Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость

Теги: анализ
Похожие
Вычислимо перечислимые множества и степени
Справочная книга по математической логике. Часть 3
Основание теории множеств
Текст
                    

Х'РОДЖЕРС

ТЕОРИЯ
РЕКУРСИВНЫХ
ФУНКЦИЙ
и
ЭФФЕКТИВНАЯ
ВЫЧИСЛИМОСТЬ
THEORY

OF RECURSIVE
FUNCTIONS

AND

EFFECTIVE
COMPUTABILITY

Hartley Rogers, Jr.

Massachusetts Institute of Technology

JMcGraw-Hill Book Company

New York • St. Louis • ' San Francisco
Toronto • London • Sydney

1967
X. Роджерс

ТЕОРИЯ
РЕКУРСИВНЫХ
ФУНКЦИЙ
И
ЭФФЕКТИВНАЯ
ВЫЧИСЛИМОСТЬ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. А. Душского
М. И. Кановича
Е. Ю. Ногиной

ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. А. Успенского

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1972
УДК 517.11

Книга содержит изложение современного состояния теории
рекурсивных функций и обзор основных приложений этой
теории. В ней прослежено развитие теории рекурсивных функ-
ций, начиная с ее зарождения в тридцатых годах и кончая
результатами исследований самых последних лет.

Не предполагающая в основной своей части никаких предва-
рительных знаний, кроме знакомства с теоретико-множественной
терминологией, книга Роджерса написана хорошим, ясным
языком; при этом формальному изложению предпосылаются
содержательные рассуждения, разъясняющие природу вводи-
мых понятий или идей построений и доказательств; в ней содер-
жится очень много упражнений.

Книга рассчитана на читателей, иптересуйщихся совре-
менными проблемами математической логики и теории алго-
ритмов. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов
университетов и пединститутов.

X. Роджерс

ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЭФФЕКТИВНАЯ
ВЫЧИСЛИМОСТЬ

Редакторы И. А. Маховая, Г. М. Цукерман. Художник Г. Д. Коняхина
Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Т. А. Максимова

Сдано в набор 27/VI 1972 г. Подписано к печати 4/XI 1972 г. Бумага кн. журн.
60x90Vle=19,5 бум. л. 39 печ. л. Уч.-изд. л. 41,48. Изд. J'S 1/5265. Цена 3 р. 46 к.

Зак. 0506

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография 7 «Искра революции»
«Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

г. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9

Редакция литературы по математическим наукам

2-2-3

20-72
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В этой книге систематически излагается общая теория рекур-
сивных функций, т. е. функций, вычислимых посредством алго-
ритмов. Изложение опирается на интуитивное представление
о вычислимых функциях — подобно тому, как обычные изложе-
ния теории функции действительного переменного опираются
на интуитивные представления о функциях и множествах. Почти
ничего не говорится о способах задания вычислимых функций
при помощи тех или иных вычислительных схем или абстрактных
автоматов — а потому за пределами изложения остается и- вся
связанная с такими способами задания тематика: сюда относятся
прежде всего вопросы сложности задания и вычисления функций
посредством схем и автоматов и возникающие на этой основе
классификации (даже понятие примитивнорекурсивной функции,
которое нередко кладут в основу теории, едва упоминается в кни-
ге). Более неожиданным кажется сознательное исключение из рас-
смотрения проблематики теории нумераций — теории, одним
из пионеров которой был сам автор *) и которая весьма близка
по стилю ко всему излагаемому материалу; интересующегося этой
проблематикой читателя можно отослать к монографиям
А. И. Мальцева и Ю. Л. Ершова * 2).

Зато все остальные разделы общей теории вычислимых функций
изложены с энциклопедической полнотой По широте и полноте
охвата книга Роджерса не имеет равных в мировой литературе
по вычислимым функциям. Значительная часть теории впервые
подана здесь в систематическом виде; изложение сводит в единое
целое результаты, имевшиеся лишь в журнальной литературе,

’) Rogers Н. (Jr.), Godel numberings of partial recursive functions,
Journ. Symb. Log., 1958 (23), 331—341.

2) Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, „Наука”,
М., 1965 (нумерациям посвящена гл. IV); Ершов Ю. Л., Теория нуме-
раций, часть I, Новосибирск, 1969.
6 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

в том числе результаты, полученные непосредственно перед выхо-
дом книги в свет.

Вместе с тем для чтения книги — в основной ее части —
не требуется никаких специальных знаний. Книга написана
с большим педагогическим тактом. Формальному изложению часто
предпосылаются содержательные рассуждения, разъясняющие
природу вводимых понятий и проводимых построений. Трудность
нарастает постепенно — от почти популярных первых шести глав,
посвященных основным понятиям, до достаточно тяжелых послед-
них четырех, посвященных иерархиям множеств и функций.

Книга X. Роджерса может иметь много аспектов использова- •
ния — это и научная монография, и справочник, и учебник,
и задачник (содержащий около 700 упражнений самой различной
степени трудности). Она необходима каждому, серьезно интере-
сующемуся теорией вычислимых функций.

В. Успенский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Э. Пост следующими словами заключил статью, представлен-
ную в 1944 г. Американскому математическому обществу: „Если
понятие общерекурсивной функции действительно является фор-
мальным эквивалентом эффективной вычислимости, то формули-
ровка этого понятия может сыграть в истории дискретной мате-
матики роль, уступающую по значению лишь формулировке поня-
тия натурального числа” х).

Эта книга может рассматриваться как своего рода обзор успе-
хов, достигнутых в связи с идеями и надеждами, выраженными
в упомянутой статье Поста. Рекурсивные функции изучались
целым рядом исследователей и до 1944 г. В частности, важный
вклад в этой области был сделан Чёрчем, Клини, Тьюрингом
и самим Постом. Хотя статья Поста и затрагивает лишь часть
более широкой теории, она составила в данной области эпоху,
не только представленными в ней конкретными методами и ре-
зультатами, но и подчеркиванием естественности исходных кон-
цепций.

Высказывание Поста, цитированное выше, носит полемический
характер; правомерен вопрос о практической ценности того рода
вычислимости, который соответствует общерекурсивным функциям
(это обсуждается далее в гл. 1). Тем не менее мы надеемся, что
предлагаемая книга является некоторым обоснованием позиции
Поста.

Изложение ведется на полуформальном уровне; мы убеждены,
что такой подход уместен и плодотворен. Использование полуфор-
мальных процедур в теории рекурсивных функций аналогично
использованию неполностью формализованных теоретико-множе-
ственных методов в других разделах математики. Для ведения
исследований в данной области достаточно иметь ясное ощущение

'(Post Е. L.,’ Recursively enumerable sets of positive integers and
their decision problems, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 284—316.
простых первоначальных идей, равно как школьной элементарной
алгебры достаточно для исследований в теории чисел.

С 1944 и, в особенности, с 1950 г. благодаря усилиям много-
численных исследователей теория рекурсивных функций бурно
развивалась. Разумеется, эта книга не претендует на то, чтобы
изложить данную теорию исчерпывающим и окончательным обра-
зом. Принятый в ней неформальный и интуитивный подход в ряде
случаев оказывается ограничительным. Некоторые важные раз-
делы теории (например, изучение различных собственных под-
классов общерекурсивных функций) и некоторые интересные при-
ложения (например, выявление рекурсивно неразрешимых проб-
лем в других областях математики) по своей природе требуют
развитого и детального формализма. Существует ряд монографий,
восполняющих этот недостаток, и читателю рекомендуется обра-
щаться к ним в случае, когда он заинтересован в более формаль-
ном изложении. К числу таких монографий относятся К 1 е е -
n е S. С., „Introduction to metamathematics”, D. Van Nostrand
Company, Princeton, N.J., 1952. (Русский перевод: Кли-
ни С. К., „Введение в метаматематику”, ИЛ, М., 1957.— Перее.)
и Davis М., „Computability and unsolvability”, McGraw-Hill
Book Company, New York, 1958. Эти книги могут служить ценным
дополнением к нашему изложению; вместе с тем предварительное
знакомство с ними не является необходимым.

Книга состоит из 16 глав. В гл. 1 и 2 приводится понятие
частичнорекурсивной функции и простые примеры неразрешимых
проблем. Главы 3 и 4 содержат краткий обзор идей и методов изла-
гаемой в дальнейшем теории. В гл. 5 вводится целый ряд основных
понятий. Главы с 6-й по 10-ю содержат результаты о сводимостях
и степенях неразрешимости (Пост в статье 1944 г. придавал осо-
бое значение этим понятиям). В гл. 11 излагается теорема о рекур-
сии, являющаяся одним из основных „инструментов” нашей тео-
рии. Главы с 12-й по 16-ю посвящены областям, в которых в на-
стоящее время наиболее интенсивно ведутся исследования. Более
детальный обзор книги приведен в гл. 3.

Большинство глав завершается упражнениями. Порядок,
в котором следуют упражнения, отвечает последовательности
изложения материала в соответствующей главе. Упражнения
распадаются на три группы: непомеченные, помеченные светлым
треугольником (△) и (изредка) помеченные зачерненным треуголь-
ником (±). При решении упражнений первой группы достаточно'
лишь ясного понимания текста. Упражнения второй группы
несколько труднее. Что касается упражнений третьей группы, то
они либо еще более трудны, либо требуют для своего решения
привлечения не излагавшихся еще результатов и методов. Многие-
упражнения сопровождаются указаниями (светлые и зачерненные-
треугольники отнесены к упражнениям без указаний). Ряд
упражнений, помеченных зачерненным треугольником, обсуж-
дается в последующих разделах книги. Часть материала, допол-
няющая основное изложение, вынесена в упражнения, на них
(хотя и не часто) возможны ссылки.

Мы рекомендуем читателю попытаться проделать все непоме-
ченные или помеченные треугольниками упражнения. Упражне-
ния, к которым имеются указания, следует пытаться решать
до ознакомления с этими указаниями. Полезно также (во всех
случаях^ когда это возможно) самостоятельно доказывать приво-
димые нами теоремы. Как и в других областях математики, не су-
ществует лучшего способа развития интуиции, исследовательских
навыков и способности улавливать различие между новыми пло-
дотворными идеями, с одной стороны, и простой, хотя, быть может,,
и интересной, разработкой старых идей — с другой.

Число исследований по теории рекурсивных функций за пос-
ледние годы резко увеличилось. Приводимая в этой книге литера-
тура далеко не является исчерпывающей. Мы почти не делаем
ссылок на работы, выполненные начиная с 1965 г., хотя и изла-
гаем полученные в этот период результаты.

Некоторая часть этой книги составила первоначально предмет
курсов и семинаров Массачусетского технологического института.
Я в особенности признателен Бертону Дребену и Ноаму Хомско-
му за постоянную поддержку, а также всем остальным участникам
этих курсов и семинаров за разностороннюю помощь и советы.
Я также признателен Энн Синглтери, Джеймсу Гейсеру и Лесли
Тарпу за помощь при подготовке рукописи и Патрику Фишеру,
Карлу Джокушу, Дональду Крейдеру и Уоррену Тейтельману
за тщательное прочтение отдельных частей текста.

Неоценимую помощь мне также оказали советы и замечания
И. Бар-Хиллела, Д. Боброва, М. Блюма, Ван Хао, Дж. Дентона,
К. Ейтса, К. Кента, Дж. Конгера, В. Куайна, Д. Лакхема, А. Ле-
ви, Дж. Лукаса, Т. Мак-Интайра, Т. Мак-Лохлина, Д. Мартина,
М. Минского, Я. Московакиса, Д. Натсона, Р. Париха, Д. Парка,
X. Патнама, М. Рабина, Дж. Райса, У. Риттера, Дж. Розенталя,
Г. Сакса, К. Спектора, Дж. Стилвелла, Р. Фридберга, Л. Хоудза,
К. Шеннона, Дж. Шёнфильда, Дж. Эддисона, Г. Эндертона,
Дж. Юллиана, П. Янга. Целый ряд других моих коллег и студентов
оказали мне большую помощь. Все эти лица, как названные, так
и неназванные, высказали много идей, но не имели возможности
высказать свои критические замечания по поводу окончательно-
го текста.

Я нахожусь в неоплатном научном долгу перед Джеймсом Дек-
кером, Джоном Майхиллом и Норманом Шапиро. Шапиро привлек
мое внимание к теории рекурсивных функций. Методы и установки
Деккера и Майхилла оказали большое влияние на настоящий
труд.

Часть материала данной книги в несколько ином виде была
опубликована на мимеографе Массачусетским технологическим
институтом в 1957 г. под названием „Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость”, т. I.

X. Роджерс мл.
ВВЕДЕНИЕ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
ОБ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

Эта книга предназначается для студентов старших курсов
и аспирантов первого года обучения. Предполагается знакомство
с основной теоретико-множественной терминологией и техникой
на уровне университетского курса современной алгебры. В боль-
шей части книги не предполагается знакомства читателя с логикой,
но оно было бы полезным. Ниже приводятся некоторые обозначе-
ния из элементарной логики, используемые нами.

К сожалению, в литературе по теории рекурсивных функций
еще не выработаны единые общеупотребительные обозначения
и терминология. В данном введении мы предлагаем свой выбор
основных обозначений и терминологии.

Крайне необходимо при первом чтении обратить на эту часть
особое внимание, а затем уже возвращаться к ней по мере надоб-
ности. Этот труд читателя будет, надеемся, вознагражден ясно-
стью и легкостью в основном тексте.

Большей частью мы будем иметь дело с неотрицательными
целыми числами, множествами неотрицательных целых чисел
и отображениями неотрицательных целых чисел в неотрицатель-
ные целые числа. Если только не оговорено противное, мы исполь-
зуем термин „натуральное число” или просто „число” (number,
integer) для обозначения неотрицательного целого числа; 2V —
множество всех чисел; А, В, С, . . . (первые прописные буквы
латинского алфавита) обозначают подмножества множества N.
Символом 0 обозначаем пустое множество; х, у, z, ... (последние
строчные буквы латинского алфавита) обозначают элементы мно-
жества N, т. е. числа.

Мы используем следующие теоретико-множественные обозна-
чения: А = В означает, что А и В одинаковы как множества, т. е.
состоят из одних и тех же элементов; х £ А означает, что х — эле-
мент множества А. Обозначение { | } указывает на образование
множества: {а:[ . . . х . . .} — это множество всех таких х, что
выражение .. .х. . . верно, когда „х” интерпретируется как целое
число х. Тип объектов, из которых формируется множество, ука-
зывается видом символа, стоящего перед вертикальной чертой.
Так, {х | . . .} должно быть множеством чисел.

A (J В — объединение множеств А и В, т. е. {х | х £ А или
х В или и то и другое одновременно}', A Q В — пересечение
множеств А и В, т. е. {х | х f А и х С В }; А — дополнение к А,
т. е. {а:| не верно, что х £ A}; A cz В означает, что А — подмноже-
ство множества В, другими словами, для всех х, если х £ Л, то
х £ В; А о В означает, что В cz А. Множество А — собственное
подмножество множества В, если А сВпне верно, что А = В.
(Так, из Л сБ и В с Л вытекает, что А = В.)

Иногда будем обозначать конечное множество набором его
элементов в любом порядке, заключенным в фигурные скобки.
Например, {2, 5, 3} — множество, состоящее из первых трех
простых чисел. Иногда и некоторые бесконечные множества мы
будем задавать „перечислением” в фигурных скобках. Например,
{О, 2, 4, . . ., 2п, . . .} — множество четных чисел.

Пусть даны х и у, тогда (х, у) — упорядоченная пара, состоя-
щая из л: и у, взятых именно в этом порядке. Аналогично,
(xi, х2, . . ., хпу — упорядоченная п-ка! (или кортеж длины п),
состоящая из xt, х2, .  ., хп, и именно в этом порядке. Через
Л ХВ обозначим декартово произведение множеств А и В, т. е.
{{х, уУ\ % £ А и у£В}. Аналогично,

А ХА2 х ... Х^п =

= {> • • • 1 хп У 1^1 € И1 и ... хп £ Ап ).

Декартово произведение множества А на себя п раз обозначим
через Ап; Р, Q, В (прописные латинские буквы из второй половины
алфавита) обозначают отношения на N, т. е. подмножества мно-
жества Nn при некотором п > 0. Если В cz Nn, то В называется
п-арным, или п-местным, отношением.

Пусть В есть ^-местное отношение. Будем говорить, что В
однозначно, если для любого кортежа (art, . . ., хк^у существует
не более одного элемента z, такого, что (а?!, . . ., xh^, z) £ В.
Если В однозначно, то его областью определения назовем
{{a:i, . . .,	существует z, такое, что {xt, . . ., xk_i, zy £

Е В} и обозначим ее через Arg 7?. Очевидно, что однозначнее
^-местное отйошение можно рассматривать как отображение его
области определения в N.

По этой причине, вместо того чтобы говорить, что В — одно-
значное ^-местное отношение, мы будем говорить, что В —
функция от к — 1 аргументов или, иногда, что В — частичная
функция (здесь слово „частичная” показывает, что область опреде-
ления функции В может не совпадать с А^-1). Будем использо-
вать <р, ф, ... (последние строчные буквы греческого алфавита)
для обозначения функций, при этом будем часто использовать
обычные функциональные обозначения с этими символами; так,
ф(х, у) = z будет означать, что (х, у, z) £ <р. Но читатель непремен-
но должен помнить, что функция воспринимается как отношение.
(Таким образом, мы отождествляем функцию с ее „графиком”.)
Наиболее часто мы будем иметь дело со случаем к = 2, т. е. функ-
циями одного аргумента, и под функцией будем понимать функцию
одного аргумента, если не оговорено противное. Функциональная
система обозначений может привести к двусмысленности. Напри-
мер, высказывание: не верно, что <р(.г) =? у, можно понимать так:
не верно, что (х, у) Е <р, а можно донимать так: существует z,
такое, что <х, z) £ ф, и не верно, что z — у. В дальнейшем в таких
ситуациях будет всегда ясно, какую из этих возможностей мы имеем
в виду. Если ф — функция, то мы скажем, что ф определена (или
сходится) на х (иногда мы для краткости будем говорить, что ф(г)
сходится), если х Е Arg ф; в противном случае ф не определена
(или расходится) на х. (Аналогично для функций от более чем
одного аргумента.)

В том случае, когда область определения функции к аргумен-
тов совпадает с Nk, назовем такую функцию всюду определенной
(total) функцией. Мы используем f,g,h, ... (строчные латинские
буквы ближе к середине алфавита) для обозначения всюду опре-
деленных функций. Как и раньше, f(x) = у будет означать, что
<*, У> € /•

Множества подмножеств множества N либо множества отноше-
ний на N обозначаются через Л, 9В,	 (первые прописные

рукописные буквы).

Область значений, или множество значений, функции ф от к
аргументов —это множество {z| существуют хг, . . ., xh, такие,
что {xt, . . ., xh, z) Е <₽}• Обозначим это множество через Vai ф.
Элементы из Vai ф называются значениями функции ф. Если
ф(а?1, . . ., xh) =у, то у называется значением функции ф, соот-
ветствующим аргументу (xj, . . ., xk}. Функция есть отображе-
ние на N, если ее область значений совпадает с N. Функция
взаимно однозначна (рдно-однозначна), если для любого у сущест-
вует не более одного набора {х1, . . ., хк), такого, что
ф(Х1, . . ., xk) = у. Символ сА обозначает характеристическую
функцию множества А; следовательно, сА (х) = 1, если х£А,
и сА(х) = 0, если не верно, что х Е А. Иногда множество А пред-
ставляется с помощью (неединственной) функции /, такой, что
А = {х \f(x) =0). Такая функция называется представляющей
функцией для А.

Пусть [ х—] —такое выражение, что при подстановке
любого числа вместо „х” оно принимает не более одного значе-
ния. (Например, выражение „ж2 + х" имеет значение для любого
числа, в то время как выражение „наименьший простой собствен-
ный делитель х” имеет значение для чисел, которые не просты
и отличны от 1.) Тогда кх [------х-----1 обозначает функцию

{{х, У} It-х------1 имеет значение у, когда „х” интерпретирует-

ся как число х}. Это ламбда-обозначения Чёрча для определения
функций. Например, пусть даны ф1 и ф2, тогда Хя^ф^т) + ф2(^)1 —
•функция ф, такая, что Arg ф = Arg ф1 f] А^ф2 и ф(х) = ф1(х) +
+ 4>г(х) для всех х, принадлежащих Arg ф. Мы также используем
ламбда-обозначения для функций от к аргументов, выписывая
кх{Х2 . . . xk вместо кх.

Если ф и ф — две функции, то символом фф обозначается их
композиция, т. е. функция {<*> г/>1 существует такое z, что
(х, z) £ и (z, у) £ ф}. (Обращаем внимание на обратный поря-
док ф и ф, благодаря которому фф(х) можно записать как ф(ф (х)).)
Другие принятые обозначения: ф-1 = {{у, х)\ (х, у) £ ф}; ф(Л) =
— {у | существует х, такое, что х £ А и ф(х) = у}; ф-1(А) = {х |
существует у, такое, что у £ А и ф(х) = у}.

Для бинарных (т. е. 2-арных) отношений термины транзитив-
ный, рефлексивный, эквивалентный, линейное упорядочение, частич-
ное упорядочение употребляются в обычном смысле (мы их не опре-
деляем). Частичное упорядочение иногда будет строгим (<),
а иногда — нестрогим (=С).

Мы используем обычные обозначения и соглашения элементар-
ной логики: „и” будем иногда записывать как „или” будет
использоваться в неразделительном (и/или) смысле и будет иногда
записываться как „ V „=>” — сокращенная запись „если, то”;
„<=>”—сокращенная запись „тогда и только тогда”; 1”—сокра-
щение для „не” и будет помещаться перед предложением, которое
отрицается. Иногда знак „п” будет комбинироваться с или
с „==”, в результате чего получаются знаки или „=/=”. Квад-
ратные скобки будут использоваться для группировки предложе-
ний со следующими исключениями (вопреки логической, но сле-
дуя общематематической практике): „(1) => (2) => . . . => (п)” (где
(1), (2), . . ., (п) —предложения) есть сокращенная запись выра-
жения ,.[[(1) => (2)] & [(2) => (3)] & . . . [(п - 1) => (п)]]” и „(1) <=>
<=> (2) <=> . . . <=> (тг)” есть сокращенная запись выражения
„[[(1)	(2)] & ((2)	(3)] & .. Л(п-1) о (и)])”. „V” и „3” назы-

ваются соответственно кванторными символами общности и суще-
ствования: „(Ух)” читается как „для всех х”, „(Эх)” читается как
„существует ir, такое, что...”. Группы символов, такие, как „(Ух)”
и „(Эх)”, называются соответственно кванторами общности и су-
ществования.

Указанные выше логические символы служат удобными сокра-
щениями обычного математического языка. Например, соотноше-
ние А о В можно записать так: (Vx)[x € В => х f -41; определе-
ние множества Arg ф можно записать так: {х |(3у)[ф (х) = у]}.

к0 — мощность, или кардинальное число, множества N;
2n — множество всех подмножеств множества У; иногда будем
обозначать его через jfA; 2Хо обозначает мощность множества 2\
т. е. мощность континуума. Через ух [.. . х ...) обозначается
наименьшее число х, такое, что выражение . . .х. . . верно, если ,.х”
рассматривать как число х, при условии что такое наименьшее
число существует.
Другие общие и специальные обозначения будут вводиться
по мере надобности.

Как в логике, так и в теории рекурсивных функций не вырабо-
тано общей системы обозначений. Наш выбор логических сокра-
щений не является необычным. Выбор обозначений для теории
рекурсивных функций наталкивается на некоторые трудности,
особенно в исследованиях, охватывающих разнообразные области.
В части текущей литературы используются строчные греческие
буквы для множеств. Мы не делаем этого, так как почти стандарт-
но их использование для ординалов. Можно отметить, что под
теоретико-числовым предикатом Клини и другие понимают отно-
шение на N. Можно также отметить, что некоторые авторы исполь-
зуют /, g,. . . для обозначения функций вообще, а не только всюду
определенных функций и что в значительной части литературы
первые строчные буквы греческого алфавита используются для
всюду определенных функций.

Формулируя теоремы и леммы, мы будем использовать, если
не оговорено противное, обычное математическое соглашение
о том, что все свободные переменные (пробегающие числа, множест-
ва или отношения) рассматриваются как связанные кванторами
общности, стоящими в начале всего выражения.

В процессе доказательства некоторые переменные могут появ-
ляться как универсальные переменные (universal variables),
например: „пусть х — произвольное число, такое, что...”. Другие
переменные могут’ вводиться как временные имена (temporary
names), например: „возьмем х0 — некоторое фиксированное число,
большее, чем а:...” х). Почти всегда мы будем использовать в послед-
нем случае буквы с индексами. (Буквы с индексами могут исполь-
зоваться и в первом случае, если потребуется достаточно много
различных переменных.) Иногда для большей выразительности
будут использоваться как временные имена чисел строчные буквы
середины латинского алфавита i, j, k, т, п, ... с индексами и без
индексов. Также для большей выразительности в качестве уни-
версальных переменных для множеств будем использовать послед-
ние прописные буквы латинского алфавита X, У, Z. В связи с этим
мы не всегда будем последовательны, но из контекста всегда ясно,
соблюдаем ли мы эти соглашения или отклоняемся от них.

Главы делятся на параграфы. Так, § 7.4 — это четвертый пара-
граф гл. 7. Теоремы нумеруются римскими цифрами, в каждой

х) По терминологии элементарной логики универсальная переменная —
это переменная, вводимая универсальной спецификацией, а временное имя —
это переменная, вводимая экзистенционалъной спецификацией (см. Саппес
главе — своя нумерация. Теорема 7-VI — это шестая теорема
в гл. 7. Упражнения нумеруются арабскими цифрами. Упражне-
ние 7-14 — это четырнадцатое упражнение гл. 7.

Если производится ссылка на теорему илиупражнепие в той же
главе, то номер главы может опускаться. Конец доказательства
указывается знаком я .

Ссылки на работы в списке литературы производятся указа-
нием автора и года издания, заключенного в квадратные скобки.
Название и выходные данные работы можно найти в списке лите-
ратуры под фамилией автора и справа от этой даты.
Глава 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1.1.	Неформальное понятие алгоритма 17

§ 1.2.	Пример: примитивнорекурсивные функции 22

§ 1.3.	Экстенсиональность 25

§ 1.4.	Диагонализация 27

§ 1.5.	Формализация 28

§ 1.6.	Основной результат 36

§ 1.7.	Тезис Чёрча 38

§ 1.8.	Гёделевы номера, универсальность, s-m-n-теорема 39

§ 1.9.	Проблема остановки 43

§ 1.10.	Рекурсивность 46

§ 1.1.	НЕФОРМАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА

В настоящей главе мы дадим формальное (т. е. математически
точное) определение рекурсивной функции, основного понятия кни-
ги. Это один из путей уточнения неформального математического
понятия функции, вычислимой „с помощью алгоритма” или
„с помощью эффективной процедуры”. Прежде чем приступить
к формальному описанию, в этом параграфе мы обсудим некоторые
аспекты неформальных понятий алгоритма и функции, вычислимой
посредством алгоритма, в том виде, как эти понятия встре-
чаются в математике.

Грубо говоря, алгоритм — это детерминированная процедура,
которую можно применять к любому элементу некоторого класса
символических входов и которая для каждого такого входа дает
в конце концов соответствующий символический выход. Примером
алгоритма может служить обычная процедура дифференцирования
полиномов в элементарном дифференциальном исчислении (тер-
мин исчисление, несомненно, указывает на алгоритмическую при-
роду этой дисциплины).

В дальнейшем мы ограничимся алгоритмами, которые в каче-
стве выходов выдают натуральные числа в некоторой стандартной
записи, например арабскими цифрами, а в качестве входов полу-
чают натуральные числа или n-ки натуральных чисел при фикси-
рованном п в некоторой стандартной записи. Поэтому для нас алго-
ритм — это процедура для вычисления всюду определенной функ-
ции. Как мы увидим, это ограничение (числовыми функциями)
при наших задачах не приводит к потере общности. Важно, конеч-
но, отличать понятие алгоритма, т. е. процедуры, от понятия
функции, вычислимой алгоритмом, т. е. отображения, задаваемого
процедурой. Одну и ту же функцию можно вычислять с помощью
нескольких алгоритмов. Иногда о всюду определенных функциях,
вычислимых алгоритмами, будем говорить как об алгоритмических

2—0506
всюду определенных функциях 1). Вот несколько примеров функ-
ций, имеющих общеизвестные алгоритмы (в обычной десятичной
системе счисления).

а	. кх[х-е простое число]. (В качестве алгоритма используется
метод решета Эратосфена.) (Используются Х-обозначения Чёр-
ча. Выражение / — Хх Lr-e простое число] означает, что для любого
х f(x) = Lr-e простое число] 2).)

b	. кху [наибольший общий делитель чисел х и у]. (Здесь рабо-
тает алгоритм Евклида.)

с	. Хж [натуральное число ^9, чья цифровая запись является
х-м десятичным знаком в десятичном разложении числа л =
= 3,14159...]. (Любой из ряда общих методов приближений можно
взять в качестве алгоритма, например квадратуру единичного
круга по правилу Симпсона.)

Разумеется, есть гораздо более простые и известные примеры
функций, вычислимых алгоритмами. Вот одна из таких функций.

d	. kxy [х + у]. Такие алгоритмы изучают в элементарной
школьной арифметике.

Существенными чертами неформального понятия алгоритма
оказываются следующие. Мы опишем их приближенно, на интуи-
тивном уровне.

*	1. Алгоритм задается как набор инструкций конечных раз-
меров. (Любой классический математический алгоритм, например,
можно описать конечным набором английских слов.)

*	2. Имеется вычислитель, обычно человек, который умеет
обращаться с инструкциями и производить вычисления.

*	3. Имеются возможности для выделения, запоминания и
повторения шагов вычисления.

*	4. Пусть Р — набор инструкций {см. *1), L — вычислитель
из *2. Тогда L взаимодействует с Р так, что для любого данного
входа вычисление происходит дискретным образом по шагам, без
использования аналоговых устройств и соответствующих методое.

*	5. L взаимодействует с Р так, что вычисление продвигается
вперед детерминированно, без обращения к случайным методам
или устройствам, например к игральным костям 3).

Несмотря на неточную формулировку, практически все мате-
матики согласились бы с тем, что определение понятия алгоритма

!) Начиная с § 1.5 будет использоваться более широкое понятие алгорит-
ма, включающее не всюду определенные процедуры.

2) В дальнейшем мы будем без пояснений употреблять понятия и терми-
нологию введения. Дополнительно о Х-обозначениях заметим, что ограниче-
ние функций и частичных функций отображениями на неотрицательные числа
важно для гл. 1.

3) При более точном обсуждении специалист в области философии науки
мог бы утверждать, что *4 влечет за собой *5. В самом деле, он может
спросить, есть ли действительно какое-нибудь различие между *4 и *5.
включает пункты *1—*5. Читатель заметит аналогию с цифровыми
вычислительными машинами: *1 соответствует программе машины,
*2 — ее логическим элементам и вычислительному устройству,
*3 — ее памяти, *4 — ее цифровой природе, *5 — ее механисти-
ческой природе.

Непосредственный подход к определению формального аналога
понятия алгоритма состоит в том, чтобы, во-первых, определить
символические выражения, которые будут приняты в качестве
наборов инструкций, входов и выходов (это можно назвать Р-сим-
волизмом'), и, во-вторых, определить единым образом, как любые
инструкции и вход определяют последующее вычисление и как
должен опознаваться выход этого вычисления (это можно назвать
L-P-ym очнением).

Когда мы начинаем поиск полезных Р-символизмов и L-P-
уточнений, то признаки *1— *5 служат полезным интуитивным
руководством. Однако имеются некоторые черты неформального
понятия алгоритма, которые менее очевидны, чем *1—*5,
и по поводу которых не достигнуто окончательного соглашения.
Мы кратко обсудим здесь эти черты, формулируя их в виде во-
просов и ответов. Позже, после того как мы примем некоторое фор-
мальное описание, мы вернемся и посмотрим, как согласуются
наши ответы с выбранным формальным описанием. Имеется пять
вопросов. Будет видно, что они тесно связаны и касаются роли
произвольно больших размеров и произвольно длительных проме-
жутков времени. Первые три вопроса таковы:

*	6. Следует ли фиксировать конечную границу для размера
входов!

*	7. Следует ли фиксировать конечную границу для размера
набора инструкций!

*	8. Следует ли фиксировать конечную границу для объема
„памяти”! (В любом из вопросов *6, *7 и *8 размер можно было
бы измерять количеством используемых элементарных символов
(или английских слов).)

Большинство математиков согласилось бы с ответом „нет”
на вопрос *6. Они утверждали бы, что общая теория алгоритмов
должна изучать вычисления, возможные в принципе, не счи-
таясь с практическими ограничениями. По той же причине они
согласились бы с ответом ,нет” и на вопрос *7. Однако этот воп-
рос выдвигает проблему, которая подразумевалась уже в *6,
а именно: какого рода „умственные способности” требуем мы от
L! Если инструкции будут неограниченными в размере, то не по-
требуется ли неограниченного „умения” какого-либо рода со сто-
роны L, чтобы он мог понимать и следовать им? Мы рассмотрим
это позже в вопросе *9.

Вопрос *8 интересен тем, что у физически существующих
вычислительных машин объем памяти ограничен. Сначала можно
2*
предположить, что отрицательные ответы на *6 и *7 дают отрица-
тельный ответ на *8, так как произвольно большие входы и набо- .
ры инструкций потребуют для самих себя произвольно большого
объема памяти. Однако мы можем считать, что *8 относится только
к той памяти, которая необходима сверх памяти, используемой
для запоминания инструкций, входа и выхода. При такой интер- (
претации вопрос *8 становится интересным независимо от наших
ответов на вопросы *6 и *7. Можно представить себе, например, ’
обычную вычислительную машину фиксированных конечных раз- -
меров и с фиксированной конечной памятью, у которой инструк-
ции Р размещены на конечной печатной ленте, вводимой в машину,
вход подается на второй ленте, которая (в отличие от ленты
инструкций) движется только в одном направлении, а выход печа-
тается, цифра за цйфрой, на третьей ленте, которая движется тоже
в одном направлении. Нетрудно видеть, что ряд простых функций,
включая Кх[2х], можно вычислять на устройстве такого рода х).
Однако можно привести довольно убедительное и простое дока-
зательство, что функцию Кх [я2] /нельзя вычислить ни на каком
таком устройстве; по мере возрастания входа х требуется все больше
и больше места для „вспомогательной” работы.

Учитывая это обстоятельство, большинство математиков отве-
тят „нет” на любую форму вопроса *8. Поэтому мы также будем
считать „нет” своим ответом на вопросы *6, *7 и *8.

Комментарии к вопросу *7 приводят к четвертому вопросу
о неформальном понятии алгоритма.

*9. Следует ли ограничить в каком-нибудь смысле способности
или возможности вычислителя L?

Представим себе следующую картину: читатель снабжен неог-
раниченным количеством обыкновенной бумаги и карандашей,
ему дали две ленты, на каждой из которых написано число, в за-
пись которого входит миллион цифр; требуется применить алго-
ритм Ейклида к этим числам, а результат написать на третьей
ленте. После некоторого размышления читатель признает возмож-
ным разработку такой системы счета и отсылок, с помощью кото-
рой он сможет следить за своей работой и отмечать свое положе-
ние на различных стадиях вычисления и с помощью которой он
успешно закончит вычисление, располагая достаточным време-
нем. Разумеется, читатель в состоянии создать единую систему,
которая будет работать для входов любого размера. С помощью
такой системы читатель заменит чрезмерные требования к своим
умственным способностям как вычислителя L дополнительными

*) Такие функции называют иногда функциями, вычислимыми конеч-
ными автоматами (какие именно функции являются вычислимыми таким
способом, зависит, в частности, от выбора символизма для входов и выхо-
дов). См. упр. 2-14.
требованиями к (неограниченной) бумажно-карандашной памяти.
Для набора инструкций Р большого размера подобную систему
счета можно ввести при условии достаточно разумного устройства
и детальности этих инструкций. Такая сйстема должна служить
„для запоминания местонахождения” L в Р во входах, выходах
и в вычислениях. Более того, если Р-символизм достаточно гибок,
то следует ожидать, что система счета будет в каком-то смысле
частью самого Р. Поэтому мы отвечаем „да” на вопрос *9.

Позже, когда мы представим и обсудим нашу формализацию,
мы увидим, что эти расплывчатые аргументы можно конкретизиро-
вать (см. § 1.8). Разумеется, если Р-символизм и вычислительный
символизм достаточно подробно описаны, то L можно ограничить
следующим образом (без ограничения общности самого понятия
алгоритма): имеются (а) несколько простых канцелярских опера-
ций, включая операции написания символов, операции перемеще-
ния (за один шаг) вдоль вычисления на один символ к или от ранее
написанных символов, операции перемещения (опять-таки за один
шаг) вдоль Р на один символ к или от ранее рассмотренных символов
и операции написания выхода; (Ь) конечная оперативная память
фиксированных размеров, в каждой ячейке которой сохраняются
символы, написанные или рассмотренные на предыдущих шагах;
(с) фиксированный конечный набор простых правил, согласно
которым выбирается следующая операция' и однозначно опре-
деляется состояние оперативной памяти на следующем шаге в зави-
симости от теперешнего ее состояния и символа, написанного или
исследованного последним. (Это место прояснится после § 1.5 и 1.8.)

Обратимся к последнему и в чем-то более глубокому вопросу,
связанному с неформальным понятием алгоритма. Это вопрос,
по которому могут быть различные мнения.

*10. Следует ли каким-либо образом ограничивать число шагов
вычисления? В частности, должны ли мы требовать, чтобы число
шагов данного вычисления было не больше, чем некоторое число,
легко вычисляемое" по входу и набору инструкций Р? Менее фор-
мально, следует ли требовать, чтобы мы „заранее” знали оценку
числа шагов, которое потребуется для вычисления?

Вопрос туманный. Тот, кто дает положительный ответ, должен
аккуратно определить понятие „легко вычисляемое”. Тем не менее
для многих математиков интересен именно такой ответ.

Мы, однако, придерживаемся другой точки зрения, считая,
что проще и естественнее накладывать подобные ограничения
только в том случае, если они являются следствиями других
наших допущений. Таким образом, мы требуем, чтобы вычисление
заканчивалось после некоторого конечного числа шагов, но
не настаиваем на априорной возможности оценить это число.
Как мы увидим, такая позиция в вопросе *10 окажется согласо-
ванной с выбранными нами формализациями. Насколько читатель
может уточнить *10 и дать утвердительный ответ, не вытекающий
из нашей формализации, настолько более узкое, чем у нас, поня-
тие у него получится.

Как мы увидим (теорема XI в § 1.10), наша позиция по отно-.
шению к вопросу *10 существенна. Отсутствие подобных априор-
ных приведенных ограничений является характерной чертой
дисциплины, изучаемой в книге.

§ 1.2.	ПРИМЕР: ПРИМИТИВНОРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ

Наш метод описания класса функций состоит в отборе функций,
получаемых рекурсивными определениями некоторого рода. Рекур-
сивное определение функции — это, грубо говоря, определение,
в котором значения функции для' данных аргументов непосред-
ственно определяются значениями той же функции для „более
простых” аргументов или значениями „более простых” функций.
Понятие ,.более простой” следует уточнять выбором формализа-
ции — простейшими, как правило, являются все функции-кон-
станты. Такой метод формализации удобен для наших целей,
так как рекурсивные определения можно рассматривать как
алгоритмы.

Рекурсивные определения знакомы математику. Например,
функция /, определяемая соотношениями

7(0) = 1,

/(1) = 1,

1(х + 2) = f(x) + f(x + 1)4

дает ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (Исследование разност-
ных уравнений связано с проблемой перехода от рекурсивного
определения к алгебраическому выражению. Ряд Фибоначчи опи-
сывается таким алгебраическим выражением:

Примитивнорекурсивные функции — это пример широкого
и интересного класса всюду определенных функций, который
можно получить подобной формализацией.

Определение. Класс примитивнорекурсивных функций — это
наименьший класс ё (т. е. пересечение всех классов ё) всюду
определенных функций, такой, что

(i)	Все функции-константы	• xh [zn] содержатся в ё,

1 к, 0 т.

(ii)	Функция следования kx [х + 1] содержится в ё.

(Hi) Все функции выбора Ах4 . . . xh [л?4] принадлежат ё,
1 i ёС к.
(iv)	Если / — функция к переменных из и g15 g2, • • •, gh —
функции т переменных из ё, то функция kXf . . .
... ZmlRgitxi, . . хт), . . gk(xt, . . ., xm))l принадлежит ё,
1 Л, т.	•

(v)	Если h — функция к + 1 переменных из ё, a g — функция
к — 1 переменных из ё, то единственная функция / от к перемен-
ных, удовлетворяющая условиям

/(О, х2, . . , xh) = g(x2, . . xh),

f(y + 1, x2, . . xh) — h(y, f(y, x2...xh), x2, . . xh),

принадлежит ё, 1 к. (В пункте (v) „функция нуля переменных
из ё” означает фиксированное натуральное число.)

Непосредственно из определения следует, что произвольная
всюду определенная функция / примитивнорекурсивна тогда
и только тогда, когда существует конечная последовательность
функций Д, /2, • • •, /п, такая, что /п = / и что для любого ]п
или fj принадлежит ё в силу свойств (i), (ii) или (iii), или fj
получена из некоторых г < /, согласно пунктам (iv) или (v).
(Чтобы доказать это, рассмотрим класс <25 всех функций f, для
которых существуют такие последовательности Л, . . ., /п. Он,
очевидно, содержится в любом классе ё, обладающем свойствами
(i) — (v); кроме того, <25 сам обладает свойствами (i) — (v). Следо-
вательно, <25 совпадает с пересечением всех таких ё.) Если дана
такая последовательность для / вместе с точным описанием, как
получена каждая функция fj для j п, то скажем, что дана схема
примитивнорекурсивной функции /.

Например, рассмотрим функцию /, заданную схемой

fl = кх [ж]	по	(iii)	(функция 1 переменной)
/2 =- кх 1х + 1]	по	(ii)	(1 переменная)
/з = kXfX2X3[x2]	по	(iii)	(3 переменные)
А = /г/з	по	(iv)	(3 переменные)

/5 удовлетворяет условиям

/5(0, х2) = /1(ж2)

+ 1,^2) = Ь(у,Му>х2), х2) по (v) (2 переменные)

1 = /6 = /з(/к /1)	по (iii) (1 переменная)

Легко проверить, что /6 — функция кх [2xJ (кстати, /5 — это
кху[х + у]). Поэтому можно заключить, что функция кх [2ж] при-
митивнорекурсивна.

Схему можно записывать в какой-нибудь стандартной символи-
ческой форме. Запись схемы можно рассматривать как набор
инструкций для эффективного вычисления определяемой функ-
ции /. Например, для подсчета /(2) в предыдущем примере схема
дает следующее вычисление:

/(2) = /6(2) =

= /5(/1(2),/1(2)) =

==/в(2, Л(2)) =

= /5(2, 2) =

= /4(1. /5(1, 2), 2) =

= /4(1, Ж /5(0, 2), 2), 2) =

= /4(1. Ж //2), 2), 2) =

= /4(1, /4(0, 2, 2), 2) =

= /4(1, /2(/3(0, 2, 2)), 2) =

= /4(1, /2(2), 2) =

= /4(1, 3, 2) =

= /2(/3(1, 3, 2)) =

= /2(3) =
= 4.

Поэтому мы рассматриваем точное понятие примитивнорекур-
сивной функции как частный случай неформального понятия всю-
ду определенной функции, вычислимой алгоритмом. Как это согла-
суется с § 1.1? Вычислитель — это человек (и тем самым опреде-
ляется неформально); тем не менее вычисление определяется схе-
мой настолько просто и однозначно и осуществляется такими явно
механическими шагами, что, очевидно, выполняются условия
*1—*5. Можно выбрать стандартный Р-символизм для записи
схем, а L-P-уточнение — это простые правила подстановки,
по которым схема и вход определяют вычисление. Заметим мимо-
ходом, что для примитивнорекурсивных функций вопросы *6-^*8
получают тот же ответ, что и в § 1.1. Так как вычислитель опре-
делен неформально, то вопрос *9 остается неясным. На вопрос
*10, как мы сейчас покажем, можно дать положительный ответ.

Насколько богат класс примитивнорекурсивных функций?
Быть может, он включает все алгоритмы и, следовательно, дает
точный формальный аналог неформального понятия всюду опре-
деленной функции, вычислимой алгоритмом? Хотя на первый
взгляд правила для построения примитивнорекурсивных функций
кажутся ограниченными, можно представить убедительные свиде-
тельства в пользу этого предположения. Можно показать, что
практически все всюду определенные функции обычной математи-
ки примитивнорекурсивны. (Все примеры, пока что упоминавшиеся
в этой главе, примитивнорекурсивны.) В книге Петер [1951,
стр. 1—67] имеется много фактов, иллюстрирующих широту поня-
тия примитивной рекурсивНости.

К сожалению, можно построить и всюду определенные функции
с очевидными алгоритмами, которые нб являются примитивно-
рекурсивными. Одна из них — это функция Аккермана, т. е.
функция трех переменных, такая, что

/(О, я, у) = у + х,

/(1, х, у) = ух,

/(2, х, у) = ух,

f(z 1, х, у) = [результат применения к у
х — 1 раз операции z-ro уровня
Xun[/(z, и, и)]].

Более формальное (и „рекурсивное”) определение для этой
функции задается так:

/(О, 0, у) = у,

/(О, х+ 1, у) = /(0, х, у) + 1,

/(1, 0, у) =0,

/(z + 2, 0, у) = 1,

/(z + 1, х + 1, у) = / (z, /(г + 1, х, у), у).

Для этой функции не существует примитивнорекурсивной
схемы (Петер [1951, стр. 68]). Более того, как показала Петер,
функцию, подобную /, можно использовать для получения положи-
тельного ответа на вопрос *10 для примитивнорекурсивных функ-
ций (если считать, что „легко вычисляемое” означает наличие прос-
тых определяющих соотношений, подобных написанным выше для/).

Так как почти каждый признает, что функция Аккермана —
это всюду определенная функция, вычислимая алгоритмом, nJ так
как она не примитивнорекурсивна, то мы должны отказаться
от мысли, что понятие примитивнорекурсивной функции является
точным формальным аналогом неформального понятия всюду
определенной алгоритмической функции J).

§ 1.3. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ

Как отмечалось в § 1.1, необходимо делать различие между
понятием алгоритма и понятием алгоритмической функции2).

х) Возникает естественный вопрос: существует ли всюду определенная
алгоритмическая функция одной переменной, не являющаяся примитивно-
рекурсивной? Можно показать, что Кх [ / (х, х, х)], где / — функция Аккер-
мана, — такая функция. Другой пример мы построим в § 1.4.

а) Заметим, что одна и та же примитивнорекурсивная функция может
иметь бесконечно много различных схем, т. е. алгоритмов. Тривиальный спо-
соб получения таких схем состоит во введении дополнительных вхождений
Хх [х] в данную схему.
Приведем несколько примеров, чтобы подчеркнуть это различие.
В частности, определим такую функцию g, для которой мы можем
доказать существование некоторого алгоритма, но не знаем, как
построить конкретный алгоритм. Рассмотрим функции / и g,
определяемые так:

г	1, если в десятичном разложении л имеется
/(х) = г точно х цифр 5, идущих подряд;

[	0 в противном случае;

।	1, если в десятичном разложении л имеется
g(x) = J по крайней мере х цифр 5, идущих подряд;

[	0 в противном случае.

В настоящее время не известно алгоритма для вычисления /.
Более того, может оказаться, что такого алгоритма нет. (Как
только будет дана формализация, станет точным понятие функции,
не имеющей алгоритма. Мы увидим, что такие функции сущест-
вуют.) В отличие от положения с функцией / мы знаем, что g
примитивнорекурсивпа. Действительно, или g/должна^быть кон-
стантой kx [1], или найдется такое к, что

g(x) = 1 для х к;

g(x) — 0 для к < х.

В обоих случаях существует примитивнорекурсивная схема (см.
упр. 2-1), но никто не знает в настоящее время, как выявить вер-
ную схему.

Для построения более простого примера возьмем проблему,
не решенную математиками, например проблему Гольдбаха о том,
что всякое четное число, большее двух, есть сумма двух простых
чисел, и определим функцию к, так:

{1, если проблема решается положительно,

U, если проблема решается отрицательно.

Очевидно, что к, постоянна. Следовательно, она примитивно-
рекурсивна, хотя мы не знаем, как построить верную схему х).
Мы будем иметь дело как с функциями, так и с алгоритмами.
Основное внимание будет уделено функциям. По традиционной

*) В доказательстве примитивной рекурсивности функций g и h исполь-
зуется логический принцип исключенного третьего. Подобные неконструктив-
ные методы ограничиваются или отвергаются в различных конструктивных
переформулировках математики, подобных тем, которые принадлежат интуи-
ционистам. В этой книге мы допускаем неконструктивные методы; мы исполь-
зуем правила и соглашения классической двузначной логики (как это прак-
тикуется в других частях математики); мы говорим, что объект существует,
если его существование можно доказать в стандартной теории множеств.
Аксиома выбора включается как закон теории множеств.
логической терминологии наше рассмотрение будет экстенсио-
нальным, т. е. мы будем чаще иметь дело с именуемыми объектами
(таковы функции), чем с объектами, выступающими как имена
(таковы алгоритмы).

§ 1.4.	ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ

В § 1.2 мы указали пример всюду определенной (интуитивно)
алгоритмической функции, которая не примитивнорекурсивна.
Теперь изложим метод, который применяется для многих форма-
лизованных классов алгоритмических функций и который в каж-
дом случае дает алгоритмическую функцию, не попадающую
в данный формализованный класс. Мы назовем этот метод диа-
гонализацией и продемонстрируем его на примере примитивно-
рекурсивных функций.

Рассмотрим всевозможные примитивнорекурсивные функции.
Нетрудно ввести точный формальный символизм для схем, исполь-
зуя лишь конечное число основных символов. Среди этих симво-
лов должны быть функциональный символ, несколько символов
для переменных, цифры для индексов, цифры для обычных чисел,
скобки, запятая, плюс и знак равенства, несколько специальных
символов для констант, функций следования и выбора и спе-
циальный символ, чтобы отмечать конец строчки. Любую схему
можно представить как конечную цепочку основных символов.
Кроме того, существует эффективный (т. е. алгоритмический)
тест, который по данной цепочке основных символов опреде-
ляет, представляет ли она примитивнорекурсивную схему. Таким
образом, мы можем последовательно перечислять всевозмож-
ные примитивнорекурсивные схемы, исследуя сначала все цепочки
длины 1, затем — длины 2 и т. д. Разумеется, можно дать опреде-
ленную (неформальную) алгоритмическую процедуру перечисле-
ния. (Перечисление бесконечно, но каждая схема появляется
в некоторый конечный момент.) После этого можно устроить алго-
ритмическую процедуру, которая будет перечислять только схе-
мы для примитивнорекурсивных функций одной переменной.
Пусть Qx — это (х + 1)-я схема в таком перечислении. Пусть
8х — функция, определяемая схемой Qx. Определим h так:

h(x) = gx(x) + 1.

Очевидно, что имеется алгоритм для вычисления h, а именно:
для того чтобы получить h(x) для данного х, следует порождать
список схем до тех пор, пока не получится Qx, затем использовать
чтобы вычислить gx(x), затем прибавить 1. С другой стороны, h
не может быть примитивнорекурсивной. Если бы это было так, то
мы имели бы, что h = gXo для некоторого х0. Но тогда gXo (х0) =
= h(x0) = gXQ (х0) + 1 — противоречие. (Читатель заметит ана-
логию с диагональным доказательством Кантора несчетности дей-
ствительных чисел в классической теории множеств.)

Очевидно, что метод диагонализации применим в любом слу-
чае, когда можно эффективно (т. е. алгоритмически) перечислить
все наборы инструкций /’-символизма. На первый взгляд трудно
представить себе, как может быть полезной формализация,
не допускающая такого эффективного перечисления. Кажется, что
метод диагонализации делает сомнительной возможность отыска-
ния формализации понятия алгоритма. Складывается впечатление,
что не может существовать одного формализованного класса алго-
ритмических функций, соответствующего неформальному понятию
алгоритмической функции. Быть может, вообще, какие бы Р-сим-
волизм и L-P-уточнение мы ни выбирали, можно так дополнить
этот символизм до более сильного символизма и это уточнение более
сложными „эффективными” операциями, что получатся новые функ-
ции. Даже если мы используем весь английский язык как Р-симво-
лизм, может оказаться, что имеются более сложные операции, ко-
торые потребуют новых названий. Быть может, наконец, алгорит-
мические функции образуют несчетный класс и существует целый
спектр алгоритмических вычислимостей, покрывающий все функции.

Таковы некоторые из тех проблем (высказанных неточно и не-
формально), которые предстояло решить на пути поисков удовлет-
ворительной формализации понятий алгоритма и алгоритмической
функции. С этими проблемами и столкнулись математики, пер-
выми взявшиеся за эти поиски в 30-х годах, математики, вдох-
новлявшиеся в своей работе успехами формальной логики
и ее методов.

§ 1.5.	ФОРМАЛИЗАЦИЯ

Чтобы избежать трудностей, связанных с диагонализацией,
мы будем рассматривать наравне с наборами инструкций для
всюду определенных функций наборы инструкций и для функций
не всюду определенных. Разумеется, может возникнуть ситуация,
когда мы будем не в состоянии определять, дает ли набор инструк-
ций всюду определенную функцию или нет. Предположим, напри-
мер, что мы можем строить такое выражение Р-символизма, кото-
рое содержит инструкцию: „Для того чтобы вычислить / (х),
просматривайте десятичное разложение числа л, пока не встретите
по крайней мере х подряд идущих цифр 5; если такой ряд цифр
встретился, то в качестве выхода выдайте помер места, занимае-
мого первой цифрой этого ряда”. Или в качестве более простого
примера возьмем такой: „Чтобы вычислить g(x), перебирайте чет-
ные числа, большие двух, пока не появится такое, которое не есть
сумма двух простых чисел; если такое число нашлось, то выдайте
выход g(x) =0”. В этих примерах в отличие'от примеров § 1.3,
где использовались неконструктивные определения для специаль-
ных функций (но не алгоритмов), мы определяем конкретные
вычислительные процессы, но не знаем, дают ли эти процессы
всюду определенные функции, т. е. всегда ли они обрываются, давая
выход. Единственное, что мы можем утверждать,— это что такие
процессы дают функции (частичные функции). Может случиться,
что в разложении числа л имеется восемь подряд идущих цифр 5
и не больше, тогда первый пример даст набор инструкций для
частичной функции, область определения которой состоит из пер-
вых девяти натуральных чисел. Если проблема Гольдбаха решает-
ся положительно, то второй пример дает нигде не определенную
функцию; если эта проблема решается отрицательно, то второй
пример дает постоянную функцию Хж[0]. В любом случае в каж-
дом примере задаются конкретные вычислительные инструкции,
определяющие конкретные функции.

При формализации класса частичных функций не возникает
осложнений, связанных с диагонализацией. Пусть — функция,
определяемая (х + 1)-м набором инструкций Qx, а х0 выбрано так,
что фХо есть функция ф, определяемая такими инструкциями:
чтобы вычислить ф(;г), найдите Qx, вычисляйте фх (х) и, если
фх (х) вычислится, возьмите (х) +1 в качестве значения
ф(х). Равенство фХо (х0) — ф(а:о) = фЖп (х0) + 1 не дает противоре-
чия, так как ф(^о) не обязано быть определенным. Остается
коварная надежда, что все же удастся провести диагонализацию
с помощью эффективного отбора только тех наборов инструкций,
которые дают всюду определенные функции; однако, как мы уже
отмечали, возможность такого эффективного отбора далеко не оче-
видна. Более того, если мы хотим избежать диагонализационных
неприятностей, то следует добиваться, чтобы алгоритм для такой
процедуры отбора был невозможен. (Эти замечания имеют отноше-
ние к фундаментальным теоремам о неполноте математической
логики. Подобный вопрос будет обсуждаться в гл. 2.)

Такой подход с использованием частичных функций был по су-
ществу разработан Клини [1936], Чёрчем [1936], Тьюрингом
[1936] и другими в 30-х годах. Каждый из них получил фор-
мализацию широкого класса функций. Формализации отличались
как в основных пунктах, так и в деталях. Однако имелось и общее:
во-первых, определялся (через Р-символизм) формальный аналог
понятия алгоритма (для функций) и, во-вторых, как следствие
(через L-P-уточнение) определялся аналог понятия функции
(частичной функции), вычислимой алгоритмом *), * 2).

*) Практически все определения и терминологию § 1.1 и 1.3 можно при-
менять mutatis mutandis к проблеме формализации понятия алгоритма для
частичной функции и частичной функции, вычислимой алгоритмом.

2) Исторически в некоторых случаях исследователь, например Клини,
пе занимался в явном виде рассмотрением частичных функций, а сразу пред-
Формализация Тьюринга

Рассмотрим сначала формализацию Тьюринга (как она описа-
на в книге Дэвиса [1958]). Формализация Тьюринга будет избрана
в качестве основной для нашей книги. Удобно и поучительно
предлагать некоторую физическую картину, хотя окончательная
формализация совершенно математична.

Рассмотрим конечное механическое устройство, которое свя-
зано с бумажной лентой, бесконечной в обе стороны. Лента раз-
делена по всей длине на клетки равного размера. Будем назы-
вать эти клетки ячейками.

Устройство таково, что лента может двигаться сквозь него,
при этом точно одна ячейка находится внутри. О ячейке, находя-
хцейся внутри устройства, мы будем говорить как о ячейке, обозре-
ваемой устройством. Направления вдоль ленты назовем соответ-
ственно правым и левым. Устройство способно производить одну
из четырех основных операций: (1) оно может записать „1” в обо-
зреваемую ячейку, если только там уже не написана „1”; (2) оно
может стереть написанное в обозреваемой ячейке и сделать ее,
таким образом, пустой, если только она уже не была пустой;
(3) оно может перенести свое внимание на одну ячейку вправо (сдви-
нув ленту на одну ячейку влево); (4) оно может перенести свое
внимание на одну ячейку влево (сдвинув ленту на одну ячейку
вправо). Устройство в активном состоянии производит основные
операции со скоростью одной операции в единицу времени. Иног-
да в том случае, когда устройство совершило одну операцию, мы
будем говорить, что сделан шаг работы устройства. По завершении
каждого шага устройство само по себе (как нечто, отличное
от ленты) обладает одной из фиксированного конечного множества
возможных внутренних (механических) структур. Такие структу-
ры мы будем называть внутренними состояниями. Для обозна-
чения различных внутренних состояний будем использовать сим-
волы qt, i = 0, 1, 2, .... Наконец, устройство сконструировано
так, что его поведение описывается конечным списком детермини-
рованных правил. Эти правила определяют по текущему внутрен-
нему состоянию и записи в обозреваемой ячейке, какая операция
должна производиться следующей и каким должно быть следую-

лагал отдельную, более сложную формализацию всюду определенных функ-
ций, вычислимых алгоритмом. В ретроспективе любую из этих более слож-
ных формализаций можно разбить на два этапа: во-первых, формализовалось
понятие алгоритмической (частичной) функции, во-вторых, алгоритмически-
ми всюду определенными функциями объявлялись те алгоритмические функ-
ции, которые оказывались всюду определенными. Ниже при изучении фор-
мализации Клини мы произведем такую ретроспективную модификацию,
хотя она и будет отходить в некотором отношении, не существенном для на-
ших целей, от простоты первоначальной формулировки Клини.
щее внутреннее состояние (в конце этой следующей опера-
ции) х).

Пусть 1 и В означают возможные записи в любой ячейке (В
соответствует пустой ячейке). Пусть 1, В, В и L обозначают
основные операции (1), (2), (3) и (4) соответственно. (Операция (1)
не производит изменений на ленте, если в обозреваемой ячейке
уже имеется „1”, а операция В не производит изменений на ленте,
если обозреваемая ячейка пуста.) Тогда набор правил, определяю-
щих поведение устройства, можно записать в виде набора четве-
рок. Каждая четверка состоит из символов (по порядку) для
(i) внутреннего состояния, (ii) возможной записи в ячейке, (iii) опе-
рации, (iv) внутреннего состояния. Четверка (i, ii, iii, iv) выражает
такое правило: при наличии (i) и (ii) устройство производит (iii)
и переходит в (iv). Будем предполагать, что любой)набор таких
четверок есть набор правил для некоторого устройства, вводя
только единственное ограничение, что любые две различные чет-
верки должны отличаться в (i) или в (ii). Назовем это ограничение
условием совместимости-, при этом условии набор правил не может
требовать двух или более различных действий в одно и то же вре-
мя. Однако мы не предполагаем, что в наборе правил предусматри-
вается любая комбинация (i) и (ii); таким образом, мы допускаем,
что при некоторых обстоятельствах устройство не сможет проде-
лать никакой операции. В таких случаях будем говорить, что
устройство остановилось.

В качестве примера рассмотрим устройство с состояниями q0
и q2, поведение которого определяется двумя четверками q0iBq2
и q2BRqQ. Если такое устройство получает ленту с конечной после-
довательностью подряд идущих единиц и начинает работу в состоя-
нии q0 на самой левой ячейке этой последовательности, то оно
сотрет все единицы и остановится. Если такое устройство начинает
работу на ленте, сплошь заполненной единицами, то оно никогда
не остановится.

Устройство общего вида, описанное выше, называют машиной
Тьюринга. Для наших целей удобно отождествлять машину
Тьюринга с набором четверок, определяющим ее поведение.
Любой набор четверок, использующий любое (конечное) число
внутренних состояний при наличии условия совместимости, обра-
зует машйну Тьюринга.

Легко определить машину Тьюринга на более общепринятом
математическом языке. Пусть Т = {0, 1} и S = {0, 1, 2, 3}. Тогда
машину Тьюринга можно определить как отображение конечного
подмножества множества N X ? в S X N. Здесь Т представляет

Предполагается, что устройство способно „читать” запись в ячейке,
находящейся внутри него.
запись в ячейке, S — операции, которые следует производить,
а А дает возможные номера внутренних состояний.

Если даны машина Тьюринга, лента, ячейка на этой ленте
и начальное внутреннее состояние, то машина Тьюринга выполнит
детерминированную последовательность операций, которая может
оборваться за конечное число шагов, а может и не оборваться.
Каждой машине Тьюринга поставим в соответствие функцию,
определяемую следующим образом. Чтобы изобразить входное
число х, разместим на ленте х + 1 единиц подряд. Установим
машину в состоянии t/о на самой левой ячейке, содержащей 1.
В качестве выходного числа возьмем общее количество единиц,
имеющихся на ленте, когда машина остановилась (если остановка
произошла). При таких соглашениях о входах, выходах и началь-
ных условиях каждая машина Тьюринга задает частичную функ-
цию х). Например, следующая машина, как легко может прове-
рить читатель, задает функцию 'Хх12х1.

qrBRq2
q3iBq3
q3BBqt
qdRqt
а4ВВдь
q^Bqs
q^Blq.
q»iBqe
q^Blq7
<	q-ilLq,

qiBLq6
qd-Lqi
qiXLqi

Эта машина заканчивает работу или в состоянии q-- (для вхо-
да 0), или в состоянии </8 (для входов, отличных от 0). Читатель
может вручную произвести вычисления, например, для входа 2,
т. е для ленты .. В1ИВ Он увидит, что четверки можно сгруп-

х) Если отсутствует в наборе четверок, то машина не работав т и опреде-
ляемая ею частичная функция — это м.’ fx + 1].Хотя соглашения о входах,
выходах и начальных условиях могут быть произвольными, тем не менее мы
увидим, что для широкого многообразия таких соглашений получается один
и тот же класс функций.
пировать в различные подпрограммы для (а) стирания цифры вхо-
да, (Ъ) движения вправо к цифрам выхода, (с) прибавления двух
новых цифр выхода, (d) движения влево к оставшимся цифрам
входа и т. д.

Можно также каждой машине Тьюринга сопоставить частич-
ную функцию к переменных, записывая вход	хл) на лен

те в виде строки из групп подряд идущих х, + 1 единиц, х2 + 1
единиц, . . .,	+ 1 единиц, разделенных с помощью В, и, как

и прежде, устанавливая машину в состоянии Рона самой левой ячей-
ке, содержащей 1. Читатель легко проверит, что конкретная
машина, описанная в предыдущем абзаце, задает функцию

. xh[2zi + х2 + . . . + хк + к — 11-

Каждую стадию в работе машины Тьюринга можно описать,
указав (i) состояние ленты, (ii) внутреннее состояние машины
Тьюринга и tiii) положение обозреваемой ячейки. Будем говорить,
что вся зта информация определяет конфигурацию. Эту информа-
цию можно выразить в такой форме:

• • • Qi • • •>

где.......— это цепочка смежных единиц и символов В куска

ленты, содержащего все непустые ячейки, — текущее состоя-
ние, „рг” вставляется сразу слева от символа, записанного в обо-
зреваемой в текущий момент ячейке.

Например, если построенная ранее машина для кх [2x1 приме-
няется к входу, изображающему 2, то первые несколько шагов
вычисления списываются следующими конфигурациями:

РоШ

QiBU

P2II

9зВ1
р41
1qiB

• • * •

На первый взгляд может показаться, что класс алгоритмиче-
ских частичных функций, задаваемых машинами Тьюринга, будет
довольно ограниченным- Тем не менее это определение снабжает
нас Р-символизмом и Z-P-уточпенисм. Любой набор четверок,
определяющий машину, можно рассматривать как набор инструк-
ций Р. В качестве основных символов для нашего Р-символизма
мы используем только q, 1, В. В, L и цифры для числовых индек-
сов. В качестве вычислителя L можно взять человека- Р-Р-уточ-
з-050 6
нение — это простые правила, согласно которым по начальной
ленте и по Р определяется последовательность машинно-ленточ-
ных структур. Позже в § 1.6 и 1.8 мы рассмотрим отношение меж-
ду определением машины Тьюринга и обсуждениями из § 1.1.

Формализация Клини

Следующей рассмотрим формализацию Клини. Рассмотрим -
рекурсивные соотношения общего типа, введенные в § 1.2, чтобы
определить функцию Аккермана. Набор инструкций Р будет
состоять из системы таких „рекурсивных равенств". Вывод (compu-
tation) — это конечная последовательность равенств, начинаю-
щаяся с Р, где каждое равенство после Р получено из предыдущих
или подстановкой численного выражения вместо символа перемен-
ной в равенстве, или заменой, используя одно равенство, „равных
на равные” в другом равенстве, или вычислением значения функ-
ции следования Хх[х + 1].

В Р помимо главных функциональных символов, вычислением
которых мы интересуемся, вводятся вспомогательные функцио-
нальные символы. Так, система равенств

/(0)=0,

§(ж) = /(х) 4- 1,
f(x + 1) = g(ar) + 1,
где g — вспомогательный функциональный символ, / — главный
символ, определяет, как легко проверить, функцию Хх [2j:].

С понятием вывода связаны следующие три проблемы:
(1) направление вывода не определяется однозначно входом и инст-
рукциями Р; (2) имеется возможность получения двух различных
выходов при одном и том же входе (различными выводами);
(3) имеется возможность, что из данного входа вообще не полу-
чится никакого выхода х), 1 2).

Мы обойдем трудности (1) и (2) следующим образом. Скажем,
что равенство выводимо из данного Р, если оно получено в конце
некоторого вывода из Р. Можно описать единообразный процесс,
согласно которому, имея произвольное Р, мы сможем эффективно
перечислять все равенства, выводимые из Р. (Процесс на самом
деле дает исчерпывающий пересчет всевозможных выводов и подо-

1) В первоначальной формулировке Клини возможность (1) допускалась
и алгоритмические функции формально определялись как функции, получен-
ные из наборов инструкций, для которых не произошло ни (2), ни (3). Тот
факт, что нельзя простым способом выделить такие инструкции, был платой за
избавление от забот, связанных с диагонализацией.

2) Если в формализации Тьюринга опустить условие совместимости, то
так модифицированная формализация Тьюринга столкнется с проблемой,
подобной (2).
бен процессу § 1.4 для перечисления всевозможных примитивно-
рекурсивных схем.) Формальные детали такой процедуры сложны,
и мы их опускаем. При данных Р и входе‘назовем главным выходом
для этого входа первый выход в стандартном перечислении выво-
димых равенств, полученных из Р. Каждый вход дает самое боль-
шее один главный выход; следовательно, соотношение входов
и главных выходов определяет функцию. Поэтому каждой^системе
равенств Р можно сопоставить функцию, и мы получаем формали-
зацию класса алгоритмических функций.

Опишем Р-символизм в этом случае более подробно. В каче-
стве базисных символов возьмем /, g, х, +, =®, скобки, запятую,
цифры для обычных чисел, цифры для числовых индексов (исполь-
зующиеся с g и х).

х, х0, Xt, ... назовем переменными,

fi go, gi, • • • назовем функциональными символами, f — глав-
ный функциональный символ.

Термы определяются по индукции:

переменная есть терм;

обычное натуральное число есть терм;

если т — терм, то результат присоединения справа „4-1”
к т есть терм;

пусть (У состоит из функционального символа1 и после-
дующих скобок, содержащих строку термов, разделенных
запятыми; тогда о есть терм J).

Выражение, образующееся при размещении „=” между двумя
термами, назовем равенством. Любая конечная система таких
равенств образует набор инструкций Р.

Ь-Р-уточнение описывает, как следует единым образом полу-
чать перечисление всех выводимых (из данного Р) равенств. Мы
опускаем детали.

Кстати заметим, что любая примитивнорекурсивная схема оче-
видным образом выразима в Р-символизме. Схема для Хх 12x1
в § 1.2 будет системой равенств, начинающейся так:

gt(x) = х,

g2(x) = х 4- 1,

gsfa'ii х%, Х3) = Хг,

Легко показать, что функция, определяемая этими равенствами
в новом формализме, совпадает с функцией, определяемой, соглас-
но процедуре из § 1.2, первоначальной примитивнорекурсивной
схемой.

*) Выражение вида „х^-2" можно на самом деле использовать как терм,
но оно должно быть записано так: „х+1-}-!”.
§ 1.6. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

В § 1.1 мы поднимали вопрос, можно ли найти формализацию,
которая даст удовлетворительный формальный аналог неформаль-
ного понятия алгоритма и алгоритмической функции. В § 1.4 мы
указали проблемы, с которыми сталкивается любая такая форма-
лизация; в частности, мы отметили (§ 1.4) возможность того, что не
существует единого максимального формально описанного класса
алгоритмических функций. В § 1.5 приведены формализации Тью-
ринга и Клини. В 30-х годах и позже Чёрчем [1936], Постом [1936],
Марковым [19511 и другими были предложены иные формализа-
ции. Эти формализации были весьма разнообразны по форме;
однако каждую из них можно представить как выбор определен-
ного Р-символизма и определенного L-P-уточнения.

Насколько удовлетворительны эти формализации? Как свя-
заны друг с другом? Насколько успешно преодолеваются в них <
проблемы, отмечавшиеся § 1.4? С этими вопросами связана обшир-
ная литература. Мы суммируем проделанную работу в следую-
щем Основном результате, играющем фундаментальную роль для
всей книги.

Основной результат.

Основной результат, часть!. С помощью детальных комбинатор-
ных рассмотрений (см., например, работы Тьюринга [19371 и Клини
[1936а!) было показано, что формализации, предложенные Тьюрин-
гом и Клини, а также Чёрчем, Постом, Марковым и другими, экви-
валентны, т. е. в каждом случае получается один и тот же класс '
функций (и, следовательно, всюду определенных функций).

Определение. Всюду определенные функции, попадающие
в этот класс, назовем общерекурсивными функциями. Частичные
функции этого класса будем называть частичнорекурсивными
функциями. Можно обобщить доказательство эквивалентности
этих формализаций и 'убедиться, что для очень широкой совокуп-
ности расширений этих формализаций класс функций сохраняется.
(Например, можно ввести более одной ленты или другие сим-
волы помимо 1 и В в определении машины Тьюринга; получаемые
функции будут все равно частичнорекурсивными функциями;
см. работу Тьюринга [1936]. Исследования, основанные на тех-
нике программирования, см. в работах Шепердсона и Стургиса
[1963].) На самом деле, если наложить на Р-символизм и L-P-уточ-
нение некоторое общее (и естественное) формальное ограничение,
то можно показать, что класс получаемых функций будет всегда
подклассом „максимального" класса всех частичнорекурсивных
функций.
Основной результат, часть II. Изучалось обширное многообра-
зие конкретных функций, интуитивно алгоритмических. Все они
оказались частичнорекурсивными функциями, т. е. были найдены
наборы инструкций для них в какой-нибудь стандартной форма-
лизации. Для таких доказательств было развито много полезных
принципов и приемов. (Части I и II дают сильное эмпирическое
свидетельство в пользу того, что формализации, .достаточно
полны.)

Основной результат, часть III. Доказательства результатов
части I обладают следующей общей структурой. В каждом слу-
чае тот факт, что один формализованный класс функций содер-
жится в другом, доказывается путем предъявления и обоснования
единообразной процедуры, согласно которой для любого набора
инструкций Р одной формализации указывается набор инструк-
ций Р другой формализации, приводящий к той же самой функции.
Хотя она и не оперирует с натуральными числами, эта единооб-
разная процедура оказывается в каждом случае алгоритмической
(в неформальном смысле этого слова без ограничения числовыми
входами и выходами).

Замечание. Части I и II экстенсиональны, т. е. скорее
определяется класс алгоритмических функций, чем класс „алго-
ритмов”. Части I и II показывают, что в некотором смысле каждая
стандартная формализация содержит всевозможные алгоритмиче-
ские функции.

Часть III совместно с частью I показывает, что в некотором
смысле каждая стандартная формализация содержит всевозмож-
ные алгоритмы (для этих функций). Действительно, если дана
формализация типа упомянутых в конце части I, то можно еди-
ным эффективным способом „переводить” произвольный набор
инструкций этой формализации (т. е. алгоритм) в набор инструк-
ций одной из стандартных формализаций. (Мы это обсудим позже,
в § 1.7; см. также упр. 2-11.)

Подробные рассуждения, на которые опирается Основной
результат, можно найти в книгах Дэвиса [1958] и Клини [1952].
(Там же излагаются принципы и приемы того же рода, что и упо-
мянутые в части II Основного результата.) При использовании
Основного результата особенно полезно в качестве стандартного
определения, к которому сводится другая формализация, исполь-
зовать определение Тьюринга.

С математической точки зрения формализации § 1.5 неинва-
риантны, т. е. они зависят от произвольного выбора. Это же
справедливо для всех известных формализаций. Основной резуль-
тат показывает, что тем не менее формализации дают естественный
и важный класс функций. Отметим, что этот класс — одно из не-
многих абсолютных математических понятий, возникших
в работах по основаниям математики х).

5 1.7. ТЕЗИС ЧЁРЧА

Нельзя доказать гипотезу о том, что какая-либо стандартная
формализация дает удовлетворительные аналоги неформального
понятия алгоритма и алгоритмической функции. Такая гипотеза
должна приниматься или отвергаться в значительной степени
эмпирически. (То, что гипотеза для одной формализации эквива-
лентна гипотезе для другой, следует из частей I и III Основного
результата.) Основной результат дает убедительное свидетельство
в пользу того, что определяемый класс функций естествен (часть I)
и достаточно полон (части I и II). Формализация Тьюринга пока-
зывает, что любая функция этого класса вычислима процедурой,
являющейся в интуитивном смысле„механической”. (В § 1.10 мы
обсудим вопрос о том, что наш формальный класс может ока-
заться слишком обширным; см. вопрос *10 в § 1.1.) Основываясь
на этом, многие математики принимают гипотезу о том, что стан-
дартные формализации дают удовлетворительную формализацию,
или „разумную переделку” (неизбежно расплывчатых) неформальных
понятий. Эту гипотезу часто называют тезисом Чёрча. Тезис Чёрча
нужно рассматривать скорее как предложение, чем как гипотезу,
предложение, чтобы мы согласились с этих пор придавать неко-
торым интуитивным понятиям (например, понятию „функция,
вычислимая алгоритмом”) точные значения.

В современных исследованиях выражению „тезис Чёрча” при-
дается несколько более широкий смысл. В частях II и III Основного
результата мы указываем, что был развит ряд сильных методов
для доказательства частичной рекурсивности функций с нефор-
мальными алгоритмами и для преобразования неформального
набора инструкций в формальный набор инструкций. Развитие
этих методов привело к тому, что (а) математик может узнать,
дает ли предложенный неформальный алгоритм частичнорекурсив-
ную функцию, так же легко, как в других областях математики он
определяет, верно ли предложенное неформальное доказательство,
(Ь) логик может переходить от неформального определения алго-
ритма к формальному так же легко, как в других областях, мате-
матики он переходит от неформального к формальному доказа-
тельству.

!) Здесь абсолютный означает „существующий помимо и в большой степе-
ни независимо от символических формулировок”. Понятие доказуемости
в исчислении предикатов (для классической двузначной логики) дает другой
пример подобного рода.
Предмет теории рекурсивных функций точно описан — это
класс функций, определенный в § 1.5. Однако исследования
в этой области используют неформальные методы с возрастающей
смелостью. Эта книга будет существенно опираться на такие мето-
ды, что позволит избежать громоздких деталей и выделить ключе-
вые математические идеи на фоне утомительных манипуляций.
Мы увидим, что таким образом можно обсудить и доказать многие
очень глубокие математические результаты. Однако мы продол-
жаем претендовать на то, что наши результаты имеют статус
конкретных математических результатов, относящихся к классу
функций, формализованному в § 1.5. Разумеется, любой исследо-
ватель, который использует неформальные методы и делает подоб-
ное заявление, должен быть готов по первому требованию выдать
формальные детали.

В пользу доказательств, опирающихся на неформальные мето-
ды, имеются все те же доводы, что и в пользу тезиса Чёрча. Такие
доказательства назовем доказательствами по тезису Чёрча.

Мы встретимся с неформальными методами в оставшихся частях
этой главы. Почти все доказательства в книге будут использовать
в некоторой степени тезис Чёрча. Поучительна аналогия с нефор-
мальными методами доказательств в других областях математики.
В обоих случаях уровень неформальности используемых методов
непостоянен. Степень формализации доказательства обычно зави-
сит от сложности и абстрактности рассуждения. Подобным же обра-
зом' степень формальности деталей в этой книге будет меняться
от случая к случаю.

Начинающего читателя, которому тезис Чёрча кажется сомни-
тельным, могут обеспокоить такие рассуждения. Чтобы в какой-то
мере развеять его сомнения, мы предлагаем ему воспользоваться
книгами Дэвиса и Клини, где он найдет^все средства, необходи-
мые для полной формализации наших доказательств.

§ 1.8.	ГЕДЕЛЕВЫ НОМЕРА, УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ,
s-m-n-TEOPEMA

В качестве основной мы принимаем формализацию Тьюринга.

Из § 1.5 видно, что набор инструкций — это набор четверок,
удовлетворяющих условию совместимости. Аналогично процессу
перечисления всех примитивнорекурсивных схем в § 1.4 можно
устроить процесс перечисления всех наборов инструкций. Этот
процесс алг'оритмичен (в самом первом, неограниченном, нефор-
мальном смысле этого слова). Имеются процедуры, сопоставляю-
щие каждому числу х набор инструкций, стоящий на (х + 1)-м
месте в перечислении всех наборов инструкций. Предположим, что
мы выбрали одну такую перечисляющую процедуру. Фиксируем
ее до конца книги. Мы опускаем формальные подробности.
Определение. Рх — это набор инструкций, сопоставленный
числу х в фиксированном перечислении всех наборов инструкций.
Назовем х индексом или геделевым номером набора Рх.

Пусть cpW — это функция к переменных, определяемая набо-
ром Рх. Будем называть х также индексом или гёделевым номером
частичной функции фМ. (Будем опускать верхний индекс <ft>,
когда его значение ясно из контекста или к — 1. Чаще всего мы
будем иметь дело с функциями одной переменной г).)

Ясно, что процесс перечисления дает как (а) алгоритм для
перехода от произвольного х к соответствующему Рх, так и
(Ь) алгоритм перехода от произвольного совместимого набора чет-
верок Р к такому числу ж, что Р есть соответствующее Рх.

Во всей книге используется фиксированная гёделева нумера-
ция. Кажется, что это придает оттенок некоторой неинвариантно-
сти нашей теории. Однако мы увидим (гл. 4 и упр. 2-10), что наши
результаты инвариантны, т. е. не зависят от этой фиксации.
В этом отношении использование конкретной гёделевой нумера-
ции подобно использованию конкретной системы координат для
получения геометрических результатов, не зависящих от коор-
динат.

Теперь можно сформулировать несколько теорем, неявно содер-
жащихся уже в Основном результате.

Теорема I. Существует точно х0 (счетное количество) частич-
норекурсивных функций и существует точно общерекурсивных
функций.

Доказательство. По тезису Чёрча все функции-кон-
станты общерекурсивны. Следовательно, имеется по крайней мере х0
общерекурсивных функций. Гёделева нумерация показывает, что
существует не больше х0 частичнорекурсивных функций.а

Теорема II. Существуют нерекурсивные функции.

Доказательство. По теореме Кантора имеется 2No
(континуальное, следовательно, несчетное количество) функций.
Теорема доказана.и

Кажется, что следующая теорема зависит, насколько можно
судить по ее доказательству, от нашей конкретной формализации
и гёделевой нумерации.

Теорема III. Любая частичнорекурсивная функция имеет к о
различных номеров;

В литературе также фигурирует обозначение (х) (для нашей функции
Фэ-)- Мы используем <рж и Рх, чтобы подчеркнуть различие между сущностью
и именем, а именно: между частичной функцией и набором инструкций.
Доказательство. Нам нужно показать, что имеется
по крайней мере х0 номеров. Пусть дана частичнорекурсивная
функция фх0- Пусть т — число, превосходящее числовые индексы
всех символов внутренних состояний, входящих в РХо. При добав-
лении к Рхо четверок qmiiqm, qm+liiqm+i,   qm+u^qm+k
соответствующая частичная функция не изменится, так как в про-
цессе вычисления не может появиться ни qm, . . ., ни qm+k-
Варьируя к, получим х0 различных наборов инструкций для Фх0-в

Теорема III не является случайным следствием нашего выбора
формализации и гёделевой нумерации. Упражнение 2-10 показы-
вает ее инвариантность.

Отметим, что следующий текст определяет, вообще говоря, нефор-
мально алгоритм для некоторой функцииф: получив входах, у),
найдите Рх (производя стандартное эффективное перечисление
всех наборов инструкций, пока не получится jPx), затем примените
Рх н входу у, чтобы вычислить фх(у); когда фх(г/) даст выход (если
это произойдет), возьмите его как выход для ф(х, у). Имеем

( фх(р),	если <рх(р) сходится;

ф(х, у) = J

[ расходится, если ц>х(у) расходится.

Обращаясь к тезису Чёрча, получаем, что ф частичнорекурсив-
на и что ф = фх, для некоторого я^. (Формальное описание набора
инструкции РХ1 можно найти в книге Дэвиса [19581.) Оформим
полученный результат в виде теоремы.

Теорема IV. Существует z, такое, что для любых х и у
фДя, у) = фх(г/), если фх(^) определено, и фДя, у) не определено,
если фх(г/) не определено.

Функция ф!8) теоремы IV называется универсальной функцией
для частичнорекурсивных функций одной переменной. Pz — это
машина Тьюринга, которую можно использовать, чтобы продубли-
ровать любую частичнорекурсивную функцию одной переменной.
Теорема IV, иногда называемая теоремой о нумерации, представ-
ляет главный результат ранних (и более формальных) работ
по теории рекурсивных функций. Очевидно, что теорему IV можно
обобщить с тем, чтобы получить для любого к 1 функцию к + 1
переменных, которую можно считать универсальной функцией
для функций к переменных. Теоре.ма IV — это случай к = 1.

Теорема IV имеет нетривиальное практическое значение. Она
показывает, что при вычислении функций одной переменной
имеется такая критическая степень „механической сложности”
(сложность набора инструкций Рг), что всякая дальнейшая слож-
ность — сверх этой критической — может быть поглощена воз- -
• растающим размером программы и памяти. (В упражнении 2-5
мы увидим, что можно ограничиться функциями фиксиро-
ванного числа переменных.) Назовем Pz универсальной машиной.

Если рассмотреть нашу формализацию с точки зрения вопро-
сов *6—*10 из § 1.1, то теорема IV показывает/ что вычислите-
лем L не обязательно должен быть человек, и это уточняет
наше заявление в § 1.1, что L может быть строго ограничен
в своих „возможностях”. Итак, наша формальная концепция
машины Тьюринга совместима с нашими ответами на вопросы
*6—*9. Она совместима и с нашей позицией в вопросе *10,
поскольку не накладываются никакие ограничения, которые тре-
буются при положительном ответе на *10. Позже мы рассмотрим
вопрос *10 в теореме XI и упражнении 2-8.

Теорема V, которую мы сейчас приведем, доказывается так же
исходя из используемой конкретной формализации и гёделевой
нумерации. Однако, подобно теореме III, она инвариантна. В соче-
тании с тезисом Чёрча она будет основной в дальнейшей работе.

Теорема V. Для любых т, 1 существует общерекурсивная
функция Sn от т + 1 переменных, такая, что для всяких
х, У1, • • , Ут

. . . zn[<p<m+n) (ylt . . ., ут, zb . . zn)] =

— ю (n)

....Ут>'

Доказательство. Рассмотрим случай т = п — 1.
(Остальные случаи разбираются аналогично.) Рассмотрим семей-
ство всех функций одной переменной, которые выражаются как
Хг[фж’(у, z)l при различных я: и у. Используя стандартную форма-
лизацию для функций двух переменных, мы можем смотреть на
эти выражения как на новую формализацию для функций одной пе-
п,Аменн9Й. Согласно части III Основного результата, существует
единообразная эффективная процедура перехода от наборов
инструкций новой формализации к наборам инструкций старой
формализации. Следовательно, по тезису Чёрча должна существо-
вать общерекурсивная функция / двух пере иных, такая, что

Xz[<p$?’(y, г)] = фАж, у).

Эта функция и есть искомая функция $}.и

Неформальное доказательство с обращением к тезису Чёрча
и части III Основного результата можно заменить формальным
доказательством. (Более того, функции s™ можно выбрать прими-
тивнорекурсивными.) Мы отсылаем читателя к книгам Дэвиса
[1958] и Клини [1952]. Теорема V известна как s-т-п-теорема
и принадлежит Клини. Теорема V (вместе с тезисом Чёрча) —
это инструмент с широкой областью применения и большой силы.
Здесь мы дадим один пример такого рода, дальнейшие приложе-
ния будут получены в § 1.9.

В последующих главах во многих слузаях мы не будем особо
оговаривать применение s-m-n-теоремы (и тезиса Чёрча).

Теорема VI. Существует общерекурсивная функция g двух
переменных, такая, что для любых х, у

фг<х, у> = ФхФ»(= Xz[tpx(cp2,(z))l).

Доказательство. По тезису Чёрча немедленно полу-
чаем, что для любых х, у функция т] = <Px<Pj, — частичнорекурсив-
ная функция. Осталось указать общерекурсивную функцию g,
т. е. мы должны показать, что гёделев номер т] можно найти едино-
образным эффективным способом по х и у. Читатель, поразмыслив
над Основным результатом, посчитает это очень правдоподобным.
Теорема V дает средства для доказательства. Положим

0(*, У, z) = q>x(q>j,(z)) = cpx.fc, срЖ1(у, z)),

где <рж^ —универсальная функция из теоремы IV. По тезису Чёр-
ча 0 частичнорёкурсивна и имеет номер ш0. Согласно теореме V,
имеем

фхфу === ^[фи>о(®, у, z)] = <psa(wo, х, у)

и Xxy[sJ(ui0» х, у)] есть искомая функция

§ 1.9.	ПРОБЛЕМА ОСТАНОВКИ

Существует ли эффективная процедура для определения
по данным хну, сходится ли <ря0/) или нет, т. е. дает ли выход
набор Рх в применении к входу у или нет? Согласно тезису Чёрча,
этому вопросу можно придать следующую эквивалентную и точ-
ную форму. Существует ли рекурсивная функция g, такая, что
g(x, у) = 1, если фх(у) сходится, и что g(x, у) — 0, если Ц>х(у)
расходится? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема VII. Не существует общерекурсивной функции g,
такой, что для любых х, у

С 1, если <px(j/) сходится’,
у) = <

10, если Фх(у) расходится.

Неформальное доказательство. Предполо-
жим, что есть такая общерекурсивная функция g. Ее можно
использовать, чтобы определить новую частичную функцию ф:

f 1,	если g(x, х) = 0;

•ф/дЛ _ I

'	[ расходится, если g{x, х) = 1.
Так как g(x, х) должно равняться 0 или 1, то это дает алгорит
и по тезису Чёрча ф будет частичнорекурсивной функцией. (Ког-
да g{x, х) = 1, инструкции для ф могут использовать некоторое
условие, дающее бесконечно повторяющийся цикл,— достаточно
взять пару четверок	qnBBqn,— чтобы гарантировать, что

ф(;г) не определено.) Пусть у0 — гёделев номер функции ф. Тогда,,
согласно определению функцииф, <рУо(уо) сходится <=>g(j/o, Уо) = 0;,
но согласно первоначальному предположению о g, g(yo, Уо) =
= 0<=> фУо(уо) расходится. Получили противоречие; следовательно,
такой рекурсивной функции g не существует. а

Только что проведенное доказательство использует тезис Чёрча
в доказательстве от противного. Читателя может заинтересовать,
как осуществить формальный аналог использования тезиса Чёрча
в таком основанном на гипотезе контексте. Поучительно просле-
дить путь, приводящий к более формальному доказательству.

Более формальное доказательс т-в о. Опре-
делим ф следующим образом:

( 1,	если <Pza> (х, х) = 0;

ф(г, х) =х < расходится, если ф42> (х, х) =/= 0 или

I	Ф?1’ (х, х) расходится .

По тезису Чёрча ф частичнорекурсивна. Согласно теореме V, по z
эффективно находится гёделев номер функции Хх[ф(г, х)],
т. е. существует общерекурсивная функция h, такая, что для лю-
бого z фЛ(2) = Хх[ф(г, х)]. (В качестве h можно взять Xz [s}(u4, z)],
где Wi — гёделев номер ф.)

Предположим теперь, что g — ф2„ для некоторого z0. Согласно
определению h, Чмх^х) сходится <=> ф2о(х, х) = 0. Подставляя
h(z0) вместо х, имеем

4 Флц.)(^(2о)) сходится <=> фг (fe(z0), Л(г0)) = 0.

Но тогда ф2(1 не может совпадать с g, так как для входа (fe(z0), Щг0))
функция ф2о или не определена, или дает ошибочную информа-
цию. м

Мы видим, что никакая частичнорекурсивная функция не удов-
летворяет условиям для g и что наше доказательство конструктив-
но в том смысле, что для любого z значение h(z) дает конкретное
место, где ф2 отличается от g. Из теоремы VII немедленно выте-
кает такое предложение.

Следствие VII. Не существует общерекурсивной функции f,
такой, что

( 1, если фя(х) сходится’,

'	(0, если фж(х) расходится.
Доказательство. Следует из доказательства теоремы. и

Нашу первоначальную проблему (сфррмулированную в пер-
вом абзаце этого параграфа) называют проблемой остановки, где
слово „остановка” означает „наличие выхода”. Факт, установлен-
ный в теореме VII, известен под названием рекурсивной неразре-
шимости проблемы остановки. Он точно формулируется в терми-
нах нашей формализации *).

Основной результат § 1.6 придает этому факту фундаменталь-
ное значение. Проблема остановки была первой «естественной»
комбинаторной проблемой, оказавшейся рекурсивно неразреши-
мой. Доказательство существования просто описываемых рекур-
сивно неразрешимых проблем — это одно из наиболее порази-
тельных достижений математики двадцатого века. До того момен-
та, как оно было получено (в 30-х годах), многие математики
не могли представить себе, что могут быть просто орисываемые
комбинаторные проблемы (такие, как проблема остановки),
не имеющие алгоритмического решения. Более общие рассуждения
о таких неразрешимых проблемах отложим до гл. 2.

Результаты ранних формальных работ по теории рекурсивных
функций (до 1940 года) можно суммировать так: (1) Основной
результат (§ 1.6); (2) существование универсальной функции
(§ 1.8) и (3) неразрешимость проблемы остановки (§ 1.9). В основ-
ной работе Тьюринга [1936] рассматриваются главным образом
эти вопросы.

Закончим этот параграф еще одним результатом о неразре-
шимости. Впервые он был получен Клини [1936] и является есте-
ственным следствием наших рассуждений о диагонализации в § 1.4.

Теорема VIII. Не существует эффективной процедуры для
определения по любому х, всюду ли определена функция <рж. Други-
ми словами, не существует общерекурсивной функции f, такой, что

{1, если <рж всюду определена-,
О, если срх не всюду определена.

Доказательство. Дадим неформальное доказательство.
Переход к более формальному доказательству подобен аналогич-
ному переходу в теореме VII (см. упражнение 2-7).

J) „Не существует машины Тьюринга, решающей проблему остановки
(для машин Тьюринга). Более того, для любой машины Тьюринга — канди-
дата на эту роль — можно указать единичный пример проблемы остановки,
где этот кандидат терпит неудачу; на самом деле существует одна машина
Тьюринга, которая вычисляет по описанию любого кандидата соответствую-
щий контрпример”.
Предположим, что такая функция / существует. Тогда опреде-
лим функцию g так:

g(0) = w[/(?) = П,

g(x + 1) = pyly > g(x) & f(y) = 1].

Так как /(у) = 1 для бесконечно многих у (см. теорему I), то g
всюду определена. По тезису Чёрча g общерекурсивна. Определим
теперь h следующим образом!

h = Хх [<pg.(х>(х) + 1].

По предположению о функции f функция h всюду определена.
По тезису Чёрча h общерекурсивна. Пусть h — <р20. Согласно
определению функции g, g-1(z0) определяется однозначно, обозна-
чим его через у0. Тогда h(y0) = Ф#(уо)(г/о) + 1, согласно нашему
определению функции h, но h(y0) = <рg(yQ'l(yo) по определению у0.
Так как h всюду определена, то мы пришли к противоречию.в

§ 1.10. РЕКУРСИВНОСТЬ

В § 1.5 был определен формально класс функций, названных
частичнорекурсивными. В дальнейшем, называя функцию „эффек-
тивной”, ;.вычислимой”, „рекурсивной”, „эффективно вычислимой”,
„рекурсивно вычислимой”, „механически вычислимой” или „алго-
ритмической”, мы будем иметь в виду, что она попадает в этот
класс. Свойство принадлежать этому классу будем называть
частичнорекурсивностъю. (Некоторые математики употребляют
для этого свойства термин „общерекурсивность”; другие сохра-
няют термин „общерекурсивность” лишь для всюду определенных
функций. В обоих случаях приставка „обще” подчеркивает, что
рассматриваются функции из широкого класса § 1.5, а не из более
узких классов (таких, как примитивнорекурсивные функции,
например).)

В данном параграфе мы обсудим некоторые аспекты частич-
ной рекурсивности. В частности, рассмотрим (1) распространение
этого понятия на случай нечисловых входов и выходов (кодирова-
ния); (2) некоторые структурные свойства частичнорекурсивных
функций и связь этих свойств с вопросом *10 из § 1.1 (р-оператор)
и (3) сущность и возможную полезность нашей дальнейшей тео-
рии (заключительные замечания). Цели и приложения теории более
подробно будут рассмотрены в гл. 3.

Кодирования

Частичнорекурсивные функции осуществляют отображения
натуральных чисел в натуральные числа, и их алгоритмы преоб-
разуют записи чисел в записи чисел. Первоначальное неограни-
ценное неформальное понятие алгоритма относилось к процеду-
рам с символическими входами и выходами более общего типа;
например, таков алгоритм дифференцирования полиномов. Мы
уже использовали такие алгоритмы на промежуточных этапах
Определения числовых алгоритмических функций (затем использо-
вался тезис Чёрча, чтобы заключить, что исследуемые числовые
функции частичнорекурсивны); например, в определении
универсальной функции фигурирует алгоритм (с нечисловым выхо-
дом), преобразующий число х в набор инструкций Рх. Возникает
вопрос, можно ли каким-либо образом включить такие широкие
нечисловые алгоритмы в нашу формальную теорию. К этой проб-
леме есть два подхода.

Первый подход состоит в следующем. Для данного класса
нечисловых входов и выходов выбирают некоторое фиксированное
взаимно однозначное отображение этого класса в натуральные
числа. После этого для удобства отождествляют каждый симво-
лический элемент нечислового класса с соответствующим число-
вым „индексом”. Такое стандартное отображение называют коди-
рованием, а числа, используемые как индексы, называют кодовыми
номерами. Кодирование выбирается так, чтобы (а) оно задавалось
неформальным алгоритмом в неограниченном смысле; (Ь) оно было'
обратимым, т. е. существовал неформальный алгоритм (в неогра-
ниченном смысле) для распознавания кодовых номеров и для
обратного ’’декодирующего” отображения кодовых номеров в не-
числовые элементы. Кроме того, предполагается, что кодиро-
вание используется в том случае, когда (с) имеется неформальный
алгоритм для распознавания выражений, образующих рассматри-
ваемый нечисловой класс.

При таком отождествлении выражений (нечислового класса)
с числами проблема определения алгоритмов (для этого класса)
сводится к нашей формальной теории алгоритмов для натуральных
чисел *).

Пример такого рода уже встречался нам в § 1.8. Фиксирован-
ная нами гёделева нумерация частичнорекурсивных функций —
это кодирование наборов инструкций натуральными числами.
(Кодирования часто так и называют гёделевыми нумерациями,
а кодовые номера — гёделевыми номерами 2).)

’) Философски мыслящий читатель может спросить, почему в качестве
кодирований берутся отображепия в числа (математические объекты), а не
в нумералы (символические изображения чисел), в то время как алгоритмы
Для частичнорекурсивпых функций должны оперировать с некоторой формой
иумералов. Верно, что использование нумералов было бы ближе нашему обра-
зу мышления, однако для наших целей это различие несущественно. Исполь-
зование чисел как индексов более удобно в техническом отношении п яв-
ляется общепринятым.

2) Впервые кодирование было использовано Гёделем, осуществившим
Кодирование формул теории чисел натуральными числами; это позволило
Использование кодирований немедленно поднимает вопро
об инвариантности. Если выбрано кодирование, будет ли формал
ное понятие частичнорекурсивной функции на кодовых номер
соответствовать неформальному понятию алгоритмического ото
сражения кодируемых выражений? Так как последнее поняти
эмпирическое, то и£ответ должен быть частично эмпирическим
Тезис Чёрча предполагает положительный ответ. Пусть С — не
числовой класс (см. диаграмму ниже). Пусть у — кодирующе
отображение класса С в N, предположим, что у отображает
на N (очевидна модификация доказательства на случай, когда
не отображает на N). Пусть у-1 — декодирующее отображение
на С. Согласно определению кодирования, у и у-1 (неформально
алгоритмичны. Пусть <р — произвольная частичнорекурсивна
функция. Она (как формально, так и неформально) является алго-
ритмической. Следовательно, отображение 6 = y-1cpy — это (не
формально) алгоритмическое отображение класса С в С. Обратно,
пусть 6 — произвольное (неформальное) алгоритмическое отобра-
жение класса С в С, тогда ф == убу1 — это (неформальная) алго-
ритмическая частичная функция; согласно тезису Чёрча, ф —
частичнорекурсивная функция. Итак, каждой формальной функ-
ции <р соответствует неформальное отображение 6, каждому
неформальному отображению б соответствует формальная функ-
ция <р.

в

С-------------+ С

v	v

N-------------

<р

Второй подход к формальному истолкованию нечисловых алго-
ритмов состоит в следующем. Формализация § 1.5 расширяется
так, чдобы непосредственно включить в качестве входов и выходов
выражения из более широких „нечисловых” классов. Особенно
удобны для этого машины Тьюринга х). Требуется только, чтобы
выражения из более широких классов изображались конечными
словами в фиксированных конечных алфавитах основных симво-
лов (отличных от В и 1). Основные операции машин Тьюринга
обобщаются так, чтобы включить написание и стирание символов
нового алфавита. Говорят, что нечисловое отображение рекурсивно

ему исследовать формулы и логику доказательств теории чисел внутри самой
теории чисел. Попытки обнаружить парадоксы самоприменимости при этом
кодировании дают первую теорему Гёделя о неполноте. Подобную конструк-
цию такого рода еще раньше построил Тарский.

г) Другие формализации, расширенные с этой целью, изучались Постом
[1943] и Шмульяном [1961] (а Также А. А. Марковым [1951, 1954].— Ред.)
(см, кроме того, работы Ассера [1960], Карри [1963] и Тьюринга [1936]).
(или частичнорекурсивно'), если существует машина Тьюринга, его
реализующая. После такого расширения формализации соответ-
ственно модифицируются части I, II и III Основного результата
(§ 1.6), чтобы включить это более широкой понятие рекурсивности.

Очевидно, что второй подход более прямой. Мы используем
первый подход, чтобы ограничить предмет нашего исследования,
и подчеркнуть, что это формальная наука об отображениях нату-
ральных чисел. Для результатов, получаемых в книге, безразлич-
но, какой подход используется.

ц-оператор

Оператор ц определен во введении.

Теорема IX. Пусть f — общерекурсивная функция k ф- 1 пере-
менных, тогда Ххх . . .	. ., xh, у) — 1]] — частично-

рекурсивная функция к переменных.

Доказательство. Оно следует из тезиса Чёрча. Поло-
жим

ф ...	. . ., xh, у) = 1]].

Тогда, чтобы вычислить ф^, . . ., xh), нужно последовательно
вычислять

f(Xi, . . ., xh, 0), f(xi, . . ., xh; 1), f (xt, . . ., xh, 2), . . . .

Как только найдется у, такой, что /(xj, . . ., хк, у) =1 (если ' .
это произойдет), мы возьмем его в качестве значения. Подвычис-
ления для / всегда определены, так как f — общерекурсивная
функция. в

Теорему IX называют р-теоремой. В упражнении 2-13 мы уви-
дим, что теорема IX не всегда верна, если / заменить на частично-
рекурсивную функцию k + 1 переменных.

Оказывается, что в некотором смысле любую частичнорекур-
сивную функцию можно получить из (всюду определенных) рекур-
сивных функций однократным применением оператора р. Это
следует из теоремы X.

Теорема X. Существуют конкретные общерекурсивные функции
put одного и трех переменных соответственно, такие, что для
любого z

<рг = Ыр(цу[Дз, х, у) == 1])].

Доказательство. Определим функцию з следующим
образом:

1, если Рг на входе х дает выход у за не более

s(z, х, у, la) — -

чем w шагов;

0 в противном случае.
По тезису Чёрча s общерекурсивна. Определим р и q так:
р = [показатель при 3 в разложении х + 1 на простые множи-
тели},

q = Хх [показатель при 2 в разложении х + 1 на простые
множители].

Положим

t = kzxy[s(z, X, р(у), q(y))].

По тезису Чёрча р, qm, следовательно, t общерекурсивны. Утверж-
дение теоремы вытекает теперь из определения функций s, р, q
и t.u

Теорема X называется теоремой Клини о нормальной форме.
Теорема IV (теорема о нумерации) получается как ее простое след-
ствие. Можно показать, что как р, так и t можно выбрать прими-
тивнорекурсивными. Теорему X можно сформулировать и дока-
зать для частичных функций к переменных, к > 1, вводя подхо-
дящие общерекурсивные функции sfe и th от к + 3 и к + 2 пере-
менных соответственно.

Следствие X. Существуют общерекурсивные функции р и th,
такие, что для любого z

<pW ='kxi . . . xft[p(py[Zh(z, x„ . . xh, y) = 1 ])].

Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы Х.а

Конечно, доказательство теоремы X может основываться
на формализации Клини. После некоторого ряда различных
определений можно получить функцию t, аналогичную нашей
функции t. Отношение

v Т = {<*> У> 2> I *(*, I/. 2) = 1}

называется предикатом Клини Т, предложение, что (х, у, z) С Т,
сокращенно обозначается Т(х, у, z). Предикат Клини Т часто
встречается в литературе.

Возникает естественный вопрос об усилении теоремы X исклю-
чением из нее функции р. Существует ли общерекурсивная функ-
ция /*, такая, что для любого z

<р2 = Xx[py[Z*(z, х, у) = 111?

Теорема 2-1II покажет, что такой функции Z* не существует.
Более того, мы найдем частичнорекурсивную функцию ф одной пе-
ременной, такую, что для любой рекурсивной функции / неверно,
что

ф — кх [цг/[/(х, у) = 111.
ц-теорема показывает, что наша формализация допускает
вычисления, состоящие в неограниченных поисках числа, удовлет-
воряющего некоторому заданному эффективному условию. Эта
теорема связана с невозможностью положительного ответа на
вопрос *10 в § 1.1. A priori существовала возможность, что
из формализации вытекает некоторый осмысленный позитивный
ответ на вопрос *10. К сожалению, это не так. Теорема XI и ее
доказательство показывают, что при любом разумном положи-
тельном ответе можно провести диагонализацию, ведущую к про-
тиворечию. Доказывается теорема XI в упражнении 2-8.

Теорема XI. Не существует общерекурсивной функции f двух
переменных, такой, что для любых х и z [набор инструкций Pz
в применении к х дает выход]<=> [Рг в применении к х дает выход
за не более чем f(z, х) шагов] 1).

Результат о несуществовании в теореме XI подобен результа-
там о неразрешимости в теоремах VII и VIII. Подобно теоре-
мам VII и VIII, это — следствие широты формального понятия
рекурсивности. Из-за таких результатов некоторые математики
утверждают, что формальное понятие рекурсивности слишком
широко для того, чтобы быть аналогом принятых ими неформаль-
ных понятий алгоритмической вычислимости. Даже если это так,
рекурсивность выражает некоторое понятие алгоритмической
вычислимости и достаточно естественно для того, чтобы заслужить
право на дальнейшее развитие.

Заключительные замечания

Концепция частичной рекурсивности обладает достоинствами
(широта и ясность) и недостатками (неразрешимость), характер-
ными для развиваемой нами теории. Важную роль в этой теории
будут играть методы диагонализации, подобные методам тео-
рем VII и VIII. Было бы отнюдь не опрометчиво сказать, что наша
теория в большей части — „теория диагонализации”.

В настоящее время эта теория приносит малую практическую
пользу. Она рассматривает скорее вопросы существования или
несуществования вычислительных методов, чем вопросы их эффек-
тивности и хорошей организации. Вопросы последнего рода
появляются не в нашей теории, а в более сложных теориях, осно-
вывающихся на более узких понятиях, чем рекурсивность. Нашу
теорию можно рассматривать как предельный, асимптотический

*) Если воспользоваться функцией s из доказательства теоремы X, то тео-
рему XI можно переформулировать так: не существует рекурсивной функции
/, такой, что для любых х, у, z [(3 и>) [$(ж, у, z, w) = 1] s(x, у, z,
/(*,»))=!].
случай этих более узких и более трудных теорий. В качестве тако-
вой она все-таки имеет определенное практическое значение.
Широкое понятие машины Тьюринга, понятие универсальной
машины (§ 1.8) и другие комбинаторные результаты и методы
данной теории оказались полезными в работах по программиро-
ванию на вычислительных машинах. Возможно, наиболее прямое
практическое приложение получили результаты о несуществова-
нии (т. е. неразрешимости), так как эти результаты переходят
и в более узкие' теории.

Однако нужно отметить, что в настоящее время основная цен-
ность этой теории состоит в ее связях с чистой математикой. Она
дает структуры, обладающие огромной внутренней красотой
и естественностью. Эта теория дает новый и часто глубокий взгляд
на другие области. Такой подход оказался особенно полезным
в математической логике, он все в большей степени используется
и в более классических областях.
Глава 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ

§ 2.1.	Новые примеры неразрешимых проблем 53

§ 2.2.	Неразрешимые проблемы в других областях математики 56

§ 2.3.	Существование некоторых частичнорекурсивных функций 58

§ 2.4.	Исторические замечания 60

§ 2.5.	Обсуждение 61

§ 2.6.	Упражнения 62

§2.1	. НОВЫЕ ПРИМЕРЫ НЕРАЗРЕШИМЫХ ПРОБЛЕМ

Теорема 1-VII, следствие 1-VII и теорема 1-VIII дают примеры
рекурсивной неразрешимости. Каждая связана с „проблемой”,
которую можно сформулировать как проблему эффективного рас-
познавания элементов некоторого множества или отношения.
Например, для следствия 1-VII таким множеством будет {х | <ря(х)
сходится}. Каждый из этих трех результатов показывает, что
соответствующее множество или отношение не обладает рекур-
сивной характеристической функцией. Мы объединим эти резуль-
таты, говоря, что данные проблемы рекурсивно неразрешимы.

Приведем несколько новых примеров рекурсивной неразре-
шимости. В каждом случае мы покажем, что для соответствующего
множества (или отношения) невозможна рекурсивная характери-
стическая функция. „Проблемы” описанного вида интересны и
естественны для самой теории рекурсивных функций. Все они
связаны со следующим вопросом: насколько эффективно по на-
бору инструкций для частичнорекурсивной функции можно оп-
ределить ее поведение, т. е. насколько эффективно по номеру х
можно определить поведение функции срх?

Имеется два метода для доказательства рекурсивной неразре-
шимости. Первый, прямой метод состоит в том, чтобы привести
доводы, обычно с привкусом диагонализации, показывающие, что
разрешимость приведет к противоречию. Второй, косвенный метод
состоит в том, что берут другую проблему, о которой уже извест7
но, что она неразрешима, и затем показывают, что разрешимость
исследуемой проблемы повлечет разрешимость проблемы, о кото-
рой известно, что она неразрешима. Последний метод называют
методом сведения', показывают, что известная проблема сводится
к исследуемой проблеме (и, следовательно, она была бы разреши-
ма, если бы была разрешимой исследуемая проблема). Метод све-
дения часто более удобен, чем прямой метод. Теоремы 1-VII
и 1-VIII получены прямым методом. В примерах, которые сейчас
будут даны, используется косвенный метод. В каждом случае
в качестве проблемы, о которой уже известно, что она неразре-
шима, избирается проблема из следствия 1-VII.
Рассмотрим следующие проблемы:

(а)	Проблема определения по любому х, является ли функция
фх постоянной функцией.

(Ь)	Проблема определения по любым х и у, входит ли у в об-
ласть значений функции фх.

(с)	Проблема определения по любым х, у и z, выполняется ли
Фх(у) = z.

(d)	Проблема определения по любым х и у, выполняется ли
Фх = ф9-

(е)	Проблема определения по любому х, бесконечно ли множе-
ство значений функции фх.

(f)	При фиксированном у0 проблема определения по любому х,
содержится ли у0 в области значений функции фх.

(g)	При фиксированном х0 проблема определения по любому
у, содержится ли у в области значений функции фХо.

Теорема I. Проблемы (a), (b), (с), (d) и (е) рекурсивно неразре-
шимы. При любом выборе у0 проблема (f) неразрешима. Проблема
(g) может оказаться и разрешимой, и неразрешимой, в зависимости
от выбора х0.

Доказательство, (а) Пусть g — характеристическая
функция множества {х | <рх есть постоянная функция}. Мы хотим
показать, что g нерекурсивна.

Определим ф, функцию двух переменных, следующим образом:
получив вход (х, у), найти Рх и применить Рх к входу Рх; когда
процесс сойдется (если это произойдет), выдать выход 0. По тезису
Чёрча ф частичнорекурсивна. Ясно, что ф удовлетворяет такому
условию:

С 0,	если фх(х) сходится;

ф(ж, у) =

I расходится, если фх(х) расходится.

По теореме 1-V (s-m-n-теореме) существует общерекурсивная
функция такая, что Ху[ф?х, р)] — ф^/х) (функция hi — это
Xzfs} (z0, ж)1, где z0—номер ф). Итак,

если фж(х) сходится;

Фл,(х>(у) —

расходится, если фх(х) расходится.

Следовательно, Фд1(х) — постоянная функция тогда и только тог-
да, когда фх(ж) сходится.

Если функция g рекурсивна, то ghi(=	общерекур-

сивна и

г 1, если фх(.г) сходится;
ghi(x) = J

( 0, если фх(я) расходится.
Но ght будет характеристической функцией множества {х | <рж(а:)
сходится} вопреки следствию 1-VII. Поэтому функция g не может
быть рекурсивной.

(Ь)	Пусть / — характеристическая функция отношения
{{я, у} | у содержится в области значений функции фж}. Пусть
hi — общерекурсивная функция, определенная в доказательстве
для (а). Если / рекурсивна, то Хх	0)] будет рекурсивной

характеристической функцией множества {х | фж(я:) сходится},
что противоречит следствию 1-VII.

(с)	Пусть / — характеристическая функция отношения
{{х, у, z) | qpy(y) —z}. Если / рекурсивна, то hx[f(hi(x), 0, 0)]
будет рекурсивной характеристической функцией множества
{х | Фх(^) сходится} вопреки следствию 1-VII, где опять ht — та-
же, что и в доказательстве для (а).

(d)	Пусть / — характеристическая функция отношения
{(х, у} | фх = фу}. Возьмем у0 — некоторый номер функции
2ис[0], тогда hx [f(hi(x), у0)1 будет рекурсивной характеристиче-
ской функцией множества {х | фж(а:). сходится} вопреки следст-
вию 1-VII, где ht — такая же, как в доказательстве для (а).

(е)	Пусть / — характеристическая функция множества
{х | Vai фж бесконечна}. Методом, аналогичным методу доказа-
тельства для (а), определим общерекурсивную функцию h2,

такую, что

ФЛ2(Х)(У) = '

у, если фж(х) сходится;

расходится, если фж(ж) расходится.

Если / рекурсивна, то hx[f(h2(x))] будет рекурсивной характери-
стической функцией множества {х | фж(а:) сходится} вопреки след-
ствию 1-VII.

(f)	Пусть дано у0, и пусть / — характеристическая функция
множества {х | у0 принадлежит множеству значений функции
Фх). Тогда если / рекурсивна, то Xx[f(h2(x))\ будет общерекурсив-
ной характеристической функцией множества {х | фж(-т) сходится}
вопреки следствию 1-VII, где h2 — рекурсивная функция, опре-
деленная в доказательстве для (е).

(g)	Выберем Хо так, чтобы фх0 была тождественной функцией,
т. е. фх0(у) = у для любого у. Тогда для множества {у ] у принад-
лежит области значений функции фжо} в качестве рекурсивной
характеристической функции можно взять Хж[1]. В упражне-
нии 2-19 мы увидим, что существуют также такие х0, для которых
множество {у | у принадлежит области значений функции фх0}
не обладает рекурсивной характеристической функцией, g

В каждом из случаев (а) — (f) для доказательства неразреши-
мости соответствующей проблемы мы показывали, что проблема
остановки следствия 1-VII сводится к ней, т. е. доказывалось,
что если бы мы смогли эффективно решить исследуемую проблему,
то мы могли бы воспользоваться этим для получения эффектив-
ного метода решения проблемы остановки из следствия 1-VII.

Неразрешимые проблемы пунктов (a)—(f) теоремы I (так же,
как теорема 1-VII, теорема 1-VIII) являются частными
случаями следующего результата, принадлежащего Райсу [19531.
Пусть % — совокупность частичнорекурсивных функций одной .
переменной. Тогда множество {х | <рх 6 обладает рекурсивной
характеристической функцией тогда и только тогда, когда
пуста или состоит из всех частичнорекурсивных функций одной
переменной. Доказательство теоремы Райса дано в упражне-
нии 2-39. Теорема I формулировалась для того, чтобы показать
конкретные вводные примеры сводимости и доказательств с помо-
щью сводимости.

§ 2.2.	НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ДРУГИХ
ОБЛАСТЯХ МАТЕМАТИКИ

Целый ряд классических математических задач касается вопро-
са существования алгоритмов решения определенных „проблем”.
С помощью кодирований, как отмечалось в § 1.10, эти вопросы
можно переформулировать как вопросы о существовании рекур-
сивных функций. В этой последней, более точной, форме целый
ряд таких вопросов получил отрицательное решение.

Первые результаты такого рода были обнаружены в математи-
ческой логике в работах Гёделя, Чёрча и Тьюринга. Результаты
Гёделя и Чёрча касались существования алгоритмов („процедур
разрешения”) для определения доказуемых формул в конкретных
формальных логических системах. Кратко эти результаты будут
изложены в § 2.4 и более подробно в последующих*главах.

Результаты о неразрешимости были получены в теории чисел
и алгебре. Рассмотрим полиномы от любого числа переменных
с рациональными коэффициентами. Рассмотрим проблему опреде-
ления по любому такому полиному, имеет, он действительное
решение или нет {{гц, . . ., rh) — решение полинома p(xi, . . ., xh),
если p(rt, . . ., rk) — 0). Эта проблема разрешима. Известные
методы анализа (включающие, например, теорему Штурма) дают
алгоритм решения (см. работу Тарского [1948]). Существует ли
алгоритм для определения по любому такому полиному, имеет ли
он решение в рациональных числах („диофантовы корни”)? „Проб-
лема”, связанная с этим вопросом, известна под названием десятой
проблемы Гильберта. В настоящее время не известно, является ли
эта проблема рекурсивно разрешимой х). Дэвис, Патнам и Дж. Ро-

г) Как показал Ю. В. Мати ясевич [1970], десятая проблема Гильберта
не является рекурсивно разрешимой.'— Прим. ред.
, О 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ДРУГИХ ОБЛАСТЯХ МАТЕМАТИКИ 57
,—.......................................................—

биисон 11961] показали, что рекурсивно неразрешима проблема,
близкая к диофантовой, а именно проблема определения по любо-
му показательному полиному, имеет ли он решение в неотрица-
тельных целых числах. Показательный полином — это форма,
подобная полиному с неотрицательными коэффициентами, в кото-
рой переменная может быть показателем.

Теория групп дает пример неразрешимости в алгебре. Запись
группы — это конечный список образующих и соотношений,
определяющих группу. (Мы здесь не определяем эти термины.)*
Проблема определения по записи любой группы и любому слову
из образующих, можно ли преобразовать это слово в единицу
согласно соотношениям группы, известна как проблема тождества
в теории групп. Новиков [1955] и Бун [1957] показали, что эта
проблема рекурсивно неразрешима. Более того, каждый из них
указал одну конкретную группу, для которой не существует -
алгоритма для распознавания равенства слов единице. Эти резуль-
таты,. доказывающие рекурсивную неразрешимость проблемы тож-
дества в теории групп, завершили ряд результатов (этих авторов
и других), показывающих рекурсивную неразрешимость проблемы
эквивалентности для различных более слабых алгебраических
структур х). Отметим еще, что проблема определения по записи
любой группы, имеет ли данная группа рекурсивно разрешимую
проблему тождества, в свою очередь рекурсивно неразрешима
(см. аналогичный результат в упражнении 2-29).

Результаты о неразрешимости были получены также в тополо-
гии. Проблема определения, когда явно заданы две триангуляции
четырехмерных многообразий, гомеоморфны эти многообразия
или нет, является рекурсивно неразрешимой (см. работы Маркова
[1958]). (Проблема для двумерных многообразий решается хоро-
шо известными методами.)

Для доказательства рекурсивной неразрешимости проблем,
лежащих вне теории рекурсивных функций, почти всегда исполь-
зуется метод сведения. Исследуемая проблема связывается с не-
разрешимой проблемой теории рекурсивных функций — обычно
какой-нибудь формой проблемы остановки. Так, для получения
результата о неразрешимости для показательных уравнений Дэ-
вис, Патнам и Дж. Робинсон [1961] построили эффективную про-
цедуру, согласно которой для любого х можно получить такой
показательный полином — назовем его Ех,— что Ех имеет реше-
ние в неотрицательных-целых числах тогда и только тогда, когда
фж(х) сходится.

*) Для более слабых структур, где не всегда имеется единица, проблему
эквивалентности можно сформулировать как проблему определения по любым
Двум словам, можно ли одно из них преобразовать в другое, согласно соотно-
шениям структуры.
Описание такой процедуры сведения и доказательство .того,
что она обладает нужными сводящими свойствами, может быт
полным только при детальном изучении формализма рекурсивны
функций и исследовании более глубоких фактов о конкретны
математических объектах (например, показательно-диофантовы
уравнений), фигурирующих в данной проблеме.' (На самом дел
приходится доказывать, что объекты нашей проблемы достаточн
гибки, чтобы „выразить” все случаи проблемы остановки.)

Ряд результатов о неразрешимости в логике, теории чисел
и алгебре вместе с детальными доказательствами приведен в книг
Дэвиса [1958]. Эти результаты представляют собой интересное
и жизненное приложение теории рекурсивных функций, однак
здесь мы опускаем их подробное изложение. Мы ограничимся
только „проблемами” самой теории рекурсивных функций, пробле-
мами, где для доказательства неразрешимости удобно использо-
вать тезис Чёрча.

§ 2.3.	СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ЧАСТИЧНОРЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ

В § 2.1. и 2.2 мы интересовались, существуют или нет неко-
торые рекурсивные характеристические функции. Мы рассмотрим
еще несколько вопросов, касающихся существования или несуще-
ствования частичнорекурсивных функций.

Во-первых, всякую ли частичнорекурсивную функцию можно
продолжить до всюду определенной рекурсивной функции? Тео-
рема II дает отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема II. Существует такая частичнорекурсивная функция
ф, что никакая общерекурсивная функция f не является продолже-
нием функции ф, т. е. не верно, что

(Vz) [ф(х) сходится => ф(х) = f(x)\.

Доказательство. Используется диагональная про-
цедура. Определим ф следующим образом: чтобы вычислить ф(х),
надо найти Рх и применить Рх к х; как только появится вы-
ход (если это произойдет), надо взять фж(х) + 1 в качестве значе-
ния ф(х). По тезису Чёрча ф частйчнорекурсивна (ф — это
Ах [фг„(^> ж) 4- 1], где <р20—универсальная функция теоремы 1-IV).
Имеем

{<рж(ж) + 1> если <рх(х) сходится;
расходится, если фх(ж) расходится.

Пусть ’/ — произвольная общерекурсивная функция, и пусть
у — номер функции /, т. е. f — фу. Так как функция / всюду
определена, то /(у) = фу(у) определено. Следовательно, ф(у) опре-
делено и

4>(у) = f(y) + 1.

Поэтому / не может быть продолжением функции ф.я

Замечание. Пусть РХ(—набор инструкций для ф в предыдущем
доказательстве. Поучительно посмотреть, что произойдет, если
применяется к х15 т. е. когда мы пытаемся вычислить ф^).
При применении PXl Kxt вычислителю предлагается сначала найти
инструкции с номером Xi и применить их к хР Но последняя ситуа-
ция снова приводит к применению Рх к Х}. Таким образом, полу-
чается бесконечная последовательность одинаковых ситуаций,
в каждой требуется применить Рх к и вычисление не может
закончиться. По этой причине ф(х!) не определено.

Теорема 1-Х, теорема о нормальной форме, предлагает несколь-
ко новых вопросов о частичнорекурсивных функциях. Можно ли
любую частичнорекурсивную функцию получить из некоторой
общерекурсивной функции однократным применением оператора
у,? Можно ли опустить функцию р в формулировке теоремы о нор-
мальной форме? Теорема III дает отрицательный ответ на оба
вопроса.

Теорема III. Существует такая частичнорекурсивная функция
ф, что для любой общерекурсивной функции / не верно, что

ф = %х[р,у[/(х, у) = 111.

Доказательство. Определим частичнорекурсивную
функцию ф следующим образом. Чтобы вычислить ф(х), найдите
Рх, примените Рх к х; как только появится выход (если это произой-
дет), положите ф(х) = х. Очевидно, что ф частичнорекурсивна.
Кроме того,

( х, если <рх(х) сходится;

Ф(^)	| расходится, если <рх(х) расходится.

Предположим, что существует такая общерекурсивная функ-
ция /, что для любого х ф(ж) = py[/(x, у) = 1]. Тогда

Фх(х) сходится => /(х, х) = 1

и

Фж(х) расходится => (Vy)I/(x, у) 1] => /(х, х) #= 1.

Определим функцию g так:

1, если /(х, х) = 1;

О, если /(х, х) =# 1.
Она рекурсивна, так как /(х, х) определена при любом х. Но тог
g — характеристическая функция множества {х | <рх(х) сходится}
что противоречит следствию 1-VII.g

Дальнейшие результаты о частичнорекурсивных функция
приводятся в упражнениях 2-13 и 2-30—2-38.

§ 2.4.	ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Понятие рекурсивной функции играет главную роль в совремев
ных исследованиях по математической логике и основаниям мате
матики. Используя это понятие, можно придать прозрачный смысл
ряду основных результатов современной логики (XIX и XX ве-
ков). Два, быть может, самых главных результата современно"'
логики состоят в следующем: (1) построен точный символически"
язык, на котором можно сформулировать все теоремы и прово-t
дить все доказательства математики и с помощью которого можно
дать комбинаторный символический критерий правильности дока-
зательства; (2) доказано несуществование универсальной алго-
ритмической процедуры определения, верно ли высказывание-
этого символического языка 1). Первые результаты появились,
в начале этого века в работах Фреге, Рассела, Уайухеда (которые
в свою очередь опирались на работы Буля, Пирса и других мате-
матиков XIX века). В Principia mathematica Уайтхед и Рассел
[19101 изложили значительную часть математики на таком точном
символическом языке. (Исследование этого языка и подобных
математических языков является главным предметом математи-
ческой логики.) Затем математики стали искать универсальную
алгоритмическую „разрешающую процедуру” для определения
истинности суждений такого языка. В течение 20-х годов целый
ряд математиков активно участвовал в этих поисках. Был достиг-
нут частичный прогресс, и некоторые верили, что успех близок.
Гёдель в Ьвоей эпохальной работе [19311 показал, что невозможен
такой алгоритм из довольно широкого класса, который можно-
было рассматривать как класс подобных разрешающих проце-
дур 2). За работой Гёделя (теоремы Гёделя о неполноте) последо-

*) Оба направления предвосхитил в своих работах математик и философ
XVII века Лейбниц, который указывал две цели] науки и философии:
(1) открытие универсального точного символического языка (cbaracteristica
universalis), в котором можно было бы сформулировать все утверждения науки
и благодаря которому можно было бы получать ясное представление о смысле
и справедливости этих утверждений; (2) открытие такого метода (calculus-
ratiocinator) преобразований суждений языка, который позволил бы непо-
средственно разъяснять их смысл и соотношение.

2) Такое заключение не формулируется в работе Гёделя. Но очевидно, что
методы Гёделя можно применить для доказательства непригодности любого
алгоритма из класса, включающего все алгоритмы того типа, которым тог-
да занимались (см. работы Эрбрана [1931, 1931а], а также Гёделя [1931,.
стр. 197]). Аргументы в пользу очевидности можно изложить следующим
вале общее изучение рекурсивности. Последующие работы
по формализации рекурсивных функций (§ 1.5) и по Основному
результату (§ 1.6) показали, что на самом деле широкий класс
алгоритмов, к которым применим метод ‘ Гёделя, включает все
алгоритмы (см. работы Чёрча [19361) и, следовательно, не суще-
ствует универсальной разрешающей процедуры. (Как указывалось
в работе Клини (см. теорему 1-VIII), существование рекур-
сивно неразрешимых проблем является прямым и почти тривиаль-
ным следствием формализации. Основной результат вместе с тези-
сом Чёрча показывает, что любое доказательство рекурсивной
неразрешимости само по себе есть абсолютное доказательство
невозможности универсальной разрешающей процедуры.)

Как мы увидим, теория рекурсивных функций обеспечивает
значительное развитие способности проникать в природу нераз-
решимости и в ее связи с математической логикой. В этой книге
мы главным образом будем иметь дело с понятиями и структурами,
возникающими из-за феномена неразрешимости.

§ 2.5.	ОБСУЖДЕНИЕ

Результаты и примеры этой главы наводят на мысль, что нераз-
решимые проблемы можно расклассифицировать по способам
и степени сводимости их друг к другу. Как можно уточнить поня-
тие сводимости? В работе Поста [1944] определено несколько
различных типов сводимости и начато исследование получающей-
ся классификации. В гл. 6—10 будут изложены результаты этой
и более поздних работ.

Включают ли в себя в каком-нибудь смцсле все примеры нераз-
решимости неразрешимость проблемы остановки (теорема и след-
ствие 1-VII)? Другими словами, сводится ли проблема остановки

образом. Гёдель использовал кодирование формул (т. е. предложений форма-
лизма Уайтхэда и Рассела) теории чисел натуральными числами;. Пусть А —
произвольное множество, определимое в теории чисел, т. е. выразимое как
{х | . . . х . . . ), где „. . . х . . .” — предложение теории чисел, включаю-
щее переменную „х". Гёдель предложил метод, согласно которому для любого
такого множества А можно найти формулу 0 с кодовым номером z0, очевидный
и непосредственный смысл которой есть z0 £ А. (Этот метод описывается
в § 11.6.) Теперь для любого алгоритма (того рода, который изучался матема-
тиками, искавшими универсальную разрешающую процедуру), очевидно
(с помощью кодирования), можно найти множество А, определимое в элемен-
тарной теории чисел, такое, что для любого х х £ А тогда и только тогда, когда
х есть кодовый номер формулы, которую данный алгоритм признает истинной.
Применяя метод Гёделя, чтобы получить соответствующие 0 и z0, мы
увидим, что или (i) формула 0 верна, в этом случае z0 $ А и алгоритм скажет,
что 0 ложна, или (ii) формула 0 ложпа, в этом случае z0 £А и алгоритм скажет,
что эта ложная формула верна. В обоих случаях алгоритм не дает верного
результата. В первоначальной работе Гёделя говорится о непротиворечивости
и доказуемости в некоторых формальных теориях. В гл. 7 и 11 мы изло-
жим эти конкретные результаты.
ко всякой неразрешимой проблеме? Верно ли, что неразрешимост
любой неразрешимой проблемы можно доказать сведением к не
проблемы остановки? Этот вопрос (для интересного класса проб
лем, названных рекурсивно перечислимыми проблемами 2)) являет
ся одним из главных вопросов работы Поста [1944]. В ней прив
дится решение для некоторых видов сводимости. Однако для наи
более общего и важного варианта понятия сводимости отве
не был известен вплоть до работ Мучника [1956] и Фридберга
[1957] (гл. 10).

5

§ 2	6. УПРАЖНЕНИЯ 2)

§ 1.1-1.10]

2^2-1. Покажите, что функция g, определенная в § 1.3, примитивнорекур-
сивна. (Указание. Пусть h — Xz[max(0, х — 1)], h = 1яу[шах(0, х — у)],'
/ = ta:[min(z, 1)]. Покажите, что h и примитивно рекурсивны. Используйт
h для доказательства примитивнорекурсивности h. Используйте h и / для
получения g.)

2-2. Опредим / так:

= Г И если <px(z) = 1,
X 0, в противном случае.

Рекурсивна ли функция /?

2-3. Рассмотрим перечисление всех примитивнорекурсивных схем, опи-
санное в § 1.4. Пусть fx — примитивно рекурсивная функция, определяемая
(х + 1)-й схемой в этом перечислении, х = 0, 1, 2, . . . . Положим g =
= Xiyl/jj-ty)]. Рекурсивна ли функция g? Примитивнорекурсивпа ли опа ?.

2-4. Для любого k 5s 1 определите „проблему остановки для частичноре-
курсивных функций к переменных”. Покажите, что она рекурсивно неразре-
шима. (Указание. Используйте метод сведения теоремы 1-VII.)

2-5. Конфигурацию (см. § 1.5) назовем конечной, если все ячейки, за ис-
ключением конечного числа, пусты. Каждую конечную конфигурацию можно
описать однозначно определяемым минимальным выражением, а именно тем
выражением (см. § 1.5), в котором нет лишних символов В.

(а)	Исцользуя эти минимальные выражения, опишите кодирование конеч-
ных конфигураций натуральными числами.

(Ь)	Если даны машины Тьюринга и конечная конфигурация, то машину
можно установить в этой конфигурации и осуществлять соответствующее
вычисление. (Если внутреннее состояние конфигурации отсутствует в чет-
верках машины, то машина ничего не делает.) Когда вычисление заканчи-

J) Проблема называется рекурсивно перечислимой,, если она относится
к множеству или отношению натуральных чисел, которое можно эффективно
перечислить, т. е. когда множество или отношение пусто или является
областью значений некоторой рекурсивной функции; при этом отношение
есть область значений функции при подходящем кодировании n-ок натураль-
ными числами. Все проблемы, о которых идет речь’в § 2.2, рекурсивно пере-
числимы. Проблемы из теоремы 1.VII и следствия 1.VIII из пунктов (Ь),
(с), (f), (g) теоремы I рекурсивно перечислимы. Проблемы из теоремы 1.VIII
и пунктов (a), (d) и (е) теоремы I таковыми не являются. Рекурсивная пере-
числимость будет рассматриваться в гл. V.

2) Упражнения группируются по соответствующим параграфам основного-
текста. В упражнениях к гл. 1 иногда используются методы и понятия гл. 2.
вается (если это происходит), получается заключительная конечная кон-
фигурация. Следовательно, при фиксированном кодировании (а) каждая маши-
на дает функцию одной переменной. Пусть ф, — функция, определяемая
таким способом машиной Рг. (Машина Pz— это машина, обычным образом
вычисляющая ф2. Чтобы найти ф7(у) для данного у, следует разыскать кон-
фигурацию с кодовым номером у, установить Р2вэтой конфигурации и,как толь-
ко она остановится (если это произойдет), взять кодовый номер заключитель-
ной конфигурации в качестве фг(у).) Частичнорекурсивва лиф2 при всяком z?

(с)	Содержит ли класс (фо, ф(, . . .} все частичнорекурсивные функции
одной переменной? (Указание. Покажите, что при любом z область определе-
ния функции фг пуста или бесконечна.)

(d)	Существует ли универсальная частичнорекурсивная функция для
класса {ф0, Фи • • •}? (Такую функцию можно было бы назвать общеуниеер-
салъной функцией, так как ее можно использовать для дублирования резуль-
татов любой машины Тьюринга, начинающей работу в любой конечной кон-
фигурации.)

(е)	Покажите тривиальным сведением к теореме 1-VII, что отношение
{(я, у) I фж(у) сходится } не обладает рекурсивной характеристической функ-
цией. (Это дает неразрешимость проблемы, которую можно было назвать
общей проблемой остановки для машин Тьюринга.)

(f)	Покажите, что для множества {z | Arg	= ,0"} существует рекур-

сивная характеристическая функция (сравните с результатом упр. 2-17 (Ь)).

( Замечание. В частном сообщении Марвин Минский и Хилари Патнам
заявили, что {z | ф7 всюду определена) не обладает рекурсивной характери-
стической функцией (см. также упражнение 2-9).)

2-6. Пусть {50, St, . . .} — бесконечный алфавит символов, имеющихся
в распоряжении машин Тьюринга (дополнительно к В и 1). Изменим опреде-
ление машины Тьюринга так, чтобы допускалось использование любого
из этих символов (разумеется, любая машина состоит из конечного списка чет-
верок). Изменим определение конечной конфигурации так, чтобы допускалось
присутствие этих символов на ленте.

(а)	Опишите кодирование этих новых конечных конфигураций.

(Ь)	Покажите, что все результаты упражнения 2-5 полностью переносятся
на случай этих новых машин и конфигураций, если нумерацию, задаваемую
обозначением „Р7”, заменить на соответствующую нумерацию новых машин.

2-7. Дайте более формальное доказательство теоремы 1-VIII, анало-
гичное более формальному доказательству теоремы 1-VII.

2-8	. Докажите теорему 1-XI. (Указание. Используйте неразрешимость
проблемы остановки.)

2-9	. Пусть А — {г | фх—всюду определенная функция}. Докажите,
что не существует такой рекурсивной функции /, что val / — А. (Указание.
См. доказательство теоремы 1-VIII.)

2-10. Пусть & — класс всех частичнорекурсивных функций одной пере-
менной. Пусть я — произвольное отображение множества N на 3й. Оно
называется нумерацией частичнорекурсивных функций одной переменной.
Стандартная гёделева нумерация в § 1.8 дает такую нумерацию; назовем ее
л0. Нумерация я допустима, если можно эффективно переходить от я к л0
и от Ло к л, т. е. если выполняются следующие два условия:

Условие 1. Существует общерекурсивная функция / (не обязательно взаим-
но однозначная)', такая, что л0/ = л. (Для любого л-номера можно найти
Лр-номер.)

Условие 2. Существует общерекурсивная функция g (не обязательно
взаимно однозначная), такая, что л? = л0. (Для любого л0-номера можно
найти л-номер.)

(а)	Покажите, что любое эффективное перечисление всех машин Тьюрин-
га дает допустимую нумерацию.

(Ь)	Покажите, что условие 1 необходимо и достаточно для того, чтобы л
обладало частичнорекурсивной универсальной функцией, т. е. чтобы вып
цялся соответствующий вариант теоремы 1-IV, теоремы о нумерации.

(с)	Покажите, что условие 2 необходимо и достаточно для того, что
для л выполнялась s-nt-n-теорема, т. е. чтобы выполнялся соответствую
вариант теоремы 1-V. (Предполагается, что нумерация частичнорекурс
ных функций более чем одной переменной остается стандартной нумераци
из § 1.8.Это предположение можно опустить, если так обобщить определен
нумерации и условие 2, чтобы они применялись и к частичнорекурсивн
функциям более чем одной переменной.)

(d)	Покажите, что из условия 2 следует, что л-1(ф) бесконечно для люб
частичнорекурсивной функцииф одной переменной, т. е. что для л выполни
ся соответствующий вариант теоремы 1-III. (Указание. Используйте резул
тат упражнения 2-18 (о).)

Замечание. Эти результаты указывают на инвариантность понятия доп
стимой нумерации и теорем 1-III, 1-IV и 1-V (см. обсуждение в § 1.8). В части
сти, для любой допустимой нумерации выполняются теорема о пумерац
и s-m-n-теорема.

По определению всякая нумерация л охватывает все частичнорекурси
ные функции одной переменной. Условно 1 можно рассматривать как треб
вание, чтобы нумерация была „алгоритмической”, т. е. чтобы каждый ном
давал алгоритм. Условие 2 можно рассматривать как требование, чтобы пум
рация была „полной”, т. е. чтобы охватывались все алгоритмы (см. замечай
после части III Основного результата в § 1.6 и упражнение 2-11).

△2-11. Предполагается известной терминология упражнения 2-10. Пус
g — общерекурсивпая функция, задающая взаимно однозначное отображен
множества N X.N на N. (Любое эффективное перечисление множества У X
даст такую функцию g.) Определим л, следующим образом. Если дан у,
находим xt и х2, такие, что g(xlt х2) =• у, затем в качестве ф = л,(у) бере
частичнорекурсивную функцию, удовлетворяющую следующим условиям

_ Г расходится,	если zt = 0;

' I — 1,	если Xi 0;

ф(х) = <р (г)	для всех z =И= 0.

(а)	Покажите, что л( — нумерация, т. е. что охватываются все частично
рекурсивные функции одной переменной.

(Ь)	Покажите, что для выполняется условие 1, но не выполняется
условие 2.

Замечание. Итак, — нумерация всех частичнорекурсивных функци"
одной переменной, „не охватывающая все алгоритмы”. Для нее выполняется
теорема о нумерации, но не выполняется s-m-n-теорема.

2-1	2. Покажите, что для любой общерекурсивной функции / одной пере-
менной существует такая рекурсивная функция g, что

f = lz[p.y [g(z, у) = 1]].

△2-	13. Покажите, что частичнорекурсивные функции не замкнуты отно-
сительно оператора ц, т. е. что существует частичнорекурсивная функция
ф. такая, что Лж[цу [ф(ж, у)=1]] не частично рекурсивна. (Указание. Положите
ф(г, у) = 1, если у = 1 или если одновременно у = 0 и <рх(ж) сходится.)

2-14. Назовем конечным автоматом устройство с двумя лентами, каж- 
дая из которых может двигаться только в одном направлении. Входные числа
располагаются на одной ленте; выходы печатаются на другой. Устройство
имеет конечное число внутренних состояний, и его операции определяются
конечным набором механических правил, подобно машине Тыорипга. Опера-
ции стирания не используются.

(а)	Является ли рекурсивно разрешимой следующая проблема: опреде-
лить по произвольному конечному автомату и произвольному входу, закан-
чивается или нет соответствующее вычисление?
(Ь)	Является ли рекурсивно разрешимой следующая проблема: опреде-
лить по произвольному конечному автомату, дает он всюду определенную
функцию или нет?

(с)	Класс функций, вычислимых такими конечными автоматами, зависит
от принятого способа изображения числовых входов и выходов. Пусть ,Лп —
класс функций, получающихся, когда числа как входа, так и выхода записы-
ваются по основанию п, п = 2, 3, ... . Пусть — класс функций, полу-
чающийся, когда как входы, так и выходы записываются в виде последова-
тельности единиц, при этом число х изображается последовательностью

СО

из х + 1 единиц. Покажите, что [2я] принадлежит П
п=1
со

Л (d) Покажите, что кх [г2] не содержится в U г>#п.

П=1

(е)	Дайте пример чисел п, т 2, таких, что .Лп =# Покажите, что
ОО

для любого п > 2. Покажите, что в П ,Лп содержатся неотрица-
П=1

тельные части всех линейных функций.

(f)	Опишите [Ответ', функция принадлежит тогда и только тогда,
когда она равна всюду, кроме конечного числа точек, функции, которую
можно представить в виде суммы функции типа т [х/п\ + д (линейно-ступен-
чатой функции неотрицательного наклона) и периодической функции с перио-
дом п.) Докажите теорему об однозначности разложения.

2-15. Покажите, что существует рекурсивная функция h, такая, что для
любой примитивно рекурсивной функции g

(3x)(Vy)[x < у =} g(y) < h(y)].

Д2-16. Можно ли из следующих предположений, не используя никаких
других фактов о числе л, заключить, что f примитивнорскурсивна: (i) f —
это функция, упомянутая как / в первом абзаце §1.5; (ii) функция, описанная
в (с) в § 1.1 примитивнорекурсивна; (iii) f всюду определена? (Указание.
Покажите, что существует действительное число р, такое, что g = кх [нату-
ральное число 9, чья цифровая запись находится на (х + 1)-м месте в деся-
тичном разложении числа р] примитивнорскурсивна и что / = кх [место
самой левой цифры первой последовательности из х или более цифр 5
в разложении р] всюду определена, но не примитивнорекурсивна. Возьмите t,
р, q из § 1.10 (можно предполагать, что они примитивнорекурсивны) и, поль-
зуясь функцией h, построенной в упражнении 2-15, укажите это р так: р
состоит только из цифр 0 и 5; g примитивнорекурсивна (используйте
р, q и kxy[t(z0, х, у)], где <pZo = h) и (V x)[h(x) < f(x)]. Опыт обращения
с примитивнорекурсивными функциями полезен, хотя и не необходим.)

§ 2.1

2-17. Докажите непосредственно (т. е. без обращения к теореме Райса,
сформулированной в конце § 2.1), что ни одно из следующих множеств не об-
ладает рекурсивной характеристической функцией:

(а)	{х | Arg <рх бесконечна}.

(Ь)	{х | Arg фх пуста).

(с)	{(z, у) | Arg фх = Arg фу}.

2-18. Покажите непосредственно, что при любом z0 ни одно из следующих
множеств не обладает рекурсивной характеристической. функцией:

(а)	{г | Arg фх = Arg <pZ()}.

(Ь)	{х | фх = фго}.

(Указание для (а). Рассмотрите отдельно случаи Arg <pzo = 0 и Arg фго #= yS.)

5—0506
2-19. Завершите доказательство теоремы 2-1 (g), показав, что сущее
такое х0, что Vai <рХ() не обладает рекурсивной характеристической функ
(Указание. См. доказательство теоремы 2-Ш.)

2-20. Покажите, что существуют такие х{ и х2, что Arg <рЯ1 обладает ре
сивной характеристической функцией, a Arg <pX2 не обладает.

2-21. Выполните пункты (Ь) и (с) упр. 2-17 с заменой ,,val” на „Arg

2-22. Выполните пункт (а) упражнения 2-18 с „Vai” вместо „Arg”.

2-23. Покажите, что проблема теоремы 1-VII непосредственно свод
к проблеме следствия 1-VII. (Указание. Используйте конструкцию, подоб
конструкции, использованной в доказательстве теоремы 2-1 (е).)

2-24. Покажите, что проблема (с) в теореме 2-1 сводится к пробл
остановки.

△2-25. Покажите что проблемы (Ъ) и (f) теоремы 2-1 сводятся к пробл
остановки.	",

А2-26. Покажите, что ни одна из проблем (a), (d) и (е) в теореме 2-1
сводится к проблеме остановки.

△2-27. Пусть / и g — общерекурсивные функции, такие, что для неко
рого множества А А — Vai /иА = Vai g. ОбладаетлиА рекурсивной хар
теристической функцией?

△2-28. Изменим определение машины Тьюринга, введя дополпитель
к <7о, <?j, ... специальное внутреннее состояние q*. Изменим способ соотн
сения функций с машинами, обусловив, что должны использоваться толь '
те выходы, когда машина останавливалась в состоянии q*. Следовательн
при данном входе может не получиться выход по двум причинам: (1) пе зака
чивается вычисление; (2) вычисление закончилось, но не в состоянии q
Первую ситуацию назовем бесконечной сингулярностью, вторую — блокиро
ванной сингулярностью.	»

(а)	Получается ли таким способом любая частичнорекурсивпая функция
Если да, то дает ли эффективное перечисление таких модифицированп
машин допустимую нумерацию в смысле упражнения 2-10?

(Ь)	Разрешима ли следующая проблема: определить по любой машин
и входу, появится или нет бесконечная сингулярность?

(с)	Выполнить (Ь), где слово „бесконечная” заменено на „блокированная”.

(d)	Можно ли „заменить” блокированные сингулярности на бесконечны
сингулярности, т. е. существует ли эффективная процедура переделки любой
машины М в новую М’, такую, что М и М' определяют одну и ту же частич-
ную функцию и что у М' бывают только бесконечные сингулярности?

е)	Можно ли „заменить” бесконечные сингулярности на блокированные
сингулярности? (Указание. На (d) и (е) ответы „да” и „нет” соответственно.) 

§2.2

△ 2-29. Рассмотрим „метапроблему” определения по любому х0, рекурсив-
но разрешима проблема (g) теоремы 2-1 или нет. Покажите, что эта метапробле-
ма рекурсивно неразрешима, т. е. непосредственно докажите, что множество
{х | Vai <рж обладает рекурсивной характеристической функцией} не обладает
рекурсивной характеристической функцией.

§2.3

2-30. Пусть непустые множества А и В — области определения двух час-
тичнорекурсивных функций. Предположим, что А (~| В = 0.

(а) Всегда ли существует такая частичнорекурсивная функция Ч>, что
ф(А) = {0} и ф(В) = {1}?

△ (Ь) Всегда ли существует такая общерекурсивная функция /, что f(A) =
— {0} и f(B') = {1}? (Указание. Докажите теорему 2-11 (теорему о продол-
жении) для случая частичных и всюду., определенных функций, области зна-
чений которых — подмножества множества {0, 1}.)
2-31. Частичнорекурсивна ли функция Xx[jxy[<px(i/) расходится]]?

Л 2-32. Пусть Л и 5—области определения двух частично рекурсивных
функций. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы А н В
обладали следующим свойством: существует такая частичнорекурсивная
функция ф, что для любого х [Argq?^ = А =ф ф(х) = 0] и [Arg<px = В =$
Гфф(х) = 1].

2-33. Рассмотрим проблему определения по любому х, продолжима ли <рх
до общерекурсивной функции или нет. Является ли эта проблема рекурсивно
разрешимой?

Л 2.34. Пусть А и В —множества. Рассмотрим „проблему” определения
по любому х g А, верно х Е В или нет. Скажем, что эта проблема относитель-
но разрешима, если существует частичнорекурсивная функция ф, такая, что
[х g А П -5 =^Ф(®) = 1] и что [ж Е А ("1 В =ф ф (х) = 0]. Исследуйте на отно-
сительную разрешимость следующие проблемы.

(а)	Проблема определения по любому такому х, что <рх всюду определена,
является срх постоянной функцией или нет. (В этом случае А = {х | <рх всюду
определена) и В = {х | <рх— постоянная функция}.)

(Ь)	Проблема определения по любому такому х, что <рх всюду определена,
является <рх взаимно однозначной или нет.

(с)	Проблема определения по любым х, у и z, таким, что функция <рх
всюду определена, выполняется равенство <px(i/) = z или не выполняется.

(d)	Проблема определения по любому такому х, что <рж всюду определена,
бесконечна или нет область значений <рх.

(Указание. Для доказательства неразрешимости устройте сведение проб-
лемы остановки (следствие 1-VII), связав с каждым z общерекурсивную
функцию, значение которой на произвольном аргументе у зависит от резуль-
тата осуществления у шагов вычисления Pz в применении к z.)

Определение. Если ф — частичная функция двух переменных, то цф =
= 1х[цу[ф(А у) — 0]].

2-35. Какие функции попадают в класс {/ | (3 рекурсивная g) [f = pg]}?

2-36. (Успенский [1957].) Если ф частичнореиурсивна, должна ли цф
быть частичнорекурсивной?

А 2-37. Опишите класс {/ | / общерекурсивна &(Vz) (3 общерекурсивная
g) = /pg] }• (Указание. Рассмотрите функции, которые принимают каж-
дое число в качестве своего значения бесконечно много раз. Связанные с этим
понятием результаты см- в работах Маркова [1947] и Кузнецова [1950].)

Д2-38. Опишите класс {ф | (3 общерекурсивная функция g) |ф = pg}.'
(Указание. Рассмотрите такие функции, которые, как отношение, обладают
рекурсивной характеристической функцией. Согласно теореме 2-Ш, этот
класс не охватывает все частичпорекурсивные функции. Связанные с этим
классом результаты см. в работах Сколема [1944] и Поста [1946].) Упражне-
ния 2-35—2-38 завершают исследование структуры рекурсивных функций,
начатое теоремами 1-Х и 2-Ш.

§2.5

2-39. Д(а) Докажите теорему Райса, сформулированную в конце § 2.1.
(Указание. Покажите, что рекурсивную характеристическую функцию для
любого другого случая можно было бы использовать для решения проблемы
остановки.)

(Ь)	Выведите как непосредственное следствие этой теоремы, что множе-
ство {я [ Arg фх бесконечна) не может иметь рекурсивную характеристиче-
скую функцию.

(с)	Выведите результаты упражнений 2-17, 2-18, 2-29 и 2-33.
Глава 3. ЦЕЛИ КНИГИ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ

§3.1.	Задачи теории 68

§ 3.2.	Направленность этой книги 70

§ 3.3.	Обзор содержания 71

§ 3.1.	ЗАДАЧИ ТЕОРИИ	Г

В главах 1 и 2 рассматривались главные черты теории реку
сивных функций в том виде, как она развивалась до 1940 года
Излагались Основной результат, некоторые более техническ
результаты, такие, как теорема о нумерации (теорема 1-1
и s-m-n-теорема (теорема 1-V), и результаты о рекурсивной нераз
решимости конкретных проблем, включая проблему остановки
После 1940 года теория развивалась в самых разнообразны
направлениях. Направления и результаты этих более современ
пых исследований можно сгруппировать по шести областям^
(1) неразрешимые проблемы; (2) структуры неразрешимости
(3) математическая логика и основания математики; (4) субре
курсивностъ; (5) рекурсивная структура; (6) аналоги классиче-
ских теорий. В нашем кратком описании такая группировка не
сколько искусственна и игнорирует важные связи между иссле-
дуемыми понятиями.

1.	Неразрешимые проблемы

Эта область рассматривалась в гл. 2. Она содержит результаты
о разрешимости и неразрешимости конкретных проблем. После
1940 года были развиты очень тонкие методы доказательства
неразрешимости и с их помощью был выяснен вопрос о неразре-
шимости очень широкого класса проблем. Несколько типичных
результатов этого рода сформулированы в § 2.2. Дальнейшие
усилия направляются также на исследование разрешимых проб-
лем и выделение разрешимых подслучаев более общих неразре-
шимых проблем.

• 2. Структуры неразрешимости

Эта область включает в себя понятия и структуры, возникаю-
щие при более общем анализе феномена неразрешимости, т. е. она
включает понятия, оказавшиеся полезными при классификации
неразрешимых проблем (например, различные точные варианты
понятия сводимости, упомянутого в гл. 2), и структуры, появив-
шиеся в результате такой классификации. Работы в этой области
получили широкое применение в других областях. Ее понятия,
терминология и результаты широко используются, особенно
в математической логике и основаниях математики, где целый ряд
главных результатов получает наиболее естественное выражение
в этих терминах. Можно изучать также более абстрактные и общие
типы классификации, определять и исследовать понятие обобщен-
ной вычислимости. Область (2), иногда называемая теорией
рекурсивной инвариантности1), включает исследование иерар-
хий, в которых классификация по сводимости связывается с клас-
сификацией по сложности описания в конкретных формализован-
ных логических системах.

3.	Математическая логика и основания математики

Широкое и глубокое приложение теории рекурсивных функций
в логике дало новые результаты и новый взгляд на вещи. Как
указывалось в исторических заметках § 2.4, логика по своей при-
роде имеет дело с алгоритмами. Многие конкретные результаты
о неразрешимости из области (1) были получены именно в логике
(как правило, эти результаты о неразрешимости касаются пробле-
мы распознавания доказуемости высказываний в формализованных
дедуктивных системах). Многие синтаксические и семантические
понятия (например, аксиоматизируемость и неполнота) можно
переформулировать в терминах теории рекурсивных функций,
при этом обнаруживаются более тонкие различия 2). Результаты
области (2) можно использовать для исследования относительной
силы различных логических методов, систем и средств выражения.
В современных работах по основаниям математики основную роль
играет понятие конструктивности', теория рекурсивных функций
оказалась полезной при переформулировке и анализе различных
понятий конструктивного доказательства и при выяснении кон-
структивного смысла известных классических доказательств.

4.	Субрекурсивность

Исследование обобщенных форм рекурсивности входит в об-
ласть (2). Область (4) имеет дело с понятиями вычислимости, более
ограниченными, чем рекурсивность, она рассматривает, каким
образом можно использовать эти понятия для того, чтобы усовер-

*) Рекурсивная инвариантность будет определена в гл. 4.

г) Синтаксис — это исследование формализованных систем как чистых
формализмов, не вникая в их значение. Семантика (в математической логи-
ке) — это исследование соотношения формализованных систем и математиче-
ских объектов (например, действительных чисел), о которых системы говорят
(или которые имеют в виду). Различие между синтаксисом и семантикой
интуитивно понятно, но его трудно точно определить.
шенствовать и разбить по слоям структуры, возникающие и
исследовании обычной рекурсивности. Естественные и важ
результаты в этом направлении получаются с трудом. Со време
самых ранних работ по теории рекурсивных функций в эту обла
были направлены значительные усилия 1). (Разумеется, прими
порекурсивность — пример такого более ограниченного пон
тия.)

5.	Рекурсивная структура

Эта область рассматривает способы введения рекурсивно
структуры на существующих и известных математических объек
тах для получения новых и более богатых теорий. Использовани
такой структуры аналогично использованию топологическо
структуры групп для получения теории топологических групп.

6.	Аналоги классических теорий	>

Подобно области (5), где теория рекурсивных функций исполь
зуется для анализа существующих математических объекто
и результатов-, область (6) имеет дело с определением и исследова-
нием новых математических объектов, являющихся в каком-то
смысле рекурсивными аналогами более известных (и нерекурсив-
ных) математических объектов. Нерекурсивные объекты могу
использовать несчетные множества или обладать другими некон-
структивными чертами. В рекурсивных аналогах все основные
множества (самое большее) счетны, для всех основных элементов
даны числовые кодовые номера, допускаются только те отображе-
ния, которые являются частичнорекурсивными на кодовых номе-
рах. Наибольшая работа по аналогам классических теорий про-
делана в сфере теории множеств. В рекурсивноаналоговой форме
исследовались кардинальные числа, ординальные числа, тополо-
гические пространства и теория функций действительной пере-
менной. Работы по рекурсивным аналогам вызывают неослабе-
вающий интерес как к тем результатам и взглядам, которые в них
высказываются, так и к вопросам, которые там ставятся.

§ 3.2.	НАПРАВЛЕННОСТЬ ЭТОЙ КНИГИ

Основной материал этой книги относится к области (2) (струк-
туры неразрешимости) и (в меньшей степени) к области (3)
(математическая логика и основания математики). Многие дока-

х) Ряд методов и результатов предвосхищают определение рекурсивности
и могут рассматриваться как часть поисков удовлетворительного общего
определения алгоритма.
зательства будут опираться на полуформальные методы, описан-
ие и обоснованные в гл. 1. Мы оставляем в стороне ту часть
области (1) (неразрешимые проблемы), которая касается конкрет-
ных проблем в других частях математики. Более формальные
методы, необходимые для исследования таких проблем, можно
найти в книге Дэвиса [1958]. Как уже делалось в гл. 2, мы исполь-
зуем тезис Чёрча, чтобы проводить полуформальное исследование
неразрешимых проблем, возникающих в самой теории рекурсив-
ных функций. Будут изложены некоторые результаты из обла-
сти (6) (аналоги классических теорий). Будет дано также некоторое
представление о работах в областях (4) и (5) (субрекурсивность
и рекурсивная структура).

§ 3.3.	ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

В главах 1, 2 и 3 вводится понятие рекурсивности. Формули-
руется Основной результат, описываются различные примеры раз-
решимости и неразрешимости. Указана сфера действия и полез-
ности полуформальных методов.

В остальных главах 4—16 определяются и рассматриваются
некоторые общие концепции, частным случаем которых являются
примеры и идеи гл. 2, с другой стороны, мы продолжаем исследо-
вать понятия, выросшие из них. Обсуждается также использование
и появление этих идей в математической логике. Таким обра-
зом, главы 4—16 попадают в область (2) (структуры неразрешимо-
сти), захватывая часть области (3) (математическая логика и осно-
вания математики). Приводятся иногда примеры из областей (4),
(5) и (6).

Более конкретно главы 4—16 содержат следующий материал.
В гл. 4 используется понятие рекурсивной инвариантности, чтобы
более точно описать предмет области (2). В гл. 5 вводятся основные
понятия рекурсивного и рекурсивно перечислимого множества.
В главах 6—9 определяются и исследуются основные понятия сво-
димости. В гл. 10 обсуждается центральная проблема сводимости,
которую не удалось решить Посту (см. § 2.5). В гл. 11 доказы-
вается теорема о рекурсии. В изложениях теории рекурсивных
функций этот основной и полезный инструмент часто помещают
в начало. Однако эта теорема не нужна для предыдущего ма-
териала. Мы считаем, что такое расположение ее в этой книге
дает обучающемуся более правильное и глубокое представление
о ее полезности. Глава 11 включает разнообразные приложения
теоремы о рекурсии и заканчивается введением в теорию обозна-
чений для ординалов (аналоговую структуру из области (6)).
В главах 12 и 13 приводятся дальнейшие результаты об основных
структурах гл. 5—9; в гл. 12 рекурсивно перечислимые множества
рассматриваются как решетка множеств, в то время как в гл. 13
рассматриваются степени неразрешимости (степень — это класс
эквивалентности множеств, где отношение эквивалентности —
сводимость друг к другу) при частичном упорядочении по своди-
мости. Глава 14 вводит в теорию арифметической иерархии (клас
сификацию множеств натуральных чисел по минимальной логиче
ской сложности описания) и вскрывает связи этой структур
со степенями неразрешимости, исследованными в гл. 13. В гл. 1
арифметическая иерархия распространяется с классификации мно-г
жеств чисел на классификацию классов множеств чисел. В гл. 1
также исследуется понятие рекурсивного функционала. Глава 16
вводит в теорию аналитической иерархии классификацию, подоб-
ную арифметической иерархии, но более обширную. В гл. 16
рассматриваются также обобщения понятия эффективной вычис-
лимости. На протяжении всей книги излагаются приложения
в математической логике.

Ссылки на литературу не полны. Они делались в том случае,
когда был точно известен автор. Иногда встречаются ссылки
на работы повышенного уровня, хотя выбор таких ссылок был
довольно произвольным.

Примерами работ могут служить: в области (1) работы Дэвиса
[1958], Тарского, Мостовского и Робинсон [1953], Рабина и Скот-
та [1959], Минского [1961] и Дребена [1962]; в области (4) работы
Гжегорчика [1953], Фишера [1962], Ричи [1963], Акста [1959J
и Фефермана [1961]; в области (5) работа Рабина [I960]; в обла-
сти (6) работы Деккера и Майхилла [1960], Московакиса [19631
и Кроссли [1965].
Глава 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

§ 4.1.	Инвариантность относительно группы 73

§ 4.2.	Рекурсивные перестановки 74

§ 4.3.	Рекурсивная инвариантность 75

§ 4.4.	Сходство 77

§ 4.5.	Универсальные функции 77	*

§ 4.6.	Упражнения'79

§4.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

В оставшихся главах книги мы будем иметь дело главным
образом с множествами натуральных чисел и с функциями
натурального аргумента. Некоторые свойства этих объектов
представляют особый интерес. В этой главе мы выделим такие
свойства.

Для того чтобы сделать это, мы пойдем по пути Феликса Клей-
на. Он предлагал определять каждую „ветвь” математики с помо-
щью пространства (т. е. множества) и группы преобразований,
действующих в этом пространстве. (Группа преобразований про-
странства — это множество отображений пространства на себя,
образующее, алгебраически, группу, если в качестве умножения
взять композицию отображений.) Пусть Я? — пространство,
У — группа. (Например, — двумерное евклидово простран-
ство (множество его точек), 'З — группа всех аффинных преобра-
зований пространства % на % 1).)' Будем говорить, что данное
свойство подмножеств пространства Я? является S-инвариант-
ным, если всякий раз, когда некоторое подмножество обладает
этим свойством, этим же свойством обладают и все образы этого
подмножества при отображениях из S'. (В только что упомяну-
том примере свойство „быть треугольником” ^-инвариантно; свой-
ство „быть равнобедренным треугольником” не ^-инвариантно.)
По схеме Клейна ветвь математики, определяемая с -помощью Я,
и “3, изучает (по определению) ^-инвариантные свойства. Мы назо-
вем ее 3-теорией. (Если Я? — евклидова плоскость и 3 — аффинная
группа, то ^.-теория будет аффинной геометрией евклидовой пло-
скости, в то время как если Я? — евклидова плоскость и 3 —
группа евклидовых преобразований 2), эта теория является обыч-
ной евклидовой геометрией на плоскости. Понятия аффинной гео-

1) Аффинное преобразование плоскости на себя — это отображение,
которое переводит прямые в прямые, например сдвиг плоскости. В общем
случае оно не сохраняет углы.

а) Отображение плоскости на себя евклидово, если его можно представить,
как композицию преобразований переноса, вращения и отражения.
метрии являются также понятиями евклидовой геометрии, так
как евклидова группа — подгруппа аффинной группы.)

Пусть даны j и пусть А и В — подмножества простран-
ства X. Положим А =д В, если В = g(A) для некоторого преоб-
разования g из $ 1). Поскольку — группа, то =$ является
•отношением эквивалентности (см. упражнение 4.1). Будем гово- ..
рйть, что А и В ^-изоморфны, если А =<$ В. Классы эквивалент-
ности будем называть типами §-изоморфизма. Тогда ^-инвари-
антные свойства — это свойства (подмножеств пространства
корректно определенные относительно ^-изоморфизма, т. е.
такие, что если какое-нибудь множество А обладает таким свой-
ством, то все множества, ^-изоморфные А, обладают этим свой-
ством. В этом смысле типы ^-изоморфизма — основные объекты
^-теории.

Пусть Q — множество ^-инвариантных свойств. Пусть J —
тип ^-изоморфизма. Если J обладает всеми свойствами из Q,
то будем называть Q множеством инвариантов для J. Если,
кроме того, никакой другой тип ^-изоморфизма не обладает всеми
свойствами из Q, то будем называть Q полным множеством инва-
риантов для ,7.

Понятие -инвариантности легко распространить на отноше-
ния в А? (т. е. подмножества множества ct'h, к > 1); мы сделаем
ото ниже для тех частных X и S, с которыми нам предстоит
работать.

$ 4.2. РЕКУРСИВНЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ

Рассмотрим следующее множество S* преобразований (т. е.
•функций) на N (множестве всех неотрицательных целых чисел).

Определение, g* = {/ | / — общерекурсивная функция, вза-
имно однозначно отображающая множество N на себя}.

Теорема 1.	— группа преобразований множества N.

Доказательство. Пусть / и g g &*. Из того, что /
и g — отображения множества N на себя, немедленно получаем,
что fg — отображение N на себя. Из взаимной однозначности
функций /ng получаем взаимную однозначность функции fg.
По теореме 1-VI fg общерекурсивна. Следовательно, fg

Пусть / 3*. Так как f взаимно однозначна, то однозначна,
т. е. функция. Так как f однозначна, то /-1 взаимно однозначна.
Так как / всюду определенная функция, то /-1 — отображение N

!) Как указано во введении, g(A) — сокращение для
{У I (3*) Iх € А &. у = #(г)]}.
на себя. Так как / — отображение N на себя, то /-1 — всюду опре-
деленная функция. Ее можно вычислять по следующей программе.
Чтобы вычислить вычисляйте по порядку /(0), /(1), /(2), . . .
до тех пор, пока не найдется п, такое, что /(п) = х\ выдайте это п
на выходе. Согласно тезису Чёрча, /-1 общерекурсивна. Следова-
тельно, £ &*.

Так как замкнуто относительно композиции и взятия
обратного элемента, то это — группа. 

Определение. Функция f называется общерекурсивной
перестановкой, если / 6 g*. Будем называть 3* группой рекур-
сивных перестановок.

Алгебраическая структура группы У* была изучена Кентом
(1962]. (Кент рассматривает также различные субрекурсивные
подгруппы группы £?*.) В упражнениях 4-6 и 4-7 дается несколько
отдельных результатов о

§ 4.3. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Определение. Множество А рекурсивно изоморфно В, если
А = <$* В, т. е.

& М) = В).

Обозначим это так:

А = В.

Иногда мы вместо „рекурсивный изоморфизм” будем говорить
просто „изоморфизм".

Определение. Совокупность подмножеств из N назовем типом
рекурсивного изоморфизма, если оно является типом '.^-изомор-
физма.

Определение. Свойство подмножеств множества N считается
рекурсивно инвариантным, если оно £/*-инвариантно.

Почти все понятия в этой книге будут рекурсивно инвариант-
ными. Понятие рекурсивной инвариантности характеризует нашу
теорию и служит пробным камнем для определения возможной
полезности новых понятий *).

Примеры. Рассмотрим следующие свойства:

(i)	Содержать 7.

(ii)	Содержать по крайней мере два элемента.

(iii)	Обладать рекурсивной характеристической функцией.

!) Понятия, используемые в исследованиях субрекурсивнвсти (разд. 4
§ 3.1), могут не быть рекурсивно инвариантными. Подходящие понятия
инвариантности в таких случаях можно ввести через подгруппы группы
Свойство (i) не является рекурсивно инвариантным. Свойства
(ii) и (iii) рекурсивно инвариантны (см. упражнение 4-9).

Понятие рекурсивной инвариантности следующим образом
распространяется на отношения и тем самым на частичные и всюду
определенные функции. Пусть R cz Nh для некоторого к. Пусть
g Ё. &* Положим

$(Я) = {<У1......Уъ>\ (Зх4) . . . (3zh)

[<«!, . . хк) € R & У1 =g(Xi) . . . yk = g(xh)]}.

Определение. Пусть R <= Nh и Q cz Nh для некоторого к.
Тогда R рекурсивно изоморфно Q, если

(3g)(g €	& Q = g(7?)).

Обозначим это так: R == Q.

Определение. Свойство /с-местных отношений в N рекурсивно
инвариантно, коль скоро выполнено следующее условие: если
отношение R обладает этим свойством, то для любого g € S*
таким же свойством обладает g(R).

Особенно интересен случай, когда в качестве отношений рас-
сматриваются функции (и, в частности, всюду определенные
функции). Для этого случая специальная формулировка рекур-
сивного изоморфизма дается теоремой II.

Теорема II. ср = ф <=> (Э/)[/ € §*- & ср = /-1ф/1.

Доказательство. Проиллюстрируем доказательство
следующей диаграммой:

N Л N

'	4 Р

N -> N

ч>

Если ср = ф, то ф = /(ср) *) для некоторого / € и
у = ф(Х) <=> f(y) = ф/(ж) <=> у = /-^/(х)
и, следовательно, ср = /-1ф/. Обратно, если ср = /-1ф/, то
у = ср(х) <=> у = /-1ф/Р) <=> /(g) = Ф/И
и, следовательно, ф =/(ф)-и

Предостережение', символ /(гр) используется в смысле/(Я); это не ука-
зывает на композицию /<р.
§ 4.4.	СХОДСТВО !)

Рекурсивный изоморфизм указывает на подобие в структуре.
Более того, с точки зрения теории рекурсивных функций он ука-
зывает на тождественность структур. Можно определить более
слабое понятие рекурсивного подобия.

Определение. <р сходна с ф, если существуют рекурсивные пере-
становки / и g, такие, что ф = f^qg.

Легко видеть, что сходство — отношение эквивалентности
(см. упр. 4-15) 1 2).

Классы эквивалентности будем называть типами сходства.
Примеры сходства даны в § 4.5 и в упражнениях. Из изоморфиз-
ма, очевидно, следует сходство (см. упр. 4-14, 4-17 и 4-18).

§ 4.5.	УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Чтобы проиллюстрировать понятия, введенные выше, мы
выясним, является ли понятие универсальной функции рекурсивно
инвариантным; в § 1.8 было предложено следующее определение
универсальной частичной функции.

Пробное определение. Универсальная функция — это частич-
норекурсивная функция ф двух переменных, такая, что
(Vx) 1фх = Хг/[ф(«, у)1].

Это понятие, рассматриваемое как свойство 3-местных отноше-
ний, очевидно, не является рекурсивно инвариантным (см. упраж-
нение 4-19). Поэтому мы дадим новое определение, в котором для
простоты заменим функцию двух переменных' на функцию одной
переменной и которое будет, надеемся, достаточно общим, чтобы
быть рекурсивно инвариантным. Согласно этому новому опреде-
лению, ф универсальна, если существует такой способ кодирова-
ния упорядоченных пар целых чисел, что применение ф к кодовому
номеру пары {х, у) дает тот же результат, что и применение <рж
к у. Более формально получаем следующее

Определение. Функция ф универсальна, если она частичноре-
курсивна и если существует общерекурсивная функция / двух
переменных, такая, что (У;г)[(рх = Хг/[ф/(я, у)]].

Сразу не видно, что это новое понятие рекурсивно инвариант-
но, так как в определении фигурирует наша фиксированная нуме-
рация частично рекурсивных функций. Однако теорема III пока-

1) Отдельные упражнения опираются на § 4.4 и 4.5, но дальнейшие резуль-
таты не зависят от § 4.4 и 4.5.

2) Для линейных преобразований векторных пространств обычно исполь-
зуются слова эквивалентен и подобен, что аналогично нашему использованию
соответственно сходства и изоморфизма.
зывает, что оно не только рекурсивно инвариантно, но даже
инвариантно относительно сходства 1).

Теорема III. Если ф универсальная и g uh — рекурсивные пере-
становки, то т] == £-1фЛ универсальна', т. е. свойство быть универ-
сальной инвариантно относительно сходства.

Доказательство. По определению универсальности, ,
существует общерекурсивная функция / двух переменных, такая, i
что

Фх = МФ/(*> У)]-

Для любого х gtpx частичнорекурсивна. Более того, у нас есть
общерекурсивная функция к, такая, что

фй(х> = ёЧ>х-

(Молчаливое использование s-m-n-теоремы.)

Положим j = kcy[h~1f(k(x), у)]. Тогда

Хг/[г]/(гЕ, у)] = kytg-^hh-^-f^k^x), у)] (по определению ц и /) =

= ky[g~1^f(k(x), у)] =

— g~1(PhM (по определению f) =

= g-1gq>x (по определению к) =

= фх-

Следовательно, ц универсальна.и

Следствие III(а). Если функция ф универсальна и g — рекур-
сивная перестановка, то £-1ф£ универсальна-, т. е. свойство быть
универсальной рекурсивно инвариантно.

Из теоремы, между прочим, вытекает, что при рекурсивной
перестановке области значений универсальная функция остается
универсальной. Итак, имеем

Следствие 111(b). Если функция ф универсальна и g — рекур-
сивная перестановка, то £ф универсальна.

Составляют ли универсальные функции один тип сходства?
В гл. 11 мы покажем в результате более глубоких рассмотрений,
что ответ на этот вопрос положителен. На самом деле, мы докажем
более сильный результат Блюма, что универсальные функции

*) Определение универсальной функции ввел в терминах машин Тьюрин-
га Дэвис [1957]. Ранее Дэвис [1956] определял „универсальную функцию”
как любую частичнорекурсивную функцию, к проблеме остановки которой
можно свести обычную проблему остановки из теоремы 1-VII. Концепция
Дэвиса [1956] отличается от концепции Дэвиса [1957] (эта последняя совпада-
ет с нашей). Функция упражнения 4-20, например, универсальна в более ран-
нем смысле, но не в более позднем (см. упр. 2-23).
образуют один тип изоморфизма. Итак, свойство функции быть
универсальной является само по себе полным множеством рекур-
сивных инвариантов.

Какие типы сходства являются также типами изоморфизма?
Окончательный ответ на этот вопрос не получен. Единственные
известные сейчас случаи — это тип пустой (т. е. нигде не опреде-
ленной) функции, тип всех функций-констант и тип всех уни-
версальных функций х).

§ 4.6.	УПРАЖНЕНИЯ

§ 4.1

4-1 (а) Пусть — группа преобразований на ЭС, и пусть е — ее единица.
Покажите, что е как отображение пространства ЭС должно быть тождествен-
ным отображением.

(Ь) Покажите, что S-изоморфизм — отношение эквивалентности.

§ 4.2

4-2. Покажите, что существуют нерекурсивные взаимно однозначные
функции, отображающие N на себя („перестановки”).

△4-3. Еслиф взаимно однозначна и частичнорекурсивна, но не всюду опре-
делена, обязана ли ф-1 быть частичнорекурсивной?

4-4. Верно ли, что существует общерекурсивная функция /, такая, что
(Ух)[фж £ (§* =ф [фу 1Ж) С %* & ф/(Х) = ф^1]]? Если да, то проведите доказа-
тельство, подобное доказательству теоремы 1-VI.

4-5. Покажите, что множество {х | фж С $*} не обладает общерекурсив-
ной характеристической функцией. Используя упражнение 2-39, проведите
доказательство сведением.

4-6 (а) Покажите диагональным методом, что не существует эффективной
процедуры, согласно которой можно перечислить такое множество гёделевых
номеров рекурсивных перестановок, что каждая рекурсивная перестановка
имеет по крайней мере один гёделев номер в этом множестве.

(Ь) Выведите как следствие, что группа рекурсивных перестановок
не является конечно, порожденной.

4-7. Покажите, что существуют рекурсивная перестановка g и переста-
новка h, такие, что h^gh не рекурсивна. Выведите как следствие, что
не является нормальной подгруппой группы всех перестановок. (Указание.
Возьмите в качестве / нерекурсивную перестановку. Положите h(x) = х,
если х нечетно; h(x) = 2/ х j, если х четно. Положите g(x) = х-\- 1, если х
четно; g(x) — х — 1, если х нечетно.)

J^4-8. Покажите, что множество {/ | / — примитивнорекурсивная пере-
становка} не является группой. (Указание. Используйте указание к упраж-
нению 2-16.)

§ 4.3

4-9. В примерах, данных в § 4.3, покажите, что свойства (ii) и (iii)
являются рекурсивно инвариантными, а свойство (i) — нет.

х) Доказательство того, что эти случаи — единственно возможные, при-
вело бы к интересной алгебраической аксиоматизации частичнорекурсивных
функций.
4-10. Рассмотрите следующие свойства множеств:

(i)	Быть пустым.

(ii)	Быть областью значений общерекурсивной функции.

(Ш) Быть областью определения частичнорекурсивной функции.

(iv)	Обладать рекурсивной характеристической функцией.

(v)	Быть бесконечным.

(vi)	Содержать четные числа.

(vii)	Содержать множество, изоморфное множеству всех четных чисел.

Какие свойства рекурсивно инвариантны?

△4-11. Совпадают ли (v) и (vii) из упр. 4-10 как свойства множеств? .
(Указание. Очевидно, (vii) => (v). Если (v) =ф (vii), то покажите, как получить
соответствующий изоморфизм с четными числами. Если (v) (vii), то исполь-
зуйте диагональный метод, чтобы получить соответствующий контрпример.)

4-12. Рассмотрите следующие свойства функций:

(i)	Обладать бесконечной областью определения.

(ii)	Обладать областью определения, содержащей область значений.

(iii)	Быть общерекурсивпой.

(iv)	Быть частичнорекурсивной.

(v)	Обладать областью определения, содержащей четные числа.

(vi)	Обладать областью определения, содержащей множество, изоморфное
множеству всех четных чисел.

(vii)	Обладать областью определения, состоящей из семи элементов.

Какие из этих свойств рекурсивно инвариантны?

△4-13. Покажите, что пересечение (i) и (iv) в 4-12 совпадает с пересечением
<vi) и (iv).

4-14. Образуют ли рекурсивные перестановки один тип изоморфизма?

§4.4

4-15. Покажите, что сходство — отношение эквивалентности.

4-16. Какие из свойств из упражнения 4-12 инвариантны относительно
сходства?		?

4-17. Постройте примеры: (а) всюду определенной функции, у которой
чипы сходства и изморфизма различны; (Ь) всюду определенной функции,
у которой типы сходства и изоморфизма совпадают.

4-18. Образуют ли рекурсивные перестановки единственный тип сходства?

'	§ 4.5

4-19. Покажите, что „пробное определение” в § 4.5 не является рекурсив-
но инвариантным. (Указание. Возьмите <рж1 = Лх[х] и <р12 = Хх[х + 11;
используйте такую рекурсивную перестановку /, что /(xt) = х2.)

4-20. Определим частично рекурсивную функцию i= {(г, х)} | <fx(x)
сходится}. Покажите, что i не универсальна. (Указание. Рассмотрите обла-
сти значений.)

4-21. Покажите, что универсальную функцию нельзя продолжить до об-
щерекурсивной функции. (Указание. Используйте теорему 2-П.)

Д4-22 (а) Покажите, что универсальные функции образуют единственный
тип сходства.

(Ъ) (Блюм). Покажите, что универсальные функции образуют единствен-
ный тип изоморфизма.

4-23Л,Пусть ф — некоторая универсальная функция, и пусть / — обще-
рекурсивная функция двух переменных, отображающая N X N na N.
Является ли нумерацией в смысле упражнения 2-10 отображение, сопостав-
ляющее каждому х частичнорекурсивную функцию Лу[ф/(х, у)]?
Глава 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО
ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 5.1.	Определения 81

§ 5.2.	Основная теорема 84

§ 5.3.	Рекурсивные и рекурсивно перечислимые отношения; коди-
рование п-ок 89

§ 5.4.	Теоремы о проекции 92

§ 5.5.	Равномерность 95

§ 5.6.	Конечные множества - 96

§ 5.7.	Теорема об однозначности	99

§ 5.8.	Упражнения 101

§ 5.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Мы будем изучать свойства множеств натуральных чисел,
являющиеся рекурсивно инвариантными, в частности свойства,
связанные с разрешимостью и неразрешимостью. Наиболее важ-
ным свойством такого рода является свойство множеств обладать
рекурсивной характеристической функцией.

Определение. Множество рекурсивно, если оно обладает обще-
рекурсивной характеристической функцией. (То есть А рекурсив-
но тогда и только тогда, когда существует общерекурсивная функ-
ция /, такая, что для любого х х € А =>/(х) = 1 и х £ А => /(х) —
= 0..)

На интуитивном уровне, А рекурсивно, если существует эффек-
тивная процедура, позволяющая решить для любого данного х,
принадлежит ли он множеству А или не принадлежит.

Примеры. Следующие множества рекурсивны:

(i)	множество {0, 2, 4, . . .} всех четных чисел;

(ii)	N и 0;

(iii)	произвольное конечное множество;

(iv)	произвольное множество с конечным дополнением. ,

Множества (iii) и (iv) рекурсивны в силу того, что инструкции
для их характеристических функций могут быть получены
с использованием соответствующих явным образом выписанных
конечных множеств.

Существует рекурсивных множеств. Из мощностных сооб-
ражений следует, что должны существовать нерекурсивные мно-
жества (поскольку существует 2No подмножеств множества 7V).
Конкретные примеры нерекурсивных множеств приведены в гл. 1
и 2. Заметим, что из тезиса Чёрча тривиально следует, что если А
рекурсивно, то А рекурсивно.
Тесно связанным с понятием рекурсивности оказывается дру-
гое, несколько отличное от рекурсивности, свойство.

Определение. Множество А рекурсивно перечислимо, если или
А = 0, или существует общерекурсивная функция /, такая, что
А есть множество значений функции /.

На интуитивном уровне, множество рекурсивно перечислимо,
если существует эффективная процедура для перечисления (воз-
можно, с повторениями) его элементов. Свойства рекурсивности
и рекурсивной перечислимости играют центральную роль в даль-
нейшем рассмотрении. В настоящей главе мы предпримем иссле-
дование этих свойств. Непосредственная связь между рекурсив-
ностью и рекурсивной перечислимостью устанавливается следую-
щими теоремами.

Теорема I. А рекурсивно => А рекурсивно перечислимо.

Доказательство. Случай (I). А пусто. Тогда А рекур-
сивно перечислимо по определению.

Случай (ii). А конечно и =/=0. Пусть А = (по, п^ . . ., nh}.
Определим / следующим образом:

{пх для х к,
пк для к < х.

Случай (iii). А бесконечно. Пусть g — характеристическая
функция множества А. Определим / так:

/(0) = H//[g(y) = Н;

/(х + 1) = pylgG/) = 1 И /(х) < г/].

В случаях (ii) и (iii) функция / общерекурсивна, согласно тезису
Чёрча, и А = Vai /,в

Приведенное доказательство неконструктивно в том смысле,
что, располагая индексом характеристической функции множест-
ва А, мы можем не знать, какой из случаев имеет место (ср.
с упр. 2-34 (d)).

Теорема II. А рекурсивно <=> как А, так и А рекурсивно пере-
числимы.

Доказательство. =>. Следует немедленно из теоремы I,
так как А рекурсивно => А рекурсивно.

-<=. (Фигурировало выше в качестве упр. 2-27.) Если А или А
пусто, рекурсивность множества А очевидна. Если ни одно из
множеств А и А не пусто, то для некоторых общерекурсивных
функций / и g А = Vai / и А = Vai g. С привлечением функций /
и g может быть описана рекурсивная процедура, позволяющая
распознавать принадлежность числа множеству А: а именно, пусть
на принадлежность множеству А исследуется х, мы просматри-
ваем по очереди /(0), g(0), /(1), g(l), /(2), . Если х оказывается

значением функции /, то х С А. Если х оказывается значением
функции g, то х 6 А. Так как A J А — N, х непременно должно
оказаться или значением /, или значением g. На более интуитив-
ном уровне эта процедура может быть описана следующим обра-
зом: одновременно порождаются списки для множеств А та А',
в то же самое время осуществляется зигзагообразный поиск х
в двух списках. Когда-то х должно появиться. Список, в котором
появляется х, определяет, принадлежит ли х множеству А или
множеству А. а

Мы увидим в § 5.2, что обращение теоремы I места не имеет
и, следовательно, согласно теореме II, возможно рекурсивно
перечислимое множество, дополнение которого рекурсивно пере-
числимым не является.

Существует к0 рекурсивно перечислимых множеств. Из мощно-
стных соображений следует, что должны существовать множества,
не являющиеся рекурсивно перечислимыми; таким будет {х | <рж
общерекурсивна} (упр. 2-9, являющееся следствием теоре-
мы 1-VIII, показывает, что {х ] <рж общерекурсивна} не рекурсив-
но перечислимо).

Следующие специальные виды рекурсивной перечислимости
приводят к частичному обращению теоремы I.

Определение. Множество А рекурсивно перечислимо в порядке
неубывания, если существует общерекурсивная функция /, такая,
что А = Vai / и / — неубывающая функция ((Vz) (Vу} 1х <
< У => Кх) < /(у)]).

Определение. Множество А рекурсивно перечислимо в порядке
возрастания, если существует общерекурсивная функция /, такая,
что А = Vai / й / — возрастающая функция ((Vx) (Vy) [а: <
< У => Кх) < Ду)]).

Теорема IIJ (а). [Л рекурсивно &Л=£0]<=>Л рекурсивно
перечислимо в порядке неубывания.

(Ь). (Л рекурсивно & Л бесконечно] <=> А рекурсивно перечислимо
в порядке возрастания.

Доказательство. =>для (а) и (Ъ). Легко устанавли-
вается с привлечением функций, построенных в случаях (ii)
и (iii) доказательства теоремы I.

-<= для (а). Рассмотрим следующие два случая:

Случай (i). Л конечно. Тогда Л рекурсивно, поскольку
рекурсивно любое конечное множество.
Случай (ii). А бесконечно. Пусть / пересчитывает А в поряд-’
ке неубывании. Чтобы выяснить, принадлежит ли т множеству А,
порождаем множество значений функции f, пока не появится чис-
ло большее, чем х. Тогда х С А х уже появилось в списке.
Значит,, мы располагаем эффективным способом распознавания
принадлежности числа множеству А\ тем самым А рекурсивно.

<= для (Ь). Проходит рассуждеппе, подобное приводимому
в случае (ii) доказательства для (а). (В рассматриваемом случае
надлежит порождать лишь /(U), /(1), . . .,

Заметим, что доказательство <= для (а) неконструктивно: мы
не знаем, какой из случаев (i) или (ii) имеет место.

Теорема III, не будучи особенно глубокой, тем не менее часто
оказывается полезной. Одно из возможных ее применений содер-
жится в теореме IV, другие — в упр. 5-G и 5-7.

Теорема IV. Всякое бесконечное рекурсивно перечислимое мно-
жество обладает бесконечным рекурсивным подмножеством.

Доказательство. Пусть А бесконечно и рекурсивно.
перечислимо. Пусть / общерекурслвна и Val/ = A. Зададим
общерекурспвную функцию g:

g(0) = ДО),
g(T + 1) = /(щДДу) > g(a;)]).

Пусть В — Vai g. Тогда g порождает В в порядке возрастания.
Следовательно, по теореме III множество В бесконечно и рекур-
сивно. Так как В с. А, доказываемое утверждение установлено.и

Читатель легко может проверить, что понятия, введенные
в § 5.1, рекурсивно инвариантны.

§ 5.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Следующая теорема выявляет еще одну особенность рекурсив-
ной перечислимости. Это простой, но важный результат.

Теорема V (основная теорема о рекурсивно перечислимых
множествах). А рекурсивно перечислимо <?> А есть область опре-
деления частичнорекурсивной функции (т. е. (Эя) [А = Arg <рх1.

Доказательство.^. Случай (i). А = 0. Пусть ф
есть нигде не определенная частичнорекурсивная функция. Тог-
да А = Arg ф.	>

Случай (ii). А G5. Тогда А есть множество значений
некоторой общерекурсивной функции /. Зададим ф следующими
инструкциями: чтобы вычислить'ф(аг), порождайте множество зна-
чений функции /•, если и как только х появится во множестве зна-
чений /, тотчас выдайте х на выход. Очевидно, что гр частичноре-
курсивна и А = Arg гр.

-ф=. Пусть А = Arg гр, где гр —частичнорекурсивная функция.
Определим эффективную процедуру, которая будет порождать
А, если А не пусто. Процедура осуществляется по этапам.

Этап 1. Выполните 1 шаг в вычислении гр(О). Если процесс
вычисления гр(О) завершается на первом шаге, поместите 0 в спи-
сок для А.

Этап п + 1. Выполните по к-pl шагу в вычислении гр(О),
гр(1), . . ., гр(лг). Тек, 0 sC к п, для которых процесс вычисле-
ния гр(Л:) завершается на (п + 1)-м шаге или ранее, добавьте
в список для А.

Теперь определим ц следующим образом:

ц(0) = первый элемент пересчета;

( цу [г/ было добавлено к списку на этапе х + 1 и
т)(л; + 1) = | г/ (J {т](0), ц(1), . . ., 'п(ж)}], если такое у существует;

(. ц(0)	в противном случае.

Согласно тезису Чёрча, ц есть частичнорекурсивная функция.
Если А — 0, то А рекурсивно перечислимо по определению.
Если А =И= 0, то по построению ц всюду определена и Vai ц =
— Arg гр — А; таким образом, множество А рекурсивно перечис-
лимо. 

Только что приведенное доказательство проводилось путем
„уплотнения” („dovetailing”) вычислений для гр(О), . . ., гр(1), ... .
Такого рода конструкция удобна и часто применяется в рассматри-
ваемой теории. В дальнейшем мы будем иногда вместо упоминания
этой конструкции отсылать к теореме V.

Введем теперь в качестве имен рекурсивно перечисли-
мых множеств индексы соответствующих частичнорекурсивных
функций.

Определение. Wx = Arg <px.

Будем называть х рекурсивно перечислимым индексом или гёде-
левым номером рекурсивно перечислимого множества Wx. Заме-
тим, что, как это следует из теоремы 1-III, всякое рекурсивно
перечислимое множество имеет бесконечно много рекурсивно
перечислимых индексов. Мы будем часто писать вместо „рекурсив-
но перечислимые индексы” „р. п. индексы" или просто „индексы".
Если иметь в виду процедуру „уплотнения” из теоремы V, то
индекс множества интуитивно можно воспринимать как имя про-
цедуры, никогда не завершающейся и порождающей с переры-
вами (возможно, лишь конечное число раз наступающими) после-
довательность выходных значений,— эти выходные значения
и образуют множество.

Из доказательства теоремы V непосредственно усматривается
следствие.

Следствие V (а). А рекурсивно перечислимо <^> А есть множе-
ство значений частичнорекурсивной функции (т. е. (Эя) [Л =
= Vai <рх]).

Доказательство следствия. =>. Случай (i) ана-
логичен соответствующему случаю в доказательстве теоремы.

Случай (ii). Функция ф, построенная при доказательстве тео-
ремы, пригодна и здесь, так как А — Arg ф = Vai ф.

<=. Как и прежде, за тем лишь исключением, что теперь к ранее
образованному списку для А добавляются по этапам не входы,
а выходы. я

Итак, А есть область определения частичнорекурсивной функ-
ции тогда и только тогда, когда А есть множество значений частич-
норекурсивной функции. Приведем следствие, выражающее этот
факт в более сильной форме.

Следствие V (Ь). Существуют общерекурсивные функции fug,
такие, что для всех х

Vai <р/<х> = Arg фх,
Arg <Pg<x> = Vai фя.

Доказательство следствия. Установим сущест-
вование функции /. Для любого данного х определим

( у,	если фДу) сходится;

ф (у) = {

1 расходится в противном случае.

Очевидно, что Vai ф = Arg фж. Так как инструкции для ф зависят
от х равномерно эффективным образом, тоф = фу(ж) для некоторой
общерекурсивной функции /. (Здесь неявно использована s-m-n-
теорема.)

Установим существование функции g. Пусть дан х, зададим
порождающую процедуру, подобную процедуре, описанной при
доказательстве теоремы V, но отличающуюся от нее тем, что пере-
числяются выходы, а не входы, и еще тем, что роль ф теперь играет
фх. Определим

{и,	если у появляется в списке;

расходится в противном случае.
Очевидно, что Arg 0 = Vai фж. Так как инструкции для 0 равно-
мерно эффективно зависят от х, то 0 — <pg(X) для некоторой обще-
рекурсивной функции g.e

Легко усматривается и третье следствие, утверждающее, что
для непустых множеств можно переходить равномерно эффектив-
ным образом от инструкций для области определения или множе-
ства значений к инструкциям для перечисления всюду определен-
ной функцией.

Следствие V (с). Существуют общерекурсивные функции /'
и g', такие, что:

(i)	Vai фГ(х) = Arg фх и [Arg <рх	0 => <рГ(х) общерекур-

сивна] ;

(ii)	Vai <р5'(Ж) = Vai фх и [Vai <px	0 => (pg>(ж) общерекур-

сивна].

Доказательство следствия. Для доказатель-
ства (i) возьмем частичнорекурсивную функцию т], построенную
при доказательстве теоремы V, с <рж вместо ф. Тогда индекс функ-
ции т] равномерно эффективно зависит от х, т. е. г] = ф/' <ж) для
некоторой общерекурсивной функции

Для доказательства (ii) положим g' = f -g. где g — функция
из следствия V (Ь).и

И, наконец, четвертое следствие утверждает, что можно рав-
номерно переходить от инструкций для области определения или
множества значений к инструкциям для перечисления без повто-
рения.

