ре-
решения. Продифференцируем уравнение B.22) по координате ?/.
Учитывая, что оператор Ламе в B.22) берется по координатам
х, получим
UiU^ = -X\]\ B.76)
где согласно B.20)
X$=p6ik[6(x-t)],,. B.77)
Векторы Xj .
X§=xf, B.78)
образуют квадратную матрицу. Назовем ее матрицей «источни-
«источников». Каждый диагональный элемент этой матрицы представляет
собой так называемую двойную силу без момента. Эта особен-
особенность Х^! схематически изображена на рис. 1. Имеется в виду,
что Д?а — бесконечно малая величина. Каждый недиагональный
элемент матрицы источников XvLl (a = /?) представляет собой
так называемую двойную силу с моментом. Схематически она
изображена на рис. 2. След матрицы особенностей называется
центром расширения-сжатия, или центром дилатации (рис. 3).
91

-ръ*
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
-ре.
Рис. 4
Особенность, получаемая применением операции rot к единичной
сосредоточенной силе, называется центром вращения (рис. 4):
B.79)
Решение уравнений B.76) называется тензором фундаментальных
решений теории упругости:
B.80)
B.81)
Соответствующие компоненты матрицы фундаментальных реше-
решений B.80) называются решением, соответствующим данной ком-
компоненте матрицы источников.
Упражнение 2.12. Показать, что оператор напряжений, вы-
вычисленный для матрицы фундаментальных решений B.80), имеет
92

вид
B-82)
Упражнение 2.13. Показать, что вектор Галеркина, соответс-
соответствующий тензору фундаментальных решений B.80)
(Я = *(/)'' B.83)
имеет вид
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Характерной чертой решения Кельвина ?А*)E,?) или каждой
компоненты матрицы фундаментальных решений t/|JE,?) являет-
является то, что все эти решения удовлетворяют однородным уравнениям
Ламе для всех х ? V, кроме точки х = ?. Очевидно, алгебраичес-
алгебраическая сумма решений такого рода, например J2i=i U(i)Л^> ?(»))) будет
удовлетворять однородным уравнениям Ламе для всех х € V, кро-
кроме точек х = ?(,¦) (i = 1,..., Л^). Если мы распределим источники в
некоторой области Q с плотностью р(?), то, например,
п
будет удовлетворять уравнениям
Х,„, = (°' если5*"' C.2)
I. pi, если х € П.
93

В частности, если в теле заданы объемные силы Х(х), то полагая
в C.1) Щ?) = -1(|), получим
щ{х) = - J ulk\x,t)Xk$)dV( C.3)
— решение неоднородных уравнений Ламе A.48). Правая часть
выражения C.1) называется объемным потенциалом с плотностью
р. Разумеется, источники необязательно распределять по объему
Q, а можно и по некоторой поверхности ?,, или даже контуру Г.
В соответствии с этим будем иметь
щ(х) = Ju?\x,n)pk(n)dZ, C.4)
щ(х) = Ju^\x,j)pk(y)dT. C.5)
Правая часть выражения C.4) называется потенциалом простого
слоя с плотностью p(rj). Точно так же можно образовывать новые
решения уравнений Ламе, если в подынтегральных выражениях
решение Кельвина заменить на тензор фундаментальных решений
теории упругости. Например, если расположим источники B.78)
с равномерно распределенной плотностью по отрицательной по-
полуоси ?а, то
-у) blkr(xa + ry
— со
C.6)
В частности, если эти источники представляют из себя центры
расширения-сжатия, то из C.6) имеем
Если рассматривается первая краевая задача теории упругости,
т.е. на границе заданы перемещения и*-(у), у ? Е, то на соотноше-
соотношение C.1) можно смотреть, как на интегральное уравнение
C.8)
94

относительно плотности источников р(?). Это уравнение явля-
является интегральным уравнением 1-го рода, т.е., вообще говоря,
некорректной задачей. Но в последнее время, главным обра-
образом благодаря работам А.Н. Тихонова, наметился значительный
прогресс в решении таких задач. Точно так же, если решается
вторая краевая задача теории упругости, т.е. на границе заданы
нагрузки Sf(y), у Е ?, можно написать интегральное уравнение
Uy) = JH
k\y,&Pk@dV(, yez, len, C.9)
для неизвестной плотности распределения источников р(?), где
-Р,- ' — тензор напряжения Кельвина B.74).Если решается сме-
смешанная задача теории упругости с граничными условиями A.49),
то решается интегральное уравнение C.8) для t/ ? Е] и интег-
интегральное уравнение C.9) для у € ?г- Если, кроме того, заданы
объемные силы X, то нужно выделить сначала частное реше-
решение, воспользовавшись формулой C.3). Описанный метод решения
задачи теории упругости носит название метода источников.
Выбирая в качестве источника комбинацию сосредоточенной
силы, полупрямой центров растяжения-сжатия, полупрямой ис-
источников вращения и полупрямой двойных сил без момента,
можно получить так называемое решение Буссинеска-Черрути
о сосредоточенной силе интенсивности Рцз), направленной по оси
Х/з, действующей на границе полупространства ха ^ 0 в точке г)
(т)а = 0). Это решение имеет вид
+ A - 2v)[6ia(xf) - щ) + Sipr] - ±——^-(xi - гц - Siaxa)x
г + х
C.10)
Упражнение 3.1. Показать, что тензор напряжений, подсчи-
подсчитанный на основании C.10) для сосредоточенной силы, приложен-
приложенной в начале координат, имеет вид
i/3 - f>apf>ij - bap6ai6aj) + XiFap6aj - 6j
r2[x2a{6ia6jf3 + 6ja6if}) + xa
St. - xaxj8ia - xaxi6ja)}- ¦ (З.П)
95

С помощью выражения C.10) можно получить решение любой
второй краевой задачи теории упругости с заданной нагрузкой
на границе полупространства 1) ? Еа (где EQ — плоскость ха = 0):
C.12)
Вообще назовем тензором Грина 1-го рода некоторой краевой
задачи теории упругости, например второй краевой задачи
1ци;+Х{ = 0, C.13)
lijUj\j: = Sf, C.14)
тензор с компонентами В\ (х,?):
если j?(°0 является решением задачи C.13), C.14) с однородными
граничными условиями и специальными объемными силами:
1чв]а) = -P6ai6(x -1), x,tev, C.16)
/уВ{о)|Е = 0. C.17)
При построении тензоров Грина для второй краевой задачи мы
предполагаем, что имеется некоторая точка х? ? V, в которой
выполнены условия закрепления G.67) гл. 1; эта точка для не-
неограниченной области может быть отнесена на бесконечность.
Тензором Грина 2-го рода той же краевой задачи C.13), C.14)
называется тензор с компонентами G* B,7;):
G<e> = G(°]ei, C.18)
если G(a) является решением задачи C.13), C.14) с нулевыми
объемными силами и специальными поверхностными силами
LijG^ = 0, C.19)
^а)|Е=рЫг/-г)), *???. C.20)
Зная любой из тензоров Грина, можно получить решение данной
краевой задачи для произвольных поверхностных и объемных сил.
Пусть, например, для задачи C.13), C.14) известен тензор Грина
96

2-го рода Gi \x,rj). Тогда представляем решение задачи C.13),
C.14) в виде суммы
щ = «; + и1!, C.21)
где uj- — решение уравнений Ламе для бесконечной среды, най-
найденное по формуле C.3). Тогда для ы" получаем задачу
?ои" = 0, C.22) ¦
iy<|B = s?0 = s?-/««>!=. C-23)
решение которой имеет вид
v? = J GV\2,n)Sf°{n)dZ. C.24)
Упражнение 3.2. Показать, что если для задачи C.13), C.14)
известен тензор Грина 1-го рода в\а (х,?), то из B.8) следует, что
решение этой задачи имеет вид
щ = J BV\x,bXj(l)dVt + J В^\3,Щ(Ц)^. Ш C.25)
V Е
Заметим, что если известен тензор Грина 2-го рода, то можно
путем квадратур вычислить тензор Грина 1-го рода. В самом
деле, пусть для задачи C.13), C.14) известен тензор Gf '(x,?),
удовлетворяющий задаче C.19), C.20). Положим
Xi(b = p6aiS(l-h), hev. C.26)
Тогда для представления C.21) находим из C.3)
и[ = и1а\хЛх), C.27)
из C.23) получаем
sr = -iiju'j\z = -Pia\y,b), 5es, tev. C.28)
Тогда по формуле C.24)
< = - J<#\х,1)Р}а\ч,ЬIП:,. C.29)
Е
4 Победря Г-.Е. 97

Поэтому для тензора Грина 1-го рода
Bf\2,t) = uf\x,Z) - f С^\1,ЩР^\%1)Л^. C.30)
Очевидно, решение Буссинеска-Черрути C.10) является тензором
Грина 2-го рода второй краевой задачи для полупространства.
Упражнение 3.3. Зная решение C.10), найти по формуле C.30)
тензор Грина 1-го рода для полупростанства (решение Минд-
лина).
Упражнение 3.4. Показать, что по известному тензору Гри-
Грина 1-го рода для задачи C.13), C.14) тензор Грина 2-го рода
находится по формуле
с\а\х,г,) = в\а\х,т,), xev, пен. ш C.31)
Формулу Сомильяны B.29), полученную для случая, когда ? Е V,
можно использовать в других случаях, если воспользоватся в
B.28) свойством дельта-функции. Пусть имеются две области V
иП, х ? V, ? Е Q и Е — поверхность, по которой пересекаются
эти области. Тогда для непрерывной функции
n { 1/B), x e E.
Используя C.32) и B.25), имеем из B.28) и B.29)
J U?\lx)Xk(l)dVt+ J[U?\y,x)S°k(y)-
V S
Г и,-B), 2 Е V,
-Рк(<)E,2)и2E)](Еу = | 1щB), 2 Е Е, C.33)
[о, 3$v.
Рассмотрим выражение
У ЕЕ, leV, C.34)
= J
назьшаемое потенциалом двойного слоя с плотностью р(у). Ест
определить функцию Wi(?) для всего пространства по формул<

C.34), т.е. и для случаев, когда ? = ^*€ Е и ? ^ V, то мож-
можно показать, что она будет терпеть разрыв при переходе через
поверхность Е.
Используя определение тензора Р> (у,?) B-26), теорему Гаус-
са-Остроградского и свойство решения Кельвина B.22), получаем
E
V
Тогда из C.33) имеем
Введем вектор а(?
,п), ч е Е,
i)^Jplk\y
Е
: = - j6ik6(x -l)d\
V
\ -6ik, lev,
J 1 r ~Z «сУ1
)O[pJt(y) — PJfc(^)]'*^!/
C.35)
C.36)
C.37)
Если ? = ^ G E, то из C.37) в силу C.36) следует
a.-0?.i?) = J P?\v,4)Pk(v)dZ, + \ш = Ml) + \М1)- C-38)
Функция cii(rj,rj) непрерывна, ибо подынтегральное выражение в
C.38) непрерывно и непрерывна плотность Pi(rj) на Е. Нетрудно
также доказать, что
<«•(?>Ч)-><«•• (»М) ПРИ l^^eE C.39)
независимо от того, где берется точка ?, т.е. ? ? V или ? ^ V.
Очевидно,
У C.40)
Е
Обозначая
u>r = lim u;,-(O, iff = lim u>,@, C.41)
«ev)-(ii6E) ЙР)(Е)
4* 99

осуществляя соответствующие предельные переходы в C.40) и
пользуясь C.36), получим
C.42)
Е
«ТО») = -\pi(n) + J^k)(y^)Pk(n)d^y C.43)
Ладим теперь постановку, например, первой краевой задачи те-
теории упругости для внутренней области V. Требуется найти
решение уравнений C.13) внутри области V при удовлетворении
граничным условиям
«,|е = «°- C.44)
Ищем решение в виде суммы C.21), где u't — решение уравнений
Ламе, найденное по формуле C.3); и" ищется в виде потенциала
двойного слоя:
«" = J' P?\v,2)Pk{V)<Ky, C-45)
Е
причем в силу свойства C.36) для плотности р(у) получаем интег-
интегральное уравнение Фредгольма второго рода
-\Mv) + J Plh)(y, n)pk(y)dzy = uUn) - «SO?),
ч е s. C.46)
Упражнение З.5. Показать, что для первой внешней краевой
задачи, т.е. для случая, когда'решение разыскивается для х ? V,
справедливы формулы C.21), C.3), C.45), где х ? V, а вместо
формулы C.46) нужно взять
V е Е. C.47)
Упражнение 3.6. Показать, что оператор напряжений, вычис-
вычисленный от потенциала простого слоя C.4), имеет вид
z = J fj
C.48)
100

где х 6 ?r, т.е. некоторой площадке, на которой вычисляется
оператор L
Упражнение 3.7. Показать, что для вектора v C.48) справед-
справедливы соотношения
, C.49)
«Г 00 = -\Ш + JP?\v,y)Pk(y)dZy, C.50)
где величины vf и «г определяются по формулам C.41).
Решение второй краевой задачи C.13), C.14) теории упругости
для внутренней области V будем искать в виде суммы двух
решений C.21), первое из которых и'{ находится по формуле C.3),
а второе и'/ — в виде потенциала простого слоя C.4):
C-51)
Учитывая соотношения C.50) для плотности p{rj), получаем интег-
интегральное уравнение Фредгольма второго рода
lk\% y)pk(y)dZy = S?(n) - /y«J |E. C.52)
Упражнение 3-8. Показать, что для случая внешней области
для задачи C.13), C.14) справедливы те же формулы C.21), C.3) ,
(Н.51), где х ? V, а формулу C.52) нужно заменить формулой
C.53)
§ 4. ТЕОРИЯ МАЛЫХ УПРУГОИЛАСТИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЙ
'Теория малых упругопластических деформаций разработана
Л Л Ильюшиным для простых процессов. В пятимерном прост-
|ntiii"i'iie Ильюшина И5 такой процесс
e<>(t) = 4*(t) D.1)
101

описывается прямой, причем интенсивность тензора.деформации
?„ является «длиной дуги» этой прямой s:
D.2)
Так как интенсивности тензоров деформации и напряжения по
определению являются положительными величинами, то для опи-
описания активных и пассивных процессов удобно ввести величины,
равные по модулю интенсивности соответствующего тензора и
имеющие знак плюс, если идет нагрузка, и минус, если — разг-
разгрузка. Введем для этого знаковое число
и обозначим
+ 1, если х > О,
if = sign х = ^ 0, если х = О,
— 1, если х < О,
г? = <раи.
D.3)
D.4)
f'-
St
4l
s»
Рис. 5
Рассмотрим теперь процесс деформации, характеризующийся
изменением длины дуги (рис. 5), где s,- — точки, соответствующие
изменению направления процесса. Тогда величина е?, связанная с
процессом, в котором x'(t) меняет знак п раз, записывается в виде
Рис. 6
-Sii D.5)
1
где h(s — s^ — единичная функция Хеви-
сайда, а знак перед выражением правой
части D.5) определяется первоначаль-
первоначальным направлением процесса. Пусть ?* —
последний достигнутый предел текучес-
текучести, т.е. значение е?, соответствующее
последнему из sn, когда началась разг-
разгрузка, а е*^ — соответствующий этому
моменту девиатор тензора деформации.
102

Пусть ?** — предел текучести, который может наступить или на-
наступил при протекании процесса в одном направлении (на рис. 6
для момента «4 < * < *5 этому пределу соответствует значение s*,
а для s > s5 — значение «4)- Тогда процесс нагрузки (значение де-
ниатора тензора напряжения) описывается следующим образом:
D.о)
-u(eu)eij]h(eu - е**).
Из соотношений D.6) следует сразу формулировка определяющих
соотношений отдельно для активных и пассивных процессов, дан-
данная в § 4 гл. 1. В случае активных процессов получаем уравнения
равновесия в перемещениях в виде
- ш)Ащ + fj
+^0w < + PFi = 0, D.7)
а для пассивных — в виде
ц&щ + Qji + к)в>{ - fiY* + PFi = 0. D.8)
.Чдесь
У;-* = ш(е:)Ач; + 1^ + ш^е:){и^ + «?,.) - ^9*шА(е;), D.9)
1 du ( 2
w'k = ~оГ7Г\ Ui>ikUi<i + u*j*4m ~ o
«полочкой помечены все величины, относящиеся к началу разг-
ру жи (всего тела). Следует добавить еще граничные условия
«<|е, = «?, [«у"> + Квщ]^ = si D.11)
\
И i ;i к, статическая задача теории малых упругопластических де-
деформаций заключается в решении системы дифференциальных
урмшкчшй D.7) или D.8) при удовлетворении граничным услови-
iim (¦111). Если рассматривается несвязанная задача термоплас-
шчпости, то массовые и поверхностные силы в D.7), D.8), D.11)
¦ игдуст изменить согласно формулам A-71).
Чп метим, что мы сформулировали задачу теории малых уп-
р\|'(пластических деформаций в упрощенном виде, т.е. когда во
in 1 м толе сразу рассматриваются либо активные процессы, либо
103

пассивные. В действительности же в одних точках тела происхо-
происходит нагрузка, а в других — разгрузка. В этом случае величины
е* и е**, входящие в D.6), зависят от координат.
Упражнение 4.1. Доказать теорему о разгрузке [27, с. 118].
Если всюду в теле происходит разгрузка, то перемещения точ-
точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от
их значений в момент начала разгрузки на величины упругих
перемещений, которые возникали бы в теле, если бы в естест-
естественном (ненапряженном и недеформированном) состоянии к нему
были приложены внешние силы, равные разностям внешних сил,
действующих на тело в указанные моменты.
Упражнение 4.2. Доказать теорему об остаточных напряже-
напряжениях, деформациях и перемещениях [27, с. 120]. Если для тела при
заданных нагрузках pF и 5° решена задача пластичности и по-
лученно истинное состояние и если, кроме того, для тела решена
задача теории упругости, т.е. тем же внешним силам соответст-
соответствует фиктивное состояние упругого равновесия, то в результате
полной разгрузки тела в нем остаются перемещения, деформа-
деформации и напряжения, равные разностям их значений в истинном и
фиктивном состояниях. При этом предполагается, что остаточ-
остаточные напряжения в результате разгрузки вторично не выходят за
предел текучести. ¦
Мы видим, что задача теории малых упругопластических де-
деформаций при пассивной нагрузке D.8), D.11), по существу, яв-
является задачей теории упругости. Единственность ее решения
была доказана в § 1. В случае активной нагрузки решение задачи
D.7), D.11) будет единственным, если выполняется неравенство
G.60) гл. 1:
цбец = 2ц f(feuJ + i(WJl, ц > 0. D.12)
Используя D.55) гл. 1, получим
J- \ёеы -
D.13)
Поэтому
Г<9<т,ч 1 Г Aш~\
Х-^-беыХЬец = 2ц 1 - и - eu-— (<5euJ + КFвJ. D.14)
Loci; J L </?uJ
Из сравнения D.12) и D.14) видно,что для единственности решения
достаточно потребовать, чтобы
-w-?u—)>0, A'>0. D.15)
104

Первое требование D.15) можно записать в виде
w + ?u-^-<l, D.16)
а второе — в виде
-1 < v < \. D.17)
Введем упругопластический потенциал деформации W и потенци-
потенциальную энергию деформации <р:
W
= f a»d?u + ^K92, <p= [\VdV. D.18)
Упражнение 4.3. Сформулировать вариационный принцип
Лагранжа для задач D.7), D.11) и D.8), D.11) и доказать, что
стационарная точка лагранжиана является точкой минимума. ¦
Соотношения D.6) можно разрешить относительно деформа-
деформаций. Тогда
при активных процессах и
при пасссивных процессах, где звездочками помечены величи-
величины, соответствующие началу разгрузки, а еи является заданной
функцией от сги:
?и = ?«(<ти). D.21)
Тогда можно ввести упругопластический потенциал напряжения
и» и потенциальную энергию напряжения Ф следующим образом:
w
= JеЛ<ти + ^а2, S> = jwdV. D.22)
Можно дать постановку задачи теории малых упругопластичес-
них деформаций и в напряжениях. Для этого к уравнениям
1>«пповесия
аи +PFi=0 D.23)
Ч
105

Aetj = eik>kj + eJKki - -[0 ,_,¦ + ?,¦,• Д0], D.24)
выраженные через напряжения, и граничные условия
aijnj\s=Sf. D.25)
Упражнение 4.4. Сформулировать для задачи теории ма-
малых упругопластических деформаций вариационный принцип Кас-
тильяно и доказать, что стационарная точка Кастильяно является
точкой максимума, если выполняются неравенства D.17) и
^ > 0, ц > 0. D.26)
асги
Упражнение 4.5. Доказать теорему о простом нагружении,
свидетельствующую о том, что существуют реальные среды, для
которых можно выбрать входные данные таким образом, что в
каждой точке среды одновременно осуществляется простой про-
процесс нагружения [27, с. 115]. Если материал несжимаем (в — 0) и
интенсивности тензоров напряжений и деформаций связаны меж-
между собой по степенному закону
<?» = <, D.27)
где сип — некоторые постоянные, и, кроме того, массовые и
поверхностные силы pF и S0 возрастают пропорционально одно-
одному параметру Хх, а заданное перемещение й° пропорционально
другому параметру хи, причем
(**)" = *«, D.28)
то процесс деформации в каждой точке будет простым.
§ 5. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
В линейной теории вязкоупругости связь между напряжениями
и деформациями задается соотношениями D.3), D.6) § 4 гл.1,
которые можно записать сокращенно в операторном виде:
ij = I Tijkl(t, T)skl(r)dT = tijki?kU E.1)
О
t
= I Kijk,(t, т)аы{т)<1т = Крыски E.2)
106

или для случая ядер релаксации и ползучести разностного типа
в виде соотношений D.13) и D.14) гл. 1:
¦ц = JRijhi{t - T)d?ki(r) = Rijkieu, E.3)
о
t
ij = / Uijki(t,T)d<rki(T) = Uijki^ki- E.4)
При этом тензоры ядер релаксации различных типов анизотро-
анизотропии представлены соотношениями D.22), D.24), D.26) гл. 1. За-
Заметим, что сокращенные соотношения E.1), E.3) напоминают по
записи соотношения Гука B.2), причем в последних вместо тензо-
тензора модулей упругости Cijki следует подставить тензор-оператор
Г»;чы (или Rijki)- Воспользовавшись этой формальной аналоги-
аналогией, можно перенести ряд результатов, полученных для упругой
среды, на теорию вязкоупругости. Так динамическую задачу тео-
теории вязкоупругости можно сформулировать следующим образом.
Требуется решить три уравнения
ри\ = рР{ + [f yfci(r)ut,i]j E.5)
при выполнении граничных условий
u,|Sl = u,°, Гцк1C)щмУа = S? E.6)
и начальных данных:
при t = 0 щ = и{, и{ = Ц, E.7)
где запись Гуц(аг) отражает тот факт, что ядра релаксации могут
зависеть от координат. Если они не зависят от координат, то
вязкоупругая среда называется однородной.
Упражнение 5.1. Показать, что квазистатическая задача ли-
линейной теории вязкоупругости заключается в решении трех урав-
уравнений равновесия
[tiM*Mj + РЪ = Q E-8)
при удовлетворении граничным условиям 5.6. В
В частности, для изотропной однородной вязкоупругой сре-
среды квазистатическая задача заключается в решении уравнений
равновесия
(\ + ?H ,¦ + ftAui + pF{ = 0 E.9)
107

при выполнении граничных условий
«.Is, = «°, [A0n,- + iHutj + Mj,,>j]s2 = S?, E.10)
где A,/i — соответствующие скалярные интегральные операторы.
Если они соответствуют ядрам разностного типа, то будем их
обозначать А и ft. Положим
2/i = Г, 2/2 = Я, A + 1/isfb А + ^ = ДЬ E.11)
т.е.
t *
s,-j = fe.j- = / r(*,r)e,;(r)dr, sj;- = Де,;- = / R(t - r)rfe.j(r),
« о E-12)
t *
(T=fi0= I Тх(г,т)в(т)<1т, <j = Rxe= 'I Ri(t-T)d9{T).(b.\Z)
о о
Определим некоторые простейшие операции над операторами,
благодаря чему с ними можно будет обращаться, как с числами.
Так произведение двух операторов обозначает последовательное
их применение. Если операторы соответствуют ядрам разностно-
разностного типа, то такое произведение будет коммутативным:
t т
Xftf = j А(«,г)|У fi(r,Tl)ffn)dT1\dr, E.14)
о о
t т
W = У A(t - r)dj fi(r - пЖп) =
о о
t т
JH{t - r)djii(T-T!)df {п) = M/. E.15)
о о
Единица, деленная на данный оператор, обозначает оператор,
обратный данному, т.е. если
* = i, #i = J-, П=1 П1 = 4-, E.16)
1 li К Hi
то из E.12) и E.13) следует соответственно
ei} = Ksij, еч = TlSij, E.17)
в = Кцг, в = пкт. E.18)
108

Исходя из «основных» операторов f,fi (R,R\) или К,К\ (П,
можно построить другие
Ui = -TK Kt t *
Ш = Ш1 = Ш2= ^RUl, ТГ = 7Г1 = 7Г2 = —, V -
3 ы
^RUl, ТГ = 7Г1 = 7Г2 = , V - . ¦
3 ы 2 + w
Если теперь, пользуясь алгеброй операторов, мы получим фор-
формальное решение Задачи E.9), E.10) или E.8), E.6), то для по-
получения решения задачи линейной теории вязкоупругости для
однородных сред будет необходимо «расшифровать» встречаю-
встречающиеся в решении функции от операторов. В этом и состоит
принцип Вольтерры. Следует иметь, однако ввиду, что в случае
ядер релаксации и ползучести неразностного типа умножение опе-
операторов не является коммутативной операцией, и поэтому при
использовании принципа Вольтерры нужно проследить за мето-
методом получения аналитического решения соответствующей задачи
теории упругости с тем, чтобы правильно записать произведение
упругих постоянных, входящих в ее решение. Основная трудность
при решении указанных задач возникает при «расшифровке» опе-
операторов. Для упрощения этой процедуры часто «основные»
операторы выбираются в специальном виде, а экспериментально
найденные ядра релаксации и ползучести аппроксимируются яд-
ядрами, соответствующими данному специальному виду этих опера-
операторов [99]. Лля случая ядер разностного типа часто применяется
метод преобразования Лапласа [33]. При «расшифровке» вяз-
коупругих операторов большое значение имеет так называемый
оператор А.А. Ильюшина др:
W ^ E-20)
где /3 — некоторое действительное число. Ядро, соответству-
соответствующее оператору др, может быть найдено из эксперимента на
релаксацию образца, к которому последовательно присоединена
пружина заданной жесткости в зависимости от числа /3 при не-
релаксирующем объеме [33]. Если же и сдвиговые и объемные
свойства материала зависят от времени, то вместо пружины сле-
следует присоединить скручиваемый образец, изготовленный из того
же материала, что и основной образец [70]. В этом последнем
случае тонкостенный образец «1» толщиной «5 и длиной /i скру-
скручивается силой Q(t), которая одновременно растягивает другой
образец «2» из того же материала, имеющий длину рабочей час-
части /г и площадь поперечного сечения F%- Если теперь задать
перемещение образца в виде
« = ni(t)? E.21)
109

и снимать показания динамометра об изменении нагрузки Q(t), то
ядро gp(t) для 0 ^ /? ^ ^ будет найдено по формуле
p-h + 2lX Fx = л-F2 - о2), 6-о = 6. E.22)
Для определения ядер gp(t) при других значениях /? можно зак-
закрепить снизу образец «2», а нагрузку Q(t), которая скручивает
образец «1», приложить сверху к образцу «2», заставляя послед-
последний работать на сжатие. В этом случае
2 -Цг-lX E-23)
Упражнение 5.2. Показать, что справедливы следующие фор-
формулы:
дA - ^). E.25)
Упражнение 5.2. Используя формулу E.20), показать, что для
экспоненциального ядра
uj(t) = A + Be-at E.26)
ядро gp(t) также является экспоненциальным:
g/,(t) = С + De-*, E.27)
здесь А, В,С,D, а,у — постоянные, причем
7
E.28)
Упражнение 5.4. Пользуясь результатом предыдущего упраж-
упражнения, показать, что ядро тг(<) E.19) также является экспоненци-
экспоненциальным:
тг(<) = Ах + Bie-ttlt, E.29)
причем
аА
ЩТТУ и <5-30>
110

Используя формулу E.24), введем понятие производной оператора
др по параметру /? при предельном переходе j3\ —* fit'-
-1). E.3D
Пусть нам известен оператор др в точке C = Cq. Тогда по теореме
Лагранжа определяем значение этого оператора в точке /?:
fi) (/?-/?°)' &*№>,Я E.32)
При этом выполняется неравенство
др < др0 при /?о < /?• E.33)
Пусть требуется найти функцию /(<) по заданной функции <p(t)
воздействием на последнюю оператором др:
f = 9рФ- E-34)
Однако оператор др нам неизвестен, а известен оператор др0,
0 — (Зо+А/3. Требуется оценить приближенное решение уравнения
/о = дро1>, E.35)
т.е. найти величину А/(<) = /(<) — fo(t). Уравнения E.34) и E.35)
эквивалентны следующим равенством:
f + /3Qf = ф, E.36)
/o+ZWo^- E.37)
Вычитая из E.36) уравнение 'E.37), получим
Д/ + PuAf = ф0, ф0 = -А/Зш/о. E.38)
Уравнение E.38) эквивалентно уравнению
А/ = дрф0. E.39)
Учитывая формулу E.25), имеем
А/ = дрфо = -А/Зйдр/о = -^A - gp)fo = ^-(др - 1)/„. E.40)
111

Но из E.32) следует приближенная оценка
Подставляя это выражение в E.40), получим
или, более грубо,
A/«yW"l)/o- E-43)
Из неравенства E.33) следует, что оценки E.40) будут всегда
завышенными, т.е.
t
^[/] E.44)
При решении задач термовязкоупругости влияние температу-
температуры может быть учтено в соответствии с принципом Люгамеля-
Неймана, сформулированным в предыдущей главе и подробно
рассмотренным на примере упругой среды.
Лля решения квазистатических задач теории вязкоупругости и
термовязкоупругости успешно применяются методы, основанные
на принципе Вольтерры и преобразовании Лапласа [33]. Об этом
речь пойдет в гл. 8. Сложнее обстоит дело в том случае, когда
свойства материала сильно зависят от температуры, т.е. функции
релаксации и ползучести зависят от температуры. Это обсто-
обстоятельство существенно усложняет задачу и делает фактически
непригодными упомянутые выше методы ее решения.
В ряде случаев на помощь приходит температурно-временная
аналогия. Если ввести местное время t'^*' (индекс х соответству-
соответствует каждой независимой компоненте тензора функции релаксации
или ползучести) как интеграл от дифференциала физического
времени, поделенного на универсальные функции температуры:
t'(«>= [-?-, И">= /-* E.45)
то в соотношения E.3), E.4) не войдет явная зависимость от тем-
температуры Т и они формально изменятся только тем,что буквы т
112

и t заменятся в них на т'^*' и t'^x'. В изотропной среде име-
имеются две независимые компоненты тензора функций релаксации
(или ползучести), причем в большинстве случаев объем вязко-
упругих материалов изменяется по линейно-упругому закону и
остается только одна компонента. Единственное в этом случае
местное время будет связано с физическим временем следующей
зависимостью:
aT(t)' ат(т)'
Уравнения равновесия квазистатической задачи термовязкоупру-
гости, вообще говоря, можно записать в виде
^Ч«- E-47)
Сюда следует добавить граничные условия
«,¦!=»=«?, huij+UjJnj + ^-ffm-^nt] =2KS9. E.48)
L 6w w J
Соотношения E.47), E.48) могут быть соответствующим об-
образом упрощены, если известно, что ядра релаксации являются
ядрами разностного типа или объем не релаксирует и т.п. В
частности, если свойства материала зависят от температуры и
справедлива температурно-временная аналогия, то истинное вре-
время t следует заменить на приведенное V, как уже было сказано.
Из соображений размерности решение задачи E.47), E.48)
может быть представлено в виде
щ = Г[у>г(й){Я} + V2H{S?}] + <рз(й)«Ш + V4HK}, E.49)
где <Pj(w) (j = 1, 2,3,4) — функции безразмерного оператора ш, за-
заданного в E.19), и линейные функционалы от величин, заключен-
заключенных в фигурные скобки. Основная задача состоит в расшифровке
функций <pj(w) от оператора ш. Об этом речь пойдет в гл. 8.
§ 6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
При выборе конкретной модели механики сплошной среды ис-
исследователь руководствуется двумя основными принципами. Во-
первых, модель должна быть достаточно общей, чтобы иметь
ИЗ

возможность описывать поведение широкого класса реальных ма-
материалов. Во-вторых, модель должна быть как можно более прос-
простой, т.е. требовать проведения как можно меньшего числа простых
экспериментов для определения материальных функций и допус-
допускать построение достаточно простого решения конкретных задач.
Ясно, что эти требования находятся во взаимном противоречии.
Так, в случае модели, основанной на соотношениях D.15), D.16)
гл. 1, при N —*¦ оо необходимо проводить, вообще говоря, беско-
бесконечное число экспериментов для определения ядер релаксации и
ползучести. Поэтому для упрощения этих соотношений можно
ограничиться в разложениях D.15) или D.16) гл. 1 ./V первыми
членами. Такая теория называется ЛГ-кратной теорией вязкоуп-
ругости. При этом если рассматривается изотропная среда, то
теория вязкоупругости может быть ЛГ-кратной по девиаторам и
М-кратной по шаровым частям тензоров. Дальнейшее упрощение
теории может быть произведено требованием квазилинейности
общих соотношений. Кроме того, могут быть рассмотрены глав-
главные теории вязкоупругости [33]. В таких теориях сохраняются
только два главных члена разложения ядер релаксации или по-
ползучести по степени их сингулярности. На опыте наблюдается,
что при мгновенных, достаточно малых нагрузках большинство
материалов ведут себя как линейно-упругие. Это дает основание
сохранять в физических соотношениях только линейные члены,
ответственные за мгновенную упругость. Теории, в которых
принимается это упрощение, называются теориями с мгновенной
линейной упругостью. Некоторая классификация теорий вязко-
вязкоупругости дана в [76].
Выпишем физические соотношения главной квазилинейной те-
теории вязкоупруго.сти:
ij = J T(t, r)eo-(r) dr-J rn(t, т, в, е)ео-(т) dr,
о о
t t
= jTiit,т)в(т)dr- f rm(t,г,в,е)В(т)dr.
a
о
При этом линейные и нелинейные ядра релаксации содержат
сингулярную аддитивную составляющую:
T(t,r) = 2G6(t-r)-f(t-r),
T1(t,T) = K6(t-T)-T1(t-r),
Tn(t, т, в, е) = ?{0, e)S(t - т) - f „(t, r, в, е),
(Ь.б)
)T{te)
114

где, как и прежде, G — модуль сдвига, К — объемный модуль
упругости,
е(т) = ео-(т)еу(т), в(т) = ву(т)ву(т). F.4)
Частными случаями теории F.1) являются нелинейные теории,
рассмотренные в работах [33, 61, 99, 100], в которых связь меж-
между напряжениями и деформациями задается в виде однократных
интегралов. Частным случаем теории F.1) является следующая
главная квазилинейная теория вязкоупругости [76]:
t t
'ij = j T(t - т)еу (r) dr - J Tv(t - r)<p(e, 9)etj (r) dr,
= j 14 (t - tH{t) dr- J !>(< - т)ф(е, 9H{т) dr.
a
о
Здесь мы также считаем, что линейные и нелинейные ядра релак-
релаксации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие:
Г@ = 2G6(t) - f(t), Ti(<) = K6(t) - tift),
о . о F-6)
Tv(t) = Tv6(t) - Tv(t), f
о о
Если Г^, = Г^ = 0, то соответствующая теория называется глав-
главной квазилинейной с мгновенной линейной упругостью. В случае,
когда объем среды изменяется упруго, соотношения F.5) при-
принимают вид
a = Кв F.7)
Если же рассматривается несжимаемая среда, то физические
соотношения F.5) принимают вид
t t
Sij = J T(t — r)eij(r)dr — J Г^(< — r)ip(e)eij(r)dr. F.8)
о о
Если в теориях F.5), F.8) положим
то получим из F.8) теорию малых упругопластических дефор-
деформаций А.А. Ильюшина для активных нагружений, а из F.5) —
обобщение этой теории.
115

Еще одним частным примером теории F.1) служит главная
квадратичная по девиаторам теория вязкоупругости, рассмот-
рассмотренная в [33]:
ij = j T(t - т)ец(т) dr + J Q(t - г, 9Щт)ец(т) dr,
t
St.
0
X
G =
0 0 0
F.10)
При этом нелинейные ядра релаксации Q и Q2 при выполнении
условий взаимности являются зависимыми:
^^ = !<?2М). (б.и)
Важно отметить, что главные нелинейные теории релаксации и
ползучести, вообще говоря, не являются взаимно обратными [67].
Однако если функция релаксации R(t) такова, что ее производная
мало изменяется, можно указать два случая, когда эти теории
являются взаимно обратными с некоторой степенью точности
[33]. В общем же случае соотношения главной нелинейной теории
релаксации, например F.5), можно обратить и представить в виде
главной нелинейной теории ползучести:
t t
И = JK{t- r)Sij(r) dr + J K((t - r)t(<r, s)Sij(r) dr,
о о
t t
9= I' Ki(t- т)а(т) dr+ f K4(t - r)i/(tr, e)tr(r) dr,
F.12)
но нелинейные ядра ползучести считать функционалами от тензо-
тензора напряжений. Если фиксирован конкретный процесс нагруже-
ния, то можно найти нелинейные ядра ползучести через известные
нелинейные ядра релаксации методом последовательных прибли-
приближений [76].
Для определения линейных и нелинейных ядер релаксации
и ползучести используются простейшие эксперименты [33]. За-
Заметим, что иногда использование многократных интегралов при
построении модели сплошной среды нецелесообразно, так как
ошибки экспериментальных данных сказываются существеннее
при выполнении большого числа интегрирований [100]. Поэтому
116

иногда более точными оказываются главные нелинейные теории
вязкоупругости [33] и теории, учитывающие экспериментальный
факт подобия изохронных кривых ползучести [100].
Набор простейших экспериментов на ползучесть, позволяющий
определить линейные и нелинейные ядра, входящие в физические
соотношения рассмотренного выше типа, приведен в [76].
Итак, в настоящее время самым общим представлением опе-
оператора связи между напряжениями и деформациями являются
представления D.15) гл. 1. Разумеется, это очень узкий класс
операторов (такое представление можно сравнить с представле-
представлением некоторой функции в окрестности нуля ее полиномиальной
аппроксимацией). Все другие существующие теории, в том числе
теории ползучести, являясь частным случаем теории D.15) гл. 1,
только сужают оператор J7.
В связи с этим рассмотрим новое представление нелинейной
связи между напряжениями и деформациями для одномерного
случая (обобщение F.13) на трехмерный случай дано в [81]):
t
c = JA(t,r) /(r)rfT , F.13)
0 l-aj' q{T,Tl)e{n)dTl
где а — некоторый «малый» параметр.
Упражнение 6.1. Рассмотреть все разобранные выше теории
как частный случай теории F.13), пользуясь разложением F.10)
по параметру а.

Глава 3
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МДТТ
§ 1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Материальные функции и константы, описывающие некоторую
модель МДТТ, определяются обычно из простейших (одномер-
(одномерных) экспериментов. Для этого в рамках рассматриваемой моде-
модели необходимо решить простейшие задачи. Будем рассматривать
для простоты квазилинейную изотропную среду, в которой объем
изменяется упруго. Для такой среды связь между напряжениями
и деформациями имеет вид
и)еу> A.1)
а = Кв. A.2)
Здесь К — модуль сжатия, а Л — скалярный оператор двух
инвариантов тензора деформации. Предположим, что соотноше-
соотношения A.1) обращаются, т.е. можно выразить компоненты девиатора
тензора деформации через напряжения:
etj =,-B(<T,<ru)sij. A.3)
Одномерным напряженным
состоянием называется такое со-
состояние, при котором единствен-
единственная отличная от нуля компонен-
х та тензора напряжения является
постоянной. К одномерному на-
напряженному состоянию относит-
Рис- 7 ся, например, простое растяже-
растяжение стержня силой с интенсив-
интенсивностью р (рис. 7), т.е. на торцах стержня ха = 0, ха = / выпол-
выполняются граничные условия
(TijTlj = p8ia, A.4)
118

а на боковой поверхности — условия
<топ,=0. A.5)
В этом случае решение поставленной задачи имеет вид
(Tij = pSia6ja. A.6)
Тогда, очевидно, удовлетворяются уравнения равновесия и урав-
уравнения совместности (ибо деформации в силу A.2) и A.3) не будут
зависеть от координат). Тогда величины, связанные с напряже-
напряжениями, имеют вид
1 /, , U
а деформации согласно A.2) и A.3) имеют вид
1.
Если считать, что в точке г? стержень закреплен, то по формулам
Чезаро получим значения вектора перемещения
Упражнение 1.1. Показать, что для изотропной линейной
упругой среды перемещения при простом растяжении бруса име-
имеют вид
щ = |[-„(«,. - *?) + A + VNia(xa - *»)]. A.10)
Упражнение 1.2. Показать, что для случая теории малых
упругопластических деформаций перемещения при простом рас-
растяжении бруса имеют вид
?
A.11)
119

Упражнение 1.3. Показать, что в случае главной квазилиней-
квазилинейной теории вязкоупругости с мгновенной линейной упругостью,
описываемой соотношениями F.5) и F.12) предыдущей главы,
перемещения при простом растяжении стержня имеют вид
A.12)
dr .
Теперь рассмотрим задачу о
сжатии бесконечной пластинки си-
силой с интенсивностью р (рис. 8).
Граничные условия задаются в сле-
следующем виде:
an - S°
? = { +p6io" Ха = 0>
5? =
A.13)
Рис. 8 Кроме того, в силу неограниченнос-
неограниченности области мы должны наложить ус-
условия на перемещения в бесконечно
удаленной точке. Предположим, что они являются ограниченны-
ограниченными. Тогда, очевидно, решение предыдущей задачи не является
решением настоящей задачи, ибо в предыдущем случае переме-
перемещения были линейными функциями координат. Предположим, что
решение имеет вид
Щ = С6(аха,
A.14)
где С — некоторая постоянная или функция времени, если фун-
функцией времени является р — p(t). Таким образом, единственная
отличная от нуля компонента вектора перемещения линейно за-
зависит от соответствующей координаты. Такое состояние называ-
называется одномерным деформированным. Деформации в этом случае
имеют вид
9 = С, еу = С (SiaSja - -Si:i) . A.15)
120

Очевидно, что условия совместности удовлетворяются. Напря-
Напряжения согласно формулам A.1) и A.2) имеют вид
«у =
A(C)C,
- |«,Л А(С)С.
Величина С находится из удовлетворения
граничным условиям
КС + \а(С)С = -р. A.17)
о
Упражнение 1.4. Показать, что для слу-
случая изотропной линейной упругой среды по-
постоянная С находится из уравнения A.17) в
следующем виде:
A.18)
Упражнение 1.5. Показать, что для изот-
изотропного линейного упругого стержня, находя-
находящегося под действием собственного веса рд и
закрепленного в начале координат (рис. 9), на-
напряжения, деформации и перемещения имеют
соответственно вид
A.16)
77
//
//
//
//
//
//
Рис. 9
ец =
-vh + A + v)SiaSjo],
щ = Щ{„*,-(*„ -I) - ^[A + «,)(/ -
где
Г2 = XtXi.
A.19)
A.20)
1.21)
A.22)
§ 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА МДТТ
Если в одном из направлений, например
перемещения из = w имеет вид
w =
, компонента вектора
B.1)
121

где С\ и Сг — некоторые постоянные (которые могут быть равны
нулю), а две другие компоненты вектора перемещения зависят
только от координат х\, х2:
и/ = ы/(ая, х2), /=1,2*, B.2)
то говорят, что имеет место плоское деформированное состояние.
Чаще всего при плоском деформированном состоянии полагают в
B.1) постоянную С\ равной нулю. В этом случае имеем
-e2, еп = 0, езз = -д0. B.3)
Если считать справедливыми соотношения A.1)—A.3), то получим
07з = 0, <гзз = 0<тц,
Q = [3K- Л(в, еи)} [6К + Л(в, еи)}-х =
= [ШВ(<т, <ти) - 1] [6КВ(<т, <ти) + I], Bi4)
Таким образом, если известны компоненты двумерных тензоров
деформации еи, еи и напряжения su, <ти, то компоненты езз,
<гзз находятся по формулам B.3), B.4), т.е. становятся известными
трехмерные тензоры деформаций и напряжений.
Упражнение 2.1. Показать, что в случае изотропной линейной
упругой среды справедливо соотношение
<гзз = v<tii. B.5)
Упражнение 2.2. Показать, что в случае теории малых упру-
гопластических деформаций справедливо соотношение
1
1*11- B-6)
Упражнение 2.3. Показать, что закон Гука для плоского
деформированного состояния для изотропной среды может быть
записан в виде двух взаимно обратных соотношений
?IJ+TirueiKejL?KL)' BJ)
2y) (?
(<?н - т——tiKtJLfKL ) , B.8)
\ 1 + v J
* Все индексы, обозначенные большими латинскими буквами, пробегают
значения 1, 2.
122

где значение символов ещ описано в приложении IV.
Если ввести обозначения
Е' =
Е
B.9)
то соотношения B.7), B.8) можно переписать в виде
Е1
/
Из уравнений равновесия B.35) гл. 1 следует, что
B.10)
B.11)
B.12)
и, кроме того, компонента массовых сил Рз должна обращаться в
нуль, если имеет место плоское деформированное состояние.
Граничные условия в напряжениях имеют вид
B.13)
Наряду с вектором нормали
п можно ввести единичный век-
вектор т, касательный к контуру,
ограничивающему тело (рис. 10).
Компоненты этих векторов свя-
связаны следующей зависимостью:
B.14)
TI = -eIJnJ, щ=
причем, очевидно,
где s — длина дуги контура.
Единственное уравнение сов-
совместности плоского деформиро-
деформированного состояния можно записать в виде
Рис. 10
B-16)
Разбивая тензор деформации на шаровую часть и девиатор и
пользуясь формулой A.3), получим
B.17)
123

Таким образом, квазистатическая задача МДТТ в случае плос-
плоского деформированного состояния заключается в решении урав-
уравнений B.12) и B.17) при выполнении граничных условий B.13),
которые благодаря B.14) можно записать в виде
= Si B.18)
Упражнение 2.4. Показать, что уравнение B.17) можно за-
записать в виде
eiMCitj[B(<r,<ru)<rijlMN = А { U(«r,«ru) + — А . B.19)
Упражнение 2.5. Показать, что для изотропного линейного
упругого тела уравнение B.17) с учетом B.12) можно записать
в виде
А<ти = -рA - u')FItI, B.20)
или если массовые силы обладают потенциалом
/,/ = -pFi, B.21)
то
А(<тп - A - u')f) = 0. ¦ B.22)
Иногда бывает удобно ввести функцию напряжения Эри Ф:
с и = tiK?JL®,KL + ftu- B.23)
Тогда, как нетрудно убедиться, уравнения равновесия B.12) при
условии B.21) удовлетворяются тождественно, а основные вели-
величины, связанные с тензором напряжения, можно выразить через
функцию напряжений (при отсутствии массовых сил)
<тзз = Q<ru = <?ДФ, а = -A + Q)an = -A + <Э)ДФ,
- \(?п - Q<ruJ + (Q<niJ = B.24)
Тогда остается единственное уравнение для функции напряже-
напряжения Ф:
*, <ти) + з^] A + 0)Аф} ¦ B.25)
124

Упражнение 2.6. Показать, что для изотропной линейной
упругой среды уравнение B.25) превращается в бигармоническое
относительно функции напряжения Ф:
Д2Ф = 0.
B.26)
Обратимся теперь к граничным условиям B.18). Подставив в
них выражение напряжений через функцию напряжений, получим
B.27)
B.28)
B.29)
Следовательно, существует такая вектор-функция
для которой
Интегрируя эту функцию по длине дуги контура, получим X/,
а следовательно, частные производные Фк и саму функцию Ф,
выраженную через S°. В самом деле, из B.28) следует, что
,К =Т1е1К.
Так как
B.30)
B.31)
то
и поэтому
Ф,АГ = ПК I
B.32)
Ф = / dxK eIK I S° ds
B.33)
Кроме того, нормальная производная от функции Ф имеет вид
db
-у- = Ф КПК = AКПК
dn
B.34)
125

