THEORY
OF RECURSIVE
FUNCTIONS ¦
AND
EFFECTIVE
COMPUTABILITY
Hartley Rogers, Jr.
Massachusetts Institute of Technology
JMcGraw-Hill Book Company
New York • St. Louis •: San Francisco
Toronto • London • Sydney
1967
X. Роджерс
ТЕОРИЯ
РЕКУРСИВНЫХ
ФУНКЦИЙ
и
ЭФФЕКТИВНАЯ
вычислимость
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. А. Душского
М. И. Кановича
Е. Ю. Ногиной
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. А. Успенского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1972

УДК 517.11
Книга содержит изложение современного состояния теории
рекурсивных функций и обзор основных приложений этой
теории. В ней прослежено развитие теории рекурсивных функ-
функций, начиная с ее зарождения в тридцатых годах и кончая
результатами исследований самых последних лет.
Не предполагающая в основной своей части никаких предва-
предварительных знаний, кроме знакомства с теоретико-множественной
терминологией, книга Роджерса написана хорошим, ясным
языком; при этом формальному изложению предпосылаются
содержательные рассуждения, разъясняющие природу вводи-
вводимых понятий или идей построений и доказательств; в ней содер-
содержится очень много упражнений.
Книга рассчитана на читателей, интересуйщихся совре-
современными проблемами математической логики и теории алго-
алгоритмов. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов
университетов и пединститутов.
X. Роджерс
ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЭФФЕКТИВНАЯ
ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Редакторы И. А. Маховая, Г. М. Цукерман. Художник Г. Д. Коняхина
Художественный редактор В. Й. Шаповалов Технический редактор Т. А. Максимова
Сдано в набор 27/VI 1972 г. Подписано к печати 4/XI 1972 г. Бумага кн. журн.
60x901/18=19,5 бум. л. 39 печ. л. Уч.-изд. л. 41,48. Изд. jV» 1/5265. Цена 3 р. 46 к.
Зак. 0506
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография JM5 7 «Искра революции»
«Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
г. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
072
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В этой книге систематически излагается общая теория рекур-
рекурсивных функций, т. е. функций, вычислимых посредством алго-
алгоритмов. Изложение опирается на интуитивное представление
о вычислимых функциях — подобно тому, как обычные изложе-
изложения теории функции действительного переменного опираются
на интуитивные представления о функциях и множествах. Почти
ничего не говорится о способах задания вычислимых функций
при помощи тех или иных вычислительных схем или абстрактных
автоматов — а потому за пределами изложения остается и- вся
связанная с такими способами задания тематика: сюда относятся
прежде всего вопросы сложности задания и вычисления функций
посредством схем и автоматов и возникающие на этой основе
классификации (даже понятие примитивнорекурсивной функции,
которое нередко кладут в основу теории, едва упоминается в кни-
книге). Более неожиданным кажется сознательное исключение из рас-
рассмотрения проблематики теории нумераций — теории, одним
из пионеров которой был сам автор *) и которая весьма близка
по стилю ко всему излагаемому материалу; интересующегося этой
проблематикой читателя можно отослать к монографиям
А. И. Мальцева и Ю. Л. Ершова2).
Зато все остальные разделы общей теории вычислимых функций
изложены с энциклопедической полнотой. По широте и полноте
охвата книга Роджерса не имеет равных в мировой литературе
по вычислимым функциям. Значительная часть теории впервые
подана здесь в систематическом виде; изложение сводит в единое
целое результаты, имевшиеся лишь в журнальной литературе,
') Rogers H. (Jr.), Godel numberings of partial recursive functions,
Journ. Symb. Log., 1958 B3), 331—341.
2) Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, „Наука",
М., 1965 (нумерациям посвящена гл. IV); Ершов Ю. Л., Теория нуме-
нумераций, часть I, Новосибирск, 1969.

6 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
в том числе результаты, полученные непосредственно перед выхо-
выходом книги в свет.
Вместе с тем для чтения книги — в основной ее части —
не требуется никаких специальных знаний. Книга написана
с большим педагогическим тактом. Формальному изложению часто
предпосылаются содержательные рассуждения, разъясняющие
природу вводимых понятий и проводимых построений. Трудность
нарастает постепенно — от почти популярных первых шести глав,
посвященных основным понятиям, до достаточно тяжелых послед-
последних четырех, посвященных иерархиям множеств и функций.
Книга X. Роджерса может иметь много аспектов использова-
использования — это и научная монография, и справочник, и учебник,
и задачник (содержащий около 700 упражнений самой различной
степени трудности). Она необходима каждому, серьезно интере-
интересующемуся теорией вычислимых функций.
В. Успенский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Э. Пост следующими словами заключил статью, представлен-
представленную в 1944 г. Американскому математическому обществу: „Если
понятие общерекурсивной функции действительно является фор-
формальным эквивалентом эффективной вычислимости, то формули-
формулировка этого понятия может сыграть в истории дискретной мате-
математики роль, уступающую по значению лишь формулировке поня-
понятия натурального числа" *).
Эта книга может рассматриваться как своего рода обзор успе-
успехов, достигнутых в связи с идеями и надеждами, выраженными
в упомянутой статье. Поста. Рекурсивные функции изучались
целым рядом исследователей и до 1944 г. В частности, важный
вклад в этой области был сделан Чёрчем, Клини, Тьюрингом
и самим Постом. Хотя статья Поста и затрагивает лишь часть
более широкой теории, она составила в данной области эпоху,
не только представленными в ней конкретными методами и ре-
результатами, но и подчеркиванием естественности исходных кон-
концепций.
Высказывание Поста, цитированное выше, носит полемический
характер; правомерен вопрос о практической ценности того рода
вычислимости, который соответствует общерекурсивным функциям
(это обсуждается далее в гл. 1). Тем не менее мы надеемся, что
предлагаемая книга является некоторым обоснованием позиции
Поста.
Изложение ведется на полуформальном уровне; мы убеждены,
что такой подход уместен и плодотворен. Использование полуфор-
полуформальных процедур в теории рекурсивных функций аналогично
использованию неполностью формализованных теоретико-множе-
теоретико-множественных методов в других разделах математики. Для ведения
исследований в данной области достаточно иметь ясное ощущение
*) Р о s t E. L.,' Recursively enumerable sets of positive integers and
their decision problems, Bull. Amer. Math. Soc, 50 A944), 284—316.

8 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
простых первоначальных идей, равно как школьной элементарной
алгебры достаточно для исследований в теории чисел.
С 1944 и, в особенности, с 1950 г. благодаря усилиям много-
многочисленных исследователей теория рекурсивных функций бурно
развивалась. Разумеется, эта книга не претендует на то, чтобы
изложить данную теорию исчерпывающим и окончательным обра-
образом. Принятый в ней неформальный и интуитивный подход в ряде
случаев оказывается ограничительным. Некоторые важные раз-
разделы теории (например, изучение различных собственных под-
подклассов общерекурсивных функций) и некоторые интересные при-
приложения (например, выявление рекурсивно неразрешимых проб-
проблем в других областях математики) по своей природе требуют
развитого и детального формализма. Существует ряд монографий,
восполняющих этот недостаток, и читателю рекомендуется обра-
обращаться к ним в случае, когда он заинтересован в более формаль-
формальном изложении. К числу таких монографий относятся К 1 е е -
n e S. С, „Introduction to metamathematics", D. Van Nostrand
Company, Princeton, N.J., 1952. (Русский перевод: Кли-
Клине С. К., „Введение в метаматематику", ИЛ, М., 1957.— Перев.)
и Davis M., „Computability and unsolvability", McGraw-Hill
Book Company, New York, 1958. Эти книги могут служить ценным
дополнением' к нашему изложению; вместе с тем предварительное
знакомство с ними не является необходимым.
Книга состоит из 16 глав. В гл. 1 и 2 приводится понятие
частичнорекурсивнои функции и простые примеры неразрешимых
проблем. Главы 3 и 4 содержат краткий обзор идей и методов изла-
излагаемой в дальнейшем теории. В гл. 5 вводится целый ряд основных
понятий. Главы с 6-й по 10-ю содержат результаты о сводимостях
и степенях неразрешимости (Пост в статье 1944 г. придавал осо-
особое значение этим понятиям). В гл. 11 излагается теорема о рекур-
рекурсии, являющаяся одним из основных „инструментов" нашей тео-
теории. Главы с 12-й по 16-ю посвящены областям, в которых в на-
настоящее время наиболее интенсивно ведутся исследования. Более
детальный обзор книги приведен в гл. 3.
Большинство глав завершается упражнениями. Порядок,
в котором следуют упражнения, отвечает последовательности
изложения материала в соответствующей главе. Упражнения
распадаются на три группы: непомеченные, помеченные светлым
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА 9
треугольником (д) и (изредка) помеченные зачерненным треуголь-
треугольником (А)- При решении упражнений первой группы достаточно'
лишь ясного понимания текста. Упражнения второй группы
несколько труднее. Что касается упражнений третьей группы, т»
они либо еще более трудны, либо требуют для своего решения
привлечения не излагавшихся еще результатов и методов. Многие
упражнения сопровождаются указаниями (светлые и зачерненные'
треугольники отнесены к упражнениям без указаний). Ряд
упражнений, помеченных зачерненным треугольником, обсуж-
обсуждается в последующих разделах книги. Часть материала, допол-
дополняющая основное изложение, вынесена в упражнения, на них
(хотя и не часто) возможны ссылки.
Мы рекомендуем читателю попытаться проделать все непоме-
непомеченные или помеченные треугольниками упражнения. Упражне-
Упражнения, к которым имеются указания, следует пытаться решать.
до ознакомления с этими указаниями. Полезно также (во всех
случаях* когда это возможно) самостоятельно доказывать приво-
приводимые нами теоремы. Как и в других областях математики, не су-
существует лучшего способа развития интуиции, исследовательских
навыков и способности улавливать различие между новыми пло-
плодотворными идеями, с одной стороны, и простой, хотя, быть может,,
и интересной, разработкой старых идей — с другой.
Число исследований по теории рекурсивных функций за пос-
последние годы резко увеличилось. Приводимая в этой книге литера-
литература далеко не является исчерпывающей. Мы почти не делаем
ссылок на работы, выполненные начиная с 1965 г., хотя и изла-
излагаем полученные в этот период результаты.
Некоторая часть этой книги составила первоначально предмет
курсов и семинаров Массачусетского технологического института.
Я в особенности признателен Бертону Дребену и Ноаму Хрмско-
му за постоянную поддержку, а также всем остальным участникам
этих курсов и семинаров за разностороннюю помощь и советы..
Я также признателен Энн Синглтери, Джеймсу Гейсеру и Лесли
Тарпу за помощь при подготовке рукописи и Патрику Фишеру,
Карлу Джокушу, Дональду Крейдеру и Уоррену Тейтельману
за тщательное прочтение отдельных частей текста.
Неоценимую помощь мне также оказали советы и замечания
И. Бар-Хиллела, Д. Боброва, М. Блюма, Ван Хао, Дж. Дентона,

10 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
К. Ейтса, К. Кента, Дж. Конгера, В. Куайна, Д. Лакхема, А. Ле-
ви, Дж. Лукаса, Т. Мак-Интайра, Т. Мак-Лохлина, Д. Мартина,
М. Минского, Я. Московакиса, Д. Натсона, Р. Париха, Д. Парка,
X. Патнама, М. Рабина, Дж. Раиса, У. Риттера, Дж. Розенталя,
Г. Сакса, К. Спектора, Дж. Стилвелла, Р. Фридберга, Л. Хоудза,
К. Шеннона, Дж. Шёнфильда, Дж. Эддисона, Г. Эндертона,
Дж. Юллиана, П. Янга. Целый ряд других моих коллег и студентов
оказали мне большую помощь. Все эти лица, как названные, так
и неназванные, высказали много идей, но не имели возможности
высказать свои критические замечания по поводу окончательно-
то текста.
Я нахожусь в неоплатном научном долгу перед Джеймсом Дек-
кером, Джоном Майхиллом и Норманом Шапиро. Шапиро привлек
мое внимание к теории рекурсивных функций. Методы и установки
Деккера и Майхилла оказали большое влияние на настоящий
труд.
Часть материала данной книги в несколько ином виде была
•опубликована на мимеографе Массачусетским технологическим
институтом в 1957 г. под названием „Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость", т. I.
X. Роджерс мл.
ВВЕДЕНИЕ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ
ОБ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Эта книга предназначается для студентов старших курсов
и аспирантов первого года обучения. Предполагается знакомство
с основной теоретико-множественной терминологией и техникой
на уровне университетского курса современной алгебры. В боль-
большей части книги не предполагается знакомства читателя с логикой,
но оно было бы полезным. Ниже приводятся некоторые обозначе-
обозначения из элементарной логики, используемые нами.
К сожалению, в литературе по теории рекурсивных функций
«ще не выработаны единые общеупотребительные обозначения
и терминология. В данном введении мы предлагаем свой выбор
•основных обозначений и терминологии.
Крайне необходимо при первом чтении обратить на эту часть
особое внимание, а затем уже возвращаться к ней по мере надоб-
надобности. Этот труд читателя будет, надеемся, вознагражден ясно-
ясностью и легкостью в основном тексте.
Большей частью мы будем иметь дело с неотрицательными
целыми числами, множествами неотрицательных целых чисел
и отображениями неотрицательных целых чисел в неотрицатель-
неотрицательные целые числа. Если только не оговорено противное, мы исполь-
используем термин „натуральное число" или просто „число" (number,
integer) для обозначения неотрицательного целого числа; N —
множество всех чисел; А, В, С, . . . (первые прописные буквы
латинского алфавита) обозначают подмножества множества N.
Символом 0 обозначаем пустое множество; х, у, z, ... (последние
строчные буквы латинского алфавита) обозначают элементы мно-
множества N, т. е. числа.
Мы используем следующие теоретико-множественные обозна-
обозначения: А = В означает, что А ж В одинаковы как множества, т. е.
состоят из одних и тех же элементов; х ? А означает, что х — эле-
элемент множества А. Обозначение { | } указывает на образование
множества: {х\ . . . х . . .} — это множество всех таких х, что
выражение . . .х. . . верно, когда „х" интерпретируется как целое
число х. Тип объектов, из которых формируется множество, ука-
указывается видом символа, стоящего перед вертикальной чертой.
Так, {х | . . .} должно быть множеством чисел.
A U В — объединение множеств А и В, т. е. {х \ х ? А или
х ? В или и то и другое одновременно); А (~| В — пересечение
множеств А и В, т. е. {х \ х ? А и х ? В}; А — дополнение к А,
т. е. {х\ не верно, что х ? А }; A с В означает, что А — подмноже-

12 ВВЕДЕНИЕ
ство множества В, другими словами, для всех х, если х ? А, то
х ?В; A zd В означает, что5с^. Множество А — собственное
подмножество множества В, если А сВине верно, что А = В.
(Так, из4сВиВсЛ вытекает, что А = В.) '
Иногда будем обозначать конечное множество набором его
элементов в любом порядке, заключенным в фигурные скобки.
Например, {2, 5, 3} — множество, состоящее из первых трех
простых чисел. Иногда и некоторые бесконечные множества мы
будем задавать „перечислением" в фигурных скобках. Например,
{О, 2, 4, , . ., 2п, . . .} — множество четных чисел.
Пусть даны х и у, тогда {х, у} — упорядоченная пара, состоя-
состоящая из х и у, взятых именно в этом порядке. Аналогично,
(Xi, х2, . . ., хпу —упорядоченная п-ка1 (или кортеж длины п),
состоящая из хи х2, . . ., хп, и именно в этом порядке. Через
А X. В обозначим декартово произведение множеств А ж В, т. е.
{{х, у)\х?А и у€В}. Аналогично,
^i и... хп еАп}.
Декартово произведение множества А на себя п раз обозначим
через Ап; Р, О, R (прописные латинские буквы из второй половины
алфавита) обозначают отношения на N, т. е. подмножества мно-
множества Nn при некотором п > 0. Если R с Nn, то R называется
п-арным, или п-местным, отношением.
Пусть R есть А-местное отношение. Будем говорить, что R
однозначно, если для любого кортежа (xt, . . ., ?fe_i) существует
не более одного элемента z, такого, что (xt, . . ., a;fe_b z) ? R.
Если R однозначно, то его областью определения назовем
{{Xi, . . ., icfe_i)| существует z, такое, что (хи . . ., xk_u z) ?
€ R} и обозначим ее через Arg R. Очевидно, что однозначное
А>местное отйошение можно рассматривать как отображение его
области определения в N.
По этой причине, вместо того чтобы говорить, что R — одно-
однозначное /с-местное отношение, мы будем говорить, что R —
функция от к —- 1 аргументов или, иногда, что R — частичная
функция (здесь слово „частичная" показывает, что область опреде-
определения функции R может не совпадать с TV*). Будем использо-
использовать ф, а)з, ... (последние строчные буквы греческого алфавита)
для обозначения функций, при этом будем часто использовать
обычные функциональные обозначения с этими символами; так,
у(х, у) = z будет означать, что (х, у, z) ? ф. Но читатель непремен-
непременно должен помнить, что функция воспринимается как отношение.
(Таким образом, мы отождествляем функцию с ее „графиком".)
Наиболее часто мы будем иметь дело со случаем к = 2, т. е. функ-
функциями одного аргумента, и под функцией будем понимать функцию
ВВЕДЕНИЕ 13
одного аргумента, если не оговорено противное. Функциональная
система обозначений может привести к двусмысленности. Напри-
Например, высказывание: не верно, что ц>(х) =? у, можно понимать так:
не верно, что (х, у) 6 ф» а можно донимать так: существует z,
такое, что {ж, z) ? ф, и не верно, что z = у. В дальнейшем в таких
ситуациях будет всегда ясно, какую из этих возможностей мы имеем
в виду. Если ф — функция, то мы скажем, что ф определена (или
сходится) на х (иногда мы для краткости будем говорить, что у(х)
сходится), если х ? Arg ф; в противном случае ф не определена
(или расходится) на х. (Аналогично для функций от более чем
одного аргумента.)
В том случае, когда область определения функции к аргумен-
аргументов совпадает с Nk, назовем такую функцию всюду определенной
(total) функцией. Мы используем f,g,h, ... (строчные латинские
буквы ближе к середине алфавита) для обозначения всюду опре-
определенных функций. Как и раньше, f(x) = у будет означать, что
<х, y>€f. лг
Множества подмножеств множества N либо множества отноше-
отношений на N обозначаются через <?,&,%,... (первые прописные
рукописные буквы).
Область значений, или множество значений, функции ф от к
•аргументов — это множество {z\ существуют хх, . . ., х^, такие,
что {хи . . ., Хъ, z) ? ф}- Обозначим это множество через Val ф.
Элементы из Val ф называются значениями функции ф. Если
<ф(#1, • • м xk) =У, то у называется значением функции ф, соот-
соответствующим аргументу {жь . . ., xk). Функция есть отображе-
отображение на N, если ее область значений совпадает с N. Функция
взаимно однозначна (одно-однозначна), если для любого у сущест-
существует не более одного набора <(xt, . . ., xhy, такого, что
<f{xi, . . ., Xf) = у. Символ сА обозначает характеристическую
функцию множества А; следовательно, сА (х) =1, если х ?А,
и сА(х) = 0, если не верно, что х 6 А. Иногда множество А пред-
представляется с помощью (неединственной) функции /, такой, что
А = {х |/(ж) =0}. Такая функция называется представляющей
функцией для А.
Пусть [ х—-] —такое выражение, что при подстановке
любого числа вместо „ж" оно принимает не более одного значе-
значения. (Например, выражение „х2 + х" имеет значение для любого
числа, в то время как выражение „наименьший простой собствен-
собственный делитель х" имеет значение для чисел, которые не просты
и отличны от 1.) Тогда Хх [ х ] обозначает функцию
{(х, уу\[ х ] имеет значение у, когда „х" интерпретирует-
интерпретируется как число х). Это ламбда-обозначения Чёрча для определения
функций. Например, пусть даны ф4 и ф2, тогда fac[q>i(x) + ф2(ж)] —
•функция i|), такая, что Arg i|) = Arg ф4 f) Ащф2 и ty(x) = q>i(x) +
+ Фг(#) для всех х, принадлежащих Arg а|з. Мы также используем

14 ВВЕДЕНИЕ
ламбда-обозначения для функций от к аргументов, выписывая
Хху%г . . . xk вместо %х.
Если ф и ф — две функции, то символом арф обозначается их
композиция, т. е. функция {(#, у)\ существует такое г, что-
{х, z) ? ф и (z, у} ? \jp}. (Обращаем внимание на обратный поря-
порядок ф и а)з, благодаря которому а|)ф(:г) можно записать как г|>(ф (х)).)
Другие принятые обозначения: \р~г — {(у, ж)| (х, у} ? о|з}; ty(A) =
= {у | существует х, такое, что х ? А и ty(x) = у}; ^'ЦА) = {a; f
существует у, такое, что у ? А и -ф(ж) = г/}.
Для бинарных (т. е. 2-арных) отношений термины транзитив-
транзитивный, рефлексивный, эквивалентный, линейное упорядочение, частич-
частичное упорядочение употребляются в обычном смысле (мы их не опре-
определяем). Частичное упорядочение иногда будет строгим (<),
а иногда —нестрогим (^С).
Мы используем обычные обозначения и соглашения элементар-
элементарной логики: „и" будем иногда записывать как ,,&"; „или" будет
использоваться в неразделительном (и/или) смысле и будет иногда
записываться как „ V"; „=?¦" — сокращенная запись „если, то";
"
"—сокращенная запись „тогда и только тогда"; „п"—сокра-
„п"—сокращение для „не" и будет помещаться перед предложением, которое
отрицается. Иногда знак „н" будет комбинироваться с „?" или
с „==", в результате чего получаются знаки „($" или „=?". Квад-
Квадратные скобки будут использоваться для группировки предложе-
предложений со следующими исключениями (вопреки логической, но сле-
следуя общематематической практике): „A) =>- B) =ф- . . . =ф- (и)" (где
A), B), . . ., (п) — предложения) есть сокращенная запись выра-
выражения „[[(!) => B)] & [B) =»» C)] & . . . [(п - 1) =»» (п)]Г и „A) <=>
<=> B) <=> . . . <=> (и)" есть сокращенная запись выражения
„[[A) <=> B)] & [B) <=> C)] & .. Л(п -1) <=> (п)]]". „V" и „ 3" назы-
называются соответственно кванторными символами общности и суще-
существования: „(Уж)" читается как „для всех х", „(За:)" читается как
„существует х, такое, что...". Группы символов, такие, как „(Va:)"
и „(За;)", называются соответственно кванторами общности и су-
существования.
Указанные выше логические символы служат удобными сокра-
сокращениями обычного математического языка. Например, соотноше-
соотношение А гэ В можно записать так: (Va;)[a; 6 В =>- х 6 А\; определе-
определение множества Arg ф можно записать так: {х |Cг/)[ф (а;) = г/]}.
но — мощность, или кардинальное число, множества N;
2 — множество всех подмножеств множества N; иногда будем
обозначать его через Jf; 2No обозначает мощность множества 2^,
т. е. мощность континуума. Через \ix [. . . х .. .] обозначается
наименьшее число х, такое, что выражение . . .х . . . верно, если „ж"
рассматривать как число х, при условии что такое наименьшее
число существует.
ВВЕДЕНИЕ 15
Другие общие и специальные обозначения будут вводиться
по мере надобности.
Как в логике, так и в теории рекурсивных функций не вырабо-
выработано общей системы обозначений. Наш выбор логических сокра-
сокращений не является необычным. Выбор обозначений для теории
рекурсивных функций наталкивается на некоторые трудности,
особенно в исследованиях, охватывающих разнообразные области.
В части текущей литературы используются строчные греческие
буквы для множеств. Мы не делаем этого, так как почти стандарт-
стандартно их использование для ординалов. Можно отметить, что под
теоретико-числовым предикатом Клини и другие понимают отно-
отношение на Аг. Можно также отметить, что некоторые авторы исполь-
используют f,g,. . . для обозначения функций вообще, а не только всюду
определенных функций и что в значительной части литературы
первые строчные буквы греческого алфавита используются для
всюду определенных функций.
Формулируя теоремы и леммы, мы будем использовать, если
не оговорено противное, обычное математическое соглашение
о том, что все свободные переменные (пробегающие числа, множест-
множества или отношения) рассматриваются как связанные кванторами
общности, стоящими в начале всего выражения.
В процессе доказательства некоторые переменные могут появ-
появляться как универсальные переменные (universal variables),
например: „пусть х — произвольное число, такое, что...". Другие
переменные могут' вводиться как временные имена (temporary
names), например: „возьмем х0 — некоторое фиксированное число,
большее, чем ж..." х). Почти всегда мы будем использовать в послед-
последнем случае 45уквы с индексами. (Буквы с индексами могут исполь-
использоваться и в первом случае, если потребуется достаточно много
различных переменных.) Иногда для большей выразительности
будут использоваться как временные имена чисел строчные буквы
середины латинского алфавита i, j, к, т, п, ... с индексами и без
индексов. Также для большей выразительности в качестве уни-
универсальных переменных для множеств будем использовать послед-
последние прописные буквы латинского алфавита X, Y, Z. В связи с этим
мы не всегда будем последовательны, но из контекста всегда ясно,
соблюдаем ли мы эти соглашения или отклоняемся от них.
Главы делятся на параграфы. Так, § 7.4 — это четвертый пара-
параграф гл. 7. Теоремы нумеруются римскими цифрами, в каждой
х) По терминологии элементарной логики универсальная переменная —
это переменная, вводимая универсальной спецификацией, а временное имя —
это переменная, вводимая экзистенциональной спецификацией (см. Саппес
[1957]).

16 ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
главе — своя нумерация. Теорема 7-VI — это шестая теорема
в гл. 7. Упражнения нумеруются арабскими цифрами. Упражне-
Упражнение 7-14 — это четырнадцатое упражнение гл. 7.
Если производится ссылка на теорему или упражнение в той же
главе, то номер главы может опускаться. Конец доказательства
указывается знаком я . .
Ссылки на работы в списке литературы производятся указа-
указанием автора и года издания, заключенного в квадратные скобки.
Название и выходные данные работы можно найти в списке лите-
литературы под фамилией автора и справа от этой даты.
§ 1.1. Неформальное понятие алгоритма 17
§ 1.2. Пример: примитивнорекурсивные функции 22
§ 1.3. Экстенсиональность 25
§ 1.4. Диагонализация 27
§ 1.5. Формализация 28
§ 1.6. Основной результат 36
§ 1.7. Тезис Чёрча 38
§ 1.8. Гёделевы номера, универсальность, s-m-n-теорема
§ 1.9. Проблема остановки 43
§ 1.10. Рекурсивность 46
39
§ 1.1. НЕФОРМАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА
В настоящей главе мы дадим формальное (т. е. математически
точное) определение рекурсивной функции, основного понятия кни-
книги. Это один из путей уточнения неформального математического
понятия функции, вычислимой „с помощью алгоритма" или
„с помощью эффективной процедуры". Прежде чем приступить
к формальному описанию, в этом параграфе мы обсудим некоторые
аспекты неформальных понятий алгоритма и функции, вычислимой
посредством алгоритма, в том виде, как эти понятия встре-
встречаются л математике.
Грубо говоря, алгоритм — это детерминированная процедура,
которую можно применять к любому элементу некоторого класса
символических входов и которая для каждого такого входа дает
в конце концов соответствующий символический выход. Примером
алгоритма может служить обычная процедура дифференцирования
полиномов в элементарном дифференциальном исчислении (тер-
(термин исчисление, несомненно, указывает на алгоритмическую при-
природу этой дисциплины).
В дальнейшем мы ограничимся алгоритмами, которые в каче-
качестве выходов выдают натуральные числа в некоторой стандартной
записи, например арабскими цифрами, а в качестве входов полу-
получают натуральные числа или n-ки натуральных чисел при фикси-
фиксированном п в некоторой стандартной записи. Поэтому для нас алго-
алгоритм — это процедура для вычисления всюду определенной функ-
функции. Как мы увидим, это ограничение (числовыми функциями)
при наших задачах не приводит к потере общности. Важно, конеч-
конечно, отличать понятие алгоритма, т. е. процедуры, от понятия
функции, вычислимой алгоритмом, т. е. отображения, задаваемого
процедурой. Одну и ту же функцию можно вычислять с помощью
нескольких алгоритмов. Иногда о всюду определенных функциях,
вычислимых алгоритмами, будем говорить как об алгоритмических
2-0506

18 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
всюду определенных функциях а). Вот несколько примеров функ-
функций, имеющих общеизвестные алгоритмы (в обычной десятичной
системе счисления).
a. Кх [х-е простое число]. (В качестве алгоритма используется
метод решета Эратосфена.) (Используются А-обозначения Чёр-
ча. Выражение / = %х [х-е простое число] означает, что для любого
х f(x) = [х-е простое число] 2).)
b. Хху [наибольший общий делитель чисел х и у]. (Здесь рабо-
работает алгоритм Евклида.)
c. Кх [натуральное число =^9, чья цифровая запись является
х-м десятичным знаком в десятичном разложении числа я =
= 3,14159...]. (Любой из ряда общих методов приближений можно
взять в качестве алгоритма, например квадратуру единичного
круга по правилу Симпсона.)
Разумеется, есть гораздо более простые и известные примеры
функций, вычислимых алгоритмами. Вот одна из таких функций.
d. Кху[х -\- у]. Такие алгоритмы изучают в элементарной
школьной арифметике.
Существенными чертами неформального понятия алгоритма
оказываются следующие. Мы опишем их приближенно, на интуи-
интуитивном уровне.
*1. Алгоритм задается как набор инструкций конечных раз-
размеров. (Любой классический математический алгоритм, например,
можно описать конечным набором английских слов.)
*2. Имеется вычислитель, обычно человек, который умеет
обращаться с инструкциями и производить вычисления.
*3. Имеются возможности для выделения, запоминания и
повторения шагов вычисления.
*4. Пусть Р — набор инструкций (см. *1), L —вычислитель
из *2. Тогда L взаимодействует с Р так, что для любого данного
входа вычисление происходит дискретным образом по шагам, без
использования аналоговых устройств и соответствующих методов.
*5. L взаимодействует с Р так, что вычисление продвигается
вперед детерминированно, без обращения к случайным методам
или устройствам, например к игральным костям 3).
Несмотря на неточную формулировку, практически все мате-
математики согласились бы с тем, что определение понятия алгоритма
х) Начиная с § 1.5 будет использоваться более широкое понятие алгорит-
алгоритма, включающее не всюду определенные процедуры.
2) В дальнейшем мы будем без пояснений употреблять понятия и терми-
терминологию введения. Дополнительно о Х-обозначениях заметим, что ограниче-
ограничение функций и частичных функций отображениями на неотрицательные числа
важно для гл. 1.
3) При более точном обсуждении специалист в области философии науки
мог бы утверждать, что *4 влечет за собой *5. В самом деле, он может
спросить, есть ли действительно какое-нибудь различие между *4 и *5.
§ 1.1. НЕФОРМАЛЬНОЕ ПОНЯТИЯ АЛГОРИТМА 19
включает пункты *1—*5. Читатель заметит аналогию с цифровыми
вычислительными машинами: *1 соответствует программе машины,
*2 — ее логическим элементам и вычислительному устройству,
*3 — ее памяти, *4 — ее цифровой природе, *5 — ее механисти-
механистической природе.
Непосредственный подход к определению формального аналога
понятия алгоритма состоит в том, чтобы, во-первых, определить
символические выражения, которые будут приняты в качестве
наборов инструкций, входов и выходов (это можно назвать Р-сим-
волизмом), и, во-вторых, определить единым образом, как любые
инструкции и вход определяют последующее вычисление и как
должен опознаваться выход этого вычисления (это можно назвать
L-P-уточнением).
Когда мы начинаем поиск полезных Р-символизмов и L-P-
уточнений, то признаки *1—*5 служат полезным интуитивным
руководством. Однако имеются некоторые черты неформального
понятия алгоритма, которые менее очевидны, чем *1— *5,
и по поводу которых не достигнуто окончательного соглашения.
Мы кратко обсудим здесь эти черты, формулируя их в виде во-
вопросов и ответов. Позже, после того как мы примем некоторое фор-
формальное описание, мы вернемся и посмотрим, как согласуются
наши ответы с выбранным формальным описанием. Имеется пять
вопросов. Будет видно, что они тесно связаны и касаются роли
произвольно больших размеров и произвольно длительных проме-
промежутков времени. Первые три вопроса таковы:
*6. Следует ли фиксировать конечную границу для размера
входов1?
*7. Следует ли фиксировать конечную границу для размера
набора инструкций?
* 8. Следует ли фиксировать конечную границу для объема
„памяти11'? (В любом из вопросов *6, *7 и *8 размер можно было
бы измерять количеством используемых элементарных символов
(или английских слов).)
Большинство математиков согласилось бы с ответом „нет"
на вопрос *6. Они утверждали бы, что общая теория алгоритмов
должна изучать вычисления, возможные в принципе, не счи-
считаясь с практическими ограничениями. По той же причине они
согласились бы с ответом ,нет" и на вопрос *7. Однако этот воп-
вопрос выдвигает проблему, которая подразумевалась уже в *6,
а именно: какого рода „умственные способности" требуем мы от
L1 Если инструкции будут неограниченными в размере, то не по-
потребуется ли неограниченного „умения" какого-либо рода со сто-
стороны L, чтобы он мог понимать и следовать им? Мы рассмотрим
это позже в вопросе *9.
Вопрос *8 интересен тем, что у физически существующих
вычислительных машин объем памяти ограничен. Сначала можно
2*

20 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
предположить, что отрицательные ответы на *6 и *7 дают отрица- ,
тельный ответ на *8, так как произвольно большие входы и набо- .
ры инструкций потребуют для самих себя произвольно большого ',
объема памяти. Однако мы можем считать, что *8 относится только
к той памяти, которая необходима сверх памяти, используемой ¦¦
для запоминания инструкций, входа и выхода. При такой интер- i
претации вопрос *8 становится интересным независимо от наших
ответов на вопросы *6 и *7. Можно представить себе, например,
обычную вычислительную машину фиксированных конечных раз- *
меров и с фиксированной конечной памятью, у которой.инструк- ,
ции Р размещены на конечной печатной ленте, вводимой в машину, ¦'.
вход подается на второй ленте, которая (в отличие от ленты ¦<
инструкций) движется только в одном направлении, а выход печа-
печатается, цифра за цифрой, на третьей ленте, которая движется тоже
в одном направлении. Нетрудно видеть, что ряд простых функций,
включая Хх[2х], можно вычислять на устройстве такого рода1).
Однако можно привести довольно убедительное и простое дока-
доказательство, что функцию Кх [х2] ^нельзя вычислить ни на каком ;
таком устройстве; по мере возрастания входа х требуется все больше
и больше места для „вспомогательной" работы.
Учитывая это обстоятельство, большинство математиков отве- )?
тят „нет" на любую форму вопроса *8. Поэтому мы также будем '?
считать „нет" своим ответом на вопросы *6, *7 и *8.
Комментарии к вопросу *7 приводят к четвертому вопросу
о неформальном понятии алгоритма.
*9. Следует ли ограничить в каком-нибудь смысле способности
или возможности вычислителя L?
Представим себе следующую картину: читатель снабжен неог-
неограниченным количеством обыкновенной бумаги и карандашей,
ему дали две ленты, на каждой из которых написано число, в за-
запись которого входит миллион цифр; требуется применить алго-
алгоритм Евклида к этим числам, а результат написать на третьей
ленте. После некоторого размышления читатель признает возмож-
возможным разработку такой системы счета и отсылок, с помощью кото-
которой он сможет следить за своей работой и отмечать свое положе-
положение на различных стадиях вычисления и с помощью которой он
успешно закончит вычисление, располагая достаточным време-
временем. Разумеется, читатель в состоянии создать единую систему,
которая будет работать для входов любого размера. С помощью
такой системы читатель заменит чрезмерные требования к своим
умственным способностям как вычислителя L дополнительными
*) Такие функции называют иногда функциями, вычислимыми конеч-
конечными автоматами (какие именно функции являются вычислимыми таким
способом, зависит, в частности, от выбора символизма для входов и выхо-
выходов). См. упр. 2-14.
§ 1.1. НЕФОРМАЛЬНОЕ ПОНЯТИЯ АЛГОРИТМА 21
требованиями к (неограниченной) бумажно-карандашной памяти.
Для набора инструкций Р большого размера подобную систему
счета можно ввести при условии достаточно разумного устройства
и детальности этих инструкций. Такая система должна служить
„для запоминания местонахождения" L в Р во входах, выходах
и в вычислениях. Более того,,если .Р-символизм достаточно гибок,
то следует ожидать, что система счета будет в каком-то смысле
частью самого Р. Поэтому мы отвечаем „да" на вопрос *9.
Позже, когда мы представим и обсудим нашу формализацию,
мы увидим, что эти расплывчатые аргументы можно конкретизиро-
конкретизировать (см. § 1.8). Разумеется, если Р-символизм и вычислительный
символизм достаточно подробно описаны, то L можно ограничить
следующим образом (без ограничения общности самого понятия
алгоритма): имеются (а) несколько простых канцелярских опера-
операций, включая операции написания символов, операции перемеще-
перемещения (за один шаг) вдоль вычисления на один символ к или от ранее
написанных символов, операции перемещения (опять-таки за один
шаг) вдоль Р на один символ к или от ранее рассмотренных символов
и операции написания выхода; (Ь) конечная оперативная память
фиксированных размеров, в каждой ячейке которой сохраняются
символы, написанные или рассмотренные на предыдущих шагах;
(с) фиксированный конечный набор простых правил, согласно
которым выбирается следующая операция* и однозначно опре-
определяется состояние оперативной памяти на следующем шаге в зави-
зависимости от теперешнего ее состояния и символа, написанного или
исследованного последним. (Это место прояснится после § 1.5 и 1.8.)
Обратимся к последнему и в чем-то более глубокому вопросу,
связанному с неформальным понятием алгоритма. Это вопрос,
по которому могут быть различные мнения.
*10. Следует ли каким-либо образом ограничивать число шагов
вычисления? В частности, должны ли мы требовать, чтобы число
шагов данного вычисления было не больше, чем некоторое число,
,,легко вычисляемое" по входу и набору инструкций Р? Менее фор-
формально, следует ли требовать, чтобы мы „заранее" знали оценку
числа шагов, которое потребуется для вычисления"?
Вопрос туманный. Тот, кто дает положительный ответ, должен
аккуратно определить понятие ..легко вычисляемое". Тем не менее
для многих математиков интересен именно такой ответ.
Мы, однако, придерживаемся другой точки зрения, считая,
что проще и естественнее накладывать подобные ограничения
только в том случае, если они являются следствиями других
наших допущений. Таким образом, мы требуем, чтобы вычисление
заканчивалось после некоторого конечного числа шагов, но
не настаиваем на априорной возможности оценить это число.
Как мы увидим, такая позиция в вопросе *10 окажется согласо-
согласованной с выбранными нами формализациями. Насколько читатель

22
ГЛ. 1, РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
может уточнить *10 и дать утвердительный ответ, не вытекающий
из нашей формализации, настолько более узкое, чем у нас, поня-
понятие у него получится. '
Как мы увидим (теорема XI в § 1.10), наша позиция по отно-
отношению к вопросу *10 существенна. Отсутствие подобных априор-
априорных приведенных ограничений является характерной чертой
дисциплины, изучаемой в книге.
§ 1.2. ПРИМЕР: ПРИМИТИВНОРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Наш метод описания класса функций состоит в отборе функций,
получаемых рекурсивными определениями некоторого рода. Рекур-
Рекурсивное определение функции — это, грубо говоря, определение,
в котором значения функции для данных аргументов непосред-
непосредственно определяются значениями той же функции для „более
простых" аргументов или значениями „более простых" функций.
Понятие ,.более простой" следует уточнять выбором формализа-
формализации — простейшими, как правило, являются все функции-кон-
функции-константы. Такой метод формализации удобен для наших целей,
так как рекурсивные определения можно рассматривать как
алгоритмы.
Рекурсивные определения знакомы математику. Например,
функция /, определяемая соотношениями
/@) = 1,
/A) = 1,
f(x + 2) = f(x) + f(x + 1),
дает ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (Исследование разност-
разностных уравнений связано с проблемой перехода от рекурсивного
определения к алгебраическому выражению. Ряд Фибоначчи опи-
описывается таким алгебраическим выражением:
>-—[—2—} Г\~
\) )
Примитивнорекурсивные функции — это пример широкого
и интересного класса всюду определенных функций, который
можно получить подобной формализацией.
Определение. Класс примитивнорекурсивных функций — это
наименьший класс % (т. е. пересечение всех классов %) всюду
определенных функций, такой, что
(i) Все функции-константы Хххх2 . . . xh [m] содержатся в 'ё,
1 </с, 0 <яг.
(ii) Функция следования Хх [х -f- 1] содержится в %.
(ill) Все функции выбора hct . . . xk [xt] принадлежат 9S,
1< i < к.
§ 1.2. ПРИМЕР: ПРИМИТИВНОРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 23
(iv) Если / — функция к переменных из % и gt, g2, • • ¦¦, gh —
функции т переменных из 'ё, то функция Хх^ . . .
¦ ¦ ¦ XmlKgiix!, ¦ ¦ ., хт), . . ., gh(xi, . . ., хт))] принадлежит 4$,
1 ^ к, т. '
(v) Если h — функция к -\- 1 переменных из <в, a g — функция
к — 1 переменных из %, то единственная функция / от к перемен-
переменных, удовлетворяющая условиям
/@, х2, ¦ • ., xh) = g{x2, ¦ • ., xk),
f{y + 1, хг, . . ., xk) = h(y, f(y, x%, • ¦ •, xk), x2, . . ., xk),
принадлежит %, 1 ^ к. (В пункте (v) „функция нуля переменных
из Чв" означает фиксированное натуральное число.)
Непосредственно из определения следует, что произвольная
всюду определенная функция / примитивнорекурсивна тогда
и только тогда, когда существует конечная последовательность
функций fi, /2, . . ., /п, такая, что /„ =/ и что для любого / ^ п
или fj принадлежит % в силу свойств (i), (ii) или (ш), или fj
получена из некоторых fi,i<. j, согласно пунктам (iv) или (v).
(Чтобы доказать это, рассмотрим класс 3) всех функций /, для
которых существуют такие последовательности /4, . . ., /п. Он,
очевидно, содержится в любом классе Ч@, обладающем свойствами
(i) — (v); кроме того, 3) сам обладает свойствами (i) — (v). Следо-
Следовательно, 3) совпадает с пересечением всех таких 48.) Если дана
такая последовательность для / вместе с точным описанием, как
получена каждая функция fj для j =sC n, то скажем, что дана схема
примитивнорекурсивной функции /.
Например, рассмотрим функцию /, заданную схемой
fi = Хх [х] по (Ш) (функция 1 переменной)
/2 = Хх [х + 1] по (ii) A переменная)
/3 =i Хх1Х2х3[х2\ по (ili) C переменные)
/4 = /2/3 по (iv) C переменные)
/5 удовлетворяет условиям
/5@, х2) = П(хЛ)
fb{y + 1, х2) = U{y,h{y> x2), x2) no (v) B переменные)
/ = /6 = /5(/i, fi) по (Hi) A переменная)
Легко проверить, что /6 — функция %,х [2х] (кстати, /5 — это
Хху[х + у]). Поэтому можно заключить, что функция Хх [2х] при-
примитивнорекурсивна.
Схему можно записывать в какой-нибудь стандартной символи-
символической форме. Запись схемы можно рассматривать как набор
инструкций для эффективного вычисления определяемой функ-
функции /. Например, для подсчета /B) в предыдущем примере схема

24 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.3. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ 25
дает следующее вычисление:
/B)=/„B) =
= /eB,
= /«B, 2) =
= /4A, /5A, 2), 2) =
= /4A, Д@, /»@, 2), 2), 2) =
= /«A, ЛГО, //2), 2), 2) =
= /4A, Д@, 2, 2), 2) =
= /4A. /2(/з@, 2, 2)), 2) =
= /4A, /аB), 2) =
= /4A, 3, 2) =
= /2(/3A, 3, 2)) =
= 4.
Поэтому мы рассматриваем точное понятие примитивнорекур-
сивной функции как частный случай неформального понятия всю-
всюду определенной функции, вычислимой алгоритмом. Как это согла-
согласуется с § 1.1? Вычислитель — это человек (и тем самым опреде-
определяется неформально); тем не менее вычисление определяется схе-
схемой настолько просто и однозначно и осуществляется такими явно
механическими шагами, что, очевидно, выполняются условия
*1—*5. Можно выбрать стандартный Р-символизм для записи
схем, а //-Р-уточнение — это простые правила подстановки,
по которым схема и вход определяют вычисление. Заметим мимо-
мимоходом, что для примитивнорекурсивных функций вопросы *6-^-*8
получают тот же ответ, что и в § 1.1. Так как вычислитель опре-
определен неформально, то вопрос *9 остается неясным. На вопрос
*10, как мы сейчас покажем, можно дать положительный ответ.
Насколько богат класс примитивнорекурсивных функций?
Быть может, он включает все алгоритмы и, следовательно, дает
точный формальный аналог неформального понятия всюду опре-
определенной функции, вычислимой алгоритмом"} Хотя на первый
взгляд правила для построения примитивнорекурсивных функций
кажутся ограниченными, можно представить убедительные свиде-
свидетельства в пользу этого предположения. Можно показать, что
практически все всюду определенные функции обычной математи-
математики примитивнорекурсивны. (Все примеры, пока что упоминавшиеся
в этой главе, примитивнорекурсивны.) В книге Петер [1951,
стр. 1—67] имеется много фактов, иллюстрирующих широту поня-
понятия примитивной рекурсиввости.
К сожалению, можно построить и всюду определенные функции
с очевидными алгоритмами, которые не являются примитивно-
рекурсивными. Одна из них — это функция Аккермана, т. е.
функция трех переменных, такая, что
/(О, х, у) =у + х,
/A, х, у) = ух,
fB,x,y)=yx,
1,
/(z + 1, х, у) = [результат применения к у
х — 1 раз операции z-ro уровня
\uv[f(z, и, v)]].
Более формальное (и „рекурсивное") определение для этой
функции задается так:
/(О, 0, у) = у,
/(О, х+1, y)=f(O, х, у)
/A, 0, у)=0,
f(z + 2, 0, у) = 1,
f(z +t,x+l,y) = f (z, f(z + 1, *, у), у).
Для этой функции не существует примитивнорекурсивной
схемы (Петер [1951, стр. 68]). Более того, как показала Петер,
функцию, подобную /, можно использовать для получения положи-
положительного ответа на вопрос * 10 для примитивнорекурсивных функ-
функций (если считать, что „легко вычисляемое" означает наличие прос-
простых определяющих соотношений, подобных написанным выше для/).
Так как почти каждый признает, что функция Аккермана —
это всюду определенная функция, вычислимая алгоритмом, и|так
как она не примитивнорекурсивна, то мы должны отказаться
от мысли, что понятие примитивнорекурсивной функции является
точным формальным аналогом неформального понятия всюду
определенной алгоритмической функции х).
§ 1.3. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ
Как отмечалось в § 1.1, необходимо делать различие между
понятием алгоритма и понятием алгоритмической функции2).
*) Возникает естественный вопрос: существует ли всюду определенная
алгоритмическая функция одной переменной, не являющаяся примитивно-
примитивнорекурсивной? Можно показать, что кх [ / (х, х, х)], где / — функция Аккер-
Аккермана, — такая функция. Другой пример мы построим в § 1.4.
2) Заметим, что одна и та же примитивнорекурсивная функция может
иметь бесконечно много различных схем, т. е. алгоритмов. Тривиальный спо-
способ получения таких схем состоит во введении дополнительных вхождений
кх [х] в данную схему.

26 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Приведем несколько примеров, чтобы подчеркнуть это различие.
В частности, определим такую функцию g, для которой мы можем
доказать существование некоторого алгоритма, но не знаем, как
построить конкретный алгоритм. Рассмотрим функции / и g,
определяемые так:
( 1, если в десятичном разложении я имеется
f(x) = } точно х цифр 5, идущих подряд;
[ О в противном случае;
( 1, если в десятичном разложении я имеется
g(x) = ) по крайней мере х цифр 5, идущих подряд;
[ О в противном случае.
В настоящее врвмя не известно алгоритма для вычисления /.
Более того, может оказаться, что такого алгоритма нет. (Как
только будет дана формализация, станет точным понятие функции,
не имеющей алгоритма. Мы увидим, что такие функции сущест-
существуют.) В отличие от положения с функцией / мы знаем, что g
примитивнорекурсивна. Действительно, или ^должна^быть кон-
константой Хх [1], или найдется такое к, что
g(x) = 1 для х ^ к;
g{x) = 0 для к < х.
В обоих случаях существует примитивнорекурсивная схема (см.
упр. 2-1), но никто не знает в настоящее время, как выявить вер-
верную схему.
Для построения более простого примера возьмем проблему,
не решенную математиками, например проблему Гольдбаха о том,
что всякое четное число, большее двух, есть сумма двух простых
чисел, и определим функцию h так:
1, если проблема решается положительно,
О, если проблема решается отрицательно.
Очевидно, что h постоянна. Следовательно, она примитивно-
примитивнорекурсивна, хотя мы не знаем, как построить верную схему *).
Мы будем иметь дело как с функциями, так и с алгоритмами.
Основное внимание будет __ уделено функциям. По традиционной
= {
) В доказательстве примитивной рекурсивности фуйкций g ж h исполь-
используется логический принцип исключенного третьего. Подобные неконструктив-
неконструктивные методы ограничиваются или отвергаются в различных конструктивных
переформулировках математики, подобных тем, которые принадлежат интуи-
ционистам. В этой книге мы допускаем неконструктивные методы; мы исполь-
используем правила и соглашения классической двузначной логики (как это прак-
практикуется в других частях математики); мы говорим, что объект существует
если его существование можно доказать в стандартной теории множеств.
Аксиома выбора включается как закон теории множеств.
§ 1.4. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ 27
логической терминологии наше рассмотрение будет экстенсио-
экстенсиональным, т. е. мы будем чаще иметь дело с именуемыми объектами
(таковы функции), чем с объектами, выступающими как имена
(таковы алгоритмы).
§ 1.4. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ
В § 1.2 мы указали пример всюду определенной (интуитивно)
алгоритмической функции, которая не примитивнорекурсивна.
Теперь изложим метод, который применяется для многих форма-
формализованных классов алгоритмических функций и который в каж-
каждом случае дает алгоритмическую функцию, не попадающую
в данный формализованный класс. Мы назовем этот метод диа-
гонализацией и продемонстрируем его на примере примитивно-
рекурсивных функций.
Рассмотрим всевозможные примитивнорекурсивные функции.
Нетрудно ввести точный формальный символизм для схем, исполь-
используя лишь конечное число основных символов. Среди этих симво-
символов должны быть функциональный символ, несколько символов
для переменных, цифры для индексов, цифры для обычных чисел,
скобки, запятая, плюс и знак равенства, несколько специальных
символов для констант, функций следования и выбора и спе-
специальный символ, чтобы отмечать конец строчки. Любую схему
можно представить как конечную цепочку основных символов.
Кроме того, существует эффективный (т. е. алгоритмический)
тест, который по данной цепочке основных символов опреде-
определяет, представляет ли она примитивнорекурсивную схему. Таким
образом, мы можем последовательно перечислять всевозмож-
всевозможные примитивнорекурсивные схемы, исследуя сначала все цепочки
длины 1, затем — длины 2 и т. д. Разумеется, можно дать опреде-
определенную (неформальную) алгоритмическую процедуру перечисле-
перечисления. (Перечисление бесконечно, но каждая схема появляется
в некоторый конечный момент.) После этого можно устроить алго-
алгоритмическую процедуру, которая будет перечислять только схе-
схемы для примитивнорекурсивных функций одной переменной.
Пусть Qx — это (х + 1)-я схема в таком перечислении. Пусть
Sx — функция, определяемая схемой Qx. Определим h так:
Очевидно, что имеется алгоритм для вычисления h, а именно:
для того чтобы получить h(x) для данного х, следует порождать
список схем до тех пор, пока не получится Qx, затем использовать
Qxi чтобы вычислить gx(x), затем прибавить 1. С другой стороны, h
не может быть примитивнорекурсивной. Если, бы это было так, то
мы имели бы, что h = gXa для некоторого х0. Но тогда gXo (х0) =
= h(x0) = gXt (x0) + 1 — противоречие. (Читатель заметит ана-

28 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
1.5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ 29
логию с диагональным доказательством Кантора несчетности дей-
действительных чисел в классической теории множеств.) 1
Очевидно, что метод диагонализации применим в любом слу- .-
чае, когда можно эффективно (т. е. алгоритмически) перечислить
все наборы инструкций Р-символизма. На первый взгляд трудно
представить себе, как может быть полезной формализация,
не допускающая такого эффективного перечисления. Кажется, что
метод диагонализации делает сомнительной возможность отыска- '
ния формализации понятия алгоритма. Складывается впечатление,
что не может существовать одного формализованного класса алго-
алгоритмических функций, соответствующего неформальному понятию
алгоритмической функции. Быть может, вообще, какие бы Р-сим- ¦
волизм и L-P-уточнение мы ни выбирали, можно так дополнить
этот символизм до более сильного символизма и это уточнение более
сложными „эффективными" операциями, что получатся новые функ-
функции. Даже если мы используем весь английский язык как Р-симво-
лизм, может оказаться, что имеются более сложные операции, ко-
которые потребуют новых названий. Быть может, наконец, алгорит-
алгоритмические функции образуют несчетный класс и существует целый ,
спектр алгоритмических вычислимостей, покрывающий все функции.
Таковы некоторые из тех проблем (высказанных неточно и не- \
формально), которые предстояло решить на пути поисков удовлет-
удовлетворительной формализации понятий алгоритма и алгоритмической
функции. С этими проблемами и столкнулись математики, пер- ':
выми взявшиеся за эти поиски в 30-х годах, математики, вдох-
вдохновлявшиеся в своей работе успехами формальной логики
и ее методов.
§ 1.5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ
Чтобы избежать трудностей, связанных с диагонализацией,
мы будем рассматривать наравне с наборами инструкций для
всюду определенных функций наборы инструкций и для функций
не всюду определенных. Разумеется, может возникнуть ситуация,
когда мы будем не в состоянии определять, дает ли набор инструк-
инструкций всюду определенную функцию или нет. Предположим, напри-
например, что мы можем строить такое выражение Р-символизма, кото-
которое содержит инструкцию: „Для того чтобы вычислить / (х),
просматривайте десятичное разложение числа я, пока не встретите
по крайней мере х подряд идущих цифр 5; если такой ряд цифр
встретился, то в качестве выхода выдайте номер места, занимае-
занимаемого первой цифрой этого ряда". Или в качестве более простого
примера возьмем такой: „Чтобы вычислить g(x), перебирайте чет-
четные числа, большие двух, пока не появится такое, которое не есть
сумма двух простых чисел; если такое число нашлось, то выдайте
выход g(x) = 0". В этих примерах в отличие'от примеров § 1.3,
где использовались неконструктивные определения для специаль-
специальных функций (но не алгоритмов), мы определяем конкретные
вычислительные процессы, но не знаем, дают ли эти процессы
всюду определенные функции, т. е. всегда ли они обрываются, давая
выход. Единственное, что мы можем утверждать,— это что такие
процессы дают функции (частичные функции). Может случиться,
что в разложении числа я имеется восемь подряд идущих цифр 5
и не больше, тогда первый пример даст набор инструкций для
частичной функции, область определения которой состоит из пер-
первых девяти натуральных чисел. Если проблема Гольдбаха решает-
решается положительно, то второй пример дает нигде не определенную
функцию; если эта проблема решается отрицательно, то второй
пример дает постоянную функцию Яа:[О]. В любом случае в каж-
каждом примере задаются конкретные вычислительные инструкции,
определяющие конкретные функции.
При формализации класса частичных функций не возникает
осложнений, связанных с диагонализацией. Пусть г|5ж — функция,
определяемая {х + 1)-м набором инструкций Qx, а х0 выбрано так,
что а|зЖо есть функция ф, определяемая такими инструкциями:
чтобы вычислить ц>(х), найдите Qx, вычисляйте i|)x (х) и, если
г|5х (х) вычислится, возьмите tyx (х) +1 в качестве значения
ц>(х). Равенство tyX(l (х0) = ф(?о) = tyx0 (#о) + 1 не Дает противоре-
противоречия, так как (р(х0) не обязано быть определенным. Остается
коварная надежда, что все же удастся провести диагонализацию
с помощью эффективного отбора только тех наборов инструкций,
которые дают всюду определенные функции; однако, как мы уже
отмечали, возможность такого эффективного отбора далеко не оче-
очевидна. Более того, если мы хотим избежать диагонализационных
неприятностей, то следует добиваться, чтобы алгоритм для такой
процедуры отбора был невозможен. (Эти замечания имеют отноше-
отношение к фундаментальным теоремам о неполноте математической
логики. Подобный вопрос будет обсуждаться в гл. 2.)
Такой подход с использованием частичных функций был по су-
существу разработан Клини [1936], Чёрчем [1936], Тьюрингом
[1936] и другими в 30-х годах. Каждый из них получил фор-
формализацию широкого класса функций. Формализации отличались
как в основных пунктах, так и в деталях. Однако имелось и общее:
во-первых, определялся (через Р-символизм) формальный аналог
понятия алгоритма (для функций) и, во-вторых, как следствие
(через L-P-уточнение) определялся аналог понятия функции
{частичной функции), вычислимой алгоритмом*), 2).
*) Практически все определения и терминологию § 1.1 и 1.3 можно при-
применять mutatis mutandis к проблеме формализации понятия алгоритма для
частичной функции и частичной функции, вычислимой алгоритмом.
2) Исторически в некоторых случаях исследователь, например Клини,
.не занимался в явном виде рассмотрением частичных функций, а сразу пред-

30 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ 31
Формализация Тьюринга
Рассмотрим сначала формализацию Тьюринга (как она описа-
описана в книге Дэвиса [1958]). Формализация Тьюринга будет избрана
в качестве основной для нашей книги. Удобно и поучительно
предлагать некоторую физическую картину, хотя окончательная
формализация совершенно математична.
Рассмотрим конечное механическое устройство, которое свя-
связано с бумажной лентой, бесконечной в обе стороны. Лента раз-
разделена по всей длине на клетки равного размера. Будем назы-
называть эти клетки ячейками.
Устройство таково, что лента может двигаться сквозь него,
при этом точно одна ячейка находится внутри. О ячейке, находя-
находящейся внутри устройства, мы будем говорить как о ячейке, обозре-
обозреваемой устройством. Направления вдоль ленты назовем соответ-
соответственно правым и левым. Устройство способно производить одну
из четырех основных операций: A) оно может записать „1" в обо-
обозреваемую ячейку, если только там уже не написана „1"; B) оно
может стереть написанное в обозреваемой ячейке и сделать ее,
таким образом, пустой, если только она уже не была пустой;
C) оно может перенести свое внимание на одну ячейку вправо (сдви-
(сдвинув ленту на одну ячейку влево); D) оно может перенести свое
внимание на одну ячейку влево (сдвинув ленту на одну ячейку
вправо). Устройство в активном состоянии производит основные
операции со скоростью одной операции в единицу времени. Иног-
Иногда в том случае, когда устройство совершило одну операцию, мы
будем говорить, что сделан шаг работы устройства. По завершении
каждого шага устройство само по себе (как нечто, отличное
от ленты) обладает одной из фиксированного конечного множества
возможных внутренних (механических) структур. Такие структу-
структуры мы будем называть внутренними состояниями. Для обозна-
обозначения различных внутренних состояний будем использовать сим-
символы qt, i = 0, 1, 2, .... Наконец, устройство сконструировано
так, что его поведение описывается конечным списком детермини-
детерминированных правил. Эти правила определяют по текущему внутрен-
внутреннему состоянию и записи в обозреваемой ячейке, какая операция
должна производиться следующей и каким должно быть следую-
щее внутреннее состояние (в конце этой следующей опера-
1
лагал отдельную, более сложную формализацию всюду определенных функ-
функций, вычислимых алгоритмом. В ретроспектива любую из этих более слож-
сложных формализации можно разбить на два этапа: во-первых, формализовалось
понятие алгоритмической (частичной) функции, во-вторых, алгоритмически-
алгоритмическими всюду определенными функциями объявлялись те алгоритмические функ-
функции, которые оказывались всюду определенными. Ниже при изучении фор-
формализации Клини мы произведем такую ретроспективную модификацию,
хотя она и будет отходить в некотором отношении, не существенном для на-
наших целей, от простоты первоначальной формулировки Клини.
)) „ /и
Пусть 1 и Б означают возможные записи в любой ячейке {В
соответствует пустой ячейке). Пусть 1, В, R и L обозначают
основные операции A), B), C) и D) соответственно. (Операция A)
не производит изменений на ленте, если в обозреваемой ячейке
уже имеется „1", а операция В не производит изменений на ленте,
если обозреваемая ячейка пуста.) Тогда набор правил, определяю-
определяющих поведение устройства, можно записать в виде набора четве-
четверок. Каждая четверка состоит из символов (по порядку) для
(i) внутреннего состояния, (И) возможной записи в ячейке, (iii) опе-
операции, (iv) внутреннего состояния. Четверка (i, ii, iii, iv) выражает
такое правило: при наличии (i) и (ii) устройство производит (iii)
и переходит в (iv). Будем предполагать, что любой)набор таких
четверок есть набор правил для некоторого устройства, вводя
только единственное ограничение, что любые две различные чет-
четверки должны отличаться в (i) или в (ii). Назовем это ограничение
условием совместимости; при этом условии набор правил не может
требовать двух или более различных действий в одно и то же вре-
время. Однако мы не предполагаем, что в наборе правил предусматри-
предусматривается любая комбинация (i) и (ii); таким образом, мы допускаем,
что при некоторых обстоятельствах устройство не сможет проде-
проделать никакой операции. В таких случаях будем говорить, что
устройство остановилось.
В качестве примера рассмотрим устройство с состояниями q0
и q2, поведение которого определяется двумя четверками qo\Bq%
и q2BRq0. Если такое устройство получает ленту с конечной после-
последовательностью подряд идущих единиц и начинает работу в состоя-
состоянии q0 на самой левой ячейке этой последовательности, то оно
сотрет все единицы и остановится. Если такое устройство начинает
работу на ленте, сплошь заполненной единицами, то оно никогда
не остановится.
Устройство общего вида, описанное выше, называют машиной
Тьюринга. Для наших целей удобно отождествлять машину
Тьюринга с набором четверок, определяющим ее поведение.
Любой набор четверок, использующий любое (конечное) число
внутренних состояний при наличии условия совместимости, обра-
образует машину Тьюринга.
Легко определить машину Тьюринга на более общепринятом
математическом языке. Пусть Т = {0, 1} и S = {0, 1, 2, 3}. Тогда
машину Тьюринга можно определить как отображение конечного
подмножества множества N X Т в S X N- Здесь Т представляет
х) Предполагается, что устройство способно „читать" запись в ячейке,
находящейся внутри него.

32 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ 33
запись в ячейке, S — операции, которые следует производить,
а N дает возможные номера внутренних состояний.
Если даны машина Тьюринга, лента, ячейка на этой ленте
и начальное внутреннее состояние, то машина Тьюринга выполнит
детерминированную последовательность операций, которая может
оборваться за конечное число шагов, а может и не оборваться.
Каждой машине Тьюринга поставим в соответствие функцию,
определяемую следующим образом. Чтобы изобразить входное
число х, разместим на ленте х + 1 единиц подряд. Установим
машину в состоянии до на самой левой ячейке, содержащей 1.
В качестве выходного числа возьмем общее количество единиц,
имеющихся на ленте, когда машина остановилась (если остановка
произошла). При таких соглашениях о входах, выходах и началь-
начальных условиях каждая машина Тьюринга задает частичную функ-
функцию *). Например, следующая машина, как легко может прове-
проверить читатель, задает функцию Х^]
qeBlq7
Эта машина заканчивает работу или в состоянии q2 (для вхо-
входа 0), или в состоянии q8 (для входов, отличных от 0). Читатель
может вручную произвести вычисления, например, для входа 2,
т. е. для ленты ...51115... Он увидит, что четверки можно сгруп-
х) Если q0 отсутствует в наборе четверок, то машина не работав ти опреде-
определяемая ею частичная функция — это %х'\х + 1]. Хотя соглашения о входах,
выходах и начальных условиях могут быть произвольными, тем не менее мы
увидим, что для широкого многообразия таких соглашений получается один
и тот же класс функций.
пировать в различные подпрограммы для (а) стирания цифры вхо-
входа, (Ь) движения вправо к цифрам выхода, (с) прибавления двух
новых цифр выхода, (d) движения влево к оставшимся цифрам
входа и т. д.
Можно также каждой машине Тьюринга сопоставить частич-
частичную функцию к переменных, записывая вход (xi, . . ., ж6) на лен-
ленте в виде строки из групп подряд идущих xi + 1 единиц, хг + 1
единиц, . . ., xh + 1 единиц, разделенных с помощью В, и, как
и прежде, устанавливая машину в состоянии qo на самой левой ячей-
ячейке, содержащей 1. Читатель легко проверит, что конкретная
машина, описанная в предыдущем абзаце, задает функцию
к — 1].
xk[2x[
x2
xk
Каждую стадию в работе машины Тьюринга можно описать,
указав (i) состояние ленты, (ii) внутреннее состояние машины
Тьюринга и (ш) положение обозреваемой ячейки. Будем говорить,
что вся эта информация определяет конфигурацию. Эту информа-
информацию можно выразить в такой форме:
» • » Qi • * ч '
где — это цепочка смежных единиц и символов 5 куска
ленты, содержащего все непустые ячейки, qt — текущее состоя-
состояние, „q" вставляется сразу слева от символа, записанного в обо-
обозреваемой в текущий момент ячейке.
Например, если построенная ранее машина для Хх [2х] приме-
применяется к входу, изображающему 2, то первые несколько шагов
вычисления описываются следующими конфигурациями:
q3B\
qd
На первый взгляд может показаться, что класс алгоритмиче-
алгоритмических частичных функций, задаваемых машинами Тьюринга, будет
довольно ограниченным. Тем не менее это определение снабжает
нас Р-символизмом и L-P-уточнением. Любой набор четверок,
определяющий машину, можно рассматривать как набор инструк-
инструкций Р. В качестве основных символов для нашего Р-символизма
мы используем только q, 1, 5, R, L и цифры для числовых индек-
индексов. В качестве вычислителя L можно взять человека. L-P-уточ-
3-0506

34
ГЛ. 1- РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
нелие — это простые правила, согласно которым по начальной
ленте и по Р определяется последовательность машинно-ленточ-
машинно-ленточных структур. Позже в § 1.6 и 1.8 мы рассмотрим отношение меж-
между определением машины Тьюринга и обсуждениями из § 1.1.
Формализация Клини
Следующей рассмотрим формализацию Клини. Рассмотрим
рекурсивные соотношения общего типа, введенные в § 1.2, чтобы
определить функцию Аккермана. Набор инструкций Р будет
состоять из системы таких „рекурсивных равенств". Вывод (compu-
(computation) — это конечная последовательность равенств, начинаю-
начинающаяся с Р, где каждое равенство после Р получено из предыдущих
или подстановкой численного выражения вместо символа перемен-
переменной в равенстве, или заменой, используя одно равенство, „равных
на равные" в другом равенстве, или вычислением значения функ-
функции следования Кх[х -\- 1].
В Р помимо главных функциональных символов, вычислением
которых мы интересуемся, вводятся вспомогательные функцио-
функциональные символы. Так, система равенств
/ @) = О,
g(x) = f{x) + 1,
f{x + 1) == g(x) + 1,
где g — вспомогательный функциональный символ, / — главный
символ, определяет, как легко проверить, функцию кх[2х].
С понятием вывода связаны следующие три проблемы:
A) направление вывода не определяется однозначно входом и инст-
инструкциями Р; B) имеется возможность получения двух различных
выходов при одном и том же входе (различными выводами);
C) имеется возможность, что из данного входа вообще не полу-
получится никакого выхода *), 2).
Мы обойдем трудности A) и B) следующим образом. Скажем,
что равенство выводимо из данного Р, если оно получено в конце
некоторого вывода из Р. Можно описать единообразный процесс,
согласно которому, имея произвольное Р, мы сможем эффективно
перечислять все равенства, выводимые из Р. (Процесс на самом
деле дает исчерпывающий пересчет всевозможных выводов и подо-
х) В первоначальной формулировке Клини возможность A) допускалась
и алгоритмические функции формально определялись как функции, получен-
полученные из наборов инструкций, для которых не произошло ни B), ни C). Тот
факт, что нельзя простым способом выделить такие инструкции, был платой за
избавление от забот, связанных с диагонализацией.
2) Если в формализации Тьюринга опустить условие совместимости, то
так модифицированная формализация Тьюринга столкнется с проблемой,
подобной B),
§ 1.5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ 35
бен процессу § 1.4 для перечисления всевозможных примитивно-
рекурсивных схем.) Формальные детали такой процедуры сложны,
и мы их опускаем. При данных Р и входе'назовем главным выходом
для этого входа первый выход в стандартном перечислении выво-
выводимых равенств, полученных из Р. Каждый вход дает самое боль-
большее один главный выход; следовательно, соотношение входов
и главных выходов определяет функцию. Поэтому каждой?системе
равенств Р можно сопоставить функцию, и мы получаем формали-
формализацию класса алгоритмических функций.
Опишем Р-символизм в этом случае более подробно. В каче-
качестве базисных символов возьмем /, g, х, +, ==, скобки, запятую,
цифры для обычных чисел, цифры для числовых индексов (исполь-
(использующиеся с g и х).
х, Хо, Xi, . . . назовем переменными,
/i g, go-i Su • • • назовем функциональными символами, / — глав-
главный функциональный символ.
Термы определяются по индукции:
переменная есть терм;
обычное натуральное число есть терм;
если т — терм, то результат присоединения снрава „+1"
к т есть терм;
пусть а состоит из функционального символа7 и после-
последующих скобок, содержащих строку термов, разделенных
запятыми; тогда а есть терм1),.
Выражение, образующееся при размещении „=" между двумя
термами, назовем равенством. Любая конечная система таких
равенств образует набор инструкций Р.
//-Р-уточнение описывает, как следует единым образом полу-
получать перечисление всех выводимых (из данного Р) равенств. Мы
опускаем детали.
Кстати заметим, что любая примитивнорекурсивная схема оче-
очевидным образом выразима в Р-символизме. Схема для %х \2х\
в § 1.2 будет системой равенств, начинающейся так:
giix) = х,
Легко показать, что функция, определяемая этими равенствами
в новом формализме, совпадает с функцией, определяемой, соглас-
согласно процедуре из § 1.2, первоначальной примитивнорекурсивной
схемой.
*) Выражение вида „я+2" можно на самом деле использовать как терм,
но оно должно быть записано так: „ar+l + l".
3*

36 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.6. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ 37
§ 1.6. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ -
В § 1.1 мы поднимали вопрос, можно ли найти формализацию,
которая даст удовлетворительный формальный аналог неформаль-
неформального понятия алгоритма и алгоритмической функции. В § 1.4 мы
указали проблемы, с которыми сталкивается любая такая форма-
формализация; в частности, мы отметили (§1.4) возможность того, что не
существует единого максимального формально описанного класса
алгоритмических функций. В § 1.5 приведены формализации Тью-
Тьюринга и Клини. В 30-х годах и позже Чёрчем [1936], Постом [1936],
Марковым [19511 и другими были предложены иные формализа-
формализации. Эти формализации _ были весьма разнообразны по форме;
однако каждую из них можно представить как выбор определен-
определенного Р-символизма и определенного L-P-уточнения.
Насколько удовлетворительны эти формализации? Как свя-
связаны друг с другом? Насколько успешно преодолеваются в них \
проблемы, отмечавшиеся § 1.4? С этими вопросами связана обшир-
обширная литература. Мы суммируем проделанную работу в следую-
следующем Основном результате, играющем фундаментальную роль для ,
всей книги.
Основной результат. :
Осйовной результат, часть I. С помощью детальных комбинатор-
комбинаторных рассмотрений (см., например, работы Тьюринга [19371 и Клини ;
[1936а1) было показано, что формализации, предложенные Тьюрин-
Тьюрингом и Клини, а также Чёрчем, Постом, Марковым и другими, экви-
эквивалентны, т. е. в каждом случае получается один и тот же класс
функций (и, следовательно, всюду определенных функций).
Определение. Всюду определенные функции, попадающие ,
в этот класс, назовем общерекурсивными функциями. Частичные
функции этого класса будем называть частичнорекурсивными
функциями. Можно обобщить доказательство эквивалентности
этих формализации и 'убедиться, что для очень широкой совокуп-
совокупности расширений этих формализации класс функций сохраняется.
(Например, можно ввести более одной ленты или другие сим-
символы помимо 1 и В в определении машины Тьюринга; получаемые
функции будут все равно частичнорекурсивными функциями; '
см. работу Тьюринга [1936]. Исследования, основанные на тех-
технике программирования, см. в работах Шепердсона и Стургиса
[1963].) На самом деле, если наложить на Р-символизм и L-P-уточ- !
некие некоторое общее (и естественное) формальное ограничение,
то можно показать, что класс получаемых функций будет всегда ;
подклассом „максимального" класса всех частичнорекурсивных
функций.
Основной результат, часть П. Изучалось обширное многообра-
многообразие конкретных функций, интуитивно алгоритмических. Все они
оказались частичнорекурсивными функциями, т. е. были найдены
наборы инструкций для них в какой-нибудь стандартной форма-
формализации. Для таких доказательств было развито много полезных
принципов и приемов. (Части I и II дают сильное эмпирическое
свидетельство в пользу того, что формализации, «достаточно
полны.)
Основной результат, часть III. Доказательства результатов
части I обладают следующей общей структурой. В каждом слу-
случае тот факт, что один формализованный класс функций содер-
содержится в другом, доказывается путем предъявления и обоснования
единообразной процедуры, согласно которой для любого набора
инструкций Р одной формализации указывается набор инструк-
инструкций Р другой формализации, приводящий к той же самой функции.
Хотя она и не оперирует с натуральными числами, эта единооб-
единообразная процедура оказывается в каждом случае алгоритмической
(в неформальном смысле этого слова без ограничения числовыми
входами и выходами).
Замечание. Части I и II экстенсиональны, т. е. скорее
определяется класс алгоритмических функций, чем класс „алго-
„алгоритмов". Части I и II показывают, что в некотором смысле каждая
стандартная формализация содержит всевозможные алгоритмиче-
алгоритмические функции.
Часть III совместно с частью I показывает, что в некотором
смысле каждая стандартная формализация содержит всевозмож-
всевозможные алгоритмы (для этих функций). Действительно, если дана
формализация типа упомянутых в конце части I, то можно еди-
единым эффективным способом „переводить" произвольный набор
инструкций этой формализации (т. е. алгоритм) в набор инструк-
инструкций одной из стандартных формализации. (Мы это обсудим позже,
в § 1.7; см. также упр. 2-11.)
Подробные рассуждения, на которые опирается Основной
результат, можно найти в книгах Дэвиса [1958] и Клини [1952].
(Там же излагаются принципы и приемы того же рода, что и упо-
упомянутые в части II Основного результата.) При использовании
Основного результата особенно полезно в качестве стандартного
определения, к которому сводится другая формализация, исполь-
использовать определение Тьюринга.
С математической точки зрения формализации § 1.5 неинва-
неинвариантны, т. е. они зависят от произвольного выбора. Это же
справедливо для всех известных формализации. Основной резуль-
результат показывает, что тем не менее формализации дают естественный

38
ГЛ.1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
и важный класс функций. Отметим, что этот класс — одно из не-
немногих абсолютных математических понятий, возникших
в работах по основаниям математики *).
I 1.7. ТЕЗИС ЧЁРЧА
Нельзя доказать гипотезу о том, что какая-либо стандартная
формализация дает удовлетворительные аналоги неформального
понятия алгоритма и алгоритмической функции. Такая гипотеза
должна приниматься или отвергаться в значительной степени
эмпирически. (То, что гипотеза для одной формализации эквива-
эквивалентна, гипотезе для другой, следует из частей I и III Основного
результата.) Основной результат дает убедительное свидетельство
в пользу того, что определяемый класс функций естествен (часть I)
и достаточно полон (части I и II). Формализация Тьюринга пока-
показывает, что любая функция этого класса вычислима процедурой,
являющейся в интуитивном смысле„механической". (В § 1.10 мы
обсудим вопрос о том, что наш формальный класс может ока-
оказаться слишком обширным; см. вопрос *10 в § 1.1.) Основываясь
на этом, многие математики принимают гипотезу о том, что стан-
стандартные формализации дают удовлетворительную формализацию,
или „разумную переделку" (неизбежно расплывчатых) неформальных
понятий. Эту гипотезу часто называют тезисом Чёрча. Тезис Чёрча
нужно рассматривать скорее как предложение, чем как гипотезу,
предложение, чтобы мы согласились с этих пор придавать неко-
некоторым интуитивным понятиям (например, понятию „функция,
вычислимая алгоритмом") точные значения.
В современных исследованиях выражению „тезис Чёрча" при-
придается несколько более широкий смысл. В частях II и III Основного
результата мы указываем, что был развит ряд сильных методов
для доказательства частичной рекурсивности функций с нефор-
неформальными алгоритмами и для преобразования неформального
набора инструкций в формальный набор инструкций. Развитие
этих методов привело к тому, что (а) математик может узнать,
дает ли предложенный неформальный алгоритм частичнорекурсив-
ную функцию, так же легко, как в других областях математики он
определяет, верно ли предложенное неформальное доказательство,
(Ь) логик может переходить от неформального определения алго-
алгоритма к формальному так же легко, как в других областях, мате-
математики он переходит от неформального к формальному доказа-
доказательству.
« 1.8. ГЁДЕЛЕВЫ НОМЕРА, УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ, s-m-n-TEOPEMA
39
г) Здесь абсолютный означает „существующий помимо и в большой степе-
степени независимо от символических формулировок". Понятие доказуемости
ТеХИ^Д™В класситеской Двузначной логики) дает другой
Предмет теории рекурсивных функций точно описан — это
класс функций, определенный в § 1.5. Однако исследования
в этой области используют неформальные методы с возрастающей
смелостью. Эта книга будет существенно опираться на такие мето-
методы, что позволит избежать громоздких деталей и выделить ключе-
ключевые математические идеи на фоне утомительных манипуляций.
Мы увидим, что таким образом можно обсудить и доказать многие
очень глубокие математические результаты. Однако мы продол-
продолжаем претендовать на то, что наши результаты имеют статус
конкретных математических результатов, относящихся к классу
функций, формализованному в § 1.5. Разумеется, любой исследо-
исследователь, котарый использует неформальные методы и делает подоб-
подобное заявление, должен быть готов по первому требованию выдать
формальные детали.
В пользу доказательств, опирающихся на неформальные мето-
методы, имеются все те же доводы, что и в пользу тезиса. Чёрча. Такие
доказательства назовем доказательствами по тезису Чёрча.
Мы встретимся с неформальными методами в оставшихся частях
этой главы. Почти все доказательства в книге будут использовать
в некоторой степени тезис Чёрча. Поучительна аналогия с нефор-
неформальными методами доказательств в других областях математики.
В обоих случаях уровень неформальности используемых методов
непостоянен. Степень формализации доказательства обычно зави-
зависит от сложности и абстрактности рассуждения. Подобным же обра-
образом степень формальности деталей в этой книге будет меняться
от случая к случаю.
Начинающего читателя, которому тезис Чёрча кажется сомни-
сомнительным, могут обеспокоить такие рассуждения. Чтобы в какой-то
мере развеять его сомнения, мы предлагаем ему воспользоваться
книгами Дэвиса и Клини, где он найдет^все средства, необходи-
необходимые для полной формализации наших доказательств.
§ 1.8. ГЁДЕЛЕВЫ НОМЕРА, УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ,
s-m-rc-TEOPEMA
В качестве основной мы принимаем формализацию Тьюринга.
Из § 1.5 видно, что набор инструкций — это набор четверок,
удовлетворяющих условию совместимости. Аналогично процессу
перечисления всех примитивнорекурсивных схем в § 1.4 можно
устроить процесс перечисления всех наборов инструкций. Этот
процесс алгоритмичен (в самом первом, неограниченном, нефор-
неформальном смысле этого слова). Имеются процедуры, сопоставляю-
сопоставляющие каждому числу х набор инструкций, стоящий на (х + 1)-м
месте в перечислении всех наборов инструкций. Предположим, что
мы выбрали одну такую перечисляющую процедуру. Фиксируем
ее до конца книги. Мы опускаем формальные подробности.

40
ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Рх — это набор инструкций, сопоставленный
числу х в фиксированном перечислении всех наборов инструкций..
Назовем х индексом или гёдеЛевым номером набора Рх.
Пусть <p(.fe> — это функция к переменных, определяемая набо-
набором Рх. Будем называть х также индексом или гёделевым номером
частичной функции (fxk\ (Будем опускать верхний индекс (fe>,
когда его значение ясно из контекста или к = 1. Чаще всего мы
будем иметь дело с функциями одной переменной х).)
Ясно, что процесс перечисления дает как (а) алгоритм для
перехода от произвольного х к соответствующему Рх, так и
(Ь) алгоритм перехода от произвольного совместимого набора чет-
четверок Р к такому числу х, что Р есть соответствующее Рх.
Во всей книге используется фиксированная гёделева нумера-
нумерация. Кажется, что это придает оттенок некоторой неинвариантно-
неинвариантности нашей теории. Однако мы увидим (гл. 4 и упр. 2-10), что наши
результаты инвариантны, т. е. не зависят от этой фиксации.
В этом отношении использование конкретной гёделевой нумера-
нумерации подобно использованию конкретной системы координат для
получения геометрических результатов, не зависящих от коор-
координат.
Теперь можно сформулировать несколько теорем, неявно содер-
содержащихся уже в Основном результате.
Теорема I. Существует точно а0 (счетное количество) частич-
норекурсивных функций и существует точно х0 общерекурсивных
функций-
Доказательство. По тезису Чёрча все функции-кон-
функции-константы общерекурсивны. Следовательно, имеется по крайней мере и о
общерекурсивных функций. Гёделева нумерация показывает, что
существует не больше к о тастичнорекурсивных функций. в
Теорема П. Существуют нерекурсивные функции.
Доказательство. По теореме Кантора имеется 2No
(континуальное, следовательно, несчетное количество) функций.
Теорема доказана.%
Кажется, что следующая теорема зависит, насколько можно
судить по ее доказательству, от нашей конкретной формализации
и гёделевой нумерации.
Теорема III. Любая частичнорекурсивная функция имеет х0
различных номеров;
§ 1.8. ГЁДЕЛЕВЫ НОМЕРА, УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ, s-m-n-TEOPEMA 41
Доказательство. Нам нужно показать, что имеется
до крайней мере к о номеров. Пусть дана частичнорекурсивная
функция фЖо. Пусть т — число, превосходящее числовые индексы
всех символов внутренних состояний, входящих в Рхо. При добав-
добавлении к Рхо четверок qmiiqm, QWiHgWi. • • •, Чт+иЩт+ъ.
соответствующая частичная функция не изменится, так как в про-
процессе вычисления не может появиться ни qm, . . ., ни qm+h-
Варьируя к, получим х0 различных наборов инструкций для фЖо.щ
Теорема III не является случайным следствием нашего выбора
формализации и гёделевой нумерации. Упражнение 2-10 показы-
показывает ее инвариантность.
Отметим, что следующий текст определяет, вообще говоря, нефор-
неформально алгоритм для некоторой функцииi|): получив вход (х, #),
найдите Рх (производя стандартное эффективное перечисление
всех наборов инструкций, пока не получится Рх), затем примените
Рх к входу у, чтобы вычислить ц>х{у); когда ц>х{у) даст выход (если
это произойдет), возьмите его как выход для ty(x, у). Имеем
( 4>x(y), если (рх(у) сходится;
(х, у) =<
расходится, если ух(у) расходится.
*) В литературе также фигурирует обозначение {х} (для нашей функции
Фж). Мы используем <рх и Рх, чтобы подчеркнуть различие между сущностью
и именем, а именно: между частичной функцией и набором инструкций.
Обращаясь к тезису Чёрча, получаем, что 1|з частичнорекурсив-
на и что ф = фк" для некоторого ж4. (Формальное описание набора
инструкции РХ1 можно найти в книге Дэвиса [19581.) Оформим
полученный результат в виде теоремы.
Теорема IV. Существует z, такое, что для любых х и у
<fz(x, у) = (рх(у), если <Рх(у) определено, и <pz(x, у) не определено,
если (рх(у) не определено.
Функция ф?а) теоремы IV называется универсальной функцией
для частичнорекурсивных функций одной переменной. Рг — это
машина Тьюринга, которую можно использовать, чтобы продубли-
продублировать любую частичнорекурсивную функцию одной переменной.
Теорема IV, иногда называемая теоремой о нумерации, представ-
представляет главный результат ранних (и более формальных) работ
по теории рекурсивных функций. Очевидно, что теорему IV можно
обобщить с тем, чтобы получить для любого к ^> 1 функцию к ~\- 1
переменных, которую можно считать универсальной функцией
для функций к переменных. Теоре.ма IV — это случай к = i.
Теорема IV имеет нетривиальное практическое значение. Она
показывает, что при вычислении функций одной переменной
имеется такая критическая степень „механической сложности"
(сложность набора инструкций Pz), что всякая дальнейшая слож-
сложность — сверх этой критической — может быть поглощена воз-
* растающим размером программы и памяти. (В упражнении 2-5

42 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
мы увидим, что можно ограничиться функциями фиксиро-
фиксированного числа переменных.) Назовем Pz универсальной машиной.
Если рассмотреть нашу формализацию с точки зрения вопро-
вопросов *6—*10 из § 1.1, то теорема IV показывает,1 что вычислите-
вычислителем L не обязательно должен быть человек, и это уточняет
наше заявление в § 1.1, что L может быть строго ограничен
в своих „возможностях". Итак, наша формальная концепция
машины Тьюринга совместима с нашими ответами на вопросы
*6—*9. Она совместима и с нашей позицией в вопросе *10, -
поскольку не накладываются никакие ограничения, которые тре-
требуются при положительном ответе на *10. Позже мы рассмотрим
вопрос *10 в теореме XI и упражнении 2-8.
Теорема V, которую мы сейчас приведем, доказывается так же
исходя из используемой конкретной формализации и гёделевой
нумерации. Однако, подобно теореме III, она инвариантна. В соче-
сочетании с тезисом Чёрча она будет основной в дальнейшей работе.
Теорема V. Для любых т, п ^ 1 существует общерекурсивная
функция s™ от т -\- 1 переменных, такая, что для всяких
х, У\, • - •, Ут
§ 1.9. ПРОБЛЕМА ОСТАНОВКИ 43
У\,
zjcpim+n) (yt, . . ., у
(n)
. ., zn)] =
Щъп УтУ
Доказательство. Рассмотрим случай т = п = 1.
(Остальные случаи разбираются аналогично.) Рассмотрим семей-
семейство всех функций одной переменной, которые выражаются как
^z[(f42)(i/, z)] при различных жиг/. Используя стандартную форма-
формализацию для функций двух переменных, мы можем смотреть на
эти выражения как на новую формализацию для функций одной пе-
роМенн(^й. Согласно части III Основного результата, существует
единообразная эффективная процедура перехода от наборов
инструкций новой формализации к наборам инструкций старой
формализации. Следовательно, по тезису Чёрча должна существо-
существовать общерекурсивная функция / двух пере иных, такая, что
ЫуЧ\у, z)\ =
Эта функция и есть искомая функция
Неформальное доказательство с обращением к тезису Чёрча
и части III Основного результата можно заменить формальным
доказательством. (Более того, функции s™ можно выбрать прими-
тивнорекурсивными.) Мы отсылаем читателя к книгам Дэвиса
[1958] и Клини [1952]. Теорема V известна как s-m-n-теорема
и принадлежит Клини. Теорема V (вместе с тезисом Чёрча) —'
это инструмент с широкой областью применения и большой силы.
Здесь мы дадим один пример такого рода, дальнейшие приложе-
приложения будут получены в § 1.9.
В последующих главах во многих случаях мы не будем особо
оговаривать применение в-т-м-теоремы (и тезиса Чёрча).
Теорема VI. Существует общерекурсивная функция g двух
переменных, такая, что для любых х, у
<Pg<*. v> = Ф*Ф»(= Xz[cp*(cpj,(z))l).
Доказательство. По тезису Чёрча немедленно полу-
получаем, что для любых х, у функция ту = сржфу — частичнорекурсив-
ная функция. Осталось указать общерекурсивную функцию g,
т. е. мы должны показать, что гёделев номер т] можно найти едино-
единообразным эффективным способом по х и у. Читатель, поразмыслив
над Основным результатом, посчитает это очень правдоподобным.
Теорема V дает средства для доказательства. Положим
Q(x, у, z) = <p*(q>j,(z)) = фж,(ж, Ух^у, z)),
где фж^ —универсальная функция из теоремы IV. По тезису Чёр-
Чёрча 0 частичнорёкурсивна и имеет номер w0. Согласно теореме V,
имеем
фжфу = 'Ыфи,0(ж, У, Z)] = фв|(и>о. *, ff>
и %xy[s[{wo% х, у)] есть искомая функция g.m
§ 1.9. ПРОБЛЕМА ОСТАНОВКИ
Существует ли эффективная процедура для определения
по данным х и у, сходится ли ух(у) или нет, т. е. дает ли выход
набор Рх в применении к входу у или нет? Согласно тезису Чёрча,
этому вопросу можно придать следующую эквивалентную и точ-
точную форму. Существует ли рекурсивная функция g, такая, что
g(x, у) = 1, если <рх{у) сходится, и что g(x, у) = 0, если фж(г/)
расходится? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.
Теорема VII. Не существует общерекурсивной функции g,
такой, что для любых х, у
1, если фж(г/) сходится;
v
0, если фж(г/) расходится.
Неформальное ы доказательство. Предполо-
Предположим, что есть такая общерекурсивная функция g. Ее можно
использовать, чтобы определить новую частичную функцию г|):
{1, если g(x, х) = 0;
расходится, если g(x, х) = 1.

44 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Так как g(x, х) должно равняться 0 или 1, то это дает алгорит
и по тезису Чёрча ар будет частичнорекурсивной функцией. (Ког-
ца. g(x, х) = 1, инструкции для г|э могут использовать некоторое
условие, дающее бесконечно повторяющийся цикл,— достаточно
взять пару четверок qnilqn, qnBBqn,— чтобы гарантировать, что
ty(x) не определено.) Пусть у о — гёделев номер функции г|э. Тогда,.
согласно определению функцииг|э, Фу^г/о) сходится -<i=>g(yo, Уо) = 0;;
но согласно первоначальному предположению о g, g(yo, уо) =
= 0<=> ц>Уо(уо) расходится. Получили противоречие; следовательно,
такой рекурсивной функции g не существует, щ
Только что проведенное доказательство использует тезис Чёрча
в доказательстве от противного. Читателя может заинтересовать,
как осуществить формальный аналог использования тезиса Чёрча
в таком основанном на гипотезе контексте. Поучительно просле-
проследить путь, приводящий к более формальному доказательству.
Более формальное доказательс т-в о. Опре-
Определим г|э следующим образом:
( 1, если фг2) (х, х) = 0; '
ty(z, х) = < расходится, если ф?8) (х, х)фО или
I ф?а) (х, х) расходится .
По тезису Чёрча гр частичнорекурсивна. Согласно теореме V, по z
эффективно находится гёделев номер функции Xa;[i|)(z, x)],
т. е. существует общерекурсивная функция h, такая, что для лю-
любого z фЛB) = %x[ty(z, x)]. (В качестве ^можно взять %z [s\(wi, z)\,
где Wi — гёделев номер ty.)
Предположим теперь, что g = фг„ для некоторого z0. Согласно
определению h, q>h(zo)(x) сходится <=>ф2о(а;, х) =0. Подставляя
h(zQ) вместо х, имеем
§ 1.9. ПРОБЛЕМА ОСТАНОВКИ 45
4 <Ph(z,)(Mzo)) сходится <=> ф2 (h{z0), h(zo))=O.
Но тогда фг0 не может совпадать с g, так как для входа (h{z0), k(z0))
функция (pZo или не определена, или дает ошибочную информа-
информацию. я
Мы видим, что никакая частичнорекурсивная функция не удов-
удовлетворяет условиям для g и что наше доказательство конструктив-
конструктивно в том смысле, что для любого z значение h(z) дает конкретное
место, где q>z отличается от g. Из теоремы VII немедленно выте-
вытекает такое предложение.
Следствие VII. Не существует общерекурсивной функции /,
такой, что
1, если q>x(x) сходится;
), если ц>х(х) расходится.
Доказательство. Следует из доказательства теоремы. а
Нашу первоначальную проблему (сформулированную в пер-
первом абзаце этого параграфа) называют проблемой остановки, где
слово „остановка" означает „наличие выхода". Факт, установлен-
установленный в теореме VII, известен под названием рекурсивной неразре-
неразрешимости проблемы остановки. Он точно формулируется в терми-
терминах нашей формализации *).
Основной результат § 1.6 придает этому факту фундаменталь-
фундаментальное значение. Проблема остановки была первой «естественной»
комбинаторной проблемой, оказавшейся рекурсивно неразреши-
неразрешимой. Доказательство существования просто описываемых рекур-
рекурсивно неразрешимых проблем — это одно из наиболее порази-
поразительных достижений математики двадцатого века. До того момен-
момента, как оно было получено (в 30-х годах), многие математики
не могли представить себе, что могут быть просто орисываемые
комбинаторные проблемы (такие, как проблема остановки),
не имеющие алгоритмического решения. Более общие рассуждения
о таких неразрешимых проблемах отложим до гл. 2.
Результаты ранних формальных работ по теории рекурсивных
функций (до 1940 года) можно суммировать так: A) Основной
результат (§ 1.6); B) существование универсальной функции
(§ 1.8) и C) неразрешимость проблемы остановки (§ 1.9). В основ-
основной работе Тьюринга [1936] рассматриваются главным образом
эти вопросы.
Закончим этот параграф еще одним результатом о неразре-
неразрешимости. Впервые он был получен Клини [19361 и является есте-
естественным следствием наших рассуждений о диагонализации в § 1.4.
Теорема VIII. Не существует эффективной процедуры для
определения по любому х, всюду ли определена функция ф„. Други-
Другими словами, не существует общерекурсивной функции /, такой, что
р 1, если фк всюду, определена;
[ 0, если фк не всюду определена.
/(*)
Доказательство. Дадим неформальное доказательство.
Переход к более формальному доказательству подобен аналогич-
аналогичному переходу в теореме VII (см. упражнение 2-7).
г) „Не существует машины Тьюринга, решающей проблему остановки
(для машин Тьюринга). Более того, для любой машины Тьюринга — канди-
кандидата на эту роль — можно указать единичный пример проблемы остановки,
где этот кандидат терпит неудачу; на самом деле существует одна машина
Тьюринга, которая вычисляет по описанию любого кандидата соответствую-
соответствующий контрпример".

46
ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Предположим, что такая функция / существует. Тогда опреде-
определим функцию g так:
*@) = мШу) = 11,
g(x + 1) = \iyly > g(x) &f(y) = 1].
Так как f(y) = 1 для бесконечно многих у (см. теорему I), то g
всюду определена. По тезису Чёрча g общерекурсивна. Определим
теперь h следующим образом:
к = Хх[<р8(я)(х) + Ц.
По предположению о функции / функция h всюду определена.
По тезису Чёрча h общерекурсивна. Пусть h == cpzo. Согласно
определению функции g, g~1(zo) определяется однозначно, обозна-
обозначим его через у0. Тогда h(y0) = q>g(yo)(yo) + 1, согласно нашему
определению функции k, но h(y0) = <pg(yo)(yo) ^o определению у0.
Так как h всюду определена, то мы пришли к противоречию,и
§ 1.10. РЕКУРСИВНОСТЬ
В § 1.5 был определен формально класс функций, названных
частпичнорекурсивными. В дальнейшем, называя функцию „эффек-
„эффективной", ;.вычислимой", „рекурсивной", „эффективно вычислимой",
„рекурсивно вычислимой", „механически вычислимой" или „алго-
„алгоритмической", мы будем иметь в виду, что она попадает в этот
класс. Свойство принадлежать этому классу будем называть
чаапичнорекурсивностъю. (Некоторые математики употребляют
для этого свойства термин „общерекурсивность"; другие сохра-
сохраняют термин „общерекурсивность" лишь для всюду определенных
функций- В обоих случаях приставка „обще" подчеркивает, что
рассматриваются функции из широкого класса § 1.5, а не из более
узких классов (таких, как примитивнорекурсивные функции,
например4).)
В данном параграфе мы обсудим некоторые аспекты частич-
частичной рекурсивности. В частности, рассмотрим A) распространение
этого понятия на случай нечисловых входов и выходов (кодирова-
(кодирования); B) некоторые структурные свойства частичнорекурсивных
функций и связь этих свойств с вопросом *10 из § 1.1 (ц-оператор)
и C*) сущность и возможную полезность нашей дальнейшей тео-
теории (заключительные замечания). Цели и приложения теории более
подробно будут рассмотрены в гл. 3.
Кодирования
Частичнорекурсивные функции осуществляют отображения
натуральных чисел в натуральные числа, и их алгоритмы преоб-
преобразуют записи чисел в записи чисел. Первоначальное неограни-
§ l.io. рекурсивность 47
ченное неформальное понятие алгоритма относилось к процеду-
процедурам с символическими входами и выходами более общего типа;
например, таков алгоритм дифференцирования полиномов. Мы
уже использовали такие алгоритмы на промежуточных этапах
определения числовых алгоритмических функций (затем использо-
использовался тезис Чёрча, чтобы заключить, что исследуемые числовые
функции частичнорекурсивны); например, в определении
универсальной функции фигурирует алгоритм (с нечисловым выхо-
выходом), преобразующий число х в набор инструкций Рх. Возникает
вопрос, можно ли каким-либо образом включить такие широкие
нечисловые алгоритмы в нашу формальную теорию. К этой проб-
проблеме есть два подхода.
Первый подход состоит в следующем. Для данного класса
нечисловых входов и выходов выбирают некоторое фиксированное
взаимно однозначное отображение этого класса в натуральные
числа. После этого для удобства отождествляют каждый симво-
символический элемент нечислового класса с соответствующим число-
числовым „индексом". Такое стандартное отображение называют коди-
кодированием, а числа, используемые как индексы, называют кодовыми
номерами. Кодирование выбирается так, чтобы (а) оно задавалось
неформальным алгоритмом в неограниченном смысле; (Ь) оно было"
обратимым, т. е. существовал неформальный алгоритм (в неогра-
неограниченном смысле) для распознавания кодовых номеров и для
обратного "декодирующего" отображения кодовых номеров в не-
нечисловые элементы. Кроме того, предполагается, что кодиро-
кодирование используется в том случае, когда (с) имеется неформальный
алгоритм для распознавания выражений, образующих рассматри-
рассматриваемый нечисловой класс.
При таком отождествлении выражений (нечислового класса)
с числами проблема определения алгоритмов (для этого класса)
сводится к нашей формальной теории алгоритмов для натуральных
чисел х).
Пример такого рода уже встречался нам в § 1.8. Фиксирован-
Фиксированная нами гёделева нумерация частичнор«курсивных функций —
это кодирование наборов инструкций натуральными числами.
(Кодирования часто так и называют гёделевыми нумерациями,
а кодовые номера — гёделевыми номерами 2).)
1) Философски мыслящий читатель может спросить, почему в качестве
кодирований берутся отображения в числа (математические объекты), а не
в нумералы (символические изображения чисел), в то время как алгоритмы
Для частичнорекурсивных функций должны оперировать с некоторой формой
нумералов. Верно, что использование нумералов было бы ближе нашему обра-
образу мышления, однако для наших целей это различие несущественно. Исполь-
Использование чисел как индексов более удобно в техническом отношении и яв-
является общепринятым.
2) Впервые кодирование было использовано Гёделем, осуществившим
Кодирование формул теории чисел натуральными числами; это позволило

48 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Использование кодирований немедленно поднимает вопро
об инвариантности. Если выбрано кодирование, будет ли формал
ное понятие частичнорекурсивной функции на кодовых номер
соответствовать неформальному понятию алгоритмического ото,
бражения кодируемых выражений? Так как последнее поняти
эмпирическое, то иЦответ должен быть частично эмпирическим
Тезис Чёрча предполагает положительный ответ. Пусть С — не
числовой класс (см. диаграмму ниже). Пусть у — кодирующе
отображение класса С в N, предположим, что у отображает
на N (очевидна модификация доказательства на случай, когда
не отображает на N). Пусть у~г — декодирующее отображение
на С. Согласно определению кодирования, у и у'1 (неформально ,
алгоритмичны. Пусть ср — произвольная частичнорекурсивна
функция. Она (как формально, так и неформально) является алго-
алгоритмической. Следовательно, отображение б = v~1(PV — это (не
формально) алгоритмическое отображение класса С в С. Обратно,*
пусть б — произвольное (неформальное) алгоритмическое отобра-
отображение класса С в С, тогда ф ==-убу — это (неформальная) алго-
алгоритмическая частичная функция; согласно тезису Чёрча, ср —
частичнорекурсивная функция. Итак, каждой формальной функ-
функции ср соответствует неформальное отображение б, каждому
неформальному отображению б соответствует формальная функ-
функция ср.
в
С уС
V
+7V
§ 1.10. РЕКУРСИВНОСТЬ 49
N-
Второй подход к формальному истолкованию нечисловых алго-
алгоритмов состоит в следующем. Формализация § 1.5 расширяется
так, чтобы непосредственно включить в качестве входов и выходов
выражения из более широких „нечисловых" классов. Особенно
удобны для этого машины Тьюринга *). Требуется только, чтобы
выражения из более широких классов изображались конечными
словами в фиксированных конечных алфавитах основных симво-
символов (отличных отВи 1). Основные операции машин Тьюринга
обобщаются так, чтобы включить написание и стирарие символов
нового алфавита. Говорят, что нечисловое отображение рекурсивно
ему исследовать формулы и логику доказательств теории чисел внутри самой
теории чисел. Попытки обнаружить парадоксы самоприменимости при этом
кодировании дают первую теорему Гёделя о неполноте. Подобную конструк-
конструкцию такого рода еще раньше построил Тарский.
х) Другие формализации, расширенные с этой целью, изучались Постом
[1943] и Шмульяном [1961] (а также А. А. Марковым [1951, 1954].— Ред.)
(см, кроме того, работы Ассера [1960], Карри [1963] и Тьюринга [1936]).
(или частичнорекурсивно), если существует машина Тьюринга, его
реализующая. После такого расширения формализации соответ-
соответственно модифицируются части I, II и III Основного результата
(§ 1.6), чтобы включить это более широкое понятие рекурсивности.
Очевидно, что второй подход более прямой. Мы используем
первый подход, чтобы ограничить предмет нашего исследования,
и подчеркнуть, что это формальная наука об отображениях нату-
натуральных чисел. Для результатов, получаемых в книге, безразлич-
безразлично, какой подход используется.
и-оператор
Оператор ц определен во введении.
Теорема IX. Пусть / — общерекурсивная функция к -\- 1 пере-
переменных, тогда %хг . . . xh[\iy[f(xu . . ., xh, у) = 1]] — частично-
рекурсивная функция к переменных.
Доказательство. Оно следует из тезиса Чёрча. Поло-
Положим
ty = focl ... xhl\iy[f(xi, . . ., xh, у) = 1]].
Тогда, чтобы вычислить ipfo, . . ., xh), нужно последовательно
вычислять
f(xu . . ., xh, 0),f(xi, . . ., xh; 1), f{xy, . . ., xh, 2), . . . .
Как только найдется у, такой, что /(аг17 . . ., xh, у) =1 (если
это произойдет), мы возьмем его в качестве значения. Подвычис-
ления для / всегда определены, так как / — общерекурсивная
функция. в
Теорему IX называют ц-теоремой. В упражнении 2-13 мы уви-
увидим, что теорема IX не всегда верна, если / заменить на частично-
рекурсивную функцию к + 1 переменных.
Оказывается, что в некотором смысле любую частичнорекур-
сивную функцию можно получить из (всюду определенных) рекур-
рекурсивных функций однократным применением оператора \i. Это
следует из теоремы X.
Теорема X. Существуют конкретные общерекурсивные функции
put одного и трех переменных соответственно, такие, что для
любого z
фг = %x[p(liylt(z, х, у) — 1])].
Доказательство. Определим функцию s следующим
образом:
{1, если Pz на входе х дает выход у за не более
чем w шагов;
0 в противном случае.
4-506

50 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.10. РЕКУРСИВНОСТЬ 51
По тезису Чёрча s общерекурсивна. Определим р и q так:
р = Хх [показатель при 3 в разложении х + 1 на простые множи-
множители^
q = %х [показатель при 2 в разложении х + 1 на простыв
множители].
Положим
t = Xzxy[s(z, x, p{y),
По тезису Чёрча р, qn, следовательно, t общерекурсивны. Утверж-
Утверждение теоремы вытекает теперь из определения функций s, p, q
и t.u
Теорема X называется теоремой Клини о нормальной форме.
Теорема IV (теорема о нумерации) получается как ее простое след-
следствие. Можно показать, что как р, так и t можно выбрать прими-
тивнорекурсивными. Теорему X можно сформулировать и дока-
доказать для частичных функций к переменных, к > 1, вводя подхо-
подходящие общерекурсивные функции sh и th от к -f- 3 и к -\- 2 пере-
переменных соответственно.
Следствие X. Существуют общерекурсивные функции р и t^,
такие, что для любого z
ф("> =%Х± . . . Xh[p{\iy[th(z, Хх, . . ., Xh, у) = 1])].
Доказательство аналогично доказательству теоре-
теоремы Х.и
Конечно, доказательство теоремы X может основываться
на формализации. Клини. После некоторого ряда различных
определений- можно получить функцию t, аналогичную нашей
функции t. Отношение
Т = {(х, у, z) \t(x, у, z) = l}
называется предикатом Клини Т, предложение, что (х, у, z) ? Т,
сокращенно обозначается Т(х, у, z). Предикат Клини Т часто
встречается в литературе.
Возникает естественный вопрос об усилении теоремы X исклю-
исключением из нее функции р. Существует ли общерекурсивная функ-
функция t*, такая, что для любого z
фг = Xx[\iyU*(z, х, у) = Щ?
Теорема 2-III покажет, что такой функции t* не существует.
Более того, мы найдем частичнорекурсивную функцию г|э одной пе-
переменной, такую, что для любой рекурсивной функции / неверно,
что
тр = %х \\).у[}{х, у) = 1]].
[х-теорема показывает, что наша формализация допускает
вычисления, состоящие в неограниченных поисках числа, удовлет-
удовлетворяющего некоторому заданному эффективному условию. Эта
теорема связана с невозможностью положительного ответа на
вопрос *10 в § 1.1. A priori существовала возможность, что
из формализации вытекает некоторый осмысленный позитивный
ответ на вопрос *10. К сожалению, это не так. Теорема XI и ее
доказательство показывают, что при любом разумном положи-
положительном ответе можно провести диагонализацию, ведущую к про-
противоречию. Доказывается теорема XI в упражнении 2-8.
Теорема XI- Не существует общерекурсивной функции f двух
переменных, такой, что для любых х и z [набор инструкций Рг
в применении к х дает выход]<=> [Pz в применении к х дает выход
за не более чем f(z, x) шагов] г).
Результат о несуществовании в теореме XI подобен результа-
результатам о неразрешимости в теоремах VII и VIII. Подобно теоре-
теоремам VII и VIII, это — следствие широты формального понятия
рекурсивности. Из-за таких результатов некоторые математики
утверждают, что формальное понятие рекурсивности слишком
широко для того, чтобы быть аналогом принятых ими неформаль-
неформальных понятий алгоритмической вычислимости. Даже если это так,
рекурсивность выражает некоторое понятие алгоритмической
вычислимости и достаточно естественно для того, чтобы заслужить
право на дальнейшее развитие.
Заключительные замечания
Концепция частичной рекурсивности обладает достоинствами
(широта и ясность) и недостатками (неразрешимость), характер-
характерными для развиваемой нами теории. Важную роль в этой теории
будут играть методы диагонализации, подобные методам тео-
теорем VII и VIII. Было бы отнюдь не опрометчиво сказать, что наша
теория в большей части — „теория диагонализации".
В настоящее время эта теория приносит малую практическую
пользу. Она рассматривает скорее вопросы существования или
несуществования вычислительных методов, чем вопросы их эффек-
эффективности и хорошей организации. Вопросы последнего рода
появляются не в нашей теории, а в более сложных теориях, осно-
основывающихся на более узких понятиях, чем рекурсивность. Нашу
теорию можно рассматривать как предельный, асимптотический
х) Если воспользоваться функцией s из доказательства теоремы X, то тео-
теорему XI можно переформулировать так: не существует рекурсивной функции
/, такой, что для любых х, у, z [C w) [s(x, у, z, w) = 1] ^-^ s(x, у, z
4*

52 ГЛ. 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
случай этих более узких и более трудных теорий. В качестве тако-
таковой она все-таки имеет определенное практическое значение.
Широкое понятие машины Тьюринга, понятие универсальной
машины (§ 1.8) и другие комбинаторные результаты и методы
данной теории оказались полезными в работах по программиро-
программированию на вычислительных машинах. Возможно, наиболее прямое
практическое приложение получили результаты о несуществова-
несуществовании (т. е. неразрешимости), так как эти результаты переходят
и в более узкие' теории.
Однако нужно отметить, что в настоящее время основная цен-
ценность этой теории состоит в ее связях с чистой математикой. Она
дает структуры, обладающие огромной внутренней красотой
и естественностью. Эта теория дает новый и часто глубокий взгляд
на другие области. Такой подход оказался особенно полезным
в математической логике, он все в большей степени используется
и в более классических областях.
Глава 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 2.1. Новые примеры неразрешимых проблем 53
§ 2.2. Неразрешимые проблемы в других областях математики 56
§ 2.3. Существование некоторых частичнорекурсивных функций 58
§ 2.4. Исторические замечания 60
§ 2.5. Обсуждение 61
§ 2.6. Упражнения 62
§ 2.1. НОВЫЕ ПРИМЕРЫ НЕРАЗРЕШИМЫХ ПРОБЛЕМ
Теорема 1-VII, следствие 1-VII и теорема 1-VIII дают примеры
рекурсивной неразрешимости. Каждая связана с „проблемой",
которую можно сформулировать как проблему эффективного рас-
распознавания элементов некоторого множества или отношения.
Например, для следствия 1-VII таким множеством будет {х \ ц>х{х)
сходится}- Каждый из этих трех результатов показывает, что
соответствующее множество или отношение не обладает рекур-
рекурсивной характеристической функцией. Мы объединим эти резуль-
результаты, говоря, что данные проблемы рекурсивно неразрешимы.
Приведем несколько новых примеров рекурсивной неразре-
неразрешимости. В каждом случае мы покажем, что для соответствующего
множества (или отношения) невозможна рекурсивная характери-
характеристическая функция. „Проблемы" описанного вида интересны и
естественны для самой теории рекурсивных функций. Все они
связаны со следующим вопросом: насколько эффективно по на-
набору инструкций для частичнорекурсивной функции можно оп-
определить ее поведение, т. е. насколько эффективно по номеру х
можно определить поведение функции срж?
Имеется два метода для доказательства рекурсивной неразре-
неразрешимости. Первый, прямой метод состоит в том, чтобы привести
доводы, обычно с привкусом диагонализации, показывающие, что
разрешимость приведет к противоречию. Второй, косвенный метод
состоит в том, что берут другую проблему, о которой уже извест7
но, что она неразрешима, и затем показывают, что разрешимость
исследуемой проблемы повлечет разрешимость проблемы, о кото-
которой известно, что она неразрешима. Последний метод называют
методом сведения; показывают, что известная проблема сводится
к исследуемой проблеме (и, следовательно, она была бы разреши-
разрешима, если бы была разрешимой исследуемая проблема). Метод све-
сведения часто более удобен, чем прямой метод. Теоремы 1-VII
и 1-VIII получены прямым методом. В примерах, которые сейчас
будут даны, используется косвенный метод. В каждом случае
в качестве проблемы, о которой уже известно, что она неразре-
неразрешима, избирается проблема из следствия 1-VII.

54 ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Рассмотрим следующие проблемы:
(a) Проблема определения по любому х, является ли функция
фж постоянной функцией.
(b) Проблема определения по любым х и у, входит ли у в об-
область значений функции фя.
(c) Проблема определения по любым х, у и z, выполняется ли
Фх(») = z.
(d) Проблема определения по любым жиг/, выполняется ли
фж = ф„-
(e) Проблема определения по любому х, бесконечно ли множе-
множество значений функции фж.'
(f) При фиксированном гу0 проблема определения по любому х,
содержится ли г/о в области значений функции фж.
(g) При фиксированном х0 проблема определения по любому
г/, содержится ли у в области значений функции фЖо.
Теорема I. Проблемы (а), (Ь), (с), (d) и (е) рекурсивно неразре-
неразрешимы. При любом выборе уо проблема (f) неразрешима. Проблема
(g) может оказаться и разрешимой, и неразрешимой, в зависимости
от выбора х0.
Доказательство, (а) Пусть g — характеристическая
функция множества {х \ фж есть постоянная функция}. Мы хотим
показать, что g нерекурсивна.
Определим чр, функцию двух переменных, следующим образом:
получив вход (х, гу), найти Рх и применить Рх к входу Р^; когда
процесс сойдется (если это произойдет), выдать выход 0. По тезису
Чёрча чр частичнорекурсивна. Ясно, что чр удовлетворяет такому
условию:
{0, если <рх(х) сходится;
.
расходится, если фж(х) расходится.
По теореме 1-V (s-пг-и-теореме) существует общерекурсивная
функция h^ такая, что %y[ty(x, у)] = ФдДж) (функция hi — это
%x\s\ (z0, х)\, где z0—номер гр). Итак,
0, если фж(ж) сходится;
расходится, если ц>х(х) расходится.
— постоянная функция тогда и только тог-
Следовательно, Ф/цюо
да, когда ц>х(х) сходится.
Если функция g рекурсивна, то ght(^= %x[g(hi(x))]) общерекур-
сивна и
1, если фж(ж) сходится;
= {
0, если <рх\х) расходится.
.1. НОВЫЕ ПРИМЕРЫ НЕРАЗРЕШИМЫХ ПРОБЛЕМ
55
Но ghi будет характеристической функцией множества {х | ц>х{х)
сходится} вопреки следствию 1-VII. Поэтому функция g не может
быть рекурсивной.
(b) Пусть / — характеристическая функция отношения
{(%> уУ I У содержится в области значений функции ц>х}. Пусть
hi — общерекурсивная функция, определенная в доказательстве
для (а). Если / рекурсивна, то fac [f{hi(x), 0)] будет рекурсивной
характеристической функцией множества {х \ фж(ж) сходится},
что противоречит следствию 1-VII.
(c) Пусть / — характеристическая функция отношения
{(х, у, z) | ф9(г/) =z}. Если / рекурсивна, то ХхЩп^х), 0, 0)]
будет рекурсивной характеристической функцией множества
{х I Фж(^) сходится} вопреки следствию 1-VII, где опять b,v— та-
же, что и в доказательстве для (а).
(d) Пусть / — характеристическая функция отношения
{{х, I/) | ф„ = ф^}. Возьмем г/о — некоторый номер функции
5U[0], тогда Кх [f{hi(x), у о)] будет рекурсивной характеристиче-
характеристической функцией множества {х | ц>х(х). сходится} вопреки следст-
следствию 1-VII, где ht — такая же, как в доказательстве для (а).
(e) Пусть / — характеристическая функция множества
{х | Val фк бесконечна}. Методом, аналогичным методу доказа-
доказательства для (а), определим общерекурсивную функцию h2,
такую, что
{у, если ц>х{х) сходится;
расходится, если (рх{х) расходится.
Есди / рекурсивна, то Xx[f(hz(x))] будет рекурсивной характери-
характеристической функцией множества {х | фк(ж) сходится} вопреки след-
следствию 1-VII.
(f) Пусть дано i/o, и пусть / — характеристическая функция
множества {х \ уо принадлежит множеству значений функции
Фж}. Тогда если / рекурсивна, то ^с[/(^2(*)I будет общерекурсив-
общерекурсивной характеристической функцией множества {х \ Фж(ж) сходится}
вопреки следствию 1-VII, где h2 — рекурсивная функция, опре-
определенная в доказательстве для (е).
(g) Выберем хо так, чтобы фжо была тождественной функцией,
т. е. фяо(г/) = у для любого у. Тогда для множества {у \ у принад-
принадлежит области значений функции фжо} в качестве рекурсивной
характеристической функции можно взять Ха;[1]. В упражне-
упражнении 2-19 мы увидим, что существуют также такие х0, для которых
множество {у | у принадлежит области значений функции фжо}
не обладает рекурсивной характеристической функцией. в
В каждом из случаев (а) — (f) для доказательства неразреши-
неразрешимости соответствующей проблемы мы показывали, что проблема

56
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
остановки следствия 1-VII сводится к ней, т. е. доказывалось,
что если бы мы смогли эффективно решить исследуемую проблему,
то мы могли бы воспользоваться этим для получения эффектив-
эффективного метода решения проблемы остановки из следствия 1-VII.
Неразрешимые проблемы пунктов (а)—(f) теоремы I (так же,
как теорема 1-VII, теорема 1-VIII) являются частными
случаями следующего результата, принадлежащего Раису [1953].
Пусть 'ё — совокупность частичнорекурсивных функций одной
переменной. Тогда множество {х | срк 6 ^} обладает рекурсивной
характеристической функцией тогда и только тогда, когда %
пуста или состоит иг всех частичнорекурсивных функций одной
переменной. Доказательство теоремы Раиса дано в упражне-
упражнении 2-39. Теорема I формулировалась для того, чтобы показать
конкретные вводные примеры сводимости и доказательств с помо-
помощью сводимости.
§ 2.2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ДРУГИХ
ОБЛАСТЯХ МАТЕМАТИКИ
Целый ряд классических математических задач касается вопро-
вопроса существования алгоритмов решения определенных „проблем".
С помощью кодирований, как отмечалось в § 1.10, эти вопросы -
можно переформулировать как вопросы о существовании рекур-
рекурсивных функций. В этой последней, более точной, форме целый
ряд таких вопросов получил отрицательное решение.
Первые результаты такого рода были обнаружены в математи-
математической логике в работах Гёделя, Чёрча и Тьюринга. Результаты
Гёделя и Чёрча касались существования алгоритмов („процедур
разрешения") для определения доказуемых формул в конкретных
формальных логических системах. Кратко эти результаты будут
изложены в § 2.4 и более подробно в последующих*главах.
Результаты о неразрешимости были получены в теории чисел
и алгебре. Рассмотрим полиномы от любого числа переменных
с рациональными коэффициентами. Рассмотрим проблему опреде-
определения по любому такому полиному, имеет, он действительное
решение или нет {{г^, . . ., rft) —решение полинома p(xi, . . ., xk),
если p(ri, . . ., rk) = 0). Эта проблема разрешима. Известные
методы анализа (включающие, например, теорему Штурма) дают
алгоритм решения (см. работу Тарского [1948]). Существует ли
алгоритм для определения по любому такому полиному, имеет ли
он решение в рациональных числах („диофантовы корни")? „Проб-
„Проблема", связанная с этим вопросом, известна под названием десятой
проблемы Гильберта. В настоящее время не известно, является ли
эта проблема рекурсивно разрешимой х). Дэвис, Патнам и Дж. Ро-
J) Как показал Ю. В. Матияеевич [1970], десятая проблема Гильберта
не является рекурсивно разрешимой.— Прим. ред.
2,2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ДРУГИХ ОБЛАСТЯХ МАТЕМАТИКИ 5?
бинсон [1961] показали, что рекурсивно неразрешима проблема,,
близкая к диофантовой, а именно проблема определения по любо-
любому показательному полиному, имеет ли он решение в неотрица-
неотрицательных целых числах. Показательный полином — это форма,
подобная полиному с неотрицательными коэффициентами, в кото-
которой переменная может быть показателем.
Теория групп дает пример неразрешимости в алгебре. Запись
группы — это конечный список образующих и соотношений,
определяющих группу. (Мы здесь не определяем эти термины.)
Проблема определения по записи любой группы и любому слову
из образующих, можно ли преобразовать это слово в единицу
согласно соотношениям группы, известна как проблема тождества
в теории групп. Новиков [1955] и Бун [1957] показали, что эта
проблема рекурсивно неразрешима. Более того, каждый из них
указал одну конкретную группу, для которой не существует -
алгоритма для распознавания равенства слов единице. Эти резуль-
результаты,- доказывающие рекурсивную неразрешимость проблемы тож-
тождества в теории групп, завершили ряд результатов (этих авторов
и других), показывающих рекурсивную неразрешимость проблемы
эквивалентности для различных более слабых алгебраических
структур 1). Отметим еще, что проблема определения по записи
любой группы, имеет ли данная группа рекурсивно разрешимую
проблему тождества, в свою очередь рекурсивно неразрешима
(см. аналогичный результат в упражнении 2-29).
Результаты о неразрешимости были получены также в тополо-
топологии. Проблема определения, когда явно заданы две триангуляции
четырехмерных многообразий, гомеоморфны эти многообразия
или нет, является рекурсивно неразрешимой (см. работы Маркова
[1958]). (Проблема для двумерных многообразий решается хоро-
хорошо известными методами.)
Для доказательства рекурсивной неразрешимости проблем,
лежащих вне теории рекурсивных функций, почти всегда исполь-
используется метод сведения. Исследуемая проблема связывается с не-
неразрешимой проблемой теории рекурсивных функций — обычна
какой-нибудь 'формой проблемы остановки. Так, для получения
результата о неразрешимости для показательных уравнений Дэ-
Дэвис, Патнам и Дж. Робинсон [1961] построили эффективную про-
ЧеДУРУ> согласно которой для любого х можно получить такой
показательный полином — назовем его Ех,— что Ех имеет реше-
решение в неотрицательных-целых числах тогда и только тогда, когда
Фж(ж) сходится.
г) Для более слабых структур, где не всегда имеется единица, проблему
эквивалентности можно сформулировать как проблему определения по любым
Двум словам, можно ли одно из них преобразовать в другое, согласно соотно-
соотношениям структуры.

58 ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 2.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧАСТИЧНОРЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ 59
Описание такой процедуры сведения и доказательство .того,
что она обладает нужными сводящими свойствами, может быт
полным только при детальном изучении формализма рекурсивны
функций и исследовании более глубоких фактов о конкретны
математических объектах (например, показательно-диофантовы
уравнений), фигурирующих в данной проблеме.' (На самом дел
приходится доказывать, что объекты нашей проблемы достаточн
гибки, чтобы „выразить" все случаи проблемы остановки.)
Ряд результатов о неразрешимости в логике, теории чисел
и алгебре вместе с детальными доказательствами приведен в книг
Дэвиса [1958]. Эти результаты представляют собой интересно»
и жизненное приложение теории рекурсивных функций, однак
здесь мы опускаем их подробное изложение. Мы ограничимся
только „проблемами" самой теории рекурсивных функций, проблем
мами, где для доказательства неразрешимости удобно использо-'
вать тезис Черча.
§ 2.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ЧАСТИЧНОРЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
В § 2.1. и 2.2 мы интересовались, существуют или нет неко-:
торые рекурсивные характеристические функции. Мы рассмотрим
еще несколько вопросов, касающихся существования или несуще-
несуществования частичнорекурсивных функций.
Во-первых, всякую ли частичнорекурсивную функцию можно
продолжить до всюду определенной рекурсивной функции? Тео-
Теорема II дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Теорема II. Существует такая частичнорекурсивная функция
чр, что никакая общерекурсивная функция f не является продолже-
продолжением функции чр, т. е. не верно, что
(\/ж) [чр(ж) сходится =» чр(ж) = /(жI.
Доказательство. Используется диагональная про-
процедура. Определим чр следующим образом: чтобы вычислить чр(ж),
надо найти Рх и применить Рх к х; как только появится вы-
выход (если это произойдет), надо взять ух(х) + 1 в качестве значе-
значения чр(ж). По тезису ¦ Чёрча чр частичнорекурсивна (чр — это
IKx [yZo(x, х) -\- 1], где фго—универсальная функция теоремы 1-IV).
Имеем
фк(#) + 1, если фя(ж) сходится;
расходится, если ух(х) расходится.
Пусть«/ — произвольная общерекурсивная функция, и пусть
у — номер функции /, т. е. / = фу. Так как функция / всюду
•определена, то f{y) = %{у) определено. Следовательно, чр(г/) опре-
делено и
Поэтому / не может быть продолжением функции чр.и
Замечание. Пусть PXl—набор инструкций для чр в предыдущем
доказательстве. Поучительно посмотреть, что произойдет, если
PXi применяется к х^ т. е. когда мы пытаемся вычислить чр^).
При применении РЖ( к Xi вычислителю предлагается сначала найти
инструкции с номером Xi и применить их к^. Но последняя ситуа-
ситуация снова приводит к применению PXi к х^. Таким образом, полу-
получается бесконечная последовательность одинаковых ситуаций,
в каждой требуется применить PXl к Xi и вычисление не может
закончиться. По этой причине чр^) не определено.
Теорема 1-Х, теорема о нормальной форме, предлагает несколь-
несколько новых вопросов о частичнорекурсивных функциях. Можно ли
любую частичнорекурсивную функцию получить из некоторой
общерекурсивной функции однократным применением оператора
jx? Можно ли опустить функцию р в формулировке теоремы о нор-
нормальной форме? Теорема III дает отрицательный ответ на оба
вопроса.
Теорема III. Существует такая частичнорекурсивная функция
чр, что для любой общерекурсивной функции f не верно, что
чр = Xx[\iylf(x, у) = 1]].
Доказательство. Определим частичнорекурсивную
функцию чр следующим образом. Чтобы вычислить чр(ж), найдите
Рх, примените Рх к х; как только появится выход (если это произой-
произойдет), положите чр(ж) = х. Очевидно, что чр частичнорекурсивна.
Кроме того,
х, если ц>х{х) сходится;
расходится, если фж(ж) расходится.
Предположим, что существует такая общерекурсивная функ-
функция /, что для любого х чр(х) = \iy[f(x, у) = 1]. Тогда
ух(х) сходится =>- f(x, х) = 1
и
фк(а:) расходится =>- (Vi/)[/(a:, у) ф 1] => f{x, х) ф 1.
Определим функцию g так:
L, если f(x, х) = 1;
), если f(x, x) ф 1.

