Теория упругости и пластичности - Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В.

Автор: Горшков А.Г. Старовойтов Э.И. Тарлаковский Д.В.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация механика физика теория упругости
ISBN: 5-9221-0224-9
Год: 2002
Похожие
Теория упругости
Метод геометрического погружения в теории упругости
Уравнения и краевые задачи теории пластичность и ползучести
Математическая теория пластичности
Текст
                    УДК 539.3 @75.8)
Г47
ББК 22.251
Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Тарлаковский Д. В.
Теория упругости и пластичности: Учеб.: Для вузов. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 416 с. - ISBN 5-9221-0224-9.
Изложены следующие разделы курса: теория напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния, физические соотношения и постановки задач теории
упругости, вариационные принципы, плоская задача, теория пластин, теории
пластичности, линейная вязкоу пру гость. Включены примеры решения задач
и тестовые задания.
В качестве дополнительного материала рассмотрена теория переменно-
переменного нагружения упругопластических тел, модели термовязкоупругопластиче-
ских сред, динамические линейные и физически нелинейные задачи, мето-
методика получения термомеханических характеристик материалов, контактные
задачи. Приведены методы и примеры решения задач, в том числе изгиба и
колебаний трехслойных пластин.
Для студентов, аспирантов и научных работников.
Табл. 12. Ил. 134. Библиогр. 63 назв.
ISBN 5-9221-0224-9	© ФИЗМАТЛИТ, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		7
Введение		9
1.	Теория напряженно-деформированного состояния
1.1.	Понятие об упругой сплошной среде 		15
1.2.	Тензор напряжений 		18
1.3.	Свойства тензора напряжений 		20
1.4.	Уравнения равновесия тела		22
1.5.	Условия равновесия на границе 		23
1.6.	Главные оси и главные значения тензора напряжений	24
1.7.	Максимальные касательные напряжения		27
1.8.	Девиатор и шаровая часть тензора напряжений ....	29
1.9.	Перемещения и деформации. Тензор деформаций ...	32
1.10.	Главные оси и главные значения тензора деформаций	34
1.11.	Девиатор и шаровая часть тензора деформаций ....	35
1.12.	Уравнения совместности деформаций		37
2.	Физические соотношения в теории упругости
2.1.	Энергия деформации и упругий потенциал 		41
2.2.	Закон Гука 		43
2.3.	Закон Гука для анизотропного материала 		45
2.4.	Формула Клапейрона 		47
2.5.	Температурные эффекты 		48
2.6.	Пример исследования напряженно-деформированного
состояния 		50
3.	Постановки и методы решения задач теории упругости
3.1.	Граничные задачи 		55
3.2.	Постановка задач теории упругости в перемещениях
(уравнения Ламе) 		56
3.3.	Постановка задач теории упругости в напряжениях
(уравнения Бельтрами—Мичелла) 		58
3.4.	Теорема Клапейрона		60
3.5.	Существование и единственность решения задачи тео-
теории упругости 		61
3.6.	Полуобратный метод Сен-Венана 		63
3.7.	Постановки задачи теории упругости в цилиндрической
и сферической системах координат 		67
4.	Вариационные методы, деформирование полупростран-
полупространства и контактные задачи
4.1.	Принцип возможных перемещений Лагранжа		70
4.2.	Принцип возможных сил Кастильяно		75

Оглавление
4.3.	Теоремы Кастильяно 		77
4.4.	Теорема взаимности Бетти 		79
4.5.	Вариационный метод Рэлея-Ритца 		80
4.6.	Метод Бубнова - Галеркина 		81
4.7.	Метод Ритца-Лагранжа		82
4.8.	Упругое полупространство под действием поверхност-
поверхностных сил 		83
4.9.	Фундаментальные решения для упругой полуплоскости	89
4.10.	Задача о штампе на упругой полуплоскости 		94
4.11.	Плоская контактная задача для двух упругих тел . .	99
4.12.	Взаимодействие штампа с упругим полупространством	103
4.13.	Задача Герца 		107
5.Плоская задача теории упругости
5.1.	Плоское деформированное состояние 		110
5.2.	Плоское напряженное состояние		112
5.3.	Уравнения совместности в напряжениях 		114
5.4.	Функция напряжений Эри 		114
5.5.	Примеры решения плоской задачи теории упругости .	116
6.	Изгиб пластины
6.1.	Основные понятия и гипотезы 		119
6.2.	Перемещения и деформации в пластине 		121
6.3.	Напряжения и внутренние усилия в пластине 		123
6.4.	Дифференциальное уравнение изгиба пластины ....	124
6.5.	Граничные условия 		125
6.6.	Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины ...	127
6.7.	Прямоугольная пластина при синусоидальной нагрузке	128
6.8.	Решение в двойных тригонометрических рядах ....	129
6.9.	Применение одинарных тригонометрических рядов . .	131
6.10.	Прямоугольная пластина на упругом основании ....	132
6.11.	Изгиб круглой пластины 		134
6.12.	Симметричный изгиб круглой пластины 		136
6.13.	Эллиптическая пластина 		137
6.14.	Круглая упругая трехслойная пластина 		139
7.	Основы теории пластичности
7.1.	Пластичность материалов при растяжении и сжатии .	151
7.2.	Условия пластичности		155
7.3.	Простое и сложное нагружения 		160
7.4.	Гипотезы теории малых упругопластических деформа-
деформаций 		162
7.5.	Постановка задач теории малых упругопластических де-
деформаций 		163
7.6.	Метод упругих решений		165
7.7.	Геометрическая интерпретация процесса нагружения .	167
7.8.	Теория пластического течения 		170
7.9.	Пример предельной поверхности		173
7.10.	Основы общей математической теории пластичности
Ильюшина		175
7.11.	Упругопластический изгиб круглой трехслойной пла-
пластины 		184

Оглавление
8.	Переменные нагружения упругопластических тел
8.1.	Основы теории Москвитина 		188
8.2.	Термопластичность при переменных нагрузках ....	195
8.3.	Переменные нагружения упругопластических тел в ней-
нейтронном потоке		200
8.4.	Циклическое нагружение трехслойной пластины . . .	205
9.	Линейные вязкоупругие среды
9.1.	Ползучесть и релаксация 		210
9.2.	Постановка задач линейной вязкоу пру гости 		213
9.3.	Виды ядер ползучести и релаксации 		215
9.4.	Принцип Вольтерра 		218
9.5.	Экспериментально-теоретический метод Ильюшина .	220
9.6.	Температурно-временная аналогия 		221
9.7.	Круглая линейно-вязкоупругая трехслойная пластина	224
9.8.	Теория старения 		229
10.	Термовязкоу пру гопластичность
10.1.	Нелинейные вязкоупругие среды		230
10.2.	Уравнения нелинейной вязкоу пру гости, учитывающие
влияние вида напряженного состояния 		232
10.3.	Вязкоупругопластические среды		233
10.4.	Метод последовательных приближений в задачах вяз-
коупругопластичности		234
10.5.	Круглая вязкоу пру гопластическая трехслойная пласти-
пластина 		236
11.	Термовязкоупругопластические характеристики мате-
материалов
11.1.	Алюминиевый сплав Д16Т 		247
11.2.	Керамические материалы		253
11.3.	Политетрафторэтилен		255
11.4.	Влияние радиации на механические свойства материа-
материалов 		261
11.5.	Расчет температурного поля в трехслойной пластине .	263
12.	Динамические задачи теории упругости
12.1.	Постановка динамической задачи теории упругости .	268
12.2.	Вариационный принцип в динамике		270
12.3.	Свободные колебания упругих тел		271
12.4.	Вынужденные колебания упругих тел 		274
12.5.	Неравенство Рэлея и метод Ритца		276
12.6.	Колебания круглой упругой трехслойной пластины . .	278
12.7.	Колебания вязкоупругой трехслойной пластины ....	285
12.8.	Колебания трехслойной пластины, возбужденные теп-
тепловым ударом		290
12.9.	Колебания, вызванные абляцией		299
12.10.	Прогрессивные волны 		302
12.11.	Волны Рэлея 		305
12.12.	Волны Лява		310

6	Оглавление
12.13.	Прогрессивные волны в плоском слое		316
12.14.	Полуплоскость под действием движущейся поверхност-
поверхностной силы		322
13.	Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
13.1.	Общие положения. Свободные колебания		335
13.2.	Вынужденные колебания вблизи резонанса 		339
13.3.	Колебания круглой трехслойной пластины вблизи резо-
резонанса 		342
14.	Приложения
14.1.	Тензоры в декартовых координатах		347
14.2.	Краевые условия и перемещения в функциях Эри . .	354
14.3.	Краткие сведения об обобщенных функциях		356
14.4.	Коэффициенты линейно-вязкоупругой трехслойной пла-
пластины 		376
14.5.	Тестовые задания по теории упругости		378
Список литературы		398
Именной указатель		402
Предметный указатель		404

ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании учебника авторы основывались на курсах
«Теория упругости» и «Теория упругости и пластичности», чи-
читаемых ими в течение ряда лет в Московском государственном
авиационном институте (техническом университете) и Белорус-
Белорусском государственном университете транспорта для различных
инженерных специальностей. Основная цель книги состоит в от-
отражении современных подходов к постановке и решению задач
теорий упругости, пластичности и вязкоу пру гости.
Учебник предназначен, в первую очередь, для студентов тех-
технических университетов, поэтому наряду с тензорной формой
записи применялась координатная. Авторы основывались на
глубоком убеждении в том, что подобный материал для любых
специальностей должен излагаться с достаточным уровнем ма-
математической строгости и доказательно, где это требуется в рам-
рамках курса. В связи с этим книга может использоваться в учебном
процессе для широкого спектра специальностей. Для успешного
освоения материала необходимо знание соответствующих разде-
разделов стандартного курса математического анализа, а также ли-
линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Дополнитель-
Дополнительные сведения по тензорному анализу и обобщенным функциям
приведены в приложении (глава 14).
В первой части книги (главы 1-7), предназначенной в основ-
основном для студентов, рассмотрены следующие разделы курса: тео-
теория напряженно-деформированного состояния, физические соот-
соотношения и постановки задач теории упругости, вариационные
принципы, контактная задача теории упругости, плоская зада-
задача, теория пластин, теории пластичности, линейная вязкоупру-
гость. При этом используется аппарат тензорного исчисления
в прямоугольной декартовой системе координат. Теоретический
материал сопровождается типовыми примерами решения учеб-
учебных задач. Удобные для контроля и самоконтроля знаний сту-
студентов тестовые задания приведены в приложении.
Материал последних шести глав (главы 8-13) могут быть
использованы студентами при изучении расширенных курсов
«Теория упругости и пластичности», в спецкурсах, а также бу-
будут полезны аспирантам и научным сотрудникам, работающим

Предисловие
в области механики деформируемого твердого тела. Здесь изла-
излагаются основы современной теории пластичности (общей, малых
упругопластических деформаций и теории течения), линейной и
нелинейной вязкоу пру гости. Отдельно рассмотрена теория ква-
квазистатического переменного нагружения упругопластических
тел в тепловых и радиационных полях. Предлагаются постанов-
постановки динамических задач теории упругости (линейные колебания,
волны и колебания физически нелинейных тел вблизи резонанса).
Как приложение рассмотренных постановок задач и мето-
методов их решения каждая глава, начиная с шестой, содержит раз-
раздел по соответствующему исследованию трехслойных круговых
пластин, набранных из различных материалов. Приведены ана-
аналитические решения и числовые результаты для упругих, упру-
упругопластических, линейно вязкоупругих и вязкоупругопластиче-
ских пластин при квазистатических и динамических нагрузках.
Необходимые для числового счета термовязкоупругопластиче-
ские характеристики конкретных материалов содержатся в
одиннадцатой главе.
Список литературы представлен не в полном объеме, а лишь
указывает на источники, которые в той или иной мере были
использованы при подготовке данного учебника.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам
за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, боль-
большинство из которых были учтены при подготовке окончатель-
окончательного текста книги. Они будут благодарны всем читателям за
замечания любого характера.

ВВЕДЕНИЕ
Теории упругости, пластичности и линейной вязкоупруго-
сти представляют собой разделы механики деформируемого
твердого тела — совокупности дисциплин, изучающих напря-
напряженно-деформированное состояние твердых тел. Сюда входят
также сопротивление материалов и строительная механика.
Задачи, которые решаются этими науками, сходны между
собой и заключаются в установлении связи между внешними
нагрузками и поведением деформируемого тела.
Различие же между ними состоит в рассматриваемых объек-
объектах, принимаемых допущениях и в методах решения задач.
В курсе сопротивления материалов рассматриваются главным
образом брусья; в теории упругости —брусья, пластины, обо-
оболочки и массивы; в строительной механике —системы, состоя-
состоящие из стержней (фермы), балок (рамы), пластин и оболочек.
В теориях упругости, пластичности и вязкоу пру гости исполь-
используются различные физические законы, устанавливающие связь
между напряжениями и деформациями, но каких-либо дефор-
деформационных гипотез не вводится. В результате приходится ре-
решать существенно более сложные задачи, чем в сопротивлении
материалов, и для их решения прибегать к более сложным ма-
математическим методам.
Часто теорию упругости (это относится и к теории пластич-
пластичности) подразделяют на математическую и прикладную теории
упругости.
Математическая теория упругости не использует никаких
деформационных гипотез, а получаемые уравнения решаются
либо точными, либо такими приближенными методами, кото-
которые позволяют безгранично увеличивать степень приближения
к точному решению. Поэтому можно считать результаты, полу-
получаемые при решении задач математической теории упругости,
эталоном для оценки точности различных приближенных тео-
теорий и методов решения сходных задач.
Прикладная теория упругости отличается от математиче-
математической тем, что для решения задач помимо закона Гука приме-
применяются некоторые дополнительные гипотезы деформационного
характера (гипотеза плоских сечений для стержней, прямых

10	Введение
нормалей для пластин и оболочек и т. п.). При решении задач
прикладной теории упругости наряду с точными методами ре-
решения соответствующих уравнений могут применяться и при-
приближенные. Между прикладной теорией упругости, тесно свя-
связанной с запросами практики, и сопротивлением материалов нет
четкой границы.
Первым математиком, который занимался сопротивлением
твердых тел разрушению, был Галилей 1) . Хотя он считал твер-
твердые тела неупругими и не владел законом, связывающим сме-
смещения и силы, но его работы указали путь, по которому пошли
другие исследователи.
Открытие закона Гука2) в 1660 г. и установление общих
уравнений Навье3) в 1821 г. представляют две важные вехи
в дальнейшем развитии теории, начавшейся с Галилея. Закон
Гука дал необходимое экспериментальное обоснование теории.
Нахождение общих уравнений позволило свести к математиче-
математическим вычислениям все проблемы, относящиеся к малым дефор-
деформациям упругих тел.
В период времени между открытием закона Гука и уста-
установлением общих дифференциальных уравнений теории упру-
упругости интерес исследователей был направлен на проблемы ко-
колебаний стержней и пластин, а также на устойчивость колонн.
Сюда следует отнести в первую очередь фундаментальные ра-
работы Я. Бернулли4) , посвященные форме упругой кривой, и
Эйлера5) , положившие начало исследованиям в области устой-
устойчивости упругих систем. Лагранж6) следовал теории Эйлера и
применил ее для определения наиболее надежной формы колонн.
Математическая теория упругости как наука сложилась в
первой половине XIX века в основном благодаря трудам фран-
французских инженеров и ученых. Впервые уравнения равновесия и
колебаний упругих твердых тел в предположении дискретного
молекулярного строения тела были получены Навье. Пользуясь
вариационным исчислением, он выводит не только дифферен-
х) Галилей Галилео (Galilei Galileo, 1564-1642), итальянский ученый, один
из основателей современной механики, первым исследовал прочность балок.
2)	Гук Роберт (Hook R., 1635-1703), английский естествоиспытатель, раз-
разносторонний ученый и экспериментатор.
3)	Навье Анри (Navier A., 1785-1836), французский математик и механик,
основоположник теории упругости, впервые ввел понятие напряжения.
4)	Бернулли Якоб (Bernoulli J., 1654-1705), один из семейства швейцар-
швейцарских ученых, труды в области математики и механики.
5)	Эйлер Леонард (Euler L., 1707-1783), математик, механик; по происхо-
происхождению— швейцарец, в 1727—1741 годах работал в России, затем в Берлине.
6)	Лазранэю Жозеф Луи (Lagrange J. L., 1736-1813), французский мате-
математик и механик; основные труды по вариационному исчислению, анали-
аналитической механике.

Введение	11
циальные уравнения, но также и граничные условия, которые
должны удовлетворяться на поверхности тела.
Ламе 1) и Клапейрон 2) развили теорию Навье применитель-
применительно к строительному делу. Ими был написан специальный мемуар
о внутреннем равновесии твердых тел, решена задача о напря-
напряжениях и деформациях толстостенной трубы при осесимметрич-
ном нагружении (задача Ламе).
К осени 1822 г. Коши3) открыл большинство основных эле-
элементов чистой теории упругости. Он ввел понятие о напряжении
и деформациях в данной точке. Показал, что они могут быть
определены шестью соответствующими компонентами. Исходя
из гипотезы о сплошном и однородном строении твердого те-
тела, Коши получил уравнения движения (или равновесия). Он
впервые ввел в уравнения теории упругости две упругие посто-
постоянные, в то время как уравнения Навье содержали лишь одну.
Соотношения, связывающие малые деформации и перемещения,
названы его именем.
Значительный вклад в развитие теории упругости принадле-
принадлежит Сен-Венану4) . Им был предложен новый подход для реше-
решения ряда прикладных задач (полуобратный метод Сен-Венана).
С помощью этого метода были решены важные задачи об изгибе
и кручении бруса некруглого поперечного сечения. Ему также
принадлежат исследования по колебаниям, удару, теории пла-
пластичности.
Во второй половине XIX века Г. Кирхгоф5) сформулировал
основные уравнения теории тонких стержней, положив начало
развитию методов расчетов упругих пружин. Кроме того, им
разработана последовательная теория тонких пластин. Первые
попытки в этом направлении были сделаны Лагранжем и Софи
Жермен6) в 1814 г., но они не сумели правильно сформулиро-
сформулировать граничные условия задачи.
г) Ламе Габриель (Lame G., 1795-1870), французский математик и меха-
механик, в 1820-32 гг. работал в России; специалист в математической физике,
теории упругости.
2)	Клапейрон Бенуа Поль Эмиль (Clapeyron В. Р. Е., 1799-1864), фран-
французский физик и инженер, в 1820-30 гг. работал в России.
3)	Коши Огюстен Луи (Cauchy A. L., 1789-1857), французский матема-
математик, один из основоположников основ математической теории упругости.
4)	Барре де Сен-Венан (Saint-Venant A. J. С, 1797-1886), французский
механик, один из основоположников теории пластичности.
5)	Кирхгоф Густав Гоберт (Kirchhoff G. R., 1824-1887), немецкий физик;
труды по механике, математической физике, электричеству, спектральному
анализу.
6)	Жермен Софи (Germain Sophie, 1776-1831), французский математик,
за исследования равновесия пластин награждена премией французского
Института 1815 г., опубликована работа в 1821 г. Первый вариант урав-
уравнения равновесия пластинок был исправлен Лагранжем в 1811 г.

12	Введение
В конце XIX века Ароном1) и Лявом2) даны первые ва-
варианты уравнений современной теории оболочек, основанные на
применении гипотезы недеформируемости нормального прямо-
прямолинейного элемента. Буссинеск3) изучал распределение напря-
напряжений в упругом теле под действием сосредоточенной силы. Это
позволило Герцу4) поставить задачу о взаимодействии при кон-
контакте двух упругих тел.
Важную роль в развитии теории упругости сыграли рабо-
работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии
принципа возможных перемещений, теории удара, а также ин-
интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградско-
Остроградскому5). Генерал от артиллерии Гадолин6) исследовал напряже-
напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы
проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский 7)
изложил современную теорию изгиба балок. Он широко при-
применял методы сопротивления материалов при проектировании
многочисленных мостов железных дорог. Существенное продви-
продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с
трудами Колосова 8) и Мусхелишвили 9) , которые впервые при-
применили метод, основанный на использовании функций комплекс-
комплексного переменного. Бубновым10) решен ряд задач об изгибе
пластин.
г) Арон Г (Aron H., 1845-1913), немецкий электротехник.
2)	Ляв Огастес Эдуард Хьют (Love A. E. Н., 1863-1940), английский уче-
ученый-механик, издал уникальную книгу [26], которая по праву считается
энциклопедией математической теории упругости начала XX столетия.
3)	Буссинеск Жозеф Валантен (Boussinesq J. V., 1862-1929), французский
механик; труды по гидродинамике, оптике, термодинамике, теории упруго-
упругости.
4)	Герц Генрих Гудольф (Hertz H. R., 1857-1894), немецкий физик; тру-
труды по электромагнетизму, теории света, дал постановку класса контактных
задач.
5)	Остроградский Михаил Васильевич A801-1861/62), русский матема-
математик, механик; провел важные исследования по интегральному исчислению.
6)	Гадолин Аксель Вильгельмович A828-1892), русский ученый, разрабо-
разработал теорию скрепления стволов артиллерийских орудий; труды по физике,
обработке металлов.
) Журавский Дмитрий Иванович A821—1891), русский ученый и инже-
инженер, основатель школы в области строительной механики и мостостроения.
8)	Колосов Гурий Васильевич A867-1936), русский механик; труды по ма-
математике, теории машин и механизмов.
9)	Мусхелишвили Николай Иванович A891-1976), отечественный матема-
математик и механик; труды по теории упругости, интегральным уравнениям и
граничным задачам.
10) Бубнов Иван Григорьевич A872-1919), русский инженер, заложил осно-
основы строительной механики корабля, построил две подводные лодки.

Введение	13
Основополагающие исследования по теории пластин и оболо-
оболочек, колебаниям стержней с учетом влияния деформаций сдвига
были выполнены Тимошенко 1) . Многие задачи решены предло-
предложенным им энергетическим методом.
Галеркину2) принадлежит большой цикл исследований по
теории изгиба тонких пластин, толстых плит и теории оболочек.
Для вывода уравнений теории оболочек он, по-видимому, впер-
впервые применил уравнения трехмерной теории упругости. Папко-
вичем3) впервые предложено решение задач теории упругости
в перемещениях в форме гармонических функций, а также ис-
исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен
большой цикл задач об изгибе пластин при различных гранич-
граничных условиях.
Большой вклад в развитие общей теории оболочек внесли
Власов 4) , Новожилов 5) , Работнов 6) . Власовым исследовались
общие уравнения теории оболочек, разработаны технический и
полубезмоментный ее варианты, предложена новая теория из-
изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля.
Он — основоположник новой научной дисциплины — строитель-
строительной механики оболочек.
Теория пластичности в качестве самостоятельного разде-
раздела механики начала оформляться более ста лет назад. В пер-
первых работах Сен-Венана, относящихся к 1868-71 годам, были
сформулированы основы теории пластического течения. Созда-
Создание ее было направлено на описание процессов обработки метал-
металлов давлением. Хотя в распоряжении Сен-Венана было ограни-
ограниченное количество опытных данных, ему удалось (в некоторой
степени по аналогии с гидродинамикой вязкой жидкости) сфор-
х) Тимошенко Степан Прокофьевич A878-1972), русский ученый, с
1922 г.—в США; труды по устойчивости упругих систем, вариационным
методам, вибрации.
2)	Галеркин Борис Григорьевич A871-1945), русский инженер и ученый,
один из создателей теории изгиба пластин, его труды способствовали вне-
внедрению математических методов в инженерные исследования.
3)	Папкович Петр Федорович A887-1946), отечественный кораблестрои-
кораблестроитель; основные труды по строительной механике корабля, теории упру-
упругости.
4)	Власов Василий Захарович A906-1958), отечественный ученый в обла-
области механики, труды по сопротивлению материалов, строительной механи-
механике, теории упругости.
5)	Новоэюилов Валентин Валентинович A910-1987), отечественный ме-
механик; труды по теории упругости, пластичности, расчету оболочек и ко-
корабельных конструкций.
6)	Работнов Юрий Николаевич A914-1985), отечественный механик; тру-
труды по теории оболочек, теории пластичности, ползучести и разрушению
материалов.

14	Введение
мулировать отдельные закономерности, значимость которых со-
сохранилась до наших дней.
В начале XX века Карман1) A909), Хубер2) A904),
Мизес3) A913), Надаи4) A921), Хенки5) A924) и другие вы-
выдвинули новые концепции и теории, которые хотя и не решили
проблемы, но расширили круг идей. В 20-е и 30-е годы помимо
предложения разных вариантов теории были широко поставле-
поставлены экспериментальные исследования. Это был важный этап в
развитии теории пластичности. Однако к концу 30-х —началу
40-х годов сложилась ситуация, когда одни опыты подтвержда-
подтверждали одну теорию и опровергали другие теории. В то же время
данные других опытов свидетельствовали наоборот.
Ясность была внесена Ильюшиным6) A943-45). Он указал
на необходимость различения характера процессов деформиро-
деформирования (простая и сложная деформации). Анализ эксперимен-
экспериментальных данных свидетельствовал о взаимной согласованности,
если они были получены в условиях простой деформации. Эти
исследования завершились разработкой теории малых упруго-
пластических деформаций.
В начале 50-х годов были предложены различные теории
пластичности при произвольном сложном нагружении. Эти под-
подходы оформились в виде трех теорий: современная теория те-
течения, теория скольжения и общая теория упругопластиче-
ских деформаций.
Построение общей математической деформационной теории
пластичности базируется на сформулированном Ильюшиным
постулате изотропии. Основой дальнейшего развития теории
течения упругопластических тел является постулат упрочне-
упрочнения Дракера 7) о неотрицательности работы внешних сил в за-
замкнутом цикле пластического нагружения.
В развитие этих направлений большой вклад внесли теорети-
теоретические и экспериментальные исследования ряда отечественных
и зарубежных ученых.
г) Карман Теодор фон (Karman Th., 1881-1963), немецкий ученый; труды
по самолето- и ракетостроению, аэро- гидро- и термодинамике, строитель-
строительной механике
2)	Хубер (Hyber M. Т., 1872-1950), польский ученый-механик.
3)	Мизес Рихард (Mises R., 1883-1953), немецкий математик и механик,
с 1939 г. — в США, один из основоположников теории пластичности; труды
по аэромеханике.
4)	Надаи (Nadai A. L., 1883-1963), венгерско-немецко-американский уче-
ученый-механик.
5)	Хенки (Hencky H., 1885-1951), немецко-американский ученый-механик.
6)	Ильюшин Алексей Антонович A911-1998), отечественный ученый-меха-
ученый-механик, один из основоположников теорий пластичности, вязкоу пру гости и др.
7)	Дракер (Drucker D. С, род. 1918), американский ученый-механик.

1.
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
1.1. Понятие об упругой сплошной среде
Как мы знаем из курса сопротивления материалов, дефор-
деформируемые твердые тела меняют свои размеры и форму (дефор-
(деформируются) под действием внешних сил (нагрузок). В них воз-
возникают внутренние усилия, величина и распределение которых
зависят от нагрузки и геометрической формы тел.
Механическое поведение твердого тела может быть весьма
разнообразным и сложным. Общее описание его базируется на
теории сплошной среды. Хорошо известно, что в действительно-
действительности сплошной среды нет, но для понимания механического пове-
поведения материи в макрообъемах можно принять такую модель.
При игнорировании дискретной структуры материала предпо-
предполагается, что объем, занимаемый телом, непрерывно заполнен
материей.
Бесконечно малый объем материала можно рассматривать
как «частицу» сплошной среды. При этом произвольная дели-
делимость материи, так же, как и неразличимость отдельных час-
частиц, составляет одно из основных понятий механики сплошной
среды.
Основанием для введения модели сплошной среды является
опыт, делающий возможным экспериментальную проверку рас-
рассматриваемой теории. При нагружении под действием внешних
сил материальные частицы меняют свое положение в простран-
пространстве, т. е. сплошная среда движется. Предполагается также, что
движение сплошной среды непрерывно. Это означает, что все ве-
величины, определяющие деформирование, являются непрерыв-
непрерывными функциями координат.
Описание деформирования твердых тел и жидкостей в ме-
механике является чисто геометрической проблемой и совершенно
не зависит от поведения материала. Это — задача кинематики
сплошной среды, и характер сил, вызывающих деформацию, не
играет при этом никакой роли. Равным образом и силы, возни-
возникающие в деформированном теле, не зависят от свойств мате-
материала.

16	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Рассмотрим произвольное твердое тело с наложенными на
него опорными реакциями. Воздействие окружающих тел за-
заменяется силами, которые называются внешними. Внешние на-
нагрузки можно разделить на объемные (массовые), поверхност-
поверхностные и сосредоточенные. Последние могут рассматриваться как
предельный случай приложения поверхностных нагрузок на ма-
малой части поверхности тела.
Теория упругости является частью механики сплошной сре-
среды и занимается определением деформаций и внутренних сил
в упругих телах при заданных нагрузках. При этом принима-
принимаются следующие основные гипотезы и допущения относительно
свойств материала, нагрузок и характера деформаций.
1.	Гипотеза однородности и сплошности. Это пред-
предположение дает возможность изучать механические свойства тел
на образцах сравнительно малых размеров и позволяет исполь-
использовать для исследования деформации аппарат дифференциаль-
дифференциального исчисления.
2.	Допущение о малости деформаций. Деформа-
Деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказыва-
оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок,
приложенных к телу. Это позволяет при составлении уравнений
равновесия считать геометрию тела неизменной.
3.	Принцип напряжений Эйлера и Коши. В каждом
поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет
место взаимодействие сил по типу распределенных по поверх-
поверхности нагрузок. То есть, применяя метод сечений, мы можем
действие одной части тела на другую заменять поверхностными
усилиями, действующими в сечении.
4.	Аксиома отвердевания (замороженности): в лю-
любой фиксированный момент времени t материальное тело рас-
рассматривается как абсолютно твердое, и для него справедливы
законы теоретической механики, в том числе законы Ньюто-
Ньютона1) . При этом используются аксиоматические понятия силы и
массы.
Отметим, что согласно гипотезе сплошности движение ма-
материи изучается на так называемом макроскопическом уровне,
то есть не учитывается элементарное строение вещества. Это
оправдано тем, что в огромном числе практических задач пред-
представляет интерес не поведение каждой молекулы (атома), а об-
общее состояние тела.
Справедливость введенных допущений окончательно может
быть установлена лишь опытом. Дополнительные аксиомы и
определения будут вводиться по мере необходимости, их нуме-
нумерация будет продолжать начатую.
г) Ньютон Исаак (Newton L, 1643-1727), английский математик, механик;
основатель классической физики.

1.1. Понятие об упругой сплошной среде
17
Предположим, что воображаемое сечение делит тело на две
области — V\ и V~2 (рис. 1.1 а). Элемент поверхности сечения AS
Рис. 1.1
с центром в точке А характеризуется единичным вектором нор-
нормали I/, направленным к V\. Действие, оказываемое частью V\
тела в точке А на часть V<2, можно представить вектором силы Р
и вектором момента М.
В пределе, при стягивании элементарной площадки к рассма-
рассматриваемой точке AS —>• 0 (при фиксированном направлении i/),
могут быть приняты следующие физически обоснованные пред-
пол ожения:
г АР dP
AS dS
hm
AM
hm
AS^O AS
= 0.
A.1)
Определяемый соотношением A.1) вектор сгу называется
вектором напряжений в точке А. Он действует на элемент по-
поверхности с направлением нормали v и меняется при измене-
изменении направления этой нормали к AS. Для векторов напряже-
напряжений, действующих в одной и той же точке, но направленных
в противоположные стороны от сечения элемента, справедливо
равенство
&-v = —O-J,.	A.2)
С его помощью, как видно из рис. 1.15, описывается действие
части V~2 тела на часть V\ и обратно.
Соотношение A.2) можно трактовать как непосредственное
выражение третьего закона Ньютона (принцип равенства дей-
действия и противодействия). Но оно может быть также непосред-
непосредственно выведено из теоремы о количестве движения и из прин-
принципа напряжений Коши. Совокупность векторов напряжений
(Тр(А) для всех направлений v определяет напряженное состоя-
состояние в точке А.
В общем случае вектор напряжений ар(А) направлен не по
нормали v. Его проекция на произвольное направление (опре-
(определяемое единичным вектором) называется компонентой век-

18	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
тора напряжений в этом направлении. Если разложить ар по
нормали и касательной к площадке dS, то его координаты — так
называемые нормальное напряжение ап и
касательное напряжение тп (рис. 1.2). При
этом для модулей этих величин справедливо
соотношение
2	2	2
°V = ап + тп-
Следует всегда помнить, что напряжения ап
и тп, определенные подобным образом, не
являются компонентами вектора в обычном
Рис. 1.2	смысле. Заметим, что касательные напряже-
напряжения в плоскости элемента dS обычно раскладывают на два ко-
координатных направления.
1.2. Тензор напряжений
В дальнейшем будем применять декартовы координаты жх,
#2, хз? которые впредь будем обозначать символом а^, помня
при этом, что г и другие латинские индексы принимают значе-
значения 1, 2, 3. Базисные векторы системы координат обозначим че-
через ej.
Под действием заданных нагрузок в точках твердого тела
возникает напряженное состояние. Для его описания вырежем
вокруг произвольной точки элементарный параллелепипед, ре-
ребра которого параллельны координатным осям и имеют малые
длины dxi (рис. 1.3 а). В силу малости параллелепипеда можно
считать, что векторы напряжений (Т{ на его гранях совпадают с
векторами напряжений на параллельных им координатных пло-
площадках, проведенных через рассматриваемую точку.
При этом и последующем рассмотрении должно быть при-
принято во внимание важное предположение о том, что деформи-
деформированный и недеформированный элементы объема идентичны.
Это следует из гипотезы о малости деформаций.
Действующие на гранях параллелепипеда векторы напряже-
напряжений <Ji можно разложить на нормальные оц (перпендикулярные
к граням) и касательные о^ {% фу) (лежащие в плоскости гра-
граней) составляющие (рис. 1.3 6"). Первый нижний индекс в обо-
обозначениях указывает на нормаль к площадке, на которой дей-
действует это напряжение, второй индекс обозначает ось, которой
оно параллельно. Растягивающие нормальные напряжения счи-
считаются положительными, сжимающие — отрицательными.
Величины Gij не являются компонентами вектора в обычном
смысле. Они измеряются в паскалях A Па = 1 Н/м2). Разложе-
Разложение, например, вектора напряжения о*з (который действует на

1.2. Тензор напряжений
19
грани ж3 = const) по координатным осям Х{ имеет вид
сг3 =
сг32е2
/с=1
В дальнейшем условимся, что всякий раз, когда в одночлене
дважды встречается какой-нибудь латинский индекс, то проис-
происходит суммирование по этому ин-
индексу от 1 до 3. Сам же знак сум-
суммирования писать в дальнейшем
не будем. Индекс этот называет-
называется немым. Его можно, как и пере-
переменную интегрирования в подын-
подынтегральном выражении, заменить
любым другим индексом. Напри-
Например: Xiyi = XkVk- Если повторя-
повторяется греческий индекс, то сумми-
суммирование по нему не производится.
Индекс, встречающийся в слагае-
слагаемом один раз, называется свобод-
свободным. При правильном написании
любой формулы каждое ее слагае-
слагаемое должно иметь одни и те же
свободные индексы.
В общем случае для вектора
напряжений справедливо равен-
равенство
(Т{ = Oijej^	A-3)
где ej — единичный вектор коор-
координатной оси Xj. Введем метри-
метрический тензор Sij, определяемый
как скалярное произведение базисных векторов. В декартовой
системе координат е^ • ej = 0, если г ф j, поэтому
Рис. 1.3
Son =
= h
О,
A.4)
Матрица этого тензора диагональная. Часто компоненты мет-
метрического тензора A.4) называют символами Кронекера 1) .
Скалярное умножение соотношения A.3) на базисный век-
вектор е^ дает
(Ti-ek = Gijej • ek = о^Ьщ.
г) Кронекер Леопольд (Cronecker L., 1823-1891), немецкий математик.

20	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Из A.4) следует, что Skj = 1 только при j = к, поэтому получаем
aik = (Ti'ek.	A.5)
Девять компонентов напряжений ац представляют собой в
совокупности физическую величину, которая называется тен-
тензором напряжений 1) Коши (Тн). Это тензор второго ранга (по
числу индексов). Записанный в виде матрицы, он выглядит сле-
следующим образом:
(ац G\2 O3 \
СГ21 СГ22 СГ23 I .
<*Ъ\ OS2 СГЗЗ /
В строках матрицы содержатся компоненты тензора напряже-
напряжений, действующие на одной площадке, в столбцах — параллель-
параллельные одной оси.
Не останавливаясь на точном математическом определении
тензора, отметим, что он является инвариантным объектом, не
изменяющимся при переходе от одной системы координат к дру-
другой. Изменяются по определенному «тензорному» закону при
таком переходе только его компоненты. Однако в дальнейшем
будем иногда для краткости называть тензором совокупность
его компонент. Более подробно с понятием тензора можно по-
познакомиться в разд. 14.1, а также в курсах механики сплошных
сред, например [12, 44], или теории упругости [3, 35, 55].
1.3. Свойства тензора напряжений
Покажем, что компоненты вектора напряжения аи на произ-
произвольной косой площадке, проведенной через рассматриваемую
точку, можно выразить через напряжения на координатных пло-
площадках (гранях элементарного параллелепипеда) в этой точке
(рис. 1.4 а).
Рассмотрим отдельно элементарную пирамиду, образован-
образованную координатными гранями и косой площадкой с нормалью v
(рис. 1.4 5).
Здесь ovi — проекции вектора напряжений ар на координат-
координатные оси; S — площадь косой площадки; Si — площади соответ-
соответствующих координатных граней (нижний индекс указывает нор-
нормаль к площадке), которые связаны с S следующими соотноше-
соотношениями:
Si = SU, (i = 1, 2, 3),	A.6)
где l{ = cos(z^, %i) —направляющие косинусы нормали v к косой
площадке.
) Понятие «тензор» было образовано от латинского «tensio»—напря-
«tensio»—напряжение.

1.4. Свойства тензора напряжений
21
Покажем на гранях выделенной пирамиды действующие на
них напряжения (см. рис. 1Л6). Составим уравнения равновесия
сгц
Рис. 1.4
сил, которыми являются произведения напряжений на площадь
соответствующих граней:
— (J21S2 — &31S3 = О,
— &23S2 — сгзз*5з = 0.
В тензорных обозначениях эта система уравнений принимает
вид
aviS - GjiSj = 0.	A.7)
Напоминаем, здесь суммирование производится по повторяюще-
повторяющемуся латинскому индексу j. В нашем случае
(JijSj = (JiiS\ + (J12S2 + СГгз?з-
Подставим в уравнения A.7) соотношения A.6). Сократив затем
на S, получим формулы, выражающие компоненты вектора на-
напряжения на произвольной косой площадке через координатные
напряжения,
Ovi = Ojdj-	A-8)
Таким образом, с помощью компонент тензора напряжений
на координатных площадках можно полностью описать напря-
напряженное состояние в точке.
Вектор напряжения сгу на произвольной косой площадке,
проведенной через эту точку, можно представить в виде раз-
разложения по базисным векторам
&v = СГг/г^г = Ov\%\ + OV<2&1 + СГуЗ^З-	A-9)
Используя A.9), модуль этого вектора можно выразить через
сумму квадратов его проекций.

22
1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
1.4. Уравнения равновесия тела
Если деформируемое тело находится в равновесии, то и лю-
любая произвольно выделенная из него часть тела должна также
находиться в равновесии. Пусть тело нагружено заданными по-
поверхностными силами R^ и однородными объемными силами pF
(р — плотность материала):
pF = pFiei = pFiei + pF2e2 + pF3e3.
Предполагается, что компоненты напряжений <т^-, так же,
как и их первые частные производные, являются непрерывными
функциями координат. Дефор-
Деформации считаем малыми, по-
поэтому уравнения равновесия
можно формулировать для
недеформированного тела или
его части.
Для выделенного элемен-
элемента с малыми ребрами dxi, на-
нагруженного согласно рис. 1.5,
компоненты напряжений при
приращении координат на бес-
бесконечно малую величину dx{
изменяются соответственно на
Рис- 1-5	do{y Например, изменение нор-
нормальных напряжений ац, действующих вдоль оси х\, за счет
приращения только dx\ будет следующим:
Х2, xs)an(xi, ж2, ж3) ^dxian idxi.
дх\
Напряжения а2х, действующие вдоль оси х\ на другой грани,
получают приращение за счет изменения координаты х2 на ве-
величину dx2'-
da21 =
x2+dx2, х3)-
2, х3) =
ОХ2
dx2
Аналогично изменяются напряжения а3\\ da3\ = азх,з dx%. Здесь
для краткости операция частного дифференцирования обозна-
обозначена запятой перед соответствующим нижним индексом:
?<¦¦¦>-<->,.
Остальные приращения напряжений вдоль координатных осей
следующие:
(а, /3 = 1, 2, 3; без суммирования по повторяющемуся греческо-
греческому индексу).

1.5. Условия равновесия на границе	23
Из условия равенства нулю суммы моментов сил, действую-
действующих на элемент, относительно координатных осей получим из-
известный закон парности касательных напряжений aij = Gji
(* Ф j) Х) • Это показывает, что тензор напряжений имеет толь-
только шесть независимых компонент, и его матрица симметрична
относительно главной диагонали.
Рассмотрим равновесие сил, действующих на выделенный
элемент, в направлении оси х\. Спроецируем на эту ось все дей-
действующие силы, в том числе объемные. Для этого напряжения,
параллельные оси х\, умножим на площади граней, на которых
они действуют, а интенсивность pF\ — на объем параллелепипе-
параллелепипеда и просуммируем:
+ (Уц,1 dx\ — о\{) dx2dx^ + @21 + 02 ъ 2
+ @31 + азъз dx3 - 031) dx\dx2 + pFidxidx2dx3 = О,
откуда следует
01,1 + 01, 2 + 031, 3 + pF\ = 0.
Учитывая симметрию тензора напряж:ений (ац = (Jji), получаем
0"и, 1 + ^12,2 + 013, з + pF\ = 0.
Аналогично для двух остальных направлений
021,1 + 022, 2 + 023, 3 + pF2 = 0, 031,1 + 032, 2 + 033, 3 + pF% = 0.
В общем случае эти три уравнения можно записать в следу-
следующей тензорной форме:
<7ijj + PFi = Q-	A.10)
Их называют уравнениями равновесия тела или статиче-
статическими уравнениями.
Следует заметить, что в теории обобщенных сред, когда по-
появляются так называемые моментные напряжения (например,
в теории континуума Коссера 2) , тензор напряжений уже не
является симметричным.
1.5. Условия равновесия на границе
Уравнения равновесия A.10) справедливы всюду внутри де-
деформируемого тела. На границе, т. е. на поверхности тела, дол-
должны удовлетворяться условия равновесия в напряжениях. Это
) Впервые этот закон доказал Коши в 1822 г. при выводе уравнений рав-
равновесия.
2
) Коссера (братья) Эжен Морис Пьер (Cosserat E. М. Р., 1866-1931),
французский математик и астроном, и Франсуа (Cosserat F., 1852-1914),
французский инженер, впервые ввели такого рода сплошную среду и ее
исследовали.

24
1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
означает, что на границе должен выполняться непрерывный пе-
переход тензора напряжений к поверхностной нагрузке. Из A.2)
следует
R-z/ = —СТ — у = 0V,
где R*, — вектор напряжений на границе, заданный на стороне
поверхности с нормалью v. Умножив скалярно это выражение
на е^ и воспользовавшись формулами A.8), получим следующие
граничные условия в напряжениях:
Rui = vijlj.	(l.ll)
Следовательно, напряжения на границе (поверхностные на-
нагрузки) находятся в равновесии с напряжениями внутри тела.
В координатной форме равенства A.11) имеют вид
— 0"n cos(z/, х\) + о\2 cos(z/, x<i) + a is cos(z/, жз),
= СГ21 COs(l/, Xi) + СГ22 COs(l/, Ж2) + СГ23 COs(l/, Ж3),
= СГ31 COS(I/, Ж1) + СГ32 (	) +	(	)
причем компоненты вектора нормали являются направляющи-
направляющими косинусами. В дальнейшем значок нормали в нижнем индек-
индексе писать не будем.
1.6. Главные оси и главные значения
тензора напряжений
Возьмем вырезанный ранее элементарный параллелепипед
с «впаянной» в него декартовой системой координат и начнем
мысленно вращать его вокруг рассматриваемой точки. Значе-
Значения компонент тензора напряжений на его гранях будут изме-
сгзз
Рис. 1.6
няться. Доказано, что существует хотя бы одно такое положение
параллелепипеда, при котором касательные напряжения на его
гранях обращаются в ноль, а нормальные напряжения становят-
становятся экстремальными (рис. 1.6). Соответствующие оси координат

1.6. Главные оси и главные значения тензора напряжений	25
в данной точке называются главными осями тензора напряже-
напряжений. Компоненты напряжений в этих осях обозначают ai, сг2, а%
и называют главными значениями тензора напряжений (глав-
(главными напряжениями).
Главные оси нумеруются так, чтобы в алгебраическом смы-
смысле выполнялись для главных значений следующие условия:
&1 ^ а2 ^ °~з • Матрица тензора напряжений в главных осях при-
принимает диагональный вид. Компоненты вектора напряжения на
косой площадке A.8) в главных осях следующие (без суммиро-
суммирования по г):
°vi = <?ik	A.12)
Рассмотрим процедуру определения величины главных на-
напряжений <7i, <Т2, <тз по известным значениям шести координат-
координатных компонент тензора напряжений ац. Возвращаясь к рис. 1.4
и соотношениям A.5), положим, что на-
наклонная площадка является главной. То-
Тогда вектор полного напряжения &„ будет
направлен по нормали v к этой площад-
площадке, так как касательные напряжения от-
отсутствуют (рис. 1.7).
Искомую величину соответствующего
главного напряжения обозначим через а. ' у/ ^^ Х2
Проекции вектора trv на координатные
оси будут следующими:
(jyi = ol{.	Рис. 1.7
Подставляя их в соотношения A.8) и перенося все слагаемые
влево, получим систему уравнений
Gijlj — ali = 0.	A.13)
Слагаемое ali B уравнениях A.13) представим в виде
ali = crSijlj-
Эта операция (li = Sijlj) носит название «жонглирования ин-
индексами» с помощью метрического тензора. В самом деле, про-
проверим это выражение, например, при г = 1
al\ — obijlj — c^ii^i + &812I2 + сг^13^з = cr^n^i = сг^ь
так как в силу A.4)
#12 = Sis = 0, 6ц = 1.
В результате, подставляя эти соотношения в уравнения A.13),
получим систему трех однородных линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных косинусов нормали, опре-
определяющих ориентацию главной площадки в исходной системе
координат:
(агз - а6гзI3 = 0 (i, j = 1,2,3).	A.14)

26
1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
В случае единственности решения полученной системы оно
будет нулевым: \{ = 0, (г = 1, 2, 3). Но нулевое решение не име-
имеет физического смысла. Для существования ненулевого решения
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был ра-
равен нулю:
on —
СГ21
СГ31
СГ
СГ12
СГ22 —
СГ2.2
СГ
013
?3
сг33 —
= 0.
A.15)
Достигается это надлежащим выбором величины а. Если ус-
условие A.15) выполнено, то хотя бы одно из трех уравнений си-
системы A.14) не является независимым и линейно выражается
через два других. Добавив к независимым уравнениям условие
ИЛИ
+ /2
+ ^3 =
\{\{ = 1,
получим новую систему трех независимых уравнений. Она до-
достаточна для нахождения косинусов нормали к главной площад-
площадке, на которой действует напряжение, равное а.
Уравнением для определения главных напряжений служит
определитель A.15). Если его раскрыть и расположить слагае-
слагаемые по степеням <т, то получим кубическое уравнение, которое
называют вековым:
а3 -
aJ2 - J3 = 0.
Здесь
(J22
—о\2 —
= №j\\ =
СГц
СГ 21
СГ12
СГ22
С32СГЗЗ
СГ12,
СГ22,
Можно показать, что все три корня векового уравнения (глав-
(главные напряжения)—вещественные. Их величины определяются
характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной
ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей дол-
должны оставаться неизменными и коэффициенты J\, J2, J3 в веко-
вековом уравнении, определяемые формулами A.16). В связи с этим
их называют инвариантами тензора напряжений.
Если все главные напряжения не равны нулю, то напряжен-
напряженное состояние называется трехосным. Если одно из них — нуле-
нулевое, напряженное состояние — плоское. Если одновременно рав-
равны нулю два главных напряжения, имеем линейное напряжен-
напряженное состояние.

1.7. Максимальные касательные напряжения
27
Физическое содержание тензора напряжений определяется
его тремя инвариантами, поэтому величины, от него зависящие
(например, критерии пластичности), должны быть функциями
Л, J2 5 ^з • Это обстоятельство нужно учитывать при построении
общих теорий механического поведения материалов.
1.7. Максимальные касательные напряжения
Октаэдрическими называют площадки, равно наклоненные
к главным осям тензора напряжений. Чтобы получить значения
напряжений на них, сначала рассмотрим произвольную площад-
площадку в главных осях (рис. 1.8). Вектор напряжения на ней обозна-
обозначим через Су. Разложим его на
нормальную ап и касательную тп
составляющие (см. § 1.1):
2
< = < + <¦	A-17)
Проекции вектора (Ту на
главные оси в соответствии с
формулами A.12) примут вид
Здесь 1а — направляющие коси-
косинусы нормали к рассматривае-
рассматриваемой произвольно ориентирован-
ориентированной площадке. Тогда модуль
полного вектора напряжения на этой площадке можно получить
из суммы квадратов проекций, а величину нормального напря-
напряжения ап — как сумму проекций составляющих полного напря-
напряжения на нормаль:
, Js)
Рис. 1.8
2/2
A.18)
Подставляя полученные выражения для <jv и ап в уравнение
A.17) и учитывая, что сумма квадратов косинусов /^ = 1, по-
получим следующее выражение для касательных напряжений на
произвольной площадке:
(<72 - а3J 1\1\ + (а3 - ахJ iffi. A.19)
J 1\1\
Как видим, т^ —величина положительная и на главных пло-
площадках обращающаяся в нуль. Действительно, если нормаль v
совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих
косинусов равен единице, а два других —равны нулю, и тогда
rl = 0.

28
1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Вернемся к октаэдрическим площадкам. Так как они равно
наклонены к главным осям, то для них все направляющие ко-
косинусы Ц = 1/3. Подставив их в формулы A.18), A.3), получим
значения нормальных и касательных напряжений на октаэд-
рических площадках:
аОкт = -@"i + а2 + СГз) = -(сгц + а22 + азз),
6	A.20)

- а2J + (а2 - а3J + (а3 - ахJ.
Выражая т0Кт через произвольные координатные компонен-
компоненты напряжений, получим
= - [(аи - а22J
(а22 - а33J + (а3з -
Октаэдрические напряжения являются инвариантными вели-
величинами и выражаются через инварианты тензора напряжений:
1
_ 1 Т
— о 1'
о
Тпкт — _
Введением октаэдрических напряжений мы обязаны Надаи
[34]. Они играют важную роль при вычислении эквивалентных
напряжений для сложного напряженного состояния, применя-
применяются также для формулировки критериев пластичности.
Особый интерес представляют площадки, на которых возни-
возникают максимальные касательные напряжения. Положение этих
площадок можно определить, исследуя экстремум выражения
A.19). Так как (<тх — аз) = (ах — а2) + (а2 — аз), и квадрат числа
больше суммы квадратов чисел его
составляющих, то
(ах - а3J > (ах - а2J + (а2 - а3J.
Поэтому тп достигает максимума
на тех площадках, на которых третье
из слагаемых в формуле A.19) мак-
максимально. Следовательно, при \\ =
= /| = 1/2, \\ = 0 получаем т2 =
= Ттах (индекс 2 показывает ось, ко-
которой площадка параллельна),
Ттах = -(ах -а3).	A.21)
Рис. 1.9
Таким образом, площадка с максимальным касательным на-
напряжением параллельна главной оси 2 и одинаково наклонена к
главным площадкам, на которых действуют максимальное (ах)
и минимальное (аз) из главных напряжений (рис. 1.9).

1.8. Девиатор и шаровая часть тензора напряжений	29
Если рассмотреть еще две площадки, которые параллельны
соответственно первой и третьей главным осям, а к остальным
двум равно наклонены, то получим еще два экстремальных зна-
значения касательных напряжений:
Т\ = "(сг2 - СГ3) Т3 = -(СГ1 - <72).
Z	Z
Величины 7~i, T2, тз называются главными касательными на-
напряжениями. Для них справедливо соотношение т\ + Т2 + тз =
= 0. Поверхности, на которых действуют главные касательные
напряжения, не являются взаимно ортогональными, а образуют
стороны правильного додекаэдра. Его стороны не свободны от
нормальных напряжений.
1.8. Девиатор и шаровая часть тензора напряжений
Каждой точке упругого тела соответствует свой тензор на-
напряжений. Следовательно, в теле имеет место поле тензоров на-
напряжений. Укажем две операции над тензорами, которые потре-
потребуются в дальнейшем:
—	суммой двух тензоров называется тензор, компоненты ко-
которого представляют собой сумму соответствующих компонен-
компонентов слагаемых тензоров;
—	произведением тензора на скаляр А называется тензор,
компоненты которого в А раз больше соответствующих компо-
компонентов умножаемого тензора.
Рассмотрим напряженное состояние, при котором на трех
взаимно перпендикулярных площадках действуют только три
одинаковых главных напряжения а, равных среднему напряже-
напряжению в данной точке тела
О\ = G2 = СГз = О = -Оц = -((Гц + СГ22 + СГЗз)-
о	о
Такое напряженное состояние описывается тензором
(а 0 0 \
0*0,	A.22)
0 0 а )
который называется шаровым тензором напряжений (шаровой
частью тензора напряжений).
Название «шаровой тензор» связано с предложенным Ла-
Ламе геометрическим представлением напряженного состояния в
точке. Если в системе координат, совпадающей с главными ося-
осями, для каждой площадки, проходящей через начало координат,
построить вектор полного напряжения, то концы этих векторов
опишут поверхность эллипсоида, который называется эллипсои-
эллипсоидом напряжений, или эллипсоидом Ламе.

30	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Три полуоси эллипсоида напряжений равны по длине трем
главным напряжениям. В случае напряженного состояния, опи-
описываемого шаровым тензором A.22), все три главных напряже-
напряжения равны между собой, и эллипсоид напряжений обращается в
шар.
Вычитая из тензора напряжений шаровой тензор, получим
новый тензор, называемый девиатором напряжений,
(Гц — СГ	CTi2	CTi3	\
СГ21	СГ22 - СГ	СГ23	I .	A.23)
СГ31	СГ32	СГЗЗ — СГ )
Таким образом, тензор напряжений в каждой точке может
быть представлен в виде суммы шарового тензора напряжений
(а) и девиатора напряжений (s^). Для их компонентов выпол-
выполняется соотношение
(Jij = sij + aSij (г, j = 1, 2, 3),
где Sij — символы Кронекера A.4).
Разложение тензора напряжений на шаровую и девиатор-
ную части имеет большое принципиальное значение при иссле-
исследовании поведения упругих и пластических тел под нагрузкой.
Шаровая часть выделяет из напряженного состояния равномер-
равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменя-
изменяется лишь объем данного элемента тела без изменения формы.
Девиатор напряжений характеризует состояние сдвига, при ко-
котором изменяется форма элемента без изменения его объема.
Следовательно, девиатор напряжений указывает отклонение
(девиацию) рассматриваемого напряженного состояния от все-
всестороннего растяжения (сжатия) или отклонение приобретен-
приобретенной формы тела от первоначальной. Как показывают опыты,
материалы по-разному реагируют на всестороннее сжатие и на
напряжение сдвига.
По аналогии с инвариантами тензора напряжений построим
инварианты для введенных тензоров. Первый инвариант шаро-
шарового тензора совпадает с первым инвариантом тензора напря-
напряжений:
Jlni = 3G = <7ц + <Т22 + ^33-
Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю, так как
J\d = ^гг = (сгц — о) + (сГ22 — о) + (сгзз — о) =
— 01 ~\~ ^22 Н~ ^33 — 3G = 0.
Для определения второго инварианта девиатора напряжений
воспользуемся выражением для второго инварианта тензора
напряжений A.16), подставив в него вместо напряжений ац

1.8. Девиатор и шаровая часть тензора напряжений
31
разности аи — а. После несложных преобразований получим
hd = --SijSij = -[(on - СГ22J + (^22 - ^ззJ + (^зз -
?	и
6(ст2
2
(a2 -
(a3 -
Третий инвариант девиатора имеет вид
В теории пластичности широко используется понятие интен-
интенсивности тензора напряжений, которое было введено Илью-
Ильюшиным. Оно формально определяется через второй инвариант
девиатора
3
ss
Отсюда следует, что
<?и = — [(ац O2i)
Интенсивность тензора напряжений — инвариантная величи-
величина, так как выражается через второй инвариант девиатора. Она
с точностью до числового множителя совпадает с октаэдриче-
ским касательным напряжением A.20). Числовой коэффициент
в формуле A.24) выбран так, чтобы в случае простого растя-
растяжения или сжатия (ац = ai, все остальные компоненты равны
нулю) выполнялось условие аи = |<7i|.
Положительная величина
s =
= -j-у (аг - а2J + (а2 - а3J + (а3 - агJ A.25)
называется модулем девиатора напряжений. Назовем направ-
направляющим тензором напряжений девиатор напряжений, каждый
компонент которого разделен на модуль девиатора A.25):
Da =
i
\
ац — <
s
О'21
S
О31
G\2	<У\Ъ \
S	S
СГ22 — СГ	СГ23
S
СГ32
S
/
A.26)
Так как первый инвариант девиатора равен нулю, то и
ЗЦ = Sll + 522 + 533 = 0.

32
1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
В то же время sijSij = 1. Следовательно, направляющий тензор
полностью характеризуется заданием четырех чисел, поскольку
шесть его компонент уже связаны двумя приведенными соот-
соотношениями. Отметим, что главные оси направляющего тензора
совпадают с главными осями тензора напряжений и девиатора
тензора напряжений.
С помощью направляющего тензора компоненты тензора на-
напряжений могут быть представлены в виде
Два модуля — а и s — определяют скалярные свойства мате-
материала. Векторные свойства материала определяет направляю-
направляющий тензор (Hij).
Назовем нагружение в данной точке тела простым, если все
компоненты тензора напряжений изменяются пропорциональ-
пропорционально одному общему параметру А, т. е. aij = А?-. В этом случае
компоненты направляющего тензора остаются неизменными. В
противном случае нагружение назовем сложным г) .
1.9. Перемещения и деформации. Тензор деформаций
Ни один из существующих в природе материалов не является
абсолютно твердым. Под действием внешних сил все тела в боль-
большей или меньшей мере меняют свою форму (деформируются).
Точки тела меняют свое положение в пространстве непрерывно.
Первоначально непрерывно
распределенный материал не
содержит после деформации
разрывов и пустот (т. е. не воз-
возникает трещин).
Вектор и, имеющий начало
в точке А недеформированного
тела, а конец —в соответ-
соответствующей точке А' дефор-
деформированного, называется век-
вектором полного перемещения
точки (рис. 1.10). Его проек-
проекции на оси координат
и2, щ), щ = щ(х),
и =
Рис. 1.10
х =
Как правило, в механике деформируемого твердого тела
рассматриваются кинематически неизменяемые системы, т. е.
:) Понятия простого и сложного нагружения были введены Ильюшиным.

1.9. Перемещения и деформации. Тензор деформаций
33
не допускающие перемещения тела в пространстве как жестко-
жесткого целого. В противном случае из перемещений всех точек ис-
исключается составляющая такого переноса. Введенные таким об-
образом перемещения для большинства рассматриваемых систем
являются малыми по сравнению с геометрическими размерами
тела.
Метод определения деформаций заключается в том, что по
перемещениям вычисляются изменения длин линейных элемен-
элементов, а также изменение углов между двумя линейными элемен-
элементами. Для того чтобы связать перемещения точки А и деформа-
деформации в ее окрестности, рассмотрим
вначале плоскую задачу, т. е. при-
примем, что
щ(х) =0,
U2 = U2{X\, Ж2).
В процессе деформации отре-
отрезок АВ с проекциями dx\, dx2 зай-
займет положение А'В' (рис. 1.11).
Полное перемещение точки А
вдоль оси х\ есть щ. Точка В пе-
переместится вместе с точкой А на
величину щ плюс дополнительное
перемещение du\ за счет дефор-
мации отрезка вдоль оси х\.
^ В'
ри
ц	р	д	\
Так как приращение перемещения мало и du\ = du\(xi, Ж2),
то с точностью до членов более высокого порядка малости
I ди\ 7 . ди\ 7 ди\ 7
аи\ = 	dx\ +	dx2 =	dxj = щ 7-
U = 1, 2).
Здесь первое слагаемое соответствует удлинению составляю-
составляющей dx\ вдоль оси х\. Второе слагаемое, в силу малости дефор-
деформаций, описывает перемещение за счет поворота отрезка отно-
относительно оси Х2 на угол ol\\
^1,2
0x2
Рассматривая перемещение точки В вдоль оси #2, по анало-
аналогии получаем
du2 = — dx\ + — dx2 = U2 j dxj,
dxi dx2
«2-tga2 = ^-=u2,i (j = 1, 2).
OX\
Величины, описывающие линейные удлинения вдоль осей,
называются линейными деформациями и обозначаются через
_ dux _
dxi
2 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский
&U2 _
= 7— =^2,2-
0x2

34	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Для описания сдвиговых деформаций используют величину,
равную половине суммарного изменения прямого угла между
осями координат:
?12 — ~ (^1 + ^2) = — (и1 2+^2 l) •
2	2 '	'
Если деформирование окрестности точки А является про-
пространственным (щ(х) Ф 0, г = 1, 2, 3), то приращение переме-
перемещения будет
/IОI * 	 О i • • Л'Т •	I ^7 ^7 	 1	/ W
\А) LJbo 	 LJbo 'i \Jb*JU 'i \ v * / 	 -L • ?j • %j J
и добавляются деформации
— • — l ( + )• — l ( + )
' '	2 '	2 '
В результате получаем, что в общем случае компоненты де-
деформации связаны с малыми перемещениями (uf • <С щ А фор-
мулами, которые называют соотношениями Коши:
^ = ^Kj+«i,i)(»,i = l,2,3).	A.27)
Замечание 1. В случае конечных деформаций (геометри-
(геометрически нелинейная теория упругости), когда сопоставимы и\^
и Uijjj компоненты тензора деформаций связаны с перемещени-
перемещениями следующими соотношениями:
?ij = о (Ui>i + иэ>г + uk,iuk,j) (h h k = 1, 2, 3).
Замечание 2. В задачах изгиба поперечной нагрузкой
мембран и тонких пластин могут быть конечными только про-
прогибы, тогда сопоставимы только и\ „• и ш ?• Соотношения связи
°? j ' ^
деформаций с перемещениями принимают вид
Компоненты деформаций A.27) образуют тензор второго ран-
ранга, который, как и тензор напряжений, симметричен (ец = Sji).
Можно показать, что с его помощью полностью описывается де-
деформирование произвольного волокна в окрестности рассматри-
рассматриваемой точки.
Более подробно с теорией конечных (больших) деформаций
материалов можно ознакомиться по книгам [14, 36, 45, 57].
1.10. Главные оси и главные значения
тензора деформаций
Аналогично тому, как это было выполнено при рассмотре-
рассмотрении тензора напряжений, можно изучить, в каких направлени-
направлениях имеются только относительные деформации и отсутствуют

1.11. Девиатор и шаровая часть тензора деформаций	35
сдвиги. Можно показать, что эти направления соответствуют
также экстремальным значениям относительных деформаций.
Эти значения называются главными относительными дефор-
деформациями и обозначаются через ?i, ?2, ?з-
Для определения главных направлений и главных относи-
относительных деформаций могут быть использованы соответствую-
соответствующие выражения для тензора напряжений из § 1.6. Справедливы
равенства
(ец-е6цI1 = 0 (i, j = 1,2,3).
Условия разрешимости этих уравнений приводят к характе-
характеристическому уравнению для главных значений тензора дефор-
деформаций
е3 - e2h + el2 - h = 0.
Коэффициентами в этом уравнении будут три инварианта, не
зависящие от ориентации системы координат:
h = ?ii = ?11 + ?22 + ?33 = ?1 + ?2 + ?3,
h = {euSjj - ?ij?ij)/2 = ?ц?22 + ?ц?22 + ?ц?22 - ??2 - ?23 - ?31 =
?ll ?l2 ?13
?21 ?22 ?23
?31 ?32 ?33
A.28)
Матрица тензора деформаций в главных осях принимает
диагональный вид. Первый инвариант 1\ имеет простой геомет-
геометрический смысл:
11 = в = щ j = lim 	= div u
' АУО AVo
— относительное изменение объема.
Направление главных осей тензора деформаций получают
из соотношений, аналогичных A.11), A.12). В рамках теории
упругости главные оси тензоров напряжений и деформаций для
изотропной среды совпадают.
1.11. Девиатор и шаровая часть тензора деформаций
Тензор деформаций (е^) можно представить в виде двух со-
составляющих тензоров
?ij = 9ij + eSij (г, j = 1, 2, 3), е = -в = -(бц + ?22 + ?зз).
о о
A.29)
Здесь eSij — компоненты шарового тензора деформаций, Sij —
символы Кронекера A.4), эц—компоненты девиатора тензора
2*

36	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
деформаций. Они выражаются через деформации соотношением
?11
(
?21	S22-S	S23	I.	A.30)
?31	)
Шаровой тензор деформаций A.29) описывает объемную де-
деформацию в в точке тела. Его первый инвариант совпадает с
первым инвариантом тензора деформаций A.28):
11ш = Зб = ?ц + ?22 + ?33 = h-
Девиатор тензора деформаций характеризует деформацию
изменения формы. Его первый инвариант равен нулю, так как
hd = эц = (ец -е) + (б22 - е) + (б33 - е) =
= еп + ?22 + ?зз - Зе = 0.
Второй инвариант девиатора деформаций получим по аналогии
с девиатором напряжений:
hd = -\sij3ij =
?	и
+ 6(е?2 + 4, + 4)] = |[(^i " ^J + (?2 - е3J + (?з - eiJ].
Третий инвариант девиатора имеет вид
Т 1
hd = -^ijdjkdki-
о
Фундаментальную роль в теории пластичности играет вто-
второй инвариант девиатора деформации I%d- Положительную ве-
величину
э = у/э~Щ = -^у (ех - е2J + (е2 - е3J + (е3 -
¦л/.h, -h^2 ' <~ - л2 ' <~ - л2
называют модулем девиатора деформаций.
Используя выражение hd-> введем определение интенсивно-
интенсивности тензора деформаций еи по Ильюшину:
2 _ 4Г _ 2
или
е
= -у [(еп ~ ?22)
-^lJ- A.31)

1.12. Уравнения совместности деформаций	37
Геометрическая интерпретация интенсивности деформаций
следующая: еи с точностью до числового множителя совпадает
с октаэдрическим сдвигом — относительным сдвигом площадки,
равно наклоненной к главным осям деформации.
В случае простого растяжения или сжатия ец = ?х, ?22 =
= ?зз = —^?ъ ?12 = ?23 = ?31 — 0 {у — коэффициент Пуас-
Пуассона 1) . Тогда из A.31) следует:
еи = - (i + ^) ki|,
о
а для несжимаемого материала {у = 1/2) еи = |?i|.
Интенсивность деформаций согласно A.31) является инва-
инвариантной величиной.
Направляющим тензором деформаций называют девиатор,
у которого компоненты
причем
ЭЦ = 0, 9ij9ij = 1/2.
Следовательно, направляющий тензор полностью характеризу-
характеризуется заданием четырех чисел, поскольку шесть компонент уже
связаны двумя приведенными соотношениями. С его помощью
компоненты тензора деформаций могут быть представлены в
виде sij = eSij + ээ^.
Два модуля — а и s — определяют скалярные свойства, а
направляющий тензор (э^)—векторные свойства материала.
Деформацию в материальной частице тела называют простой,
если все компоненты ~Эц = const в процессе деформирования.
В противном случае деформация называется сложной.
1.12. Уравнения совместности деформаций
По известным трем дифференцируемым компонентам поля
перемещений щ(х), (х = жх, #2, хз) с помощью формул Коши
A.25) легко определяются шесть независимых компонент тен-
тензора деформаций. Обратная операция затруднена, так как не
всегда шести непрерывным компонентам Sij(x) соответствует
какое-либо непрерывное поле перемещений. Если такое поле су-
существует, то деформации называют совместными, в противном
случае — несовместными.
:) Пуассон Семеон Дени (Poisson S. D., 1781-1840), французский матема-
математик и механик; труды по математическому анализу, теории вероятностей,
теории упругости.

38	1. Теория напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния
Совместные деформации связаны между собой соотношени-
соотношениями, которые называются уравнениями совместности деформа-
деформаций. Их вывод возможен различными способами. С одной сто-
стороны, они могут рассматриваться как условия интегрируемо-
интегрируемости шести дифференциальных уравнений ец = A/2)(г^- +Uj^)
относительно трех неизвестных функций щ(х). С другой — они
выражают физический факт, что все тело до и после дефор-
деформации— непрерывное и сплошное, и частицы материала связа-
связаны друг с другом. Впервые эти соотношения были получены
Сен-Венаном в 1860 г.
Для вывода первой группы уравнений совместности, уста-
устанавливающей связи между деформациями, действующими в од-
одной плоскости, выпишем соотношения Коши в компонентах:
?n= 1*1,i; ?22 = ^2,2; ?зз = ^з,з;
A.32)
^(ui,2 + 1*2,1); ?23 = -A*2,3 +^3,2);
?31 = -A*3,1 + 1*1,3)-
z
Используя A.32) и свойство перестановки порядка диффе-
дифференцирования, составим выражение
?11,22 + ?22,11 = Щ, 122 + ^2,211 = (^1,2 + U2, l), 12 = 2в12,12?
так как 2^12 = ъ*1 2 +^*2,1-
По аналогии получим еще два подобных уравнения. В ре-
результате
?аа,ДО + ?/3/3, аа ~ 2?а0,а/3 = О (а, /3 = 1, 2, 3; а ф C) A.33)
без суммирования, как и ранее, по повторяющимся греческим
индексам.
Для вывода второй группы из трех уравнений сплошности,
устанавливающих связи между деформациями, действующими
в разных плоскостях, составим выражение
(?12, з — ?23,1 + ?31,2), 1 =
Отсюда
(?12,3 — ?23,1 + ?31,2),1 — ?п,23 = 0.
Аналогично с помощью круговой перестановки индексов мож-
можно формально получить еще два подобных уравнения. В итоге
(а, /3,^ = 1, 2, 3; а

1.12. Уравнения совместности деформаций	39
Таким образом, чтобы по шести непрерывным компонентам
тензора деформаций найти соответствующее поле перемещений,
необходимо выполнение шести дифференциальных уравнений
совместности A.33), A.34) в частных производных относительно
шести компонент тензора деформаций вц. В случае односвязной
области они необходимы и достаточны, для многосвязной же —
только необходимы [38].
Геометрический смысл уравнений совместности состоит в
следующем. Представим себе, что тело до деформации было раз-
разбито на множество материальных частиц, имеющих форму пря-
прямоугольного параллелепипеда. Допустим, что каждая частица
подвергалась произвольной деформации вц, после чего матери-
материальные частицы приняли форму косоугольных параллелепипе-
параллелепипедов, которые уже могут не составить сплошного деформирован-
деформированного тела. Чтобы этого не получилось, компоненты деформации
должны удовлетворять уравнениям A.33), A.34).
Введем, наряду с перемещениями, другие кинематические
характеристики деформируемой среды. Дифференцированием
по времени определим векторы скорости v и ускорения w:
ди . <9v д2и
v = — = u, w= — = 	= u.
dt	dt dt2
В заключение следует указать, что при последующем рас-
рассмотрении возможности решения задачи теории упругости в
перемещениях уравнения совместности удовлетворяются авто-
автоматически. При решении задачи в напряжениях уравнения сов-
совместности будут входить в число основных уравнений, которые
должны быть удовлетворены.

2.
ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Установленных ранее соотношений недостаточно для опреде-
определения напряжений, деформаций и перемещений в твердом
деформируемом теле, находящемся под воздействием внешней
нагрузки. Необходимы еще физические определяющие соотно-
соотношения между напряжениями и деформациями, учитывающие
особенности поведения материалов.
Так как имеется очень много различных материалов, то воз-
возможно и множество физических законов, описывающих их по-
поведение при самых разнообразных условиях. Однако установить
универсальный физический закон для всех материалов прак-
практически невозможно, так как общие уравнения получились бы
слишком сложными и неудобными для практического применения.
Поэтому стремятся устанавливать соотношения, которыми мож-
можно было бы описать важнейшие виды поведения материалов при
определенных условиях. В результате вводится математиче-
математическая модель, которая проверяется экспериментально для дости-
достижения хорошего приближения к свойствам реального материала.
При дальнейшем рассмотрении соотношений теории упругости
будем полагать, что для материала исследуемого тела справед-
справедливы следующие, дополняющие ранее принятые, гипотезы
(см. § 1.1).
5.	Гипотеза об идеальной упругости материала.
Под идеальной упругостью понимается способность тела восста-
восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устра-
устранения причин, вызвавших его деформацию (снятия внешней
силовой нагрузки; температурных, электромагнитных и радиа-
радиационных полей и т. п.).
6.	Допущение о линейной зависимости между
деформациями и нагрузками (закон Гука). Предпола-
Предполагается, что для большинства материалов перемещения, являю-
являющиеся результатом деформации тела, прямо пропорциональны
вызвавшим их нагрузкам.
Будем полагать, что в своем начальном состоянии тело сво-
свободно от напряжений, имеет постоянную температуру и нахо-
находится в термодинамическом равновесии со средой.

2.1. Энергия деформации и упругий потенциал	41
2.1. Энергия деформации и упругий потенциал
Будем называть упругим телом такое тело, у которого напря-
напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации
°ij = 4>фкт)-	B.1)
Назовем путем нагруэюения или соответственно путем де-
деформирования процесс изменения тензора напряжений или тен-
тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно воз-
возрастающего параметра, который назовем «временем». На самом
деле реальное время при определении модели упругого тела ни-
никакой роли не играет. Употребляя этот термин, мы говорим
лишь о последовательности событий, но не об их временной про-
протяженности.
Для наглядности тензор напряжений или тензор деформа-
деформаций можно изобразить векторами, составляющие которых рав-
равны компонентам соответствующих тензоров:
СГ = Сг(сгц, СГ22, СГЗЗ, СГ12, O3, Ol)?
е = е(еп, ?22, ?зз, ?12? ?23, ?31)-
Тогда векторы а и е служат изображениями тензоров напряже-
напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и
деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не
единственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девяти-
девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию
тензоров Gij и Eij. Ильюшин ввел пятимерные пространства для
девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компо-
компонентов только пять независимых.
Пути нагружения или деформирования, таким образом, мо-
могут быть представлены как кривые, описываемые концами век-
векторов сгиев соответствующих пространствах. Закон упругости,
то есть уравнения B.1), устанавливают, в частности, что замкну-
замкнутому пути деформирования соответствует замкнутый путь на-
нагружения, и наоборот.
Рассмотрим теперь класс упругих материалов, для которых
работа, произведенная над элементарным объемом в замкнутом
цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. Неме-
Немеханические потери энергии при этом отсутствуют. Исключается
влияние термических эффектов.
Введем понятие удельной потенциальной энергии деформа-
деформации^ как работы, совершаемой при деформации единицы объема
тела:
U =
=

42
2. Физические соотношения в теории упругости
Изменение внутренней энергии (ввиду симметрии тензоров ец
и Gij) можно записать в развернутом виде:
(Ш = СГЦ den+G22 6fe22+O3 бкзЗ + 2(<712 ^12+^23 ^23+^31 ^3l)-
B.2)
Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом ци-
цикле будет
/ dU = / &ij dsij = 0.
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение пред-
представляло собой полный дифференциал, т. е.
dU
дегз '
B.3)
Удельная потенциальная энергия деформации U(eij) является
однозначной функцией деформаций; она называется также
упругим потенциалом. Но, с другой стороны, и выражение
dU* = ?i
является полным дифференциалом, так как
dU + dU* = d(aijeij).
Поэтому
?• = —
d(Tij
B.4)
Величина U*(aij) называется дополнительной удельной
энергией деформации и является упругим потенциалом по на-
напряжениям. Для введенных энергий справедливы общие соот-
соотношения
Значение величин U и U* для
нелинейно-упругого материала
можно наглядно пояснить на
примере одноосного напряженно-
? го состояния (рис. 2.1). Из рисун-
рисунка видно, что величины
Рис. 2.1	U(e) = f ade, U*(a) = f eda
о	о
дополняют друг друга до прямоугольника площади ае под кри-
кривой напряжения-деформации и соответственно над этой кривой.

2.2. Закон Гука	43
Допущение о существовании удельной потенциальной энергии
деформации находится в соответствии с допущением об обрати-
обратимости рассмотренных процессов деформации и определяет тем
самым упругое поведение материалов. Но оно не означает обяза-
обязательно линейную связь между напряжениями и деформациями.
Линейность вводится лишь законом Гука.
Требование однозначной разрешимости уравнений B.3) от-
относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости по-
поверхностей U(eij) = const или U*{(Jij) = const в пространствах
деформаций и напряжений соответственно. Действительно, со-
соотношение B.3), например, означает, что вектор а направлен по
нормали к поверхности U = const. Если эта поверхность стро-
строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует
лишь одна точка поверхности.
Удельная потенциальная энергия деформации является по-
положительно определенной величиной. Это свойство использует-
используется, например, для доказательства единственности решения ли-
линейной задачи теории упругости. Кроме того, на этом основаны
теоремы о минимуме потенциальной энергии (см. § 4.1) и мак-
максимуме дополнительной энергии (см. § 4.2).
2.2. Закон Гука
Из опытов с проволокой Гук установил линейную связь меж-
между нагрузкой и полными деформациями. Соответствующий за-
закон он сформулировал в виде «Ut tensio sic vis» («Какова сила,
такова деформация») и опубликовал его в 1676 г. в форме ана-
анаграммы «ceiiinosssttuv» г) .
Для изотропных тел соотношения обобщенного закона Гу-
Гука известны из курса сопротивления материалов. В принятых
обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций
они следующие:
?11 = -[аП ~ V (a22 + 033)],
hi
^22 = ~\(У22 ~ V (сг33
?33 = —
hi
сг2з = 2G623? 01 = 2G631-
Здесь Е иС- модули Юнга 2) и сдвига, v — коэффициент Пуас-
Пуассона. Они связаны известной зависимостью 2G = Е/ A + v).
х) Этот же закон был независимо открыт в 1680 г. французским физиком
Мариоттом (Mariotte E., 1620-1684).
2) Юнг Томас (Young Т., 1773-1829) —английский ученый, в честь кото-
которого назван модуль продольной упругости, впервые введенный Л. Эйлером
в 1727 г.

44	2. Физические соотношения в теории упругости
В ходе решения задач теории упругости возникает необходи-
необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены
через деформации. В этом случае получаем
&ij = 2/j,?ij + XOSij.	B.6)
Здесь
л , , 1-21/,	ч	/97ч
" = ^11 + ^22 + ^33 = 	1^11 + ^22 + ^33)	(/• 'J
— введенная ранее объемная деформация; А и /i — новые кон-
константы материала, называемые параметрами Ламе, которые
связаны с G, и vl E следующими зависимостями:
А =	—	-, а = G = —	-, v = —	-.
Следовательно, из пяти упругих постоянных A, /i, X, v, Е
независимы только любые две. Размерности величин A, /i, К, ?J
совпадают с размерностью напряжения или давления. Эти пара-
параметры положительны. Коэффициент Пуассона — величина без-
безразмерная. Ограничение его возможных значений следует из
условия К > 0 и \i > 0:
-1<и<-.
2
Значение v = 1/2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт
показывает, что для всех известных изотропных материалов
v > 0. Было сделано много попыток доказать, что нижняя грани-
граница для v равна нулю, а не —1, но достичь этого не удалось [41].
Если нужно записать уравнения B.6) разрешенными отно-
относительно ?ij, то приходим к обратной форме закона Гука
1.
B.1
При v -л 0,5 параметр Ламе А —>> оо, что, согласно B.7),
соответствует несж:имаемому материалу (в = 0). В этом случае
использование соотношений B.6) затруднительно. Поэтому це-
целесообразно записать два отдельных соотношения, в которых
объемная деформация была бы выделена в явном виде. Это до-
достигается, например, использованием выражения закона Гука
через девиаторные и шаровые составляющие тензоров напря-
напряжений A.22), A.23) и деформаций A.29), A.30):
Sja — ZU-dj», G — I\U. 1\ — A + —11 — 		(/.У )
3	3A — 2v)
Здесь К — модуль объемной деформации. Для несжимаемых ма-
материалов вместо второго из уравнений B.9) используется усло-
условие в = 0.

2.3. Закон Гука для анизотропного материала	45
Из закона Гука, представленного в виде B.9), следует воз-
возможность разделения удельной потенциальной энергии дефор-
деформации на две независимые друг от друга части:
2 \
*=1-v0 = K?j, B.10)
где С/ф называется удельной энергией формоизменения, а С/Об ~~
удельной энергией изменения объема. Удельную энергию фор-
формоизменения можно записать и через октаэдрическое касатель-
касательное напряжение A.20). В развернутом виде формулы B.10) при-
принимают вид
l-2i/
6Е
— а22) + (а22 ~~
^ (
^12+^23
Обе величины играют важную роль, например, при форму-
формулировании критериев прочности и законов течения при пласти-
пластическом деформировании. Потенциальная энергия деформации
была введена впервые в 1839 г. Грином 1) при построении тео-
теории распространения света.
2.3. Закон Гука для анизотропного материала
Соотношения B.6) можно обобщить для случая произволь-
произвольного анизотропного материала, предполагая линейную связь
между компонентами тензора напряжений и тензора деформа-
деформаций в виде
°ij = Щыеы-	B.П)
Равенства B.11) можно рассматривать как линейный член
разложения в ряд общей нелинейной зависимости ац = а^(е^),
в которой отсутствует постоянное слагаемое ввиду условия aij =
= 0 при Sij = 0. В B.11) содержится, вообще говоря, девять
уравнений, имеющих по девять слагаемых каждое.
Компоненты Е^\ для однородного материала являются не
зависящими от координат величинами. Но так как напряжения и
деформации зависят от ориентации системы координат, то этой
зависимости должны подчиняться и упругие постоянные Ецы.
х) Грин Джордж (Green J., 1793-1841), английский математик, физик;
труды по интегральному исчислению, теории упругости.

46
2. Физические соотношения в теории упругости
Они образуют матрицу из 81 упругой константы и преобразу-
преобразуются как компоненты тензора четвертого ранга, который на-
называют тензором модулей упругости. Только для изотропного
материала упругие постоянные не зависят от ориентации систе-
системы координат (см. § 2.2).
Ввиду симметрии тензоров aij и ем тензор модулей упруго-
упругости также симметричен относительно индексов г и j, k и /:
и независимых компонент остается 36. Матрица его компонент —
Ецц Ец22 Ецзз Еш2 Ems Ец23 \
E22W
-Е/2222
^3322
Е\222
Е1322
?/2322
??2233
?зззз
#1233
?l333
?2333
?2212
?3312
?l212
?l312
?2312
?2213
?3313
?1213
?1313
^2313
Е2222,
Е332З
Е1222,
Е132З
Е2323 /
\ ^231
Дальнейшее уменьшение числа независимых компонент по-
получим из термодинамических соображений, если предположить
существование удельной потенциальной энергии деформации.
Подставим поочередно соотношения B.11) и B.3) в выражение
дифференциала удельной потенциальной энергии B.2). Тогда
dU =
Отсюда
dU =
-—
U?ij
dU
После повторного дифференцирования и с учетом возможности
изменения порядка дифференцирования получаем
д
-—
деы
Следовательно,
ди
-—
dsij
д (dU\
«— I «— )
де^ \деыУ
d2U
Поэтому число независимых постоянных для анизотропно-
анизотропного тела становится равным 21. Если упругое тело имеет одну
плоскость симметрии упругих свойств, то для него число по-
постоянных сокращается до 13. Для тела, имеющего три взаимно
ортогональные плоскости симметрии (ортотропное тело), число
постоянных сокращается до 9. Число независимых постоянных
для изотропного тела, как было показано ранее, равно двум.

2.4. Формула Клапейрона	47
Обобщенный закон Гука можно обратить, выразив деформа-
деформации через напряжения; тогда
Sij = DijkiOkh	B.12)
Тензор 4-го ранга D^i {тензор упругих податливостей)
обладает такими же свойствами симметрии, как и тензор мо-
модулей упругости ЕцЫ.
Необходимо подчеркнуть, что число постоянных упругости,
фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда
плоскости симметрии приняты за координатные. В других си-
системах координат по-прежнему уравнения будут содержать два-
двадцать одну константу, которые выражаются через девять неза-
независимых констант.
2.4. Формула Клапейрона
Для вычисления удельной потенциальной энергии деформа-
деформации исходим из выражения B.2). Рассмотрим произвольный эле-
элемент объема упругого тела, напряженно-деформированное со-
состояние которого задано величинами aij и ец. Введем местную
систему главных осей для напряжений и деформаций и дадим
главным напряжениям приращения, одинаковые по отношению
к их конечным значениям (так называемое пропорциональное
нагружение). Тогда совершаемая работа, отнесенная к единице
объема,
W = — (<Tl?l + О~2^2 ~\~ ^З^з)-
2
Она не зависит от пути нагружения и в силу закона сохранения
энергии равна удельной потенциальной энергии деформации U.
В произвольных координатных осях соответственно этому полу-
получаем
U = —GoiSoi.	B.13)
Это выражение называется формулой Клапейрона. Ее можно за-
записать в развернутом виде:
U = ~(^"ll^ll Н~ ^2^-22 ~Ь ^ЗЗ^ЗЗ/ ~Ь ^12^12 ~Ь ^23^23 ~Ь ^1^31*
2
С учетом обобщенного закона Гука в форме B.11) или B.12)
формула Клапейрона B.13) принимает вид
II — -
или
II — -
~ 2

48	2. Физические соотношения в теории упругости
Отсюда вытекает
dU 1 д /~	ч 1
OCTij 2 OCTij	2
= -(Dijkl&kl + DmnijGmn) =
z
или
Полученное соотношение не следует смешивать с очень похо-
похожим соотношением B.4), которое, однако, вместо U содержит
U*. При этом оно предполагает справедливость закона Гука и
потому линейно-упругое поведение материала. В то же время со-
соотношение B.3) следует из общих законов термодинамики. Фор-
Формулы B.3) и B.14) представляют собой частные формулировки
теоремы Кастильяно 1) , с которой познакомимся далее.
2.5. Температурные эффекты
Предположим, что исследуемое тело находится в неоднород-
неоднородном и нестационарном температурном поле Т(ж^, t). Темпе-
Температура отсчитывается от некоторого начального значения Tq.
Согласно гипотезе Неймана 2) полная линейная деформация ец
складывается из деформаций от силовой нагрузки е1^ и темпе-
температурного расширения е"{{ = аТ:
Температурные добавки для сдвиговых деформаций равны ну-
нулю. Поэтому закон Гука с учетом температуры принимает вид
BЛ5)
Величину а называют коэффициентом линейного темпера-
температурного расширения материала. Выражая напряжения через
деформации из B.15), получаем
+ S ^
Соотношение меж:ду девиаторами в термоупругости остается
тем же, что и в случае идеальной упругости B.9), иную форму
принимает только связь шаровых частей тензоров напряжений
и деформаций
2С, а = К(в-ЗаТ).
:) Кастильяно (Castigliano С. А., 1847-1884), итальянский ученый-механик.
2) Нейман Ф. Е. (Neumann F. Е., 1798-1895), немецкий математик.