Итак, граничные условия для функции Ф из уравнения B.25) име-
имеют вид B.33) и B.34). Произвольная постоянная, возникающая
при интегрировании по контуру, значения не имеет, ибо напря-
напряжения определяются двукратным дифференцированием функции
Ф. Заметим, что все сказанное справедливо для односвязных об-
областей, ибо, как уже отмечалось
в гл. 1, для многосвязных облас-
областей уравнения совместности явля-
являются только необходимыми, но не
достаточными.
в Легко установить физический
~7~~ГТ *"^' смысл функции Эри. Пусть от-
'**' счет длины дуги происходит от
некоторой точки О, лежащей на
контуре, и нас интересует значег
ние функции Ф в точке М{хгк) при
s = si (рис. 11).
Применяя интегрирование по
Рис. 11 частям, получим
О
5i S
Ф = / dxK eiK /
о
S° ds
i *,
J S°t ds - J tIKxKS°j ds = tiK \{*к ~ *k). B.35)
1 = 0 0
Таким образом, значение Ф в точке М(х1к) — это момент отно-
относительно этой точки от нагрузок, распределенных по контуру от
s = 0 до s = s\.
В заключение заметим, что плоское деформированное сос-
состояние практически осуществляется в длинных цилиндрических
телах под действием нагрузок, ортогональных к оси цилиндра и
не изменяющихся по его длине.
Плоским напряженным состоянием называется состояние, при
котором компоненты тензора напряжений подчиняются условиям
i3 = 0 (г = 1,2,3),
В этом случае
= o-IJ(x1,x2).
= 0,
B.36)
126

Коли и здесь считать справедливыми соотношения A.1)—A.3), то
получим
г/з = 0, езз = Реп,
Р=[1- ЗВ(<т, <ти)К] [2 + Ща, <ти)К]-1 =
= {А(в,еи)-ЪК][2А{в,еи) B37)
Следовательно, и в этом случае, если известны компоненты дву-
двумерных тензоров напряжений sjj, аи и деформаций ей, ей,
становятся известными и трехмерные тензоры напряжений и де-
деформаций.
Упражнение 2.7. Показать, что в случае изотропной линейной
упругой среды справедливо соотношение
Упражнение 2.8. Показать, что в случае малых упругоплас-
тических деформаций справедливо соотношение
Упражнение 2.9. Показать, что закон Гука для плоского на-
напряженного состояния для изотропной среды может быть записан
в виде двух взаимно обратных соотношений
fi B.40)
<?и = 2 _ 2
Заметим, что формально соотношения B.40), B.41) отличаются
от соотношений B.10), B.11) только заменой упругих постоянных
Е' и и' B.9) на Е и и соответственно.
Заметим также, что в случае плоского напряженного состо-
состояния уравнения совместности, которые не обращаются тождест-
тождественно в нуль, представляют собой помимо уравнения B.16) еще
и уравнения
еы,и = 0. B.42)
Уравнение B.16) можно переписать, используя соотношения A.1)-
A.3), в виде B.17) или B.19). Однако напряженные состояния,
127

удовлетворяющие уравнениям B.42), редко осуществимы практи-
практически. Поэтому обычно вводится понятие обобщенного плоского
напряженного состояния. Для этого состояния поверхностные и
массовые силы 5° и pFj распределены симметрично относитель-
относительно срединной плоскости (т.е. плоскости, проходящей посередине
между двумя плоскостями, ограничивающими рассматриваемое
тело, причем расстояние h между этими плоскостями считается
существенно меньшим по сравнению с другими линейными раз-
размерами рассматриваемого тела) и являются четными функциями
от хз, а S3 = 0, pFs = 0. Такое тело называется диском. Заме-
Заметим, что это название дано не по геометрической характеристике
тела, а по характеру распределения нагрузки. Если в том же
теле силы действуют ортогонально срединной плоскости, то оно
называется пластинкой. Введем усредненные по толщине диска
характеристики, учитывая, что аи — симметричные функции х,
а «г/3 — антисимметричные. Тогда
2 2
г и = -? / <Tij dxa, pFi = - / pFidx3,
B.43)
= о, «7
~hl
•rfffl
/fTTTT>v
Рис. 12
причем компоненту из пока не определяем.
Из третьего уравнения равновесия B.35)
гл. 1 вытекает, что
Будем считать плоскости
руженными. Тогда
B.44)
= ±Л/2 ненаг-
= 0. B.45)
Характер распределения напряжений <Тзз и
07з по толщине диска показан на рис. 12.
Отсюда видно, что б/з = 0, и можно при-
принять с достаточной степенью точности, что
(Тзз = 0. Тогда уравнения равновесия име-
имеют вид
= 0.
B.46)
128

i;iметим теперь, что условия Коши могут быть записаны в виде
Ей = ^(«/у + ujj), B.47)
а компоненту ё33 можно определить следующим образом:
*
ёзз = ^ / u3,3dx3= - из (х1,х2,-\ - и3 (^'«г,-^] • B-48)
Тогда условия совместности B.42) для усредненных величин
ёзз,// = 0 B.49)
будут выполнены, если положить
и3,и
,x2,- ) = и3>и (x1,x2,--j • B.50)
В дальнейшем будем опускать черту как обозначение усредненных
величин. Тогда, очевидно, можно ввести функцию напряжения Ф
по формуле B.23). Уравнения равновесия будут удовлетворяться
тождественно, а уравнение совместности B.19) примет вид
[В(<т,<ги)Ф|7Дд, = ^Д ( \В(<т,<ти) + -У ДФ1, B.51)
о 1_ \_ оК. J J
где
B.52)
Граничные условия, как и в случае плоской деформации, имеют
вид B.34) и B.35).
Упражнение 2.10. Показать, что для осесимметричного слу-
случая в полярной системе координат уравнение B.26) имеет решение
Ф = Ci + C2 In г + Сзг2 + C4r2 In г, B.53)
где С\, Сг, С3, С$ — произвольные постоянные.¦
Заметим, что в уравнение B.26) и граничные условия B.34) и
B.33) не входят упругие постоянные. Это означает, что для однос-
инзной области тензор напряжений зависит только от нагрузки и
Г. Победря Б.Е. 129

геометрии тела и не зависит от упругих постоянных. В частности,
он одинаков для упругой и линейной вязкоупругои задач.
Упражнение 2.11. Показать, что решение задачи о трубе
(задача Ламе) под действием внутреннего давленияра (на радиусе
г = а) и внешнего давления ръ (на радиусе г — Ь) для изотропной
линейной упругой и вязкоупругои сред представляется в полярной
системе координат в виде
аЩрь-Ра)
Раа2 -
а2Ь2(рь-ра)
B.54)
причем единственное в этом случае уравнение Ламе имеет вид
(для радиальной компоненты вектора перемещения и)
dPu I du и
drs г dr
Упражнение 2.12. Обозначим
a + b
R =
b-a = h, $ =
= r-R.
B.55)
B.56)
Считая ? малой величиной (так что квадратом ее можно пренеб-
пренебречь по сравнению с первой степенью), показать, что из B.54)
следует
/ „ s z Pa +РЬ
Vrr = (Pa -Pb)j ^ ,
B.57)
Ра-РЬ Ра+РЪ , , ч Z
7 о + (РЬ -Ра)Т,
откуда видно, что
o-rr<<Tot>- B.58)
Труба, для которой выполняется свойство ?2 <С ? ¦< 1, называется
цилиндрической оболочкой.
Упражнение 2.13. Показать, что для несжимаемых матери-
материалов в теории малых упругопластических деформаций решение
задачи Ламе имеет вид [27]
г
тт = 2х / — dr - ра
— dr
~Ра,
B.59)
<?zz = -Wu - Pa + 2х
J'f*
130

где
РЬ
9 • А } *« Л
~ Ра = -2 Sign А dr,
х = sign А - sign(p0 - рь),
а постоянная А определяется из первых двух соотношений B.60).
Упражнение 2.14. Показать, что если труба находится под
внутренним давлением, а снаружи (при г = Ь) на нее надета тонкая
упругая оболочка толщиной Л, имеющая упругие характеристики
Б, и j/, , то граничные условия для этой трубы при т — Ь имеют вид
hE* . .
<Trr|r=i = Ь»A »/»рг=*' ( '
Такие граничные условия называются условиями контактного
типа.
§ 3. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Рассмотрим уравнения движения изотропной упругой среды
C.1)
и воспользуемся теоремой Гельмгольца, по которой всякое одноз-
однозначное и непрерывное векторное поле а, обращающееся в нуль на
бесконечности, может быть представлено в виде суммы градиента
некоторой скалярной функции <р и ротора некоторой векторной
функции А, дивергенция которой равна нулю:
a = grady> + rotl, divl = 0. C.2)
Функция <р называется скалярным потенциалом поля а, а А —
векторным потенциалом.
Разобьем поле перемещений и на два слагаемых:
и = grady> + rot ip, div^ = 0, C.3)
или в скалярной форме
Щ = <p,i + eijk^k,}, Фг,г = 0. C.4)
я* 131

Разобьем также массовые силы на два слагаемых:
F = grad Ф + rot Ф, div Ф = О, C.5)
Тогда
:div и - в = «,,,- = А<р. (З.б)
Подставляя C.4)-C.6) в уравнения движения C.1), получим
grad [(A -
r - - «vf' C7)
rot \цАф + />Ф - р-ф I = 0.
Следовательно, имеем два неоднородных волновых уравнения
.ф, e*sL^at (з.8)
= -Ф, с\ = ?. C.9)
Уравнение C.8) показывает, что часть перемещения, соответст-
соответствующая скалярному потенциалу <р, переносится со скоростью с\.
Если взять оператор Лапласа от обеих частей уравнения C.8),
то получим, учитывая (З.б),
^ C.10)
Волна, описываемая этим уравнением, имеет много названий.
Она называется первичной волной, Р-волной, волной уплотнения-
разряжения, дилатационной волной. Эта волна связана с изме-
изменением объема упругого тела.
Уравнение C.9) показывает, что часть перемещения, соот-
соответствующая векторному потенциалу Ф, переносится с другой
скоростью С2, меньшей с\. Беря оператор rot от обеих частей
уравнения C.9), получим
c22AU-— = -rotV. C.11)
Это уравнение описывает так называемую вторичную волну, или
б'-волну, или волну сдвига, которая вызывает искажение элемента
тела без изменения его объема.
132

Волнь! связаны с распространением возмущения какой-либо
физической величины, например, деформации. Внешние тела,
вызывающие эти возмущения, называются источниками волн.
Распространение упругих волн состоит в возбуждении коле-
колебаний все более и более удаленных от источника волн частиц
среды, при этом распространение волн (при малых возмущениях)
не связано с переносом вещества.
Если направление колебаний частиц совпадает с направлени-
направлением распространения волн, то такие волны называются продоль-
продольными. Если же направление колебаний частиц ортогонально
направлению распространения волн, то такие волны носят назва-
название поперечных. Следует отметить, что в бесконечной упругой
изотропной среде, как мы видели, существуют два типа волн: по-
поперечные и продольные, в то время как в жидкостях наблюдаются
только продольные волны.
В анизотропных упругих средах скорость распространения
волн зависит от направления, а для поперечных — еще и от
поляризации, т.е. ориентации плоскости колебаний, которая об-
образована вектором перемещения и вектором скорости распрост-
распространения волны.
Продольная волна называется плоской, если потенциал <р и
другие величины, характеризующие волновое движение среды,
зависят только от времени и одной пространственной координаты:
Решение уравнения C.12) состоит из суммы двух так называемых
бегущих волн /i и /2:
<p = fl(x-ct) + f2(x + ct). C.13)
Первая из этих волн распространяется без искажения вправо, а
вторая — без искажения влево.
От точечного источника в изотропной среде возникает сфе-
сферическая волна
И or
Решение этого уравнения имеет вид
C.15)
Продольная волна называется гармонической (синусоидальной),
если частицы среды колеблются с одинаковой частотой и>:
'у? = a(x)sin[ut - а(х)], C.16)
133

где а — начальная фаза волны, а — амплитуда, uit — а(х) — фаза
волны, и> — кс, причем с — скорость распространения волны, а
к — так называемое волновое число.
Волновой поверхностью, или фронтом волны, называется ге-
геометрическое место точек среды, в которых в рассматриваемый
момент фаза волны имеет одно и то же значение. Волновая повер-
поверхность, вообще говоря, деформируется. Скорость каждой точки
волновой поверхности направлена по нормали к волновой повер-
поверхности. Иногда плоскую монохроматическую волну описывают
в комплексном виде, имея в виду, что на заключительном этапе
исследования необходимо взять действительную и мнимую части
от полученного выражения. Например:
й = ио(ху$-*~и*\ <р = <рог$*-ы*\ C.17)
где к = ^-п — волновой вектор, А -длина волны, an- единичный
вектор нормали к волновой поверхности. Если подставим второе
из соотношений C.17) в волновое уравнение C.12), то получим
с=р C.18)
где с — скорость распространения вол-
волны. Одна из возможных форм распрос-
распространения волн называется модой. Так,
например, соотношения C.17) описыва-
описывают синусоидальные моды. Вообще же
можно представить соотношение между
частотой и волновым числом (вектором)
i в виде кривой (рис. 13). Скорость вол-
волны (моды) определяется из C.18) — это
тангенс угла наклона кривой на рис. 13.
Лисперсная мода — мода, для которой
скорость зависит от частоты. Если же для всех частот скорость
одинакова, то дисперсия отсутствует. Если мода бездисперсион-
бездисперсионная, т.е. скорость всех синусоидальных составляющих с разными
частотами одинакова, то они перемещаются вместе и начальное
возмущение сохраняет свою форму. Скорость
v = | C.19)
называется групповой. Это та скорость, с которой перемещается
в направлении х функция изменения амплитуды.
В ограниченной упругой изотропной среде могут возникать и
другие типы волн кроме перечисленных выше. Рассмотрим одно-
одномерную динамическую задачу. Будем считать, что в однородном
134

упругом стержне распространяется продольная волна, например,
и направлении х\ = х. Из уравнений движения B.9) гл. 1 вид-
видно, что в случае, если осуществляется одномерное напряженное
состояние, т.е. тензор напряжений имеет вид
<гц = <r{x,tNn6iU C.20)
то для <т справедливо волновое уравнение
( }
Однако из уравнений совместности Бельтрами A.53) гл. 2 сле-
следует, что напряженное состояние C.20) осуществляется только
при v — 0.
Рассмотрим одномерное волновое уравнение относительно ком-
компоненты вектора перемещения и вдоль оси распространения вол-
волны:
2?и_Ри [Ё
с дх2 - т2' = у р • ( }
Упражнение 3.1. Показать, что при выполнении граничных
условий
«|х=0 = h(t), u\x=i = 0 C.23)
и начальных данных:
при< = 0 и = 0, ^ = 0 C.24)
уравнение C.22) имеет решение
N N
п=0 \ С С / n=i \ с с/
где индекс N обозначает число отражений волны от торцов стер-
стержня. ¦
Это означает, что волна бегает от одного конца стержня к
другому, не затухая и не «размазываясь», т.е. сохраняет перво-
первоначальный импульс. Иначе обстоит дело, если стержень является
вязкоупругим. Пусть, например, связь между напряжением а и
деформацией е имеет вид
а = Е? + щ?. C.26)
135

j = V, C.27)
д2и _ 2д2и ди
№ ~с w + vdxWf C-28)
получим уравнение
Упражнение 3.2. Показать, что волна, описываемая уравне-
уравнением C.28) при граничных условиях C.23) и начальных данных
C.24), будет затухающей и при i = oo и u(x,t) стремится к ква-
квазистатическому решению
«=1-у. C.29)
§ 4. ВОЛНЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ
Рассмотрим одномерное уравнение движения сплошной среды
да д2и
di = pW- DЛ)
Будем считать что задан закон связи между напряжениями а и
деформациями е:
а = сг(е). D.2)
В частности, если эта связь соответствует упругому стержню, то
сг = Ее. D.3)
Введем величину
<44)
которая характеризует местную скорость звука. Тогда волновое
уравнение D.1) принимает вид
а
д2и _
дх2 ~ dt2 ¦
136
D.5)

'-Это уравнение можно заменить эквивалентной системой двух
уравнений с двумя неизвестными, в качестве которых удобно
принять скорость v и деформацию е:
du du
*>=иг> ? = ^г- D6)
Тогда система имеет вид
D.7)
dv
dxz
Пусть теперь вдоль некоторой линии
х = x(s), t = t(s) D.8)
на плоскости х, t заданы значения
е = е(8), v = v(s). D.9)
Введем в рассмотрение четырехмерное евклидово пространс-
пространство ILj с координатами х, t, t, v; уравнения D.8), D.9) задают
в нем некоторую кривую Г. Решение же дифференциальных
уравнений D.7)
e = e(x,t), v = v(x,t) D.10)
образует некоторую поверхность (интегральную). Возникает воп-
вопрос: можно ли провести через заданную линию Г определенную
интегральную поверхность (решить задачу Коши), или, что то
же самое, можно ли провести к интегральной поверхности каса-
касательную плоскость вдоль Г? Этот вопрос связан с возможностью
однозначного определения вдоль линии Г производных от е, v в
силу самих дифференциальных уравнений. Как известно из тео-
теории дифференциальных уравнений, ответ на этот вопрос таков:
можно, если Г не является характеристикой.
Рассмотрим очевидные соотношения
Тогда имеем систему D.7) и D.11) для определения частных
производных 1^-, ||, |j, Off. Расширенная матрица этой системы
имеет вид
D.12)
а
0
dx
0
0
-1
dt
0
0
1
0
dx
-1
0
0
dt
0
0
dt
dv
137

Рис. 14
Равенство нулю определителя матрицы D.12) дает нам уравнение
характеристик
Yt = ±а(?)> DЛЗ)
а условия совместности этой системы приводит к условиям на
характеристиках
a{t)dt ^ dv = 0. D-14)
Введем функцию
е
<р(е) = / а(е) dt.
D.15)
Тогда соотношения D.14) перепишутся в виде
d[v т (р(е)] = 0.
D.16)
Итак, рассматриваемая система дифференциальных уравнений
D.7) имеет два семейства характеристик и условий на них:
dx - а(е) dt = 0,
v — <р(е) = т) — const,
dx + a(e) dt = 0,
v + tp(t) = f = const.
D.17)
D.18)
Соотношения D.17) относятся к «прямой» волне, а D.18) — к
«обратной».
Фронт волны — это линия, отделяющая возмущенную область
от невозмущенной. Говорят, что на фронте имеется слабый раз-
разрыв, если величины е, v непрерывны, а их первые производные
разрывны, и сильный разрыв, если терпят разрыв сами величины
?, v (такие волны называются ударными).
138

Рассмотрим полубесконечный стержень. Пусть при t = О он
покоится, т.е.
при t - О и = 0, v = 0. D.19)
Граничные условия могут быть различными. Например, на торце
могут быть заданы скорость или напряжения. Пусть, например,
пРих = 0 <r(t) = <r,[h(t)-h(t-ti)] D.20)
(рис. 14). Значение «г» (<тх) соответствует некоторой деформации
(рис. 15). На рис. 15 <та — предел пластичности. Если <r« < at, то
D.21)
и решение волнового уравнения имеет вид
D-22)
Характеристиками и условиями на них (D.17) и D.18)) будут
соответственно
D.23)
v - аО? = rj, )
у '
Пусть Р — произвольная точка на плоскости х, t. Проведем
две характеристики РМ и PN (рис. 16). Вдоль РМ выполняется
условие v = ao? + rj, а вдоль PN — условие v = —ао? + ?. Но при
< = 0г; = 0и? = 0. Поэтому отсюда следует, что f = г] — 0.
Тогда в точке Р имеем v — a^t = — а$с, откуда следует, что
v — 0 в точке Р. Следовательно, если Ci и Сг в D.23) и D.24)
больше нуля, то соответствующая точка Р находится в области
покоя. Посмотрим, что происходит на самой характеристике
х — aot — 0 (рис. 17). Вдоль РМ v = dot + г), а вдоль PN v = —аос.
Следовательно, в точке Р будет v = —аО?р = —|. Но ? = ?* в
точке М. Следовательно, всюду на МР
и = -аО?». D-25)
Однако это условие будет верным и тогда, когда точка М окажет-
окажется на прямой х — 0 при тех t, при которых ? = ?». Следовательно,
139

Рис. 16
-«—X
М
\
Рис. 17
ж-ж
Рис. 18
область выше прямой ж = ао< —ao<i на плоскости х, t соответствует
области покоя, ибо для этой области в D.25) следует положить е».
Таким образом, по картине характеристик можно графически
определить распределение деформаций, скорости, перемещения
в любой момент времени по длине стержня и в любой точке
стержня распределение этих величин по времени (рис. 18). Таким
образом, ступенька возмущения все время смещается вправо, а
после прохождения возмущения в теле остается перемещение щ =
140

Упражнение 4.1. Получить аналитически рассмотренное ре-
решение:
и = с,{(х - aot)h(aot - х) + [ao(t - <х) -
t; = [-aoh(aot - х) + aoh(ao(t - <i) - x
? = [h(aot-x)-h(ao(t-ti)-x)]e*.
D.26)
D.27)
D.28)
Рис. 19
Пусть теперь на границе стержня задана плавно меняющаяся
деформация (рис. 19). Деформации е = е, на плоскости х, t будет
соответствовать характеристика х — dot = —aots. При зависи-
зависимости напряжения от деформации, изображенной на рис. 15, для
больших деформаций, превышающих е$, будет меньшая скорость
звука а(е). Рассмотрим теперь точку Р, лежащую выше харак-
характеристики х — dot = —ао<5 и проведем из нее две характеристики
РМ и PN, которые, вообще говоря, могут не являться прямыми.
Вдоль РМ имеем v = ip{e) + г], а вдоль PN имеем v = —<р(с) + ?¦
При этом в точке N v = 0, ? = 0, а значит, f = 0. Тогда в точке Р
v = <р(ер)+т] = —ip(tp). Поэтому в точке М v = ^(ем)+»7 = — <р(ем)-
Следовательно ер = ?щ- Значит, вдоль каждой положительной
характеристики МР в области х — aot < —aots (рис. 19) сохра-
сохраняют постоянные значения v и е, причем е = См, т.е. значению
деформации при х = 0. Отсюда вытекает, что МР — прямо-
прямолинейная характеристика и ее наклон определяется выражением
ам = yidF^Af)- Поэтому можно нарисовать полную картину и
для этого случая (рис. 20), подобную картине распространения
волн в упругом стержне.
Рассмотрим теперь задачу о внезапной деформации е* > е$
(рис. 21). На каждой характеристике ? = const, а следова-
следовательно, а(е) = const. Значит, значения на характеристиках
141

-x' *
Рис. 20
Рис. 21
x - a(e)t = -а(е)^ при фиксированном tk < t\ таковы: v = —a(e)e.
Между характеристиками х — aot = 0 и x — a(et)t = 0 имеется
неопределенность. Деформация испытывает скачок от 0 до es,
а скорость — от 0 до v = —ao?s. Деформациям е при t = О,
е» ^ ? ^ ?*, соответствуют характеристики г = a(e*)t + const.
Все деформации со значениями от е, до е* начинают расп-
распространятся одновременно с разными скоростями. Поэтому в
нуле имеется так называемый веер характеристик, которые соот-
142

ветствуют волнам Римана. В области между характеристиками
х - a(e«)t = 0 и х — a(e*)t = —а(е«)<! скорость распространения
волн одна и та же и равна а« = а(е«).
В области волн Римана можно построить аналитическое реше-
решение. Уравнение характеристики для какой-нибудь волны Римана
имеет вид х = at a* < a(e) < ao, но a(e) является известной величи-
величиной: a,(e) = yjijijfc. Следовательно, f = yj^%, откуда ? = a (f)
и соответствующую скорость определяем по формуле
v = ср(е) = — / a(e) efe.
D.29)
Все сказанное проиллюстрировано на рис. 22. В момент t = <х
начинает распространятся новая волна — волна разгрузки (волна
Х.А. Рахматулина).
t'--
Рис 22
Упражнение 4.2. Доказать, что волна разгрузки распрост-
распространяется со скоростью упругой волны, и показать, что полная
картина распространения импульса, изображенного на рис. 21
при е„ > ?,, имеет вид, изображенный на рис. 23.
§ 5. СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ МДТТ
Связанная задача МДТТ заключается в решении трех урав-
уравнений движения
= ри
E.1)
143

е е,ев
Рис. 23
и уравнения притока тепла
рсрТ - div(A grad T) - -Т0[а?(е - а4)\ + pq + W* E.2)
при выполнении некоторых граничных условий
E.3)
E.4)
а(я)т + Ь(я) gradT • п =
и начальных данных:
при t = to и = и0, и = v°,
=<0 Т=Т°.
E.5)
E.6)
Рассмотрим несколько примеров составления уравнения при-
притока тепла для различных операторов f связи между напряже-
напряжением и деформацией.
Упражнение 5.1. Рассмотрим изотропную среду, в которой
шаровые части тензоров напряжений и деформаций связаны ли-
линейной зависимостью. Для такой среды
= К{в-Ъа-д), Sij = (Гц - абц = ^(etj),
E.7)
E.8)
Поэтому, если среда однородная, из уравнения E.2) имеем
рсрТ - ХАТ =-ЗаТ0<т-+ pq + W*, E.9)
или
- ХАТ = -9аКТ0е + pq + W*,
144
E.10)

где
pcv = рср - 9а2КТ0. E.11)
Если среда обратимая, то в уравнении E.9) или E.10) W* — 0.
Если в обратимой среде величина <т не изменяется со временем,
то уравнение притока тепла E.9) будет иметь вид
рсрТ - ХАТ = pq. E.12)
Уравнение E.12) с граничными условиями E.4) и начальными
данными E.6) может в этом случае быть решено отдельно от
системы уравнений E.1), и рассматриваемая задача механики
сплошной среды будет несвязанной.
Предположим теперь, что свободную энергию можно пре-
представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит
только от температуры, а другое является квадратичной функци-
функцией параметров состояния ц.. Очевидно, тогда можно записать
TV
^- E-13)
Пример 5.2. Рассмотрим анизотропную среду, в которой опе-
оператор Т является линейным по времени. Тогда
t
or = Г R(t - r)d[e(r) - а#(т)]. E.14)
В этом случае согласно «основной» гипотезе параметры состоя-
состояния ц являются линейными операторами от ет т.е.
W-«^)]- E-15)
Согласно определению E.14) гл. 1 имеем из E.15)
? = ?@), E.16)
t
о
145

где q'.(t — т) = §^q\t — т). Подставляя значения E.16) и E.17) в
соотношения E.17), E.18) гл. 1 и учитывая E.13) и E.14), получим
_.. .. 0. E-18)
N f }
1=1 о о
Дифференцируя соотношения E.15) no t, умножая левую и правую
части полученного соотношения на /у. и просуммировав по i от
1 до N, получим
N , г N
TV
' '
E.20)
!.¦(* " Г1)?,(* -
•=1
о о
откуда имеем
TV
«?l E-21)
i=i J
Если, например, в выражении E.13) положить N = 1, то вместо
E.18), E.19) и E.20) имеем соответственно
Rijki(t) = 2qmnij(Q)qmnkl(t), E.22)
t
W* J
о
t
= -2 J qmnij(t - n)q'mnkl(t - r2) def^deU^), E.23)
j \ E-24)
где TLijki(t) — тензор ядер, обратных к ядрам Rijki(t) из соотно-
соотношений E.14), т.е.
t
ет = e-ati= f U(t - т) dq(r). E.25)
о
146

Уравнение притока тепла E.2) тогда имеет вид
рсрТ - (XijTj), = -Т0[ац<гц\ +pq + W*, E.26)
где W* выражается формулой E.21) или E.24).
Если рассматриваемая среда является изотропной, то каждый
из тензоров R, П, q будет составлен из единичных тензоров,
например:
п\ 6ц6ы + ^a(SikSj, + 6u6jk). E.27)
Тогда для функции рассеивания получим выражение
a=l
где
E.29)
При N = 1 получаем
E.30)
= Вче^ + Ъ<т{е - ад)' - П@)<г„<ти - Щаа*,
где <ти = (sijSijI/2 — интенсивность напряжений. Уравнение
притока тепла в этом случае
рсрТ - (XTj)j = -ЗТо[шг]- +pq + W*. E.31)
Пример 5.3. Рассмотрим квазилинейную изотропную среду,
которая при мгновенном нагружении ведет себя как линейный
упругий материал. В такой среде определяющие уравнения
имеют вид
у = / Д(< - r) deij(r) + f T(t - т, eTT, eT)e>i(r) dr,
J J
E.32)
Sii
о о
t t
о о
147

где Г и Г; являются функционалами от величин ет = е(г) —
atf(r) и ет = еу-(п)еу(г2), причем Г@,х,у) = Ti(O, х,у) = 0. Если
рассматривается главная квазилинейная теория, то
где / — функция указанных аргументов.
Будем считать, что и в этом случае свободная энергия имеет
вид E.13). Пусть параметры состояния квазилинейно зависят от
деформаций:
dr,
a) = I q[a)(t ~r)d [e(r) - atf(r)]+ E.33)
о о
t
о
t
J Q[a\t - r, tTT, eT)[e(r) - ad{r)] dr.
о
Так как из E.33) имеем
t
J
Q[a)'(t - т,?,ет)[е(т) - ad(r)}dT, E.34)
то, проделывая выкладки, аналогичные проведенным в преды-
предыдущем примере, заключаем, что и в этом случае справедливы
формулы E.28) и E.30).
Как видно из E.30), если шаровые части тензоров напряжений
и деформаций пропорциональны (как это имеет место в линейной
упругости), то функция рассеивания не зависит от температуры:
w* 'jS<j' E'35)
148

Если девиаторы тензоров напряжений и деформаций также про-
пропорциональны друг другу (т.е. рассматривается линейное упругое
тело), то stj = R@)eij и W* = 0.
Для квазилинейной вязкой жидкости Sy = т)(-)е^, где т)(-) —
функция зависящая от инвариантов тензора е'^. В этом случае
R(t) = ,(.)*(<), П@) =0иГ= ацец.
Если рассматривается теория малых упругопластических де-
деформаций Ильюшина [27], то
ы]ец> E.36)
где ш = w(eH) — универсальная функция материала и
W* = tuj [ецы(еи)\ = <т[и>?и\. E.37)
Рассмотрим несколько простейших примеров, иллюстрирую-
иллюстрирующих эффект тепловыделения в результате простого деформирова-
деформирования линейно упрочняющихся материалов. Для таких материалов
функция Ильюшина ы имеет вид
ы = A - A) fl - — 1 Л(еи - е,), E.38)
L ?]
где А = А(Т) — функция температуры, причем 0 < А ^ 1, h —
единичная функция Хевисайда указанного аргумента, е, — крити-
критическое значение интенсивности деформации, которое соответству-
соответствует пределу текучести <т,. Соотношения, обратные зависимостям
E.38), можно в этом случае записать так:
Cij = 2G[l + ~Т"(<Ги ~ *'W*" " '^J Sij- E-39)
Функция рассеивания согласно уравнениям E.37) и E.38) име-
имеет вид
«К - <т,). E.40)
В указанных далее примерах будем пренебрегать силами инер-
инерции, т.е. будем считать задачу квазистатической.
А. Простое растяжение бесконечного теплоизолированно-
теплоизолированного стержня возрастающей со временем нагрузкой p(t). В
этом случае единственной отличной от нуля компонентой тензора
напряжения будет <тц =p(t). Уравнения равновесия удовлетворя-
удовлетворяются тождественно, и мы имеем
1
149

Уравнение теплопроводности E.2) при отсутствии источников
тепла имеет вид
Рр~
Р(Р-Р*)
^
E.42)
При p(t) < у!""» функция рассеивания равна нулю, и мы получаем
E.42)
из
рср
E.43)
т.е. в упругой области образец при
растяжении охлаждается. Для
p(t) > \1\сг» функция рассеивания
отлична от нуля. Для решения
уравнения E.42) была составлена
типовая программа на языке АЛ-
АЛГОЛ для машины БЭСМ-6, где ве-
величины p(t), A(T), ^г были офор-
оформлены в виде заданных процедур-
функций. На рис. 24 представлен
график зависимости безразмерной
температуры $ = ^- от безразмер-
ной нагрузки р = -2- для стали
38ХА.
Так как до 500° С величина А для стали слабо зависит от
температуры, то, положив в E.42) A =const, получим
Рис 24
Отсюда вытекает, что если предел текучести <т, удовлетворяет
неравенству
то образец в пластической области нагревается. Например, для
стали 38ХА при нагрузке, составляющей 80% от разрушающей,
$ и 10° С, в то время как при достижении предела текучести
150

образец охлаждается приблизительно на 0,5° С. При нагруз-
нагрузке, соответствующей временному сопротивлению на разрыв <7j,
получим приближенную формулу для нагревания образца
E.46,
.
Для стали х « 0, 8.
Б. Кручение кругового стержня. Направив ось z вдоль оси
цилиндра, получим решение уравнения равновесия
exz = --krsmip, eyz = -krcos<p, E.47)
где k(t) — крутка (угол закручивания на единицу длины). Введем
вектор касательного напряжения
Р = yjv*,+<r*,. E.48)
Тогда имеем
<гк = ^Р, ?и=-^=. E.49)
Крутка к определяется заданием крутящего момента М:
р
к3
I welde», E.50)
или, при линейном упрочнении материала,
М = Gklp - G(l - A) (klp - V2e,Sp + ^-1 Л(г - rt), E.51)
4
где Ip — полярный момент инерции сечения, Ip = ^-, Sp —
статический момент площади поперечного сечения 5 = Цр-, а
rs — радиус упругой области при кручении, г, = \/2^-
После определения крутки находим функцию рассеивания
W = GA{\ - A)
кг 1-А
151
h(r-rs). E.52)

Функцию W* можно считать обобщенным источником тепла в
уравнении теплопроводности
PcrT = 4lZ2+Zlz)+w*> П=а = #а, T\t=o = #o. E.53)
Так как для круговой области известна функция Грина g(r,p,t),
«решение» этого уравнения можно представить в виде
t а
д~] ^ J ^ ^' Т^^Г> P'l~T^ dP+
+ Jg(r,t-r)da(r)dr + j' g{r,p,t)do{p)dp.
о о
В случае, когда A =const, выражение E.54) дает решение постав-
поставленной задачи. Если же А зависит от температуры, то выражение
E.54) представляет собой интегральное уравнение, которое реша-
решается методом последовательных приближений. Полагая в нулевом
приближении А — А^ =const, находим по формуле E.54) темпера-
температуру да. Затем определяем ЛA) = Л(Т(о)), снова решаем уравнение
E.54) и т.д. Сходимость этого процесса доказана в работе [71].
В. Задача о давлении со стороны сферической полости.
Пусть на границе полости действуют равномерно распределенное,
возрастающее во времени давление p(t) и некоторая температура
$„(<). Тогда имеет место первый интеграл уравнения равновесия
ти + \кеи = В
- да - 1 j гЧ dr 1 + ^, E.55)
где В = —Зи^Ка, а величину С можно найти путем удовлетворе-
удовлетворения граничным условиям. Используя соотношение E.36):
<ги = 2С[1-и(еи,Г)]еи, E.56)
получаем из E.55) выражение для <ти:
(т„ = ф(С,0). E.57)
После этого находим другие величины:
г .—
О = -ра + \/б / -<ти dp, (т = J-<т„ + (тг. E.58)
152

Величина C(t) определяется из условия на бесконечности
00
Ра = л/б [-ф(С,д)<1р. E.59)
J г
а
Введем теперь фиктивный источник тепла
ip = -ЪаТоа + <ти[и?и] . E.60)
Лля определения температуры среды воспользуемся формулой
Грина для сферической полости:
/
% 00
о о
t
2
/a(i—a)(< —г)~г
2-кг^ГкИ
1Ll±i^I E61)
где ж = ^i. Так как величину C(t) нельзя подсчитать, не зная
распределения температуры, то задачу можно решить следующим
образом. Полагая в качестве нулевого приближения распределе-
распределение температуры Т(о), являющееся решением обычного уравнения
теплопроводности, определяем величины <тИ(-0), <Т@), <Р(о) по фор-
формулам E.56)—E.60). После этого находим с помощью квадратур
E.61) распределение температуры Тщ и т.д. Как уже указыва-
указывалось, сходимость этого процесса доказана в публикации [71].
Пусть известно, что несвязанная задача механики сплошной
среды имеет единственное решение. Точнее говоря, пусть для за-
заданных массовых сил и заданного температурного поля, а также
для некоторых функций, заданных на достаточно гладкой границе
и определенных в некоторых пространствах Банаха, существует
единственное поле функций перемещений и, непрерывных по Гель-
деру и ? Ca(D). При этом для всех функций T(x,t), удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству l^li+a < М, справедлива оценка \й(х, t)\ < N,
где М и N — некоторые постоянные.
Тогда решение связанной задачи E.1)—E.6) существует и един-
единственно.
В самом деле, если решение несвязанной задачи существует,
т.е. существует вектор-функция и как вполне непрерывный опе-
оператор от Т, то оператор, стоящий в правой части уравнения
153

E.2), является также вполне непрерывным от Т и удовлетворяет
условиям теоремы, доказанной в [71].
Отсюда и следует существование и единственность связанной
задачи механики сплошной среды.
Связанная задача E.1)—E.6) может быть решена методом мало-
малого параметра. Пусть оператор T{t — ад) разлагается некоторым
образом в ряд по параметру х = аТ^\
T(t - ад) = Т0(е) + *Тх(е - ад) + *?Т2(е - ад) + ... , E.62)
где fo(e) — оператор, не зависящий от а. Ищем решение постав-
поставленной задачи в виде рядов по степеням >с:
(n)xn, Г=Х>(п)х". E-63)
п=0 п=0
Лля нулевого приближения решаем несвязанную задачу
= ри , E.64)
рсрТ - div(A grad T) - pq + Wq E.65)
с граничными условиями
u)n + biq)U = N^\ E.66)
а(я)Т+ Ь(ч)^1 = 1?(») E.б7)
on
и начальными данными:
при t — t0 и = uQ, uq = Vo, E.68)
при t = tQ T = T°. E.69)
Решаем сначала уравнение E.64) с краевыми и начальными
условиями E.66) и E.67). Получим нулевое приближение й(о).
Подставим его в выражение Wq и решим уравнение теплопро-
теплопроводности E.65) с источником pq + Wq (й^о))- Для последующих
приближений (n ^ 1) имеем уравнения
Div^(n)(Def Й(п) - а^п.!)) = ри(п), E.70)
рсрТ{п) - div(AgradT(n)) = -Т0[Т{е{п_х) - grtf(n_i))] + W*(u(n))
E.71)
154

<• граничными условиями
(n))n + 6<«>3(n) = 0, E.72)
) »)^1 = 0 E.73)
и однородными начальными условиями. Вначале решаем урав-
уравнения E.70) с граничными условиями E.72), а затем, подставляя
полученное решение й(„) в W*, решаем уравнение теплопровод-
теплопроводности с источником тепла pq + W?.
В каждом конкретном случае нужно исследовать сходимость
рядов E.63).

Часть II
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Глава 4
ВВЕДЕНИЕ В РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пусть на отрезке [а,Ь] дана непрерывная функция f(x). Рас-
Рассмотрим конечное множество точек этого отрезка {аг,}:
х0 =a,xi,x2,-..,xN = b, A.1)
называемых узловыми точками или узлами отрезка [а,Ь]. Каждый
отрезок
Xi < х < xi+1 (i = 0,...,N-l) A.2)
называется конечным элементом [а,Ь]. Совокупность узлов A.1)
называется сеточной областью, а совместно с множеством ко-
конечных элементов A.2) — разбиением отрезка [а,Ь]. Диаметром
конечного элемента Л,- и шагом сетки h называются соответст-
соответственно величины
hi = xi+i — Xi, А = тахА,-, i = О,1,..., TV — 1. A.3)
Если все Л,- — Л, то сетка называется равномерной. Именно с
такими сетками мы и будем в основном иметь дело. Каждой
функции f(x), заданной на отрезке [а, 6], поставим в соответствие
так называемую сеточную функцию {/t}:
/,=/(*,) (| = 0,...,Л0 A.4)
или N + 1-мерный вектор Д. Оператор г/,, с помощью которого
осуществляется это соответствие, называется оператором проек-
проектирования. Мы будем всегда считать, что оператор г/, ставит в
соответствие каждой функции f(x) однопараметрическое семейст-
семейство сеточных функций или векторов Д,.зависящее от параметра h.
Обратно, каждой сеточной функции Д (или однопараметричес-
кому семейству таких функций) можно поставить в соответствие
156

a-x. *, x.
о *,
И
c-x0 л
У'
г, л
h
в
'Ф)
Рис. 25
Рис. 26
некоторую функцию /°(аг), определенную на отрезке [а, 6]. Это
соответствие осуществляется с помощью так называемого опе-
оператора восстановления Д/,. Например, если искать функцию
/°(х) в классе кусочно-постоянных функций, то представляются,
например, возможности (рис. 25, 26):
): /i°(*)=/i. если xt<ix<xi+1, i=0,l,...,N-l; A.5)
): /°W=/i, если ц.^кц, t=l,...,W. A.6)
b)
Узлы {ж,} при i < 0 и i > N называются засолочными, а значения
сеточной функции в засеточных узлах — засеточными значениями.
Пусть внутри каждого конечного элемента
а% = ж,- $ у $ ж;+1 = bi Aл;
заданы узлы интерполяции х,- ^ и значения функции /(ж) в этих
узлах /0) = /(жр>) = /(»,•) (г = 0,..., N - 1, j = 1,..., m). Пусть,
кроме того, заданы интерполяционные функции <Pj(x) (j = 1,..., m).
Тогда задача интерполяции на элементе A.2) заключается в вы-
выборе таких постоянных а^\ (j = l,...,m), что функция
ад =
A.8)
равная нулю вне элемента A.2), совпадает с функцией /(ж) в
интерполяционных узлах:
A.9)
157

(no i нет суммирования). Очевидно, эта задача эквивалентна за-
задаче определения таких функций Рк(х) (к = 1,..., га), называемых
базисными функциями элемента, что в интерполяционных узлах
их значения равны дельтам Кронекера:
=рк(х^) = 6{. A.10)
Тогда функция F{(x) A.8) может быть представлена в виде
и оператор восстановления Д/, каждой сеточной функции Д ставит
в соответствие кусочно-непрерывную функцию
N-1
д*) = 52 ад- а-12)
i = 0
Теория кусочно-полиномиальных приближений функции называ-
называется теорией сплайнов [116].
Упражнение 1.1. Показать, что если за интерполяционные
функции принимаются полиномы степени га — 1, то базисными
функциями являются интерполяционные многочлены Лагранжа:
где
Упраяснение 1.2. Показать, что для достаточно гладкой
функции f(x) внутри элемента A.7) ошибка аппроксимации
6f = f(y)-Fi(y) A.15)
может быть оценена следующим образом:
М= max
Заметим, что, располагая интерполяционные узлы внутри ко-
конечного элемента A.7), можно добиться того, чтобы правая часть
158

A.16) была наименьшей. Для этого нужно сделать так,чтобы
полином ш(у) A.14), имеющий единичный старший коэффициент,
наименее уклонялся от нуля на отрезке [а*,6,] A.7). Этот вопрос
решается с помощью так называемых полиномов Чебышева [120],
а именно среди всех полиномов степени га, имеющих единичный
старший коффициент A.14), полином Чебышева Тт(у) отличается
тем, что для него величина
|М| = max \ш(у)\ A.17)
имеет минимальное значение
|М| > max \fm{y)\ = 2l~m, A.18)
причем знак равенства возможен только в случае и(у) = Тт{у). По-
Полиномы Чебышева можно определить по рекуррентным формулам
Тт+1(у) = 2Bуа<Ь<)Гт(у) - Тт^(у), A.19)
6,- - а,-
полагая
Щу) = 1, Щу) = -^-т -, Тт{у) = -^ziTm при га ^ 1.
Of U,- ?
A.20)
Иногда функцию /(г/) на отрезке A.7) аппроксимирует полиномом
&п(у) п-го порядка по узловым значениям этой функции f(yk) и
значениям ее производных порядка 1,2,...,?:
Полиномы Эт(у) называются интерполяционными полиномами Эр-
мита [120]. Заметим, что при q = 0 они превращаются в интер-
интерполяционные полиномы Лагранжа.
Если теперь требуется вычислить интеграл от сеточной функ-
функции, т.е. функции, заданной таблицей значений ж,-, /,• (i = 0,..., TV),
то, используя для функций A.5) и A.6) формулы
i+l
/°(*)dx = fib, J /2°(x)dx = fi+1hi, (i = 0,l,...,N- 1),
A.22)
159

получим формулы прямоугольников
ъ ь
J /(*) dx « j Д°(х) rfx = /oAi + hh2 + ¦ ¦ ¦ + fifth
a a
b _ b
f f(x) dx*> J f°(x) dx = ДА! + /2Л2 + • • • + fNhN-
Вообще, формулы вида
b
I P(x)f(x) dx
{
N-l N
t=0 t=l
называются квадратурными. (Здесь р(х) — так называемая весо-
весовая функция.) Левую часть A-24) можно представить в виде суммы
? N-i ь:
/ p(x)f(x) dx=Y, Р(У)ПУ) dy, A.25)
где отрезок [а,-, 6,] представляет собой конечный элемент. Тогда,
представляя на этом элементе функцию f(x) с помощью интерпо-
интерполяционных полиномов Лагранжа:
, A.26)
/t=i
получим квадратурную формулу
"i
I p(y)f(y) dy = У2 Ckf^ + &f, A-27)
где
———-, fc=l,...,m. 1.28
\У ~ Ук)<*>' (Ук)
Здесь Sf — ошибка аппроксимации квадратурной формулы. Квад-
Квадратурная формула A.27) при выборе коффициентов Ск в виде
A.28) называется интерполяционной. Говорят, что квадратурная
160

формула A-27) является точной для некоторой функции f(y), если
для этой функции ошибка аппроксимации 6f равна нулю.
Упражнение 1.3. Доказать, что для того, чтобы квадратурная
формула A.27) была интерполяционной, необходимо и достаточно,
чтобы она была точной для любого многочлена степени не выше
т - 1 [120, с. 291]. ¦
Алгебраические уравнения для сеточных функций Д называ-
называются разностными уравнениями. Введем некоторые операторы,
действующие над сеточными функциями. Оператор Е, ставящий
в соответствие значению /,• само /,¦ называется тождественным:
E-.fi-^fi. A.29)
Операторы Т+ и Т~ называются операторами сдвига соответс-
соответственно вправо и влево:
Т+ = Т+1 : П - /1+1, Т- = Г : /,- -> /,_!. A.30)
Последовательное применение этих операторов называется соот-
соответствующей степенью оператора сдвига:
Т±т : /,¦ -> /,±т. A.31)
Очевидно, для операторов сдвига справедливо свойство
T±m(fhgh) = (T±mfh)(T±mgh), A.32)
где fh, дн — две сеточные функции. Индекс h мы чаще всего будем
опускать. Справедливо также свойство
T+mT~'f = Tm~'f, T+T~ =T° = E. A.33)
Для равномерной сетки определим операторы разностных произ-
производных — правой д+ и левой д~:
д+ = д = i(T+ - Е), д~ = i(B-T-). A.34)
Введем также линейную комбинацию правой и левой производ-
производных — >г-производную:
0*х)=х0+A-хH-, A.35)
где х — некоторое произвольное действительное число. Заме-
Заметим, что
д~. A.36)
6 Победря Б.Е. 161

При х — i ^-производная называется центральной разностной
производной д:
a = 0VV = ^
A.37)
Воздействие этих операторов на сеточную функцию Д может
описываться и другим образом:
A-38)
Можно ввести разностные производные высших порядков:
A.40)
(Г-41)
Заметим, что операторы разностных производных не обладают
свойством алгебраического сложения порядков, т.е. хотя спра-
справедливы формулы
выражение
д+кд-т _ Q-m
читается как правая разностная производная fc-го порядка и левая
разностная производная гл-го порядка.
Упражнение 1.4. Доказать справедливость формул
d(fg) = dfT+g + fdg, A.44)
d-(fg) = d-fT-g + fd-g. Ш A.45)
Назовем шаблоном разностного оператора L множество целых
чисел, являющихся индексами узлов, участвующих в действии
этого оператора на величину /г-, и обозначим его Ш{?}, например:
162

()пределим величину
1, если *€Ш{1},
если к?Ш{Ь). A'47)
Введем обозначение для суммирования разностных функций:
JV-1
JV
[f,g] =
i=0
JV-1
[f,g)=J2fi9ih, A-50)
i=0
JV
(f,g] = J2fi9ih, A-51)
В частности, заметим что
, l) = f; f,h = h y, т+'fo = hj2 T-{/N. (i.52)
1=1 1=1 1=1
Упражнение 1.5. Доказать справедливость разностных фор-
формул Ньютона-Лейбница
JV-1
2_^(T>+ —T%)uo — u^ — ui = (l,du), A.53)
JV-1
Y, (T*1 - T>o = uN-u0 = [1, ди) = A.54)
i = 0
JV
. ^(Г^1 - T-')uN = uN-u0 = A, ди] = A.55)
JV-1
+i - T-{)uN = uN-u0 = A,5u). A.56)
163