60 ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ ч,
Она рекурсивна, так как f(x, х) определена при любом х. Но тог
g — характеристическая функция множества {х \ ух(х) сходится}
что противоречит следствию 1-VII.B
Дальнейшие результаты о частичнорекурсивных функция
приводятся в упражнениях 2-13 и 2-30—2-38.
§ 2.4. ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Понятие рекурсивной функции играет главную роль в современ
ных исследованиях по математической логике и основаниям мате
матики. Используя это понятие, можно придать прозрачный смысл
ряду основных результатов современной логики (XIX и XX ве^
ков). Два, быть может, самых главных результата современно"'
логики состоят в следующем: A) построен точный символически"
язык, на котором можно сформулировать все теоремы и прово-f
дить все доказательства математики и с помощью которого можно;
дать комбинаторный символический критерий правильности дока-
доказательства; B) доказано несуществование универсальной алго-'.
ритмической процедуры определения, верно ли высказывание-,
этого символического языка 1). Первые результаты появились,
в начале этого века в работах Фреге, Рассела, Уайтхеда (которые-:
в свою очередь опирались на работы Буля, Пирса и других мате-
математиков XIX века). В Principia mathematica Уайтхед и Рассел:
[1910] изложили значительную часть математики на таком точном;
символическом языке. (Исследование этого языка и подобных
математических языков является главным предметом математи- ¦
ческой логики.) Затем математики стали искать универсальную-
алгоритмическую „разрешающую процедуру" для определения
истинности суждений такого языка. В течение 20-х годов целый
ряд математиков активно участвовал в этих поисках. Был достиг-
достигнут частичный прогресс, и некоторые верили, что успех близок.
Гёдель в своей эпохальной работе [19311 показал, что невозможен
такой алгоритм из довольно широкого класса, который можно»
было рассматривать как класс подобных разрешающих проце-
процедур 2). За работой Гёделя {теоремы Гёделя о неполноте) последо-
х) Оба направления предвосхитил в своих работах математик и философ
XVII века Лейбниц, который указывал две цели] науки и философии:
A) открытие универсального точного символического языка (characteristica
universalis), в котором можно было бы сформулировать все утверждения науки
и благодаря которому можно было бы получать ясное представление о смысле
и справедливости этих утверждений; B) открытие такого метода (calculus-
ratiocinator) преобразований суждений языка, который позволил бы непо-
непосредственно разъяснять их смысл и соотношение.
2) Такое заключение не формулируется в работе Гёделя. Но очевидно, что
методы Гёделя можно применить для доказательства непригодности любого
алгоритма из класса, включающего все алгоритмы того типа, которым тог-
тогда занимались (см. работы Эрбрана [1931, 1931а], а также Гёделя [1931,.
стр. 197]). Аргументы в пользу очевидности можно изложить следующим
§ 2.5. ОБСУЖДЕНИЕ 61
вало общее изучение рекурсивности. Последующие работы
яо формализации рекурсивных функций (§ 1.5) и по Основному
результату (§ 1.6) показали, что на самом деле широкий класс
алгоритмов, к которым применим метод' Гёделя, включает все
алгоритмы (см. работы Чёрча [19361) и, следовательно, не суще-
существует универсальной разрешающей процедуры. (Как указывалось
в работе Клини (см. теорему 1-VIII), существование рекур-
рекурсивно неразрешимых проблем является прямым и почти тривиаль-
тривиальным следствием формализации. Основной результат вместе с тези-
тезисом Чёрча показывает, что любое доказательство рекурсивной
неразрешимости само по себе есть абсолютное доказательство
невозможности универсальной разрешающей процедуры.)
Как мы увидим, теория рекурсивных функций обеспечивает
значительное развитие способности проникать в природу нераз-
неразрешимости и в ее связи с математической логикой. В этой книге
мы главным образом будем иметь дело с понятиями и структурами,
возникающими из-за феномена неразрешимости.
§ 2.5. ОБСУЖДЕНИЕ
Результаты и примеры этой главы наводят на мысль, что нераз-
неразрешимые проблемы можно расклассифицировать по способам
и степени сводимости их друг к другу. Как можно уточнить поня-
понятие сводимости? В работе Поста [1944] определено несколько
различных типов сводимости и начато исследование получающей-
получающейся классификации. В гл. 6—10- будут изложены результаты этой
и более поздних работ.
Включают ли в себя в каком-нибудь смцсле все примеры нераз-
неразрешимости неразрешимость проблемы остановки (теорема и след-
следствие 1-VII)? Другими словами, сводится ли проблема остановки
образом. Гёдель использовал кодирование формул (т. е. предложений форма-
формализма Уайтхэда и Рассела) теории чисел натуральными числами,. Пусть А —
произвольное множество, определимое в теории чисел, т. е. выразимое как
{х | . . . х ... }, где ,,. . . х . . ."— предложение теории чисел, включаю-
включающее переменную „г". Гёдель предложил метод, согласно которому для любого
такого множества А можно найти формулу 9 с кодовым номером z0, очевидный
и непосредственный смысл которой есть z0 (| А. (Этот метод описывается
в § 11.6.) Теперь для любого алгоритма (того рода, который изучался матема-
математиками, искавшими универсальную разрешающую процедуру), очевидно
(с помощью кодирования), можно найти множество А, определимое в элемен-
элементарной теории чисел, такое, что для любого х х ? А тогда и только тогда, когда
х есть кодовый номер формулы, которую данный алгоритм признает истинной.
Применяя метод Гёделя, чтобы получить соответствующие 9 и z0, мы
увидим, что или (i) формула 9 верна, в этом случае z0 (| А и алгоритм скажет,
что 9 ложна, или (и) формула 9 ложна, в этом случае z0 ?A и алгоритм скажет,
что эта ложная формула верна. В обоих случаях алгоритм не дает верного
результата. В первоначальной работе Гёделя говорится о непротиворечивости
и доказуемости в некоторых формальных теориях. В гл. 7 и 11 мы изло-
изложим эти конкретные результаты.

62
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 2.6. УПРАЖНЕНИЯ 63
ко всякой неразрешимой проблеме? Верно ли, что неразрешимост
любой неразрешимой проблемы можно доказать сведением к не
проблемы остановки? Этот вопрос (для интересного класса проб
лем, названных рекурсивно перечислимыми проблемами *)) являет
ся одним из главных вопросов работы Поста [1944]. В ней прив
дится решение для некоторых видов сводимости. Однако для наи
более общего и важного варианта понятия сводимости отве
не был известен вплоть до работ Мучника [1956] и Фридберга
[1957] (гл. 10).
§ 2 6. УПРАЖНЕНИЯ 2)
§ 1.1-1.10]
/^2-1. Покажите, что функция g, определенная в § 1.3, примитивно рекур-
рекурсивна. (Указание. Пусть h = fcr[max@, x — 1)], h = Кху[т&х@, х — #)]Г
/ ¦= %х[т\п(х, 1)]. Покажите, что h и иримитивнорекурсивны. Используйт
h" для доказательства примитивнорекурсивности h. Используйте Аи/ для,
получения g.)
2-2. Опредим / так:
f{x) = J l> если ?»(*) = 1-
X 0, в противном случае.
Рекурсивна ли функция /?
2-3. Рассмотрим перечисление всех примитивнорекурсивных схем, опи-
описанное в § 1.4. Пусть fx — примитивно рекурсивная функция, определяемая
(х + 1)-й схемой в этом перечислении, х = 0, 1, 2, ... . Положим g =
= %xy[fx(y)]. Рекурсивна ли функция g? Примитивнорекурсивна ли она ?.
2-4. Для любого к 5* 1 определите „проблему остановки для частичноре-
курсивных функций к переменных". Покажите, что она рекурсивно неразре-;
шима. (Указание. Используйте метод сведения теоремы 1-VII.)
2-5. Конфигурацию (см. § 1.5) назовем конечной, если все ячейки, за ис-
исключением конечного числа, пусты. Каждую конечную конфигурацию можно ;
описать однозначно определяемым минимальным выражением, а именно тем
выражением (см. § 1.5), в котором нет лишних символов В.
(a) Исцользуя эти минимальные выражения, опишите кодирование конеч-
конечных конфигураций натуральными числами.
(b) Если даны машины Тьюринга и конечная конфигурация, то машину :
можно установить в этой конфигурации и осуществлять соответствующее "
вычисление. (Если внутреннее состояние конфигурации отсутствует в чет-
четверках машины, то машина ничего не делает.) Когда вычисление заканчи-
х) Проблема называется рекурсивно перечислимой,, если она относится
к множеству или отношению натуральных чисел, которое можно эффективно
перечислить, т. е. когда множество или отношение пусто или является
областью значений некоторой рекурсивной функции; при этом отношение
есть область значений функции при подходящем кодировании ге-ок натураль-
натуральными числами. Все проблемы, о которых идет речь'в § 2.2, рекурсивно пере-
перечислимы. Проблемы из теоремы 1.VII и следствия 1.VIII из пунктов (Ь),
(с), (f), (g) теоремы I рекурсивно перечйслимы. Проблемы из теоремы 1.VIII
и пунктов (a), (d) и (е) теоремы I таковыми не являются. Рекурсивная пере-
перечислимость будет рассматриваться в гл. V.
2) Упражнения группируются по соответствующим параграфам основного
текста. В упражнениях к гл. 1 иногда используются методы и понятия гл. 2.
вается (если это происходит), получается заключительная конечная кон-
конфигурация. Следовательно, при фиксированном кодировании (а) каждая маши-
машина дает функцию одной переменной. Пусть грг — функция, определяемая
таким способом машиной Pz. (Машина Pz—это машина, обычным образом
вычисляющая <pz. Чтобы найти tyr(y) для данного у, следует разыскать кон-
конфигурацию с кодовым номером^, установить Ргъ этой конфигурации и.как толь -
ко она остановится (если это произойдет), взять кодовый номер заключитель-
заключительной конфигурации в качестве tyz(y).) Частичнорекурсивва ли i|?z при всяком z?
(c) Содержит ли класс {if>0, %, • • •} все частичнорекурсивные функции
одной переменной? (Указание. Покажите, что при любом z область определе-
определения функции i|)z пуста или бесконечна.)
(d) Существует ли универсальная частичнорекурсивная функция для
класса {г|H, яр1т . . .}? (Такую функцию можно было бы назвать общеунивер-
общеуниверсальной функцией, так как ее можно использовать для дублирования резуль-
результатов любой машины Тьюринга, начинающей работу в любой конечной кон-
конфигурации.)
(e) Покажите тривиальным сведением к теореме 1-VII, что отношение
{(xi у) I tyxiy) сводится} не обладает рекурсивной характеристической функ-
функцией. (Это дает неразрешимость проблемы, которую можно было назвать
общей проблемой остановки для машин Тьюринга.)
(f) Покажите, что для множества {z | Argi|J=;2'} существует рекур-
рекурсивная характеристическая функция (сравните с результатом упр. 2-17 (Ь)).
( Замечание. В частном сообщении Марвин Минский и Хилари Патнам
заявили, что {z | i|)z всюду определена} не обладает рекурсивной характери-
характеристической функцией (см. также упражнение 2-9).)
2-6. Пусть {SQ, St, . . .} — бесконечный алфавит символов, имеющихся
в распоряжении машин Тьюринга (дополнительно к ? и 1). Изменим опреде-
определение машины Тьюринга так, чтобы допускалось использование любого
из этих символов (разумеется, любая машина состоит из конечного списка чет-
четверок). Изменим определение конечной конфигурации так, чтобы допускалось
присутствие этих символов на ленте.
(a) Опишите кодирование этих новых конечных конфигураций.
(b) Покажите, что все результаты упражнения 2-5 полностью переносятся
на случай этих новых машин и конфигураций, если нумерацию, задаваемую
обозначением „Pz\ заменить на соответствующую нумерацию новых машин.
2-7. Дайте более формальное доказательство теоремы 1 -VIII, анало-
аналогичное более формальному доказательству теоремы 1-VII.
2-8. Докажите теорему 1-XI. (Указание. Используйте неразрешимость
проблемы остановки.)
2-9. Пусть А = {х | фж — всюду определенная функция}. Докажите,
что не существует такой рекурсивной функции /, что val f — А. (Указание.
См. доказательство теоремы 1 -VIII.)
2-10. Пусть 3° — класс всех частичнорекурсивных функций одной пере-
переменной. Пусть я — произвольное отображение множества ./V на 3°. Оно
называется нумерацией частичнорекурсивных функций одной переменной.
Стандартная гёделева нумерация в § 1.8 дает такую нумерацию; назовем ее
щ. Нумерация я допустима, если можно эффективно переходить от я к п0
и от я0 к я, т. е. если выполняются следующие два условия:
Условие 1. Существует общерекурсивная функция / (не обязательно взаим-
взаимно однозначная), такая, что nof = п. (Для любого я-номера можно найти
я0-номер.)
Условие 2. Существует общерекурсивная функция g (не обязательно
взаимно однозначная), такая, что ng = я0. (Для любого я0-номера можно
найти я-номер.)
(a) Покажите, что любое эффективное перечисление всех машин Тьюрин-
Тьюринга дает допустимую нумерацию.
(b) Покажите, что условие 1 необходимо и достаточно для того, чтобы я

•64 ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
•обладало частичнорекурсивной универсальной функцией, т. е. чтобы вып
¦рялся соответствующий вариант теоремы 1-IV, теоремы о нумерации. -
(c) Докажите, что условие 2 необходимо и достаточно для того, что
для я выполнялась s-nt-re-теорема, т. е. чтобы выполнялся соответствую
вариант теоремы 1-V. (Предполагается, что нумерация частич^яорекурс
ных функций более чем одной переменной остается стандартной нумераци
из § 1.8.Это предположение можно опустить, если так обобщить определен"
нумерации и условие 2, чтобы они применялись и к частичнорекурсивн
¦функциям более чем одной переменной.)
(d) Покажите, что из условия 2 следует, что я^) бесконечно для люб
частичнорекурсивной функции г|э одной переменной, т. е. что для я выполни
ся соответствующий вариант теоремы 1-1II. (Указание. Используйте резул
тат упражнения 2-18 (Ь).)
Замечание. Эти результаты указывают на инвариантность понятия доп
стимой нумерации и теорем 1—III, 1-IV и 1-V (см. обсуждение в § 1.8). В частя
«ти, для любой допустимой нумерации выполняются теорема о нумерац
и s-m-re-тёорема.
По определению всякая нумерация я охватывает все частичнорекурси
ные функции одной переменной. Условие 1 можно рассматривать как треб^
аание, чтобы нумерация была „алгоритмической", т. е. чтобы каждый ном
давал алгоритм. Условие 2 можно рассматривать как требование, чтобы нум
рация была „полной", т. е. чтобы охватывались все алгоритмы (см. замечай
после части III Основного результата в § 1.6 и упражнение 2-11).
Д2-11. Предполагается известной терминология упражнения 2-10. Пус
g — общерекурсивная функция, задающая взаимно однозначное отображен
множества N^N на N. (Любое эффективное перечисление множества N X
даст такую функцию g.) Определим щ следующим образом. Если дан у,
находим хг и х2, такие, что g(xit х2) =» у, затем в качестве -ф = щ(у) бере
частичнорекурсивную функцию, удовлетворяющую следующим условиям
/п\ _ f расходится, если xt — 0; :
\ xt — 1, если xi Ф 0;
i|)(z) = <рад (z) для всех z Ф 0.
(a) Покажите, что щ — нумерация, т. е. что охватываются все частично
рекурсивные функции одной переменной.
(b) Покажите, что для ftt выполняется условие 1, но не выполняется
условие 2. '
Замечание. Итак, Я! — нумерация всех частичнорекурсивных функци"
одной переменной, „не охватывающая все алгоритмы". Для нее выполняется
теорема о нумерации, но не выполняется s-nt-re-теорема.
2-12. Покажите, что для любой общерекурсивной функции / одной пере-,
менной существует такая рекурсивная функция g, что
/=> kxliiy[g(x, у) = I]].4
Д2-13. Покажите, что частичнорекурсивные функции не замкнуты отно- ¦
сительно оператора ц, т. е. что существует частичнорекурсивная функция
i|), такая, что Хх [цу [щх, у)=>1]] не частичнорекурсивна. (Указание. Положите •
¦ф(ж, у) = 1, если у = 1 или если одновременно у = 0 и q>x(x) сходится.)
2-14. Назовем конечным автоматом устройство с двумя лентами, каж- .
дая из которых может двигаться только в одном направлении. Входные числа
располагаются на одной ленте; выходы печатаются на другой. Устройство
имеет конечное число внутренних состояний, и его операции определяются
конечным пабором механических правил, подобно машине Тьюринга. Опера-
Операции стирания не используются.
(а) Является ли рекурсивно разрешимой следующая проблема: опреде-
определить по произвольному конечному автомату и произвольному входу, закан-
заканчивается или нет соответствующее вычисление?
§ 2.6. упражнения 65
(b) Является ли рекурсивно разрешимой следующая проблема: опреде-
определить по произвольному конечному автомату, дает он всюду определенную
функцию или нет?
(c) Класс функций, вычислимых такими конечными автоматами, зависит
от принятого способа изображения числовых входов и выходов. Пусть <Жп —
класс функций, получающихся, когда числа как входа, так и выхода записы-
записываются по основанию п, п = 2, 3, ... . Пусть с/к\ — класс функций, полу-
получающийся, когда как входы, так и выходы записываются в виде последова-
последовательности единиц, при этом число х изображается последовательностью
оо
из х + 1 единиц. Покажите, что %х [2х] принадлежит П «з#п-
п=1
оо
Д (d) Покажите, что %х [х2] не содержится в U &?п.
n=l
(е) Дайте пример чисел п, т > 2, таких, что <&п Ф Jkm. Покажите, что
оо
^, ф Jtn для любого п > 2. Покажите, что в П <Жп содержатся неотрица-
п=1
тельные части всех линейных функций.
(f) Опишите ,??). (Ответ: функция принадлежит «^ тогда и только тогда,
когда она равна всюду, кроме конечного числа точек, функции, которую
можно представить в виде суммы функции типа то [х/п] + q (линейно-ступен-
(линейно-ступенчатой функции неотрицательного наклона) и периодической функции с перио-
периодом п.) Докажите теорему об однозначности разложения.
2-15. Покажите, что существует рекурсивная функция h, такая, что для
любой примитивнорекурсивной функции g
(Зх)(Чу)[х < у =Ф g(y) < h(y)}.
^2-16. Можно ли из следующих предположений, не используя никаких
других фактов о числе я, заключить, что / примитивно рекурсивна: (i) / —
ото функция, упомянутая как / в первом абзаце § 1.5; (и) функция, описанная
в (с) в § 1.1 примитивнорекурсивна; (ш) / всюду определена? (Указание.
Покажите, что существует действительное число р, такое, что g = %x [нату-
[натуральное число SSJ 9, чья цифровая запись находится на (х ~\- \)-м месте в деся-
десятичном разложении числа р] примитивнорекурсивна и что } = Хх [место
самой левой цифры первой последовательности из х или более цифр 5
в разложении р] всюду определена, но не примитивнорекурсивна. Возьмите t,
р, q из § 1.10 (можно предполагать, что они примитивнорекурсивны) и, поль-
пользуясь функцией. Л, построенной в упражнении 2-15, укажите это р так: р
состоит только из цифр 0 и 5; g примитивнорекурсивна (используйте
р, q и %xy[t(z0, х, у)], где cpZo = h) и (Vx)[h(x) < f(x)\. Опыт обращения
с примитивнорекурсивными функциями полезен, хотя и не необходим.)
§2.1
2-17. Докажите непосредственно (т. е. без обращения к теореме Раиса,
сформулированной в конце § 2.1), что ни одно из следующих множеств не об-
обладает рекурсивной характеристической функцией:
(a) {х | Arg фж бесконечна}.
(b) {х | Argcps пуста}.
(c) {(х, у) | Arg фж = Arg cpj,}.
2-18. Покажите непосредственно, что при любом z0 ни одно из следующих
множеств не обладает рекурсивной характеристической. функцией:
(a) {х | Arg Фк = Arg <pZQ}.
(b) {х \<рх= ф2о}.
(Указание для (а). Рассмотрите отдельно случаи Arg ф^ = 0 и Arg фго Ф 0.)
5—0506

66
ГЛ. 2, НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
2-19. Завершите доказательство теоремы 2-1 (g), показав, что сущее
такое х0, что Val ф^ не обладает рекурсивной характеристической функ
{Указание. См. доказательство теоремы 2-111.)
2-20. Покажите, что существуют такие Zj и х2, что Arg фХ1 обладает ре
сивной характеристической функцией, a Arg ц>х не обладает. ,
2-21. Выполните пункты (Ь) и (с) упр. 2-17 с заменой „val" на „Arg
2-22. Выполните пункт (а) упражнения 2-18 с „Val" вместо „Arg".
2-23. Покажите, что проблема теоремы 1-VII непосредственно свод
к проблеме следствия 1-VII. (Указание. Используйте конструкцию, подоб
конструкции, использованной в доказательстве теоремы 2-1 (е).)
2-24. Покажите, что проблема (с) в теореме 2-1 сводится к пробл
остановки. j
Д2-25. Покажите что проблемы (Ь) и (f) теоремы 2-1 сводятся к пробл
остановки. 7
^2-26. Покажите, что ни одна из проблем (a), (d) и (е) в теореме 2-1
сводится к проблеме остановки.
Д2-27. Пусть / и g—общерекурсивные функции, такие, что для неко
рого множества А А = Val fnA= Val g. Обладает ли А рекурсивной хар
теристической функцией?
Д2-28. Изменим определение машины.Тьюринга, введя дополнитель
к до, ?ii ¦ • • специальное внутреннее состояние q*. Изменим способ соотн
сения функций с машинами, обусловив, что должны использоваться толь *
те выходы, когда машина останавливалась в состоянии q*. Следовательн
при данном входе может не получиться выход по двум причинам: A) не зака
чивается вычисление; B) вычисление закончилось, но не в состоянии д
Первую ситуацию назовем бесконечной сингулярностью, вторую — блокиро
ванной сингулярностью. •*
(a) Получается ли таким способом любая частичнорекурсивная функция
Если да, то дает ли эффективное перечисление таких модифицированн
машин допустимую нумерацию в смысле упражнения 2-10?
(b) Разрешима ли следующая проблема: определить по любой машин
и входу, появится или нет бесконечная сингулярность?
(c) Выполнить (Ь), где слово „бесконечная" заменено на „блокированная".
(d) Можно ли „заменить" блокированные сингулярности на бесконечны
сингулярности, т. е. существует ли эффективная процедура переделки любой,
машины М в новую М', такую, что М и М' определяют одну и ту же частич-"
ную функцию и что у W бывают только бесконечные сингулярности?
е) Можно ли „заменить" бесконечные сингулярности на блокированные i
сингулярности? (Указание. На (d) и (е) ответы „да" и „нет" соответственно.):
§2.2
Д 2-29. Рассмотрим „метапроблему" определения по любому х0, рекурсив-
рекурсивно разрешима проблема (g) теоремы 2-1 или нет. Покажите, что эта метапробле-
ма рекурсивно неразрешима, т. е. непосредственно докажите, что множество
{х | Val <рхобладает рекурсивной характеристической функцией} не обладает
рекурсивной характеристической функцией.
§2.3
2-30. Пусть непустые множества А и В — области определения двух час-
тичнорекурсивных функций. Предположим, что А Г) В = 0.
(а) Всегда ли существует такая частичнорекурсивная функция г|), что
ур(А)= {0} и МВ)= {1}?
Д (Ь) Всегда ли существует такая общерекурсивная функция /, что f(A) =
= {0} и f(B) — {1}? (Указание. Докажите теорему 2-II (теорему о продол-
продолжении) для случая частичных и всюду.> определенных функций, области зна-
значений которых — подмножества множества {0, 1}.)
§ 2.6. УПРАЖНЕНИЯ 67
2-31. Частичнорекурсивна ли функция hc[\iy[ffx(y) расходится]]?
д 2-32. Пусть А и В—области определения двух частично рекурсивных
функций. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы А и В
обладали следующим свойством: существует такая частичнорекурсивная
функция г|>, что для любого х [hxg<fx = A =^> ty(x) = 0] и [А^фк = В =$•
=$ty(x) = 1].
2-33. Рассмотрим проблему определения по любому х, продолжима ли фя
до общерекурсивной функции или нет. Является ли эта проблема рекурсивно
разрешимой?
Д 2.34. Пусть А и В— множества. Рассмотрим „проблему" определения
по любому х ? А, верно х ? В или нет. Скажем, что эта проблема относитель-
относительно разрешима, если существует частичнорекурсивная функция г|?, такая, что
[х ? А П В =^ty(x) = 1] и что [х g А П В=$1р (х) = 0]. Исследуйте на отно-
относительную разрешимость следующие проблемы.
(a) Проблема определения по любому такому х, что фж всюду определена,
является фк постоянной функцией или нет. (В этом случае А = {х | фж всюду
определена} и В = {х \ фк— постоянная функция}.)
(b) Проблема определения по любому такому х, что фк всюду определена,
является фж взаимно однозначной или нет.
(c) Проблема определения по любым х, у и г, таким, что функция фж
всюду определена, выполняется равенство Ц>х(у) = z или не выполняется.
(d) Проблема определения по любому такому х, что фя всюду определена,
бесконечна или нет область значений фж.
(Указание. Для доказательства неразрешимости устройте сведение проб-
проблемы остановки (следствие 1-VII), связав с каждым z общерекурсивную
функцию, значение которой на произвольном аргументе у зависит от резуль-
результата осуществления у шагов вычисления Pz в применении к 2.)
Определение. Если if> — частичная функция двух переменных, то (xi]J =
== ЫруШх, у) = 0]].
2-35. Какие функции попадают в класс {/ | C рекурсивная g) [f = |i
2-36. (Успенский [1957].) Если if> частичноренурсивна, должна ли цг|)
быть частичнорекурсивной?
Д 2-37. Опишите класс {/ | / общерекурсивна &(Vz) C общерекурсивная
8) Гфг = tpg] }¦ (Указание. Рассмотрите функции, которые принимают каж-
каждое число в качестве своего значения бесконечно много раз. Связанные с этим
понятием результаты см. в работах Маркова [1947] и Кузнецова [1950].)
Д2-38. Опишите класс {г|? | C общерекурсивная функция g) [i|> = \ig}-'
(Указание. Рассмотрите такие функции, которые, как отношение, обладают
рекурсивной характеристической функцией. Согласно теореме 2-III, этот
класс не охватывает все частичнорекурсивные функции. Связанные с этим
классом результаты см. в работах Сколема [1944] и Поста [1946].) Упражне-
Упражнения 2-35—2-38 завершают исследование структуры рекурсивных функций,
начатое теоремами 1-Х и 2-1 П.
§2.5
2-39. ^(а) Докажите теорему Раиса, сформулиров'анную в конце § 2.1.
(Указание. Покажите, что рекурсивную характеристическую функцию для
любого другого случая можно было бы использовать для решения проблемы
остановки.)
(b) Выведите как непосредственное следствие этой теоремы, что множе-
множество {х | Arg фж бесконечна} не может иметь рекурсивную характеристиче-
характеристическую функцию.
(c) Выведите результаты упражнений 2-17, 2-18, 2-29 и 2-33.
5*

Глава 3. ЦЕЛИ КНИГИ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ
3.1. Задачи теории 68
3.2. Направленность этой книги 70
3.3. Обзор содержания 71
§ 3.1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ Т
В главах 1 и 2 рассматривались главные черты теории реку
сивных функций в том виде, как она развивалась до 1940 года
Излагались Основной результат, некоторые более техническ
результаты, такие, как теорема о нумерации (теорема 1-1
и s-m-и-теорема (теорема 1-V), и результаты о рекурсивной нераз
решимости конкретных проблем, включая проблему остановки
После 1940 года теория развивалась в самых разнообразны
направлениях. Направления и результаты этих более современ,
ных исследований можно сгруппировать по шести областям*
A) неразрешимые проблемы; B) структуры неразрешимости
C) математическая логика и основания математики; D) субре
курсивность; E) рекурсивная структура; F) аналоги классиче-
классических теорий. В нашем кратком описании такая группировка не
сколько искусственна и игнорирует важные связи между иссле-
исследуемыми понятиями.
1. Неразрешимые проблемы
Эта область рассматривалась в гл. 2. Она содержит результаты:
о разрешимости и неразрешимости конкретных проблем. После
1940 года были развиты очень тонкие методы доказательства
неразрешимости и с их помощью был выяснен вопрос о неразре-
неразрешимости очень широкого класса проблем. Несколько типичных
результатов этого рода сформулированы в § 2.2. Дальнейшие
усилия направляются также на исследование разрешимых проб-
проблем и выделение разрешимых подслучаев более общих неразре-
неразрешимых проблем.
2. Структуры неразрешимости
Эта область включает в себя понятия и структуры, возникаю-
возникающие при более общем анализе феномена неразрешимости, т. е. она
включает понятия, оказавшиеся полезными при классификации
неразрешимых проблем (например, различные точные варианты
понятия сводимости, упомянутого в гл. 2), и структуры, появив-
появившиеся в результате такой классификации. Работы в этой области
§ 3.1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ 69
получили широкое применение в других областях. Ее понятия,
терминология и результаты широко используются, особенно
в математической логике и основаниях математики, где целый ряд
главных результатов получает наиболее естественное выражение
в этих терминах. Можно изучать также более абстрактные и общие
типы классификации, определять и исследовать понятие обобщен-
обобщенной вычислимости. Область B), иногда называемая теорией
рекурсивной инвариантностих), включает исследование иерар-
иерархий, в которых классификация по сводимости связывается с клас-
классификацией по сложности описания в конкретных формализован-
формализованных логических системах.
3. Математическая логика и основания математики
Широкое и глубокое приложение теории рекурсивных функций
в логике дало новые результаты и новый взгляд на вещи. Как
указывалось в исторических заметках § 2.4, логика по своей при-
природе имеет дело с алгоритмами. Многие конкретные результаты
о неразрешимости из области A) были получены именно в логике
(как правило, эти результаты о неразрешимости касаются пробле-
проблемы распознавания доказуемости высказываний в формализованных
дедуктивных системах). Многие синтаксические и семантические
понятия (например, аксиоматизируемость и неполнота) можно
переформулировать в терминах теории рекурсивных функций,
при этом обнаруживаются более тонкие различия 2). Результаты
области B) можно использовать для исследования относительной
силы различных логических методов, систем и средств выражения.
В современных работах по основаниям математики основную роль
играет понятие конструктивности; теория рекурсивных функций
оказалась полезной при переформулировке и анализе различных
понятий конструктивного доказательства и при выяснении кон-
конструктивного смысла известных классических доказательств.
4. Субрекурсивность
Исследование обобщенных форм рекурсивности входит в об-
область B). Область D) имеет дело с понятиями вычислимости, более
ограниченными, чем рекурсивность, она рассматривает, каким
образом можно использовать эти понятия для того, чтобы усовер-
J) Рекурсивная инвариантность будет определена в гл. 4.
2) Синтаксис — это исследование формализованных систем как чистых
формализмов, не вникая в их значение. Семантика (в математической логи-
логике) — это исследование соотношения формализованных систем и математиче-
математических объектов (например, действительных чисел), о которых системы говорят
(или которые имеют в виду). Различие между синтаксисом и семантикой
интуитивно понятно, но его трудно точно определить.

70
ГЛ. 3. ЦЕЛИ КНИГИ И ЕВ СОДЕРЖАНИЕ
§ 3.3. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ 71
шенствовать и разбить по слоям структуры, возникающие п
исследовании обычной рекурсивности. Естественные и важ
результаты в этом направлении получаются с трудом. Со време
самых ранних работ по теории рекурсивных функций в эту обла
были направлены значительные усилия г). (Разумеется, прими
норекурсивность — пример такого более ограниченного пон'
тия.) '
5. Рекурсивная структура
Эта область рассматривает способы введения рекурсивно
структуры на существующих и известных математических объек
тах для получения новых и более богатых теорий. Использовани
такой структуры аналогично использованию топологическо
структуры групп для получения теории топологических групп. ;
6. Аналоги классических теорий ¦¦„
Подобно области E), где теория рекурсивных функций исполь
зуется для анализа существующих математических объекто
и результатов-, область F) имеет дело с определением и исследовав
нием новых математических объектов, являющихся в каком-то
смысле рекурсивными аналогами более известных (и нерекурсив-
нерекурсивных) математических объектов. Нерекурсивные объекты могу \
использовать несчетные множества или обладать другими некон-:
структивными чертами. В рекурсивных аналогах все основные
множества (самое большее) счетны, для всех основных элементов
даны числовые кодовые номера, допускаются только те отображе-
отображения, которые являются частичнорекурсивными на кодовых номе-
номерах. Наибольшая работа по аналогам классических теорий про-
проделана в сфере теории множеств. В рекурсивноаналоговой форме
исследовались кардинальные числа, ординальные числа, тополо- :
гические пространства и теория функций действительной пере-
переменной. Работы по рекурсивным аналогам вызывают неослабе-
неослабевающий интерес как к тем результатам и взглядам, которые в них
высказываются, так и к вопросам, которые там ставятся.
§ 3.2. НАПРАВЛЕННОСТЬ ЭТОЙ КНИГИ
Основной материал этой книги относится к области B) (струк-
(структуры неразрешимости) и (в меньшей степени) к области C)
(математическая логика и основания математики). Многие дока-
*) Ряд методов и результатов предвосхищают определение рекурсивности
и могут рассматриваться как часть поисков удовлетворительного общего
определения алгоритма.
зательства будут опираться на полуформальные методы, описан-
описанные и обоснованные в гл. 1. Мы оставляем в стороне ту часть
области A) (неразрешимые проблемы), которая касается конкрет-
- ных проблем в других частях математики. Более формальные
методы, необходимые для исследования таких проблем, можно
найти в книге Дэвиса [1958]. Как уже делалось в гл. 2, мы исполь-
используем тезис Чёрча, чтобы проводить полуформальное исследование
неразрешимых проблем, возникающих в самой теории рекурсив-
рекурсивных функций. Будут изложены некоторые результаты из обла-
области F) (аналоги классических теорий). Будет дано также некоторое
представление о работах в областях D) и E) (субрекурсивность
и рекурсивная структура).
§ 3.3. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ
В главах 1, 2 и 3 вводится понятие рекурсивности. Формули-
Формулируется Основной результат, описываются различные примеры раз-
разрешимости и неразрешимости. Указана сфера действия и полез-
полезности полуформальных методов.
В остальных главах 4—16 определяются и рассматриваются,
некоторые общие концепции, частным случаем которых являются
примеры и идеи гл. 2, с другой стороны, мы продолжаем исследо-
исследовать понятия, выросшие из них. Обсуждается также использование
и появление этих идей в математической логике. Таким обра-
образом, главы 4—16 попадают в область B) (структуры неразрешимо-
неразрешимости), захватывая часть области C) (математическая логика и осно-
основания математики). Приводятся иногда примеры из областей D),
E) и F).
Более конкретно главы 4—16 содержат следующий материал.
В гл. 4 используется понятие рекурсивной инвариантности, чтобы
более точно описать предмет области B). В гл. 5 вводятся основные
понятия рекурсивного и рекурсивно перечислимого множества.
В главах 6—9 определяются и исследуются основные понятия сво-
сводимости. В гл. 10 обсуждается центральная проблема сводимости,
которую не удалось решить Посту (см. § 2.5). В гл. 11 доказы-
доказывается теорема о рекурсии. В изложениях теории рекурсивных
функций этот основной и полезный инструмент часто помещают
в начало. Однако эта теорема не нужна для предыдущего ма-
материала. Мы считаем, что такое расположение ее в этой книге
дает обучающемуся более правильное и глубокое представление
о ее полезности. Глава 11 включает разнообразные приложения
теоремы о рекурсии и заканчивается введением в теорию обозна-
обозначений для ординалов (аналоговую структуру из области F)).
В главах 12 и 13 приводятся дальнейшие результаты об основных
структурах гл. 5—9; в гл. 12 рекурсивно перечислимые множества
рассматриваются как решетка множеств, в то время как в гл. 13

72 ГЛ. 3. ЦЕДИ КНИГИ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ <
рассматриваются степени неразрешимости (степень — это класс
эквивалентности множеств, где отношение эквивалентности —;
сводимость друг к другу) при частичном упорядочении по своди-
сводимости. Глава 14 вводит в теорию арифметической иерархии (клас
сификацию множеств натуральных чисел по минимальной логиче
ской сложности описания) и вскрывает связи этой структур '•
со степенями неразрешимости, исследованными в гл. 13. В гл. 1 :
арифметическая иерархия распространяется с классификации мно-г
жеств чисел на классификацию классов множеств чисел. В гл. 1
также исследуется понятие рекурсивного функционала. Глава 16
вводит в теорию аналитической иерархии классификацию, подоб-1
ную арифметической иерархии, но более обширную. В гл. 1(*
рассматриваются также обобщения понятия эффективной вычис-:
лимости. На протяжении всей книги излагаются приложения'
в математической логике. "
Ссылки на литературу не полны. Они делались в том случае, -.
когда был точно известен автор. Иногда встречаются ссылки
на работы повышенного уровня, хотя выбор таких ссылок был;
довольно произвольным.
Примерами работ могут служить: в области A) работы Дэвиса
[1958], Тарского, Мостовского и Робинсон [1953], Рабина и Скот-
Скотта [1959], Минского [1961] и Дребена [1962]; в области D) работы
Гжегорчика [1953], Фишера [1962], Ричи [1963], Акста [19591
и Фефермана [1961]; в области E) работа Рабина [I960]; в обла- i
сти F) работы Деккера и Майхилла [1960], Московакиса [19631
и Кроссли [1965].
Глава 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
§ 4.1. Инвариантность относительно группы 73
§ 4.2. Рекурсивные перестановки 74
§ 4.3. Рекурсивная инвариантность 75
§ 4.4. Сходство 77
§ 4.5. Универсальные функции 77 *
§ 4.6. Упражнения'79
§ 4.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ
В оставшихся главах книги мы будем иметь дело главным
образом с множествами натуральных чисел и с функциями
натурального аргумента. Некоторые свойства этих объектов
представляют особый интерес. В этой главе мы выделим такие
свойства.
Для того чтобы сделать это, мы пойдем по пути Феликса Клей-
Клейна. Он предлагал определять каждую „ветвь" математики с помо-
помощью пространства (т. е. множества) и группы преобразований,
действующих в этом пространстве. (Группа преобразований про-
пространства — это множество отображений пространства на себя,
образующее, алгебраически, группу, если в качестве умножения
взять композицию отображений.) Пусть SC — пространство,
 — группа. (Например, 2? — двумерное евклидово простран-
пространство (множество его точек), Ш — группа всех аффинных преобра-
преобразований пространства SC на SC г).) Будем говорить, что данное
свойство подмножеств пространства Ж является 13-инвариант-
ным, если всякий раз, когда некоторое подмножество обладает
этим свойством, этим же свойством обладают и все образы этого
подмножества при отображениях из 13. (В только что упомяну-
упомянутом примере свойство „быть треугольником" ^-инвариантно; свой-
свойство „быть равнобедренным треугольником" не ^-инвариантно.)
По схеме Клейна ветвь математики, определяемая с -помощью SC
и 13, изучает (по определению) ^-инвариантные свойства. Мы назо-
назовем ее ^-теорией. (Если 2V — евклидова плоскость и 13 — аффинная
группа, то ^.-теория будет аффинной геометрией евклидовой пло-
плоскости, в то время как если 37 — евклидова плоскость и "§ —
группа евклидовых преобразований 2), эта теория является обыч-
обычной евклидовой геометрией на плоскости. Понятия аффинной гео-
х) Аффинное преобразование плоскости на себя — это отображение,
которое переводит прямые в прямые, например сдвиг плоскости. В общем
случае оно не сохраняет углы.
2) Отображение плоскости на себя евклидово, если его можно представить
как композицию преобразований переноса, вращения и отражения.

74 ГЛ. 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
метрии являются также понятиями евклидовой геометрии, так
как евклидова группа — подгруппа аффинной группы.)
Пусть даны Jh§; пусть А ж В — подмножества простран-
пространства Э?. Положим А =ч> В, если В = g(A) для некоторого преоб-
преобразования g из  *). Поскольку W — группа, то =g является
отношением эквивалентности, (см. упражнение 4.1). Будем гово-
говорить, что А и В ^-изоморфны, если А =<$ В. Классы эквивалент-
эквивалентности будем называть типами §-изоморфизма. Тогда ^-инвари-
^-инвариантные свойства — это свойства (подмножеств пространства 3?),
корректно определенные относительно ^-изоморфизма, т. е.
такие, что если какое-нибудь множество А обладает таким свой-
свойством, то все множества, ^/-изоморфные А, обладают этим свой-
свойством. В этим смысле типы ^-изоморфизма — основные объекты
^-теории.
Пусть Q — множество ^-инвариантных свойств. Пусть J —
тип ^-изоморфизма. Если J обладает всеми свойствами из Q,
то будем называть Q множеством инвариантов для J. Если,
кроме того, никакой другой тип ^-изоморфизма не обладает всеми
свойствами из Q, то будем называть Q полным множеством инва-
инвариантов для J.
Понятие ^-инвариантности легко распространить на отноше-
отношения в JT (т. е. подмножества множества Xh, к > 1); мы сделаем
это ниже для тех частных & и , с которыми хнам предстоит
работать.
| 4.2. РЕКУРСИВНЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ
Рассмотрим следующее множество * преобразований (т. е.
•функций) на N (множестве всех неотрицательных целых чисел).
Определение. "§* = {/ | / — общерекурсивная функция, вза-
взаимно однозначно отображающая множество N на себя).
Теорема 1. "§* — группа преобразований множества N.
Доказательство. Пусть / и g ? &*. Из того, что /
и g — отображения множества N на себя, немедленно получаем,
что fg — отображение N на себя. Из взаимной однозначности.
функций / и g получаем взаимную однозначность функции fg.
По теореме 1-VI fg общерекурсивна. Следовательно, fg 6 13*.
Пусть / 6 &*• Так как / взаимно однозначна, то Z однозначна,
т. е. функция. Так как / однозначна, то f'1 взаимно однозначна.
Так как / всюду определенная функция, то f'1 — отображение N
Как указано во введении, g(A) — сокращение для
{у кэ*м*ел1 &? = ?(*)]}.
§ 4.3. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 75
на себя. Так как / — отображение N на себя, то f~x — всюду опре-
определенная функция. Ее можно вычислять по следующей программе.
Чтобы вычислить f~\x), вычисляйте по порядку /@), /A), /B), . . .
до тех пор, пока не найдется п, такое, что f(n) = х; выдайте это п
на выходе. Согласно тезису Чёрча, f~x общерекурсивна. Следова-
Следовательно, /-1 ? 3*.
Так как &* замкнуто относительно композиции и взятия
обратного элемента, то это — группа. Ш
Определение. Функция / называется общерекурсивной
перестановкой, если / 6 &*• Будем называть §* группой рекур-
рекурсивных перестановок.
Алгебраическая структура группы д* была изучена Кентом
[1962]. (Кент рассматривает также различные субрекурсивные
подгруппы группы &*.) В упражнениях 4-6 и 4-7 дается несколько
отдельных результатов о "§*.
f 4.3. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Определение. Множество А рекурсивно изоморфно В, если
А = g* В, т. е.
C/)(/6^* & f{A)=B).
Обозначим это так:
А = В.
Иногда мы вместо „рекурсивный изоморфизм" будем говорить
просто „изоморфизм".
Определение. Совокупность подмножеств из N назовем типом
рекурсивного изоморфизма, если оно является типом '^-изомор-
'^-изоморфизма.
Определение. Свойство подмножеств множества N считается
рекурсивно инвариантным, если оно ^""-инвариантно.
Почти все понятия в этой книге будут рекурсивно инвариант-
инвариантными. Понятие рекурсивной инвариантности характеризует нашу
теорию и служит пробным камнем для определения возможной
полезности новых понятий х).
Примеры. Рассмотрим следующие свойства:
(i) Содержать 7.
(ii) Содержать по крайней мере два элемента.
(ш) Обладать рекурсивной характеристической функцией.
J) Понятия, используемые в исследованиях субрекурсивнвсти (разд. 4
§ 3.1), могут не быть рекурсивно инвариантными. Подходящие понятия
инвариантности в таких случаях можно ввести через подгруппы группы ?/*.

76 ГЛ. 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Свойство (i) не является рекурсивно инвариантным. Свойства1
(ii) и (ш) рекурсивно инвариантны (см. упражнение 4-9).
Понятие рекурсивной инвариантности следующим образом,
распространяется на отношения и тем самым на частичные и всюду
определенные функции. Пусть R с Nh для некоторого к. Пусть
g 6 &*• Положим
, . . ., xk) e R & у, = g(Xi) . . . yh =
Определение. Пусть R <= Nh я Q cz Nk для некоторого fc.
Тогда i? рекурсивно изоморфно Q, если
€ ?* & ^ =
Обозначим это так: R == Q.
Определение. Свойство /с-местных отношений в N рекурсивно
инвариантно, коль скоро выполнено следующее условие: если
отношение R обладает этим свойством, то для любого g 6 &*
таким же свойством обладает g(R).
Особенно интересен случай, когда в качестве отношений рас-
рассматриваются функции (и, в частности, всюду определенные
функции). Для этого случая специальная формулировка рекур-
рекурсивного изоморфизма дается теоремой П.
Теорема II. <р = г|з <=> (Э/)[/ С &*- & <р = /~ЧЯ-
Доказательство. Проиллюстрируем доказательство
следующей диаграммой:
N
/1
N
N
N
Если ф = чр, то г|) = /(ф) х) для некоторого / 6 3* и
у = ф(х) <=> f{y) = г|з/(а
и, следовательно, ф = f'hfyf. Обратно, если ф = /"Чр/, то
у = ц>{х) <=> у = /-Ч|)/(ж) <=> /(г/) = т|)/(х)
и, следовательно, гр ^
х) Предостережение: символ /(ф) используется в смысле/(Д); это не ука-
указывает на композицию /ср.
§ 4.5. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 77
§ 4.4. СХОДСТВО х)
Рекурсивный изоморфизм указывает на подобие в структуре.
Более того, с точки зрения теории рекурсивных функций он ука-
указывает на тождественность структур. Можно определить более
слабое понятие рекурсивного подобия.
Определение, (р сходна с ty, если существуют рекурсивные пере-
перестановки / и g, такие, что г|э = f~\g-
Легко видеть, что сходство — отношение эквивалентности
(см. упр. 4-15) 2).
Классы эквивалентности будем называть типами сходства.
Примеры сходства даны в § 4.5 и в упражнениях. Из изоморфиз-
изоморфизма, очевидно, следует сходство (см. упр. 4-14, 4-17 и 4-18).
§ 4.5. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Чтобы проиллюстрировать понятия, введенные выше, мы
выясним, является ли понятие универсальной функции рекурсивно
инвариантным; в § 1.8 было предложено следующее определение
универсальной частичной функции.
Пробное определение. Универсальная функция — это частич-
норекурсивная функция гр двух переменных, такая, что
[ Я[( )]]
<) фя уф( у)
Это понятие, рассматриваемое как свойство 3-местных отноше-
отношений, очевидно, не является рекурсивно инвариантным (см. упраж-
упражнение 4-19). Поэтому мы дадим новое определение, в. котором для
простоты заменим функцию двух переменных' на функцию одной
переменной и которое будет, надеемся, достаточно общим, чтобы
быть рекурсивно инвариантным. Согласно этому новому опреде-
определению, гр универсальна, если существует такой способ кодирова-
кодирования упорядоченных пар целых чисел, что применение^ к кодовому
номеру пары (х, у) дает тот же результат, что и применение фж
к у. Более формально получаем следующее
Определение. Функция гр универсальна, если она частичноре-
курсивна и если существует общерекурсивная функция / двух
переменных, такая, что (Уж)[фж = Xy[tyf(x, у)]].
Сразу не видно, что это новое понятие рекурсивно инвариант-
инвариантно, так как в определении фигурирует наша фиксированная нуме-
нумерация частично рекурсивных функций. Однако теорема III пока-
х) Отдельные упражнения опираются на § 4.4 и 4.5, но дальнейшие резуль-
результаты не зависят от § 4.4 и 4.5.
2) Для линейных преобразований векторных пространств обычно исполь-
используются слова аквивалентен и подобен, что аналогично нашему использованию
соответственно сходства и изоморфизма.

78 ГЛ. 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
зывает, что оно не только рекурсивно инвариантно, но даже»
инвариантно относительно сходства *).
Теорема III. Ecjiuty универсальная и g и h — рекурсивные пере-
перестановки, то г) = g~^h универсальна; т. е. свойство бить универ-
универсальной инвариантно относительно сходства.
Доказательство. По определению универсальности, '¦
существует общерекурсивная функция / двух переменных, такая, f
что
фж = tyW(x, у)]. ::
Для любого х ?фк частичнорекурсивна. Более того, у нас есть
общерекурсивная функция к, такая, что
= g~1(Ph(x)
(Молчаливое использование s-m-и-теоремы.)
- Положим f = %xy[h-1f(k(x), у)]. Тогда
Ку[у]}(х, у)] = Xylg-hpkh-ifftix), у)] (по определению г\ и /)=
(x), y)]=
определению /) =
= ^^фж (по определению к) =
= 4>х-
Следовательно, т) универсальна.я
Следствие Ш(а). Если функция г|з универсальна и g — рекур-
рекурсивная перестановка, то g^tyg универсальна; т. е. свойство быть
универсальной рекурсивно инвариантно.
Из теоремы, между прочим, вытекает, что при рекурсивной
перестановке области значений универсальная функция остается
универсальной. Итак, имеем
Следствие Ш(Ъ). Если функция if универсальна и g — рекур-
рекурсивная перестановка, то gty универсальна.
Составляют ли универсальные функции один тип сходства?
В гл. 11 мы покажем в результате более глубоких рассмотрений,
что ответ на этот вопрос положителен. На самом деле, мы докажем
более сильный результат Блюма, что универсальные функции
х) Определение универсальной функции ввел в терминах машин Тьюрин-
Тьюринга Дэвис [1957]. Ранее Дэвис [1956] определял „универсальную функцию"
как любую частичнорекурсивную функцию, к проблеме остановки которой
можно свести обычную проблему остановки из теоремы 1-VII. Концепция
Дэвиса [1956] отличается от концепции Дэвиса [1957] (эта последняя совпада-
совпадает с нашей). Функция упражнения 4-20, например, универсальна в более ран-
раннем смысле, но не в более позднем (см. упр. 2-23).
§ 4.6. упражнения 79
образуют один тип изоморфизма. Итак, свойство функции быть
универсальной является само по себе полным множеством рекур-
рекурсивных инвариантов.
Какие типы сходства являются также типами изоморфизма?
Окончательный ответ на этот вопрос не получен. Единственные-
известные сейчас случаи — это тип пустой (т. е. нигде не опреде-
определенной) функции, тип всех функций-констант и тип всех уни-
универсальных функций *).
§ 4.6. УПРАЖНЕНИЯ
§4.1
4-1 (а) Пусть g — группа преобразований на X', и пусть е — ее единица.
Покажите, что е как отображение пространства X должно быть тождествен-
тождественным отображением.
(Ь) Покажите, что ^-изоморфизм — отношение эквивалентности.
§4.2
4-2. Покажите, что существуют нерекурсивные взаимно однозначные
функции, отображающие N на себя („перестановки").
Д4-3. Еслиг|) взаимно однозначна и частичнорекурсивна, но не всюду опре-
определена, обязана ли г|?~1 быть частичнорекурсивной?
4-4. Верно ли, что существует общерекурсивная функция /, такая, что-
(^*)[<Рж 6 Ъ* =Ф[ф/{зе> 6 Ъ* &ф/(Ж) = <Рк1]]? Если да, то проведите доказа-
доказательство, подобное доказательству теоремы 1-VI.
4-5. Покажите, что множество {х \ <рх ? %*} не обладает общерекурсив-
общерекурсивной характеристической функцией. Используя упражнение 2-39, проведите
доказательство сведением.
4-6 (а) Покажите диагональным методом, что не существует эффективной
процедуры, согласно которой можно перечислить такое множество гёделевых
номеров рекурсивных перестановок, что каждая рекурсивная перестановка
имеет по крайней мере один гёделев номер в этом множестве.
(Ь) Выведите как следствие, что группа рекурсивных перестановок
не является конечно.порожденной.
4-7. Покажите, что существуют рекурсивная перестановка g и переста-
перестановка h, такие, что h^gh не рекурсивна. Выведите как следствие, что $*
не является нормальной подгруппой группы всех перестановок. (Указание.
Возьмите в качестве / нерекурсивную перестановку. Положите h(x) = х,
еслихнечетно; h(x) = 2/(-=-х 1, если х четно. Положите g{x) = х-\- 1, если х
четно; g(x) — х — 1, если х нечетно.)
^4-8. Покажите, что множество {/ | / — примитивнорекурсивная пере-
перестановка} не является группой. (Указание. Используйте указание к упраж-
упражнению 2-16.)
§4.3
4-9. В примерах, данных в § 4.3, покажите, что свойства (ii) и (ш)
являются рекурсивно инвариантными, а свойство (i) — нет.
х) Доказательство того, что эти случаи — единственно возможные, при-
привело бы к интересной алгебраической аксиоматизации частичнорекурсивных
функций.

80 ГЛ. 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
4-10. Рассмотрите следующие свойства множеств:
(i) Быть пустым.
(ii) Быть областью значений общерекурсивной функции. ',
(ш) Быть областью определения частичнорекурсивной функции.
(iv) Обладать рекурсивной характеристической функцией.
(v) Быть бесконечным.
(vi) Содержать четные числа.
(vii) Содержать множество, изоморфное множеству всех четных чисел.
Какие свойства рекурсивно инвариантны?
Д4-Н. Совпадают ли (v) и (vii) из упр. 4-10 как свойства множеств? .;
(Указание. Очевидно, (vii) =ф (v). Если (v) =J> (vii), то покажите, как получить :
соответствующий изоморфизм с четными числами. Если (v) f$ (vii), то исполь- ;
зуйте диагональный метод, чтобы получить соответствующий контрпример.)
4-12. Рассмотрите следующие свойства функций: ;
(i) Обладать бесконечной областью определения. -
(ii) Обладать областью определения, содержащей область значений.
(iii) Быть общерекурсивной. \
(iv) Быть частичнорекурсивной. "„
(v) Обладать областью определения, содержащей четные числа. '-
(vi) Обладать областью определения, содержащей множество, изоморфное ;
множеству всех четных чисел.
(vii) Обладать областью определения, состоящей из семи элементов.
Какие из этих свойств рекурсивно инвариантны?
Д4-13. Покажите, что пересечение (i) и (iv) в 4-12 совпадает с пересечением \
iyi) и (iv). ¦ ,.'
4-14. Образуют ли рекурсивные перестановки один тип изоморфизма? ,
§ 4.4 |
4-15. Покажите, что сходство — отношение эквивалентности. *
4-16. Какие из свойств из упражнения 4-12 инвариантны относительно :
•сходства?
4-17. Постройте примеры: (а) всюду определенной функции, у которой .¦
типы сходства и изморфизма различны; (Ь) всюду определенной функции, ;
у которой типы сходства и изоморфизма совпадают. ;,
4-18. Образуют ли рекурсивные перестановки единственный тип сходства? t
§ 4.5 ,
4-19. Покажите, что „пробное определение" в §4.5 не является рекурсив-
мо инвариантным. (Указание. Возьмите фж1 = Хх[х] и ф^ = %х[х + 1]; :
используйте такую рекурсивную перестановку /, что f(xt) = х2.)
4-20. Определим частичнорекурсивную функцию 1= {{х, х)} | <рх (х)
сходится}. Покажите, что i не универсальна. (Указание. Рассмотрите обла-
-сти значений.)
4-21. Покажите, что универсальную функцию нельзя продолжить до об-
общерекурсивной функции. (Указание. Используйте теорему 2-И.) ;
^4-22 (а) Покажите, что универсальные функции образуют единственный
тип сходства.
(Ь) (Блюм). Покажите, что универсальные функции образуют единствен-
единственный тип изоморфизма.
4-23.|Пусть о|) — некоторая универсальная функция, и пусть / — обще-
общерекурсивная функция двух переменных, отображающая JV X JV на JV.
Является ли нумерацией в смысле упражнения 2-10 отображение, сопостав-
сопоставляющее каждому х частичнорекурсивную функцию kybpf(x, i/)]? .,
Глава 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО
ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 5.1. Определения 81
§ 5.2. Основная теорема 84
§ 5.3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые отношения: коди-
кодирование и-ок 89
§ 5.4. Теоремы о проекции 92
§ 5.5. Равномерность 95
§ 5.6. Конечные множества - 96
§ 5.7. Теорема об однозначности 99
§ 5.8. Упражнения 101
§ 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Мы будем изучать свойства множеств натуральных чисел,
являющиеся рекурсивно инвариантными, в частности свойства,
связанные с разрешимостью и неразрешимостью. Наиболее важ-
важным свойством такого рода является свойство множеств обладать
рекурсивной характеристической функцией.
Определение. Множество рекурсивно, если оно обладает обще-
общерекурсивной характеристической функцией. (То есть А рекурсив-
рекурсивно тогда и только тогда, когда существует общерекурсивная функ-
функция /, такая, что для любого х х?А =$~f{x) = 1иг64=^- f(x) —
На интуитивном уровне, А рекурсивно, если существует эффек-
эффективная-процедура, позволяющая решить для любого данного х,
принадлежит ли он множеству А или не принадлежит.
Примеры. Следующие множества рекурсивны:
(i) множество {0, 2, 4, . . .} всех четных чисел;
(ii) N и 0;
(iii) произвольное конечное множество;
(iv) произвольное множество с конечным дополнением.
Множества (iii) и (iv) рекурсивны в силу того, что инструкции
для их характеристических функций могут быть получены
с использованием соответствующих явным образом выписанных
конечных множеств.
Существует к0 рекурсивных множеств. Из мощностных сооб-
соображений следует, что должны существовать нерекурсивные мно-
множества (поскольку существует 2*<> подмножеств множества N).
Конкретные примеры нерекурсивных множеств приведены в гл. 1
и 2. Заметим, что_из тезиса Чёрча тривиально следует, что если А
рекурсивно, то А рекурсивно.
6—0506

82 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 83
Тесно связанным с понятием рекурсивности оказывается дру-
другое, несколько отличное от рекурсивности, свойство.
Определение. Множество А рекурсивно перечислимо, если или
А = 0, или существует общерекурсивная функция /, такая, что
А есть множество значений функции /.
На интуитивном уровне, множество рекурсивно перечислимо,
если существует эффективная процедура для перечисления (воз-
(возможно, с повторениями) его элементов. Свойства рекурсивности
и рекурсивной перечислимости играют центральную роль в даль-
дальнейшем рассмотрении. В настоящей главе мы предпримем иссле-
исследование этих свойств. Непосредственная связь между рекурсив-
ностью и рекурсивной перечислимостью устанавливается следую-
следующими теоремами.
Теорема I. А рекурсивно =>¦ А рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Случай (i). А пусто. Тогда А рекур-
рекурсивно перечислимо по определению.
Случай (ii). А конечно и Ф0. Пусть А = {п0, гац . . ., nh}.
Определим / следующим образом:
•И _ / Пх ДЛЯ Х ^ fe'
'^X'~\nk для k<x.
Случай (iii). А бесконечно. Пусть g — характеристическая
функция множества А. Определим / так:
/@) = \iy[g(y) = 11;
f(x + 1) = \iy[g(y) =1и f(x) < у].
В случаях (ii) и (iii) функция / общерекурсивна, согласно тезису
Чёрча, и А = Val /.и
Приведенное доказательство неконструктивно в том смысле,
что, располагая индексом характеристической функции множест-
множества А, мы можем не знать, какой из случаев имеет место (ср.
с упр. 2-34 (d)).
Теорема II. А рекурсивно <=>какА, так и А рекурсивно пере-
перечислимы.
Доказательство. =4*. Следует немедленно из теоремы I,
так как А рекурсивно =>- А рекурсивно.
¦<=. (Фигурировало выше в качестве упр. 2-27.) Если А или А
пусто, рекурсивность множества А очевидна. Если ни одно из
множеств А и А не пусто, то для некоторых общерекурсивных
функций / и g A =Val/ и А = Val g. С привлечением функций /
и g может быть описана рекурсивная процедура, позволяющая.
распознавать принадлежность числа множеству А: а именно, пусть
на принадлежность множеству А исследуется х, мы просматри-
просматриваем по очереди /@), g@), /(I), g(l), /B), Если х оказывается
значением функции /, то х 6 А. Если х оказывается значением
функции g, то х 6 А. Так как А [} А= N, х непременно должно
оказаться или значением /, или значением g. На более интуитив-
интуитивном уровне эта процедура может быть описана следующим обра-
образом: одновременно порождаются списки для множеств А и А;
в то же самое время осуществляется зигзагообразный поиск х
в двух списках. Когда-то х должно появиться. Список, в котором
появляется х, определяет, принадлежит ли х множеству А или
множеству А.ш
Мы увидим в § 5.2, что обращение теоремы I места не имеет
и, следовательно, согласно теореме II, возможно рекурсивно
перечислимое множество, дополнение которого рекурсивно пере-
перечислимым не является.
Существует щ рекурсивно перечислимых множеств. Из мощно-
стных соображений следует, что должны существовать множества,
не являющиеся рекурсивно перечислимыми; таким будет {х | фж
общерекурсивна} (упр. 2-9, являющееся следствием теоре-
теоремы 1-VIII, показывает, что {х | фж общерекурсивна} не рекурсив-
рекурсивно перечислимо).
Следующие специальные виды рекурсивной перечислимости
приводят к частичному обращению теоремы I.
Определение. Множество А рекурсивно перечислимо в порядке
неубывания, если существует общерекурсивная функция /, такая,
что А = Val / и / — неубывающая функция ((Ух) (Уу) [х <
Определение. Множество А рекурсивно перечислимо в порядке
возрастания, если существует общерекурсивная функция /, такая,
что А = Val / й / — возрастающая функция ((Ух) (Уу) [х <
<V=>f(x)<fiy)]).
Теорема Щ (а). [А рекурсивно &Аф0]<=>А рекурсивно
перечислимо в порядке неубывания.
(Ъ). [А рекурсивно & А бесконечно] <=> А рекурсивно перечислимо
в порядке возрастания.
Доказательство. =$-для (а) и (Ь). Легко устанавли-
устанавливается с привлечением функций, построенных в случаях (ii)
и (ш) доказательства теоремы I.
¦<= для (а). Рассмотрим следующие два случая:
Случай (i). А конечно. Тогда А рекурсивно, поскольку
рекурсивно любое конечное множество.
6*

84 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 5.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 85
Случай (ii). А бесконечно. Пусть / пересчитывает А в поряд-"
ке неубывания. Чтобы выяснить, принадлежит ли х множеству А,
порождаем множество значений функции /, пока не появится чис-
число большее, чем х. Тогда х 6 А <=> х уже появилось в списке.
Значит,. мы располагаем эффективным способом распознавания^
принадлежности числа множеству А; тем самым А рекурсивно.
¦<= для (Ь). Проходит рассуждение, подобное приводимому
в случае (ii) доказательства для (а). (В рассматриваемом случае
надлежит порождать лишь /@), /A), . . ., f(x).)m
Заметим, что доказательство ¦<= для (а) неконструктивно; мы;
не знаем, какой из случаев (i) или (ii) имеет место.
Теорема III, не будучи особенно глубокой, тем не менее часто
оказывается полезной. Одно из возможных ее применений содер-:
жится в теореме IV, другие — в упр. 5-6 и 5-7. - ;
Теорема IV. Всякое бесконечное рекурсивно перечислимое мно-
множество обладает бесконечным рекурсивным подмножеством. :
Доказательство. Пусть А бесконечно и рекурсивно
перечислимо. Пусть / общерекурсивна и Val/ = .4. Зададим
общерекурсивную функцию g:
g@)=/@),
g(x + 1) = fhiy[f(y) > g(x))). • :
Пусть В = Val g. Тогда g порождает В в порядке возрастания.
Следовательно, по теореме III множество В бесконечно и рекур-
рекурсивно. Так как В с А, доказываемое утверждение установлено.¦
Читатель легко может проверить, что понятия, введенные
в § 5.1, рекурсивно инвариантны.
§ 5.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Следующая теорема выявляет еще одну особенность рекурсив-
рекурсивной перечислимости. Это простой, но важный результат.
Теорема V (основная теорема о рекурсивно перечислимых
множествах). А рекурсивно перечислимо <=> А есть область опре-
определения частичнорекурсивной функции (т. е. (Зх) [А = Arg q>x\.
Доказательство. =^. Случай (i). А = 0. Пусть гр
есть нигде не определенная частичнорекурсивная функция. Тог-
Тогда А = Arg i|).
Случай (ii). Аф0. Тогда А есть множество значений
некоторой общерекурсивной функции /. Зададим г|з следующими
инструкциями: чтобы вычислить"^(х), порождайте множество зна-
чений функции /; если и как только х появится во множестве зна-
значений /, тотчас выдайте х на выход. Очевидно, что г|з частичноре-
курсивна и А = Arg г|).
~$=. Пусть A =Argi|), где г|з —частичнорекурсивная функция.
Определим эффективную процедуру, которая будет порождать
А, если А не пусто. Процедура осуществляется по этапам.
Этап 1. Выполните 1 шаг в вычислении 1|з@). Если процесс
вычисления 1|з@) завершается на первом шаге, поместите 0 в спи-
список для А.
Этап п + 1. Выполните по п + 1 шагу в вычислении
. . ., ty(n). Тек, 0 ^ к ^ п, для которых процесс вычисле-
вычисления ty(k) завершается на (п + 1)-м шаге или ранее, добавьте
в список для А.
Теперь определим г\ следующим образом:
т]@) = первый элемент пересчета;
С \iy [у было добавлено к списку на этапе х + 1 и
г\(х + 1) = | у$ {т]@), г|A), . . ., г\(х)}], если такое у существует;
I. т]@) в противном случае.
Согласно тезису Чёрча, г\ есть частичнорекурсивная функция.
Если А = 0, то А рекурсивно перечислимо по определению.
Если А Ф 0, то по построению т] всюду определена и Val т] =
= ArgiC = А; таким образом, множество А рекурсивно перечис-
перечислимо. ¦
Только что приведенное доказательство проводилось путем
„уплотнения" („dovetailing") вычислений для г)з(О), . . ., г)зA), ....
Такого рода конструкция удобна и часто применяется в рассматри-
рассматриваемой теории. В дальнейшем мы будем иногда вместо упоминания
этой конструкции отсылать к теореме V.
Введем теперь в качестве имен рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств индексы соответствующих частичнорекурсивных
функций.
Определение. Wx = Arg (p*.
Будем называть х рекурсивно перечислимым индексом или гёде-
левым номером рекурсивно перечислимого множества Wx. Заме-
Заметим, что, как это следует из теоремы 1-III, всякое рекурсивно
перечислимое множество имеет бесконечно много рекурсивно
перечислимых индексов. Мы будем часто писать вместо „рекурсив-
„рекурсивно перечислимые индексы" „р. п. индексы" или просто ^.индексы".

86 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Если иметь в виду процедуру „уплотнения" из теоремы V, то
индекс множества интуитивно можно воспринимать как имя про-
процедуры, никогда не завершающейся и порождающей с переры-
перерывами (возможно, лишь конечное число раз наступающими) после-
последовательность выходных значений,— эти выходные значения,
и образуют множество.
Из доказательства теоремы V непосредственно усматривается
следствие.
Следствие V (а). А рекурсивно перечислимо <=> А есть множе-
множество значений частичнорекурсивной функции (т. е. (Зх) [А =
= Val Фх]).
Доказательство следствия. =>. Случай (i) ана-
аналогичен соответствующему случаю в доказательстве теоремы.
Случай (ii). Функция о|), построенная при доказательстве тео-
теоремы, пригодна и здесь, так как А — Arg о|) = Val o|).
<=. Как и прежде, за тем лишь исключением, что теперь к ранее
образованному списку для А добавляются по этапам не входи,
а выходы.ж
Итак, А есть область определения частичнорекурсивной функ-
функции тогда и только тогда, когда А есть множество значений частич-
частичнорекурсивной функции. Приведем следствие, выражающее этот
факт в более сильной форме.
Следствие V (Ь). Существуют общерекурсивные функции fug,
такие, что для всех х
Val ф/(я) = Arg фх,
§ 5.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 87
Доказательство следствия. Установим сущест-
существование функции /. Для любого данного х определим
(у, если <рх(у) сходится;
| расходится в противном случае.
Очевидно, что Val г|з = Arg ц>х. Так как инструкции для г|з зависят
от х равномерно эффективным образом, то т|) = Ф/(Х) Для некоторой
общерекурсивной функции /. (Здесь неявно использована s-m-n-
теорема.)
Установим существование функции g. Пусть дан х, зададим
порождающую процедуру, подобную процедуре, описанной при
доказательстве теоремы V, но отличающуюся от нее тем, что пере-
перечисляются выходы, а не входы, и еще тем, что роль о|? теперь играет
<рж. Определим
{у, если у появляется в списке;
расходится в противном случае.
Очевидно, что Arg 6 = Val фж. Так как инструкции для 6 равно-
равномерно эффективно зависят от х, то 6 = fg(X) Для некоторой обще-
общерекурсивной функции g. щ
Легко усматривается и третье следствие, утверждающее, что
для непустых множеств можно переходить равномерно эффектив-
эффективным образом от инструкций для области определения или множе-
множества значений к инструкциям для перечисления всюду определен-
определенной функцией.
Следствие V (с). Существуют общерекурсивные функции f
и g', такие, что:
(i) Val фг (ж) = Arg фя и [Arg фж ф 0 => фГ(ж) общерекур-
сивна];
Ш) Val (pg'(x) = Val фж и [Val ух Ф 0 =$>¦ фв'(ж) общерекур-
сивна].
Доказательство следствия. Для доказатель-
доказательства (i) возьмем частичнорекурсивную функцию х\, построенную
при доказательстве теоремы V, с фж вместо г|з. Тогда индекс функ-
функции т] равномерно эффективно зависит от х, т. е. т] = ф/'(ж) для
некоторой общерекурсивной функции /'.
Для доказательства (ii) положим g' = f 'g, где g — функция
из следствия V (Ь).^
И, наконец, четвертое следствие утверждает, что можно 'рав-
'равномерно переходить от инструкций для области определения или
множества значений к инструкциям для перечисления без повто-
повторения.
Определение. Множество А есть начальный сегмент множества
N, если
(vz) (у/у) [1уеА&х<у\=>хеА\.
Следствие V (d). Существуют общерекурсивные функции f
и g", такие, что:
(i) Val q>f"(X) = Arg фж, ф/'(Ж) взаимно однозначна и область
определения ф/'(ж) есть начальный сегмент N;
(ii) Val Ф8"(Ж) = Val фж, Ф8»(Ж) взаимно однозначна и область
определения функции фв'(Ж> есть начальный сегмент множестваШ.
Доказательство следствия: Доказательство
подобно доказательству следствия V(c) (упр. 5-11). в
Теорема V дает действенный метод, позволяющий устанавли-
устанавливать рекурсивную перечислимость. С ее использованием может
•быть показано, что многие из множеств, рассмотренных в гл. 2,
рекурсивно перечислимы. Приведем здесь один такой пример:
{х\ц>х(х) сходится}. Дадим сначала этому множеству специаль-
специальное имя.

88 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение. К = {х | ух(х) сходится} = {х \ х ? Wx). (Отны-
(Отныне буква К будет служить обозначением этого множества.)
Теорема VI. Существует рекурсивно перечислимое, но не рекур-
рекурсивное множество, и,К является таковым.
Доказательство. Положим
1* если фж(х) сходится,
расходится, если фх(х) расходится.
Очевидно, что функция г|з частичнорекурсивна и К — Arg г|з. Сле-
Следовательно, согласно теореме V, множество К рекурсивно пере-
перечислимо.
Из следствия 1-VII нам известно, что множество К не рекур-
рекурсивно. Однако мы теперь в состоянии дать более короткое дока-
доказательство этого факта. Предположим, что К рекурсивно. По тео-
теореме II K = Wm для некоторого т. Тогда т 6 К <=>т 6 Wm
по определению К, однако т ? К<=>т ? Wm в силу выбора т.
Полученное противоречие показывает, что К не может быть рекур-
рекурсивным Х).щ .
Таким образом, в то время как К рекурсивно перечислимо, К
рекурсивно перечислимым не является. Кроме того, согласно
теореме III, само множество К не является рекурсивно перечис-
перечислимым в порядке возрастания.
Множество К будет играть в дальнейшем важную роль. В нем
воплощена и сконцентрирована проблема остановки. Оно будет
неоднократно использоваться нами при построении контрприме-
контрпримеров. Мы столкнемся с целым рядом других множеств, которые-
окажутся рекурсивно перечислимыми, но не рекурсивными. Даль-
Дальнейшие важные свойства рекурсивно перечислимых множеств.
и рекурсивных множеств излагаются в теоремах и упражнениях г
ел едующих4 ниже.
Теорема VII. Если г(з частичнорекурсивна и А рекурсивно пере-
ислимо, то •ф'ЧД) рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Чтобы проверить результаты такого
рода, лучше всего положиться на интуицию и описать процедуру
в общих чертах. Например, в нашем случае: „Перечисляйте эле-
элементы А, в то же самое время производите, уплотняя, вычисления
для г(з при всех входных значениях; выделите входные значения,
приводящие к выходам, принадлежащим А". Для более формаль-
формального доказательства, однако, может быть полезна основная тео-
х) Обращаем внимание читателя на аналогию с классическим доказа-
доказательством теоремы Кантора (которая утверждает, что мощность любого мно-
множества меньше мощности множества всех его подмножеств).
§ 5.3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ ОТНОШЕНИЯ 8Э5
рема. В нашем случае применим основную теорему к множеству
А = Arg фп для некоторого п. Тогда ор—1(^4.) = Arg ф„я|> и, вновь-
согласно основной теореме, ^^(А) рекурсивно перечислимо.а
§ 5.3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
ОТНОШЕНИЯ; КОДИРОВАНИЕ п-ок
Понятия рекурсивности и рекурсивной перечислимости можно
было бы перенести на ?г-арные отношения, сказав, что отношение
рекурсивно, если оно обладает рекурсивной характеристической
функцией, и что отношение рекурсивно перечислимо, если оно-
есть область определения частичнорекурсивной функции *). Мы,
однако, не станем поступать таким образом. Мы рассмотрим раз-
различные (хотя и эквивалентные) способы, позволяющие переносить
на отношения любое рекурсивно инвариантное свойство множеств^
В частности, нами будет перенесено „пересчитывающее" определе-
определение рекурсивной перечислимости, рассматривавшееся в § 5.1.
Сначала мы введем некоторое специальное кодирование упоря-
упорядоченных пар натуральных чисел (натуральными числами);- затем,
используем это кодирование для описания некоторого специаль-
специального кодирования ?г-ок натуральных чисел (натуральными числа-
числами) при каждом п. Мы фиксируем эти способы кодирования и бу-
будем прибегать к ним в дальнейшем.
Определение. %{х, у) = у (х2 + 2ху + у2 + Ъх + у).
Лемма, т является рекурсивным взаимно однозначным отобра-
отображением множества N ^ N на N.
Доказательство. Рекурсивность т очевидна. Поста-
Поставим в соответствие числам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... упорядоченные
пары <0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, <1,2>, ...
Читатель может проверить с помощью известного тождества
0+1 + 2+ . . . + га = -уп{п + 1), что это соответствие задает-
задается посредством х.щ
Хотя нами и было описано некоторое конкретное т, специфиче-
специфический вид его для нас неважен. Существенным является лишь то,
что т отображает N X N взаимно однозначно на N и что т рекур-
рекурсивно. Существует бесконечное семейство функций, каждая из кото-
которых могла бы играть роль т. Такие функции мы будем называть
функциями пересчета пар 2).
г) Для re-арного отношения функция 'есть функция п переменных.
2) Этот термин (в оригинале pairing functions.— Перее.) часто употреб-
употребляется также применительно к функциям, отображающим N УС N взаимно
однозначно в N я имеющим рекурсивное множество значений.

90 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение. я4 и я2 суть функции одной переменной, осуще-
осуществляющие отображение, обратное отображению т. Иными сло-
словами, для всех z %{ni(z), nz(z)) = z. Функции nj и я2, очевидно,
общерекурсивны.
Определение. Мы будем использовать символ (х, у) в качестве
сокращения для %{х, у). Мы определим А X В как {(х, у) \х?
6 А & у 6 В}, т. е. А X В = х(А X В). Тем самым X есть опера-
операция, переводящая множества в множества.
Для любого п > 0 кодирование т™, отображающее Nn на N,
определяется посредством т следующим индуктивным определе-
определением.
Определение,
т1 = Ых],
ти+1 =^х1 . : . хп+1[-с(%п(хи . . ., хп), хп+1)].
•(В частности, та = т.)
я", . . ., л,п — инверсные функции для т™, т. е. для всех z
¦rn(n*(z), . . ., n"(z)) = z, (В частности, я? = я4 и я* = я2.)
Все эти функции, очевидно, общерекурсивны. Мы будем обо-
обозначать хп(хи . . ., хп) через (хи . . ., хп).
Пример 1. B, 1, 0) = (B, 1), 0) = {8, 0> =44.
Пример 2. т4(.4*) = ({А X А) X А) X А.
В случае, когда обозначение X употребляется без скобок, мы
•будем предполагать связанность слева. Например, АхВхС озна-
означает (А X В) X С.
Посредством тп мы можем перейти от любого /г-арного отноше-
отношения и, в частности, от любой функции к соответствующему „кодо-
„кодовому" множеству натуральных чисел. Любое свойство множеств
распространяется на свойства /г-арных отношений, если условить-
условиться, что отношение обладает данным свойством тогда и только тог-
тогда, когда его кодовое множество обладает этим свойством.
СоглашЕниЕ. Пусть Р — свойство множеств. Будем говорить,
что п-арное отношение R обладает свойством Р, если xn(R) обла-
обладает свойством Р.
Тем самым понятия рекурсивности и рекурсивной перечисли-
перечислимости, определенные в § 5.1, оказываются теперь перенесенными
на отношения. Таким же образом могут быть перенесены многие
важные результаты. Например, из теоремы II мы получаем, что
Л рекурсивно <=> R и R рекурсивно перечислимы (здесь R =
= Nn — R).
Эквивалентны ли эти определения рекурсивности и рекурсив-
рекурсивной перечислимости отношений определениям, предложенным
§ 5.3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ ОТНОШЕНИЯ 91
в первой фразе § 5.3? Их эквивалентность немедленно следует
из теоремы V (основной теоремы) и следующей теоремы.
Теорема VIII (а). Пусть ф — частичнорекурсивная функция
одной переменной; тогда
, . . ., хп))] ,
есть частичнорекурсивная функция п переменных.
(Ь) Пусть о|)(П) — частичнорекурсивная функция п переменных;
тогда
есть частичнорекурсивная функция одной переменной.
Доказательство. Следует из тезиса Чёрча. Заметим,
что всюду определенные функции соответствуют всюду определен-
определенным функциям и соответствие, устанавливаемое в (а), обратно
соответствию, устанавливаемому в (Ь) г).ш
Чтобы проиллюстрировать определения рекурсивности и ре-
рекурсивной перечислимости отношений, приведем следующую тео-
теорему. Доказательство оставим в качестве упражнения (см.
упр. 5-17).
Теорема IX (а). Пусть / — всюду определенная функция; тогда
f есть общерекурсивная функция <^>f как бинарное отношение
рекурсивна <^>/ как бинарное отношение рекурсивно перечислима.
(Ь) Пусть г)з — функция; тогда г(з есть частичнорекурсивная
функция <=^> г)з как бинарное отношение рекурсивно перечислима.
Разумеется, в (Ь) отношение ty может быть рекурсивно перечис-
перечислимо, но не рекурсивно; г(з — {(х, я) | х 6 К-} представляет собой
такой пример. (Это одна из причин, по которой мы называем основ-
основные объекты нашей теории „частичнорекурсивными функциями",
а не „рекурсивными частичными функциями".) В ряде разделов
теории (так же как и в рассматриваемом случае) термин „частично-
„частичнорекурсивная" часто связывается с рекурсивной перечислимостью
(см., например, § 9.2).
Замечание о рекурсивной инвариантно-
инвариантности. Посредством кодирования тп отношения могут быть (в раз-
различных целях) идентифицированы с множествами. Конкретные
отображения т™ не являются сами по себе рекурсивно инвариант-
инвариантными объектами, равно как и соотношение А = xn(R) между мно-
множеством А и отношением R не есть рекурсивно инвариантное
*) Теорема VIII показывает, что размерность не играет в теории рекур-
рекурсивных функций роли, аналогичной той, какую она играет в теории непре-
непрерывных функций действительной переменной (где аналог теоремы VIII места
не имеет).

92. ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
соотношение. Можно показать, однако, что всякое рекурсивно
инвариантное свойство множеств, перенесенное на отношения
в соответствии с принятым соглашением, превращается в рекур-
рекурсивно инвариантное свойство отношений, т. е. можно показать,
что R = Q => т™ (R) == хп (Q) для n-арных отношений R и Q
(упр. 5-19). Обратное, однако, места не имеет. Свойство, являю-
являющееся рекурсивно инвариантным для /г-арных отношений, не всег-
всегда превращается в рекурсивно инвариантное свойство соответ-
соответствующих множеств, т. е. т™(Д)= tn{Q), вообще говоря, не вле-
влечет за собой R == Q для /г-арных отношений R и Q. Такого рода
пример содержится в упр. 5-20.
§ 5.4. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИИ
В § 5.1 была определена рекурсивная перечислимость. В § 5.2
(основная теорема) она была охарактеризована иным способом.
В настоящем разделе мы приведем еще одно ее описание — с помо-
помощью проекций рекурсивных отношений.
Мы употребляем следующее сокращение, являющееся обще-
общепринятым в метаматематических работах: вместо (х1г ..., хп) 6 R
пишем R(xi, . . ., хп).
Определение. Множество
, . . ., хп)
. . ., хп)}
называется проекцией отношения R вдоль j-й координаты. (Гео-
(Геометрический смысл этого термина ясен.)
Теорема X. Если отношение R рекурсивно перечислимо, то суще-
существует рекурсивное отношение S, такое, что R есть проекция S.
Более точно f если R есть п-арное, рекурсивно перечислимое отно-
отношение, то существует {п + \)-арное рекурсивное отношение Sr
такое, что
R =-
хп}\
Теорема XI. Если отношение R рекурсивно перечислимо, та
всякая его проекция рекурсивно перечислима. В частности, если
R п-арно и рекурсивно перечислимо, то отношение
{{хи . . ., ?„_!>! Cxn)R(xu . . ., хп)}
рекурсивно перечислимо.
Немедленно получаем такое следствие.
Следствие XI. R рекурсивно перечислимо <=>/? есть проекция
некоторого рекурсивного отношения S.
§ 5.4. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИИ 93
Мы будем ссылаться на эти теоремы как на теоремы о проекции
или как на теоремы о кванторе существования (ввиду той роли,
которую играет символ 3 при определение проекции). Эти теоре-
теоремы часто используются при доказательстве рекурсивной перечис-
перечислимости. Прежде чем доказывать эти теоремы, проиллюстрируем
их применение.
Пример. Рассмотрим А = {х | 7 6 Val срж}. Чтобы пока-
показать, что множество А рекурсивно перечислимо, мы представим А
в виде проекции:
А = {х | (Ш<Р*(У) = 71} =
= {х | (Зг/) Cz) [ в процессе вычисления, соответствующего
Рх, при входе у получаем 7 в качестве выхода менее чем
за z шаговХ),
т, е.
= {х\ (iy) Cz) S(x, у, г)},
где S — рекурсивное отношение. Дважды применив теорему XI,
получаем, что множество А рекурсивно перечислимо.
Доказательство теоремы X. Пусть R = тп(Д).
Тогда R есть рекурсивно перечислимое множество. Согласно тео-
теореме V, существует частичнорекурсивная функция i|), такая, что
R = Arg г)з. Пусть т — фиксированный индекс функции г)з
и Рт — соответствующее множество инструкций для г)з. Тогда
R{xi, . . ., хп) <=> (хи . . ., хп) 6 R <=>Ц({х1, . . ., я„» сходится
<=> (ixn+i) [процесс вычисления, соответствующий Рт, при входе
{Xi, . .., хп) завершается менее чем за xn+i шагов]. Согласно тезису
Чёрча, словосочетание, стоящее в квадратных скобках, опре-
определяет [рекурсивное отношение на Nn+1, и теорема доказана.я
Доказательство теоремы XI. Достаточно пока-
з ать справедливость утверждения теоремы для проекции отноше-
отношения R вдоль /г-й координаты. Пусть дано рекурсивно перечисли-
перечислимое отношение R. По теореме X мы можем найти рекурсивное
¦отношение S, такое, что R{xY, . . ., хп) <=?> {Зхп+^)8{хи . . ., xn+i).
Пусть Q — заданная проекция отношения R. Тогда Q(xi,.. .xn_t) <^>
<=> QbiWxi, ¦ ¦ ¦, хп)<=> (За;») {ixn+i) S(Xi, . . ., xn+i). Опре-
Определим теперь частичнорекурсивную функцию ^ следующим
образом. Чтобы вычислить ^>((xi, . . ., zn_i», проверяйте
по. очереди, выполнено ли S(xi, . . ., xn_t, nt(z), n2(z)) при z =
= 0, 1, 2, . . ., пока не получите утвердительный ответ. Если
и как только это произойдет, выдайте на выход 1. Тогда
Q(xi,..., a:n_1)<=>o|)((x1,.. .,xn_i)) сходится <^>{хи .. ,хп^) 6 Argi)).
Следовательно, согласно теореме V, Q рекурсивно перечислимо. ¦

94 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Теоремы о проекции дают действенный способ, позволяющий
установить рекурсивную перечислимость, хотя часто рекурсивную
перечислимость более просто распознать, руководствуясь идеями
§ 5.1 и 5.2. Например, рассмотрим А = {х | Wx^ 0}. A) Чтобы
показать, что множество А рекурсивно перечислимо, согласно
основному определению (§ 5.1) мы должны перечислять элементы
множества А. Интуитивно ясно, что это может быть достигнуто
двойной процедурой „уплотнения" („одновременно" перечисляю-
перечисляющей Wo, W\, W2, . . ., а затем перечисляющей индексы тех пере-
пересчетов, которые оказываются непустыми). B) Чтобы показать,
что множество А рекурсивно перечислимо, согласно теореме
об области определения (теорема V), следует задать функцию г|>т
сходящуюся на х, если W' ХФ 0, и применить одноактную про-
процедуру „уплотнения" к списку Wx. Тогда А = Avgty и рекурсивно
перечислимо. C) Чтобы установить рекурсивную перечислимость
множества А с помощью теорем о проекции, переопределцм А
как {х | (Зу) (Bz) [процесс вычисления, соответствующий Рх, при
входе у завершается менее чем за z шагов]} и немедленно получим
его рекурсивную перечислимость.
Определение. Если R есть га-арное отношение и к фиксировано,
отношение
. {(х2, . . ., хп)\ R(k, х2, . . ., хп)}
назовем сечением отношения R по к. Очевидно, что любое сечение-
рекурсивно перечислимого или рекурсивного отношения является
соответственно рекурсивно перечислимым или рекурсивным отно-
отношением. Существует ли единственное рекурсивное отношение,
из которого все рекурсивно перечислимые множества могут быть
получены взятием сечения и проекции?'Ответ содержится в неяв-
неявной форме в предыдущих доказательствах; мы сформулируем его
в виде теоремы XII.
Теорема XII (о нумерации рекурсивно перечислимых множеств).
Существует рекурсивное тернарное отношение R, такое, что для.
всех z
Wz = {x\ Cw)R(z, х, w)}.
Доказательство. Определим R как {{z, x, w)\ про-
процесс вычисления, соответствующий Pz, при входе х завершается,
менее чем за w шагов}. Оно рекурсивно согласно тезису Чёрча.и,
Из второй теоремы о проекции получаем
Следствие XII. {(z, х) \ х 6 Wz} есть рекурсивно перечислимое-
множество.
§ 5.5. РАВНОМЕРНОСТЬ 95
§ 5.5. РАВНОМЕРНОСТЬ
Некоторые доказательства существования, приводимые в этой
главе, были неконструктивны в том смысле, что не давалось ника-
никакой эффективной процедуры, позволяющей установить, какой
из нескольких случаев имел место (см., например, доказательство
теоремы III). Займемся выявлением тех доказательств существо-
существования, для которых-можно найти эффективные процедуры. Будем
говорить, что теорема имеет место равномерно или равномерно
эффективно, если такая процедура может быть задана. Точный
смысл термина „равномерная эффективность" обычно будет ясен
из контекста. Некоторые ранее доказанные результаты имели
место равномерно. Например, следствие V (Ъ) показывает, что
мы можем „переходить равномерно" от области определения
к множеству значений и обратно. Следствие V (с) дает аналогичное
явное выражение равномерности. Иногда может быть показано,
что равномерность места не имеет. Следующие теоремы служат
иллюстрацией сказанному.
Теорема XIII. Класс рекурсивно перечислимых множеств замк-
замкнут относительно операций (J , [\ и X равномерно эффективно.
Доказательство. Здесь под „равномерностью" под-
подразумевается существование общерекурсивных функций /, g и h,
таких, что WHx, y) = Wx\]Wv, Wgix, y)=Wxf}Wy и Wh(x ,y) =
= WX X Wv. Мы оставляем доказательство в качестве упражнения
(см. упр. 5-23).щ
Теорема XIV. Класс рекурсивных множеств замкнут относи-
относительно операций U , П , X и операции взятия дополнения. На уров-
уровне р. п. индексов замкнутость относительно у, Ц ц X равно-
равномерна, однако замкнутость относительно операции взятия допол-
дополнения не может быть равномерной.
Доказательство. Мы оставим доказательство замкну-
замкнутости и равномерности в качестве упражнения (упр.. 5-24). Пока-
Покажем, что замкнутость относительно операции взятия дополнения
не может быть равномерной, т. е. не существует частичнорекур-
сивной функции о);, такой, что для всяког о х множество Wx рекур-
рекурсивно <=> Ь|з(х) сходится и W^(X) = Wx\. Предположим, что такая
функция г|з существует. Привлечем множество К, чтобы получить
противоречие. Так как К рекурсивно перечислимо и, следователь-
следовательно, может быть эффективно пересчитано, то существует общере-
общерекурсивная функция g, такая, что для всякого х фё<х> всюду
определена, если х 6 К, и нигде не определена, если х ($ К. Итак,
N, если х 6 К,
0, если х ({ К.

¦96 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Для всякого х Wg(K) есть рекурсивное множество. По предполо-
предположению функция tyg(x) определена на всех х. Пусть / есть всюду
определенная функция ipg. Мы имеем
{0, если х 6 К,
N, если х^К.
Таким образом, К = {х \ Wf(x) ф 0}. Но {х | Wf(x) ф 0} =
= {x\{iy)[y = f(x)&Wv^0]} = {x\(iyX3z)Cw)ly = f(x) и про-
цесс вычисления, соответствующий Ру, при входе z завершается
менее чем за w шагов\}. Следовательно, согласно второй тео-
теореме о проекции, множество К рекурсивно перечислимо. Но К
рекурсивно перечислимо =>¦ К рекурсивно, в противоречие с тео-
теоремой VI. и
Замечание. Замкнутость относительно операции взятия
дополнения может быть равномерной, если используется иная
система имен рекурсивных множеств, например индексы характе-
характеристических функций (§ 5.6).
За дальнейшими примерами равномерности и неравномерности
мы обратимся к излагавшимся в этой главе теоремам. В теоре-
теореме III, если мы будем именовать функции обычными гёделевыми
номерами, а рекурсивные множества — индексами характеристи-
характеристических функций, то =Ф- равномерно как в случае (а), так и в слу-
случае (b), a -<= равномерно в случае (Ь), но не в случае (а) (см.
упр. 5-26). Теорема IV имеет место равномерно, даже если рекур-
рекурсивные подмножества именуются индексами характеристических
функций. В теореме V непосредственно говорить о равномерности
нельзя, ибо в первоначальном определении рекурсивной перечис-
перечислимости фигурируют два отдельных случая. Следствия V(b),
V(c) и V(d),— разумеется, явно равномерные результаты. В тео-
теореме VIII равномерность (от индексов к индексам) имеет место
в обеих частях. В теоремах X и XI равномерность наличествует
вне зависимости от того, поименованы ли рекурсивные отношения
р. п. индексами или индексами характеристических функций.
Заключительное замечание. В формальных
доказательствах равномерности почти всегда используется s-m-n-
теорема. Так как s^-функцйи примитивнорекурсивны, результи-
результирующие „функции равномерности" в таких случаях (подобно функ-
функциям / и g в следствии V(b)) обычно также примитивнорекурсивны.
§ 5.6. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
Рекурсивно перечислимое множество может быть названо
посредством указания его р. п. индекса. Подобным образом рекур-
рекурсивное множество может быть названо индексом его характеристи-
§ 5.6. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 97
ческой функции. Мы назовем такой индекс характеристическим
индексом рекурсивного множества. Очевидно, можно равномерно
переходить от характеристических индексов к р. п. индексам*
Равномерный переход в обратном направлении невозможен. Ины-
Иными словами, не существует частичнорекурсивной функции г|з,
такой, что для всякого х множество Wx рекурсивно =>¦ blp(x) опре-
определено и фф(Ж) есть характеристическая функция Wx]. Это является
следствием теоремы XIV: существование такой функции г|з противо-
противоречило бы последней фразе теоремы XIV.
Конечное множество может быть задано еще и именем третьего
вида, именем, которое явно кодирует список элементов множества.
Определение. Пусть А — непустое конечное множество
{хи х2, . . ., хп), где xi < х2 < . . . < хп. Тогда число 2*'+
+ 2*2 -j- . . . + 2Жп называется каноническим индексом множест-
множества А. Если А пусто, канонический индекс, приписываемый А, есть 0.
Определение. Обозначим через Dx конечное множество, кано-
каноническим индексом которого является х.
Очевидно, всякое конечное множество имеет единственный
канонический индекс и каждое натуральное число есть канониче-
канонический индекс некоторого конечного множества. Если х записано
в двоичной системе счисления, элементы множества Dx задаются
расположением единиц; точнее, для всех z z есть элемент множе-
множества Dx, если 1 появляется в качестве (z + 1)-го знака справа
в двоичном разложении х.
Пример. Что такое D13? В двоичной системе счисления 13
есть 1101; единицы появляются на первом, третьем и четвертом
местах (справа). Следовательно, Di3 = {0, 2, 3}.
Очевидно, возможен равномерный переход от канонических
индексов к характеристическим индексам и, следовательно, к р. п.
индексам. Следующая теорема показывает, что равномерный пере-
переход от характеристических индексов к каноническим индексам
невозможен.
Теорема XV (а). Существует общерекурсивная функция /,
такая, что для всех х }(х) есть мощность Dx.
(Ь) Не существует частичнорекурсивной функции а|), такой,
что для всякого х, если <рх есть характеристическая функция конеч-
конечного множества А, то ty(x) определена и ty(x) есть мощность А.
Доказательство, (а) Непосредственно следует из те-
тезиса Чёрча.
(Ь) Предположим, что такая функция я|э существует. По всяко-
всякому х зададим функцию т] так:
Г 1, если процесс вычисления, соответствующий Рх, при
Ti(z) = \ входе х завершается ровно за z шагов;
I 0
в противном случае.
7-0506

98 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Функция т], очевидно, общерекурсивна. Ее гёдедев номер может
быть найден равномерно по х; назовем его g(x). Тогда фг(ж) являет-
является характеристической функцией множества, имеющего мощность
1, если х 6 К, и мощность 0, если х ($ К. Следовательно, tyg есть
общерекурсивная функция, такая, что
I, х 6 К,
Это противоречит нерекурсивное™ К.ш
Следствие XV. Невозможен равномерный переход от характе-
характеристических индексов к каноническим индексам.
Доказательство. Если бы такой переход был возмо-
возможен, то из (а) следовало бы существование г|з для (Ь) в тео-
теореме XV. и
Так как мы можем переходить равномерно от характеристиче-
характеристических индексов к р. п. индексам, из этого следствия немедленно
вытекает, что невозможен равномерный переход от р. п. индексов
к каноническим индексам. Упражнение 5-29 содержит дальней-
дальнейшую информацию об индексах конечных множеств и показывает,
что невозможен равномерный переход от р. п. индексов конечных
множеств к характеристическим индексам конечных множеств
Подытожим полученные результаты: были упомянуты три вида
имен конечных множеств. Равномерный переход в направлениях,
указанных в следующей диаграмме, осуществим, но переход
в обратных направлениях невозможен.
Характеристические индексы
S \
Канонические индексы ->¦ Р. п. индексы
Кодирование всех п-ок
Положим № = {0}. Определим кодирование т*, которое
оо
отображает U Nn взаимно однозначно на N:
тг=О
(U Nn = {0} U N U ШХЮ U Ш X N X N) U . • .).
п=о
Определение.
т*@) = 0;
х*{(хи . . ., хп}) = x(xn{xi, . . ., хп), п — 1) + 1 =
= (хи . . ., хп, п — 1) + 1
§ 5.7. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ 99
Этим кодированием, являющимся, очевидно, эффективным
взаимно однозначным отображением на, мы воспользуемся
в гл. 16.
§ 5.7. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ *)
Определение. Множество А однозначно, если {(х, г/) | {х, у) 6 А }
есть однозначное отношение. (Предостережение: как свойство
множеств однозначность не есть рекурсивный инвариант.)
Заметим, что А однозначно тогда и только тогда, когда А =
= т(о|)) для некоторой функции г(з. Из теоремы IX следует, что
однозначные элементы последовательности Wo, Wit . . . порож-
порождают (при т) семейство всех частичнорекурсивных функций.
К сожалению, {z \ Wz однозначно} не рекурсивно; на самом деле
оно даже не рекурсивно перечислимо. Тем не менее мы можем
перечислить последовательность р. п. индексов однозначных мно-
множеств, которая содержит индексы всех однозначных рекурсивно
перечислимых множеств (хотя и не все индексы таких множеств)
и, следовательно, получить все частичнорекурсивные функции.
Это устанавливается следующей теоремой.
Определение. Arg А = {х | Eу)[{х, у) 6^1}.
Теорема XVI (теорема об однозначности). Существует общере-
общерекурсивная функция /, такая, что для всех z
(i) Wf(Z) однозначно;
(ii) Wf(z) c Wz;
(iii) Arg Wf(z) = Arg Wz,
(iy) Wz однозначно =^ Wf^z) = Wz,
Доказательство, (iv) немедленно следует из (ii)
и (iii). Согласно следствию V (d), процедура для пересчитывания
без повторения Wz может быть найдена эффективно по z. Пусть
дано какое-либо z. Определим
Аг = {(х, у)\(х, y)eW, и (Чу')[[у'фу&
& {х, у') G Wz] =$- (х, у) предшествует (х, у') в пе-
пересчете Wz [задаваемом следствием V (d))]}.
Легко видеть, руководствуясь как интуитивными соображениями,
так и формальными доводами,. что Аг рекурсивно перечислимо
и что р. п. индекс множества Аг может быть найден равномерно
эффективно по z. (Например, определим частичнорекурсивную
функцию с Az в качестве области определения.) Следовательно,
1) За исключением § 16.5, никакие последующие результаты не зависят
от § 5.7.
7*

100 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого z,
Wf(z) = Az. Из определения Az следует, что / обладает свой-
свойствами, требуемыми в (i), (ii) и (iii)-i г)
(Используя функцию / из этой теоремы, мы могли бы опреде-
определить г|зг = x^iWfiz))- Тем самым мы бы имели новую нумерацию
класса всех чаетичнорекурсивных функций. Нетрудно показать,
что эта нумерация была бы допустима в смысле упр. 2-10.)
Теорема об однозначности интересна в двух отношениях.
Во-первых, эта теорема хотя и не обогащает нашей интуиции
{по сравнению с тем, что в этом направлении сделано основной
теоремой), может тем не менее служить формальным изящным
способом применения основной теоремы. Следующая теорема
является тому примером.
Теорема XVII (принцип редукции). Каковы бы ни были два
рекурсивно перечислимых множества А и В, найдутся рекурсивно
перечислимые множества А' и В', такие, что А' сг А, В' cz В,
A U В =А' U В' и А' П В' = 0.
Доказательство. Определим С = (А X {0}) U
U (В х {1}). Согласно теореме XIII, множество С рекурсивно
перечислимо. Пусть С = Wn, и пусть далее С = Wf(n), где функ-
функция / — такая же, как в теореме XVI. Тогда т~1(С") есть частично-
рекурсивная функция г|з. Положим А' =:гр-х(О) и В' = г|г1A).я
Второй, более важный аспект, в котором интересна теорема
об однозначности, связан с изучением обобщенной вычислимости.
Объектами такого изучения служат множества, являющиеся обоб-
обобщениями рекурсивно перечислимых множеств, и функции, являю-
являющиеся обобщениями чаетичнорекурсивных функций. В отличие
от рекурсивного случая при таком изучении оказывается более
удобным сначала определить обобщение -рекурсивно перечисли-
перечислимого множества (определенного „через проекцию"), затем дока-
доказать теорему, аналогичную теореме об однозначности, и, наконец
использовать этот результат об однозначности для определения
обобщения частичнорекурсивной функции. (При переходе от опре-
определения через проекцию к теореме об однозначности возникает
потребность в некотором аналоге основной теоремы. В такого рода
аналоге обычные пересчеты нашей основной теоремы, как правило,
заменяются трансфинитными вполне упорядоченными „пересче-
„пересчетами"). Коль скоро получено обобщение частичнорекурсивной
§ 5.8. УПРАЖНЕНИЯ 101
х) Теорема XVI может быть также названа теоремой об униформизации.
(Будем говорить, что множество Wf <2> получено „униформизацией" множества
Wz Перев.) В теоретико-множественной топологии говорят, что
множество А на плоскости униформизует множество В на плоскости,
если: (i) (\fx) C самое большее один у) [(х, у) ? A]; (ii) АсВ
и(ш) {х | C2О<*. УК Л]) ={х \(Зу)Цх, у)еВ]}(см. Куратовский[1950]).
функции, дальнейшая теория может развиваться параллельно
обычной теории рекурсивных функций г). Мы развиваем такую
обобщенную теорию в § 16.5.
Продемонстрируем еще одно применение теоремы об однознач-
однозначности. Докажем, что по всякому эффективному пересчетурекур-
сивно перечислимых множеств мы можем эффективно найти непу-
непустое множество, встречающееся в пересчете, если такое множе-
множество существует. Для рекурсивно перечислимых множеств это
следует из основной теоремы. Настоящее доказательство, исполь-
использующее теорему об однозначности, может быть перенесено в обоб-
обобщенную теорию § 16.5.
Теорема XVIII (теорема выбора). Существует частичнорекур-
сивная функция ij), такая, что для всякого z
(i) i|>(z) сходится <=> Cw)[w 6 Wz & Ww Ф 0];
(ii) 4>(z) сходится =>- ty(z) 6 Wz& W^(z) Ф 01.
Доказательство. Пусть А = {(z, w) \ Cu)
[u ?WW & w 6 Wz\}. Очевидно, [и 6 Ww & и? 6 Wz\ описывает
рекурсивно перечислимое отношение; отсюда, переходя к проек-
проекции, получаем, что множество А рекурсивно перечислимо. Пусть
А' есть f(A), где / — функция теоремы XVI; полагая г)з = т^'),
получаем искомую функцию т|5.и
Упражнение 5-36 показывает, что с помощью теоремы выбора
может быть получена более общая форма принципа редукции.
Заметим, что теорема выбора является иным выражением прин-
принципа „уплотнения" основной теоремы. Этот принцип состоит в том,
что по любой данной бесконечной эффективной последовательно-
последовательности вычислений мы можем эффективно найти завершающееся вы-
вычисление, если таковое существует.
§ 5.8. УПРАЖНЕНИЯ
§5.1
5-1. Покажите, что свойство множеств быть рекурсивно перечислимыми
рекурсивно инвариантно.
5-2. Множество А рекурсивно перечислимо без повторений, если оно есть
множество значений некоторой общерекурсивной взаимно однозначной функ-
функции /. Докажите, что А бесконечно и рекурсивно перечислимо <=^> А рекурсив-
рекурсивно перечислимо без повторений.
5-3. (а) Пусть А и В — бесконечные рекурсивные множества с бесконеч-
бесконечными дополнениями. Покажите, что А == В. Сколько таких множеств суще-
существует?
х) Если только такое семейство обобщенных частичнорекурсивйых функ-
функций обладает свойствами замкнутости, столь же „естественными", как и свой-
свойства замкнутости (семейства чаетичнорекурсивных функций), вытекающие
из тезиса Чёрча (см., например, теорему 1-IX).

102
ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА"
§ 5.8. УПРАЖНЕНИЯ 103
5-4. Покажите, что если функция / общерекурсивна, функция g общере^
курсивна и взаимно однозначна, множество значений функции g рекурсивно
и (Vx)[f(x) > g(x)], то множество значений функции / рекурсивно.
5-5. Пусть / — общерекурсивная функция. Пусть множество А рекурсив-
рекурсивно и В рекурсивно перечислимо. Что можно заключить о рекурсивности или
рекурсивной перечислимости четырех множеств f(A), f~\A), f(B) и /^(В)?
Д5-6. Класс $ рекурсивно перечислимых множеств называется рекур-
рекурсивно перечислимым классом, если существует рекурсивно перечислимое мно-
множество А, такое, что (УВ)[В ? % <=> (Зу)[у ? A&.Wy = В]], т. е. если суще-
существует эффективная процедура, порождающая по крайней мере один р. п.
индекс для каждого элемента класса %. (Определение обозначения Wx см.
в § 5.2). Покажите, что класс всех рекурсивных множеств рекурсивно пере-
перечислим. (Указание. Воспользуйтесь теоремой III и методом теоремы IV.)
(Для этого упражнения нужна теорема V и ее следствия из § 5.2.)
Д5-7. Пусть R—линейное упорядочение натуральных чисел, которое,
рассматриваемое как отношение, рекурсивно перечислимо. Покажите, что
существует рекурсивное отношение, которое является линейным упоря-
упорядочением того же самого порядкового типа, т. е. которое изоморфно R в обыч-
обычном алгебраическом смысле. (Указание. Воспользуйтесь теоремой III (а).)
(Рекурсивность и рекурсивная перечислимость отношений определена в § 5.3.)
Д5-8. Покажите, что существуют бесконечные множества, не обладающие
бесконечным рекурсивно перечислимым подмножеством. (Указание. Вос-
Воспользуйтесь неконструктивным диагональным методом.) Такие множества
рассматриваются ниже, в гл. 8.
§5.2
5-9. Там, где это возможно, квалифицируйте следующие множества
как (а) рекурсивные множества, (в) рекурсивно перечислимые множества,
(с) множества, обладающие рекурсивно перечислимым дополнением:
(i) {х | х просто};
(ii) {x | по крайней мере х семерок подряд встречается в разложении
числа я};
(ш) {х | ровно х семерок подряд встречается в разложении числа я};
(iv) {x | Wx = 0};
A(v) {x | Wx бесконечно}
(Указанщ. Покажите, что рекурсивная перечислимость этого множества
приводила бы к рекурсивной перечислимости множества {х | <рж всюду опре-
определена}, в противоречие с упр. 2-9. Покажите, что из рекурсивной перечисли-
перечислимости {х | Wx конечно} следовала бы разрешимость проблемы остановки).
(vi) {x | фх общерекурсивна};
(vii) {x | Wx = Wn} для фиксированного п;
A(viii) {x | Wx рекурсивно}.
5-10. Говорят, что А перечислимо частичнорекурсивной функцией в поряд-
порядке возрастания, если существует частичнорекурсивная функция г|), такая,
что А = Val г|з и (Чх)(Уу) [[х < у и ty(x) определена и \р(у) определена] =Ф
=ф г|)(ж) < ^(г/)]. Опишите класс всех множеств, таким образом перечислимых.
5-11. (а) Доказать следствие V (d).
(b) Пусть Vz = {у | (Зж)[ф2(ж) =у & (Vw) [w < x =5> ф2(и>) определено)]}.
Покажите, что множество А рекурсивно перечислимо <=> Cz)[.A = Vz], и до-
докажите аналог следствия V(b).
5-12. Покажите, что существует а0 множеств, рекурсивно перечислимых,
но не рекурсивных.
,45-13. Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество
изоморфно множеству К?
§5.3
5-14. (а) Ассоциативна ли операция X? Коммутативна ли она? Дистрибу-
Дистрибутивна ли она относительно объединения?
(Ь) Покажите, что операция X корректно определена относительно типов
изоморфизма, т. е. что А = А' & В = В' =Ф А X В = А' хВ'. Покажите,
что результирующая операция на изоморфных типах коммутативна, ассоциа-
ассоциативна и обладает нулем. Покажите, что она, однако, не обладает единицей
и что iXBsiXCHe влечет В = С.
5-15. Пусть т' отображает N X N взаимно однозначно в N и т' рекур-
рекурсивно. (Например, х'(х, у) = 2Ж-ЗУ. Клини использует именно эту функцию
пересчета пар.) Покажите, что если z пробегает все Л^, среди
^ = %xy[<pz(%'(x, у))]
оказываются все частичнорекурсивные функции двух переменных.
5-16. Пусть В рекурсивно. Как рекурсивность или рекурсивная пере-
перечислимость следующих множеств 'зависит от рекурсивности или рекурсивной
перечислимости множества А: А X N, А X 0, А X В?
5-17. Докажите теорему IX.
5-18. Пусть R и S суть бинарные отношения. Композиция R | S отноше-
отношений определяется так: {(х, z) ] Cy)[R(x, y)&.S(y, z)]}. Покажите, что R и S
рекурсивно перечислимы =Ф R | S рекурсивно перечислимо.
5-19. Проверьте, что R s= Q =^> %n(R) = in(Q) для произвольных п-
арных отношений R и Q.
5-20. Покажите, что %n(R) == тп(<?) не влечет за собой, вообще говоря,
R == Q. (Указание. Возьмите R = {1} X N, Q = ./V X {!}•)
5-21 (а) Определим Ко = {(х, у) \ х 6 Wy}. Покажите, что множество
Ко рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно.
4(Ь) Покажите, что Ко = К.
Д5-22. Введем еще одно определение универсальной функции: г|) „универ-
„универсальна", если существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого
т q>m — \y[ty((f(m), у))]. Покажите, что это определение не является
рекурсивно инвариантным. (Указание. Определите г|) = Xz[(pJt^z^2(z))],
т. е. я|>(<т, п)) = фт(п). Определите h(z) = т(я2(г), я^г)), т. е. h({x, у)) =
= {у, х) для всех х, у. Затем определите i|)' = h~x^h. Покажите, что ф' не
„универсальна", заметив, что для всякого 6, 6 „универсальна" =ф [Xy[Q(m,y)]
является константой при некотором т, в то время как Xx[Q(x, n)] не является
константой ни при каком тг]).
§5.5
5-23. Докажите теорему XIII.
5-24. Установите замкнутость и равномерность, утверждаемые теоре-
теоремой XIV.
5-25. Покажите, что [А рекурсивно перечислимо и/ рекурсивна] =^f-x(A)
рекурсивно перечислимо равномерно по индексам функции / и множества А.
5-26. Покажите, что невозможно решить эффективным образом по индек-
индексам неубывающих функций, будут ли множества значений таких функций
конечными.
5-27 (а). Из случаев (ii) и (ill) в доказательстве теоремы I следует, что
[Wx рекурсивно и Wx Ф 0] => Wx есть множество значений некоторой
неубывающей общерекурсивной функции, которая или строго возрастает, или
строго возрастает до некоторого места и постоянна начиная с этого места.
Справедлив ли этот результат равномерно?
Д(Ь) Может ли следствие V (с) быть усилено добавлением „и [Arg фж бес-
бесконечна =?> ф^ Сж) взаимно однозначна]" к части (i)?

104 ГЛ. 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА.
§ 5.6 i
5-28. (Фишер, Лакхам, Риттер). Пусть множество А рекурсивно пере-
перечислимо и В рекурсивно.
(а) Покажите, что множество \J Wx рекурсивно перечислимо (рекурсивно
перечислимые множества замкнуты относительно рекурсивно перечислимого
объединения.)
Д (Ь) Покажите, что множество \J Dx может не быть рекурсивным. (Ука-
Вй
§ 5.8. УПРАЖНЕНИЯ 105
ркурсивным. (Ука
зание. Воспользуйтесь последовательностью начальных сегментов в эффектив-
эффективном пересчете К; выберите подходящую подпоследовательность.)
Д (с) Покажите, что множество f~| Wx может не быть рекурсивно перечис-
х?В
лимым и не иметь рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание- Покажи-
Покажите, что множество {х | Wx бесконечно) может быть получено как такое пере-
пересечение, вм. упр. 5-9).
Д (d) Пусть множество В рекурсивно, и пусть (\/я) [х 6 В =Ф Wx рекур-
рекурсивно]. Покажите, что f| Wx может не быть рекурсивно перечислимым и не
иметь рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание. Возьмите последо-
последовательность множеств, таких, что п-в множество есть {п, п-\- 1, . . .} U
U {х | Wx щмеет по крайней мере п элементов}).
Д (е) Если ф,. есть характеристическая функция, обозначим через Сх
множество, определяемое функцией фж. Пусть В рекурсивно и (^х)[х ? В =>
=Ффж есть характеристическая функция]. Покажите, что (~1 Сх может не быть
х?В
рекурсивно перечислимым, но должно иметь рекурсивно перечислимое
дополнение.
Д5-29. Если фж — характеристическая функция, обозначим через Сх
множество, определяемое функцией фж.
(a) Покажите, что невозможен равномерный переход от рекурсивно пере-
перечислимых индексов конечных множеств к характеристическим индексам
конечных множеств, т.е-, что не существует частичнорекурсивной функции я|),
такой, что (y/x)[Wx конечно =Ф [г|)(а:) определено & Wx = Сф(Ж)]].
(b) (Райе). Класс % конечных множеств канонически перечислим, если
существует рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (VВ)[В?
OCv)lveAbD = B}] -
Класс % конечных множеств характеристически перечислим, если суще-
существует рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (yfx)[x ? А =ффх
есть характеристическая функция] и (УВ)[В ? g <=?¦ (^у)[у ?А & Су = В]].
Класс % конечных множеств рекурсивно .перечислим, если существует
рекурсивно перечислимое множество А, такое, что (V' В)[В ? (ё<*=^(Эу)[у ?
eA&.Wv = В]].
(i) Покажите, что возможен рекурсивно перечислимый класс конечных
множеств, не являющийся характеристически перечислимым. (Указание.
Возьмите %={D \ (Зх)[х $ K&D = {х}] или (Зх)[х ? K&.D = {х, х + 1}]}.)
(ii) Покажите, что возможен характеристически перечислимый класс
конечных множеств, не являющийся канонически перечислимым. (Указание.
Возьмите % = {D | Cx)[D = {х}& х $ К] или (Зя) Cy)[D = {х, х +
-+- г/ —j- 1} & процесс вычисления, соответствующий Рх, при входе х завер-
завершается ровно за у шагов]}.)
(ш) Второе и третье определения, приведенные выше, могут быть рас-
распространены без каких-либо изменений на классы бесконечных множеств.
Упражнение 5-6 показывает, что класс всех рекурсивных множеств рекур-
сивно перечислим. Покажите диагональным методом, что этот класс не являет-
является характеристически перечислимым.
5-30. Дайте явную формулу для обращения т* с помощью я^-функций.
§5.7
5-31. Покажите, что {х \ Wx однозначно} не является рекурсивно пере-
перечислимым. (Указание. Покажите, что в противном случае могла бы быть полу-
получена общерекурсивная характеристическая функция множества К.) Является
ли класс всех однозначных рекурсивно перечислимых множеств рекурсивно
перечислимым в смысле упр. 5-6?
5-32. Пусть / — функция, существование которой устанавливается тео-
теоремой об однозначности (теорема XVI). Определим г|)х = т(И7^(ж)). Пока-
Покажите, что г|H, ifii • ¦ • задает нумерацию частичнорекурсивных функций,
допустимую в смысле упр. 2-10.
5-33. Класс g множеств удовлетворяет принципу отделимости, если
(ЧА)(ЧВ)[[А тВтз<ёяА[}В=0]=5 (ЗС)[А CZ С &. В с'С &. С ? <ё&.
& С ? <jg]. Покажите, пользуясь теоремой XVII, что принцип отделимости
имеет место для класса % множеств, дополнения которых рекурсивно пере-
перечислимы.
Д5-34. Покажите, что принцип отделимости упр. 5-33 не имеет места для
класса ^ всех рекурсивно перечислимых множеств. (Указание. См. упр.
2-30.)
5-35. Класс % множеств удовлетворяет принципу редукции, если (V^4)
(Ув)ца е % & в е %\ =ф (Ва')(Вв') w е % & в1 е % & а> п в> =
= 0 & A' (ZA&. В' с В&. A' [J В' = A U В]]. Покажите с использованием
упр. 5-34, что принцип редукции места не имеет для класса g всех множеств
с рекурсивно перечислимыми дополнениями.
Д5-36. Обобщите теорему XVII (принцип редукции) с двух рекурсивно
перечислимых множеств А и В до бесконечного семейства рекурсивно пере-
перечислимых множеств И^@), Wyfl), • • -, задаваемого общерекурсивной функ-
функцией /. (Указание. Для доказательства воспользуйтесь теоремой выбора (тео-
(теоремой XVIII).)
^5-37 (а) Докажите следующую теорему, частными случаями которой
являются результаты упр. 5-9 и 5-31.
Определение. Пусть % — класс рекурсивно перечислимых множеств.
Пусть Р(# = {х | Wx ? g}. Класс % вполне рекурсивно перечислим, если
Р(# — рекурсивно перечислимое множество.
Теорема (Райе, Шапиро, Мак-Нотн, Майхилл; см. Райе [1956]). Класс
% вполне рекурсивно перечислим тогда и только тогда, когда существует
канонически перечислимый класс 3) конечных множеств^ (см. определение
упр. 5-29), такой, что. (УА)[А ? % <=?>¦ [А рекурсивно перечислимо &
& (Э#)[Д G.25&J9 d А]]] !).
(Ь) Выведите как непосредственное следствие этой теоремы, что множе-
множество {х | Wx бесконечно} не является рекурсивно перечислимым и не имеет
рекурсивно церечислимого дополнения.
Такой класс 2) иногда называют ключевым остовом класса

Глава 6. СВОДИМОСТИ
§ 6.1. Общее введение
§ 6.2.Упражнения 109
106
§ 6.1. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
В гл. 2 мы рассматривали разрешимые и неразрешимые проб-
проблемы. Любая такая проблема представима (посредством кодиро-
кодирования) множеством натуральных чисел. Проблема разрешима,
если соответствующее множество натуральных чисел рекурсивно.
Мы рассмотрели также — очень бегло и на неформальном уровне—
понятие сводимости и установили с его помощью неразрешимость
некоторых проблем. Согласно нашему неформальному определе-
определений), одна проблема сводима к другой, если метод решения второй
проблемы дает метод решения первой. Хотя смысл термина „сво-
„сводимость" при каждом его конкретном употреблении в гл. 2 и был
ясен, точное содержание этого неформального определения вы-
выявить непросто. В гл. 6—9 сводимость будет основным объектом
нашего рассмотрения. Поскольку проблемы представимы множе-
множествами, сводимость будет определяться и исследоваться нами как
отношение между множествами натуральных чисел. Начнем
с двух примеров.
Пример 1. Рассмотрим два множества {х | W х бесконечно}
и {х I Фж общерекурсивна}. В некотором естественном смысле каж-
каждое из них сводимо к другому. В самом деле, пусть мы умеем
выяснять для любого х, является ли частичнорекурсивная функ-
функция фж всюду определенной. Тогда, чтобы узнать, бесконечно ли
Wxo для данного х0, мы, исходя из х0, находим хи такое, что фЖ1
пересчитывает элементы множества WXo без повторения, причем
<pxi всюду определена, если множество WXa бесконечно (см. след-
следствие 5-V (d)), и смотрим, будет ли фЖ1 всюду определенной. Ана-
Аналогично, пусть мы умеем определять для любого х, является ли
множество Wx бесконечным. Тогда, чтобы выяснить для данного
г/о. является ли частичнорекурсивная функция фуо всюду опреде-
определенной, мы, исходя из г/о, получаем такое г/1( что
{1, если q>Vo(w) сходится на
всех w^.z;
расходится в противном случае,
и смотрим, будет ли WVl бесконечным.
§ 6.1. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ 107
-I
Пример 2. Рассмотрим два множества: К, равное
{х | фж(х) сходится), и {х | Wx конечно}. Здесь первое множество
сводимо ко второму. Действительно, чтобы узнать, принадлежит
ли х0 множеству К, мы по х0 находим xt, такое, что
1, если процесс вычисления, соответствующий
РХа, при входе xq завершается менее чем за
z шагов;
.расходится в противном случае,
и смотрим, будет ли WXi конечным. Пример 1, равно как и наша
интуиция, дает основания предполагать, что второе множество
также сводимо к первому. Впоследствии мы увидим, что это пред-
предположение неверно. (Упражнение 6-5 ниже устанавливает оши-
ошибочность этого предположения для некоторого вида сводимости.)
Известно несколько различных понятий сводимости. Они изла-
излагаются в гл. 7—9. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые
общие черты, присущие всем этим понятиям, и введем исполь-
используемую в дальнейшем терминологию, относящуюся к этому кругу
вопросов.
Сокращением для „А сводимо к В" будет служить „А ^ГБ".
Во всех исследуемых в дальнейшем случаях это отношение будет
рефлексивным и транзитивным, т. е. А ^ ТА для всех А
и [А < ТВ & В < ТС] => А < ТС для всех А, В, С. Пусть А = ТВ
обозначает, что А ^ ТВ и В ^ ТА. Из рефлексивности и транзи-
транзитивности отношения <СГ непосредственно следует, что =г есть
отношение эквивалентности. Более того, ^г порождает частичное
упорядочение классов эквивалентности относительно =%• Мы ска-
скажем, что один класс эквивалентности предшествует другому,
если элементы первого класса сводимы к элементам второго, но
не обратно.
Во всех случаях отношение =^г будет рекурсивно инвариант-
инвариантно х). Отсюда любое из отношений =S^r и =г может быть использо-
использовано для классификации множеств с точки зрения рекурсивной
структуры и оценки (в некотором смысле) их подобия или разли-
различия. Классы эквивалентности относительно =г называются сте-
степенями неразрешимости относительно ^1Т. Частичное упорядоче-
упорядочение этих классов эквивалентности называется упорядочением
по сводимости =S^r. (Может показаться естественным называть
классы, содержащие рекурсивные множества, „степенями разре-
разрешимости"; принято, однако, говорить для единообразия „степени
неразрешимости".) Таким образом, в примере 2 {х \ Wx конечно)—
множество более высокой степени неразрешимости, чем К {К
в свою очередь очевидно, более высокой степени неразрешимости,
чем любое рекурсивное множество).
Иными словами, а = В =#> А =г В нля всех А, В (см. упр. 6-8].