2.5. Температурные эффекты	49
Компоненты деформаций в B.15) связаны с перемещениями
соотношениями Коши A.25).
В сложных задачах термоупругости в общем случае предва-
предварительно нужно решить также задачу о распределении тепла.
Температура T(xi, t) в каждой точке тела должна удовлетво-
удовлетворять уравнению теплопроводности
— = BAT+Q,	B.16)
dt	су
где В — температуропроводность материала; А — оператор
Лапласа г)
Q(xi, t) — функция, показывающая количество тепла, которое
производится источником тепловой энергии в единице объема и
за единицу времени; с — удельная теплоемкость; 7 — удельный
вес.
К уравнению B.16) следует добавить начальные условия рас-
распределения температуры Т{х^ 0) = f(xi). Кроме этого на гра-
границе твердого тела должны выполняться условия теплообмена
с окружающей средой (три типа условий теплообмена [29]).
При достаточно высоких температурах нельзя пренебрегать
зависимостью констант упругости от температуры. Для ее опи-
описания можно использовать формулу Белла 2) [5], предложенную
им после экспериментального исследования более 500 металлов
и сплавов,
{G(T), Е(Т), К(Т)} = {С@), Я@), К@)}<р(Т).
Здесь G(T), Е(Т), К(Т) —модули упругости при температуре Г
(в градусах Кельвина); <р(Т) —линейная функция температуры,
1,	0 < — < 0,06;
<р(Т)= '	Тпл
1 03 (l - —) , 0,06 < — < 0,57;
4	^ -L ПЛ 7	J- ПЛ
Тпл — температура плавления материала; G@), E@), К@) — зна-
значения параметров упругости при так называемом нулевом на-
напряжении. Эти значения легко получить, если знать величину
^Лаплас Пьер Симон (Laplace P. S., 1749-1827), французский матема-
математик и физик; труды по небесной механике, теплоте, теории вероятностей,
математической физике.
2) Белл Джеймс Фредерик (Bell J. F.), профессор университета Джона
Гопкинса, США, известен экспериментальными исследованиями в механике
деформируемого твердого тела.

50	2. Физические соотношения в теории упругости
одного из модулей упругости при некоторой, например комнат-
комнатной, температуре и температуру плавления материала. В част-
частности, для сплава Д16Т
Тпл = 933 К, G@) = 0,308 • 105 МПа, ?7@) = 0,829 • 105 МПа.
Вообще говоря, величина Q в B.16) для деформируемых
тел зависит от напряженного и деформированного состояний.
В этом случае говорят о связанных задачах термоупругости.
Для анизотропного упругого тела закон Гука B.11) примет
вид
сгц
О31
СГ12
СГ22
^32
0^13
С23
= h
/ V з
1
9
6
3
6
4
Здесь a^i — тензор коэффициентов термического расширения
материала. Постоянные Е^ы определяются в изотермических
условиях при Т = Tq. Если приращение температуры не мало, то
Eijki и аы должны рассматриваться как функции температуры.
2.6. Пример исследования
напряженно-деформированного состояния
Предположим, что для точки упругого тела известен тензор
напряжений (в МПа):
Требуется:
1.	Нанести исходные компоненты тензора напряжений на
грани элементарного параллелепипеда, выделенного в окрест-
окрестности рассматриваемой точки.
2.	Определить значения нормального и касательного напря-
напряжений на площадке с внешней нормалью i/, если заданы ко-
косинусы углов между нормалью и координатными осями li =
= cos(^, xi): h=h = 1/2, h = л/2/2.
3.	Разложить заданный тензор напряжений на шаровую и
девиаторную части и показать их компоненты на гранях эле-
элементарного параллелепипеда.
4.	Вычислить компоненты тензора деформаций, объемную
деформацию и интенсивность напряжений и деформаций в этой
точке, если
? = 2-105МПа, i/ = 0,3.
5.	Вычислить главные напряжения и максимальные каса-
касательные напряжения, приняв в исходном тензоре напряжений
33 = ^1 = СГ32 = 0.

2.6. Пример исследования напряэюенно-деформир о ванного состояния 51
Решение.
1.	Расположение компонент заданного тензора напряжений
на гранях выделенного в окрестности точки элемента показано в
общем виде на рис. 2.2. Так как
все компоненты положительные,
то их направление на видимых
гранях совпадает с направлением
соответствующих координатных
осей. На невидимых гранях ана-
аналогичные напряжения направле-
направлены в противоположные стороны.
Для отрицательных напряжений
направления нужно заменять на
противоположные.
2.	Для определения нормаль-
нормального оп и касательного тп напря-
напряжений на заданной косой пло-
площадке предварительно вычислим
координатные проекции вектора
напряжения сгу на этой площад-
площадке, воспользовавшись формулами A.8) а^ = <Jijlj. В разверну-
развернутом виде получаем следующую проекцию вектора напряжения
на ось х\\
Х2
Рис. 2.2
1 + 1.1 + 3- — = 3,62 МПа,
Вдоль осей #2, ^з по аналогии
СГ32/2
0-23*3 = 1-|ч-9-| + б-^ = 9,24 МПа,
^ = 7,33 МПа.
Модуль вектора полного напряжения на этой площадке получим
через сумму квадратов координатных напряжений
i + <^2 + °1ъ = л/3,622 + 9,242 + 7,332 = 12,34 МПа.
Нормальное напряжение можно вычислить как сумму проекций
координатных напряжений на нормаль к площадке:
ап = Gvik = 3,62 • 1 + 9,24 • - + 7,33 • — = 11,61 МПа.
Z	Z	Z
Искомые касательные напряжения определяем теперь, используя

52
2. Физические соотношения в теории упругости
теорему Пифагора г) :
Тп = y/rf - о2п = л/12,342 - 11,612 = 4,18 МПа.
3. Разложение тензора напряжений на девиаторную A.23)
и шаровую A.22) части aij = вц + aSij выглядит в матричной
форме следующим образом:
СГ23
Шаровое (среднее) напряжение
= -B + 9 + 4) = 5 МПа.
о
Подставим это значение и компоненты заданного тензора напря-
напряжений в B.17). Тогда
Графически это разложение можно показать на гранях эле-
элементарного параллелепипеда (рис. 2.3).
Рис. 2.3
4. Компоненты тензора деформаций вычислим, исполь-
используя соотношения обобщенного закона Гука B.5). Значения
:) Пифагор Самосский (Ilivajopas, VI век до нашей эры), древнегрече-
древнегреческий мыслитель, математик; занимался изучением целых чисел, доказал
известную теорему.

2.6. Пример исследования напр яэюенно-деф op мир о ванного состояния 53
напряжений и модуля Юнга подставляем в мегапаскалях.
еи = |кп - v {<?22 + стзз)] = ^[2 - 0,3 (9 + 4)] = -9,5 • ИГ6,
?22 = 1[а22 - v (а33 + аи)] = ^[9 - 0, 3 D + 2)] = 36 ¦ 1(Г6,
?зз = \\°гъ ~ v (аи + а22)] = ^[4 - 0,3 (9 + 2)] = 3,5 • ИГ6,
G = Е = 2'1Q5 = 0,769 ¦ 105 МПа,
2A + г/) 2A+0,3)
К = —-— = 2'1р5 = 1,67 • 105 МПа,
3(l-2i/) 3A-0,6)
ei2 = 111 =	1	= 0,65 • 1(Г5,
2G 2-0,769-105
<Т23	6	„ о 1п-5
?23 = =	=39-10
?31 = ^1 =
2G
j 95 10
2G 2-0,769-105
Объемную деформацию определяем по формуле A.28):
в = еп + ?22 + ?22 = (-9,5 + 36 + 3,5) • 10 = 30 ¦ 1(Г6 = 0,003 %.
Интенсивности напряжений и деформаций вычисляем по
формулам A.24) и A.31):
аи = — [(аи - °22J + (^22 - СТ33J + (°3 - ^llJ +
+ 6(a22 + a223 + аз2!)]1/2 = ^ [B - 9J + (9 - 4J + D - 2J +
+ 6A2 + б2 + З2)]1/2 = 13,3 МПа.
= ^ [(-9,5 - 36J + C6 - 3,5J + C,5 - (-9,5)J +
О
+ 6F,52 + 392 + 19,52)]1/2 • 10 = 0,576 • 1(Г4, еи = 0,00576 %.
5. Рассмотрим случай плоского напряженного состояния.
Для этого примем в исходном тензоре напряжений азз = сгз1 =
= сгз2 = 0. Матрица тензора имеет вид
/2 1 0\
Гн = 1 9 0 .
V о о о /

54	2. Физические соотношения в теории упругости
Для вычисления главных напряжений составим вековое уравне-
уравнение
а3 - а1 Л + aJ2 - J3 = 0.
Коэффициентами здесь являются инварианты тензора напря-
напряжений
J-L = аи + сг22 + сг33 = 2 + 9 + 0 = 11 МПа,
2	2	2
+ СГ22СГЗЗ + СГЗЗ^И — O"i2 ~ а23 ~ а31 =
= 2-9 + 9-0 + 0-2-12-0-0 = 17 (МПаJ,
2 10
1 9 0
0 0 0
= 0.
Кубическое уравнение для определения главных напряже-
напряжений становится следующим:
Отсюда получаем один корень а = 0, два других удовлетворяют
квадратному уравнению
а2 - Па + 17 = 0.
Его решения
11 =Ь л/53
о = 	.
2
Следовательно, главными напряжениями будут величины
ах = 9,14МПа, а2 = 1,86МПа, а3 = 0.
Максимальные касательные напряжения вычисляем по фор-
формуле A.21):
W = \{(П ~ <т3) = ^(9,14 - 0) = 4,57МПа.
Таким образом, по заданному тензору напряжений произведен
расчет напряженно-деформированного состояния в точке упру-
упругого тела.

ПОСТАНОВКИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1. Граничные задачи
Для решения прямых задач теории упругости, т. е. для опре-
определения 15 неизвестных функций щ, ац, ец (г, j = 1, 2, 3),
имеются уравнения равновесия, соотношения Коши и закон Гука:
(Tij,j+pFi = O;	C.1)
?ij = ^(uij+uj,i)'^	C-2)
+ XOSij.	C.3)
Следовательно, мы имеем 15 линейных уравнений в частных
производных. В тех случаях, когда перемещения не входят в
число неизвестных, уравнения C.2) заменяются условиями сов-
совместности деформаций (без суммирования по повторяющимся
индексам)
?ii,jj + ?jj,ii ~ ^eij,ij = 0;	, .,
\?ij,k ?jk,i ~r ?ki,j),i ^ii,jk — ^*
Здесь и в дальнейшем предполагаем заданными следующие
условия на границе. Пусть поверхность тела S = Sa + SUl то
есть состоит из двух частей. Будем считать, что в каждой точке
поверхности задано
щ = ио{(х{) на Su] Gijlj = Ri на Sa.	C.5)
Этот простейший случай далеко не исчерпывает всех возмож-
возможностей. Так, например, при вдавливании жесткого штампа в
упругое тело часто считают трение отсутствующим. Тогда, ес-
если направить ось х% по нормали к поверхности тела, граничные
условия под штампом будут следующими:
Щ = Щи СГ13 = СГ23 = 0.
Однако в общей теории выделять подобные задания на одной
поверхности и перемещений, и напряжений не имеет смысла.
Приводимые ниже рассуждения легко трансформируются и на
такие случаи.

56	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
Итак, задача теории упругости состоит в решении уравнений
C.1)—C.4) при граничных условиях C.5).
В общем случае различают три типа граничных задач.
Первая из них заключается в определении напряжений и пе-
перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, ес-
если известны перемещения точек на поверхности (S = Su). Во
второй граничной задаче известно распределение сил на по-
поверхности (S = So-). Сформулированная выше постановка отно-
относится к третьей, или смешанной, граничной задаче. Кроме
того, возможны и другие комбинации граничных условий. На-
Например, если тело содержит бесконечно удаленную точку, то к
граничным условиям добавляется требование регулярности ре-
решения на бесконечности, которое, как правило, сводится к усло-
условию ограниченности.
Во всех этих случаях массовые силы предполагались извест-
известными. В зависимости от постановки при решении задачи теории
упругости искомыми функциями являются либо перемещения,
либо напряжения.
Возможна также постановка обратной задачи теории упру-
упругости. В этом случае задаются напряжения, деформации или
перемещения для всех внутренних точек тела как функции коор-
координат. Требуется определить условия на границах тела, кото-
которым соответствует заданное напряженно-деформированное
состояние.
3.2. Постановка задач теории упругости в перемещениях
(уравнения Ламе)
Если в уравнения равновесия C.1) подставить закон Гука
C.3) и исключить деформации с помощью соотношений Коши
C.2), получим систему из трех дифференциальных уравнений с
тремя неизвестными функциями щ [уравнения Ламе 1)):
(А + n)e,i + цАщ + pFi = 0,	C.6)
где в = ui^i + 1/2,2 +^з,з = Щ,%~объемная деформация; А —
оператор Лапласа
Ащ = Uijj = Щ,п +^г,22 +^г,33-
:) Впервые уравнения в перемещениях были получены Навье A821) в
предположении, что упругие свойства изотропного материала описывают-
описываются одной константой упругости («рариконстантная» теория, полагавшая
v = 0,25). Основываясь на экспериментальных данных, Ламе A852) при-
приходит к двухконстантным («мультиконстантным») уравнениям, которые и
стали общепринятыми.

3.2. Постановка задач теории упругости в перемещениях	57
Полученная система уравнений является эллиптической по
Петровскому 1) в области V, занимаемой телом, при всех зна-
значениях коэффициента Пуассона, кроме v = 0,5 и v = 1.
К трем уравнениям C.6) следует присоединить граничные
условия. На одной части Su граничной поверхности могут быть
заданы перемещения г^ог как известные функции координат:
щ = UQi(xi) на Su.	C.7)
На другой частий^ граничной поверхности могут быть заданы
внешние поверхностные силы Щ = Ri(xi), причем, поскольку
задача решается в перемещениях, величины Щ следует связать
с искомыми величинами щ с помощью закона Гука и соотно-
соотношений Коши. В итоге на Sa должны выполняться следующие
граничные условия в перемещениях:
\eSijlj + /j(uij + Ujii)lj = Ri.	C.8)
Несмотря на простой вид уравнений Ламе, их решение пред-
представляет собой сложную математическую проблему. Тем не ме-
менее, они широко используются во многих методах решения за-
задач теории упругости, так как при этом не нужны уравнения
совместности деформаций, которые в данном случае удовлетво-
удовлетворяются тождественно.
Особое значение имеет однородная задача, когда объемные
силы можно положить равными нулю. Нахождение решения
этой системы при заданных граничных условиях C.7), C.8) и
составляет основную трудность. При действии объемных сил
(или массовых сил, например, силы тяжести или центробежной
силы) частные решения всегда можно найти. Они не должны
удовлетворять граничным условиям и из-за линейности основ-
основных уравнений могут быть просто сложены с решением одно-
однородной задачи с измененными граничными условиями.
Сделаем некоторые заключения о свойствах искомых пере-
перемещений щ, вытекающих из C.6). Полагая Fi = 0, продиф-
продифференцируем каждое из уравнений по соответствующей коор-
координате xi и произведем свертку (суммирование по индексу г).
Получим
(А + //Hй + //Дмм = О.	C.9)
Так как
0,Ц = 0,11+0,22+0,33 = Д0, Д^М = A(U1,1+U2,2+U3,3) = Д0,
то из C.9) следует
Д6> = 0.	C.10)
:) Петровский И. Г. A901-1973), математик, ректор МГУ A951), акаде-
академик АН СССР.

58	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
Таким образом, объемная деформация в упругом изотропном
теле при отсутствии массовых сил является гармонической
функцией, т. е. функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа
C.10).
Возьмем теперь оператор Лапласа от левой части уравнения
Ламе, полагая F{ = 0:
= 0.
Отсюда с учетом C.10) получим Ав^ = (Ав)^ = 0; следовательно,
ААщ = 0.	C.11)
Таким образом, каждая из компонент вектора перемещений
представляет собой бигармоническую (удовлетворяющую двой-
двойному уравнению Лапласа) функцию от координат.
Однако не следует думать, что задача теории упругости мо-
может быть сведена к интегрированию системы C.11) или что ве-
величина в может быть найдена с помощью известных методов ре-
решения уравнения Лапласа. Величина в никогда не бывает зада-
задана на границе. Определить ее, решая задачу Дирихле 1) , не уда-
удается. Система C.11) имеет двенадцатый порядок, тогда как ис-
исходная система C.6) —шестого порядка (порядок системы мож-
можно определить как произведение порядка максимальной произ-
производной на количество уравнений). Чтобы определить бигармо-
бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два
условия, например щ и дщ/дп, т. е. нормальную производную
от щ, тогда как для решения системы C.6) достаточно задать
только величины щ в каждой точке поверхности. Относительно
легко построить три бигармонические функции, принимающие
на границе заданные значения, но они могут не удовлетворять
уравнениям C.6).
Рассмотренная краевая задача для несжимаемых материа-
материалов, что соответствует v = 0,5, теряет свою эллиптичность, и ее
решение может быть неединственным.
3.3. Постановка задач теории упругости в напряжениях
(уравнения Бельтрами—Мичелла)
Задача теории упругости может быть поставлена не только
в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда
на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные
х) Дирихле Петер Густав (Dirichlet P. С, 1805-1859), немецкий матема-
математик. Задача Дирихле — отыскание функции, удовлетворяющей уравнению
Лапласа внутри области и заданной на ее границе. В задаче Неймана на
границе задается производная искомой функции.

3.3. Постановка задач теории упругости в напряжениях	59
функции принять компоненты тензора напряжений, то диффе-
дифференциальные уравнения равновесия при F{ = 0 принимают вид
<тц,з = 0.	C.12)
Этих трех уравнений недостаточно для определения напряжен-
напряженного состояния в упругом теле (шести независимых компонент
тензора напряжений). Дополнительные уравнения можно полу-
получить, выразив деформации через напряжения с помощью со-
соотношений закона Гука C.3) и подставив их в уравнения сов-
совместности деформаций C.4). В результате получим систему
уравнений Бельтрами 1) -Мичелла 2) , называемую также урав-
уравнениями совместности в напряжениях:
A + u)Aaij + За ^ = 0,	C.13)
где а = (аи + <Т22 + 0"зз)/3 — среднее гидростатическое напря-
напряжение.
Система уравнений C.13) имеет 12-й порядок. Производя
дифференцирование при их выводе (в уравнениях совместно-
совместности деформаций), мы искусственно повысили порядок исход-
исходной системы. В результате оказывается, что возможные реше-
решения уравнений Бельтрами-Мичелла порождают класс функций
более широкий, чем решения задач теории упругости. Эти ре-
решения могут не удовлетворять уравнениям равновесия. Для по-
пояснения рассмотрим следующий пример. Пусть напряжения яв-
являются произвольными линейными функциями координат <Jij =
= aijkXfc. Так как уравнения C.13) содержат лишь вторые про-
производные от <7jj, то они будут выполняться тождественно при
любых значениях а.^. Н°? подставляя напряжения в уравнения
C.12), видим, что при отсутствии массовых сил эти постоянные
связаны тремя условиями aijj = 0.
Если по всей поверхности тела заданы усилия, то константы
определяются из граничных условий типа C.5). Но если заданы
перемещения точек поверхности C.7), то сформулировать гра-
граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно. Ино-
Иногда, например в плоской задаче теории упругости, это удается
сделать.
Отметим, что напряжения, также как компоненты вектора
перемещения обладают свойствами C.10) и C.11). Действитель-
Действительно, суммируя уравнения C.13) при г = j, приходим к Да = 0.
С учетом полученного, после применения к уравнениям C.13)
г) Бельтрами Эудженио (Beltrami E., 1835-1900), итальянский матема-
математик, составил уравнения в 1892 г.
2) Мичелл Джон (Michell D., 1863-1940), австралийский механик, вывел
уравнения в 1900 г. с отличными от нуля объемными силами.

60	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
оператора Лапласа, следует, что напряжения в статической за-
задаче при отсутствии массовых сил являются бигармоническими
функциями
AAaij =0.	C.14)
Победря [38] предложил новую постановку задачи теории
упругости в напряжениях, которая лучше приспособлена для
использования численных методов. В ней для отыскания шести
независимых компонентов тензора напряжений решается шесть
обобщенных уравнений совместности. При этом граничных усло-
условий для них оказывается тоже шесть: к трем условиям для на-
напряжений C.5) добавляются три уравнения равновесия C.1),
снесенные на границу области S.
Несмотря на то, что общий план решения задач теории упру-
упругости в перемещениях или напряжениях достаточно ясен, реа-
реализация его связана с большими трудностями. В общем виде ре-
решить эти уравнения пока не представляется возможным. Лишь
для простейших случаев удается получить некоторые решения.
Однако даже они представляют собой большую ценность, так
как являются своеобразным эталоном, с которым можно срав-
сравнивать приближенные решения, полученные в результате введе-
введения определенных упрощающих гипотез.
3.4. Теорема Клапейрона
Пусть линейно-упругое тело под действием объемных F{ и
поверхностных Ri сил находится в состоянии равновесия. Тогда
скалярное умножение уравнений равновесия на перемещения щ
и последующее интегрирование по объему V тела (с поверхно-
поверхностью S) дают
I UiVijj dV + I UipFi dV = 0.
V	V
Подынтегральная функция в первом интеграле преобразуется с
помощью формулы
и, следовательно,
/ (v>i<Jij)j dV + / UipFi dV = / Uij&ij dV.
v	v	v
Первый интеграл в левой части переходит в поверхностный интег-
интеграл с помощью формулы Гаусса г) -Остроградского (см. § 14.1).
:) Гаусс Карл Фридрих (Gauss С. F., 1777-1855), немецкий математик, фи-
физик; труды в области алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии.

3.5. Существование и единственность решения	61
В правой части в силу симметрии тензора напряжений будет
выполняться равенство Щ^ац = ?ij<Jij. В результате получаем
соотношение
/ Ui&ijlj dS + / UipFi dV = /
s	v
ijij dV.
v	v
Подынтегральное выражение в правой части в соответствии с
формулой Клапейрона B.13) равно удвоенной удельной потен-
потенциальной энергии деформации. Следовательно,
fuiRidS+ I'uipFidV = 2JUdV.	C.15)
v	v
Таким образом, работа упругой деформации равна половине
работы, которая совершается внешними поверхностными и объ-
объемными силами на перемещениях из исходного состояния рав-
равновесия в конечное {теорема Клапейрона).
3.5. Существование и единственность решения
задачи теории упругости
Из физических соображений очевидно, что каждое упругое
тело, находящееся под воздействием внешней нагрузки, при под-
подходящем опирании находится по меньшей мере в одном равно-
равновесном состоянии. Кроме того, так как математические форму-
формулировки задач теории упругости базируются на фундаменталь-
фундаментальных физических принципах, следует ожидать, что выводимые
из них соотношения не могут привести к абсурдным результа-
результатам. Это говорит о существовании решения краевой
задачи теории упругости. Вместе с тем этот вопрос пред-
представляет собой одну из труднейших математических задач, кото-
которая решена в настоящее время при достаточно общих условиях.
Здесь не будут приводиться эти довольно сложные и громоздкие
доказательства, а будет просто строиться соответствующее ре-
решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям,
так и граничным условиям задачи.
Доказательство единственности решения краевых
задач статики упругого тела строится на том, что предположе-
предположение о неединственности приведет к противоречию. Единствен-
Единственность впервые была доказана Кирхгофом A859) и основыва-
основывалась на положительной определенности потенциальной энергии
деформации (см. § 2.1). Предположим, имеются два решения:
A) A) A)	B) B) B)
и\ \ а\-\ e\j и w- , a\-\ e\-J, которые удовлетворяют одним и
тем же граничным условиям и основным уравнениям C.1)—C.3)

62	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
при одинаковых объемных силах. Тогда из уравнений равнове-
равновесия и граничных условий для напряжений получаем
A)	B)	т-!	AO	BO	т>	/о 1я\
Ввиду линейности задачи разности
*	A)	B)	*	A)	B)
lj	13	гЗ '	L	1	1
также являются решением основных уравнений теории упруго-
упругости для случая нулевых объемных и поверхностных сил F* =0,
i?* = 0, так как
Теорема Клапейрона C.15) для величин со звездочками в силу
C.16) принимает вид
jUdV = 0.
v
Из-за положительной определенности удельной потенциаль-
потенциальной энергии упругой деформации это равенство может быть вы-
выполнено только для
eij — eij — eij — U-
Отсюда следует
A)	B)	A)	B)
F.. = F..	ГГ.. = ГГ..
13	l3 ' l3	l3 '
что и доказывает единственность решения краевой задачи.
Для первой краевой задачи на границе перемещения обраща-
обращаются в ноль. В случае смешанной задачи справедлива та же са-
самая аргументация; предполагается только, при необходимости,
что перемещения являются однозначными функциями коорди-
координат точки.
Следует подчеркнуть, что теорема единственности нами до-
доказана для геометрически линейной теории упругости. Для не-
нелинейной теории и больших деформаций приведенный выше
способ доказательства недействителен, так как тогда положи-
положительная определенность энергии деформации может нарушаться.
Последнее означает одно из двух: либо принятая модель сплош-
сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. Примером
неустойчивого материала служит материал с падающей диа-
диаграммой растяжения, когда одному и тому же значению на-
напряжения соответствуют два разных значения деформации [41].

3.6. Полуобратный метод Сен-Венана	63
Для геометрически нелинейных систем теорема единственности
несправедлива: нарушение единственности соответствует поте-
потере устойчивости упругого тела. Подобного рода задачи в этой
книге не рассматриваются. Интересующихся проблемами устой-
устойчивости направляем к монографии Алфутова [2], а также к из-
известным изданиям по теории упругости [14, 38, 54].
3.6. Полуобратный метод Сен-Венана
В прямых задачах теории упругости определяются тензоры
напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые
действующими на твердое деформируемое тело внешними уси-
усилиями.
В обратных задачах задаются либо перемещения, либо ком-
компоненты тензора деформаций в рассматриваемом теле и опре-
определяются все остальные величины, в том числе и внешние силы.
Решения обратных задач особых трудностей не представляет,
однако не всегда можно прийти к решениям, имеющим какой-
либо практический интерес.
Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный
метод A853), суть которого состоит в том, что при решении
задачи теории упругости задаются частью компонентов переме-
перемещений и напряжений. Недостающие составляющие определяются
из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все
эти уравнения и граничные условия. В результате получаем точ-
точное решение задачи теории упругости. Этим методом Сен-Венан
решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе
бруса.
Конечно, полуобратный метод не является общим. Он тре-
требует определенной интуиции для того, чтобы удачно угадать
часть компонентов перемещений и напряжений. Однако этот ме-
метод может быть полезен при решении некоторых задач теории
упругости. В качестве примера рассмотрим решение задачи о
кручении бруса постоянного сечения произвольной формы.
Вместо произвольных координат Х{ {% = 1, 2, 3) в этом па-
параграфе будут применяться обозначения х\ = х, Х2 = у, х% = z
и т. д. Перемещения вдоль этих осей будут и, v и w соответ-
соответственно.
В отличие от бруса круглого поперечного сечения, при кру-
кручении бруса произвольной формы сечения имеет место депла-
нация (искривление в своей плоскости) сечений, т. е. гипоте-
гипотеза плоских сечений, которая вводилась в сопротивлении мате-
материалов, становится несправедливой. Сен-Венан решает задачу о
кручении бруса в предположении, что депланация сечений ни-
ничем не стеснена, т. е. перемещения w вдоль оси бруса не зависят
от координаты z. При этом нормальные напряжения azz = 0.

64	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
Кроме этого считаются равными нулю компоненты тензора на-
напряжения ахх, ауу, аху.
Тогда, полагая объемные силы отсутствующими, из A.10)
получим следующие уравнения равновесия:
0	0,	+	0_	^^
dz	dz	дх	ду
Из первых двух уравнений C.17) следует, что напряжения
&xzi &yz не зависят от координаты z, т. е. распределение каса-
касательных напряжений во всех поперечных сечениях бруса одина-
одинаково.
Введем функцию напряжений <р, через которую напряжения
&xzi &yz представляются в виде
Oxz — —, Oyz — —-Z--	F ЛЬ)
ду	дх
При этом третье уравнение равновесия C.17) удовлетворяется
тождественно:
0
дхду дудх
Теперь обратимся к уравнениям совместности деформаций
в форме Бельтрами-Мичелла C.13). При принятых ранее пред-
предположениях относительно компонент тензора напряжений azz =
= охх — &уУ = сгху = 0 первые четыре уравнения системы C.13)
удовлетворяются при любых выражениях функции <р, а послед-
последние два уравнения получат следующий вид:
Aaxz = 0, Aayz = 0.	C.19)
После подстановки C.18) в C.19) получим
ду \ дх2 ду2)	дх \
Из C.20) следует, что выражение в скобках д2(р/дх2 + д2(р/ду2
является величиной постоянной, т. е.
^? + ^? = С.	C.21)
дх2 ду2
Так как боковая поверхность бруса свободна от внешних на-
нагрузок (скручивающий момент приложен к торцам бруса), то
проекция касательных напряжений на нормаль к контуру дол-
должна быть равна нулю. Иными словами, касательные напряже-
напряжения у контура должны быть направлены по касательной к нему.
Данное условие можно записать в виде
дш dy . дш dx п	dip п
—-— + —-— = 0, или —- = 0.
ду ds дх ds	ds

3.6. Полуобратный метод Сен-Венана	65
Это означает, что функция напряжений ср всюду на контуре
имеет одинаковое значение (для односвязных областей). В част-
частности, для бруса сплошного поперечного сечения можно при-
принимать его равным нулю. Таким образом, задача о кручении
бруса сводится к отысканию такой функции напряжений <р, ко-
которая бы удовлетворяла уравнению C.21) и всюду на контуре
была бы равна нулю.
К торцевым сечениям приложены скручивающие брус мо-
моменты Мк в виде распределенных по поверхности торца бруса
касательных напряжений рх, ру. Следовательно, на торце бруса
статические граничные условия можно записать в виде
axz = ±рх, ayz = ±ру.
Принимая во внимание выражение C.18) для aXZi ayz и ис-
используя известную из сопротивления материалов формулу, свя-
связывающую крутящий момент с касательными напряжениями,
после преобразований можно получить
Мк = I (xayz - yaxz) dF = 2 / ср dx dy.	C.22)
F	F
Рассмотрим случай, когда сечение бруса представляет собой
эллипс, уравнение которого
2	2
х у 	 1
О*	Ъ2 ~ '
где а —размер большой полуоси, а Ъ — малой полуоси эллипса.
Примем для ср выражение вида
<p = m(?- + yl-l).	C.23)
\а2 Ь2 /
Всюду на контуре ср = 0. При подстановке C.23) в C.21) полу-
получим
^	^ a2b2
Следовательно, выражение для ср примет вид
\а2 V )
Подставив C.24) в C.22), найдем выражение для С через скру-
скручивающий момент Мк:
с= 2Мк(а2+62)
тга3Ь3
Теперь для ср окончательно получим
C-25)
3 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

66	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
Касательные напряжения следуют из C.18), C.25):
°xz =	т?У, (Туг = —?ГХ.	3.26
Наибольшее касательное напряжение имеет место на конце
малой полуоси сечения при у = Ь:
тгаЬ2
Для определения относительного угла закручивания сечения
в и депланации w необходимо рассмотреть связь перемещений с
напряжениями. Так как azz = ахх = ауу = 0, то из закона Гука
следует, что
du 	 dv 	 dw 	~
dx dy dz
Сдвиговые деформации будут следующими:
о _ ®и I dv _ ^
dy dx
~ 	 du dw 	 axz	/« q^n
~ 	 dv dw 	 Gyz
При кручении ось z бруса остается неподвижной. Сечения
поворачиваются относительно этой оси так, чтобы удовлетво-
удовлетворялись уравнения C.27). Прямая, точки которой при кручении
бруса остаются неподвижными, называется осью кручения.
Если для перемещений принять выражения вида и = —Oyz^
v = 6xz, то первое из уравнений C.27) будет удовлетворяться,
а из двух последних получим
У ~dx~~ ~G~' X ~dy~~ ~G'
или
~dx~~~G Vl ~dy~~' ~G X'	\ • )
Если второе из уравнений C.27) продифференцировать по у,
а третье — по х и затем вычесть из первого результата второй,
то получим
d2u _ d2v _ 1 f daxz _ dayz \	(^ OQ)
dydz dxdz ~ G \ dy	dx ) '	У ' )
При принятых для и и v выражениях левая часть равенства
C.29) равна —26, а правая, принимая во внимание C.18),—
G \ду2

3.7. Постановки задачи в цилиндрической и сферической системах 67
Таким образом, из C.29) и C.21), получим —2G6 = С, а относи-
относительный угол поворота сечения равен в = —C/BG).
В рассматриваемой задаче о кручении бруса эллиптического
сечения выражение для в принимает вид
в = Мк(аз2з+&2).	(з.зо)
Подставив C.26) и C.30) в C.28), можно после интегрирова-
интегрирования получить следующее выражение для депланации w:
w =
'-ху.
Решение задачи о кручении бруса эллиптической формы се-
сечения получено в предположении, что внешние нагрузки рХ1 ру
распределены по торцам бруса по тому же закону, что и aXZi
ayZi т. е. согласно уравнениям (Зю26), а депланация сечений не
стеснена. Однако согласно принципу Сен-Венана, напряженное
и деформированное состояние тела вдали от места приложения
нагрузки определяется в основном статическим эквивалентом
нагрузки. Поэтому полученное решение справедливо для сече-
сечений, достаточно удаленных от торцов, при любом распределении
внешних нагрузок по торцу бруса.
Тем не менее, следует иметь в виду, что в некоторых случа-
случаях принцип Сен-Венана неприменим. В тонкостенных конструк-
конструкциях (пластины, оболочки, тонкостенные стержни) иногда ста-
статически эквивалентное изменение внешних нагрузок на торцах
приводят к изменениям не местных напряжений и деформаций,
а напряженно-деформированного состояния всего тонкостенно-
тонкостенного элемента.
3.7. Постановки задачи теории упругости
в цилиндрической и сферической системах координат
Рассмотрим основные соотношения теории упругости в ци-
цилиндрической и сферической системах координат. Цилиндриче-
Цилиндрические координаты г, <р, z связаны с декарто-
декартовыми следующим образом (рис. 3.1):
х\ = х = г cos <р, Х2 = у = г sin <р,
Хч ^ Z ^ Z
Линейный элемент задается квадратичной
формой
(dsJ = (drJ + r2(dcpJ + (dzJ.
Компоненты вектора перемещений
U\ = Ur, U2 = U<p, Us = Uz.	Рис. 3.1
3*

68	3. Постановки и методы решения задач теории упругости
Компоненты тензора деформаций
?11 = еГГ1 ?22 = ?(р(р, ?33 = Szz\ ?12 = ?Г(р, ?23 = ?(pz, ?31 =
Справедливы следующие кинематические соотношения:
	 диг		 1 ди<р ur		 duz
srr _ ——, е^^р — -—— + —, ezz — -г—,
or	r dip r	oz
111 диг , диф
erin = — 1	+ ——
2 yr dp dr
Uv , 1 duz
Компоненты тензора напряж:ений <jrr, сг^^, а^^, тГ(^, т^^, т^г свя-
связаны с деформациями законом Гука через постоянные Ламе:
где относительная объемная деформация
Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид
'-^(гагг) + i^ + ^i + ^pFr = О,
г or	г dip	oz	г
причем pFri pF^^ pFz—компоненты вектора объемных сил.
В сферических координатах (рис. 3.2)
P(R lp ft) спРавеДливы формулы преобразования
А	х\ = х = R sin # cos у?,
у I	%2 = У = Д sin т? sin (p,
/ \z	хз = z = Rcosfi
I
i с квадратом линейного элемента
^	2	2 + i?2 sin2	2 2f
Перемещения
Рис- 3-2	г/i = ur, U2 = г^
Компоненты тензора деформаций
?ц = ?яя^ ?22 = ?(p(f> ?зз =
?12 = ?R<p, ?23 = ?^^ ?31 =

3.7. Постановки задачи в цилиндрической и сферической системах 69
Справедливы кинематические соотношения
Our ^ _ 1 ( 1 Our , ди^>
1 ^гб^ г^я	1 / 1
Компоненты тензора напряж:ений	^^	^ ^
связаны с деформациями законом Гука так же, как и в цилин
дрической системе координат:
&RR = 2//?яЯ + А0, . . . ,
где
Уравнения равновесия
1 d(R ctrr)	1 d(rR(p sin ip)	1 drRtf a^^ + cr##
Я <9Я	i2sin<? a^	.Rsin^ ^	R
+pFR = 0,
1 d(RSTRip)	1 д(тр$ sin2 $)	1 <9cr^	^, 	^
Rs OR	R sin ip dip	Rsimp dip
1 d(R3TR#)	1 a(cr^sin^)	1
Приведенные соотношения существенно упрощаются в слу-
случае осевой симметрии (тогда исчезают производные д/д(р, а так-
также все смешанные производные, содержащие ср).

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ,
ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
В предыдущих главах уже применялись понятия работы и
энергии, которые играют важную роль в общей механике. Рабо-
Работа и энергия определенным образом связаны между собой. Силы
в механической системе могут совершать работу, система может
обладать энергией. На понятии энергии основаны многие мето-
методы механики сплошной среды. Целесообразность их применения
следует из того, что энергия представляет собой хорошо изучен-
изученную инвариантную величину и поэтому не зависит от системы
координат. Все различные энергетические принципы взаимосвя-
взаимосвязаны друг с другом, так как в их основе лежат фундаментальные
законы механики сплошной среды.
4.1. Принцип возможных перемещений Лагранжа
Применительно к твердым телам начало возможных переме-
перемещений было сформулировано Лагранжем в его аналитической
механике A788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот
принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно
тому, как для твердых тел принцип возможных (виртуальных)
перемещений позволяет получить уравнения равновесия, так и
для упругих тел он может заменить геометрический вывод урав-
уравнений равновесия аналитическим.
Рассмотрим тело объема V с поверхностью S = Sa + Su,
которое находится в равновесии под действием приложенных
внешних поверхностных Щ и объемных F{ сил. В теле возникают
перемещения щ, напряжения о^ и деформации ец (рис. 4.1),
которые являются функциями внешних нагрузок.
Изменим внешние силы на бесконечно малые величины dRj,
dFj. Тогда действительное перемещение щ получит бесконечно
малое действительное приращение йщ. Это приращение функ-
функции-перемещения щ = Ui(Rj, Fj) произойдет за счет изменения
аргументов, которыми являются нагрузки. Рассмотрим теперь
множество перемещений некоторой произвольной точки, кото-
которые могли бы быть сообщены ей в данный момент времени t

4.1. Принцип возможных перемещений Лагранжа	71
в соответствии с наложенными на тело внешними связями, но
не совершаются фактически вследствие неизменности внешних
сил. Назовем возможным или виртуальным перемещением лю-
любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое мо-
может совершить точка в данный фиксированный момент времени
в соответствии с наложенными на нее связями.
Возможное перемещение, в отличие от действительного du{,
будем обозначать 5щ, где символ S носит название вариации, и
для него приняты те же правила, что и для оператора-диффе-
оператора-дифференциал а d. Следует лишь помнить, что эти правила не распро-
распространяются на аргументы Rj, Fj функции щ. Другими слова-
словами, вариация функции (в данном случае щ) это изменение вида
самой функции при фиксированных координатах рассматрива-
рассматриваемой точки.
1/4 А
Рис. 4.1	Рис. 4.2
Дадим теперь перемещениям щ виртуальные приращения 8щ,
следствием которых являются виртуальные деформации Ssij.
Предполагаем, что вариации 5щ достаточно малы и не влияют
на равновесие внешних сил и внутренних напряжений, они сов-
совместимы с условиями закрепления тела на границах и условия-
условиями неразрывности внутри тела. Это означает, что 5щ — кине-
кинематически допустимые функции, т. е. 5щ = 0 на Su (рис. 4.2).
В остальном возможные перемещения могут быть произвольны-
произвольными непрерывными функциями.
Для возможных деформаций справедливо равенство
13 2 Z'J J'	2	3)М-
Здесь применялось правило перестановки
5(uij) = Eui)j.	D.2)
В соответствии с гипотезой сплошности тело может рассма-
рассматриваться как система материальных точек. Поэтому к нему
можно применить принцип возможных перемещений Лагран-

72 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
жа: для равновесия системы материальных точек со стационар-
стационарными неосвобождающими и идеальными связями необходимо и
достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действую-
действующих на систему активных сил на любых возможных перемеще-
перемещениях системы была равна нулю.
Работу поверхностных и массовых сил на виртуальных пере-
перемещениях назовем виртуальной (возможной) работой внешних
сил и определим с помощью следующей суммы интегралов:
SA= f Щ 6щ dS+ I pFi 6щ dV.	D.3)
So-	V
При этом следует помнить, что действительные силы уже полно-
полностью приложены к телу до появления возможных перемещений
и с ними не связаны.
Аналогично виртуальная работа внутренних сил опреде-
определяется как работа действительных внутренних напряжений на
возможных деформациях:
SW = /(Jij5eijdV.	D.4)
v
Покажем, что если тело находится в равновесии, то следует
равенство этих работ. Для этого первый интеграл в D.3) с помо-
помощью теоремы Гаусса-Остроградского преобразуем в объемный,
учитывая, что Ri = (Jijlj:
f U Я ЛС	Г 7 Я ЛС	[ ( Я \ АЛГ
J	J	J
Sa	Sa	V
Тогда
SA= Г [((Jij5ui)j + pFiSui] dV.
v
Для первого слагаемого подынтегральной функции с учетом
правила перестановки D.2) следует
Отсюда
5А= (dijj + pF^Sui dV + (TijSuij dV.
V	V
Первый из интегралов исчезает, поскольку выполняются урав-
уравнения равновесия тела
aij,j + pFi = 0.

4.1. Принцип возможных перемещений Лагранэюа	73
С другой стороны, благодаря симметрии тензора напряжений и
выражению для вариации деформаций D.2)
Поэтому
6А = / CijSsij dV',
v
где интеграл представляет собой виртуальную работу внутрен-
внутренних сил D.4). Подставляя сюда виртуальную работу внешних
сил, окончательно получаем
/ RiSui dS + [ pFiSui dV = f (JijSsij dV,	D.5)
J	J	J
Sa	V	V
ИЛИ
SA = SW.
Таким образом, виртуальная работа внешних сил, действую-
действующих на тело, находящееся в равновесии, равна работе внутрен-
внутренних напряжений на соответствующих виртуальных деформациях.
Уравнение D.5) справедливо как для упругих, так и для
неупругих тел, так как при выводе до сих пор не был использо-
использован закон Гука.
Теперь покажем, что из равенства работ D.5) следуют усло-
условия равновесия рассматриваемого тела. Для этого подынтег-
подынтегральную функцию в правой части перепишем в виде
Тогда уравнение D.5) примет вид
/ ((TijSui)j dV = / (aijj + pFiMui dV + Ridui dS.
v	v	sa
Используя формулу Гаусса-Остроградского преобразования
объемного интеграла в поверхностный (§ 3.4), получим
dV + f (Щ - crijljMui dS = 0.	D.6)
v	sa
Так как вариации 8щ произвольны, то для выполнения ра-
равенства D.6) мы должны приравнять к нулю подынтегральные
выражения в скобках. В результате получим известные диф-
дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные
условия в напряжениях, которые в данном случае являются

74 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
следствием вариационного уравнения Лагранжа D.5). Следова-
Следовательно, при решении задач с помощью вариационного принци-
принципа Лагранжа нет необходимости заранее удовлетворять стати-
статические граничные условия, потому что они выполняются авто-
автоматически.
Для упругого поведения материалов возможная работа де-
деформаций соответствует возможной энергии деформаций тела
SUqj т. е.
SW = 6U0 = [ 5UdV = f ai35ei3 dV,
v	v
где [/ — удельная энергия упругой деформации тела, обладаю-
обладающая упругим потенциалом dU/dsij = О{3.
Следствие. Из соотношений D.5) с учетом того, что внеш-
внешние силы и внутренние напряжения не варьируются, получим
(al3el3) dV - J Se(RiUi) dS - J S?(pFlUl) dV = 0.
5?(
V	Sa	V
Символ 8?1 показывающий, что варьируются только деформа-
деформации и перемещения, можно вынести за знак интеграла. Тогда
с	с	\
— RiUi dS — I pFiui dV \
j	j	i
s	v	7
с	с	\
ijSij dV — RiUi dS — I pFiui dV \ =0.
j	j
sa	v
Первый интеграл в скобках представляет собой потенциальную
энергию деформации, а остальные — потенциал внешних сил.
Суммарную величину обозначим через П и назовем потенци-
потенциальной энергией тела,
П = I GijSij dV - [ Rm dS - [ pFiUi dV.	D.7)
V	Sa	V
С помощью D.7) предыдущему уравнению можно придать вид
S?U = 0.	D.8)
Уравнение D.8) выражает собой так называемый принцип
потенциальной энергии: при заданных внешних силах и гра-
граничных условиях действительные перемещения щ таковы, что
для любых возможных перемещений первая вариация полной
потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная
энергия П имеет стационарное значение.
Можно показать, что в положении устойчивого равновесия
потенциальная энергия системы имеет минимальное значение,
т. е. вторая вариация #2П ^ 0 [теорема Лагранжа-Дирихле).

4.2. Принцип возможных сил Кастильяно	75
Следовательно, из всех перемещений, удовлетворяющих задан-
заданным граничным условиям, только действительные перемеще-
перемещения, отвечающие состоянию равновесия, дают минимальное зна-
значение потенциальной энергии системы.
Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти
такие функции щ, при которых выполняется условие D.8). Тем
самым будут найдены истинные перемещения тела и решена за-
задача теории упругости в перемещениях. В этом и состоит ва-
вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью
принципа Лагранжа.
Справедлива и обратная теорема, гласящая, что если потен-
потенциальная энергия достигает абсолютного минимума для неко-
некоторого поля перемещений, удовлетворяющего граничным усло-
условиям в перемещениях, то это поле должно удовлетворять урав-
уравнениям равновесия внутри тела и граничным условиям в
напряжениях [57].
4.2. Принцип возможных сил Кастильяно
Вместо того чтобы рассматривать возможные перемещения
от положения равновесия, можно, как предположил Кастилья-
Кастильяно, варьировать напряжения. В отличие от принципа Лагранжа,
в котором состояние тела характеризуется функциями переме-
перемещений, в принципе Кастильяно определяющими являются на-
напряжения. Для этого принципа вычисляют возможную работу,
которую совершают виртуальные силы 8Fi, 8Щ, и напряжения
8<Jij на действительных перемещениях щ, независимо от дей-
действительных сил и напряжений, удовлетворяющих равновесию
тела. В каждой точке тела заданы перемещения и соответствую-
соответствующее им напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям
равновесия внутри тела и граничным условиям на поверхности Sa.
Виртуальные силы 8Fi, 8Щ и напряжения 8o{j являются ста-
статически допустимыми функциями, для которых справедливы
уравнения равновесия внутри тела и граничные условия на его
поверхности:
Sdijj + pSFi = 0 в объеме!/, $aijh — ^R% на S.	D.9)
Величины 8(Jij и 8Щ на Su являются произвольными. В каждой
задаче теории упругости таких систем напряжений существует
бесконечно много, поскольку эта задача статически неопреде-
неопределима. Действительно, в три уравнения равновесия D.9) входит
шесть неизвестных функций напряжений. Принцип Кастилья-
Кастильяно из всех статически возможных напряжений выделяет такие,
которые обеспечивают не только равновесие, но и совместность
деформаций тела и, таким образом, являются искомым един-
единственным решением задачи теории упругости.

76 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Предположим дополнительно, что вариации 5Ri принимают
нулевые значения на той части поверхности, где заданы поверх-
поверхностные силы Ri, то есть на Sa.
Для формулировки принципа определяется величина вир-
виртуальной дополнительной работы 5А* внешних виртуальных
сил и виртуальной дополнительной работы виртуальных
внутренних напряжений 5W*:
5 А* = [ UiSRi dS+ [ UipSFi dV,
J	J
Su	V	D.10)
SW* = / SijSdij dV.
v
Покажем равенство работ D.10) для тела, находящегося в
равновесии. Оно следует, например, из вариационных уравне-
уравнений равновесия D.9). Умножив их на щ, просуммировав по i и
проинтегрировав по объему тела, получим
/¦
V = 0.	D.11)
v
Преобразуем первое слагаемое в подынтегральной функции
UiSaijj = (щ5(Тц)^ - UijSaij.
Тогда, на основании теоремы Гаусса-Остроградского и вариа-
вариационных граничных условий в D.9), из D.11) следует
[ UiSRi dS- Г UijSaij dV+ Г UipSFidV = 0.	D.12)
S	V	V
Для первого слагаемого интегрирование по всей поверхности те-
тела S следует заменить интегрированием по части поверхности
SUl так как возможные поверхностные силы на границе Sa обра-
обращаются в нуль. Благодаря симметрии Saij, для второго интегра-
интеграла в D.10) следует равенство
/ UijScij dV = / ?ij5<Jij dV.
v	v
Из D.12) окончательно получаем выражение
[ UiSRi dS+ Г UipSFi dV = Г ецЬоц dV,	D.13)
su	v	v
или
5 A* = SW*.
Оно представляет собой математическую формулировку прин-
принципа возможных сил для любого деформируемого тела: при вся-

4.3. Теоремы Кастилъяно	77
ком виртуальном изменении напряженного состояния тела сум-
сумма работ приращений всех внешних сил (Щ, SRi, производимых
на действительных перемещениях тела, равна приращению до-
дополнительной работы возможных внутренних напряжений.
Как правило, (Щ = 0, так как объемные силы обычно за-
задаются постоянными. Равенство D.13) справедливо для любого
упругого тела, независимо от свойств материала, и если оно вы-
выполнено, то тело находится в равновесии.
Следствие. Так как перемещения и деформации не ва-
варьируются, то из принципа возможных сил D.13), вынося знак
вариации за скобку, получим выражение
^ [ J el3al3 dV- j щЯг dS-J щр?г dV~\ = 0.	D.14)
v	su	v
Здесь индекс при да указывает, что варьируются только напря-
напряжения и силы. Первый интеграл в скобках представляет собой
дополнительную потенциальную энергию деформации, а осталь-
остальные— дополнительный потенциал внешних сил. Суммарную ве-
величину обозначим через П* и назовем дополнительной потен-
потенциальной энергией тела;
П* = I GijEij dV - f Щщ dF- f pFiUi dV.	D.15)
V	Su	V
С помощью D.15) уравнению D.14) можно придать вид
6аП* = 0.
Равенство нулю первой вариации дополнительной потенциаль-
потенциальной энергии системы означает, что она принимает стационарное
значение для тех сил и напряжений, удовлетворяющих уравне-
уравнениям равновесия, которые соответствуют истинному деформи-
деформированному состоянию.
На основании этого принципа можно также заключить, что
в случае устойчивого равновесия экстремальное значение П* со-
соответствует минимуму {принцип Кастильяно), т. е. среди всех
напряженных состояний, которые удовлетворяют уравнениям
равновесия, действительным является такое, для которого до-
дополнительная энергия достигает минимума.
4.3. Теоремы Кастильяно
На принципе возможной работы, или на минимальных прин-
принципах, основаны некоторые важные теоремы о работе, которые
имеют большое практическое значение, особенно в сопротивле-

78 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Рис. 4.3
нии материалов и строительной механике, для определения де-
деформаций в статически определимых и статически неопредели-
неопределимых системах.
Рассмотрим упругое тело,
которое находится в состоянии
устойчивого равновесия и непо-
неподвижно оперто на две малые ча-
части своей поверхности (рис. 4.3).
Объемными силами пренебрега-
пренебрегаем, нагрузка задается поверх-
поверхностными силами в виде сосре-
сосредоточенных сил Pk и моментов
Мп, реализуемых, например, па-
парой сил. Перемещения, соответ-
соответствующие силам Рд., обозначим
через Uk, повороты срп соответ-
соответствуют крутящим моментам Мп.
Тогда напряжения и деформации, а также энергия деформации
определяются как функции щ и срп: U = U(u, ф).
Первая теорема Кастильяно заключается в том, что
— = Pk, -^~ = Мп.	D.16)
Этот вывод следует из принципа возможных перемещений, ес-
если рассматривать только одно возможное перемещение 6щ в
направлении силы Р^. Тогда справедливо соотношение SU =
= Ркбик, откуда предельным переходом получается первое со-
соотношение D.16). Второе из этихг соотношений получается ана-
аналогичным образом.
Первую теорему Кастильяно можно использовать, напри-
например, для расчета статически неопределимых систем, но ее зна-
значение для практических приложений невелико.
Большое значение имеет вторая теорема Кастильяно. Для
линейно-упругих материалов она записывается следующим об-
образом:
dU*
dU*
причем теперь U* = U*(P, M) означает энергию деформации,
выраженную через внешние силы и моменты (в предположении
справедливости закона Гука).
Эта теорема позволяет очень просто вычислять деформации
в точках приложения сил для статически определимых и ста-
статически неопределимых конструкций. Для расчета деформаций
в произвольных точках вводятся фиктивные вспомогательные
силы (моменты), которые затем полагаются равными нулю.

4.4. Теорема взаимности Бетти	79
4.4. Теорема взаимности Бетти
Очень полезной для приложений является теорема взаим-
взаимности Бетти1) , которая связывает между собой различные со-
состояния равновесия линейно-упругого тела при разнообразных
нагрузках. Рассмотрим для упругого тела (объемом V и поверх-
поверхностью S) два состояния равновесия, называемые соответствен-
соответственно I и II, характеризуемые величинами и], ?*•, а?-, вызванными
силами pFf и i?J, а также и]1, ?**•, а?*, вызванными силами pFf1
И ГЦ .
Тогда справедливо тождество
которое сразу может быть проверено при линейном соотношении
между напряжениями и деформациями B.11):
a = Еф1е	a
Подставив эти соотношения в D.17) при симметрии модулей
упругости Eijki = Ekiij, получим
^i Ji _ т? J JI _ р _п л _ _п л _ пл
aij?ij — ^ijkl^kleij — -^klij^ij^kl ~ Gklekl ~ aijeij'
Из D.17) следует равенство
f§?jdV,	D.18)
V	V
которое уже является одной из форм теоремы взаимности
Бетти. Его левая часть преобразуется следующим образом:
j«+иЬ)dV = 1аЬиЬdV =
v	v
V	V
С помощью формулы Гаусса-Остроградского и уравнений рав-
равновесия (ajj • = —pFJ) получим
\е% dV = J Rjuf dS + f pFJuf dV.
V
Правая часть D.18) может быть преобразована аналогич-
аналогичным образом. В результате приходим к основной форме теоремы
х) Бетти Э. (Betti E., 1823-1892), итальянский математик.

80 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Бетти — работа системы внешних сил I на перемещениях, вы-
вызываемых системой II, равна работе системы внешних сил II на
перемещениях, вызываемых системой I:
RJufdS + Г pFluf dV= Г Rfu] dS+ Г pF}lu\ dV. D.19)
S	V	S	V
Значение теоремы Бетти заключается в том, что с помощью
произвольно выбранной системы II получают соотношение меж-
между приложенными силами и перемещениями системы I. Систе-
Система II, вспомогательная, может быть выбрана очень простой, на-
например, однородное напряженное состояние. Теорема дает тогда
объяснение различных свойств решения I. Она также служит
исходной для так называемого метода
граничных интегральных уравнений.
Замечание. Теорема Бетти спра-
справедлива также, если упругое тело
нагружено сосредоточенными силами
(рис. 4.4). При отсутствии массовых
сил, например, если действуют толь-
только две сосредоточенные силы в ука-
указанных точках, согласно D.19) спра-
справедливо равенство
Рис. 4.4	PV1 = Pllul,
где и11 — перемещение точки приложения силы Р1 (в направ-
направлении Р1) вследствие действия силы Рп; соответственно и1 —
перемещение точки приложения силы Рп (в направлении Рп)
вследствие действия силы Р1. Если действует множество сил, то
Соответствующие зависимости получаются также для сосре-
сосредоточенных крутящих моментов и углов поворота.
4.5. Вариационный метод Рэлея—Ритца
В теории упругости большинство задач сводится к решению
дифференциальных уравнений с заданными граничными усло-
условиями. Их решение часто связано с большими математически-
математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые ва-
вариационные методы. Вместо того чтобы решать основные диф-
дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача
об определении искомых функций щ, ец, о^, удовлетворяющих
граничным условиям и минимизирующих некоторый функцио-

4.6. Метод Бубнова - Галеркина	81
нал1) Ф(щ, Sij, <Jij), например полную потенциальную энер-
энергию П или дополнительную энергию П*.
Согласно методу Рэлея-Ритца 2) перемещения щ представ-
представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетво-
удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например,
щ = Aik<pi(xu х2, х3) (г = 1, 2, 3; А; = 1, 2, 3, ...), D.20)
где Аж—неопределенные коэффициенты, подлежащие опреде-
определению из условия D.8); ср\ — известные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие граничным условиям. Подставляя в D.7), D.8) вместо щ их
выражения D.20) и интегрируя, получим
П = U(Aik).	D.21)
Из условия D.7), которое запишем в виде
в силу произвольности вариаций дА^ следует
— = 0.	D.22)
дАгк	v ;
Если в D.20) оставить п членов, то условия D.22) в случае
линейной упругости дают систему Зп линейных алгебраических
уравнений вида
5зкАгк + А3=0 (fc, j = l, 2, ...,n;i = l, 2, 3), D.23)
которая служит для определения параметров А^. Уравнения
D.22) либо D.23) носят название уравнений Рэлея-Ритца. Под-
Подставляя найденные из этих уравнений параметры А{к в D.20),
получаем приближенное решение задачи.
4.6. Метод Бубнова — Галеркина
Впервые идея этого метода была предложена Бубновым в
1913 г. применительно к задачам теории упругости. В дальней-
дальнейшем она была развита в 1915 г. Галеркиным. Если функция <ргк
в выражениях перемещений D.20) выбрана так, чтобы заранее
1)	Под функционалом в дальнейшем мы будем понимать переменную ве-
величину, которая каждой функции из некоторого класса ставит в соответ-
соответствие определенное число.
2)	Основная идея этого метода уже была использована в 1877 г. лордом
Рэлеем (Rayleigh J. W. S., 1842-1919) для приближенного определения соб-
собственных частот механических колебательных систем. Поэтому его часто
называют методом Рэлея-Ритца (Ritz W.).

82 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
удовлетворялись не только геометрические, но и статические
граничные условия для напряжений, то в уравнении D.6) ис-
исчезает поверхностный интеграл, и оно принимает вид
/¦
щ dV = 0.
v
Внося сюда выражение
5щ = 5j
и учитывая произвольность вариаций SAiki получаем систему
уравнений Бубнова-Галеркина для определения параметров А^
i
(oih3+pF{)^kdV = 0.
v
В тех случаях, когда можно удовлетворить статические гра-
граничные условия, метод Бубнова-Галеркина дает значительное
упрощение вычислений.
4.7. Метод Ритца—Лагранжа
Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и
метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца
функции <ргк выбираются таким образом, чтобы каждая из них
удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некото-
некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно
использовать неопределенные множители Лагранжа так, что-
чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций,
а в целом всем выражением для перемещения щ. В этом слу-
случае коэффициенты Ац* будут удовлетворять некоторым допол-
дополнительным соотношениям вида
fk(Aik) = 0.	D.24)
Допустим, что число таких соотношений равно га. Тогда по
Лагранжу следует составить функцию
9 = U-\kfk (fc = l, 2, ... , га)
и решить задачу на условный экстремум этой функции, т. е.
составить условия экстремума
ЗЭ
дАгк
= 0 (г = 1, 2, ... ,п).	D.25)
Уравнения D.24), D.25) образуют систему га + п уравнений с
га-\-п неизвестными А{к и Хк. Описанный метод особенно удобен,

4.8. Упругое полупространство под действием поверхностных сил 83
если функции сргк ортогональны, т. е.
В этом случае каждое из уравнений D.25) содержит только од-
одно неизвестное А^, и задача сводится к решению системы т
уравнений D.24).
Заметим, что в качестве примера применения принципа воз-
возможных перемещений Лагранжа можно рассматривать вывод
уравнений равновесия и граничных условий для упругой круго-
круговой трехслойной пластины (см. § 6.14).
4.8. Упругое полупространство под действием
поверхностных сил
Пусть изотропная среда занимает бесконечную область, ог-
ограниченную плоскостью. Такое полу бесконечное тело принято
называть полупространством. Для определенности полупростран-
полупространство предполагаем ориентированным так, что ограничивающая
его плоскость оказывается горизонтальной, а тело полупростран-
полупространства располагается ниже граничной плоскости. Ориентация по-
полупространства определяется декартовой системой координат
О3, причем ось Ох% направлена вертикально вниз.
Определим напряженно-деформированное состояние линей-
линейно упругого однородного изотропного полупространства х% ^ О
при отсутствии массовых сил и заданной на граничной плоско-
плоскости (плоскости Ox\x<i) нагрузке. Следовательно, в граничных
условиях C.5) нужно положить /i=/2 = 0, /3 — ~ 1;
а^3Ц=о = ~Кь(хъ х2).	D.26)
Замкнутая система уравнений, описывающая равновесие сре-
среды, включает в себя уравнения Ламе C.6), соотношения Коши
A.27) и закон Гука B.6):
О,	D.27)
ui,k),	D.28)
2цеы.	D.29)
Краевую задачу D.26)—D.29) замыкает условие ограниченности
компонентов напряженно-деформированного состояния на бес-
бесконечности.

84 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Частным случаем поверхностной нагрузки D.26) является
сосредоточенная сила
),	D.30)
где 6(х) — дельта-функция Дирака г) (см. § 14.3).
Задача с подобными граничными условиями в общем случае
называется задачей Миндлина2) , при Р2 = Рз = 0 — задачей
Буссинеска, а при Р\ = Рз = 0 или Р\ = Р2 = 0 — задачей
Черутти 3) .
Помимо практических приложений решения задач о дейст-
действии сосредоточенных нагрузок на полупространство имеют сле-
следующий смысл. Вместо усилий D.30) рассмотрим задачу со сле-
следующими граничными условиями:
D.31)
где Sjk — символ Кронекера.
Фактически условиям D.31) отвечают три задачи: при фик-
фиксированном ее номере j = 1, 2, 3 отлично от нуля только одно
напряжение на поверхности полупространства. Введем в обо-
обозначения компонентов напряженно-деформированного состоя-
состояния дополнительный индекс, соответствующий номеру задачи
°kl = 0jkl-	D.32)
Тогда в силу линейности задачи перемещения, деформации и
напряжения, соответствующие произвольной нагрузке Rj D.26),
определяется через функции D.32) так (суммирование по повто-
повторяющимся индексам от 1 до 3):
щ = —Rj * * Ujk, ?ы = -Rj * * Sjku аы = —Rj * * 0jkl- D.33)
Здесь двойная звездочка обозначает операцию свертки функций
по координатам х\ и х2 (двойное интегрирование проводится по
всей координатной плоскости):
,x2,x3) = g**h =JJ
D.34)
Функции в D.33) называются фундаментальными решения-
решениями {поверхностными функциями влияния, поверхностными
х) Дирак Поль Адриен Морис (Dirac P. A. M., 1902-1984)—английский
физик, один из создателей квантовой механики; нобелевская премия 1933 г.
2)	Миндлин (Mindlin R. D., 1906-1987), американский ученый-механик.
3)	Черутти (Cerrutti V., 1850-1909), итальянский ученый-механик.

4.8. Упругое полупространство под действием поверхностных сил 85
функциями Грина), а совокупности этих величин— фундамен-
фундаментальными тензорами, тензорами Грина.
Из D.34) следует, что для решения задачи с любыми гранич-
граничными условиями типа D.26) достаточно найти функции влия-
влияния. Для их определения воспользуемся интегральным преобра-
преобразованием Фурье1) по переменным х\ и ж 2 (значок «F» указы-
указывает на изображение, q\ и ^ — параметры преобразования (см.
§ 14-3))
gF(qi, 42) = [[g(xi, x2)emx'dx1dx2,
Л ГГ	D35)
g(xi, x2) = ^JJ gF(qi, q2)e-1^ dQl dq2 (I = 1, 2).
В пространстве преобразований D.35) уравнения D.27)-D.29)
имеют вид (k, I = 1, 2)
F33) = О,
D.36)
\(шиР + qku[), ef3 \{qk + f>3),
?зз = u3,3j QF = kF + F
D.38)
Здесь и в дальнейших промежуточных выкладках для сокраще-
сокращения записи номер задачи j в обозначениях компонентов напря-
напряженно-деформированного состояния опущен.
Граничные условия D.28) при этом переходят в следующие
равенства (см. приложение 15.2)
°?зЦ=0 = ^-	D-39)
Далее можно непосредственно строить общее решение систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений D.36). Одна-
Однако удобнее использовать их следствие C.11)
ААщ = 0.	D.40)
В результате применения преобразования Фурье приходим к
трем независимым уравнениям
х) Фурье Жан Батист Жозеф (Fourier J. В. J., 1768-1830), французский
математик и физик; труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и
математической физике.

86 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Удовлетворяющие условиям ограниченности на бесконечно-
бесконечности решения этих уравнений будут
и% = (Ак + хзВк)е-чх*,	D.42)
где Ак, ^ — произвольные постоянные.
Подставляя D.42) в D.37) и D.38), находим соответствую-
соответствующие представления для изображений деформаций и напряже-
напряжений (а = 1, 2; по повторяющимся греческим индексам суммиро-
суммирования нет)
?а3 = \[-ЧА* ~ ЩаМ + Ва-х3 (qBa + iqaB3)]e-qxs,
ef2 = ~[«^i + QiA2 + x3 {q2B1 + qiB2)]e-qX3,
9F = -2A - 2u)Bze~qXi;	^ >
Ba - xz (qBa + iqaB3)]e~gX3,
Здесь учтена связь постоянных Ламе с другими константами
упругости материала (см. § 2.2).
Решения системы уравнений D.40) являются подмножеством
множества решений уравнений D.36). Связь между постоянны-
постоянными интегрирования находим, подставляя решения D.42) в си-
систему D.36). После сокращения на экспоненту и приравнивания
коэффициентов при жЦ и х\ (хз — произвольное число) получаем
состоящую из двух групп однородную систему линейных алге-
алгебраических уравнений относительно А^ и В^ (m, n = 1, 2)
Ят(-ЯпАп + iqAs) - 2A - 2u)qBm - iqmBs = 0,
q(iqnAn + qA3) - iqnBn - 4A - v)qBz = 0;
Ят(-ЯпВп + iqB3) = 0,	45
q(iqnBn + qB3) =0.	l ' }
Анализ системы уравнений D.44), D.45) показывает, что она
эквивалентна трем уравнениям (га, п = 1, 2)
qnAn - iqA3 + 2iq(l - и)В3 = 0, qBm = iqmB^	D.46)

4.8. Упругое полупространство под действием поверхностных сил 87
Замыкает их три соотношения, получаемые из граничных
условий D.33) с учетом равенств D.37)
-qAm - iqmAs + Вт = -Sjm,
?	D.47)
-qA3 + A - 2и)В3 = -Ц-з
Решение системы уравнений D.46), D.47) имеет вид (га, п =
= 1,2)
Ат = ^
Аз = --^- [A - 2i/) ^^п + 2A-и) <У,	D.48)
Подстановка этих выражений в D.42) и D.43) приводит к
следующим формулам для изображений перемещений и напря-
напряжений (а, п = 1, 2):
qi6j2) - (^
D.49)
Отсюда с использованием табл. 14.5 (см. § 14.3) находим
соответствующие оригиналы (в обозначения перемещений и

88 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
1 Г/1 , 1-2гЛ
ja =	i - +
4//7Г LVr r + жз
напряжений возвращаем индекс j — номер задачи)
М _ 1 - 2v 1 XgXnSjn (хз_ _ 1 - 2г/\ жа^-3 \
1_г2 (г + жзJ] г	\г2 г + жз/ г У
D.50)
;пE7-п+ [2A -и) + ^]б
L	г2 J *
(г+ Ж3)
(r
[^	1] 2^, +	D.51)
(г + Ж3J L r2(r + ж)	J J
^
r 3x| + J^
\ r4 ^ (г +
+
— - (! ~
(г
Отметим, что напряжения сг^з не зависят от упругих пара-
параметров среды.
Из D.50) и D.51) получаем решения задач Буссинеска и Че-
рутти:
перемещения и напряжения в задаче Буссинеска (j = 3)
ха (\ — 2ъ> хз\	1 Го (л	\ , Х\Л
= -	(——- — )? ^зз = -^	 2(l-i/) + -| ;
4//7ГГ V г + хз г2 /	4//7ГГ L	r^ J
- 4 ~
Ж1Ж2 ГЗЖ3	/-,	г>7 \ 2Г + Хз 1
2тгН L г2	(г + жз) -I
&ЗаЗ =
(г +
3x1
, СЗЗЗ =	-•
2тгг5	2тгг5

4.9. Фундаментальные решения для упругой полуплоскости	89
перемещения и напряжения в задаче Черутти (j = 1)
— __L/I 4-^1 4-
А V	3
;]}¦
r rs r + xs L r(r -
Г 1	l-2i/l	_ Ж1 /l-2i/ жз
4//7ГГ Lr2	(г + Жз) J	4//7ГГ \Г + Жз	Г2
	 —L —	о хч + *гхз — 1т + хл	 ,
2тгг3 L г2 (г + жз) V ^	г + жз / J
3^2	1 — 2i/ Г /г) _|_ \ _|_ 2 Зг + жз 1 1
г2 (г + жз) L	г + жз -I )
' ("Х/р -Х- То^\	1 1
2тгг3
2тгг5 '	2тгг5
4.9. Фундаментальные решения
для упругой полуплоскости
В постановке предыдущего параграфа рассмотрим задачу о
действии нагрузки на границу полуплоскости х% ^ 0 нагрузки
(к = 1, 3)
I			ту / \	/а г* с\\
При условии D.52) компоненты напряженно-деформированного
состояния не зависят от координаты Ж2, а перемещение г^2 = 0.
Таким образом, мы имеем плоское деформированное состояние
(см. § 5.1). Замкнутая система уравнений включает в себя урав-
уравнения Ламе, соотношения Коши и закон Гука. Краевую задачу
здесь также замыкает условие ограниченности компонентов на-
напряженно-деформированного состояния на бесконечности.
Аналогично пространственному случаю решение указанной
задачи можно представить следующим образом (все индексы
здесь и далее принимают значения 1 и 3):
щ = — Rj * Ujk, ?ы = —Rj * Sjku ак\ = —Rj * Vjkl- D.53)
Звездочка в D.53) обозначает свертку функций по координате х\
+00	+00

90 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Функции Ujk, Sjki и Gjki на границе полуплоскости удовлет-
удовлетворяют граничным условиям
D-54)
и являются фундаментальными решениями (компонентами тен-
тензоров Грина) для упругой полуплоскости.
При j=3 соответствующая задача называется задачей Фла-
мана 1) , а при j=l —по-прежнему задачей Черутти.
Для решения аналогично пространственному случаю будем
использовать одномерное преобразование Фурье по координате
х\ (значок «F» указывает на изображение, q — параметр преоб-
преобразования)
gF(o) = I gixje**1 dxu g(Xl) = i- I g(Xl)e-^Xl dq. D.55)
— OO	—(X)
Изображения искомых функций очень просто получаются из
результатов предыдущего параграфа, если в D.49) и D.50) поло-
положить б/2 — 0, a qi и q заменить величинами q и \q\ соответственно.
Укаж:ем другой путь решения плоской задачи, приводящий
к гораздо более простой системе алгебраических уравнений, чем
система D.46), D.47). Для этого воспользуемся постановкой за-
задачи в напряжениях и в промежуточных выкладках номер за-
задачи j временно опустим.
На первом шаге применяем преобразование Фурье D.55) к
уравнениям равновесия
&тп,п = 0 (га, п = 1, 3).
В результате получаем
^	U = 0.	D.56)
Эта система уравнений не замкнута. Поэтому дополнительно
учитываем бигармоничность компонентов тензора напряжений
C.14). В частности, для напряжения <тзз имеем уравнение
которое в пространстве преобразований эквивалентно равенству
(см. также D.41))
Фламан (Flamant A., 1839-1915), французский инженер-механик.

4.9. Фундаментальные решения для упругой полуплоскости	91
Его общее решение, удовлетворяющие условиям ограничен-
ограниченности на бесконечности, аналогично D.42) будет
D.57)
где А и В— произвольные постоянные.
Подставляя равенство D.57) в D.56), последовательно полу-
получаем изображения других напряжений
a[s = -l-(B -\q\A-xs\q\B)e-^x\
Эти соотношения вместе с изображением граничных условий
D.54)
позволяют определить постоянные А и В:
А = Sjs, В = iqSji + |^|^з-
Окончательно изображения напряжений и деформаций при-
приобретают вид
afi = [г B sign q-qx3)Sjl + A - \q\x3)
°?з = [A "
= 2 (i sgg^i ^3)	;
a3^)]=	D.58)
j! + A - 2v - \q\xz) 8j3} e
4 = ^ = ^[A -
F	1 г /г	/ F , F \~\
?зз = 7- Из - ^ i^ii + ^ззЛ =
^	A - 2v + |д|ж3) ^з]е-191Яз.
Изображ:ения перемещений в силу соотношений Коши удов-
удовлетворяют системе уравнений (см. также D.37)):
F F	F , duf о F ди*	F
-%qu{ = ef1? -ig«| + -^- = 2ef3, ^- = 43-

92 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Из первых двух соотношений D.59) с учетом равенств D.58)
находим
D.60)
Проверка последнего равенства в D.59) показывает, что оно
выполняется тождественно.
Теперь по изображениям D.58), D.60) с использованием та-
таблицы 14.4 (см. § 14.3) находим оригиналы перемещений и на-
напряжений (в обозначения перемещений и напряжений возвра-
возвращаем индекс j)
"""ЗЫК
~"	Х\Хз с I	/ л л-( \
- —— \djs f, D.Ы)
-^]^з}, D.62)
Отметим, что в плоской задаче все напряжения не зависят
от упругих характеристик среды. Кроме того, выполняется сле-
следующее СВОЙСТВО Симметрии СГцз = СГзц, СГ133 = СГ313-
Из D.61)-D.63) получаем решения задач Фламана и Че-
рутти
D.64)
2тгр

4.9. Фундаментальные решения для упругой полуплоскости	93
013 =
= СГ313 =
Г4 '
D.65)
Я33 = —j, СГЦ1 = —-.
В полярной системе координат
xq = г cos т?, Ж1 = г sin т9 (г^О, — - ^ # ^ - )
'	V	'	2	2/
формулы для напряжений принимают вид
= — sin2 $ cos #, СГ133 = СГ313 = — sin # cos2 7?,
2 я
= — cos
2 я
= — sin
7ГГ	7ГГ
На рис. 4.5 показаны линии уровня о^\ = С = const, кото-
которые, как следует из D.65), являются алгебраическими кривыми
четвертого порядка.
XI
-0,217,
-0,5
0,5
1364
хз
Рис. 4.5

94 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Найдем теперь главные оси и напряжения, соответствующие
фундаментальным решениям D.62) для упругой полуплоскости.
Главные напряжения с учетом двумерности задачи есть реше-
решения уравнения A.15)
CTj 13
Отсюда
&j 13
Cfj 33 — СГ
= О — J\G = О,
— О его — —i-
~г 0j33 — 	Г'
Их порядок зависит от знака Xj. Соответствующие главные оси
определяются уравнением (см. A.14))
crjii/i + (Jjish = 0,
откуда находим
v2 = er = - = -
г г
Следовательно, на площадках-лучах # = const полярной си-
системы координат напряжения равны нулю, а на площадках-
окружностях г = const имеют место только нормальные напря-
напряжения сг2. Их распределение соответственно для задач Фламана
и Черутти продемонстрировано на рис. 4.6
Рис. 4.6
4.10. Задача о штампе на упругой полуплоскости
Построенные выше фундаментальные решения используют-
используются для решения задачи со смешанным типом граничных усло-
условий (третьей краевой задачи, см. § 3.1). Это так называемые
контактные задачи, в которых часть границ двух деформируе-

4.10. Задача о штампе на упругой полуплоскости
95
мых тел (одно из них может быть абсолютно жестким) являет-
является общей. Взаимодействующие области называют поверхностью
контакта.
Рассмотрим простейшую плоскую контактную задачу. Пусть
в однородную изотропную линейно упругую полуплоскость
жз ^0 вертикально без трения вдавливается плоский симмет-
симметричный недеформируемый штамп (рис. 4.7). Ось Ох% совместим
Рис. 4.7
с осью симметрии штампа, а начало системы координат
расположим на границе полуплоскости. Нижний торец штам-
штампа ограничен «подошвой»—гладкой невогнутой поверхностью,
уравнение которой в связанной со штампом системе координат
O\X\z (O\z совпадает с Ожз, ^ — расстояние между О\ и лобо-
лобовой точкой М - вершиной подошвы) имеет вид
z = f(x1).	D.66)
Здесь f{x\) —четная функция, /@) =^и fn(xi) ^ 0.
Обозначая глубину погружения штампа (перемещение вдоль
оси Охз его лобовой точки) через /г, учитывая формулу D.66) и
связь координат z = xs+zq — Ii (см. рис. 4.7), получаем уравнение
подошвы в системе координат Ох\х%
хз = f{x\) + h — zq.	D.67)
Правая часть равенства D.67) задает нормальные перемещения
границы полуплоскости в области контакта.
Будем полагать, что на штамп действует направленная вдоль
оси Ожз сила Р. На поверхности контакта равны нулю каса-
касательные напряжения (контакт происходит в условиях свобод-
свободного проскальзывания), а вне этой поверхности граница полу-
полуплоскости является свободной. Соответствующая краевая зада-

96 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
ча включает в себя взятые в той или иной форме уравнения, опи-
описывающие плоское деформированное состояние (см. § 5.1), усло-
условие ограниченности решения на бесконечности, а также условия
на границе полуплоскости
- z0
Жз0	(|*i|>a),	D.68)
з=0 = 0 (-оо < xi < +оо).
Здесь h — неизвестная глубина погружения штампа.
В силу линейности задачи условия D.68) снесены на неде-
формированную границу полуплоскости. Поверхность контакта
заменена областью контакта— отрезком \х\\ ^ а. Кроме того,
в D.68) сделано еще одно соответствующее линейной теории
приближение — не учтены касательные составляющие переме-
перемещений материальных точек. Это означает, что точки границы
штампа и полупространства, находящиеся в начальный момент
взаимодействия на одной вертикальной прямой, остаются на этой
же прямой и в процессе контакта. Следовательно, нормальные
перемещения в области контакта совпадают с правой частью
уравнения D.67). В зависимости от геометрии задачи радиус
области контакта а либо задан (см. рис. 4.7 а), либо не известен
(см. рис. 4.7 5).
Замыкает задачу условие равновесия штампа
0),	D.69)
где р — контактное давление.
Для решения с использованием свойств D.53) фундаменталь-
фундаментальных решений и условий D.68) сведем краевую задачу к инте-
интегральному уравнению относительно контактного давления
= /On) + h-z0,	D.70)
где ядро К(х\) определяется в соответствии с D.64) так
)	(
Дифференцируя D.70) по жх, приходим к уравнению
а
, рр
D.71)

4.10. Задача о штампе на упругой полуплоскости	97
Здесь интеграл имеет сингулярную особенность (подынтег-
(подынтегральная функция неинтегрируемая) и понимается в смысле глав-
главного значения по Коши (см. приложение 14.2). Уравнение такого
типа встречается в теории крыла самолета конечного размаха и
называется уравнением Прандтля х) .
Непосредственной проверкой (см. также [32]) устанавливает-
устанавливается, что функция
является решением уравнения D.71) при любом значении посто-
постоянной А. Величину этой постоянной находим из условия D.67)
тгЛх = Р-
а	а
Тогда контактное давление определяется равенством
а
р(Х1) = I (P+J^f ^ff'(O dt). D.72)
/21\	1i/J x?	)
Учитывая нечетность производной / (жх), отсюда получаем, что
p(xi) —четная функция. Это и следовало ожидать в силу сим-
симметрии задачи.
Если радиус области контакта а известен (см. рис. 4.7 а), то
давление D.72) и есть решение задачи. Можно показать, что в
этом случае при любой функции f(x\) контактное давление на
концах х\ = =Ьа не ограничено.
Если радиус области контакта а не известен (см. рис. 4.7 5),
то для его определения используется условие ограниченности
контактного давления (нормального напряжения на границе по-
полуплоскости) .
Поскольку /@) = zqj to из интегрального уравнения D.70) с
учетом четности контактного давления, а также равенства D.69)
получаем следующую формулу для глубины погружения штампа
D.73)
TTfl
*) Прандтль (Prandtl L., 1875-1953), немецкий ученый-гидроаэроди-
намик.
4 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

98 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Перемещения и напряжения в любой точке полуплоскости
в соответствии с D.53), D.68) и D.69) вычисляются простым
интегрированием (fc, / = 1, 3)
ик(хъх3) = -
—а
а
= -Jp{Q°m{xi - f, х3) df.
Рассмотрим конкретные примеры задания формы подошвы
штампа.
1. Параболический штамп, радиус области контакта
задан. Форму подошвы в этом случае зададим в виде (i? —ра-
—радиус кривизны подошвы штампа в точке х\ = 0)
f(xi) = -?z, R>0, zo = O.	D.74)
Вычисляя интеграл в D.65), приходим к следующему выра-
выражению для контактного давления
?Щ	D.75)
Очевидно, в этом случае на концах области контакта имеет
место интегрируемая степенная особенность порядка—1/2.
Глубина погружения находится подстановкой D.75) в D.73)
D.76)
V J
Л	(с + 1п)Р.
тг// V	2/	4R
2. Параболический штамп, радиус области контакта
не известен. Контактное давление ограничено при х\ = =Ьа,
если обращается в нуль скобка в D.75). Отсюда определяем ра-
радиус области контакта
a = \ 2.PR		D.77)
V	W
и находим давление
-x\.	D.78)
Отсюда следует, что в этом случае давление ограничено,
обращается в нуль на границе области контакта и достигает мак-
максимального значения ртах = Ра/тг в центральной точке.

4.11. Плоская контактная задача для двух упругих тел
99
Глубина погружения штампа в этом случае определяется так
D.79)
тг/i L	2 V 2 2,
3. Штамп с прямолинейным основанием (рис. 4.8). Ре-
Решение в этом случае проще всего получить, выполняя предель-
предельный переход при R —>> оо в D.75) и D.76)
P(xi)=
2
D.80)
В этом случае на концах области контакта давление так-
также имеет интегрируемую степенная особенность порядка —1/2
(рис. 4.9).
\Р
Рис. 4.9
4.11. Плоская контактная задача для двух упругих тел
Изложенная в предыдущем параграфе методология решения
контактных задач для полуплоскости используется для прибли-
приближенного решения плоской контактной задачи для двух упругих
тел.
Пусть два бесконечно длинных симметричных цилиндриче-
цилиндрических тела ограничены гладкими выпуклыми поверхностями.
Уравнения этих поверхностей в связанных с телами системами
координат OjX\X2Zj и (j = 1, 2) имеют вид
П,- : Zj=fj{Xl),
fj(xi) = fj(-xi), fj(O) = -zoj, /j@)=0, f!j'(x1)^0. {- '
Оси OjZj совпадают между собой и лежат в плоскостях симмет-
симметрии тел. Оси OjX2 параллельны образующим, zqj - расстояния
4*

100 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
между Oj и лобовыми точками направляющих граничных по-
поверхностей (рис. 4.10).
Введем также общую систему координат Ох\х2х^^ У которой
ось 0x2 совпадает с общей образующей цилиндрических поверх-
поверхностей в начальный момент взаимодействия, Ох% совпадает с
OjZj и направлена вглубь второго те-
тела (j = 2), а Ох\ соответственно
перпендикулярна плоскости симмет-
симметрии (см. рис. 4.10). В этой системе
координат недеформированные гра-
граничные поверхности задаются уравне-
уравнениями (рис. 4.11, см. также D.67))
П-1 : х% — —i\\x\) — ^oi Н~ *^1?
П2 : Х3 = /2(^1) + ZQ2 + ^2,
где hj перемещения вдоль оси Vj неде-
формируемых тел.
Тела заполнены однородными изо-
изотропными линейно упругими средами,
характеризующимися константами Vj
и IIj. Контакт происходит в условиях
| р	свободного проскальзывания, а вне по-
поверхности контакта границы тел сво-
Рис 4 10	бодны от напряжений. Соответствую-
Соответствующая краевая задача включает в себя
взятые в той или иной форме уравнения, описывающие плос-
плоские деформированные состояния обоих тел (см. § 5.1), условия
ограниченности решения на бесконечности, а также снесенные
на ось Ох\ граничные условия в области контакта |жх| ^ а
11жз=0
жз=0
-h, a\i}\ п = <т\У\ п Oil <a),
' S3 1жз=0	33 1жз=0 VI J-l ^ /'
f(x\) = fi(x\) + zqi + /2(^1) + zq2, h = Ifi2 — /&i,	D.82)
Здесь h — неизвестное относительное смещение недеформируе-
мых тел, ^—упругое перемещение j-ro тела вдоль оси OjZj,
Omn — соответствующие компоненты тензоров напряжений.
Первое равенство в D.82) получено из условия совпадения
деформированных граничных поверхностей
х3 = -
П
2*
- zoi +hi -
+ZQ2 +h2 +^
на поверхности контакта. Второе равенство — условие непрерыв-
непрерывности нормальных напряжений.

4.11. Плоская контактная задача для двух упругих тел
101
Будем полагать, что на тела действует равномерно распре-
распределенные вдоль оси 0x2 противоположно направленные вдоль
оси Охз силы Р. Поэтому замыкает задачу условие равновесия
системы
где р — контактное давление.
XI
\
i
Z02
1
/
О xi
U2 \
Ж3, Z2
Рис. 4.11
Точное решение поставленной задачи связано с рассмотрени-
рассмотрением соответствующих краевых задач для каждого из тел (построе-
(построением фундаментальных решений типа найденных в § 6.2). Соот-
Соответствующие математические проблемы существенно зависят от
формы границы. Поэтому, основываясь на малости области кон-
контакта и принципе Сен-Венана, принимаются два упрощающих
предположения:
А) для каждого из взаимодействующих тел используются
фундаментальные решения для полуплоскости, т. е. полагается,
что кривизна поверхностей мало влияет на напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние;
Б) граничные поверхности заменяются параболическими ци-
цилиндрами, что эквивалентно сохранению в разложениях функ-
функций в D.81) в степенной ряд по х\ членов второго порядка (учи-
(учитываем, что /j@) = 0):
П,
где Rj — радиус кривизны поверхности
с D.74)).
в точке х\ = 0 (ср.

102 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Согласно предположению Б в кинематической части гранич-
граничных условий D.82) необходимо положить
e 1г = т + т-	D83)
В соответствии с предположением Л, используя свойства
D.53) фундаментальных решений и условия D.82), по аналогии
с D.70) сводим задачу к интегральному уравнению относитель-
относительно контактного давления:
2 Гр(О (\п\Х1 - ?| + С) d? = /(ал) + /г, 7 =
7Г J
D.84)
Следовательно, решение задачи дается формулами D.77)-
D.79), в которых Ох\Х2 необходимо заменить величиной 7> а
под R следует понимать линейный размер i?i2, определенный в
D.83). Тогда радиус области контакта
7.
и ~ \l ^± ±LV2
контактное давление
a=x/2PR12l;
7Г
р
p(xi) = -\ а2 -х\;
относительное смещение недеформируемых тел
2 V 2 2
Несмотря на то, что контактное давление явным образом не
зависит от упругих свойств тел, однако, опосредовано, эта зави-
зависимость заложена в формуле для радиуса области контакта.
Отметим несколько частных случаев рассмотренной задачи.
Если контактируют два тела с одинаковыми радиусами кривизн
R\ = i?2 = R-) то R\2 = R/2. При одинаковых упругих свойствах
тел {у\ = V2 = v и \i\ = \i2 = /i) имеем 7 = 2A — v)j'ц. Если
одновременно выполняются оба этих условия, то радиус области
контакта будет таким же, как при контакте недеформируемого
штампа с полуплоскостью, а относительное смещение будет в
два раза больше, чем глубина погружения штампа.
Если положить R\ = R и i?2 = оо, то приходим к задаче о
внедрении в упругую полуплоскость упругого гладкого штампа
R\2 = R. Если дополнительно считать первое тело недеформи-
руемым, что эквивалентно равенству A — v\)j\i\ = 0, то полу-
получаем решение задачи D.77)-D.79).