Упражнение 1.6. Доказать, что из формул A.48)—A.51) сле-
следует
(/,</)
[f,9]
if, 9)
(f,g]
JV-1
= hJ2 T'(/offo)
1=1
JV
= Л^]Г(/о^о)
i=0
JV-1
=h ? r'(/°^°)
1=0
JV
= Л Vr(/o(/o)
JV-1
= Л J^ T-'^/jvs-jv),
1=1
JV
= ^ / ,Т~'(/цдм),
i=i
JV-1
= Л ^ T-\fNgN),
i=0
JV
= ft > i l/JVfl'JV)-
A.57)
A.58)
A.59)
A.60)
1=1 .=1
Упражнение 1.7. Показать справедливость формул сумми-
суммирования по частям
(f,dg) = fff-i9N-fogi-(d-f,g), A.61)
(f,d-g) = fN9N.i-fi9o-(df,g). A.62)
Упражнение 1.8. Показать, что шаблонами операторов сум-
суммирования A.48)—A.51) будут:
{0,l,...,7V},
{1,2,...,#}• [ ^
Упражнение 1.9. Доказать справедливость соотношений
Т+д~ = д, Т~д = д~, Т+д~п = д+д~п+х. A.64)
Упражнение 1.10. Доказать справедливость формул
(/,дд~д) = fNdgN-i - fodgo - gNdfN-i + 9odfo + (g,d~df) =
= /jv5~(?jv - fod~gi - дыд~/м + god~ fi + (g,dd~f).
A.65)
Упражнение 1.11. Показать, что из A.61), A.62) следует
(/, да) = /jvffjv-i + /n~i9n - fo9i - fi9o - (df, g), A.66)
A.67)
164

Переход к многомерному случаю связан со значительными
усложнениями. Пусть задана область V тела, ограниченная по-
поверхностью ?. Выберем множество точек 2,- € V, i = 1,2,... ,N,
называемых узловыми или узлами. Если 2,- € V, то узлы называ-
называются внутренними; если 2,- € ? — то граничными. Совокупность
всех узлов называется сеточной областью Vh или сеткой. Каждый
узел 2,- € Sft называется граничным узлом, а совокупность всех
таких узлов — границей сетки. Для построения разбиения об-
области V необходимо задать форму конечного элемента. Если это
треугольник (в случае V С Кг) или тетраэдр (в случае V С Нз)>
то разбиение называется триангуляцией области. Мы будем
рассматривать простейшие случаи разбиения, когда конечные
элементы представляют собой прямоугольные параллелепипеды
или прямугольники одинаковой формы. Тогда координаты узлов
могут быть заданы формулами
<=*««« (о = 1,2,3, i« = O,l,...,JV«). A.68)
Будем иногда писать так:
х1 = х, х2 = у, х3 = z, h\ = hx, h2=hy, ha — hz. A.69)
Каждому скаляру f(x), вектору а(х), тензору 6(х) мы будем с
помощью оператора проектирования гт, ставить в соответствие
сеточный скаляр Д = {filti2li3}, сеточный вектор а*, = {ailli2li3},
сеточный тензор <тЛ = \<lil i2 «Л:
/»1,»2,'3 = f\Xil I У'2' г'з)'
«ti.i»,*» = 2(*ii>Sfta>*is)> A-70)
Аналогично одномерному случаю разностным функциям, ко-
которые мы будем считать принадлежащими некоторому конечно-
конечномерному пространству Н^, с помощью оператора восстановле-
восстановления Rh будут ставиться в соответствие непрерывные функции,
принадлежащие некоторому функциональному пространству Н.
Многомерные операторы сдвига и разностных производных бу-
будут помечаться индексами соответствующей переменной. Так,
например,
y)=-f{x + huy), A.71)
d+dj = r±-[T+ + Т- - Т+Тр - Е] (aj = 1,2,3). A.72)
165

Обозначим операторы разностных производных второго порядка:
Ааа = д+д~ =д^д+ = ^[Т+ -2Е + Г"], A.73)
Аа/} = \(д+д$ + д-др + д+др + д~д+) =
I
Многомерные операторы суммирования также будем помечать
внизу соответсвующими индексами. Так, например, для двумер-
двумерной области
JVi ЛГа-1
12 21 JT[ j~
Значения выражений в граничных узлах будем помечать верти-
вертикальной чертой с указанием индекса, принимаемого граничными
узлами, например:
ЛГ,-1 ЛГа-1
(/>g)Y,Nx = h\ У2 fi,Nxgi,N3, (f,g)\Ni,. = h2 Y] fojgoj- A-76)
11 7ГТ 2 2 f-T
Рассмотрим двумерную область и формулу Грина для этой об-
области Е и контура Г, ее ограничивающего:
I fg,ndxdy= - Jf,ig,ldxdy+ Jfgiinidy, A.77)
Е Е Г
где п/ — компоненты единичного вектора нормали к контуру Г:
A.78)
/ f,\2gdxdy= - / f,igt2dxdy+ j fi
e e г
= - / /,25,1 dxdy + / /)
E Г
Рассмотрим разностный аналог формулы A-77). Для этого при-
применим дважды формулу A.61) для каждого слагаемого /дц =
fg,n + fg,22-
(if, Кпд)) = -((d-fd-g)) + (f,d2g)\.,N^1-
12 21 12 21 1 1
), + (/,aiff)k-i,.-(/,ai+ff)k..
12 2 2 2
166

Введем одномерные символы / по следующему правилу. Во всех
внутренних узлах / = 0, кроме того:
_ Г 1. ПРИ ia = Na-1, _ ( 1, при ia = Na,
I -1, При ia = 0, \ -1, При ia = 1,
_ ( 1, npKia = Na-i, -I1' при ia = Na, A.80)
\ —1, при ia = 1, I —1, при ta — 0
(a =1,2).
Тогда формулу A.79) можно переписать в виде
((/, Ь«п9)) = -{{Km Я)) + V,dn9)l[«) (п = 1,2), A.81)
12 21 12 21
причем в последнем слагаемом индекс у оператора суммирования
опущен. Он равен 1, если п = 2, и равен 2, если п = 1.
Упражнение 1.12. Доказать справедливость равенства
((dnf,d-g}} = [[dnf,dng)). A.82)
12 21 12 21
Упражнение 1.13. Показать, что формулу A.79) или A.81)
можно записать в виде
((/.Annff)) = -{{dnf,dng)) + {f,d-g)l{n]. A.83)
12 21 12 21
Упражнение 1.14. Доказать,что разностный аналог формулы
A.78) имеет вид (для а ф /3, а,/3 = 1,2)
((daf,dpg)) = (daTpf,g)lm - ((dad-f,g)), A.84)
12 21 12 Р 21
{{dZfJjg)) = {d-T-f,g)lm - ((d-dpf,g)), A.85)
12 P 21 P 12 21
((daf,dp9)) = {daTpf,g)lW - {{dadpj, «/)), A.86)
12 P 21 12 21
i(d-f,dpg)) = (KTpf,g)lm - ((d-dpf,g)). A.87)
12 21 12 21
§ 2. АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Пусть задано некоторое линейное операторное уравнение, на-
например дифференциальное,
LU = /. B.1)
167

Здесь функция f(x) определена, допустим, на отрезке [а,Ь]. На
этом же отрезке ищется решение U(x). Предположим для прос-
простоты, что f(x) и U{x) принадлежат одному функциональному
нормированному пространству Н. Норму функции f(x) в этом
пространстве обозначим ||/||я- Поставим в соответствие функ-
функциям U(x) и f(x) сеточные функции Uh и Д, а оператору L —
разностный оператор Lh- Тогда уравнению B.1) мы ставим в
соответствие разностное уравнение
= Д.
B-2)
Разностные функции Uh и%, вообще говоря, не совпадают. Если
Uh является решением уравнения B.2), то Uh — проекция решения
уравнения B.1) на сеточное пространство //>,:
Схематически сказанное изабра-
жено на рис. 27. Как видно из
рис. 27, о том, насколько хорошо
разностный оператор Lh аппрок-
аппроксимирует «континуальный» опе-
оператор L, можно судить по разнос-
разности величин Д и LhUh- Будем го-
говорить, что разностное уравне-
уравнение B.2) аппроксимирует урав-
уравнение B.1) с порядком т или
имеет место аппроксимация по-
порядка т, если
Рис. 27
\\LhUh-fh\\Hh=O(hm).
B.4)
Если правая часть B.4) является тождественным нулем, то ап-
аппроксимация называется точной. Учитывая B.1), условие B.4)
можно переписать в виде
\\(LhUk)-rh(LU)\\Hh=O(hm).
B.5)
Пусть, например, L = -^. Предположим, что U(x) — дважды
дифференцируемая функция. Тогда
= U>(x) - h-U"{x
B.7)
168

Вычисляя разность между разностной ^-производной и производ-
производной 4ZL — (/'; получим, используя B.6) и B.7),
d^U -U' = {2x-l)-U" + O(h2). B.8)
Отсюда и из B.5) видим, что разностная ^f-производная аппрок-
аппроксимирует оператор -^ с порядком m = 1 для всех ус, кроме
ус — \. Центральная разностная производная (ус = |) аппрокси-
аппроксимирует оператор ^ со вторым порядком (аппроксимация второго
порядка). Заметим, что если вместо ^-производной выбрать про-
произвольную линейную комбинацию правой и левой производной
0(*i.**) = Ж10 + х20~, B.9)
где >f 1 и >^2 — некоторые действительные числа, то, как следует
из B.6) и B.7),
т.е. аппроксимация имеет место только при усi + ус2 — 1- Из
рис. 27 видно, что для того, чтобы имела место сходимость, т.е.
решение разностного уравнения B.2) щ стремилось бык решению
уравнения B.1) U при стремлении к нулю h, необходимо, чтобы
при h —> 0 стремилась к нулю разность бщ = и/, — Uh, т.е.
h —> 0 => ||<5ил||яЛ-*¦ 0 Fuh = Uh-Uh)- B-П)
Одного факта аппроксимации для этого оказывается недоста-
недостаточно.
Пусть, например, для одномерной вязкоупругой модели Фойгта
C.26) гл. 3 известно, что в момент t = 0 напряжение <т равно нулю,
а деформация — некоторому заданному значению ео- Тогда для
деформации получается дифференциальное уравнение
e(t) + ae(t) = 0, е@) = eo(a=f), B.12)
решение которого имеет вид
e(t) = ?Oe~at. B.13)
Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче
B.12). Лля этого нужно ввести сеточную область ti = hi
169

(i = 1,...,N) и разностный оператор, соответствующий jj. На-
Например, выбирая правую разностную производную, имеем
duh + айн = О, щ = ?о, B.14)
или, опуская индекс h,
= A - ah)Eu. B.15)
Формулу B.15) можно переписать в виде
ип+1 = A-оА)«П1 п = 0,1,...,ЛГ-1. B.16)
Так как ио = ?о> то B16) представляет собой алгебраическую
систему ./V уравнений для определения ./V неизвестных «i,... , ujv-
Матрица этой системы является двухдиагональной, т.е. под глав-
главной диагональю, полностью состоящей из единиц, лежит диаго-
диагональ, составленная из чисел A — ah). Таким образом, кроме
того, что эта матрица двухдиагональная, она еще и треугольная
(нижняя треугольная). Из формулы B.16) мы видим, что каждое
последующее значение сеточной функции Uh «явно» разрешается
через предыдущее, причем для решения хватает единственного
начального условия щ = ?о> которое входит в правую часть
системы алгебраических уравнений. Поэтому, последовательно
применяя формулу B.16), имеем
и\ — A — ah)u0 = A - ah)e0,
и2 = A - ак)щ = A - ahJe0, >2 17^
un = (l-aAK_, =(l-aA)ne0.
Полагая tn = hn, так что tn всегда остается узловой точкой, имеем
< = limun =eolim(l-aA)^ = eoe-ahn = eoe-at". B.18)
Сравнивая B.13) и B.18), видим, что в данном случае имеет
место сходимость. В табл. 2.1 в столбцах 1 и 4 приведены
значения точного решения u*h уравнения B.12), вычисленного по
формуле B.18) при ео = 1, а в столбцах 2 и 5 — значения решения
разностного уравнения B.14), вычисленного по формуле B.17).
Заметим, что значениям «i ч- Щ второго столбца соответствуют
значения umo -r- «soo 4-го столбца, так как во втором случае шаг
уменьшен в 100 раз. Мы видим, что с уменьшением шага h
точность разностного решения повышается.
170

Упражнение 2.1. Показать,что сходимость имеет место и при
выборе в качестве разностного аналога для оператора -^ левой
частной производной:
д щ + ащ = О, щ = е0,
причем решение уравнения B.19) имеет вид
B.19)
B.20)
Заметим, что решение задач B.14) и B.19) можно было искать
в виде
ип = Сап.
B.21)
Подставляя это выражение в соответствующие разностные урав-
уравнения и учитывая начальные условия, получим B.17) и B.20).
Таблица 2.1
«0
«1
«2
«3
u4
«5
«10
«20
«30
«40
«50
«100
«200
«300
«400
«500
1
u*
1
0,9900
0,9801
0,9704
0,9608
0,9512
0,9048
0,8187
0, 7408
0,6703
0,6065
ah = 0,01
2
«h
1
0,9900
0, 9801
0,9703
0,9606
0,9510
0,9044
0,8179
0,7397
0,6690
0,6050
V
1
0,
o,
- o,
0,
o,
o,
o,
-1,
-6,
-16,
!
h
9900
9780
9639
9473
9282
7847
1034
6798
0421
4107
4
«ft
1
0,9999
0,9998
0,9997
0,9996
0,9995
0,9990
0,9980
0,9970
0,9960
0,9950
0,9900
0, 9802
0, 9704
0,9608
0,9512
ah = 0
5
«h
1
0,9999
0,9998
0,9997
0,9996
0,9995
0,9990
0,9980
0,9970
0,9960
0,9950
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,9512
0001
1
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
o,
-2,
-3,
-4,
-6,
-8,
6
9999
9998
9996
9995
9993
9978
9905
9701
9156
7728
6347
7927
6204
3171
6186
• 10
¦105
•108
•1013
•1017
Выберем теперь в качестве разностного оператора, аппрокси-
аппроксимирующего оператор d/dx, разностную ^-производную
=0, ио = е0,
B.22)
171

причем положим х < Q. Тогда имеем разностную систему урав-
уравнений
B.23)
которая описывается уже трехдиагональной матрицей. Поэтому,
хотя каждое последующее значение сеточной функции «/, явно
выражается по формуле B.23) через предыдущие, чтобы начать
их вычисление, необходимо знать два начальных условия
«о = е0, щ=?1, B-24)
причем второе из этих условий может быть вычислено, например,
из B.17):
щ = гх = A - ah)e0. B.25)
Вынося эти начальные условия в правую часть системы ал-
алгебраических уравнений для определения «2, из> • ¦ • , «лг, получим
трехдиагональную (нижнюю треугольную) матрицу этой систе-
системы, в которой по главной диагонали стоят единицы, ниже этой
диагонали :— числа 1~2*~2Л, а еще ниже :ijp-.
Ищем решение разностных уравнений B.23) в виде B.21). По-
Получим
-A - 2х + ah) ±y/l + 2aft(l - 2х) + <*2Л2
а = . B.26)
Тогда общее решение системы B.23) можно записать в виде
B.27)
где а.1 и 02 — два значения а, вычисленные по формуле B.26), а С\
и Сг — постоянные, определяемые из начальных условий B.24):
а2 - ах а2 — ai
Будем считать ah достаточно малой величиной по сравнению с
1, так что а Л пренебрежимо мало по сравнению с аЛ. Тогда
из B.26) находим
<ц = l-ah + O(a2h2), a2= ^—^-A + аЛ) + О(а2Л2). B.29)
172

Положим, как и ранее, что точка tn — hn остается всегда узловой
при уменьшении шага. Тогда имеем при достаточно малом Л
= d [e~at- + O(a2h2)] + C2[eat> + O(a2h2)] (^) • B-30)
Так как по определению х < 0, то ^^ > 1 и последнее слагаемое
в B.30) неограниченно возрастает при Л —»• 0. Даже если выбрать
в качестве начальных условий B.24), B.25), то из B.28) имеем
Ci = е0 + O(a2h2), C2 = O(a2h2), B.31)
и мы неизбежно приходим к катастрофе, ибо малейшая ошибка в
начальных данных B.31) вызывает ошибку, нарастающую с но-
номером п. При этом уменьшение шага Л только ухудшает дело. В
табл. 2.1 в столбцах 3 и 6 дано решение (t>/,) разностных уравнений
B.23) при >с = —10 и начальных условиях B.24), B.25), где ео = 1.
Как мы уже отмечали, величинам щ •? «5 в столбце 3 соответству-
соответствуют по времени величины «юо -^ usoo столбца 6, так как во втором
случае шаг уменьшен в 100 раз. Мы видим, что решение по
абсолютному значению катастрофически растет с ростом номера
п и при уменьшении шага Л. Такое явление называется неустой-
неустойчивостью счета. В этом случае решение разностного уравнения
не стремится к решению исходного уравнения.
Будем говорить, что разностная система B.2) является устой-
устойчивой, если малое изменение правой части влечет за собой малое
изменение решения. Чтобы сформулировать это условие точнее,
вычтем из B.2) выражение LhUh- Тогда, используя определение
B.11), получим
fh-LhUh = 6fh. B.32)
Итак, разностная система B.2) является устойчивой, если
^0=»||««Л||яь-^0. B.33)
Используя обозначение B.32), условие аппроксимации B.4) можно
записать в виде
Л-0=»||«Д||->0. B-34)
Сравнивая B.34), B.33) и B.11), мы видим, что из аппроксимации и
усхойчивости следует сходимость. Это утверждение называется
теоремой Лакса.
173

§ 3. МЕТОД ПРОГОНКИ
Рассмотрим задачу теории упругости о бесконечно длинной
трубе, на внутреннем радиусе которой г = а задано равномерное
давление ра, а снаружи (г = 6) эта труба армирована тонкой
упругой оболочкой и подвержена внешнему давлению рь- Пусть
задано температурное поле i?(r) и модуль сдвига G зависит от
радиуса. Тогда единственное уравнение Ламе для этого случая
имеет вид B.55) гл. 3, а граничные условия — вид'B.61) гл. 3.
Переход к численному решению задачи начинается прежде всего
с ее «обезразмеривания», т.е. введения безразмерных параметров
и характеристик. Будем считать, например, что все модули и
давления отнесены к некоторой постоянной //о — модулю сдвига
при г = а. Вводятся безразмерный радиус и безразмерные пере-
перемещения, отнесенные к внутреннему радиусу трубы г = а. Введем
сеточную область {я,}, х = г/а,
xi = l + hi, i = 0,l,...,N, C.1)
причем хлг = ?¦• После этого приступаем к построению разностной
схемы. Уравнения B.25) гл. 3 запишем так, чтобы имела место
аппроксимация второго порядка. Для этого ^у аппроксимируем
разностной производной дд~, a jj- — центральной разностной
производной д. Тогда получим
цп+1 - 2ип + цп_1 цп+1 - ц„-1 _ ,
2Л *»«»-/». C.2)
п=
Упражнение 3.1. Доказать, что разностный оператор Ln
C.2) действительно аппроксимирует оператор L в B.55) гл. 3 со
вторым порядком.
Упражнение 3.2. Показать, что если модуль сдвига является
постоянным и температурное поле отсутствует, то в C.2) следует
положить
Р 1 Q R f °
и получается разностная система
2B + 4n/t + 2n2h2 + h2) 2 + 2nh-h
2nh+h) "" 2 + 2nh + hU"-1' C.4)
174

Упражнение 3.3. Показать, что разностная функция и„ =
1 +nh (п — О,..., N) является решением системы C.4), а разностная
функция
не является. ¦
Граничные условия B.61) гл. 3 запишем, аппроксимируя опе-
оператор -^ на внутреннем радиусе правой разностной производной
д, а на внешнем — левой разностной производной д~':
C.5)
C.6)
Полученную разностную задачу C.2), C.5), C.6) можно записать
в виде
cn, n= 1,2, ...,ЛГ-1, C.7)
у1, C.8)
uN = x2uN_i + 7г- C.9)
Если бы на границе были заданы перемещения, то в C.8) и
C.9) следовало бы положить *t\ = з<2 = 0. Система C.7)-C.9)
представляет собой неоднородную разностную краевую задачу
для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
о-п, Ьп, с„.
Поставленная разностная задача должна быть корректной, т.е.
должно существовать единственное ее решение и должна иметь
место устойчивость. Однако допущенный нами волюнтаризм в
написании граничных условий C.8), C.9) может привести к тому,
что задача C.8)—C.9) не будет имееть решения.
В самом деле, рассмотрим задачу о расстяжении стержня
постоянной массовой силой. В безразмерном виде эта задача
может быть записана так:
du
dx
du
dx
x < 1, C.10)
= A. C.11)
x=l
Как мы видели в § 7 гл. 1 это вторая краевая задача теории упру-
упругости может быть разрешимой лишь в том случае, если система
«самоуравновешена», что возможно лишь в случае, когда А = —1.
175

Однако и здесь решение задачи C.10), C.11) не единственно, а
может быть определено с точностью до смещения тела как жес-
жесткого целого, т.е. в данном случае с точностью до константы С.
Нетрудно видеть, что решение задачи C.10), C.11) имеет вид
C.12)
Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче C.10),
C.11). После естественной дискретизации области и аппроксима-
аппроксимации оператора j^j получим
ип+1 - 2«„+«„_! =-Л2, n = l,2,...,iV-l. C.13)
При написании граничных условий для разностной задачи посту-
поступим таким же образом, как и при выводе условий C.5) и C.6).
Тогда
щ = «1, un = «JV-1 + h, C-14)
т.е. имеем частный случай общих граничных условий C.8), C.9),
где
xi = ж* = 1. C.15)
Заметим, что при выполнении условия C.15) задача C.13), C.8),
C.9) не может иметь единственного решения. В самом деле, вводя
vn = un+1-un, п = 0,1,...,ЛГ-1, C.16)
получим вместо C.13)
»п-»»-!= "Л2, n = 0,l,...,N-l, C.17)
а вместо C.8), C.9)
vi = -7i, vN = 72, C.18)
т.е. имеем систему N + 1 уравнений C.13), C.18) для определения
N величин vn. Нетрудно видеть, что решение уравнений C.13)
может быть записано в виде
Л2 ,
un = -yn2 + Bn + C, C.19)
где С — постоянная, с точностью до которой определяется реше-
решение задачи C.13), C.14), В — постоянная, которая должна быть
определена из удовлетворения граничным условиям C.14). Лег-
Легко видеть, что невозможно подобрать В таким образом, чтобы
удовлетворить сразу двум условиям C.14). Следовательно, при
176

написании граничных условий краевых разностных задач нужно
исходить из каких-то правил, которые мы в дальнейшем рассмот-
рассмотрим. А пока заметим, что решение C.19) при В = О
= _Л2п2 с п = .
ип 2 я ,
удовлетворяет граничным условиям
Л2 Л2 ,
«О = Щ + —, Ujv = UN-1 + у - Л,
C.20)
C.21)
при В = -Щ-
и =-*!„Г„_П + с n=12 i
удовлетворяет граничным условиям
Щ = Ui, Ujv = UN— I + Л — Л,
и, наконец, при В = Ар
удовлетворяет условиям
C.22)
C.23)
C.24)
C.25)
Вернемся к общей системе C.7)-C.9). Ее расширенную мат-
матрицу можно записать в виде
. C.26)
Мы видим, что матрица этой системы трехдиагональная, но не
треугольная.
Упражнение 3.4. Показать, что система C.7)-C.9) при
/ 1
-61
0
0
V о
-о\
-ь2
0
0
0
1
-а2
0
0
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
—6jv—г
0
0
0
0
-ajv-i
-*2
0
0
0
1
1
7i \
С2
CJV-1
72 /
On = 1, Ь„ = — 1 с„ = 0,
12 Победря Б.Е. 177
= Х2 = 7i = 0
C.27)

имеет решение [19, с. 39]
ип = Csin7^- C.28)
в случае, если N кратно трем (при этом постоянная С произволь-
произвольна), и не имеет решения вовсе, если N не кратно трем и 72 ф 0.
Упражнение 3.5. Показать, что система C.7)-C.9) при
а„ = 5, Ьп = -6 Ж! = х2 = 0 C.29)
однозначно разрешима, решение имеет вид [19, с. 40]
_ G13* -72J" + G2 -712"K"
и« - ZN -2N ' ^ '
Однако система C.7)-C.9) неустойчива, ибо, например, учитывая
ошибку только в задании 7ь равную 6у\, получим
C31)
Пусть известно, что система C.7)—C.9) устойчива. Изучим
некоторые способы ее решения. Рассмотрим однородную первую
краевую разностную задачу
un+i = anun + bnun-i, C.32)
«o = 7i. uN-y2- C.33)
Заметим, что в предыдущем параграфе мы также рассматривали
решение разностного уравнения второго порядка B.23). Однако
там вместо краевых условий C.33) были начальные условия B.24),
благодаря чему матрица системы была треугольной, и поэтому
система разрешалась в явном виде (разностная задача Коши).
Ищем решение краевой разностной задачи C.32), C.33) в виде
ип = Апщ + Впи0. C.34)
Подсчитывая по формуле C.34) значение wn+i и подставляя вы-
выражение C.32), получим
un+i = 4n+iui + Bn+iu0 = апип + Ъ„ип_1 =
= an(Anui + Впи0) + bn(An^iu1 + Bn-iuQ) =
= (апАп + bnAn-{)ui + (апВп + bnBn-i)u0. C.35)
178

< 'равнивая первое и последнее выражения в п.епочке равенств
(;i.35), получим
Лп+1 =апА„ + Ь„Ап-1, В„+1=апВп+ЬпВп-1, п = 2,3,... ,N- 1.
C.36)
71обавляя к этим соотношениям тождества, следующие из C.34):
Ао = О, Во = 1, Ai = 1, Si = 0, C.37)
можем последовательно находить все коффициенты Ап, В„ (п =
I,... ,N — 1) по формулам C.36), C.37), а затем все и„, если
известны щ и «1. Однако щ нам неизвестно, поэтому, определив
из C.34) величину un (которая известна из граничных условий
C.33)), выразим через нее и щ величину ui:
uN - BNu0 72 -
U =
Ui = .
An An
Тогда из C.34) имеем
^^ C.39)
Полученное решение можно трактовать как линейную комбина-
комбинацию решений двух разностных задач Коши. В самом деле, из
тождественных преобразований (полагая i»i =/?,/? — некоторый
параметр), где
ип = Апщ + Впщ = Ап/3 + ВпщA + /?-/?) =
= р(Ап + Впщ) + A - 0)Впщ = /?< + A - /?К,
C.40)
< = Ап + Впщ, < = Впи0, C.41)
мы видим, что решение задачи C.32), C.33) может быть представ-
представлено в виде комбинации двух решений: и'п, удовлетворяющего
уравнениям C.32) и начальным условиям
< = 7i, «i = l, C.42)
и uJJ, удовлетворяющего уравнениям C.32) и начальным условиям
«o=7i, «i' = 0. C.43)
После решения этих двух задач Коши, полагая в C.40) п = N,
получим
3^ :р!& C.44)
3^ р
UN ~UN UN — UN
179

ah
n
10
100
200
1,
2,
4,
0,1
63-
07-
48-
10
105
109
0,3
5,54
3,82
5,15
10
1013
1024
2,
2,
3,
0,
47-
30-
52-
5
102
1022
1044
1
5
2
Таб
0,7
,39-103
,15 • 1031
,85-1063
л
2
2
1
и ц
95
58
33
a 3 . 1
1
•104
•1047
•1095
Коль скоро известно число /?, то находим и все ип (п = 0,..., N) по
формуле C.40). Описанный метод называется методом стрельбы
[19, с. 55]. Рассмотрим пример его применения. Пусть стержень
с переменным модулем Е = Еое~ах, а > 0, растягивается так, что
на его концах,заданы перемещения. Тогда уравнение равновесия
C.45)
-I, C.46)
—-О
dx2 dx
сводится к разностному уравнению
-2и„
а
и„+1 - ц„_1
' n=
а граничные условия имеют вид C.33). Ищем решения задач
C.46), C.42) и C.46), C.43) в виде
un = Ci+C2an. C.47)
Удовлетворяя соответствующим начальным условиям C.42) и
C.43), имеем
^-a".
a-\ a-l
где
_ 2 + ah
а = г г > 1.
C.48)
C.49)
2-ah
Решение общей задачи C.46), C.33) найдем по формуле C.40):
ип = /?< + A - /?)<' = /?« - <) + <', C.50)
где /? определяется из C.44). Предположим, что решения C.48)
найдены точно и ошибка в решении C.50) обусловлена только
ошибкой в подсчете /?:
6и„ — 60(и'п — «([). C.51)
Тогда, как следует из C.48),
1
а" - 1
а-1
a"-1. C.52)
В табл. 3.1 приведены значения и'„ — и'^ при различных ah. Ошибка
в вычислении и„ увеличивается с ростом п, т.е. имеет место
неустойчивость счета.
180

Заметим, что здесь неустойчивость связана с методом решения
разностного уравнения, хотя сама разностная система являлась
устойчивой. Следовательно, если в результате счета замечено
явление неустойчивости (например, возникло переполнение ячеек,
авост), а программа составлена правильно, то это явление может
быть связано как с неустойчивостью разностной схемы, так и
с неустойчивостью алгоритма ее реализации. Поэтому прежде,
чем считать, нужно быть уверенным в корректности выбранной
разностной схемы.
Рассмотрим теперь другой метод реализации разностной за-
задачи C.7)-C.9), известный под названием метода прогонки [19].
Ищем решение этой задачи в виде
и„ = Qn+iun+1 + Р„+ь n=N-l,N-2,...,l,0. C.53)
Отсюда
un_i = Qnun + Рп = Qn(Qn+iun+1 + Рп+1) + Рп. C.54)
Подставляя C.53) и C.54) в уравнение C.7), получим
un+i = an(Qn+iun+i + Pn+i) + bn{QnQn+1un+1 + QnPn+i + Р„) + с„.
C.55)
Следовательно, должны выполнятся тождества
bnQnQn+i = 1, C.56)
а„Р„+1 + bnQnPn+1 + ЬпРп + с„ = 0. C.57)
Отсюда
Qn+i = „ ,\п > n=l,2,...,N-l, C.58)
bnP"^n n=l,2,...,N-l. C.59)
Из сравнения C.53) при п — 0 с граничным условием C.8), ви-
видим, что
Qi = xi, Pi =7i- C-60)
Коэффициенты Qn, Р„ (я = 1,2,...,iV) называются прогоночными
коэффициентами. Из сравнения C.53) при п = N с граничным
условием C.9) находим
+ 72 _
181

Зная теперь все прогоночные коффициенты C.58)-C.60) и вели-
величину идг C.61), подсчитываем все ип по формуле C.53), или, как
говорят, совершаем обратную прогонку.
Ошибка в подсчете прогоночных коффициентов Qn C.58) опре-
определяется следующим образом:
= ~(Qn+iJbnSQn. C.62)
Предположим, что входные данные разностной задачи C.7)-C.9)
подчиняются условиям
а„+6„^1, C.63)
0<х4<1, i =1,2, C.64)
Ьп < 0. C.65)
Упражнение 3.6. Показать, что при выполнении условий
C.63)-C.65) справедливо соотношение
0<д„<1, n = l,2,...,N, C.66)
и ошибка 6Qn имеет порядок ошибки округления [19, с. 84], т.е.
метод прогонки является устойчивым.
Упражнение 3.7. Показать, что требование C.64) может быть
заменено на требование
0<х,-<1 + О(А), i=l,2, C.67)
причем будут иметь место те же следствия.
Упражнение 3.8. Показать, что метод прогонки для решения
задачи C.46), C.33) будет устойчивым. ¦
Заметим, что задачу C.7)-C.9) можно записать в виде
Ahuh = Д, C.68)
где wA — искомый разностный вектор, Ан — матрица системы,
fh — правая часть, записанные в явном виде в C.26). Метод
прогонки заключается в представлении матрицы Ah в виде про-
произведения двух матриц:
Ah = NhQh. C.69)
Тогда матричное уравнение C.68) становится эквивалентным
двум уравнениям
QhUh=Ph, C.70)
NhPh=fh, C.71)
182

i де расширенная матрица системы C.70) благодаря формулам
C.53), C.61) может быть записана в следующем виде:
(\
0
0
-Qi
1
0
0
-Qi
1
0
0
-Qz
... 0
... 0
... 0
0
0
0
0
0
0
Pi
p?
h
Pn
C.72)
0 0 0 0 ... 0 1 -QN
\0 0 0 0 ... 0 0 1
Расширенную матрицу системы C.71) запишем с помощью формул
C.58)-C.60) в виде
/1000... 0 0 0 7i \
Ni Vi 0 0 ... 0 0 0
0 N2 V2 0 ... О О О
0
0
0
0
0
0
0
0
... ЛГлг-1
0
NN
О
VN
C.73)
где
Nn=-bn, n =
72
,N-1,
C.74)
Таким образом, матрица системы C.70) является верхней тре-
треугольной, а системы C.71) — нижней треугольной. Для таких
систем решение выписывается сразу, причем для нижней тре-
треугольной матрицы осуществляется прямой ход (прямая прогон-
прогонка) — от меньших номеров к большим, а для верхней треуголь-
треугольной — обратный ход (обратная прогонка) — от больших номеров
к меньшим. Представление оператора системы в виде произведе-
произведения двух или более операторов C.69) называется факторизацией
оператора, а методы, основанные на решении с помощью такого
представления, — методами факторизации.
Итак, метод прогонки — это метод, основанный на факториза-
факторизации трехдиагональнои матрицы разностной системы в виде двух
треугольных двухдиагональных матриц — верхней и нижней.
§ 4. МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности
д2Т
X +
дТ
А-= №-
при t = 0 Т = д(х),
1, * = 0,
D.1)
D.2)
D.3)
183

Прежде всего вводим безразмерные величины, относя основные
величины к характерным: длине /, температуре То. Пусть А —
некоторая величина, имеющая размерность времени. Тогда
•=?•
Подставляя эти выражения в соотношения D.1)-D.3), получим
&Г^__>>_АсЙТ q_A_
dt ~ рсрРдх2+ срТ0' [ }
при*~=0 Т = д(х), D.6)
Отсюда определяем величину А и вводим безразмерный источник
тепла q:
Выражение в граничных условиях D.7)
называется критерием Био. Заметим, что из D.7) следует, что
если критерий Био Вщ равен нулю, то соответствующий край
теплоизолирован; если В(,-) = оо, то на этом крае задана темпе-
температура ??(,¦). Опуская теперь черту над буквами, сформулируем
задачу D.1)-D.3) в безразмерном виде:
дТ д2Т
+ DЛ0>
при
D.11)
1, * = 0,
Составим теперь разностную схему, соответствующую задаче
D.10)-D.12). Для этого введем сеточную область. Выберем на
временном интервале узловые точки
tm=Tm, m = 0,1,2,
184
D.13)

m-2
m-1
m-0
n-1
— h ¦*-<
i
n-N 4
Рис. 28
где г = const — шаг по времени. Обычным образом выберем коор-
координатные узлы. Тогда на плоскости я, t получится прямоугольная
сетка (рис. 28). Прямую tm = const будем называть временным
слоем т или просто m-м слоем. Значения разностной функции в
узлах сетки будем обозначать
«(<„,,*„) = и™,
D.14)
т.е. вверху пишем индекс, относящийся к временному слою, а
внизу — индекс по координате. Аппроксимируя ^у разностной
производной дд~, Jj разностной правой производной 9j, в гранич-
граничных условиях D.12) производную -^ при г = 1 правой разностной
производной, а при » = 2 левой разностной производной, получим
«1 "«О
Обозначим
и°=0в, n=0,l,...,JV,
» ч utN~uN-l
7j —+q™, n=l,2,...,N-l, m=0,l,...,
D.15)
D.16)
2) , ,^..^
D.18)
Тогда уравнения D.15) можно переписать в виде
«^+1 =
D.19)
Зная из D.16) значения «л на нулевом слое, по формуле D.19)
определяем значения на 1-м слое (т = 1) во всех внутренних
185

точках п = 1,2.. ¦, N — 1. Из граничных условий D.17)
Uq =
'A)
?B)^2)
hB.
A)
1-ЛД
B)
= 1,2,...
1 1 - D20)
находим значения щ и и^, т.е. все значения на 1-м временном слое.
После этого по формуле D.19) определяем все значения сеточной
функции «а на 2-м временном слое во внутренних точках, а с
помощью D.20) — ив граничных точках и т.д. Таким образом,
переходя с одного слоя на другой, мы последовательно находим
решение разностной задачи по «явной» формуле D.19). Поэтому
разностная схема D.15) называется явной.
Таблица 4.1
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(точ-
(точное)
«0
о ooooooooooo
Явная условно-устойчивая
схема
т = 0,02
«1
0
0,020
0,030
0,040
0,047
0,054
0,059
0,063
0,066
0,069
0,071
0,080
«2
0
0,020
0,040
0,055
0,067
0,077
0,086
0,092
0,097
0,102
0,105
0,120
т = 0,1
«1
0
0,10
-0,05
0,80
-3,9
2,2-10
-1,2 -102
6,8- 102
-3,8-103
2,1 • 104
-1,2 -105
0,08
«2
0
0,10
0,20
2,6
-1,4 • 10
7, в- 10
-4,2 102
2,3- 103
-1,3-Ю4
7,2-Ю4
0,12
Неявная
схема
т = 0,1
«1
0
0,041
0,060
0,070
0,075
0,077
0,078
и2
0
0,058
0,088
0,110
0,112
0,116
0,118
Безусловно-
устойчивая
неявная схема
т = 0,1
«1
0
0,033
0,061
0,062
0,087
0,107
0,097
0,088
0,088
0,079
0,071
0,080
и2
0
0,033
0,061
0,113
0,138
0,145
0,152
0,143
0,125
0,116
0,112
0,120
Аппроксимация рассматриваемой разностной схемы не вызы-
вызывает сомнения, она имеет порядок О(т, /г2). Для выяснения вопроса
об ее устойчивости рассмотрим пример. Положим в D.15)—D.17)
D.21)
Для этого частного случая при т = 0, 02 и т = 0,1 в табл. 4.1 даны
значения разностной функции и/,. При этом в силу граничных
условий в обоих случаях «J1 = 0 и в силу симметрии м™ = ugln
(п — 0,1,2). Поэтому приведены только значения и™ и и™. Внизу
дано точное решение стационарной задачи (т.е. при t —> оо). Из
186

i абл. 4.1 видно, что если т — 0,02, то процесс установления проте-
протекает нормально, температура монотонно повышается и стремится
к стационарному значению. При г = 0,1 наблюдается «раскач-
«раскачка» решения, т.е. возникает явление неустойчивости. Выясним,
почему это происходит. Из формулы D.19) имеем
= (Е + rAfu??-2 + т(Е +
М-1
= (Е + тК)мдп + TJ2(E + TA)mq™-m-1. D.22)
m=0
Обозначим р норму оператора Е + тЛ:
||(Я + гЛ)«|ЮН|. D-23)
Тогда
\\(Е + тА)ти\\ < \\(Е + тЛЩ ||u|| ^ рт\\и\\, D.24)
и из D.22) имеем
||. D.25)
m m
Отсюда видно, что рассматриваемая разностная схема будет
устойчивой, если при всех т, т, h
р<1 + О(т). D.26)
Следовательно, нужно найти условие, при котором собственные
числа А оператора Е + гЛ будут удовлетворять неравенству
|А| < 1 + О(т). D.27)
Условие D.27) часто записывают в виде
|А| ^ 1. D.28)
Для нахождения собственных чисел А составим систему
(? + гЛ)« = А«, un + ^(un+i-2un + un-l)=\un. D.29)
Ищем ее решение в виде ип — Сап:
187

Значит, при любом а разностные функции ип = Сап будут собс-
собственными функциям оператора Е + тЛ. Однако нас интересуют
функции, ограниченные при п-юоип-» —оо. Тогда в качестве
собственных функций следует выбрать комплексные корни из 1,
т.е. а — е%ч>, где (р — любое действительное число. Из формулы
D.30) получим
? ('-?) + ?•* =
Тогда требование D.28) приводит к неравенствам
4r h2
0 ^ ?г < 2> т < у- D-32)
Следовательно, для того, чтобы разностная схема D.15) была
устойчивой, необходимо, чтобы выполнялось условие согласо-
согласованности между шагами по координате Л и по времени т D.32).
Разностные схемы при наличии такого типа условий на устойчи-
устойчивость называются условно-устойчивыми. Заметим, что мы нигде
не использовали граничные условия. Поэтому условия D.32) яв-
являются только необходимыми для устойчивости разностной схемы
D.15)—D.17). Рассмотренный признак устойчивости [24] называ-
называется спектральным. Согласно этому признаку следует искать
решение разностного уравнения в виде
при удовлетворении требованию D.28).
Упражнение 4.1. Показать, что в рассмотренном в табл. 4.1
случае При г = 0,02 условие D.32) выполняется, а при т = 0,1
нет. ¦
Условия D.32) могут быть довольно обременительными при
практическом расчете. Пусть, например, нас интересует расп-
распространение тепла в стальной бесконечной пластинке толщиной
/ = 0,1 см до момента времени t = 10 с. Так как для стали
кал кал . „ -
рср и 1 -», А « 10 з—' D-34)
F град•см3 град•смл ¦с
то интересующему нас моменту времени t = 10 с соответствует
безразмерное время
188

11 ри выборе безразмерного шага Л = 10 2 мы вынуждены согласно
требованию устойчивости D.32) иметь
т < — = 5 • Ю-3, D.36)
и поэтому число временных слоев, соответствующее интересую-
интересующему нас времени, имеет значение
<47>
Следовательно, чтобы сократить объем вычислений, нужно осво-
освободиться от ограничения D.32).
Рассмотрим другую разностную схему для той же задачи.
Вместо D.15) запишем
" €АС + A 0ЛС+1 + С
С, D38)
где ? — пока произвольное действительное число. Заметим, что
схема D.15) следует из D.38) при ? = 1.
Упражнение 4.2. Доказать, что схема D.38) аппроксимирует
уравнение D.10) с порядком О(т, h2). Ш
Для выяснения устойчивости этой схемы воспользуемся спект-
спектральным признаком. Подставляя D.33) в уравнение D.38), по-
получим
А - 1 = -4^ [е sin2 | + АA - О sin2 |] , D.39)
или
где
^gsin2f D.41)
Из D.40) следует, что условие D.28) будет выполнено, если
Но это будет всегда так, если
^\- D-43)
189

Итак, при выполнении условия D.43) схема будет устойчивой
независимо от соотношений между ft и г. Такие схемы называются
безусловно-устойчивыми, или абсолютно устойчивыми.
В табл. 4.1 приведены результаты счета разностной задачи
D.38), D.16), D.17) с входными данными D.21) при ? = 0. Схема
D.38) при ( = 0ит = 0,1:
2» Zif^" + 1 n п + 1 m j 2 y_! Q l
D.44)
называется схемой с отставанием в отличие от схемы D.15),
которая называется схемой с опережением. Первая из этих схем
(неявная) — безусловно-устойчивая, а вторая (явная) — условно4-
устойчивая.
Для реализации неявной схемы может быть использован метод
прогонки. В самом деле, разностное уравнение D.38) можно
переписать в виде
D.45)
Тогда разностную схему D.44), D.17) можно сформулировать в
виде, удобном для применения метода прогонки:
<# = а„С+1 + М™:!",1 + С, п = 1,..., ЛГ - 1, m = 0,1,... ,
D.46)
где
•. = ,+ •!„-«, *.»-,.
1 + ЛВAI ЛВB)
D.49)
Tl - 1 + ABA)V) ' 72 -х.лв^^г) •
Упражнение 4.3. Показать, что для коэффициентов D.48),
D.49) выполняются условия C.63), C.65), C.67), обеспечивающие
устойчивость метода прогонки.!
190

В заключение заметим, что для уравнения D.10) можно пос-
построить разностную схему, являющуюся одновременно и явной и
безусловно-устойчивой:
D.50)
Реализация этой схемы с входными данными D.21) при т = 0,1
приведена в табл. 4.1. Как видно из этой таблицы, установление
решения для этой схемы происходит не монотонно, а «волнооб-
«волнообразно». Обьяснение этого явления может быть дано с помощью
результатов упражнения 4.5.
Упражнение 4.4. Показать с помощью спектрального при-
признака, что для D.50)
pcos<p±y/l-p2sin2<p _2т
, Р = ?у, D.51)
откуда следует безусловная устойчивость схемы D.50).
Упражнение 4.5. Показать, что для схемы D.50) выполняется
оценка
2r h2 \dt
D.52)
откуда следует, что аппроксимация имеет место только в случае
jj- —*¦ 0 при h -* 0. Если же j- -+ 1 при h -* 0, то разностная схема
аппроксимирует некоторое волновое уравнение.
§ 5. МОДЕЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В § 3 гл. 3 было рассмотрено одномерное уравнение для рас-
распространения волн в упругой среде C.22):
т2 ~
и в вязкоупругой среде C.28):
д2и од2и дъи
E.2)
191

При этом в первом случае при выполнении граничных условий
C.23)
«|«=о = Л('). UU=' = 0 E-3)
и начальных данных C.24) при t = О
и = О, -^ = 0 _ E.4)
решение имело вид C.25) незатухающих волн, а во втором слу-
случае волна затухала и стремилась к квазистатическому решению
задачи C.29):
« = l-f E.5)
Рассмотрим теперь разностный аналог задачи E.1), E.3), E.4).
Составим явную схему
^то+1 2um -4- ит~^
'"E.6)
«° =0, и1п = 0. E.8)
Для исследования устойчивости этой разностной схемы вос-
воспользуемся спектральным признаком, рассмотренным в предыду-
предыдущем параграфе. Ищем решение разностного уравнения E.6) в
виде D.33). Тогда из E.6) имеем
E.9)
где
p=H?JLsin2|. E.Ю)
Упражнение 5.1. Показать из E.9), что условие |А| ^ 1
выполняется при
ст
-Г^1- ¦ E-П)
Это и есть условие устойчивости явной разностной схемы.
192

Таблица 5.1
Неустойчивый счет по явной схеме при т = О,5
Номер
слоя
m = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
«0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
«1
0
0
6,25
-59,4
8,6-102
-1,4- 104
2,4 • 105
-4,3-106
6, 2 ¦ 107
и2
0
0
0
39,1
-7,8-Ю2
1,5-Ю4
-2,9-105
2,6-106
-8,0-Ю7
«3
0
0
0
0
2,4-Ю2
-7,4-Ю3
1,8-105
-4,1-106
7,1 • 107
щ
0
0
0
0
0
1,5-103
-6,3 104
1,8-106
-4,4-107
«5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Таблица 5.2
Устойчивый счет по явной схеме при т = 0, 2
Номер
слоя
m = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
и0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
«1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
и2
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
из
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
U4
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
«5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
При невыполнении этого условия счет является неустойчивым,
что видно из табл. 5.1, где приведены результаты счета при
h = 0,2, г = 0,5 (с = 1, / = 1).
Положим теперь г = 0, 2 (при тех же остальных параметрах).
Это значение соответствует равенству в условии E.11). Резуль-
Результаты счета приведены в табл. 5.2.
Как видно из табл. 5.2, решение разностной задачи E.6)-E.8)
при г = 0,2 соответствует аналитическому решению задачи E.1),
E.3), E.4) и является незатухающим. Однако равенство в условии
E.11) не всегда можно точно соблюсти. Рассмотрим случай
7 Победря Б.Е.
193

Таблица 5.3
Устойчивый счет по явной схеме при т = 0,1
Номер
слоя
m = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
«0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
«1
0
0
0,25
0,62
0,95
1,11
1,11
1,02
0,95
0,94
0,99
1,03
;1,03
1,00
0,97
«2
0
0
0
0,06
0,25
0,55
0,88
1,11
1,17
1,09
0,97
0,91
0,93
0,99
1,00
и3
0
0
0
0
0,02
0,09
0,25
0,52
0,83
1,08
1,18
1,12
0,96
0,78
0,64
и4
0
0
0
0
0
0,003
0,03
0,10
0,25
0,49
0,75
0,93
0,93
0,70
0,32
«5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
неравенства E.11). Положим г = 0,1. Результаты счета для этого
случая представлены в табл. 5.3.
Мы видим, что в этом случае происходит «размывание» фрон-
фронта волны.
Применим к разностной схеме E.6)-E.8) ^-преобразование,
описанное в приложении III, по временным шагам
<{*)¦
E.12)
Получим уравнение
-K+i-K + <-i), n = 1,2... ,tf-1,E.13)
v0 - _ , vN = 0,
которое можно записать в виде
vn + l = аьп
{z-\f
где
z<f
С Т
E 14)
E.15)
E.16)
Решение уравнения E.15) при удовлетворении условиям E.14)
имеет вид
E.17)
194