Определение. Множество А есть начальный сегмент множества
АГ, если

(Ух) (V у) [[г/ € А & х < у] => х 6 А1.

Следствие V (d). Существуют общерекурсивные функции f
и g", такие, что:

(i)	Vai <Р/-(Я) = Arg срх, (р/'(ж) взаимно однозначна и область
определения ф/-<Х1 есть начальный сегмент N;

(ii)	Vai <Pg’(x> = Vai фж, <pg-(x) взаимно однозначна и область
определения функции (pg’(x) есть начальный сегмент множества]!/.

Доказательство следствия. Доказательство
подобно доказательству следствия V(c) (упр. 5-11).я

Теорема V дает действенный метод, позволяющий устанавли-
вать рекурсивную перечислимость. С ее использованием может
быть показано, что многие из множеств, рассмотренных в гл. 2,
рекурсивно перечислимы. Приведем здесь один такой пример:
{я:|фж(а:) сходится}. Дадим сначала этому множеству специаль-
ное имя.
Определение. К = {х | q>x(x) сходится} = {х | х Е Wx}. (Отны-
не буква К будет служить обозначением этого множества.)

Теорема VI. Существует рекурсивно перечислимое, но не рекур-
сивное множество, и .К является таковым.

Доказательство. Положим

, .   Г 1,	если (рДа:) сходится,

VW	( расходится, если <рх6с) расходится.

Очевидно, что функция ф частичнорекурсивна и К = Arg ф. Сле-
довательно, согласно теореме V, множество К рекурсивно пере-
числимо.

Из следствия 1-VII нам известно, что множество К не рекур-
сивно. Однако мы теперь в состоянии дать более короткое дока-
зательство этого факта. Предположим, что К рекурсивно. По тео-
реме II К — Wm для некоторого т. Тогда т Е К <=>т Е Wm
по определению К, однако т £ К <=>т Е Wm в силу выбора т.
Полученное противоречие показывает, что К не может быть рекур-
сивным 1).и .

Таким образом, в то время как К рекурсивно перечислимо, К
рекурсивно перечислимым не является. Кроме того, согласно
теореме III, само множество К не является рекурсивно перечис-
лимым в порядке возрастания.

Множество К будет играть в дальнейшем важную роль. В нем
воплощена и сконцентрирована проблема остановки. Оно будет
неоднократно использоваться нами при построении контрприме-
ров. Мы столкнемся с целым рядом других множеств, которые-
окажутся рекурсивно перечислимыми, но не рекурсивными. Даль-
нейшие важные свойства рекурсивно перечислимых множеств
и рекурсивных множеств излагаются в теоремах и упражнениях, .
с л е дующих' ниже.

Теорема VII. Если ф частичнорекурсивна и А рекурсивно пере- 
ислимо, то ф-1(А) рекурсивно перечислимо.	I

Доказательство. Чтобы проверить результаты такого
рода, лучше всего положиться на интуицию и описать процедуру
в общих чертах. Например, в нашем случае: „Перечисляйте эле-
менты А, в то же самое время производите, уплотняя, вычисления
для ф при всех входных значениях; выделите входные значения,
приводящие к выходам, принадлежащим А". Для более формаль-
ного доказательства, однако, может быть полезна основная тео-

х) Обращаем внимание читателя на аналогию с классическим доказа-
тельством теоремы Кантора (которая утверждает, что мощность любого мно-
жества меньше мощности множества всех его подмножеств).
рема. В нашем случае применим основную теорему к множеству
А — Arg срп для некоторого п. Тогда 'ф-1(А) = Arg фпф и, вновь
согласно основной теореме, ф-1(А) рекурсивно перечислимо. в

§ 5.3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
ОТНОШЕНИЯ; КОДИРОВАНИЕ п-ок

Понятия рекурсивности и рекурсивной перечислимости можно
было бы перенести на n-арные отношения, сказав, что отношение
рекурсивно, если оно обладает рекурсивной характеристической
функцией, и что отношение рекурсивно перечислимо, если оно
есть область определения частичнорекурсивной функции *). Мы,
однако, не станем поступать таким образом. Мы рассмотрим раз-
личные (хотя и эквивалентные) способы, позволяющие переносить
на отношения любое рекурсивно инвариантное свойство множеств.
В частности, нами будет перенесено „пересчитывающее” определе-
ние рекурсивной перечислимости, рассматривавшееся в § 5.1.

Сначала мы введем некоторое специальное кодирование упоря-
доченных пар натуральных чисел (натуральными числами);- затем,
используем это кодирование для описания некоторого специаль-
ного кодирования n-ок натуральных чисел (натуральными числа-
ми) при каждом п. Мы фиксируем эти способы кодирования и бу-
дем прибегать к ним в дальнейшем.

Определение. т(х, у) = -i- (х* 2 4~ 2ху 4- у2 4~ Зх + у).

Л

Лемма, т является рекурсивным взаимно однозначным отобра-
жением множества N X N на N.

Доказательство. Рекурсивность т очевидна. Поста-
вим в соответствие числам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... упорядоченные
пары <0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, <1,2>, ...
Читатель может проверить с помощью известного тождества
О 4~ 1 4~ 2 4-	п — у п(п -|- 1), что это соответствие задает-

ся посредством т.и

Хотя нами и было описано некоторое конкретное т, специфиче-
ский вид его для нас неважен. Существенным является лишь то,
что т отображает N X N взаимно однозначно на N и что т рекур-
сивно. Существует бесконечное семейство функций, каждая из кото-
рых могла бы играть роль т. Такие функции мы будем называть
функциями пересчета пар 2).

4 Для n-арного отношения функция сеть функция п переменных.

2) Этот термин (в оригинале pairing functions.— Перее.) часто употреб-
ляется также применительно к функциям, отображающим N X А взаимно
однозначно в N и имеющим рекурсивное множество значений.
Определение. и л2 суть функции одной переменной, осуще-
ствляющие отображение, обратное отображению т. Иными сло-
вами, для всех z т(Л1(г), n2(z)) = z. Функции и л2, очевидно,
общерекурсивны.

Определение. Мы будем использовать символ (х, у) в качестве
сокращения для т(х, у). Мы определим А X В как {(х, у) | х £
6 А & у £ В}, т. е. А X В = т(Л X #)• Тем самым X есть опера-
ция, переводящая множества в множества.

Для любого п > 0 кодирование тп, отображающее Nn на N,
определяется посредством т следующим индуктивным определе-
нием.

Определение,

т1 = кх[х],

тп+1 = XXj . . . Xn+JTft’Xz!, . . ., хп), zn+1)l.

(В частности, т2 = т.)

л", . . ., л" — инверсные функции для т”, т. е. для всех z
rn(np(z), . . ., jtn(z)) = z, (В частности, л2 = гц и л| = л2.)

Все эти функции, очевидно, общерекурсивны. Мы будем обо-
значать xn(xi, . . ., хп) через (a^, . . хп).

Пример 1. <2, 1, 0) = {(2, 1), 0) = (8, 0) =44.

Пример 2. т4(Л4) = ((Л X Л) X А) X А.

В случае, когда обозначение X употребляется без скобок, мы
будем предполагать связанность слева. Например, А X ВхС озна-
чает (А X В) X С.

Посредством тп мы можем перейти от любого n-арного отноше-
ния и, в частности, от любой функции к соответствующему „кодо-
вому” множеству натуральных чисел. Любое свойство множеств
распространяется на свойства n-арных отношений, если условить-
ся, что отношение обладает данным свойством тогда и только тог-
да, когда его кодовое множество обладает этим свойством.

СоглашЕНИЕ. Пусть Р — свойство множеств. Будем говорить,
что п-арное отношение R обладает свойством Р, если xn(R) обла-
дает свойством Р,

Тем самым понятия рекурсивности и рекурсивной перечисли-
мости, определенные в § 5.1, оказываются теперь перенесенными
на отношения. Таким же образом могут быть перенесены многие
важные результаты. Например, из теоремы II мы получаем, что
R рекурсивно <=> R и R рекурсивно перечислимы (здесь R =
= Nn - R).

Эквивалентны ли эти определения рекурсивности и рекурсив-
ной перечислимости отношений определениям, предложенным
в первой фразе § 5.3? Их эквивалентность немедленно следует
из теоремы V (основной теоремы) и следующей теоремы.

Теорема VIII (а). Пусть ф — частйчнорекурсивная функция
одной переменной; тогда

Ф‘П) = “kXi ... xn[<p(<Xi, . • хп))]
есть частичнорекурсивная функция п переменных.

(Ь) Пусть ф<П) — частичнорекурсивная функция п переменных;
тогда

Ф = Хг[ф<п’(л»*(г), . . ., л"(г))]

есть частичнорекурсивная функция одной переменной.

Доказательство. Следует из тезиса Чёрча. Заметим,
что всюду определенные функции соответствуют всюду определен-
ным функциям и соответствие, устанавливаемое в (а), обратно
соответствию, устанавливаемому в (Ь) 1).и

Чтобы проиллюстрировать определения рекурсивности и ре-
курсивной перечислимости отношений, приведем следующую тео-
рему. Доказательство оставим в качестве упражнения (см.
упр. 5-17).

Теорема IX (а). Пусть / — всюду определенная функция; тогда
/ есть общерекурсивная функция <=> / как бинарное отношение
рекурсивна как бинарное отношение рекурсивно перечислима.

(Ь) Пусть ф — функция; тогда ф есть частичнорекурсивная
функция <=> ф как бинарное отношение рекурсивно перечислима.

Разумеется, в (Ь) отношение ф может быть рекурсивно перечис-
лимо, но не рекурсивно; ф = {{х, х) | х € К} представляет собой
такой пример. (Это одна из причин, по которой мы называем основ-
ные объекты нашей теории „частичнорекурсивными функциями”,
а не „рекурсивными частичными функциями”.) В ряде разделов
теории (так же как и в рассматриваемом случае) термин „частично-
рекурсивная” часто связывается с рекурсивной перечислимостью
(см., например, § 9.2).

Замечание о рекурсивной инвариантно-
сти. Посредством кодирования тп отношения могут быть (в раз-
личных целях) идентифицированы с множествами. Конкретные
отображения тп не являются сами по себе рекурсивно инвариант-
ными объектами, равно как и соотношение А = хп(П) между мно-
жеством А и отношением R не есть рекурсивно инвариантное

*) Теорема VIII показывает, что размерность не играет в теории рекур-
сивных функций роли, аналогичной той, какую она играет в теории непре-
рывных функций действительной переменной (где аналог теоремы VIII места
не имеет).
соотношение. Можно показать, однако, что всякое рекурсивно
инвариантное свойство множеств, перенесенное на отношения
в соответствии с принятым соглашением, превращается в рекур-
сивно инвариантное свойство отношений, т. е. можно показать,
что R = Q => т" (R) = тп (Q) для и-арных отношений R и Q
(упр. 5-19). Обратное, однако, места не имеет. Свойство, являю-
щееся рекурсивно инвариантным для n-арных отношений, не всег-
да превращается в рекурсивно инвариантное свойство соответ-
ствующих множеств, т. е. xn(R) = тп(Q), вообще говоря, не вле-
чет за собой R = Q для n-арных отношений R и Q. Такого рода
пример содержится в упр. 5-20.

§ 5.4.	ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИИ

В § 5.1 была определена рекурсивная перечислимость. В § 5.2
(основная теорема) она была охарактеризована иным способом.
В настоящем разделе мы приведем еще одно ее описание — с помо-
щью проекций рекурсивных отношений.

Мы употребляем следующее сокращение, являющееся обще-
принятым в метаматематических работах: вместо (х17 ..., хп) 6 R
пишем R(xi, . . ., хп).

Определение. Множество

{^^i,  • ., xj_i, Xj-f-i, . . ., хп) | (3xj)R(xi, . . ., хп)}

называется проекцией отношения R вдоль j-й координаты. (Гео-
метрический смысл этого термина ясен.)

Теорема X. Если отношение R рекурсивно перечислимо, то суще-
ствует рекурсивное отношение S, такое, что R есть проекция S.
Более точно., если R есть п-арное, рекурсивно перечислимое отно-
шение, то существует (п + 1)-арное рекурсивное отношение S,
такое, что

R = {^i, • • •, хпу | (Зхп4-1)5(д?1, . .	хп+1)}.

Теорема XI. Если отношение R рекурсивно перечислимо, то
всякая его проекция рекурсивно перечислима. В частности, если
R п-арно и рекурсивно перечислимо, то отношение

{^#1, • » ., з:п_1У| (Зя’п)^?^!?  • ч Я'п)}
рекурсивно перечислимо.

Немедленно получаем такое следствие.

Следствие XL R рекурсивно перечислимо <^>R есть проекция
некоторого рекурсивного отношения S.
Мы будем ссылаться на эти теоремы как на теоремы о проекции
или как на теоремы о кванторе существования (ввиду той роли,
которую играет символ 3 при определении проекции). Эти теоре-
мы часто используются при доказательстве рекурсивной перечис-
лимости. Прежде чем доказывать эти теоремы, проиллюстрируем
их применение.

Пример. Рассмотрим А = {х | 7 б Vai <рж). Чтобы пока-
зать, что множество А рекурсивно перечислимо, мы представим А
в виде проекции:

А = {х | (3y)[<pK(y) = 71} =

= {х | (Зу) (3z) [ в процессе вычисления, соответствующего
Рх, при входе у получаем 7 в качестве выхода менее чем
за z шагов]},

т. е.

А = {х | (Зу) (3z) S(x, у, г)},
где S — рекурсивное отношение. Дважды применив теорему XI,
получаем, что множество А рекурсивно перечислимо.

Доказательство теоремы X. Пусть R = тп(7?).
Тогда R есть рекурсивно перечислимое множество. Согласно тео-
реме V, существует частичнорекурсивная функция ф, такая, что
R = Arg ф. Пусть т — фиксированный индекс функции ф
и Рт — соответствующее множество инструкций для ф. Тогда
Rixi, . . ., хп} <=> (xi, . . ., хп} € 7? <=^ф((х1, . . ., Хп)} сходится
<=>(3xn+i) [процесс вычисления, соответствующий Рт, при входе
{Xi, ..., хп} завершается менее чем за хп+1 шагов]. Согласно тезису
Чёрча, словосочетание, стоящее в квадратных скобках, опре-
деляет [рекурсивное отношение на 7Vn+1, и теорема доказана.а

Доказательство теоремы XI. Достаточно пока-
з ать справедливость утверждения теоремы для проекции отноше-
ния R вдоль n-й координаты. Пусть дано рекурсивно перечисли-
мое отношение R. По теореме X мы можем найти рекурсивное
•отношение S, такое, что R(x^, . . ., хп) <=> (3a:n+l)S(xi, . . ., жп+1).
Пусть Q — заданная проекция отношения R. Тогда Q[xi,.. .хп_^ <=>

* [3x^}R[x\, . . ., хп) (Зхп) (ЗжП4-1) S[xi, . . -, xn4-i). Опре-
делим теперь частичнорекурсивную функцию ф следующим
образом. Чтобы вычислить ф(<л71, . . ., хп_\}}, проверяйте
по очереди, выполнено ли S(xi, . . ., xn-i, ^t(z), ЯгС2)) при z =
= 0, 1, 2, . . ., пока не получите утвердительный ответ. Если
и как только это произойдет, выдайте на выход 1. Тогда
Q(xt,..., яп-1)<=>Ф((-Ч, • - ч^п-iсходится <^>(xt,.. ,xn_i}E А^ф.
Следовательно, согласно теореме V, Q рекурсивно перечислимо.а
Теоремы о проекции дают действенный способ, позволяющий
установить рекурсивную перечислимость, хотя часто рекурсивную
перечислимость более просто распознать, руководствуясь идеями
§ 5.1 и 5.2. Например, рассмотрим А = {х | Wx^ 0}. (1) Чтобы
показать, что множество А рекурсивно перечислимо, согласно
основному определению (§ 5.1) мы должны перечислять элементы
множества А. Интуитивно ясно, что это может быть достигнуто
двойной процедурой „уплотнения” („одновременно” перечисляю-
щей Wo, Wi, W2,  . ., а затем перечисляющей индексы тех пере-
счетов, которые оказываются непустыми). (2) Чтобы показать,
что множество А рекурсивно перечислимо, согласно теореме
об области определения (теорема V), следует задать функцию ф,
сходящуюся на х, если Wx=/= 0, и применить одноактную про-
цедуру „уплотнения” к списку Wx. Тогда А = Argi|) и рекурсивно
перечислимо. (3) Чтобы установить рекурсивную перечислимость
множества А с помощью теорем о проекции, переопределим Л
как {х | (Зу) (3z) [процесс вычисления, соответствующий Рх, при
входе у завершается менее чем за z шагов]} и немедленно получим
его рекурсивную перечислимость.

Определение. Если R есть n-арное отношение и к фиксировано,
отношение

{{х2, . . ., хп} | R(k, х2, . . ., хп)}

назовем сечением отношения R по к. Очевидно, что любое сеченио
рекурсивно перечислимого или рекурсивного отношения является
соответственно рекурсивно перечислимым или рекурсивным отно-
шением. Существует ли единственное рекурсивное отношение,
из которого все рекурсивно перечислимые множества могут быть
получены взятием сечения и проекции? Ответ содержится в неяв-
ной форме в предыдущих доказательствах; мы сформулируем его
в виде теоремы XII.

Теорема XII (о нумерации рекурсивно перечислимых множеств).
Существует рекурсивное тернарное отношение R, такое, что для.
всех z

Ж, = {х | (Зш)Д(я, х, ш)}.

Доказательство. Определим R как {(z, х, ш} | про-
цесс вычисления, соответствующий Pz, при входе х завершается,
менее чем за и шагов}. Оно рекурсивно согласно тезису Чёрча.и.

Из второй теоремы о проекции получаем

Следствие XII. {(z, х) | х € Wz} есть рекурсивно перечислимое-
множество.
§ 5.5.	РАВНОМЕРНОСТЬ

Некоторые доказательства существования, приводимые в этой
главе, были неконструктивны в том смысле, что не давалось ника-
кой эффективной процедуры, позволяющей установить, какой
из нескольких случаев имел место (см., например, доказательство
теоремы III). Займемся выявлением тех доказательств существо-
вания, для которых, можно найти эффективные процедуры. Будем
говорить, что теорема имеет место равномерно или равномерно
эффективно, если такая процедура может быть задана. Точный
смысл термина „равномерная эффективность” обычно будет ясен
из контекста. Некоторые ранее доказанные результаты имели
место равномерно. Например, следствие V (Ь) показывает, что
мы можем „переходить равномерно” от области определения
к множеству значений и обратно. Следствие V (с) дает аналогичное
явное выражение равномерности. Иногда может быть показано,
что равномерность места не имеет. Следующие теоремы служат
иллюстрацией сказанному.

Теорема XIII. Класс рекурсивно перечислимых множеств замк-
нут относительно операций (J> П и X равномерно эффективно.

Доказательство. Здесь под „равномерностью” под-
разумевается существование общерекурсивных функций /, g и h,
таких, ЧТО Wj(Xt у) = Wx IJ Wy, ^g(x, yl^^Wx П Wy И ^h(x ,у)
= WX X Wy. Мы оставляем доказательство в качестве упражнения
(см. упр. 5-23).в

Теорема XIV. Класс рекурсивных множеств замкнут относи-
тельно операций J , f) , X и операции взятия дополнения. На уров-
не р. п. индексов замкнутость относительно J, Q и X равно-
мерна, однако замкнутость относительно операции взятия допол-
нения не может быть равномерной.

Доказательство. Мы оставим доказательство замкну-
тости и равномерности в качестве упражнения (упр. 5-24). Пока-
жем, что замкнутость относительно операции взятия дополнения
не может быть равномерной, т. е. не существует частичнорекур-
сивной функции ф, такой, что для всяког о х множество Wx рекур-
сивно <=> [ф(я) сходится и = Wx]. Предположим, что такая
функция ф существует. Привлечем множество К, чтобы получить
противоречие. Так как К рекурсивно перечислимо и, следователь-
но, может быть эффективно пересчитано, то существует общере-
курсивиая функция g, такая, что для всякого х (рй<ж) всюду
определена, если х £ К, и нигде не определена, если х £ К. Итак,

{N, если х Е К,

0, если х Е К-
Для всякого х Wg(x) есть рекурсивное множество. По предполо-
жению функция ipg(x) определена на всех х. Пусть / есть всюду
определенная функция ij)g. Мы имеем

( 0, если х £ К,
^/(s)	। TV, если х £ К.

Таким образом, К = (х |	=/= 0}. Но {х | Wf(x) ф 0} =

= {% I (Эг/)[г/ = /(я) & Wv^0]} = {х | (ly)(3z)(3w)[y = f(x) и про-
цесс вычисления, соответствующий Ру, при входе z завершается
менее чем за w шагов\}. Следовательно, согласно второй тео-
реме о проекции, множество К рекурсивно перечислимо. Но К
рекурсивно перечислимо => К рекурсивно, в противоречие с тео-
ремой VI. и

Замечание. Замкнутость относительно операции взятия
дополнения может быть равномерной, если используется иная
система имен рекурсивных множеств, например индексы характе-
ристических функций (§ 5.6).

За дальнейшими примерами равномерности и неравномерности
мы обратимся к излагавшимся в этой главе теоремам. В теоре-
ме III, если мы будем именовать функции обычными гёделевыми
номерами, а рекурсивные множества — индексами характеристи-
ческих функций, то => равномерно как в случае (а), так и в слу-
чае (Ь), а <= равномерно в случае (Ь), но не в случае (а) (см.
упр. 5-26). Теорема IV имеет место равномерно, даже если рекур-
сивные подмножества именуются индексами характеристических
функций. В теореме V непосредственно говорить о равномерности
нельзя, ибо в первоначальном определении рекурсивной перечис-
лимости фигурируют два отдельных случая. Следствия V(b),
V(c) и V(d),— разумеется, явно равномерные результаты. В тео-
реме VIII равномерность (от индексов к индексам) имеет место
в обеих чаётях. В теоремах X и XI равномерность наличествует
вне зависимости от того, поименованы ли рекурсивные отношения
р. п. индексами или индексами характеристических функций.

Заключительное замечание. В формальных
доказательствах равномерности почти всегда используется s-m-n-
теорема. Так как «“-функции примитивнорекурсивны, результи-
рующие „функции равномерности” в таких случаях (подобно функ-
циям / и gB следствии V(b)) обычно также примитивнорекурсивны.

§ 5.6.	КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА

Рекурсивно перечислимое множество может быть названо
посредством указания его р. п. индекса. Подобным образом рекур-
сивное множество может быть названо индексом его характеристи-
ческой функции. Мы назовем такой индекс характеристическим
индексом рекурсивного множества. Очевидно, можно равномерно
переходить от характеристических индексов к р. и. индексами
Равномерный переход в обратном направлении невозможен. Ины-
ми словами, не существует частичнорекурсивной функции ф,
такой, что для всякого х множество Wx рекурсивно => [ф(х) опре-
делено и Фф(Ж) есть характеристическая функция ИД]. Это является
следствием теоремы XIV: существование такой функцииф противо-
речило бы последней фразе теоремы XIV.

Конечное множество может быть задано еще и именем третьего
вида, именем, которое явно кодирует список элементов множества.

Определение. Пусть А — непустое конечное множество
{х1, х2,  . хп}, где х,. < х2 < ... < хп. Тогда число 2’с*-|-
+ 2*2 + ... + 2Хп называется каноническим индексом множест-
ва А. Если А пусто, канонический индекс, приписываемый А, есть 0.

Определение. Обозначим через Dx конечное множество, кано-
ническим индексом которого является х.

Очевидно, всякое конечное множество имеет единственный
канонический индекс и каждое натуральное число есть канониче-
ский индекс некоторого конечного множества. Если х записано
в двоичной системе счисления, элементы множества Dx задаются
расположением единиц; точнее, для всех z z есть элемент множе-
ства Dx, если 1 появляется в качестве (z + 1)-го знака справа
в двоичном разложении х.

Пример. Что такое Z>i3? В двоичной системе счисления 13
есть 1101; единицы появляются на первом, третьем и четвертом
местах (справа). Следовательно, Z>13 — {0, 2, 3}.

Очевидно, возможен равномерный переход от канонических
индексов к характеристическим индексам и, следовательно, к р. п.
индексам. Следующая теорема показывает, что равномерный пере-
ход от характеристических индексов к каноническим индексам
невозможен.

Теорема XV (а). Существует общерекурсивная функция f,
такая, что для всех х f(x) есть мощность Dx.

(Ь) Не существует частичнорекурсивной функции ф, такой,
что для всякого х, если <рх есть характеристическая функция конеч-
ного множества А, то ф(х) определена и ф(ж) есть мощность А.

Доказательство, (а) Непосредственно следует из те-
зиса Чёрча.

(Ь) Предположим, что такая функция ф существует. По всяко-
му х зададим функцию ц так:

{1, если процесс вычисления, соответствующий Рх, при
входе х завершается ровно за z шагов;

0 в противном случае.
Функция т], очевидно, общерекурсивна. Ее гёделев номер может
быть найден равномерно по х; назовем его g(x). Тогда cpg(x> являет-
ся характеристической функцией множества, имеющего мощность
1, если х t К, и мощность 0, если х $ К. Следовательно, r|>g есть
общерекурсивная функция, такая, что

, ,. /1, «ех.

Это противоречит нерекурсивности К.в

Следствие XV. Невозможен равномерный переход от характе-
ристических индексов к каноническим индексам.

Доказательство. Если бы такой переход был возмо-
жен, то из (а) следовало бы существование ф Для (Ь) в тео-
реме XV.B

Так как мы можем переходить равномерно от характеристиче-
ских индексов к р. п. индексам, из этого следствия немедленно
вытекает, что невозможен равномерный переход от р. п. индексов
к каноническим индексам. Упражнение 5-29 содержит дальней-
шую информацию об индексах конечных множеств и показывает,
что невозможен равномерный переход от р. п. индексов конечных
множеств к характеристическим индексам конечных множеств

Подытожим полученные результаты: были упомянуты три вида
имен конечных множеств. Равномерный переход в направлениях,
указанных в следующей диаграмме, осуществим, но переход
в обратных направлениях невозможен.

Характеристические индексы

Канонические индексы Р. п. индексы

Кодирование всех п-ок

Положим № = {0}. Определим кодирование т*, которое

отображает U Nn взаимно однозначно на N:
п=0

(и Nn = {0} и VU WXA0 и	и

п=о

Определение.

т*(0) = 0;

т*«ж1, . . ., хпу) = т(тп(хъ . . ., хп), п — 1) + 1 =

= (xlt . . ., хп, п — 1) + 1
Этим кодированием, являющимся, очевидно, эффективным
взаимно однозначным отображением на, мы воспользуемся
в гл. 16.

§ 5.7.	ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ *)

Определение. Множество А однозначно, если {(х, у) | (х, у) 6 А }
есть однозначное отношение. (Предостережение: как свойство
множеств однозначность не есть рекурсивный инвариант.)

Заметим, что А однозначно тогда и только тогда, когда А =
= т(ф) для некоторой функции ф. Из теоремы IX следует, что
однозначные элементы последовательности Wo, W t, . . . порож-
дают (при т-1) семейство всех частичнорекурсивных функций.
К сожалению, {z | Wг однозначно} не рекурсивно; на самом деле
оно даже не рекурсивно перечислимо. Тем не менее мы можем
перечислить последовательность р. п. индексов однозначных мно-
жеств, которая содержит индексы всех однозначных рекурсивно
перечислимых множеств (хотя и не все индексы таких множеств)
и, следовательно, получить все частичнорекурсивные функции.
Это устанавливается следующей теоремой.

Определение. Arg А = {х ] (Эу)[(х, у) С А1}.

Теорема XVI (теорема об однозначности). Существует общере-
курсивная функция f, такая, что для всех z

(i)	Wf(Zf однозначно-,

(ii)	Wf(z) c Wz-,

(iii)	Arg PF/(z) = Arg Wz;

(iv)	Wz однозначно => IV/(2> — Wz,

Доказательство, (iv) немедленно следует из (ii)
и (iii). Согласно следствию V (d), процедура для пересчитывания
без повторения Wz может быть найдена эффективно но z. Пусть
дано какое-либо z. Определим

Аг = {(х, у > | (х, у} Е И'г и (Vp')[[/ Ф у &

& (х, у') 6 Wz] => (х, у} предшествует (х, у'} в пе-
ресчете Wz (задаваемом следствием V (d))l).

Легко видеть, руководствуясь как интуитивными соображениями,
так и формальными доводами, что Az рекурсивно перечислимо
и что р. п. индекс множества Аг может быть найден равномерно
эффективно по z. (Например, определим частичнорекурсивную
функцию с Az в качестве области определения.) Следовательно,

За исключением § 16.5, никакие последующие результаты не зависят
от § 5.7.
существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого z,
РГ/(г) = Аг. Из определения Az следует, что / обладает свой-
ствами, требуемыми в (i), (ii) и (iii).и *)

(Используя функцию / из этой теоремы, мы могли бы опреде-
лить фг = т-1(Ц7у(2)). Тем самым мы бы имели новую нумерацию
класса всех частичнорекурсивных функций. Нетрудно показать,
что эта нумерация была бы допустима в смысле упр. 2-10.)

Теорема об однозначности интересна в двух отношениях.
Во-первых, эта теорема хотя и не обогащает нашей интуиции
(по сравнению с тем, что в этом направлении сделано основной
теоремой), может тем не менее служить формальным изящным
способом применения основной теоремы. Следующая теорема
является тому примером.

Теорема XVII (принцип редукции). Каковы бы ни были два
рекурсивно перечислимых множества А и В, найдутся рекурсивно
перечислимые множества А' и В', такие, что А’ с А, В' а: В,
A U В = A' (J В' и А' П В’ = 0.

Доказательство. Определим С = (А X {0)) (J
и (В X {!})• Согласно теореме XIII, множество С рекурсивно
перечислимо. Пусть С — Wn, и пусть далее С = Wf(n), где функ-
ция / — такая же, как в теореме XVI. Тогда т-1(С") есть частично-
рекурсивная функция ф. Положим А' = ф-1(0) и В' = ф-1(1).в

Второй, более важный аспект, в котором интересна теорема
об однозначности, связан с изучением обобщенной вычислимости.
Объектами такого изучения служат множества, являющиеся обоб-
щениями рекурсивно перечислимых множеств, и функции, являю-
щиеся обобщениями частичнорекурсивных функций. В отличие
от рекурсивного случая при таком изучении оказывается более
удобным сначала определить обобщение рекурсивно перечисли-
мого множества (определенного „через проекцию”), затем дока-
зать теорейу, аналогичную теореме об однозначности, и, наконец
использовать этот результат об однозначности для определения
обобщения частичнорекурсивной функции. (При переходе от опре-
деления через проекцию к теореме об однозначности возникает
потребность в некотором аналоге основной теоремы. В такого рода
аналоге обычные пересчеты нашей основной теоремы, как правило,
заменяются трансфинитными вполне упорядоченными „пересче-
тами”). Коль скоро получено обобщение частичнорекурсивной

Ч Теорема XVI может быть также названа теоремой об униформизации.
(Будем говорить, что множество Wf (г> получено „униформизацией” множества
Wz.— Перее.) В теоретико-множественной топологии говорят, что
множество А на плоскости униформизует множество В на плоскости,
если: (i) (Vx) (3 самое большее один у) [(х, у) 6 41; (ii)4cB
и (iii) {х | (gy) (ж, у)£ А ]) = {х ] (Зу) [ (х, у) £ В])(см. Куратовский [1950]).
функции, дальнейшая теория может развиваться параллельно
обычной теории рекурсивных функций х). Мы развиваем такую
обобщенную теорию в § 16.5.

Продемонстрируем еще одно применение теоремы об однознач-
ности. Докажем, что по всякому эффективному пересчету рекур-
сивно перечислимых множеств мы можем эффективно найти непу-
стое множество, встречающееся в пересчете, если такое множе-
ство существует. Для рекурсивно перечислимых множеств это
следует из основной теоремы. Настоящее доказательство, исполь-
зующее теорему об однозначности, может быть перенесено в обоб-
щенную теорию § 16.5.

Теорема XVIII (теорема выбора). Существует частичнорекур-
сивная функция ф, такая, что для всякого z

(i)	ф(г) сходится <=> (Зш)[ш £ IVZ & Ww =Д 0];

(ii)	ф(г) сходится => 1ф(г) С Wz &	=# 01.

Доказательство. Пусть А = {(z, w) | (Вы)
[и CWw & w £ Очевидно, [u € Ww & w 6 VKZ1 описывает
рекурсивно перечислимое отношение; отсюда, переходя к проек-
ции, получаем, что множество А рекурсивно перечислимо. Пусть
А' есть /(А), где / — функция теоремы XVI; полагая ф = т-1(А'),
получаем искомую функцию ф.в

Упражнение 5-36 показывает, что с помощью теоремы выбора
может быть получена более общая форма принципа редукции.

Заметим, что теорема выбора является иным выражением прин-
ципа „уплотнения” основной теоремы. Этот принцип состоит в том,
что по любой данной бесконечной эффективной последовательно-
сти вычислений мы можем эффективно найти завершающееся вы-
числение, если таковое существует.

§ 5.8. УПРАЖНЕНИЯ

§5.1

5-1. Покажите, что свойство множеств быть рекурсивно перечислимыми
рекурсивно инвариантно.

5-2. Множество А рекурсивно перечислимо без повторений, если оно есть
множество значений некоторой общерекурсивной взаимно однозначной функ-
ции /. Докажите, что А бесконечно и рекурсивно перечислимо <=> А рекурсив-
но перечислимо без повторений.

5-3. (а) Пусть А и В — бесконечные рекурсивные множества с бесконеч-
ными дополнениями. Покажите, что А = В. Сколько таких множеств суще-
ствует?

2) Если только такое семейство обобщенных частичнорекурсивных функ-
ций обладает свойствами замкнутости, столь же „естественными”, как и свой-
ства замкнутости (семейства частичнорекурсивных функций), вытекающие
из тезиса Чёрча (см., например, теорему 1-IX).
5-4. Покажите, что если функция / общерекурсивна, функция g общере-
курсивна и взаимно однозначна, множество значений функции g рекурсивно
и (Vx)[/(x) > g(i)], то множество значений функции / рекурсивно.

5-5. Пусть / — общерекурсивная функция. Пусть множество Л рекурсив- '
но и В рекурсивно перечислимо. Что можно заключить о рекурсивности или
рекурсивной перечислимости четырех множеств /(Л), /-1(Л), /(£) и /-1(В)?

△5-6. Класс 'ё рекурсивно перечислимых множеств называется рекур-
сивно перечислимым классом, если существует рекурсивно перечислимое мно-
жество А, такое, что (VB)(B £ <=> (Зу)[у Е A &WV = В]), т. е. если суще-
ствует эффективная процедура, порождающая по крайней мере один р. п.
индекс для каждого элемента класса g. (Определение обозначения Wx см.
в § 5.2). Покажите, что класс всех рекурсивных множеств рекурсивно пере-
числим. (Указание. Воспользуйтесь теоремой III и методом теоремы IV.)
(Для этого упражнения нужна теорема V и ее следствия из § 5.2.)

△5-7. Пусть В—линейное упорядочение натуральных чисел, которое,
рассматриваемое как отношение, рекурсивно перечислимо. Покажите, что
существует рекурсивное отношение, которое является линейным упоря-
дочением того же самого порядкового типа, т. е. которое изоморфно В в обыч-
ном алгебраическом смысле. (Указание. Воспользуйтесь теоремой III (а).) •
(Рекурсивность и рекурсивная перечислимость отношений определена в § 5.3.)

△5-8. Покажите, что существуют бесконечные множества, не обладающие
бесконечным рекурсивно перечислимым подмножеством. (Указание. Вос-
пользуйтесь неконструктивным диагональным методом.) Такие множества
рассматриваются ниже, в гл. 8.

§5.2

5-9. Там, где это возможно, квалифицируйте следующие множества
как (а) рекурсивные множества, (в) рекурсивно перечислимые множества,
(с) множества, обладающие рекурсивно перечислимым дополнением:

(i)	{х | а: просто};

(ii)	{х | по крайней мере х семерок подряд встречается в разложении
числа л};

(iii)	{х | ровно х семерок подряд встречается в разложении числа л);

(iv)	{х I Wx = 0};

△ (v) {х | Wx бесконечно}

(Указание- Покажите, что рекурсивная перечислимость этого множества
приводила бы к рекурсивной перечислимости множества (х | <рх всюду опре-
делена }, в противоречие с упр. 2-9. Покажите, что из рекурсивной перечисли-
мости {х | Wx конечно} следовала бы разрешимость проблемы остановки).

(vi)	{г | <рх общерекурсивна};

(vii)	{г | Wx — Wn} для фиксированного п;

△(viii) {х | Wx рекурсивно}.

5-10. Говорят, что А перечислимо частичнорекурсивной функцией в поряд-
ке возрастания, если существует частичнорекурсивная функция ф, такая,
что А = Уа1ф и (Vx)(Vy) [[я < у и ф(х) определена и ф(у) определена] =>
=Фф(я) < ф(у)]. Опишите класс всех множеств, таким образом перечислимых.

5-11. (а) Доказать следствие V (d).

(b) Пусть Vz = {у | (Зг)[<рг(х)=у & (Vu>) [ш х =$ q’z(u’) определено)]}.
Покажите, что множество А рекурсивно перечислимо <=> (3z)[4 = Vz], и до-
кажите аналог следствия V(b).

5-12. Покажите, что существует к0 множеств, рекурсивно перечислимых,
но не рекурсивных.

Д5-13. Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество
изоморфно множеству А'?
§ 5.3

5-14. (а) Ассоциативна ли операция X? Коммутативна ли опа? Дистрибу-
тивна ли она относительно объединения?

(Ь) Покажите, что операция X корректно определена относительно типов
изоморфизма, т. е. что А = А' &. В = В’ => А X В = А' X В'. Покажите,
что результирующая операция на изоморфных типах коммутативна, ассоциа-
тивна и обладает нулем. Покажите, что она, однако, не обладает единицей
и что А X В = А X С не влечет В = С.

5-15. Пусть т' отображает N % N взаимно однозначно в N и т' рекур-
сивно. (Например, х'(х, у) = 2х-З^. Клини использует именно эту функцию
пересчета пар.) Покажите, что если z пробегает все N, среди

Фг = ^1ф2(<(*> У))]

оказываются все частичнорекурсивные функции двух переменных.

5-16. Пусть В рекурсивно. Как рекурсивность или рекурсивная пере-
числимость следующих множеств зависит от рекурсивности или рекурсивной
перечислимости множества А: А ХА, А X 0, А X 5?

5-17. Докажите теорему IX.

5-18. Пусть В и X суть бинарные отношения. Композиция В | S отноше-
ний определяется так: {{х, z) | (Зу)[Я(х, у)&5(у, z)]}. Покажите, что В и S
рекурсивно перечислимы => В | S рекурсивно перечислимо.

5-19. Проверьте, что В = Q =Ф tn(B) = тп((?) для произвольных п-
арпых отношений В и Q.

5-20. Покажите, что тп(7?) == тп((>) не влечет за собой, вообще говоря,
В = Q. (Указание. Возьмите В = {1} X A, Q = N X {!}•)

5-21 (а) Определим Ко = {(х, у) |х С И^}. Покажите, что множество
Ко рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно.

j^(b) Покажите, что Ко = К.

Д5-22. Введем еще одно определение универсальной функции: ф „универ-
сальна", если существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого
т <рт = Ху[ф((/(т), у))]. Покажите, что это определение не является
рекурсивно инвариантным. (Указание. Определите ф = Хг[фл>(г}(л2(г))],
т. е. ф((т, л)) = <рт(п). Определите h(z) = т(л2(г), ni(z)), т. е. h((x, у)) =
= (у, х) для всех х, у. Затем определите ф' = Л-1фл. Покажите, что ф' не
„универсальна”, заметив, что для всякого 0, 0 „универсальна” [Лу[0(т,у)]
является константой при некотором т, в то время как Лх[0(х, л)] не является
константой ни при каком л]).

§ 5.5

5-23. Докажите теорему XIII-

5-24. Установите замкнутость и равномерность, утверждаемые теоре-
мой XIV.

5-25. Покажите, что [А рекурсивно перечислимо и f рекурсивна] =^/-1(А)
рекурсивно перечислимо равномерно по индексам функции / и множества А.

5-26. Покажите, что невозможно решить эффективным образом по индек-
сам неубывающих функций, будут ли множества значений таких функций
конечными.

5-27 (а). Из случаев (ii) и (iii) в доказательстве теоремы I следует, что
{ТУЖ рекурсивно и Wx 0} => Wx есть множество значений некоторой
неубывающей общерекурсивной функции, которая или строго возрастает, или
строго возрастает до некоторого места и постоянна начиная с этого места.
Справедлив ли этот результат равномерно?

△(b) Может ли следствие V (с) быть усилено добавлением „и ]Arg <ря бес-
конечна => фу, (х) взаимно однозначна]” к части (i)?
§ 5.6

5-28. (Фишер, Лакхам, Риттер). Пусть множество А рекурсивно пере-
числимо и В рекурсивно.

(а) Покажите, что множество (J Wx рекурсивно перечислимо (рекурсивно
перечислимые множества замкнуты относительно рекурсивно перечислимого
объединения.)

А (Ь) Покажите, что множество IJ Dx может не быть рекурсивным. (Ука-
зание. Воспользуйтесь последовательностью начальных сегментов в эффектив-
ном пересчете К', выберите подходящую подпоследовательность.)

△ (с) Покажите, что множество f] Wx может не быть рекурсивно перечис-
х£В

лимым и не иметь рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание. Покажи-
те, что множество {а: | Wx бесконечно} может быть получено как такое пере-
сечение, см. упр. 5-9).

A (d) Пусть множество В рекурсивно, и пусть (Vx) [х ё В =Ф Wx рекур-
сивно]. Покажите, что Q Wx может пе быть рекурсивно перечислимым и не
же в

иметь рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание. Возьмите последо-
вательность множеств, таких, что n-е множество есть (п, п + 1, . . .} (J
и {х | Wx имеет по крайней мере п элементов}).

А (е) Если <рх есть характеристическая функция, обозначим через Сх
множество, определяемое функцией фх. Пусть В рекурсивно и (ух)[х ё В =>
=Ф<рж есть характеристическая функция]. Покажите, что П Сх может не быть

Ж£В

рекурсивно перечислимым, но должно иметь рекурсивно перечислимое
дополнение.

А5-29. Если <рж — характеристическая функция, обозначим через Сх
множество, определяемое функцией <рж.

(а)	Покажите, что невозможен равномерный переход от рекурсивно пере-
числимых индексов конечных множеств к характеристическим индексам
конечных множеств, т.е-. что не существует частичнорекурсивной функции ip,
такой, что (Уг)1^ж конечно —> [ф(аг) определено & ТУЖ = Сф(Ж)]].

(Ь)	(Райс). Класс ГС конечных множеств канонически перечислим, если
существует рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (Ув)[Вё
<=>(3у)[у ёЛ &.DV = В]].

Класс g кбнечных множеств характеристически перечислим, если суще-
ствует рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (Vx)[z ё А ==><рх
есть характеристическая функция] и (V В)[В 6 <ё <=> (Зу)[у ел & Су = В]].

Класс g конечных множеств рекурсивно .перечислим, если существует
рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (VВДВ е	е

ё Л& Wy = В]].

(i)	Покажите, что возможен рекурсивно перечислимый класс конечных
множеств, не являющийся характеристически перечислимым. (Указание.
Возьмите g = {D | (Зг)[г ё K&.D = {л;}] или (3z)[x С K&.D = {х, х + 1}]}.)

(ii)	Покажите, что возможен характеристически перечислимый класс
конечных множеств, не являющийся канонически перечислимым. (Указание.
Возьмите g = {V | (Зх)[Е> = {х}&ж ё К] или (Зх) (Зу)[В = {х, а:+
4* у + 1} & процесс вычисления, соответствующий Рх, при входе х завер-
шается ровно за у шагов]}.)

(iii)	Второе и третье определения, приведенные выше, могут быть рас-
пространены без каких-либо изменений на классы бесконечных множеств.
Упражнение 5-6 показывает, что класс всех рекурсивных множеств рекур-
сивно перечислим. Покажите диагональным методом, что этот класс не являет-
ся характеристически перечислимым.

5-30. Дайте явную формулу для обращения т* с помощью л "-функций.

§ 5.7

5-31. Покажите, что {х | Wx однозначно} не является рекурсивно пере-
числимым. (Указание. Покажите, что в противном случае могла бы быть полу-
чена общерекурсивная характеристическая функция множества К.) Является
ли класс всех однозначных рекурсивно перечислимых множеств рекурсивно
перечислимым в смысле 'упр. 5-6?

5-32. Пусть / — функция, существование которой устанавливается тео-
ремой об однозначности (теорема XVI). Определим фх = т-1(Ж/(ж)). Пока-
жите, что фо, фр ... задает нумерацию частично рекурсивных функций,
допустимую в смысле упр. 2-10.

5-33. Класс g множеств удовлетворяет принципу отделимости, если
(V4)(V#)[[4 иВиз$и4П8=0М (ЗС)[4 С С &В СС ЬС (
& С £ g]. Покажите, пользуясь теоремой XVII, что принцип отделимости
имеет место для класса g множеств, дополнения которых рекурсивно пере-
числимы.

△5-34. Покажите, что принцип отделимости упр. 5-33 не имеет места для
класса g всех рекурсивно перечислимых множеств. (Указание. См. упр.
2-30.)

5-35. Класс g множеств удовлетворяет принципу редукции, если (V4)
(Vz?)[[4 eg & в еg] => (34')(3в')[4- е g &• в' е g &• л' п в' -
= 0 &. А' Г~ 4 & В' г~ В&с. A' U В' = 4 (J В]]. Покажите с использованием
упр. 5-34, что принцип редукции места не имеет для класса g всех множеств,
с рекурсивно перечислимыми дополнениями.

△5-36. Обобщите теорему XVII (принцип редукции) с двух рекурсивно
перечислимых множеств 4 и В до бесконечного семейства рекурсивно пере-
числимых множеств W-ftp), Wyd), . . ., задаваемого общерекурсивной функ-
цией /. (Указание. Для доказательства воспользуйтесь теоремой выбора (тео-
ремой XVIII).)

Д5-37 (а) Докажите следующую теорему, частными случаями которой
являются результаты упр. 5-9 и 5-31.

Определение. Пусть g — класс рекурсивно перечислимых множеств.
Пусть Р<& = {а: | Wx £ g}. Класс g вполне рекурсивно перечислим, если
Bg — рекурсивно перечислимое множество.

Теорема (Райс, Шапиро, Мак-Нотн, Майхилл; см. Райс [1956]). Класс
g вполне рекурсивно Перечислим тогда и только тогда, когда существует
канонически перечислимый класс S) конечных множеств* (см. определение
упр. 5-29), такой, что (V4)[4 g g <=> [4 рекурсивно перечислимо &
& (ЗР)(П С Z&.D С 4]]] !).

(Ь) Выведите как непосредственное следствие этой теоремы, что множе-
ство {х | Wx бесконечно} не является рекурсивно перечислимым и не имеет
рекурсивно перечислимого дополнения.

х) Такой класс Z иногда называют ключевым остовом класса g.
Глава 6. СВОДИМОСТИ

§ 6.1.	Общее введение 106

§ 6.2.	Упражнения 109

§ 6.1.	ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ

В гл. 2 мы рассматривали разрешимые и неразрешимые проб-
лемы. Любая такая проблема представима (посредством кодиро-
вания) множеством натуральных чисел. Проблема разрешима,
если соответствующее множество натуральных чисел рекурсивно.
Мы рассмотрели также — очень бегло и па неформальном уровне—
понятие сводимости и установили с его помощью неразрешимость
некоторых проблем. Согласно нашему неформальному определе-
нию, одна проблема сводима к другой, если метод решения второй
проблемы дает метод решения первой. Хотя смысл термина „сво-
димость” при каждом его конкретном употреблении в гл. 2 и был
ясен, точное содержание этого неформального определения вы-
явить непросто. В гл. 6—9 сводимость будет основным объектом
нашего рассмотрения. Поскольку проблемы представимы множе-
ствами, сводимость будет определяться и исследоваться нами как
отношение между множествами натуральных чисел. Начнем
с двух примеров.

Пример 1. Рассмотрим два множества {х | Wx бесконечно}
и {х | <рж общерекурсивна}. В некотором естественном смысле каж-
дое из них сводимо к другому. В самом деле, пусть мы умеем
выяснять для любого х, является ли частичнорекурсивная функ-
ция <рж всюду определенной. Тогда, чтобы узнать, бесконечно ли
Wxa для данного х0, мы, исходя из х0, находим xi3 такое, что <рЖ1
пересчитывает элементы множества WX(I без повторения, причем
<рЖ1 всюду определена, если множество WXo бесконечно (см. след-
ствие 5-V (d)), и смотрим, будет ли <рЖ1 всюду определенной. Ана-
логично, пусть мы умеем определять для любого х, является ли
множество Wx бесконечным. Тогда, чтобы выяснить для данного
Уо, является ли частичнорекурсивная функция <рУ0 всюду опреде-
ленной, мы, исходя из уо, получаем такое у4, что

1,

<Pvx(z) = *

если фио(ш) сходится на

всех

расходится в противном случае,

и смотрим, будет ли WVl бесконечным.
Пример 2. Рассмотрим два множества: К, равное
{х | <ржСг) сходится}, и {х | Wx конечно}. Здесь первое множество
сводимо ко второму. Действительно, чтобы узнать, принадлежит
ли х0 множеству К, мы по Xq находим Xj, такое, что

• 1,	если процесс вычисления, соответствующий

РХй, при входе Хо завершается менее чем за
z шагов;

расходится в противном случае,

и смотрим, будет ли WXi конечным. Пример 1, равно как и наша
интуиция, дает основания предполагать, что второе множество
также сводимо к первому. Впоследствии мы увидим, что это пред-
положение неверно. (Упражнение 6-5 ниже устанавливает оши-
бочность этого предположения для некоторого вида сводимости.)

Известно несколько различных понятий сводимости. Они изла-
гаются в гл. 7—9. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые
общие черты, присущие всем этим понятиям, и введем исполь-
зуемую в дальнейшем терминологию, относящуюся к этому кругу
вопросов.

Сокращением для „А сводимо к В” будет служить „А
Во всех исследуемых в дальнейшем случаях это отношение будет
рефлексивным и транзитивным, т. е. А ТА для всех А
и [А ГВ & В ГС1 => А ТС для всех А, В, С. Пусть А = ТВ
обозначает, что А <1 ТВ и В ГА. Из рефлексивности и транзи-
тивности отношения непосредственно следует, что =г есть
отношение эквивалентности. Более того, порождает частичное
упорядочение классов эквивалентности относительно =г. Мы ска-
жем, что один класс эквивалентности предшествует другому,
если элементы первого класса сводимы к элементам второго, но
не обратно.

Во всех случаях отношение будет рекурсивно инвариант-
но -1). Отсюда любое из отношений и =г может быть использо-
вано для классификации множеств с точки зрения рекурсивной
структуры и оценки (в некотором смысле) их подобия или разли-
чия. Классы эквивалентности относительно =г называются сте-
пенями неразрешимости относительно ^г. Частичное упорядоче-
ние этих классов эквивалентности называется упорядочением
по сводимости ^г. (Может показаться естественным называть
классы, содержащие рекурсивные множества, „степенями разре-
шимости"', принято, однако, говорить для единообразия „степени
неразрешимости".) Таким образом, в примере 2 {х | Wx конечно}—
множество более высокой степени неразрешимости, чем К (К
в свою очередь очевидно, более высокой степени неразрешимости,
чем любое рекурсивное множество).

г) Иными словами, л = В => А =г В для всех А, В (см. упр. 6-8].
При последующем изучении сводимостей мы будем особое
внимание уделять структуре рекурсивно перечислимых множеств,
упорядоченных по некоторым видам сводимости. Это обусловлено
тем, что (1) рекурсивно перечислимые множества по определению
в значительной степени конструктивны и (2) наши приложения
к логике будут в большой мере относиться к формализованным
логическим системам, в которых множество доказуемых утвержде-
ний является (при простом кодировании) рекурсивно перечисли-
мым. Даже если ограничиться рекурсивно перечислимыми множе-
ствами, упорядочения по сводимости имеют, как мы увидим,
сложную и не вполне еще изученную структуру.

В заключение дадим предварительное представление о понятии,
которое будет использоваться нами при изучении сводимостей
над рекурсивно перечислимыми множествами. Это понятие было
введено Постом. Назовем А полным относительно ^г, если (i) А
рекурсивно перечислимо, (ii) (VB) [В рекурсивно перечислимо
=>В ГЛ1 *). Таким образом, полное множество (если такое суще-
ствует) оказывается множеством максимальной степени неразре-
шимости среди всех рекурсивно перечислимых множеств. Нетруд-
но видеть, что полные множества (для нашего пока еще неформаль-
ного понятия сводимости) существуют. Например, пусть Ко =
= {(х, у) | х G Wy}- Множество Ко рекурсивно перечислимо (см.
упр. 5-21 (а)). Пусть дано некоторое рекурсивно перечислимое
множество В. Тогда В = Wyo для некоторого у0. Следовательно,
чтобы выяснить, содержит ли В элемент х, мы должны узнать
лишь, принадлежит ли (х, у0) множеству Ко. Тем самым В своди-
мо к Ко. Следовательно, Ко полно.

Множество К также полно (см. упр. 6-3). Таким образом, К
и Ко — множества одной и той же степени неразрешимости.
Мы увддим в гл. 7, что на самом деле К = Ко. Множество К (или
Ко) представляет проблему остановки. До сих пор все наши дока-
зательства неразрешимости проводились, по существу, следующим
образом: мы показывали, что к рассматриваемой проблеме сводит-
ся проблема остановки. Мы можем заключить теперь, что любая
проблема, неразрешимость которой доказывается таким способом,
должна иметь степень неразрешимости, по крайней мере столь же
высокую, как и максимальная степень неразрешимости для рекур-
сивно перечислимых множеств. (Эти утверждения были сделаны
относительно нашего неформального понятия сводимости. Мы уви-
дим, что они имеют место для всех тех видов сводимости, которые
получат далее точные формулировки.)

г) А называется универсальным относительно , если существует В,
такое, что В С гА нВ полно относительно Сг-
§ 6.2. УПРАЖНЕНИЯ

В пределах этого параграфа примем следующее определение понятия
сводимости: А ГВ, если существует общерекурсивная функция f, такая,
что (Vz)[z £ А <=> /(z) £ В].

6-1 .Проверьте, что {z | И'х бесконечно} = r{z | <рх всюду определена}.

6-2. Проверьте, что К г{х | Wx конечно}.

6-3. Покажите, что Ко С г&'< отсюда выведите, что К полно относительно

6-4. Покажите, что {z | Wx 0} полно относительно Сг.

6-5. (а) Покажите, что К r(x | Wx конечно}.

△	(b) Покажите, что (z | Wx конечно} не ^ГК. (Указание. Проверьте на
рекурсивную перечислимость рассматриваемые множества.) (По существу это
упр. 2-26.)

△	6-6. Определим Л ге! В,если А ГВ. Покажите, что rel не может быть
принято в качестве отношения сводимости в смысле общего подхода § 6.1.

△	6-7. Предложите несколько иных, возможно, неэквивалентных, фор-.
мулировок неформального понятия сводимости, введенного в гл. 2.

6-8. Пусть =Cr, — рефлексивное и транзитивное отношение сводимости.

Назовем г, рекурсивно инвариантным, если [[Aj з & Л2 — Вг & .4t
г,А2] ==> Bt г, В2]. Покажите, что г, рекурсивно инвариантно тогда
и только тогда, когда [4 = В =$• A s= Г,В].
Глава 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ;

MHO ГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ;

ТВОРЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА

§ 7.1.	Одно-односводимость и много-односводи-
мость 110

§ 7.2.	Полные множества 113

§ 7.3.	Творческие (креативные) множества 114

§ 7.4.	Одно-одпоэквивалентность и рекурсивный
изоморфизм 116

§ 7.5.	Одно-однополнота и много-однополнота 118

§ 7.6.	Цилиндры 121

§ 7.7.	Продуктивность 122

§ 7.8.	Логика 127

§ 7.9.	Упражнения 133

§ 7.1. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ

и много-односводимость

Рассмотрим две формулировки понятия сводимости, которые
непосредственно подсказываются неформальными примерами
сводимости, приведенными в предшествующих главах.

Определение. А одно-односводимо к В (обозначение: А tB),
если существует взаимно однозначная (одно-однозначная) обще-
рекурсивная функция /, такая, что (Vx)Lr € А <=> f(x) Е В].

Будем иногда вместо „одно-односводимость” употреблять тер-
мин „1-сводимость”.

Определение. А много-односводимо к В (обозначение:. Я тВ),
если существует общерекурсивная функция /, такая, что
(Уж)[х € А <=> f(x) Е В].

Будем иногда много-односводимость сокращенно называть
т-сводимостью.

В каждом из приведенных выше определений условие
(V.r)[ге Е А <=> f(x) Е В1 может быть выражено в любой из следую-
щих эквивалентных форм: А = /-1(В); /(А) с: В & /(А) с: В;
сА = св •/, где сА и св суть характеристические функции множеств
А и В соответственно. Если А == /^(В), скажем, что А сводимо
к В посредством функции / (и будем иногда называть эту функцию
сводящей А к В). Следующая теорема сообщает некоторые прос-
тые, но важные сведения об и

Теорема I. (а) Отношения 5^1 и ?СП1 рефлексивны и транзи-
тивны.

(Ь)	А 4В =>А <тВ.

(с)	А С 1В => А < tB.
(d)	А с тВ => А с тВ.

(е)	[Л = п,7? & В рекурсивно] => А рекурсивно.

(f)	[Л тВ & В рекурсивно перечислимо] => Л рекурсивно пере-
числимо.

Доказательство. Пункты (а), (Ъ), (с) и (d) очевидны.

(е)	Пусть Л <1 mZ? посредством /, тогда сА — сB-f, следователь-
но, если св общерекурсивна, то и сА общерекурсивна.

(f)	Пусть Л <т В посредством /, тогда Л =/-1(5); отсюда
по теореме 5-VII из рекурсивной перечислимости множества В
следует рекурсивная перечислимость множества Л.в

Следствие I. [Л В & В рекурсивно] => Л рекурсивно-,
[A В & В рекурсивно перечислимо] =>- А рекурсивно перечис-
лимо.

Доказательств
и (f).g

о непосредственно следует из (Ь), (е)

Определение.

Л = tB,
А=тВ ,

если

если

Л В & В Л;
л В & В гСгаЛ.

Согласно теореме I (а), эти отношения являются отношениями
эквивалентности. Их классы эквивалентности называются соответ-
ственно степенями неразрешимости относительно одно-односво-
димости и степенями неразрешимости относительно много-одно-
сводимости. Первые будем называть одно-одностепенями или
1-степенями, последние — много-одностепенями или ш-степенями.

Из теоремы I (е) и следствия I вытекает, что любая степень,
содержащая рекурсивное множество, целиком состоит из рекур-
сивных множеств. Из теоремы I (f) и следствия I вытекает, что
любая степень, содержащая рекурсивно перечислимое множество,
целиком состоит из рекурсивно перечислимых множеств. Мы
можем, таким образом, говорить о рекурсивных степенях и рекур-
сивно перечислимых степенях при упорядочении по каждому из
этих видов сводимости. Теорема I (f) показывает далее, что свой-
ство быть рекурсивно перечислимым множеством наследуемо вниз
при каждом из указанных видов упорядочения, т. е. любая сте-
пень, предшествующая рекурсивно перечислимой, является
рекурсивно перечислимой. С использованием теоремы I (f) могут
быть получены решения упр. 2-26 и 6-5. Так как существуют
рекурсивно перечислимые множества, не являющиеся рекурсивны-
ми, то при каждом упорядочении среди рекурсивно перечислимых
степеней наряду с рекурсивными должны существовать также
нерекурсивные степени. Следующая теорема содержит инфор-
мацию, относящуюся к существованию и свойствам несравнимых
степеней при упорядочении по этим видам сводимости.
Определение. А © В = {у | [р = 2х & х С А ] или [у = 2х
+ 1 &. х 6 К]}. Операцию' © назовем сочленением.

Теорема II. (а) Существуют два нерекурсивных множества,
несравнимых относительно ^га (и, следовательно, относитель-
но ^i).

(Ь) Упорядочение по т-сводимости приводит к верхней полу-
решетке: любые две степени имеют единственную наименьшую
верхнюю грань. Более того, наименьшая верхняя грань двух рекур-
сивно перечислимых степеней рекурсивно перечислима.

Доказательство, (a) (N и 0 — несравнимые множе-
ства; однако они рекурсивны.) Рассмотрим множества К и К. Мно-
жество К рекурсивно перечислимо, К таковым не является (тео-
рема 5-VI). По теореме I (f) К не Из теоремы I (d) следует,
что К не ШК.

(Ь) Пусть для всякого множества X d(X) есть m-степень X.
Пусть даны А и В. Тогда d(A Ф В) — искомая наименьшая верх-
няя грань степеней d(A) и d{B) при упорядочении по т-сводимости.
В самом деле, А А @ В посредством Хх[2х]; В А © В
посредством kx[2x + 1]; для любого С, если A С посредством /
и В С посредством g, то и А © В С посредством h, где h
определяется равенствами:

Л(2ж) = /(яг),

h(2x + 1) = g(x).a

Из пункта (а) нашего доказательства выведем

Следствие II. Л В, вообще говоря, не влечет А В.

Очевидно, несравнимые множества порождают несравнимые
степени. Существуют ли нерекурсивные рекурсивно перечисли-
мые m-степени, являющиеся несравнимыми? Мы ответим на этот
вопрос утвердительно в гл. 10. Образует ли упорядочение по т-
сводимости решетку (т. е. существует ли наибольшая нижняя
грань)? В упр. 13-55 мы увидим, что это не так. Образует ли упо-
рядочение по 1-сводимости верхнюю полурешетку? В гл. 10 мы
дадим отрицательный ответ и на этот вопрос.

Как правило, в случаях, представляющих основной интерес,
и совпадают. Обычно коль скоро показано, что имеет
место ^т, оказывается возможным показать, что и имеет место.
По этой причине и иногда группируют вместе как сильные
сводимости.

Целый ряд фактов о сводимостях и будет сообщен
в оставшейся части этой главы и в упр. из § 7.9 (см., в частности,
с этой точки зрения, упр. 7-6—7-8).

Теорема об общей структуре, относящаяся к и ^ш, приве-
дена в § 7.6.
§ 7.2.	ПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА

Существует ли максимальная степень среди рекурсивно пере-
числимых степеней для или Мы повторим определение,
данное в гл. 6.

Определения. Множество Л полно относительно (А „1-пол-
но”), если

(i)	А рекурсивно перечислимо,

(ii)	(V5) [В рекурсивно перечислимо => В А].

Множество А полно относительно (А „т-полно”), если

(i)	А рекурсивно перечислимо

(ii)	(VВ) [5 рекурсивно перечислимо => В А].

Пусть Ко = {(х, р)|х^ Wy}- Следующая теорема, намечен-
ная еще в гл. 6, показывает, что множество 1-полно и, следо-
вательно, т-полно.

Теорема III. Множество Ко является 1-полным.

Доказательство. Ко = {(х, у) \ (Hz) [процесс вычис-
ления, соответствующий набору инструкций Ру, при входе х схо-
дится менее чем за z шагов]} и, следовательно, рекурсивно пере-
числимо, согласно второй теореме о проекции.

Пусть В — произвольное рекурсивно перечислимое множе-
ство. Тогда В = Wyo для некоторого у0. Отсюда (Vx)[a; 6 В <=>
<=>(я, г/о) € А01 и В ^1А0 посредством кс[ {х, г/0>1-и

Теорема IV, Множество К является i-полным.

Доказательство. Достаточно показать, что Ко ^1К.

Покажем сначала, что Ко ^тК. Известным методом х) най-
дем функцию /, такую, что

( 1,	если срл,(ж)(Л1Сг)) сходится;

Ф/(х)(г) = 1

I расходится в противном случае.

(Поведение функции ф/(х) тем самым не зависит от входа z.) Тогда
х € Ко <=> /(х) € К. Отсюда Ко ^тА.

Покажем теперь, что, если функция / не является взаимно
однозначной, она может быть заменена функцией /*, такой, что
Kq^K посредством /♦. Сделаем это методом „многословия”
(„padding”) при помощи конструирования одного за другим все
больших гёделевых номеров одной и той же частичнорекурсивной
функции. Определим, следуя методу теоремы 1-Ш, общерекур-
сивную функцию t', такую, что

(i)	фг (х. у) = фх!

(ii)	У! #= У2 => t'(x, Уг )#= t'(x, у2).

г) Который должен был бы при более формальном доказательстве исполь-
зовать s -т-п-теорему.

8-0506
Затем зададим общерекурсивную функцию t посредством следую-
щего индуктивного определения: 1(0, 0) = t'(0, 0); если t(x’, у’)
определено для всех {х‘, у'}, таких, что (х’, у’}< (х, у), то поло-
жим t(x, у) = t'(x, z), где z —	(х, w) t(x', у’) для всех

<х', у'у, удовлетворяющих условию (х', y')<Z (х, у)].

Таким образом,

(i)	<₽i(х, у) = фх!

(ii)	#= х2 или yt =# у21 => t(xi, У1) =# t(x2, у2).
(Фактически, для любого к <pW = tpW.)

Теперь определим функцию /* формулой

/* == Xx[i(/(x), х)1.

Очевидно, /* взаимно однозначна и Ко -^К посредством /*.и

Конструкция, приведенная выше, принадлежит Дэвису.
В дальнейшем мы будем иногда использовать функцию t при пере-
ходе от к Теорема о структуре из § 7.6 содержит дополни-
тельную информацию о соотношении между =Сга и

Следствие IV. К = 1К0.

Доказательство. Непосредственно из теорем III и IV.а
Очевидно, 1-полнота влечет за собой m-полноту. Вернувшись
к рассмотренным ранее примерам нерекурсивных рекурсивно пере-
числимых множеств, мы можем воспользоваться техникой теоре-
мы IV, чтобы доказать в каждом случае, что К не только m-сво-
димо, но и 1-сводимо к рассматриваемым множествам. Возникают
следующие вопросы.

1.	Совпадают ли понятия m-полноты и 1-полноты? Мы ответим
на этот вопрос утвердительно в § 7.5.

2.	Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
жество т-полно?

3.	Совпадают ли и на нерекурсивных рекурсивно пере-
числимых множествах? (Упр. 7-5 и 7-6 показывают, что на рекур-
сивных множествах они отличаются друг от друга.) Мы*дадим
в^"гл. 8 отрицательные ответы’на вопросы 2 и 3.

"Замечание. Мы будем в целом ряде случаев прибегать
к конкретным множествам К и Ко для доказательства неразреши-
мости и построения контрпримеров.

§ 7.3. ТВОРЧЕСКИЕ (КРЕАТИВНЫЕ) МНОЖЕСТВА

То обстоятельство, что множество К не является рекурсивно
перечислимым, может быть выражено в более сильной и конструк-
тивной форме; именно, по индексу любого рекурсивно перечисли-
мого подмножества множества К мы можем найти натуральное
число из К, но вне этого подмножества. Более точно, мы имеем
(по определению К), что Wx с: К => х £ К — Wx. Это свойство
множества К допускает рекурсивно инвариантную формулировку.

Определение. Множество А продуктивно, если существует
частично-рекурсивная функция ф, такая, что	с А => [ф(;г)

определено & ф(х) g А — РКЖ]]. Функцияф называется продуктив-
ной функцией %ля А. (Термин „продуктивный” принадлежит Дек-
керу.)

Особый интерес представляют для нас рекурсивно перечисли-
мые множества с продуктивными дополнениями. Такие множества
называются по Посту творческими (или креативными) (см. ниже
замечание, следующее за доказательством теоремы XI).

Определение. А — творческое (или креативное) множество, если

(i)	А рекурсивно перечислимо;

(ii)	А продуктивно.

Пример 1. К — творческое множество, так как К рекур-
сивно перечислимо и К продуктивно (с тождественной функцией
в качестве продуктивной функции).

Пример 2. {х 1 фх общерекурсивна} — продуктивное мно-
жество, здесь продуктивная функция может быть задана с помо-
щью диагональной конструкции § 1.4. Более конкретно, пусть
дано Wx. Возьмем функцию Ф/-(Ж), как в следствии 5-V (с), т. е.
множество значений функции ф/'(ж) есть Wx, и ф/'(ж) всюду опре-
делена, если множество Wx непусто. Определим

Ф«(х)(г) = )

О,	если процесс вычислений, соответ-

ствующий P/'(X), при входе 0 не
завершается за z или менее шагов;
tP<p/-(a.)(z-z0)(z) +в противном случае; здесь z0 есть
точное число шагов, требуемых для
того, чтобы процесс вычислений,
соответствующий набору инструк-
ций Р/'(Ж), при входе 0 завершился

Тогда g — искомая продуктивная функция (см. упр. 7-17).

Следующая теорема устанавливает некоторые основные свой-
ства продуктивности.

Теорема V (а) А продуктивно =>А не рекурсивно перечислимо.

(Ь) [А продуктивно & А В] => В продуктивно.

Доказательство, (а) Непосредственно следует из опре-
деления.
(Ь) Пусть ф является продуктивной функцией для А. Пусть 5
посредством функции /. Существует общерекурсивная
функция g, такая, что Wgix) = f~1(Wx) (см. упр. 5-25). Тогда ftyg
есть' продуктивная функция для В. Действительно

Wx cz В => WgM cz А =>

[ipgCx) определено & tyg(x) £А — Wg(x)]=>
=> [/ф£(х) определено & f^g(x} € В — IKX].B

Теорема V (Ь) показывает, что свойство продуктивности насле-
дуемо вверх при упорядочении по сильной сводимости. Теорема V
(Ь) дает также способ доказательства продуктивности множества
{х | <рх общерекурсивна}, более удобный, нежели прямая диагона-
лизация, используемая в примере 2 выше. Именно, показываем,
что К ^т{х | срх общерекурсивна}- отсюда, согласно теореме V (Ъ),
непосредственно следует продуктивность множества {х | <рх обще-
рекурсивна}.

Следствие V. (а) А творческое => А не рекурсивно-,

(Ь)	[Л творческое & А В] => В продуктивно-,

(с)	А т-полно => А творческое.

Доказательство очевидно.и

Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
ство является творческим? В гл. 8 содержится отрицательный
ответ на этот вопрос (из него следует отрицательный ответ на воп-
рос 2 конца § 7.2). Имеет ли место обращение следствия V (с),
т. е. всякое ли творческое множество m-полно? Утвердительный
ответ на этот вопрос дается в гл. 11.

Мы исследуем продуктивные множества в § 7.7. Целый ряд
аспектов продуктивности рассмотрен Деккером в [1955].

§ 7.4.	ОДНО-ОДНОЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

И РЕКУРСИВНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ

Понятия одно-одноэквивалентности и рекурсивного изомор-
физма совпадают. Этот результат принадлежит Майхиллу [1955].
Йо содержанию и доказательству этот результат тесно примыкает
к теореме Кантора — Шрёдера — Бернштейна в теории карди-
нальных чисел.

Теорема VI (Майхилл). А = В <=> A =i В.

Доказательство. =>. Очевидно.

<=. Введем следующее определение. Конечная последователь-
ность упорядоченных пар {fat, gi), „ , ., (хп, уп)У называется
конечным соответствием между А и В, если (i) i j =>
=> Lrj у= Xj & yt =/= yj], 1 i SC n, i j n, и (ii) xt € A <=>
<=> yt С B, 1 i 5^ n. Докажем лемму. •

Лемма. Предположим, что С D. Тогда существует эффек-
тивная процедура, которая по любому конечному соответствию
{{zi, У1} , . . ., (zn, УпУУ между С и D и любому'х' $ {zj, . . ., zn)
находит у', такое, что

«*ь У1) , • • •» {хп, упу, {х', у')}

есть конечное соответствие между С и D.

Доказательство леммы. Предположим, что С
посредством функции /. Вычислите f(x’). Проверьте, будет ли
/(х') у. для всех г, 1 i <1 п. Если это так, положите у' = Дх').
Если нет и f(x') = уц, вычислите /(лч,) и ^проверьте, будет ли
/(х^) =/= yt для всех i, 1 i п. Если это так, положите у’ =
— /(хц). Если нет и /(х^) = уг2, вычислите /(х<2) и проверьте,
будет ли... . Из взаимной однозначности функции f и взаимной
однозначности данного конечного соответствия немедленно сле-
дует, что эта процедура должна завершиться некоторым у', таким,
что у' =# yt, 1 i п. Более того, из условий, накладываемых
сводимостью как на /, так и на данное конечное соответствие,
получаем, что х' € С <=> у' £ D. Это доказывает лемму.

Вернемся к доказательству теоремы. Так как A =t В, лемма
может быть применена или с А и В вместо С и D, или с В и А вме-
сто С и D. Мы воспользуемся этим обстоятельством для установ-
ления изоморфизма. Опишем эффективную процедуру перечисле-
ния пар натуральных чисел. Эта конструкция будет устроена так,
что на каждом этапе перечисления уже перечисленные упорядо-
ченные пары составляют конечное соответствие и, кроме того,
так, что всякое натуральное число встречается рано или поздно
в качестве первой компоненты некоторой упорядоченной пары
в пересчете и всякое натуральное число встречается рано или
поздно в качестве второй компоненты’упорядоченной пары в пере-
счете. Полная совокупность упорядоченных пар, перечисленных
таким образом, образует рекурсивную*перестановку, устанавли-
вающую рекурсивную изоморфность множеств А и В.

Процедура состоит в следующем. Пусть* Л ^*В посредством
g и В А посредством h.

Этап 0. В качестве первой упорядоченной пары берем
<0, g(0)>.

Этап 1. Смотрим, выполняется ли g(0) = 0.JEcnn выпол-
няется, переходим к этапу 2. Если нет, воспользовавшись леммой
(с Л в роли D, В в роли С и h в роли /), выписываем новую упоря-
доченную пару, вторая компонента которой есть 0.

Этап 2к. Смотрим, встречается ли /с в качестве первой ком-
поненты какой-нибудь из уже перечисленных пар. Если ветре-'
чается, переходим к выполнению этапа 2к 1. Если нет, то, вос-
пользовавшись леммой (с Л в роли С, В в роли D и g в роли /),
выписываем новую упорядоченную пару, первая компонента
которой есть к.

Этап 2к + 1. Смотрим, встречается ли к в качестве второй
компоненты какой-нибудь из уже перечисленных пар. Если встре-
чается, переходим к выполнению этапа 2к -ф- 2. Если нет, восполь-
зовавшись леммой (с Л в роли D, В в роли С и h в роли /), поме-
щаем в пересчет новую упорядоченную пару, вторая компонента
которой есть к.

Доказательство завершено. и

Эта теорема показывает, что 1-степени и типы изоморфизма
совпадают. Упорядочение по 1-сводимости является, таким обра-
зом, упорядочением типов изоморфизма. (Как мы видели в гл. 4,
типы изоморфизма являются в сущности основными объектами
нашей теории.)

Теорема VI дает быстрый и удобный метод установления рекур-
сивного изоморфизма. Например, из следствия IV мы можем непо-
средственно получить такое

Следствие VI. К = Ко.

В качестве другого примера рассмотрим {х | Wx бесконечно}
и {х | <рх общерекурсивна}. Воспользовавшись функцией t из дока-
зательства теоремы IV, можно показать, что {х | Wx бесконечно}

I Фж общерекурсивна} (см. упр. 7-13). Тогда, согласно тео-
реме VI, мы имеем, что {х | Wx бесконечно} = {х | <рх общерекур-
сивна} (и, с точки зрения теории рекурсивных функций, эти два
множества идентичны.)

§ 7.5.	ОДНО-ОДНОПОЛНОТА И МНОГО-ОДНОПОЛНОТА

Множество К является как m-полным, так и 1-полным. Вся-
кое ли m-полное множество 1-полно? Мы отвечаем на этот вопрос
следующей теоремой.

Теорема VII. А т-полно А 1-полно.

Доказательство. (Более короткое и изящное доказа-
тельство может быть найдено в гл. 11; настоящее доказательство
представляет интерес само по себе, как мы увидим в § 7.6.)
<=. Очевидно.

=>. Предположим, что А m-полно. Тогда А рекурсивно пере-
числимо и К А посредством некоторой общерекурсивной
функции /. Мы покажем, что К А. 1-полнота множества А
будет тогда следовать из 1-полноты К.

Напомним, что Dx есть конечное множество с каноническим
индексом х (§ 5.6). Предположим, что следующая лемма уже
доказана.

Лемма. Если К^.тА, то существует общерекурсивная функ-
ция g, такая, что для всех х

=/= 0 & Dx cz А] => g(x) £ А — Dx
и

[Dxy= 0 & Dx cz Л1 => g(x) £ A — Dx.

Мы можем теперь продолжить доказательство того факта, что
К А, следующим образом. Зададим функцию /' такими
инструкциями.

Вычисление f'(0). Положите /'(0) = /(0). (Тем самым О б К <=>
<=>/'(0)€Л.)

Вычисление f(n + 1). Посмотрите, выполняется ли /(га + 1) £
€ {/'(0), • • ч	Если нет, положите f'(n + 1) =/(га + 1).

Если выполняется и /(га + 1) = /'(raio), возьмите конечное множе-
ство Dxo = {f (то)} и, воспользовавшись функцией g из леммы,
вычислите g(x0} (хй, конечно, может быть получено по /'(raio); оно
равно 2/(’п“)). Посмотрите, выполняется ли g(x0) € {/'(0), . . .
. . ., f(n}}. Если нет, положите f'(n + 1) = g(x0). Если
выполняется и g(x0} — возьмите конечное множество DXi =
— {f'(mo), /'(m-i)} и вычислите g(xj). (Здесь х^ = 2f (mo) + 2f (mi).)
Посмотрите, будет ли g(xt) 6 {/'(0), • •	f'(n)} • • • • Согласно лем-
ме, эта процедура в конечном итоге дает /'(га + 1)	{/'(0), ...

- •	/'(га)}.

Далее, согласно лемме, п + 1 £ К <=> /'(га + 1) € Л. Отсюда
K'^.i А посредством /'.

* Остается доказать лемму. Для этого нам понадобится сублем-
ма, относящаяся к функции /.

Сублемма. Если К А посредством функции f, то I

(а)	В рекурсивно => /-1(В) рекурсивно’,

(b)	f(K) бесконечно.

Доказательство сублеммы, (а) Для всякого В,
/-1(В) В посредством /. Отсюда, согласно теореме I (е), В
рекурсивно => /-1(В) рекурсивно.

(Ь) Поскольку К А посредством /,	= К. Отсюда,

согласно части (а), если бы/(Л) было конечным (и, следовательно,
рекурсивным), К было бы рекурсивно. Но К не рекурсивно.
Доказательство леммы. Выберем некоторую
эффективную процедуру для пересчитывания К. Она приводит
к эффективной процедуре, пересчитывающей множество f(K),
которое, согласно сублемме, бесконечно.

Так как А рекурсивно перечислимо, может быть найдена обще- .
рекурсивная функция h, такая, что

[если Dx П 4=0;

Л(к> (JV, если £)ж(']4=7£=0.

Пусть какое-то Dx дано. Мы вычисляем g(x) согласно следующим
инструкциям.

Если fh(x) $ Dx, положим g(x) = fh(x). Если fh(x) Е Dx, поло-
жим g(x) = [первый в пересчете f(K) элемент, не являющийся эле-
ментом множества £)ж].

Так как f(K) бесконечно, g(x) определено при всяком х. Остает- ,
ся показать, что функция g обладает требуемыми свойствами.
По определению g(x) $ Dx. Более того,

IDX 0 & Dx с A] ^WhM = N => h(x) 6 WhM =>

=> h(x) £ К => g(x) € А;

{Dx 0 & Dx с 41 => Wh(x) = f-\Dx) => h(x) e f~4Dx) (иначе
h(x) e к & fh(x) e 4 & fh(x) e

E Dx & Dx n 4	0) =>

=> th(x) $ Wft(x) & fh(x) $ PJ =>

=> [h(x) £ К & fh(x) £ Px] => g(x) 4.

Это завершает] доказательство леммы и, тем самым, теоремы. н

Теоремы VI и VII в совокупности показывают, что т-полные
множества ^составляют один тип изоморфизма. (Свойство ш-пол-
ноты, таким образом, само оказывается полным множеством рекур-
сивных инвариантов.) Как уже было замечено, множество К ш-сво-
димо к любому из до сих пор рассматривавшихся нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множеств. Отсюда мы можем заключить
на основании теорем VI и VII, что всякое нерекурсивное рекур-
сивно перечислимое множество, рассматривавшееся нами, изоморф-
но множеству К. (Это верно также и для рекурсивно перечислимых
множеств, косвенно упоминавшихся в § 2.2.)

Подведем итог. Свойства множества быть изоморфным множе-
ству К, 1-полным, т-полным совпадают. Каждое из множеств,
служивших нам примером нерекурсивного рекурсивно перечис-
лимого множества, обладает этими свойствами. Нами не выясне-
но, однако, не будет ли креативность более широким свойством
и не будет ли еще более широким свойство множества быть
рекурсивно перечислимым, но не рекурсивным.
§ 7.6.	ЦИЛИНДРЫ

Каковы бы ни были множества А и> В, А В => А =ш В.
Каждая rn-степень может, таким образом, рассматриваться как
составленная из одной или более 1-степеней, т. е. типов изомор-
физма. Можно ли более точно описать структуру m-степени в тер-
минах составляющих ее 1-степеней?

Определение. А есть цилиндр, если А = В X N для некоторо-
го В. (Геометрическое происхождение этого термина ясно.) Заме-
тим, что = употребляется вместо = для того, чтобы понятна
цилиндра было рекурсивно инвариантным).

Интересующая нас информация содержится в следующей эле-
ментарной теореме.

Теорема VIII (a) A А X N.

(b)	А X N А (и, следовательно, А =П1 А X V).

(с)	А — цилиндр <=> (УВ)[В А => В Л].

(d)	А <т В <=> А X N ^В X N.

Доказательство. (a) A А X N посредством?
Хя?[ (х, 0)].

(b)	А X N А посредством Л).

(с)	=>. Предположим, что А = С X N и В А. Тогда В
посредством некоторой функции /. Пусть /' = %x[{f(x), я:)].

Тогда В X N посредством Отсюда В А.

Предположим, что (УВ)[В А =>	А]. Рассмотрим

А X N. В силу (b) А X N А; отсюда, согласно нашему пред-
положению, А X N А. В силу (a) A А X N. Следова-
тельно, А =1 А X N. Отсюда, согласно теореме VII, Л s Л X V
и А — цилиндр.

(d)	=>. Предположим, Л	Тогда А X N А ^тВ

В X N. Отсюда А X N В X N. Тем самым, согласно (с)г
А X N В X N.

<=. Предположим, что А X N В X .V. Тогда A А X
X N В X N	В и, следовательно, А В.я

Следствие VIII. А — цилиндр<=>А X N	Л<=>Л = А X V.

Доказательство очевидно в

Назовем А X N цилиндрификацией множества ,А- Из пункт-
тов (а), (Ь) и (с) предыдущей теоремы следует, что всякая ш-сте-
пень содержит максимальную 1-степень; и эта 1-степень может
быть получена из любого множества m-степени цилиндрификацией.
Более того, из пункта (d) предыдущей теоремы следует, что струк-
тура упорядочения по m-сводимости отражается в упорядочении
по 1-сводимости естественным образом, т. е. существует канони-
ческий гомоморфизм из m-упорядочения в 1-упорядочение.
В доказательстве теоремы VII § 7.5 по существу устанавливает-
ся, что [[ЛГ А & А рекурсивно перечислимо] => А есть ци-
линдр]. Лемма, фигурирующая в этом доказательстве, дает еще
одно описание цилиндра.

Теорема IX. А — цилиндр <=> существует общерекурсивная
функция g, такая, что для всех х

]£>ж =/= 0 & Dx с Л] => g(x) 6 А — Dx
и

[Dx =£ 0 & Dx с А] => g(x) eA-Da.

(Таким образом, множество есть цилиндр тогда и только тогда,
когда оно обладает некоторым свойством „двойной продуктивно-
сти” относительно конечных множеств.) Доказательство теоре-
мы IX дается в виде упр. 7-35. Оно является усиленной модифика-
цией доказательства теоремы VII.

Специальное описание рекурсивно перечислимых цилиндров
содержится в упр.. 7-37.

§ 7.7.	ПРОДУКТИВНОСТЬ

> Понятие продуктивности является весьма существенным в при-
ложениях теории рекурсивных функций к логике. Мы займемся
сейчас его изучением. На некоторые приложения к логике будет
указано в § 7.8; другие будут приведены позднее (см. также Дек-
кер [1955]).

Из определения продуктивности следует, что если множество
А продуктивно, то существует эффективная процедура, позволяю-
щая по любому данному рекурсивно перечислимому подмножеству
множества А получить большее рекурсивно перечислимое подмно-
жество множества А. Рассмотрим способы итерирования этой
процедуры. Йриходим прежде всего к следующей теореме.

Теорема X. А продуктивно => А обладает бесконечным рекур-
сивно перечислимым подмножеством.

Доказательство. Приведем сначала неформальное
доказательство. Пусть ф — продуктивная функция для А. Зада-
дим общерекурсивную функцию g, множеством значений которой
является бесконечное подмножество множества А. Инструкции
для g индуктивны. Пусть z0 есть р. п. индекс пустого множества.

Вычисление g (0). Положим g (0) = ф (z0). Так как
cz А, ф(г0) определено и принадлежит множеству А.

Вычисление g(n + 1). Пусть zn+1 — р. п. индекс конеч-
ного множества {g(0), :. ., g(n)}. Положим g(n1) =ф(гп+1).
Поскольку WZn cz А, ф(зп+1) определено и принадлежит А.
Очевидно, g взаимно однозначна. Это завершает неформальное
доказательство.

Тот факт, что функция g общерекурсивна, делается более ясным
мз следующей, более формальной версии доказательства. Из тео-
ремы 5-ХШ следует существование общерекурсивной функции f
двух переменных, такой, что

wf(x, v) = wx и Wy.

Согласно тезису Чёрча, существует общерекурсивная функция h,
такая, что

WhM = {х}.

Как и прежде, пусть z0 есть р. п. индекс пустого множества. Опре-
делим функцию к следующим образом:

/с(0) = z0;

к(п + 1) = f(htyk(ri), к(п)).

Тогда к(п) соответствует zn в предыдущем неформальном доказа-
тельстве. Определим

g =#•

Следствие X. А продуктивное А обладает бесконечным рекур-
сивным подмножеством.

Доказательство. Непосредственно вытекает из теоре-
мы 5-1V..

Доказательство теоремы X наводит на мысль о возможности
более далеко идущей итерации продуктивной процедуры. Рассмот-
рим следующие неформальные инструкции для пересчета некоторого
подмножества множества А. Инструкции эти привлекают трансфи-
нитную индукцию по ординальным числам. (Мы предполагаем
здесь, что читатель знаком с последним понятием. Упражнения
с 11-43 по 11-53 содержат некоторые сведения об ординальных
числах.)

„Возьмите функцию g из доказательства теоремы X. Пусть
х0, z15 х2, ... суть числа g(0), g(l), g(2), .... Пусть za — р. п.
индекс (полученный из инструкций для g) множества
{х0, zi, . . .} = Vai g. Тогда ф(гю) ость новый элемент множества
А. Пусть хш естьф(гш). Тогда {хш} (J {z0, Zi, . . .} само есть рекур-
сивно перечислимое множество. Пусть zm+1 есть р. п. индекс этого
множества. Тогда z^+i = ф(гга+1) есть новый элемент А. Таким
•образом мы можем пересчитать множество {z0, z17 . . .} (J
и (х<а, za+1, . . .}. Пусть гш+ш — р. п. индекс (полученный
из этих инструкций) этого последнего множества. Тогда х^+щ =
= ф(гш+и) есть новый элемент множества А. Таким же образом
получаем Хщ+ш+ш, хш(0 и т. д. Теперь составьте окончательный пере-
счет (подмножеств Л) уплотнением всех предшествующих пере-
счетов”.

Казалось бы, эти инструкции пересчитывают подмножества
множества А, в некотором смысле замкнутого относительно про-
дуктивной процедуры. Можно было бы надеяться, что они поро-
ждают все А. Но, согласно теореме V (с), А не является рекур-
сивно перечислимым, и, по определению продуктивности, никакое-
рекурсивно перечислимое подмножество множества А не может
быть замкнуто относительно продуктивной процедуры (любое-
такое подмножество само должно было бы иметь некоторый р. п.
индекс со и ф(<о) было бы в Л, но вне этого подмножества). Таким
образом мы приходим к явному парадоксу *).

Противоречие возникло из-за того, что эти неформальные
инструкции нельзя сделать вполне точными. Любой из предложен-
ных точных вариантов будет менее емок, чем это подразумевает „
расплывчатая формулировка неформальных инструкций. Какой
бы ни был дан точный аналог, может быть найдена более емкая
точная версия. Точные версии основываются на системах обозна-
чений для ординальных чисел. Мы сталкиваемся с ограниченно- ,
стью нашей способности дать исчерпывающую систему обозначе-
ний для ординалов. В более тонких разделах теории рекурсивных
функций ординальные обозначения играют фундаментальную s
роль. Они рассматриваются далее в гл. 11 и, как мы увидим, тесно
связаны с теоремами о логической неполноте.

Рассмотренный „парадокс” предостерегает нас от опасности ;
слишком неточных и неформальных рассмотрений в теории рекур-
сивных функций. Упражнение 7-46 показывает, что точная некон-
структивная версия неформальных инструкций может быть най-
дена, если не требовать, чтобы результирующее множество было
рекурсивно перечислимым.

Обратимся к иным описаниям продуктивности и понятий,
с продуктивностью связанных. Некоторые результаты приведены
здесь. Дальнейший материал содержится в упр. § 7.9.

Для всякого ли продуктивного множества может быть найдена
всюду определенная продуктивная функция? В гл. 11 будет приве- .
дено короткое и изящное доказательство того, что это так. Мы
дадим сейчас более длинное доказательство. Оно вырабатывает
ценную для исторически более раннего доказательства гл. 11.
интуицию.

Теорема XI. А продуктивно <=> существует общерекурсивная
функция f, такая, что А продуктивно с f в качестве его продуктив-
ной функции.

J) По форме этот парадокс походит на парадокс Бурали-Форти в теор и
ординальных чисел, (Парадокс Бурали-Форти возникает из трактовки упоря-
доченной совокупности всех ординалов как нового ординала.) Рассматривае-
мый парадокс, однако, привлекает лишь счетные ординалы.
Доказательство. <= очевидно.

=>. Пусть А продуктивно с продуктивной функцией ф. Дадим
инструкции для вычисления /.

Методом, уже знакомым читателю, может быть найдена обще-
рекурсивная функция g, такая, что

{Wx, если z Е К‘,

0 в противном случае

Пусть &0,	• • •— эффективный пересчет К.

Вычисление f{x). Начинайте вычислять ф(х), ф£(&о, х),
ipg(/c1, х), ... Возьмите в качестве значения f(x) то, что вычислит-
ся первым. Покажем, что f является продуктивной функцией для
А; поскольку х, g(kr>, х), g{ki, х), ... суть индексы множества Wx,
f(x) должна сходиться, если сходится ф(х). Функция / всюду
определена; действительно, предположим, что /(х0) расходится
в некоторой точке х0. Тогда tyg(y, х0} расходится при всех у £ К.
Однако для у £ К Wg(Vt жо) — 0 и, следовательно, для у Е К

$о) сходится. Таким образом, мы имели бы К == {у | tyg(y, ха)
сходится}, и по второй теореме о проекции К было бы рекурсивно
перечислимым, в противоречие с перекурсивностью множества К.а

Более сильный вариант теоремы XI приведен в упр. 7-50 и 7-51.
(Пост первоначально определил творческое множество как рекур-
сивно перечислимое множество, дополнение которого продуктивно
с всюду определенной продуктивной функцией.)

Утверждение о том, что А не является рекурсивно перечисли-
мым множеством, может быть выражено так: (Ух)[РГж =/= А] или,
более детально, (Vx)(3(/)[y Е Wx — А или у Е А — Wx]. Мы могли
бы сказать, что это утверждение имеет место „конструктивно”
(или „равномерно”), если существует общерекурсивная функ-
ция /, такая, что (Vx)[/(x) Е Wx — А или /(х) Е А — Wx]. Прихо-
дим к следующему определению.

Определение. Множество А вполне продуктивно, если сущест-
вует общерекурсивная функция/, такая, что для всех х или f(x) Е
Е Wx — А, или f(x) Е А — Wx. Функцию / назовем вполне про-
дуктивной функцией для А.

Пример. К вполне продуктивно с Wzl в качестве вполне
продуктивной функции. Действительно, х Е Wx => х (£ К и х $
Е Wx х К по определению К.

Очевидно, что всякое вполне продуктивное множество продук-
тивно. Имеет ли место обратное? В гл. 11 мы покажем, что это так
и что понятия продуктивности и вполне-продуктивности тем самым
.эквивалентны. Еще одно описание продуктивности приводится
в упр. 11-15, из которого мы узнаем, что А продуктивно <=>А

А К^А.

В упр. 7-43 мы увидим, что существует 2Хо продуктивных
множеств. Верно ли, что всякое множество, не являющееся рекур-
сивно перечислимым, продуктивно? Из теоремы X и результатов
упр". 5-8 следует, что это неверно; существует множество, не являю-
щееся ни продуктивным, ни рекурсивно перечислимым. Мы пред-
примем изучение таких множеств в гл. 8 *). В следующем опреде-
лении речь идет о существовании продуктивной процедуры для
перехода от рекурсивно перечислимых подмножеств к большим
рекурсивно перечислимым подмножествам.

Определение. Множество А полупродуктивно, если существует
частичнорекурсивная функция ф, такая, что (Уг)[И/х cz А => [ф(аг)
сходится &WX<= №,ц(х) & Wx =/= И\,(х) & И\,(х) с АЦ.

Очевидно, А продуктивно => А полупродуктивно (упр. 7-53).
Далее для полупродуктивных множеств имеет место аналог теоре-
мы XI (упр. 7-54). Всякое ли полупродуктивное множество про-
дуктивно? Упражнение 8-42 показывает, что это не так; множеств»
может быть полупродуктивным, не будучи продуктивным. Этот
результат принадлежит Шёнфильду (см. упр. 8-42).

Пары непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств

Аналогично теории рекурсивно перечислимых множеств,
может быть развита теория пар непересекающихся рекурсивн»
перечислимых множеств. Эта теория оказывается существенной
в некоторых приложениях к логике (там, например, где мы инте-
ресуемся как множеством доказуемых утверждений, так и множе-
ством недоказуемых утверждений некоторой формальной систе-
мы). В этой «теории аналогом рекурсивности является следующее
понятие.

Определение. Множества А и В рекурсивно отделимы, если
существует рекурсивное множество С, такое, что A cz С и В с С.
 > Аналог креативности:

Определение. Множества А и В эффективно неотделимы, если
существует частичнорекурсивная функция ф двух переменных,
такая, что для любых и и v имеет место соотношение

[А с Wu & В <= Wv & Wu П W„ = 0] =р

=4 [ф(н, р) сходится & ф(н, р) g Wu (J WVL

г) Для такого множества А утверждение (V;r) (By) [у g Wx — А или
у g А — Wx] должно иметь место „неконструктивно” (или „неравномерно”)-
Утверждение верно, но у не может быть рекурсивной функцией х.
Верна следующая

Теорема XII. (а) Каковы бы ни были множества А и В, если
А и В эффективно неотделимы, то А и В не являются рекурсивно
отделимыми.

(Ь)	Какова бы ни была пара непересекающихся рекурсивно пере-
числимых множеств А и В, если А и В эффективно неотделимы, то
каждое из множеств А и В креативно.

(с)	Существует эффективно неотделимая пара непересекаю-
щихся рекурсивно перечислимых множеств.

Доказательство, (а) и (Ь) очевидны (см. упр. 7-56).

(с)	Пусть Ло = {х | фх(х) =0} и Л1 — {х | фж(я) = 1}; этаг
множества, очевидно, суть непересекающиеся рекурсивно пере-
числимые множества.

Пусть даны и и и. Определим ц следующим образом.

Чтобы вычислить г](у), одновременно перечисляем Wu и Wv;
если у появляется сначала в Wu, положим ц(у) = 1; если у появ-
ляется сначала в Wv, положим т)(у) = 0.

Тогда т] = <p/(U, D) для некоторой всюду определенной функ-
ции /. Функция / является искомой „продуктивной функцией”,
поскольку если А о cz Wu, Ai cz W„ и Wu Q W„ — 0, то, напри-
мер,

Ku, v) € Wu => T)(/(zz, v)) = 1 => q>/(u, „)(/(«, p)) = 1 =>

=> f(u, v) € Ai => f(u, v) € Wvr
и мы имеем противоречие. и

Несколько иные формулировки ряда рассматривавшихся поня-
тий содержатся в упр. 2-30. Мы неоднократно будем приводить
и другие результаты из теории пар рекурсивно перечислимых
множеств. Разработка этой теории и ее применения к логике пред-
принята в работе Шмульяна [19611. Распространение результатов
для пар множеств на последовательности множеств проведено Кли-
вом в [1961].

§ 7.8. ЛОГИКА

Терминология

Правильно построенные*формулы^(мы будем для правильно-
построенной формулы употреблять сокращение ппф или пп-фор-
мула) формализованной логической системы образуют некоторый
бесконечный класс конечных цепочек символов некоторого основ-
ного конечного алфавита. Пп-формулы выделяются всегда таким
образом, что существует эффективная процедура, позволяющая
определять, какие цепочки являются пп-формулами, а какие нет.
При исследовании логической системы пп-формулы являются
128 ГЛ. 7. одно-односводимость; много-односводимость

основными объектами изучения. В „ семантических терминах
пп-формулы образуют класс „осмысленных” цепочек. Как правило,
в приводимых нами примерах из логики предикатов понятие
пп-формулы будет совпадать с тем, что в логике предикатов часто
называют высказываниями системы *).

Чтобы применять понятия теории рекурсивных функций, сле-
дует предпринять кодирование пп-формул натуральными числами.
Мы ограничимся рассмотрением кодирований, являющихся отобра-
жениями на N 2). Натуральное число, поставленное в соответ-
ствие некоторой ппф при некотором кодировании, называется
гёделевым номером этой ппф (при этом кодировании). (Мы предпо-
лагаем, как правило, что операции кодирования и декодирования
эффективны.) Обсуждение способов кодирования проводилось
в § 1.10.

Пусть задана логическая система. Тогда кодирование ставит
в соответствие каждому множеству пп-формул множество нату-
ральных чисел. Пусть задано множество пп-формул. Очевидно,
что если множество гёделевых номеров, получаемых при каком-то
кодировании, обладает некоторым рекурсивно инвариантным свой-
ством, то им обладает и множество гёделевых номеров, получае-
мых при любом другом кодировании (см. § 1.10). Рекурсивно
инвариантные свойства могут, таким образом, быть поставлены
в соответствие непосредственно множествам пп-формул. Мы можем
говорить, например, о рекурсивном множестве пп-формул, или
рекурсивно перечислимом множестве пп-формул, или о продуктив-
ном множестве пп-формул.

При изучении конкретных логических систем некоторые мно-
жества пп-формул обычно выделяются как представляющие осо-
бый интерес. Например, может быть выделено множество „доказуе-
мых” пп-формул (при некоторых указанных синтаксических пра-
вилах доказательства) или множество „истинных” пп-формул (при
некотором' — как правило, неконструктивном — определении
истинности). Множество пп-формул, выделенных таким образом,
называется теорией. (Обыкновенно требуется, чтобы „теория”

г) Высказывания суть выражения, в которых каждая переменная нахо-
дится в области действия некоторого квантора. Заметим, кстати, что в логике
предикатов термин „пп-формула” обычно применителен и к выражениям,
содержащим переменные, не находящиеся в области действия квантора, а не
только к высказываниям. Мы не будем при нашем теперешнем общем подхо-
де выделять более одного класса „осмысленных” цепочек данной системы, и мы
станем называть этот класс „пп-формулы”, не взирая даже на то, что это в ряде
случаев расходится с обычным более емким употреблением термина
„пп-формула”.

2) На самом деле, нас удовлетворило бы привлечение кодирований,
являющихся отображениями на рекурсивное собственное подмножество мно-
жества JV. Чтобы рассмотреть такие случаи, нам пришлось бы, при нашем
подходе, сделать несколько незначительных модификаций.
была замкнута относительно некоторых выделенных правил
вывода. Часто эти правила являются правилами логики преди-
катов. Это ограничение для наших целей не существенно; временно
мы определим теорию просто как произвольное множество
пп-формул.)

Пп-формулы теории часто оказываются эффективно перечис-
ляемыми. Как раз такая ситуация возникает, как правило, в тех
случаях, когда теория состоит из „доказуемых" пп-формул при
некоторых формальных правилах доказательства *). Обычно гово-
рят, что теория, т. е. множество пп-формул, аксиоматизируема,
если это множество может быть эффективно пересчитано, т. е.
если оно рекурсивно перечислимо. Аналогично, теория называется
разрешимой, если она рекурсивна.

Существование рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных
множеств (подобных множеству К) наводит на мысль о том, что
некоторые хорошо известные аксиоматизируемые теории могут
не быть разрешимыми. Это и в самом деле так. Теорема Чёрча
(Чёрч [1936а!) устанавливает, что доказуемые пп-формулы логики
предикатов образуют неразрешимую теорию. Мы увидим ниже,
что доказуемые пп-формулы элементарной арифметики (при любой
из стандартных аксиоматизаций) также образуют неразрешимую
теорию.

Теорема Гёделя о неполноте

„Феномен непополнимости” Гёделя [1931] (см. также Тарский
[1932, 19361) может быть сформулирован целым рядом различных
способов. Пожалуй, проще всего он может быть выражен следую-
щими словами: в любой формальной системе, которая обладает
некоторой минимальной сложностью и для которой понятие
„истинности” пп-формулы может быть определено некоторым есте-
ственным образом, множество „истинных” пп-формул продуктивно
(и, следовательно, не является рекурсивно перечислимым). Таким
образом, „истинные” пп-формулы не образуют аксиоматизируемой
теории.

Мы уже сейчас в состоянии показать на неформальном уровне,
что это так. Рассмотрим произвольную формальную математиче-
скую систему, достаточно гибкую и емкую для того, чтобы образо-
вывать утверждения о машинах Тьюринга и их индексах. Такие
высказывания, как „17 есть индекс общерекурсивной функции",
будут тогда выразимы в этой теории. Рассмотрим высказывания
этого вида, т. е. вида „п есть индекс общерекурсивной функции",
где п—нумерал для натурального числа п. Мы не можем

J) Устраивается пересчет всех доказательств (примерно так, как в § 1.4
пересчитываются схемы всех примитивно рекурсивных функций).

9-0506
рассчитывать на существование процедуры, которая пересчиты-
вает все истинные высказывания этого вида и ни одного
ложного высказывания этого вида, поскольку {х | <рх общерекур-
сивна} является, как известно, продуктивным множеством. В са-
мом деле, из инструкций для процедуры, которая пересчитывает
только истинные высказывания этого вида, мы можем эффективно
получить (в силу продуктивности множества {х | срх общерекур-
сивна}) новое истинное высказывание этого вида, которое не было
перечислено. Аналогично, рассмотрим высказывание вида „про-
цесс вычислений, соответствующий набору инструкций PD, при
входе п расходится", т. е. вида „п $ К". Мы не можем надеяться
перечислить все истинные и ни одного ложного утверждения этого
последнего вида, поскольку множество К продуктивно.

Элементарная арифметика

Мы рассмотрим сейчас конкретную логическую систему.
Пп-формулы элементарной арифметики — это такие пп-формулы,
которые могут быть построены, исходя из +, X, =, 0, 1, 2, . .
переменных символов для натуральных чисел, кванторов над нату-
ральными числами, связок —I, &, V , =>, <=>, и удовлетворяют тре-
бованию, что всякая переменная в ппф находится в области дей-
ствия некоторого квантора. Например,

(Уо)[П а = 2 => (3b)a =bxb]

есть ппф. (Она выражает ложное утверждение, состоящее в том,
что всякое натуральное число, отличное от 2, есть квадрат.)

Можно определить множество „истинных” пп-формул элемен-
тарной арифметики в полном соответствии с нашей интуицией J).
Мы можем, таким образом, говорить об истинных пп-формулах
и ложных пп-формулах. Мы предполагаем, что это определение
истинностй было дано.

Неожиданно много разнообразных комбинаторных утвержде-
ний может быть выражено в элементарной арифметике. В частно-
сти (см. упр. 7-64), можно найти выражение F с одной свободной
переменной, такое, что если вместо свободной переменной подстав-
ляется нумерал для некоторого натурального числа х, то
получаемая в результате ппф (которую мы отныне будем обозна-

!) Эта теория (множество истинных пп-формул) иногда называется
элементарной теорией чисел или истинностной элементарной теорией чисел.
Термин „элементарная теория чисел” часто применяется для множества всех
пп-формул элементарной арифметики.

Определение истиннойпп-формулы элементарной арифметики само может
быть формализовано. Как показал Тарский, такая формализация, однако,
требует средств выражения, более сильных, нежели средства выражения
элементарной арифметики (см. упр. 11—45).
чать через Fx) выражает, на интуитивном уровне, принадлежность
х множеству К. Более точно, можно показать, что

х £ К <=> [Fx истинно]
и

X £ К [Fx ложно] <=> [(~I Fx) истинно],

где (—Fx) есть отрицание Fx.

Следующая лемма, хотя и является тривиальной, существенна
для дальнейших рассмотрений.

Основная лемма. [В рекурсивно & A f] В продуктивно] => А
продуктивно.

Доказательство. См. упр. 7-60.н

Так как множество пп-формул {Fx | х € N} рекурсивно
и {/’х | х 4 К} (=={FX | Fx ложно}) продуктивно (см. упр. 7-61),
мы можем применить основную лемму. Получаем следующее.

(а)	Истинные пп-формулы элементарной арифметики образуют
продуктивное {и, следовательно, нерекурсивное) множество.

(Ь)	Ложные пп-формулы элементарной арифметики образуют
продуктивное множество.

Таким образом, истинные пп-формулы составляют неразреши-
мую и неаксиоматизируемую теорию.

В элементарной арифметике существуют различные стандарт-
ные способы выделения правил доказательства. Один из таких
способов базируется на аксиомах Пеано (включая и те случаи
аксиомы индукции Пеано, которые могут быть выражены в эле-
ментарной арифметике); получаемая в результате теория, т. е.
множество доказуемых пп-формул, часто называется арифметикой
Пеано1). Иная теория („доказуемых” пп-формул) может быть
получена, если принять в качестве „доказуемых” все те пп-форму-
лы элементарной арифметики, которые доказуемы в стандартной
теории множеств (класс пп-формул последней может выходить за
пределы пп-формул элементарной арифметики). Мы назовем^эту
теорию теоретико-множественной арифметикой. Для каждого
такого выбора аксиоматизируемой теории нетрудно показать,
что х £ К => [jFk доказуема].

*) Более точно, арифметика Пеано состоит из тех пп-формул эле-
ментарной арифметики, которые выводимы внутри элементарной логи-
ки предикатов из следующих аксиом: (уд) (V0 [® + 1 = Ь + 1 =Ф а = 6J;
Уд) [-10 = а + 1]; (уд) [д + 0 = а]; (уд) (уЬ) [а + (Ь + 1) = (а + b) + 1];
(Уд) [а X 0 = 0]; (Уд) (УЬ) [д X (6 + 1) = [(д X 6) + д]; 0 + 1 = 1; всех
пп-формул вида (...((1 + 1) + 1) . . . + 1) = х, где х — нумерал числа
х, а х —.число единиц, появляющихся слева; и всех пп-формул вида

[. . . 0 . . . & (уд) [... д	: (д + 1) . . .]] (уд) ... д ... .
132 ГЛ. 7. одно-односводимость; много-односводимость

(В самом деле, „доказательство” формулы Fx состоит в предъявле- •
нии выкладок, устанавливающих, что х входит в К.)

Рассмотрим систему, являющуюся или арифметикой Пеано,
или теоретико-множественной арифметикой. Сделаем специальное
предположение, состоящее в том, что никакая ложная ппф эле-
ментарной арифметики не доказуема. Тогда

х € К <=> [Рх доказуема],
и, следовательно,

х £ К <=> IFX недоказуема].

Применив нашу основную лемму, получаем:

(с)	недоказуемые пп-формулы образуют продуктивное множе-
ство.

(d)	доказуемые пп-формулы образуют творческое {и, следова-
тельно, нерекурсивное) множество.

Следовательно, доказуемые пп-формулы образуют неразреши-
мую теорию. Далее, рассмотрим }FX | (ПГЖ) доказуема}. Это мно-
жество является рекурсивно перечислимым подмножеством недо-
казуемых пп-формул. Используя продуктивность множества К,
получаем

(е)	существует х0, такое, что ни Fxo, ни (~~\FXg) не доказуемо.

Такая формула иногда называется неразрешимой ппф. Заме-
тим, что из этих двух пп-формул мы непосредственно имеем, что
~1Дг(, истинна, a FXB ложна.

Специальное предположение о том, что никакая ложная ппф
элементарной арифметики не доказуема, конечно, существенно х).
Для случая арифметики Пеано такое предположение само может
быть установлено внутри более общей теоретико-множественной
математики. Для случая теоретико-множественной арифметики это
предположение должно базироваться или на эмпирической основе,
или на интуиции, что выходит за пределы теории множеств.

Подытожим на неформальном уровне: никакая аксиоматиза-
ция математики не может исчерпывающим образом охватить все
истинные утверждения элементарной арифметики; какова бы
ни была аксиоматизация, порождающая лишь истинные утверж-
дения элементарной арифметики, может быть образовано новое
истинное утверждение, не доказуемое при этой аксиоматизации.

Приведенные факты придают особое значение нашему изуче-
нию продуктивности. Пост полагал, что такого рода факты выяв-
ляют существенно творческий характер математики. Отсюда тер-
мин творческое множество.

х) Если множество пп-формул таково, что в нем не содержится никакой
ложной ппф, то такое множество пп-формул называется семантически непро-
тиворечимым. Наше специальное предположение утверждает семантическую
непротиворечивость множества доказуемых пп-формул.
Замечание. В формулировках результатов (с), (d) и (е)
понятие истинности не фигурирует. Эти результаты остаются
справедливыми при замене предположения о том, что никакая
ложная ппф не доказуема, более слабым синтаксическим предпо-
ложением (т. е. комбинаторным предположением о символизме),
относящимся к непротиворечивости множества доказуемых пп-фор-
мул. В своем первоначальном доказательстве Гёдель поступает
именно так. Фактически он показывает, что [х£К [Fx дока-
зуема]] имеет место, если множество доказуемых пп-формул обла-
дает свойством, известным логикам как (^-непротиворечивость.
Россер впоследствии усилил этот результат, использовав (по суще-
ству) несколько более сложное выражение G вместо гёделева выра-
жения F и показав, что \x£K<s=>[Gx доказуема]] имеет место,
если множество доказуемых пп-формул непротиворечиво. Опреде-
ления и изложение идей методов можно найти в упр. 7-64 и 7-65.
Дальнейшие результаты о теоретико-множественной арифметике
приведены в § 14.7 и в упр. с 14-21 по 14-23.

§ 7.9. УПРАЖНЕНИЯ

§ 7.1

7-1. Покажите, что [А тА & А рекурсивно перечислимо ] =-> А рекур-
сивно.

7-2. Покажите, что существует нерекурсивное А, такое, что А т-4.
(Указание. Воспользуйтесь К ф К.)

7-3 (Деккер), (а) Покажите, что если Л и В рекурсивно перечислимы, то
[A U В = N & А ft В 01=} А Ст4 П В.

△(b). Покажите, что если А и В рекурсивно перечислимы, то

[Л (J В = N & A fl В бесконечно] А П В.

7-4. Пусть А и В — бесконечные множества, такие, что (.4 — В) (J
(J (В — А) конечно. Покажите, что А = тВ (А == jB может и не быть спра-
ведливо; см. гл. 8).

7-5. Сравните относительно следующие множества:

(i)	{г | х просто}',

(ii)	{х | х четно};

(iii)	{г | Wx = 0 };

(iv)	{х | Wx бесконечно};

(v)	{х | <рх общерекурсивна};

△(vi) (я | Wx = Wn} для фиксированного п. (Отношение (vi) к другим
множествам зависит от п. Следует рассмотреть три случая.)

7-6. (а) Исследуйте структуру рекурсивных множеств относительно

(Ь) Покажите, что [А рекурсивно и В не рекурсивно ] —' А ^тВ.

7-7. (а) Исследуйте структуру рекурсивных множеств относительно

△(b). Покажите, что существуют такие А и В, что А рекурсивно, В не ре-
курсивно и А jB. (Указание. Воспользуйтесь результатом упр. 5-8.)

7-8. (а) Покажите, что всякая m-степень содержит самое большее х0
множеств. Содержит ли какая-нибудь из них менее х0 множеств?

(Ь)	Покажите, что всякая m-степень имеет самое большее к0 ш-степе-
ней, предшествующих ей относительно упорядочения по ш-сводимости.
(с)	Покажите, что (а) и (Ь) имеют место для 1-степеней и упорядочения
по 1-сводимости.

7-9. Покажите, что конструкция теоремы II (Ь) не может быть исполь-
зована для доказательства того, что упорядочение по 1-сводимости образует
полурешетку. Покажите, однако, что сами рекурсивные 1-степени образуют
верхнюю полурешетку относительно

7-10. Введем определение: A ^ctB, если существует общерекурсивная
функция g, такая, что сА — gcB. Является ли отношение ^cf рефлексивным
и транзитивным? Если окажется, что является, дайте полное описание упоря-
дочения по сводимости, этим отношением порождаемого.

△7-11. Покажите, что (х | <рх общерекурсивна } и {х | <рх не является всюду
определенной} не сравнимы относительно ^т. (Указание. Покажите, что
в противном случае пары индексов частичнорекурсивных функций могли бы
быть пересчитаны так, что в каждой паре одна и только одна частичнорекур-
сивная функция являлась бы всюду определенной; покажите далее, что такой
пересчет мог бы быть использован для построения диагональной конструк-
ции над классом всех общерекурсивных функций, что привело бы к противо
речию. Эта диагональная конструкция сложна; возможно, что к некоторым
парам индексов пришлось бы в процессе диагонализации обращаться более
одного раза.)

§ 7.2

7-12. Определите место множества {х | Wx = 0} в упорядочении
по 1-сводимости. (Ответ. =}К.)

7-13. (а) Проделайте упр. 7-5 для Ci-

(Ь) Пусть D — конечное множество. Сравните относительно Сц мно-
жества К X К и {х | Wx = D}.

△7-14. Каково соотношение между множествами {х | Wx рекурсивно}
и {х | Wx бесконечно} относительно

7-15. (а) Покажите, что [<р частичнорекурсивна & <р взаимнооднозначна
& rp(JV) рекурсивно & А рекурсивно] =ф (р(Л) рекурсивно.

(Ь) Покажите, что [ср частичпорекурсивна & <p(N) = N X А рекурсивно
&ф(4) не рекурсивно] возможно.

7-16. В каждом из следующих случаев покажите, что определяемое
отношение между А и В рефлексивно и транзитивно. Исследуйте структуру
соответствующих „степеней неразрешимости” рекурсивно перечислимых
множеств.	,

(I)	(3 'частичнорекурсивпая функция <р)[А

(ii)	(3 частично рекурсивная функция <р)[4 = <р-1(Я)].

(iii)	(3 частичнорекурсивная функция ср) [® взаимно однозначна & А =
= cp-VS)].

(Частичный ответ, (i) Все множества распадаются на две степени; (ii) рекур-
сивно перечислимые множества распадаются на две степени; (iii) рекурсивно
перечислимые множества распадаются на бесконечно много степеней.)

§ 7.3

7-17. В примере 2 из § 7.3 проверьте, что g является искомой продуктив-
ной функцией.

7-18. Покажите, что [4	0 & (3 частичнорекурсивная функция ф)

(Vz)[[ Wx сА & Wx 0] =? [ф(г) сходится & ф(х) £ А — РКХ]]] А про-
дуктивно.

7-19. Покажите непосредственно, без использования теоремы V (Ь),
что следующие множества продуктивны: {х | <рх — перестановка} и {х | <рх —
отображение на}.
7-20. Покажите, что {х | <рж не всюду определена} продуктивно. (Указание.
Покажите, что К Ст{* | tpx общерекурсивна}.) Это множество таково, что
как оно само, так и его дополнение продуктивны.

7-21. Покажите, что существует Ко творческих множеств.

7-22. Покажите, что {х | (Зу)[х С Wv & у £ VKJ} — творческое множе-
ство с Лх[х] в качестве продуктивной функции.

7-23. Какие множества упр. 7-5 являются творческими? Какие имеются
творческие дополнения?

7-24. Исследуйте f(A) и /-1(4), когда f — взаимно однозначная общере-
курсивная функция и Я — творческое множество и когда / — взаимно одно-
значная общерекурсивная функция и А — продуктивное множество.

7-25. (а) Покажите, что [4 продуктивно & В рекурсивно перечислимо
& В С 4] ==> А — В продуктивно.

(Ь) Покажите, что (Л продуктивно & В рекурсивно перечислимо &4 С
с В] A U В продуктивно.

△7-26. Покажите, что [Л творческое &.В рекурсивно перечислимо’& 4т
С П1В X В] В творческое.

Д7-27. Покажите, что А творческое =>4x4 творческое.

(Обращение этого факта было установлено Лахланом.)

§ 7.4

7-28. Между какими парами множеств из упр. 7-5 имеет место рекурсив-
ный изоморфизм?

7-29. Покажите, что 4 ф 4 = 4 ф 4.

^,7-30. Покажите, что [/(4) = В & f(A) = В & g(B) = А & g(B) =
= 4 &/ рекурсивно & g рекурсивно] => 4 = В.

△7-31. Пусть Вх = Vai <рх. Пусть Vx определено как в упр. 5-11 (Ь).
Тогда каждая из последовательностей	и

задает нумерацию рекурсивно перечислимых множеств. Покажите, что, како-
вы бы ни были две из этих трех нумераций, одна из них, в соответствующем
сильном смысле, является рекурсивной перестановкой другой. (Указание.
Воспользуйтесь методом доказательства теоремы VI).

§ 7.5

Д 7-32. (Майхилл). Покажите, что любые два творческих множества рекур-
сивно изоморфны.

§ 7.6

7-33. Покажите, как структура рекурсивных множеств относительно Cl
и Ст согласуется с теоремой VIII.

7-34. Введем определение: 4 С }В, если (3 общерекурсивная /)
(/взаимно однозначна & А =/-1(В) & Vai / рекурсивно].

(а)	Покажите, что СТ рефлексивно и транзитивно и что его „степени”
суть в точности типы рекурсивного изоморфизма.

(Ь)	Покажите, что 4 ^тВ <=> 4 X N СТ В X N.

(с)	Покажите, что если или 4, или В является цилиндром, то 4 С iB =>
=> 4 СТВ (Р. Робинсон обнаружил существование рекурсивно перечислимых
множеств 4 и В, таких, что 4 С 1В, но 4	(В.)

7-35. Докажите теорему IX.
7-36. (а) Покажите, что если хотя бы одно из множеств А или В является
цилиндром, то Л X В — цилиндр.

(Ь)	Покажите, что если как А, так и В суть цилиндры, то А ф В есть
цилиндр. (Указание. Воспользуйтесь теоремой IX.)

В упр. 8-29 мы увидим, что АфВиАХВне обязательно являются
множествами одной и той же m-стспепи, даже если А и В рекурсивно пере-
числимы.

(с)	Какие из множеств К X К и К ф К являются цилиндрами?

(d)	Покажите, что из того, что А ф В есть цилиндр, не обязательно сле-
дует, что или А, или В есть цилиндр.

△(e) Каково соотношение между К X К и К ф К относительно ш-упо-
рядочения? (Частичный ответ. Они различных степеней.)

△7-37. Введем определение: А есть 1-1-сплинтер, если (3 общерекур-
сивная взаимо однозначная функция /) (Зх)[А={х, f(x), ff(x), fff(x), ...}].
(Сплинтеры изучались Юллианом и позднее Майхиллом; см. Юллиан [1960|
и Майхилл [1959а].)

(а)	Покажите, что это понятие рекурсивно инвариантно.

(Ь)	Покажите, что если А и А бесконечны и А есть 1-1-сплинтер =}А —
рекурсивно перечислимый цилиндр..(Указание. Покажите, что (VВ)[В Ст
^ША В ^А]. Заметим, что в А могут встречаться „циклы”.)

(с)	Покажите, что [А 0 & А — рекурсивно перечислимый цилиндр)

А есть 1-1-сплинтер. (Указание. Поскольку А = А X N, достаточно
установить, что А X N есть 1-1-сплинтер. Пусть п £ А. Определим / так, чтобы
/((ж, у)) = (х, у + 1) за тем лишь исключением, что по мере появления
элементов множества А в его эффективном пересчете, это правило модифи-
цируется с использованием процедуры уплотнения таким образом, чтобы
последователи (п, 0)., получаемые посредством /, постепенно исчерпы-
вали А X N.) (Замечание. Определение сплинтера получается из опреде-
ления 1-1-сплинтера опусканием требования взаимной однозначности
функции /. Янг установил существование бесконечного сплинтера, не
являющегося цилиндром.)

(d)	(Янг). Будем говорить, что общерекурсивная перестановка f свободна:
от циклов, если для каждого непустого конечного множества D имеет
место f(D)^i=D.

Докажите, что А — цилиндр существует свободная от циклов рекур-
сивная перестановка /, такая, что f(A) = А.

7-38. Используйте теорему IX, чтобы показать, что все множеств»
из упр. 7-5 суть цилиндры.

§ 7.7

7-3	9. Пусть f — данная общерекурсивная функция. Пусть .А = {В | В
продуктивно с / в качестве продуктивной функции}.

(а)	Приведите примеры общерекурсивной функции /, такой, что А = 0,
и такой, что of ф 0.

(Ь)	Покажите, что [А £ <4 & В £ .A] — А (~) В g of.

(с)	Покажите, что [А £ of &. В £ of] не всегда влечет за собой A (J В 6
€ •

△ (d) Покажите, что [А С А &• &В €	-- A (J В продуктивно.

△(e) Покажите, что of порождает решетку продуктивных множеств отно-
сительно операций П и (J.

7-40 (Деккер). Пусть Dorn А есть {x | Wx с:А}. Покажите, что А —
продуктивно =А Dom А продуктивно.

7-41. Покажите, что К — Dom К бесконечно.
7-42. (См. 7-40.) Пусть А продуктивно стр в качестве продуктивной функ-
ции. Мы будем tp(DomM) называть центром А и обозначать center^ А.
Покажите, что center^ A cz В сЛ => В продуктивно.

7-43. Покажите, что существует 2So продуктивных множеств. (Указание.
Воспользуйтесь упр. 7-41 и 7-42.)

7-44. Покажите, что всякое продуктивное множество обладает 2Хо про-
дуктивными подмножествами. (Указание. См. упр. 7-43.) Следует найтицентр
продуктивного множества, такой, чтобы существовало бесконечно много эле-
ментов множества, не принадлежащих центру.)

7-45. Пусть А — продуктивное множество с ф в качестве продуктивной
функции. Покажите, что существует продуктивное множество В с ф в качестве
продуктивной функции, такое, что В = centerВ. (Указание. Возьмите пере-
сечение всех множеств, имеющих ф своей продуктивной функцией.) Мы назо-
вем такое продуктивное множество насыщенным относительно ф.

Д7-46. (Деккер.) (Это упражнение предполагает некоторое знакомство
со счетными ординальными числами. Краткие сведения об ординальных
числах содержат упр. с 11-46 по 11-53.) Пусть ф — продуктивная функция
некоторого продуктивного множества. Определим трансфинитной индукцией
по счетным ординалам

Sg — 0,

*$а+1 = Sa U {Ф(х) I wx С Sa},

Sp = U S для ₽ = 11m ап.
п	п

Пусть В — U Sa. Покажите, что В наполнено (см. упр. 7-45) и совпадает
а

с пересечением всех множеств, продуктивных относительно ф.

(Мы увидим позднее, что любые два таких множества для различных
взаимно однозначных функций ф рекурсивно изоморфны и высокой степени
неразрешимости.)

7-47. Покажите, что всякое бесконечное рекурсивно перечислимое мно-
жество является объединением непересекающихся между собой творческого
множества и продуктивного множества.

7-48. Покажите, что всякое продуктивное множество является объедине-
нием непересекающихся между собой творческого множества и продуктивного
множества. (Указание. Воспользуйтесь теоремой X и упр. 7-47.)

7-49. Покажите, что всякая взаимно однозначная общерекурсивная
функция есть продуктивная функция некоторого творческого множества.
(Указание-. Следует рассмотреть {/(г) | j(x) С Можно также воспользо-
ваться конструкцией, подобной конструкции упр. 7-46).

7-50. Покажите, что А продуктивно => А продуктивно с взаимно одно-
значной продуктивной общерекурсивной функцией. (Указание. Пусть / —
данная продуктивная общерекурсивная функция. Определим: g(0) = /(0);.
g(n + 1) = /(n + 1), если f(n + 1) < {g(0), . . ., g(n)}, в противном случае-
воспользуемся свойством продуктивности. Предостережение: {g(0), . . ., g(n)}
может не содержаться в А. Дальнейшее указание: следует взять =
= Wx (J (f(x)}, затем рассмотреть f(n + 1), fh(n + 1), fhh(n + 1), . . .
и выяснить, встречаются ли повторения.)

7-51. Покажите, что А продуктивно =Ф А продуктивно с рекурсивной
перестановкой в качестве продуктивной функции. (Указание. Очевидным обра-
зом метод упр. 7-50 позволяет перейти от функции на к взаимно однозначной
функции на. Остается показать, что от функции / в можно перейти к функции
h на. Пусть D — бесконечное рекурсивное множество р. п. индексов множе-
ства 7V. Пусть g пересчитывает D без повторений. Положим h(x) = g~x(x)
на D и h(x) = j(x) на Z>.)

^7-52. (Майхилл.) Покажите, что А продуктивно =ф А вполне продук-
тивно.
7-53. Покажите, что А продуктивно => А полупродуктивно.

7-54. (а) Докажите теорему X для полупродуктивных множеств.

(Ь) Докажите теорему XI для полупродуктивных множеств.

7-55. (а) Определите понятие „сильной сводимости” в соответствии с тео-
рией пар пепересекающихся рекурсивно перечислимых множеств.

(Ь)	Покажите, что пара множеств, существование которой утверждает
теорема XII (с), является „полной” в подходящем смысле относительно этой
-сводимости.

(с)	Покажите, что всякая полная пара непересекающихся рекурсивно
перечислимых множеств эффективно неотделима.

-△(d) (Бюхи). Воспользовавшись сводимостью множеств из теоремы XII (с),
покажите, что следующие множества не являются рекурсивно отделимыми,
-и что в действительности они эффективно неотделимы: {(х, у) | срж(у) сходит-
ся} и {(г, у) | Рх{у) — цикл}, где ,,Рж(у) — цикл” означает, что некоторая
конфигурация встречается более одного раза в вычислении с помощью маши-
аы Тьюринга Рх при входе у.

7-56. Докажите пункты (а) и (Ь) теоремы XII.

7-57. Измените доказательство теоремы XI так, чтобы с его помощью
показать, что всякая эффективно неотделимая пара непересекающихся рекур-
сивно перечислимых множеств обладает всюду определенной „продуктивной
функцией”.

7-58. Модифицировав доказательство теоремы XII (с), установите суще-
ствование системы, состоящей более чем из двух множеств, и такой, что любые
два ее множества не пересекаются и эффективно неотделимы.

7-59. Покажите (не прибегая к упр. 7-32), что существует творческое
множество К', такое, что К и К' не пересекаются и эффективно неотделимы.
{Указание. Покажите, что К = Ао, где Ао — то же, что и при доказательстве
теоремы XII.)

§7.8

7-60. Докажите, что [В рекурсивно перечислимо & A Q В продук-
тивно] => А продуктивно. (Отсюда следует основная лемма § 7.8.)

7-61. С использованием тезиса Чёрча объясните, почему множество
{Fx | х б TV} (определение см. в § 7.8) должно быть рекурсивным и почему
{Fx | х $ К} должно быть продуктивным.

7-62. Предположим, имеется логическая система, формулируемая в сим-
волизме обычной логики предикатов. Пн-формулы могут, таким образом,
содержать символ & (наряду с другими). Отождествим пп-формулы с их
гёделевыми нЬмерами.- Отношение непосредственной выводимости задается
как отношение между конечными множествами пп-формул и пп-формулами.
Ото отношение рекурсивно, т. е. {(х, у) | ппф у непосредственно выводима
из конечного множества Dx} рекурсивно. Определим отношение выводимости
следующим образом: у выводимо из А, если существует конечная последова-
тельность (у0, у!, . . ., уп), такая, что у = уп и для всех/,	или

yj€A, или yj непосредственно выводимо из некоторого подмножества
(Уо, • • -1 Vj-i}- Пусть Л" = {х | х выводимо из А }. Если В = А, мы будем
называть А множеством аксиом для В.

(а)	Покажите, что А рекурсивно перечислимо => А рекурсивно перечис-
лимо.	_

(Ь)	Покажите, что А с А и А = А.

Пусть (х &. у) обозначает ппф, получаемую помещением между х и у.
Предположим, что для всех х и у, (х & у) € (х, у}, х g {(х & у)} и у € {(х & у)}.

(с)	Покажите, что A (J В = A (J В может не быть верно.

^(d) (Крэйг). Покажите, что В рекурсивно перечислимо =^(Эл)[Л —
рекурсивно & Л = В]. {Указание. Воспользуйтесь теоремой 5-Ш. Следует
обратить внимание на то обстоятельство, что для всякого х элементы последо-
вательности х, (х & х), ((г & х) &. х), ... взаимовыводимы.) Это и есть
теорема Крэйга: всякая рекурсивно перечислимая теория (в обычной
логике) имеет рекурсивное множество аксиом (Крэйг [1953]).

7-63. Это упражнение предполагает некоторое знакомство с логикой и ее
терминологией. Рассмотрим чистое исчисление предикатов первого порядка,
т. е. обычную логику предикатов. Существует ли рекурсивное множество спра-
ведливых биусловий, т. е. эквивалентностей, таких, что все справедливые
биусловия могут быть порождены ими путем „подстановки равенств в равен-
ства”. т. е. применением операции подстановки одной эквивалентности
в другую? (Указание. Воспользуйтесь методом, подобным методу 7-62.)

7-64 (Первая теорема Гёделя [1931]). Рассмотрим арифметику Пеано
или теоретико-множественную арифметику. Предположим, что существует
выражение элементарной арифметики с четырьмя свободными переменными,
назовем его Mabcd (с a, b, с, d в качестве этих переменных), такое, что (i)
если Рг при входе х дает выход у менее чем за w шагов, то Afzxyw доказуема х);
(ii) если Pz при входе х не дает выхода у менее чем за w шагов, то (^Л/zxyw)
доказуема (см. § 14.4 и 14.7). Будем говорить, что наша теория ч>-непротиво-
речива, если для любого выражения Ga с единственной свободной переменной
а, коль скоро (За) Ga доказуема, для некоторого х (~Gx) недоказуема.

Предположим, что наша теория согласуется с обычными правилами эле-
ментарной логики. Покажите, что если наша теория (^-непротиворечива,
то (i) она образует творческое множество и (ii) должна существовать не-
разрешимая ппф. (Указание. Возьмите в качестве Рх (Зс)(Э<7) Л/xxcd и пока-
жите, что [[Л’ж доказуема] <=> х £ К].)

7-65. (Теорема Гёделя—Россера о неполноте, Россер [1936].) Пусть теория
и выражение Mabcd — такие же, как в упр. 7-64. Пусть z0 и zf — р.п. индек-
сы для Ао и Ai из теоремы XII. Предположим, что z0 и zt могут быть выбраны
так, что следующая ппф доказуема: (УЬ)~][(3c)(3d) Mzobcd &(3с) (IdjMztbcd].
Назовем нашу теорию непротиворечивой, если для любой ппф Н, коль скоро
Н доказуема, (~]Н) недоказуема.

Предположим, что наша теория согласуется с обычными правилами эле-
ментарной логики. Покажите, что если наша теория непротиворечива, то (i)
она образует творческое множество и (ii) должна существовать неразреши-
мая ппф. (Указание. Рассмотрите Wu — {х | (3c)(3d)A7zoXc<i доказуема}
и WB = {х | —](3c)(3d)iHzoxcd доказуема} и воспользуйтесь эффективной
неотделимостью Ао и At. Заметим, что всякое рекурсивно перечислимое
множество В, такое, что А0 с. В cAt, должно быть творческим.)

х) Мы придерживаемся здесь следующего способа обозначения: если
...а... есть выражение со свободной переменной а и х есть число, то ...х...
есть результат подстановки нумерала х вместо а в ...а... . Таким образом,
Afzxyw обозначает ппф, полученную подстановкой нумералов для чисел
z, х, у и w вместо переменных а, Ь, с и d в выражение Mabcd', подобным обра-
зом ниже для Gx и (3c)(3<?)JWxxcd.
Глава 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ;
ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА

§8.1.	Простые множества 140

§ 8.2.	Иммунные множества	142

§ 8.3.	Табличная сводимость	145

5 8.4. Табличная сводимость и мпого-односводимость 148

§ 8.5.	Ограничениотабличная сводимость 150

s 8.6. Структура степеней 155

§ 8.7.	Другие рекурсивно перечислимые множества 158

§ 8.8.	Упражнения 160

§8.1	. ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА

Среди вопросов, оставшихся в последней главе открытыми,
были следующие.

1.	Всякое лп нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
ство является творческим?

2.	Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
ство ш-полно?

3.	Совпадают ли и на нерекурсивных рекурсивно пере-
числимых множествах?

Тесная связь междупродуктивными” диагональными методами
и неразрешимостью могла бы павестп на мысль об утвердительном
ответе на первый вопрос. Примеры нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств, рассматривавшиеся до сих пор, возмож-
но, подсказывают утвердительный ответ на ьонрос 2. Теоре-
ма 7-VII могла бы свидетельствовать в пользу утвердительного
ответа на вопрос 3. На все три вопроса, однако, ответы, как мы
теперь покажем, отрицательны.

Упражнение 5-8 обнаруживает существование бесконечного
множества, не имеющего бесконечного рекурсивно перечислимого
подмножества. Если множество с этим свойством обладает рекур-
сивно перечислимым дополнением, то это рекурсивно перечисли-
мое дополнение называется простым. Этот термин принадлежит
Посту [1944].

Определение. Множество А просто, если

(i)	А рекурсивно перечислимо;

(ii)	А бесконечно;

(iii)	(V2>) [[5 бесконечно & В рекурсивно перечислимо] =>
=> В Q А 0].

Это понятие рекурспвно инвариантна, поскольку оно опреде-
ляется в терминах рекурсивно инвариантных понятий. Некоторые
основные свойства простых множеств приведены в теореме I.
Теорема I. (а) Л просто => А не рекурсивно.

(Ь)	А просто => А не является творческим.

(с)	А просто => А не т-полно.

(d)	А просто => А не цилиндр.

Доказательство, (а) Если А рекурсивно и пункт (ii)
предыдущего определения имеет место, то (iii) не выполняется
при В = А.

(Ь)	Так как всякое продуктивное множество обладает беско-
нечным рекурсивно перечислимым подмножеством (теорема 7-Х),
то, если А — творческое множество, (iii) места не имеет.

(с)	Непосредственно вытекает из (Ь) (следствие 7-V).

(d)	Предположим А = С X N и А просто. Тогда А --А- 0;
отсюда

С у У == С X N ¥= 0

и С 0. Пусть т С С. Тогда {m} X N есть бесконечное рекур-
сивное перечислимое подмножество множества С X N. В силу
рекурсивной инвариантности пункт (iii) для А не выполняется
и Л не может быть простым множеством; таким образом, прихо-
дим к противоречию. и

Далее, теорема II показывает, что простые множества суще-
ствуют.

Теорема 11 (Пост). Существует простое множество.

Доказательство. Пусть С = {(ж, у) | у £ Wx и у
2ж). По второй теореме о проекции С рекурсивно перечислимо.
Фиксируем некоторый эффективный способ пересчета С. Образуем
множество С — {(ж, у} | (ж, у) б С & (Vz)([z =А у &. {г, z) g С] =>
=> (х, z) идет позже (х, у) в этом пересчете С]}. (По существу мы
применяем теорему 5-XVI, теорему об однозначности.) Множество
С, очевидно, рекурсивно перечислимо, и {(ж, у) | (ж, у) F 0}
есть частичнорекурсивная функция (теорема 5-JX). Пусть S
есть множество значений этой частичнорекурсивпой функции, т е.
S = {у | (Зж)[(ж, </) С С”]}. Мы покажем, что S просто,

(i)	S рекурсивно перечислимо, поскольку оно является множе-
ством значений частично рекурсивной функции.

(ii)	По построению самое большее к чисел из {0, 1, . . ., 2к}
может принадлежать S. Это имеет место для любого к; следова-
тельно, S бесконечно.

(iii)	Предположим, что В рекурсивно перечислимо и бесконеч-
но. Пусть В = TEXo. Тогда в нем существуют числа, большие чем
2ж0. По построению (ж0, z) должно принадлежать С при некото-
ром z из В. Отсюда z f. В П S и В Q S 0.и
Из теорем I и II вытекает несколько следствий.

Следствие II (а). Существуют нерекурсивные рекурсивно пере-
числимые множества, не являющиеся ни т-полными, ни творче-
скими, ни цилиндрами.

Доказательство очевидно.и

Следствие II (b). ==i и s=m не совпадают на нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множествах и тем самым и
не совпадают на нерекурсивных рекурсивно перечислимых множе-
ствах.	1

Доказательство. S =ш 5 X N, согласно теоре- _
ме 7-VIII, но	X N по теореме I. Отсюда, согласно тео- •>

реме 7-VIII, S X N т5, но S X N

Тем самым мы получили ответы на вопросы 1, 2 и 3, поставлен-
ные в начале главы.

В § 8.6 мы покажем, что рекурсивно перечислимая т-степень
может содержать бесконечно много 1-степеней. „Патология”, выяв- -
ляемая простым множеством, сама по себе представляет интерес
и будет изучена в дальнейшем. В частности, это оказывается
полезным при исследовании нового более общего типа сводимости,
который будет описан в § 8.3. Рекурсивно перечислимые множе-
ства обладают целым рядом патологий иного сорта; мы обсудим
некоторые из них в § 8.7 и в упражнениях. Ввиду отсутствия *
удовлетворительных теорем о представимости основная часть
нашего исследования рекурсивно перечислимых множеств будет '
представлять собой нечто вроде перечня различных встречающих-
ся патологий.

§ 8.2.	ИММУННЫЕ МНОЖЕСТВА

Для множеств со свойством, описанным в упр. 5-8, т. е. со свой-
ством, относящимся к дополнению простого множества, был вве-
ден Деккером специальный термин.

Определение. Множество А иммунно, если

(i)	А бесконечно;

(ii)	(VВ) [(В бесконечно & В рекурсивно перечислимо] =>
=> В П А =^= 01.

Семейство иммунных множеств аналогично в некотором смыс-
ле семейству конечных множеств. Семейство иммунных или
конечных множеств в определенных аспектах подобно семейству
множеств меры 0 в пространстве с мерой (см. упр. 8-11).

Определение. А изолировано, если А конечно или иммунно.

Представляется удобным иметь стандартный способ конста-
тации того обстоятельства, что дополнение множества обладает
определенным свойством. С этой целью мы принимаем следующее-
соглашение.

Соглашение. Пусть (. . .) есть свойство множеств. Мы будем
говорить, что множество ко(. . .), если его дополнение (. . .).

Например, коиммунное множество — это множество, дополне-
ние которого иммунно, коконечное множество — множество, допол-
нение которого конечно. Множество просто тогда и только тогда,
когда оно одновременно рекурсивно перечислимо и коиммунно.

Множества, являющиеся коконечными или простыми, т. е.
рекурсивно перечислимые коизолированные множества, играют
роль, подобную роли множеств меры 1 в пространствах с мерой
полной меры 1. В частности, они образуют дуальный идеал
в решетке всех рекурсивно перечислимых множеств (относительно
А и U , см. упр. 8-11). Это могло бы навести на мысль, что изоли-
рованные множества образуют идеал в решетке всех множеств.
Следующая теорема, однако, показывает, что семейство изолиро-
ванных множеств не является замкнутым относительно конечных
пересечений и что существует несчетно много изолированных мно-
жеств.

Теорема III. Существует 2х® множеств А, таких, что как А,
так и А иммунны.

Доказательство. Пусть х0, Xi, ... суть элементы мно-
жества {х | Wx бесконечно}, расположенные в порядке возраста-
ния. Определим последовательность пар следующим образом:

{уо, 2о} = [два наименьших элемента из VKx0L

причем у о < zQ.

{z/ft+1, zk+i} = [два таких наименьших элемента из WXh+t,
которые превосходят и yk, и zh],

причем Уь+1 < Мы образуем множество А, выбирая один
элемент из каждого члена этой последовательности пар. Сущест-
вует 2х® различных способов такого выбора. Каждое из мно-
жеств А и А должно пересекаться со всяким бесконечным рекур-
сивно перечислимым множеством. Следовательно, как А, так и А
иммунно. и

Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество
является или творческим, или простым? Следующая теорема дает
отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема IV. Существует рекурсивно перечислимое множество,
не являющееся ни рекурсивным, ни простым, ни творческим.
Доказательство. Пусть А просто, рассмотрим А X N.
А X N рекурсивно перечислимо, поскольку А таково. А X N
не является рекурсивным, так как А А X N. Множество
А X N не просто, поскольку оно есть цилиндр. Легко показать,
что А X N — творческое множество =>А творческое множество
(упр. 8-10); теорема доказана.и

Следствие IV. Существуют множества, не являющиеся ни рекур-
сивно перечислимыми, ни продуктивными, ни иммунными.

Доказательство. Таковым является множество А X N
из доказательства теоремы. в

Следующая теорема показывает, что, хотя изолированность
не наследуема вниз по m-упорядочению (так как А X N А
как было установлено ранее), она наследуема вниз по 1-упорядо-
чению.

Теорема V. [А В & В изолировано} => А изолировано,

Доказательство очевидно.а

Изолированные множества используются при построении в тео-
рии рекурсивных функций аналога теории кардинальных чисел,
в частности, теории кардинальных чисел, которые промежуточны
в смысле Уайтхеда и Рассела. (Промежуточное кардинальное чис-
ло есть кардинальное число множества, мощность которого пре-
восходит мощность всякого конечного множества, но которое
не может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие
ни с каким своим собственным подмножеством. В обычной теории
множеств из аксиомы выбора вытекает, что промежуточных кар-
динальных чисел не существует.) Мы установим эту аналогию
в упр. 8-32 (см. также упр. 10-4).

Так кай простые и коконечные множества образуют дуальный
идеал в решетке всех рекурсивно перечислимых множеств (об этом
понятии см. § 12.1), может быть построена факторрешетка, иден-
тифицирующая два рекурсивно перечислимых множества в том
и только том случае, если они отличаются на конечное или непро-
стое множество; т. е. А и В идентифицированы <=> (X — В) J
U (В — А) конечно или копросто. Например, в этой факторрешет-
ке А идентифицируется с N тогда и только тогда, когда А являет-
ся простым или коконечным. Таким образом, в случае про-
стого множества А, А идентифицируется с У. но Л X N — нет.
В силу A =m А X У классы эквивалентности, образующие эле-
менты факторрешетки, не согласуются с m-степенями. Посколь-
ку главной нашей целью является изучение сводимости, мы отло-
жим общее исследование этих решеток до гл. 12 (см. упр. 8-12).
§ 8.3.	ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ

Множества К, К, К © К и К X К попадают в 4 различные
m-степени (см. упр. 7-36), причем К и К не сравнимы. Тем не менее
эти четыре множества в некотором естественном интуитивном
смысле взаимно сводимы. Например, если бы мы могли выяснить
для любого числа, принадлежит ли оно К, мы могли бы, дважды
произведя такие выяснения, установить, принадлежит ли (х, у)
множеству К X К. Более тривйально. если бы мы располагали
методом, позволяющим решать для любого числа, принадлежит ли
оно К, мы очевидным образом имели бы метод, позволяющий
решать относительно любого числа, является ли оно элементом К.
В этом смысле понятие m-сводимости слишком узко.

Мы сформулируем новое более общее понятие сводимости, опи
сав его поначалу весьма приблизительно. Мы скажем, что А „сво-
димо” к В, если существует эффективная процедура, такая, что
для любого х мы можем найти (i) конечное множество чисел
{yi, Ун Ук} я (ii) в зависимости от ответов на вопросы „z/j £
Ё В?", иу2 ё ВУ', . . „yk ё ВУ' определить, будет ли а: элементом
множества А. Например, А = К X К „сводимо” к В = К', для
любого данного х мы образуем множество чисел {лДх), л2(^)}',
если л Да;) ё В и л2{х) Ё В, то х ё А; если л Да:) ё В или л2(а:) Ё В,
то х(~А. Подобным же образом А — К „сводимо” к В = К:
по любому данному х мы образовываем множество {а:}; если х$В,
то х ё Я, тогда как если х ё В, то х 4 А.

Мы уточнил! это в следующих определениях.

Определение. I = {0, 1},

/ X X • • • X 1 (п сомножителей).

Определение, а есть n-арная булева функция, если а отобра-
жает 1п в I. Булева функция есть конечный объект. Б логике
булева функция иногда называется истинностной таблицей.
Существует, очевидно, 22 различных n-арных булевых функций.
(Если на I задана структура поля из двух элементов, то всякий
полином п переменных над этим полем определяет п-арную буле-
ву функцию. Обратно, согласно интерполяционной теореме Лаг-
ранжа, всякая п-арная функция задается полиномом. Достаточно
рассмотреть лишь „приведенные” полиномы, в которых каждая
переменная встречается не более чем в первой степени. Сущест-
вует 2" таких приведенных полиномов. Отсюда следует, что имеет
место взаимно однозначное соответствие между приведенными
полиномами и булевыми функциями. Мы назовем такие полиномы
булевыми полиномами.)
Определение. Упорядоченную пару «xlt . . хп), а), гд&
хп>

есть n-ка чисел, а а есть n-арная булева функция (п > 0), назо-
вем табличным условием (или И-условием) порядка п. Множество
{xi, . . хп} назовем ассоциированным множеством этого tt-
условия.

Определение, tt-условие выполняется на множестве А, если
a(cA(xj), ...» сА(хп)) = 1, где сА есть характеристическая функ-
ция множества А.

Каждое tt-условие есть конечный объект; очевидно, можно
устроить эффективное кодирование, отображающее все tt-условия
(различных порядков) на N. Предположим, начиная с этого момен-
та, что такое кодирование фиксировано. Говоря „tt-условие х", .
мы будем иметь в виду tt-условие с кодовым номером х.

Теперь может быть определено паше понятие сводимости.

Определение. Множество А таблично сводимо к В (обозначе- •
ние:	если существует общерекурсивная функция /, такая,

что для всех х [х С А<=>tt-условие f(x) выполняется на В]. Будем
употреблять для „табличной сводимости” сокращение „tt-своди-
мость”.

Следующая теорема очевидна.

Теорема VI. Отношение =Ctt рефлексивно и транзитивно.

Доказательство. Рефлексивность. Для заданного х
пусть f(x) есть tt-условие {{х), а), где a — тождественная унар-
ная булева функция.

Транзитивность. Предположим, что A ^tt В посредством /
и В < ttC посредством g. Мы покажем, как вычислить функцию h,
такую, что A С посредством h. Пусть дано х. Найдем tt-усло-
вие /(х); пусть

/(х) есть «г/i, . . ., ут), а>.

Найдем tt-условия g(y^, • • •, g(</m); пусть
g(yi) есть «zlb . . ., zlni>, Pj>,
8 (.Ут) eCTb «Zmi, . . ., Zmnm)< Ртп)>
Тогда искомое tt-условие Л(х) есть

<<ZH, • • •> zlnt» z21, • - •> zmj> • • •> zmnm), Л.1Гц  • • U'm„m

[ct(pi(u?u, • • • , «’in,),	• • ), • • •» Pm(«’m1, • • •, «’mnm))]^-

Булевы функции Pi, . . pm соответственно «i-арна, . . ., nm-
арна, а булева функция в tt-условии h (х) ^-арна, где q =
=	+ ... + 7lm.g
Определение. A ==tt В, если A В и В tt А. Классы
эквивалентности =tt называются табличными степенями или
tt-степенями.

Определение. Множество А таблично полно („tt-полно”), если
(i) А рекурсивно перечислимо,

(ii) (VВ) [В рекурсивно перечислимо	Л1.

Следующая теорема содержит элементарные сведения о tt-сво-
димости.

Теорема VII. (а) Л В => A В.

(b)	A ^tt А (и, следовательно, А ==ц А).

(с)	Упорядочение по tt-сводимости образует верхнюю полуре-
шетку.

(d)	[В рекурсивно и A В] ==> А рекурсивно.

(е)	А рекурсивно => (УВ)[Л

Доказательство, (а) Очевидно.

(Ь)	Очевидно, см. в качестве примера множества К и К, рас-
смотренные выше.

(с)	А Ф В вновь может быть использовано при построении
наименьшей верхней грани, так как если A ^tt С и В ^tt С, то,
очевидно, А @ В ^tt С.

(d)	Очевидно.

(е)	Пусть множество А рекурсивно; выберем / так, чтобы f(x)
было tt-условием с булевой функцией, тождественно равной 1, если
х С А, и тождественно равной 0, если х (t Л.и

Рекурсивная инвариантность отношения ^tt немедленно сле-
дует из свойства (а). Из (d) и (е) вытекает, что упорядочение
по tt-сводимости имеет единственную минимальную степень,
состоящую из рекурсивных множеств и не содержащую никаких
других. Из (Ь) легко усматривается, что степень может содержать
как рекурсивно перечислимые множества, так и множества, рекур-
сивно перечислимыми не являющиеся. Мы назовем tt-степень
рекурсивно перечислимой, если она содержит хотя бы одно рекур-
сивно перечислимое множество. Таким образом, tt-степень множе-
ства К есть рекурсивно перечислимая степень, поскольку она
содержит К. (В гл. 10 мы увидим, что существуют несравнимые
рекурсивно перечислимые tt-степени.)

Из свойства (а) имеем, что Л =т В =ф- Л =tt В. Мы можем
поэтому рассматривать tt-степень как составленную из т-степе-
ней. Соотношение между tt-степенями и m-степенями выясняется
далее в § 8.4.

Замечание. Определение отношения может быть
модифицировано различными способами (см. упр. 9-45, например).
Одна из таких модификаций требует, чтобы при сведении какого-
либо множества к другому фигурировала одна и та же булева
функция во всех tt-условиях для этой пары множества. Менее
строгая по виду модификация требует, чтобы при сведении одного
множества к другому налагалось бы равномерное ограничение
на порядок tt-условий. Иными словами. А сводимо к В, если
(3 общерекурсивная функция/) (3/n)(Vrr) [tt-условие /(х) имеет поря-
док и [я 6 4<=^>/(х) выполняется на В]]. Эти две модификации
оказываются эквивалентными (упр. 8-28), исключая тривиальный
особый случай. Такая сводимость исследуется в § 8.5 ниже.

Является ли tt-сводимость наиболее общим видом сводимости,
соответствующим нашим интуитивным представлениям? Неожи-
данно ответ оказывается отрицательным, как мы увидим в гл. 9.

§ 8.4. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ

И МНОТО-ОДНОСВОДИМОСТЬ

Отношения п ^tt различны, если они рассматриваются на
произвольных множествах. Различны ли сии на рекурсивно пере-
числимых множествах? Б частности, существуют #ли tl-полные мно-
жества, которые не m-полны? Следующие теорема и следствие дают
утвердительные ответы на оба эти вопроса. Конструкция из тео-
ремы принадлежит Посту [19441.	।

Теорема VIII (Пост). Существует множество, одновременно
простое и \Х-полное,

Доказательство. Пусть S — простое множество, по-
строенное при доказательстве теоремы II. Мы видели, что для
всякого к самое большее к чисел из {0, 1, . . ., 2к} может встре-
титься в 5. Отсюда любое подмножество из {0, 1, . . ., 2к}, состоя-
щее из к ф- 1 элементов, должно пересекаться с S. В частности,
каждое из множеств {0}. {1, 2), {3, 4, 5, 6}, {7, . . ., 14), . . .
. . ., {2П — 1, . . ., 2n+1 — 2}, . . ., должно пересекаться с 5.
Пусть

Sx = {2х - 1, . . ., 2*+‘ - 2).

Тогда для всех х Sx Q S =£ 0.

Определим .S’* = S j ( (J Sx). Множество S*, очевидно, рекур-
х£К

сиьно перечислимо. Более того, 5* бесконечно, поскольку7 К
бесконечно. Множество 1S1* иммунно, так как оно бесконечно
и является подмножеством иммунного множества S. Отсюда сле-
дует, что S* — простое множество.

В соответствии с нашей конструкцией х Е К <=> Sx cz 5*.
Этого и требует tt-сзодимость. Для любого х tt-условие, соответ-
ствующее х, есть {{2х — 1, . . 2Хт1 — 2}, а), где

a(Wi, . . U’m) = 1 <=> 1Щ = WZ = •	= Wm = 1;

это tt-условие имеет порядок т = 2х. Таким образом, К S*.
Пусть А — рекурсивно перочислимое множество. Тогда А
Отсюда A =£Xtt <$*• Таким образом, S* является Н-полным.я

Следствие VIII. Существует множество, которое tt-полно, но
не m полно-, таким образом, =т и =tt различны на рекурсивно
перечислимых множествах и ^т, и различны на рекурсивно
перечислимых множествах.

Доказательство. К ==tt S*, но в силу теоремы 1(c)
К <т <$*•

Что можно сказать о структуре tt-стелени в терминах состав-
ляющих ее m-степеней и 1-степеней? Следующая структурная
теорема является аналогом теоремы 7-VIII о цилиндрах.

Определение. = {х | tt-условие х выполняется на В}.

Определение; А есть tt-цилиндр, если А = Blt для некото-
рого В.

Теорема IX, (a) A 4й.,

(Ь)	Alt -А (и> следовательно^ А = tt4u).

(с)	А есть tt-цилиндр => А есть цилиндр.

(d)	А есть tt-цилиндр <=> (V5)[B А => В ^1

(е)	A <tt В <^> 4“	В".

Доказательство, (а) Возьмем функцию /, такую, что
f(x) есть tt-условие {{#). а} с тождественной унарной булевой
функцией а. Тогда х € А <=> f(x) выполняется на A <=>j(x) G 4П.

(Ь)	Возьмем g — Xz[xJ. Тогда х € А п <=> х выполняется на А <=?
<=> g{x} выполняется на А. Отсюда 4м^г1 А посредством g.

(с)	Пусть дано tt-условие {{х^, . . ., хп), а). Образуем
{{х15 . . ., хп, хп+1, . . ., хту. Р). гдея:п+1, . . ., хт выбираются
произвольно и где £ определяется посредством равенства
Р(гщ, . . ., wm) = a(wi, . . ., w„). Очевидно, эти два tt-условия
выполняются в точности на одних и тех же множествах. По лю-
бому данному tt-условию мы можем равномерно эффективно пере-
считать бесконечно много таких „более широких” условий, выпол-
няющихся в точности на тех же самых множествах. Отсюда не-
посредственно следует, что необходимое и достаточное условие
теоремы 7-IX выполняется для любого множества вида 4м. Тем
самым любой tt-цилиндр есть цилиндр.

(d)	=>. Пусть А = Clt, предположим, что В	Тогда

в силу (Ь) В С и существует общерекурсивпэя функция /,
такая, что х £ В f(x) выполняется на С f(x) 6 Cu. Таким
образом, В	посредством /. В силу пункта (с), Clt есть

цилиндр и, согласно теореме 7-VIII, В	Следовательно

В А.

<=. Предположим, что (VB)LB ^tt А => В А1. Рассмотрим
Ali. Согласно (Ь),	Л; отсюда по предположению Ли А.

В силу (а) А sCi 4м. Получаем A Аи и, следовательно,
А == 4й. Таким образом, А есть tt-цилиндр.

(е)	=>. Предположим, что A В. Тогда Аи ^tt A В

Bil, согласно (а) и (Ь). Отсюда Alt ^tt Ви и, согласно (d),
4“	:

**=. Предположим 4U Blt. Тогда А 4“ Btl ^tt В,
согласно (а) и (Ь), и, следовательно А ^цВ.л

Следствие IX. А есть {{-цилиндр <=> Аа А <=> А = Аи.

Доказательство очевидно. я

Назовем Аи {t-цилиндрификацией множества А.

В силу предыдущей теоремы всякая tt-степень содержит макси-
мальную 1-степень (и, следовательно, также и максимальную
m-степень) и эта 1-степень может быть получена из любого мно-
жества из рассматриваемой tt-степени tt-цилиндрификацией.

Далее, из пункта (е) предыдущей теоремы вытекает существо-
вание канонического гомоморфного отображения из упорядоче-
ния по tt-сводимости в упорядочение по 1-сводимости. Заметим,
что если А не рекурсивно, то 4й не является рекурсивно перечис-
лимым множеством (так как и А, и А Аи, согласно теоремам
VII (Ь) и IX (d)). Тем самым нерекурсивные 1-степени, являю-
щиеся образами при этом гомоморфном отображении, не ре-
курсивно перечислимы.

В § 8.6 мы увидим, что одна рекурсивно перечислимая tt-сте-
пень может*содержать бесконечно много рекурсивно перечисли-
мых m-степеней. В гл. 9 мы покажем, что существуют рекурсивно
перечислимые множества, которые и не рекурсивны, и не tt-полны.

§ 8.5. ОГРАНИЧЕННОТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ

Определение. А ограниченнотаблично сводимо к В (обозначение:
A ^btt В), если (3 общерекурсивная /) (3m)(Vx) [tt-условис
/(х) имеет порядок и [х £ А <=> f(x) выполняется на jB]] .

Мы будем вместо „ограниченнотабличная сводимость” писать
„btt-сводимость”.

Примеры. К^ШК с порядком, ограниченным 1;

К X jK<^btt К с порядком, ограниченным 2.
tt-условия, использовавшиеся в теореме VIII, чтобы пока-
зать, что К 5*, не имеют ограниченного порядка, (tt-условие,
полученное для х, имело порядок 2х.)

Теорема X. Отношение ^Cbtt рефлексивно и транзитивно.

Доказательство. При доказательстве теоремы VI мы
видели, что A ^btt с порядком, ограниченным 1.

Если A <btt В и В sCbtt С с порядками, ограниченными соот-
ветственно числами mi и т2, то из конструкции теоремы VI сле-
дует, что A ^btr С с порядком, ограниченным mi -т2. в

Определение. A =btt В, если А ^ьн В и В ^btt ^4-
Классы эквивалентности = btt называются btt-степенями.

Определение. Множество А btt-полно, если
(I) А рекурсивно перечислимо,

(ii) (V.B) [В рекурсивно перечислимо => В ^ьи ^41-

Теорема XI. Теорема VII остается справедливой, если
заменить btt-

Доказательство. Доказательство теоремы VII непо-
средственно переносится на случай btt-сводимости. в

Ограниченнотабличная сводимость недостаточно широко
изучена. Существует несколько изящных доказательств, к ней
относящихся. Мы приведем их ниже. Очевидно, A ^btt В =>
=> A В. Отличается ли sCbtt от =Ctt (т- е- возможно ли A ^tt В
без того, чтобы A =Cbtt В)? Отличаются ли btt-полные множества
от tt-полных множеств? Следующая теорема Поста [1944] вместе
с теоремой VIII дает утвердительный ответ на оба эти вопроса.

Теорема XII (Пост). Множество А является btt-полным =>- А
не является простым.

Доказательство. Предположим, А btt-полно. Тогда
К btt-4- Пусть порядок btt-сводимости множества К к А огра-
ничен числом т. Докажем лемму.

Лемма. Пусть К ^btt с порядком, ограниченным числом т.
Тогда существует бесконечное рекурсивно перечислимое множество
tt-условий t0, t-i, t2,  • ., каждое порядка т, с ассоциированными
множествами То, Т\, Т2, . . .соответственно, такими, что

(i)	для всякого i tt-условие tt выполняется на А;

(ii)	для всякого i Ti f] А 0;

(iii)	для всякого i множество {/ | Tj f) А = Т; Г) А } содержит
2то+1
не более 2 элементов.
Доказательство леммы. Любое tt-условие может
очевидным образом быть представлено формулой логики выска-
зываний, образованной из основных частей вида „п € (п — ну-
мерал для некоторого числа), причем формула истинна для мно-
жества X тогда и только тогда, когда tt-условие выполняет-
ся на этом множестве; обратно, любая такая формула задает tt-
условие. Формула „4 $ X V 17 € X" может быть поставлена
в соответствие, например, tt-условию {(4, 17), а), где а опреде-
ляется рулевым полиномом WtW2 + Wi + 1. Заметим, что каждой
формуле может быть поставлено в соответствие любое из беско-
нечного числа tt-условий (соответственно различным повторениям
и перестановкам в n-ке и различным значениям п) и что каждому
tt-условию может быть поставлена в соответствие любая из бес-
конечного числа логически эквивалентных формул. Мы скажем,
что формула выводима из некоторого множества формул, если она 
выводима в элементарной логике высказываний. Например,
„9 $ X V 17 € X" выводима из трех формул „4 С X" „9 £ Хл
и „4 $ X V 17 € X". Мы скажем, что tt-условие выводимо из неко-
торого множества tt-условий, если выводимость имеет место для
соответствующих формул. Это понятие выводимости для tt-усло-
вий вполне согласуется с много-многозначным соответствием меж-
ду формулами и tt-условиями, а из семантической непротиворе-
чивости логики высказываний следует, что если х (некоторое tt-
условие) выводимо из А (множества tt-условий), то на любом В,
на котором выполняются все tt-условия из А, должно также
выполняться их1).

Поскольку К ^btt,Kc порядком, ограниченным 1, и К ^btt А
с порядком, ограниченным числом т, то К ^btt с порядком,,
ограниченным т. Пусть К ^btt А посредством / с порядком, огра-
ниченным т. Зададим эффективную последовательность t0, ti, . . .
следующим ч обра зом.

Нахождение t0. Рассмотрим множество С всех tt-условий,.
соответствующих формулам ,.х € Х“ для х Е А. Поскольку А
рекурсивно перечислимо, множество это рекурсивно перечислимо.
Пусть Со — множество всех tt-условий, выводимых из tt-условий
множества С. Очевидно, Со рекурсивно перечислимо. Пусть Во —
= /-1(Со) = {% I f(x) € Со}. Пусть х0 — рекурсивно перечислимый
индекс множества В0‘, возьмем t0 =f(x0).

Выводимость могла бы быть определена непосредственно для tt-усло-
вий; именно, х выводимо из А, если (уй) [(уу) [у £ А у выполняется на
В] =$ х выполняется на В]. Употребление в этом тексте формул служит-
признаком (без дальнейшего доказательства) того обстоятельства, что множе-
ство всех tt-условий, выводимых из рекурсивно перечислимого множества
tt-условий, само рекурсивно перечислимо.
Нахождение t^+i- Пусть Ch+l — множество всех tt-условий,
выводимых йз Ch U }. Оно рекурсивно перечислимо, поскольку
рекурсивно перечислимо множество Ск. Пусть Bk+i = f~
Пусть Xh+i — р. п. индекс множества возьмем tk+i = f(xk+t).

Очевидно, Со cz с: С2 <= • • • • Мы покажем индукцией,
что (i) и (ii) имеют место.

Для t0. Все условия множества Со выполняются на А. Следо-
вательно, В0 cz К в силу сводимости множества К к А. Тогда
х0 € К — Во, поскольку К продуктивно с XzLrl в качестве продук-
тивной функции. Таким образом, в силу сводимости К к А условие
t0 = f(x0) выполняется на А. Это доказывает (i). Имеем То П -4 =#
=/= 0, так как [То П Л = 0 & выполняется на Л] => t0 € Со =>
=> х0 6 Во в противоречие с тем фактом, что х0 Е К — Во. Эть
доказывает (ii). Заметим, что t0 (J Со.

Для th+i. Предположим, что (i) и (ii) имеют место для всех
i йХ к и что все tt-условия из Ch выполняются на множестве А.
Тогда и все условия из Ch+1 выполняются на А. Отсюда Bh+1 cz К
и ;rh+1 С К — Bh+l в силу продуктивности К. Таким образом,
в силу сводимости множества К к А условие th+i = f(xh+l)‘
выполняется на А. Это доказывает (i). Имеем Tk+l Q А =/= 0, так
как [7\+i П Л = 0 & tk+i выполняется на Л1=> tk+i Е Со=+-
=$th+1 £ Ch+i => xh+1 Е Bh+i в противоречие с тем фактом, что

Этим доказано (ii). Заметим, что th+i Е Cft+1.

Пусть п; — порядок tt-условия t[. Для всякого i рассмотрим
tt-условие t'i, получаемое из t, следующим образом: t'i имеет то же-
ассоциированное множество Тг, что и /г; П;-ка для получается
переупорядочением пг-ки для £4, таким, что сначала идут элементы
из Tt f) А в порядке неубывания, а за ними следуют (в любом
порядке) элементы из Г, [) Л; булева функция для t'i получается
соответствующим переупорядочением аргументов булевой функ-
ции для tt. Таким образом, для всякого i условия tt и t'i тривиаль-
но эквивалентны (и взаимно выводимы). Каждое из условий
t\, ... имеет порядок т, поскольку по предположению
все tt-условия из области значений функции f имеют порядок тп.
(Последовательность t[, ... может не быть рекурсивно пере-
числимой.)

Чтобы доказать (iii), заметим, что существует 2 + 2 + . . .
... + 22 < 22 различных булевых функций т или менее
аргументов. Если бы

{j \Т} П A = Tt П Л}

имело более чем 2 элементов для какого-нибудь i, то для неко-
торых и /2, таких, что ц < ;2j <ц и имели бы одну и ту же
булеву функцию и

Th п А = Th П А.

Мы пришли к противоречию, так как t'j2 было бы тогда выводимо
из С J {/Si} (упр. 8-25), значит, было бы выводимо из С J {/и}
и, следовательно, tj2 оказалось бы в C31+J cz С,2 в противоречие
с нашим заключением о том, что th (J Ch для всех к.

Тем самым лемма доказана х). Завершим теперь доказатель-
ство теоремы.

Определим s (t) = [мощность множества Т, П Л1 (з не обязатель-
но рекурсивная функция). Пусть q = pz [s(t) = z для бесконечно
многих г]. Поскольку 1 s(i) тп, такое q существует.

Тогда s(i) < q лишь для конечного числа i. Выберем i0 так,
что s(i) q для всех i i0. Пересчитываем А. Как только все
кроме q элементов некоторого Т, (г i0) появятся в пересчете А,
мы можем заключить, что оставшиеся q элементов должны лежать
в А. Значит, мы можем пересчитывать j0, Д, . . ., такие, что

< 7о < 71 < ... и

s(7o) = s(7i) = ... = q,

и для каждого Д (г =0, 1, 2, . . .) выписывать элементы из
ОО	_

Tj. f) А. Таким образом, множество W = J (Гр П 4) рекур-
1 _ »=1 1

-сивно перечислимо. Очевидно, что W cz А. Согласно пункту (iii)
леммы, W должно быть бесконечно. Следовательно, А содержит
бесконечное рекурсивно перечислимое подмножество и Л не может
быть просто, и

Следствие XII. Существует tt-полное, но не ЪИ-полное множе-
ство', тем самым, =btt и — tt различны на рекурсивно перечислимых
множествах и ^btt> и ^=tt различны на рекурсивно перечислимых
множествах.

Доказательство. Множество <5* из теоремы VIII тако-
го: К =tt S*, но X bttS* i

Легко видеть, что и ^btt различны на рекурсивных мно-
жествах. Следующий результат Фишера [1963] показывает, что
<т и ^btt различны на нерекурсивных рекурсивно перечислимых
множествах.

Теорема XIII (Фишер). Существуют нерекурсивные рекурсивно
перечислимые множества А и В, такие, что А	но А В.

t) Эта лемма следует также из доказательства более общей леммы теоре-
мы 9-XVIII.
Д оказательство. Возьмем S* из доказательства тео-
ремы VIII. Очевидно 5* X 8* 5^btt <5*. Покажем, что предполо-
жение о том, что 8* X 8*	S*, приводит к противоречию.

Если бы имело место S* X 8*	8*, то существовала бы

общерекурсивная функция g, такая, что

[ж е s* & у е <=> <*, у) е s* х s* <=> g(x, у) е s*.

Далее, согласно доказательству теоремы VIII, х Е К <=> Sxa 8*,
где 8Х = {2х — 1, . . ., 2Х+1 — 2). Определим общерекурсивную
функцию / следующим образом:

/(0) = 0,

/(1) = g(l, 2),

/(2) = g(g(3, 4), g(5, 6)),

/(3) = g(g(g(7, 8), g(9, 10)), g(g(ll, 12), g(13, 14))),

Тогда f(x) E •S'* Sx cz S*. Отсюда К 8* посредством f и мно-
жество 8* является m-полным. Но 5* просто, что противоречит
теореме I (с).и

Следствие XIII. Отношения =ьи u различны на нерекур-
сивных рекурсивно перечислимых множествах.

Доказательство. В приведенном выше доказатель-
стве 5* х 8* =btt 8*, но 8* X S* 5*. и

Всякое ли btt-полное множество также и m-полно? На этот
вопрос ответил Янг [1963], который построил btt-полное множе-
ство, m-полным не являющееся. Идея построения этого множества
изложена в упр. 10-18. Этот вопрос родствен вопросу, решенному
Лахланом [1966], который показал, что А X А творческое =>А
творческое.

Какие аналоги теоремы IX имеют место для btt-сводимости?
В частности, существует ли внутри всякой btt-степени максималь-
ная m-степень? Джокуш показал, что ответ на последний вопрос
отрицателен.

В теореме 14-IX, приводимой ниже, мы воспользуемся упр. 8-28
для получения следующего описания btt-сводимости. Пусть для
всякого В $т(В) есть булева алгебра множеств, порождаемая
совокупностью всех множеств, m-сводимых к В. Тогда, если мно-
жество В отлично от V и от 0, то Л ^btt# <=> А Е ^m(j6).

§ 8.6. СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ

Сколько рекурсивно перечислимых степеней существует при
упорядочениях по различным видам сводимости? Сколько 1-сте-
пеней может содержаться в данной m-степени? Сколько т-степе-
ней в данной tt-степени? Рассмотрим эти вопросы.
Теорема XIV (Деккер), т-степенъ простого множества содер-
жит бесконечную совокупность i-степеней, линейно упорядочен-
ных отношением по типу целых чисел	—2, —1, 0, 1,2, . . .)

и состоящих целиком из простых множеств.

Доказательство. Начнем с леммы.

Лемма. Пусть А и В — рекурсивно перечислимые множества,
такие, что

В = Ли {т}

для некоторого т £ А. Тогда

(i)	А просто <=> В просто’,

(ii)	А просто => [В А &А В &А £дВ].

Доказательство леммы, (i) Очевидно.

(ii).	Пусть п С А, п т. Тогда А ^тВ посредством следую-
щей функции /:

,, , _ Г х, если х #= т;

'' ' ~ I п, если х = т.

Пусть С — бесконечное рекурсивное подмножество множества
А. Пусть р—рекурсивная перестановка, отображающая С (J {т}
на С. Тогда В А посредством следующей функции g:

= { *, если М С U {т};
® ' I р(х), если z £ С J {т}.

Предположим, что A ^tB. Тогда A В посредством некоторой
рекурсивной перестановки h (теорема 7-VI). Тем самым т, h(m},
hh(m), .... различны и, следовательно, образуют бесконечное
рекурсивно перечислимое подмножество А, в противоречие
с простотой А. Отсюда А В. Это доказывает лемму.

Теперь теорема очевидна. Пусть А — простое множество,
{а0, alf . . .} — бесконечное подмножество множества А, и пусть
{b0, bi, . . .} — бесконечное подмножество множества А. Тогда,
согласно лемме,

. . ., A (J {6о, Ь^, A (J {fe0}, А, А — {а0}, А —{а0, at}, . . .
дает искомое линейное упорядочение 1-степеней простых мно-
жеств. ।

Следствие XIV. ra-степень иммунного множества содержит
бесконечно много 1 -степеней.

Доказательство. Применим конструкцию, подобную
заключительной конструкции предыдущей теоремы. Если бы
любые два множества были одной и той же 1-степени, мы имели
бы противоречие, подобное противоречию, полученному в лемме
при доказательстве того, что А
Теорема XV (Фишер). Полная tt-степенъ содержит линейно
упорядоченную потипу натуральных чисел (О, 1, 2...) совокуп-
ность рекурсивно перечислимых т-степеней.

Доказательство. Возьмем S* из доказательства теоре-
мы VIII. Рассмотрим множества

Ло = 5*,

Ai = S* X S*,

Ah = S* X . . . X S* (2h сомножителей).

Очевидно, Ао <4 At А2 . . . и Ао = МЛ4 == иЛ2 == tt- • •,
однако, у > i => А; 5^тЛг. В противном случае, пусть и, v таковы,
что и < v и Av ^тАи. Так же как при доказательстве теоре-
мы XIII, может быть найдена общерекурсивная функция /, такая,
что для всех х Sxc S*<=>f(x)£Au. Поясним задание функции /
на примере. Предположим, что Л4^ШЛ2 посредством h. (По
определению Л4 = (5*)1в и Л2 = («$*)*•) Тогда

ДО) = (0, 0, 0, 0),
Д1) = (1, 2, 1, 2),
/(2) = (3, 4, 5, 6),

7(3) = Л«7, 8, . . ., 14, 7, 8, . . ., 14)),

7(4) = Л«15, . . ., 30»,

7(5) = h((Wi, . . ., ш1в»,

где

(.Wf, . . ., ш4) = fc((31, . . ., 46)),
(ш6, . . ., ш8) = h((47, . . ., 62)),

<Ш9, . . ., Ш16) = (Wi, . . ., Ш8)

И т. д.

Мы опускаем детали задания / в общем случае.

Так как х £К <^> Sxcz S*, имеем К Аа. Но Лы ^btt *5*-
Отсюда К ^btt «S'*. Поскольку 5* просто, это противоречит
теореме XII.и

Следствие XV. Существует ЪИ-степенъ, содержащая линейно
упорядоченную по типу натуральных чисел (0, 1, 2, ...) сово-
купность рекурсивно перечислимых т-степеней.

Доказательство. В доказательстве теоремы A t ==bt t
==ь«Лу при любых i, у.и

Теорема XIV была недавно усилена Янгом [1966], который
показал, что всякая нерекурсивная m-степень или состоит из
единственной 1-степени, или содержит еще 1-степени, линейно
упорядоченные по типу целых чисел. Джокушем было установлено
существование рекурсивно перечислимых m-степеней, отличных
от m-степеней множеств 0,N и К и состоящих из единственной
1-степени. Джокуш показал также, что всякая нерекурсивная
tt-степень содержит бесконечно много m-степеней. См. Джокупг
[1966].

§ 8.7. ДРУГИЕ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
МНОЖЕСТВА

Было рассмотрено три типа рекурсивно перечислимых мно-
жеств: рекурсивные, творческие и простые. Теорема IV показы-
вает, что существуют иные типы рекурсивно перечислимых мно-
жеств: если А просто, то множество А X N, цилиндрификация А, >•
не является ни рекурсивным, ни творческим, ни простым множе-
ством. В самом деле, поскольку всякое творческое множество
m-полно (как это будет доказано в гл. 11), то из изложенных нами
до настоящего момента результатов структурной теории следует,
что цилиндрификация любого нерекурсивного не m-полного мно- 
жества ни рекурсивна, ни креативна, ни проста. Рекурсивно пере-
числимые множества, которые не являются ни рекурсивными,
ни творческими, пи простыми, были названы Деккером [1953J
мезоичными.

Не существует удовлетворительной теории, которая давала бы
единое представление рекурсивно перечислимых множеств. Целый
ряд элементарных вопросов остается открытым. Классификация
рекурсивно перечислимых множеств была предпринята Деккером
и Майхиллом и Успенским [1957]. Это полезный каталог изучен- •
ных к настоящему времени типов множеств, но, с теоретической
точки зрения, несколько произвольный. На первом этапе все
множества 'группируются по следующим пяти классам:

98 й = {А | А рекурсивно перечислимо}.

981 = {А I А иммунно}.

98 2 = {А | А не рекурсивно перечислимо и является объедине-
нием бесконечного рекурсивно перечислимого множества
и иммунного множества}.

98з = {А | (V рекурсивно перечислимое множество В) [5 ст
с .4 => (3 рекурсивно перечислимое множество С} [С бес-
конечно & С ст А & С Г\В = 0]], и не существует равно-
мерного эффективного способа нахождения р. п. индекса
такого множества С по р. п. индексу множества В}.

984= {А |А продуктивно}.

Тривиальным образом устанавливается (упр. 8-34), что эта
классификация взаимно исключающая и исчерпывающая. Если
расположить множества в спектр по возрастающей ..насыщенности1*"
бесконечными рекурсивно перечислимыми подмножествами, то-
классы — S84 могут восприниматься как области этого спектра.

Может быть получена классификация рекурсивно перечисли-
мых множеств, • основанная на рассмотренной классификации
их дополнений. Пусть if, = {А | А рекурсивно перечислимо
и А С ^г}, г = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда гб0 есть в точности класс
рекурсивных множеств, — класс простых множеств и —
класс творческих множеств. Множества из иногда называют
псевдопростыми, а множества из 'Й’з — псевдотворческими (эти
термины иногда употребляются и несколько иным образом, см.
ниже). Классы и 4S3 непусты; в самом деле, пусть множество
А просто, тогда (i) {2х | х € А } попадает в *^2 и (ii) А X N попа-
дает в *ё3 (упр. 8-35 и 8-36). В действительности всякий не являю-
щийся ни рекурсивным, ни творческим множеством рекурсивно
перечислимый цилиндр попадает в Чё3. Янг показал, что не всякой
множество из есть цилиндр (упр. 8-49).

Множества из ^2 можно далее классифицировать следующим
образом:

®2i ~ {A I А и (3 рекурсивное множество С) [С беско-
нечно _& СаА& (V рекурсивно перечислимое множество В)
[В cz А => все кроме конечного числа элементов из В принадле-
жат С]]}.

^22 = {А I А £ и А $ ^21 и (3 рекурсивно перечислимое
множество С) [С бесконечно & С cz А & (V рекурсивно перечислимое
множество В) [В cz А => все кроме конечного числа элементов
из В принадлежат СП}.

^гз = {-4 I А £ ??2 и А (J 4^2t и А (£ 4^22}-

Если рекурсивно перечислимое множество С обладает тем
свойством, что [С бесконечно & С cz А & (V рекурсивно пере-
числимое В) [В cz А => все кроме конечного числа элементов,
из В принадлежат СП, то С называется центром множества А.
Если А = C[JD, где С бесконечно и рекурсивно перечислимо,,
a D иммунно, то множество С называется простым в А. Таким
образом, например, *ё2 есть класс таких нерекурсивных рекурсив-
но перечислимых множеств, для которых существуют множества,,
простые в их дополнениях; <Szi есть класс нерекурсивных рекур-
сивно перечислимых множеств, дополнения которых обладают
рекурсивными центрами. Иногда в литературе термин псевдо-
простое относят лишь к множествам из $?21 U^22> а термин псевдо-
творческое — к множествам из ^23 [J ^3.

Класс ?92i непуст, так как для любого простого множества
А {2х | х £ А } 6 ^2i. Мы увидим в упр. 8-39, что класс i?22 не-
пуст, и в упр. 8-42, что непуст класс ^2з-
Классы ^2i, ^22» ^гз, ^з, 4 образуют области спектра
нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств по возра-
стающей насыщенности их дополнений (см. упр. 8-46). Еще
несколько областей обнаружено внутри (простые множества).
Мы обратимся к этому в гл. 9 и 12.

§ 8.8. Упражнения

§ 8.1

8-1. Пусть А и В просты.

(а)	Покажите, что множество А ф В просто.

(Ь)	Покажите, что А X В не является простым множеством.

(Часть (а) показывает, что результат применения операции ф к двум
ле-цилиндрам может быть не-цилиндром.)

8-2. Какова мощность семейства простых множеств?

8-3. Постройте два простых множества, объединение которых есть N.

△8-4. (Деккер), (а) Покажите, что пересечение продуктивного и простого
множеств продуктивно.

(Ь)	Покажите, что пересечение творческого и простого множеств должно
быть творческим множеством.

8-5 (Рабин). Пусть А — бесконечное множество с бесконечным дополне-
нием. Рассмотрим следующую игру между двумя игроками I и II. I выбирает
любое число х, тогда II, зная х, выбирает у. Если х + у g А, I выигрывает;
в противном случае выигрывает II. Если А не рекурсивно, мы предполагаем
-существование „оракула”, который говорит игрокам, кто из них выиграл.
Очевидно, что чистая, т. е. детерминированная стратегия для II состоит в обра-
зовании всюду определенной функции /, такой, что, когда I выбирает х, II
выбирает у = f(x). Поскольку А бесконечно, ясно, что для любого х существу-
ет у, такое, что г + у (£ А. Таким образом, для II должна существовать
выигрышная стратегия. (Это частный и тривиальный случай общей теоремы
об играх.)

Покажите, что если в качестве А взято простое множество, то произойдет
•следующее.

(i)	II не имеет рекурсивной выигрышной стратегии.

(ii)	Если II выбирает какую-то рекурсивную стратегию и следует ей в те-
чение повторяющихся партий игры, то существует эффективная процедура,
благодаря которой I может обнаруживать х, выигрывающее против страте-
гии II.

8-6. Предположим, что А ^тВ, В просто, С рекурсивно перечислимо
•и С П А — 0. Покажите, что А и С рекурсивно отделимы.

8-7 (Фишер), (а) Покажите, что С творческое => С X В является твор-
ческим для всякого рекурсивно перечислимого непустого В.

(Ь) Покажите, что А просто => А X А не является творческим.

△(c) Пусть А просто. Покажите, что А X В творческое => В творческое
для любого рекурсивно перечислимого В. (Указание: Доказательство можно
получить, используя лишь исходные определения. Это одно из наиболее
трудных △-упражнений.)

§ 8.2

8-8. Пусть А есть множество четных чисел. Покажите, что существует
рекурсивно перечислимая 1-степень, которая не сравнима ни с А, ни с какими
•бы то ни было конечными степенями, но которая превосходит все коконеч-
аше 1-степени.
8-9. Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная функция. Каковы
/(4) и /-1(4), если (i) А просто; (ii) А иммунно.

8-10. Покажите, что А X N творческое =Ф А творческое.

8-11. (Деккер). Пусть А и В просты; пусть‘С — произвольное рекур-
сивно перечислимое множество. Покажите, что

(i)	А П В просто;

(ii)	A J С просто или коконечно.

Отсюда заключаем, что семейство простых и коконечных множеств образует
дуальный идеал в решетке рекурсивно перечислимых множеств (о понятии
дуального идеала см. §-12.1).

8-12. Рассмотрим факторрешетку, получаемую идентификацией рекур-
сивно перечислимых множеств по модулю копростых и конечных множеств
(понятие фактор решетки можно найти в § 12.1).

(а)	Покажите, что всякое множество, идентифицируемое с творческим,
должно быть творческим.

(Ь)	Покажите, что существуют два творческих множества, которые не
идентифицированы одно с другим.

§ 8.3

8-13. Покажите, что А ф В = tt4 х если ни 4, ни В не пусты.

8-14. Покажите, что семейство {4 | 4 txB } образует булеву алгебру,
т. е. замкнуто относительно объединения, пересечения и операции взятия
дополнения.

8-15. Покажите, что всякая tt-степень содержит в точности к0 множеств.

8-16. Покажите, что всякая нерекурсивная tt-степень содержит мно-
жество, не являющееся рекурсивно перечислимым и не имеющее рекурсивно
перечислимого дополнения.

^8-17. Покажите, что множества К, {х | Wx бесконечно} и {х | Wx рекур-
сивно} попадают в различные, но сравнимые tt-степени.

§ 8.4

8-18. Приведите пример цилиндра, который не является ни рекурсивно
перечислимым множеством, ни tt-цилиндром.

8-19. Покажите, как структура рекурсивных множеств при tt-упорядо-
чении согласуется с теоремой IX.

8-20. (а) Покажите, что 4 есть tt-цилиндр 4 = 4.

△ (b) Покажите, что из 4 s 4 не следует, вообще говоря, что 4 есть
tt-цилиндр. (Указание. Возьмите 4 = К ф К, см. далее упр. 7-36 (е).)

§8.5

8-21. Покажите, что результаты упражнений с 8-13 по 8-16 имеют место
при замене tt на btt.

8-22. (а) Покажите, что 4x4 Cbtt (в то вРемя как в СИЛУ теоремы XIII
существует рекурсивно перечислимое множество 4, такое, что 4x4 А.

(Ь) Покажите, что существуют нерекурсивные рекурсивно перечислимые
множества 4 и В, такие, что 4 X В S т4 ф В.

8-23. Покажите, что (V4)(3B)[B С btt^ & А С 1В & В == В].
(Указание. Привлеките операцию сочленения ф.)

8-24. Рассмотрите btt-сводимость порядка/!. Покажите, что это отноше-
ние транзитивно и рефлексивно. Является ли упорядочение по этой сводимо-
сти полурешеткой? Покажите, что полное относительно этого типа сводимости
множество является творческим. (Из того результата, что 4 творческое =Ф 4
m-полно (устанавливаемого в гл. И), следует, что полная степень при этом
упорядочении совпадает с полной m-степенью (и, следовательно, с полной
1-степенью).)

8-25. В доказательстве теоремы ХП покажите, что если Tj f] А = .
= f| А, то t'j2 выводимо из С J {/<,}.

Л 8-26. Скажем, что tt-условие дизъюнктивно, если ему поставлена в coot- i
ветствие формула вида g X V х2 g X V • • • V я* g X (или, что эквивалент- '
но, если булев полином его булевой функции может быть записан в виде суммы
двух термов, первого терма, являющегося 1, и второго терма — произведения
сомножителей вида (u>t + 1)). Иногда рассматривается tt-сводимость только 1
с дизъюнктивными tt-условиями. (Сводимость множества А X А к А —
пример такой сводимости.) Назовем такую сводимость q-сводимостью. Имеем,
таким образом, следующее

Определение. А ^цВ, если (3 общерекурсивная /) (V1) I* Е А <=>
П В 0].

Возникает естественный вопрос, совпадают ли понятия q-сводимости
и tt-сводимости.

(i)	Покажите, что OfJ рефлексивно и транзитивно.

(ii)	Покажите, что А ^тВ =5 A ^qB =, A CttS-

(iii)	Опишите структуру рекурсивных множеств относительно q-своди-
мости.

(iv)	Определим q-цилипдр следующим образом: А9 = {х | Dx f| А
0} X Л'. Докажите аналог теоремы IX. Покажите, что этот аналог не име-
ет места, если А 9 определено как {х | Dx f| А 0 }. (Указание. Рассмотрите
множество А, такое, что А иммунно.)

(v)	Покажите, что [А qB &. В рекурсивно перечислимо] =$А рекур-
сивно перечислимо.

(vi)	Выведите из (v), что q не влечет за собой ни ни ^=btt-

(vii)	Покажите, что Са не влечет за собой Сщл (Указание. Покажите,
что К S*, где S* — множество из доказательства теоремы VIII.)

А 8-27 (см. упр. 8-26).

Определение. Назовем множество А (^-творческим, если А рекурсивно
перечислимо и (3 общерекурсивная /) (УхЦИф г~ А =$ [£>/(Ж) С А &.
& Bf(x) ф: Иу]. (Это определение принадлежит Шёнфильду [1957],
который называет такие множества квазитворческими.)

(i)	Покажите, что А q-полпо А q-творческое. (Обратное также имеет
место; см. упр. 11-18).

(ii)	Покажите, что А q-творческое => А не просто.

(iii)	Покажите, что понятия q-полного множества и tt-полного множества
не совпадают; отсюда заключите, что Cq и Ctt различаются на нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множествах."

(Еще о q-сводимости см. упр. 8-44.) (Замечание. Если в тексте начала
упр. 8-26 заменить дизъюнктивный на конъюнктивный, мы придем к с-своди-
мости; А В, если (3 общерекурсивная функция /) (Ух)[г £ А <=>
<=> CZ В]. Если мы заменим дизъюнктивный на позитивный, придем
к р-сводимости: А В, если (3 общерекурсивная функция /) (Vz) [х g А <=>
<=> (Зу)[</ € ^/(х)	1 Как с-сводимость, так и р-сводимость изучались

Джокушем [1966].)

А 8-28 (Фишер). Покажите, что модификации понятия tt-сводимости,
упоминавшиеся в замечании конца § 8.3, эквивалентны (за исключением того
случая, когда одно из множеств В или В пусто).
§ 8.6

8-29. (Джокуш). (а) Пусть АиВ — рекурсивно перечислимые цилиндры.
Покажите, что А ф В = т4 X В может не иметь места.

(	Ь) Покажите, что А ф В Cj4 <=^4 есть цилиндр, и заключите, что сущв'
ствуют нерекурсивные рекурсивно перечислимые множества 4 и В, такие, что
4 ф В не есть наименьшая верхняя грань множеств 4 и В при 1-упорядо-
чении.

(с)	Покажите, что если или 4, или В есть цилиндр, то 4 ф В есть наи-
меньшая верхняя грань множеств А и В при 1-упорядочении.

(d)	Покажите, что всякая m-степень или состоит из единственной 1-сте-
пени, или содержит бесконечную линейно упорядоченную совокупность
1-степеней.

8-30. Должна ли следовать из tt-полноты множества 4 m-сводимость к
4X4 всякого рекурсивно перечислимого множества? (Указание. Возьмите
в качестве 4 множество 5*.)

△ 8-31. Определим

В< = S*,

В2= S* X S*,

Bk — S* X S* X . . . X S* (к сомножителей)

Покажите, что В1( В2, . . . попадают в различные т-степени.

△8-32. Определим изолическую сводимость следующим образом.

Определение. 4	,В, если (J частичворекурсивная взаимно однознач-

ная функция <р) [4 = ф-1(В)].

(i)	Покажите, что Ci рефлексивно и транзитивно.

△ (ii) Определите = j очевидным образом. Докажите, что 4 = ХВ<^>
<=>(3 частично рекурсивная взаимно однозначная функция ф) [A czArg ф &В=
= ф(4)]. (Указание (Манастер). Примените технику, подобную той, которая
была применена при доказательстве теоремы 7-VI. Следует иметь в виду, что
при этом возникнут дополнительные трудности.)

i-степени известны как типы рекурсивной эквивалентности. Они широко
изучались Деккером, Майхиллом, Нероудом и др. (см. Деккер и Майхилл
[I960]), i-степени изолированных множеств называются изолями. (Тривиаль-
но, что [4 изолировано &. 4 ^цВ] =5 В изолировано.)

(iii)	Покажите, что если 4 и В изолированы, то4фВи4ХВ изолиро-
ваны.

Если „сумму” и „произведение” изолей 4 и В определить как изоли
4 ф В и 4 X В соответственно, то может быть развита теория арифметики
изолей, в большой степени аналогичная теории промежуточных карди-
нальных чисел (см. замечание в § 8.2 выше). В частности, может быть пока-
зано, что имеют место различные законы сокращения х).

(iv)	Покажите, что существует 2No изолей.

(v)	Покажите, что копростые множества распадаются на Ко различных
изолей (воспользуйтесь теоремой XIV).

(vi)	Покажите, что бесконечные рекурсивно перечислимые множества
образуют единственную i-степень.

(vii)	Покажите, что существует бесконечно много i-степеней, не являю-
щихся изолями. (Указание. Воспользуйтесь мощностными соображениями

!) С точки зрения гомологической алгебры, теория типов рекурсивной
эквивалентности возникает, когда мы рассматриваем категорию множеств
натуральных чисел и частичнорекурсивных отображений. Операции ф и X
тогда выступают как прямая сумма и прямое произведение.'
пе поводу числа неизолированных множеств и числа возможных множеств
в каждой i-степени.)

(viii)	Покажите, что А иммунно =ф А и А' не сравнимы относительно
упорядочения по i-Сводимости.