4.12. Взаимодействие штампа с упругим полупространством 103
4.12. Взаимодействие штампа
с упругим полупространством
В постановке, аналогичной § 4.10, рассмотрим пространствен-
пространственную контактную задачу об абсолютно жестком штампе в фор-
форме эллиптического параболоида, ось которого перпендикулярна
плоскости жз = 0, ограничивающей полупространство жз ^ 0.
Начало системы координат О1Х1Х2Х3 расположим на граничной
полуплоскости. Ее оси Ох\ и 0x2 выберем так, чтобы в систе-
системе координат O\X\X2Z (точка О\ совпадает с вершиной пара-
параболоида, ось O\z сонаправлена с Охз, см. рис. 4.7, где zq = 0)
уравнение параболоида имело канонический вид
z = -Ах\ - Вх\, А, В^О.
Отсюда, учитывая связь координат жз, z и глубины погружения
ударника h:
хз = z + h,
получаем уравнение границы штампа в системе координат
ОХ1Х2Х3:
хз = -Ах\ - Вх\ + h.	D.85)
Соответствующая краевая задача включает в себя уравне-
уравнения теории упругости (см. § 3.1-3.3), условие ограниченности
решения на бесконечности и условия на границе полупростран-
полупространства
^L-n = -Ах\ - Вх\ + h ((ж1, х2) Е О),
|з=0 = 0 ((хих2) ?П),	D.86)
з	^231^=0 = ° ((ЖЬЖ2) е R2) .
Здесь сделаны те же соответствующее линейной теории прибли-
приближения, что и в § 4.10. В том числе, условия D.86) снесены на
недеформированную границу полупространства, и поверхность
контакта заменена плоской областью О.
Если область контакта ft неизвестна (см. рис. 4.7 б"), то для
ее определения необходимо дополнительное условие. Последнее
должно задавать эту область как множество, на котором нор-
нормальные напряжения неположительные, а также обладающее
границей, являющейся линией пересечения деформированной
поверхности полупространства и параболоида. Однако это при-
приводит к сложной в математическом плане задаче. Поэтому огра-
ограничимся дополнительным упрощающим предположением: об-
область контакта является односвязной и ее граница — эллипс сле-
следующего вида
дп: § + § = !¦	D-87)

104 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
у у
11
При таком подходе в D.86) неизвестными величинами явля-
являются глубина погружения h и полуоси эллипса а и Ь. Замыкает
задачу условие равновесия штампа
2 = Р, р(хъ х2) = ^зз |жз=о'
п
где р — контактное давление.
С использованием свойств D.33) фундаментальных решений
и условий D.86) задача сводится к интегральному уравнению
относительно контактного давления
p(Zu Ь)К(хг -?их2- 6) «1 db = -Ах\ - Вх\ + Л, D.89)
п
где ядро if (жх, Ж2), согласно D.50), определяется так
ffp
i, х2) = -иы{хъ х2, 0) = -—-, r2 = Jx\ + ж|.
7Г//Г2	V
Интеграл в левой части уравнения D.89) является значением
потенциала простого слоя поверхности х% = 0, (#i, x2) E О при
0
с плотностью
D.90)
х2) =	-р(хъ х2).	D.91)
7Г//
Попытаемся подобрать такую функцию р(х\, х2), чтобы ре-
результат интегрирования в D.89) был многочленом такого же ви-
вида, как правая часть этого уравнения. Для этого, как показано
Штаерманом 1) , плотность должна иметь вид
р(хи х2) =	а°	+а1Л-хУа?-4/Р. D-92)
у/1 — x{jo? — х^/Ъ2	v
Подстановка этого выражения в D.90) после достаточно гро-
громоздких преобразований приводит к следующему результату:
, х2) = тгаб{Bао + а{) /о(а, Ъ) — а\ [Д(а, Ъ)х\ + ДF, а)х2] },
К (к), к = ^—^1,	D.93)
а + Ъ
/0(а, b)
а + Ъ
h{a, b) = a2Jb2)[2aK (к) - (а + Ъ) Е (к)],
х) Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. — М.; JI.:
ГИТТЛ, 1949. —270 с.

4.12. Взаимодействие штампа с упругим полупространством 105
где К (к) и Е(к) —полные эллиптические интегралы первого и
второго рода модуля к.
Сравнение правых частей равенств D.89) и D.93) приводит
к уравнениям
h = nab Bа0 + а{) /0(а, 6);	D.94)
naba\I\{a^ Ъ) = A, naba\I\{b^ а) = Б.	D.95)
Тогда, как следует из D.91) и D.92), контактное давление
определяется так
р(хи х2) = Jg- [	2 а°2 2 + а1 ^1 - хЦа* - хЦьА .
D.96)
Подставляя это равенство в D.88) получаем следующее пред-
представление результирующей силы (при вычислении двойных ин-
интегралов используются обобщенные полярные координаты х\ =
= ar cos (р, %2 = brsimp):
7Г	1
РтгааЬ I 7 / / ао .	ГЛ 9^ л 2тг2aab ( . а\ \
= -^-— dip г( .	+ ai v 1 — г ) dr = —^— ао + — .
-7Г	0
D.97)
Полученные выше соотношения позволяют получить реше-
решения двух основных задач.
1. Область О неизвестна. В силу ограниченности контакт-
контактного давления коэффициент ао = 0. Тогда из D.97) имеем
Подставляя найденные коэффициенты в D.96) находим кон-
контактное давление
p(xi, x2) = ^LJl-xlla?-xHV.	D.98)
Отсюда следует, что, так ж:е как и в соответствующей плос-
плоской задаче (см. D.78)), давление ограничено, на границе обла-
области контакта оно обращается в нуль и достигает максимального
значения ртах = ЗР/ BтгаЬ) в центральной точке.
Из D.94) с учетом D.93) вытекает формула для глубины по-
погружения
h= ЗР{1~^ К(к).	D.99)

106 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
Полуоси а и b есть решение трансцендентной системы урав-
уравнений, вытекающей из D.95) с учетом выражения для коэффи-
коэффициента а\\
д(а Ь) = 2irflA , /х(Ь, а) = 2irflB .	D.100)
i/)'	V У 3P(li/)	V	7
Если штамп является параболоидом вращения (А = В =
= 1/BД), i? — радиус кривизны меридиана в центральной точке),
то Д(а, 6) = /i(b, a). Отсюда с учетом D.93) после некоторых
преобразований получаем уравнение относительно модуля к:
2аЪК(к) - (а2 + Ъ2)Е(к) = 0.
Можно показать, что оно имеет единственное решение к = 0.
Следовательно, область контакта - круг радиуса г о = а = Ь. Он
определяется любым из двух соотношений в D.100). Для этого
найдем предельное значение левой части, например, /i(a, b) при
а —)> 6. Полагая a = 6 + е и учитывая, что
z	2L	v n
получаем
lim/i(a, b) = ?- = ?-.
Следовательно, радиус области контакта определяется как:
з
_ ri _ 1 3/9Pz(l-i/)
Соответственно для контактного давления и глубины погру-
погружения из D.98) и D.99) имеем (К@) = тг/2)
D.101)
2Rfi2
2. Штамп с плоским основанием (А = Б = 0). В этом
случае правая часть интегрального уравнения D.89) —постоян-
—постоянная величина. Поэтому согласно D.93) а\ = 0. Коэффициент uq
находится из соотношения D.97)
ао =
При этом контактное давление и глубина погружения имеют вид
Р
Р\рЪ Х2) =
тг// (а +

4.13. Задача Герца	107
Здесь так же, как в плоской задаче (см. D.80)), давление на гра-
границе области контакта не ограничено и имеет степенную особен-
особенность порядка —1/2.
В случае кругового штампа радиуса tq = а = b формулы
D.102) переходят в следующие (величина г2 определена в фор-
формуле D.101)):
Они позволяют рассчитывать давление под круговым штампом
и глубину его погружения.
4.13. Задача Герца
В постановке, аналогичной § 4.11, рассмотрим простран-
пространственную задачу о контакте двух упругих тел. Пусть эти тела,
обладающие осями симметрии и ограниченные гладкими вы-
выпуклыми поверхностями, в начальный момент взаимодействия
входят в соприкосновение в точке О. Их оси симметрии прохо-
проходят через точку О и перпендикулярны общей касательной плос-
плоскости (см. рис. 4.10). Введем неподвижную систему координат
0x1^2^3, оси Ох\ и Ох2 которой лежат в касательной плоскости
(дополнительные требования к их расположению будут сформу-
сформулированы ниже), а Ох% направлена вглубь второго тела (j =2).
Уравнения поверхностей, ограничивающих тела, в связанных с
телами системах координат OjX\x2Zj имеют вид
IL : Zj = fj(xi, х2).
( \- 2	D.103)
Оси OjZj являются осями симметрии, т. е. совпадают с прямой
Ожз, и направлены в глубь соответствующих тел; zqj —расстоя-
—расстояния между Oj и лобовыми точками граничных поверхностей,
(см. рис. 4.10).
В системе координат Ох\х2х% недеформированные гранич-
граничные поверхности задаются уравнениями (см. рис. 4.11, а также
уравнение D.85))
П-2 • х% = f2\Xii х2) -\- zq2 -\- h2^
где hj перемещения вдоль оси Ох% недеформируемых тел.
Тела заполнены однородными изотропными линейно упру-
упругими средами, характеризующимися константами Vj и \ij. Кон-

108 4. Вариационные методы, деформирование полупространства
такт происходит в условиях свободного проскальзывания. Вне
поверхности контакта границы тел свободны от напряжений.
Соответствующая краевая задача включает в себя взятые в той
или иной форме уравнения, описывающие плоские деформиро-
деформированные состояния обоих тел (см. § 3.1-3.3), и условия ограничен-
ограниченности решения на бесконечности. К ним добавляются аналогич-
аналогичные D.82) граничные условия в области контакта О снесенные
на плоскость Ох\х2
W\\ п + W2\ п = — f(xi, Хо) — h,
11жз=0	z\xs=0	J v ' }	'
733 |Жз=0 ~~ аЗЗ |Жз=0 v^Ij X2j t ^J ,
Jl\Xi) X2) -\- Zqi -\- J2\Xii X2) -\- ?(J} h = /i2 — ^lj
D.104)
t()
J33
3=o = ° ((жь Ж2)
Здесь использованы такие же обозначения, как и в D.82). Отме-
Отметим, что область контакта здесь вообще неизвестна.
Будем полагать, что на тела действует противоположно на-
направленные вдоль оси Охз силы Р. Поэтому замыкает задачу
условие равновесия системы D.88), где р = —°"зз |ж -о~кон"
тактное давление.	Хз~
По соображениям, указанным в § 4.11 и 4.12, принимаются
три упрощающих предположения:
А) для каждого из взаимодействующих тел используются
фундаментальные решения для полупространства, чем полага-
полагается, что кривизна поверхностей мало влияет на напряженно-
деформированное состояние;
Б) граничные поверхности заменяются эллиптическими пара-
параболоидами. Это эквивалентно сохранению в разложениях функ-
функций D.103) в степенной ряд по двум переменным в окрестности
точки @,0) членов второго порядка (учитываем, что dfj(O, 0) = 0)
ni : zj = fj(xu X2) ~ -zoj + Ajx\ + Bjx\ + 2CjXix2,
Aj = Дп@, 0), Bj = fJ922@, 0), Cj = fJ912@, 0); l ' }
В) область контакта односвязная и ее граница — эллипс
(см. D.87)).
Согласно предположению Б в кинематической части гранич-
граничных условий D.104) необходимо положить
2) = Ах\ + Вх\
Расположение осей Ох\ и Ох2 с помощью поворота системы
координат 0x1^2^3 вокруг оси Ох% можно выбрать так, что-

4.13. Задача Герца	109
бы коэффициент С однородного многочлена второй степени в
D.105) равнялся нулю (соответствующая квадратичная форма
имела канонический вид):
х2) = Ах\ + Вх\.
Здесь для новых координат оставлены старые обозначения.
Далее ограничимся рассмотрением таких граничных поверх-
поверхностей, для которых i, В ^ 0 и АВ ф 0 (соответствующая
квадратичная форма положительно определена или полуопреде-
полуопределена).
В соответствии с предположениями А ж В ж при использова-
использовании свойств D.33) фундаментальных решений и условий D.104),
аналогично D.89) сводим задачу к интегральному уравнению
относительно контактного давления (величина 7 определена в
D.84))
Iff
= -Лх\ - Вх\
п
Следовательно, решение задачи дается формулами D.98)-
D.100), в которых A — v)/II необходимо заменить величиной j;
контактное давление задается тем же выражением D.98); отно-
относительное смещение недеформируемых тел
h= ЗР7 К (к),
2тг (а + b) V J '
уравнения для полуосей области контакта
2тгВ
т / 7\ 2тгА т /у \
ii(a, о) = 	, ii о, a =
Здесь так же, как и в плоской задаче, зависимость контакт-
контактного давления от упругих свойств тел проявляется в соответ-
соответствующей зависимости полуосей области контакта.
Если оба тела ограничены поверхностями вращения, то А =
= В = 1/BД). Давление определяется первым равенством в
D.101), а для радиуса области контакта и глубины погружения
имеем
При одинаковых упругих свойствах тел {у\ = V2 = is и /j,i =
= /i2 = /i) имеем 7 = 2A — z/)//i .
Если второе тело (j = 2) является полупространством (А2 =
= В% = 0), то А = Ai, S = B\. Если дополнительно считать
первое тело недеформируемым, что эквивалентно равенству
A — v\)l\i\ = 0, то получаем решение задачи D.98)-D.100).

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Большое значение для приложений имеют задачи, в которых
искомые функции зависят только от двух координат - плоские
задачи. При этом различают два случая, математическое описа-
описание которых совпадает: плоское деформированное состояние и
плоское напряженное состояние.
5.1. Плоское деформированное состояние
Этот случай соответствует длинному призматическому телу
(с продольной осью координат z), которое нагружается поверх-
поверхностными силами, не зависящими от z и не имеющими составляю-
составляющей вдоль этой оси. В качестве примера на рис. 5.1 показано
нагружение цилиндра линейно рас-
распределенными вдоль его образую-
образующей усилиями pi, _p2, рз- При этом
упругое тело может быть или бес-
бесконечно длинным, или оно имеет
конечную длину и его края соот-
соответствующим образом закреплены.
В каждом поперечном сечении тела
определяющим является тогда плос-
плоское деформированное состояние.
Р к 1	В дальнейшем будут применять-
применяться упрощенные соотношения, поэто-
поэтому индексная (тензорная) форма записи будет использоваться
лишь для компактности формул. Перемещения в декартовой си-
системе координат ж, у, z обозначим соответственно через и, г>, w.
Для плоского деформированного состояния они имеют вид
и = гл(ж, у), v = г;(ж, у), w = const или w = 0; E.1)
кроме того, обращаются в нуль все производные по z (по жз).
Деформации, в том числе и объемная #, будут следующими:
	 ди		 dv		 1 / ди dv \
дх' УУ ду' Ху 2\ду дх)'	,,9ч
п а ди . dv	[° '

5.1. Плоское деформированное состояние	111
Остается только одно из условий A.33), A.34) совместности
деформаций:
ду2	дх2	дхду'
Ненулевыми компонентами тензора напряжений являются
&xxi &xy, Vyy, azz. Формулы обобщенного закона Гука примут
вид
ахх = 2цехх + А0, ауу = fisyy + А0,
Легко показать, что при плоской деформации тела число
независимых компонентов тензора напряжений равно трем.
В самом деле, из закона Гука при условии ezz = 0 следует
°zz =v((Jxx+(Jyy)-	E-5)
Деформации выражаются через напряжения формулами,
следующими из B.8):
- v(cryy
1 + V
^УУ	PJ\Pyy VyPzz r OxxJl-) &xy	=;
hi	hi
Из уравнений равновесия остаются
д°хх | даху _ q да у у даху _ q
д	д
дх ду	ду дх
причем объемные силы здесь не учитываются.
Граничные условия для напряжений, если на краю цилиндра
заданы напряжения Rx и Ry [первая граничная задача), имеют
вид
ахх cos(^, х) + аху cos(^, у) = Rx,
Оху COS(^, X) + Оуу COS(^, у) = Ry.
Если речь идет о призматическом теле длиной /, концевые
сечения которого оперты, то для них справедливы граничные
условия
w(x, у, 0) = w(x, у, I) = 0.
Тогда силы, действующие в концевых поперечных сечениях,
Pz =
s
причем напряжения интегрируются по поперечному сечению
призматического тела.

112
5. Плоская задача теории упругости
Уравнения равновесия в перемещениях Ламе C.6) принима-
принимают вид
dy
1 — 2v ду V дх ду у
Соответственно уравнения в напряжениях Бельтрами-Ми-
челла C.13) становятся следующими:
, 3 д2-
А
1 + v дх2
3 д2а
1 + v ду2
3 д2а
ху
= 0,
= 0.
+ v дхду
Здесь среднее напряжение с учетом выражения E.5) для az будет
= -\Рхх
о
1 +
Jyy
Jyy)
Если у рассмотренного призматического тела конечной дли-
длины торцы свободны от нагрузки, то условия плоской дефор-
деформации нарушаются. Однако и в этом случае для сечений, до-
достаточно удаленных от торцов, можно на основании принципа
Сен-Венана полагать деформированное и напряженное состоя-
состояния соответствующими условиям плоской деформации.
5.2. Плоское напряженное состояние
В этом случае речь идет о плоском упругом теле малой тол-
толщины (пластине), которое нагружается только силами в своей
плоскости, причем нормальные на-
напряжения в направлении толщины
отсутствуют (рис. 5.2). Приложен-
Приложенные силы или равномерно распре-
распределены по толщине и, следователь-
следовательно, не зависят от z (что с хоро-
хорошим приближением всегда выпол-
выполняется для тонких пластин), или
распределены симметрично относи-
относительно так называемой срединной
плоскости (воображаемая поверх-
поверхность, которая делит пополам тол-
толщину пластины). Тогда может быть введено их среднее по тол-
толщине пластины значение.

5.2. Плоское напряженное состояние	113
При плоском напряженном состоянии в плоскости ж, у име-
имеются следующие ненулевые компоненты тензора напряжений:
°~хх = ОххуХ", У)-) °~уу = Gyy\xi У)-)
(Уху = (Уху(х, У)-
Остальные azz = axz = ayz = 0. Компоненты перемещений u,vn
w здесь вообще не зависят от z. При этом кинематические урав-
уравнения соответствуют уравнениям E.2) для плоского деформи-
деформированного состояния, условия совместности — уравнению E.3),
уравнения равновесия — уравнениям E.6), а краевые условия —
условиям E.7).
Различия между плоским деформированным и плоским на-
напряженным состояниями проявляются при рассмотрении дефор-
деформаций, например в законе Гука. Так как azz = 0, то из закона
Гука следует
= -(a -va ) е =-(а - va )
i^	E.8)
_	V /	ч	_ 1 + V	V/
E	E
Обращение E.8) дает выражения напряжений через деформации
ихх —	^\°xx ~т~ uoyyji
1 — vz
Е , ,	ч	Е
что отличается от соответствующих формул E.4), E.5).
Как уже упоминалось, плоское напряженное состояние ре-
реализуется не точно, а лишь приближенно в достаточно тонких
пластинах. Файлоном 1) было показано, что можно рассмотреть
обобщенный случай и модифицировать приведенные соотноше-
соотношения. При этом предполагается симметричное распределение при-
приложенных сил относительно срединной плоскости пластины. Ес-
Если предположить, что напряжения ozz в пластине отсутствуют,
a azx и azy на внешних поверхностях пластины равны нулю, то
для перемещений и напряжений вычисляются их средние зна-
значения по толщине пластины, например
°хх 2h
-h
где 2h — толщина пластины. В результате задача сводится к пре-
предыдущей.
Файлон (Filon L. N. G., 1875-1937), английский математик, физик.

114	5. Плоская задача теории упругости
Возникающее в такой пластине напряженное состояние часто
встречается в приложениях и является важным для практики
случаем. Следуя Ляву, его называют обобщенным плоским на-
напряженным состоянием.
5.3. Уравнения совместности в напряжениях
Для решения плоской задачи в напряжениях необходимо
уравнение совместности деформаций E.3) представить в напря-
напряжениях, воспользовавшись законом Гука E.8). В результате этой
операции получаем
1 В2 /	\ 1 В2 /	\ 1 В2гг
~Ё ~ду^ \хх ~ VGyy) ~Ё 'дх'2 \уу ~ V°xx) ~ 2Г Л Л ~
Далее выразим производные от касательных напряжений с по-
помощью уравнений равновесия E.6)
д2аху _ д2ахх д2аху _ д2ауу
дхду	дх2 ' дхду	ду2
и подставим их в предыдущее соотношение. После замены мо-
модуля сдвига 2G = Е/A + г;) имеем
д2 ,	ч , д2 ,	\ . п . \(д2ахх .д2аУу\ п
	(&ТТ — VCFmi) + 	(&1JV — VaTT ) + A + V) I 	 + 	— = U.
ду2\ хх	yyJT дх2у уу	хх) -г v "Г jy ^2 -г д^2 j
После сокращений
	 + 	 ) (<7ТТ + СГуу) = 0,
дх2 ду2)	уу
ду
или, используя оператор Лапласа в плоской системе координат
А = д2/дх2 + д2/ду2, получим
А(ажж + (Туу) = 0.	E.9)
Следовательно, сумма напряжений является гармонической
функцией.
5.4. Функция напряжений Эри
При отсутствии массовых сил уравнения равновесия E.6) то-
тождественно удовлетворяются введением функции напряжений
по формулам
д2Ф	д2Ф	д2Ф	,К1Пч
°хх = -г-г, Оуу = ——, оху = —-Г—Г-.	E.1UJ
ду2	дх2	у	дхду

5.4. Функция напряжений Эри	115
Искомую функцию Ф(ж, у) называют функцией Эри г) . Просум-
Просуммируем нормальные напряжения:
^ + aw = — + — = АФ.
Возьмем оператор Лапласа от обеих частей полученного равен-
равенства. Так как должны удовлетворяться уравнения совместности
деформаций в напряжениях E.9), то это приводит к основному
дифференциальному уравнению для определения функции Эри
^ + 2^^ + ^ = 0.	E.11)
дх* дх2 ду2 ду4	у J
Уравнение E.11) впервые было получено Максвеллом2). Его
называют бигармоническим уравнением, а его решения — бигар-
моническими функциями.
Появление бигармонического уравнения характерно для тео-
теории упругости. Известны его многочисленные частные решения,
каждое из которых соответствует определенному напряженно-
напряженному состоянию, удовлетворяющему уравнениям равновесия и сов-
совместности. Например:
22	Я Я 2	244
х , у , ху, х , у , х у, ху , х - у ,
cos (Xx) ch (Ay), cos (Ху) ch (Аж), ...
Основная трудность процесса построения решения состоит в
подборе функций, удовлетворяющих граничным условиям. На-
Наложением их были решены многочисленные задачи теории упру-
упругости, имеющие большое практическое значение. Однако общего
решения бигармонического уравнения не существует, и отсут-
отсутствуют также общие методы его решения.
Для того чтобы замкнуть математическую краевую задачу
по определению функции Эри, необходимо выразить через нее
граничные условия и перемещения. Соответствующие выкладки
приведены в § 14.2.
Замечание. Для получения точного решения задачи тео-
теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удо-
удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например
бигармоническому уравнению E.11), так же строго удовлетворя-
удовлетворяли бы граничным условиям в каждой точке поверхности твердо-
:) Эри Джордж Бидделл (Airy G. В., 1801-1892), английский математик
и астроном, в 1863 г. опубликовал знаменитую работу, посвященную иссле-
исследованию напряжений в прямоугольных балках, где ввел функцию напря-
напряжений, удовлетворяющую граничным условиям.
2) Максвелл Джеймс Клэрк (Maxwell J. С, 1831-1879) обратил внимание
на некорректность статьи Эри и получил дифференциальные уравнения
совместности для плоской задачи относительно функции напряжений Эри.

116
5. Плоская задача теории упругости
го тела. Часто это сделать не удается. Тогда смягчают гранич-
граничные условия, требуя их выполнения не в каждой точке поверх-
поверхности, а интегрально. Например, если известно, что на данной
грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования
равенства нулю этих напряжений в каждой точке составляют
более просто достижимое условие равенства нулю их главного
вектора и главного момента.
В результате действительная система напряжений на рас-
рассматриваемой грани тела заменяется другой системой, стати-
статически эквивалентной первой. В соответствии с принципом Сен-
Венана эта замена существенно скажется лишь в окрестности
рассматриваемого участка поверхности тела, а в достаточном
удалении от него решение практически не будет зависеть от упо-
упомянутой замены поверхностных нагрузок.
5.5. Примеры решения плоской задачи
теории упругости
Пример 5.1. Исследовать, какой внешней нагрузке на кром-
кромках пластины (рис. 5.3) соответствует функция напряжений
Эри:
Ф(ж, у) = 2х3, L = 20/г.
Проверяем пригодность за-
заданной функции Ф(ж, у) = 2х3
для решения предложенной зада-
задачи. В связи с этим подставляем
ее в уравнение совместности де-
деформаций плоской задачи теории
упругости E.11)
= 0.
h J
2'
h>
— \
2
У
В
Е
12/
С
X
D
-12/
Рис. 5.3
дх4 дх2 ду2
Получаем тождество 0 = 0, т. е. рассматриваемая функция удов-
удовлетворяет бигармоническому уравнению.
По формулам E.10) вычисляем напряжения, соответствую-
соответствующие заданной функции Ф(ж, у) = 2ж3:
_
хх
ду2
°ш~~дх~2~
дЧ
дхду
ду2
дх2
_
= 12ж,
дхду
= 0.

5.5. Примеры решения плоской задачи теории упругости	117
Используя граничные условия E.7)
Oxx^x Н~ ОхуЬу = ttx-> Оху^х Н~ Оуу*>у = ^у>
1Х = COs(i;, ж), 1у = COs(i;, у)
и вычисляя направляющие косинусы нормалей к граням, опре-
определяем внешнюю нагрузку на кромках пластины.
Грань ВС. Нормаль v\ параллельна оси у;
hx = cos(i>i, х) = cos 90° = 0; l\y = cos(i>i, у) = cosO° = 1.
На грани выполняется условие у = h/2. Тогда
Rlx = (&xxhx + &xyhy)\y=h/2 =0 + 0 = 0,
R\y = ((?xyhx + cryyhy)\y=h/2 = 0 + 12ж • 1 = 12ж.
Грань CD. Нормаль V2 параллельна оси х\
hx = cos(i>2, x) = cosO° = 1; hy = cos(i'2, у) = cos 90° = 0.
На грани х = 20/i. Следовательно,
Rlx = @W22; + Gxyhy)\x=2Qh = 0;
^22/ = (&xyfax + сг2/2/'22/)|ж=2ОЛ- = 0.
Грань DE. Нормаль г>з параллельна оси у, но направлена
в противоположную сторону;
hx = cos(^3, x) = 0; hy = cos(^3, у) = cos 180° = —1.
На грани у = —h/2. Поэтому
Rsx = {°xxhx + crx?/^3?/)|?/=-/i/2 = 0;
Rsy = (&xyhx + &yyhy)\y=-h/2 = — 12Ж.
Грань .БД. Нормаль г>4 параллельна оси ж, но направлена
в противоположную сторону;
hx = —1; hy = 0.
На грани х = 0. Отсюда
&xyhy)\x=0 = 0; i?4?/ = (&xyhx + &yyhy) \x=0 = 0.
В результате на всех гранях нагрузка Rx отсутствует. Эпюры
вычисленной внешней распределенной нагрузки Ry показаны на
гранях пластины (см. рис. 5.3). При наличии ненулевых обеих
нагрузок эпюры Rx и Ry нужно строить раздельно.
Пример 5.2. Проверить пригодность функции напряжений
у) = ах3 + Ьх2у2 + су

118	5. Плоская задача теории упругости
для решения плоской задачи теории упругости; внести соответ-
соответствующие коррективы, если функция окажется непригодной, и
записать ее окончательный вид.
Заданная функция Ф(ж, у) должна удовлетворять бигармо-
ническому уравнению E.11)
+ 2	+	0.
дх4 дх2 ду2 ду4
Производные, входящие в это уравнение, будут следующими:
ду4 ду4
д4Ф	дА
(ах3 + Ъх2у2 + су4) = 46.
дх2ду2 дх2ду2
Отсюда
ААФ = 24с + 86 = 0.
Следовательно, чтобы функция напряжений была пригодна
для решения плоской задачи теории упругости, должно выпол-
выполняться условие
Ъ = -Зс.
Окончательно функцию напряжений Эри принимаем в виде
ф(ж? у) = ах3 — Sex2у2 + су4.
Пример 5.3. Проверить возможность плоского деформиро-
деформированного состояния E.1) при следующих компонентах тензора де-
деформаций:
?хх = 5 (ж2 + у2), ?уу = by2, exy = Ъху.
Вначале проверим выполнение уравнения совместности де-
деформаций E.3)
г\2	ру2	?\2
О ?хх I О ?уу с\ О ?х
д2 д д
ду2	дх2	дх ду
Для этого вычислим производные от заданных деформаций и
подставим их в это уравнение:
10 + 0-2-5 = 0.
Уравнение выполняется, следовательно, заданные функции от-
отвечают плоскому деформированному состоянию.
В заключение этой главы следует указать, что подробно ма-
математические проблемы плоской задачи теории упругости и ме-
методы решения соответствующих задач рассмотрены в фунда-
фундаментальной монографии Мусхелишвили [32].

6.
ИЗГИБ
ПЛАСТИНЫ
Составной частью прикладной теории упругости является
расчет на изгиб пластин, которые в настоящее время нашли ши-
широкое применение в различных областях техники — строитель-
строительстве, авиации, судостроении, машиностроении и т. д. Это объяс-
объясняется присущей тонкостенным конструкциям легкостью и ра-
рациональностью форм, которые сочетаются с их высокой несущей
способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.
6.1. Основные понятия и гипотезы
Геометрическое место точек, которые делят толщину пла-
пластины пополам, называется срединной плоскостью пластины
(рис. 6.1). Она играет в теории изгиба пластины такую же важ-
важную роль, как нейтральный слой при изгибе балок в сопротив-
сопротивлении материалов. Линию, ограничивающую срединную плос-
плоскость пластины, называют контуром пластины.
Срединная плоскость
Рис. 6.1
Условимся оси хну располагать в срединной плоскости пла-
пластины, а ось z направлять вниз. Перемещения срединной поверх-
поверхности вдоль оси z называют прогибом пластины и обозначают

120	6. Изгиб пластины
буквой w. При изгибе срединная плоскость превращается в ис-
искривленную поверхность прогибов w = w(x, у). Ее называют
срединной поверхностью изогнутой пластины.
Толщина пластины оказывает существенное влияние на ее
свойства при изгибе. Различают три вида пластин в зависимости
от отношения a/h — отношения характерного размера а в плане
к толщине пластины h.
Толстые пластины имеют отношение a/h ^ 8-10. Их расчет
ведется с учетом всех компонент напряженного состояния как
массивных трехмерных тел.
К мембранам относятся пластины при a/h ^ 80-100. Они
могут работать только при достаточно закрепленных краях на
контуре. Их сопротивление на изгиб ничтожно мало, и основную
роль в восприятии поперечной нагрузки играют усилия растя-
растяжения и сдвига в срединной поверхности. Эти усилия создают
проекцию на вертикальную ось z и тем самым уравновешивают
нагрузку, приложенную к каждому элементу мембраны.
Тонкие пластины, для которых 8-10 ^ a/h ^ 80-100, —
самый обширный вид пластин. В зависимости от значения от-
отношения w/h максимального прогиба пластины к ее толщине
роль изгибных и мембранных усилий может быть различной.
Поэтому этот вид пластин делится еще на два класса: жесткие
и гибкие пластины.
Если прогибы малы и w/h ^ 0,2-0,5, то основную роль игра-
играют изгибные силовые факторы, а деформациями в срединной
плоскости и мембранными усилиями можно пренебречь. Такие
пластины называют жесткими. Если величина w/h превыша-
превышает указанные ориентировочные пределы, то пластина одновре-
одновременно работает и на изгиб, и как мембрана. Значимость этих
факторов становится одного порядка, причем с ростом проги-
прогибов роль растяжения срединной поверхности возрастает. В этом
случае пластина называется гибкой. Например, железобетонные
плиты обычно бывают жесткими пластинами, а стальные листы
в зависимости от нагрузки могут работать и как жесткие, и как
гибкие.
Ниже приведен расчет тонких жестких пластин на изгиб.
Благодаря введению некоторых гипотез теория этих пластин до-
довольно проста и сводится к линейным дифференциальным урав-
уравнениям. Деформации гибких пластин (а также мембран и обо-
оболочек) описываются системой нелинейных уравнений, что суще-
существенно усложняет задачу.
Сформулируем допущения и ограничения, используемые в
теории тонких жестких пластин.
1. Отрезок тп нормали к срединной плоскости (см. рис. 6.1)
при изгибе остается прямолинейным и нормальным к деформи-
деформированной срединной поверхности mini, т. е. справедлива гипо-
гипотеза прямых нормалей.

6.2. Перемещения и деформации в пластине
121
2.	Напряжениями надавливания горизонтальных слоев пла-
пластины друг на друга azz пренебрегаем в сравнении с напряже-
напряжениями ахх и ауу1 действующими в плоскости слоев.
Два сформулированных допущения в литературе обычно на-
называют гипотезами Кирхгофа, а применительно к оболочкам —
гипотезами Кирхгофа-Лява.
3.	Третье допущение носит характер ограничения. Прогибы
будем считать настолько малыми (w/h ^ 0,2-0,5), что мембран-
мембранными усилиями в срединной поверхности можно пренебречь.
Как увидим, определение напряжений и усилий в сечениях
пластины — задача статически неопределимая. Решать ее удоб-
удобно в перемещениях, для чего за основную искомую функцию
принимается прогиб w = w(x, у). Затем через нее выражаются
все остальные неизвестные величины, и составляется разреша-
разрешающее уравнение относительно w. После его решения и опреде-
определения прогибов вычисляются и все остальные параметры. Таков
общий путь решения задачи изгиба пластин.
6.2. Перемещения и деформации в пластине
Под действием поперечной нагрузки q = q(x, у) пластина
прогибается, и ее срединный слой, искривляясь, образует по-
поверхность прогибов w = w(x, у). Выделим из пластины малый
элемент с размерами в плане Ах и Ау и высотой h (рис. 6.2 а).
Рассмотрим перемещения произвольной точки О срединного
i
с
L
m
О
n
Ou
)
Iх
Ox
Рис. 6.2
слоя и нормали тп, через нее проходящей (рис. 6.2 6). Так как
согласно допущениям срединный слой не растягивается, то точ-
точка О переместится только по вертикали на величину прогиба w,
а нормаль тп повернется в пространстве.
Выделенный элемент является частью пересекающихся
«стержней», мысленно выделенных из пластины и показанных
штриховыми линиями на рис. 6.2 а. Грани элемента являются

122
6. Изгиб пластины
поперечными сечениями этих стержней, деформирующихся в
составе пластины. На рис. 6.2 б показана проекция изгибаемого
бруса, параллельного оси ж, на плоскость xz. Из рисунка видно,
что в этой плоскости нормаль тп повернулась на угол вх =
= dw/dx. Аналогичная картина будет наблюдаться и в плоско-
плоскости yZj где угол поворота нормали равен ву = dw/dy.
Итак, характерными перемещениями произвольной точки сре-
срединной плоскости являются прогиб w = w(x, у) и углы поворота
нормали вх = dw/dx и ву = dw/dy. Это приводит к искривле-
искривлению выделенного элемента в перпендикулярных направлениях
и его закручиванию. Тангенци-
Тангенциальные перемещения точек рас-
рассматриваемой произвольной нор-
нормали, расположенных на расстоя-
расстоянии z от срединной поверхности,
обозначим через и и v. И.з рис. 6.3
находим перемещение и (по ана-
аналогии— г;):
n	dw
и = —zuT = —z —,
x дх'
Рис. 6.3
V = — Z-
dw
F.1)
Знак минус означает, что при положительных вх и ву перемеще-
перемещения точки, у которой z > 0, происходит в сторону, противопо-
противоположную осям х или у.
Используя перемещения F.1) и принятые допущения по фор-
формулам Коши, получим деформации в пластине:
ди
ОХ
d2w
дх2
dv
ду
d2w
ду2
?ху ~ о I бг ухJ - zдхду'
2 \ду
е
ди , dw г.
exz = — + — = 0,
dz дх
F.2)
yz
_dv dw _
~ dz+ ду~¦
ZZ - dz ~
Как видно, деформации произвольного горизонтального слоя
пластины изменяются линейно по ее толщине и зависят от трех
характерных величин:
нх = — = —
рх	дх2
d2w	I	d2w	д2г
Kit = — = —"
w
ду4'
к = — -
ру	oyz	дх ду
При малых прогибах величины жх и жу составляют кривизны
выделенного элемента срединной поверхности; ж — его круче-
кручение; рж, ру — соответствующие радиусы кривизны.

6.3. Напряжения и внутренние усилия в пластине
123
6.3. Напряжения и внутренние усилия в пластине
Напряжения в пластине можно определить по формулам
E.8) для плоского напряженного состояния, так как согласно
принятым гипотезам azz = 0. Тогда
®хх	^\^хх Н VSyy), Суу
Подставив сюда деформации F.2), получим
——
?Ху
Ez fd2w , d2w\
°XX = -"	2\l^+Vl^Jl
1 — vz V ox2	oyz /
_ _Ez(d2w 02w\
1 — v2 V ^	^ж У
F.3)
1 + v дхду'
Введем интенсивности внутренних силовых факторов с по-
помощью следующих соотношений:
h/2
Mxy = /
-h/2
h/2	h/2
Мх = / axxzdz, My = / O
-h/2	-h/2
h/2	h/2
Qx = / °zx dz, Qy = / Gzy dz.
-h/2	-h/2
axyzdz.
F.4)
Здесь MXi My — изгибающие моменты, Мху = Myx—крутящие
моменты и QXl Qy — поперечные силы, отнесенные к единице
длины сечений, параллельных
плоскостям xz и yz (рис. 6.4).
В отличие от балок при из-
изгибе пластин индексы изгибаю-
изгибающих моментов соответствуют
направлениям тех напряже-
напряжений, которыми они создаются.
Изгибающие моменты будем
считать положительными, если
они стремятся изогнуть эле-
элемент пластины выпуклостью	рис g 4
вниз.
Несмотря на то, что согласно деформациям F.2) следует
принять azx = \iezx = 0, azx = 2цегх = 0, при составлении урав-
уравнений равновесия необходимо учесть результирующие силы Qx
и Qy, определяемые касательными напряжениями azx и <jZXi как

124	6. Изгиб пластины
величины того же порядка, что и интенсивность поперечной си-
силы р, и моменты Мж, Му, Мху.
Подставляя выражения для напряжений F.3) в первые три
соотношения F.4), интегрируя по толщине однородной пласти-
пластины и вводя цилиндрическую жесткость D, получим следующие
формулы для изгибающих и крутящего моментов:
} дхду'	12A -v2)
Таким образом, соотношения F.5) выражают внутренние
усилия в пластине через ее прогиб.
6.4. Дифференциальное уравнение изгиба пластины
Рассмотрим элемент, вырезанный из пластины двумя пара-
парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и
yz (рис. 6.5). Для равновесия этого элемента необходимо, чтобы
суммы действующих на него сил и их моментов относительно
осей х ж у в отдельности были равны нулю. Считая массовые
силы отсутствующими и пренебрегая величинами третьего по-
порядка малости (не учитываем моменты от приращения попереч-
поперечных сил), будем иметь
-Qx dy+ (Qx + ^ dx^j dy-Qy dx+ (Qy + ^ dyj dx+q dx dy = 0,
My dx - (му + ^ dy^dx + Mxy dy - (Mxy + ^ dx)dy +
+ Qy dx dy = 0,
-Mvxdx+ (Mvx + ^^ dy)dx - Мх dy + (Mx + ?^dx)dy-
\	ду /	V	дх /
- Qx dx dy = 0.
После приведения подобных и сокращения на dx dy получим сле-
следующую систему уравнений:
ох ду
дМху	дМу ^
дмух	дмх п
ду	ох

6.5. Граничные условия
125
Из второго и третьего уравнений системы F.6) выразим
поперечные силы Qx и Qy через производные от моментов и
подставим туда соотношения F.5), связывающие моменты с
Qx
—dx
Рис. 6.5
производными от прогиба. В результате имеем
О --Пд(д2уо °2w^--Dl
дх V дх2 ду2 )	дх
Подставляя полученные выражения F.7) в первое уравнение
F.6), получим уравнение Софи Жермен
?>4_,	я4Л..	d4w q
= -D—Aw. 6.7
ду
д w n д w
F.8)
дх2ду2 ду4 D
Используя бигармонический оператор, который в плоской систе-
системе координат принимает вид
дх2 ду2)\дх2 ду2) дх4 дх2ду2 ду4
уравнение можно переписать в виде
D
Таким образом, задача об изгибе пластины распределенной
нагрузкой q сведена к интегрированию уравнения F.8).
6.5. Граничные условия
Рассмотрим граничные условия для прямоугольной пласти-
пластины при некоторых способах закрепления ее краев, оси хну
направим параллельно краям пластины.

126
6. Изгиб пластины
Защемленный край. Если край пластины х = 0 защем-
защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю, и заделанное
сечение пластины не поворачивается (плоскость, касательная к
изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плос-
плоскостью пластины до изгиба):
w\
= 0 —
с=о и' дх
х=0
= 0.
F.9)
Шарнирно опертый край. Если край пластины х = 0
оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибаю-
изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю:
w
_ fd2w d2w
ж=0 ~ \~dx~2 V~dy~2
х=0
= 0.
В данном случае шарнирные опоры предполагаются жесткими,
ю = 0и линия х = 0 остается неизогнутой. Поэтому производ-
производные
dw
ду
х=0
d2w
ду2
х=0
= 0.
Следовательно, граничные условия для шарнирно опертого края
будут
w
= 0 ^Н
Х=0
х=0
= 0.
F.10)
Свободный край. Если край х = 0, то, на первый взгляд,
нужно потребовать, чтобы вдоль него изгибающий момент Мх,
крутящий момент Мху и поперечная сила Qx равнялись нулю:
,=о = 0.
М.
ху
х=о = 0.
Qx
х=0
= 0.
F.11)
Таким образом, в этом случае получаются три граничных
условия, тогда как в других их было два. Условия F.11) бы-
были получены Пуассоном. Позже A850 г.) Кирхгоф на основа-
основании принципа Сен-Венана показал, что для полного определе-
определения прогиба w, удовлетворяющего уравнению F.8), достаточно
двух граничных условий, так как два последних в F.11) можно
объединить в одно:
х=0
= 0.
F.12)
В результате, подставляя в первое из соотношений F.11) и
в F.12) выражения внутренних усилий через прогиб F.5), F.7),
граничные условия для свободного края получаем в виде
fd2w . d2w\\	n fdsw
V дх2 ду2 J 1ж=0	V дх3
dxdy2J\x=o
=0. F.13)

6.6. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины
127
В случае пластины с криволинейной кромкой система коор-
координат вводится по нормали и по касательной к границе. Соот-
Соответствующие внутренние усилия на этой границе выражаются
через прежние координатные из условий равновесия элемента,
и для них выписываются граничные условия по типу рассмо-
рассмотренных.
6.6. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины
Рассмотрим пластину, бесконечно длинную в направлении
оси у, нагруженную постоянной в направлении этой оси попереч-
поперечной нагрузкой (рис. 6.6). Вдоль оси х нагрузка может меняться
произвольно: q = q(x). В этом случае прогибы пластины w = w(x)
образуют цилиндрическую по-
поверхность. Полагая в F.8) про-
производные по у равными нулю,
получим уравнение для опре-
определения w в виде
О
d4w
	 q
Ъ
F.14)
Рис. 6.6
Здесь применено обозначение
для обыкновенной, а не част-
частной производной, поскольку
прогиб зависит от одного аргу-
аргумента w = w(x). Уравнение F.14), описывающее цилиндриче-
цилиндрический изгиб пластины, совпадает с уравнением изгиба балки, у
которой жесткость сечения на изгиб EJ = D. Отсюда величина D
получила свое наименование.
Интегрирование этого уравнения не представляет труда. Его
решение будет состоять из суммы общего решения соответствую-
соответствующего однородного уравнения (q = 0) и частного решения г^о
уравнения F.14):
w = Ci + С2х + Съх2 + С4ж3 + w0.	F.15)
Константы интегрирования С\, ... , С± определяются из гра-
граничных условий конкретной задачи.
Пример 6.1. Пусть на пластину действует линейно изме-
изменяющаяся нагрузка q = qox/a, где qo = const; а —ширина пла-
пластины. За условия закрепления примем условия, показанные на
рис. 6.6: слева — заделка, справа — шарнирное опирание. Тогда
граничные условия будут типа F.9) при х = 0 и типа F.10) при
х = а:
w
х=0
—
дх
х=0
= 0; w
= 0, —
x—a	дх2
= 0.

128	6. Изгиб пластины
Частное решение в этом случае можно принять в виде
w = —	.
120aD
Подставив его в полное решение F.13) и используя четыре при-
принятые граничные условия, найдем
'	24(Ш	24(Ш
после чего выражение для w будет
W =
24(Ш
При цилиндрическом изгибе, когда производные по у равны ну-
нулю, выражения для моментов F.5) упрощаются:
Мх = — D——, My = — vD—— = —vMx.
дх2	дх2
Подставив сюда найденное выражение для прогиба, получим
Мх = -
Х
^- G - 27- + 20—).
120 V	а	аЧ
120
Если пластина имеет конечный размер в направлении оси у, то
для создания цилиндрического изгиба необходимо поступать по
аналогии.
Замечание. При чистом изгибе прямоугольной пластины
поперечная нагрузка отсутствует q = 0, а на незакрепленном
контуре действуют внешние распределенные изгибающие мо-
моменты. В этом случае прогиб следует из F.15) при г^о = 0, где
константы интегрирования определяются величиной и характе-
характером контурных изгибающих моментов.
6.7. Прямоугольная пластина
при синусоидальной нагрузке
Рассмотрим частный случай изгиба шарнирно опертой пря-
прямоугольной пластины (рис. 6.7), если внешняя нагрузка изме-
изменяется синусоидально вдоль каждой из осей координат, имеет
максимум до и задается в виде
q(x, у) = qo sin — sin —.	F.16)
a	b
В этом случае искомые прогибы примем в аналогичной форме:
w{x, у) = г^о sin — sin —,	(b.17)
а	Ъ

6.8. Решение в двойных тригонометрических рядах
129
где г^о — множитель, подлежащий определению. Изгибающие
моменты вычисляются через прогиб по формулам F.5)
1\/Г	2п/1 i	1 \ . 7ГЖ . 7И/
Мх = Wq7TZD — + V— ) Sin — Sin -f-,
\a2	b2 J	a	b
My = w0tt2D (- + v—) sin — sin W.
\b2 a2 J	a	b
Следовательно, изгибающие моменты распределены в пластине
по тому же синусоидальному закону, что и прогибы, и нагрузка.
Граничные условия при шар-
шарнирном опирании заключаются в
том, что на контуре обращают-
обращаются в нуль прогибы и изгибаю-
изгибающие моменты. Поскольку произ-
произведение синусов на контуре дает
нуль, эти условия выполняются.
Для определения амплиту-
амплитуды прогиба г^о подставим F.17)
и F.16) в дифференциальное
уравнение Софи Жермен F.8):
д4
d4w _ g(x,y)
дх2ду2
D
Рис. 6.7
Так как четные производные от синуса опять дают синус, то
слева и справа в этом уравнении получим общие множители в
виде произведения двух синусов. Приравнивая коэффициенты
при них, имеем
В прямых скобках стоит квадрат суммы квадратов, отсюда
F.18)
Таким образом, выражение для прогибов F.17) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба пластины и приня-
принятым граничным условиям. Амплитуда прогиба при этом опре-
определяется выражением F.18).
6.8. Решение в двойных тригонометрических рядах
Решение этой задачи, предложенное Навье, справедливо при
действии произвольной поперечной нагрузки, если все стороны
прямоугольной пластины являются шарнирно опертыми.
5 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

130	6. Изгиб пластины
В этом случае заданная внешняя нагрузка q(x, у) расклады-
раскладывается в двойной тригонометрический ряд
оо оо
q(x, у) = 2_^1^ qmn sin ~^~ sin ь '	F>19)
П = 1 171=1
где qmn — коэффициенты разложения нагрузки; га, п = 1,
2, 3, ... —целые числа.
Для вычисления qmn воспользуемся известным из курса ма-
математического анализа свойством фундаментальности и орто-
ортогональности используемой системы синусоидальных функций.
Следовательно,
/
ттгх . птгх 7	I u?	ii1 7^ n
sm	sm	ax = < /o	,
а	а	у a/2, ra = n
F.20)
/. тти/ . птту 7	I U,
sin	 sin —- ay = < , ,_
b	b У \ 6/2,
m ф п
m = n
Справедливость формул F.20) можно проверить непосредствен-
непосредственным интегрированием.
Теперь умножим обе части равенства F.19) на
1тгх . ртгу /7	\
sm — sm?-^- (/, р— целые числа)
a	b
и проинтегрируем по площади пластины. Если теперь придадим
/, р конкретные значения га, п, то в силу F.20) все слагаемые в
правой части окажутся равными нулю, кроме одного, со значе-
значениями 777, п. Тогда из этого равенства найдем
а Ь
/ \ . ттгх . птгу 7 7	/« О1\
q(x, у) sm	sm —- dx dy.	F.21)
a	b
0 0
Тем самым заданная нагрузка представлена в виде набора
отдельных синусоидальных составляющих с коэффициентами
qmn F.21), что позволяет применить рассмотренную ранее про-
процедуру получения решения. Теперь задача сводится к определе-
определению прогибов от отдельных членов ряда F.19) и суммирования
полученных результатов в виде
оо оо
ттгх . птгу	(а ооч
4 f f
= — / /
ab J J
w{x, у) = 2^ 2^ Wmn sm ~^~sm
п=1 m=l
где wmn — искомые коэффициенты разложения прогиба в двой-
двойной тригонометрический ряд. Для их определения член ряда

6.9. Применение одинарных тригонометрических рядов	131
F.22) с номерами га, п и с такими же номерами член ряда для
нагрузки F.19) подставляем в дифференциальное уравнение из-
изгиба пластины F.8). В результате после приравнивания коэф-
коэффициентов и решения полученного равенства имеем выражение
для коэффициента, аналогичное F.18):
Wmn = 4n( J™ 2/,2,2-	F-23)
tt4D [т2 /а2 + п2/Ъ2)
Зная прогиб пластины и коэффициенты F.23), найти вну-
внутренние усилия F.3), F.5) не составляет труда.
6.9. Применение одинарных тригонометрических рядов
Приведенное выше решение Навье в двойных тригонометри-
тригонометрических рядах ограничено тем, что все четыре кромки пластины
должны быть шарнирно закреплены. Использование одинарных
тригонометрических рядов в изгибе пластины существенно рас-
расширяет класс задач, допускающих решение. Искомое решение
принимается в виде
оо
/	\	\~^ л г • ТП7ГХ	/п г%л\
w(x, y)= \Ym sin	,	F.24)
*-^	а
тп=1
где Ym = Ym(y) — функции аргумента у, подлежащие определе-
определению.
Легко убедиться, что прогиб F.24) удовлетворяет условиям
F.10) опирания пластины на жесткие шарнирные опоры двух
параллельных кромок х = 0 и х = а, так как сам прогиб и его
вторая производная здесь обращаются в нуль.
Функции Ym(y) должны выбираться так, чтобы выражение
w(x, у) удовлетворяло уравнению Софи Жермен F.8) и гранич-
граничным условиям на продольных кромках у = ±6/2. Эти кромки
могут быть закреплены произвольно.
Разложим заданную внешнюю нагрузку q в одинарный ряд
q(x, у) = ^2 Чгп{у) sin ^p.	F.25)
тп=1
Пользуясь свойством ортогональности синусов F.20) при
различных числах га, найдем множитель qm в виде
а
Яш = - / q{x, У) sin	dx.
0
Подставим теперь в уравнение изгиба пластины F.17) га-й
член ряда из F.24) и F.25). После приравнивания коэффици-
5*

132	6. Изгиб пластины
ентов получим неоднородное обыкновенное дифференциальное
уравнение относительно функции Ym(y):
M \=™;	F.26)
а
Y2\YZ + \Ym	,
D
штрихами здесь обозначены производные по у.
Общий интеграл этого уравнения Ym складывается из об-
общего решения соответствующего однородного уравнения (при
Qm — 0) и частного решения YmQ уравнения F.26). Общее ре-
решение однородного уравнения было получено в двух формах:
первая — показательная форма
Ym0 = С1е~хУ +
вторая — гиперболо-тригонометрическая —
Ym0 = С\ ch Ху + С2Ху sh Ху + С3 sh Ху + С±Ху ch Xy. F.27)
Причем во втором случае первые два слагаемые составляют сим-
симметричную часть решения относительно оси ж, а вторые —ан-
—антисимметричную. Константы интегрирования Ci, ... , С4 нахо-
находятся из граничных условий на продольных кромках пластины
У = ±Ь/2.
Частное решение уравнения F.26) зависит от вида функции
qm(y). Например, если qm - линейная функция от у:
qm = A + By,
то подстановкой легко убедиться, что
Внутренние усилия в пластине теперь легко получить, ис-
используя формулы F.3), F.5) и решение F.27).
6.10. Прямоугольная пластина на упругом основании
Если пластина лежит на сплошном деформируемом основа-
основании, то при записи дифференциального уравнения изгиба необ-
необходимо учесть распределенную по площади пластины реакцию
(отпор) основания (рис. 6.8) Обозначив интенсивность реакции
через qR = дя(ж, у), уравнение изгиба запишем в виде
&w_ 2 d'w	d^w = q±qn	F<28)
дх4 дх2ду2 ду4	D '	V J
где q — интенсивность внешней распределенной нагрузки.

6.10. Прямоугольная пластина на упругом основании
133
В зависимости от свойств деформируемого основания связь
между реакцией и прогибом может быть различной. В практике
часто используют извест-
известную из курса сопротивления ^
материалов модель Винкле-
ра1) , согласно которой
qR = -yew.	F.29)
Здесь ус — коэффициент
жесткости упругого основа-
основания (коэффициент постели); Ь
знак минус указывает на то,
что реакции направлены в
сторону, противоположную
прогибу.
Подставив F.29) в F.28)
и перенеся это слагаемое
влево, получим уравнение
Qr(x, у)
*, у)
Рис. 6.8
изгиба пластины, лежащей на винклеровом основании:
d4w
дх4
d4w
дх2ду2
d4w
~ду~*~
V —w =
D
Q
—
D'
F.30)
Для интегрирования уравнения F.30) можно применять лю-
любой из рассмотренных ранее методов. Так, в случае шарнирно
опертой пластины нагрузку и прогибы, следуя § 6.8, представим
в виде двойных тригонометрических рядов:
ОО ОО
. ттгх . птту
qmn sm	sm —-,
a	b
П = 1 171=1
ОО ОО
w{x, у)=/ / wmnsm	sm—-.
^—' ^	а	Ъ
п=1 тп=1
Повторяя выкладки указанного параграфа, придем к следую-
следующей формуле для wmn:
		Я.ГПП
b2
F.31)
В частном случае при ж = 0 формула для прогиба F.31) совпа-
совпадает с полученной ранее F.23).
Данное решение предполагает, что связи между пластиной
и упругим основанием работают как на сжатие, так и на отрыв
х) Винклер (Winkler E., 1835-1888), австро-немецкий инженер-строитель.

134
6. Изгиб пластины
(двусторонние связи). Такое решение будет верно только в том
случае, если с учетом всех нагрузок (например, собственного
веса плиты) суммарная реакция во всех точках опирания пла-
пластины будет сжимающей. В противном случае путем последова-
последовательных приближений нужно определять зону отрыва плиты от
основания и уравнение F.30) решать совместно для двух обла-
областей — вдавливания пластины в основание, где к\ = ус и отрыва
При УС2 — 0.
Заметим, что другой распространенной моделью деформи-
деформируемого основания является модель упругого полубесконечного
пространства.
6.11. Изгиб круглой пластины
При изучении изгиба круглой пластины удобно использовать
полярную систему координат (г, ф). В этой системе координат
на основании формул, выражающих зависимость между поляр-
полярными и декартовыми координатами,
г2 = х2 + у2?
Гармонический оператор принимает вид
F.32)
S*+*S*+1»+1.*	F.33)
ох2 ду2 or2 r or r2 dip2
ох2 ду2 or2 r or
dip2
Следовательно, уравнение изгиба пластины F.8) в полярной си-
системе координат будет
f д2 . 1 д . 1 д2 \ ( д2 . 1 д . 1<92\	о	/г* пл\
	+	+	+	+	]w = —. F.34)
кдг2 rdr r2d(p2J\dr2 г дг г2 д(р2 J	D	v J
Обозначим действующие в сечениях с нормалями г и ср из-
изгибающие моменты соответственно через Мг, М^, а крутящий
момент — через МГ(р. Эти
моменты, как обычно, от-
отнесены к единице длины.
Предположим, что ось Ох
совпадает с полярным ради-
радиусом г, тогда моменты МГ1
My, и МГ(р, будут иметь те
ж:е самые значения, что и
моменты Мж
,
Му, и Мху
(рис. 6.9).
Таким образом, в фор-
формулах F.3). F.5), переходя с помощью F.31), F.32) от декар-
декартовых координат к полярным и принимая (р = 0, окончательно

6.11. Изгиб круглой пластины	135
будем иметь
л/г	nf°2w . °2w\	nfd2w . (Idw . 1 d2w\\
Mr = —Ьч 	+ г;		= —I/ 	+ г;	+	,
\дх2 ду2 J\p=o	\dr2	\r дг г2 дер2 ))'
idw , ! #2™ , #2w\
г дг г2 д(р2	дг2 /
\г or dip rz dip2 J
— D ^ f^2™ ,1^, ! д2™\
аг V ar2 r or r2 dip2 /
dip2
О - -D- — (— + -— + —
Если край круглой пластины радиуса а защемлен, то
im =0, —
lr=a	' dr
r=a
= 0;	F.36)
при шарнирном опирании
w\ = 0, Mr =0;	F.37)
\r=a	1	' r=a	1	ч	J
для свободно опертого края
Mrl =0,
\	г a<^ / r=a
Общее решение уравнения F.34) можно принять в виде
w = wo + wi,
где г^о — какое-либо его частное решение,
9_ 1д_ ]__д^_\ ( &_ 1д_ 1 д2
),р2 j, Qj, j,2 Q(p2 J \<9r2 r dr r2 dip2
(X)	(X)
wi = Щ (r) + V^ R^ (r) cos mp + V^ R^ (r) sin mp
n=l	n=l
— общее решение однородного уравнения. Слагаемое Rq (г), не
зависящее от угла ср, представляет собой симметричный изгиб
круглой пластины.
Подставим решение Клебша в однородное уравнение F.38),
тогда для n-го члена ряда получим
где k = 0, 1, 2.

136	6. Изгиб пластины
Общее решение этого уравнения следующее:
при п = О
д(°) = Ао + В0г2 + Со In г + D0r2 In r;
при п = 1
при п ^ 2
Постоянные интегрирования An % i^A , CA и ^у опреде-
определяются из граничных условий.
6.12. Симметричный изгиб круглой пластины
Если нагрузка q распределена симметрично относительно
центра пластины, то прогиб w не зависит от координаты ср.
В этом случае из уравнения F.34) следует
( d2 , 1 d\( d2 , 1 d \ q(r)
V dr2 r dr / V dr2 r dr /	D
Это уравнение представим в свернутом виде, удобном для непо-
непосредственного интегрирования,
IЦг± [I± (г*?I} = «W.	F.39)
г dr I dr L r dr V dr J \ )	D
Проведя последовательно четырехкратное интегрирование
уравнения F.39), получим прогиб
w = d + С2г2 + С3 In г + C4r2 In г + ги0.	F.40)
Здесь
г^о = — / - dr r dr - dr qr dr.	F.41)
Постоянные интегрирования С\, ... , С^ определяются из усло-
условий закрепления пластины.
Пример 6.2. Рассмотрим случай q = const. Из F.41) полу-
получаем
qr4
Wr\ =	.
64?>
Если пластина сплошная, то для ограниченности решения
F.40) в начале координат следует положить С% = 0, тогда про-
прогиб
w = d + C2r2 + C4r2 In г + ^—.	F.42)
64D
64D

6.13. Эллиптическая пластина	137
На основании формулы для поперечной силы из F.35) и выра-
выражения F.40) получим
С другой стороны, вырезая из пластины окружным сечением
круг радиуса г, можно найти Qr из суммы проекций всех сил на
ось z:
г 2тг
Qr'2nr+ Г Г qrdrdip = 0, Qr = -^.	F.44)
о о
Приравнивая F.43) и F.44), получаем С± = 0. В результате ре-
решение F.42) принимает вид
w = Ci + C2r2 + ^.	F.45)
Если край пластины заделан, то, подставляя F.45) в гранич-
граничные условия F.36), получим систему линейных алгебраических
уравнений:
Определив постоянные Ci, C2, выражение для прогиба пласти-
пластины в случае заделки ее контура будет следующим:
w	ar)(a
64D V	У V1 + v
В случае шарнирного опирания контура пластины, после
подстановки прогиба F.45) в граничные условия F.37), следует:
Определив постоянные интегрирования Ci, C2, окончательно
получим прогиб при этих граничных условиях:
64?> v	'
Напряжения в пластине теперь можно вычислить по форму-
формулам типа F.3).
6.13. Эллиптическая пластина
Рассмотрим равномерно нагруженную эллиптическую пла-
пластину, защемленную по контуру (рис. 6.10):

138
6. Изгиб пластины
Дифференциальное уравнение изгиба пластины
D
и граничные условия на контуре
w = о, — = О
дп
будут удовлетворяться, если для прогиба принять выражение,
предложенное Брайэном 1) ,
F.46)
Это выражение и его первые производные по ж и у обращаются
на контуре в нули. Подставив F.46) в уравнение изгиба пласти-
пластины, увидим, что оно будет удовлетворяться, если только
F.47)
\а4 Ъ4
Таким образом, решение F.46) является точным для равно-
равномерно нагруженной эллиптической пластины, защемленной по
контуру. Подставив х = у = 0
в выражение F.46), получим,
что г^о, определенное формулой
F.47), будет прогибом пласти-
пластины в ее центре. Если а = 6,
то получим решение для круг-
круглой, защемленной по контуру,
пластины. При а = оо следует
прогиб равномерно нагружен-
нагруженной полосы пролетом 26, защем-
защемленной по концам. Внутренние
моменты в пластине можно по-
получить, подставив выражение для прогиба F.46) в формулы
F.5). После этого мы увидим, что максимальное напряжение
изгиба получается на концах малой оси эллипса.
Если на защемленную по контуру эллиптическую пластину
действует линейно изменяющееся давление q = qox, то решением
будет
Рис. 6.10
Wo =
Ь2
24D 5
а2Ъ2
:) Брайэн (Bryan G. Н., 1864-1928), английский математик, астроном, ме-
механик.

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина
139
Из этого выражения, как и в предыдущем случае, можно
вычислить внутренние изгибающие и крутящие моменты и про-
провести анализ напряженного состояния пластины.
Во всех ранее рассмотренных в этой главе задачах изгиба
пластины уравнения равновесия выводились статическим пу-
путем и везде использовались кинематические гипотезы Кирхго-
Кирхгофа. При отказе от этих гипотез вывод уравнений равновесия
и силовых граничных условий удобно осуществлять, используя
вариационный принцип Лагранжа.
с
с
h2
< t, tx tt т, tt тж \'
3
2
го
k xf /Г ЖТ .t .f .T _T _'
/
/
i
i
I
~у/'ф{т>)
ro
p(r)
r
6.14. Круглая упругая трехслойная пластина
Все более широкое применение в интенсивно развивающихся
отраслях промышленности — авиа- и ракетостроении, транс-
транспортном машиностроении находят слоистые элементы конструк-
конструкций. Это объясняется рядом их положительных качеств: вы-
высокой удельной жесткостью, хорошими тепло- и звукоизоляци-
звукоизоляционными свойствами, высокими аэродинамическими качествами.
В качестве примера рас-
рассмотрим симметричный из-	z\	g(r)
гиб несимметричной по тол-
толщине упругой трехслойной
пластины круглой формы
(рис. 6.11).
Постановку задачи и ее
решение проведем в цилин-
цилиндрической системе коор-
координат г, <р, z. Срединную
плоскость заполнителя при-
примем за координатную, ось z
направим ей перпендикулярно вверх, к слою 1. Для тонких
внешних несущих слоев толщиной h\ ф h^ принимаются ги-
гипотезы Кирхгофа, для толстого жесткого заполнителя (h% =
= 2с), воспринимающего нагрузку в тангенциальном направле-
направлении, справедлива гипотеза о прямолинейности и несжимаемости
деформированной нормали. Проекции внешней нагрузки на вер-
вертикальную и радиальную оси координат следующие: q = q(r),
р = р[г). На контуре пластины предполагается наличие жест-
жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев
(^ф = 0 при г = 1).
В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения
в слоях отсутствуют: щ>'=0 (/с —номер слоя), а прогиб пла-
пластины w, относительный сдвиг в заполнителе ф и радиальное
перемещение координатной поверхности и не зависят от коор-
координаты <р, т. е. w = w(r), и = и(г), ф = ф(г). В дальнейшем эти
Рис. 6.11

140	6. Изгиб пластины
функции считаем искомыми. Все перемещения и линейные раз-
размеры пластины отнесены к ее радиусу го; силовые характеристи-
характеристики—к 1 Па; через h^ обозначена толщина к-то слоя. Используя
гипотезу прямолинейности нормали заполнителя
после интегрирования получим выражения для радиальных пе-
перемещений в слоях г^ через искомые функции:
г^1) = и + сф — zw^r, с ^ z ^ с + h\;
и)?' = и + гф — zw^r, —c^z^c;	F.48)
U}?' = U — Сф — ZW^r, — С — /l2 ^ Z ^ —С,
где ^ — расстояние от рассматриваемого волокна до срединной
плоскости заполнителя, и + сф — величина смещения внешнего
несущего слоя за счет деформации заполнителя; для второго
несущего слоя это смещение будет и — сф. Запятая в нижнем ин-
индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей
за ней координате.
Деформации в слоях следуют из F.48) и соотношений Коши:
6(!) = и,г + сф^г - zw^rr, eft = -(и + сф - zw,r), e$ = 0,
43) = и,г + гф^г - zw^rr, е^ = -(и + zф - zwir), e$ = \ф,
42) =игГ -сф,г - zw>rr, eft = -(и-сф - zw>r), ef} = 0.
F.49)
Введем обобщенные внутренние усилия и моменты в пластине:
k=l	k=1hk
3	3
k=l	k=1
hk
На = М(») + с (rW - ТР) , Q = J 4f dz,
—с
(к)	„ /	ч
где <7а — компоненты тензора напряжении [а = г, (р).
Считаем, что к наружным поверхностям несущих слоев при-
приложены произвольные распределенные нагрузки, к торцам стер-

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина	141
жня - усилия и моменты. Вариация работы внешней поверхност-
поверхностной нагрузки будет следующей (dS = rdrdcp):
5А\ = (qSw + p6u)r dr dip.	F.51)
s
Вариация работы контурных усилий Тг°, Н®, М^, Q°
2тг
5А2 = f (Т?6и + Н?6ф + M?5wir + Q°Sw) dip.	F.52)
о
Вариация работы сил упругости
г з	с	1
6W = [[\^2 [ Dк)Нк) + ^Л)НЛ)) ^ + /^^dzlrdr dip.
S k=1hk	-c	J
F.53)
Здесь двойной интеграл распространен по всей срединной по-
поверхности заполнителя S. Так как вариации перемещений в
слоях
1 = 5и + сбф — z6w^r, с ^ z ^ c + hi;
= 5и + ^^
= Su — сбф — z5w^r, —с — /i2 ^ z ^ — c,
то вариации деформаций следующие:
= Su r + cJ^j ^ — ?<ku rr, fe^1^ = -(Su + c^
= EгА?г + zStj)^ — zSw^rr, Se\p' = -(Su + zф —
F.54)
= Su r — с5ф r — zSw rr, fe^2^ = -(Su — с5ф — zSw — , r),
Рассмотрим суммарный интеграл по толщине слоев, входя-
входящий в виртуальную работу сил упругости F.53). Используя
F.54) для радиальных составляющих в первом слое, получим
/ a^Se^ dz = a[l\Su^r + с$ф^г — zSw^rr) dz =

142	6. Изгиб пластины
Аналогично
P dz =
, ГГ-)
h2
Га
^ dz =
I cftSeW dz = fa^-(8u + сёф - z8w,r) dz =
hi	Ai
^ dz = I
h2
dz = I (t^Su +
Просуммируем полученное:
/
ip^r-Mr8w^rr+Q8ф+- (T^Su + H^Sip - M^Sw^),
где внутренние усилия Ta, MQ, i/a и Q введены соотношениями
F.50).
Вариацию потенциальной энергии деформации получим,
подставив последнее выражение в F.53) и введя интегрирова-
интегрирование в полярной системе координат. Тогда
SW = [f [r(Tr5u,r + Нг5ф,г - Mr5w,rr + С)8ф) +
Г if
+ Т^би + Н^бф — M^Sw^ r] dip dr.
Преобразуем подынтегральное выражение, представив его сла-
слагаемые в виде
Sw,r) r
^r = (M^Sw)^ —

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина	143
После этого выражение для вариации работы напряжений SW
можно разбить на два интеграла, вынося в первом из них опера-
операцию дифференцирования за общую скобку, а во втором — груп-
группируя слагаемые при одинаковых виртуальных перемещениях:
SW= f[{rTr5u + гНг5ф -
Г (f
(rTr),r - T^Su + [(гЯг))Г -Щ-
rr — M^p ^w) dip dr.
Отсюда
2тг
SW = / {rTr6u + гНг6ф — rMr6w^r + [(rMr)^r — M(p]Sw]- dip —
r - T^]6u + [(rtfr),r -Щ-
Г if
- [(гМДгг - M^^^w} dipdr.
Приравняем полученное выражение работе внешних и контур-
контурных усилий F.51), F.52) и потребуем выполнение этого равен-
равенства при любых значениях варьируемых перемещений. Это воз-
возможно при равенстве нулю коэффициентов при независимых
вариациях искомых функций. Отсюда следует система диффе-
дифференциальных уравнений равновесия в усилиях, описывающая
деформирование круглой трехслойной пластины:
Яг,г + -(Нг - # ) - Q = о,	F.55)
г
На границе г = 1 должны выполняться силовые условия:
Тг = Т°, Нг = Я°, Мг = Мг°, Мг,г + -(Мг - Mv) = Q°. F.56)
Г
Предполагается, что связь напряжений и деформаций в сло-
слоях описывается соотношениями линейной теории упругости (без
суммирования по к)
зка = 2Окэка, ак = Кквк.
Подставив сюда деформации F.49) и воспользовавшись соот-
соотношениями F.50), получим выражение обобщенных усилий Та,

144	6. Изгиб пластины
Ма и На через три неизвестные функции: и = гл(г), ф = ф(г),
w = w(r). Вывод распишем подробно для Тг:
Т| 	 ^к /Т<[ п>) 	 ^W	/ /__(п>) si гу 	 ^V	/ (^ f~^ о\ / | Q ТУ~ с\ )\ А'-у
f — У -L у, — У I CJу, (JLZ — У I [^iKjfJ^jj, | *j-L\-kc> J CLZ —
k=l	k=1hk	k=1hk
3
k=lhk
3
4	4-
Для удобства введем следующие обозначения: К^ + -Gk = Kj[>
о
2	—
Kk — -Gk = Кк . Тогда, расписывая последнюю сумму по слоям,
имеем
С+/Ц
	 1	Тл \ 11	I Г*1п 	 *У1П I I	/\ ( 7 / I Г*1П 	 *У1П I /7 /^ I
у* 		I	I _?. \. 1 у LJu fp | L^ CZ/ fp	/О (JU rprp J | _L \. i V Ub \ L^ CZ/	/O (JU ^p J I LAj/O \
J L ' '	' r	' J
с
—с
y [ 2	,r	,rr; r 2	,r;j
—c—hi
с
+ / К^(г^ r + ^ r — zw rr) + -K7(u + ^ — 2:гу r) d^. F.57)
i M '	'	r ^	' J
—с
Выпишем простейшие интегралы, которые нам в дальнейшем
понадобятся:
c+h\	с
dz = rik, j zaz = rii[c+—j, zaz = \j,
hk	с	-с
—с
С	—С
fz2dz = -c3, Г z2dz = h2(c2 + ch2 + —

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина	145
С помощью этих соотношений, после интегрирования выраже-
выражения F.57) и приведения подобных, получаем
з
к=1
i hi \ Tr-\- if . /12 ^
2 У	г V	2 >
Выражение для Т^ можно получить из Тг, поменяв местами
^ и К^1 так как
1
k=ihk	k=i
K^h! - К^к2)ф>г + c(K+fn - K
По аналогии получаем обобщенные моменты Ма, На:
г= \K+h1(c+-)-K+h2[c+-
thx (с + f) + cK+h2 (c + |
fff/ц (c + ^) + с^2-Л2 (с +
2 + Chx + y) + K+h2 (c2 + Ch2 + y) + lC*Kt] W,rr~
с2 + chx + ?) + К2-/г2 (с2 + с/12 + -) + -с3^з ^,
+K+h2)
у

146	6. Изгиб пластины
Соотношения для М^, Н^ следуют из Мг, НГ1 если поменять
местами К^ и К^, поэтому здесь их приводить не будем.
После подстановки полученных выражений для обобщенных
внутренних усилий и моментов в F.55) получаем в перемещени-
перемещениях следующую систему дифференциальных уравнений равнове-
равновесия для круглой трехслойной пластины:
L2(a\u + а2ф — asw^r) = —_р;
L2(a2u + а^ф — a^w^r) — 2cG^ = 0;	F.58)
L3(asu + а$ф - aQw^) = -q.
Здесь коэффициенты щ и дифференциальные операторы L2
(оператор Бесселя г) , Ь% определяются соотношениями
з
ai = ^ hkK+, a2 = c(/
а3 =
a4 = с2
a5 = с [/ii (c + ^
(c + ^) K+ + |c2K3+], F.59)
a6 = /ц (c2 + c/ii + ^)К+ + /i2 (c2
,r
Задача определения функций гл(г), /0(г)? ^(^) замыкается
присоединением к F.58) граничных условий, например F.56).
После однократного интегрирования из третьего уравнения
F.58) следует
1 Г	С1
uqw г) = — / qr dr -\	-.
'	г J	г
Константа интегрирования С\ будет определена далее.
Используя полученное уравнение и первое из F.58), можно
исключить из второго уравнения этой же системы радиальное
перемещение и(г) и прогиб w(r). В результате получим неодно-
неоднородное модифицированное уравнение Бесселя для нахождения
:) Бессель Фридрих Вильгельм (Bessel F. W., 1784-1846), немецкий астро-
астроном.

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина	147
функции ф(г)
L2(^)-/3^ = f.	F.60)
Здесь
п2 _ 2сЬзСз	i _ сца4 — а\
ЬгЬз — Ь\ '	а\
2
7	aia5 «2^3	aia6 a
02 =
Соответствующие числовые множители включены в константу
интегрирования С\.
Решение полученного уравнения можно представить в виде
суммы общего решения соответствующего однородного уравне-
уравнения ^о и частного решения фг неоднородного уравнения F.60)
ф = фъ+фГ1	F.62)
причем
Решение этого уравнения известно [19]:
Фо — C2li(/3r) + С%К\фг).	F.63)
Здесь 1\фг) — модифицированная функция Бесселя первого по-
порядка, К\фг) — функция Макдональда первого порядка, кото-
которые в общем случае при z > 0 можно представить следующими
рядами [58]:
оо
гс-1
Kn(z) = (—l)n+1In(z) In - + -У^ ¦
F.64)
-1)],
(z/2)n+2k
T(z) = Г e~Hz-1 dt, Г(п + 1) = n!, ф) = T'(z)/T(z).
о
Здесь T(z) — гамма-функция, штрих вверху — производная по z\
при п = 0 первую из сумм в Kn(z) следует полагать равной
нулю.

148	6. Изгиб пластины
Как известно из теории линейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка, частное решение уравнения F.60) мож-
можно представить через два линейно независимых решения соот-
соответствующего однородного уравнения
/	ts (о \ f h(Pr)f(r) л Т (п \ Г KAf3r)f(r) ,
фг = КгЦЗг) / к у[/к dr - h(f3r) / uyM ; rfr,
где W — определитель Вронского г) . В нашем случае
W{IU Кг} = K^h ~ Кг Кх = -I.
Таким образом,
фг = -Ki(pr) ГIi(pr)f(r)rdr + Ii(pr) ГKi(pr)f(r)rdr.
F.65)
Суммируя F.63) и F.65), получаем искомое решение для сдвига
F.62). После этого прогиб и радиальное перемещение следуют
из оставшихся уравнений системы F.58)
b2
w = —
bs
bsai J
—Cir2(lnr - 1) + i!5I_ + C6lnr
1 ^	F-66)
CI3	U2 1	1 7-— 1/ \ 1 О7Г . (_/8
и = —г(;5Г — —ф — —L2 (p) +	+ —.
Здесь L2 , L^ —линейные интегральные операторы, обратные
дифференциальным операторам F.59)
JUr jrfdr.
Исходя из условия гладкости решения в центре пластины
(г = 0), для сплошных пластин необходимо в F.61), F.65), F.66)
положить
С\ = Сз = Cq = С% = 0.
Остальные четыре константы интегрирования определяются из
граничных условий.
В результате точное решение задачи теории упругости о
деформировании сплошной круглой трехслойной пластины
:) Вронский Юзеф (Wroncski U., 1776-1853), польский математик.

6.14. Круглая упругая трехслойная пластина
149
принимает вид
и =
аз
a5 -
F.68)
Если контур пластины заделан (и = ф = т = т^г = О при
г = 1), то получим следующие константы интегрирования:
HP) r=1'
r=i
_ i±, F.68)
r=l 4
r=l
В случае изгиба пластины равномерно распределенной попе-
поперечной нагрузкой (р = 0, q = const) из F.61) и F.65) следует
_	b2q
-Г, фг = -
Г.
Подставив эти выражения в формулы F.67), F.68), получим ре-
решение задачи теории упругости об изгибе круглой трехслойной
пластины, защемленной по контуру,
и =
+
Ьк (
w = ———
4cbjGs V
Ъ 2 _
qr( 2 и]
, _Я_(г2
6
F.69)
6463

150	6. Изгиб пластины
При шарнирном опирании пластины (и = ф = w = Мг = 0
при г = 1) будут следующие константы интегрирования:
с _ Ъ2д	с _ Ь\д ( JoQfl) 1\ g C5
2	4	/3/i(/3) 2/64 4'
^ \а3игA) + ^A) (а5 " ^) " т^-Cа6 - а7I,
С7 = -^,V,
16
,2	7 2	г)
а7 - Цс	i yj x 2(c	2 yj 2 зС 3 '
В случае свободного края пластины константы интегрирова-
интегрирования определяются из условия типа F.13).
Более подробно задачи прикладной теории упругости рас-
рассмотрены в монографиях [6, 40, 43, 52, 53, 56].

7.
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Способность твердых тел деформироваться под действием
приложенных к нему внешних сил и получать постоянные или
временные остаточные (пластические) деформации при снятии
нагрузки называется пластичностью. При этом между напря-
напряжениями и деформациями, возникающими в теле, не существует
взаимно однозначной зависимости, т. е. по данным напряжениям
нельзя найти деформаций и, обратно, по данным деформациям
нельзя найти напряжений.
В теории пластичности изучаются законы, связывающие на-
напряжения с упругопластическими деформациями, и разрабаты-
разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении де-
деформируемых твердых тел. Теория пластичности, являющаяся
основой современных расчетов конструкций, технологических
процессов ковки, прокатки, штамповки и других, а также при-
природных процессов (например, горообразования), позволяет вы-
выявить прочностные и деформационные ресурсы материалов.
Пластические деформации до разрушения достигают значений
10-20 % , в то время как упругие —0,3-0,5 % . Поэтому расче-
расчеты на прочность, основанные на допустимости только упругих
деформаций, часто нецелесообразны технически и экономически.
Учитывая пластические деформации, можно снизить концен-
концентрацию напряжений в конструкциях, повысить сопротивляемость
тел ударным нагрузкам, определить запасы прочности, жестко-
жесткости и устойчивости, тем самым обеспечить наиболее рациональ-
рациональное функционирование, надежность и безопасность конструкций.
7.1. Пластичность материалов при растяжении и сжатии
Проявление свойств упругости и пластичности обнаруживает-
обнаруживается при достаточно медленном, так называемом статическом
или квазистатическом приложении внешних сил. В этом
случае проявление свойств деформируемости практически не за-
зависит от времени, скорости возрастания нагрузки, продолжи-
продолжительности действия внешних сил.
Рассмотрим основные явления пластичности на простейшем
примере растяжения-сжатия цилиндрического образца. Для

152
7. Основы теории пластичности
определенности будем предполагать, что материал образца обла-
обладает качественно такими же упругопластическими свойствами,
как сталь, алюминий, медь, никель и другие металлы, причем
до начала опыта он является изотропным и имеет одинаковый
предел текучести на растяжение и сжатие. Через а будем обо-
обозначать растягивающее напряжение в образце, а через е — отно-
относительное удлинение.
Зависимость напряжений а от относительных деформаций е
при растяжении образца (рис. 7.1) для большинства материа-
^0,2
Рис. 7.1
лов имеет прямолинейный начальный участок, пока напряжение
не превышает предел пропорциональности аиц. В этой области
справедлив закон Гука. За прямолинейным следует криволиней-
криволинейный участок, на котором нарушается линейная связь между на-
напряжениями и деформациями. При этом некоторые материалы
имеют четко выраженную площадку текучести (рис. 7.1а), a
некоторые (рис. 7.1 б) —нет. В этом случае принимают условный
предел текучести — напряжение, при котором пластическая де-
деформация, остающаяся после снятия нагрузки, составляет 0,2 %,
или 0,002. Он обозначается ао,2-
В дальнейшем предел текучести всегда будем обозначать че-
через <тт. Точке А диаграммы растяжения образца (см. рис. 7.1 а)
соответствует напряжение а и полная деформация ?, которую,
в свою очередь, можно разделить на упругую деформацию ее и
пластическую ер. После разгрузки упругая деформация исчеза-
исчезает, а пластическая остается.
При разгрузке образца зависимость между напряжениями и
деформациями носит линейный характер, причем наклон соот-
соответствующей прямой такой же, как и первоначального участка.
Таким образом, при разгрузке материал образца ведет себя как
упругий.
Если образец после полной разгрузки снова нагрузить растя-
растяжением, то, как это видно из рис. 7.1 в, линейный участок будет

7.1. Пластичность материалов при растяжении и сжатии	153
продолжаться до больших значений а = а'Т1 чем это было в пер-
первый раз (а'т > ат). Следовательно, при повторном нагружении
образца после пластического деформирования предел пропор-
пропорциональности материала повышается. Это явление называется
наклепом.
Если же повторное нагружение осуществлять усилием про-
противоположного знака —сжатием, то на пластичность материал
выйдет при напряжениях, меньших первоначального предела
пропорциональности ат (а" < ат). Это явление подробно иссле-
исследовано Баушингером х) и носит его имя — эффект Баушингера.
Если при этом выполняется равенство а'Т + а" = 2сгт (на сколько
увеличивается предел текучести при растяжении, на такую же
величину он уменьшается при сжатии), то материал называют
циклически идеальным.
Таким образом, предварительно растянутый до образования
пластических деформаций образец имеет за счет наклепа уве-
увеличенный предел пропорциональности при растяжении и умень-
уменьшенный—при сжатии. Здесь следует заметить, что подобное ис-
исследование требует нового опыта, поскольку длинные образцы,
применяемые при растяжении, теряют устойчивость при сжа-
сжатии. Обычно из растянутого образца вырезают короткий цилин-
цилиндрический образец, который и подвергают сжатию. Однако ре-
результаты его испытаний можно нанести на прежнюю диаграмму
и вести все рассуждения так, как если бы образец остался одним
и тем же.
Вообще говоря, как указывает Белл [5], каждый аспект яв-
явления, которое Баушингер систематически исследовал, был в
действительности открыт другими. Видеман2) в 1858 г. изучил
остаточные деформации при кручении как функции от нагруз-
нагрузки обратного знака. Тарстон3) в 1874 г. первым опубликовал
работу об увеличении предела упругости пластически деформи-
деформированного образца. Впоследствии A876) он же первым из экс-
экспериментаторов предположил, что в пластичности может быть
вязкость.
Как показывают эксперименты, определенное влияние на кри-
кривую деформирования образца оказывает скорость возрастания
нагрузки, или скорость деформации. В обычных испытатель-
испытательных машинах скорость деформирования образцов изменяется в
пределах ё = 10~5 — 10~2 с. Такой режим деформирования
называется статическим. Диаграмма статических испытаний
не зависит от скорости деформации. Эта зависимость заметно
х) Bauschinger I. Uber die Veranderung der Elastizitatsgrenze und des
Elastizitatsmoduls verschiedener Metall//Civilingenieur. 1881. Bd. 27. S. 289-348.
2)	Видеман(Viedemann G. H., 1826-1899), немецкий физик.
3)	Тарстон (Thurston R. H., 1839-1903), американский инженер-механик.

154	7. Основы теории пластичности
проявляется, начиная со скоростей порядка 10 с. На рис. 7.2
приведены схематические диаграммы испытаний малоуглеро-
малоуглеродистой стали, полученные при трех
разных уровнях скоростей деформации:
кривая 1 соответствует ё = 10~4 с,
2 — 0,5 с, 3 — 102 с. Их сравнение по-
показывает, что модуль упругости при одно-
одноосном растяжении практически не изме-
изменяется. Пределы текучести по напряже-
напряжениям и по деформациям увеличиваются
с ростом скоростей растяжений. Это рас-
расширение диапазона упругих деформаций
О	? связано с инерцией механизма пластиче-
ского деформирования.
ис'	Аналитическое представление зависи-
зависимости предела текучести от скорости деформации можно при-
принять линейным [54]:
аТ = сгто + /io?,
где сгто — статический предел упругости, /j,q — экспериментально
определяемая константа материала.
При увеличении скорости деформирования заметно повыша-
повышается временное сопротивление ав (предел прочности) материа-
материала (напряжение, соответствующее разрушению), а соответству-
соответствующая ему деформация еъ (предельное пластическое удлинение)
сокращается. Это явление называется охрупчиванием материа-
материала. Ведь хрупкий материал разрушается без заметных пласти-
пластических деформаций, предшествующих разрыву.
Для высокопрочных сталей диапазон пластических деформа-
деформаций, предшествующих разрушению, вообще невелик и сокраща-
сокращается очень резко при динамическом нагружении. Охрупчивание
углеродистой стали SAE1020, резкое сокращение предельного
пластического удлинения начинается со скорости деформаций
2 • 102 с. При возрастании скорости до 3 • 102 с предельная
деформация сокращается почти вдвое.
Совершенно отчетливо проявляют зависимость от скорости
деформаций, начиная с 10 с, высокопрочные титановые
сплавы. При повышении скорости наблюдается снижение пре-
предельных пластических удлинений и повышение временного со-
сопротивления материалов.
Здесь следует отметить, что до сих пор нет надежных си-
систематических экспериментальных исследований влияния ско-
скоростей деформаций для многих материалов. Это связано с тем,
что предельные скорости, при которых наблюдаются описан-
описанные эффекты, не имеют широкого распространения в технике.
Поэтому в подавляющем большинстве случаев статической диа-

7.2. Условия пластичности
155
граммы испытаний материала на растяжение оказывается до-
достаточно для характеристики его механических свойств.
Несравненно заметнее проявляется зависимость свойств ма-
материала от скоростей испытания металлов в условиях повышен-
повышенных температур. В этом случае существенно меняются значения
не только предельных деформаций, но и временного сопротив-
сопротивления, и угол наклона кривой деформирования на начальном
участке.
7.2. Условия пластичности
Теория пластичности устанавливает связь между напряже-
напряжениями и деформациями [деформационные теории) или скоро-
скоростями изменения деформаций [теории пластического течения)
в областях пластичности материалов. При этом часто напряже-
напряжения зависят не только от текущих деформаций, но и от истории
[процесса) деформирования. Естественно, что соответствующие
задачи в силу нелинейной связи напряжений с деформациями
оказываются гораздо сложнее задач теории упругости. С целью
их упрощения зависимость а ~ е для реального материала часто
аппроксимируют в виде кусочно-ломаных прямых, как это по-
показано на рис. 7.3. Наиболее простой является диаграмма
Прандтля для идеально пластического материала (мягкие ста-
стали, титановые сплавы), показанная на рис. 7.3 а.
О
О
б
Рис. 7.3
О
Диаграмма с линейным упрочнением приведена на рис. 7.2 в.
Эти две аппроксимации наиболее часто используются при реше-
решении задач теории пластичности. Например, теория идеальной
пластичности применяется для расчетов элементов строитель-
строительных конструкций по несущей способности.
Кривые а ~ е при растяжении и сжатии для большинства ма-
материалов весьма близки, и мы будем полагать их в дальнейшем
совпадающими. Более тщательные эксперименты показывают,
что закон разгрузки не всегда линеен. В существующих теориях

156	7. Основы теории пластичности
пластичности этими незначительными отклонениями от закона
Гука при разгрузке пренебрегают, как и разницей между преде-
пределом пропорциональности и пределом текучести. Определяющие
уравнения связи напряжений с деформациями не содержат вре-
время в явном виде.
Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что началь-
начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На началь-
начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие
деформации и, следовательно, появление пластических дефор-
деформаций однозначно определяется действующими напряжениями.
В связи с этим условие пластичности можно записать в виде
некоторой функции компонент тензора напряжений. Для изо-
изотропного материала условие появления пластических деформа-
деформаций не может зависеть от выбора системы координат. Поэтому
соответствующая функция должна определяться тремя инвари-
инвариантами тензора напряжений, в качестве которых можно взять,
например, три главных напряжения:
/(аь а2, сг3) =0.	G.1)
Сюда, как правило, входит некоторая постоянная величина (пре-
(предел текучести), характерная для данного материала. При од-
одноосном растяжении имеем о\ = <тт.
Пластические деформации, как показывают эксперименты,
связаны с явлениями сдвига. Поэтому, естественно, что и имею-
имеющие широкое распространение теории пластичности в основе
своей сравнивают некоторые касательные напряжения с пре-
предельными, вызывающими появление текучести. Сен-Венан1),
основываясь на опытах Треска2) по истечению металлов через
отверстия, высказал предположение, что переход из упругого
состояния в пластическое происходит, если максимальное каса-
касательное напряжение достигает некоторого предельного значения
для данного материала:
I	I _ |<71 - СГ3| _ СГТ
Prnaxl —	-	— — •>
ИЛИ
°\ - ^з = 0"т,	G.2)
где, как и ранее, главные напряжения пронумерованы в порядке
убывания величин о\ ^ &2 ^ я"з5 <?т — предел текучести мате-
материала при растяжении. Материал тела предполагается перво-
*) Следует отметить, что всемирно известному ученому Б. Сен-Венану,
родившемуся в 1797 г., был 71 г., когда он был, наконец, избран во Фран-
Французскую Академию. Этому виной его антивоенная студенческая активность,
выразившаяся в оппозиции к Наполеону в 1814 г.
2) Треска Анри Эдуард (Tresca Henri Edouard, 1814-1885), французский
ученый в области механики. Заложил основы теории пластичности. Основ-
Основной цикл работ по течению твердых тел опубликован в шестидесятых годах
XIX века.