где
r~z
а
2 V4 - EЛ8)
Используя теорему о конечном значении (приложение III), по-
получим
lim <• = lim (г - l)v*n{z). E.19)
m—юо z —»l+0
Упражнение 5.2. Показать, что из E.17) и E.19) следует, что
ton «" = !-?. ¦ " E.20)
т—-оо
Таким образом, если указанный в E.20) предел существует,
то он равен разностному решению соответствующей статической
задачи. Рассмотрим этот вопрос подробней. Для этого заменим
уравнение E.1) системой двух дифференциальных уравнений:
ди -v
E.21)
2
u
Аналогично вместо E.2) будем иметь
flu
*,~]*и^ J4_ ' E22)
dt С дх2 """ "
Разностную схему, соответствующую системе E.21), можно
написать, например, следующим образом:
m+l _ m
_2 - = С. — — = с2Аи™, E.23)
Г Г
т- 0,1,..., п= 1,2,... ,iV — 1.
Однако такая разностная схема не будет соответствовать разнос-
разностной схеме E.6). Из схемы E.6) мы будем иметь
Для того, чтобы распространить спектральный признак на
систему уравнений, сделаем следующее. Будем искать решение
в виде
<• = Ате'П?%, С = \mein*Z2. E.25) \
7*
195

Подставляя E.25) в исследуемую систему, получим систему урав-
уравнений относительно Z\, Z%. Приравнивая определитель этой
системы нулю, будем иметь условие устойчивости при |А| ^ 1. На-
Например, для системы E.24) такой определитель будет иметь вид
А-1 \т
= 0,
—81„2-,
откуда
А = 1 - р ±
E.26)
E.27)
и мы получим условие устойчивости E.11).
Упражнение 5.3. Показать, что для разностной схемы E.23)
в тех же обозначениях получается
т.е. разностная схема E.23) безусловно-неустойчива. ¦
Лопустим теперь, что мы решили разностную схему E.24), т.е.
нашли разностные функции uh и vh. Предположим, что этим раз-
разностным функциям в пространстве Н соответствуют достаточно
гладкие функции u(t,x) и v(t,x). Тогда, очевидно,
Из второго уравнения E.24) следует, что
v™+1 - v™ 2 dv ~л2"
0= ; сЛ"«=^
Отсюда следует тождество
сЬ _
Продифференцируем его по t:
d2v ,
E.30)
E.31)
196

и подставим в E.29). Тогда, отбрасывая члены порядка O(h2)
и О(т2), получим
at ~c дх* 2 dx*at>
т.е. уравнение типа второго уравнения E.22), где величина
E-33)
называется аппроксимационной вязкостью. Поэтому упругий
стержень при решении разностной задачи ведет себя как вязко-
упругий стержень.
Упражнение 5.4. Показать, что для стальной пластинки тол-
толщиной 0,1 см (для стали с и 5 • 10 см/с) для получения устойчивого
счета вплоть до t = 10 с требуется не менее 109 временных слоев.
Рассмотрим теперь неявную схему
г2 E-34)
т = 0,1,... , п = 1,2,...,N -1.
Упражнение 5.5. Применяя спектральный признак устойчи-
устойчивости, показать, что при ? ^ | разностная схема E.34) безуслов-
но(абсолютно)-устойчива. ¦
Для численной реализации неявной разностной схемы, как и
в предыдущем параграфе, можно применить метод прогонки. В
частности, при ? = 0 из E.34) имеем
/ А2\ Л2
т+1 — I о л. — 1 «т+! _ «т+1
[2+ ) « -«1
«т+1 — I о л. — 1 «т+! _ «т+1
«n+l " [2+ Tl) «n -«n-1 -
. , n= l,2,..
),
В табл. 5.4 приведены результаты счета методом прогонки
для рассматриваемой ранее задачи при h — 0,2, г = 0,5. В
нижней строке, соответствующей m = oo, приведено решение
соответствующей статической задачи.
Если к разностной схеме E.35) применить ^-преобразование,
то получим
{±^-< = *«+i - 2«; + t,;_o, E.36)
197

Таблица 5.4
Устойчивый счет по неявной схеме при ? = О,
= 0,5
Номер
слоя
т = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
оо
«0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
«1
0
0
0,66
0,87
0,87
0,82
0,80
0,79
0,80
0,8
1*2
0
0
0,42
0,68
0,70
0,63
0,59
0,59
0,59
0,6
«з
0
0
0,25
0,46
0,<9
0,43
0,39
0,39
0,39
0,4
«4
0
0
0,11
0,23
0,25
0,22
0,20
0,19
0,20
0,2
«5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
где величина q определена из E.16). В этом случае решение
уравнения E.36) имеет вид E.17), где
. z-1
-l - \/4* V
E.37)
причем в этом случае справедлива формула E.20). О затуха-
затухании решения можно судить и по результатам, представленным
в табл. 5.4.
§ 6. СВЕДЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ К
ОДНОМЕРНЫМ
До сих пор мы рассматривали одномерные модельные задачи.
Теперь нам надлежит изучить трудности, связанные с переходом
к многомерному случаю. Мы рассмотрим двумерные задачи, так
как принцип перехода к задачам более высокой размерности не
вызовет уже принципиальных затруднений.
Для примера рассмотрим уравнение теплопроводности в без-
безразмерных величинах для двумерной области, представляющей
собой прямоугольник:
дТ д2Т
Пусть на границе области задана температура:
Т = f(t,у) при х = ±1,
Т=Т(г,х)приу=±Ь,
198
F.1)
F.2)

и, кроме того, начальные данные:
при< = 0 Т-д{х,у).
Произведем дискретизацию области:
F.3)
F.4)
и, кроме того, дискретизацию времени:
tm = mr, m = 0,1,.... F.5)
Тогда значение температуры в узловых точках будем обозначать
т?к = т(гт,хп,Ук). F.6)
Плоскость t = tm = const в трехмерном пространстве будем назы-
называть т-м временным слоем (рис. 29).
Рис. 29
Рассмотрим разностную схему
где
m = 0,1,... , n= l,...,Ni, k = l,...
Л_А,Л л m_ "IT+i.t ~2ц%* +
Л = Ai + A2, Aiun>t =
Un,k+1 ~ lun,k +un,k-l
: = T
«2
199
F.7)
F.8)

Из граничных условий F.2) следует, что
un,0 — 1 п
а из начальных данных F.3) — что на нулевом временном слое
<*-*»,*• F.10)
Мы получили явную схему. В самом деле, из F.7) следует
для всех внутренних точек п = 1,..., Ni — 1, к = 1,..., N2 — 1, а
граничные значения определяются из F.9).
Для исследования устойчивости полученной разностной схемы
применим спектральный признак. Ищем решение разностной
задачи в виде
<* = Ате'("^+^). F.12)
Подставляя F.12) в F.7) получим
откуда следует, что условие |А| < 1 будет выполняться, если
#&)• FД4)
Упражнение 6.1. Показать, что для n-мерного уравнения
теплопроводности в случае равномерной сетки (hi = Л2 = • • • =
hn = К) ^условие устойчивости разностной схемы имеет вид
Таким образом, для многомерного уравнения теплопроводнос-
теплопроводности условие устойчивости разностной схемы становится более
жестким.
Рассмотрим неявную схему
= <* + *№<ь + A
200

Подставляя в F.16) выражение F.12), получим
А =
откуда
F.18)
Следовательно, неявная схема является безусловно(абсолютно)-
устойчивой, если ? ^ 1/2. Перепишем схему F.16) в виде
[Е - гA - 0A]«m+1 = [Е + т?А]ит + r9m, F.19)
где нижние индексы п, к при и, q опущены. Решить разностную
схему F.19) методом прогонки уже нельзя, ибо Л представляет
собой двумерный оператор Л = Ai + Лг F.8).
Добавим в левую и правую части F.19) член r2(l— ?
Тогда получим
[Е - ТA -
= [Е + r^A]«m + r2(l - O2AiA2«m+1 + rqm. F.20)
Такой прием позволил нам представить оператор в левой части в
факторизованном виде, т.е. в виде произведения двух одномерных
операторов. Кроме того, мы полагаем, что г —* 0, и поэтому
член, содержащий г2, можно отбросить в правой части. Тогда
мы получим
[Е - тA - 0Ai][? ~ '(I " ОЛ2]«т+1 = [Е + г?А]ит + rqm. F.21)
Заметим, что эта схема дает аппроксимацию уравнения F.1) с
точностью до О(г, h2) и, кроме того, имеется член в правой части
F.22)
который не портит указанной аппроксимации.
Схема F.21) позволяет ввести «расщепление», или промежу-
промежуточные переменные, например:
um+i, F.23)
[Е - гA - 0Ai]«m+* =[E + r?A]um + rqm. F.24)
201

Лля того, чтобы перейти от m-го слоя к т+1-му в схеме F.21), мы
ввели промежуточный слой ra+j. Разностная система F.21) экви-
эквивалентна двум разностным системам F.23), F.24), но в последнем
случае в левых частях стоят одномерные операторы. Поэтому,
чтобы перейти от m-го слоя к т + j-му слою, нужно решить раз-
разностную систему F.24) хотя бы методом прогонки по переменной
х, а затем, чтобы перейти от га+ j-го слоя к т+ 1-му, решить
систему F.23) методом прогонки по переменной у. Описанный ме-
метод имеет много названий: метод переменных направлений, метод
дробных шагов, метод продольно-поперечной прогонки и т.п. [107].
Заметим, что при решении системы F.24) для введенной пе-
переменной ит+* необходимо принять граничные условия, ибо они
заданы только для переменных с целым шагом ит, ит+1. Лля
этого распишем подробно разностную систему F.23):
„m+1 ' V-* s/ ( m+1 су m+1 j^ ,,"> + l \ mtj
"n,* p Vun,*+1 ~ Zun,* + "n,*-!-* — un,k ¦
/to
Полагая в F.25) n = 0 и п = N\, найдем необходимые для решения
системы F.24) граничные значения w0 k 2 и uN j-. Если же для ве-
величины и™к заданы более сложные граничные условия, например
<,к = хк<:к+ук, F.26)
то, вводя разностный оператор Лг:
i2«m+1 = [Е - гA - 0A2]«m+1, F.27)
получим из F.23)
Поэтому, используя F.26), имеем
1+yk) = u™ti. F.29)
Учитывая второе соотношение F.28), получим
и™+* = xku™+k + А21к. F.30)
Это и есть граничные условия для решения системы F.24).
Заметим, что «расщепление» системы F.21) на две системы
F.23) и F.24) можно производить не единственным способом. При
202

«том способ расщепления будет оказывать влияние на вид гранич-
граничного условия типа F.30). Введем некоторый разностный оператор
<3, определенный на слое т. Тогда схему расщепления системы
F.21) можно, например, записать в виде
[Е - тA - ОЛ2]«т+1 = ит+* + Qum, F.31)
[Е - т{\ - OAi]um+* = {[Е + тЩ -[Е- r(l - OAi]Q}um + rqm.
F.32)
Упражнение 6.2. Показать, что выбор оператора Q в виде
Q = Е + г?Л2 F.33)
приводит к схеме расщепления системы F.21)
[Е - тA - OA2]«m+1 = um+i + [Е + т?А2]ит, F.34)
[Е - тA - ?)Ai]um + i = тАщ™ + rqm. F.35)
Упражнение 6.3. Показать, что выбор оператора Q в виде
Q = E-r(l-QA2 F.36)
приводит к схеме расщепления системы F.21)
[Е - гA - ОЛ2]«т+1 = «т+* + [Е- гA - ОЛг]«т, F.37)
* +rgm F.38)
и если в этом случае граничные условия типа F.2) не будут
зависеть от времени, то для ит+ * получаются граничные условия

Глава 5
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. ПРОСТАЯ ИТЕРАЦИЯ
Рассмотрим алгебраическую систему уравнений с двумя не-
неизвестными
r--J-- = l, A1)
¦\-е)Х2 = 1,
где е ф 0 — достаточно малое число. Точное решение этой
системы имеет вид
XI = 1, х2 = 0. A.2)
Пусть теперь 6 — так называемый машинный нуль. В зависимости
от длины ячейки памяти ЭВМ это число колеблется в пределах
10~8 -г 10~12. Если решать систему A.1) классическим способом
на ЭВМ, то получим
^3 ,л „ч
где 61,62,63 — ошибки округления числа в ячейке памяти ЭВМ.
Из A.3) видно, что результат существенно зависит от соотношения
чисел 6i, 62, 63 и е. Так, например, если числа 6\, 6з и е одного
порядка, то значение х^, вычисленное на ЭВМ по формуле A.3),
может принимать практически любое значение.
Важно отметить, что ситуация, разобранная на простом при-
примере A.1), возникает часто при решении большого числа уравне-
уравнений, ибо на практике чем больше уравнений содержит алгебраи-
алгебраическая система, тем ближе значения определителя этой системы
к машинному нулю. Таким образом, решать алгебраическую
204

Таблица 1.1
0
Отрицательно
0,7
0,65
0,6
0,5
0,1
Число итераций
расходимость
расходимость
275
133
53
200
систему большого числа уравнений по правилам Крамера прин-
принципиально невозможно.
Рассмотрим систему уравнений
ау«,--Л=0, itj = 1,2,..., N. A.4)
Запишем эту систему в виде
Щ = Fц + рац)ч - pft, A.5)
где /? — некоторое число. Образуем итерационный процесс
ujm+1) = («у+/?а,,)«<га>-/?/,, т = 0,1,.... A.6)
Но соотношения A.6) могут быть записаны в виде разностного
_ (m)
^ Л<™>/ A.7)
уравнения
т.е. уравнения теплопроводности D.15) гл. 4, где /? играет роль
не времени, а некоторого параметра, который называется итера-
итерационным параметром.
Подобие итерационной схемы A.7) явной схеме при решении
уравнения теплопроводности наводит на мысль, что сходимость
итерационного процесса будет иметь место не при всяком зна-
значении /?. В самом деле, рассмотрим итерационную схему для
решения системы A.1)
„("»+!) _ „("»)
= ж -,
A.8)
Положим для простоты е = 1//? и в качестве нулевого приближения
выберем
4°) = 0,9, 40) = 0- - A-9)
Для девяти верных знаков необходимое число операций в зависи-
зависимости от итерационного параметра /? дано в табл. 1.1.
205

Запишем систему A.4) в виде
лз = 7, (МО)
а итерационную схему A.6), которая носит название схемы прос-
простой итерации, — в виде
Очевидно, что если процесс A.11) сходится, то он сходится к
решению и* системы A.10). Введем понятие вектора ошибки v:
Тогда для вектора ошибки A.11) следует
?(m+l) _ ?(m) + pjtfm) = (? + рА)&т\ A.13)
Полагая в A-13) m = 0,1,..., получим
&V = (Е &°\
Пусть оператор А (т.е. невырожденная квадратная матрица)
имеет собственные векторы ф^ и собственные значения А(?),
q = 0,1,.. .,N:
g = O,l,...,JV. A.15)
Разложим вектор г;^0) по векторам <p(qy
N
q=0
Тогда из A.14) следует
206

По теореме Пифагора
Поэтому из A.17) имеем
1=0
N
q=0
I1/2
A.18)
max |1-
, A.19)
где А', А" — наименьшее и наибольшее собственные значения.
Отсюда следует, что наибольшей эффективности от простой ите-
итерации следует ожидать при
min max /(А), /(А) = |1 - /ЗХ\.
A.20)
Очевидно, что функция /(А)
должна быть меньше единицы.
Поэтому /?А должно быть поло-
положительным. Далее мы будем
считать, что все собственные
значения матрицы А положитель-
положительны. Тогда положительным дол-
должен быть и итерационный пара-
параметр /?. Если же все А отри-
отрицательны, тогда E < 0. Задача рис Зо
A.20) является простейшей ми-
минимаксной задачей. Для ее решения рассмотрим все возможные
случаи расположения чисел А' и А" (рис. 30):
1 - /?А' ^ 0, 1 - /?А" ^ 0,
1 - /?А' ^ 0, 1 - /?А" ^ 0,
1 - /ЗУ Z 0, 1 - /?А" ^ 0,
1 - /?А' ^ 0, 1 - /ЗХ" ^ 0.
Очевидно, что случай A24) невозможен. Пусть
Q = max/(A).
A.21)
A.22)
A.23)
A.24)
A.25)
Требуется, чтобы во всех случаях Q < 1. Рассмотрим случай
A.21). Очевидно, что 1— /ЗУ ^ 1—/ЗХ" и Q < 1 при всех допустимых
207

/?. Величина Q достигает своего минимального значения при
/? = 1/А", а все допустимые /? для этого случая удовлетворяют
неравенству /? ^ 1/А".
В случае A.22) |1 - /?А"| ^ |1 - /?А'| и Q < 1 при А < 2//3, т.е.
при /? < 2/А". Величина Q достигает минимального значения
при /? = 1/А'.
Наконец, в случае A.23) |1 - /?А'| ^ |1 - /?А"| при ? ^ ^±^, т.е.
при /? ^ ^т^дтт = /?*, и |1 - /?А"| > |1 - /?А'| при /? ^ /?». Допустимые
значения /? будут определяться из условия Q < 1, которое при
/? = /?* выполнено всегда, а при /?>/?» — только для /? < 2/А".
Подытоживая все сказанное, получим.
|1 - /?А'| > |1 - /?А"| при 0 < /? ^ /?» = — -, A-26)
|1 - /?А"| > |1 - /?А'| при /?» ^ /? < ^j-r A.27)
Из рис. 30 видно, что при этом Q принимает минимальное значение
для /? = /?,:
д// д/ п\/
Тогда из A.19) имеем
||?Ы|| ^ ||^°)||Qm. A.29)
Упражнение 1.1. Показать из A.29), что для достижения
ошибки 6:
||?(т)|| ^ <5||?@)| A.30)
требуется не менее m итераций, где
m=^-lnl/5. ¦ A.31)
Заметим, что полученная оценка малопригодна в практических
случаях, ибо заранее неизвестно и*. Однако из A.11) следует, что
т) - uim-1)). A.32)
208

Поэтому
||3(m + l) _ g(m)|| ^ g||3(m) _ 3(
Отсюда имеем
A34)
||3(m + l) _ 3(m)|| ^ Qm||3(l) _ й(
Из тождества
+ • • • + З(т+2) - «(m+1> + u(m+1> - «(т) A.35)
получим
(L36)
Следовательно, устремляя р —* оо, получим оценку
||5*_2(".)|U_!l_||3(i)-3@)||. A.37)
Однако величина Q « 1 - ^-, как правило, заранее неизвестна.
Поэтому практически о точности приближения судят по величине
||«(m+1) — «(m)|| или по величине невязки
Д )^ ^ щ
A-39)
Впрочем, из того что мало изменяется величина ||«(m+1)—u(m)|| или
невязка ||j?(m)||, вовсе не следует, вообще говоря, что получено
достаточно точное решение.
В самом деле, рассмотрим для примера решение скалярного
уравнения
/(*) = 0 A.40)
методом простой итерации
/?/(*»), п = 0,1,.... A.41)
209

Таблица 1.2
6
п
0,1
34
0,05
184
0,025
786
0,020
1237
0,015
2213
0,010
4998
Таблица 1.3
S
п
0,1
22
0,05
95
0,025
396
0,020
621
0,015
1100
0,010
2300
Положим, например, f(x) = х3 и в качестве нулевого приближения
выберем а;@) = 0,9. Точное решение х* = 0. Пусть требуется
найти решение с точностью 6. Тогда при итерационном параметре
Р = 1 необходимое число итераций п для достижения заданной
точности 6 представлено в табл. 1.2.
При тех же условиях для итерационного параметра р = 2
справедливы результаты, представленные в табл. 1.3.
Из приведенного примера видно, что маленькие значения ве-
величин ||ar(m+1) — ar(m)|| и ||Я(т)|| при больших т свидетельствуют
лишь о медленной сходимости.
Если же параметр р переменный:
- * Рп\х ) , п — и, 1,... , \^л*)
где
1
"п~3(аг(")J' A'43)
то при тех же условиях, что и в предыдущем случае, точность
0,01 достигается после 12 приближений, а затем на каждый по-
порядок точности затрачивается 5 приближений. Например, для
достижения 6 = 10~5 требуется 28 приближений.
Этот пример наводит на мысль изменять некоторым специаль-
специальным образом итерационный параметр на каждом шаге итерации.
Рассмотрим снова линейную систему A10) и итерационную
схему (Ричардсона)
Назовем матрицей перехода матрицу Sm, с помощью которой
осуществляется переход от вектора ошибки на m-м шаге итерации
к вектору ошибки на т + 1 шаге:
210

Разлагая, как и прежде, вектор р(°) в виде A.16), получим
N т
п=1
Задавшись теперь некоторым числом итераций m (которое можно
рассчитать в зависимости от требуемой точности 6), естественно
определить последовательность итерационных параметров j3n,n —
0,l,...,m, решением задачи
min max
A.47)
Это приводит к полиному Чебышева, для которого известно, что
он «наименее уклоняется от нуля», т.е. обращает в минимум
выражение тахл'^л^А" |-Рт(^)|, где Рт(Х) — полином порядка т.
Тогда выражения для /?п имеют вид
A.48)
Однако на практике оказалось, что величины итерационных пара-
параметров, подсчитанные по формуле A.48), не приводят к успеху и
даже часто наблюдается расходимость итерационного процесса.
Объяснение этому явлению, а также описание алгоритма, сог-
согласно которому последовательность /?„ выбирается специальным
образом, даны в [125].
Используя результаты, полученные для решения системы A.10),
с помощью итерационной схемы A.11) можно сформулировать те-
теорему, которую в дальнейшем будем называть «основной тео-
теоремой».
Основная теорема. Пусть задана система линейных уравне-
уравнений A.10) и пусть А', А" — соответственно наименьшее и наиболь-
наибольшее собственные значения матрицы А. Тогда процесс простой
итерации A.11) сходится со скоростью геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем
Q = max(|l-/?A'|,|1-/?A"|), A.49)
если
0 < 0 < jp. A.50)
211

При этом минимальное значение Q — у'+х1 Достигается при
/? = х„2+х, ¦ Очень часто мы будем иметь дело с одномерным раз-
разностным оператором Лапласа и связанной с ним краевой задачей
гг = /"» «= 1,2,...,7V- 1, A-51)
7i, uN = х2илг-1+72- A-52)
Задача на отыскание собственных значений этой краевой задачи
сводится к отысканию чисел А = А„ (п = 1,2,..., N — 1) из системы
l,...,N-l, A.53)
. A-54)
Упражнение 1.2. Показать, что искомые собственные значе-
значения А определяются из системы A.51)
A = ^sin2|, A.55)
где <рп (п = 1,..., N — 1) определяются из решения уравнения
sin JV>--(>*•! +x2)sinGV- l)f + x1*f2sin(Ar - 2)y? = 0. A.56)
Упражнение 1.З. Показать, что для задачи Дирихле, т.е.
когда в A.52) ус\ = х2 = 0, собственные значения имеют вид
A.57)
Упражнение 1.4. Показать, что для задачи Неймана, т.е.
когда в A.52) ус\ — х2 = 1, собственные значения имеют вид
А" = ^8Ь2ЛГГ1 (» = l,2)...,iV-2), Ayv-i = l. A.59)
Упражнение 1.5. Показать, что в случае задачи Дирихле
для уравнения Пуассона в квадрате со стороной / минимальные и
максимальные собственные значения имеют вид
8— о_2 о_2
А- = _ sin2 — я
8 8JV2
212

Используя результаты упражнения 1.4, можно подсчитать чис-
число итераций, необходимых для достижения заданной точности
6. Положим, например, N = 100. Пусть требуется уменьшить
невязку в 105 раз. Тогда
\" 1 8/V2/2 1
ll233104 (L61>
На ЭВМ типа БЭСМ-4, делающей 105 операций в секунду, одна
итерация (пересчет 104 значений в узлах сетки) занимает и 0,5 с.
Поэтому согласно A.61) весь расчет займет более трех часов
машинного времени. Правда, в действительности необходимое
число итераций для достижения указанной точности будет не-
несколько меньше.
Заметим, что в действительности мы не можем получить точ-
точного решения разностной задачи, например задачи A.51), A.52).
В лучшем случае мы получим «машинное» решение, которое от-
отличается от точного из-за округления чисел в ячейках памяти
машины. Обозначим й„ и /„ соответствующие разностные функ-
функции с учетом ошибки округления:
йп = ипA + 6), /„=/„A + 6). A.62)
Подсчитаем ошибку аппроксимации разностного уравнения A.51)
с учетом ошибки округления 6:
¦ о(?) + од.
A.63)
Следовательно, неразумно слишком уменьшать величину А. Из
A.63) следует, что для данной задачи Л не должно быть меньше,
чем А = ОF11А). В современных ЭВМ величина 6 колеблется в
пределах 10~8 -г-10~12. Пусть q — разрядность ЭВМ, т — поря-
порядок аппроксимации оператора. Тогда величина шага А должна
удовлетворять соотношению
. Л = ОA0~^+5). A.64)
Для качественной характеристики связи между погрешнос-
погрешностями правой части решения вводятся понятия обусловленности
системы и обусловленности матрицы системы. Обозначим 6 век-
вектор ошибки правой части уравнения A.4), a v — вектор ошибки
решения. Тогда
v = u*-u, A.65)
PIMirWll- A-66)
213

Мерой обусловленности системы назовем число
!й*11/ 11/11
fi = max
о
= АтахЩ.
IMI * \ш\
В силу определения числа ц верна оценка для погрешности ре-
решения
Д«Л A.68)
11=11 11/11
Устойчивость системы гарантирована конечностью числа fi, при-
причем чем меньше это число, тем точнее решение.
Вычислим теперь меру обусловленности ц. Из A.68) видно,
что наибольшее значение ||б|| будет принимать в случае равенства,
т.е. при
A.69)
6 \\o\\
Тогда из A.67) иммем
и = тйул!!- (i)
Однако величину ||й*|| мы не знаем. Поэтому вводят величину
v — меру обусловленности матрицы А:
v = maxu. A-71)
11/11
Неравенство A.68) может быть заменено неравенством
tHt^^-S-. (I-72)
IMI 11/11
но
^ini = Pi!JMi = l|j411- (L73)
Тогда для и, принимая во внимание A.71), получаем
v= \\А\\\\А~% A.74)
214

Если мы положим, например, ||й|| = (й, йI/2, где (й, v) — скалярное
произведение в евклидовом пространстве, то
^|| = А". A.75)
С другой стороны
«^1« J i = F (L76)
Поэтому
»-?• A-74
Из соотношения A.61) видно, что
m=|lni Q = l-l A-78)
Следовательно, чем больше мера обусловленности матрицы систе-
системы, тем больше итераций потребуется для достижения заданной
точности.
§ 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ СО СЛОЖНЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ ОБРАЩЕНИЯ
Рассмотрим систему линейных уравнений
Lu = f. B.1)
В предыдущем параграфе были рассмотрены итерационные про-
процессы для решения B.1), в которых для получения т + 1 .при-
.приближения нужно было знать только т-е приближение. Можно
рассмотреть более общий случай. Так как в конечномерном
пространстве всякий оператор, переводящий вектор в вектор, оп-
определяется* матрицей, то мы будем называть матрицы типа L
также операторами. Рассмотрим операторы Ат, А^\ А^™~1>,
..., А)®/, Вт, где нижний индекс означает номер итерации, а
верхний — номер оператора. Тогда многослойная итерационная
схема может быть записана так [23]:
°) + Bj. B.2)
215

Для того, чтобы соотношение B.2) удовлетворялось для решения
и* уравнения B.1), необходимо, чтобы существовала связь между
операторами:
4т = 4nm) + Amn~1) + --- + 4n0) + BmL. B.3)
Упражнение 2.1. Показать, что для двуслойной схемы из
B.2) имеем
Amu^+V=Amu^-Bm[LuW-f]. ¦ B.4)
Рассмотрим частный случай итерационной схемы B.4), когда
оператор Вт имеет вид
Вт = 0тЕ, B.5)
где /?т — итерационные параметры. Из B.4) видно, что для пере-
перехода от m-го приближения к т + 1-му нужно обратить опрератор
Ат, который называется оператором обращения. Обозначим Л^,1
оператор, обратный к Ат. Введем обозначение
Qm = АтЧ B.6)
и назовем оператор
Sm = E-0mCm B.7)
оператором перехода. Тогда итерационная схема B.4) приоб-
приобретает вид
2(m+i) = a(m) _ /?т[стй(т) - Л/] = 5тЗ(т) + 0тА-т1]. B.8)
Вводя вектор ошибки по формуле A.12), получим из B.8)
S(m+i) = smv^m\ B.9)
Оператор Тт, обладающий свойством
#-) = Тт#°\ B.10)
называется разрешающим оператором. Из B.9) видно, что
Tm = Sm.1...S0. B.11)
216

Упражнение 2.2. Показать, что для случая, когда оператор
обращения и итерационные параметры не зависят от шага итера-
итерации, оператор перехода и разрешающий оператор имеют вид
Sm = S=E-0C, Q = A~lL, B.12)
Tm=(S)m. Ш B.13)
Будем обозначать скалярное произведение двух векторов и, v в
евклидовом пространстве (u,v), а длину вектора и
Все операторы, с которыми мы будем иметь дело, считаем поло-
положительно определенными и самосопряженными. Условие
(Аи,и) ^ fi\\u\\2 B.15)
сокращенно запишем в виде
А ^ цЕ. B.16)
Будем говорить, что линейный оператор L эквивалентен по спек-
спектру оператору Л, и записывать L ~ А [23], если существуют такие
числа Цо и hi, О < Но ^ Мъ что
ItoA^L^vnA. B.17)
Тогда основную теорему, доказанную в предыдущем параграфе,
можно сформулировать так. Пусть задан итерационный процесс
m) - /] B.18)
для решения уравнения B.1). И пусть известно, что
Х'Е^С ^ \"Е, С = А~Ч. B.19)
Так как норма оператора определяется выражением
||5||= sup 1E2,2I, B.20)
1|2||=1
то, учитывая B.12),
(Su,u) = \\u\\2-0(CU,u). B.21)
217

Из B.19) для оператора перехода имеем
1-/SA"<ES,S)<1-/?A'. B.22)
Следовательно,
l-/9A'|,|l-/9A"|)> B.23)
откуда и следуют результаты основной теоремы.
Оператор обращения А выбирают обычно так, чтобы он легко
обращался и число итераций для достижения заданной точности
было как можно меньше. При построении оператора обращения А.
стараются выбрать его в каком-то смысле близким к оператору
L системы B.1).
Разберем частный случай. Пусть, например, оператор L ~ А,
т.е. существуют две положительные константы у! и fi", такие, что
fi'A <J L <J fi"A. B.24)
Пусть, кроме того, оператор L может быть представлен в виде
суммы одномерных операторов Дх и R2 [107]:
L = & + R2- B-25)
Предположим далее, что операторы Rx и R2 обладают следую-
следующими свойствами:
г'аЕ^Яа^г?Е, 0<rU^, ос =1,2, B.26)
R^Ri = R2RV B.27)
Тогда оператор обращения А можно выбрать в факторизован-
ном виде:
4 = 4,4^ 4a = E + f3aRa, a =1,2, B.28)
где /3i, /?2 — некоторые итерационные параметры.
Упражнение 2.3. Показать, что для итерационной схемы
B.18), где оператор обращения имеет вид B.28), оператор перехо-
перехода S = Е—/ЗС, С = j4-1L, можно представить следующим образом:
B.29)
если
/9 = /?i + /?j. ¦ B.30)
218

Итак, из B.29) следует, что
5(m+l) _ S1S2V^m). B.31)
Поэтому можно применить метод переменных направлений:
B.32)
Упражнение 2.4. Показать, что уравнения B.-32) могут быть
записаны в виде
Д2»(т) = о,
B.33)
4l "g + Д1^т+^ = 0.
Упражнение 2.5. Показать, что из B.26) и B.28) следует
^ +/За) Да ^ 4а ^ Да (^ +/?а) , «=1,2, B.34)
ИЛИ
Согласно основной теореме для каждой из систем B.33) получим
наилучший выбор итерационных параметров:
r, 2 г„ - = /3i+/?2, «=1,2, B.36)
C + ?
т.е. систему двух уравнений относительно /?i и /?2-
Упражнение 2.6. Показать, что для случая
ft = 02 = 0о B-37)
система B.36) имеет решение
V'l'l V'2'2
Из B.38) следует, что случай B.37) возможен только при выпол-
выполнении условия
г[г'{ = г2г2'. B.39)
219

Более того, если применить к схеме B.18) основную теорему, то
считая ц' и ц" в B.24) известными, получим, что условие B.37
будет выполняться, если
^' + ц"J=г[г'{ = г2г2'. B.40;
Если не делать предположения B.37), то систему B.36) можнс
решить следующим образом [107]. Совершим преобразование
r[ = r[+a, f4 = r'l + a, г'2 = г'2-а, ?'2' = г2'-а B.41)
с тем, чтобы выполнялось- B.39) для pj, и fj, т.е.
¦)• B-42)
Отсюда
а ~ г' + г" + г> + г" ¦ B-43^
Тогда, считая, что преобразование B.41) выполнено так, чтобы
L = Rx + R2 = Ri + R2, получим
J?i = J?i + aE, R2 = R2- aE. B.44)
Поэтому из B.29) следует
с _ с> _ с с
f аЕ)}; B.45)
Отсюда
где 0о определяется по формуле
Х Д B.47)
VII V 2 '2
а величина а — по формуле B.43).
Следовательно, имеет место сходимость итерационного про-
процесса B.18) со скоростью геометрической прогрессии со знаме-
знаменателем Q, причем
Qi^WStW, 02 = ||52||. B.48)
220

По основной теореме
где А'а и А" определяются из B.35) для преобразованных величин:
здесь
/?„ = #, = -7i=. B.51)
Поэтому, обозначив меру обусловленности матрицы Са = Я~ Лв
через i/a = -Jf- (a = 1,2), получим
откуда
(у^Г-1)(^-1)
l)' ( }
Упражнение 2.7. Показать, что из неравенств B.24) и основ-
основной теоремы следует, что если известны величины Q и 0, то
/¦=1 + 2, ,,.izS. . B.54)
Рассмотрим теперь более общий случай для системы B.1) и
итерационной схемы B.18), а именно будем считать, что оператор
L не представим в виде B.25), но существует некоторый оператор
R, R ~ L, такой, что
R = RX+R2, B.55)
т.е.
fi[R ^L^ fi'iR, 0 < /4 < //'/. B.56)
Предположим, что
ц'2А ^ R ^ ц'2'А, 0 < /4 ? /ijf- B-57)
Тогда, очевидно,
А'Л ^ i ^ А"Л, B.58)
221

где
А'=/4/4 А" = ^У2'. B.59)
При этом считаем, что числа \х'х и /// известны. Тогда из рас-
рассмотрения предыдущего случая становятся известными величины
/? = /?i + /?2 и Q. По формулам B.54) определяем р!2 и //2', а по
формулам B.59) — А' и А". Тогда по основной теореме итера-
итерационный процесс B.18) сходится со скоростью геометрической
\//_\t
прогрессии со знаменателем Q\ = у1+у > причем в B.18) следует
положить /? = /?!= х,+х,,.
Рассмотрим теперь так называемый двухступенчатый метод,
предложенный Е.Г. Дьяконовым [23]. Для решения системы B.1)
составим итерационную схему B.4). Основным вопросом является
выбор оператора обращения Ат. Он должен быть выбран так,
чтобы уравнение
Amw = д, B.60)
где
Й = й(+1)) g = Amu^-Bm[Lu^-f], B.61)
было разрешено наименее трудоемким способом.
Рассмотрим оператор D, который может быть получен из L
выбрасыванием членов, соответствующих производным младшего
порядка, смешанным производным, и изменением коэффициентов
в некоторых слагаемых. Пусть для решения уравнения
Dw = g B.62)
существует хороший в некотором смысле итерационный процесс,
приводящий после М итераций к соотношению
У{Щ = ГмУ@), B.63)
где у(м^ = и/м) — w* — вектор ошибки, Тм — линейный раз-
разрешающий оператор, причем существует оператор (Е — Тм)~1.
Введем оператор
G = D{E-TM)-\ B.64)
Тогда решение уравнения
Gz = g B.65)
222

совпадает с М-й итерацией в методе B.63) для решения B.62) с
нулевым начальным приближением. В самом деле,
- w =
- ffi) = -T:Iw, B.66)
или
™ = (E-TM)-lw(m\ B.67)
Подставляя это выражение в B.62), получим совпадение w и z. В
качестве оператора обращения Ат выбираем оператор D.
Итак, итерационный процесс B.4) можно реализовать следую-
следующим образом. По известному й(т) вычисляем
g = Du^-Bm[Lu^-f]. B.68)
Для решения уравнения B.62) применяется метод, основанный на
схеме B.63), с начальным приближением, совпадающим с й(т'.
Тогда
uW _ ffi = Тм(«(т) - w). B.69)
Отсюда
a> = {E-TM)-\wW-TMtiW). B.70)
Подставим это выражение в B.62). Тогда получим
TM)-\w(^-TMu^)=g, B.71)
или
B.72)
Сравнивая B.72) и B.4), видим, что
Следовательно, итерационный процесс B.4) для нахождения «(m+1)
использует итерации по внутреннему итерационному процессу,
т.е. является двухступенчатым итерационным процессом.
Часто двухступенчатый метод оказывается существенно эф-
эффективнее других итерационных методов [23].
223

§ 3. РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Рассмотрим первую краевую задачу теории упругости для
изотропной среды
(А + /i)graddivu + цАй + X = 0, C.1)
i2|S = 2°. C.2)
Запишем разностную схему для задачи C.1), C.2). Лля этого
нужно ввести разностные производные по трем переменным. Что-
Чтобы упростить выкладки, мы будем рассматривать плоскую задачу
теории упругости. Нетрудно составить аналогичную разностную
схему для трехмерной задачи теории упругости.
Вводим разностные операторы на симметричном шаблоне. Лля
этого вторые производные по одной переменной будем обозначать
Каа=дад~ (а =1,2), C.3)
т.е. берется один раз левая и один раз правая производные.
Лля смешанных производных рассмотрим линейную комбинацию
разностных производных:
A.aP = \(dadfi + d-dp+d-dp + dadj), <*#/?, a,/?=i,2. C.4)
Тогда задачу теории упругости в разностном виде можно записать
следующим образом:
Ьци* + Х* = 0, C.5)
в граничных точках
«?=«?. C.6)
Здесь
Lij = (A +n)\ij +n6ijkkk, i,j,k= 1,2, C.7)
«? = {«.»)}. i = l,2, n = 0,l,...,Nlt k = 0,l,...,N2. C.8)
Для простоты мы рассматриваем прямоугольную область с рав-
равномерной сеткой, причем hi — шаг по переменной xi и /»2 — по
переменной Х2-
224

Умножим уравнения C.5) на параметр /3 и обозначим
pU^-Aij+Bij. C.9)
Тогда уравнения C.5) запишутся в виде
Аци) = Вци) + рХ$. C.10)
Из C.7) следует, что диагональные и недиагональные элементы
матрицы Lij можно соответственно представить в виде
l,2).
Если матрицу А^ выберем в виде диагональной факторизованной:
Ааа = [1 - /?(А + 2(л)Ааа}[1 -
Аар = 0,
то для матрицы B;j получим
Ваа = 1 + /?
Поэтому можно рассмотреть итерационную схему, предложенную
А.Н. Коноваловым [38],
^и{т+1)=ВуиИ+№. C.14)
Здесь и далее мы опускаем верхний индекс h у разностного
вектора щ. К схеме C.14) применим метод расщепления, ибо
А^ является факторизованным оператором. Соотношения C.14)
можно записать в виде
2/i)Aaa][l -
{) + ^Xa, C.15)
Им эквивалентны две системы
(«J.loJ
8 Победря Б.Е. 225

которые можно решать методом прогонки. Вопрос о граничных
условиях для операторов, стоящих в левых частях C.16), будет
рассмотрен ниже.
Рассмотрим некоторое обобщение итерационной схемы. Вве-
Введем вектор невязки
r<m)=L0-uJ.m) + *,-, i,j = 1,2, C.17)
и запишем итерационную схему
Atfujm+1) = Aiujm) + ^[I«ujm) + Xj], m = 0,l,..., i,j= 1,2.
C.18)
Оператор A,j можно выбирать различными способами. Если
можно каким-либо способом найти решение уравнения
. (m + l) (mL
AtjWj -г,. , w. _ ^ C19)
(i,i= 1,2) (т = О, I,---)
в виде
w\m+1) = A^r$m), C.20)
то переход от m-го приближения к гп + 1-му будет осуществляться
с помощью итерационной схемы
и|т+1) = и<тЧ/Ыт+1)> C-21)
т.е. с помощью схемы Ричардсона или при одинаковых /?т, равных
/?, с помощью простой итерации.
В качестве оператора Aij можно выбрать, например, факто-
ризованный оператор
Ааа = [1 - 6 (Л + 2/i)Aea][l - 6/iA/j/j],
A = 0 афр{ар=\2) К ' J
где итерационные параметры ?i, ^2, и Р* находятся из соображе-
соображений, приведенных в предыдущем параграфе. Пусть, например,
рассматривается смешанная задача теории упругости, когда при
х\ = 0 и Х\ = 1\ заданы напряжения, а при x-i — 0 и ^2 = h —
перемещения. Тогда
226

где
, „ 4 , 4 . 2 Th2 „ 4 2
Г1 = 0, r1=^, гя = ^пп —, r2=^cos —.
Тогда получаем из C.19) и C.22)
[1 -ЫА + 2/х)Ааа][1 -бА»Лдо]Чт+1) = rim), аф/3(а,р= 1,2),
C.25)
или
где оператор Qjj может быть выбран произвольно, в частности
можно взять Qij = 0. Каждую из схем C.26) можно решать методом
прогонки, рассмотренным в § 3 гл. 4 для разностной системы,
zn+i =а„г„ + 6„г„_1 +cn, n = 1,..., N - 1, C.27)
20 = XI *1 +71, 2N = Х22^_1 + 72- C.28)
Рассмотрим только второе уравнение C.26) при Qij = 0 и обоз-
(m+i)
начим it)» = w; индексы, обозначающие узлы сетки п =
0,1,... ,Na, будем отмечать только для координаты ха (а — 1,2),
la/Na = ha:
№п-6(А + 2,)^-2;2" + ^ = ,(-). C.29)
"a
Введем обозначения
7?1^(Ц2^1) ^^^^ C.30)
па
8* 227

Тогда, сравнивая C.29) и C.27), находим
2_. C.31)
*?1
Граничные условия для w, как упоминалось ранее, нужно опре-
определить из первого уравнения C.26):
Если на границе заданы перемещения, то
(m+1)
™a@,fc)
Однако можно выбрать граничные условия для w по-другому: во
втором уравнении C.26) положить п = 0 и n = JVn, а величины
для законтурных точек с индексами п = — 1 и п = Na + 1 положить
равными нулю. Тогда из C.29) имеем
-r)iw! + rJwo = г(а^=0) C.34)
и, сравнивая с C.28), находим
*=?¦ 7i+?pSU- (з-35)
Аналогично определяются величины при п — Na. Заметим, что
последним способом выбора граничных условий можно пользо-
пользоваться лишь в случае, если г„' определено во всех граничных
точках. В описанном методе построения разностных схем это
не так. К тому же возникает вопрос об устойчивости постро-
построенной разностной схемы. Ниже мы остановимся на построении
разностных схем вариационно-разностным методом, свободным от
указанных недостатков.
Заметим в заключение, что при решении задач теории уп-
упругости можно пользоваться двухступенчатым методом. В этом
случае в качестве вспомогательного оператора можно выбрать
оператор Ац C.22), а в качестве оператора обращения —
Bij = Aik{6kj - Tkj)-1, C.36)
где Т^ — разрешающий оператор для Aij C.22).
228

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОЙ МДТТ
Пусть в некоторой декартовой системе координат определя-
определяющие соотношения, связывающие тензор напряжений <т и тензор
деформаций е, задаются в операторном виде D.1) гл. 1:
<гц=?ц{е). D.1)
Деформации будем считать малыми, так что выполняются соот-
соотношения Коши, связывающие их с вектором перемещения и:
\ D.2)
Пусть заданы уравнения равновесия среды
<Tijj + Xi = О, D.3)
где X — заданные объемные силы, и заданы граничные условия
смешанного типа: на части границы тела Ei заданы перемещения
и0, а на другой части Ег — нагрузки S0:
Щ\^=и1 <rijnj\^=S!. D.4)
Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают глад-
гладкостью, необходимой для проведения используемых преобразова-
преобразований, и изменяются на временном отрезке [0,<i], т.е. О ^ t ^ t\.
Кроме того, будем предполагать наличие «естественного» состо-
состояния, т.е. считать, что в момент, предшествующий t = 0, тензоры
деформаций и напряжений вместе со всеми своими производными
равны нулю.
Если подставим соотношения D.2) в D.1), а результат — в
D.3) и D.4), то получим систему трех уравнений относительно
компонент вектора перемещения
ffijj(v) + Xi=O D.5)
с заданными граничными условиями
u,-|Sl=u?, «Ttj(«)nJ|E2 = S1°. D.6)
Здесь сокращенная запись <Ту-(й) обозначает следующее:
*,¦,¦(«) = ^У (§(«)). еу(«) = -(ии + u;>). D.7)
229

Таким образом, соотношениями D.1)-D.4) или D.5), D.6) дает-
дается постановка квазистатической (статической) задачи МДТТ в
перемещениях (задача «А»). Назовем кинематической системой
произвольное векторное поле v(x,t), а статической системой —
произвольное поле симметричных тензоров второго ранга r(x,t).
Кинематически допустимой системой называется кинематическая
система, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям
D.4). Будем писать
vEU, если Vi\n1 = uf. D-8)
Статически допустимой системой называется система, удовлет-
удовлетворяющая уравнениям равновесия D.3) и статическим граничным
условиям. Будем писать
т е Т, если Tijtj + Х{ = 0, ro-nj|Sa = 5?. D.9)
Разность двух кинематически допустимых систем удовлетворяет
однородным кинематическим граничным условиям
v EUo, если «i|Sl =0, D.10)
а разность двух статически допустимых систем — однородным
уравнениям равновесия и однородным статическим граничным
условиям
т€ То, если Гу,,=0, TyMj-|i:a = 0. D.11)
Назовем обобщенным решением задачи «А» функцию «ЕР,
для которой справедливы соотношения Коши D.2) и определяю-
определяющие уравнения D.1) и которая удовлетворяет тождествам
У г г D12)
Ae(v) = I X{Vi dV + I S( Vi cfc
V E2
для всякой достаточно гладкой функции v e Щ. Другими сло-
словами, обобщенным решением задачи «А» называется функция
и 6 U, удовлетворяющая для всякой гладкой функции v 6 Uq
интегральному тождеству
J&ij(U)eij(v)dV = Ae(v). D.13)
230

Выше было показано, что решение задачи «А» является также
обобщенным ее решением.
Покажем, что если обобщенное решение является достаточно
гладким, то оно является решением задачи «А».
В самом деле, решение задачи «А» должно удовлетворять
условиям D.1)-D.4). По определению обобщенного решения вы-
выполняются соотношения D.1), D.2) и первое из соотношений D.4).
Применяя к тождеству D.12) теорему Остроградского-Гаусса,
получим
j JTij nj - Sf)vt dS = 0. D.14)
В силу произвольности поля v 6 Vo отсюда следуют уравнения
равновесия D.3) и статические граничные условия D.4).
Предположим теперь, что тензор напряжений является потен-
потенциальным:
в) D.15)
,„=/„(?) = .
Если соотношения D.15) достаточно гладкие, то можно пост-
построить функциональные производные типа
<4Л6»
и справедливо тождество G.15) гл. 1.
Рассмотрим теперь некоторый линейный тензор-оператор от
деформаций
Р.;=А;(§), D.17)
такой, что в функциональном пространстве и 6 Vo величина
(u,v)p = JpijWeaWdV D.18)
v
удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения [53], так
что рассматриваемое функциональное пространство П является
гильбертовым. Пусть, кроме того, оператор D.17) таков, что
для произвольного симметричного тензора h выполняются нера-
неравенства
, 0 < то ^ Мо. D.19)
231

Заметим, что если
Fik6ji + 6uejk)?ki = ?ij, D.20)
то первое из неравенств D.19) эквивалентно при т0 = m неравен-
неравенству G.60) гл. 1, причем гильбертовость пространства П в этом
случае следует из неравенств Корна [58].
Если теперь существует единственное обобщенное решение
задачи «А» для случая, когда оператор $ определяющих соотно-
соотношений D.1) является оператором p,j D.17) (задача «Ар»), можно
организовать-метод последовательных приближений
() & - /?(n)K-,;(«(n)) + х{], D.21)
к =Py(S<B>)n,|Ba -/?(")[^(й(п)Ьк -5?],D.22)
начиная с некоторого нулевого приближения й(°) и полагая п =
0,1,2,....
Теорема 4.1. Пусть существует единственное обобщенное
решение задачи «Ар», справедливы условия D.19), объемные и
поверхностные силы принадлежат пространствам Lq(V), причем
Xi€Lt(V),. q>^, 5?е^(Е2), q>±. D.23)
Пусть, кроме того, для нулевого приближения й^0) для произволь-
произвольного симметричного тензора h выполняется условие
< mPij{h)hij. D.24)
Тогда в некоторой окрестности
||Й - Й(°)||р ^ г D.25)
существует обобщенное решение Й* задачи «А», единственное в
этой окрестности, и при любом значении итерационного пара-
параметра 0 G @, jj) к нему сходится начинающийся с й^0) процесс
последовательных приближений D.21), D.22), причем
Цй(п)-Й*||р^д"||й@)-й*||, D.26)
где
l. D.27)
232