(ix)	Покажите, что если множества А и В бесконечны и рекурсивно пере-
числимы, то А = В A -- iB.

8-33. Определим следующим образом: А если (3 частичноре-
курсивная взаимно однозначная функция <р) [Л ст<р*1(В)].

(i)	Покажите, что Ср рефлексивно и транзитивно.

(ii)	Покажите, что для изолированных множеств понятия i'-степени
и i-степени (упр. 8-32) совпадают.

(iii)	Покажите, что все неизолированные множества образуют единствен-
ную i'-степень.

§ 8.7

8-34. Покажите, что классификация г$0, . . ., J84 является исчерпываю-
щей и взаимно исключающей.

8-35. Покажите, что А просто => {2х | х £ А } g

8-36. Покажите, что А просто А X N g g3.

8-37. (а) Покажите, что все нерекурсивные рекурсивно перечислимые
цилиндры принадлежат g3 (J Jg4.

(Ь) Покажите, что все полу творческие множества (т. е. рекурсивно пере-
числимые множества с полупродуктивными дополнениями) лежат в g23 U
U £з U

8-38. Покажите, что если С есть центр множества Л, то С просто в А.

Л 8-39. Это упражнение относится к теории пар непересекающихся рекур-
сивно перечислимых множеств (см. § 7.7). Мы предложим здесь аналог просто-
ты и воспользуемся им, чтобы доказать существование пары непересекаю-
щихся рекурсивно перечислимых множеств, не являющихся ни рекурсивно
отделимыми, ни эффективно неотделимыми, а также показать, что класс
^22 § 8.7 не пуст. Построение такой пары множеств подобно построению мно-
жества S Поста (теорема II) и может быть проведено модификацией конструк-
ции Мучника [1956а] и Тенненбаума.

Пусть D = {(я, у) | у g Wx &су > Зх}. Множество D рекурсивно пере-
числимо и может быть эффективно расположено в последовательность (ж0,
Уо), (х4, yt), ... . Мы пересчитываем D и в то же самое время образовываем
два пересчета А и В, согласно процедуре (которая вскоре будет определена),
такой, что, когда каждое (хг, уг) появляется в пересчете D, yt добавляется
или не добавляется к одному из двух пересчетов. На любом таком шаге, если
yt добавлено к тому или иному пересчету, мы скажем, что xt помещает yt
в этот пересчет. Процедура образования пересчетов определяется следую-
щим образом.

Этап I. Посмотрите, помещено ли уг в один из пересчетов на предыду-
щем этапе. Если да, переходите к этапу i + 1. Если нет, посмотрите, помести-
ло ли xt что-нибудь в А. Если нет, поместите yt в А. Если да, посмотрите,
поместило ли хг что-нибудь в В. Если нет, поместите уг в В. Если да, перехо-
дите к этапу i + 1.

Очевидно, А и В образуют пару непересекающихся рекурсивно перечис-
лимых множеств. Докажите следующее:

(i)	Л (J В бесконечно.	______

(ii)	[С рекурсивно перечислимо & С П (4 (J В) бесконечно] =>
=$[С А 0 С В 0].

(iii)	Пара А, В не является рекурсивно отделимой.

(iv)	Пара А, В не является эффективно неотделимой.
(v)	В есть центр множества А, рекурсивно перечислимый, но не рекур-
сивный.

(vi)	А не имеет рекурсивного центра. (Из (v) и (vi) заключаем, что А £ g22
(см. § 8.7).)

Пара рекурсивно перечислимых множеств, обладающих свойствами (i) и
(ii), называется сильно неотделимой.

8-40. А называется максимальным множеством, если А рекурсивно пере-
числимо, А бесконечно и (V#) It# рекурсивно перечислимо &В Z)A] =$
=> [В — А конечно или N — В конечно]].

(i)	Покажите, что А максимально => А просто.

(ii)	Постройте простое множество, не являющееся максимальным.

A(iii) Покажите, что максимальные множества существуют. (Мы дока-
жем это в гл. 12; никакого простого доказательства не известно.)

△8-41. Пусть So, 5t, . .". —такие же, как в доказательстве теоре-
мы VIII. Пусть (у’= {Sx | Sx сИ'х). Пусть А = {z | (Эу)(^г/ 6 <5° & г есть
наибольший элемент из 5&]}.

(i)	Покажите, что А — полутворческое множество (т. е. рекурсивно пере-
числимое множество с полупродуктивиым дополнением) с полупродуктивной
общерекурсивной функцией /, такой, что №цх) = Wx (J $х-

(ii)	Покажите, что А — на самом деле творческое множество. (Указание.
Докажите это непосредственно построением продуктивной функции или кос-
венным путем, показав, что А т-полно.)

△8-42 (Шёнфильд). Модифицируем конструкции упр. 8-41 следующим
образом. Возьмем S из теоремы II. Возьмем r-f как в упр. 8-41. Положим Е —
= U Sx. Образуем В — S J Е. Согласно теореме VIII, (^x)[S П Sx 0].

SXW

Отсюда Sx с^В <=> Sx £ tf. Выберем из каждого 5хиз ^по одному предста-
вителю следующим образом. Пересчитываем В (оно, очевидно, рекурсивно
перечислимо), и для каждого Sx из берем в качестве его представителя
тот его элемент, который последним появился в пересчете множества В.
Положим А — [множество таких представителей]. Докажите, что

(i)	А рекурсивно перечислимо и бесконечно,

(ii)	В — А рекурсивно перечислимо,

(iii)	А полутворческое,

(iv)	А не рекурсивно,

(v)	В просто,

(vi)	А не творческое. (Указание. Если бы оно было таковым, можно было
бы, воспользовавшись продуктивностью множества В — А, получить беско-
нечное рекурсивно перечислимое подмножество множества В.)

(vii)	А попадает в класс g23 из § 8.7.

8-43. (а) Покажите, что А просто А X V не полутворческое (и, следо-
вательно, ’ёз содержит множества, которые не являются полутворче-
скими).

(Ь)	Покажите, что А полутворческое =Ф А X N полутворческое.

(с)	Воспользовавшись упр. 8-42, заключите, что не m-полный рекурсивно
перечислимый цилиндр не обязательно изоморфен цилиндрификации просто-
го множества.

Д8-44 (Шёнфильд). (Упр. 8-26 и 8-27.)

(а)	Покажите, что множество А из упр. 8-42 q-полно (и, следовательно,
q-креативно).

(Ь)	Покажите, что множество А из упр. 8-42 не btt-полно. (Указание.
Предположите, что А btt-полно; воспользовавшись рекурсивной перечисли-
мостью множества В — А, методом теоремы XII, покажите, что В не может
быть просто, что дает противоречие.)

(с)	Отсюда заключите, что отличается от btf. на рекурсивно пере-
числимых множествах.
Д8-45 (Шёпфильд). Получите следующую недоказанную версию теоре-
мы XII: А ЬИ-полно=^А(^3\_)^4. (Указание. Воспользуйтесь методом упр.
8-44 (Ь)).

8-46 (Янг). Покажите, что классы g21, g22, g23, g3, ^4 располо-
жены на линейном спектре в следующем смысле: никакое рекурсивно
перечислимое множество не может быть 1-сводимо к рекурсивно перечислимо-
му множеству, лежащему левее его в этом спектре.

8-47 (Уиман). Покажите, что дополнение множества из g22 не может быть
объединением непересекающихся рекурсивного и иммунного множеств.

8-48. Если A и А — цилиндр, должно ли В быть цилиндром?
(Указание. Возьмите А = N X. N, В ( g2.)

Д8-49 (Янг). Покажите, что содержит множество, не являющееся
цилиндром. (Указание. Установите лемму: [S просто &.S X S — цилиндр] =>
=Ф X S а затем примените к S* теорему XIII.) (Джокуш показал,
что существует такое простое S, что S X S есть цилиндр.)

Д8-50 (Янг). Построить множества А и В из V?3, такие, что А С 1В, А —
цилиндр, но В — не цилиндр (Указание. Рассмотрите S* X N и 5* X 5*
из упр. 8-49.)

8-51 (Сакс). Введем определение: А эффективно просто, если Я рекурсив-
но перечислимо и (3 общерекурсивная функция f) (Vz)[Wx сА Wx
имеет менее чем f(x) элементов].

(а) Покажите, что множество S теоремы II эффективно просто.

△(b) Покажите, что существует простое множество, не являющееся
эффективно простым.
Глава 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ;

ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 9.1.	Пример 167

§ 9.2.	Относительная рекурсивность 168

§ 9.3.	Релятивизованная теория 176

§ 9.4.	Сводимость по Тьюрингу 179

§ 9.5.	Гиперпростые множества; теорема Деккера 181

§ 9.6.	Сводимость по Тьюрингу и табличная сводимость; проблема
Поста 184

§ 9.7.	Сводимость по перечислимости 189

§ 9.8.	Рекурсивные операторы 193

§ 9.9.	Упражнения 202

§ 9.1.	ПРИМЕР

На интуитивном уровне, множество А сводимо к В, если по
любому данному способу вычисления св мы можем получить
способ вычисления сА. Удовлетворительно ли табличная своди-
мость представляет это интуитивное понятие или возможны слу-
.чаи, когда интуитивная сводимость имеет место, а табличная сво-
димость — нет?

Рассмотрим следующий пример. Пусть

К = {х | (3у)[<рх(ж) = у & tt-условие у выполняется на А|}.

Теорема I. К^^К.

Доказательство. Предположим, что К ^.^К. Тогда
К ^.иК. Пусть К посредством функции <рХ|). Мы имеем
что ж0 С К <=> <рХ()(а:о) выполняется на К (в силу сводимости мно-
жества К к К посредством <рХо) <=> х0 £ К (по определению К).
Таким образом получаем противоречие. а

Приведем теперь доводы в пользу следующего предложения.

Предложение. К сводимо к К интуитивно.

Аргументация. Предположим, мы имеем способ, позво-
ляющий выяснять, принадлежит ли число множеству К. Пусть
дано z. Мы хотим установить, имеет ли место z f К. Предлагаемая
процедура такова.

Выясняем, будет ли z £ К. Если z (£ К, то <pz(z) расходится,
и мы можем заключить, что z $ К. Если z £ К, то <pz(z) сходится,
мы можем вычислить <p2(z) и, задавая дальнейшие вопросы о К,
выяснить, является ли <p2(z) tt-условием, выполняющимся на К.
Если да, мы заключаем, что z £ К\ если нет, мы делаем вывод,
что z £ К.9
Комментарий. К интуитивно сводимо к К, поскольку
для ответа на любой конкретный вопрос о принадлежности
множеству К нам надо задать лишь конечное число отдельных
вопросов о принадлежности множеству К. Заметим, однако,
что мы не знаем заранее, т. е. прежде чем мы получим какие-либо
ответы о К, какие вопросы о К нам придется задать. Чтобы выяс-
нить, принадлежит ли z множеству К, мы сначала проверяем,
будет ли z £ К, а затем используем ответ на этот вопрос, чтобы
установить, какие дальнейшие вопросы необходимы (если они
действительно необходимы).

Это отлично от tt-сводимости. Как мы ранее заметили, если
А tt-сводимо к В, то по любому вопросу об А мы можем эффектив-
но и явно получить заранее, т. е. до того как мы имеем какие-либо
ответы о В, (i) конечное множество вопросов, которые надлежит ,
задать оВ, и (ii) указание на то, как каждая возможная комбина-
ция ответов на эти вопросы о В определяет ответ на наш вопрос
об А *).

В этой главе мы определим сводимость, называемую нами
сводимостью по Тьюрингу. Она обычно признается формализацией
наиболее общего интуитивного понятия сводимости. Это, пожалуй,
наиболее существенное и важное из всех понятий сводимости.
Мы изложим также ряд идей и методов, связанных с тьюринговой
сводимостью и являющихся весьма существенными при дальней-
шем изложении.

§ 9.2.	ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ

Пусть дано множество X. Рассмотрим процедуру, которая
определяется конечным набором инструкций и входом следующим
образом. В тот момент, когда задается вход, начинается вычисле-
ние. Вычисление происходит алгоритмически, за тем лишь исклю-
чением, что (а) время от времени вычислитель может быть постав-
лен перед необходимостью получить ответ на вопрос вида„п £ X?”
(вообще говоря, сам этот вопрос, т. е. значение п, есть результат
предшествующего вычисления); (Ь) набор инструкций не дает
никакого способа отвечать на такие вопросы обХ; (с) получение
ответа на такой вопрос считается одним шагом общей процедуры
и (d) от этого ответа зависят, вообще говоря, последующие шаги
этой процедуры. Если такие ответы правильно и автоматически
выдаются некоторым внешним устройством, мы имеем вполне

Эти замечания подсказывают некоторую (возможно) промежуточную
сводимость, в которой множество вопросов (i) задается заранее, но указания
(п)нет. Мы назовем такую сводимость слабой табличной сводимостью. Она
рассматривается в упр. 9-45.
определенное и в некотором смысле эффективное вычисление х).
Мы будем называть такую процедуру алгоритмом относительно
множества X. В § 9.1, например, процедура для вычисления с^,
характеристической функции множества К, алгоритмична отно.
сителъно К.

Как может быть уточнено это понятие; относительного алгорит-
ма! Несколько отличающиеся друг от друга, но эквивалентные
формализации проводятся обычно по аналогии с одним из фор-
мальных уточнений § 1.5. Мы выберем иной путь и определим
относительный алгоритм непосредственно с помощью понятия
частичнорекурсивной функции, основного нашего понятия. Преж-
де чем перейти к этому, приведем несколько хорошо известных
формализаций. Детали мы опускаем.

Машина Тьюринга с оракулом

Внешнее устройство, выдающее правильные ответы на вопросы
об X, часто называют оракулом. Его обычно представляют себе
как (никаким иным образом не определяемый) „черный ящик”,
связанный с вычислителем. Понятие относительного алгоритма
может быть формально уточнено с помощью объектов, являющихся
в сущности машинами Тьюринга с оракулом. Этот подход при-
надлежит Дэвису. Машины Тьюринга определяются, как прежде,
за тем лишь исключением, что (i) машина может писать
символ „5“ наряду с символом „1“ * 2) и (ii) в добавление к четверкам
вида {состояние, содержимое ячейки, операция, состояние}
машина может иметь четверки вида {состояние, содержимое
ячейки, состояние, состояние}. Пусть, например,	имеется

в данной машине; тогда, если (при любом вычислении относитель-
но X) машина находится в состоянии q2 и обозревает ячейку, содер-
жащую 1, происходит следующее. Пусть п — общее число еди-
ниц, появившихся на ленте (к этому моменту). Если п £ X, маши-
на переходит в состояние q3; если п $ X, машина переходит
в состояние <?4. Это считается единичным шагом, и на ленте на
этом шаге никаких операций не производится.

Мы называем такую модифицированную форму машины Тью-
ринга машиной с оракулом. Заметим, что определение машины
с оракулом посредством множества четверок не зависит ни от како-
го конкретного выбора множества X. Одна и та же машина с ора-
кулом и один и тот же вход могут быть-использованы при различ-
ных X и могут порождать соответственно различные вычисления.

Следующая машина с оракулом, например, будет вычислять
сх относительно любого данного множества X .(Мы принимаем

J) Если множество X рекурсивно, мы можем сделать общую процедуру
рекурсивной добавлением набора инструкций для сх.

2) Дэвис допускал более одного дополнительного внутреннего символа.
относительно численных значений входов и выходов те же согла-
шения, что и прежде; см. гл. 1.)

q0 1 В 91
q\B R q2
92 1 9з 9«
9г В q3 qt
q3B i
9з 1 В q5
q3B R q3
9« 1 В qe
qeB R qt.

Эта конкретная машина не использует 5. В более общем случае S
используется для того, чтобы машина могла записывать и сохра-
нять результаты предшествующих вычислений в течение всего
времени, пока оракулу задаются вопросы.

Машины Тьюринга с вспомогательными лентами

Иная модификация формализации с помощью машины Тью-
ринга получается добавлением к каждой машине вспомогательной
бесконечной ленты (вместо оракула), на которой записаны в возра-
стающем порядке (в виде последовательностей единиц) элементы
множества X. Используются операции L' и R' сдвига вспомога-
тельной ленты влево и вправо; четверки заменяются пятерками
вида {состояние, содержимое ячейки, содержимое ячейки на вспо-
могательной ленте, операция, состояние). При соответствующем
наборе инструкций машина просматривает вспомогательную ленту
для получения информации об X. Ответ на единичный вопрос
об X может ^потребовать многих шагов. Это и предыдущее уточне-
ния эквивалентны в том смысле, что (при любом X) они описывают
один и тот же класс функций. Мы не будем вдаваться в дальней-
шие детали.

Расширенная клиниева формализация

Третья, по-прежнему • эквивалентная, формализация может
быть получена из клиниева описания частичнорекурсивных функ-
ций (§ 1.5) следующим образом. Вводится относительный функцио-
нальный символ с (в добавление к обычным главным и вспомога-
тельным функциональным символам). Символ с можно представлять
себе как обозначение характеристической функции множества X.
Равенство вида с(о) = т можно включить в вывод только в том слу-
чае, если оно выводимо из предыдущих равенств по обычным пра-
вилам или если ст есть нумерал для некоторого натурального числа,
а т есть 1 или 0 в зависимости от того, является ли это число эле-
ментом множества X или нет. Мы не будем более обсуждать здесь
эту формализацию.

Эквивалентность этих трех формализаций может быть доказана
методами, подобными тем, которые использовались при доказа-
тельстве Основного результата § 1.6. Можно представить подроб-
ное и убедительное обоснование того, что эти уточнения во всей
общности охватывают содержание неформального понятия алго-
ритма относительно X. Может быть проведено рассуждение,
совершенно аналогичное рассуждению гл. 1, и очевидным обра-
зом сформулирован и принят относительный тезис Чёрча.

Наша формализация производится иным образом. Чтобы
разъяснить, что послужило причиной такого выбора способа
формализации, мы покажем, как к нему приводит формализация
с помощью машины с оракулом.

Составим эффективный пересчет всех машин с оракулом.
Воспользуемся этим пересчетом, чтобы приписать каждой машине
с оракулом индекс. Пусть P'z — машина с оракулом, имеющая
индекс z. Каждой машине с оракулом и каждому выбору множе-
ства X соответствует тогда, обычным образом, функция одной
переменной (численные значения входов и выходов определяются,
как в гл. 1). Пусть ipf — функция, вычисляемая машиной Р'г
относительно множества X. Если фиксировано " и задан некоторый
вход х, мы можем эффективно задать (возможно бесконечную)
диаграмму, которая описывает все возможные вычисления для
•ф^(ж) (при варьируемом X). Это делается следующим образом.
Возьмем вход х. Начнем вычисления, определяемые машиной
P'z. Вычисления производим до тех пор, пока не будет задан
первый вопрос (им может быть, например, „7 £Х7"). В этот момент
начнем два вычисления; одно, соответствующее утвердительному
ответу (7 (X), и другое, соответствующее отрицательному ответу
'7 (J X). Каждая из этих ветвей затем подразделяется и т. д., пока
задаются вопросы. Разумеется, вопрос, заданный на одной ветви,
не обязательно должен быть задан на другой. Если на какой-то
ветви задан вопрос, на который был уже получен ответ на той же
самой ветви, мы используем прежний ответ и не устраиваем под-
разделения. Это разветвленное вычисление составляет искомую
диаграмму. Может, например, возникнуть такая диаграмма:

<,------Окончание

Да

^Нет

7

‘ Начало \
Любая ветвь такой диаграммы определяет два множества D' и D",
где D' — {w | на этой ветви использован утвердительный ответ ‘
на вопрос ,,w £ X?”} и D" = {и? | на этой ветви использован отри-
цательный ответ на вопрос „w g X?”}. (Таким образом, для обры-
вающейся 'ветви, изображенной на диаграмме, D' — {7, 11}, 
D" — 0.) Очевидно, D' Q D" = 0. Для любого множества X, .
такого, что D' d X и D’ сХ, вычисление с помощью машины
с оракулом для ф^(л:) должно совпадать с вычислением вдоль этой
ветви. Некоторые ветви этой диаграммы могут обрываться (и, сле-
довательно, выдавать выход), другие — нет. На любой обры-
вающейся ветви D' и D" конечны.

В процессе построения диаграммы может быть эффективно
порождено следующее (рекурсивно перечислимое) множество:
{{у, и, и) | существует обрывающаяся ветвь, для которой D' = .
= Du, D" = D„ и для которой у является выходом}. Р. п. индекс
такого множества будет зависеть от входа х и индекса машины z.
Следовательно (согласно s-ти-п-теореме и теореме о проекции),
существует общерекурсивная функция h, такая, что

Wh(Z) — {{х, у, и, v) | существует обрывающаяся ветвь в диаграм-
ме для машины Р'г при входе х, для которой D' = Du,
D" = Dv и для которой выходом является у}.

Это наводит на мысль, что мы можем формализовать относи-
тельные алгоритмы с помощью соответствующих рекурсивно пере-
числимых множеств. Мы приводим теперь такую формализацию.
Она будет принята за основу при дальнейшем изложении.

Определения, (ж, у, и, v) совместна, если Du f| Dv = 0;
(xt, уi, Ui, vi') и (x2, у2, u2, v2) согласованы, если

DUl f) DOt = Du, П DVl = 0.

Определение. Wz регулярно, если

(i)	(x, y, u, v) 6 W2 => {x, y, u, v) совместна;

(ii)	[(a:, ylf щ, щ) G Wz & (x, y2, u2, v2} g Wz &

& (x, yt, Щ, Vi) #= (x, y2, u2, p2)]=> <x, yt, Ui, vt) и {x, y2, u2, v2}
не согласованы.

Очевидно, множество Wh (г), определенное выше, регулярно.
Обратно, Блюм показал, что для всякого регулярного рекурсивно
перечислимого множества A (3z) [Л —Wh (г>] (см. упр. 9-4 и 9-5).

Теорема II. Существует общерекурсивная функция р, такая,
что для всех z

(i)	WP(Z) регулярно;

(ii)	Wz регулярно => Wp(Z) = Wz.

Доказательство. Возьмем фиксированную функцию
как в следствии 5-V (с). Следствие 5-V (с) дает тогда для каждо-
го z стандартный пересчет Wz. Пересчет множества Wp(z) получает-
ся из пересчета множества Wz опусканием всякой несовместной
четверки (х, у, и, v) и всякой четверки (х, yt, ut, v^, которая
согласована с четверкой (х, у2, и2, и2), уже помещенной в Wp(Z).
>(Это доказательство напоминает доказательство теоремы 5-XVI,
теоремы об однозначности. )и

Опишем теперь нашу формализацию. Пусть р — общерекур-
сивная функция теоремы II.

Определение

ф? = {<х, у) | (3u, и) [ {х у, и, v) £ Wp(z) & DU<=X & Dv cz X]}.
<pift)X=kr1 . . . xk[(pz({xi, . . xft))J.

Регулярность множества WP(Z) обеспечивает для всех z и X одно-
значность функции (pf.

Пусть А фиксировано.

Определение. Функция т] есть А -частичнорекурсивная функция,
если т] = epf для некоторого z. Функция / есть А-общерекурсивная
функция, если для некоторого z имеем / = <р^ и <р^ всюду опреде-
лена. (Разумеется, для фиксированного z и варьируемого X
функция <pf оказывается всюду или не всюду определенной
в зависимости от X.)

Следующая теорема очевидна.

Теорема III. А рекурсивно => <р^ есть частичнорекурсивная
функция.

Доказательство. Рекурсивность множества А делает
все вычисления рекурсивными.и

Из приводимых выше рассуждений с очевидностью следует,
что наша формализация по крайней мере столь же обща, сколь
и формализация при помощи машины с оракулом. Например (для
частичпорекурсивных функций одной переменной), (Vz)(VX)[<p^(2> =
= ф?], где Л — та же функция, что и выше.

Обратно, для данных X, z и х мы можем вычислить ф*(я) сле-
дующим образом. Пересчитываем Wp(z). Как только какая-нибудь
четверка (х', у', и', v') появляется, смотрим, будет ли х' = х,
Du cz X и Dv с. X. Если да, завершаем вычисления и выдаем у'
в качестве выхода. Если мы приняли за основу относительный
тезис Чёрча (исходя из машины с оракулом), мы имеем (3 обще-
рекурсивная функция /) (Vz)(VX)[i|)^z) = <р£] (так как ф*, очевид-
174 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА

но, интуитивно алгоритмична относительно X (с набором инструк-
ций, получаемым по z)) х) * 2).

Хотя формализация с помощью машин с оракулом в некотором
отношении более согласуется с интуицией, чем наша, наша фор-
мализация имеет то преимущество, что она базируется лишь на
уже определенных понятиях и может быть использована на нефор-
мальном уровне без привлечения нового релятивизованного тезиса
Чёрча. Читателю рекомендуется, однако, держать в поле зрения
также и интуитивное понятие отпосительного алгоритма. После-
дующие доказательства могут быть проведены, исходя из любой
формализации, но они наиболее прозрачны, если основываются <
па этом интуитивном понятии.

Следующие определения и результаты естественны и очевидны.

Определение. Множество А рекурсивно относительно В (или
в В), если функция сА является В-общерекурсивной. Множество А
рекурсивно перечислимо относительно В (или в В), если или Л = 0,
или А — Vai / для некоторой функции /, которая В-общерекур-
сивна.

Теорема IV. А рекурсивно в В <=> множества А и А рекурсивно
перечислимы в В.

Доказательство, как и для теоремы 5-П.и

Предшествующая терминология может быть обобщена на Zc-ap- >
ные отношения (в соответствии с соглашением § 5.3), если мы
поставим в соответствие всякому /с-арному отношению В множе-
ство xh(B).

Определение. Пусть В есть /ij-арное отношение и S есть /с2-ар-
ное отношение.

( рекурсивно

[ рекурсивно перечислимо

( рекурсивно

Т ( рекурсивно перечислимо

ф R-частичнорекурсивна, если ф тй1(В)-частичнорекурсивна.

/ R-общерекурсивна, если / тк1(В)-общерекурсивна.

Разумеется, функция сама есть отношение. Следовательно,
имеем такую теорему.

Теорема V. / А-общерекурсивна <=> / рекурсивно в А.

х) Разумеется, при более детальном изложении должна быть приведена
явная конструкция функции /.

2) Подобное рассмотрение для функций к переменных (к > 1) может
быть получено с использованием метода теоремы 5-VIII.

в S, если


Доказательство, как и для теоремы 5-1Х.в

Следующая теорема усиливает аналогию с теоремой 5-1X.

Теорема VI. ф А-частичнорекурсивна <=> ф рекурсивно пере-
числимо в А.

Доказательство, как и для теоремы 5-1Х.и

Следствие VI. Какова бы ни была всюду определенная функция f,
f рекурсивно перечислимо в А <=> / рекурсивно в А.

Доказательство. Так как / всюду определена, f
рекурсивно перечислимо в А <=>/ Л-частично рекурсивна (соглас-
но теореме VI) <=> f А-общерекурсивна (по определению) <=> f
рекурсивно в А (согласно теореме V).B

В значительной части здесь изложенного множество и его
характеристическая функция взаимозаменяемы. Мы имеем, напри-
мер, следующую теорему.

Теорема VII. А рекурсивно в В <=ь> сА рекурсивно в В <=> сЛ
рекурсивно в св <=> А рекурсивно в св.

Доказательство. Первая и третья эквивалентности
следуют из определения и теоремы V. Вторая эквивалентность
становится очевидной, как только мы замечаем, что любой вопрос
вида ,.2 С В?” может быть переформулирован как ,/z, 1) Е св?”
и что всякий вопрос вида ,,{х, у} £ св?” может быть переформули-
рован как „верно ли, что х С В и у = 1 или что х $ В и у = 0?”.и

Как мы заметим в § 9.7, понятие „ф частичнорекурсивна в ф”
обычно определяется таким образом, что оно (i) эквивалентно по-
нятию ,.ф т (ф)-частичпорекурсивна” для всюду определенной
функции <р, но (ii) более узок, если ф не всюду определена.

Рекурсивность относительно более чем одного множества

Могут быть определены процедуры, использующие более одно-
го оракула. Мы скажем, что процедура алгоритмична относи-
тельно множеств Xt, . . ., Хт, если на любом ее этапе допускают-
ся вопросы вида „п С X,-?”, i = 1, . . ., т. Мы уточним это в сле-
дующем определении.

Определение. Функция ф (Хь Х2, . . ., Xт)-частичнорекур-
сивна, если ф (Xj ф Х2 ® ... ® Хт)-частичнорекурсивна, где
Xi © Х2 © . . . Ф Хт = (. . .((Xj ф Х2) Ф Х3) . . . Хт).

Обозначение. Мы будем, как правило, вместо ф-¥*® .-
писать ф*1...Хт.

Читатель легко может убедиться в том, что понятия, опреде-
ленные выше, рекурсивно инвариантны.
§ 9.3.	РЕЛЯТИВИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ

В теории рекурсивных функций, развиваемой в предыдущих
главах, основными объектами рассмотрения были частичнорекур-
сивные функции. Если выбрать фиксированное множество А
и заменить в этой теории частичнорекурсивные функции А-частич-
норекурсивными функциями (во всех определениях и теоремах),
то получим релятивизованную теорию. Все полученные до сих
пор результаты остаются при такой полной релятивизации спра-
ведливыми. Доказательства, привлекающие соображения о длине
вычислений, могут быть получены очевидной модификацией соот-
ветствующих доказательств нерелятивизованной теории, так как
завершающиеся A-вычисления требуют, чтобы было задано лишь
конечное число вопросов об А (каждый такой вопрос может быть
принят за один шаг), или, говоря более строго, так как завершаю-
щееся вычисление для <fA соответствует завершающемуся просмат-
риванию множества Wp(Z) (и шаги могут отмеряться как шаги
в пересчете множества ТЕр^)). Понятия, получаемые путем такой
полной релятивизации, рекурсивно инвариантны относительно А
в том смысле, что они инвариантны относительно группы {/ | /
.взаимно однозначна, отображает на и А-общерекурсивна}.

Более интересны и важны понятия и результаты, получаемые
в частично релятивизованной теории. Во многих случаях данное
понятие может быть частично релятивизовано несколькими раз-
личными способами. Например, пусть понятие иммунного множе-
ства (полностью) релятивизовано следующим образом.

Определение. Множество В является А-иммунным, если В
-бесконечно и не содержит никакого бесконечного множества,
рекурсивно перечислимого в А.

Напрашиваются три различных способа частичной или полной
релятивизации понятия простоты. Можно дать такие определения:
множество В А-просто, если

(а)	В рекурсивно перечислимо в А и В А-иммунно (полная
релятивизация);

(Ь)	В рекурсивно перечислимо и В А-иммунно (частичная
релятивизация);

(с)	В рекурсивно перечислимо в А и В иммунно (частичная
релятивизация).

Говоря о релятивизованных понятиях, мы будем иметь в виду,
•если не оговорено противное, полную релятивизацию.

Как уже было замечено, полностью релятивизованные резуль-
таты могут быть перенесены непосредственно. Мы приводим здесь
ряд наиболее фундаментальных результатов этого рода.

Определение. W* = Argcpf-
Теорема VIII (релятивизованная основная теорема о рекур-
сивно перечислимых множествах (теорема 5-V)). А рекурсивно
перечислимо в В <=> (3 z) [А — Wf].

Доказательство. Может быть перенесено непосред-
ственно доказательство теоремы 5-V.B

Теорема IX (релятивизованные теоремы о проекции). Если
R рекурсивно перечислимо в А, то существует отношение S,
рекурсивное в А, такое, что R есть проекция. S.

Если R рекурсивно перечислимо в А, то любая проекция отно-
шения R рекурсивно перечислима в А.

Доказательство. Доказательства теорем 5-Х и 5-XI,
опиравшиеся лишь на исходные представления, непосредственно
переносятся с заменой всех понятий на понятия, релятнвизован-
ные относительно А. Более строгие доказательства с помощью
формализации из § 9.2 можно получить непосредственным приме-
нением нерелятивизованных теорем о проекции. и

Определение. Ка —	| фх(-г) сходится} = {х | х С WA).

Теорема X. (V Л)(3 В} IB рекурсивно перечислимо в А и В
не рекурсивно в А].

Доказательство. Пусть дано множество А. Возьмем
В = КА. Множество КЛ рекурсивно перечислимо в А, согласно
теореме IX (см. упр. 9-8). Оно не может быть рекурсивно в А,
так как в этом случае в силу теорем IV и VIII было бы КА =
для некоторого х0 и мы имели бы х0 £ КА <^> х0 6 WA0 (по опре-
делению КА) <=> х0 С КА (согласно выбору х0}', противоречие^ .

Частично релятивизованные варианты ранее установленных
теорем часто оказываются сильнее полностью релятивизованных
вариантов. В частности, имеет место сильная частично релятиви-
зованная форма s-тп-«-теоремы. Она в свою очередь дает более
сильные частично релятивизованные варианты целого ряда других
результатов, получаемых с помощью s-m-n-теоремы. Так, напри-
мер, следствием нашей релятивизованной s-тп-п-теоремы будет
то обстоятельство, что в релятивизованных вариантах следствий
теоремы 5-V функции /, g, g', f" и g" могут быть сохранены
общерекурсивными.

Теорема XI (релятивизованная з-ш-п-теорема). Для любых
т,п^ 1 существует общерекурсивная функция s™ тД-1 перемен-
ных, такая, что для всех X и всех z, xlt . . хт

^m + l • • • ^т+Дфг ' (#1, ♦ • Хтпч Хт + 1ч • • •> ^т+п)1 =

_	(n) X

^s'n (z. X,.хту

Доказательство. Мы построим функцию Доказа-
тельство для других значений т и п аналогично.

Применив нерелятивизованную s-m-n-теорему, мы можем полу-
чить общерекурсивную функцию /, такую, что для всех Xf и z

Wf(z, X.) = {<*2, У, и, v) I (to, *2>, У, U, v) e Wp(z)}-

Согласно этой конструкции, множество Wf (ZtXt) регулярно при
всех z и Отсюда следует, что

<^2, у) € ф? (z, х,)<=>«*!, *2>, у) € <р12И-

Тем самым f есть искомая функция s}.

Более формально, функция может быть определена как
Kzxl[h2s1i(ihip(z), Xi)], где hx и h2 суть общерекурсивные функции,
устанавливающие равномерность в следующих случаях (см. теоре-
му 5-VIII и замечание о равномерности, приведенное в конце
§ 5.5):

Фл1’(г) = Xxi . . . x5[<pz(to, • • •, жв))]

И

ФМ(г) = ^1ф14> (nfto, . . ., лДх))1.

Далее, заметив, что (to, я2), у, и, v) = to, ^2, Уч и, у) (см.
§ 5.3), получаем

Arg (pk?p<z) = {to, х2, у, и, р> | (to, х2), у, и, v) €Wp(z)},
отсюда ч

Аггф1|’(Мр(г)> Х1)={(х2» Уч и, р> | (to, х2), у, и, v) е Wp(z)}
и, следовательно,

WtoslCAtPU). х,) = {to, Уч и, v) | (to, х2>, У, и, v} е Wp(z)} =
= и>. Х1)..*)

Для получения примера более сильной частичной релятивиза-
ции (ранее приводимого результата), которая может теперь быть
установлена, рассмотрим теорему 5-ХШ. Она утверждает, что
(3 общерекурсивная функция fe)(Vx) (Уу)[Жл(х, у) = Wx (J Wy].

г) В действительности функция s™ может быть выбрана примитивно-
рекурсивной.
Полная релятивизация этого результата такова:

(VX) (3 Х-общерекурсивная функция h)

(Vz) (Vy) [Wx(x, v) = Wx U Wxl.

Если в релятивизованном доказательстве используется теоре-
ма XI, то теорему 5-ХШможно усилить не только до утверждения
(VX) (Э общерекурсивная функция h) (Vx) (VB) lWx(Xl v) =

= Wx U Wx],
но и до утверждения

(3 общерекурсивная функция 4) (VX) (Va:) (Vi/) [Wx(x,	=

= Wx JJ Wf].

Такая ситуация часто возникает при релятивизации результатов,
имеющих место равномерно.

Понятия и результаты, уже релятивизованные относительно
множества А, сами в свою очередь могут быть релятивизованы
относительно другого множества В. При полной релятивизации
новые понятия и результаты эквивалентны результатам, получен-
ным обычной однократной релятивизацией относительно А ® В.
Если, однако, последовательно выполняются частичные реляти-
визации, может возникнуть ряд интересных вопросов. Мы рас-
сматриваем такого рода вопросы время от времени в ряде даль-
нейших разделов.

§ 9.4.	СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ

Определение. Множество А сводимо по Тьюрингу к В (обозна-
чение: А В), если А рекурсивно в В, т. е. если сА есть 5-обще-
рекурсивная функция. Мы также будем вместо „сводимость по
Тьюрингу11 писать „Т-сводимость“. Утверждения „А =СТ В“
и А. рекурсивно в эквивалентны. Некоторые авторы применя-
ют исключительно термин „А рекурсивно в В“.

Пример. Из результатов § 9.1 имеем, что К <Ст К, хотя
К ^К.

Теорема XII. Отношение рефлексивно и транзитивно.

Доказательство. Рефлексивность. Очевидно, так как
функция сА тривиальным образом Л-общерекурсивна (см. упр. 9-5).

Транзитивность. Предположим, что А В и В С. Тогда
сА = <р£ и св = <рС. Доказательство проводится применением
второй теоремы о проекции к множеству, конструируемому из
ГРрсг,) и Илр(22) (см. упр. 9-14). Это дает z3, такое, что сА = ф®.
Интуитивные соображения таковы. Мы можем найти значение
функции сА для какого-либо данного входа, если мы умеем нахо-
дить значения функции св для некоторого конечного числа входов.
Значение же функции св для какого-либо данного входа мы можем,
в свою очередь, вычислить, вычислив значения функции сс для
некоторого конечного числа входов. Тем самым мы можем вычис- '
лить значение функции сА для данного входа, если мы умеем
вычислить значение функции сс для некоторого конечного числа
входов. н

Определение. А =т В, если А В и В А.

Классы эквивалентности н=т называются тьюрингоеыми сте-
пенями или Т-степепями.

В литературе обычно в качестве основной сводимости берется
сводимость по Тьюрингу (хотя, как правило, в приложениях,
когда имеет место сводимость по Тьюрингу, некоторый более силь-
ный вид сводимости также имеет место). Если слово „сводимость”
употреблено без дополнительных пояснений, подразумевается,
как правило, сводимость по Тьюрингу. Если без дополнительных
пояснений употреблен термин „степень неразрешимости”, обычно
подразумевается Т-степенъ. Т-сводимость и tt-сводимость часто
группируют вместе как слабые сводимости (в противоположность
m-сводимости и 1-сводимости, сильным сводимостям).

Определение. Множество А полно по Тьюрингу („Т-полно”
или „полно”), если

(i)	А рекурсивно перечислимо;

(ii)	(VB) [В рекурсивно перечислимо => В ^тЛ].

Множество К есть Т-полное множество.

Следующая теорема содержит некоторые элементарные све-
дения о Т-сводимости.

Теорема 'XIII. (a) A ^tt В => А ^ТВ.

(Ь)	Упорядочение по ^-сводимости образует верхнюю полу-
решетку.

(с)	(В рекурсивно & А <1тВ] => А рекурсивно.

Доказательство, (а) Очевидно.

(Ь)	Степень множества А ® В есть наименьшая верхняя грань
степеней множеств Л и В при упорядочении по Т-сводимости.

(с)	Согласно теореме III.и

Из (а) имеем, что отношение рекурсивно инвариантно.
Из (с) и теоремы]8-УИ (е) следует, что упорядочение по Т-своди-
мости имеет единственную минимальную степень, состоящую из
рекурсивных множеств и не содержащую никаких других. Мы
скажем, что Т-степень рекурсивно перечислима, если она содержит
рекурсивно перечислимое множество. Из (а) следует, что А = tt
=tt В => А =ТВ. Мы можем, следовательно, воспринимать Т-сте-
пень как составленную из tt-степеней. Согласно примеру из § 9.1,
Т-степень множества К, т. е. полная Т-степень, состоит из более
чем одной tt-степени. В § 9.6 мы увидим,'что она содержит более
чем одну рекурсивно перечислимую tt-степень. Отношение между
Т-степенями и tt-степенями рассматривается далее в § 9.6.

§ 9.5. ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА;

ТЕОРЕМА ДЕККЕРА

Существует ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
жество, которое не tt-полно? Более узко, существует ли рекурсив-
но перечислимое множество, Т-полное, но не tt-полное? Пост полу-
чил утвердительный ответ на этот вопрос, исследуя гиперпростые
множества.

Определение. Пусть А — бесконечное множество. Функция /
мажорирует А, если (Vw)[/(«) znl, где z0, zJt . . . — элементы
множества А, расположенные в порядке строгого возрастания.
Диагональным методом легко может быть показано, что существу-
ют множества, не мажорируемые никакой общерекурсивной
функцией. Пусть f0, flt ... — последовательность всюду опре-
деленных функций, включающая в себя все общерекурсивные
функции. Определим

g(0) =/о(О) + 1,

g(n + 1) = p.z[z > g(n) & z > /п+1(ге + 1)].

Тогда множество значений функции g не мажорируется никакой
общерекурсивной функцией. Мы назовем такие множества гипер-
иммунными.

Определение. А гипериммунно, если А бесконечно и (V обще-
рекурсивная функция /) [/ не мажорирует А1.

Теорема XIV. А гипериммунно => А иммунно.

Доказательство. См. упр. 9-23.я

Определение. Множество А гиперпросто, если А рекурсивно
перечислимо и А гипериммунно.

Множество S из теоремы 8-П являет собой пример простого,
но не гиперпростого множества, поскольку S мажорируется
функцией Хж[2х]. Мы покажем ниже, что гиперпростые множества
существуют.

Полезное и не вполне очевидное описание гипериммунНых
множеств дается следующей теоремой (Медведев [1955]). (Пост
принял это описание гиперпростых множеств в качестве опреде-
ления.)

Теорема XV (Кузнецов, Медведев, Успенский). А гиперим-
мунно <=> А бесконечно и 1 (3 общерекурсивная функция j)

П «4=^01&(Vu)(Vp)lu#=v=>Z>/(u)'n В/(о)=0]]; т. е.

А бесконечно и не существует никакой эффективно перечисли-
мой (по каноническим индексам) последовательности непересе-
кающихся конечных множеств, каждое из которых пересекалось бы
с А.

Доказательство.^. Предположим, что такая общере-
курсивная функция / существует. Тогда (Vw)Z>/(u)#= 0. Опреде-
у

лим g = %у [максимальный элемент множества J /?/(()!. Очевид-
г=0

но, g общерекурсивна и мажорирует А.

-4= . Предположим, что существует общерекурсивная функция g,
мажорирующая А. Определим общерекурсивную функцию h сле-
дующим образом:

fe(0)=g(0),

й(п + 1) = g(A(«) + 1).

Рассмотрим последовательность конечных множеств

В«» = {0, 1, . .	7i(0)),

В(1> = {А(0) + 1, . . ., fe(l)},

B‘n+1> = {h (и) 4- 1, . . h(n + 1)},

Эта последовательность, очевидно, рекурсивно перечислима по
канонически^ индексам. Далее, для всякого п множество Л(П+1)
имеет h(n 4- 1) = g(h(n) 4- 1) в качестве своего наибольшего эле-
мента. Следовательно, в предположении, что g обладает мажори-
рующим свойством, по меньшей мере h(n) 4- 2 элементов из А не
превосходят h(n 4- 1). Но £)<п+1> содержит все, за ислючением
(h(n) 4- 1)-го, натуральные числа, не превосходящие h(n 4- 1).
Отсюда Z)<n+1) f] А у= 0.в

Первое доказательство существования гиперпростых множеств
было получено Постом. Впоследствии более общая и изящная
теорема существования была найдена Деккером [1954], показав-
шим, что всякая нерекурсивная рекурсивно перечислимая Т-сте-
пень содержит гиперпростое множество.

Теорема XVI (Деккер). [А не рекурсивно & А рекурсивно пере-
числимо] => (ЗВ) [В =ТЛ & В гиперпросто].
Доказательство. Пусть А — данное рекурсивно пере-
числимое, но не рекурсивное множество. Тогда А — Vai / для
некоторой взаимно однозначной общерекурсивной функции /.
Назовем х минимальным относительно функции f, если
<V у) [х < у => f(x) < /(у)1.

Пусть

В == {х | х не является минимальным относительно /} =

= {х I (Эу) к < у & /(у) С /к)1}-

Мы покажем, что множество В гиперпросто и что В=ТЛ.

(i)	В рекурсивно перечислимо. Это немедленно следует из
второй теоремы о проекции.

(ii)	В гипериммунно. Если это не так, пусть g мажорирует В.
Тогда х С А х Е {/(0), /(1), • • ., f(g(x))}. Это дает эффективный
способ проверки принадлежности числа множеству А, и А рекур-
сивно в противоречие с предположением.

(iii)	В ^tt-4 • Действительно, х £В <=> /(у) < f(x) для неко-
торого у > х<=>С П А 0, где С = ({0, 1, . . ., /(т)} —
— {/(0), /(!)> • • •» /к)}), это последнее может быть выражено
в виде tt-условия.

(iv)	А ^ТВ. В самом деле, мы можем проверить, будет ли
zQA, следующим образом. Проверяем, принадлежат ли множе-
ству В числа 0, 1, 2, ... до тех пор, пока не будет получено z + 1
элементов множества В. Пусть наибольшим из них будет nz. Посмот-
рим, встречается ли z в {/(0), /(1), . . ., f(nz)}. Если да, то z £ А;
если нет, то z^A. Такой способ распознавания принадлежности
множеству В верен, поскольку п~ минимален относительно / и
z ^/(«z) i

Следствие XVI. (а) Всякая нерекурсивная рекурсивно пере-
числимая Т-степень содержит простое множество.

(Ь) Для всякого нерекурсивного рекурсивно перечислимого мно-
жества А существует гиперпростое множество В, такое, что
в

Доказательство очевидно.а

Максимальные множества были определены в упр. 8-40. Их
существование будет доказано в гл. 12. В упр. 9-26 мы покажем,
что всякое максимальное множество гиперпросто. Класс про-
стых множеств (см. рассуждение из § 8.7) может быть разбит
на следующие подклассы:

= {Л | А максимально};

4Z12 = {А | А гиперпросто & А $ 'ёи);

'gjg = (Л | А просто & Л $ Чёц (J ^12}.
Множества из этих классов имеют дополнения, которые всё
менее „редки”. Класс ^13 не пуст, он содержит множество S из
теоремы 8-II (см. выше замечание, следующее непосредственно
за определением гиперпростого множества). В упр. 9-36 мы пока-
жем, что ^42 не пуст. В гл. 12 мы рассмотрим дальнейшие разбие-
ния этих классов.

§ 9.6. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ

И ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ; ПРОБЛЕМА ПОСТА

Для того чтобы показать, что для Т-сводимости не существует
никакого аналога теорем 7-VIII и 8-IX, может быть использовано
рассуждение § 9.1.

Теорема XVII. Среди элементов Т-степени множества К не
содержится никакого множества, максимального относительно
tt-сводимости.

Доказательство. Определим для любого А множе-
ство А = {х | <px(x) Е Ап}. Тогда для любого А, такого, что
К ^ТА, выполняется А ^А, А ^цА и А ^гА. Мы докажем
это следующим образом.

(i)	A А. Для всякого х пусть гр есть постоянная функция,
значением которой является tt-условие {(я), а},’где а — унарная
тождественная булева функция. Так как набор инструкций для ф
может быть найден равномерно по х, мы имеем общерекурсивную
функцию /, такую, что ф = $/(») Функция /, очевидно, взаимно
однозначна и х 6 А <=> <Р/(Х)(/(#)) выполняется на А <=> f(x) Е А.

(ii)	А ^цА. Если А СДА, то А посредством <рХо при
некотором х0. Отсюда х0 Е А <=> фхо^о) выполняется на А <=>
<=> ZoE-4. Получаем противоречие.

(iii)	А ^т-4. Чтобы выяснить, будет ли z ЕЛ, воспользуемся
сначала Т-сводимостью множества К кА, чтобы установить,
будет ли z Е К.. Если z $ К, то z А. Если z Е К, вычислим
cpz(z) и посмотрим, выполняется ли <pz(z) на А. Если да, z £ А;
если нет, z Е А.

Как результат пунктов (i), (ii) и (iii) имеем, что в Т-степени
множества К не может быть множества, максимального относи-
тельно tt-сводимости. и

(Теорема XVII может быть так же получена, как следствие
упр. 9-18 (а) и 9-20.) (Джокуш [1966] показал, что всякая нере-
курсивная рекурсивно перечислимая Т-степень содержит беско-
нечно много рекурсивно перечислимых гп-степеней.)
Следствие XVII. (а) Никакая Т-степень, большая Т-степени
множества К {при упорядочении по Т-сводимости), не может
иметь максимальной 11-степени.

(Ь) Всякая Т-степень, большая Т-степени множества К, содер-
жит бесконечную последовательность ^-степеней, линейно упоря-
доченных относительно ^tt по типу натуральных чисел (0, П
2, . . .).

Доказательство очевидно.g

Всякая ли рекурсивно перечислимая Т-степень содержит'
рекурсивно перечислимую tt-степень, максимальную относительно
среди рекурсивно перечислимых tt-степеней, содержащихся
в этой Т-степени? Этот вопрос не решен. В Т-степени множества К
tt-степень множества К максимальна г).

Совпадают ли Т-полные множества с tt-полными множествами?
Пост воспользовался следующей теоремой для получения отри-
цательного ответа на этот вопрос.

Теорема XVIII (Пост). А tt-полно => А не гиперпросто.

Доказательство. Доказательство по существу анало-
гично доказательству теоремы 8-XII, устанавливающей, что ника-
кое btt-полное множество не просто.

Предположим, что А является tt-полным множеством. Тогда
К ^tt А. Мы докажем лемму, подобную лемме, использованной
при доказательстве теоремы 8-ХП.

Лемма. Пусть К	Тогда существует бесконечное рекур-

сивно перечислимое множество tt-условий to, . . . с ассоци-
ированными множествами Т0, Tt, ... соответственно, такими,
что

(i)	для всех i условие t, выполняется на А;

(ii)	для всех i имеем Т,()А	0;

(iii)	для всякого конечного множества D множество {i | Tt f] А с D]
имеет не более чем 22 элементов, где d — мощность D.

Доказательство леммы. В точности, как в теоре-
ме 8-ХП, задается последовательность t0, ti, ... и устанавливают-
ся свойства (i) и (ii). Свойство (iii) докажем следующим образом.

Определение. Пусть t = {{xi, . . ., xky, а). Пусть Т — ассо-
циированное множество условия t, т. е. Т = {х^, . . ., xk). Пред-
положим, что п элементов из . . ., xh) лежат в Т Q А, п > 0.
Определим а' = \wiw2   • u?n[a(ai, а2, . . ., as)l, где (а17 . . .
. . ., ahy получается из {х^, . . ., xhy подстановкой 1 вместо каж-

х) Среди рекурсивно перечислимых tt-степеней. — Прим, перев.
дого xt, принадлежащего А, и подстановкой wt, w2, . . wn
вместо остальных х,. Функция а называется производной истин-
ностной таблицей для I. Например, если

t = {{xt, х2, х3, Хц), а},	г,

л Xi, х3 Е A, х2, xt € А, то а' = Xw)ir2[a(l, Wi, 1, ш2)1 есть про-
изводная истинностная таблица для t.

Пусть С — множество из доказательства теоремы 8-XII. Обра-
зуем. из t0, tf, . . как в доказательстве теоремы 8-XII.
Пусть tt и tj таковы, что Tt f) A =Tj(]A. Если t[ и t'j имеют
одни и те же производные истинностные таблицы, то t'j должно 
быть выводимо (в смысле теоремы 8-ХП) из t'i и С, t\ должно быть
выводимо из t'j и С. Отсюда по построению t'Q, t\, . . ., если
Ti р А — Tj П А, то t'i и t'j должны иметь различные производ- г
ные истинностные таблицы (см. упр. 9-43).

Возьмем теперь конечное множество D мощности d. Оно имеет
'2'1 подмножеств. A fortiori, самое большее 2d подмножеств множе-
ства D может содержаться в А. Каждое из этих подмножеств имеет
мощность Следовательно, каждое подмножество имеет самое
большее 22<i соответствующих ему различных производных истин-
ностных таблиц1). 22d>2d == 22<i+d < 22d+1. Отсюда, если бы
существовало более чем 22<i+1 элементов из {t'i | Tt П А с. D},
то по меньшей мере два элемента давали бы общее пересечение
с Л и имели бы одни и те же производные истинностные таблицы;
пришли к противоречию. Тем самым лемма доказана.

Для доказательства теоремы покажем, что А не гипериммунно.
Определим общерекурсивную функцию / следующим образом: 4

/(0) = [максимальный элемент множества Toh

<	О2^(п>+3

/ (п + 1) == [максимальный элемент множества U ТД.

4=0

Согласно пункту (iii) леммы, самое большее для 22/<n>+“ мно-
жеств Tt может быть

Ti п А с {0, 1, 2, . . ., /(и)}.	4

Таким образом, для каждого п имеем {/(п) 4-1, . . ., /(л + 1)) Г)
П	Следовательно, {0,’. . ., /(0)}, {/(0) + 1, • • •, /(!)},

{/(1) + 1, • • •}, • • - есть последовательность непересекающихся

х) Производная инстинностная таблица а' соответствует Конечному
множеству D', если для некоторого i имеем [) А = D' и а' есть производ-
ная таблица для Д.
конечных множеств, каждое из которых пересекается с А, Согласно
теореме XV, А не гипериммунно. (В самом деле, А мажорируется
функцией /.)и

Следствие XVIII. Существует множество, которое Т-полно,
но не tt-полно', отсюда и различны на рекурсивно пере-
числимых множествах, и =j и =ц различны на рекурсивно пере-
числимых множествах.

Доказательство. Пусть К — гиперпростое множе-
ство, такое, что К =т К; существование такого множества вытека-
ет из теоремы Деккера. Тогда в силу только что установленной
теоремы К K.t

Природа соотношения между и ^tt в каком-то смысле более
глубоко выявляется следующей теоремой Нероуда [1957]. Напом-
ним, что по определению

А Ст В <=> (Hz) [сА = <р®1.

Теорема XIX (Нероуд).

A Ctt В <=> (Elz) [сА = <pf & (VX) [<pf есть характеристическая
функция\\<=>

<=> (Hz) [сА = <pf & (VX) [<pf всюду определена]].

Доказательство. Пусть 1*, 2* и 3* — три утвержде-
ния, эквивалентность которых надлежит установить, в том поряд-
ке, в котором они приведены в формулировке теоремы.

(i)	2* => 3* очевидно.

(ii)	1* => 2*. Пусть А ^цВ посредством функции /. Возьмем
z0, такое, что для любого х

{11	, ч (выполняется 1

>, если tt-условие f(x) <	> на X.

0J	[не выполняется)

Очевидно, ф* есть характеристическая функция множества X
и са — ф?0.

(iii)	3* => 1*. Пусть дано zlt такое, что ф* всюду определена
при любом X, и сА = ф^. Мы хотим установить, что A Ctt В,
следовательно, нам надлежит указать общерекурсивную функцию
f, такую, что х g А <=> /(х) есть tt-условие, выполняющееся на В.
Пусть дано х. Будем вычислять /(х), согласно следующим инструк-
циям. Возьмите ф*(х) и начинайте строить диаграмму вычислений,
описанную и проиллюстрированную в § 9.2. По предположению
каждая ветвь должна оборваться. Согласно основной теореме
компактности для деревьев (формулируемой, доказываемой и об-
суждаемой в упр. 9-40), диаграмма должна быть конечной.
В этой диаграмме каждое разветвление помечается числом, инфор-

ч мация о котором должна быть затребована на этом разветвле- ?
нии. Пусть D — множество всех таких чисел (встречающихся’ на
разветвлениях нашей конечной диаграммы). Пусть х1ч . . хп
суть элементы множества D, расположенные в порядке возраста-
ния. Тогда (х{, . . ., хп) будет n-кой нашего искомого tt-условия
/(z). Булева функция а задается следующим образом. Для каждо-
го . . ., W1L) £ 1П пусть Y = {xt I = 1 }. ВыЧИСЛЯЙте

Если это значение есть 0, ноложим а(ич, . . , шп) = 0; если выход
отличается от 0, положим ot(wi, . . ., wn) = 1. Тогда

х $ А => [(pj; (я) = 0 & a(cP(xj), . . ., св(а?п)) = 0]
и

X £ А => [фГДд:) = 1 & a(cB(xi), . . св(хп)) — 1],

Таким образом, A В посредством функции /. в

Эта теорема наводит на мысль о том, что сводимости могут
рассматриваться как „эффективные” отображения из 2?' (семей-
ства всех множеств) в 2 . Мы еще вернемся к этому в § 9.7, 9.8
и 13.7.

Проблема Поста

Остался открытым следующий важный вопрос, касающийся
упорядочения по сводимости рекурсивно перечислимых множеств.
Существует ли множество, которое не рекурсивно и не Т-полно?
Эквивалентно: существуют ли более чем две рекурсивно пере-
числимые Т-степени? Эквивалентно’ всякие ли два нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множества должны быть одной и той же
Т степени? Этот вопрос, поставленный Постом [1944] и известный
как проблемЬ Поста, оставался открытым до 1956 года, когда
Мучник и Фрпдберг независимо и почти одновременно пришли
к его решению. Мы приведем решение в следующей главе.

Проблема Поста знаменательна в двух отношениях: (1) она
касается многообразия структур, возможного среди нерекурсив-
ных рекурсивно перечислимых множеств; (2) она, следовательно,
касается многообразия, возможного среди аксиоматизируемых
теорий и среди другого рода рекурсивно перечислимых проблем.
~ Все известные (до 1956 года) теории были =? К (в действительно-
сти даже =А). Если бы все теории были =т А, то сводимость
к К (по крайней мере, Т-сводимость к А) была бы общим методом
доказательства неразрешимости аксиоматизируемых теорий.

Пост сам потратил значительные усилия на решение этой
проблемы. Как простые множества не могут быть т-полными,
а гиперпростые множества tt-полными, так должен был бы суще-
ствовать. по мнению Поста, специальный вид гиперпростых мно-
жеств, которые не могли бы быть Т-полными. Пост предложил
понятие гипергиперпростого множества в качестве возможного
кандидата такого рода.

Определение. Множество А гипергипериммунно, если А беско-
нечно и । (d общерекурсивная функция У) [(Vu) [И^) конечно &
<&ЖЛи) П Д=#01 &(Vu) (Ур) [и^ Wf(u) Q Wf(v) = 0U.

(Это аналогично описанию гипериммупных множеств в теореме XV,
ср. и. индексами, фигурирующими вместо канонических индек-
сов.)

Определение. Множество А гипергиперпросто, если А рекур-
сивно перечислимо и А гипергипериммунно • (см. в упр. 9-48 (Ь)
более простое определение гппертиперпростого множества, при-
надлежащее Ейтсу).

Пост не доказал ни существования гипергипериммунных мно
жеств, ни существования гиперпростых множеств, которые бы
не были гипергиперпросты. Ему не удалось показать, что гипер-
гиперпростое множество не может быть Т-полным (мы теперь зна-
ем, что это п не так, см. ниже). Мы последуем некоторые особен-
ности гипергиперпростых и гипергипериммунных множеств
в упражнениях с 9-46 по 9-48. Далее в гл. 12 эти множества также
будут обсуждаться нами. Существование гипергиперпростых мно-
жеств является следствием теоремы Фридберга, приводимой
в гл. 12 (см. упр. 9-47). Существование гиперпростых множеств,
которые не гипергиперпросты, будет установлено в упр. 10-17.
Описание гипергиперпростых множеств в терминах ретрассируе-
мых множеств (см. упр. 9-44) дано в упр. 10-19. Ейтс построил
гипергиперпростое множество, которое Т-полно.

§ 9.7. СВОДИМОСТЬ ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ

Введем теперь в рассмотрение техническое понятие, которое
тесно связано как с различными видами сводимости, изучавшими-
ся выше, так и с другими разделами теории рекурсивных функций.
Мы будем называть его при этом изложении „сводимостью”, хотя
•оно, в некотором отношении, более емко, нежели наше основное
интуитивное понятие сводимости. Исследование его не будет
проводиться в соответствии с нашим исследованием других видов
сводимости. Называя его сводимостью, мы подчеркиваем естествен-
ность того, что иногда затемняется при рассмотрении этого поня-
тия и понятий, с ним связанных.

Пусть даны множества А и 8. Рассмотрим процедуру, которая
задастся конечным набором инструкций следующим образом-
Начинается вычисление. Вычисление выполняется алгоритмиче-
ски, за тем лишь исключением, что время от времени требуется,
чтобы вычислитель получал „входное” число и, время от времени,
процедура выдает „выходное" число. Если затребован вход, может
быть подано любое натуральное число, может произойти и такое,
что никакого числа подано не будет. Предположим, что если
в качестве входов подаются элементы В в каком бы то ни было
порядке, то процедура всегда выдает в конечном итоге в качестве
выходов множество А в некотором порядке. Порядок, в котором
появляются элементы множества А, может меняться при измене-
нии порядка входных значений. (Мы допускаем перестановки
в пересчете множества В и в пересчете множества Л.) Если такая
процедура существует, мы скажем, что А сводимо по перечислимо-
сти К В. Сформулируем это кратко, сказав, что А сводимо по
перечислимости к В, если существует эффективная процедура для
получения пересчета множества А из любого пересчета множе-
ства В.

Пример 1. Рассмотрим’ процедуру, которая запрашивает
вход и удвоенное входное значение выдает в качестве выхода;
запрашивает другой вход и т. д. Этой процедурой {2, 4} сводимо'
по перечислимости к {1, 2} и Е, множество четных чисел, своди-
мо по перечислимости к N.

Пример 2. Рассмотрим процедуру, которая не запрашива-
ет никакого входного значения и перечисляет множество К в каче-
стве выходных значений. Этой процедурой К сводимо по пере-
числимости к любому множеству.

Как может быть уточнено понятие сводимости по перечисли-
мости? Один из способов описания этого понятия состоит в том,
чтобы определить подходящую модификацию машины Тьюринга.
Например, мы могли бы взять машину, которая пишет „5” наряду
с „1” и которая имеет две дополнительные операции I и О (для
„входа” и „выхода”). Если встретилась операция I, то за один
шаг внешнее устройство печатает или не печатает входное значе-
ние как цепочку единиц на отрезке ленты, который лежит справа
от всех непустых ячеек и обозреваемой машиной ячейки. Если
встретилась операция О, то за один шаг внешнее устройство
записывает на отдельном листе выходов общее число единиц,
находящихся на ленте. Конечно, заранее не ясно для данных
машины и множества входов, будет ли множество выходов менять-
ся при изменении порядка входных значений х). Более того, не
ясно без более детального исследования, что это описание с по-
мощью машины Тьюринга достаточно общо, чтобы охватить все

х) Как мы увидим из нашего окончательного определения, этой трудно-
сти можно избежать введением дальнейших, довольно сложных (но равно-
мерных) ограничений на машины.
случаи сводимости по перечислимости, которые интуитивно допу-
стимы.

Мы избежим этих трудностей, определив сводимость по пере-
числимости с помощью понятия частичнорекурсивной функции.
Наш подход к сводимости по перечислимости подобен в этом отно-
шении нашему подходу к Т-сводимости.

Чтобы мотивировать наше определение, мы покажем, как к нему
приводит интуитивное понятие. Пусть дана процедура, которая
интуитивно сводит по перечислимости А к В. Рассмотрим все
конечные последовательности различных натуральных чисел.
Будем говорить, что число х вызывается последовательностью
(Ун . . ., yhy, если эта процедура пишет х в качестве выходного
значения, после того как в качестве входных значений поданы у
по порядку уь . . ., yfe, но прежде, чем затребовано какое-нибудь
еще входное значение х). Проверяя по очереди все конечные после-
довательности, мы можем рекурсивно перечислить множество
{(х, и) | Du состоит из элементов конечной последовательности
различных чисел, которая вызывает х}. Пусть это множество есть
Wz. Легко проверить, с учетом нашего предположения о том, что
множество А перечисляется вне зависимости от порядка, в кото-
ром появляется В, что

х 6 А <=> (Зи) [(х, и) € Wz & Du а В].

Это приводит к нашему определению.

Определение. Множество А сводимо по перечислимости к В
(обозначение: А В), если

(3z) (Ух) [х € А <=> (Зи) [ (ж, и) Е Wz & £>и cz ВЦ.

Множество А сводимо по перечислимости к В посредством z, если

(Ух) [х G А <=> (3u) Rx, и) € Wz & Bu с ВЦ.

Обратно, заметим, что любое z задает процедуру интуитивного
характера, описанного ранее. Эта процедура состоит в. сле-
дующем. Одновременно начинаем перечислять Wz и требовать
входы. Как только обнаружится, что в Wz уже появилось (х, и),
для которого Du содержится в множестве уже полученных вход-
ных значений и для которого х еще не было выдано как выходное
значение, добавляем х к выходному списку. Для любого данного
множества входов эта процедура порождает одно и то же множе-
ство выходов независимо от порядка, в котором предстает множе-
ство входов. Таким образом, любое z и любое В определяют един-

1) Могло бы случиться, что после yt, . . ., у^, поданных в качестве
входов, никакое другое входное значение затребовано не было. В этом случае
никакое число не вызывается последовательностью yt, . . ., уд.
ственное множество А, такое, что А В посредством z, именно
{х | (Эн) [(ж, и) € Wz & Du cz 51}. Следовательно, каждое z
задает всюду определенное отображение из 2‘v в 2N. Мы назовем
такие отображения операторами перечислениях) и обозначим
оператор, соответствующий z, через Фг.

Определение. Ф7 (X) = Y, если Y X посредством г.

Операторы перечисления являются аналогом, на уровне мно-
жеств, общерекурсивных функций. Они более просты, нежели
общерекурсивные функции в том отношении, что для них имеет
место теорема о нумерации, т. е. тем, что они обладают (опреде-
ленной на N) гёделевой нумерацией.

Теорема XX. Если Ф и V суть операторы перечисления, то
композиция ФЧГ есть оператор перечисления.

*) Для рассматриваемого частного случая отображений 2N в 2N понятие
оператора перечисления совпадает по объему с понятием (одноместной) вычис-
лимой операции (Успенский [1955]). Применительно к этому случаю общее
определение вычислимой операции конкретизируется следующим образом.
Пусть N* — множество всех конечных подмножеств натурального ряда ./V.
Графиком отображения ф множества N* в 2N называется множество всех
таких пар' {D, х), что D g N*, х g N, х б ф (Р); отображение ф называется
вычислимым, коль скоро его график рекурсивно перечислим (рекурсивная
перечислимость графика естественно определяется — например, при помощи
перехода к каноническим индексам конечных множеств). Отображение мно-
жества 2n в 2™ называется вычислимой операцией, если во-первых, оно непре-
рывно относительно топологии, указанной в упражнении 11-35 (а), и, во-вто-
рых, его ограничение на "N* вычислимо.

В общем случае понятие Z-местной вычислимой операции строится следую-
щим образом, с учетом того, что для любого множества X в 2х можно ввести
топологию способом, указанным в упражнении 11-35 (а). Рассматривается
введенное Гильбертом [1904] множество всех комбинаций символа I с самим
собой, всех комбинаций этих комбинаций и т. д. Это множество обозначается
через S; таким образом, § состоит из всевозможных выражений вида I, II,
III, ПН, (I) (II), (II)(II)(II), ((I)(II))(II), ((Ш)(1))(1) и т. п. Натуральный
ряд N и его декартовы степени вкладываются в § в качестве подмножеств.
Обозначим через М* множество всех конечных подмножеств множества М.
Естественным образом определяется понятие рекурсивно перечислимого под-
множества множества §, а также понятие рекурсивно перечислимого под-
множества декартова произведения X ... X X Пусть Mlt . . .

I раз

. . ., Mi — произвольные рекурсивно перечислимые подмножества множе-
ства ф. Отображение ф произведения М} X ... X М* в 2® называется
вычислимым, если рекурсивно перечислим его график, т. е. множество всех
таких наборов (Dt, . . ., D i, х), что х С ф (ZZj, . . ., Di). Отображение топо-
логического произведения 2м* X ... X-2M* в 2® называется 1-местной
вычислимой операцией, если оно непрерывно и его ограничение на Mf X . . .
. . . X М* вычислимо. Описанный в начале настоящего примечания частный
случай получается из общего, если I = 1,	= N и отображение таково,

что все его образы принадлежат 2N. —Прим. ред.
Доказательство. Немедленно следует из тезиса Чёрча.
Более строгое доказательство использует вторую теорему о про-
екции. Мы опускаем детали.а

В следующей теореме приведены некоторые основные струк-
турные свойства операторов перечисления.

Теорема XXI. Пусть V есть оператор перечисления.

(а)	Л сВ=> ЧГ(Л) с Т'(В) („Т монотонен").

(Ь)	х 6 ¥(Л) => (3D) [D конечно &D с= А & х € V(£>)] („Т не-
прерывен") (см. упр. 11-35).

Доказательство. Непосредственно вытекает из опреде-
ления сводимости по перечислимости, g

Применение операторов перечисления к однозначным множе-
ствам (и, следовательно, в силу соглашения § 5.3 к функциям)
ставит ряд интересных вопросов, которые будут рассмотрены
в § 9.8.

Определение. А =еВ, если А В и В ^еЛ.

ОбознАЧЕнив. Пусть i|> и (р суть функции. Мы употребляем для
т(ф) т(ф) сокращение ф <р и для т(ф) =е т(<р) сокращение
Ф se Ф-

В литературе понятие „ф частичнорекурсивна в <р” обычно опре-
деляется как совпадающее с ф =Се ф- Степени при упорядочении
по е-сводимости, т. е. классы эквивалентности ==е, иногда назы-
вают функциональными степенями. Эти степени рассматриваются
далее в § 13.6.

Среди трех отношений „А рекурсивно в В", „А ^.еВ" и „Л рекур-
сивно перечислимо в В" имеют место следующие импликации; ника-
кие другие импликации места, вообще говоря, не имеют:

Л рекурсивно в В =>Л рекурсивно перечислимо в В; А В =>
=> Л рекурсивно перечислимо в В.

(См. упр. 9-57.) Остается случай, когда Л и В — однозначные
множества. Например, ф рекурсивно перечислимо в ф не влечет
за собой, вообще говоря, ф ф«

§ 9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Возникает целый ряд интересных вопросов, касающихся соот-
ношения между операторами перечисления и однозначными мно-
жествами. Мы рассмотрим некоторые из них здесь, а позднее,
в § 15.3, предпримем дальнейшее их обсуждение.

Пусть еР — класс всех функций одной переменной. Ото-
бражение подкласса класса еР в <fP назовем функциональным
оператором. Каждая функция <р имеет соответствующее одно-
значное множество т(ф), и каждое однозначное множество А
определяет функцию т-1(Л). Пусть тсР — класс всех однозначных
множеств. Тогда т есть взаимно однозначное стандартное отобра-
жение класса аР на т£Р. Всякий функциональный оператор 'F
определяет отображение Г подкласса класса ТсР в тФ, где
Г = тТт-1, и каждое отображение Г подкласса класса тсР в тсР
определяет функциональный оператор Т, где W = т-1Гт.

Определение. Пусть Ф — некоторое (всюду определенное)
отображение класса 2iV в 2N. Оно определяет отображение Фт^>
подкласса класса ТеР в тсР следующим образом:

(i)	Arg Фт^> = ф-1 (т#>) р|ТсР;

(В)	Ф= Ф на области определения отображения Фт_^а.

(Таким образом, Фт^>'есть’ограничение Ф на те однозначные мно-
жества А, для которых Ф(А) также однозначно.) Тогда Фт^> в свою
очередь задает функциональный оператор Т = т_1Ф^от. Мы будем
говорить, что отображение Ф определяет функциональный опера-
тор 4е.

Определение. V — частичнорекурсивный оператор, если

(i)	Т — функциональный оператор
и

(ii)	для некоторого z Фг определяет ’F.

(То есть функциональный оператор есть частично рекурсивный
оператор, если он определяется оператором перечисления.)

Определение. Ч*" есть рекурсивный оператор, если

(i)	Ч*1 есть частичнорекурсивный оператор;

(ii)	Arg Т =

(То есть, иными словами, частичнорекурсивный оператор является
рекурсивным оператором, если он определяется оператором пере-
числения Ф2,< таким, ЧТО Ф2(т&Р) С ТеР.)

Пример 1. ХА [А] определяет рекурсивный оператор, тож-
дественное отображение класса еР на ер 1).

Пример 2. ХА [/V] определяет частичнорекурсивный опера-
тор, область определения которого пуста.

Пример 3. Пусть ц — фиксированная частичнорекурсив-
ная функция. Отображение из cP в cP, задаваемое функцией
Хф[т]ф], есть рекурсивный оператор, то же можно сказать и об
отображении, задаваемом функцией Аф[фТ)].

Пусть & — класс всех всюду определенных функций одной
переменной.

х) Мы здесь распространяем употребление /.-обозначений на множествен-
но-значные и функционально-значные выражения очевидным образом.
Определение. Ч*1 есть общерекурсивный оператор, если

(i)	Чг есть частичнорекурсивный оператор,

(ii)	sp cz Arg 4е,

(iii)	4W с

(Таким образом, частичнорекурсивный оператор является обще-
рекурсивным оператором, если он определен на всех всюду
определенных функциях и переводит всюду определенные функции
во всюду определенные.)

Легко показать, что не всякий частичнорекурсивный оператор
может быть продолжен до рекурсивного оператора (упр. 9-64).
С другой стороны, следующая теорема показывает, что всякий
общерекурсивный оператор есть рекурсивный оператор.

Теорема XXII. Пусть 'F — частичнорекурсивный оператор.
Если ;р с Arg Ч*", то Ч*" — рекурсивный оператор.

Доказательство. Пусть Ф2 определяет Ч*'. Если 4е не
есть рекурсивный оператор, то, согласно теореме XXI, должны
существовать множества А и D, такие, что А = Ф2(/>), D однознач-
но и конечно, а Л не однозначно. Но D может быть продолжено
до В (т. е. D cz В), такого что В = т(/) для некоторой (всюду
определенной) функции /. Согласно теореме XXI, А ст Ф2(5) и,
следовательно, Фг(В) не однозначно, в противоречие с нашим
предположением о том, что ер ст Arg Чг.и

Следствие XXII. Всякий общерекурсивный оператор является
рекурсивным оператором.

Доказательство очевидно. и

Перейдем к изложению фундументального результата настоя-
щего раздела, основной теоремы об операторах. Эта теорема по-
казывает, что если мы ограничимся рассмотрением входов из Jp
(всюду определенных функций), то всякий частичнорекурсивный
оператор может быть продолжен до рекурсивного оператора.
Этот результат о частичнорекурсивных операторах противостоит
теореме 2-П о непродолжимости всех частично рекурсивных
функций. Он имеет место равномерно и, следовательно, дает эф-
фективный пересчет рекурсивных операторов на ер. Таким
образом, этот результат противостоит также упр. 2-9 о непере-
числимости общерекурсивпых функций.

Теорема XXIII (основная теорема об операторах). Существует
общерекурсивная функция о, такая, что для всякого z если Ф2
определяет частичнорекурсивный оператор Чг, то Ф0<2) определяет
рекурсивный оператор Ч*" ', обладающий свойством, что для вся-
кой всюду определенной функции f f Е Arg 4е => Чг'(/) =
Доказательство. Мы приведем сначала интуитивные
доводы, а затем более детальную конструкцию. Из соображений
технической простоты путь, которому следует эта конструкция,
отличен от хода приводимых интуитивных рассуждений.

Интуитивные доводы. Если дан пересчет в некото-
ром порядке всюду определенной функции, мы можем исследовать
принадлежность элемента к этой функции (см. следствие VI).
Значит, из любого пересчета множества т(/) мы можем получить
пересчет множества т(/) в стандартном порядке (0, /(0)),
(1, /(!)>, .... Применяя Ф2 к этому стандартному пересчету,
мы получаем множество Ф2(т(/)) в фиксированном порядке. Выход
ФДт(/)) может быть „униформизован” в соответствии с этим поряд-
ком (как при доказательстве теоремы 5-XVI). Чтобы получить
ФСТ(2), мы сначала устраиваем композицию трех операторов:
(i) преобразования входа к стандартному порядку, (ii) применения
Фг, (iii) „униформизации” выхода (это задает корректно определен-
ный оператор изтсР в теР; а затем мы добавляем условие, что для
любого неоднозначного входа выходом должно быть N (выход,
таким образом, не зависит ст порядка, в котором подаются вход-
ные значения, и мы имеем корректно определенный оператор
из 2N в 2n с требуемыми свойствами).

Детальная конструкция. Пусть /" — фиксиро-
ванная общерекурсивная функция, фигурирующая в следствии
5-V (d). Пусть дано некоторое z. Рассмотрим множество Wz,
перечисляемое в стандартном порядке, порождаемом функцией
(Pf’(z')- Если v f Wz, мы скажем, что и предшествует и в IV2, если
и £ Wz, и и встречается раньше v при этом стандартном порядке,
т. е. если <p7"(z)(w) существует и <p7’<z)(u) < q>7»(2)(p).

Рассмотрим

(*) {((ж, У), t) | Dt однозначно & (3s) [Dt cz Ds &

& ((x, y), s) f: Wz & (Vs') (Vy') [((x, y'), s') предшествует

{{x, y), s) в Wz => Dt (JZ)S не однозачно]]}.

Это множество, очевидно, рекурсивно перечислимо с р. п.
индексом, зависящим равномерно от z. Пусть о — общерекурсив-
ная функция, такая, что РИ0(2) есть это множество. Остается
показать, что Фст(2) обладает требуемыми свойствами. Докажем
прежде всего лемму.

Лемма. [((х, у), t) € JVa(z) & Dt c	однозначно] =>

=><<£, У), ti) 6 Жо(2).

Доказательство. Предположим, что множество Dtt
однозначно, Dt <= Dti, ({х, у), t) € Wa(z) и ({х, у), h) $ Жст(2).
Обозначим через Ds множество, полученное из Dt согласно (*),
и через DS' множество, полученное из Ds и Dtl согласно (*) (с £i
вместо t в (*)). Затем в силу (*) множество DS'\JD^ однозначно,
но	не однозначно. Это противоречит предположению

о том, что Dt gz Dtt, и лемма доказана.

Мы теперь покажем, что Фо(2) определяет рекурсивный опера-
тор. Предположим противное. Тогда для некоторого однозначного
множества А <(х, г/1>, <i) € Wa(z) &Dti с: А; ((ж, у2), t2) €
€ Wa(2)&Dt2c А и yi =£ у2. Пусть Dtl получено из Dt2 соглас-
но (*) (с Si вместо s и tx вместо <), и пусть Z)S2 получено из Dti
согласно (*) (с з2 вместо s и t2 вместо t). Без потери общности мож-
но предположить, что (<х, у,), ti) предшествует ((х, у2), t2}
в Wz. Тогда, согласно (*), множество DSi[)Dt2 не однозначно.
Так как Dsl с: Dtl, Dt1[)Dl2 не однозначно. Но Dtx U^z2
и, следовательно, А не однозначно; пришли к противоречию.

Наконец, покажем, что если множество Фг(т(/)) ’) одно-
значно, то

Фа(г)(т(Л) = ФДТ(/)).

Предположим, что дана функция / и множество Ф2(т(/)) одно-
значно.

Тогда (х, у) £ Фа(г)(т(0) => (3£) [<(ж, у), t) € Wa(z) &Dt
cz т(/)1 => (3s) [< (x, y), s) Ё Wz &DS cz т(/)] (согласно (*)) =>
=> (#, у) € Фг(т(/)). Обратно, пусть (x, у} E Фг(т(/)). Тогда долж-
но существовать s, такое, что ((х, у), s) £ и Ds с т(/). Возь-
мем первое такое s, появляющееся при „стандартном” порядке W2.
Пусть S = {si, . . ., ед} = {s' | (Зу') [((я, у'), s') предшествует,
{{х, у), s) в Wz]}. Так как Ф2(т(/)) однозначно,™ Ds. ф. i\f) (1

i к). Определим Dt так, что Dt cz т(/) и Arg Dt = Arg Ds (J
k

U (U Arg D,.). Так как Ds. <£ x(/) (1 i С к), имеем, что множе-
i=l	1	’

ство Ds. [J Dt не однозначно (1 i ^к). Отсюда, согласно (*),
((а:, Р), О € Wa(z). (Если S = 0, определим Df = Ds и вновь
((х, у), t) £ Wa(z).) Таким образом, (а:, р) € ФО(2) (т(/)).

Это завершает доказательство теоремы. в

Следующий вопрос основная теорема оставляет открытым.
Существуют ли функции ф и <р, такие, что <р переводится в ф ча-
стичнорекурсивным, но не рекурсивным оператором? Мы ответим
на этот вопрос утвердительно в § 13.6 (см. упр. 9-69).

В некоторой части литературы функциональные операторы
изучаются только как отображения из в cP (а не как из в cP).
При таком ограничении всякий частичнорекурсивный оператор
может быть продолжен до рекурсивного оператора (согласно

г) Напомним, что / — всюду определенная функция.— Прим, перев.
теореме XXIII — в самом деле, стройность, обеспечиваемая теоре-
мой XXIII, возможно, является главной причиной выбора такого
ограничения), а термин „частичнорекурсивный оператор” иногда
используется (когда нами употребляется термин „рекурсивный
оператор”) применительно к отображениям из jF в cP, определен-
ным на всем &.

Мы теперь воспользуемся основной теоремой, чтобы устано-
вить взаимосвязь между функциональными операторами и различ-
ными видами сводимости, ранее рассматривавшимися.

Теорема XXIV. А рекурсивно в В сА св*

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
XXIII, мы приведем сначала интуитивные доводы, а затем деталь-
ную конструкцию.

Интуитивные доводы. =>. Предположим, что мно-
жество А рекурсивно в В. Любой пересчет множества св может
' быть использован для получения ответов на вопросы о принадлеж-
ности множеству В, следовательно, для получения ответов на
вопросы о принадлежности множеству А и, следовательно, для
пересчета множества сА.

-<=. Предположим, что сА св и что у нас есть оракул для В.
С помощью оракула мы можем пересчитать св; тогда мы сможем
пересчитать сА и, используя этот пересчет, ответить на вопросы
о принадлежности множеству А.

Детальная конструкция. =>. Предположим, что А
рекурсивно в В. Тогда сА = <pf для некоторого z. То есть

с л = {<я, у) | (Зи) (Зи) [ (х, у, и, к} g

' € Wp(z) & Du сВ & DB cz В]}.

Возьмем такую общерекурсивную функцию h двух переменных,
что

^л(и.о) = (Ри X {!}) (J (D„ X {0}).

Возьмем общерекурсивную функцию такую, что

wgi<z) = {<U7> О I (М (Зу) (Зи) (Зи) [w = (х, у) & t =

= h(u, v) & (х, у, и, V) 6 Wp(г)]}.

Тогда

<*, У) € сА <=> (3t) [<(х, у), t) € Wgt(z) &Dt с т(св)1.

Отсюда.сА св посредством gt(z).
<=. Предположим, что сл е св посредством z. Тогда, соглас-
но теореме XXIII,

Т(СА) = Фо(г)(т(св)),

где Фо(г) определяет рекурсивный оператор.

Пусть 0 — общерекурсивная функция, такая, что =
= {<<£, У), С I <<г, у), t) g Wa(z) &Dt с= N х {0, 1}}.

Множество W'e(z) является бесконечным. Далее, пусть
<(xi, yi), ti), (<х2, Уг), tz), . . . —эффективный пересчет эле-
ментов We(Z). Согласно лемме из доказательства теоремы XXIII,
если ((ж, у), t) g Wa(z), то {(х, у),	для всех t',

таких, что Dt сд Dt- и Dt’ однозначно. Мы зададим инструкцию
для нового эффективного пересчета (без повторения) множества
We(Z) следующим образом.

Этап 1, Поместите в пересчет (<Xi, yi), £,). Перейдите
к этапу 2.

Этап п. Поместите в пересчет ({хп, уп), tn), а затем пере-
числяйте (<хл, уп), t') для всех t', таких, что Dtn сд Dt', Dt- сд
n

c N X {0, 1}, Arg Dt> = U ArgZ>< и Dt> однозначно. Затем
h=i	11	.

перейдите к этапу п + 1.

Мы обозначим следующие один за другим элементы этого нового
пересчета множества РУв(г) через ({х{, у\), ij), (<х2, у2), t2), . . ..
Пусть hi и h2 — общерекурсивные функции, такие, что

Dhl(t, = {х \ {х, 1)6 Dt}

= {х | (X, 0) € Dt}.

Пусть С = {(х, у, и, и) | (3«) [<(х, у), t) g ^(z) & и = hi(t) &
&v = Л2(£)]}. Рассмотрим эффективный пересчет С: (х\, у{, и{, у',),
<х2, у2, и’г, v2), . . ., где и[ = h^n vi = Л2(^) (i = 1, 2, . . .).
Заметим, что все четверки в этом пересчете совместны (т. е. Du> f)

Q DV[ — 0). Воспользуемся этим пересчетом, чтобы получить
эффективный пересчет некоторого подмножества С* множества С
следующим образом.

Этап 1. Поместите (х,, у{, u't, v\) в С*. Перейдите к этапу 2.

Этап п. Проверьте, выполняется' ли (Эу) (Зп) (Зу)
1(Хп, у, и, v) уже помещено в С* и (хл, у'п, ип, v'n) согласовано
с <Хп, у, и, и) (т. е. Du’n Q D„ = Dv’n Q Du = 0)]. Если выпол-
няется, переходим непосредствепно к этапу «4-1. Если нет,
помещаем (хп, у'п, и'п, v'n) в С*, а затем переходим к этапу п 4- 1.

Очевидно, множество С* рекурсивно перечислимо и индекс
его равномерно зависит от z. Пусть g2 — общерекурсивная функ-
ция, такая, что Wg2(z) = С*. Остается показать, что сА = <р® (z).

Заметим сначала, что из построения С* по С следует регуляр-
ность С*. Отсюда, согласно теореме II, Wg2(Z) = lVpg2(2). Если
у) € то Для некоторых или (х, у, и, v) £ Wg^z} &
& Du <zz В & Dv а В. Тогда по построению ((х, у), С ^а(г) &
& Dt cz т(св), где и = и v = h2(t). Следовательно,

{X, у) е Фа(г) (t(cB)) И <Ж, у> £ СА.

Обратно, предположим (х, у) С сА- Тогда ((х, у), t) Е WO(Z) &
&.Dtc: т(св) для некоторого t. Следовательно, существует этап п
в процедуре пересчета Wo(Z>, используемой выше, на котором
{{х, y),tr) было помещено в We(z); здесь х = хп, у = уп, Dt cz Dt-,
п

DfCz х(св) и ArgZ)r = (J Arg Dt,. Пусть этот {{х, у), t')
h=l

является m-м элементом пересчета множества И7е(2). Тогда

{{Хт, Ут), tm) = (У), t ),

Arg Dt> = U AigD,.
fe=l	h

Если (x'm, y'm, u'm, vm) было помещено в С* на этапе т, то
(х, у, и'т, vm) С Wр„ (г) & D z cz В & D ' В, следователь-
но, <х, у) g 4>g2(zy Если (х'т, у'т, ит, и'т) не было помещено в С*
на этапе т, то должно существовать q<_m, такое что (х'д, y'q, u'q, v'q)
было помещено в С* на этапе q, х'т — х'д и (х„, Ут, и’т, vm) согла-
совано с (x’q, y’q, u'q, v'q). Эта согласованность вместе с условием
т

ArgDt, — U Arg Dy влечет за собой включения D icD>
h=l	'k	uq um

И Dv'q D«m' TeM СаМЫМ Уч) = Уч> фД(г>' ОтсЮДа,
согласно предыдущему параграфу, {х, y'q) Следовательно,
y'q = у, и мы имеем {х, у) 6 4>g2(Z)> что и требовалось.и

Следствие XXIV. Для любых всюду определенных функций f
и g f рекурсивно в g <=> / S-

Доказательство. См. упр. 9-65.и

Теоремы XX и XXIV вместе дают еще одно доказательство
транзитивности отношения ^т.
Сводимость по перечислимости порождает упорядочение по
сводимости семейства всех множеств (см. упр. 9-56). Согласно
теореме XXIV, упорядочение по Т-сводимости изоморфно подупо-
рядочению упорядочения по е-сводимости; этот изоморфизм полу-
чается идентифицированием Т-степени множества А с е-степенью
сА. Является ли это подупорядочение полным упорядочением по
е-сводимости? Эквивалентный вопрос (см. упр. 9-61), существует
ли для всякой функции ф всюду определенная“функция /, такая,
что / =е Ф? Мы ответим на этот вопрос отрицательно в § 13.6*
(см. упр. 9-70).

Следующее описание сводимости по Тьюрингу очевидно.

Теорема XXV. А ^ТВ <-> существует рекурсивный операторг
переводящий св в сА.

Доказательство. Следует из теорем XXIII и XXIV. и

Если одна характеристическая функция переводится в другую
рекурсивным оператором, должна ли она переводиться в нее
общерекурсивным оператором? Следующая теорема отвечает на
этот вопрос отрицательно, показывая, что существование обще-
рекурсивного оператора совпадает с tt-сводимостью. Эта теорема
является усилением теоремы XIX.

Теорема XXVI (Нероуд). A В <=> существует общере-
курсивный оператор, переводящий св в сА.

Доказательство. =>. Согласно теореме XIX, суще-
ствует z, такое, что сА =	& (VX) [ф* есть характеристическая

функция]. Возьмем Фй1(2), как в доказательстве теоремы XXIV.
Пусть Ф — оператор перечисления, который определяет рекур-
сивный оператор Ч’’, такой, что

( 1,	если ф(х) > 0;

[Ч'Хф)] (ж) = < 0,	если ф(я) — 0;

I не определено, если ф(ж) не определено.

Тогда Ф/(2)Ф определяет искомый общерекурсивный оператор.

<=. Пусть Ф2 определяет данный общерекурсивный оператор.
Возьмем g2 как при доказательстве теоремы XXIV; тогда сА —
= ф“ (г) и для всех X функция g* (z) всюду определена. Отсюда,
согласно теореме XIX, A ?Ctt В я

Следствие XXVI (а). А В <=> существует общерекурсив-
ный оператор, переводящий характеристические функции в харак-
теристические, который переводит св в сА.

Д оказательств о. Вытекает из построения для части

теоремы.
Следствие XXVI (Ь) (3/) (3g) [f переводится в g рекурсивным
оператором, но/не переводится в g общерекурсивным оператором].

Доказательство. Вытекает из теоремы 1.в

Другие изучавшиеся до сих пор виды сводимости соответствуют
определенным типам рекурсивных операторов: A ^B^lcA —
= св/ для некоторой взаимно однозначной общерекурсивной функ-
ции /]; А ^тВ [сА = св/ для некоторой общерекурсивной
функции/].

В § 13.6 и 15.3 мы займемся некоторыми топологическими
аспектами теории операторов и рядом других вопросов, возни-
кающих в связи с операторами.

.§ 9.9. УПРАЖНЕНИЯ

§9.1

9-1. Пусть множество К — такое же, как в § 9.1. Является ли К рекур-
сивно перечислимым?

9-2. Покажите, что К 1К.

9-3. Пусть К* = {х | (Зр) ]фа(а:) = у &. tt-условие у не выполняется
на А']}. Какие отношения сводимости имеют место между К а К*? Выпол-
няется ли А*

§ 9.2

9-4. Покажите, что множество Wh(z), определенное как в § 9.2, регулярно.

9-5 (Блюм). Покажите, что множество А рекурсивно перечислимо и ре-
гулярно ==> (3z)[A = Ид^)]. (В рамках этого упражнения каждое Р'2 может
быть идентифицировано с соответствующим эффективным способом порожде-
ния диаграмм.)

9-6. Пусть дано А. Покажите, как найти z, такое, что <р^ = сА.

9-7. Предположим, что для всякого А функция ф А-частичнорекурсивна.
Должна ли она быть частично рекурсивной?

к	§ 9.3

9-8. Покажите, что КА рекурсивно перечислимо в А.

△9-9. (а) Покажите, что отношение „А рекурсивно в В" транзитивно. (Над
этим утверждением следует подумать до чтения § 9.4. Оно вновь появляется
в качестве упр. 9-14.)

(Ь) Покажите, что отношение „А рекурсивно перечислимо в В" не транзи-
тивно. (Указание. Используйте 0, К и А.)

△9-10. Опровергните следующее предположение: (А не рекурсивно
& (VB)[A рекурсивно в В <=> А рекурсивно перечислимо в В]] => (Э/)[А s
= т(/)] (Указание. Найдите (неконструктивно) множество А, такое, что А
иммунно и (Vх)[2х £ А или 2r-|- 1 £А, но не одновременно]. Докажите
и используйте тот факт, что (3/)[С = т(/)] => С не иммунно.)

9-11. Покажите, что множество КА максимально относительно 1-сво-
димости среди всех множеств, рекурсивно перечислимых в А.

9-12. Сформулируйте и проверьте релятивизованные варианты теорем
-5-III и 5-IV.

9-13. Пусть А фиксировано; обсудите существование трех типов А-про-
•стых множеств, упомянутых в § 9.3.
§ 9.4

9-14. Проведите строгое доказательство транзитивности, намеченное
в теореме XII. Покажите, что тразитивность равйомерна (в соответствующем
подходящем смысле).

9-15. (а) Покажите, что всякая Т-степень содержит х0 множеств.

(Ь)	Покажите, что всякая Т-степень имеет самое большее к0 Т-степеней,
предшествующих ей при упорядочении по Т-сводимости.

9-16. Покажите, что семейство {А | А Ст®} образует (при любом В)
булеву алгебру.

9-17. Покажите, что для всякой Т-степени существует бесконечная после-
довательность Т-степеней, ее превосходящих, линейно упорядоченных отно-
сительно Ст по типу натуральных чисел (0, 1, 2, . . .). (Указание. Восполь-
зуйтесь теоремой X и упр. 9-11.)

9-18. (а) Пусть d есть Т-степень. Верно ли следующее: d имеет максималь-
ную 1-степень <?> d имеет максимальную т-степень <=> d имеет максималь-
ную tt-степень?

(Ь)	Покажите, что К обладает следующими свойствами: для всякой рекур-
сивно перечислимой степени d существует рекурсивное множество А, такое,
что К П А [ лежит в d. (Указание. Используйте Ко.)

△9-19. Покажите, что В рекурсивно перечислимо в А <?=> [(Э/)[т(/) ==т
=тА & В = Vai /] или В имеет менее двух элементов].

△9-20. Пусть дано А, такое, что К ^цА. Пусть В => А ф А, и пусть
С = {х | <ря(г) определено &. <ря (х) $ В}. Покажите, что А ^С, С Ст-^»
но С ^1А,

Д9-21. (а) Покажите, что А С tt® <=> (2 общерекурсивная функция /)
(3 общерекурсивная g) (Vх) [[х £ А <=> (Зи) (Зр)[(и, и) Е ®/(х) &®и_ сд
с: В & Dv сВ]] & [ж ф А <=> (3и)(3и) [<и, и) Е	сВ & Dv cz. В]]].

(Ь)	Покажите, что А Ст® <’=> общерекурсивная /) (3 общерекурсив-
ная функция g) (Vi)[[x Е А <=> (3u)(3e)[(u, v) Е И’/(х) &BU с®
cBJ] & [x $ A <=> (3u) (3i>)[(u, u) E Wg(x) & Du czB &,DV cB]]].

△9-22. Пусть А и В рекурсивно перечислимы. Покажите, что А Ст® <-=i>
<=> (Зх)[А = W*] <=> (3 общерекурсивная функция /) (Vx)[x $ А <=>
<=> (Зу)[у С WfM & Dy с В]].

§ 9.5

9-23. Покажите, что А гипериммунно => А иммунно.

9-24. Выясните, является ли множество В* теоремы 8-VIII гиперпростым.

9-25. Покажите, что конструкция теоремы Деккера равномерна в следую-
щем смысле: (3 общерекурсивная функция g) (Vх) [ИД не рекурсивно =Ф

гиперпросто & IV?(X) С ttW7! Ст W’gtx))!- Что можно ска-
зать о ИД,,, если Wx рекурсивно?

• △9-26. (а) Определим, максимальное множество как в упр. 8-40. Покажи-
те, что А максимально А гиперпросто.

(Ь) Покажите, что gtl, gi2 и g13 лежат вдоль „спектра” из § 8.7 (см.
также упр. 8-46), установив, что если А С 2В, то (i) В просто А просто;
(ii) В гиперпросто =ф А гиперпросто и (iii) В максимально => А максимально.

9-27. Пусть f общерекурсивна и взаимно однозначна. Исследуйте /(А)
и /-1(А) для гиперпростого множества А и для гипериммунного множества А.

9-28 (Пост). Получите следующее описание гипериммунных множеств.

Теорема. А гипериммунно <=> А бесконечно и ~~] (3 общерекурсивная функ-
ция f) [(Vu)[P/(u) П А =/= 0] & (Vz) (Эи) [всякий элемент из Df^ больше,
чем г]].
9-29. Воспользовавшись неконструктивным' диагональным методом,,
покажите, что существует множество А, такое, что А и А гиперпммунны.

9-30. Покажите, что существует множество А , ’такое, что А и А иммунны,
и такое, что А Ст (Указание. Покажите, что конструкция из теоремы
8-III эффективна, если только есть оракул, который может решить любой
случай проблемы остановки, т. е. оракул для К.)

△ 9-31. ’(а) Покажите, что (Зл) [А и А иммунны и A sy К]. (Указание.
Модифицируйте конструкцию из упр. 9-30 так, чтобы А кодировало (напри-
мер, мощностью своих пробелов в порядке возрастания) информацию о при-
надлежности множеству К.)

(Ь) Покажите, что (Ув)[К Ст => (ЭЛ)[Л и А иммунны и А =т

9-32. Проделайте упр. 9-30с заменой „иммунный” на „гипериммунный”.
(Указание. Воспользуйтесь конструкцией из упр. 9-29; последуйте указанию
из упр. 9-30.)

△ 9-33. Проделайте упр. 9-31 с „гипериммунным11 вместо „иммунного11.
(Указание. Как в 9-31.)

9-34 (Деккер). Пусть А л В гиперпросты. Пусть С — любое рекурсивно-
перечислимое множество. Покажите, что

(i)	А П В гиперпросто;

(ii)	A (J С гиперпросто или коконечно.

Отсюда заключите, что семейство гиперпростых или коконечных мно-
жеств образует дуальный идеал в решетке рекурсивно перечислимых мно-
жеств (о понятии дуального идеала см. § 12.1).

9-35. Пусть А — произвольное множество. Покажите, что существует
множество, которое Л-иммунно, но не гипериммунно. (Указание. Релятиви-
зуйте теорему 8-11.)

Д9-36. Докажите существование гиперпростого, но не максимального,
множества. (Указание. Пусть А гиперпросто. Определим f так: f (2х) = 2х +
+ 1 и/(2х + 1) = 2х. Покажите, что/(Л) П А гиперпросто, но не максималь-
но; см. упр. 9-34.)

9-37. Определите для любого множества Л: пд (i)—(мощность множества
Л П {0, 1, . . ., х}]. Определите Л СцВ („В не менее густо, чем Л”), если.
(3 общерекурсивная функция/) (Va:)[nA (х) ^пв (/(г))].

(i)	Покажите, что задает частичное упорядочение.

(ii)	Существует максимальная „степень” при этом упорядочении. Какие,
множества ей принадлежат?

(iii)	Пусть Л гипериммунно. Пусть р С Л и <?(£ Л. Покажите, что
A U {?} ^d-4 и Л ^аЛ — {/>}, в то время как Л — {р} ^цЛ СаЛ (J {д}.

9-38 (Тенненбаум). Определите d(A, f) (густоту А относительно

как lim inf (-2^-] , где ап мощность множества [{0, 1, . . ., п} П /-1(Л )]„
n-юо \ П I

(i)	Покажите, что Л гипериммунно =£ (V общерекурсивная взаимно одно-
значная функция /) [<2(Л, /) = 0].

(ii)	Покажите, что [/ общерекурсивна & Л j гипериммунно & й(Л, /) >-
> 0] =Ф (За:)|> £ Л & d({z}, /) > 0].

§ 9.6

9.39.	Должно ли всякое нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
жество, которое не tt-полно, быть гиперпростым?

9.40.	Пусть У — множество всех конечных последовательностей нулей
и единиц. Пусть а и Ь обозначают элементы из .7  Определим а Ь, если а
является начальным отрезком Ь. Это дает частичное упорядочение множества
3 При этом упорядочении У иногда называют бинарным деревом. Оно>
может быть изображено в виде диаграммы следующим образом:

ef называется поддеревом дерева У, если С У и (Va)[a £ =ф {b | b <
< a} CZ „У]- Пусть — любое поддерево; максимальное линейно упорядо-
ченное подмножество множества назовем его ветвью.

(а)	Докажите следующую основную теорему о компактности для деревьев.
(Она иногда называется теоремой о веере или Endlichkeitslemma; она
может рассматриваться как вариант в теории графов теоремы Больцано —
Вейерштрасса для замкнутых интервалов числовой прямой.)

Теорема. Если поддерево дерева У не имеет никакой бесконечной ветви,
то это поддерево конечно.

(Ь)	Докажите или опровергните следующее утверждение: если каждый
элемент поддерева содержится в конечной ветви этого поддерева, то это под-
дерево конечно.

9-41. Рх есть машина Тьюринга с индексом х (см. § 1.8). Она может быть
применена к входным лентам, отличным от лент специального вида ...ВВП...
..ЛВ... (которые использовались нами (§ 1.5) для задания входных значений
при нашем основном описании частично рекурсивных функций). Входную
ленту назовем конечной, если все ее, кроме конечного числа, ячейки пусты;
в противном случае лента будет называться бесконечной. (Таким образом,
лента конечна или бесконечна в зависимости от того, содержит Лиона
конечное или бесконечное число единиц.)

△(1) Предположим, что начальным состоянием всех машин Тьюринга
является q0. Покажите, что {г| для всех входных лент (конечных или бесконеч-
ных) и для всех начальных конфигураций машина Рх заканчивает работу} рекур-
сивно перечислимо. (Указание. Воспользуйтесь теоремой о веере, упр. 9-40.)

Д(п) Предположим, что начальным состоянием всех машин Тьюринга
является до- Покажите, что {х | для всех конечных входных лент и для всех
начальных конфигураций машина Рх заканчивает работу} не рекурсивно
перечислимо и не имеет рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание.
Покажите, что как К, так и К m-сводимы к этому множеству.)

(iii) Заключите из (i), что {х | для всех входных лент, всех начальных кон-
фигураций и всех начальных состояний машина Рх заканчивает работу}
рекурсивно перечислимо х).

9-42. См. упр. 9-40. Пусть У* — множество всех конечных последова-
тельностей натуральных чисел. Пусть а и Ь обозначают элементы из У*.
Скажем, что а ^ГЪ, если а есть начальный отрезок последовательности Ь.
При этом упорядочении У* ипогда называют функциональным деревом.
Определите поддерево и ветвь, как раньше.

(i) Имеет ли место Endlichkeitslemma для .7*?

△(ii) Покажите, что (в качестве частичного упорядочения) У* может
быть вложено в У.

!)Хупер [1966] показал, что это множество нерекурсивно.
9-43. Объясните, почему в доказательстве теоремы XVIII f! и tj должны
иметь различные производные истинностные таблицы, если i j и Tt Г) А =
= Tj П А.

9-44. (Деккер, Майхилл, Тенненбаум). Определим: А ретрассируемо^
или прослеживаемо, если (3 частичнорекурсивная функция ip) (Vx)[x £ А =>
=ф [ф(х) определено; ф(х) — х, если х есть наименьший элемент из А; и ф(х) =
ближайший меньший элемент из Л), если х не есть наименьший элемент Л]].
Покажите следующее:

(i)	[Л ретрассируемо & В э 4 &. В бесконечно] => Л В.

(ii)	Л ретрассируемо Л рекурсивно или иммунно.

△(iii) [Л ретрассируемо &Л рекурсивно перечислимо] =5 А рекурсивно
или гипериммунно. (Указание. Произведите для каждого сегмента {0, . . ., п\
вычисления, которые (а) порождают единую прослеженную цепь, а также-
(Ь) помещают все элементы, не принадлежащие этой цепи, в Л.)

△ (iv) Существует множество, ретрассируемое, но не рекурсивное и не-
гипериммунное. (Указание. Рассмотрите бинарное дерево (упр. 9-40), раз-
меченное следующим образом:

Каждая ветвь задает ретрассируемое множество. Никакая ветвь не ги-
нериммуппа.)

△(v) Существуют множества, которые гипериммунны и ретрассируемы.
(Указание. Используйте функциональное дерево упр. 9-42.)

△(vi) Множество В, конструируемое в теореме XVI (теорема Деккера),
имеет ретрассируемое дополнение.

△ (vii) (Ейтс). Если Л рекурсивно перечислимо, то [Л ретрассируемо<=>
<=> (3 общерекурсивная /) [Л = {х | (3у)[у > х &. f(y) гС f(x)]}]]. (Указание.
См. указание для (iii) выше.) Эта теорема представимости является частич-
ным обращением утверждения (vi). Из упр. 10-19 следует, что не всякое гипер-
простое множество имеет ретрассируемое дополнение.

(viii)	Покажите, что свойство множеств содержать бесконечное ретрас-
сируемое подмножество рекурсивно инвариантно. (Мак-Лохлин показал, что
свойство ретрассируемости не есть рекурсивный инвариант.)

(ix)	Определить: Л регрессивно, если существует некоторый пересчет
множества Л (не обязательно эффективный) без повторений, такой, что
(3 частичнорекурсивная ф) (Vx)[x £ А =ф [ф(х) определено; ф(х) = х, если х
есть первый элемент этого пересчета, и ф(х) непосредственно предшествует х
в пересчете, если х не есть первый элемент пересчета]]. Покажите, что суще-
ствует регрессивное множество, которое не ретрассируемо.

(х)	Покажите, что Л содержит бесконечное регрессивное подмножество
<=> А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество. (О дальнейших
результатах, касающихся ретрассируемых и регрессивных множеств, см.
Деккер [1962] и Аппель и Мак-Лохлин [1965].)
/29-45. Введем слабую табличную сводимость (sjw) следующим определе-
нием, которое легко может быть уточнено: A В, если (3z)(cA = <р&
и (3 общерекурсивная /)	содержит все числа, принадлежность

или непринадлежность которых множеству В используется при вычислении
<pf(x)] (см. рассуждение § 9.1).

(1)	Покажите, что К Си®&А ^wB => А цВ. (Указание. Для
tt-сведения А к В установите, используя К, какая^комбииация вопросов о В
делает процедуру w-сведения завершающейся.)

(ii)	Установите с помощью теоремы I, что Cw отличается от Ст-

(iii)	Покажите, что Vf-полнота отличается от Т-полноты. (Указание-
Покажите, что -w-полное =ф не гиперпростое.) Лахлан [1965] показал, что-
Cw и Си различаются на рекурсивно перечислимых множествах.

9-46. Покажите при помощи неконструктивного диагонального метода,,
что. гипергиперпростые множества существуют.

9-47 (Фридберг). Пусть А — максимальное рекурсивно перечислимое
множество (упр. 8-40). Покажите, что А гипергиперпросто.

△9-48 (а) (Пост). Покажите, что не существует множества А со следующим
свойством: А рекурсивно перечислимо и А бесконечно и Д(3 общерекурсив-
ная /) [(Vu)[Wj(U) конечно & П 4 =/= 0] & (Vn)(3u) [ каждый эле-
мент Иу(0) больше п]]. Таким .образом, для гипергиперпростых множеств
аналог упр. 9-28 не имеет места.

(Ь) (Ейтс). Покажите: А гипергиперпросто <=> 4 рекурсивно перечис-
лимо и А бесконечно и -|(Э общерекурсивная /) [(Vu)[ Wf (U) П А

0] & (Vu)(Vu)[u #= v => Wf(u) П И^(о) = 0]]].

9-49. Для любого А пусть А* = {х | (3u)(3i>)[(u, v'j £DX &DU с
a: A &.DV c: 4]}. Покажите, что 4* =4tl.

Д9-50. Упр. 9-21 и 9-49 подсказывают следующий подход к вопросу
о Т-цилиндрах. Определим: 4Т = {х | (Зи)(Эи)[(и, и) £Wx&.Ducz
czA &DVCZA]}. Покажите, что (i) 4Т рекурсивно перечислимо в 4;
(ii) 4 ^14т; (iii) 4т^т4.

(Указание. Покажите, что 4Т = КА, где КА, как в § 9.3.)

Таким образом, эта попытка получить аналоги теорем 7-VIII и 8-IX
успеха не возымела. Мы не получим 4 Ci®T—>4 Ст®- (Возьмите 4 =ВТ.)-

Д9-51. См. упр. 9-50. Покажите, что 4 Ст® А Т С1®Т. Это дает изо-
морфизм из Т-упорядочения в 1-упорядочение (хотя образ Т-степени не лежит
в этой Т-степени). Этот результат будет доказан в гл. 13.

9-52. Покажите, что не существует максимальной Т-степени.

Д9-53. Назовем множество 4 V3-множеством, если 4= {х | (Vy)(3z)
R(x, у, z)} для некоторого рекурсивного отношения В. ЗУ-множества
определяются подобным образом. Покажите, что 4 есть как 3V-, так и
V3- множество <=> 4 Ст^«

Д9-54. Покажите, что {х | Wx конечно} есть ЗУ-множество и что
{х | Wx конечно} se Кк. Это решает проблему, оставленную открытой Пос-
том [1944]. В гл. 14 мы рассмотрим общий метод подхода к таким проблемам.

Д9-55. (Тенненбаум). Определите 4 Cq®. если (3 общерекурсивная
функция 7) (Уг)[х $ 4	W/(x) П В 0]- Покажите, что Cq не совпадает

с Ст па рекурсивно перечислимых множествах (см. упр. 9-22). (Указание.
Возьмите 4 и В, как в упр. 8-39. Пусть С — простое множество, такое, что
С Ст-4 (по теореме Деккера). Предположите, что С Cq4 посредством 7,
и получите противоречие, рассматривая {х | Wf(x) f] В 0} и {х | И/(х) с:
cB&Wf(x)nA'^0}.)
§ 9.7

9-56. (а) Покажите, что рефлексивно и транзитивно.

(Ь)	Покажите, что упорядочение по е-сводимости образует полурешетку.

(с)	Существует ли минимальная степень? Если да, то какова она?

9-57. Рассмотрите три отношения: А рекурсивно в В, А ^%В и А рекур-
сивно перечислимо в В.

(i)	Установите импликации, всегда имеющие.место.

△(ii) Для импликаций, которые места не имеют, приведите контрпримеры.
(Указание. Возьмите К и 0; К и К', Кк и К.)

9-58. Пусть ЧГ — оператор перечисления. Какие отношения включения
должны иметь место для следующих пар:

ЧД4 U В), Чг(4) (J Y(B); Т(4 П В), ¥(4) П Т(В)?

9-59. Покажите, что А рекурсивно перечислимо в В <=> 4 5gJe т(св).

9-60. Пусть 4 и В рекурсивно перечислимы. Покажите, что 4 В <=>
<=> А Се В.

9-61. (а) Покажите: (V4)(3tp)[4 =е т(<р)].

(Ъ) Покажите: (V4)[(3/)[4 =е т(/)]	(Эв)[4	т(св)11 (СР- УПР- 9-70).

9-62. Определите: 4 Cs В, если (3 общерекурсивная /) (Vz)[x £ 4 <=>
<=> Ж/(х) Г) В ф 0].

(i)	Опишите s-стецени рекурсивно перечислимых множеств.

(и) Покажите, что s-сводимость => е-сводимость, но не обратно.

(Упр. 9-55 и 9-61 показывают,; что s-сводимость отличается от е-сводимости
нетривиальным образом.)

§ 9.8

9-63. (а) Приведите пример рекурсивного оператора, который пе является
•общерекурсивным оператором.

(Ь) Могут ли два различных оператора перечисления определять один
и тот же частично рекурсивный оператор?

9-64. Определите отображение посредством

ЧГ({<0, 0)}) = {<0, 0)}; У({<1, о») = {(0, 1)}.

Покажите, что ЧГ может быть продолжено до частичнорекурсивного операто-
ра, но пе до рекурсивного оператора.

9-65. Докажите следствие XXIV.

9-66. Выясните, рекурсивны ли следующие множества:

(i)	{z | Ф2 определяет рекурсивный оператор};

(ii)	{z | Фг определяет общерекурсивный оператор};

(iii)	{z | частичнорекурсивный оператор, определяемый Фг, может быть
продолжен до общерекурсивного оператора}.

△9-67. Пусть g — класс операторов перечисления. Покажите, что
{х | Фж 6 4g} рекурсивно тогда и только тогда, когда g пусто или g состоит
из всех операторов перечисления (ср. с упр. 2-39 (а)).

Д9-68. (а) Пусть g — класс частично рекурсивных функций. Сформули-
руйте и докажите аналог теоремы Райса — Шапиро, приводимой в упр. 5-37.

(Ь) Пусть g — класс операторов перечисления. Сформулируйте и дока-
жите аналог теоремы Райса — Шапиро, приведенной в упр. 5-37.

Д9-69. Покажите, что если ф <р, то может и не существовать рекурсив-
ного оператора, переводящего ф в ф.

^9-70. Воспользовавшись результатом упр. 9-69, покажите, что существу-
ет ф, такое, что для всех всюду определенных функций / (Отсюда, со-
гласно упр. 9-61, образ^ упорядочения по Т-сводимости в упорядочении по
е-сводимости (задаваемый теоремой XXIV) есть собственное подупорядочение
упорядочения по е-сводимости.)
Глава 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА;

НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 10.1.	Конструктивные подходы 209

§ 10.2.	Фридбергово решение 212

§ 10.3.	Дальнейшие результаты и проблемы 217

§ 10.4.	Неотделимые множества произвольной рекурсивно пере-
числимой степени 220

§ 10.5.	Теории произвольной рекурсивно перечислимой степени 222

§ 10.6.	Упражнения 226

§ 10.1. КОНСТРУКТИВНЫЕ подходы

Для всякого множества А пусть йт(^) есть Т-степень А. Про-
блема Поста состоит в следующем: существуют ли рекурсивно
перечислимые Т-степени, отличные от йт(0) и от dT(X), т. е.
существуют ли рекурсивно перечислимые множества, которые
не рекурсивны и не полны? Поскольку dT(0) минимальна,
a dT(A') максимальна среди всех рекурсивно перечислимых Т-сте-
пеней, эта проблема может быть сформулирована следующим
образом: существует ли промежуточная между dT(0) и dT(X)
рекурсивно перечислимая Т-степень? Нечто, относящееся к исто-
рии и значению проблемы Поста, уже обсуждалось в § 9.6.

В этой главе мы решим проблему Поста, показав, что суще-
ствуют несравнимые (относительно ^т) рекурсивно перечислимые
множества. Таким образом, будет установлено, что существуют
несравнимые рекурсивно перечислимые степени при каждом из
четырех главных упорядочений по сводимости, т. е. при упорядо-
чении по 1-, m-, tt- и Т-сводимости.

В настоящем разделе мы приведем некоторый результат (теоре-
ма II), проясняющий природу ряда трудностей, возникающих
при попытках решить проблему Поста.

Пусть А — рекурсивно перечислимое множество. Рассмотрим
утверждение о нерекурсивности А. Согласно теореме 5-11, оно
может быть выражено так:

(V*) [A=£WX],

или, эквивалентным образом, (Xfx) (Эу) [у Е А <=> у Е Wx]. Если
квантор существования в этом утверждении может быть заменен
общерекурсивной функцией, т. е. если

(3 общерекурсивная /) (Vx) [/(z) С А f(x) Е И7»],
мы скажем, что А конструктивно нерекурсивно. Для рекурсивно
перечислимого множества А утверждение о конструктивной
нерекурсивпости эквивалентно утверждению о том, что А вполне
продуктивно (см. § 7.7). Итак, мы имеем следующий результат.

Теорема I. Если множество А рекурсивно перечислимо и кон-
структивно нерекурсивно, то А — творческое множество.

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает
непосредственно из определения X).B

Теорема I показывает, что построение нетворческих нерекур-
сивных рекурсивно перечислимых множеств потребует специаль-
ных неконструктивных методов. Если бы творческие множества
были единственно известными нерекурсивными рекурсивно пере-
числимыми множествами, теорема I могла бы навести нас на
мысль о том, что никаких других нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств и не существует. Разумеется, мы знаем,
что в действительности другие такие множества существуют,
а именно, таковыми являются все множества из классов
и ‘ёз § 8.7. В соответствии с теоремой I построение таких множеств
должно использовать довольно изощренные методы. Первая такая
непрямая конструкция была предложена Постом; она приведена
в теореме 8-П. (Пример утверждения, которое истинно, но не
„конструктивно истинно”, содержится у Клини [1943].)

Подобная же ситуация возникаем в связи с проблемой Поста.
Для того чтобы доказать, что существуют рекурсивно перечисли-
мые множества, которые не рекурсивны и не полны, мы должны
найти множество С, такое, что С рекурсивно перечислимо, С ^т0
и К С. Согласно теореме 9-IV, утверждение о том, что А В
для рекурсивно перечислимых множеств А и В, может быть выра-
жено посредством

(Vx) [А =£ W*l,

или, эквивалентным образом, (Vrr) (Зу) [у £ А <=> у £ И7?]. Если
(3 общерекурсивная /) (Vz) [/(х) £А <=> /(ж) £

мы скажем, что А конструктивно нерекурсивно в В.

Теорема II. Если множества А и В рекурсивно перечислимы,
и если А конструктивно нерекурсивно в В, то множество В рекур-
сивно.

Доказательство. Пусть дано произвольное z.' Опрет
делим 2?-частичнорекурсивную функцию ф следующим образом:

х,	если z $ В;

расходится,	если z Е В.

х) Обращение следует из гл. 11. Таким образом, мы имеем: для рекур-
сивно перечислимого множества А, А — творческое множество А кон-
структивно нерекурсивно.

ф(я:) =
Гёделев номер функции ф может быть получен равномерно по z.
Следовательно, существует общерекурсивная функция g, такая,
что для всех z

„ i TV, если z tf В;

WB, , = I

g(z) [ 0, если z £ B.

По предположению существует общерекурсивная функция /,
такая, что (Va:) [/(ж) 6 А f(x) £ И7®]. Рассмотрим fg(z) для про-
извольного z. Мы имеем

/g(z) 6 А fg(z) е W^z} (в силу выбора /) <^>

<=> Wg(Zy = TV (в силу выбора g) <=> z ^В.
Таким образом,

В = g-'f-^A).

По предположению А и В рекурсивно перечислимы. Следователь-
но (согласно теореме 5-VII), В рекурсивно перечислимо, и тем
самым В рекурсивно. и

Естественным подходом к решению проблемы Поста является
попытка найти рекурсивно перечислимое множество С, такое,
что С конструктивно нерекурсивно в 0 и множество К конструк-
тивно нерекурсивно в С. Согласно теореме II, всякий такой кон-
структивный подход должен быть безуспешным. До окончательно-
го решения проблемы Поста некоторые исследователи полагали,
что существуют лишь две рекурсивно перечислимые Т-степени.
Отчасти ответственность за эти ошибочные предположения ложит-
ся на утверждение теоремы II.

Из теоремы II может быть выведено следствие, показывающее,
что возможна такая ситуация: множество А не рекурсивно в В,
хотя А не является конструктивно нерекурсивным в В. Это след-
ствие придает некоторую правдоподобность утверждению (которое
будет доказано в § 10.2) о том, что существует более двух рекурсив-
но перечислимых Т-степеней.

Следствие II (а). Если множества А и В рекурсивно перечисли-
мы и А конструктивно нерекурсивно в В, то В рекурсивно, а А —
творческое множество.

(Ь) Существуют рекурсивно перечислимые множества А и В,
такие, что А не рекурсивно в В, хотя множество А не является
конструктивно нерекурсивным в В.

Доказательство, (а) Утверждение о том, что множе-
ство А конструктивно нерекурсивно в В, является частичной
релятивизацией утверждения о вполне-продуктивности А, отсюда
следует вполне-продуктивность А (см. упр. 10-2).
(Ъ) Пусть А — произвольное простое множество, а множество
В = 0. Тогда А не рекурсивно в В, но ввиду (а) множество А
не является конструктивно нерекурсивным в В 1).и

§ 10.2.	ФРИДБЕРГОВО РЕШЕНИЕ

Проблема Поста была решена независимо и почти одновременно
Мучником и Фридбергом в 1956 году (см. Мучник [1956] и Фрид-
берг [1957]). В определенном смысле методы, примененные Мучни-
ком и Фридбергом, аналогичны 2). Мы приводим модифицирован-
ную форму фридбергова доказательства.

Теорема III (теорема Мучника — Фридберга). Существуют
рекурсивно перечислимые множества А и В, такие, что А и В
несравнимы относительно ^т.

Доказательство. Мы должны (1) дать инструкции
для перечисления множеств А и В и (2) доказать существование
двух всюду определенных функций fug, таких, что (Vo:) [f(x) С
€ A<=>f(x) € Wx] и (Vx) [g(x) £.B<=>g(z) £ W*]. (Из теоре-
мы II следует, что функции / и g не могут быть рекурсивными.)

Из соображений наглядности мы зададим инструкции в тер-
минах, до некоторой степени антропоморфических; эти инструкции
будут тем не менее вполне точны. Начнем с двух идентичных бес-
конечных вертикальных списков, которые мы будем называть
A-списком и В-списком. Каждый список состоит из всех натураль-
ных чисел, расположенных в порядке возрастания сверху вниз.
На любом этапе вычисления мы будем использовать лишь конеч-
ную часть каждого списка 3). В процессе вычисления мы в каждом
списке рядом с некоторыми натуральными числами приписываем
плюс (-[-). Множество натуральных чисел, получивших при этом
плюс в А-сциске, составляет множество А. Множество чисел, полу-
чивших плюс в В-списке, составляет множество В. Вычисление
производится по этапам.

Определение. Ао — В й = 0.

Ап = {х | х получает плюс в А-списке к концу п-го этапа},
п = 1, 2, . . . ;

Вп = {х | х получает плюс в В-списке к концу п-го этапа},
п = 1, 2, . . . .

г) Обращение следствия II (а) также имеет место. См. упр. 10-2 и пред-
шествующее примечание.

2) В своих исходных представлениях и Мучник, и Фридберг основыва-
лись на ранних идеях и результатах Клини и Поста. Мы не описываем и не
используем эту зависимость здесь. Некоторые из этих результатов Клини —
Поста будут приведены в гл. 13.

3) Каждый бесконечный список в некотором отношении аналогичен бес-
конечной ленте машины Тьюринга.
Тогда Ло cz Ai cz А2 cz . . . ; Во cz Bt cz В2 cz . . . ; А = U Ап;

п=0

В = и вп.

п=0

В процессе вычисления используются два бесконечных мно-
жества подвижных маркеров. Мы обозначим маркеры первой сово-
купности через | 0 |i,| 1 Ij, | 2	. . ., маркеры второй совокупности

через | 0 |2, [ 1 j2, i 2 |2,.Маркеры первой совокупности будут

относиться к числам Л-списка, маркеры второй совокупности —
к числам В-списка. Эти маркеры подвижны в следующем смысле:
в момент введения маркера в процесс вычисления его соотносят
с некоторым числом одного из списков; в более поздний момент
вычисления связь маркера с этим числом может быть нарушена,
и этот маркер соотносят с другим числом, находящимся ниже
в этом списке; в еще более поздний момент он вновь может быть
перемещен вниз и т. д. Данный маркер может перемещаться подоб-
ным образом несколько раз.

Нами движут следующие побуждения: мы хотим в конечном
итоге соотнести каждый маркер [/It с числом Xj, таким, что Xj £
Е А <=> Xj имеет плюс <=> х, Е И7®. Если мы сможем успешно про-
делать это для каждого ш-, то будем иметь (Vx) (gy) [у Е
<=> у Е И7®] и, следовательно, А т В. Аналогично для каж-
дого маркера | / |2 и В т А.

Далее приводятся определение и лемма, используемые нашей
конструкцией. Пусть даны z и конечное множество D. Тогда

Wf = {ж | (Эу) (Зи) (Зи) [ (х, у, и, и) £ ITp (г) & Z)u <= D &

&DV cz D]},

согласно § 9.2. и 9.3. Следующая последовательность действий
является (равномерным) алгоритмом для перечисления множе-
ства И7?: перечисляйте элементы множества Wp (г); как только
появляется какой-либо элемент (я, у, и, и), проверяйте, будет ли
Du cz D bDvczI); если это выполняется, добавьте х к списку
для W?.

Определение. Пусть даны z и конечное множество О. Под п
шагами при перечислении множества W7f мы будем понимать
процесс применения описанного алгоритма, соответствующий п
машинным шагам при перечислении множества Wр (г).
Лемма. Для любой последовательности конечных множеств

Ао, A. . ., такой, что Ав с At cz . . . а А, если А = U Ап
п=0

и если а £ Wf, то (Вт) (Vn) [т п => а появляется за п шагов
при перечислении W^l.

Доказательство леммы очевидно (упр. 10-5).

Продолжая доказательство теоремы, приводим инструкции
для основного вычисления.

Определение. Будем говорить, что натуральное число свободно
в данном списке в данный момент времени, если ни само это число,
ни любое другое число, находящееся ниже его в этом списке,
не имеют никакой отметки или маркера, с ними соотнесенных.
Будем говорить, что натуральное число вакантно в данном списке
в данный момент времени, если оно не имеет плюса рядом с собой.

Этап 1. Соотнесите | 0 с 0 в А-списке.

Э т а п 2. Соотнесите | 0 |2 с 0 в В-списке.

Этап 2п + 1. Соотнесите п j с первым свободным числом

в A-списке. Пусть а‘п) , . . а(Д’ — текущие позиции j 0 |4,
| 1 jb . . ., |_п |4. Предпримите по п шагов при перечислении каждого
из множеств И7®2", . . ., И7®2". Пусть а)п) есть наименьший
элемент множества {а^п) , . . ., такой, что число а$п> ва~
кантно и а'/1’ встречается в выполненной части перечисления мно-
жества Wf2n. (Если такого а)"’ не существует, переходите к этапу
2п + 2.) Поместите плюс рядом с элементом ajn) в А-списке
и минус рядом с каждым из тех вакантных чисел В-списка, при-
надлежность которых к множеству В2п использовалась при уста-
новлении того факта, что а\п) 6 И7®2" *). Затем, если / < п, пере-
ходите к В-списку и переместите все маркеры | i |2, j i < п,
вниз на свободные числа в В-списке.

Этап 2п + 2. Соотнесите | п |2 с первым свободным числом
в В-списке. Пусть	— текущие позиции

*) Иными словами, если а" £ И7®2" установлено на основании того, что
{а^п\ у, и, и) обнаружено в VFP(j) (за п шагов), где Du <=fi2n иР„ С.В2п,
то поместите минус рядом с каждым вакантным элементом множества Dv
в В-списке.
Предпримите п шагов в перечислении каждого из множеств
W^n+i,. . ., Wn2n+l. Пусть fejn) — наименьший элемент множества
{&$">, . .	№}, такой, что число 'вакантно и b)n^ встре-

чается в выполненной части перечисления множества Wf2n+i.
(Если такого bjn) не существует, переходите к этапу 2п + 3.)
Поместите плюс рядом с элементом в В-списке и минус
рядом с каждым из тех вакантных чисел в A-списке, принадлеж-
ность которых множеству Лгп+i использовалась, чтобы уста-
новить, что Ь,-п) $ Wf2n+i. . . . Затем, если j < п, переходите
к A-списку и переместите все маркеры [ i [t,	вниз

на свободные числа в А-списке.

(Заметим, что в каждом списке рядом с некоторым числом может
появиться сначала минус, а затем плюс.)

Простое индуктивное соображение позволяет установить, что
всякий маркер |n|( и всякий маркер | п |2 может перемещаться
лишь конечное число раз: |~0~|) никогда не перемещается; |~сГ|2 может
перемещаться самое большее один раз; может перемещаться
не более одного раза при каждом положении маркера | 0 |2; | 1

может перемещаться не более одного раза из-за маркера | 0 и не

более одного раза при каждом положении маркера

1

J И т. д.х).

Пусть f(x) — заключительное положение маркера х

Р g(x) —

заключительное положение маркера

х , Предположим, что

j(x) 6 А. Тогда f(x) получает плюс на некотором этапе 2п + 1.
Никакой минус, написанный (в В-списке) па этапе 2п + 1, не

может быть заменен на плюс, поскольку все

x^k, помещены



ниже всех таких минусов, и

один из таких минусов на плюс, то маркер х

fcj2, k<Zx, изменил
был бы перемещен,

вопреки нашему предположению, что f(x) есть заключительное

положение маркера



^Отсюда заключаем, что f(x) 6 VEf. Обрат-
но, если f(x) 6 W®, то, согласно лемме, существует т, такое, что

х) Ограничения на число положений, которые могут занимать маркеры

Н- L°J.- LI- LL- Е

, . . задаются последовательными значе-
1

пиями чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, . . . .
для всех п, больших т, множество И/(?2П выдает /(х) менее чем
за п шагов; так как маркер | х в конце концов достигает
положения /(x), /(z) должно в конечном итоге получить плюс,
и, значит,, /(ж) £ А. Таким образом, /(ж) Е А <=>/(х) EW?. Ана-
логично получаем, что g(x) Е В g(x) £ W£. Отсюда А В
и В^ТА, и наше доказательство завершено.и

Метод, подобный приведенному, иногда называют методом
приоритета, а упорядочение, подобное упорядочению | 0 |р |”о12Т
Щр • •  , —приоритетным упорядочением. В приведенном дока-
зательстве в тот момент, когда маркер ставит рядом с собой плюс,
все маркеры более низкого ранга должны „сработать", т. е. должны
сместиться вниз так, чтобы они не могли впоследствии повлиять
на минусы, которые появились к этому моменту. Основной чертой
такого метода приоритета является тот факт, что всякий маркер
перемещается лишь конечное число раз. Ниже, в упражнениях,
приводится несколько других методов приоритета, в гл. 12 содер-
жатся дальнейшие примеры.

Приведем следствия, из которых первые два очевидны, а третье
получается обобщением конструкции теоремы.

Следствие III (а) (решение проблемы Поста). Существуют
более чем две рекурсивно перечислимые Т-степени.

Следствие III (Ь). Существуют два рекурсивно перечислимых:
множества, несравнимых относительно упорядочения по своди-
МОСТПЯМ

Следствие III (с). Существует счетное бесконечное семейство
рекурсивно перечислимых Т-стеПеней, такое, что любые два эле-
мента этого семейства несравнимы относительно

Доказательство. См. упр. 10-7.и

Следствие III (d). Существует рекурсивно перечислимых
Т-степеней.

Существует к0 рекурсивно перечислимых tt-степеней.

Существует н0 рекурсивно перечислимых т-степеней.

Существует к0 рекурсивно перечислимых 't-степеней.

Доказательство. Все утверждения вытекают очевид-
ным образом из следствия III (с).и

Последние два утверждения следствия III (d) уже известны
нам из § 8.6.
§ 10.3.	ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРОБЛЕМЫ

Можно воспользоваться теоремой III и леммой теоремы 8-XIV,
чтобы показать, что упорядочение по 1-сводимости не образует
верхней полурешетки.

Теорема IV (Янг). Существуют два рекурсивно перечислимых
множества, не имеющих наименьшей верхнёй грани при упорядо-
чении по 1-сводимости.

Доказательство. Согласно теореме III и теоре-
ме 9-XVI (теорема Деккера), существуют два простых множества,
не сравнимых относительно 1-сводимости. Назовем эти множества
А и В. Наше доказательство проведем следующим образом. Мы
покажем, во-первых, что А и В имеют верхнюю грань, являю-
щуюся простым множеством; во-вторых, что любая наименьшая
верхняя грань должна быть простым множеством. Наконец, мы
воспользуемся леммой теоремы 8-XIV, чтобы показать, что никакая
наименьшая верхняя грань простым множеством быть не может.

Пусть С = А @ В. Согласно упр. 8-1, множество С просто.
А С посредством функции kx[2xl, и В С посредством
кх[2х + Ц.

Предположим, D является наименьшей верхней гранью мно-
жеств А п В. Тогда D С и тем самым множество D должно
быть просто (упр. 8-9). Пусть A igCj D посредством функции /
и В D посредством функции g. Функции fug могут быть выбра-
ны так, что /(Л) =D и g(B) — D (упр. 10-10). Тогда D — /(А) #=
=/= 0 и D — g(N) =/= 0 (в противном случае D =е А т1ЛтлБ = В, что
противоречит нашему выбору множеств А и В, как несравнимых).

Возьмем т G D — f(N) и п £ D — g(N). Тогда А D J {т}
посредством / и В D IJ {пг} посредством h, где

( g(x), если g(x) #= т;

п[х) = 1	, .

[ п, если g(x) = т.

Отсюда D (J {т} есть верхняя грань А и В. Ввиду леммы теоре-
мы 8-ХIV, D J {лг}. Это противоречит нашему выбору D
как наименьшей верхней грани. Тем самым множества А и В суть
два рекурсивно перечислимых множества, не имеющие наимень-
шей верхней грани при упорядочении по 1-сводимости. в

Дальнейшую информацию об упорядочении по Т-сводимости
рекурсивно перечислимых Т-степеней содержит следующий
результат, аннонсированный Саксом. Мы приводим его здесь без
доказательства. Этот результат представляет собой сильную вер-
сию нашего решения проблемы Поста. В доказательстве исполь-
зуется метод приоритета.
Теорема (Сакс). Пусть П — счетное частичное упорядочение,
и пусть А — произвольное рекурсивно перечислимое нерекурсивное
множество. Тогда существует совокупность рекурсивно перечисли-
мых множеств, каждое из которых Т-сводимо к А, частичное
упорядочение которых по Т-сводимости изоморфно П.

Эта теорема немедленно приводит к такому конкретному
результату: существует совокупность рекурсивно перечислимых
степеней, линейно упорядоченных относительно Т-сводимости по
типу рациональных чисел.

В упр. 10-11 мы получим специальный случай теоремы Сакса.
Следствием его является результат, впервые аннонсированный
Мучником: не существует нерекурсивного рекурсивно пере-
числимого множества, которое минимально (относительно ^т)
среди нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств.

Следующая теорема Сакса [1964 а] показывает, что не суще-
ствует рекурсивно перечислимого множества, максимального (от-
носительно ^т) среди неполных рекурсивно перечислимых мно-
жеств.

Определение. А <т5, если А ^тВ и В

Теорема (Сакс). Если множества А и В рекурсивно перечислимы
и А <Х т В, то существует рекурсивно перечислимое множество С,
такое, что А <т С <т В.

Интересный вопрос, относящийся к упорядочению по
Т-сводимости рекурсивно перечислимых Т-степеней, связан с
гипотезой Шёнфильда, которую мы сформулируем, введя несколько
предварительных определений.

Определение. йт(Л) ® йт(-в) — йт(И ® В).

Согласно теореме 9-ХШ, эта операция сочленения корректно
определена на Т-степенях и сочленение двух Т-степеней есть
наименьшая верхняя грань их при упорядочении по Т-сводимости.
Заметим, что сочленение двух рекурсивно перечислимых степеней
рекурсивно перечислимо.

Упорядочение по Т-сводимости Т-степеней может рассматри-
ваться как алгебраическая структура, включающая (i) некоторое
бинарное отношение (отношение ^т), (ii) некоторую бинарную
операцию (операцию сочленения) и (iii) два различных элемента
(рекурсивную и полную степени). Рассмотрим все алгебраические
структуры (i) с бинарным отношением, (ii) с бинарной операцией
и (iii) с двумя различными элементами. Мы обозначим бинарное
отношение через , бинарную операцию через о и два различных
злемента через 0 и 1. Скажем, что две такие структуры L и М
алгебраически изоморфны, если существует взаимно однозначное
отображение / структуры L на М, такое, что /(0) = 0, /(1) = 1,
/(a U Ъ) = /(а) О f(b),
a <=> /(a)<J7(b). Если щ, . . ап суть элементы структуры
L, то L(ai, . . ап) будет обозначать подструктуру структуры L,
порожденную элементами а]5 . . ап (пересечение всех подструк-
тур, содержащих 0, 1, а15 . . ап и замкнутых относительно о).
Если at, . . ап — элементы структуры L и bi, . . bn — эле-
менты структуры М, будем говорить, что (щ, . . апу строго
эквивалентно . . ., Ьп), если существует алгебраический изо-
морфизм f подструктуры L(aj, . . ., ап) на	. ., bn), такой,

что f(at) — bt, 1 sC i n.

Определение. Пусть Л — любая совокупность структур. Назо-
вем L плотной структурой (относительно ^), если L — структура
из Л, и для любой структуры М из^, любого п, любых аг, . . .
. . ., ап из L, любых bi, . . ., bn, bn+i из М {а{, . . ., ап) строго
эквивалентно {bi, . . ., Ьпу=э- существует ап+1 в L, такое, что
{ai, . . ., an+iy строго эквивалентно {bi, . . ., bn+iy.

Пример' Пусть — совокупность всех структур, таких,
что есть плотное (в обычном смысле) линейное упорядочение,
U есть операция взятия наименьшей верхней грани при этом
упорядочении, 0^ 1 и 1	0. Тогда рациональные числа при их

обычном упорядочении образуют Плотную (в выше определенном
смысле) структуру относительно этой совокупности.

Нетрудно показать, что любые две счетные плотные структуры
относительно одной и той ясе совокупности Л алгебраически изо-
морфны (упр. 10-12). (Это является обобщением теоремы Кантора,
частный случай которой приведен выше в качестве примера.)
Плотные структуры не обязательно существуют (упр. 10-13).

Мы можем теперь сформулировать гипотезу Шёнфильда. Пусть
Ли — совокупность всех структур, удовлетворяющих следующим
условиям: (i) есть частичное упорядочение, (ii) и дает наимень-
шую верхнюю грань относительно упорядочения (iii) 0 есть
минимальный элемент относительно упорядочения и (iv) 1 есть
максимальный элемент относительно упорядочения^. Нетрудно
показать, что совокупность обладает счетной плотной струк-
турой (см. упр. 10-14). Согласно упр. 10-12, эта счетная плотная
структура единственна с точностью до изоморфизма.

Гипотеза Шёнфильда. Упорядочение по Т-сводимости рекурсивно
перечислимых Т-степеней образует счетную плотную структуру
относительно Лт (с отношением ^т в качестве сочленением
в качестве <j, рекурсивной степенью в качестве 0 и полной сте-
пенью в качестве 1).

Два предложения непосредственно вытекают из гипотезы Шён-
фильда (как было замечено Шёнфильдом).

Предложение 1. Для любых двух нерекурсивных рекур-
сивно перечислимых множеств А и В, таких, что A <ZtB, суще-
ствует рекурсивно перечислимое множество С, такое, что А <^т С,
С т А и d т (15) = dT (А) ® dT (С).

Предложение 2. Если А и В — рекурсивно перечисли-
мые множества, А т В и	то d-r(A) и d-r(B) не имеют

наибольшей нижней грани при упорядочении по Т-сводимости.

Обе теоремы Сакса, приведенные выше, также непосредствен-
но вытекают из гипотезы Шёнфильда (см. упр. 10-15 и 10-16).
Гипотеза Шёнфильда, если бы она оказалась верной, была бы
наисильнейшей формой решения проблемы Поста *). В 1965 г.
Лахлан опроверг предложение 1, Ейтс опроверг предложение 2
(построив два рекурсивно перечислимых Т-несравнимых множе-
ства А и В, таких, что [С А & С В] => С рекурсивно).
Таким образом гипотеза Шёнфильда была опровергнута.

§ 10.4.	НЕОТДЕЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА ПРОИЗВОЛЬНОЙ
РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ

Мы теперь установим, что всякая нерекурсивная рекурсивно
перечислимая Т-степень содержит пару рекурсивно неотделимых
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств. (Пары
неотделимых множеств были введены и обсуждались в § 7.7.)
Конструкция, используемая в доказательстве, представляет спе-
циальный интерес. Она перекликается с конструкцией, предла-
гаемой ниже в упр. 10-11. Этот результат принадлежит Шёнфиль-
ду [1958а].

Теорема V (Шёнфильд). Пусть множество С рекурсивно пере-
числимо, ноне рекурсивно. Тогда существует пара рекурсивно неот-
делимых непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств А
и В, таких, что А = т В =т С.

Доказательство. Пусть / — общерекурсивная функ-
ция, пересчитывающая без повторений множество С. Определим
функцию ф следующим образом:

если (Jz) (3w) I/(z) = х &.w <Z z &. Ру при

0

1

входе (х, у) выдает

в качестве выхода за w шагов].

х) Она могла бы также привести к решению следующих, все еще остаю-
щихся открытыми, проблем. (1) Является ли теория первого порядка отноше-
ния Ст над рекурсивно перечислимыми Т-степенями аксиоматизируемой,
т. е. рекурсивно перечислимой? (2) Разрешима ли эта теория, т. е. рекурсивна
ли она? [Эта теория состоит из пп-формул, образованных из „Ст” в ло*
гике предикатов (без свободных переменных), которые истинны относительно
упорядочения по Т-сводимости.]
Согласно второй теореме о проекции, функция ф частично-
рекурсивна. Пусть

А = {х |ф(х) = 1},

В = {х | ф(х) = 0).

Множества Л и В не пересекаются и, согласно теоремам о проек-
ции, рекурсивно перечислимы. Остается показать, что

А = т В »г С

и что А и В рекурсивно неотделимы.

1.	А т С. Мы можем следующим образом выяснить, имеет
ли место (х. у) € А. Выясняем, принадлежит ли х множеству С.
Если нет, то (х, у)^А. Если да, найдем z =/-1(x); затем про-
веряем, выдает ли Ру при входе (х, у) значение 0 менее чем за z
шагов. Если да, то {х, у) € А. Если нет, значит, (ж, у)$А.

2.	В С. Аналогично.

3.	С А. Мы можем следующим образом выяснить, имеет ли
место х € С. Выберем у0, такое, чтобы <руо была тождественно равна
нулю, т. е. <Pj,0 = Xz[01. Проверяем, будет ли (х, у o') 6 А. Если да,
то х € С. Если нет, путь и — число шагов, необходимых, чтобы
получить <рУо( {х, у о)) =0 из инструкций Руо; выясняем, будет ли
/(z) = х для некоторого z, такого, что z и. Если да, то х £ С;
если нет, значит, х (£ С.

4.	С В. Аналогично.

5.	А и В рекурсивно неотделимы. Предположим противное.
Тогда мы можем найти такую общерекурсивную функцию h,
для которой Vai h = {0, 1}, h(A) — 1 и h(B) = 0. Пусть
h = фй . При всяком х 6 С для вычисления Ру^ при входе {х, yi)
должно быть проделано по меньшей мере z = /-1(а:) шагов; в про-
тивном случае мы имели бы (согласно исходной конструкции)
фй1((а;, z/!)) = 0	фй1((х, г/i)) = 1, что противоречиво. Посколь-

ку h всюду определена, должна существовать общерекурсивная
•функция g, такая, что для всех х g(x) = (длина вычисления
при входе {х, gi)). Отсюда имеем

х € С <=> (Hz) (z < g(x) & /(z) = х].

Тем самым имеем эффективный способ разрешения множества
С в противоречие с предположением, что это множество нере-
курсивно, и

Мы увидим в теореме 11-V, что А и В не могут быть эффективно
неотделимы, если С не полно.
§ 10.5. ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РЕКУРСИВНО
ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ ’)

В § 7.8 мы определили 'теорию как совокупность пп-формул
некоторой логической системы. Чтобы иметь возможность при-
менить теорию рекурсивных функций, мы идентифицировали
теорию с множеством соответствующих кодовых номеров при неко-
тором выбранном способе кодирования пп-формул натуральными
числами. Рассмотрим теперь теории некоторого специального вида.

Определение. Пусть 5Г — совокупность предикатных символов
(например, ,,^”), операторных символов (например, „ U ”) и инди-
видных константных символов (например, „1”). Пусть Х^—
совокупность всех выражений, образованных в элементарной
логике предикатов из символов совокупности &С вместе с логи-
ческими символами логики предикатов („=”, „V”, „3”,
„V”,	„<=>” и индивидными переменными „а”, „а/’,

„а2”, . . ., „Ь”, „с”, . . .), причем мы требуем, чтобы каждая пере-
менная в выражении находилась в области действия некоторого
квантора. Выражения из Х^ называются высказываниями первого
порядка в &С.

Пример. Пусть ъК состоит из символов бинарных опера-
ций и „X” и индивидных константных символов „0”, ,,1’\
,.2”, ... , Тогда Х$£ состоит из пп-формул элементарной арифме-
тики, определенной в § 7.8.

Определение. Совокупность Т есть теория первого порядка в Ж,
если (i) Т есть подсовокупность совокупности Х^ и (ii) Т замкну-
та в Х^ относительно выводимости, т. е. любое высказывание
из Xg%, выводимое из высказываний совокупности Т, является
высказыванием из Т * 2).

Определение. Т есть теория первого порядка, если для неко-
торого ST Т есть теория первого порядка в ХС.

На протяжении всего параграфа мы ограничимся рассмотре-
нием высказываний первого порядка и теорий первого порядка.

Зададимся двумя вопросами относительно теорий первого
порядка. (1) Существует ли в каждой степени неразрешимости
теория (множество кодовых чисел для теории) первого порядка?'
(2) Существует ли в каждой рекурсивно перечислимой степени

х) В § 10.5 мы предполагаем, что понятие выводимости и теоремы о семан-
тической непротиворечивости и полноте для логики предикатов известны.
Материал последующих глав не будет зависеть от 8 10.5.

2) Определение выводимости может быть найдено в работах Куайна;
[1959] пли Саппеса [1957].
неразрешимости аксиоматизируемая, т. е. рекурсивно перечисли-
мая, теория?

Для 1-степеней ответы на оба вопроса,,как легко видеть, отри-
цательны, так как никакая теория первого порядка не может
иметь иммунного дополнения. (Если х вне этой теории, то вне ее
и х & х, и (х & х) & х, . . .) *).

Для m-степеней ответы на оба вопроса также отрицательны.
Рассмотрим множество S* из теоремы 8-VIII и предположим, что
Т ==ш 5* для некоторой теории Т первого порядка. Пусть S'*
посредством функции / и Т S* посредством функции g. Тог-
да (х, у) £ S* X S* (/(я), /(у)) £ Т X Т о (f(x) & f(y)) £
£ Т <=> g(f(x) & f(y)) £ S'*; но это дает S* X S* S* в противо-
речие с доказательством теоремы 8-ХШ.

Для btt-степеней оба вопроса открыты. (См. также упр. 10-24.)

Для tt-степеней (и, следовательно, для Т-степеней) ответы
на оба вопроса утвердительны, как было показано Феферма-
ном [1957].

Теорема VI (Феферман). Для всякого множества А существует,
теория ТА, такая, что А А и ТА ^tt?l; более того, если А
рекурсивно перечислимо, то теория ТА аксиоматизируема.

Доказательство. Возьмем пустое и рассмотрим X
которое мы с этого момента будем обозначать <Z0 иногда
называют „чистым исчислением с равенством”). Типичными выска-
зываниями Vo являются

(i)	(V«)(35)~ia = b,

(ii)	(3a)(36)~ia = b,

(iii)	—i(3«)(Vb)[(V<?)[c = a V c' — b] => b = a].

Для любого данного множества объектов кванторы в выска-
зывании из Хо могут быть интерпретированы как имеющие в каче-
стве области действия это множество объектов. Поэтому для любо-
го такого множества объектов данное высказывание из должно
быть или истинным, или ложным. (Например, (i) истинно для
любого множества, мощность которого больше 1.) Очевидно, истин-
ность или ложность данного высказывания для множества объек-
тов зависит лишь от мощности этого множества. В дальнейшем мы
ограничимся непустыми множествами объектов * 2). Мы определим
спектр высказывания в как совокупность положительных
конечных кардинальных чисел, для которых это высказывание
истинно. Мы будем писать вместо „спектр х” спектр (х). Выска-
зывания (i) и (ii), приведенные выше, имеют спектры {х | 2	%},

х) Мы отождествляем высказывание с его кодовым числом (как в
упр. 7-62) и используем „х & у" для обозначения (кодового числа) конъюнкции
элементов х и у.

2) Это ограничение необходимо для того, чтобы позже в доказательстве
можно было применять теоремы о семантической непротиворечивости
и полноте.
(iii) имеет спектр {2}. Некоторые фундаментальные свойства спек-
тров (высказываний из Хо) устанавливаются в следующей лемме.

Лемма, (а) Каждый спектр или конечен, или коконечен.

(Ь)	Существует равномерная эффективная процедура перехода
от высказывания к его спектру, более конкретно, существуют обще-
рекурсивные функции fug, такие, что для любого высказывания х
если спектр (х) конечен, то g(x) — 0 и Df(X) — (спектр (х)), а если
спектр (х) коконечен, то g(x) =1 и D/<х> — (спектр (х)).

(с)	Для всякого высказывания х х истинно для некоторой бес-
конечной мощности <=> х истинно для всякой бесконечной мощности
<=г>х имеет-коконечный спектр.

(d)	Всякое конечное или коконечное множество натуральных
чисел может служить спектром.

(е)	Существует равномерная эффективная процедура перехода
от данного конечного или коконечного множества натуральных
чисел (заданного каноническим индексом) к высказыванию, спектром
которого является это множество.

Доказательство. Ниже, в упр. 10-21, приводится рав-
номерный эффективный метод, позволяющий установить для дан-
ного числа, принадлежит ли оно спектру данного высказывания.
Упражнение 10-22 показывает, что высказывание ровно с п кван-
торами имеет п в своем спектре тогда и только тогда, когда его
спектр содержит {т | п т}‘, отсюда следуют (а) и (Ь). Упраж-
нение 10-23, обобщающее упр. 10-22, доказывает (с).

Пусть Fi есть высказывание „(За)а = а", и для каждого п > 1
пусть Fn — высказывание

„(За!) . .. (Зап)[1_1а1=а21 &I~lai = a3] & . . . &] ~\an_i = а„]]”.
Для всякого п > 0 пусть Еп есть конъюнкция высказывания Fn
с отрицанием высказывания Fn+l. Для любого конечного множе-
ства натуральных чисел . . ., nh} пусть EniV . . ДЕ„к
обозначает дизъюнкцию высказываний ЕП1, Еп^, . . ., Еп^ и пусть
~\(Епу. . .\JEn^ обозначает отрицание этой дизъюнкции. Тогда
Епу. . •V£'nfe имеет спектр {щ, . . ., nfe} и ^(Епу . . .

имеет спектр {0,	. . ., nh}. Это доказывает (d) и (е). Тем самым

доказательство леммы завершено.

. Из семантической непротиворечивости логики предикатов сле-
дует, что любое высказывание х, выводимое (согласно логике пре-
дикатов) из совокупности высказываний В, истинных в данной
непустой интерпретации, должно быть истинно в этой интерпре-
тации. Отсюда вытекает, что если высказывание х выводимо из со-
вокупности высказываний В, то спектр (х) zd f) спектр (у).

VzB

Из полноты логики предикатов следует, что если х истинно
для всех тех непустых интерпретаций, для которых каждое выска-
зывание совокупности В истинно, то высказывание х выводимо
из В. Отсюда получаем, что если спектр (х) гэ ("| спектр (у),

то высказывание х выводимо из В.

Пусть теперь А — произвольное множество натуральных
чисел. Мы можем предположить без потери общности, что 0 Е А.
Пусть Ео есть ,,(Va) ~~1 а — а*. Для всякого п > 0 пусть Еп опре-
деляется, как в доказательстве леммы. Для всех п пусть П Еп
обозначает отрицание высказывания Еп. Тогда для всех п выска-
зывание ~| Еп имеет N — {0, п} в качестве спектра. Пусть В =
= {—\Еп | n Е Л). Определим ТА как совокупность всех выска-
зываний, выводимых из В. Тогда для любого высказывания х

х Е ТА <=> х выводимо из В спектр (х) гэ П спектр (у).

уев

Но П спектр (у) =А. Следовательно,

УЕВ

х £ТА <=> спектр (я)ю А.

Используя общерекурсивные функции / и g части (Ь) леммы, имеем

х Е ТА <=> [[g(a:) = 0 & Diw ДЭ Л] или

[g(x) = 1 с Л]].

Отсюда получаем два следствия: (1) для всех п п ЕЛ <=> ~\Еп в Т А;
тем самым А А; (2) для всякого х существует tt-условие,
такое, что х Е ТА тогда и только тогда, когда это tt-условие выпол-
няется на А (случаи, когда Л конечно и Л бесконечно, рассматри-
ваются отдельно); тем самым ТА :<СМЛ.

Итак, по определению выводимости, если множество В рекур-
сивно перечислимо, то совокупность всех высказываний, выводи-
мых из В, рекурсивно перечислима (пересчитываются все возмож-
ные доказательства из конечных множеств высказываний из В).
Отсюда имеем, что теория ТА аксиоматизируема, если множество
Л рекурсивно перечислимо. (В самом деле, так как Л ^i?’A,
теория ТА аксиоматизируема тогда и только тогда, когда множе-
ство Л рекурсивно перечислимо.) Этим завершается доказатель-
ство теоремы. и

Ганф [1962] усилил этот результат, показав, что существует
конечно аксиоматизируемая теория в каждой рекурсивно пере-
числимой tt-степени. (Теория конечно аксиоматизируема, если
существует конечная совокупность высказываний этой теории,
из которой выводимы все высказывания этой теории.) Шёнфильд
[1958а] использовал теорему V и некое усиление теоремы VI
для того, чтобы показать, что существуют аксиоматизируемые,
существенно неразрешимые теории в каждой нерекурсивной рекур-
сивно перечислимой Т-степени. (Теория первого порядка сущест-
венно неразрешима, если не существует непротиворечивой разре-
шимой теории первого порядка, ее содержащей.)

§ 10.6. УПРАЖНЕНИЯ

§ 10.1

10-1. Пусть дана аксиоматизируемая теория Т (т. е. рекурсивно пере-
числимое множество пп-формул логической системы) и некоторая гёделева
нумерация пп-формул (см. § 7.8). Предположим существование эффек-
тивной процедуры, такой, что для любого данного х может быть найдена
ппф Fx, удовлетворяющая соотношению Fx£ Т <=> х £ К.

(i)	Должна ли теория Т быть полной степенью неразрешимости при
упорядочении по каждому виду сводимости?

(ii)	Должны ли любые две такие теории быть рекурсивно изоморфными?

10-2. Пусть множества А и В рекурсивно перечислимы. Покажите, что
А конструктивно нерекурсивно в В <^> [Л конструктивно нерекурсивно & В
рекурсивно].

10-3. (i) Определите разумным образом: множество А конструктивно
не-т-сводимо к В.

(ii)	Сформулируйте и докажите аналог теоремы II и следствия II.

(iii	) Покажите, что множество А конструктивно нерекурсивно в В
конструктивно не-ш-сводимо к В. (Указание. См. упр. 10-2.)

10-4. Дадим определение: множество А конструктивно бесконечно, если
(3 общерекурсивпая /) (Vx)[a: £ А < f(x) &. j(x) £ А ]].

(а)	Покажите, что множество А конструктивно бесконечно тогда и только
тогда, когда А не изолировано.

Дадим определение: множество А рекурсивно эквивалентно В, если
(3 частично рекурсивная взаимно однозначная функция ср) [А с Arg <р и В =
= ф(Л)] (см. упр. 8-32). Рекурсивная эквивалентность в теории рекурсивных
функций является аналогом отношения равномощности в теории множеств
(см. пояснение к теореме 8-V).

(Ь)	Покажите, что множество А конструктивно бесконечно тогда и только
тогда, когда А рекурсивно эквивалентно своему собственному подмножеству.

§ Ю.2

10-5. Покажите, что алгоритм, описанный перед леммой § 10.2, обладает
свойством, утверждаемым формулировкой этой леммы.

10-6. Сформулируйте и докажите релятивизованную версию тео-
ремы III.

10-7, (а) Покажите, что существует семейство трех рекурсивно перечис-
лимых Т-степеней, которые попарно не сравнимы относительно (Ука-
зание. Воспользуйтесь тремя списками и шестью совокупностями маркеров:

; п=0, 1, 2, .

исполь-

зуется в i-м списке. На этапе Зге-Н плюс помещается рядом с маркером | к |

на (наименьшем вакантном) положении х, если х появляется за п шагов
s<n>

в пересчитывании множества Wh3 , где 5)п)—меняющееся множество отме-

ченных плюсом положений j-го списка. Используйте подходящее приоритет-
ное упорядочение для перемещения маркеров.)

△ (b) Обобщив (а), докажите следствие III (с).
10-8. Покажите, что множества А я В, построенные в теореме III, не
просты. (Указание. Чтобы получить бесконечное рекурсивно перечислимое под-
множество множества А, возьмите рекурсивно перечислимую возрастающую
последовательность х0, xlt . . ., такую, что для всех X и всех I имеет место
W* = 0. Рассмотрите начальные положения I в А-списке.)

xi	!---И

10-9. Покажите: (3/)(34)[Val / = А & / =^т А &. А	(Указание.

Возьмите А я В, как в теореме III. Возьмите п = (наименьший элемент 4).
Определите функцию / так, чтобы f(B) = {n}, f(B) = А —{п} и f ~ТВ.)

§ 10.3

10-10 (Тенненбаум). Покажите, что если множество А бесконечно, мно-
жество В бесконечно и рекурсивно перечислимо и А 1В, то существует
общерекурсивная функция /, такая, что В — f(A) и А <iB посредством
функции f.

2)10-11. Докажите такой специальный случай первой теоремы Сакса.
(Из него следует, что среди нерекурсивных рекурсивно перечислимых
степеней не существует минимальной рекурсивно перечислимой степени.)

Теорема. Пусть С — любое нерекурсивное рекурсивно перечислимое
множество. Существуют рекурсивно перечислимые множества А и В, такие,
что А ^тС, В А <£?В и В А. (Указание. Модифицируйте про-
цедуру теоремы III следующим образом. КакЛ-, так и В-список состоит из
всех натуральных чисел, но каждый из них упорядочен в виде двойного
бесконечного ряда, п-я строка которого состоит из (п, 0), (п, 1), ... в при-
веденном порядке. В каждый момент времени эта процедура привлекает из
каждого списка лишь конечное число строк и столбцов.

Как и раньше, подвижные маркеры | 0 | , [~1"|, ...и | 0 | , | 1 | , ...
используются соответственно в A-списке и В-списке. В процессе вычисления
в каждом списке некоторые столбцы, могут быть сверху помечены звездочкой
(*). Говорят, что в данный момент времени число в данном списке специфици-
ровано, если оно находится в столбце, уже помеченном звездочкой. В данный
момент времени строку в данном списке назовем свободной, если ни в этой
строке, ни в любой другой строке, лежащей ниже ее, нс существует никакой
отметки и никакого маркера. В дополнение к движущимся маркерам | и |
П I п 1я’ п ~ 0’	' ’’ и к звез^0ЧКе могут быть использованы следующие

отметки: плюс, минус и кружок (О)- В любой строке эти отметки ставятся непо-
средственно под числом, с которым они связываются. Время от времени неко-
торые кружки стираются. Под числом могут появиться следующие комбина-
ции отметок: кружок, минус, кружок-минус, кружок-плюс и кружок-минус-
плюс (подвижный маркер также может появиться). Как и прежде, плюс никог-
да не стирается: те числа в A-списке, которые отмечены плюсом, составляют
множество А, помеченные плюсом числа в В-списке составляют множество В.
В процессе вычисления вводятся и соотносятся с числами подвижные марке-
ры. При определенных обстоятельствах подвижный маркер может переме-
щаться вправо в своей строке; при некоторых других обстоятельствах под-
вижный маркер может быть перемещен вниз в новую строку. Если в данный
момент времени в данном списке какая-то строка содержит как плюс, так
и маркер j j |, возможно в различных местах этой строки, мы скажем, что число
j осуществлено. Если j осуществлено, в более поздний момент оно может стать
неосуществленным, если | [ переместится вниз на новую строку.
Пусть / пересчитывает мпожество'С без повторений. Процедура состоит
в следующем. Множества Ао, At, ... и Во, Вх, . . . определены, как в тео-
реме III. Маркеры задаются следующим приоритетным упорядочением:

И.' Иг Ш,> ГП,....

Этап 2п + 1. (Если не оговорено

противное, всюду речь идет

об А-списке.) (i) Соотнесите | п с первым песпецифицированным элементом
первой свободной строки A-списка. (ii) Вычислите /(«). (iii) Пометьте звездоч-
кой /(п)-й столбец, т. е. столбец, содержащий (х, /(«)}, х = 0, 1, 2, ... .
(iv) Напишите плюс в первом кружке, встречающемся в этом столбце, если
таковой найдется. (Этот кружок уже может иметь жинус.)Если такой кружок
существует, пусть есть маркер в строке этого кружка (там должен суще-

ствовать один и только один такой маркер); переместите все маркеры | к |2

(7с< п), следующие, согласно приоритетному упорядочению, за | j | , вниз
на свободные строки В-списка и соотнесите их с первыми неспецифицирован-
пыми элементами этих новых строк; сотрите все кружки в старых строках
(в В-списке), с которых эти маркеры Tj2 были перемещены, (v) Переместите
все неосуществленные маркеры, оставшиеся в /(ге)-м столбце, на первые неспе-
цифицированные числа справа в соответствующих строках, (vi) Произведи-
те п шагов в каждом из множеств И7^2,1, . . ., И7®2”. Пусть текущие позиции

маркеров|0 | , | 1 |

ществлецное j, если оно существует,такое, что а)”’ появляется в этой части

| п 1 суть а<,п), . . ., а^>. Возьмите наименьшее неосу-

пересчитывания множества И7®2”. (Если такого )Чге существует, перейдите

к этапу 2п-\-2.) Поместите кружок под а7п> и переместите | / | на первое неспе-
цифицированное число справа в том же ряду. Напишите минус под каждым
числом в В-списке, таким, принадлежность которого к В2п была использована,
чтобы показать, что W^2n. (Некоторые из этих минусов могут оказаться

, вниз

внутри кружков.) Переместите все маркеры | к | , следующие после | / |
на свободные,'строки В-списка, и соотнесите с ними первые неспецифицирован-

ные элементы этих строк. Сотрите все кружки в строках, с которых эти мар-
керы | к | были перемещены.

Этап 2п + 2. Аналогично (для В-списка).

Остается показать, что А и В обладают требуемыми свойствами.

1.	Каждый маркер может перемещаться лишь конечное число раз, Если
это не так, возьмите маркер высшего ранга из тех, что перемещаются беско-
нечно часто. В конечном счете он должен будет перемещаться бесконечно часто
в пределах какой-то одной строки и никогда не будет осуществленным в этой
строке. Пусть эта строка есть (т, 0), (m, 1), ... . Из построения следует,
что множество {х | (т, х) имеет кружок} должно быть С. Но это делает С
рекурсивно перечислимым в противоречие с предположением’о нерекурсив-
ности множества С.

2.	А ^.•рС. Чтобы выяснить, будет ли (х, у) £ А, посмотрим, будет ли
У € С. Если у $ С, то (х, у) < А. Если у'£ С, вычислим т = f-Цу) и посмот-
рим, получило ли (х, у) плюс па (2т + 1)-м этапе вычисления. Если да, то
(х, у) С А; если нет, (х, у) $ А.

3.	В С. Аналогично.
4.	А <^т В. В противном случае А — для некоторого п. Рассмотрим
последнюю строку, в которой появляется | п | . В этой строке п или осущест-
вляется, или нет. Предположим, п в конечном итоге осуществляется в этой
строке. Пусть первый плюс, встречающийся в этой строке, приходится на а.
Тогда по построению a g W„ (приоритетное упорядочение гараптирует это,
не допуская минусы, которые надлежало бы поместить рядом с а, в И7®). Отсю-
да a (Е Л Wn и А W„. Предположим теперь, что п никогда не осущест-
вляется на этой строке. Пусть а' — окончательное положение рГ]. Тогда,
согласно лемме теоремы III, а' £ А Q И7®; и вновь А Ф Wn- И в том и другом
случаях имеем противоречие.

5.	В ^ТЛ. Аналогично.

(Замечание. Сакс получил более сильную форму указанной теоремы,
в которой A (J В = С и A fj В = 0.)

10-12. Для данной совокупности структур покажите, что любые
две счетные плотные структуры (относительно <?£) алгебраически изо-
морфны.

10-13. Приведите пример совокупности структур г#, для которой не суще-
ствует никакой плотной структуры. (Указание. Возьмите структуру состоя-
щую из циклических групп порядков 2 и 3, имеющую в качестве \j группо-
вую операцию.)

Л 10-14. Покажите, что обладает счетной плотной структурой. (Ука-
зание. Заметим, что для всякого L в и любых af, а2, . . ., ап в L L (аь . . .
. . ., ап) конечна. Заметим далее, что если L, Nj и Nz в конечны, L алге-
браически изоморфна подструктуре Nj и L алгебраически изоморфна под-
структуре N2, то существует структура М в такая, что Nt алгебраически
изоморфна подструктуре М, N2 алгебраически изоморфна подструктуре М
и образ 1 в М через совпадает с образом L в М через N2. Затем про-
ведите индуктивное построение.)

10-15. В § 10.3 выведите предложения 1 и 2 и вторую теорему Сакса из ги-
потезы Шёнфильда.

Л 10-16. Выведите первую теорему Сакса из гипотезы Шёнфильда.

Л 10-17. Пусть В — гиперпростое множество, получаемое конструкцией
теоремы Деккера (теорема 9-XVI). Покажите, что В не гипергиперпросто.
(Указание (предложенное Саксом). Пусть/, А и В такие же, как в теореме
9-XVI. Воспользуйтесь методом приоритета следующим образом. Возьмите
бесконечный список натуральных чисел. Соотнесите маркеры | 0. | | 1 j , ...
с числами списка. Число свободно в данный момент, если оно не имеет и не
имело никакого маркера, с ним соотнесенного.)

Этап ге + 1. Подшаг!. Пусть z — наименьшее свободное число > п.
Вычислите /(z). Пусть Ьо, ..., Ьп—текущие позиции	| п |. Возьмите

наименьшее i С п, если таковое существует, для которого вынолняется
bt < z и f(z) < f(bt). Если такого i не существует, переходите к подшагу 2.
Если такое i существует, переместите маркер | i | вниз на z, а все маркеры
| / j, i < j sg: п, вниз" на свободные числа £,•+!< ... < сп, такие, что
/(z) < /(ci+J) < . . . < /(сп). Затем перейдите к подшагу 2.

П о д ш а г 2. Пусть! с — текущая позиция | п |. Соотнесите п + 1
с первым свободным числом d ниже с, таким, что /(с) < f(d). Затем перейдите
к этапу п + 2.
Определим функцию g, такую, что Wg(x) = (множество всех чисел,
с которыми соотнесено |~ж~| этой процедурой). Затем, взяв g в качестве f
в определении гииергипериммунности из § 9.6, мы можем показать, что В
не гипергипериммунно. (Замечание. Это упражнение является непосредствен-
ным следствием упр. 9-44 (vi) и упр. 10-19, ниже.)

ДЮ-18 (Янг). Покажите, что существует множество, которое btt-полно,
но не m-полно. (Указание. Постройте А, такое, что А а: К, А = К — А
и А не есть цилиндр. Немедленно получим, что К С и тем самым, что А
btt-полно; А не m-полно, поскольку А не есть цилиндр. А строится следую-
щим образом. Определим рекурсивную перестановку р так, что р(К) = К
и (Ух)[р(х) Ф х & рр(х) = х], и общерекурсивную функцию g со множеством
К значений, удовлетворяющую соотношению (V$)[g(2x + 1) = pg(2x)].
Заметим, что для любого цилиндра С существует общерекурсивная взаимно
однозначная функция /, такая, что (yx)[f(x) х &-[х £ С <=s> f(x) £ С]].
Воспользуйтесь методом приоритета, согласно которому А может быть постро-
ено так, что такой функции / для А не существует, и так, что А cz К
и р(А) = К — А. Удобно трактовать (и порождать) А и К — А сим-
метричным образом. Заметим кстати, что ввиду упр. 8-45 А есть неци-
линдр из g3, не имеющий никаких множеств из gj или в своей
btt-степени.)

Д10-19 (Ейтс [1962]). Покажите, что если множество Л рекурсивно пере-
числимо и Л бесконечно, то [А гипергипериммунно<=> Л не имеет бесконечно-
го ретрассируемого подмножества] (упр. 9-44). (Указание. <=. Предположим,
Л не гипергипериммунно. Построим частичнорекурсивную функцию ф сле-
дующим образом. Начнем одновременна) перечислять непересекающиеся
конечные множества Wf(0),	в то же самое время порождая

множество Л. (Функция / берется из определения гипергипериммунности.)
Более конкретно, на га-м этапе пересчитываем каждое Йу(ж), х п, до тех
пор, пока первый элемент не появится в Л к n-му шагу в пересчете мно-
жества Л. Определим ф на всех тех заключительных элементах Идо;, . . .
. . ., VF/(n), которые были перечислены, но еще не появились в Л , и для кото-
рых ф ранее не была определена. Сделаем это таким образом, чтобы существо-
вала максимальная цепь т > ф(т) >ф(ф(т)) > . . . заключительных элемен-
тов, содержащая все заключительные элементы, на которых ф не была опреде-
лена. Тогда ф будет ретрассирующей функцией бесконечного подмно-
жества Л.

<=. Это обобщает доказательство 10-17 (см. (vi) упр. 9-44). Рассмотрим
ретрассирующее „дерево” ф (определяемое очевидным образом). Соотнесем
маркеры0.0....с каждым уровнем этого дерева. Пересчитываем Л
и перемещаем маркеры (каждый в пределах своего уровня) соответственно
приоритетной схеме, такой, что каждый маркер останавливается в конце кон-
цов на элементе Л и все маркеры останавливаются на одной и той же ветви.
Эта ветвь есть тогда бесконечное ретрассируемое подмножество множества Л,
и для каждого п положения маркера |~й~| составляют рекурсивно перечислимое
множество (Это определяет /.) Это семейство рекурсивно перечислимых
множеств свидетельствует о том, что Л не гипергипериммунно.) (Замечание.
Целый ряд методов приоритета (включая теорему III) может быть представлен
в этой форме; т. е. маркеры перемещаются, каждый в пределах своего соб-
ственного уровня по некоторому заданному дереву, так что все они в конце
концов останавливаются на одной и той же ветви этого дерева.) (Упраж-
нение 12-50 является усилением упр. 10-19 (см. упр. 9-48 (Ь), 12-48
и 12-49).)
§ 10.4

10-20. Модифицировав доказательство теоремы V, покажите, что всякая
нерекурсивная рекурсивно перечислимая Т-степень содержит

(i) три рекурсивно перечислимых множества, любые два из которых не
пересекаются и рекурсивно неотделимы;

△ (ii) к0 рекурсивно перечислимых множеств, любые два из которых
не пересекаются и рекурсивно неотделимы. (Указание. Используйте N
вместо {0, 1} в конструкции теоремы V.)

§ 10.5

10-21. Опишите равномерную эффективную процедуру, такую, что
по любому данному высказыванию х из J50 и любому п > 0 мы можем уста-
новить, будет или нет.а: истинно для мощности п. (Указание. Воспользуйтесь
нумералами 1, 2, . . ., п. Замените кванторы общности конечными конъюнк-
циями и кванторы существования конечными дизъюнкциями, затем устано-
вите истинность или ложность, как проиллюстрировано в следующем приме-
ре для п = 3 и х = (3a)(V&)—= 6:

(Ha)(Vb)-]a = 6,
(3a)[ —]a — 1 & -]« = 2 &	= 3],

[1 т£=1&1^2&1^3]У [2 #= 1 & 2 =# 2 &. 2 =# 3] V [3	1 & 3

[/ & t &. t] vit &/ & 1] V[t &!&./],
/V/VA

/•)

2 & 3 =/= 3],

△10-22. Покажите, что для любого высказывания х из если х имеет
ровно п кванторов и т п, то [х истинно для мощности п <=> х истинно для
мощности ш]. (Указание. Рассмотрите процедуру упр. 10-21 и покажите, что
для т она приводит к тому же, к чему и для п. Наиболее удобно это установить,
предварительно эллимипировав и выражая их через 1”,
и „V”.

△ 10-23. Докажите пункт (с) леммы в теореме VI. (Указание. Обобщите
доказательство из 10-22 на случай, когда т заменяется бесконечным карди-
нальным числом. Рассуждения, относящиеся к конечным дизъюнкциям
и конъюнкциям, должны быть заменены более общими теоретико-множе-
ственными рассуждениями.)

10-24 (Джокуш). Покажите, что А X А ^т4 <=> существует теория Т
первого порядка, такая, что А=тТ.
Глава И. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ

§ 11.1	Введение 232

§ 11.2	Теорема о рекурсии 233

§ 11.3.	Полнота творческих множеств;
вполне продуктивные множества 236

§ 11.4.	Другие применения и конструкции 239

§ 11.5.	Другие формы теоремы о рекурсии 249

§ 11.6.	Обсуждение 256

§ 11.7.	Системы обозначений для ординалов 263

§ 11.8.	Конструктивные ординалы 271

§ 11.9.	Упражнения 274

§ 11.1.	ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах были рассмотрены различные виды
рекурсивно инвариантных структур. Были построены множества
натуральных чисел с довольно специальными патологическими
свойствами. Кульминацией нашего исследования патологических
структур явилось построение в гл. 10 рекурсивно перечислимых
множеств, которые не рекурсивны и не Т-полны.

Предложим теперь простой общий метод порождения раз-
личных патологических структур в теории рекурсивных функций.
Хотя этот метод ипе достаточен для того, чтобы получить теорему
Мучника — Фридберга (гл. 10), он дает способ для ответа на ряд
вопросов, которые оставались открытыми в предыдущих главах.
В § 11.3 мы воспользуемся им, чтобы показать, что всякое твор-
ческое множество полно и что всякое продуктивное множество
вполне продуктивно. В § 11.4—11.8 мы неоднократно будем при-
менять этот; метод для установления некоторых других резуль-
татов.

Метод будет сформулирован в виде теоремы, называемой обычно
теоремой о рекурсии или теоремой о неподвижной точке в теории
рекурсивных функций. Как уже было сказано, она является основ-
ным инструментом исследования. Это глубокий результат в том
смысле, что он дает изящный и экономичный метод обращения
с конструкциями, что в ином случае потребовало бы долгих и
сложных рассуждений.

Эта теорема может быть приведена в нескольких формах
и может, на интуитивном уровне, рассматриваться с нескольких
точек зрения. В определенном смысле теорема суммирует некото-
рый класс диагональных методов, включая метод, используемый
для построения рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных
множеств (теорема 5-VI). С другой стороны, эта теорема устанавли-
вает некоторый результат о неподвижной точке и, подобно теоремам
анализа о неподвижной точке, может быть использована для
доказательства существования многих неявно заданных функций;

Проиллюстрируем содержание и возможности применения тео-
ремы о рекурсии, рассмотрев следующий вопрос. Существует ли
т, такое, что Wm — {т}? На первый взгляд, существование
такого т может показаться случайным свойством, присущим кон-
кретной нумерации рекурсивно перечислимых множеств. В самом
деле, может казаться столь же вероятным, что при нашей нумера-
ции такого т не существует. Однако в § 11.2, применив теорему
о рекурсии, мы докажем, что такое т должно существовать как
при нашей нумерации рекурсивно перечислимых множеств, так
и при всякой другой допустимой нумерации рекурсивно перечис-
лимых множеств.

Теорема о рекурсии (как и многие из ее известных приложений)
была установлена Клини.

§ 11.2.	ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ

Теорема о рекурсии в ее наиболее сильной и общей форме
будет представлена теоремой IV. Из соображений наглядности
сначала излагаются три более простых варианта этой теоремы.
Эти результаты формулируются явно в теоремах II, III и IV
и неявным образом содержатся в доказательстве теоремы I.

Теорема I. Пусть / — общерекурсивная функция', тогда суще-
ствует п, такое, что

фп ф/(П)"

(Мы назовем п неподвижной точкой для f (a fixed-point value
for /)•)

Доказательство. Пусть дано любое и. Определим
частичнорекурсивную функцию ф следующими инструкциями:
чтобы вычислить ф(а:), привлеките сначала Ри с входным значе-
нием и\ как только вычисление закончится (если это произойдет)
и на выходе будет w, воспользуйтесь Pw при входном значении х;
как только вычисление закончится (если это произойдет), возь-
мите его выход в качестве ф(х). Резюмируем сказанное:

/ Ффи(и)(*)»	если Ф«(м) сходится;

ф (х) — | расходится,	если <pu(u) расходится.

Инструкции для функции ф равномерно зависят от и. Пусть g —
общерекурсивная функция, отыскивающая по и гёделев номер
этих инструкций для ф. Таким образом,

Г Фф«(и) (я)> если фы(и) сходится;

^«(и)^)	| расходится, если фц(и) расходится.
Пусть теперь дана произвольная общерекурсивная функция /.
Тогда fg общерекурсивна. Пусть v — гёделев помер fg. Поскольку
Т» — fg всюду определена, <рг (н) определено. Отсюда, заменив и
на v в определении g, имеем

Tg(») =(P<pv(v> = Vfgtv)'

Таким образом, п — g(y) — неподвижная точка, что и требова-
лось. а

Следствие I. Пусть f — произвольная общерекурсивная функ-
ция', тогда существует п, такое, что Wn — Wfln>.

Доказательство очевидно.а

Пример. Рассмотрим вопрос, поставленный в § 11.1. Суще-
ствует ли т, такое, что Wm — {пг}? Согласно тезису Чёрча
(и х?т-и-теореме), существует общерекурсивная функция /, такая,
что для любого х Wf(x) = {ж}. Применив следствие I, имеем п,
такое, что Wn = Wfin}. Отсюда Wn = {п} и на поставленный
в § 11.1 вопрос получаем положительный ответ. (Заметим, что это
доказательство может быть проведено для любой гёделевой нуме-
рации, допустимой в смысле упр. 2-10; см. также упр. 11-12.)

Теорема I может быть усилена в трех направлениях: (1) можно
показать, что п зависит равномерно от гёделева номера функции /;
(2) можно показать, что если / содержит другие параметры рекур-
сивно, то можно сделать, чтобы п зависело равномерно от этих
параметров; (3) можно показать, что для любой функции / беско-
нечное множество неподвижных точек может быть рекурсивно
перечислено. Мы посвятим направлениям (1) и (2) теоремы II
и III соответственно. Направления (1), (2) и (3) объединены в наи-
более общей формулировке в теореме IV, включающей в себя тео-
ремы I, II и III. Теоремы I и III сформулированы в виде, исполь-
зуемом чаще всего в приложениях.

Теорема II. Существует общерекурсивная функция п, такая,
что для всякого z, если функция tpz всюду определена,

Фп(г) — Ффг(п(г>>'

Доказательство. Пусть <рг = /, рассмотрим доказа-
тельство теоремы I. Согласно теореме 1-VI, и, гёделев номер
функции fg, может быть найден равномерно по z. Пусть v — обще-
рекурсивная функция, такая, что = q>zg. Тогда искомая обще-
рекурсивная функция п задается равенством n(z) = gv(z).9
Следствие II. Существует общерекурсивная функция п, такая,
что для любого 'z, если функция <pz всюду определена,

Wn(i) = ^/<р2(п(г))-

Доказательство очевидно. я

Теорема III. Пусть f — общерекурсивная функция k 4~ 1 пере-
менных. Тогда существует общерекурсивная функция nf от к пере-
менных, такая, что для всех Xi, . . ., xh

«Pn^xi......................xfe) *]Р/(Пу(5С1, ..., xh), XI, ... xh)

Доказательство. Конструкция повторяет конструк-
цию теоремы I. Определим функцию g к 4-1 переменных так, что

Tg(u, Xi,.., xft) (у) =

(Фш(*+1Ъи X, X 1^)’ если Ч>^+1)	• • -’xk) сходится;

расходится,

если (и, Xt, . . ., xh) расходится.

Далее, пусть’’?? есть гёделев номер функции

XuXi . . . xh[f(g(u, Xi, . . ., xh), Xi, . . ., a:fe)]

от к + 1 переменных. Поскольку / и g всюду определены, функция
ф^+П всюду определена. Тем самым имеем

XI.....Xft) ^/(5(0, XI.........Xft), XI, ..., xft)'

Положив nf = kxi, . . ., xh[g(v, Xi, . . ., жй)], получаем требуе-
мый ре.зультат.и

Следствие III. Пусть / — общерекурсивная функция
к + 1 переменных. Тогда существует общерекурсивная функция
nf от к переменных, такая, что для всех xlf . . ., xk

^Пу(Х1, . .., хй) — И^(П/(Х1..xft), XI, .... хй)-

Доказательство очевидно.а

Приведем теперь наиболее общую формулировку.

Определение. Функция / от п переменных взаимно однозначна,
если для каждого у существует самое большее одна n-ка . . .
. . ., хп), такая, что f{xi, . . ., хп) = у.

Теорема IV (Клини). Каково бы ни было к, существует общере-
курсивная функция п от к -|-2 переменных, такая, что п взаимно
однозначна, и для любого z, если фСН-О всюду определена, то для
всех хг, . . ., xh, у

фп(г’ xt.Xk’ А = ФФ^+1’(П(2, Ж1, . . ..	У), Х1.

Доказательство. Пусть t — общерекурсивная функ-
ция двух переменных, определенная в доказательстве теоре-
мы 7 IV. Тогда t взаимно однозначна, и для всех х и у <pt(Xr у) = 
= фж. Возьмем функцию g, как в доказательстве теоремы III.
Определим g посредством

g(u, Хи . . ., хк) = t(g(u, Xt, . . xk), (и, Xt, . . ., ХкУ). •

Функция g — взаимно однозначная, обладающая всеми свойствами
функции g, о которых идет речь в доказательство теоремы III. .
Пусть v — общерекурсивпая функция, такая, что n(z) — гёделев
номер функции

luxt . . . Xh[<p[h+1>(g(u, Xi, . . ., Xh), Xt, . . ., zft)].

Положим

n = Xzxt . . . xhy[g(t(y(z), y), Xi, . .	xh)}.

Очевидно, n обладает требуемыми свойствами.в

Можно привести следствие теоремы IV, подобно следствиям I,
II и III. Мы опускаем его.

Основными объектами теорем I — IV были частичнорекурсив-
ные функции одной переменной. В случае частичнорекурсивных
функций к переменных для всякого к > 1 формулировки и дока-
зательства переносятся непосредственно.

Клппиева формулировка и доказательство теоремы 1 приведены
в упр. 11-4\ Плиниева формулировка слегка отличается несуще-
ственными деталями от пашей. Благодаря этому ею доказатель-
ства в некотором отношении формально более просты.

§ 11.3. ПОЛПОТА ТВОРЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ;

ВПОЛНЕ ПРОДУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА

Воспользуемся теоремой о рекурсии, чтобы ответить на два
вопроса, остававшиеся открытыми в предыдущих главах. (1) Вся-
кое ли творческое множество m-полно (п, следовательно, согласно
теореме 7-VII, 1-полно)? (2) Всякое ли продуктивное множество
вполне продуктивно?

Теорема V (Майхилл [1955]). А — творческие множество => А
т-полно.
Доказательство. Пусть А — творческое множество.
Тогда А продуктивно и, согласно теореме 7-XI, А обладает,
продуктивной всюду определенной функцией. Пусть h — такая
продуктивная функция и В — рекурсивно перечислимое множе-
ство. Для фиксированных х и у определим части чнорекурсиввую
функцию ф следующими инструкциями: получив вход z, пытай-
тесь обнаружить у в В', как только у появится в В (если это про-
изойдет), вычисляйте функцию й(т); если z = h(x), выдайте О
на выход; если z h(x), пе выдавайте никакого выходного значе-
ния. Эти инструкции -зависят равномерно от я и у. Значит, суще-
ствует общерекурс-ивная функция /, такая, что для любых х и у

Ф -- ^/(Х. у>-

Переходя к областям определения, имеем

_ j {&(*)}> если У € В;

fix, у> | 0,	если у (£ В,

Применив следствие III, получим общерекурсивпую функцию и,
такую, что

_	_J {Му)}> если у ЕВ;

0г если у $ В.

Тогда

У € В => hn(y) Е WnW => WnW ф А (в силу продуктивности) =>
=> hn(y) Е А

и

y$B=^Wntin= 0 => hn(y) £ А (в силу продуктивности).

Таким образом, для любого у, у <=> hn(y) £ А Отсюда В А.
Поскольку В есть произвольное рекурсивно перечислимое мно-
жество, А m-полно.я

Следствие V. А — творческое множество А 1-полно <<=>
А т-полно.

Доказательство. Согласно теореме 7-VII, т-пол-
нота <=? 1-поляота. Согласно следствию 7-V, m-полнота => креа-
тивность. Тем самым следствие доказано, и

Творческие множества, следовательно, составляют один изо-
морфный тип; с точки зрения теории рекурсивных функций любые
два творческих множества идентичны.

Теорем» VI. А продуктивно => А вполне продуктивно.

Доказательство Пусть А продуктивно, и пусть h —
всюду определенная продуктивная функция множества А, суще-
ствующая в силу теоремы 7-XI. Конструкцией, подобной кон-
струкции теоремы V, получаем общерекурсивную функцию /, та-
кую, что

wf(X,y> = wv п {ад}.

Применив следствие III, получим общерекурсивную функцию пг
такую, что для всех у

Wn(y) — ^/(п(у), у) ~ Wy П

Тогда

hn(y) е Wy => РГп(!/) = {Лад} => W„(v) (£ А (в силу

продуктивности) => hn(y) £ А
и

Му) £ Wy => Wn(y) = 0 => WnW cz A => hn(y) e А (в силу

продуктивности).
Отсюда

hn(y) 6 A <=> hn(y) E Wy.

Таким образом, А вполне продуктивно c hn в качестве вполне про-
дуктивной функции. в

Оба приведенных доказательства используют теорему 7-XI.
При доказательстве теоремы VI вполне можно было бы обойтись
без использования этой теоремы и получить ее как следствие
теоремы VI (см. упр. 11-13). Может быть приведено также простое
непосредственное доказательство теоремы 7-XI с применением
теоремы о рекурсии.

Еще одно доказательство теоремы 7-XI.
Пусть А — продуктивное множество с продуктивной функцией ф.
Возьмем общерекурсивную функцию /, такую, что

( Wy, если ф(х) сходится;

/(х. и) (0, если ф(;г) расходится.

Следствие III дает функцию п, такую, что

f Wy, если фн(у) сходится;

^п(у) — ^/(п(у), у) — | 0, если фп(у) расходится.

Тогда

фп(у) расходится => Wn(y) = 0 =>фп(у) определено

(в силу продуктивности). Отсюда фм есть общерекурсивная
функция. Тем самым для всех у выполняется Wn(y, = Wy. Следо-
вательно,

Wy <= А => Wn (уу (= А =>^п(у) € А — PVn(s)(B силу
продуктивности) tyn(y) € А — Wy.

Отсюда фп — (всюду определенная) продуктивная функция для А. в
Теорема 7-VII использовалась также при получении следст-
вия V. Можно было бы не привлекать теорему 7-VII, если при до-
казательстве теоремы V воспользоваться. результатом упр. 7-50
для получения взаимно однозначной всюду определенной продук-
тивной функции h и теоремой IV для получения взаимно однознач-
ной функции п. Непосредственно из модифицированного доказа-
тельства тогда получаем, что А — творческое множество => А
1-полно, и следствие V вытекает только из следствия 7-V.

Таким образом, все результаты этого раздела, как и теоре-
мы 7-VII и 7-XI, получаются с помощью простых конструкций,
связанных с теоремой о рекурсии. Поучительно (в случаях, подоб-
ных теореме 7-XI) сравнить доказательства, использующие тео-
рему о рекурсии, с доказательствами, к ней не прибегающими.
Если читатель располагал доказательствами теорем V и VI до
чтения этой главы (проделав упр. 7-32 и 7-52), он может сравнить
свои доказательства с приведенными выше, использующими тео-
рему о рекурсии. В процессе развития теории рекурсивных
функций целый ряд результатов был установлен сначала путем
сложных непосредственных доказательств, а затем, позднее,
с помощью более коротких и элегантных конструкций с привле-
чением теоремы о рекурсии.

Хотя непосредственное назначение теоремы о рекурсии состоит
в получении патологии, мы отметим, что в теоремах V и VI она
дает возможность установить соотношения между ранее опреде-
ленными понятиями.

§ 11.4.	ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ

Пять иллюстраций, приведенных ниже, дадут некоторое пред-
ставление о возможности применения теоремы о рекурсии. Еще
некоторое число их будет приведено в последующих разделах этой
главы и в упражнениях. Первая иллюстрация относится к теории
множеств, вторая — к логике, третья — к теории автоматов, чет-
вертая и пятая касаются теории рекурсивных функций.

Первая иллюстрация. Рекурсивно перечислимые
множества и теория множеств

Рассмотрим отношение Е = {{т, п) | т £ lVn}. Если (ш, п) £
£ Е, мы пишем тЕп. Между отношением Е и отношением £ теории
множеств можно усмотреть отдаленную аналогию ’). На мысль

*) Среди обычных аксиом теории множеств (в формулировке Цермело —
Френкеля) имеют место аксиомы пары, суммы, выбора и бесконечности. Акси-
омы степени, объемности (экстенсиональности) и фундирования места не
имеют. Аксиомы свертывания и замещения (замены) в общем виде не верны
об этой аналогии наводит ряд вопросов: (1) Существует ли т, та-
кое, что тЕт? Очевидно, что для любого элемента т из К тЕт
по определению. Мы усложним вопрос (1) следующим образом.
(2) Определим: т есть унитарное множество, если Wm = {и} для
некоторого п. Существует ли унитарное множество т, такое, что
mErnl Этот вопрос совпадает со следующим: существует ли Wm —
= {zn}? Из § 11.2 мы знаем, что это возможно. (3) Возможно ли
существование таких унитарных множеств т и и, что т п,
тЕп и nEm'i В упр. 11-24 мы покажем, что это возможно. (4) Суще-
ствует ли бесконечная восходящая цепь унитарных множеств;
иными словами, можно ли найти различные т0, т1, . . ., такие,
что m0Emt, тщЕтг, . . .? Это может быть сделано следующим обра-
зом. Определим общерекурсивпую функцию h, такую, что для
всех у

^h(V> = 0} и h(y) > у.

Положим

т0 = Л(0),
mn+i = h(mn).

Последовательность т0, mt, . . . есть искомая последовательность
{на самом деле она еще и рекурсивно перечислима). (5) Возмож-
но ли существование бесконечной нисходящей цепи унитарных
множеств? Это более сложный вопрос. Чтобы ответить на него,
воспользуемся теоремой о рекурсии.

Теорема VII. Существует бесконечная последовательность раз-
личных натуральных чисел т0, mt, . . ., таких, что для всех i
Wm. = {zni+1}.

Доказательство. Предпринятое нами построение вос-
ходящей цепи могло бы навести на мысль о возможности сущест-
вования такой общерекурсивной функции g, что для всех у Wy =
= {g(y)}. Это, однако, невозможно, поскольку не все у являются
унитарными множествами. Может ли быть достигнута более скром-
ная цель — найти рекурсивную функцию g, такую, что для всех у

wg(y) = {gg(y)Yi

и имеют место лишь в ограниченной форме. Справедлива континуум-гипотеза
(не имеющая глубокого смысла, поскольку все множества конечны или счет-
ны). При такой аналогии теорему, утверждающую, что А(= {х | не хЕх})
не является рекурсивно перечислимым, можно считать аналогом парадокса
Рассела. Это относится также к формулировке и доказательству теоремы
Кантора. (В теории множеств теорема Кантора обнаруживает существова-
ние несчетных множеств; парадокс Рассела возникает, когда совокупность
всех множеств, не являющихся элементами самих себя, рассматривается
как множество.) См. упр. 11-23.
Зададим функцию g следующим образом. Определим общерекур-
сивную функцию / так, чтобы

f {фхфх(у)}, если фхфх(г/) юходится;

Цг/	— <

I 0,	если фхфх(у) расходится.