7.2. Условия пластичности	157
начально изотропным. Заметим, что в курсе «Сопротивления
материалов» критерий Треска-Сен-Венана известен нам также
под названием теории прочности максимальных касательных
напряжений (аэкв = о\ — а3 ^ [а]).
Другой критерий пластичности определяет переход из уп-
упругого состояния в пластическое первоначально изотропного ма-
материала, если
&и = я"т-	G.3)
Здесь аи—интенсивность напряжений A.24), которая пропор-
пропорциональна октаэдрическому касательному напряжению, а ее
квадрат пропорционален второму инварианту девиатора напря-
напряжений:
а\ = -3J2d = - [(аг - а2J + (а2 - а3J + (а3 - агJ].
В этом случае не максимальное, а октаэдрическое касатель-
касательное напряжение достигает предельного для данного материа-
материала значения. Этот критерий соответствует известному условию
энергетической теории прочности и носит название условия (кри-
(критерия) пластичности Мизеса (Хубера1) -Мизеса 2) -Хенки 3)).
Результаты, получающиеся по критериям пластичности
G.2), G.3), достаточно близки. Однако следует заметить, что
большинство опытов, проведенных для плоского напряженного
состояния, показывают лучшее согласование с критерием Ми-
Мизеса. При решении конкретных задач, как правило, пользуются
тем критерием, который упрощает решение.
Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что
при всестороннем растяжении или сжатии материал деформи-
деформируется упруго. Тогда можно принять, что условие пластичности
в общем случае определяет не весь тензор напряжений, как в
G.1), а только его девиаторную часть. Как мы уже говорили,
переход в пластическое состояние не может зависеть от выбора
системы координат, поэтому условие пластичности есть некото-
некоторая функция от инвариантов девиатора напряжений. Первый
инвариант равен нулю (Jid = 0), поэтому в общем случае усло-
условие появления пластических деформаций определяется вторым
и третьим инвариантом девиатора напряжений:
fi(J2d, Jm)=0.	G.4)
г) Хубер М. Т. в 1904 г. опубликовал в Польше статью [61], в которой свя-
связал переход в пластическое состояние с энергией формоизменения. Работа
была обнаружена через несколько десятков лет.
2)	Мизес Р. в 1913 г. опубликовал статью [62], в которой предложил соот-
соотношение G.3) как упрощение G.2), считая свое условие приближенным.
3)	Хенки Р. в 1924 г. опубликовал работу [60], в которой связал независимо
от Хубера переход в пластическое состояние с энергией формоизменения.

158
7. Основы теории пластичности
Это уравнение в системе координат ai, сг2, аз описывает некото-
некоторую поверхность, которую называют поверхностью текучести.
Приведенные критерии пластичности дают возможность за-
зафиксировать момент появления первых пластических деформа-
деформаций. Этих критериев достаточно для решения задач пластично-
пластичности в том случае, когда деформирование материала при одноос-
одноосном напряженном состоянии подчиняется диаграмме Прандтля
(см. рис. 7.2 а). Объясняется это тем, что при повторном нагру-
жении подобных материалов не происходит изменения условия
появления пластических деформаций.
Ситуация изменяется, если рассматриваемый материал обла-
обладает упрочнением (см. рис. 7.2 б, в). Для таких материалов при
повторных нагружениях характерно увеличение предела теку-
текучести, величина которого зависит от накопленной пластической
деформации. Здесь следует ввести условие упрочнения, которое
по виду напоминает условие пластичности G.4):
, hd) =
G.5)
Ось
Условие G.4) содержит инварианты девиатора напряжений
и константы материала, например предел текучести. В условие
G.5) входит некоторая функция Ф(г/M зависящая от параметра
упрочнения г\ материала. Это уравнение в пространстве главных
напряжений также определяет поверх-
поверхность текучести, изменение положе-
положения, формы и размеров которой в про-
процессе нагружения характеризуют де-
деформационное упрочнение материала.
Если параметр упрочнения совпадает
с интенсивностью деформаций, то в
качестве одного из вариантов крите-
критерия G.5) можно взять обобщение усло-
условия Мизеса
Рис. 7.4
Приведем примеры построения по-
поверхностей текучести G.4) для рас-
рассмотренных критериев пластичности.
В случае критерия Мизеса G.3) уравнение поверхности текуче-
текучести (аи = ат) можно записать в виде
(<ti — 02) + (<Т2 ~~ °~з) Н" (°"з "~ °"i) "~ 2<тт = 0.
Полученное уравнение в осях <ti, <J2, <тз описывает цилиндр
(рис. 7.4), ось которого равнонаклонена к координатным осям.
Если рассечь цилиндр плоскостью <тз = 0, то в сечении будет
эллипс, уравнение которого:

7.3. Условия пластичности
159
Следовательно, критерию пластичности Мизеса соответствует
поверхность текучести в форме кругового цилиндра, радиус ко-
которого в плоскости, перпендикулярной к оси, равен аТ/л/2.
Если принять критерий Треска-Сен-Венана (а\ — аз = ат),
причем иметь в виду, что не всегда нумерация главных напряже-
напряжений известна заранее, то могут иметь место следующие равенства:
Поверхность текучести в этом случае представляется в виде
шестигранной призмы с осью, также равнонаклоненной к осям
0"Ъ а2, сгз (рис. 7.5 а). Эта призма, называемая призмой Куло-
Кулона1) , оказывается вписанной в цилиндр Мизеса. Оси призмы и
цилиндра совпадают. Уравнение этой оси будет о\ = &2 — 0"з-
На рис. 7.5 б показано сечение цилиндра и призмы плоскостью
аз = 0, соответствующее плоскому напряженному состоянию.
Рис. 7.5
Замечание . Для того чтобы воспользоваться условием
пластичности Сен-Венана, необходимо заранее знать, какое из
главных напряжений является максимальным, а какое —мини-
—минимальным. При использовании условия Мизеса вообще нет на-
надобности в определении главных напряжений.
Условие аи = ат можно выписать, используя A.24), и через
напряжения в произвольных координатных осях:
— G22)
G\\) =
е
Поэтому во многих случаях использование условия пластич-
пластичности Мизеса при решении задач оказывается более удобным,
чем условия Сен-Венана. Максимальное отличие расчетов по
этим критериям не превышает 13 % (случай чистого сдвига).
х) Кулон Шарль Огюстпен (Coulomb С. О., 1736-1806), французский ин-
инженер и физик, основатель электростатики; в механике труды по трению и
кручению нитей.

160
7. Основы теории пластичности
7.3. Простое и сложное нагружения
Определяющие соотношения теории пластичности, т. е. зави-
зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, дол-
должны учитывать не только текущие значения компонент тензора
напряжений и деформаций, но и пути их достижения. В теории
пластичности различают два вида нагружения тел: простое и
сложное.
Напомним (§ 1.9), что нагружение называется простым, ес-
если все компоненты тензора напряжений возрастают пропорцио-
пропорционально одному общему параметру t (например, времени). В этом
случае компоненты направляющего тензора A.26) остаются неиз-
неизменными. Иначе нагружение называется сложным.
Рассмотрим примеры простого и сложного нагружений. До-
Допустим, что цилиндрическая трубка находится под действием
равномерного осевого растяжения и кручения (рис. 7.6). Если
Рис. 7.6
Рис. 7.7
трубка имеет достаточно тонкую стенку, то напряженное состоя-
состояние в ней можно считать плоским. Нормальное напряжение ах
и касательное г находятся из известных выражений
ttR4
При изменении внешних воздействий Р, тк пропорционально
одному параметру Л, например времени, осуществляется про-
простое нагружение, так как компоненты тензора напряжений изме-
изменяются пропорционально этому же параметру. На рис. 7.7 тра-
траектория нагружения показана в осях напряжений <тж, т. Простое
нагружение соответствует лучу О А.
Таким образом, для простого нагружения справедливы ра-
равенства
где of- — некоторые начальные значения тензора напряжений
при приложении нагрузки. Тогда среднее напряжение <т, интен-
интенсивность напряжений аи и модуль девиатора напряжений s в

7.3. Простое и сложное нагруэюения	161
силу формул A.24), A.25) также будут линейны относительно
параметра А:
аи = Аа°, s = J-аи =
В свою очередь компоненты направляющего тензора напря-
напряжений A.26) не зависят от А, так как
0
S
Теперь рассмотрим другое нагружение (см. рис. 7.7), при
котором к трубке сначала прикладывается осевая нагрузка Р,
создающая нормальное напряжение. После того как значение
последнего достигает величины <т*, прикладывается крутящий
момент тк. Нормальное напряжение <г* в процессе приложения
крутящего момента остается неизменным, а касательное — воз-
возрастает от нуля до значения т*. В результате приходим опять
в точку А, но по ломаной траектории. Такое нагружение будет
сложным. К аналогичному результату можно прийти, сначала
закручивая трубку до значения т*, а затем растягивая ее до
напряжения <т*.
Для упругого тела последовательность его нагружения какой-
либо роли не играет, так как имеет место однозначное соответ-
соответствие между напряженным и деформированным состояниями
независимо от того, каким образом они созданы.
В упругопластических телах ситуация оказывается принци-
принципиально отличной. Здесь существен не только характер напря-
напряженного состояния в его точках, но и путь, по которому оно бы-
было создано. В зависимости от этого может значительно меняться
деформированное состояние в одних и тех же точках тела.
Ильюшиным доказана теорема о достаточных условиях
простого нагруэюения. Для этого необходима пропорциональ-
пропорциональность внешней нагрузки одному некоторому общему параметру
и степенная зависимость интенсивности напряжений от интен-
интенсивности деформаций:
а и = Ае%,
где А и а — постоянные величины.
При а = 0 это уравнение совпадает с условием пластичности
Мизеса аи = const. При малых значениях а оно дает кривые с
малым упрочнением dcru/deUi а при а = 1 —закон Гука.
Заметим, что это условие является достаточным, но не необ-
необходимым. Простое нагружение может иметь место и в некото-
некоторых случаях, когда указанное условие нарушается.
В исследованиях пластичности существенно различать ак-
активные и пассивные процессы деформирования. При активном
процессе, называемом также нагрузкой, приращение работы,
6 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

162	7. Основы теории пластичности
производимой внешними нагрузками над телом (или силами
взаимодействия рассматриваемого элемента материала с окру-
окружающими частями среды), положительно. Отрицательное при-
приращение этой работы соответствует пассивному процессу, или
разгрузке. Рассматривая элементарный объем материала, усло-
условие активного процесса можно записать в виде неравенства
(JijSeij > О,
а условие пассивного процесса — в виде
(JijSeij < 0.
Иногда за активный процесс принимают такой, при котором
пластическая деформация возрастает, а за пассивный — при ко-
котором пластическая деформация остается неизменной.
В теориях пластичности предполагается, что в любой момент
процесса деформирования тензор полной деформации представ-
представляется в виде суммы тензоров упругой и пластической дефор-
деформаций:
гЗ	гЗ	*j'
причем первый тензор изменяется как при активном, так и при
пассивном процессах, тогда как тензор пластической деформа-
деформации изменяется только при активном процессе.
Пластическая деформация определяется как совокупность
компонентов тензора деформации, сохраняющихся в рассматри-
рассматриваемой точке среды, когда все компоненты тензора напряжений
в этой точке обращаются в нуль. Таким образом, пластические
деформации отождествляются с остаточными деформациями.
7.4. Гипотезы теории
малых упругопластических деформаций
В основе этой деформационной теории лежат гипотезы, пред-
предложенные Хубером, Мизесом, Хенки и обобщенные на случай
материала с упрочнением Над аи. Она предполагает, что для
упругопластических тел можно установить зависимости меж-
между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для
упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопла-
упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина. Поэтому
часто теорию малых упругопластических деформаций называ-
называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что
при простой активной деформации первоначально изотропного
материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта
тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы.
1. Упругость объемной деформации. Объемная дефор-
деформация тела в считается упругой, она прямо пропорциональна

7.5. Постановка задач теории малых упругопластических деформаций 163
среднему нормальному напряжению а и для нее справедлив за-
закон Гука
а = Кв = Же.
Это означает, что изменение объема происходит только за счет
упругих деформаций, а при пластическом деформировании ма-
материал ведет себя как несжимаемый. Поэтому иначе эту гипоте-
гипотезу можно сформулировать так: за счет пластической деформа-
деформации изменение объема тела не происходит.
2. Соосность девиаторов. Компоненты девиатора дефор-
деформаций 9ij пропорциональны компонентам девиатора напряже-
напряжений Sij. Связь между ними запишем в форме, предложенной
Ильюшиным:
где aUi eu — интенсивности тензоров напряжений и деформаций.
В компонентах напряжений и деформаций выражение G.5)
принимает вид
°ii ~ a6ij = o—(?iJ ~ e5ij) (^ 3 = 1> 2^ 3)-
3. Гипотеза упрочнения. Независимо от вида напряжен-
напряженного состояния для каждого материала имеется универсальная
зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивно-
интенсивностью деформаций:
°ч = ФЫ-	G.7)
Для упругого материала эта связь выражается линейной зави-
зависимостью
а и = 3Geu.
Экспериментальная проверка приведенных гипотез дала до-
достаточно хорошие результаты для простого или мало отличаю-
отличающегося от простого нагружения. Процесс деформирования при
этом должен быть активным, без разгрузок.
Хотя условие пропорционального нагружения в реальных
условиях осуществляется редко, однако, как показывают опы-
опыты, рассмотренная деформационная теория подтверждается и в
тех случаях, когда имеет место некоторое отступление от закона
пропорционального нагружения.
7.5. Постановка задач теории
малых упругопластических деформаций
Рассмотрим упругопластическое тело, находящееся под воз-
воздействием массовых сил pF{ и поверхностных нагрузок Щ. Для
решения задач теории малых упругопластических деформаций,
б*

164	7. Основы теории пластичности
т. е. для определения неизвестных перемещений, деформаций и
напряжений (щ, ац, ец\ г, j = 1, 2, 3), имеются уравнения рав-
равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформа-
деформаций и граничные условия:
\?ij,k ~ ?jk,i "I" ?ki,j),i ~ ?ii,jk = ^5
cr^j/j = i?^ на 5^; i/j = г^ог на Su.
Физические уравнения состояния удобно записывать в виде
Sij = 2Gy(eu)9i3, a = Же.	G.9)
с5деСЬ Sij — (Jij (Juijj 3ij — Sij ^ij^iji ^ j — 15 Z5 o.
Сравнивая G.7) и G.9), находим выражение функции пла-
пластичности (p(su) через введенную ранее универсальную функ-
функцию Ф(еи):
Уравнения G.8) справедливы только при нагружении. В слу-
случае упругой разгрузки из обобщенного закона Гука B.6) следу-
следуют соотношения
(Гц - a'ij = 2pL{?ij - e'ij) + Х(в - в'),	G.10)
где а[- и s\j — напряжения и деформации, существовавшие пе-
перед началом разгрузки, А и \i — постоянные Ламе. Уравнения
разгрузки в форме G.10) сохраняются до появления в процессе
разгрузки новых (вторичных) пластических деформаций.
При решении задач упругопластичности в зависимости от
постановки искомыми функциями являются либо перемещения,
либо напряжения. Полученное решение должно удовлетворять
не только силовым и кинематическим граничным условиям, но и
дополнительным условиям на поверхности раздела зон упругих
и пластических деформаций.
Задача теории пластичности является нелинейной, поэтому
возникает вопрос о ее существовании и единственности.
В [24] доказано утверждение: при условии
3G> — > — >0	G.11)
еи deu
система уравнений G.8), G.9)—эллиптического типа, причем
решение этой краевой задачи существует, если существует ре-
решение соответствующей задачи линейной теории упругости.
Относительно единственности Ильюшиным была доказана
следующая теорема [15]: при заданных объемных силах pFi,

7.6. Метод упругих решений	165
поверхностных силах Щ на части граничной поверхности Sa и
перемещениях щ на части граничной поверхности Su, напряжен-
напряженное и деформированное состояния тела, т. е. щ, ац, ец, опреде-
определяются единственным образом, если нагружение простое.
7.6. Метод упругих решений
Решение задач теории пластичности связано с решением си-
системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных, что представляет собой чрезвычайно сложную ма-
математическую задачу, которая в аналитическом виде решается,
как правило, в исключительных случаях. Поэтому чаще всего
используются приближенные методы. Одним из них является
метод последовательных приближений, предложенный Илью-
Ильюшиным для решения задач теории малых упругопластических
деформаций при активном нагружении и называемый в теории
пластичности методом упругих решений. Суть его заключает-
заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории
упругости, решения которых с увеличением порядкового номера
сходятся к решению задачи теории пластичности.
Для построения алгоритма метода представим функ-
функцию (р(еи) в виде
<р(еи) = 1-ш(еи).	G.12)
Подставим G.12) в G.9), тогда физические соотношения ста-
становятся следующими:
Sij = 2GA - ш{еи))эц, о = Же,	G.13)
где 0 ^ uj < 1, причем ио{еи) = 0, если еи ^ еТ.
Таким образом, при ио = 0 уравнения G.13) совпадают с со-
соотношениями линейной теории упругости. Запишем дифферен-
дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия, разложив
тензор напряжений на девиаторную и шаровую части:
Sijvj Н~ &н -— -tvi на *b(j, Ui = ^Ог на о>ц.
Задачу упругопластичности будем решать в перемещениях.
С этой целью подставим компоненты G.13) в уравнения равно-
равновесия и силовые граничные условия G.14) и учтем соотношения
Коши. В итоге получим обобщение уравнений Ламе C.6):
(А + //H,* + И^Щ + pFi - Fui = 0,
Здесь

166	7. Основы теории пластичности
За нулевое приближение примем а/0) = 0. Тогда фиктивны
нагрузки F^i = R^i = 0, и для определения первого приближе-
приближения щ ' имеем обычную задачу линейной упругости. По найден-
найденным перемещениям щ ' определяются величины
Для любого к-ro приближения имеют место уравнения равнове-
равновесия и граничные условия
(Л + ^вФ + /zAu^ + pFi - i$} = 0,
причем ,r^ , it^ определяются предшествующим (/с — lj-м
приближением.
Модифицированные уравнения Ламе и граничные условия
G.15) являются линейными относительно неизвестных переме-
щении щ . Они отличаются от соответствующих уравнении тео-
теории упругости тем, что в них к внешним силам pi^, Ri до-
добавляются фиктивные силы F^ , Rui . Это позволяет по
известному решению соответствующей задачи теории упруго-
упругости построить решение упругопластической задачи в рекуррент-
рекуррентном виде. Пример построения подобного итерационного реше-
решения рассмотрен в § 7.11.
Для сходимости метода упругих решений необходимо, чтобы
параметр о;, связанный с функцией <р(еи) соотношением G.11),
был малым по сравнению с единицей. При этом должно выпол-
выполняться следующее условие [30]:
> ио + еи— ^ uj ^ U.
deu
Сходимость этого метода исследовалась различными авто-
авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу
содержится в [19], [39]. На практике при решении конкретных
задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих ре-
решений весьма высока, так что достаточно несколько приближе-
приближений, чтобы получить необходимую точность. Например, при ре-
решении задачи о переменном упругопластическом изгибе круглой
трехслойной пластины (см. § 8.4) понадобилось пять итераций.
В заключение приведем функцию пластичности ио(еи), пред-
предложенную для описания поведения дюралюминия в пластиче-
пластической области [48]. Ее аналитический вид принимался следую-
следующим:

7.7. Геометрическая интерпретация процесса нагруэюения
167
Входящие сюда константы получены в результате обработки из-
известных экспериментальных данных [33]: А = 0,96, а = 2,34,
?т = 0,735% —деформация, соответствующая пределу текуче-
текучести сплава Д16Т. Более подробно методика получения этих па-
параметров изложена в § 11.1.
СГ22
7.7. Геометрическая интерпретация
процесса нагружения
При рассмотрении теории пластического течения удобно
исходить из геометрической интерпретации процесса нагруже-
нагружения — поверхности текучести, о которой уже говорилось ранее
в § 7.2. Выделим в исследуемом теле элемент в форме парал-
параллелепипеда (рис. 7.8) настолько малого размера, что его напря-
напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот
элемент к осям х\, #2, жз и обозначим компоненты напряжений,
действующие на его гранях, через ац (г, j = 1, 2, 3).
Тензор напряжений симметри-
симметричен, поэтому для характеристики
напряженного состояния доста-
достаточно шести величин а {у Теперь
возьмем шестимерное простран-
пространство напряжений, в котором
вдоль каждой из осей будем откла-
откладывать какую-либо одну компо-
компоненту напряжений. Сопоставим
напряженному состоянию элемен-
элемента точку с декартовыми координа-
координатами а^ в пространстве напряже-
напряжений. Ненагруженному состоянию
элемента отвечает здесь начало
координат.	Рис- 7-8
Нагружение образца сопровождается изменением значений
а^ и, значит, в пространстве напряжений точка, изображаю-
изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчи-
вычерчивает некоторую траекторию — путь нагружения.
При одноосном напряженном состоянии все компоненты а {у
кроме одного, например ац, равны нулю. В этом случае путь на-
нагружения совпадает с осью аи. Появление пластической дефор-
деформации, согласно моделям предыдущего параграфа, связано с до-
достижением аи значения аТ1 характерного для данного материала.
Таким образом, на оси аи можно выделить такую содержащую
начало координат область, внутри которой состояние материала
при первоначальном нагружении упругое. На рисунках 7.9, 7.10
эта область обозначена буквой О; ее границами являются точки

168
7. Основы теории пластичности
с координатами =Ьсгт, что соответствует случаю равных пределов
текучести при растяжении и сжатии.
Если тело идеально пластическое (см. рисунки 7.3 а и 7.9),
то точки, лежащие вне области О, не могут быть реализованы,
так как напряжения, большие аТ1 в соответствии с моделью иде-
идеально пластического тела недостижимы. Выход изображающей
точки на границу О означает переход элемента тела в состоя-
состояние текучести. Деформация при этом является неопределенной.
Переход точки с границы внутрь области О (разгрузка) соответ-
соответствует изменению только упругой части деформации.
(ГЦ
—сгт —а
Рис. 7.9
Рис. 7.10
Теперь рассмотрим упрочняющееся тело (рис. 7.10). Его мо-
модель определяется, в частности, диаграммой на рис. 7.3 в. При
выходе изображающей точки за пределы области О появляет-
появляется остаточная деформация. Если достигнуто растягивающее на-
напряжение сгц = af > <тт, то предел упругости в данный момент
равен af. Это означает, что верхняя граница области О смести-
сместилась вправо по оси <тц от значения <тт до af. Нижняя грани-
граница этой области, в силу эффекта Баушингера для циклически
идеального упрочняющегося тела, получает такое же смещение
вправо, так что изображающая точка увлекает за собой область О
как жесткое целое. При переходе точки с границы внутрь обла-
области О меняется только упругая составляющая деформации б|-,
пластическая же ее доля ер- остается неизменной.
Разгрузка^ догружение
5
Нейтральное
нагружение
Рис. 7.11
На рис. 7.11 показано естественное обобщение описанной кар-
картины на общий случай напряженного состояния. Здесь основным
является предположение о том, что в пространстве напряжений
существует такая область О, содержащая начало координат, что

7.7. Геометрическая интерпретация процесса нагруэюения	169
на всяком пути нагружения, расположенном целиком внутри О,
деформация элемента остается упругой.
Если тело идеально пластичное, то выход точки на границу S
области О означает переход тела в состояние текучести, дефор-
деформация при этом становится неопределенной. Таким образом, гра-
граница S представляет собой геометрическое место пределов теку-
текучести при всевозможных путях нагружения. Для идеально пла-
пластического тела точки вне области О не реализуются. Переход
точки с границы S внутрь области О сопровождается изменени-
изменением только упругой составляющей деформации, т. е. происходит
разгрузка, хотя некоторые из компонентов напряжения aij мо-
могут при этом возрастать.
В случае упрочняющегося тела процесс нагружения, выводя-
выводящий изображающую точку за пределы области О, должен сопро-
сопровождаться перемещением этой области. Аналогом соответствую-
соответствующей одномерной модели будет модель (см. рис. 7.11а), в кото-
которой область О смещается поступательно как жесткое целое, так
называемое трансляционное упрочнение. При движении точки
внутрь области О изменяется только упругая составляющая де-
деформации (разгрузка). Если точка перемещается за пределы О
(см. рис. 7.11 б), то происходит дальнейшее увеличение пласти-
пластической составляющей деформации (активный процесс, догрузка).
Кроме того, возможны такие изменения напряжений, при кото-
которых путь нагружения касателен к границе области О (нейтральное
нагружение). Можно показать, что в упрочняющемся теле при
таких нагрузках должны меняться только упругие деформации.
В случае простого нагружения, когда все компоненты тен-
тензора напряжений меняются пропорционально одному общему
параметру (см. § 7.3), про-
процесс нагружения в простран-
пространстве напряжений изобража-
изображается лучом, исходящим из
начала координат (рис. 7.12).
Можно показать, что этот
луч пересекает поверхность
текучести не более одного
раза. Пусть после выхода в	Рис> 7.12
пластическую область в точ-
точке А производится разгрузка и последующее пропорциональное
нагружение напряжениями такой же величины, но противопо-
противоположного знака, так что процесс проходит вдоль прямой АВ.
Такой вид деформирования будем в дальнейшем называть зна-
знакопеременным простым (циклическим) нагруэюением. Поверх-
Поверхность течения 5, ограничивающая область О при нагружении
из естественного состояния, переходит в S1 в конце первого по-
полуцикла и в S" после приложения знакопеременной нагрузки.

170	7. Основы теории пластичности
Граница S области О называется поверхностью течения или
нагруэюения. В случае идеально пластического материала эта
поверхность фиксирована. Для упрочняющегося тела поверх-
поверхность нагружения изменяется по мере накопления пластической
деформации. В шестимерном пространстве напряжений она в
каждый данный момент нагружения отделяет область упруго-
упругого деформирования от области деформирования пластического.
При трансляционном упрочнении поверхность текучести смеща-
смещается поступательно как жесткое целое. Возможны и другие ви-
виды упрочнения, например G.5), при которых меняется не только
положение этой поверхности в пространстве напряжений, но и
ее форма и размеры.
7.8. Теория пластического течения
Для расчетов в области больших пластических деформаций
применяется теория пластического течения. Ее основное отли-
отличие от деформационной теории состоит в том, что принимается
отсутствие однозначной связи между напряжениями и пласти-
пластическими деформациями как при простых, так и при сложных
нагружениях. На практике подобные задачи встречаются при
обработке металлов давлением, резанием, в расчетах предель-
предельных состояний оснований сооружений.
В теории течения пластическая деформация материала упо-
уподобляется течению вязкой жидкости. Как уже отмечалось ра-
ранее, переход в пластическое состояние в окрестности точки тела
определяется уравнением вида f(<Jij) = 0, которое в шестимер-
шестимерном пространстве напряжений описывает поверхность текучести
(нагружения). Если материал с упрочнением, то поверхность те-
текучести изменяется с ростом пластической деформации, ее урав-
уравнение содержит некоторый параметр упрочнения г/. В основе
теории пластического течения лежат следующие гипотезы .
1. Упругость объемной деформации. Как и в теории
малых упругопластических деформаций G.4), выполняется со-
соотношение
а = ЗКе.
То есть материал в пластическом состоянии несжимаем:
Это условие несжимаемости можно записать и как равенство
нулю скорости объемного пластического деформирования
dep/dt = 0.
2. Гипотеза градиентальности. Вектор приращения де-
деформаций полагают направленным перпендикулярно поверхно-
поверхности текучести. Это эквивалентно предположению о пропорцио-

7.8. Теория пластического течения	171
нальности компонент приращения деформаций и компонент век-
вектора-градиента к поверхности текучести (частных производных
от уравнения поверхности по соответствующим компонентам на-
напряжения) :
= dA-^-, ... , 2de\z = d\-^-.	G.16)
дац	dais
Соотношения G.16) выражают закон течения, ассоциированный
с принятым условием пластичности / = 0. Здесь dX — диффе-
дифференциально малый множитель, механическое значение которого
устанавливается в связи с рассмотрением элементарной работы
внутренних сил на пластических деформациях. По определению
имеем
dU = cr
Используя соотношение G.16), получим
dU = dXaij^- = dAcrgrad/.	G.17)
d(Tij
Здесь <j — радиус-вектор точки в шестимерном пространстве на-
напряжений, отвечающей компонентам ац. На рис. 7.13 показаны
кусок поверхности текучести и векторы, составляющие скаляр-
скалярное произведение в формуле G.17). Следовательно, множитель
d\ пропорционален плотности работы напряжений на пластиче-
пластических деформациях, причем коэффициент пропорциональности
отличен от нуля.
Рис. 7.13	Рис. 7.14
Определение приращений пластических деформаций через
производные функции / по соответствующим аргументам G.16)
служит основой наименования / пластическим потенциалом.
Поверхность текучести, или пластический потенциал определя-
определяется экспериментально, согласуясь с некоторыми общими физи-
физическими соображениями. Одним из общих требований к постро-
построению пластического потенциала является критерий упрочнения,
сформулированный Дракером [59] и состоящий в следующем.
Представим себе (рис. 7.14) некоторое напряженное состоя-
состояние <т*, которому соответствует поверхность текучести S*. По-
Поверхность текучести делит шестимерное пространство напря-

172	7. Основы теории пластичности
жений на две области: переход из точки а* в область ее по-
положительных значений сопровождается активной пластической
деформацией, приращением вектора пластической деформации;
переход из конца вектора а* в область отрицательных значений
соответствует разгрузке, следующей упругим законам; пласти-
пластическая деформация при этом неизменна.
Рассмотрим теперь состояние, определенное вектором а, ко-
конец которого лежит в положительной области; этому состоянию
соответствует поверхность текучести S. Постулатом Дракера
утверждается неотрицательность работы приращений напряже-
напряжений на действительных перемещениях деформаций за цикл, ко-
когда состояние из точки а* по некоторому пути переходит в а,
затем возвращается в а*:
aij-a^deij^O.	G.18)
Важное следствие из этого постулата можно получить, пола-
полагая замкнутый путь интегрирования состоящим из трех участ-
участков. На участках А* А1 и А А* деформация только упругая, а на
участке А1 А — упругопластическая:
Вследствие обратимости упругих деформаций, соответству-
соответствующая им часть в интеграле G.18) обращается в нуль и остается
А
А'
Точку А1 можно считать в пределе совпадающей с А, а состояния
а* и а — бесконечно близкими, поэтому левая часть предыдущего
неравенства сводится к скалярному произведению
ij ^j > 0.
А это значит, что вектор приращения на-
напряжений и вектор приращения пластических
деформаций образуют острый угол. Другими
словами, поверхность текучести должна быть
выпукла в сторону активных пластических
деформаций, как показано на рисунках 7.11
и 7.12. Это требование иногда называют усло-
вием устойчивости процесса пластического
Рис 7 15	деформирования и демонстрируют его в про-
простейшем случае одноосного растяжения образ-
образца. На рис. 7.15 показана диаграмма соответствующего дефор-
деформирования. Переход от точки А* в состояние А сопровождается
работой приращения напряжения 0,5dads.

7.9. Пример предельной поверхности	173
Работа положительна, когда напряжение возрастает с ростом
деформации. Этот процесс не наблюдается после образования
шейки на растягиваемом образце, когда образующиеся дефек-
дефекты материала приводят к интенсивному росту деформации да-
даже при понижении напряжения. Такой процесс деформирования
неустойчив, а соответствующая диаграмма называется, как мы
уже упоминали ранее (см. § 3.5), падающей.
При решении задач теории пластического течения справед-
справедливы уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения сов-
совместности деформаций и граничные условия
crijj + pFi = 0; 2eij = Uij + Ujj,
^ihjj "¦" ^jjiii	ij^ij — ' \^ij,k ^jk,i ~r~ ^ki,j),i ^ii,jk — ^5
Gijlj = Ri на Sa; щ = u^ на Su.
В теории пластического течения доказана теорема о един-
единственности полей приращений напряжений, деформаций и пере-
перемещений в упрочняющемся теле. Гарантировать единственность
приращений деформаций и перемещений в случае неупрочняю-
щегося материала нельзя, хотя в частных задачах может быть
доказана единственность указанных приращений и для идеаль-
идеально пластического материала.
Как видим, уравнения теории течения оказываются значи-
значительно сложнее уравнений теории малых упругопластических
деформаций. Доказано, что при простом нагружении обе рас-
рассмотренные теории дают одинаковое решение. В случае сложно-
сложного нагружения результаты, полученные с помощью теории пла-
пластического течения, лучше согласуются с экспериментальными
данными. Более подробно теория и задачи пластического тече-
течения рассмотрены в монографиях [1, 14, 20, 22, 46].
7.9. Пример предельной поверхности
Исследуем, какие физические соотношения между деформа-
деформациями и напряжениями вытекают, если уравнение поверхности
текучести / = 0 принять в соответствии с условием Мизеса
Рассмотрим от функции / частные производные G.16). Тогда
—J— = 4ац - 2сг22 - 2сг33 = 6(ац - а), ^
где о = -(аи + сг22 + сг33).
о

174	7. Основы теории пластичности
Будем полагать, что коэффициент dX включает в себя и по-
постоянный множитель 6. Тогда предыдущие соотношения можно
обобщить и с учетом G.16) переписать в виде
d?pu = dX(au-a), de?ij=d\<rij (г, j = 1, 2, 3; г ф j). G.19)
Представим приращение компонент пластических деформаций
в виде разложения на девиаторную и шаровую части:
Так как объемное пластическое деформирование отсутствует, то
dep = i(cfe?! + de\2 + сЩ = °>
и величины cfe?- являются приращениями компонент девиато-
ра пластических деформаций cfof?-. В правой части соотноше-
соотношений G.19) содержатся компоненты девиатора напряжений вц =
= Gij — aSij. Следовательно,
Таким образом, при пластическом течении металла предпо-
предполагается линейная связь между приращениями девиатора пла-
пластических деформаций эр- и компонентами девиатора напряже-
напряжений Sij. Этот вывод можно трактовать также как линейную
зависимость между компонентами скоростей пластических де-
деформаций и компонентами напряжений.
По аналогии с деформациями A.31) введем понятие интен-
интенсивности приращений пластических деформаций:
т Г) у 2 С / -г Г) 1 V \2 i / 7 V 7 V \2 i / 7 V	7 V \2 I
пр? 		 J I /7P		 ПР I —V- I ПР 	 ПР I —\- I ПР 	 ПР I -\-
2UV2
Заметим, что интенсивность приращений пластических де-
деформаций G.19) не равна приращению интенсивности пласти-
пластических деформаций.
Подставив G.19) в последнее соотношение и проведя некото-
некоторые преобразования, получим для d\p следующее выражение:
dX=3-d-^.
2 cfu
Используем найденное выражение d\ в формуле приращения
компонент девиатора пластической деформации йэ?-. Тогда ком-
компоненты девиатора напряжений будут следующими:
\^	G.20)

7.10. Основы общей математической теории пластичности	175
Полагая упругие деформации малыми по сравнению с пла-
пластическими, можно пренебречь ими и в уравнениях G.20) всюду
отбросить индекс р вверху. При этом принимается, что полные
деформации равны пластическим. Кроме того, разделим в пра-
правой части компоненты деформаций в числителе и знаменателе
на dt. Получим компоненты скоростей деформации ^ij = de/d
и интенсивность скоростей деформации ^и = deujdt.
В итоге выражения G.20) примут следующий вид:
То есть компоненты девиатора напряжений пропорциональны
компонентам скоростей деформаций.
7.10. Основы общей математической теории
пластичности Ильюшина
В основе законов связи напряжений и деформаций в общем
случае сложного нагружения лежат: условие однозначности, по-
постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скаляр-
скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они
сформулированы при следующих предположениях.
1.	В исходном состоянии тело является изотропным.
2.	Считается, что в достаточно малой окрестности любой
точки деформированного тела состояние является однородным;
при этом процессы изменения во времени однородной дефор-
деформации окрестности точки неоднородно деформируемого тела и
однородной деформации образца конечных размеров при одина-
одинаковых напряжениях и внешних условиях протекают одинаково.
3.	Деформации считаются настолько малыми, что их квадра-
квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.
4.	Исключаются из рассмотрения реономные свойства мате-
материала.
Рассмотрим кратко основные положения общей математиче-
математической теории пластичности, сформулированные Ильюшиным [16].
1. Условие однозначности. При заданном начальном со-
состоянии, известном изменении во времени внешних параметров
(температуры, дозы облучения и т. п.) и заданном процессе де-
деформирования (т. е. изменении во времени тензора деформаций)
тензор напряжений в каждый момент времени определяется од-
однозначно.
Необходимость введения этого условия связана с тем, что
невозможно, например, в двух опытах осуществить совершенно
одинаковое изменение внешних параметров, одинаковые процес-
процессы деформаций. Это в свою очередь приведет к отклонениям в
значениях тензора напряжений. Условие же однозначности по

176	7. Основы теории пластичности
существу постулирует, что отклонения в значениях тензора на-
напряжений малы, если малы отклонения в значениях внешних
параметров и тензора деформаций.
2. Векторное представление процесса деформации и
постулат изотропии. Как известно, тензор деформаций ец,
связанный с фиксированной декартовой системой координат х =
— {xi-> х2-> хз)-) можно представить в виде суммы девиатора и
шаровой части
причем среди эц лишь пять независимых, так как первый инва-
инвариант девиатора равен нулю:
ЭЦ + Э22 + 333 = 0.
Аналогичным образом представляется тензор напряжений
СТ^п — о^п ~\ СТО>i<j.
Так как шаровые части связаны между собой простейшей
зависимостью
а = Же,
то в дальнейшем считаем, что задан процесс в напряжениях или
деформациях, если заданы соответственно sij(t), э^(?) в любой
момент времени t. Заметим, что давление р = —а в экспери-
экспериментальных исследованиях о^ ~ ец можно отнести к внешним
параметрам, как, например, температуру.
Так как среди величин эц только пять независимых, удобно
для векторного представления девиатора деформаций ввести
пространство пяти переменных э\~, в котором определенным обра-
образом введена метрика (пятимерное евклидово пространство Э$).
В этом пространстве выберем единичный ортогональный репер
е& (е& • ei = бы), в котором зададим пятимерный вектор дефор-
деформации
э = экек,	G.21)
тожественный девиатору э^-, т. е. должно быть выполнено усло-
условие
3ij3ij = э2 = экэк.	G.22)
Очевидно, из соотношения G.22) пять компонентов эк опре-
определяются через шесть составляющих эц неоднозначно. Рассмо-
Рассмотрим одно из возможных определений. За величины эз, э±, э$
удобно принять
При этом из G.21), G.22) следует
4 + 4 = 4l + Э22 + 4з, ЭП + Э22 + 333 = 0.

7.10. Основы общей математической теории пластичности	177
Нетрудно проверить, что эти уравнения будут удовлетворе-
удовлетворены, если принять
i—
3
-Эц = Э\ COS/3 + 5>2 Sill/3,
|Э22 = -эг sin (/?+?) + Э2 cos (p + J) ,	G.23)
-эзз = эх sin [ р - - ] - э2 cos [ р - - ] .
В свою очередь
.?L = эц cos (/3 + - ) — З22 sin ^,
v 2	V 6 /
G.24)
Входящую в эти соотношения величину /3 будем считать по-
постоянной; при изменении параметра /3 происходит вращение век-
вектора э(эк) в плоскости координатных векторов (ei, в2).
При изменении в процессе нагружения величин эц изме-
изменяются во времени и величины э^. При этом конец вектора
деформации э описывает в пространстве деформаций кривую,
которую будем называть траекторией деформации. Квадрат
элемента дуги этой траектории будет
ds2 =
при этом
= /' edt,
е2 =
0
Теперь мы можем вместо времени t ввести длину дуги s и
рассматривать вектор э как функцию s.
Внутренняя геометрия траектории деформации определяет-
определяется движ:ением по ней так называемого пятигранника Френе. Для
его построения введем в каждой точке траектории деформации
свой неортогональный репер
*k = dk-j^ (k = l, 2, ...,5),
считая при этом s(s) достаточное число раз дифференцируемой
функцией. Эти пять векторов, вообще говоря, линейно незави-
независимы. Построим по ним местный ортогональный репер q&.
За qi примем
qi = —,
as

178	7. Основы теории пластичности
т. е. единичный вектор, направленный по касательной к траек-
траектории деформации. Последующий вектор представим в виде
42 = — +aiqi,
ds2
причем величину а\ найдем из условия ортогональности qi и с\2-
Продолжая аналогичным образом, определим q3, q4, qs- Норми-
Нормируя q&, найдем единичные векторы искомого сопровождающего
пятигранника Френе
Pi = qi, P2 = —,..., Р5 = — •
q2	qe
Из приведенного построения видно, что р& есть линейные
комбинации векторов э*\ В свою очередь, э^ линейно выража-
выражаются через р&, причем коэффициенты в этих соотношениях за-
зависят от четырех скалярных величин
д,эк ddk	(r- Ог\
Хкк = *?!*'	G-25)
Приведем теперь обобщенные формулы Френе, выражающие
производные dp^/ds через р&:
^ = -^k-iPk-i + ^/cP/c+i (А; = 1, 2, ... , 5); щ = х5 = О,
G.26)
где xi(s), ... , X4(s) —параметры кривизны и кручения, кото-
которые выраж:аются через скалярные величины х/^ G.25). Вели-
Величины xi(s), ... , X4(s) являются характеристиками внутренней
геометрии траектории деформации; иначе говоря, траектория
деформации с точностью до положения в пространстве дефор-
деформаций Э5 определяется однозначно заданием xi(s), X2(s), хз(з),
x4(«s).
Используя обобщенные формулы Френе G.26), можно произ-
производную любого порядка вектора s(s) no s и интеграл любой крат-
кратности от э(з) по «s (траектории, для которых существует беско-
бесконечное число производных э по s), выразить через pi, ... , рб-
Поэтому любой векторно-линейный оператор Ь(э) над э по s
с коэффициентами, зависящими от х& и «s, можно представить
в виде
(к = 1,2,..., 5),	G.27)
где А& функционально зависят от xi, ... , Х4 и s. Следовательно,
Ь(э) определяется только внутренней геометрией траектории
деформации, т. е. оператор Ь(э) является инвариантом преобра-
преобразования вращения и отражения в пространстве деформаций Э$-

7.10. Основы общей математической теории пластичности	179
В силу большой общности оператора Ь(э) любой физический
вектор, связанный с траекторией деформации и представленный
в форме G.27), также будет определяться внутренней геомет-
геометрией траекторий деформации.
Среди физических величин нас в первую очередь будет инте-
интересовать вектор напряжений сг, который может быть построен
совершенно аналогично вектору деформаций е. При заданном
давлении р = — а напряжения определяются пятью независи-
независимыми компонентами тензора девиатора напряжений Sij. Введем
пространство напряжений, в котором задается вектор напряже-
напряжений сг с координатами о\, ... , о§, причем последние связаны с
s^ соотношениями, аналогичными G.24):
G\lу/2 = 5ц COS (/3 + 7г/6) — 522 sin/3,
G2/V2 = Sn Sin (/3 + 7г/6) + 522 COS /3,
В свою очередь, девиатор s^ выражается через а^ по фор-
формулам, аналогичным G.23).
В пространстве напряжений конец вектора сг будет описы-
описывать траекторию, которую будем называть траекторией нагру-
эюения.
В силу сказанного выше, вектор напряжений сг в каждой
точке траектории деформации может быть представлен в виде
G.26)
о- = Afcpfe,	G.28)
причем А& в общем случае являются скалярными функционала-
функционалами параметров кривизны и кручения по длине дуги s:
А/с = АЛ{хш(?), ?}Ц (Л = 1, • • • , 5; m = 1, ... , 4).
В приложениях удобно использовать не векторную запись, а со-
соотношения между тензором напряжений оц и тензором дефор-
деформаций Sijl
где ?%— базис, связанный с ?^-, например, соотношениями
Здесь fk —заданные линейно независимые функции. В G.28) Ак
являются функционалами инвариантов тензора деформаций ец.
Если вектор напряжений а задавать его модулем а и угла-
углами а\, ... , «5 ориентации а во введенном ранее естественном

180	7. Основы теории пластичности
ортогональном репере р& траектории деформации, то можно за-
записать:
а = Ф{хш(?), ?}Ц, oti = а*{хш(?), ?}*=?,
причем среди с^ — независимых четыре.
Совокупность траектории деформации, физических векто-
векторов, связанных с траекторией деформации в каждой ее точке,
и скалярных величин - температуры Т, давления р и т. п. — на-
называется образом процесса нагружения тела в пространстве
деформаций. С использованием понятия образа процесса сфор-
сформулирован, лежащий в основе представления G.28) постулат
изотропии : образ процесса нагружения в пятимерном про-
пространстве деформаций Э$ определяется только внутренней гео-
геометрией траектории деформации и скалярными величинами —
давлением p(s), температурой T(s) и др.
В силу постулата изотропии, образ процесса нагружения ин-
инвариантен относительно преобразований вращения и отражения
в пространстве деформаций Э$. Это обстоятельство позволяет
сократить число экспериментов по исследованию упругопласти-
ческих свойств материала при произвольных сложных нагруже-
ниях, включая и переменные нагружения.
Постулат изотропии проверялся экспериментально и к на-
настоящему времени получил весьма убедительное обоснование.
Здесь в первую очередь следует отметить работы Ленского х) и
других авторов. Большей частью это были опыты с тонкостен-
тонкостенными трубками, которые испытывали растяжение и кручение (в
том числе с изменением направления кручения) в любой после-
последовательности.
При соответствующем выборе системы координат в рассма-
рассматриваемом случае для несжимаемого материала будем иметь
эц = ?ц, s>22 = з>зз = -?п/2, э12 = 712/2, где 712 — деформация
сдвига. Принимая в формулах G.24) /3 = 0, получим
л/2	п
^Г612, 3>2 = 3>4 = 3>5 = 0.
Таким образом, в нашем случае только два компонента вектора
деформации отличны от нуля. Ими на плоскости э\~э% задается
процесс деформаций по произвольной программе.
Рассмотрим, например, процесс деформаций, представлен-
представленный на рис. 7.16. Сначала растянем образец до некоторой дефор-
деформации э'ъ затем, сохранив эту осевую деформацию неизменной,
закрутим образец до деформации э73. Далее, сохранив э73, увели-
*) Ленский Виктор Степанович A913-1998), механик, профессор МГУ,
известен теоретическими и, особенно, экспериментальными работами в
области пластичности.

7.10. Основы общей математической теории пластичности
181
I
а
л
А
/
/
/а
Рис. 7.16
чим деформацию э[ (траектория /). В каждой точке траектории
с помощью экспериментальных замеров может быть построен
вектор напряжения.
Если постулат изотропии верен, то
построенные в точках траектории //
(э% = э'^ э'[ = э'3) являются отражени-
отражением траектории / относительно биссек-
биссектрисы координатного угла, векторы
напряжений должны быть отражени-
отражением соответствующего вектора траекто-
траектории /. Из опытов обнаружено, что дей-
действительно в соответствующих точках
траекторий lull векторы напряже-
напряжений с высокой степенью точности ори-
ориентированы относительно траекторий
и совпадают по модулю.
Разнообразие исследованных при экспериментальной провер-
проверке постулата изотропии траекторий деформаций, набор исполь-
использованных чистых металлов и сплавов позволили утверждать,
что постулат изотропии является общим законом поведения пер-
первоначально изотропного материала при произвольных нагруже-
ниях.
3. Принцип запаздывания векторных и скалярных
свойств. Ориентация и модуль вектора напряжений относи-
относительно траектории деформации определяются не всей истори-
историей процесса деформирования из начального состояния, а лишь
некоторым конечным участком траектории деформации (след
запаздывания), непосредственно предшествующим рассматри-
рассматриваемому моменту.
Обозначим величину следа запаздывания через /г, которая в
зависимости от материала колеблется в пределах C-10)бт, где
еТ — предел текучести по деформации при чистом растяжении.
Рекомендуется определять величину h из опытов по анализу
векторных свойств, поскольку свойство ограниченной «памяти»
скалярных свойств проявляется на меньших участках траекто-
траектории деформации.
С учетом принципа запаздывания векторных и скалярных
свойств функционалы А& в G.28) запишутся в виде
Принцип запаздывания скалярных и векторных свойств яв-
является особенно важным при исследовании циклических нагру-
жений, поскольку в этом случае длина дуги траектории дефор-
деформации, в отличие от самих деформаций, при большом числе ци-
циклов может быть значительной, и учет всей предыстории был
бы практически крайне затруднительным.

182	7. Основы теории пластичности
Введем следующие понятия. Траекториями простого нагру-
жения (деформирования) будем называть траектории в про-
пространстве деформаций, для которых единичный вектор э/э по-
постоянен (не изменяется в процессе нагружения). По сути, это
прямые, проходящие через начало координат. Все другие тра-
траектории будем называть траекториями сложного нагружения
(деформирования).
Заметим, что и в пространстве напряжений траектория в
случае простого нагружения есть прямая линия, проходящая че-
через начало координат.
Введенные здесь более строгие формулировки полностью со-
согласуются с принимавшимися ранее.
4. Гипотеза о разгрузке и деформационная анизотро-
анизотропия. Допускается возможность представления тензора напря-
напряжений в виде суммы упругой и пластической части
При этом тензор упругих деформаций связан с тензором на-
напряжений обобщенным законом Гука, который для изотропного
материала можно записать в виде
э\ = 6е - ?%• = ^., ее = —,	G.30)
где ее = {e\i + ?22 + 6зз)/^5 G — модуль сдвига; К — модуль объ-
объемной деформации.
Предположим, что среднее напряжение а пропорционально
относительному изменению объема:
о = 3Кб.	G.31)
Сравнивая G.30) и G.31), заключаем, что е = ер, а значит,
относительное изменение объема ev за счет пластической части
деформации в этом случае равно нулю. Поэтому соотношение
G.29) можно записать и для девиаторов:
Згз — Jij т- Ь-, Э- — ?-.
Отсюда следует соотношение и для вектора деформации
э = эе + эр.
Будем говорить, что на некотором участке траектории де-
деформации осуществляется разгрузка, если на этом участке век-
вектор э^ остается постоянным. Поэтому можно заключить, что при
продолжении нагружения из некоторой точки М траектории де-
деформации (такой, что в этой точке dsp/ds Ф 0) всевозможные
траектории разобьются на два множества.
Траектории одного множества обладают тем свойством, что
при движении по ним вектор пластической деформации остает-
остается неизменным, т. е. происходит разгрузка. При движении вдоль

7.10. Основы общей математической теории пластичности	183
траектории другого множества изменяется и вектор пластиче-
пластической деформации эр, иначе говоря, осуществляется активное
нагружение (активная деформация).
Траектории активной деформации и разгрузки в пятимер-
пятимерном пространстве Э$ разделены некоторой поверхностью ^(э) =
= 0, проходящей через точку М. Эту поверхность будем на-
называть поверхностью текучести, а соответствующую поверх-
поверхность в пространстве напряжений — поверхностью нагруэюений.
Вид поверхности текучести и поверхности нагружений зависит от
предшествующего (до точки М) участка активного нагружения.
Изменение коэффициентов упругости вследствие пластиче-
пластического деформирования [деформационная анизотропия) наблю-
наблюдал еще Баушингер. Учетом влияния активного нагружения на
их величину занимались многие исследователи [30]. На важ-
важность изменения коэффициентов упругости в теории пластично-
пластичности (особенно в теории течения) указал Ильюшин [15]. Количе-
Количественно изменение коэффициентов упругости при пластическом
деформировании может достигать 15-20 % .
5. Постулат пластичности. Работа вектора напряжений
W3 по любой замкнутой в пространстве деформаций траектории
равна нулю, если на всей траектории не происходит изменение
вектора пластической деформации эр, и положительна, если хо-
хотя бы на некоторых участках траектории вектор пластической
деформации не остается постоянным. Иначе, работа вектора на-
напряжений
Г	f
W3 = <b ak dek = Ф sij daij > 0
на любом замкнутом в Э5П0 деформациям процессе неотрица-
неотрицательна.
Этот постулат отвечает на вопрос: существует ли на данной
траектории участок активной деформации?
Если рассмотреть процесс нагружения, замкнутый не по де-
деформациям, а по напряжениям, и определить соответствующую
работу Wg, то окажется [15], что всегда W^ ^ W3l т. е. из условия
W3 > 0 следует W3' > 0.
Полная работа напряжений, как известно, может быть пред-
представлена в виде
W = (Jij deij = / sij dd{j + 3 ads.
= (Jij deij = / sij dd{j + 3
Если а = 3Кб, и процесс является замкнутым по деформа-
деформациям, то второй интеграл равен нулю (нет приращений объем-
объемных пластических деформаций), поэтому W = W3i и из условия
W3 ^ 0 в этом случае следует W ^ 0.
Из условия W ^ 0 следует, что если ^(э)= 0 —уравнение
поверхности текучести, то в любой точке на поверхности
dsp =

184	7. Основы теории пластичности
т. е. приращение пластической деформации направлено по нор-
нормали к поверхности F. Здесь D — некоторый функционал, опре-
определяемый предысторией деформирования, А —параметр нагру-
жения. Это соотношение обычно называют ассоциированным с
поверхностью текучести F(s) = 0 законом текучести. Оно яв-
является основой при построении различных вариантов теории
течения.
7.11. Упругопластический изгиб
круглой трехслойной пластины
Предположим, что материалы слоев круглой трехслойной
пластины (см. рис. 6.11), рассмотренной в § 6.14, в процессе де-
деформирования могут проявлять упругопластические свойства.
Для их описания используем соотношения теории малых упру-
гопластических деформаций G.9). Компоненты тензора напря-
напряжений представим через девиатор и шаровую часть тензора де-
деформаций в виде
Здесь, как и ранее, к— номер слоя; и)^{е^)—функция пластич-
пластичности материала к-то слоя; е\ — интенсивность деформаций в
этом слое. Объемное деформирование считаем упругим.
Выделим в напряжениях G.32) линейную и нелинейную со-
составляющие:
= а(к) _ (к) (к) = (к) _ (к)
иае иаио •> urz urze urzuo->
G-33)
Внутренние усилия и моменты в слоях пластины также пред-
представим в виде разности линейной и нелинейной частей:
rn(k) _ rri(k) _ rri(k) yr(k) _
a	ae	auo ">	a
Q = Qe — Quj \a = r-> ^)-
ВелИЧИНЫ Tae •> TaJ, Mae , MaJ, Qe-> Qu ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ПО фор-
(k)
мулам F.50), в которых нужно величины аа заменить соответ-
соответственно напряжениями аае , <jaj G.33). После этого обобщенные

7.11. Упругопластический изгиб круглой трехслойной пластины 185
внутренние усилия будут следующими:
з	з
т —т —Т — V^ т(*0 — V4 т(*0
¦*а — -^ае ±аиз — / J ± ае / ; ± аи •>
k=l	к=1
3	3
Ма — Мае — Маи — ^ iv±ae — ^ ivj-auj •>	(*j 34)
k=l	k=l
— Ы^ 4- г (т^ — ТB)^
Подставив выраж:ения G.34) в систему уравнений равнове-
равновесия в усилиях F.55), описывающую деформирование круглой
трехслойной пластины, получим
Tr^ + -{Tr-Tv) = -p + Pco,
г
Hr,r+1-{Hr-H4>)-Q = hUJ,	G.35)
- M<p,r) = -q + qu.
Г
Здесь в левой части уравнений собраны линейные составляющие
обобщенных внутренних усилий, причем индекс «е» опущен для
удобства. Нелинейные добавки сосредоточены справа и включе-
включены в слагаемые с нижним индексом «о;»:
Puj = -*-ruJir \~\l-rijj -Lipuj)')
r
-{Hru — Hyu) — QUl	G.36)
r
дш = Mru,rr + -BMruJ,r -M^.r).
r
Линейные обобщенные внутренние усилия по-прежнему вы-
выражаются через перемещения формулами типа F.57), поэто-
поэтому система нелинейных дифференциальных уравнений равно-
равновесия^.35) в перемещениях принимает следующий вид:
= — р
2cG^ = hu,	G.37)
= —q + ди-

186	7. Основы теории пластичности
Здесь коэффициенты щ и дифференциальные операторы L2
(оператор Бесселя), L% определяются соотношениями F.59).
Согласно методу упругих решений перепишем систему G.24)
в итерационном виде:
L2(alUn + а2фп - asw? ) = -р+р%~\
L2(a2un + а4фп - abw™r) - 2cG^n = /#~\	G.38)
L3(a3un + аъфп - aew?r) = -q + q^'1.
Здесь п — номер приближения, величины р1^1, h^~l, q™~1 на-
называют «дополнительными» внешними нагрузками и на первом
шаге полагают равными нулю, а в дальнейшем вычисляют по
результатам предыдущего приближения. При этом используют
формулы типа G.36), в которых все слагаемые имеют индекс
«п — 1» вверху:
П — 1 	 грП — 1 _|_ ^(rpri — l _ грП — \
7П—1 	 ТТП—1 _|_ ^ ( ТТП— 1	TJTI— \\
пиз — rLruj г ~г ~\rLi
' г
,/1-1 _ 7bf^-l I I
^cj	ru.rr '
'	г
При этом
3	3
грп-1 — V~^ [ (к)п-1 1 _ ST^ [
аи — /_^ J oluj	— /^ J
k=1hk	k=1hk
3	3
f
k=1hk	k
G.40)
jjn-l _ MC)n-l , fT(l)n-l _ ТB)п-Л
ОГ1 = J2G^{e^n-l)9f>-1 dz (a = r, <p).
—c
Таким образом, на каждом шаге приближения мы имеем ли-
линейную задачу теории упругости с известными дополнительными
«внешними» нагрузками, которые вычисляются по формулам
G.39), G.40). Процедура получения решения системы уравнений
G.38) с учетом его гладкости в центре пластины не отличается
от примененной для соответствующей задачи теории упругости
F.58)-F.67).

7.11. Упругопластический изгиб круглой трехслойной пластины 187
В результате получаем решение задачи упругопластичности
в рекуррентном виде:
ип =
а3
аз
. G41)
a
t].
Здесь частное решение неоднородного модифицированного
уравнения Бесселя имеет вид
где
Г (г) =
В случае граничных условий заделки пластины по контуру по-
получаем следующие рекуррентные формулы для констант интег-
интегрирования:
с?—
г=1
г=1
G.42)
= 2(^Ь21(р-р^-1)-Ьз1(д->
n~l
г=1
— V~b2 \P~Pcu ) -
r=l
При шарнирном опирании контура константы интегрирова-
интегрирования С2, CJ, С™ будут прежними, а С™ определяется по ти-
типу F.70). Результаты численного исследования решения типа
G.41), G.42) приведены далее в § 8.4 и 10.5.
Таким образом, применение метода упругих решений для од-
однородных и для слоисто-неоднородных упругопластических тел
позволяет получать аналитические решения задач теории малых
упругопластических деформаций.

ПЕРЕМЕННЫЕ НАГРУЖЕНИЯ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
При оценке работы несущих элементов конструкций в усло-
условиях циклического изменения силовых и температурных парамет-
параметров возникают специфические проблемы. Они в первую очередь
связаны с определением соответствующих напряжений и дефор-
деформаций и формулированием условий возникновения предельных
состояний — нарушение прочности, появление недопустимых пе-
перемещений и т. п. Характерной особенностью циклических дефор-
деформаций упругопластических тел, в отличие от упругих, является
влияние предыстории на состояние в данный момент времени.
Ниже рассмотрен один класс простых переменных нагружений,
в том числе при температурных и радиационных воздействиях,
для которого указана возможность построения решения краевой
задачи на любом полуцикле, если известно решение при нагру-
жении из естественного состояния.
8.1. Основы теории Москвитина
При циклических нагружениях упругопластических тел, в
частности, вследствие изменения механических характеристик
материала происходит перераспределение напряжений и дефор-
деформаций. Различные гипотезы, позволяющие построить зависи-
зависимости между напряжениями и деформациями при переменных
нагружениях упругопластических материалов, предлагались
Мазингом1), Шойи2), Вулли3) и другими. Гипотезы первых
двух авторов позволяли построить кривую повторного знако-
знакопеременного деформирования, если известна только диаграмма
начального нагружения (принцип Мазинга). Экспери-
Экспериментально обоснованными являлись гипотезы Вулли, которые
включали в себя экспериментальные данные.
Москвитин 4) ввел в гипотезу Мазинга некоторый масштабный
параметр, определяемый экспериментально. При этом допуска-
х) Мазинг (Masing G., 1885-1956), немецкий металлофизик.
2) Шойи (Shoji H.), японский инженер-механик.
) Вулли Р. Л. (Wooley R. L.), английский инженер-механик.
4) Москвитин В. В. A922-1983), механик, профессор МГУ, основополож-
основоположник современной теории переменных нагружений упругопластических и
вязкоупругопластических тел.

8.1. Основы теории Москвитина
189
лась возможность изменения этого параметра от цикла к циклу,
что позволило учесть в какой-то степени изменения упругопла-
стических свойств материала в зависимости от числа циклов
нагружений (обобщенный принцип Мазинга-Москвитина). Им
доказан ряд теорем о переменных нагружениях и введена клас-
классификация пластических материалов: материалы циклически
упрочняющиеся, циклически разупрочняющиеся и циклически
стабильные (идеальные). Впоследствии Москвитин рассмотрел
переменные нагружения в рамках общей математической тео-
теории пластичности Ильюшина. Сходимость метода последова-
последовательных приближений при сложных переменных нагружениях
исследовалась Городецким г) .
В дальнейшем циклическими (переменными)нагружжениями
тел будем называть такие изменения во времени силовых внеш-
внешних параметров, когда во всем теле или в его конечных обла-
областях происходит чередование нагружения и разгрузки. Говоря
о «нагружений тела из естественного (исходного) состояния»,
будем иметь в виду, что оно не подвергалось предшествующему
деформированию, и в нем отсутствуют какие-либо напряжения
и деформации до приложения нагрузки.
Приведем условия, при выполнении которых будут справед-
справедливыми уравнения типа теории малых упругопластических де-
деформаций, используемые Москвитиным для описания повтор-
повторных и знакопеременных нагружений.
1.	Разгрузка и последующее по-
вторное нагружение до точки, соот-
соответствующей началу разгрузки, про-
происходит линейно, вдоль прямой ОМ
(рис. 8.1). Площадь петли гистерези-
гистерезиса для большинства материалов мала
и в дальнейшем не учитывается.
2.	При повторном нагружений в
направлении О'М пластические де-
деформации начнут изменяться в том
случае, когда будет достигнута точ-
точка М. Дальнейшее нагружение будет
проходить вдоль М1 М, причем диа-
диаграмма ОММ' характеризует упругопластические свойства ма-
материала в его исходном состоянии. Таким образом, в этом слу-
случае нагружение будет происходить так же, как если бы не было
разгрузки. Предел текучести при этом является величиной пе-
переменной, зависящей от предшествующего напряженного и де-
деформированного состояния.
Рис. 8.1
^Городецкий А. В. О сходимости методов последовательных приближе-
приближений в случае одного класса сложного переменного нагружения // Вестн.
МГУ: Мат. Мех. 1980. № 4. С. 62-66.

190	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
3.	Будем считать, что прямая О'М параллельна прямой упру-
упругого нагружения из исходного состояния, т. е. что пластическое
деформирование не изменяет величины упругих постоянных,
характеризующих упругие свойства материала в исходном со-
состоянии.
4.	Знакопеременное нагружение до появления новых пласти-
пластических деформаций происходит вдоль прямой O'N', являющейся
продолжением прямой МО'. Внутренняя геометрия кривой по-
последующего пластического деформирования NN' зависит, вооб-
вообще говоря, от положения точки М на диаграмме ОММ'.
Приведенные условия предполагаются справедливыми при
любом номере нагружения.
Рассмотрим твердое тело, не имеющее начальных напряже-
напряжений и деформаций. Пусть в начальный момент времени to = 0
на тело начинают действовать объемные F[ и, на части внеш-
внешней границы Sai поверхностные силы Щ. Эти силы и граничное
перемещение u'oi на части границы Su вызывают в теле напря-
напряжения а'-, деформации е\л и перемещения и[. При этом в теле
появляются области пластических деформаций. В упругих обла-
областях твердого тела справедлив закон Гука:
8^ = 2Сэ'ф а' = Же',	(8.1)
где s'ij, ^- — компоненты девиаторов, а а7, б7 —шаровые состав-
составляющие тензоров напряжений и деформаций; G, К — модули
сдвига и объемной деформации.
Для тех областей твердого тела, где появились пластические
деформации, связь девиаторов можно представить в виде
4 = 2Оэу (е'и, а'к).
Здесь f (е'и, а'к) —функция пластичности, введенная Ильюши-
Ильюшиным, е'и — интенсивность деформации, а'к — аппроксимационные
параметры, определяемые внутренней геометрией кривой де-
деформирования.
На границе областей упругих и пластических деформаций
должно выполняться условие пластичности е'и = е'Т (е'т — дефор-
деформация, соответствующая пределу пластичности а'т при нагруже-
нии из естественного состояния).
Таким образом, в деформируемом теле связь между напря-
напряжениями и деформациями представима в виде
s'ij = 2G%/' (s'u, 4) , а' = Ше',	(8.2)
причем функцию пластичности следует положить f (е'и, а'к) =
= 1 в тех областях, где е'и ^ е'т.
К соотношениям (8.1), (8.2) добавим дифференциальные урав-
уравнения равновесия и граничные условия, а также соотношения

8.1. Основы теории Москвитина
191
Коши в предположении малости деформаций
= R'i на
= u'oi на
3.3)
где lj — направляющие косинусы нормали к части поверхности
тела Sa.
Пусть теперь, начиная с некоторого момента времени t = ti,
осуществляется мгновенная разгрузка и последующее нагруже-
ние усилиями i^7/, Щ с граничным пере-
перемещением и^. Причем будем считать, что
эти силы и перемещения обратны по знаку
к силам и перемещениям, которые были
перед началом разгрузки. Схематично
процесс показан на рис. 8.2. Указанные
воздействия вызывают в теле напряже-
напряжения а",, деформации е"а и перемещения
а,,
еа
и", для которых остаются справедливыми
соотношения (8.3)
а"л • + pF" = 0, с
иг — u0i на
j — -thj на *3<j,
3-4)
s*
а;,
_—¦—¦¦
Л
1
^ сг*
(Г
г——-
сгт
рис
Связь напряжений с деформациями для них запишем сле-
следующим образом:
4 = 2G4- /" «1, ^, 4) , о" = Же".	(8.5)
Здесь f" (s'ul, е'^ а'?) — функция пластичности при повторном
знакопеременном нагружении, зависящая от предшествующей
разгрузке интенсивности деформаций е'и1] интенсивности дефор-
деформации е'и и аппроксимационных параметров а^, описывающих
кривую деформирования второго полуцикла. Причем функцию
пластичности f" следует положить равной единице в тех обла-
областях, где не появились новые пластические деформации, т. е.
е"и ^ е" по модулю, е'^ — деформация, соответствующая пределу
пластичности <т" при повторном нагружении. Характеристики
6^, а" зависят, вообще говоря, от значений интенсивностей де-
деформации и напряжения е'и1 и аги1, существовавших непосред-
непосредственно перед началом разгрузки. Конкретней, от того, проис-
происходило ли в данной точке тела пластическое деформирование
или нет.
Уравнения (8.4), (8.5) определяют краевую задачу для вели-
величин с двумя штрихами. Ее сложность заключается в зависимо-
зависимости искомого решения от точки разгрузки (б^, ^i), так как в
каждой точке необходимо ставить свою краевую задачу и полу-
получать свое решение.

192	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
Рассмотрим одну возможность избежать этих трудностей.
Введем разности для момента времени t > t\\
* 		/	//	* 		I	II	/Q П\
Аналогичные разности вводятся для девиаторов и шаровых
частей тензоров напряжений и деформаций. Величины с одним
штрихом соответствуют своим значениям перед разгрузкой.
В областях тела, где появились новые пластические дефор-
деформации, девиаторы тензоров напряжений и деформаций со звез-
звездочками связаны соотношениями
4 = 2G4/*«,4i,4)-	(8.7)
Здесь /*(б^, e'ui, a?), вообще говоря,— некоторая новая универ-
универсальная функция, описывающая нелинейность диаграммы де-
деформирования а* ~ ?* (см. рис. 8.2). На линейном участке сле-
следует /* = 1.
Первая попытка сравнения кривой повторного знакопере-
знакопеременного деформирования с соответствующей кривой при первом
нагружении была предпринята Мазингом в 1926 г. Он предпо-
предположил, что эти кривые совпадают, если /* построить в осях с
удвоенным масштабом и обратным направлением, т. е.
В этом случае вид кривой повторного нагружения не зависит от
величины предшествующей деформации еи1.
Теория Мазинга подвергалась экспериментальной проверке.
Результаты не подтвердили предположение Мазинга для всего
исследуемого диапазона начальных деформаций, особенно при
их значительной величине. Однако для начальных деформаций
вблизи предела текучести принцип Мазинга удовлетворительно
описывает повторные нагружения.
В начале 50-х гг. Москвитин обобщил гипотезу Мазинга, вве-
введя соотношение
r = af'(?),	(8.8)
где а — масштабный коэффициент, определяемый эксперимен-
экспериментально.
Другое предположение, высказанное Москвитиным впослед-
впоследствии, заключается в том, что кривую /* можно описать функ-
функцией такого же аналитического вида, что и при нагружении из
естественного состояния, но с другими аппроксимационными па-
параметрами а^, определяемыми экспериментально. Следователь-
Следовательно, если /' = /' (ew, ark), то
r = f'(ela*k).	(8.9)

8.1. Основы теории Москвитина	193
Вводя достаточное количество постоянных, можно удовле-
удовлетворить предположению (8.9) с достаточной степенью точности,
что в свою очередь позволит использовать теорему о перемен-
переменном нагружении практически для произвольных кривых цикли-
циклического деформирования.
Таким образом, если принять соотношения (8.8) или (8.9),
то это позволит избавиться от зависимости кривой повторного
знакопеременного нагружения от точки разгрузки.
Выпишем остальные уравнения для величин со звездочками.
У шаровых тензоров связь остается линейной во всем теле, так
как и при первом (8.2), и при втором (8.5) нагружениях она
везде принималась линейной:
а* = ЗКе\	(8.10)
К соотношениям (8.7)—(8.10) следует присоединить диффе-
дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и соот-
соотношения Коши, следующие из линейности соотношений (8.3),
(8.4):
а\3Ц = Щ, Щ = Д- - Щ на Sa-	(8.11)
ui = uoi = u'oi ~ иш на su, 2e*j = u*,j +u*j,i-
При этом считается, что части внешней границы тела Sa и
SUl на которых задаются соответственно напряжения и переме-
перемещения, сохраняются теми же, что и при предшествующем на-
нагружении.
Дополнительно будем предполагать, что при переменном на-
нагружении пластические деформации не распространяются на
области, в которых при первом нагружении возникли только
упругие деформации.
Соотношения (8.7)—(8.11) образуют новую краевую задачу
для величин со звездочками, причем для описания функции /*
принимается либо обобщенный принцип Мазинга-Москвитина
(8.8), либо предположение (8.9).
Сравнивая соотношения (8.1)—(8.3) для тела при нагруже-
нагружении из естественного состояния и соотношения для величин со
звездочками (8.7)—(8.11), отмечаем, что они совпадают с точно-
точностью до обозначений. Поэтому решение задачи для величин со
звездочками можно получить из известного решения задачи, со-
соответствующей нагружению из естественного состояния, путем
некоторых замен. Например, если известно перемещение
то соответствующее перемещение со звездочкой будет следую-
следующим:
и- =и[(х, el, e*, 4),
7 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

194	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
где ?* = е'Т — е". Искомое перемещение при повторном знакопе-
знакопеременном нагружении определяется из соотношения типа (8.6)
< = <-<.	(8.12)
Напряжения и деформации также вычисляются по формулам,
подобным (8.12).
Полученный результат можно распространить на случай лю-
любого n-го циклического нагружения. Пусть при n-м нагружении
внешними силами F™, Щ при граничных перемещениях и^ воз-
возникают напряжения <т™-, деформации е^ и перемещения и™. При
этом должны удовлетворяться уравнения равновесия, гранич-
граничные условия и соотношения Коши:
< = <на5и, 2е? = <,+«?*.
Введем следующие разности:
Тогда оказываются справедливыми и соотношения типа (8.13)
для величин со звездочками:
uij ij V г	'	г	^	' \ г	г п
^~а 7 ~~ ~^i на i^q-j и^ ^ ^Oz на *з^5
R*n = {-1ПЩ-1 - Щ), «s? = (-^"Кг1 - О;
Примем, что при любом n-м нагружении связь между шаро-
шаровыми составляющими тензоров напряжений и деформаций оста-
остается упругой. Повторяя предыдущее предположение о возмож-
возможности описания кривых s'- ~ э\- и s*™ ~ э*? либо с помощью
обобщенного принципа Мазинга-Москвитина, либо функциями
нелинейности одинакового аналитического вида
j I—J •>
заключаем, что решение задачи для величин со звездочками
(8.14), (8.15) при любом n-м нагружении можно получить из ре-
решения задачи, соответствующей нагружению из естественного
состояния. Например, если известно перемещение
и{ =

8.2. Термопластичность при переменных нагрузках
195
то соответствующая величина со звездочкой
7.*п _
Искомое перемещение и™ найдем, обобщая (8.12):
(_л\к *к
I -L I LJLj .
U6)
k=2
Напряжения и деформации вычисляются по формулам типа
(8.16).
В соотношениях (8.15) ап=а(п) —так называемые масштаб-
масштабные коэффициенты, определяемые из экспериментов. При этом
для циклически упрочняющихся материалов следует принять
ап > 2, для разупрочняющихся — ап < 2, для циклически иде-
идеальных материалов — ап = 2 (случай ап = 2 соответствует иде-
идеальному принципу Мазинга). В приводимой ниже таблице, заим-
заимствованной из [30], даны значения констант ^их при степенной
аппроксимации функции а(п):
ап = а(п) = «2(п - \у.
Таблица 8.1
Материал
Алюминиевый сплав В-96
" В-95
м д1бТ
Сталь ТС (n ^ 11)
ТС (п > 11)
2,08
1,95
2,02
1,93
2,10
0,047
0
0,030
0,011
-0,024
Отсюда следует, что алюминиевые сплавы В-96 и Д16Т явля-
являются циклически упрочняющимися материалами, сплав В-95 —
материал циклически идеальный, сталь ТС после первых 11 ци-
циклов становится циклически разупрочняющимся материалом.
8.2. Термопластичность при переменных нагрузках
Рассмотрим в рамках теории малых упругопластических де-
деформаций процесс неизотермического нагружения из естествен-
естественного состояния твердого деформируемого тела внешними сила-
силами Fi, Ri при граничном перемещении г^ог- Температура Т(ж, t)
отсчитывается от некоторого начального состояния Tq.

196	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
Примем, что зависимость между средним напряжением, от-
относительным изменением объема и температурой имеет вид
То+Т
a = 3K(T)(s-a0T), а0 = ± J a(T)dT,	(8.17)
То
где а(Т) —коэффициент линейного теплового расширения. Мо-
Модуль объемной деформации К может, вообще говоря, зависеть
от температуры.
Соотношение между девиаторами напряжений и деформа-
деформаций, как было показано, имеет различный вид — происходит ли
активное нагружение, разгрузка или возникают новые (вторич-
(вторичные) пластические деформации. Если в некоторой области тела
V" не происходит изменения пластических слагаемых деформа-
деформаций, соответствующее соотношение имеет вид
l	J-9'lj),	(8.18)
где s'ij, э[- — девиаторы напряжений и деформаций перед нача-
началом разгрузки; G — зависящий от температуры модуль сдвига.
В области V^, где не появлялись пластические деформации,
будет
sl3 = 2G{T)dl3.	(8.19)
В области Vp активного нагружения из естественного состоя-
состояния справедливо соотношение
Sij = 2G9ijf{eu, Г),	(8.20)
причем здесь учтено, что универсальная функция пластичности
может содержать температуру Т.
Наконец, в области Vp вторичных пластических деформа-
деформаций, появляющихся в результате разгрузки, примем соотноше-
соотношения в следующей форме:
s^ - s'ij = 2Gf*(e*u, Г)(эу - 4).	(8.21)
При ?* ^ ?* следует /* = 1, и зависимость (8.21) переходит в
(8.18).
Запишем соотношения на границах указанных областей. На
границе Гх зон V? и V' должно выполняться условие
и
2G(T)
На границе Г2 областей Vp и V" начинается разгрузка, что со-
соответствует условию deu/dt < 0. На границе областей V" и Vp
будет
cu ~ ^-tv-1 ) — 2G '

8.2. Термопластичность при переменных нагрузках	197
Отметим еще, что в областях активного нагружения соответ-
соответствующие интенсивности деформации не должны убывать:
— > 0 в области V' ^>0в области V"
dt	р dt	p
Приведенные соотношения позволяют различать процессы на-
нагружения и разгрузки.
К выписанным уравнениям (8.17)—(8.21) присоединим оче-
очевидные соотношения и граничные условия
+ pFi = 0; Gijlj = Ri на Sa, щ = uoi на Su;
.ZZ)
Температура Т(ж, t) в случае несвязанной задачи термопла-
термопластичности должна удовлетворять уравнению теплопроводности
pc^ = div(A0(T)gradT) + ^*, Т(х, 0) = Го,	(8.23)
где р — плотность, с —удельная теплоемкость, Ао — коэффици-
коэффициент теплопроводности, W* — интенсивность источников тепла.
К уравнению (8.23) следует добавить граничные условия, ко-
которые мы здесь не конкретизируем.
Таким образом, задача термопластичности с учетом разгру-
разгрузок и вторичных пластических деформаций поставлена в рам-
рамках теории малых упругопластических деформаций. При этом
на изменения во времени внешних нагрузок, граничных переме-
перемещений и температуры накладываются ограничения, требующие,
чтобы соответствующие траектории нагружения не относились
к классу существенно сложных нагружений (см. § 7.9).
Заметим, что здесь рассмотрен общий случай, когда осуще-
осуществляется взаимодействие внешних нагрузок с нестационарны-
нестационарными температурными полями. Представляет также значительный
интерес случай свободных тел, в которых переменные нагружения
осуществляются исключительно за счет изменения во времени
градиентов температурных полей. При этом возникает явление
термической усталости, когда элементы конструкций разруша-
разрушаются после небольшого числа циклов изменения температуры.
Москвитин рассмотрел случай переменного термосилового
нагружения, исследование которого сводится к задаче изотер-
изотермического нагружения из естественного состояния некоторого
фиктивного тела. Пусть, начиная со времени t = ti, внешние
силы изменяются таким образом, что во всех точках пластиче-
пластически деформируемых областей тела Vp происходит разгрузка и
последующее переменное нагружение объемными силами F" и
поверхностными силами Щ (на Sa) при граничном перемещении
и^ (на Su). При этом будем предполагать, что за все время раз-
разгрузки и последующего переменного нагружения температура

198	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
во всем теле остается неизменной, совпадающей с полем темпе-
температуры Т\{х) = Т(ж, t\) к моменту t\ начала разгрузки. Такое
условие реализуется, например, в случае, когда разгрузка и пе-
переменное нагружение осуществляются за ограниченный интер-
интервал времени, в течение которого температура в каждой точке
тела практически не изменяется. Обозначим соответствующие
напряжения, деформации и перемещения, как и раньше, через
a"-, e'lj, и". Для величин перед началом разгрузки сохраним обо-
обозначения а[-, е1^, и[.
Запишем уравнения состояния. В зонах V*e и V" разгрузки
и упругого деформирования справедливы соотношения (8.18),
которые в нашем случае запишутся в виде
J	J	J	J	J	J	J	J
(8.24)
В области Vp , где в процессе переменного нагружения проис-
происходит изменение пластических деформаций, должны быть спра-
справедливыми зависимости (8.21)
?;,TL.	(8.25)
Во всех точках тела зависимость (8.17) сохраняется. Перепи-
Перепишем ее для состояния перед началом разгрузки и для текущего
состояния:
а' = 3tf(Ti)(e' - a0Ti), a" = 3tf(Ti)(e" - a0Ti),
откуда следует
a* = 3K(T1)e*.	(8.26)
Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения
Коши для величин а*-, ?*•, и* даются зависимостями (8.11), (8.22)
а*- ¦ + oF* = 0 F* = F- — F"-
^З^З г г	'	г	г	г '
a^lj = Щ, Щ = Д- - Щ, на Sa;	(8.27)
ui = uli = и'ш ~ U'L на Su, 2e*j = u*j +uli.
Оценивая соотношения (8.24)-(8.27), заключаем, что вели-
величины a*-, ?*• есть напряжения и деформации, которые возни-
возникают в некотором неоднородном упругопластическом фиктив-
фиктивном теле при его изотермическом нагружении из естественного
состояния внешними усилиями F*, Щ при граничном переме-
перемещении Ufa. Фиктивное тело геометрически совпадает с рассма-
рассматриваемым, его упругопластические свойства характеризуются
переменными по координатам модулем сдвига G(Ti(x)I объем-
объемным модулем K(Ti(x))j универсальной функцией нелинейности

8.3. Термопластичность при переменных нагрузках	199
/*(б*, Т\) и пределом текучести ?*(Ti). Если указанная задача
о деформации неоднородного упругопластического тела решена,
то искомые величины найдутся из соотношений
Заметим, что решение краевой задачи для описанного неодно-
неоднородного упругопластического фиктивного тела значительно
упрощается, если можно усреднить температуру по его объему
и выразить функцию нелинейности /* через f с помощью со-
соотношений (8.8), (8.9). В этом случае мы избавляемся от неод-
неоднородности и можем воспользоваться выводами предыдущего
параграфа.
Применим теперь этот результат к определению остаточных
напряжений и деформаций, сохранившихся в теле после его пол-
полной разгрузки. В этом случае внешние усилия F", Щ и гранич-
граничное перемещение и'^ изменяются в пределах от соответствую-
соответствующих значений Fi{t\), Ri(t\), UQi(ti) до нуля, а следовательно,
величины F*, i?*, u^ изменяются от нуля до значений i^(ti),
Ri(ti), v>oi(ti). При этом необходимо различать два случая: в
первом случае при F* = i^(ti), Д* = Ri(h), и^ = uOi(ti) в
указанном выше фиктивном теле не возникают области пласти-
пластических деформаций, т. е. ?* ^ ?*(Ti) во всех точках тела; во
втором случае при указанных выше значениях внешних пара-
параметров возникают области вторичных пластических деформа-
ций, где е*и > е*(Тг).
В первом случае остаточные напряжения о^- и остаточные
деформации ??• определяются формулами (8.28)
4 = 4-4' 4 = 4-4' (8-29)
в которых (j^-, e\a—напряж:ения и деформации перед началом
разгрузки, a af-, sf- —напряжения и деформации, возникающие
в указанном выше неоднородном фиктивном теле при его упру-
упругом деформировании внешними силами i^(*i), Ri(ti), при гра-
граничном перемещении UQi(ti).
Во втором случае величины а^, ??• также определяются фор-
формулами (8.28). Однако теперь af- и ^—напряжения и дефор-
деформации, возникающие в неоднородном фиктивном теле при его
нагружении силами i^(ti), Ri{t\) с граничным перемещением
^Ог(^l)? если появились области пластических деформаций.
Как видим, для определения остаточных напряжений и де-
деформаций в рассматриваемом случае термопластичности имеет
место аналог соответствующих теорем Москвитина, приведен-
приведенных ранее.

200	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
8.3. Переменные нагружения упругопластических тел
в нейтронном потоке1)
Радиационное облучение твердых тел сопровождается мно-
многочисленными эффектами, в результате которых в них возни-
возникает объемная деформация #/, изменяются упругие и особенно
пластические характеристики вещества.
Нейтрон, обладающий достаточной кинетической энергией,
проходя через кристаллическую решетку, образует на своем пути
первичные, вторичные и т. д. атомы отдачи. Выбитые из кри-
кристаллической решетки, они оставляют вакантные места и, в кон-
конце концов, останавливаются в междоузлиях, что ведет к образо-
образованию в решетке парных дефектов Френкеля «атом внедрения —
вакансия». Атом может быть выбит из узла, когда он получит
некоторую пороговую энергию Ed- Если атом получает энергию,
меньшую Ed, то она рассеивается на возбуждение колебаний ре-
решетки (нагревание) без образования смещений. Взаимодействие
нейтронов с ядрами кроме упругого рассеяния может сопрово-
сопровождаться захватом нейтронов и делением ядер. При каждом ак-
акте распада выделяется энергия и образуются новые химические
элементы.
Нас интересует механическая сторона этого процесса, т. е.
возможность отражения в постановках и решениях краевых
задач теории малых упругопластических деформаций влияния
нейтронного облучения на напряженно-деформированное со-
состояние твердого тела.
Рассмотрим начально однородное изотропное тело, занимаю-
занимающее полупространство z ^ 0. Если на границу (z = 0) парал-
параллельно оси z падают нейтроны с одинаковой средней энергией
и интенсивностью <ро, нейтрон/(м2-с), то интенсивность потока
нейтронов, доходящих до плоскости z = const, будет [17]
ф) = ще-^.	(8.30)
Величина /i называется макроскопическим эффективным сече-
сечением. Для любого химического элемента
= а
и имеет порядок 1/см, причем здесь а — эффективное сечение,
отнесенное к одному ядру, щ — число ядер в 1 см3, Aq — число
Авогадро, р — плотность, А —атомный вес.
Если сро не зависит от времени, то в соответствии с (8.30) к
моменту времени t через сечение z пройдет интегральный поток
»z.	(8.31)
г) Этот параграф написан А. В. Яровой.