Для доказательства рассмотрим тождество
J'&№)*№<& = J'PijWeaWdV-/? И &ц{и)ец{ь)йУ- A'(v)\ .
v v [у J
D.28)
Слева в D.28) стоит скалярное произведение (u,v)p. Правая
часть представляет собой согласно D.19) линейный функционал
от v. Используя теоремы вложения Соболева [100], легко уста-
установить, что для этого необходимо, чтобы выполнялось условие
D.23). Тогда по теореме Рисса этот функционал может быть
представлен в виде скалярного произведения (u',v)p где и' G П.
Следовательно, некоторый оператор Q ставит в соответствие
каждой функции и 6 П функцию и' ? П. Поэтому вопрос нахож-
нахождения обобщенного решения задачи «А» заключается в решении
операторного уравнения
й = QU. D.29)
Для двух векторных полей t<i и й2 и их разности w = щ — щ
имеем из D.28)
(gSi - Qu2,u)p = (w, w)p - P 1{<гц{щ) - *«Ca)]uty dV, D.30)
где
Wij = ?y(ui) - е,у(й2). D.31)
Используя равенство G.63) гл. 1 и условие D.19), получим из D.30)
\(Qui-Qu2,w)p\^q\\w\\2p, D.32)
где q определяется из D.27). При этом при 0 < /? ^ т+м
\l-0m\2\l-PM\,
^ " < ТГ
Поэтому при
233

выполняется условие для q < 1. Введем единичный оператор Е
и оператор F согласно D.28):
Q = E-pF. D.34)
Тогда для функциональной производной оператора F, которую
обозначим F", имеем
HQSj-g^lKsupll^-^'^j+^-Sx^llllSi-^IK^IHI. D.35)
Заметим, что наименьшего значения м+m величина q достигает
при Р = м\т- Заметим также, что на каждом итерационном шаге
можно изменять значения /? так, чтобы /?(n) G @, jj).
Из неравенства D.35) следует, что оператор Q осуществляет
в П сжатые отображения [53]. Далее имеем
(Qu - u(°\v)p = (Qu - QS(°),15)P + (Q«(°) - u(°\v)p. D.36)
Но из тождества D.28) имеем
(°) ^ D.37)
Применяя к D.37) условие D.24) и полагая в D.36) v = и — й(°),
получим
||Q«-«@)|K(g + /?m)r<r, D.38)
т.е. оператор Q, совершая сжатые отображения, не выводит ни
одну точку из окрестности D.25). Поэтому согласно принципу
сжатых отображений [49] существует обобщенное решение задачи
«А». Его единственность следует из соответствующего примене-
применения теоремы, доказанной в § 7. гл. 1.
Из формулы D.35) следует, что процесс последовательных
приближений сходится как геометрическая прогрессия со зна-
знаменателем q. Более практическое значение имеет следствие
формулы D.35):
D.39)
Теорема доказана.
Из сходимости й(") к и* следует также сходимость ф(и^) к
ф(и*) [76].
234

Предположим теперь, что операторные соотношения D.1) од-
однозначно разрешимы относительно деформаций:
ец=9ц(е). D-40)
Условиями интегрируемости системы дифференциальных
уравнений D.2) относительно перемещений являются уравнения
совместности Сен-Венана, обращающие в нуль симметричный
тензор несовместности Т):
Щ = ?ikl?jmn?kn,lm = 0 G7 = Inke = 0). D-41)
Для односвязной области V условия D.41) являются необходи-
необходимыми и достаточными для однозначной разрешимости уравнений
D.2) относительно перемещений, например, в виде, предложенном
Чезаро. Таким образом, если выполняются условия D.41), то
найдется такой вектор и, для которого справедливы соотноше-
соотношения Коши.
Если подставим соотношения D.40) в D.41) и A.19) гл. 1,
то получим систему шести уравнений относительно компонент
тензора напряжений
= 0 D.42)
и граничные условия
««(?)!=,= «i°\ *оп,|?,=^0). D.43)
Таким образом, в D.3), D.40), D.41),.D.43) или D.3), D.42) и D.43)
дается постановка квазистатической (статической) задачи МДТТ
в напряжениях (задача «В»). Очевидно, что постановки задач
«А» и «В» эквивалентны между собой.
Помножим скалярно соотношения D.2) на тензор т G То и
проинтегрируем по объему V. Тогда, используя теорему Остро-
градского-Гаусса и условия G.21) гл. 1, получим
J
dV = AEl(«°), ЛЕ1C°) = У^«?п^,Е. D.44)
Назовем обобщенным решением задачи «В» тензор а € Т, для
которого справедливы соотношения D.40) и который удовлетво-
удовлетворяет тождествам D.44) для всякой достаточно гладкой тензор-
функции т ? То. Другими словами, обобщенным решением задачи
235

«В» называется тензор-функция а € Т, удовлетворяющая для
всякой гладкой тензор-функции т Е То интегральному тождеству
J
D.45)
Выше было показано, что решение задачи «В» является также
обобщенным ее решением. Если обобщенное решение задачи явля-
является достаточно гладким, то оно является решением задачи «В».
В самом деле, решение задачи «В» в односвязной области
должно удовлетворять условиям D.3), D.40), D.41). По определе-
определению обобщенного решения выполняются соотношения D.3), D.40)
и второе из условий D.4). Вводя систему гладких функций ><i(x),
x?F (обобщенные множители Лагранжа), можно записать:
- Iinnj dV - JxiTijj dV = 0. D.46)
V
<ffi
Применяя к D.46) теорему Остроградского-Гаусса, в силу про-
произвольности поля т ? То получим
= ui
D-47)
Для того, чтобы существовало непрерывное поле х, необходи-
необходимо выполнение условий D.41) причем из D.47) следует выполнение
первого из условий D.4).
Предположим теперь, что тензор деформаций является потен-
потенциальным:
^ D-48)
O<Tij
В этом случае можно ввести кастильяниан К по формуле
dV. D.49)
Рассмотрим теперь некоторый линейный тензор-оператор от
напряжений
такой, что в функциональном пространстве сг ? Го величина
itiziujdV D.51)
v
236

удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, так что
рассматриваемое пространство S является гильбертовым. Пусть,
кроме того, оператор D.50) таков, что для произвольного симмет-
симметричного тензора Л выполняются неравенства
no*ij(h)htj < [I^-Лы] htj < tfofy(А)Лц, 0 < по < ЛГ0. D.52)
Заметим, что если
ff«'i» D-53)
то первое из неравенств D.52) эквивалентно при п = по нера-
неравенству G.71) гл. 1. При таком выборе оператора П обозначим
гильбертово пространство S через So.
Бели теперь существует единственное обобщенное решение за-
задачи «В» для случая, когда оператор определяющих соотношений
D.40) является оператором П D.50), то можно организовать метод
последовательных приближений
m))}> D.54)
D-55)
rfr+% = S? D.56)
начиная с некоторого нулевого приближения <т(°) и полагая m =
0,1,....
Теорема 4.2. Пусть существует единственное обобщенное
решение задачи «Вт», справедливы условия D.52), заданные пе-
перемещения удовлетворяют условиям
u?€Lp(E), p>\. D.57)
Пусть, кроме того, для нулевого приближения <г(°) выполняется
условие
@) @) , D.58)
где Л — произвольный симметричный тензор.
Тогда в некоторой окрестности
т<г D.59)
237

существует обобщенное решение а* задачи «В», единственное в
этой окрестности, и при любом значении итерационного пара-
параметра /? G @,^-j к нему сходится начинающийся с а^> процесс
последовательных приближений D.54)-D.5б), причем
D.60)
D.61)
1 -q
где
Доказательство следует из рассмотрения тождества
J *0-(?)т0- dV = J *y (?)tj,- dV-0 J ёц(е)ъ dV - A^ (r, u°
v v [у
D.62)
и применения к нему процедуры, использованной при доказатель-
доказательстве теоремы 4.1.
Итак, процесс последовательных приближений D.54)-D.56)
сходится со скоростью геометрической прогрессии со знамена-
знаменателем q, который принимает наименьшее значение
No~no 2
q = — при р = —-.
No + щ п0 + No
Заметим, что при выполнении условий теоремы 4.2 оператор
Ф(<т(")) сходится к Ф{аг*), а следовательно, кастильяниан К,{а^т^) —
к кастильяниану К,{а*). В самом деле, полагая в G.75) гл. 1
т — q(m\ получим
Ф(?(га)) - *(?*) < Аъх{<т{т) - 7*. 3°) + ^||?(т) - <г%. D.63)
Пользуясь теоремами вложения Соболева [100], получим отсюда
для перемещений и0, удовлетворяющих условиям D.57),
в + ^) ll?(ra) - ell-. D-64)
где В — некоторая константа, зависящая только от области
Поэтому, используя D.60), имеем
238

при m —> оо.
Рассмотрим теперь задачу «Б» МДТТ, которая заключается
н решении шести уравнений
Щ{<т) = Нч{<г) + Qij{S} + (?ц - 6ij)Qkn{S} = О D.66)
(определение тензорам-операторам Й, Q и тензорам S и ? дано в
§ 8 гл. 1) и удовлетворении на ? граничным условиям D.43) и
5i|B = {«ryj+X,-}E = 0. D.67)
Для задачи «Б» можно организовать метод последовательных
приближений, аналогичный процессу для задачи «В». В этом
случае в уравнениях D.54) следует заменить тензор-оператор
17{П(<г)} на М{П(<г)}. (Обозначим уравнение D.54) после такой
замены через D.54I.) Соотношения D.55) должны выполняться
только на границе тела:
(<г{?+1) + Х{)ъ = 0. D.68)
Тогда итерационная схема для задачи «Б» состоит из уравнений
D.54I, D.56), D.68).
§ 5. БЫСТРОСХОДЯШИЙСЯ МЕТОД
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Для того чтобы получить сходимость итерационного процесса
более быструю, чем сходимость геометрической прогрессии, сле-
следует наложить ограничения на вторые функциональные производ-
производные определяющих соотношений D.1). Пусть для произвольного
симметричного тензора h справедливо неравенство
hk,hmn]h{j
, L>0. E.1)
Предположим далее, что пространство ГЦ с введенным скалярным
произведением
C,S)i= / \j^-eki{u)\ekl(y)dV E.2)
v
является гильбертовым для функций и G Vo, определенных в
конечной области V. Тогда справедлива следующая теорема.
239

Теорема 5.1. («быстросходящийся» метод). Пусть оператор
D.17) имеет вид
E.3)
и существует, единственное обобщенное решение соответствующей
задачи «Ар». Пусть выполнены неравенство E.1) и неравенство
ijhij, О < m < Mv E.4)
Пусть, кроме того, а — такое положительное число, что
i(йЮ)ец (№) dV. E.5)
j
v v
Тогда найдется такое число а,
0<а^1, E.6)
что задача «А» имеет единственное обобщенное решение и* в
окрестности
||2@)-S*||i^r0) E.7)
если выполняется неравенство
q ^ а~аС, E.8)
где
q=\^-V~^, C = a(l + o)-^; E.9)
Го — меньший, а Г1 — больший корни уравнения
qrl+a-r + a = 0. E.10)
При 0 = 1 к этому решению сходится начинающийся с й^0) процесс
последовательных приближений D.21), D.22), причем
||йМ - 3*||! ^ gii±^i||uo - u*||(i1+e)n, E.11)
или
||SS*||g E12)
240

Рассмотрим интегральное тождество
E.13)
Слева в этом тождестве стоит скалярное произведение (и, ь)у.
Поэтому, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве
теоремы 4.1 § 4, получим аналогично D.30) при /? = 1, используя
обозначение D.31),
- Qu2, u)i =
Так как тензор-оператор &ij{u} является дважды дифференци-
дифференцируемым,
E.16)
о
где
п = u-i + (uj — u2)?, п = й2 + (п — «2)т7, 0 ^ ?, V ^ 1- E-17)
Поэтому, используя условия E.1), имеем
(Ощ - Qu2, w)i ^ ^L [(wij, Wijf12 dV . E.18)
v
Пусть теперь некоторая функция tp(x,t) определена в области
V, объем которой равен V. Пусть эта функция положительна и
меньше единицы. Тогда
О < <р3/2 < <р < 1. E.19)
241

Проинтегрировав E.19) по области V, имеем
0< f<p3/2dV< [<pdV < V. E.20)
v v
С другой стороны, из неравенства Минковского следует, что
]<**«,> Г™ \]r A E.2!)
V (V )
Из неравенств E.20) и E.21) имеем, таким образом,
\ з/2
if dV \ [ <p3l2 dV Г tpdV
E.22)
V
\v / v п
Следовательно, всегда найдется такое число а @ < а ^ 1), что
f <p3'2dV = V~a'2 I [<pdv\ . E.23)
v \v I
Представляя теперь в E.23) вместо функции <р функцию WijWij,
получим из E.18)
КОЙх - ОЙ2, Й), | < ^LV-af2\\w\\l+a. E.24)
Из неравенств E.4) вытекает
где под ||й||о понимается норма в гильбертовом пространстве со
скалярным произведением D.18), где оператор р имеет вид D.20).
Поэтому
где
Следовательно, оператор Q D.29) является оператором сжатия,
если выполнено условие
g||Si -й2||о < 1- E.28)
242

/1алее, из тождества
(Qu* - 2(°\ u(°>H = {Qu* - gS(°), S(°))o + (Qu@) - Й(о), Й(о))о E.29)
следует неравенство
E.30)
где мы использовали условие E.5). Последнее неравенство E.30)
выполняется, т.е. оператор Q оставляет все точки и внутри сферы
||й(О)-й||о^г, E.31)
если г лежит в интервале го ^ г ^ г\. Следовательно, оператор Q
осуществляет в этой сфере сжатые отображения.
Функция
/(г) = qr1+a -r + a E.32)
имеет минимум в точке
1/ E.33)
Поэтому для того, чтобы уравнение E.10) имело действительные
корни, необходимо, чтобы /(гг) < 0, откуда вытекает неравенство
E.8). При этом будем иметь го < Гг, т.е. для любых «i и «з в
сфере ||Й1 — г«2|| ^ т имеем
E.34)
а значит, справедливо неравенство E.28) и метод последователь-
последовательных приближений сходится.
Для исследования скорости сходимости рассматриваемого
процесса заметим, что если в неравенстве E.26) положить U2 = и*,
a ui = .2A), йB),... ,2(п), то отсюда получается неравенство E.11).
Нал ее,
E.35)
Неравенство E.35) будет выполнено, если
||uW-u*|| ^ г0. E.36)
243

Далее, применяя к тождеству
и -~ и ^^ 1 и ~~ и I т~ (и ~~ и 1 т~... (о.о I )
последовательно неравенство E.26), получим
Из E.8) следует, что
п л /iA+a)n <r" г*1 ^* ^ 1 (ti ча\
так как из E.9) видно, что С < 1. Поэтому ряд в фигурных скобках
сходится и имеет место оценка E.11).
Теорема полностью доказана.
Заметим, что неравенство E.11) можно записать в виде
||?/п^ — и*||о ^ С\8^ ' , E.40)
где величину С\ можно сделать как угодно малой за счет дос-
достаточно удачного выбора нулевого приближения. Тогда при
использовании формулы Стирлинга для больших п из E.40) вы-
вытекает следующее неравенство:
Из E.11) видно, что в E.40) можно положить
Рассмотрим теперь решение задачи «В» быстросходящимся
методом последовательных приближений. Пусть для произволь-
произвольного симметричного тензора h справедливо неравенство
дЧц h h ]
d(Tkid(rmn mn\
/>0. E.43)
Предположим далее, что пространство S\ с введенным скалярным
произведением
~ ~~ J [д<гы J %3
v
244

является гильбертовым для тензор-функций г ? Го, определенных
в конечной области V.
Теорема 5.2. Пусть тензор-оператор П D.50) имеет вид
E.45)
и существует единственное обобщенное решение соответствующей
задачи «В*». Пусть выполнены неравенства E.43) и
¦jj^-hu Ay ^ tfiAj,-A_y, 0 < щ ^ JVi- E.46)
Пусть, кроме того, а — такое положительное число, что
ЗЧ0^ • E-47)
Тогда найдется такое число а, 0 < а ^ 1, что задача «В» имеет
единственное решение а* в окрестности ||<х*-°) — <r*||i ^ Го, если
выполняются неравенства E.8), где величины q и С определяют-
определяются соотношениями E.9), где mi нужно заменить на ni, а го —
наименьший корень уравнения E.10).
При Р = 1 к этому решению сходится начинающийся с <т^°>
процесс последовательных приближений, причем
||?(т) - ?1b ^ Ci«A+eI1\ E-48)
где 6 и С\ определены в E.42).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству те-
теоремы 5.1.
Пусть теперь для решения, например, задачи «А» составлена
разностная схема, и пусть для ее численной реализации состав-
составлена итерационная схема, аналогичная схеме D.21), D.22), где в
качестве оператора ру выбран разностный аналог Р оператора
E.3). Записав задачу «А» в абстрактном виде:
1{и) = /, E.49)
получим итерационную схему
PnS<n+1> = РПЙ<») - [?C<")) - ?], ,1 = 0,1,2,.... E.50)
245

Если введем обозначения
uW> = w, Pn = M, Pnu(")-[Z(u("))-/] = /b E.51)
то задача перехода от n-й итерации к п + 1-й состоит в решении
уравнения
Mw = f1. E.52)
Для решения этого линейного уравнения выбираем итерацион-
итерационную схему
Au(m+i) = л«>(т) + /?m[Mu)(m) - /i], E.53)
где оператор обращения А может быть выбран одним из способов,
рассмотренных в § 2 и 3. В частности, для решения уравнения
E.52) можно применить двухступенчатый метод. Тем самым реше-
решение нелинейного уравнения E.49) будет реализоваться с помощью
трехступенчатого метода.

Глава б
ВАРИАЦИОННЫЕ И
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. ПРОБЛЕМА ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим проблему, которая часто возникает при решении
краевых задач МДТТ. Пусть для линейного оператора L задано
уравнение, справедливое в области V:
LU = F, A.1)
где F — заданная величина. Пусть на границе области V,
которую обозначим ?, заданы граничные условия
IV = /, A.2)
где / — некоторый линейный оператор, а / — заданая на ? вели-
величина. Часто возникает следующая ситуация. Имеется конечный
или бесконечный набор некоторых функций <fi(x), каждая из ко-
которых удовлетворяет уравнению A.1). Чаще всего эти функции,
которые называются координатными функциями, выбираются так,
что одна из них <ро(х) удовлетворяет уравнению A.1):
L<p0 = F, A.3)
а остальные <fi(x), i = 1,2,..., удовлетворяют однородному урав-
уравнению A-1):
L<pi=0, » = 1, 2,... . A.4)
Тогда комбинация
u(x) = <po(x) + ^2ai<pi(x) A.5)
247

будет удовлетворять уравнению A.1), причем коэффициенты а,-
подбираются так, чтобы функция и(х) как можно точнее удовлет-
удовлетворяла граничным условиям A.2). Другими словами, строятся
функции i>j(y), j = 0,1,2,..., у е S:
Ыу) = ho, Му) = hi, * = i,2,.... A.6)
Тогда коэффициенты а,- выбираются так, чтобы для функции
норма, выбранная в некотором линейном нормированном прост-
пространстве Ф:
A=\\f-v(y)\\9, ' A.8)
была наименьшей.
Пусть / ? Н, причем Н является подпространством пространс-
пространства Ф. Пусть каждая из функций xjjj (у), j — О,1, 2,..., принадлежит
пространству Н\, также являющемуся подпространством прост-
пространства Н. Тогда при фиксированных координатных функциях
i>i(y) и фиксированном их числе (г = 1,2,..., N) функция
a*Mv) (L9)
1=1
будет принадлежать конечномерному пространству An, также яв-
являющемуся подпространством пространства Ф. Тогда величина
min ||/ - vN(y)\\9 A.10)
называется уклонением множества Н от пространства А^. На-
Наименьшая из величин E(H,An) по всем ЛГ-мерным подпрост-
подпространствам пространства Ф называется в теории приближения
./V-поперечником [121], а пространство Лдг, для которого этот ми-
минимум достигается, называется экстремальным пространством.
Для некоторых классов функций, т.е. пространств Я, найдены
и Л^-поперечники, и экстремальные пространства. В некоторых
случаях это тригонометрические многочлены или полиномиаль-
полиномиальные сплайны [116].
Итак, основная проблема теории приближения заключается в
том, чтобы найти такие функции <fii(x), i — 1,2, ...,7V, чтобы с
помощью выражений
A.11)
248

достаточно хорошо приблизить любую функцию U(x), принадле-
принадлежащую заданному классу Н.
Рассмотрим так называемый метод коллокаций.. Пусть нам
известно N узлов ж,- (г = 1,2, ...,7V), в которых заданы значения
функции U(x):
Ui = U (Si). A.12)
Требуется приблизить функцию U(x) функциями вида A.11) так,
чтобы значения функции идтE) в узлах совпадали с заданными
значениями A.12). С такой задачей мы уже сталкивались ранее.
Если <pi(x) представляют собой полиномы, то и^(х) представляет
собой интерполяционный полином Лагранжа. Если требуется,
чтобы в узлах не только сама функция идг(ж) принимала задан-
заданные значения A.12), но и ее производные до некоторого порядка
принимали значения производных от функции U(x), то задача ин-
интерполяции решается с помощью полиномов Эрмита [120]. Итак,
пусть известно, что
N
lPii, i=l,...,N, A.13)
где введено обозначение
<рц = <р№). A.14)
Задача метода коллокаций состоит в выражении неизвестных
коэффициентов а,- через заданные значения ?/,- A.12):
N
^, A.15)
т.е. в нахождении коэффициентов c,j. Предположим, что
det|p(i| ^0. A.16)
Тогда матрица Cij является обратной к матрице ipij, и поэтому
uN(x) = ^2aiVi(x) = J2Y,C4UJ<*W = Е bi@)Uj>
где
Х;М2). j = l,...,N. A.18)
249

В технической литературе часто пользуются обозначениями
Зенкевича [26]. Одностолбцовую матрицу обозначают с помощью
фигурных скобок:
\
a2
\aN/
A.19)
Матрицу, состоящую из одной строки, обозначают с помощью
индекса «71» (транспонированная матрица):
{a} =(a1,a2,.-.,aN).
A.20)
Матрицу, имеющую более одной строки и более одного столбца (но
не обязательно квадратную), обозначают с помощью квадратных
скобок:
<Ри <Pi2 ¦¦¦ 'Pin
[И =
A.21)
<Pnn ¦
С помощью таких обозначений формулу A.13) можно записать
в виде
{?/} = МТ{а},
а формулуA.15) — в виде
{a}=[c]{U}.
Тогда
И =
Тогда A17) имеет вид
A.22)
A.23)
A.24)
A.25)
{b{x)} = [c]T{tp(x)}. A.26)
Пусть теперь по какой-то причине число координатных функ-
функций (pi(x) меньше или больше числа узлов N. Будем считать, что
индексы,обозначаемые большими буквами, пробегают значения
I = 1,2,..., iV, где ./V — число узлов, а индексы, обозначаемые
малыми латинскими буквами, пробегают значения г = 1,2, ...,п,
где
250

где п — число координатных функций, причем п ф N. Пусть нам
заданы узловые значения функции U(x):
Ui = U(xi), I=1,2,...,N. A.27)
Ищем аппроксимацию функции U{x) в виде
N
am(x). A.28)
Для нахождения коэффициентов а,- воспользуемся методом наи-
наименьших квадратов, который заключается в следующем. Стро-
Строится выражение
A.29)
которое согласно A.28) можно рассматривать как функцию п
неизвестных а,-:
N Г "
Ищем минимум этой функции. Для этого приравняем нулю ее
производные
iai(pij-Uj\<pjJ = O. A.31)
Обозначим
N N
J=l J=l
Тогда имеем линейную систему алгебраических уравнений
п
A33)
Если определитель этой системы отличен от нуля (det||rfjj || ф 0), то
она имеет единственное решение, которое можно записать в виде
п п N N
Uj 2_^<pjjUj = 2__,4ijUj, (l.34)
251

где
n
qu ^Y^Cijipjj. A.35)
Следовательно,
un(x) = ^2bj(x)Uj, A.36)
j=i
где
n
]TuW(S). A.37)
Упражнение 1.1. Записать формулы метода наименьших квад-
квадратов в обозначениях Зенкевича.
Упражнение 1.2. Доказать, что при п = N алгебраическая
система A.33) метода наименьших квадратов совпадает с системой
метода коллокаций. ¦
В плоской задаче теории упругости, решаемой методом теории
функций комплексной переменной, проблема состоит в отыскании
двух голоморфных функций f(z) и \{z) [62], комбинация которых
принимает заданное значение на границе области (контуре Г).
Если рассматривается первая краевая задача, т.е. на границе
заданы компоненты вектора перемещения и и v, то эта комбинация
имеет вид
xf{z) - zf'(z) - \(z) = 'Щи + iv), A.38)
где х = 3 — 4f при плоской деформации и к = j=^ при плоском
напряженном состоянии. Здесь // — модуль сдвига. Если же ре-
решается вторая краевая задача, т.е. на границе заданы компоненты
вектора усилий 5° и 5°, то граничные условия принимают вид
f(z) + гЩ+xiz) = J(S°X + iSfrdy. A.39)
Упражнение 1.3. Применить метод коллокаций и метод на-
наименьших квадратов для решения плоской задачи теории упру-
упругости, полагая
A-40)
252

§ 2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ
ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
Пусть требуется решить квазистатическую задачу МДТТ,
которая заключается в решении трех уравнений относительно
вектора перемещения и:
оу,,-(Й) + Х,- = 0 B.1)
при выполнении граничных условий
«.•|Sl=«,V «roB)n;b = S°. B.2)
Как следует из результатов § 7 гл. 1, если оператор связи между
напряжениями и деформациями является потенциальным, то за-
задача B.1), B.2) эквивалентна задаче о нахождении стационарной
точки лагранжиана
? = <р-А('Ци). B.3)
Для приближенного решения задачи B.1), B.2) воспользуемся
методом Ритца. Для этого ее решение будем искать в виде
N
У")?(»)E), B.4)
где координатная вектор-функция fr >(х)) удовлетворяет кинема-
кинематическим граничным условиям B.2), а координатные функции
ф(п\х), п = I,..., N, — однородным кинематическим граничным
условиям, ip@) G U, ф(") G Uo (с.231), т.е.
0,(°)|Si = и0, ^"^|е, = 0. B.5)
Диагональные матрицы а(") являются постоянными. Их требует-
требуется определить из условия стационарности лагранжиана B.3). Для
этого образуем согласно соотношениям Коши тензор деформации
1 0 0 if („) („) („) („)
(а,/? =1,2,3).
.Затем подставляем полученные выражения в определяющие со-
соотношения
_ -Г" f c \ /О 7\
<?ii - J-ij{eaf)} B.7)
253

и образуем потенциальную энергию
tnjCij dV , B.8)
которая будет зависеть от неизвестных коэффициентов а^п\ Для
их определения получаем систему уравнений
^ - ' Xa<pWdV+ I Slv^dY, B.9)
да° I i
(a = 1,2,3), n=l,2,...,N.
Если рассматривается линейная упругая среда, то система B.9)
является линейной алгебраической. После решения каким-либо
образом системы B.9) приближенное решение задачи B.1), B.2)
записывается в виде B.4). Метод Ритца достаточно математичес-
математически обоснован [60], причем для его сходимости необходимо число
N в B.4) устремить к бесконечности. Однако на практике, ока-
оказывается, не всегда получается тем лучший результат, чем взято
большее число кооординатных функций. Оказывается, что при
некотором достаточно большом N система Ритца B.9) становит-
становится плохо обусловленной [60]. Поэтому важно в зависимости от
применяемой ЭВМ и от желаемой точности решения исследовать
вопрос о числе координатных функций.
Если решается задача МЛ'Г'Г и напряжениях, то необходимо
удовлетворить шести уравнениям совместности, записанным в
напряжениях,
и трем уравнениям равновесия
*ijj+Xi=0 B.11)
(которые могут быть удовлетворены только на границе тела S).
Кроме того, должны выполняться граничные условия, например,
типа B.2):
«.¦(?)ls, = «°, ffo-"ilsa=5P. B.12)
Задача B.10)—B.12) эквивалентна задаче о стационарной точке
кастильяниана
K = -& + AiSi(u°), B.13)
если оператор связи между деформациями и напряжениями яв-
является потенциальным.
254

Лля приближенного решения задачи B.10)—B.12) можно вос-
воспользоваться методом, предложенным М.М. Филоненко-Бороди-
чем, который заключается в следующем. Решение ищется в виде
N
А(п)т(п)(х), B,14)
где координатная тензор-функция т° (так называемый «основной»
тензор) удовлетворяет уравнениям равновесия B.11) и статичес-
статическим граничным условиям, а координатные тензор-функции А"'
(так называемые «корректирующие» тензоры}, п = 1,..., N, удов-
удовлетворяют уравнениям равновесия и однородным статическим
граничным условиям
*$+* = 0, rJ>Bi|r, = S?;
ffl 0 #4l0
т.е. г(°) е Т, г(") е Го (с. 230), п = 1,2,-.., JV. Величины Л(п)
представляют собой диагональные матрицы б х 6 и подлежат
определению из условия стационарности кастильяниана B.13).
Находя деформации из определяющих соотношений
?ij=6ij{<ra0} B.16)
и образуя потенциальную энергию
iaiidV, B.17)
которая будет зависеть от неизвестных коэффициентов А>п', по-
получим систему уравнений
fi^odE a,/? =1,2,3, n=l,2,...,N. B.18)
Если рассматривается линейная упругая среда, то система B.18)
является линейной алгебраической. После ее решения напряжен-
напряженное состояние в теле определяется по формулам B.14).
Упражнение 2.1. Рассматривается плоская задача теории уп-
упругости о прямоугольнике, на границе х — ±а заданы напряжения
= Ро (l - !) , <г12 = 0, B.19)
255

а на границе у = ±6 — напряжения
0-22 = 0, о-12 = 0. ¦ B.20)
Решить приближенно эту задачу, используя представление фун-
функции напряжения Ф в виде
B.21)
где
•¦-M'-iS) ».=(«>-.w-•¦)', B.22)
Упражнение 2.2. Решить приближенно смешанную задачу о
прямоугольнике, когда на границе х = 0 и ж = /j заданы посто-
постоянные перемещения
а на границе у = 0 и
С:
разыскивая решение
лг
U = «о + Y, «I
п=1
И =11,
y = h-
22 = S°y(r)
в виде
ifk(x,y),
произвольные нагрузки
> ff12 = S°y(x),
N
v = vQ + ^2bkfk(x,y),
n = l
B.23)
B.24)
B.25)
где
/t = [(ar-/i)ar]*cos^y. ¦ B.26)
'2
Рассмотрим смешанную задачу МДТТ. Пусть даны уравнения
равновесия
atjj + Xi=0 B.27)
и граничные условия
«.•|Sl=ti?, <го-п,-|Еа = 5Р. B.28)
Пусть задан оператор связи между напряжениями и деформаци-
деформациями B.7), причем деформации связаны с перемещениями соотно-
соотношениями Коши:
en = \(uij+ujj)- B-29)
256

Умножив B.27) скалярно на вектор v и проинтегрировав по объ-
объему, получим
/ су ец (v)dV = j Xivi dV+ f ац п, «,• oE + f S°ы effi. B.30)
Пусть даны две полные системы функций {f^}t {Ф'*'}, Ч — 1,2,....
Приближенное решение задачи B.27)-B.29), B.7) согласно методу
Галеркина-Петрова ищется в следующем виде:
N
uN = Y^qiqL>(q4x)- B-31)
q=l
Коэффициенты q^, диагональные матрицы, определяются из сис-
системы уравнений
o(a,v)?,i(^(p)) dV = J Xi^ dV+
V
J <гц (nN)nj ф^ dZ + J 5?4P) dZ, B.32)
Si Es
которая получается подстановкой в B.30) выражения B.31) и
заменой V = ф(?\ р - 1,2,...,N.
Упражнение 2.3. Показать, что в случае, если
#(«)=pf«), , = 1,2,...,^, B.33)
и у>(') удовлетворяют однородным кинематическим условиям, из
B.32) следуют соотношения
upP dV + J S?^p
j j
V V
B.34)
т.е. метод Галеркина-Петрова превращается в метод Ритца.
Упражнение 2.4. Рассмотреть случай, когда кроме выпол-
выполнения условий B.33) функции tfki) удовлетворяют однородным
кинематическим и статическим граничным условиям, так что из
B.34) имеем
J ffijtUH^ijtfr^dV = f Х{<р\р) dV. B.35)
V V
V V
9 Победря Б.Е. 257

Этот метод называется методом Бубнова-Галеркина.
Упражнение 2.5. Показать, что если
4Ч) = <WA, B.36)
то соотношения B.32) могут быть получены из условия минимума
функционала
Г 1 N II2
1= / Х + -Га«^') dV, B.37)
что совпадает с методом наименьших квадратов. ¦
Упомянем здесь еще о методе наискорейшего спуска. Он
заключается в следующем. Выбирается некоторый вектор й@),
удовлетворяющий кинематическим граничным условиям. Подсчи-
тывается «невязка» по формуле
ffii,i ("(о)) + Х{ = «,-(о) • B.38)
Полагаем
B.39)
где g(°) — некоторая диагональная матрица с постоянными коэф-
коэффициентами. Подсчитываем по формуле B.3) лагранжиан
где
V = J <rij(uA))eij(uw)dV. B.40)
v
Тогда для определения aW получим систему трех уравнений:
= fxava(Q)dV+ [soava(Q)dV <e = 1,2,3). B.41)
J i
Найдя по формуле B.39) вектор S(i), ищем «невязку»
ff«jj("(i)) + -X'« = «i-(i) B-42)
и т.д.
Упражнение 2.6. На основании вариационного принципа Кас-
тильяно сформулировать метод «наискорейшего подъема». ¦
В последнее время широкое распространение получил метод
Канторовича-Лейбница, который применим к телам, заключен-
заключенным между двумя параллельными плоскостями, например:
Х\ = с\ = const, #2 = С2 = const. B-43)
258

Тогда решение ищется в виде
оо
щ(х1}х2,х3) = '?4f^uX2,x3)f^q\x1), B.44)
где ipij(x) — заданные координатные функции, которые удовлет-
удовлетворяют кинематическим граничным условиям, кроме, может быть,
области B.43). Функции /(') определяются из минимума лагран-
лагранжиана B.3). Уравнениями Эйлера для такого функционала будут
обыкновенные дифференциальные уравнения.
Заметим, что метод Галеркина-Петрова в зарубежной литера-
литературе часто называют методом взвешенных невязок.
§ 3. МЕТОД Я-ФУНКЦИЙ РВАЧЕВА
В методах, описанных в предыдущем параграфе, мы сталки-
сталкивались с ситуацией, когда некоторая функция U(x) аппроксими-
аппроксимировалась выражением
?р,-B), C.1)
где <ро(%), Vi(^) — некоторые координатные функции, удовлет-
удовлетворяющие заданным кинематическим условиям. Например, на
контуре Г в двумерной области
роB)|г = ФB), PiB)|r = 0, « = 1,2 C.2)
Если выбрать некоторую функцию ш(х), такую, что внутри за-
заданной области она сохраняет знак и не обращается в нуль, то,
выбрав некоторую систему функций {ipi(x)}, получим представ-
представление C.1) в виде
^B), C.3)
где
Фо = <Ро, uipi = <pi, i = l,2,.... C.4)
Здесь функции tpi(x), i = 1,2,..., не обязаны удовлетворять ус-
условиям типа C.2). Достаточно, что такому условию будет удов-
удовлетворять функция ш(х):
ыB)|г = 0. C.5)
9* 259

Для контуров сложного вида построить функцию ш(х) непросто.
Универсальный метод ее построения для контуров, которые могут-
быть представлены в виде частей, каждая из которых задается в
аналитическом виде, дал В.Л. Рвачев в [101, 102]. Существо этого
метода основано на использовании алгебры логики. Пусть Х\
и Х2 — два множества, являющихся подмножествами множества
Е. Множество, состоящее из точек, общих для этих множеств,
называется их пересечением и обозначается Х\ Л Х%. Множество,
состоящее из точек, вошедших хотя бы в одно из множеств Х\ или
Хг, называется их объединением и обозначается через Х\ U Х%.
Множество, дополняющее X до всего множества Е, называется
дополнением множества X и обозначается СХ.
Характеристической функцией подмножества X множества Е
называется функция е(ж) (двузначный предикат множества X):
|1, если*€Х,
V ' I 0, если х <? X. К '
Рассмотрим множество В2, состоящее из двух элементов: 0
(ложь) и 1 (истина). Булевой функцией п аргументов называется
отображение вида F : В2п —> В2, т.е. У — F(X\,X2,... ,Хп), где
Xi,...,Xn, У € В2. Всего булевых функций двух переменных 16.
Из них четыре тривиальные:
Y = Я =0@-0), У = ft = 1A-1),
Y = F3 = X1(X1-+Xl), Y = F4 = X2 (X2 - X2).
Булеву функцию, соответствующую пересечению двух мно-
множеств Х\ Л Х2, называют конъюнмдаей и обозначают
Y=F6(Xl,Xa) = X1AX3. C.8)
Эту функцию называют логическим умножением: У — истина
тогда и только тогда, когда Xi — истина и Х2 —истина.
Булеву функцию, соответствующую объединению двух мно-
множеств Xi U Х2, называют дизъюнкцией и обозначают
Y = F6(XUX2) = X1VX2. C.9)
Эту функцию называют логическим сложением: У — истина тогда
и только тогда, когда Х\ — истина или Х2 —истина.
Булеву функцию, соответствующую дополнению СХь обоз-
обозначают
Y = F7(X1) = ^X1 C.10)
и называют отрицанием Xi: У — истина, если Xj — ложь, и
наоборот.
260

Таблица 3.1
Название
Отрицание
Импликация
Отрицание импликации
Отрицание импликации
Отрицание равнозначности
Отрицание дизъюнкции
Изображение
~>Х2
Х2=>*1
-(*1 => Х2)
-,(Х2 => Хг)
4*i ~ х2)
-(*lVX2)
Характеристическая
функция
1-е2
1 - е2 + ехе2
пA-е2)
е2A - ех)
е1 +е2 -2е1е2
1 -ej -e2 + eie2
Упражнение 3.1. Показать, что булевым функциям C.8), C.9),
C.10) можно поставить в соответствие характеристические фун-
функции
е = ехег, е = ех + е2 — ехег, е = 1 — ei C-11)
соответственно, где е\ — характеристическая функция множества
Хх, а е2 -характеристическая функция множества Х2. Ш
Рассмотрим еще несколько булевых функций:
У = F8(Xi, Х2) =
Х2,
C.12)
C.13)
C.14)
Первая из них, C.12), называется эквиваленцией (равнознач-
(равнозначностью): У — истина тогда и только тогда, когда ложь ~ ложь
или истина ~ истина. Вторая, C.13), называется импликацией:
Y — истина, если из истины следует истина, а из лжи может сле-
следовать как ложь, так и истина; У — ложь, если из истины следует
ложь. Последняя булева функция, C.14), называется операцией
Шеффера: У — ложь тогда и только тогда, когда Х\ —истина
и Х2 — истина.
Упражнение 3.2. Показать, что булевым функциям C.12)—C.14)
соответствуют характеристические функции
е = 1 + 26x62 - ei -e2, e = l-ei+ele2, e =l-eie2. C.15)
Упражнение 3.3. Пользуясь характеристическими функциями,
показать справедливость правил де Моргана
V Х2) =
Л Х2) —
Л -.Х2,
V -1X2-
C.16)
C.17)
Упражнение 3.4. Показать, что остальные шесть булевых
функций имеют вид, приведенный в табл. 3.1. ¦
261

Из рассмотрения булевых функций видно, что существуют та-
такие независимые функции, через которые можно выразить осталь-
остальные. Очевидно, что через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание
можно выразить все остальные булевы функции. В самом деле
Xi\X2 = -4*i Л Х2), Х1^Х2 = -,Х1 VX2,
Хх~Х2 = (->Х! V Х2) Л (Xi V -.ЛГ2) 1 ' '
Очевидно, что полной окажется всякая система булевых функций,
с помощью которых можно построить конъюнкцию, дизъюнкцию
и отрицание. Но
->(Xi V Х2) = -nXi Л ijfj, C.19)
т.е. дизъюнкция может быть построена с помощью конъюнкции и
отрицания. Следовательно, конъюнкция и отрицание составляют
полную систему.
Упражнение 3.5. Используя тождества
JfiVJfa=y|y, y = Z|Z, Я = (Хг | Х2) | (Х2 \ Х2), ^ J
показать, что полная система может состоять из одной функции
Шеффера. ¦
Существует теорема [101], согласно которой всякую булеву
функцию можно представить в виде дизъюнкции конъюнкций (ди-
(дизъюнктивная нормальная форма) либо в виде конъюнкции ди-
дизъюнкций (конъюнктивная нормальная форма), причем членами
конъюнкций или дизъюнкций являются либо аргументы, либо их
отрицания.
Введем обозначение:
<~\ Г X, если а — 1,
Х{а) = { C.21)
I ->Х, если а = 0. v
Тогда каждую булеву функцию можно представить в виде
C.22)
где q — 2к, причем разным г соответствуют различные наборы
cry ,(т%\ ..., ст?>. Здесь к — число аргументов, по которым ведется
разложение C.22).
262

Пусть, например, требуется разложить функцию
Y = F(XUX2,XZ) = -.(Xi.~ X2) => (Х2ЛХ3) C.23)
по переменным Х\, Х2.
Следовательно, в этом случае к = 2, q = 4. Тогда по формуле
C.22) имеем
F = Fi\/ F2VF3V F4, C.24)
т.е. i = 1,2,3,4.
Далее, составляем всевозможные различные наборы <т[ , <т2 ,
i = 1,2,3,4:
(ТC) = 1 (ТC) = О- (ТD) = 1 (ТD) = 1;
Тогда получим для F,-, г = 1,2,3,4:
FF=XXlAAXxlr2' C26)
/"з = Ai Л -1Л2 Л и3,
где
d = -@ ~ 0) =» @ Л Х3) = 1,
G2 = -@ ~ 1) =» A Л Х3) = Х3,
G3 = -A ~ 0) =» @ Л Х3) = 0, k ' ;
G4 = i(l ~ 1) =» A Л Х3) = 1-
Поэтому искомое разложение имеет вид
F = (--Xi Л iXj) V (iXi Л Х2 Л Х3) V (Xi Л Х2). C.28)
Пусть D есть область, определяемая неравенством ш(х) ^ 0, где
ш(х) — некоторая функция. Обозначим характеристическую фун-
функцию, соответствующую этой области, через D = (w(x) ^ 0).
Располагая некоторой системой D,- = (wB) ^ 0) характеристи-
характеристических функций и булевой функцией Y = F(X\,..., Xm), можем
построить предикат
D = F(?»b ..., ДО = F[(« ^ 0),..., (ыт ^ 0)], C.29)
определяющий некоторую область X, сконструированную из об-
областей Х{ по логическим правилам, определяемым булевой фун-
функцией F.
263

Упражнение 3.6. Показать, что область D, заштрихованная
на рис. 31, может быть сконструирована из областей
Di = (а2 - х2 > 0),
, , C-30)
по логической формуле
D=DiAD2. C.31)
Упражнение 3.7. Показать, что область D', заштрихованная
на рис. 32, может быть сконструирована из областей
D3 = ((х - гоJ + (у- S/oJ - с2 > 0),
?»4 = (d2 - (х - гоJ - (у - уоJ 5> 0)
по логической формуле
D' = D3AD4. C.33)
Разобьем числовую ось R на две равные части: (—оо,0) и
[0, оо). Введем обозначения:
|1, если (€10,00),
™ \0, если ?е (-оо,0), ^ ;
S(x) = (S(Xl),...,S(xn)), C.35)
где г — вектор в n-мерном евклидовом пространстве.
Функция у = f(x) называется Д-функцией (функцией В.Л. Рва-
чева), если существует такая булева функция Y = F(Xi,... ,Хп),
что
S[f(x)] = F[S(x)]. B.36)
Другими словами, функция f(x) будет являться Д-функцией, если
ее знак есть некоторая булева функция знаков аргументов.
Упражнение 3.8. Показать, что функция xix2 является
Д-функцией, причем ей соответствует булева функция
X1~X2. Ш C.37)
В.Л. Рвачев ввел три Д-операции. Это Д-конъюнкция:
А ах2 = j-j— (xi + х2- y/xl + xl-2aXlx2) , C.38)
264

9
11
7777л
-a
'/////У77777.
-*-x
-в
Рис. 31
¦-Х
Рис. 32
Л-дизъюнкция:
Хл V
ах2 = --— (
х2
j
C.39)
(здесь а — произвольная функция, —1 ^ ol{x\,xi) ^ 1) и Д-от-
рицание:
-.г = -х. C.40)
Имеет место важная теорема [102].
Если области D\, ?>2, ... , Dm определяются соответствующи-
соответствующими неравенствами
w,(rbr2)^0, i=l,...,m, C.41)
а логика построения области D задана булевой функцией D =
F(Di,... ,Dm), то неравенство
),... ,ит(х1,х2)]
C.42)
где w(ui,.. .,ит) — функция, соответствующая булевой функции
D — F(Di,... ,Dm), определяет область D.
Другими словами, если в формуле C.29), где F есть сложная
булева функция, построенная с помощью операций дизъюнкции,
конъюнкции и отрицания, произвести формальную замену сим-
символов Д- на w,B), Л на Ла, V на Va, то получим функцию ш(х),
такую, что D = [w(x) ^ 0].
Упражнение 3.9. Показать, что область D, заштрихованная
на рис. 31, может быть задана неравенством
= (а2 - х2) Л а(Ь2 ~ У2) > 0,
C.43)
т.е.
C.43')
265

Упражнение 3.10. Показать, что область D', заштрихованная
на рис. 32, может быть задана неравенством
ы2 = [<Р -(х-хоJ-(у- уоJ] Ла [(х -хоJ + (у- у0J - с2] ^ 0 C.44)
или неравенством
ш3 = [d2 ~(х- гоJ -(у- уоJ][(х - х0J + (у- уоJ - с2} > 0. C.45)
Упражнение 3.11. Показать,
что область D*, заштрихованная
на рис. 33, может быть сконстру-
сконструирована из областей D C.31), D'
C.33) и области
?>"(w4 = у - Ь ^ 0) C.46)
по логической формуле
D* = DV(D' AD"). Ш
Поэтому область D* может быть описана неравенством
C.47)
C.48)
Для построения функции <ро(х), принимающей заданное значе-
значение на контуре Г C.2), воспользуемся следующим приемом [101].
Пусть контур Г разбит на элементы Г\, ... , Гт и задано ана-
аналитическое выражение
Ф.B) = {Ф(!)B)наГ,},
C.49)
причем каждый контур задается уравнением fi(x) — 0. Точки
элемента Г,-, принадлежащие одновременно другим элементам, на
которые разбит Г, называются концевыми точками [101]. Тогда
функция
р г2 Л f 2 <-2
&(х) = ti , ri ri 75 7г 77 C-50)
h + hh ¦¦¦ Ji-lJi+l ¦•¦Jm
будет равна 1 в точках элемента Г,- и нулю в остальных точках.
В концевых точках она не определена и ее можно доопределить,
положив ее там равной 1. Тогда функция <ро(х) может быть
выбрана в виде
C.51)
г=1
266

Более подробно с Л-функциями можно ознакомиться по моногра-
монографии [102].
§ 4. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Рассмотрим смешанную задачу теории упругости
<rijj{U)+Xi = 0, D.1)
«,-!= = «?, ^B)^1^ = 5? D.2)
и обобщенное решение этой задачи, связанное с тождеством
I <тц C)еу (v) dV= [ Xiv{ dV+ f S°vi <ffi.
D.3)
Вводим два гильбертовых пространства H'ia L^ со скалярными
произведениями
(u,v)h = ?ij(u)eij(v)dV,
v
(u,v)L, = Ti-vdV.
D.4)
D.5)
Из неравенств Корна [58] следует, что нормы в этих пространст-
пространствах эквивалентны (для векторов и, удовлетворяющих однородным
кинематическим граничным условиям):
т'РНя ^ ||w||l2 ^ m"||u||H, т' >
Для изотропного линейно-упругого тела имеем
D.6)
J <ro-(u)ey (u) dV =
dV =
ye0-) dV > 2ц(\\и\\нJ.
D.7)
Тогда из D.3) вытекает
Ы\\Щ\н? ^
+
fsfui
267