108 ГЛ. 6. СВОДИМОСТИ
При последующем изучении сводимостей мы будем особое
внимание уделять структуре рекурсивно перечислимых множеств,
упорядоченных по некоторым видам сводимости. Это обусловлено
тем, что A) рекурсивно перечислимые множества по определению
в значительной степени конструктивны и B) наши приложения
к логике будут в большой мере относиться к формализованным
логическим системам, в которых множество доказуемых утвержде-
утверждений является (при простом кодировании) рекурсивно перечисли-
перечислимым. Даже если ограничиться рекурсивно перечислимыми множе-
множествами, упорядочения по сводимости имеют, как мы увидим,
сложную и не вполне еще изученную структуру.
В заключение дадим предварительное представление о понятии,
которое будет использоваться нами при изучении сводимостей
над рекурсивно перечислимыми множествами.. Это понятие было
введено Постом. Назовем А полным относительно ^г, если (i) A
рекурсивно перечислимо, (И) (V.B) [В рекурсивно перечислимо
=$~В ^ ТА\ *). Таким образом, полное множество (если такое суще-
существует) оказывается множеством максимальной степени неразре-
неразрешимости среди всех рекурсивно перечислимых множеств. Нетруд-
Нетрудно видеть, что полные множества (для нашего пока еще неформаль-
неформального понятия сводимости) существуют. Например, пусть Ко =
= {(х, у) | х 6 Wy}. Множество Ко рекурсивно перечислимо (см.
упр. 5-21 (а)). Пусть дано некоторое рекурсивно церечислимое
множество В. Тогда В = WVo для некоторого г/о- Следовательно,
чтобы выяснить, содержит ли В элемент х, мы должны узнать
лишь, принадлежит ли (х, у0) множеству Ко- Тем самым В своди-
сводимо к Ко- Следовательно, Ко полно.
Множество К также полно (см. упр. 6-3). Таким образом, К
и Ко — множества одной и той же степени неразрешимости.
Мы увидим в гл. 7, что на сам'ом деле К = Ко. Множество К (или
Ко) представляет проблему остановки. До сих пор все наши дока-
доказательства неразрешимости проводились, по существу, следующим
образом: мы показывали, что к рассматриваемой проблеме сводит-
сводится проблема остановки. Мы можем заключить теперь, что любая
проблема, неразрешимость которой доказывается таким способом,
должна иметь степень неразрешимости, по крайней мере столь же
^высокую, как и максимальная степень неразрешимости для рекур-
рекурсивно перечислимых множеств. (Эти утверждения были сделаны
относительно нашего неформального понятия сводимости. Мы уви-
увидим, что они имеют место для всех тех видов сводимости, которые
получат далее точные формулировки.)
г) А называется универсальным относительно
такое, что В ¦< ТА и В полно относительно ^г.
, если существует В,
§ 6.2. упражнения 109
§ 6.2. УПРАЖНЕНИЯ
В пределах этого параграфа примем следующее определение понятия
сводимости: А ^ ГВ, если существует общерекурсивная функция /, такая,
что О1х)[х?А <=>/(*) ?В].
6-1.Проверьте, что {х | Wx бесконечно) =г{ж | фж всюду определена).
6-2. Проверьте, что К ^ т{х | Wx конечно).
6-3. Покажите, что Ко < ГК; отсюда выведите, что К полно относительно
6-4. Покажите, что {x\JVx Ф 0} полно относительно ^г.
6-5. (а) Покажите, что К ^ r{x \ Wx конечно).
Д(Ь) Покажите, что {х \ Wx конечно) не ^ГК. (Указание. Проверьте на
рекурсивную перечислимость рассматриваемые множества.) (По существу это
упр. 2-26.)
Дб-6. Определим A rel В,если А ^ ТВ. Покажите, что rel не может быть
принято в качестве отношения сводимости в смысле общего подхода § 6.1.
Дб-7. Предложите несколько иных, возможно, неэквивалентных, фор-,
мулировок неформального понятия сводимости, введенного в гл. 2.
6-8. Пусть ^г, — рефлексивное и транзитивное отношение сводимости.
Назовем ^ т, рекурсивно инвариантным, если [[А^ = В^ & Az = В% & Ai ^
^ Г,А2] =ф#1 < Г' В2\. Покажите, что ^ г, рекурсивно инвариантно тогда
и только тогда, когда [А == В =$ А = Т,В].

Глава 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ;
МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ;
ТВОРЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
§ 7.1. Одно-односводимость и много-односводи-
мость 110
§ 7.2. Полные множества 113
§ 7.3. Творческие (креативные) множества 114
§ 7.4. Одно-одноэквивалентность и рекурсивный
изоморфизм 116
§ 7.5. Одно-однополнота и много-однополнота 118
§ 7.6. Цилиндры 121
§ 7.7. Продуктивность 122
§ 7.8. Логика 127
§ 7.9. Упражнения 133
§ 7.1. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
И МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
Рассмотрим две формулировки понятия сводимости, которые
непосредственно подсказываются неформальными примерами
сводимости, приведенными в предшествующих главах.
Определение. А одно-односводимо к В (обозначение: А ^ i-B),
если существует взаимно однозначная (одно-однозначная) обще-
общерекурсивная функция /, такая, что {Чх)[х 6 А <=> }(х) ? В].
Будем иногда вместо „одно-односводимость" употреблять тер-
термин „1-сводимость".
Определение. А много-односводимо к В (обозначение:, А ^ тВ),
если существует общерекурсивная функция /, такая, что
(у/х)[хел <=>/(*) ев].
Будем иногда много-односводимость сокращенно называть
т-сводимостью.
В каждом из приведенных выше определений условие-
{Чх)[х 6 А <=> fix) 6 В] может быть выражено в любой из следую-
следующих эквивалентных форм: А = f~1(B); f(A) cz В & f(A) cz В;
cA :=cB-f, где cA и с в суть характеристические функции множеств
А и В соответственно. Если А == f~1{B), скажем, что А сводимо
к В посредством функции / (и будем иногда называть эту функцию
сводящей А к В). Следующая теорема сообщает некоторые прос-
простые, но важные сведения об ^ и ^т.
Теорема I. (а) Отношения
тивны.
рефлексивны и транзи-
(Ь)
(с)
§ 7.1. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ И МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ Ш
(d) А < тВ => А < тВ.
(e) [А ёС тВ & В рекурсивно] =Ф- А рекурсивно.
(f) [А ^ тВ & В рекурсивно перечислимо] =>¦ А рекурсивно пере-
перечислимо.
Доказательство. Пункты (а), (Ь), (с) и (d) очевидны.
(e) Пусть А ^ ШВ посредством /, тогда сА = cB'f, следователь- .
но, если св общерекурсивна, то и сА общерекурсивна.
(f) Пусть А ^тВ посредством /, тогда А = f~1{B); отсюда
по теореме 5-VII из рекурсивной перечислимости множества В
следует рекурсивная перечислимость множества .4.1
Следствие I. [А ^ В & В рекурсивно] =$- А рекурсивно;
[A s^i В & В рекурсивно перечислимо] =$>- А рекурсивно перечис-
перечислимо.
Доказательство непосредственно следует из (Ь), (е)
И (!)¦¦
Определение.
А = J.B, если А^В&В^А;
А =тВ , если А <т В & В s^mA.
Согласно теореме I (а), эти отношения являются отношениями
эквивалентности. Их классы эквивалентности называются соответ-
соответственно степенями неразрешимости относительно одно-односво-
димости и степенями неразрешимости относительно много-одно-
сводимости. Первые будем - называть одно-одностепенями или
1-степенями, последние — много-одностепенями или т-степенями.
Из теоремы I (е) и следствия I вытекает, что любая степень,
содержащая- рекурсивное множество, целиком состоит из рекур-
рекурсивных множеств. Из теоремы I (f) и следствия I вытекает, что
любая степень, содержащая рекурсивно перечислимое множество,
целиком состоит из рекурсивно перечислимых множеств. Мы
можем, таким образом, говорить о рекурсивных степенях и рекур-
рекурсивно перечислимых степенях при упорядочении по каждому иэ
этих видов сводимости. Теорема I (f) показывает далее, что свой-
свойство быть рекурсивно перечислимым множеством наследуемо вниз
при каждом из указанных видов упорядочения, т. е. любая сте-
степень, предшествующая рекурсивно перечислимой, является
рекурсивно перечислимой. С использованием теоремы I (f) могут
быть получены решения упр. 2-26 и 6-5. Так как существуют
рекурсивно перечислимые множества, не являющиеся рекурсивны-
рекурсивными, то при каждом упорядочении среди рекурсивно перечислимых
степеней наряду с рекурсивными должны существовать также
нерекурсивные степени. Следующая теорема содержит инфор-
информацию, относящуюся к существованию и свойствам несравнимых
степеней при упорядочении по этим видам сводимости.

112 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
7.2. ПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА 113
Определение. А © В = {у \ [у = 2х & х 6 А] или [у = 2х + .!"
+ 1 & х 6 В]}. Операцию' © назовем сочленением.
Теорема П. (а) Существуют два нерекурсивных множества, '
несравнимых относительно ^т (и, следовательно, относителъ- -i
но ^i). г
(Ь) Упорядочение по т-сводимости приводит к верхней полу- •
решетке: любые две степени имеют единственную наименьшую
верхнюю грань. Более того, наименьшая верхняя грань двух рекур- v
сиено перечислимых степеней рекурсивно перечислима. '
Доказательство, (a) GV и 0 — несравнимые множе-
множества; однако они рекурсивны.) Рассмотрим множества Km. К. Мно-
Множество К рекурсивно перечислимо, К таковым не является (тео-
(теорема 5-VI). По_теореме I (f) К не <m/L Из теоремы I (d) следует, *
что К не <; тК.
(Ь) Пусть для всякого множества X d(X) есть т-степень X, ;
Пусть даны А и В. Тогда d(A © В) — искомая наименьшая верх-
верхняя грань степеней d{A) и d(B) при упорядочении по m-сводимости. .
В самом деле, А <т А ф В посредством кх[2х]; В <т А Ф В :
посредством %х[2х + 1]; для любого С, если А ^т С посредством / ;
и В ^ш С посредством g, то и А © 5 ^т С посредством ft, где ft j
определяется равенствами:
ftBx) = f(x), i
hBx + 1) = g{x).u ;
Из пункта (а) нашего доказательства выведем \
Следствие П. А ^т В, вообще говоря, не влечет А ^т В.
Очевидно, несравнимые множества порождают несравнимые ¦
степени. Существуют ли нерекурсивные рекурсивно перечисли- '¦¦
мые m-степени, являющиеся несравнимыми? Мы ответим на этот
вопрос утвердительно в гл. 10. Образует ли упорядочение по т-
сводимости решетку (т. е. существует ли наибольшая нижняя ;
грань)? В упр. 13-55 мы увидим, что это не так. Образует ли упо- "¦
рядочение по 1-сводимости верхнюю полурешетку? В гл. 10 мы ;
дадим отрицательный ответ и на этот вопрос.
Как правило, в случаях, представляющих основной интерес,
^¦т и ^i совпадают. Обычно коль скоро показано, что имеет *
место й^щ, оказывается возможным показать, что и ^4 имеет место.
По этой причине ^i и ^ш иногда группируют вместе как сильные
сводимости.
Целый ряд фактов о сводимостях ^4 и <Im будет сообщен
в оставшейся части этой главы и в упр. из § 7.9 (см., в частности,
с этой точки зрения, упр. 7-6—7-8).
Теорема об общей структуре, относящаяся к =s^ и ^т, приве-
дена в § 7.6.
§ 7.2. ПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
Существует ли максимальная степень среди рекурсивно пере-
перечислимых степеней для s^m или ^i? Мы повторим определение,
данное в гл. 6.
Определения. Множество А полно относительно ^ (А „1-пол-
но"), если
(i) А рекурсивно перечислимо,
(и) (VВ) [В рекурсивно перечислимо =^ В ^ А].
Множество А полно относительно ^ш (А „m-полно"), если
(i) А рекурсивно перечислимо
(ii) (VВ) [В рекурсивно перечислимо =>¦ В =^т А].
Пусть Ко = {(х, у) | х 6 Wy). Следующая теорема, намечен-
намеченная еще в гл. 6, показывает, что множество Ко 1-полно и, следо-
следовательно, т-полно.
Теорема III. Множество Ко является 1-полным.
Доказательство. Ко = {(х, у) \ Cz) [процесс вычис-
вычисления, соответствующий набору инструкций Ру, при входе х схо-
сходится менее чем за z шагов]} и, следовательно, рекурсивно пере-
перечислимо, согласно второй теореме о проекции.
Пусть В — произвольное рекурсивно перечислимое множе-
множество. Тогда В —WVo для некоторого у0. Отсюда (Vx)[x 6-В
(я, г/о) 6 Ко] и В ^iK0 посредством "кх\{х, уо)].ш
Теорема IV, Множество К является 1-п'олным.
Доказательство. Достаточно показать, что Ко ^iK.
Покажем сначала, что Ко ^тК. Известным методом х) най-
найдем функцию /, такую, что
1, если q>n,(x)(ni(x)) сходится;
(
\
К
расходится в противном случае.
(Поведение функции <Pf(X) тем самым не зависит от входа z.) Тогда
х?К0<=> f(x) 6 К. Отсюда Ко ^тК.
Покажем теперь, что, если функция / не является взаимно
однозначной, она может быть заменена функцией /*, такой, что
Ко ^iK посредством /*. Сделаем это методом „многословия"
(„padding") при помощи конструирования одного за другим все
больших гёделевых номеров одной и той же частичнорекурсивной
функции. Определим, следуя методу теоремы 1-Ш, общерекур-
общерекурсивную функцию t', такую, что
(i) Ф*'(*. у) = Ф*;
(ii) У1фУг^ t'(x, yt )Ф t (x, y2).
J) Который должен был бы при более формальном доказательстве исполь-
использовать s -m-n-теорему.
8-0506

114 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
Затем зададим общерекурсивную функцию t посредством следую-
следующего индуктивного определения: i@, 0) = t'@, 0); если t(x', у')
определено для всех (х', г/'), таких, что {х', г/')< (х, у), то поло-
положим t(x, у) = t'(x, z), где z — \i,w[t'(x, w) Ф t(x', у') для всех
(я', г/'), удовлетворяющих условию (х', у')<. {х, у)].
Таким образом,
@ ф<(ж, у) = ф*;
(И) [хх ф х2 или yt Ф у2] =>'t(xt, г/j) Ф t(x2, z/2).
(Фактически, для любого к (pW = ф^.)
Теперь определим функцию /* формулой
/* = ЫЩ{х), х)\.
Очевидно, /* взаимно однозначна и Ко ^.iK посредством /*.и
Конструкция, приведенная выше, принадлежит Дэвису.
В дальнейшем мы будем иногда использовать функцию t при пере-
.ходе от ^т к jS^i. Теорема о структуре из § 7.6 содержит дополни-
дополнительную информацию о соотношении между ^т и ^4..
Следствие IV. К = ±К0.
Доказательство. Непосредственно из теорем III и IV.B
Очевидно, 1-полнота влечет за собой m-полноту. Вернувшись
к рассмотренным ранее примерам нерекурсивных рекурсивно пере-
перечислимых множеств, мы можем воспользоваться техникой теоре-
теоремы IV, чтобы цоказать в каждом случае, что К не только т-сво-
димо, но и 1-сводимо к рассматриваемым множествам. Возникают
следующие вопросы.
1. Совпадают ли понятия m-полноты и 1-полноты? Мы ответим
на этот вопрос утвердительно в § 7.5.
2. Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
множество т-полно?
3. Совпадают ли й^т и ^i на нерекурсивных рекурсивно пере-
перечислимых множествах? (Упр. 7-5 и 7-6 показывают, что на рекур-
рекурсивных множествах они отличаются друг от друга.) Мы*дадим
в^гл. 8 отрицательные ответы'на вопросы 2 и 3.
"Замечание. Мы будем в целом ряде случаев прибегать
к конкретным множествам К и Ко для доказательства неразреши-
неразрешимости и построения контрпримеров.
§ 7.3. ТВОРЧЕСКИЕ (КРЕАТИВНЫЕ) МНОЖЕСТВА
То обстоятельство, что множество К не является рекурсивно
перечислимым, может быть выражено в более сильной и конструк-
конструктивной форме; именно, по индексу любого рекурсивно перечисли-
перечислимого подмножества множества К мы можем найти натуральное
§ 7.3. ТВОРЧЕСКИЕ (КРЕАТИВНЫЕ) МНОЖЕСТВА 115
число из К, но вне этого подмножества. Более точно, мы имеем
(по определению К), что Wx cr К=> х 6 К — Wx. Это свойство
множества К допускает рекурсивно инвариантную формулировку.
Определение. Множество А продуктивно, если существует
частично-рекурсивная функция о);, такая, что Dx)[Wx cz A =?- [ty(x)
определено &ty(x) 6 А — Wx]]. Функция г|з называется продуктив-
продуктивной функцией для А. (Термин „продуктивный" принадлежит Дек-
керу.)
Особый интерес представляют для нас рекурсивно перечисли-
перечислимые множества- с продуктивными дополнениями. Такие множества
называются по Посту творческими (или креативными) (см. ниже
замечание, следующее за доказательством теоремы XI).
Определение. А — творческое (или креативное) множество, если
(i) А рекурсивно перечислимо;
(ii) А продуктивно.
Пример 1. К — творческое множество, так как К рекур-
рекурсивно перечислимо и К продуктивно (с тождественной функцией
Кх[х] в качестве продуктивной функции).
Пример 2. {я | фж общерекурсивна} — продуктивное мно-
множество, здесь продуктивная функция может быть задана с помо-
помощью диагональной конструкции § 1.4. Более конкретно, пусть
дано Wx. Возьмем функцию ф/'(ж>, как в следствии 5-V (с), т. е.
множество значений функции ф^) есть Wx, и ф/'(ж) всюду опре-
определена, если множество Wx непусто. Определим
О, если процесс вычислений, соответ-
соответствующий Pf(X), при входе 0 не
завершается за z или менее шагов;
Фф.,.,(г_г )(z) +1 в противном случае; здесь z0 есть
'- точное число шагов, требуемых для
того, чтобы процесс вычислений,
соответствующий набору инструк-
инструкций Pf(x), при входе 0 завершился
Тогда g — искомая продуктивная функция .(см. упр. 7-17).
Следующая теорема устанавливает некоторые основные свой-
свойства продуктивности.
Теорема V (а) А продуктивно =^ А не рекурсивно перечислимо.
(Ъ) [А продуктивно & А ^т В] =$- В продуктивно.
Доказательство, (а) Непосредственно следует из опре-
определения.
8*

116 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНOGBОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
(Ь) Пусть г|з является продуктивной функцией для А. Пусть
¦^I^m1.-^ посредством функции /. Существует общерекурсивная
функция g, такая, что WgM =f-1(Wx) (см. упр. 5-25). Тогда
есть^продуктивная функция для В. Действительно
определено &
x) определено &
A — Wg(x)]z=}
x) 6 В — Wx\.m
Теорема V (b) показывает, что свойство продуктивности насле-
наследуемо вверх при упорядочении по сильной сводимости. Теорема V
(Ь) дает также способ доказательства продуктивности множества
{х | фж общерекурсивна}, более удобный, нежели прямая диагона-
лизация, используемая в примере 2 выше. Именно, показываем,
что К ^т{х | фж общерекурсивна}; отсюда, согласно теореме V (Ь),
непосредственно следует продуктивность множества {х | фж обще-
общерекурсивна}.
Следствие V. (а) А творческое =Ф- А не. рекурсивно;
(b) [А творческое & А ^т В] => В продуктивно;
(c) А т-полно =$~ А творческое.
Доказательство очевидно.а
Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
множество является творческим? В гл. 8 содержится отрицательный
ответ на этот вопрос (из него следует отрицательный ответ на воп-
вопрос 2 конца § 7.2). Имеет ли место обращение следствия V (с),
т. е. всякое ли творческое множество m-полно? Утвердительный
ответ на этот вопрос дается в гл. 11.
Мы исследуем продуктивные множества в § 7.7. Целый ряд
аспектов продуктивности рассмотрен Деккером в [1955].
§ 7.4. ОДНО-ОДНОЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
И РЕКУРСИВНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ
Понятия одно-одноэквивалентности и рекурсивного изомор-
изоморфизма совпадают. Этот результат принадлежит Майхиллу [1955].
По содержанию и доказательству этот результат тесно примыкает
к теореме Кантора — Шредера — Бернштейна в теории карди-
кардинальных чисел.
Теорема VI (Майхилл). А = В <^> A =t В.
Доказательство. =$~. Очевидно.
-ф=. Введем следующее определение. Конечная последователь-
последовательность упорядоченных пар {{xt, у±}, , , ., (хп, г/п)) называется
§ 7.4. ОДНО-ОДНОЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И РЕКУРСИВНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ 117
конечным соответствием между А
=Ф- [xt Ф Xj &угф г/,1, 1 < i < п, i <
t 6 В, 1 ^ i s^ п. Докажем лемму.
В, если (i) i ф j
< п, и (п) xt 6 А
Лемма. Предположим, что С ^D. Тогда существует эффек-
эффективная процедура, которая по любому конечному соответствию
((хи J/i> , • • •. (хп, Уп)) между С uD и любому]?' $ {хи . . ., хп}
находит у', такое, что
«xi, г/i) , . . ., (хп, уп), {х', г/'»
есть конечное соответствие между С и D.
Доказательство леммы. Предположим, что С ^
sg^i-D посредством функции/. Вычислите f(x'). Проверьте, будет ли
f{x') Ф г/г для всех i, I ^ i ^ п. Если это так, положите у' = f(x').
Если нет и f{x) — yti: вычислите /(а^) и .проверьте, будет^ ли
f(xii) Ф г/г для всех i, I ^ i ^ п. Если это так, положите у' =
— /{хн). Если нет и /(жи) = yi2, вычислите f(xi2) и проверьте,
будет ли... . Из взаимной однозначности функции / и взаимной
однозначности данного конечного соответствия немедленно сле-
следует, что эта процедура должна завершиться некоторым у', таким,
что у' Ф г/г, 1 ^ i ^ п. Более того, из условий, накладываемых
сводимостью как на /, так и на данное конечное соответствие,
получаем, что х' 6 С <=> у' 6 D. Это доказывает лемму.
Вернемся к доказательству теоремы. Так как A =i В, лемма
может быть применена или с А ж В вместо С и D, или с В и А вме-
вместо С и D. Мы воспользуемся этим обстоятельством для установ-
установления изоморфизма. Опишем эффективную процедуру перечисле-
перечисления пар натуральных чисел. Эта конструкция будет устроена так,
что на каждом этапе перечисления уже перечисленные упорядо-
упорядоченные пары составляют конечное соответствие и, кроме того,
так, что всякое натуральное число встречается рано или поздно
в качестве первой компоненты некоторой упорядоченной пары
в пересчете и всякое натуральное число встречается рано или
поздно в качестве второй компоненты'упорядоченной пары в пере-
пересчете. Полная совокупность упорядоченных пар, перечисленных
таким образом, образует рекурсивную^перестановку, устанавли-
устанавливающую рекурсивную изоморфность множеств A is. В.
Процедура состоит в следующем. Пусть^Л ^.'В посредством
g и В ^i А посредством h.
Этап 0. В качестве первой упорядоченной пары берем
<0 @)>
Этап 1. Смотрим, выполняется ли g@) = О.|Если выпол-
выполняется, переходим к этапу 2. Если нет, воспользовавшись леммой
(с А в роли D, В в роли С и ft в роли /), выписываем новую упоря-

118 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
доченную пару, вторая компонента которой есть 0.
Этап 2к. Смотрим, встречается ли к в качестве первой ком-
компоненты какой-нибудь из уже перечисленных пар. Если ветре-'
чается, переходим к выполнению этапа 2к + 1. Если нет, то, вос-
воспользовавшись леммой (с А в роли С, В в роли D и g в роли /),
выписываем новую упорядоченную пару, первая компонента
которой есть к.
Этап 2к + 1. Смотрим, встречается ли к в качестве второй
компоненты какой-ни,будь из уже перечисленных пар. Если встре-
встречается, переходим к выполнению этапа 2к -J- 2. Если нет, восполь-
воспользовавшись леммой (с А в роли D, В в роли С як в роли /), поме-
помещаем в пересчет новую упорядоченную пару, вторая компонента
которой есть к.
Доказательство завершено. ¦
Эта теорема показывает, что 1-степени и типы изоморфизма
совпадают. Упорядочение по 1-сводимости является, таким обра-
образом, упорядочением типов изоморфизма. (Как мы видели в гл. 4,
типы изоморфизма являются в сущности основными объектами
нашей теории.)
Теорема VI дает быстрый и удобный метод установления рекур-
рекурсивного изоморфизма. Например, из следствия IV мы можем непо-
непосредственно получить такое
Следствие VI. К = Ко.
В качестве другого примера рассмотрим {х | Wx бесконечно)
и {х | фж общерекурсиена). Воспользовавшись функцией t из дока-
доказательства теоремы IV, можно показать, что {х | W х бесконечно} ^4
=i{z I фж общерекурсиена} (см. упр. 7-13). Тогда, согласно тео-
теореме VI, мы имеем, что {х \ W х бесконечно} == {х | фж общерекур-
общерекурсиена} (и, с точки зрения теории рекурсивных функций, эти два
множества идентичны.)
§ 7.5. ОДНО-ОДНОПОЛНОТА И МНОГО-ОДНОПОЛНОТА
Множество К является как m-полным, так и 1-полным. Вся-
Всякое ли m-полное множество 1-полно? Мы отвечаем на этот вопрос
следующей теоремой.
Теорема VII. А т-полно <=> А 1-полно.
Доказательство. (Более короткое и изящное доказа-
доказательство может быть найдено в гл. 11; настоящее доказательство
представляет интерес само по себе, как мы увидим в § 7.6.)
§ 7.5. ОДНО-ОДНОПОЛНОТА И МНОГО-ОДНОПОЛНОТА 119
<=. Очевидно.
=$г. Предположим, что А m-полно. Тогда А рекурсивно пере-
перечислимо и К ^т А посредством некоторой общерекурсивной
функции /. Мы покажем, что К ^.± А. 1-полнота множества А
будет тогда следовать из 1-полноты К.
Напомним, что Dx есть конечное множество с каноническим
индексом х (§ 5.6). Предположим, что следующая лемма уже
доказана.
Лемма. Если К^.тА, то существует общерекурсивная функ-
функция g, такая, что для всех х
ID, Ф 0 & Dx a A] => g[x) ?A — D,
и
Шхф 0 &DxczA\=> g(x) 6 А — Ds.
Мы можем теперь продолжить доказательство того факта, что
K^iiA, следующим образом. Зададим функцию /' такими
инструкциями.
Вычисление /'@). Положите /'@) = /@). (Тем самым 0 6^ <=>
о /'@) еА.)
Вычисление }'(п + 1)- Посмотрите, выполняется ли f(n + 1) €
€ {/'@), ¦ • •, f (п)}. Если нет, положите /'(га + 1) = f(n + 1).
Если выполняется и }(п + 1) = /'(то), возьмите конечное множе-
множество Dxg = {/'(mo)} и, воспользовавшись функцией g из леммы,
вычислите g(zo) (^o, конечно, может быть получено по /'(то); оно
равно 2f'(то)). Посмотрите, выполняется ли g(z0) Е {/'@), . . .
. . ., f(n)}. Если нет, положите /'(га + 1) = g(^0). Если
выполняется и g(zo) = /'(^i), возьмите конечное множество DXI =
= {f(m0), /'(mi)} и вычислите g^j). (Здесь х4 = 2f'(mo) + 2nmi).)
Посмотрите, будет ли g(xt) 6 {/'@), . . ., f(n)} . . . . Согласно лем-
лемме, эта процедура в конечном итоге дает f'(n + 1) (J {/'@), ...
()}
Далее, согласно лемме, п + 1 6 К <=?> f'(n + 1) € А. Отсюда
Kl^Li А посредством /'.
Остается доказать лемму. Для этого нам понадобится сублем-
сублемма, относящаяся к функции /.
Сублемма. Если К ^т А посредством функции /, то \
(a) В рекурсивно =$- f~1(B) рекурсивно;
(b) f(K) бесконечно.
Доказательство сублеммы, (а) Для всякого В,
f~\B) ^m В посредством /. Отсюда, согласно теореме I (е), В
рекурсивно =>¦ /-1E) рекурсивно.
(Ь) Поскольку К :gCm А посредством /, 1~г(!{К)) = К. Отсюда,
согласно части (а), если бы f(K) было конечным (и, следовательно,
рекурсивным), К было бы рекурсивно. Но К не рекурсивно.

120 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
— \
Доказательство леммы. Выберем некоторую
эффективную процедуру для пересчитывания К. Она приводит
к эффективной процедуре, пересчитывающей множество f(K),
которое, согласно сублемме, бесконечно.
Так как А рекурсивно перечислимо, может быть найдена обще- .
рекурсивная функция h, такая, что
f1{Dx), если Dx{\A=0;
если Бх[\Аф0.
Пусть какое-то Dx дано. Мы вычисляем g(x) согласно следующим
инструкциям.
Если fh{x) (J Dx, положим g(x) = fh(x). Если fh(x) 6 Dx, поло-
положим g{x) = [первый в пересчете f{K) элемент, не являющийся эле-
элементом множества Dx].
Так как f(K) бесконечно, g(x) определено при всяком х. Остает-
ся показать, что функция g обладает требуемыми свойствами.
По .определению g(x) ($ Dx. Более того,
Ш« Ф 0 & Dx с: A] =>WhM = N=> h(x) 6 Wh(x) =>
Шхф0 &DxczA\=>Wh(x) = f~\Dx) => h(x) (J f-\Dx) (иначе
h(x) 6 К & fh(x) 6 A & fh(x) в
eDx &DX П А ф 0)=ф-
=> [h(x) $ Wh(x) & fh(x) & DJ =>
=> Щх) еК& Щх) $ Dx] =*» g(x) в ~A.
Это завершает] доказательство леммы и, тем самым, теоремы. в
Теоремы VI и VII в совокупности показывают, что т-полные
множества ^составляют один тип изоморфизма. (Свойство т-пол-
ноты, таким образом, само оказывается полным множеством рекур-
рекурсивных инвариантов.) Как уже было замечено, множество К т-сво-
димо к любому из до сих пор рассматривавшихся нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множеств. Отсюда мы можем заключить
на основании теорем VI и VII, что всякое нерекурсивное рекур-
рекурсивно перечислимое множество, рассматривавшееся нами, изоморф-
изоморфно множеству К. (Это верно также и для рекурсивно перечислимых
множеств, косвенно упоминавшихся в § 2.2.)
Подведем итог. Свойства множества быть изоморфным множе-
множеству К, 1-полным, т-полным совпадают. Каждое из множеств,
служивших нам примером нерекурсивного рекурсивно перечис-
перечислимого множества, обладает этими свойствами. Нами не выясне-
выяснено, однако, не будет ли креативность более широким свойством
и не будет ли еще более широким свойство множества быть
рекурсивно перечислимым, но не рекурсивным.
§ 7.6. ЦИЛИНДРЫ 121
§ 7.6. ЦИЛИНДРЫ
Каковы бы ни были множества А и> В, A =i В =ф- А =т В.
Каждая т-степень может, таким образом, рассматриваться как
составленная из одной или более 1-степеней, т. е. типов изомор-
изоморфизма. Можно ли более точно описать структуру m-степени в тер-
терминах составляющих ее 1-степеней?
Определение. А есть цилиндр, если А = В X N для некоторо-
некоторого В. (Геометрическое происхождение этого термина ясно.) Заме-
Заметим, что = употребляется вместо = для того, чтобы понятие-
цилиндра было рекурсивно инвариантным).
Интересующая нас информация содержится в следующей эле-
элементарной теореме.
Теорема VIII (a) A <t A X N.
(b) А X N =?Ст А (и, следовательно, А =т А X N).
(c) А — цилиндр <=> (ЧВIВ <т А => В <t A]. .
(d) А <т В <=> А X N <i Я х N.
Доказательство. (a) A ^t A X N посредством
Ы(х, 0>].
(b) А X N ^т А посредством я4.
(c) =$-. Предположим, что А == С х N и В =s^m Л. Тогда В ^
^тС посредством некоторой функции /. Пусть /' =Я#[(/(;г), а:)].
Тогда В'^iC X N посредством /'. Отсюда B^iA.
¦<=. Предположим, что (ЧВ)[В ^m A => 2?<л A\. Рассмотрим
А X N. В силу (Ъ) А X N ^т А; отсюда, согласно нашему пред-
предположению, А X N <^i А. В силу (а) А ^4 А X N. Следова-
Следовательно, A =i А X N. Отсюда, согласно теореме VII, А = А X N
ж А — цилиндр.
(d) =>. Предположим, А <!т В. Тогда 4 X N ^т А ^тВ ^t
<i В X N. Отсюда" А X N <т В X N. Тем самым, согласно (с)г
А X N ?^гВ X N.
-j=. Предположим, что А X N ^ В X N. Тогда Л ^t A X
X iV ^ В X N ^т В и, следовательно, Л ^тБ.и
Следствие VIII. А — цилиндр<=>А X N sQ A<?>AesA x iV.
Доказательство очевидно, и
Назовем Л X iV цилиндрификацией множества ,4. Из пункт-
тов (а), (Ь) и (с) предыдущей теоремы следует, что всякая т-сте-
т-степень содержит максимальную 1-степень; и эта 1-степень может
быть получена из любого множества m-степени цилиндрификацией.
Более того, из пункта (d) предыдущей теоремы следует, что струк-
структура упорядочения по m-сводимости отражается в упорядочении
по 1-сводимости естественным образом, т. е. существует канони-
канонический гомоморфизм из m-упорядочения в 1-упорядочение.

122 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
В доказательстве теоремы VII § 7.5 по существу устанавливает-
устанавливается, что [[К ^m A & А рекурсивно перечислимо] =>- А есть ци-
цилиндр]. Лемма, фигурирующая в этом доказательстве, дает еще
одно описание цилиндра.
Теорема IX. А — цилиндр <=;
функция g, такая, что для всех х
[Охф0 &Dxcz A]
и
[Dx ф 0 & Dx с ~А\ --
существует общерекурсивная
> g(x) tA-Dx
у g(x) еА-Оя.
{Таким образом, множество есть цилиндр тогда и только тогда,
когда оно обладает некоторым свойством „двойной продуктивно-
продуктивности" относительно конечных множеств.) Доказательство теоре-
теоремы IX дается в виде упр. 7-35. Оно является усиленной модифика-
модификацией доказательства теоремы VII.
Специальное описание рекурсивно перечислимых цилиндров
содержится в упр., 7-37.
§ 7.7. ПРОДУКТИВНОСТЬ
<* ^ Понятие продуктивности является весьма существенным в при-
приложениях теории рекурсивных функций к логике. Мы займемся
сейчас его изучением. На некоторые приложения к логике будет
указано в § 7.8; другие будут приведены позднее (см. также Дек-
кер [1955]).
Из определения продуктивности следует, что если множество
А продуктивно, то существует эффективная процедура, позволяю-
позволяющая по любому данному рекурсивно перечислимому подмножеству
множества А получить большее рекурсивно перечислимое подмно-
подмножество множества А. Рассмотрим способы итерирования этой
процедуры. Приходим прежде всего к следующей теореме.
Теорема X. А продуктивно =$- А обладает бесконечным рекур-
рекурсивно перечислимым подмножеством.
Доказательство. Приведем сначала неформальное
доказательство. Пусть ар — продуктивная функция для А. Зада-
Зададим общерекурсивную функцию g, множеством значений которой
является бесконечное подмножество множества А. Инструкции
для g индуктивны. Пусть z0 есть р. п. индекс пустого множества.
Вычисление g@). Положим g@) =ap (z0). Так как
WZo с A, op(zo) определено и принадлежит множеству А.
Вычисление g(n + 1). Пусть zn+1 — р. п. индекс конеч-
конечного множества {g@), : . ., g(n)}. Положим g(n + 1) =i|>(zn+1).
Поскольку WZn cr A, ty(zn+i) определено и принадлежит А.
% 7.7. ПРОДУКТИВНОСТЬ 123
Очевидно, g взаимно однозначна. Это завершает неформальное
доказательство.
Тот факт, что функция g общерекурсивна, делается более ясным
яз следующей, более формальной версии доказательства- Из тео-
теоремы 5-XIII следует существование общерекурсивной функции /
двух переменных, такой, что
wHx, у) = wx и wy.
Согласно тезису Чёрча, существует общерекурсивная функция h,
такая, что
Wh(x) = {х}.
Как и прежде, пусть z0 есть р. п. индекс пустого множества. Опре-
Определим функцию к следующим образом:
ЦО) = z0;
Цп+ l)=f(h$k{n), k(n)).
Тогда к(п) соответствует zn в предыдущем неформальном доказа-
доказательстве. Определим
g ==#•¦
Следствие X. А продуктивной- А обладает бесконечным рекур-
рекурсивным подмножеством.
Доказательство. Непосредственно вытекает из теоре-
теоремы 5-IV..
Доказательство теоремы X наводит на мысль о возможности
более далеко идущей итерации продуктивной процедуры. Рассмот-
Рассмотрим следующие неформальные инструкции для пересчета некоторого
подмножества множества А. Инструкции эти привлекают трансфи-
трансфинитную индукцию по ординальным числам. (Мы предполагаем
здесь, что читатель знаком с последним понятием. Упражнения
с 11-43 по 11-53 содержат некоторые сведения об ординальных
числах.)
„Возьмите функцию g из доказательства теоремы X. Пусть
*о. Xi, х2, ... суть числа g@), g(l), gB), .... Пусть гш — р. п.
индекс (полученный из инструкций для g) множества
{х0, Xi, . . .} = Val g. Тогда op(z<0) есть новый элемент множества
А. Пусть хф естьг|з(гш). Тогда {хю} [} {х0, х±, • • •} само есть рекур-
рекурсивно перечислимое множество. Пусть гш+1 есть р. п. индекс этого
множества. Тогда ха+у = a|3(zm+i) есть новый элемент А. Таким
образом мы можем пересчитать множество {х0, xi7 . . .} U
U {z<bi #<o+i> • • ¦}• Пусть гш+ю — р. п. индекс (полученный
яз этих инструкций) этого последнего множества. Тогда хю+@ =
= ap(z(B+m) есть новый элемент множества А. Таким же образом
получаем ?<„+<„+<„, ха<0 и т. д. Теперь составьте окончательный пере-

124 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
§ 7.7. ПРОДУКТИВНОСТЬ 125
счет (подмножеств А) уплотнением всех предшествующих пере- ^
счетов".
Казалось бы, эти инструкции пересчитывают подмножества
множества А, в некотором смысле замкнутого относительно про- ;
дуктивной процедуры. Можно было бы надеяться, что они поро-
порождают все А. Но, согласно теореме V (с), А не является рекур-
рекурсивно перечислимым, и, по определению продуктивности, никакое-
рекурсивно перечислимое подмножество множества А не может
быть замкнуто относительно продуктивной процедуры (любое- .'
такое подмножество само должно было бы иметь некоторый р. п.
индекс со и ар (со) было бы в А, но вне этого подмножества). Таким
образом мы приходим к явному парадоксу1).
Противоречие возникло из-за того, что эти неформальные-
инструкции нельзя сделать вполне точными. Любой из предложен-
предложенных точных вариантов будет менее емок, чем это подразумевает
расплывчатая формулировка неформальных инструкций. Какой
бы ни был дан точный аналог, может быть найдена более емкая
точная версия. Точные версии основываются на системах обозна- ;¦
чений для ординальных чисел. Мы сталкиваемся с ограниченно- ',
стью нашей способности дать,исчерпывающую систему обозначе-
обозначений для ординалов. В более тонких разделах теории рекурсивных ,
функций ординальные обозначения играют фундаментальную s
роль. Они рассматриваются далее в гл. 11 и, как мы увидим, тесно
связаны с теоремами о логической неполноте. ¦
Рассмотренный „парадокс" предостерегает нас от опасности '
слишком неточных и неформальных рассмотрений в теории рекур- i
сивных функций. Упражнение 7-46 показывает, что точная некон-
неконструктивная версия неформальных инструкций может быть най-
найдена, если не требовать, чтобы результирующее множество было |
рекурсивно перечислимым. ]
Обратимся к иным описаниям продуктивности и понятий,
с продуктивностью связанных. Некоторые результаты приведены
здесь. Дальнейший материал содержится в упр. §ч 7.9.
Для всякого ли продуктивного множества может быть найдена
всюду определенная продуктивная функция? В гл. 11 будет приве-
приведено короткое и изящное доказательство того, что это так. Мы
дадим сейчас более длинное доказательство. Оно вырабатывает
ценную для исторически более раннего доказательства гл. 11
интуицию.
Теорема XI. А продуктивно <=> существует общерекурсивная
функция /, такая, что А продуктивно с f в качестве его продуктив-
продуктивной функции.
г) По форме этот парадокс походит на парадокс Бурали-Форти в теор я
ординальных чисел. (Парадокс Бурали-Форти возникает из трактовки упоря-
упорядоченной совокупности всех ординалов как нового ординала.) Рассматривае-
Рассматриваемый парадокс, однако, привлекает лишь счетные ординалы.
Доказательство. -$= очевидно.
=>-. Пусть А продуктивно с продуктивной функцией ар. Дадим
инструкции для вычисления /.
Методом, уже знакомым читателю, может быть найдена обще-
общерекурсивная функция g, такая, что
( Wx, если z ? К;
g(z,x) | 0 в противном случае
Пусть к0, ки . . .— эффективный пересчет К.
Вычисление f(x). Начинайте вычислять ty(x), tyg(k0, а;),
tyg{ki, x), ... Возьмите в качестве значения f(x) то, что вычислит-
ся первым. Покажем, что / является продуктивной функцией для
А; поскольку х, g{k0, x), g(ku х), . . . суть индексы множества Wx,
f(x) должна сходиться, если сходится ор(х). Функция / всюду
определена; действительно, предположим, что f(x0) расходится
в некоторой точке х0- Тогда tyg(y, х0) расходится при всех у ? Kj_
Однако для у 6 К Wg(v, хо) = 0 и, следовательно, для у в К
¦tyg(y, х0) сходится. Таким образом, мы имели бы К = {у | tyg(y, x0)
сходится}, и по второй теореме о проекции К было бы рекурсивно
иеречислимым, в противоречие с нерекурсивностью множества К. а
Более сильный вариант теоремы XI приведен в упр. 7-50 и 7-51.
(Пост первоначально определил творческое множество как рекур-
рекурсивно перечислимое множество, дополнение которого продуктивно
с всюду определенной продуктивной функцией.)
Утверждение о том, что А не является рекурсивно перечисли-
перечислимым множеством, может быть выражено так: {4x)[Wx Ф А] или,
более детально, (Чх)Cу)[у 6 Wx — А или у б А — Wx]. Мы могли
бы сказать, что это утверждение имеет место „конструктивно"
"(или „равномерно"), если существует общерекурсивная функ-
функция /, такая, что (Vz)[/(x) 6 Wx — А или f(x) ?A— Wx]. Прихо-
Приходим к следующему определению.
Определение. Множество А вполне продуктивно, если сущест-
существует общерекурсивная функция /, такая, что для всех х или f(x) 6
? Wx — А, или f(x) б А — Wx. Функцию / назовем вполне про-
продуктивной функцией для А.
Пример. К вполне продуктивно с "kxlxX в качестве вполне
¦продуктивной функции. Действительно, х 6 Wx =^ х (? К и х (J
(| Wx =>- х 6 К по определению К.
Очевидно, что всякое вполне продуктивное множество продук-
продуктивно. Имеет ли место обратное? В гл. 11 мы покажем, что это так
р что понятия продуктивности и вполне-продуктивности тем самым
-эквивалентны. Еще одно описание продуктивности приводится

126 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
в упр. 11-15, из которого мы узнаем, что А продуктивно
В упр. 7-43 мы увидим, что существует 2No продуктивных
множеств. Верно ли, что всякое множество, не являющееся рекур-
рекурсивно перечислимым, продуктивно? Из теоремы X и результатов
упр". 5-8 следует, что это неверно; существует множество, не являю-
являющееся ни продуктивным, ни рекурсивно перечислимым. Мы пред-
предпримем изучение таких множеств в гл. 8 х). В следующем опреде-
определении речь идет о существовании продуктивной процедуры для
перехода от рекурсивно перечислимых подмножеств к большим
рекурсивно перечислимым подмножествам.
Определение. Множество А полупродуктивно, если существует
частичнорекурсивная функция ар, такая, что Dx)[Wx cz A =>¦ bp(x)
W W W W W ]\
рур
сходится & Wx
& Wx
&
x
A]\.
x ^M x ^(X) ^(s)
Очевидно, А продуктивно =>- А полупродуктивно (упр. 7-53).
Далее для полупродуктивных множеств имеет место аналог теоре-
теоремы XI (упр. 7-54). Всякое ли полупродуктивное множество про-
продуктивно? Упражнение 8-42 показывает, что это не так; множество-
может быть полупродуктивным, не будучи продуктивным. Этот
результат принадлежит Шёнфильду (см. упр. 8-42).
Пары непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств
Аналогично теории рекурсивно перечислимых множеств,
может быть развита теория пар непересекающихся рекурсивно-
перечислимых множеств. Эта теория оказывается существенной
в некоторых приложениях к логике (там, например, где мы инте-
интересуемся как множеством доказуемых утверждений, так и множе-
множеством недоказуемых утверждений некоторой формальной систе-
системы). В этой ^теории аналогом рекурсивности является следующее
понятие.
Определение. Множества А ж В рекурсивно отделимы, если
существует рекурсивное множество С, такое, что А cz С и В cz С-
> Аналог креативности:
Определение. Множества А и В эффективно неотделимы, если
существует частичнорекурсивная функция о|) Двух переменных,,
такая, что для любых и ш v имеет место соотношение
[A cz Wu & В cz Wv &WU(]WV = 0] =р
=4> bp(u, v) сходится & ор(ы, v) 6 Wu [} И7„1~
*) Для такого множества А утверждение (Va;) (Зу) [у ? Wx — А или
у ? А — Wx] должно иметь место „неконструктивно" (или „неравномерно").
Утверждение верно, но у не может быть рекурсивной функцией х.
% 7.8. ЛОГИКА 127
Верна следующая
Теорема XII. (а) Каковы бы ни были множества А и В, если
Аи В эффективно неотделимы, то А и В не являются рекурсивно
отделимыми.
(b) Какова бы ни была пара непересекающихся рекурсивно пере-
перечислимых множеств А и В, если А и В эффективно неотделимы, та
каждое из множеств А и В креативно.
(c) Существует эффективно неотделимая пара непересекаю-
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств.
Доказательство, (а) и (Ь) очевидны (см. упр. 7-56).
(с) Пусть Ао = {х | срх(х) =0} и Ах = {х \ (рх(х) = 1}; эти-
множества, очевидно, суть непересекающиеся рекурсивно пере-
перечислимые множества.
Пусть даны и и v. Определим т] следующим образом.
Чтобы вычислить t](y), одновременно перечисляем Wu и Wv;
если у появляется сначала в Wu, положим т](г/) = 1; если у появ-
появляется сначала в Wv, положим т](г/) = 0.
Тогда т] = ф/(„, „) для некоторой всюду определенной функ-
функции /. Функция / является искомой „продуктивной функцией",
А W A W W f W 0
поскольку если Ао
мер,
Wu
ф
i cz Wv и Wu f) Wv = 0, то, напри-
наприf(u, v) e Wu =>- T)(/(u, v)) = 1 =>- ф/(в, 0)(/(u, v)) = 1
и мы имеем противоречие, щ
Несколько иные формулировки ряда рассматривавшихся поня-
понятий содержатся в упр. 2-30. Мы неоднократно будем приводить-
и другие результаты из теории пар рекурсивно перечислимых
множеств. Разработка этой теории и ее применения к логике пред-
предпринята в работе Шмульяна [1961]. Распространение результатов
для пар множеств на последовательности множеств проведено Кли-
вом в [1961].
§ 7.8. ЛОГИКА
Терминология
Правильно построенные^формулы^(мы будем для правильно-
построенной формулы употреблять сокращение ппф или пп-фор-
мула) формализованной логической системы образуют некоторый
бесконечный класс конечных цепочек символов некоторого основ-
основного конечного алфавита. Пп-формулы выделяются всегда таким
образом, что существует эффективная процедура, позволяющая
определять, какие цепочки являются пп-формулами, а какие нет.
При исследовании логической системы пп-формулы являются.

128 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИВДОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
§ 7.8. ЛОГИКА 129
основными объектами изучения. В ч семантических терминах
пп-формулы образуют класс „осмысленных" цепочек. Как правило,
в приводимых нами примерах из логики предикатов понятие
пп-формулы будет совпадать с тем, что в логике предикатов часто
называют высказываниями системы х).
Чтобы применять понятия теории рекурсивных функций, сле-
следует предпринять кодирование пп-формул натуральными числами.
Мы ограничимся рассмотрением кодирований, являющихся отобра-
отображениями на N 2). Натуральное число, поставленное в соответ-
соответствие некоторой ппф при некотором кодировании, называется
гёделевым номером этой ппф (при этом кодировании). (Мы предпо-
предполагаем, как правило, что операции кодирования и декодирования
эффективны.) Обсуждение способов кодирования проводилось
в § 1.10.
Пусть задана логическая система. Тогда кодирование ставит
в соответствие каждому множеству пп-формул множество нату-
натуральных чисел. Пусть задано множество пп-формул. Очевидно,
что если множество гёделевых номеров, получаемых при каком-то
кодировании, обладает некоторым рекурсивно инвариантным свой-
свойством, то им обладает и множество гёделевых номеров, получае-
получаемых при любом другом кодировании (см. § 1.10). Рекурсивно
инвариантные свойства могут, таким образом, быть поставлены
в соответствие непосредственно множествам пп-формул. Мы можем
говорить, например, о рекурсивном множестве пп-формул, или
рекурсивно перечислимом множестве пп-формул, или о продуктив-
продуктивном множестве пп-формул.
При изучении конкретных логических систем некоторые мно-
множества пп-формул обычно выделяются как представляющие осо-
особый интерес. Например, может быть выделено множество „доказуе-
„доказуемых" пп-формул (при некоторых указанных синтаксических пра-
правилах доказательства) или множество „истинных" пп-формул (при
некотором ^— как правило, неконструктивном — определении
истинности). Множество пп-формул, выделенных таким образом,
называется теорией. (Обыкновенно требуется, чтобы „теория"
J) Высказывания суть выражения, в которых каждая переменная нахо-
находится в области действия некоторого квантора. Заметим, кстати, что в логике
предикатов термин „пп-формула" обычно применителен и к выражениям,
содержащим переменные, не находящиеся в области действия квантора, а не
только к высказываниям. Мы не будем при нашем теперешнем общем подхо-
подходе выделять более одного класса „осмысленных" цепочек данной системы, и мы
станем называть этот класс „пп-формулы", не взирая даже на то, что это в ряде
случаев расходится с обычным более емким употреблением термина
„пп-формула".
2) На самом деле, нас удовлетворило бы привлечение кодирований,
являющихся отображениями на рекурсивное собственное подмножество мно-
множества N. Чтобы рассмотреть такие случаи, нам пришлось бы, при нашем
подходе, сделать несколько незначительных модификаций.
была замкнута относительно некоторых выделенных правил
вывода. Часто эти правила являются правилами логики преди-
предикатов. Это ограничение для наших целей не существенно; временно
мы определим теорию просто как произвольное множество
пп-формул.)
Пп-формулы теории часто оказываются эффективно перечис-
перечисляемыми. Как раз такая ситуация возникает, как правило, в тех
случаях, когда теория состоит из „доказуемых" пп-формул при
некоторых формальных правилах доказательства *). Обычно гово-
говорят, что теория, т. е. множество пп-формул, аксиоматизируема,
если это множество может быть эффективно пересчитано, т. е.
если оно рекурсивно перечислимо. Аналогично, теория называется
разрешимой, если она рекурсивна.
Существование рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных
множеств (подобных множеству К) наводит на мысль о том, что
некоторые хорошо известные аксиоматизируемые теории могут
не быть разрешимыми. Это и в самом деле так. Теорема Чёрча
(Чёрч [1936а1) устанавливает, что доказуемые пп-формулы логики
предикатов образуют неразрешимую теорию. Мы увидим ниже,
что доказуемые пп-формулы элементарной арифметики (при любой
из стандартных аксиоматизаций) также образуют неразрешимую
теорию.
Теорема Гёделя о неполноте
„Феномен непополнимости" Гёделя [1931] (см. также Тарский
Ц932, 19361) может быть сформулирован целым рядом различных
способов. Пожалуй, проще всего он может быть выражен следую-
следующими словами: в любой формальной системе, которая обладает
некоторой минимальной сложностью и для которой понятие
„истинности" пп-формулы может быть определено некоторым есте-
естественным образом, множество „истинных" пп-формул продуктивно
(и, следовательно, не является рекурсивно перечислимым). Таким
образом, „истинные" пп-формулы не образуют аксиоматизируемой
теории.
Мы уже сейчас в состоянии показать на неформальном уровне,
что это так. Рассмотрим произвольную формальную математиче-
математическую систему, достаточно гибкую и емкую для того, чтобы образо-
образовывать утверждения о машинах Тьюринга и их индексах. Такие
высказывания, как „17 есть индекс общерекурсивной функции",
будут тогда выразимы в этой теории. Рассмотрим высказывания
этого вида, т. е. вида „п есть индекс общерекурсивной функции",
где п—нумерал для натурального числа п. Мы не можем
J) Устраивается пересчет всех доказательств (примерно так, как в § 1.4
пересчитываются схемы всех примитивно рекурсивных функций).
9-0506

130 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
§ 7.8. ЛОГИКА 131
рассчитывать на существование процедуры, которая пересчиты-
пересчитывает все истинные высказывания этого вида и ни одного
ложного высказывания этого вида, поскольку {х \ (рх общерекур-
сиена} является, как известно, продуктивным множеством. В са-
мом деле, из инструкций для процедуры, которая пересчитывает
только истинные высказывания этого вида, мы можем эффективно
получить (в силу продуктивности множества {а; | (рх общерекур-
сиена}) новое истинное высказывание этого вида, которое не было
перечислено. Аналогично, рассмотрим высказывание вида „про-
„процесс вычислений, соответствующий набору инструкций Рп, при.
входе п расходится", т. е. вида „n (J К". Мы не можем надеяться
перечислить все истинные и ни одного ложного утверждения этого
последнего вида, поскольку множество К продуктивно.
Элементарная арифметика
Мы рассмотрим сейчас конкретную логическую систему.
Пп-формулы элементарной арифметики — это такие пп-формулы,
которые могут быть построены, исходя из +, X, =, 0, 1, 2, . . .,
переменных символов для натуральных чисел, кванторов над нату-
натуральными числами, связок И, &, V , =>¦, <=>, и удовлетворяют тре-
требованию, что всякая переменная в ппф находится в области дей-
действия некоторого квантора. Например, ;
(Va)M а = 2 => (ЗЬ)о = Ь X Ъ]
есть ппф. (Она выражает ложное утверждение, состоящее в том, :
что всякое натуральное число, отличное от 2, есть квадрат.)
Можно определить множество „истинных" пп-формул элемен-
элементарной арифметики в полном соответствии с нашей интуицией 1). '
Мы можем, таким образом, говорить об истинных пп-формулах
и ложных пп-формулах. Мы предполагаем, что это определение
истинности было дано. :
Неожиданно много разнообразных комбинаторных утвержде-
утверждений может быть выражено в элементарной арифметике. В частно- '
сти (см. упр. 7-64), можно найти выражение F с одной свободной
переменной, такое, что если вместо свободной переменной подстав- -
ляется нумерал для некоторого натурального числа х, то
получаемая в результате ппф (которую мы отныне будем обозна-
х) Эта теория (множество истинных пп-формул) иногда называется
элементарной теорией чисел или истинностной элементарной теорией чисел.
Термин „элементарная теория чисел" часто применяется для множества всех
пп-формул элементарной арифметики.
Определение истинной пп-формулы элементарной арифметики само может
быть формализовано. Как показал Тарский, такая формализация, однако,
требует средств выражения, более сильных, нежели средства выражения
элементарной арифметики (см. упр. 11—45).
чать через Fx) выражает, на интуитивном уровне, принадлежность
х множеству К. Более точно, можно показать, что
х б К <=> [Fx истинно]
и
х (J К <^> [Fx ложно] <=> [(~1 Fx) истинно1,
где (~~\FX) есть отрицание Fx.
Следующая лемма, хотя и является тривиальной, существенна
для дальнейших рассмотрений.
Основная лемма. [В рекурсивно & А (\ В продуктивно] =*- А
продуктивно.
Доказательство. См. упр. 7-60. в "
Так как множество пп-формул {Fx \ x б N} рекурсивно
и {Fx | х (J К} (={FX | Fx ложно}) продуктивно (см. упр. 7-61),
мы можем применить основную лемму. Получаем следующее.
(a) Истинные пп-формулы элементарной арифметики образуют
продуктивное (и, следовательно, нерекурсивное) множество.
(b) Ложные пп-формулы элементарной арифметики образуют
продуктивное множество.
Таким образом, истинные пп-формулы составляют неразреши-
неразрешимую и неаксиоматизируемую теорию.
В элементарной арифметике существуют различные стандарт-
стандартные способы выделения правил доказательства. Один из таких
способов базируется на аксиомах Пеано (включая и те случаи
аксиомы индукции Пеано, которые могут быть выражены в эле-
элементарной арифметике); получаемая в результате теория, т. е.
множество доказуемых пп-формул, часто называется арифметикой
Пеано1). Иная теория („доказуемых" пп-формул) может быть
получена, если принять в качестве „доказуемых" все те пп-форму-
пп-формулы элементарной арифметики, которые доказуемы в стандартной
теории множеств (класс пп-формул последней может выходить за
пределы пп-формул элементарной арифметики). Мы назовем"<эту
теорию теоретико-множественной арифметикой. Для каждого
такого выбора аксиоматизируемой теории нетрудно показать,
что х ? К =>- \FX доказуема].
х) Более точно, арифметика Пеано состоит из тех пп-формул эле-
элементарной арифметики, которые выводимы внутри элементарной логи-
логики предикатов из следующих аксиом: (V«) (V6) ta + 1 = Ь + 1=фа=Ь];
\f а) [10 = а + 1]; (V*) [в + 0 = a]; (\fa) (\fb) [a + (Ъ + 1) = (а + Ъ) + 1];
(Ve) [а X 0 = 0]; (Ve) (Vb) [а X (Ь + 1) = [(а X Ь) + а]; 0 + 1 = 1; всех
пп-формул вида (...(A + 1) + 1) . . • + 1) = х, где х — нумерал числа
а:, а а: —.число единиц, появляющихся слева; и всех пп-формул вида
[... 0 ... &(V«) [..•«••• => ¦'¦ (a+i)...]]=$(\fa) . .. а ... .
9*

132 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
(В самом деле, „доказательство" формулы Fx состоит в предъявле- •
нии выкладок, устанавливающих, что х входит в К.)
Рассмотрим систему, являющуюся или арифметикой Пеано,
или теоретико-множественной арифметикой. Сделаем специальное
предположение, состоящее в том, что никакая ложная ппф эле-
элементарной арифметики не доказуема. Тогда
х 6 К <=> [Fx доказуема],
и, следовательно,
х (J К <=> [Fx недоказуема].
Применив нашу основную лемму, получаем:
(c) недоказуемые пп-формулы образуют продуктивное множе-
множество. ¦
(d) доказуемые пп-формулы образуют творческое (и, следова-
следовательно, нерекурсивное) множество.
Следовательно, доказуемые пп-формулы образуют неразреши-
неразрешимую теорию. Далее, рассмотрим {Fx | (Hi*1*) доказуема}. Это мно-
множество является рекурсивно перечислимым подмножеством недо-
недоказуемых пп-формул. Используя продуктивность множества К,
получаем
(e) существует хо, такое, что ни Fxo, ни ("IF^) не доказуемо.
Такая формула иногда называется неразрешимой ппф. Заме-
Заметим, что из этих двух пп-формул мы непосредственно имеем, что
~~\FXo истинна, a FXg ложна.
Специальное предположение о том, что никакая ложная ппф
элементарной арифметики не доказуема, конечно, существенно *).
Для случая арифметики Пеано такое предположение само может
быть установлено внутри более общей теоретико-множественной
математики. Для случая теоретико-множественной арифметики это
предположение должно базироваться или на эмпирической основе,
или на интуиции, что выходит за пределы теории множеств.
Подытожим на неформальном уровне: никакая аксиоматиза-
аксиоматизация математики не может исчерпывающим образом охватить все
истинные утверждения элементарной арифметики; какова бы
ни была аксиоматизация, порождающая лишь истинные утверж-
утверждения элементарной арифметики, может быть образовано новое
истинное утверждение, не доказуемое при этой аксиоматизации.
Приведенные факты придают особое значение нашему изуче-
изучению продуктивности. Пост полагал, что такого рода факты выяв-
выявляют существенно творческий характер математики. Отсюда тер-
термин творческое множество. .
х) Если множество пп-формул таково, что в нем не содержится никакой
ложной ппф, то такое множество пп-формул называется семантически непро-
тиворечимым. Наше специальное предположение утверждает семантическую
непротиворечивость множества доказуемых пп-формул.
§ 7.9. УПРАЖНЕНИЯ 133
Замечание. В формулировках результатов (с), (d) и (е)
понятие истинности не фигурирует. Эти результаты остаются
справедливыми при замене предположения о том, что никакая
ложная ппф не доказуема, более слабым синтаксическим предпо-
предположением (т. е. комбинаторным предположением о символизме),
относящимся к непротиворечивости множества доказуемых пп-фор-
пп-формул. В своем первоначальном доказательстве Гёдель поступает
именно так. Фактически он показывает, что [х 6К <=> [Fx дока-
доказуема]] имеет место, если множество доказуемых пп-формул обла-
обладает свойством, известным логикам как (^-непротиворечивость.
Россер впоследствии усилил этот результат, использовав (по суще-
существу) несколько более сложное выражение G вместо гёделева выра-
выражения F и показав, что [х 6 К <=> [Gx доказуема]] имеет место,
если множество доказуемых пп-формул непротиворечиво. Опреде-
Определения и изложение идей методов можно найти в упр. 7-64 и 7-65.
Дальнейшие результаты о теоретико-множественной арифметике
приведены в § 14.7 и в упр. с 14-21 по 14-23.
§ 7:9. УПРАЖНЕНИЯ
§7.1
; m2 & А рекурсивно перечислимо ] =ф А рекур-
7-1. Покажите, что [
сивно.
7-2. Покажите, что существует нерекурсивное А, такое, что А <Гт4.
(Указание. Воспользуйтесь К ф К.)
7-3 (Деккер). (а) Покажите, что если А и В рекурсивно перечислимы, то
[А [}В = N &.А Г\В ф 0]=$А ^тА П В.
Д(Ь). Покажите, что если А и В рекурсивно перечислимы, то
[A U В = N &.А П.-В бесконечно]
в-
7-4. Пусть А и В — бесконечные множества, такие, что (Л — В) \J
U (В — А) конечно. Покажите, что А = тВ (А = ±В может и не быть спра-
справедливо; см. гл. 8).
7-5. Сравните относительно <jm следующие множества:
(i) {х | х просто};
(и) {х | х четно};
(ill) {х | Wx = 0};
(iv) {x | Wx бесконечно};
(v) {x | фж общерекурсивна};
A(vi) {x | Wx = Wn} для фиксированного п. (Отношение (vi) к другим
множествам зависит от п. Следует рассмотреть три случая.)
7-6. (а) Исследуйте структуру рекурсивных множеств относительно ^т.
(Ь) Покажите, что [Л рекурсивно и В не рекурсивно ] —ч А ^Ш5.
7-7. (а) Исследуйте структуру рекурсивных множеств относительно ^.
Д(Ь). Покажите, что существуют такие А и В, что А рекурсивно, В не ре-
рекурсивно и A d* \B. (Указание. Воспользуйтесь результатом упр. 5-8.)
7-8. (а) Покажите, что всякая m-степень содержит самое большее х0
множеств. Содержит пи какая-нибудь из них менее к0 множеств?
(Ь) Покажите, что всякая m-степень имеет самое большее я0 т-степе-
ней, предшествующих ей относительно упорядочения по т-сводимости.

134 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЪ
(с) Покажите, что (а) и (Ь) имеют место для 1-степеней и упорядочения
по 1-сводимости.
7-9. Покажите, что конструкция теоремы II (Ь) не может быть исполь-
использована для доказательства того, что упорядочение по 1-сводимости образует
полурешетку. Покажите, однако, что сами рекурсивные 1-степени образуют
верхнюю полурешетку относительно ^t.
7-10. Введем определение: А ^ С[В, если существует общерекурсивная
функция g, такая, что сА = gcB. Является ли отношение <rcf рефлексивным
и транзитивным? Если окажется, что является, дайте полное описание упоря-
упорядочения по сводимости, этим отношением порождаемого.
Д7-11. Покажите, что (х | фж общерекурсиена) и {х \ <рх не является всюду
определенной} не сравнимы относительно <Jm. (Указание. Покажите, что
в противном случае пары индексов частичнорекурсивных функций могли бы
быть пересчитаны так, что в каждой паре одна и только одна частичнорекур-
сивная функция являлась бы всюду определенной; покажите далее, что такой
пересчет мог бы быть использован для построения диагональной конструк-
конструкции над классом всех общерекурсивных функций, что привело бы к противо
речию. Эта диагональная конструкция сложна; возможно, что к некоторым
парам индексов пришлось бы в процессе диагонализации обращаться более
одного раза.)
§7.2
7-12. Определите место множества {х | Wx= 0} в упорядочении
по 1-сводимости. (Ответ. =tK.)
7-13. (а) Проделайте упр. 7-5 для sQ.
(b) Пусть D — конечное множество. Сравните относительно ^j мно-
множества К X Ки {х \ Wx = D}.
А7-14. Каково соотношение между множествами {х \ Wx рекурсивно}
и {х | Wx бесконечно} относительно ^Г4?
7-15. (а) Покажите, что [<р частичнорекурсивна & ф взаимно однозначна
& <p(N) рекурсивно & А рекурсивно] =ф ц>(А) рекурсивно.
(Ь) Покажите, что [<р частичнорекурсивна & q>(iV) = N X А рекурсивно
& <р(А) не рекурсивно] возможно.
7-16. В каждом из следующих случаев покажите, что определяемое
отношение между А и В рефлексивно и транзитивно. Исследуйте структуру
соответствующих „степеней неразрешимости" рекурсивно перечислимых
множеств. .
(i) C ^частичнорекурсивная функция <р)[А dp-ЦВ)].
(ii) C частичнорекурсивная функция <р)[А = ф-1(В)].
( ш) C частичнорекурсивная функция <р) [w взаимно однозначна & А =
= Ф-ЧВ)]
ФЧВ)].
(Частичный ответ, (i) Все множества распадаются на две степени; (ii) рекур-
рекурсивно перечислимые множества распадаются на две степени; (ш) рекурсивно
перечислимые множества распадаются на бесконечно много степеней.)
§ 7.3
7-17. В примере 2 из § 7.3 проверьте, что g является искомой продуктив-
продуктивной функцией.
7-18. Покажите, что [А Ф 0 & C частичнорекурсивная функция о]))
(Vx)[[Wx <=А &№хф 0\=$Щх) сходится &\|>(я) 6-4 — WX]]] =^ А про-
продуктивно.
7-19. Покажите непосредственно, без использования теоремы V (Ь),
что следующие множества продуктивны: {х \ фж — перестановка} и {х | фх —
отображение на}.
§ 7.9. УПРАЖНЕНИЯ 135
7-20. Покажите, что {х \ фх не всюду определена} продуктивно. (Указание,
Покажите, что К ^ m{x \ ц>х общерекурсиена}.) Это множество таково, что
как оно само, так и его дополнение продуктивны.
7-21. Покажите, что существует Хо творчески'х множеств.
7-22. Покажите, что {х | (Зг/)[ж ? Wy & у ? Wx]} — творческое множе-
множество с %х[х] в качестве продуктивной функции.
7-23. Какие множества упр. 7-5 являются творческими? Какие имеются
творческие дополнения?
7-24. Исследуйте f(A) и f~1(A), когда / — взаимно однозначная общере-
общерекурсивная функция к А — творческое множество и когда / — взаимно одно-
однозначная общерекурсивная функция и А —¦ продуктивное множество.
7-25. (а) Покажите, что [Л продуктивно & В рекурсивно перечислимо
& В ClA] => A — В продуктивно.
(Ь) Покажите, что [А продуктивно & В рекурсивно перечислимо &.А С
с: В] =Ф A U В продуктивно.
Д7-26. Покажите, что [А творческое &? рекурсивно перечислимо^ &Ат
<; тВ X В] => В творческое.
Д7-27. Покажите, что А творческое =$АхА творческое.
(Обращение этого факта было установлено Лахланом.)
§ 7.4
7-28. Между какими парами множеств из упр. 7-5 имеет место рекурсив-
рекурсивный изоморфизм?
7-29. Покажите, что АфА^=АфА. _ _ _
Д7-30. Покажите, что \f(A) = В & /(J) = В & g(B) = А & g(B) =
= А &"/ рекурсивно & g рекурсивно] => А == В.
Д7-31. Пусть Rx = Val фж. Пусть Vx определено как в упр. 5-11 (Ь).
Тогда каждая из последовательностей {Лж}^^, {^ж)ж=о° и {И^зЙГ
задает нумерацию рекурсивно перечислимых множеств. Покажите, что, како-
каковы бы ни были две из этих трех нумераций, одна из них, в соответствующем
¦сильном смысле, является рекурсивной перестановкой другой. (Указание.
Воспользуйтесь методом доказательства теоремы VI).
§7.5
^7-32. (Майхилл). Покажите, что любые два творческих множества рекур-
рекурсивно изоморфны.
§ 7.6
7-33. Покажите, как Структура рекурсивных множеств относительно ^i
и <:т согласуется с теоремой VIII.
7-34. Введем определение: А <; [5, если C общерекурсивная /)
{/взаимно однозначна & А = f~x(B) & Val / рекурсивно].
(a) Покажите, что SjJ рефлексивно и транзитивно и что его „степени"
«уть в точности типы рекурсивного изоморфизма.
(b) Покажите, что А ^тВ <=> А X N ^{ В X N.
(c) Покажите, что если или А, или? является цилиндром, то А <1 ±В =ф
) , ,
А ^[В (Р. Робинсон обнаружил существование рекурсивно перечислимых
множеств А ж В, таких, что А <: ф, но А «^ {В.)
7-35. Докажите теорему IX.

136 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНО.СВОДИМОСТЬ
7-36. (а) Покажите, что если хотя бы одно из множеств А или В является
цилиндром, то А X В — цилиндр.
(b) Покажите, что если как А, так и В суть цилиндры, то А ф В есть
цилиндр. (Указание. Воспользуйтесь теоремой IX.)
В упр. 8-29 мы увидим, что А ® В я. А X В не обязательно являются
множествами одной и той же m-степени, даже если А и В рекурсивно пере-
перечислимы.
(c) Какие из множеств К X К и К ф К являются цилиндрами?
(d) Покажите, что из того, что А ф В есть цилиндр, не обязательно сле-
следует, что или А, или В есть цилиндр.
Д(е) Каково соотношение между К X К и К ф К относительно ш-упо-
рядочения? (Частичный ответ. Они различных степеней.)
Д7-37. Введем определение: А есть 1-1-сплинтер, если C общерекур-
общерекурсивная взаимо однозначная функция /) (Зх)[А={х, }(х), ff(x), fff(x), ...}].
(Сплинтеры изучались Юллианом и позднее Майхиллом; см. Юллиан [1960{
и Майхилл [1959а].)
(a) Покажите, что это понятие рекурсивно инвариантно.
(b) Покажите, что если А и А бесконечны и А есть 1-1-сплинтер =Ф А —
рекурсивно перечислимый цилиндр..(Указание. Покажите, что (VS)[B <Tm
^m.4 =Ф В ^Л]. Заметим, что в А могут встречаться „циклы".)
(c) Покажите, что [А Ф 0 & А — рекурсивно перечислимый цилиндр|
=Ф А есть 1-1-сплинтер. (Указание. Поскольку А = А X N, достаточно
установить, что А XN есть 1-1-сплинтер. Пусть п ? А. Определим / так, чтобы
f((x, у}) = (х, у-\- 1) за тем лишь исключением, что по мере появления
элементов множества А в его эффективном пересчете, это правило модифи-
модифицируется с использованием процедуры уплотнения таким образом, чтобы
последователи (га, 0),, получаемые посредством /, постепенно исчерпы-
исчерпывали А X N.) (Замечание. Определение сплинтера получается из опреде-
определения 1-1-сплинтера опусканием требования взаимной однозначности
функции /. Янг установил существование бесконечного сплинтера, н&
являющегося цилиндром.)
(d) (Янг). Будем говорить, что общерекурсивная перестановка / свободна
от циклов, если для каждого непустого конечного множества D имеет
место f(D) ф D.
Докажите, что А — цилиндр <=> существует свободная от циклов рекур-
рекурсивная перестановка /, такая, что f(A) = А.
7-38. Используйте теорему IX, чтобы показать, что все множеств»
из упр. 7-5 суть цилиндры.
§ V.7
7-39. Пусть / — данная общерекурсивная функция. Пусть Jt = {В | В
продуктивно с f в качестве продуктивной функции}.
(а) Приведите примеры общерекурсивной функции /, такой, что <d; = 0Г
и такой, что Jt ф 0.
(Ь). Покажите, что {A?jth.B^Jt\-=^A[\B^J:.
(с) Покажите, что [А ? <Л & В 6 «??] не всегда влечет за собой А \] В 6
j^(d) Покажите, что [А ? сЛ & &? ? «??] -- A \J В продуктивно.
^(е) Покажите, что dt порождает решетку продуктивных множеств отно-
относительно операций f) и U •
7-40 (Деккер). Пусть Dom А есть {х \ Wx сА}. Покажите, что А —
продуктивно =ф Dom А продуктивно.
7-41. Покажите, что К — Dom К бесконечно.
§ 7.9. УПРАЖНЕНИЯ 137
7-42. (См. 7-40.) Пусть А продуктивно ci|) в качестве продуктивной функ-
функции. Мы будем \J)(Dom4) называть центром А ж обозначать center^, A.
Покажите, что center ф А а В а А =$ В продуктивно.
7-43. Покажите, что существует 2Ко продуктивных множеств. (Указание.
Воспользуйтесь упр. 7-41 и 7-42.)
7-44. Покажите, что всякое продуктивное множество обладает 2No про-
продуктивными подмножествами. (Указание. См. упр. 7-43.) Следует найти'центр
продуктивного множества, такой, чтобы существовало бесконечно много эле-
элементов множества, не принадлежащих центру.)
7-45. Пусть А — продуктивное множество с i|) в качестве продуктивной
функции. Покажите, что существует продуктивное множество В с \р в качестве
продуктивной функции, такое, что В = center^ В. (Указание. Возьмите пере-
пересечение всех множеств, имеющих i|) своей продуктивной функцией.) Мы назо-
назовем такое продуктивное множество насыщенным относительно i|).
Д7-46. (Деккер.) (Это упражнение предполагает некоторое знакомство
.со счетными ординальными числами. Краткие сведения об ординальных
числах содержат упр. с 11-46 по 11-53.) Пусть i|) — продуктивная функция
некоторого продуктивного множества. Определим трансфинитной индукцией.
по ^счетным ординалам
So = 0,
S*H = Sa U {*(*) I Wx С Sa},
Sfi = U 5 Для p = lim «„.
n n
Пусть R = U Sa. Покажите, что В наполнено (см. упр. 7-45) и совпадает
а
с пересечением всех множеств, продуктивных относительно ij;.
(Мы увидим позднее, что любые два таких множества для различных
взаимно однозначных функций i|i рекурсивно изоморфны и высокой степени
неразрешимости.)
7-47. Покажите, что всякое бесконечное рекурсивно перёчислимое мно-
множество является объединением непересекающихся между собой творческого
множества и продуктивного множества.
7-48. Покажите, что всякое продуктивное множество является объедине-
объединением непересекающихся между собой творческого множества и продуктивного
множества. (Указание. Воспользуйтесь теоремой X и упр. 7-47.)
7-49. Покажите, что всякая взаимно однозначная общерекурсивная
функция есть продуктивная функция некоторого творческого множества.
(Указание* Следует рассмотреть {f(x) \ f(x) ? Wx}. Можно также воспользо-
воспользоваться конструкцией, подобной конструкции упр. 7-46).
7-50. Покажите, что А продуктивно =Ф А продуктивно с взаимно одно-
однозначной продуктивной общерекурсивной функцией. (Указание. Пусть / —
данная продуктивная общерекурсивная функция. Определим: g@) = /@);.
g(n + 1) = f(n + 1), если f(n + 1) (J {g@), . . ., g(n)}, в противном случае
воспользуемся свойством продуктивности. Предостережение: {g@), . . ., g(n)}
может не содержаться в А. Дальнейшее указание: следует взять Wh(X) =
= Wx U {/(я)}, затем рассмотреть f(n + 1), fh(n-\- 1), fhh(n + 1), ...
и выяснить, встречаются ли повторения.)
7-51. Покажите, что А продуктивно =Ф А продуктивно с рекурсивной
перестановкой в качестве продуктивной функции. (Указание. Очевидным обра-
образом метод упр. 7-50 позволяет перейти от функции на к взаимно однозначной
функции на. Остается показать, что от функции / в можно перейти к фувкции
h на. Пусть D — бесконечное рекурсивное множество р. п. индексов множе-
множества Л'. Пусть g пересчитывает D без повторений. Положим h(x) = g~x(x)
на D и h(x) = f(x) на D.)
^7-52. (Майхилл.) Покажите, что А продуктивно =$А вполне продук-
продуктивно.

138 ГЛ. 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
7-53. Покажите, что А продуктивно =Ф А полупродуктивно.
7-54. (а) Докажите теорему X для полупродуктивных множеств.
(Ь) Докажите теорему XI для полупродуктивных множеств.
7-55. (а) Определите понятие „сильной сводимости" в соответствии с тео-
теорией пар непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств.
(b) Покажите, что пара множеств, существование которой утверждает
теорема XII (с), является „полной" в подходящем смысле относительно этой
-сводимости.
(c) Покажите, что всякая полная пара непересекающихся рекурсивно
перечислимых множеств эффективно неотделима.
• A(d) (Бюхи). Воспользовавшись сводимостью множеств из теоремы XII (с),
покажите, что следующие множества не являются рекурсивно отделимыми,
"и что в действительности они эффективно неотделимы: {{х, у) \ ц>х(у) сходит-
сходится} и {{х, у) | Рх(у) — цикл), где ,,Рх(у) — цикл" означает, что некоторая
конфигурация встречается более одного раза в вычислении с помощью маши-
шы Тьюринга Рх при входе у.
7-56. Докажите пункты (а) и (Ь) теоремы XII.
7-57. Измените доказательство теоремы XI так, чтобы с его помощью
показать, что всякая эффективно неотделимая пара непересекающихся рекур-
рекурсивно перечислимых множеств обладает всюду определенной „продуктивной
функцией".
7-58. Модифицировав доказательство теоремы XII (с), установите суще-
существование системы, состоящей более чем из двух множеств, и такой, что любые
два ее множества не пересекаются и эффективно неотделимы.
7-59. Покажите (не прибегая к упр. 7-32), что существует творческое
множество К', такое, что К и К' не пересекаются и эффективно неотделимы.
{Указание. Покажите, что К = Ао, где Ао — то же, что и при доказательстве
теоремы XII.)
§ 7.8
7-60. Докажите, что [В рекурсивно перечислимо &. A f~) В продук-
продуктивно] -=#> А продуктивно. (Отсюда следует основная лемма § 7.8.)
7-61. С использованием тезиса Чёрча объясните, почему множество
{Fx | х ?N} (определение см. в § 7,8) должно быть рекурсивным и почему
{Fx | х (f К} должно быть продуктивным.
7-62. Предположим, имеется логическая система, формулируемая в сим-
символизме обычной логики предикатов. Пп-формулы могут, таким образом,
содержать символ & (наряду с другими). Отождествим пп-формулы с их
гёделевыми номерами.- Отношение непосредственной выводимости задается
как отношение между конечными множествами пп-формул и пп-формулами.
-Это отношение рекурсивно, т. е. {{х, у) | ппф у непосредственно выводима
из конечного множества Dx} рекурсивно. Определим отношение выводимости
следующим образом: у выводимо из А, если существует конечная последова-
последовательность (г/о, J/i, • • •, Уп)у такая, что у = уп и для всех/, 0^/^л, или
.У] 6 А, или yj непосредственно выводимо из некоторого подмножества
{j/o, • • ч Vj-i}- Пусть А = {х | х выводимо ив А}. Если В = А, мы будем
называть А множеством аксиом для В.
(a) Покажите, что А рекурсивно перечислимо =Ф А рекурсивно перечис-
перечислимо. ___
(b) Покажите, что А с А и А = А.
Пусть (х & у) обозначает ппф, получаемую_ромещением^&" между х и у.
Предположим, что для всех^и у, (^&у)? {*» у}, х ? {(х~&~у)} и у ? {(зГ&Гу)}.
(c) Покажите, что A \J В = A \J В может не быть верно.
/\(d) (Крэйг). Покажите, что В рекурсивно перечислимо =Ф C4) [А —
рекурсивно & А = В]. (Указание. Воспользуйтесь теоремой 5-III. Следует
§ 7.9. УПРАЖНЕНИЯ 139
обратить внимание на то обстоятельство, что для всякого х элементы последо-
последовательности х, (х & х), ((х & х) & х), ... взаимовыводимы.) Это и есть
теорема Крэйга: всякая рекурсивно перечислимая теория (в обычной
логике) имеет рекурсивное множество аксиом (Крэйг [1953]).
7-63. Это упражнение предполагает некоторое знакомство с логикой и ее
терминологией. Рассмотрим чистое исчисление предикатов первого порядка,
т. е. обычную логику предикатов. Существует ли рекурсивное множество спра-
справедливых биусловий, т. е. эквивалентностей, таких, что все справедливые
биусловия могут быть порождены ими путем „подстановки равенств в равен-
равенства", т. е. применением операции подстановки одной эквивалентности
в другую? (Указание. Воспользуйтесь методом, подобным методу 7-62.)
7-64 (Первая теорема Гёделя [1931]). Рассмотрим арифметику Пеано
или теоретико-множественную арифметику. Предположим, что существует
выражение элементарной арифметики с четырьмя свободными переменными,
назовем его Mabcd (с а, Ь, с, d в качестве этих переменных), такое, что (i)
если Pz при входе х дает выход у менее чем за w шагов, то Мzxyw доказуема *);
(ii) если Рг при входе х не дает выхода у менее чем за w шагов, то (~~\Mzxyw)
доказуема (см. § 14.4 и 14.7). Будем говорить, что наша теория ш-непротиво-
речива, если для любого выражения Ga с единственной свободной переменной
а, коль скоро (За) Ga доказуема, для некоторого х (~[Gx) недоказуема.
Предположим, что наша теория согласуется с обычными правилами эле-
элементарной логики. Покажите, что если наша теория (^-непротиворечива,
то (i) она образует творческое множество и (ii) должна существовать не-
неразрешимая ппф. (Указание. Возьмите в качестве Fx Cc)Cd) Mxxcd и пока-
покажите, что [[Fx доказуема] <=> х ? К].)
7-65. (Теорема Гёделя—Россера о неполноте, Россер [1936].) Пусть теория
и выражение Mabcd — такие же, как в упр. 7-64. Пусть z0 и zj — р.п. индек-
индексы для Ао и А± из теоремы XII. Предположим, что z0 и Zj могут быть выбраны
так, что следующая ппф доказуема: (Vb)n[Cc)Cd) Mzobcd &Cc) Cd)Mzibcd].
Назовем нашу теорию непротиворечивой, если для любой ппф Н, коль скоро
Н доказуема, (~!^0 недоказуема.
Предположим, что наша теория согласуется с обычными правилами эле-
элементарной логики. Покажите, что если наша теория непротиворечива, то (i)
она образует творческое множество и (ii) должна существовать неразреши-
неразрешимая ппф. (Указание. Рассмотрите Wu = {х \ (^c)(Jd)Mzoxcd доказуема}
и Wv = {x \—](lc)Cd)Mz0xcd доказуема} и воспользуйтесь эффективной
неотделимостью Ао и Af. Заметим, что всякое рекурсивно перечислимое
множество В, такое, что Ао с В сАг, должно быть творческим.)
х) Мы придерживаемся здесь следующего способа обозначения: если
...а... есть выражение со свободной переменной а и х есть число, то ...х...
есть результат подстановки нумерала х вместо а в ...а... . Таким образом,
М zxyw обозначает ппф, полученную подстановкой нумералов для чисел
z, х, у и w вместо переменных а, Ь, с и d в выражение Mabcd; подобным обра-
образом ниже для Gx и Cc)Cd)Afxxed.

Глава 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ;
ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 8.1. Простые множества 140
§ 8.2. Иммунные множества 142
§ 8.3. Табличная сводимость 145
§ 8.4. Табличная сводимость и много-односводимость 148
§ 8.5. Ограниченнотабличная сводимость 150
§ 8.6. Структура степеней 155
§ 8.7. Другие рекурсивно перечислимые множества 158
§ 8.8. Упражнения 160
§ 8.1. ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Среди вопросов, оставшихся в последней главе открытыми,
были следующие.
1. Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
множество является творческим?
2. Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множе-
множество т-полно?
3. Совпадают ли s^i и ^т на нерекурсивных рекурсивно пере-
перечислимых множествах?
Тесная связь между „продуктивными" диагональными методами
и неразрешимостью могла бы навести на мысль об утвердительном
ответе на первый вопрос. Примеры нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств, рассматривавшиеся до сих пор, возмож-
возможно, подсказывают утвердительный ответ на вопрос 2. Теоре-
Теорема 7-VII могла бы свидетельствовать в пользу утвердительного
ответа на вопрос 3. На все три вопроса, однако, ответы, как мы
теперь покажем, отрицательны.
Упражнение 5-8 обнаруживает существование бесконечного
множества, не имеющего бесконечного рекурсивно перечислимого
подмножества. Если множество с этим свойством обладает рекур-
рекурсивно перечислимым дополнением, то это рекурсивно перечисли-
перечислимое дополнение называется простым. Этот термин принадлежит
Посту [1944].
Определение. Множество А просто, если
(i) А рекурсивно перечислимо;
(ii) А бесконечно;
(Hi) (V.B) 1[В бесконечно & В рекурсивно перечислимо] =>¦
=>В П А ф 01.
Это понятие рекурсивно инвариантно, поскольку оно опреде-
определяется в терминах рекурсивно инвариантных понятий. Некоторые
основные свойства простых множеств приведены в теореме I.
§ 8.1. ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА 141
Теорема I. (а) А просто =Ф- А не рекурсивно.
(b) А просто =>- А не является творческим.
(c) А просто =>- А не га-полно.
(d) А просто =>- А не цилиндр.
Доказательство, (а) Если А рекурсивно и пункт (ii)
предыдущего определения имеет место, то (ш) не выполняется
при В = А.
(b) Так как всякое продуктивное множество обладает беско-
бесконечным рекурсивно перечислимым подмножеством (теорема 7-Х),
то, если А — творческое множество, (ш) места не имеет.
(c) Непосредственно вытекает из (Ь) (следствие 7-V).
(d) Предположим А = С X N и А просто. Тогда А
отсюда
0;
С х N = С X N Ф0
ж С Ф 0. Пусть т ? С. Тогда {т} X N есть бесконечное рекур-
рекурсивное перечислимое подмножество множества С X N. В силу
рекурсивной инвариантности пункт (ш) для А не выполняется
и А не может быть простым множеством; таким образом, прихо-
приходим к противоречию, и
Далее, теорема II показывает, что простые множества суще-
существуют.
Теорема II (Пост). Существует простое множество.
Доказательство. Пусть С = {{х, у > | у ? Wx и у >
Z> 2x}. По второй теореме о проекции С рекурсивно перечислимо.
Фиксируем некоторый эффективный способ пересчета С. Образуем
множество С = {(х, у) | {х, у) 6 С & Dz)[[z ф у & {х, z) б С] =>
=> (х, z) идет позже (х, у) в этом пересчете С\). (По существу мы
применяем теорему 5-XVI, теорему об однозначности.) Множество
С, очевидно, рекурсивно перечислимо, и {{х, г/) | (х, у) ? С'}
есть частичнорекурсивная функция (теорема 5-IX). Пусть S
есть множество значений этой частичнорекурсивной функции, т. е.
S = {у \ (Зх)[(х, у) 6 С']}. Мы покажем, что S просто.
(i)-S рекурсивно перечислимо, поскольку оно является множе-
множеством значений частичнорекурсивной функции.
(ii) По построению самое большее к чисел из {0, 1, . . ., 2к)
может принадлежать S. Это имеет место для любого к; следова-
следовательно, S бесконечно.
(ш) Предположим, что В рекурсивно перечислимо и бесконеч-
бесконечно. Пусть В = WXo. Тогда в нем существуют числа, большие чем
2х0. По построению (х0, z) должно принадлежать С при некото-
некотором z из В. Отсюда z ? В Г) S и В fl S Ф 0.ш

142 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
i
Из теорем I и II вытекает несколько следствий.
Следствие II (а). Существуют нерекурсивные рекурсивно пере- .¦"'
числимые множества, не являющиеся ни т-полными, ни творче- *
скими, ни цилиндрами.
Доказательство очевидно.а
Следствие II (Ь). =1 и ==т не совпадают на нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множествах и тем самым ^i и ^т
не совпадают на нерекурсивных рекурсивно перечислимых множе-
множествах.
Доказательство. S =m S X N, согласно теоре-
теореме 7-VIII, но S =? i S X N по теореме I. Отсюда, согласно тео-
теореме 7-VIII, SxN^mS,RoSxN*? iS.M
Тем самым мы получили ответы на вопросы 1, 2 и 3, поставлен-
поставленные в начале главы.
В § 8.6 мы покажем, что рекурсивно перечислимая т-степень
может содержать бесконечно много 1-степеней. „Патология", выяв- -
ляемая простым множеством, сама по себе представляет интерес
и будет изучена в дальнейшем. В частности, это оказывается
полезным при исследовании нового более общего типа сводимости,
который будет описан в § 8.3. Рекурсивно перечислимые множе-
множества обладают целым рядом патологий иного сорта; мы обсудим
некоторые из них в § 8.7 и в упражнениях. Ввиду отсутствия
удовлетворительных теорем о представимости основная часть
нашего исследования рекурсивно перечислимых множеств будет
представлять собой нечто вроде перечня различных встречающих-
встречающихся патологий.
§ 8.2. ИММУННЫЕ МНОЖЕСТВА
Для мнбжеств со свойством, описанным в упр. 5-8, т. е. со свой-
свойством, относящимся к дополнению простого множества, был вве-
введен Деккером специальный термин.
Определение. Множество А иммунно, если
(i) А бесконечно;
(ii) (V2?) ИВ бесконечно &В рекурсивно перечислимо] =>-
=>В П Аф 01.
Семейство иммунных множеств аналогично в некотором смыс-
смысле семейству конечных множеств. Семейство иммунных или:
конечных множеств в определенных аспектах подобно семейству
множеств меры 0 в пространстве с мерой (см. упр. 8-11).
Определение. А изолировано, если А конечно или иммунно.
Представляется удобным иметь стандартный способ конста- .
тации того обстоятельства, что дополнение множества обладает-
8.2, ИММУННЫЕ МНОЖЕСТВА 14&
определенным свойством. С этой целью мы принимаем следующее-
соглашение.
Соглашение. Пусть (. . .) есть свойство множеств. Мы будем
говорить, что множество ко(. . .), если его дополнение (. . .).
Например, коиммунное множество — это множество, дополне-
дополнение которого иммунно, коконечное множество — множество, допол-
дополнение которого конечно. Множество просто тогда и только тогда,
когда оно одновременно рекурсивно перечислимо и коиммунно.
Множества, являющиеся коконечными или простыми, т. е.
рекурсивно перечислимые коизолированные множества, играют
роль, подобную роли множеств меры 1 в пространствах с мерой
полной меры 1. В частности, они образуют дуальный идеал
в решетке всех рекурсивно перечислимых множеств (относительно-
П и U , см. упр. 8-11). Это могло бы навести на мысль, что изоли-
изолированные множества образуют идеал в решетке всех множеств.
Следующая теорема, однако, показывает, что семейство изолиро-
изолированных множеств не является замкнутым относительно конечных
пересечений и что существует несчетно много изолированных мно-
множеств.
Теорема III. Существует 2**о множеств А, таких, что как А +
так и А иммунны.
Доказательство. Пусть х0, Х\, . • • суть элементы мно-
множества {а; | Wx бесконечно}, расположенные в порядке возраста-
возрастания. Определим последовательность пар следующим образом:
{г/0, z0} = [два наименьших элемента из WXo\,
причем г/о < z0.
{Уь+1, Zk+i} = fflB& таких наименьших элемента из WXh+i,
которые превосходят и yh, и zh]f
причем г/ь+1 < zk+1.. Мы образуем множество А, выбирая одна
элемент из каждого члена этой последовательности пар. Сущест-
Существует 2**° различных способов такого выбора. Каждое из мно-
множеств A w А должно пересекаться со всяким бесконечным рекур-
рекурсивно перечислимым множеством. Следовательно, как А, так и А
иммунно. а
Всякое ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество
является или творческим, или простым? Следующая теорема дает
отрицательный ответ на этот вопрос.
Теорема IV. Существует рекурсивно перечислимое множество,
не являющееся ни рекурсивным, ни простым, ни творческим.

144 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Доказательство. Пусть А просто, рассмотрим А X N.
А X N рекурсивно перечислимо, поскольку А таково. А X N
не является рекурсивным, так как А ^ А х N. Множество
А X N не просто, поскольку оно есть цилиндр. Легко показать,
что А X N — творческое множество =$~А творческое множество
{упр. 8-10); теорема доказана.а
Следствие IV. Существуют множества, не являющиеся ни рекур-
рекурсивно перечислимыми, ни продуктивными, ни иммунными.
Доказательство. Таковым является множество А X N
из доказательства теоремы. а
Следующая теорема показывает, что, хотя изолированность
не наследуема вниз по m-упорядочению (так как А X N ^m A
как было установлено ранее), она наследуема вниз по 1-упорядо-
чению.
Теорема V. [А ^4 В & В изолировано] =ф- А изолировано.
Доказательство очевидно.и
Изолированные множества используются при построении в тео-
теории рекурсивных функций аналога теории кардинальных чисел,
в частности, теории кардинальных чисел, которые промежуточны
в смысле Уайтхеда и Рассела. (Промежуточное кардинальное чис-
число есть кардинальное число множества, мощность которого пре-
превосходит мощность всякого конечного множества, но которое
не может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие
ни с каким своим собственным подмножеством. В обычной теории
множеств из аксиомы выбора вытекает, что промежуточных кар-
кардинальных чисел не существует.) Мы установим эту аналогию
в упр. 8-32 (см. также упр. 10-4).
Так как простые и коконечные множества образуют дуальный
идеал в решетке всех рекурсивно перечислимых множеств (об этом
понятии см. § 12.1), может быть, построена факторрешетка, иден-
идентифицирующая два рекурсивно перечислимых множества в том
и только том случае, если они отличаются на конечное или копро-
стое множество; т. е. А ж В идентифицированы <=> (А —В)\]
U (В — А) конечно или копросто. Например, в этой факторрешет-
ке А идентифицируется с N тогда и только тогда, когда А являет-
является простым или коконечным. Таким образом, в случае про-
простого множества А, А идентифицируется с N. но А X N — нет.
В силу А =еш А X N классы эквивалентности, образующие эле-
элементы факторрешетки, не согласуются с m-степенями. Посколь-
Поскольку главной нашей целью является изучение сводимости, мы отло-
отложим общее исследование этих решеток до гл. 12 (см. упр. 8-12).
§ 8.3. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 145
§ 8.3. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ
Множества К, К, К © К ж К X К попадают в 4 различные
m-степени (см. упр. 7-36), причем К ж К яе сравнимы. Тем не менее
эти четыре множества в некотором естественном интуитивном
смысле взаимно сводимы. Например, если бы мы могли выяснить
для любого числа, принадлежит ли оно К, мы могли бы, дважды
произведя такие выяснения, установить, принадлежит ли {х, у)
множеству К X К. Более тривиально, если бы мы располагали
методом, позволяющим решать для любого числа, принадлежит ли
оно К, мы очевидным образом имели бы метод, позволяющий
решать относительно любого числа, является ли оно элементом К.
В этом смысле понятие m-сводимости слишком узко.
Мы сформулируем новое более общее понятие сводимости, опи-
описав его поначалу весьма приблизительно. Мы скажем, что А „сво-
„сводимо" к В, если существует эффективная процедура, такая, что
для любого х мы можем найти (i) конечное множество чисел
{Уи У2, ¦ • •, У и} и (ii) в зависимости от ответов на вопросы „yt 6
6 В?", иу2 6 В?", . . ., nyk 6 В?" определить, будет ли .г элементом
множества А. Например, А = К X К „сводимо" к В = К: для
любого данного х мы образуем множество чисел \я±(х), п2(х)};
если я^х) б В и п2(х) $ В, то х 6 А; если nt(x) (J В или п2(х) 6 В,
то х$А. Подобным же образом А = К „сводимо" к В = К:
по любому данному х мы образовываем множество {ж}; если
то х 6 А, тогда как если х?В, то х§А.
Мы уточним это -в следующих определениях.
Определение. / = {0, 1},
1п = I X, I X, ••
(п сомножителей).
Определение, а есть га-арная булева функция, если а отобра-
отображает 1п в /. Булева функция есть конечный объект. В логике
булева функция иногда называется истинностной таблицей.
Существует, очевидно, 2 различных га-арных булевых функций.
(Если на / задана структура поля из двух элементов, то всякий
полином га переменных над этим полем определяет га-арную буле-
булеву функцию. Обратно, согласно интерполяционной теореме Лаг-
ранжа, всякая га-арная функция задается полиномом. Достаточно
рассмотреть лишь ,.приведенные" полиномы, в которых каждая
переменная встречается не более чем в первой степени. Сущест-
Существует 22 таких приведенных полиномов. Отсюда следует, что имеет
место взаимно однозначное соответствие между приведенными
полиномами и булевыми функциями. Мы назовем такие полиномы
булевыми полиномами.)
10—0506

146 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 8.3. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 147
Определение. Упорядоченную пару {{хи . . ., #„), а), гд&
<а:1, . . ., хп) 4
есть /г-ка чисел, а а есть га-арная булева функция (п > 0), назо~{
вем табличным условием (или tt-условием) порядка п. Множество»'
{xi, . . ., хп} назовем ассоциированным множеством этого tt-;
условия.
Определение, tt-условие выполняется на множестве А, если '
^(ca(xi), ¦ ¦ •> сА(хп)) = 1, где сА есть характеристическая функ- \
ция множества А. :
Каждое tt-условие есть конечный объект; очевидно, можно ,
устроить эффективное кодирование, отображающее все tt-условия i
(различных порядков) на N. Предположим, начиная с этого момен- ",
та, что такое кодирование фиксировано. Говоря „tt-условие х"г .
мы будем иметь в виду tt-условие с кодовым номером х. ',
Теперь может быть определено наше понятие сводимости.
Определение. Множество А таблично сводимо к В (обозначе- >
ние: А^цВ), если существует общерекурсивная функция /, такая, .
что для всех х [х 6 А<=>tt-условие f(x) выполняется на В]. Будем '.
употреблять для „табличной сводимости" сокращение „tt-своди-
мость".
Следующая теорема очевидна.
Теорема VI. Отношение s^tt рефлексивно и транзитивно. ;
Доказательство. Рефлексивность. Для заданного х
пусть f(x) есть tt-условие ((х), а), где а — тождественная унар-
унарная булева функция.
Транзитивность. Предположим, что A ^tt В посредством /
и В <«С посредством g. Мы покажем, как вычислить функцию h,
такую, что A ^tt С посредством h. Пусть дано х. Найдем tt-усло-
вие f(x); пусть
f(x) есть {{уи . . ., г/m), а).
Найдем tt-условия g{yx), . . ., g(ym); пусть
g(yi) есть <<zti, . . ., zlnj), pj),
g(ym) есть «zml, . . ., zmnm>, pm>.
Тогда исковое tt-условие h(x) есть
zlni, z2i, . . ., zmi, . . ., zmnm), hvn . . . wmnm
• • •)' • • •' Pm(wmi, . . ., wmnm))]).
Определение. A =tt В, если A <tt В и 5 < tt А. Классы
эквивалентности ^tt называются табличными степенями или
U-степенями.
Определение. Множество А таблично полно („tt-полно"), если
(i) А рекурсивно перечислимо,
(ii) (V5) [В рекурсивно перечислимо
Булевы функции pt, . . ., Pm соответственно /ггарна, . . ., nm-
арна, а булева функция в tt-условии h (х) g-арна, где q =
= nt'+ ... + пт.ш
Следующая теорема содержит элементарные сведения о tt-сво-
димости.
Теорема VII. (а) А <т В =>¦ A <tt В.
(b) A ^tt А (и, следовательно, A ==tt A).
(c) Упорядочение по tt-сводимости образует верхнюю полуре-
полурешетку.
(d) [В рекурсивно и A ^tt В] =>¦ А рекурсивно.
(e) Л рекурсивно => (ЧВ)[А ^tt B1.
Доказательство, (а) Очевидно.
(b) Очевидно, см. в качестве примера множества К и К, рас-
рассмотренные выше.
(c) А © В вновь может быть использовано при построении
наименьшей верхней грани, так как если A ^tt С ж В ^tt С, тог
очевидно, А 0 В ^tt С.
(d) Очевидно.
(e) Пусть множество А рекурсивно; выберем / так, чтобы f(x)
было tt-условием с булевой функцией, тождественно равной 1, если
х 6 А, и тождественно равной 0, если х$А.и
Рекурсивная инвариантность отношения ^tt немедленно сле-
следует из свойства (а). Из (d) и (е) вытекает, что упорядочение
по tt-сводимости имеет единственную минимальную степень,
состоящую из рекурсивных множеств и не содержащую никаких
других. Из (Ь) легко усматривается, что степень может содержать
как рекурсивно перечислимые множества, так и множества, рекур-
рекурсивно перечислимыми не являющиеся. Мы назовем tt-степень
рекурсивно перечислимой, если она содержит хотя бы одно рекур-
рекурсивно ^еречислимое множество. Таким образом, tt-степень множе-
множества К есть рекурсивно перечислимая степень, поскольку она
содержит К. (В гл. 10 мы увидим, что существуют несравнимые
рекурсивно перечислимые tt-степени.)
Из свойства (а) имеем, что А =т В =*> A ==tt В. Мы можем
поэтому рассматривать tt-степень как составленную из т-степе-
ней. Соотношение между tt-степенями и m-степенями выясняется
далее в § 8.4.
Замечание. Определение отношения ^tt может быть
модифицировано различными способами (см. упр. 9-45, например).
10*

148 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫВ МНОЖЕСТВА
Одна из таких модификаций требует, чтобы при сведении какого-
либо множества к другому фигурировала одна и та же булева
функция во всех tt-условиях для этой пары множества. Менее
строгая по виду модификация требует, чтобы при сведении одного
множества к другому налагалось бы равномерное ограничение
на порядок tt-условий. Иными словами, А сводимо к В, если
C общерекурсивная функция /) (Зт)(Чх) [tt-условие f{x) имеет поря-
порядок ^т, и [х 6 A<=z>f(x) выполняется на В]]. Эти две модификации
оказываются эквивалентными (упр. 8-28), исключая тривиальный
особый случай. Такая сводимость исследуется в § 8.5 ниже.
Является ли tt-сводимость наиболее общим видом сводимости,
соответствующим нашим интуитивным представлениям? Неожи-
Неожиданно ответ оказывается отрицательным, как мы увидим в гл. 9.
§ 8.4. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ
И МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ
Отношения ^т и ^tt различны, если они рассматриваются на
произвольных множествах. Различны ли они на рекурсивно пере-
перечислимых множествах ? В частности, существуют .ли tt-полные мно-
множества, которые не m-полны? Следующие теорема и следствие дают
утвердительные ответы на оба эти вопроса. Конструкция из тео-
теоремы принадлежит Посту [19441. i
Теорема VIII (Пост). Существует множество, одновременно
простое, и tt-полное.
Доказательство. Пусть S — простое множество, по-
построенное при доказательстве теоремы И. Мы видели, что для
всякого к самое большее к чисел из {0, 1, . . ., 2к} может встре-
встретиться в S. Отсюда любое подмножество из {0, 1, . . ., 2/с}, состоя-
состоящее из к -f- 1 элементов, должно пересекаться с S. В частности,
каждое из множеств {0}, {1, 2}, {3, 4, 5, 6}, {7, . . ., 14}, . . .
. . ., {2п — 1, . . ., 2™+1 — 2}, . . ., должно пересекаться с S.
Пусть
Sx = {2х - 1, . . ., 2*+i - 2}.
Тогда для всех х Sx {] S Ф 0.
Определим S* = S {]( \j Sx). Множество S*, очевидно, рекур-
_
сивно перечислимо. Более того, S* бесконечно, поскольку К
бесконечно. Множество S* иммунно, так как оно бесконечно
и является подмножеством иммунного множества S. Отсюда сле-
следует, что S* — простое множество.
В соответствии с нашей конструкцией х б К<^> Sxcz S*.
Этого и требует tt-сводимость. Для любого х tt-условие, соответ-
§ 8.4. ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ И МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ 149
ствующее х, есть {{2х — 1, . . ., 2Х+1 — 2), а), где
a(wu . . ., wm) = 1 <=> u>i = w2 = • ¦ • = wm = 1;
это tt-условие имеет порядок т = 2х. Таким образом, К ^tt S*.
Пусть А — рекурсивно перечислимое множество. Тогда А ^тК.
Отсюда A ^tt S*. Таким образом, S* является М-полным.и
Следствие VIII. Существует множество, которое ХХ-полно, но
не га-полно; таким образом, =т и =tt различны на рекурсивно
перечислимых множествах и ^т, и ^tt различны на рекурсивно
перечислимых множествах.
Доказательство. К =tt S*, но в силу теоремы 1(с)
К <m S*.m
Что можно сказать о структуре tt-степени в терминах состав-
составляющих ее m-степеней и 1-степеней? Следующая структурная
теорема является аналогом теоремы 7-VIII о цилиндрах.
Определение. Btt = {х | ХХ-условие х выполняется на В).
Определение. А есть Xt-цилиндр, если А = Вп для некото-
некоторого В.
Теорема IX. (а) А <4 А".
(b) An ^tt А (и, следовательно^ А = tt
(c) А есть Xt-цилиндр =>- А есть цилиндр.
(d) А есть ХХ-цилиндр <=> (ЧВ)[В <u A
(e) А <и В »
В <t A\.
Доказательство, (а) Возьмем функцию /, такую, что
f(x) есть tt-условие {{%}, а) с тождественной унарной булевой
функцией а. Тогда х 6 А <=> f(x) выполняется на А <=> f(x) 6 Ап.
(b) Возьмем g = ЯжЫ. Тогда х 6 Ап <=> х выполняется на А <=>
<=> g(x) выполняется на А. Отсюда 4м.^и А посредством g.
(c) Пусть дано tt-условие {{х^, . . ., жп), а). Образуем
{{хи . . ., хп, xn+i, . . ., хт), Р>, гдежп+1, . . ., хт выбираются
произвольно и где р определяется посредством равенства
P(u?l5 . . ., wm) = a(iVi, . . ., wn). Очевидно, эти два tt-условия
выполняются в точности на одних и тех же множествах. По лю-
любому данному tt-условию мы можем равномерно эффективно пере-
пересчитать бесконечно много таких „более широких" условий, выпол-
выполняющихся в точности на тех же самых множествах. Отсюда не-
непосредственно следует, что необходимое и достаточное условие
теоремы 7-IX выполняется для любого множества вида Ап. Тем
самым любой tt-цилиндр есть цилиндр.
(d) =^. Пусть А = Си, предположим, что B^tt-A- Тогда
в силу (Ь) В ^tt С и существует общерекурсивная функция /,
такая, что х 6 В <$=> fix) выполняется на С <=> f(x) 6 ?"• Таким

150 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
образом, В -<; щСи посредством /. В силу пункта (с), Сп есть
цилиндр и, согласно теореме 7-VIII, В ^4 Сп. Следовательно
В <i А.
-Ф=. Предположим, что {ЧВ)[В ^u A =>- В sg^ А\. Рассмотрим
Ап. Согласно (b), An ^Ctt А; отсюда по предположению Ап ^ A.
В силу (a) A ^i Аи. Получаем A =i An и, следовательно,
А = Аи. Таким образом, А есть tt-цилиндр.
(е) =Ф-. Предположим, что A ^tt В. Тогда Ап ^tt A ^tt В =SC
si Ви, согласно (а) и (Ь). Отсюда Ап ^tt Bli и, согласно (d),
-<=. Предположим Аи <t В". Тогда А <,ЛМ <j 5n <tt
согласно (а) и (Ь), и, следовательно Л ^tt^-i
Следствие IX. А есть tt-цилиндр <=> Ап
Доказательство очевидно.и
<=?> А =
Назовем Ап tt-цилиндрификацией множества А.
В силу предыдущей теоремы всякая tt-степень содержит макси-
максимальную 1-степень (и, следовательно, также и максимальную
m-степень) и эта 1-степень может быть получена из любого мно-
множества из рассматриваемой tt-степени tt-цилиндрификацией.
Далее, из пункта (е) предыдущей теоремы вытекает существо-
существование канонического гомоморфного отображения из упорядоче-
упорядочения по tt-сводимости в упорядочение по 1-сводимости. Заметим,
что если А не рекурсивно, то Ап не является рекурсивно перечис-
перечислимым множеством (так как и А, и A ^j An, согласно теоремам
VII (Ь) и JX (d)). Тем самым нерекурсивные 1-степени, являю-
являющиеся образами при этом гомоморфном отображении, не ре-
рекурсивно перечислимы.
В § 8.6 мы увидим, что одна рекурсивно перечислимая tt-сте-
tt-степень можете содержать бесконечно много рекурсивно перечисли-
перечислимых m-степеней. В гл. 9 мы покажем, что существуют рекурсивно
перечислимые множества, которые и не рекурсивны, и не tt-полны.
§ 8.5. ОГРАНИЧЕННОТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ
Определение. А ограниченнотаблично сводимо к В (обозначение:
A ^btt В), если C общерекурсивная /) C/re)(Va;) [«-условие
f(x) имеет порядок ^.т и [х б А <=> f(x) выполняется на В]].
Мы будем вместо „ограниченнотабличная сводимость" писать
„btt-сводимость".
Примеры. К^.ъи ^ с порядком, ограниченным 1;
К X i?<^btt К- с порядком, ограниченным 2.
§ 8.5. ОГРАНИЧЕННОТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 151
tt-условия, использовавшиеся в теореме VIII, чтобы пока-
показать, что К ^tt S*i не имеют ограниченного порядка, (tt-условие,
полученное для х, имело порядок 2х.)
Теорема X. Отношение
рефлексивно и транзитивно.
Доказательство. При доказательстве теоремы VI мы
видели, что А ^ьи -^ с порядком, ограниченным 1.
Если A ^btt В и В ^btt С с порядками, ограниченными соот-
соответственно числами mi и т2, то из конструкции теоремы VI сле-
следует, что А ^ыг С с порядком, ограниченным mi •№%. щ
Определение. A =btt В, если A ^btt В и В ^
Классы эквивалентности = btt называются Ъ^-степенями.
Определение. Множество А Ъи-полно, если
(i) А рекурсивно перечислимо,
(ii) (V#) [В рекурсивно перечислимо =>- В ^btt -^Ь
Теорема XI. Теорема VII остается справедливой, если ^tt
заменить ^ btt-
Доказательство. Доказательство теоремы VII непо-
непосредственно переносится на случай btt-сводимости-и
Ограниченнотабличная сводимость недостаточно широко
изучена. Существует несколько изящных доказательств, к ней
относящихся. Мы приведем их ниже. Очевидно, A ^btt В =>¦
=>- A ^tt В. Отличается ли ^btt 0T ^tt (T- е- возможно ли A ^tt В
без того, чтобы A sCbtt В)? Отличаются ли btt-полные множества
от tt-полных множеств? Следующая теорема Поста [1944] вместе
с теоремой VIII дает утвердительный ответ на оба эти вопроса.
Теорема XII (Пост). Множество А является htt-полным =>- А
не является простым.
Доказательство. Предположим, А btt-полно. Тогда
К ^ ъцА. Пусть порядок btt-сводимости множества К к А огра-
ограничен числом т. Докажем лемму.
Лемма. Пусть К ^btt А с порядком, ограниченным числом т.
Тогда существует бесконечное рекурсивно перечислимое множество
tt-условий to, ti, t%, . . ., каждое порядка ^.т, с ассоциированными
множествами То, Ti, T2, • • • соответственно, такими, что
(i) для всякого i tt-условие tt выполняется на А;
(ii) для всякого i T% fl А =^= 0;
(in) для всякого i множество {/ | Tj |~| A = Tt f) A} содержит
не более Z элементов.

152 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 8.5. ОГРАНИЧЕННОТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 15?
Доказательство леммы. Любое tt-условие может
очевидным образом быть представлено формулой логики выска-
высказываний, образованной из основных частей вида „п ? X" (п — ну-
мерал для некоторого числа), причем формула истинна для мно- ,
жества X тогда и только тогда, когда tt-условие выполняет-
выполняется на этом множестве; обратно, любая такая формула задает tt-
условие. Формула „4 (J X V 17 € X" может быть поставлена
в соответствие, например, tt-условию {D, 17), а), где а опреде- з
ляется рулевым полиномом u>\W% -\- W\ + 1. Заметим, что каждой
формуле может быть поставлено в соответствие любое из беско- •
нечного числа tt-условий (соответственно различным повторениям ¦
и перестановкам в /г-ке и различным значениям л) и что каждому
tt-условию может быть поставлена в соответствие любаялз бес-
бесконечного числа логически эквивалентных формул. Мы скажем,
что формула выводима из некоторого множества формул, если она «
выводима в элементарной логике высказываний. Например,
„9 $ X V 17 € X" выводима из трех формул „4 6 X" „9 6 Xlt
и „4 (J X V 17 € X". Мы скажем, что tt-условие выводимо из неко-
некоторого множества tt-условий, если выводимость имеет место для
соответствующих формул. Это понятие выводимости для tt-усло-
tt-условий вполне согласуется с много-многозначным соответствием меж-
между формулами и tt-условиями, а из семантической непротиворе-
непротиворечивости логики высказываний следует, что если х (некоторое tt-
условие) выводимо из А (множества tt-условий), то на любом В,
на котором выполняются все tt-условия из А, должно также
выполняться их1).
Поскольку К ^1,№^с порядком, ограниченным 1, и К ^btt А
с порядком, ограниченным числом т, то К ^ьп А с порядком,,
ограниченным т. Пусть К ^ъи А посредством / с порядком, огра-
ограниченным т. Зададим эффективную последовательность to, tir . . .
следующим ^ образом.
Нахождение t0. Рассмотрим множество С всех tt-условий,.
соответствующих формулам ,,х б X" для х 6 А. Поскольку А
рекурсивно перечислимо, множество это' рекурсивно перечислимо.
Пусть Со — множество всех tt-условий, выводимых из tt-условий:
множества С. Очевидно, Со рекурсивно перечислимо. Пусть Во =
= /~1(С0) = {х | f(x) 6 Со}. Пусть х0 — рекурсивно перечислимый
индекс множества Во; возьмем to = f(xo)-
х) Выводимость могла бы быть определена непосредственно для tt-усло-
tt-условий; именно, х выводимо из А, если (У В) [(Vj/) \у 6 А => У выполняется на
В] =Ф х выполняется на В]. Употребление в этом тексте формул служит
признаком (без дальнейшего доказательства) того обстоятельства, что множе-
множество всех tt-условий, выводимых из рекурсивно перечислимого множества
tt-условий, само рекурсивно перечислимо.
Нахождение tk+i. Пусть Ck+i — множество всех tt-условий,-
выводимых из Ck U {th}. Оно рекурсивно перечислимо, поскольку"
рекурсивно перечислимо множество Ck. Пусть Bk+i =/~1(Cft+1).
Пусть жь+1 — р. п. индекс множества Bh+i; возьмем th+1 = f(xk+l).
Очевидно, Со cr Ci cr С2 сг . . . . Мы покажем индукцией,
что (i) и (И) имеют место.
Для ?о- Все условия множества Со выполняются на А. Следо-
Следовательно, Во с К в силу сводимости множества К к А. Тогда
Хо € К — Во, поскольку К продуктивно с %х[х\ в качестве продук-
продуктивной функции. Таким образом, в силу сводимости К к А условие
?о = f{xo) выполняется на А. Это доказывает (i). Имеем То П А =?
Ф 0, так как [То fj А = 0 & t0 выполняется на А] => t0 6 Со =>
=>¦ хо 6 Во в противоречие с тем фактом, что х0 6 К — Во. Этч,
доказывает (ii). Заметим, что t0 (J Со-
Для ?ь+1. Предположим, что (i) и (ii) имеют место для всех
i ^ к и что все tt-условия из С& выполняются на множестве А.
Тогда и все условия из Ck+i выполняются на А. Отсюда Bk+i cz К
и xh+i 6 К — Bk+i в силу продуктивности К. Таким образом,
в силу сводимости множества К к А условие tk+i = f(xk+l}
выполняется на А. Это доказывает (i). Имеем T^+i {] А Ф 0, так
как [Th+i П А = 0 & tk+i выполняется на .41 =Ф- tk+i 6 Со =Ф-
=$th+i f СН1 =>¦ 1Ь+1 6Bfe+1 в противоречие с тем фактом, чта
%h+i §Bh+i- Этим доказано (ii). Заметим, что tk+l (J Ch+i.
Пусть nt — порядок tt-условия tt. Для всякого i рассмотрим
tt-условие t'i, получаемое из tt следующим образом: t\ имеет то же-
ассоциированное множество Tt, что и tt; /ггка для t'i получается
переупорядочением /ггки для tt, таким, что сначала идут элементы
из Тt f) А в порядке неубывания, а за ними следуют (в любом
порядке) элементы из Т-г [\ А; булева функция для t\ получается
соответствующим переупорядочением аргументов булевой функ-
функции для tt. Таким образом, для всякого i условия tt и t\ тривиаль-
тривиально эквивалентны (и взаимно выводимы). Каждое из условий
t'o, t\, . . . имеет порядок ^ тп, поскольку по предположению-
все tt-условия из области значений функции / имеют порядок ^ т..
(Последовательность t'o, t[, ... может не быть рекурсивно пере-
перечислимой.)
Чтобы доказать (Hi), заметим, что существует 22 + 22 + . . .
. . . + 2 < 2 различных булевых функции т или мене&
аргументов. Если бы
- (/ \Т} Г, A = Tt П А)
имело более чем 2 элементов для какого-нибудь i, то для неко-
некоторых /4 и /2, таких, что ji ¦< /2,- t'u и tJ имели бы одну и ту же

154 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 8.6. СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ 155
булеву функцию и
Th[\A= Th П А.
Мы пришли к противоречию, так как t'j2 было бы тогда выводимо ;
из С U {t'^} (упр. 8-25), значит, tj2 было бы выводимо из С (J {hi} "
и, следовательно, t,-2 оказалось бы в Cj1+i cr Cj2 в противоречие
•с нашим заключением о том, что th (J Ch для всех к. '¦
Тем самым лемма доказана х). Завершим теперь доказатель- ¦
•ство теоремы. _ ,
Определимs(i) — [мощность множества Tt fl A] (s не обязатель-
обязательно рекурсивная функция). Пусть q = \iz [s(i) = z для бесконечно
многих i]. Поскольку 1 <; s(i) ^ т, такое q существует.
Тогда s(i) < q лишь для конечного числа i. Выберем ц так,
что s(?) ^> q для всех i ;> i0. Пересчитываем А. Как только все
кроме q элементов некоторого Tt (i ^> i0) появятся в пересчете A, i
мы можем заключить, что оставшиеся q элементов должны лежать ;
в А. Значит, мы можем пересчитывать /0, ji, • ¦ ¦, такие, что
•*о < /о < /1 < • • • и
л для каждого jt (i =0, 1, 2, . . .) выписывать элементы из
оо
Tj. П А. Таким образом, множество W = [) (Tj. П А) рекур-
- i=I ...
•сивно перечислимо. Очевидно, что W сг А. Согласно пункту (iii)
леммы, W должно быть бесконечно. Следовательно, А содержит
•бесконечное рекурсивно перечислимое подмножество и А не может
•быть просто, и
Следствие XII. Существует tt-полное, но не btt-полное множе-
множество; тем самым, =ыд и —tt различны на рекурсивно перечислимых
множествах и ^btt» u ^tt различны на рекурсивно перечислимых
множествах.
Доказательство. Множество S* из теоремы VIII тако-
таково: K==US*, но K^bnS*.a
Легко видеть, что ^т и ^ьи различны на рекурсивных мно-
множествах. Следующий результат Фишера [1963] показывает, что
^=т и ^btt различны на нерекурсивных рекурсивно перечислимых
множествах.
Теорема XIII (Фишер). Существуют нерекурсивные рекурсивно
перечислимые множества А и В, такие, что A ^btt^> Ho A =^m В.
Доказательство. Возьмем S* из доказательства тео-
теоремы VIII. Очевидно S* X S* ^Cbtt ?*. Покажем, что предполо-
предположение о том, что S* X S* =s^m S*, приводит к противоречию.
Если бы имело место S* X S* sglm S*, то существовала бы
общерекурсивная функция g, такая, что
ix е s* & у e s*] <=> (х, у) es* х s* <=> g(X, у) е s*.
Далее, согласно доказательству теоремы VIII, х 6 К<=> Sxcz S*,
где Sx = {2х — 1, . . ., 2Х+1 — 2}. Определим общерекурсивную
функцию / следующим образом:
/@) = 0,
/A) = *A, 2),
/B) = г(гC, 4), gE, 6)),
/C) = g(g(gG, 8), g(9, 10)), g(g(ll, 12), gA3, 14))),
J) Эта лемма следует также из доказательства более общей леммы теоре-
теоремы 9-XVIII.
Тогда f{x) 6 S* <=> Sx с S*. Отсюда К ^m S* посредством / и мно-
множество S* является m-полным. Но S* просто, что противоречит
теореме I (с).и
Следствие XIII. Отношения =ъи и =т различны на нерекур-
нерекурсивных рекурсивно перечислимых множествах.
Доказательство. В приведенном выше доказатель-
доказательстве S* X 5*е=ш5*, но S* X S*?mS*.n
Всякое ли btt-полное множество также и m-полно? На этот
вопрос ответил Янг [1963], который построил btt-полное множе-
множество, m-полным не являющееся. Идея построения этого множества
изложена в упр. 10-18. Этот вопрос родствен вопросу, решенному
Лахланом [1966], который показал, что А X А творческое =>- А
творческое.
Какие аналоги теоремы IX имеют место для btt-сводимости?
В частности, существует ли внутри всякой btt-степени максималь-
максимальная m-степень? Джокуш показал, что ответ на последний вопрос
отрицателен.
В теореме 14-IX, приводимой ниже, мы воспользуемся упр. 8-28
для получения следующего описания btt-сводимости. Пусть для
всякого В ЗВт{В) есть булева алгебра множеств, порождаемая
совокупностью всех множеств, m-сводимых к В. Тогда, если мно-
множество В отлично от N и от 0, то А ^ъ\\В <=> А 6 88т{Ё).
§ 8.6. СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ
Сколько рекурсивно перечислимых степеней существует при
упорядочениях по различным видам сводимости? Сколько 1-сте-
пеней может содержаться в данной m-степени? Сколько т-степе-
ней в данной tt-степени? Рассмотрим эти вопросы.