8.3. Переменные нагруэюения в нейтронном потоке	201
В грубом приближении можно считать, что изменение объема
вещества прямо пропорционально потоку I(z) и, следовательно,
где В — константа, получаемая из опыта.
Величина Iq = (fot дает суммарный поток нейтронов на еди-
единицу площади поверхности тела. В реакторах щ имеет поря-
порядок 1017-1018 нейтрон/(м2-с), a Iq достигает значений 1023-1027
нейтрон/м2, причем 6j достигает значений порядка 0,1. Следова-
Следовательно, в зависимости от энергии нейтронов и облучаемого мате-
материала величина В может быть порядка 10~28-10~24 м2/нейтрон.
Зависимость модуля упругости, пределов текучести, проч-
прочности и всей диаграммы растяжения от Iq различных энергий
исследована экспериментально после облучения образцов в
атомных реакторах. Опыты свидетельствуют, что, как правило,
модуль упругости изменяется слабо (возрастает на 1,5-5 %). Что
касается пределов прочности и особенно текучести, то они весь-
весьма чувствительны в отношении облучения.
Для массивных тел с плоской границей число проходящих на
глубине z под этой границей нейтронов за время t определяется
формулой (8.30), поэтому предел текучести будет переменным
по толщине z. На поверхности тела {z = 0) влияние радиации на
предел пластичности аТ вполне удовлетворительно описывается
формулой радиационного упрочнения [50]
где <тто —предел пластичности необлученного материала; А, ? —
константы материала, получаемые из эксперимента (см. § 11.4).
На глубине z эта формула принимает вид
где величина потока I(z) описывается формулой (8.31). Соот-
Соответствующие величины деформации обозначим через ?то, ?т.
Рассмотрим процесс комплексного воздействия на дефор-
деформируемое твердое тело внешних силовых и радиационных
нагрузок.
Пусть в начальный момент времени на тело, находящееся
в естественном состоянии, начинают действовать внешние силы
F/, R[ при граничном перемещении ufQi и одновременно нейтрон-
нейтронный поток величиной Iq = (ft. Предполагается, что под этим
комплексным воздействием в теле появляются области пласти-
пластических деформаций. Изменением модулей упругости за счет ней-
нейтронного облучения пренебрегаем. Возникающие в теле напря-
напряжения, деформации и перемещения помечаем одним штрихом
вверху.

202	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
В упругих областях твердого тела справедлив закон Гука и
выполняются соотношения (8.1)
а =
Для тех областей твердого тела, где появились пластические
деформации, связь девиаторов можно в случае простых нагру-
жений представить в виде
4 = 2G4-/' D1,4) ¦
Здесь f (e'u, I, a'k) —универсальная функция пластичности, за-
зависящая от интенсивности деформаций е'и1 величины нейтрон-
нейтронного потока / и аппроксимационных параметров а'к.
Таким образом, в деформируемом теле связь между напря-
напряжениями и деформациями при активном нагружении из есте-
естественного состояния и воздействии нейтронного потока предста-
вима в виде
s'ij = 2Оэу {е'и, I, 4) , а' = КCе' - BI),	(8.32)
причем функцию пластичности следует положить /' (е'и1 /, а'к) =
= 1 в тех областях, где е'и ^ е'Т1 е'Т — деформация, соответствую-
соответствующая пределу пластичности на момент деформирования.
При достаточно быстром «мгновенном» приложении силовой
нагрузки упрочняющее воздействие облучения не успеет ска-
сказаться, и возникшие области пластических деформаций будут
такими же, как и без воздействия нейтронного потока. Одна-
Однако если активное нагружение происходит достаточно медленно,
то внешние слои тела окажутся со временем упрочненными, и
в них области пластического деформирования могут оказаться
меньше либо отсутствовать вовсе, по сравнению с необлученным
телом. Может возникнуть эффект, когда первые пластические
деформации появятся не на внешней упрочненной поверхности,
а под ней, где интенсивность деформаций велика, а предел те-
текучести не успел возрасти.
Таким образом, по своему воздействию на упругопластиче-
ские тела радиационное облучение противоположно тепловому,
которое уменьшает предел текучести материала и ведет к уве-
увеличению зон пластического деформирования при одинаковых
нагрузках.
К соотношениям (8.32) добавим дифференциальные уравне-
уравнения равновесия и граничные условия, а также соотношения Ко-
ши в предположении малости деформаций
a'ijJ + PFi = °5 a'i3li = ^ на S°>	/g зз)
и{ = u'Qi на Su; 2е'^ = u{j + uj{.

8.3. Переменные нагруэюения в нейтронном потоке	203
В дальнейшем будем полагать, что изменения во времени
внешних нагрузок и граничных перемещений происходит таким
образом, что соответствующие траектории нагружения не отно-
относятся к классу существенно сложных нагружений, а радиацион-
радиационный рост предела пластичности не превышает роста интенсив-
интенсивности деформаций в облучаемых точках твердого тела.
Пусть, начиная со времени t = t\, воздействие нейтронного
потока прекращается (ср = 0), а внешние силы изменяются та-
таким образом, что во всех точках пластически деформируемых
областей тела Vp происходит разгрузка и последующее перемен-
переменное нагружение объемными F" и поверхностными Щ силами
(на So) при граничном перемещении и^ (на Su). Уровень облу-
облучения тела остается постоянным и равным его значению перед
разгрузкой I\ = ipt\. Предел пластичности в точках тела зави-
зависит от координаты z и становится равным afT(Ii(z)).
Предположим, краевая задача (8.30)-(8.33) решена. Обозна-
Обозначим соответствующие напряжения, деформации и перемещения,
как и раньше, через a"-, ef-, и". Для величин перед началом раз-
разгрузки сохраним обозначения <т^-, ?^-, и[.
Запишем уравнения состояния. В зонах V? и V" разгрузки и
упругого деформирования справедливы соотношения
sij — LKj3{p 6и ^ ?т\^1л sij — sij ~ siji 9ij ~ 9ij ~ эгу 1.O.O4J
В области Vp', где в процессе переменного нагружения проис-
происходит изменение пластических деформаций, должны быть спра-
справедливыми зависимости
4 = 2G/*«, /i,4L-	(8-35)
Во всех точках тела объемная деформация сохраняется упру-
упругой. Следовательно, перед началом разгрузки и для текущего
состояния выполняются равенства
а1 = KCsf - Bh), a" = KCs" - BIX),
откуда следует
а* = ЗКб*.	(8.36)
Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения
Коши для величин а\^ ?*•, и* будут
а*. . + oF* = 0 F* = F- - F"-
aijlj = ^г*> ^г* = Ri — Щ на So;
ui = u*0i = u0i ~ и0Ь на Su',

204	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
Соотношения (8.34)-(8.37) образуют новую краевую задачу
для величин со звездочками. Предположим, что функцию /* в
любой точке кривой деформирования можно приблизить функ-
функцией /', т. е. описать таким же аналитическим выражением толь-
только с другими параметрами ар
f* = f'(e*u,at,h).
Сравнивая после этого соотношения (8.32), (8.33) для тела
при нагружении из естественного состояния и соотношения для
величин со звездочками (8.34)—(8.37), отмечаем, что они совпа-
совпадают с точностью до обозначений. Поэтому решение задачи для
величин со звездочками можно получить из известного решения
задачи, соответствующей нагружению из естественного состоя-
состояния, путем некоторых замен. Например, если известно переме-
перемещение u'i = u'i(x, eu, б'Т, /, а^), то соответствующее перемещение
и* = г^(ж, ?*,?*,/]_, а?), а искомое перемещение при повтор-
повторном знакопеременном нагружении определяется из соотношения
(8.33)
щ = щ — и*.
Напряжения и деформации вычисляются по формулам такого
же типа.
Полученный результат можно распространить на случай лю-
любого n-го циклического нагружения (теорема о цикличес-
циклических нагружениях упругопластических тел в ней-
нейтронном потоке). При этом уровень облучения после пер-
первоначального нагружения фиксируется, и формальное доказа-
доказательство теоремы ничем не будет отличаться от приведенного
в § 8.1.
В качестве примера приведем результаты по циклическому
изгибу трехслойного стержня в нейтронном потоке. Для опи-
описания кинематики несимметричного по толщине трехслойного
стержня приняты гипотезы ломаной нормали (см. § 6.14). Несу-
Несущие слои в процессе деформирования проявляют упругопласти-
ческие свойства, заполнитель — нелинейно упругий.
Аналитическое решение соответствующей задачи теории
упругости приведено в [51]. Исходя из него решение задачи тео-
теории малых упругопластических деформаций при нагружении
из естественного состояния получено методом упругих решений.
Численное исследование повторного знакопеременного нагруже-
нагружения (рисунки 8.3, 8.4) проведено с помощью сформулированной
выше теоремы о циклических нагружениях упругопластических
тел в нейтронном потоке.
В качестве материала несущих слоев рассматривался алюми-
алюминиевый сплав, заполнитель — фторопласт. Соответствующие ме-
механические характеристики материалов приведены в гл. 11. На
рисунках показаны сдвиг ф и прогиб w трехслойного стержня,

8.4. Циклическое нагруэюение трехслойной пластины
205
рассчитанные по различным физическим уравнениям состоя-
состояния. Кривые с одним штрихом соответствуют нагружению из
естественного состояния, с двумя штрихами — повторный изгиб
знакопеременной нагрузкой: Г — решение упругой задачи; 2' —
мгновенная упругопластичность без радиации; 3' —
упругопластический предварительно облученный стержень
{1\ = 5 • 1024 нейтрон/м2).
Ф, ю-2
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
/у
/
\
\
2'
у
^т
2 0
2"
Г"
4 0
6 0
У
у
8 х
f
w, 10
6
4
2
0
-2
-4
-6
Р,2 0
\
4 0
6 0
off
2f>
8 х
Рис. 8.3
Рис. 8.4
При совместном воздействии силовой нагрузки и нейтронно-
нейтронного потока в течение времени t\ до значения 1\ деформирование
пойдет по кривой 2'. Последующая мгновенная разгрузка и си-
силовое знакопеременное воздействие при уровне радиации 1\ вы-
вызовет в стержне сдвиг и прогиб, показанные кривыми 2П. Если
бы циклической нагрузке подвергался предварительно облучен-
облученный стержень, то деформирование пошло бы по кривым Зп.
Таким образом, при комплексном воздействии радиационно-
силовой нагрузки стержень на первом полуцикле деформиру-
деформируется, по сути, только от силовой составляющей. Воздействие
нейтронного облучения сказывается на втором полуцикле при
достижении достаточного уровня радиации, что и приводит к
уменьшению деформаций в теле.
8.4. Циклическое нагружение трехслойной пластины
Рассмотрим деформирование круговой трехслойной упруго-
пластической пластины при знакопеременном термосиловом
нагружении. Отличие здесь лишь в том, что рассматриваемая
пластина представляет собой кусочно-однородное тело.

206	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
Пусть в начальный момент времени на пластину, находя-
находящуюся в естественном состоянии, начинают действовать внеш-
внешние распределенные нагрузки р' и q' (см. рис. 6.11) и тепловой
поток интенсивности qti направленный перпендикулярно перво-
первому несущему слою. На границе, как и ранее, могут быть за-
f(k) f(k)	f(k)
даны усилия N^, Qqo ? ^а/зо- Через к = 1, 2, 3 обозначен
номер слоя. Задача определения температурного поля рассмо-
рассмотрена далее в § 11.5, поэтому пока считаем температуру T(z, t)
известной. Несущие слои пластины принимаем упругопластиче-
скими, заполнитель — нелинейно упругим. Физические уравне-
уравнения состояния будут следующие:
= 3Kk(T)(eW-a0kT), к = 1,2;
^^^\9^, (a, ft = r, <p); ^
- aokT).
Здесь f(k\eu , T) — функции пластичности материалов несу-
несущих слоев и функция физической нелинейности заполнителя.
Объемное деформирование в несущих слоях считаем термоупру-
термоупругим. Соотношения (8.38) отличаются от ранее принятых для
трехслойной пластины G.32) наличием для заполнителя функ-
функций нелинейности срп(а^3\ Т), дополнительно учитывающих
влияние гидростатического напряжения а^.
В компонентах тензора напряжений выделим линейную и
нелинейную составляющие:
ШкаокТ; (к = 1, 2);
3>; (8.39)
(з) _ C). (з) _
-1, G = 1,2).
Повторяя процедуру вывода уравнений равновесия упруго-
пластической трехслойной пластины и применяя метод упру-
упругих решений (см. § 7.10), придем к системе дифференциальных
уравнений равновесия в итерациях, совпадающей по внешнему

8.4. Циклическое нагруэюение трехслойной пластины	207
виду с G.38):
L2(alUn + а2фп - a3w?r) = -р + р^'1;
L2(a2un + а4фп - a5w™r) - 2cG^n = h™'1;	(8.40)
L3(a3un + аъфп - aew?r) = -q + q^'1.
Здесь коэффициенты щ определяются не формулами F.59), а
интегральными соотношениями, следующими из F.57), так как
модули упругости материалов в слоях изменяются по их тол-
толщине. Однако интегрирование производится по координате z,
поэтому ai остаются постоянными величинами. Следовательно,
решение системы дифференциальных уравнений (8.40) опреде-
определяется по-прежнему формулами G.41), с учетом того, что нели-
нелинейные составляющие напряжений, входящие на каждом шаге
в добавки р2—15 ^S и (й~Х G-39), G.40), задаются теперь со-
соотношениями (8.39). Поэтому решение задачи о термосиловом
нагружении пластины из естественного состояния считаем из-
известным.
Пусть теперь, начиная с момента времени t = ?i, осуществля-
осуществляется мгновенная разгрузка и последующее нагружение усилия-
ми обратного знака р , q , ^Ло , ц/а0 •> ^аво Ри этом будем
предполагать, что за время разгрузки и последующего перемен-
переменного нагружения температура во всех точках тела остается неиз-
неизменной, совпадающей с полем температуры к моменту начала
разгрузки: T\(z) = T(^, t\).
Как и ранее, введем для всех слоев разности (штрих вверху —
прямое нагружение, два штриха — обратное):
(А;)* _ /(АО _ //(АО Лк)* _ 1{к) _ //(к)
аа/3 — аа/3 аа/3 ' ?а/3 ~ ?а/3 ?а/3 '	/g 41)
q*=q'-q", «•=«'-«",...,
где величины с одним штрихом — напряжения, деформации и
перемещения в пластине перед разгрузкой. Для величин, отме-
отмеченных звездочкой, введем уравнения состояния типа (8.38):
(АО* _ 2Г?(А0 /г(АО* JAO*. _(А;)* _ ozrWJk)* и _ -, о.
*C) _ 2r;C) fC)*C)*. * C)* _ o^C) C)*	l ' j
Здесь Gf^JEGW^W); xf\z) =	^
Соответствующие универсальные функции нелинейности в
несущих слоях полагаем выраженными через функции пластич-
пластичности при нагружении из естественного состояния:
*)*, 4fe)*,Tb<4).	(8.43)

208	8. Переменные нагруэюения упругопластических тел
Причем /(*)* = 1 при 4Л)* ^ eik)* = а^е^^), где случай
«2 > 2 соответствует циклически упрочняющемуся материа-
материалу, «2 < 2 —разупрочняющемуся, о^ = 2 —для циклически
идеального материала (нижний индекс «2» показывает второй
полуцикл). Упругие характеристики полимерного заполнителя
не изменяются при циклическом деформировании.
В силу линейности связи деформаций с перемещениями в
слоях пластины F.49), уравнений равновесия (8.40) и граничных
условий F.56), подобные соотношения будут справедливы и для
величин со звездочками (8.41). В этом случае краевая задача для
величин со звездочками (8.41)-(8.43) совпадает с краевой зада-
задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической
пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из
(b\±	(b\±
естественного состояния внешними усилиями р , q , -/Vq,#o ' ^аО >
М^р0 . Фиктивная пластина геометрически совпадает с рассма-
рассматриваемой. Ее упругопластические свойства характеризуются
переменными по координатам модулем сдвига G^ '(z), объем-
объемным модулем K^k\z), универсальными функциями нелинейно-
нелинейности (8.43). Если указанная задача о деформации неоднородной
упругопластической пластины решена, то искомые перемещения
найдем из соотношений
и" = и' - и*, ф" = ф1 - ф*, w" = w' - w*.
Рекуррентное решение краевой задачи для величин со звездоч-
звездочками следует из решения G.41), в котором необходимо произве-
произвести соответствующие замены функций нелинейности, нагрузок
и коэффициентов щ. Например, если для описания поведения
дюралюминия в пластической области функцию пластичности
со звездочкой принять в виде, указанном в § 7.6, то константы
материала будут: А* = 0,924, а* = 2,27, ?* = 1,485 %.
При численном исследовании принималось, что несущие слои
пластины выполнены из сплава Д16Т (дюралюминий), заполни-
заполнитель—политетрафторэтилен (ПТФЭ, фторопласт). Все необхо-
необходимые материальные функции и параметры этих материалов
приведены в гл. 11.
Предполагаем, что тепловой поток интенсивности qt падает
перпендикулярно на внешнюю поверхность первого слоя рас-
рассматриваемой пластины (см. рис. 6.11). Теплотой, ушедшей на
нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в си-
силу его тонкости и малой теплоемкости). Температуру этого слоя
принимаем равной температуре заполнителя в месте склейки
7Ч1) = TC\c, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за
время ?, идет на нагревание заполнителя. Температура второго

8.4. Циклическое нагруэюение трехслойной пластины
209
несущего слоя также принимается равной температуре заполни-
заполнителя в месте их склейки Т^ = Т^\—с, t). В этом случае тем-
температурное поле в заполнителе можно рассчитать по формуле
A1.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоем-
теплоемкость со = сз- При qt = 5000Дж/м2с характер изменения тем-
температуры по толщине пластины исследован в § 11.5. В момент
разгрузки (ti = 30 мин) температура во внешнем несущем слое
достигала 510 К, во втором несущем слое температура остава-
оставалась постоянной и равной 293 К. Таким образом, в одном из
слоев пластины осуществлялось термосиловое переменное на-
гружение, в другом —изотермическое.
Величина нагрузки (р = 0, q = 3,0 • Ю7), интенсивность теп-
теплового потока, время их воздействия (ti = 30 мин) и относи-
относительные толщины слоев (hi = /12 = 0,04; /13 = 0,2) подбирались
таким образом, чтобы нелинейные, теплофизические и реоном-
ные свойства материалов проявились в достаточной степени.
Числовое исследование продемонстрировало практическую
сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие ре-
результатов в 5-м приближении, которые приняты за искомое ре-
решение, от предыдущих — менее 1 % . На рис. 8.5 показан прогиб
симметричной по толщине трехслойной _2
пластины при переменном нагружении w-> 10
(один штрих —прямое нагружение, два
штриха — обратное).
Кривые 1, 2 построены для слу-
случая постоянной температуры A —ли-
—линейная упругость, 2 — упругопластич-
ность). Так как для дюралюминия ко-
коэффициент циклического упрочнения
«2 = 2,02 (табл. 8.1) и материал на вто-
втором полуцикле становится более жест-
жестким, то при изотермическом повторном
нагружении максимальный прогиб пла-
пластины несколько уменьшается.
При термосиловом воздействии в
течение времени ti прогибу пластины
соответствует кривая 3'. За это время
температура во внешнем несущем слое достигла значения 510 К
и в дальнейшем оставалась постоянной. Это привело к уменьше-
уменьшению модулей упругости и предела текучести материалов. В ре-
результате прогиб пластины при прямом нагружении (кривая 3')
по сравнению с изотермическим случаем увеличился. После пе-
перемены знака нагрузки (t > ?1) его максимальная величина
несколько уменьшилась (кривая 3") за счет деформационного
упрочнения материалов.
24
18
12
6
0
-6
-12
-18
-24
0
-""""¦"''
-^1 \
2 0,4 0
,6 0,
/
ч
Рис. 8.5

9.
ЛИНЕЙНЫЕ
ВЯЗКОУПРУГИЕ СРЕДЫ
9.1. Ползучесть и релаксация
В предыдущих главах предполагалось, что при неизменных
во времени воздействиях напряженно-деформированное состоя-
состояние рассматриваемого тела остается неизменным. Однако мно-
многие материалы, например полимеры, бетоны, композиты и т. д.,
даже при комнатных температурах обладают способностью мед-
медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях.
Это свойство материалов называют ползучестью.
Необходимость учета ползучести в расчетных моделях воз-
возникла в середине XX столетия благодаря запросам инженерной
практики, прежде всего турбостроения. Впоследствии эти мо-
модели нашли свое применение в атомной энергетике, химическом
машиностроении, авиастроении, реактивной технике, строитель-
строительстве. Запросы машиностроения привели к резкому увеличению
экспериментальных и теоретических исследований в области
ползучести.
Ползучесть может приводить с течением времени к значи-
значительным изменениям в напряженно-деформированном состоя-
состоянии конструкции или сооружения. Подтверждением сказанного
могут служить следующие примеры. Вследствие неравномерной
осадки грунтового основания во времени происходит перерас-
перераспределение усилий между отдельными элементами сооружений,
в результате чего в протяженных в плане сооружениях иногда
появляются трещины, а в наиболее неблагоприятных условиях
наблюдается их разрушение. В качестве другого примера мож-
можно сослаться на массивные бетонные плотины современных гид-
гидроэлектростанций, в которых существенную роль играют экзо-
экзотермические процессы, протекающие при затвердевании бетона.
Ползучесть в данном случае играет положительную роль, сни-
снижая возникающие напряжения.
Заметим, что металлы при нагреве также проявляют в про-
процессе эксплуатации реономные свойства. Так называются меха-
механические свойства материалов, существенно зависящие от вре-
времени.
Ползучесть экспериментально можно исследовать при растя-
растяжении цилиндрических образцов. Графики роста деформаций

9.1. Ползучесть и релаксация
211
со временем при постоянных напряжениях называются кривы-
кривыми ползучести. На рис. 9.1 схематически показаны условия
испытания и кривая ползучести. Верхний конец образца закреп-
закрепляется, а к нижнему — прикладывается нагрузка. Ведется
наблюдение за изменением длины в расчетной части образца,
строится кривая изменения деформации е от времени t. Дефор-
Деформация увеличивается от своего начального значения ?q5 которое
отражает упругие свойства материала и соответствует «мгно-
«мгновенно» приложенной нагрузке Р.
е = const
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Далее можно выделить три характерных участка кривой
ползучести. На первом из них (АВ) скорость ползучести высока,
но монотонно убывает, начиная с некоторого большого значения.
Это участок неустановившейся ползучести. Второй участок кри-
кривой (ВС) почти прямолинеен и характеризует установившуюся
ползучесть. Здесь скорость ползучести практически постоян-
постоянна. Наконец, можно наблюдать участок (CD), предшествующий
разрушению, где скорость ползучести монотонно увеличива-
увеличивается. Необходимо отметить, что ползучесть наблюдается при
любых напряжениях, и указать какой-либо предел ползучести
невозможно.
Явление уменьшения напряжения в теле при постоянной де-
деформации называется релаксацией. Предположим, что образец
«мгновенно» растянули так, что расчетная длина Iq стала рав-
равной / (рис. 9.2). Для этого потребовалась сила Р\. Образец за-
закрепили в растянутом состоянии на некоторое время. Затем его
освободили от закрепления и вновь приложили такую нагрузку,
чтобы расчетную часть образца растянуть до величины /. Оказы-
Оказывается, потребовалась нагрузка Р^, меньшая первоначальной Р\.
Поэтому говорят, что напряжение, требующееся для поддержа-
поддержания постоянной деформации, релаксирует (падает, уменьшается).
В реальных элементах конструкций ползучесть и релаксация
как реономные свойства материала проявляются одновременно,
взаимосвязанно. Их можно отразить аналитически, вводя время t

212
9. Линейные вязкоупругие среды
ак
Е
Рис. 9.3
в связь напряжений и деформаций твердого тела. Предложен-
Предложенный Больцманом 1) способ описания этой взаимосвязи основан
на предположении о влиянии всего предшествующего времени
действия напряжений на деформацию в
данный момент. Подобные среды называют-
называются линейными вязкоупругими наследствен-
наследственного типа.
Первоначальное развитие теории вязко-
упругости связано с именами Больцмана,
Максвелла, Кельвина2), Фойхта3). Здесь
следует указать на простейшие модели вяз-
коупругой среды Максвелла (рис. 9.3) и
Фойхта (рис. 9.4), представляющие вязко-
упругое тело в виде комбинаций упругих и
вязких элементов. Упругий элемент имеет
вид пружины с линейной характеристикой,
т. е. а = Ее. Вязкий элемент представля-
представляет собой цилиндр с вязкой жидкостью, в котором перемещает-
перемещается поршень с отверстием или зазором вдоль стенки цилиндра,
благодаря чему жидкость может перетекать из одной части ци-
цилиндра в другую. При постоянной силе поршень перемещается
с постоянной скоростью, или, иначе, а = Хе (А — коэффициент
пропорциональности).
В одномерной модели Максвелла
упругий и вязкий элементы соеди-
соединены последовательно (см. рис. 9.3).
Напряжения в элементах одинако-
одинаковые, а деформации суммируются.
Связь между напряжением и дефор-
деформацией получим, продифференциро-
продифференцировав по времени уравнение закона Гу-
ка и добавив к полученной скорости
деформирования вязкую составляю-
составляющую:
а . а
?=— + -.
Е X
а А
е'
Е
а'
?"
X
ст"
е
Рис. 9.4
В модели Фойхта суммируются напряжения в элементах,
а их деформации одинаковы. Такая картина получится, если
х) Больцман Людвиг (Boltzmann L., 1844-1906), австрийский физик, один
из основателей статистической физики и механики.
2)	Томсон Уильям, с 1892 г. за научные заслуги — барон Кельвин (Kelvin,
1824-1907), английский физик; труды по термодинамике, электромагнетиз-
электромагнетизму, предложил абсолютную шкалу температур, изобрел многочисленные
научные приборы.
3)	Фойхтп (Voigt W., 1850-1919), немецкий физик.

9.2. Постановка задач линейной вязкоупругости	213
элементы соединить параллельно (см. рис. 9.4). В этом случае
а = Ее + \ё.
Весьма важным является принцип Вольтерра 1) , позволяю-
позволяющий результаты решения статических задач теории упругости
пересчитывать в состояния наследственной вязкоупругости.
Многие достижения современной вязкоупругости определя-
определяются работами Ильюшина, Ишлинского 2) , Москвитина, Работ-
нова, а также Колтунова [22, 23], Ржаницына [42], Победри [37]
и других отечественных ученых. В частности, Ильюшиным
подробно разработана общая теория термовязкоупругости,
предложен эффективный метод решения частных задач — метод
аппроксимаций [18].
9.2. Постановка задач линейной вязкоупругости
Физические соотношения между девиаторами напряжений
и деформаций (sij = <Jij — aSij, э^ = eij — sSij) в линейной
вязкоупругости записываются в следующей форме:
t
= sl3{t) + JY{t - r)sl3{r) dr,
о	^ ' ^
K0(t) =a(t).
Здесь обозначено: в = s^k ~ относительное изменение объема,
а = сг^^/3 —среднее (гидростатическое) напряжение, G — мгно-
мгновенно-упругий модуль сдвига, К — мгновенный модуль объем-
объемной деформации. Функция Г(?) характеризует реологические
свойства материала и называется ядром ползучести.
Физические уравнения (9.1) выражают следующее: поле де-
деформаций 9ij в данный момент времени определяется не толь-
только мгновенным напряжением s^ (связанными с деформациями
обобщенным законом Гука), но и предшествующими значения-
значениями напряжений с помощью некоторой наследственной функции.
Объемное деформирование в принимается упругим, так как объ-
объемная ползучесть мала по сравнению со сдвиговой. Заметим,
что наследственная функция имеет своим аргументом разность
(t — т), т. е. уравнения (9.1) инвариантны относительно начала
отсчета времени.
х) Вольтерра Вито (Volterra V., 1860-1940), итальянский математик; тру-
труды по математической физике, интегральным уравнениям, функциональ-
функциональному анализу.
) Ишлинский Александр Юльевич, российский ученый в области механи-
механики, академик РАН.

214	9. Линейные вязкоупругие среды
Ядро Г(?) является положительной монотонно убывающей
функцией своих аргументов. На бесконечности она асимптоти-
асимптотически стремится к нулю. При отрицательных значениях аргу-
аргумента она тождественно равна нулю.
Предположим, что уравнения (9.1) могут быть разрешены
относительно вц и а:
t
зф) = 2в[эф) - JR(t- т)эф) dr],
a(t) =K6{t).
Функцию R(t) называют ядром релаксации материала. Она яв-
является резольвентой ядра Г(?). Разумеется, функция Г(?) в свою
очередь является резольвентой ядра R(t).
Подставим 9ij(t) из (9.1) в первое уравнение (9.2) и потребу-
потребуем его тождественного выполнения при любых Sij(t). Получим
следующее интегральное соотношение, связывающее ядра меж-
между собой:
t
R(t) - ГD) = Г T(t - r)R(r) dr.	(9.3)
о
Следовательно, вполне достаточно определить одно из ядер
экспериментально, другое можно получить аналитически. В том
случае, если из экспериментов определены все ядра, уравнение
(9.3) служит для проверки удовлетворительности описания де-
деформаций принятой моделью.
Возможна иная запись девиаторных соотношений (9.1), (9.2):
t	t
эф)= f J{t-r)dsl3{r), зф)= ]Щ-т)<1эф). (9.4)
о	о
В приведенных уравнениях J(t) — функция ползучести
(податливость), П(?) — функция релаксации. Между этими
функциями и введенными ранее ядрами можно установить связь,
проинтегрировав, например, соотношения (9.4) по частям. В ре-
результате получим
t
I —
о
Считая Sij(O) = 0 и требуя J@) = 1/2G, ГD) = 2GdJ(t)/dt, при-
приходим к уравнению (9.1). Аналогично можно установить иден-
идентичность уравнений (9.2) и второго из (9.4).

9.3. Виды ядер ползучести и релаксации	215
9.3. Виды ядер ползучести и релаксации
С целью определения экспериментальных значений функций
Г(?) и R(t) рассмотрим напряженное состояние при чистом сдвиге.
Пусть из опытов построены кривые ползучести ?i2{t) / &12 ~ t-
В этом случае все остальные компоненты тензоров напряжений
и деформаций равны нулю. Уравнения (9.1) сведутся к одному:
t
2G9u(t) = si2(t) + Jr(t - r)s12(r) dr,
0
откуда в случае ползучести {а\2 = crj2 = const)
t
Полученное соотношение позволяет определить искомую функ-
функцию Г(?):
2G
dt
где
Величина J(t) называется податливостью (функцией ползуче-
ползучести) при чистом сдвиге. Она вычисляется по эксперименталь-
экспериментальным кривым ползучести.
Аналогично могут быть определены значения ядра релакса-
релаксации R(t) при чистом сдвиге.
Для аппроксимации экспериментальных данных на практике
в основном используются следующие аналитические выражения
для ядер ползучести и релаксации.
1. Экспоненциальное ядро ползучести:
Г(?) = Ае~рЬ(А>0,р>0).
Наличие в этом представлении только двух констант материала
Аир затрудняет его применение для описания эксперименталь-
экспериментальных данных в широком диапазоне времени, особенно в началь-
начальный период нагружения.
Резольвента ядра (ядро релаксации) также представляется
в виде
R(t) = Be~qt.
Подставляя экспоненциальное ядро ползучести и его резольвен-
резольвенту в соотношение A.44) и требуя, чтобы оно было тождеством

216	9. Линейные вязкоупругие среды
по ?, получим
В = А, q = A+p.
Более точное представление дает ядро и его резольвента,
принятые в виде суммы экспоненциальных функций
г=1	г=1
Подставляя эти выражения в интегральное соотношение между
ядрами ползучести и релаксации A.44) и требуя, чтобы оно было
тождеством, получим 2т уравнений, связывающих константы
резольвенты В{ и qi и константы ядра А{ и pf.
^ = 1 о-= 1,2,...,ш).
Полученные уравнения могут оказаться полезными при опре-
определении одного из ядер, если другое известно. Из первой систе-
системы уравнений определяются корни qi. Они должны быть веще-
вещественными, неравными между собой и отличными от щ. После
этого из второй системы линейных уравнений определяются ко-
коэффициенты В{.
2. Степенное ядро Дуффинга1):
^ @ < /3 < 1).
Ограничение на константу /3 связано с тем, что при /3 = 0 ско-
скорость деформации и сама деформация в момент приложения
нагрузки становятся бесконечно большими. Ядро хуже работает
при достаточно больших временах нагружения. Его резольвен-
резольвентой является следующая функция
где Г*(/3) есть гамма-функция аргумента /3. При указанных огра-
ограничениях на величину /3 этот ряд сходится всюду. Ядра подобно-
подобного степенного типа называют ядрами со слабой сингулярностью
или ядрами со слабой особенностью. Эта особенность состоит
в том, что при t —)> О Г(?) —)> оо, что соответствует бесконечно
большой скорости деформации в момент приложения нагрузки.
Слабое стремление к бесконечности обеспечивается ограниче-
ограничением 0 < /3 < 1. Ядро Дуффинга не может удовлетворительно
инг (Duffing G., 1861-1944), немецкий инженер-физик.

9.3. Виды ядер ползучести и релаксации	217
описывать опытные данные для широкого интервала времени
вследствие наличия ограниченного числа произвольных посто-
постоянных.
3. Ядро Ржаницына. Типичное ядро релаксации, в кото-
котором объединяются экспоненциальные и слабосингулярные свой-
свойства, было предложено Ржаницыным [42]:
тЙг (P>O,O<0<1).	(9.5)
Резольвентой ядра (9.5) является следующая функция:
t
k=l
Она отличается от резольвенты ядра Дуффинга только множи-
множителем e~pt. Это ядро часто применяется в настоящее время для
конкретных числовых расчетов. Оно хорошо протабулировано
Колтуновым, соответствующие графики, таблицы и варианты
расчета его параметров приведены в монографии [22]. Там же
рассмотрено более общее ядро
^Г (р>0,0<а<1,0</3<1). (9.6)
Его резольвентой является функция
а
е
ОО	[д-р (а + Р - ДЛ1 Ма+13-1)
k=l	Г
Значительно ранее ядро типа (9.6) было предложено Вронским
[6] и др. Это ядро получается из (9.6), если в нем положить
а = /3.
ад = ^^
Резольвенту этого ядра мы получим из резольвенты ядра (9.6),
приняв в нем а = /3.
4. Ядро типа Абеля:
Резольвентой этого ядра является следующая функция, найден-
найденная Работновым при /3 = — 1:
Г*[(п-
n=0 LV

218	9. Линейные вязкоупругие среды
Ряд этой резольвенты сходится для всех значений t и /3. Оче-
Очевидно, эа@, t) = Ja(t).
Функцию эа(C, t) Работнов назвал дробно-экспоненциальным
ядром. Это ядро получило широкое распространение в лите-
литературе благодаря большим возможностям описания реологиче-
реологических свойств материалов и благодаря наличию достаточно
разработанной специальной алгебры соответствующих опера-
операторов [41].
9.4. Принцип Вольтерра
Приведем эффективный метод решения краевых задач линей-
линейной теории вязкоупругости типа (9.2), (9.5). Для этого запишем
соотношения (9.2) в символической форме, введя обозначение
интегрального оператора G*:
Sij = 2G*9ij, о = Кб,
G* = GA-R*), R*f = jR(t-r)f(r)dr.	(9<7)
о
Сравнивая (9.7) с соотношениями B.9), заключаем, что физиче-
физические соотношения линейной вязкоупругости имеют точно такой
же вид, что и уравнения обобщенного закона Гука, только мо-
модуль сдвига G заменен оператором G*.
В операторной форме можно представить и уравнения (9.1):
где оператор 1/G* равен
t
i- = I(l + r*), Tf = jT(t-r)f(r)dr.
о
Подставляя сюда из (9.7) выражение для G*, получаем
1
1-Я*
= 1 + Г*.
Таким образом, становится определенной операция деления на
некоторый оператор.
Отсюда приходим к важному принципу Вольтерра: решение
линейной задачи вязкоупругости может быть получено из ре-
решения соответствующей задачи линейной теории упругости пу-
путем замены в последнем констант упругости некоторыми опера-
операторами.

9.4. Принцип Волътерра	219
В нашем случае следует заменить модуль сдвига G операто-
оператором G*.
Однако решения задачи теории упругости могут содержать
и другие упругие константы, например модуль Юнга Е и коэф-
коэффициент Пуассона v. Тогда следует сначала в упругом решении
Е и v заменить постоянными G и К и затем уже константу G
заменить оператором G*.
Воспользовавшись принципом Вольтерра, мы получим ре-
решение, в которое будут входить алгебраические или трансцен-
трансцендентные функции операторов по времени, и это решение надо
еще расшифровать. В общем случае такая расшифровка связана
с определенными трудностями. В ряде случаев эти трудности
преодолеваются. Для этого используется интегральное преоб-
преобразование Лапласа-Карсона, метод аппроксимаций Ильюшина
[10], операторы Работнова [24].
В частности, изображением Лапласа-Карсона некоторой
функции /(?) будем называть следующую функцию f*(p) дей-
действительного параметра р:
f(p)=pf f(t)e~ptdt.
Если f(t) = /о, то f*(p) = /о- Если функция f(t) является сверт-
сверткой двух функций F и ф, т. е.
(9.8)
то ее изображение равно произведению изображений подынтег-
подынтегральных функций:
В свою очередь, если изображение функции /(?) определяется
соотношением (9.9), то сама функция представляется формулой
(9.8).
Выпишем полную систему уравнений, добавив к уравнениям
линейной вязкоупругости в форме (9.4), при упругой объемной
деформации, уравнения равновесия, соотношения Коши и гра-
граничные условия:
t
9ij(t) = J(t~ r) dsij(r), К в = a; aijj + pF{ = 0;
q	(y.lUJ
^ij = fahj "¦" ^J;V/ ' ^ij 3 = *^vi H^ ^(J'i ^i = ^0г на ои.

220	9. Линейные вязкоупругие среды
Применяя теперь к соотношениям (9.10) преобразование Лапласа-
Карсона и учитывая (9.9), получим
*	т* *	7УЛ*	*	* i Z71* Г\
эц = J siji Кв =а ; ai:jj + pF{ = 0;
2бц = U^j + Uj^] ^ijlj = Щ на ^а'ч ui — u0i на Ьи.
Отсюда следует, что задача линейной вязкоупругости в изо-
изображениях совпадает с соответствующей задачей для упругого
тела. Следовательно, и решения этих задач совпадают, с той
лишь разницей, что постоянная A/2)G заменяется изображени-
изображением J*. Модуль объемного сжатия в решении сохраняется.
Если решение линейной задачи теории упругости известно, то
будут известны изображения а\^ ?*•. Построив по найденным
изображениям оригиналы, определим искомые решения <7ij(?, x\
?ij(t, Х).
Отметим, что общая задача построения оригиналов по изо-
изображениям встречает определенные трудности. Для некоторых
простейших функций имеются формулы для отыскания ориги-
оригиналов, они приводятся обычно в справочниках по операцион-
операционному исчислению. В более сложных случаях нужно применять
разработанные специальные приближенные методы. Далее мы
познакомимся с эффективным методом аппроксимаций и при-
примером его применения для круглой трехслойной пластины. Од-
Однако необходимо сделать следующее замечание. При построении
изображений граничных условий в (9.11) мы неявно предпола-
предполагали, что сама граница тела не меняется в процессе нагружения.
Поэтому метод неприменим, например, к контактным задачам
о действии штампа и к задачам с выгоранием границы.
9.5. Экспериментально-теоретический метод Ильюшина
Рассмотрим метод решения задач линейной вязкоупругости,
который основан на решении соответствующей задачи теории
упругости и применении некоторых, дополнительно определяе-
определяемых экспериментально, функций gp(t). Анализируя аналитиче-
аналитические формы решений задач идеальной упругости, Ильюшин
сформулировал следующую теорему [18]: решение задачи
идеальной упругости может быть представлено в символической
форме
и = / + илр + -ф +	Хк-
UJ	1 + PkU
Здесь /, (р, ф, Хк являются функциями координат, внешних
сил, заданных граничных перемещений и температуры, uj =
= 2G/CK). Параметры /3^ — постоянные величины. В послед-
последнем слагаемом предполагается суммирование по индексу к.

9.6. Температурно-временная аналогия	221
Тогда решение соответствующей задачи линейной вязкоупру-
гости в изображениях будет следующим (и* = 2G*/CK)):
V + \
Наша задача — представить решение (9.9) в оригиналах.
Обозначим оператор
Пусть изображениям gS^, соответствует некоторая функция g^(t).
В этом случае обращение решения в оригиналы не представляет
проблем:
t
h Igpk(t-T)dXk(r). (9.13)
о
Ильюшиным в [18] указана методика экспериментального
определения этих функций, поэтому в дальнейшем считаем их
известными.
9.6. Температурно-временная аналогия
Характеристики ползучести наполненных полимеров, как
правило, существенно зависят от температуры. С повышени-
повышением температуры эффект ползучести возрастает, что дало воз-
возможность использовать опыты при повышенных температурах
на ограниченных отрезках времени для прогнозирования рео-
реологических свойств на длительные времена. Опыты при посто-
постоянной температуре показывают, что кривые а ~ е располагают-
располагаются тем выше, чем больше скорость нагружения. Если испыта-
испытания проводятся при постоянной скорости нагружения, но при
разных температурах, то диаграммы а ~ е располагаются тем
выше, чем ниже температура. Этот факт позволил установить
между временем и температурой связь, получившую название
температурно-временнбй аналогии. Наглядное представление о
ее сущности можно получить из рассмотрения семейства кривых
ползучести при разных температурах и одном и том же напря-
напряжении (рис. 9.5). В координатах Ее/f<j~\gt эти кривые показаны
на рис. 9.6 [21].

222
9. Линейные вязкоупругие среды
Принцип температурно-временнбй аналогии (или темпера-
турно-временнбй суперпозиции) применительно к явлению пол-
а = ао = const
j
In a
rs
J
t(Ti)
О
О
\nt
Рис. 9.5
Рис. 9.6
зучести утверждает, что кривые ползучести при температурах
Т\ > Ts, Т2 > Т\, Тз > Т2, ... могут быть совмещены с кривой
ползучести при температуре Ts путем их смещения вдоль оси ло-
логарифма времени (см. рис. 9.6) на определенные отрезки V>№-)?
V>№)? Ф(Тз), ... соответственно. Очевидно, ф(Т8) = 0. Функ-
Функция ф(Т) находится для данного материала экспериментально в
соответствии с ее определением.
Кроме возможности прогнозирования, принцип температур-
температурно-временнбй аналогии дает возможность учесть влияние тем-
температуры на физико-механические свойства материала путем
введения модифицированного времени t'. В самом деле, пусть
J\ — J\ (t) = J* ln(?) есть уравнение кривой ползучести е/а$ ~
~ t для данной температуры Ts. В соответствии с принципом
температурно-временной аналогии можно записать
J^t, Т) = J*(lnt + ^(T)), Ji(t, Te) = J*(lnt).	(9.14)
Функция VK^1) обладает следующими свойствами: ф(Т8) = 0;
^(Т) > 0 при Т > Ts; ?/>(т) < 0 при Т < Ts; d^/^ > °- Поэтому,
если положить ^(Т) = - Inаг(Т), то aT(Ts) = 1; 0 < аг(Т) < 1
при Т > Ts] ат(Т) > 1 при Т < Ts. Этими свойствами обладает
функция
Ыат = С1 Т-Т>	(9.15)
О2 + 1 —Is
где Gi, C2 — полож:ительные константы, определяемые для ка-
каждого материала экспериментально. Приведенное соотношение
известно как уравнение Вильямса-Ландела-Ферри [63]. Вели-
Величину ат иногда называют функцией тпемпературно-временного
смещения или коэффициентом смещения.
Графическая зависимость lg ат ~ Т для типичного полимера
[29] представлена на рис. 9.7. Если воспользоваться аналитиче-
аналитической зависимостью (9.15) и принять температуру приведения

9.7. Температурно-временная аналогия
223
Ts = 300° К, то для указанной кривой
Т-Та
\пат = -8,86-
101,6 + Т -Ts
Учитывая теперь выражение (9.14), введем модифицирован-
модифицированное время соотношением
kit' = lnt-lnaT(T),
или
t'=
*
ат{Т)
При этом из (9.14) следует
Ji(t, т) = г(ш') =
(9.16)
(9.17)
Здесь существенно, что J\ = J\(t) есть податливость при темпе-
температуре Ts.
Таким образом, введением мо-
модифицированного времени удается 12
избежать необходимости составле-
составления аналитического выражения для
Ji(t, T) при наличии температуры Т.
Более того, этот прием даст возмож-
возможность распространить эффективные
методы решения задач теории линей-
линейной вязкоупругости на случай термо-
вязкоупругих моделей.
Соотношение (9.16) для моди-
модифицированного времени справедливо
для случая, когда температура Т не
изменяется в течение всего опыта. Ес-
Если же температура Т является функ-
функцией времени ?, то указанный прием
естественно использовать для малого отрезка времени dt, при
этом аналогично (9.16)
t
10
8
6
4
2
0
-2
-4
\
\
\
\
\
X
\
250 290 330 Т, К
Рис. 9.'
dt' =
dt
ат(ТI
dt
ат(Т)
3.18)
В основе введения модифицированного времени лежит прин-
принцип температурно-временнбй аналогии. Этот принцип много-
многократно проверялся экспериментально для многих полимерных
материалов в области физической линейности и получил удовле-
удовлетворительное подтверждение. Однако при решении конкретных
задач принцип температурно-временнбй аналогии (9.16)—(9.18)
широко используется и в случае физической нелинейности ма-
материалов.

224	9. Линейные вязкоупругие среды
9.7. Круглая линейно-вязкоупругая
трехслойная пластина
Решение задачи линейной вязкоупругости получим из реше-
решения для упругой пластины F.67), воспользовавшись экспери-
экспериментально теоретическим методом аппроксимаций Ильюшина.
Дополнительно предполагается выполнение условия /3 < 1, что
имеет место, например, если константы упругости заполните-
заполнителя Gз, Кз гораздо меньше, чем в несущих слоях. Это позволя-
позволяет описывать поведение модифицированных функций Бесселя
F.64) на участке 0 < х < 1 с достаточной степенью точности
следующими формулами:
Оценим точность такого представления для функций /о(ж), 1\{х).
В этом случае остаточный член ряда F.64) примем в форме
Лагранжа
4!
)
Так как
(Ш0() + Ш2(х)
и обе функции Iq(х), 1\{х) с ростом их аргумента монотонно
возрастают, то справедливы следующие оценки:
4!
Использование таблиц значений функций Бесселя [58] позволяет
представить оценку в численном виде: Rq(x) = 0,0240ж4, R\(x) =
= 0,00432ж5.
Искомое решение будем строить для защемленной по кон-
контуру круглой линейно-вязкоупругой пластины. Приведем для
этого решение соответствующей задачи теории упругости F.69)

9.7. Круглая линейно-вязкоупругая трехслойная пластина	225
и необходимые коэффициенты (см. § 6.14):
4cb3Gs V h(p)
и =	—
4cb|G3 V /3/i(/3)
3
«2 = С{}ЦК+ - h2K+),
k=\
а3 = Me + у W - Л2(с+ |да,	(9.19)
а4 = с2 [да	2
^ Л2(с+
а6 = /ц(с2 + chi + ^)^ + /г2(с2 + ch2 + Щ +
О	О	О
2	2
io 7 aids — U2CL2, 7	aia6 ?Ц
, 02 = 	, 03 =
Введем следующую гипотезу о подобии вязкоупругих свойств
материалов пластины: ядра релаксации несущих слоев подоб-
подобны ядру заполнителя и отличаются на постоянный множитель
с/с, т. е.
Rk(t)=ckR(t), ck^l, A; = 1,2,3; R3(t)=R(t). (9.20)
Проведем процедуру преобразования констант упругости щ
(9.19) в операторы вязкоупругости а* путем замены в них мо-
модуля сдвига Gk на оператор G^ (9.7). При этом будем выделять
операторы gS, , введенные Ильюшиным,
используя соотношения (9.13) и следствие гипотезы подобия ядер
релаксации (9.20):
k	^*, G = G3, G* = G*3, К = К3.
Отсюда
К+* = Kkl + Кк2Ш\ Кк1 =Кк + ±Gk{l - ск), Кк2 = 2ckGkK/G,
8 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

226	9. Линейные вязкоупругие среды
и операторы а* (г = 1, ... ,6) преобразуются к виду
где (а = 1, 2)
3
^ hkK^a, а2а = c(h\Klot - h2K2a),
k=i
= hi(c+ ~^)Kia - h2{c + -j-)K2cn
= С2 ^iifia + /l2^2a +
с+ ^)К1а + Л2(с+ ^)
+ М )К1а + h2(c2 + сЛ2 + ^)К2а + 2-с3К3а.
Остальные операторы выражаются через а*:
7 * _ а\аХ — QL22 l* _ CLidt — а2^3 l* _ aJaS ~ аз2 /э*2 _ 1cblG%,
Теперь из упругого решения (9.19) получаем решение задачи
линейной вязкоупругости в изображениях по Лапласу-Карсону
в следующем виде:
(г1)],	(9.22)
16 V	'\'	V У
* = _^^_ Г1оУГг)-1оУГ) _ 1 ( 2 _
4bS2G;\ Ph(P)	2V
Воспользуемся аппроксимацией функций Бесселя и предста-
представим входящие в решение (9.22) операторы в каноническом для
экспериментально-теоретического метода виде:
6*.	"з^з
Так как с учетом аппроксимации
bj /ipTr) = _b^rfr2 + 8A-г2)
то интересующий нас оператор
b*G*(
J cj*

9.7. Круглая линейно-вязкоупругая трехслойная пластина	227
Оператор с бесселевыми функциями, входящий в выражение
для прогиба, представим в виде
Отсюда
n=3
Коэффициенты am (га = 1,2,..., 41) и /3& (fc = 1, 2, ... , 8)
из-за их громоздкости приведены в § 14.3.
Операторы, входящие в выражение для радиального пере-
перемещения, будут следующими:
^3^5 — ^2^6 ^2	* l	* I	* I	* I
gggg -q^ag b*2Ii(/3*r) _ а*3а*5 - g^gg 62 ^ /2 , 8A - r2)
В соответствии с вышеизложенным, решение задачи линей-
линейной вязкоупругости для круглой трехслойной защемленной пла-
пластины можно выписать в изображениях следующим образом:
, 2 л ¦	4
	 г(г — ]
~ 4с
п=3	п=3
* г(г2 — 1)д*
I/ = -^	'— т«26 + «28
4с	v v A
28J g^l + (J«27 + «29)
8
(«32 - 8а3з)^ - J] «n+зз^п ), (9-23)
n=l
64
8
- «n+10g/3nJ
n=3	n=3
Изображению I/a;* отвечает ядро ползучести Г(?). Изобра-
жениям gtn (9.21) соответствуют оригиналы gpn{t)i определяе-
определяемые экспериментально. Искомое решение задачи линейной вяз-
вязкоупругости в оригиналах следует из (9.23) после расшифровки
8*

228	9. Линейные вязкоупругие среды
входящих туда операторов с помощью представления (9.13):
8
/	j
n=3 о	n=3	0
J
t	v
j ёрЛ* ~ T) Mr) J ,
0
R(t - r)q(r) dr
) ^() «n+29 X
(j	) У
71 = 1 ^	0
8
)
0	™=1	0
t	-,
/ g/3n(* " r) dq(r) , (9.24)
0
2	t	r
w(t) = ^^ ^ anj'gPn(t - t) dq(T) + ^ (8ai7 - аг2) х
n=l 0
t	ч	8	t
f R(t - r)q(r) dr) + 8 ^ an+i7 ( gpn{t - r) dq[r) +
о	У n=3	6
(8an+i5 -an+u) I gpn(t-T)d I gpn(t - r) dq(r) -
0	0
gCn(t - r) dq(r) j .
Решение (9.24) справедливо для случая защемленного края
пластины. При шарнирном опирании в соответствии с F.70) в
прогибе появляется дополнительное слагаемое без привлечения
НОВЫХ фуНКЦИЙ gf3n(t).
Таким образом, для описания деформирования круглой
трехслойной линейно-вязкоупругой пластины достаточно знания
ядра ползучести и восьми экспериментальных функций gpn(t)-
Если среди корней иоп имеются кратные, то количество этих
функций может быть меньше.
В заключение укажем, что ряд задач плоской линейной вяз-
коупругости слоистых тел рассмотрен в работах Можаровского 1) .
) Моснсаровский В. В., Стпарснсинский В. Е. Прикладная механика слои-
слоистых тел из композитов. — Минск: Наука и техника, 1988. 271 с.

9.8. Теория старения	229
9.8. Теория старения
В инженерной практике получили развитие технические тео-
теории ползучести, отражающие реономные свойства материалов
введением времени в соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями. Для расчетов бетона используют теорию старения.
Согласно этой теории одномерные определяющие уравнения бу-
будут следующими:
e=^ + f(a,t), /(а,г) = Ма)/2(г) = ВапМг). (9.25)
Константы В,пи функция /г(^) определяются по кривым ползу-
ползучести материала. Соотношения (9.25) показывают, что материал
как бы меняет свои свойства со временем, т. е. «стареет». Этим
можно объяснить название теории. Теория старения учитывает
изменение возраста бетона, но не учитывает длительности при-
приложения нагрузки.
В качестве дополнительной литературы по теории линейной
вязкоупругости можно рекомендовать ставшие классическими
монографии [18], [29], [41]. Более подробно технические теории
ползучести рассмотрены в [4], [23], [27].

10.
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГО-
ПЛАСТИЧНОСТЬ
10.1. Нелинейные вязкоупругие среды
Многие полимерные материалы при повышенных напряже-
напряжениях не следуют линейной модели вязкоупругой среды (8.1),
(8.2) и проявляют физически нелинейные свойства. Применяе-
Применяемые для их описания различные аналитические модели подроб-
подробно рассмотрены Москвитиным [29]. Здесь остановимся на неко-
некоторых из них.
Рассмотрим одну из простейших возможностей учета нели-
нелинейных вязкоупругих свойств материалов. Для этого уравнения
связи напряжений и деформаций примем в виде
t
l3 - JR{t- т)/(еи)эгз(т) rfr);
A0.1)
и
а = ЗКе.
Здесь Sij = <Jij—a5ij —девиатор напряжений, эц = Sij—sSij —
девиатор деформаций, а = сг/^/3 —среднее (гидростатическое)
напряжение, е = 6&&/3— средняя деформация; G — мгновенно-
упругий модуль сдвига, К — мгновенный модуль объемной де-
деформации, функция R(t) —ядро релаксации. Физическую нели-
нелинейность материала описывает универсальная функция f(su),
причем f{eu) = 1, если интенсивность деформаций еи не превы-
превышает некоторого порогового значения es : еи ^ es.
Физические уравнения A0.1) выражают следующее: после
того как интенсивность деформаций в рассматриваемой точке
достигла некоторого порогового значения eSi поле деформаций
3{j в данный момент времени определяется не только мгновен-
мгновенным и предшествующими значениями напряжения «s^-, но зави-
зависит также от вида самого деформированного состояния. Изме-
Изменение объема принимается упругим.
Разрешив A0.1) относительно s^-, получим (Г(?) — ядро пол-
ползучести)
r(t-r)^7(r)rfr;
A0.2)
Же = а.

10.1. Нелинейные вязкоупругие среды
231
Рассмотрим методику определения функции нелинейности
f(eu) по экспериментальным кривым ползучести. Пусть, напри-
например, известны результаты опытов на ползучесть при чистом
сдвиге (рис. 10.1). При этом
шесть уравнений A0.2) све-
сведутся к одному, поскольку
9ij = 0, Кроме Э\2 = ?12,
И Sij = 0, Кроме 512 = 02-
Здесь 2б12 — относительный
сдвиг, сг12 — соответствую-
соответствующее касательное напряже-
напряжение. В нашем случае еи =
О /о"
= —т—?i2- Нижняя кривая
о
на рис. 10.1 соответствует
линейному поведению мате-
материала (еи ^ ?s) при постоянном напряжении
справедливо соотношение
Рис. 10.1
• Вдоль нее
(t) = <т$ (l + / Г(* - т) dr) .
A0.3)
Эту кривую можно использовать и для определения ядра пол-
ползучести:
t
Для остальных кривых из A0.2) следует
2Gf(eW)e<g(t) =
+
|r(t - г) drj ,
A0.4)
г^
где Оу{ —постоянное напряжение вдоль к-й кривой (к = 1, 2, 3).
Разделим левые и правые части уравнения A0.4) на соответ-
соответствующие части соотношения A0.3). После элементарных преоб-
преобразований получим экспериментальные значения функции нели-
нелинейности в различные моменты времени
/(*) =
(к)( ,'
S12 К1)
Так как в каждый момент времени известна интенсивность
деформаций еи = 	е12 (t) и функция нелинейности /(t), то
о

232	10. Термовязкоупругопластичность
можно построить экспериментальную кривую / ~ еи, сопоста-
сопоставляя их значения для одного и того же I. После чего определя-
определяются константы в принятой аппроксимационной формуле для
функции нелинейности.
Нелинейные уравнения связи напряжений и деформаций
можно принимать и в другом виде:
t
2вэ13 = g{au)sl3 + J Г(* - r)g(au)stJ(r) rfr); Же = а, A0.5)
где g(cru) —универсальная функция интенсивности напряжений,
определяемая экспериментально.
Уравнения A0.1) и A0.5) не эквивалентны друг другу. Тот
или иной способ учета физической нелинейности материала вы-
выбирается в зависимости от свойств материала и имеющихся экс-
экспериментальных данных.
10.2. Уравнения нелинейной вязкоупругости,
учитывающие влияние вида напряженного состояния
Высоконаполненные полимеры обладают рядом специфиче-
специфических физико-механических свойств, таких, например, как зави-
зависимость деформирования от величины и знака гидростатическо-
гидростатического давления а (увеличение микродефектов при всестороннем ра-
растяжении и их «залечивание» при сжатии). Эти особенности не
учитываются рассмотренными моделями A0.1) и A0.5), в кото-
которых разделяются соотношения между девиаторами и шаровыми
частями тензоров напряжений и деформаций. Простейшие урав-
уравнения, учитывающие влияния объемного напряжения и темпе-
температуры Т = Т(ж, ?), отсчитываемой от некоторого начального
значения То, могут быть введены путем естественного обобще-
обобщения предыдущих соотношений:
7, T)sl3 = 2вЫеи, Т)э13- JR{t-r)f{eu, Т)эгз(т)с1т\
A0.6)
Т)а = Ш(е-аТ).
Здесь уравнения для девиаторных величин и их вторых ин-
инвариантов (интенсивностей деформаций еи) теперь содержат и
первые инварианты тензора напряжений а. Это и позволяет
учесть различное поведение полимеров при растяжении и сжа-
сжатии. Разрешив соотношения A0.6) относительно деформаций,

10.3. Вязкоупругопластические среды	233
получим
2Gf(eu, T)9ij = tptia, T)Sij + fr(t-
Предполагается, что функции /, (fi и (f2 в A0.6), A0.7) яв-
являются универсальными, не зависящими от вида напряженного
состояния. Они определяются экспериментально. Влияние тем-
температуры на физико-механические свойства можно в ряде слу-
случаев учесть, как известно, с помощью температурно-временнбй
аналогии либо, как это показано далее, непосредственной обра-
обработкой опытных данных.
10.3. Вязкоупругопластические среды
Многие металлы и сплавы при повышенных температурах
кроме пластичности проявляют и явно выраженные реономные
свойства. Такие среды будем называть вязкоупругопластиче-
скими. Рассмотрим одну модель, позволяющую описать подоб-
подобное поведение материалов. Физические уравнения состояния при
наличии температурного поля Т(ж, t) принимаем следующие:
Sij = 2G(T) Шеи,Т)э13 - JR(t - г, T)f(eu, Т)эф) dr) ,
<т = ЗК(Т)(е-о?Г).
Альтернативными к ним будут выражения деформаций че-
через напряжения
t
r(t-r, T)g(au, T)sl3{r)dr,
3K(T)(?-aT) =a.
Здесь отмечено, что от температуры могут зависеть мгновен-
мгновенные модули упругости G(T) и К(Т), ядра ползучести Г(?), Т) и
релаксации Д(?, Т), а также функции пластичности (р(еи, Т),
(^i(crw, T) и универсальные функции физической нелинейности
f(eu, T), g(au, T). При этом <p(ew, T) = 1, если еи ^= ет(Т);
<Pi((Ju, Т) = 1, если ои ^= сгт(Т); f(eu, Т) = 1, если еи ^= es{T)\
g(au, T) = 1, если аи ^= as(T).
Для общей постановки задачи о нагружении из естествен-
естественного состояния необходимо присоединить к уравнениям A0.8)

234	10. Термовязкоупругопластичность
или A0.9), которые справедливы только при активном нагру-
жении, уравнения равновесия, соотношения Коши и граничные
условия.
10.4. Метод последовательных приближений
в задачах вязкоупругопластичности
Присоединим к уравнениям A0.8) уравнения равновесия, со-
соотношения Коши и граничные условия:
Sij = 2G(T) Lp{eu, Т)э13 - JR(t- r)f(eu, Т)эгз{т) dr) ,
V	о	J A0.10)
o~ijlj = rCi на «bo-, Ui = UftiyXi) на ои.
Решение задач термовязкоупругопластичности связано с ре-
решением системы нелинейных интегро-дифференциальных урав-
уравнений в частных производных A0.10), что представляет собой
чрезвычайно сложную математическую задачу, об аналитиче-
аналитическом решении которой говорить не приходится. Поэтому вос-
воспользуемся здесь методом последовательных приближений, ко-
который базируется на методе упругих решений Ильюшина.
Представим для этого функцию пластичности в виде
(р(еи, Т) = 1 - ш(еи, Т), f(eu, Т) = 1 - ал (ем, Т), A0.11)
где 0 ^ ио < 1, 0 ^ ал < 1. Причем w(eu) = 0, если еи ^= ?т;
ui(?u) = 0, если еи ^= ет.
Подставим A0.11) в A0.10). Тогда физические соотношения
становятся следующими:
stJ = 2G(T)(A -
- [ Rit-T^l-uo^e^T^^drX A0.12)
о	J
а = ЗК(Т)(е-аТ).
Таким образом, при uj = ал = 0 уравнения A0.12) описывают
линейные термовязкоупругие свойства материалов.
Как и в теории пластичности, запишем дифференциальные
уравнения равновесия и граничные условия, разложив тензор
напряжений на девиаторную и шаровую части:
Sij,j + <r,i + pFi = O,	A0.13)
Sijlj + oli = Ri на Sa, щ = uoi(xi) на Su.	A0.14)

10.4. Метод последовательных приближений	235
Задачу термовязкоупругопластичности будем решать в пе-
перемещениях. С этой целью подставим компоненты девиатора и
шаровой части тензора напряжений A0.12) в уравнения рав-
равновесия A0.13) и силовые граничные условия A0.14) и учтем
соотношения Коши. В итоге получим следующие обобщенные
уравнения Ламе и граничные условия:
(А + /i)# г + ^Ащ + pFi - Fui - ZKaTi = 0,
Здесь
V	о
f R(t - г ,T)/(eM, Т)э13{т) dr) ,
о	^
За нулевое приближение примем а/0) = /(°) = 0. Тогда Fui =
= Rui = 0, и для определения первого приближения щ имеем
обычную задачу линейной термоупругости. По найденным пе-
перемещениям щ ' определяются величины
Для любого к-то приближения имеют место уравнения и гра-
граничные условия
(А + ц)е[? + /iA^f} + PF% - F^} - ШаТг = 0, A0.15)
f})l =
+ ц(и$ + uf})l3 =Rt + R{*rl) + ШаТ1и A0.16)
причем r^ , R^i известны, так как определяются предше-
предшествующим (к — 1)-м приближением.
Уравнения A0.15) и граничные условия A0.16) являются ли-
- (к) ~
неиными относительно неизвестных перемещении щ . Они от-
отличаются от соответствующих уравнений теории термоупруго-
термоупругости тем, что в них к внешним силам i7^, Ri добавляются фиктив-
n(k-l) т>(к-1) r^
ные силы r^ , ri^i . Это позволяет по известному решению
соответствующей задачи теории упругости построить решение
упругопластической задачи в рекуррентном виде.
Для обеспечения сходимости рассмотренного метода после-
последовательных приближений необходимо, чтобы параметр о;, свя-
связанный с функцией (р{еи) соотношением G.20), и функция нели-
нелинейности f(su) были малыми по сравнению с единицей. Если

236	10. Термовязкоупругопластичность
дополнительно принять <р(еи) = f{eu), то указанный процесс по-
построения приближений в изображениях ничем не будет отли-
отличаться от процесса построения приближений в рассмотренном
ранее методе упругих решений Ильюшина в теории малых упру-
гопластических деформаций (см. § 7.7). В последнем случае из-
известны доказательства сходимости метода (например, [39]). По-
Поэтому можно говорить о сходимости и в рассматриваемом случае.
Доказательство сходимости метода упругих решений для не-
несжимаемой нелинейной вязкоупругой среды дано в работе [37].
Практическая сходимость продемонстрирована ниже на приме-
примере изгиба трехслойной пластины.
При построении решений задачи в изображениях для любого
(k—i)
приближения удобно объемные Fi + F^ и поверхностные Ri +
(k—i)
+ Rui силы разложить в ряд по известным функциям. В этом
случае решения в любом приближении будут отличаться только
постоянными величинами.
Другой метод последовательных приближений получим, ес-
если за нулевое приближение принять о/°) = 0 и oj\ = 1 —/(°) = 0.
В этом случае для определения первого приближения щ следу-
следует обычная задача линейной термовязкоупругости. В дальней-
дальнейшем для к-то приближения имеем задачу линейной термовязко-
термовязкоупругости с некоторыми другими дополнительными внешними
нагрузками г^ , п^ , которые вычисляются по результа-
результатам предыдущего приближения и служат поправками на пла-
пластичность и физическую нелинейность материала.
10.5. Круглая вязкоупругопластическая
трехслойная пластина
Продолжим исследование влияния свойств материала на на-
напряженно-деформированное состояние круглой трехслойной
пластины (см. § 6.14, 7.10, 8.4). Предположим, что в процес-
процессе деформирования материалы несущих слоев могут проявлять
вязкоупругопластические свойства. Для их описания использу-
используем наследственные соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями типа A0.8):
s™ = 2Gk(T) x
/ ...	*	...	\
х ( /jD4 Т)э^ - / Rk(t - т, T)ff>(s{uk\ Т)э^\т) dT J ,
(Ю-17)

10.5. Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 237
В физически нелинейном заполнителе учитываем влияние вида
напряженного состояния:
A0.18)
W - a03T), (a, p = r,<p).
В этом случае уравнения равновесия в итерациях G.26) со-
сохраняют свой вид:
L2(alUn + а2фп - a3w^r) = -р + р%~\
L2(a2un + а4фп - abw™r) - 2cG^n = h™~\	A0.19)
L3(a3un + аъфп - aew?r) =-q + q^'1.
Здесь коэффициенты щ и дифференциальные операторы L2l L3
определяются соотношениями F.59), п — номер приближения.
Дополнительные внешние нагрузки j^, h^~l, q^1 вычисля-
вычисляются по формулам типа G.27):
П —1 	 грП — 1 _|_ 1 (грП — \ 	 грП —1\
Puj	ГШ,Г "Т" ~\-LrUJ	LpLU )
п—1 zjri—1 _|_ 1/Tj-ra—1 ттп—1\
= Кш9гг ¦ r
где
з
rrin — l
J °a	az->
k=l	k=lhk
3	3
Mn-1 = ST^ M(k)n-1 _ST^ f' (k)un-l
lvlauj — /_^lvlauj	— /_^ J °a
k=i	k=ii!k	(Ю.20)
MC)n-l , /^T(l)n-l _ ТB)п-Л
lv±auj	~ ^ {J-auj	^ аи j i
с
l = J af)n-1 dZ] (a = r,<p).

238	10. Термовязкоупругопластичность
Нелинейные составляющие напряжений в соответствии с
A0.17), A0.18) для несущих слоев имеют вид (к = 1, 2)
о
В заполнителе
Ц3)"-^^^3)")-!, G = 1,2).
Таким образом, на каждом шаге приближения мы по-преж-
по-прежнему имеем линейную задачу термоупругости с известными до-
дополнительными внешними нагрузками A0.14). Внешний вид
решения итерационной системы A0.13), с учетом его гладкости
в центре пластины, не отличается от полученного решения для
соответствующей упругопластической пластины G.29):
«" = —*»-
CL1U6 — <
аз
Здесь частное решение неоднородного модифицированного
уравнения Бесселя имеет вид
h(/3r)fnrdr + h{Pr)

10.5. Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 239
где
6163 -Ъ2
Однако в приведенном решении дополнительные нагрузки яв-
являются поправками уже и на реономные свойства материалов
слоев.
Константы интегрирования в случае граничных условий за-
заделки пластины по контуру определяются соотношениями G.30).
При численном решении A0.21) предполагаем, что тепловой
поток интенсивности qt падает перпендикулярно на внешнюю
поверхность трехслойной пластины. Рассмотрим два типа пла-
пластин с различными материалами слоев пакета: металл-полимер-
металл и керамика-полимер-металл.
Для пластин первого типа теплотой, ушедшей на нагревание
внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу его тонко-
тонкости и малой теплоемкости). Температуру этого слоя принима-
принимаем равной температуре заполнителя в месте склейки: Т^ =
= Т^; (с, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время ?,
идет на нагревание полимерного заполнителя. Температура вто-
второго несущего слоя также принимается равной температуре за-
заполнителя в месте их склейки Т^ = Т^\—с, t). Считая пла-
пластину теплоизолированной по контуру, температурное поле в
заполнителе можно рассчи-
рассчитать по формуле A1.37), по- Т, К
лагая удельную теплопровод-
теплопроводность А = Аз и теплоемкость
со = с3.
На рис. 10.2 показано рас-
расчетное изменение температуры
пакета по толщине пластины
при qt = 5000 Дж/(м2-с). Но-
Номер кривой соответствует раз-
различным моментам времени с
интервалом 10 мин после на-
500
400
300
200
1
Ё
м
4 5
3
2
1
z c+hi
Рис. 10.2
чала воздействия теплового потока. В начальный момент вре-
времени t\ = 0, в конечный — tj = 60 мин. При ?4 — 30 мин темпе-
температура во внешнем несущем слое достигает 510 К.
Для пластин с внешним теплозащитным керамическим сло-
слоем считаем, что вся теплота реализуется в этом слое и в за-
заполнителе. Принимая и здесь теплоизоляцию по контуру, тем-
температурное поле рассчитываем по формуле A1.37), где прове-
проведено усреднение теплопроводности и теплоемкости пакета по

240
10. Термовязкоупругопластичностъ
толщине теплозащитного слоя и заполнителя пластины:
Т(в, г) = iS.
h2
Н
оо
-hT.
1 _
6
¦ COS
A =
0
n=l
Здесь г = at/ti1] s = z/h; h = h\ + h%\ a =
+ Xshs)/h; pco = (picihi + pscshs)/h.
Величина нагрузки (go = 3,0 • 107), интенсивность теплового
потока, время их воздействия (to = 30 мин) и относительные
толщины слоев [hi = 0,04 —>• 0,02 (при абляции, см. § 11.5); /i2 —
= 0,04; hs = 0, 2] подбирались таким образом, чтобы нелиней-
нелинейные, теплофизические и ре-
ономные свойства материа-
материалов проявились в достаточ-
достаточной степени.
Числовые результаты по-
показали практическую сходи-
сходимость модифицированного
метода упругих решений,
примененного здесь для не-
неоднородно-слоистой среды.
Максимальное отличие ре-
результатов в 6-м приближе-
приближении (для пластины металл-
полимер-металл) , которые
приняты за искомое реше-
решение, от предыдущего — око-
около 3 %, а от 7-го —менее
0,5 % (рис. 10.3). Здесь но-
номер кривой соответствует
шагу итерации.
На рис. 10.3 а показан
сдвиг в заполнителе, на ри-
рисунке 10.35 — прогиб пла-
пластины в момент времени
t = 30 мин.
Если внешний теплоза-
теплозащитный слой керамический,
то сходимость убыстряется:
часто уже 4-е приближение является достаточно хорошим. Этот
эффект объясняется физической линейностью наиболее жестко-
жесткого в пакете керамического слоя.
Число узлов по радиальной координате B1) определялось из
условия достижения необходимой точности решения. Счет ква-
W
0,24
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
\
\
0
0,2 0,4 0,6
Рис. 10.3
0,8

10.5. Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 241
0,24
0,18
0,12
0,06
0
V
0,2 0,4 0,6
Рис. 10.4
0,8
дратур проводился с использованием формул Ньютона-Котеса.
Интегрирование по толщине слоя выполнялось по четырехто-
четырехточечной формуле Нью-
Ньютона. Были численно
просчитаны девиаторы
напряжений и дефор-
деформаций в различные мо-
моменты времени и под-
подтверждена их соосность,
что свидетельствует о
выполнении условий
простого нагружения.
Рисунок 10.4 иллю-
иллюстрирует увеличение
прогиба за счет воздей-
воздействия теплового пото-
потока на пластину. При
этом можно проанали-
проанализировать результаты
расчета по различным
физическим уравнениям состояния. Кривая 1 соответствует
изотермическому нагружению упругой пластины; 2, 3 — термо-
термосиловое нагружение линейно вязкоупругой пластины в моменты
времени ? = Ои? = ?о = ЗО мин. Остальные расчеты проведены в
общем случае физических уравнений состояния A0.17), A0.18).
При этом кривые ^, 5 соответствуют изотермическому нагру-
нагружению в моменты времени t = 0 и t = to; б, 7 — термосиловому
воздействию в те же времена.
Линейная термовязкоупругость добавляет к прогибу упру-
упругой пластины 10,3 % . При тепловом воздействии на пластину,
проявляющую физически нелинейные и реономные свойства,
прогиб на 16,2 % больше
соответствующего изо-
изотермического прогиба.
По сравнению с уп-
упругим термосиловой
прогиб вязкоупругопла-
стической пластины
время to
возрастает за
на 123 % .
На рис. 10.5 пока-
показано влияние на мак-
максимальный прогиб пла-
пластины величины внеш-
0,2
0,1
зУ,
1
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 д-10"
Рис. 10.5
ней нагрузки q. С ее ростом нелинейный характер кривых 2, 3
(общий случай физических уравнений состояния при термоси-
термосиловом нагружении в моменты времени t = 0 и to = 30 мин

242
10. Термовязкоупругопластичность
соответственно) усиливается. Упругий прогиб 1 линейно про-
пропорционален нагрузке.
Влияние на прогиб различных геометрических параметров
пластины отражено на рис. 10.6.
При постоянной толщине за-
заполнителя и постоянной сум-
суммарной толщине несущих сло-
слоев (/i3 = 0,2; h1 + h2 = 0,08)
наибольшую жесткость на из-
изгиб имеет двухслойная пласти-
пластина — 3, наименьшую — симмет-
симметричная по толщине трехслойная
пластина— 1. Кривая 2 соот-
соотб
ветствует прогибу с параметра-
0,8 г ми hi = 0,02; h2 = 0,06. Зна-
Значения прогиба для других воз-
возможных соотношений толщин в
W
0,24
0,18
0,12
0,06
-^
—-^L
\
^\
\
—-~_
0,2 0,4 0,6
Рис. 10.6
указанных пределах располагаются между кривыми 1 ж 3.
¦f hi
с
0
—с
0,
2
0
4
о,
6
0
8 г
—с — i
о
0,
о а
D 0
2
D 0
0 О
0,4
о,
6
0
• • • ¦
8 г
• • в ¦
Рис. 10.7
Распределение областей пластического и нелинейного дефор-
деформирования материалов слоев по поперечному сечению пласти-
пластины в зависимости от внешней силовой нагрузки можно просле-
проследить по рис. 10.7 а (qt = 0). Численные исследования показали,
что первые пластические деформации появляются на внешних

10.5. Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 243
поверхностях контура пластины в заделке. С ростом нагрузки и
времени они начинают распространяться внутрь по толщине и
вдоль граничных плоскостей слоев. Затем образуется еще одна
область пластических деформаций — в центре пластины (г = 0),
которая движется навстречу первой.
Воздействие температурного поля qt приводит к увеличению
областей пластического деформирования материалов (рис. 10.7 б).
На этих рисунках темные точки и прямоугольники обозначают
соответственно нелинейную ползучесть (вязкоупругость) и пла-
пластические деформации в начальный момент, светлые добавля-
добавляются за 30 мин.
Кинематическая модель рассматриваемой трехслойной пла-
пластины предполагает склейку слоев. Это означает, что переме-
перемещения на границах слоев будут непрерывны, но напряжения
терпят разрыв, так как определяются физическими характери-
характеристиками материалов каждого из слоев. Изменение напряжений в
поперечных сечениях пластины показано на рисунках 10.8—10.10.
C) 1П-9
г • 10 ,
г = 0)
0,2
о
0
-0,2
-0,4
0,4
0,2
10~
П-9
(г = 0)
-0,2
-0,4
—0—112//
'/s
-с х о-^
/
//
/ /
А
Рис. 10.8
w
-я
—с
1
0 z
\
Рис. 10.9
М
В центре пластины (см. рис. 10.8) радиальные напряжения
равны тангенциальным а\п , на контуре — радиальные больше

244
10. Термовязкоупругопластичность
\
ft
\
—с—h^\
V
\
0 z
\
\\
по модулю (см. рис. 10.10). В тонких несущих слоях они изме-
изменяются по поперечному сечению линейно.
0,6
0,4
0,2
aiS) • Ю-9, 0
(г = 0)
-0,2
-0,4
-0,6
Рис. 10.10
Во внешнем несущем слое температурное поле вызывает рас-
расширение материала и смещение напряжений в отрицательную
область.
Учет физической нелинейности и реономности материалов
слоев приводит к увеличению максимальных напряжений во вто-
втором несущем слое по сравнению с упругими напряжениями на
55,4 % (изотермическое нагружение) и на 70,1 % (термосиловые
нагрузки). Во внешнем слое аналогичные цифры — 55,4 и 79,7 %.
Кривые 1 на этих рисунках
соответствуют упругой пла-
пластине; кривые 2, 3 — общий
случай физических уравнений
состояния при t = 0 и t = to-
По рис. 10.11 можно су-
судить об областях заполнителя,
в которых работают функции
нелинейности фторопласта,
учитывающие влияние гид-
гидростатического давления р =
= —а (кривые i, 2 — общий
случай физических уравнений
состояния при t = 0 и t = to).
1,6
1,2
0,8
0,4
0
""
X
1
II
II
0,2 0,4 0,6
Рис. 10.11
0,8
При рассмотренных нагруз-
нагрузках это происходит во всем интервале 0 ^ г ^ 1, так как здесь
р < р0 = 800 МПа, и еще не все дефекты материала закрыты.

10.5. Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 245
Влияние абляции на напряженно-деформированное состоя-
состояние круглой трехслойной пластины (керамика-полимер-металл)
рассмотрено при следующих параметрах: нагрузки — q = 0,3 • 108;
Р — 0; Qt — 2,5 • 104 Дж/(м2с); время их воздействия to = 60 мин;
относительные толщины слоев — h\ = 0,04 —>> 0,02; h^ = 0,04;
hs = 0,2. Унос вещества с поверхности керамического слоя пред-
предполагался равномерным, его начало в момент времени t\ = to/2
соответствует необходимому разогреву поверхности. Интенсив-
Интенсивность абляции предполагалась достаточной для уменьшения
толщины несущего слоя наполовину. Температурное поле опре-
определялось по формуле A1.37) с учетом осредненной толщины ке-
керамического слоя
где ti — узловые моменты времени, п — номер рассматриваемой
точки. Как видно из рис. 10.12, начало абляции принималось в
момент времени ti, когда температура на поверхности керами-
керамического слоя достигала 1200 К (кривая 1). Расчетная темпера-
температура на поверхности при уносе вещества (кривая 2) ниже, чем у
пластин с постоянной толщиной h\ = {0,04; 0,02} (кривые 3, 4)-
Т, К
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1/
/
//,
У,
2 /
V
\\
\
//'
/
0	с с + h'i с + hi
Рис. 10.12
0,2
0,1
0,4
0,3
0,2
0,1
о
.. ——-""""
2
/
1
10 20 30 40 50 t, мин
б
2^
3/
1
J
/
10 20 30 40 50 t, мин
Рис. 10.13
Влияние абляции на максимальный прогиб пластины U7max и
максимальный относительный сдвиг ^тах в заполнителе показаны
соответственно на рис. 10.13 а, б. В момент времени to = 60 мин
эти параметры при наличии абляции (кривая 3) примерно в
3,5 раза больше, чем у пластины с постоянной толщиной кера-
керамического слоя h\ = 0,04 (кривая i), и на 30 % меньше, чем у
пластины с h\ = 0,02 (кривая 2).

246
10. Термовязкоупругопластичность
Расчетный прогиб пластины в условиях абляции, вычислен-
вычисленный по различным физическим уравнениям состояния, приведен
на рис. 10.14. Здесь различие в решениях задачи термоупругости
(кривая i), линейной вязкоупругости B) и общего случая рас-
рассматриваемой вязкоупругопластичности C) проявляется в гораз-
гораздо большей степени, чем ранее.
Для соответствующих ра-
радиальных напряжений в за-
заделке (рис. 10.15) подобные
отличия, вызванные абляцией,
не так велики. Здесь прояв-
проявляется только существенный
рост напряжений в несущем
металлическом слое, вызван-
вызванный перераспределением на-
0,16
0,12
0,08
0,04
3
\
\
л
X
\
о
0,2
0,4 0,6
Рис. 10.14
грузки на слои.
Рассмотренные эффекты
объясняются тем, что при оди-
одинаковых условиях теплового
воздействия часть энергии при
наличии абляции уходит на нагревание унесенного вещества. Это
приводит к сравнительному уменьшению температуры пласти-
пластины и относительному увеличению жесткости материалов слоев.
Влияние абляции на изменение напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния пластины наблюдается и при численном моде-
моделировании термосилового нагружения для трехслойного пакета
металл-полимер-металл. Отметим, что эффект абляции исполь-
используется в технике для охлаждения камер сгорания ракетных дви-
двигателей.
0,4
(r =
• ю-11,
• io-10,
•10"9,
0)
0,2
0
-0,2
-0,4
2\
0 z с
\3
у
V
\
c+hi
V
\
Рис. 10.15
Таким образом, комплексное термосиловое воздействие, в том
числе и абляция, приводит к существенному изменению напряжен-
напряженно-деформированного состояния в вязкоупругопластических эле-
элементах конструкций по сравнению с изотермическими нагрузками.
Это подтверждается также исследованиями, проведенными для
слоистых стержней, пластин и оболочек [31], [49], [51].

11.
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
При численном решении краевых задач желательно приме-
применять механические характеристики реальных материалов или
близкие к ним. С этой целью, используя известные экспери-
экспериментальные данные, были получены [48, 50] и ниже приведе-
приведены необходимые параметры для алюминиевого сплава Д-16Т,
кордиерита и нитридкремниевой керамики, политетрафторэти-
политетрафторэтилена (ПТФЭ, фторопласта-4). Также предложен аналитический
вид функций пластичности и физической нелинейности и проде-
продемонстрирована методика числовой обработки эксперименталь-
экспериментальные данных.
11.1. Алюминиевый сплав Д16Т
Физические уравнения состояния соответствуют термовяз-
коупругопластическому материалу и принимаются в форме
t
(eM, Т)э13 - JR(t - r)f2{eUl Т)эф) dr),
о	У - )
Здесь, как и ранее, «s^-, э^-, <т, е — девиаторные и шаровые части
тензоров напряжений и деформаций; f\(eu, Т) = 1 — ио\(еи, Т) —
функция пластичности Ильюшина; еи — интенсивность дефор-
деформации; /2(eu, T) —универсальная функция нелинейной ползу-
ползучести; R(t)— ядро релаксации; а — осредненный коэффициент
линейного температурного расширения; Т — неоднородное и не-
нестационарное температурное поле, отсчитываемое от некоторой
начальной температуры Tq; G(T), К (Т) — модули сдвиговой и
объемной деформаций.
Для описания зависимости модулей упругости от температу-
температуры используем известную формулу Белла [5], предложенную им
после обработки экспериментальных данных по исследованию
свыше пятисот чистых металлов и сплавов:
), К(Т), Е(Т)} = {G@), К@), Е@)}<р(Т),
1,	0 < Т/Тпл < 0,06,	A1.2)
1,03A -Т/BТПЛ)), 0,06 < Т/Тпл < 0,57,

248 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
где Тпл — температура плавления материала; G@), К@), Е@) —
значения модулей при так называемом нулевом напряжении. Их
можно определить из эксперимента: зная Go при некоторой тем-
температуре Tq (например, при комнатной 20°С), получим
Коэффициент Пуассона предполагается не зависящим от тем-
температуры. При более высоких сходственных (гомологических)
температурах Т/Тил > 0,57 возможно малое отклонение поведе-
поведения материала от линейного закона A1.2).
Аналитический вид функции пластичности при некоторой
постоянной температуре Tq принимаем следующий:
ш1(еи,Т0) = 1 ^i(l-^)ai е1^?то'	A1<3)
Здесь ?то = st(Tq)—интенсивность деформации, соответствую-
соответствующая пределу текучести при температуре Tq.
Для определения экспериментальных значений функции
пластичности воспользуемся приведенными на рис. 11.1а опыт-
опытными данными по переменному кручению стержня круглого по-
поперечного сечения за пределами упругости в условиях комнатной
температуры, полученными Гусенковым и Москвитиным [13].
u>i(?u, To)
VI
3
2
1
/
—ш
0,6
0,4
0,2
1
У
/
-^
**-
9 е
Рис. 11.1
Здесь показана зависимость относительной деформации е от от-
относительного крутящего момента М при мгновенном деформи-
деформировании (кривая 1 —прямое, ? —обратное нагружения):
2Go
ъ/г 	 ivJ-11 	 ь»12		 С12		 ^^0
Мт	<7Т	?т	?т

11.1. Алюминиевый сплав Д16Т	249
При мгновенном кручении в соотношениях A1.1) интеграль-
интегральное слагаемое следует положить равным нулю. Из всех ком-
компонент тензоров напряжений и деформаций ненулевыми будут
только 5i2 = (УVI и э\2 = ^12- В результате для рассматривае-
рассматриваемых экспериментальных кривых будет справедлива следующая
зависимость
<7i2 = 2Goei2(l-wi).	(П.5)
Разделим левую и правую части уравнения A1.5) на величину ат.
Тогда, применяя введенные в A1.4) величины, получим
М = еA- ал), ал = 1 - —.	A1.6)
С помощью соотношений A1.6) вычисляем значения функции
пластичности в экспериментальных точках — ио\п (рис. 11.1 б).
В этих точках должны выполняться условия аппроксимации
Sun
Разделив подобные соотношения для n-й и к-й эксперименталь-
экспериментальных точек, получим
/	г- \ OL\ /	_ \ —OL\
^lfc	V	Sun ' V	Sufc /
откуда
In ^^-
1 — Stq/Sun
1 — STo/suk
Теперь
A1.7)
После осреднения принято: А\ = 0,96; ol\ = 2,34. О точности
аппроксимации можно судить по кривым 1 на рис. 11.1 а, б. Тем-
Темные точки — эксперимент, сплошная линия — расчет.
При росте температуры пластические свойства металлов уве-
увеличиваются, поэтому график функции uji(eu, T) предполагаем
смещенным вдоль оси абсцисс относительно графика ио\(еи, То)
на величину ?то — ет (интенсивность деформации ет соответству-
соответствует пределу упругости при температуре Т). Значения ет вычис-
вычисляем, используя формулу зависимости предела упругости ат от
температуры, предложенную Махутовым [28]:
Г /1 1 \ 1	(гг\ сгт(Т)	(ЛЛ оч
а = сгто ехр \ щ	>. sT(T) = v .	A1.8)
Fl VT To У	V } E(T)	V J

250 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
Для определения константы материала к из A1.8) следует
формула
ат0
То
-1
Ее значение, вычисленное по экспериментальным данным Ра-
ботнова [41], приведено в табл. 11.1.
Таблица 11.1
Параметры
Е@), МПа
C@), МПа
К@), МПа
Ео, МПа
Go, МПа
Ко, МПа
а0, 1/К
То, К
тпл, к
V
Аг
ai
?т0, %
сгто, МПа
х, 1/К
А?
Значения
0,829-105
0,3075-105
0,9214-105
0,72-105
0,267-105
0,8-105
24,3-10
293
933
0,35
0,96
2,34
0,735
340
301
0,924
Параметры
а\
?*0, %
А2
а2
SuO, %
А\
«2
А,с~а
Р, с
а
сгв0, МПа
/90, КГ/М3
Со, Дж/кг-К
А?о, Дж/м-с-К
Значения
2,27
1,485
1
0,7
0,27
1
0,6
0,535
2,92-10
1,39-10-7
0,25
530
2700
880
177
5,6
Таким образом, обобщая A1.3), функцию пластичности при
термосиловом нагружении из естественного состояния принима-
принимаем в виде
U,
T) =
eu>eT
A1.9)

11.1. Алюминиевый сплав Д16Т
251
Аналитический вид функции нелинейности при знакопере-
знакопеременном нагружении с^(б*, Т) принимаем типа A1.9):
о,	< « 4.
-^У
Е > Е
Соответствующие константы А*, а*, ?*0 вычислены по экспери-
экспериментальным данным в соответствии с вышеизложенной методи-
методикой и приведены в табл. 11.1. Значение величины ?* вычисляется
по формуле A1.8). О точности аппроксимации можно судить по
кривым 2 на рис. 11.1 а, б. Темные точки — эксперимент, сплош-
сплошная линия — расчет.
Универсальную функцию нелинейной ползучести предпола-
предполагаем следующей:
A1.10)
h ( 1 - —
Кривые ползучести сплава Д16Т (рис. 11.2) при прямом (а)
и обратном (б) кручениях тонкостенных трубок, полученные
Наместниковым [33], приведены без упругих составляющих.
На рис. 11.2 а для кривой 1 напряжение о\2 = 113 МПа, 2 —
о\2 = 127, 3 — о\2 = 144; графики на рис. 11.2 6 соответству-
соответствуют кривым прямого нагружения при удвоенных напряжениях
сг*2 = 2сг12; Т = 423 К.
2-103
1,2
0,4
У
*^2
1	,
>———•
3,2
2,4
1,6
0,8
/,
/з
2j
0	10 20 30 40 t, ч
a
Рис. 11.2
10 20
б
Для вычисления температурной константы S была исполь-
использована кривая ползучести при растяжении (см. рис. 11.2 а, кри-
кривая 4] Т = 473 К), заимствованная у Работнова [41].