Но
\Hl3(e)^H\l2(v) = H\l2. D.9)
Поэтому
^ D.10)
Отсюда следует, что если незначительно изменить объемные
и поверхностные силы, то незначительно изменится и решение.
Разумеется, можно повторить те же выкладки для разностных
уравнений и воспользоваться разностным аналогом неравенства
Корна [6], выбрав разностные аналоги норм в Hh и L^, например
Ni N2
»=0 j=0
Итак, если мы воспользуемся вариационным принципом Лаг-
ранжа и составим разностный аналог лагранжиана
?h = Vh-A^h, D.12)
то получим функцию конечного числа аргументов. Для пря-
прямоугольной сеточной области i\ = 0,1,..., Л^, г'г = 0,1,..., N?
переменных й,-,,-2 будет 2(N\ + 1)(N2 + 1). Так как в положении
равновесия лагранжиан имеет минимум, то разностную систему
можно получить, приравнивая нулю производные лагранжиана по
независимым переменным:
= 0. D.13)
Говорят, что такая разностная схема получена вариационно-
разностным методом. Она будет заведомо устойчивой, что следу-
следует из приведенных выше соображений.
Рассмотрим прямоугольную область. Работу внешних массо-
массовых сил запишем в виде
«.¦))}. '=1,2, D.14)
1 12 21 12 21
работу внешних поверхностных сил — в виде
и[5°,щI[п)}, .\п=1,2. D.15)
п
268

Лля изотропного тела упругий потенциал может быть записан,
например, в виде
2W? = \{дпип}2 + ц{дпитдпит + дпитдтип} D.16)
или
2W^ = X{d-un}2 + fi{d-umd-um+d-umd-un}. D.17)
Тогда разностный аналог потенциальной энергии деформаций (ph
можно, например, записать в виде
D.18)
* 12 21 12 21
Упражнение 4.1. Используя формулы A.84)—A.87) гл. 4, пока-
показать, что справедливы формулы
Щд„ип,дтит)) + ц((дпит,д„ит)) + ц{{дпит,дтип)) -
12 21 12 21 12 21
-Х((д„д~ип, ит)) - ц((дтд~ип, ит)) - ц{{ит, Л„„«т)),
12 21 12 21 12 21
D.19)
)
12 21 12 21 12 21
= \(д~Т~ип,итI[т) + ц(д^Т~ип,итI[п) + ц(ит,дпит )/[„)-
-Щд~дтип,ит))-(л((д^дпи„,ит))-ц({ит,А„пит)) ^' '
12 21 12 21 12 21
(п,т=1,2),
где индексы у операторов сдвига Т и в однократных скобках
опущены (они совпадают с индексом оператора /).
Упражнение 4.2. Показать, что при дифференцировании сум-
суммы, содержащей выражения типа дпит или д~ит, справедливо
следующее правило:
Dk((...,d-um,...)) = -6mkdn, D.21)
где D). = д^-. Лругими словами, для того, чтобы продиффе-
продифференцировать по щ указанное выражение, нужно смотреть на д„
как на число, но при дифференцировании выражения дпит нужно
дп заменить на — д~, а при дифференцировании д~ит заменить
д~ на -д„.
269

Упражнение 4.3. Используя формулу D.21), показать, что для
внутренних точек
Dk[[W>?)) = -{Щдп+цд-д^ип-^дпд-щ, D.22)
12 21
- + цд^дп)ип - 1хдпд-ик. Ш D.23)
12 21
В заключение заметим, что для построения разностной схе-
схемы вариационно-разностным методом в случае связи между на-
напряжениями и деформациями, описываемой некоторым заданным
оператором, определяющим конкретную модель МДТТ, необхо-
необходимо записать в разностном виде соответствующий оператор Wh
этой среды.
§ 5. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(МКЭ)
В настоящее время чуть ли не самым популярным численным
методом для решения задач МЛТТ является МКЭ. Описанию
этого метода посвящена большая литература (см., например, [5,
26, 39, 69, 96, 106, 111, 115]).
Изложим здесь частную трактовку МКЭ. Предположим, что
задача МЛТТ решается методом Ритца. Область V, занимаемая
телом, разбивается на «конечные элементы», т.е. конечное чис-
число подобластей V^, соприкасающихся между собой так, чтобы
образовывалось все тело V. Решение ищется в виде
3 = ?iJ(j), E.1)
я
где й(') = 0 вне области V^, а внутри этой области
(?)y#)B), E.2)
причем ф)^'(х) — заданные координатные функции, а а*' — неоп-
неопределенные постоянные. Запишем выражения E.2) в матричной
форме, введенной в § 1:
{ип(х)} = [N(x)]{a}, E.3)
где нижние индексы обозначают размерность матрицы. Заметим,
что m обычно предполагается кратным п (т = Nn), a n определяет
270

размерность задачи. В частности, для пространственного случая
(п = 3, т = 3N) развернутая запись E.3) имеет вид
E.3')
где N>j'(x), q = l,...,N, i,j = 1,2,3, — координатные функции,
которые в литературе по методу конечных элементов называются
«функциями формы» [26]. Введем теперь вектор деформаций {е},
имеющий М —
компонент и дифференциальную матрицу
[D], которые для пространственного случая имеют вид
/?и\
?22
?12
?23
/ #- о
1 дх
; [D} =
о
о
о
LJL
2 ду
О
Х 2 dz
Ъ °
О ?
! JL
2 Эг
2 dz
О
JLJL i-й. П
LJL
2 ay
IA
E.4)
Тогда
Положим
= [ D]{«}.
Мхп п
[В ] = [D }[ N }.
Мхт Мхп пхт
Тогда вектор деформации может быть записан в виде
{?} = [ В }{а}.
E.5)
E.6)
E.7)
Рассмотрим изотропную упругую среду, для которой матрица
Гука [Е] имеет вид (при п = 3)
( А + 2/(
2/i
2/i
О
О
V О
2ц
А + 2/i
2/i
О
О
О
2ц
2/1
А + 2/1
О
О
О
О
О
О
2/1
О
О
О
О
О
О
2/(
О
О
О
О
О
О
ъ
Тогда связь между напряжениями {сг} и деформациями {е} может
быть записана в виде
{
М
= [ E
1
E.9)
271

Составим теперь лагранжиан для области V. Очевидно, он
состоит из суммы лагранжианов ?(?) для каждого конечного эле-
элемента V(qy.
кч) = \ I *ИеИ dV ~ J **«< dV ~ I S°u< rfE> E10)
VM v«) s«->
где последний интеграл имеет место лишь в случае, если элемент
V(?) является граничным, причем на границе заданы поверхнос-
поверхностные, силы.
Упражнение 5.1. Показать, что в матричном виде выражение
E.10) записывается следующим образом:
A.) = \J МТ{*} dv~ J ШТ{") «V- J
VW VM =(.)
Но для упругой среды
= 6{е}т{а) + {*}т6{е} = 26{е}т{а}.
E.12)
Подставим это выражение и выражения E.3), E.7) в E.11):
Ci4)=\ J {a}T[Bf{*}dV- J {a}T[Nf{X}dV- J {af[N]T{S}dZ.
VW VM s(«)
E.13)
Дифференцируя в E.13) по {а}т, получим линейную систему ал-
алгебраических уравнений для определения неизвестных постоян-
постоянных метода Ритца {а}:
f[B]T[E][B]{a}dV- f[N]T{X}dV- Г [N]T{S}dZ = 0. E.14)
VM ПО s(,)
Квадратная матрица размерностью m x m
[к]= J [Bf[E][B]dV E.15)
Ум
называется матрицей жесткости. Введем далее два т-мерных
вектора
{FV} = J [Nf{X}dV, {Fz} = J [N]T{S}dS. E.16)
272

Тогда алгебраическую систему метода Ритца для определения
постоянных {о} можно записать в виде
Метод конечных элементов заключается в специальном выборе
коэффициентов {а}, а именно в качестве таких постоянных берутся
узловые перемещения конечного элемента:
E.18)
Таким образом, т = nN, где N — количество узлов конечного
элемента. Обычно в литературе обозначают {а} = {6}. Вектор
{6} состоит из N тг-мерных векторов:
i V)
E.19)
Тогда матрицу формы [NE)] можно представить в виде ком-
комбинации блочных матриц, каждая из которых [N^] является
квадратной лхл:
v21 iv22
O @
m
. E.20)
V31 -^32 Jy33
Тогда перемещение может быть выражено следующим образом:
N
E.21)
1=1
В силу специального выбора функций формы [TV(/)(x)] должно вы-
выполняться следующее свойство: если подставить в их выражения
координаты узла X(j), то
E.22)
273

где
Г Р] (единичная матрица п х ?г), если / = J,
\ О (нулевая матрица ихп), если I ф J.
Свойство E.22) обеспечивает непрерывность перемещений при
переходе от одного конечного элемента к другому.
Лля того, чтобы разыскать матрицы [7V(/)B)], поступают сле-
следующим образом. Задают число узлов N конечного элемента,
а также класс координатных функций. Обозначим большими
латинскими буквами номера узлов конечного элемента: /, J,
К = 1,2, ...,7V, п — размерность задачи,i, j, к — 1,...,п. Пусть
Х(/) — координаты узлов. Тогда справедливо свойство E.22).
Пусть задаются координатные функции оператора восполнения
N
или
N
j—l пхп п
где [<?>(/)] — диагональные матрицы. Как видно из E.24), число
координатных функций, вообще говоря, совпадает с числом узлов
конечного элемента. Из E.24) имеем для каждого узла:
N
J))Q(i)i> i=l,.-.,n. E.25)
Обозначим
V(i)(x(j))=V(i)(j). E.26)
Тогда при каждом фиксированном i получаем систему алгебра-
алгебраических уравнений
N
E^)(J)a(')i = «iW' E-25')
1=1
Если
A = det|m(J)|/0, E.27)
то система E.25') имеет решение
274

где <p,j\rj\ — матрица, обратная <?>(/)(./). Подставляя выражение
E.28) в E.24), получим
N
E.29)
N
где
Упражнение 5.2. Записать
проделанные выкладки в матрич-
матричных обозначениях Зенкевича. ¦
Рассмотрим для примера тре-
треугольный конечный элемент
(рис. 34). В этом случае п = 2,
7V = 3, т = N -п = 6, М = nirt^ll =
3. Имеем из E.24)
E.31)
Положим
= xi = х,
E.30)
г"»
*/" Xj» Х<»
Рис. 34
) = Х2 = У-
E.32)
Тогда получаем для определения величин Q(i)i систему трех
алгебраических уравнений (аналогичную систему имеем для ве-
величин 0GJ )
= «AI
Так как
aB)ixB) + аCIУB),
= 2Д ^ О,
E.33)
E.34)
где Д — площадь заштрихованного на рис. 34 треугольника, то,
подставляя решение задачи для величин a(/)i в E.31), получим
1 /-ч
«* = 2Дп(/)(«)и*(')'
275
E.35)

где
E.36)
V) = eHKy(j)z(x), E.37)
y), z(x) = 1.
Тогда функции формы представляются в виде
Заметим, что в силу блочного строения матриц [N] E.21)
удобно ввести в рассмотрение матрицы [5(/)], построенные на
основании формулы E.6) в виде
[В] = [ВA),..., B(N)], [B(/)] = [D][Nin]. E.39)
Тогда матрица жесткости E.15) тоже будет иметь блочную струк-
структуру:
()() ()()
[*] = - E-40)
\
где каждый блок матрицы жесткости является квадратной мат-
матрицей п х п:
[*(/)(/)] = [B(l)}T[E}[B(J)}. E.41)
Упражнение 5.3. Показать, что для п = 2 блок матрицы жес-
жесткости для плосконапряженного состояния в случае треугольного
конечного элемента имеет вид
bhiAj) + kc(i)c(J) Y^b(i)c(J) + \c(i)c"(J)
c^,) + \b{I)c(J) ^;c(I)c(J) + \b(I)b(J)
E.42)
а для плоскодеформированного состояния —
ft. (
E.43)
Упражнение 5.4. Показать, что если за начало координат
выбрать центр тяжести треугольника, то
2Д
«A) = «B) = «C) = -у- E.44)
276

Упражнение 5.5. Показать, что если за начало координат
выбрать центр тяжести треугольника и вектор массовых сил {X}
является постоянным, то
Х1
х2
т.е. массовые силы равномерно распределяются между узлами. В
Если тело разбито на конечные элементы одной природы (на-
(например, треугольные), то достаточно построить матрицу жест-
жесткости для одного элемента, а затем, используя преобразование
системы координат, перейти от локальной системы, в которой
построена одна из матриц жесткости, к глобальной, в которой
задаются все рассматриваемые конечные элементы.
§ 6. ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ КОНЕЧНОГО
ЭЛЕМЕНТА
Рассмотрим теперь построение конечного элемента в п-мерном
пространстве К„. Пусть задано множество
h = {xj}, I=1,2,...',N, 2, €К„, F.1)
где N — число узлов. Рассмотрим линейную оболочку /\ , натяну-
натянутую на эти векторы х/, т.е. множество всех линейных комбинаций
векторов системы h. Очевидно, К С Rn- Зададим теперь сово-
совокупность действительных функций, определенных на Л" : р(х) ? Р.
Будем говорить, что h является Р-разрешимым множеством, если
для любых чисел /3j (J = 1,2,... ,N) существует функция р(х) ? Р,
и притом только одна, такая, что
p(xI) = CI. F.2)
Пусть h является /^разрешимым множеством. Тогда назовем
для каждой функции и(х) ? Н ее Р-интерполяцией Лагранжа ту
единственную из Р функцию, такую, что
FuB/) = uB,) = u/. F.3)
Выберем теперь в качестве базиса набор функций //(ж) (/ =
l,...,N), таких, что
hCj) = 6u. F.4)
Упражнение 6.1. Показать, что функции /,(х), обладающие
свойством F.4), образуют единственный базис в Р. И
277

Тогда интерполяция Лагранжа любой функции и(х) может
быть записана в виде
Ри(х) = u,l,(IJ (I = l,...,N). F.5)
Совокупность, состоящая из множества точек h, оболочки этого
множества Л и пространства функций Р, по отношению к которому
Л является Р-разрешимым, называется конечным элементом и
обозначается (h,K,P).
Нетрудно видеть, что для построения функций //B) достаточно
выбрать Л'-параметрическую систему функций pi(x,a^j^), I =
1...., Л'; (J) = 0, 1,..., N — 1. Тогда получим систему уравнений
u/=pB,a(J)), I=l,...,N. F.6)
Если якобиан этой системы отличен от нуля
\dp(xi,a)
da(J)
F.7)
то множество h является /-"-разрешимым. В самом деле, тогда
система F.6) имеет единственное решение.
Найдем явное выражение для функций //E). Для этого постро-
построим «определяющий» полином так. чтоПы число его коэффициентов
совпадало с числом узлов. Пусть {-(/)} совокупность одночле-
одночленов. с@) = 1. Пусть определяющий многочлен имеет вид
рB) = о(/)г(/), (/) = 0, 1,..., N- 1. F.8)
В узлах имеем
p(xj) = ч{1):(,и. F.9)
Пусть Л —- мера конечного -элемента, А ф 0:
Л=]ууе(/1) (/л.-)(/. l.wz(h)I, ¦¦¦z(In)In- {6.Щ
]i -siом случае согласно установленному выше множество h будет
Р-разрешимым и
FИ)
Таким образом,
1
п/B)и/1 F.12)
278

где
п/(ж) = а(/)/г(/), F.13)
ly4ii)--(iN)e'i--iNz(h)i2 ¦ ¦ • zUn)in- FЛ4)
Тогда искомые базисные функции
/7E) = ^п,(х). F.15)
Следовательно, справедливы формулы F.5) и F.4). Кроме того,
так как формулами F.14) записаны алгебраические дополнения к
элементам матрицы системы F.9), то по правилу Крамера
<i(i)iz(J)i - АE(/)(/)- F16)
Следовательно
l,(x)z{J)I=z{J) F.17)
и, в частности, так как (J) = О,
лг
/,(*) =1- F.18)
Координаты узлов можно выбирать произвольными, если мож-
можно путем преобразования координат одни узлы переводить в
другие.
Два множества h = {xj} и h! = {x'j} называются Л-эквива-
лентными, если существует линейное невырожденное (аффинное)
преобразование А : Rn —> Rn такое, что
h'= Ah, т.е.х'{ = Ах{. F.19)
Из предположения о невырожденности сразу следует, что сущес-
существует обратное преобразование Л.
Упражнение 6.2. Показать, что если h и h' являются ,Р-раз-
решимыми множествами: /'; = //Л, то
/'/D) = li(A-lx'j) = l,(xj) = Ьи. F.20)
В качестве примера рассмотрим триангуляцию области, т.е.
разбиение области на конечные элементы треугольного вида:
h = {x,}, I = 1,2,.. . ,п + 1, N = п+1, F.21)
279

Рис. 35
и выберем в качестве узловых точки, лежащие в концах единичных
векторов, и начало координат:
Xi = e,-, i — 1,. .. , 7?, xn + ] =0.
F.22)
Тогда, очевидно, матрица z^j^j = ?(/)/ в этом случае состоит
из нулей и единиц, Д = 1, «(/)/ = <*>(/)/ и Пачисиыс полиномы
имеют вид
= 1 - г, I-,,.
Эту систему F.23) можно построить и сразу, если иоспольловатьея
формулой F.4).
Упражнение 6.3. Показать, что при п = 2 (рис. 35)
= xi = х, /2 = хг = у, /3 = 1 - х - у.
F.24)
Рассмотрим теперь триангуляцию области, но введем допол-
дополнительные узловые точки:
h - {х,} U
F.25)
где координаты точек х/ определяются по формуле F.22), а точек
X] j — по формуле
i,J = ^{
F.26)
Множество h F.25) Т-'-разрешимо, причем базисные полиномы
можно выбрать, используя обозначения F.23), в виде
-1), a=l,...,N, N = п+\,
/, J = 1,..., TV, / < J .
F.27)
280

Упражнение 6.4. Выбрать в качестве узлов точки, обозначен-
обозначенные на рис. 36, и показать, что базисные компоненты имеют вид:
F.28)
Р2=2/Bу-1), P23=4y(l-z-y),
p3={l-x-y){l-2x-2y), Pl3=4x(l-x-y).
Упражнение 6.5. Выбрать в ка-
качестве узлов точки, обозначенные
на рис. 37, и показать, что это мно-
множество Р-разрешимо, если опреде-
определяющий полином выбрать в виде
р =
а3ху. F.29)
Показать, что базисные полиномы
имеют вид
h = A - у)х, h = ху,
Рис. 37
¦ F.30)
Рассмотрим теперь интерполяцию Эрмита. В этом случае, в
отличие от предыдущего, интерполяционный многочлен должен
принимать не только заданные значения в узлах, но и задан-
заданные значения производных от интерполируемой функции, вообще
говоря, в других узлах.
Рассмотрим два множества:
1=1,2,..., No,
F.31)
Пусть в каждой точке 5(j) заданы еще некоторые направления,
по которым у интерполируемой функции берутся частные произ-
производные. Каждое такое направление задается вектором ?(j)n, где
индекс Г2 пробегает значения 1,2, ... ,nj, nj ^ п. Общее число
узлов N ^ No + Ni. Пусть
ЛГ,
= ЛоиЛ1)
N2=
F.32)
где Л/ — число «степеней свободы». Пусть К — линейная
оболочка, натянутая на h, и пусть Р — некоторое конечномерное
пространство действительных функций, заданных на Л'.
281

Будем говорить, что множество h является Р-разрешимым,
если для любых No чисел /?/ (/ = 1,. .. , TVo) и любых N? чисел
7(J)n ((J) = l,...,Ni, Q = l,...,nj) существует функция рB) G Р,
и притом только одна, такая, что
F.33)
Производную по направлению -^- можно представить с помощью
направляющих косинусов этого направления п,п в следующем
виде:
n = grdp^ i=l,...,n. F.34)
Пусть множество h является Р-разрешимым и задана функция
и(х) на /г, т.е. заданы значения этой функции в узлах Ло и значения
1
ее производных по направлениям ?(j)n B точках •?(./)• Определим
ее Р-интерполяцию по Эрмиту, как ту единственную функцию
Ри 6 Р, такую, что
A = 1,..., No),
1 1
gradPuB(J)) ¦ ^(J)n = graduE(J)) ¦ ^
(J = l,...,Ni), fi= l,...,nj.
Задача интерполяции будет решена, если нам удастся постро-
построить базис, т.е. найти такие функции р/B), i = 1,..., No, и P(j)nB),
(J) = I, .. ., Ni, Q = I,. .. ,nj, что будут выполняться условия
= 0 (J = l,...,^, 0= l,...,n7),
P(j)nB/) = 0, F.36)
Тогда любая интерполяция Эрмита Ри функции и(х) будет
записана в виде
F.37)
282

В определении эквивалентных множеств необходимо потребо-
потребовать, чтобы направления дифференцирования ?(j)n B точках h\
переходили в заданные направления дифференцирования ч'тп в
точках множества h^.
Рассмотрим триангуляцию области:
/,A) = {5/}, /=1,...,п+1;
0 w" F.38)
^} {)
B\
где Лц ' — множество барицентров (центров тяжести каждого
элемента),
Л1 = {5G)}, G) = 1 п + 1, F.39)
и выберем направления
lu = xj-xl. F.40)
Тогда базисные полиномы имеют вид
/JC2/O/EO/K, I ^ J< A' s?n+l, J.A' //,
271II F.41)
P/j = //0B// + 0-1), 1 ^ /, J ^ п + 1, / ^ J,
где
U = x, (/=l,...,n), /n+i = l-ari х„. F.42)
Если же из множества Ло исключить множество барицентров
h\ ' F.38), то базисные полиномы примут вид
р/ =/?C - 2//) + 2// 5Z ljl><<
> F.43)
Упражнение 6.6. Показать, что при п = 2 для точек и направ-
направлений, указанных на рис. 38, базисные полиномы имеют вид
Pi = z2C - 2х) - 7хуA - х - у),
Р2 = У2C - 2у) - 7хуA -х -у),
рз = A-х- уJA + 2х + 2у) - 7A - х - у).еу,
Р123 = 27хуA-х-у), F.44)
Pi2 = хуBх + у- 1),
р13 = хA -х-у)(х-у),
A
283

причем
х, h=y, /з
2i, ?13 = «з -
= 1 -х - у,
.F.45)
Рис. 38
Рис. 39
Упражнение 6.7. Показать, что при п = 2 для точек и направ-
направлений, указанных на рис. 39, базисные полиномы имеют вид
pi = *2C - 2») + 2*1/A - х - у),
рз =
= A - * -
Р12 = -а
2у) + 2*уA
+ а; — у),
- х - у),
F-46)
Pi3 = -
Оба рассмотренных примера не обеспечивают непрерывность
первых производных при переходе через границу конечного эле-
элемента, но часто применяются на практике. Согласованные формы
(обеспечивающие непрерывность производных) требуют привле-
привлечения неполиномиальных функций формы.
В заключение заметим, что решение разностной задачи
L(u) =
F.47)
соответствующей задаче
F.48)
284

не выполняется точно. В действительности мы находим прибли-
приближенное решение и в пространстве Нн- Сходимость приближенного
метода означает, что
||u - w\\Hh -» 0, F.49)
или в пространстве «восполнений» Нн
\\п - w\\Bh -> 0. F.50)
Используя результаты гл. 5, можно утверждать, что если опе-
оператор связи между напряжениями и деформациями удовлетворяет
для каждого симметричного тензора h неравенствам
hH ^ Mhijhij, 0 < т ^ М, F.51)
то обобщенное решение и смешанной разностной задачи МДТТ
существует, единственно и, кроме того,
М
F.52)
п -> U при h -> 0. F.53)
Отсюда следует, что для установления факта сходимости
приближенного решения к точному достаточно решить вопрос
об аппроксимации функций с помощью кусочно-полиномиальных
сплайнов.
Пусть U — произвольная функция. Соответствующую ей
сеточную функцию обозначим U, а ее восполнения обозначим
v = RfrU. Тогда нужно оценить величину \\U — C||//k. Все такие
оценки имеют вид
\\0-ь\\Йк^СМ\\и\\н, F.54)
где постоянная С не зависит от h. В зависимости от выбора
пространств Н и Яд, а также оператора восполнения Rh будут
различными значения q в F.54) [9]. Пусть, например, Rh — по-
полиномиальная интерполяция с помощью функций класса Ст~1 и
рассматривается триангуляция области. Пусть Я/, — пространст-
пространство Соболева с m обобщенными производными, а, Н — пространство
Соболева с к обобщенными производными [118]. Тогда q — к — т,
\\U-v\\m^Chk-m\\U\\k, F.55)
Пусть, например, дана произвольная триангуляция в R,2. Пусть
h — наибольшая сторона треугольника как конечного элемента,
9 — наименьший угол в треугольнике,_интерполяция производится
с помощью полиномов Лагранжа, a U 6 С3. Тогда
^'"\, F.56)
где К не зависит от разбиения [9].

Глава 7
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
§ 1. МЕТОД РАСПАДА РАЗРЫВОВ
Этот метод был предложен Годуновым [18] для решения задач
газовой динамики. Рассмотрим его применение для плоской
динамической задачи теории упругости. Уравнения движения
имеют вид
дахх д(т
ху _
где
р р
Обозначим компоненты вектора скорости
"¦?¦ ^=1
286

и будем их считать независимыми переменными. Тогда получим
систему уравнений первого порядка относительно пяти неизвес-
неизвестных U, V, <тхх> суу, <тху
8U д(тх
dt дх
8V_ _ даху
dt дх
да.
ху
ду ¦
A.5)
К этим уравнениям нужно добавить начальные условия:
при< = 0 U =
= ip(x,y),
A.6)
и граничные условия на каждой части Г контура
i = l,2 q = l,...,Q.
Для прямоугольной области (Q — 4) со-
составим разностную схему. Для этого выбе-
выберем сеточную область (рис. 40):
п = nhx, yk = khy,
l,...,Nx, к = 0,1,..., Ny.
A.8)
A.7)
Рис. 40
Все величины {Р} - {U, V, сгхх, <тху, (туу } внут-
внутри одной ячейки считаются постоянными,
например, для заштрихованной на рис. 40
ячейки это Un_ik+i. Отдельный шаг рас-
расчета состоит в том, что по известным величинам {Р} в момент
времени t определяются их значения, постоянные в каждой ячей-
ячейке, в момент времени t + т.
287

Составим явную схему для уравнений A.5):
U
m + 1
/_т _
и n —i,e—J
_т
A.9)
Для того, чтобы определить величины {Р} на границе ячеек,
поступают следующим образом. Исходная система A.5) разби-
разбивается на две подсистемы, одна из которых не зависит от у, а
другая — от х:
Ida*
at /> a*
av l д<тх
дх
= o,
= o,
28U
dt
288
A.10)

dU 1 да
xy _
dt p dy
~dt~~p~dy~
= 0,
= 0,
В системе уравнений A.10) будем использовать последнее урав-
уравнение, а остальные четыре приведем к каноническому виду. Для
этого первое уравнение A.10) умножим на р, а третье разделим
на а и сложим. Поступая аналогично с системой A.11), получим
д (Ри + К
а
A.12)
ь
dt дх
Уравнения характеристик для A.12) имеют вид .
х + at = const, x + bt = const.
A.13)
Если теперь вычтем упомянутые выше уравнения, то получим
dt
-fay) д{РУ-\<тху) _
dt + dx ~u'
A.14)
Для A.14) характеристиками будут
х — at = const, x — bt = const.
A.15)
Рассмотрим значения некоторой величины Р в двух смежных
ячейках Pn+Lk_i. и Pn_ik_i. На линии х„ = nhx произойдет
распад разрыва, в результате чего в течение некоторого про-
промежутка времени г на ней сохраняются постоянные величины
Pnl_i, которые можно рассчитать следующим образом. Пусть
через точку п + ^,к — i проходит характеристика A.13), а через
точку п - \,к — | — характеристика A.15)ь Так как величины
10 Победря Б.Е.
289

pU + ^crxx и pU — ^<тхх (римановы инварианты) вдоль характе-
характеристик сохраняют постоянное значение, то в точках границы на
характеристиках выполняются соотношения
Отсюда
- -<ТХ
^ik_i + -ах
Lk_± - -<TXX „-!,*-§•
n,fc-i =
^
Проводя аналогичные выкладки с характеристиками A.13J и
A.15J, получим
V (V + V)+
у(
(
На границе прямоугольника можно поступить точно так же,
чтобы использовать граничные условия. Предположим для прос-
простоты, что граничные условия на левом конце заданы в напряже-
напряжениях. Тогда A.7) могут быть заданы в виде
С другой стороны, вдоль характеристики, проходящей через точку
|,fc— |, выполняются условия
-<rx
о,*,
A.19)
290

Используя граничные условия A.18), имеем
± U A.21)
0,W hk^ xx hk U
VOlfc-i = Vhk.h + 1^ .,*_, - !*(«), A.22)
Аналогичным образом поступают с уравнениями A.11) и ос-
остальными граничными условиями.
Для соблюдения условия устойчивости явной разностной схе-
схемы нужно соблюсти требование
Т=Ь. (а>6). A.23)
'а
а
Численные примеры решения некоторых задач теории упругости
читатель может найти в книге [129].
§ 2. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ D.5), D.6) (за-
(задачу «А») § 4, гл. 5
(ryJC)+X,-=0, B.1)
«.¦I=i=«.9, <тО(ЙКк=5?, B.2)
где согласно D.7) гл. 5
(ту = Рц(е(Ъ)), гц = ^(щ; + и,,,). B.3)
В той же гл. 5 в D.12) сформулировано обобщенное реше-
решение задачи «А», которое совпадает с вариационным уравнением
(формула G.8) гл. 1).
Если существует лагранжиан для задачи «А» (формулаG.30)
гл.1), то ее решение можно отыскать с помощью минимизации
этого лагранжиана.
В гл. 5 мы рассмотрели некоторые итерационные методы, ис-
исходя из «континуальной» (неразностной) постановки задачи «А».
В этом параграфе мы рассмотрим разностный подход к решению
данной задачи, используя результаты, полученные в гл. 6.
Для простоты считаем сначала, что лагранжиан существует,
а область V представляет собой прямоугольный параллелепипед,
в котором введена регулярная сетка.
10* 291

По правилам, описанным в § 4 гл. 6, составим разностный
аналог лагранжиана Ch и получим согласно D.13) систему раз-
разностных уравнений
B.4)
вообще говоря, нелинейных. Таких уравнений будет 3(iVi + l)(JV2 +
1)(-^з + 1) и столько же переменных 3,-^,-^,-j, где i\ = 0,1,... ,N\,
i2 - 0,1 iV2, is = 0,1,...,ЛГ3.
Запишем систему B.4) условно (опуская индекс К) в виде
L(u) = f, B.5)
где / — известные величины, внутри области — разностный
аналог объемных сил, а на ее границе — комбинация объемных и
поверхностных сил (либо заданных перемещений), составленных
так, что разностная схема B.5) является устойчивой.
Для решения системы B.5) согласно B.4), B.5) гл. 5 может
быть выбрана итерационная схема
Лт(г/т+1)) = Ат(и^) - /?т[Д«(т))], B.6)
где Ат — некоторые операторы, связанные каким-то образом с
оператором L{u). Например, Ат может быть оператором, соот-
соответствующим определяющим соотношениям D.17) со свойствами
D.19) (гл. 5). В качестве Ат может выступать оператор, являю-
являющийся производной по Фреше от оператора L(u). В этом случае
рассматривается метод Ньютона-Канторовича [3], имеющий более
быструю сходимость, чем рассмотренный для «континуального»
случая быстросходящийся метод (§ 5, гл. 5). Если оператор
L(u) является линейным, то в качеств? Ат могут быть выбраны
эквивалентные ему по спектру операторы (см. B.17) гл. 5). В за-
зависимости от выбора Ат выбираются и итерационные параметры
(см., например, формулы A.48), A.50), D.33) гл. 5).
Если задача решения системы разностных уравнений B.6), т.е.
перехода от га-го приближения к га + 1-му, представляет труд-
трудность, можно организовать внутренний цикл согласно описанному
в конце § 2 гл. 5 двухступенчатому методу.
Обозначим
i> = t/m+1\ g = Л»(«(т)) - /?т[Д«(т)) - /]• B.7)
Тогда имеем
^ Bp(vM) - 7P[Am(v^) - g]. B.8)
292

Про операторы Вр и итерационный параметр -ур можно сказать
все то, что было сказано про операторы Ат и параметры (Зт.
Если решение системы B.8) при переходе от р-го приближения
к р + 1-му вызывает трудность, можно внутри этой процедуры
организовать еще один итерационный цикл. Обозначим
(v^)-g]. B.9)
Тогда получим
D,(u;<«+1>) = ?,(«;(«>) - 6q[Bp(w^) - h] B.10)
и т.д.
Заметим, что внутренние циклы B.8), B.10), как правило,
содержат небольшое число итераций соответственно Р и Q (р =
0,1,..., Р, q - 0,1,..., Q). Так что в B.7) и B.9) можно положить
V(P) = u(m+l)| „@) =«("), W(Q) = V(P+1\ «;(»)= »W. B.11)
Числа Р и Q находятся теоретически или численным эксперимен-
экспериментом из условия наилучшей сходимости внешнего цикла [95].
Упражнение 2.1. Показать, что трехступенчатый цикл B.6),
B.8), B.10) эквивалентен одноступенчатому
Ат(Е - TP)-1«(m+1) = Ат{Е - ТР)~1и^ - /Ub(«(m)) - Л, B-12)
где разрешающий оператор Тр имеет вид
Tp = Sp-1Sp-2...S0, B.13)
а каждый оператор перехода в B.13)
Sp = E-lpB;lAm, B.14)
где оператор Вр имеет вид
Bp = Bp(E-fQ)-1, B.15)
где
rQ = SQ_1SQ_2...S0; Sq = E-6qD-lBp, q = O,l,...,Q. Ш
B.16)
При переходе с одной ступени на другую в многоступенча-
многоступенчатом методе операторы обращения Am, Bp, Dq выбираются так,
что каждая последующая группа проще для обращения, чем пре-
предыдущая. При таком упрощении мы добираемся, наконец, до
19* 293

факторизованных операторов, которые легко обращаются с по-
помощью метода переменных направлений (см. § 2, 3 гл. 5), либо
до операторов, которые обращаются непосредственно, например,
методом быстрого преобразования Фурье.
Как мы видели, итерационные параметры /?m, yp, 6q легко
находятся, если известны константы спектральной эквивалент-
эквивалентности соответствующих операторов (см., например, A.48) гл. 5).
Однако такие константы известны далеко не всегда. Поэтому ите-
итерационные параметры часто вычисляются при выполнении самих
итерационных процедур из условия, например, минимальных по-
погрешностей [110]. Такой способ выбора итерационных параметров
называется их адаптацией. Как уже было отмечено, разностная
задача B.4) реализуется на прямоугольной сетке, если область
V является прямоугольным параллелепипедом. Для шара в сфе-
сферической, а для.цилиндра в цилиндрической системах координат
также может быть введена прямоугольная сетка. Если для рас-
рассматриваемого тела V введена криволинейная система координат,
в которой может быть выбрана прямоугольная сетка, то область
V называется канонической.
Случай, когда область V является совокупностью каноничес-
канонических областей, т.е. может быть разбита на подобласти (блоки) Va,
каждая из которых является канонической, будет рассмотрен в
§ 5, а пока сделаем несколько замечаний для случая, когда один
из блоков Vp каноническим не является. Отобразим Vp на канони-
каноническую область Vp, т.е. введем взаимно однозначное соответствие
между локальными координатами ха (а = 1,2,3) области Va и
локальными координатами ж„ области V?:
Можно также установить взаимно однозначное соответствие меж-
между узлами сетки в Va и V*, причем в V* введена прямоугольная
сетка
*Zi = haia (a = 1,2,3, ia = 0,1,..., Na). B.18)
Так как лагранжиан обладает свойством аддитивности, то для
области V* он может быть составлен по правилам, рассмотрен-
рассмотренным в § 4 гл. 6 для прямоугольной сетки. Для такой сетки и
составляются разностные уравнения типа B.4).
Итак, переход от неканонического блока к каноническому по-
потребует, возможно, введения дополнительной ступени в итераци-
итерационном цикле вида B.6), B.8), B.10).
Решению пространственных задач теории упругости описан-
описанным в этом параграфе методом посвящены работы [92, 93, 133].
Решение задач терии упругости в напряжениях в постановке,
описанной в § 8 гл. 1 [48, 78], в том числе и методом функций
штрафа, обсуждается в монографии [95].
294

§ 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛОВ
Одним из методов решения задач теории упругости является
метод источников. Он заключается в следующем. Так как тензор
перемещения Кельвина [/,¦ E,?) удовлетворяет уравнениям Ламе
всюду, за исключением точки х = ?, то выражение
N
= ?UtB), фк = иЮ(хЛ(к)) C.1)
Jt=i
(где ?(д.) означает, что точка ?(j.) фиксирована) также удовлет-
удовлетворяет уравнениям Ламе всюду, за исключением точек х = ?(k)i
к — 1,... ,N. Расположим точки ?().) на некоторой замкнутой по-
поверхности ?', называемой вспомогательной поверхностью. Тогда
если упругое тело, заключенное в объеме V, расположено строго
внутри вспомогательной поверхности ?', то функции вида ф^\х)
C.1) удовлетворяют уравнениям всюду в V. Если рассматрива-
рассматривается первая краевая задача теории упругости, то на границе ?
тела V нужно, чтобы
N
X) с* <Ыу) = ««(?), уе?, C.2)
где Cjt — некоторые постоянные, аи0 — заданный на границе
вектор перемещений. Если же решается вторая краевая задача,
то нужно, чтобы
5
t=i
~ <г{фк),
где Dk также некоторые постоянные, a S0 — заданные поверхнос-
поверхностные силы. Если N = оо, то система {фк^-х является полной
[53], но система {^jt}^! таковой не является, ибо произвольное
смещение тела как жесткого целого ортогонально ко всем фун-
функциям этой системы. В последнем случае нужно рассмотреть
систему {?jt}jfci_5, где <р0, ?_i, 0_2, ф-з, ф-4, ф-ь — произволь-
произвольная линейно независимая система векторов смещения тела как
жесткого целого. Такая система оказывается линейно независи-
независимой и полной в L2*(E). Доказательства этого положения даны в
[45]. Присоединенные векторы смещения тела как жесткого це-
целого в ходе вычисления не участвуют, ибо, как известно, вторая
295

краевая задача определяет вектор перемещения с точностью до
произвольного вектора жесткого смещения. Для приближенного
решения задачи теории упругости полагают N конечным и оп-
определяют величины Ск и Dk, к = 1,2,... ,N, методом коллокаций
или методом наименьших квадратов.
В § 3 гл. 2 выведены интегральные уравнения задачи теории
упругости. Лля первой краевой задачи, когда на границе тела ?
заданы перемещения и?, решение ищется в виде
Ui = J Р?\у, x)Pk{y) dZy + и'{, C.4)
C.5)
v
При этом для плотности р(у) имеется интегральное уравнение
?\у, П)Рк(П) dE, = и°(у) - «{(»)> C-6)
где х = | для внешней краевой задачи и х = — | для внутренней.
Для второй краевой задачи теории упругости, когда на гра-
границе S заданы поверхностные силы Sf, решение ищется в виде
s
а для плотности p(rj) имеется интегральное уравнение
е
*Рг(у) + J Нк)(П,У)Рк(П) ^ = S°(y) - kju'j|s, C.8)
s
где х = | для внутренней краевой задачи и х = — ^ для внешней.
Заметим, что важным обстоятельством для исследования син-
сингулярных интегральных уравнений основных пространственных
задач теории упругости является тот факт, что интегральные опе-
операторы в C.6) и C.8) являются взаимно сопряженными. С. Г. Мих-
лин [59] доказал, что к полученным сингулярным интегральным
уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. В. Д. Купрад-
зе [44] установил, что интегральные уравнения C.6) и C.8) имеют
только действительные характеристические числа, по абсолют-
абсолютной величине меньшие единицы.
296

Заметим, что при применении методов потенциала решение
трехмерной задачи теории упругости, по существу, сводится к
решению двумерных интегральных уравнений C.6) и C.8). Урав-
Уравнения C.6) и C.8) можно переписать в виде
= affl), C.9)
= a9i(y), C.10)
<x J
где
Tik(y,n) = 2Pik\y,rj) Kik(y^) = 2P[k\n,y),
/J|)
причем для первой внешней и второй внутренней краевых задач
теории упругости а = 1, а для первой внутренней и второй
внешней краевых задач а = — 1.
К решению уравнений C.9) и C.10) можно применить итераци-
итерационный метод. Решение ищем в виде ряда
причем для первой внутренней краевой задачи теории упругости
s
а для второй краевой задачи теории упругости
-/¦
3.14)
где а = 1 для внешней задачи и а = — 1 — для внутренней.
Из-за наличия сингулярных членов в уравнениях C.9) и C.10)
необходимо построить регулярные представления, позволяющие
297

Рис. 41
облегчить численную реализацию сингулярных интегралов. По-
Положим, например,
Е
/ A^fc(y,^)P
= -Pi(y)+J Tik
„ C.15)
rfE4.
C-16)
Для разрешимости уравнения C.10) внутренней краевой за-
задачи необходимо точное выполнение условий ортогональности
правой части д,(у) к системе ортонормированных функций соп-
сопряженного уравнения. Это же условие ортогональности должно
быть выполнено и в итерационном процессе для всех функций
Pi (V) в формулах C.14). Однако в процессе численной ре-
реализации вследствие неточности, вносимой при дискретизации
поверхности тела, итерационный процесс расходится. В целях
получения сходящегося алгоритма можно применить следующую
модификацию соотношений C.14) [66]:
C.17)
Здесь r/>(')(r/), q = 1,...,6 — полная ортонормированная система
собственных вектор-функций уравнений C.9).
Для проведения расчета можно воспользоваться алгоритмом
[66].
Поверхность тела разбиваются на некоторое множество кри-
криволинейных элементов (многоугольников) (рис. 41).
298

Вершины многоугольников называются основными точками и
обозначаются ут (т = 1,2, ...,М). Центры тяжести многоуголь-
многоугольников называются опорными точками и обозначаются через rjn
(п = 1,2,... ,N). Таким образом, N — число криволинейных
многоугольников, М — число основных точек.
Зададим нулевое приближение плотности во всех основных
точках согласно C.13) р\ (ут) = —fi(ym), i — 1.2,3, или сог-
согласно C.14) р\ (ут) = agi(ym). Значение плотности в опорных
точках р\ (rjn) определяем как среднее арифметическое значений
плотности в вершинах рассматриваемого криволинейного прямо-
прямоугольника
*0)f ??Ч), C-18)
где /Зп — число вершин n-го прямоугольника. Далее переходим к
вычислению значений плотности р\ (ут) в основных точках. Для
этого используем соотношения C.13) или C.14) и регулярные пре-
представления C.15) или C.16) для сингулярных интегралов. Тогда
каждое слагаемое в интегральной сумме будет представляться
как произведение подынтегрального выражения, вычисленного в
опорной точке, на площадь области, соответствующей данной
опорной точке (меру данного элемента). Определив таким об-
образом значения р\ (ут) во всех основных точках, вычисляем по
формуле C.10) значение плотности в опорных точках и т.д.
Описанный алгоритм можно модифицировать, выбирая различ-
различным образом множество основных и опорных точек.
§ 4. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО
В основе методов Монте-Карло (методов статистических испы-
испытаний), применяющихся в различных областях вычислительной
математики, лежит так называемое моделирование статистичес-
статистического эксперимента с помощью ЭВМ и регистрация числовых
характеристик, получаемых из этого метода. Как правило, ошиб-
ошибка метода не может быть достаточно хорошо оценена заранее и
чаще всего находится путем определения средних квадратичных
для моделируемых величин.
Идея самого распространенного метода заключается в пост-
построении случайного процесса, характеристики которого являются
искомыми величинами для некоторой детерминированной зада-
задачи [119]. При этом приближенное определение этих величин
происходит путем приближенного вычисления статистических ха-
характеристик, связанных с введенным случайным процессом.
299

Простейшим примером применения
статистических испытаний для получе-
получения детерминированной величины может
служить задача определения площади S
некоторой плоской фигуры (рис. 42). Зак-
Заключим эту фигуру в единичный квадрат
и призовем на помощь датчик случайных
чисел. В качестве такого датчика может
быть выбрана таблица случайных чисел,
генератор псевдослучайных чисел, име-
имеющийся на ЭВМ, и т.п. Возьмем два
случайных числа, лежащих в диапазоне
О ^ ?i,&2 ^ 1, и примем их за координаты
случайной точки, «брошенной» на квадрат Д. Пусть брошено N
таких точек и TVi из них попали внутрь заштрихованной фигуры.
Тогда приближенно принимается
Рис. 42
N
D.1)
Интуитивно ясно, что чем больше будет брошено точек и чем
надежнее работает датчик случайных чисел, тем точнее будет
полученный результат.
Пусть теперь требуется решить систему алгебраических урав-
уравнений
Lx = f (LijXj=fi, j,j=l N). D.2)
Например, система D.2) может быть получена в результате приме-
применения разностного метода. Очевидно, эту систему всегда можно
представить в виде
х = Ах + b
+
D.3)
Предположим, что все собственные значения матрицы А по мо-
модулю меньше единицы. Тогда, очевидно, система D.3) имеет
единственое решение, которое может быть найдено методом прос-
простой итерации, описанным в гл. 5.
Выберем теперь для матрицы А такие числа pij, i,j = 1,... ,ЛГ,
что выполняются два условия:
1) Pij i? 0) причем pij > 0, если aij ф 0;
2) Еру < 1, »• = 1,...,лг.
Полученную таким образом квадратную матрицу N х N допол-
дополним еще одной строкой и столбцом по закону
pN+1 j = 0, j=l,...,N,
Pi ЛГ + 1 = I"
D-4)
3 = 1
300

Полученную матрицу П назовем матрицей перехода:
П =
/ Pi I Pi2 ¦¦¦ Pin Pin+i \
P21 P22 ¦¦¦ P2N P2N+1
D-5)
PNl PN2 ¦¦¦ PNN PNN+1
\ 0 0 ... 0 1 /
Дадим теперь интерпретацию матрицы перехода. Для этого
рассмотрим гипотетическую блуждающую частицу, обладающую
конечным числом возможным состояний, которые несовместимы
между собой. Обозначим эти состояния
ki,k2,...,kN,kN+i.. D.6)
Каждое из чисел кт принимает целые значения 1,2,... ,N + 1.
Вероятность того, что частица переходит из состояния ki в сос-
состояние fc|+i, равна
P{km+i=j\km = i}=Pij. D.7)
Состояние ki\i+i = Г («граница» или «поглощающий экран») со-
соответствует остановке частицы, ибо в силу условия Pn+ij — О
переходы из состояния fcjv+i в состояние kj при j < N + 1 не-
невозможны.
Итак, по заданным числам pij можно построить цепь случайных
блужданий частицы D.6). Такие цепи в теории вероятностей
называются цепями Маркова с конечным числом состояний N + 1.
Пусть kq — некоторое состояние, отличное от граничного, q <
Лг + 1. Рассмотрим случайное блуждание частицы, начинающееся
в данном состоянии кч — кЧх и после ряда состояний кЯ2, кЯз,..., kqN
заканчивающееся на границе: fc?N+1 = Г. Совокупность состояний
называется траекторией. Число
w_ aklk2ak2k3 ¦¦¦<lkN-1kN
Рк1к2Рк2кз ¦¦¦PkN-lkN
называется весом вдоль траектории. Формулу D.9) можно запи-
записать в виде рекуррентного соотношения
^^ w1 = l. D.10)
Г kg—1K
301

Введем теперь случайную величину ? как функционал вдоль
траектории D.8):
лг
WA,. D.11)
где bj (j = jfcj,..., кн) — соответствующие свободные члены сис-
системы D.3).
Теорема 4.1. Если все свободные значения матрицы А по
модулю меньше единицы, то математическое ожидание случайной
величины D.11) является решением системы D.3):
МЬ = х{ (* = 1 JV). D.12)
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [119].
Для экспериментального определения величины М?,- органи-
организуют К случайных блужданий со случайными траекториями Tj- '
(к = 1,..., К) с начальным состоянием &,- и каждый раз регистри-
регистрируют значение, соответствующее значению случайной величины
&. Если испытания независимы между собой и величина ?,- име-
имеет ограниченную дисперсию, то в силу закона больших чисел
при достаточно большом К с вероятностью, близкой к 1, будет
справедливо неравенство
К
X; - —
< е, D.13)
где е — заданная погрешность. Таким образом, решение
системы D.3) приближенно может быть определено по формуле
1 К
t- D.14)
Рассмотрим теперь решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа методом Монте-Карло. Пусть требуется решить урав-
уравнение
Д« = /(*) D.15)
в некоторой двумерной области G с границей Г и пусть заданы
граничные условия
«|г = *(*)• D.16)
Определим в области G случайную траекторию
),...,QN(x),...} D.17)
302