156 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Теорема XIV (Деккер). т-степенъ простого множества содер-
содержит бесконечную совокупность 1-степеней, линейно упорядочен-
упорядоченных отношением ^ по типу целых чисел (..., —2, —1, 0, 1, 2, . . .)
и состоящих целиком из простых множеств.
Доказательство. Начнем с леммы.
Лемма. Пусть А и В — рекурсивно перечислимые множества,
такие, что
В = А у {т}
для некоторого т 6 А. Тогда
(i) А просто <=> В просто;
(и) А просто =^ [В <! А & А <т В &А ^В].
Доказательство леммы, (i) Очевидно,
(и). Пусть п 6 А, пфт. Тогда А <т2? посредством следую-
следующей функции /:
¦fi \ — { xi если х Ф т;
Т\х) —\ п^ если х = т.
Пусть С — бесконечное рекурсивное подмножество множества
А. Пусть р —рекурсивная перестановка, отображающая С U {т}
на С. Тогда В ^i А посредством следующей функции g:
а(г\ _/¦*, если х $ CU {т}\
g(x) ~ I р(х), если х 6 С U {т}.
Предположим, что А ^ В. Тогда А == В посредством некоторой
рекурсивной перестановки h (теорема 7-VI). Тем самым т, h{m),
hh(m), .... различны и, следовательно, образуют бесконечное
рекурсивно перечислимое подмножество А, в противоречие
с простотой А. Отсюда A ^t5. Это доказывает лемму.
Теперь теорема очевидна. Пусть А — простое множество*
{а0, ai, . . .} — бесконечное подмножество множества А, и пусть
{b0, bi, . . .} — бесконечное подмножество множества А. Тогда,
согласно лемме,
. . ., A U {Ьо, Ъ^, A U {Ьо}, А, А - {а0}, А —{а0, at}, . . .
дает искомое линейное упорядочение 1-степеней простых мно-
множеств. а
Следствие XIV. т-степенъ иммунного множества содержит
бесконечно много 1-степеней.
Доказательство. Применим конструкцию, подобную»
заключительной конструкции предыдущей теоремы. Если бы
любые два множества были одной и той же 1-степени, мы имели
бы противоречие, подобное противоречию, полученному в лемме
при доказательстве того, что А ^45.|
8.6. СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ 157
Теорема XV (Фишер). Полная tt-степенъ содержит линейно
упорядоченную потипу натуральных чисел @, 1, 2...) совокуп-
совокупность рекурсивно перечислимых т-степеней.
Доказательство. Возьмем S* из доказательства теоре-
теоремы VIII. Рассмотрим множества
Ai = S* x S*,
Ak = S* x . . . X S* Bh сомножителей).
Очевидно, Ао <t Ay <t А2 <4 . . . и Ао = uAt ~ пА2 = tt. . .,
однако, j>i=$-Aj ^mAt. В противном случае, пусть и, v таковы,
что и < v и А-о ^miB. Так же как при доказательстве теоре-
теоремы XIII, может быть найдена общерекурсивная функция /, такая,
что для всех х Sxcz S*<^>f(x)?Au. Поясним задание функции /
на примере. Предположим, что ^44^m^2 посредством h. (По
определению At — (S*)u и А2 = (S*L.) Тогда
/@) = @, 0, 0, 0),
/A) = A, 2, 1, 2),
/B) = C, 4, 5, 6),
/C) =Ц{7, 8, . . ., 14, 7, 8, . . ., 14)),
/D) = й«15, . . ., 30»,
/E) = Ь{{ши . . ., U7le»,
где
(wu . . ., wt) =Л«31, . . ., 46»,
(wt, . . ., w8) =h(D7, . . ., 62»,
(w9, . . ., wie) = (wi, . . ., w8)
и т. д.
Мы опускаем детали задания / в общем случае.
Так как х?К<=> Sxc S*, имеем К <т Аи. Но Au^.bnS*.
Отсюда К ^btt S*. Поскольку S* просто, это противоречит
теореме XII.я
Следствие XV. Существует htt-степенъ, содержащая линейно
упорядоченную по типу натуральных чисел @, 1, 2, ...) сово-
совокупность рекурсивно перечислимых т-степеней.
Доказательство. В доказательстве теоремы At =ь«
s=btt Aj при любых i, j.m
Теорема XIV была недавно усилена Янгом [1966], который
локазал, что всякая нерекурсивная m-степень или состоит из

158 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
единственной 1-степени, или содержит еще 1-степени, линейно <.
упорядоченные по типу целых чисел. Джокушем было установлено .
существование рекурсивно перечислимых m-степеней, отличных .
от m-степеней множеств 0 ,N и К и состоящих из единственной
1-степени. Джокуш показал также, что всякая нерекурсивная •
tt-степень содержит бесконечно много m-степеней. См. Джокупг *
[1966].
§ 8.7. ДРУГИЕ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
МНОЖЕСТВА
Было рассмотрено три типа рекурсивно перечислимых мно-
множеств: рекурсивные, творческие и простые. Теорема IV показы- ;
вает, что существуют иные типы рекурсивно перечислимых мно- .
жеств: если А просто, то множество А х N, цилиндрификация А т *
не является ни рекурсивным, ни творческим, ни простым множе- ;
ством. В самом деле, поскольку всякое творческое множество з
m-полно (как это будет доказано в гл. 11), то из изложенных нами
до настоящего момента результатов структурной теории следует т
что цилиндрификация любого нерекурсивного не m-полного мно-
множества ни рекурсивна, ни креативна, ни проста. Рекурсивно пере-
перечислимые множества, которые не являются ни рекурсивными,
ни творческими, ни простыми, были названы Деккером [19531
мезоичными.
Не существует удовлетворительной теории, которая давала бы
единое представление рекурсивно перечислимых множеств. Целый
ряд элементарных вопросов остается открытым. Классификация
рекурсивно перечислимых множеств была предпринята Деккером
и Майхиллом и Успенским [1957]. Это полезный каталог изучен-
изученных к настоящему времени типов множеств, но, с теоретической
точки зрения, несколько произвольный. На первом этапе все
множества "группируются по следующим пяти классам:
<%0 = {А \ А рекурсивно перечислимо}.
981 — {А А иммунно}.
<$2 = {А А не рекурсивно перечислимо и является объедине-
объединением бесконечного рекурсивно перечислимого множества
и иммунного множества}.
$ъ = {А | (V рекурсивно перечислимое множество В) [В сг
сг А =ф- (Э рекурсивно перечислимое множество С) [С бес-
бесконечно &Ccz А &С{]В = 0]\,ине существует равно-
равномерного эффективного способа нахождения р. п. индекса
такого множества С по р. п. индексу множества В}.
J?4= {A \ А продуктивно}.
Тривиальным образом устанавливается (упр. 8-34), что эта
классификация взаимно исключающая и исчерпывающая. Если
§ 8.7. ДРУГИЕ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 1591
расположить множества в спектр по возрастающей „насыщенности'^
бесконечными рекурсивно перечислимыми подмножествами, то
классы $}i — J?4 могут восприниматься как области этого спектра.
Может быть получена классификация рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств, • основанная на рассмотренной классификации
их _дополнений. Пусть %г — {А | А рекурсивно перечислима
и А 6 i?{}, i = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда 9$Q есть в точности класс
рекурсивных множеств, <ei — класс простых множеств и $4 —
класс творческих множеств. Множества из %% иногда называют
псевдопростыми, а множества из %i — псевдотворческими (эти
термины иногда употребляются и несколько иным образом, см.
ниже). Классы %г и 9$3 непусты; в самом деле, пусть множество
А просто, тогда (i) {2х \ х 6 А } попадает в $2 и (И) А х N попа-
попадает в %г (упр. 8-35 и 8-36). В действительности всякий не являю-
являющийся ни рекурсивным, ни творческим множеством рекурсивно
перечислимый цилиндр попадает в %г. Янг показал, что не всяко&
множество из %3 есть цилиндр (упр. 8-49).
Множества из %ч можно далее классифицировать следующим:
образом:
^21 = {А | А ? Ч@2 u C рекурсивное множество С) [С беско-
бесконечно _& С сг А & (V рекурсивно перечислимое множество В)
[В с А =>- все кроме конечного числа элементов из В принадле-
принадлежат С]]}.
^22 = {А | А ? ^2 и А $ $2:1 ц (Э рекурсивно перечислимое
множество С) [С бесконечно & С с А & (V рекурсивно перечислимое
множество В) [В сг А =>- все кроме конечного числа элементов
из В принадлежат С]]}.
<ё23 = {А | А е «2 и А ? ^21 и А $ Ч$22}.
Если рекурсивно перечислимое множество С обладает тем
свойством, что [С бесконечно & С сг А & (V рекурсивно пере-
перечислимое В) [В сг А =ф- все кроме конечного числа элементов,
из В принадлежат С]], то С называется центром множества А.
Если А = C\jD, где С бесконечно и рекурсивно перечислимо,,
a D иммунно, то множество С называется простым в А. Таким
образом, например, %2 есть класс таких нерекурсивных рекурсив-
рекурсивно перечислимых множеств, для которых существуют множества,
простые в их дополнениях; ^?2i есть класс нерекурсивных рекур-
рекурсивно перечислимых множеств, дополнения которых обладают
рекурсивными центрами. Иногда в литературе термин псевдо-
псевдопростое относят лишь к множествам из ^21 U ^22» а термин псевдо-
псевдотворческое — к множествам из ^2з U ^з-
Класс ^21 непуст, так как для любого простого множества
А {2х | х 6 А} 6 ^21- Мы увидим в упр. 8-39, что класс %гг не-
непуст, и в упр. 8-42, что непуст класс ^гз-

160 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫВ МНОЖЕСТВА
Классы 'ei, %zu <@2Ь ^гз» ^3i ^4 образуют области спектра
нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств по возра-
возрастающей насыщенности их дополнений (см. упр. 8-46). Еще
несколько областей обнаружено внутри ^i (простые множества).
Мы обратимся к этому в гл. 9 и 12.
§ 8.8. Упражнения
§ 8.1
8-1. Пусть А и В просты.
(a) Покажите, что множество А ф В просто.
(b) Покажите, что А X В не является простым множеством.
(Часть (а) показывает, что результат применения операции ф к двум
ле-цилиндрам может быть не-цилиндром.)
8-2. Какова мощность семейства простых множеств?
8-3. Постройте два простых множества, объединение которых есть N.
Д8-4. (Деккер). (а) Покажите, что пересечение продуктивного и простого
множеств продуктивно.
(Ь) Покажите, что пересечение творческого и простого множеств должно
быть творческим множеством.
8-5 (Рабин). Пусть А — бесконечное множество с бесконечным дополне-
дополнением. Рассмотрим следующую игру между двумя игроками I и II. I выбирает
любое число х, тогда II, зная х, выбирает у. Если х -f- у ? А, I выигрывает;
в противном случае выигрывает II. Если А не рекурсивно, мы предполагаем
-существование „оракула", который говорит игрокам, кто из них выиграл.
Очевидно, что чистая, т. е. детерминированная стратегия для II состоит в обра-
образовании всюду определенной функции /, такой, что, когда I выбирает ж, II
•выбирает у = f(x). Поскольку А бесконечно, ясно, что для любого х существу-
существует у, такое, что z + у $А. Таким образом, для II должна существовать
выигрышная стратегия. (Это частный и тривиальный случай общей теоремы
об играх.)
Покажите, что если в качестве А взято простое множество, то произойдет
•следующее.
(i) II не имеет рекурсивной выигрышной стратегии.
(И) Если II выбирает какую-то рекурсивную стратегию и следует ей в те-
течение повторяющихся партий игры, то существует эффективная процедура,
•благодаря которой I может обнаруживать х, выигрывающее против страте-
стратегии II.
8-6. Предположим, что А ^тВ, В просто, С рекурсивно перечислимо
¦и С П А = 0. Покажите, что А и С рекурсивно отделимы.
8-7 (Фишер), (а) Покажите, что С творческое =Ф С X В является твор-
творческим для всякого рекурсивно перечислимого непустого В.
(Ь) Покажите, что А просто ==ф А X А не является творческим.
Д(с) Пусть А просто. Покажите, что А X В творческое =? В творческое
для любого рекурсивно перечислимого В. (Указание: Доказательство можно
получить, используя лишь исходные определения. Это одно из наиболее
трудных Д-упражнений.)
§8.2
8-8. Пусть А есть множество четных чисел. Покажите, что существует
рекурсивно перечислимая 1-степень, которая не сравнима ни с А, ни с какими
«бы то ни было конечными степенями, но которая превосходит все коконеч-
дше 1-степени.
§ 8.8. УПРАЖНЕНИЯ 161
8-9. Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная функция. Каковы
f(A) и f~\A), если (i) А просто; (ii) А иммунно.
8-10. Покажите, что А X N творческое => А творческое.
8-11. (Деккер). Пусть А и В просты; пусть'С — произвольное рекур-
рекурсивно перечислимое множество. Покажите, что
(i) А р) В просто;
(ii) A (j С просто или коконечно.
Отсюда заключаем, что семейство простых и коконечных множеств образует
дуальный идеал в решетке рекурсивно перечислимых множеств (о понятии
дуального идеала см. §• 12.1).
8-12. Рассмотрим факторрешетку, получаемую идентификацией рекур-
рекурсивно перечислимых множеств по модулю копростых и конечных множеств
(понятие факторрешетки можно найти в § 12.1).
(a) Покажите, что всякое множество, идентифицируемое с творческим,
должно быть творческим.
(b) Покажите, что существуют два творческих множества, которые не
идентифицированы одно с другим.
§ 8.3
8-13. Покажите, что А ф В = ttA X В, если ни А, ни В не пусты.
8-14. Покажите, что семейство {А | А <: tt-B} образует булеву алгебру,
т. е. замкнуто относительно объединения, пересечения и операции взятия
дополнения.
8-15. Покажите, что всякая tt-степень содержит в точности х0 множеств.
8-16. Покажите, что всякая нерекурсивная tt-степень содержит мно-
множество, не являющееся рекурсивно перечислимым и не имеющее рекурсивно
перечислимого дополнения.
^8-17. Покажите, что множества К, {х \ Wx бесконечно) и {х \ Wx рекур-
рекурсивно} попадают в различные, но сравнимые tt-степени.
§ 8.4
8-18. Приведите пример цилиндра, который не является ни рекурсивно
перечислимым множеством, ни tt-цилиндром.
8-19. Покажите, как структура рекурсивных множеств при tt-упорядо-
чении согласуется с теоремой IX. _
8-20. (а) Покажите, что А есть_и-цилиндр =Ф А = А.
Д(Ь) Покажите, что из A si не следует, вообще говоря, что А есть
tt-цилиндр. (Указание. Возьмите А = К ф К, см. далее упр. 7-36 (е).)
§8.5
8-21. Покажите, что результаты упражнений с 8-13 по 8-16 имеют место
при замене tt на btt.
8-22. (а) Покажите, что АХ A<^tt А (в то время как в силу теоремы XIII
существует рекурсивно перечислимое множество А, такое, что Ах А ^т А.
(Ь) Покажите, что существуют нерекурсивные рекурсивно перечислимые
множества А и В, такие, что А X В ф тА ф В. _
8-23. Покажите, что (VA)CB)[B ^ ъцА &. А ^ tB & В = В].
(Указание. Привлеките операцию сочленения ф.)
8-24. Рассмотрите btt-сводимость порядкаЛ. Покажите, что это отноше-
отношение транзитивно и рефлексивно. Является ли упорядочение по этой сводимо-
сводимости полурешеткой? Покажите, что полное относительно этого типа сводимости
множество является творческим. (Из того результата, что А творческое ==?¦ А
11—0506

162 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
m-полно (устанавливаемого в гл. 11), следует, что полная степень при этом
упорядочении совпадает с полной m-степенью (и, следовательно, с полной
1-степенью).)
8-25. В доказательстве теоремы XII покажите, что если Г- f] A =
= Th fl А, то t'h выводимо из С U {t'h}.
Д 8-26. Скажем, что tt-условие дизъюнктивно, если ему поставлена в соот-
соответствие формула вида xt ? XVх2 ? XV ¦ • • V Zfc 6 X (или, что эквивалент-
эквивалентно, если булев полином его булевой функции может быть записан в виде суммы
двух термов, первого терма, являющегося 1, и второго "терма — произведения
сомножителей вида (wt +1)). Иногда рассматривается tt-сводимость только
с дизъюнктивными tt-условиями. (Сводимость множества А X А к А —
пример такой сводимости.) Назовем такую сводимость q-сводимостъю. Имеем,
таким образом, следующее
Определение. А ^ ^В, если C общерекурсивная /) (\/г) [х ? А ^=>
<^DHx) П В ф 0].
Возникает естественный вопрос, совпадают ли понятия q-сводимости
и tt-сводимости.
(i) Покажите, что ^q рефлексивно и транзитивно.
(ii) Покажите, что А <; тВ =Ф А ^ qB =Ф A ^ ttB.
(iii) Опишите структуру рекурсивных множеств относительно q-своди-
q-сводимости.
(iv) Определим q-цилиндр следующим образом: А9 = {x\Dx[\A Ф
ф 0} X N. Докажите аналог теоремы IX. Покажите, что этот аналог не име-
имеет места, если Л9 определено как {х \ Dx [\ А Ф 0). (Указание. Рассмотрите
множество А, такое, что А иммунно.)
(v) Покажите, что [А ^ ^В & В рекурсивно перечислимо] =$А рекур-
рекурсивно перечислимо.
(vi) Выведите из (v), что ^ q не влечет за собой ни ^tti ни ^btt-
(vii) Покажите, что ^q не влечет за собой ^j,tt (Указание. Покажите,
что К SJ S*, где S* — множество из доказательства теоремы VIII.)
Д 8-27 (см. упр. 8-26).
Определение. Назовем множество А (^-творческим, если А рекурсивно
перечислимо и C общерекурсивная /) (Vx)[Wx d A =J> [Df(xy С А &
&?>У(Ж) dp WkX]]. (Это определение принадлежит Шёнфильду [1957],
который называет такие множества квазитворческими.)
(i) Покажите, что А q-полно =j> A q-творческое. (Обратное также имеет
место; см. упр. 11-18).
(ii) Покажите, что А q-творческое =Ф А не просто.
(iii) Покажите, что понятия q-полного множества и tt-полного множества
не совпадают; отсюда заключите, что ^д и <:tt различаются на нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множествах.'
(Еще о q-сводимости см. упр. 8-44.) (Замечание. Если в тексте начала
упр. 8-26 заменить дизъюнктивный па конъюнктивный, мы придем к с-своди-
мости; A sg;c В, если C общерекурсивная функция /) (Чх)[х ? A <=>
<=^- Df(x) С В]. Если мы заменим дизъюнктивный на позитивный, придем
к р-сводимости: A ssrp В, если C общерекурсивная функция /) (Vz) [х ? А <=>
( О» сг?]]. Как с-сводимость, так и р-сводимость изучались
Джокушем [1966].)
Д 8-28 (Фишер). Покажите, что модификации понятия tt-сводимости,
упоминавшиеся в замечании конца § 8.3, эквивалентны (за исключением того
случая, когда одно из множеств В или В пусто).
§ 8.8. УПРАЖНЕНИЯ 163
§8.6
8-29. (Джокуш). (а) Пусть А и В — рекурсивно перечислимые цилиндры.
Покажите, что А ($ В г= тА X В может не иметь места.
( Ь) Покажите, что А ф В ^.±А-^5>А есть цилиндр, и заключите, что суще-
существуют нерекурсивные рекурсивно перечислимые множества А ж В, такие, что
А ф В не есть наименьшая верхняя грань множеств А и В при 1-упорядо-
чении.
(c) Покажите, что если или А, или В есть цилиндр, то А ф В есть наи-
наименьшая верхняя грань множеств А и В при 1-упорядочении.
(d) Покажите, что всякая m-степень или состоит из единственной 1-сте-
пени, или содержит бесконечную линейно упорядоченную совокупность
1-степеней.
8-30. Должна ли следовать из tt-полноты множества А m-сводимость к
А X ^"всякого рекурсивно перечислимого множества? (Указание. Возьмите
в качестве А множество S*.)
Д8-31. Определим
Bt = S*,
Bz= S* X S*,
= S* X S* X ... X S* (к сомножителей)
Покажите, что В±, В2, ¦ • • попадают в различные ш-степени.
Д8-32. Определим изолическую сводимость следующим образом.
Определение. А ^ ф, если C частичнорекурсивная взаимно однознач-
однозначная функция ф) [А = ф-1(Б)].
(i) Покажите, что ^j рефлексивно и транзитивно.
Д(п) Определите =i очевидным образом. Докажите, что А = j?<=>
<?=> C частичнорекурсивная взаимно однозначная функция ф) [A czArg ф & .6=
= фЫI- (Указание (Манастер). Примените технику, подобную той, которая
была применена при доказательстве теоремы 7-VI. Следует иметь в виду, что
при этом возникнут дополнительные трудности.)
i-степени известны как типы рекурсивной эквивалентности. Они широко
изучались Деккером, Майхиллом, Нероудом и др. (см. Деккер и Майхилл
[I960]), i-степени изолированных множеств называются изолями. (Тривиаль-
(Тривиально, что [А изолировано & А =[.6] =^S изолировано.)
(iii) Покажите, что если А и В изолированы, то А фВи4 X В изолиро-
изолированы.
Если „сумму" и „произведение" изолей А и В определить как изоли
А © В и А X В соответственно, то может быть развита теория арифметики
изолей, в большой степени аналогичная теории промежуточных карди-
кардинальных чисел (см. замечание в § 8.2 выше). В частности, может быть пока-
показано, что имеют место различные законы сокращения г).
(iv) Покажите, что существует 2**° изолей.
(v) Покажите, что копростые множества распадаются на к0 различных
изолей (воспользуйтесь теоремой XIV).
(vi) Покажите, что бесконечные рекурсивно перечислимые множества
образуют единственную i-степень.
(vii) Покажите, что существует бесконечно много i-степеней, не являю-
являющихся изолями. (Указание. Воспользуйтесь мощностными соображениями
!) С точки зрения гомологической алгебры, теория типов рекурсивной
эквивалентности возникает, когда мы рассматриваем категорию множеств
натуральных чисел и частичнорекурсивных отображений. Операции фа X
тогда выступают как прямая сумма и прямое произведение.'
11*

164 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
пв поводу числа неизолированных множеств и числа возможных множеств
в каждой i-степени.)
(viii) Покажите, что А иммунно =ф А и N не сравнимы относительно
упорядочения по i-сводимости.
(ix) Покажите, что если множества А и В бесконечны и рекурсивно пере-
числимы, то А = В <=> А = ф.
8-33. Определим ^;, следующим образом: А ^^В, если C частичноре-
курсивная взаимно однозначная функция ср) [А сгф~1(В)].
(i) Покажите, что ^г рефлексивно и транзитивно.
(ii) Покажите, что для изолированных множеств понятия Г^степени
и i-степени (упр. 8-32) совпадают.
(ш) Покажите, что все неизолированные множества образуют единствен-
единственную i'-степень.
§8.7
8-34. Покажите, что классификация J)o, • • •, «^4 является исчерпываю-
исчерпывающей и взаимно исключающей.
8-35. Покажите, что А просто =Ф {2х | х 6 А } 6 %?.¦
8-36. Покажите, что А просто =# А X N 6 %¦&•
8-37. (а) Покажите, что все нерекурсивные рекурсивно перечислимые
цилиндры принадлежат %3 U 'ei-
(b) Покажите, что все полутворческие множества (т. е. рекурсивно пере-
перечислимые множества с полупродуктивными дополнениями) лежат в %чъ U
U %г U ««•
8-38. Покажите, что если С есть центр множества А, то С просто в А.
А 8-39. Это упражнение относится к теории пар непересекающихся рекур-
рекурсивно перечислимых множеств (см. § 7.7). Мы предложим здесь аналог просто-
простоты и воспользуемся им, чтобы доказать существование пары непересекаю-
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств, не являющихся ни рекурсивно
отделимыми, ни эффективно неотделимыми, а также показать, что класс
$22 § 8.7 не пуст. Построение такой пары множеств подобно построению мно-
множества S Поста (теорема II) и может быть проведено модификацией конструк-
конструкции Мучника [1956а] и Тенненбаума.
Пусть D = {{х, у) | у 6 Wx &. у > Зх}. Множество D рекурсивно пере-
перечислимо и может быть эффективно расположено в последовательность (х0,
#<>)) (г1> й)> • • • • Мы пересчитываемD и в то же самое время образовываем
два пересчета А ж В, согласно процедуре (которая вскоре будет определена),
такой, что, ког^да каждое (xt, yt) появляется в пересчете D, yt добавляется
иди не добавляется к одному из двух пересчетов. На любом таком шаге, если
У1 добавлено к тому или иному пересчету, мы скажем, что Xi помещает yt
в этот пересчет. Процедура образования пересчетов определяется следую-
следующим образом.
Этап i. Посмотрите, помещено ли yt в один из пересчетов на предыду-
предыдущем этапе. Если да, переходите к этапу i + 1. Если нет, посмотрите, помести-
поместило ли xt что-нибудь в А. Если нет, поместите yt в А. Если да, посмотрите,
поместило ли xt что-нибудь в В. Если нет, поместите yt в В. Если да, перехо-
переходите к этапу i -+¦ 1.
Очевидно, А и В образуют пару непересекающихся рекурсивно перечис-
перечислимых множеств. Докажите следующее:
(i) A U В бесконечно,
(ii) [С рекурсивно перечислимо
=4> [С П А ф 0 &.С П В Ф 0].
& С П (A U ¦В) бесконечно]
(Hi) Пара А, В не является рекурсивно отделимой,
(iv) Пара А, В не является эффективно неотделимой.
8.8. УПРАЖНЕНИЯ 165
(v) В есть центр множества А, рекурсивно перечислимый, но не рекур-
рекурсивный.
(vi) А не имеет рекурсивного центра. (Из (v) и (vi) заключаем, что А ? g22
(см. § 8.7).)
Пара рекурсивно перечислимых множеств, обладающих свойствами (i) и
(ii), называется сильно неотделимой.
8-40. А называется максимальным множеством, если А рекурсивно пере-
перечислимо, А бесконечно и (V-B) ИВ рекурсивно перечислимо &В Z3 А] =4>
=^> [В — А конечно или N — В конечно]].
(i) Покажите, что А максимально =Ф А просто.
(ii) Постройте простое множество, не являющееся максимальным.
-А(ш) Покажите, что максимальные множества существуют. (Мы дока-
докажем это в гл. 12; никакого простого доказательства не известно.)
Д8-41. Пусть So, Sj^, . :. —такие же, как в доказательстве теоре-
теоремы VIII. Пусть tf={Sx \SX czWx}. Пусть А = {z | Cy)[Sy 6 tf &z есть
наибольший элемент из Sy]}.
(i) Покажите, что А — полутворческое множество (т. е. рекурсивно пере-
перечислимое множество с полупродуктивным дополнением) с полупродуктивной
общерекурсивной функцией /, такой, что Щ(Х) = Wx U Sx.
(ii) Покажите, что А — на самом деле творческое множество. (Указание.
Докажите это непосредственно построением продуктивной функции или кос-
косвенным путем, показав, что А т-полно.)
Д8-42 (Шёнфильд). Модифицируем конструкции упр. 8-41 следующим
образом. Возьмем S из теоремы П. Возьмем ^Р как в упр. 8-41. Положим Е =
= U Sx. Образуем В = S \J E. Согласно теореме VIII, (yx)[~S [\ Sx ф 0).
sxZJP
Отсюда SxczB <=^ Sx 6 of- Выберем из каждого Sx из ^р по одному предста-
представителю следующим образом. Пересчитываем В (оно, очевидно, рекурсивно
перечислимо), и для каждого Sx из tf берем в качестве его представителя
тот его элемент, который последним появился в пересчете множества В.
Положим А — [множество таких представителей]. Докажите, что
(i) А рекурсивно перечислимо и бесконечно,
(ii) В — А рекурсивно перечислимо,
(ш) А полутворческое,
(iv) А не рекурсивно,
(v) В просто,
(vi) А не творческое. (Указание. Если бы оно было таковым, можно было
бы, воспользовавшись продуктивностью множества В — А, получить беско-
бесконечное рекурсивно перечислимое подмножество множества В.)
(vii) А попадает в класс %гг из § 8.7.
8-43. (а) Покажите, что А просто =$А X N не полутворческое (и, следо-
следовательно, %z содержит множества, которые не являются полутворче-
полутворческими).
(b) Покажите, что А полутворческое =Ф А X N полутворческое.
(c) Воспользовавшись упр. 8-42, заключите, что не m-полный рекурсивно
перечислимый цилиндр не обязательно изоморфен цилиндрификации просто-
простого множества.
Д8-44 (Шёнфильд). (Упр. 8-26 и 8-27.)
(a) Покажите, что множество А из упр. 8-42 q-полно (и, следовательно,
q-креативно).
(b) Покажите, что множество А из упр. 8-42 не btt-полно. (Указание.
Предположите, что А btt-полно; воспользовавшись рекурсивной перечисли-
перечислимостью множества В — А, методом теоремы XII, покажите, что В не может
быть просто, что дает противоречие.)
(c) Отсюда заключите, что ^q отличается от ^ btt на рекурсивно пере-
перечислимых множествах.

166 ГЛ. 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Д8-45 (Шёнфильд). Получите следующую недоказанную версию теоре-
теоремы XII: А ЫЪ-полно=$А?<@3{}<@1. (Указание. Воспользуйтесь методом упр.
8-44 (Ь)).
8-46 (Янг). Покажите, что классы gt, g2i. ^22, ^23, %z, %i располо-
расположены на линейном спектре в следующем смысле: никакое рекурсивно
перечислимое множество не может быть 1-сводимо к рекурсивно перечислимо-
перечислимому множеству, лежащему левее его в этом спектре.
8-47 (Уиман). Покажите, что дополнение множества из %гг не может быть
объединением непересекающихся рекурсивного и иммунного множеств.
8-48. Если A ^В и А — цилиндр, должно ли В быть цилиндром?
(Указание. Возьмите А = N X N, В ? g2-)
Д8-49 (Янг). Покажите, что %ъ содержит множество, не являющееся
цилиндром. (Указание. Установите лемму: [S просто &.S X S — цилиндр] =ф
=#> S X S ^mS, а затем примените к S* теорему XIII.) (Джокуш показал,
что существует такое простое S, что S X S есть цилиндр.)
Д8-50 (Янг). Построить множества А и В из Ц3, такие, что А ^Г ф, A —
цилиндр, но В — не цилиндр (Указание. Рассмотрите S* X N и S* X S*
из упр. 8-49.)
8-51 (Сакс). Введем определение: А эффективно просто, если А рекурсив-
рекурсивно перечислимо и C общерекурсивная функция /) Dx)[Wx ci =Ф Wx
имеет менее чем f(x) элементов].
(а) Покажите, что множество S теоремы II эффективно просто.
А(Ь) Покажите, что существует простое множество, не являющееся
эффективно простым.
Глава 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ;
ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 9.1. Пример 167
§ 9.2. Относительная рекурсивность 168
§ 9.3. Релятивизованная теория 176
§ 9.4. Сводимость по Тьюрингу 179
§ 9.5. Гиперпростые множества; теорема Деккера 181
§ 9.6. Сводимость по Тьюрингу и табличная сводимость; проблема
Поста 184
§ 9.7. Сводимость по перечислимости 189
§ 9.8. Рекурсивные операторы 193
§ 9.9. Упражнения 202
§ 9.1. ПРИМЕР
На интуитивном уровне, множество А сводимо к В, если по
любому данному способу вычисления св мы можем получить
способ вычисления сА- Удовлетворительно ли табличная своди-
сводимость представляет это интуитивное понятие или возможны слу-
.чаи, когда интуитивная сводимость имеет место, а табличная сво-
сводимость — нет?
Рассмотрим следующий пример. Пусть
К = {х | (Зу)[(рх(х) = у & tt-условие у выполняется на К]}.
Теорема I. К^иК.
Доказательство. Предположим, что К ^.пК. Тогда
К ^ttK. Пусть К ^tt^ посредством функции фЖо. Мы имеем^
что ж0 6 К <=> фжДжо) выполняется на К (в силу сводимости мно-
множества К к К посредством фЖо) <=> х0 ?К (по определению К).
Таким образом получаем противоречие. и
Приведем теперь доводы в пользу следующего предложения.
Предложение. К сводимо к К интуитивно.
Аргументация. Предположим, мы имеем способ, позво-
позволяющий выяснять, принадлежит ли число множеству К. Пусть
дано z. Мы хотим установить, имеет ли место z ? К. Предлагаемая
процедура такова.
Выясняем, будет ли z ^ К. Если z (J К, то ф2(г) расходится,
и мы можем заключить, что z (J К. Если z ? К, то фг(г) сходится,
мы можем вычислить фг(я) и, задавая дальнейшие вопросы о К,
выяснить, является ли фг(г) tt-условием, выполняющимся на К.
Если да, мы заключаем, что z ? К; если нет, мы делаем вывод,
что z $ К.щ

168 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 9.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
Комментарий. К интуитивно сводимо к К, поскольку
для ответа на любой конкретный вопрос о принадлежности
множеству К нам надо задать лишь конечное число отдельных
вопросов о принадлежности "множеству К. Заметим, однако,
что мы не знаем заранее, т. е. прежде чем мы получим какие-либо '
ответы о К, какие вопросы о К нам придется задать. Чтобы выяс-
выяснить, принадлежит ли z множеству К, мы сначала проверяем, ]
будет ли z f f, а затем используем ответ на этот вопрос, чтобы
установить, какие дальнейшие вопросы необходимы (если они ;¦
действительно необходимы).
Это отлично от tt-сводимости. Как мы ранее заметили, если '
А tt-сводимо к В, то по любому вопросу об А мы можем эффектив-
эффективно и явно получить заранее, т. е. до того как мы имеем какие-либо
ответы о В, (i) конечное множество вопросов, которые надлежит ,.
задать о В, ж (ii) указание на то, как каждая возможная комбина-
комбинация ответов на эти вопросы о В определяет ответ на наш вопрос
об А1). ;
В этой главе мы определим сводимость, называемую нами !
сводимостью по Тьюрингу. Она обычно признается формализацией >
наиболее общего интуитивного понятия сводимости. Это, пожалуй,
наиболее существенное и важное из всех понятий сводимости.
Мы изложим также ряд идей и методов, связанных с тьюринговой \
сводимостью и являющихся весьма существенными при дальней- ;
шем изложении. *
§ 9.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
Пусть дано множество X. Рассмотрим процедуру, которая
определяется конечным набором инструкций и входом следующим
образом. В тот момент, когда задается вход, начинается вычисле-
вычисление. Вычисление происходит алгоритмически, за тем лишь исклю-
исключением, что (а) время от времени вычислитель может быть постав-
поставлен перед необходимостью получить ответ на вопрос вида „п ? Х?'г
(вообще говоря, сам этот вопрос, т. е. значение и, есть результат
предшествующего вычисления); (Ь) набор инструкций не дает
никакого способа отвечать на такие вопросы об X; (с) получение
ответа на такой вопрос считается одним шагом общей процедуры
и (d) от этого ответа зависят, вообще говоря, последующие шаги
этой процедуры. Если такие ответы правильно и автоматически
выдаются некоторым внешним устройством, мы имеем вполне
х) Эти замечания подсказывают некоторую (возможно) промежуточную
сводимость, в которой множество вопросов (i) задается заранее, но указания
(и)нет. Мы назовем такую сводимость слабой табличной сводимостью. Она
рассматривается в упр. 9-45.
определенное и в некотором смысле эффективное вычисление *).
Мы будем называть такую процедуру алгоритмом относительно
множества X. В § 9.1, например, процедура для вычисления с^Т
характеристической функции множества К, алгоритмична отно-
относительно К.
Как может быть уточнено это понятие, относительного алгорит-
алгоритма? Несколько отличающиеся друг от друга, но эквивалентные
формализации проводятся обычно по аналогии с одним из фор-
формальных уточнений § 1.5. Мы выберем иной путь и определим
относительный алгоритм непосредственно с помощью понятия
частичнорекурсивной функции, основного нашего понятия. Преж-
Прежде чем перейти к этому, приведем несколько хорошо известных
формализации. Детали мы опускаем.
Машина Тьюринга с оракулом
Внешнее устройство, выдающее правильные ответы на вопросы
об X, часто называют оракулом. Его обычно представляют себе
как (никаким иным образом не определяемый) „черный ящик",
связанный с вычислителем. Понятие относительного алгоритма
может быть формально уточнено с помощью объектов, являющихся
в сущности машинами Тьюринга с оракулом. Этот подход при-
принадлежит Дэвису. Машины Тьюринга определяются, как прежде,
за тем лишь исключением, что (i) машина может писать
символ „S" наряду с символом „1" 2) и (ii) в добавление к четверкам
вида (состояние, содержимое ячейки, операция, состояние}
машина может иметь четверки вида {состояние, содержимое
ячейки, состояние, состояние). Пусть, например, q%Lqzqi имеется
в данной машине; тогда, если (при любом вычислении относитель-
относительно X) машина находится в состоянии q2 и обозревает ячейку, содер-
содержащую 1, происходит следующее. Пусть п — общее число еди-
единиц, появившихся на ленте (к этому моменту). Если п 6 X, маши-
машина переходит в состояние q3', если п $ X, машина переходит
в состояние qt. Это считается единичным шагом, и на ленте на
этом шаге никаких операций не производится.
Мы называем такую модифицированную форму машины Тью-
Тьюринга машиной с оракулом. Заметим, что определение машины
с оракулом посредством множества четверок не зависит ни от како-
какого конкретного выбора множества X. Одна и та же машина с ора-
оракулом и один и тот же вход могут быть-использованы при различ-
различных X и могут порождать соответственно различные вычисления.
Следующая машина с оракулом, например, будет вычислять
Сх относительно любого данного множества X .(Мы принимаем
1) Если множество X рекурсивно, мы можем сделать общую процедуру
рекурсивной добавлением набора инструкций для сх.
2) Дэвис допускал более одного дополнительного внутреннего символа.

170 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
относительно численных значений входов и выходов те же согла-
соглашения, что и прежде; см. гл. 1.)
Яо 1 в Qi
qxB R q2
4.2 * Чз 4i
0.2 " Чз ii
qsBl q,
Эта конкретная машина не использует S. В более общем случае S
используется для того, чтобы машина могла записывать и сохра-
сохранять результаты предшествующих вычислений в течение всего
времени, пока оракулу задаются вопросы.
Машины Тьюринга с вспомогательными лентами
Иная модификация формализации с помощью машины Тью-
Тьюринга получается добавлением к каждой машине вспомогательной
бесконечной ленты (вместо оракула), на которой записаны в возра-
возрастающем порядке (в виде последовательностей единиц) элементы
множества X. Используются операции L' и R' сдвига вспомога-
вспомогательной ленты влево и вправо; четверки заменяются пятерками
вида (состояние, содержимое ячейки, содержимое ячейки на вспо-
вспомогательной ленте, операция, состояние}. При соответствующем
наборе инструкций машина просматривает вспомогательную ленту
для получения информации об X. Ответ на единичный вопрос
об X может ^потребовать многих шагов. Это и предыдущее уточне-
уточнения эквивалентны в том смысле, что (при любом X) они описывают
один и тот же класс функций. Мы не будем вдаваться в дальней-
дальнейшие детали.
Расширенная клиниева формализация
Третья, по-прежнему • эквивалентная, формализация может
быть получена из клиниева описания частичнорекурсивных функ-
функций (§ 1.5) следующим образом. Вводится относительный функцио-
функциональный символ с (в добавление к обычным главным и вспомога-
вспомогательным функциональным символам). Символ с можно представлять
себе как обозначение характеристической функции множества X.
Равенство вида с(о) = т можно включить в вывод только в том слу-
случае, если оно выводимо из предыдущих равенств по обычным пра-
правилам или если о есть нумерал для некоторого натурального числа,
§ 9.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ 171
а т есть 1 или 0 в зависимости от того, является ли это число эле-
элементом множества X или нет. Мы не будем более обсуждать здесь
эту формализацию.
Эквивалентность этих трех формализации может быть доказана
методами, подобными тем, которые использовались при доказа-
доказательстве Основного результата § 1.6. Можно представить подроб-
подробное и убедительное обоснование того, что эти уточнения во всей
общности охватывают содержание неформального понятия алго-
алгоритма относительно X. Может быть проведено рассуждение,
совершенно аналогичное рассуждению гл. 1, и очевидным обра-
образом сформулирован и принят относительный тезис Чёрча.
Наша формализация производится иным образом. Чтобы
разъяснить, что послужило причиной такого выбора способа
формализации, мы покажем, как к нему приводит формализация
с помощью машины с оракулом.
Составим эффективный пересчет всех машин с оракулом.
Воспользуемся этим пересчетом, чтобы приписать каждой машине
с оракулом индекс. Пусть P'z — машина с оракулом, имеющая
индекс z. Каждой машине с оракулом и каждому выбору множе-
множества X соответствует тогда, обычным образом, функция одной
переменной (численные значения входов и выходов определяются,
как в гл. 1). Пусть i|*f—функция, вычисляемая машиной Р'г
относительно множества X. Если фиксировано " и задан некоторый
вход х, мы можем эффективно задать (возможно бесконечную)
диаграмму, которая описывает все возможные вычисления для
¦tyf(x) (при варьируемом X). Это делается следующим образом.
Возьмем вход х. Начнем вычисления, определяемые машиной
Р'г. Вычисления производим до тех пор, пока не будет задан
первый вопрос (им может быть, например, „7 ?Х?"). В этот момент
начнем два вычисления; одно, соответствующее утвердительному
ответу G ?Х), и другое, соответствующее отрицательному ответу
'7 (J X). Каждая из этих ветвей затем подразделяется и т. д., пока
задаются вопросы. Разумеется, вопрос, заданный на одной ветви,
не обязательно должен быть задан на другой. Если на какой-то
ветви задан вопрос, на который был уже получен ответ на той же
самой ветви, мы используем прежний ответ и не устраиваем под-
подразделения. Это разветвленное вычисление составляет искомую
диаграмму. Может, например, возникнуть такая диаграмма:
Окончание

172 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИДЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА '
Любая ветвь такой диаграммы определяет два множества D' и D",
где D' — {w \ на этой ветви использован утвердительный ответ- ¦
на вопрос „w ? X?"} и D" = {w \ на этой ветви использован отри-
отрицательный ответ на вопрос „w ? X?"}. (Таким образом, для обры-
обрывающейся чветви, изображенной на диаграмме, D' = {7, 11},
D" = 0.) Очевидно, D' {] D" = 0. Для любого множества ХТ
такого, что D' с X и D" с X, вычисление с помощью машины
с оракулом для г|)г (х) должно совпадать с вычислением вдоль этой
ветви. Некоторые ветви этой диаграммы могут обрываться (и, сле-
следовательно, выдавать выход), другие — нет. На любой обры-
обрывающейся ветви'/?' и D" конечны.
В процессе построения диаграммы может быть эффективно
порождено следующее (рекурсивно перечислимое) множество:
{{у, и, v) | существует обрывающаяся ветвь, для которой D' =
= Du, D" = Dv и для которой у является выходом}. Р. п. индекс
такого множества будет зависеть от входа х и индекса машины z.
Следовательно (согласно s-m-ra-теореме и теореме о проекции),
существует общерекурсивная функция h, такая, что
Wh(Z) — {(x, у, и, v) | существует обрывающаяся ветвь в диаграм-
диаграмме для машины P'z при входе х, для которой D' = Du,
D" = Dv и для которой выходом является у}.
Это наводит на мысль, что мы можем формализовать относи-
относительные алгоритмы с помощью соответствующих рекурсивно пере-
перечислимых множеств. Мы приводим теперь такую формализацию.
Она будет принята за основу при дальнейшем изложении.
Определения, (х, у, и, v) совместна, если Du f] Dv = 0;
(Xi, г/i, щ, Vi) и (х2, г/2, и2, v2) согласованы, если
DUl П DVs =DUl П DVl = 0.'
Определение. Wz регулярно, если
(i) (x, у, и, v) 6 Wz =ф- (х, у, и, v) совместна;
(И) 1{Х, уи UU Vi) 6 Wz & (X, у2, U2, V2) ?WZ ,&
& (х, г/i, Mi, ^i) ф (х, уг, м2, г;2)]=^ (х, уи щ, vy) и (х, у2, и2, v2)
не согласованы.
Очевидно, множество Wh (г), определенное выше, регулярно.
Обратно, Блюм показал, что для всякого регулярного рекурсивно
перечислимого множества A Cz) [./4 = Wh (z)] (см. упр. 9-4 и 9-5).
Теорема II. Существует общерекурсивная функция р, такая,
что для всех z
(i) wP(z) регулярно;
(ii) Wz регулярно => WP(Z) = Wz.
Доказательство. Возьмем фиксированную функцию
/', как в следствии 5-V (с). Следствие 5-V (с) дает тогда для каждо-
§ 9.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ 173
го z стандартный пересчет Wz. Пересчет множества Wp<z) получает-
получается из пересчета множества Wz опусканием всякой несовместной
четверки (х, у, и, v) и всякой четверки {х, уи ии vt), которая
согласована с четверкой (х, у2, и2, v2), уже помещенной в WP(Z).
«(Это доказательство напоминает доказательство теоремы 5-XVI,
теоремы об однозначности.)^
Опишем теперь нашу формализацию. Пусть р — общерекур-
общерекурсивная функция теоремы П.
Определение
ф? ={<*,*/> \Cu,v)[(xy,u, v)eWp(z) & DuczX & DvczX]}.
Регулярность множества И/р(г) обеспечивает для всех ги! одно-
однозначность функции (f>f.
Пусть А фиксировано.
Определение. Функция т) есть А-частичнорекурсивная функция,
«ели т) = (ff для некоторого z. Функция / есть А -общерекурсивная
функция, если для некоторого z имеем / = (р? и ф^ всюду опреде-
определена. (Разумеется, для фиксированного z и варьируемого X
функция ф^ оказывается всюду или не всюду определенной
в зависимости от X.)
Следующая теорема очевидна.
Теорема III. А рекурсивно ¦¦
функция.
ц>? есть частичнорекурсивная
Доказательство. Рекурсивность множества А делает
все вычисления рекурсивными. в
Из приводимых выше рассуждений с очевидностью следует,
что наша формализация по крайней мере столь же обща, сколь
л формализация при помощи машины с оракулом. Например (для
частичнорекурсивных функций одной переменной), (Vz)(VX)^B) =
= i|)f], где h — та же функция, что и выше.
Обратно, для данных X, z и х мы можем вычислить (р*(х) сле-
следующим образом. Пересчитываем JfpB), Как только какая-нибудь
четверка (х', у', и', v') появляется, смотрим, будет ли х' = х,
Du а X и Dv cz X. Если да, завершаем вычисления и выдаем у'
в качестве выхода. Если мы приняли за основу относительный
тезис Чёрча (исходя из машины с оракулом), мы имеем C обще-
общерекурсивная функция /) (Vz)(VX)[i|j^Z) = Фп1 (так как ф?, очевид-

174 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
но, интуитивно алгоритмична относительно X (с набором'инструк- ;
ций, получаемым по z)) *) 2).
Хотя формализация с помощью машин с оракулом в некотором
отношении более согласуется с интуицией, чем наша, наша фор-
формализация имеет то преимущество, что она базируется лишь на
уже определенных понятиях и может быть использована на нефор-
неформальном уровне без привлечения нового релятивизованного тезиса .
Чёрча. Читателю рекомендуется, однако, держать в поле зрения
также и интуитивное понятие относительного алгоритма. После-
Последующие доказательства могут быть проведены, исходя из любой:
формализации, но они наиболее прозрачны, если основываются ,
на этом интуитивном понятии.
Следующие определения и результаты естественны и очевидны.
Определение. Множество А рекурсивно относительно В (или:
в В), если функция сА является Z?-общерекурсивной. Множество А =
рекурсивно перечислимо относительно В (или в В), если или А — 0 у
или А = Val / для некоторой функции /, которая 5-общерекур- ,
сивна.
§9.2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ 175
Теорема IV. А рекурсивно в В <=> множества А и А рекурсивна
перечислимы в В.
Доказательство, как и для теоремы 5-П.и
Предшествующая терминология может быть обобщена на &-ар- •
ные отношения (в соответствии с соглашением § 5.3), если мы ;
поставим в соответствие всякому fc-арному отношению R множе-
множество т"(Д).
Определение. Пусть R есть А^-арное отношение и S есть &2-ар-
отношение.
[рекурсивно \ с
{ ? в о, если
рекурсивно перечислимо J
рекурсивно
рекурсивно перечислимо
г|) R-частичнорекурсивна, если г|) тЙ1(/?)-частичнорекурсивна.
/ R-общерекурсивна, если / тЙ1(Д)-общерекурсивна.
Разумеется, функция сама есть отношение. Следовательно,
имеем такую теорему.
Теорема V. / А-общерекурсивна <=> / рекурсивно в А.
R
(реку
[рещ
х) Разумеется, при более детальном изложении должна быть приведена
явная конструкция функции /.
2) Подобное рассмотрение для функций к переменных (к > 1) может
быть получено с использованием метода теоремы 5-VIII.
Доказательство, как и для теоремы 5-1Х.ш
Следующая теорема усиливает аналогию с теоремой 5-1X.
Теорема VI. т|) А-частичнорекурсивна
числимо в А.
г|) рекурсивно пере-
Доказательство, как и для теоремы 5-1Х.и
Следствие VI. Какова бы ни была всюду определенная функция /,
/ рекурсивно перечислимо в А <=> f рекурсивно в А.
Доказательство. Так как / всюду определена, /
рекурсивно перечислимо в Л<=>/ Л-частично рекурсивна (соглас-
(согласно теореме VI) <=> / А-общерекурсивна (по определению) <=> /
рекурсивно в А (согласно теореме V).B
В значительной части здесь изложенного множество и ето
характеристическая функция взаимозаменяемы. Мы имеем, напри-
например, следующую теорему.
Теорема VII. Л рекурсивно в В <=> Сд рекурсивно в В <=> сЛ
рекурсивно в св <=> А рекурсивно в св.
Доказательство. Первая и третья эквивалентности
следуют из определения и теоремы V. Вторая эквивалентность
становится очевидной, как только мы замечаем, что любой вопрос
вида „2 6-S?" может быть переформулирован как „<z, 1) ? св?"
и что всякий вопрос вида „<х, у) 6 св?" может быть переформули-
переформулирован как „верно ли, что х ?5 и у == 1 или что х (? В и у = 0?".и.
Как мы заметим в § 9.7, понятие ,,г|) частичнорекурсивна в ф"
обычно определяется таким образом, что оно (i) эквивалентно по-
понятию ,,г|) т (ф)-частичнорекурсивна" для всюду определенной
функции ф, но (н) более узок, если ф не всюду определена.
Рекурсивность относительно более чем одного множества
Могут быть определены процедуры, использующие более одно-
одного оракула. Мы скажем, что процедура алгоритмична относи-
относительно множеств Xi, . . ., Хт, если на любом ее этапе допускают-
допускаются вопросы вида „п 6 Xt?", i = 1, . . ., т. Мы уточним это в сле-
следующем определении.
Определение. Функция i|> (Хи Х2, . . ., Xт)-частичнорекур-
сивна, если i|) (Xt ® Х2 ® . . . © Хт)-частичнорекурсивна, гд&
Xt®X2®...®Xm = (.. .((Xi © Х2) © Х3) . . . Хт).
Обозначение. Мы будем, как правило, вместо цх1®-.--®Хт
писать ф^1 Хт.
Читатель легко может убедиться в том, что понятия, опреде-
определенные выше, рекурсивно инвариантны.

176 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 9.3. РЕЛЯТИВИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ
В теории рекурсивных функций, развиваемой в предыдущих
главах, основными объектами рассмотрения были частичнорекур-
•сивные функции. Если выбрать фиксированное множество А
ж заменить в этой теории частичнорекурсивные функции Л-частич-
норекурсивными функциями (во всех определениях и теоремах),
то получим релятивизованную теорию. Все полученные до сих
пор результаты остаются при такой полной релятивизации спра-
справедливыми. Доказательства, привлекающие соображения о длине
вычислений, могут быть получены очевидной модификацией соот-
соответствующих доказательств нерелятивизованной теории, так как
завершающиеся А -вычисления требуют, чтобы было задано лишь
•конечное число вопросов об А (каждый такой вопрос может быть
принят за один шаг), или, говоря более строго, так как завершаю-
¦ дцееся вычисление для ф^ соответствует завершающемуся просмат-
просматриванию множества WP^Z) (и шаги могут отмеряться как шаги
в пересчете множества W p(z>). Понятия, получаемые путем такой
полной релятивизации, рекурсивно инвариантны относительно А
в том смысле, что они инвариантны относительно группы {/ | /
взаимно однозначна, отображает на и А-общерекурсивна}.
Более интересны и важны понятия и результаты, получаемые
в частично релятивизованной теории. Во многих случаях данное
понятие может быть частично релятивизовано несколькими раз-
различными способами. Например, пусть понятие иммунного множе-
множества (полностью) релятивизовано следующим образом.
Определение. Множество В является А-иммунным, если В
-бесконечно и не содержит никакого бесконечного множества,
рекурсивно перечислимого в А.
Напрашиваются три различных способа частичной или полной
релятивизации понятия простоты. Можно дать такие определения:
множество В А-просто, если
(a) В рекурсивно перечислимо в А и В ,4-иммунно (полная
релятивизация); _
(b) В рекурсивно перечислимо и В Л-иммунно (частичная
релятивизация); _
(c) В рекурсивно перечислимо в А и В иммунно (частичная
релятивизация).
Говоря о релятивизованных понятиях, мы будем иметь в виду,
•если не оговорено противное, полную релятивизацию.
Как уже было замечено, полностью релятивизованные резуль-
результаты могут быть перенесены непосредственно. Мы приводим здесь
ряд наиболее фундаментальных результатов этого рода.
Определение. Wz = Arg q>z ¦
9.3. РЕЛЯТИВИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ 177
Теорема VIII (релдтивизованная основная теорема о рекур-
рекурсивно перечислимых множествах (теорема 5-V)). А рекурсивно
перечислимо в В <=> (Э z) [A = Wf].
Доказательство. Может быть перенесено непосред-
непосредственно доказательство теоремы 5-V.p
Теорема IX (релятивизованные теоремы о проекции). Если
R рекурсивно перечислимо в А, то существует отношение S,
рекурсивное в А, такое, что R есть проекция-S.
Если R рекурсивно перечислимо в А, то любая проекция отно-
отношения R рекурсивно перечислима в А.
Доказательство. Доказательства теорем 5-Х и 5-XI,
опиравшиеся лишь на исходные представления, непосредственно
переносятся с заменой всех понятий на понятия, релятивизован-
релятивизованные относительно А. Более строгие доказательства с помощью
формализации из § 9.2 можно получить непосредственным приме-
применением нерелятивизованных теорем о проекции. а
Определение. К = {х | ц>х(х) сходится} = {х | х ? И^ж}.
Теорема X. (Vi)C 5) [В рекурсивно перечислимо в А и В
не рекурсивно в А].
Доказательство. Пусть дано множество А. Возьмем
В = КА. Множество КА рекурсивно перечислимо в А, согласно
теореме IX (см. упр. 9-8). Оно не может быть рекурсивно в А,
так как в этом случае в силу теорем IV и VIII было бы К = Wxo
для некоторого х0 и мы имели бы х0 ? К <=> хо 6 WXo (по опре-
опрепротиворечие.щ
делению К )
(согласно выбору
Частично релятивизованные варианты ранее установленных
теорем часто оказываются сильнее полностью релятивизованных
вариантов. В частности, имеет место сильная частично релятиви-
зованная форма s-тп-лг-теоремы. Она в свою очередь дает более
сильные частично релятивизованные варианты целого ряда других
результатов, получаемых с помощью s-m-ra-теоремы. Так, напри-
например, следствием нашей релятивизованной s-m-ra-теоремы будет
то обстоятельство, что в релятивизованных вариантах следствий
теоремы 5-V функции /, g, /', g', f" и g" могут быть сохранены
общерекурсивными.
Теорема XI (релятивизованная s-m-n-теорема). Для любых
т,п^- 1 существует общерекурсивная функция s™ m + 1 перемен-
12—0506

178 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 9.4. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ 179
ных, такая, что для всех X и всех z, xlt . . ., хт
• • •» Жnn Xm+i, . . ., Хт+п)\ =
_ (п)Х ¦
^s™ (г, ж„ . . .,
Доказательство. Мы построим функцию sj. Доказа- ,
тельство для других значений тик аналогично. <
Применив нерелятивизованную s-m-n-теорему, мы можем полу-
получить общерекурсивную функцию /, такую, что для всех Xi и z ;
wi(z, *,) = {(жг, у, и, v) | <(ж1, ж2), г/, и, v) 6 Wp<*)}- :
Согласно этой конструкции, множество Wf(ZtXl) регулярно при
всех z и х^ Отсюда следует, что
<*2, У) € <pf(z, ft)«
Тем самым / есть искомая функция sj. -
Более формально, функция sj может быть определена как ;
'kzxi[h2s\(hip(z), Xi)\, где hi и А2 суть общерекурсивные функции, .
устанавливающие равномерность в следующих случаях (см. теоре- ,
му 5-VIII и замечание о равномерности, приведенное в конце
§ 5.5): ;
<Phl(z) = Ь;4 . . . хъ[ц>х((хи . . ., хъ))\
и
(я?(ж), , . ., п\(х))\.
Далее, заметив, что ((xi, х2), у, и, v) = (ж4, х2, у, и, v) (см.
§ 5.3), получаем
?'P(z) = {(хи х2, у, и, у> | ({хи х2), у, и, v) G
отсюда
9J!)(/ltp(z), Ж1)={<а;2, г/, м, г;>
{< > , г/, и, у) ? Wp (z)}
и, следовательно,
= {(Х2, У, U, V) | ((хи Х2), У, U, V) б Wp(z)} =
Полная релятивизация этого результата такова:
(VZ) C Х-общерекурсивная функция К)
[Чх) (Уу) \Wf{x, у) =
W*].
Если в релятивизованном доказательстве используется теоре-
теорема XI, то теорему 5-ХШможно усилить не только до утверждения
(VZ) C общерекурсивная функция К) (\/ж) (Vy) [Wf(x< y) ==
= Wl U W%
но и до утверждения
(Э общерекурсивная функция h) (VX) (Ух) (Vj/) Wf (ж, у) =
= wl .и w*\.
Такая ситуация часто возникает при релятивизации результатов,
имеющих место равномерно.
Понятия и результаты, уже релятивизованные относительно
множества А, сами в свою очередь могут быть релятивизованы
относительно другого множества В. При полной релятивизации
новые понятия и результаты эквивалентны результатам, получен-
полученным обычной однократной релятивизацией относительно А ®В.
Если, однако, последовательно выполняются частичные реляти-
релятивизации, может возникнуть ряд интересных вопросов. Мы рас-
рассматриваем такого рода вопросы время от времени в ряде даль-
дальнейших разделов.
§ 9.4. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ
Определение. Множество А сводимо по Тьюрингу к В (обозна-
(обозначение: А ^т В), если А рекурсивно в В, т. е. если сА есть 5-обще-
рекурсивная функция. Мы также будем вместо „сводимость по
Тьюрингу" писать „Т-сводимость". Утверждения „А ^т 5"
и ,,А- рекурсивно в В" эквивалентны. Некоторые авторы применя-
применяют исключительно термин „А рекурсивно в 5".
Пример. Из результатов § 9.1 имеем, что К ^т К, хотя
Для получения примера более сильной частичной релятивиза-
ции (ранее приводимого результата), которая может теперь быть
установлена, рассмотрим теорему 5-XIII. Она утверждает, что
C общерекурсивная функция h)Dx) Dy)[Wh(X, y) = Wx [} Wv].
l) В действительности функция s ™ может быть выбрана примитивно-
рекурсивной.
Теорема XII. Отношение
рефлексивно и транзитивное
Доказательство. Рефлексивность. Очевидно, так как
функция сА тривиальным образом Л-общерекурсивна (см. упр. 9-5).
Транзитивность. Предположим, что А ^т В ж В <1Т С. Тогда
сА = фЯ и св = ф^. Доказательство проводится применением
второй теоремы о проекции к множеству, конструируемому из
WP(Zi) и Wp(Z2) (см. упр. 9-14). Это дает23, такое, что сА =фс.
12*

180 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Интуитивные соображения таковы. Мы можем найти значение
функции сд для какого-либо данного входа, если мы умеем нахо-
находить значения функции св для некоторого конечного числа входов.
Значение же функции св для какого-либо данного входа мы можем,
в свою очередь, вычислить, вычислив значения функции ее для
некоторого конечного числа входов. Тем самым мы можем вычис-
вычислить значение функции сА для данного входа, если мы умеем
вычислить значение функции ее для некоторого конечного числа
входов. и
Определение. А =т В, если А ^т В ж В ^т А.
Классы эквивалентности =т называются тъюринговыми сте-
степенями или Т-степенями.
В литературе обычно в качестве основной сводимости берется
сводимость по Тьюрингу (хотя, как правило, в приложениях,
когда имеет место сводимость по Тьюрингу, некоторый более силь-
сильный вид сводимости также имеет место). Если слово „сводимость"
употреблено без дополнительных пояснений, подразумевается,
как правило, сводимость по Тьюрингу. Если без дополнительных
пояснений употреблен термин „степень неразрешимости", обычно
подразумевается Т-степенъ. Т-сводимость и tt-сводимость часто
группируют вместе как слабые сводимости (в противоположность
m-сводимости и 1-сводимости, сильным сводимостям).
Определение. Множество А полно по Тьюрингу („Т-полно"
или „полно"), если
(i) А рекурсивно перечислимо;
(ii) (V5) [В рекурсивно перечислимо =ф- В ^ZyA].
Множество К есть Т-полное множество.
Следующая теорема содержит некоторые элементарные све-
сведения о Т-сводимости.
Теорема Ш1. (a) A <tt В => А <Т5.
(b) Упорядочение по Т-сводимости образует верхнюю полу-
полурешетку.
(c) [В рекурсивно & А ^.тВ] =>- А рекурсивно.
Доказательство, (а) Очевидно.
(b) Степень множества А ® В есть наименьшая верхняя грань
степеней множеств А и В при упорядочении по Т-сводимости.
(c) Согласно теореме Ш.и
Из (а) имеем, что отношение ^т рекурсивно инвариантно.
Из (с) и теоремы]8-УП (е) следует, что упорядочение по Т-своди-
Т-сводимости имеет единственную минимальную степень, состоящую из
рекурсивных множеств и не содержащую никаких других. Мы
скажем, что Т-степень рекурсивно перечислима, если она содержит
рекурсивно перечислимое множество. Из (а) следует, что А == tt
§ 9.5. ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА; ТЕОРЕМА ДЕККЕРА 181
=tt В =>¦ А =Т.В. Мы можем, следовательно, воспринимать Т-сте-
Т-степень как составленную из tt-степеней. Согласно примеру из § 9.1,
Т-степень множества К, т. е. полная Т-степень, состоит из более
чем одной tt-степени. В § 9.6 мы увидим, 'что она содержит более
чем одну рекурсивно перечислимую tt-степень. Отношение между
Т-степенями и tt-степенями рассматривается далее в § 9.6.
§ 9.5. ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА;
ТЕОРЕМА ДЕККЕРА
Существует ли нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
множество, которое не tt-полно? Более узко, существует ли рекурсив-
рекурсивно перечйслимое множество, Т-полное, но не tt-полное? Пост полу-
получил утвердительный ответ на этот вопрос, исследуя гиперпростые
множества.
Определение. Пусть А — бесконечное множество. Функция /
мажорирует А, если Dn)[f(n) ^> zn\, где z<), Zi, ... — элементы
множества А, расположенные в порядке строгого возрастания.
Диагональным методом легко может быть показано, что существу-
существуют множества, не мажорируемые никакой общерекурсивной
функцией. Пусть /0, /4, . . . — последовательность всюду опре-
определенных функций, включающая в себя все общерекурсивные
функции. Определим
g(n
g@)=/0@) + l,
1) = \usbs > g(n) & z > fn+i{n + 1)].
Тогда множество значений функции g не мажорируется никакой
общерекурсивной функцией. Мы назовем такие множества гипер-
гипериммунными.
Определение. А гипериммунно, если А бесконечно и (V обще-
общерекурсивная функция /) [/ не мажорирует А\.
Теорема XIV. А гипериммунно =ф- А иммунно.
Доказательство. См. упр. 9-23.Л
Определение. Множество А гиперпросто, если А рекурсивно
перечислимо и А гипериммунно.
Множество S из теоремы 8-П являет собой пример простого,
но не гиперпростого множества, поскольку S мажорируется
функцией А*г[2я]. Мы покажем ниже, что гиперпростые множества
существуют.
Полезное и не вполне очевидное описание гипериммунных
множеств дается следующей теоремой (Медведев [1955]). (Пост

182 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
принял это описание гиперпростых множеств в качестве опреде-
определения.)
Теорема XV (Кузнецов, Медведев, Успенский). А гиперим-
мунно <=> А бесконечно и | C общерекурсивная функция /)
[(Vu)U?/(B) r\A^0]&Du)Dv)lu^v=>Dfiu;(\DHv) = 0)]; т.е.
А бесконечно и не существует никакой эффективно перечисли-
перечислимой (по каноническим индексам) последовательности непересе-
непересекающихся конечных множеств, каждое из которых пересекалось бы
с А.
Доказательство. =^. Предположим, что такая общере-
общерекурсивная функция / существует. Тогда (iu)Df(u) Ф 0. Опреде-
У
лим g = %у [максимальный элемент множества U Df(t)]. Очевид-
г=0
но, g общерекурсивна и мажорирует А.
<= . Предположим, что существует общерекурсивная функция g,
мажорирующая А. Определим общерекурсивную функцию h сле-
следующим образом:
40) = g@),
Цп + 1) = g(k(n) + 1).
Рассмотрим последовательность конечных множеств
= {0, 1, .... /i@)},
= |Л@) + 1, ...
Эта последовательность, очевидно, рекурсивно перечислима по
каноническим^ индексам. Далее, для всякого п множество Z)<n+1)
имеет Цп -J- 1) = g(h(n) + 1) в качестве своего наибольшего эле- ¦
мента. Следовательно, в предположении, что g обладает мажори-
мажорирующим свойством, по меньшей мере Цп) + 2 элементов из А не
превосходят Цп + 1). Но D(n+1) содержит все, за ислючением
(Цп) + 1)-го, натуральные числа, не превосходящие Цп + 1).
Отсюда Z><n+1> П А ф 0.ш
Первое доказательство существования гиперпростых множеств
было получено Постом. Впоследствии более общая и изящная
теорема существования была найдена Деккером [1954], показав-
показавшим, что всякая нерекурсивная рекурсивно перечислимая Т-сте-
пень содержит гиперпростое множество.
Теорема XVI (Деккер). [А не рекурсивно & А рекурсивно пере-
перечислимо] => (ЗВ) [В =ТА & В гиперпросто].
§ 9.5. ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА; ТЕОРЕМА ДЕККЕРА 183
Доказательство. Пусть А — данное рекурсивно пере-
перечислимое, но не рекурсивное множество. Тогда А = Val / для
некоторой взаимно однозначной общерекурсивной функции /.
Назовем х минимальным относительно функции /, если
<Vy) [x<y=> f(x) < f(y)l
Пусть
В = {х | х не является минимальным относительно /} =
Мы покажем, что множество В гиперпросто и что В -=ТА.
(i) В рекурсивно перечислимо. Это немедленно следует из
второй теоремы о проекции. _
(П) В гипериммунно. Если это не так, пусть g мажорирует В.
Тогда х?А <=>ж 6 {/@), /A), . . ., f(g(x))}. Это дает эффективный
способ проверки принадлежности числа множеству А, и А рекур-
рекурсивно в противоречие с предположением.
(ш) В ^цА. Действительно, х ^B<=>f(y) < f(x) для неко-
некоторого у > х<^>С р Аф 0, где С = ({0, 1, . . ., f(x)} —
— {/@), /A), . . ., f(x)}), это последнее может быть выражено
в виде tt-условия.
(iv) А ^.ТВ. В самом деле, мы можем проверить, будет ли
z ? А, следующим образом. Проверяем, принадлежат ли множе-
множеству В числа 0, 1, 2, ... до тех пор, пока не будет получено z + 1
элементов множества В. Пусть наибольшим из них будет пг. Посмот-
Посмотрим, встречается ли z в {/@), /A), . . ., f(nz)}. Если да, то z ? А;
«ели нет, то z $ А. Такой способ распознавания принадлежности
множеству В верен, поскольку п2 минимален относительно / и
Следствие XVI. (а) Всякая нерекурсивная рекурсивно пере-
перечислимая Т-степень содержит простое множество.
(Ь) Для всякого нерекурсивного рекурсивно перечислимого мно-
множества А существует гиперпростое множество 5, такое-, что
в <tH-
Доказательство очевидно.щ
Максимальные множества были определены в упр. 8-40. Их
существование будет доказано в гл. 12. В упр. 9-26 мы покажем,
что всякое максимальное множество гиперпросто. Класс ^t про-
¦ -стых множеств (см. рассуждение из § 8.7) может быть разбит
на следующие подклассы:
<eir= {А | А максимально);
Чём = {А \ А гиперпросто & А $ 'ёц};
^1з = {А | А просто & А $ %п (J «12}.

184 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Множества из этих классов имеют дополнения, которые всё
менее „редки". Класс %iz не пуст, он содержит множество S из
теоремы 8-П (см. выше замечание, следующее непосредственно
за определением гиперпростого множества). В упр. 9-36 мы пока-
покажем, что *ё12 не пуст. В гл. 12 мы рассмотрим дальнейшие разбие- '
ния этих классов.
§ 9.6. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ
И ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ; ПРОБЛЕМА ПОСТА
Для того чтобы показать, что для Т-сводимости не существует
никакого аналога теорем 7-VIII и 8-IX, может быть использовано
рассуждение § 9.1.
Теорема XVII. Среди элементов Т-степени множества К не
содержится никакого множества, максимального относительно
tt-сводимости.
Д о^к азательство. Определим для любого А множе-
множество А = {х | ц>х(х) 6 Att}. Тогда для любого А, такого, что
К ^тА, выполняется А ^А, А <^.пА и А ^.^А. Мы докажем
это следующим образом.
(i) A ^ А. Для всякого х пусть ojj есть постоянная функция,
значением которой является tt-условие ((х), ее), где а — унарная
тождественная булева функция. Так как набор инструкций для т|>
может быть найден равномерно по х, мы имеем общерекурсивную
функцию /, такую, что г|) = (pf(X). Функция /, очевидно, взаимно
однозначна и х 6 А <=> ф/(Ж)(/(«)) выполняется на А <=> f(x) 6 А.
(ii) А ^иА. Если A ^.пА,_то А <^И посредством <рХо при
некоторое х0. Отсюда х0 6 А <=> фжо(жо) выполняется на А <^>
<=> хо? А. Получаем противоречие.
(in) A t^i'A. Чтобы выяснить, будет ли z 6 А, воспользуемся
сначала Т-сводимостью множества К к А, чтобы установить,
будет ли z ? К. Если z $ К, то z $ А. Если z ? К, вычислим
q>z(z) и посмотрим, выполняется ли q>z(z) на А. Если да, z 6 А;
если нет, z (J А.
Как результат пунктов (i), (ii) и (ill) имеем, что в Т-степени
множества К не может быть множества, максимального относи-
относительно tt-сводимости. и
(Теорема XVII может быть так же получена, как следствие
упр. 9-18 (а) и 9-20.) (Джокуш [1966] показал, что всякая нере-
нерекурсивная рекурсивно перечислимая Т-степень содержит беско-
бесконечно много рекурсивно перечислимых т-степеней.)
§ 9.6. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ И ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 185
Следствие XVII. (а) Никакая Т-степенъ, большая Т-степени
множества К (при упорядочении по Т-сводимости), не может
иметь максимальной tt-степени.
(Ь) Всякая Т-степенъ, большая Т-степени множества К, содер-
содержит бесконечную последовательность tt-степеней, линейно упоря-
упорядоченных относительно ^tt по типу натуральных чисел @, 1..
2, ..О-'
Доказательство очевидно. я
Всякая ли рекурсивно перечислимая Т-степень содержит"
рекурсивно перечислимую tt-степень, максимальную относительно
^tt среди рекурсивно перечислимых tt-степеней, содержащихся
в этой Т-степени? Этот вопрос не решен. В Т-степени множества К
tt-степень множества К максимальна х).
Совпадают ли Т-полные множества с tt-полными множествами?
Пост воспользовался Следующей теоремой для получения отри-
отрицательного ответа на этот вопрос.
Теорема XVIII (Пост). А tt-полно =ф- А не гиперпросто.
Доказательство. Доказательство по существу анало-
аналогично доказательству теоремы 8-ХП, устанавливающей, что ника-
никакое btt-полное множество не просто.
Предположим, что А является tt-полным множеством. Тогда
К ^tt А. Мы докажем лемму, подобную лемме, использованной
при доказательстве теоремы 8-ХП.
Лемма. Пусть К ^ tiA. Тогда существует бесконечное рекур-
рекурсивно перечислимое множество tt-условий t0, ti, . . . с ассоци-
ассоциированными множествами То, Ти • • • соответственно, такими,
что
(i) для всех i условие tt выполняется на А;
(ii) для всех i имеем Тг{\Аф0; _
(ш) для всякого конечного множества D множество {i \ Т* [") А с. D}
имеет не более чем 2 элементов, где d — мощность D.
Доказательство леммы. В точности, как в теоре-
теореме 8-ХП, задается последовательность 2<ь *i, . • . и устанавливают-
устанавливаются свойства (i) и (ii). Свойство (ш) докажем следующим образом.
Определение. Пусть t = {{xt, . . ., xh), а). Пусть Т — ассо-
ассоциированное множество условия t, т. е. Т = {хи . . ., х^}. Пред-
Предположим, что п элементов из (xi, . . ., #ft) лежат в Т[\А, п > 0.
Определим ос' = Xwiw2 ¦ ¦ ¦ юп[а(аи а2, ¦ ¦ ., ah)], где (а1? . . .
. . ., ahy получается из (хи . . ., xh) подстановкой 1 вместо каж-
Среди рекурсивно перечислимых tt-степеней. — Прим. перев.

186 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
дого xt, принадлежащего А, и подстановкой wu U72, . . ., wn
вместо остальных xt. Функция а' называется производной истин-
истинностной таблицей для t. Например, если
л Xi, х3 ? А, Хг, xt 6 А, то а' = XwiW2lct(i, iv\, I, ivz)\ есть про-
производная истинностная таблица для t.
Пусть С —• множество из доказательства теоремы 8-ХП. Обра-
Образуем t'Q, t[, . . . из t0, ti, . . ., как в доказательстве теоремы 8-ХН.
Пусть tt и tj таковы, что Tt(]A = Т]{\А. Если t\ и t'j имеют
одни и те же производные истинностные таблицы, то t'j должно
быть выводимо (в смысле теоремы 8-ХП) из t[ и С, t[ должно быть
выводимо из t'j и С. Отсюда по построению t'o, t\, . . ., если
Tif]A — TjQA, то ti и t'j должны иметь различные производ-
производные истинностные таблицы (см. упр. 9-43). 1
Возьмем теперь конечное множество D мощности d. Оно имеет
'2й подмножеств. A fortiori, самое большее 2d подмножеств множе-
множества D может содержаться в А. Каждое из этих подмножеств имеет
мощность sjd. Следовательно, каждое подмножество имеет самое
большее 22d соответствующих ему различных производных истин-
истинностных таблиц1). 22d-2d == 22<*+й < 22d+1. Отсюда, если бы
•существовало более чем 22<i+1 элементов из {t\ \ Tt f] А с: D},
то по меньшей мере два элемента давали бы общее пересечение
с Л и имели бы одни и те же производные истинностные таблицы;
пришли к противоречию. Тем самым лемма доказана.
Для доказательства теоремы покажем, что А не гипериммунно.
Определим общерекурсивную функцию / следующим образом:
/@) = [максимальный элемент множества То];
/ (п + 1) = [максимальный элемент множества
U
i=0
Til
Согласно пункту (ш) леммы, самое большее для 22 мно-
множеств Tt может быть
Ti П Аа {0, 1, 2, . . ., f(n)}.
Таким образом, для каждого п имеем {f(n) + 1, . . ., f(n + 1)} |~1
П Аф 0. Следовательно, {0/. . ., /@)}, {/@) + 1, . . ., /A)},
{/A) + 1> • ¦ •}, • • • есть последовательность непересекающихся
х) Производная инстинностная таблица а' соответствует Конечному
множеству D', если для некоторого i имеем Т^ [} А = D' и а.' есть производ-
яая таблица для t\.
§ 9.6. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ И ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ 187
конечных множеств, каждое из которых пересекается с А, Согласно
теореме XV, А не гипериммунно. (В самом деле, А мажорируется
функцией /.)ш
Следствие XVIII. Существует множество, которое Т-полно,
но не %%-полно; отсюда ^т и ^tt различны на рекурсивно пере-
перечислимых множествах, и =т и eeeu различны на рекурсивно пере-
перечислимых множествах.
Доказательство. Пусть К — гиперпростое множе-
множество, такое, что К =т К; существование такого множества вытека-
вытекает из теоремы Деккера. Тогда в силу только что установленной
теоремы К =^t К. ш
Природа соотношения между ^т и ^tt B каком-то смысле более
глубоко выявляется следующей теоремой Нероуда [1957]. Напом-
Напомним, что по определению
А <т В <^> Cz) [cA = <р?1.
Теорема XIX (Нероуд).
A ^tt В <=> Cz) [cA = (pf & (VX) [ф^ есть характеристическая
фунщия}\<^>
<=> Cz) [сА = 9f & (VX) [ф^ всюду определена[].
Доказательство. Пусть 1*, 2* и 3* — три утвержде-
утверждения, эквивалентность которых надлежит установить, в том поряд-
порядке, в котором они приведены в формулировке, теоремы.
(i) 2* =^ 3* очевидно.
(и) 1* =ф- 2*. Пусть А ^иВ посредством функции /. Возьмем
z0, такое, что для любого х
х) = < >, если tt-условие f(x)
(выполняется
1
на X.
[не выполняется]
Очевидно, ф^ есть характеристическая функция множества X
и сА = ф?0.
(Hi) 3*=^ 1*. Пусть дано zt, такое, что ф^ всюду определена
при любом X, и сА = фГ1. Мы хотим установить, что A ^tt В,
следовательно, нам надлежит указать общерекурсивную функцию
/, такую, что х? А <=>/(ж) есть tt-условие, выполняющееся на В.
Пусть дано х. Будем вычислять/(ж), согласно следующим инструк-
инструкциям. Возьмите ф^(ж) и начинайте строить диаграмму вычислений,
описанную и проиллюстрированную в § 9.2. По предположению
каждая ветвь должна оборваться. Согласно основной теореме
компактности для деревьев (формулируемой, доказываемой и об-
обсуждаемой в упр. 9-40), диаграмма должна быть конечной.

188 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой диаграмме каждое разветвление помечается числом, инфор-
информация о котором должна быть затребована на этом разветвле-
разветвлении. Пусть D — множество всех таких чисел (встречающихся на
разветвлениях нашей конечной диаграммы). Пусть х±, . ¦ ., хп
суть элементы множества D, расположенные в порядке возраста-
возрастания. Тогда (#!, . . ., хпу будет ге-кой нашего искомого tt-условия
/(ж). Булева функция а задается следующим образом. Для каждо-
каждого (wu . . ., wny 6 In пусть Y = {xt | wi = 1}. Вычисляйте ф^(ж).
Если это значение есть 0, положим a{wi, . . ., wn) = 0; если выход
отличается от 0, положим a(wi, . . ., wn) = 1. Тогда
и
х 6 А =Ф-
Таким образом,
(х) =0 & Ысв{хг), . . ., св(хп)) = 0]
[ф«(ж) = 1 & «(сд^), . . ., св(хп)) = 1],
^tt -^ посредством функции /.щ
Эта теорема наводит на мысль о том, что сводимости могут
рассматриваться как „эффективные" отображения из 2N (семей-
(семейства всех множеств) в 2N. Мы еще вернемся к этому в § 9.7, 9.8
и 13.7.
Проблема Поста
Остался открытым следующий важный вопрос, касающийся
упорядочения по сводимости рекурсивно перечислимых множеств.
Существует ли множество, которое не рекурсивно и не Т-полно?
Эквивалентно: существуют ли более чем две рекурсивно пере-
перечислимые Т-степени? Эквивалентно: всякие ли два нерекурсивных
рекурсивно перечислимых множества должны быть одной и той же
Т-ртепени? Этот вопрос, поставленный Постом [1944] и известный
как проблема Поста, оставался открытым до 1956 года, когда
Мучник и Фридберг независимо и почти одновременно пришли
к его решению. Мы приведем решение в следующей главе.
Проблема Поста знаменательна в двух отношениях: A) она
касается многообразия структур, возможного среди нерекурсив-
нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств; B) она, следовательноТ
касается многообразия, возможного среди аксиоматизируемых
теорий и среди другого рода рекурсивно перечислимых проблем.
Все известные (до 1956 года) теории были =т К (в действительно-
действительности даже е=йГ). Если бы все теории были е=т К, то сводимость
к К (по крайней мере, Т-сводимость к К) была бы общим методом
доказательства неразрешимости аксиоматизируемых теорий.
Пост сам потратил значительные усилия на решение этой
проблемы. Как простые множества не могут быть ш-полными,
а гиперпростые множества tt-полными, так должен был бы суще-
§ 9.7. СВОДИМОСТЬ ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ 189
ствовать, по мнению Поста, специальный вид гиперпростых мно-
множеств, которые не могли бы быть Т-полными. Пост предложил
понятие гипергиперпростпого множества в. качестве возможного
кандидата такого рода.
Определение. Множество А гипергипериммунно, если А беско-
бесконечно и | C общерекурсивная функция/) [(Vw) [Wf(u) конечно &
&Wf(u) П Аф.01&(Чи)(Чи)[ифР^ТУПи) П Wf(v) = 0\l
{Это аналогично описанию гипериммунных множеств в теореме XV,
с р. п. индексами, фигурирующими вместо канонических индек-
индексов.)
Определение. Множество А гипергиперпросшо, если А рекур-
рекурсивно перечислимо и А гипергипериммунно • (см. в упр. 9-48 (Ь)
¦более простое определение гипергиперпростого множества, при-
принадлежащее Ейтсу).
Пост не доказал ни существования гипергипериммунных мно-
множеств, ни существования гиперпростых множеств, которые бы
не были гипергиперпросты. Ему не удалось показать, что гипер-
гиперпростое множество не может быть Т-полным (мы теперь зна-
знаем, что это и не так, см. ниже). Мы исследуем некоторые особен-
особенности гипергиперпростых и гипергипериммунных множеств
в упражнениях с 9-46 по 9-48. Далее в гл. 12 эти множества также
будут обсуждаться нами. Существование гипергиперпростых мно-
множеств является следствием теоремы Фридберга, приводимой
в гл. 12 (см. упр. 9-47). Существование гиперпростых множеств,
которые не гипергиперпросты, будет установлено в упр. 10-17.
Описание гипергиперпростых множеств в терминах ретрассируе-
мых множеств (см. упр. 9-44) дано в упр. 10-19. Ейтс построил
гипергиперпростое множество, которое Т-полно.
§ 9.7. СВОДИМОСТЬ ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
Введем теперь в рассмотрение техническое понятие, которое
тесно связано как с различными видами сводимости, изучавшими-
изучавшимися выше, так и с другими разделами теории рекурсивных функций.
Мы будем называть его при этом изложении „сводимостью", хотя
•оно, в некотором отношении, более емко, нежели наше основное
интуитивное понятие сводимости. Исследование его не будет
проводиться в соответствии с нашим исследованием других видов
сводимости. Называя его сводимостью, мы подчеркиваем естествен-
естественность того, что иногда затемняется при рассмотрении этого поня-
понятия и понятий, с ним связанных.
Пусть даны множества А та. В. Рассмотрим процедуру, которая
задается конечным набором инструкций следующим образом.
Начинается вычисление. Вычисление выполняется алгоритмиче-

190 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
ски, за тем лишь исключением, что время от времени требуется,
чтобы вычислитель получал „входное" число и, время от времени,
процедура выдает „выходное" число. Если затребован вход, может
быть подано любое натуральное число, может произойти и такое,
что никакого числа подано не будет. Предположим, что если
в качестве входов подаются элементы В в каком бы то ни было
порядке, то процедура всегда выдает в конечном итоге в качестве
выходов множество А в некотором порядке. Порядок, в котором
появляются элементы множества А, может меняться при измене-
изменении порядка входных значений. (Мы допускаем перестановки
в пересчете множества В и в пересчете множества ^4.) Если такая
процедура существует, мы скажем, что А сводимо по перечислимо-
перечислимости к В. Сформулируем это кратко, сказав, что А сводимо по
перечислимости к В, если существует эффективная процедура для
получения пересчета множества А из любого пересчета множе-
множества В.
Пример 1. Рассмотрим процедуру, которая запрашивает
вход и удвоенное входное значение выдает в качестве выхода;
запрашивает другой вход и т. д. Этой процедурой {2, 4} сводимо-
по перечислимости к {1, 2} и Е, множество четных чисел, своди-
сводимо по перечислимости к N.
Пример 2. Рассмотрим процедуру, которая не запрашива-
запрашивает никакого входного значения и перечисляет множество К в каче-
качестве выходных значений. Этой процедурой К сводимо по пере-
перечислимости к любому множеству.
Как может быть уточнено понятие сводимости по перечисли-
перечислимости? Один из способов описания этого понятия состоит в том,
чтобы определить подходящую модификацию машины Тьюринга.
Например, мы могли бы взять машину, которая пишет „S" наряду
с „1" и которая имеет две дополнительные операции / и О (для
„входа" и „выхода"). Если встретилась операция /, то за один
шаг внешнее устройство печатает или не печатает входное значе-
значение как цепочку единиц на отрезке ленты, который лежит справа
от всех непустых ячеек и обозреваемой машиной ячейки. Если
встретилась операция О, то за один шаг внешнее устройство
записывает на отдельном листе выходов общее число единиц,
находящихся на ленте. Конечно, заранее не ясно для данных
машины и множества входов, будет ли множество выходов менять-
меняться при изменении порядка входных значений 1). Более того, не
ясно без более детального исследования, что это описание с по-
помощью машины Тьюринга достаточно общо, чтобы охватить все
J) Как мы увидим из нашего окончательного определения, этой трудно-
трудности можно избежать введением дальнейших, довольно сложных (но равно-
равномерных) ограничений на машины.
§ 9.7. СВОДИМОСТЬ ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ 191
случаи сводимости по перечислимости, которые интуитивно допу-
допустимы.
Мы избежим этих трудностей, определив сводимость по пере-
перечислимости с помощью понятия частичнорекурсивной функции.
Наш подход к сводимости по перечислимости подобен в этом отно-
отношении нашему подходу к Т-сводимости.
Чтобы мотивировать наше определение, мы покажем, как к нему
приводит интуитивное понятие. Пусть дана процедура, которая
интуитивно сводит по перечислимости А к В. Рассмотрим все
конечные последовательности различных натуральных чисел.
Будем говорить, что число х вызывается последовательностью
(Уи • ¦ •> 2/й)> если эта процедура пишет х в качестве выходного
значения, после того как в качестве входных значений поданы у
по порядку г/i, . . ., yh, но прежде, чем затребовано какое-нибудь
ещё входное значение х). Проверяя по очереди все конечные после-
последовательности, мы можем рекурсивно перечислить множество
{(х, и) \DU состоит из элементов конечной последовательности
различных чисел, которая вызывает х}. Пусть это множество есть
Wz. Легко проверить, с учетом нашего предположения о том, что
множество А перечисляется вне зависимости от порядка, в кото-
котором появляется В, что
х ? А <=> (Эй) [ (х, и} е Wz & Ducz В].
Это приводит к нашему определению.
Определение. Множество А сводимо по перечислимости к В
(обозначение: А ^ В), если
( (Зи) [ (х, u)tWz & Du с B]\.
Множество А сводимо по перечислимости к В посредством z, если
(Эй) [{х, и) 6 Wz & Dua B]\.
Обратно, заметим, что любое z задает процедуру интуитивного
характера, описанного ранее. Эта процедура состоит в. сле-
следующем. Одновременно начинаем перечислять Wz и требовать
входы. Как только обнаружится, что в Wz уже появилось (х, и),
для которого Du содержится в множестве уже полученных вход-
входных значений и для которого х еще не было выдано как выходное
значение, добавляем х к выходному списку. Для любого данного
множества входов эта процедура порождает одно и то же множе-
множество выходов независимо от порядка, в котором предстает множе-
множество входов. Таким образом, любое z и любое В определяют един-
х) Могло бы случиться, что после у у, . . ., у^^, поданных в качестве
входов, никакое другое входное значение затребовано не было. В этом случае
никакое число не вызывается последовательностью yi, . . ., у^.

192 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
ственное множество А, такое, что А ^е В посредством z, именно
{х | (Ни) [(х, и) 6 Wz & Du a B\). Следовательно, каждое z
задает всюду определенное отображение из 2*^ в 2^. Мы назовем
такие отображения операторами перечислениях) и обозначим
оператор, соответствующий z, через Фг.
Определение. Фг (X) = Y, если Y ^е X посредством z.
Операторы перечисления являются аналогом, на уровне мно-
множеств, общерекурсивных функций. Они более просты, нежели
общерекурсивные функции в том отношении, что для них имеет
место теорема о нумерации, т. е. тем, что они обладают (опреде-
(определенной на N) гёделевой нумерацией.
Теорема XX. Если Фа1? суть операторы перечисления, то
композиция Ф*Р есть оператор перечисления.
х) Для рассматриваемого частного случая отображений 2^ в 2^ понятие
•оператора перечисления совпадает по объему с понятием (одноместной) вычис-
вычислимой операции (Успенский [1955]). Применительно к этому случаю общее
¦определение вычислимой операции конкретизируется следующим образом.
Пусть N* — множество всех конечных подмножеств натурального ряда N.
Графиком отображения г|) множества N* в 2N называется множество всех
таких пар' {D, х), что jD ? TV*, х ? N, х ? г|) (D); отображение ф называется
вычислимым, коль скоро его график рекурсивно перечислим (рекурсивная
перечислимость графика естественно определяется — например, при помощи
перехода к каноническим индексам конечных множеств). Отображение мно-
множества 2,w в 2^ называется вычислимой операцией, если во-первых, оно непре-
непрерывно относительно топологии, указанной в упражнении 11-35 (а), и, во-вто-
во-вторых, его ограничение на N* вычислимо.
В общем случае понятие Z-местной вычислимой операции строится следую-
следующим образом, с учетом того, что для любого множества X в 2 можно ввести
топологию способом, указанным в упражнении 11-35 (а). Рассматривается
введенное Гильбертом [1904] множество всех комбинаций символа I с самим
собой, всех комбинаций этих комбинаций и т. д. Это множество обозначается
через §; таким^ образом, § состоит из всевозможных выражений вида I, II,
III, ПН, (I) (II), (П)(Н)(П), (A)(П))(Н), ((Ш)A))A) и т. п. Натуральный
ряд N и его декартовы степени вкладываются в § в качестве подмножеств.
Обозначим через М* множество всех конечных подмножеств множества М.
Естественным образом определяется понятие рекурсивно перечислимого под-
подмножества множества §, а также понятие рекурсивно перечислимого под-
подмножества декартова произведения §* X ... X §• X §. Пусть М1, . . .
I раз
. . ., Mi — произвольные рекурсивно перечислимые подмножества множе-
множества §. Отображение ф произведения Mf X ... X М* в 2* называется
вычислимым, если рекурсивно перечислим его график, т. е. множество всех
таких наборов (Dt, . . ., Di, х), что х ? -ф (D±, • • ., D{). Отображение топо-
топологического произведения 2Mi X ... X 2 1 в 2^ называется Уместной
вычислимой операцией, если оно непрерывно и его ограничение на Мjf X . . ..
... X М* вычислимо. Описанный в начале настоящего примечания частный
случай получается из общего, если I = I, Mt = TV и отображение таково,
что все его образы принадлежат 2^. —Прим. ред.
% 9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 193
Доказательство. Немедленно следует из тезиса Чёрча.
Более строгое доказательство использует вторую теорему о про-
проекции. Мы опускаем детали.¦
В следующей теореме приведены некоторые основные струк-
структурные свойства операторов перечисления.
Теорема XXI. Пусть W есть оператор перечисления.
(a) А а В =*- Y(A) a W(B) („W монотонен").
(b) х е V(A) => CD) [D конечно &D а А & х 6 ?(?)] („W не-
непрерывен") (см. упр. 11-35).
Доказательство. Непосредственно вытекает из опреде-
определения сводимости по перечислимости. и
Применение операторов перечисления к однозначным множе-
множествам (и, следовательно, в силу соглашения § 5.3 к функциям)
ставит ряд интересных вопросов, которые будут рассмотрены
в § 9.8.
Определение. А =еВ, если А ^еВ и В ^еА.
ОбознАЧЕниЕ. Пусть г|) и ф суть функции. Мы употребляем для
т#) ^е т(ф) сокращение г|) s^e ф и для т(г|)) =е т(ф) сокращение
В литературе понятие ,,г|) частичнорекурсиена в ф" обычно опре-
определяется как совпадающее с гр ^е ф. Степени при упорядочении
по е-сводимости, т. е. классы эквивалентности Е==е, иногда назы-
называют функциональными степенями. Эти степени рассматриваются
далее в § 13.6.
Среди трех отношений „А рекурсивно в В", „А ^еВ" и „А рекур-
рекурсивно перечислимо в В" имеют место следующие импликации; ника-
никакие другие импликации места, вообще говоря, не имеют:
А рекурсивно в В =$-А рекурсивно перечислимо в В; А ^.еВ =$•
=Ф> А рекурсивно перечислимо в В.
(См. упр. 9-57») Остается случай, когда А и В — однозначные
множества. Например, г|) рекурсивно перечислимо в ф не влечет
за собой, вообще говоря, г|) ^е ф.
§ 9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Возникает целый ряд интересных вопросов, касающихся соот-
соотношения между операторами перечисления и однозначными мно-
множествами. Мы рассмотрим некоторые из них здесь, а позднее,
в § 15.3, предпримем дальнейшее их обсуждение.
Пусть оР — класс всех функций одной переменной. Ото-
Отображение подкласса класса & в 3> назовем функциональным
оператором. Каждая функция ф имеет соответствующее одно-
13—0506

194 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
значное множество т(ф), и каждое однозначное множество А
определяет функцию т^). Пусть таР — класс всех однозначных
множеств. Тогда т есть взаимно однозначное стандартное отобра-
отображение класса & на таГ1. Всякий функциональный оператор W
определяет отображение Г подкласса класса тсЯ в тоГ», где
Г = t^Ft, и каждое отображение Г подкласса класса тсЯ в xip
определяет функциональный оператор Ч1", где Ч1" = т~гТт.
Определение. Пусть Ф — некоторое (всюду определенное)
отображение класса 2N в 2N. Оно определяет отображение Ф%дъ
подкласса класса %оР в тоГ1 следующим образом:
(i) Arg Ф%до = ф-i (т&) п т?Р;
(ii) Фх<^> = Ф на области определения отображения Ф%^>.
(Таким образом, Ф^'есть] ограничение Ф на те однозначные мно-
множества А, для которых Ф(А) также однозначно.) Тогда Ф%^> в свою
очередь задает функциональный оператор W — т^Ф^т. Мы будем
говорить, что отображение Ф определяет функциональный опера-
оператор W.
Определение. W — частичнорекурсивный оператор, если
(i) W — функциональный оператор
и
(ii) для некоторого z Ф2 определяет W.
(То есть функциональный оператор есть частично рекурсивный
оператор, если он определяется оператором перечисления.)
«
Определение. Чг есть рекурсивный оператор, если
(i) W есть частичнорекурсивный оператор;
(ii) Arg Y = &>.
(То есть, иными словами, частичнорекурсивный оператор является
рекурсивным оператором, если он определяется оператором пере-
перечисления Фг,^ таким, что Фг(тсР) a xip.)
Пример 1. ХА[А] определяет рекурсивный оператор, тож-
тождественное отображение класса & на & г).
Пример 2. A,.A[iVJ определяет частичнорекурсивный опера-
оператор, область определения которого пуста.
Пример 3. Пусть т) — фиксированная частичнорекурсив-
ная функция. Отображение из З5 в «Р, задаваемое функцией
Яф[т)ф], есть рекурсивный оператор, то же можно сказать и об
отображении, задаваемом функцией Яф[фТ)].
Пусть вр — класс всех всюду определенных функций одной
переменной.
х) Мы здесь распространяем употребление ^-обозначений на множествен-
но-значные и функционально-значные выражения очевидным образом.
9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 195
Определение. ЧГ есть общерекурсивный оператор, если
(i) W есть частичнорекурсивный оператор,
(ii) & с: Arg ЧГ,
(ш) ЧГ(^) с= jr.
(Таким образом, частичнорекурсивный оператор является обще-
общерекурсивным оператором, если он определен на всех всюду
определенных функциях и переводит всюду определенные функции
во всюду определенные.)
Легко показать, что не всякий частичнорекурсивный оператор
может быть продолжен до рекурсивного оператора (упр. 9-64).
С другой стороны, следующая теорема показывает, что всякий
общерекурсивный оператор есть рекурсивный оператор.
Теорема XXII. Пусть ЧГ — частичнорекурсивный оператор.
Если & с: Arg W, то W — рекурсивный оператор.
Доказательство. Пусть Ф2 определяет W. Если Y не
есть рекурсивный оператор, то, согласно теореме XXI, должны
существовать множества А и D, такие, что А = Фг{р), D однознач-
однозначно и конечно, а А не однозначно. Но D может быть продолжено
до В (т. е. D <= В), такого что В = т(/) для некоторой (всюду
определенной) функции /. Согласно теореме XXI, А а Ф2(В) и,
следовательно, Фг(В) не однозначно, в противоречие с нашим
предположением о том, что sp с Arg W. щ
Следствие XXII. Всякий общерекурсивный оператор является
рекурсивным оператором.
Доказательство очевидно.щ
Перейдем к изложению фундументального результата настоя-
настоящего раздела, основной теоремы об операторах. Эта теорема по-
показывает, что если мы ограничимся рассмотрением входов из fp
(всюду определенных функций), то всякий частичнорекурсивный
оператор может быть продолжен до рекурсивного оператора.
Этот результат о частичнорекурсивных операторах противостоит
теореме 2-11 о непродолжимости всех частично рекурсивных
функций. Он имеет место равномерно и, следовательно, дает эф-
эффективный пересчет рекурсивных операторов на ер. Таким
образом, этот результат противостоит также упр. 2-9 о непере-
неперечислимости общерекурсивных функций.
Теорема XXIII (основная теорема об операторах). Существует
общерекурсивная функция а, такая, что для всякого z если Фг
определяет частичнорекурсивный оператор ЧГ, то Фа(г) определяет
рекурсивный оператор W ', обладающий свойством, что для вся-
всякой всюду определенной функции f f 6 Arg W =>¦ W(f) = W(f).
13*

196 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Доказательство. Мы приведем сначала интуитивные
доводы, а затем более детальную конструкцию. Из соображений
технической простоты путь, которому следует эта конструкция,
отличен от хода приводимых интуитивных рассуждений.
Интуитивные доводы. Если дан пересчет в некото-
некотором порядке всюду определенной функции, мы можем исследовать
принадлежность элемента к этой функции (см. следствие VI).
Значит, из любого пересчета множества т(/) мы можем получить
пересчет множества т(/) в стандартном порядке @, /@) >,
<1, /A)>, .... Применяя Ф2 к этому стандартному пересчету,
мы получаем множество Ф2(т(/)) в фиксированном порядке. Выход
Ф2(т(/)) может быть „униформизован" в соответствии с этим поряд-
порядком (как при доказательстве теоремы 5-XVI). Чтобы получить
ФоB), мы сначала устраиваем композицию трех операторов:
(i) преобразования входа к стандартному порядку, (ii) применения
Ф2, (ш) „униформизации" выхода (это задает корректно определен-
определенный оператор из тоЯ в тс^; а затем мы добавляем условие, что для
любого неоднозначного входа выходом должно быть N (выход,
таким образом, не зависит от порядка, в котором подаются вход-
входные значения, и мы имеем корректно определенный оператор
аз 2W в 2W с требуемыми свойствами).
Детальная конструкция. Пусть /" — фиксиро-
фиксированная общерекурсивная функция, фигурирующая в следствии
5-V (d). Пусть дано некоторое z. Рассмотрим множество Wz,
перечисляемое в стандартном порядке, порождаемом функцией
Ф/»B). Если v ? Wz, мы скажем, что и предшествует v в Wz, если
и ? Wz, и и встречается раньше v при этом стандартном порядке,
т. е. если Ф/»B)(м) существует и Ф7»(г)(") < 4>J"(z)(v).
Рассмотрим
(*) {({х, y),yt) \Dt однозначно & Cs) [Dt a Ds&
& (<z, У), s) e Wz & (Vs') (Vi/') [{(x, y'), s') предшествует
{{x, y), s) в Wz =^Dt \JDS не однозачно]]}.
Это множество, очевидно, рекурсивно перечислимо с р. п.
индексом, зависящим равномерно от г. Пусть о — общерекурсив-
общерекурсивная функция, такая, что Wa(Z) есть это множество. Остается
показать, что ФОB) обладает требуемыми свойствами. Докажем
прежде всего лемму.
Лемма, [({х, у), t) 6 Wa(z) & Dt cz Dtl & Dtl однозначно] =>
=*- <<*, у), *i> ewa(z).
Доказательство. Предположим, что множество Dti
однозначно, Dt cz Dh, ((x, y), t) 6 Wa(z) и <<*, у), П) ? WaM.
§9.8 РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 197
Обозначим через Ds множество, полученное из Dt согласно (*),
и через Ds> множество, полученное из Ds и Dtl согласно (*) (с tt
вместо t в (*)). Затем в силу (*) множество Z)S'|jZ)ti однозначно,
но DS'\jDt не однозначно. Это противоречит предположению
о том, что Dt cz Dtv и лемма доказана.
Мы теперь покажем, что ФО(г) определяет рекурсивный опера-
оператор. Предположим противное. Тогда для некоторого однозначного
множества А {{х, ух), ti) G Wa(z)&Dti cz A; ((x, y2), t2) G
€ Wa(z) &Dt2cz А и У\фуг- Пусть DSi получено из DH соглас-
согласно (*) (с Sj вместо s и tt вместо t), и пусть DS2 получено из Di2
согласно (*) (с s2 вместо «иB вместо t). Без потери общности мож-
можно предположить, что ({х, yt), U) предшествует {(х, у2), t2)
в Wz. Тогда, согласно (*), множество DH\}Dti не однозначно.
Так как DSi cz Dtl, Dt1[)Dt2 He однозначно. Но Dt^D^czA
и, следовательно, А не однозначно; пришли к противоречию.
Наконец, покажем, что если множество Ф2(т(/)) J) одно-
однозначно, то
Предположим, что дана функция / и множество Фг(^(/)) одно-
однозначно.
Тогда (х, »>€Фо(«)(т(/))=>C*)[<<*, У)' t)?Wa(z)&Dtcz
cz т(/)] =>¦ Cs) l((x, у), s) ?Wz&Dscz т(/)] (согласно (*))¦=>
=> (х, у) 6 Фг(т(/)). Обратно, пусть (х, у) 6 Фг(т(/))- Тогда долж-
должно существовать s, такое, что {(х, у), s) g Ws иВ,с x(f). Возь-
Возьмем первое такое s, появляющееся при „стандартном" порядке Wz.
Пусть S = {si, . . ., sft} = {s' | Cyr) l{(x, y'), s') предшествует
({x, y), s) в Wz]}. Так как Ф2(т(/)) однозначного Ds. ф t(f) A <
^ i ^ к). Определим Dt так, что Dt cz т(/) и Arg D t = Arg Ds U
h
U (U Arg Z)s.). Так как D$i ф т(/) A ^ i ^ к), имеем, что множе-
множество Ds. U Dt не однозначно A ^ i ^ к). Отсюда, согласно (*),
({х, у), t) 6 Wa(z). (Если S = 0, определим Dt = Ds и вновь
{(х, у), t) 6 Wa(z).) Таким образом, (х, у) ?Фа(г)Ы/))-
Это завершает доказательство теоремы, щ
Следующий вопрос основная теорема оставляет открытым.
Существуют ли функции г|) и ф, такие, что ф переводится в г|з ча-
стичнорекурсивным, но не рекурсивным оператором? Мы ответим
на этот вопрос утвердительно в § 13.6 (см. упр. 9-69).
В некоторой части литературы функциональные операторы
изучаются только как отображения из JF в <Р (а не как из сГ1 в сР).
При таком ограничении всякий частичнорекурсивный оператор
может быть продолжен до рекурсивного оператора (согласно
Напомним, что / — всюду определенная функция.— Прим. перев.

198 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
теореме XXIII — в самом деле, стройность, обеспечиваемая теоре-
теоремой XXIII, возможно, является главной причиной выбора такого
ограничения), а термин „частичнорекурсивный оператор" иногда
используется (когда нами употребляется термин ,.рекурсивный
оператор") применительно к отображениям из sp в оГ>, определен-
определенным на всем <р.
Мы теперь воспользуемся основной теоремой, чтобы устано-
установить взаимосвязь между функциональными операторами и различ-
различными видами сводимости, ранее рассматривавшимися.
Теорема XXIV. А рекурсивно в В <=> сА- ^е св.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
XXIII, мы приведем сначала интуитивные доводы, а затем деталь-
детальную конструкцию.
Интуитивные доводы. =*>. Предположим, что мно-
множество А рекурсивно в В. Любой пересчет множества св может
' быть использован для получения ответов на вопросы о принадлеж-
принадлежности множеству В, следовательно, для получения ответов на
вопросы о принадлежности множеству А и, следовательно, для
пересчета множества сА.
¦<=. Предцоложим, что сА ^е св и что у нас есть оракул для В.
С помощью оракула мы можем пересчитать св; тогда мы сможем
пересчитать сА и, используя этот пересчет, ответить на вопросы
о принадлежности множеству А.
Детальная конструкция. =4». Предположим, что А
рекурсивно в В. Тогда сА = фг для некоторого z. To есть
с а = «я, у) | (Эй) Cv) [(х, у, и, v) б
^ eWp(z)&Du аВ &Dvc=B]}.
Возьмем такую общерекурсивную функцию h двух переменных,
что
Dhlu,n = (#„ X {1}) U (D, X {0}).
Возьмем общерекурсивную функцию git такую, что
Wgi(Z) = {(w, t) | (Зх) (Зу) Cu) Cv) [w = (х, у) & t =
= h(u, v) & (x, у, и, v) б Wpiz)]}.
Тогда
(х, У) € сА <=> Ct) l((x, у), t) 6 WglB)&Dt a t(eB)].
Отсюда.сА ^е св посредством gi(z).
§ 9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 199
-<=. Предположим, что сА ^ е св посредством г. Тогда, соглас-
согласно теореме XXIII,
= ФО(»)(т(св)),
где Ф0(г) определяет рекурсивный оператор.
Пусть в — общерекурсивная функция, такая, что Wq(Z) =
= {<<*, У), О I <<^, У), t) 6 Wo(z)&Dt cz N х {0, 1}}.
Множество W'ecz) является бесконечным. Далее, пусть
{(#i> ух), ti), {{х2, у г), t2), . . . —эффективный пересчет эле-
элементов Wq(Z). Согласно лемме из доказательства теоремы XXIII,
«ели ((х, у), t) б Wa(z), то {(х, у), t') 6 Wa(z) для всех t',
таких, 4ToDt a Dt- и Dt> однозначно. Мы зададим инструкцию
для нового эффективного пересчета (без повторения) множества
следующим образом.
Этап
к этапу 2.
1. Поместите в пересчет
, y^), ti). Перейдите
Этап п. Поместите в пересчет ((#„, уп), tn), а затем пере-
перечисляйте ((#„, уп), t') для всех t', таких, что Z)(n с: Df, Dt- a
п
d N X {0, 1}, KvgDf = U ArgZb и Dy однозначно. Затем
перейдите к этапу п + 1.
Мы обозначим следующие один за другим элементы этого нового
пересчета множества We(z) через {{х\, у\), t[), {{x'2, y'2), t'2), ....
Пусть ht и h2 — общерекурсивные функции, такие, что
Db^u = {х | {х, 0)?Dt}.
Пусть С = {{х, у, и, v) | Ct) 1{(х, у), t) б W%{z) &u = ht(t) &
¦&.V = h2(t)]}. Рассмотрим эффективный пересчет С: {х[, у[, и[, v\),
(х'2, у'г, «;, v'2), . . ., где и\ = Aj(fi)H v\ = h2{t\) (i = 1, 2, . . .).
Заметим, что все четверки в этом пересчете совместны (т. е. Du> f)
П Dv> = 0). Воспользуемся этим пересчетом, чтобы получить
эффективный пересчет некоторого подмножества С* множества С
следующим образом.
Этап 1. Поместите (х[, у[, и[, v[) в С*. Перейдите к этапу 2.
Этап п. Проверьте, выполняется^ ли (Зу) (Зи) Cv)
х'п, у, и, v) уже помещено в С* и (х'п, у'п, и'п, v'n) согласовано
с (х'п, у, и, v) (т. е. Du' П Dv = Dv- {] Du = 0)]. Если выпол-

200 ГЛ. 9- СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
няется, переходим непосредственно к этапу п + 1. Если нет,
помещаем (х'п, у'п, и'п, v'n) в С*, а затем переходим к этапу п + 1.
Очевидно, множество С* рекурсивно перечислимо и индекс
его равномерно зависит от z. Пусть g2 — общерекурсивная функ-
функция, такая, что Wg^Z) = С*. Остается показать, что сА = фв ..
Заметим сначала, что из построения С* по С следует регуляр-
регулярность С*. Отсюда, согласно теореме II, Wg2(z) = Wpgz{zy Если
(х, у) € 4>gizy то Для некоторых и и v (х, у, и, v) 6 ^§2B) &
& Du а В & Dv cz В. Тогда по построению ({х, у), t) 6 Wa(Z) &
&Dt cz т(св), где и = А^) и г; = А2@- Следовательно,
<*, У) 6 Фа(«) (т(св)) и <*, у> 6 сА.
Обратно, предположим (х, у) g сл. Тогда ((х, у), t) 6 Wa{z) &
&Dt cz т(св) для некоторого t. Следовательно, существует этап п
в процедуре пересчета Wq(Z), используемой выше, на котором
((^. У), ?) было помещено в Wq{z); здесь х = хп, у = уп, Dt a Dr,
п
Dt'<=T(cB) и AvgDf = U AvgDu. Пусть этот (<ж, г/}, t'>
является тп-м элементом пересчета множества l^7e(z)- Тогда
({Хт, у'т), t'm) = {(х, у), t'),
т
AvgDt. = U ArgD ,.
Если (х'т, у'т, u'm, v'm) было помещено в С* на этапе т, то
(я, у, и'т, v'm) ?Wpg^z) &Du, а В & Dv> cz В, следователь-
следовательно, {x, у) 6 4>g2(z)- Если (х'т, у'т, u'm, v'm) не было помещено в С*
на этапе т, то должно существовать q<im, такое что (х'д, у'д, и'ч, v'q)
было помещеко в С* на этапе q, x'm = x'q и <Жт, J/m, «m, ^т> согла-
согласовано с (Xq, y'q, u'q, v'q). Эта согласованность вместе с условием
т
AvgDf — U Arg D,> влечет за собой включения D > cz D >
ft=i 'ft uq um
и Dv'q czDvm- TeM самым <Жд, y'q) = {x, у'д) €ф^2(г). Отсюда,
согласно предыдущему параграфу, (я, у'%) ?сА. Следовательно,
y'q = у, и мы имеем (я, i/) 6 ф? B)> что и требовалось.и.
Следствие XXIV. Для любых всюду определенных функций f
и g f рекурсивно в g <=> / <е S-
Доказательство. См. упр. 9-65.в
Теоремы XX и XXIV вместе дают еще одно доказательство
транзитивности отношения ^т.
§ 9.8. РЕКУРСИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 201
Сводимость по перечислимости порождает упорядочение по-
сводимости семейства всех множеств (см. упр. 9-56). Согласно-
теореме XXIV, упорядочение по Т-сводимости изоморфно подупо-
рядочению упорядочения по е-сводимости; этот изоморфизм полу-
получается идентифицированием Т-степени множества А с е-степенью
сА. Является ли это подупорядочение полным упорядочением по-
е-сводимости? Эквивалентный, вопрос (см. упр. 9-61), существует
ли для всякой функции г|з всюду определенная"функция /, такая,
что f ==е !|)? Мы ответим на этот вопрос отрицательно в § 13.6-
(см. упр. 9-70).
Следующее описание сводимости по Тьюрингу очевидно.
Теорема XXV. А ^^В <=?> существует рекурсивный оператор?,
переводящий св в сл.
Доказательство. Следует из теорем XXIII и XXIV. в
Если одна характеристическая функция переводится в другую
рекурсивным оператором, должна ли она переводиться в нее
общерекурсивным оператором? Следующая теорема отвечает на
этот вопрос отрицательно, показывая, что существование обще-
общерекурсивного оператора совпадает с tt-сводимостью. Эта теорема
является усилением теоремы XIX.
Теорема XXVI (Нероуд). A ^tt В <=> существует общере-
общерекурсивный оператор, переводящий св в сА.
Доказательство. =4». Согласно теореме XIX, суще-
существует z, такое, что сА = (pf & (VX) [ф* есть характеристическая
функция]. Возьмем Ф/?.^), как в доказательстве теоремы XXIV.
Пусть Ф — оператор перечисления, который определяет рекур-
рекурсивный оператор W, такой, что
Г 1, если ср(х) > 0;
№(ф)] (х) = < 0, если ф(*) = 0;
I не определено, если ср(х) не определено.
Тогда Ф)?(г)Ф определяет искомый общерекурсивный оператор.
-$=. Пусть Ф2 определяет данный общерекурсивный оператор.
Возьмем g2 как при доказательстве теоремы XXIV; тогда сА =
= фв . и для всех X функция g* (z) всюду определена. Отсюда,
согласно теореме XIX, А ^и#-ш
Следствие XXVI (a). A <tt В <=> существует общерекурсив-
общерекурсивный оператор, переводящий характеристические функции в харак-
характеристические, который переводит св в сА.
Доказательство. Вытекает из построения для части ,,=ф'*
теоремы.

202 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
Следствие XXVI (Ь) C/) Cg) If переводится в g рекурсивным
оператором, но{ не переводится в g общерекурсивным оператором].
Доказательство. Вытекает из теоремы 1.а
Другие изучавшиеся до сих пор виды сводимости соответствуют
определенным типам рекурсивных операторов: A ^i В <=> [сА —
— cBf для некоторой взаимно однозначной общерекурсивной функ-
функции /]; А^.тВ <=> [сА = cBf для некоторой общерекурсивной
функции/].
В § 13.6 и 15.3 мы займемся некоторыми топологическими
аспектами теории операторов и рядом других вопросов, возни-
возникающих в связи с операторами.
3 9.9. УПРАЖНЕНИЯ
§9.1
9-1. Пусть множество К — такое же, как в § 9.1. Является ли К рекур-
рекурсивно перечислимым?
9-2. Покажите, что К <; 1К.
9-3. Пусть К* = {х | (Эу) [<рх(х) = у & tt-условие у не выполняется
та К]}. Какие отношения сводимости имеют место между К и К* ? Выпол-
Выполняется ли?* <tt^?
§9.2
9-4. Покажите, что множество Wh(z), определенное как в § 9.2, регулярно.
9-5 (Блюм). Покажите, что множество А рекурсивно перечислимо и ре^
гулярно =Ф Cz)[4 = ТУЙB)]. (В рамках этого упражнения каждое Р'г может
Ч5ыть идентифицировано с соответствующим эффективным способом порожде-
лия диаграмм.)
9-6. Пусть дано А. Покажите, как найти z, такое, что ер^ = сА.
9-7. Предположим, что для всякого А функция я|) 4-частичнорекурсивна.
.Должна ли она быть частичнорекурсивной?
§9.3
9-8. Покажите, что КА рекурсивно перечислимо в А.
Д9-9. (а) Покажите, что отношение „А рекурсивно в В" транзитивно. (Над
этим утверждением следует подумать до чтения § 9.4. Оно вновь появляется
в качестве упр. 9-14.)
(Ь) Покажите, что отношение „А рекурсивно перечислимо в В" не транзи-
транзитивно. (Указание. Используйте 0, К и К.)
Д9-10. Опровергните следующее предположение: [А не рекурсивно
.& (ЧВ)[А рекурсивно в В <=> А рекурсивно перечислимо в В]] =ф. (Э/)[4 =
— т(/I (Указание. Найдите (неконструктивно) множество А, такое, что А
зшмунно и (\/ж)[2а: ? А или 2а; + 1 ?А, но не одновременно]. Докажите
и используйте тот факт, что (Э/)[С ез т(/)] =#> С- не иммунно.)
9-11. Покажите, что множество КА максимально относительно 1-сво-
димости среди всех множеств, рекурсивно перечислимых в А.
9-12. Сформулируйте и проверьте релятивизованные варианты теорем
5-1II и 5-1V.
9-13. Пусть А фиксировано; обсудите существование трех типов А-про-
<стых множеств, упомянутых в § 9.3.
§ 9.9. УПРАЖНЕНИЯ 203
§9.4
9-14. Проведите строгое доказательство транзитивности, намеченное
в теореме XII. Покажите, что тразитивность равномерна (в соответствующем
подходящем смысле).
9-15. (а) Покажите, что всякая Т-степень содержит ы0 множеств.
(Ь) Покажите, что всякая Т-степень имеет самое большее щ Т-степеней,
предшествующих ей при упорядочении по Т-сводимости.
9-16. Покажите, что семейство {А \А г=Гт.В} образует (при любом В)
булеву алгебру.
9-17. Покажите, что для всякой Т-степени существует бесконечная после-
последовательность Т-степеней, ее превосходящих, линейно упорядоченных отно-
относительно =^т по типу натуральных чисел @, 1,2, . . .). (Указание. Восполь-
Воспользуйтесь теоремой X и упр. 9-11.)
9-18. (а) Пусть d есть Т-степень. Верно ли следующее: d имеет максималь-
максимальную 1-степень <=> d имеет максимальную т-степень <=> d имеет максималь-
максимальную tt-степень?
(Ь) Покажите, что К обладает следующими свойствами: для всякой рекур-
рекурсивно перечислимой степени d существует рекурсивное множество А, такое,
что К П АIлежит в d. (Указание. Используйте Ко.)
Д9-19. Покажите, что В рекурсивно перечислимо в А <=> [(Э/)[т(/) =т
*=ч;А & В = Val /] или В имеет менее двух элементов].
Д9-20. Пусть дано А, такое, что К г^т^- Пусть В =• А ф А, и пусть
С = {х | фя(ж) определено & фя (х) (J В}. Покажите, что А ^С, С ^^А,
но С ^А,
Д9-21. (а) Покажите, что А ^ цВ <=> C общерекурсивная функция /)
C общерекурсивная g) (Vz) [[x 6-4 <=> (Эй) Cv)[(u, v) 6-Dy(a) &-D_u c-
czB &.DvcB]] L[x §A <^> Cu)Ci;) [<u, v) ?Dg(x)&.DucB &.DvcB]]}.
(b) Покажите, что A ^^B <=^ C общерекурсивная /) C общерекурсив-
на? функция g) (Va:)[[a: ?A <=> (Зм)(Эу)[(ц, v) 6 Wf(x) &2?u_c=B &,DV <=
cB]]8c[x§A OCu) Cv)[(u, v) e Wg<x) &.DU а В & Dv czB}]].
Д9-22. Пусть А шВ рекурсивно перечислимы. Покажите, что А^^В
(Эа;)[4 = Wx] <^> C общерекурсивная функция /) (Vx)[x ^ A
Wf(x)&.Dy
В]}.
§9.5
9-23. Покажите, что А гипериммунно =ф А иммунно.
9-24. Выясните, является ли множество S* теоремы 8-VIII гиперпростым.
9-25. Покажите, что конструкция теоремы Деккера равномерна в следую-
следующем смысле: C общерекурсивная функция g) (Vz) [Wx не рекурсивно =Ф
=Ф[ТУё(Ж) гиперпросто & Wg(x) ^ tt^K & Wx ^т Wg(X)]]. Что можно ска-
сказать о WgtX), если Wx рекурсивно?
- Д9-26. (а) Определим.максимальное множество как в упр. 8-40. Покажи-
Покажите, что А максимально =ф А гиперпросто.
(Ь) Покажите, что g11? gi2 и gj3 лежат вдоль „спектра" из § 8.7 (см.
также упр. 8-46), установив, что если А ^ 4В, то (i) В просто =Ф А просто;
(п) В гиперпросто =ф А гиперпросто и (ш) В максимально ==> А максимально.
9-27. Пусть / общерекурсивна и взаимно однозначна. Исследуйте f(A)
и f-ЦА) для гиперпростого множества А и для гипериммунного множества А.
9-28 (Пост). Получите следующее описание гипериммунных множеств.
Теорема. А гипериммунно <=> А бесконечно w | C общерекурсивная функ-
функция /) [(Vu)[D^(tt) Р) А Ф 0] & (Vz) (Зц) [всякий элемент из ?>/(и) больше,
чем z]].