252 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
При обратном нагружении температурная зависимость про-
процесса считалась прежней, а функция и) fan) принималась в виде,
подобном A1.10):
@,	е*и < <0,
Необходимо отметить, что из экспериментальных данных,
приведенных в работах [13, 30], следует, что деформирование
в пластической области при нагружении из естественного со-
состояния упрочняет материал, так как /З2 = 2,02 (б* = /32бт, см.
табл. 8.1). В то же время из работы Наместникова [33]: вытека-
вытекает, что по отношению к ползучести сплав Д16Т разупрочняется.
Ползучесть в результате перемены знака нагрузки происходит
, ч	быстрее: /3* = 1,98 (е*и0 = Р$еи0).
После обработки эксперимен-
экспериментальных данных с помощью опи-
0,6 |	1 л*/^\	J«x^ 1 санной выше методики, получе-
получены значения констант А<2,, «25 ?м(Ь
q 41 /1	| / |	1 А2, оЁ}, ?^0' входящих в аппрок-
симационные формулы для функ-
функций нелинейной ползучести при
0>21 / | f\ | I прямом и обратном нагружениях.
Они приведены в табл. 11.1. Соот-
Соответствие расчетных кривых экс-
экспериментальным точкам отражают
рисунки 11.2, 11.3 (кривая 1 —
прямое нагружение, 2— обратное).
Для описания реономных характеристик сплава Д16Т ис-
используем ядро релаксации Ржаницына [43]:
/
f
/
•
0,2 0,4 0,6
Рис. 11.3
0,8 еи, %
0,02
O?oi
/
1
^—«
10 20 30
Рис. 11.4
(^>0, 0<а< 1). ^111^
Этот выбор обусловлен про-
простым видом ядра, в то же время
достаточно полно учитывающим
слабосингулярные свойства мате-
40 t, ч риалов. Методика определения па-
параметров ядра, соответствующие
графики и таблицы приведены в
рф	ц рд
монографии Колтунова [22]. Полученные с их помощью и в со-
соответствии с A1.11) результаты показаны на рис. 11.4, где пред-
представлена расчетная кривая функции податливости
t

11.2. Керамические материалы
253
по которой можно судить о точности аппроксимации. Константы
ядра приведены в табл. 11.1. Там же указаны значения плотно-
плотности р, удельной теплоемкости С, удельной теплопроводности ко
и предела прочности аво при нормальной температуре. Следу-
Следует отметить, что все термомеханические характеристики сплава
Д16Т получены в области умеренных температур (Т ^ 543 К).
11.2. Керамические материалы
Экспериментальные данные по исследованию поведения нит-
ридкремниевой конструкционной керамики (НКККМ) и кордие-
рита при термосиловом нагружении (рис. 11.5) заимствованы из
работ Гогоци [7] и др.
?М(Г5, МПа
15
10
0
1
2
\
\
\
1
сгв, МПа
160
120
80
40
0
• *
X
•
ч
\
\
1073
а
1473 Т,
Рис.
К
11
.5
273
673
1073
б
1473
273 673
Для аналитического описания поведения этих материалов
воспользуемся соотношениями линейной термоупругости
зц = 2G(T)9ij,
= ЗК(Т)(е-аТ),
A1.12)
температура отсчитывается от некоторого начального значе-
значения Tq.
Коэффициент Пуассона v для керамических материалов
принимается обычно равным 0,3 и считается независимым от
температуры, поэтому можно положить
, G(T), К(Т)} = {Ео, Со, K0}<pi(T),
1,	Т < То,
l-Ai((T-T0)/T0)ai, Т>Т0.
A1.13)

254 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
Для предела прочности примем подобную аппроксимацию:
1,	Т < ТОв,	(Ц.14)
1-А2((Т-Т0в)/Т0в)а\ Т>ТОв.
Численные значения констант, входящих в A1.12)—A1.14), по-
получены в результате обработки экспериментальных данных и
приведены в табл. 11.2. Их соответствие опыту иллюстрирует
рис. 11.5, на котором точки — экспериментальные значения,
сплошная линия — расчет. Кривая 1 соответствует НКККМ,
2 — кордиериту.
Таблица 11.2
Параметры
Ео, МПа
Go, МПа
Ко, МПа
А!
То, К
ТОв,К
сг0, МПа
А2
а2
/9, Кг/м3
а0, К
Материал
НКККМ
15,2 • 105
5,85 • 105
12,7 • 105
9,249
2,17
1273
1273
164
2,33
1,34
2510
3-Ю
Кордиерит
6,7 • 105
2,58 • 105
5,58 • 105
1,073
0,843
873
1207
42
6,472
1,159
2100
6-Ю
Отметим, что в последнее время в связи с широким приме-
применением металлокерамики в машиностроении, аэрокосмической
технике, строительстве появился ряд публикаций, посвященных
исследованию их термомеханических свойств.

11.3. Политетрафторэтилен
255
11.3. Политетрафторэтилен
Физические уравнения состояния для политетрафторэтиле-
политетрафторэтилена (ПТФЭ, фторопласт-4) записываем в форме
[11.10)
Здесь f(eu), <pn(cr, T) — универсальные функции, описывающие
физическую нелинейность полимерного заполнителя (п = 1, 2),
причем / = 1 при еи < es.
Если разрешить уравнения A1.15) относительно
получим
а, T)SlJ(r)dr,
-a0 AT) = <р2(<7, T)a.
Из первого уравнения A1.15) при некоторой температуре
приведения Т = Tq = const и условии чистого сдвига а = О,
512 — 5?2 = const получаем
(Л/^i Р ( \	D-\ 	 О ТD-\	(Л 1 1 ?? \
?(jQJ \?и)Э\2\*) — 8\2^ \t)i	(ll.lbj
где (^i@, Tq) = 1, J(t)—податливость при сдвиге,
fr(t-r)dr.
Все экспериментальные данные по деформированию ПТФЭ
взяты из монографий Гольдмана [8, 9]. Соответствующие кривые
ползучести (Т = То = 313 К)
при сдвиге показаны на
рис. 11.6. Первая из них со- е12, %
ответствует линейному вяз-
коупругому деформированию.
Для нее из A1.16) следует со-
соотношение
20
10
	щ—§ • • • •-
1
i *	иг»
,То) = 1,
A1.17)
1,8 2
, с)
Рис. 11.6
Кривая 2 носит ярко выраженный нелинейный характер.
Вдоль нее
()	4)

256 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
Здесь верхний индекс в скобках обозначает номер кривой. Раз-
Разделив левые и правые части соотношения A1.18) соответственно
на A1.17), получим зависимость от времени для функции нели-
нелинейности
w(t) = 1 -
0B)
0A)'
A1.19)
Так как теперь в каждый момент времени известна интен-
1 „ B) 2л/з B)/,ч 1
сивность деформации Ей =	э\2 (t) и функция нелинейности
о
u){t) A1.19), то можно построить экспериментальную кривую
и ~ ги (рис. 11.7). Аналитическую формулу принимаем в
виде
ш(еи) = I ' ,	, ч ?u^?s>	A1.20)
О точности аппроксимации можно судить по рисункам 11.6, 11.7 а.
J
0,6
0,4
0,2
0
/
3 5 7 9 11 еи,
а
Рис. 11.7
Используя A1.17), можно получить экспериментальные зна-
значения сдвиговой податливости
_ 2Gos$(t)
- A) •
*12
Вид ядра релаксации по-преж:нему принимаем в форме, пред-
предложенной Ржаницыным:
R(t) =
(f3 > 0, 0 < а < 1).
Параметры ядра вычислены по методике Колтунова. О соответ-
соответствии экспериментальных (точки) и расчетных (сплошная ли-
линия) значений можно судить по рис. 11.7 б.
На рис. 11.8 приведены результаты экспериментального ис-
исследования ползучести политетрафторэтилена при сдвиге для
различных температур Т& (кривая 1— 293 К, ? — 303 К, 3 —
313 К, ^—323 К, 5 — 333 К). Касательное напряжение здесь

11.3. Политетрафторэтилен
257
5^2 = 3 МПа, гидростатическое— р = 0. Вдоль третьей кривой
температура равна Tq и, следовательно, функция нелинейности
= 1, поэтому
A1.21)
Для остальных кривых, полагая
получим
Z\jq\Y — Ш\?и))Эу1 = (pi2\lk)sl2J \t)-	{±±.22)
Разделив левую и правую части равенства A1.22) соответ-
соответственно на A1.21), получим экспериментальные значения части
функции физической нелинейности при различных значениях
температуры Т&
= Т.	^ m^m-	A1.23)
Вычисляя значения функции (fi2(Tk) по формуле A1.23) для
каждой температуры Т& в различные моменты времени и усред-
усредняя, получим экспериментальные точки (рис. 11.9).
?12, %
60
50
40
30
20
10
У
1
,Т)
1,4
1,2
1,0
2
Рис. ll.g
0,6
2
293
303 313
Рис. 11.9
323 Т, К
Вдоль кривых ползучести (рис. 11.10), полученных при сдви-
сдвиге с наложением различных значений гидростатического давле-
давления р и при условиях постоянства температуры (Т = 313 К,
^12(То) = 1) и касательного напряжения 5^2 = 4 МПа
(кривая 1 — р = 0, 5 — 20 МПа, 5 — 50 МПа, 4 ~ Ю0 МПа, 5 —
150 МПа, 6 — 200 МПа) выполняются соотношения
9 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

258 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
где Gk = —р — значение среднего напряжения, соответствую-
соответствующего k-й кривой. Это позволяет вычислить значения функции
нелинейности ^ц(сг/с), используя первую кривую на рис. 11.10,
для которой (fn@) = 1:
Соответствующие точки нанесены на рис. 11.11.
?12, %
30
25
20
15
10
5
0
/
у
/
/
3 ^~-
^_	5
6
?12, %
30
25
20
15
10
0,8 2
(<r, To)
1,0
0,8
0,4
V
\
\
0,6
1	2	3 lgt(t, с)	0 -40 -80 -120 а, МПа
Рис. 11.10	Рис. 11.11
i)
L/
y/%
?12, %
10
о
3 \gt(t, с) 3,8 0,8 2
Рис. 11.12
г-
t %
^%
у/ |
^**
•
, с) 3,8

11.3. Политетрафторэтилен
259
Аппроксимационную формулу для cpi (a, T) принимаем в виде
Т) = A - А2\а\^)A + Б(ДТ/ТПЛ)^ sgn ДТ), A1.24)
где
О соответствии расчетных кривых, построенных с использо-
использованием формулы A1.24), экспериментальным значениям мож-
можно судить по рисункам 11.8-11.12. При этом экспериментальные
кривые ползучести ПТФЭ при сдвиге (s^ = 4 МПа) с наложе-
наложением гидростатического давления (рис. 11.12 а—р = 20 МПа;
рис. 11.126 —р = 100 МПа) при различных температурах (кри-
(кривая 1 -Т = 303 К, 2—Т = 313 К, 3—Т = 323 К) не участ-
участвовали в вычислении констант, входящих в аппроксимационную
формулу A1.24), т. е. являлись проверочными.
Как показано в работе Гольдмана [8, 9], объемная ползучесть
ПТФЭ составляет не более 5 % сдвиговой, поэтому ею в даль-
дальнейшем пренебрегаем.
Механизм объемного поведения полимерных материалов при
положительных средних напряжениях качественно и количествен-
количественно отличается от такового при всестороннем сжатии. Надежных
соответствующих опытных дан-
данных пока нет. Поэтому функ- V-, МПа
цию нелинейности ^(а, Т)
определим только в области	300
а < 0:
Р>Ро,
S Р<Ро-
A1.25)
Здесь ро — минимальное дав-
давление, закрывающее все вну-
внутренние дефекты.	0
Для определения модуля
объемной деформации К и
параметров нелинейности
200
100
/
/
Рис. 11.13
«з используем кривую р ~ в
(рис. 11.13), полученную при Т\ — 303 К. Для некоторых к-й
и n-й точек этой кривой будет в соответствии с A1.25) выпол-
выполняться соотношение
Отсюда
К\вк\ =
К\вп\ = А\апГ+1.
а3=
-1.
\пак/ап
Коэффициент As определяется из условия непрерывности на
границе зон физической линейности и нелинейности:
9*

260 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
После этого
вк
Коэффициент объемной деформации ау вычисляется по экс-
экспериментальным кривым зависимости относительной объемной
1,6
1,4
1,2
3
2
1
Т
298 318 338 Т, К -800 -600 -400 -200 а, МПа
Рис. 11.14	Рис. 11.15
деформации в от температуры (рис. 11.14). Она имеет ярко вы-
выраженный линейный характер, поэтому, приняв
т, Т) =
av = 5,33 • 1(Г5КГ\
получим достаточно хорошую аппроксимацию для функции
<р2((т) (рис. 11.15).
При различного рода инженерных
прочностных расчетах элементов кон-
конструкций из полимерных материа-
материалов часто возникает необходимость
использовать механическую характе-
характеристику типа предела текучести —
условный предел текучести. Подоб-
Подобные величины также изменяются с
температурой.
Зависимости условных пределов
текучести фторопласта при растя-
растяжении от времени и температуры
(рис. 11.16, кривая 1—Т = 293 К,
2-Т = 313 К, 3-Т = 333 К, 4-
Т = 353 К) с достаточно высокой сте-
15
Стр,
МПа
10
4
0
Рис. 11.16
пенью точности описываются соотношением
A1.26)
Осредненные константы для фторопласта, входящие в формулы

11.4. Влияние радиации на механические свойства материалов 261
A1.16)—A1.26), приведены к температуре Tq и сведены в
табл. 11.3.
Таблица 11.3
Параметры
Аг
а\
е3, %
А, с~а
Ас
а
А2, Па~а2
а2
В
7
Go, МПа
Ко, МПа
С, Дж/кг-К
Значения
0,905
1,48
3,3
0,02366
3,33-10
0,05
1,98-10
0,536
24,44
1,27
90
4700
600
2300
Параметры
То, К
ть к
Аз, Па~аз
а3
А4, Па~а4
а4
ро, МПа
а0, 1/К
<7т1, МПа
А5
Л, 1/lgC
Л, Вт/мК
/9, Кг/м3
Значения
313
293
63,1
-0,2
2,525-Ю9
3,226
800
1,78-10
14,54
1,394
0,388
0,13
0,25
2150
11.4. Влияние радиации
на механические свойства материалов
При облучении элементов конструкций нейтронами, иона-
ионами, электронами изменяются механические свойства материа-
материалов: твердость, предел текучести, пластичность, ползучесть.
Особый интерес представляет нейтронное облучение. Согласно
экспериментальным данным рост величины нейтронного пото-
потока / = (ft ((р — интенсивность радиационного потока, t — время)
в пределах малых деформаций, как правило, приводит к уве-
увеличению радиационного упрочнения материала и росту преде-
предела текучести. Это можно наблюдать на примере алюминиевого

262 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
сплава 356. Для него на рис. 11.17 отмечены точками экспери-
экспериментальные значения пределов текучести в зависимости от ве-
величины нейтронного потока при постоянной температуре. Для
аналитического описания радиационного упрочнения предела
текучести материала предлагается следующая формула:
= <тт0 [l + А A - ехр (-
(П.27)
сгт,
МПа
350
300
250
200
1 50
/
/
'i
3 2 4
Рис. 11
= 1,09
s
=
9,
73
*
6 7, 1024м
.17
• ю-26 ]
vr2/
/не
где aTl aTQ — пределы текучести облученного и необлученного
материалов; А, ? —константы материала, определяемые экспе-
экспериментально. Здесь также уч-
учтено, что с ростом дозы облуче-
облучения происходит насыщение, и
упрочнение материала прекра-
прекращается. При отсутствии радиа-
радиации (/ = 0) формула A1.27)
не дает упрочнения (ат = сгто),
что отличает ее от взятой
за основу формулы Мэйкина
и Минтпера1) для стальных
сплавов. Константы, принятые
для алюминиевого сплава А =
/нейтрон в достаточной степени по-
позволяют соответствовать расчетной кривой экспериментальным
данным (см. рис. 11.17). Влияние радиации на константы упру-
упругости — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и т. д. незначи-
незначительно и в дальнейшем не учитывается.
Первые сведения о влиянии
облучения на ползучесть были
получены при испытании урана в
реакторе. Увеличивающееся при
облучении количество точечных
дефектов способствует убыстре-
убыстрению ползучести урана в 50—100
раз, несмотря на то, что радиа-
радиационное упрочнение материала
приводит к уменьшению скорости
движения дислокаций.
Информация о ползучести не-
делящихся материалов крайне ог-
ограничена. Это связано с трудно-
трудностями проведения экспериментов
по измерению весьма малых деформаций в условиях облучения в
реакторе. Кривые ползучести циркониевого сплава «циркалой-2»
показаны на рис. 11.18 (кривая 1 —без облучения; 2 — при облу-
2,%
0,35
0,30
0,25
0,20
ч
Z2-
__—.—-
1
о
1000 2000 3000 t, ч
Рис. 11.18
Makin M.J., Minter F.J. // Acta Met. 1960. V. 8. P. 691.

11.5. Расчет температурного поля в трехслойной пластине	263
чении в реакторе с интенсивностью сро = 5-Ю12 нейтрон/(см2-с);
пунктирная линия — расчет). Напряжение во время испытаний
14 кг/мм2, температура — 300 °С. Перегибы на кривых, отмечен-
отмеченные крестиками, соответствуют кратковременным изменениям
температуры. Чтобы учесть влияние нейтронного облучения на
вязкие свойства материала ядро релаксации примем в виде
R(p(t,<p)=g(<p)R(t),
где R(t)— ядро релаксации необлученного материала. В этом
случае, если интенсивность нейтронного потока с течением вре-
времени не изменяется, то значение функции g(<p) постоянно и его
в определяющих соотношениях типа A1.1) можно вынести за
знак интеграла
t
Sij = 2G(T) [h{eu, T, 1)э13 - g(tp)J R(t - r)f2{eu, Т)э13{т) dr\.
о
При отсутствии физической нелинейности (/i = /2 = 1) отсюда
следует
Здесь индекс вверху — номер кривой, ?12@) —мгновенное значе-
значение деформации. В рассматриваемом случае для циркониевого
сплава можно принять g((fo) = 1,18.
11.5. Расчет температурного поля
в трехслойной пластине
При численном исследовании аналитических решений крае-
краевых задач для трехслойных элементов конструкций, находящих-
находящихся в тепловых потоках, часто необходимо знать распределение
температуры по их толщине. В связи с этим получим прибли-
приближенное решение соответствующей задачи теплопроводности для
трехслойной пластины.
Рассмотрим неограниченную трехслойную пластину суммар-
суммарной толщины Д", подвергающуюся воздействию падающего на
нее перпендикулярно внешней плоскости z = с + h\ теплово-
теплового потока интенсивности q. Поверхность пластины z = —с — h2
предполагается теплоизолированной.
При указанных условиях теплообмена нестационарное одно-
одномерное температурное поле 6(z) описывается дифференциаль-
дифференциальным уравнением теплопроводности
0 zz = —	A1.28)
0>к

264 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
при начальном условии в = 0 (t = 0) и условиях на внешних
плоскостях пластины
^i^iz— —Ц. ПРИ z = c + hi, 6^z = 0 при z = — с — /i2- A1.29)
Здесь а& = \k/{CkPk) —температуропроводность fc-ro слоя;
^Ь С к ~~ коэффициенты теплопроводности и теплоемкости;
pk — плотность материала.
Так как характеристики А&, С&, pk изменяются по толщине
трехслойного пакета разрывно, то при точной постановке задачи
об определении температурного поля уравнение A1.28) необхо-
необходимо решать внутри каждой однородной области (слоя) само-
самостоятельно, задавая на поверхностях склейки слоев дополни-
дополнительные условия теплообмена и равенства температур. Реше-
Решение указанной задачи представляется проблематичным. Для ее
упрощения проведем процедуру усреднения теплофизических
параметров по толщине пластины и, в конечном итоге, сведем
задачу к определению температурного поля в однородной пла-
пластине с модифицированными характеристиками. Введем пара-
параметр а = А/С, где
к=1	к=1
Задача определения температурного поля в пластине в этом
случае следует из A1.28), A1.29) после замены а& на а и Ai на А.
Введем безразмерную координату s = z/H и приведенное
время г = at/H {число Фурье). Тогда уравнение теплопровод-
теплопроводности станет следующим:
в,8*=в,Т.	(П-30)
Начальные условия примем нулевые (в = 0 при т = 0). На внеш-
внешних плоскостях пластины должны выполняться условия
?0„=-дприв = ?±^; 0,, = Оприв = -?±^. A1.31)
Для решения уравнения A1.29) применим операционный ме-
метод, основанный на преобразовании Лапласа. Нахождение изо-
изображения в этом случае сводится к решению уравнения
0%в-рв* = 0	(П-32)
при условиях, следующих из A1.31):
±0\ = -1 при s = ^±^1- в\ = 0 при s = - (?±М. (Ц.ЗЗ)
Н '	р	Н	'	Н
Общее решение уравнения A1.32) можно выписать в гипер-
гиперболических функциях:
в* = d ch ,/ps + С2 sh y/ps.	A1.34)

11.5. Расчет температурного поля в трехслойной пластине	265
Определяя постоянные интегрирования Ci, С2 из условий
A1.33) и подставляя их значения в решение A1.34), получаем
следующее изображение температуры пластины:
Г = Шу	A1.35)
где А{Р) = f ch ^(?±^ + s), B(P) = f
Корнями уравнения В(р) = 0 являются двукратный корень
pi = 0 и корни рп+1 = —тг2п2 (п = 1, 2, ...) уравнения
_
Используя теоремы об определении оригинала функции по
изображению, представленному отношениями полиномов, с уче-
учетом кратности корней, из A1.35) находим
= Ф { Ит ( d
+ (с + /12)/Я)
/ v	Г^	1	P=Pn+ie
\ (Ь)
n=l	\—
Применяя для раскрытия неопределенностей правило Лопи-
таля1) , выполним преобразование первого слагаемого в фигур-
фигурных скобках:
dp [	sh
(
= r + lim ^
2 sh y/p
+ lim	—	= т + - ( s +	 1 — -.
2A/psli2A/p	2 V	Я У 6
:) Лопиталь Гийом Франсуа Антуан (L'Hopital, 1661-1704), французский
математик, маркиз, автор первого печатного учебника по дифференциаль-
дифференциальному исчислению, в основу которого были положены лекции И. Бернулли
A667—1748). Последний и является в действительности автором «правила
Лопиталя».

266 11. Термовязкоупругопластические характеристики материалов
Подставляя это выражение в A1.36) и учитывая, что
р=Рп+1
=COS7rn(s+
H J	\	Н
получаем выражение для искомого температурного поля
п=1
где т = ai/Я2, s = z/H, a = А/С, Л = Xkhk/H, С = PkCkhk/H.
Отметим, что при h\ = /12 = 0 решение A1.37) совпадает с
известным решением для однородной пластины.
Природа образования теплового потока здесь не рассматри-
рассматривается. Однако при сильном нагреве внешней (внутренней) по-
поверхности пластины и при наличии потока жидкого вещества
или газа, ее обтекающего, одной из возможных причин разру-
разрушения поверхности может быть гидродинамический унос метал-
металла (абляция), не перешедшего еще в жидкое или газообразное
состояние. Интенсивный унос твердого вещества с поверхности
начнется с момента, когда скоростной напор газа или жидкости
pv2/2 станет порядка предела текучести аТ нагретого поверх-
поверхностного слоя металла. В монографии Ильюшина и Огибалова
[17] вводится основной параметр, характеризующий абляцию,
2сг/
Опасные состояния возникнут при Г ^1.
На практике абляция возникает при входе космических ле-
летательных аппаратов в атмосферу, в камерах ракетных двига-
двигателей, при лазерном воздействии на твердое тело, в стволах ар-
артиллерийских орудий.
Скорость уноса вещества с поверхности рассматриваемой
оболочки определяется величиной интенсивности теплового по-
потока, скоростью напора набегающего потока газа, термомеха-
термомеханическими характеристиками материала поверхности. Абляция
вызывает также изменения в температурном поле пластины,
уменьшение толщины внешнего слоя.

12.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Ранее, в гл. 3, были приведены общие статические уравнения
теории упругости и соответствующие граничные условия. Там
же была сформулирована постановка задачи теории упругости.
Однако многие воздействия на сооружения носят ярко выра-
выраженный динамический характер. Хотя при этом перемещения
оказываются обычно небольшими, однако скорости и, главное,
ускорения могут достигать величин, опасных для конструкции.
К таким нагрузкам относятся сейсмические толчки, ветровые
порывы, а также различные динамические воздействия техно-
технологического происхождения: движение поездов, кранов, неурав-
неуравновешенных частей машин и механизмов.
Как известно из курса теоретической механики, ускоренные
или замедленные движения масс вызывают инерционные силы,
воздействующие на элементы конструкции так же, как и ста-
статические нагрузки. Особенностью динамических нагрузок яв-
является то, что в большинстве случаев они вызывают колебания,
причем при периодическом повторении малых динамических
воздействий в определенных условиях происходит накопление
энергии системы. Постепенно увеличивается размах колебаний,
а вместе с ним и интенсивности инерционных сил до очень боль-
больших значений. Это явление (см. § 12.4) особенно опасно для соо-
сооружения, т. к. разрушение может произойти при малых воздей-
воздействиях и в конструкциях, достаточно прочных по отношению к
обычным статическим нагрузкам.
Колебания системы с одной степенью свободы рассмотрены
в курсе сопротивления материалов [50]. Здесь исследуются ко-
колебания упругих и неупругих элементов конструкций с беско-
бесконечным числом степеней свободы.

268	12. Динамические задачи теории упругости
12.1. Постановка динамической
задачи теории упругости
Применяя принцип Д'Аламбера1) , можно получить уравне-
уравнения движения упругого тела из уравнений равновесия C.1), до-
добавив к действующим массовым силам pF{ силы инерции:
pF{ —>• pF{ — рщ.
Таким образом, уравнения движения будут следующие:
aij,j + p(Fi ~ щ) = 0 (г, j = 1, 2, 3).	A2.1)
Остальные уравнения (равновесия, совместности деформаций,
Коши) C.2)—C.4) и граничные условия C.5), C.7) сохраняются,
но теперь к ним нужно добавить начальные условия
Щ = Здг5 Щ — ЗДг, t = 0.	A2.2)
Оставляя в стороне вопрос доказательства существования и
единственности решения, укажем лишь на то, что мотивировка
единственности остается той же, что и для статической задачи
(см. § 3.5).
Аналогично A2.1) из уравнений Ламе C.6) получаем уравне-
уравнения движения в перемещениях однородной изотропной упругой
среды
рщ = (А + /i) 6^i + рАщ + pF{.
Часто бывает удобно на основании известной теоремы век-
векторного анализа (теорема Гельмгольца 2)) представить поле пе-
перемещений в виде потенциальной и соленоидальной частей
u = grad if + rot ф.
Здесь (р и ф = ^гег — скалярный и векторный потенциалы пере-
перемещений, а операторы grad и rot в прямоугольной декартовой
системе координат имеют вид (см. гл. 14)
ei в2 ез
grady? = 7^еь rot?/> = — — —
дх\ ОХ2 дхз
ф\	ф2	фз
Для однозначности потенциалов перемещений необходимо
дополнительное условие, которое, как правило, принимают
х) Д'Аламбер Жан Лерон (D'Alembert J. L., 1717-83), французский мате-
математик, механик; сформулировал правила составления дифференциальных
уравнений движения; обосновал теорию возмущения планет; сторонник сен-
сенсуализма и скептицизма.
2) Гельмгольц (Helmholtz G. L. F., 1821-94)—немецкий физик, мате-
математик.

12.1. Постановка динамической задачи теории упругости	269
таким:
div?/> = ipi^i = 0.	A2.3)
Если поле массовых сил также представить в виде потенци-
потенциальной и соленоидальной составляющей
то уравнения движения в перемещениях удовлетворяются, ес-
если потенциалы перемещений являются решениями следующих
уравнений (divgrad = A, divrot = 0):
где величины
/\-\-2fi	//7 / . ч
С1 = \	-j С2 = \ - (Cl > С2)
V р	V р
имеют размерность скорости и соответственно носят название
скоростей распространения волн растяжения-сжатия и фор-
формоизменения.
Таким образом, для однородной изотропной упругой среды
замкнутая система уравнений движения в потенциалах переме-
перемещений состоит из A2.4) и A2.3). Начальные условия A2.2) для
нее должны быть записаны в потенциалах
где
г = grad щ + rot ф0, щ^ъ = grad ф0 + rot
= 0-
Отметим, что, несмотря на независимость уравнений A2.4),
как правило, в начально-краевых задачах они связаны гранич-
граничными условиями.
Сформулированную динамическую задачу теории упругости
называют нестационарной. Ее признак — наличие в постановке
задачи инерционных членов в уравнениях движения и началь-
начальных условий.
Частный случай этой задачи — свободные колебания. В этом
случае упругое тело свободно от действия внешних сил, F{ = 0,
Gijlj = 0 на S(j. Часть поверхности Su может быть неподвижно
закреплена, на ней щ = 0. Заданы начальные условия A2.2),
которые приводят тело в движение сообщением ему начального
распределения перемещений и скоростей.
Рассмотрение предельных случаев нестационарной задачи при-
приводит к стационарным динамическим задачам. Их признак —

270	12. Динамические задачи теории упругости
отсутствие начальных условий. К ним относятся задачи о соб-
собственных и вынужденных гармонических колебаниях, а также
задачи о прогрессивных волнах.
Собственные колебания. Под ними понимается задача на соб-
собственные значения (собственные частоты) для однородных
уравнений теории упругости при однородных граничных усло-
условиях (отсутствуют внешние силы, перемещения на поверхности Su
равны нулю). Начальные условия не учитываются. Полученные
в результате решения этой задачи собственные частоты и фор-
формы колебаний, как правило, используются для представления
решений нестационарных задач в виде рядов Фурье.
Вынужденные гармонические колебания. В этом случае объ-
объемные силы Fi, поверхностные силы Щ и заданные перемещения
точек поверхности Здг представляют собой периодические функ-
функции времени, такие, что
Величины с верхним индексом «нуль» не зависят от времени,
поэтому в качестве типового представителя функции cp(t) можно
принять
(p(t) = ехр(ф?) = cos pt + г s'mpt.
Действительно, любая периодическая функция может быть пред-
представлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена это-
этого ряда, мы можем воспользоваться принципом суперпозиции
для построения полного решения.
Прогрессивные волны. Под ними понимается частные реше-
решения уравнений динамической теории упругости, соответствую-
соответствующие волнам, распространяющимся вдоль прямой при отсутствии
начальных условий.
Динамические контактные задачи здесь не рассматривают-
рассматриваются, а читателю можно рекомендовать известные работы по этой
тематике, в частности, монографию Горшкова и Тарлаков-
ского [11].
12.2. Вариационный принцип в динамике
Вариационное уравнение для упругого тела при динамиче-
динамических нагрузках можно получить из вариационного принципа Ла-
гранжа D.5), добавив к массовым силам силы инерции:
/ RiSui dS+ [ p(Fi - щMщ dV = [ оцЬец dV.	A2.5)
J	J	J
Sa	V	V
Уравнение A2.5) и выражает собой принцип виртуальных ра-
работ в динамике. Оно справедливо как для упругого, так и для

12.3. Свободные колебания упругих тел	271
неупругого тела, а также для линейных и нелинейных соотно-
соотношений между напряжениями и деформациями. Введение закона
Гука сужает принцип виртуальных работ до линейно упругих
тел. Введение энергии деформации W D.4) позволяет придать
уравнению A2.5) форму
i 5щ dS+ Г p(Fi - щ) 8щ dV = 6W.	A2.6)
Sa	V
Из уравнений A2.5), A2.6) вытекает, что виртуальная работа
внешних сил и сил инерции равна вариации энергии деформа-
деформации. Нужно отметить, что в случае смешанных граничных усло-
условий поверхностный интеграл, входящий в вариационные урав-
уравнения, берется только по той части поверхности Sai где заданы
напряжения.
Из принципа виртуальных работ A2.6) для поля перемеще-
перемещений можно вывести так называемый принцип Гамильтона1) .
Согласно ему переход системы из одного возможного состояния
в другое за любой промежуток времени [ti, ?2] происходит таким
образом, что функционал действия по Гамильтону принимает
стационарное значение, т. е.
^2
8S = f (8K + SW - 8A) dt = 0,
где К — кинетическая энергия всей системы; W — потенциаль-
потенциальная энергия деформации всей системы; А — работа внешних сил.
12.3. Свободные колебания упругих тел
Рассмотрим сначала задачу на собственные колебания. Ре-
Решение уравнений движения будем искать в виде
щ = Ukexp(icot).
Здесь C/fc — функция только координат, но не времени. Анало-
Аналогичным образом представляются компоненты деформации и на-
напряжения.
В дальнейшем для удобства через щ, O{j будем обозначать
амплитуды перемещений и напряжений, т. е. вместо Ui будем
в дальнейшем писать щ. Тогда, подставив искомое решение в
уравнения движения A2.1), получим систему уравнений для
^Гамильтон Уильям Роуан (Hamilton W. R., 1805-65), ирландский ма-
математик; труды по теории комплексных чисел, в механике — принцип наи-
наименьшего действия.

272	12. Динамические задачи теории упругости
амплитуд
а^-рш2щ = 0ш	A2.7)
Внешние силы и граничные условия в случае свободных ко-
колебаний должны быть нулевыми, при этом множитель exp(io;t)
сокращается.
Уравнения связи между амплитудами напряжений и дефор-
деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука
Система уравнений A2.7) при однородных граничных условиях
может иметь очевидное тривиальное решение
щ = 0, Gij = 0.
Однако при некоторых значениях параметра ио = uj^ возможно
и ненулевое решение
Соответствующие значения параметра ио^ — собственные часто-
частоты упругого тела, а функции и% определяют собственные формы
колебаний. Заметим, что в A2.7) войдут квадраты собственных
частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках,
поэтому корню ио% будет всегда соответствовать второй, равный
по величине и противоположный по знаку, корень — ио^. Мы не
будем вводить для этих отрицательных корней специальную ну-
нумерацию, но следует помнить, что кроме решения щехр(шг)
всегда присутствует и второе решение щ ехр(—iuot). Это заме-
замечание позволяет образовывать из них действительные комбина-
комбинации, которые одни только и имеют механический смысл.
Уравнения, связывающие величины щ и аг--, вытекают из
^O.	A2.8)
Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и
граничных условий искомые функции, входящие в A2.8), опре-
определены с точностью до произвольного множителя.
Уравнения A2.1) могут рассматриваться как уравнения ста-
статической задачи теории упругости с массовыми силами — риР'щ.
Пусть ио = ook есть какая-либо из собственных частот. Тогда
щ = и!? представляет собой перемещение, вызванное действи-
действием распределенных по объему сил Р-? = —рио\и\. Аналогичным
образом силы Р? = —puo2sul при частоте uos вызывают переме-
перемещение uf. Но по теореме Бетти (см. § 4.4)
fp?u![dV= f
V	V

12.3. Свободные колебания упругих тел	273
или
ш2ч Г pu'uf dV = u>lf pufu* dV.
sj	kj
V	V
Так как uos ф ooki то последнее равенство возможно, если интег-
интеграл равен нулю. Следовательно,
[ pu\u\dV = 0 {кфз).
v
Это равенство выражает свойство ортогональности собствен-
собственных форм колебаний. Из условия ортогональности следует, в
частности, что частоты иок всегда действительны. Чтобы дока-
доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что ио\ =
= a + i/З. Уравнение для нахождения собственных частот будет
обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень
002 = сх — гC. Соответствующие собственные формы также будут
комплексно сопряженными:
и\ — Pi + Щъч ul = Pi ~ Щъ-
Из условия ортогональности следует
V	V
Но это равенство возможно лишь тогда, когда ^=0, ^=0. Таким
образом, в линейной теории упругости движений с комплексны-
комплексными частотами быть не может. Очевидно, что этим исключается
и случай чисто мнимых частот.
Поскольку и!? определены лишь с точностью до произвольного
постоянного множителя, их можно нормировать произвольным
образом. Обычно принимают
u*uidV = Sks,	A2.9)
где 8hs — символы Кронекера. Соотношения A2.9) выражают
условия нормирования и одновременно повторяют условия ор-
ортогональности собственных форм.
Перейдем теперь к исследованию свободных колебаний. Прин-
Принцип суперпозиции (метод Фурье) позволяет представить общее
выражение для перемещений при свободных колебаниях упру-
упругого тела следующим образом:
оо
щ = *^(AkmLukt + Bkcosukt)v!l(xs).	A2.10)
к=1

274	12. Динамические задачи теории упругости
Здесь Aki 5fc — неопределенные константы. Дифференцируя
A2.10) по времени, находим
Щ = ^2 (Ak^k cosukt -
k=l
Приравнивая при t = 0 значения перемещений и скоростей их
заданным начальным значениям Здг и v0ii получим
оо	оо
^2 Вкикг(х8) = uoi(xs), ^2 Akujku^(xs) = vOi(xs).
к=1	к=1
Умнож:аем каж:дое из этих равенств на рщ и интегрируем по
объему. Вследствие A2.9) в левой части от каждого ряда оста-
остается лишь по одному члену
Вк = [puoiufdV, Ак = -1 f pv^dV.	A2.11)
V	V
Следует заметить, что соотношения A2.11) не предполагают
возможности разложения функций Здг и ^0г в ряды по собствен-
собственным формам колебаний или фундаментальным функциям и%.
Начальное распределение скоростей вообще может быть даже
не непрерывным, и если говорить о сходимости, то речь может
идти лишь о сходимости в среднем.
12.4. Вынужденные колебания упругих тел
Пусть на тело действуют периодические силы с круговой ча-
частотой р. Для простоты будем считать, что массовые силы от-
отсутствуют (Fi = 0), а на всей поверхности тела внешние силы
представимы в виде
Рассмотрение более общего случая дополнительных трудностей
не встречает. Полагая перемещения и напряжения также про-
пропорциональными ехр(ф?) и сохраняя обозначения щ и aij для
амплитуд перемещений и напряжений, получим из A2.1) сле-
следующие уравнения:
aijJ-pp2ui = 0.	A2.12)
На поверхности Sa должны выполняться граничные условия
(Tijlj = Д?.	A2.13)

12.5. Вынужденные колебания упругих тел	27Ъ
Представим искомое решение в виде
ui = v!i+ и®, ац = о\ + о\у	A2.14)
Здесь и®, о^а — решение статической задачи теории упругости,
удовлетворяющее уравнениям равновесия
aij,j = °'
уравнениям связи и граничным условиям A2.13). Тогда, подста-
подставив A2.14) в A2.12), получим, что первая часть решения Ц, а1-
удовлетворяет следующим уравнениям движения:
a'ijj - рр2и'{ = рр2и°{	A2.15)
при однородных граничных условиях. Положим
k=l	k=l
Подставляя эти выражения в A2.15) и исключая производные
от амплитуд напряжений с помощью A2.8), получим
ОО
^ "^	/ 2	2\ к	2 0
У CLhpiUOh, — р )Ua = Op Ua .
к=1
Умножая на и™ и интегрируя по объему, с помощью условия
ортонормированности собственных функций A2.9) найдем
am{ui2m-p2)=p2j
V
Отсюда следует
?nP
v
Если р = о;ш, то частота возмущающей силы совпадает с
одной из собственных частот упругого тела, и соответствующий
коэффициент в с течением времени обращается в бесконечность.
Это явление называют резонансом.
В случае непериодического воздействия внешних сил для
описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностная
нагрузка и искомое решение представляются в виде разложе-
разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций.
Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет полу-
получить уравнения для определения неизвестных функции времени.
Этот метод будет продемонстрирован на примере трехслойной
пластины в 8 12.6.

276	12. Динамические задачи теории упругости
12.5. Неравенство Рэлея и метод Ритца
Умножим обе части уравнения A2.7) на щ, проинтегриру-
проинтегрируем по объему и решим полученное равенство относительно а;2.
Тогда
J Gij j щ dV
^ = v-r—-.	A2-16)
J puf dV
v
Преобразуя числитель интегрированием по частям при однород-
однородных граничных условиях (интеграл по поверхности будет равен
нулю), получим
f Eijki?ij?kidV
ио2 = v—r	.	A2.17)
Jpu2tdV	V	J
v
Если щ = г^, то уравнение A2.7) выполняется при ио = о^,
и формула A2.16) либо A2.17) даст точное значение квадрата
собственной частоты с номером к. Но если щ—произвольные
функции, то уравнение A2.7) не выполняется, формула A2.17)
определяет некоторое число о;2, которое, вообще говоря, не пред-
представляет собой квадрат частоты каких-либо свободных колеба-
колебаний системы.
Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части
формул A2.16), A2.17), позволяет получить оценку, по крайней
мере, для наименьшей из собственных частот. Условимся нуме-
нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что
UOl < 002 < ^3 < • • •
Выберем в качестве щ произвольную систему трех дифферен-
дифференцируемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинема-
кинематическим граничным условиям. Разложим их в ряд по системе
собственных функций
Щ =
А так как вследствие A2.8)
то, умножив на щ = J^ dm^ и проинтегрировав, получим
j (TijjUi dV = ^2^2 акатш1 J pu\u™ dV = ^ ^Wk-
Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных
форм

12.5. Неравенство Рэлея и метод Ритца	277
Теперь соотношение A2.16) можно переписать следующим об-
образом:
9 9. 99.
, .2 _
или
ш2 = ^2 01+02(^2/0^) +...)
а( + щ + . . .
Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего
члена ряда в знаменателе, так как (cj^/cji)^1 > 1, поэтому со\ ^ со2
и A2.17) можно заменить неравенством Рэлея
col < U/T.	A2.18)
Здесь U — упругий потенциал, вычисленный для заданной си-
системы перемещений щ\ Т — выражение кинетической энергии, в
которой скорости заменены перемещениями щ.
Неравенство A2.18) дает верхнюю оценку для низшей часто-
частоты колебаний упругого тела. Если функции щ содержат неко-
некоторое число неопределенных параметров cSi то U = U(cs) иТ =
= T(cs). Наилучшим приближением для со\ будут значения cs,
минимизирующие дробь в правой части A2.18), поэтому должно
быть
Отсюда
T2\dcs	dcs
или, полагая U/T = о;2,
^-^вГ	A219)
dcs	dcs	V	J
Наиболее простой результат получается, когда параметры cs
входят в выражение щ линейно, а именно:
s=l
Уравнения A2.19) линейны и однородны; для существования
нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант си-
системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическо-
алгебраическому уравнению степени к относительно со2. Вследствие неравен-
неравенства Рэлея наименьший корень уравнения будет давать верхнюю

278	12. Динамические задачи теории упругости
оценку для о;2, которая может только улучшиться с увеличени-
увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет
стремиться к величине о;^, при этом нельзя сказать — сверху
или снизу. Доказательство этой теоремы здесь не приводится.
Следует заметить, что для ее выполнения необходима полнота
системы функций /?, т. е. возможность представления любой
допустимой системы перемещений щ в виде A2.20). Описанная
приближенная процедура определения частот называется мето-
методом Ритца.
12.6. Колебания круглой упругой
трехслойной пластины
Рассмотрим осесимметричные поперечные колебания несим-
несимметричной по толщине упругой трехслойной пластины круглой
формы (см. рис. 6.11). Постановка задачи и ее решение, как и
в статике (см. § 6.14), проводятся в цилиндрической системе
координат г, <р, z. Здесь, однако, заполнитель считаем легким,
т. е. пренебрегаем его работой в тангенциальном направлении
[слагаемым 2сО%ф во втором уравнении системы F.58)]. Внеш-
Внешняя вертикальная нагрузка q = q(r, t). На контуре пластины
предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей
относительному сдвигу слоев. В силу симметрии задачи танген-
тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют [и^ = 0 (к — номер
слоя)], а прогиб пластины w, относительный сдвиг в заполните-
заполнителе ф и радиальное перемещение координатной поверхности и не
зависят от координаты <р, т. е. и(г, ?), ф(г, ?), u(r, t). В даль-
дальнейшем эти функции считаем искомыми. Все перемещения и
линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу го; сило-
силовые характеристики — к 1 Па; через hk обозначена толщина к-то
слоя.
Уравнения поперечных колебаний пластины без учета инер-
инерции вращения нормали в слоях можно вывести из уравнений
равновесия, добавив к внешней нагрузке силы инерции —Мой,
где Mq = (pihi + />2^2 + Рз^з)П)> Рк —плотность материала к-то
слоя.
В результате получаем следующую систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую вынужден-
вынужденные поперечные колебания круглой трехслойной пластины:
= 0, ?2(^2^ + а^Ф — ^5^,г) = 0,
) — Mqw = —q.
Здесь коэффициенты щ и дифференциальные операторы
определяются соотношениями F.59).

12.6. Колебания круглой упругой трехслойной пластины	279
Задача определения функций и(г, ?), ф(г, ?), u(r, t) замыка-
замыкается присоединением к A2.21) граничных и начальных условий
w(r, 0) = /(r), w(r,0)=g(r).	A2.22)
Рассмотрим сначала однородную систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений, описывающую свободные колебания пластины.
Она следует из A2.21) при q = 0:
= 0; Ь2{а2и + а^ф — a$w,r) = 0;
) — Mqiv = 0.
С помощью первых двух уравнений и двукратного интегри-
интегрирования эта система преобразуется к виду
u = b1w,r + Cir + C2/r, ф = ^~,, , „o. . _,,.,
Здесь
aia4 —
Moai(aiu4 — a|)
A2.24)
— a|)(ai<34 — а|) —
В связи с непрерывностью предполагаемого решения в на-
начале координат для сплошных пластин необходимо положить
С2 = С4 = 0.
Искомый прогиб принимается в виде
w(r, t) = v(r)(Acosujt + Вsina;*),	A2.25)
где г;(г) —неизвестная координатная функция, о; —частота соб-
собственных колебаний рассматриваемой пластины, А и В — кон-
константы интегрирования, определяемые из начальных условий.
После подстановки выражения A2.25) в последнее уравнение
системы A2.23) получаем бибесселево уравнение для определе-
определения координатной функцииг>(г):
Ls(v,r)-P*v = 0.	A2.26)
В развернутом виде
v	+ -v rrr - —V^rr + —V^r - f3^V = 0.
Здесь введено обозначение
/З4 = MV.	A2.27)
Решение уравнения A2.26) можно представить в виде [11]
v(/3r) = СьМРг) + едОЗг) + C7Y0(f3r) + C8K0(f3r), A2.28)

280	12. Динамические задачи теории упругости
где Jo, Yq — функции Бесселя нулевого порядка первого и вто-
второго рода, соответственно; /о, Kq — модифицированная функ-
функция Бесселя и функция Макдональда нулевых порядков; С5, ...
... , Cg — константы интегрирования. Не останавливаясь на опи-
описании указанных функций, отметим, что Yo(/3r) и Ko(f3r) имеют
особенность типа логарифма в начале координат, т. е. в цен-
центре пластины [58]. Поэтому, как и ранее, для сплошных пластин
необходимо положить CV = С% = 0. Заметим, что для пластинок
с отверстием константы С2, C±, CV, С% определяются из допол-
дополнительных условий на внутреннем контуре.
Если край пластины защемлен, то при г = 1 должны вы-
выполняться требования и = ф = w = w^r = 0. Подставляя в
два последние условия решение A2.24) с учетом координатной
функции A2.28), получаем
с5м/з) + едоз) = о, -c5Ji(/3) + Cshift = о, A2.29)
где J\, Y\ — указанные ранее функции Бесселя первого порядка.
Однородная система уравнений A2.29) имеет нетривиальное
решение для констант интегрирования С§, Cq при условии ра-
равенства нулю ее детерминанта. Следовательно,
HP) МРУ	( }
Полученное трансцендентное уравнение A2.30) служит для
определения собственных чисел /Зп (п = 0, 1, 2, ... ). После их
вычисления частоты собственных колебаний следуют из соотно-
соотношения A2.27) с учетом A2.24):
ио! = ^.	A2.31)
Следует отметить, что уравнение A2.30) совпадает с аналогич-
аналогичным уравнением для круглой однослойной пластины, защемлен-
защемленной по контуру.
При шарнирном опирании контура пластины и наличием на
нем жесткой диафрагмы должны выполняться условия и = ф =
= w = МТ = 0. Тогда уравнение для определения собственных
чисел следующее:
!№ш A232)
аг(РМР) ~ МР))+**МР)	MPIoiP) ~ h(P)) +aah(P)
Здесь
а? =
После решения
б
баний определяются
ago — a§\Kfc ~~^ К^ j.
уравнения A2.32) частоты собственных коле-
отся по формуле A2.31). Аналогично строится

12.6. Колебания круглой упругой трехслойной пластины	281
трансцендентное уравнение для собственных чисел и при сво-
свободном опирании контура.
В общем случае для описания прогиба круглой трехслойной
пластины, закрепленной на границе одним из указанных спосо-
способов, при поперечных колебаниях вводится система собственных
ортонормированных функций vn = v(f3n, r):
vn = -lU(/3nr) - :MM/0(/?nr)l.	A2.33)
dn L	io(Pn)	-I
Здесь учтено вытекающее из условия w = 0 при г = 1 соотно-
соотношение между константами интегрирования
сб = -СьЫЯ/Ыр).
Константы dn определяются из требования нормировки:
1 г	-.2
[	^\ rdr =
= \ [J02
z
pnl0{pn)
В конечном виде искомый прогиб представляется с помощью
разложения в ряд по полученной фундаментальной системе соб-
собственных ортонормированных функций A2.33):
+ Bnsmojnt).	A2.34)
n=0
Радиальное перемещение и относительный сдвиг получим,
используя первые два уравнения из A2.23) и граничное условие
на контуре ^A, t) = глA, t) = 0:
оо
u(r, t) = b\ У^ ipn (An cos ujnt + Bn sin ujnt),
n=°	A2.35)
^(r, t) = 62 /J Vn (An CQS <^n^ + Bn sin o;nt).
n=0
Здесь ipn = фпфп, г),
. A2.36)

282	12. Динамические задачи теории упругости
Коэффициенты Ап, Вп в формулах A2.34), A2.35) следуют
из начальных условий движения A2.22)
1	1
Ап = [ f(r)vnrdr, Bn = — fg(r)vnrdr.	A2.37)
0	0
У всех встречающихся функций предполагаем непрерывность
производных до шестого порядка включительно.
Для описания вынужденных колебаний рассматриваемой
пластины внешняя нагрузка g(r, t) и искомое решение и(г, ?),
ip(r, t) и w(r, t) представляются в виде следующих разложений
в ряд по системам функций A2.33), A2.36):
ОО	ОО
•,*) =
п=0
оо
b2^2(fnTn(t),
п=0
ll(r f\ _ i
n=0
оо
п=0
Равномерная сходимость рядов A2.38) обеспечена полнотой
используемой системы фундаментальных функций [35]. Выра-
Выражения для функций qn(t) получим, умножив первое из соотно-
соотношений в A2.38) на vn и проинтегрировав по радиусу пластины:
1	1 оо
J q(r, t) vnr dr = M0J ^ vmqm(t)vnr dr =
q	q m=0
oo	1
= M0^2 Qm{t)J vmvnrdr.
m=0	о
В силу ортонормированности системы собственных функций vn
имеем
1	г	г
4h(*) = ^Г ^(r' *) vnr dri / vrnVnr dr = <
Mo J	J	I
1, т = п
О, т т^ п
Уравнение для определения неизвестной функции Tn(t) в
этом случае можно получить из третьего уравнения системы
A2.21) после подстановки в него выражений A2.38) и исполь-
использования линейной связи функций vn, (fn:
fn + ш2пТп = qn.	A2.39)

12.6. Колебания круглой упругой трехслойной пластины
283
Общее решение уравнения A2.39) можно принять в виде
t
Tn(t) = Ancoswnt + Bnsmwnt + — / smwn(t — r)qn(r)dr.
LOnJ
A2.40)
Таким образом, параметры, характеризующие вынужденные
поперечные колебания трехслойной пластины, определяются
соотношениями A2.38), A2.40). Коэффициенты Ап, Вп вычис-
вычисляются при этом по формулам A2.37), так как интегральное
слагаемое в A2.40) и его производная в начальный момент вре-
времени обращаются в нуль.
Трансцендентное уравнение для собственных чисел A2.30)
не зависит от геометрических и упругих характеристик мате-
материалов слоев. Оно было численно исследовано на интервале чи-
числовой оси 0-50. Найденные 15 корней вычислены с точностью
до 0,001 и сведены в табл. 8.1. Первые четыре из них совпада-
совпадают с обычно приводимыми в литературе для защемленной од-
однослойной пластины. По значениям остальных можно судить о
достаточно равномерном распределении собственных чисел на
указанном интервале.
Таблица 12.1
Номер п
0
1
2
3
4
5
6
7
Собственное
число /Зп
3,196
6,306
9,439
12,577
15,716
18,857
21,997
25,138
Номер п
8
9
10
11
12
13
14
Собственное
число /Зп
28,279
31,420
34,561
37,702
40,844
43,985
47,126
Зависимость первых двух частот собственных колебаний за-
защемленной по контуру пластины, материалы слоев которой
Д16Т —фторопласт —Д16Т, от толщины внешнего слоя (h,2 =
= 0,02; hs = 0,05) и от толщины заполнителя (hi = h<i = 0,02)
показана на рис. 12.1 (а и б соответственно). Кривая 1 —ljq]
2 — uoi. В первом случае частоты сначала убывают, затем начи-

284
12. Динамические задачи теории упругости
нают возрастать. Во втором — частоты с ростом толщины отно-
относительно мягкого заполнителя непрерывно убывают, что гово-
говорит об уменьшении жесткости пластины.
4500
3000
1500
2,
у^ 1
у
г—
и
750
500
250
V
у"*""""—
1
о
0,025 0,050 0,075 hi
а
0,1 0,2 0,3 h3
б
Рис. 12.1
В уравнение для собственных чисел A2.32), которое соответ-
соответствует шарнирному опиранию контура пластины, входят жест-
костные параметры слоев. Оно численно исследовано для пакета
Д16Т —фторопласт —Д16Т при hi = h2 = 0,02; h3 = 0,05. Пер-
Первые 15 корней, вычисленные с точностью до 0,001, приведены
в табл. 12.2. Их значения несколько ниже, чем у защемленной
трехслойной пластины, что указывает на уменьшение жесткости
при изменении способа закрепления контура.
На рис. 12.2 показана зависимость собственных чисел Cq A)
и соответствующих собственных частот ojq B) от толщины несу-
несущего слоя. Следует отметить противоположность реакций этих
параметров: с ростом hi жесткость пластины увеличивается, и
растут частоты, собственные числа при этом убывают.
Таблица 12.2
Номер п
0
1
2
3
4
5
6
7
Собственное
число /Зп
3,141
6,203
9,293
12,392
15,497
18,605
21,717
24,832
Номер п
8
9
10
11
12
13
14
Собственное
число /Зп
27,950
31,069
34,191
37,314
40,439
43,565
47,692

12.7. Колебания вязкоупругой трехслойной пластины
285
Рис. 12.3 иллюстрирует уменьшение первых двух собствен-
собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной
пластины A — ooq] 2—uji) с ростом толщины заполнителя.
3,016
3,012
3,008
3,004
\
\
\
300 750
200 500
100 250
0
V
О	0,1	0,2
Рис. 12.2
0,1	0,2	0,3 h3
Рис. 12.3
Характер изменения кривых подобен случаю защемления кон-
контура (см. рис. 8.1а).
12.7. Колебания вязкоупругой трехслойной пластины
На примере круглой трехслойной пластины продемонстри-
продемонстрируем применение метода усреднений в динамических задачах
линейной вязкоупругости [18]. Физические соотношения прини-
принимаем в виде (8.2), т. е. объемное деформирование считаем упру-
упругим, сдвиговое — линейно-вязкоупругим. Введем интегральный
оператор
t
G*kf (t) = Gk(l - R%)f (t) = Gk[f {t) - JRk(t-r)f (r) dr),
0
где Rk(t) —ядро релаксации материала k-ro слоя.
Система уравнений поперечных колебаний рассматриваемой
пластины следует из соответствующих уравнений для упругой
пластины A2.21), если в коэффициентах ат модули сдвига Gk
формально заменить операторами G^: a^ = am{G^ —)> Gk}->
(га = 1, ... , 6). В результате получаем
r) = 0,
r) = 0,
= —q.
A2.41)
Запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифферен-
дифференцирования по следующей за ней координате, две точки вверху -
вторую производную по времени.
Предположим, что ядра релаксации материалов слоев подоб-
подобны и выражаются через ядро релаксации заполнителя, которое

286	12. Динамические задачи теории упругости
в дальнейшем принимается пропорциональным некоторому ма-
малому положительному параметру. То есть выполняются следую-
следующие условия:
Rk(t) = k Дз(*)Л = const; 0 ^ У Д3 (г) dr < 1, Г3 (т) > 0.
о
A2.42)
Распределенная нагрузка q(r, t) считается малой и представля-
представляется в виде разложения в ряд по фундаментальной ортонорми-
рованной системе собственных функций vn A2.33):
оо
q(r, t) = ?iM0^ vnqn(t),	A2.43)
n=0
где Е\ —некоторый малый параметр.
Операторы линейной вязкоупругости а^ представляем в виде
a*m = am-a!mRl (т = 1, ...,6),	A2.44)
где коэффициенты ат определяются по тем же формулам, что
и в предыдущем параграфе, а для а!т справедливы следующие
соотношения:
з	з
= /2 lkGk а* = c(hGw - I2G20), af3 = -
а2 c(h
Ug32 + c2(hG1() + I2G20)), a'6 = Ug32 + c(hGn -
о	о
3
I n
, Gkn = I Gkzn dz, (n = 0, 1, 2).
k=l	hk
Решение системы трех интегродифференциальных уравне-
уравнений A2.41), описывающей поперечные колебания круглой трех-
трехслойной линейно-вязкоупругой пластины, предполагается ис-
искать в виде
оо	оо
w(r, t) = ^2 vnTn(t), u(r, t) = ^2 (hv^r + dr + C2/r)Tn(t),
n=0	n=0
ф{г, t) = ^2 {b2vn,r + C3r + C4/r)Tn(t).
n=0
A2.45)
Константы интегрирования Ci, C2i C3, C\ появляются после
двукратного интегрирования каждого из первых двух уравне-
уравнений системы A2.41); коэффициенты &i, Ъ2 определяются по фор-
формулам A2.24); функция Tn(t) подлежит определению. Причем

12.7. Колебания вязкоупругой трехслойной пластины	287
в дальнейшем для сплошных пластин следует положить С2 =
= С^ = 0, исходя из условия гладкости решения в начале коор-
координат.
Подстановка выражений A2.43)-A2.45) в третье уравнение
системы A2.41) приводит к следующему уравнению относитель-
относительно неизвестной функции времени Tn(t)\
С3г) - а6ущг] Тп - Movnfn =
П'ГA2.46)
Здесь
t
RtTn = jR3(t-r)Tn(r) dr.
о
Так как функции vn являются собственными, то для них
справедливо соотношение, следующее из решения задачи тео-
теории упругости,
где иоп — частоты собственных колебаний, определяемые через
собственные числа (Зп по формулам A2.38). По аналогии, для
оператора в правой части уравнения A2.46) получаем
A2-47)
Величины типа частот ио'п определяются через обобщенные соб-
собственные числа f3'n по соответствующей формуле
/2 	 (^1^6 — ^3 )\Qj\CL^ — Q-2 ) — (^1^5 — ^2^3/ /Q'4
00' =	р^ .
fl	1A1	/2\Д//"	i fl
Параметры /3^, как и собственные числа /Зп, являются решениями
трансцендентных алгебраических уравнений, получаемых при
удовлетворении граничным условиям, если при этом параметры
ат заменить на ат. При заделке края пластины f3'n = $п.
Для решения уравнения A2.46) применим предложенный в
[18] метод усреднения для динамических задач вязкоу пру гости.
В этом случае предполагается существование в последнем члене
уравнения малого параметра ?, который в окончательных ре-
результатах следует положить равными единице, так как малость
интегральных членов обеспечивается условием A2.46). Поэтому
в дальнейшем ядро релаксации R% (t) заменим величиной sR% (t).

288	12. Динамические задачи теории упругости
В результате для функции Tn(t) из A2.46) с учетом A2.47) по-
получаем уравнение
t
Тп + и\Тп = eiqn + eunkn J Rs(t- r) Tn (г) dr, kn = ш'п/шп.
A2.48)
Решение уравнения типа A2.48) изучено в работе [18] для
случая малых сил A2.43). Применительно к нашей задаче имеем
Тп = \Ап cos u;n (l + ^RcnJ t + Bn sino;n ^1 + ^RcnJ *] x
x
Здесь i?cn, Rsn— два основных Фурье-образа ядра knRs(t):
оо	оо
= kn Rs(t) cos Kt) ^т, i?sn = kn Rs(r) sin (o;nr) dr,
т
1	l /"
in = — lim - /
1	If
= — Hm - / gn(t) cos (ujnr) dt,
0
о	о
qin =
°T	A2-50)
q2n
Константы АП1 Вп определяются из начальных условий дви-
движения пластины:
Ап= fw(r,
J
Шп у Дев + Лете
D _
п ~
UJn I 1 + -P 1 L -	V Лсп +
2 '
/ w(r, 0)vnr dr\.
о	J
Таким образом, поперечные колебания круглой трехслойной
пластины, слои которой обладают линейно-вязкоупругими

12.7. Колебания вязкоупругой трехслойной пластины	289
свойствами, описываются выражениями A2.45) с учетом A2.49),
A2.50) и того, что
Vn,r = -^
d
{Оь О3| = \oi, 02)—- \Ji\Pn)
dn I
В качестве примера определим параметры движения для
частного случая симметричной по толщине трехслойной пласти-
пластины
h\ = /12, К\ = 7^2, G\ = G2, R\{t) = R2(t),
находящейся под действием «резонансной» нагрузки
q(i) = Dcosoukt + Esmoukt (D, E, /с —const).
Начальные условия движ:ения, для определенности, принимают-
принимаются следующими:
w(r, 0) =^osin—^	—, w(r,0) =0 (г^о— const).
Характеристики колебаний A2.50), соответствующие k-й гар-
гармонике, в этом случае будут
qk(t) = Dk cosujkt + Ек sm
yP2 = arctg ^ (gin = g2n = 0, n^fc).
Константы интегрирования определяются с помощью принятых
начальных условий:
, г/Зп)}
Здесь U2 (x, у)—функция Ломмеля двух переменных [35],
6пк - дельта-функция Кронекера. Прогиб и относительный сдвиг
10 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

290
12. Динамические задачи теории упругости
Rs
¦ю2
в заполнителе следуют из соотношений A2.45) с учетом A2.49),
A2.50). Радиальное перемещение срединной плоскости заполни-
заполнителя можно положить равным нулю в силу симметрии пластины
по толщине. Численно был
исследован логарифмический
декремент колебаний Rsn
A2.50), который характери-
характеризует демпфирующую способ-
способность материалов трехслой-
трехслойной пластины (рис. 12.4). Гра-
График (кривая 1) показыва-
показывает нелинейный рост величины
Rsn/kn c увеличением толщи-
толщины фторопластового заполни-
заполнителя.
Если рассмотреть колеба-
колебания аналогичной линейно вяз-
кп
1,988
1,976
1 Qfi4
1 Q59
1 94П
/
(
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Рис 12 4	коупругой пластины в ней-
нейтронном потоке постоянной
интенсивности <ро, то математические выкладки останутся
прежними, а изменения произойдут только в константах /&
A2.42) и Фурье-образах ядра knRs(t). Здесь необходимо до-
добавить коэффициент gk{y>)i отражающий увеличение скорости
ползучести материала за счет бомбардировки нейтронами:
Ren =
ОО
J Rs(r) cos (и)пт) dr,
oo
Rsn = kng3(<p) f R3(T) Sin Kt) dr, lk =
J
Если принять g((fo) = 1,18 (см. § 11.4), то логарифмиче-
логарифмический декремент колебаний, характеризующий демпфирующую
способность трехслойной пластины в нейтронном потоке, будет
представлен кривой 2 на рис. 12.1. Это позволяет сделать вы-
вывод, что нейтронное воздействие вызывает более интенсивное
затухание колебаний.
12.8. Колебания трехслойной пластины,
возбужденные тепловым ударом
Пусть к поверхности z = с + h\ шарнирно опертой круглой
трехслойной пластины внезапно подводится тепловой поток плот-
плотностью qt в направлении противоположном внешней нормали.
Поверхность z = — с — h^ и контур г = 1 теплоизолированы. Это

12.8. Колебания пластины, возбужденные тепловым ударом	291
позволяет возбуждаемое нестационарное и неоднородное темпе-
температурное поле в пластине приближенно рассчитывать по фор-
формуле A0.37)
2 V Я У 6
оо
2 V- ("I)"
cos тгп	 е	к
V	Я	У	J'
-1	3
, H = ^hk.
k=l	^k=l	к=1
Так как температура Т(^, ?) не зависит от радиуса пластины,
то уравнения движения A2.23) не изменятся. С учетом ограни-
ограниченности решения в центре пластины собственные поперечные
колебания будут описываться соотношениями
u = biwjr + Cir, ф = b2w,r + C3r, L3(w,r) +М4й = 0. A2.51)
Начальные условия движения принимаются однородными
w(r, 0) = 0, w(r, 0) = 0, T(z, 0) = То (г).	A2.52)
По сравнению с изотермическими колебаниями пластины
изменения произойдут в граничных условиях. В них необходи-
необходимо добавить «температурный» момент Mtl обусловленный объ-
объемной тепловой деформацией в каждом слое в^к — aokT(z, ?),
аок — коэффициент линейного теплового расширения материа-
материала. Таким образом, при г = 1 должны выполняться условия на
контуре:
и = ф = w = 0,
A2.53)
Мг = а3и,г + аъф^г - a6w^rr - a^w^r/r - Mt = 0,
Коэффициенты am, 6i, 62, M4 не зависят от температуры и по-
прежнему вычисляются по формулам, введенным в § 12.5. Ис-
Используя выше приведенную формулу для температуры, получа-
получаем выражение момента Mfi
к=1	к=1
10*
\Gk) JTzdz,	A2.54)

292
12. Динамические задачи теории упругости
где
hk
h2
2) Tj-^
hk 2Я2 V 4
со
(-l)nexp(-n27r2r)
х z sm -
n=l
+ 	COS ¦
hk тгп
Я
.)]¦
Отсюда
00
, ^ / ,1,л/ , , Л2\ 2Я v^ (-l)nexp(-n27r2r)
+/11 c+-/ii С + /12Г ) - т 2^^^	^i
2	/	7Г3 ^^	П3
n=l
1
2Я2
l-h22)-
2\ 2Я^(-1)пехр(-Л2г
	 COS	 - 1 - С Sin	 ,
\7ГП V	Я	/	Я )\ '
3qtHa0
x
00
зя2
(-l)nexp(-n27r2r)
cos
n=l
я
— COS
Я J
+ с ( sin
я
l2) ,
'- + sin
Из первых двух условий A2.53) на границе следует
С\ = -biw,r, Сз = -b2w,r (г = 1),
что позволяет выписать два граничных условия для прогиба:
w = 0, arw^rr + agw^ + Mj = О,
A2.55)

12.8. Колебания пластины, возбужденные тепловым ударом	293
Решение последнего из уравнений системы A2.54) предста-
представим в виде суммы квазистатического прогиба ws и динамической
части Wd'.
w = ws + Wd-	A2.56)
Квазистатический прогиб удовлетворяет уравнению
?зКг)=0,
при граничных условиях на контуре
ws = 0; ajws^rr + agws^r + Mt = 0 .
В рассматриваемом случае для сплошной пластины он имеет
вид
^	A2.57)
Подставляя решение A2.56) в общее уравнение для проги-
прогиба A2.51), в начальные A2.52) и граничные A2.55) условия и
учитывая квазистатический прогиб A2.57), получим замкнутую
начально-краевую задачу для определения динамической части
прогиба Wd- Уравнение движения становится неоднородным:
L3(wd,r) + M4wd = - f4A " r2)Mt ,	A2.58)
2C + as)
oo
ля2 V з V ^^v } FV
ля2 V з
n=l
M2t =-6-^^ (K2 - 2-G2) x
OO
n=l
OO
( — 1) exp(—п 7Г r) — cos	? — 1 — ncsin	 ,
l
ОО
n=l
_ cos v ' zy - COS ^^^ +
1	н	н J
.	( . 7TnBc + /l2) , • 7ГП/12М
+ nc sin —^	^ + sin

294	12. Динамические задачи теории упругости
В начальных условиях движения появляются ненулевые ис-
исходные прогиб и скорость (t = 0):
wd = -J~f МО), wd = -J~f МО), A2.59)
2(а + а)	2(а + а)
где Mt@) следует из A2.54) при t = 0,
(с + ^
k=l
оо
тг ^ п \тгп V }	Н J
тг ^ п \тгп V }	Н J	Н
п=1
(X)
, 2Н тт^ (-1)п ( Н ( 7vnh2 A	• 7гп/*2\1
+ — > ^—'— — cos	 - 1 - с sin	 ,
тг ^^ п \тгп \ Н )	Н )У
п=1
оо
м34(о) = 6-*^ (к3 - 2-
Лтг V	3
\ (cos
п=1
7rnh2\ , / • 7rnBc + /i2) , • тгп^гМ
— cos	) + с ( sin —^	L + sin
Граничные условия становятся однородными:
wd = 0, a7wd^rr + aswdir = 0 (г = 1).	A2.60)
Рассмотрим сначала однородное дифференциальное уравне-
уравнение, соответствующее уравнению A2.58). Его решение предста-
представим в виде
w°d = v(r)(Acosut + В smut).	A2.61)
После подстановки выражения A2.61) в указанное однородное
уравнение получим дифференциальное уравнение для опреде-
определения функции v(r), идентичное уравнению A2.26):
r)-l3*v = 0,	A2.62)
где /З4 = о;2М4. Решение уравнения A2.62) с учетом ограничен-
ограниченности в начале координат следующее:
v = C5J()(f3r) + C6I()(f3r).	A2.63)
Здесь Jq, /о —функции Бесселя первого рода нулевого поряд-
порядка действительного и мнимого аргументов. Подставляя A2.63)
в граничные условия A2.60) и требуя нетривиальности решения

12.8. Колебания пластины, возбужденные тепловым ударом	295
вытекающей системы уравнений относительно неизвестных кон-
констант интегрирования (%, Сб, получим трансцендентное уравне-
уравнение для определения собственных чисел /Зп, совпадающее с урав-
уравнением A2.32). Частоты собственных колебаний можно опреде-
определить после этого из выражения A2.31).
В результате, для описания динамической части прогиба ис-
исследуемой пластины используется полученная ранее фундамен-
фундаментальная ортонормированная система собственных функций A2.14):
)^4/o(/3n
Io(Pn)
Искомый прогиб Wd, удовлетворяющий неоднородному урав-
уравнению A2.58), можно представить с помощью разложения в ряд
по этой системе функций:
оо
wd = J2vnTn(t).	A2.64)
п=0
Подставляя его в уравнение колебаний A2.58), начальные и кра-
краевые условия A2.59), A2.60), умножая члены уравнения на ве-
величину rvn dr и интегрируя по радиусу пластины от нуля до
единицы, в силу ортонормированности системы vn, получим для
неизвестной функции Тп уравнение
Тп + ш2пТп = - /(У Mt	A2.65)
2(<37 + as)
при начальных условиях
Здесь
1
= f(l-r2)rvndr = J-[/?2
J	dnpt L
0
о
Sm,n(x) —функция Ломмеля одной переменной.
Решение задачи A2.65) будет следующим:
Tn(t) = An cos uint + Bn smuont —
t
ЦРп)
2(а7
где
- f Mt(r) sm[u)n(t - r)]dr, A2.67)
On J
An = -^-Mt@), Bn = -J[Pn\ . Mt@).
¦ as)	?\Oj7 ¦

296	12. Динамические задачи теории упругости
Квазистатический прогиб A2.57) можно разложить в ряд по соб-
собственным функциям vn:
оо
ws = —^	*yi(Pn)vn.	A2.68)
2(а7 + as) z—'
п=0
Величина 1(/Зп) определяется выражением A2.66).
Полный динамический прогиб трехслойной пластины полу-
получим, просуммировав A2.64) и A2.68), после чего радиальное пе-
перемещение и сдвиг следуют из соотношений A2.51):
п=0
оо
* = ЬЕ^г(Т„ + ?^)+Сзг,	A2.69)
п=0
оо
п=0
Здесь функция Тп определяется формулой A2.67); момент Mt —
A2.54);
\ Т (R \ _l	(	р	MtI(f3n)
dn L	1о\Рп)	-I L
n=U
Таким образом, функции, описывающие поперечные колеба-
колебания трехслойной пластины вследствие теплового удара, опреде-
определены выражением A2.69).
Численные результаты получены для шарнирно опертой трех-
трехслойной круговой пластины, защитный слой которой выполнен
из кордиерита, заполнитель - фторопласт, несущий слой — сплав
Д16Т. Теплофизические и упругие характеристики указанных
материалов приведены в гл. 11.
Трансцендентное уравнение для собственных чисел A2.32)
численно исследовалось при h% = 10, /12 = 20, h\ = 0,05. Пер-
Первые 20 корней, вычисленные с точностью до 0,001, сведены в
табл. 12.3. Следует отметить достаточно равномерное распреде-
распределение собственных чисел на исследуемом интервале.
На рис. 12.5 показана зависимость собственных чисел /ЗоA)
и соответствующих собственных частот и)${2) от приведенной
толщины первого (а) и второго {б) несущих слоев. Здесь также
(см. рис. 12.2) противоположно поведение этих параметров при
росте толщины соответствующего слоя: собственные числа убы-
убывают, частоты — растут. При этом увеличение теплозащитного

12.8. Колебания пластины, возбужденные тепловым ударом
297
кордиеритового слоя приводит к большему увеличению жестко-
жесткости пластины и вызывает сравнительно усиленный рост частот.
Таблица 12.3
Номер п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Собственное
число /Зп
3,193
6,301
9,431
12,566
15,702
18,840
21,977
25,116
28,254
31,392
Номер п
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Собственное
число /Зп
34,531
37,679
40,808
43,947
47,086
50,224
53,363
56,502
59,641
62,780
3,15
3,10
3,05
300
о
0,01 0,02
а
750
500
250
0
3,15
3,10
3,05
300
о
Рис. 12.5
0,01
0,02
h2
300
200
100
0
Рисунок 12.6 иллюстрирует уменьшение первых двух собствен-
собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной
пластины A — ooq] 2—uji) с ростом толщины заполнителя.
Здесь начальное увеличение h^ приводит к более резкому умень-
уменьшению частот по сравнению с трехслойным пакетом Д16Т —
фторопласт —Д16Т (см. рис. 12.3).
Рассмотрим коэффициент кП1 характеризующий отношение
динамической компоненты прогиба w^n A2.64) к квазистатиче-
квазистатической составляющей wsn A2.68):
7	_ Wdn

298
12. Динамические задачи теории упругости
кп —
Используя выражение A2.67) для функций Тп получаем
375
250
125
VnTn	_ fn(<jJn,
MtI(f3n)vn/[2(a7+a8)] ~ ~Mt
0 0,1 0,2 0,3 h3
Рис. 12.6
/nK, t) =
= —Mt@) cos uont — —ь-^- sin uont —
t
- — f Щт) sin[Lon(t - T)}dr,
где момент Mt и его производные определяются соотношениями
A2.54), A2.58), A2.59).
На рис. 12.7 показано изменение коэффициента кп в зависи-
зависимости от безразмерного времени для первых двух частот: (а) —
п = 0; (б) —п = 1. Здесь наблюдаются экстремальные всплески
в районе т = 1,6. При т > 2 амплитуда колебаний постепенно
убывает.
1,51-
ко
1,0
0,5
-0,5
-1,0
0,5
а
1
...ту
-0,5
-1,0
б
1
1
	"'"'"
1	2
Рис. 12.7
г	3

12.9. Колебания, вызванные абляцией	299
12.9. Колебания, вызванные абляцией
Предположим, что на внешнюю поверхность рассматривае-
рассматриваемой упругой пластины в течение малого времени t\ —>> 0 воздей-
воздействовал мощный тепловой поток интенсивности qti такой, что
Ь1
/
qt dt = const 7^ 0.
о
В результате возникшей мгновенной абляции часть материа-
материала внешнего слоя была унесена с некоторой скоростью vt, на-
направленной перпендикулярно поверхности пластины. Внутрен-
Внутренняя поверхность z = — с — /i2 и контур г = 1 пластины тепло-
теплоизолированы. Это позволяет возникающее неоднородное темпе-
температурное поле в пластине описывать выражением, следующим
из формулы A0.37) при т —>> 0:
оо
nj.h ( 1	о 1 9 X—"\ (— Л\п	Г-тт-г?	1 1
с/ = —\ —[z + с + Ai2j — - — — > -—— cos —B: + с + Ai2j f,
Л I 2/i2	6 7Г2 Z—' П2	L /l	J J
n=l
A2.70)
3	3
где A = ^2 X^hk/hj h = ^ /1^, A^ — коэффициент теплопровод-
/c=l	/c=l
ности A;-ro слоя.
Уравнения движения будут по виду совпадать с A2.21), но
коэффициенты ат A2.32) вычисляются в них сО учетом влияния
температурного поля A2.70) на параметры упругости материа-
материалов слоев A0.2). Начальные условия колебаний принимаются в
виде
w(r, 0) = 0, w(r, 0) = -v%.	A2.71)
Начальную скорость движения ^q можно вычислить, используя
закон сохранения количества движения системы:
-1
где ho — толщина унесенной со скоростью vt части теплозащит-
теплозащитного слоя.
Аналитическое решение поставленной задачи по виду будет
полностью совпадать с решением A2.34), A2.35). Только коэф-
коэффициенты ат будут другие, и для параметров Ап, Вп получим
из соотношений A2.37), A2.71) следующее выражение:
Ап = 0, Вп =	f

300	12. Динамические задачи теории упругости
В случае термосилового воздействия на шарнирно опертую
круглую трехслойную пластину изменения произойдут в гра-
граничных условиях, в которые необходимо добавить «температур-
«температурный» момент Mt. При г = 1 должны выполняться условия
и = ф = w = 0;
Мг = а$и г + а$ф г — clqw rr — uqqw r/r — Mt = 0,
'/	2 \	Г	A2'72)
Mt = 3^2 (Kk - ~Gk) aokj Ozdz.
hi
Здесь «о/с — коэффициент линейного расширения материала
k-ro слоя.
Из первых двух уравнений движения A2.21) и условий на
границе A2.72) следует
С\ = —b\wy, Сз = -b2w,r; (г = 1).
Это позволяет, используя уравнения движения A2.21) и гра-
граничные условия A2.72), сформулировать для прогиба началь-
начально-краевую задачу при свободных колебаниях в окончательном
виде. Он должен удовлетворять следующему дифференциаль-
дифференциальному уравнению в частных производных:
L3(wr)+M4w = 0,	A2.73)
и на границе г = 1 должны выполняться условия
w = 0, a-jw^r + a%w^r + Mt = 0,
где а? = а$ — a^bi — аф2] а>8 = ^60 + аз^1 + «5^2-
Решение уравнения A2.73) представим в виде суммы квази-
квазистатического прогиба ws и динамической части w^.
w = ws+wd.	A2.74)
Квазистатический прогиб является решением дифференциаль-
дифференциального уравнения
Ls(wSir) = 0
при граничных условиях (г = 1)
ws = 0; a7Ws^rr + asws^r + Mt = 0.	A2.75)
Для сплошной пластины его можно принять в виде
ws = -^-(l-r2).	A2.76)
2(а + а)
Подставляя решение A2.74) в уравнение для прогиба и усло-
условия A2.68), учитывая выражения A2.75), A2.76), получим урав-
уравнение для определения динамической части прогиба
1зКг) + МЧ = 0	A2.77)

12.9. Колебания, вызванные абляцией	301
при следующих начальных и граничных условиях:
1 - г2
2(а7+а8)	A2.78)
^ = 0; a7wd,rr + а8г^,г = 0, (г = 1).
Решение уравненияA2.77) принимаем в виде
wd — v (r) (A cos oot + В sin uot).
После подстановки его в A2.77) получим дифференциальное
уравнение, идентичное A2.26), для определения функции v(r):
L3(vir)-P*v = 0, /З4 = ио2МА.
Решение этого уравнения, с учетом ограниченности в начале
координат, следующее:
.	A2.79)
Подставляя решение A2.79) в граничные условия A2.78) и
требуя нетривиальности решения полученной системы уравне-
уравнений относительно С5, Сб, получим трансцендентное уравнение
для определения собственных чисел /Зп
	= _	ш	. A2.80)
a8Ji(P)	а7(Р1о(Р) - h(P)) + a*h(P) V	У
Трансцендентное уравнение A2.80) по виду совпадает с урав-
уравнением A2.32), но параметры ат в нем нужно вычислять с уче-
учетом воздействия температурного поля. После определения соб-
собственных чисел частоты свободных колебаний, как и ранее, вы-
вычисляются по формуле
Для описания динамической части прогиба исследуемой пла-
пластины используется ортонормированная система собственных
функций vn = v(Pnr)j которая уже была определена выражением
A2.32). Тогда
nTn(t),	A2.81)
п=0
где функция времени определяется известным соотношением
Tn(t) = Ап cosojnt + Вп sino;nt.
Постоянные интегрирования АП1 Вп определяются из началь-
начальных условий A2.78):
ndnf3n

302	12. Динамические задачи теории упругости
где
1
1Ш =
о
Sm,n(x) —функция Ломмеля [58].
Квазистатический прогиб ws A2.76) можно разложить в ряд
по системе фундаментальных функций vn:
»-	A2-82)
Полный динамический прогиб трехслойной пластины полу-
получим, просуммировав выражения A2.81) и A2.82), после чего ра-
радиальное перемещение и сдвиг следуют из первых двух уравне-
уравнений A2.21):
М	2(а7 + а
п=0
«п»г [Г„ + #^1 + <7ir,	A2.83)
L	2(a7 + a8)J
n=0
Здесь
n=0
Таким образом, функции, описывающие свободные колеба-
колебания трехслойной пластины при абляции, определяются выра-
выражениями A2.83). В случае вынужденных колебаний изменятся
функции Tn(t), которые будут иметь вид A2.40).
12.10. Прогрессивные волны
Предположим, что исследуемые прогрессивные волны рас-
распространяются вдоль прямой, в качестве которой для опреде-
определенности выбрана ось Ох, х = х\. Тогда соответствующее

12.10. Прогрессивные волны	303
частное решение уравнений движения можно принять в виде
uk(t, х, х2, х3) = Vk(x2, х3)е-г^х-^ (q > 0, с> 0). A2.84)
Решения A2.84) имеют смысл для областей, обладающих
бесконечным размером вдоль оси Ох: бесконечный цилиндр, в
общем, переменного сечения — волновод, полупространство,
плоский бесконечный слой. Входящие в него величины имеют
следующие названия: Vk — амплитуда волны, q— волновое чис-
число, ио = qc— фазовая частота, —q(x — ct) — фаза волны. Величи-
Величина L = 2n/q — называется длиной (периодом) волны.
Кроме того, поскольку существует точка, в которой фаза со-
сохраняет постоянное значение
—q (x — ct) = const,
то величина с называется фазовой скоростью.
Так же, как и при гармонических колебаниях, комплексное
решение A2.84) следует понимать как два процесса: его дей-
действительная часть изменяется по закону косинуса, мнимая — по
закону синуса.
Если возмущения отсутствуют (нулевые массовые силы и од-
однородные граничные условия), то задача о прогрессивных вол-
волнах сводится к задаче на собственные значения. Собственным
значением здесь является фазовая скорость с, которая в общем
случае неявным образом определяет зависимость с = c(q) и соот-
соответствующую систему собственных функций (мод) Vk(q, х2, х3).
Среды (волны) называются дисперсными в том случае, если
функция c(q) т^ const, и бездисперсными в противном случае. В
теории стационарных волн используется введенное Стоксом 1)
и Рэлеем понятие групповой скорости cg, которая определяется
как скорость точки х = х*, в которой фаза волны стационарна,
т. е.
— [-q(x^-ct)] =0.	A2.85)
dq
Отсюда следует
cg = — = c + qc(q).	A2.86)
т
Из A2.86) вытекает, что групповая и фазовые скорости сов-
совпадают только для без дисперсных сред.
Важность знания групповой скорости подтверждается сле-
следующими качественными рассуждениями. Рассмотрим несколь-
несколько (группу) волн вида A2.84) с близкими фазовыми частотами.
Стоке (Stokes G.G., 1819-1903) —английский физик и математик.

304	12. Динамические задачи теории упругости
Если в некоторой точке их фазы совпадают или близки, то там
амплитуды отдельных волн складываются по модулю. Наимень-
Наименьшее различие фаз будет иметь место при условии A2.85). Поэто-
Поэтому определяемая формулой A2.86) групповая скорость есть ско-
скорость распространения максимума возмущения, образованного
группой волн.
Можно показать, что понятие прогрессивных волн аналогич-
аналогично гармоническим волнам имеет непосредственную связь с ком-
комплексным преобразованием Фурье по координате х. А именно,
если разыскивается решение вида
uk(t, х, х2, хз) = vk(x - ct, х2, ж3),
то имеет место равенство (значок «F» обозначает изображение,
q — параметр преобразования)
v%(q,x2,xs) = Vk(q,x2, x3),	A2.87)
т. е. амплитуда групповой волны — изображение Фурье функции
Vh(x, X2, хз) в A2.87). При этом A2.84) является с точностью до
постоянного множителя подынтегральным выражением в интег-
интеграле обращения преобразования Фурье. Заметим, что A2.87) яв-
является частным случаем автомодельных решений, т. е. решений,
зависящих от меньшего числа переменных, чем исходная задача.
Понятие прогрессивных волн широко используется при рас-
рассмотрении волн, распространяющихся по поверхности полупро-
полупространства или плоского слоя, в том числе, в сейсмологии и океа-
океанологии. Ниже приводятся соответствующие примеры.
При наличии в теле бесконечно удаленной точки указанное
в § 3.1 условие ограниченности решения должно быть заменено
условием излучения Зоммерфельда г) , которое является усло-
условием существования единственного решения соответствующего
волновому уравнению (например, первому в A2.3)) Гельмгольца
А(р + к2(р = Ф, к > 0,
где ^иФ — амплитуды или моды ср и Ф.
Упомянутое условие излучения имеет вид (г — длина радиу-
радиуса-вектора, г — мнимая единица):
— пространственная и одномерная задачи
+ ikip = о f - j , г —)> оо;	A2.?
плоская задача
= о I —— I , г —>> оо.
*) Зоммерфельд (Sommerfeld A., 1868-1951) —немецкий физик и матема-
математик; иностранный почетный член АН СССР.