следующим образом. Пусть нам нужно найти решение задачи
D.15), D.16) в точке Ро{х). Тогда положим Qo = Ро и из точки Qo
как из центра проведем окружность произвольного радиуса Го, а
на этой окружности выберем случайную точку Qi, Qi = Qo + ^oWo-
Далее, из точки Qi как из центра проведем окружность произ-
произвольного радиуса Гх, и на этой окружности выберем случайную
точку Q2 и т. д.:
Qn+i =Qn + rnun, n = 0,l,..., D.18)
где
шп = {cos ipn,sin <pn}, D.19)
a ipn — некоторый угол, равновероятно распределенный на от-
отрезке @,2тг). Далее, г„ — произвольный радиус окружности, т.е.
задана некоторая плотность рп('>), причем р„(г) = 0 для всех г,
превосходящих наименьшее расстояние от точки Qn до границы
Г и при г < 0. Поэтому выбор гп осуществляется в соответствии
с плотностью рп(г)-
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2. Если функция и(Р) удовлетворяет в области
G уравнению Лапласа D.15), то при каждом п и при любых
го,Г1,...,г„ математическое ожидание Mu(Qn+i) равно значению
и(Р0) в начале траектории.
В самом деле, пусть <1п{Р) — плотность распределения точки
Qn в области G. Математическое ожидание величины u(Qn+i) =•
u{Qn + гпшп) равно
+ оо 2»
Mu(Qn+1) = Jqn{P)dP J Pn(r)drju(P + ru,)^-. D.20)
По теореме о среднем для гармонической функции
2»
J u(P). D.21)
о
Поэтому
Mu(Qn+1) = У u(P)qn(P) dP = Mu(Qn). D.22)
G
При п = 0 и Qo = Ро- Поэтому u(Q0) = и(Р0) и M(Q0) = Ми(Р0).
По индукции получаем
Mu(QB+i) - Mu(Qn) = ¦¦¦ = Mu(Q0) = «(Ро), D.23)
303

Рис. 43
что и требовалось доказать.
Воспользуемся теперь случайной траекторией для решения
задачи Дирихле уравнения Лапласа.
Зафиксируем малую окрестность Г? границы Г (рис. 43). Для
того, чтобы вычислить и(-Ро) в некоторой точке Pq, будем строить
траектории вида D.17) до тех пор, пока точка Qn{x) = Qr не
попадет в область G?, ограниченную поверхностями Г? и Г. Пусть
Рг — ближайшая к Qr точка границы Г. Будем считать, что
значение случайной величины в точке Qr приближенно равно
w(Qr) * 9(Рг)- Построим N траекторий такого типа и по ним
оценим решение. Можно доказать, используя теорему 4.2, что
Mu{QVl) = и(Ро),..., Mu(QrN) = и(Р0).
Пользуясь оценкой D.14), имеем
D.24)
Mu(QrN) « - ^ «(Qr J « - ^ ff(/Vm). D.25)
T7l=l TTl^l
Следовательно,
D.26)
Легко показать, что вероятность попадания случайной точки в
область Gt не равна нулю. Изложенный метод решения задачи
Дирихле для уравнения Лапласа называется методом блуждания
по сферам.
304

Эта схема мажет быть применена к решению задач теории
упругости. Рассмотрим, например, первую краевую задачу тео-
теории упругости для трехмерного односвязного тела, занимающего
объем V. Пусть Е — поверхность, ограничивающая этот объем,
а Е? — поверхность внутри V, отстоящая от Е на расстояние е.
Обозначим Vt объем, заключенный между поверхностями Е и Е?,
и V° — объем, ограниченный поверхностью Е?. Пусть требуется
решить задачу теории упругости для области V
grad div и + A - 2i/)Aw = 0 D.27)
с граничными условиями
2|Е = и0. D.28)
Заметим теперь, что если на сфере Sp с центром в точке Р(х)
задано перемещение й°(у), у ? Sp, то перемещение в центре этой
сферы Р(х) может быть вычислено по формуле
Т
Р sP
J 4B, уК(у) dSP(y), D.29)
где матрица А(х, у) имеет вид [52]
А^ГУ) = 8^ [{Х'-Ш)г^-^ + A - 4„)*,] , D.30)
причем через Гр обозначается радиус сферы Sp с центром в точке
Р(х), а г2 = (х{ — Vi){xj — щ). Окружим теперь точку Р(х) ? Ve
сферой Sp с радиусом Гр, равным кратчайшему расстоянию от
точки Р(х) до границы Е. Выражение D.29) представим в виде
1 ( f f - \
и(Р) = -—-\ A(P,Q)u°(Q)dSP(Q)+ A(P,Qi)u°(Qi)dS(Qi)),
4тггр \J J J
D.31)
где
ae с n V с" С \ С«
Op — Op II Vf^ op — Op \ Op.
Первый из интегралов D.31) является известной функцией ко-
координат точки Р(и). Вектор u°(Qi), где Q\ g SP, может быть
также представлен в виде среднего по сфере Sq1 с центром в
точке Qi и радиусом rg,, равным кратчайшему расстоянию от
точки Qi до границы Е. При этом соответствующий интеграл
по Sqx может быть заменен суммой интегралов по Sqi = Sq1 П Vc
И Победря Б.Б.
305

и Sqj = Sg, \Sqt. Повторив описанную процедуру многократно,
получим выражение
Q. J
l(Q2) dSP(Qi)+..
¦ ¦ ¦ A(QN-UQn)u°(Qn) dSq»^(QN) ¦ ¦ ¦
• • ¦ A{QN-U Qn)u°(Qn) dSq^ (QN)... dSpiQi). D.32)
Ломаная PQ1Q2 ¦ ¦ ¦ Qn интерпретируется как траектория блужда-
блуждания некоторой точки в области V. В соответствии с этим пре-
представление D.32) показывает, что вектор перемещения и(Р) может
быть истолкован как среднее от функционалов специального вида
по траекториям, исходящим из точки Р. В самом деле, пусть
в выражении D.29) значения u°(Q) известны. Тогда вычисление
й(Р) сводится к интегрированию по сфере Sp известной функции.
Метод вычисления определенных интегралов реализуется сле-
следующим образом. Вектор й(Р) в соответствии с D.29) вычисля-
вычисляется как среднее произведений А(Р, Q)u(Q).
Поскольку в данном случае все случайные точки находятся в
Sp, то каждая траектория блужданий состоит лишь и? отрезка
P,Q, т.е. результат действительно есть среднее произведений
А(Р, Q)u{Q) по всей совокупности реализованных одношаговых
траекторий, исходящих из точки Р. А интегралу
Q D33)
...A(Qi-l,QiWQi)dSQi_l(Qi)...dSP(Q1)
ставится в соответствие совокупность траекторий длины i, беру-
берущих начало в точке Р и оканчивающихся в области Vt.
Разделим сферу 5 на п равновеликих элементов А,-. Из об-
общего числа М траекторий, исходящих из точки Р, через каждый
306

элемент А,- проходит М/п траекторий (можно предполагать, что
М кратно nN). Поэтому
\Q)u(Q)dS(Q)
М/п
М/п
A(P,Qi,)HQsi) n „,„
Внутреннее суммирование в D.34) распространяется на точки,
попавшие в элемент А,- сферы Sp.
Пусть из п элементов сферы Sp в область Vs попадает п\
элементов. Тогда
и, М/п п М/п ,
^MШ+ Е T,4(P,Q»№Qsi)l
ni + l J = l J
D.35)
Первую из этих сумм запишем в виде
м,
Gi*). D-36)
где Mi = щ^ — общее число траекторий, завершившихся на
первом шаге, Q\k — точки области Sp. Во втором слагаемом
внутреннюю сумму по j приближенно заменим произведением
%A(P,Qu)u(Qu), гДе Qu — некоторая точка элемента А,-. Зна-
Значение u(Qi,-) представим с помощью теоремы о среднем в виде
интеграла по сфере Sq1 :
" M 1 /" 1
+ Е ~^^P'Qli^i^?~ / 4(Q".QJ(Q)<*Sg.(Q) ¦
i=n+l Q>c ^
D.37)
и* 307

Вводя разбиение сферы 5д, на п равновеликих элементов и обоз-
обозначая п-х число элементов, оказавшихся в Vs, получим
П г П2 М/п-2
A(P,QU) Е Е 4(Qu,QjtLQn)+
w=i j=i
n M/n2 1 ч
E E 6{Qu,QjiLQn)\\~
где
. n n
E 4(^Qi.L(QinQ2,
Здесь, аналогично предыдущему, М2 — число траекторий, завер-
завершившихся на втором шаге. Остаточный член ife в D.38) отвечает
траекториям, содержащим более двух членов.
Проследив дальнейшее развитие процесса вплоть до траекто-
траекторий длиной N, можно записать
л/, м
=м 1 Е ^Р> Qi*)S(Qi*)+E A{P, Qlk)A(Qlk,Q2k)U(Q2k)+
4=i fc=i
¦ ¦ .+53 4(Р, Qik)A(Qlk,Q2k)... А(Р, Q(N-i)k,QNk)u(QNk) }+Rn-
fc=i > D.39)
Сравнение формул D.32) и D.39) показывает, что описанный веро-
вероятностный процесс реализует приближенное вычисление вектора
перемещений при условии, что в D.32) может быть отброшен по-
последний выписанный там интеграл, а в D.39) можно пренебречь
остаточным членом Д/у-
Заметим, что оценка D.14) и связанная с ней оценка D.26)
назьюаются несмещенными. При их использовании для решения
задач теории упругости сходимость решения D.26) к точному
при N —+ со оказывается плохой вследствие роста дисперсии
элементов произведения случайных матриц в D.32).
Преодолеть возникающие трудности можно различными путя-
путями, например, агорасывал слишком «длинную» траекторию или
308

заменяя матрицы D.30) в таких траекториях на единичную. В
результате получаются смещенные оценки. За подробностями
отсылаем читателя к работе [90], в которой также описывает-
описывается возможность решения динамических задач теории упругости
методом Монте-Карло.
§ 5. МЕТОД БЛОКОВ
Пусть область V составлена из канонических областей V*.
Для решения задач математической физики, и в частности задач
МДТТ, в таких областях в последнее время предложены методы
разбиения на подструктуры, в частности метод блоков. Часто он
называется методом декомпозиции [43, 49, 56].
Для решения задач теории упругости метод блоков был пред-
предложен в [30] и основан на построении матрицы влияния, которая
позволяет по значениям в выбранных граничных точках поверх-
поверхностных сил, действующих на упругое тело, найти перемещения
в этих же точках. Зная такую матрицу для некоторой области
(элемента), можно легко решать задачи для сложных областей,
составленных из таких элементов.
Пусть, например, требуется решить вторую краевую задачу
теории упругости, т.е. уравнения D.27) при граничных условиях
на поверхности
(Affn,- + 2/ieyn,-)B = S?. E.1)
Для разрешимости второй краевой задачи необходима самоурав-
самоуравновешенность нагрузок S0:
[ Q. E.2)
При этом для того чтобы решение было единственным, необхо-
необходимо потребовать, например, чтобы
/u(x)dV = O, /rotwdV = 0. E.3)
v ) J к )
V V
Тогда существует некоторое единственное решение второй крае-
краевой задачи теории упругости, а значит, и тензор Грина G(x,y),
такой, что
3(х) = JG(x,y)S°(y)dZy, xGV. E.4)
309

Поэтому для точки 1) поверхности ? имеем
r??E. E.5)
Однако для большинства практически важных случаев тензор
Грина неизвестен. Потому представляет интерес замена фор-
формулы E.5) приближенным выражением (дискретным аналогом, в
котором тензору Грина G(rj,y) соответстует некоторая матрица
влияния).
Выберем на границе ? тела конечное число узлов {х^}, к =
1,2,... ,N, и пусть п — размерность задачи. Тогда узловые
значения вектора S0 образуют вектор S размерностью N х п.
Например, при п = 3
S = {5?( 2 ? 2
E.6)
По узловым значениям вектора S°(x^), к = l,...,N, можно с
помощью некоторых интерполяционных функций <fk(x) построить
приближенное значение S°(x):
S°(x) = SN(x) + r(x), E.7)
k(x)S°(xW), E.8)
a r(x) — ошибка интерполяции. Вводя обозначение U для вектора
перемещения размерностью N х п, получим
U = AS + R, E.9)
где А — квадратная матрица влияния, R — вектор ошибки
интерполяции размерностью N х п. Будем для краткости писать
ueRN\ seRN\ ReRN\ E.10)
где R^1 — евклидово пространство размерности N1 = Nn.
Матрица А зависит от формы области и коэффициента Пу-
Пуассона v. Вектор R зависит от выбранной интерполяции. При
использовании многочленной аппроксимации условия E.2) могут
быть записаны в виде скалярных произведений в RNl:
(S,Qt) = Q, f = l,...,m, m=n(+1). E.11)
310

Один из способов построения матрицы А заключается в том,
что в качестве ее столбца берется решение второй краевой задачи
теории упругости для области V с поверхностной нагрузкой,
задаваемой в виде векторов
S* = 1к + <*KiPi (K=l,...,N1,i=l,...,m), E.12)
где 1к — векторы, у которых все компоненты нулевые, за исклю-
исключением K-Vl строки, где стоит единица.
Будем далее в этом параграфе считать, что суммирование
по индексам, изображающимся большой латинской буквой, про-
происходит от 1 до Nx, а по индексам, изображающимся малыми
латинскими буквами, — от 1 до т.
Векторы Р,- подбираются так, чтобы, во-первых, каждый из
векторов S/c был самоуравновешенным и, во-вторых, чтобы ко-
коэффициенты а/с,- из условия самоуравновешенности находились
однозначно. Для этого, как нетрудно видеть, необходимо и дос-
достаточно, чтобы
det|(P<lQi)|9?0. E.13)
Упражнение 5.1. Показать, что из условия E.13) вытекает, что
система векторов Р,- принадлежит линейной оболочке, натянутой
на векторы Qy. ¦
Тогда матрица А будет составлена из столбцов (обозначим их
U/с), получающихся при решении второй краевой задачи теории
упругости с поверхностными силами E.12). Отсюда видно, что
матрица А будет, вообще говоря, зависеть от выбора векторов
Р;. Покажем, однако, что если нагрузка S является самоурав-
самоуравновешенной:
S = sKlK) (S,Qj) = O, E.14)
то соответствующий вектор перемещения будет получаться сле-
следующим образом:
U = sKUK, E.15)
т.е.
A.S = sKASK. E.16)
В самом деле, имеем
sKSK = sKIK + sKaKiPi = S + sKaKiPi. E.17)
Но из условий самоуравновешенности нагрузок
(S*r,Qj) = O, (S,Q,) = 0 E.18)
311

следует, что
«***.-(P.-,Qj) = 0. E.19)
Отсюда и из условия E.13) имеем
skaKiPi = 0. E.20)
Поэтому
sKSK = S, E.21)
а следовательно, выполняются E.15) и E.16), что и требовалось
доказать.
Упражнение 5.2. Показать, что матрица А, построенная опи-
описанным выше способом, является сингулярной (вырожденной). ¦
Для численного построения матрицы А для двумерной области
в виде квадрата была использована разностная схема, полученная
вариационно-разностным методом, описанным в гл. 5.
Отметим некоторые свойства матрицы А. Заметим прежде все-
всего, что матрица А определена не единственным способом. Ведь
эта матрица зависит от выбора векторов Р,- 6 Rm, а действу-
действует, вообще говоря, на пространстве Клг,_т самоуравновешенных
векторов, которое является ортогональным дополнением к прос-
пространству Rm.
Условия единственности решения второй краевой задачи тео-
теории упругосаи E.3) можно также переписать в виде
(U,V,) = 0, E.22)
где V; — некоторые линейно независимые векторы, принадлежа-
принадлежащие некоторому ?л-мерному подпространству пространства R./V,-
Из матрицы А можно выделить такую матрицу Ах, которая при
действии на вектор нагрузки из Н (линейной оболочки, натянутой
на векторы Q,) дает нуль.
Упражнеие 5.3. Показать, что матрицу А можно представить
в виде
А = А.! + А2, А2 = atjWi <g> Q;, E.23)
причем
AjS^U, AiS2 = 0, A2S1=0, A2S2 = U2, E.24)
вектор нагрузки S разлагается на сумму S2 Е Н и Si 6 Rat,/#, a
вектор и2 определяет смещение тела как жесткого целого. ¦
312

Для плоской задачи теории упругости можно вьывить явную
зависимость матрицы А от упругих постоянных. В самом деле,
для плоской деформации
\-v2 ( v \
uj = —^— (<?ij - YZ~€ik€JI<TkI) > I'>J')* ~ 1>2>
E.25)
а для плосконапряженного состояния
1 ,
, i,j, к = 1,2. E.26)
Так как в односвязной области для плоского случая решение
второй краевой задачи теории упругости не зависит от упругих
постоянных, то деформации е,;- для односвязной области с коэф-
коэффициентом Пуассона v выражаются через деформации e\j и ??;-
для той же области соответственно с коэффициентами Пуассона
v\ и vi по формуле
ey=/?ej,.+(l-/?)??-, E-27)
где
^^ E.28)
Поэтому матрица А для коэффициента Пуассона v выражается
через матрицы Ai и Аг соответственно с коэффициентами Пуас-
Пуассона i>! и i>2 следующим образом:
A = /3Ai+(l-/?)A2. E.29)
Заметим, что вычисление матриц влияния А требует значи-
значительных усилий. Однако сама идея использования этих матриц
может быть применена к решению разностных уравнений типа
B.6), B.8), B.10).
Вводя обозначения B.7), перепишем уравнение B.6) в виде
Bv = g, E.30)
где В = Ат. Разностная схема B.6), а значит, и E.30), получена
нами вариационно-разностным методом. Поэтому во входные дан-
данные д входят значения ?/т), являющиеся основными граничными
условиями, или величины S^m\ представляющие собой естест-
естественные граничные условия для оператора Ат (или В). Если
рассматриваемая область является канонической, то трудностей
для обращения оператора В в E.30) не возникает. Если же
313

область поделена на канонические блоки, стыкующиеся между со-
собой, по поверхности Г, не являющейся границей для всей области,
то на такой поверхности, общей для, например, двух блоков, мы
задаем величины U\ и 5"i для одного блока и U2, S2 Для другого.
Пусть для каждого из этих блоков известны матрицы влияния
Ai и А2 соответственно. Обозначим Ьцг) и tfyr) перемещения в
узлах поверхности Г, возникающие при решении уравнений E.30)
для каждого блока.
Тогда имеем
Ui = A1S1 + UKr), U2 = A2S2 + U2{r). E.31)
При этом из условий непрерывности имеем на Г
Ui = U2, Si + S2 = 0. E.32)
Тогда для определения вектора Si получаем из E.31) и E.32)
разностную систему
(Ai + A2)Si = ?/2(Г) - Um, E.33)
которую можно решить описанным выше итерационным способом.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ МАЛЫХ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Сходимость итерационных методов, рассмотренных в § 2, обес-
обеспечивается выполнением условий E.4) гл. 5, накладываемых на
определяющие соотношения.Для теории малых упругопластичес-
ких деформаций, рассмотренной в § 4 гл. 2, эти условия имеют вид
0 < 2/iiy ^ — ^ — ^ 2/х, F.1)
или
0^w^w+eu^-^l-i7<l, F.2)
для случая мягкой характеристики, т.е. когда кривая <ти ~ еи
(см. рис. 6) имеет выпуклость вверх. Если же рассматривается
жесткая характеристика, т.е. кривая имеет выпуклость вниз, то
соотношения F.1) и F.2) заменяются соответственно на
2/х ^ — ^ ^ ^ 2fim < со, F.3)
dui
-оо< 1-^ ^w + ?u—^w^O, F.4)
314

где г) и т)х — некоторые положительные числа.
Таким образом, исследуемые нами итерационные процессы
сходятся для достаточно произвольной кривой <ти ~ еи, лишь бы
она не имела горизонтальных и вертикальных касательных при
?и < ОО.
Упражнение 6.1. Показать, что в случае мягкой характерис-
характеристики из F.1) и F.2) следует неравенство E.4) гл. 5, причем
mi = ттBцт),ЗК), Мх = тахBц,Ш). F.5)
Упражнение 6.2. Показать, что в случае жесткой характерис-
характеристики из F.3) и F.4) следует неравенство E.4) гл. 5, причем
пц = ттпBц,ЪК), Мх = maxB/*?7i,3A'). F.6)
Упражнение 6.3. Показать, что условия D.19) гл. 5 будут
выполнены, если в качестве рц взять оператор Ламе теории
упругости, а
то = г), Мо = 1 F.7)
в случае мягкой характеристики и
т0 = 1, Мо = ?71 F.8)
в случае жесткой характеристики.
Упражнение 6.4. Показать, что условия E.46) гл. 5 будут
выполнены, если для мягкой характеристики
или
-оо< l-?i ^ fi + o-u-—^f2^0, F.10)
а<ти
причем
Упражнение 6.5. Показать, что условия E.46.) гл. 5 будут
выполнены, если для жесткой характеристики
или
^-^l-^< I, ?>0, F.13)
315

причем
/ f 1 \ / 1 1 \
¦ F.14)
Квазистатические задачи теории малых упругопластических
деформаций могут быть решены методом, описанным в § 2, где
в качестве операторов Ат в B.6) выбираются функциональные
производные оператора L теории малых упругопластических де-
деформаций, в качестве операторов Вр в B.8) — операторы Ламе
теории упругости, а в качестве операторов Dq в B.10) — опера-
операторы Лапласа, обращаемые прямыми методами.
Подобным образом задачи теории малых упругопластических
деформаций решались в работах [94, 95, 132, 133].

Глава 8
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
§ 1. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И
^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим изотропную линейную вязкоупругую среду, в ко-
которой связь между напряжениями и деформациями описывается
соотношениями E.12) и E.13) гл. 2:
8ij = j T(t - r)e«(r) dr = fey, a = J Ti(t - тЩт) dr = trf A.1)
о
или
t
Sij = I R(t- t) deij{r) = кец, a - f Ri(t - r) d0{r) = hrf. A.2)
о о
Если используются соотношения A.1), то удобно применить к ос-
основным уравнениям теории вязкоупругости преобразование Лап-
Лапласа, описанное в приложении II. Если же используются соотно-
соотношения A.2), то более удобным является преобразование Лапласа-
Карсона, которое каждой функции-оригиналу /(<) ставит в соот-
соответствие функцию-изображение /*(р) по формуле
оо
f*(p)=pje-rtf(t)dt. A.3)
о
Рассмотрим динамическую задачу изотропной линейной тео-
теории вязкоупругости, которая заключается в решении уравнений
движения
Ри- = xt + if д«,- + (г! + if) eti (i.4)
317

при выполнении некоторых граничных условий, например,
;-|Еа=5Р, A.5)
и начальных данных:
при t = 0 к,- = С/,-, «| = Vt. A.6)
Тогда после применения преобразования Лапласа получим задачу
в изображениях:
pP2u* - pUi -Vi= X* + -ГДи* + ( г; + -Г ) 0% A.7)
;|a (r
Решив задачу A.7), A.8) в изображениях, нужно вернуться с по-
помощью обратного преобразования Лапласа к оригиналам, чтобы
получить искомое решение. Если рассматривается квазистати-
квазистатическая задача теории вязкоупругости, то в формулах A.7), A-8)
нужно положить р = О, Ui = О, Vj = 0.
Заметим, что, хотя формально задача A.7.), A.8) напоминает
задачу теории упругости, все же решение задачи теории вязкоуп-
вязкоупругости методом преобразования Лапласа вызывает определен-
определенные трудности из-за сложности выполнения операции обратного
преобразования Лапласа.
При применении преобразования Лапласа, так же как и при-
принципа Вольтерры, рассмотренного в § 5 гл. 2, большое значение
имеет аналитическая форма задания ядер релаксации и ползу-
ползучести. Обычно экспериментально найденные значения этих ядер
задаются дискретным набором значений, соответствующих неко-
некоторым фиксированным временам, чаще всего через равные про-
промежутки времени. По этим экспериментальным значениям строят
различными методами аналитические аппроксимации ядер в спе-
специальной форме. Известны такие аналитические представления
Ю.Н. Работнова, М.А. Колтунова, А.П. Вронского, А.Р. Ржани-
цына [33, 90] и др. Такая аналитическая аппроксимация часто
является источником дополнительных погрешностей, ибо трудно
дать аналитическое выражение ядра, хорошо описывающее экспе-
экспериментально найденное на достаточно большом временном интер-
интервале. В следующем параграфе указывается метод, не требующий
аналитического описания ядер релаксации и ползучести. Для
получения численного решения задачи теории вязкоупругости
также нет необходимости производить аналитическую аппрокси-
аппроксимацию экспериментальных значений. Пусть, например, временной
318

отрезок [0,t] разбит на М равных интервалов длиной т точками
0,1,...,М, соответствующими временам <о = 0,<i,<2> • ¦ • >*М = t,
и пусть R°, R1,..., RM — экспериментально найденные значения
функции релаксации R(t) в этих точках. Продолжив разбиение
временного интервала с тем же шагом т до максимального значе-
значения t*, которое нас интересует, найдем из эксперимента значения
RM+1, RM+2, ..., RMl (tMl = тМх = Г). Тогда соотношения A.2)
можно приближенно записать в следующем виде:
м
<тм = J2Rf-i[9i-ei-1] = RTe, A.9)
i = 0
где а1, в1 — значения шаровых частей тензоров напряжений и
деформаций в точке t{ — ту. При этом их значения при от-
отрицательных индексах равны тождественно нулю [75]. Полагая
e{t) = e°h(t), т.е. 0* = 0° (i = 1,2,..., М), получим из A.9)
<rM=fif0°. A.10)
По формуле A.10) определяются значения R^ (M = 0,1,..., Mi)
из эксперимента на релаксацию.
Запишем формулу A-9.) в другом виде:
ам = R\eM + ]Г [tff-' - tff—1]0i. A.11)
»=о
По аналогии с формулами
имеем
T\ = -(R\-R\-1)/T(i=l,2,...,M), r'1 = fj(i>0), Г? = Я?/т.
A.12)
Тогда соотношения A.9) и A.11) можно представить в виде
М
^ = ^rf-0'r=r0. A.13)
i=0
Пользуясь введенными квадратурными формулами, легко вы-
вычислить gp(t) (см. E.20) гл. 2):
м
A.14)
319

Таким образом, для численного решения задач теории вязко-
упругости в качестве определяющих уравнений можно непосредс-
непосредственно использовать квадратурные формулы типа A.9), A.13), от-
отказавшись с самого начала от их аналитической записи A.1), A-2).
Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию уравнений
A.4)
hhh t A.15)
где
A.16)
операторы A,j определены в C.3), C.4) гл. 5. Точно также следует
записать в разностном виде краевые и начальные условия.
В некотором смысле аналогом преобразования Лапласа для
сеточных уравнений может служить Z-преобразование, рассмот-
рассмотренное в приложении III (или ^-преобразование [75]).
Задачу A-16) можно решать по шагам времени. Полагая при
т = 0 «?,,,-., ,-3 = 0> решаем для m = 1, 2,..., М разностную задачу
теории упругости. Для исследования разностной задачи A.16)
совершим Z-преобразование и воспользуемся методом дробных
шагов (§ 3 гл. 5), в результате чего задача сведется к решению
девяти одномерных уравнений, которые можно решить методом
прогонки. Легко видеть, что подобным образом могут быть ре-
решены задачи теории вязкоупругости, в которых ядра релаксации
зависят от температуры, а тем самым от координат [72].
§ 2. МЕТОД УКОРАЧИВАНИЯ ПАМЯТИ
Метод, основанный на применении дробных шагов, разобран-
разобранный в предыдущем параграфе, относится к методу «временных
шагов», т.е. к методу разбиения временного интервала на ша-
шаги и последовательного решения на каждом таком шаге задачи
теории упругости.
Рассмотрим еще один метод, основанный на вариационном
принципе. Определим функционал
t т
w{u]=I{U l[R{t ~т) deij{T) deij(t)+r^~
V 0 0
t t
- f PFi(t - r) dui(r)\ dV-JJ S?(t - t) d«,-(r) dS.
о s2 о B1)
320

В методе Ритца ищется приближенное решение квазистатической
задачи A.4), A.5) «^ в виде
N
(а = 1,2,о), B.2)
где <ра '(t, Xi, жг, жз) (к = О,1,..., N) — координатные функции, при-
причем <ра (t, xi, %2, хз) удовлетворяют кинематическим граничным
условиям A.5), а <ра (t. J"i, ж2, Жз) (к = 1, 2,..., N) — однородным ки-
кинематическим граничным условиям. Подставляя B.2) в B.1) и при-
приравнивая вариацию функционала нулю: 6W{w} = 0, получим сис-
систему линейных интегральных уравнений Вольтерры для определе-
определения «коэффициентов вариации» Cak(t) (а = 1,2,3, к = 1,2,..., N).
Однако при решении возникает трудность размещения в памя-
памяти информации о ядрах релаксации. Для преодоления этой
трудности можно пользоваться приемом, который можно назвать
«укорачиванием памяти». Он состоит в следующем. Функция
релаксации представляется в виде
R(t) = R(t)H(t-U) + R(U), B.3)
где h{t — <*) = 1 — h(t — <*), а «время укорачивания» t* выбирается
из условия
R(U) - Ritco) < 6оЩ0), B.4)
где too — максимально известное время, Sq — наперед заданная
точность. Тогда отличным от нуля в A.9) будут только первые
Мо чисел R\ (t = 0,1,..., Mo), причем Mo вычисляется из условия
B.4), т.е.
RMo <R(too) + 60R@). B.5)
Решение динамических задач теории вязкоупругости при исполь-
использовании сеточных методов не вызывает заметных усложнений по
сравнению с квазистатическими задачами. Более того, оказы-
оказывается, что явная схема для динамической задачи теории вязко-
вязкоупругости может оказаться устойчивой, в то время как анало-
аналогичная схема для соответствующей упругой задачи таковой не
является [76]. Для исследования разностных схем в случае дина-
динамической задачи теории вязкоупругости может быть применено
^-преобразование.
321

§ 3. МЕТОД АППРОКСИМАЦИЙ
Рассмотрим квазистатическую задачу линейной теории тер-
термовязко упругости для изотропной среды E.47), E.48) гл. 2.
Если свойства материала зависят от температуры, то истин-
истинное время t следует заменить на приведенное t' согласно прин-
х
ципу температурно-временной аналогии [33]: V = / (М/ат(г). Как
о
видно, задаче теории вязкоупругости (см. E.47). E.48) гл. 2)
соответствует некоторая задача теории упругости. Из сообра-
соображений размерности решение этой задачи можно представить в
виде E.49) гл. 2.
Если рассматриваемый вязкоупругий материал таков, что ве-
величины v*, а значит и ш*, являются числами, то вязкоупругое
решение получается непосредственно из выражения E.49) гл. 2
заменой ц* на ц* = 2П* и вычислением соответствующих квадра-
квадратур. В противном случае каждую функцию <р(и>) аппроксимируют
аналитическим выражением от ш, заменяют и на и* и «расшиф-
«расшифровывают» это выражение. Каждая сумма <р{ш) представляется в
виде конечной или бесконечной суммы вида
i=0
где /?,¦ — некоторые действительные неотрицательные числа, /?о =
О [70]. После замены др на gl выражение g%f*, входящее в
соотношение C.5), расшифровывается следующим образом:
t
9;r=Jgp(t-T)df(r). C.2)
В работе [33] показано, что ядра <//?(<) могут быть найдены
экспериментально из опыта на ползучесть исследуемого вязко-
упругого образца, параллельно или последовательно к которому
присоединяется пружина с жесткостью, заданной в зависимости
от числа /?.
Задача сильно упрощается, если в представлении C.2) число
N конечное. Тогда вектор перемещений и является рациональной
функцией параметра и.
Это заведомо так в плоской задаче теории упругости, когда
на границе заданы напряжения [74]. Если <р(и>) не является раци-
рациональной функцией, то ее необходимо представить или аппрокси-
аппроксимировать некоторым аналитическим выражением от ш, например,
322

в виде ряда по положительным и отрицательным степеням ш [33]
+N l
(р(ш) = У2 а>и>' ^ bo + b\ui + 62— C.3)
i=-M Ш
или в виде C.1), как следует из теоремы, доказанной в [70].
§ 4. МЕТОД ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
УПРУГОГО РЕШЕНИЯ
Существует лишь незначительное число статических задач
трехмерной теории упругости, для которых известна явная зави-
зависимость от коэффициента Пуассона (или от параметра ш). Поэ-
Поэтому представляет интерес отыскание решения квазистатической
задачи теории вязкоупругости, если при некоторых различных
значениях коэффициента Пуассона либо известна численная реа-
реализация упругого решения, либо оно найдено экспериментально,
например, оптическим методом исследования напряжений.
Обозначим любую из заданных величин pFi, Sf через /, а
любую из заданных величин u?, qj?,- — через \-
Предположим, что
С4-1)
и в задаче E.47), E.48) гл. 2 все / = 0 и все $j(t) = 0 при
j ф 1, a $i(i) = 1. При таких условиях решаем каким-либо
образом упругую задачу. Рассмотрим одну из компонент вектора
перемещения и.
Согласно C.1) имеем
¦ Лад2 + ААд$ + А5/ш + А$и)Ф1, D.2)
где At (г = 1,... ,6) — некоторые функции координат. Задаваясь
теперь определенными значениями и = и>A\ ..., и>G\ получаем в
каждой точке тела систему семи алгебраических уравнений:
..а) _ л , ^2 , Аз , А4 , А5
i = i,...,7).
D.3)
323

Из решения системы D.3) находим в каждой точке тела значения
Ai, 0. При этом если выражение D.2) записано правильно, то
во всех точках величина 0 будет одинакова. Затем положим
Ф2(<) = 1; а остальные Ф;(<) и / — равными нулю и т. д. После
этого записываем решение задачи теории вязкоупругости. Из
выражения D.2) имеем
х
u(t, х,у, z) = Ai(x, у, г)Фх(<) + А2(х, у, z) I g1/2(t - т) <1Ф1(т)+
о
t t
+A3(x,y,z) I g2(t - т)<1Ф1(т) + A4(x,y,z) I gp{t - r)^(r)+
0 0
t t
+A5(x,y,z) Jтг(< - г) Й!(г) + Mix,y,z) fu(t - t) d*i(r). D.4)
о
Некоторые конкретные задачи можно найти в [72, 74, 76]. Точность
вязкоупругого решения можно определить с помощью следующей
оценки:
где
6f = f — /о j 60 = 0 — 0о, f -
причем в качестве 60 можно принять максимальное отклонение,
подсчитанное из таблиц, от 0о = 1/2.
§ 5. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ
ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Пусть требуется решить накоторую краевую задачу для неод-
неоднородной вязкоупругой среды. Уравнения движения имеют вид
Xi = P-gjT' EЛ)
где X — вектор объемных сил, и — вектор перемещения, р(х) —
плотность материала. Пусть заданы некоторые граничные ус-
условия
afjajknk+bfjuj=S'?(x,t), E.2)
324

где на каждой части поверхности Е заданы матрицы a,j, 6,-; и
контактные усилия 5?. Пусть, кроме того, заданы начальные
данные при t = 0:
Щ = Щ(х), ^- = Vi(x). E.3)
Подставляя определяющие уравнения в уравнения E.1) и E.2),
получим систему трех уравнений относительно компонент вектора
перемещения
и граничные условия
bfjuj = S?. E.5)
Таким образом, соотношениями E.3), E.4), E.5) дается постановка
динамической неоднородной задачи линейной теории вязкоупру-
гости в перемещениях (задача «Д»). Аналогично можно дать
постановку квазистатической задачи. Она заключается в реше-
решении уравнений
[Ctjki(S)uikil)]j+Xi = 0 E.6)
при удовлетворении граничным условиям E.5). Назовем эту
задачу задачей «До».
Рассмотрим теперь метод малого параметра для решения
неоднородных задач линейной теории вязкоупругости. Пусть
нам известна температура как функция координат и времени
T(x,i). Тогда мы можем считать также известной универсальную
функцию ау(ж,<) температурно-временной аналогии (§ 5 гл. 2).
Эта функция в достаточно большом диапазоне температур для
многих полимерных материалов хорошо описывается формулой
Вильямса- Л андер а-Фер ри
где Тд — так называемая температура приведения, а коэффи-
коэффициенты С( и С\ определяются экспериментально для многих
полимеров. Для дальнейшего удобно ввести функцию /:
»мЬг E8)
Таким образом, нам известна /(ж&,<) как функция координат и
времени.
325

Пусть теперь на базе этой функции построена некоторая фун-
функция fo(t), зависящая от времени и не зависящая от координат:
fo(t) = (f(xk,t)), E.9)
где угловые скобки в правой части E.9) означают усреднение
каким-то образом заключенного в них выражения по координатам.
Например, это усреднение может быть сделано по объему V,
занимаемому рассматриваемым телом:
E.10)
или, например, можно выбрать в качестве среднего значения
значение фукнции f(xk,t) в какой-то фиксированной точке тела
х = х°:
(f(xk!t))=f(x°,t). E.11)
Теперь известную функцию f(xk,t) представим в виде суммы
следующего вида:
E.12)
При А = 1 соотношение E.12) представляет собой тождество.
Предположим, что величина / G) в каком-то смысле мала
по сравнению с единицей в некоторой области Vq. В этом случае
малым параметром часто называют числовой параметр А. Так
как местное время t' выразится согласно формулам
t t
= Jfo(t) dt + \J[f(x,t) - /0(<)] dt, E.13)
0 0 0
то мы сможем разложить в ряд по степеням А ядро релаксации:
Я(О = Д(о)(<) + А^1^, хк) + \2RV\t, **) + ¦••• E-14)
Решение поставленной задачи для вектора перемещений щ будем
искать в следующем виде:
«.-(*, **) = u?\t, xk) + X^l)(t, xk) + \4f\t, хк) + .... E.15)
326

Подставляя разложения E.14) и E.15) в уравнения равновесия и
граничные условия и приравнивая величины при одинаковых сте-
степенях А, получим последовательность однородных задач линейной
термовязкоупругости.
В работе [71] решена задача о вязкоупругой трубе, армиро-
армированной снаружи тонкой упругой оболочкой. Там же рассмотрен
вопрос о сходимости метода малого параметра.
§ 6. ВЯЗКОУПРУГИЕ КОМПОЗИ1ШОНЫЕ СРЕДЫ
Рассмотрим материал, имеющий периодическую структуру,
т.е. составленный из элементарных ячеек, например, параллеле-
параллелепипедов с характерной длиной стороны /. Пусть теперь все тело
имеет характерную длину L. Наряду с безразмерными координа-
координатами х всего тела (отнесенными к L) введем в каждой элементар-
элементарной ячейке так называемые «быстрые» переменные ? = ж/а, где
а — параметр, равный 1/L. Тогда тензоры ядер релаксации и
ползучести, которые в рассматриваемом случае являются перио-
периодическими функциями координат, можно считать зависящими от
координат?. Ковариантную производную от некоторой функции /
по «быстрым» переменным & будем обозначать через /|*, тогда как
за ковариантной производной по переменной ж,- оставим прежнее
обозначение /,-. Будем обозначать через (/) взятое каким-либо
образом усреднение от функции /(ж,?) по переменным ?.
Заметим, что так как в композиционной среде тензоры ядер
релаксации и ползучести могут быть разрывными функциями
координат, то решения задач «Д» и «До», сформулированных в
§ 5, следует понимать в обобщенном смысле.
Решение задачи «Д» ищется в виде асимптотического раз-
разложения
:i...*,v>/ дтР , у»-ч
p + q=O
где ядра N(?,t,r) являются периодическими функциями быстрых
координат ?, причем Щу = 8tj.
Подставляя F.1) в уравнения E.1), получим
p+q~-l
Таким образом, исходную задачу «Д» локальной неоднородной
теории вязкоупругости мы сведем к задаче нелокальной однород-
однородной теории вязкоупругости.
327

Для определения эффективных характеристик Л*(р' необходимо
рассмотреть две вспомогательные задачи. Первая из них (задача
I) заключается в решении неоднородной задачи теории вязкоуп-
ругости и состоит в рекуррентном определении периодических
ядер N(p\ как следует из F.2):
Задача II состоит в определении величин Л*(р) и
F.4)
Уравнение F.2) можно переписать в виде
p+«=l
где введено обозначение
f
PoStj = -hf\ F.7)
Решение задачи F.6), E.2), E.3) может быть получено методом
малого параметра:
*и;<*}- F-8)
«=о
Подставив это разложение в соотношение F.6) и приравнивая
величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную
¦ последовательность задач линейной теории вязкоупругости для
анизотропной однородной среды:
я2 {*}
hijmnWXm'nj +Х} = р ^2 , F.9)
"YihiimnwXlm + bfjWjk] = Sf{k] F.10)
с начальными условиями:
= ^>, ^ = Vt{k\ F.11)
328

где {к} = 0,1,2,..., a hijki{t,r) = h\°'kl(t,T) — так называемые
эффективные ядра релаксации. Все исходные данные задачи
F.9)-F.11) изменяются при каждой итерации:
(p)
дтР
если {к} = 0,
,{„-,-,} F.12)
Ш > 0
еСЛИ \KI > U>
если{*> = 0'
^^1, если {А} > 0F.13)
} = 0,
если
если {к} = О,
если{*}>фЛ5)
Очевидно, что квазистатическую задачу «До» можно свести к
рекуррентной последовательности задач F.9) при р0 = 0, F.10),
причем в формулах F.12) и F.13) нужно вместо F.5) положить
Заметим, что так как рассмотренный метод основан на асим-
асимптотическом разложении решения по параметру а, то решение,
полученное этим методом, будет тем ближе к точному решению
задачи, чем меньше параметр а, т.е. чем больше ячеек периодич-
периодичности содержит рассматриваемое тело.
Заметит, что, решив поставленную задачу в «нулевом» при-
приближении, мы получим не только среднее, «размазанное» значение
вектора перемещения ft(?,t) внутри каждой ячейки периодичнос-
периодичности, но и локальное перемещение u{x,t), вычисленное по формуле
ui = vi+aNijk(i)vj,k(x),
F.17)
причем для нахождения функций Nijk(?,t,T) нужно решить две
вспомогательные задачи I и II, которые соответственно имеют вид
Ро =
[CiMbNmnk\i]\j = -Ci
hijmn(t,T) l
t, т), F.18)
+ Cijmn(it,r)).F.19)
Значит, в отличие от теории «эффективного модуля», в ко-
котором решение неоднородной задачи заменяется решением од-
однородной задачи с «размазанными» механическими свойствами,
329

мы уже в нулевом приближении в данном случае можем полу-
получить микронапряжения, обусловленные композиционной структу-
структурой материала.
Для нахождения перемещений и,(г, t) нужно решить динамичес-
динамическую задачу линейной анизотропной теории вязкоупругости «Д1»
vhmnk + bfjVj = Sf F.21)
с начальными условиями:
при< = 0 Vi = Ui{x), -^ = Vi{x) F.22)
или квазистатическую задачу «До»
+Xi=Q F.23)
при выполнении граничных условий F.21). Прежде чем применять
различные методы для решения задач «Д1» и «Дд» необходимо
определить эффективную плотность ро, эффективные ядра релак-
релаксации hijki(t,r) и ядра Nijk(?,t,r). Это сделать просто для сло-
слоистой композиционной среды, т.с для случая, когда Cijki(?,t,r)
и Jijki(€,t,i~) зависят-от одной координаты, например ?з- В этом
случае имеем
Nijk(lt, т) = Aijk&t, т) + (Aijk(lt, т)), F.24)
_ г
J ШЗ 13тЗ тЗпЗ пЗ„ k3l3 ,3t] 3,^^
где под C^3j3(?,t,r) понимаются ядра, являющиеся резольвентны-
резольвентными по отношения к ядрам Ci3j3(?,t,r). В частности, если эти
ядра являются ядрами разностного типа, то в формулах F.25)
надлежит поменять величины типа С на величины С и функции
Оз;з(?> 0 найдутся из решения системы интегральных уравнений
Вольтерры
J Ci3k3(t - т) dCk~3K{T) = 6ц - Ci3k3{t)Ck-3K(Q). F.26)
330

В случае, если материалы армировки и связующего являются
изотропными, а ядра Cijki(t) являются ядрами разностного типа,
соотношения F.25) принимают вид
Ацз =
1333
= Mi?. — A
232
¦К
1
Д<п)
R\ - -Д
О
§*
F.27)
Остальные компоненты Aijk равны нулю. Если армировка упругая
(Еа — модуль Юнга, иа — коэффициент Пуассона), а объем свя-
связующего не релаксирует (А*с — модуль сжатия, й — вязкоупругий
оператор сдвига), композит называется простым. Тогда
¦ Q2
= ^322 =
^333 =
1 — й) — С*з
-Kb),
-Q4
где
7A+2о.)+A-7)а4
л _ Ml-7)
Q3 =
i/e)(l - 2иа)Ке'
A - 7) F
Q4 =
Еа{\-иа)
Жз) =
если
< 7.
F.28)
F.29)
F.30)
7 — это отношение объема, занимаемого связующим, к объему
всей ячейки периодичности.
Эффективные ядра релаксации h(jki(t) и ползучести Hijki(t)
для простого вязкоупругого композита могут быть представлены
в виде
hijk,(t) =
/3 = 1
331

где Rjjli и П^( — тензоры-константы, зависящие от va, Ea, Кс,
концентрации связующего у, геометрии армировки и т. д., ipa(t) —
функция, представляющая собой единицу, ш(г) или ядро gp(t):
*" = ТТ^' F'32)
Xp(t) — функция, являющаяся единицей или ш, или ядром F.32).
Для решения задачи «Д1» можно воспользоваться, например,
методом усреднения [33]. Для решения квазистатической за-
задачи «Дд» в случае простых вязкоупругих композитов можно
применить обобщение метода аппроксимаций. Существо этого
обобщения заключается в следующем [80]. Пусть получено ре-
решение соответствующей упругой задачи для анизотропной среды
и пусть в этом решении встречается выражение типа f(-)S, где
S — известная величина, /(•) обозначает функцию от упругих
модулей анизотропии. Подставляя вместо этих модулей их выра-
выражения через величины иа, Еа, Кс, ш, у, получим функцию всех
этих параметров. Однако нас будет интересовать лишь то, каким
образом эта функция зависит от ш, ибо в дальнейшем мы заменим
ш на оператор й> и попытаемся расшифровать функцию от этого
оператора. Итак, мы получим функцию / = /(w). Эта функция
может быть довольно сложной и в отличие от задач изотропной
теории упругости даже в самых простейших случаях не является
рациональной функцией от ш. Поэтому мы аппроксимируем эту
функцию с помощью величин фа и хр> соответствующих ядрам
ipa{t) и Xp(i) B представлении F.31). Таким образом
т п М
а=1 р=1 а=1
где <ра —величины, соответствующие операторам фа, которые
могут быть или единичным оператором, или операторами ш, ж,
или операторами др F.32).
Неизвестные постоянные С(а) можно определить, например,
методом наименьших квадратов. Для этого записывается вы-
выражение
7 г Л I2
/ = J OH I/H - Y,C(a)<pa\ du, F.34)
где Щш) — положительная функция веса, а
0 !$-¦'< и" ^1. F.35)
332

Тогда для определения величины С(а) получаем алгебраическую
систему уравнений
ы) [/И-f^C(o)y>oL, <&; = <), /?=1,2,...,М. (б.Зб)
L J
После решения этой системы получаем расшифровку выражения
f(u))S в виде
/ F-37)
Если аналитическое решение соответствующей упругой задачи
неизвестно, а его можно найти численно или эксперименталь-
экспериментально, полезным оказывается метод численных реализаций упругого
решения.
§ 7. ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Для решения задач нелинейной теории вязкоупругости можно
применять итерационные методы, рассмотренные в § 4, 5 гл. 5.
В работе [76] сформулированы условия, которые нужно нало-
наложить на нелинейные ядра в теориях вязкоупругости, разобранных
в § б гл. 2, чтобы выполнялись требования D.19) гл. 5.
Из предыдущего следует, что если задача линейной теории
вязкоупругости может быть решена точно, то соответствующая
задача нелинейной теории вязкоупругости сводится к квадрату-
квадратурам. Этот факт легко прослеживается, например, на задаче о
расширении сферической области в вязкоупругой среде, подчиня-
подчиняющейся кубичной теории вязкоупругости [33].
Предположим, что на границе полости задана нагрузка оу|г=а =
—pa(t) или перемещение u|r=a = ua(t). Если объем не релаксирует,
то эти величины связаны между собой:
Пусть на бесконечности решение затухает. На основе радиальной
составляющей вектора перемещения и введем вспомогательную
функцию
ди и ._
2)
333