Затем определим общерекурсивную функцию такую, что для
всех х и у Wf’{x< у) = Wf(X: у) и f’(x, у)>у. (Для этой цели можно
воспользоваться функцией t из теоремы 7-1V, положив f(x, у) =
—	У), P-z[t(f(x, у), z) > г/]).) Определим общерекурсивную

функцию h так, чтобы

<Рh= /'(*, У),

и заметим, что для всех х функция фщх> всюду определена. Приме-
нив теорему I, получим п, такое, что

фп = ф Л (п > •

Функция фп всюду определена и для всякого у

W<pn(y) —	= у) — {фпфп(у)}-

Кроме того, для всех у выполняется соотношение фп(у) > у. Тогда
фп есть искомая функция g, поскольку

= &£(*/)}•

Положим

т0 = g(0),

Шп+i = g(mn);

последовательность т0, т1, . . . образует искомую нисходящую
цепь.н

В упр. 11-25 теорема VII используется для того, чтобы обна-
ружить существование насыщенных множеств, отличных от мно-
жеств специального вида, описапных в упр. 7-45 и 7-46.

Вторая иллюстрация. Аксиомы, утверждающие
свою собственную, непротиворечивость

Пусть задана логическая система вместе с кодированием пп-
формул на N. Предположим, что определено некоторое понятие
„непротиворечивости” (множеств ппф) и что существует общерекур-
сивная функция с, такая, что Для любого х ппф (с кодовым номе-
ром) с(х) понимается как утверждение о непротиворечивости мно-
жества Wx ппф. Пусть дано рекурсивно перечислимое множество
Wp пп-формул. Можем ли мы добавить к IV р ппф (с кодовым номе-
ром) д, которая будет утверждать непротиворечивость множества
U {<?}? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Доказательство ее подобно доказательству теоремы VI.
Теорема VIII. Каковы бы ни были натуральное число р и обще-
рекурсивная функция с, существует натуральное число п, такие,
что

Wn = wp U м«)}-

Доказательство. Возьмем общерекурсивную функ-
цию /, такую, что для всякого х имеет место = Wp (J {c(x)}.
Результат немедленно вытекает из следствия I. Более того, ;
согласно следствию II, п может быть найдено равномерно пб р
и индексу с.и

Таким образом, нри ранее упомянутых предположениях о с
теорема VIII показывает, что может быть найден р. н. индекс п,
такой, что множество Wn состоит из Wp и ппф, утверждающей
непротиворечивость Wn. Сделаем теперь три замечания.

Замечание 1. Очевидно, теорема может быть применена
к свойствам множеств (пп-формул), отличным от непротиворечи-
вости, например к свойствам противоречивости, полноты, неза-
висимости, если только свойство Р таково, что существует обще- 
рекурсивная функция сР, где сР\х) понимается как утверждение
о том, что множество Wx обладает свойством Р.

Замечание 2. Среди различных р. п. индексов данного
рекурсивно перечислимого множества одни индексы могут счи-
таться более „естественными” (в некотором смысле), чем другие.
(Инструкции для фиксированного рекурсивно перечислимого мно-
жества могут значительно варьироваться по структуре; см.
упр. 11-26.) Существует ли некоторый „естественный” индекс п,
такой, что Wn =WP J {c(7ij}? Например, при доказательстве
теоремы VIII, если мы обусловим, что (для всякого х) f(x) есть
индекс и притом „естественный* индекс множества Wf(x), мы
можем задаться вопросом: существует ли т, такое, что

wf(mt = wp U {’/(m)};

т. е. существует ли такое т, что = №дт)- Вообще говоря,
ответ на этот вопрос отрицателен: такой естественный индекс
не может быть найден (см. упр. 11-27). Однако для некоторых
логических систем при некотором выборе множества Wp этот крите-
рий естественности может быть так ослаблен (разумным образом),
что станет возможным утвердительный отьет. Рассмотрим логиче-
скую систему, которая содержит пропозициональную связку „<=>”
и обычные пропозициональные правила, относящиеся к
Для любых фиксированных х и у пусть „[c(z) .?=> с(у)]п означает
(в пашем рассмотрении) пп-формулу. полученную помещением „<=>”
между пп-формулами (с кодовыми номерами) с(х) и с(у). Пусть
/ — функция, построенная выше, такая, что Wiw =
= (J {с(г)}. Назовем р п. индекс у множества Wf(x) естест-
венным , если ппф (с(у) <^> с(/(а;))] выводима (в данной логической
системе) из пн-формул множества WF. Рассмотрим, в частности,
случай, когда логической системой является элементарная арифме-
тика, Поесть множество аксиом Пеано, а функция с задана так, как
это будет намечено в § 11.6. Если п —неподвижная точка функции
для /, полученная применением следствия 1, то можно показать, что
ппф |с(ге) <=><?/(п)] выводима из аксиом Пеано (прежде всего следует
показать, что ппф, выражающая утверждение „п и f(ri) суть р. н.
индексы одного и того же множества”, выводима из аксиом Пеано).
Следовательно, в доказательстве теоремы VIII п превращается
в естественный индекс множества Wp (J (с(п)}, и выражение
cf(n) может быть выведено из Wp (J {с(м)}, несмотря даже па то,
что cf(ri) может пе быть элементом множества 1ГР (J {с(«.)}.

Замечание 3. Будет лп в действительности множество
Wn непротиворечиво? Для случая элементарной арифметики
с функцией с, заданной, как в § 11.6, Wn может быть или не быть
непротиворечиво в зависимости от выбора множества Wр и индек-
са р для Wр. Если Wp выбрано пустым, WTl непротиворечиво; если
Wp выбрано так, что оно есть множество аксиом Пеано, а р —
индекс обычного пересчета аксиом Пеано, то множество Wn
не может быть непротиворечиво. Это следует из второй теоремы
Гёделя о неполноте (§ 11.6).

Третья иллюстрация. Самовоепрокзводящиеся машины

Существуют ли машины, способные воспроизводить себя?
В литературе встречается несколько способов уточнения этого
вопроса и ответов на него. (Первая теорема, отвечающая утверди-
тельно на этот вопрос, принадлежит фон Нейману.) Такого рода
конструкции часто в значительной степени напоминают доказа-
тельства теоремы о рекурсии. Воспользуемся теоремой о рекур-
сии для получения общей теоремы, из которой можно вывести
различные известные результаты о самовоспроизводящихся маши-
нах как частные случаи.

Пусть есть счетпый класс объектов. Мы назовем элементы
класса е/fl машинами. Пусть J? есть счетный класс объектов. Мы
назовем элементы представлениями. Предположим, что всякой
машине М класса поставлено в соответствие некоторое частич-
ное отображение из N в Ji?, т. е. однозначное подмножество
N X Л- Для всякой машины М мы обозначим соответствующее
ей частичное отображение также через М и воспользуемся обозна-
чением Л/(х) = R для указания на то, что натуральное число х
отображается на представление R посредством М. Предположим
далее, что для всякой частичнорекурсивной функции ф и всякой
машины М существует машина М', такая, что отображение М'
совпадает с отображением Л/ф. (Мы могли бы сказать, что „класс
<dt замкнут относительно композиции с машинами Тьюринга".)
Наконец, предположим, что задано фиксированное кодирование
класса <М на N и что существует такая общерекурсивная функ-
ция h, что для всех xt и х2 Mh(Xlt Х1) = Л/Х1<р12 (где для любого
z Мг есть машина с кодовым номером z).

Теорема IX. Пусть D — произвольная машина. Тогда суще-
ствует такое натуральное число т, что при всех входных значе-
ниях машина Мт выдает D(iri) в качестве выходного значения.

(На интуитивном уровне всякое представление из может
мыслиться как, в некотором смысле, репродукция машины из
D — как специальная машина класса <М, которая по любому х
строит репродукцию машины с кодовым номером х. Тогда теорема
утверждает, что должна существовать машина, которая вне зави-
симости от входного значения производит свою собственную
репродукцию.)

Доказательство. Пусть d есть кодовый номер маши-
ны D. Для любого данного х пусть ф есть постоянная функция,
значение которой (при любом входе) есть h(d, х). Инструкции для
ф будут зависеть от х; тем самым может быть найдена общерекур-
сивная функция /, такая, что

Ф/(х>(у) = h(d, х) для всех у.

Применив теорему о рекурсии, мы получим такое п, что <рп(у) =
= <p/(n)(y) = h(d, п) для всех у. Отсюда Dcpn(y) = Dh(d, п) для
всех у. Но D<pn — Mh(d,n> (по определению h).

Положив т = h(d, и), имеем Мт(у) — D(m) для всех вход-
ных значений у.я

Рассмотрим бегло два примера.

Пример 1. Возьмем в качестве ЯК класс машин Тьюринга,
и пусть Мх обозначает машину с гёделевым номером х относитель-
но нашей исходной нумерации машин Тьюринга. Пусть представ-
лением данной машины Тьюринга будет последовательность еди-
ниц и В, кодирующая четверки этой машины в соответствии со сле-
дующими правилами:

qt	1 1 1 ... IB (i + 1 единиц)

1	1 1

В	В В

L	1 В

R Bi
Таким образом, машина {q^Rq^, q^Biqi} имеет

11	В11В1111В111 ВВВ 1111В

в качестве представления. Пусть Л — йласс всех таких пред-
ставлений машин Тьюринга. Можно (и нетрудно) показать, что
существует машина Тьюринга D, которая для любого входного
значения х завершает работу, имея на ленте представление для
машины Мх (и ничего более). Теорема IX показывает тогда, что
существует некоторая машина Тьюринга, завершающая работу
со своим собственным представлением (и ничем более) на ленте
для любого ряда единиц в качестве входных значений х).

Пример 2. Возьмем в качестве -Ж более общий класс машин,
некоторые из которых обладают способностью производить новые
физические объекты, поглощая сырье из окружающей среды.
Пусть — это само <М. Возьмем в качестве D некоторую „уни-
версальную машину”, которая по любому данному кодовому номе-
ру („синьке”) машины будет конструировать копию этой машины.
В этом случае теорема IX утверждает, что существует некоторая
машина, которая может сконструировать копию самой себя.

Разумеется, в обоих примерах должно быть доказано сущест-
вование соответствующей машины D. В примере 2 в этом и заклю-
чена вся тонкость. Должно быть дано точное определение машины
и среды и предпринято более детальное изучение возможных кон-
фигураций среды. Тем не менее наше применение теоремы о рекур-
сии выявляет основные черты доказательства самовоспроизводи-
мости и имеет непосредственное отношение к ошибочным сообра-
жениям (основывающимся на „бесконечном регрессе”) по поводу
невозможности существования самовоспроизводящихся машин * 2).

*) Это применение было предложено К. Ли.

2) В примере 2 мог бы возникнуть вопрос о пределах отклонений и посте-
пенном внесении ошибки (для макроскопических машин). В конечном счете
это вопрос о том, как мы определяем е/й и конструируем D. Возможное реше-
ние состоит в том, чтобы ввести абсолютные стандарты (атомные часовые
механизмы, длины волн спектральных линий и т. д.) в D.

Подход теоремы IX несколько отличается от наиболее распространенных
конструкций, связанных с самовоспроизводимостыо машин. В такого рода
конструкциях самовоспроизводящиеся машины могут быть описаны в виде
(D, С, Е, {Ь, «)>, где D — „реализатор синьки" (строящий объект по любой
данной „синьке"), С — „устройство, копирующее программу", Е — допол-
нительное оборудование для обращения с входами и выходами устройств
С и D, (6, i) есть „программа", состоящая из & — синьки устройства (D, С,
E)i\ I — множества дополнительных инструкций. Машина получает команды
из i и действует следующим образом. Синька Ь помещается в D и вырабаты-
ваются репродукции D', С и Е'. Затем программа (6, I) помещается в С,
где с нее снимается копия {&', I' ) Затем монтируется „потомок" (D', С, Е',

Теорема IX не использует такого последнего шага, при котором копирует-
ся синька. Вместо этого, как мы видели, самовоспроизводящаяся машина
принимает вид (D, <рп), где <рп сначала вычисляет „общую синьку” для
(D, срп), а затем D реализует ее.
Четвертая иллюстрация. Теорема о парной рекурсии

Можно ли найти общую неподвижную точку для любых двух
данных общерекурсивных функций? Вообще говоря, это невоз-
можно. Следующая теорема, однако, показывает, что в некотором
(более слабом) смысле это может быть сделано. Эта теорема полу-
чена Шмульяном [1961]. Доказательство ее является четвертой
иллюстрацией применения теоремы о рекурсии.

Теорема X (а)'(Шмульян). Для любых общерекурсивных функций
g и h существуют тип, такие, что

фш = Фг«т, п» и фп Фл«т, п>)ф

Доказательство. Возьмем общерекурсивную функцию
/, такую, что

Ф/(ас, = Ф?«я, »>)•

Применив теорему III, найдем общерекурсивную функцию т,
для которой выполняется

q’m(y) ^/(«(у). S) %Г(<п1(г/). У>У

Пусть к — общерекурсивная функция, такая, что

Фй(у) <Рл(<т(у), ууу

Применив теорему I, найдем п, для которого имеет место

<₽п 'Pft(n)	п>)‘

Положив п --- п и т — т(п), имеем

фт == Фй(<п», п>) И фп = фЛ(<т, п>),
что и требовалось.я

Одно из применений теоремы X будет предложено
в упр. 11-29.

Пятая иллюстрация. Изоморфизм универсальных функций

Напомним, что функция ф универсальна, если существует
общерекурсивная функция / двух переменных, такая, что
(Уз:)[фя: — X.r/hp/G’?, !/)]]• В теореме 4-Ш мы показали, что свойство
функции быть универсальной рекурсивно инвариантно. Восполь-
зуемся теперь теоремой о рекурсии, чтобы получить обратный
результат.

Теорема X (Ь) (Блюм). Любые две универсальные функции рекур-
сивно изоморфны.
Доказательство.

Определение. / есть шифр функции ф, если / общерекурсивна и
(VaWx = tyltyf(x, у)П.

Пусть ф — ХДфя^аДлгСс))]- Тогда функция ф универсальна,
причем имеет Тху[ (х, у )1 в качестве шифра. Пусть 9 — произволь-
ная универсальная функция с h в качестве шифра. Для доказа-
тельства теоремы мы должны установить существование такой
рекурсивной перестановки g, что gQ =ф£.

Лемма. Пусть функция 0 универсальна. Тогда существует равно-
мерная эффективная процедура, позволяющая по любым заданным
Vi, v2, . • ., vh, таким, что 0(i?i) = 0(р2) = . . . = G(vh), найти
такое vh+l £ {vlt . . ., vh}, что 0(yt) = . . . =9(yJt) = 0(pft+i).

Доказательство леммы. Определим общерекурсив-
ную функцию /' так, что

0(щ),	если h(t, 0) $ {f±, . . ., vh};

расходится,	если h(t, 0) £ {Vi, . . ., vk}.



Применив теорему 1, получим п, такое, что <£/'<«> = <рп- Если
h(n, 0) £ {г>1, . . ., vh}, положим vk+l ~h(n, 0). Если h(n, 0) €
€ {щ, . . ., vk}, то 0(pi), . . ., 0(рь) должны быть не определены.
Зададим общерекурсивную функцию /" так, что

ФГ(О^) =

0,

расходится,

если h(t, 0) £ {vi, . . ., vh}-,

если h(t, 0) $ {Vi, . . ., vk}.

Применив теорему I, получим п', такое, что Ф/цп') = фп'- Так как
6(1^), . . ., 0(vh) не определены, то ф/»<п')(0) должно быть не опре-
делено и h(n', 0) (J {v^ . . ., vk}. Положим vh+1 = h(n’, 0).
Согласно теореме II, общая процедура равномерно эффективна
по Vi, . . ., vh. Это завершает доказательство леммы. (Следствие
из леммы. Всякая универсальная функция имеет взаимно одно-
значный шифр.)

Пусть z фиксировано. Возьмем z', такое, что

ф2- = {{х, у) | (у, х) € Ф2 & (Vy')ll/ & </, х) £ фг1 => {у, х}
предшествует {у', х) (в стандартном пересчете ф2)]}.

z' может быть получено равномерно по г, и ф2- есть однозначное
„обращение*1 фг.

Приведем инструкцию для вычисления некоторой частично-
рекурсивной функции т]. Более точно, приведем инструкцию для
пересчета упорядоченных пар функции т].

Этап 2t. Проверьте, появилось ли уже t в области определе-
ния функции т]. Если появилось, переходите к этапу 2t -Ь 1. Если
нет, получите методом теоремы 7-IV последовательность различ-
ных индексов функции <р20. Пусть w есть первый индекс в этой
последовательности, такой, что {iv, t) еще не было помещено
в область значений т]. Добавьте (Z, {w, t}) к функции ц, и перехо-
дите к этапу 2t + 1.

Этап 2t Д- 1. Посмотрите, появилось ли уже t в области зна-
чений ц. Если появилось, переходите к этапу 2t + 2. Если нет,
пусть s есть индекс фг-ф. Воспользуйтесь леммой для порождения
последовательности различных натуральных чисел vlf иг, . . .,
таких, что

,0(Р1) = 0(р2) = . . . = <р6(г).

Пусть v — первый элемент этой последовательности, такой, что
v еще не было помещено в область определения функции ц. Добавь-
те (z?, t) к функции ц и переходите к этапу 2t + 2.

По построению ц однозначно и является частичнорекурсив-
ной функцией.

Заметим, что, поскольку t добавлено к области определения
функции ц на этапе 2t, то

<рг0(£) = фи;(г) = ф( <гщ О) = фт)(0,

и поскольку v добавлено к области определения функции ц на эта-
пе 2t + 1, то

ф20(к) = <pz<ps(i) = фгфг'ф(0 = Фгф1'Ф Л(^)-

Очевидно по построению, что для всякого z ц всюду определе-
на, взаимно однозначна и есть отображение на. Более того, индекс
г| зависит равномерно от z. Таким образом, мы имеем общерекур-
сивную функцию /, такую, что для любого z ц =фд и ц есть
рекурсивнац перестановка. Применив теорему I, получим тг
такое, что фт = Фдту Пусть g = Тогда, взяв z = т в при-
веденной выше конструкции, имеем т) — g, ф2 = g и фу = g-1.
Следовательно, поскольку t добавлено к области определения
функции ц на этапе 2£,

g0(i) = фг0(/) = фтДг) = ф£(г), •

и поскольку v добавлено к области определения ц на этапе 2t + 1,

g0(p) = фг0(и) = фгфг-фт](1>) = gg-^g(v) = i|>g(i>).

Таким образом, gO = ф£ и доказательство завершено. а

Упражнения 11-30—11-33 содержат несколько иных примене-
ний теоремы о рекурсии. Упражнение 11-33 является простым про-
тотипом соображения, используемого в § 11.7 и 11.8 и дальней-
шей теории.
§ 11.5.	ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ

Строго говоря, теорема о рекурсии, сформулированная выше
(в, теореме IV), не есть теорема о неподвижной точке (a fixed-point
theorem), хотя мы и использовали в связи с ней термин „неподвиж-
ная точка” („fixed-point value”). Мы теперь приведем настоящую
теорему о неподвижной точке, тесно связанную с теоремой IV.
Она, как мы увидим, несколько слабее и имеет меньше примене-
ний, нежели теорема IV.

Теорема XI. Пусть Ф — оператор перечисления1). Существует
множество А, такое, что

(i)	Ф(Л) = А,

(ii)	(УВ)[Ф(В) = В => А <= 5],

(iii)	А рекурсивно перечислимо.

Доказательство2). Определим последовательность
множеств А о, Alt ... следующим образом:

Ао = 0,

Ап+1 — ФМп)-

Возьмем

А = U Ап.

п=0

Напомним, что, согласно теореме 9-XXI, Ф обладает свойствами

(a)	A cz В => Ф(Л) cz Ф(-8) (монотонность);

(Ь)	х € Ф(А) => (3£>) [D конечно & D cz А&х Е Ф(О)1 (непре-
рывность).

Докажем (i).

х € А => (Зп)[п > 0 & х Е Ап] (по определению Л) =>

=> (Зп)[и > 0 & х £ Ф(ИП_!) (по определению Ип) =>

=> х $ Ф(Л) (в силу монотонности)

х) Операторы перечисления были определены в § 9.7. Оператор пере-
числения отображает 2N в 2N.

2) Пункты (i) и (ii) теоремы XI являются частным случаем теоремы Кна-
стера — Тарского, утверждающей, что если X — полная решетка, то любое
монотонное и непрерывное отображение F из X в X обладает неподвижной
точкой; здесь монотонное означает, что х у F (г)	F(y), а непрерывность

рассматривается относительно естественной топологии, индуцируемой замы-
канием относительно операции взятия наименьшей верхней грани в решетке.
Для теоремы XI следует взять в качестве решетки решетку всех множеств,
упорядоченных по CZ- Монотонность и непрерывность утверждаются теоре-
мой 9-XXI (см. упр. 11-35).
И

х Е Ф(Л) => (30) [D конечно & D с А & х Е Ф(О)] (в силу
непрерывности) => (30) (Зп) [О конечно & О cz Ап & х Е Ф(О)1
(по определению Л) => (Зп)[х £ Лп+1] (в силу монотонности) =>
=> х £ А (по определению Л).

Следовательно, х £ А <=> х Е Ф(Л), и мы имеем (i).

Чтобы доказать (ii), предположим Ф(В) = В. Тогда

Ло = 0 сВ.

Если Ап а: В, то, согласно монотонности, Ап+1 = Ф(ЛП) сФ(й)=
= В. Следовательно, по индукции (Утг)[Лп cz В]. Отсюда Л cz В,
и мы имеем (ii).

Чтобы установить (iii), положим Ф = Фг. Тогда для любого у
Ф(РИУ) = {х | (Зн)[ {х, у) Е Wz & Du cz Wy]} (по определению
§ 9.7).

Множество Ф(И7Й) рекурсивно перечислимо (согласно второй
теореме о проекции), и мы имеем привычным образом общере-
курсивную функцию /, такую, что для всех у

Wf(v> = ®z(Wy).

Пусть q — некоторый р. и. индекс пустого множества. Определим
общерекурсивную функцию g следующим образом:

g(0) = q,

g{n + 1) = fg(n).

Тогда для всех i Л, = Wg(i) и, следовательно,
х Е Л <?=> (Зг/)[ж Е Wg(y)].

Согласно второй теореме о проекции, множество Л рекурсивно
перечислимо. Это доказывает (iii).B

В доказательстве (iii) функция / может быть сделана завися-
щей от z равномерно. Таким образом, имеет место

Следствие XI (а). Существует обьцерекурсивная функция /,
такая, что для всех z и у

Wr<y, z) = ФДЖ,).

Доказательство очевидно.в

Из доказательства пункта (iii) также следует, что р. п. индекс
неподвижной точки Л может быть получен равномерно по z.
Таким образом, имеем следующую усиленную форму теоремы.
Следствие XI (Ь). Существует общерекурсивная функция h,
такая, что для всех z

(i)	Фг(И\(г)) = WM2);

(ii)	(VB)[<S>z(B)=B=>WhizycB].

Доказательство. Р.п. индекс множества {х | (Эу)[я €
€	зависит равномерно от индекса для g, который в свою

очередь равномерно зависит от индекса для /, а тот в свою
очередь зависит равномерно от z (из доказательства (iii) теоре-
мы) 1).я

Теорема о неподвижной точке для рекурсивных операторов сле-
дует из теоремы XI.

Теорема XII (Клини). Пусть Т — рекурсивный оператор. Тог-
да существует функция ср, такая, что

(i)	Т(<р) = ср;

(ii)	(V4>)[T(ip) = ф => ср с= 4>J;

(iii)	ср частичнорекурсивна.	,

Доказательство. Пусть Ф2 — оператор перечисления,
определяющий 'F. Возвращаясь к доказательству теоремы XI
и заменяя Ф на Ф2, замечаем, что

А о = 0 есть однозначное множество

и что Ап однозначно => Ап+1 однозначно (так как оператор Фг
определяет рекурсивный оператор). Отсюда следует, что минималь-

ная неподвижная точка А — (J Ап должна быть однозначной.

п=0

Возьмем

ср = {<я, уу | (х, у) € А}.

Пункты (i), (ii), Gii) теперь следуют из (i), (ii) и (iii) теоремы XI.в
Могут быть приведены, аналогично следствиям XI (а) и XI (Ь),
два следствия.

Следствие XII (а). Существует общерекурсивная функция f,
такая, что для всех z и у если функция Фг(х(Ч>у)) однозначна, то

г) =

В частности, если Ф2 определяет рекурсивный оператор Чг, то
для всех у

т) Естественно возникает вопрос, что произойдет, если мы применим
теорему III к следствию XI (а). Неподвижная точка будет получена, но будет
ли она минимальной? Мы займемся выяснением этого вопроса в теоремах
XIII и XIV.
Доказательство. Рассмотрим следующую последова-
тельность шагов для любых у и z. Взяв <рй, перейдем к рекурсивна
перечислимому множеству Wy = т(<ру), применив теорему 5-IX.
Получим, согласно следствию XI (а), множество Wp(v. 2); множе-
ство . Wг) однозначно, согласно теореме 5-XVI; затем приме-
ним теорему 5-IX, чтобы получить частичнорекурсивную функцию.
Эта последовательность шагов равномерна и, следовательно, иско-
мая функция / существует.и

Следствие ХП (Ь). Существует общерекурсивная функция h,
такая, что для любого z если Фг определяет рекурсивный оператор
4е, то

(i)	T(<pft(z)) = <Ph(z>;

(ii)	(Уф)[Т(ф) =ф=> <ph(z) cz ф].

Доказательство. Утверждение вытекает из следст-
вия XII (а), см. доказательство следствия XI (Ь).и

Для частичнорекурсивного оператора теорема XII может не
иметь места, поскольку неподвижная точка определяющего опера-
тора перечисления не обязательно есть однозначное множество.
В случае общерекурсивного оператора минимальная неподвижная
точка может оказаться не всюду определенной; более того,,
общерекурсивный оператор может не иметь всюду определенной
неподвижной точки (см. упр. 11-36). Теорема XI может быть
выведена из теоремы XII (см. упр. 11-39).

Следствия XI (а) и XII (а) не зависят от каких-либо сообра-
жений, связанных с неподвижной точкой. Коль скоро установлено
следствие XI (а), п. (i) следствия XI (Ь) и тем самым пункты (i) и (iii)
теоремы XI непосредственно вытекают из следствия III (теоремы
о рекурсии). Аналогично, коль скоро установлено следствие XII
(а), п. (i) следствия XII (Ь) и п. (i) и (iii) теоремы XII непо-
средственно 'вытекают из теоремы III (теоремы о рекурсии).
Однако п. (ii) — результат о минимальности, ни в теореме
XI, ни в теореме XII не может быть получен непосредствен-
но. По этой причине теоремы XI и XII обычно приводятся
и доказываются (как это и сделано выше) независимо от тео-
ремы IV. Теоремы XI и XII сами обычно называются теоремами
о рекурсии. В самом деле, как мы покажем ниже, название тео-
рема о рекурсии” ведет свое происхождение от определенных
приложений теоремы XII. Теоремы XI и XII вместе иногда назы-
вают ,,первой теоремой о рекурсии”, а теорему IV — ,.второй тео-
ремой о рекурсии” г).

Отныне, как и ранее, термин „теорема о рекурсии” сам по себе
будет связываться с теоремой IV или с одним из ее частных слу-
чаев (теоремами I, II и III). На конкретные теоремы о неподвиж-
х) В обратном порядке следования по сравнению с нашим изложением.
ной точке, теоремы XI и XII, мы будем ссылаться как на слабую
теорему о рекурсии. В любом контексте, где могла бы возникнуть
неясность, на теорему о рекурсии (теорему IV) мы будем ссылаться
как на сильную теорему о рекурсии. Сильная теорема о рекурсии
не вытекает непосредственно из слабой теоремы о рекурсии, так
как, например, применения, приведенные в § 11.3 и 11.4, не могут
быть непосредственно получены из слабой теоремы.

Что еще можно утверждать о соотношении между сильной
и слабой теоремами о рекурсии? С целью дальнейшего рассмотре-
ния этого вопроса сформулируем теорему, принадлежащую Май-
хиллу и Шепердсону [1955].

Определение. / экстенсиональна, если для всех х и у фх = фу=>
=> Ф/(х) = фу(»)•

Теорема (Майхилл и Шепердсон). (а) Всякий рекурсивный опе-
ратор Т" определяет экстенсиональную функцию /, такую, что

= Ч’Хфд) для всех х.

(Ь) Всякая экстенсиональная функция / определяет единствен-
ный рекурсивный оператор Ч*1, такой, что ф/(ж) = ЧДфх) для
всех х -1).

Утверждение (а) немедленно вытекает из следствия XII (а).
Утверждение (Ь) будет доказано в теореме 15-XXIX. В упр. 11-43
доказательство будет намечено.

Если задана экстенсиональная функция /, должна ли конструк-
ция теоремы II давать /по каждому индексу /) неподвижную точ-
ку п, такую, что фп есть минимальная неподвижная точка соответ-
ствующего рекурсивного оператора Ф"? Следующая теорема пока-
зывает, что это не так. В роли Чг будет выступать тождественный
оператор, для которого, очевидно, минимальной неподвижной
точкой является нигде не определенная функция. Доказательство
использует теорему о рекурсии.

Теорема XIII. Пусть п — общерекурсивная функция, построен-
ная в теореме II. Существует общерекурсивная функция / с индек-
сом z, такая, что ф/(х> — фх при всех х, но при этом Ф/П(г) —
= фп(г) =# 0-

Доказательство. Пусть t — некоторый фиксирован-
ный индекс постоянной функции 0, т. е. cpt = Хр[О]. Для любого
z определим частичнорекурсивную функцию ф следующим образом:

{х, если х =/= n(z)\

t, если х = n(z).

1) Отображение частичнорекурсивных функций на частичнорекурсив-
ные функции, определяемое экстенсиональной функцией /, названо Майхил-
лом и Шепердсоном аффективной операцией.
Гёделев номер ф может быть найден равномерно по z, т. е. суще-
ствует общерекурсивная функция h, такая, что

' Ф = <Ph(z)-

С помощью теоремы I найдем неподвижную точку функции /г,
назовем ее т. Тогда имеем

| х, если х =/= п(т);

фт(*т) - А .	/ ,

( t, если х = п(т).

Возьмем / = Фт, тогда

/(я) = х при х п(т)

и, согласно теореме II,

ф/(х) = Фх при х - п(т).

• Отсюда

ф/(х) = фх для всех X.

Теперь неподвижная- точка, определяемая теоремой II, есть
п(ш) и

фп(т) == ф/п(т) === ф( ==	=0= 0 1)-1

Означает ли это, что слабая теорема о рекурсии (теорема XII)
не является прямым следствием сильной теоремы о рекурсии (тео-
ремы IV)? Следующая теорема показывает, что, несмотря на тео-
рему XIII, теорема XII следует из теоремы IV. Существует равно-
мерная процедура перехода от индекса любой экстенсиональной
функции / к индексу экстенсиональной функции /г, такой, что
функция h определяет тот же рекурсивный оператор, что и
и такой, что теорема II, примененная к индексу /г, дает минималь-
ную неподвижную точку этого рекурсивного оператора. Теорема
формулируется в виде, не предполагающем знакомства с теоре-
мой Майхилла — Шепердсона.

Теорема XIV. Пусть п — рекурсивная функция, построенная
в теореме II. Существует общерекурсивная функция g, такая, что
для любой общерекурсивной функции / и любого рекурсивного опе-
ратора Y если (^х)[((}щ) = Ч'Чфх)! и если z — индекс f, то Ф^<ж>
есть всюду определенная функция, назовем ее h, такая, что

(i)	(УяИфмх) = Ф/(х)1
и

(ii)	Фпя(?) есть минимальная неподвижная точка рекурсивного
оператора ’Ф’.

Доказательство. Доказательство теоремы XIV будет
дано в § 11.6.

1) Заметим, что это доказательство проходит для любой общерекурсивной
функции п, удовлетворяющей условию теоремы II»
Теоремы XI и XII, таким образом, превращаются в прямые
следствия теоремы IV, а сильная теорема о рекурсии оказывается
более общей и фундаментальной, чем эти две теоремы о рекурсии.

Пусть Y — рекурсивный оператор. Рассмотрим возможную
функцию <р, такую, что выполняется неявное соотношение

Ф = W)-

Теорема XII указывает тогда на существование частичнорекур-
сивной функции ср, удовлетворяющей этому неявному соотноше-
нию. Такие неявные соотношения могут быть частными случаями
того, что иногда называется определениями по рекурсии. Отсюда
термин „теорема о рекурсии”.

Пример. Следующее множество равенств задает определе-
ние по рекурсии:

(Е)	Ф(1)=2,

ф(2д:) = 2ф(а;).

Рассмотрим равенства

(Е*)	ф(1) =2,

ф(2х) = 2ср(х).

определяющие ф через ср. Эти равенства задают рекурсивный опе-
ратор 'F, такой, что ф = Y(<p). Мы можем применить теорему Х1Г
непосредственно к этому оператору или можем, как в теореме XIV,.
взять h таким образом, что <ph(ж> = ^cpj, и применить теорему IV.
Каждый из этих способов приводит к минимальной частичнорекур-
сивной функции ф, удовлетворяющей (Е). Эта минимальная частич-
норекурсивная функция есть ф, где

. I 2л,	если л есть степень числа 2;

ф(х) — <	о

[ расходится, если л не есть степень числа 2.

(В силу теоремы XIV несущественно, применялась ли для реше-
ния этого неявного соотношения сильная или слабая теорема
о рекурсии *) 2J.)

!) О процессе нахождения объекта, удовлетворяющего данному неявному
соотношению, часто говорят как о решении этого соотношения. Таким обра-
зом, функция ф, определенная выше, есть решение (Е). Теорема о рекурсии тем
самым служит теоремой существования частично рекурсивных решений рекур-
сивных равенств некоторого типа. Это применение теоремы о рекурсии
подобно использованию в анализе теорем о неподвижной точке для получения
существования решений дифференциальных уравнений некоторого типа или
Использованию „теорем о рекурсии” в теории множеств для определения
функций на ординалах.

2) Не всякое множество рекурсивных равенств вида

ф — . . . ф . . .
В § 11.7 и 11.8 так же, как в последующих главах, на основа-
нии теоремы о рекурсии будут получены методы для задания
частичнорекурсивных функций на вполне упорядоченных множе-
ствах. При этом, как и в большинстве других приложений, будет
использована сильная (предпочтительнее, чем слабая) теорема
о рекурсии (см. упр. 11-33).

§ 11.6. ОБСУЖДЕНИЕ

В § 11.5 мы выделили и обсудили (в теоремах XI, XII и XIV)
некоторые аспекты теоремы о рекурсии, связанные с понятием
неподвижной точки. В настоящем параграфе мы рассмотрим неко-
торые особенности теоремы о рекурсии, связанные с самовырази-
мостъю. Например, если Wm = {т}, то число т в некотором
смысле называет себя. Самовыразимость тесно связана с диагона-
лизацией, и, как мы указывали в § 11.1, теорема о рекурсии
включает в себя и суммирует широкий класс диагональных мето-
дов. Рассмотрим прежде всего теорему I и исследуем несколько
более подробно детали механизма получения неповижной точки п.
Напомним, что g было определено следующим образом:

{<p<pu(U),	если <fu(u) сходится;

всюду расходится, если <ри(п) расходится.

Более подробно, для всякого и g(u) есть имя (гёделев номер) мно-

может быть представлено как

Ф = 'Г(ф),

где 'F — рекурсивный оператор. В некоторых случаях левая часть опреде-
ляется правой частью не единственным образом; в других случаях может
не существовать никакого решения. В случаях неединственности решения
единственность может быть достигнута введением дополнительных условий.
Например, равенства

ф(4х) = 2ф(2х),

ф(2) = 2

могут быть выражены рекурсивным оператором Чг, где ф = задается
следующим образом:

( 2’
Ф(*) = < 2<p(z),

I расходится

если х = 2;

если z четно и х — 2z
в остальных случаях.

Дополнительные условия могут тогда исключить некоторые функции, удов-
летворяющие первоначальным рекурсивным равенствам; в рассмотренном
примере исключается функция ф=%ж[х]; может оказаться, что множество
рекурсивных равенств имеет единственное всюду определенное решение,
но такое решение не рекурсивно (см. упр. 11-41).
жества инструкций. По существу это означает:

g(u) = [„по любому данному входному значению воспользуйтесь
Ри для вычисления <pu(u), как только вычисление за-
вершится (если это произойдет), примените инструк-
ции cpu(u) к данному входному значению"]

или, более кратко,

g(u) = [„вычисляйте <pu(u); как только выяснится, что <ро(и)
определено (если это произойдет), выполните <pu(u)”J;

(„и” здесь представляет собой нумерал для числа и). Заметим, что
g(w) может быть вычислено непосредственно (как имя) безотноси-
тельно к тому, определено или нет срДи). Далее, используя функ-
цию / теоремы I и беря гёделевы номера функций fug, имеем,
согласно теореме 1-VI, гёделев номер функции fg; назовем его и.
Тогда

g(v) = [„вычисляйте <pv(v); как только выяснится, что <pv(v)
определено (если это произойдет), выполните <pv(v)”-l

Зададим теперь то же имя несколько иным способом.

g(v) = [„вычисляйте fg(v); как только выяснится, что fg(v) опре-
делено (если это произойдет), выполните fg(y)"} х).

Поскольку функция / всюду определена и g(y) есть имя, при-
веденное выше, fg(v) может быть вычислено. Имя g(v) предписы-
вает сначала вычислить fg(v), а затем применить fg(v). Таким обра-
зом, fg(v) и g(v) суть инструкции одной и той же частичнорекур-
сивной функции, но вычисление этой функции, согласно g(v),
будет несколько длиннее вычисления, согласно fg(v), поскольку
g(v) требует экстраэтапа вычисления fg(v).

Имя g(p), таким образом, включает не себя (что просто невоз-
можно), а имя инструкций для вычисления себя (как части инструк-
ций для вычисления fg(v)). Это и характеризует самовыразимые
конструкции в логике и теории рекурсивных функций. При рас-
смотрении таких конструкций мы должны иметь дело не только
с именами некоторых объектов, но также и с именами инструкций
для вычисления имен этих объектов (см. ниже рассуждение
о гёделевой функции подстановки.)

Мы теперь в состоянии наметить в общих чертах доказатель-
ство теоремы XIV.

т) Разумеется, g(v) представляет собой конкретное натуральное число.
Мы употребляем два различных неформальных выражения для задания
одного и того же числа.
Теорема XIV. Пусть п — общерекурсивная функция теоре-
мы II. Существует общерекурсивная функция g, такая, что для
любой общерекурсивной функции / и любого рекурсивного опера-
тора 4е если (Vx)[<p/(х) — и если z — индекс функции f, то
<Pg(z) — всюду определенная функция, назовем ее h, такая, что

(i)	(Va:)[(ph(x) = ф/(я)1 и

(ii)	(Png(z) — минимальная неподвижная точка рекурсивного опе-
ратора Т.

Доказательство. Пусть даны / и Т, удовлетворяю-
щие всем посылкам, и пусть z — индекс функции /. Мы опи-
шем, как должно быть вычислено g(z).

Любая конечная функция <р частичнорекурсивна. Если
множество Du однозначно, то инструкции для вычисления
{^х, уУ |(х, у) С Du} могут быть получены равномерно по и. Иными
словами, существует общерекурсивная функция d, такая, что
(Vu)[Du однозначно => т(фщи)) = DU].

Определим множество F следующим образом:

F = {((х, t), и) | Du однозначно & (х, t) g ф/Щи)}-

Очевидно, множество F рекурсивно перечислимо с индексом, зави-
сящим равномерно от z. Пусть w — общерекурсивная функция, та-
кая, что F = Ww(z). Из основных свойств операторов перечисления
следует, что ФВ(2) — оператор перечисления, определяющий 'F.
(Это доказано в упр. 11-42.) Далее (см. следствие XII (a)), w(z) опре-
деляет общерекурсивную функцию h, такую, что <P/i(S) = 'Е(фу).
(Возьмем h = tylf(y, w(z))], где / есть функция следствия XII (а).)
Индекс функции h может быть найден равномерно по z. Пусть
g(z) — такой индекс h х). Заметим, что h обладает следующим спе-
циальным свойством, которым /, вообще говоря, может и не обла-
дать: для всякого у инструкции h(y) предписывают вычислять
Фд(у), применяя к т(фу) некоторый оператор перечисления, а именно
Фц,(г). Более конкретно, h(y) (= f(y, w(z))) предписывает следую-
щее: „Получив входное значение х, начинайте пересчитывать упо-
рядоченные пары из фу. Одновременно начинайте пересчитывать
Ww(z) и отыскивать элемент вида {{х, t), и), такой, что т-1(/)и)
есть подмножество упорядоченных пар из фу, уже перечисленных.
Как только такой элемент встретится (если это произойдет), выдай-
те t в качестве выходного значения”. Мы опишем это более кратко:
„Получив входное значение х, применяйте к упорядоченным парам
из фу оператор перечисления ФВ(г>и отыскивайте выходное значение

х) С использованием второй теоремы о проекции можно показать, что
в конечном счете определение / основывается на s^-функциях. Аналогично
предполагается (но не описывается) конкретный выбор функции g, основы-
вающийся естественным образом на -функциях.
{х, 0; как только (и если) это произойдет, выдайте t в качестве
выходного значения1*.

Остается показать, что ng(z) — минимальная неподвижная
точка. Из доказательства теоремы II следует, что ng(z) = g(v),
где v — индекс hg. Согласно предыдущим рассуждениям, имеем
g(v) = [„вычисляйте hg(y)-, как только выяснится, что hg(y)
определено (если это произойдет), выполните hg(y)a.]
В чем же состоят инструкции Неформально они могут быть
сформулированы так: „Получив входное значение х, перечисляйте
упорядоченные пары из ф~ (о), применяйте к ним оператор Фц,(2)
и отыскивайте выходное значение вида (х, t). Возьмите такое t
в качестве окончательного выходного значения". Таким образом,
инструкции g(v) предписывают найти и следовать инструкциям
hg(v), эти последние инструкции в свою очередь предписывают
применять к упорядоченным парам ф~(в) оператор Фи-(2). Инструк-
ции для пересчитывания ф~(в)» таким образом, требуют, чтобы
само Фр|в) пересчитывалось в процессе под вычисления. Ситуация
непротиворечива, так как, вообще говоря, подвычисление <р~(ю)
будет встречаться на более низком уровне, чем общее вычисление

Пусть (х0, to), {Xi, ti), .. . —пересчет функции ф~(в). Соглас-
но инструкциям для ф~(о),

<х0, t0) 6 d>w(z)(0),

(•^n+l, ^n+i ) € Фиг (z)({ ^0>	• • •» (^-n, tn)}).

Отсюда, если

Ло = Фи>(г)(0)

и если

___________ -An + l — Ф»(г)(^п)>

l) Вычисление для пересчитывания аналогично нетривиальной
последовательности натуральных чисел, содержащей бесконечно много соб-
ственных подпоследовательностей, идентичных ей самой. Например, после-
довательность zD, zit . . ., задаваемая рекурсивными равенствами

хгп = а2,

Ж2п+1 ХП1
начинается числами

О, 0, 1, 0, 4, 1, 9, 0, 16, 4, 25, 1
и имеет структуру подпоследовательностей
00104190 16 4 25 1
0	0	1	0	4	1

0	0	1

0
мы имеем в силу монотонности, что (zn, tn) d Ап для всех п.
Отсюда

'	со

Wtop С Ll Ап‘

Но, согласно конструкции теоремы XI, U Ап — минимальная
п=0

неподвижная точка оператора (z); тем самым содержится
в минимальной неподвижной точке оператора ’F. С другой сто-
роны, согласно теореме II, <₽ , (и)— неподвижная точка оператора
Т. Тем самым Чу(1-; совпадает с минимальной неподвижной точ-
кой 'F и наше доказательство завершено.и

Остается открытым следующий вопрос. Назовем общерекур-
сивную функцию п неподвижной функцией, если для всех z

„	= /%>(«(*))’	если (n (z)) сходится;

'л(2) I 2	/ w

1 всюду расходится, если tpz(n(z)) расходится.

Имеет ли место теорема XIV для всякой неподвижной функции п
(вместо п)? Утвердительный ответ может быть получен модифика-
цией доказательства теоремы XIV.

Гёделева функция подстановки

Рассмотрим логическую систему, формулируемую внутри обыч-
ной логики предикатов. Предположим, что среди термов (т. е.
выражений для индивидов) системы встречаются нумералы для
всех натуральных чисел. Говоря о подстановках, будем обозначать
нумерал для любого натурального числа х через х. Таким обра-
зом, если Fa — выражение со свободной переменной a, Fx будет
результатом подстановки нумерала для х вместо а в это выра-
жение. Предпримем некоторое кодирование всех выражении
системы (включая термы и утверждения со свободными индивид-
ными переменными) на N.

Определим функцию а двух переменных, такую, что для всех
хи у
о(х, у) = [кодовый номер выражения, которое является результа-
том подстановки нумерала для х вместо всех вхождений
свободных переменных (если таковые имеются) в выра-
жение, кодовым номером которого является у.]

Поскольку такое кодирование выражений является кодирова-
нием в смысле § 1.10, ст — общерекурсивная функция, называемая
гёделевой функцией подстановки для данной системы и данного
кодирования.
Гёделева функция подстановки полезна, когда система
достаточно сильна, чтобы допускать утверждения о о внутри
системы. Эта функция тогда может быть использована для нострое
ния ряда самовыразимых утверждений. Например, предположим,
что система содержит символ а, служащий для обозначения сг.
Если а — индивидная переменная, а х — кодовый номер терма
<т(я, я), то о(х, х) — выражение, обозначающее свой собственный
кодовый номер 1)

Болес точно, рассмотрим элементарную арифметику. Примем
обычные понятия истинности и ложности пп-формул (не содер-
жащих свободных переменных), как в § 7.8. Как показал Дэвис
[19581, существует выражение Mabcd со свободными переменными
я, Ъ. с и d. такое, что Jfzxyw истинно тогда и только тогда, когда
Pz при входном значении х выдает выходное значение у менее чем
за w шагов (см. § 14.4 и 14.7). Пусть $ — индекс общерекурсивной
функции кх[а{х, а;)]. Приведем несколько примеров построения
самовыразимых утверждений.

Пример 1. Выберем фиксированный эффективный метод
пересчитывания всех логических следствий (по правилам элемен-
тарной логики) из пп-формул, встречающихся в некотором задан-
ном рекурсивно перечислимом множестве Wx. Иными словами,
выберем обшерекурсивную функцию /, такую, что для всех х
есть множество всех логических следствий из пп-формул
множества Wx. Пусть к есть индекс функции /. Пусть дано множе-
ство Wp пп-формул (назовем их аксиомами). Утверждение о том,
что ппф (с кодовым номером) у выводима из множества Wр, есть
утверждение о том, что у € т- е- что

(Зя)[(ЗЬ)Л7кряЬ & (Зс) (Зй)Мяусй]

истинно. Мы будем сокращенно записывать эту последнюю ппф
как Рр(у). Если имеется символ о гёделевой подстановочной
функции, мы можем произвести следующее. Пусть и — кодовый
номер формулы ПРр(о(&, 6)). Тогда ПРр(<т(и, и)) утверждает
свою собственную недоказуемость.

Хотя мы и не имеем символа о в нашей системе, легко осущест-
вить соответствующую конструкцию, используя s. Пусть и —

1) Примеры этого явления могут быть приведены в обычном русском
наыке. Выражение

„результат подстановки „25” в „х просто" ”
означает, конечно,'

„25 есть простое число".

Выражение

„результат подстановки „результат подстановки

„х" в „х" ” в „результат подстановки „х" в „х” ” ”
означает, как можно убедиться, самое себя.
кодовый номер формулы

(3ft) [(3d)A7saftd & ~1Рр(Ь)].

Тогда (3ft) [(3d)Msuftd & ЯPp(ft)l истинно в том и только в том
случае, когда оно невыводимо из множества Wp. Мы получаем
пп-формулу, утверждающую свою собственную недоказуемость.

Пример 2. Пусть формула ПРр(6) такая же, как и в при-
мере 1. Пусть q — кодовый номер фиксированной ппф вида
[F & ~!F1, например „О = 0 & П 0 = О-'. Тогда выражение
~lPp(q) истинно тогда и только тогда, когда множество Wp непро-
тиворечиво. Вместо “lPp(q) будем писать сокращенно Соп(р).
Результат замены р индивидной переменной с будем записывать
в виде Соп(с). (Если для всех х с(х) есть кодовый номер Соп(х),
то с есть общерекурсивная функция того же типа,, что и рассмат-
ривавшаяся во второй иллюстрации § 11.4.) Может ли быть полу-
чена ппф, утверждающая свою собственную непротиворечивость?
Согласно теореме VIII, такая ппф существует. Она может быть
получена следующим образом.

Пусть т — индекс общерекурсивной функции Л, такой, что
Wh(x) = {x} для всех х. Пусть и — кодовый номер формулы
(3ft) l(3d) Msabd & (Зс) [(3d) Mmbcd& Con(c)][.

В этом случае ппф

(36) [(3d) Л/suftd & (Зс) [(id) Mmbcd & Con(c)[]
истинна тогда и только тогда, когда она, рассматриваемая как
единственная аксиома, непротиворечива т).

Таким образом, существует целый ряд синтаксических свойств,
с привлечением каждого из которых может быть построена самовы-
разимая ппф элементарной арифметики * 2) 3). (Общая трактовка
содержится^ работе Фефермана [1960J.)

*) На интуитивном уровне ход наших • рассуждений таков: пусть и —
кодовый номер выражения „о(а, а) непротиворечиво"', тогда образовываем
„<г(и, и) непротиворечиво".

2) Теорема VIII также допускает такой подход. Однако подход, связан-
ный с теоремой о рекурсии и изложенный в § 11.4, требует меньших предпо-
ложений относительно системы.

3) Примеры, соответствующие приведенным, могут также быть построе-
ны в обычном русском языке. Рассмотрим утверждение

„следующее недоказуемо: результат подстановки
„следующее недоказуемо: результат подстановки „х" в „х"" в
„следующее недоказуемо: результат подстановки „х" в „х”””.

Это утверждение утверждает свою собственную недоказуемость.

По существу рассмотрение этого примера и демонстрация того, что поня-
тия подстановки и доказуемости (так же, как и имена для выражений) могут
быть выражены в элементарной арифметике, и было тем, что сделал Гёдель
при доказательстве своей первой теоремы о неполноте. (Он еще, конечно,
устранил предположения, касающиеся истины, как это описано в упр. 7-64).
Идея использования функции подстановки как эвристиче-
ский принцип и как формальный технический прием восходит
к Гёделю. Если в качестве фиксированного множества аксиом
приняты аксиомы Пеано (или любое множество, выводимое из
аксиом Пеано), то могут быть получены некоторые дальнейшие
результаты относительно выражения Mdbcd (см. упр- 7-64) х).
Из этих результатов и из ппф примера 1, приведенного выше,
может быть выведена первая теорема Гёделя о неполноте в обычной
форме (без каких бы то ни было ссылок на истинность или лож-
ность). В упр. 7-б4 подстановочная функция в явном виде не ис-
пользуется. Однако в первоначальном доказательство Гёделя (см,
упр. 11-44) ова фигурировала. Подобным же образом функция
подстановки могла бы быть использована, чтобы показать, что
понятие п есть кодовый номер истинной ппф элементарной ариф-
метики не выразимо в рамках элементарной арифметики. Эта тео-
рема принадлежит Тарскому (см. упр. 11-45).

Теорема о рекурсии тесно связана с гёделевой функцией под-
становки. Определим общерекурсивную функцию о следующим
образом:

I Ф<гх (ь)»	если <рх(у) определено;

<р.	. = 

нигде не определена в противном случае.

Пусть п — индекс функции hx[fo(x, х)1.
Тогда

^п(п, п) %6 (П, п)'

Это превращает доказательство теоремы о рекурсии в доказатель-
ство, по форме весьма сходное с рассуждениями, связанными
с функцией о.

Заметим, что функции s™ имеют вид функций подстановки.
Например, s}Cr, у) представляет собой индекс множества унарных
инструкций, получающихся при подстановке у в качестве пер-
вого входного значения в бинарные инструкции с индексом х
(см. упр. 11-4 и 11-5).

§ 11.7. СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОРДИНАЛОВ «)

Клини и 'Чёрч являются создателями общей теории систем
обозначений для ординальных чисел (Чёрч и Клини [1937], Клини
[19381 и Чёрч [1938]). В § 11.7 и 11.8 мы приведем несколько

х) Приведенные в упр. 7-64 факты могут быть доказаны, если принято
некоторое конечное множество аксиом (более слабых, чем аксиомы Пеано).
Этот результат принадлежит Тарскому, Мостовскому и Р. М. Робинсону
11953].

' г) Материал последующих глав не зависит от § 11.7 и 11.8, за исключени-
ем тех случаев, когда оговорено противное.
основных результатов этой теории. Теорема о рекурсии будет
играть важную роль при получении этих результатов.

Мы предполагаем известными понятие ординального числа
и основные понятия и обозначения, с этим понятием связанные.
(Обзор этого материала содержится в упр. 11-46—11-53.) Значи-
тельная часть традиционной теории ординалов может быть сфор-
мулирована как теория обозначений для ординалов. Рассмотрим
в качестве примера ординалы, которые выражаются экспонен-
циальными полиномами от со. Такие ординалы образуют важный
и широкий класс. Естественно, что результаты, относящиеся
к этому классу, могут быть сформулированы в виде результатов,
полученных для соответствующих экспоненциальных полино-
миальных выражений.

Изучение различных известных систем обозначений наводит
нас на мысль о следующем общем определении.

Определение. Система обозначений S есть отображение vs
множества натуральных чисел Da на отрезок ординальных чисел,
удовлетворяющее условиям:

(i)	существует частичнорекурсивная функция ks, такая, что *)
vs(x) — 0 => ks(x) = О,
vs(x) есть последователь => ks(x) = 1,
vs(x) есть предельный ординал => ks(x) = 2;

(ii)	существует частичнорекурсивпая функция ps, такая, что
vs(x) есть последователь => [ps(x) определено &

& vs(x) =vs(ps(x)) + И;

(iii)	существует частичнорекурсивная функция q8, такая, что
vs(x) есть предельный ординал => [<7s(z)
^определено & всюду определена &

& {vs(<pQs(x)(n))}jJ=“ есть возрастающая последовательность,
имеющая vg(x) своим пределом].

(Это определение принадлежит Клини а)). Элементы множества
Ds называются обозначениями системы обозначений 5. Все обыч-
ные способы обозначения отрезков счетных ординалов становятся
(при кодировании в 2V) системами в этом смысле. Может быть пока-
зано (по индукции), что если система <$ наделяет обозначением орди-
нал а, то S наделяет обозначением все ординалы, меньшие а.

’) Мы используем греческие буквы для обозначения ординальных чисел.
Чтобы избежать путаницы, мы отступаем от нашего соглашения обозначать
греческими буквами частичные функции. От функции kg требуется, чтобы
она была определена на Dg. Определенность или неопределенность на Z>s
не обусловливается. Аналогично для частичных функций pg и дд.

2) Клини называет такие системы обозначений г-системами.
Определения. Система обозначений S

(а)	унивалентна, если vs взаимно однозначна;

(Ь)	рекурсивна, если Ds рекурсивно; ‘

(с)	рекурсивна по упорядочению, если

Rs= {(х, у) I х £ Ds & у € Ds & vs (х) < vs(y)}

рекурсивно.

Поскольку мы имеем Ds — {х | (х, х} 6 Rs}-, рекурсивная по упо-
рядочению система должна быть рекурсивной. В упр. 11-54 мы
увидим, что унивалентная рекурсивная система должна быть-
рекурсивной по упорядочению. Система экспоненциальных полино-
мов, упоминавшаяся выше, является рекурсивной по упорядочению.

Определение. Будем говорить, что а есть конструктивный
ординал, если существует система обозначений, ставящая в соот-
ветствие ординалу а по крайней мере одно обозначение.

Конструктивные ординалы были определены и исследовались
Чёрчем. (Определение Чёрча несколько отличается от приведен-
ного здесь.)

Каждая система обозначений охватывает не более счетнога
отрезка ординалов; следовательно, всякий конструктивный орди-
нал счетен. Мы увидим, что не всякий счетный ординал конструк-
тивен.

Определение. Система обозначений S максимальна, если 5"
дает обозначение всякому конструктивному ординалу.

Следующие теорема и следствие говорят об одном явном пре-
пятствии на пути изучения максимальных систем.

Теорема XV. Пусть S — рекурсивная по упорядочению система
обозначений, и пусть а — наименьший ординал, для которого S
не дает обозначения. Тогда существует рекурсивная по упорядоче-
нию система S', дающая обозначение ординалу а.

Доказательство. Предположим, а есть предельный
ординал. Для а, являющегося последователем, доказательства
аналогично. (Для а = 0 доказательство очевидно.)

Определим S' следующим образом:

DS' = {х | х = 1 или (Нг/) [х = 2у & у £ Z)s]}.

, „	( VS (у), если X = 2у & у е Ds;

Vs' (х) = <	.

[а, если х = 1.

, , ,	( ks (у), если х = 2у,

kSf (#) — <
(	2,	если х — 1 г).

PS' (х) = 2ps (у),	если х = 2у.

х) В каждом из определений ks,, ps, и qs, предполагается пункт „расхо-
дится в остальных случаях”.
(х) =

индекс функции 2фвд,(у), если х — 2у;

т,	если х = 1, где т получается

следующим образом. Пусть п0
есть обозначение для 0 в S.
Определим ф так, чтобы
Ф(0) = п0,
ф(/+1) =	6 Ds & vs (u) «£

=^Чз (ф(;))1- Индекс функции 2ф
берется в качестве т.

Поскольку система S является рекурсивной по упорядочению и а
представляет собой предельный ординал, тоф есть общерекурсивная
функция и {vg- (2ф(и)) }п=о° есть возрастающая последовательность,
имеющая пределом а.

Таким образом, мы имеем систему обозначений, которая дает
ординалу а обозначение 1. Далее,

Rs’ — {{х, у) \ [х = 2х' & у = 2у' & (ж/ у') С Rs\ или

[х = 2х' & у = 1 & (ж', ж') € _Z?S], или [х = 1,	1]},

и это множество, очевидно, рекурсивно. Следовательно, система
S' является рекурсивной по упорядочению.а

Следствие XV. Не существует максимальной рекурсивной
по упорядочению системы обозначений.-

Доказательство очевидно-^

Определение. Система обозначений S универсальна, если для
любой системы S' существует частичнорекурсивная функция <р,
отображающая Ds- в Ds, такая, что ж С Ds- => vs< (ж)
< vs(<p(x)).

Очевидно, универсальная система должна быть максимальной.

Если мы опустим предположение о рекурсивности по упорядо-
чению (сделанное в теореме XV), то может быть показано, что
существуют максимальные системы; в действительности может
быть показано даже, что существуют универсальные системы.
Этот замечательный результат установлен Клини и требует при-
влечения теоремы о рекурсии.

Определение. Система Si определяется следующим образом:

О получает обозначение 1.

Предположим, все ординалы получили обозначения, тогда

(i)	если у = р + 1, то у получает {2х | ж есть обозначение для
(3} в качестве обозначений;
(ii)	если у —предельный ординал, у получает {3-5!у | {фй(п)}^=~
суть обозначения для возрастающей последовательности ордина-
лов с пределом у} в качестве обозначений.

Эти условия определяют vS1 и DS1 с помощью трансфинитной
индукции. Тогда kSi, pSi и qsi определяются следующим образом:

МП - О,

kSi(2x) = 1,

ЫЗ-5*) = 21),

pS1(2“)=x,
gsi(3-5«)=y.

Это завершает определение и показывает, что является систе-
мой. Пусть а — наименьший ординал, не получивший обозначе-
ния; а должен быть предельным и не может существовать никакого
у, обладающего тем свойством, что {^б1(<Рв(п))}п=о> есть В03Рас-
тающая последовательность с а в качестве предела 2).

Теорема XVI (Клини). S, является универсальной системой
обозначений. Более того, если дана произвольная система S, то
существует частичнорекурсивная функция <р, отображающая Ds
в Dst, такая, что х £ Ds=> vs(x) = vg/cpCr)).

Доказательство. Пусть дана система S с частичноре-
курсивными функциями ks, ps и qs. Для любого z определим
частичнорекурсивную функцию ф следующим образом:

	1,
	2Ф2РВ(х)5
Ф(Н = 	3-5"',
	. расходится

если ks (х)^= 0;

если ks (х) = 1;

если ks (х) = 2 и qs (х) сходится, где
у' есть индекс функции кп [<рг<р9&, (ж)(ге)1;
в остальных случаях.

Индекс функции ф зависит равномерно от г; следовательно, суще-
ствует общерекурсивная функция /, такая, что <P/(Z> =ф. Приме-
няя теорему I, получим число т, такое, что = (pm, т. е. та-

*) Вновь подразумевается пункт „не определено в остальных случаях”.

2) Клини [1938] определяет St несколько иным способом. Он вводит
обозначения 3»5р так, что определенная на 1, 2, 22, 2г\ . . ., дает возра-
стающую последовательность обозначений (с целью сделать допустимым
вложение системы S) в обобщенные системы обозначений, рассматривае-
мые как аналоги более высоких классов ординалов.) Множитель 3
в выражении 3-5У также встречается по этой причине. Мы сохранили
множитель 3, следуя традиции, хотя для наших целей было бы достаточно
одного лишь 5V. Существует сохраняющая ординалы рекурсивная пере-
становка между системой 51( определенной Клини, и Sit введенной здесь.
кое, что

I 1,

2^т^х\

Фт(х)=< 3-5v',

если ks (х) — 0;

если ks (®) = 1;

если ks (х) =2 и qs (х) сходится,
где у' есть индекс Хи [фтф9з(х)(п)1;

расходится в остальных случаях.

Очевидно, фт есть искомая частичнорекурсивная функция ф,
поскольку фщ определена на всем множестве Ds и х £ Ds =>
=> Vsj (фт (я)) = Vs ($) (в противном случае возьмем наименьший
ординал, имеющий 5-обозначение, для которого или фт не опре-
делена, или это равенство несправедливо; немедленно придем
к противоречию)^

Следствие XVI. Существуют счетные ординалы, не являющиеся
конструктивными.

Доказательство. Ординалы, обозначения которых
задаются системой 5Ь образуют счетный отрезок. Отсюда наи-
меньший ординал, не принадлежащий этому отрезку, счетен. (

Определим теперь универсальную систему с некоторыми допол-
нительными свойствами. Наше определение попутно введет неко-
торое частичное упорядочение на множестве обозначений.

Определение. Система О определяется следующим образом.
Мы определяем как v0, так и частичное упорядочение <0 на Do.
0 получает обозначение 1.

Предположим, что все ординалы получили обозначения
и что упорядочение^ 0 определено на этих обозначениях.

(i)	если у = р + 1, то для каждого х, такого, что р имеет х
в качестве обозначения, у получает 2х в качестве обозначения
и упорядоченная пара (z, 2х) добавляется к отношению < о для
всех z, для которых или z = х, или (z, х) уже принадлежит отно-
шению <0 •

(ii)	если у — предельный ординал, то для каждого у, такого,
что {фу(п)}пХ“ суть обозначения возрастающей последовательно-
сти ординалов с пределом у, и такого, что (Vi)(V/)[i < j =>
=> {ф»(0, Фу(/)> уже принадлежит < 0], у получает 3-5У в каче-
стве обозначения и упорядоченные пары (z, 3'5У) добавляются
к отношению <0 для всех z, для которых (3n)[(z, ф9(и)) уже при-
надлежит < 0].

Частичнорекурсивные функции к0, р0 и q0 совпадают с частич-
норекурсивными функциями kSl, pSl и qsv Это завершает опре-
деление системы О т).

’) Предыдущее примечание относится к системе О в той же мере, что
и к Sj.
Множество Do также будем обозначать через О. Для v0(x)
будет употребляться обозначение | х |0. Если {х, у) € <о,
будем писать х <0 у. Заметим, что | х |0 < |у |0 не влечет за
собой, вообще говоря, х <Zq У (см. диаграмму ниже).

Система О, очевидно, является подсистемой Она обладает
рядом полезных свойств. Для любого у € О {х | х <о у} состав-
ляет ' унивалентную систему обозначений. Более того, множество
{х | х <0 у} рекурсивно перечислимо равномерно по у, т. е.
существует общерекурсивная функция/, такая, что (Vi/)[i/ € О =>
=> fly) — {х I х <о !/)) (см. упр. 11-55). Частичное упорядоче-
ние <о есть бесконечно ветвящееся дерево, задаваемое следую-
щей диаграммой:

3 • 5ai<0 23 <о 223 ’ <0

1 <0 2 <0 22 <0 .. J

3-5иг<0 23^2<о

где последовательные ветвления встречаются на обозначениях
последовательных предельных чисел. В этой диаграмме 3-5У1
и 3‘5^2 суть два (из бесконечного множества) обозначения для и.
Заметим, что если 3-5У1 <о 2, то z и 3-5v2 несравнимы относи-
тельно <0. Определение Do и <0 в терминах натуральных
чисел и множеств натуральных чисел (без ссылки на ординалы)
может быть дано без труда (см. упр. 16-6).

Следующий результат демонстрирует еще одно применение
теоремы о рекурсии. Он относится к некоторой общерекурсивной
функции двух переменных. Мы обозначим эту функцию через +0
и будем писать х +о У вместо +0 {х, у).

Теорема XVII (Клини). Существует общерекурсивная функ-
ция +0 двух переменных, такая, что для всех х и у из О

(i)	х +о У 6 О;

(ii)	| х +0 у |0 = | х |0 + | у |0;

(iii)	у #= 1 => х <о х +о У-

Доказательство. Пусть даны х и z, определим ф сле-
дующим образом:

4(у) =

х, если у = 1;

21₽z<u), если у = 2“;

3-5”, если у = 3.5°, где v'
функции Хп[сргф0(п)];

О в остальных случаях.

есть

индекс
Тогда 4' частичнорекурсивна и индекс ф может быть получен рав-
номерно по х и z. Иными словами, существует общерекурсивная
функция /, такая, что

Ф = Ф/<г. х )*

Применив теорему III, получим общерекурсивную функцию п,
такую, что

Фп(х) = ф/(п(х), х )•

Положим теперь

+ о = ^1фп(х)(г/)1»

Тогда (i), (ii) и (iii) должны быть справедливы для функции + о.
В противном случае возьмем наименьшее х (среди ординалов)
и для такого х наименьшее у (среди ординалов), такие, что или
(i), или (ii), или (iii) места не имеет; немедленно придем к противо-
речию. В упр. 11-57 мы заметим, что + 0 есть всюду определенная
функция. и

Функция + о может быть использована при еще одном при-
менении теоремы о рекурсии для доказательства универсаль-
ности (и, следовательно, максимальности) системы О.

Теорема XVIII (Клини). Система О есть универсальная систе-
ма обозначений.

Доказательство. Пусть S — произвольная система
обозначений. Пусть z дано; определим ф следующим образом:

	Г 1,	если ks(x) = 0;
	2q’zps <х>	если ks(x) — 1;
	3 -5У',	если ,ks(x) = 2 и qs (х) сходится, где у' есть-
ф (х) =	К	индекс для г) и ц определяется посредством т](0) = фгфдз(Ж) (0),  т)(га + 1) = т](п) +0 фгф,8(х)(п + 1);
	расходится	в остальных случаях.

Взяв общерекурсивную функцию/, такую, что ф = <P/(Z)» и, при-
менив теорему I, получим частичнорекурсивную функцию фп =
= ф/(П), которая будет служить в качестве функции ф, требуемой
определением универсальности. Чтобы показать, что фп обладает
нужными свойствами, предположим противное; возьмем наимень-
ший ординал, на котором что-то нарушается, и немедленно полу-
чим противоречие. я

Следствие XVIII (а). Система О максимальна; т. е. она каж-
дому конструктивному ординалу ставит в соответствие обозна-
чение.
Доказательство очевидно.в

Система О оказывается полезной в дальнейших приложе-
ниях в значительной мере благодаря следующему следствию,
устанавливающему, что для унивалентных систем теорема имеет
место в более сильной форме.

Следствие XVIII (Ь). Пусть дана унивалентная система S,
тогда существует частичнорекурсивная функция <р, отображаю-
щая Ds в О так, что

(i)	х £ Ds =* vs (х) = I cp(x) |0;

(ii)	x, у g Ds=> [ж < у <=> <p(x) <0 <p(p)l.

Доказательство. Доказательство аналогично доказа-
тельству теоремы, но функция т] определяется следующим образом:

П(О) = ф2<Рд5(«)(О);

ц(п 4- 1) = <pz<p?g (я)(ге + 1).и

§ 11.8. КОНСТРУКТИВНЫЕ ОРДИНАЛЫ

Приведем еще несколько свойств конструктивных ординалов.
Следующая теорема имеет место, несмотря на то что существова-
ние максимальной рекурсивной по упорядочению системы обозна-
чений невозможно.

Теорема XIX. Для всякого конструктивного ординала сущест-
вует рекурсивная по упорядочению унивалентная система, наделя-
ющая этот ординал обозначением.

Доказательство. Пусть а — конструктивный орди-
нал. Согласно следствию XVIII, существует z С О, такое, что
| z |о — а. Пусть Az = {у | у <0 z или у = z). Множество Az
рекурсивно перечислимо (см. упр. 11-55); Az линейно упорядочено
отношением <0, и каждый ординал, не превосходящий а, имеет
одно и только одно обозначение в Аг. Если множество Az конечно,
то ординал а конечен и результат следует немедленно. Если мно-
жество Аг бесконечно, пусть / есть'взаимно однозначная общере-
курсивная функция, имеющая Аг в качестве множества значений.
Определим систему обозначений S следующим образом:

DS=N,

VS(x) = I /(*) Io,
ks(x) = k0(j(x)),
Ps(x) =f~lpof(x),
qs(x) = y',
где у' есть индекс функции Xn[f~ 1фд0/(х)(«)]. Система S является
рекурсивной по упорядочению, так как для любых х и у или
/(ж) = /({/), или f(x) <о Ку), ИЛИ Ку) <0 /(«)• Поскольку {и | и<о v}
рекурсивно перечислимо равномерно по у, мы можем установить,
какой из этих трех случаев имеет место.

Система S есть искомая рекурсивная по упорядочению унива-
лентная система, наделяющая ординал а обозначением /-1(г).и

Определение. Назовем а рекурсивным ординалом, если суще-
ствует отношение R, такое, что: (i) R есть вполне-упорядочение
(некоторого множества натуральных чисел); (ii) R рекурсивно
и (iii) вполне-упорядочение, задаваемое R, подобно а.

Следствие XIX. Всякий конструктивный ординал рекурсивен.

Доказательство. Унивалентная система обозначений,
построенная при доказательстве теоремы XIX, обеспечивает иско-
мое рекурсивное вполне-упорядочение. в

Обращение следствия XIX также имеет место (Марквальд
[1954], Спектор [1955]).

Теорема XX (Марквальд, Спектор). Всякий рекурсивный Qpdu-
нал конструктивен.

Доказательство. Пусть а есть рекурсивный ординал.
Пусть R есть рекурсивное вполне-упорядочение, подобное а. Заме-
тим, что для всякого и при этом упорядочении множество
{z | (z, u) G R} рекурсивно перечислимо равномерно по и. Опре-
делим новое отношение линейной упорядоченности следующим
образом:

R = {< (Jin У1 >, <*2, 1/2) > I <Xi, Х2> € R & 1*1 = *2 => 1/1 < 1/г1 }.

Очевидно, R рекурсивно. Это упорядочение, как легко видеть,
подобно Р = со-а. Пусть т — первое натуральное число в упоря-
дочении R. R задает систему обозначений S следующим образом:
Ds = {х I х) ^R},

( 0,	если	х =	(т,	0);

ks(x) =	< 1,	если	х =	{и,	и) и	v > 0;

I 2,	если	х =	(и,	0) и	и т.

Ps (х) = (и, V — 1 ),
qs (х) = у,

если х = {и, v) & ks (х) = 1;

если х — {и, 0) & и=£т: где у

есть индекс частичнорекурсивной функ-
ции h, определенной следующим образом:
h(0) = (т, 0), и если h(n) = (s, t), то
(w, 0),

h(n 4- 1) =-<

k(s, t + 1 ),

где w = px lx появляется за n шагов
пересчета {z | (z, и) £ R & z =/= и) и
s появляется за n шагов пересчета
{z | (z, x) E R & 2 =/= z}],
если такого x не существует.

Эти определения, очевидно, задают отображение vs однозначно,
и мы имеем рекурсивную по упорядочению систему, приписываю-
щую обозначения всем ординалам, меньшим чем со-а. Согласно
теореме XV, существует система, приписывающая обозначение
ординалу со-сс. Следовательно, со-а конструктивен. Так как
а со •«, то и а конструктивен.и

Следствие XX. Ординал рекурсивен тогда и только тогда, ког-
да он конструктивен.

Доказательство очевидно.а

Конструктивные ординалы можно рассматривать как рекур-
сивный аналог второго числового класса. Ординалы второго чис-
лового класса могут быть описаны или правилами порождения,
или как представители счетных впрлне-упорядочений (упр. 11-46),
Определения конструктивных или рекурсивных ординалов являют-
ся соответственно аналогами этих двух теоретико-множественных
описаний. Следствие XX есть рекурсивный аналог результата
упр. 11-46, состоящего в том, что эти два теоретико-множествен-
ных описания задают один и тот же класс ординалов.

Конструктивные ординалы и универсальная система О часто
встречаются в литературе по теории рекурсивных функций и ло-
гике. Теорема о рекурсии является полезным, гибким и весьма
существенным инструментом при применениях конструктивных
ординалов и системы О. В качестве последней иллюстрации рас-
смотрим множества Sa и В, определенные, как в упр. 7-46 (если
•ф есть взаимно однозначная продуктивная функция некоторого
продуктивного множества).

Теорема XXI (Парикх). (а) Для всякого конструктивного орди-
нала р В =# и Sa.

(Ь) в = и Sa.

а конструктивен	•

Доказательство. Пусть q есть индекс 0. Пусть f —
общерекурсивная функция, такая, что (Vy)[y Е О =>- Wf(y) =
= {х | х <оу}1. Применив теорему о рекурсии, получим частич-
норекурсивную функцию <р', отображающую О в В, такую, что

ф'(1) =ф(?);

Ф'(2*) =ф(У),
где у — р. п. индекс~для ф'(^/<х));

ф'(3-5х) = ф(у), ’

где у есть р. п. индекс для фЧ^дз^Х))’ Отсюда, привлекая про-
стое индуктивное соображение, получаем, что для всякого х £ О
ф'(х) € <$jx|0+l — ‘S'lxio и ф'(*) € В.

Это доказывает (а).

Далее воспользуемся теоремой о рекурсии, чтобы определить
частичнорекурсивную функцию ф", отображающую В в О, такую,
что если х ( Sa+i — Sa, то а< | ф"(я) 1о- Это доказывает (Ь).
Определим ф" посредством

ф"(х) = 3-5V,

где у есть индекс частичнорекурсивной функции т], которая может
быть задана следующим образом. Вычисляйте ф-1(л:). Как только
выяснится, что ф-1(;г) определено (если это произойдет), пересчи-
тывайте TV^-i(x). Положите т](0) = 1,

ц(п + !) = <

' т](«) +оф"(пг).

Т](п) +02,

если т есть новый элемент
встречающийся на n-м шаге в пе-
ресчете

если никакой такой новый элемент
па n-м шаге не встретился.

Привлекая простое индуктивное соображение, получаем, что ф"
обладает требуемыми свойствами. Это завершает доказатель-
ство. я

В упр. 11-63 мы заметим, что любое такое В должно быть
рекурсивно изоморфно О.

§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ

§ Н.2

2^11-1. (а) Покажите, что существует общерекурсивная функция /,
множество неподвижных точек для которой не является рекурсивно перечис-
лимым.

(Ь) Покажите, что если множество неподвижных точек для общерекур-
сивной функции / рекурсивно, то множество {<рх | <рх = Ф/(х)} содержит все
частичнорекурсивные функции. (Указание. Покажите, что в противном
случае может быть найдена общерекурсивная функция, для которой не
существует неподвижных точек.)

11-2. Сформулируйте и докажите теорему II в виде, применимом ко всем
<р2, как всюду определенным, так и прочим.

11-3. Теорема 1 может быть релятивизована, если (i) взять / общерекур-
сивной относительно А -или (ii) заменить <р на <рл, или (iii) сделать и то,
и другое. Какой из этих трех релятивизованных вариантов имеет место?
Докажите или приведите контрпримеры.

11-4. Пусть ф — частичнорекурсивная функция двух переменных.

(i)	Покажите, что существует число п, такое, что <рп — Лу[ф(п, у)].
(ii)	Покажите, что результат (i) эквивалентен теореме I.

(iii)	Пусть v — гёделев номер функции Лгг/[ф(«}(х, х), у]. Покажите, что
в качестве п в (i) можно взять s|(v, и).

Часть (i) есть клиниев вариант теоремы I, часть (iii) — его доказа-
тельство.

11-5	. Пусть / — общерекурсивная функция. Пусть v — гёделев номер
функции Xxy[<p/Si(Ж)(у)1- Пусть п — s}(a, и). Покажите, что <р„ — <р/(п).
(Это еще один вариант доказательства теоремы I.)

11-	6. Покажите, что следующее утверждение эквивалентно следствию I.
Для каждого рекурсивно перечислимого множества А существует п, такое,
что Wn = {х | (х, п) £ А}.

11-7	. Воспользовавшись теоремами 5-IX и 5-XVI, покажите, что теоре-
ма I вытекает непосредственно из следствия I.

11-8.	Докажите или опровергните следующее утверждение. Пусть / —
общерекурсивная функция, такая, что для всех х функция фх всюду опреде-
лена => ф/(х) всюду определена; тогда существует п, такое, что фп = ф/(п)
и функция фп всюду определена.

11-9.	(а) В каждом из следующих случаев докажите или опровергни-
те существование т, при котором должно выполняться соответствующее
свойство:

(i)	wm = {m2};

(ii)	Wm = {10m};

(iii)	= AT .- {m};

(iv)	Wm = {x | x есть квадратичный вычет no модулю m};

(v)	~ {x I Фт(х) расходится};

(vi)	0 ф Wm = {x | (3,y)[x = 2y & фт(у) сходится]};

(vii)	Wm = {3} U (x | (By) [x = 2y &. фт(у) сходится]}.

(b) Докажите или опровергните существование общерекурсивной функ-
ции /, такой, что

WfW = (f(x) + х}.

11-10 (Вольпин). С помощью теоремы I может быть получено короткое
и простое доказательство теоремы упр. 2-39 (а).

(а)	Пусть g — произвольный класс частичнорекурсивных функций.
Пусть А = {х | фх £ g). Выведите из теоремы I, что А тА.

(Ь)	Выведите теорему упр. 2-39 (а).

•11-11. Воспользовавшись теоремами I и 5-1V, докажите последнюю часть
теоремы 5-ХIV (о замкнутости относительно операции взятия дополнения).
(Указание. Предположите противное и найдите п, такое, что Wn 0) Wn
и Wn #= N.)

А 11-12. Пусть фо, Фы • •  — последовательность частичнорекурсивных
функций. Предположим, что существуют общерекурсивные функции h и g,
такие, что Фд(х) = фх и фу(х> = фх, т. е. что последовательность ф0, ф1т ...
задает допустимую в смысле упр. 2-10 нумерацию. Покажите, что для этой
нумерации имеет место теорема о рекурсии; иными словами, покажите, что
для всякой общерекурсивной функции / существует п, такое, что фп = ф/(П).
(Указание. Воспользуйтесь теоремой I для получения т, такого, что фт =>
= ФвЛСтп)-)

§ 11.3

11-13. Проведите доказательство теоремы VI с продуктивной (не обяза-
тельно всюду определенной) функцией ф вместо всюду определенной продук-
тивной функции h.

11-14. Пусть АаВ — пара эффективно неотделимых непересекающихся
рекурсивно перечислимых множеств. Покажите, что всякое рекурсивно пере-
числимое множество С, такое, что А с: С ст В, должно быть 1-полпым.
11-15. Покажите в качестве следствия теоремы V, что для всех А, А
продуктивно <=> К 1А К	(Указание. См. теорему 7-V (Ь).)

Л11-16 (Крайдер), (а) Назовем А унипродуктивным, если существует
общерекурсивная функция /, такая, что для всех х [ Wx cz А & Wx содержит
самое большее один элемент] =£ t(x) £ А — Wx. Покажите: А унипродуктив-
но <=> А продуктивно.

(Ь) Выполните части (d) и (е) упр. 7-39.

11-17. (а) В доказательстве теоремы VI покажите, что center hnA cz
cz. h({x | Wx = 0 }) (см. в. упр. 7-42 определение понятия center hnA).

(Ъ) Воспользовавшись теоремой IV, покажите, что множество А имеет
бесконечно много попарно непересекающихся центров (если варьируются
продуктивные функции), содержащихся в h({x | 1РЖ = 0}).

△11-18 (Шёнфильд). См. упр. 8-26 и 8-27. Покажите, что А q-креативно =>
=$ А q-полно. (Указание. Доказательство может быть проведено, аналогично
доказательству теоремы V. Можно также показать, что множество q-креативно
тогда и только тогда, когда его q-цилиндр креативен, а затем непосредственно
применить теорему V.) (В упр. 8-44 также исследовалась q-креативность.
Ейтс доказал существование полутворческих множеств, не являющихся
Т-цолными, и тем самым существование полутворческих множеств, не являю-
щихся q-творческими.)

11-19. Определим: А q-продуктивно, если существует частичнорекур-
сивная функция ф, такая, что для всех х, Wx с. А ~ [ф(ж) определено &
& cz A	WJ. Покажите, что частичнорекурсивная функ-

ция может быть в этом определении заменена общерекурсивной функцией.

△ 11-20. Определите подходящим образом полную ^-продуктивность.
Докажите аналог теоремы VI.

△11-21. Определим: А У -продуктивно, если существует общерекурсив-
ная функция g, такая, что для всех х

(Зу)[у g Wg(x) &.DV с А] <=>	€ Wg(x) &.Dy с WJ.

Определим: А Т-креативно, если А рекурсивно перечислимо и А Т-про-
дуктивно.

Покажите: А Т-креативно <=> А Т-полно. (Указание. Чтобы установить
Ф=, следует воспользоваться сводимостью множества К и упр. 9-22; для уста-
новления =Ф следует применить теорему о рекурсии, с тем чтобы получить
для всякого рекурсивно перечислимого множества В общерекурсивную функ-
цию п, такую, что

ту 4 _ Г {я I (^z)tz € Wgn(jj)	g Dz]}, если у £ В;

n<JA ]_ 0t	если у g В,

и воспользоваться упр. 9-22.)

△ 11-22. Покажите, что для всякой универсальной функции (в смысле
§ 4.5) ф существует т, такое, что ф(т) = т.

§ И.4

11-23. Рассмотрите следующие аксиомы (Цермело — Френкель) для
теории множеств (Френкель [1928]; см. также Куайн [1963] и Бернайс и Френ-
кель [1958, часть I]).

(i)	(Vz)(Vy) [(Vz) [z С x <=> z С у] х — у] (экстенсиональность);

(ii)	(Ys)(Vy)(3z)(Vu)[u g z <=> [u = zVu = y]l (пара);

(iii)	(Vx)(3x)(Vu)[u g z <=> (3y)[u g у & у g x]] (сумма);

(iv)	(Vi)(3z)(Vu)[u g z <=> (Vy)[y g и =5 у g x]] (степень);
(v)	(Vi)(3z)(Vu)[u g z <=> [u g x &. <S(u)]] (свертывание);

(vi)	(Vu)(Vi>)(Vu?)[[.R(a>, .u} & R(w, i>)] <=> и = l>] =Ф (Vx)(3y)(Vz)[z £

€ у (3/)[t £ x & R(t, z)J] (замещение);

(vii)	(Vz)(3z)[z £ z & (Vu)[a £ z —> (3p)[u £ z & (V y)[y £ v у =u]]J]
(бесконечность);

(viii)	(Vz)[(Vu)(Vi>)[ [u£x&.v£x&. (3r)[r £ и & r £ i>]] =£

=ф и = а] => (3p)(Vz)[[z £ X &. (3w)[u> g z]] => (3f)(Vs)[[s € у & S £ z] <=>
<?=> S = dl] (выбор);

(ix)	(Зх)5(а:) => (3y)[5(y) & (Vz)[z 6 у =>“|S(z)]] (фундирование).

Покажите, что для отношения Л’(= {(т, у) | х £ И^}) имеют место
утверждения (ii), (iii), (vii) и (viii), но не (i) и (iv). Покажите, что (v), (vi)
и (ix), вообще говоря, места не имеют, поскольку в качестве S и R могут
выступать любые множества и отношения. Покажите, что если на S и R нало-
жено ограничение быть рекурсивно перечислимыми, то утверждения (v)
и (vi) имеют место, a (ix) нет.

11-24. Воспользовавшись теоремой о рекурсии, покажите, что существу-
ют т и п, такие, что т =£ п, т £ Wn и п £ Wm.

△11-25. (а) Покажите, что для любой общерекурсивной функции h суще-
ствует бесконечная последовательность различных натуральных чисел тп0,
mlt . . ., такая, что для всех i Wmj = {/i(mi+1)}. (Указание. Модифицируйте
доказательство теоремы VII.)

(Ь)	Определите насыщенность относительно ф, как в упр. 7-45. Покажи-
те, что существует более чем счетное число продуктивных множеств, которые
насыщены относительно тождественной функции. (Указание. Воспользуйтесь
теоремой VII и затем конструкцией, подобной конструкции из упр. 7-46.)

(с)	Пусть h — произвольная взаимно однозначная общерекурсивная
функция. Покажите, что существует более чем счетное число продуктивных
множеств, насыщенных относительно h. (Указание. Воспользуйтесь (а).)

11-26. Объясните, почему никакая аксиоматизируемая формальная тео-
рия не может содержать все истинные утверждения и не содержать'жикаких
ложных утверждений вида х и у суть р. п. индексы одного и того же множе-
ства. (Считаем, что гёделев номер этого утверждения равномерно зависит
от а: и у.)

11-27. Возьмем функции / и с, как при доказательстве теоремы VIII.
Предположим, с взаимно однозначно и для всех х f(x) =£ х. При каких обсто-
ятельствах может существовать т, такое, что	= Wf(rn)? (Коммента-

рий. В естественно возникающих ситуациях с почти всегда взаимно одно-
значна и функция / (построенная методом теоремы 5-ХIII) почти всегда обла-
дает тем свойством, что (Vx)[/(г) =£ а:].)

11-28. Машина, описываемая в примере 1, следующем за теоремой IX,
обладает тем свойством, что по любой цепочке единиц, подаваемых на вход,
она выдает в качестве выходного значения свою собственную четверку.
Покажите, что существует нетривиальная машина, обладающая тем свойст-
ством, что если на вход подается чистая лента, она выдает свою собственную
четверку в качестве выходного значения.

△11-29 (Шмульян). (а) Пусть (Л,, А 2} и {В4. В2} суть пары непересекаю-
щихся рекурсивно перечислимых множеств. Мы скажем, что (At, А2) силь-
но сводимо к (Bj, В2), если существует общерекурсивная функция/, такая,
что /(Лц) czBi, /(Л2) <= В2 и f(At U Л2) с: (J В2- Пусть {Q, С2}—
пара эффективно неотделимых непересекающихся рекурсивно перечислимых
множеств. Покажите, что для любой пары непересекающихся рекурсивно пере-
числимых множеств {Л1; Л2} пара (Л^ Л2) сильно сводима к (Clt С2).
(Это является аналогом теоремы V для пар множеств.) (Указание. Определите

W = f Ci U {Ф(л1(я), n2(z))}, если

s<z>	X С,,	если х (£ А2,

и определите Wh(z) подобным образом, исполЬзуя б'2 и At. Здесь ф —
продуктивная функция пары (Ct, С2). Примените теорему X.)

(Ь) Получите в качестве следствия, что продуктивная функция любой
пары эффективно неотделимых множеств может быть заменена всюду опреде-
ленной продуктивной функцией.

△И-30. (а) (Парикх). Пусть g — любая общерекурсивная функция.
Покажите, что существует п, такое, что

(i)	Wn рекурсивно;

(ii)	ny[W„ = Wn] > g(n).

(Указание. Определите множество как пересекающееся со всяким непу-
стым Wit i g(x), и конечное. Примените теорему о рекурсии. Заметьте,
что это дает конечное множество- Wn.)

(Ь) Пункт (а) подчините требованию, чтобы множество Wn было коко-
нечно.

△11-31. Пусть h — любая обще рекурсивная функция. Покажите, что
существуют тми, такие, что Wm = Du и и > h(m). (Указание. Воспользуй-
тесь пунктом (а) предыдущего упражнения.) Мы, таким образом, имеем конеч-
ные множества с р. п. индексами, „сколь угодно меныпими“ их канонических
индексов.

△11-32 (Парикх). Пусть g — произвольная общерекурсивная функция.
Покажите, что существует т, такое, что

(i)	т = jryfTVj, = Wm];

(ii)	т > g(py[ WKy = Wm]).

(Указание. Возьмите общерекурсивную функцию h, такую, что = Wx
для всех х. Примените упр. 11-30 (а) с gh вместо g. Заметьте, что это дает
коконечность множества Wm.)

△ 11-33. Пусть множество А вполне упорядочено (при некотором.заданном
отношении упорядочения). Для любого у из Л пусть Sy есть множество эле-
ментов множества А, предшествующих у относительно этого вполне-упоря-
дочения. Предположим, что задана функцияф и что существует общерекурсив-
ная функция /, такая, что для любого х и любого элемента у множества А
если <рх совпадает с ф на Sy, то фу(ж, у) совпадает с ф на Sy (J {у}. Покажите,
что существует частичнорекурсивная функция, совпадающая с ф на множе-
стве А. (Указание. Примените теорему о рекурсии к функции <pg(x) =
= Мф/(х, g)(y)].)

Это упражнение предлагает аналог в теории рекурсивных функции
принципа трансфинитной индукции, с помощью которого определяются
функции над ординальными числами. Заметим, что явно не требуется наличия
какой бы то ни было рекурсивной структуры ни для А, ни для упорядочения
множества А. Этот результат обобщается в лемме о рекурсии § 16.4.

§ 11.5

△11-34. (а)УДокажите теорему о рекурсии для операторов перечисления,
т. е. покажите,' что для любой общерекурсивной функции / существует п,
такое, что

фп = ф/(п)-

(Ь) Существует ли т, такое, что для всех А

фтМ) = (т)?
△11-35. Пусть ЛГ =2\ (а) Для всякого конечного множества D рассмот-
рим множество (множеств)

= [A I D с.А}>

(i)	Покажите, что семейство всех таких множеств (множеств) замкнуто
относительно конечного пересечения и, следовательно, образует базис топо-
логии на JC-

(ii)	Покажите, что замкнутыми подмножествами множества ЛС относи-
тельно этой топологии являются в точности множества (множеств), замкнутые
относительно подмножеств и возрастающего объединения 1).

(iii)	. Пусть Ф есть отображение из ЛС в J1T .Покажите, что Ф непрерывно
относительно этой топологии тогда и только тогда, когда отображение Ф
„монотонно” и „непрерывно” в смысле теоремы 9-ХХ. (Указание. .Напомним,
что отображение / топологического пространства ЭС непрерывно тогда и толь-
ко тогда, когда для любого х £ ЭС и любого Л с. ЭС х £ замыкание (dt) =>
=$f(x) 6 замыкание (/(^)).)

(Ь)	Пусть dt cz JIC. Назовем множество .А замкнутым, если .^ замкнуто
относительно возрастающего объединений.

(i)	Покажите, что это задает топологию на JC.

(ii)	Пусть Ф есть монотонное отображение из JC в JC. Покажите, что Ф
непрерывно относительно этой топологии тогда и только тогда, когда ото-
бражение Ф „непрерывно” в смысле теоремы 9-ХХ.

(с)	Для всякой пары {D{, Z>2) конечных множеств рассмотрим множе-
ство (множеств)

ZDiD2 = {A \D1 a A &.D2 <=А}.

(i)	Покажите, что семейство всех таких множеств (множеств) образует
базис топологии на ЛС- (Это топология канторова множества, часто задавае-
мая на ЛЭ.)

(ii)	Покажите, что замкнутые подмножества ЛГ в этой топологии
замкнуты относительно возрастающего объединения.

(iii)	Пусть Ф есть отображение из ЛГ в ЛГ  Покажите, что если Ф непре-
рывно относительно этой топологии, то отображение Ф „непрерывно” в смысле
теоремы 9-ХХ.

(iv)	Постройте оператор перечисления, который не является непрерыв-
ным в этой топологии. (Указание. Рассмотрите отображение Ф, такое, что

N,	если А ф 0,

0,	если А = 0.)

11-36. Приведите примеры

(i)	частичнорекурсивного оператора, не имеющего неподвижной точки;

(ii)	частичнорекурсивного оператора с непустой областью определения,
не имеющего неподвижной точки;

(iii)	рекурсивного оператора, не имеющего всюду определенной непод-
вижной точки;

(iv)	рекурсивного оператора, обладающего всюду определенными непод-
вижными точками, но такого, что его минимальная неподвижная точка всюду
определенной не является;	Ь» w

(v)	рекурсивного оператора, имеющего ровно три неподвижные точки.

Ф(Л) = {

г) Множество .А замкнуто относительно подмножеств, если
А £ dt & В cz Л => В £ dt- Множество dt замкнуто относительно возрастаю-
щего объединения, если [(У4)[Л г £ ^)] & (Vi)(V/')[i Л г cz Л^]] =>
ОО

=> U Aj £

»=0
11-37. Покажите, что если рекурсивный оператор имеет только всюду
определенные неподвижные точки, то он имеет в точности одну неподвижную
точку.

11-38. Определим

.	( х — 1, если х > 0;

/(х) = 10, если х = 0.

Определим оператор перечисления Ф как

Ф(Л) = {</(»), №)) I <«. У) €Л}. •

Рассмотрим частичнорекурсивный оператор, определяемый оператором Ф.
Назовем его Чг.

(i)	Является ли *F рекурсивным оператором?

(ii)	Опишите неподвижные точки оператора Чг.

11-39. Положим 1а — {(я, ж) | х С А }. Каждому оператору перечисле-
ния Ф может быть поставлен в соответствие рекурсивный оператор Т, такой,
что

’f(lA) = 1ф (А)'

Воспользовавшись этой конструкцией, получите теорему XI непосредствен-
но из теоремы XII.

11-40. Опишите все решения системы равенств

ф(4ж) = 2ф(2а:),

•ф(2) = 2.

△ 11-41. (а) (Крейсел). Рассмотрим функцию g, задаваемую следующим
образом:

f 1, если Рх при входном значении х

,	7\ _ J	выдает результат менее чем за

Ui )	4	у шаГ0В;

I 2z в противном случае.

Функция g общерекурсивна, и, согласно § 1.5, может быть найдена система
рекурсивных равенств, однозначным образом задающая функцию g. Назовем
эту систему (Е). Возьмем систему рекурсивных равенств, получаемую при
соединением к (Е) равенства .

/(г, у) = g(x, у, f(x, у + 1)),
где f — функциональный символ, не встречающийся в (Е).

Покажите, что функция f определяется однозначно (как всюду определен-
ная функция), но что/не является общерекурсивной функцией. (Всюду опре-
деленные функции, однозначно определяемые системой равенств, называются
рекурсивными по Эрбрану функциями. Как мы заметим позднее, они образуют
естественный класс, который выходит за рамки класса общерекурсивных
функций.)

(Ь) Приведите пример общерекурсивного оператора Чг, такого, что

(i)	оператор V обладает одной и только одной всюду определенной непод-
вижной точкой;

(ii)	всюду определенная неподвижная точка не рекурсивна. (Указание.
См. (а).) (Заметим, что оператор 'Г должен по теореме XII обладать не всюду
определенной неподвижной точкой, являющейся частичнорекурсивной.)

§ Н.6

11-42. В доказательстве теоремы XIV покажите, что оператор перечисле-
ния Фц, (z) определяет оператор Чг. (Указание. Воспользуйтесь монотонностью
и непрерывностью.)

△ 11-43. Докажите теорему Майхилла и Шепердсона, сформулированную
в § 11.5. [Указание. Пункт (а) вытекает из следствия XII (а). Для доказатель-
ства пункта (а) покажите, что отображение частичнорекурсивных функций,,
задаваемое функцией /, монотонно и непрерывно (в противном случае была
бы разрешима проблема остановки). Затем постройте оператор Фи)(2), как
в доказательстве теоремы XIV, и воспользуйтесь упр. 11-42 для установления
единственности. ]

△11-44. Рассмотрим арифметику Пеано и примем предположения,
касающиеся Mabcd, сделанные в упр. 7-64. Пусть построена формула
(36)[(3d)MsuM &-Pp(b)J, утверждающая свою собственную недока-
зуемость, как в § 11.6. Покажите, что если арифметика Пеано со-непротиворе-
чива, то пи эта пнф, ни ее отрицание не доказуемы. (Это ближе первоначаль-
ному доказательству Гёделя, нежели упр. 7-64.)

Д11-45 (Тарский), (а) Примем свойства множества М, описанные
в § 11.6. Покажите, что не может существовать выражения Та элементарной,
арифметики с единственной свободной переменной а, такого, что для всех
ппф (с кодовым номером) х

Тх истинно тогда и только тогда, когда х истинно. 

(Указание. Воспользуйтесь соображениями, связанными с подстановоч-
ной функцией, чтобы показать, что в противном случае могла бы быть постро-
ена' ппф, которая утверждала бы свою собственную ложность и, следователь-
но, была бы истинной в том и только в том случае, когда она ложна 1).)

Определение. Множество А вполне арифметически продуктивно, если
существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого выражения
Fa элементарной арифметики, имеющего кодовый номер х и единственную
свободную переменную а,

f(x) С (А >— {у | Fy истинно}) (J ({у | Fy истинно} — А).

(Ь) Покажите, что множество (кодовых номеров) всех истинных пп-фор-
мул элементарной арифметики вполне арифметически продуктивно.

§ Н.7

В упр. 11-46—11-53 приведены основные определения и результаты,
относящиеся к ординальным числам. Удовлетворительная трактовка этих
вопросов потребовала бы аксиоматизации теории множеств, поскольку долж-
но было бы быть проведено тонкое различие между множествами (которые
всегда могут быть элементами) и свойствами множеств (которые иногда могут
ими не быть). Если, например, мы рассматриваем семейство всех ординалов
(т. е. свойство быть ординалом) как множество, мы придем к противоречию
(парадокс Бурали — Форти). В приводимом здесь обзоре мы не привлекаем
аксиоматизации; мы попытаемся избегать ситуаций, в которых могут встре-
титься парадоксы, и просто примем принципы, которые потребовали бы при
аксиоматическом изложении более детального обоснования. Все наши резуль-
таты могут быть получены из аксиом упр. 11-23.

Определение. Линейно упорядоченное множество называется вполне
упорядоченным, если всякое его непустое подмножество имеет наименьший ’
элемент.

х) Конструкция, аналогичная этой, может быть приведена в обычном
русском языке, если заменить „доказуемая” на „истинная” в примере, приве-
денном в примечании на стр. 262. Существование таких утверждений (кото-
рые не могут быть ни истинными, ни ложными) является тем непреодолимым
препятствием, вследствие которого обычный русский язык не может быть
интерпретируемой формальной системой. В качестве таковой системы обычный
русский язык противоречив.
Из аксиомы выбора следует, что всякое множество может быть сделано
внолне упорядоченным и что упорядочение является вполие-упорядоченйем
тогда и только тогда,. когда оно не имеет бесконечных убывающих цепей.

Говорят, что два упорядоченных множества являются множествами одно-
го и того же порядкового типа или что они подобны, если они изоморфны как
упорядоченные множества.

Можно показать, что существуют некоторые специальные упорядочен-
ные множества, называемые ординальными числами, такие, что всякое впол-
не упорядоченное множество подобно одному и только одному ординальному
числу. Ординальные числа конструируются таким образом, что линейное
.вполне-упорядочение каждого из них задается посредством отношения при-
надлежности g. Например, {0, {0}, {0, {0 }}} есть ординальное число,
представляющее любое вполне-упорядочение трех элементов. Дадим общее
определение ординала.

Определение, z есть ординал, если

(i)	(Уж)[х g z =Ф (Vy)[y g х =Ф у £ z]];

(ii)	(V^)(Vy)H® gz&ygz&x5Ay]==>[agy V у G ^]];

(iii)	(Уж)[1(Уу)[у G x =i> г/G z] & x Ф 0] =ф (3u)[u g x & и Q x = 0]].

Ординальные числа как семейство линейно упорядочены относительно
•g, и каждый ординал соответствует множеству всех его предшественников
при этом упорядочении. (Разумеется, семейство всех ординалов не может
трактоваться как множество.)

'	Для ординалов 0, {0}, {0, {0}}, ... мы будем употреблять сокра-
щения 0, 1, 2, . . ., а ординал {0, 1, 2, . . .} называть со. Вообще мы будем
употреблять „а”, „Р”, „у”, ... в качестве символов для ординалов.

Каждый ординал имеет единственный непосредственный последователь.
Последователем ординала а является a (J {а}, обозначаемый а + 1. Если
а0, alt ... есть возрастающая последовательность ординалов, lim ап обо-
п

значает ее наименьшую верхнюю грань. Через {an } f обозначается возрастаю-
щая (и счетно бесконечная) последовательность ординалов. Если у = lim ап
п

для некоторой {an}t, то {an}f называется фундаментальной последователь-
ностью для у.

Ординальные числа могут быть трех типов:

(i)	ординал 0;

(ii)	ординалы, имеющие непосредственного предшественника; такие орди-
налы называются последователями',

(iii)	ординалы (такие, как со), не имеющие непосредственного предше-
ственника; такие ординалы называются предельными.

△11-46. Рассмотрите (i) семейство всех ординалов, которые конечны или
счетны; (ii) наименьшее семейство ординалов, содержащее 0 и замкнутое
относительно операций взятия последователя и взятия предела возрастаю-
щих счетно бесконечных последовательностей. Покажите, что эти два семей-
ства совпадают.

Семейство, определенное в упр. 11-46 (на самом деле это множество),
принято называть вторым числовым классом', мы обозначим его Сц. (Первый
числовой класс состоит из конечных ординалов. Из приведенных определений
следует, что второй числовой класс содержит первый числовой класс.) Вто-
рой числовой класс обладает замечательным свойством быть несчетным впол-
не упорядоченным множеством, каждый собственный начальный отрезок
которого счетен. Мы ограничимся теперь рассмотрением (ординалов) второго
числового класса.

Рассмотрим функции, отображающие Сц в себя. Функция / монотонна,
если (Уа)(Ур)[а Р /(а)	/(Р)]- Функция непрерывна, если она непре-

рывна в естественой топологии, связанной (как это описано в примечании
на стр. 249) с понятием наименьшей верхней грани; т. е. если /(lim осп) =
п

= lim / (ос„) для всех {ocn
п

11-47. Установите, является ли функция /= %ос[а + 1] непрерывной?
Монотонна ли она?	' •

Принцип трансфинитной индукции состоит в том, что для любой задан-
ной монотонной (но не обязательно непрерывной) функции / и любого орди-
нала v условиями

(i)	g(0) = v,

(ii)	g(a + 1) = /(g(oc)),

(iii)	g(lim an) = lim g(an) для любой {an}t
n	n

определяется единственная непрерывная функция g.

11-48. Установите предыдущий принцип. {Указание. Рассмотрите для
всякого ординала р класс всех функций, определенных на предшествен-
никах Р, удовлетворяющих (i), (ii) и (iii).)

Мы можем теперь определить целый ряд обычных функций на Сц.
Сложение.

ф (а, 0) = а,

Ф (ос, Р + 1) = ф(ос, Р) + 1,
ф (a, lim pn) = lim ф(ос, Рп).
п	п

Мы будем писать а + р вместо ф (а, Р).

Умножение

0 (а, 0) = 0,

0 (а, Р + 1) = 0 (а, Р) + а,

0 (a, lim pn) = lim 0 (а, Рп).
п	п

Мы будем писать а-0 вместо 0 (а, Р).

11-49. Является ли функция Хр[р-2] непрерывной?

Возведение в степень

е(а, 0) = 1,

е(а, р + 1) = е(а, р)-сх,
е(а, lim pn) = lim е(а, Рп).

п	п

Будем писать а? вместо е(ос, Р).

11-50. Является ли функция 1р[р$] непрерывной?

△11-51. (а) Установите следующие правила арифметики ординалов:

(а + р) + у = а + (р + у),
«•(0 + У) = “•₽ + «;У.

a₽+v _ cjP.aVj

(а₽)’= а₽ У.

(Ь)	Покажите, что следующие соотношения правилами не являются:

ос 4“ Р ~ Р 4~ ос,
a-Р = Р-а,
(ос + р)-у = ос-у + Р-у.
(с)	Покажите, что существует а, такое, что

а = со-а.

Рассмотрим ординалы, которые могут быть получены из конечных орди-
налов и <о применением в конечном числе операций сложения, умножения
и возведения в степень. Назовем этот класс Ср („экспоненциальные полиномы
от 0, 1,2, . . ., <в“).

11-52. (а) Покажите, что ординалы из класса Ср образуют начальный
сегмент Сц-

△(b) Покажите, что для всякого ординала а из Ср существует единствен-
ная конечная последовательность меньших ординалов р2, • • •, Рй и един-
ственная конечная последовательность ненулевых конечных ординалов
nt, п2, ..., пй, таких, что > 02 > • • • > ₽й и а = <о₽1-м1 + <о^г’ге2+ •• •
... + со^-пй- (Теорема о нормальной форме.)

11-53. (а) (Веблен). Покажите, что всякая монотонная непрерывная
на б'ц функция имеет неподвижную точку (этот результат является частным
случаем теоремы Кнастера — Тарского; см. примечание на стр. 249).

(Ь)	Найдите выражение в нормальной форме (см. упр. 11-52 (Ь)) для
наименьшей неподвижной точки функции

(i)	Л₽[а> + ₽];

(ii)	А.р[<о-Р].

(с)	Покажите, что наименьшая неподвижная точка функции Л{3[ сор] есть
наименьший ординал, не принадлежащий классу Ср.

(d)	Пусть е0 — наименьший ординал, не принадлежащий классу Ср.

Ординал е0 есть предел последовательности ю, со®, со® , . . ., и, согласно
упр. 11-53, сое° = е0. (Последовательные неподвижные точки функции
Zpico^J обычно обозначаются е0, ej, ... .) Увеличивающиеся отрезки клас-
са б'ц могут быть наделены обозначениями систематическим образом путем
обобщения определения класса Ср. Например, мы можем образовать класс
Ср,, взяв все ординалы, представимые в виде-экспоненциальных полиномов
от е0 и его предшественников. Это дает все ординалы, меньшие наименьшей
неподвижной точки функции А.р[е^].

Определим теперь	I

То = е0,

Ta+i = наименьший ординал, не представимый в виде экспоненциального
полинома от и его предшественников (или, что эквивалентно,
наименьшая неподвижная точка функции Хр[у^]),

VlimPn = 1imY(Jn-
п п

Это порождает обозначения для всех ординалов вплоть до наименьшей непод-
вижной точки функции Хр[ур]. Конструктивны ли эти ординалы?

§ 11.8

11-54. (а) Покажите, что унивалентная и рекурсивная система обозна-
чений должна быть рекурсивной по упорядочению.

(Ь) Покажите, что рекурсивная система может не быть рекурсивной по
упорядочению.

11-55. Покажите, что существует такая общерекурсивная функция /,
что

(Vz)[z £ О WiM = {у | у < ог}].
(Указание (Московакис). Определите оператор перечисления Ф, такой, что
Л сО=^ ФИ) = A U В, где В состоит из предшественников первого уровня
элементов А (в подходящем смысле). Примените слабую теорему о рекур-
сии.)

11-56. Покажите, что нормальные формы упр. 11-52 задают унивалент-
пую систему обозначений в смысле § 11.7.

11-57. Покажите, что +о в теореме XVII есть общерекурсивпая функция.
11-58. (а) Существует ли частичнорекурсивная функция т, такая, что

к Е О и у Е О] => [m(z, у) Е О и
I М*, У) Io = I х Io*I У lol?

(Ь) Существует ли частичнорекурсивная функция е, такая, что

[х Е О и у Е О] =5 [е(х, у) € О и

I е(х, у) |0 = | х |qV|°]?

△ И-59 (Спектор). Покажите, что существует максимальная унивалент-
ная система обозначений. (Указание. Возьмите О = {i0, xt, х2, . . .} (в лю-
бом порядке) и рассмотрите ветвь отношения, определяемую последователь-
ностью х0, x0+0Xi, (x0 + 0xi)-]-0X2, ... .)

11-60. Покажите, что существуют ветви отношения <q, которые не могут
простираться за со2. (Указание. Воспользуйтесь мощностными соображени-
ями.)

.	11-61. Пусть W = {z | <Pz2) есть характеристическая функция вполне-

упорядочения (s^) некоторого множества натуральных чисел}. (Множество
W может мыслиться как совокупность обозначений для рекурсивных орди-
налов.) Покажите, что W = О. (Указание. См. доказательства теорем XIX
и XX.)

11-62. Назовем а рекурсивно перечислимым ординалом, если а подобен
некоторому рекурсивно перечислимому вполне-упорядочению множества
натуральных чисел. Покажите, что всякий рекурсивно перечислимый орди-
нал рекурсивен.

△ 11-63 (Парикх). Пусть множество В такое, как в теореме XXI. Покажи-
те, что В == О.
Глава 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО

ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ

§ 12.1.	Решетки множеств 286

§ 12.2.	Разложение 294

§ 12.3.	Сжатые множества 296

§ 12.4.	Максимальные множества 300

§ 12.5.	Подмножества максимальных множеств 303

§ 12.6.	Свойства почти-конечности 308

§ 12.7.	Упражнения 316

§ 12.1.	РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ

В предыдущих главах для изучения рекурсивно инвариантных
свойств множеств натуральных чисел мы использовали понятия
сводимости и степени неразрешимости. Рассмотрение совокуп-
ности рекурсивно перечислимых множеств как решетки пред-
ставляет собой иной, несколько отличный от предыдущих подход
к их изучению. Мы описываем здесь этот подход. Впервые он
изучался Деккером и Майхиллом (см. Майхилл [1956]).

Определение. Решеткой называется частичное упорядочение,
при котором любые два элемента имеют наименьшую верхнюю
и наибольшую нижнюю грани * 1 (ii)).

Объекты, которые участвуют в этом отношении, будем назы-
вать элементами решетки. Мы используем для них буквы а, &, . . ..
Если а меньше или равно Ь в решетке, мы пишем „а Ь“; а < Ъ
обозначает [а Ъ & а Ы. Если а — элемент решетки £, мы
пишем ,.а £ X".

Определение. Если а и b — элементы решетки то a U Ъ
обозначает наименьшую верхнюю грань („сумму" или „объедине-
ние") элементов а и Ь; а (] b обозначает наибольшую нижнюю
грань („произведение" или „пересечение") элементов а и Ь.

Совокупность всех подмножеств любого фиксированного мно-
жества образует решетку относительно включения множеств (с:)

!) Частичным упорядочением называется здесь такое отношение R (на
некотором множестве), что для любых а, Ь и с (из этого множества)

(i) [(а, Ь) б R&(b, c)€R]=5(a, c)£R,

(ii) [(а, Ь)е Л&<Ь, а) £ Я] <=> а = Ь. .

Условимся читать „(а, b)£R” как „а меньше или равно 6”. Элемент с есть
наименьшая верхняя грань для а и Ь, если (i) (а, с) £ R и (Ь, с} g R и (ii)
для любого d (из данного множества) [(о, d) £ R & (b, d) g R]=5 {с, d)£R.
Аналогично определяется наибольшая нижняя грань. Для более подробного
рассмотрения решеток см. Биркгоф [1940].
с суммами и произведениями, совпадающими с обычными объеди-
нениями и пересечениями соответственно. В частности,
jT = {А | А N} (=2Л) есть структура*относительно cz. Отме-
тим, что во всякой решетке

а Ъ <-> Ъ — a U Ъ <=> а = a f| Ъ.

Таким образом, частичное упорядочение может быть определено'
с помощью операций (J и П. В действительности определение-
решетки можно сформулировать с помощью лишь операций
U и (1, накладывая на J и (~| подходящие аксиоматические огра-
ничения (см. упр. 12-1).

Определение. Пусть X — решетка. е# называется подрешет-
кой решетки X, если

(i)	есть решетка;

(ii)	(частичное упорядочение решетки) <М содержится в (частич-
ном упорядочении) X',

(iii)	0# замкнуто относительно" операций (J и |~| в X ((iii) по-
следует из (i) и (ii), см. упр. 12-2).

Примеры. Пусть — частичное упорядочение рекурсив-
но перечислимых множеств с помощью включения, Л — частичное-
упорядочение рекурсивных множеств с помощью включения.
Согласно теоремам 5-ХШ и 5-XIV, и g являются подрешет-
ками решетки JV", a J? есть подрешетка решетки g.

Определения. Решетка называется дистрибутивной, если
выполняются тождества

a U (Ъ П с) = (a (J Ъ) П (а U с),

а П (b U с) = (а П b) (J (а П с).

Ясно, что всякая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибу-
тивна. Дальше мы будем иметь дело только с дистрибутивными
решетками.

Если решетка содержит минимальный элемент, то этот (обяза-
тельно единственный) элемент называется ее нулевым элементом.
Если решетка содержит максимальный элемент, то этот (обяза-
тельно единственный) элемент называется единичным. Мы иногда
обозначаем нулевой элемент решетки через 0, а единичный —
через 1. (Отметим, что если есть подрешетка решетки X, то
нулевой и единичный элементы решетки могут не совпадать
с нулевым и единичным элементами решетки X.)

Пусть а и Ъ — элементы решетки, содержащей нулевой эле-
мент (0); а и b называются» дизъюнктными, если а(]Ь=О.

Пусть а и Ь — элементы решетки, содержащей нулевой эле-
мент (0) и единичный элемент (У). Элемент b называется дополне-
нием элемента а, если а[\Ъ — 0 и a J Ь = 1.
Если решетка X содержит нулевой и единичный элементы
и любой элемент X имеет дополнение, то X называется решеткой
а дополнениями.

Дистрибутивная решетка с дополнениями называется булевой
алгеброй. В булевой алгебре каждый элемент а имеет одно и толь-
ко одно дополнение, которое обозначается через а (см. упр. 12-3).

Примеры. Решетка jfC является булевой алгеброй. Решетка
g содержит нулевой и единичный элементы, но не является решет-
кой с дополнениями. является булевой алгеброй.

Теорема Стоуна о представлении (упр. 12-9) утверждает, что
для всякой булевой алгебры существует такое множество 2,
что S8 изоморфна некоторой подрешетке решетки всех подмножеств
множества 2. Из теоремы Стоуна следует, что всякая булева
алгебра (а потому и всякая подрешетка любой булевой алгебры)
должна удовлетворять всем тождествам (содержащим символы
операций J , (~| и ), верным в решётках множеств (см. упр. 12-5).

Определения. Пусть X — решетка, ,7 — непустое множество
элементов решетки X. Будем говорить, что .7 — идеал в X, если

(i)	k € J & с2 € J1 => С1 и с2 € J;

(ii)	М & с £ J] => аПс€Д.

Пусть X — решетка, 3 — непустое множество элементов
из X. Назовем 3 дуальным идеалом (или фильтром), если

(i)	[ci Е 3 &. с2 С 3\ =>*ct П с2 € 3\

(ii)	\а X &. с £ 3\ => a\jc £ 3.

Всякий идеал, как и дуальный идеал решетки X, очевидно,
является ее подре'шеткой.

Примеры. Семейство ср всех конечных множеств образует
идеал в jf/\

Семейство X всех простых множеств и множеств с конечными
дополнениями образует дуальный идеал в согласно упр. 8-11.

Для дальнейшего обсуждения основной является следующая

Теорема I. (а) Пусть X — дистрибутивная решетка, и пусть
X — идеал в X- Положим a siyb, если (Зс1)(Эс2)[с1 £ .7 &с2€ J &
& [a [J Ci — b (J с21]. Тогда '« у является отношением эквивалентно-
сти на множестве элементов решетки X. Операции U и П кор-
ректно определены на классах эквивалентности, и классы эквива-
лентности образуют дистрибутивную решетку относительно (J
и ()-. Будем называть эту решетку классов эквивалентности
факторрешеткой Х/Х• Сам идеал X является классом эквивалент-
ности и служит нулевым элементом в XIX

(Ь) Пусть X — дистрибутивная решетка и 3 — дуальный
идеал в X- Положим а Ь, если (Эс1)(3с2)[с1 £ 3 & с2 £ 3 &
[а П Ci — Ъ П с2)]. Тогда есть отношение эквивалентности
на X- Операции J и [\ корректно определены на его классах эквива-
лентности, и классы эквивалентности образуют дистрибутивную
решетку относительно J и f|. Мы называем эту решетку классов
эквивалентности факторрешеткой Х/*3 (где * означает, что
использовался дуальный идеал). Сам 3 является классом эквива-
лентности и служит единичным элементом в Х1*3.

|Г_ (с) Пусть X — булева алгебра. Если $ — идеал в X, то XI3
есть булева алгебра. Если 3— дуальный идеал в X, то Х1*3
есть булева алгебра. Пусть J — некоторое множество элементов
решетки X, и пусть 3 = {а | а £ J). Тогда 3 есть идеал в том
и только том случае, когда 3 — дуальный идеал', если 3 есть
идеал, то XI3 и Х/*3 совпадают.

(d) Пусть X — дистрибутивная решетка, ,7 — идеал в X,
<31 — подрешетка в X. Тогда классы эквивалентности относитель-
но » у, каждый из которых содержит по крайней мере по одному
элементу из <М, образуют подрешетку в X /3 • Мы обозначаем эту
подрешетку через „е</<7 в Xй. (Заметим, что J не обязательно
содержится в <М.) Подобным же образом вводится обозначение
„<311*3 в Xй, где 3 — дуальный идеал в X г).

Доказательство, (а) Легко проверяется, что у есть
отношение эквивалентности (упр. 12-6).

Пусть а2 и fej « у Ь2. Тогда а4 J с4 = а2 U с2 и (J с3 =
= b2 U с4, где с4, с2, с3 и с4 принадлежат J. Соединяя эти равенства
с помощью U , получаем

(«1 (J с() U (bt (J cs) = (а2 U с2) (J (b2 U с4),

а потому (а4 J fe4) (J (с4 (J с3) = (а2 J b2) (J (с2 (J с4). Поэтому
«1 U bi таа2 (J Ь2, так как с4 J с3, с2 (J с4 С J. Аналогично, объеди-
няя наши равенства с помощью f|, получим

(ai U о) A (bi J с3) = (а2 J с2) П (b2 U с4),

откуда в силу дистрибутивности

(a-i П bt) U (а4 П с3) U (с4 П bt) (J (с4 П с3) =

= (аг A b2) U («2 Г) с4) U (с2 П b2) J (с2 П с4).

Так как а4 П сз> ci А &1» С1 А сз> а2 А с4, сг А Ь2 и с2 А с4 все должны
принадлежать .7, а значит, и (а4 Q с3) U (с4 П Ь4) U (ci А сз)
и (а2 А с4) U (с2 A b2) U (сг A сз) оба должны содержаться в j, полу-
чаем, что ai П bi j а2 А Ь2.

Итак, U и А корректно определяют операции на классах экви-
валентности. Отсюда следует, что любое тождество, верное для

J) Иногда при использовании (d) решетка Ж не будет явно упоминаться.
Что она собой представляет, всегда будет ясно из контекста или из преды-
дущего обсуждения.
операций в X, должно выполняться и для операций на классах
эквивалентности. Поэтому (в силу упр. 12-1) ХАЗ является дистри-
бутивной решеткой. В упр. 12-8 мы показываем, что .7 образует
класс эквивалентности, который является нулевым элементом

в Х!У.

(Ь)	Доказательство аналогично доказательству пункта (а).

(с)	Чтобы показать, что XU есть булева алгебра, достаточно
убедиться, что операция взятия дополнения в X корректно пере-
носится на классы эквивалентности. Пусть aUci = ^Uc2, где

с2 € 3 Тогда a J = b (J с2. Поэтому (упр. 12-5) a A Cj = b А с2.
Значит,

(а П ci) U (« A ci) U (& А г2) = (Ь А с2) U (& А с2) U (а A Ci).

Применяя упр. 12-5, получим

а U (& А с2) = Ъ (J (a A Ci).

Отсюда следует, что а ж у Ь, так как Ъ А с2, a A Cj Е «7.

Аналогично проходит доказательство для Х1*3, когда 3 —
дуальный идеал.

Пусть <7 — множество элементов £ я 35 = {а\а £3}. Тогда
с € .7 <=> с Е 3>. Возьмем с4 и с2 из .7; тогда |J с2 Е J <=> с, (J с2 Е
Е 3 Ci П с2 Е 3- Возьмем теперь с Е .7 и а Е Х\ тогда с А а Е
Е <7 <=> с П а Е 3 <=> с (J а Е 3. Поэтому, если 3 — дуальный иде-
ал, то J — идеал. Сходное рассуждение показывает, что 3 —
дуальный идеал, если .7 — идеал. Предположим теперь-, что .7 —
идеал. Тогда a Wj b а Ку b (так как операция взятия дополне-
ния корректно определена на классах эквивалентности) <=>а (J ci =
= b U с2 <=> а П = b А с2 <=> a A ct = b А с2 (так как дополнения
единственны в X) ч=> а Ь. Поэтому отношения «у и
совпадают, а значит, совпадают и Х1У и Х!*3.

(d)	Это непосредственно следует из (а), определения подрешет-
ки и упр. 12-1. в

Утверждение, обратное к (с), и частичное обращение (а) при-
ведены в упр. 12-12.

Мы уже упоминали следующие решетки, идеалы и дуальные
идеалы:

,А'' — решетка всех множеств натуральных чисел,
g — решетка всех рекурсивно перечислимых множеств,
.А — решетка всех рекурсивных множеств,
tip — идеал (в ^) конечных множеств,

X — дуальный идеал (в g) простых множеств и коконечных

множеств.
В силу упр. 9-34 мы имеем также, что

&С — дуальный идеал (в g) коконечных и гиперпростых мно-
жеств. (Коконечные и  гипергиперпростые множества
также образуют дуальный идеал в g; см. упр. 12-55.)

Теорема I позволяет нам строить различные факторрешетки:
g/j^,	g/*^, g/*Sf, 31ГХ и (Упражение 12-13

показывает, что	•) Любой элемент решетки

содержащий рекурсивно перечислимое множество, состоит
только из рекурсивно перечислимых множеств. Мы называем
такие элементы рекурсивно перечислимыми. Аналогично опреде-
лятся рекурсивные элементы в ЛС1$р. Решетка J?/sp является под-
решеткой в g/jF, a g/^7 — подрешеткой в .Ж'/.З' • В этой главе
главным образом рассматривается факторрешетка g/jF-

В каком смысле решетка g/.^F инвариантна? Любые два мно-
жества натуральных чисел, у= 0 и =/= N, принадлежащие одному
и тому же элементу из g/jF, m-эквивалентны. С другой стороны,
рекурсивно изоморфные множества могут попасть в различные
элементы решетки g/jF (например, множества четных и нечетных
чисел). Так что сами по себе элементы из g/tF (отличные от 0 и 1)
так же, как и элементы из g (отличные от 0 и N), не являются
рекурсивно инвариантными объектами. Тем не менее в некотором
важном отношении решетка g/jF рекурсивно инвариантна. Мы оп-
ределим сначала понятие теоретико-решеточного свойства.

Определение. Свойство, т. е. некоторое множество элементов
решетки X, называется теоретико-решеточным в X, если оно
инвариантно относительно всех автоморфизмов решетки X.
(Мотивировка: свойство должно называться теоретико-решеточ-
ным в X  если оно „определимо" в терминах решеточной структу-
ры в X.) *)

Определение. Пусть решетка X содержит подрешетку а#.
Свойство элементов из X называется теоретико-решеточным в X
по отношению к Л1, если оно инвариантно относительно всех авто-
морфизмов решетки X, отображающих Л( на себя. (Мотивировка:
свойство должно называться теоретико-решеточным в X по отно-
шению к е#, если оно „определимо" в терминах решеточной струк-
туры на X и принадлежности к &#.)

Мы сокращаем выражение „теоретико-решеточное в ЛГ по отно-
шению к g” до „теоретико-решеточное по отношению к g“. Так
как каждый автоморфизм решетки g продолжается до .автоморфиз-
ма решетки Л' (оба определяются индуцированным автоморфизмом
на jF)> свойство рекурсивно перечислимых множеств теоретико-

*) / называется автоморфизмом решетки X, если / — такое взаимно одно-
значное отображение X на X, что / (a|Jb) = /(a)U/(b) и /(аП6) = /(«)П7(ь)
для всех a, b£ X.
решеточно но отношению к g тогда и только тогда, когда оно тео-
ретико-решеточно в g.

Примеры. Свойство конечности теоретико-решеточно в g.
Свойство иммунности теоретико-решеточно по отношению к g.

Определение. Свойство рекурсивно перечислимых множеств
называется теоретико-решеточным в g/^, если оно есть множе-
ство-сумма для свойства (т. е. множества) элементов , теоретико-
решеточного в g/jF *)

Примеры. Рекурсивностъ — теоретико-решеточное свой-
ство в g/jF, так как А рекурсивно тогда и только тогда, когда А
принадлежит элементу из g/^", обладающему дополнением.

Простота — теоретико-решеточное свойство в g/ер, потому что
множество А просто тогда и только тогда, когда оно принадлежит
неединичному элементу факторрешетки g/jp , для которого нет нену-
левого элемента, дизъюнктного к нему.

Отношения на множествах также могут быть теоретико-реше-
точными (в очевидном смысле: инвариантность в Хп относительно
автоморфизмов решетки X). Например, рекурсивная неотдели-
мость и сильная неотделимость (упр. 8-39) — теоретико-решеточ-
ные свойства в g/jF.

Теорема II. Теоретико-решеточные в g/jF свойства рекурсивно
инвар иантны.

Доказательство. Каждое рекурсивное преобразова-
ние / индуцирует автоморфизм решетки g, именно отображение,
переводящее А в /(Л). Этот автоморфизм отображает рр на яр
и потому индуцирует автоморфизм факторрешетки g/ яр. Поэтому
свойство, инвариантное относительно всех автоморфизмов послед-

х) Назовем свойство множеств элементарно теоретико-решеточным
в если существует такая формула логики предикатов с единственным
предикатным символом sj и единственной свободной индивидной перемен-
ной, что если ограничить кванторы областью &, а С интерпретировать
как имееющееся в решетке 'g/.F упорядочение, то множества с рассматривае-
мым свойством суть в точности те множества, которые принадлежат элемен-
там ‘й/Р, удовлетворяющим этой формуле. Например, формула (Vfr) [а &]
определяет элементарно теоретико-решеточное свойство конечности.

Теория первого порядка решетки %! Р состоит из всех формул, содержащих
только предикатный символ без свободных переменных, истинных в g/.F.
Не известно, будет ли эта теория разрешимой или хотя бы аксиоматизируемой.
С помощью разрешающей процедуры для этой теории можно было бы прямо
получить теоремы IV, XI и XIV (ниже) и решить некоторые открытые проб-
лемы. Пусть Ж дуальный идеал (в g) коконечных и гипергиперпростых
множеств. Лахлан показал, что теории первого порядка решеток Ж, 31, XI3
и ЗРЗ разрешимы. Он доказал также, что проблема разрешения теории пер-
вого порядка % сводится к проблеме разрешения теории первого порядка
ней, должно быть инвариантным относительно всех рекурсивных
преобразований.в

Должно ли рекурсивно инвариантное свойство (рекурсивно
перечислимых множеств), корректно определенное на S/jF", быть
теоретико-решеточным в £/j? Это обращение теоремы II пред-
ставляет собой открытый вопрос. Вероятным кажется отрицатель-
ный ответ. Креативность, гиперпростота, m-сводимость (для мно-
жеств, отличных от N и 0) и слабые сводимости служат примера-
ми рекурсивно инвариантных свойств, корректно определенных
на однако не известно, будут ли они теоретико-решеточными
в В оставшейся части этой главы (и особенно в § 12.6) мы
будем изучать различные связанные, между собой рекурсивно
инвариантные свойства, про некоторые из которых известно, что
они теоретико-решеточны в ^Z,^1)-

Отметим, что решетка ^ZjF обладает следующим свойством
однородности: для всякого ее ненулевого элемента а множество
{fe | Ь а} представляет собой подрешетку, изоморфную 8/jF
(упр. 12-18).

Мы рассмотрим ниже некоторые вопросы о строении §/3?.

1.	Всякий ли элемент решетки не имеющий дополнения,
является объединением дизъюнктных элементов без дополнений?
Этот вопрос можно сформулировать и более привычным образом:
всякое ли рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество есть
объединение двух непересекающихся рекурсивно перечислимых
нерекурсивных множеств? решение этой проблемы дано в § 12.2.
Принадлежит оно Фридбергу.

2.	Плотно ли упорядочена Js/jF? То есть, если а < Ь, обяза-
тельно ли существует такое с, что а < с и с < Ь? Решетки jff*,
g и J?, конечно, не плотно упорядочены. Легко показать, что решет-
ки jW Gf и ЗИЗ' упорядочены плотно. Следующие определение
и теорема ставят вопрос о плотности факторрешетки ^6!в не-
сколько иной форме.

Определение. Элемент решетки 'ё/З' называется максимальным,
если он максимален среди неединичных элементов этой решетки.

х) Следующий вопрос связан с обращением теоремы II. Обязано ли теоре-
тико-решеточное в ? и корректно определенное на свойство быть теорети-
ко-решеточным в Это в свою очередь связано с вопросом: всякий ли
автоморфизм решетки WP индуцируется некоторым рекурсивным преобра-
зованием? Оба вопроса открыты; утвердительный ответ на второй влечет
за собой утвердительный ответ на первый.

Легко показать, что верны следующие импликации (упр. 12-17): „теорети-
ко-решеточное в	„корректно определенное на	и теоретико-реше-

точное в =Ф „корректно определенное на УМЗ- и рекурсивно инвариантное”.
Истинны ли обратные импликации — открытый вопрос. Он связан с так-
же открытым вопросом: всякий ли автоморфизм факторрешетки индуци-
руется некоторым автоморфизмом решетки $? Упражнение 12-32 показы-
вает, что рекурсивно инвариантное свойство не обязательно теоретико-реше-
точно в 'й.
(Легко показать, что среди ненулевых элементов решетки $1^
нет минимальных.)

Теорема III (Майхилл).	плотно упорядочена в том

и только том случае, когда не имеет максимальных элементов.

Доказательство. =>. Очевидно.

<=. Допустим, что не плотно упорядочена. Тогда найдутся
такие а и Ъ, что а < Ь, но ни для какого с не выполнено а < с
и с < Ъ одновременно. Переходя к представителям, получим мно-
жества А и В, такие, что А Е а, В g b и Л с BljZ). где D конечно
(см. упр. 12-7). Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная
функция с областью значений В |J D (что возможно, так как
b 0). Возьмем А’ = /-1(А). Тогда класс эквивалентности мно-
жества А' есть искомый максимальный элемент, что легко про-
веряется. а

В § 12.4 мы решим проблему плотности, показав, что в
существует максимальный неединичный элемент. Эта конструкция
принадлежит Фридбергу.

3.	Всякий ли неединичный элемент решетки §/вр содержится
в некотором максимальном элементе? В § 12.5 мы дадим отрица-
тельный ответ на этот вопрос. Это построение принадлежит Мар-
тину.

В § 12.3 мы рассматриваем некоторый идеал в Л'Д именно идеал,
порожденный сжатыми множествами, и изучаем некоторые свой-
ства его членов. Сжатые множества „почти конечны11 в том смысле,
что они не могут быть расщеплены на меньшие бесконечные части
сь помощью рекурсивно перечислимых множеств.

В § 12.6 рассматривается еще несколько других понятий
„почти-конечностиТ, например гипергипериммунность, и обсуж-
даются некоторые открытые проблемы.

§ 12.2.	РАЗЛОЖЕНИЕ

Следующая теорема отвечает на вопрос 1 из § 12.1.

Теорема IV (Фридберг [1958b]). Пусть А —- произвольное рекур-
сивно перечислимое нерекурсивное множество. Тогда существуют
такие множества Bi и В2, что

(i)	В\ U В2 = А,

(ii)	Вх П В2 = 0,

(iii)	В\ и В? рекурсивно перечислимы, но не рекурсивны.

Д о к а з а*т е л ь с т в о. Пусть f — взаимно однозначная
общерекурсивная функция с областью значений А. Мы опишем
процедуру перечисления Bi и В2. Обозначим через В\пу совокуп-
ность элементов множества Bi, перечисленных к концу n-го шага.
Аналогично определим В'2п\
Этап 0. Отнесем /(0) к Bt.

Этап п + 1. Выполним по п шагов в перечислении каждого
из множеств Wo, W,, . . W7I. Обозначим получившиеся множе-
ства через И7*”’, W{n>, . . ., W™. Посмотрим, существует ли
такой х, х п, что f(n + 1) € И7»"’ и или В\п) П W^’ = 0, или
В(,п) f) И/™) = 0. Если это так, возьмем наименьший такой х
и назовем его хп. Если

= 0,

отнесем f(n + 1) к Bi. Если В1™ f) W™ ф 0, отнесем- /(и + 1)
к В2. Если же такого х нет, отнесем /(и + 1) к В\.

Ясно, что множества Bi и В2 рекурсивно перечислимы,
В\ U В2 = А и Bi [\В2 = 0. Остается доказать, что ни ни В2
не может быть рекурсивным.

Предположим, что множество Bi рекурсивно. Тогда Bi рекур-
сивно перечислимо. Пусть Bi = В2 (J А — Wm. Тогда Wm[]Bt =
= 0 и Л с Wm. Заметим, что, когда п пробегает натуральный
ряд, хп принимает каждое значение самое большее дважды.
Поэтому должно найтись такое ге0, что для всех п > п0 имеем хп > т
(если только хп существует). Тогда п > п0 => f(n + 1) 4 И7™
(в противном случае на этапе п + 1 пришлось бы отнести /(и + 1)
к Bi и Wm^Bi оказалось бы непустым). Поэтому после этапа пд
каждый элемент из В2, крторый появляется в качестве значения
функции /, должен сделать это до того, как он появится в множе-
стве Wm. С другой стороны, так как А с Wm, всякий элемент
из А должен оказаться в Wm до того, как он появится в качестве
значения / (поскольку он вовсе не может быть значением функции
/). Поэтому множество {z | (3n)[z £ И7™ & z {/ (0), . . .
. . ., f (п 1)}]} должно отличаться от А самое большее
на конечное множество. Поэтому, согласно второй теореме
о проекции, А должно быть рекурсивно перечислимым. Значит, А
должно быть рекурсивным в противоречие с условием. Таким
образом, Bi не может быть рекурсивным.

Сходное рассуждение показывает, что и множество В2 не рекур-
сивно. в

Сакс объединил теорему IV с результатом упр. 10-11 (о чем
упоминалось в конце упр. 10-11). Он показал, что всякое нерекур-
сивное рекурсивно перечислимое множество А есть объединение
двух непересекающихся множеств, причем эти непересекающиеся
множества имеют несравнимые Т-степени неразрешимости, и Т-
степень каждого из них меньше, чем Т-степень множества А. Мы
не приводим здесь доказательство Сакса.

Прямое обобщение доказательства теоремы IV показывает, что
всякое нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество может
быть разложено в равномерно перечислимую бесконечную сово-
купность попарно не пересекающихся нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств (см. упр. 12-22).

§ 12.3.	СЖАТЫЕ МНОЖЕСТВА

Понятия иммунности и гипериммунности могут быть усилены
следующим образом.

Определение. Множество А называется сжатым, если

(i)	А бесконечно;

(ii)	(V.B)LS рекурсивно перечислимо =^[Af]5 конечно или
А П В конечно]] х).

Таким образом, бесконечное множество сжато тогда и только
тогда, когда оно не может быть разделено рекурсивно перечисли-
мым множеством на две бесконечные части. Иными словами, мно-
жество сжато тогда и только тогда, когда оно принадлежит такому
элементу а решетки	что а 0 и а дизъюнктен со всяким

рекурсивно перечислимым элементом, не превосходящим а.

Теорема V. А сжато => А гипериммунно.

Доказательство. Допустим, что А не гипериммунно.
Тогда по теореме 9-XV существует такая общерекурсивная функ-
ция /, что

(Vx)(Vy)[*=/= у	= 0] & (Vs)[D/(x)fl А 01-

Рассмотрим В = J Тогда и В(]А, и Bf]A бесконечны.
х четно

Значит, А не сжато.и

(Аналогичное рассуждение показывает, что А сжато => А
гипергипериммунно.)

Следующая теорема устанавливает существование сжатых мно-
жеств.

Теорема VI (Деккер и Майхилл). Каждое бесконечное множе-
ство содержит сжатое подмножество,

Д оказательство. Пусть А — данное бесконечное мно-
жество. Определим последовательность Ао, А{, . . . следующим

г) Это понятие введено Роузом 1 Юллиапом [1963]. Опо связано с поня-
тием бесконечно неразложимого множества, определенным Деккером и Май-
хиллом [1960]. В § 12.6 мы покажем, что эти два понятия различны. Иногда
со значением „сжатый” используется также термин „почти конечный".
образом:

Л = А,

[ Ап Q Wn, если Ап f] Wn бесконечно;

n+1	[ Ап [] ИД в противном случае.

Очевидно, Ло => A zz> Л2 => . . ..

Предположим, что А не содержит ни одного сжатого^подмно-
жества. Тогда для каждого п существует такое г, что г^пи Wг
разделяет Ап на две бесконечные части. Отсюда следует, что после-
довательность Ао, At, Аг, . . . содержит строго убывающую под-
последовательность Во, Bi, Вг, .... Определим последователь-
ность чисел х0, Xi, . . ., полагая

хп = щДу £Вп — Вп+1].

Пусть С — множество всех членов этой последовательности, т. е.
С = {ж0, х1г . . .}. Пусть дано произвольное z. Как явствует
из построения, Л2+1 cz Wz или Az+l cz 1Е2. Поэтому 5z+1 cz Wz
или Bz+i cz Wz. Так как все, кроме конечного числа, элементы
множества С должны лежать в Z?z+1, то либо С ("| Wz, либо С П Wz
конечно. Это верно для любого z, а потому С — сжатое подмноже-
ство множества А, что противоречит нашему предположению
об отсутствии у А сжатого подмножества.я

(Приведенное выше доказательство может быть сделано несколь-
ко более конструктивным. Единственная информация о рекурсив-
но перечислимых множествах, используемая здесь, заключается
в том, что они образуют не более чем счетное семейство. Будет
заметно, что и многие другие доказательства, приводимые ниже,
являются по своей природе, подобно этому, чисто теоретико-мно-
жественными (во всяком случае более, нежели относящимися
к теории рекурсивных функций), используя лишь счетность
семейства рекурсивно перечислимых множеств и иногда вдобавок
его замкнутость относительно пересечений или тот факт, что оно
содержит все конечные и коконечные множества. Доказательство
теоремы VI обобщается в упр. 12-24 и 12-31.)

Так как всякое бесконечное подмножество сжатого множества
сжато, понятно, что имеется 2^0 сжатых множеств. Будем гово-
рить, чтб сжатое множество С относится к рекурсивно перечисли-
мому множеству В, если С (~| В бесконечно, т. е. если элемент
решетки ^#7.^, содержащий С, лежит под элементом множества В.
Назовем два сжатых множества с-эквивалентными, если они отно-
сятся к одним и тем же рекурсивно перечислимым множествам.

Определение. Пусть А и В сжаты. Множество А называется
^-эквивалентным В, если (Узс)[^4 Q Wx бесконечно <=> В |~| Wx бес-
конечно).
Теорема VII. Пусть А и В сжаты. Тогда

(i)	А с-эквивалентно В A (J В сжато',

(ii)	А П В бесконечно => A (J В сжато.

Доказательство. Непосредственно из определения.
См. упр. 12-23. в

Если взять произвольный фиксированный класс с-эквивалент-
ных сжатых множеств вместе с конечными множествами, то полу-
чится идеал в факторизация которого относительно AF дает
идеал в АН Каждый класс с-эквивалентности содержит 2*“
элементов. Как много существует классов с-эквивалентности?
Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема VIII. Сжатые множества распадаются на 2х» классов
с-эквивалентности.

Доказательство. Можно доказать эту теорему, поль-
зуясь только простыми понятиями теории рекурсивных функций
и теории множеств. Однако для сокращения доказательства удобно
и полезно воспользоваться известными свойствами действительных
и рациональных чисел.

Заметим, что натуральные числа можно в следующем смысле
эффективно отобразить на рациональные: существуют такие взаимно
однозначное отображение £ множества N на рациональные числа
и общерекурсивная функция /, что для всех п £(п) = л^Д^/лгДп).
(Можно воспользоваться любой из обычных нумераций множества
рациональных чисел, чтобы получить такое отображение.)

Зафиксируем некоторое такое отображение. Множества рацио-
нальных чисел могут быть теперь отождествлены с множествами
натуральных чисел. В частности, всякий замкнутый интервал
рациональных чисел с рациональными концами образует рекур-
сивное множество.

Для каждого действительного числа выберем бесконечную
сходящуюся последовательность рациональных чисел, имеющую
данное действительное- число пределом. Каждая из выбранных
нами сходящихся последовательностей, рассматриваемая как мно-
жество сопоставленных ее элементам натуральных чисел, беско-
нечна, а потому по теореме VI каждая содержит сжатое подмно-
жество. Выберем по одному сжатому подмножеству в каждой схо-
дящейстя последовательности. Сжатые множества, появившиеся
из разных последовательностей, не могут быть с-эквивалентпыми,
потому что их объединение может быть разделено на две бесконеч-
ные части подходящим интервалом с рациональными концами.
Поскольку существует 2Хо последовательностей (действительных
чисел ведь существует 2м), найдется по крайней мере 2м сжатых
множеств, никакие два из которых не с-эквивалентны. Но классов
с-эквивалентности не может быть более 2>0, потому что в N имеет-
ся всего 2No подмножеств. в

Понятие сжатого множества доставляет средства для доказа-
тельства следующей теоремы.

Теорема IX (Кент). Существует такая перестановка f, что

(i)	для всех рекурсивно перечислимых множеств В множества
1(B) и рекурсивно перечислимы (а потому для всех рекурсив-
ных множеств А множества f(A) и /-1(Л) рекурсивны)',

(И) / не рекурсивна:

Доказательство. Возьмем сжатое множество D. Рас-
смотрим

= {/ | / — перестановка & {^х)[х Q D =>- f(x) = z]}.

Так как / из 3) может быть определено на D произвольным обра-
зом, 3 содержит 2hn членов. Так как класс общерекурсивных
функций счетен, 3 содержит нерекурсивную перестановку.
Остается проверить, что для. любой / из 3 множества /(Л) и /-1(Л)
рекурсивны при любом рекурсивном множестве А и f(B) и /-1(В)
рекурсивно перечислимы при любом рекурсивно перечислимом
множестве В. Это непосредственно следует из сжатости множества
D (см. упр. 12-23).и

Следствие IX. Решетка g обладает автоморфизмами, отлич-
ными от индуцированных рекурсивными перестановками нату-
рального ряда.

Доказательство. Непосредственно.и

Следствие IX усилено в упр. 12-32, где показано, что сущест-
вуют такие рекурсивно перечислимые множества А и В, что А
переводится в В некоторым автоморфизмом решетки g, но А
не рекурсивно изоморфно В. Отсюда следует, что рекурсивно
инвариантное свойство не обязательно теоретико-решеточно в g.

Определение. Назовем сжатое множество А наполненным, если
(VB) \В сжато & А и В с-эквивалентны] => 2? f) А конечно. Таким
образом, класс с-эквивалентности содержит наполненное множе-
ство тогда и только тогда, когда идеал решетки определен-
ный этим классом эквивалентности, содержит максимальный эле-
мент х).

В § 12.4 мы покажем, что наполненные множества существуют.

В § 12.6 будет установлено, что не всякий класс с-эквивалентно-
сти содержит наполненное множество. В упр. 12-56 мы покажем,
далее, что существует только счетное число наполненных мно-

*) То есть является главным идеалом.
жеств. В упр. 12-60 мы увидим, что А — наполненное сжатое
множество => А рекурсивно перечислимо. Следующее’ понятие
введено Роузом и Юллианом [1963].

Определение. А называется квазисжатым, если А — объедине-
ние конечного (ненулевого) числа сжатых множеств.

Если Л квазисжато, то всякое разложение множества А на сжа-
тые множества определяет некоторую совокупность соответствую-
щих классов с-эквивалентности. Из теоремы VII следует, что это
множество классов с-эквивалентности однозначно определено неза-
висимо от выбранного разложения (см. упр. 12-27).

Квазисжатые множества вместе с конечными множествами
образуют идеал яр \ в это идеал, порожденный сжатыми мно-
жествами. Можно построить факторрешетки	ё/jFi,

Квазисжатые множества гипериммунны (и даже гипергиперим-
мунны; см. упр. 12-26). В упр. 12-30 мы увидим, что множество
может быть гипергипериммунным, не будучи квазисжатым. •

§ 12.4. МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Теперь мы рассмотрим рекурсивно перечислимые множества
со сжатыми дополнениями.

Определение. Множество А называется максимальным, если

(i)	А рекурсивно перечислимо;

(ii)	А сжато.

Теорема X. Множество А максимально А принадлежит
элементу решетки 87 , максимальному среди неединичных эле-
ментов этой решетки.

Доказательство. =>. Если А С а и а не максимален
среди неединичных элементов решетки 3*, то найдется такой
элемент Ъ, что а < Ъ < 1. Возьмем такое В £ Ь, что А с: В.
Множества N — В и В — А должны быть бесконечными. Поэтому
А П В бесконечно и А (") В бесконечно. Значит, А не сжато и А не
может быть максимальным.

<=. Если А рекурсивно перечислимо, но не максимально, то А
не сжато. Пусть С — такое рекурсивно перечислимое множество,
что A f] С и А р С бесконечны. Положим В = A U С. Пусть
Ъ — содержащий В элемент решетки • Тогда а < b < 1,
где А Е а.я

Существование максимальных множеств доказывается в сле-
дующей теореме, принадлежащей Фридбергу. При доказательстве
мы воспользуемся одним изящным упрощением конструкции
Фридберга [1958 Ь], принадлежащим Ейтсу [1965]. Существование
Ь, = {

полных максимальных множеств (Ейтс) и неполных максимальных
множеств (Сакс) может быть установлено с помощью подходящих
видоизменений этой конструкции; см. упр. 12-59.

Теорема XI. Существует максимальное множество.

Доказательство. Сначала мы опишем процедуру пере-
числения некоторого множества А, а затем докажем, что А макси-
мально.

Перечисление А происходит по этапам. Начнем с двух опреде-
лений.

Определение. Wzn) — {х | х появляется за первые п шагов в
перечислении без повторений множества Wz} х).

Определение4. Для любого z, произвольного этапа п + 1
и любого натурального х определим z-штат числа х на этапе
п -j- 1 как конечную последовательность . . . Ъг нулей и еди-
ниц, те кую, что

1, если х С Ж1п+1) и I <1 п;

0, если х $ или п < I,

где 0 sC i z.

Понятно, что имеется 2Z+1 возможных z-штатов. Мы упорядочим
их лексикографически (от „меньших” к „большим”); например,
10111 считается меньше чем 11000 (в упорядочении 4-штатов).

Отметим два важных свойства z-штатов и их упорядочения:
(i) для фиксированных z и х при п < т z-штат элемента х на эта-
пе т должен быть не меньше z-штата элемента х на этапе n; (ii) если
при фиксированном этапе п, фиксированных х и у и z < z' z-штат
элемента у больше, чем z-штат элемента х, то z'-штат элемента у
будет больше, чем z'-штат элемента х.

Процедура перечисления множества А такова. Мы начинаем
со списка всех натуральных чисел и считаем, что сопоставили
каждому числу г в этом списке маркер | х [. Мы опишем инструк-
ции, в соответствии с которыми некоторые из этих маркеров будут
сдвигаться. Если число из списка на каком-либо этапе окажется
без маркера, оно уже останется без маркера навсегда. Числа из
списка, (в конце концов) остающиеся без маркера, образуют
множество А. (Хотя в нашем описании мы имеем в начальный
момент бесконечно много маркеров и на данном этапе говорим
с перемещении бесконечно многих маркеров, будет ясно, что мы

J) Под „п шагами перечисления без повторений множества Wz“ мы под-
разумеваем п машинных тактов в следующей процедуре: вычисляйте (0);
если и когда это вычисление закончится, вычисляйте (1); если и когда...;
/" здесь определяется, как в следствии 5-V (d).
получим эффективный способ порождения А. Можно за счет
некоторого увеличения сложности восприятия привести нашу
процедуру к такому виду, в котором используется только конеч-
ное число маркеров на каждом этапе.)

Этап » + 1. Пусть для каждого т х^ — положение марке-
ра т к концу этапа п. Вычислим ИД”+1) для всех z^n. Найдем
наименьшее из таких т (если такие существуют), что для некоторо-
го q' >т число х^) находится в большем т-штате (на этапе п 4- 1),
чем х<£>. Если таких т нет, переходим к этапу п + 2. Если же мы
выбрали наименьшее такое т. то пусть q — наименьшее из соот-

ветствующих ему q'; перемещаем маркер т

(п)

на xq , для всех

р > т сдвигаем маркер р на x^+q-m- Относим к А все элементы
множества {у | х<™> у < х^}, которые еще не попали в А.
(Названные числа — единственные в списке, теряющие маркер
на этапе п + 1.) Затем переходим к этапу п + 2.

Следующие две леммы показывают, что А максимально.

Лемма 1. А бесконечно.

Доказательство леммы 1. Как нетрудно заметить,
достаточно показать, что каждый маркер сдвигается только конеч-
ное число раз. (Окончательное положение каждого маркера и есть

элемент
ший из
раз. В
т — 1

множества Л.) Допустим противное. Пусть т — наимень-
тех т', для которых | т' | сдвигается бесконечно много
соответствии со свойством (i) z-штатов, после того как
достигнет своего окончательного положения, т должно

S

перемещаться в положения со все большими пг-штатами. Но иг-
штатов имеется только конечное число. Получилось противоречие,,
и лемма доказана.

Лемма 2. Для всякого z либо Wzf]A, либо WZQA конечно.

Доказательство леммы 2. Зафиксируем г. Каждое,
число х из А должно достигнуть окончательного z-штата р по меро
того, как п возрастает. Скажем в этом случае, что х остановится
в р. Поскольку А бесконечно, хотя бы в одном z-штате остановится
бесконечно много элементов множества А. Покажем, что не может
быть больше одного z-штата, в котором остановится бесконечна
много элементов из А. Допустим противное. Пусть р — наимень-
ший из таких z-штатов, а Р' — другой z-штат, в котором также
остановится бесконечно много элементов из А. Отсюда следует»

?
что существуют такие числа т, п, х и у, что z < т < п, х — окон-
чательное положение маркера |т^, у — окончательное положение
маркера |_и], х окончательно остановится в z-штате р, а у остано-
вится в z-штате р'. По свойству (ii) z-штатов у добирается до
и останавливается в большем ш-штате, чем х. Но это означает,

н

согласно

нашему построению, что маркер

должен в конце

концов сдвинуться, в противоречие с нашим предположением
о том, что х — его окончательное положение. Этим доказана лем-
ма 2.

Леммы 1 и 2 показывают, что А — сжатое множество. Значит,
А — максимальное множество. в

Следствие XI (а). Решетка S/jF не плотно упорядочена.

Доказательство. В силу теорем III и Х.в

Следствие XI (Ь). Существует наполненное сжатое множе-
ство.

Доказательство- Пусть множество А максимально.
Тогда А сжато. Если А — не наполненное множество, мы получим
противоречие с теоремой VII, причем в роли разделяющего рекур-
сивно перечислимого множества выступит А.я

Необычные свойства максимальных множеств бывают полезны
при построении различных примеров и контрпримеров (см.
упр. 12-35 и 12-37 и § 12.6).

{А | А максимально или коконечно} не является дуальным идеа-
лом в g (упр. 12-36). В этом отношении максимальные множества
отличаются от простых и гиперпростых множеств.

Определение. Множество А называется квазимаксималь
ным, если А рекурсивно перечислимо, а А квазисжато. Ниже,
в упр. 12-36, мы показываем, что существуют квазимаксимальные,
но не максимальные множества и что {А | А квазимаксимально’
или коконечно} есть дуальный идеал в g.

§ 12.5. ПОДМНОЖЕСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

Всякий ли неединичный элемент решетки £/содержится
в некотором максимальном элементе? Иначе говоря, всякое ли
рекурсивно перечислимое множество с бесконечным дополнением
содержится в некотором максимальном множестве? Ответ на этот
вопрос дает теорема XIV. Сначала, однако, мы докажем некоторые
родственные результаты.
Теорема XII. (а) Если рекурсивно перечислимое множество не
просто и не коконечно, то оно содержится в некотором максималь-
ном множестве.

(Ь) Если рекурсивно перечислимое множество не коконечно,
то оно содержится в некотором гиперпростом множестве.

Доказательство, (а) Пусть А — рекурсивно пере-
числимое множество, причем А не конечно и не иммунно. Тогда А
содержит цекоторое бесконечное рекурсивное множество В. Пусть
У — рекурсивная функция, взаимно однозначно отображающая N
на В, и пусть С — образ в В (при отображении /) некоторого
максимального множества. Тогда В J С — искомое максималь-
ное множество, содержащее А.

(Ь) Пусть А — рекурсивно перечислимое множество с беско-
нечным дополнением А. Предположим, что А не гиперпросто
(в противном случае нечего доказывать). Воспользовавшись
упр. 12-39, возьмем такую общерекурсивную функцию /, что
Dдо),	... — последовательность попарно не пересекаю-

щихся конечных множеств, каждое из которых пересекается с А
и объединение которых есть N. Пусть В — некоторое гиперпростое
множество. Положим С = A J U Df^y. Тогда С — искомое гипер-

i=B

простое множество, содержащее А (упр. 12-40).в

Определения. | А | = [мощность множества Л[.

lim (У, Л) = lim (sup | IFy(m) Г) А | ). (Таким образом, нера-
П-4-ОО 7П>П

венство lim (/, А)^р означает, что для бесконечно многих значе-
ний’тп	Г) Л содержит по крайней мере р элементов.)

Функция У называется рекурсивно перечислимой последователь-
ностью без ^пересечений, если f общерекурсивна и

(Vzz) (Vv) lu #= v => Wf(u) f) Ж/(в) = 0].

lim (Л) =sup (lim (У, Л)), где 3) — совокупность всех рекурсив-

но перечислимых последовательностей без пересечений. (Так что
неравенство lim (Л) р означает, что lim (У, Л) р для некоторой
рекурсивно перечислимой последовательности У без пересечений.)
Отсюда получаем, например, что lim (Л) = 0 <=> Л конечно.

Следующие теоремы, доказанные Мартином [1963], отвечают
на наш первоначальный вопрос.

Теорема XIII (Мартин). Л максимально => lim (Л) = 1.

Доказательство. По определению множество Л сжа-
то. Допустим, что lim (Л)	2. Тогда для некоторой последова-
тельности / без пересечений lim (/, А) 2. Определим рекурсивно
перечислимое множество В следующим образом.

Перечисляем Л; в то же время начинаем перечислять множе-
ства IVy(o), .... На каждом этапе для каждого г относим
некоторые элементы множества W к В по следующему правилу.
Каждое число, появившееся и в Л, и в зачисляем в В,
а также относим к В первое число, которое появилось в Wf^,
но еще не появилось в А (если такие найдутся) х). Поскольку для
бесконечно многих г множество ТТДо содержит хотя бы два эле-
мента из А, бесконечно много элементов из А попадет в В и беско-
нечно много элементов А никогда не попадет в В. Но, значит,
В разделяет А на две бесконечные части, что противоречит сжато-
сти множества А. Поэтому lim (Л)	1. Так как Л бесконечно,

1пп(Л)>0. Значит, Ит(Л)=1.и

Теорема XIV (Мартин). Существует такое рекурсивно пере-
числимое множество А, что А бесконечно и А не содержится
ни в каком максимальном множестве.

Доказательство. Мы укажем такое рекурсивно пере-
числимое множество Л, что Л бесконечно и для всякого рекур-
сивно перечислимого В имеем В zz> Л =>lim/B)#= 1. Отсюда будет
следовать искомый результат в силу теоремы XIII. Дадим инструк-
ции для перечисления множества Л.

Определим последовательность попарно не пересекающихся
конечных множеств

So = {0},
St = {1, 2),
S2 = {3, 4, 5},
• • • ?

где при каждом п множество Sn содержит п + 1 элементов.
Будем перечислять множества Wo, Wlf W2, .... На каждом
этапе для каждого г проверяем, нет ли такого j < г, чтобы точно i
из г + 1 членов множества St были уже перечислены в Wj; для
каждого такого / относим к Л тот элемент St, который еще не попал
в Wj.

Так как 5, содержит i + 1 элементов и не более i из них может
попасть в Л (по одному для каждого / < г), Л должно быть беско-

г) Это предложение падо понимать так: пусть х0 — первое (в порядке
перечисления множества Wчисло, появившееся в но не попавшее
в4(">; относим т0 к В; если х0 позже попадет в А, то зачисляем в В число —
первое (в порядке перечисления из отличных от х0 и не попавших в А
к моменту своего появления в Wесли позже попадет в А, то ... и т. д. —
Прим, перев.
нечным. (Ясно, что по теореме 9-XV А не гиперпросто.) Пусть В —
такое рекурсивно перечислимое множество, что В zd А. Тогда
В = Wj для некоторого j и, согласно построению, для всех i > f
либо 5г с В, либо Si П В содержит хотя бы два элемента. Поэто-
му или В конечно (и Ит (5) = 0), или для бесконечно многих г
множество S; f| В содержит хотя бы два элемента (и lim (В)	2).

В обоих случаях lim (В)	1, и теорема доказана. и

За счет небольших изменений в построении этот результат
может быть следующим образом усилен.

Следствие XIV (Мартин), (а) Если рекурсивно перечислимое
множество не гиперпросто и не коконечно, то оно содержится,
в таком простом негиперпростом множестве С, что С не содер-
жится ни в каком максимальном множестве.

(Ь) Если рекурсивно перечислимое множество не гиперпросто
и не коконечно, то оно содержится в таком гиперпростом множе-
стве D, что D не содержится ни в каком максимальном множестве.

Доказательство, (а) Пусть рекурсивно перечислимое
множество В не является ни коконечным, ни гиперпростым. Возь-
мем (по теореме 9-XV) некоторую эффективно занумерованную
каноническими индексами последовательность попарно не пере-
секающихся конечных множеств, каждое из которых пересекается
с. В. Беря объединения этих конечных множеств, построим эффек-
тивную последовательность попарно не пересекающихся конеч-
ных множеств S', Sp . . ., для которой при каждом п множество
S'n П В содержит хотя бы п + 1 элементов и (Уж) (Эг) [х g SJ.
Построим множество А по последовательности S'№, S', . . . так же,
как это было сделано при доказательстве теоремы XIV. Положим
С = A [J В. В силу построения из теоремы XIV С не коконечно,
и не содержится ни в каком максимальном множестве. Поэтому
по теореме ХП(а) С просто. Последовательность S', S'n . . .
указывает (с помощью теоремы 9-XV), что С не гиперпросто.

(Ь) Немедленно следует из (а) и теоремы XII (Ь).и

Известно, что обращение теоремы XIII (для рекурсивно пере-
числимых множеств) неверно. Всякое ли не коконечное рекурсив-
но перечислимое множество содержится в некотором гипергипер-
простом множестве? Мартин [1963] усилил следствие XIV, заме-
нив в нем ..максимальный” на „гипергиперпростой”.

Рассмотрим для произвольного элемента а решетки макси-
мальные цепи неединичных элементов, лежащих между а и еди-
ничным элементом. (Супщствование таких максимальных цепей
легко доказывается.) Теорема XIV показывает, что существуют
такие неединичные элементы, что ни одна из этих максимальных
цепей не может иметь наибольшего элемента. Существуют' ли
в неединичные элементы, обладающие плотными максималь-
ными цепями г)? Существуют ли неединичные элементы, у которых
все максимальные цепи плотны? Эти вопросы пока открыты * 2).

Можно ли высказать предположение о строении решетки g/ер,
аналогичное гипотезе Шёнфильда о строении совокупности Т-сте-
пеней, упорядоченной отношением Т-сводимости (§ 10.3)? Нере-
гулярности, определяемые существованием максимальных эле-
ментов и элементов, не содержащихся в максимальных, делают
затруднительным выдвижение такой гипотезы.

Насколько широко распространены максимальные множества
среди степеней неразрешимости? Ниже мы приводим в этой связи
теорему XV. (Мы сформулируем более общий результат, при-
надлежащий Мартину, в гл. 13.) Существуют ли Т-полные макси-
мальные множества? Существуют ли максимальные множества
неполных Т-степеней? Существуют ли рекурсивно перечислимые
нерекурсивные Т-степени, не содержащие максимальных мно-
жеств? Положительные ответы на эти три вопроса были получены
Ейтсом [1965], Саксом [1964b] и Мартином [1965].

Теорема XV (Янг). Если А рекурсивно перечислимо, но не
рекурсивно, а В максимально и А ^ШВ, то А =т В.

_Д оказательство. Пусть f m-сводит А к В. Множество
f(A) должно быть бесконечным (иначе А было бы рекурсивно пере-
числимым). Поэтому С = В — /(Л) должно быть конечным (иначе
рекурсивно перечислимое множество /(V) разделяло бы сжатое
множество В). Пусть т — некоторый фиксированный элемент
из Л, ап — фиксированный элемент из Л. Определим рекурсив-
ную функцию g следующим образом. Для вычисления g(y) прове-
рим, верно ли, что у € С; если это так, положим g(y) = п\ если
нет, начинаем перечислять В и в то же время начинаем поиски
такого х, что /(z) = у; если у появится в В прежде, чем такой х
будет найден, полагаем g(y) = т; в противном случае найдется
такой х (так как В — С cz и мы полагаем g(y) равным пер-
вому такому х. Функция g m-сводит В к А.я

*) Цепью в решетке называют линейно упорядоченное подмножество.
Цепь, лежащая между двумя элементами, называется максимальной, если
не существует другой цепи между теми же элементами, полученной из данной
добавлением нового элемента. Цепь называется плотной, если между любыми
двумя ее элементами лежит третий элемент цепи.

2) На второй (а следовательно, и на первый) из этих вопросов дал утвер-
дительный ответ М. М. Арсланов [1969]. Именно, он показал, что если взять
множество А со свойствами, описанными в теореме XIV, то для содержащего
это множество элемента решетки %/ZF всякая максимальная цепь является
плотной. Как сообщил редактору М. М. Арсланов, содержащееся в его тезисах
[1969] утверждение, что все максимальные цепи являются плотными лишь
для множеств А со свойствами, описанными в теореме XIV, неверно. —
Прим. ред.
§ 12.6.	СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ

Решетки, идеалы и факторрешетки, упоминавшиеся в этой
главе, (и их обобщения) не очень подробно изучены. Не ясно,
насколько глубокое проникновение в строение рекурсивно пере-
числимых множеств (в связи с конечной целью получить некото-
рую теорему о представлении рекурсивно перечислимых множеств)
могут дать такие исследования. Значительное число довольно
легко формулируемых вопросов остается открытым.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые свойства, опреде-
ляющие подклассы класса иммунных множеств. Имея в виду
сходство между иммунными и конечными множествами, мы назы-
ваем их свойствами почти-конечности. Сначала мы рассмотрим
свойства, про которые известно, что они теоретико-решеточны
в jfA по отношению к затем рассмотрим рекурсивно инвариант-
ные свойства, не известно, теоретико-решеточные по отношению
к g или нет, и, наконец, изучим ограничения этих свойств на
совокупности множеств с рекурсивно перечислимыми дополнения-
ми. Мы рассматриваем все свойства только на совокупности
бесконечных множеств.

Теоретико-решеточные свойства

Введем следующие определения.

Определение. Множество А называется неразложимым, если
не существует таких двух рекурсивно перечислимых множеств
Bi и В2, что Bt р В2 = 0, A cz Bi J В2 и В, f) А и В2 П А
бесконечны.

Определение. Назовем А рекурсивно неразложимым, если не
существует' такого рекурсивного множества В, что В [) А
и В П А бесконечны.

Перечислим некоторые свойства множеств, каждое из которых
является, очевидно, теоретико-решеточным по отношению кё:

(1)	быть сжатым и с-эквивалентным некоторому наполненному
множеству,

(2)	быть сжатым-,

(3)	быть квазисжатым;

(4)	быть квазисжатым или обобщенно сжатым (см. упр. 12-30);

(5)	быть бесконечным и неразложимым;

(6)	быть бесконечным и рекурсивно неразложимым;

(7)	быть иммунным.

Следующие импликации очевидны: (1) => (2), (2) => (3), (3)
=> (4), (4) => (7), (2) => (5), (5) => (6) и (6) => (7). Ни одна из обрат-
ных импликаций не верна. Согласно теореме VIII, (3) 0 (2).
Упражнение 12-30 показывает, что (4)	(3). Существование

простого, но не гиперпростого множества показывает, что (7) />

(4). Упражнение 12-46 показывает, что*(7)	(6). Теоремы XVI,

XVII и XVIII, приводимые ниже, означают соответственно, что
(2) (1), (5) (2) и (6) (5). Вдобавок упр. 12-46 показывает,
что (3) (6), а из упр. 12-57 следует, что (5) (4) (см. ниже
обсуждение рекурсивно инвариантных свойств). Мы объединяем
эту информацию в следующей диаграмме (в которой никакие дру-
гие импликации не имеют места) и затем доказываем относящиеся
к ней теоремы:

Теорема XVI (Янг). Существует сжатое множество, не с-эк-
вивалентное никакому наполненному множеству.

Доказательство. Построение из теоремы VI моди-
фицируется следующим образом:

A0 = N,

.	( Ап 0 Wn, если и Ап П Wn, и Ап ["] Wn бесконечны;

I Ап в противном случае.

Заметим, что Ло ^At ld . . . и что для любого п множество
Ап рекурсивно перечислимо. Так как всякое бесконечное рекур-
сивно перечислимое множество разделяется на две бесконечные
части некоторым другим рекурсивно перечислимым множеством,
мы можем заключить, что Am+i =/= Ат для бесконечно многих т.
Поэтому мы можем так определить строго убывающую подпосле-
довательность:

В0 = Ло,

Вп+1 == А т,

где т = цу [Ау строго содержится в 5П]. По построению Вп —
— Вп+1 бесконечно при каждом п.

Положим хп = ру [у с вп — Бп+1], и пусть С = {х0, xt, . .
Пусть дано произвольное множество Wz. Согласно нашему построе-
нию, все, кроме конечного числа, элементы множества С находятся
в Лг+1. Если Az+1 — Аг, то или Аг ("| Wz, или Az f] Wz конечно,
а потому конечно или С (] Wz, или С Q Wг. Если Л2+1 #= Л2,
то Az+i ("] Wz = 0 и С f) Wz конечно. В обоих случаях либо
С П Wz, либо С П Wz конечно. Поскольку С бесконечно, заклю-
чаем, что С — сжатое множество.

Допустим, что существует некоторое наполненное множество
D, с-эквивалентное множеству С. Тогда по теореме VII никакое
рекурсивно перечислимое множество не может разделить В IJ С
на две бесконечные части. Отсюда следует, что при каждом п
множество В [1 (Вп — Bn+i) должно быть конечным. Поэтому
(Вп —	-	0, Положим

Уп = (Вп — Вп41) - Л],

D' = {Уо, У1, • • •}•

Тогда для каждого z или (С IJ В'} । Wz, или (С |J В') f] И ,
конечно, Поэтому С (J В' сжато. В силу теоремы VII множество С
оказывается с-эквивалентным В'. Значит, В в свою очередь с-экви-
валентно В'. По В П В = 0 в противоречие с нашим предпо-
ложением о наполненности

Следствие XVI. Всякое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество содержит сжатое множество, не ^-эквивалентное ника-
кому наполненному множеству.

Доказательство. Если дано бесконечное рекурсивно
перечислимое множество В, положим .4 о = В в построении из
доказательства теоремы. в

Теорема XVII.' Существует бесконечное неразложимое множен
ство, не являющееся сжатым.

Доказ ательство. Пусть D — наполненное сжатое
множество. Пусть х0,	... — пересчет в порядке возрастания

всех номеров таких рекурсивно перечислимых множеств Wx,
что В сг Ivx. Положим

Л0 = И\о.

^n+l == I 1	' хп'

Последовательность Ло, Alf . . . должна содержать строго убы-
вающую подпоследовательность; иначе В было бы рекурсивно
перечислимым. Определим

Во = Ло,

Bn+i = Ат,

где т = py [Av строго содержится в Вп\.

Пусть уп — ру [у £ Вп — Вп+Д. Образуем множество С =
— (У<п У1, • • •}• Пусть В' — сжатое подмножество множества С
(существующее в силу теоремы VI). Тогда В' Q В = 0 и, еле-
довательно, D' Q D бесконечно. Так как D — наполненное мно-
жество, D' и D не могут быть с-эквивалентными. Значит, по теоре
ме VII множество D' (J D не сжато.

С другой стороны, D' U D неразложимо. Допустим противное.
Тогда, так как и Dr, и D сжаты, мы получим, что при некотором
выборе двух непересекающихся рекурсивно перечислимых мно-
жеств Bj и В2 множества D' Q Bi и D f] В2 бесконечны. Далее,
D П В2 должно быть конечным. Поэтому B’t = В2 (J (В П В2)
рекурсивно перечислимо и О с В'. По построению множества D
множество D' |~) В'2 должно быть бесконечным. Но тогда полу-
чается, что D' разделено на две бесконечные части с помощью В2,
что противоречит сжатости D'. Значит, В' [J D — бесконечное
неразложимое множество, не являющееся сжатым.ц

Теорема XVIII (Мак-Лохлин). Существует рекурсивно нераз-
ложимое множество, не являющееся неразложимым.

Доказательство. Пусть А — максимальное множе-
ство. Разложим А в силу теоремы IV на два рекурсивно пере-
числимых нерекурсивных подмножества At и Л2. Пусть 98 —
семейство всех рекурсивно перечислимых множеств В, таких, что
В zo А. Понятно, что семейство S замкнуто относительно П.
Далее, для каждого В £ 9В множества BQAt и В(]А2 беско-
нечны. так как если бы, скажем, В ПЛ} было конечным, то (ВО
ЦА2 оказалось бы дополнением к At в что противоречит
нерекурсивности множества At.

Пусть Во, Blt ... — все элементы Положим

Со = Во,

СпЛ1 г= Вп П -^и+1*

Так как все коконечные множества, содержащие А, находятся
в 98, каждая из последовательностей C(,(]At, CiflAi, С2 П
Г!Л}, . . ., и С0ПЛ2, CtP.A2, C2QA2, . . . содержит по стро-
го убывающей подпоследовательности. Поэтому последователь-
ность С0, Ci, ... содержит такую подпоследовательность С',
С”, . . ., что при каждом п выполняется (С„+1 — П А =/= 0
и (£n+i — С'п) П Л2 =# 0. Выберем {х0, ад, . . .) так, что хп £
€ (С’п+1 — С'п) П At, и {у0, _щ, . . .} так, что уП £ (С'п+1 — С'п) [)
П Л2. Пусть Et — некоторое сжатое подмножество множества
{х0, xt, .. .}, а Е2 —сжатое подмножество множества
{уо, • • .}• Рассмотрим множество Et [_1 Е2. Это множество,
очевидно, разложимо (посредством Af и Л2). Оно, однако, нс будет
рекурсивно разложимым. Пусть, напротив, рекурсивное множе-
ство В разлагает его. Пусть Et относится к множеству В (в смысле
§ 12.3). Тогда, поскольку имеет место разложение, Е2 относится
к В. Но А относится либо к В, либо к В, а по построению если А
относится к какому-либо множеству, то и Ei, и Е2 относятся к тому
же множеству. Это — противоречие.в

Это доказательство обобщается в упр. 12-47.

Рекурсивно инвариантные свойства

Про следующие свойства не известно, являются ли они теоре-
тико-решеточными по отношению к g:

(8)	быть бесконечным, но не содержать ретрассируемых под-
множеств (см. упр. 9-44),

(9)	быть гипергипериммунным,

(10)	быть гипериммунным.

Следующие импликации очевидны: (9) => (10) и (10) => (7).
В упр. 12-48 и 12-49 мы увидим, что (4) => (8) и (8) => (9). Исполь-
зуя множество S из теоремы 8-П, мы обнаружим, что (7)	(10).

Упражнение 10-17 показывает, что (10) 0 (9). Упражнения 12-51
и 12-52 показывают, что (9)	(8) и (8) 0 (4). В упр. 12-53 пока-

зывается, что (6) => (10). Из следствия XIX, приводимого ниже,
и упр. 12-45 и 12-62. вытекает, что (5) =/$ (9). Мы объединяем эти
сведения в следующую диаграмму (в которой никакие другие им-
пликации не имеют места):

Значительное число других свойств также представляют инте-
рес. В частности, мы имеем в виду свойства строгой гипергипер-
иммунности (совпадающее с (8), см. упр. 12-48 и 12-50) и строгой
гипериммунности (см. упр. 12-54) и такие свойства данного мно-
жества А, как lim(X) = l, конечность lim (Л) и конечность.
Иш(/, А) для всех рекурсивно перечислимых последовательно-
стей / без пересечений. (Можно определить также аналогичные
lim-свойства с использованием последовательностей конечных
множеств или используя последовательности конечных множеств,
задаваемых их каноническими индексами.)

Дополнения рекурсивно перечислимых множеств

Довольно много интересных вопросов возникает, если рас-
сматривать свойства с (1) по (10) на совокупности только тех
множеств, чьи дополнения рекурсивно перечислимы. Будем обозна-
чать эти ограниченные свойства (1)*, (2)*, . . ., (10)*.
Все выписанные нами импликации остаются верными. Выпол-
няются также некоторые обратные импликации, не имевшие места
ранее. Доказательство следствия XI (Ь) * показывает, что (2)* =>
=> (1)*. В упр. 10-19 установлено, что (9)* => (8)*. В упр. 12-45
мы покажем, что (6)* => (5)*. Полученные ранее контрпримеры
показывают, что (как и прежде) (7)*	(10)* (а потому и (7)*

(6)*), (10)*	(9)*, (3)*	(2)* и (3)* ,4 (6)*. Ниже, в след-

ствии XIX, мы получим принадлежащий Лахлану результат,,
утверждающий, что никакое множество из (2)* не может находить-
ся одновременно в (6)* и (9)*. В упр. 12-62 мы найдем множество,
лежащее в (6)*, но не в (2)*. Поэтому (6)*	(9)*. Этот результат

впервые получен Р. В. Робинсоном. Отсюда следует, что (6)*

(2)*, (6)*	(3)* и (6)*	(4)*. Робинсон также показал, чти

(4)* 0 (3)*, см. упр. 12-63. Не известно, верна ли импликация
(9)* =>- (4)*. Множества из (6)* известны под названием г-макси-
малъных. Ниже, в теореме XX, мы покажем, что гипергиперпро-
стота — теоретико-решеточное свойство в g/вр. Там приводится
их замечательная характеристика, найденная Лахланом. Это
первый результат, где доказана теоретико-решеточность свойства,
не содержащаяся явно в определении. Доказательство имплика-
ции (9)* => (4)* дало бы иную теоретико-решеточную характери-
стику множеств из (9)*. Мы предполагаем, однако, что имплика-
ция (9*) => (4)* неверна х).

Теорема XIX (Лахлан). Пусть А и В — такие рекурсивно-
перечислимые множества, что А а В. Если В — А гипергипер-
иммунно, то найдется такое рекурсивное множество С, что
В - А с С cz В.

Доказательство. Построим семейство рекурсивно пе-
речислимых множеств 50, S\, S2, • • • следующим образом. Обо-
значим через 5|п) совокупность элементов множества St, порожден-
ных за п этапов. Л‘П) и В(П> будут обозначать множества, полу-
ченные за п шагов при перечислении множеств А и В соответ-
ственно.

Этап п + 1. Найдем наименьшее у, если такие существуют,
для которого у € В(П+1> — Л(П+1>, причем (Vi) [у $ и для
некоторого у', удовлетворяющего условию cz А(П+1>, у >
> max I 5)n) |. Если' такого у нет, переходим к этапу п Д- 2.

Если же удается найти требуемый у, то пусть j — наименьшее

х) Как показал М. М. Арсланов [1968], эта гипотеза подтверждается:
существует такое гипергиперпростое множество, дополнение к которому
не является ни квазисжатым, ни обобщенно сжатым.— Прим. ред.
из соответствующих ему/'. Полагаем	J {г/} и 5<п+1) =

= S$n) для всех i j. Затем переходим к этапу п + 2.

Заметим, что на каждом этапе при любом i множество S,
•содержит не более одного элемента множества В — А. Предпо-
ложим, что при всех I множества St конечны. Тогда, так как
В — А бесконечно, наше построение поместит по одному эле-
менту из В — А в каждое St. Но тогда последовательность
{£г}£10(= {И7/(i)}iL0 для некоторой общерекурсивной /) опро-
вергает условие гипергипериммунности В — А. Пусть теперь к —
наименьшее из тех г, при которых S, бесконечно. По построению
Sh с А. Пусть тп = max | St |. Начиная с того момента, когда
i<h

все конечные множества St, i < к, будут полностью перечислены,
всякое новое число у, для которого г/ > m и у £ В — А, будет
попадать в некоторое Sj при / > к. (Иначе у попал бы в Sh.) Поло-
жим С = U Sj. Тогда С' сВи(В — А) — С конечно. Покажем,
что С рекурсивно. Чтобы проверить, принадлежит ли произволь-
ное данное z множеству С, поступаем следующим образом. Смот-
рим, содержится ли z в конечном множестве U <$г. Если да, то
»<й

z £ С. Если нет, начинаем перечислять множества 5г, пока хотя
бы z элементов не попадут в Sh. Если к этому времени z окажется
в некотором Sj, j > к, то мы имеем z € С'. Если нет, то по построе-
нию z £ С'. Положим теперь С = (В — Л) (J С'. Этим доказатель-
ство заканчивается. в

Следствие XIX. Если А рекурсивно перечислимо, но не макси-
мально, то А не может быть одновременно гипергипериммунным
и рекурсивно неразложимым.

Доказательство. Пусть А рекурсивно перечислимо,
но не максимально, и предположим, что А гипергипериммунно.
Так как А не максимально, найдется, согласно определению,
такое рекурсивно перечислимое множество В, что А с В, В — А
бесконечно и N — В тоже бесконечно. Так как В — АсА,
В — А гипергипериммунно. По предыдущей теореме найдется
такое рекурсивное множество С, что В — А с С ед В. Оче-
видно, что С осуществляет рекурсивное разложение множества А
на две бесконечные части.н

Ниже, в упр. 12-60, мы используем теорему XIX, чтобы пока-
зать, что всякое наполненное сжатое множество комаксимально.
Приведенное выше доказательство теоремы XIX принадлежит
Мартину. Отметим, что ((6)*, (10)*) и ((3)*, (4)*, (9)*, (10)*) дают
два различных (и в силу следствия XIX несравнимых) способа
дальнейшего деления класса (из § 9.5) в спектре из § 8.7
и 9.5. В упр. 12-55 мы обнаружим, что гипергиперпростые и коко-
нечные множества образуют дуальный идеал в ё.

Теорема XX характеризует гипергиперпростые множества тео-
ретико-решеточным образом (сразу и в и в S/^).

Теорема XX (Лахлан). А гипергиперпросто <=> А рекурсивно
перечислимо, А бесконечно, и для любого рекурсивно перечислимого
В множество A (J (N — В) рекурсивно перечислимо, если только
А <= В.

Доказательство. => . Пусть множество А гипер-
гиперпросто, A cz В и В рекурсивно перечислимо. Мы хотим
доказать, что A J (N — В) тоже рекурсивно перечислимо. Если
В — А конечно, то Л |J (2V — В) коконечно и потому рекурсивно
перечислимо. Если же В — А бесконечно, то оно и гипергипер-
иммунно, потому что является бесконечным подмножеством гипер-
гипериммунного множества. По теореме XIX найдется такое
рекурсивное множество С, что В — А с: С с В. Тогда
Л IJ (Д’ — В) = Л (J С и, значит, Л (J (N — В) рекурсивно пере-
числимо.

<=. Пусть Л — рекурсивно перечислимое множество с беско-
нечным Л, но Л не гипергипериммунно. Мы хотим найти такое
рекурсивно перечислимое В, чтобы Л с Б, a A (J (N — В) не
было бы рекурсивно перечислимым. По определению гипергипер-
иммунности существует такая общерекурсивная функция /, что
(Vx) lWf(x) f| А #= 0] и (Vx) (Vy) [х=£ у => 1ЕНж)П = 01.
Положим В = A (J ( U (Wx f) Wf (ж))).	Допустим, что

x£N	_

Л U(JV — В) = Wy. В силу выбора функции / имеем Л =И=
=/= 0. Возьмем z G Wt(y) ПЛ. Тогда z 6 N — В => (в силу выбо-
ра у) z £ Wv fl Wf(y) => (в силу определения В) z £ В — А. Обрат-
но, z 6 В — А => (так как х =# у => f) Wf(y) = 0) z £Wy П
П	(благодаря выбору у) z € N — В. Так как z € Л, это

противоречие. н

Заметим, что из доказательства теоремы вытекает как непо-
средственное следствие упр. 9-48 (Ь). Мы получим также такое

Следствие XX (Лахлан). Множество А коконечно или гипер-
гиперпросто <=> совокупность всех рекурсивно перечислимых мно-
жеств, содержащих А, образует булеву алгебру относительно упо-
рядочения сг.

Доказательство очевидно.
§ 12.7. УПРАЖНЕНИЯ

§ 12.1

△ 12-1. (а) Пусть X — множество с двумя бинарными (алгебраическими)
операциями (J и Q, такими, что

(i)	и U > и П коммутативны;

(ii)	и (J, и П ассоциативны;

(iii)	и U, и П идемпотентны (т. е. a U а = a, а а = а);

(iv)	для всех а и b (a (J Ъ) f| а = а и (а Л Ь) U а — а. Положим а 6,
если a (J Ъ — Ъ. Докажите, что X образует решетку относительно упорядо-
чения < с и и Л в качестве операций объединения и пересечения в этой
решетке.

(Ь) Докажите, что операции объединения и пересечения в любой решетке
удовлетворяют условиям (i) — (iv).

12-2. Приведите пример таких двух решеток <М и X, чтобы М была бы
подмножеством решетки X с индуцированным решеткой X упорядочением,
но не подрешеткой решетки X. (Указание. Возьмите X = JIT, a-Л — решетка,
полученная упорядочением множества {А | Л £	&. [[1 £ A & 2 g Л) =>

=$>3 ЕЛ]} отношением с .)

12-3. Докажите, что всякий элемент булевой алгебры имеет не более
одного дополнения. (Указание. Пусть Ъ и с — дополнения элемента а. Рас-
смотрите (a U Ъ) Л с и (a (J с) П М

12-4. Докажите, что каждое из тождеств, входящих в определение дис-
трибутивной решетки, влечет за собой другое.

12-5. Докажите (без помощи теоремы Стоуна о представлении), что сле-
дующие тождества верны в любой булевой алгебре:

а = а,

a [J	1 =	1,	a	Q	1 = а,

a (J	0 —	а,	а	Л	0 — О,

a (J	b =	а. П	b,	а	Л	b = a (J	Ь,

(а П ь) U (а П Ъ)=а.

12-6. Докажите, что рлиз части (а) теоремы I является отношением
эквивалентности.

12-7. Пус1ь а и Ъ — элементы решетки X и выполняются предположения
части (а) теоремы I. Пусть а и Ъ — классы эквивалентности, определяемые
а и Ь соответственно. Докажите, что а С i в XlX тогда и только тогда,
когда а С b (J с в X, где с g X 

12-8. В предположениях части (а) теоремы I докажите, что образует
класс эквивалентности, служащий нулевым элементом в Х/Х.

△ 12-9 (теорема Стоуна о представлении). Назовем дуальный идеал X
в решетке X собственным, если X #= X. Дуальный идеал X в решетке
X называется максимальным, если X—собственный дуальный идеал, не содер-
жащийся ни в каком собственном дуальном идеале, отличном от него самого.

Допущение: в каждой булевой алгебре каждый собственный дуальный
идеал содержится в некотором максимальном дуальном идеале.

Докажите теорему Стоуна о представлении.

(Указание. Пусть Л — данная булева алгебра. Пусть Z — совокупность
всех максимальных дуальных идеалов алгебры ^3. Сопоставьте каждому
b g следующее подмножество S: {X | X — максимальный дуальный идеал,
содержащий Ь}.)

12-10. См. упр. 12-9. Назовем дуальный идеал X в решетке X простым,
если X =# X и для всех а и Ъ из X a IJ Ъ g 35=5 [а g X или Ъ g X].
Докажите: (а) в дистрибутивной решетке всякий максимальный дуаль-
ный идеал является простым;

(Ь) в каждой булевой алгебре любой простой идеал максимален.

12-11. Лемма Цорна утверждает, что если & — частичное упорядочение,
в котором каждое линейно упорядоченное подмножество имеет верхнюю
грань, принадлежащую то З1 содержит максимальный элемент.

С помощью леммы Цорна докажите, что всякий собственный дуальный
идеал содержится в максимальном дуальном идеале. (Это утверждение приня-
то в упр. 12-9 в качестве допущения.) (Указание. Пусть 3 — данный соб-
ственный дуальный идеал. Рассмотрите совокупность всех собственных
дуальных идеалов, содержащих 3.) (Замечание. Если принять все аксиомы
теории множеств (см. упр. 11-23), отличные от аксиомы выбора, то лемма
Цорна может быть выведена из аксиомы выбора (и на самом деле эквива-
лентна ей).)

12-12. Пусть X — решетка, а М — решетка с нулевым элементом. Пусть
дан гомоморфизм (относительно (J и П) решетки X на М. Пусть .7 — мно-
жество всех элементов из X, отображаемых этим гомоморфизмом в нулевой
элемент из М.

(i)	Докажите, что У — идеал в X.

(ii)	Докажите, что если X — булева алгебра, то Х1У изоморфна М.

(iii)	Докажите, что если X дистрибутивна, то ХШ не обязательно изо-
морфна М. (Указание. Возьмите в качестве X линейное упорядочение трех
элементов, а в качестве М — линейное упорядочение двух элементов.)

12-13. Пусть X — дистрибутивная решетка, М — подрешетка X й 3 —
такой идеал в X, что М П 3 ф 0.

(а)	Докажите, что М П — идеал в М.

(Ь)	Покажите, что равенство М!У = М!<М^\У не обязательно выпол-
няется.

(с)	Пусть М — булева алгебра и нулевые и единичные элементы решеток
X и М совпадают. Докажите, что МГУ = М1еМ[\У.

(d)	Докажите, что ЗИ* Л = ЛГ Ж = 33 

12-14. (а) Покажите, что Л и Ж не являются дуальными идеалами к ЛГ 

(Ь) Покажите, что ни совокупность всех конечных и иммунных множеств,
ни совокупность всех конечных и гипериммунных множеств не являются
идеалами в ЛГ-

12-15 (Майхилл). См. § 8.7. Покажите, что следующие свойства являются
теоретико-решеточными в ‘ЫЗГ A £ A £ $?2, Я £ (J ёт- (Неиз-
вестно, будут ли теоретико-решеточными А ( g3 и Л ( g4.)

12-16. Докажите, что решетка ЗГсГ плотно упорядочена.

12-17. Докажите, что всякий автоморфизм решетки ‘й индуцирует неко-
торый автоморфизм факторрешетки Чь/3-.

12-18. Докажите, что для всякого ненулевого а £ ЧТ-Г {b | b sj а} есть
подрешетка, изоморфная ‘fc/ST (Указание. Пусть А £ а; используйте взаимно
однозначную общерекурсивную функцию/, область значений которой есть Я.)

12-19. (а) Завершите доказательство теоремы III.

(Ь) Покажите, что не содержит максимальных неединичных эле-
ментов. (Вопрос о плотности этим не снимается.)

12-20. (а) (Майхилл). Покажите, что для любого ненулевого а g
существуют такие 6, eg что а = b (J с, причем Ь состоит из рекурсив-
ных множеств, ас — из креативных. (Указание. Примените теорему 5-IV.)

(Ь) (Мак-Лохлин). Пусть g0, и g2 такие же, как в § 8.7. Докажите,
что U isi U ^2 есть подрешетка в Чь-

§ 12.2

Л12-21 (а) (К. Охаши). Докажите, что построенные в теореме IV множества
и Т?2 не являются рекурсивно отделимыми. (Указание. С помощью рассуж-
дения, сходного с заключительной частью доказательства теоремы IV, пока-
жите, что их рекурсивная отделимость влечет рекурсивную перечислимость
множества А.)

(Ь) (Ейтс). Докажите, что эти же множества Bi и В2 обладают следую-
щим свойством: (Vz)Il Wz Г) В4 = 0 или Wz ("] В2 — 0] Wz — А рекур-
сивно перечислимо] (где А — то же, что и в теореме IV).

△12-22 (Мак-Лохлин [1962]). Пусть А рекурсивно перечислимо, но пе
рекурсивно. Постройте такую общерекурсивную функцию /, что (У“)1^7(и>
не рекурсивно], (V“XV¥= » =Ф П =0] и А = (J W1iu).

u£N
(Указание. Вместо В1 и В2 перечислите бесконечную последовательность ВОг
Bt, В2, . . ..)

§ 12.3

12-23. (а) Докажите теорему VII.

(Ь) Завершите доказательство теоремы IX.

△12-24 (Деккер). Пусть .?£ — произвольная счетная совокупность нену-
левых элементов решетки Niff-, замкнутая относительно П- Покажите, что
существует ненулевой с g ЛГ^, удовлетворяющий условию (V“)l« €	=>

=Фс^а]. (Указание. Примените общие методы теоремы VI.)

12-25. Докажите, что N может быть представлено в виде объединения
счетной совокупности попарно не пересекающихся сжатых множеств, при-
надлежащих одному и тому же классу с-эквивалентности. (Указание. Возь-
мите произвольное сжатое множество А. Разложите А в бесконечную сово-
купность бесконечных множеств. Элементы А подходящим образом присое-
дините к этим множествам.)

12-26. Докажите, что А квазисжато =Ф 4 гипериммунно (на самом деле,
даже гипергипериммунно). (Указание. См. доказательство теоремы V.)

12-27. Покажите, что разложение квазисжатого множества на сжатые
единственно с точностью до с-эквивалентности.

12-28. Плотно ли упорядочена решетка ЛГ13\"1

12-29. Докажите, что конечные множества вместе со всеми конечными
объединениями сжатых множеств, с-эквивалентных наполненным множест-
ствам, образуют идеал в (Заметим, что всякая совокупность сжатых мно-
жеств порождает (таким образом) некоторый идеал, содержащийся в ff\.)

△12-30. Назовем А обобщенно сжатым, если А (£ 3:но при любом
х либо Wx f~| А, либо Wx П А лежит в Покажите, что обобщенно сжатые
множества существуют и обязательно гипериммупны (даже гипергипериммун-
ны). (Это обобщение можно итерировать; см. упр. 12-31.)

△12-31. Пусть g — конечный или счетный подкласс решетки ЛГ.

Пусть Jo — некоторый идеал в ЛГ.

Положим

= {А | А $ Jo & (VB)[B £ $ =Ф[4 П В € Jo или

4 П В £ Jo 11} («почти-Jo-множества”),

Ji — идеал, порожденный$0- Предположим, что

(1)	Jo с Ji;

(ii)	всякое множество, не входящее в Jo, содержит подмножество, входя-
щее в

Положим

= {4 I 4 4 J!&(VB)[Be® =ф[4 п В £ Jj или

4 П В 6 Ji]]}

(„ почти-J i-множества ”).
Докажите, что всякое множество, не входящее в 3содержит подмно-
жество, принадлежащее

(Указание. Обобщите доказательство теоремы VI.)

(В том частном случае, когда ® — совокупность рекурсивно перечисли-
мых множеств, а Л = {0}, это упражнение влечет за собой теорему VI,
так как Л = а — совокупность всех сжатых множеств. Повторяемое
индуктивно, это упражнение позволяет построить цепь идеалов, как отмеча-
лось в упр. 12-30. Построение может быть продолжено по трансфинитам.)

△12-32. Докажите, что существуют такие рекурсивно' перечислимые
множества А и В и автоморфизм / решетки <£, что f(A) = В, но А не рекур-
сивно изоморфно В. Таким образом, свойство „быть рекурсивно изоморфным
множеству А” — рекурсивно инвариантное, но не теоретико-решеточное в Ъ
свойство. (Указание. ПустьА — простое множество, т. £ А и В — A (J {т}.
По лемме к теореме 8-Х IV В $ А. Чтобы получить автоморфизм /, примените
технику теоремы IX, использовав два сжатых множества, одно из А, а другое
из А.)