12.11. Волны Рэлея	305
12.11. Волны Рэлея
Рассмотрим задачу о распространении плоской прогрессив-
прогрессивной волны (см. A2.84)) в направлении границы полуплоскости,
занятой однородной линейно упругой изотропной средой (имеет
место плоское деформированное состояние, см. § 5.1). Граница
полуплоскости свободна от напряжений, массовые силы и воз-
возмущения на бесконечности отсутствуют.
Введем такую прямоугольную декартову систему координат
Oxyz, что ось Oz направлена вглубь полуплоскости, ось Ох сов-
совпадает с границей z = 0. Движение среды описывается уравне-
уравнениями в потенциалах A2.3) (<р = <р(х, z), ф\ = ф>2 = 0,
ф3 =Ф(х, z)):
g = c?A,, 0 = ^, А = |, + ?.	A2.89,
Перемещения, деформации, напряжения и потенциалы в со-
соответствии с C.2), C.4) связаны между собой так:
дер дф	дер . дф	,1О ппч
Ul = я " я ' Щ = я + я ;	12.90
аж а^	oz ох
dui	1 /^з , dui\	ди3	/1ОП1\
?ц =-г-, ?13 = - ( -Т- + -г-) ? ^зз = ^-;	A2.91)
аж	2 \ дх oz J	oz
°\\ = (А + 2/i) ?ц + Аб3з, сг13 =	ц2 д2
с^зз = (А + 2/i) ?33 + Абц.
Условия на границе полуплоскости и на бесконечности (см.
§ 3.2) имеют вид
ст1з|2=0 = а33|г=0 = 0, <р = оA), ф = оA) (г ^ +оо). A2.93)
Решение задачи A2.89)—A2.93) ищем в форме прогрессивной
волны
<p(t, х, z) = Ф(г)Е(х, t), ф(Ь, х, z) = Щг)Е(х, t)
iPf *	-г^-Щ	A2'94)
E(x, t) = e щ[х сг).
Подставляя A2.94) в A2.89), получаем уравнения относи-
относительно функций Ф(г) и Ф(г)
Ф/7(^) - д2^Ф(^) = О, Ф/7(^) - q2P2®{z) = 0, /3j = 1 - 4-
A2.95)
При с ^ Cj (^j ^ 0) решения этих уравнений не удовлетворя-
удовлетворяют граничным условиям на бесконечности (см. A2.93)). Если же
(см. неравенство в A2.4)) с < Cj, то /3j > 0 и удовлетворяющие

306	12. Динамические задачи теории упругости
условию на бесконечности решения имеют вид
где С\ и С/2 — произвольные константы. Следовательно,
ip(t, х, z) = C1E1{z)E{x,t), tp(t, x, z) = C2E2(z)E(x, t).
Тогда из A2.90)-A2.93) находим перемещения
щ = qi-idE^z) + a2C2E2(z)}E(x, t),
A2.96)
щ = -qlaidExiz) + iC2E2(z)]E(x, t);
деформации
еи = -q2[dEi(z) +ia2C2E2(z)]E(x, t),
e13 = ±-[2iaidEi(z) - (l + af) C2E2(z)]E(x, t),
езз = q2[a21C1E1(z)+ia2C2E2(z)]E(x, t),	A2-97)
в = -q2^dEi(z)E(x, t);
и напряжения
+ 2ia2C2E2(z)^E(x, t),
-a22)C2E2(z)]E(x,t), A2-98)
2ia2C2E2(z)]E(x, t).
Подставляя равенства A2.98) в первые два граничные усло-
условия A2.93), получаем однородную систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений относительно константСх и С2:
= о,
= 0.
Условием существования ее нетривиального решения явля-
является равенство нулю определителя этой системы
, OL2) = A \ OL2) '
= B-eJ-4./l-4v/Tre = 0, A2.99)
с с'	2 с?
ь2	ь2

12.11. Волны Рэлея	307
Умножение левой части этого равенства на сопряженное вы-
выражение
приводит к многочлену четвертой степени
Р42(?) = fР32@> р32@ = С3 - 8?2 + 8 B + ус) i - 8 A + ус) .
Здесь (см. § 2.2)
х = ^- = ^- = 1~4-	A2.100)
Поскольку в действительной области До (С) > 0? т0 A2.99) эк-
эквивалентно следующему кубическому уравнению (множитель ?
отброшен, так как он дает нулевой корень, что соответствует
отсутствию волны):
= 0.	A2.101)
В силу неравенства 0 < v < 1/2 (см. § 2.2) для реальных
сред параметры ж и т\ изменяются в следующих диапазонах:
0<х<1, \/2<т/<оо.	A2.102)
Предельный случай х = 1 (г/ = оо) отвечает акустической
среде. При этом знаменатель в равенстве для ? в A2.99) обраща-
обращается в нуль (С = 0). Поэтому параллельно с уравнением A2.101)
будем рассматривать эквивалентное ему уравнение
+2 B + х) A - хJ , - A - х2) A - кJ = 0,
^(Л)Л()
Дискриминант многочлена Рз1(^) имеет вид
p=|C>f-2), g= A D5^-11),
dV У	32	16	32
Так как Д3@) < 0, А3A) > 0 и Д^(х) > 0, то существу-
существует единственный действительный корень х* многочлена Дз(х).

308
12. Динамические задачи теории упругости
При этом для Dz(k) имеем (величины х*, и* и гЦ связаны между
собой соотношениями A2.100)
D3 (х*) = 0,
D3 (х) < 0 @ ^ х < х* , 0 ^ v < v*, 2 ^ г/2 < г/2) ,
?>з (^) > 0 (х* < х < 1, г/* < г/ < 1/2, rjl <г}2 < +оо) ,
х* « 0,357003205, i/* « 0,263082064, г/2 = 3,1104351.
Таким образом, многочлены Р31 (я) и Р32 (С) ПРИ 0 ^ к < н^
имеют три различных действительных корня. При ж* < ж < 1
один корень многочленов действительный, а два других — ком-
комплексно сопряженные. Зависимость корней ?i, ф и ^з многочлена
Рз1 (О от параметра х представлена на рис. 12.8.
А
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
-0,5
\
л
1
I
I
I
\|
, 2 1
Cl=CR ,
-"'	—
ImC2-
^	^=^
__ —
3
0,2
0,4 0,6
Рис. 12.8
0,8 1,0
Укажем явный вид корней многочленов Р31 (я) и Р32 @ при
некоторых частных значениях упругих постоянных среды:
при v = 0 (х = 0, г/2 = 2)
Cl
при z/ = 0,25 (А =
, х = 1/3, г/2 = З)
2
a Коти
4

12.11. Волны Рэлея	309
при v = «/, {к = к*, г]2 = rft, а = [D5х* - 11)/2]1/3)
1/3)
= 4 = ЛB " «) ~ 0,2730271,
при v = 1/2 (х = 1, г/2 = оо) — акустическая среда
	 	 	 Сд 	 ^
Si — S2 — S3 — Т — ^i
1
6 = ^| = ^10 = 8/3 - и - v ss 0,9126242,
2 з
{/^297+ « 2,164676, г/ = - — « -0,4106336,
3 v	9v
^	8 и + v > .и — v /т;
^,3 = -3--r±»^-V3.
Отметим, что, для действительных корней ^i, ^2 и ^з много-
многочлена Р31 (^) справедливы следующие неравенства:
о < ^ = 4/ci < lh2 (о ^ х < 1), ^2,з > i (о < х ^ х*).
Таким образом, существует единственная фазовая скорость
c = cR = л/Сяс2 = V^rCi < c2, Ся = Сь ^ = ft. A2.104)
Общее решение системы A2.98) представим следующим об-
образом (С —произвольная константа):
d = -2ia2RC, C2 = A + a\R) С, а2Я = л/l - Ы-
Подставляя эти константы в A2.96) и A2.98), находим пере-
перемещения и напряжения
щ = Cqa2R[-2El{z) + (l + a22R) E2(z)]E(x, t),
an = 2iCm2a2R\Ba2R + ^jEi(z) ~ (l + «L) ?20г)]?(ж, t),
^13 = CM2 A + a2Rf [Ex{z) - E2(z)]E(x, t),	A2.106)
CT33 = 1iC\xq2a2R A + a\R) [-E^z) + E2(z)]E(x, t),

310
12. Динамические задачи теории упругости
Напряженно-деформированное состояние среды определяет-
определяется неединственным образом (в формулах A2.105) и A2.106)
присутствует произвольный постоянный множитель С). Это свя-
связано с тем, что исходная задача является однородной.
Комплексные решения следует понимать следующим обра-
образом. В силу линейности задачи реальными являются соответ-
соответственно либо действительная, либо мнимая их часть.
Полученные волны называются волнами Рэлея, а соответ-
соответствующая им фазовая скорость cr — скоростью волн Рэлея. От-
Отметим, что, как следует из уравнения A2.99), фазовая скорость
в этом случае не зависит от волнового числа д, следовательно,
волны Рэлея являются без дисперсными.
Эти волны вследствие наличия экспоненциальных множите-
множителей с показателями (—qajz) очень быстро затухают по глубине
полуплоскости. Скорость затухания определяется фазовой ско-
скоростью д, т. е. длиной волны L по координате х (L = 2тг/q). Чем
больше фазовая скорость (меньше длина волны), тем быстрее
происходит затухание.
Следовательно, волны Рэлея являются поверхностными (их
основная энергия сосредоточена у границы полуплоскости). Они
имеют большое значение в сейсмологии, поскольку они наблю-
наблюдаются при землетрясениях вдали от эпицентра, и именно они
являются причинами разрушений объектов на земной поверхно-
поверхности. Волны Рэлея также играют большую роль при проведении
ультразвуковых исследований, в том числе, в дефектоскопии.
12.12. Волны Лява
Другой тип поверхностных волн открыт Лявом и носит его
имя. Они наблюдаются в полупространстве, свойства которого
изменяются скачкообразно.
Рассмотрим плоский слой
толщины /г, абсолютно жестко
сцепленный с полупростран-
полупространством (рис. 12.9). Материалы
полупространства и слоя яв-
являются однородными линейно
упругими изотропными среда-
средами с упругими постоянными Ао,
/io и Ai, /ii, а также плотностя-
ис' '	ми ро и р\ соответственно. Гра-
Граница полупространства свободна от напряжений, массовые силы
и возмущения на бесконечности отсутствуют.
Введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz
так, что ось Oz направлена в глубь полупространства, ось Ох
совпадает с границей z = 0 раздела.
ШУ/УУУУ/у/УАу/а
1 Z
h
X

12.12. Волны Лява	311
Будем исследовать задачу об антиплоских деформациях си-
системы, которым соответствуют перемещения, направленные по
оси Оу и не зависящие от координаты у:
u[j) = 4J) = О, 4J) = uU) (*> xi z) •	A2.107)
Здесь и далее верхний индекс в обозначениях параметров ука-
указывает на полупространство (j = 0) или слой (j = 1).
Из A2.1), C.2) и C.3) находим уравнения движения, связь
деформаций с перемещениями и физический закон
д2и^	уJ (j) Л	д2 , д2
А = — + —;
дх2 dz2
&{ Au, А	+
dt2	дх2 dz2
(j) _ 1 дии)	(j) _ 1 дии)
612 " 2^х~' б23 " 2^Г
_ ,(J) _
— 633 —
A2.108)
з) _
Аз) _
12 ~
12 ~^j~dx~' 23 ~^j~dz~'
Аз) _ Аз) _ Аз) _ Аз) _ 0
а11 ~~ а13 ~~ °22 ~~ аЗЗ ~~ и*
Граничные условия заключаются в отсутствии напряжений
на границе z = —h всей системы, непрерывности перемещений
и напряжений на плоскости z = 0, а также в ограниченности
решения на бесконечности. Нетривиальные граничные условия
имеют вид
z=-h
= 0, а.
@)
23
^23
= Uy
z=0
и
(Я = 0A)
A2.109)
Решение задачи A2.107)—A2.109) ищем в форме прогрессив-
прогрессивной волны (j = ОД)
u^\t, х, z) = U3{z)E(x, t), E(x, t) = e~iq(x-ct\ A2.110)
Подставляя A2.110) в A2.107), получаем уравнения относи-
относительно функций Uj(z)
^	A2.111)
Для полупространства, аналогично задаче о волнах Рэлея,
при с ^ С2 (А) < 0) решение соответствующего уравнения (j =
= 0) не ограничено на бесконечности. Если же с < с^ (А) < 0),
то удовлетворяющее условию на бесконечности решение имеет

312	12. Динамические задачи теории упругости
вид (Со—произвольная константа)
U0(z) = CQEo(z), Eq(z) = e~qaoz, a0 =
Для слоя (j = 1) сначала предположим, что с> с^ (Pi < 0),
т. е.
41} <с<40).	A2.112)
В этом случае общее решение соответствующего уравнения в
A2.111) записывается так (Ci, C%—произвольные константы)
/ 2
Ui(z) = С\ sin (qaiz) + С2 cos (qaiz) , ах = у/-pi = W-^j? - 1.
V С2
Следовательно,
(
t, ж, z) = [Cisin(gai^) + C2 cos (qa\z)]E(x, t).
Тогда из A2.108) находим
a[J2 (?, ж, z) = —i/j,jquU'(t, x, z\
aH\t, x, z) = -noqaouW(t, x, z),	A2.114)
СГ23 (t, ж, z) = iiiqai[C 1 cos {qaiz) + C2 sin (qaiz)]E(x, t).
Подставляя равенства A2.113) и A2.114) в первые три гранич-
граничные условия A2.109), получаем однородную систему линейных
алгебраических уравнений относительно констант Со, С\ и С2'.
С\ cos (qa\h) + C2 sin (qa\h) = 0,
= 0,	A2.115)
Условием существования нетривиального решения этой си-
системы является равенство нулю ее определителя
cos (qa\h) — sin (qa\h) = 0.
Это условие эквивалентно трансцендентному уравнению
с@J
гAJ'
A2.116)
Отметим, что в силу соотношения A2.112) /3^ > 0.

12.12. Волны Лява
313
Для выяснения условий существования и единственности ре-
решения уравнения A2.116) исследуем поведение функции /(?). Ее
область определения задается неравенствами (равенство ? = /Зю
исключено в силу соотношений A2.112)) 0 < ? < /Зю = V^oi ~~ 1-
Она является строго убывающей на всей области определения,
поскольку
Так как lira /(?) = +00 и /(/Зю) = 0, то ее область значений
имеет вид 0 ^ /(?) < +оо. График функции /(?) имеет точку
перегиба ? = ?, которая находится из соотношений
З701 $п
ПО = -
(/92 _
2^2
3P01
f2\ (\
R №
= Poiy 3.
Учитывая все выше сказанное относительно поведения функ-
функции /(?), а такж:е свойства тангенса, приходим к выводу, что
уравнение A2.116) имеет действительные корни
тг (т - 1) < Сьт < - Bт - 1)
(т = 1, 2, ... ,fe).
Это иллюстрирует рис. 12.10,
здесь тг ^ fiioqh < 2тг. Чис-
Число корней определяется равен-
равенством к = k(qh) = [^ю^/^/тг] +1,
где [ х ] — целая часть действи-
действительного числа х.	Рис. 12.10
Следовательно, функции
ibm{qh) определены на множествах qh > тг(т — 1)/?ю- Причем,
как следует из A2.116),
lim
A2.117)
Кроме того, из A2.116) получаем, что <^т удовлетворяет урав-
уравнению
л = arctg [/(?z,m)]-	A2.118)
Hm ?Lm = 0.	A2.119)
Отсюда находим

314
12. Динамические задачи теории упругости
Дифференцируя по qh равенство A2.116)
7oi I _
A2.120)
приходим к выводу, что
\
-"к
^-—
i
1
"-
—	—
71	27Г	qh
Рис. 12.11
соответствующего уравнения в A2.111) будет
и функции ^ьт(я^) являют-
являются строго монотонно убываю-
убывающими.
Результаты численного
решения уравнения A2.116)
при ДI = 0,5 и 701 = 0,8
(сплошные линии) и 701 — 1?2
(штриховые линии) приведе-
приведены на рис. 12.11.
Покажем теперь, что при
с ^ ci) (Al ^ 0) прогрес-
прогрессивные волны в рассматрива-
емой системе не существуют.
Действительно, при с < с^
(Pi > 0) общим решением
Ui(z) = Ci sh
ch
= W 1
41J'
4
A2.121)
Аналогично предыдущему случаю получаем
z) =
Г
i ch
sh
t),
x, t).
Перемещения и^ и напряж:ения a^ , ^23 определяются соот-
соответствующими равенствами в A2.113) и A2.114).
Из граничных условий A2.109) получаем однородную систе-
систему линейных алгебраических уравнений относительно констант
Со, Ci и С2'.
Ci ch (qaih) — С2 sh (qaih) = 0,
+ fJLiqaiCi = 0,
Условие существования ее нетривиального решения приво-
приводит к уравнению th(aiqh) = — /io<^o (/^1^1M которое не имеет
действительных корней, так как th? ^ 0 при любом ^ ^ 0.

12.12. Волны Лява
315
При с = С2 (Al = 0) общее решение соответствующего урав-
уравнения в A2.111) записывается в виде
Ui(z) = Ciz + C2.	A2.122)
Остальные выкладки предоставляем читателю.
Итак, волны Лява существуют только при удовлетворяющих
условию A2.112) фазовых
скоростях
Г'
\
1
1
I

\СЬ2
—— —
N.
1
_L__
—.
-	innnnnn—
2тг
A2.123)
где ^Lm — корни уравнения
A2.116). Графики зависи-
зависимостей отношения (ът =
= CLm/4^ (m = !? 2? 3) От
qh при указанных выше ха-
характеристиках сред приведе-
приведены на рис. 12.12. Предель-
Предельные значения величин ^т
определяются равенствами
A2.123), A2.117) и A2.118).
Для определения формы этих волн в системе уравнений
A2.115) полагаем (С —произвольная постоянная)
С\ =
Со = С2 =
qh
Рис. 12.12
= — у ^01 ~
и, учитывая A2.113) и A2.114) находим
, х, z) =
sin
г?
(t, ж, 2;) = -i
cos (qaimz)]E(x, t);
, t),
J{
(*, ж, 2;) = -
sin (qamz) +
+/iia
= -C/Jo/Jiq2aomaimEo(z)E(x, t),
cos (gam2;)] ??(ж, t),
(t, ж, 2;) = C/Jiq2aim [/iO«Om cos
, t).

316
12. Динамические задачи теории упругости
Волны Лява имеют те же практические приложения, что и
волны Рэлея. Отметим только,
1
1
\
|С82
If
"Т"
—™ ¦—*
1	г	ч =Г^Р^^
что в отличие от последних, как
следует из A2.116) и A2.123),
они являются дисперсными.
Подставляя A2.123) в A2.86)
для групповых скоростей cgm
получаем
A2.124)
О
JL	f!L	qh
где ^т{Я^) определяется фор-
Ап Ал	мулой A2.120).
Рис. 12.13	Соответствующие графики
приведены на рис. 12.13. Предельные значения фазовых скоро-
скоростей вытекают из A2.124), A2.117), A2.119) и A2.116)
lira	Wn = ?in, lini qgm = 1.
12.13. Прогрессивные волны в плоском слое
Наличие поверхностных волн Рэлея установлено для полу-
полупространства. Для оценки влияния второй границы в аналогич-
аналогичной постановке рассмотрим задачу
о распространении плоских прогрес-
прогрессивных волн в плоском упругом слое
толщины 2h. Соответствующая гео-
геометрия задачи и выбранная прямоу-
прямоугольная декартова система координат
указаны на рис. 12.14.
Движение слоя описывается урав-
уравнениями A2.89) и соотношениями
A2.90), A2.91). Положим, что границами слоя служат плоскости
^ = ±и они являются свободными (см. также A2.93)). Гранич-
Граничные условия запишем в следующем виде
an\z=±h = a33\z=±h = 0.	A2.125)
Так же, как в задаче о волнах Рэлея, разыскиваем решение
в виде A2.94) и приходим к уравнениям A2.95). Вид общего ре-
решения этих уравнений зависит от величины фазовой скорости:
с < С2, с = С2, С2 < с < ci, с = С\ или с > С\. Можно так же, как
и ранее (см. A2.121), A2.122)) выписать соответствующие реше-
решения и построить уравнения для определения фазовой скорости.
Рис. 12.14

12.13. Прогрессивные волны в плоском слое	31
Однако здесь удобнее в диапазонах с < С2, с2 < с < с\ и с > с\
записать решения уравнений A2.95) в одном и том же виде (С
и Dfr — произвольные константы)
С2
рассматривая при необходимости корень как мнимое число. Ре-
Результаты для границ диапазонов получаются с помощью соот-
соответствующих предельных переходов.
Из A2.94) и A2.126) получаем представления для потенциа-
потенциалов:
<p{t, ж, z) = [Сг sh(^VA) + С2<Ыягу/ЩЕ{х, t),
ф& х, z) = [Diah(qzy/fc) + D2cli(qzy/fc)]E(x, t).
Тогда из A2.90)-A2.92) находим
D2 ah(qzy/[h)\ }e(x, t),
A2.127)
3 = q{ VFi[Ci ch(qz^/K) + C2 ah(qzy/K)] ~
] }E(x, t);
en = -{^v)
fl^	% D2 sh(^V^)] }e(x, t),
A2.128)
+ A + fa) [Di shiqzy/fo) + D2 chiqzy/fo))] }e(x, t),
?33 = g2{/3i [Ci ab{qzy/K) + C2
+ D2 sh(^V^)] }E(x, t);

318	12. Динамические задачи теории упругости
A2Л29)
Подставляя равенства A2.129) в граничные условия A2.125),
после преобразований получаем две независимые однородные си-
системы линейных алгебраических уравнений относительно С2 и D\\
2iVWiC2 sh(qhy/(h) + A + &)?>i sh{qhy/(h) = 0,	2
A + /32)C2 ch(g/iv/^) + 2i^D± ch(qhy/fo) = 0,
и относительно С\ и ZJ:
2*
Как вытекает из A2.127) и A2.129), при Ci = ^2 = 0 пере-
перемещение и\ и напряж:ения <тц, <тзз —четные, а перемещение и% и
напряж:ение сгхз—нечетные функции по координате z. Если же
С/2 = ?^з = 0, то наоборот г^з и a is—четные, а щ и <тц, азз —
нечетные функции. Назовем эти два типа волн соответственно
симметричными и антисимметричными и в силу линейности
задачи рассмотрим их отдельно.
1. Симметричные волны. Условием существования нетри-
нетривиального решения системы A2.130) является равенство нулю ее
определителя, которое эквивалентно трансцендентному уравне-
уравнению, записываемому при различных значениях фазовой скоро-
скорости с учетом равенства thix = itgx следующим образом:
При С < С2 (? < 1)
th(qh	U] )	Л
V ^ i	V -р	A2.132)
при с2 < с <
A2.133)

12.13. Прогрессивные волны в плоском слое	319
при с > С\ (? > Г/2)
= .	A2.134)
Обозначения используемых параметров указаны в A2.99) и
A2.101).
В силу периодичности тангенса уравнение A2.132)—A2.134)
имеет счетное множество решений ?si < ?S2 < • • • < isk < • • • ? ко-
которым соответствуют фазовые скорости cs& = sskc2, Явк — V^sk-
Исследуем поведение фазовых скоростей в двух предельных слу-
случаях: длина волны значительно больше толщины слоя (L ^> 2/i,
qh —>• 0) и длина волны намного меньше толщины слоя (L ^C 2/i,
g/i —)> оо). При этом будем использовать следующие свойства
элементарных функций:
x~x- —, ж-^0;	A2 135)
1, ж —)> +оо.
Сохраняя в A2.134) члены первого порядка малости при
qh —)> 0 получаем (знаки эквивалентности заменяем равенствами)
4A — ЦгJ) = B — ?J. Отсюда для первой формы колебаний
имеем, что при qh —)> 0 (см. неравенства A2.102))
A2.136)
Использование разложений из A2.135) с учетом членов тре-
третьего порядка приводит при qh —> 0 A2.134) к уравнению
Поскольку коэффициент при старшей степени стремится к
нулю, то корень уравнения стремится к бесконечности. Анало-
Аналогичный анализ соотношений A2.123) и A2.134) приводит к тому
же результату, который соответствует только диапазону измене-
изменения ?, отвечающему уравнению A2.134). Поскольку для первой
формы справедливо A2.125), то этот вывод относится к высшим
формам t;sk —)> оо, csk —>> оо при qh —)> 0 (к ^ 2).
При g/i —)> 0, учитывая последнее отношение эквивалентно-
эквивалентности в A2.135), из A2.132) получаем следующее уравнение:

320
12. Динамические задачи теории упругости
которое эквивалентно уравнению A2.93). Следовательно, фазо-
фазовая скорость первой формы волны стремится к скорости волн
Рэлея (см. A2.104)): ?si —>> ?#, с —>> с#, т. е. в этом случае гра-
границы слоя z = ±h оказывают малое влияние друг на друга, и
ведут себя как границы полупространства. На них имеют место
преимущественно волны, близкие к волнам Рэлея.
Из соотношений A2.132)—A2.134) вытекает, что волны это-
этого типа являются дисперсными. Групповая скорость в соответ-
соответствии с A2.86) будет (см. также A2.124)):
с2
A2.137)
где €'(gh) находится как производная неявно заданной уравне-
уравнениями A2.132)-A2.134) функции ?(gh).
Можно показать, что групповая скорость для первой формы
имеет такие же предельные значения, как и фазовая скорость,
а для высших форм при qh —>> 0 она стремится к нулю.
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых q и ^,
а также групповых $gi и ^ скоростей симметричных волн при
коэффициенте Пуассона v = 1/4 [35] приведены на рис. 12.15
(индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
С, С*
г2
¦—^
0	2	4	6	qh
Рис. 12.15
Для определения формы колебаний положим в A2.130)
где С — произвольная постоянная.

12.13. Прогрессивные волны в плоском слое
321
Подставляя эти равенства в A2.127) и A2.129), находим фор-
формы волн перемещений и напряжений (С\ = D% = 0):
, t),
au =
2/3i -
E(x, t);
ch(qzy/fh) +
/32) {-
, t),
/32J
2. Антисимметричные волны. Аналогично симметрич-
симметричным волнам из условия существования нетривиального решения
системы A2.131) получаем трансцендентное уравнение относи-
относительно безразмерной фазовой скорости:
при с < с2 (? < 1)
thfaftJl - ti/v2 ) 4%/T^)A/l-e/»?2
A2.138)
при с2 < с < с\ A < ^ <
при с > c\ (^ > ?72
A2.139)
A2.140)
Уравнения A2.138)-A2.140) имеют счетное множество реше-
решений ?ai < ?а2 < ... < ^afc < ... , которым соответствуют фазо-
фазовые СКОРОСТИ Сак = ЯакС2, Яак =
11 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

322
12. Динамические задачи теории упругости
Исследование асимптотического поведения фазовых и груп-
групповых (см. A2.137)) скоростей показывает, что для первой фор-
формы ?а1 ->> 0, ^gal ->> 0 при gft 4 0 и (fli 4 fд, ^gai ->> ^д при
qh —> оо, а для высших форм ^ —>> оо, ?gsk —>> 0 при g/i —>> О
(А; >2).
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых (д и
^2, а также групповых (gi и ?g2 скоростей антисимметричных
волн при коэффициенте Пуассона v = 1/4 [35] приведены на
рис. 12.16 (индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
Рис. 12.16
Для определения формы антисимметричных колебаний мож-
можно положить в A2.131) (D — произвольная постоянная)
и далее необходимо подставить эти равенства в A2.127) и A2.129),
учитывая, что С2 = 0 и D\ = 0.
12.14. Полуплоскость под действием
движущейся поверхностной силы
В рамках предположений § 12.11 о геометрии области и свой-
свойствах занимающей ее среды рассмотрим еще одну практически
важную задачу о движении с постоянной скоростью v в направ-
направлении оси Ох нормальной к границе z = 0 полуплоскости си-
силы Р, рис. 12.17.
Движение упругой среды описывается соотношениями
A2.89)—A2.93). Условия на бесконечности будут поставлены поз-
позже. Граничные условия на границе полуплоскости имеют вид
где 6(х) —дельта-функция Дирака.

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы
323
Предполагая, что решение задачи есть функции от х — vt и z,
перейдем к новой подвижной системе координат х\ = х — vt,
z\ = z. В новых переменных уравне-
уравнения A2.89) приобретают следующий
вид:
dx\
A2.141)
Рис. 12.17
Здесь Mj — числа Маха г) .
Соотношения A2.92) сохраняются, в A2.90) и A2.91) коорди-
координата х заменяется переменной х\. Граничные условия переходят
в следующие:
*=о = 0, o-33U=o = -Р*Ы).	A2.142)
В зависимости от соотношения скорости v движения силы и
скоростей распространения волн с\, С2 (величин чисел Маха, ко-
коэффициентов /3j) уравнения A2.141) имеют различный тип. При
v < С2 < с\ {М\ < М2 < 1, 0 < /?2 < /3i) оба уравнения эллип-
эллиптические. При С2 < v < с\ (Mi < 1 < М2, @2 < 0 < Р\) первое
уравнение эллиптическое, а второе гиперболическое. При С2 <
< ci < v A < Mi < M2, ($2 < Р\ < 0) оба уравнения гиперболи-
гиперболические. Указанные диапазоны имеют названия: первый из них —
дозвуковой, второй — трансзвуковой, третий — сверхзвуковой.
Для решения задачи будем использовать комплексное пре-
преобразование Фурье по координате xi (индекс «F» указывает на
трансформанту, q — параметр преобразования). В пространстве
преобразований уравнения A2.141), соотношения A2.90), A2.91)
и граничные условия A2.142) приобретают следующий вид:
2п
Q Р\Ч>
uf =
F d\F
dz2
-- iq(pF -
L •> 613 =
F
¦ — 0
d^F
dz '
2=0 = C
-q2h4
F _
QU3 + -
rp
5 a33
difF
dz
)u[}
dz )
z=0
— (V
dz2
F du%
h езз = ^;
= -p.
A2.143)
A2.144)
A2.145)
A2.146)
) Max (Mach E., 1838-1916) —австрийский физик, философ.

324	12. Динамические задачи теории упругости
В законе Гука A2.92) в обозначениях компонент тензоров
необходимо добавить индекс «F».
Далее отдельно рассмотрим все три диапазона, в которых
лежит скорость v.
1. Дозвуковая скорость v < с2 (М\ < М2 < 1, 0 < /% <
< /3i). Уравнения A2.143) в этом случае принимают вид:
?= О, а1 = у/Ш;	A2.147)
??- - д2а22фр = О, а2 = V&.	A2.148)
dz2
Соответствующие условия на бесконечности — условия зату-
затухания решений этих уравнений
(/ = 0A), ^ = 0A) (г->+Оо).	A2.149)
Удовлетворяющие им решения уравнений A2.147) и A2.148)
будут:
E2(z) = ~^z
где Сi и С*2 — произвольные константы.
Из A2.144), A2.145) и A2.92) находим
«f = -iqCxE^z) + a2\q\C2E2{z),
l	7i(«) - iqC2E2(z);
?u = -q[qCiEi(z) + i\q\a2C2E2(z)],
| fi) - q (l + a^) C2^2(^)],	A2.152)
Ba? + M|) CiEi(z)
iCi^i(^ - g A + a|) C2E2(z)], A2.153)
Заметим, что при q>Onv = CB соответствии с A2.87) фор-
формулы A2.151)—A2.153) совпадают с равенствами A2.96)—A2.98).
Подставляя A2.153) в граничные условия A2.146), получа-
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
констант С\ и С2-
^.	A2Л54)
№

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы	325
Определитель этой системы равен q2R(ai, а2), т. е. при v = с
пропорционален определителю A2.99). Ее решение имеет вид
РКи A + а\) п	2iPKuai sign q ^
Gl ~~ ~~	2	' °2 ~~ ~~	2	'	W ~~
, а2)
Подставляя эти постоянные в A2.151) и A2.153), находим
изображение перемещений и напряжений (сравнить с A2.105) и
A2.106)):
т? iPK г /	о \ /ч	/ч!
ui = ^^[(l + a22)Ei(z)-2E2(z)];
а[г = PKu[(l + al) Bal + M%) Ei(z) - Aaia2E2(z)],
crf3 = -2iPKuai (l + a|) [#1B) - #2B)] sign qr,
crf3 = -PifJ(l + ^J?i(z) -4aia2^2(^)].
Отсюда, используя свойства преобразования Фурье, оконча-
окончательно находим перемещения и напряжения
РК Г/ 9\ Тл	Тл 1
у \ 		 I _L г\/ I ЯГРТ0*		 /Смл СМъ ЯГРТ0*
тт L	ai^	«2^-1
7Г//
In лД? + a\z* + 2 In
_ 2PKuai A + 0%) {Ml - Ml) xiz2
i 9 о	9 i 9 о
+af^2 х{+ар2
Очевидно, при скорости движения силы, совпадающей со
скоростью волн Рэлея cr (М2 = л/Ы, Mi = д/Ся5 см- A2.104)),
все компоненты напряж:енно-деформированного состояния сре-
среды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не су-
существует (не существует решение системы уравнений A2.154)).
Предельное значение скорости движения силы v = с2 (М2 =
= 1, Mi = I/77, а2 = 0, «1 = л/A + х)/2, Kw = 1) не является

326
12. Динамические задачи теории упругости
критическим, т. е. решение задачи существует и имеет вид
i, z) = — arctg
Анализ этих формул показывает, что напряжения равны ну-
нулю на бесконечности, касательные перемещения щ ограничены
в окрестности бесконечно удаленной точки х\ = оо, на поверхно-
поверхности полуплоскости ограничены, но имеют разрыв первого рода,
нормальные же перемещения и% имеют логарифмическую осо-
особенность в начале подвижной системы координат и при х\ -Л оо:
^i|*=o =	" С1 + а2 - 2aia2) sign хъ
	2-
TTfl
lim m =
ТГ/i
-In
7Г//
=boo).
Отметим, что наличие особенностей у перемещений, как
здесь, так и далее, не противоречит гипотезе сплошности среды,
поскольку рассматривается идеализированная сосредоточенная
нагрузка. В случае распределенной нагрузки распределенной
нагрузки эти особенности отсутствуют.
Графики функций Uj(xi, z) = Uj\ijP и cfjk(xi,z) = Gjk/P
при Mi = 0,4 и М2 = 0,692 приведены на рисунках 12.18-12.22.
2. Трансзвуковая скоростьс2 < v < с\ [М\ < 1 < М2,
/32 < 0 < Pi). Уравнение A2.147) вместе с условием на бесконеч-
бесконечности A2.149), а также соответствующее решение A2.150) в этом
случае сохраняется. Второе же уравнение из A2.143) запишем
следующим образом:
—-у- + Q2^2^F = 0? А2 = у/—/32.	A2.155)
Для него условие на бесконечности (одномерная задача) —
условие излучения A2.88)
^- + iq\2V = о (-) (z -+ +оо).	A2.156)
dz	\zJ

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы	327
Xi
Рис. 12.18
Рис. 12.19
Рис. 12.20
Рис. 12.21
Рис. 12.22

328	12. Динамические задачи теории упругости
Удовлетворяющие ему решение уравнения A2.155) имеет вид
фЕ(д, z) = C2E2(z), E2{z) = е~а^,
где Н(х) — функция Хевисайда1) (см. приложение 15.2).
Аналогично A2.151)—A2.153) получаем представления транс-
трансформант перемещений, деформаций, напряжений и систему
линейных алгебраических уравнений относительно констант С\
и С2:
и( = -iqCiEi(z) + iX2qC2E2(z),
A2.157)
«f = -a^qldE^z) - iqC2E2(z);
) + \2C2E2(z)},
-q{\- \\) C2E2(z)],	A2.158)
- X2C2E2(z)];
- Ba? + M22) d^^^) + 2\2C2E2(z)],
-q{l- Л|) С2^2(г)],	A2.159)
= M2 [A - A!) Ci?7i(z) - 2A2C2E2(z)].
2i\q\aid - q (l - Л|) С2 = 0,
94	P	A2.160)
A - Al) Ci - 2Л2С2 =--^.
Решение системы уравнений A2.160) имеет вид (многочлен
определен в A2.103))
= Я2
PKt A —
\(л л2\2
A — Л|)
С2 = _^рМ [(! _ Л2J + иаг\2 sign g], A2.161)
х) Хевисайд (Heaviside О., 1850-1925) —английский физик.

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы	329
Подставляя эти постоянные в A2.157) и A2.159), находим
изображения перемещений и напряжений
=
n 1 х
W	J
х [A - Л|) Si (г) - г2«! А2?2(,г) sign д],
A2.162)
uf = ^i [A-AlJ + 4<aiA2 sign g] x
x [(l-\22)E1(z)-2E2(z)];
afi = РЯ* A - A|) [A - A|J + 4iaxA2 sign g] x
x [Ba? + M|) A - A|) Si (г) - 4ia1X2E2{z) sign g],
of3 = -2iPKtai (l - A|) [(l - A2J + 4miA2 sign q\ x
A2.163)
- Аз) + 4iaiA2 sign
x [A — AlJ Ei{z) - 4ia1X2E2{z) sign g].
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье по-
получаем перемещения и напряжения
ui(xi, z) =	 (l — А2) arctg —^ + 4aiA2 (l — A2) x
x In \jx\ + a\z2 — 2a\\2 (l — A2) In \x\ + \2z\ +
+ 4a?\l sign (xi + \2z) + 2«iA2 (l - Ло) С],
		A2.164)
+ 4«iA2 (l - Л|) arctg — + 2 (l - A2J In \x\ + A2^| -
— 4«iA2 sign (x\ + A22;) + (l — A|) (l — A2) C];

330	12. Динамические задачи теории упругости
+ Ml) A - А|) A"'1J;
7Г ^Ж	Q
z) = -2PKtcti A - \22) <^
\ \	+
7Г (xf + a{г2) (xi + A22)
A2.165)
iA2 [,5 (Ж1 + X2z) - 2aiz 2
1},
z2)\ J
В рассматриваемом трансзвуковом случае аргумент ? =
многочлена Psi(s) (см. A2.161)) лежит в диапазоне 7/ < я < 1,
в котором отсутствуют его действительные корни. Следователь-
Следовательно, решение задачи в отличие от сверхзвукового случая опреде-
определено при любых скоростях движения нагрузки из указанного
диапазона.
Предельные значения скорости движения силы, соответствую-
соответствующие концам диапазона, в трансзвуковом случае также не явля-
является критическими. При v = С2 (М2 = 1, М\ = I/7/, A2 = О,
а\ = у/A + х)/2, JQ = 1) перемещения и напряжения совпада-
совпадают с соответствующими значениями для сверхзвукового случая.
При^ = С1 (М2 =т/, Mi = 1, Л| = т/2-1, «1 =0, Kf1 = (т/2-2L),
как следует из A2.164) и A2.165), имеем дело с одномерной де-
деформацией
и\ = —signal, |/з = 0;	A2.166)
2л
		Л^ ^		 П		 ~РЖ \	(ЛОЛ f\*7\
При получении первого и третьего равенств в A2.167) было
использовано следующее свойство дельты-совокупности функ-
функций /(#1, z) при z —>> +0:
Итл/(ж1, 2;) = J(a;i),
A2.168)
Тот ж:е результат можно получить, если выполнить предель-
предельный переход в равенствах A2.162) и A2.163), а затем — обратное
преобразование Фурье.

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы
331
Из A2.164) вытекает, что перемещения имеют логарифмиче-
логарифмическую особенность на границе полуплоскости и при х\ —>> оо
«i
,=o = ^{ [f A - А|K + 4a?Al] sign x1+
TTfl
{A-Ai)(l-
+ С) +
+2«iA2 [тт A - A2) - 2] sign
7Г//
^ рк*а± (i _ у
Из A2.165) следует, что напряжения имеют сингулярную осо-
особенность на фронте х\ + А2? = 0 волны Маха (см. рис. 12.17).
Граничные условия A2.146) выполняются, поскольку спра-
справедливо предельное равенство A2.168). По той же причине на-
напряжения на границе полуплоскости определяются так
z) = PKt{8 (а?
[{2а\
-«1
Рис. 12.23

332
12. Динамические задачи теории упругости
Графики функций Uj(x\, z) = uj/j/P при Mi = 0,694 и
М2 = 1,2 приведены на рисунках 12.23 и 12.24.
Рис. 12.24
3. Сверхзвуковая скорость v > с\ A < М\ < М2, E2 <
< Pi < 0). В этом случае решение также можно построить с
использованием преобразования Фурье. При этом изображение
потенциала ср должно удовлетворять уравнению A2.155) и усло-
условию A2.156), в которых А 2 должно быть заменено величиной
i \A
Однако поскольку в этом случае оба уравнения в A2.141)
являются гиперболическими, то удобнее использовать другой
подход, основанный на функционально-инвариантных решени-
решениях Д'Аламбера
(xu z) =
ф (хи z)=g (xi + X2z),
где / (x) и g (x) — произвольные необходимое число раз диффе-
дифференцируемые функции.
Подставляя эти представления в A2.90), A2.91) находим
(х = х{)
- X2gf
+ gf
= /' (x
= Xiff
+
?/"
езз = А?/" (Ж1 +
- X2g" (X
- (X22 - 1) g" (
+ A2g" (xi +
+ X2z),
+ X2z);
+ X2z),
A2.169)
A2.170)

12.14. Полуплоскость под действием движущейся силы	333
^[{М1 - 2Xl) f" Ы + Mz) ~ 2\2g" (Ж1 + X2z)],
= a* [2Ai/" (xi + XlZ) - (X22 - 1) g" (Xl + A2*)], A2.171)
= A* [(A| - 1) /" (Ж1 + A^) + 2X2g" (Xl + X2z)].
Последние два равенства из A2.171) совместно с граничны-
граничными условиями A2.142) приводят к системе линейных алгебраи-
алгебраических уравнений относительно fff (x±) и gff (x±)
2Xlf"(x1)-{X22-l)g"(xl) = 0,
- 1) /" (Х1) + 2X2g"
Ее решение имеет вид (см. A2.99))
(А| - 1) /" (Х1) + 2X2g" (ал) = --S (Х1).
^{)	g"	^
Ка = ^	, Л(АЬ А2) = R(iXu гХ2) = (Х22 - if + АХгХ2.
R(\i, Л2)
A2.172)
Интегрируя эти равенства, находим первые производные ис-
искомых функций
Г (хг) = -™±(\*-1)Н (Xl), g
А*	А*
Подстановка найденных производных в A2.169) и A2.171)
приводит к окончательным формулам для перемещений и на-
напряжений
Ul = ™±[- (Л| - 1) Я (ж! + Ai^) + 2Ai А2Я (ж! + \2z)],
^	A2.173)
- 1) Я (ж! + Ai*) + 2Я ( А)]
[(| ) (
= PKS [- {Ml - 2А?) (А! -
13	S! (Al - 1) [E (ж! + А2^) - 6 (хг + Ai*)], A
а33 = -PKS [(Al - IJ S (xi + Ai*) + 4AiA2E (xi + X2z)].
Поскольку функция Д(А]_, А2) (см. A2.172)) в рассматривае-
рассматриваемом сверхзвуковом случае строго положительная, то решение
задачи определено при любых скоростях движения нагрузки из
указанного диапазона.

334	12. Динамические задачи теории упругости
При предельном значении скорости движения силы v = с\
(М2 =г],М1 = 1, А2 = г/2 - 1, Ai = О, К~1 = (г/2 - 2J) в сверх-
сверхзвуковом случае напряжения и нормальные перемещения совпа-
совпадают с соответствующими значениями, определяемыми форму-
формулами A2.166) и A2.167) для трансзвукового случая. Отличаются
только касательные перемещения
Это связано с гиперболическим типом обоих уравнений A2.141)
при сверхзвуковой скорости.
Из A2.173) следует, что фронтами х\ + \\z = 0 и х\ + \2Z = О
волн Маха полуплоскость разбивается на три области, в каждой
из которых перемещения постоянны, а на фронтах они имеют
разрывы первого рода на (см. рис. 12.17):
при х\ < \
щ=щ = 0;
при — X2Z < х\ < —X\z
при х\ > —
Ul = -р*± (А2 - 1 -
Формулы A2.174) показывают, что на указанных фронтах
напряж:ения имеют сингулярную особенность.

13
КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ
ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Рассматриваются гармонические колебания упругопластиче-
ских и вязкоупругопластических слоистых тел. Специфика со-
состоит в значительных внутренних потерях энергии, что приводит
к быстрому затуханию высших гармоник и установлению одно-
частотного режима колебаний, совпадающего с частотой возбу-
возбуждающей силы. Если эта частота близка к одной из собственных
частот системы, возникают специфические резонансные явления.
13.1. Общие положения. Свободные колебания
Рассмотрим процесс одномерного циклического деформиро-
деформирования слоистого идеального упругопластического тела, при ко-
котором деформация k-ro слоя представима в виде
ек = Ак cos cot.	A3.1)
На рисунке 13.1 приведена диаграмма Прандтля для цикли-
циклического деформирования мате-
материала. В угловых точках, обо-
обозначенных римскими цифрами,
деформации и время их дости-
достижения будут следующими:
I.
П.
ек =
= arccos ( 1 —
.к
= 0;
IV
~А /
1/ /
III
I
/ м
0 / A i
/ ol
J \
ек
II
III. ек = -Ак, u>t3 = тг;
Рис. 13.1
VI. ек = -Ак + ^,
arccos(l -
A3.2)
Здесь и далее во всех величинах номер слоя к будем писать без
скобок и в модуле сдвига — вверху.

336	13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
При переходе от одной точки к другой напряжения меняются
следующим образом:
1->П h^t^h, ak = ak-2Gk(Ak-sk),
ok = 2GkAk cos cot - 2GkAk + ak;
II -^ III t2 ^ t ^ t3, ak = -ak;	A3.3)
III	-^ IV h^t^ U, ok = 2GkAk cos cot + 2GkAk - ak;
IV	^ I U^t^tu ak = ak,
где значения моментов времени t\, ... , ?4 определяются из A3.2).
Разумеется, напряжение не будет гармонической функцией
времени, но, поскольку процесс установившийся, его период будет
такой же, как и у деформаций A3.1). В соответствии с соотно-
соотношениями A3.3) напряжение будет кусочно-гладкой функцией,
которую можно разложить в ряд Фурье. Основное допущение
данного параграфа состоит в том, что в разложении будем удер-
удерживать только первую гармонику:
ak(t) = 2GkRAkcoscot-2GkAksmcot,	A3.4)
где
2tt/uj	2тг/ии
GkR = ^L_ Г ak (t) cos utdt, Gkr =	— [ ak(t)smutdt.
R 2Akn J w	7 2Akn J v '
0	0
Подставив сюда выражения для напряжений A3.3), получим
— \а — 1 — —^— sina , Ак > ——;
тг L V GkAk	У Л 2Gfc'
A3.5)
2Gk
V GAk/
Рассмотрим случай линейно-вязкоупругих материалов сло-
слоев. При деформировании по закону A3.1) для напряжений

13.1. Общие положения. Свободные колебания	337
получаем
ak = 2GkAk( cos cot- Г Rk(t - г) cos cor dr j =
V	-oo	J
= 2GkAk(coscot- Г Rk (r) cos со (t-r)dr j.
V	о	7
Отсюда
ak(t) = 2GkROAkcoscot-2GkIOAksmcot,	A3.6)
где
(l - Rkc) = G^ ( 1 - f Rk(r) cos cor dr j,
V о	J
о
GkQ = Gk(l - Rk) = Gk(l- Г Rk(r)smcordr).
^ о	'
Причем Rk, Rk — косинус- и синус-преобразования Фурье ядра
релаксации Rk(t).
Если идеально упругопластический материал обладает рео-
номными свойствами, описываемыми соотношениями линейной
вязкоу пру гости, то результирующие выражения для напряже-
напряжений получим наложением формул A3.4)—A3.6):
ak(t) = 2GkRuAkcoscot-2GkIujAksmcot,	A3.7)
где
"С*A-Д*),
ТТЛ/,
здесь, как и в A3.5), а = arccosf 1 — ^т ).
Следует отметить, что в соотношениях A3.7) составляющие
модуля сдвига GkRuj, Gku зависят от частоты установившихся ко-
колебаний со, которая входит в выражения для функций Rk, Rk.

338	13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
При обобщении процесса одномерного деформирования на
трехмерный случай предполагается, что компоненты девиатора
деформаций в k-м слое изменяются по закону
9kj{x,t) = ekj(x)eiut, х = {хих2,х3}.	A3.8)
В силу нелинейности физических уравнений состояния для
рассматриваемого вязкоупругопластического материала напря-
напряжения не будут изменяться в соответствии с деформациями A3.8).
Раскладывая их в ряд Фурье и удерживая только первый член
(моногармоническое приближение), получим следующие ампли-
амплитудные соотношения:
s*. = 2G?4, ак = Ккв\	A3.9)
где G^ = G^ + iGkIuj — амплитудно-зависимый комплексный
модуль сдвига материала k-vo слоя; ^ — действительная часто-
частота; ак, вк, s^ ek- —постоянные во времени комплексные ампли-
амплитуды.
В дальнейшем предполагаем, что соотношения A3.9) спра-
справедливы и в случае, если комплексные амплитуды суть медленно
изменяющиеся функции времени. В частности, если ио предста-
представляет собой комплексную частоту.
Перемещения в слоистом элементе конструкций при свобод-
свободных колебаниях принимаются в виде
ик(х, t) = AUk(x, А)е^°+?А^г + е2 ...	A3.10)
Здесь А — произвольная комплексная амплитуда; ljq — собствен-
собственная частота упругой оболочки; Аоо(АА) —искомая комплексная
;ucinriri, и
е — малый параметр.
добавка частоты колебаний; С/г- — собственная форма колебаний;
Решение A3.10) должно удовлетворять с невязкой порядка е2
принципу возможных перемещений A2.3) (в амплитудах, сум-
суммирование по повторяющимся индексам г, j):
- f
{
k=1 vk	vk
e2..X = 0, A3.11)
J
а также нулевым граничным условиям в перемещениях.
Решение ищем в виде разложения в ряд по малому пара-
параметру:
Uk(x, А) = икг@\х) + eufl\x, А) + е2 ...

13.2. Вынужденные колебания вблизи резонанса	339
Для нулевого приближения из A3.11) получаем
Е{-/(**0*(О)^^	= О,
k=1 vk	vk	}
A3.12)
vk
Уравнение A3.12) совпадает с задачей о собственных коле-
колебаниях упругого слоистого тела, в которой и^ — ортонормиро-
ванная собственная функция.
Для первого приближения следует уравнение
Iff,
{/	f%	f	) 5uk dVk -
k=1 vk	vk
- 2fAG*e§0Ne*jdVk + 2AooJpkuk{0NukdVk\ = 0, A3.13)
vk	vk
Gk = Gk + AGku.
Уравнение A3.13) имеет решение при выполнении необходимого
условия
-Е /
Здесь AG1^ = AG^(Ak~Ak, e^e^), поэтому соотношение A3.14)
дает в явном виде зависимость приращения частоты Аио от ам-
амплитуды колебаний АкАк.
13.2. Вынужденные колебания вблизи резонанса
Рассмотрим вынужденные колебания неоднородного тела,
материалы слоев которого в процессе деформирования могут
проявлять вязкоупругопластические свойства. Амплитудная
связь напряжений и деформаций принимается типа A3.9)
Комплексный модуль сдвига принимается в виде
Gk = Gk + eAGt, АОкш = AGkJ\A\2, e%

340	13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
где Gk — упругий модуль сдвига, AG^ — амплитудно-зависимая
комплексная добавка к нему, е — малый параметр.
Предполагается, что рассматриваемое слоистое тело занима-
занимает объем V. Оно ограничено поверхностью S = Su + Sa. На ча-
части поверхности Su заданы нулевые перемещения, на остальной
части S^ —нулевые нагрузки. Действующие на него гармониче-
гармонические во времени массовые силы р^/^имеют интенсивность
pkfk{x,t)=gk{x)e™t]	A3.15)
р —плотность материала k-ro слоя; gk(x) —известная функция
координат; v — заданная частота воздействия. Требуется опре-
определить периодическое движение тела с периодом, равным 2tt/za
Используем для этого принцип возможных перемещений A2.3)
2GkekJ8ekJ)dVk - jРк^икг dVk+
=0 A3.16)
^%2 %2
Vk
vk
с предварительными граничными условиями ик = 0 на Su и
условиями периодичности движения точек тела
ик(х, 0) = ик(х, 2tt/V), йк(х, 0) = йк(х, 2tt/V).
Следует отметить, что нулевые граничные условия не огра-
ограничивают общность постановки проблемы. Если условия не ну-
нулевые, то задача может быть сведена к виду A3.16). Для этого
достаточна замена ик на сумму известной функции, удовлетво-
удовлетворяющей нетривиальным граничным условиям, и искомой функ-
функции, удовлетворяющей нулевым условиям на границе.
В резонансном случае, когда частота возмущающей силы
близка к одной из собственных частот колебаний упругого тела,
принимается
gk(x) = еаи\{{)\х), v2=lj2 + e\	A3.17)
где ик0(х) —нормированная форма колебаний упругого тела;
а, А —известные действительные константы.
В соответствии с методом малого параметра решение задачи
в перемещениях ищется в виде
ик(х, t) = [Аик{О)(х) + еик{1\х) + е2..]е-ш.	A3.18)
Здесь А — искомая комплексная амплитуда нулевого прибли-
приближения.

13.3. Вынужденные колебания вблизи резонанса	341
Подставив выражения A3.18) в соотношение A3.16) и при-
приравняв к нулю множители при одинаковых степенях ?, приходим
к уравнению нулевого приближения
? {- [(Кк9к^8вк + 2GfceJf >&?) dVk+u4pkuk{{i)8uk dVk\ = О,
которое удовлетворяется тождественно, так как и^°(х) — соб-
собственная форма упругих колебаний.
Используя соотношения A3.17), получаем уравнение первого
приближения
+ 2Gkef)8ekJ) dVk + и2 J pkuk{l)8uk dVk -
vk
-2AJ AGtefhe^ dVk + XA J pkufu)8uk dVk +
k
+aJPkuk{Q)8ukdVk\=0.
{f	J
k=1 vk	vk
vk	vk
Необходимое условие существования решения этого уравнения
имеет вид
^ = В(\А\2)-Х,	A3.19)
где	з
f
k=iVk
Это трансцендентное уравнение относительно искомой комплек-
комплексной амплитуды А нулевого приближения. Для модуля ампли-
амплитуды имеем действительное уравнение
^	-Х\2,	A3.20)
решение которого можно получить, используя стандартные чис-
численные методы.
После нахождения модуля комплексная амплитуда опреде-
определяется из уравнения A3.19) в явном виде:
А=	.	A3.21)
Из решения уравнения A3.19) строится амплитудно-частот-
амплитудно-частотная, из решения уравнения A3.20) —фазово-частотная характе-
характеристики первого приближения. Заметим, что в теории квазили-
квазилинейных колебаний исследования, как правило, ограничиваются
построением указанных характеристик.

342	13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
13.3. Колебания круглой трехслойной пластины
вблизи резонанса
Рассматривается круговая трехслойная пластина, материа-
материалы слоев которой в процессе деформирования могут проявлять
вязкоупругопластические свойства, заполнитель — нелинейно-
вязкоупругий. Принимается, что гармонические во времени де-
деформации изменяются по закону
Я--(т УЛ 	 р..(т\рг	Т = $Тл Тел Тп\
Амплитудная связь напряжений и деформаций в слоях имеет
вид
sij = ^ujeij-> CF = К 9 .
Здесь G^ — амплитудно-зависимый комплексный модуль сдви-
сдвига материала k-ro слоя, со — действительная частота; ак, 6к, sk-^
ekj — постоянные во времени комплексные амплитуды.
Комплексный модуль сдвига представляется в виде
где е — малый параметр; AG^(o;, е^) —добавка за счет влияния
частоты колебаний и вязкоупругопластических свойств мате-
материалов слоев.
В рассматриваемом случае выражение для приращения
следует из общего соотношения A3.4):
где
—G Rc,
Gk г
	 [<f-OLT
7Г
GkRk,
~^А V ~А
sin^ — тг(Д
) +GkRk,
ек
ек
1)]
<?
> е
к.
к
т'
рк ^
ек >
' ек-
> ?к;
Здесь cp = arccosaT, aT = 1 — 2sk/A; функции Rk, Rk введены
в § 13.2; А — искомая комплексная амплитуда колебаний; е^ =
= Аеки^ е\ — интенсивность деформаций,
8кз — символы Кронекера; ек, ек^ — радиальная и тангенциальная
составляющие тензора деформаций.

13.3. Колебания круглой трехслойной пластины вблизи резонанса 343
Деформации можно вычислить через амплитудные значения
перемещений ?/(r), W(r) и сдвига Ф(г) в заполнителе с помощью
формул F.49). В свою очередь ?/(r), W(r) и Ф(г) выражаются
через отдельные собственные функции следующими соотноше-
соотношениями:
W(r) = «o(A)r), vo(f3or) = 1 (A)r) ^
do I	Io(po)
U(r) = hMPor), Ф(г) = 62<Л)(
- Ji(A,)r
2	/5oi(PoJ
где /Зо — собственное число, соответствующее собственной часто-
частоте U)Q.
В резонансном случае принимается, что частота v вынуж:-
дающей массовой силы близка к собственной частоте колебаний
пластины:
у1 =о;2 + 6А.	A3.22)
Тогда, в соответствии с соотношением A3.21), для модуля
амплитуды колебаний \А\ имеем действительное уравнение
A3.23)
Здесь
з
°	A3.24)
14 —объем k-ro слоя; а — коэффициент в разложении амплиту-
амплитуды возмущающей силы по собственным функциям.
Было проведено численное исследование поведения круглой
трехслойной вязкоупругопластической пластины вблизи резо-
резонанса. Соответствующие расчетные графики приведены на ри-
рисунках 13.2-13.6. Счет проводился для заделанной по контуру
пластины, несущие слои которой выполнены из дюралюминия,
заполнитель — фторопласт. Было взято собственное число /3q =
= ЗД9. В рассматриваемом случае при hi = /12 = 0,02, /13 = 0,04,
го = 1 ему соответствует частота ljq = 293,6. По радиусу пласти-
пластины было взято 15 точек, по толщине каждого слоя — 5. В каждом

344
13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
варианте счета задавалось отклонение от резонанса Ао = v/oo$ — 1
и амплитуда а возмущающей силы. Для отыскания корней урав-
уравнения A3.23) использовалась процедура типа метода половинно-
половинного деления отрезка. При этом параметр i?(|A|2) вычислялся по
формуле A3.24) с учетом соотношений A3.21).
На рис. 13.2 показаны результаты исследования влияния пла-
пластичности и вязкости материалов на модуль амплитуды гар-
гармонических колебаний вблизи резонанса (кривая 1 —упругая
пластина, 2 — упругопластическая, 3 — линейно-вязкоупругая
и вязкоупругопластическая). Учет
пластических свойств материалов
приводит к ограничению резонанс-
резонансной амплитуды, сдвигу пика влево,
наклону и загибу резонансной кри-
кривой и появлению на ней неустойчи-
неустойчивой ветви.
На участке 0 > Ао > —0,15%
стабильно присутствуют три корня,
два большие из которых чрезвы-
чрезвычайно близки (при Ао = —1,5% ам-
амплитуды Ах = 33,915, А2 = 33,905,
Аз = 4,443). Так как решение, соот-
соответствующее Аъ, неустойчиво, это
приводит к физической нереализуе-
нереализуемости верхней части резонансной
кривой. В процессе колебаний мо-
модуль амплитуды будет соответство-
соответствовать значению Аз, что в несколь-
несколько раз меньше возможного значе-
значения А\.
При дополнительном учете вяз-
коупругих свойств дюралюминия и
фторопласта кривая 2 практически
не изменяет своего вида и положения. Это объясняется ма-
малой вязкостью металла при комнатной температуре. Однако
если рассмотреть гипотетический материал с упругими харак-
характеристиками сплава Д16Т и ядром релаксации фторопласта в
качестве материала несущих слоев, то в результате получим
кривую 5, соответствующую случаю вязкоупругопластичности.
Вязкость здесь приводит к уменьшению модуля амплитуды ко-
колебаний А и областей пластических деформаций в слоях пла-
пластины.
Распределение зон пластичности во внешнем несущем слое
показано на рис. 13.3 (а — упругопластическая пластина, б—
вязкоупругопластическая). Картина для внутреннего несущего
слоя аналогичная. Отметим, что первые области пластических
А
32
28
24
20
16
12
0
\
2
V
Л
/
3
1
А
-0,4 -0,2 0 0,2А0,(
Рис. 13.2

13.3. Колебания круглой трехслойной пластины вблизи резонанса 345
деформаций появляются на контуре пластины, затем в ее цен-
центре и по мере приближения к резонансу они движутся друг к
другу. Например, при уменьшении отклонения с Ао = 0,3% до
Ао = —0,15% область пластических деформаций (темные точ-
точки) существенно увеличивается (светлые точки), однако вблизи
срединной поверхности каждого слоя деформирование упругое.
При учете гипотетической вязкости несущих слоев интенсив-
интенсивность деформаций падает и области пластических деформаций
незначительны (см. рис. 13.3 6").
c+hi
60
о о о •!
о о о ш\
/
/
_, —
/
/
Л
2
Рис. 13.3
1	40
20
0
1	0,5 1,0 1,5 а-10"
Рис. 13.4
Зависимость модуля резонансной амплитуды колебаний от
величины амплитуды внешней резонансной нагрузки показана
на рис. 13.4 (кривые i, 2 — упругопластическая пластина,
верхняя и нижняя ветви соответственно; 3 — вязкоупругопла-
стическая пластина). С увеличением нагрузки наблюдается
нелинейный рост в верхней части резонансной кривой упруго-
пластической пластины. Для других резонансных кривых эта
нелинейность несущественна.
Интенсивность деформаций в несущих слоях максимальна
на их внешних поверхностях. График ее изменения вдоль ра-
радиуса пластины на наружной поверхности {z = с + h\) пока-
показан на рис. 13.5 (кривые i, 2 соответствуют упругопластической
пластине; 5, 4 — вязкоупругопластическая пластина). Нечетные
кривые рассчитывались при отклонении Ао = —0,15% , для чет-
четных— Ао = 0,3%.
Относительная амплитуда возмущающей силы принималась
а = 1000. Заметим, на внутренней поверхности (z = —с—/12) рас-
распределение интенсивности деформаций еи подобное, превосхо-
превосходящее по величине еи не более чем на 4 % .
Отклонение частоты возмущающей силы от реализуемого
резонансного значения на AAq = 0,45 % для упругопластической

346
13. Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
пластины приводит к уменьшению интенсивности деформаций
более чем в 2,5 раза. Это ясно отслеживается по рис. 13.6 (упру-
гопластическая пластина—i, вязкоупругопластическая — 2).
Здесь показана зависимость максимальной величины интенсив-
интенсивности деформаций во внешнем слое пластины от величины от-
отклонения (Ао = v/шо — 1) частоты массовой силы v от собствен-
собственной частоты пластины ooq = 293,6 на нижней ветви резонансной
кривой.
\
1
4
/
1
/
У
У
у
1
/
2
/
\
\
\
\
\
\
0,5
Рис. 13.5
1,0
6
5
4
3
2
1
о
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 Ао, %
Рис. 13.6
Дополнительные сведения по гармоническому нагружению
слоистых вязкоупругопластических систем можно получить в
работе [10]. О важности учета резонансных явлений в строи-
строительстве говорится, например, в монографии Кудрявцева1) .
) Кудрявцев И. А. Влияние вибраций на сооружения и основания.—
Гомель: изд-во Белорусск. гос. ун-та транспорта, 1999. 274 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ
14.1. Тензоры в декартовых координатах
При решении конкретных задач в механике сплошной сре-
среды вводят различные физические величины: скаляры, векторы,
тензоры. Скалярные величины не зависят от системы координат.
Векторы и тензоры характеризуются своими компонентами, ко-
которые изменяются при переходе от одной системы координат к
другой.
Количественное изучение явлений связано обычно с введе-
введением системы координат. При этом во многих случаях доста-
достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат.
Введение произвольных криволинейных координат потребовало
бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, од-
однако, здесь не предусматривалось. Для тех, кому необходимы
более глубокие знания тензорного анализа, можно рекомендо-
рекомендовать основательные издания [12, 38, 45].
Для декартовых координат будем применять индексную
(«тензорную») форму записи, с помощью которой уравнения
можно записывать в компактной форме. Для этого же иногда
будем использовать символическую (векторную) форму записи.
Координатная система является системой отсчета в физиче-
физическом трехмерном евклидовом (не искривленном) пространстве,
относительно которой определяется положение и движение ма-
материальных частиц.
Вектор представляет собой направленную величину и харак-
характеризуется указанием абсолютной величины (модуля) и направ-
направлением или заданием своих компонент. Это определение вводит-
вводится еще в курсе математики средней школы, но здесь далее будет
дано более строгое определение.
Согласно рис. 14.1, декартова система координат определя-
определяется базисными векторами еж, eyi eZi которые образуют правую
систему (если смотреть со стороны оси z, то вращение от оси х к
оси у должно осуществляться против часовой стрелки). Базис-
Базисные векторы суть единичные векторы, обладающие свойством
е == е == е == 1
Положение точки в пространстве характеризуется радиус-
вектором г, компонентами которого являются координаты ж, у, z.

348
14. Приложения
То есть
г = ехх + еуу + ezz.
В общем случае справедливо представление произвольного
вектора А в координатной форме:
А = ехАх + еуАу + ezAz,	A4.1)
где компоненты Ах, Ау, Az являются проекциями вектора на
оси координат. Модуль вектора
1 + А2у + А1	A4.2)
Можно ввести произведение векторов, которое обладает неко-
некоторыми (но не всеми) свойствами обычного произведения чисел.
При скалярном произведении двух векторов А и В получается
скалярная величина, равная произве-
произведению модулей этих векторов на ко-
косинус угла между ними:
А • В = С = АВ cos(A, В), A4.3)
Справедливо равенство А • В = В • А.
Далее видно, что скалярное произве-
произведение двух ортогональных векторов
равно нулю. Поэтому для базисных
векторов имеют место соотношения
Рис- ЫЛ	ех • е* = е • ez = ez • ех = 0.
Если теперь в скалярном произведении A4.3) вектора А и В
представить в координатной форме A4.1), то получим
А В = АХВХ +
+ AZBZ.
A4.4)
Векторным произведением двух векторов А и В называется
вектор, определяемый формулой
А хВ = С =
еж еу
Л Л
Вх By
Az
Bz
= ex(AyBz-AzBy
+ ey(AzBx - AXBZ) + ez(AxBy - AyBx). A4.5)
Вектор С перпендикулярен параллелограмму, образованно-
образованному векторами А и В, и направлен в ту сторону, откуда бли-
ближайшее вращение от А к В видно против часовой стрелки, т. е.
векторы А, В и С в такой последовательности образуют правую
систему координат. Модуль векторного произведения
|С| = С = АВsm(A, В).

14.1. Тензоры в декартовых координатах	349
Справедливо равенство А х В = —В х А. Из определения A4.5)
следует, что векторное произведение двух параллельных векто-
векторов обращается в нуль. Применяя эти соотношения к базисным
векторам, получим
х х — у у — z z — ^ 1
еж х е?/ = ^z-i ^у х ez = еж, ^ х еж = е^.
Когда говорится о тензорной форме записи координат, то
имеется в виду следующее. Для декартовых координат приме-
применяется запись
х = #1, у = #2, z = жз-
В выражении для суммы
Е —
г г — г
г=1
можно опустить знак суммы, если условиться, что по дважды
встречающемуся индексу обязательно проводится суммирова-
суммирование. Индекс суммирования (так называемый немой индекс) мо-
может при этом обозначаться произвольно, т. е.
щхг = апхп = атхт и т. д.
Выражение вида а{Ь{Х{^ согласно этому правилу, не опре-
определено. Если здесь имеется в виду суммирование, то должен
применяться знак суммы. В дальнейшем всегда будет указы-
указываться, если правило суммирования по повторяющемуся индек-
индексу недействительно. Иногда суммирование оговаривается только
для повторяющихся латинских индексов, без суммирования по
греческим.
Аналогично для двойной суммы справедливо равенство
CLijXiXj — CLijXiXj
(при п = 3 получается всего 9 слагаемых).
С помощью скалярного произведения базисных векторов вво-
вводится метрический тензор 8ц, определяемый в евклидовом про-
пространстве как
п • /	A4-6)
О, г Ф 1.
Это единичный тензор второго ранга (по числу индексов).
Его компоненты часто называют символами Кронекера. С помо-
помощью метрического тензора можно осуществлять операцию заме-
замены индексов (жонглирования), например

350	14. Приложения
При применении тензорной формы записи нужно принимать
во внимание некоторые правила, важнейшие из которых ниже
кратко указаны.
Если в выражение щ = А{тхт подставляется выражение
Х{ = Bimymi то в последнем необходимо произвести переиме-
переименование индексов г —>> т и т —>> к. Тогда хт = Вткук и, следо-
следовательно,
Это же справедливо для векторного произведения векторов
а = diXi и b = 6^, которое следует записать в виде а х b =
b
jj
Аналогично для скалярного произведения двух векторов
А = eiAi и В = eiBi с учетом A4.4) и A4.6) получаем
А В = (eiAi)(ejBj) = (е^ • ej)AiBj = AiBi.
Если речь идет о том, чтобы из выражения вида
TijUj - \щ = 0,	A4.7)
где А —скалярный множитель, вынести за скобки вектор щ, за-
записывают щ = SijUi, после чего из A4.7) получают
Tijfij - XSijUj = (Tij - X6ij)rij = 0.
Часто встречающейся операцией является свертывание тен-
тензора (свертка). Она состоит в том, что в тензорной величине
второго ранга оба индекса приравниваются друг другу, и по ним
производится суммирование. Это означает, например, что вели-
величина Т^ при г = j (г, j = 1, 2, 3) будет равна Тц = Тц+Т22+Т3з.
Для метрического тензора свертка дает 5ц = 5ц + fe + ^зз = 3.
Резюмируя изложенное, можно отметить, что в одном урав-
уравнении при корректной тензорной форме записи один и тот же
индекс в каждом члене должен встречаться только дважды (и по
нему должно производиться суммирование). Если в некотором
слагаемом фигурирует какой-либо индекс единожды (свободный
индекс), то во всех других членах он также может встречаться
только один раз.
Смешанным произведением трех векторов называют вели-
величину
(А х В) • С = (А^ х B3e3)Ckek =
= AiBjCkiei x ej)ek = АгВ3Скеф. A4.8)
Справа в A4.8) стоит трехиндексный символ Леви-Чивиты1)
> Леви-Чивита (Levi-Civita Т., 1873-1941), итальянский математик.)

14.1. Тензоры в декартовых координатах
351
ijk {псевдотензор), который определяется следующим образом:
1, если подстановка (г, j, fc) четная;
{
— 1, если подстановка (г, j, k) нечетная;
О, если не все индексы (г, j, к) различны,
Т. е. ?123 = ?231 = ^312 = —?132 = —^213 = —?321 = 1.
Справедливо важное соотношение
A4.9)
5jn
Ski
= 6.
В частности, Sijk^mjk = 2^ш, а также j
Дифференциал функции f = f(xi, X2, • • • , xn) n независи-
независимых переменных
df = -^—dx\ + -^—dx2 + ... + -^—dxn = —1-dxi, г = 1, ... , n.
= /,«•
Для частных производных обычно употребляется сокращенная
форма записи
Ё1= f .. °2f
0Х%	0Х%
Тогда трехмерный оператор Лапласа может быть записан в виде
— 4- ^— + -^-l f — — — f — f ¦¦• ' — 1 2 Я
Важными векторными дифференциальными операциями яв-
являются градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Для них в тен-
тензорной форме записи получаются соотношения
grad/ = (ei— + е2— + е3— )/ = е^;
rot A =
е2
А,.
е3
где ?ijk~ символы Леви-Чивиты A4.9).
Рассмотрим преобразование системы координат при ее пово-
повороте от Xi к ж* (рис. 14.2) ж* = ж*(жх, Ж2, жз). Его можно задать
следующим образом:
* X	/ * \	/1/1 1 гл\
«X/ л 	 / uu Ic V-/V-/O \ «X/ л * «X/ i/% ) 	 U7 /r* uu lc %	V -I- ^t • _L \J )

352
14. Приложения
причем коэффициентами преобразования являются так называ-
называемые направляющие косинусы с^ = с/^.
Соответствующий A4.10) закон преобразования для диффе-
дифференциала координат будет иметь вид
дх*
dx* = —^ dxk = x*k dxk = cik dxk.
ОХк	'
К более точному определению век-
вектора можно прийти, если в осно-
основу положить закономерность изме-
изменения компонент вектора при пово-
повороте системы координат. Преимуще-
Преимущество такого способа состоит в том,
что он может быть распространен и
на не скалярные величины более вы-
высокого порядка (что с помощью дан-
данного выше определения вектора как
XI.
и
Рис. 14.2
направленного отрезка невозможно).
Под вектором А в дальнейшем будем понимать некоторый
объект, компоненты которого при повороте системы координат
преобразуются аналогично дифференциалам координат, т. е.
справедливо равенство
А* = d-^Ak = cikAk.
д
A4.11)
Вектор называют также тензором первого ранга. Соответствен-
Соответственно этому тензор второго ранга в декартовых координатах опре-
определяют как некоторый объект, компоненты которого Тц при
повороте системы координат преобразуются как произведение
двух векторов:
= дх^дх]_т =	т
дхк dxi	J
A4.12)
Аналогично выражениям A4.11), A4.12) получаются формулы
преобразования для компонент тензора третьего и более высо-
высокого рангов.
Чтобы описать конкретный тензор, задают его значения
относительно базиса. Обычно совокупность компонент тензора
второго ранга для наглядности записывают в форме матрицы
компонент; например, в трехмерном случае
Тц Т\2
т21 т22 г23 .	A4.13)
В отличие от вектора тензору нельзя приписать абсолютную
величину или модуль типа A4.2). Тем не менее у тензора имеют-

14.1. Тензоры в декартовых координатах	353
ся свои инварианты, т. е. величины, которые не изменяются при
повороте системы координат, например определитель матрицы
A4.13).
Различают симметричные Т^ = Tji и антисимметричные
{ко со симметричные) тензоры Тц = —Tji. Каждый произволь-
произвольный тензор второго ранга можно разложить на симметричную
и антисимметричную части:
Дифференцированием тензора в декартовых координатах об-
образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае диффе-
дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам
вектора (тензора первого ранга) дает
^L = U,i = gradC/.
OXi
Это соответствует операции образования градиента.
Соответственно дифференцирование вектора (тензора пер-
первого ранга) приводит к тензору второго ранга
дАг -А •
дх~~ h3'
и т. д. Это, однако, справедливо только для декартовых коорди-
координат.
Для преобразования поверхностного интеграла в объемный
и наоборот служит важная теорема Гаусса-Остроградского:
для векторной функции а с непрерывными частными произ-
производными в ограниченной односвязной области V трехмерного
евклидового пространства с граничной замкнутой регулярной
ориентированной поверхностью S справедлива интегральная
формула
/ div a dV = j ai^dV = / а • n dS = / сц/г dS.
v	v	s	s
Аналог этой формулы для тензора второго ранга <Jij имеет
вид
/ <Jijj dV = / Gijlj dS.
v	s
Эта теорема в разных формах впервые была сформулирова-
сформулирована Лагранжем A762), Гауссом A813), Грином A828), Остроград-
Остроградским A831) и соответствующим образом называется. Ее также
именуют иногда теоремой о дивергенции.
12 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

354	14. Приложения
14.2. Краевые условия и перемещения в функциях Эри
Для того чтобы замкнуть математическую задачу по опре-
определению функции Эри, выразим через нее граничные условия и
перемещения.
Краевые условия в напряжениях для первой граничной за-
задачи выразим через функцию напряжений Эри. Напряжения на
границе px(s) и py(s) задаются как функции координаты конту-
контура s. Для компонент нормального единичного вектора (напра-
(направляющих косинусов) справедливы соотношения
cos(z/, х) = cost, у) = —, cos(z/, у) = — cos(t, х) = — —. A4.14)
ds	ds
Подставив A4.14) в граничные условия E.7), имеем
о'хх dy - оху dx =pxds, оуу dx - axy dy = -py ds.
Используя функцию напряжений Эри E.11), получим
д2Ф , , д2Ф ,	, д2Ф , , д2Ф ,	,
	dy +	dx = pT ds, 	dx +	dy = — pv ds.
ду2 У дхду	дх2	дхду У	у
Эти выражения можно переписать в виде
д (дФ\ у д (дФ\ у	т(дФ\	у
дх V ду )	ду\ду/	V ду )
д (дФ\ 7 д (дФ\ 7	т(дФ\	7
— — dx + — — dy = а — = — p., ds,
дх\дх)	ду\дх) У \дх)	Fy '
так как они представляют собой полные дифференциалы. Интег-
Интегрируя вдоль контура, получим
s
дФ _ _ [	7_	( \гГ
Т — / Py dS — gxyS) -\- Oi,
О
дФ	} л	/ \ , л
— = — Pxds = g^s) + С/2.
о
Здесь gx(«s), gy(s) —заданные функции.
Теперь задачу плоской теории упругости можно
сформулировать следующим образом: требуется найти бигармо-
ническую функцию в области, если на границе заданы производ-
производные функции по обеим координатам.
Иная формулировка может быть получена, если вычислить
функцию напряжений Ф, а также ее нормальную производную
d<bjdv через функции g^(s), gy(s). Из выражения
d<& = — dx + — dy = gT(s) dx + gv(s) dy
дх	ду

14.2. Краевые условия и перемещения в функциях Эри	355
следует
S
О
Граничные условия примут вид
с/Ф <9 / \ . дФ / \ дФ dy дФ dx j / \ ,	j.
Т = 7Г cos^' ж) + IT cos^' У> = 1ГТ~~ ТТ = h(s> + const-
az/ аж	a|/	аж as ду ds
При определении напряжений константа несущественна.
Следовательно, первая граничная задача может быть
сформулирована также следующим образом: требуется найти
бигармоническую функцию в области по заданным на границе
значениям самой функции и ее нормальной производной.
Этим условиям на границе можно дать статическое толко-
толкование. Функция напряжений соответствует равнодействующему
моменту внешних сил, действующих на участке контура обла-
области, вдоль которого происходит интегрирование. Ее нормальная
производная соответствует проекции этих внешних сил на на-
направление касательной к границе (так называемый поток сил в
касательном направлении).
Для определения перемещений через функцию напряжений
Эри воспользуемся обобщенным законом Гука при плоском де-
деформированном состоянии в виде
?	W	( + )]
Отсюда, так как ezz = 0 и azz = v{oxx + оуу\ следует
1	1
Выразив деформации через перемещения с помощью кине-
кинематических соотношений E.2), получим
ди — 1 \ - ( 4- )]
~дх~ ~ ~2^°хх V^Gxx аУУ>\->
dv _ \ v	/	ч-i dv ди _ axy
Вводя сюда функцию Эри, имеем
дх 2Gldy2	\ 2GLK	}	дх2
* = J- [^i - ,АФ1 = J- [A - у) АФ - Щ , A4.15)
ду 2Gldx2	\ 2GlK	}	ду2У	V	;
ду
dv_ ди _ _1_ д2Ф
дх ду	G дх ду
12*

356	14. Приложения
Интегрирование A4.15) приводит к общим соотношениям
для перемещений в виде
и = ± I [A - и) А - |У Ф(х, у) dx + Л (у),
где fi(y) и /2(ж) —функции интегрирования. Они определяются
из третьего уравнения A4.15).
При плоском напряженном состоянии исходим из закона Гу-
ка в виде E.8). В результате получим кинематические соотно-
соотношения
ди 1 г	п dv 1 г	п dv . ди
^ ?;L yy	b дх
yy	b дх
интегрирование которых приводит к выражениям
Еи= (ахх - voyy) dx + gx(y),
Ev = I (oyy - voxx) dy + g2(x),
где gi(y) и g2(x)—функции интегрирования, которые могут
быть получены из третьего кинематического соотношения.
14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях
Следуя в основном книге1) приведем краткие сведения из
теории обобщенных функций в объеме, необходимом для изуче-
изучения основного материала учебника. При этом по ходу изложения
будут приводиться некоторые понятия математического анали-
анализа, которые могут служить в качестве напоминания известного
читателю материала либо рассматриваться как дополнительные
сведения.
А. Основные пространства. Обозначим стандартным об-
образом через Rn п-мерное действительное векторное простран-
пространство с элементами (векторами, точками) х = (х\, ... , хп) —
упорядоченными совокупностями и п действительных чисел
(xj Е R). На нем для любых двух векторов х, у = (у\, ... , уп)
и любого числа а Е R определены операции сложения (вычи-
(вычитания) векторов х ± у = (х\ ± ух, ... , хп ± уп) и умножения
на число ах = (ажх, ... , otxn). Нулевым элементом является
х) Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при-
приложениями к технике. — М.: Мир, 1978. — 518 с.