Тогда уравнение равновесия примет вид
fO + tf] j- + [2{2G
_w*:^ G3)
Здесь через f i мы обозначим регулярный оператор
Гх = f - 2G, G.4)
т.е.
T1(t) = T(t)-2G6(t). G.5)
Введем обозначение
^hh = Q- G.6)
Положим, далее,
*? = < <"»
и перейдем к безразмерным величинам
*=-, v=-. G.8)
а а
Тогда для решения уравнения G.3)
? + 3e = W? + ?) G.9)
методом последовательных приближений, изложенным в преды-
предыдущих параграфах, получаем следующие рекуррентные соотно-
соотношения:
1
ОО X
[] dxj. G.11)
334

При этом, согласно методу, изложенному в § 4. гл. 5, следует
положить
n-x) [/(-1) -
G.12)
Для быстросходящегося метода, изложенного в § 5 гл. 5, получаем
более сложное уравнение
l — ~
GЛЗ)
линейное относительно Р(п)-
Методы последовательных
приближений были реализованы
с помощью ЭВМ. На рис. 44
представлены «точное» решение
v(x) (сплошная линия), нулевое
приближение (штриховая линия)
и два первых приближения, под-
подсчитанные по формуле G.12) при
/? = 2 и по формуле G.13) (штрих-
пунктирные линии). Точность
решения определялась по фор-
формуле
II» ~ и*|| ^ *||«A) ~ и(*о)||. G-14)
где v* — точное решение, а 1>(„) — п-е приближение. При этом,
так как
оо
Но = JdjCij dV = J \p2 dr,
G.15)
имеем
G.16)
В табл. 7.1 приведены значения величины 8 10~4 для приближений,
подсчитанных с использованием формулу G.12) при 0 = 1 и /? = 2,
а также для быстросходящегося метода (б.м.) с использованием
формулы G-13).
335

Таблица 7.1
Метод
/3 = 1
/3 = 2
6/М
Номер приближения
1
3420
3360
3280
2
810
470
150
3
210
90
3
4
42
15
2 Ю-3
5
8
3
6 Ю-9
§ 8. СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
Подробно связанные задачи термовязкоупругости рассмотре-
рассмотрены в [72]. Там сформулирована теорема существования, решено
несколько частных задач связанной термовязкоупругости, в том
числе и для квазилинейной теории вязкоупругости.
В качестве примера решения связанной задачи термовязкоуп-
термовязкоупругости рассмотрим численное решение динамической задачи о
бесконечной пластинке толщиной /.
Рассмотрим модель Фойгта, для которой
(8.1)
(8.2)
Sij = IGtij + т?е,,, о- = К (в - 3ai?).
Функция рассеивания имеет вид
Пусть вязкость т) зависит от температуры известным образом:
T, = AebIV-c\ (8.3)
где константы А, 6, С различны для различных веществ, причем
Т > С.
Обозначим перемещение в направлении х, перпендикулярном к
плоскостям пластинки, через и. Введем безразмерную координату
у, время г, перемещение v и температуру в:
x _ ta2 _ и _ д 2_^
Введем обозначения
-G + К = Ео, -т] = по, ср - 9а2Т0К = cv
(8.4)
(8.5)
и введем безразмерную вязкость /х, тепловое расширение х, коэф-
коэффициент связности /?: /х = ща2Ео12, \ — 3<хТоК/Ео, /? = 3aK/pcv.
336

Введем также вместо коэффициента теплообмена а безразмер-
безразмерный коэффициент В (критерий Био) и безразмерный коэффициент
с, связанный со скоростью распространения звука: В = al/X;
с = ра*/Е012.
Тогда систему уравнений задачи можно записать в следую-
следующем виде:
63у вц в2 у дв__ дЧ
+ ~хду~сдт1'
(о-«)
2х \дудт) '
вт ву2~
Эта система является нелинейной из-за наличия рассеивания
(?1ХJ. (8.7)
Пусть при t = 0 заданы начальные условия
v = 0, у = 0, 0 = 7? (8.8)
и граничные условия: на краях пластинки осуществляется тепло-
теплообмен со средой, имеющей температуру вс, т.е. при у = 0 и у = 1
Вв = -Вве. (8.9)
ду
Пусть, кроме того, при у = 1 пластинка закреплена, а при
у = 0 дано внезапное перемещение, которое затем поддерживается
постоянным:
у = «oft(OI»=o. v = 0|,=ь (8.Ю)
где h(t) — единичная функция Хевисайда.
Для решения задачи (8.б)-(8.9) составим разностную схему,
для чего заменим производные, входящие в систему (8.6), и крае-
12 Победря Б.Е.
337

вые условия (8.9) разностными производными по формулам
дудт
дв
ее
ду
й —
°у -
-<
2h
1 i ' i — 1
/i2
(8.11)
Тогда система уравнений (8.6) заменится разностной, имеющей
явное решение по слоям:
(8.12)
где /i — шаг по координате (j/i+i — y,- = /i, i = 0,1,..., ЛГ), h = N l,
hi — шаг по времени г (по слоям: rj+1 — Tj — hi, j = 0,1,..., M).
Согласно начальным условиям (8.8) значения функций в, v и
«/ известны ча нулевом слое:
„° = 0, «J = uo> 0? = Г°. (8.13)
Далее, по формулам (8.12) определяем значения йена слоях
/ = 1,2, ...,М, учитывая граничные условия (8.9) и (8.10):
• _ в[ + вел • _ ti + Щ
0 1 + Bh ' N~ l + Bh ' (8.14)
vj = ыо, t^v = 0.
338

s
Он
и
S
Он
45-
S
Он
12*
339

В соотношениях (8.12) ? — числовой параметр, влияющий и .
устойчивость разностной схемы, а величина ц в программе оф..|>
мляется в виде процедуры-функции, зависящей от температури
Для исследования устойчивости разностной схемы был и.
пользован спектральный признак.
В линеаризованную систему (8.12) при ? = 1 и ц = con i
подставлялось представление
«™ = XmeinifiZ1, ^ = Xpei**Z2, (г = Vе!), (8.I.M
и приравнивался нулю определитель системы двух уравнении
откуда
где р = А — 1, q = 4sin2 <p/2.
Схема считается устойчивой при |А| ^ 1. Из уравнения (8.16)
видно, что если х — О и /? = 0, то нужно исследовать на устой
чивость отдельно каждую из систем (8.12). Пренебрежем про
изведением хР по сравнению с единицей. Тогда для уравнения
теплопроводности схема устойчива при h\ < /i2/2. Для волнового
уравнения получаем |А| < 1 при
(8-17)
Исследовалось влияние коэффициента связности /? и вязкости
(х на решение задачи, при этом параметр ? выбирался из условия
(8.17), а остальные параметры были постоянны: «о = 0,001, В = 1,
X = 0,01, с= 0,01, 9С = 5, Т° = 1.
На рис. 45-47 представлены графические данные об изменении
температурного поля и перемещений при различных изменениях
параметров /3 и ц. Номер кривой на рисунках указывает, сколь-
сколько раз волна прошла через пластинку. При т —>¦ оо решение
стремится к квазистатическому:
y), e = ec. (8.18)

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
Существует много определений дельт а-функций Дирака [36].
Здесь нам понадобятся следующие свойства этих функций:
ъ
[ ,. ч , Г 1, если а < у<Ь,
/ ё(х -y)dx = { A.1)
J К У> \0, еслиг/>6,у<а, V '
а
?
j 6(x)dx = 1 для ?>0. A.2)
— е
Тогда для всякой непрерывной функции f(x)
ь
[ и \s.< w //(?/). если а < у < 6,
/ f(xN(x-y)dx= i A.3)
J @, если у > о, у < а.
а
Для доказательства этого факта достаточно применить теоре-
теорему о среднем. Обозначим А область а ^ ж ^ 6 за вычетом
е-окрестности точки у. Тогда
Ь У+?
J f(xN(x -y)dx = f(y + ас) J 6{x -y)dx + J f(xN(x - y) dx, A.4)
a y-e Д
где |a| ^ 1, ? > 0. При a —> 0 из A.4) получим A.3). Часто требуют,
чтобы 6(х) была четной функцией. Тогда дополнительно нужно
потребовать, чтобы
(x)dx=1-. A.5)
-с О
Тогда можно вместо формулы A.3) записать
\ { /(* + 0) + /(х-0)
/ а \и u ) -i —z— -, если а < у < 6, /T ..
f{x)8(x-y)dx= < 2 y A.6)
a I °. если У> b,y<a,
341

причем формула A.6) справедлива и для разрывной функции /( j
Для проведения операций с дельта-функциями иногда уд<>|
ввести так называемые дельта-образные функции
6a(x)= ^a/ , (I/.
>(x) dx
где <р(х) ^0 — произвольная абсолютно интегрируемая функции
Дельта-функцию можно определить как предел 6а(х) при а —+ О
При проведении выкладок можно оперировать с дельта-образнымм
функциями и при получении окончательного результата перейти
к пределу а —* 0. В качестве <р(х) могут быть выбраны функции
\ 1 A.8)
<Pl(t) = e\ V2(i)=-1—.
В случае сеточных функций {/,}, i = 0,1,... ,N, может быть
рассмотрен сеточный аналог дельта-функции
6Н = \бц, i,j = 1,2,...,N-1, A.9)
где 6ij — символы Кронекера, h — шаг сетки. Тогда по аналогии
с A.3) имеем
[fh,6h] = 4?ih.fi-6ij = fJ. (i.io)
Можно определить дельта-функцию для двумерной области
как некоторую плотность, сосредоточенную на кривой. Тогда
обозначим ее 6(у), причем у € ?, т.е. некоторой кривой. По
аналогии с формулой A.3) имеем
/
0, если
Аналогично в трехмерном пространстве 8(х) понимается как плот-
плотность, сосредоточенная на некоторй поверхности, причем х € V.
Тогда ^
1
0, если ? f V.
Дельта-функция мржет иметь размерность. В одномерном случае
ее размерность, например, 1/см или 1/с, для плоского случая -
1/см2, а для пространственного — 1/см3.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1. Определение преобразования Лапласа. Пусть функция
/(<) определена для всех значений t, t > 0. Ее преобразованием
по Лапласу L{f(t)}, или изображением по Лапласу, называется
функция /*(р) действительной или комплексной переменной р,
определяемая по формуле
00
f(t) * L{fit)} = Пр) = j e-'*f{t) dt. (HI)
о
Например, для функции eat
00 ОО
е«* -н. /*(р) = / eate-P' dt = f е-<*-а* dt = ——. (Н.2)
J J p-a
о о
Функция f{l) по отношению к изображению /*(р) называется ори-
оригиналом.
2. Достаточные условия существования преобразования
Лапласа. Для того, чтобы интеграл в правой части (П.1) схо-
сходился, необходимо наложить некоторые ограничения на функцию-
оригинал /(<).
1°. f{t) является кусочно-непрерывной функцией на рассмат-
рассматриваемом интервале.
2°. |/(<)| ^ Се^% для некоторых выбранных постоянных С > О,
/3 ;> о.
При выполнении условий 1° и 2° существует функция-изобра-
функция-изображение /*(р) для Rep > /3. Доказательство этого утверждения
следует из серии неравенств
t
dt
-" dt < С j е-"' dt =
0
3. Некоторые свойства преобразования Лапласа.
1°. Линейность:
«i/i@ + <*2/2(<) + • • • ^ сц/Г(р) + <*2/2*(р) + • ¦ • , (Н.4)
343

где ai,a2,... — некоторые числа. Доказательство (И.4) может
быть получено применением (II. 1) к каждому слагаемому в (П.4).
2°. Преобразование Лапласа от производной:
¦ ^ = /¦(<) -н- рГО») - /@). (п.5)
00
+pJf(t)e-ptdt=-f(O)+Pr(p).
Доказательство этого утверждения может быть дано интегриро-
интегрированием по частям:
ОО 00
Hf '(*)}=/ f(t)e-pt dt
0
(II.6)
Таким образом, преобразование Лапласа сводит операцию диффе-
дифференцирования к простой алгебраической операции относительно
функции-изображения. Точно такой же процедурой можно полу-
получить преобразование Лапласа от второй производной:
/"(О ^р2Г(р)-р/(О)-/(О), (и.7)
и аналогично от п-й производной:
/(")(<) + рпГ(р) _ р"-!/@) р/("-2)@) - /("-^(О). (П.8)
Здесь под /(*) понимается правое предельное значение lim
3°. Преобразование Лапласа от интеграла:
t
[
J
Доказательство этого факта следует из (II.6). Пусть f /(r)rfr =
о
g(t). Тогда д (t) = /(<) и д@) = 0. Поэтому из (П.6) получаем
g(t) = f(t) +Г(Р)=Р9*(Р), A1.10)
отсюда и следует (П.9).
Соотношение (П.9) может быть применено и для преобразова-
преобразования Лапласа от n-кратного интеграла:
t T, Tn_! t
JJ...J f(n)dndr2... rfTn = ^-L^ Jit - T)-7(T) dr * Ш.
0 0 0 0
0 0
A1.11)
4° Теорема о свертке:
f(t-T)g(r)dT -r*
344

Для доказательства рассмотрим изображение интеграла в левой
части A1.12):
t оо t
fit - т)д{т) dr ¦*• j е-"' dt j f(t - r)ff(r) dr. A1.13)
Интегрирование в правой части
A1.13) ведется по треугольнику, »
заштрихованному на рис. 48. Так
как при Rep > /? этот двойной ин-
интеграл абсолютно сходится, то в
нем можно изменить порядок ин-
интегрирования, и мы получим, за-
заменяя еще t на ? = t — т,
t
f(t-r)g(r)dr *
-*-ь
Рис. 48
ОО 00
-* jg(T)dTJe-"tf(t-T)dt =
ОО
= J
= д'(р)Г(р),
что и требовалось доказать.
5°. Свойство интеграла Дюгамеля:
№№
^ рГШ(р)-
Формула A1.15) получается после применения A1.13) и правила
дифференцирования оригинала (II.5). В самом деле,
рГШ(р) = Г (p)ff(O) + \рд*(р) - д@)]Г(р) ¦*¦
(П.16)
Пользуясь «симметричностью» выражения правой части A1.15)
относительно /*(р) и д*(р), получим
t t
f(t)g(O) + //(<- г) cfo(r) = №g(t) + Jg(t- т) df(r) * pf*(p)g*(p)-
о о
A1.17)
345

6°. Теорема о начальном значении:
limf(t)=lim Г(р). A1.18)
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формулой (П.6):
00
lim ?{/(<)} = lim \pf(p) - /@)] = lim // {t)e~pt dt = 0. A1.19)
p—*oo p—t-oo p—*°oj
Отсюда следует, что
7°. Теорема о конечном значении:
т РГ(р) = /@) = lim/(*). A1.20)
lim /(<)= limp/"(р). A1.21)
t—t-oo p—*0
Применяя ту же формулу (П.6), получим
оо
lim L{f(t)} = lim ЬГ(Р) ~ /@)] = lim [ f(t)e-'< dt =
p — 0 p-»0 P->OJ
° ("-22)
oo t v '
J f(t) dt = Дт j f(t) dt = (lim [fit) - /@)].
о о
Сравнивая второе и последнее выражения в серии равенств A1.22),
получим A1.21).
4. Обратное преобразование Лапласа. Процедура нахожде-
нахождения функции-оригинала /(<) по заданному ее изображению /*(р)
называется обратным преобразованием Лапласа:
№ = ь-1{Г(р)}. (и.23)
Если fit) удовлетворяет условиям, сформулированным в п. 2, то
такое преобразование будет единственным.
Хотя может быть получена общая формула для выражения
обратного преобразования Лапласа, на практике чаще пользу-
пользуются таблицами типа табл. П.1. Кроме того, отметим частный
случай, кода функция-изображение является рациональной фун-
функцией р, т.е.
f (р) = 60+6lp+...+6,1p-l+6p- ¦ (IL24)
Разложим выражение в правой части A1.24) на простейшие дроби:
3-Ш

Таблица II.1
Оригинал /(f)
/С)
1
с
h(t)
h(t - а)
S(t - а)
t", n = 0,1,2,...
e~at
tne-at
sin at
cos at
i _ „-at
Изображение по Лапласу
l/p
C/p
l/p
1
p+a
p2 + a2
Здесь ai, аг,..., an — корни знаменателя Q(p), т.е. решения урав-
уравнения Q(p) = 0.
Рассмотрим частный случай, когда все корни ai,a2, ...,an
различны. Тогда
+ гт^. (п-26)
1 р + а-2 р + осп
и обратное преобразование Лапласа может быть получено с по-
помощью табл. II.1:
е-а"\ A1.27)
При этом постоянные Л,- (i = 1,..., п) определяются по формуле
(П.28)
Заметим, что если функция-изображение /*(р) может быть
представлена в виде рациональной функции от w*(p):
Ьои*
Ьпы*п '
A1.29)
347

где w(<) —>¦ ш*(р), то, обозначая через 71,72, • ¦ ¦, 7п корни уравнения
Q(u>*) = 0, взятые с обратным знаком, и предполагая, что все они
различны и отличны от нуля, получим
Тогда функцию-оригинал /(<) можно представить в виде
/(<) = Mt\gp, @ + ^272<?/j2(<) + • • • + Anrnff/».@,
где
^¦(<)^ТТа^' ft = V i = 1>¦••'"' (IU2)

ПРИЛОЖЕНИЕ III
^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Для разностных функций Z-преобразование играет такую же
роль, что и преобразование Лапласа для обычных функций.
Рассмотрим некоторую разностную функцию {fn}, n = 0,1,....
Z-преобразование переводит эту функцию-оригинал в изображе-
изображение F*(z) по следующему правилу:
оо
nZ~n. (III.1)
Очевидно, ^-преобразование связано с преобразованием Лапласа
следующим образом:
где f(t) — обобщенная функция, соответствующая разностной
функции {/„}:
/(<) =
-п),
(III.3)
a 6(t) — дельта-функция.
Из теории аналитических функций известно, что ряд в (III. 1)
сходится вне некоторого круга в комплексной плоскости, т.е. при
\z\ > R ^ 0. Необходимым и достаточным условием существо-
существования такого круга является наличие двух таких положительных
констант С и а, что
|/n| <Can. (III.4)
Изображение F*(z) представляет собой при \z\ > R аналитичес-
аналитическую функцию, поэтому все ее особенности лежат внутри круга
|г| < R.
Некоторыые примеры изображений приведены в табл. III.1.
Таблица III.1
Оригинал fn
1
(-1)"
п
ьп
/о = о, /п = ^, ".;> i
^-изображение F*(z)
z
z
G=1J
Z

Для нахождения обратного Z-преобразования можно bociiojii.
зоваться формулой для коэффициентов ряда Лорана
Так как F*{z~l) представляет собой ряд по возрастающим
степеням z, то согласно формуле Тейлора получим
Отметим несколько свойств ^-преобразования.
Теоремы смещения утверждают:
/„_t к+*"*/"(*), * = 0,1,2,... (Ш.7)
и при условии , что при п — к < 0 принимается /„_* = 0,
4 = 0,1,2,.... (Ш.8)
В частности, для конечных разностей имеем
Д/» =/„+!-/„, Д«/» = «(Д*-1/™),
1111.У)
9=1,2,..., Д%=Д.
Тогда
A/n^(z-l)F*(z)-/02,
Д2/„ к+ (г - 1J,Р*(г) - /оф - 1) - A/Oz, (ШЛО)
Формула суммирования имеет вид
n=0 n=0
Формула затухания оригинала:
P~nfn >-* F*(/?2), A11.12)
где /? — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Отметим еще формулу дифференцирования изображения
nfn ~ ~z^l A11.13)
az
и формулу свертывания
N
fn9N-n^F*(z)G*{z). A11.14)
Представляют интерес также две теоремы о предельных зна-
значениях. Одна из них (теорема о начальном значении) утверждает:
если изображение F*(z) — Z{fn] существует, то
/о = ton F*(z). A11.15)
Вторая теорема (о конечном значении) утверждает: если
lim fn существует, то
П—'ОО
, lim /„ = lim (z - l)F*(z). A11.16)

ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ФОРМУЛЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Рассмотрим вектор а в прямоугольной декартовой системе
координат трехмерного евклидова пространства R.3:
а — ар- j — 1 2 1 CTV 1 
Здесь е,- — ортонормированные векторы базиса, а по повторяю-
повторяющемуся индексу происходит суммирование от 1 до 3.
Скалярное произведение двух векторов а и Ь определяется
следующим образом:
а • Ь = а,-е; • bjej = а,-6,й,^ = о,-6,-, (IV.2)
где символы Кронекера
О, если г ф j,
Для определения векторного произведения полезно ввести симво-
символы Леви-Чивиты е1;^:
+ 1, если все индексы различны и образуют
четную подстановку,
— 1, если все индексы различны и образуют (IV.4)
нечетную подстановку,
О, если хотя бы два индекса одинаковы.
Тогда векторным произведением двух векторов атлЬ будет вектор
с = а х b = ?ijkaibjek- (IV.5)
Образуем диадные (тензорные) произведения двух векторов бази-
базиса е,- и tj и обозначим е,- ® е;-, как формальную совокупность этих
векторов. Тогда е,- ® tj могут быть выбраны в качестве базиса
для тензоров второго ранга а:
q = aijei®ej. (IV.6)
Тензорным произведением двух векторои а и b назовем тензор с:
с=а®Ь- а,Т-, о;, bj ,'j п,Ь3 Г,- « е, . (IV.7)
•к. i

Операцию частного дифференцирования обозначим запятой:
¦тг1- = a,j = djdi.
(IV.S)
Введем дифференциальный оператор — вектор' V, компонентами
которого являются символы дифференцирования по соответству
ющим координатам:
V = e,-ft. (IV.9)
Тогда скалярное произведение V на некоторый вектор а дает
V-a = 0,-a,- = aM = diva. (IV.10)
Векторное произведение V на вектор а дает
V х a = €ijkdiujek = €ijkaj}iek = rot a. (IV.11)
Тензорное произведение V на вектор а дает
V ® a = diujli ®?j = 0,,,-е,- ® е,- = Grad a. (IV.12)
Отметим еще часто используемые дифференциальные операторы
Def а = i(
а + а ® V) = ^(а;>- + а,-,,-)?,-
(IV.13)
(IV.14)
(IV.15)
Ink g = eijk€mniajitknei ® em.
Полезными бывают следующие тождества."
6jn
ijk = 6. (IV.18)
Лля двумерных задач применяется двухиндексный символ
Леви-Чивиты
{+1, если i = l,j = 2,
О, если индексы одинаковые.
Для двухиндексных символов e,j справедливы тождества
0jk Ojl
€№=6*, (IV.21)
tye.-j- = 6ц = 2. (IV.22)
(IV.20)
352

Отметим еще часто встречающиеся интегральные теоремы для
трехмерного евклидова пространства R3. Пусть п — единичный
вектор внешней нормали к поверхности S, которая считается ре-
регулярной и замкнутой, ограничивающей односвязную область V:
п = ще{, щщ = 1. (IV.23)
Тогда для гладких вектора а и тензора b справедливы теорема
Остроградского-Гаусса
(IV.24)
V
V
и теорема Стокса
V
j ?ijkbjm,i
V
I €ijk<lj
S
r
dV
dV
dV
dV
,iUk
= Jain,
s
¦/-
s
s
=/-
s
dE = /
dS = Ф
/
idS,
VdS
Jiiuj dS,
Tlibjm dl
a,- dx,-,
bimdXi.
(IV.25)
(IV-26)

ПРИЛОЖЕНИЕ V
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ
Упругие
постоянные
А
К
Е
V
ш
А'
Основная пара
(Л,,)
А
2
(ЗА + 2ц)ц
А + ц
А
2ц
ЗА + 2ц
А
2д(ЗА + 2ц)
1
(К, в)
к-la
3
G
К
9KG
3K + G
ЗА' - 2G
6К + 2G
2G
ЗК
2G-3K
18GK
1
4G
(О, и)
2Gi/
l-2i/
G
2GA + v)
3A - 2v)
и
l-2i/
i/
2GA + i/)
1
4G
vE
(l + i/Hl-2.)
2A + 1/)
3A -2v)
E
i/
l + i/
l + i/
(?,G)
G(? - 2G)
3G-E
G
EG
3CG-E)
E
E
2G
6G
2G-E
2GE
1
4G
(К,ш)
A'(l - w)
3Кш
2
К
9Кш
2 + ш
1-ш
2 + ш
ш
ш-1
9Кш
1
6Кш
(д,«)
2цA - ш)
Зш
2ц
Зш
6ц
2 + ш
1-ш
2 + ш
ш
ш-1
6ц
1
4ц
1\' '\
А'
2ц'(ЗУ + 2ц')
1
4ц'
1
3(ЗА' + 2ц')
1
А' + 2ц'
А'
А' + 2ц'
ЗА' + 2ц'
2ц'
А'

ЛИТЕРАТУРА
1. Аменадзе Ю.А. Теория упругости. Изд. 2-е, М.:
Высшая школа, 1976.
2. Арутюнян Н.Х. Некоторые проблемы теории ползу-
ползучести. М.: Гостехиэдат, 1952.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
4. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., К о б е л ь к о в Г.М.
Численные методы. М.: Наука, 1987.
5. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов
теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.
М.: Высшая школа, 1974.
6. Б е л у х и н а И.Г. Разностные схемы для решения некото-
некоторых статических задач теории упругости // ЖВМ и МФ. 1968.
Т. 8, № 4. С. 808-823.
7. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений.
Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1960.
8. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения
уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.
9. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксима-
аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.
10. Варвак П.М., Р я б о в А.Ф. (редакторы). Справочник
по теории упругости. Киев: Будивельник, 1971.
11. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной
алгебры. М: Наука, 1977.
12. В о р о в и ч И.И., Красовский Ю.П. О методе
упругих решений // ДАН. 1959. Т. 126, № 4. С. 740-743.
13. Ворошко П.П., Квитка А.Л., Цыбенко А.С.
Применение метода случайных блужданий для решения задач
теории упругости // Проблемы прочности. 1973. № 4. С.53-57.
14. Гавурин М.Н. Лекции по методам вычислений. М:
Наука, 1971.
15. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции.
Вып. 1, 2, 3. М.: Физматгиз, 1958.
16. Гловински Р., Лионе Ж.П., Тремольер Р.
Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир,
1979.
17. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1971.
18. Годунов С.К., 3 а б р о д и и А.В., П р о к о п о в Г.П.
Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой

динамики и расчет обтекания с отошедшей упругой волной //
ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1. № 6. С. 1020-1050.
19. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы
М.: Наука, 1977.
20. Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики
деформируемых сред. М.: Гостехиздат, 1955.
21. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З
Численные методы анализа. М.: ГНФД963.
22. Дьяконов Е.Г. Итерационные методы решения раз
ностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического
типа. Киев: Институт кибернетики АН УССР, 1970.
23. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых
задач. М.: Изд-во МГУ. Вып. 1, 1971; Вып. 2, 1973.
24. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы.
Асимптотические оптимальные алгоритмы для эллиптических за
дач. М.: Наука, 1989.
25. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной
математики. М.: Наука, 1972.
26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.
М.: Мир, 1975.
27. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.
28. Ильюшин А.А. Пластичность, (основы общей матема-
математической теории). М.: Изд-во АН СССР, 1963.
29. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. Изд. 3-е.
М.: Изд-во Моск. ун-та, Д989.
30. Ильюшин А.А. Загадки механики твердых дефор-
деформируемых сред // Нерешенные задачи механики и прикладной
математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977. С. 68-73.
31. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление
материалов. М.: Физматгиз, 1959.
32. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П.
Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1979.
33. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математи-
математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
34. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
35. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные
методы высшего анализа. М.; Л.: ГИФМЛ, 1962.
36. Кеч В., Теодореску П.П. Ведение в теорию обоб-
обобщенных функций с приложением к технике. М.: Мир, 1978.
37. К о л л а т ц Л. Функциональный анализ и вычислительная
математика. М.: ИЛ, 1971.
38. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории
упругости. Новосибирск: Наука, 1968.
39. К о р н е е в В.Г. Схемы методов конечных элементов
высоких порядков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.
356

40. Кравчук А.С, Майборода В.П., Уржум-
ц е в Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов.
М.: Наука, 1985.
41. Приближенное решение операторных уравнений/ Крас-
Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1969.
42. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырс-
Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука. Т. I, 1976;
Т. II, 1977.
43. Кузнецов Ю.А. Алгебраические многосеточные мето-
методы декомпозиции области. М.: ОВМ АН СССР, 1989.
44. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упру-
упругости. М.: Физматгиз, 1963.
45. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А. Метод фун-
функциональных уравнений для приближенного решения некоторых
граничных задач // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. № 4. С. 683-715.
46. Трехмерные задачи математической теории упругости/
Купрадзе В. Д. и др. Тбилиси.: Изд-во ТГУ, 1968.
47. Л ад ы женская О.А. Математические вопросы дина-
динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
48. Лазарев М.И., М а т е х и н Н.А. О краевых задачах в
постановке Победри. АН СССР НПБИ НИВЦ. Пущино, 1988.
49. Лебедев В.И. Метод композиции. М.: ОВМ ВН
СССР, 1986.
50. Л е в и П. Конкретные проблемы функционального ана-
анализа. М.: Наука, 1967.
51. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.:
Мир, 1975.
52. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
53. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функ-
функционального анализа. М.: Наука, 1965.
54. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОН-
ТИ, 1935.
55. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогать-
к о А. А. Методы вычислений. Киев: Высшая школа, 1977.
56. М а р ч у к Г.И. Методы вычислительной математики.
Новосибирск.: Наука, 1978.
57. М е й з Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.
М.: Мир, 1974.
58. М и х л и н С.Г. Проблема минимума квадратичного
функционала. М.: Гостехиздат, 1952.
59. М и х л и н С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и
интегральные уравнения. М.- Физматгиз, 1962.
60. Михлин С. Г. Вариационные методы в матетатической
физике. М.: Наука, 1970.
61. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих мате-
материалов. М.: Наука, 1972.
62. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
¦лы

63. О бэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических
краевых задач. М.: Мир, 1977.
64. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.Л
Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравпг
ний// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс
Институт физики и математики АН ЛитССР. Вып. 5, 197.1,
вып. 8, 1974.
65. Оден Лж. Конечные элементы в нелинейной механике
сплошных сред. М.: Мир, 1976.
66. П а р т о н В.З., П е р л и н П.И. Интегральные уравнении
теории упругости. М.: Наука, 1978.
67. Победря Б.Е. Об уравнениях состояния в нелиней
ной теории вязкоупругости// Механика полимеров. 1967. № 'Л
С.427-435.
68. Победря Б.Е. Термодинамика вязкоупругих моделей//
Прикладная математика и программирование. Вып. 1. Кишинен
РИО АН МССР, 1969. С. 75-86.
69. Победря Б.Е. Нелинейная моментная теория вязкоуп
ругости// Прикладная математика и программирование. Вып. 2.
Кишинев: РИО АН МССР, 1969. С. 66-79.
70. Победря Б.Е. О решении задач линейной теории
вязкоупругости контактного типа// ЛАН. 1970. Т. 190, № 2.
С. 279-300.
71. Победря Б.Е. О решении задач термовязкоупругости
с неоднородным полем температуры// Упругость и неупругость.
Вып. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. С. 172-201.
72. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной
среды// Упругость и неупругость. Вып. 2. М.: Изд-во Моск. ун-
унта, 1971. С. 224-231.
73. Победря Б.Е. О новом методе решения некоторых
квазистатических задач нелинейной механики сплошной среды//
ЛАН. 1971. Т. 197, № 2. С. 277-280.
74. Победря Б.Е. Расчет вязкоупругих систем по чис-
численной упругой реализации// Проблемы прочности. 1973. № 4.
С. 58-61.
75. Победря Б.Е. Численные методы в теории вязкоупру-
вязкоупругости// Механика полимеров. 1973. № 3. С. 417-428.
76. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной
вязкоупругости// Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1973. С 417-428.
77. Победря Б.Е. О методе численных реализаций упруго-
упругого решения// Численные методы решения задач теории упругости
и пластичности. Ч. 1. Новосибирск, 1976. С. 110-147.
78. Победря Б.Е. О задаче в напряжениях// ДАН. 1978.
Т. 240, № 3. С 564-567.
79. Победря Б.Е. Некоторые общие теоремы механики
деформируемого твердого тела// ПММ. 1979. № 3. С. 531-541.
358

80. П о б е д р я Б.Е.. К теории вязкоупругости композици-
композиционных материалов// Механика композитных материалов. 1979.
№ 3. С. 414-423.
81. П о б е д р я Б.Е. Механика композиционных материалов.
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
82. П о б е д р я Б.Е. О вычислительной механике дефор-
деформируемого твердого тела// Математические методы механики
деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. С. 124-129.
83. П о б е д р я Б.Е. Некоторые проблемы вычислительной
механики деформируемого твердого тела// Численные методы
решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск,
1986. С. 3-9.
84. П о б е д р я Б.Е. Лекции по тензорному анализу. Изд. 3-е
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
85. П о б е д р я Б.Е. О взаимосвязи геометриечской и фи-
физической нелинейности в теории упругости и о смысле вектора
перемещений// Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика. 1987. Т. XL,
№ 4. С. 15-26.
86. П о б е д р я Б.Е. Горбачев В.И. О статических зада-
задачах упругих композитов// Вест. Моск. ун-та. Сер. Математика,
механика. 1977. § 5. С. 101-110.
87. П о б е д р я Б.Е., Димитриенко Ю.И. Связанные за-
задачи линейной термомеханики деформируемого твердого тела//
Успехи механики. 1987. Т. 10, вып.2. С. 97-137.
88. П о б е д р я Б.Е., М о л ь к о в В.А. Эффективные моду-
модули упругости волокнистых и слоисто-волокнистых композитов//
Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990.
Вып. 1. С. 41-63.
89. П о б е д р я Б.Е., Раджабов Н.А. Метод источников
для решения задачи теории упругости в напряжениях// ДАН.
1989. Т. 305, № 3. С. 536-539.
90. П о б е д р я Б.Е., Чистяков П.В. Решение пространс-
пространственных задач теории упругости методом Монте-Карло// ПММ.
1988. № 2. С. 341-345.
91. Победря Б.Е., Ш е ш е н и н СВ. О матрице влияния//
Вест. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1979. № 6.
С." 76-81.
92. Победря Б.Е., Ш е ш е н и н СВ. Некоторые задачи
о равновесии упругого параллелепипеда// Изв. АН СССР. Сер.
МТТ. 1981. № 1. С. 74-86.
93. Победря Б.Е., Ш е ш е н и н СВ. Численное решение
задачи Ламе об упругом параллелепипеде// Изв. АН Арм.ССР.
Сер. Механика. 1981. Т. 34, № 5. С. 61-71.
94. Победря Б.Е., Ш е ш е н и н СВ. О методах упругих
решений// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1987. № 5. С. 59-72.
95. Победря Б.Е., Шешенин СВ., Холматов Т.
Задача в напряжениях. Ташкент: ФАН, 1988.
359

96. П о с т н о в В.А., Харкурим И.Я. Метод конечных
элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судострое-
Судостроение, 1974.
97. П о т т е р Л. Вычислительные методы в физике. М.:
Мир, 1975.
98. П р а г е р В. Введение в механику сплошных сред.
М.:ИЛ, 1963.
99. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.
М.: Наука, 1966.
100. Работнов Ю.Н.. Элементы наследственной механики
твердых тел. М.: Наука, 1977.
101. Рвач ев В.Л. Геометрические приложения логики.
Киев : Техника, 1967.
102. Р в а ч е в В.Л. Методы алгебры логики в математичес-
математической физике. Киев: Наукова думка, 1974.
103. Рвач ев В.Л., Рвач ев В.А. Неклассические ме-
методы теории приближений в краевых задачах. Киев: Наукова
думка, 1979.
104. Ректорис К. Вариационные методы в математической
физике и технике. М.: Мир, 1985.
105. Рихтмайер Р.Л., М о р т о н К. Разностные методы
решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
106. Р о з и н Л.А. Метод конечных элементов в приложении
к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977.
107. Самарский А.А. Введение в теорию разностных
схем. М.: Наука, 1971.
108. Самарский А-А., Андреев В.Б. Разностные
методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
109. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость
разностных схем. М.: Наука, 1973.
110. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы реше-
решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
111. Сегерлинд Л. Применение метода конечных эле-
элементов. М.: Мир, 1979.
112. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды.
М.: Физматгиз, 1962.
113. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.:
Наука, 1970.
114. Сендецки Лж. (редактор). Механика композиционных
материалов. М.: Мир, 1978.
115. Слесарев И.С, Сиротин A.M. Вариационно-
разностные схемы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат,
1978.
116. С т е ч к и н СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычис-
вычислительной математике. М.: Наука, 1976.
117. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных
Элементов. М.: Мир, 1977.
360

118. Соболев С.Л. Некоторые применения функциональ-
функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
119. Соболь И.М. Численные метода Монте-Карло. М.:
Наука, 1973.
120. С у е т и н П.К. Классические ортогональные многочле-
многочлены. М.: Наука, 1976.
121. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории при-
приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.
122. Треффц Е. Математическая теория упругости. М.;
Л.: ГТТИ, 1932.
123. Т у р ч а к Л.И. Основы численных методов. М.: На-
Наука, 1987.
124. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные
методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963.
125. Федоренко Р.П. ¦ Итерационные методы решения
разностных эллиптических уравнений// УМН. 1973. Т. XXVIII,
№ 2. С. 121-182.
126. Фридман А. Уравнения с частными производными
параболического типа. М.: Мир, 1968.
127. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные
методы. М.: Мир, 1986.
128. Хемминг Р. Численные методы. М.: Наука, 1972.
129. Численные методы решения задач динамической теории
упругости/ Ч е б ан В.Г. и др. Кишинев: Штиница, 1976.
130. Черноусько Ф.Л., Б а н и ч у к Н.В. Вариационные
задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.
131. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеодно-
микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.
132. Ш е ш е н и н СВ. Численное решение некоторых задач
теории пластичности// Численные методы решения задач теории
упругости и пластичности. Новосибирск.: 1984. С. 316-322.
133. Ш е ш е н и н СВ., К у з ь И.С. О прикладных итера-
итерационных методах// Вычислительная механика деформируемого
твердого тела. 1990. № 1. С. 63-74.
134. Яковлев М.Н. О некоторых методах решения нелиней-
нелинейных уравнений// Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Т. 84.
М.; Л.: Наука, 1965. С. 8-40.
135. Я н е н к о Н.Н. Метод дробных шагов решения многомер-
многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

предметный указатель
авост 181
аппроксимация порядка т 168
- точная 168
базис тензорный 32
барицентр 283
Бельтрами-Мичелла уравнение 8
Бетти формула вторая 82
первая 82
тертья 83
Био критерий 184
Буссинеска-Черрути решение 95
вариационный принцип Кастилья-
но 58
Лагранжа 56
Рейсснера 61
обобщенный 60
вектор базиса 9
—l взаимного 9
- волновой 134
- Галеркина 86
- ошибки 206
- перемещения 8
- скорости 8
- ускорения 8
вес вдоль траектории 301
взаимности условия 26
волна гармоническая 133
- дилатационная 132
- обратная 138
- плоская 133
- поперечная 132
- продольная 132
- прямая 138
- разгрузки 143
- Римана 143
- сдвига 132
- сферическая 133
- ударная 138
волны длина 134
- фронт 134, 138
Вольтерры принцип 109
вязкость аппроксимационная 197
Галеркина вектор 86
- оператор 86
- представление 87
градиент деформации 9
Грина тензор 1-го рода 96
2-го рода 96
Гука закон 74
девиатор 12
де Моргана правило 261
дизъюнкция 260
диск 128
дискретизация времени 184
- области 185
дисторсия 9
задача А 230
- Ар 232
- Б 239
- В 236
- В, 237
- динамическая 46
- интерполяции 157
- квазистатическая 21
- краевая вторая 46
первая 46
- Ламе 130
- минимаксная 207
- несвязанная 50
- нестационарная 48
- разностная краевая 175
первая 178
- - Коши 178
- связанная 50
- статическая 46
- стационарная 49
закон Гука 74
- об изменении количества движе-
движения 16
момента количества движения
16
- сохранения 19
масс 16, 17
- термодинамики второй 19, 38
первый 19
Зенкевича обозначения 250
импликация 260
инварианты тензора деформации
12
- напряжения 16, 17
индикатриса оператора 22
несимметричная 24
симметричная 23
индикатрисы порядок 23
362

интенсивность тензора деформа-
деформации 12
напряжения 17
итерация простая 206
кастильяниан 58, 237
Кельвина решение 84
- тензор напряжения 85
перемещения 85
композит вязкоупругий 327
- простой 331
конечный элемент 156
конъюнкция 260
координаты лагранжевы 8
- материальные 9
- пространственные 9
- эйлеровы 9
Коши соотношения 10
коэффициенты прогоночные 181
Лагранжа вариационный принцип
56
- интерполяционный многочлен
158 .
- обощенные множители 236
лагранжев способ описания движе-
движения 8
лагранжиан 56
Лакса теорема 173
Ламе задача 130
- коэффициенты 34
- оператор 77
- уравнения 78
Лежандра преобразование 57
Маркова цепи 301
матрица блочная 273
- влияния 310
- двудиагональная 170
- жесткости 272
- источников 91
- одностолбцовая 250
- перехода 210, 301
- треугольная 170
верхняя 183
нижняя 170, 183
- трехдиагональная 171
- формы 273
МДТТ (механика деформируемого
твердого тела) 8
мера конечного элемента 278
- обусловленности 214
матрицы 214
метод аппроксимаций 322
- блоков 309
- блуждания по сферам 305
- Вубнова-Галеркина 258
- быстросходящийся 240
- вариационный 247
- вариационно-разностный 267
- взвешенных невязок 259
- Галеркина Петрова 257
- двусту пенчатый 222
- дробных шагом '202
- источников 95
-итерационный 204,215,229
- Канторовича-Лейбница 258
- Ньютона-Канторовича '292
- коллокацый 249
- конечных элементов 270
- Монте-Карло 299
- наименьших квадратов 251
- наискорейшего подъема 258
спуска 258
- переменных направлений 202
- преобразования Лапласа 317
- прогонки 181
продольно-поперечный 202
- простой итерации 206
- расщепления 226
- Ритца 253
- статистических испытаний 299
- стрельбы 180
- теории потенциала 295
- трехступенчатый 246
- укорачивания памяти 320
- факторизации 183
- Филоненко-Бородича 255
- функций штрафа 295
- численной реализации упругого
решения 323
- материальной функции 22
многочлен (полином) интерполяци-
интерполяционный 158
Лагранжа 158
Эрмита 159
- определяющий 278
- Чебышева 159
мода 134
- дисперсионная 134
модель МДТТ 23
модуль сжатия 34
- сдвига 34
- Юнга 35
модули адиабатические 76
- изотермические 76
нагрузки 45
напряжения тензор 16
невязка 209
Нейбера представление 88
несовместности тензор 11
неустойчивость алгоритма 181
- разностной схемы 181
- счета 173
нуль машинный 204
область сеточная 156
оболочка линейная 277
- цилиндрическая 130
обусловленность матрицы 214
- системы 214
363

оператор восстановления 156
- Галеркина 86
- изотропный 26
- квазилинейный 26
- квази-т-линейный 26
- континуальный 168
- Ламе 77
- линейный 28
- напряжений 77
- обращения 216
- перехода 216
- потенциальной энергии дефор-
деформации 52
напряжения 58
- потенциальный 27
- проектирования 156
- разностной производной левой
161
правой 161
центральной 162
- разностный 168
Лапласа 212
- разрешающий 216
- сдвига 161
- тождественный 161
- циклически замкнутый 24
- эквивалентный по спектру 217
оператора факторизация 183
отрицание 260
оценка смещенная 309
Папковича представление 89
параметр итерационный 205
перемещения вектор 8
пластинка 128
поверхность вспомогательная 295
полином см. многочлен
потенциал векторный 131
- двойного слоя 98
- деформаций 57
- напряжений 57
- объемный 94
- простого слоя 94
- скалярный 131
- термоупругий 74
- упругий 73
предикат двузначный 260
преобразование аффинное 279
прогонка обратная 182
- прямая 183
прогонки метод 181
производная разностная 161
- функциональная 24
пространство гильбертово 232
- евклидово 9
- Ильюшина 101
- сеточное 168
- экстремальное 248
процесс 21
- активный 102
- изотермический 28
- неизотермический 19
- пассивный 102
- простой 101
Пуассона коэффициент 35
работа сил внешних 18
внутренних 18
на заданном перемещении 54
Даламбера 55
равнозначность 261
разбиение отрезка 156
разрыв сильный 138
- слабый 138
распад разрыва 289
решение обобщенное задачи А 231
В 236
Римана волны 143
- инварианты 290
Ритца метод 253
- система 254
сетка 156, 165
- равномерная 156
сетки граница 165
сила массовая 16
- объемная 84
- поверхностная 16
система кинематическая 56, 230
действительная 56
- кинематически допустимая 56,
230
- консервативная 54
- самоуравновешенная 63
- статическая 56, 230
действительная 56
- статически допустимая 56, 230
- устойчивая 175
скорость групповая 134
слой времени 185
совместности уравненеия 11
- условия 11
Сомильяны формула 86
состояние деформированное одно-
одномерное 120
плоское 122
- напряженное одномерное 118
плоское 126
обобщенное 128
соотношения операторные 21
среда вязкоупругая 107
однородная 107
- изотропная 32
- необратимая 19
- ортотропная 32
- трансверсально-изотропная 32
- упругая 72
364

сплайн 158
схема итерационная двуслой-
двуслойная 216
многослойная 215
- простой итерации 206
- расщепления 201
- разностная неявная 190, 197, 200
устойчивая абсолютно 190
безусловно 190
условно 188
с опережением 190
отставанием 190
явная 186
безусловно-устойчивая 190
- Ричардсона 210
сходимость 169
тензор Грина 1-го рода 96
2-го рода 96
- градиента деформации 9
- девиатор 12, 13
- деформации 12
потенциальный 237
- дистории 9
- корректирующий 255
малых деформаций 10
-модулей упругости 31, 74
эффективный 330
-напряжений Кельвина 85
- напряжения 16
потенциальный 231
- несовместности 11
-основной 255
- перемещения Кельвина 84
- поворота 10
- потоков 70
- скоростей деформации 13
~ упругих податливостей 31, 74
- фундаментальных решений тео-
теории упругости 92
- шаровой 12, 13
теорема взаимности 83
- вложения Соболева 233
- живых сил 18
- Кастильяно 58
- Клайперона 55
- Лагранжа 56
- Лакса 173
- об остаточных напряжениях 104
- о простом нагружении 106
работе 55
разгрузке 104
- основная 211
- Пифагора 207
- Рисса 233
теплоемкость 41
точка опорная 298
- концевая 266
- основная 298
- узловая 156
Треффца представление 89
триангуляция области 165
узел 156
- внутренний 165
- граничный 165
- засеточный 157
уравнения движения 17
- определяющие 28
- равновесия 21
- разностные 161
- совместности 11
усилия 45
условия взаимности 26
- граничные 45
контактного типа 131
- на бесконечности 46
- начальные 47
- совместности 11
устойчивость 173
- алгоритма 173
- разностной схемы 173
безусловная 190
условная 188
устойчивости признак спектраль-
спектральный 188, 192, 195
форма т-линейная 25
- однородная 25
формула квадратурная 160
интерполяционная 160
- — точная 161
фронт волны 134, 138
функционал смешанный 22
функция базисная элемента 158
- булева 260
- весовая 160
- дельта 341
дельта-образная 342
- координатная 247
- материальная 22
- напряжений Эри 124
- пластичности Ильюшина 36
- пробная 22
- процесса 22
- рассеивания 19
- Рвачева 264
- сеточная 156
- состояния 19
- формы 271
- характеристическая 260
- Шеффера 261
характеристика жесткая 314
- мягкая 314
шаблон 162
шаг по времени 185
- сетки 156
эйлеров способ описания движе-
движения 8

эквиваленция 261
экран поглощающий 301
энергия внутренняя 19
- кинетическая 18
- свободная 20
энтропия 19
Эри функция напряжений 124
Эрмита полиномы 159
Юнга модуль 35
ядра
— ползучести 31
эффективные 331
- релаксации 30
эффективные 329

Учебное издание ВДПА.
ПОБЕДРЯ БОРИС ЕФИМОВИЧ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ПЛАСТИЧНОСТИ
Зав. редакцией Л.А. Нпколова
Редактор Е.Д. Егорушкина
Технический редактор Г.Д. Колоскова
Художественный редактор Ю.М. Добряпская
Операторы ПЭВМ СЮ. Панкратьева,
К.Е. Панкратьев
Корректоры: Н.М. Коновалова,
Л.Д. Степанова