204 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
9-29. Воспользовавшись неконструктивным' диагональным методом,,
покажите, что существует множество А, такое, что А и А гипериммунны.
9-30. Покажите, что существует множество А, 'такое, что А и А иммунны,
и такое,-что А =д;т К. (Указание. Покажите, что конструкция из теорем»
8-Ш эффективна, если только есть оракул, который может решить любой
случай проблемы остановки, т. е. оракул для К.) '
Д9-31. "(а) Покажите, что (ЗА) [А и ~А иммунны и А =т К]. (Указание.
Модифицируйте конструкцию из упр. 9-30 так, чтобы А кодировало (напри-
(например, мощностью своих пробелов в порядке возрастания) информацию о при-
принадлежности множеству К.)
(Ь) Покажите, что (ЧВ)[К ^т В =Ф (Э^4)[4 и А иммунны и А =т В]].
9-32. Проделайте упр. 9-30 с заменой „иммунный" на „гипериммунный".
(Указание. Воспользуйтесь конструкцией из упр. 9-29; последуйте указанию-
из упр. 9-30.)
Д9-33. Проделайте упр. 9-31 с „гипериммунным" вместо „иммунного".
(Указание. Как в 9-31.)
9-34 (Деккер). Пусть А и В гиперпросты. Пусть С — любое рекурсивно
перечислимое множество. Покажите, что
(i) А П-В гиперпросто;
(ii) A U С гиперпросто или коконечно.
Отсюда заключите, что семейство гиперпростых или коконечных мно-
множеств образует дуальный идеал в решетке рекурсивно перечислимых мно-
множеств (о понятии дуального идеала см. § 12.1).
9-35. Пусть А — произвольное множество. Покажите, что существует
множество, которое .4-иммунно, но не гипериммунно. (Указание. Релятиви-
зуйте теорему 8-П.)
Д9-36. Докажите существование гиперпростого, но не максимального'
множества. (Указание. Пусть А гиперпросто. Определим / так: / Bх) = 2х +
-f- 1 и/Bа: + 1) = 2х. Покажите, что f(A) f| А гиперпросто, но не максималь-
максимально; см. упр. 9-34.)
9-37. Определите для любого множества А: ид (х)=[мощность множества
А П {0, 1. • • •, х}\. Определите А ^&В („В не менее густо, чем А"), если
C общерекурсивная функция /) (Чх)[п~а (x) ^.ng (f(x))].
(i) Покажите, что ^д задает частичное упорядочение.
(ii) Существует максимальная „степень" при этом упорядочении. Какие
множества ей принадлежат?
(iii) Пусть А гипериммунно. Пусть р ? A n q$A. Покажите, что-
A U {?} «std--4 и А 4^&А — {р}> в то время как А — {р} ^.dA ^A [j {q}.
9-38 (Тенненбаум). Определите d(A, f) (густоту А относительно fy
как lim inf (-^2-) , где ап мощность множества [{0, 1, . . ., п} ("| f~4A)]~
(i) Покажите, что А гипериммунно =ф (V общерекурсивная взаимно одно-
однозначная функция /) [d(A, f) = 0].
(ii) Покажите, что [/ общерекурсивна & А \ гипериммунно &.d(A, /) >-
> 0] => (Зх)[х 6 А & d({x}, f) > 0].
§ 9.6
9.39. Должно ли всякое нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
множество, которое не tt-полно, быть гиперпростым?
9.40. Пусть J — множество всех конечных последовательностей нулей
и единиц. Пусть а и Ъ обозначают элементы из С/'. Определим а ^ Ь, если а
является начальным отрезком Ь. Это дает частичное упорядочение множества
J. При этом упорядочении С/ иногда называют бинарным деревом. Оно>
§ 9.9. УПРАЖНЕНИЯ 205
может быть изображено в виде диаграммы следующим образом:
<$Р называется поддеревом дерева J, если <5° С J и (Ча)[а 6 <SP =Ф {Ъ \ Ъ <
< о} С <5°]. Пусть g> — любое поддерево; максимальное линейно упорядо-
упорядоченное подмножество множества ?р назовем его ветвью.
(a) Докажите следующую основную теорему о компактности для деревьев.
<Она иногда называется теоремой о веере или Endlichkeitslemma; она
может "рассматриваться как вариант в теории графов теоремы Больцано —
Вейерштрасса для замкнутых интервалов числовой прямой.)
Теорема. Если поддерево дерева 3 не имеет, никакой бесконечной ветви,
то это поддерево конечно.
(b) Докажите или опровергните следующее утверждение: если каждый
элемент поддерева содержится в конечной ветви этого поддерева, то это под-
поддерево конечно.
9-41. Рх есть машина Тьюринга с индексом х (см. § 1.8). Она может быть
применена к входным лентам, отличным от лент специального вида ...ВВП...
..ЛВ... (которые использовались нами (§ 1.5) для задания входных значений
при нашем основном описании частично рекурсивных функций). Входную
ленту назовем конечной, если все ее, кроме конечного числа, ячейки пусты;
в противном случае лента будет называться бесконечной. (Таким образом,
лента конечна или бесконечна в зависимости от того, содержит ли она
конечное или бесконечное число единиц.)
A(i) Предположим, что начальным состоянием всех машин Тьюринга
является q0. Покажите, что {х\ для всех входных лент (конечных или бесконеч-
бесконечных) и для всех начальных конфигураций машина Рх заканчивает работу} рекур-
рекурсивно перечислимо. (Указание. Воспользуйтесь теоремой о веере, упр. 9-40.)
^(ii) Предположим, что начальным состоянием всех машин Тьюринга
является q0. Покажите, что {х | для всех конечных входных лент и для всех
начальных конфигураций машина Рх заканчивает работу} не рекурсивно
перечислимо и не имеет рекурсивно перечислимого дополнения. (Указание.
Покажите, что как К, так и К m-сводимы к этому множеству.) .
(iii) Заключите из (i), что {х | для всех входных лент, всех начальных кон-
конфигураций и всех начальных состояний машина Рх заканчивает работу}
рекурсивно перечислимо 1).
9-42. См. упр. 9-40. Пусть Cf* — множество всех конечных последова-
последовательностей натуральных чисел. Пусть а и 6 обозначают элементы из Cf*.
Скажем, что a^Jb, если'а есть начальный отрезок последовательности Ъ.
При этом упорядочении Cf* иногда называют функциональным деревом.
Определите поддерево и ветвь, как раньше.
(i) Имеет ли место Endlichkeitslemma для ,7*?
Д(п) Покажите, что (в качестве частичного упорядочения) Cf* может
быть вложено в Cf.
1)Хупер [1966] показал, что это множество нерекурсивно.

206 ГЛ. 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
9-43. Объясните, почему в доказательстве теоремы XVIII t\ и t'j должны
иметь различные производные истинностные таблицы, если i ф j и 2^ f) A =
= Tj n л.
9-44. (Деккер, Майхилл, Тенненбаум). Определим: А ретрассируемь^
или прослеживаемо, если C частичнорекурсивная функция яр) (Vx)[x ? 4 =ф
=ф [ty(x) определено; ty(x) = ж, если ж есть наименьший элемент из А; и -ф(гс) =
ближайший меньший элемент из А), если х не есть наименьший элемент А]].
Покажите следующее:
(i) [А ретрассируемо & В zd A & В бесконечно] =ф А =^т В.
(ii) А ретрассируемо =Ф 4 рекурсивно или иммунно.
Д(ш) [А ретрассируемо &.А рекурсивно перечислимо] =^> А рекурсивно
или гипериммунно. (Указание. Произведите для каждого сегмента {0, . . ., п\
вычисления, которые (а) порождают единую прослеженную цепь, а также-
(Ь) помещают все элементы, не принадлежащие этой цепи, в А.)
/\(iv) Существует множество, ретрассируемое, но не рекурсивное и не-
гипериммунное. (Указание. Рассмотрите бинарное дерево (упр. 9-40), раз-
размеченное следующим образом:
Каждая ветвь задает ретрассируемое множество. Никакая ветвь не ги-
периммунна.)
Д(у) Существуют множества, которые гипериммунны и ретрассируемьи
(Указание. Используйте функциональное дерево упр. 9-42.)
A(vi) Множество В, конструируемое в теореме XVI (теорема Деккера),.
имеет ретрассируемое дополнение.
/\(vii) (Ейтс). Если А рекурсивно перечислимо, то [А ретрассируемо-*^'
<=> C общерекурсивная /) [А = {х | Aу)[у > х & j(y) ^ f(x)]}]]. (Указание.
См. указание для (ш) выше.) Эта теорема представимости является частич-
частичным обращением утверждения (vi). Из упр. 10-19 следует, что не всякое гипер-
гиперпростое множество имеет ретрассируемое дополнение.
(viii) Покажите, что свойство множеств содержать бесконечное ретрас-
ретрассируемое подмножество рекурсивно инвариантно. (Мак-Лохлин показал, что
свойство ретрассируемости не есть рекурсивный инвариант.)
(ix) Определить: А регрессивно, если существует некоторый пересчет
множества А (не обязательно эффективный) без повторений, такой, что
C частичнорекурсивная я|)) (Ух)[х ? А =ф [ty(x) определено; i\>(x) = х, если х
есть первый элемент этого пересчета, и ty(x) непосредственно предшествует х
в пересчете, если х не есть первый элемент пересчета]]. Покажите, что суще-
существует регрессивное множество, которое не ретрассируемо.
(х) Покажите, что А содержит бесконечное регрессивное подмножество
•<=> А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество. (О дальнейших
результатах, касающихся ретрассируемых и регрессивных множеств, см.
Деккер [1962] и Аппель и Мак-Лохлин [1965].)
§ 9.9. УПРАЖНЕНИЯ 207
jA9-45. Введем слабую табличную сводимость (<[w) следующим определе-
определением, которое легко может быть уточнено: А ^.-^ В, если Cz)(c^. = ф^
и C общерекурсивная /) (V^H-D/o*) содержит все числа, принадлежность
или непринадлежность которых множеству В используется при вычислении
<pf(x)] (см. рассуждение § 9.1).
(i) Покажите, что К ^ ftB &. A *^WB =^> A ^ #В. (Указание. Для
tt-сведения А к В установите, используя К, какая'комбинация вопросов о В-
делает процедуру w-сведения завершающейся.)
(ii) Установите с помощью теоремы I, что =g;w отличается от =SZT.
(iii) Покажите, что w-полнота отличается от Т-полноты. (Указание^
Покажите, что vf-полное =Ф не гиперпростое.) Лахлан [1965] показал, что-
^w и ^tj различаются на рекурсивно перечислимых множествах.
9-46. Покажите при помощи неконструктивного диагонального метода,.
что. гипергиперпростые множества существуют.
9-47 (Фридберг). Пусть А — максимальное рекурсивно перечислимое
множество (упр. 8-40). Покажите, что .4-гипергиперпросто.
Д9-48 (а) (Пост). Покажите, что не существует множества А со следующим
свойством: А рекурсивно перечислимо и А бесконечно и ~1(Э общерекурсив-
общерекурсивная /) [(Vtt)[Wy(tt) конечно & Wf(U) Л А Ф 0] & (Vn)Cu) [ каждый эле-
элемент Wf(V) больше п]]. Таким.образом, для гипергиперпростых множеств
аналог упр. 9-28 не имеет места.
(Ь) (Ейтс). Покажите: А гипергиперпросто^^А рекурсивно перечис-
перечислимо и А бесконечно и C общерекурсивная /) [(Vu)[H^(tt) [\ А ф-
ф 0] & Du)Dv)[u фи=$ Wnu) П Wf(v) = 0]]].
9-49. Для_ любого А пусть А* ¦= {х | Cu)Cv)[{u, v) ?DX&DU с:
czA &.DV czА]}. Покажите, что А* = Att.
Д9-50. Упр. 9-21 и 9-49 подсказывают следующий подход к вопросу
о Т-цилиндрах. Определим: АТ = {х \ Cu)Ci;)[(a, v) 6 Wx & Du с:
с А &. DVCZ А]}. Покажите, что (i) -4T рекурсивно перечислимо в А',
(ii) A ^iA; (iii) ATs?TA.
(Указание. Покажите, что АТ = КА, где КА, как в § 9.3.)
Таким образом, эта попытка получить аналоги теорем 7-VIII и 8-1X7
успеха не возымела. Мы не получим А ^1ВТ=$А ^ТВ. (Возьмите А =В^.)>
^9-51. См. упр. 9-50. Покажите, что А г^т^ ¦^=i* -^ T ^i-BT- Это дает изо-
изоморфизм из Т-упорядочения в 1-упорядочение (хотя образ Т-степени не лежит
в этой Т-степени). Этот результат будет доказан в гл. 13.
9-52. Покажите, что не существует максимальной Т-степени.
^9-53. Назовем множество А \/Э-множеством, если А = {х \ (Vjr)Cz)
R(x, у, z)} для некоторого рекурсивного отношения R. ЗУ-множества
определяются подобном образом. Покажите, что А есть как 3V-, так и
V3- множество <=> А ^^К,
^9-54. Покажите, что {х \ Wx конечно) есть ЗУ-множество и что
{х | Wx конечно) = Кк. Это решает проблему, оставленную открытой Пос-
Постом [1944]. В гл. 14 мы рассмотрим общий метод подхода к таким проблемам.
^9-55. (Тенненбаум). Определите A ^qB, если C общерекурсивная
функция /) (Vx)[x (J А <=?• И^(Ж) [) В Ф 0]. Покажите, что ^q не совпадает
с г^т на рекурсивно перечислимых множествах (см. уцр. 9-22). (Указание.
Возьмите А и В, как в упр. 8-39. Пусть С — простое множество, такое, что
С ^т-4 (по теореме Деккера). Предположите, что С ^qA посредством /,
и получите противоречие, рассматривая {х | Wf(x) f] В Ф 0)vi {х \

208 ГЛ. 9 СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПВРПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА
=e т(ф)].
U =е т(/)] => (ЗВ)[А ^е <св)]] (СР- УПР- 90)-
В, если C общерекурсивная /) (V*)[a: ? A <=>
§9.7
9-56. (а) Покажите, что ^е рефлексивно и транзитивно.
(b) Покажите, что упорядочение по е-сводимости образует полурешетку.
(c) Существует ли минимальная степень? Если да, то какова она?
9-57. Рассмотрите три отношения: А рекурсивно в В, А ^.ф и А рекур-
рекурсивно перечислимо в В.
(i) Установите импликации, всегда имеющие.место.
A(ii) Для импликаций, которые места не имеют, приведите контрпримеры.
{Указание. Возьмите К и 0; К и К; Кк и К.)
9-58. Пусть ЧГ — оператор перечисления. Какие отношения включения
должны иметь место для следующих пар:
чг(А и в), v(A) и чг(Д); W П в), v(A) n »(»)?
9-59. Покажите, что А рекурсивно перечислимо в В <=> А г=Сет(еп1.
9-60. Пусть А и В рекурсивно перечислимы. Покажите, что А ^ТВ
<=> А =^е В.
9-61. (а) Покажите:
(Ь) Покажите:
9-62. Определите: А
(i) Опишите s-стецени рекурсивно перечислимых множеств.
(ii) Покажите, что s-сводимость =Ф е-сводимость, но не обратно.
<Упр. 9-55 и 9-61 показывают,] что s-сводимость отличается от е-сводимости
нетривиальным образом.)
§9.8 ,
9-63. (а) Приведите пример рекурсивного оператора, который не является
¦общерекурсивным оператором.
(Ь) Могут ли два различных оператора перечисления определять один
и тот же частичнорекурсивный оператор?
9-64. Определите отображение ЧГ посредством
*({<0, 0)}) = «0, 0)}; *({<1, 0») = «0, 1)}.
Покажите, что ЧГ может быть продолжено до частичнорекурсивного операто-
оператора, но не до рекурсивного оператора.
9-65. Докажите следствие XXIV.
9-66. Выясните, рекурсивны ли следующие множества:
(i) {z | Ф2 определяет рекурсивный оператор};
(ii) (z | Фг определяет общерекурсивный оператор};
(iii) {z | частичнорекурсивный оператор, определяемый Ф2, может быть
продолжен до общерекурсивного оператора}.
Д9-67. Пусть % — класс операторов перечисления. Покажите, что
{х I Ф* 6 %} рекурсивно тогда и только тогда, когда % пусто или g состоит
из всех операторов перечисления (ср. с упр. 2-39 (а)).
^9-68. (а) Пусть % — класс частичнорекурсивных функций. Сформули-
Сформулируйте и докажите аналог теоремы Раиса — Шапиро, приводимой в упр. 5-37.
(Ь) Пусть % — класс операторов перечисления. Сформулируйте и дока-
докажите аналог теоремы Раиса — Шапиро, приведенной в упр. 5-37.
^9-69. Покажите, что если г|) <[е ф, то может и не существовать рекурсив-
рекурсивного оператора, переводящего ф в г)).
^9-70. Воспользовавшись результатом упр. 9-69, покажите, что существу-
существует ф, такое, что для всех всюду определенных функций / ф^е/. (Отсюда, со-
согласно упр. 9-61, образ упорядочения по Т-сводимости в упорядочении по
е-сводимости (задаваемый теоремой XXIV) есть собственное подупорядочение
упорядочения по е-сводимости.)
Глава 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА;
НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 10.1. Конструктивные подходы 209
§ 10.2. Фридбергово решение 212
§ 10.3. Дальнейшие результаты и проблемы 217
§ 10.4. Неотделимые множества произвольной рекурсивно пере-
перечислимой степени 220
¦§ 10.5. Теории произвольной рекурсивно перечислимой степени 222
§ 10.6. Упражнения 226
§ 10.1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОДХОДЫ
Для всякого множества А пусть &т{А) есть Т-степень А. Про-
Проблема Поста состоит в следующем: существуют ли рекурсивно
перечислимые Т-степени, отличные от <1т@) и от <1т(^), т. е.
существуют ли рекурсивно перечислимые множества, которые
не рекурсивны и не полны? Поскольку dr@) минимальна,
a dx(^) максимальна среди всех рекурсивно перечислимых Т-сте-
пеней, эта проблема может быть сформулирована следующим
образом: существует ли промежуточная между &т@) и Aт(^)
рекурсивно перечислимая Т-степень? Нечто, относящееся к исто-
истории и значению проблемы Поста, уже обсуждалось в § 9.6.
В этой главе мы решим проблему Поста, показав, что суще-
существуют несравнимые (относительно ^т) рекурсивно перечислимые
множества. Таким образом, будет установлено, что существуют
несравнимые рекурсивно перечислимые степени при каждом из
четырех главных упорядочений по сводимости, т. е. при упорядо-
упорядочении по 1-, ш-, tt- и Т-сводимости.
В настоящем разделе мы приведем некоторый результат (теоре-
(теорема II), проясняющий природу ряда трудностей, возникающих
при попытках решить проблему Поста.
Пусть А — рекурсивно перечислимое множество. Рассмотрим
утверждение о нерекурсивности А. Согласно теореме 5-11, оно
может быть выражено так:
{Чх)[Аф Wx],
или, эквивалентным образом, (Va:) (By) [у ?А <=> у ? Wx]. Если
квантор существования в этом утверждении может быть заменен
общерекурсивной функцией, т. е. если
(Э общерекурсивная /) (Уж) lf(x) 6 A <=>/(.r) ? WJ,
мы скажем, что А конструктивно нерекурсивно. Для рекурсивно
перечислимого множества А утверждение о конструктивной
14—0506

210 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
нерекурсивности эквивалентно утверждению о том, что А вполне
продуктивно (см. § 7.7). Итак, мы имеем следующий результат.
Теорема I. Если множество А рекурсивно перечислимо и кон-
конструктивно нерекурсивно, то А — творческое множество.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает
непосредственно из определения г).щ
Теорема I показывает, что построение нетворческих нерекур-
нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств потребует специаль-
специальных неконструктивных методов. Если бы творческие множества
были единственно известными нерекурсивными рекурсивно пере-
перечислимыми множествами, теорема I могла бы навести нас на
мысль о том, что никаких других нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств и не существует. Разумеется, мы знаем,
что в действительности другие такие множества существуют,
а именно, таковыми являются все множества из классов ^4, ^2
и %$ § 8.7. В соответствии с теоремой I построение таких множеств
должно использовать довольно изощренные методы. Первая такая
непрямая конструкция была предложена Постом; она приведена
в теореме 8-П. (Пример утверждения, которое истинно, но не
„конструктивно истинно", содержится у Клини [1943].)
Подобная же ситуация возникает,, в связи с проблемой Поста.
Для того чтобы доказать, что существуют рекурсивно перечисли-
перечислимые множества, которые не рекурсивны и не полны, мы должны
найти множество С, такое, что С рекурсивно перечислимо, С ^Т0
и К <^т С. Согласно теореме 9-IV, утверждение о том, что А ^т В
для рекурсивно перечислимых множеств А и В, может быть выра-
выражено посредством
(V*) [A ^WBX],
или, эквивалентным образом, (Уж) (Эу) [у 6 А <=> у ? Wf]. Если
C общерекурсивная /) (Уж) lf(x) ?A <=> f(x) ? W®],
мы скажем, что А конструктивно нерекурсивно в В.
Теорема II. Если множества А и В рекурсивно перечислимы
и если А конструктивно нерекурсивно в В, то множество В рекур-
рекурсивно.
Доказательство. Пусть дано произвольное z.' 0пре7
делим S-частичнорекурсивную функцию г|) следующим образом:
если z (J В;
расходится, если z 6 В.
рур
Г ж,
\Ь(х) = <
I ра
х) Обращение следует из гл. 11. Таким образом, мы имеем: для рекур-
рекурсивно перечислимого множества А, А — творческое множество <=> А кон-
конструктивно нерекурсивно.
юл. конструктивные подходы 211
Гёделев номер функции г|) может быть получен равномерно по z.
Следовательно, существует общерекурсивная функция g, такая,
что для всех z
N, если z (? В;
0, если z 6 В.
По предположению существует общерекурсивная функция /,
такая, что (Уж) [/(ж) ? А <=>/(ж) 6 WB]. Рассмотрим fg(z) для про-
произвольного z. Мы имеем
"{
fg{z) 6 А <=> fg(z)
Таким образом,
Vg(Z) (в силу выбора /) <=>
Wg(Z) = N (в силу выбора #)
В = 2-Ч-ЧА).
По предположению А ж В рекурсивно перечислимы. Следователь-
Следовательно (согласно теореме 5-VII), В рекурсивно перечислимо, и тем
самым В рекурсивно.!
Естественным подходом к решению проблемы Поста является
попытка найти рекурсивно перечислимое мпожество С, такое,
что С конструктивно нерекурсивно в 0 и множество К конструк-
конструктивно нерекурсивно в С. Согласно теореме II, всякий такой кон-
конструктивный подход должен быть безуспешным. До окончательно-
окончательного решения проблемы Поста некоторые исследователи полагали,
что существуют лишь две рекурсивно перечислимые Т-степени.
Отчасти ответственность за эти ошибочные предположения ложит-
ложится на утверждение теоремы II.
Из теоремы II может быть выведено следствие, показывающее,
что возможна такая ситуация: множество А не рекурсивно в В,
хотя А не является конструктивно нерекурсивным в В. Это след-
следствие придает некоторую правдоподобность утверждению (которое
будет доказано в § 10.2) о том, что существует более двух рекурсив-
рекурсивно перечислимых Т-степеней.
Следствие II (а). Если множества А и В рекурсивно перечисли-
перечислимы и А конструктивно нерекурсивно в В, то В рекурсивно, а А —
творческое множество.
(Ь) Существуют рекурсивно перечислимые множества А и В,
такие, что А не рекурсивно в В, хотя множество А не является
конструктивно нерекурсивным в В.
Доказательство, (а) Утверждение о том, что множе-
множество А конструктивно нерекурсивно в В, является частичной
релятивизацией утверждения о вполне-продуктивности А, отсюда
следует вполне-продуктивность А . (см. упр. 10-2).
14*

212 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
(Ь) Пусть А — произвольное простое множество, а множество
В = 0. Тогда А не рекурсивно в S, но ввиду (а) множество А
не является конструктивно нерекурсивным в В г).и
§ 10.2. ФРИДБЕРГОВО РЕШЕНИЕ
Проблема Поста была решена независимо и почти одновременно
Мучником и Фридбергом в 1956 году (см. Мучник [1956] и Фрид-
берг [1957]). В определенном смысле методы, примененные Мучни-
Мучником и Фридбергом, аналогичны 2). Мы приводим модифицирован-
модифицированную форму фридбергова доказательства.
Теорема III (теорема Мучника — Фридберга). Существуют
рекурсивно перечислимые множества А и В, такие, что А и В
несравнимы относительно ^т-
Доказательство. Мы должны A) дать инструкции
для перечисления множеств А и В и B) доказать существование
двух всюду определенных функций f ж g, таких, что (Уж) [/(ж) 6
eA^f(x)eW%] и (Vz)lg(z)eB<*>g(x)eW2}. (Из теоре-
теоремы II следует, что функции / и g не могут быть рекурсивными.)
Из соображений наглядности мы зададим инструкции в тер-
терминах, до некоторой степени антропоморфических; эти инструкции
будут тем не менее вполне точны. Начнем с двух идентичных бес-
бесконечных вертикальных списков, которые мы будем называть
А-списком и В-списком. Каждый список состоит из всех натураль-
натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания сверху вниз.
На любом этапе вычисления мы будем использовать лишь конеч-
конечную часть каждого списка 3). В процессе вычисления мы в каждом
списке рядом с некоторыми натуральными числами приписываем
плюс (+)• Множество натуральных чисел, получивших при этом
плюс в А-списке, составляет множество А. Множество чисел, полу-
получивших плюс в В-списке, составляет множество В. Вычисление
производится по этапам.
Определение. Ао = Во = 0.
А-п = ix I x получает плюс в А-списке к концу п-го этапа},
п =1, 2, . . . ;
Вп = {х | ж получает плюс в В-списке к концу п-го этапа),
п=1, 2, ... .
1) Обращение следствия II (а) также имеет место. См. упр. 10-2 и пред-
предшествующее примечание.
2) В своих исходных представлениях и Мучник, и Фридберг основыва-
основывались на ранних идеях и результатах Клини и Поста. Мы не описываем и не
используем эту зависимость здесь. Некоторые из этих результатов Клини —
Поста будут приведены в гл. 13.
3) Каждый бесконечный список в некотором отношении аналогичен бес-
бесконечной ленте машины Тьюринга.
§ 10.2. ФРИДБЕРГОВО РЕШЕНИЕ 213
Тогда А о cz Ax
в = и вТ,
B0czBic:B2c:
= U Ап;
п=0
п=0
В процессе вычисления используются два бесконечных мно-
множества подвижных маркеров. Мы обозначим маркеры первой сово-
совокупности через| 0
:Ы
i, . . ., маркеры второй совокупности
через | 0 |2, |_1_ 2, I 2 |2, Маркеры первой совокупности будут
относиться к числам А -списка, маркеры второй совокупности —
к числам В-списка. Эти маркеры подвижны в следующем смысле:
в момент введения маркера в процесс вычисления его соотносят
с некоторым числом одного из списков; в более поздний момент
вычисления связь маркера с этим числом может быть нарушена,
и этот маркер соотносят с другим числом, находящимся ниже
в этом списке; в еще более поздний момент он вновь может быть
перемещен вниз и т. д. Данный маркер может перемещаться подоб-
подобным образом несколько раз.
Нами движут следующие побуждения: мы хотим в конечном
итоге соотнести каждый маркер I/Ji с числом xj, таким, что Xj ?
? А <=> Xj имеет плюс <=> Xj 6 Wf. Если мы сможем успешно про-
проделать это для каждого | / t, то будем иметь (Уж) (з#) [у € А-ф>
<^>У 6 Wx] и, следовательно, А *^т В. Аналогично для каж-
каждого маркера | j [2 и В ^ т А.
Далее приводятся определение и лемма, используемые нашей
конструкцией. Пусть даны z и конечное множество D. Тогда
Wf = {х | (Зу) (Эй) (Эи) [(х, у, и, v)eWp{z)&Duc=D&
&DvdD]},
согласно § 9.2. и 9.3. Следующая последовательность действий
является (равномерным) алгоритмом для перечисления множе-
множества Wf: перечисляйте элементы множества Wр (г); как только
появляется какой-либо элемент (ж, у, и, v), проверяйте, будет ли
Du a D и Dv cz D; если это выполняется, добавьте х к списку
для Wf.
Определение. Пусть даны z и конечное множество D. Под п
шагами при перечислении множества Wf мы будем понимать
процесс применения описанного алгоритма, соответствующий п
машинным шагам при перечислении множества Wр B).

214 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
Лемма. Для любой последовательности конечных множеств
Ао, Аи . . ., такой, что Ав с At <zz . . . с А, если А = (J Ап
п=0 ¦
и если а 6 Wf, то (Зт) (Утг) [т ^ п =>- а появляется за п шагов
при перечислении Wfn].
Доказательство леммы очевидно (упр. 10-5).
Продолжая доказательство теоремы, приводим инструкции
для основного вычисления.
Определение. Будем говорить, что натуральное число свободно
в данном списке в данный момент времени, если ни само это число,
ни любое другое число, находящееся ниже его в этом списке,
не имеют никакой отметки или маркера, с ними соотнесенных.
Будем говорить, что натуральное число вакантно в данном списке
в данный момент времени, если оно не имеет плюса рядом с собой.
Этап 1. Соотнесите | 0 |± с 0 в А -списке.
Этап 2. Соотнесите | 0 |2 с 0 в В-списке.
Э т а п 2л -)- 1. Соотнесите п 4 с первым свободным числом
в А-списке. Пусть а„п) , . . ., а^п> — текущие позиции I 0 |ь
11 1, . . ., | л |i. Предпримите по л шагов при перечислении каждого
из множеств И7,?2", . . .,
Пусть- а$п) есть наименьший
}
элемент множества {а^ , . . ., а(™}, такой, что число а$п> ва-
вакантно и а'/1' встречается в выполненной части перечисления мно-
множества Wf2n. (Если такого а$п) не существует, переходите к этапу
2п + 2.) Поместите плюс рядом с элементом а^п) в А-списке
и минус рядом с каждым из тех вакантных чисел В-списка, при-
принадлежность которых к множеству В2п использовалась при уста-
установлении того факта, что ajn) 6 Wf2" х). Затем, если / < л, пере-
переходите к В-списку и переместите все маркеры
вниз на свободные числа в В-списке.
Этап 2п -\- 2. Соотнесите
—
в В-списке. Пусть Цп~>, . . ., Ъ^ — текущие позиции
с первым свободным числом
,...[и_|а-
*) Иными словами, если а" ? W^2n установлено на основании того, что
(а(п\ у, и, v) обнаружено в Wpip (за п шагов), где Du ClB2n и Dv а В 2п,
то поместите минус рядом с каждым вакантным элементом множества Dv
в В-списке.
§ 10.2. ФРИДБЕРГОВО РЕШЕНИЕ 215
Предпримите п шагов в перечислении каждого из множеств
*n+1,. . ., Wn2n+l- Пусть b\n) — наименьший элемент множества
>, . . ., Ь^}, такой, что число bjn) "вакантно и ?^п) встре-
встречается в выполненной части перечисления множества Wf*n+\
(Если такого b\n) не существует, переходите к этапу 2п + 3.)
Поместите плюс рядом с элементом b]n) в В-списке и минус
рядом с каждым из тех вакантных чисел в А-списке, принадлеж-
принадлежность которых множеству A2n+i использовалась, чтобы уста-
установить, что Цп) ? Wf2n+l. . . . Затем, если ] <С п, переходите
к А-списку и переместите все маркеры И.» j <. i ^ п, вниз
на свободные числа в А-списке.
(Заметим, что в каждом списке рядом с некоторым числом может
появиться сначала минус, а затем плюс.)
Простое индуктивное соображение позволяет установить, что
1— I—I
всякий маркер п и всякий маркер п может перемещаться
лишь конечное число раз: 0 никогда не перемещается;
0
может
перемещаться самое большее один раз;
t может перемещаться
2 '
не более одного раза при каждом положении маркера 0
может перемещаться не более одного раза из-за маркера 01 и не
более одного раза при каждом положении маркера 1 L и т. д. *).
Пусть fix) — заключительное положение маркера \х L, g(x) —
заключительное положение маркера х . Предположим, что
j(x) 6 А. Тогда f(x) получает плюс на некотором' этапе 2п + 1.
Никакой минус, написанный (в В-списке) на этапе 2п + 1, не
может быть заменен на плюс, поскольку все к
ниже всех таких минусов, и если бы маркер
к
один из таких минусов на плюс, то маркер
помещены
;, к<Сх, изменил
был бы перемещен,
вопреки нашему предположению, что f(x) есть заключительное
положение маркера х] ^Отсюда заключаем, что f(x) € W^. Обрат-
Обратно, если f(x) 6 W^, то, согласно лемме, существует т, такое, что
х) Ограничения на число положений, которые могут занимать маркеры
И' И. III-
1
, . . ., задаются последовательными значе-
значениями чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, ... .

216 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
для всех п, больших т, множество W^2n выдает f(x) менее чем
¦ I—I
за п шагов; так как маркер \х i в конце концов достигает
положения /(ж), f(x) должно в конечном итоге получить плюс;
и, значит,. f(x) 6 А. Таким образом, /(ж)Ы<=>/(х) бИ7^. Ана-
Аналогично получаем, что g(x) 6 В <=> g(x) 6 W?. Отсюда А ^т В
и В^ТА, и наше доказательство завершено.в
Метод, подобный приведенному, иногда называют методом
приоритета, а упорядочение, подобное упорядочению 0 , 0 \ Т
1 L, . . ., —приоритетным упорядочением. В приведенном дока-
доказательстве в тот момент, когда маркер ставит рядом с собой плюс,
все маркеры более низкого ранга должны „сработать", т. е. должны
сместиться вниз так, чтобы они не могли впоследствии повлиять
на минусы, которые появились к этому моменту. Основной чертой
такого метода приоритета является тот факт, что всякий маркер
перемещается лишь конечное число раз. Ниже, в упражнениях,
приводится несколько других методов приоритета, в гл. 12 содер-
содержатся дальнейшие примеры.
Приведем следствия, из которых-первые два очевидны, а третье
получается обобщением конструкции теоремы.
Следствие III (а) (решение проблемы Поста). Существуют
более чем две рекурсивно перечислимые Т-степени.
Следствие III (Ь). Существуют два рекурсивно перечислимых
множества, несравнимых относительно упорядочения по своди-
мостям ^i, ^m и ^tt.
Следствие III (с). Существует счетное бесконечное семейство-
рекурсивно перечислимых Т-степеней, такое, что любые два эле-
элемента этого семейства несравнимы относительно *?^т-
Доказательство. См. упр. 10-7.а
Следствие III (d). Существует х0 рекурсивно перечислимых
Т-степеней.
Существует а о рекурсивно перечислимых tt-степеней.
Существует х0 рекурсивно перечислимых т-степеней.
Существует к0 рекурсивно перечислимых 1-степеней.
Доказательство. Все утверждения вытекают очевид-
очевидным образом из следствия III (с).и
Последние два утверждения следствия III (d) уже известны
нам из § 8.6.
10.3. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРОБЛЕМЫ 217
§ 10.3. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРОБЛЕМЫ
Можно воспользоваться теоремой III и леммой теоремы 8-XIV,
чтобы показать, что упорядочение по 1-сводимости не образует
верхней полурешетки.
Теорема IV (Янг). Существуют два рекурсивно перечислимых
множества, не имеющих наименьшей верхней грани при упорядо-
упорядочении по 1-сводимости.
Доказательство. Согласно теореме III и теоре-
теореме 9-XVI (теорема Деккера), существуют два простых множества,
не сравнимых относительно 1-сводимости. Назовем эти множества
А и В. Наше доказательство проведем следующим образом. Мы
покажем, во-первых, что А и В имеют верхнюю грань, являю-
являющуюся простым множеством; во-вторых, что любая наименьшая
верхняя грань должна быть простым множеством. Наконец, мы
воспользуемся леммой теоремы 8-XIV, чтобы показать, что никакая
наименьшая верхняя грань простым множеством быть не может.
Пусть С = А @ В. Согласно упр. 8-1, множество С просто.
A ^i С посредством функции Яж[2ж1, и В ^i С посредством
Ы2х + 11.
Предположим, D является наименьшей верхней гранью мно-
множеств А и В. Тогда D ^ С и тем самым множество D должно
быть просто (упр. 8-9). Пусть A ^i D посредством функции /
и В ^t D посредством функции g. Функции fug могут_быть выбра-
выбраны так, что f{A) = D и g(B) = D (упр. 10-10). Тогда Ъ - f(N) Ф
Ф 0 и D — g(N) Ф 0 (в противном случае D == А или D=sB, что
противоречит нашему выбору множеств А и В, как несравнимых).
Возьмем me"D- f(N) и п ED — g(N). Тогда A <t D [) {т}
посредством / и В ^t D IJ {иг} посредством h, где
«-{f1
если g(x) Ф т;
если g(x) = т.
Отсюда D U {иг} есть верхняя грань А и В. Ввиду леммы теоре-
теоремы 8-XIV, D <^! D U {т}. Это противоречит нашему выбору D
как наименьшей верхней грани. Тем самым множества А и В суть
два рекурсивно перечислимых множества, не имеющие наимень-
наименьшей верхней грани при упорядочении по 1-сводимости. а
Дальнейшую информацию об упорядочении по Т-сводимости
рекурсивно перечислимых Т-степеней содержит следующий
результат, аннонсированный Саксом. Мы приводим его здесь без
доказательства. Этот результат представляет собой сильную вер-
версию нашего решения проблемы Поста. В доказательстве исполь-
используется метод приоритета.

218 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
Теорема (Сакс). Пусть П — счетное частичное упорядочение,
и пусть А — произвольное рекурсивно перечислимое нерекурсивное
множество. Тогда существует совокупность рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств, каждое из которых Т-сводимо к А, частичное
упорядочение которых по Т-сводимости изоморфно П.
Эта теорема немедленно приводит к такому конкретному
результату: существует совокупность рекурсивно перечислимых
степеней, линейно упорядоченных относительно Т-сводимости по
типу рациональных чисел.
В упр. 10-11 мы получим специальный случай теоремы Сакса.
Следствием его является результат, впервые аннонсированный
Мучником: не существует нерекурсивного рекурсивно пере-
перечислимого множества, которое минимально (относительно ^т)
среди нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств.
Следующая теорема Сакса [1964 а] показывает, что не суще-
существует рекурсивно перечислимого множества, максимального (от-
(относительно ^т) среди неполных рекурсивно перечислимых мно-
множеств.
Определение. А -<.тВ, если А
и В
Теорема (Сакс), Если множества А и В рекурсивно перечислимы
и А <С т В, то существует рекурсивно перечислимое множество С,
такое, что А <т С <т В.
Интересный вопрос, относящийся к упорядочению по
Т-сводимости рекурсивно перечислимых Т-степеней, связан с
гипотезой Шёнфильда, которую мы сформулируем, введя несколько
предварительных определений.
' Определение. dT(A) ® dT(B) = dT(A ® В).
Согласно теореме 9-XIII, эта операция сочленения корректно
определена на Т-степенях и сочленение двух Т-степеней есть
наименьшая верхняя грань их при упорядочении по Т-сводимости.
Заметим, что сочленение двух рекурсивно перечислимых степеней
рекурсивно перечислимо.
Упорядочение по Т-сводимости Т-степеней может рассматри-
рассматриваться как алгебраическая структура, включающая (i) некоторое
бинарное отношение (отношение <т), (Н) некоторую бинарную
операцию (операцию сочленения) и (iii) два различных элемента
(рекурсивную и полную степени). Рассмотрим все алгебраические
структуры (i) с бинарным отношением, (ii) с бинарной операцией
и (iii) с двумя различными элементами. Мы обозначим бинарное
отношение через <;, бинарную операцию через U и два различных
элемента через 0 и 1. Скажем, что две такие структуры L и М
алгебраически изоморфны, если существует взаимно однозначное
отображение / структуры L на М, такое, что /@) = 0, /A) = 1,
f(a и Ь) = f(a) v f(b),
§ 10.3. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРОБЛЕМЫ 219
а а-^Ь <=> f(a)-^f(b). Если аи . . ., ап суть элементы структуры
L, то L(ai, . . ., ап) будет обозначать подструктуру структуры L,
порожденную элементами al7 . . ., ап (пересечение всех подструк-
подструктур, содержащих 0, 1, аи . . ., апж замкнутых относительно и).
Если at, . . ., ап — элементы структуры L и Ъи . . ., Ъп — эле-
элементы структуры М, будем говорить, что (аи . . ., ап} строго
эквивалентно (fcd, . . ., ?>„), если существует алгебраический изо-
изоморфизм / подструктуры L(al5 . . ., ап) на М(Ь1? . . ., Ъп), такой,
что f(at) = bt, I ^ i ^ п.
Определение. Пусть Л — любая совокупность структур. Назо-
Назовем L плотной структурой (относительной), если L — структура
из I, и для любой структуры MH3i, любого п, любых аъ ...
. . ., ап из L, любых Ь±, . . ., Ъп, bn+i из М (аи . . ., ап) строго
эквивалентно (bt, . . ., Ь„)=^ существует an+i в L, такое, что
(al5 . . ., an+iy строго эквивалентно (Ь1? . . ., bn+iy.
Пример! Пусть Jb — совокупность всех структур, таких,
что -^ есть плотное (в обычном смысле) линейное упорядочение,
(J есть операция взятия наименьшей верхней грани при этом
упорядочении, 0^ 1 и 1^0- Тогда рациональные числа при их
обычном упорядочении образуют Плотную (в выше определенном
смысле) структуру относительно этой совокупности.
Нетрудно показать, что любые две счетные плотные структуры
относительно одной и той же совокупности Jb алгебраически изо-
изоморфны (упр. 10-12). (Это является обобщением теоремы Кантора,
частный случай которой приведен выше в качестве примера.)
Плотные структуры не обязательно существуют (упр. 10-13).
Мы можем теперь сформулировать гипотезу Шёнфильда. Пусть
Jbi — совокупность всех структур, удовлетворяющих следующим
условиям: (i) -^ есть частичное упорядочение, (ii) kj дает наимень-
наименьшую верхнюю грань относительно упорядочения -^; (iii) 0 есть
минимальный элемент относительно упорядочения -^ и (iv) 1 есть
максимальный элемент относительно упорядочения -^. Нетрудно
показать, что совокупность ^т обладает счетной плотной струк-
структурой (см. упр. 10-14). Согласно упр. 10-12, эта счетная плотная
структура единственна с точностью до изоморфизма.
Гипотеза Шёнфильда. Упорядочение по Т-сводимости рекурсивно
перечислимых Т-степеней образует счетную плотную структуру
относительно Лт (с отношением ^т в качестве ^, сочленением
в качестве <и, рекурсивной степенью в качестве 0 и полной сте-
степенью в качестве 1).
Два предложения непосредственно вытекают из гипотезы Шён-
Шёнфильда (как было замечено Шёнфильдом).
Предложение 1. Для любых двух нерекурсивных рекур-
рекурсивно перечислимых множеств А и В, таких, что А <.ТВ, суще-

220 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
ствует рекурсивно перечислимое множество С, такое, что А =^т С,
С <? т А и d т (В) = dT {А) Ф dT (С).
Предложение 2. Если А и В — рекурсивно перечисли-
перечислимые множества, А ^ т В я В *^т А, то dT(A) и dT (В) не имеют
наибольшей нижней грани при упорядочении по Т-сводимости.
Обе теоремы Сакса, приведенные выше, также непосредствен-
непосредственно вытекают из гипотезы Шёнфильда (см. упр. 10-15 и 10-16).
Гипотеза Шёнфильда, если бы она оказалась верной, была бы
наисильнейшей формой решения проблемы Поста *). В 1965 г.
Лахлан опроверг предложение 1, Ейтс опроверг предложение 2
(построив два рекурсивно перечислимых Т-несравнимых множе-
множества А ж В, таких, что [С^ТЛ & С ^т В] => С рекурсивно).
Таким образом гипотеза Шёнфильда была опровергнута.
§ 10.4. НЕОТДЕЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА ПРОИЗВОЛЬНОЙ
РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ
Мы теперь установим, что всякая нерекурсивная рекурсивно
перечислимая Т-степень содержит пару рекурсивно неотделимых
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств. (Пары
неотделимых множеств были введены и обсуждались в § 7.7.)
Конструкция, используемая в доказательстве, представляет спе-
специальный интерес. Она перекликается с конструкцией, предла-
предлагаемой ниже в упр. 10-11. Этот результат принадлежит Шёнфиль-
ду [1958а1.
Теорема V (Шёнфильд). Пусть множество С рекурсивно пере-
перечислимо, но не рекурсивно. Тогда существует пара рекурсивно неот-
неотделимых непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств А
и В, таких, что А =т5=тС.
Доказательство. Пусть / — общерекурсивная функ-
функция, пересчитывающая без повторений множество С. Определим
функцию 1M следующим образом:
при
!>«*, У)) = О, если (Jz) (Эй;) \f(z) = х & и>< z & Ру
@1
входе (х, у) выдает , в качестве выхода за w шагов].
1) Она могла бы также привести к решению следующих, все еще остаю-
остающихся открытыми, проблем. A) Является ли теория первого порядка отноше-
отношения =^т над рекурсивно перэчислимыми Т-степенями аксиоматизируемой,
т. е. рекурсивно перечислимой? B) Разрешима ли эта теория, т. е. рекурсивна
ли она? [Эта теория состоит из пп-формул, образованных из ,,^т" в ло~
гике предикатов (без свободных переменных), которые истинны относительно
упорядочения по Т-сводимости.]
10.4. НЕОТДЕЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 221
Согласно второй теореме о проекции, функция ty частично-
рекурсивна. Пусть
= 0}.
Множества А и В не пересекаются и, согласно теоремам о проек-
проекции, рекурсивно перечислимы. Остается показать, что
А = гр В === т ^
и что А и В рекурсивно неотделимы.
1. А ^ т С. Мы можем следующим образом выяснить, имеет
ли место (х, у) ? А. Выясняем, принадлежит ли х множеству С.
Если нет, то (х, у)§А. Если да, найдем z = f~1(x); затем про-
проверяем, выдает ли Ру при входе (х, у) значение 0 менее чем за z
шагов. Если да, то (х, у) ? А. Если нет, значит, (х, у)$А.
2. В ^т С. Аналогично.
3. С ^т А. Мы можем следующим образом выяснить, имеет ли
место х ? С. Выберем у0, такое, чтобы q)j,0 была тождественно равна
нулю, т. е. фуо = Ы01. Проверяем, будет ли (х, у0) 6 А. Если да,
то х 6 С. Если нет, путь и — число шагов, необходимых, чтобы
получить Фг,0((ж, уq)) =0 из инструкций Руо; выясняем, будет ли
/(z)= х для некоторого z, такого, что z ^ и. Если да, то х 6 С;
если нет, значит, х $ С.
4. С ^т В. Аналогично.
5. А и В рекурсивно неотделимы. Предположим противное.
Тогда мы можем найти такую общерекурсивную функцию h,
для которой Valfe={0, I}, h(A) — 1 и h(B) = 0. Пусть
h = (fy . При всяком х 6 С для вычисления PVi при входе (х, г/4)
.должно быть проделано по меньшей мере z = f~x{x) шагов; в про-
противном случае мы имели бы (согласно исходной конструкции)
(fyt({x, у^^О*^ ц>У1{{х, yi)) = 1, что противоречиво. Посколь-
Поскольку h всюду определена, должна существовать общерекурсивная
¦функция g, такая, что для всех х g(x) = (длина вычисления PVi
при входе {х, г/4)). Отсюда имеем
х € С <=> Cz) [z < g(x) & /(z) = *].
'Тем самым имеем эффективный способ разрешения множества
С в противоречие с предположением, что это множество нере-
нерекурсивно. |
Мы увидим в теореме 11-V, что А ж В же могут быть эффективно
неотделимы, если С не полно.

222 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 10.5. ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РЕКУРСИВНО
ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ1)
В § 7.8 мы определили теорию как совокупность пп-формул
некоторой логической системы. Чтобы иметь возможность при-
применить теорию рекурсивных, функций, мы идентифицировали
теорию с множеством соответствующих кодовых номеров при неко-
некотором выбранном способе кодирования пп-формул натуральными:
числами. Рассмотрим теперь теории некоторого специального вида.
Определение. Пусть Ж — совокупность предикатных символов
(например, „^"), операторных символов (например, „ U ") и инди-
индивидных константных символов (например, „1"). Пусть Х^ —
совокупность всех выражений, образованных в элементарной
логике предикатов из символов совокупности &С вместе с логи-
логическими символами логики предикатов („=", „V", „3", „~Т%
„V", ,..&'\ ,.=*-", „<=>" и индивидными переменными „а", „аГ,
„а2'\ • • •> „Ь'\ „с", . • .), причем мы требуем, чтобы каждая пере-
переменная в выражении находилась в области действия некоторого
квантора. Выражения из Х^ называются высказываниями первого
порядка в &С.
Пример. Пусть Ж состоит из символов бинарных опера-
операций „+" и „X" и индивидных константных символов „О", „1"г
,.2", . . . . Тогда Х^ состоит из пп-формул элементарной арифме-
арифметики, определенной в § 7.8.
Определение. Совокупность Т есть теория первого порядка в Ш\
если (i) T есть подсовокупность совокупности Xg% и (ii) T замкну-
замкнута в Х$? относительно выводимости, т. е. любое высказывание-
из Хоу?, выводимое из высказываний совокупности Т, является
высказыванием из Т 2).
Определение. Т есть теория первого порядка, если для неко-
некоторого ПК Т есть теория первого порядка в SK.
На протяжении всего параграфа мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением высказываний первого порядка и теорий первого порядка.
Зададимся двумя вопросами относительно теорий первого-
порядка. A) Существует ли в каждой степени неразрешимости
теория (множество кодовых чисел для теории) первого порядка?'
B) Существует ли в каждой рекурсивно перечислимой степени
х) В § 10.5 мы предполагаем, что понятие выводимости и теоремы о семан-
семантической непротиворечивости и полноте для логики предикатов известны.
Материал последующих глав не будет зависеть от § 10.5.
2) Определение выводимости может быть найдено в работах Куайна
[1959] или Саппеса [1957].
10.5. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ 223
неразрешимости аксиоматизируемая, т. е. рекурсивно перечисли-
перечислимая, теория?
Для 1-степеней ответы на оба вопроса, .как легко видеть, отри-
отрицательны, так как никакая теория первого порядка не может
иметь иммунного дополнения. (Если х вне этой теории, то вне ее
и х &х, и (х &х) &х, . . .) х).
Для m-степеней ответы на оба вопроса также отрицательны.
Рассмотрим множество S* из теоремы 8-VIII и предположим, что
Т ==m S* для некоторой теории Т первого порядка4. Пусть S* ^mT
посредством функции / и Т ^m S* посредством функции g. Тог-
Тогда (х, у) е S*xS*o{f(x), f{y)) € TxT^>(f(x) & f(y)) 6
б T <=>g{f{x) &f(y)) e S*; но это дает S* X S* <m S* в противо-
противоречие с доказательством теоремы 8-ХШ.
Для btt-степеней оба вопроса открыты. (См. также упр. 10-24.)
Для tt-степеней (и, следовательно, для Т-степеней) ответы
на оба вопроса утвердительны, как было показано Феферма-
ном [1957].
Теорема VI (Феферман). Для всякого множества А существует
теория ТА, такая, что A ^iTA и ТА ^.пА; более того, если А
рекурсивно перечислимо, то теория ТЛ аксиоматизируема.
Доказательство. Возьмем пустое SK и рассмотрим Х$?,
которое мы с этого момента будем обозначать Хо (Хо иногда
называют „чистым исчислением с равенством"). Типичными выска-
высказываниями Хо являются
(i) (Va)Cb)~]a = Ъ,
(ii) Ca)Cb)-ia = Ъ,
(iii) ~iCa)(Vb)[(Vc)[c =eVc = W=>b = e].
Для любого данного множества объектов кванторы в выска-
высказывании из Хо могут быть интерпретированы как имеющие в каче-
качестве области действия это множество объектов. Поэтому для любо-
любого такого множества объектов данное высказывание из Хо должно
быть или истинным, или ложным. (Например, (i) истинно для
любого множества, мощность которого больше 1.) Очевидно, истин-
истинность или ложность данного высказывания для множества объек-
объектов зависит лишь от мощности этого множества. В дальнейшем мы
ограничимся непустыми множествами объектов 2). Мы определим
спектр высказывания в Хо как совокупность положительных
конечных кардинальных чисел, для которых это высказывание
истинно. Мы будем писать вместо „спектр ж" спектр (х). Выска-
Высказывания (i) и (ii), приведенные выше, имеют спектры {х | 2 ^ х},
х) Мы отождествляем высказывание с его кодовым числом (как в
упр. 7-62) и используем „х & г/" для обозначения (кодового числа) конъюнкции
элементов х и у-
2) Это ограничение необходимо для того, чтобы позже в доказательстве
можно было применять теоремы о семантической непротиворечивости
п полноте.

224 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 10.5. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМОЙ СТЕПЕНИ 225
(iii) имеет спектр {2}. Некоторые фундаментальные свойства спек-
спектров (высказываний из Хо) устанавливаются в следующей лемме.
Лемма, (а) Каждый спектр или конечен, или коконечен.
(b) Существует равномерная эффективная процедура перехода
от высказывания к его спектру; более конкретно, существуют обще-
общерекурсивные функции fug, такие, что для любого высказывания х
если спектр (х) конечен, то g(x) = 0 и Df(X) = (спектр (х)), а если
спектр (х) коконечен, то g(x) =1 и Df(Х) = (спектр (х)).
(c) Для всякого высказывания х х истинно для некоторой бес-
бесконечной мощности <=> х истинно для всякой бесконечной мощности
<=>я имеет-коконечный спектр.
(А) Всякое конечное или коконечное множество натуральных
чисел может служить спектром.
(е) Существует равномерная эффективная процедура перехода
от данного конечного или коконечного множества натуральных
чисел (заданного каноническим индексом) к высказыванию, спектром
которого является это множество.
Доказательство. Ниже, в упр. 10-21, приводится рав-
равномерный эффективный метод, позволяющий установить для дан-
данного числа, принадлежит ли оно спектру данного высказывания.
Упражнение 10-22 показывает, что высказывание ровно с п кван-
кванторами имеет п в своем спектре тогда и только тогда, когда его
спектр содержит {т \ п ^ т}; отсюда следуют (а) и (Ь). Упраж-
Упражнение 10-23, обобщающее упр. 10-22, доказывает (с).
Пусть Fl есть высказывание „(За)а = а", и для каждого п > 1
пусть Fn — высказывание
„(ЗаО ... (За71)[[-1а1 = а2]&[На1 = а3] & ... &] 1ап^ = ап]Г.
Для всякого п > 0 пусть Еп есть конъюнкция высказывания Fn
с отрицанием высказывания Fn+i. Для любого конечного множе-
множества натуральных чисел {щ, . . ., nk} пусть Еп1\/ . . . УЕПн
обозначает дизъюнкцию высказываний Еп , Еп , . . ., Еп и пусть
~\(Епу. . .УЕп^) обозначает отрицание этой дизъюнкции. Тогда
Епу. . .MEnk имеет спектр {щ, . . ., nk) и ~\(Епу . . . МЕПи
имеет спектр {0, щ, . . ., nk}. Это доказывает (d) и (е). Тем самым
доказательство леммы завершено.
- Из семантической непротиворечивости логики предикатов сле-
следует, что любое высказывание х, выводимое (согласно логике пре-
предикатов) из совокупности высказываний В, истинных в данной
непустой интерпретации, должно быть истинно в этой интерпре-
интерпретации. Отсюда вытекает, что если высказывание х выводимо из со-
совокупности высказываний В, то спектр (х) zd (~| спектр (у).
Из полноты логики предикатов следует, что если х истинно
для всех тех непустых интерпретаций, для которых каждое выска-
высказывание совокупности В истинно, то высказывание х выводимо
из В. Отсюда получаем, что если спектр (х) гэ П спектр (у),
VZB
то высказывание х выводимо из В.
Пусть теперь А — произвольное множество натуральных
чисел. Мы можем предположить без потери общности, что 0 6^4.
Пусть Ео есть „(Va) Па= а". Для всякого п > 0 пусть Еп опре-
определяется, как в доказательстве леммы. Для всех п пусть И Еп
обозначает отрицание высказывания Еп. Тогда для всех п выска-
высказывание П Еп имеет N— {0, п} в качестве спектра. Пусть В =
= {П Еп | п?А}. Определим ТА как совокупность всех выска-
высказываний, выводимых из В. Тогда для любого высказывания х
х ? ТА <=> х выводимо из В <=> спектр (х) zd П спектр (у).
уев
Но П спектр (у) = А. Следовательно,
уев
х ?ТА .?=> спектр (x)zd A.
Используя общерекурсивные функции / и g части (Ь) леммы, имеем
х € ТА <=> Ug(x) = 0 &/>,<*> => А] или
Отсюда получаем два следствия: A) для всех п п ?А <=> ~\Еп в ТА;
тем самым А ^Т^; B) для всякого х существует tt-условие,
такое, что х 6 ТА тогда и только тогда, когда это tt-условие выпол-
выполняется на А (случаи, когда А конечно и А бесконечно, рассматри-
рассматриваются отдельно); тем самым ТА ^tt^-
Итак, по определению выводимости, если множество В рекур-
рекурсивно перечислимо, то совокупность всех высказываний, выводи-
выводимых из В, рекурсивно перечислима (пересчитываются все возмож-
возможные доказательства из конечных множеств высказываний из В).
Отсюда имеем, что теория ТА аксиоматизируема, если множество
А рекурсивно перечислимо. (В самом деле, так как A ^.iTA,
теория ТА аксиоматизируема тогда и только тогда, когда множе-
множество А рекурсивно перечислимо.) Этим завершается доказатель-
доказательство теоремы. и
Ганф [1962] усилил этот результат, показав, что существует
конечно аксиоматизируемая теория в каждой рекурсивно пере-
перечислимой tt-степени. (Теория конечно аксиоматизируема, если
существует конечная совокупность высказываний этой теории,
из которой выводимы все высказывания этой теории.) Шёнфильд
[1958а] использовал теорему V и некое усиление теоремы VI
для того, чтобы показать, что существуют аксиоматизируемые,
существенно неразрешимые теории в каждой нерекурсивной рекур-
15-0506

226 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
сивно перечислимой Т-степени. (Теория первого порядка сущест-
существенно неразрешима, если не существует непротиворечивой разре-
разрешимой теории первого порядка, ее содержащей.)
§ 10.6. УПРАЖНЕНИЯ
§ 10.1
10-1. Пусть дана аксиоматизируемая теория Т (т. е. рекурсивно пере-
перечислимое множество пп-формул логической системы) и некоторая гёделева
нумерация пп-формул (см. § 7.8). Предположим существование эффек-
эффективной процедуры, такой, что для любого данного х мажет быть найдена
ппф Fx, удовлетворяющая соотношению Fx ? Т <=> х ? К.
(i) Должна ли теория Т быть полной степенью неразрешимости при
упорядочении по каждому виду сводимости?
(И) Должны ли любые две такие теории быть рекурсивно изоморфными?
10-2. Пусть множества А и В рекурсивно перечислимы. Покажите, что
А конструктивно нерекурсивно в В <=> [А конструктивно нерекурсивно & В
рекурсивно].
10-3. (i) Определите разумным образом: множество А конструктивно
не-т-сводимо к В.
(и) Сформулируйте и докажите аналог теоремы II и следствия П.
(ш) Покажите, что множество А конструктивно нерекурсивно в В =$А
конструктивно не-т-сводимо к В. (Указание. См. упр. 10-2.)
10-4. Дадим определение: множество А конструктивно бесконечно, если
C общерекурсивная /) (Чх)[х ? А =^>[х < f(x) & f(x) ? A]].
(a) Покажите, что множество А конструктивно бесконечно тогда и только
тогда, когда А не изолировано.
Дадим определение: множество А рекурсивно эквивалентно В, если
C частично рекурсивная взаимно однозначная функция ср) [А с Arg ц> я В =
= ф(А)] (см. упр. 8-32). Рекурсивная эквивалентность в теории рекурсивных
функций является аналогом отношения равномощности в теории множеств
(см. пояснение к теореме 8-V). .
(b) Покажите, что множество А конструктивно бесконечно тогда и только
тогда, когда А рекурсивно эквивалентно своему собственному подмножеству.
§ Ю.2
10-5. Покажите, что алгоритм, описанный перед леммой § 10.2, обладает
свойством, утверждаемым формулировкой этой леммы.
10-6. Сформулируйте и докажите релятивизованную версию тео-
теоремы III.
10-7. (а) Покажите, что существует семейство трех рекурсивно перечис-
перечислимых Т-степеней, которые попарно не сравнимы относительно ^т- (Ука-
(Указание. Воспользуйтесь тремя списками и шестью совокупностями маркеров:
И, [и] , I «1 , I п | , | п I , I и] ; п = 0, 1, 2, ... . Маркер \п\ исполь-
2 L 113 I..." kl I—J23 I Ц ! 132 lllJjj
зуется в i-м списке. На этапе 3n-\-i плюс помещается рядом с маркером I k I
на (наименьшем вакантном) положении х, если х появляется за п шагов
в пересчитывании множества Wk3 , где S^—меняющееся множество отме-
отмеченных плюсом положений /-го списка. Используйте подходящее приоритет-
приоритетное упорядочение для перемещения маркеров.)
Д(Ь) Обобщив (а), докажите следствие III (с).
§ Ю.6. упражнения 227
10-8. Покажите, что множества А и В, построенные в теореме III, не
просты. (Указание. Чтобы получить бесконечное рекурсивно перечислимое под-
подмножество множества А, возьмите рекурсивно пвречислимую возрастающую
последовательность х0, xi7 . . ., такую, что для всех X и всех i имеет место
W% = 0. Рассмотрите начальные положения | xt в А-списке.)
10-9. Покажите: C/)C4)[Val / = А & / <^т А & А *^т /]. (Указание.
Возьмите А и В, как в теореме III. Возьмите п = (наименьший элемент А).
Определите функцию / так, чтобы f(B) = {п}, f(B) = А —{га} и / ==Т.В.)
§ Ю.З
10-10 (Тенненбаум). Покажите, что если множество А бесконечно, мно-
множество В бесконечно и рекурсивно перечислимо и А <; ±В, то существует
общерекурсивная функция /, такая, что В = f(A) и А <^ ф посредством
функции /.
?± 10-11. Докажите такой специальный случай первой теоремы Сакса.
(Из него следует, что среди нерекурсивных рекурсивно перечислимых
степеней не существует минимальной рекурсивно перечислимой степени.)
Теорема. Пусть С — любое нерекурсивное рекурсивно перечислимое
множество. Существуют рекурсивно перечислимые множества А и В, такие,
что А ^тС, В =^т^> А °у^тВ и В ^Ст А. (Указание. Модифицируйте про-
процедуру теоремы III следующим образом. Как А-, так и В-список состоит из
всех натуральных чисел, но каждый из них упорядочен в виде двойного
бесконечного ряда, ге-я строка которого состоит из (п, 0), (п, 1), ... в при-
приведенном порядке. В каждый момент времени эта процедура привлекает из
каждого списка лишь конечное число строк и столбцов.
Как и раньше, подвижные маркеры 0 , 11, ... и | 0 I , 111,...
используются соответственно в А-списке и В-списке. В процессе вычисления
в каждом списке некоторые столбцы могут быть сверху помечены звездочкой
(*). Говорят, что в данный момент времени число в данном списке специфици-
специфицировано, если оно находится в столбце, уже помеченном звездочкой. В данный
момент времени строку в данном списке назовем свободной, если ни в этой
строке, ни в любой другой строке, лежащей ниже ее, не существует никакой
отметки и никакого маркера. В дополнение к движущимся маркерам I n I
1—!i
и \п , п = 0, 1, . . ., и к звездочке могут быть использованы следующие
отметки: плюс, минус и кружок (О)- В любой строке эти отметки ставятся непо-
непосредственно под числом, с которым они связываются. Время от времени неко-
некоторые кружки стираются. Под числом могут появиться следующие комбина-
комбинации отметок: кружок, минус, кружок-минус, кружок-плюс и кружок-минус-
плюс (подвижный маркер также может появиться). Как и прежде, плюс никог-
никогда не стирается: те числа в А-списке, которые отмечены плюсом, составляют
множество А, помеченные плюсом числа в В-списке составляют множество В.
В процессе вычисления вводятся и соотносятся с числами подвижные марке-
маркеры. При определенных обстоятельствах подвижный маркер может переме-
перемещаться вправо в своей строке; при некоторых других обстоятельствах под-
подвижный маркер может быть перемещен вниз в новую строку. Если в данный
момент времени в данном списке какая-то строка содержит как плюс, так
I—[
и маркер ; , возможно в различных местах этой строки, мы скажем, что число
/ осуществлено. Если / осуществлено, в более поздний момент оно может стать
неосуществленным, если / I переместится вниз на новую строку.
15*

228 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
Пусть / пересчитывает множество'С без повторений. Процедура состоит
в следующем. Множества Ао, Ait ..." и Во, Вх, . . . определены, как в тео-
теореме III. Маркеры задаются следующим приоритетным упорядочением:
Q-
не оговорено противное, всюду речь идет
п I с первым неспецифицированным элементом
Этап 2и+ 1. (Если
об А -списке.) (i) Соотнесите
первой свободной строки А-списка. (и) Вычислите /(и), (ill) Пометьте звездоч-
звездочкой /(п)-й столбец, т. е. столбец, содержащий (х, f(n)), х = 0, 1, 2, ... .
(iv) Напишите плюс в первом кружке, встречающемся в этом столбце, если
таковой найдется. (Этот кружок уже может иметь минус.)Если такой кружок
существует, пусть I / I есть маркер в строке этого кружка (там должен суще-
существовать один и только один такой маркер); переместите все маркеры | к |?
(к < п), следующие, согласно приоритетному упорядочению, за |-; ^ вниз
на свободные строки В-списка и соотнесите их с первыми неспецифицирован-
ными элементами этих новых строк; сотрите все кружки в старых строках
(в В-списке), с которых эти маркеры [&| были перемещены, (v) Переместите
все неосуществленные маркеры, оставшиеся в /(«)-м столбце, на первые неспе-
цифицированные числа справа в соответствующих строках, (vi) Произведи-
Произведите п шагов в каждом из множеств W^2n, . . ., W^2n. Пусть текущие позиции
маркеров |o|,|l|,...,|»| суть а{,п), . . ., а<?". Возьмите наименьшее неосу-
неосуществленное /, если оно существует,такое, что а(;п) появляется в этой части
пересчитывания множества wf2n. (Если такого /|не существует, перейдите
к этапу 2п + 2.) Поместите кружок под а^"' и переместите | / | на первое неспе-
цифицированное число справа в том же ряду. Напишите минус под каждым
числом в В-списке, таким, принадлежность которого к В2п была использована,
чтобы показать, что а'/1 ? W?2n. (Некоторые из этих минусов могут оказаться
внутри кружков.) Переместите все маркеры \к\ , следующие после Г71 , вниз
I 12 I ll
на свободные^строки В-списка, и соотнесите с ними первые неспецифицирован-
ные элементы этих строк. Сотрите все кружки в строках, с которых эти мар-
маркеры к I были перемещены.
Этап 2w + 2. Аналогично (для В-списка).
Остается показать, что А и В обладают требуемыми свойствами.
1. Каждый маркер может перемещаться лишь конечное число раз, Если
это не так, возьмите маркер высшего ранга из тех, что перемещаются беско-
бесконечно часто. В конечном счете он должен будет перемещаться бесконечно часто
в пределах какой-то одной строки и никогда не будет осуществленным в этой
строке. Пусть эта строка есть {т, 0), (т, 1), ... . Из построения следует,
что множество {х | (т, х) имеет кружок} должно быть С. Но это делает ~С
рекурсивно перечислимым в противоречие с предположением'о нерекурсив-
ности множества С.
2. A sg;TC. Чтобы выяснить, будет ли {х, у) ? А, посмотрим, будет ли
у 6 С. Если у $ С, то {х, у) § А. Если jr С, вычислим т = f-Цу) и посмот-
посмотрим, получило ли (х, у) плюс на Bт + 1)-м этапе вычисления. Если да, то
(х, у) Z А; если нет, (х, у) $ А.
3. В ^ С А
В
, (, у) $
С. Аналогично.
§ Ю.6. упражнения 229
4. А <^т В. В противном случае А = W% для некоторого п. Рассмотрим
последнюю строку, в которой появляется | п | . В этой строке п или осущест-
осуществляется, или нет. Предположим, п в конечном итоге осуществляется в этой
строке. Пусть первый плюс, встречающийся в этой строке, приходится на а.
Тогда по построению а 6 W% (приоритетное упорядочение гарантирует это,
не допуская минусы, которые надлежало бы помеотить рядом с а, в W^). Отсю-
Отсюда а ?А П W% и А Ф Wn- Предположим теперь, что п никогда не осущест-
осуществляется на этой строке. Пусть а' — окончательное положение \п I . Тогда,
согласно лемме теоремы III, а' ? A f| Wn', и вновь А Ф Wn- И в том и другом
случаях имеем противоречие.
5. В <4^тА. Аналогично.
(Замечание. Сакс получил более сильную форму указанной теоремы,
в которой A\JB=ChAC\B= 0.)
10-12. Для данной совокупности структур «?? покажите, что любые
две счетные плотные структуры (относительно *&) алгебраически изо-
изоморфны.
10-13. Приведите пример совокупности структур «??, для которой не суще-
существует никакой плотной структуры. (Указание. Возьмите структуру^, состоя-
состоящую из циклических групп порядков 2 и 3, имеющую в качестве и группо-
групповую операцию.)
Д 10-14. Покажите, что е^т обладает счетной плотной структурой. (Ука-
(Указание. Заметим, что для всякого L в dti и любых at, а2, ¦ . ., ап в L L (oj, . . .
. . ., ап) конечна. Заметим далее, что если L, Nd и N2 в ^т конечны, L алге-
алгебраически изоморфна подструктуре Nt и L алгебраически изоморфна под-
подструктуре N2, то существует структура М в Jl^, такая, что N4 алгебраически
изоморфна подструктуре М, N2 алгебраически изоморфна подструктуре М
и образ L в М через N4 совпадает с образом L в М через N2. Затем про-
проведите индуктивное построение.)
10-15. В § 10.3 выведите предложения 1 и 2 и вторую теорему Сакса из ги-
гипотезы Шёнфильда.
Д 10-16. Выведите первую теорему Сакса из гипотезы Шёнфильда.
Д 10-17. Пусть В — гиперпростое множество, получаемое конструкцией
теоремы Деккера (теорема 9-XVI). Покажите, что В не гипергиперпросто.
(Указание (предложенное Саксом). Пусть/, А и В такие же, как в теореме
9-XVI. Воспользуйтесь методом приоритета следующим образом. Возьмите
бесконечный список натуральных чисел. Соотнесите маркеры | 0- | 1 , ...
с числами списка. Число свободно в данный момент, если оно не имеет и не
имело никакого маркера, с ним соотнесенного.)
Этап в-(-1. Подшаг 1. Пусть z — наименьшее свободное число ^ п.
Вычислите /(z). Пусть 60, • ¦ •, Ьп—текущие позиции | 0 I, . . . | п . Возьмите
наименьшее i ^ п, если таковое существует, для которого выполняется
bt < z и f(z) < /(&,)• Если такого i не существует, переходите к подшагу 2.
Если такое i существует, переместите маркер i вниз на z, а все маркеры
I / I» i < } ^ п, вниз] на свободные числа c,+i< ... < сп, такие, что
/(z) < /(cj+j) < . . . < f(cn). Затем перейдите к подшагу 2.
0.
Подшаг 2. Пусть! с — текущая позиция
Соотнесите
1
с первым свободным числом d ниже с, таким, что /(с) < f(d). Затем перейдите
к этапу п + 2.

230 ГЛ. 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА
Определим функцию g, такую, что Wg(x) = (множество всех чисел,
с которыми соотнесено х этой процедурой). Затем, взяв g в качестве /
в определении гипергипериммунности из § 9.6, мы можем показать, что В
не гипергипериммунно. (Замечание. Это упражнение является непосредствен-
непосредственным следствием упр. 9-44 (vi) и упр. 10-19, ниже.)
^10-18 (Янг). Покажите, что существует множество, которое btt-полно,
но не m-полно. (Указание. Постройте А, такое, что А а К, А = К — А
и А не есть цилиндр. Немедленно получим, что К =S[ ъиА и тем самым, что А
btt-полно; А не m-полно, поскольку А не есть цилиндр. А строится следую-
следующим образом. Определим рекурсивную перестановку р так, что р(К) = К
и (\jx)[p(x) Ф х & рр(х) = х], и общерекурсивную функцию g со множеством
К значений, удовлетворяющую соотношению (\jx)[gBx -(- 1) = pgBx)].
Заметим, что для любого цилиндра С существует общерекурсивная взаимно
однозначная функция /, такая, что (^x)[f(x) Ф х &.[х ? С <=> f(x) ? С]].
Воспользуйтесь методом приоритета, согласно которому А может быть постро-
построено так, что такой функции / для А не существует, и так, что A cz К
и р(А) = К — А. Удобно трактовать (и порождать) A vs К — А сим-
симметричным образом. Заметим кстати, что ввиду упр. 8-45 А есть неци-
нецилиндр из g3) не имеющий никаких множеств из ^j или %% в своей
btt-степени.)
^10-19 (Ейтс [1962]). Покажите, что если множество А рекурсивно пере-
перечислимо и А бесконечно, то [А гипергипериммунно-?=> А не имеет бесконечно-
бесконечного ретрассируемого подмножества] (упр. 9-44). (Указание. Ф=. Предположим,
А не гипергипериммунно. Построим частичнорекурсивную функцию г|) сле-
следующим образом. Начнем одновременно перечислять непересекающиеся
конечные множества W/(o), W^(i)> • • •» в то же самое время порождая
множество А. (Функция / берется из определения гипергипериммунности.)
Более конкретно, на п-и этапе пересчитываем каждое W/(x), x ^ п, до тех
пор, пока первый элемент не появится в А к w-му шагу в пересчете мно-
множества А. Определим ty на всех тех заключительных элементах W/(o), • ¦ •
. . ., Wf(n), которые были перечислены, но еще не появились в А, и для кото-
которых г|з ранее не была определена. Сделаем это таким образом, чтобы существо-
существовала максимальная цепь т > ty(m) > г|)(г|)(т)) > . . . заключительных элемен-
элементов, содержащая все заключительные элементы, на которых ty не была опреде-
определена. Тогда я|) будет ретрассирующей функцией бесконечного подмно-
подмножества А.
Ф=. Это обобщает доказательство 10-17 (см. (vi) упр. 9-44). Рассмотрим
ретрассирующее „дерево" \|) (определяемое очевидным образом). Соотнесем
маркеры Го|, 111 , . . . с каждым уровнем этого дерева. Пересчитываем А
и перемещаем маркеры (каждый в пределах своего уровня) соответственно
приоритетной схеме, такой, что каждый маркер останавливается в конце кон-
концов на элементе А и все маркеры останавливаются на одной и той же ветви.
Эта ветвь есть тогда бесконечное ретрассируемое подмножество множества А,
и для каждого п положения маркера п составляют рекурсивно перечислимое
множество Wf(ny (Это определяет /.) Это семейство рекурсивно перечислимых
множеств свидетельствует о том, что А не гипергипериммунно.) (Замечание.
Целый ряд методов приоритета (включая теорему III) может быть представлен
в этой форме; т. е. маркеры перемещаются, каждый в пределах своего соб-
собственного уровня по некоторому заданному дереву, так что все они в конце
концов останавливаются на одной и той же ветви этого дерева.) (Упраж-
(Упражнение 12-50 является усилением упр. 10-19 (см- упр. 9-48 (Ь), 12-48
и 12-49).)
§ 10.6. УПРАЖНЕНИЯ 231
§ Ю.4
10-20. Модифицировав доказательство теоремы V, покажите, что всякая
нерекурсивная рекурсивно перечислимая Т-степень содержит
(i) три рекурсивно неречислимых множества, любые два из которых не
пересекаются и рекурсивно неотделимы;
,Д(п) нв рекурсивно перечислимых множеств, любые два из которых
не пересекаются и рекурсивно неотделимы. (Указание. Используйте N
вместо @, 1} в конструкции теоремы V.)
§ 10.5
10-21. Опишите равномерную эффективную процедуру, такую, что
по любому данному высказыванию х из 35о и любому п > 0 мы можем уста-
установить, будет или нет.х истинно для мощности п. (Указание. Воспользуйтесь
нумералами 1, 2, . . ., п. Замените кванторы общности конечными конъюнк-
конъюнкциями и кванторы существования конечными дизъюнкциями, затем устано-
установите истинность или ложность, как проиллюстрировано в следующем приме-
примере для в = 3и1= Ca)(Vb)—\а = Ъ:
Ce)(Vb)-io = Ь,
(Зо)[-|о = 1 & ~\а = 2 & -]а = 3],
2 & 3 Ф 3],
&
& г] V U & / М V U &
/V/V/,
&/],
/)
дЮ-22. Покажите, что для любого высказывания х из JS0 если х имеет
ровно п кванторов и т ^ п, то [х истинно для мощности п <=?» х истинно для
мощности го]. (Указание. Рассмотрите процедуру упр. 10-21 и покажите, что
для т она приводит к тому же, к чему и для п. Наиболее удобно это установить,
предварительно эллиминировав „<=>" и „=Ф", выражая их через „Н'\ „&"
и „Vя.
Д10-23. Докажите пункт (с) леммы в теореме VI. (Указание. Обобщите
доказательство из 10-22 на случай, когда т заменяется бесконечным карди-
кардинальным числом. Рассуждения, относящиеся к конечным дизъюнкциям
и конъюнкциям, должны быть заменены более общими теоретико-множе-
теоретико-множественными рассуждениями.)
10-24 (Джокуш). Покажите, что А X А *^тА <=> существует теория Т
первого порядка, такая, что Аз=тГ.

Глава 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
§ 11.1 Введение 232
§ 11.2 Теорема о рекурсии 233
§ 11.3. Полнота творческих множеств;
вполне продуктивные множества 236
§ 11.4. Другие применения и конструкции 239
§ 11.5. Другие формы теоремы о рекурсии 249
§ 11.6. Обсуждение 256
§ 11.7. Системы обозначений для ординалов 263
§ 11.8. Конструктивные ординалы 271
§ 11.9. Упражнения 274
§ 11.1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах были рассмотрены различные виды
рекурсивно инвариантных структур. Были построены множества
натуральных чисел с довольно специальными патологическими
свойствами. Кульминацией нашего исследования патологических
структур явилось построение в гл. 10 рекурсивно перечислимых
множеств, которые не рекурсивны и не Т-полны.
Предложим теперь простой общий метод порождения раз-
различных патологических структур в теории рекурсивных функций.
Хотя этот метод и не достаточен для того, чтобы получить теорему
Мучника — Фридберга (гл. 10), он дает способ для ответа на ряд
вопросов, которые оставались открытыми в предыдущих главах.
В § 11.3 мы воспользуемся им, чтобы показать, что всякое твор-
творческое множество полно и что всякое продуктивное множество
вполне продуктивно. В § 11.4—11.8 мы неоднократно будем при-
применять этот^ метод для установления некоторых других резуль-
результатов.
Метод будет сформулирован в виде теоремы, называемой обычно
теоремой о рекурсии или теоремой о неподвижной точке в теории
рекурсивных функций. Как уже было сказано, она является основ-
основным инструментом исследования. Это глубокий результат в том
смысле, что он дает изящный и экономичный метод обращения
с конструкциями, что в ином случае потребовало бы долгих и
сложных рассуждений.
Эта теорема может быть приведена в нескольких формах
и может, на интуитивном уровне, рассматриваться с нескольких
точек зрения. В определенном смысле теорема суммирует некото-
некоторый класс диагональных методов, включая метод, используемый
для построения рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных
множеств (теорема 5-VI). С другой стороны, эта теорема устанавли-
устанавливает некоторый результат о неподвижной точке и, подобно теоремам
§ 11.2. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ 233
анализа о неподвижной точке, может быть использована для
доказательства существования многих неявно заданных функций".
Проиллюстрируем содержание и возможности применения тео-
теоремы о рекурсии, рассмотрев следующий вопрос. Существует ли
т, такое, что Wm = {т}? На первый взгляд, существование-
такого т может показаться случайным свойством, присущим-кон-
присущим-конкретной нумерации рекурсивно перечислимых множеств. В самом
деле, может казаться столь же вероятным, что при нашей нумера-
нумерации такого т не существует. Однако в § 11.2, применив теорему
о рекурсии, мы докажем, что такое т должно существовать как
при нашей нумерации рекурсивно перечислимых множеств, так
и при всякой другой допустимой нумерации рекурсивно перечис-
перечислимых множеств.
Теорема о рекурсии (как и многие из ее известных приложений)
была установлена Клини.
§ 11.2. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Теорема о рекурсии в ее наиболее сильной и общей форма
будет представлена теоремой IV. Из соображений наглядности
сначала излагаются три более простых варианта этой теоремы.
Эти результаты формулируются явно в теоремах II, III и IV
и неявным образом содержатся в доказательстве теоремы I.
Теорема I. Пусть / — общерекурсивная функция; тогда суще-
существует п, такое, что
фп = Ф/т>-
(Мы назовем п неподвижной точкой для f (a fixed-point value
for /).)
Доказательство. Пусть дано любое и. Определим
частичнорекурсивную функцию г|) следующими инструкциями:
чтобы вычислить г|)(#), привлеките сначала Ри с входным значе-
значением и; как только вычисление закончится (если это произойдет)
и на выходе будет w, воспользуйтесь Pw при входном значении х;
как только вычисление закончится (если это произойдет), возь-
возьмите его выход в качестве гр(ж). Резюмируем сказанное:
_ I Ф<рц(го(ж)' если Фи(«) сходится;
ч> \х) — у расходится, если Ф„(и) расходится.
Инструкции для функции 1|э равномерно зависят от и. Пусть g —
общерекурсивная функция, отыскивающая по и гёделев номер
этих инструкций для г|). Таким образом,
Г Ффи(и) (ж)> если Фи(") сходится;
расходится, если (ри(и) расходится.

234 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
§ 11.2. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ 235
Пусть теперь дана произвольная общерекурсивная функция /.
Тогда fg общерекурсивна. Пусть v — гёделев номер fg. Поскольку
<р„ = fg всюду определена, ф„ (v) определено. Отсюда, заменив и
на у в определении g, имеем
Таким образом, п = g(v)
лось. а
неподвижная точка, что и требова-
требоваСледствие I. Пусть f — произвольная общерекурсивная функ-
функция; тогда существует п, такое, что Wn = Wfin).
Доказательство очевидно.а
Пример. Рассмотрим вопрос, поставленный в § 11.1. Суще-
Существует ли т, такое, что Wm = {т}? Согласно тезису Чёрча
{и ?7т-тг-теореме), существует общерекурсивная функция /, такая,
что для любого х Wf(x) = {х}. Применив следствие I, имеем п,
такое, что Wn = Wf(n). Отсюда Wn = {п} и на поставленный
в § 11.1 вопрос получаем положительный ответ. (Заметим, что это
доказательство может быть проведено для любой гёделевои нуме-
нумерации, допустимой в смысле упр. 2-10; см. также упр. 11-12.)
Теорема I может быть усилена в трех направлениях: A) можно
показать, что п зависит равномерно от гёделева номера функции /;
B) можно показать, что если / содержит другие параметры рекур-
рекурсивно, то можно сделать, чтобы п зависело равномерно от этих
параметров; C) можно показать, что для любой функции / беско-
бесконечное множество неподвижных точек может быть рекурсивно
перечислено. Мы посвятим направлениям A) и B) теоремы II
и III соответственно. Направления A), B) и C) объединены в наи-
наиболее общей формулировке в теореме IV, включающей в себя тео-
теоремы I, II и III. Теоремы I и III сформулированы в виде, исполь-
используемом чаще всего в приложениях. ^|
Теорема II. Существует общерекурсивная функция п, такая,
что для всякого z, если функция <pz всюду определена,
фп(г) = 4>q>z(n(z))-
Доказательство. Пусть фг = /, рассмотрим доказа-
доказательство теоремы I. Согласно теореме 1-VI, v, гёделев номер
функции fg, может быть найден равномерно^ по z. Пусть v — обще-
общерекурсивная функция, такая, что ф~(г) = фг#. Тогда искомая обще-
общерекурсивная функция п задается равенством n{z) = gv(z).m
Следствие II. Существует общерекурсивная функция п, такая,
что для любого "z, если функция ф2 всюду определена,
Wn(z) = W<pziHz)).'
Доказательство очевидно.ш
Теорема III. Пусть f — общерекурсивная функция к + 1 пере-
переменных. Тогда существует общерекурсивная функция nt от к пере-
переменных, такая, что для всех хи . . ., xh
Фп/xi xh) = 4>f(nf(xi, .... xk), Xi, ... xfe).
Доказательство. Конструкция повторяет конструк-
конструкцию теоремы I. Определим функцию g к -$-1 переменных так, что
Гфф(й+1)(и) Х1 Xh)(y), если ф^+D {и,хи . . .,xh) сходится;
[расходится, если (р^+1~> (и, х\, . . ., хк) расходится.
Далее, пусть*Ъ есть гёделев номер функции
. . . xk[f(g{u, хи . . ., xh), хи . . ., xk)]
от к + 1 переменных. Поскольку / и g всюду определены, функция
всюду определена. Тем самым имеем
u, xi
Положив nf = fact, . . ., xh[g(v, Xi, . . ., xh)], получаем требуе-
требуемый результат.ш
Следствие III. Пусть / — общерекурсивная функция
к + 1 переменных. Тогда существует общерекурсивная функция
Uf от к переменных, такая, что для всех х±, . . ., xk
Wnf(xi xk) = Wf(nf(xi, . . ., xk), Xi xh)-
Доказательство очевидно.ш
Приведем теперь наиболее общую формулировку.
Определение. Функция / от п переменных взаимно однозначна,
если для каждого у существует самое большее одна и-ка (xi, . . .
. . ., хп), такая, что f(xu ¦ ¦ ¦, хп) = у.
Теорема IV (Клини). Каково бы ни было к, существует общере-
курсивная функция п от к -\- 2 переменных, такая, что п взаимно
однозначна, и для любого z, если ф^'+1> всюду определена, то для

236 ГЛ. И. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
всех х±,
&, у
, у),».....,
Доказательство. Пусть t — общерекурсивная функ-
функция двух переменных, определенная в доказательстве теоре-
теоремы 7-IV. Тогда t взаимно однозначна, и для всех хжу фгA1 у) =
= фх. Возьмем функцию g, как в доказательстве теоремы III.
Определим g посредством
g(u, Хи . . ., Xk) = t(g(u, Xu . . ., Xh), (U, Xi, . . ., Xk)). ¦
Функция g — взаимно однозначная, обладающая всеми свойствами
функции g, о которых идет речь в доказательстве теоремы III.
Пусть v — общерекурсивная функция, такая, что v(z) — гёделев
номер функции
"ких,. . . . жй[ф(*+1>(?(м, xu . . ., xh), хи . . ., xk)\.
Положим
п = 'Kzxi . . . xhy[g(i(v(z), у), xt, . . ., xk)].
Очевидно, п обладает требуемыми свойствами.ш
Можно привести следствие теоремы IV, подобно следствиям I,
II и III. Мы опускаем его.
Основными объектами теорем I — IV были частичнорекурсив-
ные функции одной переменной. В случае частичнорекурсивных
функций к переменных для всякого к > 1 формулировки и дока-
доказательства переносятся непосредственно.
Клиниева формулировка и доказательство теоремы I приведены
в упр. 11-44. Клиниева формулировка слегка отличается несуще-
несущественными деталями от нашей. Благодаря этому его доказатель-
доказательства в некотором отношении формально более просты.
§ 11.3. ПОЛНОТА ТВОРЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ;
ВПОЛНЕ ПРОДУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
Воспользуемся теоремой о рекурсии, чтобы ответить на два
вопроса, остававшиеся открытыми в предыдущих главах. A) Вся-
Всякое ли творческое множество m-полно (и, следовательно, согласно
теореме 7-VII, 1-полно)? B) Всякое ли продуктивное множество
вполне продуктивно?
Теорема V (Майхилл [1955]). А — творческое множество =*- А
т-полно.
§ 11.3. ПОЛНОТА ТВОРЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ 237
Доказательство. Пусть А — творческое множество.
Тогда А продуктивно и, согласно теореме 7-XI, А обладает,
продуктивной всюду определенной функцией. Пусть h — такая
продуктивная функция и В — рекурсивно перечислимое множе-
множество. Для фиксированных хжу определим частичнорекурсивную
функцию г|) следующими инструкциями: получив входг, пытай-
пытайтесь обнаружить у в В; как только у появится в В (если это про-
произойдет), вычисляйте функцию h(x); если z = h(x), выдайте Р
на выход; если z Ф h(x), не выдавайте никакого выходного значе-
значения. Эти инструкции -зависят равномерно от ж и у. Значит, суще-
существует общерекуроивная функция /, такая, что для любых хжу
1|) = ф/(х, j,).
Переходя к областям определения, имеем
\ Щх)}, если у еВ;
Применив следствие III, получим общерекурсивную функцию п,
такую, что
и. „. f {hn(y)}, если у ЕВ;
[ у), если у Q п.
Тогда
€ Wniyi =$- Wn(y> (? А (в силу продуктивности) =Ф-
hn(y) 6 А
у <$ В =ф- Wnlpi = 0 =Ф- hn(y) 6 А (в силу продуктивности).
Таким образом, для любого у,у ?В <z^hn(y) 6 А. Отсюда В ^т А.
Поскольку В есть произвольное рекурсивно перечислимое мно-
множество, А m-полно.и
Следствие V. А — творческое множество <=> А 1-полно <=>
<=> А т-полно.
Доказательство. Согласно теореме 7-VII, т-пол-
нота <=> 1-полнота. Согласно следствию 7-V, m-полнота =Ф- креа-
креативность. Тем самым следствие доказано. ш
Творческие множества, следовательно, составляют один изо-
изоморфный тип; с точки зрения теории рекурсивных функций любые
два творческих множества идентичны.
Теорема VI. А продуктивно =$¦ А вполне продуктивно.
Доказательство. Пусть А продуктивно, и пусть h —
всюду определенная продуктивная функция множества А, суще-
существующая в силу теоремы 7-XI. Конструкцией, подобной кон-

238 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
струкции теоремы V, получаем общерекурсивную функцию /, та-
такую, что
хат _^ тт/ г\ fh('r\ X
' j(x, у) У ll V VI / /*
Применив следствие III, получим общерекурсивную функцию пг
такую, что для всех у
Wn(y) = Wtfrlv), у) = Wy П {МУ)>-
Тогда
My) EWj=^ VFn(y) = {My)} => ^n(y) <? ^ (в СИЛУ
продуктивности) => hn(y) ? ^4
и
hn(y) QWy=$- Wniy) = 0 =>Wn(y) cz.A => hn(y) 6 А (в силу
продуктивности).
Отсюда
An(i/) ? А <=> An(i/) 6 И7^.
Таким образом, А вполне продуктивно с fen в качестве вполне про-
продуктивной функции. и
Оба приведенных доказательства используют теорему 7-XL
При доказательстве теоремы VI вполне можно было бы обойтись
без использования этой теоремы и получить ее как следствие
теоремы VI (см. упр. 11-13). Может быть приведено также простое
непосредственное доказательство теоремы 7-XI с применением
теоремы о рекурсии.
Еще одно доказательство теоремы 7-XL
Пусть А — продуктивное множество с продуктивной функцией г|).
Возьмем общерекурсивную функцию /, такую, что
Wy, если ty(x) сходится;
0, если г|)(ж) расходится.
Следствие III дает функцию п, такую, что
Vу, если г|)п(у) сходится;
б, если г|)?г(у) расходится.
Тогда
tyn(y) расходится => Wn (у) = 0 =Ф- tyn(y) определено
(в силу продуктивности). Отсюда tyn есть общерекурсивная
функция. Тем самым для всех у выполняется Wn(y> — Wу. Следо-
Следовательно,
Wy d A => Wn{y) cr А =Ф-1|)п(у) € А — Wn(y№ силу
продуктивности) => tyn(y) 6 А — Wy.
Отсюда \рп — (всюду определенная) продуктивная функция для А .т
'/(*.») =
Wn(y) = Wf(n(y),
§ 11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ 23&
Теорема 7-VII использовалась также при получении следст-
следствия V. Можно было бы не привлекать теорему 7-VII, если при до-
доказательстве теоремы V воспользоваться'результатом упр. 7-50
для получения взаимно однозначной всюду определенной продук-
продуктивной функции h и теоремой IV для получения взаимно однознач-
однозначной функции п. Непосредственно из модифицированного доказа-
доказательства тогда получаем, что А — творческое множество =>¦ А
1-полно, и следствие V вытекает только из следствия 7-V.
Таким образом, все результаты этого раздела, как и теоре-
теоремы 7-VII и 7-XI, получаются с помощью простых конструкций,
связанных с теоремой о рекурсии. Поучительно (в случаях, подоб-
подобных теореме 7-XI) сравнить доказательства, использующие тео-
теорему о рекурсии, с доказательствами, к ней не прибегающими.
Если читатель располагал доказательствами теорем V и VI до
чтения этой главы (проделав упр. 7-32 и 7-52), он может сравнить
свои доказательства с приведенными выше, использующими тео-
теорему о рекурсии. В процессе развития теории рекурсивных
функций целый ряд результатов был установлен сначала путем
сложных непосредственных доказательств, а затем, позднее,
с помощью более коротких и элегантных конструкций с привле-
привлечением теоремы о рекурсии.
Хотя непосредственное назначение теоремы о рекурсии состоит
в получении патологии, мы отметим, что в теоремах V и VI она
дает возможность установить соотношения между ранее опреде-
определенными понятиями.
§ 11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ
Пять иллюстраций, приведенных ниже, дадут некоторое пред-
представление о возможности применения теоремы о рекурсии. Еще
некоторое число их будет приведено в последующих разделах этой
главы и в упражнениях. Первая иллюстрация относится к теории
множеств, вторая — к логике, третья — к теории автоматов, чет-
четвертая и пятая касаются теории рекурсивных функций.
Первая иллюстрация. Рекурсивно перечислимые
множества и теория множеств
Рассмотрим отношение Е= {(jn, и) | т 6 Wn). Если (т, п} 6
? Е, мы пишем тЕп. Между отношением Е и отношением 6 теории
множеств можно усмотреть отдаленную аналогию 1). На мысль
J) Среди обычных аксиом теории множеств (в формулировке Цермело —
Френкеля) имеют место аксиомы пары, суммы, выбора и бесконечности. Акси-
Аксиомы степени, объемности (экстенсиональности) и фундирования места не
имеют. Аксиомы свертывания и замещения (замены) в общем виде не верны

240 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
об этой аналогии наводит ряд вопросов: A) Существует ли т, та-
такое, что тЕт? Очевидно, что для любого элемента т из К тЕт
по определению. Мы усложним вопрос A) следующим образом.
B) Определим: т есть унитарное множество, если Wm = (п) для
некоторого п. Существует ли унитарное множество т, такое, что
тЕт? Этот вопрос совпадает со следующим: существует ли Wm =
= {т}? Из § 11.2 мы знаем, что это возможно. C) Возможно ли
¦существование таких унитарных множеств тип, что т =Ф п,
тЕп и пЕт? В упр. 11-24 мы покажем, что это возможно. D) Суще-
Существует ли бесконечная восходящая цепь унитарных множеств;
иными словами, можно ли найти различные т0, mi, . . ., такие,
что m0Emi, т^т2, . . .? Это может быть сделано следующим обра-
образом. Определим общерекурсивную функцию h, такую, что для
всех у
Wh(y) = {у} и Цу) > у.
Положим
т0 = h{0),
mn+i = h(mn).
Последовательность т0, mi, . . . есть искомая последовательность
¦(на самом деле она еще и рекурсивно перечислима). E) Возмож-
Возможно ли существование бесконечной нисходящей цепи унитарных
множеств? Это более сложный вопрос. Чтобы ответить на него,
воспользуемся теоремой о рекурсии.
Теорема VII. Существует бесконечная последовательность раз-
различных натуральных чисел mQ, mi, . . ., таких, что для всех i
}
Доказательство. Предпринятое нами построение вос-
восходящей цепи могло бы навести на мысль о возможности сущест-
существования такой общерекурсивной функции g, что для всех у Wv =
= {g(y)}. Это, однако, невозможно, поскольку не все у являются
унитарными множествами. Может ли быть достигнута более скром-
скромная цель — найти рекурсивную функцию g, такую, что'для всех у
w
g(vi
и имеют место лишь в ограниченной форме. Справедлива континуум-гипотеза
(не имеющая глубокого смысла, поскольку все множества конечны или счет-
ны). При такой аналогии теорему, утверждающую, что К(—{х | не хЕх))
не является рекурсивно перечислимым, можно считать аналогом парадокса
Рассела. Это относится также к формулировке и доказательству теоремы
Кантора. (В теории множеств теорема Кантора обнаруживает существова-
существование несчетных множеств; парадокс Рассела возникает, когда совокупность
всех множеств, не являющихся элементами самих себя, рассматривается
как множество.) См. упр. 11-23.
§ 11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ 241
Зададим функцию g следующим образом. Определим общерекур-
общерекурсивную функцию /так, чтобы
*Ф*B/)}, если ф*ф*(г/) сходится;
если фхф*B/) расходится.
Затем определим общерекурсивную функцию /', такую, что для
всех жиг/ Wr(x< y) = Wf(x, y) и f'(x, y)>y. (Для этой цели можно
воспользоваться функцией t из теоремы 7-IV, положив f'(x, у) =
= Ш(х, у), \iz[t(f(x, у), z) > у]).) Определим общерекурсивную
функцию h так, чтобы
Г 7/1 ~гт^7 Т IT 7/1
\У) — / \Х1 y)i
и заметим, что для всех х функция q>h(X) всюду определена. Приме-
Применив теорему I, получим п, такое, что
Фп = ФМп>-
Функция фп всюду определена и для всякого у
) = Wnn,v} = {ф„Фп(г/)}.
Кроме того, для всех у выполняется соотношение ц>п(у) > у. Тогда
(fn есть искомая функция g, поскольку
wg(y) = {gg(y)}.
Положим
?@),
последовательность т0, mi, . . . образует искомую нисходящую
цепь.н
В упр. 11-25 теорема VII используется для того, чтобы обна-
обнаружить существование насыщенных множеств, отличных от мно-
множеств специального вида, описанных в упр. 7-45 и 7-46.
Вторая иллюстрация. Аксиомы, утверждающие
свою собственную, непротиворечивость
Пусть задана логическая система вместе с кодированием пп-
формул на N. Предположим, что определено некоторое понятие
„непротиворечивости" (множеств ппф) и что существует общерекур-
общерекурсивная функция с, такая, что Для любого х ппф (с кодовым номе-
номером) с(х) понимается как утверждение о непротиворечивости мно-
множества Wх ппф. Пусть дано рекурсивно перечислимое множество
Wp пп-формул. Можем ли мы добавить к Wp ппф (с кодовым номе-
номером) q, которая будет утверждать непротиворечивость множества
^р U fe}? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Доказательство ее подобно доказательству теоремы VI.
16—0506

242 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Теорема VIII. Каковы бы ни были натуральное число р и обще-
общерекурсивная функция с, существует натуральное число п, такое,
что
Wn = Wp_ U {c(n)l
Доказательство. Возьмем общерекурсивную функ-
функцию /, такую, что для всякого химеет место W^X) = Wp \j {с(х)}.
Результат немедленно вытекает из следствия I. Более того,
согласно следствию II, п может быть найдено равномерно пб р
и индексу с. и
Таким образом, при ранее упомянутых предположениях о с
теорема VIII показывает, что может быть найден р. п. индекс п,
такой, что множество Wn состоит из Wp и ппф, утверждающей
непротиворечивость Wn. Сделаем теперь три замечания.
Замечание 1. Очевидно, теорема может быть применена
к свойствам множеств (пп-формул), отличным от непротиворечи-
непротиворечивости, например к свойствам противоречивости, полноты, неза-
независимости, если только свойство Р таково, что существует обще-
общерекурсивная функция сР, где сР{х) понимается как утверждение
о том, что множество W х обладает свойством Р.
Замечание 2. Среди различных р. п. индексов данного
рекурсивно перечислимого множества одни индексы могут счи-
считаться более „естественными" (в некотором смысле)., чем другие.
(Инструкции для фиксированного рекурсивно перечислимого мно-
множества могут значительно варьироваться по структуре; см.
упр. 11-26.) Существует ли некоторый „естественный" индекс п,
такой, что Wn = Wp U {с(и)}? Например, при доказательстве
теоремы VIII, если мы обусловим, что (для всякого х) f{x) есть
индекс и притом „естественный" индекс множества Wf(x), мы
можем задаться Вопросом: существует ли т, такое, что
Wfm, = Wp[j ?/(m)};
т. е. существует ли такое т, что Wfflm) = Wf{my Вообще говоря,
ответ на этот вопрос отрицателен: такой естественный индекс
не может быть найден (см. упр. 11-27). Однако для некоторых
логических систем при некотором выборе множества Wp этот крите-
критерий естественности может быть так ослаблен (разумным образом),
что станет возможным утвердительный ответ. Рассмотрим логиче-
логическую систему, которая содержит пропозициональную связку „<=>"
и обычные пропозициональные правила, относящиеся к „<=>''.
Для любых фиксированных х и у пусть Jc(x) <=> с(г/)]" означает
(в нашем рассмотрении) пп-формулу, полученную помещением „<=>"
между пп-формулами (с кодовыми номерами) с(х) и, с(у). Пусть
§ 11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ 243
/ — функция, построенная выше, такая, что WfW =
= Wp U {с(х)}. Назовем р. п. индекс у множества Wf(x) естест-
естественным, если ппф [с(у) <=>с(/(#))] выводима (в данной логической
системе) из пп-формул множества Wp. Рассмотрим, в частности,
случай, когда логической системой является элементарная арифме-
арифметика, И^есть множество аксиом Пеано, а функция с задана так, как
это будет намечено в § 11.6. Если п —неподвижная точка функции
для /, полученная применением следствия 1, то можно показать, что
ппф [с(п) <=>с/(п)] выводима из аксиом Пеано (прежде всего следует
показать, что ппф, выражающая утверждение „п и f(n) суть р. п.
индексы одного и того же множества", выводима из аксиом Пеано).
Следовательно, в доказательстве теоремы VIII п превращается
в естественный индекс множества Wp \j {c(n)}, и выражение
cf(n) может быть выведено из Wp [) {c(n)}, несмотря даже на то,
что cf(n) может не быть элементом множества Wp [) {с(п)}.
Замечание 3. Будет ли в действительности множество
Wn непротиворечиво? Для случая элементарной арифметики
с функцией с, заданной, как в § 11.6, Wn может быть или не быть
непротиворечиво в зависимости от выбора множества Wp и индек-
индекса р для Wp. Если Wp выбрано пустым, Wn непротиворечиво; если
Wp выбрано так, что оно есть множество аксиом Пеано, а р —
индекс обычного пересчета аксиом Пеано, то множество Wn
не может быть непротиворечиво. Это следует из второй теоремы
Гёделя о неполноте (§ 11.6).
Третья иллюстрация. Самовоспроизводящиеся машины
Существуют ли машины, способные воспроизводить себя?
В литературе встречается несколько способов уточнения этого
вопроса и ответов на него. (Первая теорема, отвечающая утверди-
утвердительно на этот вопрос, принадлежит фон Нейману.) Такого рода
конструкции часто в значительной степени напоминают доказа-
доказательства теоремы о рекурсии. Воспользуемся теоремой о рекур-
рекурсии для получения общей теоремы, из которой можно вывести
различные известные результаты о самовоспроизводящихся маши-
машинах как частные случаи.
Пусть аМ есть счетный класс объектов. Мы назовем элементы
класса аМ машинами. Пусть М есть счетный класс объектов,. Мы
назовем элементы М представлениями. Предположим, что всякой
машине М класса аМ поставлено в соответствие некоторое частич-
частичное отображение из JV в М, т. е. однозначное подмножество
N X. $1- Для всякой машины М мы обозначим соответствующее
ей частичное отображение также через М и воспользуемся обозна-
обозначением М(х) = R для указания на то, что натуральное число х
16*

244 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
отображается на представление R посредством М. Предположим
далее, что для всякой частичнорекурсивной функции г|э и всякой
машины М существует машина М', такая, что отображение М'
совпадает с отображением Л/\|э. (Мы могли бы сказать, что „класс
оМ замкнут относительно композиции с машинами Тьюринга".)
Наконец, предположим, что задано фиксированное кодирование
класса J на ^ и что существует такая общерекурсивная функ-
функция h, что для всех Xi и х2 Mh^Xl, Xl) = MXlyX2 (где для любого
z Мг есть машина с кодовым номером z).
Теорема IX. Пусть D — произвольная машина. Тогда суще-
существует такое натуральное число т, что при всех входных значе-
значениях машина Мт выдает D(m) в качестве выходного значения.
(На интуитивном уровне всякое представление из М может
мыслиться как, в некотором смысле, репродукция машины из аМ,
D — как специальная машина класса <М, которая по любому х
строит репродукцию машины с кодовым номером х. Тогда теорема
утверждает, что должна существовать машина, которая вне зави-
зависимости от входного значения производит свою собственную
репродукцию.)
Доказательство. Пусть d есть кодовый номер маши-
машины D. Для любого данного х пусть г|э есть постоянная функция,
значение которой (при любом входе) есть h(d, x). Инструкции для
1|э будут зависеть от х; тем самым может быть найдена общерекур-
общерекурсивная функция /, такая, что
Ф/(х)B/) = h(d, x) для всех у.
Применив теорему о рекурсии, мы получим такое п, что $>п(у) =
= ф/(п)(у) = h{d, n) для всех у. Отсюда Dqn(y) = Dh(d, n) для
всех г/; Но /)ф„ = Mhid,n> (п° определению К).
Положив т = h(d, п), имеем Мт{у) = D(m) для всех вход-
входных значений у.я
Рассмотрим бегло два примера.
Пример 1. Возьмем в качестве <М класс машин Тьюринга,
и пусть Мх обозначает машину с гёделевым номером х относитель-
относительно нашей исходной нумерации машин Тьюринга. Пусть представ-
представлением данной машины Тьюринга будет последовательность еди-
единиц и В, кодирующая четверки этой машины в соответствии со сле-
следующими правилами:
qt 1 1 1 ... 15 (i + 1 единиц)
1 1 1
В В В
L 1 В
R В\
11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ 245
Таким образом, машина {qi\Rq2, g^-Bl^i} имеет
11511511115111 ВВВ 11115
в качестве представления. Пусть М — йласс всех таких пред-
представлений машин Тьюринга. Можно (и нетрудно) показать, что
существует машина Тьюринга D, которая для любого входного
значения х завершает работу, имея на ленте представление для
машины Мх (и ничего более). Теорема IX показывает тогда, что
существует некоторая машина Тьюринга, завершающая работу
со своим собственным представлением (и ничем более) на ленте
для любого ряда единиц в качестве входных значений 1).
Пример 2, Возьмем в качестве <Ж более общий класс машин,
некоторые из которых обладают способностью производить новые
физические объекты, поглощая сырье из окружающей среды.
Пусть М — это само <М. Возьмем в качестве D некоторую „уни-
„универсальную машину", которая по любому данному кодовому номе-
номеру („синьке") машины будет конструировать копию этой машины.
В этом случае теорема IX утверждает, что существует некоторая
машина, которая может сконструировать копию самой себя.
Разумеется, в обоих примерах должно быть доказано сущест-
существование соответствующей машины D. В примере 2 в этом и заклю-
заключена вся тонкость. Должно быть дано точное определение машины
и среды и предпринято более детальное изучение возможных кон-
конфигураций среды. Тем не менее наше применение теоремы о рекур-
рекурсии выявляет основные черты доказательства самовоспроизводи-
самовоспроизводимости и имеет непосредственное отношение к ошибочным сообра-
соображениям (основывающимся на „бесконечном регрессе") по поводу
невозможности существования самовоспроизводящихся машин 2).
х) Это применение было предложено К. Ли.
2) В примере 2 мог бы везникнуть вопрос о пределах отклонений и посте-
постепенном внесении ошибки (для макроскопических машин). В конечном счете
это вопрос о том, как мы определяем <Л и конструируем D. Возможное реше-
решение состоит в том, чтобы ввести абсолютные стандарты (атомные часовые
механизмы, длины волн спектральных линий и т. д.) ъ D.
Подход теоремы IX несколько отличается от наиболее распространенных
конструкций, связанных с самовоспроизводимостью машин. В такого рода
конструкциях самовоспроизводящиеся машины могут быть описаны в виде
{D, С, Е, F, i)), где!) — „реализатор синьки" (строящий объект по любой
данной „синьке"), С — „устройство, копирующее программу", Е — допол-
дополнительное оборудование для обращения с входами и выходами устройств
С ъ D, (Ь, i) есть „программа", состоящая из Ъ — синьки устройства (D, С,
Е)тг i — множества дополнительных инструкций. Машина получает команды
из i и действует следующим образом. Синька Ъ помещается вйи вырабаты-
вырабатываются репродукции D', С и Е'. Затем программа (Ь, i) помещается в С,
где с нее снимается копия F', г'). Затем монтируется ,потомок" {D', С, Е',
(Ь\ г')>.
Теорема IX не использует такого последнего шага, при котором копирует-
копируется синька. Вместо этого, как мы видели, самовоспроизводящаяся машина
принимает вид {D, фп), где фп сначала вычисляет „общую синьку" для
(.D, фп), а затем D реализует ее.

246 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Четвертая иллюстрация. Теорема о парной рекурсии
Можно ли найти общую неподвижную точку для любых двух
данных общерекурсивных функций? Вообще говоря, это невоз-
невозможно. Следующая теорема, однако, показывает, что в некотором
(более слабом) смысле это может быть сделано. Эта теорема полу-
получена Шмульяном [1961]. Доказательство ее является четвертой
иллюстрацией применения теоремы о рекурсии.
Теорема X (а){Шмульян). Для любых общерекурсивных функций
g и h существуют тип, такие, что
фт
<Pg«m, n» U ф„ = фл«т, „>).
Доказательство. Возьмем общерекурсивную функцию
/, такую, что
Ф/(ж, у) =
Применив теорему III, найдем общерекурсивную функцию т,
для которой выполняется
Фт(у) Чцт(у), у) — CPg(<m(y), у»'
Пусть к — общерекурсивная функция, такая, что
Применив теорему I, найдем п, для которого имеет место
Фп —,4>h(n) — Фл«т(п),п>)-
Положив п = п и т = т(п), имеем
фт — Фя(<т, п» И фп = фЛ(<т, п>),
что и требовалось. в
Одно из применений теоремы X будет предложено
в упр. 11-29.
Пятая иллюстрация. Изоморфизм универсальных функций
Напомним, что функция г|э универсальна, если существует
общерекурсивная функция / двух переменных, такая, что
(Уж)[фж = ky[tyf(x, у)]]. В теореме 4-III мы показали, что свойство
функции быть универсальной рекурсивно инвариантно. Восполь-
Воспользуемся теперь теоремой о рекурсии, чтобы получить обратный
результат.
Теорема X (Ь) (Блюм). Любые две универсальные функции рекур-
рекурсивно изоморфны.
§ 11.4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ 247
Доказательство.
Определение. / есть шифр функции г|р, если / общерекурсивна и
(Var)[q>x = ЫЩ*, »)]]•
Пусть гр = Ядг[фЯ1(Ж)(Я2(а:))]. Тогда функция г|> универсальна,
причем имеет Кху[(х, у}\ в качестве шифра. Пусть 0 — произволь-
произвольная универсальная функция с h в качестве шифра. Для доказа-
доказательства теоремы мы должны установить существование такой
рекурсивной перестановки g, что gQ = г|?#.
Лемма. Пусть функция® универсальна. Тогда существует равно-
равномерная эффективная процедура, позволяющая по любым заданным
vt, v2, • ¦ -, vh, таким, что Q(vi) = 0(у2) = . . . = Q{vh), найти
такое vh+i $ {vu . . ., vh}, что Q(vi) = . . . —Q(vh) = Q(vk+i).
Доказательство леммы. Определим общерекурсив-
общерекурсивную функцию /' так, что
Q(Vi), если h(t, 0) ^ {vt, . . ., vk};
расходится, если h(t, 0) 6 {i>i, • • •, vh).
Применив теорему 1, получим п, такое, что Ф/'(«) = Фп- Если
h(n, 0) $ {vu . . ., vh}, положим vh+i = h(n, 0). Если h(n, 0) g
€ {i>i, . . ., vh), то Q(vi), . . ., Q(vh) должны быть не определены.
Зададим общерекурсивную функцию /" так, что
0, если h(t, 0) 6 {v±, ¦ ¦ ., vh};
расходится, если h(t, 0) $ {vu . . ., vh}.
Применив теорему I, получим п', такое, что Ф/»(п'> = фп'- Так как
в(у4), . . ., Q(vh) не определены, то ф/»<п')@) должно быть не опре-
определено и h(n', 0) $ {У1, . . ., i;fe}. Положим vft+1==fe(«', 0).
Согласно теореме II, общая процедура равномерно эффективна
по i>i, . . ., ffe. Это завершает доказательство леммы. (Следствие
из леммы. Всякая универсальная функция имеет взаимно одно-
однозначный шифр.)
Пусть z фиксировано. Возьмем z', такое, что
<fz- = {{х, у) | {у, х) е Фг & (Уу')Пу'Фу& {у', х) 6 Фг] => {у, х)
предшествует {у', ж) (в стандартном пересчете ф2)]}.
z' может быть получено равномерно по z, и ф2< есть однозначное
„обращение" фг.
Приведем инструкцию для вычисления некоторой частично-
рекурсивной функции т]. Более точно, приведем инструкцию для
пересчета упорядоченных пар функции т].
Этап 2t. Проверьте, появилось ли уже t в области определе-
определения функции т]. Если появилось, переходите к этапу 2t -\- i. Если
— у

248 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
нет, получите методом теоремы 7-IV последовательность различ-
различных индексов функции q>z0. Пусть w есть первый индекс в этой
последовательности, такой, что (ы>, t) еще не было помещено
в область значений т]. Добавьте (t, {w, О) к функции т], и перехо-
переходите к этапу 2t -\- 1.
Этап 2t + 1. Посмотрите, появилось ли уже t в области зна-
значений т]. Если появилось, переходите к этапу It -\- 2. Если нет,
пусть s есть индекс ф2-г|}. Воспользуйтесь леммой для'порождения
последовательности различных натуральных чисел vu vz, . . .,
таких, что
Q(Vl) = в(у2) = . . . = Ф,(*).
Пусть у — первый элемент этой последовательности, такой, что
у еще не было помещено в область определения функции т]. Добавь-
Добавьте (v, ty к функции т] и переходите к этапу 2t + 2.
По построению т) однозначно и является частичнорекурсив-
ной функцией.
Заметим, что, поскольку t добавлено к области определения
функции т] на этапе 2t, то
фг9(г) = ф№(г) ='ф(<ц;, О) = 4>n(t),
и поскольку г; добавлено к области определения функции т] на эта-
этапе It + 1, то
Очевидно по построению, что для всякого z т] всюду определе-
определена, взаимно однозначна и есть отображение на. Более того, индекс
т) зависит равномерно от z. Таким образом, мы имеем общерекур-
общерекурсивную функцию /, такую, что для любого z т] = фд . и т] есть
рекурсивная^ перестановка. Применив теорему I, получим ту
такое, что фт = ф/(т)- Пусть g = Ф/-(т)- Тогда, взяв z = тъ при-
приведенной выше конструкции, имеем т] = g, ф2 = g и i|v = g.
Следовательно, поскольку ? добавлено к области определения
функции т] на этапе 2?,
gQ(t) = ф2в(О = 1рт](О = !#(*), •
и поскольку г; добавлено к области определения т] на этапе 2t -\- I,
gQ(v) = фг0(у) = фгф2'Фп(у) = gg~^S(v) = 4>g(v).
Таким образом, g9 = tyg и доказательство завершено. а
Упражнения 11-30—11-33 содержат несколько иных примене-
применений теоремы о рекурсии. Упражнение 11-33 является простым про-
прототипом соображения, используемого в § 11.7 и 11.8 и дальней-
дальнейшей теории.
11.5. ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ 249
§ 11.5. ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ
Строго говоря, теорема о рекурсии, сформулированная выше
(в, теореме IV), не есть теорема о неподвижной точке (a fixed-point
theorem), хотя мы и использовали в связи с ней термин „неподвиж-
„неподвижная точка" (,,fixed-point value"). Мы теперь приведем настоящую
теорему о неподвижной точке, тесно связанную с теоремой IV.
Она, как мы-увидим, несколько слабее и имеет меньше примене-
применений, нежели теорема IV.
Теорема XI. Пусть Ф — оператор перечисления1). Существует
множество А, такое, что
(i) Ф(А)=А,
(и) (ЧВ)[Ф(В) =B^AczB],
(iii) А рекурсивно перечислимо.
Доказательство2). Определим последовательность
множеств А о, Аи ... следующим образом:
Ао = 0,
Возьмем
А = U Ап.
п=0
Напомним, что, согласно теореме 9-XXI, Ф обладает свойствами
(a) A cz В =>- Ф(А) а Ф(В) (монотонность);
(b) х 6 Ф(А) => CD) [D конечно & D cz A&x g Ф(О)] (непре-
(непрерывность).
Докажем (i).
х
(Зп)[п > 0 & х 6 Ап] (по определению ^4) =^
(Зп)[п > 0 & х 6 ODn-i) (по определению Ап) =$
'=> х 6 Ф(А) (в силу монотонности)
х) Операторы перечисления были определены в § 9.7. Оператор пере-
перечисления отображает 2^ в 2^.
2) Пункты (i) и (п) теоремы XI являются частным случаем теоремы Кна-
Кнастера — Тарского, утверждающей, что если X — полная решетка, то любое
монотонное и непрерывное отображение F из X в SE обладает неподвижной
точкой; здесь монотонное означает, что х ^ у =Ф F (х) ^ Р{у), а непрерывность
рассматривается относительно естественной топологии, индуцируемой замы-
замыканием относительно операции взятия наименьшей верхней грани в решетке.
Для теоремы XI следует взять в качестве решетки решетку всех множеств,
упорядоченных по CZ- Монотонность и непрерывность утверждаются теоре-
теоремой 9-XXI (см. упр. 11-35).

250 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
IS.
х 6 Ф(А) => CD) [D конечно & D cz А & х &Ф(Щ (в силу
непрерывности) => CD) (Эй) [D конечно & D cz Ап & х 6 Ф(ОI
(по определению 4) =>- AпIх 6 -4n+il (B силу монотонности) =>-
=> х 6 А (по определению 4).
Следовательно, х ? А <=> а: € Ф(А), и мы имеем (i).
Чтобы доказать (и), предположим Ф(В) = В. Тогда
Если Ап cz В, то, согласно монотонности, Ап+1 = Ф(Ап) аФ(В)=
= В. Следовательно, по индукции (Vra)L4n с В]. Отсюда A cz В,
ж мы имеем (ii).
Чтобы установить (Hi), положим Ф = Фх. Тогда для любого у
Ф(ШУ) = {х | (Зи)[{х, у) eWz&DuczWy]} (по определению
§ 9.7).
Множество Ф(\?у) рекурсивно перечислимо (согласно второй
теореме о проекции), и мы имеем привычным образом общере-
общерекурсивную функцию /, такую, что для всех у
wf(v) = Ф,(ид.
Пусть q — некоторый р. п. индекс пустого множества. Определим
общерекурсивную функцию g следующим образом:
g(O)=q,
g(n + 1) = fg(n).
Тогда для всех i Аг = W8ц) и, следовательно,
w
g(y)\
Согласно второй теореме о проекции, множество А рекурсивно
леречислимо. Это доказывает (ш).н
В доказательстве (ш) функция / может быть сделана завися-
зависящей от z равномерно. Таким образом, имеет место
Следствие XI (а). Существует общерекурсивная функция /,
такая, что для всех z и у
w7(v, 2) = <btiwy).
Доказательство очевидно.¦
Из доказательства пункта (ш) также следует, что р. п. индекс
неподвижной точки А может быть получен равномерно по z.
Таким образом, имеем следующую усиленную форму теоремы.
§ 11.5. ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ 251
Следствие XI (Ь). Существует общерекурсивная функция h,
такая, что для всех z
(i) <S>z(WhM) = Wh(z);
(ii) (VB)№B)
Доказательство. Р. п. индекс множества {х \Cу)[х 6
6 Wg (y)]} зависит равномерно от индекса для g, который в свою
очередь равномерно зависит от индекса для /, а тот в свою
очередь зависит равномерно от z (из доказательства (ill) теоре-
теоремы) !)..
Теорема о неподвижной точке для рекурсивных операторов сле-
следует из теоремы XI.
Теорема XII (Клини). Пусть \F — рекурсивный оператор. Тог-
Тогда существует функция ф, такая, что
(i) ЧГ(ф) = Ф;
(ii) (V*)№(i|3) = ф => ф cz ф];
(iii) ф частичнорекурсивна. ,
Д оказательство. Пусть Фг — оператор перечисления,
определяющий W. Возвращаясь к доказательству теоремы XI
и заменяя Ф на Фг, замечаем, что
А о = 0 есть однозначное множество
и что Ап однозначно => An+i однозначно (так как оператор Ф2
определяет рекурсивный оператор). Отсюда следует, что минималь-
оо
ная неподвижная точка А = у Ап должна быть однозначной.
п=0
Возьмем
Ф = «ж, у} \ {х, у) е А}.
Пункты (i), (ii), fin) теперь следуют из (i), (ii) и (iii) теоремы XI.Л
Могут быть приведены, аналогично следствиям XI (а) и XI (Ь),
два следствия.
* я;
Следствие XII (а). Существует общерекурсивная функция /,
такая, что для всех z и у если функция Ф2(т(фэ)) однозначна, то
В частности, если Фг определяет рекурсивный оператор W, то
для всех у
х) Естественно возникает вопрос, что произойдет, если мы применим
т.еорему III к следствию XI (а). Неподвижная точка будет получена, но будет
ли она минимальной? Мы займемся выяснением этого вопроса в теоремах
XIII и XIV.

252 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Доказательство. Рассмотрим следующую последова-
последовательность шагов для любых pz. Взяв ц>у, перейдем к рекурсивно-
перечислимому множеству WV' = т(фу), применив теорему 5-IX.
Получим, согласно следствию XI (а), множество 1?у( , 2); множе-
множество , Wj. , z) однозначно, согласно теореме 5-XVI; затем приме-
применим теорему 5-IX, чтобы получить частичнорекурсивную функцию..
Эта последовательность шагов равномерна и, следовательно, иско-
искомая функция / существует.в
Следствие XII (Ь). Существует общерекурсивная функция h,
такая, что для любого z если Ф2 определяет рекурсивный оператор
ЧГ, то
(i) ^(фм*)) = 4>h(zh
(ii) (Уг|;)[ад=г|5=^ФлB)сг|>].
Доказательство. Утверждение вытекает из следст-
следствия XII (а), см. доказательство следствия XI (Ь).и
Для частичнорекурсивного оператора теорема XII может не
иметь места, поскольку неподвижная точка определяющего опера-
оператора перечисления не обязательно есть однозначное множество.
В случае общерекурсивного оператора минимальная неподвижна»
точка может оказаться не всюду определенной; более того,,
общерекурсивный оператор может не иметь всюду определенной
неподвижной точки (см. упр. 11-36). Теорема XI может быть
выведена из теоремы XII (см. упр. 11-39).
Следствия XI (а) и ХП (а) не зависят от каких-либо сообра-
соображений, связанных с неподвижной точкой. Коль скоро установлено
следствие XI (а), п. (i) следствия XI (Ь) и тем самым пункты (i) и (iii)
теоремы XI непосредственно вытекают из следствия III (теоремы
о рекурсии). Аналогично, коль скоро установлено следствие XII
(а), п. (i) следствия XII (Ь) и п. (i) и (iii) теоремы XII непо-
непосредственно v вытекают из теоремы III (теоремы о рекурсии).
Однако п. (ii) — результат о минимальности, ни в теореме
XI, ни в теореме XII не может быть получен непосредствен-
непосредственно. По этой причине теоремы XI и XII обычно приводятся
и доказываются (как это и сделано выше) независимо от тео-
теоремы IV. Теоремы XI и XII сами обычно называются теоремами
о рекурсии. В самом деле, как мы покажем ниже, название „тео-
„теорема о рекурсии" ведет свое происхождение от определенных
приложений теоремы XII. Теоремы XI и XII вместе иногда назы-
называют „первой теоремой о рекурсии", а теорему IV — „второй тео-
теоремой о рекурсии" 1).
Отныне, как и ранее, термин „теорема о рекурсии" сам по себе
будет связываться с теоремой IV или с одним из ее частных слу-
случаев (теоремами I, II и III). На конкретные теоремы о неподвиж-
J) В обратном порядке следования по сравнению с нашим изложением.
11.5. ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ 253
ной точке, теоремы XI и XII, мы будем ссылаться как на слабую
теорему о рекурсии. В любом контексте, где могла бы возникнуть
неясность, на теорему о рекурсии (теорему IV) мы будем ссылаться
как на сильную теорему о рекурсии. Сильная теорема о рекурсии
не вытекает непосредственно из слабой теоремы о рекурсии, так
как, например, применения, приведенные в § 11.3 и 11.4, не могут
¦быть непосредственно получены из слабой теоремы.
Что еще можно утверждать о соотношении между сильной
ж слабой теоремами о рекурсии? С целью дальнейшего рассмотре-
рассмотрения этого вопроса сформулируем теорему, принадлежащую Май-
хиллу и Шепердсону [1955].
Определение. / экстенсиональна, если для всех х и у ц>х = ц>у=$~
Теорема (Майхилл и Шепердсон). (а) Всякий рекурсивный опе-
оператор ЧГ определяет экстенсиональную функцию /, такую, что
<ff(x) = ИГ(фж) для всех х.
(Ь) Всякая экстенсиональная функция f определяет единствен-
единственный рекурсивный оператор Ч*", такой, что фдж) = Ч'Хфх) для
есех х а).
Утверждение (а) немедленно вытекает из следствия XII (а).
Утверждение (Ь) будет доказано в теореме 15-XXIX. В упр. 11-43
доказательство будет намечено.
Если задана экстенсиональная функция /, должна ли конструк-
конструкция теоремы II давать ^по каждому индексу /) неподвижную точ-
точку п, такую, что фп есть минимальная неподвижная точка соответ-
соответствующего рекурсивного оператора ЧГ? Следующая теорема пока-
показывает, что это не так. В роли W будет выступать тождественный
оператор, для которого, очевидно, минимальной неподвижной
точкой является нигде не определенная функция. Доказательство
использует теорему о рекурсии.
Теорема XIII. Пусть п — общерекурсивная функция, построен-
построенная в теореме П. Существует общерекурсивная функция f с индек-
индексом z, такая, что <ff(X) = ф^ при всех х, но при этом Ф/П(г> =
= Ч>п(г)Ф 0-
Доказательство. Пусть t — некоторый фиксирован-
фиксированный индекс постоянной функции 0, т. е. ф^ = АдДО]. Для любого
z определим частичнорекурсивную функцию г|э следующим образом:
{х, если х Ф n(z);
t,
если х = n(z).
J) Отображение частичнорекурсивных функций на частичнорекурсив-
ные функции, определяемое экстенсиональной функцией /, названо Майхил-
лом и Шепердсоном эффективной операцией.