А 12-33 (Роуз и Юллиан). Если даны функции f и g и частичная функция
<р, определим еггог^ g ф(п) как число таких натуральных т, т п, что
<Р (g(™)) ф f(g(m)).

Определение. Функция f называется рекурсивно аппроксимируемой,
если для любой взаимно однозначной общерекурсивной функции g существует
такая частичнорекурсивная функция <р, что

lim еггог^ gt ф(п)) = 0.

(а)	Докажите, что существуют рекурсивно аппроксимируемые, но не ре-
курсивные функции. (Указание. Пусть А — сжатое множество. Существует
2No функций /, таких, что /(А) = {0}. Покажите, что все они рекурсивно
аппроксимируемы. Для доказательства возьмите <р = %г[0] и заметьте, что
для любого р множество {m | g(m) Е А } должно попадать (с точностью до ко-
нечного множества) в не более чем один класс остатков по mod р.)

Определение. / называется конструктивно нерекурсивной, если существу-
ет такая общерекурсивная функция h, что

(Vz)[/(A(z)) =/= <pz(A(z))]-

(Ь)	Докажите, что конструктивно нерекурсивные функции существуют.
(Указание. Воспользуйтесь обычной диагонализацией.)

(с)	Докажите, что конструктивно нерекурсивная функция не может
быть рекурсивно аппроксимируемой. (Указание, (i) Покажите, что существует
равномерно эффективный метод для нахождения по заданным z и т такого и>,
что w > т ti f(w) =# <pz(tc) (рассмотрите всевозможные функции, совпадаю-
щие с <р2 справа от т всюду, где они определены, и примените h к их индек-
сам). Затем (ii) воспользуйтесь этим, чтобы построить рекурсивно перечисли-
мую последовательность (g) все более длинных отрезков, на которых /,
напротив, не согласована с <ро, <Pi» • • •  Сделайте это так, чтобы одновременно
для всех частичнорекурсивных функций <р

lim (-i-еггогд ф(и)\ = 1.)

А 12-34. Пусть 1 = {0, 1}. Рассмотрим всюду определенные функции /
со значениями в I. Для каждой такой / определим s/(0) = 0, Sf(n+ 1) =
— 't*((/(0)i f (1), • • •> /("))). гДе г* такое же, как в § 5.6. Пусть ф — функ-
ция, область значений которой содержится в I X I. Назовем ф удовлетвори-
тельной для f, если Xzhpsy (г)] — всюду определенная функция и	= 1

для бесконечно многих значений х. Если даны / и ф и ф удовлетворительна
для f, определим g посредством формул g(0) = ци^фаДи) = 1] и g(n + 1) =
= |xu[u > g(n) & лДиДи) = 1], и пусть ф = Хх[л2ф«/(х)]. Для данных /
и ф положим еу, ф (п) = еггогу, г,ф (п) (см. упр. 12-33).

Определение (Чёрч). Функция f называется случайной, если для всякой
частичнорекурсивной функции ф, удовлетворительной для /,

Пш (1еАф(п))=|.

(Функцию ф можно представить себе как „систему игры”; л4ф говорит, делать
ставку или нет, а л2ф говорит, на что ставить. Функция / „случайна”, если нет
эффективной системы, которая бы выигрывала против / (в среднем больше
половины времени).)

1

Введем меру тп({0}) = т ({!}) = -у на I и рассмотрим декартову сте-
пень IN пространства с мерой. (Всякая функция f со значениями в I есть
элемент из IN.) Докажите следующую теорему о невозможности системы
игры.

Теорема. Мера множества {f | / случайна} равна 1. (Указание. Эта задача
не связана со сжатыми множествами и может быть решена методами чистой
теории меры. См. методы доказательства усиленного закона больших чисел
у Лоэва [1955].)

§ 12.4

12-35. Покажите, что существование сильно неотделимых пар множеств
(см. упр. 8-39) прямо вытекает из теорем IV и XI.

12-36 (Ейтс), (i) Покажите, что пересечение двух максимальных мно-
жеств не обязательно максимально.

(ii)	Докажите, что пересечение двух максимальных множеств квазимак-
симально.

(iii)	Покажите, что А = {А квазимаксимально или коконечно} есть дуаль-
ный идеал в %.

А 12-37. Покажите, что N есть объединение некоторой совокупности
попарно не пересекающихся наполненных сжатых множеств.

12-38. Покажите, что существуют два максимальных не рекурсивно
изоморфных множества. (Указание. Примените построение из теоремы 8-XIV.)

§ 12.5

12-39. Докажите следующий усиленный вариант теоремы 9-XV. А гипер-
иммунно О Л бесконечно и не существует такой общерекурсивной функции
/, чтобы

(VuH-Df (ц) И 0], (Vw)(Vp)[u v =$ Df(u) И = 0] и
(Vx)(3u)[x £ P/(U)].

12-40. Завершите доказательство пункта (Ь) из теоремы XII.

12-41. Пусть А квазимаксимально и q — число классов с-эквивалент-
ности, представленных в А. Докажите, что lim (Л) q. (Указание. Доказа-
тельство аналогично доказательству теоремы XIII.)

д 12-42. Пусть Л — максимальное множество и / — взаимно однозначная
общерекурсивная функция, область значений которой есть Л. Положим
f»(A) = N, fn+1(A) = f(fn(A)). Докажите, что (i) для всякого q > 0 множество
fi(A) квазимаксимально, причем точно q классов с-эквивалентности представ-
лено в его дополнении; (ii) lim(/9(A)) = д для всякого д. (Указание. Исполь-
зуйте сплинтеры функции /, см. упр. 7-37.)

△12-43 (Мартин). Обобщая доказательство теоремы XIV, покажите, что
существует такое рекурсивно перечислимое множество А с бесконечным А,
что для всех рекурсивно перечислимых множеств В если В ZD А, то либо
lim (В) — 0, либо для некоторой общерекурсивной функции / lim(/', В) бес-
конечен.

12-44. Рассмотрим совокупность классов гё11, . . ., из § 8.7 и 9.5.
Согласно упр. 8-46 и 9-26 (Ь), эта совокупность линейно упорядочена относи-
тельно Ci- Будет ли она линейно упорядоченной относительно ZD ? Иными
словами, если А и В — нерекурсивные рекурсивно перечислимые множества
и AZD В, обязательно ли /Покажется не левее А в этой классификации?

§ 12.6

12-45 (Янг). Докажите, что если А рекурсивно перечислимо и А рекур-
сивно неразложимо, то А неразложимо.

12-46. (а) Приведите пример рекурсивно разложимого иммунного мно-
жества. (Указание. Рассмотрите А ф А для некоторого иммунного множест-
ства А.)

△ (b) Приведите пример рекурсивно разложимого квазисжатого множе-
ства. (Указание. Возьмите /2(Л), как это определено в упр. 12-42. Исполь-
зуйте сплинтеры функции / для разложения /2(4). В силу упр. 12-45 это дает
рекурсивное разложение.)

^12-47 (Мак-Лохлин). Приведите пример рекурсивно неразложимого
множества, не являющегося ни конечным, ни квазисжатым. (Указание.
Используя упр. 12-22, обобщите доказательство теоремы XVIII.)

12-48. Назовем А строго гипергипериммунным, если А бесконечно и ни
для какой общерекурсивной функции / не выполнено условие (Vu)[W^(U) П
Л А =4 0] & (Vu)(Vp)[h =/= V =ф Wf(u) п = 01-

(а)	Докажите, что строго гипергипериммунное А не содержит бесконеч-
ных ретрассируемых подмножеств. (Указание. Пусть А содержит бесконеч-
ное ретрассируемое подмножество и ф — его ретрассирующая функция;
определите Wf(n) как n-й ярус дерева прослеживания ф, т. е. Wf(n) —
= {г |фп(г)='т}, где т— наименьший элемент ретрассируемого подмно-
жества.)

(Ь)	Докажите, что обобщенно сжатое множество А строго гипергинерим-
муино. (Указание. Обобщите доказательство теоремы V.)

А12-49 (Ейтс). Покажите, что если Л бесконечно и не гппергипериммунно,
то А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество. (Указание. Пусть
И^(о),	... — рекурсивно перечислимая последовательность попарно

не пересекающихся конечных множеств, каждое из которых пересекается
с А. Построим из IV^(o), Wy(j), . . . рекурсивно перечислимое дерево и с по-
мощью этого дерева определим ретрассирующую функциюф. Точнее, устроим
следующую процедуру. По ходу этой процедуры некоторые числа будут
покрыты (в определяемом ниже смысле); позднее они могут переставать быть
покрытыми, однако все рассматриваемые числа в конце концов сделаются
и останутся покрытыми. Пусть х0, z17 ... — рекурсивный пересчет множе-
ства В = TVj(C) |J Wf(t) U • • • • Как говорилось, мы будем перечислять упо-
рядоченные пары графика функции ф. Вначале ни одно число из В не покрыто.

Этап 1. Поставим в соответствие х0; теперь хв по определению счи-
тается покрытым. По мере того как элементы Иу(0) появляются при перечи-
слении множества В, упорядоченные пары, отображающие эти элементы в х0,
зачисляются в график ф.
Этап 1. Сопоставим первому непокрытому элементу из х0,
xlt . . . . Теперь этот элемент считается покрытым. По мере того как элемен-
ты W/ln) появляются... и т. д. Если в некоторый момент упорядоченная пара
(ж, у), в которой х у, будет зачислена в график ф (т. е. определено
ф (х)= у), то у перестает быть покрытым).

±12 50 (Ейтс). Покажите, что если Л бесконечно и не строго гипергипер-
иммунно, ' то А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество.
Таким образом, для всякого множества А справедлива эквивалентность:
А строго гииергипериммунно А бесконечно и не содержит бесконечных
ротрассирунмых подмножеств. (Указание. Метод, предложенный в упр. 12-49,
прямо обобщается и на этот случай.)

△12-51. Приведите пример гипоргипериммунпого множества, обладаю-
щего бесконечным рстрассируемым подмножеством. (Указание. Возьмите
эффективное разложение N в бесконечную совокупность бесконечных рекур-
сивных множеств, например {0} X N, {1} X N, . . . . Затем постройте
(с помощью неконструктивной диагонализации; множество А, содержащее
по элементу из каждого из этих рекурсивных множеств, но не пересекающееся
хотя бы с одним множеством из каждой рекурсивно перечислимой последо-
вательности попарно не пересекающихся конечных множеств- Тогда Л будет
гипергипериммунным, но не строго гипергипериммунным. В силу упр. 12-50
оно содержит бесконечное ретрассируемое подмножество.)

△12-52. Приведите пример бесконечного множества, не содержащего
бесконечных ретрассируемых подмножеств, нс не являющегося обобщенно
сжатым1). (Указание. Обобщите теорему V на итерации построения
из упр. 12-31.)

12-53. Докажите, что если А бесконечно, но не гипериммунно, то Л
рекурсивно разложимо. (Указание.  Построение из теоремы V дает искомое
рекурсивное разложение.)

△ 12-54. (Янг). НазовемЛ строго зипер иммунным, если А бесконечно и ни
для какой общерекурсивной функции/не выполняются условия (Vu) [ Wf(U) Q
П с1 ¥= 0], iVu) (Vr)[u v => ТУ/(И) П W7(I>) = 0| и (Vx)[a:CA=>
=> (Эя)[г g W/(u)]]. Назовем А строго гидерпростым, если Л рекурсивно
перечислимо и Л строго гипериммунно.

(а)	Докажите, что Л гипергиперпросто ==ь Л строго гиперпросто, (Ука-
зание. См. упр. 9-48 (Ь).)

(Ь)	Докажите, что Л строго гиперпросто =ф Л гиперпросто (Указание.
См. упр. 12-39.)

(с)	Покажите, что никакое множество с ре трассируемым дополнением
не может быть строго гиперпростым. (Указание. См. указание к упр.
12-48 (a) j

(d)	Выведите отсюда, что существуют гпперпростые множества, не являю-
щиеся строго гиперпростыми. (Указание. См. (vi) из упр. 9-44.) (Существова-
ние строго гиперпростых множеств, не являющихся гипергиперсростыми,
будет установлено я упр. 12-64.)

△12	-55. (Мак-Лохлин, Мартин;. Докажите, что коконечные и гипергипер-
простые множества образуют дуальный идеал в '& (Указание. Покажите,
что [Л и В рекурсивно перечислимы & Л () В содержит бесконечное ретрас-
сируемое подмножество] =$>А или В содержит бесконечное ретрассируемое
подмножество. Результат следует из эквивалентности (8)* V-s>- (9)*, т. е. из
упр. 10-19.)

△	12-56. (Мак Лохлин). Докажите, что существует не более наполнен-
ных сжатых множеств. (Указание. Достаточно доказать, что если С — напол-

1) Чтобы это упражнение опровергало импликацию (8)=ф(4) (как это
объявлено на стр. 243), надо еще потребовать, чтобы соответствующее мно-
жество не было квазиежатым. — Прим, рёд.
ненное сжатое множество, то для некоторого z имеем С cz Wz и Wz — С
рекурсивно неречислимо. Допустим противное. Рассмотрим =
- {В I (Э2) (ЭВ) [В — Wz — (Wy и С) & С cz.Wz &. W„ cz W2 - С]}. Оно
замкнуто относительно пересечения, ь все множества из .за бесконечны.
Применяя метод доказательства теоремы XVII (см. упр. 12-24), найдите такое
сжатое множество С, что С — В конечно для всех В Г: ,'В. Отсюда заключаем,
что С L1 С сжато, что противоречит наполненности С.)

△ 12-57. (Мак-Лохлин). Покажите, что существует неразложимое множе-
ство, обладающее бесконечным ретрассируемым подмножеством. (Указание.
Пусть А — рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество, (i) Как
в упр. 12-22, существует такая общерекурсивная функция /, что ТР/(Х), х =
=• 0, 1,2, . . ., — последовательность попарно не пересекающихся множеств,
объединение которых есть А. (ii) Заметим, что для этой последовательности
справедливо свойство 12-21 (b). (iii) Найдем такое сжатое С, что С cz А
и (Vx) 11РХ cz А =$ Wx П С конечно] (см. упр. 12-24). (iv) Рассмотрим —
<= {В | В рекурсивно перечислимо и В ~~1 6’}. Из (ii) получим, что для всякого
В Ух) П В бесконечно], (v) Применим метод доказательства тео-
ремы XVIII в форме, обобщенной в упр- 12-47, чтобы найти сжатые множе-
ства Сс, СЛ, . . ., такие, что (Vx) [Сж czWy(xj] и (Vx)[Cx П В бесконечно]
для всякого В g eft. (vi) Рассмотрим множество С (J Со (J Q IJ .... В силу
(V) это множество неразложимо. Согласно упр. 12-50, оно имеет бесконечное
ретрассируемое подмножество.)

12-58. (Тенненбаум). Пусть / — всюду определенная функция, область
значений которой есть В и (Vz) (Эн) (Vm) [[тг < т &. <pz (т) определено] =>
==. <pz (т) < / (т)] Докажите, что К О-рй.

△ 12-59. (а) (Ейтс;. Докажите, что существует полное максимальное мно-
жество. (Указание. Используйте упр. 12-58 для модификации построения
из теоремы XL) (Значение этого результата по отношению к работе Поста
[1944] обсуждалось в § 9.6.)

(Ь) (Сакс). Докажите, что существует неполное максимальное множество.
(Указание. Приспособьте построение из теоремы XI, используя второе мно-
жество маркеров на данном списке, а также дополнительный список с марке-
рами, чтобы одновременно получить конструкцию, сходную с конструкцией
из теоремы 10-III.)

12-60. Докажите, что всякое наполненное множество есть дополнение
к максимальному множеству. (Указание. Примените теорему XIX вместе
с конструкцией из упр. 12-56.)

12-61. (а) Докажите, что если X квазимаксимально и А — объединение
сжатых множеств из п различных классов с-эквивалентности, то А есть пере-
сечение максимальных множеств из п различных элементов ‘З/ЗУ (Указание.
Воспользуйтесь теоремой XX.)

(Ь) Докажите, что дополнение любого ввазимаксимального множества
есть объединение наполненных множеств. (Указание. Воспользуйтесь-упр.
12-60.)

Д12-62. (Р. В. Робинсон), (а) Покажите, что существует 1-максимальное>
но не максимальное множество. (Указание. Постройте такие рекурсивно
перечислимые множества А я В, что А с: В, В максимально, В — .4 беско-
нечно и А рекурсивно неразложимо. Для этого следующим образом изменим,
кснструкпию Ейтса из теоремы XI. Четные и нечетные маркеры рассматривают-
ся порознь; z-штпат элемента х на зтапе п + 1 определяется, как и раньше.
Модифицированный z-uimam элемента х относительно у на этапе п -|- 1
определяется с помощью такого изменения в определении z-штата:

_ | 1, если х g	у б iy|n+1) и i С и,

(01 прстпвном случае
при 0 i sg z. Маркеры сдвигаются так же, как в теореме XI, с теми исклю-
чениями, что четный маркер 2т должен переместиться на q > т, при-
чем х£> находится в большем m-штате, чем а нечетный маркер 2m+ 1
должен сдвинуться на х^\ р > 2т + 1, причем находится в большем
модифицированном m-штате, относительно х^т, чем я^т+Г Положим А =
— {х | х в конце концов остается без маркера}, В = A (J {я | х в конце концов
остается с нечетным маркером}. Докажите, что (1) каждый маркер, начиная
с некоторого момента, больше не сдвигается, (2) В максимально и (3) для вся-
кого z (Wz П В бесконечно) А — ^'конечно. Выведите из (3), что (4)
А рекурсивно неразложимо. Доказательство (1) почти тождественно доказа-
тельству леммы 1 к теореме XI. Доказательство (2) оперирует с четными мар-
керами и почти совпадает с доказательством леммы 2 к теореме XI. Доказа-
тельство (3) аналогично доказательству леммы 2 к теореме XI; доказывается,
что если дано z, то для достаточно большого т существует точно один модифи-
цированный z-штат относительно х2т, содержащий бесконечно много эле-
ментов А, оканчивающих в нем свой путь (где х2т — заключительное' поло-

жение маркера

2т ). ((4) выводится непосредственно.)

(Ь) Обобщая описанную конструкцию, покажите, что для любого рекур-
сивно перечислимого множества В существует такое рекурсивно перечислимое
множество А, что В—А бесконечно и для всех z имеем (В — Wz конеч-
но) => А •— Wz конечно. (Заметим, что это упражнение вместе с упр. 12-50
влечет за собой результаты упр. 12-47 и 12-57.)

△12-63. (Р. Робинсон). Покажите, что существует обобщенно сжатое, но
не квазисжатое множество с рекурсивно перечислимым дополнением 1). (Ука-
зание. Постройте рекурсивно перечислимые множества Яг, г = 0, 1, 2, .  .,
так, что для всех i выполнены условия Ht с Н^, Hi+l — сжато и Но
обобщенно сжато. Построение идентично построению Ейтса иг теоремы XI,
за тем исключением, что условие находится в большем m-штате (па этапе
п + 1), чем дополняется требованием „и л1(?)	nt(m)“. Полагаем =

= {х | х в конце концов остается без маркера}, и для 1>0 определяем Hi —
= {я | а: в конце концов получает такой маркер | т|, что ni(m) < i}. Аналогич-
но тому, как доказываются леммы 1 и 2 к теореме XI, устанавливается, что
множества Ht, i — 0, 1, 2, . . ., обладают требуемыми свойствами.)

12-64 (Р. В. Робинсон). Покажите, что существует строго гиперпростое,
но не гипергиперпростое множество. (Указание. Воспользуйтесь результатом
упр. 12-62.)

△ 12-65 (Янг). Покажите, что существуют такие А и В, что А ^1В, но
А ^iB, где Ci определена в упр. 7-34. (Указание. Возьмите А и В, построен-
ные в упр. 12-62. Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная функция,
перечисляющая А. Тогда А 1-сводится к f(A) посредством функции /. Пока-
жите, что ни для какой общерекурсивной сводящей функции g не выполняется
A^{f(A) посредством g.)

12-66 (Мартин). Если <рх — характеристическая функция некоторого
множества, положим Сх = (у | <рж(у) = 1}. Назовем А с-строго гипериммун-
ным, если А бесконечно и пе существует такой общерекурсивной функции /,
чтобы (Vм)[фди.) — характеристическая функция], (Vu)[C/(U) [~| А ф 0]

Слова „но не квазисжатое“ тут лишние, поскольку обобщенно сжатое
множество по определению не является квазисжатым.— Прим. ред.
И (Vu)(Vu)[u	v =Ф Су(Ц) С/<и) — 0]- Назовем А с-строго гиперпростым,

если А рекурсивно перечислимо, а А с-строго гипериммунно.

(а) Докажите, что А с-строго гиперпросто <=> А строго гиперпросто.

△(b) Докажите, что А с-строго гипериммунно <=> А не содержит беско-
нечного ретрассируемого множества, обладающего всюду определенной рет-
рассирующей функцией. (Указание. См. упр. с 12-48 по 12-50.)

12-67. (а) Докажите, что всякое квазимаксимальное множество содер-
жится в некотором максимальном.

А (Ь) (Лахлан). Покажите, что существует гипергиперпростое множество,
не содержащееся ни в каком максимальном.

Д(с) (Р. В. Робинсон). Покажите, что существует г-максимальное мно-
жество, не содержащееся ни в каком максимальном множестве.
Глава 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ

§ 13.1.	Операция скачка 326

§ 13.2.	Некоторые важные множества и степени 336

§ 13.3.	Полные степени; категории и мера 341

§ 13.4.	Упорядочение степеней	351

§ 13.5.	Минимальные степени	355

§ 13.6.	Частичные степени 359

§ 13.7.	Решетка Медведева 363

§ 13.8.	Дальнейшие результаты	372

§ 13.9.	Упражнения 380

§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА

В этой главе изучается упорядочение совокупности Т-степэней
неразрешимости отношением сводимости. Мы рассматриваем эту
структуру на совокупности всех Т-степеней, неважно, рекурсивно
перечислимых или нет.

Большой интерес исследователей к этой области позволил
получить значительное число результатов. Некоторые из резуль-
татов этой главы получены раньше, чем результаты, изложенные
в гл. 10.

Основное различие между упорядочениями рекурсивно пере-
числимых степеней и всех степеней заключается в том, что второе
упорядочение несчетно. Как мы увидим, ряд других структурных
свойств упорядочения рекурсивно перечислимых степеней (напри-
мер, плотность) не сохраняются в общем случае. Доказательства
в общем случае могут быть весьма неконструктивными, так как
обычно не нужно заботиться о рекурсивной перечислимости
строящихся объектов. Тем не менее часто доказательства имеют
комбинаторной характер, что делает их простыми и элегантными.
Нашей главной целью будет проиллюстрировать имеющиеся здесь
способы доказательства и скорее дать читателю почувствовать,
что можно и чего нельзя сделать, нежели доказать известные ре-
зультаты в самой сильной форме. Значительное число не доказан-
ных в тексте фактов отнесено в упражнения и перечислено в § 13.8.
Как отмечается в § 13.8, некоторые из наиболее сильных резуль-
татов получаются при использовании описываемых в настоящей
главе методов в сочетании с методами приоритета, описанны-
ми в гл. 10.

.Операция скачка является одним из основных понятий при
изучении степеней. Мы определяем ее сначала на множествах,
а затем на степенях.

Определение. Положим для любого множества А

А' = {х | фх (х) определено} = {х I х С Wx}-
Множество А' называется скачком. или пополнением множества А.
(А' совпадает с множеством КА, определенным в § 9.3.)

Ряд основных свойств операции скачка> на множествах приве-
ден в теореме I. Оказывается, операция скачка зависит от выбора
гёделевой нумерации частичнорекурсивных функций. Однако из
теоремы I следует, что если At и А2 — скачки множества А,
полученные с помощью двух различных допустимых гёделевых
нумераций (в смысле упр. 2-10), то Ai = Л2 (см. упр. 13-1 *)).

Теорема I. (а)	<=> В и В рекурсивно перечислимы отно-

сительно А.

(Ь)	А' рекурсивно перечислимо относительно А.

(с)	А' А.

(d)	В рекурсивно перечислимо относительно А <=> В А'.

(е)	А <т В <=> А' В'.

Доказательство. Пункт (а) есть теорема 9-IV. Пунк-
ты (Ь) и (с) получены при доказательстве теоремы 9-Х.

(d)	=>. Неформальное доказательство получается параллель-
но доказательствам теорем 7-Ш и 7-IV. Более формальное дока-
зательство может быть получено следующим образом. Пусть В =
= WA и дано произвольное w. Рассмотрим {{х, у, и, v) | (ip, у,
и, v) Е Wр(2)}. Согласно второй теореме о проекции, это множе-
ство рекурсивно перечислимо, и его индекс может быть найден
по in и z равномерно эффективно. Пусть g — такая рекурсивная
функция, что Wg(u}, 2) = {{х, у, и, р) | (ip, у, и, и) £ ИЛр(2)}.
Ясно, что это множество регулярно (в смысле § 9.2). Поэтому

BZpg(u), z) = Wg(w. z)-

Теперь g(w, z) E A' g(w, z) E Wf(w, z) <=> (3y) (3u) (3p) [ (tn,
y, u, v) E Жр(г) & Du <= A & Dv с Л1 о w E WA <=> w E B.
Значит, В 1-сводится к А' функцией kw [g(in, z)J.

Ф=. Это следует из части (Ь) теоремы 9-IX (релятивизованной
теоремы о проекции).

(е)	Пусть А QB. Согласно (Ь), множество А' рекурсивно
перечислимо относительно А. В силу (с) А' =/= 0. Поэтому А'
есть область значений некоторой рекурсивной относительно А
функции /. Но если / рекурсивна относительно А, то / рекурсивна
и относительно В, так как А В. Поэтому А' рекурсивно пере-
числимо относительно В и в силу (d) A' В'.

<=. Пусть A' В'. Элементарные построения показывают,
что множества А и А рекурсивно перечислимы относительно А.

г) Отметим, что нумерация Л-рекурсивных функций определяется по тео-
реме 9-II нумерацией частичнорекурсивных функций.
Поэтому, согласно (d), Л^Л' и Л А'. Значит, Л
и Л Из (d) следует, что множества Л и Л рекурсивно пере-
числимы относительно В. Поэтому в силу (а) А ^т2?.и

Следствие I. (а) Л =т В <=> Л' = В'.

(Ь) В <т Л <=> [Я С, Л' & В Л'].

(с) Пункты (b), (d) и (е) теоремы I выполняются равномерно
в следующем смысле. Пункт (Ь): (Эг)(УЛ)[Л' = Wfl. Пункт (d):
существуют такие общерекурсивные функции f и h, что [В =
= Wf => В А' со сводящей функцией <Р/<Z)I и [В А' со сво-
дящей <fz=> В = Wh(2)l- Пункт (е): существуют такие общере-
курсивные / и h, что (сА =	=> A' В' со сводящей функцией

Ф/ <z >) и (Л' В' со сводящей ф2 => сА — фщ2)).

Доказательство. Пункты (а) и (Ь) очевидны. Пункт
(с) получается как результат следующего исследования формаль-
ных построений из теоремы I. Рассматривая пункт (Ь) теоремы I,
выберем z так, чтобы Wz = {(х, у, и, и) | {х, у, и, v) € Жр^)}.
Отсюда следует, что И/р(2) = Wz и что для всех Л имеет место
А' = Wz. Для проверки утверждения о пункте (d) теоремы I
возьмем такое /, что Ф/(?) = Au?[g(w, z)]; h выбирается аналогично.
Примерно так же обстоит дело с пунктом (е) теоремы 1.н

На основании теоремы I и следствия I мы заключаем, что упо-
рядочение Т-степеней изоморфно вкладывается в упорядочение
1-степеней. (Однако в отличие от изоморфизмов, связанных
с m-цилиндрами и tt-цилиндрами, образ Т-степени при этом
изоморфизме не попадает в ту же Т-степень.) Из следствия I (а) вы-
текает, что операция скачка корректно определена на Т-степенях
и что она переводит каждую Т-степень в однозначно определенную
более высокую Т-степень. Дальше мы используем следующие
обозначения (обычные в рассуждениях о степенях).

ОбознАЧЕНия. Буквами а, Ь, с, . . . будем обозначать степени.
О обозначает рекурсивную степень. Для всякого а через а' будет
обозначаться (однозначно определенная) степень множества А',
где Л — любое множество из а. Степень а' называется скачком,
или пополнением степени а. Если Ь = а' для некоторого а, то
Ь называется полной степенью.

Для любых степеней а и Ь формула а Ь будет означать, что
а Т-сводима к b; а < b означает, что а Ь и b а; а | b озна-
чает, что а Ьи b а (мы говорим тогда, что а и b несравнимы)-,
a ub будет обозначать сочленение степеней а и Ь.

Степень а называется рекурсивно перечислимой относительно
Ь, если существуют такие Л Е а и В f Ь, что Л рекурсивно пере-
числимо относительно В (см. упр. 13-6). Степень а называется
рекурсивной относительно Ь, если а Ь. Когда мы говорим, что
А рекурсивно относительно Ь (или что / рекурсивна относитель-
но Ь), мы имеем в виду, что А (или /) рекурсивно относительно
некоторого В Е Ь.

Примеры. 0 С 0. К О', а а'. а' а.

Из теоремы I вытекает следующее основное соотношение: а

Ь=> а'Ь'. (В § 13.3 будет показано, что обратная имплика.
ция неверна.)

Итерации скачка мы будет обозначать следующим образом.
Для любого А

Л(0> = А,

(Л(П) называется n-м скачком мноягества А.)
Соответственно, для всякой а

а<0> = а,
а<п+1> = (а<п>)'.

Пример. (Vra)[0(n> € 0<п>].

Следствие I (d). Существует такая общерекурсивная функция
f, что, каковы бы ни были А, х и у, [х у => Л<ж> 1-сводится к А<у>
функцией <р/(х, j/)l> Существует такая общерекурсивная g, что
для любых А. В их если <рг i-сводит А к В, то <pg(z ж) 1-сводит.
А<х> к В‘х\

Доказательство. Это вытекает из следствия I (с)
и существования такой общерекурсивной функции к, что если
<pz 1-сводит А к В, то сА — q>f(z). я

Элементы возрастающей последовательности 0, 0',0", ...,0<П),...
особенно полезны в качестве ориентиров в упорядочении степеней.
В § 13.2 мы сосредоточим наше внимание на 0' и 0". В гл. 14 мы
обнаружим другие естественные свойства этой последовательности
и увидим, какое значение имеет она для логики и теории рекур-
сивных функций.

Некоторые свойства упорядочения степеней уже отмечались.
Каждая степень состоит из множеств; поэтому всего имеется
2м степеней. К каждому множеству сводится множеств;
поэтому ниже любой степени имеется не более х0 степеней.

Результаты, полученные в гл. 10 о рекурсивно перечислимых
степенях, дают нам дополнительную информацию. (Отметим, что
все рекурсивно перечислимые степени ^С0'.) Теорема Мучника —
Фридберга (теорема 10-Ш) показывает, что между 0 и О' существуют
несравнимые степени. Более того, следствие 10-III указывает
х0 степеней между 0 и О'. Другие результаты, сформулированные,
но не доказанные в гл. 10, дают нам дальнейшие сведения. Теорема
Сакса о плотности множества рекурсивно перечислимых степеней
(см. § 10.3) утверждает, что существуют плотные цепи степеней
между 0 и О'. (Релятивизация результата Мучника — Фридберга
показывает, что для любого А существуют несравнимые рекурсив-
но перечислимые относительно А множества. Поэтому, какова бы
ни была степень а, между а и а' существуют несравнимые степени.
Следствие 10-Ш и результат Сакса также допускают подобную
релятивизацию.) В дальнейшем мы будем опираться только на
доказанные в предыдущих главах результаты. Так, в § 13.4 мы
докажем, что между 0 и 0' существуют плотные цепи. Приводимое
доказательство (принадлежащее Клини и Посту) проще, чем
доказательство теоремы Сакса, поскольку теперь мы не требуем,
чтобы строящиеся степени были рекурсивно перечислимыми.

Можно определить операцию скачка и с бесконечным показа-
телем.

Определение. Л(ш) = {(ж, у) | х Е Л<у’}. называется со-
скачком, или ^-пополнением множества А.

Очевидно, при любом п А<п> А(и) и 4(м) <т^(’г). Сле-
дующая теорема показывает, что о-скачок определен корректно
и на степенях.

Теорема II. А ^ТВ => Л(ш) Ci

Доказательство. Пусть А ^тВ. По следствию I
можем найти такую общерекурсивную g, что 4(У) 1-сводится
к В(У+1) функцией <pg(j,). Поэтому имеем

<ж, у) е л(ш) <=> хе а^ <=> qg(y)(x) ев^> <=>

<=> (ф,(г/)(ж), у + 1)€В(“\ .

Полагая /((ж, у)) = (фг(у)(ж), у + 1), получим, что / 1-сво-
дит Л(ю) к В1ь)).и

Обратное к теореме II утверждение опровергается, если,
например, взять А и В = Ат для некоторого п > 0. По теоре-
ме II, Л(ш)	Но (ж, у) Е В(“)<^>х6В(у)<=>ж€Л<п+и><=>

<=> (ж, п^-у} £ Л(ш). Значит,	Л(т). Поэтому В(а) =

хотя В ^тА.

Определение. Будем говорить, что а<ш) есть (однозначно опре-
деленная) степень множества Л(ш), где А — произвольное мно-
жество из а.

(Заметим, что для всякой степени а ниже а(и) находится беско-
нечная цепь степеней.)

Теорема III (Шёнфильд, Клини, Пост). Существуют несчетные
цепи степеней.

Доказательство. По лемме Цорна (упр. 12-11) суще-
ствует максимальная цепь степеней. У этой цепи не может быть
наибольшего элемента, так как в противном случае с помощью
скачка такого элемента можно было бы построить более длинную
цепь. Предположим, что эта цепь счетная; пусть тогда а0, а4,
а2, ... — последовательность степеней, конфинальная нашей
цепи. Пусть Л о, А,, ... — такая последовательность множеств,
что (У/)[Лг £ а,]. Тогда В — {{х, у) | х € Ау} больше (по своди-
мости) всех членов этой последовательности, а потому его степень
b больше всех элементов нашей цепи, что противоречит предпо-
ложению о максимальности цепи.и

Следствие III. Над всякой степенью а существует несчетная
цепь степеней- Всякая максимальная цепь степеней несчетна.

Доказательство очевидно. в

Следующее понятие будет более подробно изучено в гл. 14.

Определение. Множество А называется арифметическим отно-
сительно В, если A ^Z?B<n) при некотором п. Множество А назы-
вается арифметическим, если А — арифметическое относитель-
но 0.

Эти понятия определены и на степенях, поскольку оператор
скачка корректно определен на степенях. Будем говорить поэтому,
что а — арифметическая степень, если а 0(П) при некотором п,
и что а — арифметическая относительно Ь степень, если а Ъ(П)
при некотором п. Мы увидим (в гл. 14), что арифметические мно-
жества — это в точности множества, определимые в элементарной
арифметике, и что 0<“) рекурсивно изоморфно множеству всех
истинных высказываний элементарной арифметики. Ясно, что
если А арифметично относительно В, то Л(ш) В(ш) (см.
упр. 13-9). (С помощью методов Коэна Сакс показал, что обратная
импликация неверна.) Назовем а арифметически эквивалентной Ь,
если а — арифметическая относительно b, а b — арифметическая от-
носительно а. Легко видеть, что отношение „быть арифметическим
относительно" рефлексивно и транзитивно (упр. 13-10), а потому
арифметическая эквивалентность есть отношение эквивалентности
(и мы можем говорить о классах эквивалентности как о „степе-
нях"). Пусть степени а и b арифметически эквивалентны; обяза-
тельно ли существуют такие т и п, что a(m) = Ь(П)? Мартин
и Лахлан показали, что это, вообще говоря, не так (см. § 13.8).

Как далеко по трансфинитам можно продолжить операцию
скачка? Можно попытаться следующим образом обобщить построе-
ние множества Л(<и). Пусть [3 = а + 1 и Л(а) уже определено;
положим Л(р) = (Л<“>)'. Если же у — счетный предельный транс-
финит, то пусть {pn} f такова, что lim рп =у, и пусть Л(рп) опре-
п

делены при всех п. Положим Л(т) = {{х, у) | х € Л(Ру)}. При
таком способе, однако, степень множества A(v) определяется
некорректно (см. упр. 13-8). Чтобы избежать этой трудности при
определении А1^, следует ограничиться эффективными, в некото-
ром смысле, последовательностями ординалов. Поэтому изучение
итераций скачка тесно связано с изучением конструктивных
ординалов. Мы рассмотрим эту связь подробнее в гл. 16.

Основным предметом изучения в этой главе является структура
степеней с отношением и операциями ' и и (и в меньшей мере
с отношением „быть рекурсивно перечислимым относительно1' и
операцией Удобно ввести некоторые вспомогательные поня-
тия и обозначения.

1.	Нам будет удобнее работать с характеристическими функция-
ми множеств, а не с самими множествами. Напомним, что (по
теореме 9-VII) для любых А и В

А рекурсивно относительно	рекурсивно

относительно св<=>А рекурсивно относительно т(св)
и что первая эквивалентность выполняется равномерно в каждом
направлении (вторая эквивалентность справедлива по определе-
нию). Будем пользоваться обозначением для сокращенной
записи функции

2.	Всякая функция с рекурсивной областью определения будет
называться сегментом. (В частности, сегментом является каждая
всюду определенная функция.) В отличие от предшествующих
разделов мы будем употреблять символы /, g, h, . . . для обозна-
чения сегментов (не обязательно всюду определенных). Если / —
сегмент и область определения f есть 0 или {0, 1, . . ., п} для
некоторого п, то / называется начальным сегментом. Наименьшее
число, не принадлежащее области определения начального сегмен-
та, называется длиной- этого сегмента. Если У и g — сегменты
и / g, то назовем / продолжением сегмента g. В приводимых
ниже доказательствах, если не оговорено противное, предпола-
гается, что значения всех сегментов принадлежат (0, 1}. Если
У — сегмент, то ср? — сокращенное обозначение функции
Всякий начальный сегмент является финитным объектом. Когда
мы говорим, что знаем (или можем вычислить) некоторый началь-
ный сегмент /, то имеем в виду, что знаем (или можем вычислить)
канонический индекс для т(/).

3.	Введем следующее специальное обозначение (здесь / —
сегмент):

Г ср?г(х),	если все вопросы относительно/,

I	заданные в процессе вычисления

г/	,	.	।	(с индексом z), касаются значе-

Ф2 J	w =	j	ний аргументов, для которых У

।	определена;

t расходится в противном случае.
§ 13.

Более формально,
tpfOU) = у <=> (3u)(3v)[(x, у, и, v) Е Wp

& Z>Dc Д?) & (Vx)(Vy) [ U, у} ED,

Если <j>Kl(x) — у, то и для любого g, продо^жО

Заметим, что для начальных сегментов к
рекурсивно перечислимо, как отношен^
(где / представлено каноническим инде)
{(и, х, у, z) | (3/)[/ — начальный сегмент
= у]} рекурсивно перечислимо (по второ'Я
Пусть обозначает область определен

Во многих доказательствах будет встрн^
ду определенной функции как объедиг;
(Такой общий подход к проблемам, каса
впервые применен Клини и Постом [19541.
берга теоремы 10-Ш можно рассматрива
всюду определенных функций с помощь
(В теореме 10-Ш мы не пользовались пош
образом для того, чтобы с помощью пр
подчеркнуть рекурсивную перечислимость
Если отказаться от требования рекурс
то доказательство Фридберга значительн



допускаются неконструктивные
простое доказательство, чтобы
сегментной техники.

шаги).

продемон•

Теорема IV (Клини, Пост,

Фридберг^»

множества А и В, что А не рекурсивно п$
но В, а В не рекурсивно перечислимо отно

Доказательство. Определим

сегментов: /0, Д, ... и g0, gi, . . . . Фунй

a g = U gi будет сБ J). Построение произ

Этап 0. Положим /0 = g0 = 0.

Этап 2п + 1. Пусть т = 2п. Пуст
/т. Проверим, существует ли начальный
щий gm, для которого хт Е Wlnel. (Эта опер
Если да, то полагаем /m+i = fm U
нет, положим fm+l=/m U 1}},

1) Мы сокращаем запись U Л до U
1=0 г
образом, на этапе 2п + 1 мы добиваемся, что для определяемой
функции g хт£А <=> хт £ W„-)

Этап 2п + 2. Пусть т. = 2п + 1- Определение этапа 2п + 2
получается из определения этапа 2п + 1, если символы / и g
(с индексами или без) всюду поменять местами.

Положим / = J Л, g = U ёь А = {х | f(x) = 1} и В =
i	i

= {ж| g(x) = 1). Из построения следует, что для всех п A ^Wn
И В=£ W$.u

(В § 13.2 мы увидим, что построенные выше множества А и В
рекурсивны относительно О'.)

Следующая теорема Шёнфильда [19601 дает новую важную
информацию об упорядочении степени и в то же время служит
новым примером использования сегментной техники.

Теорема V (Шёнфильд, Клини, Пост). Существует несчетное
множество попарно не сравнимых степеней,

Доказательство. Из леммы Цорна следует, что суще-
ствует максимальное множество попарно не сравнимых нерекур-
сивных степеней. Достаточно доказать, что это множество не
может быть конечным или счетным. Это вытекает из следующей
леммы.

Лемма. Пусть Ло, Alt . . ., Ап, ... — произвольная после-
довательность нерекурсивных множеств. Тогда существует такое
множество В, что при всяком п множества В и Ап несравнимы.

Дока зательство леммы. Определим характери-
стическую функцию / множества В с помощью цепи начальных
сегментов. Построение происходит по этапам.

Этап 0. Положим /0 = 0.

Этап 2п 4- 1. Пусть т = 2п. Возьмем такие у и z, что п —
= (у, z). Пусть хт — длина сегмента /т. Проверим, выполняется
ли равенство ф^«(хт) = 0. Если да, полагаем

fm+i — fm U !)}•

Если нет, то положим /m-н	0)}. (На этом этапе

мы добиваемся, чтобы / =4 для определяемой нами функции /.)

Этап 2п + 2. Пусть т = 2п + 1, п = (у, z). Проверим?
существуют ли такие число х и начальный сегмент /, продолжаю-
щий fm, что фШ(я) определено и не равно сду(х). Если да, поло-
жим fm+i = /. Если нет, положим /m+i — fm- (Этот этап обеспе-
чивает выполнение соотношения сду #= <р£. Ясно, что это так,.
если такой сегмент / существует. Если же такого / нет, то для всех
продолжений / сегмента /т имеем cz сду. Поэтому- Е =
= {{и,	(3 начальный сегмент f) [fm cz / & срГЛ(и) = vl} cz

с: cAy. Если сду = q>4 для некоторого всюду определенного про-
должения / сегмента fm, то рекурсивно перечислимое множество Е
совпадает с сам; но тогда сду — рекурсивная функция, что про-
тиворечит предположению о нерекурсивности Ау.)

Положим / = U/i и В = {х ] /(ir) = 1}. Мы убедились, что
i

при всех у множество В не рекурсивно относительно Ау, а Ау не
рекурсивно относительно В. Этим заканчивается доказательство
леммы, а вместе с ней и теоремы. и

Следствие V. Для всякой степени а > 0 существует несчетное
множество степеней, не сравнимых с а.

Доказательство очевидно.в

Заключительные замечания

Назовем некоторое свойство степеней, или операцию на степе-
нях, теоретико-порядковым, если оно инвариантно относительно
всех автоморфизмов упорядочения степеней (см. обсуждение
в § 12.1). Степень 0 и операция и, очевидно, являются теоретико-
порядковыми. Не известно, являются ли таковыми операция
скачка и отношение „быть рекурсивно перечислимым относительно11.
Не известно по существу, обладает ли упорядочение степеней
нетривиальными автоморфизмами. (Рекурсивные преобразования
индуцируют только тождественный автоморфизм.) Открытыми
являются также следующие проблемы однородности'. (1). Верно ли,
что для всякой степени а существует изоморфизм между упоря-
дочением всех степеней и упорядочением степеней, ограниченным
множеством {Ь | а Ь) ? (2) Верно ли, что для всякой степени а
существует изоморфизм описанного в (1) вида, сохраняющий опе-
рацию скачка и отношение „быть рекурсивно перечислимым отно-
сительно"! *) При изучении дальнейших теорем и упражнений
читатель заметит, что утвердительный ответ на вопрос (2) значи-
тельно упростил бы существующие доказательства. Различные
„релятивизованные" формы теорем сделались бы непосредствен-
ными следствиями их простейших, нерелятивизованных вариан-
тов.

!) Фейн е р Л. (F е i n е г L., The strong homogeneity conjecture,
Journ. symb. logic, 35 (1970), № 3, 375—377) получил отрицательное решение
проблемы (2). Он показал, что {d | 0 d 0"} и {d | 0<°> d С 0<8>)
не изоморфны.— Прим, перев.
§ 13.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТЕПЕНИ

Уясним теперь значение степеней О, О' и 0" (а также степеней
а' и а" для произвольной степени а) и укажем некоторые типич-
ные множества, принадлежащие этим степеням.

Степень О

По определению это степень всех рекурсивных множеств.
Она содержит множества 0 и N в качестве своих членов и являет-
ся наименьшей в упорядочении степеней. Мы часто пользуемся
множеством 0 как представителем этой степени,

Степень 0 '

По определению это степень множества 0'. Ей принадлежит
множество К. (На самом деле 0' = К, потому что по теореме I
0' должно быть полным относительно 1-сводимости.) В 0' входят
также множества К, {х | Wx = 0 } и {х | Wx =/= 0 }. Рекурсив-
ный изоморфизм между {х | Wx = 0} и К (а потому и между
{х | 1УЖ 0} и К) вытекает в силу теоремы 7-VI из упр. 7-12.

Степень 0' есть степень проблемы остановки. Вычислительная
процедура рекурсивна относительно 0' (т. е. рекурсивна относи-
тельно 0'), если она эффективна во всем, кроме требования решать
в отдельных явно заданных случаях проблему остановки, т. е.
требует ответа на вопрос, произойдет ли некоторое точно описан-
ное (и эффективно распознаваемое) событие хотя бы однажды
по ходу некоторого эффективного вычисления. Рассмотрим, напри-
мер, осуществленное при доказательстве теоремы IV построение
множеств А 'и В, ни одно из которых не является рекурсивно
перечислимым относительно другого. На (2п + 1)-м этапе зада-
вался вопрос: существует ли продолжающий gm начальный сег-
мент g, для которого хт € Если сегмент gm задан, то сово-
купность всех таких продолжений рекурсивно перечислима
с р. п. индексом, равномерно зависящим от gm, хт и п. Таким
образом, чтобы ответить на поставленный вопрос, требуется
решить для некоторого явно заданного частного случая пробле-
му остановки. Подобный вопрос возникает и на этапе 2п + 2. Поми-
мо этих вопросов описанная процедура полностью эффективна.
(Например, на этапе 2п + 1, если известно, что ответ на упоми-
навшийся вопрос — положительный, продолжение g с нужными
свойствами может быть найдено с помощью эффективного поиска.)
Отсюда следует, что функции fug рекурсивны относительно О'.
Итак, мы получили следующее
Следствие IV. (а) Существуют такие множества А и В, что
А К, В К, множество А не рекурсивно перечислимо отно-
сительно В и множество В не рекурсивно перечислимо относитель-
но А.

(Ь) Существуют такие степени а и Ь, что 0 < а < О', 0 <
С b <' 0' и а | Ь.

Доказательство. Пункт (а) доказан выше. Для дока-
зательства (Ь) возьмем в качестве а и b степени множеств А и В
соответственно. Так как для любых А и В имеет место А В =>
=> А рекурсивно перечислимо относительно В, а и b должны быть
несравнимыми и отличными от 0 и О'.и

(Можно, конечно, получить теорему IV и следствие IV как
следствия из теоремы 10-Ш; непосредственное обращение этой
дедукции, однако, невозможно, потому что, как мы покажем
в § 13.3, не всякая меньшая 0' степень содержит рекурсивно пере-
числимое множество.)

Степень а'

Интуитивный смысл степени а' аналогичен смыслу, присущему
степени О'. Вычислительная процедура рекурсивна относитель-
но а', если она эффективна во всем, кроме необходимости решать
некоторые частные случаи (релятивизованной) проблемы оста-
новки для рекурсивных относительно множества А процедур,
где А — некоторое множество из а. Проиллюстрируем сказанное
доказательством следующей теоремы.

Теорема VI (Клини, Пост). (Va)[0 < а => (ЗЬ)[Ь | а & b < а']].

Доказательство. Проводимое построение сходно
с построением из теоремы V. Пусть А £ а. Мы построим функцию
/ с помощью начальных сегментов /0, Д, . . .; b будет степенью
множества с характеристической функцией /.

Этап 0. Положим /0 = 0.

Этап 2п + 1. Пусть т = 2п, хт — длина сегмента fm.
Проверим, выполняется ли равенство ф„ (а:т) = 0. Если да, то
положим = U {{^т, !}}• Если нет, положим

/т+1 — fm U

Этап 2п + 2. Пусть т = 2п + 1. Проверим, существуют ли
такие число х и продолжающий /т начальный сегмент /, что
фВДх) определено и не совпадает с сА(х). Если да, то положим
/т + 1 = /• Если Нет, ТО /т + 1 - fm'
Положим /= U ft и В = {х | f(x) = 1}- Точно так же, как
в теореме V, построение гарантирует, что множество В не рекур-
сивно относительно А, а множество А не рекурсивно относитель-
но В. Поэтому а | Ь, где b — степень множества В. Заданный
на этапе 2п + 1 вопрос является частным случаем проблемы
остановки для процедур, рекурсивных относительно А. Что
касается этапа 2п ]- 2, то совокупность пар {х, f), обладающих
требуемыми свойствами, рекурсивно перечислима относительно
множества А; следовательно, возникший там вопрос есть частный
случай проблемы остановки для рекурсивных относительно мно-
жества А процедур. Поэтому имеем В А' и, значит, b а'.

Так как а} Ь, получаем Ь<а'.и

Следствие VI. Между 0 и 0" существуют степени, не сравни-
мые с О'.

Доказательство. Возьмем степень 0' в качестве а
в предыдущей теореме. и

Степень a' и Ь'

Если некоторое вычисление эффективно во всем, кроме требо-'
вания отвечать на вопросы, являющиеся либо частными случаями
проблемы остановки для процедур, рекурсивных относительно
некоторого фиксированного множества А С а, либо частными
случаями этой проблемы для процедур, рекурсивных относительна
некоторого фиксированного множества В £ Ь, то такое вычисление,
очевидно, рекурсивно относительно степени а' и Ь'. Мы увидим,
однако, что вычисление, использующее проблему остановки для
процедур, рекурсивных относительно некоторого множества С £
С а и Ь. не' обязательно рекурсивно относительно степени а' о
и Ь'. (В теореме X строятся такие степени а и Ь, что a'ub'<
< (а и Ь)'.)

Теорема VI допускает следующую релятивизацию. Приводимое
ниже доказательство иллюстрирует часто используемый прием,
с помощью которого строящаяся степень помещается над некото-
рой заранее заданной степенью.

Теорема VII (Клини, Пост). Для любых степеней а и d

d < а => (3b)ib | а & d < b < a'].

Доказательство. Пусть А б а и D E d. Построение
проводится так же, как в теореме VI, с той лишь разницей,
что /о, Д, . . . — теперь не начальные сегменты, а берутся
из совокупности всех так называемых специальных сегментов
/, область определения которых есть либо {2а; | х 6 N), либо
{2а; | х 6 N} (J {0, 1, . .	п}.

Этап 0. Сегмент /0 определяется равенствами

f0(2x) = cD (х),

/о(2а? + 1) не определено.

Этап 2и + 1. Все происходит так же, как в теореме VI,
только теперь хт — наименьшее из чисел, где /т не определена.

Этап 2п + 2. Аналогично теореме VI, за исключением
того, что / — специальный, а не начальный сегмент.

Пусть / == (J fi, В = {х | f(x) = 1} и Ь — степень множества
г

В. Как и прежде, b | а. Нулевой этап рекурсивен относительно
степени d. Этапы 2п + 1 и 2п + 2 во всем рекурсивны относитель-
но d, кроме необходимости решать в отдельных случаях пробле-
му остановки для процедур, рекурсивных относительно степени
а и d. (На этапе 2п + 2 мы на самом деле ищем конечный сегмент,
добавление которого к /2п+1 приводит к образованию сегмента /.)
Поэтому b d и (а и d)'. Но поскольку d < а, имеет место
(1 U (а и d)' = d и а'= а'. Значит, Ь а'. А так как Ь | а,
то b < а'.и

Степень О"

По определению это степень множества 0", а потому и мно-
жества К'. Как мы сейчас покажем, она содержит также множе-
ства {х | всюду определена} и {х | Wx бесконечно}.

Теорема VIII. К' == 0" = {х | <рж всюду определена} =
= {х | Wx бесконечно}.

Доказательство. Утверждение К'== 0" вытекает из
теоремы I, так как К £ 0' и 0' £ О'.

В конце § 7.4 мы отметили, что {х | <рж всюду определена} ==
= {х | Wx бесконечно}.

Остается показать, что {х | <рж всюду определена} = К'. Снача-
ла заметим, что {х | <рж не всюду определена} = {z | (3a;)[q>z(a;) не
определено}}. В силу релятивизованной теоремы о проекции это
множество рекурсивно перечислимо относительно множества К
(так как {{х, z) | (fz(x) не определено} рекурсивно относительно
множества К); а потому по теореме I }х | <рж не всюду определена}
С, К'.

Поскольку К' рекурсивно перечислимо относительно множе-
ства К, имеем К' = W^o для некоторого z0. Поэтому К' =
= {х I (Зу)(Эц)(Эн)[ (а;, у, u, v) € Wp(Za) &DU <= К & Dv <= К]}.
Пусть х задано. Определим функцию ф следующим образом.
Чтобы вычислить ф(ш), проверяем, выполняется ли условие
(3z/)(3u)(3p)[ {х, у, и, v} оказывается в Wp(2q) на ш-м шаге пере-
числения множества VKp(2o)]; если нет, то полагаем ф(ш) = w,
если да, рассматриваем те (х, у, и, v}, которые оказались
в ^p(zo) на ц;-м шаге и Для которых все элементы множества Du
оказываются в К на ш-м шаге перечисления множества К-, если
таких нет, полагаем ф(ш) = w, если же такие элементы найдутся,
начинаем перечислять множество К, и когда (если это случится)
будет показано, что для всех таких (х, у, и, v) имеет место
Dv Q К #= 0, полагаем ф(ш) — w; в противном случае ф(ш)
не определено.

Построенная функция ф частичнорекурсивна, причем существу-
ет такая взаимно однозначная общерекурсйвная функция /, что
Ф;(х) =ф. Из определения ф следует также (как может проверить
читатель, см. упр. 13-15), что х^К' <=>(3w) [ф(w) не определено].
Поэтому х G К' <=>] (х) £ {х | <рж не всюду определена}, и мы полу-
чаем Л^'<^1{л;|фх не всюду определена}.

Значит, К' = {х | фх всюду определена}, чем й заканчивается
доказательство, и

Теорема VIII проясняет интуитивный смысл степени 0".
Вычислительная процедура рекурсивна относительно 0" тогда
и только тогда, когда она эффективна во всем, кроме необходимо-
сти получать ответы на вопросы о том, встречается ли некоторое
известное (и эффективно распознаваемое) событие бесконечно
много раз по ходу некоторого эффективного вычисления. Напри-
мер, множество Wx бесконечно тогда и только тогда, когда собы-
тие „что-то появилось на выходе11 происходит бесконечно много
раз в процессе перечисления множества Wx без повторений;
функция фх всюду определена тогда и только тогда, когда собы-
тие „теперь функция фх определена на большем начальном сегмен-
те11 осуществляется бесконечное число раз по ходу одновременного
вычисления значений фх(0), фх(1)> • • • •

Степень а"

Подобно предыдущему, вычислительная процедура рекурсивна
относительно степени а" тогда и только тогда, когда она эффектив-
на во всем, кроме необходимости получать ответы на вопросы,
осуществляется ли некоторое определенное (и эффективно рас-
познаваемое) событие бесконечно много раз по ходу некоторого
вычисления, рекурсивного относительно фиксированного множе-
ства А 6 а.

В гл. 14 описанные только что результаты будут обобщены
и будут указаны более экономные методы для проведения дока-
зательств, подобных доказательству теоремы VIII.
§ 13.3.	ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА

Как распределены полные степени в упорядочении степеней?
Обязательно ли а = Ъ, если а' = Ь'?. Верно ли, что (а и Ь)' =
— а' О' Ь'? На эти вопросы и другие, с ними связанные, ответят
приводимые ниже теоремы.

Поскольку для всякой степени а имеем 0.^ а, из теоремы I
вытекает, что всякая полная степень больше или равна О'. Верно
ли обратное, т. е. всякий ли элемент несчетной совокупности
{а 10' а) есть полная степень? Следующая теорема Фридберга
(1957а] показывает, что это так.

Теорема IX (Фридберг). (Va)lO' а => (3b)lb' = all.

Доказательство. На языке множеств теорема означа-
ет, что (VA) [К А => (ЗВ)[В' ==т All. Пусть дано такое мно-
жество А, что К А, и положим g = сА. Построим функцию /
с помощью начальных сегментов /0, Д, ... следующим образом.

Этап 0. Положим /0 = 0.

Этап п + 1. Проверим, определено ли <Д(](и) хотя бы для
одного начального сегмента /, продолжающего fn. Если да, то
пусть /* — первое- из таких продолжений (при эффективном пере-
числении всех таких продолжений, получающемся из множества
Wp(n) (пункт 3 на стр. 332)). Если нет, то пусть /* = /п. В обоих
случаях обозначим через хп длину сегмента /* и положим /п+1 =
= /*и {<*», g(rc)>}.

Пусть / = U fa и В = {х | /(z) = 1). Остается проверить,
г

что В' А. •

(i)	Если множество А задано т), то можно вычислять значения
функции g, так как g — сА. Если множество А задано, то можно
также решать в конкретных случаях проблему остановки, так как
К А. Поэтому если А задано, то можно на каждом этапе
выяснить, существует ли продолжение / с желаемыми свойствами.
Поэтому можно восстановить сегменты f0, fa, . . ., проверяя по-
путно принадлежность натуральных чисел множеству {п | суще-
ствование сегмента f установлено на этапе п + 1}. Но по построе-
нию последнее множество есть в точности

{х | ф£(х) определено} = (т(/))'.

9 Говоря, что А задано, автор имеет в виду, что мы располагаем вообра-
жаемой возможностью вычислять произвольные значения функции сА.
Все остальные процедуры, о возможности осуществления которых говорится
ниже, рекурсивны относительно множества А и потому становятся вычислимы-
ми при сделанном предположении. — Прим, перев.
Значит, (т(/))'г£Ст Л. А так как = (поскольку В =т
==т /), имеем В' s^T А.

(ii)	Обратно, если задано множество В', мы можем вычислять
значения функции f — cB (так как В В'), а также решать
частные случаи проблемы остановки (так как К В' до теоре-
ме I). Поэтому мы можем восстанавливать начальные сегменты
функции, пользуясь тем, что мы умеем решать проблему остановки
для проверки на каждом этапе существования продолжения /
с требуемыми свойствами. Но g(n) есть последпее значение в сег-
менте /л+1. Поэтому, располагая множеством В', мы можем вычис-
лять функцию g. Так как g = сА, имеем А В'.

Из (i) и (ii) вытекает, что А В'.я

Приведенное доказательство содержит дополнительную инфор-
мацию, которую мы представим в виде следствия.

Следствие IX (a). (Va)(3b)Ib' = ЬиО' = аи 0'1,

Доказательство. Пусть дано множество А и g = cA.
Построим функцию / и множество В, как в доказательстве теоремы.
Пункт (i) доказательства теоремы показывает, что Б' рекурсивно
относительно множеств А и К', значит, У < а и О'. Пункт (ii)
показывает, что А рекурсивно относительно множеств В и К',
поэтому а b и О*, а значит, и а и0' С b и О'. Поскольку
b С Ъ' и О'Х Ь', получаем ЬиО' Ь'. Таким образом, Ь'

а и 0'b и 0'	Ь', а потому все эти степени равны.и

Следствие IX (Ь) (Спектор, Шёнфильд).

(i)	(3b)(3c)lb 11 & е' = b'l;

(ii)	(3b)(3c)Ib I c & c' < b'l.

Доказательство, (i) Применим следствие IX (а) при
a = 0". Тогда

b' = 0" = b и O'.

Поэтому b о 0' b и b о 0'	O'. Значит, b | O', b' = (O')'

и (i) выполняется при c = 0'

(ii)	Применим следствие IX (а) при a = 0'". Тогда b'=0'",
но, как и в (i), b | O'. Поэтому (ii) выполняется при с = 0'.e

Пункт (i) показывает, что оператор скачка не взаимпо одно-
значен на степенях (см. также упр. 13-19). Отметим между прочим,
что из доказательства следствия IX (Ь) вытекает следствие VI
и что следствие IX (Ь) опровергает предположение, будто а'

b' => а 5^ b (являющееся обращением выведенного из теоремы I
основного соотношения, о котором упоминалось после следствия I).

Поставим теперь еще четыре вопроса.

1.	Какие из возможностей а < b, а = b, b < а, а | Ъ осу-
ществимы, если а' = Ъ' ?
2.	Какие из этих соотношений между а и Ь возможны, если
а' < Ь'?

3.	Какие из трех соотношений а'=Ь'<а", а'<Ь'<а",
а' < Ь' — а" могут выполняться, если а < Ь < а'?

4.	Обязательно ли a' \j b' — (a U Ь)'?

Что касается первого вопроса, то, очевидно, возможно а = Ь;
в силу следствия IX возможно также а | Ь.

Ни а = Ь, ни b < а в условиях вопроса 2 не могут выполнять-
ся (по теореме I). Соотношение а <С Ь возможно, например, при
b = а'. Осуществимость а | b показана в следствии IX. Таким
образом, вопрос 2 полностью разобран.

Следующая теорема Спектора [19561 исчерпывает вопрос 1,
отвечает на вопрос 4 и частично на 3. (Пункт (i) следствия IX (Ь)
впервые был получен как следствие этой теоремы.)

Теорема X (Спектор). (За)(ЭЬ)|а' a ij b & h' a U h &
& а sC О' & b О'].

Доказательство. Построим с помощью начальных
сегментов две функции / и g. Ови будут характеристическими
функциями, а а и о — степенями множеств А и. В соответственно.
При каждом п сегменты /Гь и gn будут иметь одну и ту же длину.

Этап 0. Положим /с = gc 0.

Этап 2п + 1. Пусть т = 2п. По предположению индукции
сегменты fm и gm имеют одну и ту же длину. Проверим, существует
ли такой начальный сегмент /, продолжающий fm, что ср[Д(п)
определено. Если да, то пусть / — первое такое продолжение
(в процессе их перечисления с помощью множества TVp(n)) и пусть
р — длина сегмента /. Положим

/m+i = Ги «р, 1», 
gm + l=gm U (/ — /т) U {<?, 0>).

Сегменты fm+i и снова имеют одинаковую длину. Если же
желаемого продолжения / не существует, то пусть р — длина
•сегмента /т. Положим в этом случае

/т+< =1т U {К/Ч 0^}’
gm + 1 = gm U {<Л !>}•

Этап 2п + 2. Пусть т — 2п + 1. На шаге 2п + 2 делается
тю же, что и на шаге 2n + 1, только символы / и g (с индексами
или без) всюду меняются местами.

Положим / = U ft, g = (J gi, А = {х | f(x) = 1} и В =
i	г

= {я | g(r) = 1}. Пусть а и Ь — степени множеств А и В соот-
ветственно.
При построении функции / т) мы нуждались только в решении
частных случаев проблемы остановки, чтобы выяснить, пригодно
ли то пли иное продолжение /, и затем вычислить функции / и g.
Поэтому а О' и b О'. Пусть л01 ^1, • • • — элементы множе-
ства [х | f(x) g(x)}, перечисленные в порядке возрастания.
Тогда {х | ф^(х) сходится) = {га | /(x2n) = 1}. Поэтому, если даны
функции / и g, мы можем разрешать множество (т()))'. Значит,
а'^аи Ъ. Аналогично доказывается, что Ь'^аи Ь.и

Следствие X (a). (3a)(3b)(a' и Ь' = а и Ь = а' = Ь' =

= 0'&а<^0'&Ь<;0'&а[ Ы.

Доказател ьство. Любые а и Ь, удовлетворяющие
теореме, обязательно обладают и сформулированными в следствии
свойствами. ж

Следствие X (а) дает отрицательный ответ на вопрос 4, так как
а' и У = а и Ь< (а и Ь)'.

Отрицательный ответ на этот вопрос выводится также и из
следствия IX (а); с другой стороны, возможна и ситуация, когда
а | b и а' и Ь' = (а и Ь)' (см. упр. 13-20). Следствие X (а) дает
исчерпывающий ответ на вопрос 1, поскольку’ обнаруживается,
что остававшиеся возможности а < b л Ь< а реализуются (так
как 0 < а, и 0' = а' в следствии). Оно же показывает, что осуще-
ствима и первая возможность из вопроса 3 (так как 0 < а <_ 0'
и О' — а'<0"). Шёнфилъд показал (см. § 13.8), что и другие
две возможности реализуются. Следствие X (а) дает также новое
и более прямое доказательство пункта (i) из следствия IX (Ь).

Теорема X и следствие X допускают также следующую реля-
тивизацию.

Следствие X (b). (Vd)(3a)(3b)[a' и b' == a b = а' — Ь' =
= d' & d < а < d' & d <Г b < d'j.

Доказательство. См. упр. 13-22.в
Из следствия X (Ь) получается еще одно

Следствие X (с). 0' < с => с есть наименьшая верхняя грань
множества всех степеней, меньших с.

Доказательство. Если 0' < с, то по теореме IX
с = d' для некоторого d. Возьмем а и Ъ, обладающие свойствами,
сформулированными в следствии X (h). Тогда а-< d', b-< d' и
a U b = d',B

х) А также и g. — Прим, перев.
Рассмотрим счетную совокупность степеней {а | а^О'}. Все
ли эти степени рекурсивно перечислимы? Следующая теорема
Шёнфильда [1959] показывает, что это не так.

Теорема XI (Шёнфильд). (За)[а 0' & (Уа7)[Жх -j а]1.

Д оказательство. Введем следующее определение.
Пусть У, g и h — начальные сегменты, а у и z — числа. Скажем,
что выполняется отношение 7?(У, у, g, z, h), если g cz и
w h cz срИ. Заметим, что это отношение рекурсивно перечислимо.

Пусть сх обозначает (до конца доказательства) характеристиче-
скую функцию множества ИД,. Определим функцию / с помощью
начальных сегментов Уо, /1, • •  • Мы сделаем это так, чтобы для
каждой пары (г/, и для каждого х либо сх ср^, либо У =/= ф^х.
Затем мы обнаружим, что функция / рекурсивна относительно О',
и возьмем в качестве а степень функции /.

Этап 0. Положим /0 = 0.

Этап п 4- 1. Пусть п — {х, у, z). Построим /л+1 так, чтобы
для всех продолжений / сегмента fn+i выполнялось либо <рЕД qp сх,
либо / 0^ <fp. Пусть т — длина сегмента /п. Положим /° = /п (J
U {<w’ °>} и f'=fn U ({т, 1>}-

П о д э т а п (а). Проверим, существуют ли такие начальные
сегменты / и g, что fn cz / и В (f, у, g, z, f°). Если нет, положим
fn+l = /о и перейдем к этапу п + 2. Если да, перейдем к подэтапу
(Ь).

П о д э т а п (Ь). Проверим, существуют ли такие начальные
сегменты У и g, что /„ cz /и В (j, у, g, z, У1). Если нет, положим
/п+1 — У1 и перейдем к этапу п -ф 2. Если да, перейдем к подэта-
жу (с).
t

П о д э т а п (с). Возьмем такие У0, gu, У1 и g1, что /п cz f0,
fn — 71, В (У°, у, g°, z, fo) и В (71, у, g1, z, У1). Так как функции Н
и у1 принимают различные значения в точке т, то и функции g0,
л g1 должны различаться при некотором зпачении аргумента.
Значит, или g°, или g1 отличается от сх при этом значении аргу-
мента. Если функция g° отличается в этой точке от сх, то положим
У„ 4-j = У0, в противном случае fn + i —f1-

Положим У — U fi, чем и завершим построение.

Для любых х, у и z положим п = (х, у. z). Тогда, если сег-
мент Уп + 1 построен на подэтапе (с) (пф 1)-го этапа, имеем фВп+i] ([__
РЕ сх. Если же сегмент Уп+1 построен на подэтапе (а) или (Ь)
и ф> = сх, то fn+i СЕ Ф'*. Отсюда .или сх =/= ф£, или f =Н= <рс2х.
Заметим, что построение делается эффективным на каждом
этапе, если допустить, что мы умеем в конкретных случаях решать
проблему остановки (поскольку проверки, производимые в (а)
и (Ь), и вычисление значений cx(w) сводятся к вопросам о при-
надлежности некоторого элемента некоторому рекурсивно пере-
числимому множеству). Поэтому функция / рекурсивна относитель-
но степени О'. Положим

Л = {х | /(х) = 1}.

Тогда (Уж) [Wx ^ТЛ]. Пусть а — степень множества А. Понятно,
что а 0' и (\fx) [Wx а].в

Релятивизация теоремы XI приводится в упр. 13-23.

Категории

Мы показали, что существует несчетное множество полных
степеней и несчетное же множество неполных степеней. Можно ли
в каком-нибудь разумном смысле сказать, что степеней одного
вида больше, чем другого? Два понятия из анализа, категории
и меры, могут быть использованы, чтобы ответить на этот вопрос
с различных точек зрения. На полезность этпх понятий (при рас-
смотрении этого и других вопросов) было указано Майхиллом
[1961а] (в случае категорий) и Саксом (в случае меры; см.
упр. 13-29). Впервые понятие меры в теории эффективной вычисли-
мости использовал Спектор.

Определение. Пусть 'ё — совокупность всех характеристиче-
ских функций. Следующим образом определим на расстояние 6:

Г 0,	если f — g,

б(/, g) = S 1

I	в арочном случае.

Легко проверяется, что 5 — метрика на ё (см. упр. 13-24).
Поэтому 6 определяет в 'ё топологию метрического пространства.
Сферические окрестности в ней — это множества вида {/ | /0 cz /),
где /о — некоторый начальный сегмент.

Возможен и другой способ введения топологии па множестве
ё. Пусть I = {U, 1}. Тогда ё = J . Введем на множестве I
дискретную топологию, и определим на С = 1 топологию про-
изведения. Базисными окрестностями будут тогда множества
вица {/ | /о cz /}, где /п — произвольный конечный сегмент (на-
чальный или нет).

Легко показать, что эти топологии совпадают (упр. 13-24).
Зафиксируем эту топологию для дальнейших рассмотрений.
(Иногда эту топологию называют топологией канторова множе-
ства, потому что ё можно канонически отобразить на канторово
совершенное множество, и наша топология при этом будет совпа-
дать с обычной индуцированной топологией канторова множе-
ства.) Можно определить в и другие естественные топологии
(см. упр. 13-24 и 11-35). Пространство (с выбранной нами топо-
логией) иногда называют канторовым пространством. Элементы
множества мы будем иногда называть точками пространства 4g.
Как топологическое пространство % полно (определение и доказа-
тельство см. в унр. 13-25).

Определение. Подмножество Л топологического пространства
называется нигде не плотным, если его замыкание не содержит
ни одного непустого открытого множества.

Назовем Л множеством первой категории, если Pi есть конеч-
ное или счетное объединение нигде не плотных множеств

Всякое множество Л, не являющееся множеством первой
категории, называется множеством второй категории.

Из этих определений вытекают очевидные утверждения: счетное
объединение множеств первой категории само есть множество
первой категории; разность множества второй категории и множе-
ства первой категории имеет вторую категорию. Следующий
результат обычно называют теоремой Бэра.

Теорема XII (Бэр).- Всякое полное метрическое пространство
есть множество второй категории (в своей собственной топологии).

Доказательство. См. унр. 13-26.в

Всякая совокупность степеней определяет некоторое подмно-
жество в Чо, именно совокупность характеристических функций
всех множеств из этих степеней. Поэтому понятие категории мож-
но использовать, чтобы оценить, сколь многочисленны степени
какого-либо определенного вида. Для любой функции / € V?
одноэлементное множество {/} имеет первую категорию. Поэтому
всякая степень (как счетная совокупность точек) есть множество
первой категории, равно каки всякая счетная совокупность степе-
ней. В частности, {а | a О'} —множество первой категории.
Что можно сказать о множествах {а | 0л а) и {а | 0'| а)?

Теорема ХШ. (а | 0' а} есть множество первой категории
е канторовом пространстве.

Доказательство. О'^а (34) (Зг)[Л С а & ск =
= <р^]. Мы хотим показать, что Л = {f \ (3z)[cK = ср{1} — множе-
ство первой категории. (В доказательстве мы ограничимся случаем
/ £ 'ё.) Достаточно доказать, что для всякого z множество {/ | ск —
= <р7} нигде не плотно (так как Л — счетное объединение таких
множеств). Пусть дано $8 = {/ | ск = <р£}. Допустим, что 98 пе
является нпгде не плотвым. Тогда найдется сферическая окрест-
ность = {f | /о cz /}, содержащаяся в замыкании множества'.^.
Всякая окрестность, содержащаяся в 9f, пересекается с 38. Поэто-
му ск = Фг* Для некоторого продолжения /♦ сегмента /0 и <р^1 с: ск
для всякого начального сегмента /, продолжающего /0 (в против-
ном случае (Эи?)[<рИ(и>) ск (ш)] и окрестность {/ | / а /} содер-
жится в <5°, но не пересекается с 98). Значит,

СК = {<*, У>\ 0/)[/о <= фИ(Ж) = у]};

но в правой части равенства стоит рекурсивно перечислимое отно-
шение, а потому ск — рекурсивная функция, что противоречит
нерекурсивности множества К. Таким образом, 98 нигде не плотно
и Л —множество первой категории. и

Другое применение приведенного рассуждения содержится
в упр. 13-28.

Следствие XIII. (а) {а | 0' | а} есть множество второй кате-
гории.

(Ь) Для всякого с =И= О {а | а с или с а} есть множество
первой категории, а {а | с | а}— множество второй категории.

Доказательство, (а) очевидно.

(Ь) Любое нерекурсивное множество можно использовать вме-
сто множества К в доказательстве теоремы.и
/

Итак, в смысле категорий неполных степеней больше, чем пол-
ных. С помощью следствия XIII (Ь) получается также, как мы
сейчас покажем, простое и непосредственное доказательство леммы
к теореме V.

Следствие XIII (с). Для любой счетной совокупности Д нере-
курсивных степеней существует такая степень Ь, что (Va)[a 6
€Л => Ь | а].

Доказательство. Пусть а0, аь ... — элементы сово-
купности Л- Положим

Лх = {с | с < аж или аж < с}.

В силу следствия XIII (Ь), Лх — множество первой категории.
Поэтому и Л* = U Лх есть множество первой категории. Значит,

X

существует степень, не принадлежащая Л*. В качестве Ь возьмем
произвольную такую степень. и

Мера

Иной способ оценки распространенности степеней связан
с понятием меры. Этот способ позволяет использовать терминоло-
гию теории вероятностей.
Мы превратим канторово пространство в пространство с мерой
(определение и свойства меры см. у Халмоша [1950]), определяя
на множестве I равномерно распределенную меру р. (р({0}) =
= р({1}) =4") и ВВ°ДЯ затем на 'ё меру произведения (которую
мы также обозначим через р.).

Всякое счетное подмножество множества ё имеет меру нуль,
а потому всякая степень или счетная совокупность степеней также
имеет меру нуль.

Понятия множества нулевой меры и множества первой категории
независимы. Существует множество первой категории с ненулевой
мерой, а также множество второй категории с нулевой мерой
(см. упр. 13-27).

Утверждению, что подмножество Л пространства имеет
меру нуль, можно дать следующую вероятностную интерпретацию:
если элемент пространства (т. е. бесконечная последовательность
нулей и единиц) определяется с помощью бесконечной последова-
тельности независимых испытаний („бросания монеты") с равными
вероятностями двух возможных исходов, то вероятность попада-
ния этого элемента в Л равна нулю. Приведем в качестве примера
следующую теорему.

Теорема XIV. {а | 0' а) имеет меру нуль в канторовом
пространстве.

Доказательство. Будем пользоваться вероятностной
терминологией для сокращения некоторых элементарных рас-
суждений о мере. Пусть Л и 38 — измеримые подмножества про-
странства 4d. Определим Р[/ Е Л\ = ц(Л), и назовем эту величину
вероятностью множества Л- Если ц(^) =/= 0, положим
Р1/ € Л\! Е ^1 = ц(Л П^)/|л(^) и назовем эту величину услов-
ной вероятностью множества Л при условии 38.

Предположим, что доказываемое утверждение неверно. Тогда
P[(3z)[ск = ф']] > 0 х). Поэтому для некоторого z Р[ск = <р£1 =
= е > 0. Возьмем это z, и рассмотрим тождество (справедливое
при любом п)

Р[сх = ф£1 = Pl(Vx)[x < п => ск(х) = <р^(ж)1] «Ркк =
= ф' | (Ух)[х < п => ск(х) = ф£(а:)]] = 8.

Так как

ОО

п {/ | (Vx)[x < п => ск (х) = ф/(х)]} = {/ | ск = ф'},
п=0

гимеем
lim Р[(Ух)[х^и => ск (х) = фДх)]] = е,
71->ЭО

J) Здесь / — некоторая функция степени а, фигурирующей в формули-
ровке теоремы. — Прим, перев.
а потому

Ит Р[ск = ф' | (Vz)k С п ск (х) = фДя)]] = 1.
П->ОО

Выберем п0 так, чтобы п Д nQ => Р[ск = cpf | (V^)[a: sC п =>
=*• ск (ж) = Ф^ (я)И . Рассмотрим класс <У всех начальных
сегментов для которых

(i) (Уж)[я; п0 => ск (х) = фр'1 (аг)] и (ii) ни для какого более
короткого начального сегмента /" cz /' не выполняется

(Va?)h < п0 => ск(х) — ф^"1 (ж)].

Для произвольного начального сегмента /' определим

РД/') = Р[/' с /] и Р2(/') = Р[ск = ф/ | /' cz /].

Тогда

Р[(Уж)[ж < п0 => ск (х) = фДя)Л = 2 РД/'),

Р[Ск =ф/] = 2 Р1(/')-Р2(/'),

ге#1

Р[ск = ф{ | (Vx)la: С п0 => ск (х) = фДя)]] =

= [2Р1(/')-Р2(Л]/2РИ/')>4-

Так как последнее выражение представляет собой среднее взвешен-
ное, найдется такое /* € <5°, что Р2(/*)	-|-  Рассмотрим теперь

следующие инструкции для вычисления некоторой функции g.

Если задано входное значение х, перечисляйте множество
H/p(z); для каждого его элемента вида {х, у, и, к) вычисляйте
P[Z?U cz т(/) &D„ cz т(/) |/* cz /] (это вычисление элементарно);
назовем каждое такое значение вероятностью потенциального
выхода у, когда для некоторого потенциального выхода у накоплен-
ная вероятность превысит у , объявите это у значением функции
ff(a-)-

3

Так как Р[ск = ф' | /* с: Д , функция g всюду опре-
делена и совпадает с ск. Поэтому ск рекурсивна, что противоречит
нерекурсивности множества К.я

Следствие XIV. (а) Множество {а | а 10'} имеет меру единица.
(Ь) Для всякого с 0 множество {а | а с или с а) имеет
меру нуль, а {а | а | с). — меру единица.

Доказательство очевидно.и

Таким образом, и в смысле меры (как и в смысле категорий)
неполных степеней больше, чем полных.
§ 13.4.	УПОРЯДОЧЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ

В этом параграфе мы докажем две терремы об упорядочении
степеней. Они показывают, насколько различно могут быть устрое-
ны подмножества частично упорядоченного множества степеней.
Первая теорема, принадлежащая Клини и Посту, показывает,
что между степенями 0 и О' существует цепь степеней, упорядочен-
ная по типу рациональных чисел. Вторая теорема, также Клини
и Поста, показывает, что упорядочение степеней не есть решетка
и, в частности, что степень 0<®> не минимальна среди верхних
граней совокупности всех арифметических степеней.

Теорема XV (Клини, Пост). Существует счетная совокупность
степеней, лежащих между 0 и О', линейно упорядоченная {упоря-
дочением степеней) по типу рациональных чисел.

Доказательство. Назовем / сегментом двух перемен-
ных, если / — функция двух переменных с рекурсивной областью
определения. Функция / называется начальным- сегментом двух
переменных, если для некоторого т Arg f = {{х, у) | х <2 т
и У </*(•£)}, где /* —некоторый начальный сегмент (одного'
переменного) длины т. Если f и g — сегменты двух переменных
и / zz> g, будем называть / продолжением g. Если / — некоторый
(возможно, всюду определенный) сегмент двух переменных, поло-
жим fx = kylfix, у)] и

/(Ж) = Kzy[f{sx{z), у)],

где sx(z) = z, если z < х, и sx{z) = z 1, если х <1 z. (Таким
образом, /х — это х-е сечение функции /, а /(Х) есть / с вырезанным
х-м сечением.) Если / — начальный сегмент двух переменных,
то /х и /|Х) — начальные сегменты одного и двух переменных соот-
ветственно. Если / — сегмент двух переменных, то фИ3 определяет-
ся так же, как (ранее) определялось (pH3 для сегмента / одного-
переменного (см. упр. 13-31).

Доказательство состоит из четырех частей.

1.	Построим функцию / двух переменных так, чтобы /х /<х>
при всех х, т. е. чтобы /х #= ф£(ж) (=фГ3(/<х)), ПрИ всех $ и
Функция / будет построена как объединение цепи начальных
сегментов /0, /„....

Этап 0. Положим /0 = 0.

Этап «+!• Пусть п = {х, у). Пусть также хп — длина
сегмента /х. Мы построим fn+1 так, чтобы для всех продолжений /
сегмента fn+l выполнялось fx{xn) =/= ф[/(х)з(жп). Это соотношение
гарантирует справедливость /х Фу Сделаем это так. Прове-
рим, определено ли фР i (хп) хотя бы для одного начального сегмен-
та /, продолжающего /<*>. Если нет, положим

/п+i = !ч U {(я, xni О)'

Если да, возьмем один из таких сегментов /, и пусть w = фПЦх,,).
Определим сегмент /п+1 так, что /(/Д = / и /х+г= /х (J {<хп, w +
+ !>}•

Положим / = и /г- Очевидно, что /*=/= ф!, для всех х и у.
i

2.	Располагая построенной выше функцией /, покажем, что
если g и h — взаимно однозначные общерекурсивные функции,
то Vai g cz Vai h kry[f(g(x), у)1	Хху[/(Л(х), y)|.

=>. Пусть даны хи у и выполняется левая часть доказываемой
эквивалентностп. Чтобы вычислить /(g(x), у), найдем таксе z,
что /i(z) = g(x), и вычислим /(/i(z), у).

<=. Допустим, что Vai g Ct Vai fa. Пусть х0 — некоторое
значение функции g, не являющееся значением функции h. Пред-
положим, что Xxy[/(g(x), у)] <^т A,xy[/(/i(x), у)]. Тогда, в частности,
fx° ^т Хгу[/(«(х), у)]. Но Хху[/(Л(х), у)] ЙСтДЖо), так как /<*<»> =
= Хху[/(зж/х), у)] и Vai h — Vai sXa (см. доказательство =>).
Но тогда./*0 <т/(х°>, что противоречит части 1 доказательства.

3.	Сопоставим каждому рациональному числу г такую взаимно
однозначную общерекурсивную функцию gr, что для любых ра-
циональных г и s верна эквивалентность (г з (при обычном
упорядочении рациональных чисел)) <s=> Vai gr<zz Vai gs. Для зтого
закодируем рациональные числа (изображаемые несократимыми
дробями) с помощью всех натуральных чисел, и пусть гп — рацио-
нальное число, кодом которого служит п. Для любого рациональ-
ного г множество {п | rn ей г} рекурсивно. Пусть gr — некоторая
рекурсивная1, функция с областью значений {п j гп < г}. Рас-
смотрим теперь для произвольного рационального г степень аг
функции Xxy[/(gr(x), у)]. Из части 2 тотчас следует, что г^з <->

аг as для любых рациональных г и з.

4	Остается проверить, что аг (И для любого рационально-
го г. Это будет доказано, если удастся показать, что /	&•

Но вычисление последовательных продолжений /0, Л,    ста-
новится эффективным, если допустить, что мы умеем в отдельных
случаях решать проблему остановки. Поэтому / Е. Доказа-
тельство закончено. в

Следствие XV (Клини, Пост). Для любой степени d между d
и d' существует счетная совокупность степеней, линейно упоря-
доченная по типу рациональных чисел.

Доказательство. См. упр. 13-31.и
' Теорема XVI (Клини, Пост). Существуют, такие степени Ь
и с, что

(i)	b О*0) и с 0<ш>;

(ii)	(Vrt)IO<n’ < Ь и О‘п' с];

.(iii) (Vd)[ld < b & d с] => (3n)(d < O‘n'Jl.

Доказательство. Мы построим две функции f и g
с помощью сегментов f0, Д, . . . и g0, glt . . . . Все эти сегменты,
кроме /о и go, будут иметь бесконечные области определения,
b будет степенью множества В, а с — множества С, где / = св,
a g = cc.

- Будем обозначать (в этом доказательстве) через сп характери-
стическую функцию множества 0(П>. Сегмент / называется конеч-
ным продолжением сегмента /, если / zd/, и разность областей
определения функций / и / конечна.

Этап 0. Положим /0 = g0 - 0,

Этап п + 1. Подэтап (а). Пусть п = {х, у). Проверим,
существуют ли такие конечные продолжения / и g сегментов fn
и gn соответственно, чтобы для некоторого z функции
и q>^J(z) были определены и не совпадали. Если существуют,
положим /п - / и gn = g. Если нет — положим fn = fn и gn = gn.

По д этап (Ь). Чтобы получить /„ы, продолжим сегмент
Л» положив fn+i((n, х)) = сп(х) для всех (п, х}, не принадлежа-
щих области определения сегмента/. . (С помощью индукции легко
проверяется, что только конечное число элементов вида (п, х}
принадлежит области определения сегмента /п). Аналогично, про-
должим сегмент gn до gn+i, положив gn+)((n, хУ) — сп(х) для
всех \п, х), не содержащихся в области определения сегмента grt.

Положим / — U/ь g = Ugf, В — (х | /(ж) = 1} и С =
— {х | g(x) — 1}. Пусть Ь и с — степени множеств В а С соот-
ветственно. Остается проверить утверждения (1) — (iii) теоремы.

(i)	В силу результатов о равномерности из следствия I для
т < п равномерно выполняется 0(7П)	0(п' и для всех п равно-
мерно выполняется 0<п)	0‘п+1>. Отсюда следует, что этап

п + 1 в построении функций / и g равномерно рекурсивен относи-
тельно 0,п+г> в следующем смысле: /п+1 и gn+) равномерно рекур-
сивны относительно множества 0(п+1) (т. е. их индексы эффектив-
но вычисляются по и) и области определения сегментов fn+i
и gn+l равномерно рекурсивны относительно 0'п+1) (т. е. индексы
их характеристических функций (как 0(л+1’-рекурсивных
функций) эффективно вычисляются по п). Действительно, так как
функции /о и go, очевидно, рекурсивны относительно множества
0(О) и имеют рекурсивные относительно множества 0(О> области
определения и по предположению индукции функции /п и gn
вычислимы относительно множества 01П), а их области определе-
ния рекурсивны относительно множества 0('1), вопросы о суще-
ствовании продолжений / и g с нужными свойствами в иодэтане (а)
представляют собой частные случаи проблемы остановки для
процедур, рекурсивных относительно множества 0'п>, и, значит,
/п и gn могут быть вычислены рекурсивно относительно множества
0(п+п, а их области определения рекурсивны отпосительно мно-
жества 0(n+i). Но тогда и на подотапе (Ь) /п+1 и gn+J вычисляют-
ся рекурсивно отпосительно множества 0(П+1) и их области опре-
деления рекурсивны относительно 0<п+1>. Но поскольку все
множества 0<n+1J рекурсивны относительно 0<<о> равномерно
по п, получаем, что и /, и g рекурсивны относительно 0(®>. Так
что h sj 0(m) и с 0(Ч	_

(ii)	Для каждого п имеем [ («, х} £ В <=> сп(х)=1 <=> х С 0(П;1
для всех, кроме конечного числа, значений х. Поэтому О'”’ Ь.
Точно так же для любого п справедливо 0(П) с.

(iii)	Предположим, что D В и D <ГТ С. Тогда cD = ф£
и cD = ф® для некоторых х и у. Пусть п = (ж, у). В этом случае
на подэтапе (а) этапа п + 1 обнаружится, что не существует таких
конечных продолжений /ng для сегментов /п п 8п соответственно,
для которых хотя бы одна из функций фДг- или фИ принимала бы
иные значения, чем сп. (Пусть, напротив, / — конечное продол-
жение сегмента /п и при некотором w имеем фИ (ц>) =^= сл(ю); по
предположению существует конечное продолжение g сегмента gn,
для которого фГй(ц?) = cD(w); но тогда на поцэтапе (а) было бы
обеспечено, что ф£ Ф ф®-) Поэтому, если бы мы умели вычислять
сегменты /п и gn, мы могли бы перечислять все конечные продол-
жения 7 и gn, таким образом, вычислять функцию сс. Поскольку
сегменты /п и gn рекурсивны относительно 0(Л) (в силу доказа-
тельства (1)), сп оказывается рекурсивной относительно множе-
ства 0'П). Этим доказан пункт (iii).и

Следствие XVI (Клини, Пост), (а) Упорядочение степеней не
есть решетка.

(Ь) Степень 0(,0) не является наименьшей верхней гранью
степенейО, О', О", ....

Доказательство, (а) В силу пункта (iii) теоремы
степени b и с не имеют наибольшей нижней грани.

(Ь) Согласно (а), степени Ь и с несравнимы. Значит, согласно (i),
Ь < 0(м) ис < 0(Ч Но в силу (ii) и Ь, и с — верхние грани степе-
ней О, О', 0", . . . ,а

Релятивизация теоремы XVI содержится в упр. 13-33.
§ 13.5.	МИНИМАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ

Плотно ли упорядочение степеней? Мы приведем теперь теоре-
му Спектора, показывающую, что существуют минимальные нере-
курсивные степени, и потому (в отличие от упорядочения рекурсив-
но перечислимых степеней) упорядочение степеней не плотно.

Все построения с помощью последовательных продолжений,
встречавшиеся в предыдущих доказательствах, были „простыми"
в том смысле, что к концу каждого этапа требовалось только,
чтобы (строящаяся) функция / содержала некоторый сегмент,
т. е. попадала в некоторое замкнутое множество пространства
Бзра (см. упр. 13-24). Приводимое ниже доказательство не таково,
причем неизвестно никакого „простого" построения искомой степе-
ни. Читателю следует также обратить внимание на упр, 13-29,
показывающее, что совокупность минимальных нерекурсивных
степеней имеет меру нуль.

Теорема XVII (Спектор). (Эа)[О < а & (Vb)[b < а => b — 0]].

Доказательство. Достаточно показать, что (ЗА)
L4 не рекурсиЕно & (VB)[£ А => [В рекурсивно или А В]].
.Мы построим некоторую функцию g, которую и примем в каче-
стве сА. Построение функции g осуществляется по этапам. Для
каждого п к концу тг-го этапа мы будем иметь по три функции 7in,
т удовлетворяющие следующим условиям.

Условия. Функции fen, Д и Д общерекурсивны; области значе-
ний функций Д и Д -содержатся в {0, 1}. Функция hn монотонна,
т. е. х С у =? hn(x) < hn(y). Функция Д совпадает с Д на интер-
вале {z | z С. 7гп(0)}, зато для любого у функции Д и Д не тожде-
ственны на интервале {z | hn(y) z <_ hn(y ф- 1)}. Будем назы-
вать {z | z < hn(Q)} и {z | /сп(г/) sj z < h7‘(y ф 1)}, у = 0, 1,
2, . . ., интервалами, определяемыми функцией hn. Если т <_ пг
то область значений функции hm содержит область значений функ
ции hn (поэтому интервалы, определяемые функцией hn, суть
конечные объединения интервалов, определяемых функцией hm)r
и на каждом (под)интервале, определяемом hm, Д совнадает
либо с либо с Д", и функция Д также совпадает либо с Д’, либо
с Д’ (в частности, Д — ft = f™ = Д’ на (х | x<hm(0)}). Наконец,
если т < тг, то /?т(0) < лп(0)

Предположим, что функции hn, Д и Д уже определены дли
всех п. Определим как начальный сегмент длины Ап(0), полагая
gn = Д — Д на {z I z < frn(0)}. Из сформулированных выше
условий следует, что g0. git ... образуют цепь начальных сегмен-
тов, объединение которой — всюду определенная функция. Поло-
жим g = U gi> Заметим, что из наших условий вытекает также,
что для любого данного п на любом определяемом функцией hn
интервале функция g совпадает либо с Д, либо с Д.
Остается построить функции hn, ft и /J и проверить, что g будет
обладать требуемыми свойствами. Будем действовать следующим
образом. [Отметим, что процедура построения сегментов hn+1,
/п+1 и ft+1 из hn, ft и /” не равномерно эффективна (и что g не будет
общерекурсивной функцией), но что тем не менее получающиеся
на каждом этапе п функции hn, ft и рекурсивны.]

Этап 0. Пусть h° = W#],	= Хх[0] и /° = 1х[1]. (Таким

образом, 0-й этап не накладывает никаких ограничений на буду-
щую функцию g.) Наши условия выполняются тривиально.

Этап 2п + 1. Пусть т = 2п. Допустим в качестве индук-
тивного предположения, что наши условия выполняются для
функций hm, f™ и f™. Поэтому f™ и должны различаться на
интервале

{z | fem(0) < z < Лт(1)}.

Проверим, выполняется ли на этом интервале соотношение <рп #=
=/=Если выполняется, то положим hm+1 == kx[hm(x + 1)],
/m+i _ fm+l = fm Ha

{z | z < 7im+1(0) = hm(l)}

И /m+l — /m fm+l __ fm на интервале

{z I 7im+1(0)< z}.

Если же нет, то на {z | 7im(0) < z <	} выполнено <pn

и мы определим функции 7im+1, /™+1 и /™+1, как в предыдущем
случае, с тем лишь исключением, что	на

{z | z</zm+1(O)}. Непосредственно проверяется, что функции hm+1,
f™+1 и /™+1 удовлетворяют условиям. Этап 2п + 1 гарантирует, что
g =/= срп; поэтому g не будет общерекурсивной функцией.

Этап 2п + 2. Пусть т = 2п + 1. По предположению индук-
ции условия выполнены для hm, ft1 и /J*. Сегмент g называется
т-допустимым сегментом, если g определен в точности на {z | z <
< hm(y)} для некоторого у и на каждом определяемом функцией
hm интервале, лежащем в этой области, сегмент g совпадает либо
с либо с х). Если g — m-допустимый сегмент, йазовем т-
допустимым продолжением сегмента g всякий ^-допустимый сег-
мент g*, продолжающий сегмент g.

П о д э т а п (а). Проверим, существуют ли такие число w
и тп-допустимый сегмент g, что для всех m-допустимых продолже-

!) То есть (V интервал) (3i) [i = 1 или i = 2, и g совпадает с на этом
интервале]. Мы не утверждаем, что (3i) (V интервал) [...].
ний g* сегмента g не определено	Если таких нет, перей-

дем к подэтапу (Ь). Если же такие w и g* существуют, то полагаем
Am+1 = kx[hm(x -ф и)], где {z | z < hm(u)} есть область определе-
ния сегмента g, /™+1 = /™+1 = g на области определения сегмента
g и /™+1 = /“ и /™+1 = на {z | йт+1(0) — hm(u) z}, после
пего переходим к этапу 2п + 3. (Наши условия при этом выпол-
няются, и мы обеспечиваем, что функция <р£ не может быть всюду
определенной.)

П о д э т а п (Ь). Проверим, существует ли такой тп-допусти-
мый сегмент g, что для всех w функция $(£*](«>) принимает не более
одного значения, когда g* пробегает совокупность всех т-допу-
стимых продолжений сегмента g х). Если нет, перейдем к подэта-
пу (с). Если же существует, то определим функции hm+1, /™+1
и /Г1, отправляясь от g так же, как в последней части подэтапа
(а), и перейдем к этапу 2п -ф 3. (Наши условия выполняются,
и, поскольку совокупность тп-допустимых продолжений сегмента g
рекурсивно пёречислима, мы добились того, что функция <р£
обязана быть рекурсивной, если только она будет всюду опре-
деленной.)

П о д э т а п (с)» Если мы добрались до подэтапа (с), уже
известно, что для каждого тп-допустимого сегмента g (i) для любо-
го w существует такое его zn-допустимое продолжение g*, что
(ш) определено (см. подэтап (а)), и (ii) существуют такие число
w и тп-допустимые продолжения g* и gl, что q/g*] (м>) и ср^8*1 (ш)
определены и не равны (см. подэтап (Ь)). Индуктивно определяем
функции hm+1, и /™+1:

Лт+1(0) =

ym+l = дт+i у» на (z | 2 < Л”‘(1) = hm+1(0)}.

(Выбор функции здесь произволен; вместо нее можно было бы
использовать /“.)

Предположим, что функция Лт+1 определена для всех х р
и функции /™+1 и /™+1 определены на {z | z •< 7im+1(p)}. Функция
hm+1 определяет р 4- 1 интервалов на {z | z < frm+1(p)}. Поэто-
му 2Р сегментов длины hm+1(p) будут (т -ф[1)-допустимы. Обозна-
чим их go, gi, • • g2p_ j (упорядочив их, скажем, лексикографиче-
ски). Для определения значений hm+1(p -ф 1) (и Д"+\ и Л"+1 на
интервале {z | Лт+1(р) z < Л’"+1(р -ф 1)}) нам потребуется 2Р
подшагов.

!) Согласно подэтапу (а), хотя бы одно значение ими принимается.
П о д ш а г 0. Согласно замечанию (ii), приведенному выше,
существуют такие m-допустимые продолжения s0 и t0 сегмента g0
и число z0, что ф^о] (Zo) и ф^о! (z0) определены и не совпадают;
при этом можно взять «о и t0 одинаковой длины. Продолжения
«о и i0 и число z0 находятся эффективно, так как мы можем рекур-
сивно перечислять все такие кортежи (s0, t0, zoy. Положим u0 ==
= s0 — go 1Г Vo = to — go-

Иодшаг g 4- 1. Согласно замечанию (ii), существуют такие
т-допустимые продолжения s' и s" сегмента gq+iUM<? и число
z9+1, что ф^8'](г?+1) и фСИ (z?+1) определены и не равны. Согласно
замечанию (i), существует такое m-допустимое продолжение t
сегмента gg+iU^, что ф^(гд+1) определено. Поэтому мы можем
выбрать сегменты sq+J и ig+i так, что sq+i — m-допустимое про-
должение сегмента gg+1L)wg, tq+l — m-допустимое продолжение
£g+iUpg и Ф^ч+1] (zg+J) и ф^«+11 (zg+1) определены и не равны;
при этом можно взять сегменты sg+1 и tq+1 равной длины. Как
и на подшаге 0, zg+1, sg+1 и tq+l находятся эффективно, так как
интересующие нас продолжения и вычисления могут быть рекур-
сивно перечислены. Положим

Uq + l = Sg+1 — gg + 1 И Vq + l = tq+i — gq + i.

Заметим, что uoc . . . c u2p-i п	«| c . . .c

Пусть u> — наименьшее число, превосходящее все элементы обла-
сти определения u2p_t (легко видеть, что область определения
и2р_р равная области определения у2₽_1? непуста). Положим
fem+1(p 4- 1) = iv,

/Г1 ₽= на {z | hm^p) < z < hm+\p 4- 1)},

/Г+1 = ”2Р-1 на {z | Лт+1(р) С z < Лт+1(Р + !)}•

Этим заканчивается индуктивное определение сегментов hm+1,
Д"1 и /£"+1. (Непосредственно проверяется, что "условия по-преж-
нему выполняются. Далее, если используется подэтап (с), то
функция g рекурсивна относительно ф£. Действительно, мы смо-
жем вычислять функцию g, если сумеем для каждого интервала
{z | hm+1(p') z < hm+1(p 4- 1)}, р = 0, 1, . . ., решить, с какой
из двух функций f™+1 или согласуется g на этом интервале.
Допустим, что мы вычислили функцию g на (z | z < /im+1(p)};
тогда можно найти такое q 2Р — 1, что gq cr g, и мы сможем
вычислить ф^<з] (zg) и ф^?1 (zg). Одно и только одно из этих значений
согласуется со значением ф£(гд). Если это первое из них, то функ-
ция g совпадает с f™+1 на всем рассматриваемом интервале, в про-
тивном случае g совпадает на этом интервале с /™+1.) Этим закан-
чивается описание этапа 2п ф- 2.

Пусть А = {х | g(x) = !} Остается показать, что А обладает
желаемыми свойствами. А не рекурсивно; в противном случае
g = <рп при некотором п, чтр противоречит построению на этапе
2п ф- 1. Пусть В А, т. е. св = ср* для некоторого п. Если
этап 2п ф- 2 кончается подэтапом (Ь), то ср£ рекурсивна и, значит,
множество В рекурсивно. Если же используется подэтап (с), то g
рекурсивна относительно ср£ и А В. Доказательство теоремы
закончено. и

Возникает вопрос, насколько трудно перейти от индексов
функций hm, и к индексам функций Лт+1, /™+1 и /£“+1? В слу-
чае, когда т — 2ге ф- 1, это может быть сделано эффективно, если
мы умеем решать частные случаи проблемы остановки. Однако
для т = 2ге ф- 2 необходимо на обоих подэтапах (а) и (Ь) уметь про-
верять принадлежность элементов множеству {х | Wx — бесконечное}
{см. упр. 13-34). (На подэтапе (с), если он достигается, процедура
эффективна.) Таким образом, справедливо

Следствие XVII (а). (За) [0 < а < 0" & (3b)[b < а => b=0]I.

Доказательство. См. выше.|

Отметим, что, согласно упр. 10-11, минимальная степень не
может быть рекурсивно перечислимой.

Эта теорема и ее следствие допускают следующую релятиви-
зацию.

Следствие XVII (b). (Vd) (За) [d < а < d" & (Vb) [d b <
< а => d — Ы1.

Доказательство. См. упр. 13-34.

§ 13.6.	ЧАСТИЧНЫЕ СТЕПЕНИ

Сводимость по перечислимости (=Се) и операторы перечисления
определены нами в § 9.7. Мы полагали / g, если т(/) ^ex(g),
и / se g, если / g и g /. Образуя классы эквивалентности
относительно =е в совокупности всех всюду определенных функ-
ций, мы получаем упорядочение е-степеней (всюду определенных
функций) относительно е-сводимости. Это упорядочение канони-
чески изоморфно упорядочению Т-степеней, так как по след-
ствию 9-XXlV / ^eg <?=> т (/)	(g). При этом изоморфизме

Т-степень множества т (/) соответствует е-степени функции /, и,
обратно, е-степень функции сА соответствует Т-степени множе-
ства А (см. теорему 9-VII). Имея в виду этот изоморфизм, мы
иногда называем е-степени всюду определенных функций Т-степе-
нями. Можно образовать классы эквивалентности относительно
se и в совокупности всех функций (не обязательно всюду опре-
деленных). Получающиеся при этом е-степени называются частич-
ными степенями, а их упорядочение по сводимости называется
упорядочением частичных степеней. В нем существует, например,
наименьшая частичная степень, состоящая из всех частичнорекур-
сивных функций.

Всякая Т-степень (всюду определенных функций) является
подмножеством некоторой частичной степени. Всякую частичную
степень, содержащую некоторую Т-степень (всюду определенных
функций), назовем тотальной степенью. (Таким образом, частич-
ная степень тотальна тогда и только тогда, когда она содержит
хотя бы одну всюду определенную функцию.) Понятно, что тоталь-
ные степени образуют подупорядочение частичных степеней, изо-
морфное упорядочению Т-степеней (рассмотренному в предыдущих
разделах). Всякая ли частичная степень тотальна, или же упоря-
дочение частичных степеней более обширно? Мы ответим на
этот вопрос следующей теоремой, анонсированной Медведевым
(см. § 13.7).

Теорема XVIII. (Эф) [ф не частичнорекурсивна и (Vf)lf =Се ф =>
=> / рекурсивна}} г).

Доказательство. Напомним, что Фп обозначает опе-
ратор перечисления с индексом п. В доказательстве мы будем
пользоваться следующими обозначениями.

Фп(ф) служит сокращением для Фп(т(ф)). (Так что множество
Фп(ф) может и не быть однозначным.)

, Если множество ФП(Ф) однозначно, мы сокращаем также запись
т-1(Ф„(ф)) до Фп(ф). (Теперь, например, можно написать / ^еф <=>
<=> (Эп)[/ = Ф„(ф)].)

Функция ф будет называться конечным сегментом, если (как
и раньше) область определения функции ф конечна. Конечный
сегмент ф 'будет называться монотонным продолжением сегмен-
та ф, если ф с ф и (У у)[[х £ Arg ф и у £ А^(ф — ф)1 => х <
< Я,

Мы докажем теорему, построив искомую функцию ф как объеди-
нение последовательности конечных сегментов ф0, ф4, . . ., где
(т < п => фп — монотонное продолжение сегмента фт).

Этап 0. Положим ф о = 0 •

Этап 2п -j- 1. Пусть т = 2п. Пусть z — наименьшее число,
большее всех элементов из области определения функции фщ.

х) Напомним, что автор использует латинские буквы для обозначения
всюду определенных функций, в то время как греческими буквами обозна-
чаются произвольные функции. — Прим, перее.
Проверим, определено ли <pn(z). Если нет, полагаем
Фш+1 = Фт U {{z>

Если же определено, то положим

Фт+i = фт и {<2, Фп(г) + !>}.

(Этап 2п + 1 обеспечивает выполнение соотношения ф <рп;
поэтому функция ф не может быть частичнорекурсивной.)

Этап 2п + 2. Пусть т = 2п + 1.

П о д э т а п (а). Проверим, существует ли такое монотонное
продолжение ф сегмента фт, что Фп(ф) не однозначно. Если суще-
ствует, то положим фт+i = ф и перейдем к этапу 2п + 3. Если же
нет, перейдем к подэтапу (Ь).

П о д э т а п (Ь). Проверим, существуют ли такие число w и
и монотонные продолжения ф1 и ф2 сегмента фт, что значения
функций Ф71(ф1) и Фп(ф2) определены и не равны при значении
аргумента w. Если не существуют, то пусть фт+1 = фт. (В этом
случае функция Фп(ф) должна быть общерекурсивной, если только
она всюду определена, так как ее значения можно эффективно
вычислять, перечисляя все монотонные продолжения сегмента фт
и подставляя их в Фп.) Если же существуют, то положим фт+1 =
—фт [J {(z, 0», где z — наименьшее из чисел, больших всех
элементов областей определения как сегмента ф1, так и сегмен-
та ф2. (В этом случае функция Фп(ф) обязательно не определена
в точке w, так как иначе функция ф вместе с ф1 или ф2 могли бы
быть использованы для построения монотонного продолжения
ф сегмента фт, для которого множество Фп(ф) не было бы однознач-
ным, а это противоречит результату проверки на подэтапе (а).)

Положим ф — (J фг. Функция ф не может быть частичнорекур-
г

сивной (см. этап 2п + 1), и для всякой функции /, / ф => f
общерекурсивна (см. этап 2п + 2).и

Таким образом, упорядочение частичных степеней более об-
ширно, чем упорядочение тотальных степеней. В § 13.7 мы дадим
более широкое обобщение понятия степени неразрешимости.

Следствие XVIII. (Зф) [ф рекурсивно перечислима относитель-
но О', и ф не частичнорекурсивна, и (V/)!/ «Се Ф => / общерекурсив-
на}].

Доказательство. См. упр. 13-37. и

В упр. 13-38 мы даем простое доказательство теоремы XVIII
(но не следствия XVIII), опирающееся на понятие категории
множества.
Если / зр, то по определению / = ЧДзр) для некоторого частич-
норекурсивного оператора V (см. § 9.8). Зададимся следующим
вопросом: вытекает ли из соотношения / зр равенство / = ЧДзр)
для некоторого рекурсивного оператора Y? Приводимая ниже
теорема содержит отрицательный ответ на этот вопрос. Первое
доказательство этого результата восходит к Майхиллу и Шепердсо-
ну. Мы приводим доказательство, принадлежащее Рабину.

Теорема XIX. (3/)(3зр)[/яр, но ни для какого рекурсивного
оператора Чр не выполняется f = ЧГ('ф)].

Доказательство1). Воспользуемся обозначениями из
предыдущего доказательства. Мы должны доказать, что
<3/)(3яр)[/ sCe зр & (Vm)]/ = Фт(зр) =>- СЗяр')[Фт(яр') не однознач-
но]]].

Построим функцию / как объединение последовательности
начальных сегментов /0, Д, . . ., а функцию зр как объединение
последовательности конечных сегментов тр0, Ф1, • • •, причем т <
< п => зрп есть монотонное продолжение сегмента зрт. Областью
определения сегмента /п+1 служит {0, 1, . . ., п}. Сегмент 3pn+t
будет иметь областью определения множество {яг0, Xj, . . ., хп},
где х0, х1г ... — некоторая возрастающая последовательность.
Далее, для 0 i п будет выполняться равенство зрп+1(хг) =
= т*((/(0), /(1), . . ., /(i))) (см. конец § 5.6). Таким образом,
функция зр однозначно определяется функцией j и последователь-
ностью х0, xi, ... . Действительно, сегмент зрп+1 определяется,
если даны /п+1(п), зрп и хп. Если определены сегменты /0, Д, . • .
и зр0, зр15 . . ., подчиненные этим условиям, и мы положим f =
— U ft и зр = U зр!, то очевидно, что f Ф, так как если дан
г	i

произвольный пересчет упорядоченных пар, образующих (график)
яр, мы можем восстанавливать все более длинные начальные
сегменты Д

Построим сегменты, участвующие в определении искомых
функций.

!) Д. Г. Скордев нашел ниже следующее, весьма простое доказательство
теоремы XIX. В качестве / берется произвольная всюду определенная функ-
ция одного аргумента, не являющаяся общерекурсивной; в качестве зр —
функция, задаваемая соотношением

= Г °>	если /(ni(z)) =» я2(г),

(не определено в противном случае

(определение гц и я2 см. в §5.3). Легко устанавливается, что /^еф- Пред-
положим, что существует такой рекурсивный оператор Чг, что ’ / = ’Г(зр).
В силу теоремы 9-XXI (а) выполняется равенство f — Ф(Хг[0]), и функция /,
в противоречие с ее выбором, оказывается частичнорекурсивной (как резуль-
тат применепия’рекурсивного оператора к частичнорекурсивной функции).—
Прим. ред.
Этап 0. Положим /0 = 0 и г|)0 = 0.

Этап п + 1. Проверим, существует ли> такой у, что (п, у\€
€ ФП(Ф) Для некоторого конечного монотонного продолжения гр
сегмента грп. Если нет, положим /п+1(ге) = 0 и хп = хп-1 + 1 (при
п = 0 пусть хо = 0). Если же такой у существует, положим
/л+1(п) = у + 1 и пусть хп — наименьшее из чисел, больших
всех элементов области определения гр. В обоих случаях сегмент
чрп+1 определяется по fn+l, грп и хп, как описано выше.

Положим гр = U гр{ и / = U /г-

i

Как мы уже отмечали, f ip. Предположим, что / = Фп(гр).
Но тогда по построению для некоторого ip*, ip* о гр, Фп(гр*) не
будет однозначным (возьмем г|->* = гр J гр, где сегмент гр описан
на этапе п + 1). Этим заканчивается доказательство. и

Следствие XIX. (Н/)(Нгр) [f рекурсивна относительно О',
и гр рекурсивно перечислима относительно О', и /	Я3, но &ля

всякого рекурсивного оператора ЧГ справедливо соотношение / =?=
#= адь

Доказательство. См. упр. 13-29.g

Другие приемы, использованные в предыдущих разделах,
также могут быть применены к изучению частичных степеней.
Так, следующая теорема аналогична теореме VI.

Теорема XX. (V<p) [<р не частичнорекурсивна => (Эгр)1<р гр &
& гр <₽!]•

Доказательство. Эту теорему можно доказать по
аналогии с теоремой VI (см. упр. 13-40). Существует также дока-
зательство, опирающееся на понятие категории множества, ана-
логичное доказательству теоремы XIII (см. упр. 13-41). и ~

Частичные степени изучены не очень подробно. Например,
не известно, справедлив ли аналог теоремы XVII (о минимальных
степенях). Мало известно об автоморфизмах этого упорядочения
и инвариантных относительно них свойствах. Следующий вопрос
также открыт: инвариантна ли совокупность тотальных степеней
относительно всех автоморфизмов упорядочения частичных сте-
пеней?

§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА

В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели две
структуры: упорядочение Т-степеней (главный объект наших
исследований) и более обширное упорядочение частичных степе-
ней. Теперь мы рассмотрим еще более обширное образование,.
решетку степеней трудности, введенную Медведевым [1955а].
Изучение этой структуры углубляет наше понимание некоторых
уже полученных результатов о Т-степенях и частичных степенях,
к тому же оказывается, что она устроена более регулярно, чем1
упорядочения Т-степеней и частичных степеней. Как мы увидим,.
степени трудности являются объектами более высокого логиче-
ского типа (т. е. более абстрактными), чем Т-степени. Степень
трудности представляет собой совокупность множеств всюду опре-
деленных функций, тогда как Т-степень может рассматриваться
как множество всюду определенных функций (см. § 13.6).

Определение. Всякая совокупность Л всюду определенных
функций называется массовой проблемой.

Этим определением формализуются следующие представления.
Если дана некоторая неформальная „проблема", то соответствую-
щая ей массовая проблема является на интуитивном уровне сово-
купностью функций, каждая из которых „решает" данную „пробле-
му", причем каждое „решение" „проблемы" порождает хотя бы
одну из этих функций. Приведем некоторые^примеры.

Пример 1. Одноэлементное множество (сл) соответствует
в качестве массовой проблемы „проблеме" разрешения множества Л.

Пример 2. Множество {f | Vai / = А } соответствует как
массовая проблема „проблеме" перечисления множества А (при
А 0)."

Пример 3. Множество {/ ] А = {а: | f(x) = 0}} — другая
массовая проблема, соответствующая „проблеме" разрешения из
примера 1.

Пример 4. Множество {/ | Vai f —*{2х | х С А }} — другая
массовая проблема, соответствующая „проблеме" перечисления
из примера 2.

Если дана произвольная массовая проблема то существует,
конечно, по крайней мере одна соответствующая ей неформальная
„проблема", именно „проблема" вычисления хотя бы одной функции
из совокупности сА-

Массовые проблемы из примеров 1 И 3 в интуитивном смысле
„эквивалентны", равно как проблемы из примеров 2 и 4. Далее,
массовые проблемы из примеров 2 и 4 „сводятся" к массовым про-
блемам из примеров 1 и 3. Определения, которые мы дадим ниже,
делают эти понятия точными.

По теореме 9-ХХШ существует такая рекурсивная функция о,
что для любого z, если ЧГ — частичнорекурсивный оператор,
определяемый оператором Фг, то Фа<г) определяет рекурсивный
оператор, совпадающий с оператором У на всех всюду определен-
ных функциях из области определения оператора *F.

Определение. Обозначим через ЧГ, рекурсивный оператор,
определяемый оператором OO(Z).

Определение. Пусть 31 и — массовое проблемы. Проблема
Л называется сводимой к 38, если (3z)[4rz(Jg>) с 4].

Приводящие к этому определению мотивы таковы. Массовая
проблема Л сводима к 38, если существует эффективная процедура,
дающая по произвольной фунйции-элементу проблемы 38 —
некоторый элемент из Зк, т. е. мы располагаем возможностью
по произвольному „решению11 проблемы 38 строить некоторое
„решение11 проблемы .4- (Может создаться ошибочное впечатление,
что Ли® фигурируют в определении в порядке, обратном к при-
менявшемуся ранее в определениях сводимости других типов.)

Определение. Массовая проблема^ называется эквивалентной
проблеме 38, если 3k сводится к 38, а 38 сводится к 3k.

Очевидно, что отношение сводимости рефлексивно. Оно также
транзитивно, так как совокупность рекурсивных операторов
замкнута относительно суперпозиции. Поэтому эквивалентность
массовых проблем есть отношение эквивалентности.

Определение. Классы эквивалентности массовых проблем назы-
ваются степенями трудности. Отношение сводимости корректно
определено на этих классах эквивалентности и индуцирует упоря-
дочение степеней трудности по сводимости.

ОбознАЧЕНИя. Степени трудности будут обозначаться буква-
ми А, В, ... . Соотношение А В означает, что массовая про-
блема 3k сводима к 38, если 31 € А и 38 6 В. Неравенство А < В
означает, что А В и В А.

Примеры. Рассмотрим следующие массовые проблемы:

(1)	{М-

(2)	(/ | Vai / = К}.

(3)	| К = {х | f(x) = (

{/ | Vai f = {2х | х 6
{/ | Vai / = К'}.

Как сводятся эти проблемы друг к другу? Очевидно, что (1)
и (3) эквивалентны (и потому принадлежат одной степени трудно-
сти). Эквивалентны также проблемы (2) и (4). Массовая пробле-
ма (2) сводится к (1), но (1) не сводится к (2) (в противном случае
ск была бы рекурсивной функцией). Поэтому степень трудности
проблем (1) и (3) отлична от степени трудности проблем (2) и (4)
и притом превосходит последнюю. Что можно сказать о пробле-
ме (5)? Если задана функция cR, мы можем перечислять множе-

77-

X}}.
ство К'\ обратно, если дан какой-нибудь способ перечисления
множества К', мы можем перечислять и К, и К (поскольку К t

К' тз. К К'), а потому мы можем вычислять функцию ск.
Таким образом, проблема (5) принадлежит степени трудности
проблем (1) и (3). (В упр. 13-42 мы формально докажем последние
утверждения посредством явного построения соответствующих
рекурсивных операторов.) Итак, понятие степени трудности делает
точным наше интуитивное представление о том, что „умение11
перечислять множество К' „эквивалентно" „умению" разрешать
множество К. (Сделанные замечания остаются верными, если К
заменить произвольным непустым множеством А, исключив неко-
торые специальные множества (например множества вида А =
© В), для которых все массовые проблемы, соответствующие
(1) — (5), принадлежат одной степени трудности.)

Среди степеней трудности существует наименьшая. Если / —
произвольная рекурсивная функция, то проблема {/} сводима
к любой массовой проблеме. Назовем эту наименьшую степень
трудности рекурсивной и обозначим ее 0. Всякая массовая пробле-
ма, содержащая хотя бы одну рекурсивную функцию, принадле-
жит 0. Поэтому 0 содержит 22No элементов. Обратно,, всякая мас-
совая проблема из 0 должна содержать рекурсивную функцию.
Примерами массовых проблем степени 0 служат {сл} для любого
рекурсивного множества А и {/ | Vai / = В} для любого рекур-
сивно перечислимого непустого множества В.

Существует и наибольшая степень трудности; всякая массовая
проблема (тривиально) сводится к пустой массовой проблеме.
Обозначим эту наибольшую степень трудности (пустой массовой
проблемы) 1. (Медведев использовал для этой степени символ оо.)

Определение. Если даны число п и функция /, то л® / будет
обозначать такую функцию h, что fe(0) = п и h(x + 1) = f(x) для
всех х.

Если даны функции f и g, обозначим через / Д g такую функцию
h, что / = Z.rr[fe(2a;)] и g = Xx[h(2x + 1)1-

Определение. Пусть Л и S8 — массовые проблемы. Положим
лк% = {/1 Og)(3A)[g ел &f = g Д Al),

л v% — {f I (3g)[[g e л &f=o ® g] или [g = i ® gnf.

Легко показать, что операции Д и V корректно определены
на степенях (см. упр. 13-43). Поэтому естественно дать следующее

Определение. АдВ — степень трудности проблемы ЛА$'
где ЛЕА, 6 В. А V В — степень трудности проблемы Л V
где Л € A, 9В е В. В этом случае АдВ называется объединением
степеней А и В; АуВ называется пересечением степеней А и В.
Это определение объединения сходно с нашим обычным понятием
сочленения множеств; в самом деле, если А — степень трудности
проблемы {сА}, а В — степень трудности проблемы {св}, то
АдВ —степень трудности проблемы {сАфв}.

Теорема XXI (Медведев). Операции Д и V сопоставляют сте-
пеням трудности А и В их наименьшую верхнюю и наибольшую
нижнюю грани соответственно в упорядочении степеней трудно-
сти. Поэтому данное упорядочение есть решетка., Эта решетка
дистрибутивна.

(Отметим, что символы Д и V перевернуты по отношению к IJ
и f] — обычным обозначениям объединения и пересечения в решет-
ках. Мы выбрали символы Д и V ввиду их обычного употребления
в логике в качестве символов конъюнкции и дизъюнкции. Проб-
лема <4 98 представляет собой „умение" решать и Д , и 98,
а проблема Л V 98 —„умение" решать либо 91, либо 98. Это неудоб-
ство в обозначениях можно было бы исправить (причем обозначе-
ния стали бы более естественными и в некоторых других интуи-
тивных отношениях), если бы мы перевернули нашу решетку
и считали бы, что проблема тем выше располагается в рассматри-
ваемом упорядочении, чем легче она решается. Мы этого, однако,
не делаем, чтобы наши рассмотрения были сходными по форме
с изучением Т-степеней и частичных степеней.)

Доказательство. Пусть С — некоторая верхняя грань
степеней трудности А и В. Выберем в степенях А, В и С по пред-
ставителю; пусть это проблемы <4, 98 и ® соответственно. Пусть
оператор 'Fm отображает ёв^, а оператор ЧГП отображает в 98.
Определим оператор Ф1 так, что [Ф1(/)](2х) = [УтСОК#}
и [Фг(/)](2х + 1) = ['Fn(/)](х). Очевидно, что Ф1 — рекурсивный
оператор и что Ф'(^) cz 91 Д 3?. Поэтому А Д В — наименьшая
верхняя грань степеней А и В.

Пусть D — некоторая нижняя грань степеней трудности А
и В. Выберем в D представителя 39. Пусть оператор 'Fp отобра-
жает .4 в .25, а оператор 'Fg отображает 98 в 39. Определим оператор
Ф2 так, что Ф2(/) = Тр(А.х[/(о: + 1)]), если /(0) = 0, и Ф2(/) =
= 1FQ(Aa:[/(a? + 1)1), если /(0) V= 0. Очевидно, что Ф2 — рекурсив-
ный оператор и Ф2С# V 98} cz 39. Поэтому А V В — наибольшая
нижняя грань степеней А и В. (В упр. 13-44 мы рассмотрим фор-
мальные определения операторов Ф1 и Ф2 и вопросы равномер-
ности.)

Таким образом, показано, что упорядочение степеней трудно-
сти есть решетка. Чтобы доказать ее дистрибутивность, достаточно
проверить, что ‘

А Д (В V С) = (А Д В) V (А Д С)
(см. упр. 12-4). Пусть даны степени А, В и С. Выберем в А, В и С
по представителю Л, 98 и соответственно. Тогда массовая пробле-
ма Л Л V состоит по определению из всех функций вида
/Л (0 ® g) или / Л (1 ® К), где / € Л, g € 98 и h £ сё, тогда как
массовая проблема (Л Л 98) V (J: Д 'ё) состоит из всех функций
вида 0 ® (/ Д g) или 1 ® (/ A h). Каждая из этих массовых проб-
лем тривиально] сводится к другой, что и доказывает закон дистри-
бутивности.и

Будем называть эту решетку решеткой Медведева. Легко пока-
зать, что она не является булевой алгеброй (см. упр. 13-45).

Некоторые виды степеней трудности представляют особый
интерес.

Определение. Массовая проблема называется проблемой
разрешения, если 9k = {сА} для некоторого А,

Массовая проблема 98 называется проблемой перечисления, если
98 = {/ | Vai f = В} для некоторого В.

Степень А называется степенью разрешимости (не путать
с рекурсивной степенью 0), если А содержит некоторую проблему
разрешения.

Степень В называется степенью перечислимости, если В содер-
жит некоторую проблему перечисления.

Обозначения. Sa обозначает степень разрешимости, содержа-
щую {сА}.

Ев обозначает степень перечислимости, содержащую {/ | Val/=
= В}, если В 9= 0, или 0, если В — 0.

Для произвольной функции ф мы пользуемся сокращениями
Еф вместо Е <ф> и Бф вместо 3Т(Ф).

Теорема} XXII.’ (a) (VA)[Sa = ЕСа1 (а потому всякая степень
разрешимости является степенью перечислимости).

(Ь)	(У4)(Эф)[ЕА == Еф] (т. е. всякая степень перечислимости
содержит проблему перечисления некоторой функции).

(с)	Sa^Sb<=>4 В (а потому изученное ранее упорядоче-
ние Т-степеней изоморфно упорядочению степеней разрешимости
в решетке Медведева).

(d)	Еф Еф <=1> ф ^еф (а потому изученное ранее упорядоче-
ние частичных .степеней изоморфно упорядочению степеней пере-
числимости в решетке Медведева, и (в силу (а)) композиция этого
изоморфизма с изоморфизмом Т-степеней на тотальные степени,
описанным в начале § 13.6, дает изоморфизм из (с)).

Доказательство, (а) Легко проверяется, что ЕСа =
= SCa = SA.

(b)	Очевидно, Eia = ЕА, где iA = {<£» х) | х g А}.
(с)	Это вытекает из теоремы 9-XXV.

(d)	<=. Пусть ф ^еф- Если (графики) ф и ф не пусты, то суще-
ствует частичнорекурсивный оператор, > переводящий всякую
функцию с областью значений т(ф) в некоторую функцию с обла-
стью значений т(ф). По теореме 9-ХХШ должен найтись рекур-
сивный оператор, делающий то же, и потому Еф Еф. Если гра-
фик ф пуст (функция ф нигде не определена), то Еф = 0 и утвер-
ждение, очевидно, верно. Если график ф пуст (функция ф нигде
не определена), то функция ф частичнорекурсивна и вновь Еф = 0.

=> Пусть Еф Еф. Еслиф и ф определены хоть где-нибудь, то
существует рекурсивный оператор, отображающий {/ | Vai / =
= т(ф)} в {/ | Vai / = т(ф)}. Поэтому, если дано произвольное
перечисление множества т(ф) (в любом порядке), мы можем пере-
числять график функции, перечисляющей (в этом порядке) множе-
ство т(ф), и, применяя описанный выше рекурсивный оператор,
получить некоторое перечисление графика функции, перечисляю-
щей множество т(ф). Поэтому ф ф- Если функция ф нигде
не определена, то ф ф тривиально. Если ф где-то определена,
а ф — нигде, то Еф = 0 и {/ | Vai / = т(ф)} содержит рекурсив-
ную функцию. Но тогда ф частичнорекурсивна и соотношение
ф еф тривиально. а

Следствие XXII. (а) ('УЛ) [А рекурсивно <=> SA = 0].

(b)	(Уф) [ф частичнорекурсивна <=> Еф = 01.

(с)	Еа Ев Л <^е В.

Доказательство очевидно.а

В силу последней теоремы мы можем считать, что Т,-степени
и частичные степени (изучавшиеся в предыдущих разделах) вло-
жены в решетку Медведева. Поэтому мы можем воспользоваться
уже полученными результатами о Т-степенях и частичных степе-
нях для получения информации о решетке Медведева. (Например,
немедленно получается существование несравнимых степеней
трудности.) В следующей теореме перечисляются некоторые наи-
более интересные результаты.

Теорема XXIII (Медведев), (a) (VA)[A ф 1 => (ЗВ) [А < SB11
(т. е. всякая степень трудности =£i сводима к некоторой степени
разрешимости).

(b)	(VA)(3B)[Sa < В & (VC)[SA < С => В СП (т. е. для вся-
кой степени разрешимости SA среди всех степеней, больших SA,
существует наименьшая степень).

(с)	(ЗВ)[О < В & (VC)10 <С С => В СП (т. е. существует
наименьшая нерекурсивная степень).

(d)	(3A)(VB)[A =/= 1 & А =/= ЕЛ1 (т. е. существует степень
.=/4, не являющаяся степенью перечислимости).
(е)	(Э4)[Еа =/= 0 &(V'B)[SB =А= 0 => Sbs^Ea]] (т. е. существует
нерекурсивная степень перечислимости, к которой не сводится
никакая нерекурсивная степень разрешимости).

_ (f) (3A)(VB)[Ea Ьв] (ш. е. существует степень перечисли-
мости, не являющаяся степенью разрешимости).

Доказательство, (а) Пусть Л € А и / Положим
В — т(/); тогда А SB.

(b)	Пусть дано множество А. Построим

9S = {/ | (3g)(3n)[/ = п ® g & сА = ад & (Vm)[g Тт(сд)1]}.

Утверждение проверяется непосредственно (см. упр. 13-48).

(с)	Следует из (Ь).

(d)	Пусть А — наименьшая нерекурсивная степень, получен-
ная в (с). Если бы А была степенью перечислимости, то по теоре-
мам XX и XXII (d) нашлась бы не сравнимая с ней степень пере-
числимости, что противоречит (с).

(е)	Построим функцию ф, как в теореме XVIII, и положим
А = т(ф).

(f)	Следует из (е).и

Как мы уже отмечали, многие другие результаты могут быть
прямо выведены из уже известных; например, по теореме XVII
существует степень разрешимости, минимальная среди нерекур-
сивных степеней разрешимости.

Мы выделили для специального рассмотрения степени разре-
шимости и перечислимости. Можно рассматривать и другие инте-
ресные семейства степеней трудности. Введем, например, следую-
щее определение.

Определение. Массовая проблема Л называется проблемой
отделения, если для некоторых множеств А и В

Л = {f\f(A)=O и f(B) = l}.

Степень А называется степенью отделимости, если А содер-
жит некоторую проблему отделения.

С помощью этого понятия теория непересекающихся пар мно-
жеств (описанная в конце § 7.7) может быть включена в общую
теорию степеней трудности.

Другим примером служит следующее определение.

Определение. .А называется проблемой 1-сведения, если для
некоторых А и В

Л = {/ | / взаимно однозначна & /-1(В) — А}.

Степень А называется степенью 1-сводимости, если А содер-
жит некоторую проблему 1-сведения.
Релятивизация (см. § 9.3) в решетке Медведева обобщена
и одновременно упрощена. Если задана произвольная степень
трудности D, то множество {А | А D) есть идеал в решетке.
Можно построить факторрешетку, и естественно называть эле-
менты этой факторрешетки степенями трудности относительно
D. При построении элементов факторрешетки каждая степень
трудности А исходной решетки отождествляется со степенью АдЛ
(см. упр. 13-50); поэтому в частном случае, когда D — степень
разрешимости, степени разрешимости относительно D из фактор-
решетки соответствуют степеням неразрешимости относительно D
в смысле релятивизации, определенной в гл. 9 (где D = SD).

Решетка Медведева изучена не очень подробно. Не известно,
в частности, равна ли мощность этой решетки 22 * * '). Мало что
известно о неглавных идеалах, автоморфизмах и теоретико-реше-
точных свойствах. Не известно, будут ли теоретико-решеточными
свойства „быть степенью разрешимости" и „быть степенью пере-
числимости". Не известно, будет ли операция скачка на степенях
разрешимости теоретико-решеточной или хотя бы теоретико-реше-
точной по отношению к степеням разрешимости, т. е. инвариант-
ной относительно всех автоморфизмов решетки Медведева, ото-
бражающих степени разрешимости на себя.

В заключение опишем соотношения между решеткой Медведва
и некоторыми нестандартными логиками.

Теорема XXIV (Медведев). Для.любых степеней А и В сово-
купность {С | А Д С) имеет наименьший элемент.

(Совокупность {С | В^ А Л С) является дуальным идеалом;
теорема утверждает, что этот дуальный идеал главный.)

Доказательство. Пусть Л 6 A, 98 £ В. Положим
3) = {h\ (3g)(3n)[h = п® g& (V/)[/ е А => Y„(/ Д g) € ^11}.,

Пусть D — степень проблемы 38. Тогда I) — искомая степень.
Чтобы проверить это, заметим сначала, что проблема 98 сводима
к АКЗ, так как Ф1(^Л<25) <= 98, где оператор Ф1 определяется
так, что ФД/Л (« ® g)) = 'Еп (Mg)- Возьмем, далее, произвольную
проблему 'g, для которой ^сводима к^Д^. Тогда для неко-
торого п имеем Yn {A 98‘, но тогда Ф2 (Й) с 38, где оператор
Ф2 определяется так, что Ф2 (g) = п ® g. Поэтому проблема 38
сводится к г(р. Непосредственно проверяется, что Ф1 и Ф2 — рекур-
сивные операторы, и доказательство заканчивается. и

Определение. А—>В при заданных степенях А и В обозначает
наименьший элемент совокупности {С | В А Д С} (существо-

\) На этот вопрос получен положительный ответ (Р 1 a t е к В. А.,

A note on the cardinality of the Medvedev lattice, Proc. Amer. Math. Soc.,

1970, 25, N 4, 917; Poulsen В. T., The Medvedev lattice of degrees of

difficulty, Var. Publ. Mat. inst. Aarchus univ., 1970, N 12). — Прим, nepee.
вание которого доказано в теореме XXIV). Назовем А —> В сте-
пенью трудности проблемы сведения В к А. Если С = А -> В
для некоторых степеней А и В, мы называем С степенью сводимо-
сти (отметим, что (А —> В) = 0 => В А).

Определение. Положим (А -*-► В) — (А —> В) Д (В —> А).

Рассмотрим выражения, построенные из переменных „А“ „В“,
„С“, ... и символов,, д“, „ V“, икак обычно в исчислении
высказываний. Назовем такое выражение истинным, если при
произвольной подстановке степеней трудности вместо переменных
степень трудности, обозначаемая всем выражением (где операции
Д, у, и *->- определены выше), есть 0.

Пример
любой степени

Пример
и 0 Д 0 = 0.

1.	„А-> А“ истинно, так как (А -> А) = 0 для
трудности А.

2.	„А «->- А“ истинно, так как (А —> А) = 0

Пример 3. Закон дистрибутивности „(А Д (В V С)) -«-►
«-►(АД В) V (А Д С))“ является истинным, так как решетка Медве-
дева дистрибутивна и „А -<-> А“ истинно.

П р и м е р 4. „((А V В) С) ((А -> С) Д (В -> С))“ истин-
но, как читатель может проверить сам.

Пример 5. „(((А -> В) ->• А) —- А)“ не истинно (см.
упр. 13-51).

Рассмотренные выше выражения являются формулами логики
высказываний (в обычном символизме). Можно показать, что вся-
кое истинное выражение есть тавтология логики высказываний,
т. е. теорема классической двузначной логики высказываний.
Обратное неверно: пример 5 дает тавтологию, не являющуюся
истинной. Можно показать (Медведев), что истинные выражения —
это в точности теоремы позитивного исчисления высказываний
(см. Гильберт и Бернайс [1939, том 2, доб. 3]).

Определение. ~1А = (А —1) (поэтому (~|А) = 1, если А =?£= 1,
и (~А) = 0, если А = 1).

Рассмотрим выражения, построенные, как выше, но с исполь-
зованием дополнительного символа 1“. Медведев доказал, что
в этом случае истинные выражения совпадают с теоремами интуи-
ционистского исчисления высказываний (см. также упр. 13-52).

§ 13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы вновь возвращаемся к упорядочению Т-степеней, рассма-
тривавшемуся нами в § 13.1—13.5. Доказанные уже в настоящей
главе результаты об упорядочении степеней получены без приме-
нения методов приоритета из гл. 10. Если же методы приоритета
объединить с методами, использованными в этой главе, то можно
получить ряд более сильных результатов. Они включают как тео-
ремы о рекурсивно перечислимых степенях, например две теоремы
Сакса, упоминавшиеся в § 10.3, так и усиленные варианты теорем
о степенях. (Например, Сакс использовал методы приоритета при
доказательстве теоремы XVII и улучшил верхнюю оценку в след-
ствии XVII (а) с 0" до О'. Подобным образом Сакс воспользовался
методами приоритета, чтобы сделать степени а и Ь из теоремы X
рекурсивно перечислимыми.)

В качестве примера применения методов приоритета мы при-
водим специальный случай одной из главных теорем Сакса [1963Ы
и используем его, чтобы ответить на некоторые вопросы, остав-
шиеся открытыми в предыдущих параграфах. В этом доказатель-
стве Сакса фридбергова идея приоритета существенно обобщается.
По существу в этом доказательстве индивидуальным маркерам
приоритета разрешается сдвигаться бесконечно много раз. Такой
обобщенный метод приоритета в последнее время был использован
для получения различных новых результатов (таких, как дока-
зательство плотности рекурсивно перечислимых степеней) и улуч-
шения более ранних результатов.

Теорема XXV (Сакс). [О' <1 с & с рекурсивно перечислима отно-
сительно О'] => (За) [а рекурсивно перечислима & а' = с].

Доказательство. (Это доказательство частично осно-
вывается на построениях Ейтса.) Пусть мы имеем множество С,
рекурсивно перечислимое относительно множества К. Для дока-
зательства, понятно, достаточно построить такое рекурсивно
перечислимое множество А, что А' =т С © К. Так как С К',
мы имеем в силу § 13.2 такую общерекурсивную функцию /, что
С = {х | конечно}. Перечисляя множество А, мы представ-
ляем себе натуральные числа выстроенными в виде бесконечной
по строкам и столбцам матрицы, в которой число (г, j) стоит
на пересечении i-й строки и /-го столбца. (Мы называем началь-
ные строку и столбец нулевыми.) По выполнении описываемой
процедуры некоторые числа в матрице помечаются знаком плюс,
они и суть элементы множества А. Процедура устроена так, что
х-я строка выделяет в А конечное число своих элементов, если
множество конечно, и все, кроме конечного числа, если
Wf(x) бесконечно. Таким образом, х £ С <=> х-я строка содержится
в А, кроме конечного числа элементов. Так как совокупность эле-
ментов х-й строки, не принадлежащих множеству А, очевидно,
равномерно рекурсивно перечислима относительно Л, получаем
такую общерекурсивную функцию g, что С = {х | W^(X) конечно}.
В силу § 13.2 отсюда следует С ^(Л", и потому множество С
рекурсивно перечислимо относительно А'. Л так как С рекур-
сивно перечислимо относительно множества А' (потому что
множество С рекурсивно перечислимо относительно К, а К
получаем С А' и потому С @ К А'.

Заметим, что мы могли бы достичь описанного выше резуль-
тата, просто перечисляя одновременно множества Wf (0), Wf^y, . . .
и, когда в множестве появляется r-й элемент, проставляя
плюс около элемента {р, г — 1) в матрице. Эта простая процедура,
однако, не гарантирует, что А' С @ К; поэтому описываемая
ниже процедура представляет собой модифицированный и более
сложный вариант этого простого построения.

Предлагаемая процедура обладает следующими двумя особен-
ностями. Во-первых, для каждого z будет определен конечный
набор чисел, которые называются удерживаемыми этим z. Числа,
удерживаемые z, будут появляться из строк, расположенных
ниже z-й строки. Можно представлять себе эти наборы как вспо-
могательные списки, которые хранит человек, перечисляющий
множество А. (В любой момент только конечное число этих спи-
сков непусто.) Во-вторых, когда Wf(oy, W/ay,   • одновременно
перечисляются и в множестве (ру появляется r-й элемент, плюс
не сразу ставится около числа (р, г — 1); вместо этого сначала
(р, г — 1) обводится кружком и плюс выставляется около
{р, г — 1), если (и когда) окажется, что (р, г — 1) не удерживается
(каким-либо числом).

Более детально наша процедура выглядит так. Здесь Лп обо-
значает множество чисел, которые получили плюсы к концу п-го
этапа. Процедура будет начинаться с 40 = 0. Наша процедура
будет иметь дело с вычислениями, относящими z к множе-
ству Wfn. Скажем, что число х использовалось отрицательно
в одном из таких вычислений, если вычисление (значения <p^n(z))
заканчивается и использует то обстоятельство, что х $ Ап. Если
(и когда) такое число х помещается затем в А, будем говорить, что
это вычисление атрофировалось. Число х называется допустимым
для удержания числом z, если х расположено в матрице ниже z-й
строки, т. е. если лДя) > z. Множество удерживаемых числом z
(в данный момент) чисел будет называться z-списком (в этот
момент). Числа могут добавляться к z-списку и удаляться из него.

Этап п + 1.

(а)	Выполним п шагов в перечислении каждого из множеств
W^n , . •	W^-

(b)	Пусть z0 < Zi < ... < zp — все такие числа z, что z
отнесено к W^n при вычислениях значений (z), проделанных
в (а). Добавим к г0-списку все допустимые для z0 числа, отрица-
тельно использованные при вычислении значения qA1 (z0) и не на-
ходящиеся в настоящий момент в г0-списке.
Добавим к ггсписку все допустимые для zt числа, отрицатель-

но использованные при вычислении значения <[Ап (zj) и не нахо-

дящиеся в z0- или в Zp-списке.

Добавим к Zp-списку все допустимые для zp числа, отрицатель-
но использованные при вычислении значения <p,Vn (zp) и не входя-
р
щие НИ В Zo-СПИСОК, . . НИ В Zp-СПИСОК.

(с)	Выполним п шагов в перечислении каждого из множеств
Wy<0), . . ., Wf(n). Для каждого х п, если в Ждя) появляется
новый (т. е. не появлявшийся в (с) на n-м этапе) элемент, в ж-й
«троке матрицы обведите кружком первое необведенное число.

(d)	Поставьте по плюсу около каждого заключенного в кружок
числа, которое не удерживается никаким числом z.

(е)	Как результат добавления этих плюсов некоторые из вычис-
лений значений (z), рассматривавшихся в (Ь), могут теперь
атрофироваться. Для каждого такого z освободите все числа,
удерживавшиеся числом z (т. е. z-список станет пустым). Поставьте
плюс около каждого заключенного в кружок числа, которое теперь
ничем не удерживается.

(f)	Повторяйте (е) до тех пор, пока вычисления из (Ь) не пере-
станут атрофироваться.

(g)	Каждое число х, освободившееся от удержания во время
выполнения (е) или (f), но не получившее плюса, добавьте к каж-
дому z-списку, если только (i) число х допустимо для z, (ii) число х
использовалось отрицательно в вычислении из (Ь), которое поме-
стило z в множество и (iii) вычисление, поместившее z
в не атрофировалось в процессе выполнения (е) и (f).

Все числа, обладающие теперь плюсами, образуют множество
Ап+1. Этим заканчивается этап п + 1.

Остается проверить, что множество А обладает требуемыми
свойствами. Заметим сначала, что если существует бесконечно
много этапов, на которых число х удерживается, то либо (i) суще-
ствует бесконечно много этапов, на которых число х освобож-
дается (по ходу выполнения (f)), либо (ii) существует некоторый
z-список, которому х принадлежит, начиная с некоторого этапа,
уже всегда. Это замечание вытекает из того очевидного и важного
свойства нашей конструкции, что, когда число х покидает высший
z-список, оно не может вернуться в этот список, не освободившись
предварительно. Поэтому единственный способ для обведенного
кружком числа остаться вне множества А заключается в том, что-
бы постоянно удерживаться некоторым числом z. Заметим далее,
что если х постоянно удерживается числом z, то, значит, число х
отрицательно используется при вычислении значения (z),
и что если х отрицательно используется при вычислении значения
<pz (z) и Л1(х) > z, то число х постоянно удерживается некоторым
z', z' z. Так что для каждого числа х, для которого множество
Wf(x) бесконечно (т. е. для которого все числа х-й строки заклю-
чены в кружки), только конечное число элементов х-й строки ста-
новятся постоянно удерживаемыми (так как только конечное число
их может быть использовано в вычислениях значений (z),
z < х), а остальные числа попадают в множество А. Поэтому
условия, описанные в начале доказательства, выполняются, и мы
имеем С © К <ZT А'.

Остается доказать, что A' С @ К. Допустим для проведе-
ния индукции, что (а) мы вычислили характеристическую функ-
цию множества А' для всех значений аргумента, меньших данного
z, что (Р) нам известны все числа, которые оказываются навсегда
удерживаемыми любым из z' < z, и что (у) мы определили, какие
числа из строк выше z-й попали в множество А. (Последние све-
дения имеют конечный объем, поскольку строки содержатся или
не содержатся в множестве А целиком с точностью до конечного
множества.) Будем действовать так. Определим с помощью С-ора-
кула, содержится ли число z в множестве С. Если z £ С, то лишь
конечное число элементов z-й строки находится в множестве А;
воспользуемся К-оракулом, чтобы найти наибольший элемент
строки, принадлежащий множеству А; все предыдущие элементы
этой строки, которые не удерживаются навсегда каким-либо
z' < z, попадают в А. Если z $ С, то z-я строка попадает в мно-
жество А целиком, кроме конечного числа элементов, и все ее
элементы, не удерживаемые навсегда каким-либо z' <; z, должны
быть в множестве А. Мы получили (у) для z 4- 1. Воспользуемся
теперь К-оракулом, чтобы определить, существует ли такой этап
п в перечислении множества А, на котором найдется такое вычис-
ление, относящее число z к множеству W^n, что всякое отрица-
тельно использованное в нем число либо попадет в множество А,
о чем мы узнали бы из (у) (для z + 1), либо удержится на этапе
п числом z, либо, о чем мы узнали бы из (0), окажется навсегда
удерживаемым некоторым z' < z. Если существует, то z £ А ' и числа,
удерживаемые z на этапе п, суть в точности числа, удерживаемые
числом z навсегда. Если нет, то z $ А', и никакое число не удер-
живается числом z навсегда. В обоих случаях мы получим (а)
и (Р) для z 4- 1. Таким образом, мы имеем индуктивную процедуру
вычисления характеристической функции множества А' рекур-
сивно относительно множеств С и К. Итак, А' С © К.Л

Теорема XXV может быть следующим образом усилена.

Следствие XXV (а). [О' с & с рекурсивно перечислима отно-
сительно О'] => (За)[а рекурсивно перечислима & 0 < а -< 0' &
& а' - с].
Доказательство. Модифицируем доказательство тео-
ремы XXV. (i) Зарезервируем в каждой строке первое число,
чтобы, используя их с подвижными маркерами в простом фрид-
берговом варианте метода приоритета, обеспечить А Wz при
всех z. (ii) В доказательстве теоремы XXV удержания были вве-
дены так, что вычисление значения (pf (z) связывалось с z-й стро-
кой. В настоящем доказательстве мы связываем вычисление
<p^(z) с 2г-й строкой, a (2z Ц- 1)-й строке сопоставляем вычисле-
ния, заключающиеся в отыскании какого-нибудь элемента множе-
ства В f] Wf, где В — такое простое множество, что В =т К
(например, возьмем в качестве В множество 5* из § 8.4). Более
точно, на этапе п + 1 проделывается по п шагов в перечислении
множеств Wzn (при z п) и В- Если мы при этом не найдем
ни одного элемента, принадлежащего множеству В П то
рассмотрим (на подэтапе (Ь)) удержания для каждого из элемен-
тов (точнее, соответствующих им вычислений) множества Wzn,
которые уже перечислены; для каждого нового (на (м + 1)-м эта-
пе) элемента множества Wzn мы заводим новый список удержа-
ний, который помещается (для целей подэтапа (Ь)) ниже всех спи-
сков удержаний, соответствующих неатрофировавшимся ранее
выполненным вычислениям элементов множества Wfn, ниже всех
списков удержаний, соответствующих строкам выше (2z + 1)-й,
но выше всех списков удержаний, соответствующих строкам,
расположенным ниже (2z + 1)-й. Если же, напротив, мы найдем
какой-нибудь элемент множества В Q W?n, то рассмотрим
(на подэтапе (Ь)) списки удержаний для каждого из элементов
(точнее, соответствующих им вычислений) множества W^n, кото-
рые были перечислены до появления первого известного элемента
из В. Эти списки удержаний располагаются в данном случае
так же, как и в случае, когда не было найдено элементов множе-
ства В f| Wzn. Процедура освобождения (для атрофировавших-
ся вычислений) на подэтапах (е) и (f) остается прежней.

Основные фа^кты, касающиеся постоянного удержания, дока-
зываются, как и прежде, и заключительное индуктивное доказа-
тельство также не изменится, если сделать важное замечание
о том, что, как только нам известны все элементы-множества А,
располагающиеся в матрице сверху по (2z + 1)-ю строку, мы
можем рекурсивно перечислить те элементы множества Wf,
которые уже получены и для которых (как элементов множества
учреждены списки удержаний по ходу основного построе-
ния. Конечно, в Wzn могут попасть (в основном построении)
числа, не принадлежащие множеству Wf, но они могут быть
выявлены (поскольку возможные причины их непринадлежности
множеству Wf будут уже известны) и воздействие соответствую-
щих им и позднее атрофирующихся вычислений на другие списки
удержаний может быть учтено.

Наш рекурсивный пересчет элементов множества Wf либо дол-
жен пересечься с множеством В (так как В просто), либо быть
конечным и исчерпывающим. (Для целей индукции отметим, что
в обоих случаях только конечное число элементов будет постоянно
удерживаться вычислениями, соответствующими (2z	1)-й стро-

ке.) Но отсюда вытекает Wf В. Поэтому В А, и доказа-
тельство окончено. и

Следствие XXV (а) показывает, что все три возможных ответа
на вопрос 3 (стр. 343) осуществимы. (Таким образом, вопрос 3
исчерпан. Первым дал на него полный ответ Шёнфильд.)

Построение из следствия XXV (а) дает равномерный переход
от индекса множества С (относительно К) к индексу множества А.
Эта равномерная конструкция допускает релятивизацию. Таким
образом, справедливо следующее утверждение.

Следствие XXV (Ь). Существует такая общерекурсивная функ-
ция f, что для всех х и D имеет место D <т <т D'
« (^цх))' = W°' @ D'.

Доказательство. Эта релятивизация очевидна.и

Приложением следствия XXV (Ь) служит такой результат.

Теорема XXVI (Мартин, Лахлан). Существует такая рекур-
сивно перечислимая степень а, что (Vn) [0<П) < а<П) < 0<п+1>].

Доказательство. Применим к функции / из следствия
XXV (Ь) релятивизованную теорему о рекурсии, чтобы полу-
чить такое п, что для всех X имеет место Wf(n) = Возьмем
в качестве а степень множества W&. Доказываемое утверждение
проверяется непосредственно.и

Мы закончим этот параграф, сформулировав некоторые даль-
нейшие результаты.

1	(Сакс). Упорядочение рекурсивно перечислимых степеней
не есть решетка.

2	(Ейтс). Степень 0 есть наибольшая нижняя грань двух рекур-
сивно перечислимых степеней, отличных от 0.

3	(Ейтс). Существует такая рекурсивно перечислимая степень
а > 0, что для любой рекурсивно перечислимой степени b < 0'
справедливо a [J b < О'.

4	(Сакс). [0 < а & а рекурсивно перечислима] => существует
такая рекурсивно перечислимая степень d, что [0 < d < а &
<&d' =0'].
5	(Мартин, Лахлан). Существуют такие рекурсивно перечис-
лимые степени а и Ь, что (Vra) [а'п>| Ь(П)]. См. упр. 13-54.

6	(Ейтс). Существует степень, меньшая О', не сравнимая со все-
ми рекурсивно перечислимыми степенями, заключенными строго
между 0 и О'.

7	(Шёнфильд, Сакс). О < а < 0' => существует такая рекур-
сивно перечислимая степень Ь, что b | а.

8	(Спектор). Никакая возрастающая последовательность сте-
пеней пе имеет наименьшей верхней грани; но (Сакс) всякое счет-
ное множество степеней имеет минимальную верхнюю грань.

9	(Спектор). Арифметические степени не образуют решетку.

10	(Сакс). Если П — такое частично упорядоченное множество,
что (i) мощность множества П не превосходит (первый несчет-
ный кардинал) и (ii) каждый элемент множества II имеет не более
х0 предшествующих ему, то существует подупорядочение степе-
ней, изоморфное множеству II.

И (Сакс). Если П — такое частично упорядоченное множество,
что (i) мощность множества П не более 2No и (ii) каждый элемент
множества П имеет не более конечного числа предшествующих ему
элементов, то существует подупорядочение степеней, изоморфное II.

12	(Титгемейер). Существует такая меньшая 0" степень, что
между нею и 0 заключена единственная степень.

13	(Сакс). (Va)[(Vb)[|b	0 & b рекурсивно перечислима] =>

=> a йС bl => а = 0].

14	(Ейтс). Для всякой рекурсивно перечислимой степени,
большей 0, существует меньшая ее минимальная степень х), но
существует такая степень, большая 0, ниже которой нет мини-
мальных степеней.

15	(Шёнфильд). Для всякой степени а < 0' существует такдя
минимальная степень b < О', что b а, но (Ейтс) существует
такая рекурсивно перечислимая степень а < О', что, какова бы
ни была рекурсивно перечислимая степень b > 0, а и b имеют
большую 0 нижнюю грань.

16	(Мартин), а — степень некоторого максимального множе-
ства о а — степень некоторого гипергиперпростого множества <=>
<=> [а рекурсивно перечислима и а' — 0"].

Приведем в качестве заключительного примера следующую
теорему Сакса, из которой выводится ряд интересных следствий
(включая йекоторые из приведенных выше утверждений). Эти
следствия перечисляются в упр. 13-53. Теорема является даль-
нейшим обобщением упр. 10-11.

Теорема (Сакс). Пусть даны такие множества В, С и D, что D
рекурсивно перечислимо относительно В, С D и С В.

*) Не рекурсивно перечислимая в силу 13.— Прим, перев.
Тогда существуют такие множества Di и D2, что Di J Di = D,
Di (] D2 = 0, DtS D2 рекурсивно перечислимы относительно В,
С В (J) Di и С ^т В ® О2.

Сакс [1963b] перечисляет некоторые открытые вопросы, среди
которых содержатся следующие. Сохранится ли в силе утвержде-
ние 11, если слово ;,конечное" заменить на „счетное"? Всякое ли
независимое множество степеней (т. е. множество, в котором ника-
кая степень не сводится к наименьшей верхней грани конечного
числа других) мощности, меньшей 2N«, может быть расширено
до большего независимого множества? Назовем начальным отрез-
ком всякое множество степеней, замкнутое относительно операции
перехода от а к {b | b а}; всякое ли конечное частично упоря-
доченное множество, подчиненное условиям (i) существует наи-
меньший элемент и (ii) всякая пара элементов имеет не более одной
минимальной верхней грани, может быть начальным отрезком *)?
Сакс предполагает, что ответы на эти вопросы положительны.
В пересмотренном издании [1963b] Сакс ставит также (среди про-
чих) следующий вопрос: существует ли такое z, что (для всех А
и В) A <TWf< ТА' и [Л =т В => W* =т Ж2е1?

§ 13.9. УПРАЖНЕНИЯ

§ 13.1

13-1. Пусть дано множество А. Возьмем две различные допустимые
гёделевы нумерации класса частичпорекурсивных функций (упр. 2-10).
Получим из них по теореме 9-11 нумерации класса Л-рекурсивных функций.
Пусть А { и А 2 — скачки множества А, определенные с помощью этих нумера-
ций. Докажите, что At = А2.

13-2. Проведите формальные построения (подобно тому, как это сделано
для => из пункта (d) теоремы I) для <= из (d), а также для и <= из (е) теоре-
мы I.

13-3. Покажите, что для любого множества А

(i)	A' продуктивно,

(ii)	К Ст -А продуктивно,

(iii)	(А)' Ф А г,

J) В настоящее время получен ряд результатов о возможном строении
начальных отрезков полурешетки Т-степеней. Лахлан (Distributive initial
segments of the degrees of unsolvability, Zeitschr. f. math. Logik u. Grundl.
Math., 14, N 5 (1968), 457—472) показал, что всякая счетная дистрибутив-
ная решетка с наименьшим элементом изоморфна некоторому начальному
отрезку Т-степеней. М. Лерман (Some nondistributive lattices as initial seg-
ments of the degrees of unsolvability, Journ. symb. logic, 34, N 1 (1969), 85—
98) доказал существование начальных отрезков, представляющих собой
(недистрибутивные) решетки с нулем, единицей и ph + 1 попарно не сравни-
мыми элементами, где р — простое число. Вложимость конечных решеток
некоторого специального вида в качестве начальных отрезков установлена
Томасоном (Sublatticcs and initial segments of the degrees of unsolvability,
Canad. journ. math., 22, N 3 (1970), 569—581).— Прим, nepee.
(iv)	из продуктивности множества А не вытекает, что (Эв)[4 = В'].
Покажите, что для любых множеств А и В

(у) А’ = В' А = В.

13-4. Покажите, что операция скачка на стейенях определима на языке
отношений и „быть рекурсивно перечислимым относительно".

13-5. Покажите, что существует равномерная процедура, позволяющая
при любом п по данному множеству 0<п! вычислять п, т. е. что существует
такое z, что при каждом п справедливо (0) = п.

13-6. Пусть А £ а, В £ b и множество А рекурсивно перечислимо отно-
сительно В. Какие из следующих утверждений верны и какие ложны?

(i)	Всякое £ а рекурсивно перечислимо относительно В-

(ii)	Множество А рекурсивно перечислимо относительно любого £ Ь.

△13-7. Покажите, что (VA)(VB) [4ф тВ'].

13-8. Докажите, что для любого множества А существует такая возра-
стающая функция /, что А {(х, у} | х £	(Указание. См.

упр. 13-5.)

13-9. (а) Докажите, что (4 —арифметическое относительно В}<=>
<=> (Эц)[4 < В<«>].

(Ь) Докажите, (что А — арифметическое относительно В) ^В(ш\
13-10. Покажите, что отношение „быть арифметическим относительно"
транзитивно.

§ 13.2

13-11. Докажите, что (0 с а &. а d]	(3b)[b|а & d b< a' U d].

(Указание. См. теорему VII.)

Д13-12 (Клини, Пост). Покажите, что для любых степеней alt а2, а3, таких,
что а4 < а2 а3, существует такая степень Ь, что b | а2, b | а3 и aj < Ь < а'.
(Указание. Обобщите доказательство теоремы VII.) Используя этот результат,
докажите, что для любого конечного интервала последовательности О', 0",. . .
существуют степени, не сравнимые со всеми элементами этого интервала,
но сравнимые со всеми остальными элементами последовательности.

△ 13-13 (Клини, Пост). Покажите, что в упр. 13-12 (единственную) сте-
пень Ь можно заменить бесконечной совокупностью попарно не сравнимых
степеней.

13-14. Покажите, что 0>=К.

13-15. Пусть функция / такая же, как в доказательстве теоремы VIII.
Проверьте, что для всякого х [х £ К' <=> <р/(ж) не всюду определена].

△13-16. Докажите, что {х | <рж — рекурсивная перестановка} = К>.

△13-17. Докажите, что {х | Wx коконечно} =	.

Д13-18. Докажите, что {х | Wx рекурсивно} = K,f.

§ 13.3

13-19. Покажите, что (Va)(Vn)(3b)[b | а & а(п) Ь']. (Указание. См.
доказательство следствия IX (Ь).)

△ 13-20. (Спектор). Покажите, что (3a)(3b)[a | b &. (аи Ь)'= а' и Ь'].
(Указание. Постройте / и g примерно так же, как при доказательстве теоремы
X, включив в построение дополнительные шаги, обеспечивающие несравни-
мость Хх[/(2х)] и kc[f(2x 1)]. Пусть множества At и А2 таковы, что cAi —
= Хх[/(2х)], а сАг = Хх[/(2х + 1)]. Заметим, что А = ф Аг.)

13-21. Используя следствие IX (а), постройте пример таких степеней
а и Ь, что а'и Ь'^.(аи Ь)'. (Указание. См. доказательство следствия
IX (Ь).)
△ 13-22. Докажите следствие X (Ь).

13-23. Докажите следующую релятивизацию теоремы XI: <Vd)(Hb)[d <_
< Ь< <Р & ь не рекурсивно перечислима относительно <1]. (Указание.
Примените метод релятивизации из теоремы VII.)

13-24. (а) Докажите, что 6 — метрика на g, т. е.

(I)	6(/, g) = 0 <=> / = g,

(н) 6(/, g) = 6(g, /),

(iii)	б(/, h) 6(/, g) + S(g, h).

(b)	Покажите, что индуцированная этой метрикой топология и описанная
в § 13.3 топология декартова произведения на совпадают.

(с)	Есйи отождествить каждое множество с его характеристической функ-
цией, то пространство Лг' (всех подмножеств IV) отождествится с 4g- Дока-
жите, что топология в пространстве 4g, индуцированная метрикой, и топо-
логия, описанная в пункте (с) упр. 11-35, совпадают.

(d)	Докажите, что (в выбранной нами топологии) каждая точка в про-
странстве 4S замкнута, а всякая сферическая окрестность одновременно
открыта и замкнута. (Такие пространства иногда называют вполне несвяз-
ными.)

(е)	Покажите, что пространство 4g — компакт. (Указание. Покажите,
что оно обладает следующим свойством: если пересечение любого конечного-
подсемейства данного семейства замкнутых множеств не пусто, то и пересе-
чение всех множеств данного семейства должно быть непустым.)

△ 13-25.

Определение. Последовательность точек f0, Д, . . . (метрического про-
странства) называется последовательностью Коши, если для любого действи-
тельного е > О

(3n)(Vp)(Vg)[[n < р &. п < </]	6(Jp, fq) < е].

Определение. Точка g называется пределом последовательности
/о, А, • • , если lim 6(/n, g) = 0.

п—>ОО

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем.
всякая последовательность Коши имеет предел. (Свойство полноты является
обобщением на случай метрических пространств свойства действительной
прямой, выражающегося в наличии наименьшей верхней грани у ее ограни-
ченных подмножеств.)

Докажите, что пространство 4g полно.

△ 13-26. Докажите теорему Бэра (теорема XII). (Указание. Пусть 4g —
полное метрическое пространство. Предположим, что 4g — объединение
счетной последовательности нигде не плотных множеств. Пусть 4go, 4gi,   

сю

— замыкания элементов этой последовательности. Тогда 4g — U 4g t и
1=0

(Vi)[% не содержит ни одной сферической окрестности]. Найдем такую
п

цепь сферических окрестностей gfa ZD 2D . . ., что П (U 4gt) = 0.
i=o

Образуем последовательность Коши из элементов последовательных окрестно-

ОО

стой (/; g (У;) и покажем, что ее предел не может принадлежать U 4gl.)
г—0

△ 13-27. (а) Приведите пример множества первой категории в 4g, имею-
щего положительную меру. (Указание. Для всякой возрастающей последо-
вательности х0, Xi, ... рассмотрим множество {/ | (V 1)(Эа:)[хг х <
< xi+1 &. f(x) = 1]}. Покажите, что это — множество первой категории,
но что, если щели между двумя последовательными элементами после-
довательности растут достаточно быстро, мера этого множества положи-
тельна.)

(Ь) Постройте пример множества второй категории в пространстве
имеющего меру нуль. (Указание. Покажите, что множество первой категории,
построенное в (а), может иметь меру, сколь угодно близкую к 1. Возьмите
объединение счетного семейства таких множеств и рассмотрите его допол-
нение.)

13-28. Назовем множество в пространстве плотным в 4g, если его замы-
кание есть 4g.

(а)	Покажите, что всякое множество, дополнение которого есть множество
первой категории, плотно в 4g.

(Ь)	Выведите из теоремы Бэра, что пересечение счетного семейства мно-
жеств, каждое из которых открыто и плотно в есть множество второй кате-
гории, дополнение которого есть множество первой категории. [Замечание-.
доказательство теоремы XIII сводится к тому, чтобы показать, что для каждо-
го z внутренность множества {/ |	=/= Ф^} открыта и плотна в 4g. (Внутрен-

ность множества есть объединение всех содержащихся в нем сферических
окрестностей.)]

△ 13-29 (Сакс). Назовем степень а минимальной, если 0 < а
и (Vb)[b< а =$ Ь = 0]. (В § 13.5 показано, что такие степени существуют.)
Докажите, что совокупность минимальных степеней имеет меру нуль-
(Указание. Для произвольной фиксированной функции / положим /* =
= Хх[/(2а:)] и /** =Лг[/(2х-|-1)]. Ясно, что /* ^т/- Покажите, что Р [/* ре-
курсивна] =0 и Р	= Р [/** Ст/*] = 0.)

△13-30 (Сакс). Докажите следующее обобщение теоремы XIV (и выведите
аналог следствия XIV): множество {а | 0* рекурсивно перечислима относи-
тельно а) имеет меру нуль. (Указание. Покажите, что для любых Лиз
Р[Л = W{] = е > 0 =} А рекурсивно перечислимо. Примените методы дока-
зательства теоремы XIV, начав с тождества (справедливого при любом п)
Р[А = Wz] = Р[(3/')[/' — начальный сегмент функции / и (Vх)\х п

<=> х g И'!/”}]]]]-PM = W*z | (Э/')[...]] = е, где w\£ есть область
определения функции ф^^.)

§ 13.4

13-31. (а) Докажите следствие XV.

(Ь) Определите формально (т. е. в терминах рекурсивно перечислимых
множеств), что такое ф!^, когда / — сегмент двух переменных.

△ 13-32 (Клини, Пост). Назовем конечное множество степеней незави-
симым, если никакая степень из этого множества не Т-сводится к (итериро-
ванному) сочленению остальных степеней. Покажите, что в упр. 13-12 един-
ственную степень b можно заменить произвольно большой независимой сово-
купностью степеней.

13-33 (Клини, Пост). Покажите, что теорема XVI останется верной,
если степень 0 (в ее формулировке) заменить произвольной степенью а. § *

§ 13.5

13-34. (а) Докажите следствие XVII (а).

(Ь) Докажите следствие XVII (Ь).

△ (c) (Мартин). Модифицировав построение из доказательства теоремы
XVII, докажите, что (Эа)]О < а & а" = 0" & (Vb)[b < а => b = 0]].

(Указание. Переделайте построение так, чтобы для всякого п вопрос,
всюду ли определена функция ф^, сводился к степени 0". Для этого сделайте
так, чтобы подэтапы (Ь) и (с) (этапа 2п + 2) принуждали функцию ф£ быть
всюду определенной. Этого можно добиться, дополняя построения, проде-
ланные на подэтапах (Ь) и (с), с помощью приема, использованного на под-
этапе (с).)

(d) (Мартин). Покажите, что степень а из предыдущего пункта дает
пример нерекурсивной степени, не содержащей гипериммунных множеств.
(Указание. Покажите, что на этапе 2и + 2 существует общерекурспвная
•функция /*, мажорирующая (ж | ф£(х) = 1}, если только функция ф£ всюду
определена.)

△13-35 (Лакомб). Покажите, что существует 2No минимальных степе-
ней. (Указание. В теореме XVII на этапе 2n + 1 используйте интервал
{z | /гт(1) z < hm(2)} вместо {z | hm(0) z < Лт(1)}, определите hm+1 =
= %x[hm(x -j- 2)] и сделайте произвольный выбор (для построения /™+1)
из {z | hm(0) z < hm(i)}. Таким образом, делая х0 произвольных выборов,
можно получить 2No вариантов функции g.)

13-36. Покажите, что всякая степень является наибольшей нижней
гранью двух несравнимых степеней. (Указание. Воспользуйтесь теоремой VI.)

§ 13.6

13-37. Докажите следствие' XVIII.

△13-38 (Майхилл). Пусть N* = V (J {со}, 3 = (N*)n — совокуп-
ность всех отображений из V в N*. Мы можем отождествить с совокуп-
ностью всех функций, полагая, что ф(х) = со означает ,,ф(г) расходится"
(для произвольной функции ф из Э8). Следующим образом определим б для
-произвольных функций ф и ф из совокупности Э8:

(	0,	если ф = ф;

6(ф, ф) = <	1

1 —г , , , ,--.	, если ф =# ф.

{ [Иф (х) ф ф(х)]4-1	т-Г-т

(а)	Покажите, что б — метрика на 3° и потому определяет топологию
на 9й.

(Ь)	Покажите, что 3 полно (как топологическое пространство).

(с)	Докажите, что (ф |(3 /)[/ ф &. / не рекурсивна]} есть множество
первой категории, и выведите отсюда с помощью теоремы Бэра теорему XVIII.
.(Указание. См. подэтап (Ь) этапа 2га + 2 из доказательства теоремы XVIII.)
[Читателю следует в этом случае (как и в других) заметить, что, хотя понятие
категории множества дает эвристическое упрощение и формальную экономию,
основной комбинаторный шаг является общим для доказательств, как исполь-
зующих, так и не использующих это понятие.]

13-39. (а) Докажите следствие XIX.

△(b) Пусть дана частичиорекурсивная функция ф, принимающая в ка-
честве значений только 0 и 1. Предположим, что существуют такие функция
g и рекурсивный оператор Ф, что (У/)[[ф с:/ & область значений / содержит-
ся в {0, 1}] => Ф(/) — g]. Покажите, что g обязательно общерекурсивна.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой о компактности для деревьев (упр. 9-40),
или, эквивалентно, компактностью пространства g (упр. 13-24.)]

13-40. Докажите теорему XX аналогично доказательству теоремы VI.

13-41. Пусть 3 — топологическое пространство, определенное
в упр. 13-38. Для произвольной функции ф покажите, что еслиф не частично-
рекурсивна, то {ф | Ф ^еФ и ф ф} есть множество второй категории; полу-
чите отсюда теорему XX. (Указание. Воспользуйтесь методом из теоремы
XIII, т. е. покажите, что для любого п если множество {ф | ф = Фп(ф)}
-нигде не плотно, то функция ф частичнорекурсивна.)
§ 13.7.

13-42. Рассмотрим массовые проблемы (1) — (5), описанные на стр. 365.
Постропв соответствующие рекурсивные операторы, проверьте относящиеся
к этим проблемам утверждения.

13-43. Докажите, что операторы Л и V , определепные на массовых проб-
лемах, корректно определены на степенях трудности.

13-44. Определите формально, т. е. с помощью рекурсивно перечислимых
множеств, операторы Ф1 и Ф2 из доказательства теоремы XXI. Покажите,
что индекс оператора Ф1 (в нумерации рекурсивных операторов) может быть
эффективно найден по т и п, и что индекс оператора Ф2 может быть эффектив-
но найден по р и q.

13-45. Покажите, что никакой элемент решетки Медведева, отличный
от 0 и 1, не может иметь дополнения. Отсюда следует, что решетка Медведева
не есть булева алгебра.

13-46. Докажите, что, какова бы ни была функция /, степень трудности,
содержащая {/}, есть степень разрешимости.

13-47. Покажите, что утверждения Еа = Ед и = Sb независимы,
т. е. ни одно из этих утверждений не следует из другого.

13-48. Завершите доказательство теоремы XXIII (Ь).

13-49. (а) Покажите, что среди неединичных элементов решетки Медведе-
ва нет максимальных.

(Ь) Покажите, что в решетке Медведева не существует таких несравнимых
элементов А и В, что А V В = 0.

(с) При каких условиях пересечение двух степеней разрешимости может
быть само степенью разрешимости?

13-50. (а) Пусть X — дистрибутивная решетка, с G X, .7 — главный
идеал, порожденный с. Пусть а и Ъ — элементы решетки X, [а] и [Ь] —
элементы факторрешетки Х/У, определяемые а и Ъ. Докажите, что [а\

[6] тогда и только тогда, когда а С b J с (упр. 12-7).

(Ь) Сформулируйте соответствующий результат для главных дуальных
идеалов.

Л 13-51. Проверьте утверждения, сделанные в примерах 4 и 5 (стр. 372).

13-52. Пусть <М — решетка Медведева, D g 2) — главный дуальный
идеал, порожденный D. Определим —] А как А —> D. Рассмотрим формулы
со связками ~], V , Л , —> и <->. Покажите, что эти формулы могут быть интер-
претированы на факторрешетке М*2>, т. е. что, приписывая переменным
в таком выражении элементы факторрешетки в качестве значений, мы полу-
чим единственный элемент факторрешетки в качестве значения всего выра-
жения. Используя результат Медведева об интуиционистском исчислении
высказываний (см. § 13-8), покажите, что всякая теорема интуиционистского
исчисления высказываний истинна во всякой такой факторрешетке. Покажи-
те, что обратное неверно. В частности, приведите примеры (степени D),
когда (i) все выражения истинны в M*Z>, (ii) совокупность истинных выра-
жений состоит в точности из теорем классической двузначной логики выска-
зываний.

§ 13.8

Д 13-53 (Сакс). Выведите из теоремы Сакса, сформулированной в конце
§ 13.8, следующие следствия.

(i)	[b < d &. d рекурсивно перечислима относительно b]=$.(3d1)(3d2)
Id = di d2 & b < dt < d & b < d2 < d &. d, рекурсивно
перечислима относительно b & d2 рекурсивно перечислима относительно
Ь]. (Указание. Докажите следующую лемму: если A (J В = С, А В = 0
и А и В рекурсивно перечислимы относительно С, то С = т-4 ф В.)
(ii)	Множество А рекурсивно перечислимо => А есть объединение двух
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств несравнимых сте-
пеней. (Этот результат упомянут в конце упр. 10-11.)

(iii)	{Ь | Ь< О'} не имеет максимальных элементов.

(iv)	[Ь < с < d & d рекурсивно перечислима относительно Ь] =>
(За)[Ь <a<d&a|e&a рекурсивно перечислима относительно Ь].

(Это результат 7 из § 13.8.)

(v)	А рекурсивно <=> (\фВ)[Врекурсивно перечислимо, ноне рекурсив-
но =^> А <т (Это результат 13 из § 13.8.)

(vi)	(Jb) [d рекурсивно перечислима относительно b & b < d] d
есть минимальная верхняя грань совокупности всех степеней, меньших d.

(vii)	(3b) [d рекурсивно перечислима относительно b & b < d] =} суще-
ствует такая возрастающая последовательность степеней а0 < а1 < а2 < ...
..., что d есть минимальная верхняя грань этой последовательности. (Как
следует, из результата 8 из § 13.8, наименьшей верхней грани эта последова-
тельность иметь не может).

А 13-54 (Мартин, Лахлан). Покажите, что существуют такие рекурсивно
перечислимые степени а и Ь, что (Vn) [a<n) I Ь(п>]. (Указание. Модифицируйте
доказательство теоремы XXV и следствие XXV (Ь), чтобы получить такие
общерекурсивные функции j и g, что для всех хну справедливо (Wj\x,v)Y =
= w^f ф D>, (WDg{x,yY' = W^' ф D', причем множества Wflx,y) и W*\x,v)
несравнимы. Затем применяйте, итерируя, теорему о рекурсии (см. теорему
И-Х).]

А 13-55. Покажите, что m-степени арифметических множеств не образуют
решетки относительно m-сводимости. (Указание. Возьмите К' и К', рассмот-
рите их произвольную нижнюю грань и постройте большую нижнюю грань,
следуя методу доказательства теоремы 9-1.)

13-56. Выведите из результатов § 13.8, что существует рекурсивно пере-
числимое нерекурсивное множество, к которому не сводится никакое гипер-
гиперпростое множество.

А 13-57. (Мартин). Скажем, что f мажорирует все общерекурсивные функ-
ции, если (V общерекурсивная g) (3m)(Vn)[m n => g(n) </(п)].

Докажите: 0** а* <=> существует функция / степени а, мажорирующая
все общерекурсивные функции. (Указание. <=. Достаточно доказать, что мно-
жество В — {z | <рг всюду определена} рекурсивно перечислимо относительно
а*. Но мы можем перечислять z g В, перебирая такие т, что для всех п т
значение <pz(n) вычисляется за f(n) или меньшее число шагов. =Ф. Пусть дана
некоторая общерекурсивпая функция g, такая, что 1(В <=>	<z) конечно,

где А £ а. Для каждого z перечислим (рекурсивно относительно множества А)
последовательность z<0>, z(1>, . . ., где z<n> есть либо <р2(п), либо п-й элемент
множества Постройте функцию /, мажорирующую все эти последова-
тельности, в которой к тому же с помощью четности или нечетности значений
закодирована функция сА). (Мартин использовал этот результат, чтобы полу-
чить характеристику степеней максимальных множеств.)
Глава 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(часть 1)

§ 14.1.	Иерархия множеств	387

§ 14.2.	Нормальные формы	391

§ 14.3.	Алгоритм Тарского — Куратовского 394

§ 14-4.	Арифметическая представимость 400

§ 14.5.	Сильная теорема об иерархии 403

§ 14.6.	Степени 406

§ 14.7.	Приложения в логике	408

§ 14.8.	Вычислимые степени неразрешимости 415

§ 14.9.	Упражнения 425

§ 14.1.	ИЕРАРХИЯ МНОЖЕСТВ

В предыдущих главах понятия степени и сводимости применя-
лись для классификации множеств натуральных чисел. В этой
главе мы построим новую (хотя и более грубую) классификацию
таких множеств. Эта новая классификация позволит лучше понять
предыдущую теорию и установить новые связи теории рекурсив-
ных функций с математической логикой. Она также-даст элегант-
ные методы большой мощности для установления сходства или
несходства разнообразных множеств натуральных чисел. В § 14.5
приводится основная теорема главы, являющаяся обобщением
теорем о проекции (теоремы 5-Х и 5-XI).

Определение. Отношение R входит в арифметическую иерар-
хию, если R рекурсивно или может быть получено из некоторого
рекурсивного отношения S путем последовательного применения
конечного числа операций проектирования и взятия дополнения ’)•

Рекурсивно перечислимые отношения входят в арифметическую
иерархию, так как всякое рекурсивно перечислимое отношение
можно получить из некоторого рекурсивного отношения проекти-
рованием (теорема 5-Х). Следовательно, и дополнение любого
рекурсивно перечислимого отношения входит в иерархию, так как
его можно получить из рекурсивного отношения операциями
проектирования и взятия дополнения.

Определение. Пусть дано множество А. Отношение R входит
в арифметическую иерархию относительно А, если R рекурсивно
или может быть получено из некоторого А-рекурсивного отноше-
ния S' путем применения конечного числа операций проектирова-
ния и взятия дополнения.

*) Впервые арифметическая иерархия исследовалась Клини [1943]
и Мостовским [1947]. [В гл. 15 будут рассмотрены аналоги иерархий Бореля
и иерархии проективных множеств действительных чисел.
Согласно релятивизованной теореме о проекции, любое множе-
ство, рекурсивно перечислимое в А, входит в арифметическую
иерархию относительно А.

При рассмотрении иерархий удобно использовать логические
символы для обозначения операций проектирования и взятия
дополнения. Операция взятия дополнения будет обозначаться
знаком отрицания, а операция проектирования — квантором
существования. Например, если R есть га-местное отношение, то

{<(Г1, . . ., хп) |. “I R(xi, . . ., rrn)}

— дополнение отношения Л, а

{^#1, . > ., хп_^} | (3xn).ff(xi, • . ., хп)}

— одна из п возможных проекций отношения R,

I (Элп_г) —I (3хп)(Зхпn)R(xi, . .	£n)}

есть результат применения операций проектирования, проекти-
рования, взятия дополнения, проектирования, взятия дополнения
(именно в таком порядке) к R. В подобных выражениях (вклю-
чающих символы отрицания и кванторы) все символы отрицания,
кроме, быть может, одного, можно устранить путем введения
квантора общности и использования следующих правил элемен-
тарной логики: пЗ эквивалентно V-1; nV эквивалентно Зп;
а —ш можно опускать. (Полезны еще такие правила: V эквива-
лентно ~13п, а 3 эквивалентно ПУП.) Так, например, пЗпЗпУ
можно заменить на УЗЗп. Так как дополнение рекурсивного
отношения также рекурсивно, то имеем следующее.

Теорема I. п-мест ное отношение R входит в арифметическую
иерархию тогда и только тогда, когда оно рекурсивно или может
быть выражено при некотором т в такой форме:

{(•И, . . ., Хп) | (Q1//1) • • • (QoiZ/m)^^!! • • ч Хп, yi, . . ., Ут)},
где Q, — это или V или 3 для 1 sC i т, a S — (п + т)-местное
рекурсивное отношение.

Доказательство. Всякую последовательность опера-
ций проектирования и взятия дополнения, применяемых к рекур-
сивному отношению, можно преобразовать по упомянутым выше
правилам логики так, чтобы (при подходящем переименовании
переменных рекурсивного отношения или его дополнения) полу-
чить требуемое выражение.

Наоборот, во всякой последовательности кванторов, учиты-
вая, что V эквивалентно ~13 ~1, все кванторы общности можно
заменить на отрицания и кванторы существования, что и дает
последовательность операций проектирования и взятия дополне-
ния. в
Определение. Пусть дано выражение, получающееся припи-
сыванием нуля или большего числа кванторов по различным пере-
менным к символу отношения, и пусть этому символу сопостав-
лено конкретное рекурсивное отношение. Будем говорить, что
такое выражение вместе с этим отношением образует предикатную
форму х).

Определение. Предикатная форма с т кванторами, применяе-
мыми к n-местному рекурсивному отношению (здесь т < п),
определяет очевидным образом (ге — тп)-местное отношение.
Будем говорить, что это (и — т)-местное отношение выразимо
в данной форме.

Например, если S есть 4-местное рекурсивное отношение, то
(3-r3)(Vх2, х3, вместе с отношением S образует преди-
катную форму, а {(^2,	| (Bx3)(VXi)S(xi, аг2, х3, х})} — отноше-

ние, выразимое в этой форме.

Для удобства мы будем считать, что переменные рекурсивного
отношения записываются в том же порядке, в каком они встре-
чаются в кванторах; например, (3y2)(Vy3)>S'(i/1, у2, Уз)- Однако это
ограничение не входит в определение и потому допускаются кван-
торы по любым переменным и в любом порядке.

Определение. Пусть дано множество А. Если в определении
предикатной формы заменить рекурсивное отношение на Л-ре-
курсивное отношение, то получим определение А-формы.

Из теоремы I получаются такие следствия.

Следствие I. (a) R входит в арифметическую иерархию тогда
и только тогда, когда R выразимо в некоторой предикатной форме.

(Ь) R входит в арифметическую иерархию относительно А
тогда и только тогда, когда R выразимо в некоторой А-форме.

Доказательство очевидно.я

Ошеделение. Список (быть может, пустой) кванторов преди-
катной формы или Л-формы назовем префиксом формы.

Например, префиксом формы xi)(3x^){3x3)R{xl, х2, х3, х±)
является V33.

Ошеделение. Числом перемен кванторов в префиксе называется
число всех пар смежных, но не совпадающих кванторов.

Например, в префиксе 33V3 две перемены кванторов.

’) Строго говоря, это определение скорее теоретико-множественное,
чем синтаксическое (т. е. символическое). Предикатная форма состоит из ре-
курсивного отношения и (быть может, пустого) конечного списка операторов
квантификации вместе с однозначным отображением членов этого списка
в список переменных отношения.
Мы будем классифицировать формы (и отношения, которые
в них выразимы) по числу перемен кванторов в их префиксах.(Будет
доказана фундаментальная значимость такой классификации.

Определение. Дляп > 0 ^п-префикс — это префикс, начинаю-
щийся с 3, с п — 1 переменами кванторов.

Ио~префикс — это пустой префикс.

Для п > 0 Нп-префикс — это префикс, начинающийся с V,
сп — 1 переменами кванторов.

И0-префикс — это пустой префикс.

(Итак, определения ^о-префикса и П0-префикса совпадают.)

Определение. Предикатная форма с S „-префиксом называется
2п-формой.

Предикатная форма с П„-префиксом называется Пп-формой.

Пусть дано множество А, тогда Л-форма с 5п-префиксом назы-
вается ТД-формой\ Л-форма с Пп-префиксом называется П„-
формой.

В следующем основном определении мы распространим S„-
и Пп-классификации с форм на отношения, выразимые в этих
формах.

Определение. = [класс всех отношений, выразимых в 2П-
формах].

Пп = [класс всех отношений, выразимых в Пп-
формах].

Пусть дано множество Л.

Sn =[класс всех отношений, выразимых в
формах].

Пп — [класс всех отношений, выразимых в П„-
формах].

Итак, согласно следствию I, отношение входит в арифметиче-
скую иерархию тогда и только тогда, когда оно при некотором п
является элементом из 2П или из Пп. Аналогично для арифмети-
ческой иерархии относительно Л. So (= По) — это класс всех
рекурсивных отношений. Согласно теореме о проекции, — это
класс всех рекурсивно перечислимых отношений. Аналогичным
образом, (=П^) — это класс всех Л-рекурсивных отноше-
ний, a — это класс всех отношений, рекурсивно перечисли-
мых в Л.

Легко доказываются следующие основные соотношения.

Теорема II. (а) 2n U Пп с 2„+1 П Пп+1.

(Ь) Для любого R

R € Sn <=> R € Пп.

(Здесь для /r-местного отношения R R = Nh — R.)
Доказательство, (а) Пусть форма задается (п + т)-
местным рекурсивным отношением R и выражением

(Ql^l) • • • (Qmym'jRiXi, . . Хп, 'yi, . . ., ут),

где Qi, . . Qm — последовательность кванторов. Следующим
способом можно ввести „фиктивные11 кванторы. Пусть Т — отно-
шение, выразимое в этой форме. Положим

S = {<^1, • • •> Ут, z> I R(xi, . . ., ут) & z € 2V}.

Отношение S рекурсивно, и каждое из следующих выражений
дает форму, в которой выразимо Т:

(Vz)(Qiy1) . . . (Qmym)S(a;1, . . ., ут, z);

(SzXQiyi) . . .	• • •> z); .

(Q1Z/1) • • • (Qrnym№z)S(xi, . . ., z);

(QiJ/i) • • • (Qmym)(3z)6'(a;1, . . ., z).

Это дает пункт (а) теоремы.

(b) Если R £ 2n) то R выразимо в 2п-форме. Возьмем отрица-
ние 'этой формы, и пронесем знак отрицания направо по прави-
лам элементарной логики, использованным в теореме I. Это даст
Пп-форму, в которой выразимо дополнение отношения R.

С другой стороны, если R С Пп, то отрицание Пп-формы дает
включение R 6 2П.И

Следствие II. Пусть дано А.

(a)	2'iu с 2Д.! П П£+1.

(Ь)	Для любого R

R е Re П^.

Доказательство. Аналогично.ж

В упр. 14-3 мы покажем, что п > 0 => (2П — Пп) -£- 0 (и, сле-
довательно, по теореме II (Ь), что п > 0 => (Пп — 2П) =/= 0).
Этот результат называют теоремой об иерархии. В сочетании с тео-
ремой II (а) он показывает, что классы 20, 2i, 22) . . . образуют
строго возрастающую последовательность. Для решения упр. 14-3
потребуется теорема III (из следующего параграфа). Более силь-
ный вариант упр. 14-3 будет сформулирован и доказан в § 14.5.

5 14.2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Отношения из класса 2n (J Пп можно выразить предикатными
формами с не более чем п кванторами. Для этого достаточно пока-
зать, что форму с парой соседних кванторов одного типа можно
заменить эквивалентной формой с одним квантором того же типа
(вместо этой Чары). Доказательство использует функции зт± и л2
(определенные в § 5.3). Например, . . .(Va:)(Vz/) ... S(... х... у... )
эквивалентно ...(Vu)...5*(...u...), где

5* = {< ...z... >|5(. . .пДг) ... n2(z). . .)},

при этом, если S есть «-местное рекурсивное отношение, то S*
будет (п.— 1)-местным рекурсивным отношением. Это предложе-
ние называется правилом сжатия кванторов. (Частным случаем
этого правила является вторая теорема о проекции.) Следователь-
но, всякое отношение в арифметической иерархии выразимо пре-
дикатной формой, в префиксе которой отсутствуют пары сосед-
них кванторов одного и того же типа. Кванторы в Л-формах (для
данного множества Л) также можно сжать указанным выше спо-
собом, поэтому любое отношение в арифметической иерархии отно-
сительно Л можно выразить Л-формой, в префиксе которой нет
пар соседних кванторов одного типа.

Используя нумерацию рекурсивно перечислимых множеств,
можно перенумеровать множества любого из классов и Пп
(и > 0). Аналогичным способом из нумерации множеств, рекур-
сивно перечислимых относительно Л, можно получить нумерацию
множеств любого из классов и П„ (п > 0). Чтобы получить
эти новые нумерации, сначала введем полезные основные отноше-
ния, обозначаемые Тп и Тп-

Определение. Для п > 0 положим

Тп == Я'О, ^1» • • ч I (^0> • • ч ^п-1)

появляется на хп-м шаге перечисления множества Wz (по номеру z)}.

Для п > 0 и любого множества Л положим

Тп = {<z, х0, Xi, . . ., хпу |(3y)(3u)(3iz)[«a:o, • • ч ^n-i)> У, и, (?)
появляется на хп-м шаге перечисления множества JFp(2j (по номеру
p(z)) и Du о А и Dv с Л]}. (Перечисление множества Wг по номе-
ру z — это перечисление, опирающееся на следствие 5-V (d).)

Очевидно, отношение Тп рекурсивно, а Тп является Л-рекур-
сивным. (3xn)Tn(z, х0, . . ., хп) утверждает, что <р2( (х0, . . ., жп-1))
сходится, (Зхп)Тп (z, х0, . . ., хп) утверждает, что <p^((z0, ...
• • ч жп-1» сходится г).

Для любого рекурсивно перечислимого отношения R сущест-
вует такое числоz, что Н(х0, . . xn_i) <=?• (3xn)Tn(z, х0, . . ., хп).

х) Отношение Тп, введенное Клини, подобно нашему Тп, только у Клини
Тп (z, . . ., хп) ближе по значению к следующему: хп есть кодовый номер
обрывающегося вывода <р2 (.г0, . . ., zn-i)- Отношение Клини имеет то преиму-
щество, что значение функции можно получить непосредственно из хп. Нам
это не потребуется.
Это следует из определения рекурсивно перечислимого отношения.
Таким образом, Тп дает нумерацию всех «-местных рекурсивно
перечислимых отношений и, если взять дополнения, этот предикат
дает нумерацию всех «-местных отношений с рекурсивно перечис-
лимыми дополнениями.

Определение. Если R = {{х0, . . ., im.() | (3a:m) Tm(z,
х0, . . ., xm)}, то z называется ^-индексом (^i-номером}
отношения R.

Если R = {<z0> ....	| (yxm) “I Tm(z, xQ, . . ., 2!m)}, to z

называется Hi-индексом (Пц-номером) отношения R.

Всякое множество из можно получить, применяя п — 1 раз
операцию квантификации к некоторому «-местному отношению
из Si (если « нечетно) или из П1 (если « четно). Следовательно,
можно перенумеровать все множества из 5П (аналогичное рассуж-
дение проходит для множеств из Пп). Вообще всякое «/-местное
отношение из можно получить, применяя « — 1 квантифика-
ций к («/ + « — 1)-местному отношению из Sj (если « нечетно)
или из П1 (если « четно). Следовательно, для любого m > 0 полу-
чаем нумерацию всех /«-местных отношений из 5П (аналогично
для Пп).

Определение. Если В — {^о I (3x1)(Vrc2) . - . Tn(z, х0, . . .

хп)}, то z называется Хп-индексом (2п-номером)-
множества В (здесь ,,(3xi)(\/x2) . . означает цепочку чередую-
щихся кванторов для нечетного « и цепочку чередующихся кван-
торов, завершающуюся знаком отрицания, для четного «).

Если В — {х0 | (Vxi)(3x2) • • • Tn(z, xQ, . . ., хп)}, то z назы-
вается Пп-индексом (Пп-номером') множества В (перед Тп стоит
знак отрицания, если « нечетно).

Так, например, для множества В — {х0 | (3xi)(V^2)
П Т2 (z, х0, Xi, х2)} число z является 52-индексом (для В число z
будет П2-индексом). По теореме II множество В содержится и в 53.
Как член 53 оно будет иметь (в общем, другие) 53-индексы.

^„-индексы и Пп-индексы «/-местных отношений определяются
аналогично. (Например, если

R — {<^о, • • • > %m-l) I (3Xm)(VXm+i) . . . Tm^-n_i(z, Xq, . . •, Xm+n-i)},
то z есть 5п-индекс отношения R (перед Tm+n_i стоит знак отрица-
ния, если « четно).)