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	357
вектор 0 = @, ... , 0). Равенство двух векторов определяется
следующим образом: х = у, если х\ = yi, ... , хп = уп. Как
известно, это пространство является линейным.
Оно становится евклидовым после введения на нем скаляр-
скалярного произведения (х, у) = Xjyj. С помощью этого произведе-
произведения определяются норма (длина, модуль) вектора ||х|| = |х =
= л/(х,х) и расстояние между двумя векторами р(х, у) =
= ||х — у||, т. е. Rn — метрическое пространство.
Пусть {х^} — последовательность в Rn и у Е Rn. Тогда у =
= lim х/ь, если lim p(xk, у) = 0.
/с—)-оо	/с—)-оо
При п = 1 i?n совпадает с множеством действительных чи-
чисел R.
Далее будем рассматривать действительные или комплекс-
комплексные функции (С— множество комплексных чисел)
ip : Rn -+ i? или ^ : Rn -+ С.	A4.16)
Множество таких функций обозначим через Ф = {ip}. При
использовании обычных операций сложения функций и умно-
умножения их на число (действительное или комплексное) Ф явля-
является линейным пространством (действительным или комплекс-
комплексным). Наделим это пространство дополнительными свойствами.
Линейное пространство Ф называется линейным простран-
пространством со сходимостью, если среди всех последовательностей
{(fh} С Ф выделены сходящиеся к элементу ср Е Ф последова-
последовательности (обозначение lim ср^ = <р, ср — предел последователь-
ности {(pk})- При этом выполняются следующие условия:
1)	любая последовательность {^} С Ф имеет не более одного
предела;
2)	любая стационарная последовательность {ср} С Ф являет-
является сходящейся и lim ср = ср;
/с—)>оо
3)	всякая подпоследовательность {(pkm} сходящейся после-
последовательности {(pk} С Ф {{(Ркт} С {(Рк}) также является сходя-
сходящейся и lim сркт = lim срк;
т^оо	к
4)	для любых сходящихся последовательностей
и любых чисел а,/3 последовательность {асрк + (Зфк} также
является сходящейся и lim (асрк + (Зфк) = a lim срк + /3 lim фк]
5)	для любой сходящейся числовой последовательности {ак}
( lim ак = а) и любого элемента (^ Е Ф последовательность
к^
{акср} также является сходящейся и lim акср = ср lim
Пусть Фо С Ф и является линейным подпространством про-
пространства Ф (Фо—линейное пространство по отношению к вве-

358	14. Приложения
денным на Ф операциям) и Фо и Ф — пространства со сходимо-
сходимостью. Если любая последовательность {(fk} С Фо, сходящаяся к
ср Е Фо, сходится к ср и в Ф, то за Фо сохраним название подпро-
подпространства (обозначение Фо С Ф).
Наделенное специальными свойствами (их уточним далее)
подпространство Фо пространства Ф функций вида A4.16) будем
называть основным пространством, а функции из него — основ-
основными функциями. Если необходимо указать размерность евкли-
дового пространства, на котором определены основные функ-
функции, то для основного пространства используется обозначение
Фо(^).
Напомним также следующие понятия. Пусть G С Rn и со-
состоит из таких точек х, что для любых х ф. G (р (х) = 0. Тогда
множество suppy? = GUdG, где dG — граница области G, назы-
называется носителем функции (р. Если G — замкнутое ограничен-
ограниченное множество, то suppy? называется компактным, а функция (р
с таким носителем — финитной.
Обычно рассматриваются следующие основные пространства.
1. Основное пространство Фо = Кш\
а)	любая функция ср Е Кт является финитной и имеет не-
непрерывные производные до порядка т включительно, т. е.
ipeCm(Rn);
б)	последовательность {(pk} из Кт сходится к функции
(р Е Кт, если
—	существует такое а > 0, что для любого к
svppipk С U(a), U(а) = {х Е Rn\ |x| < а};
—	для любого числа р = 0, 1, ... , га последовательность
равномерно на U(a) сходится к Dpcp (Dp(pk^Dp(p), где
2.	Основное пространство Фо = К:
а)	любая функция (р Е К является финитной и имеет непре-
непрерывные производные любого порядка (га = оо) , т. е. ср Е С°° (Rn)]
б)	последовательность {ср^} из К сходится к функции ср Е К,
если
—	существует такое а > 0, что для любого к supp^ С U{a)\
—	для любого числа р Е Щ = {0, 1, 2, ...} Dpip^^Dpip.
3.	Основное пространство Фо = S:
а)	для любой функции ср Е S cp E C°° (Rn)]
б)	для любой функции (р Е S и любых чисел га, р Е Щ
существует такое действительное число Стр1 что
тс)\ < С!	xm — rmirm2 гШп
Х.)\ ^ ^тр-> х — ХХ Х2 ...Хп ,	(-\Д-\%)
т = rai + ТП2 + ... + гап,

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	359
т. е. функции if вместе со всеми своими производными при
х —>> оо стремятся к нулю быстрее любой степени 1/|х|;
б) последовательность {(fk} из S сходится к функции (р Е S,
если
—	существует такое не зависящее от к число Стр1 что не-
неравенство A4.18) выполняется для любой функции <рд.;
—	для любого т, р Е Nq имеет место сходимость
p ()V()
Введенные основные пространства являются линейными
пространствами со сходимостью и связаны между собой следую-
следующим образом: К С Кт С Кт~1 С ... С К0 и К С S.
Б. Определение и свойства обобщенных функций.
Функционалом f (действительным или комплексным) на мно-
множестве Ф с элементами ср называется однозначное отображение
/ : Ф —>> R (или / : Ф —>> С). Значение функционала на элементе ср
будем записывать так: (/, ф). Пусть Ф —линейное пространство.
Тогда функционал называется линейным, если для любых эле-
элементов <р, ф Е Ф и любого числа а выполняются равенства
(/, (р + ф) = (/, ф) + (/, ф) и (/, ау?) = а(/, (р). Множество та-
таких функционалов обозначим через Ф7. Если на нем обычным
образом ввести операции сложения (/ + g, ф) = (/, у?) + (g, у?)
и умножения на число А (А/, <р) = А(/, ф), то оно само об-
образует линейное пространство и называется сопряженным с Ф
Если Ф —линейное пространство со сходимостью, то сходи-
сходимость последовательности функционалов {/&} С Ф7 к / Е Ф7
определяется следующим образом: / = lira /&, если для любого
элемента ср Е Ф lira (/д., <р) = (/, у?). Такая сходимость в от-
личие от обычной (поточечной) сходимости называется слабой.
Функционал / Е Ф7 называется непрерывным, если для любой
сходящейся последовательности {(pk} С Фо ((р = lira (р^ Е Фо)
существует предел lira (/, (р^) = (/, (р). Далее всегда будем по-
лагать, что Ф7 состоит из непрерывных функционалов на Ф.
В этом случае Ф7 — линейное пространство со сходимостью.
В сопряженном пространстве Ф7 обычным образом через пре-
предел последовательности частичных сумм определяются сходя-
сходящиеся ряды и их сумма
к
Пусть Фо— подпространство линейного пространства со сходи-
сходимостью Ф, и / Е Ф70. Если существует такой функционал F Е Ф7,
что (/, ф) = (F, ф) для любых (р С Фо, то / называется продол-

360	14. Приложения
жаемым на пространство Ф в функционал F,aF- продолже-
продолжением функционала /.
Переходим теперь к основному понятию. Обобщенной функ-
функцией^ определенной на основном пространстве Фо, называется
линейный непрерывный функционал / Е Ф70. При этом Ф'о —
пространство обобщенных функций.
Соответственно основным пространствам Кт, К л S исполь-
используются обозначения пространств обобщенных функций (К171)',
К' и S', а также следующие названия: функции из (Кт) —
обобщенные функции конечного порядка, функции из (^°) —
меры, функции из К' — обобщенные функции бесконечного по-
порядка, функции из S' — обобщенные функции медленного роста.
Для этих пространств обобщенных функций имеют место
включения: (К0)' С (К1)' С (К2)' С ... С К1 и S" С К1. То
есть, например, из последнего включения следует, что обобщен-
обобщенная функция медленного роста — продолжение на S обобщенной
функции бесконечного порядка.
Пусть /(х) — «обычная» функция вида A4.16), и (/, ф) —не-
—некоторый функционал из Фд (здесь формально используется такое
же, как и ранее, обозначение функционала, однако в нем значок /
указывает на обычную функцию). Тогда говорят, что обобщен-
обобщенная функция (/, ф) порождается функцией /(х). Обобщенные
функции, для которых существуют порождающие их функции,
называются регулярными, а остальные — сингулярными.
В пространствах (К171)' и К' регулярные обобщенные функ-
функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х)
(функциями, определенными в Rn и абсолютно интегрируемы-
интегрируемыми на любой ограниченной области О С Rn) с помощью ин-
интегральных функционалов для действительных и комплексных
функций соответственно (черта является знаком комплексного
сопряжения)
(/, ф) = //(x)<p(x)dx = //(x)<p(x)dx, Un = slippy;
RU	П	A4.19)
(M)
В пространстве Sf регулярные обобщенные функции порож-
порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) медленного
роста (определенными в Rn функциями, для которых существу-
существуют такие А, а ^ 0, что |/(х)| ^ А|х|а в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки) с помощью интегральных функ-
функционалов для действительных и комплексных функций

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	361
соответственно
/(хМх) ^х; (/, ф) = I /(x)<^(x)dx. A4.20)
Rn	Rn
Этим фактом и объясняется название пространства Sf.
В связи с существованием регулярных функций для всех
обобщенных функций также используется обозначение /(х), на-
наличие в котором переменной х является всего лишь символом
и ни в коей мере не говорит о значении обобщенной функции в
точке. А для указания значения обобщенной функции на функ-
функции (р Е Фо применяются интегралы A4.19) или A4.20), кото-
которые для сингулярных функций необходимо также расценивать
не более как символ.
Пусть О открытое множество из Rn. Тогда обобщенная функ-
функция равна нулю (/ = 0) на О, если для любой (р{х) Е Фо с носите-
носителем suppy? С О выполняется равенство (/, ф) = 0. Обобщенные
функции /(х) и g(x) равны (/(х) = g(x)) на О, если / — g = 0
на этом множестве.
Эти понятия позволяют совершенно аналогично обычным
функциям ввести определение носителя обобщенной функции
supp/. Кроме того, будем называть обобщенную функцию со-
сосредоточенной на множестве О С i?n, если supp/ С О.
Обобщенная функция равна нулю (/(х) = 0), если она равна
нулю на Rn. Аналогично обобщенные функции /(х) и g(x) равны
(/(х) = g(x)), если они равны на Rn.
Отметим, что, если функции /(х), g(x) равны почти всюду
на Rn (множество точек, на которых /(х) т^ g(x) имеет меру
нуль) и порождают регулярные обобщенные функции, то по-
последние равны.
Пусть /(х) Е Ф70 и а(х) такая функция, что для любой (р(х) Е
Е Фо произведение а(х)<р(х) Е Фо- Тогда произведение а(х)/(х)
задается следующим функционалом из Фд (действительным или
комплексным):
(а/, <р) = (/, аф) или (а/, (р) = (/, аф).
По аналогии с известными теоремами о замене переменных
в интегралах можно ввести понятие сложной обобщенной функ-
функции. Пусть у = а(х) — регулярное необходимой степени глад-
гладкости отображение Rn на i?n, и для любой <p(x) E Фо также
(р[а~г (у)] | J (у)| Е Фо, где J (у) якобиан отображения. Тогда
сложная обобщенная функция /[а(х)] задается следующим об-
образом:
(/[а(х)], р(х)) = (/(у), ^[а-Ну)]!^)!) •	A4.21)

362	14. Приложения
Если отображение а(х) — невырожденное линейное преобра-
преобразование (аы и х®к не зависят от х)
х = уАт + х°, А = (аы)пхп , det А ф О,
пхп ,
° =
х = (хи ... , хп), у = (yi, ... , уп), х° =
то имеет место равенство
A4.22)
Из A4.22) вытекают следующие частные случаи:
преобразование сдвига (А = Е —единичная матрица, век-
век(
тор х° заменен вектором —х°)
(/ (у - х°) , ?>(у)) = (/(х), ф + х0)) .	A4.23)
преобразование подобия (х° = 0; матрица А — диагональная,
т. е. им = otkk^kh суммирования нет; 8^\ — символ Кронекера)
(/ («112/1, «22У2, • • • , OLnnyn) , (f(y)) =
= -,	(/(х), ?>(-?-, -2-,..., -?=-)) A4.24)
\QLllQl22 • • • Olnn V	VQJ11 «22	OLnn J J
равномерное преобразование подобия (в A4.24) ац = «22 =
= ... = апп = а, т. е. А = аЕ — скалярная матрица)
(/ («У),
преобразование симметрии ( в A4.25) а = —1)
),р(-х)).	A4.26)
Определения некоторых обобщенных функций приведены в
табл. 14.1, где использованы следующие обозначения (Т^5^(х) —
многочлен Маклорена для функции <р(х); символ Vp обозначает
главное значение по Коти расходящегося интеграла):
R\ = {х G Rn\xi, х2, • • • , хп ^ 0}, г = |х|;
I	)= V
/с=0
/Г	f
/ (р(х) dx + / (fix) dx .
J ^v J	J ^v y
я	-оо

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях
363
^ O &
Q И" >< ^
n ^«^
o3 ^ Д
О III
к
8
К
О)
К
К
пре
О
Л
и
о а
О §
и
щ
и§
ею
К о
щю
Г|
8р
VO $ >¦.
о 8ф
1
о
II
X!
-	'
II
О
1
>>
g |
ЪЯ
X! X!
t
хр(
II
о
р 1
?к
^^
о о
Л\ V
^^
II
sign
|
II
о
sign х
5—>^
о
Л
1
X!
?
~г
X!
?
а,
II ^
1
т—1
+
a, ?S
S
Л\
g
ш
g
1
(х) dx
5—><Ч
II
о
Л\

II
О
т—1
1
Л
Ш
Л

364
14. Приложения
§ §- o^
111!
Одна из
щих фу
регуляр!
щенных
ситель
о
К
к
едел
&
О
вное
анство
»сно
стр;
0
про
ё!
s |
О> VO
so
юзначен
ание об
шкции
О ЙФ
X!
—
IT
9-
II 1
Р.
*^
1
>
т—1
^_
Г4
О
1
1
^.
1
т—1
^_
>
1
1
т—1
л
g
С?
т—1
О О
л\ v
II
о
Л\
1
11
II
о
(х-
л
О О
Л\ V
II
о
Л\
II
о
О О
Л\ V
II
I
о
V/
1
II
I
о
1
О
In ж
п|ж|с
11
II
(In x\,if
о
^й
о о
Л V/
о
Л\
43
1
о
+

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	365
Приведем также часто используемые связанные с линейны-
линейными преобразованиями формулы для дельта-функции Дирака
а(хЖх - х°) = а(х°Жх - х°), 5 (ах) = J-J (х) ,
\а\
, ... , аппхп) =
A4.27)
QHQ22 • • -OLnn\
В. Дельтообразные последовательности. Пусть каждый
член /д. последовательности {//с} С Фд является регулярной
обобщенной функцией, порожденной локально интегрируемой
функцией /fc(x) С Фо и lim /& = ?(х). Тогда последовательность
/с—)-оо
()} С Фо называется дельтообразной.
Такие последовательности важны при использовании чис-
численных алгоритмов для задач, в которые входят дельта-функ-
дельта-функции. При этом в качестве приближенного решения задачи при-
принимается решение, в котором дельта-функция заменяется к-м
членом дельтообразной последовательности.
Имеет место следующий критерий делътообразности после-
последовательности.
Обозначим через О = {х = (жх, ... , хп) Е Rn\ctj < Xj < 6j},
причем ах, ... , ап < 0. Если для последовательности локально
интегрируемых функций {/^(х)} С Фо существует такое не за-
зависящее от А; и О число М > 0, что
п
и, кроме того,
'О @?П),
lim / //c(x)rfx =
*W	[ 1
то эта последовательность является дельтообразной.
Г. Дифференцирование обобщенных функций. С ис-
использованием обозначения A4.18) производная Dpf(x) порядка
р Е N от обобщенной функции /(х) Е Ф70 (обобщенная произ-
производная) определяется так (<р(х) Е Фо, Фо = Кт (т ^ р), К
или S):
Приведем свойства обобщенной производной, которые ча-
частично отличаются от свойств производных обычных функций
(таковые свойства помечены звездочкой).
1. Так же, как и для обычных функций имеет место линей-
линейность оператора дифференцирования и правило дифференци-

366	14. Приложения
рования произведения а(х)/(х), где функция а(х) имеет произ-
производные необходимого порядка.
2. suppZF/ С supp/.
3*. Поскольку все рассматриваемые функции /(х) Е К', то
для любой обобщенной функции существуют производные лю-
любого порядка.
4*. Производная Dpf от функции многих переменных (част-
(частная производная) не зависит от порядка дифференцирования.
5*. Если последовательности (ряд) сходится
то ее (его) можно почленно дифференцировать любое число раз,
т. е. для любого р Е N
lim DPfk = DPf (V D?fk =
к
6*. Пусть /(х)—регулярная обобщенная функция, и Dpf —
обобщенная функция, порожденная соответствующей производ-
производной порождающей функции (р ^ га, если порождающая функ-
функция принадлежит Кт (га ^ 1), и р Е Л/", если она из К или 5).
Функция ?)р/ в отличие от Dpf называется производной в обыч-
обычном смысле.	_
В общем случае Dpf ф Dpf. Например, для функций одной
переменной, если порождающая функция f(x) Е Ср всюду на R
за исключением точек Xj, в которых она имеет разрывы первого
рода со скачками
[/],.= Пт /(Ж)- lim f(x),
J x^X+0	x^X0
то обобщенная производная f'(x) и производная в обычном смы-
смысле f'(x) связаны между собой так:
3
7. Если для порождающей функции производная Dp/(x) су-
существует всюду на i?n, то Dpf = Dpf. И, в частности, остаются
в силе все таблицы для производных функций одного перемен-
переменного.
В табл. 14.2 указаны обобщенные производные некоторых
функций одного переменного (х Е R).
Приведем также две полезные формулы, связанные с произ-
производными дельта-функции одного переменного (Ср — число

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях
367
сочетаний изрпо fc):
- ж0), a(x) G Cp;
k=0
p!
Таблица Ц.2
Я(Ж)
sign ж
ж|л (Лея, л> -1)
4^ (m G TV, m ^ 1)
4
ж+
Ж-
1п|ж|
Л^^ sign ж
жт
Лж^1
Я(ж)
-Я(-ж)
1
ж
Кроме того, для сложной дельта-функции справедливо сле-
следующее утверждение.
Пусть определена сложная функция ?[а(х)], где отображение
а(х) С С1 и имеет простые нули х-7, в которых его якобиан
J (х-7) т^ 0. Тогда имеет место формула разложения
<У[а(хI =
= V
Z
(х -
V
В частности, для функции одного переменного имеем
Д. Прямое произведение и свертка. Пусть обобщенные
функции /(х) и g(y) определены на основных пространствах
одного типа Фо (Rn) и Фо(Ят). Прямым (тензорным) произ-

368	14. Приложения
ведением /(х) х g(y) обобщенных функций /(х) и g(y) назы-
называется определенный на основном пространстве того же типа
Фо (i?n+m) функционал
(/(x)xg(y), ?>(х; У)) = (/(x),(g(y)^(x;y))),
?>(х; у) Е Фо (Д"+т) ,
где i?n+m = i?n x Rm — декартово произведение Rn на Rm.
Доказывается, что определенный таким образом функцио-
функционал является линейным и непрерывным. Следовательно, /(х) х
х g(y) —обобщенная функция на Фо (i?n+m), т. е. /(х) х g(y) Е
Е Ф7п (i?n+m).
Для прямого произведения наряду с указанным использует-
используется обозначение /(x)g(y), аналогичное произведению обычных
функций.
Имеют место следующие свойства прямого произведения.
1.	Если /(х) и g(у) —регулярные обобщенные функции, то
и /(х) х g(y) —регулярная обобщенная функция.
2.	Носитель прямого произведения есть декартово произве-
произведение носителей сомножителей
supp[/(x) х g(y)] = supp/(x) x suppg(y).
3.	Коммутативность: /(x) x g(y) = g(y) x /(x).
4.	Ассоциативность: /(x) x [g(y) x h(z)] = [/(x) x g(y)] x
x h(z).
5.	Дистрибутивность: /(x) x [g(y) + h(y)] = /(x) x g(y) +
+ /(х)хЛ(у).
6.	Однородность: для любого числа а имеет место равенство
[a/(x)j х g(y) = a[/(x) x g(y)].
7.	^^[/(x) x g(y)] = ^/(x) x Dgyg(y), где Z?S и Z)« диф-
ференциальные операторы по х и у вида A4.17).
8.	Если а(х) и 6(у) такие функции, что для любых </?(х) 6
G Фо (Rn) и ^»(у) G Фо (Rm) произведения а(х)уз(х) G Фо (Лп) и
Ь(У)^(У) G Фо (Rm), то а(хN(у)[^(х) х ^(у)] G Фо (Лп+т) и для
обобщенных функций /(х) и g(y) справедливо равенство
а(хN(у)[/(х) х g(y)] = [a(x)/(x)j x [6(y)g(y)].
9.	/(х) х 1(у) = /(х), где 1(у) —обобщенная функция, поро-
ж:денная функцией 1(у) = 1 для любых у Е i?m.
В частности, для единичной функции Хевисайда и дельта-
функции Дирака имеют место равенства
Н(хи х2, ... , хп) = Н(х1)Н(х2)... Н{хп);
6(хи х2, ... , хп) = S(xi)S(x2)... 5(хп);
Н(х х2, ... , хп) = Я(ж1)... H{xj-i)8{xj)H{xj+i) ... Н(хп)

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	369
Пусть обобщенные функции /(х) и g(x) определены на основ-
основном пространстве Фо (Rn)- Сверткой /(х) * g(x) обобщенных
функций /(х) и g(x) называется определенный на том же основ-
основном пространстве функционал
(/(х) * g(y), ?>(х)) = №) X g(y), у>(х + у)), р(х) € Фо (Rn) ¦
Свертка существует не для любых функций. Достаточное
условие ее существования таково.
Если хотя бы одна из обобщенных функций /(х), g(x) обла-
обладает ограниченным носителем, то их свертка /(х) * g(x) Е Ф70.
Для функций одного переменного достаточным условием су-
существования свертки также является ограниченность их носи-
носителей с одной стороны (слева или справа, т. е. существуют такие
а и 6, что f(x) = О при х < a g(x) = 0 при х < 6, или f(x) = 0
при х > a g(x) = 0 при х > Ь).
Свойства свертки обобщенных функций (полагается, что все
свертки существуют).
1.	Если /(х) и g(x) —регулярные обобщенные функции, то
и /(х) * g(x) —регулярная обобщенная функция.
2.	Носитель свертки есть подмножество замыкания объеди-
объединения носителей сомножителей
supp[/(x) *g(x)] С supp/(x) Usuppg(x).
3.	Коммутативность:
/(x)*g(x) =g(x) */(x).
4.	Ассоциативность:
/(x) * [g(x) * Л(х)] = [/(x) * g(x)] * /i(x).
5.	Дистрибутивность:
/(x) * [g(x) + /*(x)] = /(x) * g(x) + /(x) * Л(х).
6.	Однородность: для любого числа а имеет место равенство
[а/(х)] * g(x) = а[/(х) * g(x)].
7.	Z)P[/(x)*g(x)] = W(x)]*g(x) = /(х) * [D^g(x)], где
Dp — дифференциальный оператор вида A4.17).
8.	Пусть последовательность обобщенных функций {/^(х)}
имеет предел lira /&(х) = /(х) и выполняется одно из условий
/с—)>оо
а)	все функции /& (х) сосредоточены на одном и том же огра-
ограниченном множестве;
б)	обобщенная функция g(x) сосредоточена на ограниченном
множестве;
в)	при х Е R носители функций fk(x) и g(x) ограничены с
одной и той же стороны числом, не зависящим от к.
Тогда lira [fk(x) * g(x)] = /(х) * g(x).

370	14. Приложения
Приведем также несколько полезных формул, связанных с
дельта-функцией Дирака и единичной функцией Хевисайда:
<У(х)*/(х) = /(х),
Н(х) * х% = -J_^+1, ж g Д.
Е. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Здесь ограничимся основным пространством S = S(Rn) ком-
плекснозначных функций. Для любой основной функции
<р(х) Е 5в обычном смысле существует преобразование Фурье
((pF(q) — изображение или трасформанта Фурье, (р(х) — ориги-
оригинал; q = (gi, gr2, ... , gn) E i?n, q— параметр преобразования;
г — мнимая единица)
F[<p] = ^(q) = yV(x)e*b*) Лс, (q, x) = qkxk. A4.28)
Кроме того, справедлива формула обращения преобразова-
преобразования Фурье (обратное преобразование Фурье)
(q)e-*(q'x) dq.	A4.29)
Доказывается, что формулы A4.28) и A4.29) задают взаимно
однозначные отображения F и F~l основного пространства S на
себя, т. е. для любой функции (р(х) Е S
FlF-1^}] =<p,	A4.30)
и, кроме того, эти отображения являются линейными и непре-
непрерывными.
Преобразование fF(q) обобщенной функции медленного ро-
роста /(х) Е Sf и обратное преобразование Фурье определяются
как соответствующие функционалы на S:
(fF,tp) = (f,tpF), <peS;	A4.31)
{F-1[fF],<p) = {f,F-1[<p]), ipeS.	A4.32)
Для преобразования Фурье обобщенных функций имеет ме-
место утверждение, аналогичное сформулированному выше утвер-
утверждению для основных функций: формулы A4.31) и A4.32)
задают взаимно однозначные отображения F и F~l простран-
пространства S' на себя, т. е. для любой функции /(х) Е S' справедливо
равенство
^[^Ш]=/-	A4-33)

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях	371
Таким образом, преобразование Фурье существует для лю-
любой обобщенной функции /(х) Е S'.
Свойства преобразования Фурье обобщенных функций во
многом аналогичны соответствующим свойствам для обычных
функций.
1. Отображения F и F~l линейные, т. е. для любых чисел
а, /3 Е С и любых обобщенных функций / и g
2. Отображения F и F~l непрерывные, т. е. / = lira /& тогда
и только тогда, когда fF = lira //f.
fc-юо
3*. Если обобщенная функция / является регулярной и суще-
существует преобразование Фурье fF(x) порождающей ее функции
/(х), то преобразование Фурье fF — также регулярная обобщен-
обобщенная функция, и она порождается функцией fF(x). To есть для
регулярных обобщенных функций справедливы известные та-
таблицы преобразований Фурье обычных функций.
4. Для производных оригинала и изображения справедливы
равенства
Г = -^fc/F(q); ^-/F(q) = [ixkf(x)f.
oqk
5*. Преобразование Фурье прямого произведения есть пря-
прямое произведение изображений
в том числе,
[/ On) / (х2)... / (xn)f = f Ы f Ы • • • f (qn) ¦
6. Если свертки оригиналов и изображений существуют, то
для них имеют место формулы
[/(х) * g(x)]F = /F(q)/(q); /F(q) * /(q) = [/(x)g(x)]F.
7*. Пусть a(x) такая функция, что для любых (р{х) Е *S про-
произведение a(x)(^(x) E *S и существует в обычном смысле aF(x).
Тогда
В табл. 14.3 указаны преобразования Фурье некоторых обоб-
обобщенных функций одного переменного, а в таблицах 14.4 и 14.5 —
используемые в основном материале книги обратные преобразо-
преобразования Фурье функций одного и двух переменных соответствен-
соответственно. В первых двух таблицах С = 0,5772156649 ... —постоянная
Эйлера.

372
14. Приложения
Таблица Ц.З
5(х)
хт (т G No)
\х
И
1
хХ (т G TV)
х+
X-
2тг(-г)т?(т)(д)
2
- 2 (In |g| + С)
гт+1
(m-l)\q "ЩПд
" , 1 +1 (т) '
' qrn + l
q2
- — +iirS'(q)
В табл. 14.5 использованы следующие обозначения: q =
^ + ^2 + ^2 , ^ > 0.
/{ \ г = л/ж^ + ^2 + ^2 ,
При построении оригиналов двойного преобразования Фурье
использованы свойства этого преобразования, а также сведение
в специальных случаях изображений двойного интеграла обра-
обращения к однократному интегралу (связь двойного преобразова-
преобразования Фурье с интегральным преобразованием Ханкеля).
1. При fF{qu 92) =g{q)
Ж2) = -ГТ
+ ОО
+ ОО
m dq2 =
+ ОО
= — / qg(q)Hi (q; хъ х2) dq,
7Г2 J
0
t2) cos (x2qt) ,-
/	V1
где Jy{x) —функция Бесселя первого рода порядка v.

14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях
373
2. При
+ ОО	+СЮ
— сю —сю
Таблица 14-4
Пч)
-е~аЫ, а > 0
q
%
q
1
м
е~а|(?|, а > 0
где~а|(?|, а > 0
ге-^'signg, «>О
г sign g
|fl|e-'">e>0
k\
-iaq
\q\
e-iaq
ie-iaqsignq, a^O
1 ж
— arctg —
тг а
1 .
- sign ж
- - (In л/ж2 + а2 + С)
ТГ V У
- i (In ж| + С)
ТГ
а
тт(ж2+а2)
2аж
тг (ж2 + а2)
1 ж
тг ж2 + а2
1
тгж
а2-ж2
тг (ж2 + а2)
1
тгж2
1 . ,
- sign (ж + а)
тг
S (ж + а)
1 1
тг ж + а
+ СЮ
= \ I Я2
тг2 J
; хъ х2) dq,
1
2 = / sm x\qyl — t1 cos
J	\	/
;,	1 О Hi тгж1
q dxi 2r2

374
14. Приложения
Таблица 14-5
q
Щш -qz
q
qmqn _QZ
q
qe~qz
e~qz
iqm .qz
2 ^
мм qz
q2 ~
qrnqn ^-qz
iqiqmqn c-qz
qs
l
2тгг (г +
1
2тгг2 (г +
¦C
1
2тгг (r +
1
27ГГ
^m
27ГГ3
1 Л 3ЖтЖ„\
2тгг3 V ШП г2 J
1 Cz2 \
2тгг3 V г2 1)
z
2тгг3
3xmz
2тгг5
2тгг (г + z)
Г ^г г /1
С ^ 7П^ П 1 -1-
1 А II
^) [ шп г \г
Г
^) 1 Ж/ ™
1 . 1
г + z) г [г
3
1 |
\х6
¦ zf Г' тп ' Хт '" '
X\XjxiXn 1 1 (
I I
1 "ll
у]
XnSlm) X
2 11
+ zf\\
Хп lm
2 ^
• + z)\

14.4. Краткие сведения об обобщенных функциях
375
3. При fF(qu Я2) =iq2g(q)
+ ОО	+ ОО
Ь х2) = -^ j dqi I iq2g{q)e-iXmqm dq2 =
oo
+ OO
= \ I Я2ё(я)Нз (95 ХЪ х2) dq,
7Г2 J
— oo — oo
TT
H3
i
f (
= /cos xig
J	\
• (	,\ tdt	1 дН\	7ГЖ2 t /	\
Vl t2	q 0x	2r
0
4. При /F(g
+ OO	+СЮ
i, x2) = ^ I dQl
— сю —сю
—
— t2	q 0x2
dq2 =
+ OO
; xi, x2) dq,
i
H^ = / v 1 — t2 cos [xiqy 1 — t2 ) cos (x2qt) dt =	-.
J	V	/	q dxi
0
5. При fF(qu q2) = q%g(q)
qlg{q)e-lx^ dq2 =
— (X	—(X
+ OO
f(xi, x2) = ±
= \ f q3g(q)H5 (q; xi, x2) dq,
7Г2 J
1
Я5 = / cos (zigt) cos \x2q\/\ - t2) —?== = Щ = ^-J0(qr2).
0
6. При /F(gi, g2) = qiq2g(q)
+ OO	+OO
/(жь ж2) = ^ У dgi У qiq2g{q)e-iXmqm dq2 =
— (X	—(X
+ OO
= — ts
J
tsm
dt =

376	14. Приложения
14.4. Коэффициенты линейно-вязкоупругой
трехслойной пластины
Ниже приведены значения коэффициентов, введенных в § 9.7
для описания аналитического решения задачи об изгибе круглой
линейной вязкоупругой трехслойной пластины.
_ 2(q5iaii — a2iQ3i)	_	«lift — а>п
а0	а1
Зк(л>з(л>4 («62^12 — «|2)	CJiCJ2(a62ai2 — ^Xft "" ft)
- s2/33 + s3)
4(«62^12 - a§2
a _	2(gi/3f - g2ft + s3)
2
1 a6ian — a12 1	1 .
03 = 	о-, «4 = ai;
«62^12 — «32
32 - «22^31,
53 = a52ai2 - a22a32; A = ^гг1 (г = 1, ... , 8).
Коэффициенты «5, ... , ац находятся в процессе разложе-
разложения на простые дроби выражения
+ ft2)
ftcj*)(l + /35cj*)A + ftcj*)(l
где
)]
55 = (аца41 - а21)(аца61 - а\г) - (аца51 - a21a3iJ,
- 2а31а32) +
«12^41 - 2а21а22) -
-2(аца51 - a2ia31)(ana52

14.4. Коэффициенты линейно-вязкоупругой трехслойной пластины 377
- а\2)
- 2а31а32) -
- (аца52 + ai2a5i - a21a32 - a22a3iJ -
- 2(аца51 - a21a3i)(ai2a52 -
4i - 2a21a22)(ai2a62 - a32) +
12)(аца62 + ai2a6i - 2a31a32) -
- 2(ai2a52 - а22а32)(аца52 + «12^51 - a21a32 -
s9 = (ai2a42 - al2)(ai2a62 - a32) - (ai2a52 - a22a32J,
5io = ЗКсац(аца61 - a31),
5ц = ЗКB	2
s12 =
S13 =
Здесь величины —с
(857
- a32).
являются корнями многочлена
3 + (859
Так как коэффициенты приведенного многочлена положитель-
положительны, то согласно правилу Декарта1) все действительные корни
многочлена отрицательны, т. е. числа о;5, ••• , ^8 (а также
Со>1, ... , о;4) —положительны.
Величины «i2, ... , «16 являются коэффициентами разложе-
разложения на простые и кратные дроби выражения
=
2	2^ 2 -а12
3	4V	Ъ2
а «i7, ... , «25 — коэффициенты подобного разложения отноше-
отношения
Sl5(si + S2UJ* + S3CJ*2J(S5 + S6CJ* + S7CJ*2 + SgUJ*3 + SgCJ*4)
cj*A
S14
Sis))
«26 =
asi/3i — CL32
- /З2)
; «27 =
«32 — asi/32
:) Декарт Рене (Deskartes R., 1596-1650), французский математик, фи-
физик, философ; основоположник аналитической геометрии, ввел понятие
функции и переменной, сформулировал закон сохранения количества дви-
движения, дал понятие импульса силы.

378	14. Приложения
где «28, • • • , <^32 — коэффициенты разложения на простые дроби
выражения
(аз! + аз2^*)(а51 + ^52^*) - (а21 + Q22^*)(aei + Q62^*). /,, ол\
cj*A+/3cj*)A + /3cj*)A + /3^*)A+/3CJ*)	'	'
Величины «зз, ... , «4i определяются как коэффициенты
разложения на простые дроби выражения A4.16), умноженного
на дробь
S5 + S6CJ* + S7CJ*2 + SgOJ*3 + SgCJ*4
Таким образом, приведенные константы замыкают аналити-
аналитическое решение задачи об изгибе линейно-вязкоупругой трех-
трехслойной пластины, полученное с использованием эксперимен-
экспериментально-теоретического метода аппроксимаций Ильюшина.
14.5. Тестовые задания по теории упругости
Для лучшего закрепления знаний в процессе изучения сту-
студентами курса теории упругости предлагаются тестовые вопросы.
Они сформулированы по главам учебника. Среди приводимых
ответов один — правильный. Практика показывает, что в тест
достаточно включать шесть вопросов и по 3-4 ответа на каж-
каждый. Тест засчитывается, если получено пять правильных отве-
ответов. Ниже приводятся две группы вопросов с ответами, каждая
позволяет сформировать по 25 различных тестовых заданий.
В первую группу вошли вопросы, охватывающие главы 1-5.
1.	Метрический тензор —это произведение базисных век-
векторов:
1)	скалярное;
2)	векторное;
3)	смешанное.
2.	Матрица метрического тензора:
1)	треугольная;
2)	диагональная;
3)	несимметричная.
3.	Компоненты метрического тензора являются:
1)	символами Кронекера;
2)	главными напряжениями;
3)	главными деформациями.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	379
4. Символы Кронекера:
1) 8ц =
.0, г
2) cr_^ = —av\
4) сг^ = aijej.
5.	Символы Кронекера Sij при г = j равны:
1)	единице;
2)	нулю;
3)	бесконечности;
4)	числу осей координат.
6.	Количество независимых компонент тензора напряжений:
1)	три;
2)	шесть;
3)	девять.
7.	Количество независимых компонент тензора деформаций:
1)	три;
2)	шесть;
3)	девять.
8.	На главных площадках тензора равны нулю напряжения:
1)	нормальные;
2)	касательные;
3)	и те, и другие.
9.	В главных осях тензора напряжений экстремальны напря-
эюения:
1)	нормальные;
2)	касательные;
3)	октаэдрические.
10.	Октаэдрические площадки равно наклонены:
1)	к осям координат;
2)	к главным осям;
3)	к первой и третьей главным осям.
11.	На косых площадках компоненты тензора напряжений:
-L) ^vi = &ij Ij 5
2) (Ti = a^ej]

380	14. Приложения
12. Нормальные напряжения на октаэдрических площадках:
2) СГОкт = -(^11 + ^2 +
13. Касательные напряжения на октаэдрических площадках:
1)	Токт	VVl ^2) + (<72 ^з) + (tT3
2)	Токт = — (сг1 — сгз) ;
3)	токт = l^l2 -^п-
14. Максимальные касательные напряжения:
1) ттах = 1((<7! - а2J + (а2 - а3J + (<г3 - ^
2) rmax = -(cti - сгз);
15.	Касательные напряжения достигают максимума на пло-
площадках :
1)	главных;
2)	октаэдрических;
3)	равнонаклоненных к 1-й и 3-й главным осям.
16.	Площадки с ттах равнонаклонены:
1)	к осям координат;
2)	к главным осям координат;
3)	к 1-й и 3-й главным осям.
17.	Вековое уравнение для главных напряжений:
1)	S3 - S2Л + SJ2 - J3 = 0;
2)	<7^ + Д = 0;
3)	A + z/) Асг^ + За ^ = 0.
18.	Уравнения равновесия справедливы:
1)	внутри тела;
2)	на границе тела;
3)	везде.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	381
19.	Уравнения равновесия:
1)	S3 - S2JX + SJ2 - J3 = 0;
2)	°ij,j + fi = 0;
4) CT_^ = — CT^.
20.	Граничные условия задаются:
1)	внутри тела;
2)	на границе тела;
3)	везде.
21.	Граничные условия в напряжениях:
)	jj
3)	СГ_г, = —СГ^;
4)	°ij,j + fi = 0'
22.	Инварианты тензора напряжений сохраняются при замене:
1)	системы координат;
2)	нагрузки;
3)	граничных условий.
23.	Инварианты тензора деформаций сохраняются при замене:
1)	системы координат;
2)	нагрузки;
3)	граничных условий.
24.	Первый инвариант тензора напряжений:
1)	Л = ах +сг2 + сг3;
2)	Ji =
3)	J\ =
25.	Второй инвариант тензора напряжений:
1)	J2 = СГ1СГ2СГ3;
2)	J2 = СГ1СГ2 + СГ2СГ3 + СГ3СГ1;
3)	J2 = tJi + СГ2 + СГ3.
26.	Третий инвариант тензора напряжений:
1)	J3 = (J\(J2 + сг2^з + ^3^15
2)	J3 = СГ1СГ2СГ3;
3)	J3 = ai +сг2 + сг3.
27.	Первый инвариант тензора деформаций:
2)	/1 =
3)	Д = 61 +?2

382	14. Приложения
28. Второй инвариант тензора деформаций:
2)	h =
3)	/2 =
29.	Третий инвариант тензора деформаций:
1)	/3 =?l?2+?2?3+?3^i;
2)	I3 = ?i?2?3;
3)	/3 = Si + ?2 +?3-
30.	Величина объемной деформации:
1)	0 =
2)	0 =
3)	0 =
31.	В главных осях тензора деформаций линейные деформации:
1)	равны нулю;
2)	экстремальны;
3)	совпадают с октаэдрическими.
32.	Главные оси тензоров напряжений и упругих деформаций:
1)	совпадают;
2)	взаимно перпендикулярны;
3)	составляют угол 45°.
33.	Интенсивность напряжений:
1)	Sij = ац — aSij]
2)	о = сгц/3 = (ап + сг22 + сг33)/3;
3)	ои = ^л/(*1 " ^J + (<72 " ^з)
4)	Ji = <ji<j2 + <т2<тз + стз^-
34. Девиатор тензора напряжений:
1)	<т = ^гг/3 = (ац + а22 + сг33)/3;
2)	Sij — ^ij — crSij]
ол	V2 П
я) °~и = — V \&i ~ a
4) J\ = cf\O'2 Н~ а2аз + (
35. Шаровая часть тензора напряжений:
1J Sij = (Jij — O^ij]
2) о = сггг/3 = (аи + а22 + а33)/3;
3)	ои = ^V(ai - а2J + (а2 - а3J + (<т3 "
4)	Ji =

14.5. Тестовые задания по теории упругости	383
36.	Шаровая часть тензора напряжений характеризует:
1)	равномерное всестороннее растяжение (сжатие);
2)	сдвиг;
3)	изгиб.
37.	Девиаторная часть тензора напряжений характеризует:
1)	равномерное всестороннее растяжение (сжатие);
2)	сдвиг;
3)	изгиб.
38.	Девиаторная часть тензора деформаций характеризует:
1)объемное деформирование;
2)	сдвиг;
3)	изгиб.
39.	Шаровая часть тензора деформаций характеризует:
1)	объемное деформирование;
2)	сдвиг;
3)	изгиб.
40.	Девиатор тензора деформаций:
3) б = бгг/3 =
41. Шаровая часть тензора деформаций:
3) ? = ?гг/3 =
42. Интенсивность тензора деформаций:
^	е2? + (е2 - s3J + (*з - ?i
43.	5 напряжениях равен нулю первый инвариант:
1)	девиатора;
2)	тензора;
3)	шаровой части тензора.
44.	В деформациях равен нулю первый инвариант:
1)	девиатора;
2)	тензора;
3)	шаровой части тензора.

384	14. Приложения
45. Соотношения Коти:
!) e	(u+u)
2)	Ъз = 2 (^>J + иМ + uk,iuk,j)]
3)	е* = ^[(ei - е2J + (е2 - e,f
4) 9tij = ?ij -^zj.
46.	Соотношения Коши связывают:
1)	напряжения и деформации;
2)	деформации и перемещения;
3)	главные оси.
47.	Уравнения совместности деформаций:
^) ?ii,jj ~r ?jj,ii ^ij>ij — ^> \^ij,k ^jk,i ~r
3)	eu = ?[(El - e2f + (e2 - e3f + (e3 -
О
4)	e = ец/3 = (бц + ?22 + езз)/3.
48.	Обобщенный закон Гука для изотропного тела:
1)	Gij = 2iieij + Лб^;
2)	f/= -ctzj^j-;
3)	?ii,jj + ?jj,ii "" %?ij,ij = 0.
49.	Обобщенный закон Гука для анизотропного тела:
1)	U= -(JijSij]
2)	cr^j = Eijkieki]
50.	Формула Клапейрона:
1)	ey = ^
2)	cr^j =
S)U = -OijSij.
51. Полная потенциальная энергия деформации:
1) f/o = ^ ((^ - а2J + (а2 - а3J + (ст3 - сп

14.5. Тестовые задания по теории упругости	385
3) Щ = —; (а\ +о\ + о\ -2
2Е
52.	Температура включается между напряжениями и дефор-
деформациями в связь:
1)	девиаторную;
2)	шаровую;
3)	девиаторную и шаровую.
53.	По гипотезе Неймана температурные и силовые дефор-
деформации:
1)	суммируются;
2)	вычитаются;
3)	умножаются.
54.	При отсутствии массовых сил перемещения являются
функциями:
1)	гармоническими;
2)	бигармоническими;
3)	дельта функциями.
55.	Потенциальная энергия изменения формы:
l)u* = 4i~ (((Ti"G2J + (CT2"СтзJ + ((Тз" 2)
3) С/ф = -3- (а?
56.	Потенциальная энергия изменения объема:
1)	Uo6 = 1^- ({аг - a2f + (а2 - а3J + (<т3 -
2)	Uo6 = Х-^ (ai + а2 + а3J;
3)	?7об = — (о-? + сг| + о\ - 2v (о\О2 + (?2(?ъ +
Z.C/
57.	Уравнения Ламе — уравнения равновесия в:
1)	напряжениях;
2)	деформациях;
3)	перемещениях.
58.	Уравнения Бельтрами-Мичелла — это уравнения равнове-
равновесия в:
1)	напряжениях;
2)	деформациях;
3)	перемещениях.
13 А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский

386	14. Приложения
59. Уравнения Ламе:
2)	tjjj =
3)	(А +/iN^ +/iA^ +/* = 0.
60. Уравнения Бельтрами-Мичелла:
2)	A + 1/)Да^+Зау =0;
3)	(А +/iN^ +/iA^ +/* = 0.
61.	При отсутствии массовых сил перемещения являются
функциями:
1)	гармоническими;
2)	бигармоническими;
3)	дельта-функциями.
62.	Теорема Клапейрона:
3i/
2) U
F
2
\iGijU
jdA^
\-fiH
V
fidV
= 2/
V
UdV.
63.	В методе возможных перемещений варьируются:
1)	деформации и перемещения;
2)	граничные условия;
3)	нагрузки и напряжения.
64.	5 методе возможных сил варьируются:
1)	деформации и перемещения;
2)	граничные условия;
3)	нагрузки и напряжения.
65.	В принципе Лагранжа варьируются:
1)	деформации и перемещения;
2)	граничные условия;
3)	нагрузки и напряжения.
66.	В принципе Кастильяно варьируются:
1)	деформации и перемещения;
2)	граничные условия;
3)	нагрузки и напряжения.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	387
67.	Вариация перемещений 5щ на границе Fu:
1)	произвольна;
2)	равна нулю;
3)	константа.
68.	Вариация напряжений 8<Jij на границе Fa:
1)	произвольна;
2)	равна нулю;
3)	константа.
69.	В каком принципе варьируются перемещения:
1)	суперпозиции;
2)	Лагранжа;
3)	Кастильяно.
70.	В каком принципе варьируются напряжения:
1)	суперпозиции;
2)	Лагранжа;
3)	Кастильяно.
71.	На действительных перемещениях потенциальная энергия
системы:
1)	максимальна;
2)	минимальна;
3)	равна нулю.
72.	На действительных напряжениях дополнительная потен-
потенциальная энергия:
1)	максимальна;
2)	минимальна;
3)	равна нулю.
73.	Первая теорема Кастильяно:
и dU р dU м .
дгк	дсрп
оч dU	dU
2) г	^
3) Jpjui1 dF + J flu» dV = fpi'ui dF + J fl'u\ dV.
F	V	F	V
74. Вторая теорема Кастильяно:
dU	dU
Г
3) JpM1 dF + f flu» dV = fpVuj dF + f //V dV.
F	V	F	V
13*

388	14. Приложения
75. Теорема взаимности Бетти:
dU	dU
Г
3) Jpfui1 dF + J flu» dV = fp»ui dF + J //'«[ dV.
F	V	F	V
76.	Потенциальная энергия системы:
1)	U? = faijEijdV]
v
2)	U? = fRiUidF + ffiUidV;
Fa	V
3)	U? = / GijSij dV - f Rm dF - f /{щ dV.
V	Fa	V
77.	Граничные условия задаются на поверхности тела:
1)	деформированной;
2)	недеформированной;
3)	на обеих поверхностях.
78.	При простом нагружении направляющий тензор напря-
напряжений:
1)	постоянен;
2)	изменяется;
3)	равен нулю.
79.	При сложном нагружении направляющий тензор напря-
напряжений:
1)	постоянен;
2)	изменяется;
3)	равен нулю.
80.	При простой деформации направляющий тензор деформаций:
1)	постоянен;
2)	изменяется;
3)	равен нулю.
81.	При сложной деформации направляющий тензор деформаций:
1)	постоянен;
2)	изменяется;
3)	равен нулю.
82.	На поверхности тела выполняются:
1)	уравнения равновесия;
2)	начальные условия;
3)	граничные условия.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	389
83. При активном процессе нагружения пластические дефор-
деформации:
1)	возрастают;
2)	неизменны;
3)	убывают.
Во вторую группу вошли вопросы, охватывающие главы 5-7, 9.
1.	Напряжения ozz = 0 в случае плоского состояния:
1)	деформированного;
2)	напряженного;
3)	в обоих случаях.
2.	При плоском деформированном состоянии:
1)	и = const, v = const, w = const;
2)	и = u(x,y), v = v(x,y), w = const;
3)	г/ = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = (x,y,z).
3.	/7p?i плоском деформированном состоянии:
1)	?** = ?xz = ^ = 0;
2)	?Ж? = const, eyz = const, ?^ = const ;
3)	exz = exz(x,y), eyz = eyz(x,y), ezz = ezz{x,y).
4.	Уравнения совместности при плоском напряженном состоя-
состоянии:
1J ?** - —, ew - -, еху --y- + -j-
2)в=ди dv
'	дх ду
' О. О	О-.9
,
^ж2 дх ду
5.	/7рг* плоской деформации число независимых компонентов
напряжений:
1)	три;
2)	четыре;
3)	шесть.
6.	Уравнения равновесия при плоской деформации:
1 \ О ?Хх _|_ О ?уУ 	 Q ^ХУ •
} ду2 дх2 ~ дхду1
q\ ^жж | даху _ п ^стуу , даху _ п<
^ч		 ди		 dv		 1 fди dv\
дх	ду	2\ду дх/

390	14. Приложения
7.	При плоском напряженном состоянии:
1)	&хх — const, Oyy = const, axy = const;
2)	ozz = axz = oyz = 0;
8.	Функция напряжений Эри вводится соотношениями:
дх ду1
0\ _ ди	_ dv	_ 1 (ди dv\,
> хх дх' УУ ду' Ху 2\ду дх/'
_
(УХх —
ду
д2Ф	д2Ф	д2Ф
' УУ dx*'Uxy	дхду
9.	Функция напряжений Эри удовлетворяет уравнению:
1)	гармоническому;
2)	бигармоническому;
3)	Лапласа.
10.	Для толстых пластин отношение характерного размера к
толщине:
1)	a/h > 80-100;
2)	10 ^ a/h ^ 80-100;
3)	a/h ^ 8-10.
11.	Длл тонких пластин отношение характерного размера к
толщине:
1)	a/h > 80-100;
2)	10 ^ a//i ^ 80-100;
3)	a/h ^ 8-10.
12.	Длл мембран отношение характерного размера к толщине:
1)	а/Л > 80-100;
2)	10 ^ a/h ^ 80-100;
3)	а/Л ^ 8-10.
13.	Ярт изгибе пластин справедлива гипотеза:
1)	плоских сечений;
2)	прямых нормалей;
3)	конечных прогибов.
14.	/7]ш изгибе пластин пренебрегаем напряжениями:
) ЖЖ;
2)	Оуу\
3)	сг^.
15. При изгибе пластин принимаются деформации:

14.5. Тестовые задания по теории упругости
391
еУУ ~
16. Нормальные напряжения при изгибе пластин:
ЛЛ	Ez C2w . 32w\	Ez C2w . 32w\
1) <j = —	 	 + у	 <j = —	 	 + у	 ;
> xx	1-иЛдх2	Зу2 /' yy	1-i/H dy2	3x2J'
32Ф
32Ф
17.	При изгибе пластин моменты определяются формулами:
л\ ЗМху _ ЗМУ ~ _ 0<
дх	ду
2)	Jx = —, J.v = —;
) х 12 , у 12 ,
3)	Мх = — D f —- + i/—- J, My = — D f —- + v—-
18.	Уравнение Софи Жермен:
1)	А2Ф = 0;
2)	A2w = ^-;
3)
амж. ам.
19. Граничные условия на защемленном краю пластины:
'd2w , _d2w\\	л ^?!^ + B
9ж3
дхду2 / \х=о
I	n dw
х=0
= 0;
= 0.
ж=0
20. Граничные условия на шарнирно опертом краю пластины:
d2w"
дхду2
д2
х=0
= 0;
3) WL_O = 0, ^
=0.

392	14. Приложения
21. Граничные условия на свободном краю пластины:
пч fd2w . d2w
1) (а? + "а*
= 0,@+ B-*)^) I =0;
3) w\x=0 = 0, ^ =0.
dx x=0
22.	Цилиндрический изгиб наблюдается у пластины:
1)	бесконечно длинной вдоль одной из осей;
2)	все стороны шарнирно оперты;
3)	две стороны оперты, две —заделаны.
23.	Максимальный прогиб пластины при синусоидальной на-
нагрузке:
1)	w = С\ + С%х
2)	wo = —
3)
24. Формула для прогибов при решении в двойных тригономет-
тригонометрических рядах:
1)	w = С\ -
2)	w0 = —
о) Wrnn —
+
а2 b2
25. Дифференциальное уравнение при решении в одинарных
тригонометрических рядах:
-, ч d4w _ q
О) ^w 4- 9—^-^— 4- ^4ц; — д + <?д .
^ ^4	92д2 ^4 ~ D '
26. Дифференциальное уравнение для пластины на упругом
основании:

14.5. Тестовые задания по теории упругости	393
О) д4ц; i о d4w | d4w _ q + qR.
' <9ж4	<9ж2<9?/2 ду4 ~ D '
о\ v^ о\2у//	{)
6) Ут - ZA Ym
т	ZA Ym	^
27. Прогиб пластины на упругом основании:
2) wmn =
3)
9	1.9
a2 b2
qmn
, _ , m2 n2 \
a2 62 /
28.	Условный предел текучести:
1)	Напряжение при е = 0,2 % ;
2)	Функциональная связь crw = Ф(еи);
3)	Предел текучести при повторном нагружении.
29.	Деформационная теория пластичности связывает:
1)	напряжения и деформации;
2)	напряжения и скорости деформаций;
3)	скорости напряжений и деформаций.
30.	Теория пластического течения связывает:
1)	напряжения и деформации;
2)	напряжения и скорости деформаций;
3)	скорости напряжений и деформаций.
31.	При повторном нагружении образца предел текучести:
1)	повышается;
2)	понижается;
3)	не изменяется.
32.	При повторном упругопластическом знакопеременном на-
нагружении образца предел текучести:
1)	повышается;
2)	понижается;
3)	не изменяется.
33.	Теория идеальной пластичности предполагает в пластиче-
пластической области постоянство:
1)	напряжений и деформаций;
2)	деформаций;
3)	напряжений.

394	14. Приложения
34. Условие пластичности Треска-Сен-Венана:
)
т;
) и т;
2)	ai — аз = ат
3)	/i(J2d, <Ы = 0;
4)	СГ^ — G\G2 + Сг| = СГ^.
35.	Условие пластичности Хубера-Мизеса-Хенки:
1)	crw = сгт;
2)	ai — аз = сгт;
3)/i(J2d, ^3d)=0;
4) а\ — о\о2 + ai = сг^.
36.	Поверхность текучести Мизеса в осях о\, сг2, аз:
1)	цилиндр;
2)	призма;
3)	сфера;
4)	конус.
37.	Поверхность текучести Сен-Венана в осях ai, сг2, аз:
1)	цилиндр;
2)	призма;
3)	сфера;
4)	конус.
38.	При простом нагружении компоненты тензора напря-
напряжений:
1)	пропорциональны общему параметру;
2)	экстремальны;
3)	не превышают предел текучести.
39.	Траектория простого нагружения в осях ai, сг2, аз-
1)	окружность;
2)	парабола;
3)	прямая;
4)	двухзвенная ломаная.
40.	При простом нагружении зависимость интенсивностей
напряжений и деформаций:
1)	линейная;
2)	степенная;
3)	логарифмическая;
4)	показательная.
41.	В деформационной теории пластичности объемная дефор-
деформация:
1)	упругая;
2)	пластическая;
3)	упругопластическая.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	395
42.	В теории пластического течения объемная деформация:
1)	упругая;
2)	пластическая;
3)	упругопластическая.
43.	В деформационной теории пластичности девиаторы напря-
напряжений и деформаций:
1)	пропорциональны;
2)	линейно зависимы;
3)	не связаны между собой.
44.	В теории пластического течения девиатор напряжений
связан с:
1)	девиатором деформаций;
2)	девиатором пластических деформаций;
2) скоростью деформирования.
45.	В деформационной теории пластичности материал пред-
предполагается:
1)	разупрочняющимся;
2)	упрочняющимся;
3)	идеально пластическим.
46.	Гипотеза упрочнения деформационной теории пластично-
пластичности:
3) &3 = лТ"^'1
47. Гипотеза упрочнения теории пластического течения:
2) &J = ^~TSii-
48.	5 методе упругих решений на первом шаге полагают рав-
равным нулю:
1)	скорость пластического деформирования;
2)	объемную деформацию;
3)	функцию пластичности.
49.	При ползучести деформации с течением времени:
1)	увеличиваются;
2)	уменьшаются;
3)	не изменяются.

396	14. Приложения
50.	При релаксации напряжения с течением времени:
1)	увеличиваются;
2)	уменьшаются;
3)	не изменяются.
51.	Кривые ползучести отражают изменение со временем:
1)	деформаций;
2)	напряжений;
3)	перемещений.
52.	Компоненты девиаторов напряжений и деформаций вязко-
упругих тел связаны соотношением:
t
1)	2вэф) = Sij(t) + /Г(* - r)sij(r) dr;
о
2)	2в1р{еи)эф) = sl3{t)-
53.	Объемное деформирование вязкоупругих тел принимается:
1)	упругим;
2)	пластическим;
3)	линейно-вязкоупругим.
54.	Реологические свойства материала характеризует:
1)	модуль объемной деформации;
2)	функция пластичности;
3)	ядра ползучести и релаксации.
55.	Ядра ползучести и релаксации связаны зависимостью:
1)	линейной;
2)	интегральной;
3)	дифференциальной.
56.	В экспоненциальном ядре ползучести констант материала:
1)	одна;
2)	две;
3)	три.
57.	В степенном ядре ползучести Дуффинга констант мате-
материала:
1)	одна;
2)	две;
3)	три.
58.	В ядре ползучести Ржаницына констант материала:
1)	одна;
2)	две;
3)	три.

14.5. Тестовые задания по теории упругости	397
59.	Принцип Волътерра: решение задачи вязкоупругости мо-
может быть получено из решения соответствующей задачи:
1)	упругости;
2)	деформационной пластичности;
3)	теории пластического течения.
60.	С увеличением скорости деформирования предел текучести
материала:
1)	не изменяется;
2)	увеличивается;
3)	уменьшается.
61.	С уменьшением скорости деформирования предел текуче-
текучести материала:
1)	не изменяется;
2)	увеличивается;
3)	уменьшается.
62.	Постулат Дракера говорит о критерии:
1)	упрочнения;
2)	разупрочнения;
3)	идеальности материала.
63.	Гипотеза градиентности: вектор приращения деформаций
направлен к поверхности текучести:
1)	по касательной;
2)	по нормали;
3)	под углом 45°.
64.	Поверхность течения разделяет области:
1)	упругие и пластические;
2)	пластические и вязкоупругие;
3)	вязкоупругие и упругие.
65.	При трансляционном упрочнении упругая область в про-
пространстве напряжений:
1)	не изменяется;
2)	перемещается как жесткое целое;
3)	перемещается и деформируется.

список
ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пла-
пластичности.— М.: Высшая школа, 1990. 400 с.
2.	Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем.—
М.: Машиностроение, 1991. 334 с.
3.	Амензаде Ю. А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976. 272 с.
4.	Безухое Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползуче-
ползучести. — М.: Высшая школа, 1968. 784 с.
5.	Белл Дснс. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых
тел. Части 1, 2. —М.: Наука, 1984. 1027 с.
6.	Вронский А. 77. Явления последействия в твердом теле // ПММ.
1941. Т. 5. № 1.
7.	Гогоци Г. Л., Завада В. 77., Харитонов Ф. Я. Прочность и трещи-
ностойкость керамики. Сообщения 1, 2 // Пробл. прочности. 1984.
№ 12. С. 7-15.
8.	Гольдман А. Я. Прочность конструкционных пластмасс.—Л.: Ма-
Машиностроение, 1979. 320 с.
9.	Гольдман А. Я. Объемное деформирование пластмасс.—Л.: Маши-
Машиностроение, 1982. 232 с.
10.	Горшков А. Г, Старовойтов Э. 77., Яровая А. В. Гармоническое на-
гружение слоистых вязкоупругопластических систем // МТТ. 2000.
№ 6. С. 91-98.
11.	Горшков А. Г, Тар лаков скип Д. В. Динамические контактные задачи
с подвижными границами. — М.: Наука. Физматлит, 1995. 352 с.
12.	Горшков А. Г1., Габинский Л. 77., Тарлаковский Д. В. Основы тензор-
тензорного анализа и механика сплошной среды. — М.: Наука, 2000. 214 с.
13.	Гусенков А. П., Москвитин Г В. Анализ некоторых подходов к опи-
описанию циклических диаграмм деформирования // Машиноведение.
1973. № 4. С. 59-67.

Список литературы	399
14.	Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. — М.:
Высшая школа, 1990. 368 с.
15.	Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформа-
деформации.— М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
16.	Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической тео-
теории.—М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
17.	Ильюшин А. Л., Огибалов П. М. Упругопластические деформации
полых цилиндров. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1960. 224 с.
18.	Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории тер-
мовязкоупругости. — М.: Наука, 1970. 280 с.
19.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям.— М.: Наука, 1976. 576 с.
20.	Кийко И. А. Теория пластического течения. — М.: Московск. ун-та,
1978. 75 с.
21.	Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Мо-
Московск. ун-та, 1979. 206 с.
22.	Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа,
1976. 277 с.
23.	Колтунов М. А., Кравчук А. С, Майборода В. П. Прикладная ме-
механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1983.
349 с.
24.	Ленский В. С. Введение в теорию пластичности. — М.: Московск. ун-
унта, Вып. 1. 1968. 109 с; Вып. 2. 1969. 91 с.
25.	Ленский В. С. Упрощенные варианты теорий пластичности // Прикл.
механика. 1969. Т. 5. № 3. С. 18-22.
26.	Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП
СССР, 1935. 674 с.
27.	Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. —
М.: Машиностроение, 1968. 400 с.
28.	Махутов Н. А., Бурак М. И., Гаденин М. М. и др. Механика мало-
малоциклового разрушения. — М.: Наука, 1986. 264 с.
29.	Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. — М.:
Наука, 1972. 327 с.
30.	Москвитин В. В. Циклическое нагружение элементов конструкций. —
М.: Наука, 1981. 344 с.
31.	Москвитин В. В., Старовойтов Э. И. К исследованию напряженно-
деформированного состояния двухслойных металлополимерных пла-
пластин при циклических нагружениях // МТТ. 1986. № 1. С. 116-121.
32.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. — М.: Наука, 1966. 708 с.

400	Список литературы
33.	Наместников В. С. Прямое и обратное кручение в условиях ползу-
ползучести // ПМТФ. 1960. № 1. С. 121-122.
34.	Надаи А. Теория пластичности и разрушения твердых тел. — М.: ИЛ,
1954. 648 с.
35.	Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. 872 с.
36.	Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
37.	Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости //
Упругость и неупругость. — М.: Изд-во московск. ун-та, 1973. Вып. 3.
С. 95-172.
38.	Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости.—
М.: Эдиториал УРСС, 1999. 208 с.
39.	Победря Б. Е., Шешенин С. В. О методах упругих решений // Изв.
АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 59-72.
40.	Постное В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.—
Л.: Судостроение, 1977. 279 с.
41.	Работное Ю. П. Механика деформируемого твердого тела. — М.:
Наука, 1979. 744 с.
42.	Ржаницын А. Р. Теория ползучести. — М.: Стройиздат, 1968. 416 с.
43.	Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Маши-
Машиностроение, 1978. 222 с.
44.	Седое Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука. 1970. Т. 1. 492 с;
Т. 2. 568 с.
45.	Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости. — М.:
ГИФМЛ, 1961. 220 с.
46.	Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969.
605 с.
47.	Сосновский Л. А. Механика усталостного разрушения. — Гомель, 1994.
Ч. 1. 328 с, Ч. 2. 342 с.
48.	Старовойтов Э. И. К описанию термомеханических свойств неко-
некоторых конструкционных материалов // Пробл. прочн. 1988. № 4.
С. 11-15.
49.	Старовойтов Э. И. Термосиловое нагружение трехслойных пологих
оболочек // МТТ. 1989. № 5. С. 53-58.
50.	Старовойтов Э. И. Сопротивление материалов. — Гомель: БелГУТ,
1999. 220 с.
51.	Старовойтов Э. П., Яровая А. В. Вязкоупругопластический трех-
трехслойный стержень при термосиловых нагрузках // МТТ. 1998. № 3.
С. 109-116.

Список литературы	401
52.	Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности. — М.:
Наука, 1984. 319 с.
53.	Тимошенко С. 77., Гудьер Дэю. Теория упругости. — М.: Наука, 1979.
560 с.
54.	Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. — М.:
Высшая школа, 1979. 319 с.
55.	Треффц Е. Математическая теория упругости.— Л.-М.: ГТТИ, 1934.
172 с.
56.	Филоненко-Бородин М. М. Теория упругости. — М.: Гостехиздат, 1947.
300 с.
57.	Хан X. Теория упругости. — М.: Мир, 1988. 344 с.
58.	Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1979.
342 с.
59.	Drucker D. С. A more fundamental approach to plastic stress-strain
relations // Proc. I-st USA Nat. Congr. Appl. Mech., Chicago, 1951.
P. 487.
60.	Hencky 77. Zur Theorie plastischer Deformationen und der deburch im
Material hervorgrefenen Nachspammgen // ZAMM. Bd. 4, Heft 4, 1924.
61.	Huber M. T. Die spezifische Formanderungsarbeit als Mass der Anstren-
gung eines Materials; Crasopismo, tech., t. 15, Lemberg (Lwow), 1904.
62.	Mises R. Mechanik der festen Korper im plastischdeformablen Zustand.
Nachrichten d. Geselsch. d. Wissensch. zu Gottingen Math.-phys. Klasse,
582-592. 1913.
63.	Williams M. L., Landel R. F., Ferry J. D. The temperature dependence
of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming
liquids // Journ. Amer. Chem. Soc. 1955. V. 77. P. 370.

ИМЕННОЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Алфутов Николай Анатольевич 63
Арон Г. 12
Абель 217
Баушингер Иоганн 153, 168, 183
Белл Джеймс Фредерик 49, 153, 247
Бельтрами Зудженио 59, 64
Бернулли Иоганн 265
Вернул ли Якоб 10
Бессель Фридрих Вильгельм 146,
372
Бетти Энрико 79
Больцман Людвиг 212
Брайзн Г. X. 138
Вронский А. П. 217
Бубнов Иван Григорьевич 12, 81
Буссинеск Жозеф Валентен 12, 84,
Видеман Густав Генрих 153
Вильяме М. Л. 222
Винклер Эмиль 133
Власов Василий Захарович 13
Вольтерра Вито 213
Вронский Юзеф 148
Вулли Р. Л. 188
Гадолин Аксель Вильгельмович 12
Галеркин Борис Григорьевич 13, 81
Галилей Галилео 10
Гамильтон Уильям Роуан 271
Гаусс Карл Фридрих 60
Гельмгольц Герман Людвиг Ферди-
Фердинанд 268
Герц Генрих Рудольф 12, 107
Гогоци Георгий Антонович 253
Гольдман Анатолий Яковлевич 253,
259
Городецкий Андрей Владимирович
189
Горшков Анатолий Герасимович 2,
270
Грин Джордж 45, 85, 90
Гук Роберт 10, 45, 73, 78, 83, 89, 271,
272, 324
Гусенков Анатолий Петрович 248
Д'Аламбер Жан Лерон 268
Декарт Рене 377
Дирак Поль Адриен Морис 84, 322,
365, 368, 370
Дирихле Петер Густав Л ежен 58
Дракер Д. 14, 172
Дуффинг Г. 216
Жермен Софи 11, 125
Журавский Дмитрий Иванович 12
Зоммерфельд Арнольд 304
Ильюшин Алексей Антонович 14,
31, 32, 36, 161, 162, 164, 165, 175,
183, 189, 190, 213, 219, 234, 266
Ишлинский Александр Юльевич 213
Карман Теодор фон 14
Кастильяно Карло Альберто 48, 75
Кельвин (Томсон Уильям) 212
Кеч В. 356
Кирхгофф Густав Роберт 11, 61, 121
Клапейрон Бенуа Поль Эмиль 11
Колосов Гурий Васильевич 12
Колтунов Михаил Андреевич 213,
217, 252, 256
Коссера (братья) Эжен Морис Пьер
и Франсуа 23
Коши Огюстен Луи 11, 16, 23
Кронекер Леопольд 19, 84
Кудрявцев Игорь Александрович 346
Кулон Шарль Огюстен 159

Именной указатель
403
Лагранж Жозеф Луи 10, 70
Ландел Р. Ф. 222
Ламе Габриель 11, 29, 56, 83, 86, 89
Лаплас Пьер Симон 49
Леви-Чивита Туллио 350
Ленский Виктор Степанович 180
Лопиталь Гийом 265
Ляв Огастес Эдуард Хьют 12, 114,
310, 315, 316
Мазинг Г. 188, 193
Максвелл Джеймс Клзрк 115, 212
Мах Э. 323
Махутов Николай Андреевич 249
Мариотт Эдм 43
Мизес Рихард 14, 157, 162
Минтер Ф. Дж. 262
Мичелл Джон Генри 59
Можаровский Валентин Василье-
Васильевич 228
Москвитин Виктор Васильевич 188,
189, 192, 193, 197, 213, 230, 230
Москвитин Геннадий Викторович 248
Мусхелишвили Николай Иванович
12, 118
Мзйкин М. Дж. 262
Навье Анри 10, 11, 129, 131
Надаи Арпад Людвиг 14, 28, 162
Наместников В. С. 251
Наполеон I, император Франции 156
Нейман Ф. Е. 48, 58
Новожилов Валентин Валентино-
Валентинович 13
Ньютон Исаак 16
Огибалов Петр Матвеевич 266
Остроградский Михаил Васильевич
12, 353
ГГапкович Петр Федорович 13
Петровский Иван Георгиевич 57
Пифагор Самосский 52
Победря Борис Ефимович 60, 213
Прандтль Людвиг 97
Пуассон Семеон Дени 37, 126, 320
Работнов Юрий Николаевич 13,
213, 219 250
Ржаницын Алексей Руфович 213,
217, 256
Ритц Вальтер 80
Рзлей 81, 276, 277, 303, 305, 310, 311
Сен-Венан (Барре де Сен-Венан)
Адемар Жан Клод 11, 13, 37, 63,
156
Старжинский Виктор Евгеньевич
228
Стоке Джордж Габриэль 303
Тарлаковский Дмитрий Валентино-
Валентинович 270
Тарстон Роберт Генри 153
Теодореску П. 356
Тимошенко Степан Прокофьевич
13
Треска Анри Эдуард 156
Ферри Джон Д. 222
Фламан А. 90, 92, 94
Файлон Л. Н. Г. 113
Фойхт В. 212
Френкель Яков Ильич 200
Фурье Жан Батист Жозеф 85, 90,
264, 270, 273, 288, 290, 304, 323,
325, 329, 330, 332, 337, 370-375
Хенки Г. 14, 157, 162
Хубер М. Т. 14, 157, 162
Хевисайд Оливер 328
Черутти В. 84, 88-90, 92, 94
Шойи Г. 188
Штаерман И. Я. 104
Зйлер Леонард 10, 16, 371
Эри Джордж Биделл 115
Юнг Томас 43
Яровая Анна Владимировна 200

ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Абляция 240, 245, 246, 266
Амплитуда волны 303
Вариационный принцип в динамике
270
	Кастильяно 75
	Лагранжа 70, 71
Вектор 347
—	базисный 18
—	деформации 176, 182
—	напряжения 17, 181
—	перемещения 32
—	скорости 39
—	ускорения 39
Виртуальная деформация 71
—	дополнительная работа внешних
виртуальных сил 76
—	дополнительная работа внутрен-
внутренних виртуальных напряжений 76
—	перемещение 71
—	работа внешних сил 72
—	работа внутренних сил 72
Виртуальные напряжения 75
—	силы 75
Волновод 303
Волны антисимметричные 351, 354
—	бездисперсные 303
—	дисперсные 303
—	Лява 310, 315
—	поверхностные 310
—	прогрессивные 270, 302, 303-305,
311, 314, 316
Волны Рзлея 305, 310, 316
—	симметричные 318
Время модифицированное 222
Вязкоупругие среды линейные 210
	нелинейные 230
Вязкоупругопластические среды 233
Гамма-функция 147
Главные значения тензора деформа-
деформаций 34
	напряжений 24, 54
Главные оси тензора деформаций 34
	напряжений 24
Гипотеза Кирхгофа 121
—	ломаной нормали 139
—	Неймана 48
—	о подобии ядер 225
—	о разгрузке 175
—	плоских сечений 63
—	теории упругости 16
—	упрочнения 163
Градиент 351
Девиатор тензора деформаций 35
	напряжений 30, 52
	скоростей деформаций 175
Девиаторов соосность 163
Дельта-функция Дирака 84, 367, 386
Депланация 63
Деформационная анизотропия 182
Деформация 32
—	антиплоская 311
Деформация конечная 34
—	линейная 33
—	малая 33
—	пластическая 45, 163
—	сдвиговая 34
Диаграмма Прандтля 155, 335
Дивергенция 351
Дифференцирование обобщенных
функций 365
Длина (период) волны 303
Жесткость цилиндрическая 124
Задача Буссинеска 84, 88
—	Герца 107
—	Дирихле 58

Предметный указатель
405
Задача контактная 94
	пространственная 103
—	Миндлина 84
—	на собственные значения 270
—	Неймана 58
—	нестационарная 269
—	теории упругости в напряжениях
58
	в перемещениях 56
	граничная 55, 56
	вторая 56
	первая 56
	третья 56
	обратная 56, 63
—	стационарная 269
—	Фламана 90, 92, 94
—	Черутти 84, 88-90, 92, 94
Закон Гука 10, 40, 43-45, 47, 48, 52,
55, 68, 69, 73, 111, 114, 152, 156,
161-164, 182, 190, 202, 212, 213,
218, 271, 272, 324, 355, 356, 384
	с учетом температуры 48, 50
—	Ньютона 16
—	течения ассоциированный 171
Изгиб пластин 119
	гипотезы Кирхгофа 121
	граничные условия 125
	дифференциальное уравнение
124
	круглых 134
	симметричный 136
	трехслойных, упругий 139
	упругопластический 184
	циклический 205
	линейно-вязкоупругий 224
	коэффициенты 376
	напряжения и усилия 213
	на упругом основании 132
	перемещения и деформации 121
	решение в двойных тригономет-
тригонометрических рядах 129
	решение в одинарных тригоно-
тригонометрических рядах 131
	синусоидальной нагрузкой 128
	цилиндрический 127
	эллиптических 137
—	трехслойного стержня 204
Интенсивность тензора деформаций
36, 53
	напряжений 31, 53
	скоростей деформации 175
Инварианты тензора девиатора де-
деформаций 35
	деформаций 35
	девиатора напряжений 30
	напряжений 26
	шарового деформаций 36
	шарового напряжений 30
Индексы Кронекера 19, 30, 35, 273,
289, 342, 349, 362, 379
—	Леви-Чивиты 350, 351
—	немые 19
—	свободные 19
Интеграл, главное значение по Коши
362
Колебания упругих тел вынужден-
вынужденные гармонические 270
	свободные 269, 273, 279, 300
	собственные 270
—	круглой трехслойной пластины,
возбужденные тепловым ударом
390
	вызванные абляцией 299
	вязкоупругой 285
	вблизи резонанса 342
	упругой 278
—	неоднородных вязкоупругопла-
стических тел 335
	вынужденные колебания
вблизи резонанса 339
	свободные колебания 335
Континуум Коссера 23
Коэффициент жесткости упругого
основания 133
—	линейного температурного рас-
расширения 48
—	Пуассона 43, 219, 248, 253, 262
Коэффициенты линейно-вязкоупру-
гой трехслойной пластины 376
Критерий дельтообразности после-
последовательности 365
Кручение бруса 63, 66
Матрица тензора 352

406
Предметный указатель
Матрица тензора девиатора дефор-
деформаций 36
	девиатора напряжений 30
	деформаций 35
	модулей упругости 46
	напряжений 20
Метод аппроксимаций Ильюшина
213
—	Бубнова-Галеркина 81
—	вариационный Рзлея-Ритца 80
—	последовательных приближений
в задачах вязкоупругопластично-
сти 234
-Ритца276, 278
—	Ритца-Лагранжа 82
—	Сен-Венана полуобратный 63
—	упругих решений Ильюшина 165,
186
—	экспериментально-теоретический
Ильюшина 220
—	Фурье 273
Модуль амплитудно-зависимый
комплексный сдвига 338
—	девиатора тензора деформаций 36
—	девиатора тензора напряжений 31
—	объемной деформации 44
—	сдвига 43, 218, 247
—	Юнга 43, 219, 262
Модель Винклера 133
—	Максвелла 212
—	Фойхта 212
Нагружение простое 32, 160
—	сложное 32, 160
—	циклическое (переменное) 188
Наклеп 153
Напряжение касательное 18
	максимальное 27, 28
—	на косой площадке 21
—	нормальное 18
—	октаздрическое 27, 28
Неравенство Рзлея 276
Носитель функции 356
	обобщенной 361
Область контакта 96
Октаздрические напряжения 28, 44
—	площадки 27
Относительное изменение объема 35
Оператор Бесселя 146, 186
Оператор Ильюшина 225
—	Лапласа 49, 56, 58, 60, 114, 115,
351
Определитель Вронского 148
Ортогональность собственных форм
колебаний 273
Параметры Ламе 44
Пластина 120
—	трехслойная 139, 184, 205, 224,
278, 285, 290, 299, 342, 376
Пластичность 151
—	при нейтронном облучении 261
—	при переменных нагрузках 188
	в радиационном поле 200
	термосиловых 195
Плоское состояние деформирован-
деформированное ПО
	напряженное 53, 112
	обобщенное 114
Поверхность контакта 95
—	нагружения 170, 183
—	предельная (пример) 173
—	текучести 158, 159, 167, 169-173,
183, 184
Подошва 95
Подпространство линейное 357
Ползучесть 210
Полуплоскость 305, 310, 322, 326,
331, 334
Полупространство 70, 83, 303, 304,
310, 311, 316, 320
Последовательность дельтообраз-
дельтообразная 365
Постановка задачи теории упруго-
упругости в напряжениях 58
	Победри 60
	перемещениях 56
	сферической системе
координат 67-69
	теории упругости в цилиндри-
цилиндрической системе координат 69
	динамической 268
	линейной вязкоупругости 213
	малых упругопластических
деформаций 165

Предметный указатель
407
Постановка задачи нелинейной вяз-
коупругости 230, 232
	термовязкоупругопластично-
сти 233
Постоянная Эйлера 371
Постулат Дракера 172
—	изотропии 176, 180
—	пластичности 183
Потенциал внешних сил 74
—	деформаций (упругий) 41
—	напряжений 41
—	перемещений векторный 268
	скалярный 268
—	пластический 171
Потенциальная энергия деформа-
деформаций 74
	трехслойной пластины 143
	дополнительная системы 77
	системы 74
Преобразование Лапласа 264
—	Лапласа-Карсона 219, 220, 226
—	подобия 362
—	сдвига 362
—	симметрии 362
—	Фурье 90, 323, 330
	двойное 372
	обобщенных функций 370
	свойства 371
—	Ханкеля 372
Пример расчета 50, 116
Принцип вариационный в динамике
(Гамильтона) 271
	Кастильяно (возможных сил)
75
	Лагранжа (возможных переме-
перемещений) 71, 270
—	Вольтёрра 213
—	Д'Аламбера 268
—	запаздывания векторных и ска-
скалярных свойств 175
—	Мазинга 188
Принцип напряжений Эйлера и
Коши 16, 17
—	обобщенный Мазинга-Москвити-
Мазинга-Москвитина 189, 195
—	Сен-Венана 67
—	температурно-временной анало-
аналогии 221, 222
Принцип потенциальной энергии 74
Прогиб пластины 119-122, 124-131,
133, 136-138
	трехслойной 139, 146, 148, 204,
205, 209, 227, 228, 240-242, 245,
246, 278, 279, 281, 289, 292-297,
300-302
Произведение векторное 348
—	прямое (тензорное) 368
—	свойства 368
—	скалярное 348, 357
—	смешанное 350
Производная в обычном смысле 366
—	обобщенная, свойства 365
Пространство действительное век-
векторное 356
—	евклидово 357
—	линейное 357
—	метрическое 357
—	основное 358
—	со сходимостью 357, 359
Процесс деформирования активный
161
	пассивный 162
—	нагружения 167
Путь деформирования 41
—	нагружения 41
Пятигранник Френе 177
Работа виртуальная сил внутрен-
внутренних 72, 73
	массовых 72
	поверхностных 72
	деформаций 74
	дополнительная внешних вир-
виртуальных сил 76
	виртуальных внутренних на-
напряжений 76
Резольвента ядра 214
Резонанс 275
Релаксация 210
Решение автомодельное 304
—	в двойных тригонометрических
рядах 129
—	в одинарных тригонометрических
рядах 131
—	фундаментальное 96
Ротор 351

408
Предметный указатель
Свертка обобщенных функций 369
	свойства 369
Сила инерции 268
—	массовая 16, 57
—	объемная 16, 57
—	поверхностная 16
	движущаяся 322
—	сосредоточенная 16
Символ Кронекера 19, 30, 35, 273,
289, 342, 349, 362, 379
—	Леви-Чивиты 350, 351
Скорость волн растяжения сжатия
269
	Рзлея 310, 320
	формоизменения 269
—	групповая 303, 320, 322
—	дозвуковая 323
—	сверхзвуковая 323, 330, 333
—	трансзвуковая 323, 330
—	фазовая 303, 309, 310, 315, 316,
318-322
Слой плоский 303, 316
Соотношения Коши 34, 38, 49, 55
57, 91, 140, 164, 165, 173, 193,
194, 198, 202, 203, 219, 234, 235
Среда акустическая 307, 309
—	бездисперсная 303
—	дисперсная 303
—	Коши 308
—	сплошная 13
Сходимость метода упругих реше-
решений 166, 209, 236
—	слабая 359
—	последовательных приближений
235
Температурно-временная аналогия
221
Температурное поле в трехслойной
пластине 263
Температурные эффекты 48
Тензор 349, 352
—	Грина 85
—	в декартовых координатах 349
—	девиатор деформаций 35
—	девиатор напряжений 30
—	деформаций 32
	направляющий 37
Тензор деформаций шаровой 35
—	коэффициентов термического
расширения материала 50
—	метрический 19
—	модулей упругости 46
—	напряжений 18, 20
	направляющий 31
	шаровой 29
—	скоростей пластических деформа-
деформаций 175
—	упругих податливостей 47
—	фундаментальный 85
Теорема взаимности Бетти 79, 272
—	Гельмгольца 268
—	единственности решения задачи
теории упругости 61, 62
	пластичности 165
—	Кастильяно 48
	вторая 78
	первая 78
—	Клапейрона 60, 62
—	Лагранжа-Дирихле 74
—	о переменных нагружениях 193
—	о циклических нагружениях
упругопластических тел в нейтрон-
нейтронном потоке 204
—	существования решения задачи
теории упругости 61
Теория малых упругопластических
деформаций 162
Теория общая математическая пла-
пластичности Ильюшина 175
—	переменных нагружений В.В. Мос-
квитина 188
—	пластического течения 155, 170
—	пластичности деформационная 155
—	старения 229
Термовязкоупругопластичность 230
Термовязкоупругопластические ха-
характеристики алюминиевого спла-
сплава Д16Т 247-253
	керамических материалов 253,
254
	политетрафторэтилена 255-261
Траектории простого и сложного
нагружений 182
Трехслойная круглая пластина, гео-
геометрические гипотезы 139

Предметный указатель
409
Трехслойная круглая пластина, из-
изгиб линейно-вязкоупругий 224
	коэффициенты 376
	упругий 139
	упругопластический 184
	циклический 205
	колебания, возбужденные
тепловым ударом 290
	вызванные абляцией 299
	вязкоупругопластические
вблизи резонанса 342
	линейно-вязкоупругие 285
	упругие 278
"Упрочнение 158
—	деформационное 158
—	радиационное 201
Уравнение амплитуды колебаний
комплексной 340, 341
	модуля вблизи резонанса 341
—	вековое для главных напряжений
26
—	Вильямса-Ландела-Ферри 222
—	для собственных чисел круглой
трехслойной пластины 380, 281
—	Лапласа 57, 58
—	Прандтля 97
—	совместности в напряжениях 114
—	Софи Жермен 11, 125, 129, 131
—	температурного поля 263
—	теплопроводности 49
—	характеристическое для главных
деформаций 35
Уравнения Бельтрами-Мичелла 59,
64, 112
—	движения 268
—	в потенциалах перемещений 269
—	колебаний трехслойной пластин-
пластинки упругой 278
	вязкоупругой 285
—	Ламе 56, 57
—	нелинейной вязкоупругости, учи-
учитывающие влияние вида напря-
напряженного состояния 232
—	равновесия 21, 55, 59
—	совместности деформаций 37, 55
Условие несжимаемости 44
—	однозначности 175
Условие ортонормированности соб-
собственных функций 273, 275
—	пластичности Треска-Сен-Венана
156
—	пластичности Хубера-Мизеса-
Хенки 157
Условия краевые в функциях Эри
354
—	излучения Зоммерфельда 304
—	на границе 23, 55-57
—	начальные 279
—	повторных и знакопеременных
нагружений 189
—	свободного проскальзывания 95
—	существования свертки достаточ-
достаточные 369
Усталость и циклическая прочность
197
Устойчивость 63
Фаза волны 303, 304
Формы колебаний собственные 270
Формула Белла 49, 247
—	Гаусса-Остроградского (теорема)
60
—	Клапейрона 47, 60
—	радиационного упрочнения 201,
262
—	разложения 367
—	температурного поля 240, 266
Функционал непрерывный 359
—	продолжение 360
Функция бигармоническая 58
—	Бесселя 147, 280, 372
—	гармоническая 57
—	локально интегрируемая 360
—	Ломмеля 289, 295, 302
—	Макдональда 147, 280
—	мера 360
—	напряжений Эри 114-116, 118,
354, 355
—	обобщенная 360
	бесконечного порядка 360
	конечного порядка 360
	медленного роста 360
	регулярная 360
	сингулярная 360
	сложная 361

410
Предметный указатель
Функция обобщенная сосредоточен-
сосредоточенная на множестве 361
—	основная 358
—	пластичности 164, 166, 184
—	поверхностная влияния 84
	Грина 85
—	ползучести 214
—	релаксации 214
—	собственная (мода) 271
—	температурно-временнбго смеще-
смещения 222
—	финитная 358
—	Хевисайда 328, 368
Частота собственная 270, 272, 273,
275
—	фазовая 303
Численные результаты 195, 204 205,
208, 209, 223, 239-246, 283-285,
290, 296-298, 343-346
Число волновое 303
—	Маха 347
Шаровой тензор деформаций 35
	напряжений 29, 52
Штамп параболический 98
—	с плоским основанием 106
—	с прямолинейным основанием 99
Эллипсоид напряжений 29
Энергия деформации 41
	дополнительная удельная 42
—	изменения объема удельная 45
—	кинетическая системы 271
—	потенциальная системы 271
—	формоизменения удельная 45
Эффект Баушингера 153
Ядро Абеля 217
—	дробно-экспоненциальное 218
—	ползучести 213
—	релаксации 214
—	Ржаницына 217
—	степенное (Дуффинга) 216
—	экспоненциальное 215

CONTENTS
Preface 		7
Introduction		9
1.	Theory of stress-strained state
1.1	Conception of the elastic continuum 		15
1.2	Stress tensor 		18
1.3	Properties of stress tensor		20
1.4	Equilibrium equation of elastic body 		22
1.5	Equilibrium conditions upon the border 		23
1.6	Basic axes and principal values of stress tensor		24
1.7	Maximal tangential stress		27
1.8	Deviator and globular portion of stress tensor 		29
1.9	Movings and deformations. Deformation tensor		32
1.10	Basic axes and principal values of deformation tensor . .	34
1.11	Deviator and globular portion of deformation tensor ...	35
1.12	Equations of compatibility of deformations		37
2.	Physical proportions in theory of elasticity
2.1	Energy of deformation and elastic potential 		41
2.2	Hooke's law 		43
2.3	Hooke's law for anisotropic material		45
2.4	Clapeyron's formula 		47
2.5	Temperature effect		48
2.6	Example of investigation of stress-strained state		50
3.	Statement and methods solution problem of theory of
elasticity
3.1	Boundary conditions		55
3.2	Statement of problem of theory of elasticity via movings
(Lame's equations)		56
3.3	Statement of problem of theory of elasticity via stresses
(Beltrami-Michell's equations)		58
3.4	Clapeyron's theorem		60
3.5	Existence and uniqueness of solution of theory of elasticity	61
3.6	Semireverse method of Saint-Venant		63
3.7	Statement's of problem of theory of elasticity in cylindrical
and spherical systems of coordinates		67
4.	Variations principles, contact and spatial problems
4.1	Principles of possible movings of Lagrange		70
4.2	Principles of possible forces of Castigliano		75

Contents	413
4.3	Theorems of Castigliano 		77
4.4	Theorem of reciprocity of Betti		79
4.5	Variations method of Rayleigh-Ritz 		80
4.6	Method of Bubnov-Galerkin 		81
4.7	Method of Ritz - Lagrange		82
4.8	Springy half space under the action of shallow power ...	83
4.9	Fundamental deciding for elastic half plane		89
4.10	Problem on stamp on elastic half plane		94
4.11	Flat contact problem for two elastic bodies		99
4.12	Interaction of stamp with elastic half space		103
4.13	Problem of Hertz 		107
5.	Plane problem of theory of elasticity
5.1	Plane deformated state		110
5.2	Plane tensed state 		112
5.3	Equalisation of consistency via stresses 		114
5.4	Function of stresses of Airy 		114
5.5	Examples of solvings of plane problem of theory of elasticity	116
6.	Bending of plates
6.1	Main conception and propositions 		119
6.2	Movings and deformations inside plates		121
6.3	Stresses and internal efforts inside plates		123
6.4	Differential equation of bending of plates		124
6.5	Boundary conditions 		125
6.6	Cylindrical bending of rectangular plate 		127
6.7	Rectangular plate under sinusoidal loading		128
6.8	Solving via double trigonometric series 		129
6.9	Using of single trigonometric series		131
6.10	Rectangular plate upon elastic bed 		132
6.11	Bending of round plates		134
6.12	Symmetrical bending of round plate 		136
6.13	Elliptical plate 		137
6.14	Round elastic sandwich plate		139
7.	Baselines of theory of plasticity
7.1	Plasticity of materials under extension and pressing . . .	151
7.2	Conditions of plasticity		155
7.3	Simple and complex loading 		160
7.4	Propositions of theory of small elastoplastic
deformations		162
7.5	Statement of the problem of small elastoplastic
deformations		163
7.6	Method of elastic solutions 		165
7.7	Geometric interpretation of loading process		167
7.8	Theory of plastic flow		170
7.9	Example of terminal surface 		173
7.10	Baselines of generic mathematical theory of plasticity
of A. A. Iluyshin		175
7.11	Round elastoplastic sandwich plate		184

414	Contents
8.	Variable loadings of elastoplastic bodies
8.1	Baselines of theory V. V. Moskvitin 		188
8.2	Thermoplasticity under variable loadings 		195
8.3	Variable loadings of elastoplastic bodies in neutron field . .	200
8.4	Cyclic loadings of sandwich plate 		205
9.	Linear viscoelastic materials
9.1	Creep and relaxation		210
9.2	Statement of problems of linear viscoelasticity		213
9.3	Types of creep and relaxation cores 		215
9.4	Principle of Volterra		218
9.5	Experimental-theoretical method of A. A. Iluyshin ....	220
9.6	Temperature-Time analogy 		221
9.7	Round linear viscoelastic sandwich plate		224
9.8	Deterioration theory		229
10.	Thermoviscoelastoplasticity
10.1	Non-linear viscoelastic materials 		230
10.2	Equations of non-linear viscoelasticity, considering
influence of type of stressed state 		232
10.3	Viscoelastoplastic materials		233
10.4	Realisation of method of successive approximations in
problems of viscoelastoplasticity		234
10.5	Round viscoelastoplastic sandwich plate 		236
11.	Thermoviscoelastoplastic properties of materials
11.1	Aluminium alloy D16T 		247
11.2	Ceramic materials		253
11.3	Teflon		255
11.4	Influence of radiation upon plastic properties of
materials		261
11.5	Computation of temperature field within sandwich
plate		263
12.	Dynamic problems of theory of elasticity
12.1	Statement of dynamic problem of elasticity theory . . .	268
12.2	Variations principles in dynamic		270
12.3	Free vibrations of elastic bodies 		271
12.4	Forced vibrations of elastic bodies		274
12.5	Relay inequality and Ritz method		276
12.6	Vibrations of round elastic sandwich plate		278
12.7	Vibrations of viscoelastic sandwich plate 		285
12.8	Vibrations of sandwich plate, generated by heat shock .	290
12.9	Vibrations, caused by ablation		299
12.10	Progressive waves 		302
12.11	Waves Rayleigh 		305
12.12	Waves Love 		310
12.13	Progressive waves in flat layer		316
12.14	Half plane under the action of moving shallow power . .	322

Contents	415
13.	Vibrations of heterogeneous viscoelastoplastic bodies
13.1	General aspects. Free vibrations 		335
13.2	Forced vibrations near resonance		339
13.3	Forced vibrations of sandwich plate near resonance ....	342
14.	Addendum's
14.1	Axiators in Cartesian references 		347
14.2	Edge conditions and movings via Airy functions 		354
14.3	Elements of the theory of generalized functions		356
14.4	Coefficients of linear-viscoelastic sandwich membrane . .	375
14.5	Tests 		378
Literature		398
Index of Names 		402
Subject Index 		404

GORSHKOV A. G.
STAROVOITOV E. I.
TARLAKOVSKY D. V.
THE THEORY OF ELASTICITY
AND PLASTICITY
The textbook corresponds to the program of course on elasticity
and plasticity theory in technical colleges. The following sections
are set up: theory of tensely-deformated state, physical proportions
and statement of problems of elasticity theory, energetic principles,
plane problem, theory of plates, plasticity theory, linear
viscoelasticity. In addition theory of variable loading of elastoplastic
bodies, models of thermoviscoelastoplastic bodies, dynamic
problems, methods of investigation of thermomechanical properties
of materials are considered, contact problems. Methods and
examples solutions, including sandwich elements of constructions
are set up.
For students, graduate students and scientists.

Учебное издание
ГОРШКОВ Анатолий Герасимович
СТАРОВОЙТОВ Эдуард Иванович
ТАРЛАКОВСКИЙ Дмитрий Валентинович
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Редактор Д. А. Миртова
Оригинал-макет: В. В. Затекин
Оформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 24.07.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,6. Тираж 2000 зкз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0224-9
785922 102247