254 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
{X,
t,
Гёделев номер г|? может быть найден равномерно по z, т. е. суще-
существует общерекурсивная функция h, такая, что
' 1|> = <Ph(z)-
С помощью теоремы I найдем неподвижную точку функции hy
назовем ее т. Тогда имеем
если х Ф п(т);
если х = п(т).
Возьмем / = фт, тогда
f(x) = х при х Ф п(т)
и, согласно теореме II,
Ф/(х) = 4>х при х = п(т).
¦ Отсюда
ФУ(Ж) ^= хрзс для всех х.
Теперь неподвижная" точка, определяемая теоремой II, есть
п(т) и
Фп(ш) = ф/п(т) = ф* = tyW Ф 0 Х)-1
Означает ли это, что слабая теорема о рекурсии (теорема XII)
не является прямым следствием сильной теоремы о рекурсии (тео-
(теоремы IV)? Следующая теорема показывает, что, несмотря на тео-
теорему XIII, теорема XII следует из теоремы IV. Существует равно-
равномерная процедура перехода от индекса любой экстенсиональной
функции / к индексу экстенсиональной функции h, такой, что
функция h определяет тот же рекурсивный оператор, что и f,
и такой, что теорема II, примененная к индексу h, дает минималь-
минимальную неподвижную точку этого рекурсивного оператора. Теорема
формулируется в виде, не предполагающем знакомства с теоре-
теоремой Майхилла — Шепердсона.
Теорема XIV. Пусть п — рекурсивная функция, построенная
в теореме П. Существует общерекурсивная функция g, такая, что
для любой общерекурсивной функции f и любого рекурсивного опе-
оператора Ч если Dx)[q>f(x) = Ч*"(фж)] и если z — индекс /, то yg(x>
есть всюду определенная функция, назовем ее h, такая, что
(i) Dx)[yhM = ф/(к)]
и
(ii) фП?B) есть минимальная неподвижная точка рекурсивного
оператора W.
Доказательство. Доказательство теоремы XIV будет
дано в § 11.6.
х) Заметим, что это доказательство проходит для любой общерекурсивной
функции п, удовлетворяющей условию теоремы II»
§ 11.5. ДРУГИЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ О РЕКУРСИИ 255
Теоремы XI и XII, таким образом,' превращаются в прямые
следствия теоремы IV, а сильная теорема о рекурсии оказывается
более общей и фундаментальной, чем эти две теоремы о рекурсии.
Пусть Ч*" — рекурсивный оператор. Рассмотрим возможную
функцию ф, такую, что выполняется неявное соотношение
Ф =
Теорема XII указывает тогда на существование частичнорекур-
сивной функции ф, удовлетворяющей этому неявному соотноше-
соотношению. Такие неявные соотношения могут быть частными случаями,
того, что иногда называется определениями по рекурсии. Отсюда
термин „теорема о рекурсии".
Пример. Следующее множество равенств задает определе-
определение по рекурсии:
(Е) г|)A) = 2,
Рассмотрим равенства
(Е*)
определяющие г|) через ф. Эти равенства задают рекурсивный опе-
оператор W, такой, что г|э == ^(ф). Мы можем применить теорему Х1Г
непосредственно к этому оператору или можем, как в теореме XIV,.
взять h таким образом, что tyhw = Ч'Хфх), и применить теорему IV.
Каждый из этих способов приводит к минимальной частичнорекур-
сивной функции г|э, удовлетворяющей (Е). Эта минимальная частич-
норекурсивная функция есть 'ф, где
х) = 2Ф(аг).
Г
= <
2х, если х есть степень числа 2;
расходится, если х не есть степень числа 2.
(В силу теоремы XIV несущественно, применялась ли для реше-
решения этого неявного соотношения сильная или слабая теорема
о рекурсии 1)-^).).
х) О процессе нахождения объекта, удовлетворяющего данному неявному
соотношению, часто говорят как о решении этого соотношения. Таким обра-
образом, функция \р, определенная выше, есть решение (Е). Теорема о рекурсии тем
самым служит теоремой существования частичнорекурсивных решений рекур-
рекурсивных равенств некоторого типа. Это применение теоремы о рекурсии
подобно использованию в анализе теорем о неподвижной точке для получения
существования решений дифференциальных уравнений некоторого типа или
использованию „теорем о рекурсии" в теории множеств для определения
функций на ординалах.
2) Не всякое множество рекурсивных равенств вида

256 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
В § 11.7 и 11.8 так же, как в последующих главах, на основа-
основании теоремы о рекурсии будут получены методы для задания
частичнорекурсивных функций на вполне упорядоченных множе-
множествах. При этом, как и в большинстве других приложений, будет
использована сильная (предпочтительнее, чем слабая) теорема
о рекурсии (см. упр. 11-33).
I 11.6. ОБСУЖДЕНИЕ
В § 11.5 мы выделили и обсудили (в теоремах XI, XII и XIV)
некоторые аспекты теоремы о рекурсии, связанные с понятием
неподвижной точки. В настоящем параграфе мы рассмотрим неко-
некоторые особенности теоремы о рекурсии, связанные с самовырази-
мостъю. Например, если Wm = {те}, то число т в некотором
смысле называет себя. Самовыразимость тесно связана с диагона-
лизацией, и, как мы указывали в § 11.1, теорема о рекурсии
включает в себя и суммирует широкий класс диагональных мето-
методов. Рассмотрим прежде всего теорему I и исследуем несколько
более подробно детали механизма получения неповижной точки п.
Напомним, что g было определено следующим образом:
Фч>и(иI если Фи(") сходится;
всюду расходится, если ц>и(и) расходится.
Более подробно, для всякого и g(u) есть имя (гёделев номер) мно-
может быть представлено как
где Т — рекурсивный оператор. В некоторых случаях левая часть опреде-
определяется правой частью не единственным образом; в других случаях может
не существовать никакого решения. В случаях неединственности решения
единственность" может быть достигнута введением дополнительных условий.
Например, равенства
г|)B) = 2
могут быть выражены рекурсивным оператором Ч*1, где я)з = Т(ф) задается
следующим образом:
( 2, если х = 2;
ip(x) = < 2cp(z), если z четно и х = 2z
I расходится в остальных случаях.
Дополнительные условия могут тогда исключить некоторые функции, удов-
удовлетворяющие первоначальным рекурсивным равенствам; в рассмотренном
примере исключается функция \\> = лаг[а:]; может оказаться, что множество
рекурсивных равенств имеет единственное всюду определенное решение,
до такое решение не рекурсивно (см. упр. 11-41).
§ и.6. обсуждение 257
жества инструкций. По существу это означает:
g(u) = [„по любому данному входному значению воспользуйтесь
Р„ для вычисления фи(и), как только вычисление за-
завершится (если это произойдет), примените инструк-
инструкции фи(и) к данному входному значению"]
или, более кратко,
g(u) = [„вычисляйте фи(и); как только выяснится, что фи(и)
определено (если это произойдет), выполните фи(и)"];
(„и" здесь представляет собой нумерал для числа и). Заметим, что
g(u) может быть вычислено непосредственно (как имя) безотноси-
безотносительно к тому, определено или нет ц>и(и). Далее, используя функ-
функцию / теоремы I и беря гёделевы номера функций / и g, имеем,
согласно теореме 1-VI, гёделев номер функции fg; назовем его г;.
Тогда
g(v) = [„вычисляйте <pv(\); как только выяснится, что q>v(\)
определено (если это произойдет), выполните фт(у)".]
Зададим теперь то же имя несколько иным способом.
g(v) = [„вычисляйте fg(\); как только выяснится, что fg(v) опре-
определено (если это произойдет), выполните fg(\)"\ 1).
Поскольку функция / всюду определена и g(v) есть имя, при-
приведенное выше, fg(v) может быть вычислено. Имя g(v) предписы-
предписывает сначала вычислить fg(v), а затем применить fg(v). Таким обра-
образом, fg(v) и g(v) суть инструкции одной и той же частичнорекур-
сивной функции, но вычисление этой функции, согласно g(v),
будет несколько длиннее вычисления, согласно fg(v), поскольку
g(v) требует экстраэтапа вычисления fg(v).
Имя g~(v), таким образом, включает не себя (что просто невоз-
невозможно), а имя инструкций для вычисления себя (как части инструк-
инструкций для вычисления fg(v)). Это и характеризует самовыразимые
конструкции в логике и теории рекурсивных функций. При рас-
рассмотрении таких конструкций мы должны иметь дело не только
с именами некоторых объектов, но также и с именами инструкций
для вычисления имен этих объектов (см. ниже рассуждение
о гёделевой функции подстановки.)
Мы теперь в состоянии наметить в общих чертах доказатель-
доказательство теоремы XIV.
х) Разумеется, g(v) представляет собой конкретное натуральное число.
Мы употребляем два различных неформальных выражения для задания
одного и того же числа.
17—0506

258 ГЛ. П. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Теорема XIV. Пусть п — общерекурсивная функция теоре-
теоремы II. Существует общерекурсивная функция g, такая, что для
любой общерекурсивной функции f и любого рекурсивного опера-
оператора W если (Уж)[ф/(я) = Чг(фж)] и если z — индекс функции /, то
4>g(z) — всюду определенная функция, назовем ее h, такая, что
(i) Dx)lq>h(x) = ф/(ж)] и
(ii) 4>ng(.z) — минимальная неподвижная точка рекурсивного опе-
оператора \F.
Доказательство. Пусть даны /и Т, удовлетворяю-
удовлетворяющие всем посылкам, и пусть z — индекс функции /. Мы опи-
опишем, как должно быть вычислено g(z).
Любая конечная функция ф частичнорекурсивна. Если
множество Du однозначно, то инструкции для вычисления
{(х, уу \{х, у) 6-Du} могут быть получены равномерно по и. Иными
словами, существует общерекурсивная функция d, такая, что
(Vw)LDu однозначно => т(фй(и)) =DU\.
Определим множество F следующим образом: ч
F = {{(х, t), u)\Du однозначно & (х, О € ф/<*(и)}>
Очевидно, множество F рекурсивно перечислимо с индексом, зави-
зависящим равномерно от z. Пусть w — общерекурсивная функция, та-
такая, что F = WW(zy Из основных свойств операторов перечисления
следует, что Ф№B) — оператор перечисления, определяющий \F.
(Это доказано в упр. 11-42.) Далее (см. следствие XII (a)), w(z) опре-
определяет общерекурсивную функцию h, такую, что <$h(y) = ^(ч>у)'
(Возьмем h = %y[f(y, w{z))\, где /есть функция следствия XII (а).)
Индекс функции п может быть найден равномерно по z. Пусть
g(z) — такой индекс h *). Заметим, что h обладает следующим спе-
специальным свойством, которым /, вообще говоря, может и не обла-
обладать: для всякого у инструкции h(y) предписывают вычислять
Фд(э), применяя к т(фу) некоторый оператор перечисления, а именно
OW(Zy Более конкретно, h(y) (= f(y, w(z))) предписывает следую-
следующее: „Получив входное значение х, начинайте пересчитывать упо-
упорядоченные пары из фэ. Одновременно начинайте пересчитывать
WW(Z) и отыскивать элемент вида {{х, t), и), такой, что x~1(Z)u)
есть подмножество упорядоченных пар из ц>у, уже перечисленных.
Как только такой элемент встретится (если это произойдет), выдай-
выдайте t в качестве выходного значения". Мы опишем это более кратко:
„Получив входное значение х, применяйте к упорядоченным парам
из фу оператор перечисления Ф№(г)И отыскивайте выходное значение
х) С использованием второй теоремы о проекции можно показать, что
в конечном счете определение / основывается на sjf-функциях. Аналогично
предполагается (но не описывается) конкретный выбор функции g, основы-
основывающийся естественным образом на «^-функциях.
§ 11.6. ОБСУЖДЕНИЕ 259
(х, г); как только (и если) это произойдет, выдайте t в качестве
выходного значения".
Остается показать, что ng(z) — минимальная неподвижная
точка. Из доказательства теоремы II следует, что ng(z) = g(v),
где i> — индекс hg. Согласно предыдущим рассуждениям, имеем
g(v) = [„вычисляйте hg(\); как только выяснится, что hg(\)
определено (если это произойдет), выполните %(v)".]
В чем же состоят инструкции hg(v)l Неформально они могут быть
сформулированы так: „Получив входное значение х, перечисляйте
упорядоченные пары из ф~(сч! применяйте к ним оператор Ф№(г)
и отыскивайте выходное значение вида (х, г). Возьмите такое t
в качестве окончательного выходного значения". Таким образом,
инструкции g(v) предписывают найти и следовать инструкциям
hg(v), эти последние инструкции в свою очередь предписывают
применять к упорядоченным парам ф~(о) оператор ФшB)- Инструк-
Инструкции для пересчитывания фГ/„)> таким образом, требуют, чтобы
само Ф7(„) пересчитывалось в процессе подвычисления. Ситуация
непротиворечива, так как, вообще говоря, подвычисление фг#с)
будет встречаться на более низком уровне, чем общее вычисление
Пусть (х0, t0), (xu
но ИНСТРУКЦИЯМ ДЛЯ ф?
<аг0, *о>
(xn+i, tn+i)
Отсюда, если
и если
. . —пересчет функции
). Соглас-
СогласАо = Ф1й(г)@)
An+i =
аналогично нетривиальной
*) Вычисление для пересчитывания ср-
последовательности натуральных чисел, содержащей бесконечно много соб-
собственных подпоследовательностей, идентичных ей самой. Например, после-
последовательность х0, %х, ¦ • ., задаваемая рекурсивными равенствами
начинается числами
О, 0, 1, 0, 4, 1, 9, 0, 16, 4, 25, 1
и имеет структуру подпоследовательностей
00104190 16 4 25 1
0 0 10 4 1
0 0 1
0
.17*

260 ГЛ. .11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
мы имеем в силу монотонности, что (хп, tn) 6 Ап для всех п.
Отсюда
со
Но, согласно конструкции теоремы XI, U Ап — минимальная
п=0
неподвижная точка оператора Ф№ B); тем самым фг(в) содержится
в минимальной неподвижной точке оператора W. G другой сто-
стороны, согласно теореме II, ф^(р)— неподвижная точка оператора
W. Тем самым ф^-(г) совпадает с минимальной неподвижной точ-
точкой W и наше доказательство завершено. в
Остается открытым следующий вопрос. Назовем общерекур-
общерекурсивную функцию п неподвижной функцией, если для всех z
П) = I фФ <«(*)>'
™B) 1 2
1 всюду р
еСЛИ
СХОДИТСЯ;
всюду расходится, если cpz (n (?)) расходится.
Имеет ли место теорема XIV для всякой неподвижной функции п
(вместо п)? Утвердительный ответ может быть получен модифика-
модификацией доказательства теоремы XIV.
Гёделева функция подстановки
Рассмотрим логическую систему, формулируемую внутри обыч-
обычной логики предикатов. Предположим, что среди термов (т. е.
выражений для индивидов) системы встречаются нумералы для
всех натуральных чисел. Говоря о подстановках, будем обозначать
нумерал для любого натурального числа х через х. Таким обра-
образом, если Fa— выражение со свободной переменной a, Fx будет
результатом подстановки нумерала для х вместо а в это выра-
выражение. Предпримем некоторое кодирование всех выражений
системы (включая термы и утверждения со свободными индивид-
индивидными переменными) на N.
Определим функцию а двух переменных, такую, что для всех
хп у
а(х, у) = [кодовый номер выражения, которое является результа-
результатом подстановки нумерала для х вместо всех вхождений
свободных переменных (если таковые имеются) в выра-
выражение, кодовым номером которого является у.]
Поскольку такое кодирование выражений является кодирова-
кодированием в смысле § 1.10, а — общерекурсивная функция, называемая
гёделевой функцией подстановки для данной системы и данного
кодирования.
§ 11.6. ОБСУЖДЕНИЕ 261
Гёделева функция подстановки полезна, когда система
достаточно сильна, чтобы допускать утверждения о о* внутри
системы. Эта функция тогда может быть использована для построе-
построения ряда самовыразимых утверждений. Например, предположим,
что система содержит символ о, служащий для обозначения о*.
Если а — индивидная переменная, ах — кодовый номер терма
в(а, а), то <т(х, х) — выражение, обозначающее свой собственный
кодовый номер х).
Более точно, рассмотрим элементарную арифметику. Примем
обычные понятия истинности и ложности пп-формул (не содер-
содержащих свободных переменных), как в § 7.8. Как показал Дэвис
[19581, существует выражение Mabcd со свободными переменными
а, Ъ, с и d, такое, что Mzxyw истинно тогда и только тогда, когда
Pz при входном значении х выдает выходное значение у менее чем
за w шагов (см. § 14.4 и 14.7). Пусть s — индекс общерекурсивной
функции %х[а(х, х)]. Приведем несколько примеров построения
самовыразимых утверждений.
Пример 1. Выберем фиксированный эффективный метод
пересчитывания всех логических следствий (по правилам элемен-
элементарной логики) из пп-формул, встречающихся в некотором задан-
заданном рекурсивно перечислимом множестве Wx. Иными словами,
выберем общерекурсивную функцию /, такую, что для всех х
Wf(x) есть множество всех логических следствий из пп-формул
множества Wx. Пусть к есть индекс функции /. Пусть дано множе-
множество Wp пп-формул (назовем их аксиомами). Утверждение о том,
что ппф (с кодовым номером) у выводима из множества Wp, есть
утверждение о том, что у 6 Wf(P), т. е. что
(За)[(ЗЬ)МкраЬ & (Зс) Cd)Maycd]
истинно. Мы будем сокращенно записывать эту последнюю ппф
как РР(у). Если имеется символ о гёделевой подстановочной
функции, мы можем произвести следующее. Пусть и — кодовый
номер формулы nPp(o(fe, b)). Тогда ПРр(ст(и, и)) утверждает
свою собственную недоказуемость.
Хотя мы и не имеем символа а в нашей системе, легко осущест-
осуществить соответствующую конструкцию, используя s. Пусть и —
х) Примеры этого явления могут быть приведены в обычном русском
языке. Выражение
„результат подстановки „25" в „х просто'''' "
означает, конечно,"
„25 есть простое число".
"Выражение
„результат подстановки „результат подстановки
„х" в „х" " в „результат подстановки „х" в „ж" " "
означает, как можно убедиться, самое себя.

262 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
кодовый номер формулы
C6) [Cd)Msabd & ПРР(Ь)].
Тогда Cfe) [Cd)Msubd & НРР(&I истинно в том и только в том
случае, когда оно невыводимо из множества Wp. Мы получаем
пп-формулу, утверждающую свою собственную недоказуемость.
Пример 2. Пусть формула НРР(&) такая же, как и в при-
примере 1. Пусть q — кодовый номер фиксированной ппф вида
IF & H.F1, например „О = 0 & 1 О = 0". Тогда выражение
~lPp(q) истинно тогда и только тогда, когда множество Wp непро-
непротиворечиво. Вместо ~lPp(q) будем писать сокращенно Соп(р).
Результат замены р -индивидной переменной с будем записывать
в виде Соп(с). (Если для всех х с(х) есть кодовый номер Соп(х),
то с есть общерекурсивная функция того же типа,, что и рассмат-
рассматривавшаяся во второй иллюстрации § 11.4.) Может ли быть полу-
получена ппф, утверждающая свою собственную непротиворечивость?
Согласно теореме VIII, такая ппф существует. Она может быть
получена следующим образом.
Пусть т — индекс общерекурсивной функции h, такой, что
Wh(xi = {х} для всех х. Пусть и — кодовый номер формулы
(ЗЬ) l(id)Msabd & (Зс) lCd) Mmbcd& Con(c)]].
В этом случае ппф
(ЭЬ) [Cd)Msnbd & (Зс) [(M)Mmbcd & Соп(с)]]
истинна тогда и только тогда, когда она, рассматриваемая как
единственная аксиома, непротиворечива *).
Таким образом, существует целый ряд синтаксических свойств,
с привлечением каждого из которых может быть построена самовы-
самовыразимая ппф элементарной арифметики2) 3). (Общая трактовка
содержится^ работе Фефермана [19601.)
г) На интуитивном уровне ход наших ¦ рассуждений таков: пусть и —
кодовый номер выражения „ff(a, а) непротиворечиво"; тогда образовываем
„ff(u, u) непротиворечиво".
2) Теорема VIII также допускает такой подход. Однако подход, связан-
связанный с теоремой о рекурсии и изложенный в § 11.4, требует меньших предпо-
предположений относительно системы.
3) Примеры, соответствующие приведенным, могут также быть построе-
построены в обычном русском языке. Рассмотрим утверждение
„следующее недоказуемо: результат подстановки
„следующее недоказуемо: результат подстановки „х" в „х"" в
„следующее недоказуемо: результат подстановки „х" в „х""".
Это утверждение утверждает свою собственную недоказуемость.
По существу рассмотрение этого примера и демонстрация того, что поня-
понятия подстановки и доказуемости (так же, как и имена для выражений) могут
быть выражены в элементарной арифметике, и было тем, что сделал Гёдель
при доказательстве своей первой теоремы о неполноте. (Он еще, конечно,
устранил предположения, касающиеся истины, как это описано в упр. 7-64).
§ ил. системы обозначений для ординалов 263
Идея использования функции подстановки как эвристиче-
эвристический принцип и как формальный технический прием восходит
к Гёделю. Если в качестве фиксированного множества аксиом
приняты аксиомы Пеано (или любое множество, выводимое из
аксиом Пеано), то могут быть получены некоторые дальнейшие
результаты относительно выражения Mabcd (см. упр. 7-64) х).
Из этих результатов и из ппф примера 1, приведенного выше,
может быть выведена первая теорема Гёделя о неполноте в обычной
форме (без каких бы то ни было ссылок на истинность или лож-
ложность). В упр. 7-64 подстановочная функция в явном виде не ис-
используется. Однако в первоначальном доказательстве Гёделя (см.
упр. 11-44)' она фигурировала. Подобным же образом функция
подстановки могла бы быть использована, чтобы показать, что
понятие п есть кодовый номер истинной ппф элементарной ариф-
арифметики не выразимо в рамках элементарной арифметики. Эта тео-
теорема принадлежит Тарскому (см. упр. 11-45).
Теорема о рекурсии тесно связана с гёделевой функцией под-
подстановки. Определим общерекурсивную функцию о следующим
образом:
Ффх(у)> если 4>х(у) определено;
нигде не определена в противном случае.
Пусть п — индекс функции Xxlfo(x, x)\.
Тогда
о (n, n)
P/a (п, п)'
Это превращает доказательство теоремы о рекурсии в доказатель-
доказательство, по форме весьма сходное с рассуждениями, связанными
с функцией о.
Заметим, что функции s™ имеют вид функций подстановки.
Например, s[(x, у) представляет собой индекс множества унарных
инструкций, получающихся при подстановке у в качестве пер-
первого входного значения в бинарные инструкции с индексом х
(см. упр. 11-4 и 11-5).
§ 11.7. СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОРДИНАЛОВ а)
Клини и Чёрч являются создателями общей теории систем
обозначений для ординальных чисел (Чёрч и Клини [1937], Клини
[1938] и Чёрч [1938]). В § 11.7 и 11.8 мы приведем несколько
!) Приведенные в упр. 7-64 факты могут быть доказаны, если принято
некоторое конечное множество аксиом (более слабых, чем аксиомы Пеано).
Этот результат принадлежит Тарскому, Мостовскому и Р. М. Робинсону
{1953].
' 2) Материал последующих глав не зависит от § 11.7 и 11.8, за исключени-
исключением тех случаев, когда оговорено противное.

264 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
основных результатов этой теории. Теорема о рекурсии будет
играть важную роль при получении этих результатов.
Мы предполагаем известными понятие ординального числа
и основные понятия и обозначения, с этим понятием связанные.
(Обзор этого материала содержится в упр. 11-46—11-53.) Значи-
Значительная часть традиционной теории ординалов может быть сфор-
сформулирована как теория обозначений для ординалов. Рассмотрим
в качестве примера ординалы, которые выражаются экспонен-
экспоненциальными полиномами от со. Такие ординалы образуют важный
и широкий класс. Естественно, что результаты, относящиеся
к этому классу, могут быть сформулированы в виде результатов,
полученных для соответствующих экспоненциальных полино-
полиномиальных выражений.
Изучение различных известных систем обозначений наводит
нас на мысль о следующем общем определении.
Определение. Система обозначений S есть отображение vs
множества натуральных чисел Ds на отрезок ординальных чисел,
удовлетворяющее условиям:
(i) существует частичнорекурсивная функция ks, такая, что х)
vs(x) = О => кв(х) = О,
vs(x) есть последователь =$~ ks(x) = 1,
vs{x) есть предельный ординал => ks(x) = 2;
(ii) существует частичнорекурсивная функция ps, такая, что
vs(x) есть последователь =>¦ 1рв(х) определено &
& vs(x) = vs(ps(x)) + 1];
(Ш) существует частичнорекурсивная функция qs, такая, что
vs(%) есть предельный ординал =s* lqs{x)
.определено & срд (ж\ всюду определена &
& {Ув(фд. (ж)(и))}?=о° есть возрастающая последовательность,
имеющая Vs(x) своим пределом].
(Это определение принадлежит Клини2)). Элементы множества
Ds называются обозначениями системы обозначений S. Все обыч-
обычные способы обозначения отрезков счетных ординалов становятся
(при кодировании в N) системами в этом смысле. Может быть пока-
показано (по индукции), что если система S наделяет обозначением орди-
ординал а, то S наделяет обозначением все ординалы, меньшие а.
х) Мы используем греческие буквы для обозначения ординальных чисел.
Чтобы избежать путаницы, мы отступаем от нашего соглашения обозначать
греческими буквами частичные функции. От функции ks требуется, чтобы
она была определена на Ds- Определенность или неопределенность на D&
не обусловливается. Аналогично для частичных функций ps и qs-
2) Клини называет такие системы обозначений г-системами.
§ 11.7. СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОРДИНАЛОВ 26S
Определения. Система обозначений S
(a) унивалентна, если vs взаимно однозначна;
(b) рекурсивна, если Ds рекурсивно; '
(c) рекурсивна по упорядочению, если
Rs = {{x, у) \x?Ds&y € Ав & vs (*)< vs{y)}
рекурсивно.
Поскольку мы имеем Ds= {х \ (х, х) 6 Rs), рекурсивная по упо-
упорядочению система должна быть рекурсивной. В упр. 11-54 мы
увидим, что унивалентная рекурсивная система должна быть
рекурсивной по упорядочению. Система экспоненциальных полино-
полиномов, упоминавшаяся выше, является рекурсивной по упорядочению-
Определение. Будем говорить, что а есть конструктивный
ординал, если существует система обозначений, ставящая в соот-
соответствие ординалу а по крайней мере одно обозначение.
Конструктивные ординалы были определены и исследовались
Чёрчем. (Определение Чёрча несколько отличается от приведен-
приведенного здесь.)
Каждая система обозначений охватывает не более счетнога
отрезка ординалов; следовательно, всякий конструктивный орди-
ординал счетен. Мы увидим, что не всякий счетный ординал конструк-
конструктивен.
Определение. Система обозначений S максимальна, если S
дает обозначение всякому конструктивному ординалу.
Следующие теорема и следствие говорят об одном явном пре-
препятствии на пути изучения максимальных систем.
Теорема XV. Пусть S — рекурсивная по упорядочению система
обозначений, и пусть а — наименьший ординал, для которого S
не дает обозначения. Тогда существует рекурсивная по упорядоче-
упорядочению система S', дающая обозначение ординалу а.
Доказательство. Предположим, а есть предельный:
ординал. Для а, являющегося последователем, доказательство-
аналогично. (Для а = 0 доказательство очевидно.)
Определим S' следующим образом:
DS' = {x\x = l или (Зу) [х = 2у &у е Ds\}.
f vs (у), если х = 2у & у б -Ds;
Vs' (х) = < .
[ а, если х = 1.
. . . ( s (у), если х = 2у;
ks' {Х)
( ks (у
\ 2,
Ps' (x) =
если х = 1 Ч
если х = 2г/.
*) В каждом из определений ks,, ps, и qs, предполагается пункт „расхо-
„расходится в остальных случаях".

266 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
индекс функции 2фд8,(!/), если х = 2г/;
т, если х = 1, где т получается
следующим образом. Пусть п0
есть обозначение для 0 в S.
<qsr (х) = ^ Определим г|э так, чтобы
г|>@) = п0,
г|>(/+1) = \iulu eDs &vs (и) ^
^ vs (ф(/))]. Индекс функции 2г|?
берется в качестве т.
Поскольку система S является рекурсивной по упорядочению и а
представляет собой предельный ординал, тог|э есть общерекурсивная
функция и {vs' Bг|?(п)) }?=^ есть возрастающая последовательность,
имеющая пределом а.
Таким образом, мы имеем систему обозначений, которая дает-
ординалу а обозначение 1. Далее,
Us' = {(х, у) | [х = 2х' & у = 2у' & (ж/ у') е Дв1 или
[х = 2х' & у = 1 & (а/, я'> € i?s], или [х = 1, у= 1]},
и это множество, очевидно, рекурсивно. Следовательно, система
S' является рекурсивной по упорядочению.я
Следствие XV. Не существует максимальной рекурсивной
по упорядочению системы обозначений.-
Доказательство очевидно.¦
Определение. Система обозначений S универсальна, если для
любой системы S' существует частичнорекурсивная функция ср,
отображающая Ds' в Ds, такая, что х ? Ds- => vs< (x) ^
< vs(cp(a:)).
Очевидно, универсальная система должна быть максимальной.
Если мы опустим предположение о рекурсивности по упорядо-
упорядочению (сделанное в теореме XV), то может быть показано, что
существуют максимальные системы; в действительности может
быть показано даже, что существуют универсальные системы.
Этот замечательный результат установлен Клини и требует при-
привлечения теоремы о рекурсии.
Определение. Система Si определяется следующим образом:
О получает обозначение 1.
Предположим, все ординалы <?у получили обозначения, тогда
(i) если у = р + 1, то у получает {2х | х есть обозначение для
Р} в качестве обозначений;
§ 11.7. СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОРДИНАЛОВ 267
(И) если "у — предельный ординал, у получает {3-5У | {фэ(^)}^=2°
суть обозначения для возрастающей последовательности ордина-
ординалов с пределом у} в качестве обозначений.
Эти условия определяют vs4 и DSi с помощью трансфинитной
индукции. Тогда kSl, pst и qsi определяются следующим образом:
= 0,
Это завершает определение и показывает, что St является систе-
системой. Пусть а — наименьший ординал, не получивший обозначе-
обозначения; а должен быть предельным и не может существовать никакого
у, обладающего тем свойством, что {vsi(9p(re))}}^o° есть возрас-
возрастающая последовательность с а в качестве предела 2).
Теорема XVI (Клини). 54 является универсальной системой
обозначений. Более того, если дана произвольная система S, то
существует частичнорекурсивная функция ф, отображающая Ds
е DSv такая, что х 6 Ds =>- vs(x) = vSi{y(x)).
Доказательство. Пусть дана система S с частичноре-
курсивными функциями ks, ps и qs- Для любого z определим
частичнорекурсивную функцию ty следующим образом:
Г 1, если ks (x)l= 0;
2Vs<*>, если ks(x) = 1;
•ф(аг) =\ 3-5У', если ks (x) = 2 и qs (x) сходится, где
у' есть индекс функции Хп [(pzq>gs (x>(«)];
L расходится в остальных случаях.
Индекс функции я|) зависит равномерно от z; следовательно, суще-
существует общерекурсивная функция /, такая, что ф/B> = г|э. Приме-
Применяя теорему I, получим число т, такое, что ф/(т) = Ц>т, т. е. та-
J) Вновь подразумевается пункт „не определено в остальных случаях".
2) Клини [1938] определяет S^ несколько иным способом. Он вводит
обозначения 3-5У так, что <ру, определенная на 1, 2, 22, 222, . . ., дает возра-
возрастающую последовательность обозначений (с целью сделать допустимым
вложение системы S) в обобщенные системы обозначений, рассматривае-
рассматриваемые как аналоги более высоких классов ординалов.) Множитель 3
в выражении 3'5^ также встречается по этой причине. Мы сохранили
множитель 3, следуя традиции, хотя для наших целей было бы достаточно
одного лишь 5У. Существует сохраняющая ординалы рекурсивная пере-
перестановка между системой Sit определенной Клини, и St, введенной здесь.

268 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
<Pm(x) = {
кое, что
1, если ks {x) = 0;
2Ф™Р«(Ж), если ks (x) = 1;
3-5У', если ks (x) = 2 и qs (x) сходится,
где у' есть индекс кп [фтфд8(Ж)(п)];
расходится в остальных случаях.
Очевидно, фт есть искомая частичнорекурсивная функция ф,
поскольку фт определена на всем множестве Ds и х ? Ds =>¦
=> Vsj (фт (х)) = vs (x) (в противном случае возьмем наименьший
ординал, имеющий 5-обозначение, для которого или (рт не опре-
определена, или это равенство несправедливо; немедленно придем
к противоречию).и
Следствие XVI. Существуют счетные ординалы, не являющиеся
конструктивными.
Доказательство. Ординалы, обозначения которых
задаются системой Su образуют счетный отрезок. Отсюда наи-
наименьший ординал, не принадлежащий этому отрезку, счетен. ш
Определим теперь универсальную систему с некоторыми допол-
дополнительными свойствами. Наше определение попутно введет неко-
некоторое частичное упорядочение на множестве обозначений.
Определение. Система О определяется следующим образом.
Мы определяем как v0, так и частичное упорядочение <0 на ?>р-
0 получает обозначение 1.
Предположим, что все ординалы <Су получили обозначения
и что упорядочение'< 0 определено, на этих обозначениях.
(i) если "у = р + 1, то для каждого х, такого, что Р имеет х
в качестве обозначения, у получает 2х в качестве обозначения
и упорядоченная пара (z, 2х) добавляется к отношению < 0 Для
всех z, для которых или z = х, или {z, x) уже принадлежит отно-
отношению <о •
(ii) если у — предельный ординал, то для каждого у, такого,
что {qiyiri)}^!!™ суть обозначения возрастающей последовательно-
последовательности ординалов с пределом у, и такого, что (Vi)(V/)U <; у =>.
=*" (ФгДО) Ч>уA)У Уже принадлежит < 0]> У получает Ъ-Ъу в каче-
качестве обозначения и упорядоченные пары (z, 3 >5У) добавляются
к отношению <Со Для всех z, для которых Cn)[(z, ц>у(п)у уже при-
принадлежит < 0].
Частичнорекурсивные функции к0, р0 и q0 совпадают с частич-
норекурсивными функциями kSi, pSl и qSl. Это завершает опре-
определение системы О1).
х) Предыдущее примечание относится к системе О в той же мере, что
и к S,.
§ ил. системы обозначений для ординалов 269
Множество Do также будем обозначать через О. Для vo(x)
будет употребляться обозначение | х \0- Если (х, у} 6 <о>
будем писать х <о У- Заметим, что | х |0 <; \у |0 не влечет за
собой, вообще говоря, х <о У (см. диаграмму ниже).
Система О, очевидно, является подсистемой Si'. Она обладает
рядом полезных свойств. Для любого у 6 О {х \ х <0 у} состав-
составляет ' унивалентную систему обозначений. Более того, множество
{х | х <о у} рекурсивно пе.речислимо равномерно по у, т. е.
существует общерекурсивная функция/, такая, что (Vj/)[y 6 О =>
=> Wf(y) = {х | х <0 у}] (см. упр. 11-55). Частичное упорядоче-
упорядочение <о есть бесконечно ветвящееся дерево, задаваемое следую-
следующей диаграммой:
1 <0 2 <0 22 <0 ... -
где последовательные ветвления встречаются на обозначениях
последовательных предельных чисел. В этой диаграмме 3-5yi
ж З-Ъ?2 суть два (из бесконечного множества) обозначения для со.
Заметим, что если 3-5У1<о2, то z и З'б2'2 несравнимы относи-
относительно <0- Определение Do и <0 в терминах натуральных
чисел и множеств натуральных чисел (без ссылки на ординалы)
может быть дано без труда (см. упр. 16-6).
Следующий результат демонстрирует еще одно применение
теоремы о рекурсии. Он относится к некоторой общерекурсивной
¦функции двух переменных. Мы обозначим эту функцию через +0
ж будем писать х +0 у вместо +0 {х, у).
Теорема XVII (Клини). Существует общерекурсивная функ-
функция +о двух переменных, такая, что для всех х и у из О
(i) х +0 у 6 О;
(ii) | х +о у \о = I х \0 + I У |0;
(iii) у Ф 1 =>- х <0 х +о У-
Доказательство. Пусть даны х ш z, определим г|? сле-
следующим образом:
х, если у = 1;
2ф*(и), если у = 2";
¦яр(у) = 3-5"', если у = 3'5°, где у' есть индекс
функции 2ш[ф2ф„(п)];
О в остальных случаях.

270 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Тогда г|э частичнорекурсивна и индекс г|э может быть получен рав-
равномерно по х и z. Иными словами, существует общерекурсивная
функция /, такая, что
ty = Ф/(г, х)-
Применив теорему III, получим общерекурсивную функцию пт
такую, что
фп(ж) = ф/(п(х), ж)-
Положим теперь
Тогда (i), (ii) и (iii) должны быть справедливы для функции + 0.
В противном случае возьмем наименьшее х (среди ординалов)
и для такого х наименьшее у (среди ординалов), такие, что или.
(i), или (ii), или (iii) места не имеет; немедленно придем к противо-
противоречию. В упр. 11-57 мы заметим, что + 0 есть всюду определенная
функция. и
Функция + о может быть использована при еще одном при-
применении теоремы о рекурсии для доказательства универсаль-
универсальности (и, следовательно, максимальности) системы О.
Теорема XVIII (Клини). Система О есть универсальная систе-
система обозначений.
Доказательство. Пусть 5 — произвольная система
обозначений. Пусть z дано; определим я|) следующим образом:
( 1,
(х) =
если ks{x) = 0;
3 -5
У
Ы)
если ,ks(x) = 2 и qs {x) сходится, где у' есть
индекс для ц и т] определяется посредством
Т]@) = ф2фд5(Ж) @),
т](п + 1) = \]{п) +о фгф?8(*)(ге + 1);
^расходится в остальных случаях.
Взяв общерекурсивную функцию/, такую, что я|) =Ф/B)» и, при-
применив теорему I, получим частичнорекурсивную функцию ф„ =
= ф/(П), которая будет служить в качестве функции ф, требуемой
определением универсальности. Чтобы показать, что фп обладает
нужными свойствами, предположим противное; возьмем наимень-
наименьший ординал, на котором что-то нарушается, и немедленно полу-
получим противоречие. в
Следствие XVIII (а). Система О максимальна; т. е. она каж-
каждому конструктивному ординалу ставит в соответствие обозна-
обозначение.
§ 11.8. КОНСТРУКТИВНЫЕ ОРДИНАЛЫ 271
Доказательство очевидно.я
Система О оказывается полезной в дальнейших приложе-
приложениях в значительной мере благодаря следующему следствию,
устанавливающему, что для унивалентных систем теорема имеет
место в более сильной форме.
Следствие XVIII (Ь). Пусть дана унивалентная система Sy
тогда существует частичнорекурсивная функция ц>, отображаю-
отображающая Ds в О так, что
(i) x?Ds=>vs (x) = | <р(х) \0;
(ii) х, y?Ds=>-[x<:y <=> ц>(х) <0
Доказательство. Доказательство аналогично доказа-
доказательству теоремы, но функция т] определяется следующим образом:
(
§ 11.8. КОНСТРУКТИВНЫЕ ОРДИНАЛЫ
Приведем еще несколько свойств конструктивных ординалов.
Следующая теорема имеет место, несмотря на то что существова-
существование максимальной рекурсивной по упорядочению системы обозна-
обозначений невозможно.
Теорема XIX. Для всякого конструктивного ординала сущест-
существует рекурсивная по упорядочению унивалентная система, наделя-
наделяющая этот ординал обозначением.
Доказательство. Пусть а — конструктивный орди-
ординал. Согласно следствию XVIII, существует z ? О, такое, что-
| z \0 = а. Пусть Az = {у | у <0 z или у = z}. Множество Аг
рекурсивно перечислимо (см. упр. 11-55); Аг линейно упорядочено
отношением <0, и каждый ординал, не превосходящий а, имеет
одно и только одно обозначение в Аг. Если множество Аг конечно,
то ординал а конечен и результат следует немедленно. Если мно-
множество Az бесконечно, пусть / есть'взаимно однозначная общере-
общерекурсивная функция, имеющая Аг в качестве множества значений-
Определим систему обозначений S следующим образом:
D8 = N,
vs(#) = I f(x) \o,
Ы*) = ko(f(x)),
Ps(x) = f^

272 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
где у' есть индекс функции %n[f 1Фдодх)(и)]. Система S является
рекурсивной по упорядочению, так как для любых х и у или
/(я) =/(у). или fix) <0 f{y), или f(y) <0 Да;). Поскольку {и \ и <0 г;}
рекурсивно перечислимо равномерно по г;, мы можем установить,
какой из этих трех случаев имеет место.
Система S есть искомая рекурсивная по упорядочению унива-
лентная система, наделяющая ординал а обозначением f~1(z).m
Определение. Назовем <х рекурсивным ординалом, если суще-
ствует отношение R, такое, что: (i) R есть вполне-упорядочение
(некоторого множества натуральных чисел); (ii) R рекурсивно
и (ш) вполне-упорядочение, задаваемое R, подобно <х.
Следствие XIX, Всякий конструктивный ординал рекурсивен.
Доказательство. Унивалентная система обозначений,
построенная при доказательстве теоремы XIX, обеспечивает иско-
искомое рекурсивное вполне-упорядочение. ¦
Обращение следствия XIX также имеет место (Марквальд
[1954], Спектор [1955]).
Теорема XX (Марквальд, Спектор). Всякий рекурсивный орди-
ординал конструктивен.
Доказательство. Пусть а есть рекурсивный ординал.
Пусть R есть рекурсивное вполне-упорядочение, подобное а. Заме-
тим, что для всякого и при этом упорядочении множество
{z | (z, и) 6 R} рекурсивно перечислимо равномерно по и. Опре-
Определим новое отношение линейной упорядоченности следующим
образом:
Уг)
6 R & l#i =
Очевидно, R рекурсивно. Это упорядочение, как легко видеть,
подобно Р = со-а. Пусть т — первое натуральное число в упоря-
упорядочении R. R задает систему обозначений S следующим образом:
Ds ={x\ {х, х) ER},
( 0, если х = {т, 0);
ks(x)= < 1, если х = {u, i>> и г; > 0;
I 2, если х = {и, 0} и ифт.
ps (х) = (и, v — 1 >, если х = (и, v) & ks (x) = 1;
qs (x) = у, если х = (и, 0 > & и Ф т, где у
есть индекс частичнорекурсивной функ-
ции h, определенной следующим образом:
h@) = (m, 0), и если h(n) = {s, t), то
§ 11.8. КОНСТРУКТИВНЫЕ ОРДИНАЛЫ 273
{w, 0), где w = цх [х появляется за п шагов
' пересчета {z | (z, u) 6 R & z Ф и) и
h(n + 1) =-\ s появляется за п шагов пересчета
{z |<z, x)?R &гф х}},
,(s,t-\-l), если такого х не существует.
Эти определения, очевидно, задают отображение vs однозначно,
и мы имеем рекурсивную по упорядочению систему, приписываю-
приписывающую обозначения всем ординалам, меньшим чем со-ос. Согласно
теореме XV, существует система, приписывающая обозначение
ординалу со-ос. Следовательно, со-ос конструктивен. Так как
а ^ со -а, то и а конструктивен.я
Следствие XX. Ординал рекурсивен тогда и только тогда, ког-
когда он конструктивен.
Доказательство очевидно.и
Конструктивные ординалы можно рассматривать как рекур-
рекурсивный аналог второго числового класса. Ординалы второго чис-
числового класса могут быть описаны или правилами порождения,
или как представители счетных впрлне-упорядочений (упр. 11-46).
Определения конструктивных или рекурсивных ординалов являют-
являются соответственно аналогами этих двух теоретико-множественных
описаний. Следствие XX есть рекурсивный аналог результата
упр. 11-46, состоящего в том, что эти два теоретико-множествен-
теоретико-множественных описания задают один и тот же класс ординалов.
Конструктивные ординалы и универсальная система О часто
встречаются в литературе по теории рекурсивных функций и ло-
логике. Теорема о рекурсии является полезным, гибким и весьма
существенным инструментом при применениях конструктивных
ординалов и системы О. В качестве последней иллюстрации рас-
рассмотрим множества Sa и В, определенные, как в упр. 7-46 (если
ар есть взаимно однозначная продуктивная функция некоторого
продуктивного множества).
Теорема XXI (Парикх). (а) Для всякого конструктивного орди-
ординала р в ф и sa.
(b) В = U So.
а конструктивен '
Доказательство. Пусть q есть индекс 0. Пусть / —
общерекурсивная функция, такая, что {УуIу 6 О =>¦ Wf(V) =
= {х | х <оУ}\- Применив теорему о рекурсии, получим частич-
норекурсивную функцию ср', отображающую О в В, такую, что
18-0506

274 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
где у — р. п. индешГдля y'{Wf(x));
где у есть р. п. индекс для 4>'{W,,3bX)). Отсюда, привлекая про-
простое индуктивное соображение, получаем, что для всякого х 6 'О
ф'(«) 6 5Wo+1 - 5|Я|О и ф'(а:) 6 В.
Это доказывает (а).
Далее воспользуемся теоремой о рекурсии, чтобы определить
частичнорекурсивную функцию ф", отображающую В в О, такую,
что если х ? Sa+i — Sa, то а < | ц>"(х) \0. Это доказывает (Ь).
Определим ф" посредством
где у есть индекс частичнорекурсивной функции т], которая может
быть задана следующим образом. Вычисляйте г|5~х(а:). Как только
выяснится, что ty^ix) определено (если это произойдет), пересчи-
пересчитывайте Wy-цх). Положите т]@) = 1,
т](п) -\-оц>"(т), если т есть новый элемент W^-i(x),
встречающийся на п-м шаге в пе-
\]{п + 1) = -{ ресчете W^-4x);
г\(п) +о2, если никакой такой новый элемент
на п-м шаге не встретился.
Привлекая простое индуктивное соображение, получаем, что ф"
обладает требуемыми свойствами. Это завершает доказатель-
доказательство. ¦
В упр. 11-63 мы заметим, что любое такое В должно быть
рекурсивно изоморфно О.
§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ
§ 11.2
Д11-1. (а) Покажите, что существует общерекурсивная функция /,
множество неподвижных точек для которой не является рекурсивно перечис-
перечислимым.
ым.
(Ь) Покажите, что если множество неподвижных точек для общерекур-
общерекурсивной функции / рекурсивно, то множество {<рх | срж = ф/(ж)} содержит все
частичнорекурсивные функции. (Указание. Покажите, что в противном
случае может быть найдена общерекурсивная функция, для которой не
существует неподвижных точек.)
11-2. Сформулируйте и докажите теорему II в виде, применимом ко всем
ф2, как всюду определенным, так и прочим.
11-3. Теорема I может быть релятивизована, если (i) взять/ общерекур-
общерекурсивной относительно А или (и) заменить ср на ср , или (iii) сделать и то,
и другое. Какой из этих трех релятивизованных вариантов имеет место?
Докажите или приведите контрпримеры.
11-4. Пусть г|з — частично рекурсивная функция двух переменных.
(i) Покажите, что существует число п, такое, что cpn = Xy[ty(n, у)].
% н.э. упражнения 275
(ii) Покажите, что результат (i) эквивалентен теореме I.
(iii) Пусть v — гёделев номер функции %xy[\p(s{(x, х), у]. Покажите, что
в качестве п в (i) можно взять s\(v, v).
Часть (i) есть клиниев вариант теоремы I, часть (ш) — его доказа-
доказательство.
11-5. Пусть / — общерекурсивная функция. Пусть v — гёделев номер
функции Ь^[ф/81(ж, *)(*/)]• Пусть п = s\(v, v). Покажите, что <р„ = q>/(n).
(Это еще один вариант доказательства теоремы I.)
11-6. Покажите, что следующее утверждение эквивалентно следствию I.
Для каждого рекурсивно перечислимого множества А существует п, такое,
что Wn = {х | {х, п) 6 А }.
11-7. Воспользовавшись теоремами 5-IX и 5-XVI, покажите, что теоре-
теорема I вытекает непосредственно из следствия I.
11-8. Докажите или опровергните следующее утверждение. Пусть / —
общерекурсивная функция, такая, что для всех х функция ц>х всюду опреде-
определена =Ф <P/Cf) всюду определена; тогда существует п, такое, что <рп =*= <р/(„)
и функция фп всюду определена.
11-9. (а) В каждом из следующих случаев докажите или опровергни-
опровергните существование т, при котором должно выполняться соответствующее
свойство:
(i) Wm = {m*};
(ii) Wm = {10m};
(iii) Wm = N.- {«};
(iv) Wm = {x | x есть квадратичный вычет по модулю ту,
(v) Wm = {x I (fmix) расходится};
(vi) 0 Ф Wm = {x | C.y)[x = 2y & <pm(y) сходится]};
(vii) Wm = {3} U {x | Cy) [x = 2y & ФтЫ сходится]}.
(b) Докажите или опровергните существование общерекурсивной функ-
функции /, такой, что
WfM = {fix) + х}.
11-10 (Вольпин). С помощью теоремы-1 может быть получено короткое
и простое доказательство теоремы упр. 2-39 (а).
(a) Пусть % — произвольный класс частичнорекурсивных функций.
Пусть А = {х | фж ? %}. Выведите из теоремы I, что А *^тА.
(b) Выведите теорему упр. 2-39 (а).
11-11. Воспользовавшись теоремами I и 5-1V, докажите последнюю часть
теоремы 5-XIV (о замкнутости относительно операции взятия дополнения).
(Указание. Предположите противное и найдите п, такое, что Wn ZD Wn
и Wn^N.)
Д 11-12. Пусть г|H, %, ... — последовательность частичнорекурсивных
функций. Предположим, что существуют общерекурсивные функции hug,
такие, что я|зй(ж) = фж и ф?(ж> = я|зж, т. е. что последовательность ifo, ^i, • ¦ •
задает допустимую в смысле упр. 2-10 нумерацию. Покажите, что для этой
нумерации имеет место теорема о рекурсии; иными словами, покажите, что
для всякой общерекурсивной функции / существует п, такое, что я|зп = i|5/(n).
(Указание. Воспользуйтесь теоремой I для получения т, такого, что фт =
§ 11.3
11-13. Проведите доказательство теоремы VI с продуктивной (не обяза-
обязательно всюду определенной) функцией я|з вместо всюду определенной продук-
продуктивной функции h.
11-14. Пусть А ж Б — пара эффективно неотделимых непересекающихся
рекурсивно перечислимых множеств. Покажите, что всякое рекурсивно пере-
перечислимое множество С, такое, что A cz С cz В, должно быть 1-полным.

276 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
11-15. Покажите в качестве_следствия теоремы V, что для всех А, А
продуктивно <=5> К ^ iA <=5> К ^.тА. (Указание. См. теорему 7-V (Ь).)
Д11-16 (Крайдер). (а) Назовем А унипродуктивным, если существует
общерекурсивная функция /, такая, что для всех х [Wx с А & Wx содержит
самое большее один элемент] =Ф fix) ? А — Wx. Покажите: А унипродуктив-
но <=?- А продуктивно.
(Ь) Выполните части (d) и (е) упр. 7-39.
11-17. (а) В доказательстве теоремы VI покажите, что center hnA cz
cz h({x | Wx = 0}) (см. в, упр. 7-42 определение понятия center hnA).
(Ъ) Воспользовавшись теоремой IV, покажите, что множество А имеет
бесконечно много попарно непересекающихся центров (если варьируются
продуктивные функции), содержащихся в h({x | Wx = 0}).
Д11-18 (Шёнфильд). См. упр. 8-26 и 8-27. Покажите, что А q-креативно =Ф
=$> А q-полно. (Указание. Доказательство может быть проведено, аналогично
доказательству теоремы V. Можно также показать, что множество q-креативно
тогда и только тогда, когда его q-цилиндр креативен, а затем непосредственно
применить теорему V.) (В упр. 8-44 также исследовалась q-креативность.
Ейтс доказал существование полутворческих множеств, не являющихся
Т-полными, и тем самым существование полутворческих множеств, не являю-
являющихся q-творческими.)
11-19. Определим: А q-продуктивно, если существует частичнорекур-
сивная функция ifv такая, что для всех х, Wx cz А =Ф [ty(x) определено &
фуц fv x р
&?)ф(ж) cz A &Z)^(X) ($1 Wx]. Покажите, что частичнорекурсивная функ-
функция может быть в этом определении заменена общерекурсивной функцией.
Д11-20. Определите подходящим образом полную q-продуктивность.
Докажите аналог теоремы VI.
Д11-21. Определим: А Т -продуктивно, если существует общерекурсив-
общерекурсивная функция g, такая, что для всех х
? WgM &DpczA]<^> пC»)[» € Wgix) &,Dycz Wx].
Определим: А Т-креативно, если А рекурсивно перечислимо и А Т-про-
дуктивно.
Покажите: Л Т-креативно <=^ А Т-полно. (Указание. Чтобы установить
4=, следует воспользоваться сводимостью множества К и упр. 9-22; для уста-
установления =?• следует применить теорему о рекурсии, с тем чтобы получить
для всякого рекурсивно перечислимого множества В общерекурсйвную функ-
функцию п, такую, что
= Г {* I Cz)[z 6 Wgn(v) &.xe Dz]}, если у 6 В;
\ 0, если у $ В,
и воспользоваться упр. 9-22.)
Д11-22. Покажите, что для всякой универсальной функции (в смысле
§ 4.5) я|з существует т, такое, что г|?(т) = т.
§ 11.4
11-23. Рассмотрите следующие аксиомы (Цермело — Френкель) для
теории множеств (Френкель [1928]; см. также Куайн [1963] и Бернайс и Френ-
Френкель [1958, часть I]).
(i) (Vx)(Vy) [(Vz) [z 6 x <=> z ? у] =Ф х = у] (экстенсиональность);
(ii) (Vs)(Vj,)Cz)(V«)[k 6 z <=> lu = x V и = у}] (пара);
. (Hi) (Vz)Cz)(Vu)[w 6 z <=> (Эу)[к g г/ & г/ g ж]] (сумма);
(iv) (Va:')C2)(VM)[M 6 * <=> (Vy)[y ? и ==> i/ 6 ^]] (степень);
§ н.э. упражнения 277
6 i> <=> У ="Ш]
(v) (Va;)Cz)(Va)[a 6 z <=> [и ? х & 5(и)]] (свертывание);
(vi) (Ум)(Уу)(Уш)[[7?(ш, л) & R(w, v)] <=> и = v] =# (Vo:)Cj/)(Vz)[z 6
6 У <^> C<)[* 6 ж & i?(?, «)]] (замещение);
(vii) (Va:)Cz) [x e z & (Vit) [и 6 z ==> (ЭУ) [v ? z & (V
(бесконечность);
(viii) (Va;)[(Va)(Vi;)[ [u^x&^v^xh Cr)[r ? м & r 6 u]] =#
=ф и = у] ==> Cj/)(Vz)[[z 6 X & Cu;)[u; g z]] =ф Cf)(Vs)[[s 6 У & S 6 z]
*^^ s = ^]]] (выбор);
(ix) Cx)S(x) =ф Cj,)[5(y) & (Vz)[z 6 у =фП5(г)]] (фундирование).
Покажите, что для отношения Е(— {(х, у) | х g H'j,}) имеют место
утверждения (ii), (III), (vii) и (viii), но не (i) и (iv). Покажите, что (v), (vi)
и (ix), вообще говоря, места не имеют, поскольку в качестве S и R могут
выступать любые множества и отношения. Покажите, что если на S и R нало-
наложено ограничение быть рекурсивно перечислимыми, то утверждения (v)
и (vi) имеют место, a (ix) нет. .
11-24. Воспользовавшись теоремой о рекурсии, покажите, что существу-
существуют т и п, такие, что т ф п, т ?Wn ж п ?. Wm.
Д11-25. (а) Покажите, что для любой общерекурсивной функции h суще-
существует бесконечная последовательность различных натуральных чисел т0,
mit . . ., такая, что для всех i Wmi = {h(mi+i)}. (Указание. Модифицируйте
доказательство теоремы VII.)
(b) Определите насыщенность относительно я|з, как в упр. 7-45. Покажи-
Покажите, что существует более чем счетное число продуктивных множеств, которые
насыщены относительно тождественной функции. (Указание. Воспользуйтесь
теоремой VII и затем конструкцией, подобной конструкции из упр. 7-46.)
(c) Пусть h — произвольная взаимно однозначная общерекурсивная
функция. Покажите, что существует более чем счетное число продуктивных
множеств, насыщенных относительно h. (Указание. Воспользуйтесь (а).)
11-26. Объясните, почему никакая аксиоматизируемая формальная тео-
теория не может содержать все истинные утверждения и не содержать'_никаких
ложных утверждений вида хи у суть р. п. индексы одного и того же множе-
множества. (Считаем, что гёделев номер этого утверждения равномерно зависит
от а; и у.)
11-27. Возьмем функции / и с, как при доказательстве теоремы VIII."
Предположим, с взаимно однозначно и для всех х }(х) Ф х. При каких обсто-
обстоятельствах может существовать т, такое, что Wy^(m) = W/(m)? (Коммента-
(Комментарий. В естественно возникающих ситуациях "с почти всегда взаимно одно-
однозначна и функция / (построенная методом теоремы 5-XIII) почти всегда обла-
обладает тем свойством, что (V'x)[f(x) Ф х].)
11-28. Машина, описываемая в примере 1, следующем за теоремой IX,
обладает тем свойством, что по любой цепочке единиц, подаваемых на вход,
она выдает в качестве выходного значения свою собственную четверку.
Покажите, что существует нетривиальная машина, обладающая тем свойст-
ством, что если на вход подается чистая лента, она выдает свою собственную
четверку в качестве выходного значения.
Д11-29 (Шмульян). (а) Пусть {Ait Л2}и {В1; В2} суть пары непересекаю-
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств. Мы скажем, что (At, A2) силь-
сильно сводимо к (fib B2), если существует общерекурсивная функция /, такая,
что f(Ai) czBu f(A2) crB2 и f(A± \J A2) cz Bt \J B2. Пусть {Си C2) -
пара эффективно неотделимых непересекающихся рекурсивно перечислимых
множеств. Покажите, что для любой пары непересекающихся рекурсивно пере-
перечислимых множеств {Ai, A2) пара {Аи А2) сильно сводима к {Си С2).

278 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
(Это является аналогом теоремы V для пар множеств.) (Указание. Определите
wgw= { CiU
С,,
если
если х $ А 2,
и определите WA(z) подобным образом, используя С2 и Ai. Здесь г|> —
продуктивная функция пары {Си С2). Примените теорему X.)
(Ь) Получите в качестве следствия, что продуктивная функция любой
пары эффективно неотделимых множеств может быть заменена всюду опреде-
определенной продуктивной функцией.
АН-30. (а) (Парикх). Пусть g — любая общерекурсивная функция.
Покажите, что существует п, такое, что
(i) Wn рекурсивно;
(ii) wlWy^Hr^ >g(n).
(Указание. Определите множество И^(ж) как пересекающееся со всяким непу-
непустым Wt, i^..g(x), и конечное. Примените теорему о рекурсии. Заметьте,
что это дает конечное множество'- Wn.)
(b) Пункт (а) подчините требованию, чтобы множество Wn было коко-
нечнб.
АП-31. Пусть h—любая общерекурсивная функция. Покажите, что
существуют т и и, такие, что Wm = Du и и > h(m). (Указание. Воспользуй-
Воспользуйтесь пунктом (а) предыдущего упражнения.) Мы, таким образом, имеем конеч-
конечные множества с р. п. индексами, „сколь угодно меньшими" их канонических
индексов.
АН-32 (Парикх). Пусть g — произвольная общерекурсивная функция.
Покажите, что существует т, такое, что
(i) т = pftWy¦= Wm];
(ii) m>g(liylwX= Wm]).
(Указание. Возьмите общерекурсивную функцию h, такую, что W^x) = Wx
для всех х. Примените упр. 11-30 (а) с gh вместо g. Заметьте, что это дает
коконечность множества Wm.)
Д11-33. Пусть множество А вполне упорядочено (при некото ром.заданном
отношении упорядочения). Для любого у из А пусть Sy есть множество эле-
элементов множества А, предшествующих у относительно этого вполне-упоря-
дочения. Предположим, что задана функция я|з и что существует общерекурсив-
общерекурсивная функция /, такая, что для любого х и любого элемента у множества А
если фж совпадает с я|з на Sy, то q>f(x, у) совпадает с if> на Sy \J {у}. Покажите,
что существует частичнорекурсивная функция, совпадающая с я|з на множе-
множестве А. (Указание. Примените теорему о рекурсии к функции <fg(x) =
= ^[ф Ш)
Это упражнение предлагает аналог в теории рекурсивных функций
принципа трансфинитной индукции, с помощью которого определяются
функции над ординальными числами. Заметим, что явно не требуется наличия
какой бы то ни было рекурсивной структуры ни для А, ни для упорядочения
множества А. Этот результат обобщается в лемме о рекурсии § 16.4.
§ 11.5
Д11-34.,(а)'Докажите теорему о рекурсии для операторов перечисления,
т. е. покажите,, что для любой общерекурсивной функции / существует п,
такое, что
фП - Ф/(Ю-
(Ь) Существует ли т, такое, что для всех А
Фт(А) - {ш}?
§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ 279
Д11-35. Пусть jir=2Nl (а) Для всякого конечного множества D рассмот-
рассмотрим множество (множеств)
&D= {A \D <=.A},
(i) Покажите, что семейство всех таких множеств (множеств) замкнуто
•относительно конечного пересечения и, следовательно, образует базис топо-
топологии на JT.
(ii) Покажите, что замкнутыми подмножествами множества JT относи-
относительно этой топологии являются в точности множества (множеств), замкнутые
относительно подмножеств и возрастающего объединенияг).
(iii). Пусть Ф есть отображение из jr в JT .Покажите, что Ф непрерывно
относительно этой топологии тогда и только тогда, когда отображение Ф
„монотонно" и „непрерывно" в смысле теоремы 9-ХХ. (Указание..Напомним,
что отображение / топологического пространства ЗС непрерывно тогда и толь-
только тогда, когда для любого х ? X и любого c/h aX x ^замыкание (*ф) =^>
=Ф f(x) ? замыкание (f(<&)).)
(b) Пусть Jt a JT. Назовем множество Jt замкнутым, если ^.замкнуто
относительно возрастающего объединения.
(i) Покажите, что это задает топологию на JT-
(ii) Пусть Ф- есть монотонное отображение из JT в Jf. Покажите, что Ф
непрерывно относительно этой топологии тогда и только тогда, когда ото-
отображение Ф „непрерывно" в смысле теоремы 9-ХХ.
(c) Для всякой пары (D[, D2) конечных множеств рассмотрим множе-
множество (множеств) • _
(i) Покажите, что семейство всех таких множеств (множеств) образует
базис топологии на Jf. (Это топология канторова множества, часто задавае-
задаваемая на JT.)
(ii) Покажите, что замкнутые подмножества JT в" этой топологии
замкнуты относительно возрастающего объединения.
(iii) Пусть Ф есть отображение из Jf в Jf. Покажите, что если Ф непре-
непрерывно относительно этой топологии, то отображение Ф „непрерывно" в смысле
теоремы 9-ХХ.
(iv) Постройте оператор перечисления, который не является непрерыв-
непрерывным в этой топологии. (Указание. Рассмотрите отображение Ф, такое, что
ф(А) =
0,
есЛИ Л ф 0)
если А = 0.)
11-36. Приведите примеры
(i) частичнорекурсивного оператора, не имеющего неподвижной точки;
(ii) частичнорекурсивного оператора с непустой областью определения,
не имеющего неподвижной точки;
(iii) рекурсивного оператора, не имеющего всюду определенной непод-
неподвижной точки;
(iv) рекурсивного оператора, обладающего всюду определенными непод-
неподвижными точками, но такого, что его минимальная неподвижная точка всюду
определенной не является; ь* * j
(v) рекурсивного оператора, имеющего ровно три неподвижные точки.
х) Множество <Ж замкнуто относительно подмножеств, если
А ? dl & В с А =ф В 6 ,??. Множество ,з? замкнуто относительно возрастаю-
возрастающего объединения, если [Di)[At 6 jt)\ &• (Vi)(V/)[< s^) =}At cAj]] =>
*=o

280 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
11-37. Покажите, что если рекурсивный оператор имеет только всюду
определенные неподвижные точки, то он имеет в точности одну неподвижную
точку.
11-38. Определим
,, > _ Г х — 1, если х>0;
п > ~ 1/0, если х = 0.
Определим оператор перечисления Ф как
Ф(А) = {(/(*), /Ы) |<*, у) ?А}. ,
Рассмотрим частично рекурсивный оператор, определяемый оператором Ф.
Назовем его Ч*1.
(i) Является ли Т рекурсивным оператором?
(и) Опишите неподвижные точки оператора Ч*1.
11-39. Положим 1а = {<?, х) \ х ? А}. Каждому оператору перечисле-
перечисления Ф может быть поставлен в соответствие рекурсивный оператор Т, такой,
что
gix, У, z) =
1,
2z
Воспользовавшись этой конструкцией, получите теорему XI непосредствен-
непосредственно из теоремы XII.
11-40. Опишите все решения системы равенств
1|эDа:) = 21|зBж),
1|зB) = 2.
Д11-41. (а) (Крейсел). Рассмотрим функцию g, задаваемую следующим
образом:
если Рх при входном значении х
выдает результат менее чем за
у шагов;
в противном случае.
Функция g общерекурсивна, и, согласно § 1.5, может быть найдена система
рекурсивных равенств, однозначным образом задающая функцию g. Назовем
эту систему (Е). Возьмем систему рекурсивных равенств, получаемую при
соединением к (Е) равенства
fix,- У) = g(x, У, fix, у + 1)),
где / — функциональный символ, не встречающийся в (Е).
Покажите, что функция / определяется однозначно (как всюду определен-
определенная функция), ко что / не является общерекурсивной функцией. (Всюду опре-
определенные функции, однозначно определяемые системой равенств, называются
рекурсивными по Эрбрану функциями. Как мы заметим позднее, они образуют
естественный класс, который выходит за рамки класса общерекурсивных
функций.)
(Ь) Приведите пример общерекурсивного оператора V, такого, что
(i) оператор 4я обладает одной и только одной всюду определенной непод-
неподвижной точкой;
(ii) всюду определенная неподвижная точка не рекурсивна. (Указание.
См. (а).) (Заметим, что оператор V должен по теореме XII обладать не всюду
определенной неподвижной точкой, являющейся частичнорекурсивной.)
§ И.6
11-42. В доказательстве теоремы XIV покажите, что оператор перечисле-
перечисления Фц, B) определяет оператор %. (Указание. Воспользуйтесь монотонностью
и непрерывностью.)
Д11-43. Докажите теорему Майхилла и Шепердсона, сформулированную
в § 11.5. [Указание. Пункт (а) вытекает из следствия XII (а). Для доказатель-
§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ 281
ства пункта (а) покажите, что отображение частичнорекурсивных функций,,
задаваемое функцией /, монотонно и непрерывно (в противном случае была
бы разрешима проблема остановки). Затем постройте оператор Фи,B), как
в доказательстве теоремы XIV, и воспользуйтесь упр. 11-42 для установления
единственности.]
2^11-44. Рассмотрим арифметику Пеано и примем предположения,
касающиеся Mabcd, сделанные в упр. 7-64. Пусть построена формула
Cb)[Cd)Msubd &~~]PpF)], утверждающая свою собственную недока-
недоказуемость, как в § 11.6. Покажите, что если арифметика Пеано со-непротиворе-
со-непротиворечива, то ни эта ппф, ни ее отрицание не доказуемы. (Это ближе первоначаль-
первоначальному доказательству Гёделя, нежели упр. 7-64.)
Д11-45 (Тарский). (а) Примем свойства множества М, описанные
в § 11.6. Покажите, что не может существовать выражения Та элементарной,
арифметики с единственной свободной переменной а, такого, что для всех
ппф (с кодовым номером) х
Тх истинно тогда и только тогда, когда х истинно.
(Указание. Воспользуйтесь соображениями, связанными с подстановоч-
подстановочной функцией, чтобы показать, что в противном случае могла бы быть постро-
построена' ппф, которая утверждала бы свою собственную ложность и, следователь-
следовательно, была бы истинной в том и только в том случае, когда она ложна J).)
Определение. Множество А вполне арифметически продуктивно, если
существует общерекурсивная функция /, такая, что для всякого выражения
Fa элементарной арифметики, имеющего кодовый номер х и единственную
свободную переменную а,
f(x) ? (А >— {у | Fy истинно}) {] ({у | Fy истинно} — А).
(Ъ) Покажите, что множество (кодовых номеров) всех истинных пп-фор-
мул элементарной арифметики вполне арифметически продуктивно.
§ 11.7
В упр. 11-46—11-53 приведены основные определения и результаты,,
относящиеся к ординальным числам. Удовлетворительная трактовка этих
вопросов потребовала бы аксиоматизации теории множеств, поскольку долж-
должно было бы быть проведено тонкое различие между множествами (которые
всегда могут быть элементами) и свойствами множеств (которые иногда могут
ими не быть). Если, например, мы рассматриваем семейство всех ординалов
(т. е. свойство быть ординалом) как множество, мы придем к противоречию
(парадокс Бурали — Форти). В приводимом здесь обзоре мы не привлекаем
аксиоматизации; мы попытаемся избегать ситуаций, в которых могут встре-
встретиться парадоксы, и просто примем принципы, которые потребовали бы при
аксиоматическом изложении более детального обоснования. Все наши резуль-
результаты могут быть получены из аксиом упр. 11-23.
Определение. Линейно упорядоченное множество называется вполне
упорядоченным, если всякое его непустое подмножество имеет наименьший
элемент.
1) Конструкция, аналогичная этой, может быть приведена в обычном
русском языке, если заменить „доказуемая" на „истинная" в примере, приве-
приведенном в примечании на стр. 262. Существование таких утверждений (кото-
(которые не могут быть ни истинными, ни ложными) является тем непреодолимым
препятствием, вследствие которого обычный русский язык не может быть
интерпретируемой формальной системой. В качестве таковой системы обычный
русский язык противоречив.

282 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
Из аксиомы выбора следует, что всякое множество может быть сделано
вполне упорядоченным и что упорядочение является вполне-упорядоченйем
тогда и только тогда,.когда оно не имеет бесконечных убывающих цепей.
Говорят, что два упорядоченных множества являются множествами одно-
одного и того же порядкового типа или что они подобны, если они изоморфны как
упорядоченные множества.
Можно показать, что существуют некоторые специальные упорядочен-
лые множества, называемые ординальными числами, такие, что всякое впол-
вполне упорядоченное множество подобно одному и только одному ординальному
числу. Ординальные числа конструируются таким образом, что линейное
вполне-упорядочение каждого из них задается посредством отношения при-
принадлежности ?. Например, {0, {0}, {0, {0}}} есть ординальное число,
представляющее любое вполне-упорядоченне трех элементов. Дадим общее
-определение ординала.
Определение, z есть ординал, если
(i) (Ух)[х 6 2 =#> (Vу)[у 6 х =Ф у ? z)];
(п) (Чх)(Чу)[[хez&.yег&хфу]=4[хеу Vye*]]-,
(Hi) (V х)[[(Ч у)[у 6 х => г/? z] & х ф 0] =f Cu)[u ?х &.и [)х= 0]].
Ординальные числа как семейство линейно упорядочены относительно
•?, и каждый ординал соответствует множеству всех его предшественников
при этом упорядочении. (Разумеется, семейство всех ординалов не может
-трактоваться как множество.)
' Для ординалов 0, {0}, {0, {0}}, ... мы будем употреблять сокра-
сокращения 0, 1, 2, . . ., а ординал @, 1, 2, . . .} называть со. Вообще мы будем
употреблять „а", „Р", „1>", ... в качестве символов для ординалов.
Каждый ординал имеет_ единственный непосредственный последователь.
Последователем ординала а является к (J {а}, обозначаемый а + 1. Если
¦ао, «1, . . . есть возрастающая последовательность ординалов, lim an обо-
п
значает ее наименьшую верхнюю грань. Через {an} \ обозначается возрастаю-
возрастающая (и счетно бесконечная) последовательность ординалов. Если у = lim an
п
для некоторой {an}t, то {«n}t называется фундаментальной последователь-
последовательностью для у.
Ординальные числа могут быть трех типов:
(i) ординал 0;
(И) ординалы, имеющие непосредственного предшественника; такие орди-
ординалы называются последователями;
(iii) ординалы (такие, как со), не имеющие непосредственного предше-
предшественника; такие ординалы называются предельными.
Д11-46. Рассмотрите (i) семейство всех ординалов, которые конечны или
счетны; (ii) наименьшее семейство ординалов, содержащее 0 и замкнутое
относительно операций взятия последователя и взятия предела возрастаю-
возрастающих счетно бесконечных последовательностей. Покажите, что эти два семей-
семейства совпадают.
Семейство, определенное 'в упр. 11-46 (на самом деле это множество),
принято называть вторым числовым классом; мы обозначим его Сц. (Первый
числовой класс состоит из конечных ординалов. Из приведенных определений
следует, что второй числовой класс содержит первый числовой класс.) Вто-
Второй числовой класс обладает замечательным свойством быть несчетным впол-
вполне упорядоченным множеством, каждый собственный начальный отрезок
которого счетен. Мы ограничимся теперь рассмотрением (ординалов) второго
числового класса.
Рассмотрим функции, отображающие Сц в себя. Функция / монотонна,
если (Va)(Vp)[a ^ Р =^> /(a) ^ /(Р)]- Функция непрерывна, если она непре-
непрерывна в естественой топологии, связанной (как это описано в примечании
§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ 283
на стр. 249) с понятием наименьшей верхней грани; т. е. если /(lim an) =
n
= lim / (an) для всех {an}f.
n
11-47. Установите, является ли функция / = Xa[a + 1] непрерывной?
Монотонна ли она? '
Принцип трансфинитной индукции состоит в том, что для любой задан-
заданной монотонной (но не обязательно непрерывной) функции / и любого орди-
ординала v условиями
(i) tf@) = v,
(ii) g(a + 1) = Ща)),
(iii) g(lim an) = lim g(an) для любой {an}t
n n
¦определяется единственная непрерывная функция g.
11-48. Установите предыдущий принцип. (Указание. Рассмотрите для
всякого ординала- Р класс всех функций, определенных на предшествен-
предшественниках Р, удовлетворяющих (i), (ii) и (iii).)
Мы можем теперь определить • целый ряд обычных функций на Сц.
Сложение.
ф (а, 0) = а,
. ф (а, р + .1) = ф(а, р) + 1,
ф (a, limpn) = lim ф(а, Р„).
п п
Мы будем писать a + Р вместо ф (a, P).
Умножение
® («, 0) = 0,
®(а, Р+ 1)'=®(о, Р)+.я,
<g> (a, lim р„) = lim <g> (а, Рп).
Мы будем писать a-р вместо ® (а,
11-49. Является ли функция
Возведение в степень
р[Р-2] непрерывной?
«(а, 0) = 1,
е(а, р+ 1) = е(а, Р)-а,
е(а, lim р„) = lim е(а, Рп).
п п
Будем писать а^ вместо е(а, Р).
11-50. Является ли функция Я.р[р^] непрерывнрй?
Д11-51. (а) Установите следующие правила арифметики ординалов:
(« + Р) + У = а + (Р + у),
а-(Р+ V) = «'P+'a-Y.
а,
(«V = «Р-*.
(Ь) Покажите, что следующие соотношения правилами не являются:
a + р = р + а,
а.р=р.а,

284 ГЛ. 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ
(с) Покажите, что существует а, такое, что
а = со-а.
Рассмотрим ординалы, которые могут быть получены из конечных орди-
ординалов и со применением в конечном числе операций сложения, умножения
и возведения в степень. Назовем этот класс Ср („экспоненциальные полиномы
от 0, 1,2,.. ., со"). ¦
11-52. (а) Покажите, что ординалы из класса Ср образуют начальный
сегмент Сц.
Д(Ь) Покажите, что для всякого ординала а из С р существует единствен-
единственная конечная последовательность меньших ординалов Pj, p2, • • •, Pfc и един-
единственная конечная последовательность ненулевых конечных ординалов
щ, ге2,
reft, таких, что
> Рг > ¦ • • > P
fc и а=со
-ге2
. .. + со ft-reft. (Теорема о нормальной форме.)
11-53. (а) (Веблен). Покажите, что всякая монотонная непрерывная
на Сц функция имеет неподвижную точку (этот результат является частным
случаем теоремы Кнастера — Тарского; см. примечание на стр. 249).
(b) Найдите выражение в нормальной форме (см. упр. 11-52 (Ь)) для
наименьшей неподвижной трчки функции
Ц)Яр[со+р];
(п) Я.р[со.р].
(c) Покажите, что наименьшая неподвижная точка функции Лр[сор] есть
наименьший ординал, не принадлежащий классу Ср.
(А) Пусть е0—наименьший ординал, не принадлежащий классу Ср.
Ординал е0 есть предел последовательности со, сою, сош , . . ., и, согласно
упр. 11-53, соЕ° = е0. (Последовательные неподвижные точки функции
Я.р[сор] обычно обозначаются е0, Bj, . . . .) Увеличивающиеся отрезки клас-
класса Сц могут быть наделены обозначениями систематическим образом путем
обобщения определения класса Ср. Например, мы можем образовать класс
Ср,, взяв все ординалы, представимые в виде-экспоненциальных полиномов
от е0 и его предшественников. Это дает все ординалы, меньшие наименьшей
неподвижной точки функции Я.р[е?].
Определим теперь I
ТО = 80,
= наименьший ординал, не представимый в виде экспоненциального
полинома от y<x и его предшественников (или, что эквивалентно,
наименьшая неподвижная точка функции
Это порождает обозначения для всех ординалов вплоть до наименьшей непод-
неподвижной точки функции Я.р[7р]. Конструктивны ли эти ординалы?
§ 11.8
11-54. (а) Покажите, что унивалентная и рекурсивная система обозна-
обозначений должна быть рекурсивной по упорядочению.
(Ь) Покажите, что рекурсивная система может не быть рекурсивной по
упорядочению.
11-55. Покажите, что существует такая общерекурсивная функция /,
что
(Чх)[х ? О =#> Wf(x) = {у | у < ох}\.
§ 11.9. УПРАЖНЕНИЯ 2S5
(Указание (Московакис). Определите оператор перечисления Ф, такой, что
Л czO =#> Ф(Л) = A U В, где В состоит из предшертвенников первого уровня
элементов А (в подходящем смысле). Примените слабую теорему о рекур-
рекурсии.)
11-56. Покажите, что нормальные формы упр. 11-52 задают унивалент-
ную систему обозначений в смысле § 11.7.
11-57. Покажите, что +о в теореме XVII есть общерекурсивная функция.
11-58. (а) Существует ли частично рекурсивная функция т, такая, что
[х ? О и у ? О] =Ф [т{х, у) 6 О и
I т(х, у)\0= \х \0-\у |0]?
(Ь) Существует ли частичнорекурсивная функция е, такая, что
[х е о и у е о] => [е(х, у) ео и
\е{х, у) |0= \х 1оУ|°]?
^11-59 (Спектор). Покажите, что существует максимальная унивалент-
унивалентная система обозначений. (Указание. Возьмите О = {х0, xt, х2, . . .} (в лю-
любом порядке) и рассмотрите ветвь отношения, определяемую последователь-
последовательностью х0, х0 + охи {x0 + oxi) + ox2, ¦¦¦ ¦)
11-60. Покажите, что существуют ветви отношения <о> которые не могут
простираться за со2. (Указание. Воспользуйтесь мощностными соображени-
соображениями.)
11-61. Пусть W = {z | ф^а) есть характеристическая функция вполне-
упорядочения (^) некоторого множества натуральных чисел}. (Множество
W может мыслиться как совокупность обозначений для рекурсивных орди-
ординалов.) Покажите, что W = О. (Указание. См. доказательства теорем XIX
11-62. Назовем а рекурсивно перечислимым ординалом, если а подобен
некоторому рекурсивно перечислимому вполне-унорядочению множества
натуральных чисел. Покажите, что всякий рекурсивно пёречислимый орди-
ординал рекурсивен.
Д11-63 (Парикх). Пусть множество В такое, как в теореме XXI. Покажи-
Покажите, что В = О.

Глава 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО
ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
§ 12.1. Решетки множеств 286
§ 12.2. Разложение 294
§ 12.3. Сжатые множества 296
§ 12.4. Максимальные множества 300
§ 12.5. Подмножества максимальных множеств 303
§ 12.6. Свойства почти-конечности 308
§ 12.7. Упражнения 316
§ 12.1. РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ
В предыдущих главах для изучения рекурсивно инвариантных
свойств множеств натуральных чисел мы использовали понятия
сводимости и степени неразрешимости. Рассмотрение совокуп-
совокупности рекурсивно перечислимых множеств как решетки пред-
представляет собой иной, несколько отличный от предыдущих подход
к их изучению. Мы описываем здесь этот подход. Впервые он
изучался Деккером и Майхиллом (см. Майхилл [1956]).
Определение. Решеткой называется частичное упорядочение,
при котором любые два элемента имеют наименьшую верхнюю-
и наибольшую нижнюю грани *).
Объекты, которые участвуют в этом отношении, будем назы-
называть элементами решетки. Мы используем для них буквы а, Ь, ....
Если а меньше или равно Ъ в решетке, мы пишем „а ^ Ь"; а < Ь
обозначает [а ^ Ъ & а Ф Ъ\. Если а — элемент решетки X, мы
пишем „а 6 X".
Определение. Если а и Ъ — элементы решетки X, то a (J Ъ
обозначает наименьшую верхнюю грань („сумму" или „объедине-
„объединение") элементов а и Ъ; a f] Ъ обозначает наибольшую нижнюю
грань („произведение" или „пересечение") элементов а и Ъ.
Совокупность всех подмножеств любого фиксированного мно-
множества образует решетку относительно включения множеств (cz)
1) Частичным упорядочением называется здесь такое отношение R (на
некотором множестве), что для любых а, Ь и с (из этого множества)
(i) [{a, b)?R&(b, с)^Я]^>(а, с) ? В,
(ii) [(a, b)?R&(b, a) g Л]<=>.а = Ь. .
Условимся читать „(а, Ь)?Я" как „а меньше или равно &". Элемент с есть
наименьшая верхняя грань для а и &, если (i) (а, с) ? R и {Ъ, с) g R и (ii)
для любого d (из данного множества) [(я, d) ?R&(b, d) ? R] =#> (с, d) ? R.
Аналогично определяется наибольшая нижняя грань. Для более подробного
рассмотрения решеток см. Биркгоф [1940].
§ 12.1. РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ 287
с суммами и произведениями, совпадающими с обычными объеди-
объединениями и пересечениями соответственно. В частности,
Ж = {А \ А (^ N} (=2N) есть структура.относительно cz. Отме-
Отметим, что во всякой решетке
[ а = а (]-Ь.
Таким образом, частичное упорядочение ^ может быть определено,
с помощью операций {] и (] • В действительности определение-
решетки можно сформулировать с помощью лишь операций
U и П » накладывая на (J и f] подходящие аксиоматические огра-
ограничения (см. упр. 12-1).
Определение. Пусть X — решетка. оМ называется подрешет-
кой решетки X, если
(i) aS есть решетка;
(ii) (частичное упорядочение решетки) &М содержится в (частич-
(частичном упорядочении) X;
(ш) оМ замкнуто относительно" операций (J и |~| в X ((ш) не-
неследует из (i) и (ii), см. упр. 12-2).
Примеры. Пусть Щ — частичное упорядочение рекурсив-
рекурсивно перечислимых множеств с помощью включения, М — частичное-
упорядочение рекурсивных множеств с помощью включения.
Согласно теоремам 5-ХШ и 5-XIV, М и % являются подрешет-
ками решетки jff', a M есть подрешетка решетки %.
Определения. Решетка называется дистрибутивной, если
выполняются тождества
a U (Ь П с) = (a U Ь) П (a U с),
а Л (Ъ U с) = (а П Ъ) U (а П с).
Ясно, что всякая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибу-
дистрибутивна. Дальше мы будем иметь дело только с дистрибутивными
решетками.
Если решетка содержит минимальный элемент, то этот (обяза-
(обязательно единственный) элемент называется ее нулевым элементом.
Если решетка содержит максимальный элемент, то этот (обяза-
(обязательно единственный) элемент называется единичным. Мы иногда
обозначаем нулевой элемент решетки через 0, а единичный —
через 1. (Отметим, что если а# есть подрешетка решетки X, то
нулевой и единичный элементы решетки Л могут не совпадать
с нулевым и единичным элементами решетки Х-)
Пусть а и Ъ — элементы решетки, содержащей нулевой эле-
элемент @); а и Ъ называются* дизъюнктными, если а{]Ъ = 0.
Пусть а и Ъ — элементы решетки, содержащей нулевой эле-
элемент @) и единичный элемент A). Элемент Ъ называется дополне-
дополнением элемента а, если af]b — 0 и а[]Ь = 1.

288 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
Если решетка X содержит нулевой и единичный элементы
и любой элемент X имеет дополнение, то X называется решеткой
¦с дополнениями.
Дистрибутивная решетка с дополнениями называется булевой
•алгеброй. В булевой алгебре каждый элемент а имеет одно и толь-
только одно дополнение, которое обозначается через а (см. упр. 12-3).
Примеры. Решетка JT является булевой алгеброй. Решетка
% содержит нулевой и единичный элементы, но не является решет-
решеткой с дополнениями. М является булевой алгеброй.
Теорема Стоуна о представлении (упр. 12-9) утверждает, что
для всякой булевой алгебры Щ существует такое множество 2,
что J? изоморфна некоторой подрешетке решетки всех подмножеств
множества 2. Из теоремы Стоуна следует, что всякая булева
алгебра (а потому и всякая подрешетка любой булевой алгебры)
должна удовлетворять всем тождествам (содержащим символы
операций [] , ft и ), верным в решётках множеств (см. упр. 12-5).
Определения. Пусть X — решетка, У — непустое множество
элементов решетки Х- Будем говорить, что У — идеал в X, если
(i) [Cl€ J&"c2€ Jl=>ciUc2€ J;
(ii) [a e x & с е л =*- a n с е j.
Пусть X — решетка, 3) — непустое множество элементов
из X. Назовем 3J дуальным идеалом (или фильтром), если
(i) [Cl е 2 & с2 е з] =>~Cl n c2 e з>\
(ii) la eX &с?3)]=> а[)с?3.
Всякий идеал, как и дуальный идеал решетки X, очевидно,
является ее подре'шеткой.
Примеры. Семейство jF всех конечных множеств образует
идеал в JT.
Семейство аР всех простых множеств и множеств с конечными
дополнениями образует дуальный идеал в %, согласно упр. 8-11.
Для дальнейшего обсуждения основной является следующая
Теорема I. (а) Пусть X — дистрибутивная решетка, и пусть
У — идеал в X. Положим a та у Ъ, если Cci)Cc2)[ci ? У &с2 6 У &
& [a U с4 = Ъ U с2]]. Тогда та у является отношением эквивалентно-
эквивалентности на множестве элементов решетки Х- Операции U и ft кор~
ректно определены на классах эквивалентности, и классы эквива-
эквивалентности образуют дистрибутивную решетку относительно [)
и ft-. Будем называть эту решетку классов эквивалентности.
факторрешеткой Х/У. Сам идеал У является классом эквивалент-
эквивалентности и служит нулевым элементом в XIУ ¦
(Ь) Пусть X — дистрибутивная решетка и 2) — дуальный
идеал в Х- Положим а та^ Ъ, если Cci)Cc2)[c! ? 3) & с2 ? 3) &
& [аПй = Ь Г|с2]]. Тогда ?&<% есть отношение эквивалентности
§ 12.1. РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ 289
на Х- Операции (J и {] корректно определены на его классах эквива-
эквивалентности, и классы эквивалентности образуют дистрибутивную
решетку относительно (J и Л . Мы называем эту решетку классов
эквивалентности факторрешеткой Xl*2) (где * означает, что
использовался дуальный идеал). Сам 3) является классом эквива-
эквивалентности и служит единичным элементом в Х1*3).
\.„. (с) Пусть X — булева алгебра. Если У — идеал в X, то XIУ
есть булева алгебра. Если 3) — дуальный идеал в X, то Х1*3)
есть булева алгебра. Пусть У — некоторое множество элементов
решетки X, и пусть 3) = {а \ а 6 У}. Тогда У есть идеал в том
и только том случае, когда 3) — дуальный идеал; если У есть
идеал, то Х/У и Xl*3) совпадают.
(А) Пусть X — дистрибутивная решетка, У — идеал в X,
оМ — подрешетка в Х- Тогда классы эквивалентности относитель-
относительно ж у, каждый из которых содержит по крайней мере по одному
элементу из <М, образуют подрешетку в XIУ. Мы обозначаем эту
подрешетку через „аМ/У в X". (Заметим, что У не обязательно
содержится в &М.) Подобным же образом вводится обозначение
,,оМ1*3) в X", где 3) — дуальный идеал в Xх).
Доказательство, (а) Легко проверяется, что та у есть
отношение эквивалентности (упр. 12-6).
Пусть ai Wj п2 и bi tty Ь2. Тогда a4 U ct = a2 U Сг и fct U с3 =
= Ь2 UQi где Cj, c2, с3 и с4 принадлежат У. Соединяя эти равенства
с помощью U , получаем
(в! U с,) U (bi U с3) = (оа U сг) U (Ъ2 U с*),
а потому (a! U Ьг) (J (c4 U с3) = (а2 U b2) (J (c2 U с4). Поэтому
а4 U &i та у а2 (J Ь2, так как ct (J c3, c2 (J с4 6 У. Аналогично, объеди-
объединяя наши равенства с помощью П > получим
(ei U Ci) П (bi U с3) = (аг U с2) П (Ьг U et),
откуда в силу дистрибутивности
(а, П 60 U (в! П сг) U (ci П bi) U (ч П с3) =
= (аг П Ьг) U («2 Л с*) U (с2 П Ь2) [] (с2 ft c4).
Так как at П с3, ct f] &i> ^! |~| с3, a2 f| С4» С2 П Ьг и сг П с4 все должны
принадлежать У, а значит, и (a4 ft с3) (J (с4 П &i) U (^i П сз)
и (а2 П С4) U (С2 П Ьг) U (с2 П ci) оба должны содержаться в У, полу-
получаем, что ai ft bi та у а2 ft Ъ2.
Итак, U и П корректно определяют операции на классах экви-
эквивалентности. Отсюда следует, что любое тождество, верное для
J) Иногда при использовании (d) решетка X не будет явно упоминаться.
Что она собой представляет, всегда будет ясно из контекста или из преды-
предыдущего обсуждения.
19—0506

290 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
§ 12.1. РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ 291
операций в X, должно выполняться и для операций на классах
эквивалентности. Поэтому (в силу упр. 12-1) Х/У является дистри-
дистрибутивной решеткой. В упр. 12-8 мы показываем, что J образует
класс эквивалентности, который является нулевым элементом
в X/J.
(b) Доказательство аналогично доказательству пункта (а).
(c) Чтобы показать, что Х/У есть булева алгебра, достаточно
убедиться, что операция взятия дополнения в X корректно пере-
переносится на классы эквивалентности. Пусть а\}С{ = Ъ\}с2, где
си с2 € У- Тогда a[)ci = Ъ[]с2. Поэтому (упр. 12-5) a(] ct = b (]c2.
Значит,
(в П ci) U (в П сг) U (Ъ[) с2) = F П с) U (Ь П с2) U (в П ci)-
Применяя упр. 12-5, получим
в U (Ь П ег) = F U (в П ci)-
Отсюда следует, что а та j b, так как Ъ |~| с2, a f| c4 6 J-
Аналогично проходит доказательство для Х1*3), когда <2> —
дуальный идеал.
Пусть У — множество элементов ХшЗ = {а\а(:У}. Тогда
с•? J <=> с ? 3). Возьмем с4 и с2 из У; тогда сй [J с2 6 J <=> ct U c2 6
? ^ <=> С! П с2 € -2J- Возьмем теперь с ? J и a ? Ж; тогда с П a €
. Поэтому, если S — дуальный иде-
е у <=> с п а е з <=> с и а е
ал, то У — идеал. Сходное рассуждение показывает, что 3 —
дуальный идеал, если У — идеал. Предположим теперь-, что У —
идеал. Тогда a thj Ъ <?=> a та у Ь (так как операция взятия дополне-
дополнения корректно определена на классах эквивалентности) <=>а U ci =
= Ъ U с2 <=> а П ai = Ъ П с2 <=> а П ct = Ь р с2 (так как дополнения
единственны в X) <=> а ты^ Ъ. Поэтому отношения та у и та^
совпадают, а значит, совпадают ж XIУ и Xl*3..
(d) Это непосредственно следует из (а), определения подрешет-
ки и упр. 12-1. в
Утверждение, обратное к (с), и частичное обращение (а) при-
приведены в упр. 12-12.
Мы уже упоминали следующие решетки, идеалы и дуальные
идеалы:
jf — решетка всех множеств натуральных чисел,
% — решетка всех рекурсивно перечислимых множеств,
М — решетка всех рекурсивных множеств,
if — идеал (в JT) конечных множеств,
E° — дуальный идеал (в Ш) простых множеств и коконечных
множеств.
В силу упр. 9-34 мы имеем также, что
<&С — дуальный идеал (в Ш) коконечных и гиперпростых мно-
множеств. (Коконечные и ¦ гипергиперпростые множества
также образуют дуальный идеал в Щ\ см. упр. 12-55.)
Теорема I позволяет нам строить различные факторрешетки:
JM&, I/JS Я1&, Ш1*&, %1*&С, М1*&ъМ1*Ж. (Упражение 12-13
показывает, что №!*&? = $/*<5Р = 3iil $F¦) Любой элемент решетки
uf'llf', содержащий рекурсивно перечислимое множество, состоит
только из рекурсивно перечислимых множеств. Мы называем
такие элементы рекурсивно перечислимыми. Аналогично опреде-
определятся рекурсивные элементы в ЛП$р. Решетка Ml $р является под-
решеткой в %ljf, а %1& — подрешеткой в JPItF- В этой главе
главным образом рассматривается факторрешетка %lIf.
В каком смысле решетка f/jF инвариантна? Любые два мно-
множества натуральных чисел, Ф 0 и Ф N, принадлежащие одному
и тому же элементу из %l <f, m-эквивалентны. С другой стороны,
рекурсивно изоморфные множества могут попасть в различные
элементы решетки %ljf (например, множества четных и нечетных
чисел). Так что сами по себе элементы из %lif (отличные от 0 и 1)
так же, как и элементы из % (отличные от 0 и N), не являются
рекурсивно инвариантными объектами. Тем не менее в некотором
важном отношении решетка %l sf рекурсивно инвариантна. Мы оп-
определим сначала понятие теоретико-решеточного свойства.
Определение. Свойство, т. е. некоторое множество элементов
решетки X, назыгается теоретико-решеточным в X, если оно
инвариантно относительно всех автоморфизмов решетки X.
(Мотивировка: свойство должно называться теоретико-решеточ-
теоретико-решеточным в Xv если оно „определимо" в терминах решеточной структу-
структуры в X.) *)
Определение. Пусть решетка X содержит подрешетку еМ.
Свойство элементов из X называется теоретико-решеточным в X
по отношению к еМ, если оно инвариантно относительно всех авто-
автоморфизмов решетки X, отображающих <М на себя. (Мотивировка;
свойство должно называться теоретико-решеточным в X по отно-
отношению к <#, если оно „определимо" в терминах решеточной струк-
структуры на X и принадлежности к оМ.)
Мы сокращаем выражение „теоретико-решеточное в JT по отно-
отношению к %" до „теоретико-решеточное по отношению к Ш". Так
как каждый автоморфизм решетки % продолжается до.автоморфиз-
до.автоморфизма решетки jjf (оба определяются индуцированным автоморфизмом
на JF), свойство рекурсивно перечислимых множеств теоретико-
х) / называется автоморфизмом решетки X, если / — такое взаимно одно-
значное отображение ? на X, что / (a\Jb) = f(a)\Jf(b) и f(af]b) = f(a)f\f(b)
для всех а, Ь^Х.
19*

292 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
решеточно по отношению кШ тогда и только тогда, когда оно тео-
ретико-решеточно в Щ.
Примеры. Свойство конечности теоретико-решеточно в Щ.
Свойство иммунности теоретико-решеточно по отношению к %.
Определение. Свойство рекурсивно перечислимых множеств
называется теоретико-решеточным в %1{$р', если оно есть множе-
множество-сумма для свойства (т. е. множества) элементов %1 $р, теоретико-
решеточного в Щ!1)
§ 12.1. РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ 293
Примеры. Рекурсивностъ — теоретико-решеточное свой-
свойство в %1 вр, так как А рекурсивно тогда и только тогда, когда А
принадлежит элементу из Ш1вр, обладающему дополнением.
Простота — теоретико-решеточное свойство в %I$F, потому что
множество А просто тогда и только тогда, когда оно принадлежит
неединичному элементу факторрешетки %I$F, для которого нет нену-
ненулевого элемента, дизъюнктного к нему.
Отношения на множествах также могут быть теоретико-реше-
теоретико-решеточными (в очевидном смысле: инвариантность в Хп относительно
автоморфизмов решетки X). Например, рекурсивная неотдели-
неотделимость и сильная неотделимость (упр. 8-39) —• теоретико-решеточ-
теоретико-решеточные свойства в %l
Теорема П. Теоретико-решеточные в Mlj>F свойства рекурсивно
инвариантны.
Доказательство. Каждое рекурсивное преобразова-
преобразование / индуцирует автоморфизм решетки %, именно отображение,
переводящее А в f(A). Этот автоморфизм отображает ер на $р
и потому индуцирует автоморфизм факторрешетки %1 $р. Поэтому
свойство, инвариантное относительно всех автоморфизмов послед-
х) Назовем свойство множеств элементарно теоретико-решеточным
в %IS-, если существует такая формула логики предикатов с единственным
предикатным символом ^ и единственной свободной индивидной перемен-
переменной, что если ограничить кванторы областью %1'/Р', а ^ интерпретировать
как имееющееся в решетке %1Э~ упорядочение, то множества с рассматривае-
рассматриваемым свойством суть в точности те множества, которые принадлежат элемен-
элементам %18~, удовлетворяющим этой формуле. Например, формула (V&) [а ^ Ъ]
определяет элементарно теоретико-решеточное свойство конечности.
Теория первого порядка решетки %1 ? состоит из всех формул, содержащих
только предикатный символ ^, без свободных переменных, истинных в %13-.
Не известно, будет ли эта теория разрешимой или хотя бы аксиоматизируемой.
С помощью разрешающей процедуры для этой теории можно было бы прямо
получить теоремы IV, XI и XIV (ниже) и решить некоторые открытые проб-
проблемы. Пусть Ж -— дуальный идеал (в %) коконечных и гипергиперпростых
множеств. Лахлан показал, что теории первого порядка решеток SK, 31, SfClZF
и MlS- разрешимы. Он доказал также, что проблема разрешения теории пер-
первого порядка % сводится к проблеме разрешения теории первого порядка
ней, должно быть инвариантным относительно всех рекурсивных
преобразований. и
Должно ли рекурсивно инвариантное свойство (рекурсивно
перечислимых множеств), корректно определенное на Щ,1$р, быть
теоретико-решеточным в g/jz7? Это обращение теоремы II пред-
представляет собой открытый вопрос. Вероятным кажется отрицатель-
отрицательный ответ. Креативность, гиперпростота, m-сводимость (для мно-
множеств, отличных от N и 0) и слабые сводимости служат примера-
примерами рекурсивно инвариантных свойств, корректно определенных
на %1 $р, однако не известно, будут ли они теоретико-решеточными
в %\ <f. В оставшейся части этой главы (и особенно в § 12.6) мы
будем изучать различные связанные, между собой рекурсивно
инвариантные свойства, про некоторые из которых известно, что
они теоретико-решеточны в Ш/^1)-
Отметим, что решетка %lj>p обладает следующим свойством
однородности: для всякого ее ненулевого элемента а множество
{6 | Ъ ^ а} представляет собой подрешетку, изоморфную g/jF
(упр. 12-18).
Мы рассмотрим ниже некоторые вопросы о строении
1. Всякий ли элемент решетки §/#% не имеющий дополнения,
является объединением дизъюнктных элементов без дополнений?
Этот вопрос можно сформулировать и более привычным образом:
всякое ли рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество есть
объединение двух непересекающихся рекурсивно перечислимых
нерекурсивных множеств? решение этой проблемы дано в § 12.2,
Принадлежит оно Фридбергу.
2. Плотно ли упорядочена %\?р1 То есть, если а<СЪ, обяза-
обязательно ли существует такое с, что а <С с и с < Ь? Решетки jjT,
Щ и М, конечно, не плотно упорядочены. Легко показать, что решет-
решетки JPI $F и 311 &¦ упорядочены плотно. Следующие определение
и теорема ставят вопрос о плотности факторрешетки %I$F в не-
несколько иной форме.
Определение. Элемент решетки %lff называется максимальным,
если он максимален среди неединичных элементов этой решетки.
г) Следующий вопрос связан с обращением теоремы II. Обязано ли теоре-
теоретико-решеточное в % и корректно определенное на %/SF свойство быть теорети-
но-решеточным в %lgFt Это в свою очередь связано с вопросом: всякий ли
автоморфизм решетки %Ш индуцируется некоторым рекурсивным преобра-
преобразованием? Оба вопроса открыты; утвердительный ответ на второй влечет
за собой утвердительный ответ на первый.
Легко показать, что верны следующие импликации (упр. 12-17): „теорети-
„теоретико-решеточное в %IS:" =Ф „корректно определенное на %13~ и теоретико-реше-
теоретико-решеточное в %" =ф „корректно определенное на %!&¦ и рекурсивно инвариантное".
Истинны ли обратные импликации — открытый вопрос. Он связан с так-
также открытым вопросом: всякий ли автоморфизм факторрешетки %I2F индуци-
индуцируется некоторым автоморфизмом решетки $? Упражнение 12-32 показы-
показывает, что рекурсивно инвариантное свойство не обязательно теоретико-реше-
теоретико-решеточно в %.

294
ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
(Легко показать, что среди ненулевых элементов решетки %
нет минимальных.)
Теорема III (Майхилл). %1 вр плотно упорядочена в том
и только том случае, когда %1 $р не имеет максимальных элементов.
Доказательство. =>- Очевидно.
-<=. Допустим, что %\ $р не плотно упорядочена. Тогда найдутся
такие а и Ъ, что а < Ъ, но ни для какого с не выполнено а < с
и с <СЪ одновременно. Переходя к представителям, получим мно-
множества А ж В, такие, что А 6 а, В ? Ъ и A a B[jD, где D конечно
(см. упр. 12-7). Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная
функция с областью значений В [} D (что возможно, так как
ЪфО). Возьмем A' = f~1(A). Тогда класс эквивалентности мно-
жества А' есть искомый максимальный элемент, что легко про-
проверяется. а
В § 12.4 мы решим проблему плотности, показав, что в %}'ер
существует максимальный неединичный элемент. Эта конструкция
принадлежит Фридбергу.
3. Всякий ли неединичный элемент решетки %1 <>р содержится
в некотором максимальном элементе? В § 12.5 мы дадим отрица-
отрицательный ответ на этот вопрос. Это построение принадлежит Мар-
Мартину.
В § 12.3 мы рассматриваем некоторый идеал в jf, именно идеал,
порожденный сжатыми множествами, и изучаем некоторые свой-
свойства его членов. Сжатые множества „почти конечны" в том смысле,
что они не могут быть расщеплены на меньшие бесконечные части
ct помощью рекурсивно перечислимых множеств.
В § 12.6 рассматривается еще несколько других понятий
„почти-конечностиа, например гипергйпериммунность, и обсуж-
даются некоторые открытые проблемы.
§ 12.2. РАЗЛОЖЕНИЕ
Следующая теорема отвечает на вопрос 1 из § 12.1.
Теорема IV (Фридберг [1958Ы). Пусть А — произвольное рекур-
рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество. Тогда существуют
такие множества Bt и В2, что
(i) B± U В2 = А,
(ii) Вг О В2 = 0,
(Hi) Bi и Bz рекурсивно перечислимы, но не рекурсивны.
Д о к а з а*т е л ь с т в о. Пусть / — взаимно однозначная
общерекурсивная функция с областью значений А. Мы опишем
процедуру перечисления В\ и Вг. Обозначим через В\п) совокуп-
ность элементов множества В и перечисленных к концу га-го шага.
Аналогично определим В^.
§ 12.2. РАЗЛОЖЕНИЕ 295
Этап 0. Отнесем /@) к Б4.
Этап п -\- 1. Выполним по п шагов в перечислении каждого
из множеств Wo, Wf, . . ., Wn. Обозначим получившиеся множе-
множества через W^\ Wl™, . . ., W™. Посмотрим, существует ли
такой х, х < п, что /(га + 1) 6 W*n> и или В[п) f)W?y = 0, или
^Г' П W?} = 0 • Если это так, возьмем наименьший такой х
и назовем его хп. Если
отнесем /(га + 1) к Вг. Если В[п) (] WTn ф 0, отнесем- /(га + 1)
к В2- Если же такого х нет, отнесем /(га + 1) к Bt.
Ясно, что множества Bi и Вг рекурсивно перечислимы,
Bi U В2 = А и Bi[\B2 = 0. Остается доказать, что ни В и ни В2
не может быть рекурсивным.
Предположим, что множество Bi рекурсивно. Тогда Bi рекур-
рекурсивно перечислимо. Пусть Bi = B2 [j A = Wm. Тогда Wm П В% =
= 0 и A d Wm. Заметим, что, когда га пробегает натуральный
ряд, хп принимает каждое значение самое большее дважды.
Поэтому должно найтись такое га0, что для всех га > га0 имеем хп~>т
(если только хп существует). Тогда га > п0 =>- /(га + 1) (j W™
(в противном случае на этапе га + 1 пришлось бы отнести /(га + i)
к Si и Wm fl Bi оказалось бы непустым). Поэтому после этапа щ
каждый элемент из В2, крторый появляется в качестве значения
функции /, должен сделать это до того, как он появится в множе-
множестве Wm. С другой стороны, так как A a Wm, всякий элемент
из А должен оказаться в Wт до того, как он появится в качестве
значения / (поскольку он вовсе не может быть значением функции
/). Поэтому множество {z [ {3n)[z б W™ & z $ {/@), ...
. . ., /(re + 1)}]} должно отличаться от А самое большее
на конечное множество. Поэтому, согласно второй теореме
о проекции, А должно быть рекурсивно перечислимым. Значит, А
должно быть рекурсивным в противоречие с условием. Таким
образом, Bi не может быть рекурсивным.
Сходное рассуждение показывает, что и множество В2 не рекур-
рекурсивно. а
Сакс объединил теорему IV с результатом упр. 10-11 (о чем
упоминалось в конце упр. 10-11). Он показал, что всякое нерекур-
нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество А есть объединение
двух непересекающихся множеств, причем эти непересекающиеся
множества имеют несравнимые Т-степени неразрешимости, и Т-
степень каждого из них меньше, чем Т-степень множества А. Мы
не приводим здесь доказательство Сакса.
Прямое обобщение доказательства теоремы IV показывает, что
всякое нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество может

296 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
быть разложено в равномерно перечислимую бесконечную сово-
совокупность попарно не пересекающихся нерекурсивных рекурсивно
перечислимых множеств (см. упр. 12-22).
§ 12.3. СЖАТЫЕ МНОЖЕСТВА
Понятия иммунности и гипериммунности могут быть усилены
следующим образом.
Определение. Множество А называется сжатым, если
(i) А бесконечно;
(И) (ЧВ)[В рекурсивно перечислимо =>[А(]В конечно или
А[\В конечно]] *).
Таким образом, бесконечное множество сжато тогда и только
тогда, когда оно не может быть разделено рекурсивно перечисли-
перечислимым множеством на две бесконечные части. Иными словами, мно-
множество сжато тогда и только тогда, когда оно принадлежит такому
элементу а решетки JT'l-P, что а Ф О и а дизъюнктен со всяким
рекурсивно перечислимым элементом, не превосходящим я.
Теорема V. А сжато =>¦ А гипериммунно.
Доказательство. Допустим, что А не гипериммунно.
Тогда по теореме 9-XV существует такая общерекурсивная функ-
функция /, что
(Чх)(Чу)\хФ y=>Dm[)DHv) = 0] & {Vx)[DfM{\A Ф 0].
Рассмотрим В= U Df(X). Тогда и В(]А, и В(]А бесконечны.
х четно
Значит, А не сжато-и
(Аналогичное рассуждение показывает, что А сжато => А
гипергипериммунно.)
Следующая теорема устанавливает существование сжатых мно-
множеств.
Теорема VI (Деккер и Майхилл). Каждое бесконечное множе-
множество содержит сжатое подмножество.
Доказательство. Пусть А — данное бесконечное мно-
множество. Определим последовательность Ао, Ai, ... следующим
J) Это понятие введено Роузом 1Юллианом [1963]. Оно связано с поня-
понятием бесконечно неразложимого множества, определенным Деккером и Май-
хиллом [1960]. В § 12.6 мы покажем, что эти два понятия различны. Иногда
со значением „сжатый" используется также термин „почти конечный".
§ 12.3. СЖАТЫЕ МНОЖЕСТВА 297
образом!
Ao =A,
n+i
_{Ап
~\Ап
Ап 0 Wn, если Ап(] Wn бесконечно;
f] Wn в противном случае.
Очевидно, Ао => Ai гэ А% =>....
Предположим, что А не содержит ни одного сжатого^подмно-
жества. Тогда для каждого п существует такое z, что z ^> п и Wz
разделяет Ап на две бесконечные части. Отсюда следует, что после-
последовательность Ао, Аи А2, ¦ . . содержит строго убывающую под-
подпоследовательность Во, В\, Вг, .... Определим последователь-
последовательность чисел х0, Xi, . . ., полагая
вп — Bn+i].
Пусть С — множество всех членов этой последовательности, т. е.
С = {х0, Xi, . . .}. Пусть дано произвольное z. Как явствует
из построения, Az+i a Wz или Az+i с Wz. Поэтому Bz+i cz Wz
или Bz+l с Wz. Так как все, кроме конечного числа, элементы
множества С должны лежать в Bz+i, то либо С |~| Wz, либо С П Wz
конечно. Это верно для любого z, а потому С — сжатое подмноже-
подмножество множества А, что противоречит нашему предположению
об отсутствии у А сжатого подмножества, g
(Приведенное выше доказательство может быть сделано несколь-
несколько более конструктивным. Единственная информация о рекурсив-
рекурсивно перечислимых множествах, используемая здесь, заключается
в том, что они образуют не более чем счетное семейство. Будет
заметно, что и многие другие доказательства, приводимые ниже,
являются по своей природе, подобно этому, чисто теоретико-мно-
теоретико-множественными (во всяком случае более, нежели относящимися
к теории рекурсивных функций), используя лишь счетность
семейства рекурсивно перечислимых множеств и иногда вдобавок
его замкнутость относительно пересечений или тот факт, что оно
содержит все конечные и коконечные множества. Доказательство
теоремы VI обобщается в упр. 12-24 и 12-31.)
Так как всякое бесконечное подмножество сжатого множества
сжато, понятно, что имеется 2N» сжатых множеств. Будем гово-
говорить, чтб сжатое множество С относится к рекурсивно перечисли-
перечислимому множеству В, если С f] В бесконечно, т. е. если элемент
решетки jfTlfF, содержащий С, лежит под элементом множества В.
Назовем два сжатых множества с-эквивалентными, если они отно-
относятся к одним и тем же рекурсивно перечислимым множествам.
Определение. Пусть А и В сжаты. Множество А называется
с-эквивалентным В, если (Ух)[А |~| Wx бесконечно <s=> В П Wx бес-
бесконечно!.

298 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
Теорема VII. Пусть А и В сжаты. Тогда
(i) А с-экеивалентно В <=> А [} В сжато;
(И) А П В бесконечно => А [} В сжато.
Доказательство. Непосредственно из определения.
См. упр. 12-23. и
Если взять произвольный фиксированный класс с-эквивалент-
ных сжатых множеств вместе с конечными множествами, то полу-
получится идеал в jf\ факторизация которого относительно jF дает
идеал в JPI'jF'• Каждый класс с-эквивалентности содержит 2х"
элементов. Как много существует классов с-эквивалентности?
Следующая теорема отвечает на этот вопрос.
Теорема VIII. Сжатые множества распадаются на 2Ко классов
^-эквивалентности,
Доказательство. Можно доказать эту теорему, поль-
пользуясь только простыми понятиями теории рекурсивных функций
и теории множеств. Однако для сокращения доказательства удобно
и полезно воспользоваться известными свойствами действительных
и рациональных чисел.
Заметим, что натуральные числа можно в следующем смысле
эффективно отобразить на рациональные: существуют такие взаимно
однозначное отображение ? множества N на рациональные числа
и общерекурсивная функция /, что для всех п ?(и) = пЛп)/п2/{п).
(Можно воспользоваться любой из обычных нумераций множества
рациональных чисел, чтобы получить такое, отображение.)
Зафиксируем некоторое такое отображение. Множества рацио-
рациональных чисел могут быть теперь отождествлены с множествами
натуральных чисел. В частности, всякий замкнутый интервал
рациональных чисел с рациональными концами образует рекур-
рекурсивное множество.
Для каждого действительного числа выберем бесконечную
сходящуюся последовательность рациональных чисел, имеющую
данное действительное- число пределом. Каждая из выбранных
нами сходящихся последовательностей, рассматриваемая как мно-
множество сопоставленных ее элементам натуральных чисел, беско-
бесконечна, а потому по теореме VI каждая содержит сжатое подмно-
подмножество. Выберем по одному сжатому подмножеству в каждой схо-
дящейстя последовательности. Сжатые множества, появившиеся
из разных последовательностей, не могут быть с-эквивалентными,
потому что их объединение может быть разделено на две бесконеч-
бесконечные части подходящим интервалом с рациональными концами.
Поскольку существует 2Ко последовательностей (действительных
чисел ведь существует 2Ко), найдется по крайней мере 2140 сжатых
множеств, никакие два из которых не с-эквивалентны. Но классов
§ 12.3. СЖАТЫЕ МНОЖЕСТВА 299
с-эквивалентности не может быть более 2^°, потому что в N имеет-
имеется всего 2No подмножеств, щ
Понятие сжатого множества доставляет средства для доказа-
доказательства следующей теоремы.
Теорема IX (Кент). Существует такая перестановка /, что
(i) для всех рекурсивно перечислимых множеств В множества
f(B) и f~x(B) рекурсивно перечислимы (а потому для всех рекурсив-
рекурсивных множеств А множества f(A) и f~\A) рекурсивны);
(И) / не рекурсивна:
Доказательство. Возьмем сжатое множество D. Рас-
Рассмотрим
3 = {/ | / — перестановка & (Vx)[x (J D =>- f(x) = х]}.
Так как / из 3 может быть определено на D произвольным обра-
образом, 3 содержит 2Ко членов. Так как класс общерекурсивных
функций счетен, 3 содержит нерекурсивную перестановку.
Остается проверить, что для. любой / из 3 множества f(A) и /~1(.А)
рекурсивны при любом рекурсивном множестве А и f(B) и f {В)
рекурсивно перечислимы при любом рекурсивно перечислимом
множестве В. Это непосредственно следует из сжатости множества
D (см. упр. 12-23).я
Следствие IX. Решетка % обладает автоморфизмами, отлич-
отличными от индуцированных рекурсивными перестановками нату-
натурального ряда.
Доказательство. Непосредственно.в
Следствие IX усилено в упр. 12-32, где показано, что сущест-
существуют-такие рекурсивно перечислимые множества А и В, что А
переводится в В некоторым автоморфизмом решетки Щ, но А
не рекурсивно изоморфно В. Отсюда следует, что рекурсивно
инвариантное свойство не обязательно теоретико-решеточно в Щ.
Определение. Назовем сжатое множество А наполненным, если
(У В) [В сжато & А и В с-эквивалентны] => В[\А конечно. Таким
образом, класс с-эквивалентности содержит наполненное множе-
множество тогда и только тогда, когда идеал решетки Jlr'ljF, определен-
определенный этим классом эквивалентности, содержит максимальный эле-
элемент *).
В § 12.4 мы покажем, что наполненные множества существуют.
В § 12.6 будет установлено, что не всякий класс с-эквивалентно-
с-эквивалентности содержит наполненное множество. В упр. 12-56 мы покажем,
далее, что существует только счетное число наполненных мно-
*) То есть является главным идеалом.

300 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
жеств. В упр. 12-60 мы увидим, что А — наполненное сжатое
множество => А рекурсивно перечислимо. Следующее" понятие
введено Роузом и Юллианом [1963].
Определение. А называется квазисжатым, если А — объедине-
объединение конечного (ненулевого) числа сжатых множеств.
Если А квазисжато, то всякое разложение множества А на сжа-
сжатые множества определяет некоторую совокупность соответствую-
соответствующих классов с-эквивалентности. Из теоремы VII следует, что это
множество классов с-эквивалентности однозначно определено неза-
независимо от выбранного разложения (см. упр. 12-27).
Квазисжатые множества вместе с конечными множествами
образуют идеал вр^ в jfT; это идеал, порожденный сжатыми мно-
множествами. Можно построить факторрешетки JTI^\, MljFuMl^Fx-
Квазисжатые множества гипериммунны (и даже гипергиперим-
мунны; см. упр. 12-26). В упр. 12-30 мы увидим, что множество
может быть гипергипериммунным, не будучи квазисжатым. •
§ 12.4. МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
Теперь мы рассмотрим рекурсивно перечислимые множества
со сжатыми дополнениями.
Определение. Множество А называется максимальным, если
(i) А рекурсивно перечислимо;
(ii) А сжато.
Теорема X. Множество А максимально <=?> А принадлежит
элементу решетки Щ1?р, максимальному среди неединичных эле-
элементов этой решетки.
Доказательство. =$*¦ Если А 6 а и а не максимален
среди неединичных элементов решетки %!&, то найдется такой
элемент Ъ, что а < Ъ <С 1. Возьмем такое В ? Ь, что А с В.
Множества N — В и В — А должны быть бесконечными. Поэтому
А П В бесконечно и А [\ В бесконечно. Значит, А не сжато и А не-
неможет быть максимальным.
-^=. Если А рекурсивно перечислимо, но не максимально, то А
не сжато. Пусть С — такое рекурсивно перечислимое множество,
что А |~| С и А П С бесконечны. Положим В = А [} С. Пусть
Ъ — содержащий В элемент решетки Ш1&'• Тогда а < Ъ < 1,
где А ? а.я .
Существование максимальных множеств доказывается в сле-
следующей теореме, принадлежащей Фридбергу. При доказательстве
мы воспользуемся одним изящным упрощением конструкции
Фридберга [1958 Ь], принадлежащим Ейтсу [1965]. Существование
§ 12.4. МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА . 301
полных максимальных множеств (Ейтс) и неполных максимальных
множеств (Сакс) может быть установлено с помощью подходящих
видоизменений этой конструкции; см. упр. 12-59.
Теорема XI. Существует максимальное множество.
Доказательство. Сначала мы опишем процедуру пере-
перечисления некоторого множества А, а затем докажем, что А макси-
максимально.
Перечисление А происходит по этапам. Начнем с двух опреде-
определений.
Определение. W^ = {х | х появляется за первые п шагов в
перечислении без повторений множества Wz} *).
Определение4. Для любого z, произвольного этапа га + 1
и любого натурального х определим z-штат числа х на этапе
п -\- 1 как конечную последовательность bobi . . . bz нулей и еди-
единиц, тгкую, что
f 1, если х е Wf+i)
1 ~~~ \ 0, если х $ Wf+i)
если х $ Wf
и i
или п
п;
i,
где 0 ^ i ^ z.
Понятно, что имеется 2Z+1 возможных z-штатов. Мы упорядочим
их лексикографически (от „меньших" к „большим"); например,
10111 считается меньше чем 11000 (в упорядочении 4-штатов).
Отметим два важных свойства z-штатов и их упорядочения:
(i) для фиксированных z ж х при п < т. z-штат элемента х на эта-
этапе т должен быть не меньше z-штата элемента х на этапе п; (ii) если
при фиксированном этапе п, фиксированных х и у и z < z' z-штат
элемента у больше, чем z-штат элемента х, то z'-штат элемента у ¦
будет больше, чем z'-штат элемента х.
Процедура перечисления множества А такова. Мы начинаем
со списка всех натуральных чисел и считаем, что сопоставили
каждому числу х в этом списке маркер х . Мы опишем инструк-
инструкции, в соответствии с которыми некоторые из этих маркеров будут
сдвигаться. Если число из списка на каком-либо этапе окажется
без маркера, оно уже останется без маркера навсегда- Числа из
списка, (в конце концов) остающиеся без маркера, образуют
множество А. (Хотя в нашем описании мы имеем в начальный
момент бесконечно много маркеров и на данном этапе говорим
о перемещении бесконечно многих маркеров, будет ясно, что мы
. х) Под „п шагами перечисления без повторений множества Wz" мы под-
подразумеваем п машинных тактов в следующей процедуре: вычисляйте ф/»(гч @);
если и когда это вычисление закончится, вычисляйте Ф/»B) A); если и когда...;
f здесь определяется, как в следствии 5-V (d).

302 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
получим эффективный способ порождения А. Можно за счет
некоторого увеличения сложности восприятия привести нашу
процедуру к такому виду, в котором используется только конеч-
конечное число маркеров на каждом этапе.)
Этап п + 1. Пусть для каждого то а:(™>— положение марке-
маркето
к концу этапа п. Вычислим Wzn+i) для всех z^.n. Найдем
наименьшее из таких т (если такие существуют), что для некоторо-
некоторого q' > то число зР1) находится в большем то-штате (на этапе п + 1),
чем x&h Если таких т нет, переходим к этапу и+ 2. Если же мы
выбрали наименьшее такое то, то пусть q — наименьшее из соот-
соответствующих ему q'\ перемещаем маркер то на х^\ для всех
на Xp+q-m. Относим к А все элементы
pj>m сдвигаем маркер
множества {у \ х<?~> ^ у
ж*")}, которые еще не попали в А.
(Названные числа — единственные в списке, теряющие маркер
на этапе п -\- 1.) Затем переходим к этапу п + 2.
Следующие две леммы показывают, что А максимально.
Лемма 1. А бесконечно.
Доказательство леммы 1. Как нетрудно заметить,
достаточно показать, что каждый маркер сдвигается только конеч-
конечное число раз. (Окончательное положение каждого маркера и есть
элемент множества А.) Допустим противное. Пусть то — наимень-
наименьший из тех то', для которых то' сдвигается бесконечно много
раз. В соответствии со свойством (i) z-штатов, после того как
достигнет своего окончательного положения, т должно
то — 1
перемещаться в положения со все большими то-штатами. Но то-
штатов имеется только конечное число. Получилось противоречие,,
и лемма доказана.
Лемма 2. Для всякого z либо WZP\A, либо WZ{]A конечно.
Доказательство леммы 2. Зафиксируем z. Каждое-
число х из А должно достигнуть окончательного z-штата Р по мер&
того, как п возрастает. Скажем в этом случае, что х остановится
в р. Поскольку А бесконечно, хотя бы в одном z-штате остановится
бесконечно много элементов множества А. Покажем, что не может
быть больше одного z-штата, в котором остановится бесконечно-
много элементов из А. Допустим противное. Пусть р — наимень-
наименьший из таких z-штатов, а Р' — другой z-штат, в котором также-
остановится бесконечно много элементов из А. Отсюда следует»
§ 12.5. ПОДМНОЖЕСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 303
что существуют такие числа т, п, х и у, что z < то < п, х — окон-
окончательное положение маркера т
у — окончательное положение
маркера
п
, х окончательно остановится в z-штате р, а у остано-
остановится в z-штате Р'. По свойству (ii) z-штатов у добирается до
и останавливается в большем то-штате, чем х. Но это означает,
согласно нашему построению, что маркер т\ должен в конце
концов сдвинуться, в противоречие с нашим предположением
о том, что х — его окончательное положение. Этим доказана лем-
лемма 2.
Леммы 1 и 2 показывают, что А — сжатое множество. Значит,.
А — максимальное множество, щ
Следствие XI (а). Решетка %ljf не плотно упорядочена.
Доказательство. В силу теорем III и Х.и
Следствие XI (Ь). Существует наполненное сжатое множе-
множество.
Доказательство. Пусть множество А максимально.
Тогда А сжато. Если А — не наполненное множество, мы получим
противоречие с теоремой VII, причем в роли разделяющего рекур-
рекурсивно перечислимого множества выступит А.щ
Необычные свойства максимальных множеств бывают полезны
при построении различных примеров и контрпримеров (см.
упр. 12-35 и 12-37 и § 12.6).
{А | А максимально или коконечно} не является дуальным идеа-
идеалом в Щ (упр. 12-36). В этом отношении максимальные множества
отличаются от простых и гиперпростых множеств.
Определение. Множество А называется квазимаксималъ-
ным, если А рекурсивно перечислимо, а А квазисжато. Ниже,
в упр. 12-36, мы показываем, что существуют квазимаксимальные,
но не максимальные множества и что {А \ А квазимаксималъно-
или коконечно} есть дуальный идеал в %.
§ 12.5. ПОДМНОЖЕСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ
Всякий ли неединичный элемент решетки %1$р содержится
в некотором максимальном элементе? Иначе говоря, всякое ли
рекурсивно перечислимое множество с бесконечным дополнением
содержится в некотором максимальном множестве? Ответ на этот
вопрос дает теорема XIV. Сначала, однако, мы докажем некоторые
родственные результаты.