Новые нумерации схожи во многих отношениях с нашей пер-
воначальной нумерацией рекурсивно перечислимых множеств.
В частности, они обладают следующими свойствами допустимости:
(i) имеется эффективная процедура, с помощью которой по дан-
ному 5п-индексу отношения R можно найти индекс рекурсивной
характеристической функции такого рекурсивного отношения S,
что R выразимо в 5п-форме с ядром 5; (ii) имеется эффективная
процедура, с помощью которой из данной 2п-формы для отноше-
ния R с рекурсивным отношением S, заданным характеристиче-
ским индексом (т. е. индексом своей характеристической функции),
можно получить 2 „-индекс отношения R. Пункт (i) выполняется
тривиально; пункт (ii) выполняется благодаря равномерности
операции сжатия кванторов; например, в иллюстрации сжатия
кванторов характеристическое отношение 8* можно равномерно
получить из характеристического отношения S. Аналогичные
пункты имеют место и для Пп.

Заметим, что мы не построили нумерации для 20. Оказывается,
что как для рекурсивных множеств, так и для рекурсивных т-
местных отношений невозможна нумерация (на N), допустимая
в указанном выше смысле (см. упр. 14-2).

Если дано множество А, то совершенно точно таким же обра-
зом, заменяя Тп на Тп, определяются понятия 2„- и П„-индекса.
Замечание о допустимости также сохраняется с заменой общере-
курсивных характеристических функций А-рекурсивными харак-
теристическими функциями.

Суммируем сказанное выше в следующей теореме, придав ей
релятивизованную форму, т. е. сформулируем теорему для ариф-
метической иерархии относительно А. Теорему сформулируем
для множеств. Соответствующий вариант для ш-местных отноше-
ний (для любого m > 0) очевиден.

Теорема III (Клини) (теорема о нормальной форме и нумера-
ции). Пусть дано множество А. Для п > 0 всякое множество В
из 2„ имеет ^-индекс, т. е. если В £ то существует такое
z, что

В = {х0 | (3xi)(Vx2) • • . Tn(z, х0, • • ., хп)}

{перед Тп стрит знак отрицания, если п четно), "2^-индекс для В
можно найти равномерно по произвольной 8Д-форме для В, если
А-рекурсивное отношение этой формы задается индексом своей
А-рекурсивной характеристической функции.

Доказательство. См. предыдущий текст параграфа^

§ 14.3	АЛГОРИТМ ТАРСКОГО - КУРАТОВСКОГО

Определение. Пусть дано выражение Fai  • • а,п, построенное
по правилам логики предикатов из кванторов, переменных, =,
пропозициональных связок и символов отношений, и такое, что
zzi, . . ., ап — свободные (т. е. неквантифицированные) перемен-
ные выражения Fai • • • ап. Пусть символы отношений интерпре-
тируются как некоторые конкретные отношения S2, . . . .
Будем говорить, что отношение R = {{xi, .... хп) | Fai • • • ап
верно, когда а1; . . ап интерпретируются как Xi, . . ., хп соот-
ветственно} определимо в логике предикатов через отношения
Si, S2, . . и выражение Fai    ип назовем определением отно-
шения R через St, S2, •  ..

Если отношение определимо в логике предикатов через рекур-
сивные отношения, то оно входит в арифметическую иерархию.
Это следует из некоторых свойств рекурсивных отношений (см.
ниже пункт 1) и некоторых соотношений элементарной логики
(см. ниже пункты 2, 3 и 4).

1.	Если отношение определимо пропозициональной комбина-
цией рекурсивных отношений, то оно рекурсивно. Например, если
R и5 — рекурсивные бинарные отношения, то {{х, у, z) | R(x, у) V
V П 8(у, z)} — рекурсивное тернарное отношение.

2.	Если F и G — такие выражения, что G не содержит пи одно-
го свободного (т. е. незакваптифицированного) вхождения пере-
менной а, то следующие пары выражений эквивалентны (и, следо-
вательно, если один из членов пары заменить на другой внутри
большего выражения, то исходный и измененный варианты этого
большего выражения будут эквивалентны):

(3a)F V G,
(Va)F V G,
(3a)F & G,
(Va)F & G,
(3a)F => G,
(Va}F => G,
G=>(3a)F,
G => (Va)F,

(3a)[F V GJ;
(Va)[F V GJ;
(3a)[F &.G];
(Va)[F &G];
(Va)[F=>Gl;
Oa)[F=>G];
(3a)[G=s>FJ;
(Va)lG^Fl.

3.	Пусть F(a) — выражение, содержащее переменную а, пусть
Ъ — переменная, не входящая в F(a), и пусть F(b) — результат под-
становки b вместо, всех незаквантифицированных вхождений а
в’ F(a). Тогда следующие пары выражений эквивалентны:

(Va)F(a),	(Vt)F(b);

(3a)F(a),	(3b)F(b).

4.	Пусть F и G — произвольные выражения. Тогда следующие
пары выражений эквивалентны:

П (Va)F,	(За) П F;

П (3a)F,	(Va) П F-

П П F,	F-

F<=>G,	[F^G] &\G=>F].
Пункт 1 является очевидным следствием тезиса Черча. Пунк-
ты 2, 3 и 4 предоставляется проверить читателю.

Теорема IV. Если отношение R определимо в логике предикатов
через рекурсивные отношения, то R входит в арифметическую-
иерархию.

Доказательство. Возьмем определение R. По выше-
указанным пунктам 2, 3 и 4 образуем цепочку эквивалентностей,
продвигая кванторы налево, пока не получим выражение (Qi&j) .• -
. . . (Qmbm}G, где Qi, . . ., Qm — кванторы, a G не содержит
кванторов. Будем называть такие выражения предваренными фор-
мами. Согласно пункту 1, G определяет рекурсивное отношение.
Следовательно, R выразимо в предикатной форме и, согласно
следствию I, R входит в арифметическую иерархию.я

Пункт 1 выполняется при замене „рекурсивный11 на „Л-рекур-
сивный", следовательно, имеет место следующий релятивизован-
ный вариант теоремы IV.

Следствие IV. Пусть дано множество А. Если отношение R
определимо в логике предикатов через А-рекурсивные отношения^
то R входит в арифметическую иерархию относительно А.

Доказательство. См. сказанное выше х).в

Пример. Пусть В = {х | Wx рекурсивно}. Покажем, что В
входит в арифметическую иерархию. „Вывод" состоит из двух
этапов.

Этап 1. Получим определение множества В через рекурсив-
ные отношения

z € В <=> Wг рекурсивно c=i>(4z/)[PV2 = Wy] <=>

<=> (Зу)(\/х)[х £ Wz <=> х $ Wy] (3p)(Va:)[(3u)7,1(z, х, и) <=>

(iu)Tf(y, х, и)].

Этап 2. Используя пункты 2, 3 и 4, образуем цепь эквива-
лентностей, ведущую к предваренной форме:

(3p)(V(c)[(Ju)7’i(z, х, и) о —l(3u)7’1(p, х, и)];

(3(/)(V(c)[[(3u)7'1(z, х, и) =>- ~~\(du)Tt(y, х, и)] &

& ['~](3и)7\ (у, х, и) => (Зи)7\(г, х, и)]] (по пункту 4);

(3y)(Va:)[[(3u)7’1(z, х, и) => ~A(iv)Ti(y, х, к)] &

&	“О =>	х, s]J (по пункту 3);

х) Из следствия I непосредственно получаются обращения теоремы IV
и следствия IV.
<3^)(Vxe)[[(3u)Z’i(z, х, и) => (Ур)ПГ1(г/, х, п)] & [(Vip)nTi(y, я, и>) =>
=> (3s)Ti(z, х, s)U (по пункту 4);

<3i/)(Va:)[[(Vu)(Vp)[7,i(z, х, u)=>~]Tt(y, х, v)\ &

& (Зш)(35)[ПЛ(у, х, w) => Zi(z, x, s)]] (по пункту 2);

‘(By^x^iw^u^s^v^T^z, x, и)=>~Т,(у, x, p)1 &

& [~}Tt(y, x, w) => 7\(z, x, s)]] (по пункту 2).

Согласно пункту 1, множество В входит в арифметическую иерар-
хию, более того, В 6 26.

Из приведенного примера ясно, что вид получающегося пре-
•фикса зависит только от вида и расстановки кванторных символов
и пропозициональных связок в начале этапа 2. Следовательно,
можно сокращенно записать этап 2, указывая только эти символы
и связки. В нашем примере получим следующее:

a via <=> пэ1;

3V113 => ПЭ] & [пэ=> ЭЛ;

3V113 => V] & [V => 3]];

3VIVV & 331;

3V3V3V.

•(Заметим, что (согласно пункту 1) пропозициональные связки
можно опускать, если они не соединяют подформулы, содержащие
кванторы.) В дальнейшем будем использовать такую сокращен-
ную запись.

Наш процесс получения предваренной формы не определен •
однозначно. В рассмотренном примере на заключительном шаге
можно действовать так:

3VIVV & 33];

3VVV33.

И получаем, что В £ S3.

Вообще нам хотелось бы вести процесс так, чтобы получать
наименьшее число перемен кванторов. С этой точки зрения второй
вывод для В предпочтительнее. Всегда можно найти наилучший
вывод (из данного определения), так как возможно лишь конеч-
ное число различных выводов.

Правило сжатия кванторов часто упрощает вывод. Так, в на-
шем примере заключительные шаги вывода можно было организо-
вать так:

3VIVV & 331;

3VIV & 3];J

3VV3;

3V3.
Ниже мы рассмотрим еще ряд примеров. Заметим, что наши
выводы равномерны в том смысле, что по данным характеристиче-
ским индексам рекурсивных отношений в первоначальном опре-
делении множества В можно эффективно найти 2п-индекс (или
Пп-индекс) множества В (при этом Sn (или Пп) — это класс, опре-
деляемый выводом). Впервые подобный процесс в общем виде был
использован Тарским и Куратовским для классификации мно-
жеств действительных чисел, входящих в иерархии Бореля
и иерархии проективных множеств. Поэтому мы назовем этот про-
цесс алгоритмом Тарского — Куратовского.

Если дано множество А, то алгоритм Тарского — Куратов-
ского можно применять к определениям относительно Л-рекур-
сивных отношений. Например, если В = {z | (Зу)[</ £ W? & Wy
бесконечно]}, то получим

(3f/)[(3x)7’f(z, у, х} & (Vu)(3v)[a > и & (Зх)Т^(у, V, я)]];

3(3 & V31& 3]];

313 & V331;

313 & V31;

33V3;

3V3;

и, следовательно, В £

При применении алгоритма Тарского — Куратовского исполь-
зуются иногда следующие сокращения.

Сокращенная запись.

(Va	b)F означает (Va)[a	b => F];

(За	b}F означает (За)[а	Ъ & F],

где а и Ъ — различные переменные.

Сокращения (Va Ь) и (За Ь) называются ограниченными
кванторами. Отметим следующие свойства ограниченных кван-
торов.

1.	Ограниченные кванторы можно сдвигать вправо черен
обычные кванторы, производя подходящие изменения в рекурсив-
ных отношениях, находящихся в зоне их действия. Например,

(Va b)(3c)(Vd)7?(a, b, с, d)
эквивалентно

(3c)(Va < b)(yd}R(a b пьа(с}, d),

где л£ — общерекурсивная функция из § 5.3 (см. для других слу-
чаев упр. 14-4).
2.	Навешивание ограниченного квантора на рекурсивное отно-
шение дает рекурсивное отношение. Например, если R — рекур-
сивное тернарное отношение, то «*, и) .| (Vy С u)R(x, у, и)} —
рекурсивное бинарное отношение.

Из этих замечаний следует, что если квантор можно сокра-
щенно записать как ограниченный квантор, то его можно опускать
в алгоритме Тарского — Куратовского. (В упр. 14-5 см. обобще-
ние этого правила.) Очевидно, что это правило действует и для
арифметической иерархии относительно А (для данного множе-
ства Л).

Например, пусть R = {(u, z) \DU cz Wz}. Тогда (и, z) Е R <=>
<=±> (Va?)[x E Du =>- (3y)7’i(z, x, у) . Имеем

V [=> 3];

va,

и, следовательно, R E П2. Однако из определения канонического
индекса в § 5.6 следует, что (Vx)(Vu) [я Е Du => х «]• Поэтому
{и, z) Е R	и) [a: € Du => (3y)Ti(z, х, у)]. Опуская огра-

ниченный квантор, получаем

[=> ар,

з

и 7?E2i; т. е. R рекурсивно перечислимо, как и ожидалось,
согласно исходному определению отношения R.

И, наконец, последний пример. Дополнительные примеры мож-
но найти в упражнениях.

Пример. Пусть В — (z | Wz простое множество}. Тогда
z Е В <=> Wz просто <=> [Wz бесконечно & (Vу) ]Wy бесконечно =>
=>W„QWZ^ 0]]^> l(Va?)(3i/)[y > х & у е Wz} & (Vy)l(Vu)(3z?)
 Iv > и & v Е Wy] (Зш)[ш Е Wy & w Е ИМИ <=> l(Va:)[3y)

[у > х & (Vzci) —I Tt(z, у, аМ1 & (Vi/)[(Vm)(3p)[p > и & (За;,)
Ti(y, v, ZEi)] => (3ш)[(3аг1)7’1(у, w, а;,) & (Зат^ТДг, w, а:,)]]].
Имеем

vз[& vi & viva[& ai =ф- эla & ail;

V3V & VIV3 3];

V3V & V31V3=>1;

V3V & V33V;

V3V.

Следовательно, В Е П3.

Каким образом можно убедиться в том, что алгоритм Тарско-
го — Куратовского дает наилучший возможный результат? Дру-
гими словами, каким образом можно убедиться в том, что не суще-
ствует эквивалентного, но совершенно иного исходного определе-
ния для данного множества или отношения, которое дает (под
действием алгоритма Тарского — Куратовского) лучший резуль-
тат? Мы вернемся к этим проблемам в § 14.8.

§ 14.4.	АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ

Рассмотрим логическую систему элементарной арифметики,
.введенную в § 7.8. Формулы строятся как формулы логики пре-
дикатов из следующих символов: +, X, 0, 1, 2, 3, ...,=, кван-
торных символов, символов переменных и пропозициональных
•связок ~1, &, V,=^, <=> Формулы без свободных (т. е. некванти-
фицированпых) переменных называются высказываниями (в § 7.8
высказывания назывались п.п. формулами). Высказывания интер-
претируются как высказывания с обычными сложением и умноже-
нием над неотрицательными целыми числами, при этом „0“, „1“,
^,2“, . . . интерпретируются как 0, 1, 2, . . ., а областью допусти-
мых значений переменных являются неотрицательные целые
числа. Согласно этой интерпретации, всякое высказывание истин-
но или ложно, n-местное отношение R определимо в элементарной
арифметике, если имеется такая формула Fa{ ... ап со свобод-
ными переменными . . ., ап, что

R = {(xt, . . ., хп) | Ext . • . хп истинна},

где для любых чисел z15 . . ., хп Fxt . . . хп есть результат под-
становки нумералов, выражающих . . ., хп, вместо alt . . ., ап
соответственно в Fal . . . ап.

Следующая известная фундаментальная теорема Гёделя свя-
зывает арифметическую иерархию с высказываниями элементар-
ной арифметики.

Определение, n-местное отношение Р называется полиноми-
альным отношением, если существует: тзко&тюлинои p(alt . . ., ап)
с п переменными с целыми коэффициентами, что

Р = {<4, . • • , zn> | р(хи . . хп) s= 0}.

В р могут быть отрицательные коэффициенты, но (как обычно)
считаем, что xlt . . хп могут быть только неотрицательными
целыми числами. Следовательно, Р — это отношение на неотри-
цательных целых числах ').

]) Естественным обобщении понятия полиномиального отношения
является понятие диофантова отношения, n-арное отношение R называется
диофантовым, если существует такой полином р(а4, . . ., ап, . . ., Ьт)
с целочисленными коэффициептами, что В = {<zj, . . хп) |Э y)t . . .
. . . Э	. . ., хп, У1, . . ., ут) = 0]}. — Прим. ред.
Георема V (Гёдель). Для любого п-местного рекурсивно перечис-
лимого отношения R существуют такие полиномиальное отноше-
ние Р и префикс Qj . . Qm, что

Xn) (Q1J/1)  •  (QmJ/rrjri #1, . . . xn, yi, . . ., уД,1').

Доказав ельстьо. Доказательство приводится в гл. 7
книги Дэвиса [1958 2)1. Мы пе будем здесь проводить это доказа-
тельство. Оно опирается на формальное определение машины
Тьюринга и требует детальных комбинаторных построений. Дока-
зательство использует китайскую теорему об остатках (из теории
чисел).в

Можно доказать следующий более сильный вариант теоремы V.

Следствие V (Дэвис). Для любого п существуют общерекурсив-
ная функция /, натуральное число к и q-местнос полиномиаль-
ное отношение Р, такие, что q — п + к + 3 и что для любых
z и xf, ..., хп

(3ui)Tn(z, хъ . . ., хп, н <=> ( 3i/)(Vw)(Зи,) . . .

. . . (3^)P(/(z), *1> • • •, У, и, Vi, . . ., vh)

причем индекс функции /, полином для Р и, следовательно, число к
можно найти равномерно по п.

Доказательство. См. главу 7 книги Дэвиса [1958]. в

Не известно 3), можно ли опустить кьантор общности (Vu)
в следствии V. (Если бы ею можно было опустить, то из сущест-

’) Как показал Ю. Б. Матиясевич [1970], можно добиться того, чтобы
все кванторы Q, были кванторами существования (другими словами, каждое
рекурсивно перечислимое отношение является диофантовым). — Прим. ред.

2) Теорему V межни получить также как следствие теоремы I из н. 13 3
книги А. И. Мальцева [1965]. В указанной теореме I утверждается, что каж-
дое рекурсивно перечислимое отношение определимо в элементарной арифме-
тике. Достаточно поэтому для каждой формулы Fat ,   - ап элементарной
арифметики построить такой полином _р(сц, . . . a?i, Щ . .  bm) и такую
приставку Q1( . . ., Qm, что (Fxt, . . хп истинна) <=> Qjj/j . . .
 • • 0п»Мг1» • • •> *п, У1, • • > Ут) = Требуемая цель будет достигнута,
если совершить над формулой Fat, . . ., ап последовательно следующие четы-
ре операции: во первых, согласно законам логики высказываний, выразить
связки =Ф, через ~| и V; во-вторых, заменить всякое равенство вида
а = Р равносильным равенством у = 0, где у — полином; в-третьих, заме-
нить всякую дизъюнкцию (а — 0) \/(|3 = 0) равенством <х-₽ — 0, а отрицание
—'(а = 0) формулой Эс(а = с+ 1); в-четвертых, согласно законам логики
предикатов, вынестг все кванторы вперед (т. е. привести формулу к предва-
ренному впду). — Прим. ред.

3) Поскольку отношение R, задаваемое равенством Л = (Эи>)
Tn(z, щ, . . ., хп, w), рекурсивно перечислимо, то (в силу диофан
тсвости рекурсивно перечислимых отношений), в следствии V можно не толь-
вования нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества
следовала бы неразрешимость десятой проблемы Гильберта (см.
§ 2.2.) х).) Р. Робинсон [1956] показал, что в следствии V в каче-
стве к можно выбрать число п + 3 * 2). Следуя доказательствам
Гёделя, Дэвиса и Робинсона, эти полиномы можно выписать
в явном виде.

Объясним, почему арифметическая иерархия называется ариф-
метической.

Теорема VI (теорема о представимости). Каково бы ни было
отношение R, оно входит в арифметическую иерархию тогда
и только тогда, когда R определимо в элементарной арифметике.

Доказательство. ч=. Если R определимо в элементар-
ной арифметике, то R определимо относительно рекурсивных
отношений {(z, у, z) | х + у — z}, {{х, у, z) | х-у = z} и {х | х =
= к} (для произвольного числа к). Следовательно, согласно тео-
реме IV, отношение R входит в арифметическую иерархию.

=>. Всякое полиномиальное отношение определимо в элемен-
тарной арифметике. Действительно, (i) отношение р (а1? . . ., ап) =
= 0 можно выразить как ?(<2i, . . ., ап) — г (а^, . . ., ап), где q
иг — полиномы с неотрицательными коэффициентами, (ii) возве-
дение в степени можно заменить итерацией операции умножения,
например х3 = (х-х)'х. Остается только применить теорему V. в

Релятивизованная форма теоремы VI дается теоремой VII.

Теорема VII. Для произвольного множества А и любого отно-
шения R (1) отношение R входит в арифметическую иерархию
относительно А <=> (2) отношение R определимо в логике преди-
катов через рекурсивные отношения и множество А 3) <=> (3) отно-
шение R определимо в логике предикатов через полиномиальные

ко опустить квантор общности, но и считать, что /(z) = z при всех z. Впрочем,
чтобы обосновать возможность замены /(z) на z, нет нужды опираться на такой
сильный факт, как диофантовость рекурсивно перечислимых отношений.
Проще использовать само следствие V. Действительно, при подходящем
и произвольных z, xt, . . ., хп имеем (3iz?)7’n(z, xt, . . ., хп, w)
<=> (3u>') Tn+l (z', z, xx , . . ., xn, w') <=> (3y) (Vи) (3^) . . . (3pft<) P'

Z, Zj, . . ., xn, y, u, vlt . . vhd,	(3y) (V u) (BoJ . . . (3uft.) P"(z, xt, . . .

. .. xn, у, и.,	... i’h.), где P" — некоторое полиномиальное отношение.—

Прим. ped.

*) Ю. В. Матиясевич показал, что в следствии V квантор общности можно
опустить и что, следовательно, десятая проблема Гильберта неразрешима.—
Прим, перев.

2) Таким образом, имеется один такой полином р восьми переменных, что
для любого z

Wz = {г | (3y)(Vu)(3i’1)(3u2)(3p3)(3v4)[p(/(z), х, у, и, vit v2, v3, р4) = 0]}.

3) Точнее говоря, через рекурсивные отношения и множество А, рассма-
триваемое как 1-местное отношение.
отношения и множество А <=> (4) отношение R определимо в рас-
ширенной элементарной арифметике, полученной путем добав-
ления к элементарной арифметике элементарных формул вида
„а при этом „а g X" интерпретируется как х £ А, где чис-
ло х — значение переменной а.

Доказательство. Очевидно, что (3) => (4). Из теоре-
мы V получаем, что (2) => (3). Чтобы показать, что (4) => (1), при-
ведем выражение, определяющее R, к предваренной форме (как
в алгоритме Тарского — Куратовского), тогда бескванторная
часть, идущая после кванторов, определит Л-рекурсивное отно-
шение и, согласно следствию I, отношение R входит в арифметиче-
скую иерархию относительно А. Наконец, чтобы показать, что
(1) ==> (2), рассмотрим R, входящее в арифметическую иерархию
относительно А. По теореме III отношение R определимо относи-
тельно при некотором п. В свою очередь (z, х0, . . ., хп) <=>
c=>(3y)(3u)(3n)[((ж0,. . ., у, и, и) появляется на жп-м шаге
перечисления WP(Z) & (Уж)[ж £DU => ж £ Л] & (Уж)[ж £ ж Л]].
Следовательно, R определимо через рекурсивные отношения
и множество Л.в

Следствие VII. Если А входит в арифметическую иерархию
относительно R, а В входит в арифметическую иерархию относи-
тельно С, то А входит в арифметическую иерархию относитель-
но С.

Доказательство следует из теоремы, поскольку если
Л определимо относительно В в элементарной арифметике, а В
определимо относительно С в элементарной арифметике, то Л
определимо относительно С в элементарной арифметике, g

§ 14.5.	СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЕРАРХИИ

В этом параграфе излагаются теорема и ее следствия, пред-
ставляющие собой главный результат всей главы. Мы назовем его
сильной теоремой об иерархии. Изложение и доказательство будет
проведено для релятивизованного случая. Этот результат связы-
вает арифметическую иерархию относительно . Л со структурой
степеней, изученной в гл. 13.

Напомним, что Л(П) — это результат n-кратного применения
к Л операции скачка.

Теорема VIII (Клини, Пост). Пусть А — произвольное мно-
жество. Каковы бы ни были число п и множество В

(а)	В £ Sn+i <=> В рекурсивно перечислимо относительно Л<п>;

(Ь)	В £ Sn+i П Пп+1 <=> В А<п>. Более того,
(с)	имеются равномерные процедуры, позволяющие по любому
^n+i-индексу множества В (для любых п и В £ S«+i) получать
индекс множества В как множества, рекурсивно перечислимого
относительно А{П> и, наоборот, по любому индексу множества В
как множества, рекурсивно перечислимого относительно А(П>,
можно эффективно получить И'п^-индекс множества В.

(Пункт (Ь) иногда называют теоремой Поста.)

Доказ, ательство. По теореме 9-IV (а) => (Ь). Остается
доказать (а) и (с).

(а) Проведем индукцию.

п = 0. Согласно релятивизованной теореме о проекции, В £
g 2f <=> В рекурсивно перечислимо в А( = 4(о>).

п = к 4- 1. Предполагая, что (а) верно для п = к, покажем,
ЧТО 5 £ 2fc+2 <=> В -рекурсивно перечислимо относительно A(fe+1’.

<=. Пусть В =	. Тогда В = {х | (Зу)( Зп)( Зк)[ {х, у, и, v) £

€ ТУр(г0) &Du <= A<fe+1> &.DV<=. A<ft+1>]}. Рассмотрим множество
{и \ DU cz 4<*+1>}. Множество A(ft+1) рекурсивно перечислимо
в 4<к), следовательно, по индуктивному предположению, A(ft+1) £
€S*+i. Кроме того, Du <=. A(fe+1) <=> (Vy <u)[y £Du=>y
Следовательно, опуская ограниченный квантор и проводя очевид-
ные преобразования, получаем, что {и | Du cz A(ft+1)} £ 2*+1.
Аналогично получаем, что Dv cz A<ft+1) <=> (Уу y)[y £ Dv =>
=> у £ A(ft+1)] и, согласно индуктивному предположению, A{k+1> £
С П^+1. Следовательно, {v | Dv c= A(h+1)} £ П^+).

Учитывая, что (х, у, u,v) £ WP(Zo)<=5> (Bw)Tl(p(z0), (х, у, u,v), w),
получаем, что В определимо через А -рекурсивные отношения. Это
определение имеет такой вид:

333[3 & ЗУ . . . & V3 . . .].

 н-I м-1

Применяя алгоритм Тарского — Куратовского, получим

3V3 . . ..

Л+2

Следовательно, В £

=>. Пусть В е Sm-2, Т. е. В = {х | (3y)S(x, у)}, где 5 £ Пь+1.
Тогда S Е 2fe+i и по индуктивному предположению S рекурсивно
перечислимо относительно A(k>. Следовательно, по теореме 13-1
отношение 5 рекурсивно в 4<fc+1>. Но тогда и 5 рекурсивно
в A(h+1) и, согласно релятивизованной теореме о проекции, В
должно быть рекурсивно перечислимым в Л(Ь+1) (см. также
упр. 14-9). Итак, (а) доказано.

(с) доказываем индукцией. Для п = 0 равномерность очевид-
на, так как индексы одни и те же (см. определение в § 14.2).
Предположим, что имеет место равномерность в обе стороны для
п = к. Просматривая доказательство пункта (а) и учитывая рав-
номерность, имеющуюся в следствии 13-1, теореме III и релятиви-
зованной теореме о проекции, получаем равномерность в обе сто-
роны и для п = к 1.и

Изложим пункты (а) и (Ь) в нерелятивизованном виде.

Следствие VIII (а). Для любого п и любого множества В

В g 2п+1 <=> В рекурсивно перечислимо в 0(П>;

В €2n+i П Пп+1 <=> В <т0<">.

Доказательство очевидно.я

Следствие VIII (Ь) (теорема о полноте). Для любых А и п >0

В Е <=> В	А<п>;

В е П^ В

В^п<=>В^0^'

В € пл <=> В 0^.

Следствие VIII (с) (теорема об иерархии). Пусть дано А, тогда
для любого п существует такое множество В, что В £ (Д,п+1 — П„^-1)
(и, следовательно, В £ (П„4-1 — S^+J)).

Доказательство. Пункт (Ь) следует из теоремы 13-1.
Чтобы доказать (с), рассмотрим

В = Л<п+1’.

По пункту (а) теоремы А(П+1> £ Sn-м- Но А(П+1) Й Пп+'1>
в противном случае по пункту (Ъ) теоремы А<п+1> ^ТА(П),' что
противоречит теореме 13-1. (В упр. 14-3 приводится более корот-
кое и прямое доказательство пункта (с), предложенное Клини.)я

Если п — 0, то 2П = Пп и = 2п+1рПп+1. Согласно (с),
ни одно из этих равенств не выполняется для п > 0.

Определение. Множество В называется '-'^-полным (или мак-
симальным в 2^), если В 2^ и (VC)[C 6	=> С <4 В]. Ана-

логично определяется Г ^-полнота.

Согласно следствию VIII (Ь), множество В ^^-полно<=>В =s
= А<п’. Заметим, что В 2^-полно <=> В П^-полно.
Напомним, что в § 13.1 вводятся понятия арифметического
множества и множества, арифметического относительно А. Эти
понятия связаны с понятиями арифметической иерархии и ариф-
метической иерархии относительно А.

Следствие VIII (d). Множество В арифметическое^^В входит
в арифметическую иерархию', В арифметическое относительно
А <=> В входит в арифметическую иерархию относительно А.

Доказательство. Множество В входит в арифметиче=-
скую иерархию относительно А <=: (3n)'[B £ П П^+1] (по тео-
ремам I и III) <=> (3«) [5^ТЛ(П)] (по теореме VIII) <=> В ариф-
метическое относительно А (по определению в § 13.1).и

Совместно с теоремой VII следствие VIII (d) объясняет, почему
в § 13.1 используется слово арифметический. Отметим, что
в упр. 13-10 и следствии VII приводятся два различных доказа-
тельства транзитивности отношения „арифметический относи-
тельно^. Отныне вместо фраз „входит в арифметическую иерар-
хию^ и „входит в арифметическую иерархию относительно А" мы
будем очень часто использовать фразы „арифметический" и „ариф-
метический относительно Л“ соответственно.

Пусть В = {z | IVz бесконечно}. При доказательстве теоре-
мы 13-VIII нам пришлось приложить некоторые усилия, чтобы
показать, что В 0<2). Алгоритм Тарского — Куратовского вме-
сте с сильной теоремой об иерархии дает более простой и более эф-
фективный метод для доказательства подобных предложений. В на-
шем примере имеем Wz бесконечно <=> (Vz)( Зу)[у >х&.у £ Wz] <=>
<=> V 3[& 3] <=> V3. Следовательно, В £ П2. Согласно следст-
вию VIII (Ь), В 0(2>. (В теореме 13-VIII этот результат был
получен с помощью более сложной конструкции.)
ч

§ 14.6. СТЕПЕНИ

Рассмотрим и Пп как классы множеств. Классы и П„
рекурсивно инвариантны, и, более того, они замкнуты относи-
тельно m-сводимости (см. упр. 14-12). Для п > 0 каждый класс
содержит максимальный тип рекурсивного изоморфизма, предста-
вителем максимального типа в является множество А(П),
а в Пп — множество Л<п’. Классы 20иП0 имеют максимальный
тип, представителем которого является {х | х четно}', согласно
теореме 9-XVII, для Ед = Пд невозможен максимальный тип..
См. упр. 14-14.

Для п > 0 классы и П„ не замкнуты относительно tt-
сводимости и Т-сводимости; так, Л(П> =tt Ат, но по следст-
вию VIII (с) Л<”> е (2п - П„), а 4<"> е (п£ - S£). С другой
стороны, класс 2п+1("|П^+1 замкнут относительно Т-сводимости
и по теореме VIII состоит из всех множеств, Т-сводимых к 4(П).

Согласно следствию II, 2„ U П„с 2„+1()Пп+1. Является ли
это включение строгим? Для п = 0 нет, так как Sjf] П4 = 20 =
= По. Для ге > 0 включение строгое, так как, например, множе-
ство А(П' © А(П) принадлежит 2„+1 П П„+1 (по теореме VIII (Ь)),
но не принадлежит (J П„. (Если бы это множество принадле-
жало 2n U Пп, то как А(П>, так и А(П> были бы рекурсивно пере-
числимыми относительно Л1"-1’, что противоречило бы теоре-
ме 13-1.)

Множество А(П> © А'П) можно представить в виде объедине-
ния двух множеств из (J П„ (см. упр. 14-13). Согласно теоре-
ме VIII и упр. 9-16, класс (] П„+1 образует булеву алгебру
множеств. Порождается ли эта булева алгебра классом (J П„?
Для и > 0 следующая теорема дает отрицательный ответ.

Определение. Для данного множества В положим е<(В) =
= {С | С =Ст В}. Символом (В) обозначим булеву алгебру
множеств, порожденную множеством а/Ц(В).

Теорема IX. Если В не совпадает ни cN, ни с 0, то для любого
множества С имеем С bttB <=> С g Jt?m(5).

Доказательство. <=. Для всякой n-местной булевой
функции у (см. определение и свойства булевых функций в § 8.3)
символом y(Bi, . . ., Вп) обозначим множество с характеристи-
ческой функцией Ха:[у(еВ1(а:), св(х), . . ., сВп(а:))]. Тогда имеем:
С €	<=> существует такое п, что для некоторой булевой

функции у и некоторых множеств Bt, . . ., Вп из	С =

= y(Bi, . . ., Вп). Пусть Bf, . . ., Вп m-сводятся кВ с помощью
функций /1, . . ., fn соответственно. Тогда для любого х имеем
х € С <=> tt-условце ({/Дж), . . ., /п(ж)), выполняется на В. Это
tt-условие равномерно вычисляется по х, его норма равна п. Сле-
довательно, С ы\В-

=>. Пусть С ъцВ, при этом В N и В =f= 0>. Тогда, соглас-
но упр. 8-28, имеются общерекурсивная функция g, число п и п-
местная булева функция у, такие, что для любого х g(x) есть tt-
условие, содержащее в качестве булевой функции функцию у,
и g(x) выполняется па В тогда и только тогда, когда х £ С. Опре-
делим Д, . . ., fn так, что {fi(x), . . ., fn(x)) — это n-ка из tt-
условия g(x). В качестве Blf . . ., Вп возьмем Дх(5), . . ., /йхС®)
соответственно. Тогда /Д, . . ,,Вп принадлежат е/И(В) и С =
= у(В1, . . ., Вп).я
Вернемся к нашему вопросу: для п >• 0 является ли S^+l
П П£+1 булевой алгеброй, порожденной классом S£ J П£? Ответ
содержится в таком следствии (для п = 1).

Следствие IX (а). Множество В содержится в булевой алгебре,
порожденной классом S(* (J П^<=> В £ 3?т(Л') <=> В ^btt А'.

(Ь)	В классе S^ (~| 11^ имеется множество, не принадлежащее

(с)	. Класс S^(~| не содержит максимального типа рекур-
сивного изоморфизма.

Доказательство, (а) Это следует из того, что, согласно
следствию VIII и тому факту, что А'—цилиндр, Sf = о#(Л').

(Ь)	Можно релятивизовать доказательство теоремы 9-1, чтобы
показать, что для любого А имеется такое А, что А А' и что
А ^А' (см. упр. 14-14).

(с)	См. доказательство теоремы 9-1 и упражнение 14-14. в

Почти все результаты о степенях из гл. 13 можно переформули-
ровать в терминах иерархии; так можно выразить основные соот-
ношения Т-сводимости, рекурсивной перечислимости и скачка.
Например, А =СТ В <=> А £ S® Ilf; А рекурсивно перечис-
лимо относительно В <=> A £ Sf; А ==т В' <=> (ЗС)[С =т А & С £
С Sf & (VZ>) ID £ Sf => D С]] (см. ynp. 14-15). Являет-
ся ли арифметическая иерархия „монотонной” в том смысле, что
любое множество из Sn Т-сводимо к любому множеству из
(Sn+1 — Sn)? Теорема 10-Ш дает отрицательный ответ, пока-
зывая, что имеется множество в (S2 — Si), не сравнимое с неко-
торым множеством в Si (упр.-14-16). Наконец, следствие 13-IX
показывает, что для любого п > 0 должно существовать множе-
ство в (Sn+2 — Sn), не сравнимое с некоторым множеством из St
(упр. 14-17),

§ 14.7. ПРИЛОЖЕНИЯ В ЛОГИКЕ

Пусть V — множество истинных высказываний элементарной
арифметики. В § 7.8 мы показали, что V — продуктивное множе-
ство. Какова его степень неразрешимости? Следующая теорема
дает ответ на этот вопрос.

Теоремэ X. Множество истинных высказываний элементарной
арифметики V рекурсивно изоморфно множеству 0(о,); следова-
тельно, V — множество степени 0(и>.

Доказательство. Согласно следствию 13-1 (с) и тео-
реме VIII (с), существует такая общерекурсивная функция f,
что для любого п число /(и) есть Sn-индекс множества 0Сп). Сле-
довательно,

(х, п)С0(ш) ^х( 0(n)<=> (3xt)(Vx2) ... Тп(Дп),х,хи хг, ...).

Используя равномерность из следствия V, можно эффективно
по х и f(n) найти высказывание элементарной арифметики, истин-
ное тогда и только тогда, когда (3xi)(Vx2)  • • х, х1т х2, ...).
Поэтому 0(и) У.

Наоборот, пусть F — высказывание элементарной арифметики.
Пусть (Qi<Zi) . .. (Qmam)G—предваренная форма высказывания F.
Рассмотрим выражение (3P)(Q1a1) . . . (Qmam)[c = с& Ь = b &G],
где b и с — переменные, не входящие в (Qi^i) '. . . (Qmam)G- Это
выражение определяет 2п-форму (при некотором п > 0), так как
G определяет рекурсивное отношение. (G состоит из переменных,
иумералов, +, X, = и пропозициональных связок.) Пусть В —
множество, выразимое именно в этой 2п-форме. Тогда В = N,
если F истинно, и В = 0, если F ложно. По F можно соответст-
вующую 2п-форму найти равномерно, а по 2п-форме можно рав-
номерно, согласно теореме III, находить 2п-индекс множества В.
По 2п-индексу В в силу теоремы VIII (с) можно равномерно
найти индекс В как множества, рекурсивно перечислимого отно-
сительно 0(п-1). По этому индексу, согласно следствию 13-1 (с),
можно равномерно найти индекс такой рекурсивной функции g,
что В 0<п) посредством g. Следовательно, F истинно <=> 0 g
£В <=> g(0) £ 0(п) <=> (g(0), га) Е 0(и). Таким образом, V 0(<о).

Нетрудно показать, что как V, так и 0(<о) — цилиндры (см.
упр. 14-18). Следовательно, V == 0(“\и

Высказывания элементарной арифметики можно классифици-
ровать по виду префикса.

Определение. Высказывание элементарной арифметики (в пред-
варенной форме) называется ^„-высказыванием, если его префикс
является 2п-префиксом, и П„-высказыванием, если его префикс
является Пп-префиксом.

Определение. Символом Vn обозначим множество всех истин-
ных 2п-высказываний.

Следствие X. Для любого п > 0 имеем Vn 0(п>.

Доказательство. Это следует из второй части доказа-
тельства теоремы и из того факта, что 0(П) — цилиндр ^.я

Таким образом, хотя V не определимо в элементарной арифметике,
для любого п определимо V„.
Выполняется ли 0<П) Vn, неизвестно (как уже отмечалось
в связи с десятой проблемой Гильберта) х).

Предположим, что имеется некоторое кодирование высказы-
ваний элементарной арифметики натуральными числами. (Подоб-
ное кодирование молчаливо подразумевалось в предыдущих рас-
суждениях.)

Определения. Аксиоматизацией называется (произвольное)
рекурсивно перечислимое множество высказываний. Высказыва-
ние х доказуемо в данной аксиоматизации, если оно выводимо
по правилам элементарной логики из конечного подмножества
аксиоматизации. Высказывание у выводимо из высказывания х
а некоторой аксиоматизации, если 1х => у] доказуемо в этой аксио-
матизации, где „х => у” обозначает высказывание, полученное
соединением предложений х и у с помощью знака =>. Высказы-
вания х и у называются эквивалентными в аксиоматизации, если
каждое из них выводимо из другого в аксиоматизации.

Пусть дана аксиоматизация. Тогда {(х, у) | у выводимо из х
в аксиоматизации} рекурсивно перечислимо (так как можно
перенумеровать все доказательства элементарной логики) и мож-
но равномерно по гёделеву номеру аксиоматизации найти гёделев
номер этого множества.

Пусть дана некоторая аксиоматизация. (Эта аксиоматизация
может, например, состоять из всех аксиом Пеано. Тогда доказуе-
мые высказывания образуют арифметику Пеано, определенную
в § 7.8.) Для данного высказывания F каково наименьшее п,
такое, что имеется 2„-высказывание G, эквивалентное F в данной
аксиоматизации? Следующее обобщение теоремы Гёделя о непол-
ноте показывает, что (при подходящем выборе F) значение п
может оказаться сколь угодно большим, если аксиоматизация
семантически непротиворечива (см. § 7.8).

Теорема XI. Пусть дана семантически непротиворечивая
аксиоматизация элементарной, арифметики. Тогда для любого п
можно указать такое истинное высказывание Fn, что для любого
т не существует 2 т-предложения, эквивалентного Fn в данной
аксиоматизации. Более того, для всякого п можно равномерно
построить такое Fn.

Доказательство. Пусть дано п. Пусть а — гёделев
номер данной аксиоматизации. Пусть Vn (как и раньше) — мно-
жество всех истинных 2п-высказываний и D(Vn) = {у |(3z)

х) Из результатов Ю. В. Матиясевича следует, что _0<n>	jV,,. — Прим,

перев.
]х Е Vn & у выводимо из х в данной аксиоматизации]} -1). Сог-
ласно следствию X, Vn 0<п). Следовательно, множество Vn
рекурсивно перечислимо относительно 0><п~1) и (согласно сильной
теореме об иерархии и алгоритму Тарского — Куратовского)
Р(УЛ) рекурсивно перечислимо относительно 0<n-1). Положим
— {х I отрицание х принадлежит D(Vn)}-, тогда

рекурсивно перечислимо относительно 0(п-1) и ~\D( Vn) = W?^
при этом Zi можно получить равномерно по и и а. В силу семанти-
ческой непротиворечивости D(Vn) сг V и "~\D(Vn) cz V. Пусть
h — такая общерекурсивная функция (построенная в первой
части доказательства теоремы X), что 0(“> V посредством h.
Тогда /г~1(ПП(Уп)) с: 0(°»>. По определению 0(<й) =
= {{х, у) | х £ 0<у)}. Положим

В =	X {га})).

Имеем 5<= 0<”>и В = Wf2(n при этом z2 можно равномерно полу-
чить по zt. Так как 0<n> = {z | z Е	то z2 Е 0(П)П В.

Поэтому (z2, п) (£ 0(“> и h((z2, п)) Е V. В качестве Fn возьмем
отрицание высказывания /i((z2, га)). Тогда Fn Е V. Если Fn Е
Е D(Vn), то h({z2, п)) Е ~}П(УП) и z2 Е (согласно определению В
и h), что противоречит уже доказанному соотношению z2 $ В.
Следовательно, Fn^D(Vn). Итак, Fn —это истинное высказы-
вание, не выводимое из никакого истинного 2п-высказывания
и, следовательно, не эквивалентное никакому истинному ^-вы-
сказыванию. В силу семантической непротиворечивости выска-
зывание Fn не может быть эквивалентно ложному ^-высказыва-
нию. Таким образом, Fn — истинное высказывание, не эквива-
лентное (в данной аксиоматизации) никакому ^-высказыванию.

Высказывание Fn не эквивалентно и никакому 2т-высказыва-
нию для т < п. Очевидно, что Fn можно равномерно построить
по z2 и, следовательно, по а и п.я

Следствие XI. В качестве Fn (в теореме) можно взять некоторое
Пп + ^высказывание.

Доказательство. Из первой части доказательства
теоремы X видно, что ft((z2, га)) получается применением теоре-
мы VI (теоремы о представимости) к выражению (3xi)(Vx2) . . .
. . . Тп(у, z2, xt . . .). По следствию V высказывание h((z2, га))
можно получить с 2п+2-префиксом. У его отрицания Fn будет
Пл +2-префикс. и

1) Заметим, что любая конечная конъюнкция высказываний из Vn экви-
валентна некоторому высказыванию из Vn. Поэтому D(,Vn) состоит из всех
высказываний, выводимых (в аксиоматизации) из конечных множеств выска-
зываний из Vn. В доказательстве этот факт не используется.
Понятия иерархии можно применить для классификации вы-
сказываний теории множеств *). До конца параграфа мы будем
предполагать фиксированной какую-нибудь стандартную аксио-
матизацию теории множеств: для большей точности рассмотрим
аксиоматизацию, данную в упр. 11-23. Мы называем эту аксиома-
тизацию ZF.

Почти всю современную математику можно сформулировать
в теории множеств и почти все доказательства можно провести
в ZF. В частности, высказываниям элементарной арифметики
можно сопоставить определенные высказывания теории множеств;
поэтому мы будем считать высказывания элементарной арифме-
тики погруженными в теорию множеств 1 2). Доказываемые как вы-
сказывания теории множеств, высказывания элементарной ариф-
метики образуют теоретико-множественную арифметику (ранее
определенную в § 7.8). Нетрудно показать, что в теоретико-мно-
жественную арифметику входят аксиомы Пеано 3). Интуитивно
теоретико-множественную арифметику можно рассматривать как
совокупность всех высказываний элементарной арифметики, дока-
зуемых с помощью всех известных математических методов. Тео-
рема Гёделя о неполноте, примененная к арифметике Пеано, дает
высказывание, доказуемое в теоретико-множественной арифме-
тике, но не доказуемое в арифметике Пеано (см. замечание
на стр. 133) 4).

Некоторые высказывания теории множеств эквивалентны
(в ZF) высказываниям элементарной арифметики. Такие выска-
зывания назовем арифметически выразимыми. Можно было бы
использовать понятия 2„-высказывания и Пп-высказывания (эле-
ментарной арифметики) для классификации арифметически выра-
зимых высказываний теории множеств. Однако более плодотвор-
ным является следующий подход. Сначала мы дадим грубый

1) Под высказываниями теории множеств понимаются все высказывания
некоторой формальной системы, а не только те, которые доказываются в дан-
ной аксиоматизации для системы. Здесь мы вступаем в некоторое противоре-
чие с теми случаями, когда термин „теория “ употребляется для обозначения
подмножества высказываний системы.

2) Это погружение получается так: числу 0 сопоставляется 0, если числу-
п сопоставлено ап, то числу п + 1 сопоставляется an(J(an) (см- введение
к § Н.7); операциям сложения и умножения над числами сопоставляются
соответствующие отношения.

з) Аксиомы Пеано рассматриваются, как в § 7.8, хотя возможна (более
сильная) формулировка, в которой аксиома индукции дается как одно пред-
ложение теории множеств. (Эта более сильная аксиома индукции также дока-
зуема в нашей аксиоматизации теории множеств.)

4) Применяя конструкцию Гёделя — Россера (см. упр. 7-65) к теоретико-
множественной арифметике, мы получим предложение, не доказуемое и не
опровергаемое в ней (если аксиоматизация теории множеств непротиворечи-
ва); однако мы не умеем определять, истинно или ложно это предложение^
так как не доказана непротиворечивость аксиоматизации теории множеств.
набросок, затем введем более точные определения. Будем говорить,
что высказывание теории множеств принадлежит классу Snf,
если оно эквивалентно (в ZF) высказыванию вида (Q^) - . .
- • • (Qn^n)^(^i, • • хп), где Qj . . . Qn есть 2п-префикс, a R —
рекурсивное отношение. Чтобы сделать это определение точным,
следует использовать имя, т. е. индекс рекурсивного отношения.
Рассмотрим высказывания элементарной арифметики, получен-
ные применением следствия V к выражениям вида (3a:i)(Va:2) • • •
. . . Tn(z, 0, х2, . . .) для различных фиксированных z и п.
Для данных z и п символом (3ai)(Va2) . . . /’„(z, 0, a15 . . .) обо-
значим высказывание арифметики, соответствующее выражению
(3j:i)(V^2) . . . Tn(z, 0, Xi, . . .). Достаточно рассматривать такие
специальные высказывания и их отрицания, так как (i) любое
л-местное рекурсивное отношение R есть

{{•Ч, • • •> I ( 3^п+1)^п+1(^1» О, * • • ? ^п + 1)} ~

•  > хп) I (Vzn+i) 1 T'n-|-i(z2, 0, Xi, . . ., ^n + l)}

при подходящем выборе zt и z2 и (ii) всякое высказывание элемен-
тарной арифметики эквивалентно (в ZF) некоторому такому спе-
циальному высказыванию (согласно алгоритму Тарского — Кура-
товского, правилу сжатия кванторов и теореме III х)).

Определение. Для п > 0 символом обозначим совокуп-
ность всех высказываний F теории множеств, эквивалентных (для
подходящих z) предложениям (3a4)(Va2) . . . Tn(z, 0,	. . ., ап).

Аналогично определяется для п > 0 класс П^к. Классы
и nfr — это класс всех высказываний, эквивалентных в ZF
или высказыванию „О = 0“, или высказыванию „О = 1“.

Использование фиктивных кванторов (как в § 14.1) дает, что
(J ПГ ед Sn+i р П^1- Модифицируя (и упрощая) доказатель-
ство теоремы XI, можно доказать такую теорему.

Теорема XII. Если теоретико-множественная арифметика
семантически непротиворечива, то для любого п можно указать
высказывание теории множеств из класса (S«+i — П„£1) (и, следо-
вательно, высказывание из (П„^ t — £„44)).

Доказательство. Доказательство намечается
в упр. 14-21. В этом упражнении приводятся также еще несколько
результатов на ту же тему.и

Такую же теорему можно доказать и для арифметики Пеано
фР), если класс определить аналогично классу 2„F. Гипотезу

т) Можно формально доказать общую „метатеорему1* об этих эквивалент-
аюстях в ZF.
о семантической непротиворечивости можно опустить, так как
арифметика Пеано семантически непротиворечива; не очевидно,
что всякое высказывание элементарной арифметики эквивалентна
(в Р) некоторому специальному высказыванию, однако можно
привести достаточно подробное доказательство.

Высказывание теории множеств из класса (S«F — HnF)
нельзя ни доказать, ни опровергнуть (в теории множеств), в про-
тивном случае оно было бы эквивалентно (в ZF) или „О = 0”, или
„О = 1” и принадлежало бы классу SoF-

Что известно о классификации различных гипотез в математи-
ке? Большая теорема Ферма принадлежит классу (так как
она утверждает, что (V^)(V(/)(Vz)(Vir)[u; > 2 => xw + yw =# z1"]).
Гипотеза Римана (о том, что действительная часть всех нулей

ОО

1,-функции Римана w = 2 1/тг (здесь z — комплексное число),
действительная часть которых заключена между 0 и 1, равна
только -yj также входит в nfF (доказывается, используя конеч-
ные аппроксимации). Известно, что теорема о простых числах
(о том, что lim Р ^og-— — Где P(ri) — число простых чисел
П—юо	П

<^п) входит в SqF, так как она доказана. Однако поверхностное
исследование (без рассмотрения доказательства) дает, что эта
теорема входит в nfF, так как утверждается, что

(Vx)(3y)(Vz)[b>0 &z>y] =>|

Р (z) log z
z

!<£]•

Нетрудно заметить при относительно поверхностном исследо-
вании, что почти все гипотезы, которые (i) интенсивно рассматри-
ваются математиками и (ii) выразимы в арифметике, находятся
на довольно низком уровне в классификации По-видимому,
можно полагать, что человеческий мозг способен только понимать
и изучать предложения с не более чем четырьмя-пятью перемена-
ми кванторов. Более того, можно считать, что всякие изобретения,
подтеории и главные леммы в различных частях математики —
это приспособления в помощь мозгу при работе с одной или дву-
мя дополнительными переменами кванторов. Разумеется, согласна
теореме XII, имеются высказывания произвольно высокого ариф-
метического уровня, однако они обнаруживаются с помощью
диагонализации, а не непосредственно. Большую часть теории
рекурсивных функций можно рассматривать как науку о переме-
нах кванторов.

Все ли высказывания теории множеств выразимы в арифмети-
ке? Следующая теорема дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Теорема XIII. Если аксиоматизация ZF теории множеств
непротиворечива, то имеется высказывание теории множеств,
не выразимое в арифметике.

Доказательство. Мы используем кодирование как
высказываний, так и формул со свободными переменными. В на-
шей конструкции воспользуемся гёделевой функцией подстановки
(§ 11.6). Заметим, что множество {х | х есть высказывание
элементарной арифметики} рекурсивно и, следовательно, опре-
делимо в элементарной арифметике и что множество {х | х есть
истинное высказывание элементарной арифметики} определимо
в теории множеств. Выберем z0, так, чтобы Wz = {(я, у) | х
эквивалентно (в ZF) высказыванию у}. Для каждого у число z0
дает эффективное перечисление множества {х | х эквивалентно
(в ZF) высказыванию у} (см. следствие 5-V). Это перечисление
назовем стандартным перечислением множества {х | х эквива-
лентно у}. Рассмотрим следующую формулу теории множеств:
(Vfc>)[[fe есть первое высказывание элементарной арифметики
в стандартном перечислении всех формул, эквивалентных (в ZF)
высказыванию <з(а, а)] => [Ь — ложное высказывание элементарной
арифметики}}', здесь о — гёделева функция подстановки. Пусть и —
кодовый номер этой формулы, и пусть F — результат подстановки’
нумерала, выражающего и, вместо перемейной а в эту формулу.
Тогда п(п, и) — кодовый номер высказывания F и F — выска-
зывание „с обращением к самому себе", утверждающее „есЛи F
эквивалентно (в ZF) некоторому высказыванию элементарной ариф-
метики, то первое такое высказывание (в стандартном перечисле-
нии) ложно".

Предположим, что F эквивалентно некоторому G, где G —
высказывание элементарной арифметики.

Первое такое G в стандартном перечислении назовем Н. В тео-
рии множеств мы можем рассуждать так: ..Допустим Я; отсюда
выведем F; затем выведем ,Н ложно1 (проверяя, что Н — первое
предложение элементарной арифметики в стандартном пересчете,
связанном с F)-, отсюда выведем ~\Н. С другой стороны, допустим
_Я; отсюда выведем ~~\F; отсюда выведем ,Я истинно1 (используя
стандартное перечисление); отсюда выведем Я“. Следовательно,
наше предположение ведет к противоречию в теории множеств.и

Из теоремы XIII в упр. 14-23 мы получим вторую теорему
Гёделя о неполноте (для ZF).

§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ

По данному описанию множества с помощью алгоритма Тарско-
го — Куратовского часто можно получить верхнюю оценку уровня
этого множества в арифметической иерархии. Какими методами
можно получать нижние оценки? В этом параграфе мы приведем
несколько результатов.

Определение. Пусть Чё — класс рекурсивно перечислимых
множеств. Положим Р%> = {z | Wz Е Если А = Р<& для неко-
торого Чё, то А называется индексным множеством.

В наших примерах мы ограничимся индексными множествами;
однако большинство методов применимо и в более общих случаях.

Один из подходов к проблеме нижних оценок состоит в отыска-
нии простого структурного критерия (на *ё) вхождения Р<& в раз-
личные классы арифметической иерархии. Такой критерий можно
найти для 5о и St (и, следовательно, для П4). Этот критерий
дается теоремами Райса и Шапиро, упомянутыми в § 2.1
и упр. 5-37. Сейчас мы докажем эти теоремы.

Теорема XIV (а) (Райс). Р<& Е 20<=> пусто или Чё — класс
всех рекурсивно перечислимых множеств.

(Ь) (Райс, Шапиро). Р<& Е Sj	[Чё = 0 или (3 общерекурсив-

ная функция 1)[Чё — {Л | А рекурсивно перечислимо и {3u)[Df(u} cz
с.41}]|.

Доказательство, (а) <=. Если Р<& = 0 или Р<& = N,
то результат очевиден.

=>. Пусть Pg Е So (т. е. пусть Pg рекурсивно), пусть А Е Чё
и В Е Чё. Предположим также, что Ли# Е (Доказательство
для Л (JP Е Ч& аналогично.) Тогда В сЛ(|В и В =/= Л (JB.
Определим такую общерекурсивную функцию h, что для любого х

В, если <px(z) расходится;

Л L)P, если срх(а:) сходится.

Из рекурсивности множества Pg следует, что {х | (рД.г) сходит-
ся} = fe-1(Pg) рекурсивно и что разрешима проблема остановки.
Противоречие. (В упр. 11-10 приводится другое доказательство.)

(Ь) <=. Если Чё = 0, то Pg = 0 Е 20 cz Пусть Чё #= 0,
и пусть f — такая общерекурсивная функция, что Чё = {Л |Л
рекурсивно перечислимо и (3u)[Z)/(u) cz Л]}. Тогда x£P<g<=>
<=> (3u)[Z>y(u) с Wx], В силу алгоритма Тарского—Куратовско-
го Pg Е SP .

=>. Пусть Pg Е Si я Чё =/= 0. Сформулируем две леммы о Чё.

Первая лемма. Пусть Р<& Е 2t. Тогда [ЛЕ^&ЛсгВ&В
рекурсивно перечислимо} => В £ Чё.

Вторая лемма. Пусть Рg Е 2р Тогда А Е 'ё => (ЗВ)[5 конеч-
но & В cz Л & В Е Чё].

Whw = {
Доказательство. Отрицание любой из лемм ведет
к разрешимости проблемы остановки (см. упр. 14-24).

Продолжим доказательство теоремы. Пусть g — такая обще-
рекурсивная функция, что для любого х имеем Wg(x) = Dx.
Тогда g-1(P^) — рекурсивно перечислимое множество и в силу
второй леммы не пусто. Пусть / — общерекурсивная функция,
область значений которой есть g-1(P^). Из обеих лемм непосред-
ственно следует, что / обладает желаемыми свойствами относитель-
но Р<$

Мы дадим несколько примеров использования теоремы XIV
для вычисления уровня множества в арифметической иерархии.

Пример 1. Пусть ё = {К}. Очевидно, что ни ё, ни ® не
удовлетворяют критерию для Zt. Согласно алгоритму Тарского —
Куратовского (см. упр. 14-6), Р<& £ П2. Следовательно, Prg С
€ (П2 - (ZiUnO).

Пример 2. Пусть ё = {Л. | А рекурсивно перечислимо
и А 0}. Тогда ё удовлетворяет критерию для Zt (возьмем
в качестве / функцию 'kx\x 1], напомним, что Ро = 0)- Следо-
вательно, Р<& Е Zt. Класс ё не удовлетворяет критерию для Zo.
Следовательно, Р£ (Zt — Zo).

Пример 3. Пусть ё — {А | А конечно}. Согласно алго-
ритму Тарского — Куратовского, Р%> £ Z2. Ни ё, ни ё не удов-
летворяют критерию для Zt. Следовательно, Р<& 6 (Z2 — (SiU
и ПО).

Для классов Sn, п 2, не обнаружены простые структурные
критерии, подобные критериям для Zo и Zp В § 15.1 и 15.2 мы
обсудим эту проблему более подробно 2).

Рассмотрим другой подход к проблеме нижних оценок. Этот
подход, который мы назовем подходом по сводимости, состоит
в выборе определенных множеств в качестве эталонных „отправ-
ных“ точек и в получении нижних оценок уровня (и степени)
любого множества путем установления соотношений по сводимости
между этим множеством и одним или несколькими из эталонных
множеств. В большинстве случаев в качестве эталонных множеств

г) В пункте (а) утверждается, что g как открыто, так и замкнуто (в топо-
логии упр. 11-35 (а)). В пункте (Ь) утверждается, что ё открыто в этой топо-
логии и, кроме того, есть „рекурсивное объединение11 базисных открытых
множеств. Позже, в гл. 15, будут рассмотрены топологические аспекты
иерархии.

2) Автор не знает ответа на следующий вопрос. Если Р

ё^

з,

то являет-

ся ли ё пересечением классов, открытых в топологии упр. 11-35 (а)?
См. следующую сноску.
мы будем использовать множества, полные в 2П или Пп (п > 0),
при этом будет использоваться т-сходимость.

Подход по сводимости особенно полезен при получении нижних
оценок уровня (и степени). В сочетании с алгоритмом Тарского —
Куратовского (и сильной теоремой об иерархии) этот подход
иногда позволяет определить не только уровень, но и тип рекур-
сивного изоморфизма данного множества.

Пример 1. Если мы с помощью алгоритма Тарского —
Куратовского установили, что данное множество В входит в 23,
и если мы показали, что 0<2> В, то мы можем заключить, что

В Е (2з — 2Z).

Пример 2. Если с помощью алгоритма Тарского — Кура-
товского мы установили, что данное множество В и если мы
покажем, что 0<3>^тВ, то мы можем заключить, что В Е
Е (S3 — (2 2 U П2)), и, более того, можно заключить, что В
является 23-полным (и =0(3)) (см. упр. 14-10).

В качестве эталонных множеств полезно выбирать множества
с интуитивно простыми описаниями -1). Например, для S2 удобно
эталонное множество {х | Wх конечно}, для П2 удобно множество
{х | Wx бесконечно}. (По теореме 13-VIII множество {х | Wx ко-
нечно} 22-полно, а {х | Wx бесконечно} Щ-полно.) В § 13.2 мы уже
обсуждали связь между некоторыми интуитивно простыми опре-
делениями и некоторыми степенями неразрешимости.

Пример. Пусть А = {х | Wx — К}. Какова степень мно-
жества А? Согласно алгоритму Тарского — Куратовского, как
уже отмечалось, А Е П2. Пусть

В = {х | Wx бесконечно}.

Лемма. Пусть А и В — множества, определенные выше. Тогда

Доказательство леммы. Пусть IVIo = К. Суще-
ствует такая общерекурсивная функция g, что для любого z

фхо(х), если в перечислении множества

<Pg(z&) =

Wz (по z) появилось хотя
бы х чисел;

расходится в противном случае.

Имеем g(z) Е А <=> z Е В, следовательно, В А.

г) Если А 2п-полно, то А тС <=> (УВ)[В £ 2П => В тС]. Поэтому
А можно не упоминать. Однако использование эталонных множеств удобно
как в техническом смысле, так и для интуитивного представления, поэтому
мы описываем подход по сводимости с помощью эталонных множеств.
Таким образом, множество А П2-полно. Мы определили не
только его уровень, но и его тип рекурсивного изоморфизма.

Следующая теорема дает хорошее эталонное множество для Х3
(и, следовательно, продолжает рассмотрения § 13.2, связанные
с 0<з>) !).

Теорема XV. Множество {х | (Зу)[у £ Wx &Wy бесконечно]}
является 23-полным, и, следовательно, оно рекурсивно изоморф-
но 0<3).

Доказательство. Пусть В = {х | (Зг/) [ у £ Wx & Wy
бесконечно]}. Согласно упр. 14-10, достаточно показать, что В =т
==т 013)- В силу алгоритма Тарского — Куратовского В £ 23
(см. упр. 14-26). Следовательно, В 0,3>. Осталось показать,
что 0(3)^т5. Пусть 0(3) определяется как {z | (3^i)(V^2)
(Зж3)/?(г, х^, х2, z3)}. Фиксируем х^ и z. Определим ф так:

ф(0) = 0,	если (3x3)/?(z, xt, 0, х3);

' 0,	если определено ф(и) и

ф(п'+ 1) =	(3X3)/?(Z, Xi, п + 1, z3)

расходится в противном случае.

Пусть g— такая общерекурсивная функция, что ф —	z)-

Тогда Wnix^z) бесконечно <=> (Vx2)( 3x3}R(z, Xi,x2, х3). Возьмем
такую общерекурсивную функцию h, что

W\(z) = Val(Wg(*i, z)]).

Имеем z £ 0<3> <=> (3aj)(V;r2)( 3x3)7?(z, xt, x2, x3) <=> (За^ПК^х,, 2)
бесконечно] <=> (3y)[y £ W &Wy бесконечно] <=>/i(z) £B. Итак,
0<3) Cm 5.,

Это эталонное множество используется в следующей теореме.

Теорема XVI. Множество {х | Wx рекурсивно} является S3-
полным, и, следовательно, оно рекурсивно изоморфно 0<3> * 2).

Доказательство. Пусть С — {х | Wx рекурсивно}.
В первом примере § 14.3 мы показали, что С g S3.

Получим нижнюю оценку по сводимости. Пусть

В — {х | (Зу)[р € Wx & Wv бесконечно]}.

В силу теоремы XV достаточно показать, что В =Ст С. Используем
конструкцию, аналогичную конструкции из теоремы 10-III.

*) Читатель мог бы заметить, что вопросы из § 13.2 наибольшей комбина-
торной трудности разрешаются здесь алгоритмом Тарского — Куратов-
ского.

2) Эта теорема была доказана независимо Мостовским и автором. Дока-
зательство Мостовского проще, но не дает следствия XVI.
Фиксируем z. Возьмем один основной список всех чисел. С эле-

ментами списка мы будем связывать маркеры 0 , ПГ|, . .
мы будем также иногда писать плюс рядом с элементами списка

или передвигать маркеры, или производить обе операции одновре-
менно. Пусть А — множество всех чисел, помеченных знаком
плюс. Наша конструкция будет такова, что будут выполняться
lz С В => А коконечно] и [z $ В => А не рекурсивно]. Множество А
будет эффективно строиться по z. Следовательно, мы получим
такую общерекурсивную функцию h, что А — Wh(Z) и что z £ В

h(z) С С. Таким образом будет доказано, что В С.

Сначала опишем вспомогательную процедуру (не затрагиваю-
щую наш основной список).

Этап к. Сделайте к шагов в перечислении (по z) множеств^
Wz. Возьмите все появившиеся у £ Wz и сделайте к шагов в пере-
числении (по у) множества Wy.

Опишем теперь основную процедуру. Элемент основного списка
назовем свободным, если с ним не связан и до этого момента не

связывался ни один маркер, элемент основного списка назовем

вакантным, если он не помечен знаком плюс.

Этап 2п. Маркер | п [ свяжем с наименьшим свободным
элементом основного списка. Пусть х[п\ . . .,	— текущие

положения маркеров | 0 |, . . ., | та |. Сделаем п шагов в пере-
числениях множеств Wo, Wi, . . ., Wn. Пометим знаком плюс
все те вакантные элементы х|п) (0 <1 i п), которые появились
в соответствующих перечислениях множеств W/.

Уп + 1

Этап 2п + 1. Сделаем п этапов вспомогательной процедуры.
Проверим, имеется ли такое у, что: у п, у появляется в Wz
на не болеек чем и-м этапе вспомогательной процедуры и на п-м
этапе вспомогательной процедуры впервые появляется по крайней
мере еще одно и из Wy. Если такого у нет, то переходим к этапу
2п + 2. Если же такое у есть, то возьмем наименьшее такое у
и обозначим его через уп. Пометим знаком плюс все вакантные
jjj”’, если	и передвинем маркеры |уп|, у„-|-1 , . . .

. . ., п вниз к наименьшим п — уп 4- 1 свободным элементам
основного списка.

Итак, мы определили множество А. Ясно, что А определяется
равномерно по z. Если (Vy)[y £ Wz => Wy конечно], то (согласно
нечетным этапам основной процедуры) каждый маркер будет
двигаться только конечное число раз. Пусть хп — последнее поло-
жение маркера j п |. Тогда (согласно четным этапам) хп С А <=>
Wn. Следовательно, множество Л не может быть рекурсив-
но перечислимым и Л не рекурсивно. Если (3у)[у 6 Wz & Wy
бесконечно], то некоторый маркер будет двигаться бесконечно
много раз и все числа, лежащие ниже его первой позиции, поме-
тятся знаком плюс. Следовательно, А будет коконечным. Этим
завершается доказательство.в

Следствие XVI. Множество {х | Wx коконечно} является
S ^-полным.

Доказательство Согласно алгоритму Тарского —
Куратовского, {х | Wx коконечно} £ S3. Конструкция теоремы
дает, что В {х | Wx коконечно}, это и требуется.и

Можно ли для больших п указать эталонные S „-полные мно-
жества с более простым описанием, чем 0(П)? Чтобы ответить
на этот вопрос, введем понятие квантора бесконечности (см. Марк-
вальд [1954]).

Обозначение. (Ux)£. . . х . . .] понимается так: „для бесконечно
многих х ... х . . .“.

Бо многих отношениях квантор бесконечности U похож на
кванторы 3 и V. Правила движения квантора налево те же, что
и для 3; т. е. если а не свободна г G. то следующие пары выраже-
ний эквивалентны:

(Ua)F V G,
(Ufl)F & G.
G => (U«)F,
(Ua)F => G,

(Ua)[F V G];

(Ua)[F &G];

(Ua)[G => F]-

~) (Ua) П [F GI.

Однако в отличие от 3 и V квантор бесконечности не коммутирует
сам с собой. Так, (Ua;)(Uy)[a: < у] — верное утверждение о неотри-
цательных числах, a (Ly)(Ua:)[ х < у] ложно.

Определение. Будем говорить, что отношение R выразимо
в Qi • • • Qm-форме (где для i	есть либо 3, либо V, либо U),

если имеется такое рекурсивное отношение S, что

R = {<^t, . . ., хп) | ((21J/1) • •  (Qmym)S(x1( . . хп уг, . . .

• • •» Ут)}'

Теорема XVII. В £ П2 В выразимо в \)-форме.

Доказательство. <=. Пусть В = {^zf, . . ., х.,} |
(Uy)S(ri, . . ., хп, у)}. Тогда (Uy)S(xt, . . ., хл. у) <-> (Vw)(3y)
[у > и & S(Xi, . . ., хп, у)]. Следовательно, R £ П2.

=>. Пусть В С: П2 и В есть и-местное отношение. Тогда, соглас-
но теореме 13-VIII, тп(Л) {z [ Wz бесконечно} с помощью неко-
торой общерекурсиввой функции /. Но Wz бесконечно
<=> (Uy)S(z, у), где S — рекурсивное отношение {(z, у) | <рг(Л1(у)) '
сходится точно за л2(у) шагов}. Следовательно,

R = {<Х!, . . хп) I (Uy)5(/Tn(z15 . . хп), у)}.

Запишем сокращенно результат этой теоремы как П2<=>и.
Аналогично из теоремы XV получаем, что S3<=> 3U (см. упр. 14-
27). Обобщение-на более высокие уровни требует некоторой изво-
ротливости. Это было проделано Крейселом, Шёнфильдом и Ван
Хао [1960]. Обозначим UU . . . U через U<n).

Теорема XVIII (Крейсел, Шёнфильд, Ван Хао). Для любого п

П2п <=> U<"’;
n2n+I<^U‘">V.

Доказательство. Случаи По и П4 выполняются по
определению. Случай П2 выполняется в силу теоремы'XVII.
Для случая П3 мы докажем релятивизованный вариант.

Лемма. Пусть дано множество А. Тогда для любого п-местного
отношения R

R е П^<=>я = «Zj, . . ., хпу I (U^Vz)^!, . . ., хп, у, z)}

для некоторого А-рекурсивного отношения S.

Доказательство леммы. -Ф=. Очевидно, так как

(Uy)(Vz)5(. . .) <=> (Vz)(3y)(Vz)[y > х & S(. . .)].

=>. Пусть R £ П3. В силу релятивизованного варианта теоре-
мы XV множество {z | (Зг/)[у Е W'? & Wy бесконечно} является
S^-полным' (см. упр. 14-28). Непосредственная модификация
доказательства дает релятивизованный вариант следствия XVI:
множество {z | коконечно} является S^-полным. Следователь-
но, {z | W* кобесконечно} является П ^-полным (см. упр. 14-29).
Следовательно, xn(R} {z | кобесконечно} посредством неко-
торой общерекурсивной функции /. Но Wz кобесконечно о

<=> (Uy)[y е W?] <=> (Uy)(Vx) ~l Tf(z, у, х). Итак,

R = {<Ж1, . . ., хп) | (Uy)(Vz) П Tf(frn (xt, . . ., хп), у, х)}

и лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство проводим
по индукции. Случаи По, П15 П2 и П3 уже рассмотрены.

Импликация <= во всех случаях очевидна, согласно алгоритму
Тарского — Куратовского.
Пусть 112п. <=> U<n>, и пусть В Е П2п+2 (п > 0). Тогда П2п+2 =
= V3V22n_i (такая запись очевидным образом указывает, что
после V3V идет 22п.^-префикс). Следовательно, согласно сильной
теореме об иерархии (теорема VIII), R Е П^, где А = 0(2п-1'.
Согласно лемме,

й = «.. -> I (Uy)(Vx)5(. . у, х)},

где S рекурсивно в 0l2'l-1>. По теореме VIII 5 € П ^2п-
Следовательно, В выразимо в UУП2п-форме. Но UVn2n =
= UVV3112n_2 <— UV3n2n_2 = 1ТП2п (сжатием кванторов).
Итак, R выразимо в 1Т112п-форме. Так как по предположению
индукции П2л<=>и(П>, то В выразимо в U'n+1) -форме. Следова-
тельно,

п2п+2<=>и<л+1\

Аналогично, пусть II2n + 1<^>U<n,V, и пусть R Е П2п + 3 (га>>0).
Имеем Ппп+3 <=> V3V22n. Применяя снова лемму, получаем
V3VX2r <±> UVn2n + 1. Тогда

uvn2n+1 = uvvsn^.i^uvsn^-i =

= Un2n+1<=>UQn+1)V (по индукции).
Следовательно,

П2п+3	U‘n+1’V.B

Теперь мы опишем некоторые эталонные Пл-полные множе-
ства.

Следствие XVIII. Для п > 1 множество {z | (U^) . . .

 •  (UXn-i)[W7Xn_1 бесконечно & xn_t Е WXn_2 & . . . & Xj Е Wz]}

является П2п-лолны.и; для п > 0 множество

[z | (Ш1) . . . (Шл)\Wxn = 0 & хп Е WXn_t& ... & а-t Е Wz]}

является П2п+1-полным.

Доказательство. Тот факт, что эти множества входят
в П2п и П2п+1 соответственно, проверяется алгоритмом Тарского —
Куратовского. Остается показать, что всякое множество, вырази-
мое в и'П)-форме, m-сводится к первому множеству, а всякое
множество в П(Т1,У-форме m-сводится ко второму множеству. Это
доказывается непосредственно (см. упр. 14-30).в

Вычисление степени неразрешимости с помощью описанных
методов иногда позволяет установить, что два множества, по раз-
ному описанные, различны на самом деле ’)

0 Первым обратил внимание автора на это обстоятельство Норман
lllauupo.
В некоторых случаях установление степени неразрешимости
одного множества в сочетании с применением алгоритма Тарско-
го — Куратовского к другому множеству позволяет установить,
что эти множества пе совпадают. Например, согласно теореме XVI,
множество {z | Wz не рекурсивно} является П3-полным. Согласно
алгоритму Тарского — Куратовского, {z | Wz креативно} 6 23
(см. упр. 14-7). Следовательно (в силу теоремы об иерархии),
{z | Wz креативно} {z | Wz не рекурсивно} и (учитывая нере-
курсивность креативных множеств) можно заключить, что суще-
ствуют рекурсивно перечислимые множества, которые не рекур-
сивны и не креативны. (Это было доказано в гл. 8 построением
простого множества.)

Таким же способом можно получить решение проблемы Поста
(теорема 10-III). В работе Роджерса [1959] показано, что 0(3>

|ДЕХ ^т ^}- Так как {х | Wx не рекурсивно} = 0,3> и так
как 0<3>«^Д 0<3) (см. теорему 13-1), то {х | Wx не рекурсивно} =/=
=/= {х | Wx =т К}. (Ейтс показал, что {х | =т К} является
Неполным, см. ниже.) Дальнейшие приложения этого метода
будут даны в § 15.3 (теорема 15-XXXVI).

Исследование на 2п-полноту и Пп-полноту почти всех арифме-
тических множеств с интуитивно простыми определениями про-
водилось с помощью описанных выше методов. Причина этого
(т. е. связь интуитивной простоты определения с полнотой или
неполнотой) не очень понятна.

Почти во всех|случаях, когда найдены точные оценки уровня
в классификации, этот уровень получается при достаточно разум-
ном использовании алгоритма Тарского — Куратовского (с устра-
нением ограниченных кванторов). Этот феномен также не получил
полного объяснения.

Общие результаты об индексных множествах получил Ейтс;
он показал; что, каково бы ни было рекурсивно перечислимое
множество£А, (^множество {z | Wz =т А } является S^-полным;
(й)^если А 0 и А =А 0, то {z \WZ smA} является ^-пол-
ным. (Как^частные’случаи отсюда следуют пункт (iii) упр. 14-31
и определениеЗстепени множества {z | =т К}.) Ейтс показал
также, что множества {z | Wг максимально} и {z | Wz гипергипер-
просто} являются П4-полными. В связи с (i) заметим, что троекрат-
ное применение равномерности из следствия 13-XXV (Ь) дает, что
для любой степени Ь, рекурсивно перечислимой в 0<3) и такой, что
0<з> <; ь < 0<4>, можно указать такое рекурсивно перечислимое а,
что а<3) = Ь. В частности, для такого Ь если А £ а, то А<3) являет-
ся ' Sf-полным' и К(2) <т А<3) <т К(3). Тогда {х | W х =т А } —
пример индексного множества, содержащегося в (S4 — П4) и по-
являющегося 24-полным.
§ 14.9. УПРАЖНЕНИЯ

§ 14.1

14-1. Пусть Р и С обозначают операции проектирования и взятия допол-
нения соответственно. Пусть последовательность таких символов означает
соответствующую последовательность операций (в обратном порядке приме-
нения). Так, РРС означает взятие дополнения с последующими проекциями.

(а)	Покажите, что применение СРРСР к отношению R можно выразить,
навешиванием префикса VV3 на Я.

(Ь)	Покажите, что СРРСРС можно выразить навешиванием префикса
VV3 на отрицание отношения R.

Согласно (а) и (Ь), можно сказать, что как СРРСР, так и СРРСРС
соответствуют префиксу

(с)	Найдите префиксы, соответствующие РСР, СССР, РСРСРСР.

(d)	Найдите последовательности операций проектирования и взятия
дополнения, соответствующие 3^/3, 3V3V’ V'

§ 14.2

14-2. Покажите, что не существует нумерации рекурсивных множеств
в 20, допустимой в смысле § 14.2. (Указание. Используйте метод диагона-
лизации.)

Д 14-3 (Клини) (теорема об иерархии). Докажите, что для п > 0 имеем
(s£ — П^) #= 0 и (П„ — 2„)	0- (Указание. Проведите следующую диа-

гональную конструкцию. Пусть В = {г | (3xi^Vx2<). • -Tn(z, г, х^, . . .
. . .,жп)}. Тогда В с Предположив, что В С П^, найдите пАиндекс для
В и получите противоречие.)

§ 14.3

14-4. Покажите, что (i) ограниченный квантор общности можно двигать 
направо через квантор общности; (ii) ограниченный квантор существования
можно двигать направо через квантор общности и (iii) ограниченный квантор
существования можно двигать направо через квантор существования.

14-5. Пусть’ (V« С — сокращение для (Va)la С /(6) Л,
и пусть (3« С f(b))F — сокращение для (Ba)R С f(b) & Л- Покажите, что
если / — некоторая общерекурсивная функция, то эти рекурсивно ограничен-
ные кванторы в алгоритме Тарского — Куратовского можно рассматривать
как ограниченные кванторы.

14-6. Примените алгоритм Тарского — Куратовского к множеству

{* I Wx= К}.

Д 14-7. Определите место в классификации следующих множеств:

(i)	{х | гиперпросто};

(ii)	{х | Wx гипергиперпросто};

(iii)	{ж | Wx креативно};

(iv)	{х | Wx Т-полно} — [х | Wx = тА};

(v)	{1 | Wx максимально}.

(Указание. Наилучшие результаты суть П3 для (i), П4 для (ii), 23 для (iii)r
S4 для (iv) и Щ для (v).)

§ 14.4

14-8. Покажите, что В входит в арифметическую иерархию относительно
А тогда и только тогда, когда В определимо в расширенной элементарной
арифметике, получаемой при добавлении „релятивизованных кванторов”
типа (Vx)A и где (Vz)a означает „для всех х из'Л”, а (Зл)а означает
„существует х из Л,такое, что..." (Указание. Покажите, что А само определи-
мо в так расширенной системе, и используйте теорему VII.)

§ 14.5

14-9. Докажите ролятивизованную теорему о проекции (теорема 9-IX).
Имеется ли равномерность?

14-10. Пусть даны А и п > 0.

(а)	Покажите, что всякое X ^-полное множество есть цилиндр.

(Ь)	Покажите, что все 2^-полные множества образуют 1-степень, являю-
щуюся также т-степенью.

А 14-11. Рассмотрим высказывание чистой логики предикатов, т. е.
чистого исчисления предикатов первого порядка с равенством (см. книгу
Чёрча [1956]).

Числовая модель высказывания — это (I) непустое множество чисел, назы-
ваемое областью определения модели и (ii) конечный набор отношений
(на этом множестве), которые соотносятся с предикатными символами выска-
зывания, при этом если областью допустимых значений переменных (и кван-
тифицированных переменных) является это множество, а предикатные сим-
волы интерпретируются как соответствующие отношения, то высказывание
истинно. Покажите, что если высказывание выполняется на некоторой число-
вой модели, то оно имеет числовую модель, область определения которой
рекурсивна и все отношения лежат в классе S2 П П2. (Указание. Рассмот-
рите доказательство Хенкина (в книге Чёрча [1956]), что всякое непротиворе-
чивое предложение имеет модель, и покажите, что на самом деле получается
числовая модель, рекурсивная относительно К.)

§ 14.6

14-12. Покажите, что и П„ замкнуты относительно Сш (упр. 14-10).

14-13. (а) Покажите, что Д|П>®А™ — объединение двух множеств
из2„аИ.	___

(Ь) Покажите, что 4(n) X А<п>— пересечение двух множеств из (J
и П*

14-14. Обобщите доказательство теоремы 9-1, чтобы показать, что для
любого А, такого, что К ^т-4> Т-степень множества А не содержит мак-
симальной tt-стейени и, следовательно, не содержит максимальной 1-степени.
(Замечание. Мартин доказал существование нерекурсивной Т-степени, обра-
зующей одну tt-степень. Это упражнение показывает, что такая степень
не может лежать выше 0*.)

14-15. Проверьте, что A = ТВ' <=> (Зс)[С £ 2^ П & А £ Sf fl
П & с е sf & (Vn) [п e sf =фр е sf п п?ц.

14-16. Используйте теорему 10-Ш, чтобы показать, что в (22 — St)
существует множество, не сравнимое (по Т-сводимости) с некоторым множе-
ством из Sp

14-17. Используйте следствие 13-IX (а), чтобы показать, что для любого
п > 0 имеется множество в (2п+2 — 2П), не сравнимое с некоторым множе-
ством из

§ 14.7

14-18. Покажите, что V и 01~а>'> — цилиндры.

14-19. Пусть дано А. Рассмотрим расширенную элементарную арифме-
тику, описанную в теореме VII. Пусть VA — множество всех истинных выска-
зываний этой арифметики. Покажите, что VA = А
14-20. Покажите, что при любой аксиоматизации всякое истинное St-
высказыпание (элементарной арифметики) эквивалентно (в аксиоматизации)
некоторому So-высказыванию.

Л 14-21. (а) Докажите теорему XII. (Указание. Для п 0 положим
S^ = множество всех высказываний (элементарной арифметики) специаль-
ного вида (3a1)(Va2) • • • Тп(z, 0, ait . . an), пусть — множество
всех высказываний специального вида (Vai)(3a2) . - .Tn(z, 0,	. . ., an).

Положим 5^ = Sj1 = множество, состоящее из высказываний „0 = 0“
и „0=1“. Пусть V — множество всех истинных высказываний элементар-
ной арифметики. Положим = V А 5^ и F^ = V A S^(n > 0). Для любо-
го множества высказываний А символом D(A) обозначим множество всех
высказываний элементарной арифметики, выводимых (в ZF) из (конечных
множеств) высказываний из А.

(i)	Покажите, что F^ = 0<п) и = 0<п>.

(ii)	Выведите, что D(V^) рекурсивно перечислимо в 0<п>.

(iii)	Покажите что F^j cD(F^) и что, следовательно, Z)(F^_|_4) С
cP(Fn).

(iv)	Покажите, что D.D(Fn) рекурсивно перечислимо в 0<п> и в силу
семантической непротиворечивости A D(V^) cF^f

(v)	Покажите, что так как F^_4= 0<п+1) и 0<п+1>не рекурсивно перечис-
лимо в 0(п>, то существует высказывание г, такое, что х £ (F^j—D(F^))
и что, следовательно, х £ (^п-м ~ ^(^n-1-l))-

(vi)	Выведите, что по построению х £ П^4 и в силу семантической непро-
тиворечивости х (J

(vii)	Выведите, что х f (П^^ — S^t) и что отрицание^ х входит
в <2^+1 - П^!)-)

(Ь)	Покажите, что Sf* A nfF = SfF = П^.

(с)	Пусть дано п > 0. Предполагая семантическую непротиворечивость,
опровергните такое утверждение: всякое высказывание из S^Ft А П^^
эквивалентно (в ZF) пропозициональной комбинации высказываний из S^F(J
l)n^F. (Указание. Используйте конструкцию из теоремы 9-1, чтобы полу-
чить такое множество Л, что А ^т0(п) и что A ^tt0(n’- В силу теоремы
VIII А Е Sn+i А Пп+р Используя нормальные формы для А в Sn+1
и в Пп+1, получите такие общерекурсивные функции / и g, что Vai/ С
Vai# cS„+j, для любого п имеет место [п £4<=>/(п) истинно] и для любого
п доказуемо |/(ге)<=>#(»)]• Тогда для любого п f(n) С S*F j А Пп+Г Пред-
положите, что для всякого п предложение /(л) эквивалентно (в ZF) пропози-
циональной комбинации предложений из U	Выведите отсюда

противоречие: А ц0(п).)

(d)	Рассмотрим предложения чистой логики предикатов. Высказывание
назовем 2п-высказыванием, если в предваренной форме оно имеет 2п-префикс.
Аналогично определяются Пп-высказывания. Пусть S$ — класс всех выска-
зываний, эквивалентных (в элементарной логике) 2п-высказываниям. Анало-
гично определяем класс П$. Шёнфильдом доказана такая теорема: всякое
высказывание из 04^+1 эквивалентно (в элементарной логике) пропози-
циональной комбинации высказываний из (J П$.

Предположим, что (с) доказано с Р вместо ZF, т. е. для арифметики Пеа-
но. Выведите из результата Шёнфильда, что арифметика Пеано не является
конечно аксиоматизируемой. (Впервые этот результат был получен Мостов-
ским и Рыль-Нардзевским.) (Указание. Покажите, что если бы арифметика
Пеано была конечно аксиоматизируемой, то, взяв достаточно большое п, мы
получили бы противоречие между (с) и результатом Шёнфильда.)

£14-22. Пусть S — предложение теории множеств, утверждающее, что
теоретико-множественная арифметика семантически непротиворечива. Пока-
жите, что если теоретико-множественная арифметика семантически непроти-
воречива, то S не выразимо арифметически. (Это более слабая форма теоремы
XIII.) (Указание. Доказательство упр. 14-21 показывает, что для всякого
п > 0 имеется высказывание из (П^р — S^F), выводимое из S.)

£14-23. (Вторая теорема Гёделя о неполноте (для ZF).) Пусть С — утвер-
ждение о непротиворечивости ZF. Покажите, что С арифметически выразимо.
Выведите из теоремы XIII, что если ZF непротиворечива, то С не доказуемо
в ZF. (Указание. Если С доказуемо в ZF, то, согласно теореме XIII, мы полу-
чим доказательство того, что F (в теореме XIII) не выразимо арифметически.
Но это сразу же дает доказательство F (так как F имеет такой вид: „если F
не выразимо арифметически, то'...”). Следовательно, F б  Но тогда
имеется доказательство арифметической выразимости F. Полученное проти-
воречие влечет за собой противоречивость ZF. (В этом доказательстве мы пола-
гаем, что все наши результаты, включая теорему XIII, выразимы и доказуе-
мы в ZF.) (Вторую теорему Гёделя о неполноте можно доказать для арифмети-
ки Пеано, показав сначала, что теорема Гёделя — Россера для арифметики
Пеано (см. упр. 7-65) выразима в элементарпой арифметике и доказуема
в арифметике Пеано. См. работу Фефермана [I960].)

§ 14.8

14-24. Докажите леммы в теореме XIV, и завершите доказательство
теоремы.

14-25. Покажите, что всякое индексное множество есть цилиндр.

14-26. Покажите, что {х | (Зу)[у £ Wx & Wy бесконечно]} С S3.

14-27. Покажите, что S3 <=> Зи.

14-28. Докажите релятивизованный вариант теоремы XV.

14-29. Докажите релятивизованные варианты теоремы XVI и следствия
XVI. (Указание. Используйте упр. 14-28.)

14-30. Завершите доказательство следствия XVIII. (Указание. Восполь-
зуйтесь s-m-n-теоремой и следствием 5-V.)

14-31. Покажите, что:

£(i) {х | Wx просто) Пз-полно;

£(ii) {х | Wx гиперпросто} П3-полно;

A(iii) {х I Wx креативно} 23-полно.

(Указание. Для (i) и (ii) воспользуйтесь .теоремой 9-XVI и упр. 9-25.
Пункт (iii) доказан в работе Роджерса [1959].)
Глава 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(часть 2)

§ 15.1.	Иерархия классов множеств 429

§ 15.2.	Иерархия классов функций 444

§ 15.3.	Функционалы 459

§ 15.4.	Упражнения 471

§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ

Пусть l#’( =2n) — множество всех подмножеств множества N.
Пусть	декартово произведение • Х^Х^Х • • •

. . . Х^, гДе JP' повторяется к раз, a N повторяется I раз (к, Z ^>0).
Пусть I 1, отношение R cz .уД/‘Х^4 назовем однозначным, если
для любого кортежа (Xi, . . ., Xh, xif . . ., Xi-i) существует не
более одного такого Xi, что . . ., Xi^, xi) принадлежит R.

Определение. Однозначное отношение гр, принадлежащее .zFfeX
Х-Х\ назовем функцией к множественных переменных и I-число-
вых переменных.

Как и для функции к (числовых) переменных в гл. 1, вводятся
понятия области определения (обозначение Arg) и области значе-
ний (обозначение Vai). Функцию к множественных переменных
и I числовых переменных назовем всюду определенной функцией,
если ее область определения есть Л^Х^*)•

Нам хотелось бы ввести понятие частичнорекурсивной функции
к множественных переменных и I числовых переменных. Дадим
неформальное определение. Пусть ф — функция к множественных
переменных и I числовых переменных. Назовем ф частичнорекур-
сивной функцией к множественных переменных и I числовых пере-
менных, если имеется такой набор инструкций Р, что для любого у
и любого кортежа . . ., Xh, xlt . - xty выполняется сле-
дующее условие: ф(Х\, . . ., Х[) = у <=> [если снабдить Р „ораку-
лами“ для множеств . . ., Xk, то при входе . . .,
получается выход у]. Таким образом, Р алгоритмически преобра-
зует вход {xi, . . ., хгу, с тем исключением, что (i) иногда задаются
вопросы вида „принадлежит ли z множеству X7-?“ (где 1 j к)
и (ii) ,вычисление продолжается после того, как кто-то извне
(оракул) сообщил правильный ответ на поставленный вопрос.

С помощью определений гл. 9 дадим соответствующее формаль-
ное определение.

1) При к > 0 функцию к множественных переменных и I числовых пере-
менных иногда называют функционалом. Такая терминология и связанные
<с этим вопросы рассматриваются дальше в § 15.3.
Определение. Пусть к > 0 и I > 0. Функция ф называется
частичнорекурсивной функцией к множественных переменных и
I числовых переменных, если существует такое z, что

Ф = ААл . . . XhXt . . .	....Xk(Xi . .	Я;)].

Пусть к > 0 (и I — 0). Функция ф называется частично рекур-
сивной функцией к множественных переменных, если существует
такое z, что ф = kXt . . . Xh[(px>’ • ••хь(0)] (упр. 15-1).

Число z называется гёделевым номером или индексом функции ф.

Большинство определений теории частичнорекурсивных функ-
ций переносится на частичнорекурсивные функции множественных
и числовых переменных.

Определение. Отношение R cz	рекурсивно, если харак-

теристическая функция отношения R является (всюду определен-
ной) рекурсивной функцией к множественных переменных и I
числовых переменных.

' Пример. Отношение {(X, х) | х £ X} рекурсивно (отпо-
сительно .#‘XJV).

Рекурсивно перечислимые отношения следовало бы определять
как области определения частичпорекурсивных функций.

Пример. Множество {X | X =/= 0} совпадает с областью
определения функции ф, где ф(Х) = <pf(O), при этом z выбрано
так, что cpj(x) = 1, если X =/= 0, и <pf(x) расходится в противном
случае.

Однако термин „рекурсивно перечислимый” не совсем удачен,
так как области определения частичнорекурсивных функций могут
быть и несчетными. Поэтому мы будем использовать терминологию
теории арифметической иерархии. Наши рассуждения будут,
очевидно, параллельны исследованию арифметической иерархии
в гл. 14. Однако для большей ясности мы будем опускать реляти-
визованные определения и результаты.

Проекции

Проекции (и вообще кванторы) будут рассматриваться только
по отношению к числовым переменным. В гл. 16 будет рассмотрен
более общий случай (проекций относительно множественных пере-
менных).

Иерархия

Определение. Отношение R cz	называется арифмети-

ческим, если R рекурсивно или существует такое рекурсивное
отношение S cz	(где т> I), что R может быть получено
из S путем последовательного применения некоторой конечной
последовательности операций взятия дополнения и проектирова-
ния, при этом оцерации проектирования применяются только по
числовым переменным.

Аналог теоремы 14-1 очевиден.

Теорема I. Отношение R cz ^h\Nl арифметическое <=> [от-
ношение R рекурсивно или при некотором п > 0 илеел R —
= {{Xi, . . .,	| (Qi^z+i) . . . (Qnxi+n')S(Xj, . .	Ж(4-п)}, где

для i i п символами Qf обозначаются или V, или 3, а отно-
шение S cz	рекурсивно].

Доказательство проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 14-1.и

Как в § 14.1, определяются 2п-префиксы и Пп-префиксы.
Применение ^п-префикса к рекурсивному отношению, принадле-
жащему jy‘h\Nl, дает S^-форму; аналогично получаются П<®>-
формы х). (Верхний индекс (s) показывает на возможность присут-
ствия множественных переменных.) Вместе с рекурсивным отно-
шением из	2Д®>-форма (и П^®)-форма) определяет отноше-
ние из	(для некоторого т I). Будем говорить, что

так определенное отношение выразимо в данной форме.

Определение. Символом обозначим класс всех отношений,
выразимых в S^-формах. Символом П^®) обозначим класс всех
отношений, выразимых в Щ®>-формах 2).

Следствие I. Отношение R cz	арифметическое <=>

<=> (Зп)[Я € S<*> или R Е nwj.

Доказательство очевидно. и

Используя „фиктивные1* кванторы, получаем аналог теоремы
14-II.

Теорема II.

(a)	S<®) U П<®) с ЭД) П П&; '

(b)	R Е ЭД8> R 6 П<®).

Доказательство проводится, как в теореме 14-11.в

1) Таким образом, 2^-форма состоит из (i) 2п-префикса, (ii) рекурсивного
отношения и (iii) однозначного соответствия менаду кванторами префикса
и числовыми переменными этого отношения.

2) В литературе верхний индекс (s) обычно опускается.
Нормальные формы

Правила сжатия кванторов приведены в § 14.2.

Определение. Пусть к Z> 0 и I > 0. Положим

Тк, i = {<ХИ . . ., Xh, z, х0, . . х^ | ф*‘.х*(х0,	. . ., xt-i)

сходится на ггм шаге перечисления множества И/р(г) (по p(z))}.

Более формально, Т hi z(Xi, . . Xh, z, хр, . . ., xi) <=>
<=> (3i/)(3u)(3f)[< <xr0, . . xi_i), y, u, i>) появляется на хгм ша-
ге перечисления множества WP(Z) (по p(z)) &ОЦ с (Xi © Xz Ф
Ф . . . Xh) &DV с= (Xt Ф Х2 Ф . . . Xft)].

Если fc>OnZ = O, то Т kt 1 = {<Х1? . . Xft, z, г0) | <pfi.Xk(0)

сходится на х0-м. шаге перечисления множества Wp(z) (по p(z))}.

Очевидно, что'отношение 7\, г (при /с > 0 и Z 0) рекурсивно.

Соглашение. В дальнейшем наряду с записью Thil(Xi, . . .

. . Xft, z, х0, . . ., xi) будет употребляться запись

Т k, -V1, • • ч X k, •£()> • • •» Х[).

Сейчас мы покажем, что отношение является областью опре-
деления частичнорекурсивной функции тогда и только тогда,
когда оно входит в класс

Теорема III. Пусть R с JThXNl. Тогда R Е S<s) 7? =
= Arg ф для некоторой частичнорекурсивной функции ф от к
множественных и I числовых переменных.

Доказательство. <=. Пусть R = Arg фиф — частич-
норекурсивная функция. По определению найдется такое z, что
R = {(Xj, . . ., xi) | (3u>) Thil(z, Xt, . . Xh, x^ . . xh w)}
и, следовательно, R^^\a\

=>. Обратно, пусть R = {(Х1т . . ., xt) | (3w)S(Xt, . . .
. . ., xt, w)}, где 5 — рекурсивное отношение. Возьмем|такое z,
что (р^1...Aft(^i, •  •, xt) вычисляется по таким инструкциям:

получив Xi, . . ., xt, проверьте 5(Х1? . . ., xt, w) для w = 0,
1, 2, ... поочередно; если (и только если) получится положитель-
ный ответ при этой проверке, то выдайте выход нуль. Положим
ф = XXi . . . жг[ф^1..Xh(xi, . . ., жг)1. Тогда А^ф = R.t

Теперь можно получить теорему о нормальной^форме и нуме-
рации.

Теорема IV (Клини). Каковы бы ни были п > 0 и отноше-
ние R Е 1(причем R cz	найдется такое г, что

R = «Хь . . ., Xft, х0, . . ., хг.1> | (Эа:;)(Угг+1)(Эхг+2) . . .

•  • Tkfl+n-i.(z, Xi, . . ., Xft, Xq, . . ., In-n-i)}
(при этом перед Т стоит знак отрицания, если п четно). Число z
назовем -индексом отношения R. По произвольной -форме
отношения R (т. е. по тройке-, префикс, индекс характеристиче-
ской функции рекурсивного отношения и соответствие между
кванторами префикса и переменными) можно эффективно найти

-индекс отношения R. Аналогичное утверждение имеет место
для п> 0 и R £ Пп \

Доказательство очевидно. я

Заметим, что z есть S^-индекс отношения R<=>z есть Пп8)-
индекс отношения R.

Алгоритм Тарского—Куратовского

Определение. Пусть выражение F(Ai, . . ., Ahta^ _ ,,а^
построено в логике предикатов из пропозициональных связок,
знаков =, переменных для чисел, кванторов по числовым пере-
менным, переменных Аи . . ., Ah для множеств и переменных для
отношений (на множествах и числах), причем at, . . ., ai — сво-
бодные числовые переменные. Пусть переменные для отношений
интерпретируются как некоторые фиксированные отношения St,
Sz, ... . Будем говорить, что отношение

R —	• • •» Хь, xi, • • •> xi) I • • -1	 • •, ai)

истинно, если Aj, ..., аг интерпретируются как ...
. . ., Xi соответственно}

определимо в логике предикатов через отношения Si, Sz,   ,
с кванторами только по числовым переменным-, выражение
F(Ai, . . ., а{) называется определением отношения R через S^,
Sz, ... .

Имеет место следующий аналог теоремы 14-IV.

Теорема V. Если отношение R cz lAFh'X.Nl определимо в логике
предикатов через рекурсивные отношения, с кванторами только
по числовым переменным, то R — арифметическое отношение.

Доказательство. Для данного случая выполняются
пункты 1-4 из § 14.3. Отсюда следует требуемое T).B

Следовательно, можно точно так же, как и раньше, использо-
вать алгоритм Тарского — Куратовского.

Пример 1. Рассмотрим множество {X | X 0}. Имеем
А =/= 0 <=>(3z)[a: С А] <=> 3, следовательно, это множество мно-
жеств входит в S<s).

Согласно теореме I, обращение теоремы V очевидно.
Пример 2. Рассмотрим множество {X | X конечно}. Имеем
А конечно<^>(Эх)(Уу)[у > х => у Е А] <=> 3V, следовательно, это
множество множеств принадлежит 2<s>.

Пример 3. Рассмотрим множество {X | X рекурсивно}.
Множество А рекурсивно <=>

<=>(3y)(3z)[4 = Wv & А = W2] о

<=> (Зг/)( 3z)[(Vz)[x Е Л <=> z Е & (Vx)[x $ А <=> х Е WJ <=>
<=> 3 31VI <=> 3] & V[ о 3]] <=> 3V 3 !).

Следовательно, это множество множеств входит в

II редставимость

Обобщим теорему 14-VI.

Теорема VI. Пусть R cz

(а)	Отношение R арифметическое <=> отношение R определи-
мо в логике предикатов через рекурсивные отношения над числами
и отношение {^х, X) | х Е X}, с кванторами только по числовым
переменным.

(Ь)	Рассмотрим элементарную арифметику, расширенную пу-
тем введения элементарных формул вида a £At, i =1, 2,
где а — произвольная числовая переменная, Alt А2, ... — мно-
жественные переменные. Отношение R арифметическое <=> отно-
шение R определимо в этой расширенной элементарной арифметике.

Доказательство, (а) -<=. Очевидно в силу теоремы V.

=>. Согласно теореме IV, отношение R определимо через Thi т
для некоторого т. Тогда Tk,m(z, Xt, . . ., хт} (Зу)(Эи)(Эи)
[<<х0, . . ., xm_i), у, и, и) появляется на хт-м шаге пере-
числения Wp(2) & (Vw)[u> Е Ои => w £ (Xi © . . . Xfe)] & (Vtr)
[w E Do => w £ (Xj © . . . Xft)ll; кроме того,

у e (Хх © . ' . Xft) [(Зг/ЛП/ = 2Vi + 1 & yt E XJV

V(3y1)(3i/2)[(/ = 2Vi & yi = 2y2 + 1 & y2 E Xfe_J v . . .1.

Таким образом, мы получили желаемое определение отноше-
ния R.

(Ь) -ф=. Очевидно.

=>. Очевидно в силу (а) и теоремы 14-VI.e

Топология

В дальнейшем для простоты мы будем рассматривать отноше-
ния с одной множественной переменной и без числовых перемен-
ных, т. е. множества множеств натуральных чисел. Иногда (но

х) Формула х Е Wy представляется как 3, так как х Е Wy <=>
<=> (Зи)Т(у, х, и). Аналогично трактуется х Е Wz.
не всегда) они будут называться классами множеств. Для обозна-
чения таких классов будут использоваться буквы Л, 99, %>, . . . .
Выполняется ли общая теорема об иерархии? То есть существует
ли для каждого п > 0 такой класс Л, что Л € (2п' — П„') (и что,
следовательно, Л 6 (Пп' — 2п'))?

Прежде чем ответить на этот вопрос, вернемся к топологии
канторова множества, рассмотренной в § 13.3 и в упр. 11-35.

Элементы множества т. е. множества чисел, можно отожде-
ствить с их характеристическими функциями. Тогда бэровская
метрика, введенная в§ 13.3, определяет топологию на JT. Относи-
тельно этой метрики ЛС полно (см. упр. 13-25). Если рассмотреть
I — (0, 1}, ввести дискретную топологию на I и, учитывая, что
ЛК =1 , рассмотреть произведение топологий на ЛГ (см. упр. 13-24),
то получим ту же самую топологию канторова множества. Соглас-
но последнему подходу, базисными окрестностями являются
такие классы 3), что 2) = {X | Du cz X & D„ cz X} для некото-
рых и и v (см. § 13.3). Пространство JT компактно (см. упр. 9-40).

2о8)-классы

В следующей теореме, описываются классы, входящие в
(=По8)).

Теорема VII. (1) Класс Л € Sqs) <=> (2) класс Л открыто-
замкнут (в топологии канторова множества на Л^) <=> (3) суще-
ствует такое tt-условие х, что

Л = {X | X удовлетворяет х).

Доказательство. (1) => (3). Пусть Л € 2qs). Пусть
ф — характеристическая функция (одной множественной пере-
менной) класса Л- По определению ф общерекурсивна. Следова-
тельно, ф = XX[cpf(O)l для некоторого г. Как это уже делалось
в § 9.2, можно порождать диаграмму вычисления для <pf(O) (для
переменных X). Так как <pf(O) определено для любого X, то все
ветви должны обрываться. Следовательно, по теореме компактно-
сти для деревьев (упр. 9-40) вся диаграмма конечна. Поэтому
(как и в доказательстве теоремы 9-XIX) существует такое
tt-условие х, что ф(Л) = 1 <=> условие х выполняется на А.

(3) => (2). Пусть х — некоторое tt-условие. Пусть В — множе-
ство, ассоциированное с этим условием. Пусть Duo, . . .,	—

конечные подмножества множества В, на которых выполняется х.
Пусть

ЗЛ = {Л | Du. cz А & (В — Z>u.) cz А }, i
Тогда А Е А<=>А £ 2>t для некоторого г к. Следовательно,

л и и • • • и $>к-

Итак, Л является (быть может, пустым) объединением базис-
ных окрестностей, следовательно, Л открыто. Пусть Z)vo, . . .
. . .,	— конечные подмножества множества В, на которых

не выполняется х. Пусть

= {А \ Dv. с: А & (В — DV() cz A}, i < Z.

Тогда А € Л <=> А Е Si для некоторого i I. Следовательно,

= So U Si U • • • U Si-

Итак, .Л является (быть может, пустым) объединением базисных
окрестностей, следовательно, .А открыто. Таким образом, Л —
открыто-замкнутый класс.

(2) => (1). Пусть класс А открыто-замкнут. Тогда Jk и пред-
ставляются в виде объединения базисных окрестностей. Совокуп-
ность окрестностей из обоих объединений образует открытое
покрытие пространства АА. В силу компактности можно выделить
конечное подпокрытие. Отсюда,, в частности, следует, что jk —
конечное объединение базисных окрестностей. Но список этих
базисных окрестностей дает конечный набор инструкций для
вычисления характеристической функции класса Jk. Следова-
тельно, Ак рекурсивно и Jk С

Следствие VII. Класс Л Е Я™ <=> Л = <0О U • • • U для
некоторой конечной совокупности базисных окрестностей 3)0, ...
. . ., 2к.

Доказательство очевидно.и

Пример. Пусть А = (X | X =£ 0). Как уже отмечалось,
Jk Е 2iS). Класс не замкнут, так как Л = {X | X = 0} =
= {0} не открыто. Следовательно, Jk Е (Sj3) — S^s)).

2<s)-классы и ll^-классы

Приведем необходимые условия принадлежности классам Si3)

и П<3).

Теорема VIII. (а) Класс Л € 2j3) => класс Ак открыт (в топо-
логии канторова множества на АА).

(Ь) Класс .4 € n,s) => класс Ак замкнут (в топологии канто-
рова множества на jfA).
Доказательст вго. 4k € 2jS) 4k = {X \ (3x)R(X, х)}
для некоторого рекурсивного отношения R =>

= U {X | R(X, ж)}=»

х— О

=> класс .4 — объединение открыто-замкнутых множеств =>
=> класс .4 открыт. Аналогично, 4k 6 П£8) => класс 4k — пересе-
чение открыто-замкнутых множеств => класс замкнут. и

Ясно, что условия теоремы VIII не достаточны, так как имеется
несчетное количество открытых и замкнутых классов (например,
для любого А класс {А} замкнут), в то время как S*s) и состо-
ят из счетного количества классов (см. теорему IV).

Следствие VIII.	£ П<8)<=>^ £ 2<s) Л П<8).

Доказательство. .4 £ S„s) => 4k £ П,8) => 4k £ 2jS) Q
Л -П,8) в силу теоремы II. Класс 41 £ Л 41. £ S,s>,
согласно теоремам VIII и VII.и

Хз^-классы и П^-классы

Необходимые условия для классов 2,8) и П^8) дают необходи-
мые условия для классов S<2s> и П<®>.

Теорема IX (а). Класс 41. £ S2S) => класс 4k — объединение
замкнутых множеств.

(Ь) Класс 4k £ П28) => класс 41 — пересечение открытых мно-
жеств.

Доказательство. Как в доказательстве теоремы VIII,
квантор существования дает объединение, квантор общности дает
пересечение. Дальнейшее очевидно. а '

При определении уровня данного класса в иерархии иногда
полезными оказываются категорные рассуждения.

Пример. Рассмотрим 4l = {X | X конечно}. Как уже отме-
чалось, по алгоритму Тарского — Куратовского £ Sj . Соглас-
но теореме IX, класс 4k — счетное объединение замкнутых мно-
жеств. Так как в любой базисной окрестности имеется бесконечное
множество, то каждое из этих замкнутых множеств не может
быть плотным. Следовательно, 4k — множество первой категории.
Предположим, что 4k- € 22s). Тогда 4k — счетное объединение
замкнутых множеств. Так как в любой базисной окрестности
имеется конечное множество, то каждое из этих замкнутых мно-
жеств не может быть плотным. Следовательно, 4k — множество
первой категории. Получили противоречие, так как	—

множество второй категории. Итак, имеем, что Л £	— П23))

и Л € (П<8) - 2<8)).

Приведенные примеры, очевидно, параллельны примерам
в § 14.8. Например, в § 14.8 мы установили, что {г | Wx¥=0}е
£ (2t — П1) и {х | WK конечно} £ (22 — И2); в свою очередь
оказалось, что {X | X =И= 0} £ (2,8) — П,а)) и {X | X конечно} £
£ (22s) — П(2Ч)). Следует ли ожидать, что существует такое семей-
ство „просто определяемых" (в некотором смысле) классов, что
для всех классов 'G из этого семейства' {х | Wx £ 'ё} и [X | X £
£ё) находятся на одних и тех же ступенях в соответствующих
иерархиях? По-видимому, нет; так в § 14.6 было установлено, что
{х | Wx коконечно} £ (23 — П3), в то время как алгоритм Тар-
ского — Куратовского дает {X | X коконечно} £ 228) (заметим,
что 21 ) cz Пд8)). См. также упр. 15-4.

Классическая иерархия Бореля

Определим классы множеств 2„ и П* следующим образом.

2* = П* = 2gS) = П  — семейство всех открыто-замкнутых
классов.

2*+1 — семейство всех счетных объединений классов из П*.

П*+1 — семейство всех счетных пересечений классов из 2*.

2* состоит из открытых множеств, П* состоит из замкнутых
множеств.

2* состоит из так называемых /^-множеств, П* состоит из так
называемых С0-множеств и т. д. Эти классы образуют конечную
иерархию Бореля на канторовом множестве. Обобщим теорему IX.

Теорвма'Х. Каково бы ни было п, [класс Л £ 2)s) => Л £ 2*J
и U € И,?’	£ П*1.

Доказательство очевидно <

В силу мощностных соображений, каково бы ни было п > О,
имеются классы из 2п, не входящие в 2„3), и классы из II*, нэ
входящие в Пп \ Иногда говорят, что классы 2,(8) и П„8) образуют
эффективную конечную иерархию Бореля на JK  Эффективную
иерархию можно рассматривать как иерархию Бореля с „рекур-
сивными" объединениями и пересечениями (см. упр. 15-8). Мы
рассмотрим этот вопрос в § 15.2, где будет показано, что как клас-
сическую, так и эффективную иерархии можно изучать на общей
теоретической основе.
Теорема об иерархии

Докажем теорему об иерархии для классов множеств.

Теорема XI. Для любого п > 0 существует такой класс Д,
что Д Е (2„s) — n„s)) и что, следовательно, Л Е (П)Д — 2„s)).

Доказательство, п = 1. Ранее было показано, что
{х । х = 0} е (n<s) - 2<s)) и что {х । х #= 0} е (sj8) - п<8>).

п = 2. Ранее было показано, что {X | X конечно} Е (2<s) —
— njs)) и что {X | X бесконечно} £ (П^ — S^).

п 3. Для любого В положим Д в — {}х} | х Е В}.

Лемма. Для любого п~^3 имеем (i) Д в Е 2$> <=> В Е 2„
и (ii) Д в Е <=> В Е Пп.

Доказательство леммы, (i) =>. Пусть Д в Е 2„s).
Тогда

Д в = (X | (Зж4) (Уж2) • • • В(Х, . ., жп)},
причем В — рекурсивное отношение в Д' X X"- Положим
= {(ж, Ж(, • • • » ^пУ I ^({ж}> ^li • • •> Жп) }.

Тогда В = (ж | (ЗачДУжг) • • • S{x, xY, . . ., хп)} и S рекурсивно.
Следовательно, В Е 2П.

(ii) =>. Доказывается аналогично.

(i)	<=. Пусть В Е 2П, и пусть В = {х ] (Зж4) . . . S(x, Xi, . . .
- .	хп)}. Тогда

Дв = {X | (Зж)[(Уг/)[у Е X о у = х] &

& (3^1) . . . S(x, xt, . . ., жп)]}.
Так как п ~Д 2, то алгоритм Тарского — Куратовского дает, что
Дв € ^s)-

(ii)	<=. Пусть В Е Пп, и пусть В — {ж | (\/ж^ . . . 5(ж, хг, . . .
. . ., ж„)}. Тогда

Д в = {X | (Зж)(Уг/)[1/ Е X <=> у = х] &

& (Уж)[ж Е X => (Уж]) . . . S(x, х^ . .	жп)]}.

Так как п ~Д> 3, то алгоритм Тарского — Куратовского дает, что
Д в б. Пп . Лемма доказана.

Из теоремы об иерархии для множеств чисел (следствие 14-VIII
(с)) следует требуемый результат. и
Степени

Понятия сводимости и степени приводят к более тонкой класси-
фикации арифметической иерархии множеств. Аналогичная топкая
классификация арифметической иерархии классов не изучалась,
мы не располагаем также результатами, соответствующими силь-
ной теореме об иерархии. Подходящим инструментом такого иссле-
дования может оказаться решетка Медведева.

Неявная определимость

Наиболее естественный путь получения теоремы об иерархии
для классов множеств из теоремы об иерархии для множеств со-
стоял бы в доказательстве, что для любого В и любого п 3
имеют место (i) {В} £	<=> В € и (ii) {В} Е П^ь) <=> В Е

Е Пп. Однако такой путь невозможен из-за следующего замеча-
тельного результата, полученного Гильбертом и Бернайсом [19391
и Кузнецовым и Трахтенбротом [1955]: существует такое множе-
ство В, что {В} является арифметическим классом, а само В —
неарифметическое множество. В следующей теореме мы докажем
этот факт.

Теорема XII (Гильберт, Бериайс, Кузнецов, Трахтенброт).
Пусть V — множество всех истинных высказываний элементарнрй
арифметики. Тогда (У) Е Пг0.

Будем говорить, что множество А явно определимо в элементар-
ной арифметике, если А определимо в элементарной арифметике
в смысле § 14.4. Будем говорить, что А неявно определимо в эле-
ментарной арифметике, если существует такое выражение F(A)
в расширенной элементарной арифметике теоремы VI (Ь) со сво-
бодной множественной переменной А, что F(A) истинно тогда
и только тогда, когда А интерпретируется как А. Итак, в силу
теоремы VI множество А неявно определимо в элементарной
арифметике <=> {А} — арифметический класс. Согласно теореме
Тарского (упр. 11-45) или теоремам 14-Х, 14-VIII и 14-VI, мно-
жество V(=0(Q)) не является явно определимым в элементарной
арифметике. Теорема XII показывает, что V неявно определимо
в элементарной арифметике, так как {V} = {X | (Vi/)(9z)
R(X, у, z)} для некоторого рекурсивного отношения R и так
как такое R определимо в расширенной элементарной арифметике
теоремы VI (Ь) (см. теорему VI (Ь)).

Доказательство теоремы XII. Если 7?cz A'XN2-
рекурсивное отношение и h — рекурсивная перестановка, то
рекурсивно отношение S — {{X, у, z) | /?(/i(X), у, z)}. Следова-
тельно, если {А} — {X | (Vy)(3z)7?(X, у, z)} Е^П^^то
{fe-ЧЛ)} = {X I (Vy)(3z)5(X, у, 2)} Е П(28).

Поэтому достаточно показать, что {0(<о)} Е^Пг’, так как, согласно
теореме 14-Х, имеем 0(ш) ее V.

Лемма. Существует такая общерекурсивная функция f, что
для любого п число f(ri) является П^-индексом класса {01"’},
т. е. для любого п имеем {0(П)} = {X | (Vy)(3z)7’i> i(/(n), X,
У> z)}.

Доказательство леммы. Функцию / определим
по индукции. Положим /(0) = z0, где z0 есть П^-ипдекс^класса
{0}. Такое z0 существует, так как уже отмечалось, что
{0} € П?>.

Предположим, что {0<П)} = {X | (>iy)(3z)Ti, i(/(n), X, у, z)}.
Покажем, как вычислять f(n Д- 1). В силу следствия 13-1 суще-
ствует такая общерекурсивная функция g, что для любого А имеем
A А' посредством g и существует такое число ю0, что для лю-
бого А имеем А' = Следовательно,

А = 0<п+1» = (0<П))' <=> lg-ДЛ) = 0(П> & А = (g-ДЛ))'] <=>

olg-ДЛ) = 0(П> & (Vx)tx Е А о (3у)(3п)(3р)

[.(*, у, и, v} Е Wp(Wo)&Du с g-ДЛ) &DV с= g"1 (Л)]]] <=>

<=>(Vj/)(3z)T1( i(/(n), g-ДЛ), у, z) & (Vx)[x Е -4 <=ь>

<=>(3i/)(3u)(3i>)[ <х, у, и, v) Е И^росо) & g(Du) с Л & g(Z)„) с
cz ЛП.

Применяя алгоритм Тарского — Куратовского и теорему IV,
получим выражение вида (Vy)(3z)7’li i(zn+1, Л, у, z), где zn+1
в силу теоремы IV эффективно получается из /(п). Положим
f(n + 1) = zn+i. Тогда /(n + 1) будет Подиндексом класса
{0in+1)}. Лемма доказана.

По определению 0(ю) = {{и, у) | и Е 0(г)}. Взяв / из леммы,
получим, что

X = 0(а) <=> (Vu)(Vy)(3z) ЛлШ, {и | {и, v) Е X), у, z).

Очевидно, что отношение {(X, и, у, z) | Tit i(/(v), {и | {и, v) Е
Е X), у, z)} рекурсивно, так как для произвольного v всякий
вопрос о принадлежности множеству {и | (u, р) Е X) эквивален-
тен соответствующему вопросу о принадлежности множеству X.
Следовательно, {0(Ш)}ЕП28). Этим завершается доказательство
теоремы. и
Определение уровней в иерархии

Закончим рассмотрение уровней в иерархии классов для при-
меров, аналогичных примерам из § 14.8 для иерархии множеств

Теорема XIII (Шёнфильд [19581). Класс
перечислимо} С (SgS) — П,*^).

{X | X рекурсивно

Доказательство.

числимо

Множество А рекурсивно пере-

(Зж)[Л = Wx] (3z)[(Vy)ly е А

у е ю

<->	31 о 3V3.

Следовательно, {X | X рекурсивно перечислимо} € S', s).

Предположим, что {X | X рекурсивно перечислимо} Е П,а)- До-
словное повторение доказательства теоремы 14-XVIII дает, что
тогда существует такое рекурсивное отношение К, что для любого
А имеем А рекурсивно перечислимо (U^)(V.y)ff(X, х, у}.
Для произвольного X положим Сх = {х |	х, у)}. Тогда

X рекурсивно перечислимо <=> Сх бесконечно.

Для произвольного Y положим Yy = {X \ Сх — С7}. Так
как имеется не более чем счетное количество таких Ст, чго У ре-
курсивно перечислимо (класс всех рекурсивно перечислимых
множеств счетен), и так как имеется не более счетного количества
таких Су, что У не рекурсивно перечислимо (класс всех конечных,
множеств счетен), то имеется не более чем счетное количество
различных Yt, когда У пробегает все С другой стороны, эти
классы покрывают все . Так как объединение этих классов —
множество второй категории, то по крайней мере один из этих
классов не является неплотным. Возьмем такое У0, что о7'уо не
является неплотным, т. е. замыкание Yyn содержит непустой
открытый класс.

Для любого х класс (X | ж £ Сх} = {X I (Vy)l?(X, х, у)}^
Е и, следовательно, замкпут. Отсюда следует, что класс
{У I Су0 cz Су} = и {X | х 6 Сх} является пересечением зам-
кнутых классов и потому сам тоже замкпут. Следовательно, замы-
кание класса Yy0 (= {У | Су0 = Су}) содержится в {У | Су0 cz
cz Су} и класс {У | Су0 cz Су} содержит окрестность. Но в любой
окрестности содержится множество, не являющееся рекурсивпо
перечислимым, поэтому в {У |}CyQ cz Су} содержится не рекур-
сивно перечислимое множество. Но отсюда следует, что Су0 конеч-
но. Пусть ж0, ж1? ж2, ... — элементы коконечного множества С у0
в возрастающем порядке.

До конца доказательства отождествим множества с их характе-
ристическими функциями. Открытый класс, содержащийся в замы-
кании класса <Уу0, содержит окрестность вида {/ | /0 с /} при
некотором начальном сегменте /0 (характеристической функции).
Определим общерекурсивную характеристическую функцию g
путем последовательных продолжений. Пусть число z выбрано
так, что у) = 1, если выполнено В(Х, х, у), и у) = О,
если R(X, х, у) не выполняется. (Как и в гл. 13, для обозначения
конечных начальных сегментов функций будут использоваться
буквы /о, Яо, gi, • • •; Для всякого сегмента h запись (ж, у) =
= w означает, что (р^(х, у) сходится с выходом w, причем при
вычислении задаются вопросы о т(Л) только для тех аргументов,
на которых определен сегмент Л.)

Этап 0. Положим g0 = /о-

Этап п 4- !• Рассмотрим {g | gP cz g}. Эта окрестность
содержится в {g | g0 cz g} и потому содержит такое множество
X (его характеристическую функцию), что Сх — Суа и что,
следовательно, не верно, что (Vy)7?(X, хп, у). Можно эффективно
перечислить такие конечные продолжения g функции gn, что
(3y)[<pf/I (хр, у) =0]. В качестве gn+l возьмем первое продолже-
ние в этом перечислении.

Положим g — U gn. Функция g рекурсивна и является харак-

теристической функцией некоторого рекурсивного множества В.
По построению Св cz CYq и Сув конечно. Это противоречит наше-
му более раннему утверждению: X рекурсивно перечислимо => Сх
бесконечно. Итак, {X | X рекурсивно перечислимо} не может при-
надлежать П<%

Следствие XIII (Шёнфильд). Класс {X | X рекурсивно} б
€(2<s) -n<s)).

Доказательство. Как уже отмечалось, алгоритм Тар-
ского — Куратовского дает, что этот класс входит в SgS). То, что
он пе входит в П^, следует из доказательства теоремы (см.
упр. 15-5). 1

Релятивиза! щя

Материалу этого параграфа не придавалась релятивизоваппая
форма. Релятивизация легко проводится. Отношение В cz Л^Х^'
назовем А-рекупсивным. если существует такое рекурсивное отно-
шение 5 cz X Ат/, что

В = {<Х\, . . ., X;) I 5(Л, Х15 . . ., хг)}.

Сразу получаем теорему о нормальной форме и нумерации. Напри-
мер, Л Е Z'S)A <=ь существует такое z, что Л = (X | (Эх0) (Vzi)
(Зж2)Г2, 2(2, А, X, х0, Xi, х2)}. Топологические замечания для
классов множеств остаются в силе, с заменой „рекурсивных" объе-
динений и пересечений на объединения и пересечения, „рекурсив-
ные относительно А“. В частности, = S<S)A. Однако для
нерекурсивного А и п > 0 в классе )А имеются множества,
не принадлежащие S„s) (упр. 15-6). Теорема об иерархии доказы-
вается так же, как и раньше (упр. 15-7).

§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Можно определить иерархию классов функций. Мы проведем
наше исследование параллельно § 15.1.

Пусть AF — множество всех всюду определенных функций
одного числового аргумента, т. е. множество всех всюду опреде-
ленных функций, отображающих N в N. Определим X N1
таким же образом, как AAhX.Xl (заменив на JF). Определим
функцию к функциональных переменных и I числовых переменных
таким же образом, как функцию к множественных переменных
и I числовых переменных (с заменой jfA на JF)- Такие функции
иногда называют функционалами (§ 15.3). Функцию к функцио-
нальных переменных и I числовых переменных, область определе-
ния которой есть	назовем всюду определенной функцией

(к функциональных переменных и I числовых переменных).

Неформальное определение частичнорекурсивной функции к
функциональных переменных и I числовых переменных аналогично
определению частичнорекурсивной функции к множественных
переменных и I числовых переменных (в § 15.1), только вместо
оракулов для . . ., Xh используются оракулы для t(/i), . . .
. . ., r(/ft) (где Л, . . .,	— функциональные аргументы). Отме-

тим следующие отличительные особенности случая функциональ-
ных переменных; если дан оракул для т(/), то можно не только
получать ответы на вопросы типа „содержится ли (х, у) в f?“,
но и „вычислять" /. Для данного х можем найти /(z), задавая по
порядку вопросы: „содержится ли-(х, 0} в /?“, „содержится ли
{х, 1) в f?“ . . . Если / всюду определена, то когда-нибудь оракул
даст положительный ответ. Как мы увидим, эта особенность
вычисления функций придает специфические черты иерархии
классов функций.

Формальное определение частичнорекурсивной функции к функ-
циональных переменных и I числовых переменных аналогично
определению для множественных переменных в § 15.1.

Определение. Пусть к > 0 и I > 0. Функция ф называется
частичнорекурсивной функцией к функциональных переменных и
I числовых переменных, если для некоторого z

Ф = Vi • • • Mi • • • яДф'1' (хк ...» жг)].

Пусть к > 0 (и I = 0), тогда ф называется частичнорекурсивной
функцией к функциональных переменных, если для некоторого z
выполняется ф == ХД ... /ьДф'1’ •• > fk (0)].

Число z называется гёделевым номером или индексом функции ф.

Очевидна связь введенных понятий с понятиями, введёнными
в § 15.1, так как по определению ф/ь •••>/* = ф’(А). •••.

Так, например, ф является частичпорекурсивной функцией одной
функциональной переменной тогда и только тогда, когда суще-
ствует такая частичнорекурсивная функция ф одной множествен-
ной переменной, что ф = %/[ф(т(/))1. Заметим, что ф( может быть
всюду определенной для любых /, в то время как ф^ не является
всюду определенной для всех X (пример очевиден).

Определение. Отношение R cz JFkX,Nl называется рекурсив-
ным, если характеристическая функция отношения R является
всюду определенной рекурсивной функцией к функциональных
переменных и I числовых переменных.

Пример 1. Класс {/ |/(5)	0} рекурсивен (хотя

{X | (Эр)[у =# 0 & (5, у) £ X]} не является рекурсивным классом
множеств).

Пример 2. Если А рекурсивно, то класс {/ | /(5) £ А}
рекурсивен.

Пример 3. Отношение {(/, g) | /(g(5)) =0} рекурсивно,
и класс {/ | /(/(5)) =0} рекурсивен.

Пример 4. Класс {/ | /(0) = цу[О < у & 0 < /(у)]} рекур-
сивен.

Эти примеры показывают что, вообще говоря, рекурсивные
классы функций более сложны по структуре, чем рекурсивные
классы множеств.

Пример 5. Класс {/ | 5 Е Vai /) является областью опре-
деления частичнорекурсивнойТфункции одного функционального
переменного (упр. 15-10).

Иерархия

Определим иерархию, применяя операции взятия дополнения
и проектирования по числовым переменным к рекурсивным отно-
шениям. В гл. 16 будут рассмотрены проекции по функциональ-
ным переменным (см. также упр. 15-19).
Определение. Отношение R cz	назовем арифметиче-

ским, если R рекурсивно или существует такое рекурсивное отно-
шение 5 cz	что Я можно получить из S путем примене-

ния конечной последовательности операций взятия дополнения
и проектирования, причем проектирования производятся только
по числовым переменным.

Аналог теоремы I очевиден.

Теорема XIV. Отношение R с ^‘Х^ арифметическое <=>
<=> {отношение R рекурсивно или при некотором т > 0 имеем R =
= {</i, . . ., xi) 1 (Qix;+1) . . .(Qm^+m)5(/n • • zz+m)}, edeQi есть
V или 3 (1 i m), а отношение S cz j^'XAr;+m рекурсивно].

Доказательство. Проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 14-1. и

Точно так же, как З^Д-формы и П^’-формы, определяются

-формы тл -формы. (Верхний индекс (fn) говорит о возмож-
ном присутствии функциональных переменных.) Выразимость
в данной форме определяется, как раньше.

Определение. Sntn) — класс всех отношений, выразимых в S^fn)-
форме. n„fn) — класс всех отношений, выразимых в П„Гп)-форме.

Следствие XIV. Отношение R cz	арифметическое <=>

<=> (3«)[7? € 2Vn) или R £ П£п)].

Доказательство очевидно. и

Используя фиктивные кванторы, получаем следующее.

Теорема XV. (a) 2</п) (J П^п) cz 2^ (] П£$.

(ь) r e 2</n) R е nVn).

Доказательство проводится, как в теореме 14-П.в

Нормальные формы

Правила сжатия кванторов действуют, как раньше.

Определение. Пусть /с > 0 и I 0, положим

T'h.i = {<А, • • •, z, х0, . . ., xQ |

<т(Л), . . ., ?(/„), z, хй, ... xi) £ Tk,

Соглашение. Как и для Th,i, вместо	г,

х0, . . ., Xi) мы будем писать

n,z(z, Д, •  Д, х0, . . ., Xt).

Следующие теоремы являются аналогами теорем III и IV.
Теорема XVI. Пусть RcL,fkXNl. Тогда R £ S<fn> <?=> R =
= Arg ф для некоторой частичнорекурсивной функции ф (/« функ-
циональных переменных и I числовых переменных).

Доказательство проводится, как в теореме III.в

Теорема XVII (Клини). Для любого « >0 и любого отношения
R € ЗД,П) (где 7?с: Д^Х?*) существует такое число z, что

R = {</1. • • •» /а. х0, . . ., а:г_1>| (3x2)(Vx/+1)(32!i+2) . . .

• • • ?k, l+n-l(z, fl, • •  > fk, x0, • • •» xl+n-1)}

{перед T стоит знак отрицания, если п четно). Назовем z 2)гГп)-
индексом отношения R. По любой 'ЕД^-форме отношения R
{см. теорему IV) можно равномерно найти Т^^-индекс отноше-
ния R. Аналогичное предложение имеет место и для R £ П^п)
{п > 0).

Доказательство очевидно. и

Алгоритм Тарского—Куратовского

Определение. Пусть выражение F{pi, . . ., ph, alt . . ., дг)
построено в логике предикатов из пропозициональных связок, =,
числовых переменных, кванторов по числовым переменным, пере-
менных pi, . . ., ph для функций (одной переменной) и перемен-
ных для отношений (на функциях и числах), и пусть at, . . ., at
являются свободными числовыми переменными этого выражения.
Пусть переменные для отношений интерпретируются, как конкрет-
ные отношения Slt S2, ... 

Будем говорить, что отношение

н = {</1, • • •, /а- Х1, . . ., xt) I F(pt, . . ., ph, at, . . ., af)
истинно, если /ц, . . ., а; интерпретируются как fi, . . ., xt
соответственно }
определимо в логике предикатов через Si, S2, . . . с кванторами
только по числовым переменным, а выражение F{pi, . . ., af)
будем называть определением отношения R через Si, S2, ... .
Заметим, что допускается гнездностъ функциональных переменных,
например, {ЗЪ){р{р{Ъ)) = а] определяет отношение {(f, х} | х 6
€ Vai \у [ff{y)]}.

Имеет место следующий аналог теоремы V.

Теорема XVIII. Если Rcz ,Д,!Х^1 определимо в логике пре-
дикатов через рекурсивные отношения, с кванторами только по
числовым переменным, то R является арифметическим отношением.
^Доказательство проводится, как в теореме V 1).и
Следовательно, можно, как и раньше, использовать алгоритм
Тарского — Куратовского.

Пример 1. Рассмотрим множество {/ | Vai / бесконечна}.
Тогда Vai / бесконечна <=>

<=> (Vz)(3y)[p > х & у 6 Vai f] <=>

<=> (Vx)(3y)[y > х & 3z(/(z) = у]] <=> V33<=>V3,
следовательно, это множество функций входит в Щ{п>.

Пример 2. Рассмотрим множество {/ | / — общерекупсивная
функция}. Имеем: всюду определенная функция / рекурсивна <=>
<=> (Зг)[/ = <р21 <=> (Эг)(Уя:)[/(ж) = фг(ж)] <=>

<=> (3z)(Vz)(3y)(3w)[<pz(;z:) = у за w шагов & у =

<=> 3V3, следовательно, это множество функций входит в S310.

Представимость

Теорема XIX. Пусть R с ^h^Nl.

(а)	Отношение R арифметическое <=> отношение R опре-
делимо е логике предикатов через рекурсивные отношения на числах
и отношение {(/, х, у) | f(x) = у} с кванторами только по число-
вым переменным.

(Ь)	Расширим элементарную арифметику, введя унарные опе-
раторные символы (т. е. функциональные переменные) pi, р2, ....
Тогда отношение R арифметическое <=> отношение R определимо
в расширенной таким образом элементарной арифметике.

Доказательство, (а) <=. Очевидно в силу теоре-
мы XVIII. '

=>. Доказательство проводится, как в теореме VI; заметим, что
Du cj(/) <=> (Ух)(Уу)[{х, у) £Du=> f(x) = у].

(Ь) <=. В силу теоремы XVIII. Хотя и возможна гнездность
операторных символов, но любое такое гнездо определяет рекур-
сивное отношение.

=^. Согласно (а) и теореме 14-VI.g

Топология

В дальнейшем для простоты мы ограничимся отношениями
с одной функциональной переменной и без числовых переменных,
т. е. множествами функций. Иногда (но не всегда) мы такие мно-

1) В силу теоремы XIV обращение теоремы XVIII очевидно.
жества будем называть классами функций. Для их обозначения
будем использовать буквы Л, 98, %, ... . Прежде чем переходить
к теореме об иерархии, мы введем топологирэ на , аналогичную
топологии на jfC. Как мы увидим, топологические пространства &
и сильно отличаются.

Определение. Определим в ff-' бэровскую метрику. Положим
(О,	если f — g;

d (f, g} = (	1

{ I ---------,,, x , и . если f^g.

I № [f (*) =7= g (*)] + 1

Функция d является метрикой, а пространство & (с такой мет-
рикой) является полным метрическим пространством (упр. 15-11).
Следовательно, можно применять теорему 13-ХII и можно польг
зеваться доказательствами, использующими понятие категории.
Пространство JT принято называть бэровским пространством.

Ту же самую топологию на можно получить, если взять
дискретную топологию на N и, учитывая, что == Nn, рассмот-
реть произведение топологий на Nn = N^NX. •  • (упр- 15-12).

Элементы пространства & можно отождествить с иррациональ-
ными числами, лежащими между 0 и 1, с помощью бесконечных
непрерывных цепных дробей (упр. 15-13). Топология & как бэров-
ского пространства будет изоморфна топологии на иррациональ-
ных числах, индуцированной обычной топологией на действитель-
ных числах. (Разумеется, в метрике действительных чисел про-
странство У7' не полно *).) Для наглядности бэровское пространство
можно рассматривать как пространство всех бесконечных ветвей
в функциональном дереве (см. ниже и упр. 9-42), при этом тополо-
гия порождается следующей базой: базисные окрестности — это
классы вида {/ | / с /}, где / — конечный начальный сегмент.

Определение. Класс функций^# назовем базисной окрестностью,
если Л —	| / с /} для некоторого конечного начального сег-

мента / (упр. 15-14).

Пространство ер не компактно (упр. 15-15). С этим фактом
связаны некоторые важные различия между арифметической
иерархией классов функций и арифметической иерархией классов
множеств.

Открыто-замкнутые классы

Пусть J* — функциональное дерево, определенное в упр. 9-42.
Определим поддерево и ветвь, как в упр. 9-42. Каждую ветвь
дерева можно отождествить с элементом из ер (и наоборот).

х) Как известно, пространство может быть полным в одной метрике и не-
полным в другой метрике, хотя обе метрики дают одну и ту же топологию.
2^—0506
Подветвъ — это начальный сегмент ветви. Каждая вершина дере-
ва Д* определяет конечную подветвь дерева Д* (и наоборот),
каждую конечную подветвь дерева Д* можно отождествить
с конечным начальным сегментом всюду определенной функции
(и наоборот). Таким образом, каждая конечная подветвь дерева Д*
определяет базисную окрестность в вр .(и наоборот), при этом
окрестность, определяемая данной конечной подветвью, состоит
из тех функций, которые соответствуют ветвям дерева Д*, начи-
нающимся данной подветвью.

Определение. Поддерево Д дерева Д* назовем деревом с конеч-
ными путями, если любая ветвь дерева Д конечна.

Теорема XX. Класс Л(с^ Jp) открыто-замкнут <=> существу-
ет такое дерево с конечными путями Д, что Л есть объединение
всех окрестностей, определяемых ветвями дерева Д.

Доказательство. <=. Для любой непустой конечной
подветви / дерева Д* символом /” обозначим конечную подветвь,
получаемую из / отбрасыванием последнего элемента ветви /.
Пусть дано дерево с конечными путями Д, и пусть Л — объедине-
ние всех окрестностей, определяемых ветвями дерева Д. Рас-
смотрим совокупность всех таких конечных подветвей / дерева Д*,
что (i) подветвь / не является подветвью дерева Д; (ii) если суще-
ствует /~ (т. е. если / =/= 0), то /" — подветвь дерева Д, ио /~ не
является ветвью дерева 3  Пусть Д' — объединение подветвей из
этой совокупности. Тогда Д' — дерево с конечными путями, так
как всякая бесконечная ветвь дерева Д' была бы ветвью дере-
ва Д, что противоречило бы условию, что Д — дерево с конечными
путями. По определению никакая ветвь дерева Д' не начинает
ветви дерева Д и никакая ветвь дерева Д не начинает ветви
дерева Д'. Кроме того, всякая ветвь дерева Д* начинается или
ветвью дерева Д, или ветвьщ дерева Д'. Следовательно,
Л — объединение окрестностей, определяемых ветвями дерева Д,
а Л — объединение окрестностей, определяемых ветвями дере-
ва Д'. Итак, Л — открыто-замкнутый класс х).

=>. Пусть Л — открыто-замкнутый класс. Каждой функции /
в 3F сопоставим самый короткий конечный начальный сегмент /
функции /, такой, что или {/ | / сс /} cz Л, или {/ | fa f} cz Л-
Такой сегмент / всегда существует, так как и Л, и Л открыты.
Конечные подветви дерева Д*, отождествляемые с этими сегмен-

*) Заметим, что это доказательство проходит для частных случаев
3 = {0} (дерево 3 состоит из пустого кортежа) и 3 = 0 (дерево 3 пусто).
Если 3 = {0}, то_Д" = 0, Л = Р и Л = 0. Если У = 0, то .7' =
= {0 }, Л = 0 и Л =
тами, образуют дерево с конечными путями (так как для каждой
ветви / дерева J* выбирается конечная подветвь /). Все ветви /,
для которых {/ | / cz /} с. Л, определяют* поддерево этого дерева
с конечными путями. Следовательно, это поддерево будет деревом
с конечными путями и Л — объединение всех окрестностей, опре-
деляемых ветвями этого поддерева.и

Следствие XX. Существует 2*° открыто-замкнутых классов.

Доказательство. Любое множество чисел определяет
дерево с конечными путями, длина каждой ветви которого равна 1.
Два различных таких дерева определяют различные открыто-
замкнутые классы. Так как существует 2*° множеств чисел, то
имеется по крайней мере 2Хо открыто-замкнутых классов.

Существует х0 базисных окрестностей, всякий открытый
класс — объединение базисных окрестностей. Следовательно,
имеется самое большее 2Хо открыто-замкнутых классов функций. а

So п)-классы

Так как в Sofn) содержится лишь счетное количество классов,
то теорема VII для 2о*п) не верна. Однако имеется следующее
необходимое условие.

Теорема XXI. Класс Л € Sofn) => класс Л открыто-замкнут
(в топологии бэровского пространства на

Доказательство. Пусть Л Е S ofn). Пусть ф — харак-
теристическая функция (одной функциональной переменной) клас-
са^. По определению ф общерекурсивна. Поэтому ф = X/[tpVP(O)]
для некоторого z. Рассмотрим совокупность всех конечных началь-
ных сегментов /, таких, что (i)	(0) сходится, причем в этом

вычислении задаются вопросы о т(/), включающие аргументы
только из области определения /, и (ii) ф*(/)(0) не сходится, когда
задаются вопросы о т(/), содержащие аргументы только из области
определения какого-нибудь более короткого начального подсег-
мента сегмента /; т. е. (в обозначениях гл. 13) фрфО) сходится,
a <p[/J(0) не сходится ни для какого собственного начального под-
сегмента g сегмента/. В силу рекурсивности множества Л всякая
функция / из Л' содержит такой начальный сегмент. Как в дока-
зательстве теоремы XX, эти сегменты определяют дерево с конеч-
ными путями и Л — объединение окрестностей, определяемых
ветвями некоторого поддерева этого дерева с конечными путями.
Следовательно, это поддерево является деревом с конечными
путями и А — открыто-замкнутый класс. в

(Таким образом, рекурсивным классам сопоставляется некото-
рое счетное подсемейство семейства всех деревьев с конечными
путями. В гл. 16 мы рассмотрим это „рекурсивное” подсемейство
и некоторые другие, связанные с ним, подсемейства.)

Следствие XXI. Пусть А — область определения частичноре-
курсивной функции одной функциональной переменной. Тогда А — '
открытый класс.

Доказательство. Класс А — объединение окрестно-
стей, определяемых такими начальными сегментами /, что Р*(0)
сходится.в

Пример. Пусть A = {f | О С Vai /}. Как уже отмечалось,
g 2<fn>. Для любого начального сегмента / существует такая
функция / ё это / сд / и что 0 £ Vai /; следовательно, А не
содержит никакой базисной окрестности и не открыто. Поэтому
Л € (2<fn) - 2<tn>).

2(,п)-классы и П<Гп ^-классы

Теорема VIII сохраняется и для классов функций.

Теорема XXII. (а) Класс А £ 2[fn1=> класс А открыт.
(Ь) Класс A £ n<fnJ =4- класс А замкнут.

Доказательство следует из теоремы XVI и след-
ствия XXI. и

Следствие XXII. A G 2^0 А € П<г“) <=> А € 2р) А П<»“>.

Доказательство. Из теоремы XV следует, что А Ч
€ 2<fn> А ё П<{^ => А € 2</«) п П«»>. Пусть А ё 2 ««> А ПК»>.
Тогда А = Arg тр, и А = Arg фя для некоторых частичнорекур-
сивных функций (одной функциональной переменной) ф^ и ф>2.
С помощью следующих инструкций определим частичнорекурсив-
яую функцию (одной функциональной переменной) ф. Пусть дана
функция / (дан оракул для /), начинайте вычисления ф((/) и ф2(/);
если ф>1(/) сходится раньше, чем ф2(/), то выдайте 1, если ф2(/)
сходится раньше, чем то выдайте 0. Функция ф является
общерекурсивной функцией одной функциональной переменной
и является, кроме того, характеристической функцией класса А.
Следовательно, А € 2<Гп).в
Классическая иерархия Бореля

Для множества & можно определить так же, как и для мно-
жества ДГ в § 15.1, иерархию борелевых классов.

Определение. S3* = Щ* = [семейство всех открыто-замкпу-
тых классов, принадлежащих множеству fp\.

2**1 = [семейство всех счетных объединений классов, при-
надлежащих Пп*].

Ппд-i = [семейство всех счетных пересечений классов, при-
надлежащих Sn*l.

Теорема XXIII. Каково бы ни было п, [Д Е 2<*п) Е
£ S**] & U € П(’»> => Д € П**].

Доказательство очевидно, р

В частности, всякий класс из является множеством типа
Fa и всякий класс пз Щ(п> является множеством типа Сй. (Мно-
жества типа Fa и tr6 определяются так же, как и для иерархии
в множестве ДВ.) (Имея в виду упр. 15-13, иерархию Бореля
в множестве (по конечным уровням) иногда называют конечной,
иерархией борелевских множеств иррациональных чисел.)

Пример. Пусть Л = {/ | множество j~\Q) конечно}. Объе-
диняя алгоритм Тарского — Куратовского с доказательствами,
использующими понятие категории, можно показать, что Е
Е (S£fn) — П^). (Доказательство проводится так же, как для
соответствующего примера, приведенного после теоремы IX
в § 15.1. См. упр. 15-17.)

Теорема об иерархии

Теорема об иерархии для классов функций получается легче
(из теоремы 14-VIII), чем соответствующая теорема об иерархии
для классов множеств.

Теорема XXIV. Для любого п > 0 можно указать такой
класс Д, что Д Е (2„,п) — П„п)) (н что, следовательно, Д Е
Е (П,?п) - ^fn*)).

Доказательство. Для любого множества В положим
Дв = {/ |/(0) б: В}. Покажем, что для любого п имеет место
следующее: (i) Д в Е 2п*? <=^ В Е 2Л; и (ii) Д в Е Пл’" <=>
В Е Пп.

-<=. Пусть В = {х | (Qpzj) . . . (б)пхп)В(х,	хп)}, где

R с Nn+1 — рекурсивное отношение. Тогда Л в = {/ | (QiXj) . . .
•  • (Qr.^n)^(/(0), хл, . . ., хп)}. Очевидно, что отношение {(/,
xlf   ч хпУ I B(f(O), Xi, . . ., ;rn)} —рекурсивное отношение
в Д X Nn. Следовательно, В С Sn => Д в £ X„f,1) и В £ Пп =>
=>ДВ £ П<Гп).

=>. Пусть Дв = {/ I (Q1Z1) •  • (ОгАг)Ж ^1, • •	*п)}, где

S — рекурсивное отношение в Д X Определим R —
= {{х, Xf, . . ., хпу | 5(^у(Н, х^ . . ., zn)}. Очевидно, что R —
рекурсивное отношение в Nn+1 и что

5 — {‘Г | (Ql^l) •  • (Qn‘Tn)^(‘T, "Tl, • • -1 *Гп) }•

Следовательно, Д в £	=> В £ Sn и Л в £ П„п) => В £ Пп.

Остается только применить теорему 14-VIII.e

Заметим, что определенные в этом доказательстве классы Д в
открыто-замкнуты. Таким образом, на всех уровнях арифметиче-
ской иерархии имеются классы, находящиеся на уровне 2 о*
в классической иерархии Бореля.

Что можно сказать о соотношении иерархии множеств функций
и иерархии множеств множеств? В частности, какие связи имеются
между классификацией классов Л с. Д и классификацией соот-
ветствующих классов т(^) с ,#“?

Теорема XXV. Пусть c:f.

Для любого п имеем х(Д) £	=> Л £	п>.

Для любого п имеем х(Д) £ n„s) => Д £ П„п).

Если п 3, то Д £ 2„п) => т(^) £

Если п 2, то Д £ П„п) =$- х(Д) £ 11^-

Доказательство. Пусть х(Д) = {X I (Qi^i) - . -
. . . (Qnxn)R(X, Xf, . . ., хп)}, где R — рекурсивное отношение
в uf X ^-'Положим 5 = {(/, Xi, . . ., хпу | 2?(т(/), xl7 . . ., хп)}.
Тогда 5 с Д X Nn — рекурсивное отношение и

Д = {/ I (Qi^i)   • (QaW, ^1,   , *п)}-

Следовательно, х(Д) £	) => Д € и т(Л) € П„8) => Д £

€ ПП

Наоборот, пусть Д £ п) и 3. Тогда для некоторого z

Д' = {/ I (ЭяоХУяч)   • T'l, n_i(z, f, Хч, . . ., Хп_1)}.

По определению предиката Т' имеем Д = {/ | (Зх0) (Vxi) . . .
. . . 71, n_t(z, т(/), хй, • •	xn_i)}. Тогда

х(Д) = {X | (Vx)(Vj/)(Vu)[ Д, у) £ X & {х, и} £ X => у = и] &

& (Vz)(3y)[ {х, у) £ X] & (3t0)(V^i) . . •

• • • 71, n—i(z, X, Xq, . • .,
Применение алгоритма Тарского — Куратовского дает
[V & V3 & 3V3 . . .] <=> 3V3 .... Следовательно, т(4) Е S„s).

Аналогично, если Д Е П„п) и п ~Д> 2, • то получаем I V &
& V3 & V3 . . .1 <=>V3 ... и, следовательно, т(.4) Е Пп8).и

Следствие XXV. Пусть Д а Д. Класс 4 является арифме-
тическим класс тС4) как подкласс класса является ариф-
метическим.

Доказательство очевидно.я

Можно также рассмотреть соотношение классификации классов
Д cz ДА и классификации соответствующих классов

«(Л) = {/ | (ЭХ)[Х Е^ & / = сх-]} С ДА

Теорема XXVI. Пусть Д cr ДА.

Для любого п 'ё (Д) Е => Д Е \

Для любого п <ё (4) Е П„п) => Л Е n„s).

Если п > 2, то Д Е Sn > => 'ё („4) Е 2^tn).

Если п > 1, то Д Е	=> <ё (Д) Е П^п).

Доказательство. Доказательство аналогично, в об-
щих чертах, доказательству теоремы XXV (упр. 15-18).я

Следствие XXVI. Пусть Д cz ДА. Класс Д является арифме-
тическим <=> класс *ё (Д) как подкласс класса Д? является ариф-
метическим.

Доказательство очевидно. в

Определимость и неявная определимость

Определение. Функция f называется арифметической, если /
как отношение является арифметическим отношением.

Читатель легко проверит, что для любого множества А [мно-
жество А арифметическое <=> функция сА арифметическая].

Определение. Функция / явно определима в элементарной
арифметике, если / как отношение определимо в элементарной
арифметике в смысле § 14.4.

В силу теоремы 14-VI функция / арифметическая <=> функция
/ явно определима в элементарной арифметике. Следовательно,
для любого множества А имеем: множество А арифметическое <=>
о функция сА явно определима в элементарной арифметике.
(Читатель также легко проверит следующее утверждение: функ-
ция f арифметическая <=> множество т(/) арифметическое <=>
<=> множество т(/) явно определимо в элементарной арифме-
тике.)
Определение. Функция / неявно определима в элементарной
арифметике, если существует такое выражение /’(р) в расширен-
ной элементарной арифметике теоремы XIX (Ь) со свободной
функциональной переменной р, что А(р) истинно тогда и только
тогда, когда р интерпретируется как /.

Сргласно теореме XIX, функция / неявно определима в эле-
ментарной арифметике <=> класс {/} является арифметическим
классом. Пусть V определяется как в теореме XII. По теоре-
ме XXVI класс {су} € П^,п). Следовательно, имеются неарифме-
тические функции, неявно определимые в элементарной арифме-
тике, и, в частности, характеристическая функция множества
всех истинных высказываний элементарной арифметики неявно
определима в элементарной арифметике.

Определение уровней в иерархии

Методы, используемые в иерархии классов множеств, можно
использовать и в иерархии классов функций. Например, доказа-
тельство, аналогичное доказательству теоремы XIII, дает, что
{/ | / общерекурсивная функция} 6 (2зГп) — Пз1п>) (см. упр. 15-24).

Релятивизация

Материал этого параграфа не излагался в релятивизованной
форме. Релятивизация легко проводится, если ввести понятие
А-рекурсивной функции к функциональных.переменных и I числовых
переменных (например, функция ф одной функциональной пере-
менной А-рекурсивна, если ф =	т(/)(0)1 для некоторого z).

Нормальные формы определяются с помощью предиката Тт, п,
где, например, Т\\ == {</, z, х0, . . ., xn> | T2i n(z, A, r(f),
х0, . . ., зп)}; определение T2tTl см. в § 15.1. Мы отмечали
в § 15.1, что при релятивизации не изменяется самый низкий
уровень в иерархии классов множеств; т. е. для любого А класс
Sos) совпадает с классом 2os)A- Для классов функций это не так:
S(ofn) может отличаться от 2(О,П)А (см. упр. 15-20).

Ниже мы рассмотрим релятивизацию несколько другого типа.

Обобщенная теорема об иерархии

Аддисон [1955] построил общую теорию для (конечной) клас-
сической иерархии Бореля в и для арифметической Иерархии
в вр. Более конкретно, пусть 'ё — произвольный класс множеств.
Рассмотрим отношения R cz X N1.
Определение. Отношение R рекурсивно в (относительно) 4s,
если R рекурсивно относительно некоторого множества А из
класса 4s.

Таким же образом, как 2^п)-формы и П„п)-формы, опреде-
ляются 2пП)[^]-5борлы и П^^З-дборлы (с заменой в определе-
нии рекурсивных отношений на отношения, рекурсивные в V?).

Определение. 11 ’['<?] — класс всех отношений, выразимых
в 2^п)[^]-форме.

Пп п)['ё] — класс всех отношений, выразимых в ПпП)[^1-форме.

Заметим, что классы отношений	и ПпП)[^1 могут

быть несчетными. Б частности, если = ДА, то € Sofn,l^l <=>
<=> Д — открыто-замкнутый класс (упр. 15-21). Несмотря на
эту возможную несчетность, можно доказать следующую обобщен-
ную теорему о нормальной форме и нумерации.

Определение.

П = {<£, A • • • » *n> I T2,n-i(g(0), kx[g(x + 1)], f, Xi, . . .

• • •> xn) == {<g, /, x^ . . ., xn> I T2tn.i(g(0),

x(Xx[g(x + 1)1), x(/), Xi, . . ., xn)}.

Теорема XXVII (теорема о нормальной форме и нумерации).
Для любого п > 0: класс Д Е S„n) <=> для некоторого мно-
жества А из 4s и некоторой всюду определенной функции g, рекур-
сивной относительно А, имеем Д — {/ | (ЗачДУхг) • • • T*(g, /,
х^ . . хп)} (причем перед Т* стоит знак отрицания, если п чет-
но). Аналогичное предложение имеет место для П„1п> ['ё].

Доказательство. ч=. Очевидно, так как [функция g
рекурсивна относительно А и А Е 'ё! влечет за собой, что отно-
шение {(/, Xi, . . ., хпу j T*(g, f, х^ . . ., жп)} рекурсивно отно-
сительно

=>. Пусть Д Е 2(f„n) [«].

Рассмотрим случай (i) число п нечетно. Тогда для некоторого
множества А из класса 4s

Д = {1\ (azi)(Vz2) ... (3xn)R(f, Xi, . . ., xn)},
при этом отношение R рекурсивно относительно А. В силу реля-
тивизованного варианта теоремы XVI отношение {(/, xt, . . .
  •> xn-i) I (^xn)R(f>	• • » хп)} является областью опре-

деления функции ф одной функциональной переменной и п — 1
числовых переменных, причем ф = 1/xi • • • xn_i[q>^' r(f)(xi, . . .
. . ., xn_i)l для некоторого z. Следовательно,

(^З-пУ^ХЛ ^1» • • •• хп) (Эхп) Тг, П-1(2, А, т(/), Xft • . ., Хп).
Выберем z' так, чтобы	Т2, n-i(z> И, т(/)> х15 • • •,

<=> Л, т(сА), т(/), хх, . . хп), Тогда Д - {/ | (ЗхД
(Vx2i . . (Зх„) Tj,n-i(z', сА, /, Xi, .  ., хп)}- Существует та-
кая функция g, что g(0) = z' и что Xx[g(x + 1)] = сА. Функция g
рекурсивна относительно А и

Д= {/I (3xj)(Vx2) . . . (3xn)T*(g, /,	. . ., хп)}.

Рассмотрим случай (ii) число п четно. Достаточно для про-
вести построение, как в случае (i), и затем взять отрицание.

Аналогично проводится доказательство для ПпП) [^].в

Таким образом, функции, рекурсивные относительно множеств
из 'ё, можно рассматривать как гёделевы номера для любого
уровня в ['(Д-арифметической иерархии. В частности, когда g
пробегает класс общерекурсивных функций, то получим для дан-
ного п все классы из и все классы из П?п\

С помощью простой диагонализации получим обобщенную
теорему об иерархии.

Теорема XXVIII. Для любого п > 0 существует такой класс
.Л, что для любого класса ё

д е (s<fn) щ - n*fn) iw

Доказательство. Возьмем Д = {/ | (.3xi)(.Vx2) .  .
. . . Tftf, /, Xi, . . ., х„)}. Тогда Д t 4'n) с 2Д'П) [^1- Допу-
стим, что Д б П„Гп) ['ё]. Тогда

Д ~ {/ I (VX!)(3x2) . . . H(g, /. Xi, . . ., Хп)}

для некоторой функции g, рекурсивной относительно ё. Следо-
вательно,

Д = {/ I (3xi)(Vx2) . . . T*(g, j, Xi, . . ., x„)}.

Имеем g 6 Д <л> (3xJ(Vx2) . . . T^(g, g, x17 . . ., xn) <-> g ^Д.
Получили противоречие. в

Мы показали в теореме XXIV, что на любом уровне арифмети-
ческой иерархии есть открыто-замкнутые классы, т. е. классы
из уровня £** в классической иерархии Бореля. Теорема XXVIII
показывает, что, с другой стороны, на всех уровнях имеются клас-
сы, находящиеся на одинаковых уровнях в арифметической
и классической иерархиях.
§ 15.3.	ФУНКЦИОНАЛЫ

Рассмотрим функции и всюду определенные функции одного
(числового) аргумента.

Определение. Ф — класс всех функций.

<Р.^ — класс всех частичнорекурсивных функций.

—	класс всех всюду определенных функций.

—	класс всех общерекурсивных функций.

Имеем .ц cz 3‘Л cz cP и cz cz <fP.

Сначала мы бегло рассмотрим понятие функционала на <Ф,
затем подробно рассмотрим более простое понятие функционала
на g .

Функционалы на &

Определение. Функционал на & — это однозначное подмно-
жество множества & X (N U {«})• Для обозначения функциона-
лов будут использоваться буквы F, G, . . . . Если х Е N
и (ф, х) g F, то говорят, что F строго определен на функции ф
и что Г(ф) = х. Если (ф, со) € F, то говорят, что F слабо опре-
делен на функции ф и что Е(ф) расходится. ' Если (ф, co} (J F
и (Усс)[(ф, х) $ F], то говорят, что F абсолютно' не определен
на функции ф и что Е(ф) абсолютно не определено. Назовем
F-1(2V'J {со}) областью слабого определения функционала F, назо-
вем F-1(Ar) областью строгого определения функционала F.

Всякий оператор пересчета Ф следующим образом определяет
функционал Р' на еР. Область слабого определения функциона-
ла F — это множество {ф | множество Ф(т(ф)) не пусто}. Область
полного определения функционала F — это множество {ф | мно-
жество Ф(т(ф)) состоит в точности из одного элемента}. Для
функции ф из области строгого определения функционала F
в качестве Г(ф) выступает единственный элемент множества
Ф(т(ф)).

Определение. Если функционал F определяется (как опи-
сано выше) оператором пересчета, то F называется частично-
рекурсивным функционалом на Ф.

Определение. Пусть Р' — частичнорекурсивный функционал
на &.

Функционал F называется рекурсивным функционалом на cP,
если область слабого определения функционала F совпадает с cP
(это равносильно тому, что содержится в области слабого
определения функционала F; см. теорему 9-ХХП и упраж-
нение 15-26).
Функционал F называется общерекурсивным функционалом,
на $Р, если в области полного определения функционала F содер-
жится класс вр. (Таким образом, общерекурсивный функционал
на является (в силу упр. 15-26) рекурсивным функционалом
на cP.)

Очевидна связь (и сходство) определенных выше понятий
с понятиями частичнорекурсивного оператора, рекурсивного опе-
ратора и общерекурсивного оператора, введенными в гл. 9.
В частности, можно очевидным образом обобщить понятие частич-
норекурсивного функционала на сЛ на случай функционалов
на еР X N- Между частичнорекурсивными функционалами такого
типа и частичнорекурсивными операторами, определенными
в гл. 9, устанавливается естественное взаимно однозначное соот-
ветствие. Всякому функционалу F такого типа соответствует
частичнорекурсивный оператор Ф(ф) = Хх[Р(ф, д?)1, если считатьг
что функция Ф(ф) не определена на числе х, когда F(cp, х) = <от
и что Ф не определен (как оператор) на функции ф, когда
(Зх)[< ф, х) не принадлежит области слабой определенности функ-
ционала F1. Наоборот, всякому частичнорекурсивному операто-
ру Ф соответствует частичнорекурсивный функционал Г(ф, х) =
= Ф(ф)(х), если считать, что Г(ф, х) = со, когда оператор Ф опре-
делен на функции ф, но функция Ф(ф) не определена на числе х.
Заметим, что при таком естественном соответствии устанавли-
ваются взаимно однозначные соответствия между рекурсивными
функционалами и рекурсивными операторами и между общере-
курсивными функционалами и общерекурсивными операторами.

Функционалы на бРЛ

Рекурсивный функционал на еР можно рассматривать как
функционал на сГ’З?, такое ограничение на cPj? функционала
на оР можно определить некоторой частичнорекурсивной функцией
на гёделевых номерах, и наоборот. Это составляет содержание
следующей теоремы.

Определение. Отображение F класса в множество N (J (со)
называется эффективной операцией на классе если суще-
ствует такая частичнорекурсивная функция ф, что

(i)	Р(фа) = ф(х), если ф(х) сходится,
и

(ii)	Р(фж) = со, если ф(х) расходится.

Теорема XXIX (Майхилл и Шепердсон). (а) Всякий рекур-
сивный функционал на бР определяет эффективную операцию
на 6Pgi.	k

(b) Всякая эффективная операция на zPJ? является ограничени-
ем на 6Pgi некоторого рекурсивного функционала на аР.
Доказательство, (а) Пусть F — рекурсивный функ-
ционал на cP. Функционал F определяется некоторым оператором
пересчета Ф. Положим: ф(а:) равно единственному элементу мно-
жества Ф(т(срх)), если множество Ф(т(фх)) не пусто, и ф(ж) не
определено в противном случае. Так как можно равномерно по х
перечислять множество Ф(т(фх)), то функция ф частичнорекурсив-
на. Функция ф определяет требуемую эффективную операцию
на oPJ?.

(b) Возьмем такую строго возрастающую общерекурсивную
функцию /, что для любого и если множество Du однозначно, то
ФНи) = т_1(Ри). Положим

В = {у | (3u)LDu — однозначное множество и у = /(и)]}.

Рекурсивное множество В содержит по одному гёделеву номеру
любой конечной функции. Возьмем такую общерекурсивную функ-
цию g, что для любого и выполняется равенство g/(u) = и. Такая
функция g по любому гёделеву номеру из множества В выдает
соответствующий канонический индекс.

Пусть функция ф определяет эффективную операцию на oPJ?.
Определим следующим образом оператор Ф:

Ф(А) = {х | (3у)[у € В & D g(y)(= т(фу)) cz А & х = ф(г/)]}.

Очевидно, что Ф — оператор пересчета. Он определяет некоторый
•частичнорекурсивный функционал F на Покажем, что (i)
функционал F рекурсивен и (ii) на классе cPj? функционал F
совпадает с эффективной операцией, определенной функцией ф.

Чтобы доказать (i), предположим, что функционал F не рекур-
сивен. Тогда существует такая функция <р, что в множестве Ф(т(ф))
имеется по крайней мере два различных элемента. Но тогда суще-
ствуют такие числа у1? у2 € В, что <рУ1 cz ф, фУг cz ф, ф(г/1) и ф(1/2)
сходятся и чтоф(1/1) =£ ф(г/2). Это дает решение проблемы остановки
(упр. 15-27).

Чтобы доказать (ii), предположим, что функционал F на
функции срх отличается от эффективной операции, определенной
функцией ф. Это может быть только тогда, когда или Р(фх) со
и ф(х)1 расходится, или Р(фх) = со и ф(а:) сходится. Каждый из
этих случаев ведет к разрешимости проблемы остановки
(упр. 15-27; доказательство проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 14-Х1У).и

Функционалы на ер

Рассмотрим отображения класса всюду определенных функций
в множество натуральных чисел. При таком ограничении можно
ввести понятия рекурсивного функционала и общерекурсивного
функционала более естественным (но эквивалентным) способом.
Сначала мы докажем теорему, указывающую на соответствие
между рекурсивными функционалами на оР и частичнорекурсивны-
ми функциями одной функциональной переменной (на ,^), введен-
ными в § 15.2.

Теорема XXX. Пусть F — рекурсивный функционал на <Ф.
Для всякой функции f £ ер положим: ф(/) = F(/), если F(/) Е N,
и ф(/) расходится, если F(/) — со. Функция ф является частично-
рекурсивной функцией одной функциональной переменной.

Обратно, пусть ф — частичнорекурсивная функция одной функ-
циональной переменной. Положим F(/) — ф(/), если ф(/) сходится,
и F(/) = со, если ф(/) расходится. Функционал F является ограни-
чением на АР некоторого рекурсивного функционала на И.

Доказательство. Пусть дан рекурсивный функционал
F и дана всюду определенная функция /. Можно вычислять ф(/),
перечисляя элементы множества т(/) и применяя оператор пере-
счета, определяющий функционал F. Для того чтобы перечислять
множество т(/), достаточно располагать оракулом для установле-
ния принадлежности множеству т(/), следовательно, ф(/) = <Pz(/)(O)
для некоторого z. Поэтому функция ф частичнорекурсивна.

Обратно, пусть дана такая функция ф, что ф(/) = <р2(/)(0).
Определим оператор пересчета Ф следующим образом. Для любого
множества А пусть Ф(Л) = {у \ у = <р[Д1(О) для некоторого конеч-
ного начального сегмента /, такого, что x(f) cz А}. Как легко
проверить, оператор Ф определяет требуемый рекурсивный функ-
ционал (упр. 15-28). и

Следствие XXX. Пусть F — общерекурсивный функционал на
& {в старом смысле), тогда ограничение функционала F на класс ер
является общерекурсивной функцией одной функциональной пере-
менной. Обратно, пусть ф — общерекурсивная функция одной
функциональной переменной, тогда ф является ограничением на ер
некоторого общерекурсивного функционала на &.

Доказательство очевидно.и

Отметим мимоходом следующее обстоятельство. Пусть F —
частичнорекурсивный функционал на аЛ. Для любой функции
/6^" положим: ф (/) = F (/), если F (/) С N, и ф (/) расходится
в противном случае. Функция ф не всегда будет частичнорекур-
сивной функцией одной функциональной переменной. С другой
стороны, используя конструкцию теоремы 9-ХХ1П, всякую такую
функцию ф можно продолжить до частичнорекурсивной функции
одной функциональной переменной (упр. 15-29).

Имея в виду теорему XXX, следующим образом введем понятие
функционала на АР.
Определение. Функционал на ер — это функция одной
функциональной переменной.

Рекурсивный функционал на ,р — это. частичнорекурсивная
функция одной функциональной переменной.

Общерекурсивный функционал на ер — это общерекурсивная
функция одной функциональной переменной.

В дальнейшем, если не оговорено противное, термин „функцио-
нал“ будет означать функционал на ер, кроме того, мы будем
обходиться без использования буквы со для представления расхо-
димости функционала.

Замечание к терминологии- В литературе
обычно рассматриваются функционалы над ер. Результаты же
о функционалах над Ф часто получают в форме результатов
о функциональных операторах (чтобы избежать строгого рас-
смотрения областей слабого и полного определения). Теоре-
ма XXIX сначала была получена именно в такой форме (см. фор-
мулировку в § 11.5). В терминологии для функционалов над Jr
имеются расхождения. То, что мы называем рекурсивными функ-
ционалами, иногда называют частичнорекурсивными функционала-
ми, а то, что мы называем общерекурсивными функционалами,
иногда называют рекурсивными функционалами. (Такая терми-
нология довольно естественна, так как в этой терминологии
„частичнорекурсивным функционалам" соответствуют частично-
рекурсивные функции одной функциональной переменной, а „ре-
курсивным функционалам" соотьетствуют (обще)рекурсивные
функции одной функциональной переменной.)

Заметим, что в бэровской топологии на ер и дискретной топо-
ло1ии на N всякий рекурсивный функционал F является непре-
рывным отображением своей области определения (так как для
любого х класс F~1(;r) £ и, следовательно, класс F-1(j;)
открыт).

Функционалы на

Рассмотрим ограничения на бЯ функционалов на ер.

Множество общерекурсивных функций плотно в ер, Верно ли,,
что если в области определения рекурсивного функционала содер-
жится класс р/1, то в этой области содержится и класс ер (т. е. что
функционал обшерекурсивен)? Простой пример, построенный
в упр. 15-30, дает отрицательный ответ на этот вопрос; частично-
рекурсивная функция одной функциональной переменной может
быть всюду определенной на и не быть всюду определенной
на у.

Понятие эффективной операции на можно ввести следующим
образом.
Определение. Пусть F — ограничение на некоторого
функционала на . Функционал F называется эффективной опе-
рацией на если существует такая частичнорекурсивная функ-
ция (одной числовой переменной) ф, что для любого х если <рх 6 .5?,
то [ lF(<px) сходится <=> ф(г) сходится] & [F(<px) сходится => F(<px)=
= ф(х)1].

Имеет ли место аналог теоремы XXIX? Отрицательный ответ
был получен Фридбергом [1958а].

Теорема XXXI (Фридберг). Существует эффективная опе-
рация на которая не является ограничением на $1 никакого
рекурсивного функционала на .

Доказательство. Определим частичнорекурсивную
функцию ф следующим образом:

f 0,

ф(ж) = «

если (Vy)[i/ < х => <рх(г/) = 0]
или (3z)[<px(z) =/= 0 & (Vi/)[i/ < z =>-
=> <рх(у) = 0] & (Эж')[У < z &
фх'(и) =фх(н)]]];

к расходится в противном случае.

Легко проверить, что функция ф определяет эффективную
операцию F на J?. Предположим, что F есть ограничение на
некоторого рекурсивного функционала G. Тогда G(Xr[0]) = 0.
Так как G — рекурсивный функционал, то при вычислении любо-
го его значения используются ответы на конечное число вопро-
сов об аргументе. Следовательно, существует такое число п, что
(V/)[(.Vx)k < п => /(х) — 0] => G(/) = 0]. Определим общере-
курсивную функцию g следующим образом:

g(x) = 0, если х п;
g{n) = к,

где к выбрано так, чтобы любой гёделев номер функции g был не
меньше чем п. Тогда по определению функции ф не определено
F(g). Но G(g) должно равняться 0. Получили противоречие.в

Однако можно получить аналог теоремы XXIX, если ограни-
читься рассмотрением операций и функционалов, определенных
на всех функциях класса J?.

Опрвделение. Пусть F — ограничение на некоторого
функционала на ер. Фукнкционал F,называется всюду определен-
ной эффективной операцией на если существует такая частично-
рекурсивная функция ф, что для любого х если <px Е J?, то [ф(х)
определено и F(<px) =ф(а:)|.

Теорема XXXII (Крейсел, Лакомб, Шёнфильд [1957]). Функ-
ционал F является всюду определенной эффективной операцией на
J? <=> функционал F является ограничением на ЗИ некоторого
рекурсивного функционала, всюду определенного на ЗА.-

(Заметим, что, как показывает упр. 15-30, отсюда не следует,
что всякая всюду определенная эффективная операция на
является ограничением на некоторого общерекурсивного функ-
ционала.)

Доказательство. <=. Пусть F — ограничение на
некоторого рекурсивного функционала, всюду определенного
на 3?. Тогда для того, чтобы вычислить F на функции / G
достаточно задать только конечное число вопросов о функции /.
Определим частичнорекурсивную функцию ф следующим образом.
Чтобы вычислить ф(у), вычисляйте фй(0), сри(1), ... до тех пор,
пока не получится достаточно много результатов, чтобы можно
было вычислить F(/) для любой функции /, совпадающей с функци-
ей фу на этих аргументах. Если (и только если) это произойдет,
положите ф(г/) = F(/). Функция ф определит требуемую всюду
определенную эффективную операцию на .5?.

=>. Пусть частичнорекурсивная функция ф определяет всюду
определенную эффективную операцию на J?. Пусть дан конкрет-
ный набор инструкций для функции ф. До конца доказательства
введем следующие обозначения. Если f — конечный начальный
сегмент, то /° — функция, совпадающая с / на области определе-
ния функции / и равная 0 вне этой области. Заметим, что по явно-
му описанию функции /, т. е. по каноническому индексу множе-
ства т(/), можно равномерно получить гёделев номер функции /°.
Если ср — функция, то фМ — это (конечное) ограничение функ-
ции ф на множество аргументов {0, 1, . . ., w}.

Фиксируем числа у и г. Приведем инструкции для частично-
рекурсивной функции т). Инструкции для вычисления т](я?) таковы.

Вычисляйте ф(г/). Если ф(у) расходится, то r](x) расходится.
Если процесс вычисления ф(у) закончился, то посмотрите, закан-
чивается ли процесс вычисления ф(г) быстрее чем за х шагов
(процесс вычисления разворачивается на основе данного набора
инструкций для функции ф). Если нет, то положите т](х) = фу(х).
Если да, то проверьте, выполняется ли равенство ф(г) = ф(у).
Если не выполняется, то положите p(x) = ф„(х). Если выполняет-
ся, то обозначьте буквой w число шагов процесса вычисления ф(г)
(заметим, что w < х)\ вычисляйте значения функции фу до тех
пор, пока не определятся фу(и) для всех и w (если это не про-
изойдет, то т|(л:) не определится). Пусть fw — конечный начальный
сегмент, определенный последовательностью Фу(0), . . ., фу(щ).
Испытайте по очереди все конечные продолжения / о fw. Для
каждого такого продолжения / возьмите гёделев номер г>~ функ-
ции f° и проверьте, выполняется ли соотношение ф(г,~) =# Ф(у)*
Если не обнаружится такое продолжение / (для которого "ф(г>у)
=£ Ф(у))> то Л ($) не определится^ Если такое продолжение / обна-
ружится, то положите т](х) =/° (х).

В итоге мы имеем

всюду расходится, если ф(у) расходится;

Фв,	если ty(y) сходится и ф(г) расходится;

Фу,	если ф(у) сходится, ф(г) сходится и

Ф(у) ¥= Ш;

/°,	если ф(у) сходится, ф(г) сходится точно

т1 = I	за w шагов, ф(у) = ф(г), {0, , . w} с:

cz Arg фу и / - такое продолжение-
функции что F(/°) =/= ф(г/);

в остальных случаях (ш — число ша-
гов процесса вычисления ф(г)).

Набор инструкций для функции ц можно эффективно полу-
чить по у и z. Следовательно, применяя теорему о рекурсии, мож-
но указать такое число и, что

	всюду расходится, если ф(у) расходится;	
	<Ру,  Л	если ф(у) сходится и ф(п) или расхо- дится или не равно ф(у);  если ф(у) сходится, ф(п) сходится
Фп =		за w шагов, ф(у) =ф(п) ,{0, . . .,w}c cz Arg фу и / — такое продолжение
	№[W]  Т У	функции фЬ«], ЧТО F(/°) =# Ф(у);  в остальных случаях (ш — число ша-
		гов процесса вычисления ф(п));

причем число п можно получить равномерно по числу у.

Пусть функция сру всюду определена. Тогда ф(у) определено.
Следовательно, ф(п) должно быть определено, ф(п) = ф(у) и не су-
ществует ^такого продолжения / функции фр^, что F(/°) #= ф(у)
(в противном случае функция <рп совпадала бы с функцией /°’
и выполнялось бы соотношение ф(п) #= ф(у)). Поэтому для любой
общерекурсивной функции фу функция ф определена на п(у),
и если w — число шагов процесса вычисления ф(п(у)), то функцио-
нал F отображает любое продолжение вида /° функции в чис-
ло ф(у).

Приведем инструкции для вычисления рекурсивного функцио-
нала G. Пусть дана функция /, разыскивайте такие числа у и w,
что (i) ф(у) сходится; (ii) ф(п(у)) сходится за w шагов; (iii) функция
Фг определена на множестве {0, . . ., w} и (iv) на множестве-
{О, . . ip} функции j и совпадают. Если (и только если)
обнаружились такие у и w, то возьмите гёделев номер и функции
(/О’})0 и вычисляйте ф(и). Положите G(/) = ф(п). Если таких чисел
у и w нет, то G(/) не определится. Читатель может проверить, что
G корректно определен и что G совпадает с F на классе
(упр. 15-31). в

Замечание. Приведенное выше доказательство показы-
вает, что на самом деле функционал F непрерывен на и что для
любой общерекурсивной функции сру можно по у вычислить модуль
непрерывности w. (Число w назовем модулем непрерывности
функционала F на функции /, если F(g) = F(/) для любой такой
функции g из области определения функционала F, что g зэ /[“].)

Итак, мы видим, что класс всюду определенных эффективных
операций на совпадает (на ^?) с классом рекурсивных функцио-
налов, всюду определенных на J?. Помимо этих классов изучались
два других, более общих, класса функционалов на J?. Рассмотрим
кратко эти классы.

ОбозндчЕния. Пусть / — конечная функция, тогда символом
[/] обозначим канонический индекс множества т(/) (как в доказа-
тельстве теоремы XXXII), /° — это функция, совпадающая
с функцией / на области ее определения и равная нулю вне этой
области. Пусть f — функция, тогда (как в доказательстве теоре-
мы XXXII) символом /[*] обозначим ограничение функции /
на множество {0, . . ., х}.

Определение. Функционал F всюду определен на , если
Я cz Arg F. Пусть F — всюду определенный на функционал.
Функционал F называется предельным, если существует такая
частичнорекурсивная функция ф, что (i) ф([/1) сходится для любо-
го конечного начального сегмента / и (ii) lim ф([/[*Л) существует
0С->ОО

и равен F(/) для любой общерекурсивной функции /.

Определение. Пусть функционал F всюду определен на
Функционал F называется функционалом Банаха — Мазура, если
для любой общерекурсивной функции / двух переменных сущест-
вует такая общерекурсивная функция g, что для любого х выпол-
няется равенство

F(M/U, I/)]) = gU).

Ниже мы покажем, что класс предельных функционалов вклю-
чает класс функционалов Банаха — Мазура и что класс функцио-
налов Банаха — Мазура включает (на J?) класс рекурсивных
функционалов, всюду определенных на Мы покажем, что эти
включения строгие.
Теорема XXXIII. Ограничение на любого рекурсивного
функционала, всюду определенного на .fl, является функционалом
Банаха — Мазура.

Доказательство. Пусть F — рекурсивный функцио-
нал, всюду определенный на По теореме XXXII функционал F
является всюду определенной эффективной операцией. Из s-m-n-
теоремы немедленно следует требуемый результат. я

Теорема XXXIV (Мазур, Крейсел, Пур-Эль). Всякий функцио
нал Банаха — Мазура является предельным функционалом.

Доказательство. Докажем сначала следующую
лемму.

Лемма. Пусть F — функционал Банаха — Мазура. Тогда,
если функция f общерекурсивна, то Y(f) = Иш F((/W)0).

Х->ОО

Доказательство леммы. Определим функцию j
следующим образом:

Кх, у) =

f°(y), если х — [/1 для некоторого конечного
< начального сегмента /;

О в противном случае.

Так как F — функционал Банаха — Мазура, то существует такая
общерекурсивная функция g, что F(ky[i(x, у}]) = g(z). Следова-
тельно, для любого начального сегмента f выполняется равенство
F(?) = g([/n- Предположим, что для некоторой общерекурсявной
функции f имеем F(/) #= lim Г((/'Д°). Для каждого числа z
Х-+ОО

определим функцию hz следующим образом:

если <pz(z) не сходится за менее чем у

Ъ(у) = -

шагов;

((1“!)° (t/), если »pz(z) сходится за iv шагов,
причем iv < у и

х —	< и & g([/r“l]) У=

Очевидно, что Xzy[h7(y)] — общерекурсивпая функция ’двух пере-
менных. Так как F — функционал Банаха — Мазура, то суще-
ствует такая общерекурсивнэя функция к, что F(Xp[Az(p)l) — k{z).
Но для любого z тогда имеем JA:(z) = F(f) <=? z К] и, следова-
тельно. разрешима проблема остановки. Получили противоречие,
лемма доказана.

Используя свойство функции g из доказательства леммы, полу-
чаем теорему. и
Теорема XXXV (Пур -Эль [I960]). Существует предельный
функционал, не являющийся функционалом Банаха — Мазура.

Доказате
образом:

1,

О,

ф([/1) =

л ь с т в о. Определим функцию ф следующим

если <pz(z) сходится за менее нем w шагов*
где z = /(0) и w равно длине сегмента /;
в противном случае.

Функция ф определяет предельный функционал F. Предположим,
что F — функционал Банаха — Мазура. Пусть h(z, у) = z для
любых чисел z и у. Тогда существует такая общерекурсивная функ-
ция к, что для любого z выполняется равенство К(Ху[Л(z, у)]) =
— k(z). Но тогда функция к будет характеристической функцией
множества К. получили противоречие. в

Теорема XXXVI (Фридберг [1958]). Существует .функционал
Банаха — Мазура, не совпадающий (на Л) ни с каким рекурсив-
ным функционалом, всюду определенным на

Доказательство. Б доказательстве определяются сте-
пени неразрешимости некоторых множеств. Мы опускаем детали
и даем набросок доказательства. Рассмотрим частичнорекурсив-
ные функции, определяющие предельные функционалы. В част-
ности, рассмотрим следующие множества:

= {z j функция <pz определяет предельный функционал,
являющийся функционалом Банаха — Мазура};

Л 2 — {z | функция cpz определяет предельный функционал,
совпадающий (на 31} с некоторым рекурсивным функционалом,
всюду определенным на Л}.

Используя методы § 14.8, Фридберг показал, что множество
является ^-полным; с другой стороны, алгоритм Тарского —
Куратовского показывает, что множество Ai входит в класс 114
(упр. 15-33). Из теоремы об иерархии (теорема 14-VIII) следует
требуемый результат. (Определение степени неразрешимости мно-
жества А 2 является более сложной задачей, чем в случае любого
примера из § 14.8.)w

Релятивизация

Очевидным образом функционалы можно релятивизовать отно-
сительно данного множества или семейства множеств. Таким спо-
собом можно развивать, например, теорию арифметических функ-
ционалов. Изучались также обобщения па функционалы более
высоких типов (у таких отображений в качестве аргументов могут
выступать сами функционалы). Для функционалов более высоких
типов можно вводить понятие эффективной операции. В дальней-
шем этот материал рассматриваться не будет.
Приложение функционалов

Функционалы применялись как важный инструмент исследова-
ния в классической математике. Одной из областей такого приме-
нения явилось изучение эффективных объектов в классической
математике. Например, если действительные числа отождествлять
с последовательностями вложенных отрезков с рациональными
концами, то отображение действительных чисел в действительные
числа становится функциональным оператором (а интеграл ста-
новится функционалом более высокого типа). Если ограничиться
рассмотрением только рекурсивных операторов, то можно разви-
вать соответствующую теорию „рекурсивного анализа". (См. упраж-
нение 15-35, где показывается, что всякий такой рекурсивный
оператор определяет непрерывное отображение действительных
чисел в действительные числа.)

Второй областью приложений явилось изучение счетных струк-
тур, аналогичных несчетным структурам классической математи-
ки, с отображениями на этих счетных структурах, задаваемыми
рекурсивными операторами. Например, рекурсивные последова-
тельности вложенных рациональных отрезков можно рассматри-
вать как „рекурсивные действительные числа", эффективные опе-
раторы на номерах (этих „рекурсивных действительных чисел")
можно рассматривать как „функции" (упр. 15-35). (При
таком рассмотрении, интеграл — это эффективный оператор на
номерах „функций".)

Третьей областью приложений явилось изучение „эффективного
содержания" конкретных предложений и доказательств классиче-
ской математики. Приведем результаты этого рода, полученные
Крейселом [1951].

Интерпретация опровержением контрпримера

Пусть все высказывания элементарной арифметики даны
в предваренной форме. Такое высказывание можно следующим
образом преобразовать в эквивалентное утверждение о рекурсив-
ных функционалах. (Для примера  мы рассматриваем префикс
3V3V; но этот метод является общим.)

(3rr)(Vy)(3z)(Vif)7?(x, у, z, w) истинно

<=> (V^)(3y)(Vz)(3w) П R(x, у, z, w) ложно <=>

<=> (3/<1,)(3g'2,)(Vx)(Vz) П R(x, /(я), z, g(x, z)) ложно <=>

<=> (V/(1’)(Vg<2’)(3a;)(3z)7?(a;, /(ж), z, g(x, z)) истинно <=>

<=> (3F)(3G)(V/ll))(Vg<2))^(F(/), /(F(/)), G(/, g), g(F(/), G(/, g)))
истинно <=>

<=> (3 рекурсивный функционал F) (3 рекурсивный функционал G)
(V/<1’)(Vg,2,)7?(F(/)t /(F(/)), G(/, g), g(F(/), G(/, g))) истинно.
Последний переход возможен потому, что в четвертом от нача -
ла выражении для любых функций j и g соответствующие числа х
и z (т. е. значения F(/) и G(/, g)) можно най*ги, используя оракулы
для / и g для испытания всех результатов на х и z; поэтому F и G
будут рекурсивными функционалами х).

Описанные логические преобразования называют интерпрета-
цией опровержением контрпримера, так как в нашем примере
функции j и g можно рассматривать как возможные контрпримеры
к первоначальному утверждению. Рекурсивные функционалы F
и G по любым предполагаемым контрпримерам fug вычисляют
числа, на которых / и g не годятся в роли контрпримеров.

Крейсел показал, что доказательство высказывания некоторой
стандартной аксиоматизации, например в аксиоматике Пеано,
дает дополнительную информацию о соответствующих функцио-
налах, опровергающих контрпримеры. Более того, доказуемость
высказывания в некоторой аксиоматизации можно охарактеризо-
вать с помощью соответствующих свойств функционалов. Как
можно было ожидать, оказалось, что более элементарным аксио-
матизациям соответствуют более „эффективные" функционалы
(в том смысле, в котором примитпвнорекурсивная функция более
„эффективна", чем сбщерекурсивная функция, не являющаяся
прими тив нерекурсивной).

5 15.4. УПРАЖНЕНИЯ

§ 15.1

15-1. Обсудите (на основе неформальной дискуссии) формальное опреде-
ление частичнорекурсивной функции к множественных переменных.

15-2, Сформулируйте и докажите аналоги теорем 1-IX и 1-Х для частич-
норекурспвных функций одной множественной переменной.

15-3. Докажите следующие результаты о tt-сводимости и Т-сводимости.

(i)	А С, ttJ3 <=> А = {z | Л(В, z)) для некоторого В f-

(ii)	А <т5 А = {z | 7?(В, z)) = {z | S(B, z)} для некоторых
R С. и S g (Указание. Покажите, что множество А рекурсивно пере-
числимо относительно множества В <=> А = {х | R(B, z)} для некоторого
R G S?>-)

15-4 (Джокунт). Для произвольного класса g множеств положим =
= {х | С g). Докажите следующие предложения для произвольного
класса

(i)	-g €	=J> P^ £ S„+i(n > 1);

x) В том случае, когда впереди стоят кванторы общности, они не заме-
няются на функциональные кванторы на третьем шаге, а остаются числовыми
кванторами (число можно рассматривать как „функцию нуля переменных”).
В этом случае в качестве переменных для функционалов, возникающих
па предпоследнем шаге, будут не только функции, но и числа.
(ii)	с п<п8> е Пп+1 (n > 1);

(iii)	е 2(oS) =>	€ 2» П П2.

Докажите следующие предложения для произвольного класса g рекурсивно
перечислимых множеств:

(iv)	(n >3);

(v)	P^enn^^6'24|(n>2).

Приведите примеры, показывающие, что (iii) и (iv) нельзя усилить. (Указание.
Для (iii) возьмите 'g = {Х'|06Х&1^Х}, для (iv) используйте теорему

15-5. (а) Более детально рассмотрите конструкцию в доказательстве тео-
ремы XII, приводящую к /(га + 1).

(Ь) Докажите следствие XIII.

15-6. Пусть А — нерекурсивное множество. Покажите, что

но существует класс £ (2^)А — 2js)).

15-7. Пусть дано А. Докажите теорему об иерархии для иерархий 2<ls>A»
п<*>А

15-8. (а) Рассмотрим открыто-замкнутые классы. Введем понятие кано-
нического индекса для таких классов и назовем, эти индексы 0-индексами.
Обозначим символом 2)х класс, 0-индекс которого равен х. Покажите, что

ОО

Е2 i8) <=> (3 общерекурсивная функция /) [^= L) ^/(х)1- Докажите ана-
логичное для П^.

(Ь)	Положим: число z есть i-индекс для Jt, если <pz общерекурсивна

ОО

и = L) где / = <pz. Обозначим символом 2{.3)-класс с 1-индек-
я=0	1

сом z. Покажите, что С П^<=> (3 общерекурсивная функция /)	=

= П $№)]•

х=0

(с)	Распространите указанную процедуру на все уровни арифметической
иерархии. ,

△15-9 (Гильберт, Бернайс). (а) Определим множества Рп, как в § 14.6.

ОО

Положим 7* = U Vn .Сформулируйте индуктивное определение множеств
п=о

7П (п = 0, 1, 2, . . .), и получите, что {У*} ё п£>8'. (Указание. Заметим, что
множество Ро рекурсивно и что для любого п множество Vn+i = (х I х есть
2п+{-высказывание и некоторая подстановка в „Пп-часть” высказывания х
верна}.

(Ь) Непосредственно выведите из изложенного выше, что {7} €

§ 15.2.

15-10. Покажите, что класс {/ | 5 g Vai /} является областью определе-
ния частичнорекурсивной функции одной функциональной переменной.

15-11. Покажите, что функция d, определенная в § 15.2, является метри-
кой и что пространство & полно относительно этой метрики.

х) Автор крайне признателен Ван Хао, обратившему его внимание на та-
кое доказательство теоремы XII.
15'12. Покажите, что произведение топологий, определенное для &
в § 15.2, совпадает с топологией, задаваемой бэровской метрикой.

△15.13. Для любого действительного числа р символом [р] обозначим
наибольшее целое число р. Пусть а — действительное число между 0 и 1.
Определим две последовательности «о, п1> «21  • • и го, г(, . . . следующим
образом:

г0 = а,

П( —	> если Г1 0>

1

П-tl = 77 — «!•

г i

Последовательность (быть может, конечная) п0, hj, . . . называется непре~
равной дробью для числа а, так как последовательность

1

«С =—
«о

1

“1=—~г
п°+~^

1

«2=—-----~

поН----7-

П1+Т7

или оканчивается числом а (если последовательность конечна), или сходится
к числу а. Заметим, что если эта последовательность бесконечна, то все ее
элементы положительны.

(а)	Покажите, что для любого действительного числа а, такого, что
О < а < 1, можно указать непрерывную дробь, значением которой является
это число а.

(Ь)	Покажите, что непрерывная дробь бесконечна тогда и только тогда,
когда ее значение а иррационально.

(с)	Покажите, что любая бесконечная последовательность положитель-
ных целых чисел определяет непрерывную дробь для некоторого иррацио-
нального числа между 0 и 1.

(d)	Отождествим всякий элемент / пространства S: с непрерывной дробью
/(0) + 1, /(1) + 1, .... В силу (а) и (с) это отождествление дает взаимно
однозначное соответствие между S' и множеством иррациональных чисел
между 0 и 1. Покажите, что всякая базисная окрестность в пространстве 3:
определяет открытое множество иррациональных чисел (в естественной топо-
логии иррациональных чисел) и что всякий открытый интервал иррациональ-
ных чисел определяет открытый класс в пространстве S- • Выведите отсюда,
что соответствие, установленное между S: и иррациональными числами,
является гомеоморфизмом.

15-14. Объясните, почему базисные окрестности образуют баву окрест-
ностей пространства S-.

15-15. Докажите, что SF не компакт. {Указание. Постройте покрытие
пространства Зг базисными окрестностями, из которого нельзя выделить
конечное подпокрытие.)

15-16. Докажите или опровергните следующее утверждение. Дерево J
является деревом с конечными путями тогда и только тогда, когда дерево У
есть объединение попарно не сравнимых конечных подветвей дерева У*.
(Две подветви несравнимы, если ни одна из них не есть начало другой.)

15-17. Используйте понятия категории, чтобы доказать, что класс
{/ | /-*(0) конечно) Е (2^п) — П(2,п>).

15-18. Докажите теорему XXVI.