304 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
Теорема XII. (а) Если рекурсивно перечислимое множество не
просто и не коконечно, то оно содержится в некотором максималь-
максимальном множестве.
(Ь) Если рекурсивно перечислимое множество не коконечно,
то оно содержится в некотором гиперпростом множестве.
Доказательство, (а) Пусть А — рекурсивно пере-
перечислимое множество, причем А не конечно и не иммунно. Тогда А
содержит некоторое бесконечное рекурсивное множество В. Пусть
/ — рекурсивная функция, взаимно однозначно отображающая N
на В, и пусть С — образ в В (при отображении /) некоторого
максимального множества. Тогда В [] С — искомое максималь-
максимальное множество, содержащее А.
(Ь) Пусть А — рекурсивно перечислимое множество с беско-
бесконечным дополнением А. Предположим, что А не гиперпросто
{в противном случае нечего доказывать). Воспользовавшись
упр. 12-39, возьмем такую общерекурсивную функцию /, что
Z)y(o), Dfd), ... — последовательность попарно не пересекаю-
пересекающихся конечных множеств, каждое из которых пересекается с А
и объединение которых есть N. Пусть В — некоторое гиперпростое
множество. Положим С = A (J (J Dfu). Тогда С — искомое гипер-
простое множество, содержащее А (упр. 12-40).щ
Определения. | А | = [мощность множества А\.
lim(/, A) = lim (sup | И^(т) |~| А | ). (Таким образом, нера-
п-юо т>п
венство lim (/, А)^.р означает, что для бесконечно многих значе-
значений*™ Wf(m) П А содержит по крайней мере р элементов.)
Функция / называется рекурсивно перечислимой последователь-
последовательностью без ^пересечений, если / общерекурсивна и
(Vii) (Vw) [u^v=> Wnu) П W,(v) = 0].
lim (A) =sup (lim (/, А)), где 3) — совокупность всех рекурсив-
fesi
fesi
но перечислимых последовательностей без пересечений. (Так что
неравенство lim (А) ^ р означает, что lim (/, А) ;>¦ р для некоторой
рекурсивно перечислимой последовательности / без пересечений.)
Отсюда получаем, например, что lim (A) = 0 <=> А конечно.
Следующие теоремы, доказанные Мартином [1963], отвечают
на наш первоначальный вопрос.
Теорема XIII (Мартин). А максимально =$>¦ lim (A) = 1.
Доказательство. По определению множество А сжа-
сжато. Допустим, что lim (A)^2. Тогда для некоторой последова-
§ 12.5. ПОДМНОЖЕСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 305
тельности /без пересечений lim С/, А) ;> 2. Определим рекурсивно
перечислимое множество В следующим образом.
Перечисляем А; в то же время начинаем перечислять множе-
множества Wf@), Wfd), .... На каждом этапе для каждого i относим
некоторые элементы множества Wf (^ к В по следующему правилу.
Каждое число, появившееся и в А, и в Wfy), зачисляем в В,
а также относим к В первое число, которое появилось в Wf^),
но еще не появилось в А (если такие найдутся) г). Поскольку для
бесконечно многих i множество W/(o содержит хотя бы два эле-
элемента из А, бесконечно много элементов из А попадет в В ж беско-
бесконечно много элементов А никогда не попадет в В. Но, значит,
В разделяет А на две бесконечные части, что противоречит сжато-
сжатости множества А. Поэтому lim (A) ^ 1. Так как А бесконечно,
пт(А)>0. Значит, Ит(А)=1.Л
Теорема XIV (Мартин). Существует такое рекурсивно пере-
перечислимое множество А, что А бесконечно и А не содержится
ни в каком максимальном множестве.
Доказательство. Мы укажем такое рекурсивно пере-
перечислимое множество А, что А бесконечно и для всякого рекур-
рекурсивно перечислимого В имеем В zd А =>- lim (В) Ф 1. Отсюда будет
следовать искомый результат в силу теоремы XIII. Дадим инструк-
инструкции для перечисления множества А.
Определим последовательность попарно не пересекающихся
конечных множеств
50 = {0},
51 = {1, 2},
52 = {3, 4, 5},
. . .,
где при каждом п множество Sn содержит п -\- \ элементов.
Будем перечислять множества Wo, Wt, W%, . . . . На каждом
этапе для каждого i проверяем, нет ли такого / < i, чтобы точно i
из i + 1 членов множества St были уже перечислены в Wf, для
каждого такого / относим к А тот элемент Si, который еще не попал
в Wj.
Так как St содержит i + 1 элементов и не более i из них может
попасть в А (по одному для каждого / < i), А должно быть беско-
х) Это предложение надо понимать так: пусть х0 — первое (в порядке
перечисления множества Wfd)) число, появившееся в TF^), но не попавшее
в А <п); относим %кВ; если х0 позже попадет в А, то зачисляем в В число xt —
первое (в порядке перечисления Wy(i)) из отличных от х0 и не попавших в А
к моменту своего появления в Wf^; если ху позже попадет в А, то ... и т. д. —
Прим. пер ев.
20-0506

306 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
нечным. (Ясно, что по теореме 9-XV А не гиперпросто.) Пусть В —
такое рекурсивно перечислимое множество, что Bni. Тогда
В = Wj для некоторого j и, согласно построению, для всех i > /
либо Si d В, либо St f| В содержит хотя бы два элемента. Поэто-
Поэтому или В конечно (и Ит (В) = 0), или для бесконечно многих I
множество Si f| В содержит хотя бы два элемента (и lira (В) ^> 2).
В обоих случаях limE) Ф 1, и теорема доказана. в
За счет небольших изменений в построении этот результат
может быть следующим образом усилен.
Следствие XIV (Мартин), (а) Если рекурсивно перечислимое
множество не гиперпросто и не коконечно, то оно содержится
в таком простом негиперпростом множестве С, что С не содер-
содержится ни в каком максимальном множестве.
(Ь) Если рекурсивно перечислимое множество не гиперпросто
и не коконечно, то оно содержится в таком гиперпростом множе-
множестве D, что D не содержится ни в каком максимальном множестве.
Доказательство, (а) Пусть рекурсивно перечислимое
множество В не является ни коконечным, ни гиперпростым. Возь-
Возьмем (по теореме 9-XV) некоторую эффективно занумерованную-
каноническими индексами последовательность попарно не пере-
пересекающихся конечных множеств, каждое из которых пересекается
с. В. Беря объединения этих конечных множеств, построим эффек-
эффективную последовательность попарно не пересекающихся конеч-
конечных множеств S'o, S[, . . ., для которой при каждом "и множество*
S'n (] В содержит хотя бы п + 1 элементов и (Vz) Ci) [х 6 SI].
Построим множество А по последовательности S'a, S't, . . . так же,
как это было сделано при доказательстве теоремы XIV. Положим
С = A U В. В силу построения из теоремы XIV С не коконечно
и не содержится ни в каком максимальном множестве. Поэтому
по теореме ХП(а) С просто. Последовательность S'o, S[, . . .
указывает (с помощью теоремы 9-XV), что С не гиперпросто.
(Ь) Немедленно следует из (а) и теоремы XII (Ъ).Л
Известно, что обращение теоремы XIII (для рекурсивно пере-
перечислимых множеств) неверно- Всякое ли не коконечное рекурсив-
рекурсивно перечислимое множество содержится в некотором гипергипер-
простом множестве? Мартин [1963] усилил следствие XIV, заме-
заменив в нем „максимальный" на „гипергиперпростой".
Рассмотрим для произвольного элемента а решетки %1 $р макси-
максимальные цепи неединичных элементов, лежащих между а и еди-
единичным элементом. (Существование таких максимальных цепей
легко доказывается.) Теорема XIV показывает, что существуют
такие неединичные элементы, что ни одна из этих максимальных
цепей не может иметь наибольшего элемента. Существуют" ли
§ 12.5. ПОДМНОЖЕСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ*МНОЖЕСТВ 307
в %1ер неединичные элементы, обладающие плотными максималь-
максимальными цепями *)? Существуют ли неединичные элементы, у которых
все максимальные цепи плотны? Эти вопросы пока открыты 2).
Можно ли высказать предположение о строении решетки %1$р,
аналогичное гипотезе Шёнфильда о строении совокупности Т-сте-
Т-степеней, упорядоченной отношением Т-сводимости (§ 10.3)? Нере-
Нерегулярности, определяемые существованием максимальных эле-
элементов и элементов, не содержащихся в максимальных, делают
затруднительным выдвижение такой гипотезы.
Насколько широко распространены максимальные множества
среди степеней неразрешимости? Ниже мы приводим в этой связи
теорему XV. (Мы сформулируем более общий результат, при-
принадлежащий Мартину, в гл. 13.) Существуют ли Т-полные макси-
максимальные множества? Существуют ли максимальные множества
неполных Т-степеней? Существуют ли рекурсивно перечислимые
нерекурсивные Т-степени, не содержащие максимальных мно-
множеств? Положительные ответы на эти три вопроса были получены
Ейтсом [1965], Саксом [1964b] и Мартином [1965].
Теорема XV (Янг). Если А рекурсивно перечислимо, но не
рекурсивно, а В максимально и А ^тВ', то А =т В.
^Доказательство. Пусть / m-сводит А к В. Множество
f{A) должно быть бесконечным (иначе А было бы рекурсивно пере-
перечислимым). Поэтому С = В — f{A) должно быть конечным (иначе
рекурсивно перечислимое множество f{N) разделяло бы сжатое
множество В). Пусть т — некоторый фиксированный элемент
из A, an — фиксированный элемент из А. Определим рекурсив-
рекурсивную функцию g следующим образом. Для вычисления g(y) прове-
проверим, верно ли, что у ? С; если это так, положим g(y) = n; если
нет, начинаем перечислять В и в то же время начинаем поиски
такого х, что f{x) = у; если у появится в В прежде, чем такой х
будет найден, полагаем g(y) = то; в противном случае найдется
такой х (так как В — С а f{N)), и мы полагаем g(y) равным пер-
первому такому х. Функция g m-сводит В к А.щ
г) Цепью в решетке называют линейно упорядоченное подмножество.
Цепь, лежащая между двумя элементами, называется максимальной, если
не существует другой цепи между теми же элементами, полученной из данной
добавлением нового элемента. Цепь называется плотной, если между любыми
двумя ее элементами лежит третий элемент цепи.
а) На второй (а следовательно, и на первый) из этих вопросов дал утвер-
утвердительный ответ М. М. Арсланов [1969]. Именно, он показал, что если взять
множество А со свойствами, описанными в теореме XIV, то для содержащего
это множество элемента решетки %ISF всякая максимальная цепь является
плотной. Как сообщил редактору М. М. Арсланов, содержащееся в его тезисах
[1969] утверждение, что все максимальные цепи являются плотными лишь
для множеств А со свойствами, описанными в теореме XIV, неверно. —
Прим. ред.
20*

308 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
§ 12.6. СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ
Решетки, идеалы и факторрешетки, упоминавшиеся в этой
главе, (и их обобщения) не очень подробно изучены. Не ясно,
насколько глубокое проникновение в строение рекурсивно пере-
перечислимых множеств (в связи с конечной целью получить некото-
некоторую теорему о представлении рекурсивно перечислимых множеств)
могут дать такие исследования. Значительное число довольно
легко формулируемых вопросов остается открытым.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые свойства, опреде-
определяющие подклассы класса иммунных множеств. Имея в виду
сходство между иммунными и конечными множествами, мы назы-
называем их свойствами почти-конечности. Сначала мы рассмотрим
свойства, про которые известно, что они теоретико-решеточны
в JP по отношению к %, затем рассмотрим рекурсивно инвариант-
инвариантные свойства, не известно, теоретико-решеточные по отношению
к % или нет, и, наконец, изучим ограничения этих свойств на
совокупности множеств с рекурсивно перечислимыми дополнения-
дополнениями. Мы рассматриваем все свойства только на совокупности
бесконечных множеств.
Теоретико-решеточные свойства
Введем следующие определения.
Определение. Множество А называется неразложимым, если
не существует таких двух рекурсивно перечислимых множеств
Si и Вг, что Вх f] В2 = 0, A cz Bi [} В2 и Bt f] А и В2 |~| А
бесконечны.
Определение. Назовем А рекурсивно неразложимым, если не
существует такого рекурсивного множества В, что В (") А
и В П А бесконечны.
Перечислим некоторые свойства множеств, каждое из которых
является, очевидно, теоретико-решеточным по отношению к %:
A) быть сжатым и с-эквивалентным некоторому наполненному
множеству;
B) быть сжатым;
C) быть квазисжатым;
D) быть квазисжатым или обобщенно сжатым (см. упр. 12-30);
E) быть бесконечным и неразложимым;
F) быть бесконечным и рекурсивно неразложимым;
G) быть иммунным.
Следующие импликации очевидны: A) =#> B), B) =ф- C), C) '=$~
=> D), D) => G), B) => E), E) => F) и F) => G). Ни одна из обрат-
обратных импликаций не верна. Согласно теореме VIII, C) ^ B).
§ 12.6. СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ 309
Упражнение 12-30 показывает, что D) ф. C). Существование
простого, но не гиперпростого множества показывает, что G) ф>
^ D). Упражнение 12-46 показывает, что'G) ^ F). Теоремы XVI,
XVII и XVIII, приводимые ниже, означают соответственно, что
B) ф> A), E) ф> B) и F) ^ E). Вдобавок упр. 12-46 показывает,
что C) ^ F), а из упр. 12-57 следует, что E) ^ D) (см. ниже
обсуждение рекурсивно инвариантных свойств). Мы объединяем
эту информацию в следующей диаграмме (в которой никакие дру-
другие импликации не имеют места) и затем доказываем относящиеся
к ней теоремы:
@-
-B)'
G)
45)-
-F)'
Теорема XVI (Янг). Существует сжатое множество, не с-эк-
вивалентное никакому наполненному множеству.
Доказательство. Построение из теоремы VI моди-
модифицируется следующим образом:
A N
\An
\Ап
f| Wn, если и Ап f] W^n» и Ап |~| Wn бесконечны;
в противном случае.
Заметим, что 4 о idAi zd . . . и что для любого п множество
Ап рекурсивно перечислимо. Так как всякое бесконечное рекур-
рекурсивно перечислимое множество разделяется на две бесконечные
части некоторым другим рекурсивно перечислимым множеством,
мы можем заключить, что Am+i ф Ат для бесконечно многих т.
Поэтому мы можем так определить строго убывающую подпосле-
подпоследовательность:
Во = Ао,
¦р л
где т = \iy [Ay строго содержится в Вп]. По построению Вп —
— Bn+i бесконечно при каждом п.
Положим хп = \лу [у 6 Вп — Bn+i], и пусть С = {х0, xi, . . .}.
Пусть дано произвольное множество Wz. Согласно нашему построе-
построению, все, кроме конечного числа, элементы множества С находятся
в Az+i. Если Az+i — Az, то или Аг |~| Wz, или Az [~| Wz конечно,
а потому конечно или С f] Wz, или С |~| Wz. Если Az+t Ф Аг,
то Az+1 Г) Wz = 0 и С |~| Wz конечно. В обоих случаях либо

310 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
С П Wz, либо С f| Wz конечно. Поскольку С бесконечно, заклю-
заключаем, что С ¦— сжатое множество.
Допустим, что существует некоторое наполненное множество
D, с-эквивалентное множеству С. Тогда по теореме VII никакое
рекурсивно перечислимое множество не может разделить D [] С
на две бесконечные части. Отсюда следует, что при каждом п
множество D f| (Вп — Вп+у) должно быть конечным. Поэтому
(Вп — Вп+у) — D Ф 0. Положим
Уп = у.у\у 6 (Вп - Вп+у) - D],
D' = {#o, Уи ¦ • •}¦
Тогда для каждого z или (С U D') f| Wz, или (С (J D') {] Wz
конечно. Поэтому С [} D' сжато. В силу теоремы VII множество С
оказывается с-эквивалентным D'. Значит, D в свою очередь с-экви-
валентно D . Но D f| D' = 0 в противоречие с нашим предпо-
предположением о наполненности Z).B
Следствие XVI. Всякое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество содержит сжатое множество, не с-эквивалентное ника-
никакому наполненному множеству.
Доказательство. Если дано бесконечное рекурсивно
перечислимое множество В, положим А о = В в построении из
доказательства теоремы, щ
Теорема XVII." Существует бесконечное неразложимое множе-
множество, не являющееся сжатым.
Доказ ательство. Пусть D — наполненное сжатое
множество. Пусть х0, Ху, ... — пересчет в порядке возрастания
всех номеров таких рекурсивно перечислимых множеств Wx,
что D d Wx. Положим
An+l =
WXn.
Последовательность А о, Аи . . . должна содержать строго убы-
убывающую подпоследовательность; иначе D было бы рекурсивно
перечислимым. Определим
Во = А о,
Bn+i = Am,
где т = \iy [Ау строго содержится в Вп].
Пусть уп — цу [у 6 Вп — Вп+1\. Образуем множество С =
= {Уо, Уи • • •}• Пусть D' — сжатое подмножество множества С
(существующее в силу теоремы VI). Тогда D' |~| -О = 0 и> сле"
§ 12.6. СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ 311
довательно, D' П D бесконечно. Так как D — наполненное мно-
множество, D' и D не могут быть с-эквивалентными. Значит, по теоре-
теореме VII множество D' \J D не сжато.
С другой стороны, D' U D неразложимо. Допустим противное.
Тогда, так как и D', и D сжаты, мы получим, что при некотором
выборе двух непересекающихся рекурсивно перечислимых, мно-
множеств By и В2 множества D' |~| By и D |~| В2 бесконечны. Далее,
D П В% должно быть конечным. Поэтому В'2 = В2 [j (D f| B^
рекурсивно перечислимо и D cz B'2. По построению множества D
множество D' f| B'2 должно быть бесконечным. Но тогда полу-
получается, что D' разделено на две бесконечные части с помощью B'v
что противоречит сжатости D''. Значит, D' [} D — бесконечное
неразложимое множество, не являющееся сжатым. в
Теорема XVIII (Мак-Лохлин). Существует рекурсивно нераз-
неразложимое множество, не являющееся неразложимым.
Доказательство. Пусть А — максимальное множе-
множество. Разложим А в силу теоремы IV на два рекурсивно пере-
перечислимых нерекурсивных подмножества А у и Аг- Пусть 98 —
семейство всех рекурсивно перечислимых множеств В, таких, что
В id А. Понятно, что семейство 98 замкнуто относительно (].
Далее, для каждого В ? 98 множества В(]Ау и В[\А2 беско-
бесконечны, так как если бы, скажем, В[\Ау было конечным, to^BU
LL2 оказалось бы дополнением к Ау в Щ1$р, что противоречит
нерекурсивности множества Ау.
Пусть Во, By, ... — все элементы 98. Положим
Со = Во,
Сп+1 = Сп п Bn+i-
Так как все коконечные множества, содержащие А, находятся
в 9&, каждая из последовательностей Cof]Ay, Су[)Ау, С%{\
С\Ау, . . ., и C0f]A2, Cy{]A2, С2(]А2, ... содержит по стро-
строго убывающей подпоследовательности. Поэтому последователь-
последовательность Со, Су, ... содержит такую подпоследовательность С'о,
C'v . . ., что при каждом п выполняется (С^+1 — С'п) |~| А у Ф 0
и (c'n+i — с'п) П А2ф 0. Выберем {х0, Ху, . . .} так, что хп ?
€ (С'п+1 - С'п) П Ау, и {i/o, Уу, • • •} так, что уп € (С^ - Of)
Г) А2. Пусть Еу — некоторое сжатое подмножество множества
{х0, ху, ¦ . .}, а Е2 — сжатое подмножество множества
{#о, Уи ¦ • •}• Рассмотрим множество Еу (J Е2. Это множество,
очевидно, разложимо (посредством Ау и А2). Оно, однако, не будет
рекурсивно разложимым. Пусть, напротив, рекурсивное множе-
множество В разлагает его. Пусть Еу относится к множеству В (в смысле
§ 12.3). Тогда, поскольку имеет место разложение, Е2 относится

312 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
к В. Но А относится либо к В, либо к В, а по построению если А
относится к какому-либо множеству, то и Ей и Е2 относятся к тому
же множеству. Это — противоречие.я
Это доказательство обобщается в упр. 12-47.
Рекурсивно инвариантные свойства
Про следующие свойства не известно, являются ли они теоре-
теоретико-решеточными по отношению к %:
(8) быть бесконечным, но не содержать ретрассируемых под-
подмножеств (см. упр. 9-44),
(9) быть гипергипериммунным,
A0) быть гипериммунным.
Следующие импликации очевидны: (9) =>- A0) и A0) =>- G).
В упр. 12-48 и 12-49 мы увидим, что D) => (8) и (8) => (9). Исполь-
Используя множество S из теоремы 8-11, мы обнаружим, что G) ^ A0).
Упражнение 10-17 показывает, что A0) ф> (9). Упражнения 12-51
и 12-52 показывают, что (9) ф> (8) и (8) ^> D). В упр. 12-53 пока-
показывается, что F) =>- A0). Из следствия XIX, приводимого ниже,
и упр. 12-45 и 12-62. вытекает, что E) ^ (9). Мы объединяем эти
сведения в следующую диаграмму (в которой никакие другие им-
импликации не имеют места):
(О-
Мб)'
• Значительное число других свойств также представляют инте-
интерес. В частности, мы имеем в виду свойства строгой гипергипер-
иммунности (совпадающее с (8), см. упр. 12-48 и 12-50) и строгой
гипериммунности (см. упр. 12-54) и такие свойства данного мно-
множества А, как lim(il) = l, конечность lim(^l) и конечность
lim(/, А) для всех рекурсивно перечислимых последовательно-
последовательностей / без пересечений. (Можно определить также аналогичные?
lim-свойства с использованием последовательностей конечных
множеств или используя последовательности конечных множеств,
задаваемых их каноническими индексами.)
Дополнения рекурсивно перечислимых множеств
Довольно много интересных вопросов возникает, если рас-
рассматривать свойства с A) по A0) на совокупности только тех
множеств, чьи дополнения рекурсивно перечислимы. Будем обозна-
обозначать эти ограниченные свойства A)*, B)*, . . ., A0)*.
§ 12.6. СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ 31S
Все выписанные нами импликации остаются верными. Выпол-
Выполняются также некоторые обратные импликации, не имевшие места
ранее. Доказательство следствия XI (Ь)" показывает, что B)* =>-
=> (I)*. В упр. 10-19 установлено, что (9)* => (8)*. В упр. 12-45
мы покажем, что F)* =>- E)*. Полученные ранее контрпримеры
показывают, что (как и прежде) G)* ^ A0)* (а потому и G)* ^>
ф> F)*), A0)* ?. (9)*, C)* ^ B)* и C)* ? F)*. Ниже, в след-
следствии XIX, мы получим принадлежащий Лахлану результат,
утверждающий, что никакое множество из B)* не может находить-
находиться одновременно в F)* и (9)*. В упр. 12-62 мы найдем множество,
лежащее в F)*, но не в B)*. Поэтому F)* ф> (9)*. Этот результат
впервые получен Р. В. Робинсоном. Отсюда следует, что F)* =fe
^> B)*, F)* ji> C)* и F)* ^> D)*. Робинсон также показал, что-
D)* ф> C)*, см. упр. 12-63. Не известно, верна ли импликация
(9)* =>- D)*. Множества из F)* известны под названием ^-макси-
^-максимальных. Ниже, в теореме XX, мы покажем, что гипергиперпро-
стота — теоретико-решеточное свойство в %1<Р'. Там приводится
их замечательная характеристика, найденная Лахланом. Это-
первый результат, где доказана теоретико-решеточность свойства,
не содержащаяся явно в определении. Доказательство имплика-
импликации (9)* =$>¦ D)* дало бы иную теоретико-решеточную характери-
характеристику множеств из (9)*. Мы предполагаем, однако, что имплика-
импликация (9*) => D)* неверна *).
Теорема XIX (Лахлан). Пусть А и В— такие рекурсивна-
перечислимые множества, что А а В. Если В — А гипергипер-
иммунно, то найдется такое рекурсивное множество С, что-
В — A cz С с В.
Доказательство. Построим семейство рекурсивно пе-
перечислимых множеств So, S\, S2, ¦ . . следующим образом. Обо-
Обозначим через Sln) совокупность элементов множества St, порожден-
порожденных за п этапов. Ат и В(Щ будут обозначать множества, полу-
полученные за п шагов при перечислении множеств А и В соответ-
соответственно.
Этап п + 1. Найдем наименьшее у, если такие существуют,
для которого у 6 5(?1+1> — Л(?1+1>, причем (Vi) [у $ S\n)] и для
некоторого ;', удовлетворяющего условию Sft* cz А(П+1), у Г>
> max | iSr* I- Если такого у нет, переходим к этапу п + 2.
Если же удается найти требуемый у, то пусть / — наименьшее
г) Как показал М. М. Арсланов [1968], эта гипотеза подтверждается:
существует такое гипергиперпростое множество, дополнение к которому
не является ни квазисжатым, ни обобщенно сжатым.— Прим. ред.

314 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
из соответствующих ему/'. Полагаем S]n+i) = <Sj") (J {*/} и S* =
= «Si™* для всех j =т^= j. Затем переходим к этапу п + 2.
Заметим, что на каждом этапе при любом i множество St
содержит не более одного элемента множества В — А. Предпо-
Предположим, что при всех i множества Si конечны. Тогда, так как
В — А бесконечно, наше построение поместит по одному эле-
элементу из В — А в каждое St. Но тогда последовательность
{Si}iLo(= {Wf^)}T=o для некоторой общерекурсивной /) опро-
опровергает условие гипергипериммунности В — А. Пусть теперь к —
ваименыпее из тех i, при которых Sj бесконечно. По построению
Sh cz А. Пусть т = max | St |. Начиная с того момента, когда
все конечные множества Si, i <^к, будут полностью перечислены,
всякое новое число у, для которого у > т и у ? В — А, будет
попадать в некоторое Sj при j > к. (Иначе у попал бы в Sh.) Поло-
Положим С" = U St. Тогда С'сВи(В-4)-С конечно. Покажем,
гфк
что С рекурсивно. Чтобы проверить, принадлежит ли произволь-
произвольное данное z множеству С', поступаем следующим образом. Смот-
Смотрим, содержится ли z в конечном множестве U Si. Если да, то
z 6 С. Если нет, начинаем перечислять множества St, пока хотя
бы z элементов не попадут в Sk. Если к этому времени z окажется
в некотором Sj,]'^> к, то мы имеем z 6 С¦ Если нет, то по построе-
построению z (? С". Положим теперь С = (В — A) (J С". Этим доказатель-
доказательство заканчивается. в
Следствие XIX. Если А рекурсивно перечислимо, но не макси-
максимально, то А не может быть одновременно гипергипериммунным
и рекурсивно неразложимым.
Доказательство. Пусть А рекурсивно перечислимо,
но не максимально, и предположим, что А гипергипериммунно.
"Так как А не максимально, найдется, согласно определению,
такое рекурсивно перечислимое множество В, что A cz В, В — А
бесконечно ж N — В тоже бесконечно. Так как В — А cz А,
В — А гипергипериммунно. По предыдущей теореме найдется
такое рекурсивное множество С, что В —• A cz С cz В. Оче-
Очевидно, что С осуществляет рекурсивное разложение множества А
на две бесконечные части.в
Ниже, в упр. 12-60, мы используем теорему XIX, чтобы пока-
показать, что всякое наполненное сжатое множество комаксимально.
Приведенное выше доказательство теоремы XIX принадлежит
Мартину. Отметим, что (F)*, A0)*) и (C)*, D)*, (9)*, A0)*) дают
два различных (и в силу следствия XIX несравнимых) способа
§ 12.6. СВОЙСТВА ПОЧТИ-КОНЕЧНОСТИ 315
дальнейшего деления класса "ё12 (из § 9.5) в спектре из § 8.7
и 9.5. В упр. 12-55 мы обнаружим, что гипергиперпростые и коко-
нечные множества образуют дуальный идеал в %.
Теорема XX характеризует гипергиперпростые множества тео-
теоретико-решеточным образом (сразу и в Щ, и в %1&)
Теорема XX (Лахлан). А гипергиперпросто <=> А рекурсивно
перечислимо, А бесконечно, и для любого рекурсивно перечислимого
В множество A (J (JV — В) рекурсивно перечислимо, если только
A cz В.
Доказательство. =?•. Пусть множество А гипер-
гипергиперпросто, А с= В и В рекурсивно перечислимо. Мы хотим
доказать, что A (J (N — В) тоже рекурсивно перечислимо. Если
В — А конечно, то A [j (N — В) коконечно и потому рекурсивно
перечислимо. Если же Б — А бесконечно, то оно и гипергипер-
гипергипериммунно, потому что является бесконечным подмножеством гипер-
гипериммунного множества. По теореме XIX найдется такое
рекурсивное множество С, что В — A cz С cz В. Тогда
A [J (N — В) = A U С и, значит, A{J (N — В) рекурсивно пере-
перечислимо.
¦<=. Пусть А — рекурсивно перечислимое множество с беско-
бесконечным А, но А не гипергипериммунно. Мы хотим найти такое
рекурсивно перечислимое В, чтобы A cz В, a A [j (N — В) не
было бы рекурсивно перечислимым. По определению гипергипер-
гипергипериммунности существует такая общерекурсивная функция /, что
(Ух) [WHx) П А Ф 0] и (V*) (Уу) \хфу=> WfM П WHy) = 01.
Положим В=А{] ( \J (Wx f] Wf(x))). Допустим, что
? _
A U (N — В) = Wy. В силу_выбора функции / имеем Wf(yi(]A Ф
ф 0. Возьмем z dWf<y) (]А. Тогда z 6 N — В => (в силу выбо-
выбора у) z g Wy f] Wf(y) =$¦ (в силу определения В) z ? В — А. Обрат-
Обратно, z 6 В - А => (так как х Ф у => Wf(x) f] WHy) = 0) z ?Wy П
П Wf(y) =ф- (благодаря выбору у) z ? N — В. Так как z ? А, это
противоречив. в
Заметим, что из доказательства теоремы вытекает как непо-
непосредственное следствие упр. 9-48 (Ь). Мы получим также такое
Следствие XX (Лахлан). Множество А коконечно или гипер-
гипергиперпросто <=> совокупность всех рекурсивно перечислимых мно-
множеств, содержащих А, образует булеву алгебру относительно упо-
упорядочения cz.
Доказательство очевидно.и

316 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
§ 12.7. УПРАЖНЕНИЯ
§ 12.1
Д12-1. (а) Пусть X — множество с двумя бинарными (алгебраическими)
операциями (J и [}, такими, что
(i) и U, и П коммутативны;
(ii) и (_)> и П ассоциативны;
(iii) и Ui и П идемпотентны (т. е. a U а = а, а [) а = а);
(iv) для всех а ж b (a [j b) f\ а = а и (a f] 4 U « = »¦ Положим а < 6,
если а U Ь = Ь. Докажите, что JS образует решетку относительно упорядо-
упорядочения < с U и П в качестве операций объединения и пересечения в этой
решетке.
(Ь) Докажите, что операции объединения и пересечения в любой решетке
удовлетворяют условиям (i) — (iv).
12-2. Приведите пример таких двух решеток еМ и JS, чтобы оМ была бы
подмножеством решетки X с индуцированным решеткой X упорядочением,
но не подрешеткой решетки X. (Указание. Возьмите X = JT, а вМ — решетка,
полученная упорядочением множества {.А \ А ? JT &¦ [[1 6-4 & 2 ? А] =Ф
=Ф 3 6 .А]} отношением с.)
12-3. Докажите, что всякий элемент булевой алгебры имеет не более
одного дополнения. (Указание. Пусть b и с — дополнения элемента а. Рас-
Рассмотрите (a U Ь) П с и (а U с) П &•)
12-4. Докажите, что каждое из тождеств, входящих в определение дис-
дистрибутивной решетки, влечет за собой другое.
12-5. Докажите (без помощи теоремы Стоуна о представлении), что сле-
следующие тождества верны в любой булевой алгебре:
а= а,
a\J 1= 1,
a [J0= а,
аП0=0,
a U Ь = а П Ь, а [} b = a \J Ь,
(аГ\Ь){](а[}Т)=а.
12-6. Докажите, что
из части (а) теоремы I является отношением
эквивалентности.
12-7. Пусть а и Ъ — элементы решетки X и выполняются предположения
части (а) теоремы I. Пусть а ж b — классы эквивалентности, определяемые
а и Ъ соответственно. Докажите, что в^кв XlCf тогда и только тогда,
когда a < Ъ (J с в X, где с ? Cf ¦
12-8. В предположениях части (а) теоремы I докажите, что Cf образует
класс эквивалентности, служащий нулевым элементом в XlCf.
Д12-9 (теорема Стоуна о представлении). Назовем дуальный идеал 3)
в решетке X собственным, если 3) Ф Х- Дуальный идеал Z) в решетке
X называется максимальным, если .ZJ—собственный дуальный идеал, не содер-
содержащийся ни в каком собственном дуальном идеале, отличном от него самого.
Допущение: в каждой булевой алгебре каждый собственный дуальный
идеал содержится в некотором максимальном дуальном идеале.
Докажите теорему Стоуна о представлении.
(Указание. Пусть & — данная булева алгебра. Пусть 2 — совокупность
всех максимальных дуальных идеалов алгебры &. Сопоставьте каждому
Ъ 6 & следующее подмножество 2: {3) \ 2) — максимальный дуальный идеал,
содержащий Ь}.)
12-10. См. упр. 12-9. Назовем дуальный идеал 3) в решетке X простым,
если 3) ф X и для всех а и 6 из if a U ь 6 &=$> [а ? 2) или Ь 6 3)\-
§ 12.7. УПРАЖНЕНИЯ 317
ц Докажите: (а) в дистрибутивной решетке всякий максимальный дуаль-
дуальный идеал является простым;
(Ь) в каждой булевой алгебре любой простой идеал максимален.
12-11. Лемма Цорна утверждает, что если ИР — частичное упорядочение,
в котором каждое линейно упорядоченное подмножество имеет верхнюю
грань, принадлежащую 5°, то 3° содержит максимальный элемент.
С помощью леммы Цорна докажите, что всякий собственный дуальный
идеал содержится в максимальном дуальном идеале. (Это утверждение приня-
принято в упр. 12-9 в качестве допущения.) (Указание. Пусть 3) — данный соб-
собственный дуальный идеал. Рассмотрите совокупность всех собственных
дуальных идеалов, содержащих 3).) (Замечание. Если принять все аксиомы
теории множеств (см. упр. 11-23), отличные от аксиомы выбора, то лемма
Цорна может быть выведена из аксиомы выбора (и на самом деле эквива-
эквивалентна ей).)
12-12. Пусть X — решетка, aj- решетка с нулевым элементом. Пусть
дан гомоморфизм (относительно (J и П) решетки X на аМ. Пусть У — мно-
множество всех элементов из X, отображаемых этим гомоморфизмом в нулевой
элемент из <М.
(i) Докажите, что Cf — идеал в X.
(ii) Докажите, что если X — булева алгебра, то XlCf изоморфна <М.
(iii) Докажите, что если X дистрибутивна, то XlCf не обязательно изо-
изоморфна <Л. (Указание. Возьмите в качестве X линейное упорядочение трех
элементов, а в качестве еМ — линейное упорядочение двух элементов.)
12-13. Пусть X — дистрибутивная решетка, <М — подрешетка X й J —
такой идеал в X, что <М П Cf ф 0.
(a) Докажите, что <М (") Cf — идеал в М.
(b) Покажите, что равенство eMICf = eM/<Jip\J не обязательно выпол-
выполняется.
(c) Пусть аМ — булева алгебра и нулевые и единичные элементы решеток
X и аМ совпадают. Докажите, что cMlCf = <MI<M{\Cf.
(d) Докажите, что M/*jP = Ml* Ж = 311 &=.
12-14. (а) Покажите, что JP и ?К не являются дуальными идеалами в Jf.
(b) Покажите, что ни совокупность всех конечных и иммунных множеств,
ни совокупность всех конечных и гипериммунных множеств не являются
идеалами в JT-
12-15 (Майхилл). См. § 8.7. Покажите, что следующие свойства являются
теоретико-решеточными в %1^: А ? %и А 6 <?г, А 6 g3 U 'ei- (Неиз-
(Неизвестно, будут ли теоретико-решеточными А ? <@3 и А 6 ^4-)
12-16. Докажите, что решетка OflliF плотно упорядочена.
12-17. Докажите, что всякий автоморфизм решетки % индуцирует неко-
некоторый автоморфизм факторрешетки %I2F'.
12-18. Докажите, что для всякого ненулевого а ? %I?F {Ъ \ Ъ ^ а} есть
подрешетка, изоморфная %ISF. (Указание. Пусть А ? а; используйте взаимно
однозначную общерекурсивную функцию/, область значений которой есть А.)
12-19. (а) Завершите доказательство теоремы III.
(Ь) Покажите, что %1*$ не содержит максимальных неединичных эле-
элементов. (Вопрос о плотности %l*^f этим не снимается.)
12-20. (а) (Майхилл). Покажите, что для любого ненулевого а ? %№
существуют такие Ь, eg %I2F, что а = Ъ [] с, причем Ь состоит из рекурсив-
рекурсивных множеств, а с — из креативных. (Указание. Примените теорему 5-IV.)
(Ь) (Мак-Лохлин). Пусть %й, gt и g2 такие же, как в § 8.7. Докажите,
что g0 U ^i U %г есть подрешетка в %.
§ 12.2
Д12-21 (а) (К. Охаши). Докажите, что построенные в теореме IV множества
Вх и В2 не являются рекурсивно отделимыми. (Указание. С помощью рассуж-
рассуждения, сходного с заключительной частью доказательства теоремы IV, пока-

318 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
жите, что их рекурсивная отделимость влечет рекурсивную перечислимость
множества .А.)
(Ь) (Ейтс). Докажите, что эти же множества Bt и В2 обладают следую-
следующим свойством: (yz)[[Wz (~| #1 = 0 или Wz fl Вг = 0] =Ф Wz — А рекур-
рекурсивно перечислимо] (где А — то же, что и в теореме IV).
Д12-22 (Мак-Лохлин [1962]). Пусть А рекурсивно перечислимо, но н&
рекурсивно. Постройте такую общерекурсивную функцию /, что (V")[W/(u>
не рекурсивно], (V")(Vy)f" Ф v =$¦ Щ(ц) Л Wf(v) =0] и А = U Щ(.иу
(Указание. Вместо В^ и В2 перечислите бесконечную последовательность Во>
Ви Вг )
§ 12.3
12-23. (а) Докажите теорему VII.
(Ь) Завершите доказательство теоремы IX.
Д12-24 (Деккер). Пусть Jk — произвольная счетная совокупность нену-
ненулевых элементов решетки NISF, замкнутая относительно П- Покажите, чт»
существует ненулевой с ? JTlcF, удовлетворяющий условию (^а)[а 6 <& =$
=$¦ с ^ а]. (Указание. Примените общие методы теоремы VI.)
12-25. Докажите, что N может быть представлено в виде объединения
счетной совокупности попарно не пересекающихся сжатых множеств, при-
принадлежащих одному и тому же классу с-эквивалентности. (Указание. Возь-
Возьмите произвольное сжатое множество А. Разложите А в бесконечную сово-
совокупность бесконечных множеств. Элементы А подходящим образом присое-
присоедините к этим множествам.)
12-26. Докажите, что А квазисжато =#> А гипериммунно (на самом деле,
даже гинергипериммунно). (Указание. См. доказательство теоремы V.)
12-27. Покажите, что разложение квазисжатого множества на сжатые
единственно с точностью до с-эквивалентности.
12-28. Плотно ли упорядочена решетка JT/SFi?
12-29. Докажите, что конечные множества вместе со всеми конечными
объединениями сжатых множеств, с-эквивалентных наполненным множест-
ствам, образуют идеал в JT. (Заметим, что всякая совокупность сжатых мно-
множеств порождает (таким образом) некоторый идеал, содержащийся в iFj.)
Д12-30. Назовем А обобщенно сжатым, если А § &±, но при любом
х либо Wx П А, либо Wx П А. лежит в 2F ±. Покажите, что обобщенно сжатые
множества существуют и обязательно гипериммунны (даже гипергипериммун-
ны). (Это обобщение можно итерировать; см. упр. 12-31.)
Д12-31. Пусть % — конечный или счетный подкласс решетки JT.
Пусть Jo — некоторый идеал в JT.
Положим
А <$ Jo & (VB)[B 6 ^ =Ф [А П В € Jo
= {А
А П ~В 6 Jo ]]} («почти-Jo-множества"),
или
j — идеал, порожденный^. Предположим, что
Ц) Э* с J,;
(ii) всякое множество, не входящее в Jo, содержит подмножество, входя-
входящее в So-
Положим
d = {А | А
> [А
или
(„почти- Jj-множества
").
§ 12Л. УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что всякое множество, не входящее в J4, содержит подмно-
подмножество, принадлежащее 5§d.
(Указание. Обобщите доказательство теоремы VI.)
(В том частном случае, когда %> — совокупность рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств, a Jo = {0}, это упражнение влечет за собой теорему VI,
так как Jj = iF, a $t — совокупность всех сжатых множеств. Пoвтopяeмoe^
индуктивно, это упражнение позволяет построить цепь идеалов, как отмеча-
отмечалось в упр. 12-30. Построение может быть продолжено по трансфинитам.)
Д12-32. Докажите, что существуют такие рекурсивно ¦ перечислимые
множества А ж В ж автоморфизм / решетки <f, что f(A) = В, но А не рекур-
рекурсивно изоморфно В. Таким образом, свойство „быть рекурсивно изоморфным
множеству А" — рекурсивно инвариантное, но не теоретико-решеточное в %
свойство. (Указание. Пусть А — простое множество, т ?А и В = A (J {т}.
По лемме к теореме 8-ХIV В ф А. Чтобы получить автоморфизм/, примените
технику теоремы IX, использовав два сжатых множества, одно из А, а другое
из А.)
^ 12-33 (Роуз и Юллиан). Если даны функции / и g и частичная функция
<р, определим еггог^ g ф(ге) как число таких натуральных т, т. < п, что-
Ф (еЫ)) Ф 1(g(m)).
Определение. Функция / называется рекурсивно аппроксимируемой,
если для любой взаимно однозначной общерекурсивной функции g существует
такая частично рекурсивная функция <р, что
lim ( — еггог^ g ф(ге)) = 0.
(а) Докажите, что существуют рекурсивно аппроксимируемые, но не ре-
рекурсивные функции. (Указание^ Пусть А — сжатое множество. Существует
2No функций /, таких, что /(.4) = {0}. Покажите, что все они рекурсивно
аппроксимируемы. Для доказательства возьмите ф = кх[0] и заметьте, что
для любого р множество {т. | g(m) (; А} должно попадать (с точностью до ко-
конечного множества) в не более чем один класс остатков по mod p.)
Определение. / называется конструктивно нерекурсивной, если существу-
существует такая общерекурсивная функция h, что
(b) Докажите, что конструктивно нерекурсивные функции существуют.
(Указание. Воспользуйтесь обычной диагонализацией.)
(c) Докажите, что конструктивно нерекурсивная функция не может
быть рекурсивно аппроксимируемой. (Указание, (i) Покажите, что существует
равномерно эффективный метод для нахождения по заданным z и т такого ш,
что w > т и f(w) Ф <pz(u>) (рассмотрите всевозможные функции, совпадаю-
совпадающие с ф2 справа от т всюду, где они определены, и примените А к их индек-
индексам). Затем (ii) воспользуйтесь этим, чтобы построить рекурсивно перечисли-
перечислимую последовательность (g) все более длинных отрезков, на которых /,
напротив, не согласована с ф0, ф1? . . . . Сделайте это так, чтобы одновременно
для всех частичнорекурсивных функций ф
lim (— error/ g ф(п)\ = 1.)
,4 12-34. Пусть / = {0, 1}. Рассмотрим всюду определенные функции /
со значениями в /. Для каждой такой / определим s/@) = 0, sf(n+ 1) =
= т*((/@), / A), . . .,' f(n))), где т* такое же, как в § 5.6. Пустьф — функ-
функция, область значений которой содержится в / X /. Назовем г|з удовлетвори-

320 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
тельной для /, если А,ж[гр«^(ж)] — всюду определенная функция и n$Sf(x) = 1
для бесконечно многих значений х. Если даны / и г|з и гр удовлетворительна
для /, определим g посредством формул g@) = \iu[nii!psf(u) = 1] и g(n + 1) =
= \iu[u > g(n) & n^Sf(u) = 1], и пусть ф= Xx[n2ilpsf(x)]. Для данных /
и гр положим eft у (п) = еггогу, g, ф (п) (см. упр. 12-33).
Определение (Чёрч). Функция / называется случайной, если для всякой
частичнорекурсивной функции г|з, удовлетворительной для /,
1
{Функцию i|j можно представить себе как „систему игры"; щт!р говорит, делать
ставку или нет, а Ягф говорит, на что ставить. Функция / „случайна", если нет
аффективной системы, которая бы выигрывала против / (в среднем больше
половины времени).)
Введем меру т({0}) => т ({1}) = -к- на / и рассмотрим декартову сте-
степень IN пространства с мерой. (Всякая функция / со значениями в / есть
элемент из IN.) Докажите следующую теорему о невозможности системы
игры.
Теорема. Мера множества {/ | / случайна} равна 1. (Указание. Эта задача
не связана со сжатыми множествами и может быть решена методами чистой
теории меры. См. методы доказательства усиленного закона больших чисел
у Лоэва [1955].)
§ 12.4
12-35. Покажите, что существование сильно неотделимых пар множеств
{см. упр. 8-39) прямо вытекает из теорем IV и XI.
12-36 (Ейтс). (i) Покажите, что пересечение двух максимальных мно-
множеств не обязательно максимально.
(ii) Докажите, что пересечение двух максимальных множеств квазимак-
квазимаксимально.
(ш) Покажите, что А = {А квазимаксималъно или коконечно} есть дуаль-
дуальный идеал в %.
Д 12-37. Покажите, что N есть объединение некоторой совокупности
попарно не пересекающихся наполненных сжатых множеств.
12-38. Покажите, что существуют два максимальных не рекурсивно
изоморфных множества. (Указание. Примените построение из теоремы 8-XIV.)
§ 12.5
12-39. Докажите следующий усиленный вариант теоремы 9-XV. А гипер-
иммунно <=> А бесконечно и не существует такой общерекурсивной функции
/, чтобы
Du)lDf (u) П Л Ф 0], (Vm)(Vi>)[b ф v =#> Dnu) П DHv) = 0] и
3
12-40. Завершите доказательство пункта (Ь) из теоремы XII.
12-41. Пусть А квазимаксимально и <?^_ число классов с-эквивалент-
ности, представленных в А. Докажите, что lim (A) ^ q. (Указание. Доказа-
Доказательство аналогично доказательству теоремы XIII.)
А 12-42. Пусть А — максимальное множество и / — взаимно однозначная
общерекурсивная функция, область значений которой есть А. Положим
fO(A) == .дг, fn+ЦА) = f(fn(A)). Докажите, что (i) для всякого q > 0 множество
12.7. УПРАЯГНЕНИЯ 321
/'(.А) квазимаксимально, причем точно q классов с-эквивалентности представ-
представлено в его дополнении; (ii) lim(/9(.4)) = q для всякого q. (Указание. Исполь-
Используйте сплинтеры функции /, см. упр. 7-37.)
Д12-43 (Мартин). Обобщая доказательство теоремы XIV, покажите, что
существует такое рекурсивно перечислимое множество А с бесконечным А,
что для всех рекурсивно перечислимых множеств В если В ZD А, то либо
lim (В) = 0, либо для некоторой общерекурсивной функции / lim^1, В) бес-
бесконечен.
12-44. Рассмотрим совокупность классов <ёп, . . ., ^4 из § 8.7 и 9.5.
Согласно упр. 8-46 и 9-26 (Ь), эта совокупность линейно упорядочена относи-
относительно ^4. Будет ли она линейно упорядоченной относительно ID ? Иными
словами, если А и В — нерекурсивные рекурсивно перечислимые множества
a AID В,.обязательно ли Покажется не левее А в этой классификации?
§ 12.6
12-45 (Янг). Докажите, что если А рекурсивно перечислимо и А рекур-
рекурсивно неразложимо, то А неразложимо.
12-46. (а) Приведите пример рекурсивно разложимого иммунного мно-
множества. (Указание. Рассмотрите А ф А для некоторого иммунного множест-
ства А.)
Д(Ь) Приведите пример рекурсивно разложимого квазисжатого множе-
множества. (Указание. Возьмите }ЦА), как это определено в упр. 12-42. Исполь-
Используйте сплинтеры функции / для разложения Р(А). В силу упр. 12-45 это дает
рекурсивное разложение.)
^12-47 (Мак-Лохлин). Приведите пример рекурсивно неразложимого
множества, не являющегося ни конечным, ни квазисжатым. (Указание.
Используя упр. 12-22, обобщите доказательство теоремы XVIII.)
12-48. Назовем А строго гипергипериммунным, если А бесконечно и ни
для какой общерекурсивной функции / не выполнено условие (Vu)[Wf (U) (~)
П Л ф 0] & (Vb)(Vi>)[m Ф v =#> Wf(u) П Wm = 0].
(a) Докажите, что строго гипергипериммунное А не содержит бесконеч-
бесконечных ретрассируемых подмножеств. (Указание. Пусть А содержит бесконеч-
бесконечное ретрассируемое подмножество и i|j — его ретрассирующая функция;
определите Щ(п) как ге-й ярус дерева прослеживания if, т. е. Wf(n) =
= {х | ^(х) ='т), где т — наименьший элемент ретрассируемого подмно-
подмножества.)
(b) Докажите, что обобщенно сжатое множество А строго гипергиперим-
мунно. (Указание. Обобщите доказательство теоремы V.)
д 12-49 (Ейтс). Покажите, что если А бесконечно и не гипергипериммунно,
то А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество. (Указание. Пусть
W^(o), W/d), ... — рекурсивно перечислимая последовательность попарно
не пересекающихся конечных множеств, каждое из которых пересекается
с А. Построим из Wf(Q), W/(i)i . . . рекурсивно перечислимое дерево и с по-
помощью этого дерева определим ретрассирующую функциюгр. Точнее, устроим
следующую процедуру. По ходу этой процедуры некоторые числа будут
покрыты (в определяемом ниже смысле); позднее они могут переставать быть
покрытыми, однако все рассматриваемые числа в конце концов сделаются
и останутся покрытыми. Пусть х0, xt, ... — рекурсивный пересчет множе-
множества В = Wy@) U Wf(±)\J. ¦ ¦ ¦ Как говорилось, мы будем перечислять упо-
упорядоченные пары графика функциигр. Вначале ни одно число из В не покрыто.
Этап 1. Поставим Wf@) в соответствие х0; теперь х0 по определению счи-
считается покрытым. По мере того как элементы Wf@) появляются при перечи-
перечислении множества В, упорядоченные пары, отображающие эти элементы в х0,
зачисляются в график г|з.
21-0506

322 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
Этап гс+ 1. Сопоставим W}(n) первому непокрытому элементу из хо>
Xj, ... . Теперь этот элемент считается покрытым. По мере того как элемен-
элементы Wj(ny появляются... и т. д. Если в некоторый момент упорядоченная пара
(х, у), в которой х ^ у, будет зачислена в график i|) (т. е. определено
¦ф (х)= у), то у перестает быть покрытым).
Д12-50 (Ейтс). Покажите, что если А бесконечной не строго гипергипер-
иммунно, • то А содержит бесконечное ретрассируемое подмножество.
Таким образом, для всякого множества А справедлива эквивалентность:
А строго гипергипериммунно <=> А бесконечно и не содержит бесконечных
ретрассируемых подмножеств. (Указание. Метод, предложенный в упр. 12-49,
прямо обобщается и на этот случай.)
Д12-51. Приведите пример гипергипериммунного множества, обладаю-
обладающего бесконечным ретрассируемым подмножеством. (Указание. Возьмите
эффективное разложение N в бесконечную совокупность бесконечных рекур-
рекурсивных множеств, например {0} X N, {1} X N, . . . . Затем постройте
(с помощью неконструктивной диагонализации) множество А, содержащее
по элементу из каждого из этих рекурсивных множеств, но не пересекающееся
хотя бы с одним множеством из каждой рекурсивно перечислимой последо-
последовательности попарно не пересекающихся конечных множеств. Тогда А будет
гипергипериммунным, но не строго гипергипериммунным. В силу упр. 12-50
оно содержит бесконечное ретрассируемое подмножество.)
Д12-52. Приведите пример бесконечного множества, не содержащего
бесконечных ретрассируемых подмножеств, но не являющегося обобщенно
сжатым 1). (Указание. Обобщите теорему V на итерации построения
из упр. 12-31.)
12-53. Докажите, что если А бесконечно, но не гипериммунно, то А
рекурсивно разложимо. (Указание. Построение из теоремы V дает искомое
рекурсивное разложение.)
Д12-54. (Янг). Назовем^! строго гипериммунным, если А бесконечно и ни
для какой общерекурсивной функции/не выполняются условия (Vu) [W/(u) П
ПАФ0], Du)Dv)[u^v=^WHa) П WHv)= 0] и (Vz)[*6 4=^
=$, (Зи)[х ? Wf(u,)]]. Назовем А строго гиперпростым, если А рекурсивно
перечислимо и А строго гипериммунно.
(a) Докажите, что А гипергиперпросто =?> А строго гиперпросто. (Ука-
(Указание. См. упр. 9-48 (Ь).)
(b) Докажите, что А строго гиперпросто =Ф А гиперпросто (Указание.
См. упр. 12-39.)
(c) Покажите, что никакое множество с ретрассируемым дополнением
не может быть строго гиперпростым. (Указание. См. указание к упр.
12-48 (а).)
(d) Выведите отсюда, что существуют гиперпростые множества, не являю-
являющиеся строго гиперпростыми. (Указание. См. (vi) из упр. 9-44.) (Существова-
(Существование строго гиперпростых множеств, не являющихся гипергиперпростыми,
будет установлено в упр. 12-64.)
Д12-55. (Мак-Лохлин, Мартин). Докажите, что ко конечные и гипергипер-
проетые множества образуют дуальный идеал в %. (Указание. Покажите,
что [А и В рекурсивно перечислимы & А Л В содержит бесконечное ретрас-
ретрассируемое . подмно'жество] =$А или В содержит бесконечное ретрассируемое
подмножество. Результат следует из эквивалентности (8)* <=> (9)*, т. е. из
упр. 10-19.)
Д12-56. (Мак-Лохлин). Докажите, что существует не более к0 наполнен-
наполненных сжатых множеств. (Указание. Достаточно доказать, что если С — напол-
1) Чтобы это упражнение опровергало импликацию (8) =Ф D) (как это
объявлено на стр. 243), надо еще потребовать, чтобы соответствующее мно-
множество не было квазисжатым. — Прим. ред.
§ 12.7. УПРАЖНЕНИЯ 323
ненное сжатое множество, то для некоторого z имеем С с Wz и Wz — С
рекурсивно перечислимо. Допустим противное. Рассмотрим & =
- {В | (Э2) (Зу) [В = Wz- (Wy U С) & С c.Wz &.WU a Wz - С]}. Оно
замкнуто относительно пересечения, и все множества из 3d бесконечны.
Применяя метод доказательства теоремы XVII (см. упр. 12-24), найдите такое
сжатое множество С", что С — В конечно для всех В ? ?В. Отсюда заключаем,
что С U С" сжато, что противоречит наполненности С.)
Д12-57. (Мак-Лохлин). Покажите, что существует неразложимое множе-
множество, обладающее бесконечным ретрассируемым подмножеством. (Указание.
Пусть А — рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество, (i) Как
в упр. 12-22, существует такая общерекурсивная функция /, что Wf(x), x =
= 0, 1, 2, . . ., — последовательность попарно не пересекающихся множеств,
объединение которых есть А. (и) Заметим, что для этой последовательности
справедливо свойство 12-21 (Ь). (ш) Найдем такое сжатое С, что С с А
и (Va:) [Wx (=A =$ Wx П С конечно] (см. упр. 12-24). (iv) Рассмотрим & =
= {В | В рекурсивно перечислимо и В 3 С). Из (и) получим, что для всякого
В ??В (Vx) [W/(x) Q В бесконечно], (v) Применим метод доказательства тео-
теоремы XVIII в форме, обобщенной в упр. 12-47, чтобы найти сжатые множе-
множества Со, Cj, . . ., такие, что (Vx) [Cx aWf^] и (Vx) [Cx П В бесконечно]
для всякого В ? 3&. (vi) Рассмотрим множество С |J Co U ^l U • • • • В силу
(v) это множество неразложимо. Согласно упр. 12-50, оно имеет бесконечное
ретрассируемое подмножество.)
12-58. (Тенненбаум). Пусть / — всюду определенная функция, область
значений которой есть В и (Vz) (Зп) (Vm) [[п < т & <pz (m) определено] =^>
=Ф <pz (т) < / (т)]. Докажите, что К ^>j\B-
Д12-59. (а) (Ейтс). Докажите, что существует полное максимальное мно-
множество. (Указание. Используйте упр. 12-58 для модификации построения
из теоремы XI.) (Значение этого результата по отношению к работе Поста
[1944] обсуждалось в § 9.6.)
(Ь) (Сакс). Докажите, что существует неполное максимальное множество.
(Указание. Приспособьте построение из теоремы XI, используя второе мно-
множество маркеров на данном списке, а также дополнительный список с марке-
маркерами, чтобы одновременно получить конструкцию, сходную с конструкцией
из теоремы 10-111.)
12-60. Докажите; что всякое наполненное множество есть дополнение
к максимальному множеству. (Указание, Примените теорему XIX вместе
с конструкцией И8 упр. 12-56.)
12-61. (а) Докажите, что если А квазимаксимально и А — объединение
сжатых множеств из п различных классов с-эквивалентности, то А есть пере-
пересечение максимальных множеств из п различных элементов %13~ ¦ (Указание.
Воспользуйтесь теоремой XX.)
(Ь) Докажите, что дополнение любого квазимаксимального множества
есть объединение наполненных множеств. (Указание. Воспользуйтесь упр.
12-60.)
^12-62. (Р. В. Робинсон), (а) Покажите, что существует г-максимальное,
но не максимальное множество. (Указание. Постройте такие рекурсивно
перечислимые множества А я В, что А аВ, В максимально, В — А беско-
бесконечно и А рекурсивно неразложимо. Для этого следующим образом изменим,
конструкцию Ейтса из теоремы XI. Четные и нечетные маркеры рассматривают-
рассматриваются порознь; z-штат элемента х на этапе п-\- 1 определяется, как и раньше.
Модифицированный z-штат элемента х относительно у на этапе п + 1
определяется с помощью такого изменения в определении z-штата:
_ f 1, если х 6 W|n+1), у 6 W|n+1) и i < п,
—
_ f 1
i — л
(. 0
в противном случае
21*

324 ГЛ. 12. РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
при 0 ^ i ^ г. Маркеры сдвигаются так же, как в теореме XI, с теми исклю-
исключениями, что четный маркер 2т \ должен переместиться на х%?, q > m, при-
причем х$ находится в большем m-штате, чем а:^, а нечетный маркер
должен сдвинуться на х^\ р > 2т + 1, причем х^ находится в большем
модифицированном га-штате, относительно ж^, чем ar^^_t. Положим А =
= {х | х в конце концов остается без маркера}, В = A U {x I x в конце концов
остается с нечетным маркером}. Докажите, что A) каждый маркер, начиная
с некоторого момента, больше не сдвигается, B) В максимально и C) для вся-
всякого z (Wz [} В бесконечно) =ф А — wy конечно. Выведите из C), что D)
А рекурсивно неразложимо. Доказательство A) почти тождественно доказа-
доказательству леммы 1 к теореме XI. Доказательство B) оперирует с четными мар-
маркерами и почти совпадает с доказательством леммы 2 к теореме XI. Доказа-
Доказательство C) аналогично доказательству леммы 2 к теореме XI; доказывается,
что если дано z, то для достаточно большого т существует точно один модифи-
модифицированный z-штат относительно х2т, содержащий бесконечно много эле-
элементов А, оканчивающих в нем свой путь (где х2т — заключительное" поло-
2т ). (D) выводится непосредственно.)
жение маркера
(Ь) Обобщая описанную конструкцию, покажите, что для любого рекур-
рекурсивно перечислимого множества В существует такое рекурсивно перечислимое
множество А, что В—А бесконечно и для всех 2 имеем (В — Wz конеч-
конечно) =ф А — Wz конечно. (Заметим, что это упражнение вместе с упр. 12-50
влечет за собой результаты упр. 12-47 и 12-57.)
Д12-63. (Р. Робинсон). Покажите, что существует обобщенно сжатое, но
не квазисжатое множество с рекурсивно перечислимым дополнением 1). (Ука-
(Указание. Постройте рекурсивно перечислимые множества Ht, i = 0, 1, 2, ¦ ¦ .,
так, что для всех i выполнены условия Hi cr i?j+i> -ffj+i — Hi сжато и Но
обобщенно сжато. Построение идентично построению Ейтса v теоремы XI,
эа тем исключением, что условие „х^ находится в большем m-штате (на этапе
w + l), чем Хт}'\ дополняется требованием „и щ(д) ^щ(т)". Полагаем Но =
= {х | х в конце концов остается бее маркера}, и для г> 0 определяем Hi =
= {х | х в конце концов получает такой маркер т|, что щ(т) < i}. Аналогич-
Аналогично тому, как доказываются леммы 1 и 2 к теореме XI, устанавливается, что
множества Ht, i = 0, 1, 2, . . ., обладают требуемыми свойствами.)
12-64 (Р. В. Робинсон). Покажите, что существует строго гиперпростое,
но не гипергиперпростое множество. (Указание. Воспользуйтесь результатом
упр. 12-62.)
Д12-65 (Янг). Покажите, что существуют такие А я В, что A ^iB, но
А ^.[В, где ^J определена в упр. 7-34. (Указание. Возьмите А а В, построен-
построенные в упр. 12-62. Пусть / — взаимно однозначная общерекурсивная функция,
перечисляющая А. Тогда А 1-сводится к f(A) посредством функции /. Пока-
Покажите, что ни для какой общерекурсивной сводящей функции g не выполняется
A^{f(A) посредством g.)
12-66 (Мартин). Если <рж — характеристическая функция некоторого
множества, положим Сх = {у \ фх(#) = 1 }• Назовем А с-строзо гипериммун-
гипериммунным, если А бесконечно и не существует такой общерекурсивной функции /,
чтобы (Vu)[<p/(U) — характеристическая функция], (Vu)[C/(U) ( А ф 0]
х) Слова „но не квазисжатое" тут лишние, поскольку обобщенно сжатое
множество по определению не является квазисжатым.— Прим. ред.
§ 12.7. УПРАЖНЕНИЯ 325
и (Vm)(Vm)[u ф v =Ф Су(Ц) П С/(») = 0]. Назовем А с-строго гиперпростым,
если А рекурсивно перечислимо, а А с-строго гипериммунно.
(а) Докажите, что А с-строго гиперпросто <=> А строго гиперпросто.
Д(Ь) Докажите, что А с-строго гипериммунно <=> А не содержит беско-
бесконечного ретрассируемого множества, обладающего всюду определенной рет-
рассирующей функцией. (Указание. См. упр. с 12-48 по 12-50.)
12-67. (а) Докажите, что всякое квазимаксимальное множество содер-
содержится в некотором максимальном.
J^(b) (Лахлан). Покажите, что существует гипергиперпростое множество,
не содержащееся ни в каком максимальном.
±(с) (Р. В. Робинсон). Покажите, что существует r-максимальное мно-
множество, не содержащееся ни в каком максимальном множестве.

Глава 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
§ 13.1. Операция скачка 326
§ 13.2. Некоторые важные множества и степени
§ 13.3. Полные степени; категории и мера 341
§ 13.4. Упорядочение степеней 351
§ 13.5. Минимальные степени 355
§ 13.6. Частичные степени 359
§ 13.7. Решетка Медведева 363
§ 13.8. Дальнейшие результаты 372
§ 13.9. Упражнения 380
336
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА
В этой главе изучается упорядочение совокупности Т-степеней
неразрешимости отношением сводимости. Мы рассматриваем эту
структуру на совокупности всех Т-степеней, неважно, рекурсивно
перечислимых или нет.
Большой интерес исследователей к этой области позволил
получить значительное число результатов. Некоторые из резуль-
результатов этой главы получены раньше, чем результаты, изложенные
в гл. 10.
Основное различие между упорядочениями рекурсивно пере-
перечислимых степеней и всех степеней заключается в том, что второе
упорядочение несчетно. Как мы увидим, ряд других структурных
свойств упорядочения рекурсивно перечислимых степеней (напри-
(например, плотность) не сохраняются в общем случае. Доказательства
в общем случае могут быть весьма неконструктивными, так как
обычно не нужно заботиться о рекурсивной перечислимости
строящихся объектов. Тем не менее часто доказательства имеют
комбинаторный характер, что делает их простыми и элегантными.
Нашей главной целью будет проиллюстрировать имеющиеся здесь
способы доказательства и скорее дать читателю почувствовать,
что можно и чего нельзя сделать, нежели доказать известные ре-
результаты в самой сильной форме. Значительное число не доказан-
доказанных в тексте фактов отнесено в упражнения и перечислено в § 13.8.
Как отмечается в § 13.8, некоторые из наиболее сильных резуль-
результатов получаются при использовании описываемых в настоящей
главе методов в сочетании с методами приоритета, описанны-
описанными в гл. 10.
.Операция скачка является одним из основных понятий при
изучении степеней. Мы определяем ее сначала на множествах,
а затем на степенях.
Определение. Положим для любого множества А
А' = {х | фж (х) определено} = {х I х ? W^}-
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА 327
Множество А' называется скачком, или пополнением множества А.
(А' совпадает с множеством КЛ, определенным в § 9.3.)
Ряд основных свойств операции скачка* на множествах приве-
приведен в теореме I. Оказывается, операция скачка зависит от выбора
гёделевой нумерации частичнорекурсивных функций. Однако из
теоремы I следует, что если Ai и А2 — скачки множества А,
полученные с помощью двух различных допустимых гёделевых
нумераций (в смысле упр. 2-10), то А± = Аг (см. упр. 13-1 х)).
В и В рекурсивно перечислимы отно-
отноТеорема I. (а) В ^ц
сительно А.
(b) А' рекурсивно перечислимо относительно А.
(c) А' ^Т4.
(d) В рекурсивно перечислимо относительно А
(e) 4<Т5<?>4'<, В'.
В s^i A'.
Доказательство. Пункт (а) есть теорема 9-IV. Пунк-
Пункты (Ь) и (с) получены при доказательстве теоремы 9-Х.
(d) =>. Неформальное доказательство получается параллель-
параллельно доказательствам теорем 7-III и 7-IV. Более формальное дока-
доказательство может быть получено следующим образом. Пусть В =
= Wf и дано произвольное w. Рассмотрим {{х, у, и, v) | {w, у,
и, v) 6 WP(Z)}. Согласно второй теореме о проекции, это множе-
множество рекурсивно перечислимо, и его индекс может быть найден
по w и z равномерно эффективно. Пусть g — такая рекурсивная
функция, что Wg(w,Z) = {(x, у, и, v) \.{w, у, и, v) ? Wp{z)}.
Ясно, что это множество регулярно (в смысле § 9.2). Поэтому
(Зу) (Эй) Cv) [(w,
W? <=> w 6 В.
w
Теперь g(w, z) ? А' <^> g(w, z) 6 W^w,z±
У, и, v) 6 Wp(z) & Du с: А & Dv cz A\ <>
Значит, В 1-сводится к А' функцией Xw [g(w, z)\.
Ф=. Это следует из части (Ь) теоремы 9-IX (релятивизованной
теоремы о проекции).
(е) ^-. Пусть А ^тВ. Согласно (Ь), множество А' рекурсивно
леречислимо относительно А. В силу (с) А'Ф 0. Поэтому А'
есть область значений некоторой рекурсивной относительно А
функции /. Но если/ рекурсивна относительно А, то / рекурсивна
и относительно В, так как А ^т В. Поэтому А' рекурсивно пере-
перечислимо относительно Бив силу (d) Af ^i В''.
<?=. Пусть А' <а-б'. Элементарные построения показывают,
что множества А и А рекурсивно перечислимы относительно А.
х) Отметим, что нумерация А -рекурсивных функций определяется по тео-
теореме 9-П нумерацией частичнорекурсивных функций.

328 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
i J3' со сводящей функцией
Поэтому, согласно (d), A ^i А' и A ^Ci А'. Значит, А ^ В'
и A ^i В'. Из (d) следует, что множества А я А рекурсивно пере-
перечислимы относительно В. Поэтому в силу (а) А ^.тВ.ш
Следствие I. (а) А =т В <=> А' = В'.
(b) В <т А о [В <! А' & Я<! Л'].
(c) Пункты (b), (d) u (е) теоремы I выполняются равномерно
в следующем смысле. Пункт (b): Cz)(\M)L4' = И^1. Пункт (d):
существуют такие общерекурсивные функции f и h, что [В =
= Wz =ф- 5 ^1Л/ со сводящей функцией ф/<2)] u [J5 ^j А' со сво-
сводящей фг =ф- Б = Wft(Z)]. Пункт (е): существуют такие общере-
общерекурсивные f и h, что (сА = <pf =>•
Ф/B)) и D' ^ J5' со сводящей <pz =>- сА = ф a<Z)).
Доказательство. Пункты (а) и (Ь) очевидны. Пункт
(с) получается как результат следующего исследования формаль-
формальных построений из теоремы I. Рассматривая пункт (Ь) теоремы I,
выберем z так, чтобы Wz = {(х, у, и, v) | (х, у, и, v) € Wp(x)}.
Отсюда следует, что WpiZ) =WZ и что для всех А имеет место
А' = Wt- Для проверки утверждения о пункте (d) теоремы I
возьмем такое /, что ф/B) = Kw[g(w, z)]; h выбирается аналогично.
Примерно так же обстоит дело с пунктом (е) теоремы 1.в
На основании теоремы I и следствия I мы заключаем, что упо-
упорядочение Т-степеней изоморфно вкладывается в упорядочение
1-степеней. (Однако в отличие от изоморфизмов, связанных
с m-цилиндрами и tt-цилиндрами, образ Т-степени при этом
изоморфизме не попадает в ту же Т-степень.) Из следствия I (а) вы-
вытекает, что операция скачка корректно определена на Т-степенях
и что она переводит каждую Т-степень в однозначно определенную
более высокую Т-степень. Дальше мы используем следующие
обозначения (обычные в рассуждениях о степенях).
ОбознАЧЕНия. Буквами а, Ь, с, ... будем обозначать степени.
О обозначает рекурсивную степень. Для всякого а через а' будет
обозначаться (однозначно определенная) степень множества А'г
где А — любое множество из а. Степень а' называется скачком,
или пополнением степени а. Если b = а' для некоторого а, то
b называется полной степенью.
Для любых степеней а и Ь формула а ^ Ь будет означать, что
а Т-сводима к b; a < b означает, что а ^ Ь и Ь ^ а; а|Ь озна-
означает, что а^ЬиЬ^а (мы говорим тогда, что а и Ь несравнимы),
a ub будет обозначать сочленение степеней а и Ь.
Степень а называется рекурсивно перечислимой относительно
Ь, если существуют такие А 6 а и В 6 Ь, что А рекурсивно пере-
перечислимо относительно В (см. упр. 13-6). Степень а называется
рекурсивной относительно Ь, если а ^ Ь. Когда мы говорим, что
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА 329
А рекурсивно относительно Ь (или что / рекурсивна относитель-
относительно Ь), мы имеем в виду, что А (или /) рекурсивно относительно
некоторого В 6 Ь.
Примеры. 0 б 0. К е 0'. а < а', а' ,? а.
Из теоремы I вытекает следующее основное соотношение: а ^
< b =^ а' ^ Ь'. (В § 13.3 будет показано, что обратная имплика-
импликация неверна.)
Итерации скачка мы будет обозначать следующим образом.
Для любого А
=А,
= (А1П)У.
(Д(П) называется п-ж скачком множества А.)
Соответственно, для всякой а
а@> = а,
Пример. (Vrc)[0(n) €0<n>].
Следствие I (d). Существует такая общерекурсивная функция
/, что, каковы бы ни были А, х и у, \х < у => А{Х) i-сводится к AiV)
функцией ф/(Ж, В)]. Существует такая общерекурсивная g, что
для любых А, В и х если фг 1-сводит А к В, то (pg(z, x) Х-сводит
Доказательство. Это вытекает из следствия I (с)
и существования такой общерекурсивной функции к, что если
ф2 1-СВОДИТ А К В, ТО СА = фй(г)-И
Элементы возрастающей последовательности 0, 0', 0", ...,0<п>,...
особенно полезны в качестве ориентиров в упорядочении степеней.
В § 13.2 мы сосредоточим наше внимание на 0' и 0". В гл. 14 мы
обнаружим другие естественные свойства этой последовательности
и увидим, какое значение имеет она для логики и теории рекур-
рекурсивных функций.
Некоторые свойства упорядочения степеней уже отмечались.
Каждая степень состоит из н0 множеств; поэтому всего имеется
2s° степеней. К каждому множеству сводится х0 множеств;
поэтому ниже любой степени имеется не более х0 степеней.
Результаты, полученные в гл. 10 о рекурсивно перечислимых
степенях, дают нам дополнительную информацию. (Отметим, что
все рекурсивно перечислимые степени ^0'.) Теорема Мучника —
Фридберга (теорема 10-Ш) показывает, что между 0 и 0' существуют
несравнимые степени. Более того, следствие 10-Ш указывает
х0 степеней между 0 и 0'. Другие результаты, сформулированные,
но не доказанные в гл. 10, дают нам дальнейшие сведения. Теорема
Сакса о плотности множества рекурсивно перечислимых степеней

330 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(см. § 10.3) утверждает, что существуют плотные цепи степеней
между 0 и 0'. (Релятивизация результата Мучника — Фридберга
показывает, что для любого А существуют несравнимые рекурсив-
рекурсивно перечислимые относительно А множества. Поэтому, какова бы
ни была степень а, между а и а' существуют несравнимые степени.
Следствие 10-III и результат Сакса также допускают подобную
релятивизацию.) В дальнейшем мы будем опираться только на
доказанные в предыдущих главах результаты. Так, в § 13.4 мы
докажем, что между ОиО' существуют плотные цепи. Приводимое
доказательство (принадлежащее Клики и Посту) проще, чем
доказательство теоремы Сакса, поскольку теперь мы не требуем,
чтобы строящиеся степени были рекурсивно перечислимыми.
Можно определить операцию скачка и с бесконечным показа-
показателем.
Определение. Л((й) = {(х, у) \ х ? А<У}}. Л(ш) называется ш-
скачком, или а-пополнением множества А.
Очевидно, при любом п А<п> <4 А(а) и А(а) *?тА<П). Сле-
Следующая теорема показывает, что ш-скачок определен корректно
и на степенях.
Теорема П. А <ТЯ => А(а) <t Я(ю).
Доказательство. Пусть А ^тВ. По следствию I
можем найти такую общерекурсивную g, что AiV) 1-сводится
к BiV+1) функцией <Pg(y). Поэтому имеем
(х, у)еaw <^^еа^<^<рЙ(я)(х) ея<у+1><=>
<=> (<p8la)(x), г/ + 1>€5(ш). .
Полагая f((x, y))= (q>g(y)(x), у + 1), получим, что / 1-сво-
дит Aw к Bw.9
Обратное ж теореме II утверждение опровергается, если,
например, взять А и В = А(П) для некоторого п > 0. По теоре-
теореме II, Л(ю) <i Я(ю). Но {х, у) 6 5(ш)<^>х€5(у><=>^€^(П+У)<^>
<^> (х, п + у) 6 А(а). Значит, ВЫ) <4 А(а). Поэтому Я(ю) = А(а\
хотя В Ф?А.
Определение. Будем говорить, что а(ш) есть (однозначно опре-
определенная) степень множества Л(ю\ где А — произвольное мно-
множество из а.
(Заметим, что для всякой степени а ниже a(<°> находится беско-
бесконечная цепь степеней.)
Теорема III (Шёнфильд, К лини, Пост). Существуют несчетные
цепи степеней.
Доказательство. По лемме Цорна (упр. 12-11) суще-
существует максимальная цепь степеней. У этой цепи не может быть
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА 331
наибольшего элемента, так как в противном случае с помощью
скачка такого элемента можно было бы построить более длинную
цепь. Предположим, что эта цепь счетная; пусть тогда а0, а4,
а2, ... — последовательность степеней, конфинальная нашей
цепи. Пусть А0, Аи ... — такая последовательность множеств,
что (Vi)Wi 6 а,]. Тогда В = {{х, у) \ х 6 Ау} больше (по своди-
сводимости) всех членов этой последовательности, а потому его степень
Ь больше всех элементов нашей цепи, что противоречит предпо-
предположению о максимальности цепи.в
Следствие III. Над всякой степенью а существует несчетная
цепь степеней. Всякая максимальная цепь степеней несчетна.
Доказательство очевидно. 9
Следующее понятие будет более подробно изучено в гл. 14.
Определение. Множество А называется арифметическим отно-
относительно В, если А ^т-В<П) при некотором п. Множество А назы-
называется арифметическим, если А — арифметическое относитель-
относительно 0.
Эти понятия определены и на степенях, поскольку оператор
скачка корректно определен на степенях. Будем говорить поэтому,
что а — арифметическая степень, если а ^ 0<71) при некотором п,
и что а — арифметическая относительно Ъ степень, если а ^ Ь<П)
при некотором п. Мы увидим (в гл. 14), что арифметические мно-
множества — это в точности множества, определимые в элементарной
арифметике, и что 0<ю) рекурсивно изоморфно множеству всех
истинных высказываний элементарной арифметики. Ясно, что
если А арифметично относительно В, то Л(ю) ^4 2?(ю) (см.
упр. 13-9). (С помощью методов Коэна Сакс показал, что обратная
импликация неверна.) Назовем а арифметически эквивалентной Ь,
если а — арифметическая относительно Ь, а Ь — арифметическая от-
относительно а. Легко видеть, что отношение „быть арифметическим
относительно" рефлексивно и транзитивно (упр. 13-10), а потому
арифметическая эквивалентность есть отношение эквивалентности
(и мы можем говорить о классах эквивалентности как о „степе-
„степенях"). Пусть степени а и b арифметически эквивалентны; обяза-
обязательно ли существуют такие тип, что а<т> = Ь(П)? Мартин
и Лахлан показали, что это, вообще говоря, не так (см. § 13.8).
Как далеко по трансфинитам можно продолжить операцию
скачка? Можно попытаться следующим образом обобщить построе-
построение множества А^а\ Пусть Р = а + 1 и Л(а) уже определено;
положим А^ = (А^у. Если же у — счетный предельный транс-
финит, то пусть {Р„} f такова, что Нт рп =у, и пусть А{?>п) опре-
делены при всех п. Положим
= {(х, у) | х 6
При

332 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
таком способе, однако, степень множества А определяется
некорректно (см. упр. 13-8). Чтобы избежать этой трудности при
определении А^\ следует ограничиться эффективными, в некото-
некотором смысле, последовательностями ординалов. Поэтому изучение
итераций скачка тесно связано с изучением конструктивных
ординалов. Мы рассмотрим эту связь подробнее в гл. 16.
Основным предметом изучения в этой главе является структура
степеней с отношением ^ и операциями ' и и (л в меньшей мере
с отношением „быть рекурсивно перечислимым относительно" ж
операцией <-а^). Удобно ввести некоторые вспомогательные поня-
понятия и обозначения.
1. Нам будет удобнее работать с характеристическими функция-
функциями множеств, а не с самими множествами. Напомним, что (по
теореме 9-VII) для любых А и В
А рекурсивно относительно
относительно св
рекурсивно
А рекурсивно относительно т(св)
и что первая эквивалентность выполняется равномерно в каждом
направлении (вторая эквивалентность справедлива по определе-
определению). Будем пользоваться обозначением ср? для сокращенной
записи функции ф|(/).
2. Всякая функция с рекурсивной областью определения будет
называться сегментом. (В частности, сегментом является каждая
всюду определенная функция.) В отличие от предшествующих
разделов мы будем употреблять символы /, g, h, . . . для обозна-
обозначения сегментов (не обязательно всюду определенных). Если / —
сегмент и область определения / есть 0 или {0, 1, . . ., п} для
некоторого п., то / называется начальным сегментом. Наименьшее
число, не принадлежащее области определения начального сегмен-
сегмента, называется длиной- этого сегмента. Если fug — сегменты
и / тэ g, то назовем / продолжением сегмента g. В приводимых
ниже доказательствах, если не оговорено противное, предпола-
предполагается, что значения всех сегментов принадлежат {О, 1}. Если
f — сегмент, то cpfz — сокращенное обозначение функции ф|(^-
Всякий начальный сегмент является финитным объектом. Когда
мы говорим, что знаем (или можем вычислить) некоторый началь-
начальный сегмент /, то имеем в виду, что знаем (или можем вычислить)
канонический индекс для т(/).
3. Введем следующее специальное обозначение (здесь / —
сегмент):
<pfz(x), если все вопросы относительно /,
заданные в процессе вычисления
. . i (с индексом z), касаются значе-
Ф2 w = ' ний аргументов, для которых /
определена;
расходится в противном случае.
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА 333
Более формально,
ф(х) = у <=>j^u)C
& Д, с т(/) &
(x, у, и, v) 6 WpM&Du
т(/) &
, у' > 6
Если <р[Щх) = у, то и для любого g, продолжающего /, <$,8Цх) = У-
Заметим, что для начальных сегментов / отношение <р[Щх) = у
рекурсивно перечислимо, как отношение между /, х, у и z
(где / представлено каноническим индексом для т(/)), т. е.
{(и, х, у, z) \ C/)[/ — начальный сегмент и Du = т(/) & (р[Щх)=
= у]} рекурсивно перечислимо (по второй теореме о проекции).
Пусть WW обозначает область определения функции <pW.
Во многих доказательствах будет встречаться построение всю-
всюду определенной функции как объединения цепи сегментов.
(Такой общий подход к проблемам, касающимся степеней, был
впервые применен Клини и Постом [19541.) Доказательство Фрид-
берга теоремы 10-III можно рассматривать как построение двух
всюду определенных функций с помощью начальных сегментов.
(В теореме 10-III мы не пользовались понятием сегмента главным
образом для того, чтобы с помощью привычной терминологии
подчеркнуть рекурсивную перечислимость строящихся множеств.)
Если отказаться от требования рекурсивной перечислимости,
то доказательство Фридберга значительно упрощается (так как
допускаются неконструктивные шаги). Мы приведем это более
простое доказательство, чтобы продемонстрировать применение
сегментной техники.
Теорема IV (Клини, Пост, Фридберг). Существуют такие
множества А и В, что А не рекурсивно перечислимо относитель-
относительно В, а В не рекурсивно перечислимо относительно А.
Доказательство. Определим две цепи начальных
сегментов: /0, Д, ... и g0, gu . . . . Функция / = у ft будет сА,
i
a g = U gi будет сБ х). Построение произведем по этапам.
г
Этап 0. Положим /0 = g0 = 0-
Этап In + 1. Пусть т = In. Пусть хт — длина сегмента
/т. Проверим, существует ли^вачальный сегмент g, продолжаю-
продолжающий gm, для которого хт 6 W\f]. (Эта операция неконструктивна.)
Если да, то полагаем fm+i =/m (J {(xm, 0)} и gm+1 =~g. Если
нет, положим /m+1=/m (j {{xm, 1)}, a gm+1 = gm. (Таким
Мы сокращаем запись U ft до U ft.
iu i

334 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
образом, на этапе 2п + 1 мы добиваемся, что для определяемой
функции g хт?А <=> хт $ Wi.)
Этап In + 2. Пусть щ = 2п + 1. Определение этапа In + 2
получается из определения этапа 2п + 1, если символы / и g
(с индексами или без) всюду поменять местами.
Положим / = U ft, g = U gu Л = {х | /(ж) = 1} и J5 =
i i
= {х\ g(x) = i}. Из построения следует, что для всех п A ф-W п
и Вф\У1л
(В § 13.2 мы увидим, что построенные выше множества А я В
рекурсивны относительно О'.)
Следующая теорема Шёнфильда [19601 дает новую важную
информацию об упорядочении степени и в то же время служит
новым примером использования сегментной техники.
Теорема V (Шёнфильд, Клини, Пост). Существует несчетное
множество попарно не сравнимых степеней,
Доказательство. Из леммы Цорна следует, что суще-
существует максимальное множество попарно не сравнимых нерекур-
нерекурсивных степеней. Достаточно доказать, что это множество не-
неможет быть конечным или счетным. Это вытекает из следующей
леммы.
Лемма. Пусть Ао, Аъ . . ., Ап, ... — произвольная после-
последовательность нерекурсивных множеств. Тогда существует такое
множество В, что при всяком п множества В и Ап несравнимы.
Дока зательство леммы. Определим характери-
характеристическую функцию / множества В с помощью цепи начальных
сегментов. Построение происходит по этапам.
Этап 0. Положим /0 = 0.
Этап 2п + 1. Пусть т = 2п. Возьмем такие у и z, что п =
= (у, z). Пусть хт — длина сегмента fm. Проверим, выполняется
ли равенство (pfy(xm) = 0. Если да, полагаем
fm+i =/mU {(Xm, 1)}.
Если нет, то положим fm+\ = fm\] {{хт, 0)}. (На этом этапе-
мы добиваемся, чтобы / Ф ф^и для определяемой нами функции /.)
Этап 2п + 2. Пусть т = 2п + 1, п = (у, zj. Проверим?
существуют ли такие число х и начальный сегмент /, продолжаю-
продолжающий fm, что фИ(#) определено и не равно cav(x). Если да, поло-
положим /га+1 ==/• Если нет, положим /га+1 =/га. (Этот этап обеспе-
обеспечивает выполнение соотношения сАу Ф- ф?. Ясно, что это так,.
§ 13.1. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА 335
если такой сегмент / существует. Если же такого / нет, то для всех
продолжений / сегмента /т имеем_ ф^ с сАу. Поэтому- Е =
= {{и, у) | C начальный сегмент /) [fm <zz f & ц>\^{и) = v]} <zz
(zz сАу. Если сАу == ф^ для некоторого веюду определенного про-
должения / сегмента fm, то рекурсивно перечислимое множество Е
совпадает с сАу; но тогда сАу — рекурсивная функция, что про-
противоречит предположению о нерекурсивности Ау.)
Положим / = и/г и В = {х | }(х) = 1}. Мы убедились, что
при всех у множество В не рекурсивно относительно Ау, а Ау не
рекурсивно относительно В. Этим заканчивается доказательство
леммы, а вместе с ней и теоремы. в
. Следствие V. Для всякой степени а > 0 существует несчетное
множество степеней, не сравнимых с а.
Доказательство очевидно.щ
Заключительные замечания
Назовем некоторое свойство степеней, или операцию на степе-
степенях, теоретико-порядковым, если оно инвариантно относительно
всех автоморфизмов упорядочения степеней (см. обсуждение
в § 12.1). Степень 0 и операция ы, очевидно, являются теоретико-
порядковыми. Не известно, являются ли таковыми операция
скачка и отношение „быть рекурсивно перечислимым относительно".
Не известно по существу, обладает ли упорядочение степеней
нетривиальными автоморфизмами. (Рекурсивные преобразования
индуцируют только тождественный автоморфизм.) Открытыми
являются также следующие проблемы однородности: A). Верно ли,
что для всякой степени а Существует изоморфизм между упоря-
упорядочением всех степеней и упорядочением степеней, ограниченным
множеством {Ь | а ^ Ь} ? B) Верно ли, что для всякой степени а
существует изоморфизм описанного в A) вида, сохраняющий опе-
операцию скачка и отношение „быть рекурсивно перечислимым отно-
относительно'1? х) При изучении дальнейших теорем и упражнений
читатель заметит, что утвердительный ответ на вопрос B) значи-
значительно упростил бы существующие доказательства. Различные
„релятивизованные" формы теорем сделались бы непосредствен-
непосредственными следствиями их простейших, нерелятивизованных вариан-
вариантов.
1) Ф е й н е р Л. (F e i n е г L., The strong homogeneity conjecture,
Journ. symb. logic, 35 A970), № 3, 375—377) получил отрицательное решение
проблемы B). Он показал, что {d | 0 s? d ^ 0"} и {d | 0<6> s? d ^ 0<8'}
не изоморфны.— Прим. перев.

336 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
§ 13.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТЕПЕНИ
Уясним теперь значение степеней 0, 0' и О" (а также степеней
а' и а" для произвольной степени а) и укажем некоторые типич-
типичные множества, принадлежащие этим степеням.
Степень О
По определению это степень всех рекурсивных множеств.
Она содержит множества 0 и N в качестве своих членов и являет-
является наименьшей в упорядочении степеней. Мы часто пользуемся
множеством 0 как представителем этой степени!
Степень 0 '
По определению это степень множества 0'. Ей принадлежит
множество К. (На самом деле 0'= К, потому что по теореме I
0' должно быть полным относительно 1-сводимости.) В 0' входят
также множества К, {х \ Wx = 0} и {х \WX Ф 0}. Рекурсив-
Рекурсивный изоморфизм между {х \ Wx = 0} и К (а потому и между
{х | Wx Ф 0} и К) вытекает в силу теоремы 7-VI из упр. 7-12.
Степень 0' есть степень проблемы остановки. Вычислительная
процедура рекурсивна относительно 0' (т. е. рекурсивна относи-
относительно 0'), если она эффективна во всем, кроме требования решать
в отдельных явно заданных случаях проблему остановки, т. е.
требует ответа на вопрос, произойдет ли некоторое точно описан-
описанное (и эффективно распознаваемое) событие хотя бы однажды
по ходу некоторого эффективного вычисления. Рассмотрим, напри-
например, осуществленное при доказательстве теоремы IV построение
множеств А чи В, ни одно из которых не является рекурсивно
перечислимым относительно другого. На Bп + 1)-м этапе зада-
задавался вопрос: существует ли продолжающий gm начальный сег-
сегмент ~g, для которого хт 6 Wig]? Если сегмент gm задан, то сово-
совокупность всех таких продолжений рекурсивно перечислима
с р. п. индексом, равномерно зависящим от gm, xm и п. Таким
образом, чтобы ответить на поставленный вопрос, требуется
решить для некоторого явно заданного частного случая пробле-
проблему остановки. Подобный вопрос возникает и на этапе 2п + 2. Поми-
Помимо этих вопросов описанная процедура полностью эффективна.
(Например, на этапе 2п + 1, если известно, что ответ на упоми-
упоминавшийся вопрос — положительный, продолжение g с нужными
свойствами может быть найдено с помощью эффективного поиска.)
Отсюда следует, что функции / и g рекурсивны относительно О'.
Итак, мы получили следующее
§ 13.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТЕПЕНИ 337
Следствие IV. (а) Существуют такие множества А и В, что
А <;т К, В ^т К, множество А не рекурсивно перечислимо отно-
относительно В и множество В не рекурсивно перечислимо относитель-
относительно А.
(Ь) Существуют такие степени а и Ь, что 0 < а < 0' 0 <:
< Ь < 0' и а | Ь. •
Доказательство. Пункт (а) доказан выше. Для дока-
доказательства (Ь) возьмем в качестве а и Ь степени множеств А я В
соответственно. Так как для любых А и В имеет место А ^т В =>-
=>- А рекурсивно перечислимо относительно В, а и Ь должны быть
несравнимыми и отличными от 0 и О'.и
(Можно, конечно, получить теорему IV и следствие IV как
следствия из теоремы 10-Ш; непосредственное обращение этой
дедукции, однако, невозможно, потому что, как мы покажем
в § 13.3, не всякая меньшая 0' степень содержит рекурсивно пере-
перечислимое множество.)
Степень а'
Интуитивный смысл степени а' аналогичен смыслу, присущему
степени 0'. Вычислительная процедура рекурсивна относитель-
относительно а', если она эффективна во всем, кроме необходимости решать
некоторые частные случаи (релятивизованной) проблемы оста-
остановки для рекурсивных относительно множества А процедур,
где А — некоторое множество из а. Проиллюстрируем сказанное
доказательством следующей теоремы.
Теорема VI (Клини, Пост). (Va)[0 < а =ф- (ЭЬ)[Ь | а & Ь < а']].
Доказательство. Проводимое построение сходно
с построением из теоремы V. Пусть Лба. Мы построим функцию
/ с помощью начальных сегментов /0, А, . . .; b будет степенью
множества с характеристической функцией /.
Этап 0. Положим /0 = 0.
Этап 2и + 1. Пусть т = 2п, хт г- длина сегмента fm.
Проверим, выполняется ли равенство (р^ (хт) = 0. Если да, то
положим /m+i = /m [) {(хт, 1)}. Если нет, положим
. ' /m + l=/m U {<*т
Этап 2и + 2. Пусть т= 2п + 1. Проверим, существуют ли
такие число х и продолжающий fm начальный сегмент J, что
уЦЦх) определено и не совпадает с сА(х). Если да, то положим
/m+i =/• Если нет, то /га+1 =/т.
22—0506

338 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Положим /=. U /г и В = {х | f{x) = 1}. Точно так же, как
г
в теореме V, построение гарантирует, что множество В не рекур-
рекурсивно относительно А, а множество А не рекурсивно относитель-
относительно В. Поэтому а | Ь, где b — степень множества В. Заданный
на этапе 2/1 + 1 вопрос является частным случаем проблемы
остановки для процедур, рекурсивных относительно А. Что
касается этапа 2п + 2, то совокупность пар (х, /), обладающих
требуемыми свойствами, рекурсивно перечислима относительно
множества А; следовательно, возникший там вопрос есть частный
случай проблемы остановки для рекурсивных относительно мно-
множества А процедур. Поэтому имеем В ^.j А' я, значит, b ^ а'.
Так как a J Ь, получаем Ь<а'.в
Следствие VI. Между О и О" существуют степени, не сравни-
сравнимые с О'.
Доказательство. Возьмем степ°чь 0' в качестве а
в предыдущей теореме, р
Степень a'ub'
Если некоторое вычисление эффективно во всем, кроме требо-"
вания отвечать на вопросы, являющиеся либо частными случаями
проблемы остановки для процедур, рекурсивных относительно
некоторого фиксированного множества А 6 а, либо частными
случаями этой проблемы для процедур, рекурсивных относительно
некоторого фиксированного множества В ? Ь, то такое вычисление,
очевидно, рекурсивно относительно степени а' и Ь'. Мы увидим,
однако, что вычисление, использующее проблему остановки для
процедур, рекурсивных относительно некоторого множества С ?
6 a kj Ь, не4 обязательно рекурсивно относительно степени a' ^J
U Ь'. (В теореме X строятся такие, степени а и Ь, что a'ub'<
< (а О Ь)'.)
Теорема VI допускает следующую релятивизацию. Приводимое
ниже доказательство иллюстрирует часто используемый прием,
с помощью которого строящаяся степень помещается над некото-
некоторой заранее заданной степенью.
Теорема VII (Клини, Пост). Для любых степеней а и d
d < a => (ЭЬ)[Ь | а & d < Ь < а'].
Доказательство. Пусть А 6 а и D 6 d. Построение
проводится так же, как в теореме VI, с той лишь разницей,
что /о, /i, • • . — теперь не начальные сегменты, а берутся
из совокупности всех так называемых специальных сегментов
§ 13.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТЕПЕНИ 339
/, область определения которых есть либо- Bх I x 6 N), либо
{2х | х б N} U {0, 1, . . ., п}.
Этап 0. Сегмент /0 определяется равенствами
/оBж) = cD (х),
foBx + 1) не определено.
Этап 2п + 1. Все происходит так же, как в теореме VI,
только теперь хт — наименьшее из чисел, где fm не определена.
Этап 2п + 2. Аналогично теореме VI, за исключением
того, что / — специальный, а не начальный сегмент.
Пусть / = U ft, В = {х | f(x) = 1} и Ь — степень множества
В. Как и прежде, b | а. Нулевой этап рекурсивен относительно
степени d. Этапы 2п + 1 и 2п + 2 во всем рекурсивны относитель-
относительно d, кроме необходимости решать в отдельных случаях пробле-
проблему остановки для процедур, рекурсивных относительно степени
a U d. (На этапе 2п -\- 2 мы на самом деле ищем конечный сегмент,
добавление которого к /2n+i приводит к образованию сегмента /.)
Поэтому b ^ d и (а и d)'. Но поскольку d < а, имеет место
du(aud)' = dua'= а'. Значит, b < а'. А так как b | а,
то Ь< а'.и
Степень О"
По определению это степень множества 0", а потому и мно-
множества К'. Как мы сейчас покажем, она содержит также множе-
множества {х | фх всюду определена) и {х j Wx бесконечно).
Теорема VIII. К' = 0" = {х | фж всюду определена) =
= {х I Wx бесконечно).
Доказательство. Утверждение К'= 0" вытекает из
теоремы I, так как К 6 0' и 0' 6 0'.
В конце § 7.4 мы отменили, что {х \ ц>х всюду определена) =
= {х I Wx бесконечно).
Остается показать, что {х \ фх всюду определена) = К'. Снача-
Сначала заметим, что {х \ фж не всюду определена) = {z \ Cx)[<pz(x) не
определено]). В силу релятивизованной теоремы о проекции это
множество рекурсивно перечислимо относительно множества К
(так как {(х, г)|фг(;г) не определено) рекурсивно относительно
множества К); а потому по теореме I {x \ ц>х не всюду определена) ^
^i К'.
Поскольку К' рекурсивно перечислимо относительно множе-
множества К, имеем К' = Wf0 для некоторого z0. Поэтому К' =
= {х | (ly)Cu)Cv)[(x, у, и, v) e WpUo) &Ducz К &Dv
К]}.
22*

340 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Пусть х задано. Определим функцию i|> следующим образом.
Чтобы вычислить 'ф(ш), проверяем, выполняется ли условие
(Эг/)(Эи)(Зу)[ (х, у, и, v) оказывается в Wp(Zo) на w-м шаге пере-
перечисления множества WP(Zo)l; если нет, то полагаем г|з(ш) = w,
если да, рассматриваем те {х, у, и, v), которые оказались
в JFp(Zo) на w-м шаге и для которых все элементы множества Du
оказываются в К на w-u шаге перечисления множества К; если
таких нет, полагаем ty(w) = w; если же такие элементы найдутся,
начинаем перечислять множество К, и когда (если это случится)
будет показано, что для всех таких (х, у, и, v) имеет место
Dv П Кф 0, полагаем ty{w) = w; в противном случае ty(w)
не определено.
Построенная функция ty частичнорекурсивна, причем существу-
существует такая взаимно однозначная общерекурсивная функция /, что
фу(ж) =г|з. Из определения а|э следует также (как может проверить
читатель, см. упр. 13-15), что x?Kf <=>Cю) [ty(iv) не определено].
Поэтому х ? К' <=>/ (х) ? {х | фж не всюду определена), и мы полу-
получаем К' ^С1 {х | фх не всюду определена).
Значит, К' == {х | фж всюду определена), чем и заканчивается
доказательство.Л
Теорема VIII проясняет интуитивный смысл степени 0".
Вычислительная процедура рекурсивна относительно 0" тогда
и только тогда, когда она эффективна во всем, кроме необходимо-
необходимости получать ответы на вопросы о том, встречается ли некоторое
известное (и эффективно распознаваемое) событие бесконечно
много раз по ходу некоторого эффективного вычисления. Напри-
Например, множество Wx бесконечно тогда и только тогда, когда собы-
событие „что-то появилось на выходе" происходит бесконечно много
раз в процессе перечисления множества Wx без повторений;
функция фж всюду определена тогда и только тогда, когда собы-
событие „теперь функция фж определена на большем начальном сегмен-
сегменте"' осуществляется бесконечное число раз по ходу одновременного
вычисления значений фж@), фжA), ....
Степень а"
Подобно предыдущему, вычислительная процедура рекурсивна
относительно степени а" тогда и только тогда, когда она эффектив-
эффективна во всем, кроме необходимости получать ответы на вопросы,
осуществляется ли некоторое определенное (и эффективно рас-
распознаваемое) событие бесконечно много раз по ходу некоторого
вычисления, рекурсивного относительно фиксированного множе-
множества А 6 а.
В гл. 14 описанные только что результаты будут обобщены
и будут указаны более экономные методы для проведения дока-
доказательств, подобных доказательству теоремы VIII.
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА 341
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА
Как распределены полные степени в( упорядочении степеней?
Обязательно ли а =-Ь, если а' = Ь'?. Верно ли, что (а и Ь)' =
=.»' и Ь'? На эти вопросы и другие, с ними связанные, ответят
приводимые ниже теоремы.
Поскольку для всякой степени а имеем 0 ^ а, из теоремы I
вытекает, что всякая полная степень больше или равна 0'. Верно
ли обратное, т. е. всякий ли элемент несчетной совокупности
{а |0'^а} есть полная степень? Следующая теорема Фридберга
И957а1 показывает, что это так.
Теорема IX (Фридберг). (Va)tO'< а =^ Cb)lb' = all.
Доказательство. На языке множеств теорема означа-
означает, что (VA)\X^.rA=>CB)[B'=srAW. Пусть дано такое мно-
множество А, что К ^Ст А, и положим g = сА. Построим функцию /
с помощью начальных сегментов /0, Д, ... следующим образом.
Этап 0. Положим /0 = 0.
Этап 71 + 1- Проверим, определено ли уУЦп) хотя бы для
одного начального сегмента /, продолжающего fn. Если да, то
пусть /* — первое' из таких продолжений (при эффективном пере-
перечислении всех таких продолжений, получающемся из множества
Wp(n) (пункт 3 на стр. 332)). Если нет, то пусть /* = /„. В обоих
случаях обозначим через хп длину сегмента /* и положим /п+1 =
= /*U «*п, *(*)».
Пусть / = и /г и В = {х | fix) = 1}. Остается проверить,
что В' =т А. •
(i) Если множество А задано 1), то можно вычислять значения
функции g, так как g — сЛ. Если множество А задано, то можно
также решать в конкретных случаях проблему остановки, так как
К ^т А. Поэтому если А задано, то можно на каждом этапе
выяснить, существует ли продолжение / с желаемыми свойствами.
Поэтому можно восстановить сегменты /0, Д, . . ., проверяя по-
попутно принадлежность натуральных чисел множеству {п \ суще-
существование сегмента/ установлено на этапе п + 1}. Но по построе-
построению последнее множество есть в точности
{х | (ffx{x) определено) = (т(/))'.
г) Говоря, что А задано, автор имеет в виду, что мы располагаем вообра-
воображаемой возможностью вычислять произвольные значения функции сА.
Все остальные процедуры, о возможности осуществления которых говорится
ниже, рекурсивны относительно множества А и потому становятся вычислимы-
вычислимыми при сделанном предположении. — Прим. перев.

342 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Значит, (т(/))' ^т А. А так как В' = (т(/))' (поскольку В ==т
=т /), имеем В' ^т А.
(ii) Обратно, если задано множество В', мы можем вычислять
значения функции / = св (так как В ^ В'), а также решать
частные случаи проблемы остановки (так как К ^i Bf по теоре-
теореме I). Поэтому мы можем восстанавливать начальные сегменты
функции, пользуясь тем, что мы умеем решать проблему остановки
для проверки на каждом этапе существования продолжения /
с требуемыми свойствами. Но gin) есть последнее значение в сег-
сегменте fn+i- Поэтому, располагая множеством В', мы можем вычис-
вычислять функцию g. Так как g = сА, имеем А ^т В'.
Из (i) и (ii) вытекает, что А =т В'.ш
Приведенное доказательство содержит дополнительную инфор-
информацию, которую мы представим в виде следствия.
Следствие IX (a). (Va)Cb)lb' =ЬиО' = аи 0'1.
Доказательство. Пусть дано множество А и g = сл.
Построим функцию / и множество В, как в доказательстве теоремы.
Пункт (i) доказательства теоремы показывает, что В' рекурсивно
относительно множеств А я К; значит, Ь' ^ а и 0'. Пункт (ii)
показывает, что А рекурсивно относительно множеств В и К',
поэтому а ^ b и 0', а значит, и а и 0' ^ b U 0'. Поскольку
Ь ^ Ь' и О'^С Ь', получаем ЬиО' < Ь'. Таким образом, b' ^
^ а и 0' ^ b U 0' ^ Ь', а потому все эти степени равны.я
Следствие IX (Ь) (Спектор, Шёнфильд).
(i) (ЭЬ)(ЭсIЬ]с &с' = Ь'1;
(ii) (ЗЬ)(ЗсIЬ I с & с' < Ь'1.
Доказательство, (i) Применим следствие IX (а) при
8 = 0". Тогда
b'=fl" = bu 0'.
Поэтому ЬиО'^Ьи Ьи0'#0'. Значит, Ь | 0', Ь' = @')'
и (i) выполняется при 0 = 0'.
(ii) Применим следствие IX (а) при а = 0///. Тогда Ь'=0"',
но, как и в (i), b | 0'. Поэтому (ii) выполняется при с = 0'.и
Пункт (i) показывает, что оператор скачка не взаимно одно-
однозначен на степенях (см. также упр. 13-19). Отметим между прочим,
что из доказательства следствия IX (Ь) вытекает следствие VI
и что следствие IX (Ь) опровергает предположение, будто а' ^
^J b' =4» a ^J b (являющееся обращением выведенного из теоремы I
основного соотношения, о котором упоминалось после следствия I).
Поставим теперь еще четыре вопроса.
1. Какие из возможностей а < Ь, а = b, b < а, а | b осу-
осуществимы, если а' = Ь' ?
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ. И МЕРА 343
2. Какие из этих соотношений между а и b возможны, если
а' < Ь'?
3. Какие из трех соотношений a'=b'<a", а'<Ь'<а",
а' < Ь' = а" могут выполняться, если а < b < a'?
4. Обязательно ли a' u b' = (a \j b)'?
Что касается первого вопроса, то, очевидно, возможно а = Ь;
в силу следствия IX возможно также а | Ь.
Ни а = Ь, ни Ь < а в условиях вопроса 2 не могут выполнять-
выполняться (по теореме I). Соотношение а < b возможно, например, при
b = а'. Осуществимость а | b показана в следствии IX. Таким
образом, вопрос 2 полностью разобран.
Следующая теорема Спектора 119561 исчерпывает вопрос 1,
отвечает на вопрос 4 и частично на 3. (Пункт (i) следствия IX (Ь)
впервые был получен как следствие этой теоремы.)
Теорема X (Спектор). (Эа)(ЭЬ)[а' <aub&b'<aub&
&а<0'&Ь<0'].
Доказательство. Построим с помощью начальных
сегментов две функции fug. Они будут характеристическими
функциями, а а и b — степенями множеств А и В соответственно.
При каждом п сегменты fn и gn будут иметь одну и ту же длину.
Этап 0. Пол.ожим f0 = g0^ 0.
Этап 2п + 1. Пусть т = 2п. По предположению индукции
•сегменты fm и gm имеют одну и ту же длину. Проверим, существует
ли такой начальный сегмент /, продолжающий /т, что <рЦ1(п)
определено. Если да, то пусть / — первое такое продолжение
"(в процессе их перечисления с помощью множества И^п.)) и пусть
р — длина сегмента /. Положим
/m+i=/~U 1<Р, 1», •
gm + l=gm U (F-fm) U {(Р, 0>}.
Сегменты fm+l и gm+i снова имеют одинаковую длину. Если же
желаемого продолжения / не существует, то пусть р — длина
сегмента /т. Положим в этом случае
/m + l=/m U {<Р,
gm+1 =gm U {(Р,
Этап In + 2. Пусть т = In + 1. На шаге In + 2 делается
то же, что и на шаге In + 1, только символы / и g (с индексами
или без) всюду меняются местами-
Положим /=y/t, g = U gi, A = {x\f(x) = i) и В =
г г
= {х | g(x) = 1}. Пусть аи b — степени множеств А я В соот-
соответственно.

344 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
При построении функции / *) мы нуждались только в решении
частных случаев проблемы остановки, чтобы выяснить, пригодно
ли то или иное продолжение /, и затем вычислить функции f ж g.
Поэтому а ^ О' и b ^ 0'. Пусть х0, хи ... — элементы множе-
множества {х | f(x) Ф g(x)}, перечисленные в порядке возрастания.
Тогда {х | ц>х(х) сходится} = {п | f(x2n) = !}• Поэтому, если даны
функции fug, мы можем разрешать множество (т(/))'. Значит^
а' ^ а и Ь. Аналогично доказывается, что Ь' ^ а и Ь.а
Следствие X (а).
= 0' & а < 0' & Ь < 0' & а | Ы.
Доказательство. Любые а и Ь, удовлетворяющие
теореме, обязательно обладают и сформулированными в следствии
свойствами. и
Следствие X (а) дает отрицательный ответ на вопрос 4, так как
a'ub' = aub<(au Ь)'.
Отрицательный ответ на этот вопрос выводится также и и»
следствия IX (а); с другой стороны, возможна и ситуация, когда
а | b и a'ub' = (aub)' (см. упр. 13-20). Следствие X (а) дает
исчерпывающий ответ на вопрос 1, поскольку обнаруживается,
что остававшиеся возможности а < b и b < а реализуются (так
как 0 < а, и 0' = а' в следствии). Оно же показывает, что осуще-
осуществима и первая возможность из вопроса 3 (так как 0 < а < (К
и 0' —а'<0"). Шёнфильд показал (см. § 13.8), что и другие
две возможности реализуются. Следствие X (а) дает также новое-
и более прямое доказательство пункта (i) из следствия IX (Ь).
Теорема X и следствие X допускают также следующую реля-
релятивизацию.
Следствие X (Ь). (Vd)Ca)Cb)[a' ub' = aub = a'=b' =
= d'&d<a<d'&d<b< d'l.
Доказательство. См. упр. 13-22.я
Из следствия X (Ь) получается еще одно
Следствие X (с). 0' < с =>¦ с есть наименьшая верхняя грань
множества всех степеней, меньших с.
Доказательство. Если 0' < с, то по теореме IX
с = d' для некоторого d. Возьмем а и Ь, обладающие свойствами,
сформулированными в следствии X (Ь). Тогда а < d', b < d' и
aub = А'.ш
А также и g. — Прим. перев.
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА 345
Рассмотрим счетную совокупность степеней {а | а ^ 0'}. Все
ли эти степени рекурсивно перечислимы? Следующая теорема
Шёнфильда [1959] показывает, что это нэ так.
Теорема XI (Шёнфильд). (За)[а < 0' & Dz)[Wx $ а]1.
Доказательство. Введем следующее определение.
Пусть /, g и h — начальные сегменты, а у и z — числа. Скажем,
что выполняется отношение R(f, у, g, z, К), если g cz ф|^ и
и h a (pts]. Заметим, что это отношение рекурсивно перечислимо.
Пусть сх обозначает (до конца доказательства) характеристиче-
характеристическую функцию множества Wx. Определим функцию / с помощью
начальных сегментов /0, /i, .... Мы сделаем это так, чтобы для
каждой пары {у, z) и для каждого х либо сх Ф <р?, либо / ф <р§х.
Затем мы обнаружим, что функция / рекурсивна относительно 0',
и возьмем в качестве а степень функции /.
Этап 0. Положим /0 = 0.
Этап п + 1. Пусть п = {х, у, z). Построим fn+i так, чтобы
для всех продолжений/ сегмента fn+i выполнялось либо ф|Я Zp_ cx,
либо / (? Фгх- Пусть т — длина сегмента fn. Положим /° = fn (J
U {(т, 0>} и f-=fn U {(т, 1».
П о д э т а п (а). Проверим, существуют ли такие начальные
сегменты J и g, что fn cz J и R (f, y, g, z, /°). Если нет, положим
/n+i = /° и перейдем к этапу п + 2. Если да, перейдем к подэтапу
(Ь).
П о д э т а п (Ь). Проверим, существуют ли такие начальные
сегменты/ и g, что fnczf и R (/, у, g, z, f1). Если нет, положим
/n+i = Z1 и перейдем к этапу п + 2. Если да, перейдем к подэта-
подэтапу (с).
П о д э т а п (с). Возьмем такие /°, g°, f и g1, что fn cz /0,
fn с:/1, R (f>, у, go, z, /о) я RQ1, у, g1, z, f1). Так как функции /»
и f- принимают различные значения в точке т, то и функции g<>
и g1 должны различаться при некотором значении аргумента.
Значит, или g°, или g1 отличается от сх при этом значении аргу-
аргумента. Если функция g° отличается в этой точке от сх, то положим
fn+i =J°, в противном случае fn+i —J1.
Положим / = U /;, чем и завершим построение.
г
Для любых х, у и z положим п = (х, у, z). Тогда, если сег-
сегмент /п+1 построен на подэтапе (с) (п + 1)-го этапа, имеем ф^+il q?
(? сх. Если же сегмент /п+1 построен на подэтапе (а) или (Ь)
и ц>у = сХ1 то fn+i ф ф^. Отсюда или сх ф ф/, или / ф ф|*.

346 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Заметим, что построение делается эффективным на каждом
этапе, если допустить, что мы умеем в конкретных случаях решать
проблему остановки (поскольку проверки, производимые в (а)
и (Ь), и вычисление значений сх(и>) сводятся к вопросам о при-
принадлежности некоторого элемента некоторому рекурсивно пере-
перечислимому множеству). Поэтому функция / рекурсивна относитель-
относительно степени 0'. Положим
А = {х \ f(x) = i).
Тогда (Уж) [Wx фтА]. Пусть а — степень множества А. Понятно,
что а г^ 0' и (Уж) [Wx ($ а].в
Релятивизация теоремы XI приводится в упр. 13-23.
Категории
Мы показали, что существует несчетное множество полных
степеней и несчетное же множество неполных степеней. Можно ли
в каком-нибудь разумном смысле сказать, что степеней одного.
вида больше, чем другого? Два понятия из анализа, категории
и меры, могут быть использованы, чтобы ответить на этот вопрос
с различных точек зрения. На полезность этих понятий (при рас-
рассмотрении этого и других вопросов) было указано Майхиллом
[1961а] (в случае категорий) и Саксом (в случае меры; см.
упр. 13-29). Впервые понятие меры в теории эффективной вычисли-
вычислимости использовал Спектор.
Определение. Пусть % — совокупность всех характеристиче-
характеристических функций. Следующим образом определим на % расстояние б:
О, если f — g,
в противном случае.
И* [/(*)=?*(*)] + !
Легко проверяется, что б — метрика на % (см. упр. 13-24).
Поэтому б определяет в % топологию метрического пространства.
Сферические окрестности в ней — это множества вида {/ | /0 с: /},
где /о — некоторый начальный сегмент.
Возможен и другой способ введения топологии на множестве
%. Пусть / = {0, 1}. Тогда % = IN. Введем на множестве /
дискретную топологию, и определим на % = I топологию про-
произведения. Базисными окрестностями будут тогда множества
вида {/ | /о с /}, где /0 — произвольный конечный сегмент (на-
(начальный или нет).
Легко показать, что эти топологии совпадают (упр. 13-24).
Зафиксируем эту топологию для дальнейших рассмотрений.
(Иногда эту топологию называют топологией канторова множе-
множества, потому что 'ё можно канонически отобразить на канторово
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА 347
совершенное множество, и наша топология при этом будет совпа-
совпадать с обычной индуцированной топологией канторова множе-
множества.) Можно определить в "ё и другие естественные топологии
(см. упр. 13-24 и 11-35). Пространство % (с выбранной нами топо-
топологией) иногда называют канторовым пространством. Элементы
множества % мы будем иногда называть точками пространства сё.
Как топологическое пространство % полно (определение и доказа-
доказательство см. в упр. 13-25).
Определение. Подмножество Jh топологического пространства
называется нигде не плотным, если его замыкание не содержит
ни одного непустого открытого множества.
Назовем А множеством первой категории, если <А есть конеч-
конечное или счетное объединение нигде не плотных множеств.
Всякое множество <А, не являющееся множеством первой
категории, называется множеством второй категории.
Из этих определений вытекают очевидные утверждения: счетное
объединение множеств первой категории само есть множество
первой категории; разность множества второй категории и множе-
множества первой категории имеет вторую категорию. Следующий
результат обычно называют теоремой Бэра.
Теорема XII (Бэр).- Всякое полное метрическое пространство
есть множество второй категории\в своей собственной топологии).
Доказательство. См. упр. 13-26.я
Всякая совокупность степеней определяет некоторое подмно-
подмножество в 'ё, именно совокупность характеристических функций
всех множеств из этих степеней. Поэтому понятие категории мож-
можно использовать, чтобы оценить, сколь многочисленны степени
какого-либо определенного вида. ^.Для любой функции / ? 'ё
одноэлементное множество {/} имеет первую категорию. Поэтому
всякая степень (как счетная совокупность точек) есть множество
первой категории, равно как и всякая счетная совокупность степе-
степеней. В частности, {а | а^СО'} — множество первой категории.
Что можно сказать о множествах {а | 0' ^ а} и {а | 0' | а}?
Теорема XIII. (а | 0' ^ а} есть множество первой категории
в канторовом пространстве.
Доказательство. 0' ^J a <=> (ЗА) Cz)L4 6 а & ск =
= ф^]. Мы хотим показать, что Л = {/ I Cz)[cK = ср?]} — множе-
множество первой категории. (В доказательстве мы ограничимся случаем
/ ? 'ё-) Достаточно доказать, что для всякого z множество {/ | ск =
= ц>1} нигде не плотно (так как Jh — счетное объединение таких
множеств). Пусть дано $ = {/ | ск = ц/г}. Допустим, что 38 не
является нигде не плотным. Тогда найдется сферическая окрест-
окрестность E° = {/ | /о с /}, содержащаяся в замыкании множества' $t.

348 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Всякая окрестность, содержащаяся в <$Р, пересекается с 98. Поэто-
Поэтому ск = ф?* Для некоторого продолжения /* сегмента /0 и фМ cz ск
для всякого начального сегмента /, продолжающего /0 (в против-
противном случае Cw)[(pW(u?) ф Ск (w)] и окрестность {/ | / с/} содер-
содержится в <ff, но не пересекается с J?). Значит,
ск = {<*, У)\ 0/)[/о с: /~& фМ(х) = у]};
но в правой части равенства стоит рекурсивно перечислимое отно-
отношение, а потому ск — рекурсивная функция, что противоречит
нерекурсивности множества К. Таким образом, 98 нигде не плотно
и ? — множество первой категории.т
Другое применение приведенного рассуждения содержится
в упр. 13-28.
Следствие XIII. (а) {а | 0' | а} есть множество второй кате-
категории.
(Ь) Для всякого с =/= О {а | а ^ с или с ^ а} есть множество
первой категории, а {а | с | а} — множество второй категории.
Доказательство, (а) очевидно.
(Ь) Любое нерекурсивное множество можно использовать вме-
вместо множества К в доказательстве теоремы.я
Итак, в смысле категорий неполных степеней больше, чем пол-
полных. С помощью следствия XIII (Ь) получается также, как мы
сейчас покажем, простое и непосредственное доказательство леммы
к теореме V.
Следствие XIII (с). Для любой счетной совокупности ? нере-
нерекурсивных степеней существует такая степень Ь, что (Va)[a 6
?А => Ъ\ а].
I.
Доказательство. Пусть а0, ai, . • . — элементы сово-
совокупности Jt. Положим
Лх = {с | с < ая или &х < с}.
В силу следствия XIII (Ь), Дх — множество первой категории.
Поэтому и Л* = U <?х есть множество первой категории. Значит,
X
существует степень, не принадлежащая <?*• В качестве b возьмем
произвольную такую степень. 9
Мера
Иной способ оценки распространенности степеней связан
с понятием меры. Этот способ позволяет использовать терминоло-
терминологию теории вероятностей.
§ 13.3. ПОЛНЫЕ СТЕПЕНИ; КАТЕГОРИИ И МЕРА 349
Мы превратим канторово пространство в пространство с мерой
(определение и свойства меры см. у Халмоша [1950]), определяя
на множестве / равномерно распределенную меру \i (^({0}) =
= ц({1}) = ~о") и вводя затем на 46 меру произведения (которую
мы также обозначим через ц).
Всякое счетное подмножество множества % имеет меру нуль,
а потому всякая степень или счетная совокупность степеней также
имеет меру нуль.
Понятия множества нулевой меры и множества первой категории
независимы. Существует множество первой категории с ненулевой
мерой, а также множество второй категории с нулевой мерой
(см. упр. 13-27).
Утверждению, что подмножество -4 пространства ^ имеет
меру нуль, можно дать следующую вероятностную интерпретацию:
если элемент пространства ^ (т. е. бесконечная последовательность
нулей и единиц) определяется с помощью бесконечной последова-
последовательности независимых испытаний („бросания монеты") с равными
вероятностями двух возможных исходов, то вероятность попада-
попадания этого элемента в Jh равна нулю. Приведем в качестве примера
следующую теорему.
Теорема XIV. {а | 0' ^ а} имеет меру нуль в канторовом
пространстве.
Доказательство. Будем пользоваться вероятностной
терминологией для сокращения некоторых элементарных рас-
рассуждений о мере. Пусть Jk и 98 — измеримые подмножества про-
пространства %. Определим Р[/ 6 Л\ = ц(^)> и назовем эту величину
вероятностью множества jy. Если n(J?) ф 0, положим
PI/ 6 ЛI / б 98\ = \i(d> П 38)l\i{38) и назовем эту величину услов-
условной вероятностью множества Jh при условии 9В.
Предположим, что доказываемое утверждение неверно. Тогда
P[Cz)[cK = ф?]] > 0 v). Поэтому для некоторого z Р[ск = ф?] =
¦= 8 > 0. Возьмем это z, и рассмотрим тождество (справедливое
при любом га)
V\cK = <р>] = П(УхIх < п => ск{х) = <рЦх)]] -Пск =
= ф? | ($Х)[Х < П => СК(Х) = «Й(«)]] = 8.
Так как
П
п=0
= V \ Ск =
^имеем
lim P[(V#)[a; ^ га =$- cK (x) =
= е,
!) Здесь / — некоторая функция степени а, фигурирующей в формули-
формулировке теоремы. — Прим. перев.