△15-19. Рассмотрим множества чисел, получаемые из рекурсивных отно-
шений в X V1 (для произвольных к > 0, I > 0) операциями проектиро-
вания и взятия дополнения, когда разрешаются проектирования не только'
по числовым, но и по множественным переменным. Пусть — класс всех
таких множеств. Рассмотрим множества чисел, получаемые из рекурсивных
отношений в ff'k X Лгг (для произвольных к О, I 0) операциями проекти-
рования и взятия дополнения, когда разрешаются проектирования не только
по числовым, но и по функциональным переменным. Пусть ^2 — класс всех
таких множеств. Покажите, что = ^2. (Указание. См. доказательства
теорем XXV и XXVI.) Множества этих классов называются аналитическими
множествами. Такие множества будут исследованы в гл. 16.

15-20. Покажите, что для подходящего множества Л класс 2^fn^ А содер-
жит классы, не входящие в класс 2^fn\ (Указание. Покажите, что для любого
открыто-замкнутого класса существует такое множество А, что 31 € 2А«
Выберите множество А так, чтобы в нем была закодирована достаточная
информация о дереве с конечными путями, определяющем класс Jt.}

15-21. Покажите, что .A g 2^fn^ toFl	открыто-замкнутый класс.

(Указание. См. указание для упр. 15-20.)

△15-22. Покажите, что утверждение теорем XXV и XXVI нельзя усилить.

15-23. ЕслиХ 6 2(ofn), то должен ли существовать такой класс g 2 g3\
что <4 = {f I т(/) 6 J8}?

15-24. Переделайте доказательство теоремы XIII, чтобы показать, что
класс {/ | / — общерекурсивная функция} g (2^п^ — П^п^).

△15-25. Будем говорить, что функция ф арифметическая, если множе-
ство т(ф) арифметическое. Приведите подходящую нумерацию арифметиче-
ских функций. -Постройте теорию (базирующуюся на арифметических функ-
циях), аналогичную теории (базирующейся на частичнорекурсивных функ-
циях), построенной в гл. 1, 4 и 5. Особенное внимание обратите на различия
между двумя теориями. (Понятие арифметической вычислимости является
естественным обобщением понятия рекурсивной вычислимости. Дальнейшие
обобщения будут рассмотрены в гл. 16.)

§ 15.3.	.

15-26. Пусть F — частичнорекурсивный функционал на &>. (а) Покажи-
те, что функционал F рекурсивен на & тогда и только тогда, когда класс &
принадлежит области слабого определения функционала F.

(Ь)	Покажите, что если область строгого определения функционала F
-совпадает с классом 3°, то F — константа-

15-27. (а) Закончите доказательство пункта (Ь) теоремы XXIX, показав,
что отрицание как (i), так и (ii) приводит к разрешимости проблемы остановки.

(Ь)	Выведите теорему упр. 11-43 из теоремы XXIX.

15-28. Покажите, что оператор Ф в доказательстве теоремы XXX опре-
деляет требуемый функционал.

△ 15-29. (а) Найдите частичнорекурсивный функционал F на и функ-
цию ф одной функциональной переменной, такие, что (i) ф(/) = F(/), если F
полностью определен на функции /; (ii) ф(/) расходится в противном случае
и (iii) функция ф не является частичнорекурсивной функцией одной функцио-
нальной переменной. (Указание. Определим функционал F с помощью такого
оператора пересчета Ф, что

ф(т(/)) = Г {0}, если / (0) i к-,
” I {0, 1}, если /(0) g К.)

(Ь)	Пусть F — частичнорекурсивный функционал на &>. Пусть функция
ф получается из F по (i) и (ii) в пункте (а). Покажите, что функцию ф можно
продолжить до частичнорекурсивной функции одной функциональной neper
менной. (Указание. См. теорему 9-ХХШ.)
15-30. (а) Укажите частично рекурсивную функцию одной функциональ-
ной переменной, всюду определенную на fft, но не всюду определенную на 7F.

(Указание. Положим ф(/) = 0, если (Эж)[/(ж) = <рж(г)]; ф(/) расходится в про-
тивном случае.)

△(b) Укажите частичнорекурсивную функцию одной функциональной
переменной, всюду определенную на не продолжимую до функции, всюду
определенной на S-. (Указание. Положим ф(/) равным первому такому числу
х в эффективном перечислении множества К, что /(г) = <рж(х), если такое х
существует; ф(7) не определено в противном случае.)

(с)	Выведите, что не всякая всюду определенная эффективная операция
на является ограничением на ‘Л общерекурсивного функционала.

15-31. В доказательству теоремы XXXII проверьте, что G корректно
определен (т. е. что может быть найдено не более одного значения ф(и)) и что
G совпадает с F на классе Sfl.

15-32 (Крейсел, Лакомб, Шёнфильд). Пусть 7? — множество гёделевых
номеров всех общерекурсивных функций. Пусть .А — класс общерекурсивных
функций. Положим Р = {х | срх Е .т#}- Будем говорить (в данной задаче),
что класс .Л рекурсивен, если существуют два непересекающихся рекурсивно
перечислимых множества At и А2, таких, что R czAt {_} А2 и Р = Al ^\ R',
будем говорить, что класс рекурсивно перечислим, если существует такое
рекурсивно перечислимое множество А, что Р = А (~) R.

(а)	Покажите, что класс yt рекурсивен тогда и только тогда, когда суще-
ствуют непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества В и С, такие,
что

/ Е .Ж <=> (3 начальный сегмент /) [/	& [/] С В]

и что

/ $ У1 <=^ (3 начальный сегмент /) [/ ZD / & [/] 6 С],

где [/] — канонический индекс множества т(/). (Указание. <= очевидно. Для
используйте теорему XXXII, чтобы из эффективной операции получить
рекурсивный функционал.)

(Ъ)	Покажите, что если класс рекурсивно перечислим, то не обяза-
тельно имеется такое рекурсивно перечислимое множество В, что

/ Е <=>(1 начальный сегмент /)[/ и 7 & [ДЕ В].

(Указание. Используйте конструкцию из теоремы XXXI.)

15-33. Пусть Л । и А 2 — множества, указанные в наброске доказатель-
ства теоремы XXXVI.

(а)	Покажите, что 4j 6 П4.

(Ь)	Покажите, что А2 Е S4.

Д(с) Покажите, что А2 является Х4-полным. (Указание. Используйте
теорему 14-XVIII.)

△15_34. Отождествим действительные числа с подклассом класса &
следующим образом. Фиксируем эффективное кодирование пар рациональ-
ных чисел натуральными числами. Пусть / — такая всюду определенная
функция, что ДО), /(1), ... — последовательность (кодовых номеров) стяги-
вающихся вложенных рациональных отрезков. Если действительное число а
является общей точкой всех отрезков, то будем говорить, что функция 7
представляет действительное число а. Очевидно, что всякое действительное
число может быть представлено бесконечным количеством функций. Действи-
тельное число назовем рекурсивным, если оно представляется общерекурсив-
ной функцией. Натуральное число z назовем индексом рекурсивного действи-
тельного числа а, если <pz представляет а.
(а)	Покажите, что действительное число рекурсивно тогда и только
тогда, когда можно эффективно задать его десятичное разложение.

(Ь)	Покажите, что операции сложения и умножения на рекурсивных дей-
ствительных числах можно задать эффективными операциями на индексах
рекурсивных действительных чисел.

(с)	(Райс [1954]). Комплексное число назовем рекурсивным, если его дей-
ствительная и мнимая части являются рекурсивными действительными числа-
ми. Покажите, что рекурсивные комплексные числа образуют алгебраически
замкнутое поле. {Указание. Используйте подходящую эффективную аппро-
ксимационную процедуру для „решения” произвольного полиномиального
уравнения.)

(d)	Покажите, что для рекурсивных действительных чисел можно равно-
мерно переходить от (инструкций для) десятичных разложений к соответ-
ствующим последовательностям вложенных отрезков (их индексам). Покажи-
те, что невозможен равномерный переход в обратном направлении. (Таким
образом, некоторые эффективные отображения на рекурсивных действитель-
ных числах можно определить, если используются представления вложенны-
ми отрезками, и нельзя определить, если используются десятичные разложе-
ния. Именно по этой причине эффективные десятичные разложения не под-
ходят в качестве базисных.)

△ 15-35. Пусть — класс всех всюду определенных функций, пред-
ставляющих действительные числа (см. упр. 15-34). Пусть рекурсивный опера-
тор Ф отображает в и определяет соответствующее корректное отобра-
жение действительных чисел в действительные числа. Покажите, что Ф
определяет непрерывное отображение из действительных чисел в действитель-
ные числа. {Указание. Представьте Ф как функционал на N, и исполь-
зуйте непрерывность этого функционала на своей области определения.)

△15-36 (Московакис). Пусть 7?* — множество всех индексов рекурсивных
действительных чисел (определения см. в упр. 15-34). Пусть частично рекур-
сивная функцияф отображает R* в Я* и определяет соответствующее коррект-
ное отображение рекурсивных действительных чисел в рекурсивные действи-
тельные числа. Покажите, что это отображение непрерывно на любом рекур-
сивном действительном числе. (Указание. См. теорему XXXII и упр. 15-35.)
Покажите, что такое отображение не обязательно является ограничением на ре-
курсивные действительные числа непрерывного отображения па действитель-
ных числах. (Указание. Определим эффективную последовательность откры-
тых интервалов с рациональными концами, покрывающую все рекурсивны©
действительные числа, такую, что суммарная длина всех интервалов не пре-
восходит 1. Ч*гобы сделать это, будем вычислять для произвольного z значе-
ния <р2(0), <pz(l), .... Если (и только если) найдется такое п, что (i) <pz(y)
определено для у С п, (ii) <р2(0), . . ., <р2(ге) — конечная последовательность
(кодовых номеров) вложенных рациональных интервалов и (iii) длина интер-
вала с номером ф2(п) меньше чем 1/22+х, то к общему списку открытых интер-
валов добавляется открытый интервал длины 1/2*, содержащий интервал
с номером <р2(п). Общий список, порождаемый таким способом, образует
требуемое покрытие. Пусть 70,	. . . — эффективное перечисление интер-

валов этого покрытия. Для каждого к определим непрерывную функцию
одного действительного переменного, равную нулю на множестве U Л U
U • • • и равную единице вне этого множества и некоторого рекурсивно
задаваемого множества интервалов суммарной длины l/2h. Для любого рекур-

ОО

сивного действительного числа а положим g(a) = V hk(a'). Покажите, что ряд
конечен (для всякого рекурсивного действительного числа), что g можно
задать частичнорекурсивной функцией ф (удовлетворяющей условиям, опи-
санным в начале нашей задачи) и что g не является ограничением на рекур-
сивные* действительные числа непрерывного отображения на действительных
числах. Чтобы доказать последнее, покажите, что функция g не ограниченна
на любом интервале длины 3. (Это показывает, между прочим, что теорема
Гейне — Бореля не верна для замкнутого отрезка рекурсивных действитель-
ных чисел с данным рекурсивным бесконечным открытым покрытием.) Даль-
нейшие результаты о „рекурсивном анализе” см. в работах Московакиса
(1963] и Клауа [1961].

△15-37. (Хоудз [1962]). Понятие рекурсивного действительного числа,
введенное в упр. 15-34, можно обобщить, введя понятие арифметического
действительного числа, если вместо частичнорекурсивных функций исполь-
зовать арифметические функции (см. упр. 15-25). Покажите, что из всякого
арифметического открытого покрытия (т. е. арифметической последователь-
ности открытых интервалов с рациональными концами) замкнутого отрезка
арифметических действительных чисел можно выделить конечное подпокры-
тие. (Указание. Покажите, что имеет место арифметический вариант теоремы
Больцано — Вейерштрасса.) (Рекурсивный вариант не верен, см. указание
к упр. 15-36).) (Замечание. Для арифметических действительных чисел можно
сформулировать и доказать теорему Гейне — Бореля в несколько более
общей форме. В этом и других отношениях теория „арифметического анализа”
ближе к классическому анализу, чем теория „рекурсивного анализа” в упр.
15-35 или 15-36. См. также работу Риттера [1962].)

15-38. Приведите интерпретацию опровержением контрпримера для тео-
ремы о простых числах (см. § 14.7), и опишите, как вычисляется соответ
ствующий рекурсивный функционал.
Глава 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ

§ 16.1.	Аналитическая иерархия 478

§ 16.2.	Аналитическое представление; приложения
к логике 492

§ 16.3.	Деревья с конечными путями 502

§ 16.4.	Щ-множества и А}-мпожёства 508

§ 16.5.	Обобщенная вычислимость 515

§ 16.6.	Гиперстепени и гиперскачок;

SJ-множества и AJ-множества 523

§ 16.7.	Результаты о базисе и неявная определимость 535

§ 16.8.	Гиперарифметическая иерархия 556

§ 16-9.	Упражнения 570

§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ

В § 15.2 мы рассматривали отношения, полученные из рекур-
сивных отношений на д^' X N1 (для всех к 0 и I 0) с помо-
щью операций взятия дополнения и проектирования по числовым
координатам. В этой главе мы рассмотрим более широкий класс
отношений, который получается, если дополнительно разрешить
брать проекции по функциональным осям. Эти отношения назы-
ваются аналитическими. Они распадаются в естественную иерар-
хию, впервые изучавшуюся Клини [1955] и [1955а].

Иерархия

Рекурсивные отношения на д^к X N1 (для всех к 0 и
0) были определены в § 15.2.

Определение. Отношение 7?cz д?к X N1 называется аналити-
ческим, если R рекурсивно или если существует такое рекурсив-
ное отношение S cz д?т X А7П, что R может быть получено из от-
ношения S с помощью конечного числа применений операций
взятия дополнения и (или) проектирования.

Тотчас получается аналог теоремы 14-1.

Теорема I. R cz X N1 аналитично <=> R рекурсивно или
для некоторых тип

л = «А, • • h, . ., Xly | ((МО ш2) .. .

• • •	(/b • • •> fmi • • •? ^п)}»
где S cz е?т X Nn рекурсивно, Qi есть V или 3 при 1 i
т п k I, a 51» 5г> • • •> ^m+n-s-z суть /ь+i, . . ., fm,
xi+i, . . хп, взятые, возможно в ином порядке1).

Доказательство. Как в теореме 14-1.и

Определение. Назовем квантором типа 1 всякий квантор,
применяемый к функциональной переменной; квантором типа 0 —
всякий квантор, применяемый к числовой переменной. Для неко-
торых целей, именно при рассмотрении алгоритма Тарского —
Куратовского, мы используем символы „V1" и „З1” для квантифика-
ций типа 1 и символы „V0” и „3°” для квантификаций типа 0 2).

Предикатная форма определяется так же, как в § 14.1 (одна-
ко с тем изменением, что теперь допускаются функциональные
координаты и кванторы типа 1). Далее термин „предикатная фор-
ма" будет чаще использоваться в этом новом обобщенном смысле,
а не в смысле § 14.1. Предикатная форма очевидным образом опре-
деляет соответствующее аналитическое отношение. Будем гово-
рить, что это отношение представляется данной формой. Две пре-
дикатные формы назовем эквивалентными, если они представляют
одно и то же отношение.

Определение.- Кортеж кванторов (возможно, пустой) данной
предикатной формы, помеченный их типами, называется префик-
сом этой формы. (Так, например, (Vж2)(3/1)(Э;г1)(У/2)й(/1,/г» ®i, ^з)
имеет префикс V°313°V1.) Приведенным префиксом называется
(возможно, пустой) кортеж кванторов, полученный из префикса
опусканием всех кванторов типа 0. (Например, форма с префиксом
V°313°V1 имеет приведенный префикс З11!/1.)

Мы получим аналитическую иерархию, классифицируя формы’
в соответствии с числом перемен типов кванторов в приведенном,
префиксе.J

Определение. Если п>0, "Zu-префикс есть префикс, приве-
денный префикс которого начинается с З1 и имеет п — 1 перемен
типов кванторов.

^-префикс есть префикс, приведенный префикс которого пуст.

Если п > 0, Xin-префикс есть префикс, приведенный префикс
которого начинается с V1 и имеет п — 1 перемен типов кванторов.

г) В соответствии с тем как мы поступали ранее в этой книге и чтобы
избежать смешения с другими обозначениями (например, а, Р, ... для орди-
налов), мы продолжаем обозначать всюду определенные функции буквами
f, g, h, ... .

*) Вообще в теории иерархий натуральные числа часто называют объек-
тами типа 0, множества чисел и функций числовых переменных — объекта-
ми типа 1, множества объектов типа 1 и функционалы на них — объектами
типа 2 и т. д. Изучение рекурсивных отношений и функционалов для объектов,
типа выше 1 было начато Клини [1959], [1963] (см. также Кларк [1964]).
П^-префикс есть префикс, приведенный префикс которого пуст.
{Таким образом, понятия SJ-префикса и IIJ-префикса совпадают.)

Определение. Предикатная форма называется ^-формой, если
она имеет Sn-префикс, и Пп-формой, если она имеет Щ-префикс.

Определение. SA есть класс всех отношений (на X №»
к 0, I 0), представимых в SA-форме.

П‘ есть класс всех отношений (на )(Nl, к О, I 0),
представимых в ПА-форме.

Класс SJ(= Щ) состоит, таким образом, из арифметических
отношений, определенных и изученных в § 15.2.

В конце этого параграфа мы распространим эти обозначения
на отношения на ер* X Jv X Nm, k^Q, Z 0, m 0.

Следствие I. Отношение R (apkXNl) аналитично <=>
(Зн)[7? £ SA или R 6 ПА).

Доказательство. Очевидно.и

С помощью введения фиктивных кванторов, как в теоре-
ме 14-П, может быть доказана следующая

Теорема II. (a) SA J Щс SA+i А ПА+i-

(b). R € 2А <=> R € ПА-

Доказательство. Аналогично теореме 14-П.и

Следующая теорема дает правила, обобщающие правило склеи-
вания кванторов из § 14.2. Она показывает, что, если п > 0,
произвольное отношение из SA U ПА может быть представлено
предикатной формой, имеющей не более п кванторов типа 1
и не более одного квантора типа 0, причем квантор типа 0 будет
последним в префиксе.

ч

Теорема III (Клини). Допустимы следующие преобразования
префиксов, т. е., в каждом случае, для любой предикатной формы
с данным префиксом получится эквивалентная предикатная форма
с новым префиксом’.

(i)	...V°V°... ->...V°...

з°э° ...	> а°

(ii)	"... VW*	V1

(iii)	... V° ... -> ... V1 ...

...з°... ->...э*...,

(iv)	I.. Vo3*	SW0 ...

3°Vi	V13° ...

(Из теоремы об иерархии будет следовать, что обращения (iii)
n’(iv) не имеют места; см. упр. 16-1.)
Доказательство. Опишем, как нужно изменить рекур-
сивное отношение данной предикатной формы. Рекурсивность
нового отношения и эквивалентность старой и новой предикатных
форм легко проверяются (см. упр. 16-2).

(i)	Так же, как в § 14.2.

(ii)	Дана форма . . . (V/i)(V/2) • • • Я(—, Д, —, /2, —); возьмем
{(J,	) | /?(—, Л1/, —,--я2/, —)}. Аналогично в случае

• - . (ЗДДЭ/з)....

(iii)	Дана . . . (Vx). . . 7?(—, х, —); возьмем {(/,-) |

7?(—, /(0), —)). Аналогично для . . . (Зх)....

(iv)	Дана ’. . . (Vx)(3/) . . . 7?(—, /, —, х, —); возьмем
{</, х, — ---> | Я(—, Ху[/((х, у))], —, х, —)}. Так же и для

• • • (^)(V/).....

Следствие III. При п > 0 всякое отношение R из S„ пред-
ставимо предикатной формой с префиксом, состоящим из п + 1
чередующихся кванторов, из которых первые п — типа 1, послед-
ний — типа 0, причем- первый квантор — З1. Для отношений
из Щ дело обстоит так же, только первым стоит квантор V1.

Доказательство. Из теоремы вытекает (см. упр. 16-3)
следующая систематическая процедура (с использованием, 'если
понадобится, фиктивных кванторов). Ограничимся рассмотрением
примера. Пусть дан префикс V°313°V1. Преобразуем префикс:
yo3i3oVi^Voai3iVi (iii)>

_^V°31V1	(ii),

->SW’V1 (iv),

(iii),

->3^	(ii),

->31V'3° (добавление фиктивного квантора).и

Предикатная форма может быть опредедена, если заданы ее (i)
префикс, (ii) индекс характеристической функции рекурсивного
отношения, (iii) отображение префиксных кванторов в совокуп-
ность переменных этого отношения. Назовем это описанием формы.
Правила преобразования кванторов из теоремы III, очевидно,
равномерны в том смысле, что описание результата применения
какого-либо из этих правил к предикатной форме может быть
равномерно получено по описанию исходной формы.

Нормальная форма и нумерация

Определим T'h,i так же, как в § 15.2. (То есть,
T'h.i (z, Д, . . ., Д, хг, . . xh w) <=> <р*(й).T(/ft) (xi, . . ., Xi)

вычисляется на ui-м шаге при перечислении множества WP(Z)
(с индексом p(z)); здесь &>0, I > 0.) По теореме 15-XVII для
любой предикатной формы (Ju?) R(fi, . . ., fh, xt, . . Xi, w) мы
можем равномерно найти такое z, что форма (Su?) T’I, t (z, fi, . . .
  ч 4» ^i, • • •, %i, ш) представляет то же отношение. Это
утверждение является частным случаем следующей теоремы.

Теорема IV (Клини). Пусть п > 0 четно. Тогда для любого
Д € Sn (где R с X существует такое z, что

R = {<Д, . . ., 4, Хц . . xt) I (3gt)(Vg2)  • .

. . .(Vgn)(3«’)n+n, I (z, Д, . . 4, gi, . . ., gn, Xi, . . ., xhw)}.
Пусть n не четно. Тогда для любого R £ (где R cz ^hX^')
существует такое z, что

R = {</1, • • ч 4, Xi, ..., Xt) I (3g1)(Vg2) . . .

• • • (3gn) (Vи?)пт;_|_„, I (z, fi, . . ., 4, gi, . . ., gn, Xi, . . ., xh w)}.

В обоих случаях такое z будет называться ТА^-индексом отноше-
ния R. Если дана произвольная Т,\-форма для R, то некоторый
^h-индекс отношения R может быть найден равномерно (в смыс-
ле теоремы 15-IV).

Аналогичное утверждение справедливо для П„.

Доказательство. Непосредственно применим теорему
15-XVII и доказательство следствия Ш.и

Выберем некоторое отображение (кодирование) совокупности
всех конечных последовательностей чисел (включая пустую после-
довательность) на множество N. Например, возьмем кодирование,
определяемое функцией т* из § 5.6. Введем следующее обозначе-
ние.

Определение.

- _ ( т*«/(0), /(1), . . ., /4-1)», если х >0;

Х ( т*(0) = 0,	если х — 0.

Таким образом, f(x) есть кодовый номер конечного начального
сегмента функции / длины х. Назовем f(x) кодовым числом кортежа
длины х, определяемого функцией / г).

Наиболее полезная нормальная форма, отправляющаяся от ре-
курсивных отношений на числах (а не на функциях и числах),
может быть получена следующим образом.

г) В гл. 13 и 15 использовались другие обозначения таких кодовых чисел.
Настоящее обозначение обычно при рассмотрении аналитической иерархии
и будет использоваться всюду в гл. 16.
Определение. Для А: > 0 и !	0 определим

П,/ = {<*, yt, . . yk,	Xi) | существуют такие функции

ft, . . fh и число ш, что для всех i, 1 sC i к, у, = ft(ui)
и T'k'i (z, ft, . . fh, Xt, . . Xi, w), причем при вычислении T'h, i
все вопросы относительно ft, . . ., fk касаются значений аргументов,
меньших w} J).

Очевидно, что Л, i — рекурсивное отношение, так как длина
любого кортежа эффективно находится по кодовому числу этого
кортежа. Следующий результат очевиден.

Теорема V (Клини) (другой вариант теоремы о нормальной фор-
ме). Пусть п > 0, /?(<= X N1) — отношение из z — неко-
торый ^п-индекс для R. Если п четно, то

R = «Л- • •	4, *i.....jz> I O_gi)(Vg2) .	(Vgn)(3zz>)

Л+п, I (z, /i(w), . . ., /й(ш), gi(w), . . ., gn(w), Xt,  	XZ)}.

Если n не четно, то

R = {</i......fk, xt, . • ., xt> | (IgtWgz) . • • (9gn)(Vip)

~l П+n, z(z, A(w), . . ., 7k(w), ~gi(w), . . ., gn(lP), Xt, . . ., Xi)}.

Аналогично для Щ.

Доказательство. Непосредственно по определению.н
В качестве частного случая получаем

Следстие V.

А С Л} <=> (ЗЯ)[Л рекурсивно & R с N2 & А =

= {х | (\/f)(3w)R(j(w), х)}].

Доказательство. Возьмем R = {{у, х} | T*t j (z, у, x)},
где z — некоторый П]-индекс отношения А.я

Алгоритм Тарского—Куратовского

Пусть F(pt, . . ., рк, at, ..., ai) — выражение логики пре-
дикатов, построенное из числовых переменных, переменных для
функций (одного переменного), символов отношений (на функци-
ях и числах), пропозициональных связок, =, кванторов для чис-
ловых переменных и кванторов для функциональных переменных,

J) В обозначениях гл. 13 (и в случае Z> 0), Tk, l(z, У\, •  Ую • • •
' . . ., xi) <=* (Э«7)[г/1, . . ., yh — кодовые числа для начальных сегментов
длины w функций ft, . . ., и <р^.^*1 (zj, . . ., xi) вычисляется на ш-м

шаге перечисления множества Wpcz,].
имеющее pi, . . pk своими свободными переменными для функ-
ций и щ, . . ai свободными числовыми переменными. Пусть
символы отношений интерпретируются некоторыми фиксирован-
ными отношениями	Sm. Тогда отношение

# = {{fi,   • , 4.	. .. xi) | F(pi. . . pk, щ, . .

истинно при подстановке flf . . xi

вместо Pi, . . ai соответственно}
называется определимым в логике предикатов через отношения
Si. . .	8т. Назовем/''(pi, . . щ) определением отношения R через

St,  	8т.

Справедлив следующий аналог теоремы 14-IV.

Теорема VI, Если R cz X N1 определимо в логике предика-
тов через рекурсивные отношения, то отношение R аналитично.

Доказательство. Аналогично теореме 14-IV.g

(Обращение теоремы VI также верно, согласно теореме I.)
Таким образом, можно, как и раньше, пользоваться алгорит-
мом Тарского — Куратовского, делая, однако, различие между
кванторами типа 0 и типа 1. Помимо правил преобразования
кванторов из теоремы III, для получения наиболее простой формы
данного отношения бывают полезными и некоторые другие правила.

Теорема VII (Аддисон и Клини [1957]). Допустимы {в смысле
теоремы III) следующие преобразования префиксов'.

(i)	. . . Э1 -> . . . 3«.

(ii)	... V1. V0,

где в обоих случаях изменяемый квантор стоит последним в пре-
фиксе-,

(ii)	. . . (V/)(3z)(3g).	(3g)(V/)(3x) . . .,

. . . (3/)(Vrr)(Vg). . .	. (Vg)(3/)(V^) . . .,

в обоих случаях при условии, что рекурсивное отношение данной
предикатной фирмы есть отношение между кодовым числом f{x}
и отличными от 'функции f объектами.

Доказательство, (i) Пусть исходная предикатная
форма есть . . . (3/)7?(/, —). Тогда в силу теоремы V мы имеем
такое фиксированное z, что предикатная форма

. . . (3/)(31г)7’*(г, fiw), . . .)

эквива'лентна данной. Но она эквивалентна форме . . .(3г/)(3ш)[у—
кодовое число кортежа длины w & T*(z, у, . . .)]. Склеивая одно-
именные числовые кванторы (по правилу (i) иа теоремы III), полу-
чим желаемый результат. Доказательство в случае V1 аналогично.

(ii)	Если дана форма . . .(V/) (Зж) (3g) . . ./?(—, /(х), —, х,
—, g, —), в которой нет вхождений функции /, отличных от явно
указанных, используем

{</, g, X, . . .> I /?(-, Цх), х, Xy[g((f(x), у))], -)},

Случай .. . (3/) (Vx) (Vg)... разбирается аналогично (упр. 16 4).ж

Пример 1. Определим Ж, как в упр. 11-61, т. е.

W = {z | <j42> — характеристическая функция некоторого
вполне-упорядочения (^) на некотором множестве чисел}.

Тогда z £ W <-> [срг — характеристическая функция некоторого
линейного упорядочения (^), не содержащего бесконечных убы-
вающих цепей] Iq>z — характеристическая функция некото-
рого линейного упорядочения (<() и (V/)(3n)[/(n + 1) =
= /(п) или фг(Ди + 1), /W) = 01] V0 3" & V» & V°V°V0 &
& V°V° & V]3°3° (упр. 16-5)	V13°. Поэтому W t Щ.

Пример 2. Пусть О — множество определенных в § 11-7
обозначений конструктивных ординалов. Б упр. 11-61 мы обнару-
жили, что О = W. Поэтому и О с П}.

Пример 3. Возвращаясь к примеру, рассмотренному при
доказательстве следствия III, видим, что отношение с префиксом
Vl,313t’V1 содержится на самом деле в SJ, так как 3LV] 31V°
в силу теоремы VII.

Теорема об иерархии

Для простоты мы ограничимся далее рассмотрением главным
образом аналитических множеств натуральных чисел. Таким
образом, при рассмотрении аналитической иерархии мы выделяем
объекты, однотипные с теми, на которых в гл. 14 изучалась ариф-
метическая иерархия. Распространение нашей теории на отноше-
ния в ^kX,Nl, к > 0, апалогично расширенному варианту
арифметической иерархии, рассмотренному ь § 15.2. Мы позже
рассмотрим это расширение в § 16.7 — 16.8 и в упр. 16-39—16-41.

Определение. Для п > 0 положим

Еп = {z | (3/1)(V/2) . . . (УД)(Зш)П, 1(2. А, • . ., fn, 2, ш)},

если п четно, и

Еп= {z I (3A)(V/2) . . . (3/n)(V«-’)n П,1(2, А, . . ; fn, z, w)},

если n не четно.
Следующая теорема об иерархии аналогична следствию
14-VIII (с) для арифметической иерархии.

Теорема VIII (Клини). Если п > 0, то Еп С Si — Щ (а пото-
му & е щ - si).

Доказательство. Пусть дано п > 0. Предположим,
что п четно. (Случай нечетного п рассматривается аналогично.)
Очевидно, что Еп Е Si- Допустим, что Еп $ П„. Тогда по теоре-
ме II (Ь) Еп € 2п и по теореме IV

E^ = {Z\ (ЗА) . . . (V/JO^n, i(z0, А, . . ., /п, z, w)} .

для некоторого z0. Но тогда

С (ЗА) • • • (V/„)(3u>) П, i(2o, А, • • •, /п, zo, «0

.	<^=> zo € Еп

(по определению Е”) и получаем противоречие. Поэтому Еп Е
Е Si - Щ и Ё~п G Щ - Si-.

Теорема о полноте

Множества Еп и Еп обладают следующими свойствами полноты.

Теорема IX (Клини). Для всякого п> 0 и всякого множества А
А Е Si <^> А	Еп,

А Е Щ A	Ё™.

Доказательство. Предположим, что A Еп. Тогда

А = {z | (ЗА) • • . П.1Ш, А, • . fn, g(z), щ)}

для некоторой общерекурсивной g. Поэтому А Е Si.
Предположим обратное: пусть А Е Si. Тогда

А = {Z | (ЗА) - • • Т'п, ДЗо, А, • • fn, z, w).

Для произвольного данного х положим

Ах = {у \ у = у & (ЗА) • • • T'n,i(z0, ft, . . ., /п, х, w)}.

Тогда Ах =N, если х Е А, и Ах = 0, если х^А. По теореме IV
Лж Е Si и Si-индекс множества Ах может быть найден равномерно
по х. Пусть h — такая общерекурсивная функция, что h(x) есть
Si-индекс множества Ах. Согласно определению Еп, х Е А

Ах = N h(x) Е Еп. Поэтому A Еп.Л

Определение. Если п > 0 и А = Еп, то А называется Si-
полным, а А называется Пп-полным.
По теореме о нормальной форме существует только счетное
число аналитических множеств. Поэтому существуют неаналити-
ческие множества. Мы получим пример такого множества следую-
щим образом.

Определение Еа — {{х, п} | х Q Еп}.

Следствие IX. Множество Еа не аналитично.

Доказательство. Допустим, что Е® аналитично. Тогда
при некотором п по теореме IX £“ Еп. Но очевидно, что
£n+1	Е“. Поэтому £n+1 Ev в противоречие с теорема-

ми VIII и IX.а

Множества Еп образуют строго возрастающую последователь-
ность Т-степеней неразрешимости, как явствует из следующих
теоремы и следствий. (А' есть скачок множества А, как это опре-
делялось в § 13.1.)

Теорема X. При всяком п Л f j Щ =? .4't S!, П П„.

Доказательство.

А' = {х | х G W*} = {х | (3y)(3u)(3i;)[ (х, у, и, v) Е WP(X) &

& (Vx)[x Е Du => х Е ^4] & (Vz)Lr E D„ x G -41]}.

Вставляя в последнее выражение Sn-форму вместо первого вхож-
дения символа А и П„-форму вместо второго вхождения
символа А, получаем

Э°Э°3» [Зо & уо [=> 2i] & уо [=ф щ]].

Применение к этой форме алгоритма Тарского — Куратовского
дает Sn-форму. Подобным образом, подставляя Щ-форму вместо
первого вхождения символа А и Sn-форму вместо второго,
получим Щ-форму для А'. Поэтому A' Е Г) Щ.и

Следствие X. (а) При всяком п В Е П Пп&Л В =>
=> А € Sn П Щ.

(Ь) Если п > 0, то множество Еп+1 имеет большую Т-степенъ,
чем Еп.

Доказательство, (а) Заметим, что А <Sr В ==> А В'.

Доказываемое утверждение вытекает теперь из теоремы.

(b) F’ESJtQ Sn+i П Пп+1. Поэтому, согласно теореме,
(Еп)' Е Sn+i П Пп+1 cz Sn+1. Значит, по теореме IX (Еп)' ^i
Ci Еп+1.я
Гиперарифметические множества

В арифметической иерархии выполняется важное равенство
21 Г) Hi = 2о(= По)

(теорема 15-ХХП и следствие 15-ХХП). Как мы сейчас увидим,
в аналитической иерархии соответствующее утверждение не имеет
места.

Теорема XI. Существует такое множество А, что А € SJ ("] П},
но А 2J.

Доказательство. Пусть А — V, а V определяется
так же, как в § 14.7, т. е. V есть множество всех истинных выска-
зываний элементарной арифметики. Так как множества из класса
2J — арифметические, а V арифметическим не является (см. доказа-
тельство теоремы 15-XII), V (J 2J. С другой стороны, в силу тео-
ремы 15-ХП (о неявной определимости множества V) существует
такое рекурсивное отношение R(cz ДС X А^2), что (Vy)(3z)/?(X, у, z)
истинно тогда и только тогда, когда X = V. Поэтому, согласно
теореме 15-XXVI, существует такое, рекурсивное множество

X №), что (Уу)(3г)5(/, у, z) истинно тогда и только тогда,
когда / = Су. Поэтому для любого х

х € V <=> (Vf)[(Vy)(3z)5(f, у, z) => /(я) = 1] <=>

<=> (3/)l(Vy)(3z)5(/, у, z) & /(я) = 1].

Но это означает, что V € 11} и V 6 2}, т. е. V £ 2}уП[.и

Следствие XI. Для всякого п существуют множества из ("]
(~|П„+1, не содержащиеся в совокупности Si у ГЦ.

Дока заде л-ь с т в о. Случай п = 0 разобран в теореме XI.
Если же п > 0, рассмотрим А = Еп @ Еп\ тогда А £ 2^+1(~)
ПЩ+1, но	(см. упр. 16-7).в

Следующие общеупотребительные обозначения и терминология
будут использованы в дальнейшем.

Определение. Для всякого п положим Ai = 2ipni. Отноше-
ния из Ап называют отношениями, представимыми в обеих фор-
мах с п функциональными кванторами.

Определение. Множество R называется гиперарифметическим,
если R С А}.

Итак, А}(= 2} — П}) есть класс арифметических отношений,
а А}(= 2, f| П}) есть класс гиперарифметических отношений.
Теорема XI показывает, что существуют гиперарифметические
множества, не являющиеся арифметическими.
Переменные для множеств и кванторы по множествам

Мы могли бы определить аналитическую иерархию, отправля-
ясь от рекурсивных отношений в .Ж'' X N1 (а не в X -V7)
и пользуясь переменными для множеств и кванторами по множе-
ствам вместо функциональных переменных и кванторов по функ-
циям,, как это было сделадао выше. Если бы мы так поступили, то
получили бы те же самые отношения в N1 и ту же Щ-классифи-
кацию этих отношений, что и раньше. Это следует из доказатель-
ства теорем 15-ХXV и 15-XXVI (см. упр. 16-8).

Правила преобразования кванторов по множествам несколько
менее удобны, чем правила (содержащиеся в теоремах III и VII)
для кванторов по функциям. В частности, следствие III не имеет
места для кванторов по множествам (упр. 16-9). Зато справедливо
следующее: если п > 0, то всякое числовое множество из класса
Хи представимо предикатной формой с кванторами по множест-
вам, префикс которой состоит из п - 2 чередующихся кванторов,
первые п из которых — кванторы по множествам, а последние
два — по числам, причем первым стоит квантор существования-,
аналогичное утверждение справедливо для класса Щ (упр. 16-10).

Более того, оказывается, что при исследовании аналитической?
иерархии кванторы по функциям имеют большее эвристическое
значение, чем кванторы по множествам. Правила преобразования
функциональных кванторов (из теорем III и VII) оказываются
чрезвычайно мощным орудием. Глубина и элегантность дальней-
ших результатов этой главы во многом зависят от использования
этих правил. По этим причинам мы пользуемся в наших опреде-
лениях и нормальных формах функциональными кванторами.

Мы можем также определить некоторую иерархию, отправля-
ясь от рекурсивных отношений в ёрh X ,Л'.1X Nm (k, I, m^-0)
и пользуясь одновременно кванторами по множествам и функциям
(а также, конечно, кванторами по числам). Если мы так поступим
и, приписав кванторам по множествам тип 1, будем считать их
неотличимыми от кванторов по функциям для целей классифика-
ции префиксов (по классам Sn и Щ), то при этом получатся те же
отношения в X -V7, что и прежде, и классификация этих отно-
шений по Sn, Щ будет той же самой. Это вытекает из доказа-
тельств теорем 15-XXV и 15-XXVI. Но при этом также опреде-
ляются аналитические отношения в kX Jr'1 X Nm (к, l,m> 0)
и дается классификация этих отношений. Более того, та же клас-
сификация тех же отношений получится, если мы воспользуем-
ся только кванторами по функциям и числам (применительно
к нашим рекурсивным отношениям в jF^X-^XA7'")’ отказав-
шись от кванторов по множествам (упр. 16-8).

Подобным образом, мы можем определить арифметическую
иерархию на отношениях в X X Nm, ' отправляясь
от рекурсивных отношений в % jfC1 X АГ"1, пользуясь только
кванторами по числам.

Примем на будущее следующее

Соглашение об обозначениях. Арифметическая
иерархия. 2° есть класс всех отношений в jfk X Л'1 X
(к, I, т 0), определимых через рекурсивные отношения с помо-
щью 2 „-префиксов.

Щ есть класс всех отношений в ^к X X (к, I, т^- 0),
определимых через рекурсивные отношения с помощью П„-пре-
фиксов.

А“ =2“ Q Пп-

(Таким образом, класс 2„ включает классы 2п, 2<s> и 2£Гп>, изу-
чавшиеся в гл. 14 и 15. Мы не будем больше пользоваться верхни-
ми индексами (s) и (fn)T, введенными в гл. 15 для большей ясности.)

Аналитическая иерархия. 2„ есть класс всех
отношений в jpk X Л*1 X Nm I, т^> 0), определимых через
рекурсивные отношения с помощью 2„-префиксов.

П„ есть класс всех отношений в X X (^,	0),

определимых через рекурсивные отношения с помощью Щ-пре-
фиксов.

Ah = 2* П П„.

Как уже отмечалось, главным образом мы будем интересовать-
ся аналитическими множествами натуральных чисел. Иногда мно-
жества из класса 2„ будут называться 2 „-множествами. Анало-
гично для классов Щ, А„, 2£, Щ и Д„.

Дальнейшее содержание этой главы

В § 16.2 мы докажем теорему о представлении для аналитиче-
ских множеств, аналогичную теореме о.представлении для арифме-
тических множеств, доказанной в § 14.4. В частности, мы расши-
рим элементарную арифметику добавлением переменных и кван-
торов по неотрицательным действительным числам и покажем, что
множества натуральных чисел, определимые в этой обогащенной
системе (которую мы называем элементарным анализом), суть
в тонкости аналитические множества. По этой причине рассматри-
ваемая в этой главе иерархия и называется аналитической.

В оставшейся части этой главы мы будем в основном иметь
дело с гиперарифметическими и П^-множествами; теория этих
множеств связана с многими задачами и результатами в логике
и основаниях математики. В меньшей мере мы коснемся AJ-mho-
жеств. Этот класс в последнее время вызывал значительный инте-
рес. Практически про все множества, определимые с помощью
итерированных „конструктивных" процедур х), было показано,
что они лежат в А'* 2). Как уже отмечалось, возможности челове-
ческого мозга в оперировании с объектами, которые задаются
предикатными формами с более чем одной переменой функциональ-
ных кванторов, весьма ограничены (см. обсуждение вслед за теоре-
мой 14-ХП в § 14.7). Более высокие уровни аналитической иерар-
хии не изучались так подробно, как А* и более низкие классы.

Аналогии

Скажем теперь несколько слов об аналитической иерархии
классов функций (подклассов класса JF, определяемых предикат-
ными формами с одной свободной функциональной переменной
и без свободных числовых переменных). В § 15.2 мы обнаружили,
что арифметические классы функций аналогичны борелевским мно-
жествам конечного уровня в пространстве Бэра. В теоремах
15-ХXVII и 15-XXVIII мы обнаружили, что арифметические
классы и борелевские множества можно рассматривать с единой
точки зрения. Это общее основание для их рассмотрения было
распространено и на аналитическую иерархию (хотя мы здесь
и не описываем это расширение, см. Аддисон [1955]). При этом
обнаруживаются следующие аналогии: (1) гиперарифметические
классы соответствуют борелевским множествам (конечного и бес-
конечного уровня); (2) 2,-классы соответствуют множествам,
известным в дескриптивной теории множеств как аналитические 3);
(3) иерархия аналитических классов соответствует иерархии,
известной в дескриптивной теории множеств под названием
иерархии проективных множеств 4 5 * *), 8).

В последнее время в исследованиях, посвященных этим парал-
лелям, жирные символы Щ и А,\ использовались для обозна-

х) Мы не будем пытаться сделать это понятие более точным.

2) Это свойство „поглощения” Д| (а также Д] и AJ) в некоторой степени
иллюстрируется приведенной выше теоремой X.

3) Иногда их определяют как множества, получающиеся из борелевских
с помощью операции А; см. Куратовский [1950]. {Операция А есть „обоб-
щенное проектирование”, определяемое следующим образом. Если Г есть
класс подмножеств из &, a R — произвольное отношение в N X для
которого при всяком х выполняется (g | R (х, g)} € Г, то класс {g | (3/)
(Vx) R(f(x), g)} называется полученным из Г „применением операции А”.
Отношение R при этом иногда называют решетом.

<*) Сначала была замечена аналогия между арифметической иерархией
теории рекурсивных функций и проективной иерархией дескриптивной теории
множеств. Аналогия между аналитической и проективной иерархиями пред-
ставляется, однако, более естественной (см. Аддисон [1955]).

5) Следующие два предложения оригинала опущены, так как посвя-

щены несуществующему в русской литературе различию между терминами

„analitic” („аналитический” в дескриптивной теории множеств) и „analitical”

(„аналитический” в рекурсивной теорий). — Прим, перее.
чоиия уровней „классической11 проективной иерархии дескриптив-
ной теории множеств, а символы Щ и А„ (иногда 2П, П„
и Ап) обозначали конечные уровни „классической11 иерархии боре-
левских множеств.

§ 16.2.	АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ;
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛОГИКЕ

Определим логическую систему, известную под названием
арифметики второго порядка с переменными для множеств.
Основными символами здесь служат символы элементарной ариф-
метики вместе с переменными для множеств и символом £.
При построении формул разрешается пользоваться, помимо эле-
ментарных выражений и формул элементарной арифметики, эле-
ментарными выражениями вида а С А, где а — переменная для
чисел, а А — переменная для множеств, а также, наряду с кван-
торами по числовым переменным, допускаются кванторы по пере-
менным для множеств. Формулы, в которых все переменные (для
множеств и чисел) связаны кванторами, называются высказыва-
ниями. Высказывания интерпретируются как утверждения
об обычных сложении и умножении натуральных чисел, причем
числовые переменные пробегают множество N, а переменные для
множеств — совокупность всех подмножеств множества N. Каж-
дое высказывание соответственно истинно или ложно. Например,
высказывание

(VA)[[0 £ А & (Va)[a € А а + 1 £ А]] =Ф (Va)[a € All

(выражающее принцип математической индукции на N) истинно.

Логическая к система, известная как арифметика второго
порядка с переменными для функций, определяется следующим
образом. Основные символы ее суть символы элементарной ариф-
метики, а также переменные для фуцкций одного переменного.
Формулы строятся так же, как в элементарной арифметике, но’
с использованием переменных для функций одного переменного
в качестве дополнительных символов операторов и навешиванием
кванторов как по числовым переменным, так и по функциональным
переменным. (Допускается, конечно, суперпозиция функциональ-
ных переменных.) Формулы, в которых все переменные (как чис-
ловые, так и функциональные) связаны кванторами, называются
высказываниями. Высказывания интерпретируются как утвержде-
ния об обычных сложении и умножении натуральных чисел,
причем числовые переменные пробегают множество N, а функ-
циональные — совокупность всех всюду определенных функции
из N в N. Всякое высказывание истинно или ложно. Например,
высказывание

(Vp)llp(O) = 1] & (Va)lp(a) = 1 => р(а + 1) = IJ] =>

=Ф (Va)lp(a) = UI

(также выражающее принцип математической индукции на N)
истинно.

Следующая теорема вытекает непосредственно из предыдущих
результатов.

Теорема XII. Множество А аналитично <-> А определимо
в арифметике второго порядка с переменными для множеств А
определимо в арифметике второго порядка с переменными для
функций.

Доказательство. Утверждение непосредственно выте-
кает из определения аналитического множества., упр. 15-19 (см.
теоремы 15-XXV и 15-XXVI) и из доказанных в § 15.1 и 15.2 тео-
рем о представлении (теоремы 15-VI (Ь) и 15-XIX (Ь)) 1).и

Далее под арифметикой второго порядка мы будем понимать
арифметику второго порядка с функциональными переменными.
Иногда в литературе арифметику второго порядка называют
теорией чисел второго порядка.

Определим теперь логическую систему, известную под назва-
нием элементарного анализа. Ее основными символами служат
символы элементарной арифметики вместе с переменными для
действительных чисел („действительными переменными"), отлич-
ными от переменных для натуральных чисел. Обозначим бук-
вами ц, Т)!, г]2, Л 3’   • переменные для действительных чисел.
При построении формул разрешается навешивать кванторы как
по действительным, так и по целочисленным переменным. Фор-
мулы, в которых все переменные связаны кванторами, называются
высказываниями. Высказывания интерпретируются как утвержде-
ния об обычных сложении и умножении неотрицательных действи-’
тельных чисел, причем целочисленные переменные пробегают
-совокупность всех неотрицательных целых чисел, а действитель-
ные переменные — совокупность всех неотрицательных действи-
тельных чисел. Каждое высказывание считается или истинным,
или ложным. Например, (Уа)(3т))[т] X ц = а] — истинное выска-

*) Отметим, что теорема ХП остается верной, если в арифметике второго
порядка с переменными для множеств разрешить также пользоваться сим-
волами Аг-местных отношений в Д' и кванторами по этим переменным или
в арифметике второго порядка с переменными для функций разрешить поль-
зоваться символами функций нескольких переменных и кванторами по этим
новым переменным; действительно, рекурсивная функция т пересчета пар
представима в элементарной арифметике и с ее помощью символы отношений
(или функций нескольких переменных) можно заменить символами множеств
.(или функций одного переменного).
зывание (означающее, что из каждого неотрицательного целого
числа можно извлечь неотрицательный действительный квадрат-
ный корень).

Назовем множество А определимым в элементарном анализе^
если существует такая формула Fa элементарного анализа с един-
ственной свободной (целочисленной) переменной а, что А =
= {х | Fx истинно), где Fx для любого целого х означает выска-
зывание, получающееся подстановкой нумерала для х в Fa вме-
сто переменной а. Мы получаем следующую теорему о представ-
лении.

Теорема XIII. А аналитично <=> А определимо в элементар-
ном анализе.

Доказательство. Рассмотрим следующие пять логи-
ческих систем.

8^ — элементарная арифметика с переменными для неотри-
цательных действительных чисел (ц, rji, т]2, • . .), т. е. элементар-
ный анализ.

S2 — элементарная арифметика с переменными для неотрица-
тельных рациональных чисел (г, т\, г2, . . .) и переменными для
неотрицательных иррациональных чисел (£, £1( £2> • • )•

S3 — элементарная арифметика с переменными для неотрица-
тельных иррациональных чисел (£,	. . .).

S4 — элементарная арифметика с функциональными перемен-
ными (р, pi, р2, . . .), в которой, однако, не разрешается строить,
суперпозиции из функциональных переменных.

Sb— элементарная арифметика с функциональными перемен-
ными (р, pt, р2, . . .), в которой разрешено построение суперпози-
ций, т. е. арифметика второго порядка.

(Более детальные определения систем S2, S3 и St формули-
руются так же,ч как приведенные выше определения систем Si и 55.)

Мы покажем, что каково бы ни было множество А, [А определи-
мо в 5J <=> [А определимо в	[А определимо в 53]

<=> [А определимо в 54] <=> [А определимо в 56]. Искомый
результат следует тогда из теоремы XII.

Для каждой пары соседних систем покажем, как формулы
со свободными числовыми переменными одной системы можно
перевести в эквивалентные (относительно интерпретации) формулы
другой системы, также со свободными числовыми переменными.
(Формулой со свободными числовыми переменными мы называем
формулу, все свободные переменные которой — числовые. В част-
ности, высказывания являются формулами со свободными число-
выми переменными.) В каждом случае мы вкратце опишем метод
перевода. В первых шести случаях (т. е. при рассмотрении первых
трех эквивалентностей) предположим, что рассматриваемое выра-
жение представлено в предваренной форме и затем все кванторы
общности (V) заменяются кванторами существования и отрица-
ниями, т. е. V превращается в ~13 П; затем опишем индуктивную
процедуру для манипуляций с самым правым квантором сущест-
вования по переменной, которая должна быть элиминирована.г
(На промежуточных этапах мы будем оперировать со „смешанны-
ми" выражениями, содержащими символы обеих систем.) Доказа-
тельство эквивалентности данного выражения и его перевода
отнесено в упр. 16-11.

(1)	^1 -> S2:

(Зп)М(т]) -> (3r)M(r) V,(3?)W).

S2 —*- Si:

(ЗОМ(С) -> (Зт])[Л/(ц) & (Va)(Vb)[& =# 0 => а b X цП,
(Зг)Л/(г) -► (Зт))[М(т|) & (3a)(3b)[t =/= 0 & а = b X ц]].

(2)	S2 -> S3:

(Эг)М(г) (За)(ЗЬ)[Ь 4= 0 & М(а/Ь)],

где М(а/Ь) — формула, полученная из Л/(г) подстановкой терма
а/Ъ вместо г с последующим избавлением от дробей по обычным
правилам элементарной алгебры в каждой элементарной подфор-
муле (т. е. равенстве).

S3-> S2: тривиально.

(3)	Сопоставим каждой функции / неотрицательное иррацио-
нальное число а следующим образом: [а] (целая часть а) есть /(0),
а а — [а] разлагается в непрерывную дробь /(1) 4- 1, /(2)4- 1, . . .
(см. упр. 15-13). (Последовательные приближения числа а, зада-
ваемые последовательными начальными сегментами функции /,
мы называем приближениями непрерывной дроби, задаваемой
функцией /.) Таким образом, мы получаем взаимно однозначное
соответствие между ер и совокупностью всех неотрицательных
иррациональных чисел.

S3 S4:

(SOW) -> (Зр)М'(р),

где М'(р) получается из М(£) с помощью следующих преобразова-
ний каждой элементарной подформулы (т. е. равенства) формулы
М (£). Пусть 7?(р, а, Ь, с) — формула системы S4, определяющая
(по теореме 15-XIX) рекурсивное отношение {(/, х, у, z) | х/у есть
z-e приближение непрерывной дроби, задаваемой /}. Пусть Ei(t,) =
= 2?2(£) — элементарная подформула формулы М(£). Заменим
^С) = Е2&) на

(Vd) [d =# 0 => (Vci)(3c2)(3c)[c = Cl 4- с2 & (За)(ЗЬ)[Ш а, Ь,с) &
& (3а1)(3а2)[а2	0 &((Et (|) -Я2(|) ) х (|)-^(|))) +

+f-4]]]J.
где ^i(y) и ^2(у) получены формальной подстановкой терма
~ вместо £. Затем воспользуемся правилами элементарной алгебры,
чтобы избавиться от дробей и исключить символ „—“ (с помощью
простейших преобразований).

-> S3:

(Зр)М(р) -> (^)М"(£),

где М"(£) получается с помощью следующих преобразований эле-
ментарных подформул. Пусть 5(£, а, Ь) утверждает, что если
Ъ — 0, то а = [£], а если b > 0, то а + 1 есть 6-й член разложе-
ния в непрерывную дробь числа £ — [£]. Отправляясь от арифме-
тического представления рекурсивных отношений (теорема 14-VI)
и определений из упр. 15-13, легко показать, что S (£, а, Ь) может
быть задано формулой системы S3 (упр. 16-12). Пусть
£(p(i4), . . ., p(ih)) — некоторая элементарная подформула фор-
мулы М(р) с указанными к вхождениями переменной р (/ь . . .
. . ., tk — термы). Заменим E(p(tt), . . ., p(th)) на

(Эа() . . . (3ah)[E(ai, . . ., ah) & S (£, at, ^) & . . , & S (£, aft, fft)|

(где указаны подстановки в S и Е).

(4)	S5: тривиально.

,S'	5 -> 54: суперпозиции функциональных переменных в эле-
ментарных подформулах элиминируются так же, как в следующем
примере:

p(Pi(a) + />(&)) = с -> (Hai) (afeOlai = pi(a) & bt — p(b) &

& p{ai + Ь]) = с].

В случае более сложных суперпозиций эта процедура последо-
вательно выполняется нужное число раз, начиная с самых внеш-
них вхождений функциональных переменных1).

Этим завершается доказательство.-

Пусть даны некоторое фиксированное кодирование (отобра-
жение) высказываний элементарного анализа на N, а также фикси-
рованное кодирование высказываний арифметики второго порядка
на N.

Следствие XIII (а). Множество истинных высказываний элемен-
тарного анализа рекурсивно изоморфно множеству истинных
высказываний арифметики второго порядка.

х) Эта процедура, соединенная с процедурой замены функциональных
символов символами отношений, известна в логике как метод элиминирования
описаний.
Доказательство. Переводы, описанные в доказатель-
стве теоремы, очевидно, отображают истинные высказывания
в истинные, а ложные — в ложные. Отсюда" следует, что множество
истинных высказываний каждой системы 1-сводимо к множеству
истинных высказываний другой системы *). Отсюда по теоре-
ме 7-VI вытекает их рекурсивный изоморфизм.ж

Определение. Рассмотрим некоторое высказывание арифмети-
ки второго порядка, заданное в предваренной форме. Назовем это
высказывание "^-высказыванием, если его префикс есть 2„-пре-
фикс в смысле § 16.1. Аналогично для П„.

Рассмотрим высказывание элементарного анализа, заданное
в предваренной форме. Назовем его S^.-высказыванием, если его
префикс есть 2„-префикс в смысле § 16.1, если при этом кванторы
по переменным для действительных чисел считать кванторами
типа 1, а кванторы по переменным для Натуральных чисел —
кванторами типа 0. Аналогично для Щ.

Следствие XIII (Ь). Существует рекурсивная перестановка,
отображающая истинны е высказывания элементарного анализа
на истинные высказывания арифметики второго порядка, которая
также при всяком п отображает ^п-высказывания элементарного
анализа на "^-высказывания арифметики второго порядка, а П„-
высказывания элементарного анализа — на "[^-высказывания ариф-
метики второго порядка.

Доказательство. Легко проверяется, что S^-выска-
зывания переводятся в доказательстве теоремы в высказывания,
которые при приведении к предваренной форме становятся
высказываниями. Изменения в процессе перевода, связанные
с конструкцией из теоремы 7-VI, приводят к требуемому резуль-
тату (упр. 16-13).ж

Дальнейшие результаты этого параграфа формулируются для
элементарного анализа. Как видно из теоремы XIII и след-
ствия XIII (Ь), эти результаты верны mutatis mutandis и для ариф-
метики второго порядка. Такая „эквивалентность" элементарного
анализа и арифметики второго порядка, описанная в теореме XIII
и ее следствиях, будет широко использоваться в доказатель-
ствах * 2).

!) Автор, конечно, предполагает, что данные кодирования обладают
обычными свойствами эффективности (см. § 1.10), благодаря которым эффек-
тивные (в нестрогом смысле) правила перевода порождают рекурсивные сво-
дящие функции.— Прим, перев.	'

2) Мы не будем касаться вопроса о формальной выводимости в этих
системах (исключая подсистемы некоторой стандартной теории множеств,
см. ниже). Если рассмотреть в арифметике второго порядка подходящий
вариант аксиом Пеано вместе с аксиомами свертывания (все аксиомы] вида
32—0506
Отметим, между прочим, что если мы возьмем элементарную
арифметику и заменим переменные для натуральных чисел пере-
менными для действительных чисел, то мы получим намного более-
слабую систему, чем элементарный анализ; в самом деле, эта новая
система (называемая нами элементарной теорией действительные
чисел) разрешима (как отмечалось в § 2.2.) Отсюда в силу неразре-
шимости элементарной арифметики, а потому и систем S5 и Si
следует, что множество N не может быть определено в элементар-
ной теории действительных чисел. Ниже мы увидим, что множе-
ство истинных высказываний элементарного анализа не является
даже аналитическим.

В связи с теоремой XII отметим, что описанное в теоре-
ме 15-XII явление не может встретиться для аналитических мно-
жеств чисел. Если некоторое множество неявно определимо, то
оно и явно определимо с помощью конструкции, использован-
ной при доказательстве теоремы XI (упр. 16-14).

Приложения к логике1,

Определение. Обозначим через V* множество истинных выска-
зываний элементарного анализа (при некотором фиксированном
кодировании высказываний элементарного анализа натуральными
числами).

Множество V* не является аналитическим. Действительно»
справедлив следующий аналог теоремы 14-Х.

Теорема XIV. V* = Еа.

Доказательство. Сначала аналогичный результат
доказывается для арифметики второго порядка, а затем приме-
няется следствие XIII. Доказательство проводится так же, как
и в теореме 14-Х (упр. 16-15).а

(V ...)(3p)(Va)[p(a) = 0<=> S], где S—произвольная формула, не содержа-
щая р в качестве свободной переменной, а (V. . .) обозначает кванторы общно-
сти по всем свободным в формуле S переменным, отличным от а) и если в эле-
ментарном анализе взяты аналоги этих аксиом, то при этих аксиоматизациях
переводы из теоремы XIII (а потому и рекурсивная перестановка из следствия
XIII (Ь)) сохраняют выводимость в исчислении предикатов. Выражения
„арифметика второго порядка11 и „теория чисел второго порядка11 иногда
используются в литературе для обозначения совокупности высказываний
элементарной арифметики, выводимых из таких аксиом (эта совокупность —
одна и та же для обеих систем). Мы, конечно, пользуемся термином „арифме-
тика второго порядка11 как названием логической системы, именуемой S5 в до-
казательстве теоремы XIII. Более того, мы рассматриваем также высказыва-
ния, содержащие переменные для функций (наряду с высказываниями эле-
ментарной арифметики), и занимаемся истинными высказываниями, а не вы-
водимыми из некоторой системы аксиом.
Определение. Обозначим через V* множество всех истинных
Si-высказываний элементарного анализа. (В частности, Vo =
v *).)

Следствие XIV. VJ == Еп при всяком п > 0.

Доказательство. В первой части доказательства тео-
ремы (подобно доказательству теоремы 14-Х) применение правил
преобразования кванторов из теоремы III непосредственно приво-
дит к тому, что для любого числа (х, п) существует соответствую-
щее Х^-высказывание, истинное тогда и только тогда, когда х £ Еп.
Отсюда следует, что Еп V*. Во второй части доказатель-
ства устанавливается, что V* Еп. Поэтому V% = Еп (см. упр.
16-16). и

Следствие XIV сильнее соответствующего результата для ариф-
метической иерархии (следствия 14-Х). Поэтому аналоги теорем
14-XI, 14-ХП и 14-ХШ могут быть доказаны проще (а для тео-
ремы 14-XI и в более сильной форме). Мы даем лишь формули-
ровки, оставляя доказательства в качестве упражнений. Эти
результаты относятся к дальнейшему обобщению теоремы Гёделя
о неполноте. Используемая нами ниже терминология введена
в § 14.7.

Теорема XV. Пусть дана некоторая семантически непротиворе-
чивая аксиоматизация элементарного анализа. Тогда для всякого
п существует такое Ъп-высказывание Fn, что ни для какого т п
не существует -высказывания. эквивалентность которого выска-
зыванию Fn была бы доказуема. Существует равномерная процедура,
дающая по каждому п соответствующее Fn.

Доказательство. См. упр; 16-17.в

Следствие XV. Пусть даны некоторая семантически непроти-
воречивая аксиоматизация элементарного анализа и некоторое
множество А истинных высказываний, А £ 2Д. Тогда существует
истинное Т.\+1-высказывание, не выводимое (при данной аксиомати-
зации} из множества А.

Доказательство. См. упр. 16-17.ш

Возьмем теперь, как и прежде, систему аксиом ZF теории мно-
жеств. Высказывания элементарного анализа могут быть отожде-
ствлены с некоторыми высказываниями теории множеств. Назовем
совокупность всех высказываний элементарного анализа, соответ-
ствующих при этом вложении доказуемым высказываниям теории

*) Эти множества различны, так как V определено для кодирования
высказываний элементарной арифметики натуральными числами, a 7J —
для кодирования высказываний элементарного анализа.
множеств, теоретико-множественным анализом х). Семантическая
непротиворечивость теоретико-множественного анализа может
быть выражена внутри теории множеств, так как в теории мно-
жеств определимо множество Е®.

Определение. Высказывание теории множеств называется ана-
литически выразимым, если в ZF может быть доказана его экви-
валентность ^некоторому высказыванию элементарного анализа.

Определение. Обозначим |Через Si’ZF множество всех выска-
зываний теории множеств, эквивалентность которых ^-высказы-
ваниям элементарного анализа доказуема в ZF. (Так что в обоз-
начениях гл. 14 Sj’ZP = и S„F.) Аналогично определяются
.	п=0

ГТ1  ZF

Используя фиктивные кванторы, получаем, что для всех п
у 1, ZF । I TT 1» ZF   у 1» ZF га TT 1»

Приходим теперь к следующему аналогу теоремы 14-XII.

Теорема XVI. Если теоретико-множественный анализ семан-

,	K<i,ZF rri.ZF

тически непротиворечив, то при [всяком п в Zn+i — Ып+1
(а потому и в — S*’+z/7) существуют] высказывания тео-
рии множеств.

Доказательство непосредственно следует из теоре-
мы VIII и следствия XIV.и

В теореме 14-ХШ мы построили (в предположении, что систе-
ма ZF непротиворечива) не выразимое арифметически высказы-
вание теории множеств. Так как множество V аналитично,
легко показать, что конкретное высказывание, указанное в том
доказательстве, аналитически выразимо. Однако, используя тот же
метод доказательства, мы можем получить следующий результат.

Теорема XVII. Если система аксиом ZF теории множеств
непротиворечива, то существует не выразимое аналитически
высказывание теории множеств.

Доказательство. См. упр. 16-18.я

Неполнота анализа относительно любой аналитической аксио-
матизации (следствие XV выше) представляет особый интерес

*) Мы применяем эту терминологию для краткости. Более точным назва-
нием, допускающим меньше разночтений,'было бы „теоретико-множественный
элементарный анализ" или „теоретико-множественная арифметика второго
порядка". Наше сокращение неоправданно общо; в элементарном анализе,
как мы его определили, нельзя, например, говорить о множествах действи-
тельных чисел.
ввиду чрезвычайно неконструктивной природы аналитических
множеств более высоких уровней, чем Д’ (см. замечания о Д’
в § 16.1).

Из результатов об элементарном анализе получаются резуль-
таты, касающиеся чистой логики. Если мы будем интерпретиро-
вать и „ х“ как не имеющие жесткой интерпретации символы,
а „0“ и „1“ как не имеющие жесткой интерпретации символы чисел,
все остальные нумералы п будем представлять как(. . .((!-[-1)-|-
+ 1 . .	1) (п раз) и примем при этом семантические согла-

шения чистой логики второго порядка (т. е. будем считать, что для
всякой непустой области й?, которую пробегают числовыеАпере-
менные, функциональные переменные пробегают совокупность
всех отображений области в 3), то можно указать такую
формулу Р, что для любого высказывания F арифметики вто-
рого порядка [Р => F] есть универсально истинная (общезна-
чимая) формула логики второго порядка' тогда и только тогда,
когда F — истинное высказывание арифметики второго’ порядка.
(Достаточно взять в качестве Р конъюнкцию подходящих вариантов
аксиом Пеано; эта конъюнкция может быть сделана конечной,
потому что принцип индукции, приведенный в начале этого
параграфа (как пример высказывания арифметики второго порядка)
теперь допустим.) Теорема о неполноте чистой логики второго
порядка вытекает теперь из теоремы XV. В действительности
мы получаем даже, что множество всех истинных высказываний
чистой логики второго порядка не является аналитическим’).

Если мы откажемся от семантических соглашений логики вто-
рого порядка и вместо этого разрешим моделиДт. е. семантической
интерпретации) содержать (i) произвольную* непустую совокуп-
ность объектов 3, которую пробегают числовые переменные,
и (ii) произвольную? непустую совокупность 3' отображений
из 3 в 3, пробегаемую! функциональными переменными* 2), то
окажется возможным получить интерпретации, в которых все
истинные высказывания арифметики второго порядка выполняют-
ся, но 3 т\3' оказываются?счетными множествами. Такие интер-
претации называются счетными моделями (для истинных выска-
зываний арифметики второго порядка). (При?! построении всякой
такой модели задается некоторое сопоставление символам „+“
и „Х“ некоторых отображений из 3 X <25 в 3 и сопоставление
символам „0“ и „1“ некоторых элементов совокупности 3. Как

*) Чистая логика второго порядка определяется и рассматривается
у Чёрча [1956, гл. 5].	Г

2) Это означает (в действительности), что мы принимаем семантические
соглашения логики (предикатов) первого порядка и интерпретируем выска-
зывания арифметики второго порядка как высказывания двусортной
системы первого порядка.
и раньше, мы представляем нумерал п (га>1) как (. . .((1 -|-1) +
+ 1) + . . . + 1) (га раз).)

Интерпретация, в которой выполняются все истинные выска-
зывания арифметики второго порядка и в которой SL есть множе-
ство N, а „0“, „1“, и „ х “ интерпретируются обычным обра-
зом, называется ы-моделъю (для истинных высказываний арифме-
тики второго порядка). В упр. 16-20 мы обнаружим существование
счетных w-моделей для истинных высказываний арифметики вто-
рого порядка.

§ 16.3. ДЕРЕВЬЯ С КОНЕЧНЫМИ ПУТЯМИ1)

Функциональное дерево было определено в упр. 9-42 и рас-
сматривалось потом в § 15.2 при изучении открыто-замкнутых
классов. В этих рассмотрениях использовались также понятия
поддерева, ветви, подветви и дерева с конечными путями. Деревья
с конечными путями будут играть важную роль в нашем исследо-
вании аналитической иерархии.

Напомним, что функциональное дерево есть совокупность
всех кортежей натуральных чисел, упорядоченная отношением
„быть начальным отрезком кортежа". Далее (в отличие от преды-
дущего) мы будем трактовать это отношение как т. е.
а Ъ <=> а есть начальный отрезок кортежа Ъ <=> а „выше"
Ъ <=> Ъ „ниже" а. (Таким образом, мы представляем себе дерево
„растущим вниз11.)

В дальнейшем, говоря о деревьях, мы подразумеваем поддере-
вья дерева J*. Образующие его кортежи называются элементами
или вершинами. Всякое непустое дерево имеет 0, пустой кортеж,
своей наибольшей вершиной. Если у дерева есть минимальные
вершины, то иногда мы называем их заключительными вершинами.

Проиллюстрируем нашу терминологию следующими приме-
рами. 4

Пусть Л] состоит из всех кортежей натуральных чисел.

Пусть Л2 состоит из 0 (пустого кортежа) и всех кортежей,
построенных из нулей, т. е. Л2 = (0, (0), (0, 0), (0, 0,0}, . . .}.

Пусть Лз состоит из 0, (0}, {0, 0} и {0, 0, 0).

Пусть Л 4 состоит из 0, <0, 0> и <0, 0, 0>.

Пусть Лз состоит из 0 и всех кортежей вида ^га, га Ч- 1, ...
. . ., т}, 0 га, га гаг 2га.

Пусть Ле имеет 0 своим единственным элементом.

Пусть Л? пусто.

Деревьями здесь будут Ль Л2, Л 3, Л6, Ло и Л7; Л4—не дерево,
так как в нем отсутствует вершина (0). Л1 есть дерево J*. Каж-

!) В оставшихся параграфах этой главы временами предполагается неко-
торое знакомство с понятием конструктивного ординала и с системой обозна-
чений О (§ 11.7 и 11.8).
дое дерево есть поддерево самого себя. Далее, Л21Л31 Лы и
являются поддеревьями дерева Акр, Ак-з, Ак& и ,^7 — поддеревья
дерева ^2; Ак6 и .4? — поддеревья дерева ^5; наконец. Aki —
поддерево дерева Акъ- Ак\ имеет 2No бесконечных ветвей — по одной
ветви на каждую бесконечную последовательность натураль-
ных чисел (т. е. по одной ветви на каждый элемент совокуп-
ности jF)- Дерево ^2 имеет единственную бесконечную ветвь,
соответствующую функции Хх[0]. Дерево Ак$ имеет единственную
ветвь, которая конечна и является подветвью ветви дерева Л г-
Дерево имеет х0 ветвей, причем все они конечны. У Акъ —
только одна ветвь; эта ветвь является подветвью всех ветвей дере-
вьев Л1, Лг, Яз, -Аз и ^6. Дерево Aki имеет единственную ветвь;
эта ветвь пуста и является подветвью всех ветвей всех деревьев.
^3, Акъ, Ак& и — деревья с конечными путями; и Лг не
являются таковыми.

Обозначения. Деревья будут обозначаться буквами т, t0, т17 ... .
Всюду ниже из контекста будет ясно, обозначает символ „т“ дере-
во или функцию пересчета пар из § 5.3.

Для кодирования вершин мы будем пользоваться кодовыми
числами соответствующих кортежей. Именно, для любых / и х
кодовым числом (х + 1)-й вершины, принадлежащей ветви функ-
ционального дерева, определяемой функцией /, будет служить
/(я). В частности, /(0) есть код наибольшей вершины 0. (Напом-
ним, что для всех / имеем /(0) =0.)- Для различных целей мы
будем отождествлять вершины с кодовыми числами кортежей,
а деревья — с некоторыми множествами кодовых чисел. Заметим,
что дерево т является деревом с конечными путями тогда и только
тогда, когда (V/)(3x) [вершина (закодированная посредством)
/(z) не принадлежит т].

Ординальные числа могут быть использованы для классифика-
ции деревьев с конечными путями. Пусть дано дерево т с конеч-
ными путями. Если т не пусто, определим на вершинах т функцию
от, значениями которой будут ординальные числа, следующим
образом.

Если а — минимальная вершина дерева т, то положим от (а) =
= 1.

Если а не минимальна в т, то от (а) = наименьшей ординал,
больший всех ординалов в множестве {от(&) | Ь Е J?}, где $ —
= {Ь | b расположена ниже а в т).

Легко показать (пользуясь конечностью путей в т), что это
индуктивное определение задает единственную функцию на дере-
ве т. Ординал, сопоставленный функцией от наибольшему элемен-
ту т, называется ординалом дерева т и обозначается о(т). Если т
пусто, мы полагаем его ординал равным 0. Заметим, что если
Tj с т2, то o(Tj) о(т2). В приведенных выше примерах о (^73) =
= 4, о(^5) = (и, о(^6) = 1 и о(^7)=01 2 * * *).

Какие ординалы таким способом сопоставляются деревьям?
Заметим сначала, что для фиксированного дерева т с конечными
путями любой ненулевой ординал, меньший о(т), появляется как
значение функции ot (упр. 16-23). Поэтому, так как множество
вершин дерева т но более чем счетно, о(с) должен быть счетным
ординалом. Обратно, всякий счетный ординал является ординалом
некоторого дерева с конечными путями. Чтобы доказать это, допу-
стим, что а — некоторый счетный ординал. Для каждого предель-
ного порядкового числа р, Р а, выберем некоторую фиксиро-
ванную фундаментальную последовательность, имеющую р своим
пределом. Сопоставим ординалы вершинам функционального-
дерева следующим образом. Если а 0, сопоставим а наибольшей
вершине функционального дерева. Пусть ординал у сопоставлен
некоторой вершине а. Если у = р + 1 и ру=О, поставим р
в соответствие каждой из (бесконечно многих) вершин, лежаших
непосредственно ниже вершины а. Если же у — предельный
ординал, мы сопоставляем ненулевые элементы выбранной ранее
для у фундаментальной последовательности порядковых чисел
элементам (бесконечной) последовательности вершин, лежащих
непосредственно ниже а. Рассмотрим те вершины, которым опи-
санной индуктивной процедурой сопоставлены некоторые орди-
налы. Легко видеть, что они образуют дерево т с конечными путя-
ми, причем о(т) = а (упр. 16-24). Итак, доказана следующая

Теорема XVIII. (а) Для каждого дерева т с конечными путями
существует такой счетный ординал а, что о(г) = а.

(Ь) Для каждого счетного ординала а существует такое дерева
т с конечными путями, что о(т) — а.

Доказательство. См. приведенное выше рассужде-
ние *)•

Для деревьев с конечными путями можно естественным обра-
зом определить операции сложения и умножения. Мы дадим эти
определения неформально. Пусть Tj и т2 — деревья с конечными
путями. (1) Дерево Тц + т2 — по определению дерево с конечными

’) Для некоторых целей (при трактовке понятия дерева с конечными
путями как обобщения понятия ординального числа) было бы удобнее огра-
ничиться рассмотрением непустых деревьев и определять от, полагая от(а) =
= 0 на минимальных вершинах а Мы не делаем этого, потому что хотим
включить пустое дерево в число деревьев с конечными путями.

2) Деревья с конечными путями позволяют наглядно представлять себе

ординалы. В частности, иногда легче представлять себе такие ординалы, как

со, со6' и е0, и работать с ними с помощью деревьев с конечвымп путями, а не-

с помощью полных упорядочений.
путями, получающееся „присоединением" к каждому заключитель-
ному элементу дерева т2 копии дерева Тр (2) Дерево Tj'Tg —
по определению дерево с конечными путями, получающееся в ре-
зультате „вставки" по одному экземпляру дерева в каждую вер-
шину дерева т2. Эти операции согласуются с обычными операция-
ми сложения и умножения для ординалов; o(Xi (- т2) —
= o(ti) Ч-о(т2) и о(т, -т2) = о(т,) -о(т2) (упр 16-25).

Определение. Пусть даны натуральное число п и кодовое чис-
ло у кортежа («л, . . ук}. Тогда п ® у есть по определению
кодовое число кортежа {п. yf, . . ук) т).

Определение. Пусть т — некоторое дерево; им отростком
дерева т назовем дерево, состоящее из всех таких кодовых чисел у,
что п © у принадлежит дереву т. (В примерах из начала этого
параграфа всякий отросток дерева dt есть само все отростки
^21 креме 0-го, который есть само 2, пусты; всякий отросток Л 3,.
кроме 0-го, который есть {0, {0}, {0, 0)}, пуст; все отростки Л в
И Л.1 пусты.)

Для некоторых видов индуктивных рассуждений полезно уметь
сводить вопросы о свойствах деревьев с конечными путями к воп-
росам об их отростках. Б следующей комбинаторной лемме мы
показываем, как можно сраьнпвать ординальные размеры деревьев
с конечными путями с помощью подходящего сравнения орди-
нальных размеров их отростков.

Основная лемма о деревьях. Пусть т4 и т2 — деревья
с конечными путями. Тогда

°(Ti) < о(т2) <=?> [Го(т±) = 0 & о(т2) = 1] V (Э отросток сг2 дерева
т2) (V отросток Oj дерева iCi)Io(<Ti) < о(сг2)1 ] <=>
1с»(т2)	0 & [о (tj) = О V (3 отросток о2 дере-

ва т2) (V отросток щ дерева т^) lofoy) < о(ст2)]]].

Доказательство. См. упр. 16-26.и

Всякое дерево можно рассматривать как совокупность кодовых
чпеел кортежей. Характеристическая функция этого множества
кодовых чисел называется характеристической функцией данного
дерева.

Определение. Пусть т — дерево. Назовем т рекурсивным дере-
вом, если его характеристическая функцпя рекурсивна.

х) Если, в частности, у — кодовое число пустого кортежа, то п ® у
есть кодовое число кортежа (п). В § 13.7 мы определили п ® / для нату-
рального г. и функции /. Эти два определения связаны так: п ® (/(а:)) —
= (».® /)(* + 1).
Если <pz — характеристическая функция дерева т, то, очевид-
но, %yl<pz(n ® г/)] — характеристическая функция n-го отростка
дерева т, и некоторый индекс этой характеристической функции
может быть найден равномерно по z и п.

Определение. Пусть Ъ—некоторая (фиксированная) общерекур-
сивная функция, такая, что <рь(П1 z) = Хг/[<р2(га ® у)] при всех п и z.

Определение. Т = {z | <рг есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями}.

Можно считать, что элементы множества Т суть „обозначения11
рекурсивных деревьев с конечными путями (наподобие „обозначе-
ний“ рекурсивных ординалов, рассмотренных в упр. 11-61).

Определение. Для z € Т положим tz—дерево, определяемое
функцией <р2, а || z || = o(rz).

Какие ординалы соответствуют рекурсивным деревьям с конеч-
ными путями? На этот вопрос отвечает следующая

Теорема XIX. (Д) Для всякого рекурсивного дерева х с конечными
путями существует такой конструктивный ординал а., что
о(т) = а.

(Ь) Для всякого конструктивного ординала а существует такое
рекурсивное дерево х с конечными путями, что а = о(т).

Доказательство, (а) Пусть г — произвольное дерево.
Каждая вершина дерева х есть кортеж. Линейно упорядочим эти
кортежи следующим отношением: положим а < Ъ, если Ъ — соб-
ственный начальный отрезок кортежа а или (если ни а, ни Ъ
не являются начальными отрезками друг друга) если первый
элемент кортежа а, отличный от соответствующего элемента кор-
тежа Ъ, меньше, чем этот элемент кортежа Ь. Например, (О, 4,
7, 9} меньш^, чем (0, 4), а (0, 3) меньше, чем {0, 4, 7, 9). Это упо-
рядочение дерева т известно как упорядочение Клини — Брауэра.
Легко показать, что упорядочение Клини — Брауэра является
вполне-упорядочением тогда и только тогда, когда х — дерево
с конечными путями, и что ординал упорядочения Клини — Брау-
эра больше или равен о(т) (упр. 16-27). Предположим, что х —
рекурсивное дерево с конечными путями. Тогда упорядочение Кли-
ни — Брауэра дерева т есть рекурсивное вполне-упорядочение
(упр. 16-27). Поэтому его порядковый тип есть рекурсивный
ординал, а значит, по теореме 11-ХХ конструктивный ординал.
Поэтому и о(т) — конструктивный ординал.

(Ь) Если а = 0, то возьмем в качестве т пустое дерево, оче-
видно рекурсивное.

Пусть теперь а — ненулевой конструктивный ординал. Возь-
мем некоторое обозначение ординала а в системе обозначений О
из § 11.7. Всякое предельное обозначение в системе О эффективно
и однозначно определяет некоторую фундаментальную последо-
вательность обозначений. Если мы теперь построим дерево с конеч-
ными путями, использованное при доказательстве пункта (Ь)
из теоремы XVIII, то увидим, что это дерево рекурсивно
<упр. 16-28). и

Можно определить и другие виды „эффективных11 деревьев
с конечными путями. Мы упомянем здесь о двух таких подходах:
(1) назовем дерево с конечными путями рекурсивно перечислимым,
если его вершины (т. е. кодовые числа соответствующих кортежей)
образуют рекурсивно перечислимое множество; (2) назовем дерево
т с конечными путями строго рекурсивным, если существует такая
общерекурсивная функция h, что h(x) — 2, если х есть незаклю-
чительная вершина (точнее, ее кодовое число) дерева т, h(x) = 1,
если х — заключительная вершина дерева т, и /г(х) = 0, если х
не есть вершина дерева т. „Рекурсивные11 деревья с конечными
путями, упоминавшиеся в § 15.2, суть в действительности строго
рекурсивные деревья. Легко показать, что существуют рекурсив-
но перечислимые, но не рекурсивные деревья с конечными путями
и что существуют рекурсивные деревья с конечными путями,
не являющиеся строго рекурсивными. Также легко показать, что
все три определения приводят к одним и тем же ординалам,
именно к конструктивным ординалам (упр. 16-29).

Какова степень множества Т? Каково ее положение в аналити-
ческой иерархии? Мы ответим на эти вопросы следующей теоремой.

Теорема XX. Множество Т есть полное А}-множество, т. е.
(УЛ)[Л 6 П} <=> А ёС , 71] (и потому Т = Е1).

Доказательство. Покажем сначала, что Т есть nj-
множество. Заметим, что <pz — характеристическая функция неко-
торого дерева <^>[(Va:)[<pz(a:)=OV<pz(^)=l] & (V^)(Vy)[[<pz(p) = 1&
вершина (соответствующая кодовому числу) х есть началь-
ный отрезок (т. е. лежит выше) вершины (соответствующей
кодовому числу) у] <pz(x) = 1]]. Применяя алгоритм Тар-
ского — Куратовского, находим, что существует такое рекурсив-
ное отношение С, что <pz — характеристическая функция некото-
рого дерева <=> (Vx)(3i/)C(a:, у, z). Итак, мы имеем z £ Т <=>
<=> (Уя)(Эг/)С(;г, у, z) & (V/)(Эх)[q?z(/(az)) = 0]. Поэтому с помо-
щью алгоритма Тарского — Куратовского получаем Т 6 П}.

Остается показать, что А Т для всякого А Е П}. Пусть
А Е П}. Тогда по теореме V А = {х | (V/)(3ip)7’*, i(z, /(^), %)} при
некотором z. Пусть дано х. Определим функцию ф следующим
образом:

(1, если T’J, 1 (z, у,
ф(у) = (

( (J в противном случае.
Из определения отношения Т* следует, что ф — характеристи-
ческая функция некоторого дерева. Более того, ф общерекурсивна,
и ее индекс эффективно зависит от х. Возьмем такую взаимно одно-
значную общерекурсивную функцию h, что ф = фщх). Тогда х Е
g А <=?- ф есть характеристическая функция некоторого дерева
с конечными путями <=> h(x) 6 Т. Поэтому A Т посредством,
функции h. в

Следствие XX. (а) Существует такая общерекурсивная функция-
f* двух переменных, что для всякого z множество с Щ-индексом z
l-сводится к Т посредством функции Kx[f*(s, ж)].

Доказательство. Индекс функции ф, получающийся
из доказательства теоремы, равномерно зависит от z и х.я

Следствие XX. (Ь) Множества О и W, определенные в § 11.7
и упр. 11-61, Неполны. Поэтому Т == О = W.

Доказательство. В § 16.1 мы показали, что W Е Щ.
Поэтому W Т. В упр. 16-27, используя упорядочение Клини —
Брауэра, мы покажем, что Т W. В упр. 11-61 показано, что>
О == W. Поэтому Т = О = W, и все три множества Неполны. в

Из теоремы об иерархии вытекает, что ни одно из этих трех
множеств не гиперарифметично (и тем более не является арифме-
тическим).

Мы воспользуемся рекурсивными деревьями с конечными путя-
ми при изучении П^-множеств, гиперарифметических множеств и
Дг-множеств. При доказательстве теоремы XX мы видели, каким
образом произвольная предикатная форма nj-множества сопостав-
ляет рекурсивные деревья с конечными путями элементам этого
П}-множества. В следующем параграфе мы увидим, что степень
неразрешимости Щ-множества зависит от ординалов, задаваемых
этими деревьями с конечными путями.

В заключение дадим следующее

Определение. Для любого ординала а положим Та = {z | z Е
Е Т & ||ZH < “}•

Заметим, что а < р =Ф Та с Гр, что а не конструктивен тогда
и только тогда, когда Та = Т, и что Та является цилиндром при
всяком а.

§ 16,4. П}-МНОЖЕСТВА И Д ^-МНОЖЕСТВА

В этом параграфе мы получим некоторые фундаментальные
результаты относительно Д}-множеств и П'-множеств.

Первым эти результаты получил Спектор (используя главным
образом рекурсивные ординалы, а не рекурсивные деревья с ко-
нечными путями).
Определение. Пусть А Е Аф Назовем w = (и, и) А\-индексом
множества А, где и — некоторый SJ-индекс множества A, a v —
некоторый его П*-индекс.

Теорема XXL Для всякого конструктивного ординала а имеем
Та Е А}. Более того, этот результат верен равномерно в следую-
щем смысле: (3 общерекурсивная g) (Vz) [z Е Т => g(z) есть А\-индекс
множества Гцгц].

В доказательстве теоремы XXI используется теорема о рекур-
сии. Применение теоремы о рекурсии в этом доказательстве, а так-
же в некоторых следующих ниже доказательствах оформлено
в виде леммы, называемой нами леммой о рекурсии. Она обобщает
упр. 11-33. Один из вариантов этой леммы содержится у Роджер-
са [1959а!; приводимый ниже вариант леммы имеется у Эндерто-
на [1964].

Определение. Будем говорить, что частичное упорядочение
удовлетворяет условию минимальности, если всякое непустое
подмножество этого частичного упорядочения имеет минималь-
ный элемент (или, эквивалентно (при наличии аксиомы выбора),
если в нем нет бесконечных убывающих цепей).

Лемма о рекурсии. Пусть S cz N частично упорядочено отно-
шением < s, где <Zs — частичное упорядочение с условием минималь-
ности. Для всякого у Е S положим Sv = {x\x<Zs У}- Пусть
Re N2 — некоторое данное '"'отношение. Для всякого S' с S
назовем функцию ср удовлетворительной на S' (относительно R),
если <р определена по крайней мере на S' и (Vz)[z Е S' =>
R(x, ф(х))]. Предположим, что существует такая частич-
норекурсивная функция т] двух переменных, что при любом у Е S
и любом z имеем [ф2 удовлетворительна на Sy => [r](z, у) опре-
делено и R(y, r|(z, у))]]. Тогда существует частичнорекурсивная
функция ф, удовлетворительная на S (ua fortiori (Vz)[z Е *$ =>
=> (3w)R(x, ip)]).

Замечание о мотивировке. В применениях R будет отношением,
для которого мы хотим доказать, что (Vz)[z Е 5 =£ (lw)R(x, ш)1.
Например, в теореме XXI в роли S выступает Т, a R есть
{{х, w) | ж Е т & Тц Х|| Е А} & w есть ^-индекс множества Тцхц}.

Доказательство леммы о рекурсии. Возь-
мем такую общерекурсивную функцию g, что для всех z

<Pg(z) = Mt](z> у)].

По теореме о рекурсии найдем такое z0, что <p2(j = <Pg(Z0) =
= %y[r](z0, у)]. Мы утверждаем, что ф2о и есть искомая функция ф.

Допустим противное. Тогда множество (х | х Е & [ф2о(х)
расходится или R(x, ф2о(х)) ложно}} должно иметь минимальный
элемент у0. Но q>Zo удовлетворительна на SVti, и в силу свойстн
функции Т] T](z0, Уо) сходится и 7?(у0, Т](z0, УоУ)- А так как <р2о(г/0) =
= ц(г0, у о), получаем противоречие. в

Отсюда непосредственно вытекает

Следствие леммы о рекурсии. Если т] (из леммы) — общерекур-
сивная функция, то можно выбрать и ф общерекурсивной.

Доказательство. Непосредственно. и

Заметим, что в лемме о рекурсии индекс функции ф равномер-
но зависит от индекса функции ц. Отсюда тривиально вытекает,
что если функция т] эффективно зависит от некоторых целочислен-
ных параметров, то лемма верна равномерно относительно этих
параметров (упр. 16-30).

Доказательство теоремы XXI. Лемма о рекур-
сии применяется следующим образом. Возьмем Т в качестве S,
а за отношение <s примем {{х, у) | х £ Т & у Е Т & || х || <
< || у II). (Тогда для любого у Е Т справедливо Sy = Гнуц-) Оче-
видно, что <s — частичное упорядочение с условием минималь-
ности. Возьмем в качестве R (как уже отмечалось) отношение
{{х, w) | х Е Т & Гцжц Е А) & и> есть ^-индекс множества Тцжц}.
Остается убедиться в выполнении индуктивного предположения
леммы о рекурсии, т. е. указать частичнорекурсивную функцию тр
Напомним, что для любых и и у, если ц>у — характеристическая
функция дерева т, то Фь<п, у) — характеристическая функция п-го
отростка дерева т.

Пусть дано у Е Т, и предположим, что мы имеем такое z, что
<pz(z) есть Афиндекс множества Гц «if для всякого х Е Sy(— Гцуц)
(а потому Л1<рг(ж) есть 2)-индекс Тцжц, a n2<pz(x) есть Щ-индекс
T’i! х||). (Т. е. предположим, чтофункция <р2удовлетворительна на Sy.)

По основной лемме о деревьях для у Е Т

X Е Т|| у|, <=> lx Е т & II X II < II у ||] <=>

<=> [И [|| у || = 0] & [[я Е Т & || х || = 0] V (х Е Т &

& (3m)(Vn)lb(n, х) Е Т\\ b(m, у)и ]]]]<=>

<=> [<Ру(О) = 1 & [(Vu)[<px(u) = 0] V 1фх(0) = 1 &

& (3m)(Vn)[b(n, х) Е Г||Ь(п1,у)||]]]]-

(Напомним, что 0 — кодовое число наибольшей вершины функ-
ционального дерева.)

Если теперь || у || =И= 0, то (Vwi)[b(m., у) Е Т’пупГ» поэтому
по предположению для любых п, m и х

Ъ(п, х) Е 7’[|ь(’п.»)|| <=> (3/)(Vip) И И, i(ni<pz(b(m, у)), f(w),
b(n, х)) <=>

<=> (\//)(Зш)П, i(n24>z(b(m, у)), f(w), b(n, (х).
Так как любое из двух последних выражений может быть под-
ставлено в заключительное из полученных выше выражений для
х Е Тц^ц, получаем с помощью алгоритма. Тарского — Куратов-
ского, что Тцуц € А}.

Если || р || = 0, то с помощью тех же подстановок вновь полу-
чаем Тц уц С Д}, поскольку (i) и £*-форма, и ГЦ-форма, получае-
мые в результате вычислений по Тарскому — Куратовскому,
представляют пустое множество (в силу условия <ру(0) = 1)
и (ii) Гцуц в действительности представляет собой пустое мно-
жество.

Поэтому в силу утверждения о равномерности из теоремы IV
мы находим Дфиндекс множества Гцун равномерно по z и у.
Пусть т], — частичнорекурсивная функция, дающая этот индекс
по z и у. Функция т] удовлетворяет предположениям леммы о ре-
курсии. В действительности легко видеть, что можно выбрать
функцию т] всюду определенной, а тогда применяется следствие
леммы о рекурсии. Этим теорема XXI доказывается полностью. в

Обратное утверждение, что А есть Дрмножество тогда и только
тогда, когда (3 конструктивный ординал а) [А Та], следует
из теоремы XXII. Теорема XXII — основной результат этого
параграфа. Вспомним, что, согласно теореме XX, для любого
множества А справедливо А Е П} <=> A Т. Теорема XXII
утверждает, что если А Т, то А Е AJ тогда и только тогда,
когда образ А в Т ограничен (некоторым конструктивным ордина-
лом).

Теорема XXII (теорема об ограниченности). Пусть h — такая
общерекурсивная функция, что (Va:)[a: Е А <=> h(x) Е Т\. Тогда
ЛЕД] <=> (3 конструктивный ординал a) (Vrr)[a; Е А => ||/г (х) ||<а].

Доказательство. <=. Если такой ординал а сущест-
вует, то А = {ж | h(x) Е Та). Но Та Е А] по теореме XXI; поэтому
и А Е А}.

=>• Предположим, что такого конструктивного ординала а
не существует. Тогда Т — {z | (Зх)[ж £А &z Е Гц hM ц1). Пред-
положим, что А Е А}; тогда А Е 2} и, применяя теорему XXI
и алгоритм Тарского — Куратовского, получаем, что Т Е 2}
в противоречие с теоремой XX.ш

Следствие XXII (а). А Е А}<^> (3 конструктивный ординал а)
[Л Та1 <=> (3 конструктивный ординал а) [Л TJ.

Доказательство. Первая эквивалентность непосред-
ственно вытекает из теорем XXI и XXII. Во второй эквивалент-
ности => тривиально. Чтобы доказать <=, допустим, что Л	Та. ,

Тогда Л (Тау. По теореме X (Та)' Е А}- Поэтому (ТаУ	Гр

для некоторого конструктивного ординала ри Л Тр.^
В следствии (Ь) мы показываем, что для А Е А} ограничиваю-
щий ординал из теоремы XXII может быть найден равномерно
(по Д}-индексу для А).

СледствиеJXXII (Ь). (3 общерекурсивная функция g) (VA)
(Уш)[[А € А}&А имеет. \\-индекс ш! =>[g(w) С Т & А Тцв(ш)||]]«

Доказательство. Пусть А € А} и w = {и, и} есть Д}-
индекс множества А.

Пусть W? при всяком z обозначает П}-множество с П}-индек-
сом z. Тогда Е1 = {z | z $ IV}}, где Е1 определено в § 16.1. Пусть
р — такая рекурсивная перестановка, что р(7’)=Е1 (такое р
существует, так как множества Т п Е1 оба SJ-полны).

Поскольку А С Д}, существует такая общерекурсивная фун-
ция /, что A Т посредством /, причем индекс функции / может
быть найден равномерно по у (следствие XX (а)). Рассмотрим мно-
жество В — {z \ (Зге)[ге € А & z £ Тцу(Ж)и]}. По предположению
ACS}. Поэтому, согласно теореме XXI, В 6 S}, и его Е}-индекс
равномерно находится по и и v. Значит, р(В) С П} с П}-индексом
q, который находится равномерно по и и и. Итак, р(В) = Wq.
Поскольку В с Г, имеем р(В) zz’E1. Поэтому по определению
множества Е1 q С Wq и q $ Е\ Значит, р-1(<?) С В & p-1(gr) € Т.
Далее, р-1(д) находится равномерно по и л v. Пусть g' — общере-
курсивная функция, дающая р-1(?) равномерно по w = (и, и).
Тогда наше построение показывает, что множество А 1-сводится
к ^11 g' («О П4-1 функцией/.

Положим для произвольного у

[ <py(s), если г = п ® s для некоторого п,
ф(г) = {

11 в противном случае, т. е. при г = 0.

Пусть h — такая общерекурсивная функция, что ф =
при всех у. Если у С Т, то h(y) С Т и, как легко проверяется,
II Ы.У) || = III/ 11 + 1-	, " '

Положим теперь g = hg', и доказательство окончено.а

Доказывая последнее следствие, мы превратили доказатель-
ство теоремы XXII, основанное на сведении к противоречию,
в конструктивное доказательство, воспользовавшись свойством
«продуктивности" множества Е1 (а потому и Т), неявно содер-
жащимся в определении Е1. Аналогичные варианты теоремы
XXII имеют место для W и О (упр. 16-32).

Основными комбинаторными средствами, использованными при
доказательстве теоремы XXII, были правила преобразования
кванторов, содержащиеся в теореме III. Читатель еще более убе-
дится в силе этих правил, если, например, попытается с помощью
прямого рассуждения относительно деревьев доказать, что (V
конструктивный ординал а) (3 конструктивный ординал 0)
1Лх Гр]. (Этот результат есть следствие .теорем XXI и XXII,
получающееся с применением теоремы X.)

Верно ли, что а 0 Та Гр? Синглтерри [1965] пока-
зал, что это так.

Определение. = {(ж, у) | х £ Т & у € Т & || х || < || у || <а}.

Очевидно, что а 0 =>- ^btt Г|. Взяв tt-цилиндры, мы
получим такую вполне упорядоченную, цепь 1-степеней, что, како-
во бы ни было множество А, А С А} <=> 1-степень множества А
расположена ниже некоторого элемента этой цепи (упр. 16-33).
В § 16.8 мы рассмотрим задачу о построении для А}-множеств
наиболее естественного и инвариантного аналога цепи О, О', 0",. . .
для арифметических множеств.

Следующая теорема содержит иную формулировку и обобще-
ние теоремы XXI.

Теорема XXIIL (а) Если у б Т, то {х | х € Т & || х || <;|| у ||} €
С А} равномерно по у относительно некоторой всюду определенной
функции (т. е. (3 общерекурсивная функция g) (Vy)[y € Т => g(y)
есть некоторый А\-индекс множества {ж | ж С Г & || ж || < || у ||}]).

(Ь)	Если у С Т, то {х | х б Т & || х || — || у |(} С А} равномерно
по у относительно всюду определенной функции.

(с)	{(ж, у} I х е Т & у € Т & II X II < II у 11} € (II} - 2}).

(d)	{(ж, у} | х С Т & у EtT & || х || = || у ||} g (П} - 2}).

Доказательство, (а) Это — теорема XXI.

(Ь)	Возьмем общерекурсивную функцию h, определенную
в конце доказательства следствия XXII (Ь). Тогда для у (с Т

{х I х 6 Т & II х II = II у 11} = {х | х € т & II X II < II у II + 1 &

& II У II < II х II + 1} — {ж | х € T||h(j,)n & у € Т|| мх)|| }•

Подставляя в это выражение П}- и 2}-формы, построенные
(равномерно по h(y) и А(ж)) в теореме XXI, и применяя алгоритм
Тарского — Куратовского, получим желаемый результат. Отме-
тим, что формы, подставляемые вместо множества	выра-

жают ГцМж)1| в случае, когда 7г(ж) 6 Т. Что они выражают, когда
h(x) $ Т, несущественно, потому что в этом случае формы мно-
жества Гцсделают получающееся выражение ложным.

(с)	Подставим в выражение из левой части П}-форму для пре-
диката у Е Т, даваемую теоремой XX, и П}-форму для ж б Т &
& || ж || < || у ||, полученную (равномерно по у) в пункте (а) выше.
(Что выражает последняя из них при у (J Т, не имеет значения.)
С помощью вычислений по алгоритму Тарского — Куратовского
получим нужную нам П}-форму. Если бы {(ж, у) | ж £ Т & у С
€ Т & || х || < || у ||} оказалось в совокупности то и множество
Т = {х\ (Эу)[х € Т & у 6 Т & || х || < || у ((]}

оказалось бы в 2} в противоречие с теоремой XX.

(d)	Выводится аналогично из теоремы XX и пункта (Ь) выше
(см. упр. 16-34). и

Иногда бывает удобно пользоваться следующим линейным
П}-упорядочением на Т.

Определение. Положим х <г у, если

[х е т & у G т & [ II х || < || у || V [ || X || = || у || & X < у]]].

Легко видеть, что это — вполне-упорядочение с порядковым
типом наименьшего неконструктивного ординала (упр. 16-35).

Следствие XXIII. (а) Если у £ Т, mo {х \ х <Д у} € А} равно-
мерно по у относительно некоторой всюду определенной функции.

(Ь) {{х, у) \х<?у} €(П1- ZJ).

Доказательство, (а) Получается непосредственно под-
становкой в выражение для х <т у подходящих предикатных
форм из пунктов (а) и (Ь) теоремы.

(Ь) Тот факт, что {(х, у) | х <_Т у} € П|, доказывается с помо-
щью подходящих предикатных форм из пунктов (с) и (d) теоремы.
Если бы множество {{х, у} | х <т у} попало в S}, то и Т =
— {х | (Зу)[х <т у]} оказалось бы в S}, что противоречит теоре-
ме XX. и

Это следствие показывает, что существует линейное Щ-упо-
рядочение с порядковым типом наименьшего неконструктивного
ординала.

Теорема XXII может быть сформулирована и доказана для
линейного упорядочения <г. Изменения, которые для этого нужно
внести в приведенное нами доказательство, тривиальны. Мы сфор-
мулируем этот результат в рекурсивно инвариантной форме.

Теорема XXIV. Для всякого Неполного множества А сущест-
вует такое ТДвполне-упорядочение множества А, что для любых
ТЦ-множества В и общерекурсивной функции f из того, что функ-
ция / i-сводит В к множеству А, вытекает, что В 6 А} <=> /(В)
ограничено сверху в этом линейном упорядочении множества А.

Доказательство аналогично ^теореме XXII (см.
упр. 16-36). в* 1)

!) Читатель, знакомый с теорией множеств, заметит аналогии между
теоремой XXIV и некоторыми результатами теории множеств (см. особенно
последнюю часть упр. 16-36).

1. Рассмотрим множество мощности в качестве аналога йножества
А (из теоремы XXIV), а множества мощности н0 и меньше—в качестве анало-
§ 16.5.	ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ

В некоторых отношениях теория § 16.1 аналогична теории
арифметической иерархии, развитой в гл. 14. Мы исследуем теперь
дальнейшие аналогии между аналитической и арифметической
иерархиями. Более точно, мы рассмотрим аналогию, при которой
гиперарифметические множества соответствуют рекурсивным мно-
жествам, а П}-множества соответствуют рекурсивно перечислимым
множествам. Тот факт, что класс Si состоит из рекурсивно перечис-
лимых множеств, заставляет предположить, что аналогия между
SJ-множествами и рекурсивно перечислимыми множествами была
бы более естественной. Однако, как мы увидим, это не так. (Прин-
цип редукции, например (см. теорему 5-XVII), будет справедлив,
для П*-множеств, но не для SJ-множеств.)

Перенося результаты и их обсуждение из § 5.7, мы начинаем?
исследование этой аналогии с доказательства теоремы об однознач-
ности.

Определение. Для всякого z пусть W\ = {х | (V/)(3u>)
Т*, i(z, f (w), х)}. Таким образом, Wz есть nj-множество с П}-
индексом г.

В § 5.7 мы определили область определения множества А
(обозначаемую Arg А) как {х | (Эу)[ (х, у} £ А}}.

Теорема XXV (теорема об однозначности для Щ-множеств).
Существует такая общерекурсивная функция к, что для всех z

(i)	Wh(z) однозначно;

(ii)	W'kM c W';

(iii)	Arg W£(Z) = Arg Wz. (Поэтому если множество Wz одно-
значно, mo Wh(z) = Wi.)

Доказательство. В следствии XX (а) мы построили
такую общерекурсивную функцию /*, что для любого z имеет место
Wz ^i Т посредством функции Xr[/*(z, х)]. Определим

Аг = {(х, у) | (х, y>£W}& (Vy')Hy' =# у & (х, у'}£ W}] =>

=^j*(z, (х, у» <г f*(z, (х, у'»!}.

гов Д {-множеств; выберем теперь упорядочение по порядковому типу наи-
меньшего несчетного ординала в качестве аналога П{-вполне-упорядочения
множества А.

2. В теории множеств Гёделя — Бернайса возьмем универсум за аналог
множества А, классы. — за аналоги П}-подмпожеств множества А, множества—
за аналоги Д{-подмножеств множества А и примем вполне-упорядочение
универсума за аналог П{-вполне-упорядочения множества А. (В действитель-
ности определение обычного вполне-упорядочения универсума получается
с помощью понятия ранга множества, весьма сходного с определением отно-
шения < .)
Но это можно записать так:

Az — {{x, у} | (ж, y)EW"&(Vy')~l[/*(z, (х, у'))<т

(х, у))]}.

Теперь для всякого (х, у) следствие XXIII (а) дает SJ-форму,
выражающую {п | и <г f*(z, {х, у))}, если (х, у) Е W\. Исполь-
зуя эту форму (не важно, что она выражает, когда (х, у) (♦ IVZ)
и Пфформу для множества Wz и применяя алгоритм Тарского —
Куратовского, получаем, что Az Е П}, причем П}-индекс множе-
ства Аг получается равномерно по z. Возьмем такую общерекур-
сивную функцию к, что Az — Wh(z). Требуемый результат полу-
чается теперь непосредственно.и

Определение. Для каждого z положим <р! = {{х, у) | (х, у) Е
€ W^Mz)}- (Не всюду определенные) функции <р| [называются
\\\-функциями.

Заметим, что область определения Пффункции есть Щ-множе-
ство (что доказывается применением алгоритма Тарского — Кура-
товского) и что всякое Пфмножество есть область определения
некоторой IIJ-функции. (Если дано П}-множество А, возьмем функ-
цию {{х, х) | х Е Л}.) Так же обстоит дело и с областью значений
произвольной Пффункции.

Теперь мы имеем множества FEJ, PEJ, . . ., аналогичные рекур-
сивно перечислимым множествам Wo, Wt, . . ., функции <рх, <pj,. »
аналогичные частичнорекурсивным функциям, и гиперарифмети-
ческие множества (т. е. Щ-множества с П}-дополнениями), анало-
гичные рекурсивным множествам.

Определение. Всюду определенные Щ-функции называются
гиперарифметическими.

Заметим, что если Щ-функция ф всюду определена, то т(ф) =
— {(ж, у) | ф(х) = у} есть гиперарифметическое множество.
(По определению т(ф) Е Щ. Если же ф всюду определена, мы также
имеем т(ф) = {(х, у) | (Vz)^(x) = z => z = у]}, а это влечет
т(ф) Е 2}. К тому же если ф) всюду определена, то некоторый Д|-
индекс множества т(<р1) может быть получен равномерно по z
с помощью некоторой всюду определенной функции. Вообще в си-
лу тех же аргументов / Е Щ <=> / Е <=> / Е Дк при любых
п и fг).) Таким образом, наша терминология непротиворечива.
Гиперарифметическая функция есть функция, которая, будучи
рассматриваема как отношение, гиперарифметична. Заметим далее,
что множество является гиперарифметическим тогда и только тог-
да, когда его характеристическая функция гиперарифметична.

х) Как обычно, / обозначает некоторую всюду определенную функцию.—
Прим., перед.
Одна из основных теорем теории рекурсивных функций не со-
храняется при нашей аналогии. В теории рекурсивных функций
область значений общерекурсивной функции может не быть рекур-
сивной. Здесь же мы имеем следующую теорему (сообщенную авто-
ру Хоудзом).

Теорема XXVI. Область значений гиперарифметической функ-
ции есть гиперарифметическое множество.

Доказательство. Пусть / — гиперарифметическая
функция. Тогда

val / = {у | (Зж)[/(х) = z/]}*

Так как / Е Д*, результат получается непосредственно примене-
нием алгоритма Тарского — Куратовского. я

Отсюда можно, однако, вывести аналог теоремы 5-IV.

Следствие XXVI (Лакхам). Всякое бесконечное А1\-множество
содержит бесконечное гиперарифметическое подмножество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — бесконечное Щ-множе-
ство. Обрз^уем nj-множество

В = {(х, у) | х < у & у Е А}.

Применим к В теорему об однозначности. В результате получим
всюду определенную П]-функцию, область значений которой есть
бесконечное подмножество множества А. Согласно теореме, это —
Д }-подм ножеств о. в

Другие теоремы § 5.7 тоже сохраняются при нашей аналогии.

Теорема XXVII (принцип редукции). Для любых Х\\-множеств
А и В существуют такие Т^-множества А' и В', что A' cz А,
В' с В,

A (J В = A' U В'
и А' (} В = 0.

Доказательство. Применим теорему об однозначности
так же, как и для получения тео'ремы 5-XVII (§ 5.7).в

Теорема XXVIII (теорема выбора). Существует такая П{-
функция ф, что для всякого z

(i)	ф(г) сходится <=> (Зш)1ш Е W? & W™ 0];

(ii)	ф(г) сходится =ф [ф(г) Е W\ &	(2> #= 0].

Доказатель с£т в о. Аналогично теореме 5-XVIII (§ 5.7). в
Отсюда вытекает и обобщенный принцип редукции, как
в упр. 5-36.

Теорема 7-XII показывает, что существует пара непересекаю-
щихся рекурсивно перечислимых множеств, не являющихся
рекурсивно отделимыми. Справедлив ли аналог этой теоремы,
т. е. существует ли пара непересекающихся „гиперарифметически
неотделимых" ГЦ-множеств ?

Теорема XXIX. Существуют такие непересекающиеся ГЦ-мно-
жества А и В, что ни для какого ^-множества С не выполняются
А с С и В cz С одновременно.

Доказательство. Положим А = {х | cpj/a;) = 0} и В =
— {х | фж(я) = !}• Результат получается, как при доказатель-
стве теоремы 7-ХП (с).и

Из теоремы XXIX вытекает, что S'-множества не удовлетво-
ряют принципу редукции, подобно тому как не удовлетворяют
принципу редукции П“-множества (согласно теореме 7-ХП) (см.
упр. 5-3). По этой причине (среди прочих) аналогия между П}-
множествами и SJ-множествами является более полной, чем ана-
логия между ^^-множествами и S “-множествами.

Настоящее обсуждение касается, конечно, множеств натураль-
ных чисел. Можно ставить проблемы редукции и отделения и для
множеств функций (см. упр. с 16-39 по 16-41). Как показал Адди-
сон [1959), [1959а], проблемы редукции и отделения могут рас-
сматриваться как вопросы о возможности переставлять кванторы
в некоторых предикатных формах (см. упр. 16-41).

В упр. 16-42—16-45 мы приводим дальнейшие примеры резуль-
татов, соответствующих ранее полученным результатам теории
рекурсивных функций. В упр. 16-42 мы используем теорему
об однозначности, чтобы построить гиперарифметически простое
множество (й выводим отсюда, что в классе П} — S] существуют
множества, не рекурсивно изоморфные множеству Т (и, на самом
деле, даже не гиперарифметически изоморфные множеству 71)).
Упражнение 16-43 представляет собой аналог теоремы о рекурсии.
Она используется в упр. 16-44 для получения аналогов теоремы
Майхилла о том, что всякое креативное множество 1-полно.
Упражнение 16-45 дает аналог теоремы Райса (теорема 14-XIV).

Если дано определение или теорема теории рекурсивных
функций, то формулировка их гиперарифметического аналога
в общем случае бывает не единственной. Мы получим полный
аналог, если все частичнорекурсивные функции заменим на П}-
функции. Бывают возможны и различные частичные аналоги,
в которых некоторые частичнорекурсивные функции превращают-
ся в П]-функции, а другие остаются частичнорекурсивными.
Например, в понятии „Щ-продуктивного“ множества мы можем
потребовать или не требовать, чтобы продуктивная функция была
рекурсивной (см. упр. 16-44, 16-46). Аналогично, в результатах
об 1-сводимости мы можем разрешить или не разрешить сводящим
функциям быть гиперарифметическими. (Ситуация напоминает
вопрос о полной или частичной релятивизации, рассмотренный
в § 9.3.)

Интересное расхождение между нашей довой гиперарифмети-
ческой теорией и прежней рекурсивной теорией возникает в упр.
16-45 при рассмотрении теоремы Райса. Здесь (а также в не-
которых других местах) мы выясняем роль конечных множеств
(в прежней теории), исполняемую теперь гиперарифметическими
множествами, и роль канонических индексов, исполняемую Д[-
индексами. (См. упр. 16-47, где мы показываем, что если дан про-
извольный Дфиндекс, можно гиперарифметически вычислить
некоторый единственный „канонический11 Д}-индекс того же мно-
жества.)

В § 16.6 мы продолжим наше изучение этой теории аналогов,
вводя аналоги понятий Т-сводимости и операции скачка. Мы уви-
дим, что аналог проблемы Поста имеет иное решение, чем сама про-
блема Поста и что в аналитической иерархии сильная теорема
об иерархии (аналог теоремы 14-VIII) не имеет места.

Отметим, что сходство между нашей теорией аналогов и тео-
рией рекурсивных функций можно проследить вплоть до употреб-
ления отношения <г и функции /* при доказательстве теоре-
мы XXV. На самом деле, все сходящиеся „Щ-вычисления“ можно
линейно упорядочить, так что мы сможем гиперарифметически
(согласно § 16.4) установить, которое из двух данных заканчиваю-
щихся вычислений „идет первым". Таким образом, это упорядоче-
ние по трансфинитам является аналогом упорядочения рекурсив-
ных вычислений, описанного в следствии 5-V (d) и использованного
при доказательстве теоремы 5-XVI.

Обобщенные машины

Понятие машины Тьюринга можно следующим образом обоб-
щить (см. также Клини [1962].) Определяющее обобщенную машину
множество „инструкций" остается конечным, но разрешается,
чтобы в вычислениях использовались некоторые специалъные'шаги,
для обозначения которых вводятся соответствующие символы
и соглашения. Понятие допустимого специального шага опреде-
ляется индуктивно. Допустимый специальный шаг заключается
в сообщении, закончится ли некоторое вычисление на обычной
машине Тьюринга (инструкции которой в настоящий момент
записаны на ленте обобщенной машины), или, более общо, допу-
стимый специальный шаг говорит, закончится ли некоторое обоб-
щенное вычисление (инструкции которого в текущий момент запи-
саны на ленте) при условии, что обозначенное на ленте вычисле-
ние не содержит шагов, отличных от обычных шагов машины Тью-
ринга и специальных шагов, допустимость которых уже известна.
Если имеются входные дачные и обобщенная машина, то соответ-
ствующее вычисление называется расходящимся, если или (i) оно
не заканчивается или (ii) в нем встречаются недопустимые спе-
циальные шаги. Мы не будем глубже вникать в формальны©
детали.

С каждым сходящимся вычислением (на обобщенной машине)
мы связываем некоторое дерево-диаграмму. На первом уровне эта
диаграмма показывает шаги вычисления, на втором уровне —
подшаги специальных шагов, встречающихся на первом уровне,
на третьем уровне — подшаги специальных шагов, встретившихся
на втором уровне, и т. д. Дерево-диаграмма изоморфно некоторому
дереву с конечными путями, и это дерево с конечными путями
имеет гиперарифметическую характеристическую функцию.
(В § 16.6 мы увидим, что ординал гиперарифметического дерева
с конечными путями конструктивен.) Упорядочение Клини —
Брауэра, соответствующее этому дереву с конечными путями,
подсказывает некоторую „физическую" реализацию такого вычис-
ления. Пусть единичный интервал (действительных чисел) мыслит-
ся как конечный промежуток времени. Возьмем некоторое сохра-
няющее порядок отображение упорядочения Клини—Брауэра
(для нашего вычисления) в этот интервал. Точки-образы можно
представлять себе как моменты времени, в которые выполняются
соответствующие шаги обобщенного вычисления. Так, например,
обобщенная машина, решающая обычную проблему остановки,
могла бы при заданном входе выполнять свои шаги в моменты

1	A 1_ л

2	’ 4 ’ 8 ’ •‘ ’’

Какие функции можно вычислять на таких обобщенных маши-
нах? Можно показать, что это в точности П|-функции. Мы не ста-
нем подробно разбирать этот результат.

Таким образом, понятие обобщенной машины существенно
проясняет понятие гиперарифметической функции (а также П}-
функции) и показывает, что эти функции образуют класс, с интуи-
тивной точки зрения, даже более естественный, чем мы могли бы
предположить ранее. Выражаясь вольно, гиперарифметическая
функция есть функция, допускающая детерминированное вычисле-
ние дискретными шагами на основании конечного множества
инструкций в предположении, что мы имеем возможность выпол-
нять поиски в бесконечной последовательности шагов всякий раз,
как мы этого пожелаем, т. е. в течение любого данного временного-
интервала положительной длины. Спектор и Аддисон называют
этот уровень вычислительных возможностей „хо-мышлением",
а Крейсел предложил аналог тезиса Чёрча для гиперарифметиче-
ских функций. Такой интуитивный взгляд на гиперарифметиче-
скую вычислимость может иметь большое эвристическое значение
в связи с некоторыми общими свойствами гиперарифметических
множеств (например, в связи с некоторыми сильными свойствами
замкнутости гиперарифметических^множеств, рассматриваемыми
в следующем разделе) и для ряда специальных проблем (упр. 16-46,
например). Он использовался также для поддержки „конструкти-
висте ких“ утверждений о том, что гиперарифметические множества
суть, в некотором смысле, единственные существующие множества
натуральных чисел.

Эти интуитивные соображения наводят также на мысль о том,
что гиперарифметическая вычислимость функций и функционалов
может послужить подходящим фундаментом для построения кон-
структивного варианта анализа в области действительного пере-
менного. Крейсел и Феферман положили начало такому исследо-
ванию в виде изучения эффективных объектов внутри классической
математики; Хоудз и Риттер, следуя работе Московакиса, посвя-
щенной рекурсивному случаю, начали такое исследование как
изучение некоторых счетных структур, отличных от несчетных
структур классической математики, но аналогичных им (см.
обсуждение в § 15.3, а также упр. 15-36 и 15-37).

К несчастью, такой интуитивный взгляд на гиперарифметиче-
скую вычислимость сам по себе имеет меньшее значение для полу-
чения математических результатов относительно гиперарифмети-
ческих функций, нежели тезис Чёрча для получения результатов
о рекурсивных функциях. Главные результаты, которые мы до сих
пор получили, опирались в основном на комбинаторную мощь
правил преобразования кванторов из теоремы III. Затруднитель-
но, например, на основании одних только интуитивных рассмотре-
ний решить, верна или нет теорема о выборе (теорема XXVIII),
в то время как справедливость ее рекурсивного аналога (теоре-
ма 5-XVIII) легко усматривается с помощью только тезиса Чёрча
и теоремы о перечислении х).

Другой аналог теории рекурсивных функций

Существование аналога (теории рекурсивных функций), опи-
санного в начале этого параграфа, наводит на мысль о поисках
более абстрактной теории, которая охватывала бы сразу и рекур-
сивный, и гиперарифметический случаи. Имея это в виду, Крей-
сел и Сакс предприняли изучение несколько иного аналога теории
рекурсивных функций, базирующегося на ГЦ- и Д]-множествах.
Аналог Крейсела — Сакса оказывается более близким к рекур-
сивному случаю, чем рассмотренный ранее в этом параграфе ана-
лог. В аналоге Крейсела — Сакса множество Т играет роль N.
Пусть ф — такая (не обязательно всюду определенная) функция,

1) Конечно, как только теорема о выборе доказана, мы можем (и долж-
ны) использовать ее для обогащения наших интуитивных представлений
о гиперарифметической вычислимости.
что ф с Т X Функция ф называется „частичнорекурсивной",
если ф € ГЦ. Функция ф „общерекурсивна" (по определению),
если гр „частичнорекурсивна" и определена на всем множестве Т.
Функции более, чем одного переменного вводятся с помощью
рекурсивной „функции пересчета пар", отображающей множество
Ту/Г на Т. (Такая функция существует, поскольку Т X Т, как
легко видеть, Пфполно, а потому Т X Т = Т.) Пусть А а Т_.
Множество А называется „рекурсивно перечислимым", если А С
£ П}. Множество А называется „рекурсивным", если и Л, и Т — А
являются Пфмножествами. „Гёделева нумерация" „частичнорекур-
сивных" функций (на Т) получается, если взять произвольное
фиксированное взаимно однозначное рекурсивное отображение /
множества N в Т, объявить /(z) (при всяком z) гёделевым номером
функции ф!П(ТХ Т), а оставшиеся элементы Т (т. е. множества
Т — f(N)) считать гёделевыми номерами нигде не определенной
функции. (При этом некоторые элементы множества f(N) также
будут номерами нигде не определенной функции.) См. упр. 16-48.
Описанная процедура с помощью перехода к областям определе-
ния функций задает нумерацию (на Т) всех „рекурсивно перечис-
лимых" множеств. Существование „рекурсивно перечислимого, но
не рекурсивного" множества доказывается теперь, как точный
формальный аналог теоремы 5-VI.

Интересно, что, как и в предыдущей аналогии, Д}-подмноже-
ства множества Т имеют много свойств, которыми в рекурсивной
теории обладают конечные множества. (Заметим, что „рекурсив-
ные" множества не обязаны быть Дфмножествами; например, Т
„рекурсивно".) Справедливо, например, следующее утверждение:
если А есть область значений некоторой взаимно однозначной
„общерекурсивной" функции, то А £ Д} (см. упр. 16-50).

Осложнения, связанные с теоремой XXVI, теперь не возникают,
и мы получаем, что 1А „рекурсивно перечислимо" и А =/= 0] <=> А
есть область значений некоторой „общерекурсивной" функции. (ч=
получается непосредственно; чтобы доказать =>, рассмотрим по
отдельности'случаи, когда А „конечно" (т. е. принадлежит Д[) и А
не „конечно". Пусть А не „конечно", иг — некоторый П|-индекс
множества А. Тогда вычисления по алгоритму Тарского — Кура-
товского с использованием следствия XXIII (а) показывают, что

«ж, у>\хеТ &у£А&[х = f*(z, y)\f х <?/*(?, p)j;&

& (Vu)[f*(z, i} CT f*(z, y) => y*(z, u) <T x]}

•есть искомая „общерекурсивная" функция. Случай „конечного"
А рассматривается в упр. 16-51;)

Можно получить много других результатов в этом направле-
нии, включая существование „рекурсивно перечислимых" мно-
жеств, „максимальных" в смысле, аналогичном определению из
§ 12.4. Мы приведем еще одну иллюстрацию. Назовем „общерекур-
сивную" функцию „строго возрастающей", если она строго возрас-
тает относительно упорядочения <т . Тогда область значений
„,строго возрастающей" функции обязана быть „рекурсивной".
Действительно, пусть А — область значений „строго возрастаю-
щей" функции ф. Тогда

А = {у | (3z)[[z у \J z = у\ & у — ф (z)]}

Т — А = {у\у£Т& (Vz)[[z <т у V z = у] =>

=> (Зш)[ш	у & w — ф(г)]]}.

Используя следствие XXIII (а), получаем, что А и Т — А суть
ГЦ-множества.

§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК;

2‘-МНОЖЕСТВА И Л*-МНОЖЕСТВА

Прослеживая дальше рассмотренную в первой части предыду-
щего параграфа аналогию, попытаемся найти аналог понятия
тьюринговской сводимости. Мы видели в гл. 14, что В А <=>
<=е> В 6 П^ (] 2f. Это подсказывает, что мы получим аналог
тьюринговской сводимости с помощью релятивизации в аналити-
ческой иерархии.

Релятивизация

Определения и результаты § 16.1 могут быть релятивизованы
следующим образом. Пусть дано множество А.

Определения. Функция ф называется А-частичнорекурсивной
функцией к функциональных и I числовых переменных (/с О, I >
> 0), если для некоторого z

ф =1/1 • • . fkXt . • • я:г[(р^’’<А).’<>*>(«1» • • •> ®1)1.

Функция ф называется А-частичнорекурсивной функцией к функ-
циональных и 0 числовых переменных (к^О), если для некоторого z

ф=1Д . ..	...г(/А) (0)),

Функция ф называется А-общерекурсивной функцией к функ-
циональных и I числовых переменных (к 0, I 0), если ф есть
А-частичнорекурсивная функция, определения на X

Отношение R (cz X называется А-рекурсивным отноше-
нием, если его характеристическая функция есть 4-общерекур-
сивная функция к функциональных и I числовых переменных.
Отношение R (cz X W7) называется аналитическим относи-
телъно множества А, если R или Я-рекурсивно, или может быть-
получено из некоторого Л-рекурсивного отношения, с помощью
операций взятия проекции и (или) дополнения.

A-формы определяются так же, как предикатные формы, с тем
лишь отличием, что рекурсивное отношение заменяется Л-рекур-
сивным отношением.

Справедлива релятивизованная версия теоремы I. 2*’ л-формыг
П„’ л-формы и классы Si’ А, !!„ л и Д„ А определяются анало-
гично тому, как это делалось раньше. Верны также релятивизо-
ванные варианты теорем II и III.

Определение.

Т'^1 = {<z, /ь . . ., fk, xlt . . ., xb w) | Th+l,t (z, A, T(/t), . . .

• • •> T(/ft), xt, . . ., xh w)}~

Если теперь использовать TAti вместо T'hi b то теорема IV
сохраняется в релятивизованном виде, и с ее помощью опреде-
ляются понятия 21 • А- и П1 > А-индексов.

п	П

Определение. Пусть к >• О, I 0; положим T*Ai =
= {{z, у15 . . ., yk, Xi, . . ., xi) | существуют такие Д, . . ., fk
и w, что для всех i, 1 i k,

yt = fi(u>) «	(z, A, . . ., /ft, . ., xi, ш),

причем все задаваемые при вычислении вопросы относительна
/1, • • • > fk касаются аргументов, меньших ш}.

Теперь мы получаем релятивизацию теоремы V.

Теорема XXX. Пусть и > 0, R (cz X Nl) — отношение
из at — некоторый 2*’А-индекс отношения R. Если п
четно, то

R = {</1, • • A, Х1, • . xz> | (3gi)(Vg2) . . . (Vgn)(3w)i

Th+n.iCz, 71(w), [. . ., 7h(w), ii(ir), . . ., gn(ui), Xi, . .	Xt)}.

Аналогично для нечетных n и класса П*’А (см. формулировку тео*
ремы V).

Доказательство. Непосредственно из определения.»

Теперь сразу получаются релятивизации теорем VI и ХП.
Принимая во внимание, что при релятивизации множе-
ство Еп'А соответствует множеству Еп (например, Е1'л =
= {z | (Э/)(Уш) П T*Ai (z, f(w), z)}), получаем релятивизации
теорем VIII и IX.
Релятивизация относительно данной функции h получается,
•если всюду в приведенных выше определениях и рассмотрениях
использовать x(h) вместо множества А. Отсюда, в частности, сле-
дует, что	• • •) <=> П+1, i (2> h, . . .) и что теорема XXX

имеет место в следующем виде (мы используем обозначения
й, T'hh,i , в качестве сокращений для 2*’T<h>, Th\xiW,. . .).

Следствие XXX. Пусть п > 0, /?(сз	— отношение

из 2 л, a z — некоторый 2 к-индекс отношения R. Если п чет-
но, то

R = {</1, • • •> А, ®i, • • •, х,} | (3gt)(Vg2) • • •

. . . (Vgn)(3^)n+n+i,i (Z, h(w),	. . ., fk(w), gi(w), . . .

• • ; gn(w), Xi, . .	Xt)}.

Аналогично для нечетных n и класса П1>/г.
п

Доказательство. Непосредственно из определений
(см. упр. 16-52).и

Одновременная релятивизация относительно нескольких дан-
ных множеств (или функций) также легко осуществляется.
2С А1> • • •’ Ат, Пh Ai, ..., Ат и Д|М1.Ащ определяются оче-

видным образом, когда мы примем за отношение Т£\' "" Ат
{<z, fi, .  ., h, Xi, . . ., xt, u>>| Th+m, t(z, Ai, . . ., Am,

x(fi), • • ., x(fk), Xi, . . ., Xi, w)}.

Мы пишем 2*>Л1, ....	. вместо 2*> TOi), ..., т(лт>.

n	n	7

Гиперстепени и гиперскачок

Определим теперь наш аналог Т-сводимости.

Определение. Множество В называется гиперарифметическим
относительно А (обозначение: В h4), если В^^А
( = 2J’A f| Щ,А). Мы сокращаем запись т(/) hT(g) ДО / ь£-

Отметим терминологическую параллель с понятиями „рекур-
сивный относительно'1, „арифметический относительно" и „анали-
тический относительно". Если В мы будем иногда гово-
рить, что множество В гиперарифметически сводимо к А.

Очевидно, что отношение рефлексивно. Будет ли оно тран-
зитивным?

Теорема XXXI. Если С В и В то С

Доказательство. Если С В, то, в частности,
С Е 2|’в. Поэтому С = {х | (3/)(Vw) ~1 ТцДг, /, х, w)} при неко-
тором z. Отсюда х Е С (3/)(Vu’)[<p8, т(/)(х) не сходится за иг
шагов] <=> (3/)(Vu’)_> (3у)(3и)(3у)[ {х, у, и, v) появляется на w-м
шаге перечисления множества lVp(Z) (согласно индексу p(z)) &
& Du cz В @ т(/) & D,, с В @ т(/)]. Условие LDU сс В @ т(/)1
можно представить в виде (Vx)[[2х £DU=> х € В] &
& [2х + 1 € Du => х Е т(/)]], а йсс т(/) представимо в виде
(Vx)t[2х £ Dv => х $ В] & [2х + 1 € Во => х $ т(/)]]. По предпо-
ложению множество В представимо и в 2|’А-, и в П1'А-форме.
Подставим его Пр А-форму вместо первого вхождения В (в послед-
нее из приведенных выше выражений для С), а 2*’ А-форму вместо
второго вхождения В. Применяя алгоритм Тарского — Куратов-
ского, получим, что СЕ21’л. Аналогичными рассуждениями,
отправляясь от П1’ в-формы для С и подставляя в нее подходящим
образом Si’A- и П^’А-формы для В, получим С ЕП*’^

Следствие XXXI (а). Если В А и А Е А}» то В Е А}.

Доказательство непосредственно вытекает из доказа-
тельства теоремы. а

Следствие XXXI (Ь). Если множество С аналитично относи-
тельно В, а множество В аналитично относительно А, то С ана-
литично относительно А.

Доказател ь с т в о использует ту же технику, что и дока-
зательство теоремы (см. упр. 16-53). и

Определение. A =h В означает, что A В и В А.

Согласно теореме XXXI, =h есть отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности по отношению =ь называютря гиперсте-
пенями (и служат при нашей аналогии эквивалентами тьюринговых
степеней).

Согласно следствию XXXI (а), существует наименьшая гипер-
степень, состоящая из гиперарифметических множеств. В силу
теоремы об иерархии (теорема VIII) должны существовать отлич-
ные от нее гиперстепени, содержащие Щ-множества. Рассмотрим
аналог проблемы Поста (гл. 10): существует ли более двух гипер-
степеней, содержащих Щ-множества? Как мы увидим теперь,
ответ оказывается отрицательным х). Пусть Т есть Щ-полное мно-
жество, определенное в § 16.3.

Теорема XXXIL. А £ П| => [А Е А} или A =h Л.

!) В аналогии Крейсела — Сакса (см. обсуждение в конце § 16.5) аналог
проблемы Поста имеет положительное решение* как и проблема Поста для
рекурсивно перечислимых множеств (что и устанавливается сходными рас-
суждениями).
Доказательство. Пусть А С Пр Тогда А Т, и до-
статочно показать, что или А С Д}, или Т А. Предположим,
что А $ AJ, и пусть функция / 1-сводит А к множеству Т. Тогда
по теореме об ограниченности (теорема XXII) получаем

Т = {г/ | (Эх)[а: Е А & у Е Гц /(ж) ц]}.

Подставляя в это выражение SJ- или П}-форму для у Е 2'||/(и)||
(по теореме XXI) и применяя алгоритм Тарского — Куратовского,
получаем соответственно SpA- или ПрА-форму для Т. Отсюда
ТЕ ДрА и Г Сь Л.и

В следующем определении мы вводим аналог понятия „рекур-
сивно перечислимый относительно".

Определение. Множество А называется Т[]-множеством отно-
сительно В, если А € Пр в.

Мы определим аналог операции скачка (из § 13.1) с помощью
выбора специального множества из класса Пр А, полного по отно-
шению к ПрА.

Определение. Та = {z | ф^ есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями}.

Немедленно получается релятивизация теоремы XX, и мы
имеем ТА Е ПрА, а также В Е ПрА => В Ci ТА для всякого В.
Согласно релятивизованной теореме об иерархии, ТЛ^ЪА.
Мы называем ТА гиперскачком множества А.. (По аналогии
с § 13.1 мы могли бы при определении операции гиперскачка сна;
чала принять WZ’A — {х | (Vf)(3w)TAi(z, /, х, ip)}, а затем объя-
вить Ki,A = {х | х € И'рА} „гиперскачком11 множества А.
В упр. 16-54 мы покажем, что Ki,Ae= ТА.)

Теорема XXXIII. А Сь В <=> ТА Ci Тв.

Доказательство проходит параллельно доказатель-
ству теоремы 13-1 (е).

=>. Пусть	Поскольку ТА Е Пр Аи А Е Дрв, в резуль-

тате подстановки предикатной формы, как в доказательстве теоре-
мы XXXI, получаем, что ТА Е Прв. А так как Тв является
Прв-полным множеством, мы имеем TACi Тв.

<=. Пусть, наоборот, TA^.tTB^ Так как Тв Е Пр в, получаем, что
и ТА Е Прв. Но A ТА и А ТА (поскольку тривиальным
образом А 6ПрА и А ЕПрА). Значит, А Е Пр в и А £ Пр в.
Но отсюда вытекает, что А Е АрВ-и
Итак, теорема XXXIII вместе с предшествовавшими ей заме-
чаниями образует полный аналог теоремы 13-1.

Из теоремы XXXIII следует, что операция гиперскачка кор-
ректно определена на гиперстепенях. Назовем некоторую гипер-
степень П\-гиперстепенъю относительно другой, если первая
гиперстепень содержит множество, являющееся П|-множеством
относительно некоторого элемента второй гиперстепени. Мы можем
рассматривать различные вопросы о строении упорядочения
гиперстепеней относительно операции гиперскачка и отношения
„быть Щ-множеством относительно", аналогичные рассмотрен-
ным в гл. 13 вопросам об операции скачка и отношении,, быть рекур-
сивно перечислимым относительно" среди Т-степеней. Такое иссле-
дование было начато Спектором. Были получены некоторые
результаты, аналогичные результатам гл. 13, включая доказатель-
ство существования несравнимых гиперстепеней (см. упр. 16-55).
Существуют ли гиперстепени, меньшие гиперстепени множества Т
и отличные от наименьшей гиперстепени? (В силу теоремы XXXII
такйе гиперстепени не могут содержать П}-множеств.) В § 16.7
мы покажем, что такие гиперстепени существуют.

Справедлив ли аналог теоремы 14-VIII (сильной теоремы об
иерархии)? Отрицательный ответ на этот вопрос получается как
следствие из приведенной ниже теоремы, специальный случай
которой был впервые доказан Аддисоном и Клини [1957]. Эта тео-
рема представляет собой сильное обобщение теоремы X.

Теорема XXXIV (Шёнфильд [1962]). [A G Ai’ в&В^п' ° 1 =>
=> А С Ап ° при всяком п.

Доказательство. Случай п = 0 был доказан в след-
ствии 14-VII, а случай п — 1 доказан выше в теореме XXXI.
Мы приведем общее доказательство для нечетных га; доказатель-
ство для четных га происходит аналогично.

Пусть А 6 Ап’ в и В С Ап' с. Тогда

А = {х| (ЗД)(У/2) . . . (3/п)(Уш)7?(В, Л, . .	/п, х, ш)}

и

А = {х | (УЛ) . . . (V/n)(3w)S(B, Л./п, х, w)}

для некоторых рекурсивных отношений R и S.

Поэтому

А = {х | (3D)[D = В & (ЗА) . . . (3/„)(Уш)Я(Р, Л, • • •, Л,
х, ш)]}.

Но условие D = В может быть представлено в виде
(Уга)[га 6 D => и 6 В] & (Vw)[iz g В => и 6 D]. Подставляя сюда
2Сс-форму для В вместо его первого вхождения и П„’ с-форму—
вместо второго, получим с-форму для {D ID = В}. Подстав-
ляя ее в выражение для А, получим, применяя подходящим
образом алгоритм Тарского — Куратовского, что А Е с.

Аналогично,

А = {х | (VZ>)[Z> = В => (VA) . . . (V/n)(3w)5(D, Д, . . ., /п, х, ш)]}.
Подставляя в это выражение ту же с-форму для {D | D = В},
получаем, что А Е П^’с.и

Следствие XXXIV (Аддисон, Клини).' А Е А^ => ТА£ А*
(и потому, в частности, ТТ Е А* и не может быть ^-полным или
tl'-полным).

Доказательство непосредственно, так как ТА Е
ЕП1’лсА£’л.я

Могут быть релятивизованы и другие результаты и понятия
из § 16.3—16.5. Введем следующие определения. Пусть множе-
ство А дано.

Определение. Для z Е ТА назовем rf дерево с конечными
путями, характеристической функцией которого является <р^-,
и пусть || z |(А — о(т^).

Определение. Ординал а называется A-конструктивным орди-
налом, если а = || z ||А для некоторого z Е ТА. (Класс 4-конструк-
тивных ординалов может быть также получен в результате реля-
тивизации понятий § 11.8 или упр. 11-61.)

Определение. Та — {х | х Е ТА & (| х ||А < а}.

Определение. Пусть Ь' — такая фиксированная общерекур-
сивная функция, что для любых п, z и X справедливо z) —
— ty[q>x(n ® г/)]. Отсюда для любых А и п, если z Е ТА, имеем
Ъ'(п, z) € ТА и тА(п> Z) есть n-й отросток дерева т^. (Таким
образом, Ъ' есть приспособленный к релятивизованному случаю
вариант функции Ъ. определенной в § 16.3.)

Теперь могут быть доказаны релятивизации теорем XXI, XXII
и XXIII. Рассмотрение А-гиперарифметической вычислимости
может быть выполнено параллельно рассмотрениям § 16.5; W^’A
может быть определено как множество с Подиндексом z; можно
доказать теорему об однозначности и ввести понятие П\-функции
относительно А. Можно показать, что Щ-функции относительно
А суть в точности функции, вычислимые на обобщенных машинах
§ 16.5, снабженных обычным образом оракулами.

Мы не проводим здесь эти релятивизованные рассмотрения.
Вместо этого мы докажем несколько более сильную релятивиза-
цию теоремы XXIII. Полезность для дальнейших исследований
делает ее одним из главных результатов настоящего параграфа. •

Теорема XXXV. Если у б Тв, то {х | х € ТА & || х ||4 <
< || у ||s} € А}’4, в равномерно по у относительно некоторой всю-
ду определенной функции, т. е. (3 общерекурсивная g)
(V-4)(VjB)(Vy)[y € Тв => g(y) есть некоторый Aj’ а’ в-индекс мно-
жества {х I х € ТА & || х |[л < || у ||в} (={* I * €

Доказательство. Мы применяем в доказательстве,
параллельном доказательству теоремы XXI, лемму о рекурсии.
Пусть множество S (из леммы о рекурсии) есть Тв, a <s пусть
будет {{х, у) | х 6 Тв & у £ Тв & || х ||в < || у ||й}. Пусть дано,
что у С Тв. Предположим, что мы имеем такое z, что, каково бы
ни было х € Sy(— Еви[1в), q>z(x) есть некоторый Aj’ л’ в-индекс
для множества Тлж||В. Достаточно будет найти некоторый Ар л’ в-
индекс для множества У^цВ равномерно по z и у.

Применяя основную лемму о деревьях, получим

• X € ТАу 1|В	(0) = 1 & [(Ун)[фл (и) = 0] v [фл (0) = 1 &

& (3m)(vn)[6'(n, х) е С(»,юпвП]1-

Теперь если || у ||в =/= 0, то по предположению для любых п,
m ~в. х

b'(n, х) € Тл,(т и)||В -> (3/)(Уш) -]Т*1А1В (П1ф2(Ь>, у)),

f(w),b'(n, х)) <^>(>//)(31в)7’1*л1'вв(л2фг(Ь'(т, у)), f(w), b'(n, х)).

Так как йюбое из этих двух последних выражений можно под-
ставить в приведенное выше выражение для х € ?’^цВ, получаем
в результате применения алгоритма Тарского — Куратовского,
ЧТО ГЛ,(в6А1-л-в

Если же || у ||в = 0, то, как объясняется в доказательстве тео-
ремы XXI, те же подстановки опять-таки показывают, что
г д 1, А, В

ТШ,В £ Д1

Отсюда, как в доказательстве теоремы XXI, вытекает требуе-
мый результат^

Следствие XXXV. Если у 6 Тв, то {х | х G ТА*& (| х ||л =
= || у ||в} £ А}’ л’ в равномерно по у относительно некоторой
всюду определенной функции.
Доказательство. Заметим, что

{X I х е ТА & || X ||А = II у ||в} =

= {х I х е ТА & || X ||А < || у ||в + 1 & || у ||в < || X ||А 4- 1},
и будем рассуждать далее, как при доказательстве теоремы
ХХШ(Ь).И

Что можно сказать о классе ^-конструктивных ординалов,
если позволить А меняться? В частности, что представляют собой
гиперарифметические ординалы, т. е. ординалы, соответствующие
деревьям с конечными путями, обладающими гиперарифмети-
ческими характеристическими функциями? Докажем в качестве
первого приложения теоремы XXXV следующую теорему, из
которой следует, что гиперарифметические ординалы суть в точ-
ности конструктивные ординалы.

Определение. Пусть X — наименьший неконструктивный орди-
нал. При любом А обозначим через Аа наименьший ординал,
не являющийся Л-конструктивным.

Теорема XXXVI (Спектор [1955]). В[Сь А => Ав С АА
Доказательство. Допустим, что В Ch А, но Аа < Ав.

Тогда существует такое у € Тв, что || у ||в = АА. Но тогда ТА =
= {х | х 6 ТА & || х ||А < || у ||в). По теореме XXXV ТА С
£ Д1’А' в. Но В Сь А => Ai’ А' в = А}’А, что доказывается с по-
мощью подстановки предикатной формы аналогично тому, как
это делается в доказательстве теоремы XXXI. Поэтому ТА 6
6Д}’Л, а это противоречит П}’ ^-полноте множества ТА.Л

Следствие XXXVI (Спектор), (а) [х 6 Тв & В 6 AJ] => || х ||в

конструктивен.

(Ь)	А < кА <=> Т Си А.

(с)	В Сь А => [А8 < Аа <=> Тв Ch А].

Доказательство, (а) Заметим, что если множество А
рекурсивно, то Аа = А. Применим теперь теорему с рекурсивным
А и В е А}.

(Ь)	=>. Пусть А < Аа. Тогда || у ||А = А для некоторого
у € ТА. Поэтому Т — {х | х € Т & || х || < || у ||А}. По теоре-
ме XXXV ТЕД!’4, т. е. Т Сь & (по определению).

<=. Пусть Т Сь А  Согласно теореме, А7 С А А Остается
показать, что А < А7". Определим следующим образом рекурсив-
ную относительно Т функцию ф:
ф(0) = 1,

.	-у, „ I 01 если п $ Т',

ф(п ® /(х)) =1	-

( Чп\Кх)Ь если п t Т.

Тогда ф — характеристическая функция дерева т с конечными
путями и всякое рекурсивное дерево с конечными путями содер-
жится в т в качестве некоторого отростка. Поэтому о(т) = Л.
Пусть ф = <pj. Тогда || z ||т = X, а потому X < %т.

(с)	Это — обобщение утверждения (Ь) (см. упр. 16-57).а

В § 16.7 мы покажем, что существуют негиперарифметические
множества, гиперстепени которых меньше гиперстепени множества
Т. Отсюда следует, что обращение теоремы XXXVI не имеет места
(см. упр. 16-58).

Сформулированное в следствии XXXVI(a) утверждение может
рассматриваться как некоторое сильное свойство замкнутости
типерарифметических множеств. По данному гиперарифметиче-
скому множеству А мы могли бы пытаться получать множества
все более и более высоких степеней, образуя сначала все множе-
ства с индексом а, пробегающим по всем Л-конструктивным
ординалам, и повторяя затем этот процесс применительно к мно-
жествам, полученным таким образом. Наше следствие показывает,
что таким путем мы не сможем „вырваться" из области гиперариф-
метических множеств; действительно, уже однократное применение
этой операции к произвольному рекурсивному множеству дает все
множества Та (с точностью до рекурсивного изоморфизма), и все
другие множества, получающиеся повторными применениями этой
операции, должны быть сводимы к уже полученным. Это свойство
замкнутости согласуется с нашим неформальным рассмотпением
обобщенной вычислимости в § 16.5.

^•множества и Л*-множества

Используя теорему XXXV, мы получим теорию 2*-множеств
и Д,-множеств, аналогичную теории Щ-множеств и Д*-множеств,
изложенной в § 16.4. Эти результаты принадлежат Московакису
и связаны с результатами Судзуки (см. теоремы XLVI, XLVII
и XLVIII).

Определим некоторые понятия, аналогичные Т, || х || и Та. Мы
используем верхние индексы, чтобы отличать обозначения этих
новых понятий.

Определение. Положим Т2 = U ТА. Для х € Т2 положим
ACN

•А — {А [ х £ ТА} и || х ||2 = min || х ||А. Для произвольного
ординала а полагаем Та = (х | х € Т2 & || х ||2 < а}.

Сначала мы докажем аналог теоремы XX, а затем получим
аналоги теорем XXI и XXII.

Теорема XXXVII. Т2 является ^-полным множеством.

Доказательство. По определению Т2 = {z | (34)
(z € ТЛ]}. Мы видели, что ТА € П}’А. Поэтому Т2 Е S* (см.
разъяснения относительно переменных и кванторов для множеств
в конце § 16.1).

Возьмем произвольное В Е S*. Имеем В — {х | (3/)(Vg)
(ЭиОГг, i(z,/(tr), g(u>), я)} при некотором z. По произвольным
данным хи/ определим /-рекурсивную функцию ф следующим
образом. Положим для всех gsw

yh(g(w))=[ 4’ если f*(z’	ж);

\s \ (Ob противном случае.

Некоторый индекс для ф как /-рекурсивной функции можно
найти равномерно по х (и независимо от /). Пусть h — взаимно
однозначная общерекурсивная функция, дающая эти индексы.
Тогда х Е В <=> (3/)1фл(Я) есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями] <=> (3/)[Л(л:) Е <=>
<=> h(x) Е Т2 (см. упр. 16-60).$ Поэтому В 1-сводится к Т2 функ-
цией А.и

Определение. Для произвольного множества А назовем w =
= (u, v) его А^-индексом, если и есть 2*-индекс множества A, a v
есть его Щ-индекс.

Теорема XXXVIII. Каково бы ни было у Е Т2, Е рав-
номерно по у относительно некоторой всюду определенной функции,
т. е. (3 общерекурсивная g) (Уу)1у Е Т2 =>[g(i/) есть ^-индекс
для Т^ц,].

Доказательство. Пусть у Е Т2, Тогда

х Е 7Ьц* (Wy Е тв =ф- (34)[я Е ТА & || х ||л < || у [|в]] <=>

<=> (34)[х Е ТА & П(ЗВ)[у Е Тв & || у ||в < || х ||л +Ц].

Из теоремы XXXV извлекаются П’-форма для первого выраже-
ния и S‘-форма для второго, причем их индексы находятся равно-
мерно по у (см. упр. 16-61).я,

Теорема XXXIX (теорема об ограниченности). Пусть А Е SJ
и h — такая общерекурсивная функция, что (Уж)[х Е А <=>
<=> Цх) € Г]. Тогда А € Д‘ <=> (Эу)[у € Т2 & (Vx)[x 6 А =>
=>11 II2 < II У II2]]-

Доказательство. <=. Если такой у существует, то
А Tf|V||2. Но тогда А € А* по теореме XXXVIII.

=>. Если такого у нет, то Т2 = {z | (Зх)[х € А & z £ Г|*|Л(х)ц»]}-
Если А 6 Щ, то по теореме XXXVIII Т2 6 П1, что противоречит
теореме XXXVII. в

Следствие XXXIX. (а)

А € AJ <=> (Зу)1 у € Т2 & А Tfiy||2] <=>

<=> (Зу)1у € Т2 & А <т r^ip].

(Ь) (3 общерекурсивная g) (VA) (Vw) [если А £ А* и w — неко-
торый [А\-индекс множества А, то g(w) Т2 и А ^’?|g(w)jpl«

Доказательство. Доказательства пунктов (а) и (Ь)
проводятся параллельно доказательствам следствий XXII (см.
упр. 16-62). и

Определение. Положим ЭД = (а | (Зу)[у € Т2 & а = || у ||2]}.

Определение. Ординал а называется ^-ординалом, если суще-
ствуют такие Aj-множество А и z € ТА, что а = || z ||А.

Какие ординалы входят в ЭД? В ЭД содержатся, очевидно, все
конструктивные ординалы. В § 16.7 мы покажем, что всякий орди-
нал из ЭД есть Ag-ординал и что существуют А^-ординалы, не при-
надлежащие множеству ЭД (следствия XLV (d) и XLV (е)). В сле-
дующей теореме мы устанавливаем, что ЭД не ограничено сверху
никаким А'-ординалом. Отсюда и из только что упомянутых
результатов § 16.7 следует, что ординалы из ЭД не образуют
начальный отрезок ординалов. В упр. 16-63 мы увидим, что поряд-
ковый тип множества ЭД не есть А*-ординал. Таким образом, ЭД
представляет собой собственное конфинальное подмножество Д2-
ординалов того же порядкового типа, что и множество всех А^-
ординалов.

Теорема XL. (Эж)(ЗВ)[В £ AJ & х £ Тв & а = || х ||в] =>J
=> (Зу)[у е т2 & а < II у ||21.

Д оказательство. Допустим противное. Тогда В С AJ,
х € Тв и (Vy)[y 6 Т2 => || у ||2 < || х ||в 4- 1]. Применяя технику,
использованную при завершении доказательства следст-
вия ХХП(Ь), найдем такой х', что || х' ||в = |] х ||® 4~ 1. Тогда
fy f Г <=> (ЗА)[|| у )|А< Ц ||в].

Но в силу теорем XXXV и XXXIV отсюда вытекает, что Т2 £ AJ,
в противоречие с теоремой XXXVII.e
Определение. Положим х <7’2 у, если х Е Г1 & у € Тг &
& [|| х Н2 < II у II2 V (IIх IP = II у II2 & х < у]].

Отношение <Т2 есть ЗД-отношение, и всякий ограниченный
начальный отрезок упорядочения <т2 есть Д*-отношение (что
доказывается так же, как следствие XXIII). Отсюда, между про-
чим, вытекает, и притом без использования результатов § 16.7,
что всякий ограниченный начальный отрезок множества ?1 изомор-
фен (как вполне упорядоченное множество) некоторому Д^-орди-
налу. Теперь может быть развита теория ^-вычислимости, парал-
лельная теории nj-вычислимости, изложенной в § 16.5. В част-
ности, могут быть доказаны теорема об однозначности, принцип
редукции и существование пары непересекающихся SJ-mhotkcctb,
не отделимых Д^-множеством, а также принцип редукции для
S* множеств функций (см. упр. 16-64 и 16-65). На первый взгляд,
многообещающим представляется распространение описанной тео-
рии на Пд-множества. Определим ТА<В очевидным образом. Пусть

Т3 = П U ТА' в = {z | (VB)(3A)[z £ ТА‘ В1}.

Bc-V AdN

Пусть || z ||3 == sup min || x ||A’ в, где Л = {A | z E TA’ в}. Пусть
bcn

П = {z | z E T3 & || z ||3 < a}.

T3, как легко видеть, Щ-полно. Tj'li'll3 € 2* равномерно по у
(если у Е Т3, то [х € Л|уцз (3D) (VC) [у £TC'D=> (VB)
(ЗА)[|| х ||А’ в < || у ||с’D]]]). Однако мы не можем дока-
зать, что Т^цз € Щ равномерно. (Почему высказывание
(VB)(3A)[z € ТА- в & (3D) (VC) -1 [|| у ||с’ D < || х ||А> в + 1]] ока-
зывается ложным? См. упр. 16-66.) Действительно, если бы мы
смогли это доказать, мы получили бы и доказательство принципа
редукции для Щ-множеств, а, как известно из трудов Гёделя
и Аддисона, существование такого доказательства влекло бы за со-
бой противоречивость системы ZF теории множеств (см. Адди-
сон [1959]).

§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ

И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ

Определение. Пусть —класс гиперарифметических функций.

ОвозначЕниЕ. Мы сокращаем запись (3/)[/ € Si& . . .1 до
(3/W- •
Теорема XLI (Клини). Пусть R —рекурсивное отношение,
и пусть

А = {х | (3/)^(Vir) R(J(w), х)}.

Тогда A G Пф

Доказательство. Пусть ср* означает то же, что
и в § 16.5. Напомним, что по z можно эффективно найти некото-
рый Пфиндекс функции а если <р£ всюду определена, то и неко-
торый 2 J-индекс функции может быть найден равномерно по z
с помощью соответствующей всюду определенной функции.

Теперь (3f)^(yw)R(f(w), х) <=> (3z)[cpJ всюду определена &
& (Vtp)7?(cpl(iz;), ж)] <r=> (3z)[(Vu)(3n) [«w, v) €	& (Vu>)(Уу)Пг/

есть кодовое число кортежа длины w & (Vu)(Vn)[[n <С ш & и есть
(п + 1)-е значение в кортеже, представимом у] => (п, и) £ <pj ]] =>
=> R(y, х)П.

Подставляя (в последнее выражение) Пфформу для ср) вместо
первого вхождения этой функции и равномерную 2 J-форму вместо
второго вхождения, получим, что 4 6Пф'н

Следствие XLI(a). Существует такое рекурсивное множество
S, что

даже когда П (3/)^>(Vw)S(/(w)).

Доказательство. Пусть B=El = {zj| (H/)(Vw) ~~\T*^i(z,
f(w), z)}. Положим

А = {z | (ЗД^У^ППлДг, f(w), z)}.

Имеем А с. В. Пусть одним из nj-индексов множества А служит
z0. Тогда, согласно определению В, z0 Е В & z0 $ А. Поэтому
(3/) (Vrz^)-]T’I, i(z0,/(tp),z0),iHo_l(3^<ss(Vw) Д П, i(z0,/(«>), z0)- Пола-
гая S — {у | TT*, i(z0, y, z0)}, получим искомый результат.

Это следствие допускает также такую интересную формули-
ровку. '

Следствие ХЫ(Ь). Существует рекурсивное дерево, имеющее
бесконечные ветви, но не имеющее бесконечных гиперарифметиче-
ских ветвей.

Доказательство. Непосредственно. -

Теорема, обратная к теореме XLI, будет доказана в качестве теоре-
мы XLIV.

Определение. Пусть R — семейство классов функций, —
класс функций. ‘ё называется базисом семейства R, если
(v^m е r => кэ/)[/ е <=> (а/)[/ е« & / е

Например, легко показать, что класс рекурсивных функций
есть базис семейства рекурсивных классов функций (упр. 16-67).

В задачах, касающихся базисов, мы иногда пользуемся приня-
тыми в теории иерархий обозначениями применительно к классам
функций или же к семействам классов функций. Например, толь-
ко что упомянутый результат можно сформулировать так: есть
базис в S® (т. е. класс всех функций, каждая из которых предста-
вима в 2“-форме, есть базис в семействе классов, каждый из кото-
рых представйм в ^“-форме)1).

Рассмотрим такое семейство классов что для некоторого
рекурсивного отношения 5 справедливо ^ = {/ | (Vw)S(f(w))}.
Следствие X.LI показывает, что класс гиперарнфметических функ-
ций не образует базиса в этом семействе. В силу теоремы V это
семейство есть семейство всех П“-классов. Поэтому можно так
сформулировать наш результат: А] не является базисом для Щ.

Образуют ли П.-функции базис в HJ? Очевидно, что нет,
поскольку, согласно § 16.5, Щ-функции (всюду определенные)
совпадают с гиперарифметическими функциями. (На самом деле,
при любом п понятия всюду определенных S„-функций, Щ-функ-
ций и А „-функций совпадают.)

Образует ли класс всех функций, рекурсивных относительно
nj-мпожеств, базис в П,? Да,, образует, как мы сейчас покажем.

Теорема XLIL Пусть отношение S рекурсивно. (Э/)(Уш)
=> (3f)[f рекурсивна относительно Т & (Уш)5(/(ш))].

Доказательство. Пусть S дано. S определяет некото-
рое рекурсивное дерево т. (Произвольная вершина принадлежит т,
еслп S истинно для нее и для всех вершин пад ней.) Пусть
(3/)(Vu’)S(/(ip)). Мы дадим инструкции для рекурсивного относи-
тельно Т вычисления значений такой /.

Чтобы вычислить /(0), поочередно проверяем последователь-
ные отростки т, чтобы с помощью Т решить относительно каждого
из них, является ли он деревом с конечными путями. Некоторый
отросток обязательно окажется не таким. Пусть т0 есть наимень-
шее из таких и, что u-й отросток т не есть дерево с конечными
путями. Положим /(0) = О-о-

При вычислении /(п) будем считать, что /(0), . . ., f(n — 1)
уже вычислены. Поэтому ?(п) известно- Поочередно проверяем
последовательные отростки дерева, получающегося из т, если
взять вершину /(п) вместе со всеми вершинами, лежащими ниже
ее. н

1) Всюду ниже в задачах о базисах рассматриваются всюду определен-
ные функпии.— Прим, перев.
Следствие XLlI(a). Класс функций, рекурсивных относительно
Т, есть базис в П".

Дока зательство очевидно. и

Следствие XLIl(b). Класс функций, рекурсивных относительно
Т, образует базис в 2*.

Доказательство, Пусть £ есть 2}-класс. Тогда Л —
= {/ I (3g)(Vip)/?(/(ir), ?(“*))} Для некоторого рекурсивного отно-
шения R.

Но

е м => (a/)(ag)(VuWM,_£(№)) =>

=>- (^h}('iw)R{nlh(w), n2h(w)) -=>

=> (3/i) [h рекурсивна относительно T &
(yw)R(nth(w), n2h(w))] (в силу теоремы) =>

=> (3))[/ рекурсивна относительно Т & (3g)[g рекур-
сивна относительно Т & (Vw)R(f(w), g(w))J] =>

=> (3/)[/ рекурсивна относительно
т & (а^(Уш)д(Лш),	=>

=> (3/) [/ рекурсивна относительно Т & / Е Л\.

Поэтому все приведенные выше формулы эквивалентны,
и (3/)[/ Е <Ai\ <=> (3/)[/ рекурсивна относительно] Т &/ €^1-и

Обязательно ли использовать функции той же степени, что
и Т (или даже той же гиперстепени, что и Г), чтобы получить
базис в П$? Ганди получил на этот счет следующий результат.

Теорема XLIII (Ганди [I960]). Пусть ё — класс всех функций,
гиперстепена которых меньше, чем гиперстепенъ Т, т. е. VS =
= {/ | / Г &, Т /}, Тогда ё образует базис в П£.

Доказательство. Пусть дана некоторая всюду опре-
деленная функция g. Как отмечалось в § 16.6, понятие гипсрариф-
метической вычислимости из § 16.5 может быть релятивизовано,
так что порождаемыми станут Пре множества VKo’g, Wi’g, . . .
и П}’*-функции фо’8- ф] s, . . .. Прямая релятивизация доказа-
тельства теоремы XLT дает тогда следующий результат:

если R рекурсивно относительно g, то {х | (3/)[/ g &
MVw)W), я)]} ЕПр*.

Доказательство следствия XLT(a) также допускает тогда реля-
тивизацию, приводящую к существованию такого z0, что
(3/)(Уш) "I TTfi(z0, Дш), z0) (<^(3/)(V«;)	T2\i(z0, g(v), 7(w), z0)),

но при этом П (3/)[/ g & (Уш)-] T*gi(z0, f(w), Zo) ](<=>П (3/)
I/Chg &	72, i(z0, g(w), f(w), z0)]). (Cm.

Это Zo не зависит от выбора g. Поэтому мы
рекурсивное отношение 5, что
^g)(^w)SCg(W), 7(ш)),

упр. 16-68.)

имеем такое

но при этом (Vg)(V/)l/<h (Vu>)5(g(u?),

Пусть 7? — произвольное рекурсивное множество. Мы хотим
показать, что

(3g)(Va7)7?(g(u;)) => (3g)[g Ch Т & Т <h g & (V^)7?(g(^))].

Введем Q — {(u, vy ) 7?(w) & S(u, t>)}. Тогда

(3g)(Vu’)7?(g(u’)) => (3^)(Vu?)(2(n1/i(w’)1 H2/?(ir)) (по определению 5)=>

=> (ЭЛ) [?i рекурсивна относительно T &

& (Vw)Q(3iih(w), n2h{w))] (по теореме XLI1)=>

=> (3/)(3g)[/ и g рекурсивны относительно T &

& (Vu')R(g(w’)) & (Vw)S{g(w), /(ш))1 =>

=> (3/)(Hg) [/ и g рекурсивны относительно T &

& (Vw)R(g(w)) & / g! (по построению S)=>

— (3g) [g рекурсивна относительно T &

& 7’<h g & (Уш)Т?(7(ш))] =>

=> (3g)[g Ct T & T <h g & (Уш)2?(ё(ш))].и

Следствие XLIII(a). Класс всех функций, гиперстепени которых
меньше гиперстепени множества Т, образует базис в SJ.

Доказательство. Такое же, как в следствии XLII(b).B

Следствие XLIII(b). Существует гиперстепенъ, промежуточная
между AJ (наименьшей гиперстепенъю') и гиперстепенью множе
ства Т.

Д ока зательство. Непосредственно с помощью след-
ствия XLI(a).|

В упр. 16-69 мы покажем, что существует бесконечно много
таких гиперстепеней.

Ряд результатов о базисах был получен в связи с гиперариф-
метическими множествами. Будем говорить, что множество А
определимо е 2J- форме с в качестве базиса, если существует
такое рекурсивное отношение- R, что

(i)	А = {z I (а/)(Уш)т?(7(^), z)}
и

(ii)	(Уг)!(Э/)(Уи,-)2?(/(ш), z) => (3/)[/ € « & (Vk;)R(/(ip\ z)]].
Из теоремы XLI немедленно вытекает, что всякое множество, опре-
делимое в 2 J-форме с гиперарифметическими функциями в каче-
стве базиса, является гиперарифметическим. Клини [1959а] пока-
зал, что гиперарифметические множества могут быть индуктивно
порождены следующим образом: всякое гиперарифметическое мно-
жество определимо в ЕJ-форме с функциями, рекурсивными отно-
сительно ранее полученных Т-степеней, в качестве базиса. См.
упр. 16-99. Эти результаты представляют другой аспект рассмат-
ривавшихся в § 16.6 свойств замкнутости гиперарифметических
множеств.

Теперь мы с помощью основной леммы о деревьях докажем
обращение теоремы XLI.

Теорема XLIV (Спектор). Если А £ П|, то существует такое
рекурсивное отношение R, что А = {х | (3/)^> (Vw)7?(/(tr),a:)}.

Доказательство. По ходу доказательства нашей
главной целью будет получить арифметическое отношение Р сс
, обладающее следующими двумя свойствами, (i) z G
G Т => [Р(/, z) <=> / есть характеристическая функция множества
{(и, к) I и G т & V G т & II и || < || V || < || z ||}1. (ii) [z е Т &
& Р(/, z)] => / совпадает на N X Тс характеристической функцией
множества {{и, к) | и G Т & v G Т & || и || < || v ||). Как только
такое Р будет получено, теорема доказывается прямыми рассуж-
дениями.

Условимся говорить о числе х, что х есть дерево, если <рж —
характеристическая функция некоторого дерева, т. е. если
(Уи)[фж(и) = 0 V фх(и) = 1] & (Уи)(\/р)[[фх(и) = 1 & кортеж (соот-
ветствующий кодовому числу) и есть продолжение кортежа
(соответствующего кодовому числу) v] => фх(п) = 1]. Отметим, что
последнее выражение дает П“-форму для множества {х | х есть
дерево}.

Положим С = {/ | (Vu)[/(u) = 0 V f(u) = 1]}, а также

М = {{f, х, у) | х есть дерево & у есть дерево &

& [[|| х || = 0 & || у ||=1] V 1П1Ц у ||=0] &(Зтп)(Уп)[/((Ь(п, х),
b(m, у)»=1] &(Vm)[|| b(m,y) ||=0 V (3s)[/(s, Ъ(т, у)) =!]]]]},
где Ъ — определенная в § 16.3 общерекурсивная функция, с помо-
щью которой получаются отростки данного дерева.

Вспоминая основную лемму о деревьях, отметим некоторые
свойства отношения М.

1.	Пусть / — характеристическая функция множества
{{х, у} | х G Т & у G Т & || х || < || у 1|}. Тогда / удовлетворяет
соотношению

С(/) & (V^)(Vy)[/((x, у}) = 1 <=> М(/, х, у)].
2.	Этому арифметическому соотношению удовлетворяют и дру-
гие функции /. Если бы это было не так, то в силу аргументов,
использованных при доказательстве теоремы XI, характери-
стическая функция из пункта 1 была бы гиперарифметической, что
противоречит теореме ХХШ(с) (см. упр. 16-71).

3.	Пусть у0 (Е Т, a f совпадает с характеристической функцией
множества {(u, v) | и € Гцуоц & v € ГцУ01| & || и || < || v ||} на мно-
жестве N X Г||Уо||. Пусть, далее, С(/) & (Vx)(Vp)lf( {х, у}} = 1 <=>
<^> М(/, х, £/)]. Тогда

С(7) & (Vx)[/((x, г/о» = 1 <=> X € Т & || X || < || у0 || 1,

а потому / совпадает с характеристической функцией множества
{{и, и) | и € ^ПуоЩ-! & v € УцуоИ+i & || и || < II v ||) на N X Гцуоц+1.
Это непосредственно вытекает из основной леммы о деревьях.

4.	На самом деле, какова бы ни была функция /, если C(f) &
& (V^)(Vy)l/((х, г/)) = 1 <=> М(/, х, у)], то / совпадает с харак-
теристической функцией множества {(и, v)\u£T&v£T&
& || и || < || v ||} на множестве N X Т. Это утверждение получается
из утверждения 3 с помощью индукции по || у0 ||.

Положим теперь

Р = {</, z> | C(f) & (Vx)(Vy)[/((z, у» = 1 <=> [M(f, х, у) &

& (Vm)(3n)[/(<b(n, z), b(m, у))) = 0]]] & (Va:)(Vp)

[f({x, у» = 1 => (Vn)[f((b(n, y), z>) = 1]}.

Докажем теперь некоторые касающиеся Р факты.

5.	Если z С Т и / есть характеристическая функция множества
{(.и, к) | и 6 Т & v 6 Т & || и || < || v (I < || z ||), то справедливо
P(f, z). Первый и третий конъюнктивные члены из определения Р
проверяются непосредственно. Что касается второго члена, то =>
проверяется непосредственно (см. свойство 1), а <= вытекает
из основной леммы о деревьях (см. свойство 3).

6.	Если z € Т и справедливо P(j, z), то / есть характеристи-
ческая функция множества {(u, и)|и67’&1>€7’&||м||<
< || v || < || z ||). Мы докажем это следующим образом. Пусть
z € Т и справедливо Р(/, z). Покажем сначала, что / совпадает
с характеристической функцией множества {(u, v) | и С Т &
& v^T & || и Ц < || v || <|| w II) на множестве N X ТцюП-н при всяком
w, для которого имеет место w € Т и 0<|( w |К|| z ||. Это непо-
средственно доказывается обычной индукцией по || w || с использова-
нием второго члена из определения Р (см. упр. 16-71 и свойство 4).

Из третьего конъюнктивного члена в определении Р непосред-
ственно вытекает, что / = 0 на множестве N х T’nziH-i-

7.	Если z Е Т, то P(f, z) справедливо для одной и только одной
/, и эта f — гиперарифметическая функция. Единственность /
следует из свойств 5 и 6. Но если / единственна, то

/ = {<*> У) I (3g)l/’(g, z) & g(x) = yl) =

= {<*> У} I (Vg)lP(g, z) => g(x) = у]}.

Так как Р — арифметическое отношение, получаем / С А} г).

8.	Если z $ Т и P(j, z), то / на множестве N X Т совпадает
с характеристической функцией множества {{и, р) | и € Т &
& v С Т & || и || < [I v ||}. Это утверждение доказывается индук-
цией параллельно доказательству свойства 6, но здесь || w || про-
бегает по всем конструктивным ординалам. Как и в свойстве 6,
для проведения индукции используется второй член из определе-
ния Р. Третий член не используется (см. упр. 16-71). (Для некото-
рых z $ Т может и не найтись такой функции /, что Р(/, z).)

9.	Если z (t Т и Р(/, z), то / не является гиперарифметической.
Возьмем произвольное у £ Т. Тогда в силу свойства 8 Тц^ц =
= {х |/((а:, у>) = 1). Поэтому, согласно следствию XXII, всякое
гиперарифметическое множество рекурсивнб относительно /.
Поэтому / не может быть гиперарифметической (см. теорему X).

На основании свойств 7 и 9 мы можем сразу заключить, что
т = {Z I (Э/)да 2)}.

Применяя алгоритм Тарского — Куратовского к арифметическим
отношениям С, М и Р, мы сначала получим, что С 6 П? и М Е А®,
а затем, что Р Е П“. Поэтому

z Е Т <=> (3/)да (Vz)(3y)(Vir).R(/, х, у, w, z)

для некоторого рекурсивного отношения 7?, где / единственна,
если z Е Т. Теперь мы преобразуем числовые кванторы за счет
введения подходящих кванторов по функциям. Итак,

z Е Т <=> (3/)^(3g)(Vx)[(Vip)7?(/, х, g(x), w, z) &

& (Vu)[u < g(x) =>	x, щ w, z)]].

Если z E T, to g, понятно, единственна и является арифметиче-
ской относительно однозначно определенной гиперарифметиче-
ской функции /. Поэтому

z Е Т <=i> (3/)<^(3g)<^(Va:)(3w)5(/, g, ж, w)

для некоторого рекурсивного отношения S, где / и g определяются
однозначно при z Е 7; отсюда

Z Е т о (3/)^(3g)^(3/i)(Va;)[5(/, g, х, h(x)) & (Vu)

lu < h(x) => g, x, I*)]].

*) Из свойств 6 и 7 получается новое, независимое доказательство теоре-
мы XXI, т. е. импликации z £ Т =£ Тц2|] ё А} (см. упр. 16-71).
Если z С Т, функция h, очевидно, единственна и арифметична
относительно однозначно определенных гиперарифметических
функций / и g. Поэтому имеем

z е Т <=> (3/)^(3g)^(3fe)^(vip)<?(7(tp), ~g{w), h(w), z)

для некоторого рекурсивного отношения Q, причем j, g я. h опре-
деляются однозначно, если только z 6 Т. Отсюда

z €Т <=> (3/1)^>(Уш)<2(л^(^).	z),

где h однозначно определена при z С Т.

Таким образом, Т представлено в желаемой форме.

А так как всякое 11}-множество 1-сводимо к Т, произвольное
П|-множество представимо в желаемой форме. и

В упр. 16-101 будет дано несколько более краткое доказатель-
ство теоремы XLIV. Настоящее доказательство, однако, приводит
к следующей характеристике гиперарифметических множеств:
всякое множество, неявно определимое в элементарной арифме-
тике, является гиперарифметическим, и всякое гиперарифметиче-
ское множество 1-сводимо к некоторому множеству, неявно опре-
делимому в элементарной арифметике. Сформулируем этот факт
в виде следствия доказанной теоремы.

Следствие XLIV.(a) {А} € AJ => А Е А}.

(Ь) А € А} (ЭВ)[4 =Ci В & {В) Е AJ].

Доказательство. Утверждение (а) прямо доказывается
методом, использованным для доказательства свойства 7.

Чтобы доказать (Ь), достаточно показать, что для всякого у € Т
справедливо (ЗВ)[Тцуц В & {В} Е AJL Если / — характеристи-
ческая функция множества {(u, v) 11| и || < || v ||	|| у ||), то,

согласно свойству 7, {/} € AJ- В этом случае Тцуц т(/) и, как
доказывается методами, примененными в теореме 15-XXV,
{т(/)} £ AJ (см. упр. 16-74). Обратно, пусть {В} Е AJ и A =Ci В.
Тогда, согласно (а), В Е А}, а потому и А Е А}-и

Утверждение (Ь) может быть следующим образом усилено.

Следствие XLIV(c). А Е А1 <=> (ЭВ)[А В & {В} Е Щ].

Доказательство непосредственно следует из доказа-
тельства настоящей теоремы и теоремы 15-ХХУ.и

Справедливо также

Следствие XLIV. (d) А Е А} <=> (3/)[А <т / & {/} Е П*].

(е) 4 Е А} <=> (ЭВ)[4 <т В & {В} Е П°].

Доказательство. Утверждение (d) доказывается, отпра-
вляясь от последней формы для Т .в доказательстве теоремы,
так. как n\h h.
Часть (е) получается теперь с помощью теоремы 15-XXV.j

Следствия XLIV(d) и XLIV(e) усиливаются в теореме LII
и в упр. 16-98.

Верно ли, что всякое гиперарифметическое множество неявно
определимо в элементарной арифметике, т. е. верна ли импликация
А Е А) {Л} Е AJ? Феферман получил отрицательный ответ
на этот вопрос, используя методы Коэна, связанные с понятиями
вынуждения и генеричности. См. упр. 16-72. Приведем, однако,

Следствие XLIV. (f) Л Е А) О (Л) Е А* <=> {Л} € 2}.

(g)	Л.Е Д} <=> (ЗВ)[В Е Д| & {<л, В)} Е д1»].

(h)	Л Е А* <=> (ЗВ)[В Е А) & {<Л, В)} Е П“].

Часть (g) утверждает, что всякое гиперарифметическое множе-
ство „почти неявно определимо11 в элементарной арифметике в том
смысле, что оно и некоторое другое гиперарифметическое множе-
ство могут быть „одновременно неявно определены11. Первоначально
результаты о неявной определимости гиперарифметических мно-
жеств были получены именно в такой форме.

Доказательство, (f). (i) Л Е Д} => {Л} Е А]. Пусть
Л Е А). Заметим, что (Л) = {X | (Vrc)ta: Е X => х Е A] &(Vx)kcE
Е Л => х Е X]}. Подставляя соответствующие формы для
Л в правую часть импликации, получим желаемый результат.

(ii)	{Л } Е А) =>'{Л) Е 2}. Это тривиально.

(iii)	{Л} Е 2} => {Л} Е А}- Пусть {Л} Е 2) и В(А) — некоторая
2гФ°Рма’ представляющая {Л}. Тогда и

л = {х । (зх)[я(х) & х е X]} =
= {х | (УХ)[Я(Х) => х Е XI),

откуда извлекаются требуемые 2)- и П}-формы для Л.

(g)	ч=. Пусть (ЗВ)[В Е А) & {<Л, В)} Е Д^1 и Я(Л, В) - неко-
торая арифметическая форма для {{Л, В)}. Тогда {Л) =
= {X | (ЗВ)7?(Х, В)} и мы имеем {Л} Е 2). Отсюда в силу (f)
Л Е А).

=>. Пусть теперь Л Е А). Воспользовавшись (Ь), возьмем такое
В, что {В} Е AJ и Л В. Пусть S(B) — некоторая арифметиче-
ская форма для {.В}. Пусть функция / 1-сводит А к В. Тогда
{<Л, В)} = {<Х, У> | 5(У) & (Vz)[a: Е X <=> f(x) Е У1}, и мы по-
лучаем искомую арифметическую форму.

(h)	См. упр. 16-75.в

В связи с (f) Бенсон анонсировал результат, гласящий, что для
всякого уровня гиперарифметической иерархии существуют
гиперарифметические множества, обладающие неявными „гипер-
арифметическими" определениями, лежащими выше данного уров-
ня, и не допускающие таких неявных определений, лежащих
ниже его. (Уровни гиперарифметической иерархии определяются
в § 16.8.)

Является ли Si, класс всех гиперарифметических функций,
гиперарифметическим классом? В упр. 16-76 мы покажем, что это
не так и что Si € (Щ — 2}). Является ли класс всех арифметиче-
ских функций арифметическим? Аддисон, используя методы Коэ-
на, показал, что это не так (см. упр. 16-73).

Теперь мы обратимся к AJ-множествам. Мы получим теорему
о базисе, противоположную по форме результату, полученному
в следствии XLI для А}, но при этом получим результаты о неяв-
* ной определимости, аналогичные' результатам о А}, полученным
в следствии XLIV. Наши результаты следует из фундаменталь-
ного факта, установленного вцачале Кондо для классической
иерархии проективных множеств, а затем доказанного Аддисоном
и для аналитической иерархии.

Пусть & cz JT и £Р Е Пр Тогда £Р = {А | (V/)(3i/)7?(A, /, у)}
для некоторого рекурсивного отношения Rcz jfA X 'ip X N.

Определение, z называется Щ-индексом класса еР, если

& = {А | (Vf)(By)T2t 0(z, А, т(/), у)}.

Заметим, что

(V/)(3y)T2>0(z, A, т(/), У) (Vf)(3y)T'^0(z, f, у) <=>

(V/)(3y)Ry))

в силу определений. (См. определения, предшествующие тео-
реме XXX.) Итак, (z есть П*-индекс для еР) <fP =
= {А | (V/)(3z/)7’*^o(z1 /(*/))}• Отметим также, что отношение

{<А, z, и> | T^0(z, и)}

рекурсивно.

Теорема XLV (Кондо, Аддисон). Если еР cz JR и cP Е П}, то
существует такое что @ cz , й Е Щ к

(i)	= 0 => ® = 0,

(ii	) еР =/= 0 =4- (ЗА)[® = {А} & И Е еР], .

причем некоторый П}-индекс класса Q, находится по Щ-индексу &
равномерно с помощью всюду определенной функции.

Доказательство. Введем несколько определений, свя-
занных с выбранным нами кодированием кортежей натуральными
числами.

Определение. Скажем, что у продолжает х, если кортеж, пред-
ставимый (кодовым числом) у, есть собственное продолжение кор-
тежа, представимого (кодовым числом) х.
Отметим следующее свойство выбранного кодирования корте-
жей натуральными числами: (Vx)(Vy)[i/ продолжает х =>
=> У > (см. упр. 16-77).

Определение. Пусть х есть кодовое число кортежа . . ., xh,
ay — кодовое число кортежа г/ь . . ., ут‘, обозначим через х*у
кодовое число кортежа . . ., xh, у^, . . ., ут. Очевидно, что
функция кху[х * у] общерекурсивна. Отметим, что О*у = у для
всякого у.

Определение. Пусть t — такая общерекурсивная функция,
что для всякого X

ФЩ,») = Мф?(г * УЖ

Таким образом, если <pf — характеристическая функция дерева
т, то Ф^(ж>г) — характеристическая функция дерева, получаю-
щегося из т, если взять все вершины т, начиная с вершины
(с кодовым числом) х и ниже. (Функция t является, понятно,
обобщением функции отростков Ь, определенной в § 16.3.)

Условимся, что на протяжении последующего доказатель-
ства произвольное данное дерево с конечными путями не только
сопоставляет каждой своей вершине некоторый ненулевой орди-
нал, как в § 16.3, но также сопоставляет ординал 0 всем другим!
вершинам (всего функционального дерева).

Пусть дано аР и z — некоторый П]-индекс множества еР. Тогда
= {A I (V/)(ay)TVo(z, /(»))}.

Возьмем такое w, чтощля всех А

а(х)= ( если И T*A0(z, х)-
[0 в противном случае.

w, очевидно, Находится по z равномерно с помощью всюду опреде-
ленной функции. По определению <р^ является характеристиче-
ской функцией некоторого дерева с конечными путями тогда
и только тогда, когда А С еР, т. е. w С ТА <=> А € аР. (Напом-
ним, что ТА, || z ||А и rf определены в § 16.6.)

Теперь мы определим ($. В выражении для мы сокращаем
[и Е Тв & || и ||в < || v ||А] до || и |1В < || v ||А, а [и £ Тв & || и ||в =
= || и ||А] до || и ||в = || v ||А (для произвольных термов и и i>);
е. = (а । w е тл

& (VB) П 11| W ||в < || W ||А ] &

& (VB)[ II w ||в = || w ||А => (Vy)f(Vx)[x < у =* || i(x, ш) ||в =
= || t(x, w) ||А] => П (|| t(y, w) ||в < |[ t(y, w) ||А11] &
& (VB)l(Vx)l II t(x, w) ||в = II t(x, w} ||A] => (Vy)I(Va:)

{x < у => cB(x) = cA(x)l => cA(y) < cB(y)]l).

Отметим, что определение состоит из четырех пунктов.

Остается доказать, что й обладает желаемыми свойствами.

Е П}. Для доказательства воспользуемся Г1|’А-формой для
ТА и подходящими П1’А,В- и 2}'А’ ^-формами, полученными
в теореме XXXV и следствии XXXV для соответствующих выра-
жений. Затем применим алгоритм Тарского — Куратовского (см.
упр. 16-8). (Если w Е ТА, то t(x, w) Е ТА для всех х, и формы,
доставляемые теоремой XXXV и следствием XXXV, имеют желае-
мое значение. Если w $ ТА, то значение этих форм несуществен-
но.) Отсюда следует, что П}-индекс б равномерно зависит от z.

(i)	<g^==0=>g = 0. Получается непосредственно, посколь-
ку, как мы заметили, w Е ТА <=> А Е еР.

(ii)	<fp =/= 0 => (ЗЛ)[® = {А} & А Е сР1- Сначала покажем,
что @ содержит не более одного А. Рассмотрим по порядку
пункты определения.

Первый из них говорит, что А Е еР-

Второй утверждает, что для всякого В если В Е то || w ||АС
^|| w ||в. Поэтому для любых Ai и А2 из & имеем || ш ||А< = || щ||Ла.

Третий пункт говорит, что для всякого В если В Е оР и Ц w ||А =
= || w ||®, то т® должно быть расположено по крайней мере так же
высоко, как и| т£, в некотором „лексикографическом14 линейном
упорядочении деревьев с конечными путями. Поэтому для любых
A t и А 2 из имеем тА = т^«.

Четвертый пункт гласит, что для любого В если тА = т®, то В
должно располагаться по крайней мере так же высоко, как А,
в некотором „лексикографическом44 линейном упорядочении клас-
са ь^1)- Поэтому для любых At и Аг из получаем Ai = А2.

Остается показать, что cP 0 => (% =£ 0. (Это не очевидно,
так как использованное нами „лексикографическое44 линейное
упорядочение деревьев с конечными путями не является (как
линейное упорядочение всех деревьев с конечными путями) вполне-
упорядочением; также и использованное „лексикографическое44
линейное упорядочение класса JA не есть вполне-упорядочение.)
Пусть еР =/= 0.

1.	{А | А удовлетворяет первому пункту определения} 0.
Это очевидно, так как А Е &Р <=> w Е ТА.

2.	{А | А удовлетворяет первому и второму пунктам опреде-
ления} #= 0. Это очевидно, потому что упорядочение ординалов
есть вполне-упорядочение.

*) Это — обычное линейное упорядочение канторова множества.
3.	{А | А удовлетворяет первому, второму и третьему пунк-
там} + 0. Мы докажем это следующим образом. Сначала опре-
делим классы i 0.

= (А | А 6 аР & ординал, сопоставленный вершине 0
посредством А (т. е. посредством т^), является наименьшим среди
всех ординалов, сопоставляемых вершине 0 элементами класса + }.
(Поэтому совпадает с классом, названным в утверждении 2
непосредственно выше.)

S?n+1 = {А \ А € Зп & ординал, сопоставленный вершине
п + 1 посредством А (т. е. посредством тА), является наимень-
шим среди всех ординалов, сопоставляемых вершине п + 1 элемен-
тами класса Уп}-

Непосредственно проверяется, что ^п+1 += 0 благодаря тому,
что ординалы вполне упорядочены. Чтобы доказать утвержде-
ние 3, мы должны показать, что П =+ 0-

Для каждого п мы определяем о(п) как (однозначно определен-
ный) ординал, сопоставляемый элементами класса Уп вершине п.

Лемма. ЕсЛи п есть продолжение кортежа т и о(ш) =+ 0, то
о(п) < о(т).

Доказательство- Пусть п есть продолжение кортежа
т и о(пг) =+ 0. В силу упр. 16-77 т < п. Пусть о(п) есть ординал,
сопоставленный вершине п некоторым	Но Sn cz Sm,

Поэтому А должно также сопоставить о(т) вершине т. Значит,
о (т) приписывается кортежу т, а о (п) — кортежу п одним
и тем же деревом с конечными путями (тА), и, так как о (тп) + 0,
имеем о(п) < о(тп). Этим завершается доказательство леммы.

Рассмотрим {п | о(п) =0}. В силу леммы и вполне-упорядо-
ченности множества ординалов, каждая ветвь функционального
дерева должна >. содержать хоть один элемент этого множества;
следовательно, это множество бесконечно. Пусть q0, qi, . . .—
элемейты этого множества, выписанные в порядке возрастания.
Определим классы 2/*, i +- 0, следующим образом:

= {А | Т:А0 (z, до)}

(т. е. £0* = {А | Дд0,	€ ТА & || Дд0, ш) ||А = 0}),

^+1 = {А | А £	& 7*1 (2. 7n+i)}-

Очевидно, что S*+i cz при всяком n.^q<) cz §*, поскольку
все множества из $qo сопоставляют вершине q0 ординал 0.
Предположим, что !§q cz S*- Тогда Sq 1cz 3%+i, так как
Ч+1 С ЧП I Т*А0 ?п-н)} С П {Л 1 Т*Л (Z1 qn+i}} =
— §*+i‘ Поэтому cz 3* при всяком п, а потому Q Sq cz
с П £*. Заметим, что S* =И= 0 при всех п, так как =£ 0
п

при всех п.

Для каждого п класс &'* рекурсивен, а потому открыт и зам-
кнут в топологии канторова множества на j\[‘ (теорема 15-VII).
Теперь мы заключаем, на основании компактности множества
в этой топологии (упр. 13-24е)), что П ^*=И= 0-
п

Остается доказать, что П 3?* <= П£/п, так как отсюда еле-
п	п

дует, что П^п =/= 0, и утверждение 3 будет доказано.
п

Возьмем А € П^п- Заметим, что срл — характеристическая
п

функция некоторого дерева (в силу определения w). Назовем это
дерево тА. Оно является деревом с конечными путями. Действи-
тельно, допустим, что к0, kt, . . .— последовательные вершины
некоторой бесконечной ветви, принадлежащей тА. Тогда о(кп) О
при каждом п. (Если о(кп) = 0, то кп — qm для некоторого т; но
так как А Е &*а, Qm не есть вершина дерева iA в силу определе-
ния §т-) Но тогда, согласно доказанной выше лемме, o(fci) 2>
> о{к2) > . . ., а это противоречит вполне-упорядоченности
ординалов.

Для произвольного п обозначим через оА(п) ординал, сопостав-
ленный вершине п деревом тА с конечными путями. (Если п Е тА,
то оА(п) =0.) Допустим, что А $ П&п- Выведем отсюда проти-
п

воречие. Пусть п0 — наименьшее из таких п, что А 4 Тогда
по определению класса £/По оА(п0) > о(п0)- Рассмотрим два случая.

Случай (а): о(п0) = 0. Тогда n0 = qj при некотором j. Поэтому
оА(дД =# 0. Но А Е и оА(дД = 0 в силу определения
Это — противоречие.

Случай (Ь): о(ге0) > 0. Тогда, согласно определению оА
(см. § 16.3), существует собственное продолжение И1 кортежа п0,
для которого oA(n.i) = о(п0). Но в силу доказанной леммы о(тго)>
> о(п]). Поэтому оА(п4) > o(rai). Беря таким же образом последо-
вательные продолжения п2, п3, . . ., мы, в конце концов, найдем
(благодаря вполне-упорядоченности ординалов) такое продолже-
ние пк, что oA(nh) > o(nk) и o(nh) = 0. Но это ситуация случая
(а), приводящая, как мы знаем, к противоречию.

Таким образом, мы показали, что Л € П&п => Л Е П $п- Поэто-
п	п

му Г) 'А* с: n 'Sni и, в действительности, П = П §*• Поэто-
п	п	п	п

му П 3?п #= 0 и доказательство утверждения 3 закончено.
п

4.	{Л | Л удовлетворяет первому, второму, третьему и чет-
вертому пунктам определения 0- Докажем это следующим
образом. Произвольный непустой подкласс класса jfA обладает
наибольшей нижней гранью относительно „лексикографического"
линейного упорядочения на 0Р, что легко доказывается. Пусть
А* — наибольшая нижняя грань класса Q^n. Достаточно пока-
п

зать, что А* Е П ^п. А это — непосредственное следствие таких
п

фактов: (a) S* при всех п замкнуты (как отмечалось выше);
(Ь) П замкнуто (так как пересечение замкнутых множеств
замкнуто); (с) f] S*— П Зп (это равенство было получено при
п	п

доказательстве утверждения 3); (d) либо А* Е П^п, либо А* —
п

предельная точка для П^п в топологии множества (это еле-
п

дует из определения линейного упорядочения на множестве .#');
(е) замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

Этим заканчивается доказательство утверждения 4, а с ним
и доказательство теоремы. а

Определение. Пусть Р и Q — отношения в X N1. Будем
говорить, что Q униформизует Р, если для любых Bi, . . .,
Pk-i^

(i)	(VA) [<?(4, Bi, . . ., xi)=>P(A, Bl, . .

(ii)	(34)P(4, Bi, . . ., xt) => (34)9(4, Bi, . . ., Xl),

(iii)	(У4!)(У42)[9(41, Bi, . . ., xt) & 9(42, Bi, . . ., zz) =>
=> Ai =42J. Приведем теперь нашу теорему в следующей более
общей форме.

Следствие XLV (а). Всякое ТЦ-отношение (в jfCk X А!) может-
быть униформизовано некоторым Т[\-отношением.

Доказательство. Для данного Р и фиксированных
Xi, . . ., xi релятивизуем теорему по отношению к ..., Вk_i
(вводя • • •  ва-1 вместо ТА и цz ||А> В1> • ‘ B*-i вместо
|| z ||А; ТА и Ц-z ||А определяются, как в § 16.6). Теорема XXXV
и следствие XXXV применяются непосредственно. П}-индекс
получающегося Q равномерно зависит от Xi, . . ., xt.t

По этой причине теорему XLV иногда называют теоремой Кон-
до — Аддисона об униформизации (см. сноску на стр. 100).

Отметим теперь, что теорема XLV имеет место как для классов
множеств, так и для классов функций.

Следствие XLV (Ь). Если & ,р и Е П}, то существует
такой класс что Йсг р, & Е П} и

(i)	= 0	= 0,

(ii)	ф 0 => (3g)[g = {g} & g Е £Р],
причем некоторый ТЦ-индекс класса Ci находится по П\-индексу
класса <9^ равномерно, посредством некоторой всюду определенной
функции.
Доказательство получается непосредственно с помо-
щью упр. 16-74. в

(Следствие XLV (а) также сохраняется при замене множеств
на функции.)

Приведем теперь наш результат о базисах для AJ.

Следствие XLV (с), ^-функции образуют базис для П|, а пото-
му и для 2*.

Доказательство. Пусть cF 6 П} и оР =£ 0. Возьмем й,
как в следствии XLV (Ь). Тогда ® € П} и = {g} для некото-
рой g. Теперь

g(x) = у <=> (V/) [/ е & -=> /(*) = у] <=>

<=> (3/)[/ € @ & /(*) = у],

а эти выражения показывают при подстановке Пфформы для (Ц,
что g € А*. Случай 2* получается тривиально, если воспользо-
ваться рассуждениями из доказательства следствия ХЫ1(Ь).И

Этот результат контрастирует со следствием XLI (а), где было
показано, что Д}-функции не образуют базиса для Щ.

Рассмотрим множество ординалов, сопоставленное множеству
Т2 в последней части § 16.6 (см. теорему XL).

Следствие XLV(d). (Vz)[z С Т2 => || z ||2 есть Ь\-ординал\.

Доказательство. z € Т2 <=> (3B)[z С ТВ]. Но по след-
ствию XLV(c) (в форме для множеств) (3B)[z С Тв] <=>
<=> (НВ)[В € a; &Z € Тв].и

Следствие XLV(e) (Ганди). (За)[а есть А'-ординал &’(3z)
[z € Г => || z ||2 #= аП.

Доказательство. Как в § 16.6, положим 21 (=
= {а | (Зг/) [г/ € Т2 & а = || у ||2]}. Мы хотим показать, что сущест-
вует Аз-ординал, не принадлежащий 21. (Вместе с теоремой XL
это показывает, что 21 не является начальным отрезком ордина-
лов.)

Будем говорить, что f — функция с конечными путями, если /
есть характеристическая функция некоторого дерева с конечными
путями. Если / — функция с конечными путями, положим || /1| =
= о(т), где т — дерево с конечными путями, характеристической
функцией которого служит f. Пусть х0 — такой гёделев номер,
что для всех / справедливо = /• Тогда || / || = || х0 ||т</) для
всех / с конечными путями.

Рассмотрим условие:

/ — функция с конечными путями & (Vz)[(35)[|| z || <

< П/П + 1] => (ЗВ)[|| z ||в< H/Ц]].
Ясно, что || / || $ 21 для всех /, удовлетворяющих этому условию.
Это условие можно эквивалентно переписать и так:

/ — функция с конечными путями & (Vz)[(3B)[|| z ||в <

< || Хо ||т(/> + 1] => (ЗВ)[|| z ||в < || хо ||t(/)H-

По теореме XXXV наше условие имеет вид

/?(/) & (72)1(35)^2, /, В) => (35)S2(z, /, В)],

где В G П}, Si g 2| и 52 € SJ. Поэтому его можно представить
в виде В(/), где Р £ Согласно следствию XLV(d), это условие
удовлетворяется всякой функцией f с конечными путями, для
которой ||/|| больше всех элементов множества 21. Поэтому
(3/)В(/). Применяя следствие XLV(c), получим функцию /0 С Д2,
для которой Р(/о). Тогда || /0 || и есть Д’-ординал, не принадле-
жащий множеству 21. и

Теперь мы используем последнюю теорему, чтобы получить
результат о неявной определимости, параллельный следст-
вию XLIV(b).

Теорема XLVI (Судзуки). А Е Д‘<=>(35)[Л ^jB & {В} £ П|].

Доказательство. -Ф=. Если {В} € П^, то В Е Д’ в силу
следствия XLV(c) (в форме для множеств). Доказываемая импли-
кация очевидна.

=>. Пусть А — некоторое фиксированное Д*-множество. Мы
можем считать, что Л у= 0. (Если А = 0, то

по построению: {А} = {X | (7х)[х (£ X]}.) Тогда {Л} =
= {х । (vx)[x € х => х е а] & (vs)[z е л => х e xi}.

Подставим Sg-форму для Л вместо первого вхождения Л в пра-
вую часть и П^-форму — вместо второго вхождения.

Получим (А} £ 2Поэтому

{А} = {X | (3/)(7g)(3ip)B(X, /, g, u>)} (для некоторого рекурсив-
ного В) =

= {X | (3/)(Vg)(3jp)B'(X, т(/), g, ш)} (для некоторого рекур-
сивного В') ==

= (X | (ЗУ)[(7х)(Зу)(7и)[(х, и) £Y ои = у] &

&Wg)(3w)B'(X, У, g, ш)]}.

Преобразования кванторов из теоремы III применимы, как
легко проверяется, и при наличии свободных переменных для
множеств. Поэтому имеем

(Л) = {X | (ЗУ) (Vg)(3ip)B"(X, У, g, ш)}(для некоторого ре-
курсивного В").
Мы можем предположить, что

{Л} = {X I (ЗУ)[У =# 0 & (Vg)(3w)R"(X, У, g, ш)]}.

(в противном случае {Л) = (Х | (Vg)(3ui)7?"(X, 0, g, w)} и
М}ЕЩ).

Пусть еР = {Z | (Vg)(3ui)/?"(n1(Z), n2(Z), g, w)}. Имеем & E
€ Щ. Замечая, что [X #= 0 & У 0] <=> X X' У у= 0 и что

X х У =/= 0 => [лДХ X У) = X & л2(Х X У) = У],

и вспоминая наше предположение о том, что А =И= 0, получаем,
что cP =# 0. Применяя теорему XLV, получим такое ® Е П},
что @ = {В} и В Е еР. Тогда по построению А = Л1(В) и л2(В) =/=
Ф 0. Пусть п — некоторый элемент множества л2(В). Тогда
A В посредством функции Хг[т(х, и)], и доказательство окон-
чено. ।

Заметим теперь, что следствие XLIV (f) обобщается на А* и,,
более того, на А* для всех п.

Следствие XLVI (а). А Е А* <=> {А} Е А„ <=> {Л} Е

Доказательство следствия XLIV (f) прямо переносится и на.
этот случай.

Следствие XLVI (Ь).'Л ЕА* <=> (ЗВ)[В Е А* & «Л, В}} Е П)Д
Доказательство. Как в следствии XLIV (g).B

Верно ли, что Л Е AJ {Л } Е П}? Следующие принадлежащие-
Судзуки теоремы показывают, что это не так; мы получим также
дальнейшую информацию о множествах, неявно определимых
в П}, т. е. о классе {Л | {Л} Е П}}.

Теорема XLVII (Судзуки). (ЗВ)[В Е Д‘ & {В} £ ПЦ.

Доказательство. Если {Л} Е П} имеет П}-индекс z,.
то

{Л} — {X | (V/)(3g)7’*fro (z, 7(g))}-

Возьмем такое w, что для всех X

х _ f 4» если "1 ХУ>
[ 0 в противном случае

{w равномерно по z). Тогда (VX)[iz> Е Тх X = Л]. Назовем иг
деревом для Л.

Лемма. Если Mi}, Мг}^П1 и wt iT w2 — деревья для Л^
и А2 соответственно, то

|| ||AJ < II wz ||л‘ =^М1 <h Л2.
Доказательство леммы. Пусть || u>i ||Al || w2 ||А2.
Тогда

= (х । (3X)[ip4 е тх & || Wl ||х < || W2 и42 & х е х]} =
= {х I (VX)[u7t € тх & || w, IIх С II и>2 1Г2 => X € X]}.

Из первого выражения для в результате применения теоре-
мы XXXV, следствия XXXV и алгоритма Тарского — Куратов-
ского вытекает, что Ai Е 2}’ Ai, а из второго выражения получает-
ся, что Ai С nJ’А*. Поэтому Ai А2, и лемма доказана.

Из только что доказанной леммы следует, что гиперстепени
множеств, неявно определимых в П2, линейно упорядочены.

Лемма. Если plj}, {Л2}ЕПр то

At <h А2 => [А2 <h Лд V TAi Л2].

Доказательство леммы. Пусть Л1 А2. Пусть
ы2 — дерево для А2. Рассмотрим множество С = {х | х € TAi &
& || х ||A1 < || w2 ||Аз}. По теореме XXXV С А2. Теперь либо
С = ТА1, либо существует такое х0, что [х0 Е TA1 & || х0 ||А1 =
= || w2 [|Аз] - В первом случае TAi А2. Во втором случае мы
можем представить А2 следующим образом:

А2 = {х I (ЗХ)[ш2 € Тх & II х0 ||A1 = II w2 IIх & х е X]} =
= {х I (VX)[[w2 € Тх & II х0 ||А* = II w2 IIх] => х Е X]}.

Поэтому как результат применения следствия XXXV и алгоритма
Тарского — Куратовского получаем, что А2 Е Si’ A1 и А2 Е П/’ А',
а потому А2 At. Лемма доказана.

Вторая из доказанных сейчас лемм показывает, что неявно
определимые в П} множества расположены, в некотором смысле,
редко, поскольку если А неявно определимо, то никакое множе-
ство, гиперстепень которого заключена строго между гиперстепе-
нями множеств А и гиперскачка А, не может быть неявно опре-
делимым.

Наша теорема теперь непосредственно вытекает из след-
ствия XLIII (Ь); действительно, пусть гиперстепень множества В
строго заключена между гиперстепенями множеств 0 и Т (=Т0).
Так как (0} Е П}, получаем {В} $ П}, в силу второй леммы.и

В лемме к теореме 15-XII мы, по сути дела, доказали, что если
А неявно определимо в арифметике, то и А' (скачок множества Л)
неявно определим в арифметике. Следующая теорема представляет
собой аналогичный результат для неявно определимых в П2 мно-
жеств и гиперскачка. Она, таким образом, показывает, что неявно
определимые в П2 множества не так уж редки.
Теорема XLVIII (Судзуки). {Л} ё П^=> {ТА} ё П*.

Доказательство. Сначала докажем одну лемму.

Лемма. 1{7’а} € П1’А & {Л} ё П}1 => {ТА} ё П}.

Доказательство леммы. Пусть / — такая взаим-
но однозначная общерекурсивная функция, что для всех X и х

х J Хг/[О], если х 6 Х\

I если х X.

Тогда, тривиально, A ТА посредством / при всяком Л. Пусть
{ТА} = {X | (VgXBy^X, A, g, у)),

М) = {X ] (Vg)(3y)/?2(X, g, у)},

где Ri и Т?2 рекурсивны.

Рассмотрим {X | (\/g)^y)R2(f~1(X), g, у) & (Vg)(3y)7?i(X,
/-1(Х), g, у)}. Это, очевидно, {ТА}, а потому {TA} € П(. Лемма
доказана.

Чтобы доказать нашу теорему, достаточно показать теперь, что
{ТА} ё П1’ А для всякого А. Начнем с доказательства следующей
леммы.

Лемма. {71} ё П£.

Доказательство леммы. Пусть В = {(х, у) | х ё
ё Т & у ё Т & || х || < || у|| }. В силу упр. 16-34 В = Т. Благо-
даря упр. 16-74, достаточно доказать, что {св} ё П}.

Определим М и С, как в доказательстве теоремы XLIV. Из
установленных при ее доказательстве фактов 1—4 непосредствен-
но следует, что

{св} = {g | C(g) & (Vz)(Vy)[Af(g, х, У) ё((*, У» = И &

& (Vw)(Vi>)lg((w, р» = 1 => (?h)[[C(h) &

&(Vx)(Vy) [M(h, х, у) <=> h((x, у» = 111 =*-h({u, и)) = 1]]},
откуда в результате применения алгоритма Тарского — Куратов-
ского получается утверждение леммы.

Доказательство последней леммы прямо релятивизуется по
отношению к А, если в определении М использовать <рА и q>A
вместо <рх и фу и Ь' вместо Ъ (Ь' определено в § 16.6 после след-
ствия XXXIV). Отсюда следует, что {ТА} ё П}’А для всякого А,
л доказательство теоремы заканчивается.в
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ

Гиперарифметические множества и гиперарифметическая
вычислимость были рассмотрены в § 16.4 и 16.5. Некоторые резуль-
таты о гиперарифметических множествах и неявной определимостйг
содержатся в § 16.7. Теперь мы внимательнее изучим строение
класса гиперарифметических множеств.

Мы можем подойти к этому классу с трех разных сторон: (1)
Можно искать некоторую классификацию, продолжающую
Щ-классификацию арифметической иерархии. Такая классифи-
кация основывалась бы на подходящим образом обобщенном поня-
тии предикатной формы и порождала бы также некоторую класси-
фикацию классов множеств и классов функций. Мы могли бы
надеяться получить результаты, аналогичные основным результа-
там гл. 14 и 15 об арифметической иерархии. (2) Мы можем изучать,
тьюринговские степени гиперарифметических множеств. В этом
случае мы могли бы надеяться получить результаты, аналогичные-
основным результатам, полученным в гл. 13 для арифметической
иерархии. В частности, можно попытаться найти некоторую
„естественную" цепь степеней гиперарифметических множеств,
аналогичную цепи О, О', . . . для арифметических множеств-
(3) Можно рассматривать способы порождения гиперарифмётиче-
ских множеств „снизу" с помощью индуктивных процедур, опре-
деляющих (в некотором смысле) новые множества через уже полу-
ченные. Здесь можно было бы изучить „уровни" гиперарифметиче-
ских множеств, получающиеся на последовательных шагах такой
индуктивной процедуры.

Все эти три подхода тесно связаны между собой, и приводимое
ниже формальное изложение важно для каждого из них. Мы
разъясняем его суть в терминах, соответствующих первому подхо-
ду. Это разъяснение приводится в разделе „Общие соображения",
где мы рассматриваем классификацию числовых множеств и изла-
гаем некоторый метод продолжения арифметической иерархии
на неарифметические гиперарифметические множества. Затем мы
даем формальное изложение, в котором этот метод делается точным
и получаются ответы на некоторые вопросы об инвариантности.
Далее мы обращаемся к классификации классов множеств и клас-
сов функций. Здесь получен другой метод продолжения иерархии,
доставляющий способ для единообразного рассмотрения числовых
множеств, классов множеств и классов функций. Оба метода при-
водят к одной и той же классификации числовых множеств. Закан-
чивается параграф комментариями, соотносящими наши результа-
ты с описанными выше подходами 2 и 3.
Общие соображения

Мы будем пока рассматривать только множества целых чисел
{случай, изучавшийся в гл. 14). Придерживаясь этого ограниче-
ния, мы пользуемся и обозначениями гл. 14; в частности, So,
Si, ... — классы числовых множеств в арифметической иерархии.

В арифметической иерархии классы S о, Si, . - .сопоставляют-
ся конечным ординалам. Мы хотим продолжить эту классифика
цию, подходящим образом сопоставляя бесконечным ординалам Р
некоторые классы множеств (которые мы могли бы обозначать Sp).
Предположим, что получена такая классификация вплоть до дан-
ного предельного ординала а. Если мы сможем сопоставить орди-
налу а некоторое новое (т. е. еще не попавшее в нашу классифика-
цию) числовое множество А (будем называть А базисным множе-
ством для а), то мы можем принять релятивизованные классы
S^, Sf, ... за классы So, Sa+1, ... и таким образом продол-
жить нашу классификацию вплоть до следующего предельного
•ординала. Более того, при п > 0 мы можем принять S^-формы
за наши новые Еа+п-формы, a S„ -индексы — за наши новые
2а+п-индексы !). Например, располагая классами So, Si, . . .,
мы можем принять А = 0(<о) за базисное множество для со
{см. § 13.1) и рассматривать классы So', Sp ... в качестве Sro,
X +i, . . . .

Получающая таким способом расширенная классификация,
•очевидно, зависит от метода, используемого при выборе базисных
множеств. Более точно, пусть заданы Sp, Р<а (а — некоторый
предельный ординал), и А — базисное множество для а. Классы
Sa+n, п = 0, 1, . . ., зависят от Т-степени множества А,
а Sa+n-индексы зависят от выбора самого множества А. Очевидно
одно ограничение, которое нужно наложить на Т-степень мно-
жества А: чтобы классификация была монотонной (т. е. чтобы
§ < у => Sp <= SY) и чтобы имела место теорема об иерархии
(т. е. 0 •< у => Sv — Sp =Н= 0), мы должны потребовать, чтобы
Т-степень множества А была больше, чем Т-степень любого мно-
-жества в U Sp. Для того чтобы получающаяся классификация
'была самой тонкой из возможных, было бы желательно взять
в качестве Т-степени А наименьшую из всех таких степеней.
К несчастью, как мы видели в § 13.4, такой наименьшей степени
может и не существовать. Как выбирать множество А в этом слу-
-чае? Можно ли это сделать каким-либо „естественным11 способом,
т. е. инвариантным в некотором подходящем смысле?

1) Обозначения „2а“ используются нами лишь в настоящем разделе.
Впоследствии мы и при а > <о будем следовать принятой в литературе прак-
тике и использовать обозначение „2°;“ для классов, обозначаемых здесь Sa+1.
Построение трансфинитных уровней в классической иерархии
Бореля наводит на мысль взять в качестве А в каком-то смысле
„бесконечное сочленение" уже классифицированных множеств.
Мы сделаем это следующим образом. Пусть, каков бы ни был пре-
дельный ординал (J, меныпий данного предельного ординала а,
Лр — уже выбранное базисное множество для р. Для всякого
непредельного ординала р, меньшего а, пусть Ар — некоторое
Sp-полное множество. При р = 0 примем за Ар некоторое рекур-
сивное множество. (Мы полагаем А о = 0; наши результаты не
будут зависеть от этого выбора.) Пусть v — некоторая числовая
нумерация (т. е. взаимно однозначное отображение из множества
натуральных чисел на ординалы), сопоставляющая множеству
ординалов {Р | р <С а} множество индексов Da. Положим

А = Аа = {(х, у) | у € Da & х € Л v<|,)}.

Немедленно возникают некоторые вопросы об инвариантности
такого определения, (i) Как зависит получающаяся классифика-
ция от выбора используемой нумерации ординалов и какие огра-
ничения должны быть наложены на выбор такой нумерации?
(ii) Как зависит получающаяся классификация от выбора Sp-
полных множеств и каким требованиям, если только они вообще
нужны, должен быть подчинен этот выбор? (См. также упр. 16-81.)
Рассмотрим эти вопросы по очереди.

(i)	Можно показать, что Т-степень базисного множества может
меняться в зависимости от используемой нумерации ординалов
(упр. 16-78). Поэтому выбор нумерации нужно подчинить некото-
рым требованиям. Обсуждение, содержащееся в начале § 11.7,
подсказывает требование, чтобы эта нумерация была унивалентной
системой обозначений. Мы примем это ограничение (которое,
в конце концов, ограничит наши рассмотрения конструктивными
ординалами). Может ли степень базисного множества и при нали-
чии этого ограничения зависить от выбора нумерации? Мы вернем-
ся к этому вопросу позже.

(ii)	Тривиально проверяется, что Т-степень множества Ла
существенно зависит от выбора Sp-полных множеств Лр+i, Р < а
(см. упр. 16-79). Имеющаяся теория подсказывает, что эти множе-
ства должны выбираться некоторым единообразным и эффектив-
ным способом. Напомним, что по теореме 14-VIII (сильная теорема
об иерархии) Sp+i должно быть совокупностью всех множеств,
рекурсивно перечислимых относительно Ар. Мы потребуем, чтобы
существовало такое фиксированное z0, что Лр+1 = Wfgp при всехр,
и чтобы существовала такая фиксированная общерекурсивная
функция /о Двух переменных, что W^p Лр+1 посредством
kx[f0(u, z)| при любых и и р. Если выполнено это требование;
и взята некоторая унивалентная система обозначений на некотором
отрезке ординалов, то легко показать (используя лемму о рекур-
сии), что получающаяся для этого отрезка- ординалов классифи-
кация не зависит от выбора z0 (см. упр. 16-82). Мы выберем za
следующим специальным образом. Положим Лр+1 = W. Тре-
буемые z0 и /0 существуют по следствию 13-1 (с).

Теперь остается следующая проблема. В предположении, что
указанные выше два требования выполнены, определяют ли две
унивалентные системы обозначений одну и ту же классификацию
на ординалах, нумеруемых обеими системами? Утвердительный
ответ да этот вопрос об „эквивалентности относительно обозначе-
ний” дается ниже теоремой XLIX. Этот результат означает, что
мы имеем корректно определенную классификацию на всех кон-
структивных ординалах.

Какая часть аналитической иерархии подпадает под эту клас-
сификацию? В теоремах L и LI мы покажем, что это в точности
гиперарифметические множества, т. е. что U Sp = [класс Д[-
Рконструктивно

множеств]. Мы называем эту классификацию (разбивающую А]
на классы Sp) гиперарифметической иерархией.

Как можно ослабить ограничение, описанное в (i) выше?
Можем ли мы, например, допустить все рекурсивные вполне-упо-
рядочения и сохранить еще при этом инвариантность относительно
обозначений? Это представляется сомнительным, хотя Эндертон
и Лакхам [1964] доказали, что для некоторого z0 (см. (ii), выше)
имеет место инвариантность относительно обозначений при усло-
вии, что z0 не меняется, когда меняется рекурсивное вполне-
упорядочение. Будет ли гиперарифметическая иерархия наимень-
шей среди всех иерархий, получающихся при ослаблении огра-
ничений на систему обозначений (мы считаем, что иерархия {Sp}
меньше или равна иерархии {Sp}, если Sp cz Sp при всех |3, на
которых определены обе иерархии)? Эндертон показал, что гипер-
арифметическая иерархия будет наименьшей, даже если усло-
вие (iii) в определении системы обозначений будет нарушено
(упр. 16-84).

Ниже, в формальном изложении, мы будем пользоваться систе-
мой обозначений О, определенной в § 11.7. Каждая ветвь систе-
мы О есть унивалентная система обозначений. Теорема XLIX
показывает, что любые две ветви О приводят- к одной и той же
Sp-классификации на ординалах, общих для этих ветвей. Это
приводит к результату об инвариантности относительно всех
унивалентных систем обозначений, поскольку, согласно след-
ствию 11-XVIII (Ь), любая унивалентная система обозначений
может быть рекурсивно отображена в некоторую ветвь системы”/?
с сохранением порядка (упр, 16-80).
Формальное изложение

Определим О и <0, как в § 11.7. При всяком х С О пусть
| х | обозначает ординал, сопоставляемый числу х (обозначаемый
j х |0 в § 11.7). Скажем, что

х <0 у, если х£О&у£О&[х <0 У V х = у].

Определение. Сопоставим обозначениям системы О следующие
множества:

Я(1) = 0,

Я(2Х) = (Н(х))' при х£ О,

Я(3-5И) = {(и, п) | v <0 3-5У & и е Н(и)} при 3-5У € О.

Эти индуктивные правила сопоставляют, очевидно, каждому х Е О
•единственное множество, которое мы называем II (х). Вдоль каж-
дой ветви системы О множества сопоставляются обозначениям
в соответствии с описанной в разделе „Общие соображения1*
общей конструкцией продолжения арифметической иерархии.
Теперь наши цели, как отмечалось выше, таковы: во-первых,
показать, что [[хЕО&уЕО&|х| = |у| — а]=> Н(х) =т
=т Н(у)] для любого предельного ординала а; во-вторых, дока-
зать, что В е А} <=>	€ О & В Сл Я(х)] для любого В.

Мы достигнем этого в теоремах XLIX, L и LI. Сначала докажем
две леммы.

Первая лемма. [хеО&уеО&х у] => Я(х) Я(у) рав-
номерно по хиу (т. е. если х =С0 у, то Н(х) Н(у) посредством h,
причем индекс функции h находится равномерно по х и у).

Доказательство. Согласно следствию 13-1 (с), суще-
ствует такая'' общерекурсивная функция /, что, каково бы ни
было A, A А' посредством /.

Пусть даны такие хну, что х у. Покажем, как вычисляется
функция h, 1-сводящая Н(х) к Н(у). Рассмотрим два случая.

Пусть | х | + п — | у ] для некоторого п. Возьмем h =
= \u[fn{u)\ (где /°(u) = u и /п+1(“)=/(/п(«)))-

| х | + и | у |. Возьмем такое z, что z £ О, \ z \ — предель-
ный ординал и I у | = | z | + n. Тогда и E H(x~)	(u, x) E

E Я(г) <=> fn((u, x\) E Я(у). Полагаем h = %u[/n((w, x))]. .

Эти два случай эффективно различимы, и в обоих случаях п
эффективно вычисляется по х и у. Таким образом, желаемая рав-
номерность достигнута.

Вторая лемма (Спектор). Если у Е О, то {и I и Е О & | и | <
< | у 1} рекурсивно относительно Я(2У) равномерно по у (т. е.,
индекс характеристической функции множества {п | и Е О &
& I 11 I < I У I}, ««к множества, рекурсивного относительно Н(2У),
находится равномерно по у).

Доказательство. Мы воспользуемся леммой о рекур-
сии применительно к частичному упорядочению с условием мини-
мальности <0. Возьмем за R (для применения леммы о рекурсии)
отношение

{(у, w) | у С О & <pw <2У) — характеристическая функция
множества {и | и £ О & | и | < | у |}}.

Мы должны показать, как по данному z, такому, что (\/х}[х <0 у =>
=> В(х, фг(х))1, вычисляется, причем равномерно по z и у, такое
w, что В(у, ш). (В формулировке леммы о рекурсии это w называ-
лось r](z, у).) Для любого ординала а положим

Оа = {и | и € О & | и | < а}.

Рассмотрим четыре возможных случая.

у — 1. В этом случае О|У| = 0. Выбираем w так, что
(УиМ(2)(«) =0].

У = 2s и 8 = 2'. Тогда у । = (9,8। J {21’ | v € О| 8 ।}. Но по
предположению О\ 81 рекурсивно относительно Н(у) с индексом
(характеристической функции) ф2(в). Поэтому О|У| рекурсивно
относительно Н(у) с индексом, равномерно вычисляющимся по
Ф2(з). Значит, C>iy| рекурсивно относительно Я(2У) (=(#(//))')
с индексом w, также равномерно получающимся по <pz(s).

у = 2s и s = 3-5'. Тогда

б?(у[ = O|S| U {3-5Г | фг всюду определена & (Vu)(Vк)[<рг(и) с

с РК/фг(в)| & (Vu)[cpr(u) £ <9|s|l},
где / — общерекурсивная функция из упр. 11-55.

Множество {г | фг всюду определена} рекурсивно относительно
Н (4) (=0") (согласно § 13.2); {г | (Уп) (Уг) [фг (п) с ГК/фг(о)]}
рекурсивно относительно 77(4), что устанавливается непосред-
ственно; 77(4) рекурсивно относительно Н(2У), согласно первой
лемме. Поскольку <?|8| рекурсивно относительно Н(у) с индексом
ф2(з), множество {г | (Угг)[фг(и) С s |1) рекурсивно относительно
Н(2У} с индексом, получающимся равномерно по ф2(з). Поэтому
О\ v I рекурсивно относительно Я(2У) с индексом, равномерно
получающимся по ф2(з).

г/ = 3-5'. В этом случае О, у । = {и | (Зк)[п € С*| ф((о) |1}.
Но при всяком v множество О\ Ф („) । рекурсивно относительно
Я(2'р«(”)) с индексом фг(ф((г)) в силу индуктивного предположе-
ния, а 77(2Ф*(”)) рекурсивно относительно Н(у}, и притом равномер-
но в силу первой леммы. Поэтому рекурсивно перечислимо
относительно Щу), а потому рекурсивно относительно Н(2У)
с индексом w, равномерно получающимся по z и t.

Эти четыре случая эффективно различимы, и w равномерно
относительно у в каждом из них. Поэтому лемма доказана.и

Следствие второй леммы (Спектор). При у 6 О

{и | и £0 & | и | = | у 1}

рекурсивно относительно И(2' ) равномерно по у.

Доказательство.

{и | и С О & | и | =	| у 1} = {и | и	Е О	& | и | <

< | 2М & ~ [и € О &	| и	| < | у |]} =

= {и | и Е О &	| и | < | 24} П	М	П [и е О & |	и	|	<	|	у	|]}.

Согласно лемме,	множество {и	| и	€ О & | и | <	|	у	]}	рекур-

сивно относительно H(2V) равномерно по у. Также в силу леммы
множество {и | и С О & | и | < | 2У |} рекурсивно относительно
Н(2 ) равномерно по у. Отсюда следует, что и рассматриваемое
пересечение рекурсивно относительно Н(2 ) равномерно по у.р

Теорема XLIX (Спектор).

[x€O&ygO&|x| = |y|]=^ Я(х) <т Я(у),

причем сводимость равномерна по х и у (т. е. если | х i = | у |,
то индекс функции сщх) как Н(у)-рекурсивной функции может
быть найден равномерно по х и у).

Доказательство. Пусть S = {(х, у) | х £ О & у б
Е О & | х | — | у |}. Определим па 5 частичное упорядочение <s
следующим образом: (и, v) Об у), если | и | < | х |. Вос-
пользуемся теперь леммой о рекурсии для частичного упорядоче-
ния <s, удовлетворяющего условию минимальности, где R (для
применения леммы о рекурсии) есть

{((ж, у), w) | х С О & у е О & I х | = | у | & сню ==

Мы должны показать, как по данному z, такому, что

(Vu)(Vp)[(u, v) <s (х, у) => В({и, к), <Pz((w, р»)1,

равномерно по х, у и z вычисляется такое it, что Я((х, у), ip),
Рассмотрим следующие три случая.

Случай (а), (х, у) = (1, 1). Берем такое w, что ср^ = с0.

Случай (Ь). (х, у) 6 S & (х, у) = (2“, 2°). По предположе-
нию относительно z мы можем найти такое г, что сн(и) =
Но Н(х) = (Щи)У и Н(у) = (Н{у)У. Применяя следствие 13-1 (с),
получим искомое w.

Случай (с). {х, у) £ S & (х, у) — (3-5“, 3'5и). Мы ищем спо-
соб свести Н(х) к Н(у). Пусть дано произвольное (s, t}. Мы долж-
ны показать, как ответить на вопрос, верно ли (s, t) £ Н(х),
с помощью оракула для Я(у). Руководствуясь определением Ш.х)
(=Я(3-5и)), мы хотим проверить, выполняется ли условие
И <оХ & s € Я(г)|. Действуем следующим образом. Сначала смот-
рим, верно ли. что t <о х- Как явствует из упр. 11-55, это частный
случай проблемы остановки, и ответить на этот вопрос можно,
используя Я(2) (=К). Но так как, согласно первой лемме, Н(2)
ёУ Н(у), на него можно ответить, используя в качестве ораку-
ла Щу).

Если t С ох, то следующим образом проверяем, справедливо
ли s С НУ). Перечисляем множество {р | р <.оу} (см. упр. И-55).
При появлении каждого члена р этого множества смотрим, имеет
ли место | t | == | р |. Мы можем это сделать, так как множество
= |},

согласно второй лемме, рекурсивно относительно Н(22Р), а Я(22₽)
равномерно сводится к Н(у) по первой лемме. Б конце концов,
мы должны найти такое р, что | t | = [ р | и р < оу. Согласно
предположению относительно z, фг({t, р}) дает нам способ сведе-
ния H(t) к Щр). Первая лемма позволяет свести Н(р) к Н(у). Итак,
мы можем свести H(t) к Н(у) и воспользоваться этим для ответа
на вопрос, верно ли, что s £ H(t). Таким образом, мы имеем про-
цедуру для проверки, выполняется ли (s, i) Е Н(х).

Инструкции описанной процедуры, очевидно, равномерны по
х, у и z, и доказательство закончено.и

Следствие XLTX (а) [х Е О & у £ О & | х | = | у |] Я(гс)=т
= чН(у) равномерно по х и у.

(Ь)	[х 6 О & у £ О & | х | = | у | = р & р — непредельный ор-
динал} => Н(х) = Н(у) равномерно по х и у.

(с)	[х Е О & у Е О &. | х |	| у |] => Н{х) ^Н(у) равномерно

по х и у.

Доказательство. (а) Непосредственно следует из
теоремы.

(h) Немедленно получается с помощью следствия 13-1 (а).
(Московакис показал, что (Ь) не имеет места, если Р — предельный
ординал. См. упр. 16-97.)

(с) Тот факт, что Я(х) ^чН(у). сразу следует из (а) и первой
леммы. Это доказательство, однако, не дает равномерности, так
как не видно способа выяснять, имеет место | х | = | у | или
|х | < | у |. В упр. 16-96 мы модифицируем доказательство
теоремы XLIX и получим желаемую равномерность^
Теорема L (Клини), у Е О => Н(у) € А} равномерно по у.

До казательство. Воспользуемся леммой о рекурсии
применительно к <0, причем в роли R выступает {{у, w) | у €
Е О & w есть ^-индекс множества Н(у)}. Нам нужно показать,
как по данному z, для которого (V^)[x <оУ => Я(а:,	равно-

мерно по у и z вычислять такое w, что R(y, w). Рассмотрим три
случая.

у = 1. Берем в качестве w некоторый А}-индекс множества 0.

у = 2s. Тогда <pz(s) есть AJ-индекс множества H(s). Так как
Н(у) == (H(s)Y, мы можем применить конструкцию из теоремы X
и получить AJ-индекс w множества Н(у).

у — 3 -5(. Тогда

Н(у) = {(и, г) | v <0У & и € Я(г)} =

= {(и, v) \v<oy & (3/)(Уя) п Т[, 1(л1фг(0, /, и, х)} =

= {(и, v) I v<oy & (V/)(3x) T'lt 1(п2фг(у)1 /, и, х)}.

Так как множество {v | v-^.oy} рекурсивно перечислимо равно-
мерно по у (упр. 11-55) и потому содержится в применение
алгоритма Тарского — Куратовского показывает, что Н(у) Е А,,
причем AJ-индекс w находится равномерно по у. в

Теорема LI (Клини). В Е Д’ => (3у)1у £ О & В Я(р)].

Доказательство. Достаточно показать, что В Е
€ А} <=> (Эу)[у Е О & В т Я(у)1 (поскольку А <1 т Я(р) => А

Я(2Д). В силу следствия XXII (Ь) достаточно доказать, что
Т\ у । т Я(22У) при всяком у £ О. Введем для 22У сокращение е(у).
Воспользуемся леммой о рекурсии для упорядочения < 0, причем
за R примем

'	{(у, w} |j/EO&cT|y| = ф"{е(у»}-

Нам нужно показать, как по данному z, такому, что (Уя)1я <oi/=^
=> Я(ж, <р z(x))], равномерно по у и z находить такое ш, что R(y, w).
Рассмотрим три возможных случая.

у — 1. Берем такое w, что <pw(4 = ХлДО].

у = 2s. Заметим, что

т, у, ={х । ix е т & и х п = о] v 1<рдо) = 1 &

& (Vn)[&(n, х) Е Т । S|U).
Имеем

{х I х Е т & II X || = 0} ={х I (Vu)[<px(u) = 01} Е Щ.

Поэтому {х | х Е Т & || х || = 0}	т Я(22) т Я(е(у)) в силу тео-

ремы 14-VIIT и доказанной выше первой леммы.
Подобным же образом {х | <рх(0) == 1} С Х“, и потому

{х I Фзс(0) = 1} < т Я(2) < Т.ЯШ).

Наконец, {х | (Vn)[b(n, х) 6 Т71 s [1} 6П®’Т|«|. Поэтому

{х 1 [Уп)[Ь(п, х) Е Т’|и1}^т(Г|з|)'

(по теореме 14-VIII). Но Т । s । т Я(е(з)), согласно предположе-
нию о z, а потому (Т \е ,)'< т (Я(е(«)))' = Я(е(г/)).

Поэтому Т [ у । s^.r Я(е(у)).

j/ = 3«5(. Замечаем, что

Т । у । ={х | [х £ Т & || х || = 0] V [фх(0) = 1 &

& (3m)(Vn)[b(n, х) € Г|Ф1(т)| 11}
(по основной лемме о деревьях). Согласно предположению о z,
мы можем равномерно сводить ?,|<Рдт)| к Я(е(ср^(пг))). В силу пер-
вой леммы мы можем равномерно сводить Я(е(ср1(т))) к Н(у).
Поэтому, применяя алгоритм Тарского — Куратовского, мы полу-
чаем Т । у । € Аз’ Hl'V) равномерно по у. Но по теореме 14-VIII
это дает Т । у ,	(Я(у))" = Я(е(у)). Мы получили искомое и>,

и доказательство закончено. и

Следствие LI. Существует такая общерекурсивная функция g,
что если только w есть ^-индекс множества В, то g(w) 60 и В
<i Я(^)).

Доказательство получается с помощью следствия
XXII (Ь) и доказательства теоремы.и

Приведенные леммы и теоремы были сначала получены при
несколько ином способе сопоставления множеств обозначениям
системы О. Описанный здесь способ принадлежит Эндертону
и более удобен для наших целей. В упр. 16-83 мы покажем, что
использовавшийся ранее способ, принадлежащий Клини, экви-
валентен (относительно Т-сводимости) примененному нами.

Введем теперь обозначения для степеней неразрешимости,
определяемых множествами Я(х).

Определение. Пусть х € О и | х | = а. Обозначим через ha
(однозначно определенную) Т-степень множества Я(х).

Заметим, что ha+i = ha, что a si р <=t> ha hg и что а есть
степень некоторого гиперарифметического множества тогда
и только тогда, когда а d ha при некотором (конструктивном) а.

Введем далее обозначения для классов гиперарифметической
иерархии (как классов, состоящих из числовых множеств).
Определение. Пусть р = а + п, где а — некоторый предель-
ный ординал, и пусть у б О, и | у | = а. Положим

= тда,

Ар = Ер Q Пр.

Пусть Р = п < а». Положим

П°Р = ПП)

Ар = 2°р П ПР).

Согласно теореме XLIX. классы Ер и Пр зависят только от 0
и не зависят от выбора такого у € О, что | у | + п = р. Из теоре-
мы 14-VIII вытекает, что для любого х, такого, что х 6 О и | х | =
= Р + 1, Я(х) есть Ер-полное множество; что если р го, то
А Е Ер <=> А рекурсивно перечислимо относительно hp; что если
р ^--го, то А Е Ар а hp, где а — степень множества А.
(Читатель должен обратить внимание на отличие от Ер-обозначе-
ний, временно использовавшихся нами в разделе „Общие сообра-
жения". То, что для р го там называлось Ер+1, теперь назы-
вается Ер.)

Следующие результаты сразу вытекают из результатов гл. 14.
Для всех Р > О

А Е 2°р <=> А Е Пр,

Е°р U П°рс Е°₽+1 П П°р±1,
(2₽ - Пр) 0.

Отметим, что в нашей Ер-схеме обозначений для классов
гиперарифметической иерархии при каждом предельном ордина-
ле а отсутствуют два весьма естественных класса. Это (i) (J Ер
р«х
и (ii) Еа П Щ. Все классы с меньшими индексами строго содер-
жатся в (i); (i) строго включается в (ii); (ii) строго содержится
в Е«. Временная система обозначений классов, введенная
в разделе „Общие соображения", приписывала имя классу (ii)
(он назывался Еа). Теперь мы даем классу (ii) наименование А„.
Мы увидим, что определения, которые вводятся ниже для мно-
жеств множеств и множеств функций, дают наименование и классу
(i) и порождают понятия предикатной формы и индекса для (i).

Классы Sp и известны также в литературе как Р$ и (>р соответ-
ственно.
Множества множеств и множества функций

Могут ли Sp-формы, как они были определены в начале раздела
„Общие соображения11, быть релятивизованы так, чтобы породить
иерархию множеств множеств? Прямая релятивизация этих форм
приводит, к сожалению, к классификации, не являющейся ни
монотонной, ни достаточно представительной (упр. 16-86). Чтобы
получить удовлетворительную классификацию, мы должны про-
вести „более глубокую" релятивизацию следующим образом.

Определение. Положим для любого множества X

Нх (1) = X,

IIх (2х) = (Нх(х))' для х Е О,

НХ(ЗЛЛ) = {(и, v) I V <0 3-5" & и Е Hx(v)} для 3-5* € О.

Этим определением каждому х Е О сопоставляется единственное
множество Нх(х).

Определение. Пусть Л с jT, у Е О, | у | > 0 и пусть z —
такое целое число, что Л ={Х |z Е Нх(у)}. Назовем утвержде-
ние ,,z Е Нх(у)“ у-формой класса Л, a z назовем у-индексом класса

Само у играет роль, аналогичную роли префикса в арифмети-
ческих и аналитических формах.

Пусть и £ О, v £ О, | и К | v |, и пусть Л — некоторый класс
множеств, представимый некоторой u-формой. Обязательно ли Л
представим также и некоторой и-формой? Б упр. 16-88 мы вос-
пользуемся теоремой XLIX, чтобы показать, что это так. Теперь
продолжим воплощение нашего плана, вводя следующее опреде-
ление. .

Определение. Если а — непредельный ординал, у Е О, | у | =
= а и Л представим некоторой у-формой, будем говорить," что

Л € 2°,
Л 6 2а-1,
Л € П°,

если а < w,
если а 2> оо,

если Л € 2«.

Этим определяется некоторая иерархия классов^множеств.^Про-
стое индуктивное рассуждение показывает, что эта классификация
совпадает с арифметической иерархией из § 15.1 при 0 < а < ю
(см. упр. 16-89). В упр. 16-85 мы показываем, что она включает
все гиперарифметические классы множеств и ничего более. Поэто-
му мы называем ее гиперарифметической иерархией классов
множеств.

Отметим, что мы, в частности, располагаем понятием у-формы
и в том случае, когда | у | — предельный ординал. В этом слу-
чае, как легко показать, Л представим некоторой //-формой тогда
и только тогда, когда € U

/Ка

Можно ли так обобщить понятие //-формы, чтобы оно включало
//-формы как для множеств, так и для классов множеств? Приме-
ненный в теореме 15-XI метод подсказывает, как это сделать.
Будем говорить, что некоторая //-форма выражает множество А
с у-индексом z, если А ={х | z С Н^(у)}. Получающаяся на этом
пути гиперарифметическая иерархия числовых множеств совпа-
дает с иерархией, определенной выше в формальном изложении
(см. упр. 16-90).

Теперь можно ввести более общие //-формы

^(z, Alt ..Xi, ...) =z	••;(//).

Имеет ли место в гиперарифметической иерархии классов мно-
жеств теорема об иерархии? Да, такая теорема легко доказывает-
ся аналогично теореме 15-XI.

Классы функций также могут быть расклассифицированы, если
считать по определению, что некоторая //-форма выражает класс
функций если Д = {/ | z £	Можно показать, что

получающаяся при этом иерархия совпадает на положительных
конечных уровнях с иерархией из § 15.2, и теорема об иерархии
доказывается так же, как теорема 15-XXIV.

Только что предложенные определения и понятия ведут
к обобщению понятий и результатов, связанных с теорема-
ми 15-XXVII и 15-XXVIII. Для их формулировки система обозна-
чений О заменяется системой O[&1, в которой обозначениями
служат функции, а не числа, и в которой для определения пре-
дельных обозначений служат фундаментальные последовательно-
сти (обозначений), рекурсивные относительно (а не просто
рекурсивные фундаментальные последовательности). Вдобавок,
операция скачка определяется на основе отношения Г* из теоре-
мы 15-XXVII (отличного от отношения T’J, (, определенного,
в § 16.1). Если % = 0, получающаяся иерархическая класси-
фикация подмножеств класса продолжается на конструктивные
ординалы и совпадает с гиперарифметической иерархией на JT.
Если	получающаяся иерархическая классификация про-

должается по всем счетным ординалам и совпадает с классической
иерархией борелевских множеств на ер.

Комментарии

Вновь обратимся теперь к трем подходам, упомянутым в начале
этого параграфа.

Подход 1-й. В нашей теории гиперарифметической иерар-
хии опущены некоторые аспекты теорий арифметической и анали-
тической иерархий. Мы не привели здесь ни теоремы о представле-
нии, ни аналога алгоритма Тарского — Куратовского. Теорема
о представлении доказывается в упр. 16-91. В упр. 16-92 описы-
ваются правила, определяющие некоторый вариант алгоритма
Тарского — Куратовского. Они, однако, не дают завершенного
изложения этих вопросов. Трудными оказываются проблемы
равномерности и инвариантности относительно системы обозна-
чений. ,

Подход 2-й. Цепь степеней h0, hi, . . ., ha, ... пред-
ставляется удовлетворительным гиперарифметическим аналогов
цепи степеней О, О', ... арифметических множеств. Однако вви-
ду § 13.4 возникает вопрос: будет ли эта цепь минимальной среди
всех цепей некоторой инвариантно определенной совокупности
„естественных11 цепей (где считается,- что (цепь {ha}) (цепь
{ga}), если (Va)[ha ga])? Результат, сформулированный
в упр. 16-84, дает в некотором роде утвердительный ответ на этот
вопрос. Исследование минимальности важно при изучении дру-
гих возможных способов порождения цепей, состоящих из гипер-
арифметических степеней, поскольку при этих способах могут
теряться интервалы цепи {ha} (обычно это случается на предель-
ных ординалах). Так, например, обстоит дело в упр. 16-93, где
мы рассматриваем „свободный от обозначений11 метод (принадле-
жащий Шёнфильду) порождения степеней из цепи {ha}. Так же
обстоит дело с множествами Та.

Можем ли мы вычислять степени неразрешимости множеств
гиперарифметической иерархии? Для этого могут быть развиты
методы, которые обобщают методы § 14.8 и в которых основную
роль играет лемма о рекурсии. Спектор [1958а] анонсировал резуль-
таты о вычислении степеней множеств Оа и Wa, где Оа ={х | х Е
Е О & | х | < а}, а Wa ={х | <рж есть характеристическая функ-
ция некоторого вполне-упорядочения, порядковый тип которого
меньше а).

Отметим мимоходом, что слово „иерархия" стало применяться
не только к классификациям, базирующимся на предикатных
формах, по и к более общим упорядочениям степеней, полученным
с помощью конструкций, аналогичных построению множеств Н(х).
При этом используются другие (и, возможно, менее эффективные)
числовые нумерации ординалов, и множества сопоставляются
„обозначениям" другими (и, возможно, менее эффективными)
индуктивными способами. Начаты некоторые исследования таких
„иерархий", и проделана работа по изучению инвариантности
относительно обозначений в таких иерархиях. См. Крайдер
и Роджерс [1961], Рихтер [1965], Эндертон [1964] и Гензель и Пат-
нам [1965].
Подход 3-й. 1'иперарифметические числовые множества мо-
гут быть получены с помощью итерирования операций скачка
и „бесконечного сочленения", если взять все множества, Т-своди-
мые к так получающимся. Это — следствие теорем L и Ы и опре-
деления множеств 7/(ж) (см, также упр. 16-94). Эта индуктивная
характеристика гиперарифметических множеств „снизу" может
быть использована для доказательства усиленных вариантов
следствий XL1V (с) и XLIV (е) о неявной определимости.

Теорема LII. А £ А} (ЭВ)[4 В & (Я) £ П°].

Доказательство. <=. Непосредственно вытекает из
следствия XLIV

=>. По теореме LI достаточно доказать, что х £ О => {Н(х)} £
£ П“. Доказательство этого факта обобщает конструкцию из
теоремы 15-XII. Воспользуемся леммой о рекурсии для упорядо-
чения <0, и рассмотрим следующие три случая.

х = 1. В этом случае, тривиально, (/1(1)} € П'.

х = 2*. Если £ П“, то {Я(2’)} £ П‘ в силу рассуждений
из теоремы 15-ХП.

х = 3 -5(. Предположим, что мы располагаем таким z, что .
и <03 -5f => cpz(u) есть П“-индекс класса {Н(и}}. Тогда
{Я(3-5г)} = {Х | (Vu)(Vv)l<w, п) £ X=>n<03.5fl &

& (Vp)[p <оЗ -5* => (Уу1)(Эг/2)Г1, i(<pz(p),

{х | (х, р> £ X}, У1, р2)]}.

Применяя алгоритм Тарского — Куратовского, получим
{Я(3-5')} £ П“, прпчем П®-пндекс этого класса равномерно зави-
сит от z и t.

Теперь применяется лемма о рекурсии, и доказательство за-
канчивается.-
" к

В упр. 16-98 мы увидим, что для каждого х £ О существует
такая функция /, что Н(х) — {u | f(u) 0} и {/} £ 11°.

§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ

§ 16-1

16-1. С помощью теоремы VIII (теоремы об иерархии) покажите, что
обращения правил (iii) и (iv) из теоремы III не верны.

16-2. Завершите доказательство теоремы III, показав, что новые отно-
шения, построенные в пунктах (ii), (iii) и (iv), рекурсивны, а новые предикат-
ные формы эквивалентны исходным. (Отметим, что в пункте (iv) при доказа-
тельстве эквивалентности используется аксиома выбора.)

16-3. Докажите следствие III в общем случае.

16-4. Закончите доказательство теоремы VII, показав, что новые отно-
шения, построенные в пункте (ii), рекурсивны, а новые предикатные формы
эквивалентны исходным.
16-5. Детально рассмотрите примеры 1 и 2, следующие за теоремой VII.

Д16-6. (aj Множество О было определено (и временно обозначалось Do)
н §11.7. Сформулируйте явное определение множества О, из которого следо-
вало бы, что ОСП} (без использования того факта, что О ~ W). (Указание.
Нужно сформулировать определение без ссылки на ординалы. Сначала опре-
деляем <о как пересечение всех бинарных отношений Л, удовлетворяющих
следующим условиям замкнутости:

<1,2> е л,

<г, у>с Л ^(у, 21/>ел,

[<х, у) f Л & (у, z) б Л] =Ф (х, z) с R,

( Vm)(Vn)lm < п =ф (ф2(т), ф2(п)) с Л]=»(Уп)[(ф2(п), 3^} б Л].

Затем выражаем это отношение-пересечение с помощью квантора общности
по функциям. После этого множество О определяется как (х i ^ly)(x <о .vl )•)

(Ь) Пусть 5] — система ординальных обозначений, определенная
в § 11.7. Покажите, что Ds ЕП|. (Указание. Получите аналитическое опреде-
ление для отпошенпя| <Я1 = {(.х, у) | х & у g Л><31 &. | х |S1 < | у |,Ч1}.)

16-7. Воспользуйтесь теоремой VIII для завершения доказательства
следствия XI.

16-8. (а) Покажите, что если допускаются кванторы по множествам (кото-
рые используются тем же способом, что и кванторы по функциям, для класси-
фикации префиксов) и в качестве исходных отношений берутся рекурсивные
отношения в	то получаются те же классы Отношений на целых

числах, что и с помощью кванторов но функциям.

(Ь) Покажите, что если допускаются кванторы по множествам (используе-
мые так же, как кванторы по функциям, для классификации префиксов)
и за исходные берутся рекурсивные отношения в	Nm (k, I, т

Js 0), то получаются те же классы отношений в JTl'X,Nm (к, I, m >
0), которые были бы получены из этих рекурсивных отношений с помощью
кванторов только по функциям пли только по множествам.

△16-9.	Пусть R cz	рекурсивно. Пусть А = {х | (VX) (Зу)

7?(Х, х, у)} Покажите, что множестве А рекурсивно перечислимо и по-
тому принадлежит классу SJ(= Щ). (Указание. Воспользуйтесь теоремой
о компактности для деревьев из упр. 9-40.)

16-10. Докажите, что при п > 0 всякое числовое множество из может
быть выражено предикатной формой с кванторами по множествам, префикс
которой состоит из п + 2 чередующихся кванторов, первые п из которых —
кванторы по множествам, а последние два — кванторы по числам, причем
начинается префикс квантором существования.

§ 16.2

16-11. Покажите, что процедуры перевода, описанные при доказательстве
теоремы XIII, приводят в действительности к эквивалентным с исходными
формулам.

16-12. Покажите, что в части (3) доказательства теоремы ХШ (имплика-
ция >5j) в качестве формулы системы 53 можно взять .5(£, а, ЬУ (Ука-
зание. Используйте теорему 14-VI и определения из упр. 1 5-13. Сначала пока-
жите, что в качестве формулы системы S3 можно взять 5*(£, с, 6), где
5*(^, с, t>) означает, что с есть кодовое число кортежа длины о, кодирующее
первые Ъ значений в разложении £ — [£] в непрерывную дробь.)

16-13. Завершите доказательство следствия ХШ (Ь).

16-14. Покажите, что если А неявно определимо в арифметике второго
порядка, то И и явно определимо в арифметике второго порядка. (Указание.
См. доказательство теоремы XI.) Выведите отсюда, что если А неявно опреде-
лимо в элементарном анализе, то А и явно определимо в элементарном ана-
лизе.

16-15. Докажите теорему XIV.

16-16, Проведите доказательство следствия XIV более подробно.

16-17. Докажите теорему XV и следствие XV. (Указание. См. доказатель-
ство теоремы 14-XI.)

16-18. Наметьте в общих чертах доказательство теоремы XVII.

△ 16-19. Выберем формулу Р, как это предлагалось в обсуждении в кон-
це § 16.2, и пусть F — некоторое высказывание арифметики второго порядка.
Покажите, что формула [Р Р] универсально истинна (при семантических
соглашениях логики второго порядка) <=>F — истинное высказывание ариф-
метики второго порядка.

△16-20 (Сколем). Докажите существование счетных со-моделей для
истинных высказываний элементарной арифметики. (Указание. Возьмем
в качестве S) множество целых чисел, и пусть „+“ и„Х“ интерпретируются
стандартным образом. Рассмотрим счетную совокупность всех истинных выс-
казываний арифметики второго порядка, представленных в предваренной фор-
ме. Назовем квантор существования в такой формуле начальным, если перед
ним нет кванторов общности. Каждому начальному квантору существо-
вания каждого истинного высказывания (в предваренной форме) сопоставим
(используя аксиому выбора) соответствующее число или функцию. Обозна-
чим счетную совокупность всех выбранных таким образом функций через <£.
Каждому неначальному квантору существования каждого истинного предва-
ренного высказывания сопоставим (с помощью аксиомы выбора) соответ-
ствующий (не обязательно рекурсивный) функционал (отображение из
.Vй X дгг в дг) или функциональный оператор (отображение из JF'1
в .V). (См. второй шаг в иллюстрации интерпретации опровержением контр-
примера в § 15.3.) Назовем счетную совокупность всех таких функциональ-
ных операторов %*. Возьмем в качестве ЗУ замыкание (в очевидном смысле)
множества '6 относительно всех функциональных операторов из )g*).

§ 16.3

16-21. Покажите, что поддерево х дерева Z7* есть дерево с конечными
путями (V/) (Эж) [вершина f(x) не принадлежит х].

16-22. Определите понятия дерева, поддерева, ветви, подветви, дерева
с конечными пугпями и упорядочения дерева непосредственно с по-
мощью кодовых чисел кортежей-вершин. (Например, А есть дерево, если
(V/)(Vх)[/(л:) 6 Л =Ф (Vy)[y < х =Ф /(у) € Л]].)

16-23. Пусть х — дерево с конечными путями. Покажите, что всякий
ненулевой ординал, меньший о (т), появляется как значение функции от.

16-24. Пусть тиа таковы, как в обсуждении, непосредственно предше-
ствующем формулировке теоремы XVIII. Завершите доказательство теоремы
XVIII, показав, что т — дерево с конечными путями и что о(т) = а.

△ 16-25. Сформулируйте более точные определения для xt + т2 и Xj-Xa
и покажите, что о^ + х2) = о^) + о(х2), а о(т1-х2) = о(т1)>о(х2).

16-26. Докажите основную лемму о деревьях.

16-27. (а) Покажите, что упорядочение Клини — Брауэра дерева х
является вполне-упорядочепием тогда и только тогда, когда т — дерево
с конечными путями.

(Ь)	Покажите, что для всякого дерева т с конечными путями упорядочение
Клини — Брауэра имеет не меньший порядковый тип, чем о(х).

(с)	Покажите, что упорядочение Клини — Брауэра рекурсивного дерева
с конечными путями есть рекурсивное вполне-упорядочение.

(d)	Покажите, что Т W определено в упр. 11-61.
16-28. Завершите доказательство теоремы XIX, показав, что построенное
по обозначению ординала а дерево с конечными путями рекурсивно.

△ 16-29. (а) Приведите пример рекурсивно перечислимого, но не рекур-
сивного дерева с конечными путями и пример рекурсивного дерева с конеч-
ными путями, не являющегося строго рекурсивным.

(Ь) Покажите, что всякий ординал, сопоставленный рекурсивно перечис-
лимому дереву с конечными путями, конструктивен и что всякий конструк-
тивный ординал задается некоторым строго рекурсивным деревом с конечны-
ми путями.

§ 16.4

16-30. Пусть фигурирующие в лемме о рекурсии S, <s и R меняются
(не обязательно эффективно) в зависимости от параметра q, пробегающе-
го некоторое множество А. Предположим, что для всякого q Е А и всякого
у Е если <pz удовлетворительна на S^\ то определено ц(г, у, q) и выпол-
няется RWty, т|(г, у, q)), причем функция т] частичнорекурсивна. Дока-
жите, что существует такая частичнорекурсивная функция ф двух переменных,
что для любого Е 4 функция Хж[ф(х, <?)] удовлетворительна на S<9> отно-
сительно Л<9>.

16-31. Покажите, что лемма о рекурсии остается верной, если пятое
предложение в ее формулировке заменить следующим: „Предположим, что
существует такая общерекурсивная функция / двух переменных, что для
любого z и для любого у Е S если <pz удовлетворительна на Sy, то <p/(z, yj удо-
влетворительна на Sy J {!/}“•

△ 16-32. Напомним, что, если х Е О, | х |0 означает конструктивный
ординал, имеющий х своим обозначением. Для х Е W обозначим через | х |vr
конструктивный ординал, соответствующий рекурсивному вполне-упорядо-
чепию, задаваемому посредством х. Докажите, что

(i)	если А гС }О посредством функции h, то А Е (3 конструктивный
ординал a) (Va:)[x Е А =Ф | h(x) |0 < а];

(ii)	если А tW посредством функции h, то А Е (3 конструк-
тивный ординал а) (Vx)[a: Е А => | h(x) |w < «!• (Указание. Рассмотрите
отображения из Т в W и из О в Т, доставляемые теоремой XIX, и отображение
из W в О, доставляемое теоремой 11-ХХ. Покажите, что при этих отображе-
ниях ограниченные множества переходят в ограниченные, а неограничен-
ные — в неограниченные).

16-33. Докажите, что Та

16-34. (а) Докажите, что множество {(х, у) |гЕ7'&г/Е7’&||а:||<
< || у ]|} является П}-полным. (Указание. Воспользуйтесь функцией h,
определенной в конце доказательства следствия XXII (Ъ), и проверьте, что
х Е Т <=> [(х, Л(»)) принадлежит этому множеству].)

(Ь) Докажите пункт (d) в теореме XXIII.

16-35. Докажите, что линейное упорядочение < т имеет порядковый
тип наименьшего неконструктивного ординала. (Указание. Пусть % —
наименьший неконструктивный ординал. Тогда < т имеет порядковый тип
<о-Х = X по пепрерывности функции ?ф[а>-|5].)

16-36. Закончите доказательство теоремы XXIV. Покажите, что П]-
упорядочение в этой теореме можно выбрать так, что всякий собственный
начальный отрезок множества А относительно этого упорядочения есть AJ-
мпожество.

16-37. Покажите, что не всякое Щ-вполне-упорядочение множества А
может быть принято за искомое в теореме XXIV.
§ 16.5

16-38 Л Докажите, что произвольное множество является Л}-мпожеством
тогда и только тогда, когда его характеристическая функция — гиперариф-
метическая.

Л16-39 (Аддисон), (а) Докажите принцип редукции для класса всех SJ-
подмножеств 2F, т. е. в обозначениях § 15.2, докажите принцип редукции
'для класса	(Указание. Пусть

= {/ | (ЭаОГ'.о (21, /, х)}, J9 = {/ 1(3^74,о (г2, /, х)}.

Положим

= {/ I (ЭаОЩ.о (Zf, f, х) & (Vp < х) п T{,0(z2, f, у)]},
= {/ I (Зу)Щ,0 (z2, /, У) & (Vx < у) -] 71,o(zi, /, х)]}. )

(Ь) Докажите, что существуют такие непересекающиеся Sj-подмноже-
ства %р — назовем их <4 и ^9, — что ни для какого Ag-подмножества g’ из &
невозможно, чтобы eg и J? eg одновременно. Выведите отсюда, что
П^-подмножества 2F не удовлетворяют принципу редукции. (Указание. Пусть
А п В — рекурсивно неотделимые рекурсивно перечислимые множества.
Возьмем = {/ | /(0) £ А } и J9 = {/ I 7(0) С В } и воспользуемся техникой,
использованной при доказательстве теоремы 15-XXIV.) (Можно также вос-
пользоваться „гёделевой нумерацией1’ посредством функций, примененной
в теореме 15-XXVII, чтобы получить доказательство, более близкое к дока-
зательству теоремы 7-XII (с).)

Л16-40 (Аддисон), (а) Докажите принцип редукции для класса всех
S^-подмножеств & при любом п 1. (Указание. См. упр. 16-39 (а), а также
вспомните правила преобразования ограниченных кванторов из § 14.3.)

(Ь) Для любого п > 1 найдите пару непересекающихся 2’-подмножеств
из , не отделимых никаким А^-подмножеством множества SF. Выведите
отсюда, что П^-подмножества множества gF не удовлетворяют принципу ре-
дукции.

Д16-41 (Аддисон), (а) Докажите принцип редукции для класса всех Щ-
подмножеств множества . (Указание. Так же, как в упр. 16-39 (а), с тем
изменением, что для ограничения кванторов используется упорядочение < ,
а переменные пробегают множество значений функции /* (из следствия
XX (а)).)

(Ь) Найдите пару непересекающихся Щ-подмножеств множества ф кото-
рые не были бы отделимы никаким его AJ-подмножеством. Выведите отсюда,
что класс S J-подмножеств gp не удовлетворяет принципу редукции.

16-42. (а) Назовем множество А гиперарифметически простым, если (i)
А есть П}-множество, (ii) А бесконечно и (iii) (VВ)[В — бесконечное П}~
множество В П Л ¥= 01 • Покажите, что гиперарифметически простые
множества существуют. (Указание. См. доказательство теоремы 8-II. )

(Ъ) Назовем множество А h-изоморфным множеству В, если существует'
такая перестановка /, что /—гиперарифметическая функция и А = f(B).
Покажите, что существуют множества, принадлежащие классу (П}—2}),.
не Л,-изоморфные Щ-полному множеству.

16-43. Пусть / — некоторая гиперарпфметическая функция. Покажите,
что существует такое п, что ср^ = Ф*(л;, и что это п можно найти равномерно
рекурсивно по Щ-индексу функции /.

△ 16-44 (Лакхам). (а) Назовем А рекурсивно [[{-продуктивным, если суще-
ствует такая частичнорекурсивная функция ф, что для любого z имеем Wz се
сеЛ =Ф [ф (z) определено & ф (z) g А — W{].

Назовем А рекурсивно '[{{-креативным, если А есть П}-множество и А
рекурсивно П^продуктивно.
Докажите: А рекурсивно Щ-крсативло<=>4 является Щ-полным. (Ука-
зание. Доказательство проводится параллельно доказательству теоремы

(Ь)	Множество А называется Щ-продуктивнъ1м, если существует такая
П’-функция ф, что для всякого z имеем W1 сА =Ф [ф (z) определено &
Ф(2) ел - тщ.

Назовем множество А Щ-креативным, если А есть Щ-множество с Не-
продуктивным дополнением.

Скажем, что В h-1-сводимо к А, если существует такая взаимно однознач-
ная гиперарифметическая функция /, что (Vz)[a: £ В <=> f(x) £4].

Докажите: множество А является Щ-креативным<=>[Л £ Щ&.(У/?)[В £
£ П’<=>В h-1-сводимо к 4]].

(с)	Докажите, что любые два П’-креативных множества h-изоморфны.
(Указание. Докажите „гиперарифметический вариант" теоремы 7-VI.) Обра-
тите внимание на упр. 16-46 ниже.

△ 16-45 (Лакхам). 'Пусть — некоторый класс Щ-множеств. Положим
{х I Е 1ё}- Если z есть Д^-индекс некоторого множества, то пусть

Ez — это множество. Докажите следующие теоремы:

(а)	Р1^ £	<=> [g пусто или g — класс всех Щ-множеств].

(Ь)	щ <=> (Звдв ещ &(Vz)[» е в z есть Д] индекс некоторого
множества] & g = {4 \ А £ Щ & (3z)[z £ В &. Ez с4]}].

(Указание. Доказательство проходит параллельно доказательству теоремы
14-XIV.)

^16-46. (а) Покажите, что существует Щ-множество 4, h-изоморфное
множеству Т, но не рекурсивно изоморфное ему. (Указание. Проделайте
следующее гиперарифметическое вычисление. Пусть В и С — бесконечные
рекурсивные подмножества множеств Т и Т соответственно. Будем перечис-
лять рекурсивные перестановки: Ро» Pi» .... Определим гиперарифметическую
перестановку / так, что (V;z)(3y £ B)(3z £ С) [/(г/)	рж(г)].)

(b) С помощью упр. 16-44 выведите отсюда, что Щ-продуктивное множе-
ство не обязательно рекурсивно Щ-продуктивно.

△ 16-47. Покажите, что существуют такое множество Д’-индексов С, что
всякое Д}-множество имеет один и только один индекс, принадлежащий С,
и такая Щ-функция ф, что для любого Д}-множества А, если z есть Д}-индекс
множества А, то ф(г) определено, ф(г) £ С и ф(г) есть Д}-индекс множества А .
(Указание. Положим В = {z | ф; нигде не определена или [фг всюду определена
и либо q>z строго возрастает, либо сначала строго возрастает й затем ста-
новится постоянной]}. В принадлежит классу Щ. Воспользуемся упорядо-
чением <г> чтобы построить Щ-множество С, состоящее из Д] индексов,
выбранных точно по одному для области значений каждой Щ-функции, имею-
щей индекс, принадлежащий множеству В. Построим такую обще рекурсив-
ную функцию h, что (V4)(Vz)[z есть Д}-индекс множества 4 => [Л(г) £ В &
& Vai <J>X(z> есть Л]]. Полагаем ф = {(х, у) | х £ В & g £ С &.у есть ^ ин-
декс области значений ф^}. Тогда ф == ф/г.)

△ 16~48. Для произвольной „частичнорекурсивной11 функции ф примем
за „инструкции" для вычисления ф произвольный П’-индекс множества
т(ф). Покажите, что такая „гёделева нумерация" „частичнорекурсивных",
в аналогии Крейсела — Сакса функций в понятном смысле „допустима"
(см. упр. 2-10). Более точно, покажите, что для нее справедливы теоремы
о нумерации (см. теорему I-IV) и s-zn-ra-теорема (см. теорему I-V).

16-49. Докажите существование в аналогии Крейсела — Сакса „рекур-
сивно перечислимых", но не “рекурсивных" множеств.
△16-50. Докажите для аналогии Крейсела — Сакса, что если А —
область значений взаимно однозначной „рекурсивной" функции, то Л не при-
надлежит А]. (Указание. Рассмотрите обратное отображение и примените
теорему XXVI.)

16-51. Покажите, (i) что конструкция, приведенная при обсуждении
аналогии Крейсела — Сакса для доказательства предложения [А “рекурсив-
но перечислимо11 и не „конечно" =ф4 — область значений некоторой „рекур-
сивной" функции], удовлетворяет поставленным требованиям и (ii) что если
А „конечно" и непусто, то А также есть область значений некоторой „рекур-
сивной" функции. (Указание. В пункте (ii) пусть „рекурсивная" функция
отображает А на себя, а Т — А — в некоторый фиксированный элемент
множества 4.)

§ 16.6

16-52. Докажите следствие XXX.

16-53. Докажите следствие XXXI (Ь).

16-54. Для всякого А определим К1,А, как это сделано в замечаниях
перед теоремой XXXIII. Докажите, что К1,А является П^’А-полным.

^16-55 (Спектор [1958]). Покажите, что существуют несравнимые гипер-
степени. (Указание. Для этого Спектором предложен метод, опирающийся
на теорию меры и обобщающий некоторые результаты из § 13.3. Достаточно
доказать, что р({В | А В})	1 для некоторого А. Для этого достаточно

убедиться в том, что .% = {(4, В) | 4 В} — измеримое отношение.
Но (VB)[{4 | 4 В} счетно], а потому (VB)[p({4 |4 ^ьВ)) = 0]. Поэто-
му по теореме Фубини (см. Халмош [1950]) р({(4, В) |4 ^дВ}) = 0.
Поэтому опять-таки по теореме Фубини р({В | 4 Ch В}) — 0 для почти всех
4. Чтобы доказать, что измеримо, достаточно показать, что всякое 2}-
отношение измеримо (так как SR. есть пересечение 2 ^-отношения с дополнением
к другому 2}-отпошению). Чтобы доказать это, достаточно показать, что при-
менение операции Д к совокупности открыто-замкнутых множеств дает изме-
римое множество. См. сноску об аналитических множествах, стр. 491, а также
Куратовский [4950].)

△16-56. Пусть {(ж, у) | {х, у)£А}— отношение порядка, соответ-
ствующее некоторому вполне-упорядочению (<) порядкового типа а.

(а)	(Спектор). Покажите, что 4 6 Д} =3 а конструктивен. (Указание.
Найдите такое z £ ТА, что а || z ||~ и примените следствие XXXVI.
Чтобы найти такое г, сопоставьте элементы множества Af = {х | (Зу)
Цх, у) £4]} вершинам функционального дерева следующим образом.
Вершинам, лежащим непосредственно ниже наивысшей вершины, сопоставьте
элементы множества 4t в порядке возрастания. Более общо, если некоторой
вершине сопоставлен элемент х множества 4t, то вершинам, лежащим непо-
средственно под этой вершиной, сопоставляются (в порядке возрастания) эле-
менты множества 44, лежащие ниже х во вполне-упорядочении 4. Этим
определяется дерево с конечными путями, характеристическая функция кото-
рого рекурсивна относительно 4. Пусть (рА — эта характеристическая
функция.)

(Ь)	(Танака, Крейсел). Докажите, что на самом деле 4 6 2} =4 а кон-
структивен. (Указание. Для у из данного вполне-упорядочения обозначим
через | у |А порядковый тип множества {х | (х, у) 6 4}. Достаточно пока-
зать, что для любого такого у справедливо {ж | х С Т || х Це | у |А} € 2}.
Для доказательства 'этого факта тем же способом, как в теореме XXXV,
применяется.лемма о рекурсии. Примените эту лемму к вполне-упорядочению,
задаваемому отношением 4, и примите за основное выражение х £
<=> [(3u)l(u, у) ё Л] &[(Vu) |фж(и) =0] V [фх(°) = 1 &• (3z)(Vra){(z, у) ё
€ А & b(n, х) £ Г|г1л]]]].)

16-57. Докажите следствие XXXVI(c).

16-58. (а) Допустим, что В $ А}, В ^h'f и Т В. Что можно сказать
о величине Xs?

(Ь) Пусть В f П}и = /.. Что можно сказать относительно гиперстепе-
ни множества В?

△ 16-59. Докажите, что для всякой / существует такое z, что {g | т(/) =
— W*’ е} плотно в 3 • (Указание. Пусть z определяет f через поведение функ-
ции g „на бесконечности”, т. е. пусть f(x) = lim sup g(yt) для подходящей
последовательности yt, зависящей от х.) Обратите внимание, что этот резуль-
тат контрастирует с рекурсивным случаем, где, если f не рекурсивна,
{g I т(/) — W&} не может быть плотным в 3.

16-60. Отправляясь от основных определений, проверьте, что Г2 =
= {z I (3/)[z 6 Г<»]}.

16-61. Покажите более аккуратно, что выражения из доказательства
теоремы XXXVIII приводят к желаемым SJ-форме и nJ-форме. (Указание.
См. упр. 16-8.)

△ 16-62. Завершите доказательство следствия XXXIX. (Указание. См.
доказательства следствий XXII.)

△ 16-63. Покажите, что порядковый тип множества 91 не есть Д^-ординал.
(Указание. Мы получим этот результат, показав, что всякий Д|-ординал мож-
но взаимно однозначно и с сохранением порядка отобразить в 91. Пусть а —
некоторый Д^-ординал. Исходя из определения Д^-ординала, легко показать,
что существует линейное Д^-упорядбчепие множества натуральных чисел,
имеющее тип а. Возьмем такое упорядочение и назовем его S. Мы построим
частичнорекурсивную функцию ф, задающую такое отображение из 5 в Т2,
что [х предшествует элементу у отпосительно S <=> || <р(х) ||2 < ||<р(г/)||2]• Мы
сделаем это, показав, что существует такая частичнорекурсивная функция т|,
что для любого у из S если ф2, рассматриваемая только на элементах, пред-
шествующих (относительно S) элементу у, задает сохраняющее порядок ото-
бражение этого множества в 7’2, то упорядоченная пара (у, r](z, у)) продол-
жает это отображение на у (как сохраняющее порядок отображение). Суще-
ствование функции ф доказывается теперь с помощью рассуждений, основан-
ных на теореме о рекурсии, очень близких доказательству леммы о рекурсии
в § 16.4. Существование нужной нам функции г) выводится из двух наблюдений:
во-первых, [A cz Г2 & А £ AJ] <^>{х | (Зу)[у ё А &. х ё rflyH»]} С HJ равно-
мерно по AJ-индексу множества А, согласно теореме XXXVIII, и, во-вторых,
всякое SJ-полное множество „продуктивно” относительно своих ПJ-подмно-
жеств (например, Е2 „продуктивно” с Ъ:[х] в качестве „продуктивной функ-
ции”).)

16-64. Сформулируйте и докажите аналоги теорем XXV — XXIX с SJ
вместо П{ и AJ вместо Д}.

16-65. (а) Докажите принцип редукции для SJ-подмножеств 3.

(Ь) Найдите пару непересекающихся SJ-подмножеств 5Г, которые не отде-
ляются никаким Д J-подмножеством^'. Выведите отсюда, что Щ-подмножества
3 не удовлетворяют принципу редукции.

16-66. Объясните, почему выражение

(¥в)(3л)[х е г4-в & (3d)(Vc) -|[ц у ||с-D < || х цА-в + in

не дает удовлетворительного определения Для у ё Т3.
§ 16.7

16-67. Покажите, что Д§ образует базис в Ag. (Указание. См. обсуждение
свойств рекурсивных классов (т. е. х£п-классов) в § 15.2.)

16-68. Проверьте, что нужные для доказательства теоремы XL1II реля-
тивизованные доказательства теоремы XLI и следствия XLI (а) проходят
и что получающееся z0 не зависит от g.

/\16-69 (Ганди). Обобщите доказательство теоремы XLIII так, чтобы
доказать существование бесконечно многих гиперстепеней, лежащих между
наименьшей гиперстепенью и гиперстепенью множества Т.

16-70. Пусть А — негиперарифметическое множество, гиперстепень
которого меньше гиперстепени множества Т. Что представляют собой А~
конструктивные ординалы?

16-71. (а) Более подробно проведите доказательства фактов 2, 3 и 4
из доказательства теоремы XLIV.

(b)	Более детально проведите доказательства фактов 6, 7 и 8 из доказа-
тельства теоремы XLIV.

(с)	Покажите, что если z 4 Т и P(f, z), то / = 1 на Г X {z}.

(d)	Выведите теорему XXI из фактов 6 и 7, приведенных в доказательстве
теоремы XLIV.

Д16- 72 (Коэн, Феферман). Следующим образом докажите, что существует
такое множество A g AJ, что (А } $ А}.

Пусть элементарная арифметика обогащена добавлением атомарных
выражений вида t g А, где А — единственная фиксированная свободная
переменная для множеств, а 4—числовая переменная или цифра. Рассмотрим
высказывания, не содержащие, кроме' 3, никаких других символов кванто-
ров и никаких пропозициональных связок, кроме V и И. Пусть эти высказы-
вания обозначаются через F, G,  . .. Назовем рангом высказывания F общее
число вхождений знаков Э, V и ~| в F. Пусть /, g, ... — характеристиче-
ские функции, а /, g, . . . — конечные начальные сегменты этих функций.
Для всякой такой функции / обозначим через S, множество, для которого.
/— характеристическая функция. / называется продолжением g, если ц c f.

Следующим образом индуктивно (по рангу формулы F) определим поня-
тие „/ вынуждает формулу F“: / вынуждает n g А, если п входит в область
определения функции”/ и /(n) = 1; 7 вынуждает иные атомарные формулы
(например m -f- п = р), если эти формулы истинны (относительно обычной
интерпретации); ,7 вынуждает (Эд)[. . .а . . .], если / вынуждает . . .п. . .
при некотором н;/вынуждает/” V G, если либо / вынуждает F, либо Твынужда-
ет G; наконец, / вынуждает ~| F, если никакое продолжение сегмента / не вы-
нуждает F. Скажем, что / вынуждает F, если некоторый конечный начальный
сегмент функции / вынуждает F.

(а)	Покажите, что если F не содержит переменной А, то (/вынуждает F) <=>
<=> (F истинно).

(Ь)	Покажите, что / вынуждает I п £ А <=> п входит в область определения
/ и 7(п) = 0.	~

(с)	Покажите, что / вынуждает F <=> всякое продолжение7вынуждает F-
(Указание. Примените индукцию по рангу F.)

Скажем, что F истинна на/, если F становится истинной, когда А при-
нимает значение Sf.

(d)	Покажите,что никакая функция/не вынуждает формулу И (Эа)~п а £ А.
Выведите отсюда, что F может быть истинной на /, хотя ни F, ни ~\F
не вынуждаются /, и что (добавляя еще одно отрицание) F может быть ложной
на /, хотя и вынуждаемой некоторым конечным сегментом функции /.
Назовем / генерической, если для всякого F имеем: F истинна на f=$F
вынуждается функцией / (а потому F истинна на / F вынуждается /).
Если /— генерическая функция, то и множество ^называется генерическим.

. (е) Покажите, что / — генерическая функция <=> для всякого F либо F,
либо —। F вынуждается /. (Указание. проверяется непосредственно, а 4= до-
казывается индукцией по рангу.)

(/) Покажите, что генерические множества существуют. (Указание. Вос-
пользуйтесь (е). Постройте генерическую функций) Л выбирая последователь-
ные продолжения так, чтобы гарантировать, что при всяком F либо F, либо
—’ F вынуждается /.)

(g)	Покажите, что существует^ генерическая функция / в классе Д}. (Ука-
зание. Покажите, что отношение „/ вынуждает Fu есть (относительно подходя-
щей гёделевой нумерации) Д}-отношени₽ (в действительности рекурсивное
относительно (/“)) и что построение из (f) приводит поэтому к Д}-функции.)

(h)	Пусть даны функция / и натуральное число п. Определим (характери-
стическую функцию) g условиями: g(x) = /(г) при х п и g(n) = 1 <=> f(n) =
= 0. Обозначим g через n(f). Покажите, что для любых / и п имеем (/— гене-
рическая функция <=> n(f) — генерическая функция). (Указание. Для произ-
вольного высказывания F назовем n(F) высказывание, получающееся из F за-
меной каждой атомарной подформулы t g А на выражение (~1 (£= nV “It gA) V
V 1 (П« = п V t Е Л)). Заметпм, что n(~\F) = ~[n(F). Покажите, что для любых
/ и F (i) / вынуждает п(п(РУ) <=> / вынуждает F, (ii) / вынуждает F п(/)
вынуждает n(F). Заметьте, что n(n(f)) = /, и воспользуйтесь (е).)

(i)	Покажите, что /'—генерическая функция {/}$ AJ. (Указание.
Допустим, что / — генерическая функция и {/} g AJ. Пусть F — неявное
определение множества Sf. Так как F истинно на /, F вынуждается^ при неко-
тором /с/. Возьмем п, не принадлежащее области определения функции /.
Тогда n(f) вынуждает F (так как7 с: п(/)). Но n(f) — генерическая функция
(согласно (h)). Поэтому F истинна на n(f) в противоречие с нашим предполо-
жением, что F определяет единственную функцию /.)

.£16-73. (а) Определим генерическое множество, как в упр. 16-72. Пока-
жите, что совокупность всех негенерических множеств есть множество первой
категории в канторовом пространстве. (Указание. При всяком F множество
{/| (3/)[/ c^f &. / вынуждает либо F, либо “l/*"} открыто и всюду плотно.
Оно открыто, потому что является объединением окрестностей, задаваемых
сегментами, вынуждающими F или —] F. Оно всюду плотно, потому что всякая
окрестность, не пересекающаяся с этим множеством, задавалась бы некото-
рым сегментом, вынуждающим П F. Таким образом, совокупность генериче-
ских множеств есть счетное пересечение открытых всюду плотных множеств.
Поэтому дополнение к их совокупности есть множество первой категории.)

(Ь) (Аддисон). Покажите, что всякий арифметический класс первой кате-
гории содержит в своем дополнении некоторое арифметическое множество;
выведите отсюда, что класс всех арифметических множеств не является арифме-
тическим. (Указание. Функция / называется п-генерической, если для всякой
формулы F ранга п или меньше (F истинна на / F вынуждается /). Покажи-
те, что для каждого п существует арифметическая n-генерическая функция /.
Пусть теперь g — арифметический класс первой категории, определяемый
формулой F ранга п (см. теорему 15-IV). Пусть /— арифметическая n-гене-
рическая функция. Если Sj g fg, то все доказано. Если же Sf g fg, то F
истинна на / и некоторый сегмент / с: / вынуждает F; в силу таких же рассуж-
дений, как в пункте (а), n-генерические продолжения сегмента / порождают
содержащуюся в fg совокупность второй категории, а это — противоречие.)

16-74. Распространите теоремы 15-XXV и 15-XXVI на аналитическую
иерархию. Более точно, докажите следующие утверждения.
(а)	Пусть A	и пусть т(._т/) --== {X | (3/)[/ g &. X =

= {С1, У) I /(*) — г/}1 }• Покажите, что для всех п имеет место g S„ <?=>
<=> т(,?£) gS}H что ,7# 6 ПК <=> т(^/) £ ПК- (Указание. См. доказательство
теоремы 15-XXV- В следствии 15-XXV рассмотрен случай п = 0.)

(Ь)	Пусть с ЛГ, и пусть g(o/) = {/ ] (ЗХ)[Х g .-4 &l / = cj}. Пока-
жите, что при всех» справедливо Л g 21К ЙМ) € и что • ?/ € П), <=>
<=>g(<?/) С ПК- (Указание. См. доказательство теоремы 15-XXVI. В следст-
вии 15-XXV1 рассматривается случай п = 0.)

(с)	Понятия 21К~ и П^-индексоз класса для .Гк и п >0 определены
в § 16.1. Для ,Гк с JV"& п > 0 назовем 2^-индексом класса..?/ всякое число г,
для которого .Гк = {X | (Зд) . . . Tn+1>0(z, X, т^), •••)}• Аналогично
введем ТТ^-индексы.

Покажите, что для п > 0 приведенные выше утверждения (а) и (Ь) вы-
полняются равномерно относительно соответствующих индексов.

16-75. Докажите следствие XLIV(h). (Указание. Примените следствие
XLIV(e).)

16-76. Покажите, что g (П} — 21}). (Указание. f £ Г№ <=>
<=> (3z)(Vх)[/(х) = q>z(x)]. Отсюда следует, что 86 £ Щ. Предположив, что
&в g 21}, примените теорему XLIV, чтобы доказать, что Т £ 21} — противоре-
чие.)

16-77. Покажите, что если у — продолжение х (как это определено в тео-
реме XLV), то у > х. (Указание. Рассмотрите определение кодовых чисел
кортежей через функцию т*, определение т* через т и определение т.)

§ 16.8

△16-78. Пусть / — произвольная взаимно однозначная функция. Поло-
жим

Х(/(0)) = 0,

K(f(n + 1)) = (№)))'.

Пусть А = {(х, у) | у — одно из значений функции / & х g К(у)}. Покажи-
те, что Т-степень множества А может быть сделана сколь угодно высокой
за счет подходящего выбора функции /.

16-79. Пусть Ао, At, ... — такая последовательность множеств, что
А о = 0, а при всех п > 0 множества Ап 21п-полны. Пусть А— {(х, у) | х £
€ А Покажите, что Т-степень множества А может быть сделана произвольно
высокой за счет выбора множеств Ао, ....

16-80. Пусть v — произвольная унивалентная система обозначений.
Положим

X(v-i(0)) = 0,

X(v-i(p + 1)) =(X(v-i(P)))\

A(v-1(a)) = {{и, г) | v(v) <a&a g K(v)},
если a — предельный ординал.

Покажите, что для всякого х из области определения v существует такое
у £ О, что v(x) = | у | и К(х) Н(у). (Указание. Воспользуйтесь следстви-
ем 11 -XVIII (Ь) и леммой о рекурсии.)

16-81. Пусть о — произвольное взаимно однозначное рекурсивное ото-
бражение множества N X N в N с рекурсивной областью значений. Опреде-
лим множества К (х) подобно множествам Н(х) с тем отличием, что вместо т
в качестве функции пересчета пар используется о. Покажите, что для всякого
х £ О имеем Н(х) = К(х). (Указание. Воспользуйтесь леммой о рекурсии.)
16-82. Возьмем произвольное z0, такое, что (i) (V^4) [WAa = А>] и (ii)
существует такая общерекурсивная функция /0, что для всех А и и функция
Лх[/0(и, х)] 1-сводит WA к Waq. Положим А* = WA0- Определим множества
К(х) так же, как Я(х), с той разницей, что вместо скачка используется опера-
ция *. Докажите, что х g О =ФЯ(г) =т К(х). (Указание. Воспользуйтесь
леммой о рекурсии.)

Л16-83 (Эндертон). Следующим образом сопоставим множества обозна-
чениям системы О:

= N,	.

= (Яж)',

я3.5у =	। и £ %(„)>•

Теоремы XLIX, L и L1 сначала были сформулированы для этого сопо-
ставления, принадлежащего Клини (см., однако, примечания на стр. 267
и 268). Докажите, что Нх = т Н(х) для всякого х g О. (Указание. Восполь-
зуйтесь леммой о рекурсии, чтобы доказать, что х ^оУ =ф Нх Ну равно-
мерно по х и у. Затем примените лемму о рекурсии, чтобы доказать, что
Н(х) Нх и что Нх SgT Н(х).)

^16-84 (Эндертон). Пусть Vg — такое взаимно однозначное отображение
некоторого множества Dg натуральных чисел на некоторый сегмент ордина-
лов, что для него выполняются условия (i) и (ii) из определения системы
обозначений, приведенного в начале § 11.7. Для х £Dg определим К(х) сле-
дующим образом:

X(v-40))	= 0,

ЛДг’ЧР + 1)) = (X(v-i(P)))/,

X(v"i(a)) = {(и, и) | v g Dg &. v(v) < a &. u g K(v)}
для предельных ординалов a.

Докажите, что если х g Ds, у (On v(x) = | у |, то Н(у) ТК(х). (Указание.
Сначала воспользуйтесь леммой о рекурсии, чтобы показать, что если даны
такие v g 3)8, у g О, что v(v) | у |, то можно рекурсивно относительно
Х(22”) и равномерно по у и v вычислить такое число и/что и Оу и v(v) =
= | и |. Желаемый результат получается после этого в результате еще одного
применения леммы о рекурсии.)

^16-85. (Клини, Суслин). Пусть .ЛaJT. Докажите, что С Л} <=> (3
конструктивный ординал Р) \jl g Sg].' (Указание. Для доказательства =>
поступаем следующим образом. Воспользуемся П|-формой для А, чтобы
получить такое z0, что = {А | z0 g Тл). Докажите, что для любого фикси-
рованного z0, если {А | z0 g ГА} g S}, то (Злг0)[л70 g Т & (VA)[z0 g
=>l| z0 ||А< II zo ЦП (в противном случае Т = (х | (ЭВ)[г0 С Тв & || х || <
< II zo П1} и Т g по теореме XXXV). Заключаем отсюда, что —
— {А | z0 g ТА XQ |j} для некоторого xB g Т. Чтобы показать, что ТАу ।
^177л(2е^П *), подвергните релятивизации доказательство теоремы LI.
(Это доказательство можно провести так, чтобы оно давало обозначение орди-
нала Р в О равномерно относительно А}-индекса ^.) доказывается анало-
гично теореме L с использованием леммы о рекурсии.)

*) Напомним, что е(у) используется как сокращение для 22'J (см. доказа-
тельство теоремы LI, стр. 564).— Прим, перев.
16-86. Покажите, что существует множество функций из 2^fn\ не при-
надлежащее 2^fn>B, где В = Н(у), у £0 и | у | = и. (Указание. См. заклю-
чительные замечания в § 15.1 и 15.2.)

△16-87. Для всех X и всех у СО определим Их (у) так же, как в § 16.8.
Покажите, что, вообще говоря, утверждение ЛЕД*  в (Эу)[уЕО &Л<тНв(у)[
неверно. (Указание. Приняв В — Т, покажите, что в Д},Тсуществует множе-
ство более высокой Т-степени, чем произвольное Нт(у), где у С О.)

△16-88. Покажите, что если ugO, v£O,	Л С JT и ^пред-

ставимо некоторой u-формой, то .Л представимо и некоторой и-формой.
(Указание. Сделайте это в два шага. Сначала докажите это в случае и <qv,
затем при | и | = | v |. В последнем случае сначала докажите, что теорема.
XLIX верна для множеств Н%(у) „равномерно относительно" X, т. е. равно-
мерность (в формулировке теоремы) не зависит от X. Затем воспользуйтесь
леммой о рекурсии, (и = .2* — ключевой случай).)

16-89. Определим 2<*’ так же, как в § 15.2, а 2°, как в § 16.8. Докажите,
что 6	2».

16-90. Пусть у = 2« Е О. Докажите, что А ^Н(у) <=> (3z)[4 >=
= {х | z Е Я'ж\у)}]- (Указание. Примените лемму о рекурсии к О.)

△ 16-91. Присоединим к элементарной арифметике атомарные формулы
вида D(n, а, 6), где п—нумерал, а а и 6,— переменные. Пусть выбрана неко-
торая фиксированная гёделева нумерация формул такой обогащенной систе-
мы. Формула, содержащая подформулы вида D(n, а, Ь), называется допусти-
мой, если каждое п есть индекс рекурсивной функции, все значения которой
суть гёделевы номера формул с одной свободной переменной, которые уже
объявлены допустимыми. Подформула D(n, а, 6) всякой допустимой формулы
интерпретируется как „& удовлетворяет формуле с гёделевым номером <рп(а)“.
Сделайте понятие допустимой формулы точным, и докажите,- что множество
является гиперарифметическим тогда и только тогда, когда оно определяется
некоторой допустимой формулой. (Какова степень неразрешимости множества
всех истинных допустимых высказываний?)

16-92. Пусть „2«“ обозначает некоторую х-форму, а „Пр“ — отрицание
некоторой у-формы, где | х | = а > | у | = р. Покажите, что имеют место
следующие „правила' преобразования кванторов":

(i)	32^-2^,

(ii)	V2i-^n^+i,

(in) [2a & Пр] ->2L

(iv) [2£->n£]-+nL

△16-93. В следующем определении строится такая цепь гиперарифмети-
ческих множеств, что всякое Д]-множество сводится к некоторому элементу
этой цепи. Это определение обходится без обозначений ординалов. Принадле-
жит оно Шёнфильду. Положим

Ро = N,

Op+i = Dp П (D$',

Da = U Da для предельных ординалов а.

₽<а

Покажите, что Dn Е hn при п < ю, но Е hM+i- (Указание. Докажите Пщ-
полноту множества Da.)

16-94. Пусть f — такая общерекурсивная функция, что при всяком х
значение f(x) есть Д [-индекс некоторого Д]-множества. Для всякого х пусть
А х— множество с Д]-индексом/(х). Покажите, что „бесконечное сочленение"
{( и, г) | и Е Av} есть Л}-множество. (Указание. Непосредственно проверяется
с помощью использования подходящих форм.)

16-95 (Гейзер). Пусть даны такие h и А, что h Е.А}, A EJIhJciU Wh(.y).
У£Т

Покажите, что 4 с U WL . при некотором конструктивном а. (Указание.

У^Та У

Возьмите отношение Р, определенное в теореме XLIV, и воспользуйтесь
упр. 16-72, чтобы показать, что если желаемый результат не имеет места, то
а € 7<=> (3/)[Р(/, z) & (Эх)!® Е А & (Vu)(Vp)[[/((u, z)) = 1 &

иади.

Отсюда вытекает, что Т Е S}.)

16-96. (Эндертон). Докажите содержащуюся в формулировке следствия
ХЫХ(с) равномерность. (Указание. Обобщите формулировку и доказатель-
ство теоремы XLIX, так чтобы из нее прямо вытекало следствие XLIX(c).
Возьмите 5 = {(а;, у) \ х £ О &. у Е О & | х | < | у |} и подходящим обра-
зом определите отношение <g. Метод доказательства такой же, как в тео-
реме XLIX. Ключевым является случай х = 2“, у = 3-5®.)

Д16-97 (Московакис). Определение: пусть х и у — такие элементы мно-
жества О, что | х | = | у |. Будем говорить, что х мажорируется элементом
у, если существует такая частичнорекурсивная функция ф, что и <q х^>
=Ф [ф(и) определено &ф(и) Со у & | и | С | ф (и) | ].

(а)	Покажите, что существуют такие х0 и у0, что | х0 | = | у0 | = со2,
ио хо не мажорируется у0. (Указание. Возьмите любое такое у0, что | у0| = со2.
Постройте х0 = 3-5®, так, чтобы

ф (№ + 1) I = Л I + I <Рп(гс + 1) I + со, если Фп(я + 1) <0 у0,
I Ф4 т II ( |ф„ (п) | -|- о в противном случае.

Предположим, что я0 мажорируется у0 с помощью функции ф. Возьмите такое
п, что фп = Ффо, и выведите противоречие из сделанного предположения.)

(Ь)	Покажите, что существует равномерная процедура, позволяющая
по данной общерекурсивной функции / (точнее, по ее гёделеву номеру) нахо-
дить такое п, что для всех А справедливо n£A><=>f(n) $4. (Указание.
Воспользуйтесь теоремой о рекурсии, чтобы получить такое п, что = N,
если /(я) $ 4, и W‘n = 0, если f(n) Е 4.)

(с)	Покажите, что [жЕ<?&!/60&|а:|=1г/1 = [некоторый предель-
ный ординал]] => [х мажорируется у <=> Н(х) ^Н(у)]. Отсюда следует, что
если даны такие и у0, как в (а), то | х0 |= | у0 I, но Н(хо) £ Н(у0). (Ука-
зание. =Ф получается в результате применения следствия XLIX(c). Чтобы
доказать ф=, предположим, что Н(х) ^Н(у}. Возьмем t <_ох. Покажем, как
вычислить ф(<) <0 у, так чтобы | t | < | ф(1) |. Пусть e(t) = 22 . и пусть дано
произвольное s. Имеем s Е Я(е(1))<=>($, е(*)) € Н(х) <=>i,p(s), q(s)) Е Н(у)
(трр p(s) и g(s} получены благодаря 1-сводимости Н(х) к Н(у)) <=> ?(«)<о
<0 у & p(s) Е Hq (s). Допустим на мгновенье, что | g(s) | < | t | для всех s,
таких, что ?(s) <о у. При атом допущении мы можем использовать H(t) для
проверки, выполняется ли s Е H(e(t)), следующим образом: смотрим, верно ли,
что q(s) <Zo у (здесь используется равномерная сводимость К к H(t), затем
применяется доказанная в следствии XLIX(c) сводимость H(q(s)) к H(t).
Это Т-сведение H(e(t)) к H(t) приводит к 1-сводимости H(e(t)} к Я(2<) посред-
ством общерекурсивной функции / (с индексом, равномерно зависящим от 1),
определяемой так, что f(s) Е Я(2*) <=> процедура Т-сведения помещает *
в Я(е(1)). На самом деле, конечно, Я(е(<)) не 1-сводимо к Я(2«), так как
Я(е(«)) = (Я(20)'- Поэтому для некоторого s имеем | q(s) | > | t |. Найдем
такое q(s) следующим образом. Возьмем определенную выше / (ее определение
не зависит от нашего ложного допущения; от этого допущения зависело только
утверждение, что Я(е(1)) ^Н(21} посредством /). Применим (Ь) к /, чтобы

получить такое п, что п Е Я(е(1)) <=>/(1) //(2*). Из определения / и строе-
ния описанной процедуры Т-сведепия Я(е(<)) к H(t) следует, что q(n)<Zo
<0 у & ] g(n) | > | t |. Поэтому мы полагаем ф(/) = g(n).)

△ 16-98. (а) Пусть Нх при х Е О— множество, определенное в упр. 16-83.
Докажите, что для каждого х Е О существует такая функция fx, что (i) Нх =
= {и | /ж(и) =/= 0}, (ii) {/ж} Е П“ равномерно по х и (iii) fx =т Нх равномерно
по х. (Существование fx со свойствами (ii) и (iii) было замечено Крейселом
в [1962].) (Это упражнение дает доказательство следствия XLIV(d), не завися-
щее от теоремы XLIV.) (Указание. Пусть g0 — общерекурсивная функция
с рекурсивной областью значений, 1-сводящая А к А > при всяком А. Опреде-
лим /ж для х Е О следующим образом:

1  fx = Ш-

2у & и входит в область значений g0 : fx(u) = fvg^-(u). (Поэтому
fy = fxgo-)

х =

х =

X —

тим, что

2У & и не входит в область значений g0: fx(u) — tv <=> [w =

= Ip, q, r, s) & (u, p, q, r) E IVpfu) точно за s шагов
cz {z | fxg0(z) Ф 0} & Dr cz {z I fxgo(z) = 0}]. (Заме-
в этом случае возможность fx(u) = 0 автоматически покрывается

утверждением о том, что fx — всюду определенная функция.)

х = 3«5<: /х((и, и)) =	(и).)

(Ь) Докажите утверждение пункта (а) с Н(х) вместо Нх. (Указание.
В определении/д t из (а) замените q>t(i>) на <p(t, v), где <р — такая частичноре-
курсивная функция, что при 1 = 3'5<ЕО область значений функции
Хг[ф(<, г?)] есть {z | z <q а:}.)

16-99. (Клини). При произвольном g cz SF будем говорить, что f (или
А) Е S1 если j (или А) выразима в S*-форме, в которой все кванторы
пч &

по функциям ограничены множеством g.

(а)	Покажите, что f Е2 J =Ф / Е <Я?.

△(b) Покажите, что для каждого х Е О множество Нх выразимо в S}-
форме с <ёх в качестве базиса, где gx = {/ | (Эи)[и <q х &. /	#и]}.

(Указание. Примените П “-форму, построенную в упр. 16-98. Пусть S(x, f) —
такая nj-форма, что для х Е О имеем g = fx <=> S(x, g). В случае х = 2v
положим Нх = {и | (3f)[S(y, /)& [[и входит в область значений
go & fgo1^) #= 0] V (u не входит в область значений g0 &• (3w)[u> 0 &. w =
= (р, g, г, s) & • • • & cz {z | /(z) = 0}]]]]}. Случай x = 3-5* рассмат-
ривается аналогично.)

16-100. (а) Покажите, что2^ cz при всех п. (Указание. Заметим,
что (Э/)^о I- •	• •] может быть записано в виде (3/)[/ Е	♦ •!»

а также в виде (3z)[<p| всюду определена & (V/)[/ =	=$ . . . f. . .]].>

СО

(b)	Покажите, что U 21,
п=0 п>

А(с) Определим

Л

ёр+1 =

-?

ёк =

U гё& Для предельных ординалов X.

Пусть Ро — наименьший из тех ординалов р, для которых gp+1 — ‘ёв- По-
кажите, что Ро —счетный ординал и что cz Д|. (Классы , р^Р0»
образуют, как ее называют в литературе, разветвленную аналитическую иера-
рхию. Результат (с) получен с использованием теории множеств; автор не
зпает его доказательства, опирающегося только .на теорию рекурсивных,
функций.)

△16-101 (а) (Крейсел). Пусть R Е Щ. Докажите, что

(Vx)(Bf)^R(f, х) <=> (3g)#e(Vx)R(ky[g((x, у))], г).

(Указание. Рассмотрим отношение {(f, х) \f(zaX&.R(f, я)} = Р. Имеем
РЕЩ. Применяя теорему XLV (Кондо — Аддисона) к Р, получим такое
Р*, что Р* czP, Р* € П| и (Vx) (3 единственная /) P*(f, х). Для каждого
х пусть gx—та единственная функция /, для которой P*(f, х). Определим
g((x, У)) — gx(y)- Очевидно, (Vx)R(Ky[g((x, у))], х). Остается показать,
что g 6 &в. Но g((x, у)1 = z <=> (3/)^[/>*(/, х) &/(у) = z] <=> (V/)^
[Р*(/, х) => f(y) = z). Применяя метод, использованный в теореме
XLI (и упр. 16-100(а)), получим g Е Д}.) (Этот результат может быть получен
без применения теоремы XLV следующим образом.

(Ух)(3/)даЯ(/, х) =- (Vz)(3z)[<pz всюду определена &

& (V/)[(Vy)(Vu>)|<p|(y) = w =£ Ду) = w] =3 R(f, «)]].

Запишем последнее выражение более коротко в виде (Vz)(3z)S(z, х). Тогда-
5 Е П}_ Применяя теорему XXV (об однозначности в Щ), получим
(3h)&$(yx)S(h(x), х). Пусть g((x, у)) = <рл<х)(у). Очевидно, £ Е
и V (x)R(Ky[g((x, у))], х).)

(Ь)	Определим Д* (для множеств), как в упр. 16-99. Не пользуясь
теоремой XLIV, покажите, что Д1 = Д}. (Указание. Согласно теореме XLI,
Д^ cz Д}. Для проверки того, что Д| cz Д* воспользуйтесь в доказа-
тельстве теоремы XXI сформированным выше, в пункте (а), правилом пре-
образования кванторов, чтобы доказать, что Та £ Л* при любом конструк-
тивном а.)

(с)	(Московакис). Не пользуясь теоремой XLIV (примененной в упр.
16-76), покажите, что &€ Е (П|— S}). (Указание. Определим Р (f, z).
как (f &.Z Е Т &.f <т Т||2ц1 V [/ Е (Vy)[<p2(y) = 0]]. Предположим,
что £ Д}. Тогда Р £ П}. Применяя модификацию теоремы XXV (теорема
об однозначности в классе П} для функций одной функциональной пере-
менной), получим такое Р*, что Р* <^Р, Р* Е П}, (V/)(Vz)[P*(f, z) =>z E T]
и (V/) (3 единственное z) P*(f, z). Из определения отношения P, очевидно,
получаем, что х Е T<=>(3/)(3z)[.P*(/, z) & ||х || < || z || ]. Но отсюда вытекает,
что х Е Т <=> (3/)(3z)[(Vy)[y ф ъ =* ~\P*(f, у)] & || х ||< || z ||]. Согласно
теореме XXI, это дает Т Е 2}, п мы пришли к противоречию.)

(d)	(Московакис). Из пунктов (Ь) и (с) выше выведите, что Щ czSj
(теорема XLIV). (Указание. Так как ей? Е П}, возьмем такое z0, что / Е

z0 Е Т - Согласно (с), {|| z0 |f | f Е не ограничено в конструктивных
ординалах. Поэтому имеем х Е Т <=> (3/)^,[|| х || < || z0 ||1]. Возьмем модифици-
рованное, как в пункте (Ь) выше, доказательство теоремы XXI и подвергнем
его релятивизации по отношению к /, чтобы получить такие Д^ ^-формы
•относительно /их, которые нри / Е выражают множество {х|||х|[<
<||z0|/}. Используя -g-форму, получим Т Е	Поэтому Щ cz

Cl} ^g.) (Будучи, возможно, более простым, чем доказательство теоре-
мы XLIV, изложенное в § 16.7, это доказательство не приводит к след-
ствиям теоремы XLIV, касающимся неявной определимости, которые были
получены в § 16.7.)

Д16-102 (Крейсел). Покажите, что наименьший из классов g, для
которых (i) (V/)(Vg)[[g Е ^ & / <т£1 =»/ € и (ii) (Vx)(3g)„R(g, х) <=>
О

> (Э/г)^, (Vх)Л(Ху[А((х, у))], х) при любом .Я £ П}. (Что <Я? обладает свой-
ствами (i) и (ii), вытекает из следствия Х(а) и из пункта (а) в упр. 16-101.)
(Указание. Для z Е О определим gz = {g | (Зу)[у <о z &. g <тЯ(у)]}. Доста-
точно показать, что для всякого z Е О, j z | О, существует такое R Е П£,
что (Va)(3g)^?(g, и), но “J (3&)^ (Vv)R(ky[h((v, у))], v). Дляг Е О пусть /z
определяется, как в упр. 16-98, и пусть S — такое Щ-отношение (построенное
в упр. 16-98), что g = fz <=> S(z, g). Для z =3«5* положим R(g, v) <=>
<=> 5(<pt(v), g). Для z=2W полагаем R(g, v) <^[S(y, Xn[g(n-|-1)]) & [g(0) —
— w [[у входит в область значений g0 & w=g(go1(v) + 1)] V[r не входит
в область значений g0 & iv = /р, q, г, s) &. i v, p, q, r\ £ IVP(D) точно за s
шагов & Dq c {z | g(z 4- 1) 0} & Dr cz {z | g(z + 1) = 0}]]]], где g0 вы-
бирается так же, как в упр. 16-98).
ЛИТЕРАТУРА *)

Аддисон (Addison J. W.)

{1955] Analogies in the Borel, Lusin, and Kleene hierarchies, 1, Bull.
Amer. Math. Soc., 61, 75 (abstract).

{1959] Some consequences of the axiom of constructibility, Fund, math.,
46, 337-357.

11959a] Separation principles in the hierarchies of classical and effective
descriptive set theory, Fund, math., 46, 123—135.

|1962] Some problems of hierarchy theory, Proc, of symposia in pure math.,
v. V, Recursive function theory, Amer. Math. Soc., Providence,
R.I., 123-130.

[1962a] The theory of hierarchies, Logic, methodology, and philosophy of
science (Proceedings of the 1960 international congress), Stanford
University Press, Stanford, Calif., 26—37. (Русский перевод:
Аддисон Дж., Теория иерархий, в сб. «Математическая
логика и ее приложения», 1965, М., «Мир», 23—36.)

Аддисон, Клини (Addison J. W., Kleene S. С.)

[1957]	A note on function quantification Proc. Amer. Math. Soc., 8,
1002-1006.

А к с т (A x t P.)

[1959]	On a subrecursive hierarchy and primitive recursive degrees, Trans.
Amer. Math. Soc., 92, 85—105.

Аппель, Мак-Лохлин (Appel К. I., McLaughlin T. G.)
[1965] On properties of regressive sets, Trans. Amer. Math. Soc., 115,
83—93.

Арсланов M. M.

[1968]* Две теоремы о рекурсивно перечислимых множествах, Алгебра
и логика, 7, вып. 3, 4—8.

[1969]» О некоторых вопросах структуры рекурсивно перечисленных
множеств, Тезисы докл. X всесоюзн. алг коллокв., 1969, Ново-
сибирск, 1, 100.

А с с е р (A s s е г G.)

[1960]	Rekursive Wortfunktionen, Z. math. Logik und Grundl. Math., 6,
258—278.

Бернайс, Френкель (Bernays P., Fraenkel A. A.)
[1958] Axiomatic set theory, North-Holland Publishing Company, Am-
sterdam.

t) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. — Прим. ред.
Биркгоф (Birkhoff G.)

[1940] Lattice theory, American Mathematical Society colloquium pub-
lications, 25, New York. (Русский перевод: Биркгоф Г., Тео-
рия структур, 1952, М., ИЛ.)

Бун (Boone W. W.)

[1957] Certain simple, unsolvable problems of group theory, V, VI, Indag.
math., 19, 22—27, 227—232. (Konink. Nederl. Akad. van Weten-
schappen, Proc., ser. A, 60.)

Ганди (Gandy R. 0.)

[I960] On a problem of Kleene’s, Bull. Amer. Math. Soc., 66, 501—502.
[1960a] Proof of Mostowski’s conjecture, Bull. .Acad. Polon. Sci., ser. sci.
math., astronom. et phys., 8, 571 — 575.

Г а н ф (H a n f W.)

[1962] Degrees of finitely axiomatizable theories, Notices Amer. Math.
Soc., 9, 127—128 (abstract).

Гензель, Патнам (Hensel G., Putnam H.)

[1965] On the notational independence of various hierarchies of degrees of
unsolvability, J. symb. logic., 30, 69—86.

Гёдель (Godel K.)

[1931] Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme, I, Monatsh. Math, und Phys., 38, 173—198.

Гжегорчик (Grzegorczyk A.)

[1953] Some classes of recursive functions, Rozpr. mat., 4, Inst. Mat. Polsk.
Akad. Nauk, Warsaw. (Русский перевод: Гжегорчик A.,
Некоторые классы рекурсивных функций, в сб. «Проблемы мате-
матической логики», 1970, М., «Мир», 9—49.)

Гильберт Д.

[1904]* Об основаниях логики и арифметики, В кн. Гильберт Д.,
Основания геометрии,$1948, М.-Л., ГИТТА, 322—337.

Гильберт, Бернайс (Hilbert D., Bernays Р.)

[1939] Grundlagen der Mathematik, Springer-Verlag OHG, Berlin.

Деккер (Dekker J.C.E.)

[1953]	Two notes on recursively enumerable sets, Proc. Amer. Math. Soc.,
4, 495-501.

[1954]	A theorem on hypersimple sets, Proc. Amer. Math. Soc., 5, 791—
796.

[1955]	Productive sets, Trans. Amer. Math. Soc., 78, 129—149.

[1962]	Infinite series of isols, Proc, of the symposia in pure math., v. V,
Recursive function theory, Amer. Math. Soc., Providence, R.I.,
77—96.

Деккер, Майхилл (Dekker J.C.E., Myhill J.)

[1958] Some theorems on classes of recursively enumerable sets, Trans.
Amer. Math. Soc., 89, 25—59.

[1958a] Retraceable sets, Canad. j. math., 10, 357—373.
[1960] Recursive equivalence types, -Univ, of Calif, publ. in math., n.s., 3;
67-213.

Джокуш (J ockusch C. G., Jr.)

[1966] Reducibilities in recursive function theory, Ph.D. Diss., Massachu-
setts Institute of Technology, Cambridge, Mass.

Дребен (Dreben B. S.)

[1962] Solvable Suranyi Subclasses: an introduction to the Herbrand theo-
ry, Ann. Comput. Labor. Harvard Univ., 31, 32—47.

Дэвис (Davis M.)

[1956]	A note on universal Turing machines, Automata studies, Annals of
mathematics studies, v. 34, Princeton, N. J., 167—175. (Русский
перевод: Дэвис M., Замечание об универсальных ' машинах
Тьюринга, в сб. «Автоматы», 1956, М., ИЛ., 226—234.)

[1957]	The definition of universal Turing Machine, Proc. Amer. Math.
Soc., 8, 1125—1126.

[1958]	Computability and unsolvability, McGraw-Hill Book Company,
New York.

Дэвис, Патнам, Робинсон, (Davis M., Putnam H.,
Robinson J.)

[1961]	The decision problem for exponential diophantine equations,
Ann. of math., 74, 425 —436. (Русский перевод: Дэвис M.,
Патнэм X. и Робинсон Дж., Проблема разрешимости
для показательно-диофантовых уравнений, сб. Математика,
1964, 8 : 5, 69—79.)

Ейтс (Yates С. Е. М.)

[1962]	Recursively enumerable sets and retracing functions, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 8, 331—345.

[1965] Three theorems on the degree of recursively enumerable sets, Duke
math, j., 32, 461—468.

Кальмар (Kalmar L.)

[1955] Uber ein Problem, betreffend die Definition des Begriffes der allge-
mein-rekursiven Funktion, Z. math. Logik und Grundl. Math., 1,
' 93—96.

Карри (Curry H. B.)

[1963]	Foundations of mathematical logic, McGraw-Hill Book Company,
New York. (Русский перевод: Карри X., Основания мате-
матической логики, 1969, М., «Мир».)

Кент (Kent С. F.)

[1962] Constructive analogues of the group of permutations of the natural
numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 104, 347—362.

Кларк (Clarke D. A.)

[1964]	Heierarchies of predicates of finite types, Memoirs Amer. Math.
Soc., 51, Providence, R.I.
Клауа (К 1 a u a D.)

[1961] Konstruktive Analysis, Mathematische Forschungsberichte, XI,
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin.

Клив (Cleave J P.)

[1961] Creative functions, Z. math. Logik und Grundl. Math., 7, 205—212.

Клини (Kleene S. C.)

[1936] General recursive functions of natural numbers, Math. Ann., 112,
727—742.

[1936a] ^-definability and recursiveness, Duke math. J., 2, 340—353.
[1938] On notation for ordinal numbers, J. symb. logic, 3, 150—155.

[1943] Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc.,
53, 41—73.

[1950] A symmetric form of Godel’s theorem, Indag. math., 12, 244—246.
(Konink. Nederl. Akad. van Wetenschappen, Proc., ser. A, 53.)

[1952] Introduction to metamathematics, D. Van Nostrand Company, Inc.,
Princeton, N. J. (Русский перевод: Клини С. К., Введение
в метаматематику, 1957, М., ИЛ.)

[1955] Arithmetical predicates and function quantifiers, Trans. Amer.
Math. Soc., 79, 312—340.

[1955a] Hierarchies of number theoretic predicates, Bull. Amer. Math.
Soc., 61, 193—213.

[1955b] On the forms of the predicates in the theory of constructive ordinals,
II, Amer. j. math., 77, 405—428.

[1959] Recursive functionals and quantifiers of finite types, I, Trans.
Amer. Math. Soc., 91, 1—52.

- [1959a] Quantification of number theoretic functions, Compos, math., 14,
23-40.

[1962]	Turing machine computable functionals of finite types, I, Logic,
methodology, and philosophy of science (Proceedings of the 1960
international congress), Stanford University Press, Stanford, Calif.,
38—45. (Русский перевод: Клини С., Функционалы конечных
типов, вычислимые на машинах Тьюринга, в сб. «Математическая
логика и ее приложения», 1965, М., «Мир», 37—46.)

[1963]	Recursive functionals and quantifiers of finite types, П, Trans.
Amer. Math. Soc., 108, 106—142.

Клини, По c^ (Kleene S. С., P о s t E. L.)

[1954]	The upper semi-lattice of degrees of recursive unsolvability, Ann.
of math., ser. 2, 59, 379—407.

Кондо (Kondo M.)

[1938]	Sur 1’uniformization des complementaires analytiques et les ensem-
bles projectifs de la seconde classe, Japan, j. math., 15, 197—230.

Крайдер, Роджерс (Kreider D. L., Rogers H., Jr.)

[1961]	Constructive versions of ordinal number classes, Trans. Amer.
Math. Soc., 100, 325—369.

Крейсел (Kreisel G.)

[1951] Some remarks on the foundations of mathematics: an expository
article, The math, gazette, 35, 23—28.

[1962]	The axiom of choice and the class of hyperarithmetic functions,
Indag. math., 24, 307—319. (Konink. Nederl. Akad. van Wetenschap-
pen, Proc., ser. A, 65, 307—319.)
К рейсе л, Лакомб, Шёнфильд (Kreisel G., Lacombe
D., Shoenfield J. R.)

[1957] Partial recursive functionals and effective operations, in A. Hey-
ting (ed.), Constructivity in mathematicsrproceedings of the collo-
quium held at Amsterdam, 1957, North-Holland Publishing Com-
pany, Amsterdam, 195—207.

[1957a] Fonctionnelles recursivement definissables et fonctionelles recur-
sives, Compt. rend. Acad. Set. (Paris), 245, 399—402.

Kp e й с e л, С а к c (Kreisel G., S a c k s G.E.)

[1965] Metarecursive sets, J. symb. logic., 20, 318—338.

Крейсел, Шёнфильд, Ван Хао (Kreisel G., Shoen-
field J. R., Wang Hao)

[1960] Number theoretic concepts and recursive well-orderings, Arch,
math. Logik und Grundlagenforsch., 5, 42—64.

Кроссли (Crossley J. N.)

[1965] Constructive order Types I, Formal systems and recursive functions,
J. N., Crossley and M.A.E. Dummett (eds.), Amsterdam, 1965,
189—264.)

Крэйг (Craig W.)

[1953] On axiomatizability within a system, J. symb. logic., 18, 30—32.

Куайн (Quine W. V.)

[1959] Methods of logic, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York.

[1963] Set theory and its logic, Harvard University Press, Cambridge, Mass,
Кузнецов A. В.

[1950] О примитивно-рекурсивных функциях большого размаха, ДАН
СССР, 71, № 2, 233—236.

Кузнецов А. В. и Трахтенброт Б. А.

[1955] Исследование частично-рекурсивных операторов средствами тео-
рии бэровского пространства, ДАН СССР, 105, 897—900.

Куратовский (Kuratowski К.)

[1950] Topologie, 1, 2d ed. (1948); 2 (1950), Warsaw. (Русский перевод:
Куратовский К., Топология, т. 1, 1966, М., «Мир»; т. 2,
1969, М., «Мир».)

Лакомб (Lacombe D.)

[1954]	Sur le semi-reseau constitue par les degres d’indecidabilite recur-
sive, Compt. rend. Acad. Sci. (Paris), 239, 1108—1109.

[1959]	Quelques procedes de definition en topologie recursive, in A. Hey-
ting (ed.), Constructivity in mathematics: proceedings of the collo-
quium held in Amsterdam, 1957, North-Holland Publishing Compa-
ny, Amsterdam, 129—158.

[1960]	La theorie des fonctionns recursives et ses applications (Expose
d’information generale), Bull. Soc. Math. France, 88, 393—468.
Л а х л а н (Lachlan А. Н.)

[1965]	Some notions of redncibility and productiveness, Z. math. Logik und
Grundl. Math., 11, 97—108.

[1966]	A note on universal sets, J. symb. logic, 31, 573—574.

[1968]* Distributive initial segments of the degrees of unsolvability, Z.
math. Logik und Grundl. Math., 14, 457—-472.

Лерман (Lerman M.)

[1969]* Some distributive lattices as initial segments of the degrees of unsol-
vability, J. symb. logic, 34, 85—98.

Л о а в (Loeve M.)

[1955]	Probability theory, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton,
N. J- (Русский перевод: Л о а в М., Теория вероятностей, 1962,
М., ИЛ.)

Майхилл (Myhill J.)

[1953] Three contributions to recursive function theory, Actes du XIeme
congres international de philosophie, Bruxelles, 20—26 Aoflt 1953,
XIV, North-Holland Publishing Company, Amsterdam.

[1955]	Creative sets, Z. math. Logik und Grundl. Math., 1, 97—108.

[1956]	The lattice of recursively enumerable sets, J. symb. logic, 21, 220
(abstract).

[1959]	Finitely representable functions, in A. Heyting (ed.), Constructivity
in mathematics: proceedings of the colloquium held at Amsterdam,
1957, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 195—207.

[1959a] Recursive digraphs, splinters and cylinders, Math. Ann., 138, 211 —
218.

[1961] Note on degrees of partial functions, Proc. Amer. Math. Soc., 12,
519—521.

[1961a] Category methods in recursion theory, Pacific J. math., 11, 1479—
1486.

Майхилл, Шепердсон (Myhill J., Shepherdson J. C.)

[1955] Effective operations on partial recursive functions, Z. math. Logik
und Grundl. Math., 1, 310—317.

Мак-Лохлин (McLaughlin T. G.)

[1962] On an extension of a theorem of Freidberg, Notre Dame j. formal
logic, 3, 270—273.

Мальцев А. И,

[1965]* Алгоритмы и рекурсивные функции, 1965, М., «Наука».

Марквальд (Mackwald W.)

[1954] Zur Theorie der konstruktiven Wohlordnungen, Math. Ann., 127,
135—149.

Марков A. A.

[1947] О представлении рекурсивных функций, ДАН СССР, 58, 1891—
1892.

[1951] Теория алгорифмов, Труды мат. инет. АН СССР, 38, 176—189.

[1954]	Теория алгорифмов, Труды мат. инет. АН СССР. 42.
(1958] Проблема гомеоморфии, Proceedings of the international congress
of mathematicians, 1958, Cambridge University Press, London,
300—306, 1960.

Мартин (Martin D. A.)

[1963] A theorem on hyperhypersimple sets, J. symb. logic., 28, 273—278.

M атиясе вич Ю. В.

[1970]* Диофантовость перечислимых множеств, ДАН СССР, 191, 279—
282.

[1971]* Диофантово представление перечислимых множеств, Иве. АН
СССР., серия математическая, 35, № 1, 3—30.

[1971а]* Диофантово представление множеств простых чисел, ДАН
СССР, 196, № 4, 770—773.

Медведев Ю. Т.

[1955]	О неизоморфных рекурсивно перечислимых множествах, ДАН
СССР, 102, 211—214.

[1955а] Степени! трудности массовых проблем, ДАН СССР, 104, 501 —
504.

Минский (Minsky М. L.)

(1961]	Recursive unsolvability of Post’s problem of «tag» and other topics
in the theory of Turing machines, Ann. of math., 74, 437—455. -

Московакис (Moschovakis Y. N.)

(1963]	Recursive analysis, Ph. D. Diss., Univ, of Wisconsin, Maddison,
Wis.

Мостовский (Mostowski A.)

[1947]	On definable sets of positive integers, Fund, math., Sb, 81—112.

[1948]	On a set of integers not definable by means of one-quantifier predi-
cates, Ann. Soc. Polon. Math., 21, 114—119.

Мучник A. A.

[1956] Неразрешимость проблемы сводимости теории алгоритмов, ДАН
СССР, 108, 194—197.

[1956а] Об отделимости рекурсивно перечислимых множеств, ДАН СССР,
109, 29-32.

[1958] Изоморфизм систем рекурсивно перечислимых множеств с эффек-
тивными свойствами, Труды Моск. мат. общ., 7, 407—412.

Нероуд (N erode А.)

[1957] General topology and partial recursive functionals, Summaries о j
talks presented at the Summer Institute for Symbolic Logic, Cor-
nell Univ., 1957, 247—251.

Новиков П. C.

[1955] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов
в теории групп, Труды мат. инет. АН СССР, 44.

Патнам (Putnam Н.)

[1964] On hierarchies and systems of notations, Proc. Amer. Math. Soc.,
15, 44—50.
Паульсен (Poulsen В. Т.)

[1970]* The Medvedev lattice of degrees of difficulty, Var. Publ. Ser. Mat.,
inst. Aarchus univ., N 12.

Петер (Peter R.)

[1951] Rekursive funktionen, Academiai Kiadd, Budapest. (Русский пере-
вод: Петер P., Рекурсивные функции, 1954, М., ИЛ.)

Платек (Platek R. А.)

[1970]* A note on the cardinality of the Medvedev lattice, Proc. Amer.
Math. Soc., 25, 917.

Пост (Post E. L.)

[1936]	Finite combinatory processes — formulation, I, J. syrnb. logic, 1,
103-105.

[1943]	Formal reductions of the general combinatorial decision problem,
Amer. j. math., 65, 197—215.

[1944]	Recursively enumerable sets of positive integers and their decision
problems. Bull. Amer. Math. Soc., 50, 284—316.

[1946Г Note on a conjecture of Skolem, J. symb. logic, 11, 73—74.

[1947]	Recursive unsolvability of a problem of Thue, J. symb. logic, 12,
1—11.

Пур-Эль (Pour-El M. B.)

[1960]	A comparison of five «computable» operators, Z. math. Logik und
Grundl. Math., 6, 325—340.

Рабин (Rabin M. O.)

[1960]	Computable algebra, general theory and theory of computable fields,
Trans. Amer. Soc., 95, 341—360.

Рабин, Скотт (Rabin M. O., Scott D.)

[1959] Finite automata and their decision problems, IBM j. research
and development, 3, 114—125. (Русский перевод: Рабин M.,
Скотт Д., Конечные автоматы и задачи их разрешения,
. «Кибернетический сборник», 4, 1962, М., ИЛ, 58—91.

Райс (Rice Н. G.)

[1953]	Classes of recursively enumerable sets and their decision problems,
Trans. Amer. Math. Soc., 74, 358—366.

[1954]	Recursive real numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 5, 784—791.

[1956]	On completely recursively enumerable classes and their key arrays,
J. Symb. logic., 21, 304—308.

Риттер (Ritter W.)

[1962]	Some results in hyperarithmetical analysis, Ph. D. Diss., Massa-
chusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.

Рихтер (Richter W.)

[1965] Extensions of the constructive ordinals, J. symb. logic, 30, 193—
211.
Ричи (Rictchie R. W.)

[1963]	Classes of predictably computable functions, Trans. Amer. Math.
Soc., 106, 139—173. (Русский перевод: Ричи P., Классы пред-
сказуемо вычислимых функций, в сб. «Проблемы математической
логики», 1970, М., «Мир», 50—93.)

Робинсон Дж. (Robinson J.)

[1949] Definability and decision problems in arithmetic, J. symb. logic,
14, 98—114.

Робинсон P. M. (Robinson R. M.)

[1956] Arithmetical representation of recursively enumerable sets, J. symb.
logic, 21, 162—186. (Русский перевод: Робинсон P. M.,
Арифметическое представление рекурсивно перечислимых мно-
жеств, сб. Математика, 1964, 8:5, 23—47.)

Роджерс (Rogers Н., Jr.)

[1959] Computing degrees of unsolvability, Math. Ann., 138, 125—140.
[1959a] Recursive functions over partial well orderings, Proc. Amer. Math.
Soc., 10, 847—853.

Розенблюм (Rosenbloom P. C.)

[1950] The elements of mathematical logic, Dover Publications, New
York.

Россер (Rosser J. B.)

[1936] Extensions of some theorems of Godel and Church, J. symb. logic,
1, 87-91.

P о у з, Ю л л и а н (Rose G. F., U 1 1 i a n J. S.)

[1963] Approximations of functions on the integers, Pacific j. math., 13,
693-701.

Сакс (Sacks G. E.)

[1961] A minimal degree less than O', Bull. Amer. Math. Soc., 67, 416—
419.

[1961a] On suborderings of degrees of recursive unsolvability, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 7, 46—56.

[1963]	On the degrees less than O', Ann. of math., 77, 211—231.

[1963a] Recursive enumerability and the jump operator, Trans. Amer.
Math. Soc., 108, 223—239.

[1963b] Degrees of unsolvability, Annals of mathematics studies, v. 55,
Princeton, N. J.

[1964]	A simple set which is not effectively simple, Proc. A mer. Math. Soc.,
15, 51—55.

[1964a] The recursively enumerable degrees are dense, Ann. of math., 80,
300—34 2.

[1964b] /^maximal set which is not complete, Michigan math, j., 11, 193—

Cannec (Suppes P.)

[1957] Introduction to logic, D. Van Nostrand Company, Princeton,
N. J.
Синглтерри (Singleterry А. М.)

[1965]	Degrees of unsolvability in the hyperarithmetical hierarchy, Ph.
D. Diss., Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.

Сколем (Skolem T.)

[1944] Some remarks on recursive arithmetic, Det Kongelige Norske
Videnskabers Selskabs Forhandlinger, 17, 103—106.

Спектор (Spector C.)

[1955] Recursive well-orderings, J. symb. logic, 20, 151—163.

L1956] On degrees of recursive unsolvability, Ann. of math., 64, 581—592.

[1958]	Measure theoretic construction of incomparable hyperdegrees,
J. symb. logic, 23, 280—288.

[1958a] Strongly invariant hierarchies, Notices Amer. Math. Soc., 5, 851
(abstract).

[1959]	Hyperarithmetical quantifiers, Fund, math., 48, 313—320.

Судзуки (Suzuki Y.)

[1964] A complete classification of the AJ-functions, Bull. Amer. Math.
Soc., 70, 246-253.

T a pc кий (Tarski A.)

[1932] Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen,
Akad. Wissenschaften in Wien, Mathematisch-naturwissenschaftliche
Klasse, Anzeiger, 69, 24—25.

[1936] Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia philos.,
1, 261—405.

[1948] A decision method for elementary algebra and geometry, RAND
Corporation, Santa Monica, Calif.

[1956] Logic, semantics, metamathematics, Oxford University Press,
New York.

Тарский, Мостовский Робинсон P. M. (Tarski,' A.,
Mostowski A., Robinson R. M.)

[1953] Undecidable theories, North-Holland Publishing Company, Am-
sterdam.

Томасон (Thomason S. K.)

[1970]* Sublattices and initial segments of the degrees of unsolvability,
Canad. J. math., 22, 69—581.r

Трахтенброт Б. A.

[1950] Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конеч-
ных классах, ДАН СССР, 70, 569—572.

[1955] Табличное представление рекурсивных операторов, ДАН СССР,
101, 417—420.

Тьюринг (Turing А. М.)

[1936]	On computable numbers, with an application to the Entscheidungs-
problem,’ Proc. London Math. Soc., ser. 2, 42, 230—265; 43, 544—
546.

[1937]	Computability and ^-definability, J. symb. logic, 2, 153—163.
Уайтхед, Рассел (W hitehead A. N., Russel В.)

[1910] Principia mathematica, 1 (1910); 2 (1912); 3 (1913), Cambridge
University Press, London.

Успенский В. A.

[1955] О вычислимых операциях, ДАН СССР, 103, 773—776.

[1955а] Системы перечислимых множеств и их нумерации, ДАН СССР,
105, 1155-1158.

[1957] Несколько замечаний о перечислимых множествах, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 3, 157—170.

[1960] Лекции о вычислимых функциях, Физматгиз, Москва»

Фейнер (Feiner L.)

[1970]* The strong homogeneity conjecture, J. symb. logic, 35, 375—377.

Феферман (Feferman S.)

[1957]	Degrees of unsolvability associated with classes of formalized theo-
ries, J. symb. logic, 22, 161—175.

[1960]	Arithmetization of metamathematics in a general setting, Fund,
math., 49, 35—92.

[1961]	Classifications of recursive functions by means of hierarchies, Office
of Ordnance Research technical report, 4 (DA-04-200-ORD), 1—43.

Феферман, Спектор (Feferman S., Spector C.)

[1962]	Incompleteness along paths in progressions of theories, J. symb.
logic, 27, 383—390. (Русский перевод: Феферман С. и
Спектор К., Неполнота вдоль путей в прогрессиях теорий,
сб. Математика, 1971, 15:6, 159—166.)

Фишер (Fischer Р. С.)

[1962]	Theory of provab е recursive functions, Ph. D. Diss., Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge, Mass.

[1963]	A note on bounded-truth-table reducibility, Proc. Amer. Math.
Soc., 14, 875-877.

Френкель (Fraenkel A. A.)

[1928]	Einleitung in die Mengenlehre, 3rd ed., Springer-Verlag OHG, Ber-
lin.

Фридберг (Friedberg R. M.)

[1957]	Two recursively enumerable sets of incomparable degrees of unsol-
vability (solution of Post’s problem 1944), Proc. Nat. Acad. Set.,
43, 236-238.

[1957a] A criterion for completeness of degrees of unsolvability, J. symb.
logic, 22, 159—160.

[1958]	Four quantifier completeness: a Banach-Mazur functional not uni-
formly partial recursive, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie sci. math.-,
astronom. et phys., 6, 1 — 5.

[1958a] Un contre-example relatif aux fonctionnelles recursives, Compt.
rend. Acad. Sci. (Paris), 247, 852—854.

[1958b] Three theorems on recursive enumeration: I, Decomposition, II,
Maximal set, III, Enumeration without duplication, J. symb. logic,
23, 309—316.
Халмош (Halmos Р.)

[1950] Measure theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, N. J.
(Русский перевод: Халмош П., Теория меры, 1953, М., ИЛ.)

X е и к и н (Н е n k i n L.) •

[1949]	The completeness of the first-order functional calculus, J. symb.
logic, 14, 159—166.

Хигман (Higman G.)

[1961]	Subgroups of finitely presented groups, Proc. Royal Soc. London,
ser. A, 262, 455—475.

X о у д в (H о d e s L.)

[1962]	Hyperarithmetical real numbers and hyperarithmetical analysis,
Ph. D. Diss., Massachusetts Institute of Technology, Cambridge,
Mass.

Хупер (Hooper P. K.)

[1966] The undecidability of the Turing machine immortality problem,
J. symb. logic, 31, 219—234.

Чёрч (Church A.)

[1936] An unsolvable problem of elementary number theory, Amer. j. math.,
58, 345—363.

[1936a] A note on the Entscheidungsproblem, J. symb. logic, 1, 40—41,
101—102.

[1938] The constructive second number class, Bull. Amer. Math. Soc., ii,
224—232.

[1956] Introduction to mathematical logic, Princeton University Press,
Princeton, N. J. (Русский перевод: Чёрч А., Введение в мате-
матическую логику, т. 1, 1960, М., ИЛ.)

Чёрч, Клини (Chur ch A., Klee ne S. С.)

[1937]	Formal definitions in the theory of ordinal numbers, Fund, math.,
28, 11-21.

Шапиро (Sliapiro N.)

[1956]	Degrees of computability, Trans. Amer. Math. Soc., 82, 281—299.

Шепердсон, Стургис (Shepherdson J.C.,'S turgisH. E.)

[1963] Computability of recursive functions, J. Assoc. Comput. Mach., 10,
217-255.

Шёнфильд (Shoenfield J. R.)

[1957]	Quasicreative sets, Proc. Amer. Math. Soc., 8, 964—967.

[1958]	The class of recursive functions, Proc. Amer. Math., Soc., 9, 690—
692.

[1958a] Degrees of formal systems, J. symb. logic, 23, 389—392.

11959]	On degrees of unsolvability, Ann. of math., ser. 2, 69, 644—653.

[I960]	An uncountable set of incomparable degrees, Proc. Amer. Math.
Soc., 11, 61-62.

[1962]	The form of the negation of a predicate, Proc, of symposia in pure
 math., V, Recursive function theory, Amer. Math. Soc., Providen-
ce, R. I. 131-134.
Шмульян (Smullyah R. М.)

[1961] Theory of formal systems, Annals of mathematics studies, 47, Prin-
ceton, N.J.

Эндертои (Enderton H. B.)

[1964] Hierarchies in recursive function theory, Trans. Amer. Math. Soc.,
ill, 457—471.

Эндертои, Лакхам [(Enderton H. B., Luckh a'm [ D.)]
[1964] Hierarchies over recursive well-orderings, J. symb. logic, 29, 183—
190.

Эрбран (Herbrand J.)

[1931] Sur le probleme fondamental de la logique mathematique, Compt.
rend. Soc. Sci. Lettr. Vars., classe III, 24, 12—56.

[1931a] Sur la non-contradiction de l’arithmetique, J. reine und angew.
Math., 166, 1—8.

Ю л л и а н (U 11 i a n J. S.)

[1960]	Splinters of recursive functions, J. symb. logic, 25, 33—38.

[1961]	A theorem on maximal sets, Notre Dame j. formal logic, 2, 222—223

Янг (Young P. R.)

[1963]	On the.structure of recursively enumerable sets, Ph. D. Diss., Mas-
sachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.

[1966]	Linear ordering under one-one reducibility, J. symb. logic, 31,
70-85.
N		11		159
X		12		162
< >		12	P,	172
Ап		12	X MX фг , фл	173
кх [ — х — ] и		13  13	X,	Xn  Ф2	n	175
V		13	wf	176
хо		13	KA	177
[IX [ . . . X . . jfr Рх Фх, ф^		14  14  40  40	•^T =t ^C-e =e Фг	179  180  191  193  192
=		75	&	193
Wz		85	TeF	194
к		88	&	194
(*, у)		90	w	206
т, тп		90	dT (A)	209
3^2 ? j		90	<T	218
X		90	Vs, Ds, ks,*ps, Qs	264
Dx		97	Bs	265
т*		98	Si	266
к0	X	103, 113	0, <0	268
"Ci		110	+ o	269
		110	ee	284
=1		111	W	285
		111	U , f], а (решетка)	286-288
Dorn А		136	g, gi	287
center^A		136		288
I		145	Xl*£A	289
<^tt		146 	(конечные мно-	
=tt		147	жества)	290
A“		149	X	290
^btt		150	&C	291
=btt		151		300
#m(B)		155	] A |, lim (A)	304
38i		158	A'	326
0, a, VJ, а|Ь	328	n.z	483
0, A<">, а(п)	329	En	485
	330	Е<“	487
а<“>	330	An	488, 490
фг, фг/]	332	S°, П°, A®	490
	333	V1,ZF ni,ZF	500
	346	o(t)	503
	365	b (n, z)	506
	366	IN	506
А V В, А А В	366	T	506
Sa, Ев	368	Ta	508
М я Я я м а (и Я	390	wlz	512, 515
Тп	392	'T'*  1 a	513
mA -* п	392	<LT	514
V	408	ф‘	516
Vn	409	S^A, П*’А, Ai’<	524
ZF	412	ThAi	524
Tn(z,...)  т-fZF  1 AAn	413  413  416	л M  /\ a - w *	524  525  525
(Ur)	421	=h	526
U*"> -	422	TA	527
^n\ nj?	431	1И1А	529
n.z	432	Ta	529
2:, щ	438	b' (n, z)	529
5p(s)A	443	%,	531
& (пространство Бэра)	444	T2, ||z||2, T* SI	533
2?n), n<fn)	446		534
П,1	446		535
sr, nr	453	&(, (гиперариф-	
y(fn)A	456	метические функции)	535
2(nn)[^I, П^п) [%]	457	(3/)^>  1 FC 1	535  560
n	457	Я (a:)	560
J?	459	ha	565
I/]	467	S₽, ng, Ag	566
Sn, n„	480, 490	Oa, Wa	569
/(*)	482	Hx	581
Глава	Теорема	Стр.	Глава	Теорема	Стр.
1	I	40	5	XIV	95
	II	40		XV	97
	III	40		XVI	99
	IV	41		XVII	100
	V	42		XVIII	101
	VI	43			
	VII	43	7	I	110
	VIII	45		II	112
	IX	49		III	113
	X	49		IV	113
	XI	51		V	115
				VI	116
2	I	54		VII	118
	II	58		VIII	121
	III	59		IX	122
				X	122
4	I	74		XI	124
	II	76		XII	127
	III	78	8	I	141
5	V I	82		II	141
	II	82		III	143
	III	83		IV	143
	IV	84		V	144
	V	84		VI	146
	VI	88		VII	147
	VII	88		VIII	148
	VIII	91		IX	149
	IX	91		X	151
	X	92		XI	151
	XI	92		XII	151
	XII	94		XIII	154
	XIII	95			
Продолжение

Глава	Теорема	Стр.	Глава	Теорема	Стр.
8	XIV	156	11	V	236
	XV	157		VI	237
				VII	240
9	I	167		VIII	242
	п	172		IX	244
	III	173		X	246
	IV	174		XI	249
	V	174		XII	251
	VI	175		XIII	253
	VII	175		XIV	254, 258
	VIII	177		XV	265
	IX	177		XVI	267
	X	177		XVII	269
	XI	177		XVIII	270
	XII	179		XIX	271
	XIII	180		XX	272
	XIV	181		XXI	273
	XV	182			
	XVI	182	12	I	288
	XVII	184		II	292
	XVIII	185		III	294
	XIX	187		IV	294
	XX	192		V	296
	XXI	193		VI	296
	XXII	195		VII	298
	XXIII	195		VIII	298
	XXIV	198		IX	299
	XXV	201		X	300
	XXVI	201		XI	301
				XII	304
10	I	210		XIII	304
	II	210		XIV	305
	III	212		XV	307
	IV	217		XVI	309
	V	220		XVII	310
	VI	223		XVIII	311
				XIX	313
11	I	233 •		XX	315
	II	234			
	III	235	13	I	327
	IV	235		II	330
Продолжение

Глава	Теорема	Стр.	Глава	Теорема	Стр.
13	III	330	14	XVI	419
	IV	333		XVII	421
	V	334		XVIII	422
	VI	337			
	VII	338	15	I	431
	VIII	339		II	431
	IX	341		III	432
	X	343		IV	432
	XI	345		V	433-
	XII	347		VI	434
	XIII	347		VII	435-
	XIV	349		VIII	436-
	XV	351		IX	437
	XVI	353		X	43&
	XVII	355		XI	43»
	XVIII	360		XII	440
	XIX	362		XIII	442
•	XX	363		XIV	446-
	XXI	367		XV	446-
-	XXII	368		XVI	447
	XXIII	369		XVII	447
	XXIV	371		XVIII	447
	XXV	373		XIX	448
	XXVI	378		XX	450
				XXI	451
14	I	388		XXII	452
	к II	390		XXIII	453
	III	394		XXIV	453
	IV	396		XXV	454
	V	401		XXVI	455
	VI	402		XXVII	457
	VII	402		XXVIII	458
	VIII	403		XXIX	460
	IX	407		XXX	462
	X	408		XXXI	464
	XI	410		XXXII	464
	хп	413		XXXIII	468
	XIII	415		XXXIV	468
	XIV	416		XXXV	46»
	XV	419		XXXVI	46»
П родолжение

Глава	Теорема	Стр.	Глава	Теорема	Стр.
15	I	478	16	XXVII	517
	11	480		XXVIII	517
	III	480		XXIX	518
	IV	482		XXX	524
	V	483		XXXI	525
	VI	484		XXXII	526
	VII	484		XXXIII	527
	VIII	486		XXXIV	528
	IX	486		XXXV	530
	X	487		XXXVI	531
	XI	488		XXXVII	533
	XII	493		XXXVIII	533
	XIII	494		XXXIX	534
	XIV	498		XL	534
	XV	499		XLI	536
	XVI	500		XLII	537
	XVII	500		XLIII	538
	XVIII	504		XLIV	540
	XIX	506		XLV	545
	XX	507		XLVI	552
	XXI	509		XLVII	553
	XXII	511		XLVIII	555
	XXIII	513		XLIX	562
1	XXIV	514		L	564
	XXV	515		LI	564
	XXVI	517		Lil	570
					
Абсолютно неопределенный функционал (strongly undefined functional) 45f>

Абсолютные понятия, (absolute concepts) 38

Аддисон (Addison J.) 456, 484, 491, 518, 520, 528, 529, 535, 545, 574, 579

Аккермана функция (Ackermann generalized exponential) 25

Аксиоматизация (axiomatization) 410

— семантически непротиворечивая (sound) 410, 413

Аксиоматизируемая теория (axiomatizable theory) 129, 188, 223, 277

Акст (Axt P.) 72

Алгоритм, неформальное понятие (algorithm, informal notion) 17—22, 36—
39, 47

—	нечисловой (non-numerical) 46—49

—	относительный (relative) 168—169

Алгоритмическая всюду определенная функция (algorithmic function) 18,
25—26, 36—39

—	функция (algorithmic partial function) 29

Аналитическая иерархия (analytical hierarchy) 478—586

—	— нормальная форма и теорема о перечислимости (normal form and enu-
meration theorem) 481—483

—	— теорема о нормальной форме (alternative normal-form theorem) 48$

—	— теорема о полноте (completeness theorem) 486

Аналитическое в (относительно) (analytical in) 523—524, 526

—	множество (analytical set) 491

Аналитические множества и отношения (analytical sets and relations) 474,
478—494; см. также Аналитическая иерархия

Аналоги классических теорий (analogue structures) 68, 70, 470, 475—477, 521

Аналогии между иерархиями (analogies between hierarchies) 491, 515—523,
568

Аппель (Appel К.) 206

Арифметика 2-го иорядка (second-order arithmetic) 492, 493, 496, 498 прим.,
501, 502

—	изолей (isolic arithmetic) 163

Арифметическая иерархия (arithmetical hierarchy) 387—428

—	— классов множеств (of sets of sets) 429—444, 454, 455, 471, 472

—	— — функций (of sets of functions) 444—458, 472—474

—	— нижние грани (lower bounds) 416

—	— нормальные формы (normal forms) 391—394

—	— теорема о полноте (completeness theorem) 405

—	— теоремы о нормальной форме и перечислимости (normal form and enu-
meration theorems) 394, 432, 443, 446, 447, 457

Арифметическая всюду определенная функция (arithmetical function) 455

—	представимость (arithmetical representation) 400—403

—	функция (arithmetical partial function) 474

—	эквивалентность (arithmetical equivalence) 331

Арифметически выразимые предложения теории множеств (arithmetically
expressible sentences of set theory) 412—415

—	продуктивное множество (arithmetically productive set) 281

Арифметические интуитивно простые определения (intuitively simple defi-
nitions) 424; см. также Арифметическая иерархия
Арифметические множества и отношения (arithmetical sets and relations)
331, 387-391, 406, 430, 433, 434, 446—448, 513

Арифметический анализ (artithmetical analysis) 477

Арифметическое в (относительно) (arithmetical in) 331, 381, 406

—	действительное число (arithmetical real) 477

Арсланов М. М. 307, 313

Ассер (Asset) 48

Аффинная геометрия (affine geometry) 73

Базис, определение (basis, definition) 536

—	результаты (results) 536—539, 551, 578

Базисные окрестности (basic neighborhoods) 435, 449, 473

Банаха — Мазура функционал (Banach — Mazur functional) 467—469

Бенсон (Benson) 544

Бернайс (Bernays Р.) 276, 372, 440, 472

Бинарное дерево (binary tree) 204—206

Биркгоф (Birkhoff G.) 286

Блюм (Blum М.) 78, 80, 172, 202, 246

Больцано — Вейерштрасса теорема (Bolzano — Weierstrass Theorem) 205,
477

Борелевские множества (Borel sets) 387 прим., 398, 491, 568

—	— иерархия на множестве Кантора (hierarchy on the Cantor [set) 438

—	— классическая иерархия (classical hierarchy of) 438, 453, 456—458

Булев полином (boolean polynomial) 145

Булева алгебра (boolean algebra) 288, 316, 317

—	функция (boolean function) 145

Буль (Boole) 60

Бун (Boone) 57

Бурали — Форти парадокс (Burali — Forti paradox) 124, 281

Бэра теорема (Bair’s theorem) 347, 382—384

Бэровская метрика (Baire metric) 435, 449, 473

Бэровское пространство (Baire space) 355, 449, 491

—	— топология (topology) 463

Бюхи (Buchi R.) 138

Ban Xao (Wang H.) 422, 472 прим.

Веблен (Veblen О.) 284

Вероятность (probability) 349

Вершина дерева (vertex of a tree) 502

Ветвь дерева (branch of a tree) 205, 449, 502

Взятие дополнения (complementation) 388, 425

Вольпин (Wolpin G. C.) 275

Вполне продуктивное множество (completely productive set) 125, 137, 236—
238

—	рекурсивно перечислимый класс (completely recursively enumerable
class) 105

—	упорядоченное множество (well-ordered set) 281

Всюду определенный функционал (total functional) 467

Вынуждение (forcing) 578

Высказывание (sentence) 128, 222

—	первого порядка (first-order sentense) 222

2n-, Пп-высказывание 409

Sr>-, П^-высказывание 497

Вычислимые операции 192 прим.

—	уровни иерархии и степени неразрешимости (computing hierarchy levels
and degress of unsolvability) 415—424, 442, 456

Вычислитель, вычислительная машина (computer) 18—22
Ганди (Gandy R.) 538, 551, 578

Ганф (Hanf W.) 225

Гёделева нумерация (Godel numering) 39—41, 47—48, 63—64, 100, 129; см.
также Допустимая нумерация.

— функция подстановки (Godel substitution function) 257, 260—263, 415

Гёделевы номера (р. п. индексы) (г. е. indices) 85, 96—98

Гёдель (Godel К.) 56, 60, 129, 133, 262, 263, 281, 401, 402, 535

Гёделя теоремы о неполноте (Godel incompleteness theorems) 60, 129—133,
243, 281, 410, 412, 499

— — — — вторая (second) см. также Гёделя — Россера теорема 415, 428

— — — — первая (first) 48, 139, 263

Гёделя — Россера теорема (Godel — Rosser Theorem) 139, 412, 428

Генерическое множество (generic set) 579

Гейзер (Geiser J.) 583

Гейне — Бореля теорема (Heine — Borel theorem) 476, 477

Гензель (Hensel G.) 569

Гжегорчик (Grzegorczyk A.) 72

Гильберт (Hilbert D.) 56, 192, 372, 440, 472

— десятая проблема (tenth problem) 56, 402, 410

Гиперарифметическая вычислимость (hyperarithmetical computability) 519—
521, 574—576

— — аналог теории рекурсивных функций (analogue to recursive function
theory) 518, 519, 574—576

—	иерархия (hyperarithmetical hierarchy) 556—570, 580—586

—	— классов множеств* и классов функций (sets of sets and sets of functions)
567, 568

—	— общие соображения (heuristic dicussion) 557—559

—	— формальное изложение (formal development) 560—566

—	функция (hyperarithmetical function) 516, 520, 574, 575

Гиперарифметические множества (hyperarithematical sets) 488—492, 508—
523, 556, 564, 565, 574-576

—	— свойство замкнутости (closure property) 532, 540

— ординалы (hyperarithmetical ordinals) 531

Гиперарифметический анализ (hyperarithmetical analysis) 521

Гиперарифметическое относительно (hyperarithmetical in) 525

Гипергипериммунное множество (hyperhyperimmune set) 189, 300, 312—314,
318, 322

Гипергиперпростое множество (hyperhypersimple set) 189, 207, 291, 292
прим., 306, <315, 322, 325, 379, 386, 425

Гипериммунное множество (hyperimmune set) 181—182, 203—204, 206, 296,
300 312 318 320 322 384

Гиперпростое множество (hypersimple set) 181—184, 189, 203—204, 291, 293,

304, 306, 309, 322, 425, 428

Гиперскачок (hyperjump) 523—532, 554, 576, 577

Гипёрстепень (nyperdegree) 523—532, 538, 539, 554, 576, 577

Главный идеал (principal ideal) 299 прим., 385

Гольдбаха гипотеза (Goldbach’s conjectyre) 26

Гомологическая алгебра (homological algebra) 163

Группа преобразований (group of transformations) 73

Густота относительно (density in) 204

Деккер (Dekker J.) 72, 115, 116, 122, 133, 136, 137, 142, 156, 158, 160, 161,

163, 182, 204, 206, 207, 217, 286, 296, 318

Дерево (tree) 204—205

Деревья с конечными путями (finite-path trees) 450, 473, 502—508, 572, 573

—	— — — ординалы (ordinals of) 503—506

—	— — — сложение и умножение (addition and multiplication) 504, 505
Джокуш (Jockusch С.) 155, 158, 162, 163, 184,' 231, 471

Диагонализация (diagonalization) 27—29, 51, 232

Дизъюнктные элементы {disjoint elements) 225

Допустимая нумерация (acceptable indexing or numbering) 100, 233, 275,

327, 380, 393, 425, 575

Дребен (Dreben В.) 72

Дуальный идеал решетки (duall ideal in lattice) 143, 161, 204, 288, 289, 316,
317, 320, 322

— — максимальный (maximal) 316

— — простой (prime) 316, 317

— — собственный (proper) 316

Дэвис (Davis M.) 8, 30, 37, 39, 41, 42, 56, 57, 58, 71, 72, 78, 114, 169, 261,

401, 402

Евклида алгоритм (Euclidean algotithm) 18, 20

Ейтс (Yates С.) 189, 206, 207, 220, 230, 300, 301, 307, 318, 321—323, 373,

378, 379, 424

Ершов Ю. Л. 5

Игры система (gambling system) 320

Идеал решетки (ideal in a lattice) 288, 318; см. также Дуальный идеал решетки.

Иерархии (hierarchies) 69; см. также Аналитическая иерархия, Арифмети-
ческая иерархия, Гиперарифметическая иерархия.

Изолированное множество (isolated set) 142—144

Изолическая сводимость (isolic reducibility) 163

Изоль (isol) 163

Изоморфизм относительно группы преобразований (G-изоморфизм) (isomor-

phism with respect to a group) 74

Иммунное множество (immune set) 142—144, 156, 158—161, 203, 204, 206,
292, 308

Инвариантность относительно обозначений (notational invariance) 558, 559

Инвариантов полное множество (invariants, complete set of) 74

Индекс (index) 40

AJ-индекс 509

AJ-индекс 533 '

Sn-, Пп-индекс 393

2n-, Пд-индекс 394j

SJi-, П*-индекс 482, 580

Z'n; -индекс 524

у-индекс 568

Индексное множество (index set) 416

Интерполяционная теорема Лагранжа (Lagrange interpolation theorem) 145

Интерпретация опровержением контрпримера (no-conterexample interpreta-
tion) 470, 471, 477

Интуитивный смысл степеней (intuitive significance of degrees) 336—340

Интуиционистское исчисление высказываний (intuitionistic propositional
calculus) 372, 385

Иррациональные числа (irrationas) 449, 473

Истинностная таблица (truth table) 145	1

Истинность в элементарной арифметике (truth in elementary arithmetic)

Канонически перечислимый класс (canonically enumerable class) 104

Канонический индекс (номер) (canonical index) 97—98

Кантора множество (канторово множество) (Cantor set) 279,	347

—теорема (Cantor’s theorem) 28, 88, 240
Кантора — Шредера — Бернштейна теорема (Cantor — Schroder — Bernstein
theorem) 116

Канторово пространство (Cantor space) 347, 349, 382, 383

— — топология (topology) 346, 347, 435—437

Карри (Curry) 48

Категория (в алгебре) (category) 163

—	вторая 347

—	первая (first) 347

Категорные методы (category methods) 346, 361—363, 382—384, 437, 438,
449, 473

Квазикреативное множество (quasicreative set); см. Квазитворческое мно-
жество

Квазимаксимальное множество (quasimaximal set) 303, 320, 323, 325

Квазисжатое множество (quasicohesive set) 300, 318, 321, 324

Квазитворческое множество (quasicreative set) 162

К	вантор (quantifier) 14

—	бесконечности (infinite) 421

—	общности (universal) 14

—	ограниченный (bounded) 398, 425

—	— рекурсивно (recursively) 425

—	существования (existential) 14

—	тип (type) 479

Кванторы по множествам (set quantifiers) 489, 490, 571

Кент (Kent С.) 75, 299

Китайская теорема об остатках (Chinese remainder theorem) 401

Кларк (Clarke D.) 479

Классы функций и множеств (classes of functions and sets) 435, 449

—	замкнутые (closed) 436, 450, 451

—	открытые (open) 436, 450, 451

Клауа (Klaua D.) 477

Клейн (Klein F.) 73

Клив (Cleave J.) 127

Клини (Kleene S.) 7, 8, 15, 29, 30, 34, 36, 37, 39, 42, 45, 50, 210, 212, 233,
235, 236, 251, 263, 264, 266, 267, 269, 270, 275, 330, 333, 334, 337, 338,
351—354, 381, 383, 387 прим., 392 прим., 394, 403, 405, 425, 432, 447, 478,
479 прим., 480—486, 519, 528, 529, 536, 540, 564, 565, 581, 584

Клини — Брауэра упорядочение (Kleene — Brouwer ordering) 506, 520, 572

Ключевой остов (key array) 105

Кнастера — Тарского теорема (Knaster — Tarski theorem) 249, 284

Кодирование (coding) 46—49

Кодовое число кортежа (sequence number) 482

Коиммунное множество (со-immune set) 143

Коконечное множество (со-finite set) 143

Компактность (compactness) 435, 449

—	для деревьев (for trees) 205, 435

Композиция (отношений) (relative product) 103

Кондо — Аддисона теорема об униформизации (Kondo-Addison uniformiza-
tion theorem) 545—550

Конечные множества (finite sets) 96—99, 292

Конечный автомат (finite-state machine) 20, 64—65

Конструктивно бесконечное множество (constructively infinite set) 226

—	нерекурсивная функция (constructively nonrecursive function) 319

—	нерекурсивное множество (constructively nonrecursive set) 209—210

Конструктивный ординал (constructive ordinal) 265, 268, 271—274, 332, 485,
506, 507, 509, 511, 531, 534

К	онфигурация (instantaneous description) 33

—	конечная (finite) 63
Ко-свойство (complementary property) 142—143

Коти последовательность (Cauchy sequence) 382

Коэн (Cohen Р.) 331, 545, 578

Крайдер (Kreider Р.) 276, 569

Креативное множество (creative set) 317, 425, 428; см. Творческое множество
Крейсел (Kreisel G.) 280, 422, 464, 468, 470, 475, 520, 521, 575, 576, 584-586
Крейсела — Сакса аналог (Kreisel — Sacks analogue) 521—523, 526 прим..

575, 576

Кроссли (Crossley J.) 72

Крэйга теорема (Craig’s theorem) 138

Куайн (Quine W. V.) 222, 276

Кузнецов А. В. 67, 182, 440

Куратовский (Kuratowski К.) 398, 491 прим., 576

Лакомб (Lacombe D.) 384, 464, 475

Лакхам (Luckham D.) 104, 517, 559, 574

Лахлан (Lachlan А.) 155, 207, 220, 292 прим., 313—315, 325, 331, 378, 380,
386

Лейбниц (Leibnitz G.) 60

Лемма о рекурсии (recursion lemma) 278, 510, 573

Лерман (Lerman M.J 380

Ли (Lee С. Y.) 245

Логика (logic) 60, 68, 69, 70, 127—133, 260—263, 408—415, 426—428, 498

— предикатов (quantificational logic) 394, 400, 426, 433, 447, 483

— — выводимость (доказуемость) (deducibility in) 38, 222

Логические обозначения (logical notation) (Введение) 11, 14—15

Лоэв (Loeve М.) 320

Мазур (Mazur S.) 467—469

Майхилл (Myhill J.) 72, 105, 116, 135, 136, 137, 158, 163, 206, 236, 253, 254,

280, 286, 294, 296, 317, 346, 362, 384, 460, 518

Мак-Лохлин (McLaughlin T.) 206, 311, 317, 318, 321—323

Мак-Нотн (McNaughton R.) 105

Максимальное множество (maximal set) 165, 183, 203, 204, 207, 300—307

311, 314, 320, 323, 325, 379, 425

—	— его подмножества (subsets of) 303—307

Мальцев 5, 401

Манастер (Manaster А.) 163

Марквальд (Markwald W.) 272, 421

Маркеры (markers) 213, 226—230, 373

Марков А. А. 36, 57, 67

Мартин (Martin D.) 294, 304—307, 314, 321, 322, 324, 331, 378, 383, 384,
386, 426

Массовая проблема (mass problem) 364, 385.

—	— 1-сведения (of one-one reduction) 370

—	— отделения (of separability) 370

—	— перечисления (of enumerability) 368

—	— разрешения (of solvability) 368 (см. также Степени трудности)

Матиясевич Ю. В. 56, 401, 410

Медведев Ю. Т. 181, 182, 360, 363, 364, 366—369, 371, 372

Медведева решетка (Medvedev lattice) 363—372, 385, 440

—	— релятивизация (relativization) 371 (см. также Степени трудности)

Мезоичное множество (mesoic set) 158

Методы приоритета (priority methods) 216, 226—230, 326, 373

Минимальные степени (minimal degrees) 355—359, 363, 379, 383, 384
Минский (Minsky М.) 63, 72

Много-однозначная сводимость, полное множество и степень (many-one redu-
cibility, complete set and degree) см. т-сводимость

Московакир (Moschovakis Y.) 72, 285, 476, 521, 532, 563, 583, 585

Мостовский (Mostowski A.) 72, 263, 387 прим., 419 прим., 428

Мучник A. A. 62, 164, 188, 212—218

Мучника — Фридберга теорема (Friedberg — Muchnik Theorem) 212—218,
329, 330

Натуральное число (integer) 11

Нейман, фон (von Neumann J.) 243

Неотделимые множества (inseparable sets) 220—221

Непересекаюгциеся рекурсивно перечислимые множества (disjoint recursively
enumerable sets) 126—127

Неподвижная точка (fixed-point value) 233

Непротиворечивость (consistency) 133, 139, 241—243, 262

Неразрешимая п.п.ф. (undecidable wff) 132

Неразрешимости структуры (unsolvability structures) 68—69

Неразрешимые проблемы (unsolvable problems) 68

Нероуд (Nerode A.) 163, 187, 201

Несравнимые множества и степени (incomparable sets and degrees) 111—112,

209-216, 328, 334, 335, 338, 381

— — и гиперстепени (and hyperdegrees) 528, 576

Новиков П. C. 57

Область значений (Vai) 13

—	определения (Arg) 12

—	полного определения функционала (strong domain of a functional) 459
— слабого определения функционала (weak domain of a functional) 459
Обобщенная вычислимость (generalized computability) 515—523, 532, 574—
576

—	машина (generalized machine) 519, 520

—	— дерево-диаграмма (tree diagram) 520

Обобщенно сжатые множества (generalised cohesive sets) 308, 318, 321, 324

Общерекурсивность (general recursiveness) 46

Общерекурсивные функции (recursive functions) 17—43, 51, 60—61

—	— определение (definition) 36

—	— основные результаты (basic results on) 36—37

—	— относительно (relativized) 173

—	— расширенная клиниева формализация (Kleene characterization exten-
ded) 170; см. также Рекурсивно относительно, Релятивизация

—	— теорема о нормальной форме (normal-form theorem) 50

—	— теория (theory) 51—52

—	— формализация (formal characterization) 28—38

—	— — по Клини (Kleene) 34—35

—	— — по Тьюрингу (Turing) 30

Общерекурсивный оператор (general recursive operator) 195, 201—202, 208

— функционал (general recursive functional) 460, 462

Объемность (extensionality) см. экстенсиональность

Ограничение числа шагов (bound on the length of a computation) 21—22, 51

Ограниченнотабличная сводимость, полные множества и степени (bounded
truth-table reducibility, complete sets and degrees) cm. btt-сводимость

Однозначное множество (single-valued set) 99

Однозначность (single-valuedness) 12, 99—101

— теорема (theorem) 99—101, 515, 535
Одно-односводимость (1-сводимость), полное множество и степень (one-one
reducibility (1-reducibility) complete set, and degree) 110—122, 202, 216,
217

— полные множества (complete sets for) 118—120, 236—238

— степени (degrees for) 111, 142, 150, 155—158, 160, 203, 216, 223, 328

—	эквивалентность (equivalence for) 116—118

Операторы перечисления (enumeration operators) 192—193, 208, 249, 279—280

Операция A (operation A) 491

Операция скачка (jump operation) 326—346, 380, 381, 403, 408, 519

—	— итерация (iteration of) 329

Определимость, автоморфизмы (definability, and automorphisms) 291

—	— в элементарной арифметике (in elementary arithmetic) 400

— — в элементарном анализе (in elementary analysis) 494

— в логике предикатов (within quantificational logic)' 395, 396, 433, 434,
447, 448, 484

— неявная (implicit) 440, 441, 455, 456, 498, 543-545, 552—555, 570, 571,
579

— явная (explicit) 440, 455, 498

Оракулы и машины с оракулами (oracles and oracle machine) 169—171, 173—
174, 429, 444

Ординальные числа, ординалы (ordinal numbers) 281—285; см. также Конст-
руктивный ординал, Рекурсивный ординал

----Д| 534-535, 551, 577

— — второго числового класса (in second number class) 273, 282

— — обозначения (notations) 124, 263—271; см. также Система обозначе-
ний для ординалов

—	— теорема о нормальной форме (normal-form theorem for) 284

Основная лемма о деревьях (basic tree lemma) 505

—	теорема об операторах (fundamental operator theorem) 195

Открыто-замкнутые множества и классы (open-and-closed sets and classes)
435,'449, 451, 474-

Отросток дерева (branch tree) 505, 529

Охаши (Ohashi К.) 317

Парикх (Parikh R.) 273, 278, 285

Патнам (Putnam H.) 56, 57, 63, 569

Паульсен (Poulsen В. Т.) 371

Пеано аксиомы (Peano’s axioms) 131, 243,. 263, 410, 412, 471, 497 прим.

— арифметика (Peano arithmetic) 131, 132, 139, 281, 410, 413, 414, 428

Перемены кванторов (alternations of quantifier) 389, 414, 491

Пересечение (meet) 286,' 316

Петер (Peter R.) 25

Пирс (Peirce С.) 60

Платек (Platek R. A.) 371

Плотная структура (dense structure) 219, 229

Плотно упорядоченное множество (densely ordered) 293

Подветвь дерева (subbranch of a tree) 450, 502

Поддерево (subtree) 205, 449, 502

Позитивное исчисление высказываний (positive propositional calculus)
372

Полиномиальное отношение (polynomial relation) 400

Полное метрическое пространство (complete metric space) 347, 382, 435, 449

— множество (complete set) 108, 109, 113—114, 118—120

----2n, Пп 405,' 423

----2^, П}, 486, 508

Полнота (логическая) (logical completeness) 222, 224
Полные степени (complete degrees) 341—348, 350; см. также Т-сводимость

Полукреативное множество (semicreative set)' 164, 165

Нолупродуктивное множество (semiproductive set) 126, 165

Пополнение множества (completion of a set) 327, 328

Пост (Post Е.) 7, 8, 36, 48, 61, 62, 67, 115, 125, 132, 140, 141, 185, 188—189,
203, 207, 210, 212, 323, 330, 333, 334, 337, 338, 351—354, 381, 383

Поста проблема (problem) 188—189, 209—216, 217, 220, 424, 519, 526

—	теорема (Post’s theorem) 404

Почти-конечнрсть (almost-finiteness) 294, 296, 308

Правила преобразования'кванторов (quantifier rule) 392, 480, 484, 489, 512,
518, 521, 582

Правильно построенные формулы (well-formed formulas) 127

Предваренная форма (prenex form) 396

Предельный функционал (limit functional) 467—469

Предикатная форма (predicate form) 389

Представимость, представление (representation) 402, 434, 448, 490, 492—
498, 569, 571—572

Представление цепными дробями (continued fraction representation) 449,
473, 495-

Представляющая функция (representing function) 13

Префикс (prefix) 389

—	2„, П„ 390, 431

—	2i, П1 479, 480

—	приведенный (reduced) 479

Примитивнорекурсивная функция (primitive recursive function) 22—25

—	— схема (derivation for) 23

Принцип отделимости (separation principle) 105

—	редукции (reduction principle) 100

Приоритета методы (priority methods) 216, 226—230, 326, 373

Проблема остановки (halting problem) 43—46, 61—63, 66, 336

—	тождества слов в теории групп (word problem for groups) 57

Проблемы однородности (homogeneity problems) 335

Продуктивная функция (productive partial function) 115

—	— всюду определенная 124

Продуктивное множество (productive set) 115, 122—126, 131, 132, 158, 160,-
236—238, 273, 276

—	— насыщенное (full) 137, 241, 277

Проективное множество (projective set) 387 прим., 398, 491

Проекция, проектирование, взятие проекции (projection) 92, 387, 388, 425,
430, 446

—	теорема (theorem) 92—94, 387, 426

Производная истинностная таблица (derived truth table) 186, 206

Промежуточное кардинальное число (mediate cardinal) 144
Прослеживаемое множество см. Ретрассируемое множество
Простое множество (simple set) 140—144, 148, 151, 156, 158—162, 164—166,
183, 217, 288, 290, 292, 424, 428, 518

—	— в дополнении (in a complement) 159, 164

Процедуры разрешения (decision procedures) 56

Псевдопростое множество (pseudosimple set) 159	,

Псевдотворческое множество (pseudocreative set) 159

Пур-Эль (Pour-El М.) 469

Рабин (Rabin М.) 72, 160, 362

Равномерность (uniformity) 95—96

Разветвленная аналитическая иерархия (ramified analytical hierarchy) 585

Разрешимая теория (decidable theory) 129
Райс (Rice Н. G.) 56, 65, 67, 105, 208, 416, 476, 519

Рассел (Russell В.) 60, 144

—	парадокс (paradox) 240

Регрессивное множество (regressive set) 206

Рекурсивная инвариантность (recursive invariance) 69, 75, 76, 91—92, 293,
312

—	— относительная (relative) 176

—	неразрешимость (recursive unsolvability) 45, 53—58

—	перестановка (recursive permutation) 74—75, 299

—	— группа (group) 75

—	— свободная от циклов (cyclefree) 139 

—	перечислимость (recursive enumerability) 408

—	— дополнения (of a complement) 312

—	т- класса (of a class) 102

—	— множества (of a set) (см. Рекурсивно перечислимые множества)

—	— отношения (of a relation) 89—94

—	— проблемы (of a problem) 62

—	— степени (of a degree) 111—112, 203, 326, 337, 345, 346, 373, 378,
379

—	степень (degree) 111

—	- структура (structure) 68

—	эквивалентность (equivalence) 226

Рекурсивно аппроксимируемая функция (recursively approximable function)
319

—	неразложимое множество (indecomposable set) 296 прим., 308, 311, 314,
321—323

—	отделимые множества (separable sets) 126

—	перечислимое множество (enumerable set(s)) 82—94, 108, 213—231

—	— — аналогия с теорией множеств (as analogy to set theory) 239—241

—	— — в порядке возрастания (in increasing order) 83

—	— — в порядке неубывания (in nondecreasing order) 83

—	— — индекс (номер) (index of) 85

—	— — регулярное (regular) 172

—	— — решетка (lattice of) 290—294, 299, 300, 303, 306, 307, 317

—	— в (относительно) (in) 174, 193, 202, 203, 328, 381

—	разложимое множество (decomposable set) см. Рекурсивно неразложимое
множество

Рекурсивное дерево (recursive tree) 505

—	— строго (strongly) 507

—	определение (definition) 22

—	относительно (в) (in) 174, 193, 198, 202, 208, 457

—	более чем в одном множестве (in more than one set) см. также Реляти-
визация 175

Рекурсивные действительные числа (recursive reals) 470, 475—477

—	комплексные числа (complex numbers) 476

—	множества и отношения (sets and relations) 81—84, 89—95

—	операторы (operators) 193—202, 208, 279—280, 470

—	ординалы (ordinals) 272, 273

—	— система обозначений W (notations W) 285, 508, 512, 572, 573 .

Рекурсивный анализ (recursive analysis) 470, 476—477

—	изоморфизм (recursive isomorphism) 75, 76, 116—118

—	функционал (recursive functional) 459, 462—465, 468, 469, 474

Рекурсия, определения по рекурсии (recursion, definitions by) 255

Релятивизация (relativization) 168—179, 330, 335, 337, 338, 443, 444, 456,
469, 523—525, 529, 530, 567

—	алгоритма (algorithm) 175

— кванторов (of quantifiers) 425, 426
Релятивизация основной теоремы о рекурсивно перечислимых множествах
(of basic theorem on recursively enumerable sets) 177

— s-zn-ra-теоремы (of s-m-n theorem) 177

— теоремы о проекции (of projection theorem) 177

— теории (of theory) 176—179

— — полная (full) 176—179

— — частичная (partial) 176—179

Ретрассируемое (прослеживаемое) множество (retraceable set) 189, 206, 230,

41? 491____494

Решетка (lattice) 286, 316

— автоморфизм (automorphism of) 291 прим.

— дистрибутивная (distributive) 287, 316, 317, 385

— дуальный идеал (см. Дуальный идеал решетки) (dual ideal)

— единичный элемент (unit element of) 287

— множества как (sets as а) 286—291, 371, 385

— нулевой элемент (zero element of) 287

— подрешетка (sublattice) 287

— с дополнениями (complemented) 288

— факторреш.етка (quotient) 288—291, 371, 385

— цепь (chain in) 307 прим.

Решето  (sieve) 491 прим.

Римана гипотеза (Riemann hypothesis) 414

Риттер (Ritter W.) 104, 477, 521

Рихтер (Richter W.) 569

Ричи (Ritchie R.) 72

Робинсон Дж. (Robinson J.) 56—57, 72

Робинсон P. В. (Robinson R. W.) 313, 323, 324

Робинсон P. M. (Robinson R. M.) 263, 402

Роджерс (Rogers H., Jr.) 5, 424, 428, 509, 569

Россер (Rosser J.) 133, 139

Роуз (Rose G.) 296 прим., 319

Рыль-Нардзевски (Ryll-Nardzewski C.) 428

Сакс (Sacks G.) 166, 217, 218, 220, 227, 229, 295, 301, 307, 323, 330, 331, 346,
373, 378-380, 383, 385, 521, 575, 576

Самовоспроизводящиеся машины (self-reproducing machines) 243—245

Cannec (Suppes P.) 15, 222

Сводимость (reducibility) 53—56, 61—62, 68, 106—109, 180, 286, 387, 417

— сильная (strong) 112, 180

— слабая (weak) 180, 293

— по перечислимости (см. также е-сводимость и е-степени) (enumeration
reducibility) 189—193, 200— 201, 208

— посредством функции (reducibility via function) 110

Сегмент (segment) 332

— начальный (initial) 332

Семантика (semantics) 69

Семантическая непротиворечивость (soundness) 223

Сжатие (склеивание) кванторов (см. также правило преобразования кванто-
ров) (contraction of quantifiers) 392, 432, 446

Сжатые множества (cohesive sets) 294, 296—300, 308—311, 318, 320, 322—324
— — наполненные (completed) 299, 300, 303, 308, 311, 320, 322, 323
Сильная теорема об иерархии (strong hierarchy theorem) 403—406

Сильно неотделимые множества (strongly inseparable sets) 165, 320

Синглтеррп (Singleterry А.) 513

Сингулярность (singularity) 66

Синтаксис (syntax) 69
Система обозначений для ординалов (system of notation for ordinals) 263—264

—	— максимальная (maximal) 265—266, 270, 271, 285

—	— рекурсивная no упорядочению (recursively related) 265—266, 284

—	— рекурсивная (recursive) 284

—	— система О (system О) 268—271, 273, 284, 2&5, 508, 512, 571

•	— — система (system .S'j) 266—267, 571

—	— унивалентная (univalent) 265, 271—272, 284—285, 558

—	— универсальная (universal) 266—267, 270; см. также Рекурсивные
ординалы

Сколем (Skolem Т.) 67, 572

Скордев Д. 362

Скотт (Scott D.) 72

Слабая табличная сводимость (weak truth-table reducibility) 168, 206—207

Слабо определенный функционал (weakly defined functional) 459

Случайная функция (random functional) 320

Сочленение (join) 112, 217

—	степеней (of T-degrees) 218

Спектор (Spector С.) 272, 285, 342, 343, 346, 355, 379, 381, 508, 520, 528, 531,

540, 560, 562, 569, 576

Спектр высказывания (spectrum of a sentence) 223—224

—	рекурсивно перечислимых множеств (spectrum of recursively enumerable)

159, 160, 203, 315, 321

Сплинтер (splinter) 136, 321

Степени неразрешимости (degrees of unsolvability) 107, 155—158, 180, 286,
,307, 326, 406—408, 440; см. также Полные степени

—	трудности (degrees of difficulty) 364, 365, 370, 385.

—	— относительные (relative) 371

—	— проблемы 1-сведения (of one-one reduction) 370

—	— — отделения (of separability) 370

—	— — перечисления (of enumerability) 368

—	— — разрешения (of solvability) 368, 385

—	— — сведения (of reducibility) 372

Стоуна теорема о представлении (Stone representation theorem) 288, 316

Строгая гипергипериммунность (strong hyperhyperimmunity) 312, 321, 322

—	гипериммунность (strong hyperimmunity) 312, 322

Строго гиперпростое множество (strongly hypersimpl set) 322, 3241

—	определенный функционал (strongly defined functional) 459

Стургис (Sturgis H.) 36

Субрекурсивность (subrecursiveness) 68, 69, 75

Судзуки (Suzuki Y. ) 532, 552, 553, 555

Суслин M. 581

Сходство (resemblance) 77, 80

Счетная модель (denumerable model)J501, 502

Табличная сводимость, полные множества и степени (truth-tablereducibility,
complete sets, and degrees) см. tt-сводимость

Табличное условие (truth-table condition) см. tt-условие

Тарский (Tarski А.) 56, 72, 130, 249, 263, 281, 284, 398

Тарского — Куратовского алгоритм (Tarski — Kuratowski algorithm) 394—

400, 415, 417, 419 прим., 425, 433, 447, 483, 484

Творческие множества (creative sets) (см. креативные множества) 114—116,

132, 140—143, 158—161, 293, 317, 425, 428

Тенненбаум (Tennenbaum S.) 164, 204, 206, 207, 227, 323

Теорема выбора (selection theorem) 101, 517, 521

— об ограниченности (boundedness theorem) 511, 534
Теорема о веере (fan theorem) 205

—	— неподвижной точке (fixed-point theorem) 232

—	— нумерации (enumeration theorem) 41, 94

—	— парной рекурсии (double recursion theorem) 246

—	— простых числах (prime-number theorem) 414

—	— рекурсии (recursion theorem) 232—236, 509, 518

—	— — аспекты самовыразимости или обращения к самому себе (self-
referential aspects of) 256—263

—	— — вторая (second) 252

—	— — другие формы (other forms of) 249—256

—	— — первая (first) 252

—	— — применение (applications) 236—248

—	— — сильная (strong) 253

—	— — слабая (weak) 253

Теоремы об иерархии (hierarchy theorems) 391, 405, 425, 435, 439, 453, 456,
472, 485

—	— — обобщенные (generalized) 456—458

—	о неполноте (incompleteness theorems) 29, 48, 60—61, 124 (см. также

Гёделя теоремы о неполноте) 29, 48, 60—61, 124

Теоретико-множественная арифметика (set-theory arithmetic) 131—133,139,412

Теоретико-множественный анализ (set-theory analysis) 500

Теоретико-порядковое свойство (order-theoretic property) 335

Теоретико-решеточное свойство (lattice-theoretic property) 291—293, 308,
315, 317, 319

—	— — элементарно (elementary) 292

Теории множеств высказывания, выразимые аналитически (analytically expres-
sible sentences of set theory) 500

Теория (theory) 128—129

—	конечно аксиоматизируемая (finitely axiomatizable) 225

—	меры, методы (measure theory, methods of) 348—350, 382, 383

—	— вероятностная интерпретация (probabilistic interpretation) 349

—	множеств (set theory) 412—415

—	— Гёделя — Бернайса (Godel — Bernays) 515 прим.

—	— Цермело — Френкеля (Zermelo — Fraenkel) 239—240, 276—277, 412—
415

—	первого порядка (first-order) 222, 292 прим.

—	— — произвольной рекурсивно перечислимой степени (of any recursively
enumerable degree) 222—226

—	— — существенно йеразрешимая (essentially undecidable) 226

Титгемейер (Titgemeyer) 379

Томасон (Thomason) 380

Топология (topology) 279, 382, 434, 448, 449

—	и иерархии (and hierarchies) 417 прим.

—	— операторы (and operators) 202

Трансфинитная индукция (transfinite induction) 278, 283

Трахтенброт Б. A. 440

Тьюринг (Turing A.) 7, 29, 36—37, 45, 48, 56

Тьюринга машина (Turing machine) 30—34, 48; 63, 64, 65, 66, 243—245, 401

—	— лента (tape) 30

—	— с вспомогательными лентами (with auxiliary tapes) 170

—	— — оракулом (with oracle) 169—170

—	— условие совместимости (consistency restriction) 31

Тьюрингова сводимость, полные множества и степени (Turing reducibility,
complete set, and degree) см. Т-сводимость

Уайтхед (Whitehead A.) 60, 144

Уимаи (Wyman C. D.) 166
Универсальная машина (universal machine) 42

— функция (universal function) 41, 63, 77—79, 246—247

Уннформизация (uniformization) 100, 550

Условная вероятность (conditional probability) 349

Успенский В. А. 67, 158, 192

Факторрешетки (quotient lattice) 161, 288—291, 371, 385

Фейнер (Feiner L.) 335

Ферма большая теорема (Fermat’s last theorem) 414

Феферман (Feferman S.) 72, 223, 262, 428, 521, 544, 578 '

Фибоначчи ряд (Fibonacci sequence) 22, 215

Фильтр (filter) 288

Фишер (Fischer P.) 72, 104, 154, 157, 160, 162

Формы (forms) 390, 2n-, Пп-, SJ* -, Il£ -формы 390

2(пП)~, ПпП)-формы 446

-, П^-формы 431

Ъп-, П i-формы 480

(/-формы 567i 568 _

Фреге (Frege G.) 60

Френкель (Fraenkel А.) 276

Фридберг (Friedberg R.) 62, 188, 189, 207, 212, 232, 293, 294, 300, 333, 341,
373, 464, 469

Функционал (functional) 429 прим., 444, 459—471, 479 прим.

—	приложения (applications of) 470

Функциональное дерево (function tree) 205, 449, 502

Функциональный оператор (functional operator) 193—202

Функция (partial function) 12

—	всюду определенная (total function) 13

—	к множественных и I числовых переменных (of к set variables and I num-
ber variables) 429

—	к функциональных и l числовых переменных (of к function variables and I
number variables) 444

—	композиция (composition) 14

—	не определена (undefined) 13

—	определена (defined) 13

—	пересчета nap (pairing function) 89

—	расходится (divergent) 13

—	рекурсивная по Эрбрану (Herbrand-recursive function) 60, 280

—	сходится (convergent) 13

Халмош (Halmos P.) 349

Характеристическая функция (characteristic function) 13

Характеристический индекс (characteristic index) 97—98, 394

Хенкин (Henkin L.) 426

Хоудз (Hodes L.) 477, 517

Хупер (Hooper P.) 205

Центр множества (center of a set) 159, 165

Цермело (Zermelo E.) 276

Цилиндр и цилиндрификация (cylinder and cylindrification) 121—122, 141,
142, 158, 159, 163, 165, 166

Цорна лемма (Zorn’s lemma) 317
Частичное упорядочение (partial ordering) 286

—	— с условием минимальности (well-founded) 509

Частичнорекурсивна в (partial recursive in) 193

Частичнорекурсивные функции (partial recursive functions) 36—37, 46, 58—60'

—	— к функциональных и I числовых переменных (partial recursive fun-
ctions of к function variables and I number variables) 444, 462

—	— к множественных и l числовых переменных (к set variables and I num-
ber variables) 429

—	— и р-оператор (and the mu operator) (см. ц-оператор)

—	— продолжение (extension of) 58

—	— релятивизованные (relativized) 173

—	функционалы (partial recursive functionals) 459, 463, 474

Частичнорекурсивный оператор (partial recursive operator) 194—202, 208,.

279—280, 460

Частичные степени (partial degrees) 193, 359—363, 369

—	— тотальные (total) 360, 361; см. также е-сводимость и е-степени

Человеческое мышление, его границы (human mind, limitations of) 414, 491

Чёрч (Church A.) 7, 13, 29, 36, 56, 61, 263, 426

—	теорема (theorem) 129

Чёрча тезис (Church’s thesis) 38—39, 40, 42, 43, 71, 101, 520, 521

—	— относительный (relativized) 171

Число (number) 11

Шапиро (Shapiro N.) 105, 208, 416, 423

Шёнфильд (Shoenfield J.) 126, 165, 166, 219, 220, 225, 276, 330, 334, 342,

344, 345, 378, 379, 422, 428, 442, 443, 464, 475, 528, 569, 582

—	гипотеза (conjecture) 219—220, 229, 307

Шепердсон (Shepherdson J.) 36, 253, 254, 280, 362, 460

Шифр (encoder) 247

Шмульян (Smullyan R.) 48, 127, 246, 277

Экстенсиональность (extensionality) 25—27

Элементарная арифметика (elementary arithmetic) 129, 222, 261—263, 400r

408, 434, 448, 498

—	теория действительных чисел (elementary real number theory) 497

—	теория чисел (elementary number theory) 130

Элементарный анализ (elementary analysis) 490, 493—498

Элиминирование описаний (eliminating descriptions) 496 прим.

Эндертои (Enderton H.) 509, 559, 565, 569, 581, 583

Эратосфена решето (Eratosthenes’ sieve) 18

Эрбран (Herbrand J.) 60, 280

Эталонное множество (reference set) 417, 418

Эффективная операция- (effective operation) 253, 460, 463—465

Эффективно неотделимые множества (effectively inseparable sets) 114,126—127

— простые множества (effectively simple sets) 166

Юллиан (Ullian J.) 136, 296 прим., 319

Янг (Young P.) 136, 155, 157, 159, 166, 217, 230, 307, 309, 321, 322, 324

Ячейка машинной ленты (cell on machine tape) 30

А ^-множество (Al-set) 490Д532—535, 577

Х-обозначение (lambda notation) 13

р-оператор (mu operator) 48, 51
TIj-множество (n}-set) 490, 508—514

ТЦ-функции (partial ГЦ-functions) 516, 520

2 ^-множество (S^-set) 532—535, 577

«-модель («-model) 502, 572

«-непротиворечивость («-consistency) 133, 139

«-скачок («-jump) 330

itt-сводимость (btt-reducibility) 150—155, 157, 161—162, 407, 408

— полные множества (complete sets for) 151, 154, 161

— степени (degrees for) 151, 154—155, 157, 223, 230

-calculus ratiocinator 60

-characteristica universalis 60

«-сводимость (c-reducibility) 162

•с-аквивалентность (c-equivalence) 297—300, 308—310, 318, 320, 321, 323

е-сводимость и е-степени (e-reducilibity and e-degrees) 189—193, 198, 200—
201, 208, 359—363

Х-Р-уточнение (L-P-specifications) 19

m-сводимость (m-reducibility) 110—121, 142, 147, 149, 216, 293, 307, 406

— полные множества (complete sets for) 118—122, 140—142, 148—149, 155,
236-237

— степени (degrees for) 111—112, 142, 147, 149, 155—157, 203, 209, 223, 231
р-сводимость (p-reducibility) 162

P-символизм (P-symbolism) 19

q-креативное множество (q-creative set) 162, 276

q-сводимость (q-reducibility) 162

—	полные множества (complete sets for) 162

q-творческое множество (q-creative set) cm. q-креативное множество

r-максимальное множество (r-maximal set) 313, 323—325

г-система (r-system) 264

-s-m-n-теорема (s-m-n-theorem) 42—43, 64

tt-сводимость (tt-reducibility) 145—155, 180—181, 184—188, 201, 202, 207,
216, 406, 471

— полные множества (complete sets for) 147—151, 154, 185, 187, 204

— степени (degrees for) 147, 149—150, 155, 157-158, 161, 181, 185, 203,
209, 223, 426

— — рекурсивно перечислимые (recursively enumerable) 147, 181

— цилиндры (cylinders for) 149—150, 161

tt-условие (tt-condition) 146

—	ассоциированное множество (associated set of) 146

—	дизъюнктивное (disjunctive) 162

— порядок (norm of) 146

Т-сводимость (T-reduclibility) 168, 179—181, ‘184—189, 201—204, 207, 208,
216-220, 406, 408, 471, 519

— полные множества (complete sets for) 180, 181, 187—189, 207, 323, 425

— степени (degrees for) 180—185, 203, 209, 216—220, 295, 307, 326—386,
359, 369, 403, 426, 487, 556—558

No-мышление (x0-mind) 520
ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода..........л................................. 5

Из предисловия автора.......................................... 7

Введение...................................................... 11

Глава 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ ................................. 17

§ 1.1.	Неформальное понятие алгоритма	......... 17

§ 1.2.	Пример: примитивнорекурсивные	функции	-... 22

§ 1.3.	Экстенсиональность................................. 25

§ 1.4.	Диагонализация..................................... 27

§ 1.5.	Формализация........................................ 28	.

§ 1.6.	Основной результат................................. 36

§ 1.7.	Тезис Чёрча................................  .	38

§ 1.8.	Гёделевы номера, универсальность,	s-m-n-теорема ...	3$

§ 1.9.	Проблема остановки ................................ 43

§ 1.10.	Рекурсивность ...".............................. 46

Глава 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ................................ 53

§ 2.1.	Новые примеры неразрешимых проблем................. 53

§ 2.2.	Неразрешимые проблемы в других	областях	математики 56

§ 2.3.	Существование некоторых частично рекурсивных функ-
ций ................................................... 58

§ 2.4.	Исторические	замечания...........................   60

§ 2.5.	Обсуждение	 ...................................... 61

§ 2.6.	Упражнения......................................... 62

Глава 3. ЦЕЛИ КНИГИ И ЕЕ	СОДЕРЖАНИЕ ............................ 68

§ 3.1.	Задачи теории...................................... 68

§ 3.2.	Направленность этой книги.......................... 70

§ 3.3.	Обзор содержания................................... 71

Глава 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ............................ 73

§ 4.1.	Инвариантность относительно группы................. 73

§ 4.2.	Рекурсивные перестановки........................... 74

§ 4.3.	Рекурсивная инвариантность......................... 75

§ 4.4.	Сходство........................................... 77

§ 4.5.	Универсальные функции.............................. 77

§ 4.6.	Упражнения......................................... 79

Глава 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
МНОЖЕСТВА.............................................. 81

§ 5.1.	Определения ......................................  81

§ 5.2.	Основная теорема................................... 84

§ 5.3.	Рекурсивные и рекурсивно перечислимые отношения; ко-
дирование п-ок ........................................ 89

§ 5.4.	Теоремы о проекции	.	. . ......................... 92

§ 5.5.	Равномерность ..................................... 95

§ 5.6.	Конечные множества................................. 96

§ 5.7.	Теорема об однозначности........................... 99

§ 5.8.	Упражнения........................................ 101

Глава 6. СВОДИМОСТИ............................................ 106

§ 6.1.	Общее введение.................................... 106

§ 6.2.	Упражнения........................................ 109

х) Введение и главы 1—4,14, 15 переведены М. И. Кановичем, предисло-
вие и главы 5—И —Е. Ю. Ногиной, главы 12, 13, 16 В. А. Душским.
’j Глава 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИ-
i "	МОСТЬ; ТВОРЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА............................... НО

§ 7.1.	Одно-односводимость и много-односводимость ....	110

§ 7.2.	Полные множества..................................... ИЗ

§ 7.3.	Творческие (креативные) множества................... 114

§ 7.4.	Одно-одноэквивалентность и рекурсивный	изоморфизм 116

§ 7.5.	Одно-однополнота и много-однополнота................ 118

§ 7.6.	Цилиндры............................................ 121

§ 7.7.	Продуктивность ..................................... 122

§ 7.8.	Логика ............................................. 127

| 7.9.	Упражнения.......................................... 133

t Глава 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА . 140

§ 8.1.	Простые множества................................... 140

§ 8.2.	Иммунные множества.................................. 142

§ 8.3.	Табличная сводимость................................ 145

§ 8.4.	Табличная сводимость и много-односводимость ....	148

§ 8.5.	Ограниченнотабличная сводимость..................... 150

§ 8.6.	Структура степеней.................................. 155

§ 8.7.	Другие рекурсивно перечислимые множества............ 158

§ 8.8.	Упражнения.........................................  160

Глава 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ
МНОЖЕСТВА .......................................................  167

§ 9.1.	Пример .’...................................... 167

§ 9.2.	Относительная рекурсивность.......................... 168

§ 9«3.	Релятивизованная теория . ........................... 176

§ 9.4.	Сводимость по Тьюрингу..............................  179

. § 9.5.	Гиперпростые множества; теорема	Деккера ............ 181

г	§ 9.6.	Сводимость по Тьюрингу и	табличная	сводимость;

проблема Поста....................................... 184

§ 9.7.	Сводимость по перечислимости................... 189

§ 9.8.	Рекурсивные операторы............................... 193-

§ 9.9.	Упражнения.................................... 202

Глава 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА ...	209

§ 10.1.	Конструктивные подходы........................ 209

§ 10.2.	Фридбергово решение........................... 212

§ 10.3.	Дальнейшие результаты и	проблемы ............ 217

§ 10.4.	Неотделимые множества произвольной	рекурсивно	пере-
числимой степени 	 220

§ 10.5.	Теории произвольной рекурсивно перечислимой	степени	222

§ 10.6.	Упражнения . ......................................  226

Глава 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ...................................... 232

§ 11.1	Введение............................................ 232

§ 11.2.	Теорема о рекурсии ................................ 233

§ 11.3.	Полнота творческих множеств; вполне	продуктивные

множества....................................... 236

§ 11.4.	Другие применения и конструкции	................ 239

§ 11.5.	Другие формы теоремы о рекурсии	................ 249

,»	§11.6.	Обсуждение..................................... 256

§ 11.7.	Системы обозначений для ординалов............. 263

§ 11.8.	Конструктивные ординалы ........................... 271

>	§ 11.9. Упражнения......................................... 274
Глава 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНО-
ЖЕСТВ ............................................... ....	286

§ 12,1	.	Решетки множеств............................ 286

§ 12.2.	Разложение .................................. 294

§ 12.3.	Сжатые множества............................. 296

§ 12.4.	Максимальные множества....................... 300

§ 12.5.	Подмножества максимальных	множеств .......... 303

§ 12.6.	Свойства почти-конечности.................... 308

§ 12.7.	Упражнения................................... 316

Глава 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ ......................... 326 

§ 13.1.	Операция скачка.............................. 326

§ 13.2.	Некоторые важные множества	и степени......... 336 .

§ 13.3.	Полные степени; категории	и	мера ........... 341

§ 13.4.	Упорядочение степеней........................ 351

§ 13.5.	Минимальные степени.......................... 355

§ 13.6.	Частичные степени............................ 359

§ 13.7.	Решетка Медведева............................ 363

§ 13.8.	Дальнейшие результаты........................ 372

§ 13.9.	Упражнения................................... 380

Глава 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)............... 387

§ 14.1.	Иерархия множеств............................ 387

§ 14.2.	Нормальные формы............................. 391

§ 14.3.	Алгоритм Тарского — Куратовского............. 394

§ 14.4.	Арифметическая представимость	.	. . ......... 400

§ 14.5.	Сильная теорема об иерархии.................. 403

§ 14.6.	Степени...................................... 406

§ 14.7.	Приложения в логике ......................... 408

§ 14.8.	Вычислимые степени неразрешимости '.......... 415

§ 14.9.	Упражнения................................... 425

Глава 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2) ..............429

§ 15.1.	Иерархия классов множеств.................... 429

§ 15.2.	Иерархия классов функций..................... 444

§ 15.3?	Функционалы.................................. 459

§ 15.4.	Упражнения................................... 471

Глава 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ.......................... 478

§ 16.1.	Аналитическая иерархия....................... 478

§ 16.2.	Аналитическое представление; приложения к логике 492

§ 16.3.	Деревья с конечными путями................... 502

§ 16.4.	П}-множества и Д}-множества ................ 508

§ 16.5.	Обобщенная вычислимость...................... 515

§ 16.6.	Гиперстепени и гиперскачок; ^-множества и Д|-мнот
жества.............................................. 523

§ 16.7.	Результаты о базисе и неявная определимость ....	535*--

§ 16.8.	Гиперарифметическая иерархия................. 556

§ 16.9.	Упражнения................................... 570

Литература................................................ 587

Указатель обозначений .................................... (300

Указатель теорем.......................................... 602

Алфавитный указатель ..................................  .	606