350 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
а потому
lim Пск = <р| | (ix)lx < n => ск (х) = <pfx(x)]] = 1.
п-*<х>
Выберем п0 так, чтобы п ~^> п0 =>• Р[сх = ср? | (Ух)[х ^ и =>•
о
=> ск (ж) = фНжI] ^ т • Рассмотрим класс <У всех начальных
сегментов /', для которых
(i) (Уж) [ж < п0 =ф- ск(ж) = ф|/] (#)] и (") ни Для какого более
короткого начального сегмента /" с /' не выполняется
(Ух){х < п0 => ск(х) = ф[/Ч (ж)].
Для произвольного начального сегмента /' определим
Р4(/') = PI/' с /] и Р2(/') = Р[ск = фП /' сг /].
Тогда
b < «о => ск (х) = <pt(z)}] = S Pt(/'),
Р[Ся=ф/]
Р[ск =
2
(х) =
Так как последнее выражение представляет собой среднее взвешен-
ное, найдется такое /* 6 «5е, что Р2 (/*) !> -^- . Рассмотрим теперь
следующие инструкции для вычисления некоторой функции g.
Если задано входное значение х, перечисляйте множество
WP(zy, для каждого его элемента вида (х, у, и, v) вычисляйте
P[Z>U с: т(/) & Dv cz т(/) | /* с: /] (это вычисление элементарно);
назовем каждое такое значение вероятностью потенциального
выхода у; когда для некоторого потенциального выхода у накоплен-
накопленная вероятность превысит -^ » объявите это у значением функции
g(x). з
Так как Р[ск = ц>1 | /* с: /] ^ -^ , функция g всюду опре-
определена и совпадает с ск. Поэтому ск рекурсивна, что противоречит
нерекурсивности множества К.ш
Следствие XIV. (а) Множество {а | а 10'} имеет меру единица.
(Ь) Для всякого с Ф 0 множество {а | а ^ с или с ^ а} имеет
меру нуль, а {а | а | с}. — меру единица.
Доказательство очевидно.я
Таким образом, и в смысле меры (как и в смысле категорий)
неполных степеней больше, чем полных.
§ 13.4. УПОРЯДОЧЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ 351
§ 13.4. УПОРЯДОЧЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
В этом параграфе мы докажем две теоремы об упорядочении
степеней. Они показывают, насколько различно могут быть устрое-
устроены подмножества частично упорядоченного множества степеней.
Первая теорема, принадлежащая Клини и Посту, показывает,
что между степенями 0 и 0' существует цепь степеней, упорядочен-
упорядоченная по типу рациональных чисел. Вторая теорема, также Клини
и Поста, показывает, что упорядочение степеней не есть решетка
и, в частности, что степень О'03) не минимальна среди верхних
граней совокупности всех арифметических степеней.
Теорема XV (Клини, Пост). Существует счетная совокупность
степеней, лежащих между 0 и 0', линейно упорядоченная (упоря-
(упорядочением степеней) по типу рациональных чисел.
Доказательство. Назовем / сегментом двух перемен-
переменных, если / — функция двух переменных с рекурсивной областью
определения. Функция / называется начальным сегментом двух
переменных, если для некоторого т Arg/={(a:, г/)|а;<т
и у <С f*(x)}, где /* — некоторый начальный сегмент (одного
переменного) длины т. Если / и g — сегменты двух переменных
и / :э g, будем называть /продолжением g. Если / — некоторый
(возможно, всюду определенный) сегмент двух переменных, поло-
положим f = lylf(x, у)] и
/<ж> = Uy[f(sx(z), у)],
где sx(z) = z, если z < х, и sx(z) = z + 1, если х ^ z. (Таким
образом, fx — это х-е сечение функции /, а /(Х) есть / с вырезанным
х-м сечением.) Если / — начальный сегмент двух переменных^
то fx и рХ) — начальные сегменты одного и двух переменных соот-
соответственно. Если / — сегмент двух переменных, то ф^ определяет-
определяется так же, как (ранее) определялось ф^/] для сегмента / одного
переменного (см. упр. 13-31).
Доказательство состоит из четырех частей.
1. Построим функцию / двух переменных так, чтобы /х ^т рХ)
при всех х, т. е. чтобы fx Ф ф?(х) (=Фу3(/<:>с)), при всех х и у.
Функция / будет построена как объединение цепи начальных
сегментов /о. /ь • • • •
Этап 0. Положим /0 = 0.
Этап п + 1. Пусть п = (х, у). Пусть также хп — длина
сегмента /*. Мы построим fn+l так, чтобы для всех продолжений /
сегмента fn+i выполнялось fx(xn) Ф ф[/ Чхп)- Это соотношение
гарантирует справедливость fx ф Ц>1 ¦ Сделаем это так. Прове-

352 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
рим, определено ли ср^ (хп) хотя бы для одного начального сегмен-
сегмента /, продолжающего /<*>. Если нет, положим
/n+l=/n U {<*: *». !>}•
Если да, возьмем один из таких сегментов /, и пусть w = Ф^1{жп).
Определим сегмент /п+1 так, что f?t = / и/*+г=/* [} {{хп, w +
+ !>}
Положим / = U /г- Очевидно, что fx?= Ц>у для всех х и г/.
i
2. Располагая построенной выше функцией /, покажем, что
если g и h — взаимно однозначные общерекурсивные функции,
то Val g cz Val h <=> Ь:г/[/(|К.г), г/)] <т tey\f(h(x), у)].
=>-. Пусть даны х я у я выполняется левая часть доказываемой
эквивалентности. Чтобы вычислить f{g(x), у), найдем такое z,
что h(z) = g(x), я вычислим f(h(z), у).
<=. Допустим, что Val g C/l Val га. Пусть х0 — некоторое
значение функции g, не являющееся значением функции га. Пред-
Предположим, что kxy[f(g(x), у)] ^т facy[f(h(x), у)]. Тогда, в частности,
/*о ^TXxylf(h(x), у)]. Но %xy[f(h(x), у)] <т/(ж°>, так как /<*»> =
= Xxy[f(sXo(x), у)] я Val h cz Val sXo (см. доказательство =>).
Но тогда,/х° ^т/'ж°\ что противоречит части 1 доказательства.
3. Сопоставим каждому рациональному числу г такую взаимно
однозначную общерекурсивную функцию gT, что для любых ра-
рациональных г и s верна эквивалентность (г ^ s (при обычном
упорядочении рациональных чисел)) <=> Valuer Val gs. Для этого
закодируем рациональные числа (изображаемые несократимыми
дробями) с помощью всех натуральных чисел, и пусть гп — рацио-
рациональное число, кодом которого служит га. Для любого рациональ-
рационального г множество {га | гп ^ г} рекурсивно. Пусть gr — некоторая
рекурсивная^ функция с областью значений {га \ гп < г}. Рас-
Рассмотрим теперь для произвольного рационального г степень аг
функции Xxy[f(gr(x), у)]. Из части 2 тотчас следует, что r^s <=>
<^> ar ^ as для любых рациональных г я s.
4. Остается проверить, что ar ^ 0' для любого рационально-
рационального г. Это будет доказано, если удастся показать, что / ^т К-
Но вычисление последовательных продолжений /о, /ь • • • ста-
становится эффективным, если допустить, что мы умеем в отдельных
случаях решать проблему остановки. Поэтому / ^т К. Доказа-
Доказательство закончено.и
Следствие XV (Клини, Пост). Для любой степени d между d
и d' существует счетная совокупность степеней, линейно упоря-
упорядоченная по типу рациональных чисел.
Доказательство. См. упр. 13-31.т
% 13.4. УПОРЯДОЧЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ 353
' Теорема XVI (Клини, Пост). Существуют такие степени Ъ
и с, что
(i) Ь < 0(»> и с < 0<«»;
(И) (Vra)[0<"> <^Ь и 0<п> <с];
.(iii) (Vd)[[d < b & d < с] => C»)(d ^ 0<n>]].
Доказательство. Мы построим две функции / и g
с помощью сегментов /0, Д, ... и go, gi, • ¦ • • Все эти сегменты,
кроме /о и go, будут иметь бесконечные области определения.
b будет степенью множества В, а с — множества С, где / = св,
a g = сс.
- Будем обозначать (в этом доказательстве) через сп характери-
характеристическую функцию множества 0<П). Сегмент / называется конеч-
конечным продолжением сегмента /, если / ц>/, и разность областей
определения функций / и / конечна.
Этап 0. Положим /0 = g0 =' 0,
Этап п + 1. Подэтап (а). Пусть п =(х, у). Проверим,
существуют ли такие конечные продолжения / и g сегментов fn
и gn соответственно, чтобы для некоторого z функции <p]^(z)
и <p|*](z) были^ определены и не совпадали. Если существуют,
положим Jn =f vLgn = g. Если нет — положим fn = /п и gn = gn.
Подэтап (b). Чтобы получить fn+i, продолжим сегмент
fn, положив fn+\((n, x)) = сп(х) для всех (п, х), не принадлежа-
принадлежащих области определения сегмента fn. (С помощью индукции легко
проверяется, что только конечное число элементов вида (га, х)
принадлежит области определения сегмента /п). Аналогично, про-
продолжим сегмент gn до gn+1, положив gn+l((n, x)) = сп(х) для
всех (га, х), не содержащихся в области определения сегмента gn.
Положим /=U/i, g=Ugi, В = {х | f(x) = 1} и С =
г г
= {х | g\x) = 1}. Пусть Ь и с — степени множеств В ж С соот-
соответственно. Остается проверить утверждения (i) — (iii) теоремы,
(i) В силу результатов о равномерности из следствия I для
т <С.п равномерно выполняется 0т) ^ 0lIW и для всех п равно-
равномерно выполняется . 0Ш ^i 0(n+1>. Отсюда следует, что этап
га -f- 1 в построении функций / и g равномерно рекурсивен относи-
относительно 0<п+1) в следующем смысле: /п+1 и gn+i равномерно рекур-
рекурсивны относительно множества 0(п+1> (т. е. их индексы эффектив-
эффективно вычисляются по га) и области определения сегментов fn+i
я gn+i равномерно рекурсивны относительно 0(п+1> (т. е. индексы
их характеристических функций (как 0(п+1>-рекурсивных
функций) эффективно вычисляются по га). Действительно, так как
функции /р и g0, очевидно, рекурсивны относительно множества
0<О) и имеют рекурсивные относительно множества 0(О) области
23—0506

354 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
определения и по предположению индукции функции fn и gn
вычислимы относительно множества 0(п), а их области определе-
определения рекурсивны относительно множества 0<п>, вопросы о суще-
существовании продолжений / и g с нужными свойствами в подэтапе (а)
представляют собой частные случаи проблемы остановки для
процедур, рекурсивных относительно множества 0<п), и, значит,
fn и gn могут быть вычислены рекурсивно относительно множества
0<п+1), а их области определения рекурсивны относительно мно-
множества 0(п+1>. Но тогда и на подэтапе (Ъ) fn+i и gn+i вычисляют-
вычисляются рекурсивно относительно множества 0(п+1> и их области опре-
определения рекурсивны относительно 0<п+1>. Но поскольку все-
множества 0<™+1) рекурсивны относительно 0<ю> равномерно
по п, получаем, что и /, и g рекурсивны относительно 0<ю>. Так
что Ь < 0(ю) и с < 0(<й).
(ii) Для каждого п имеем [ (п, х) .6 В <?=> cn(x)=i <=> х 6 0<П)!
для всех, кроме конечного числа, значений х. Поэтому 0(П> ^ Ь.
Точно так же для любого п справедливо 0(П> ^ с.
(iii) Предположим, что D ^т В и D ^т С. Тогда cD = (pfx
и cD = ф| для некоторых х и у. Пусть п = {х, у ). В этом случае-
на подэтапе (а) этапа п + 1 обнаружится, что не существует таких
конечных продолжений fug для сегментов fn и gn соответственно,
для которых хотя бы одна из функций фж^] или ф^] принимала бы
иные значения, чем cD. (Пусть, напротив, / — конечное продол-
продолжение сегмента fn и при некотором w имеем ф^1 (w) Ф cD(w); по
предположению существует конечное продолжение g сегмента gn,
для которого ф[й(ц>) = cD(w); но тогда на подэтапе (а) было бы
обеспечено, что ф? Ф ф*>.) Поэтому, если бы мы умели вычислять
сегменты /„ и gn, мы могли бы перечислять все конечные продол-
продолжения / и g и, таким образом, вычислять функцию cD. Поскольку
сегменты fn и gn рекурсивны относительно 0(П) (в силу доказа-
доказательства A)), cD оказывается рекурсивной относительно множе-
множества 0(П). Этим доказан пункт (iii).в
Следствие XVI (Клини, Пост), (а) Упорядочение степеней не
есть решетка.
(Ь) Степень 0(С0) не является наименьшей верхней гранью
степеней О, 0', 0", ....
Доказательство, (а) В силу пункта (iii) теоремы
степени b и с не имеют наибольшей нижней грани.
(Ь) Согласно (а), степени Ь и с несравнимы. Значит, согласно (i),
b < 0(со) и с < 0(С0). Но в силу (ii) и b, и с — верхние грани степе-
степеней 0, 0', 0", . . . .а
Релятивизация теоремы XVI содержится в упр. 13-33. .
§ 13.5. МИНИМАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ 355
§ 13.5. МИНИМАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ
Плотно ли упорядочение степеней? Мы приведем теперь теоре-
теорему Спектора, показывающую, что существуют минимальные нере-
нерекурсивные степени, и потому (в отличие от упорядочения рекурсив-
рекурсивно перечислимых степеней) упорядочение степеней не плотно.
Все построения с помощью последовательных продолжений,
встречавшиеся в предыдущих доказательствах, были „простыми"
в том смысле, что к концу каждого этапа требовалось только,
чтобы (строящаяся) функция / содержала некоторый сегмент,
т. е. попадала в некоторое замкнутое множество пространства
Бэра (см. упр. 13-24). Приводимое ниже доказательство не таково,
причем неизвестно никакого „простого" построения искомой степе-
степени. Читателю следует также обратить внимание на упр. 13-29,.
показывающее, что совокупность минимальных нерекурсивных
степеней имеет меру нуль.
Теорема XVII (Спектор). (Эа)[0 < а & (Vb)[b < а => Ь = 0]].
Доказательство. Достаточно показать, что (ЗЛ)
\А не рекурсивно & (VJ5)[J5 ^T А =>- [В рекурсивно или А ^т В]].
.Мы построим некоторую функцию g, которую и примем в каче-
качестве сА. Построение функции g осуществляется по этапам. Для
каждого п к концу n-го этапа мы будем иметь по три функции hn,
/J, и /™, удовлетворяющие следующим условиям.
Условия. Функции hn, ft и ft общерекурсивны; области значе-
значений функций /? и /?-содержатся в {0, 1}. Функция hn монотонна,
т. е. х < у =»- hn(x) < hn(y). Функция /™ совпадает с ft на интер-
интервале {z | z < hn@)}, зато для любого у функции ft и ft не тожде-
тождественны на интервале {z \ hn(y) ^ z < hn(y + 1)}. Будем назы-
называть {z | z < hn@)} и {z | hn(y) < z < hn(y +1)}, у = 0, 1,
2, . . ., интервалами, определяемыми функцией hn. Если т < п,
то область значений функции h™ содержит область значений функ-
функции hn (поэтому интервалы, определяемые функцией hn, суть
конечные объединения интервалов, определяемых функцией hm)r
и на каждом (под)интервале, определяемом hm, ft совпадает
либо с f?, либо с ff, и функция ft также совпадает либо с ff, либо
с ff (в частности, ft == ft = /» = /™ на {х \ x<hm@)}). Наконец,
если т<п, то hm@) < hn@).
Предположим, что функции hn, ft я ft уже определены для
всех п. Определим gn как начальный сегмент длины ^"@), полагая
gn=ft = ft на {z \ z < hn@)}. Из сформулированных выше
условий следует, что g0, gu ... образуют цепь начальных сегмен-
сегментов, объединение которой — всюду определенная функция. Поло-
Положим g = U gt. Заметим, что из наших условий вытекает также,
г
что для любого данного п на любом определяемом функцией hn
интервале функция g совпадает либо с ft, либо с ft.
23*

356 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Остается построить функции hn, /J и /? и проверить, что g будет
обладать требуемыми свойствами. Будем действовать следующим
образом. [Отметим, что процедура построения сегментов N1*1,
f?+x и /?+1 из hn, ft и /? не равномерно эффективна (и что g не будет
общерекурсивной функцией), но что тем не менее получающиеся
на каждом этапе п функции hn, /™ и /™ рекурсивны.]
Этап 0. Пусть hf> = Хх[х], f\ = Ы0] и^ = Ы1]. (Таким
образом, 0-й этап не накладывает никаких ограничений на буду-
будущую функцию g.) Наши условия выполняются тривиально.
Этап 2/1 + 1- Пусть т = In. Допустим в качестве индук-
индуктивного предположения, что наши условия выполняются для
функций hm, f™ и ff. Поэтому /J™ и /™ должны различаться на
интервале
{z \ hm@) ^ z < hm(i)}.
Проверим, выполняется ли на этом интервале соотношение уп Ф-
Ф ff. Если выполняется, то положим hm+1 = kx[hm(x + 1)],
¦fm+l -fm+1 fm т»я
/1 — 1ч li "и
{z |z
выполнено фп ^ /™,
как в предыдущем
11/ на
и ym+i =/m, /™+1 = /™ на интервале
{z | fcm+1@)< z}.
Если же нет, то на {z | um@) < z < fe()}
и мы определим функции um+1, /J" и /™+
случае, с тем лишь исключением, что /^=/=/ на
{z | z</im+1@)}. Непосредственно проверяется, что. функции hm+1,
/™+1 и /™+1 удовлетворяют условиям. Этап 2п + 1 гарантирует, что
g =/= фп; поэтому g не будет общерекурсивной функцией.
Этап In + 2. Пусть те = 2га + 1. По предположению индук-
индукции условия выполнены для К\ /™ и /™. Сегмент g называется
т-допустимым сегментом, если g определен в точности на {z | z <;
< hm(y)} Для некоторого г/ и на каждом определяемом функцией
hm интервале, лежащем в этой области, сегмент g совпадает либо
с /т, либо с /J1 х). Если g — т-допустимый "сегмент, йазовем т-
допустимым продолжением сегмента g всякий те-допустимый сег-
сегмент g*, продолжающий сегмент g.
П о д э т а п (а). Проверим, существуют ли такие число w
и m-допустимый сегмент g, что для всех те-допустимых продолже-
х) То есть (V интервал) Ci) {i — 1 или i = 2, и7 совпадает с f™ на этом
интервале]. Мы не утверждаем, что Cs) (V интервал) [...].
§ 13.5. МИНИМАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ 357
ний g* сегмента g не определено (p\fl(w). Если таких нет, перей-
перейдем к подэтапу (Ь). Если же такие wvig* существуют, то полагаем
^"+1 _ %x[hm(x -f и)], где {z ]z<fem(u)} есть область определе-
определения сегмента g, /J™+1 = /™+1 = g на области определения сегмента
g и /™+1 = /™ и /™+1 = У]» на {z | fem+1@) = hm(u) < z}, после
чего переходим к этапу In + 3. (Наши условия при этом выпол-
выполняются, и мы обеспечиваем, что функция ф| не может быть всюду
определенной.)
П о д э т а п (Ь). Проверим, существует ли такой т-допусти-
мый сегмент g, что для всех w функция (р\?*Цю) принимает не более
одного значения, когда g* пробегает совокупность всех иг-допу-
стимых продолжений сегмента g *). Если нет, перейдем к подэта-
подэтапу (с). Если же существует, то определим функции hm+1, f™+1
и yj1*1, отправляясь от g так же, как в последней части подэтапа
(а), и перейдем к этапу 2п + 3. (Наши условия выполняются,
и, поскольку совокупность m-допустимых продолжений сегмента g
рекурсивно пёречислима, мы добились того, что функция ф?
обязана быть рекурсивной, если только она будет всюду опре-
определенной.)
П о д э т а п (с). Если мы добрались до подэтапа (с), уже
известно, что для каждого тп-допустимого сегмента g (i) для любо-
любого w существует такое его m-допустимое продолжение g*, что
ф[«*] (w) определено (см. подэтап (а)), и (И) существуют такие число
w и m-допустимые продолжения g* и g\, что ф^*1 (и>) и ф^8*1 (w)
определены и не равны (см. подэтап (Ь)). Индуктивно определяем
функции um+1, f™+1 и У™+1:
= fm+i ^
hm{i) =
(Выбор функции У71 здесь произволен; вместо нее можно было бы
использовать /^.)
Предположим, что функция hm+1 определена для всех х ^ р
и функции yf+1 и /™+1 определены на {z | z <C hm+1(p)}. Функция
hm+1 определяет р + 1 интервалов на {z | z <C hm+1(p)}. Поэто-
Поэтому 2Р сегментов длины hm+1(p) будут (т +[1)-допустимы. Обозна-
Обозначим их g'o, ^i, . . ., g2p_i (упорядочив их, скажем, лексикографиче-
лексикографически). Для определения значений hm+1(p + 1) (и f?+1, и f^+1 на
интервале {z | hm+1(p) ^ z <С hm+1(p -f 1)}) нам потребуется 2Р
подшагов.
х) Согласно подэтапу (а), хотя бы одно значение ими принимается.

358 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
П о д ш а г 0. Согласно замечанию (п), приведенному выше,
существуют такие пг-допустимые продолжения s0 и t0 сегмента g0
и число z0, что ф^о! (z0) и ф^*о] (z0) определены и не совпадают;
при этом можно взять s0 и t0 одинаковой длины. Продолжения
s0 и t0 и число z0 находятся эффективно, так как мы можем рекур-
рекурсивно перечислять все такие кортежи (s0, ?<ь z0). Положим и0 =
= so — go и v0 = t0 — go-
Подшаг q + 1. Согласно замечанию (ii), существуют такие
m-допустимые продолжения s' и s" сегмента gq+i[)uq и число
zq+i, что ф^8](гд+1) и ф^8"] (zg+i) определены и не равны. Согласно
замечанию (i), существует такое m-допустимое продолжение t
сегмента gq+i\jvq, что (pW(zq+i) определено. Поэтому мы можем
выбрать сегменты sq+1 и tq+i так, что sq+i — m-допустимое про-
продолжение сегмента gq+i U uq, tq+l — m-допустимое продолжение
gq+iUvq и ф^89+1] (zg+1) и fp^i+ii {zq+i) определены и не равны;
при этом можно взять сегменты sq+i и tq+i равной длины. Как
и на подшаге 0, zg+1, sq+i и tq+i находятся эффективно, так как
интересующие нас продолжения и вычисления могут быть рекур-
рекурсивно перечислены. Положим
uq + l = Sq+i — gq + l и vq + l = tq + l — gq + 1-
Заметим, что и0 cz щ с: . . . с: u2p_i и ^ с ^ с ... с У2р-г
Пусть w — наименьшее число, превосходящее все элементы обла-
области определения u2p_i (легко видеть, что область определения
и2р_1» равная области определения v2p_l, непуста). Положим
hm+1(p -{- 1) = w,
/™+1 ^ У2р-1 Ha ^Z I ^m+1(p) ^= z < hm+1(p + 1)}.
Этим заканчивается индуктивное определение сегментов fem+1,
/J"+1 и /f+1. (Непосредственно проверяется, что 'условия по-преж-
по-прежнему выполняются. Далее, если используется подэтап (с), то
функция g рекурсивна относительно ф&. Действительно, мы смо-
сможем вычислять функцию g, если сумеем для каждого интервала
{z | hm+1(p) < z < hm+1(p + 1)}, p = 0, 1, . . ., решить, с какой
из двух функций /J"+1 или ff*1 согласуется g на этом интервале.
Допустим, что мы вычислили функцию g на {z | z < hm+1(p)};
тогда можно найти такое q ^ 2Р — 1, что gq <^ g, и мы сможем
вычислить ф^я9] (zg) и ф^з1 (zQ). Одно и только одно из этих значений
согласуемся со значением Ф|[(гд). Если это первое из них, то функ-
функция g совпадает с f™+1 на всем рассматриваемом интервале, в про-
§ 13.6. ЧАСТИЧНЫЕ СТЕПЕНИ 359
тивном случае g совпадает на этом интервале с ff+1-) Этим закан-
заканчивается описание этапа In + 2.
Пусть А = {х | g(x) = 1}- Остается показать, что А обладает
желаемыми свойствами. А не рекурсивно; в противном случае
g = фп при некотором п, чтр противоречит построению на этапе
2п+ 1. Пусть В^.ТА, т. е. св = ф? для некоторого п. Если
этап 2м + 2 кончается подэтапом (Ь), то ф? рекурсивна и, значит,
множество В рекурсивно. Если же используется подэтап (с), то g
рекурсивна относительно ф? и А ^т В. Доказательство теоремы
закончено. в
Возникает вопрос, насколько трудно перейти от индексов
функций hm, f™ и /™ к индексам функций hm+1, f™1 и ff+1? В слу-
случае, когда т = 2п + 1, это может быть сделано эффективно, если
мы умеем решать частные случаи проблемы остановки. Однако
для т = 2п + 2 необходимо на обоих подэтапах (а) и (Ь) уметь про-
проверять принадлежность элементов множеству {х | Wx —бесконечное}
<см. упр. 13-34). (На подэтапе (с), если он достигается, процедура
эффективна.) Таким образом, справедливо
Следствие XVII (а). (За) [0 < а <0" & (ЗЬ)[Ь <а=» Ь=0]].
Доказательство. См. выше.в
Отметим, что, согласно упр. 10-11, минимальная степень не
может быть рекурсивно перечислимой.
Эта теорема и ее следствие допускают следующую релятиви-
релятивизацию.
Следствие XVII (Ь). (Vd) (За) [d < а < d" & (Vb) Id < b <
Доказательство. См. упр. 13-34.
§ 13.6. ЧАСТИЧНЫЕ СТЕПЕНИ
Сводимость по перечислимости (^е) и операторы перечисления
определены нами в § 9.7. Мы полагали / ^е g, если т(/) ^ет(#)>
и / ==е g, если / <е g и g ^e /• Образуя классы эквивалентности
относительно =е в совокупности всех всюду определенных функ-
функций, мы получаем упорядочение е-степеней (всюду определенных
функций) относительно е-сводимости. Это упорядочение канони-
канонически изоморфно упорядочению Т-степеней, так как по след-
следствию 9-XXIV / ^eg <=> т(/) ^тт(#)- При этом изоморфизме
Т-степень множества т (/) соответствует е-степени функции /, и,
обратно, е-степень функции сА соответствует Т-степени множе-
множества А (см. теорему 9-VII). Имея в виду этот изоморфизм, мы
иногда называем е-степени всюду определенных функций Т-степе-
нями. Можно образовать классы эквивалентности относительно
^е и в совокупности всех функций (не обязательно всюду опре-

360 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
деленных). Получающиеся при этом е-степени называются частич-
частичными степенями, а их упорядочение по сводимости ^е называется
упорядочением частичных степеней. В нем существует, например,
наименьшая частичная степень, состоящая из всех частичнорекур-
сивных функций.
Всякая Т-степень (всюду определенных функций) является
подмножеством некоторой частичной степени. Всякую частичную
степень, содержащую некоторую Т-степень (всюду определенных
функций), назовем тотальной степенью. (Таким образом, частич-
частичная степень тотальна тогда и только тогда, когда она содержит
хотя бы Одну всюду определенную функцию.) Понятно, что тоталь-
тотальные степени образуют подупорядочение частичных степеней, изо-
изоморфное упорядочению Т-степеней (рассмотренному в предыдущих
разделах). Всякая ли частичная степень тотальна, или же упоря-
упорядочение частичных степеней более обширно? Мы ответим на
этот вопрос следующей теоремой, анонсированной Медведевым
(см. § 13.7).
Теорема XVIII. (За]?) [я|з не частичнорекурсивна и (V/)l/ ^e г|э =>
=>¦ / рекурсивна]] *).
Доказательство. Напомним, что Фп обозначает опе-
оператор перечисления с индексом п. В доказательстве мы будем
пользоваться следующими обозначениями.
Ф„(г|з) служит сокращением для ФП(Т('Ф))- (Так что множество
Фп(ф) может и не быть однозначным.)
, Если множество ФтД'ф) однозначно, мы сокращаем также запись
1(Ф) до ФпСф). (Теперь, например, можно написать /
)])
(Э)[/ Фп(я|>)])
Функция а]з будет называться конечным сегментом, если (как
и раньше) область определения функции а|э конечна. Конечный
сегмент а|э 'будет называться монотонным продолжением сегмен-
сегмента aj), если aj) сф и (Ух)(Чу)Цх 6 Arg а|> и у ? Arg(a|> — я]з)] =>- х <
<у].;
Мы докажем теорему, построив искомую функцию г|э как объеди-
объединение последовательности конечных сегментов г|з0, %» • • •, где
(т < п =>• aj)n — монотонное продолжение сегмента i|>m)-
Этап 0. Положим г|э о = 0 • ^
Этап Ъг + 1. Пусть т — In. Пусть z — наименьшее число,
большее всех элементов из области определения функции "§щ.
J) Напомним, что автор использует латинские буквы для обозначения
всюду определенных функций, в то время как греческими буквами обозна-
обозначаются произвольные функции. •— Прим. перев.
§ 13.6. ЧАСТИЧНЫЕ СТЕПЕНИ 361
Проверим, определено ли <pn(z). Если нет, полагаем
o|Wi=4>m U {<z
Если же определено, то положим
¦фш+1 =1|>т U {<Z, <Pn(z)
(Этап 2и + 1 обеспечивает выполнение соотношения г|э =Ф cpn;
поэтому функция я|з не может быть частичнорекурсивной.)
Этап 2п + 2. Пусть т = 2га + 1.
П о д э т а п (а). Проверим, существует ли такое монотонное
продолжение aj) сегмента tym, что Фп(ф) не однозначно. Если суще-
существует, то положим tym+i == 'ф и перейдем к этапу 2п + 3. Если же
нет, перейдем к подэтапу (Ь).
Подэтап (Ь). Проверим, существуют ли такие число w и
и монотонные продолжения г^1 и о]?2 сегмента я|зт, что значения
функций Ф/Д'ф1) и Фп(я|}2) определены и не равны при значении
аргумента w. Если не существуют, то пусть o|)m+1 = г|зт. (В этом
случае функция Ф^^) должна быть общерекурсивной, если только
она всюду определена, так как ее значения можно эффективно
вычислять, перечисляя все монотонные продолжения сегмента я|)т
и подставляя их в Ф„.) Если же существуют, то положим •фт+1 =
=г|зт U {(z, 0)}, где z — наименьшее из чисел, больших всех
элементов областей определения как сегмента i]I, так и сегмен-
сегмента ар2. (В этом случае функция Фп.(Ф) обязательно не определена
в точке w, так как иначе функция г|э вместе с ojI или "ф2 могли бы
быть использованы для построения монотонного продолжения
¦ф сегмента г|зт, для которого множество Фп(ф) не было бы однознач-
однозначным, а это противоречит результату проверки на подэтапе (а).)
Положим aj) = U г|зг. Функция 'ф не может быть частичнорекур-
i
сивной (см. этап 2п + 1), и для всякой функции /, / ^е ty =>¦ f
общерекурсивна (см. этап 2п + 2).и
Таким образом, упорядочение частичных степеней более об-
обширно, чем упорядочение тотальных степеней. В § 13.7 мы дадим
более широкое обобщение понятия степени неразрешимости.
Следствие XVIII. Co|)) [г|з рекурсивно перечислима относитель-
относительно 0', uty не частичнорекурсивна, и (V/)I/ ^e ty =*¦ / общерекурсив-
общерекурсивна]].
Доказательство. См. упр. 13-37.т
В упр. 13-38 мы даем простое доказательство теоремы XVIII
(но не следствия XVIII), опирающееся на понятие категории
множества.

362 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Если / ^е ¦*!>> то по определению / = Ч'Х'ф) для некоторого частич-
норекурсивного оператора \F (см. § 9.8). Зададимся следующим
вопросом: вытекает ли из соотношения / ^е 'Ф равенство / = Ч'Хф)
для некоторого рекурсивного оператора ЧГ? Приводимая ниже
теорема содержит отрицательный ответ на этот вопрос. Первое
доказательство этого результата восходит к Майхиллу и Шепердсо-
ну. Мы приводим доказательство, принадлежащее Рабину.
Теорема XIX. C/)Cг|))[/ ^е 'Ф? но ни для какого рекурсивного
оператора Ф не выполняется / = ЧР($)]
Доказательство1). Воспользуемся обозначениями из
предыдущего доказательства. Мы должны доказать, что
<Э/)(Зг|>)[/ <е ¦Ф & (Vm)[/ = Фт(ф) => СЗг|/)[Фт(г|/) не однознач-.
ло]]].
Построим функцию / как объединение последовательности
начальных сегментов /0, /4, . . ., а функцию г|) как объединение
последовательности конечных сегментов г|H, i|)i, . . ., причем т <
<; п =>- tyn есть монотонное продолжение сегмента tym. Областью
определения сегмента fn+i служит {0, 1, . . ., п}. Сегмент tyn+i
будет иметь областью определения множество {хо, xi, . . ., хп},
где х0, Xi, ... — некоторая возрастающая последовательность.
Далее, для 0 <[ i ^ п будет выполняться равенство o|)n+1(xj) =
= т*«/@), /A), . . ., /(i)>) (см. конец § 5.6). Таким образом,
функция т|) однозначно определяется функцией / и последователь-
последовательностью х0, Xi, ... . Действительно, сегмент ^n+i определяется,
если даны fn+i(n), i|)n и хп. Если определены сегменты /о, Д, . • .
л г|H, г|L, . . ., подчиненные этим условиям, и мы положим / =
= U ft и г|) = U ibj, то очевидно, что / ё^е^ так как если дан
i г
произвольный пересчет упорядоченных пар, образующих (график)
тр, мы можем восстанавливать все более длинные начальные
сегменты /.
Построим сегменты, участвующие в определении искомых
функций.
) V^' К0Рдев нашел ниже следующее, весьма простое доказательство
теоремы Х.1Х. В качестве / берется произвольная всюду опредеиенная функ-
функция одного аргумента, не являющаяся общерекурсивной; в качестве i|) —
функция, задаваемая соотношением
*(«)
fo,
(.не
если f(ni(z)) =» я2(я),
кне определено в противном случае
(определение я4 и Яг см. в §5.3). Легко устанавливается, что /^ei|). Пред-
Предположим, что существует такой рекурсивный оператор Y, что / = ЧГСф).
В силу теоремы 9-XXI (а) выполняется равенство / = Щкг[0]), и функция /,
в противоречие с ее выбором, оказывается частичнорекурсивной (как резуль-
результат применепия'рекурсивного оператора к частичнорекурсивной функции).—
Прим. ред.
§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА 363
Этап 0. Положим /0 = 0 и г|H = 0.
Этап п + 1. Проверим, существует ли, такой у, что {п, у) 6
<€ Фп(^) Для некоторого конечного монотонного продолжения ij)
сегмента г|)п. Если нет, положим fn+i(n) = 0 и хп = xn_i + 1 (при
п = 0 пусть х0 =0). Если же такой у существует, положим
/л+1(п) = у + 1 и пусть хп — наименьшее из чисел, больших
всех элементов области определения г|э. В обоих случаях сегмент
*|)n+i определяется по /п+ь г|)п и хп, как описано выше.
Положим г|) = U г|)г и / = U /г.
Как мы уже отмечали, /<!ег|). Предположим, что / =: Ф„(ф).
Но тогда по построению для некоторого г|)*, о|)* ^> г|), ФП(Ф*) Не
будет однозначным (возьмем г|г* =г|) у г|), где сегмент г|) описан
на этапе п + 1). Этим заканчивается доказательство, щ
Следствие XIX. C/)Cг|)) [/ рекурсивна относительно 0',
и г|) рекурсивно перечислима относительно 0', и f ^e ¦ф! wo для
всякого рекурсивного оператора W справедливо соотношение f Ф
Ф ЧГ(фI.
Доказательство. См. упр. 13-29.а
Другие приемы, использованные в предыдущих разделах,
.также могут быть применены к изучению частичных степеней.
Так, следующая теорема аналогична теореме VI.
Теорема XX. (Уф) [<р не частичнорекурсивна => (Зг]з)[ф ^в 'Ф &
]]
Доказательство. Эту теорему можно доказать по
аналогии с теоремой VI (см. упр. 13-40). Существует также дока-
доказательство, опирающееся на понятие категории множества, ана-
аналогичное доказательству теоремы XIII (см. упр. 13-41).а J
Частичные степени изучены не очень подробно. Например,
не известно, справедлив ли аналог теоремы XVII (о минимальных
степенях). Мало известно об автоморфизмах этого упорядочения
и инвариантных относительно них свойствах. Следующий вопрос
также открыт: инвариантна ли совокупность тотальных степеней
относительно всех автоморфизмов упорядочения частичных сте-
степеней?
§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА
В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели две
структуры: упорядочение Т-степеней (главный объект наших
исследований) и более обширное упорядочение частичных степе-

364 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА 365
ней. Теперь мы рассмотрим еще более обширное образование,.
решетку степеней трудности, введенную Медведевым [1955а] -
Изучение этой структуры углубляет наше понимание некоторых
уже полученных результатов о Т-степенях и частичных степенях,-
к тому же оказывается, что она устроена более регулярно, чем
упорядочения Т-степеней и частичных степеней. Как мы увидим,
степени трудности являются объектами более высокого логиче-
логического типа (т. е. более абстрактными), чем Т-степени. Степень
трудности представляет собой совокупность множеств всюду опре-
определенных функций,, тогда как Т-степень может рассматриваться
как множество всюду определенных функций (см. § 13.6). .
Определение. Всякая совокупность Л всюду определенных
функций называется массовой проблемой»
Этим определением формализуются следующие представления-
Если дана некоторая неформальная „проблема", то соответствую-
соответствующая ей массовая проблема является на интуитивном уровне сово-
совокупностью функций, каждая из которых „решает" данную „пробле-
„проблему", причем каждое „решение" „проблемы" порождает хотя бы
одну из этих функций. Приведем некоторые|примеры.
Пример 1. Одноэлементное множество {сл} соответствует
в качестве массовой проблемы „проблеме" разрешения множества А*
Пример 2. Множество {/ | Val / = А } соответствует как
массовая проблема „проблеме" перечисления множества А (при
А Ф 0V
Пример 3. Множество {/ | А = {х | f(x) = 0}} — другая
массовая проблема, соответствующая „проблеме" разрешения из
примера 1. ¦
Пример 4. Множество {/ | Val / =^{2х | х ? А }} — другая
массовая проблема, соответствующая „проблеме" перечисления
из примера 2.
Если дана произвольная массовая проблема А, то существует,,
конечно, по крайней мере одна соответствующая ей неформальная
„проблема", именно „проблема" вычисления хотя бы одной функции
из совокупности А.
Массовые проблемы из примеров 1 й 3 в интуитивном смысле
„эквивалентны", равно как проблемы из примеров 2 и 4. Далее,
массовые проблемы из примеров 2 и 4 „сводятся" к массовым про-
проблемам из примеров 1 и 3. Определения, которые мы дадим ниже,,
делают эти понятия точными.
"" По теореме 9-ХХШ существует такая рекурсивная функция о\
что для любого z, если Т — частичнорекурсивный оператор,
определяемый оператором Фг, то Фа(г) определяет рекурсивный
оператор, совпадающий с оператором W на всех всюду определен-
определенных функциях из области определения оператора W.
Определение. Обозначим через W2 рекурсивный оператор,
•определяемый оператором Фа(г).
Определение. Пусть Jk и 38 — массовые проблемы. Проблема
Jk называется сводимой к 38, если Cz)ly?zC8) с 4].
Приводящие к этому определению мотивы таковы. Массовая
проблема Jk сводима к J?, если существует эффективная процедура,
дающая по произвольной фунйции-элементу проблемы 38 —
некоторый элемент из Jk, т. е. мы располагаем возможностью
по произвольному „решению" проблемы 38 строить некоторое
.„решение" проблемы^. (Может создаться ошибочное впечатление,
что Л и %} фигурируют в определении в порядке, обратном к при-
применявшемуся ранее в определениях сводимости других типов.)
Определение. Массовая проблема^ называется эквивалентной
проблеме 38, если Jb сводится к 38, а 38 сводится к Jk.
Очевидно, что отношение сводимости рефлексивно. Оно также
транзитивно, так как совокупность рекурсивных операторов
замкнута относительно суперпозиции. Поэтому эквивалентность
массовых проблем есть отношение эквивалентности.
Определение. Классы эквивалентности массовых проблем назы-
называются степенями трудности. Отношение сводимости корректно,
определено на этих классах эквивалентности и индуцирует упоря-
упорядочение степеней трудности по сводимости.
ОбознАЧЕНИя. Степени трудности будут обозначаться буква-
буквами А, В, .... Соотношение А ^ В означает, что массовая про-
проблема Л сводима к 38, если Л 6 А и J? б В. Неравенство А < В
означает, что А ^ В и В ^ А.
Примеры. Рассмотрим следующие массовые проблемна
A) К}-
B) {/ | Val / = К}.
C) {/|Я = {*|/(*)=0}}.
D) {/ | Val / = {2х | х 6 К}}.
E) {/|Val/ = Z'}.
Как сводятся эти проблемы друг к другу? Очевидно, что A)
и C) эквивалентны (и потому принадлежат одной степени трудно-
трудности). Эквивалентны также проблемы B) и D). Массовая пробле-
проблема B) сводится к A), но A) не сводится к B) (в противном случае
ск была бы рекурсивной функцией). Поэтому степень трудности
проблем A) и C) отлична от степени трудности проблем B) и D)
и притом превосходит последнюю. Что можно сказать о пробле-
проблеме E)? Если задана функция ск, мы можем перечислять множе-

366 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
ство К'; обратно, если дан какой-нибудь способ перечисления
множества К\ мы можем перечислять и К, и К (поскольку К ^ j
^1 К' и К ^i К'), а потому мы можем вычислять функцию ск.
Таким образом, проблема E) принадлежит степени трудности:
проблем A) и C). (В упр. 13-42 мы формально докажем последние-
утверждения посредством явного построения соответствующих
рекурсивных операторов.) Итак, понятие степени трудности делает
точным наше интуитивное представление о том, что „умение'^
перечислять множество К' „эквивалентно" „умению" разрешать
множество К. (Сделанные замечания остаются верными, если К
заменить произвольным непустым множеством А, исключив неко-
некоторые специальные множества (например множества вида А = В@
® В), для которых все массовые проблемы, соответствующие-
A) — E), принадлежат одной степени трудности.)
Среди степеней трудности существует наименьшая. Если / —
произвольная рекурсивная функция, то проблема {/} сводима
к любой массовой проблеме. Назовем эту наименьшую степень
трудности рекурсивной и обозначим ее 0. Всякая массовая пробле-
проблема, содержащая хотя бы одну рекурсивную функцию, принадле-
принадлежит 0. Поэтому 0 содержит 22К'° элементов. Обратно, всякая мас-
массовая проблема из 0 должна содержать рекурсивную функцию.
Примерами массовых проблем степени 0 служат {сА} для любого
рекурсивного множества А и {/ | Val / = В} для любого рекур-
рекурсивно перечислимого непустого множества В.
Существует и наибольшая степень трудности; всякая массовая
проблема (тривиально) сводится к пустой массовой проблеме.
Обозначим эту наибольшую степень трудности (пустой массовой
проблемы) 1. (Медведев использовал для этой степени символ оо.)
Определение. Если даны число п и функция /, то п ф / будет
обозначать такую функцию h, что *h@) = п и h(x + 1) = f(x) для
всех х.
Если даны функции / и g, обозначим через f A g такую функцию
h, что f = %x[hBx)] и g = ЫЦ2х + 1I.
Определение. Пусть Л и 98 — массовые проблемы. Положим
AASB = {f |(Эг)(Эй)[?€Л &hG& &f = g A h]},
Л V9S = {/ I (lg)Ug ? Jk & / = 0 ® g\ или [g 6 9S & / = 1 ® g]]f.
Легко показать, что операции Д и V корректно определены
на степенях (см. упр. 13-43). Поэтому естественно дать следующее
Определение. АДВ — степень трудности проблемы AASB,
где<& б A, i? ? В. AVB — степень трудности проблемы JiV?$,
где Л ? А, $В б В. В этом случае А Д В называется объединением
степеней А и В; AVB называется пересечением степеней А и В.
§ 13.7- РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА 367
Это определение объединения сходно с нашим обычным понятием
сочленения множеств; в самом деле, если А — степень трудности
проблемы {сА}, а В — степень трудности проблемы {св}, та
АД В — степень трудности проблемы {сдфв}.
Теорема XXI (Медведев). Операции Д и V сопоставляют сте-
степеням трудности А и В их наименьшую верхнюю и наибольшую
нижнюю грани соответственно в упорядочении степеней трудно-
трудности. Поэтому данное упорядочение есть решетка., Эта решетка
дистрибутивна.
(Отметим, что символы Д и V перевернуты по отношению к \]
и П — обычным обозначениям объединения и пересечения в решет-
решетках. Мы выбрали символы Д и V ввиду их обычного употребления
в логике в качестве символов конъюнкции и дизъюнкции. Проб-
Проблема ЛА$? представляет собой „умение" решать и А , и 9ВГ
а проблема Л V SB —„умение" решать либо Л, либо SB. Это неудоб-
неудобство в обозначениях можно было бы исправить (причем обозначе-
обозначения стали бы более естественными и в некоторых других интуи-
интуитивных отношениях), если бы мы перевернули нашу решетку
и считали бы, что проблема тем выше располагается в рассматри-
рассматриваемом упорядочении, чем легче она решается. Мы этого, однако,
не делаем, чтобы наши рассмотрения были сходными по форме
с изучением Т-степеней и частичных степеней.)
Доказательство. Пусть С — некоторая верхняя грань
степеней трудности А и В. Выберем в степенях А, В и С по пред-
представителю; пусть это проблемы Jk, SB и % соответственно. Пусть
оператор ^ отображает^в^, а оператор Ч^ отображает % в ЭВ.
Определим оператор Ф1 так, что [Ф2(/)]Bа;) = [ФтШ&У
и [Ф1(/)]Bж + 1) = [^(/Жа;). Очевидно, что Ф1 — рекурсивный
оператор и что Фг(Щ cz A A SB- Поэтому А Д В — наименьшая
верхняя грань степеней А и В.
Пусть 1> — некоторая нижняя, грань степеней трудности А
и В. Выберем в D представителя 3). Пусть оператор Wp отобра-
отображает^ в 3), а оператор Тд отображает SB в 3). Определим оператор
Ф2 так, что Ф2(/) = Wp(Xxlf(x + 1)]), если /@) = 0, и Ф2(/) =
= Wq(Xx[f(x + 1I), если /@)Ф 0. Очевидно, что-Ф2 — рекурсив-
рекурсивный оператор и Ф2(^ V SB) cz 3). Поэтому А V В — наибольшая
нижняя грань степеней А и В. (В упр. 13-44 мы рассмотрим фор-
формальные определения операторов Ф1 и Ф2 и вопросы равномер-
равномерности.)
Таким образом, показано, что упорядочение степеней трудно-
трудности есть решетка. Чтобы доказать ее дистрибутивность, достаточно
проверить, что •
А Д (В V С) = (А Д В) V (А Д С)

368 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(см. упр. 12-4). Пусть даны степени А, В и С. Выберем в А, В и С
по представителю Л, 98 и % соответственно. Тогда массовая пробле-
проблема Л Л (98 V Щ состоит по определению из всех функций вида
/Л @ © g) или /Л A © fe), где / 6 Л, g 6 98 и h ? S, тогда как
массовая проблема (Л А 38) V (Л А Щ состоит из всех функций
вида 0 © (/ Л #) или 1 © (/ Л А). Каждая из этих массовых проб-
проблем тривиально] сводится к другой, что и доказывает закон дистри-
дистрибутивности. я
Будем называть эту решетку решеткой Медведева. Легко пока-
показать, что она не является булевой алгеброй (см. упр. 13-45).
Некоторые виды степеней трудности представляют особый
интерес.
Определение. Массовая проблема Л называется проблемой
разрешения, если Л = {сл} Для некоторого А,
Массовая проблема 98 называется проблемой перечисления, если
<% = {/ [ Val / = В} для некоторого В.
Степень А называется степенью разрешимости (не путать
с рекурсивной степенью 0), если А содержит некоторую проблему
разрешения.
Степень В называется степенью перечислимости, если В содер-
содержит некоторую проблему перечисления.
Обозначения. Sa обозначает степень разрешимости, содержа-
содержащую {сд}- "Г
Ев обозначает степень перечислимости, содержащую {/ | Val/=
= В}, если В Ф 0, или 0, если 5 = 0.
Для произвольной функции ар мы пользуемся сокращениями
Еф вместо Е <ф> и S^ вместо ST^).
TeopemaJ XXII.' (a) (V^1)[SA = ЕСд] (а потому всякая степень
разрешимости является степенью перечислимости).
(b) (Vvl)Ca|})[EA = Еф] (т. е. всякая степень перечислимости
содержит проблему перечисления некоторой функции).
(c) SA^SB<=>^4^T5 (а потому изученное ранее упорядоче-
упорядочение Т-степеней изоморфно упорядочению степеней разрешимости
в решетке Медведева).
(d) Еф ^ Еф <=> г|) ^еф (а потому изученное ранее упорядоче-
упорядочение частичных .степеней изоморфно упорядочению степеней пере-
перечислимости в решетке Медведева, и (в силу (а)) композиция этого
изоморфизма с изоморфизмом Т-степеней на тотальные степени,
описанным в начале § 13.6, дает изоморфизм из {€)),
Доказательство, (а) Легко проверяется, что ЕСд =
(Ь) Очевидно, Е1д = ЕА, где iA = «я» х) \ х б А).
§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА 369
(c) Это вытекает из теоремы 9-XXV.
(d) ¦<=. Пусть г|) ^еф- Если (графики) г|) и <р не пусты, то суще-
существует частичнорекурсивный оператор, > переводящий всякую
функцию с областью значений т(<р) в некоторую функцию с обла-
областью значений т(ф). По теореме 9-XXIII должен найтись рекур-
рекурсивный оператор, делающий то же, и потому Еф ^ Еф. Если гра-
график г|) пуст (функция г|) нигде не определена), то Еф = 0 и утвер-
утверждение, очевидно, верно. Если график ф пуст (функция ф нигде
не определена), то функция г|з частичнорекурсивна и вновь Еф = 0.
=^. Пусть Еф ^ Еф. Если -ф и ф определены хоть где-нибудь, то
существует рекурсивный оператор, отображающий {/ | Val / =
= т(ф)} в {/ | Val / = т(г|))}. Поэтому, если дано произвольное
перечисление множества т(ф) (в любом порядке), мы можем пере-
перечислять график функции, перечисляющей (в этом порядке) множе-
множество т(ф), и, применяя описанный выше рекурсивный оператор,
получить некоторое перечисление графика функции, перечисляю-
перечисляющей множество т(г|)). Поэтому г|) <^е ф. Если функция г|з нигде
не определена, то г|з <^е ф тривиально. Если г|) где-то определена,
а ф — нигде, то Еф = 0 и {/ | Val / = т(ф)} содержит рекурсив-
рекурсивную функцию. Но тогда 1|з частичнорекурсивна и соотношение
ч|) ^ еф тривиально, щ
Следствие XXII. (а) (\М) [А рекурсивно <=> SA = 0].
(b) (Vi|0 Ьр частичнорекурсивна <=> Еф = 01.
(c) ЕА<Ев<=>А<еЯ.
Доказательство очевидно.а
В силу последней теоремы мы можем считать, что Тгстепени
и частичные степени (изучавшиеся в предыдущих разделах) вло-
вложены в решетку Медведева. Поэтому мы можем воспользоваться
уже полученными результатами о Т-степенях и частичных степе-
степенях для получения информации о решетке Медведева. (Например,
немедленно получается" существование несравнимых степеней
трудности.) В следующей теореме перечисляются некоторые наи-
наиболее интересные результаты.
Теорема XXIII (Медведев), (a) (VA)[A ф 1 => C5) [А < SJ1
(т. е. всякая степень трудности ф1 сводима к некоторой степени
разрешимости).
(b) (>M)CB)[SA < В & (VC)[SA < С =>- В < С]] (т. е. для вся-
всякой степени разрешимости SA среди всех степеней, больших SA,
существует наименьшая степень).
(c) (ЭВ)[О < В & (VC)[0 < С =>¦ В < С]] (т. е. существует
наименьшая нерекурсивная степень).
(d) CA)(V5)[A ф 1 & А ф Ев] (т. е. существует степень
,ф\, не являющаяся степенью перечислимости).
24-0506

370 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(е) C4)[ЕА Ф 0 &(VB)[SB ф 0=>- SB^EJ] (т. е. существует
нерекурсивная степень перечислимости, к которой не сводится
никакая нерекурсивная степень разрешимости).
_ (f) C4)(V5)[EA Ф Ъв\ {т. е. существует степень перечисли-
перечислимости, не являющаяся степенью разрешимости).
Доказательство, (а) Пусть i 6 Аи /6i. Положим
В = т(/); тогда А < SB.
(b) Пусть дано множество А. Построим
98 = {/ | Cg)Cn)[/ = п © g & сА = Wn(g) & (Vm)[g ?= Ym(cA)l]}.
Утверждение проверяется непосредственно (см. упр. 13-48).
(c) Следует из (Ь).
(d) Пусть А — наименьшая нерекурсивная степень, получен-
полученная в (с). Если бы А была степенью перечислимости, то по теоре-
теоремам XX и XXII (d) нашлась бы не сравнимая с ней степень пере-
перечислимости, что противоречит (с).
(e) Построим функцию т|з, как в теореме XVIII, и положим
А = т(г|;).
(f) Следует из (е).и
Как мы уже отмечали, многие другие результаты могут быть
прямо выведены из уже известных; например, по теореме XVII
существует степень разрешимости, минимальная среди нерекур-
нерекурсивных степеней разрешимости.
Мы выделили для специального рассмотрения степени разре-
разрешимости и перечислимости. Можно рассматривать и другие инте-
интересные семейства степеней трудности. Введем, например, следую-
следующее определение.
Определение. Массовая проблема Jh называется проблемой,
отделения, если для некоторых множеств А ж В
A = {f\f(A)=O uf{B)=\).
Степень А называется степенью отделимости, если А содер-
содержит некоторую проблему отделения.
С помощью этого понятия теория непересекающихся пар мно-
множеств (описанная в конце § 7.7) может быть включена в общую
теорию степеней трудности.
Другим примером служит следующее определение.
Определение. Jh называется проблемой 1-сведения, если для
некоторых А и В
Л = {/ | / взаимно однозначна & /-1E) —А}.
Степень А называется степенью 1-сводимости, если А содер-
содержит некоторую проблему 1-сведения.
§ 13.7. РЕШЕТКА МЕДВЕДЕВА 371
Релятивизация (см. § 9.3) в решетке Медведева обобщена
и одновременно упрощена. Если задана произвольная степень
трудности D, то множество {А | А ^ D} есть идеал в решетке.
Можно построить факторрешетку, и естественно называть эле-
элементы этой факторрешетки степенями трудности относительно
D. При построении элементов факторрешетки каждая степень
трудности А исходной решетки отождествляется со степенью А Д D
(см. упр. 13-50); поэтому в частном случае, когда D — степень
разрешимости, степени разрешимости относительно D из фактор-
факторрешетки соответствуют степеням неразрешимости относительно D
в смысле релятивизации, определенной в гл. 9 (где D = So).
Решетка Медведева изучена не очень подробно. Не известно,
в частности, равна ли мощность этой решетки 2 L). Мало что
известно о неглавных идеалах, автоморфизмах и теоретико-реше-
теоретико-решеточных свойствах. Не известно, будут ли теоретико-решеточными
свойства „быть степенью разрешимости" и „быть степенью пере-
перечислимости". Не известно, будет ли операция скачка на степенях
' разрешимости теоретико-решеточной или хотя бы теоретико-реше-
теоретико-решеточной по отношению к степеням разрешимости, т. е. инвариант-
инвариантной относительно всех автоморфизмов решетки Медведева, ото-
отображающих степени разрешимости на себя.
В заключение опишем соотношения между решеткой Медведва
и некоторыми нестандартными логиками.
Теорема XXIV (Медведев). Для любых степеней А и В сово-
совокупность {С | В ^ А Д С} имеет наименьший элемент.
(Совокупность {С | В ^ А Д С} является дуальным идеалом;
теорема утверждает, что этот дуальный идеал главный.)
Доказательство. Пусть Jt 6 А, 98 ? В. Положим
3> = {h\ (lg)Cn)[h = п ® g & (V/)[/ е Л =>- ЧГ„(/ Д g) 6 #11}. ,
Пусть D — степень проблемы 3). Тогда D — искомая степень.
Чтобы проверить это, заметим сначала, что проблема 98 сводима
к iAf, так как Ф1(,#Д^) с 98, где оператор Ф1 определяется
так, 'чтоФ1(/Д (п ® g)) = yFn(fAg)- Возьмем, далее, произвольную
проблему Ч@, для которой ^сводима KiA^ Тогда для неко-
некоторого п имеем Wn {Jk Д $)с 98; но тогда Ф2 {%) с 3), где оператор
Ф2 определяется так, что Ф2 (g) = п ф g. Поэтому проблема 3)
сводится к <ё. Непосредственно проверяется, что Ф1 и Ф2 — рекур-
рекурсивные операторы, и доказательство заканчивается.я
Определение. А—>-В при заданных степенях А и В обозначает
наименьший элемент совокупности {С | В ^ А Д С} (существо-
J) На этот вопрос получен положительный ответ (Р 1 a t e k R. А.,
A note on the cardinality of the Medvedev lattice, Proc. Amer. Math. Soc,
1970, 25, N 4, 917; Poulsen В. Т., The Medvedev lattice of degrees of
difficulty, Var. Publ. Mat. inst. Aarchus univ., 1970, N 12). — Прим. перев.
24*

372 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
вание которого доказано в теореме XXIV). Назовем А ->- В сте-
степенью трудности проблемы сведения В к А. Если С = А -> В
для некоторых степеней А и В, мы называем С степенью сводимо-
сводимости (отметим, что (А -> В) = 0 =»- В ^ А).
Определение. Положим (А ¦*-*¦ В) = (А -*- В) Д (В -*- А).
Рассмотрим выражения, построенные из переменных „А" „В",
„С", ... и символов „ Д "> „V", „->" и „*->•", как обычно в исчислении
высказываний. Назовем такое выражение истинным, если при
произвольной подстановке степеней трудности вместо переменных
степень трудности, обозначаемая всем выражением (где операции
Л, V» ->- и -*-*¦ определены выше), есть 0.
так как (А -> А) = 0 для
Пример 1. „А -> А" истинно,
любой степени трудности А.
Пример 2. „А«А" истинно, так как (А ->- А) = 0
и 0 Л 0 =0.
Пример 3. Закон дистрибутивности „(А Д (В V Q) -«-*¦
-«-»- (А Д В) у(АдС))" Является истинным, так как решетка Медве-
Медведева дистрибутивна и „А -*-* А" истинно.
П р и м е р 4. „((A VB)^C)« ((А -> С) Л (В -> С))" истин-
истинно, как читатель может проверить сам.
Пример 5. „(((А -> В) -> А) -> А)" не истинно (см.
упр. 13-51).
Рассмотренные выше выражения являются формулами логики
высказываний (в обычном символизме). Можно показать, что вся-
всякое истинное выражение есть тавтология логики высказываний,
т. е. теорема классической двузначной логики высказываний.
Обратное неверно: пример 5 дает тавтологию, не являющуюся
истинной. Можно показать (Медведев), что истинные выражения —
это в точности теоремы позитивного исчисления высказываний
(см. Гильберт и Бернайс [1939, том 2, доб. 3]).
Определение. НА = (А —>¦ 1) (поэтому G1 А) = 1, если А =Ф 1,
и (~1А) = 0, если А = 1).
Рассмотрим выражения, построенные, как выше, но с исполь-
использованием дополнительного символа „И"- Медведев доказал, что
в этом случае истинные выражения совпадают с теоремами интуи-
интуиционистского исчисления высказываний (см. также упр. 13-52).
§ 13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы вновь возвращаемся к упорядочению Т-степеней, рассма-
рассматривавшемуся нами в § 13.1—13.5. Доказанные уже в настоящей
главе результаты об упорядочении степеней получены без приме-
§ 13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 373
нения методов приоритета из гл. 10. Если же методы приоритета
объединить с методами, использованными в этой главе, то можно
получить ряд более сильных результатов. Они включают как тео-
теоремы о рекурсивно перечислимых степенях, например две теоремы
Сакса, упоминавшиеся в § 10.3, так и усиленные варианты теорем
о степенях. (Например, Сакс использовал методы приоритета при
доказательстве теоремы XVII и улучшил верхнюю оценку в след-
следствии XVII (а) с 0" до 0'. Подобным образом Сакс воспользовался
методами приоритета, чтобы сделать степени а и Ь из теоремы X
рекурсивно перечислимыми.)
В качестве примера применения методов приоритета мы при-
приводим специальный случай одной из главных теорем Сакса [1963Ы
и используем его, чтобы ответить на некоторые вопросы, остав-
оставшиеся открытыми в предыдущих параграфах. В этом доказатель-
доказательстве Сакса фридбергова идея приоритета существенно обобщается.
По существу в этом доказательстве индивидуальным маркерам
приоритета разрешается сдвигаться бесконечно много раз. Такой
обобщенный метод приоритета в последнее время был использован
для получения различных новых результатов (таких, как дока-
доказательство плотности рекурсивно перечислимых степеней) и улуч-
улучшения более ранних результатов.
Теорема XXV (Сакс). [0' ^ с & с рекурсивно перечислима отно-
относительно 0'] =>- (За) [а рекурсивно перечислима & а' = с].
Доказательство. (Это доказательство частично осно-
основывается на построениях Ейтса.) Пусть мы имеем множество С,
рекурсивно перечислимое относительно множества К. Для дока-
доказательства, понятно, достаточно построить такое рекурсивно
перечислимое множество А, что А' =т С @ К. Так как С <i F,
мы имеем в силу § 13.2 такую общерекурсивную функцию /, что
С = {х | Wf(X) конечно}. Перечисляя множество А, мы представ-
представляем себе натуральные числа выстроенными в виде бесконечной
по строкам и столбцам матрицы, в которой число (г, /> стоит
на пересечении г-й строки и /-го столбца. (Мы называем началь-
начальные строку и столбец нулевыми.) По выполнении описываемой
процедуры некоторые числа в матрице помечаются знаком плюс;
они и суть элементы множества А. Процедура устроена так, что
х-я строка выделяет в А конечное число своих элементов, если
множество Wf(X) конечно, и все, кроме конечного числа, если
Wf(x) бесконечно. Таким образом, х 6 С <i=s> х-я строка содержится
в А, кроме конечного числа элементов. Так как совокупность эле-
элементов х-ш строки, не принадлежащих множеству А, очевидно,
равномерно рекурсивно перечислима относительно А, получаем
такую общерекурсивную функцию g, что С = {х | Wf(X) конечно^
В силу § 13.2 отсюда следует С ^А", и потому множество С

374 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
рекурсивно перечислимо относительно А'. А так как С рекур-
рекурсивно перечислимо относительно множества А' (потому что
множество С рекурсивно перечислимо относительно К, а К ^т А'),
получаем С й^т -4' и потому С @ К ^т А'.
Заметим, что мы могли бы достичь описанного выше резуль-
результата, просто перечисляя одновременно множества VF/@>, W/(i), • • •
и, когда в множестве Wf(P) появляется r-й элемент, проставляя
плюс около элемента (р, г — 1) в матрице. Эта простая процедура,
однако, не гарантирует, что А' ^т С © К; поэтому описываемая
ниже процедура представляет собой модифицированный и более
сложный вариант этого простого построения.
Предлагаемая процедура обладает следующими двумя особен-
особенностями. Во-первых, для каждого z будет определен конечный
набор чисел, которые называются удерживаемыми этим z. Числа,
удерживаемые z, будут появляться из строк, расположенных
ниже z-й строки. Можно представлять себе эти наборы как вспо-
вспомогательные списки, которые хранит человек, перечисляющий
множество А. (В любой момент только конечное число этих спи-
списков непусто.) Во-вторых, когда Wf@), Wf^), . . . одновременно
перечисляются и в множестве Wf(P) появляется г-ж элемент, плюс
не сразу ставится около числа (р, г — 1}; вместо этого сначала
(р, г — 1) обводится кружком и плюс выставляется около
(р, г — 1}, если (и когда) окажется, что (р, г — 1) не удерживается
(каким-либо числом).
Более детально наша процедура выглядит так. Здесь Ап обо-
обозначает множество чисел, которые получили плюсы к концу тг-го
этапа. Процедура будет начинаться cio = 0. Наша процедура
будет иметь дело с вычислениями, относящими z к множе-
множеству Wfn. Скажем, что число х использовалось отрицательно
в одном из таких вычислений, если вычисление (значения ф^«(г))
заканчивается и использует то обстоятельство, что х (J Ап. Если
(и когда) такое число х помещается затем в А, будем говорить, что
это вычисление атрофировалось. Число х называется допустимым
для удержания числом z, если х расположено в матрице ниже z-й
строки, т. е. если я4(х) > z. Множество удерживаемых числом z
(в данный момент) чисел будет называться z-списком (в этот
момент). Числа могут добавляться к z-списку и удаляться из него.
Э т а п п + 1.
(а) Выполним п шагов в перечислении каждого из множеств
wAn
(Ь) Пусть z0
<
< zp — все такие числа z, что z
отнесено к Wfn при вычислениях значений q>An (z), проделанных
в (а). Добавим к го-списку все допустимые для z0 числа, отрица-
отрицательно использованные при вычислении значения q>An (z0) и не на-
находящиеся в настоящий момент в го-списке.
§ 13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 375
Добавим к Zi-списку все допустимые для z± числа, отрицатель-
отрицательно использованные при вычислении значения уАп (z4) и не нахо-
находящиеся в z0- или в Zi-списке.
Добавим к Zp-списку все допустимые для zp числа, отрицатель-
отрицательно использованные при вычислении значения <pAn (zp) и не входя-
р
щие ни в г0-список, . . ., ни в гр-список.
(c) Выполним п шагов в перечислении каждого из множеств
Wf(u), . ¦ ., Wf(ny Для каждого х ^ п, если в Wf(X) появляется
новый (т. е. не появлявшийся в (с) на п-м этапе) элемент, в х-ж
¦строке матрицы обведите кружком первое необведенное число.
(d) Поставьте по плюсу около каждого заключенного в кружок
числа, которое не удерживается никаким числом г.
(e) Как результат добавления этих плюсов некоторые из вычис-
вычислений значений q>fn (z), рассматривавшихся в (Ь), могут теперь
атрофироваться. Для каждого такого z освободите все числа,
удерживавшиеся числом z (т. е. z-список станет пустым). Поставьте
плюс около каждого заключенного в кружок числа, которое теперь
ничем не удерживается.
(f) Повторяйте (е) до тех пер, пока вычисления из (Ь) не пере-
перестанут атрофироваться.
(g) Каждое число х, освободившееся от удержания во время
выполнения (е) или (f), но не получившее плюса, добавьте к каж-
каждому z-списку, если только (i) число х допустимо для z, (ii) число х
использовалось отрицательно в вычислении из (Ь), которое поме-
поместило z в множество Wzn, и (ш) вычисление, поместившее z
в wAnx не атрофировалось в процессе выполнения (е) и (f).
Все числа, обладающие теперь плюсами, образуют множество
An+i. Этим заканчивается этап п + 1.
Остается проверить, что множество А обладает требуемыми
свойствами. Заметим сначала, что если существует бесконечно
много этапов, на которых число х удерживается, то либо (i) суще-
существует бесконечно много этапов, на которых число х освобож-
освобождается (по ходу выполнения (f)), либо (ii) существует некоторый
z-спйсок, которому х принадлежит, начиная с некоторого этапа,
уже всегда. Это замечание вытекает из того очевидного и важного
свойства нашей конструкции, что, когда число х покидает высший
z-список, оно не может вернуться в этот список, не освободившись
предварительно. Поэтому единственный способ для обведенного
кружком числа остаться вне множества А заключается в том, что-
чтобы постоянно удерживаться некоторым числом z. Заметим далее,
что если х постоянно удерживается числом z, то, значит, число х
отрицательно используется при вычислении значения qpf (z),
и что если х отрицательно используется при вычислении значения

376 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
ф2 (z) и ni(x) > z, то число х постоянно удерживается некоторым
z', z' ^ z. Так что для каждого числа х, для которого множество
Wf(x) бесконечно (т. е. для которого все числа х-й строки заклю-
заключены в кружки), только конечное число элементов х-й строки ста-
становятся постоянно удерживаемыми (так как только конечное число
их может быть использовано в вычислениях значений ф^ (z),
z < х), а остальные числа попадают в множество А. Поэтому
условия, описанные в начале доказательства, выполняются, и мы
имеем С 0 К ^т А'.
Остается доказать, что А' ^т С @ К. Допустим для проведе-
проведения индукции, что (а) мы вычислили характеристическую функ-
функцию множества А' для всех значений аргумента, меньших данного
z, что (Р) нам известны все числа, которые оказываются навсегда
удерживаемыми любым из z' < z, и что (у) мы определили, какие
числа из строк выше z-й попали в множество JL (Последние све-
сведения имеют конечный объем, поскольку строки содержатся или
не содержатся в множестве А целиком с точностью до конечного
множества.) Будем действовать так. Определим с помощью С-ора-
кула, содержится ли число z в множестве С. Если z ? С, то лишь
конечное число элементов z-й строки находится в множестве А;
воспользуемся .К-оракулом, чтобы найти наибольший элемент
строки, принадлежащий множеству А; все предыдущие элементы
этой строки, которые не удерживаются навсегда каким-либо
z' < z, попадают в А. Если z (J С, то z-я строка попадает в мно-
множество А целиком, кроме конечного числа элементов, и все ее
элементы, не удерживаемые навсегда каким-либо ъ < z, должны
быть в множестве А. Мы получили (у) для z + 1. Воспользуемся
теперь if-оракул ом, чтобы определить, существует ли такой этап
п в перечислении множества А, на котором найдется такое вычис-
вычисление, относящее число z к множеству Wfn, что всякое отрица-
отрицательно использованное в нем число либо попадет в множество А,
о чем мы узнали бы из (у) (для z + 1)> либо удержится на этапе
п числом z, либо, о чем мы узнали бы из (Р), окажется навсегда
удерживаемым некоторым z' <^z. Если существует, то z ? А ' и числа,
удерживаемые z на этапе п, суть в точности числа, удерживаемые
числом ъ навсегда. Если нет, то z (J А', и никакое число не удер-
удерживается числом z навсегда. В обоих случаях мы получим (а)
и (р) для z -f- 1. Таким образом, мы имеем индуктивную процедуру
вычисления характеристической функции множества А' рекур-
рекурсивно относительно множеств С ж К. Итак, А'
К..
Теорема XXV может быть следующим образом усилена.
Следствие XXV (а). [О' ^ с & с рекурсивно перечислима отно-
относительно О'] =>- (За)[а рекурсивно перечислима & 0 < а < 0' &
& а' = с].
13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 377
Доказательство. Модифицируем доказательство тео-
теоремы XXV. (i) Зарезервируем в каждой строке первое число,
чтобы, используя их с подвижными маркерами в простом фрид-
берговом варианте метода приоритета, обеспечить А Ф Wz при
всех z. (ii) В доказательстве теоремы XXV удержания были вве-
введены так, что вычисление значения ф^ (z) связывалось с z-й стро-
строкой. В настоящем доказательстве мы связываем вычисление
ф^(г) с 2г-й строкой, a Bz + 1)-й строке сопоставляем вычисле-
вычисления, заключающиеся в отыскании какого-нибудь элемента множе-
множества В П Wf, где В — такое простое множество, что В =т К
(например, возьмем в качестве В множество S* из § 8.4). Более
точно, на этапе п -\- 1 проделывается по п шагов в перечислении
множеств Wfn (при z ^ п) и В. Если мы при этом не найдем
ни одного элемента, принадлежащего множеству В [\ Wfn, то
рассмотрим (на подэтапе (Ь)) удержания для каждого из элемен-
элементов (точнее, соответствующих им вычислений) множества Wzn,
которые уже перечислены; для каждого нового (на (п + 1)-м эта-
этапе) элемента множества Wfn мы заводим новый список удержа-
удержаний, который помещается (для целей подэтапа (Ь)) ниже всех спи-
списков удержаний, соответствующих неатрофировавшимся ранее
выполненным вычислениям элементов множества Wz n, ниже всех
списков удержаний, соответствующих строкам выше Bz + 1)-й,
но выше всех списков удержаний, соответствующих строкам,
расположенным ниже Bz + 1)-й. Если же, напротив, мы найдем
какой-нибудь элемент множества В f) Wz n, то рассмотрим
(на подэтапе (Ь)) списки удержаний для каждого из элементов,
(точнее, соответствующих им вычислений) множества Wz n, кото-
которые были перечислены до появления первого известного элемента
из В. Эти списки удержаний располагаются в данном случае
так же, как и в случае, когда не было найдено элементов множе-
множества В П Wfn. Процедура освобождения (для атрофировавших-
атрофировавшихся вычислений) на подэтапах (е) и (f) остается прежней.
Основные фа^ты, касающиеся постоянного удержания, дока-
доказываются, как и прежде, и заключительное индуктивное доказа-
доказательство также не изменится, если сделать важное замечание
о том, что, как только нам известны все элементы «множества А,
располагающиеся в матрице сверху по Bz + 1)-ю строку, мы
можем рекурсивно перечислить те элементы множества Wz,
которые уже получены и для которых (как элементов множества
Wfn) учреждены списки удержаний по ходу основного построе-
построения. Конечно, в Wfn могут попасть (в основном построении)
числа, не принадлежащие множеству Wz, но они могут быть
выявлены (поскольку возможные причины их непринадлежности.

378 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
множеству Wz будут уже известны) и воздействие соответствую-
соответствующих им и позднее атрофирующихся вычислений на другие списки
удержаний может быть учтено.
Наш рекурсивный пересчет элементов множества Wf либо дол-
должен пересечься с множеством В (так как В просто), либо быть
конечным и исчерпывающим. (Для целей индукции отметим, что
в обоих случаях только конечное число элементов будет постоянно
удерживаться вычислениями, соответствующими Bz + 1)-й стро-
строке.) Но отсюда вытекает Wf Ф В. Поэтому В ^т А, и доказа-
доказательство окончено.|
Следствие XXV (а) показывает, что все три возможных ответа
на вопрос 3 (стр. 343) осуществимы. (Таким образом, вопрос 3
исчерпан. Первым дал на него полный ответ Шёнфильд.)
Построение из следствия XXV (а) дает равномерный переход
от индекса множества С (относительно К) к индексу множества А.
Эта равномерная конструкция допускает релятивизацию. Таким
образом, справедливо следующее утверждение.
Следствие XXV (Ь). Существует такая общерекурсивная функ-
функция /, что для всех х и D имеет место D <CT Wf(X)
D'
Доказательство. Эта релятивизация очевидна.щ
Приложением следствия XXV (Ь) служит такой результат.
Теорема XXVI (Мартин, Лахлан). Существует такая рекур-
рекурсивно перечислимая степень а, что (Уп) [0(П> < а(П) < 0<п+1>].
Доказательство. Применим к функции / из следствия
XXV (Ь) реляти'визованную теорему о рекурсии, чтобы полу-
получить такое п, что для всех X имеет место Wfw = Wn- Возьмем
в качестве а степень множества W&. Доказываемое утверждение
проверяется непосредственно.щ
Мы закончим этот параграф, сформулировав некоторые даль-
дальнейшие результаты.
1 (Сакс). Упорядочение рекурсивно перечислимых степеней
не есть решетка.
2 (Ейтс). Степень 0 есть наибольшая нижняя грань двух рекур-
рекурсивно перечислимых степеней, отличных от 0.
3 (Ейтс). Существует такая рекурсивно перечислимая степень
а > 0, что для любой рекурсивно перечислимой степени b <C 0'
справедливо а [) Ь < 0'.
4 (Сакс). [0 < а & а рекурсивно перечислима] =>- существует
такая рекурсивно перечислимая степень d, что [0 < d < а &
&d' = 0'].
§ 13.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 379
5 (Мартин, Лахлан). Существуют такие рекурсивно перечис-
перечислимые степени а и Ь, что (Vrc) 1а(П)| Ь(П)]. См. упр. 13-54.
6 (Ейтс). Существует степень, меньшая 0', не сравнимая со все-
всеми рекурсивно перечислимыми степенями, заключенными строго
между 0 и 0'.
7 (Шёнфильд, Сакс). 0 < а <С 0' =>¦ существует такая рекур-
рекурсивно перечислимая степень Ь, что b | а.
8 (Спектор). Никакая возрастающая последовательность сте-
степеней не имеет наименьшей верхней грани; но (Сакс) всякое счет-
счетное множество степеней имеет минимальную верхнюю грань.
9 (Спектор). Арифметические степени не образуют решетку.
10 (Сакс). Если П —- такое частично упорядоченное множество,
что (i) мощность множества П не превосходит *si (первый несчет-
несчетный кардинал) и (п) каждый элемент множества П имеет не более
х0 предшествующих ему, то существует подупорядочение степе-
степеней, изоморфное множеству П.
11 (Сакс). Если П — такое частично упорядоченное множество,
что (i) мощность множества П не более 2No и (ii) каждый элемент
множества П имеет не более конечного числа предшествующих ему
элементов, то существует подупорядочение степеней, изоморфное П.
12 (Титгемейер). Существует такая меньшая 0" степень, что
между нею и 0 заключена единственная степень.
13 (Сакс). (Va)[(Vb)[[b ф 0 & b рекурсивно перечислима] =>-
=>а<Ы=»»~а = 0].
14 (Ейтс). Для всякой рекурсивно перечислимой степени,
большей 0, существует меньшая ее минимальная степень х), но
•существует такая степень, большая 0, ниже которой нет мини-
минимальных степеней.
15 (Шёнфильд). Для всякой степени а < 0' существует такая
минимальная степень b < 0', что b ^ а, но (Ейтс) существует
такая рекурсивно перечислимая степень а < 0', что, какова бы
ни была рекурсивно перечислимая степень b > 0, а и b имеют
большую 0 нижнюю грань.
16 (Мартин), а — степень некоторого максимального множе-
множества <=> а — степень некоторого гипергиперпростого множества <=>
<=> [а рекурсивно перечислима и а' = 0"].
Приведем в качестве заключительного примера следующую
теорему Сакса, из которой выводится ряд интересных следствий
(включая некоторые из приведенных выше утверждений). Эти
следствия перечисляются в упр. 13-53. Теорема является даль-
дальнейшим обобщением упр. 10-11.
Теорема (Сакс). Пусть даны такие множества В, С и D, что D
рекурсивно перечислимо относительно В, С s^t D и С ^т -В-
Не рекурсивно перечислимая в силу 13.— Прим. перев.

380 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Тогда существуют такие множества Di и D2, что Di (J D2 = D,
Df П D2 = 0, Z>i и D2 рекурсивно перечислимы относительно В,
С ^т В @ Di и С ^ТБ 0 D2.
Сакс [1963Ы перечисляет некоторые открытые вопросы, среди
которых содержатся следующие. Сохранится ли в силе утвержде-
утверждение 11, если слово ;,конечное" заменить на „счетное"? Всякое ли
независимое множество степеней (т. е. множество, в котором ника-
никакая степень не сводится к наименьшей верхней грани конечного
числа других) мощности, меньшей 2^», может быть расширено
до большего независимого множества? Назовем начальным отрез-
отрезком всякое множество степеней, замкнутое относительно операции
перехода от а к {b | b ^ а}; всякое ли конечное частично упоря-
упорядоченное множество, подчиненное условиям (i) существует наи-
наименьший элемент и (И) всякая пара элементов имеет не более одной
минимальной верхней грани, может быть начальным отрезком *)?
Сакс предполагает, что ответы на эти вопросы положительны.
В пересмотренном издании [1963b] Сакс ставит также (среди про-
прочих) следующий вопрос: существует ли такое z, что (для всех А
и В) A<TWf< ^А' и [А е=т'Я => W? =т W?]?
§ 13.9. УПРАЖНЕНИЯ
§ 13.1
13-1. Пусть дано множество А. Возьмем две различные допустимые
гёделевы нумерации класса частичнорекурсивных функций (упр. 2-10).
Получим из них по теореме 9-11 нумерации класса А -рекурсивных функций.
Пусть А1 яА2 — скачки множества А, определенные с помощью этих нумера-
нумераций. Докажите, что Ai = А2-
13-2. Проведите формальные построения (подобно тому, как это сделано
для =#> из пункта (d) теоремы I) для Ф= из (d), а также для =# и #= из (е) теоре-
теоремы I.
^-З^Покаяште, что для любого множества А
(i) А' продуктивно,
(П) К <[т А =j> А> продуктивно,
*) В настоящее время получен ряд результатов о возможном строении
начальных отрезков полурешетки Т-степеней. Лахлан (Distributive initial
segments of the degrees of unsolvability, Zeitschr. f. math. Logik u. Grundl.
Math., 14, N 5 A968), 457—472) показал, что всякая счетная дистрибутив-
дистрибутивная решетка с наименьшим элементом изоморфна некоторому начальному
отрезку Т-степеней. М. Лерман (Some nondistributive lattices as initial seg-
segments of the degrees of unsolvability, Journ. symb. logic, 34, N 1 A969), 85—
98) доказал существование начальных отрезков, представляющих собой
(недистрибутивные) решетки с нулем, единицей и ph + 1 попарно не сравни-
сравнимыми элементами, где р — простое число. Вложимость конечных решеток
некоторого специального вида в качестве начальных отрезков установлена
Томасоном (Sublattices and initial segments of the degrees of unsolvability,
Canad. journ. math., 22, N 3 A970), 569—581).— Прим. перев.
§ 13.9. УПРАЖНЕНИЯ 381
(iv) из продуктивности множества А не вытекает, что (Зв)[А = В>\.
Покажите, что для любых множеств А и В
(v)A'=B'^>A = В.
13-4. Покажите, что операция скачка на степенях определима на языке
отношений <[ и пбытъ рекурсивно перечислимым относительно".
13-5. Покажите, что существует равномерная процедура, позволяющая
при любом п по данному множеству 0<п> вычислять п, т. е. что существует
такое 2, что при каждом п справедливо ф^ @) = п.
13-6. Пусть А ¦? а, В ? b и множество А рекурсивно перечислимо отно-
относительно В- Какие из следующих утверждений верны и какие ложны?
(i) Всякое Ai ? а рекурсивно перечислимо относительно В.
(ii) Множество А рекурсивно перечислимо относительно любого By ? b.
Д13-7. Покажите, что (V4)(Vb) U((o) ф тВ'].
13-8. Докажите, что для любого множества А существует такая возра-
возрастающая функция /, что А <;т {(х, у) \ х ? 0<fty>>}. (Указание. См.
упр. 13-5.)
13-9. (а) Докажите, что (^4 — арифметическое относительно
3
(Ь) Докажите, (что А — арифметическое относительно В) ^
13-10. Покажите, что отношение „быть арифметическим относительно"
транзитивно.
§ 13.2
13-11. Докажите, что [0 < а & а «^ d] =§>Cb)[b|a & ds^b<a' II d].
{Указание. См. теорему VII.)
Д13-12 (Клини, Пост). Покажите, что для любых степеней а4, а2, аз, таких,
что а4 < а2 ^ а3, существует такая степень Ь, что b | a2, b | а3 и ац < Ь < а?.
(Указание. Обобщите доказательство теоремы VII.) Используя этот результат,
докажите, что для любого конечного интервала последовательности 0', 0",. . .
существуют степени, не сравнимые со всеми элементами этого интервала,
но сравнимые со всеми остальными элементами последовательности.
Д13-13 (Клини, Пост). Покажите, что в упр. 13-12 (единственную) сте-
степень b можно заменить бесконечной совокупностью попарно не сравнимых
степеней.
13-14. Покажите, что 0' = К.
13-15. Пусть функция / такая же, как в доказательстве теоремы VIII.
Проверьте, что для всякого х [х 6 К' <=> ф/(ж) не всюду определена].
Д13-16. Докажите, что {х \ фж — рекурсивная перестановка) = К>'.
^13-17. Докажите, что {х ] Wx коконечно} = К".
^13-18. Докажите, что {х \ Wx рекурсивно} = К".
§ 13.3
13-19. Покажите, что (Va)(Vre)Cb)[b | а & а<"> < Ь']. (Указание. См.
доказательство следствия IX (Ь).)
Д13-20. (Спектор). Покажите, что Ca)Cb)[a | b & (a vj b)' = а' и Ь''].
(Указание. Постройте / и g примерно так же, как при доказательстве теоремы
X, включив в построение дополнительные шаги, обеспечивающие несравни-
несравнимость %x[fBx)] и Xx[fBx + 1)]. Пусть множества А1жА2 таковы, что см =
= %x[fBx)], а сА2 = %x[fBx+ 1)]. Заметим, что А = Ai ф А2.)
13-21. Используя следствие IX (а), постройте пример таких степеней
а и Ь, что a' \j b' Ф (а и Ь)'. (Указание. См. доказательство следствия
IX (Ь).)

382 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Д13-22. Докажите следствие X (Ь).
13-23. Докажите следующую релятивизацию теоремы XI: (Vd)(9b)[d <
< b < d' & b не рекурсивно перечислима относительно d]. (Указание.
Примените метод релятивизации из теоремы VII.)
13-24. (а) Докажите, что б — метрика на %, т. е.
(i) б(/, g) = О <=?> / = е,
(и) 6(/, e) = «(*, /),
(iii) б(/, К) ^ 6(/, g) + 6(g, h).
(b) Покажите, что индуцированная этой метрикой топология и описанная,
в § 13.3 топология декартова произведения на % совпадают.'
(c) Если отождествить каждое множество с его характеристической функ-
функцией, то пространство JT (всех подмножеств N) отождествится с %. Дока-
Докажите, что топология в пространстве %, индуцированная метрикой, и топо-
топология, описанная в пункте (с) упр. 11-35, совпадают.
(d) Докажите, что (в выбранной нами топологии) каждая точка в про-
пространстве % замкнута, а всякая сферическая окрестность одновременно
открыта и замкнута. (Такие пространства иногда называют вполне несвяз-
несвязными.)
(e) Покажите, что пространство % — компакт. (Указание. Покажите,
что оно обладает следующим свойством: если пересечение любого конечного'
подсемейства данного семейства замкнутых множеств не пусто, то и пересе-
пересечение всех множеств данного семейства должно быть непустым-)
Д13-25.
Определение. Последовательность точек /0, Д, . . . (метрического про-
пространства) называется последовательностью Коши, если для любого действи-
действительного 8 > О
Ci»)(Vp)(Vg)[[B < р & п < q] =Ф 6(/p, fq) < в].
Определение. Точка g называется пределом последовательности
/0, Д, . . ., если lim 6(/„, g) = 0.
П-юо
Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем.
всякая последовательность Коши имеет предел. (Свойство полноты является
обобщением на случай метрических пространств свойства действительной
прямой, выражающегося в наличии наименьшей верхней грани у ее ограни-
ограниченных подмножеств.)
Докажите, что пространство % полно.
?13-26. Докажите теорему Бэра (теорема XII). (Указание. Пусть % —
полное метрическое пространство. Предположим, что % — объединение
счетной последовательности нигде не плотных множеств. Пусть Ч§0, %^, ...
оо
— замыкания элементов этой последовательности. Тогда % = U %; и
г=0
не содержит ни одной сферической окрестности]. Найдем такую
п
цепь сферических окрестностей JPq ZD dfi !Э • . ., что ^Рп (~| (U foi) = 0-
Образуем последовательность Коши из элементов последовательных окрестно-
оо
стей (/; g $>i) и покажем, что ее предел не может принадлежать U %t.)
г=0
Д13-27. (а) Приведите пример множества первой категории в %, имею-
имеющего положительную меру. (Указание. Для всякой возрастающей последо-
последовательности х0, xt, ... рассмотрим множество {/ | Di)Cx)[xt ^ х <
< xi+1 & f(x) = 1]}. Покажите, что это — множество первой категории,
но что, если щели между двумя последовательными элементами после-
§ 13.9. УПРАЖНЕНИЯ 383
довательности растут достаточно быстро, мера этого множества положи-
положительна.)
(Ь) Постройте пример множества второй категории в пространстве %,
имеющего меру нуль. (Указание. Покажите, что множество первой категории,,
построенное в (а), может иметь меру, сколь угодно близкую к 1. Возьмите
объединение счетного семейства таких множеств и рассмотрите его допол-
дополнение.)
13-28. Назовем множество в пространстве % плотным в %, если его замы-
замыкание есть 'g.
(a) Покажите, что всякое множество, дополнение которого есть множество
первой категории, плотно в %.
(b) Выведите из теоремы Бэра, что пересечение счетного семейства мно-
множеств, каждое из которых открыто и плотно в <$, есть множество второй кате-
категории, дополнение которого есть множество первой категории. [Замечание:
доказательство теоремы XIII сводится к тому, чтобы показать, что для каждо-
каждого z внутренность множества {/ | с# Ф ф^} открыта и плотна в "g. (Внутрен-
(Внутренность множества есть объединение всех содержащихся в нем сферических
окрестностей.)]
Д13-29 (Сакс). Назовем степень а минимальной, если 0 < а
и (Vb)[b< a =J> b = 0]. (В § 13.5 показано, что такие степени существуют.)
Докажите, что совокупность минимальных степеней имеет меру нуль-
(Указание. Для произвольной фиксированной функции / положим /* =
= Xx[fBx)] и /**=Хж[/Bж + 1)]. Ясно, что /* ^т/. Покажите, что Р [/* ре-
рекурсивна] =0 и Р [/«?т/*1 = Р [/** sST/*] = °0
Д13-30 (Сакс). Докажите следующее обобщение теоремы XIV (и выведите
аналог следствия XIV): множество {а | 0' рекурсивно перечислима относи-
относительно а} имеет меру нуль. (Указание. Покажите, что для любых А и z
V[A = W{] = е > 0 =J> А рекурсивно перечислимо. Примените методы дока-
доказательства теоремы XIV, начав с тождества (справедливого при любом п)
V[A = W^] =¦ Р[C/')[/' — начальный сегмент функции f и (V'х)[х <! п =$
=$[х?А <=>? 6 h4//]]]]]-PU = Wfz | (Э/')[...]] = е, где w[ri есть область
определения функции ф^'-'-)
§ 13.4
13-31. (а) Докажите следствие XV.
(Ь) Определите формально (т. е. в терминах рекурсивно перечислимых
множеств), что такое щ?\ когда / — сегмент двух переменных.
Д13-32 (Клини, Пост), Назовем конечное множество степеней незави-
независимым, если никакая степень из этого множества не Т-сводится к (итериро-
(итерированному) сочленению остальных степеней. Покажите, что в упр. 13-12 един-
единственную степень b можно заменить произвольно большой независимой сово-
совокупностью степеней.
13-33 (Клини, Пост). Покажите, что теорема XVI останется верной,
если стеиень 0 (в ее формулировке) заменить произвольной степенью а.
§ 13.5
13-34. (а) Докажите следствие XVII (а).
(Ь) Докажите следствие XVII (Ь).
Д(с) (Мартин). Модифицировав построение из доказательства теоремы
XVII, докажите, что (Эа)[О < а & а" = 0" & (Vb)[b < а => Ь = 0]].
(Указание. Переделайте построение так, чтобы для всякого п вопрос,
всюду ли определена функция ф^, сводился к степени 0". Для этого сделайте

384 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
так, чтобы подэтапы (Ь) и (с) (этапа 2ге + 2) принуждали функцию ф? быть
всюду определенной. Этого можно добиться, дополняя построения, проде-
проделанные на подэтапах (Ь) и (с), с помощью приема, использованного на под-
этапе (с).)
(d) (Мартин). Покажите, что степень а из предыдущего пункта дает
пример нерекурсивной степени, не содержащей гипериммунных множеств.
(Указание. Покажите, что на этапе 2п -\- 2 существует общерекурсивная
•функция /*, мажорирующая {х \ ф|;(ж) = 1}, если только функция ф^ всюду
определена.)
Д13-35 (Лакомб). Покажите, что существует 2No минимальных степе-
степеней. (Указание. В теореме XVII на этапе In + 1 используйте интервал
{z | fem(i) sj 2 < h™B)} вместо {z | um@) <; z < um(l)}, определите Л™+1 =
= %x[hm(x + 2)] и сделайте произвольный выбор (для построения /™+1)
из {z | hm@) ^ z < hm(l)}. Таким образом, делая к0 произвольных выборов,
можно получить 2Хо вариантов функции g.)
13-36. Покажите, что всякая степень является наибольшей нижней
гранью двух несравнимых степеней. (Указание. Воспользуйтесь теоремой VI.)
§ 13.6
13-37. Докажите следствие' XVIII.
Д13-38 (Майхилл). Пусть N* = N (J {со}, 3й = (N*)N — совокуп-
совокупность всех отображений из N в N*. Мы можем отождествить 3° с совокуп-
совокупностью всех функций, полагая, что о|)(ж) = со означает ,,1|)(ж) расходится"
(д^я произвольной функции i|) из 3й). Следующим образом определим 6 для
-произвольных функции ф и ^ из совокупности 3й:
Г
l
если
еспи*1
ф;
(a) Покажите, что 6 — метрика на 3° и потому определяет топологию
ла 3°.
(b) Покажите, что 3° полно (как топологическое пространство).
(c) Докажите, что {ty |(Э /)[/ <;е ty & / не рекурсивна]} есть множество
первой категории, и выведите отсюда с помощью теоремы Бэра теорему XVIII.
.(Указание. См. подэтап (Ь) этапа 2п -f- 2 из доказательства теоремы XVIII.)
[Читателю следует в этом случае (как и в других) заметить, что, хотя понятие
^категории множества дает эвристическое упрощение и формальную экономию,
основной комбинаторный шаг является общим для доказательств, как исполь-
использующих, так и не использующих это понятие.]
13-39. (а) Докажите следствие XIX.
Д(Ь) Пусть дана частичнорекурсивная функция -ф, принимающая в ка-
качестве значений только 0 и 1. Предположим, что существуют такие функция
g и рекурсивный оператор Ф, что (V/)[[o|) с/ & область значений / содержит-
содержится в {0, 1}] =# Ф(/) = g]. Покажите, что g обязательно общерекурсивна.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой о компактности для деревьев (упр. 9-40),
или, эквивалентно, компактностью пространства % (упр. 13-24.)]
13-40. Докажите теорему XX аналогично доказательству теоремы VI.
13-41. Пусть 3° — топологическое пространство, определенное
в упр. 13-38. Для произвольной функции о|) покажите, что если if не частично-
рекурсивна, то {ф | Ф ^e'tи Ч1 ^е Ф } есть множество второй категории; полу-
получите отсюда теорему XX. (Указание. Воспользуйтесь методом из теоремы
XIII, т. е. покажите, что для любого п если множество {ф | г|) = Ф„(ф)}
•нигде не плотно, то функция i|) частичнорекурсивна.)
13.9. УПРАЖНЕНИЯ 385
§ 13.7.
13-42. Рассмотрим массовые проблемы A) — E), описанные на стр. 365.
Построив соответствующие рекурсивные операторы, проверьте относящиеся
к этим проблемам утверждения.
13-43. Докажите, что операторы Л и V, определенные на массовых проб-
проблемах, корректно определены на степенях трудности.
13-44. Определите формально, т. е. с помощью рекурсивно перечислимых
множеств, операторы Ф1 и Ф2 из доказательства теоремы XXI. Покажите,
что индекс оператора Ф1 (в нумерации рекурсивных операторов) может быть
аффективно найден по т и п, и что индекс оператора Ф2 может быть эффектив-
эффективно найден по р и q.
13-45. Покажите, что никакой элемент решетки Медведева, отличный
от 0 и 1, не может иметь дополнения. Отсюда следует, что решетка Медведева
не есть булева алгебра.
13-46. Докажите, что, какова бы ни была функция /, степень трудности,
содержащая {/}, есть степень разрешимости.
13-47. Покажите, что утверждения Е^ = Ев и S^ = SB независимы,
т. е. ни одно из этих утверждений не следует из другого.
13-48. Завершите доказательство теоремы XXIII (Ь).
13-49. (а) Покажите, что среди неединичных элементов решетки Медведе-
Медведева нет максимальных.
(b) Покажите, что в решетке Медведева не существует таких несравнимых
элементов А и В, что А V В = 0.
(c) При каких условиях пересечение двух степеней разрешимости может
быть само степенью разрешимости?
13-50. (а) Пусть % — дистрибутивная решетка, с ? X, .7 — главный
идеал, порожденный с. Пусть а и Ъ — элементы решетки X, [в] и [6] —
элементы факторрешетки XlCf, определяемые а ж Ь. Докажите, что [в] ^С
^ [Ь] тогда и только тогда, когда а <; Ь \J с (упр. 12-7).
(Ь) Сформулируйте соответствующий результат для главных дуальных
идеалов.
Д 13-51. Проверьте утверждения, сделанные в примерах 4 и 5 (стр. 372).
13-52. Пусть аМ — решетка Медведева, D ? сМ, 35 — главный дуальный
идеал, порожденный D. Определим ~\ А как А —>- D. Рассмотрим формулы
со связками "~|, V , Л , —*¦ и *-»-. Покажите, что эти формулы могут быть интер-
интерпретированы на факторрешетке aMI*S, т. е. что, приписывая переменным
в таком выражении элементы факторрешетки в качестве значений, мы полу-
получим единственный элемент факторрешетки в качестве значения всего выра-
выражения. Используя результат Медведева об интуиционистском исчислении
высказываний (см. § 13-8), покажите, что всякая теорема интуиционистского
исчисления высказываний истинна во всякой такой факторрешетке. Покажи-
Покажите, что обратное неверно. В частности, приведите примеры (степени D),
когда (i) все выражения истинны в оМ/*3), (ii) совокупность истинных выра-
выражений состоит в точности из теорем классической двузначной логики выска-
высказываний.
§ 13.8
А 13-53 (Сакс). Выведите из теоремы Сакса, сформулированной в конце
§ 13.8, следующие следствия-
(i) [b < d & d рекурсивно перечислима относительно b]=^Cdj)Cd2)
[d = dt \U d2 & b < dj < d & b < d2 < d & dj рекурсивно
перечислима относительно b & d2 рекурсивно перечислима относительно
b]. (Указание. Докажите следующую лемму: если A \J В = С, А П В = 0
и А и В рекурсивно перечислимы относительно С, то С = ^А ф В.)
25-0506

386 ГЛ. 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(ii) Множество А рекурсивно перечислимо =?> А есть объединение двух
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств несравнимых сте-
степеней. (Этот результат упомянут в конце упр. 10-11.)
(Hi) {b | b< 0'} не имеет максимальных элементов.
(iv) [b < с < d & d рекурсивно перечислима относительно Ь] =#>
Ca)[b <a<d &a|c &а рекурсивно перечислима относительно Ь].
(Это результат 7 из § 13.8.)
(v)^4 рекурсивно <=> (V-B)[?. рекурсивно перечислимо, но не рекурсив-
рекурсивно =ф А <т В]. (Это результат 13 из § 13.8.)
(vi) C b) [d рекурсивно перечислима относительно b & b < d] =# d
есть минимальная верхняя грань совокупности всех степеней, меньших d.
(vii) Cb) [d рекурсивно перечислима относительно b & b < d] =Ф суще-
существует такая возрастающая последовательность степеней а0 < а^ < а2 < ...
..., что d есть минимальная верхняя грань этой последовательности. (Как
следует, из результата 8 из § 13.8, наименьшей верхней грани эта последова-
последовательность иметь не может).
Д 13-54 (Мартин, Лахлан). Покажите, что существуют такие рекурсивно
перечислимые степени а и Ь, что (У1) [a(n) | b(n)]. (Указание. Модифицируйте
доказательство теоремы XXV и следствие XXV (Ь), чтобы получить такие
общерекурсивные функции / и g, что для всех х и у справедливо (W?(x,v))f =
= WDJ © D>, (WDg{x,y))> = wf ф Df, причем множества Wflx<y> и W%(x,u)
несравнимы. Затем применяйте, итерируя, теорему о рекурсии (см. теорему
11-Х).]
А 13-55. Покажите, что m-степени арифметических множеств не образуют
решетки относительно m-сводимости. (Указание. Возьмите К1 и К*, рассмот-
рассмотрите их произвольную нижнюю грань и постройте большую нижнюю грань,
следуя методу доказательства теоремы 9-1.)
13-56. Выведите из результатов § 13.8, что существует рекурсивно пере-
перечислимое нерекурсивное множество, к которому не сводится никакое гипер-
гиперпростое множество.
А 13-57. (Мартин). Скажем, что / мажорирует все общерекурсивные функ-
функции, если (V общерекурсивная g) Cm)(Vn)[m <; п =# g(n) < /(»)].
Докажите: 0" ^ а' <=> существует функция / степени а, мажорирующая
все общерекурсивные функции. (Указание. Ф=. Достаточно доказать, что мно-
множество В = {z | фг всюду определена} рекурсивно перечислимо относительно
а'. Но мы можем перечислять z ? В, перебирая такие т, что для всех п ;> т
значение <р2(гс) вычисляется за f(n) или меньшее число шагов. =^>. Пусть дана
некоторая общерекурсивная функция g, такая, что z ? В <=> W^lz-, конечно,
где А ? а. Для каждого z перечислим (рекурсивно относительно множества А)
последовательность z«", zA>,- . . ., где z(n) есть либо ф2(гс), либо ге-й элемент
множества W^.z.. Постройте функцию /, мажорирующую все эти последова-
последовательности, в которой к тому же с помощью четности или нечетности значений
закодирована функция сА). (Мартин использовал этот результат, чтобы полу-
получить характеристику степеней максимальных множеств.)
Глава 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(часть 1)
§ 14.1. Иерархия множеств 387
§ 14.2. Нормальные формы 391
§ 14.3. Алгоритм Тарского — Куратовского 394
§ 14.4. Арифметическая представимость 400
§ 14.5. Сильная теорема об иерархии 403
§ 14.6. Степени 406
§ 14.7. Приложения в логике 408
§ 14.8; Вычислимые степени неразрешимости 415
§ 14.9. Упражнения 425
§ 14.1. ИЕРАРХИЯ МНОЖЕСТВ
В предыдущих главах понятия степени и сводимости применя-
применялись для классификации множеств натуральных чисел. В этой
главе мы построим новую (хотя и более грубую) классификацию
таких множеств. Эта новая классификация позволит лучше понять
предыдущую теорию и установить новые связи теории рекурсив-
рекурсивных функций с математической логикой. Она также-даст элегант-
элегантные методы большой мощности для установления сходства или
несходства разнообразных множеств натуральных чисел. В § 14.5
приводится основная теорема главы, являющаяся обобщением
теорем о проекции (теоремы 5-Х и 5-XI).
Определение. Отношение R входит в арифметическую иерар-
иерархию, если R рекурсивно или может быть получено из некоторого
рекурсивного отношения S путем последовательного применения
конечного числа операций проектирования и взятия дополнения х).
Рекурсивно перечислимые отношения входят в арифметическую
иерархию, так как всякое рекурсивно перечислимое отношение
можно получить из некоторого рекурсивного отношения проекти-
проектированием (теорема 5-Х). Следовательно, и дополнение любого
рекурсивно перечислимого отношения входит в иерархию, так как
его можно получить из рекурсивного отношения операциями
проектирования и взятия дополнения.
Определение. Пусть дано множество А. Отношение R входит
в арифметическую иерархию относительно А, если R рекурсивно
или может быть получено из некоторого Л-рекурсивного отноше-
отношения S путем применения конечного числа операций проектирова-
проектирования и взятия дополнения.
х) Впервые арифметическая иерархия исследовалась Клинй [1943]
и Мостовским [1947]. |В гл. 15 будут рассмотрены аналоги иерархий Бореля
и иерархии проективных множеств действительных чисел.
25*

388 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Согласно релятивизованной теореме о проекции, любое множе-
множество, рекурсивно перечислимое в А, входит в арифметическую
иерархию относительно А.
При рассмотрении иерархий удобно использовать логические
символы для обозначения операций проектирования и взятия
дополнения. Операция взятия дополнения будет обозначаться
знаком отрицания, а операция проектирования — квантором
существования. Например, если R есть «-местное отношение, то
{<хь . . ., хп) \.~iR(xu . . ., хп)}
— дополнение отношения R, а
{<ж1} . . ., xn_i) | (Зжп)Д(ж1, . . ., хп)}
— одна из п возможных проекций отношения R,
{{хи . . ., хп_3) | Л (Э?п_2) п (Эжп)(ЭхпМ)Л(ж1, . . ., хп)}
есть результат применения операций проектирования, проекти-
проектирования, взятия дополнения, проектирования, взятия дополнения
(именно в таком порядке) к Л. В подобных выражениях (вклю-
(включающих символы отрицания и кванторы) все символы отрицания,
кроме, быть может, одного, можно устранить путем введения
квантора общности и использования следующих правил элемен-
элементарной логики: нЗ эквивалентно V~l; HV эквивалентно Зп;
a H~i можно опускать. (Полезны еще такие правила: V эквива-
эквивалентно пЗп, а Э эквивалентно tV I.) Так, например, 13 tЭ~V
можно заменить на V33 I. Так как дополнение рекурсивного
отношения также рекурсивно, то имеем следующее.
Теорема I. п-местное отношение R входит в арифметическую
иерархию тогда и только тогда, когда оно рекурсивно или может
быть выражено при некотором т в такой форме:
{(хи . . ., хпу | (Qij/i) . . . (Qmym)S(xi, . . ., хп, уи . . ., ут)},
где Qi — это или V или 3 для 1 ^ i^m, a S — (п + т)-местное
рекурсивное отношение.
Доказательство. Всякую последовательность опера-
операций проектирования и взятия дополнения, применяемых к рекур-
рекурсивному отношению, можно преобразовать по упомянутым выше
правилам логики так, чтобы (при подходящем переименовании
переменных рекурсивного отношения или его дополнения) полу-
получить требуемое выражение.
Наоборот, во всякой последовательности кванторов, учиты-
учитывая, что V эквивалентно "П 3 ~1, все кванторы общности можно
заменить на отрицания и кванторы существования, что и дает
последовательность операций проектирования и взятия дополне-
дополнения..
§ 14.1. ИЕРАРХИЯ МНОЖЕСТВ 389
Определение. Пусть дано выражение, получающееся припи-
приписыванием нуля или большего числа кванторов по различным пере-
переменным к символу отношения, и пусть этому символу сопостав-
сопоставлено конкретное рекурсивное отношение. Будем говорить, что
такое выражение вместе с этим отношением образует предикатную
форму г).
Определение. Предикатная форма с т кванторами, применяе-
применяемыми к гс-местному рекурсивному отношению (здесь т < п),
определяет очевидным образом (п — те)-местное отношение.
Будем говорить, что это (п — пг)-местное отношение выразимо
в данной форме.
Например, если S есть 4-местное рекурсивное отношение, то
Ca;3)(Vx1M'(x1, x2, х3, х4) вместе с отношением S образует преди-
предикатную форму, а {(х2, х4у | Cx3)(Vx1)iS'(x1, x2, x3, xt)} — отноше-
отношение, выразимое в этой форме.
Для удобства мы будем считать, что переменные рекурсивного
отношения записываются в том же порядке, в каком они встре-
встречаются в кванторах; например, {Зу2)(ЧУз)8(У11 Уг, Уз)- Однако это
ограничение не входит в определение и потому допускаются кван-
кванторы по любым переменным и в любом порядке.
Определение. Пусть дано множество А. Если в определении
предикатной формы заменить рекурсивное отношение на А -ре-
-рекурсивное отношение, то получим определение А-формы.
Из теоремы I получаются такие следствия.
Следствие I. (a) R входит в арифметическую иерархию тогда
и только тогда, когда R выразимо в некоторой предикатной форме.
(Ь) R входит в арифметическую иерархию относительно А
тогда и только тогда, когда R выразимо в некоторой А-форме.
Доказательство очевидно.я
Ошеделение. Список (быть может, пустой) кванторов преди-
предикатной формы или .4-формы назовем префиксом формы.
Например, префиксом формы Dxi)Cx2)Cx3)R(xl, x2, х3, ж4)
является V33.
Опгеделение. Числом перемен кванторов в префиксе называется
число всех пар смежных, но не совпадающих кванторов.
Например, в префиксе 33V3 две перемены кванторов.
х) Строго говоря, это определение скорее теоретико-множественное,
чем синтаксическое (т. е. символическое). Предикатная форма состоит из ре-
рекурсивного отношения и (быть может, пустого) конечного списка операторов
квантификации вместе с однозначным отображением членов этого списка
в список переменных отношения.

390
ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Мы будем классифицировать формы (и отношения, которые
в них выразимы) по числу перемен кванторов в их префиксах.[Будет
доказана фундаментальная значимость такой классификации.
Определение. Для п > 0 Ип-префикс — это префикс, начинаю-
начинающийся с 3, с п — 1 переменами кванторов.
Ио-префикс — это пустой префикс.
Для п > 0 Пп-префикс — это префикс, начинающийся с V,
сп — 1 переменами кванторов.
Н0-префикс — это пустой префикс.
(Итак, определения Ио-префикса и И0-префикса совпадают.)
- Определение. Предикатная форма с 2 „-префиксом называется
Ип-формой.
Предикатная форма с П„-префиксом называется Ип-формой.
Пусть дано множество А, тогда А -форма с 2„-префиксом назы-
называется Ип-формой; .4-форма с Пп-префиксом называется П^-
формой.
В следующем основном определении мы распространим 2^-
и Пп-классификации с форм на отношения, выразимые в этих
формах.
Определение. 2„ = [класс всех отношений, выразимых в 2^-
формах].
П„ = [класс всех отношений, выразимых в Т1п-
формах].
Пусть дано множество А.
2П =[класс всех отношений, выразимых в 2П-
формах].
П^ = [класс всех отношений, выразимых в П^-
формах].
Итак, согласно следствию I, отношение входит в арифметиче-
арифметическую иерархию тогда и только тогда, когда оно при некотором п
является элементом из 2^ или из Пп. Аналогично для арифмети-
арифметической иерархии относительно А. 2о(=По)— это класс всех
рекурсивных отношений. Согласно теореме о проекции, 2i — это
класс всех рекурсивно перечислимых отношений. Аналогичным
образом, 2(f (==П^) — это класс всех А -рекурсивных отноше-
отношений, a 2f — это класс всех отношений, рекурсивно перечисли-
перечислимых в А.
Легко доказываются следующие основные соотношения.
1)П„с 2п+1 Л Пп+1.
Теорема II. (а)
(Ь) Для любого R
€ П».
(Здесь для /с-местного отношения R R = Nh — R.)
§ 14.2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 391
Доказательство, (а) Пусть форма задается (п + т)-
местным рекурсивным отношением R и выражением
(QiJ/i) • • • {Qmym)R(xu • ¦ м хп, 'уи . . ., ут),
где Qi, . . ., Qm — последовательность кванторов. Следующим
способом можно ввести „фиктивные" кванторы. Пусть Т — отно-
отношение, выразимое в этой форме. Положим
S = {<*!, . . ., ym, Z) | R{Xl, . . ., ут) & Z € N}.
Отношение S рекурсивно, и каждое из следующих выражений
дает форму, в которой выразимо Т:
(VzXQofc) • • • (QmlU-Sfo, • • ., ym, z);
!,..., z); .
(Qi*/i) • • • (Qmym)(y/z)S(xi, . . ., z);
(Qi#i) • • • (QmJ/7n)Cz)iS'(a;1, . . ., z).
Это дает пункт (а) теоремы.
(b) Если R ? 2,i, то i? выразимо в 2„-форме. Возьмем отрица-
отрицание 'этой формы, и пронесем знак отрицания направо по прави-
правилам элементарной логики, использованным в теореме I. Это даст
П„-форму, в которой выразимо дополнение отношения R.
С другой стороны, если R 6 Пп, то отрицание Пп-формы дает
включение R ? 2П.И
Следствие II. Пусть дано А.
(a) Е^П„Ас 2^+1 П П?+1.
(b) Для любого R
RezioRent
Доказательство. Аналогично.т
В упр. 14-3 мы покажем, что п > 0 =»- B„. — Лп) Ф 0 (и, сле-
следовательно, по теореме II (Ь), что п > 0 => (Пп — 2П) Ф 0).
Этот результат называют теоремой об иерархии. В сочетании с тео-
теоремой II (а) он показывает, что классы 20, 2i, 22, . . . образуют
•строго возрастающую последовательность. Для решения упр. 14-3
потребуется теорема III (из следующего параграфа). Более силь-
вый вариант упр. 14-3 будет сформулирован и доказан в § 14.5.
$ 14.2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Отношения из класса 2n U Пп можно выразить предикатными
¦формами с не более чем п кванторами. Для этого достаточно пока-
показать, что форму с парой соседних кванторов одного типа можно
заменить эквивалентной формой с одним квантором того же типа

392
ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ
1)
и
(вместо этой пары). Доказательство использует функции Jti и Яг
(определенные в § 5.3). Например, . . .(\Лг)(Уг/) ... S(... х... у... >
эквивалентно ...(Vu)...?*(...и...), где
.z
}
при этом, если S есть w-местное рекурсивное отношение, то S*
будет (п.— 1)-местным рекурсивным отношением. Это предложе-
предложение называется правилом сжатия кванторов. (Частным случаем
этого правила является вторая теорема о проекции.) Следователь-
Следовательно, всякое отношение в арифметической иерархии выразимо пре-
предикатной формой, в префиксе которой отсутствуют пары сосед-
соседних кванторов одного и того же типа. Кванторы в Л-формах (для
данного множества А) также можно сжать указанным выше спо-
способом, поэтому любое отношение в арифметической иерархии отно-
относительно А можно выразить yl-формой, в префиксе которой нег
пар соседних кванторов одного типа.
Используя нумерацию рекурсивно перечислимых множеств,,
можно перенумеровать множества любого из классов 2П и П„
(п > 0). Аналогичным способом из нумерации множеств, рекур-
рекурсивно перечислимых относительно А, можно получить нумерацию
множеств любого из классов 2П и П„ (п > 0). Чтобы получить
эти новые нумерации, сначала введем полезные основные отноше-
отношения, обозначаемые Тп и Тп-
Определение. Для п > 0 положим
Тп = «2, хо, х\, • • -, хпу | (х0, . . ., ж„_1>
появляется на хп-м шаге перечисления множества Wz (no номеру z)}.
Для « > 0 и любого множества А положим
Т? = {<z, х0, хи . . ., хп) |Cг/)Cи)Cу)[((а:о, . . ., zn_i>, у, и,
появляется на хп-м шаге перечисления множества WP(Z) (no номеру
р(г)) и Du с А и Dv с А]}. (Перечисление множества Wz по номе-
номеру z — это перечисление, опирающееся на следствие 5-V (d).)
Очевидно, отношение Тп рекурсивно, а Тп является Л-рекур-
сивным. (ixn)Tn(z, х0, ¦ • ., хп) утверждает, что <pz((xQ, ¦ ¦ ., xn_i))
сходится, (lzn)Tn (z, x0, . . ., xn) утверждает, что (pf((x0, ...
¦ ¦ -, Ж„_1» СХОДИТСЯ г).
Для любого рекурсивно перечислимого отношения R сущест-
существует такое числог, что R(x0, . . ., xn_i) <=> Cxn)Tn(z, х0, . . ., хп).
х) Отношение Тп, введенное Клини, подобно нашему Тп, только у Клини
Тп (z, . . ., хп) ближе по значению к следующему: хп есть кодовый номер
обрывающегося вывода <fz (х0, . . ., хп_1). Отношение Клини имеет то преиму-
преимущество, что значение функции можно получить непосредственно из хп. Нам.
это не потребуется.
§ 14.2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 395
Это следует из определения рекурсивно перечислимого отношения.
Таким образом, Тп дает нумерацию всех «-местных рекурсивна
перечислимых отношений и, если взять дополнения, этот предикат
дает нумерацию всех гс-местных отношений с рекурсивно перечис-
перечислимыми дополнениями.
Определение. Если R = {(х0, . . ., zm_i) | (Эят) Tm(z,
Хо, ¦ ¦ -, xm)}, to z называется И,\-индексом (Hi-номером)
отношения R.
Если R = {(х0, . . ., жт_1) | (Va;m) ~1 Tm(z, х0, ¦ ¦ ¦, хт)}, то z
называется Hi-индексом (Ui-номером) отношения R.
Всякое множество из 2П можно получить, применяя п — 1 раз
операцию квантификации к некоторому «-местному отношению
из 24 (если п нечетно) или из 111 (если п четно). Следовательно,
можно перенумеровать все множества из 2П (аналогичное рассуж-
рассуждение проходит для множеств из Пп). Вообще всякое пг-местное
отношение из 2П можно получить, применяя п — 1 квантифика-
квантификации к (т -f- п — 1)-местному отношению из 2i (если п нечетно)
или из III (если п четно). Следовательно, для любого т > 0 полу-
получаем нумерацию всех m-местных отношений из 2П (аналогично
для П„).
Определение. Если В = {х0 \ (Эж^Уяг) • • ¦ Tn(z, x0, ¦ ¦ ¦
..., хп)}, то z называется Нп-индексом (%п-номером}
множества В (здесь „(Зх1)(Ух2) ¦ ¦ ." означает цепочку чередую-
чередующихся кванторов для нечетного п и цепочку чередующихся кван-
кванторов, завершающуюся знаком отрицания, для четного п).
Если В = {х0 | (Vxt)Cx2) • • • Tn(z, x0, ¦ ¦ ., хп)}, то z назы-
называется Нп-индексом (Пп-номером) множества В (перед Тп стоит
знак отрицания, если п нечетно).
Так, например, для множества В = {х0 I Cxi)(Vx2)
П Гг B, Хо, Xi, Хг)} число z является 22-индексом (для В число z
будет П2-индексом). По теореме II множество В содержится и в 23-
Как член 2 3 оно будет иметь (в общем, другие) 2 3-индексы.
Нп-индексы и Пп-индексы m-местных отношений определяются
аналогично. (Например, если
Я= {{хо> •¦'¦> %-i) I Ca;m)(Va;m+1) . .. Tm+n_i(z, x0, . . ., Xm+n-i)},
то z есть 2п-индекс отношения R (перед Tm+n-i стоит знак отрица-
отрицания, если п четно).)
Новые нумерации схожи во многих отношениях с нашей пер-
первоначальной нумерацией рекурсивно перечислимых множеств.
В частности, они обладают следующими свойствами допустимости:
(i) имеется эффективная процедура, с помощью которой по дан-
данному 2 „-индексу отношения R можно найти индекс рекурсивной
характеристической функции такого рекурсивного отношения S,
что R выразимо в 2п-форме с ядром S; (И) имеется эффективная

394 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
процедура, с помощью которой из данной 2п-формы для отноше-
отношения R с рекурсивным отношением S, заданным характеристиче-
характеристическим индексом (т. е. индексом своей характеристической функции),
можно получить 2,1-индекс отношения R. Пункт (i) выполняется
тривиально; пункт (И) выполняется благодаря равномерности
операции сжатия кванторов; например, в, иллюстрации сжатия
кванторов характеристическое отношение S* можно равномерно
получить из характеристического отношения S. Аналогичные
пункты имеют место и для П„.
Заметим, что мы не построили нумерации для 20. Оказывается,
что как для рекурсивных множеств, так и для рекурсивных т-
местных отношений невозможна нумерация (на N), допустимая
в указанном выше смысле (см. упр. 14-2).
Если дано множество А, то совершенно точно таким же обра-
образом, заменяя Тп на Т„, определяются понятия 2^- и П^-индекса.
Замечание о допустимости также сохраняется с заменой общере-
общерекурсивных характеристических функций 4-рекурсивными харак-
характеристическими функциями.
Суммируем сказанное выше в следующей теореме, придав ей
релятивизованную форму, т. е. сформулируем теорему для ариф-
арифметической иерархии относительно А. Теорему сформулируем
для множеств. Соответствующий вариант для m-местных отноше-
отношений (для любого пг > 0) очевиден.
Теорема III (Клини) (теорема о нормальной форме и нумера-
нумерации). Пусть дано множество А. Для п >0 всякое множество В
из 2^ имеет Ъ$-индекс, т. е. если В 6 2^, то существует такое
z, что
в = {хо\ (э^ХУхг) ... ri(z, x0, ..., хп))
{перед Тп стрит знак отрицания, если п четно), ^-индекс для В
можно найти равномерно по произвольной Ъ„-форме для В, если
А-рекурсивное отношение этой формы задается индексом своей
А-рекурсивной характеристической функции.
Доказательство. См. предыдущий текст параграфа. а
§ 14.3 АЛГОРИТМ ТАРСКОГО - КУРАТОВСКОГО
Определение. Пусть дано выражение Fa^ . . . ап, построенное
по правилам логики предикатов из кванторов, переменных, =,
пропозициональных связок и символов отношений, и такое, что
ai, . . ., ап — свободные (т. е. неквантифицированные) перемен-
переменные выражения Fat . . . ап. Пусть символы отношений интерпре-
интерпретируются как некоторые конкретные отношения Si, S2, ....
Будем говорить, что отношение R = {{xi, . . ., хп) | Fai ... ап
§ 14.3. АЛГОРИТМ ТАРСКОГО — КУРАТОВСКОГО 395
верно, когда аи . . ., ап интерпретируются как хи . . ., хп соот-
соответственно} определимо в логике предикатов через отношения
Si, S2, . . ., и выражение Fa^ . . . ап назовем определением отно-
отношения R через Si, S2, • ¦ •¦
Если отношение определимо в логике предикатов через рекур-
рекурсивные отношения, то оно входит в арифметическую иерархию.
Это следует из некоторых свойств рекурсивных отношений (см.
ниже пункт 1) и некоторых соотношений элементарной логики
(см. ниже пункты 2, 3 и 4).
1. Если отношение определимо пропозициональной комбина-
комбинацией рекурсивных отношений, то оно рекурсивно. Например, если
R и S — рекурсивные бинарные отношения, то {{х, у, z) | R(x, у) V
V П S(y, z)} — рекурсивное тернарное отношение.
2. Если F и G — такие выражения, что G не содержит ни одно-
одного свободного (т. е. незаквантифицированного) вхождения пере-
переменной а, то следующие пары выражений эквивалентны (и, следо-
следовательно, если один из членов пары заменить на другой внутри
большего выражения, то исходный и измененный варианты этого
большего выражения будут эквивалентны):
(la)F V G, Co)[F V &;
Da)F V G, (Vo)[F V G];
Ca)F&G, (la)\F&G);
(Va)F&G, (Vo)[F&d;
{3a)F^G, (Va)[F=>G\;
G=^(Va)F, (Vo)[G=>- F].
3. Пусть F(a) — выражение, содержащее переменную а, пусть
b — переменная, не входящая в- F(a), и пусть F(b) — результат под-
подстановки b вместо, всех незаквантифицированных вхождений а
в* F(а). Тогда следующие пары выражений эквивалентны:
(Va)F(a), (Vb)F(b);
Ca)F(a), (lb)F(b).
4. Пусть F и G — произвольные выражения. Тогда следующие
пары выражений эквивалентны:
П Da)F, (За) П F;
И (la)F, (Va) П F;
nnF, F;
F<=>G, [F=>G\ &[G=>F\.

396 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Пункт 1 является очевидным следствием тезиса Черча. Пунк-
Пункты 2, 3 и 4 предоставляется проверить читателю.
Теорема IV. Если отношение R определимо в логике предикатов
через рекурсивные отношения, то R входит в арифметическую'
иерархию.
Доказательство. Возьмем определение R. По выше-
вышеуказанным пунктам 2, 3 и 4 образуем цепочку эквивалентностей,
продвигая кванторы налево, пока не получим выражение (Qi&i) •• -
. . . (Qmbm)G, где Qi, . . ., Qm — кванторы, a G не содержит
кванторов. Будем называть такие выражения предваренными фор-
формами. Согласно пункту 1, G определяет рекурсивное отношение.
Следовательно, R выразимо в предикатной форме и, согласно
следствию I, R входит в арифметическую иерархию.в
Пункт 1 выполняется при замене „рекурсивный" на ,,.4-рекур-
сивный", следовательно, имеет место следующий релятивизован-
ный вариант теоремы IV.
Следствие IV. Пусть дано множество А. Если отношение R
определимо в логике предикатов через А-рекурсивные отношения,,
то R входит в арифметическую иерархию относительно А.
Доказательство. См. сказанное выше *).и
Пример. Пусть В = {х | Wx рекурсивно}. Покажем, что В
входит в арифметическую иерархию. „Вывод" состоит из двух
этапов.
Этап 1. Получим определение множества В через рекурсив-
рекурсивные отношения
z 6 В <=s* Wz рекурсивно <^>Cy)[Wz = Wy] <=>
<=> Cy)(>fx)[x eWz <=> x$Wy] <z> @y)D*Wu)Ti(z, x, u) <=^
<^>H (iu)Ti(y, x, u)L
Этап 2. Используя пункты 2, 3 и 4, образуем цепь эквива-
лентностей, ведущую к предваренной форме:
¦[(iu)Ti{z, х, и) <=> -}Cu)Ti{y, х, и)];
u)T±(z, х, u)=> ~МАи)Тг(у, х, и)] &
& 1"'\(Зи)Т1 (у, х, и) => (lu)Ti(z, х, и)]] (по пункту А);
u)Ti{z, х, u)^-^(lv)Ti(y, x, v)] &
& [~\Cw)Ti{y, x, w)=> {ls)Ti(z, x, s]] (по пункту 3);
x) Из следствия I непосредственно получаются обращения теоремы IV
и следствия IV.
§ 14.3. АЛГОРИТМ ТАРСКОГО — КУРАТОВСКОГО 397
{3y)(Vx)[[Cu)Ti(z, х, и) =>. {Vv)-\Ti(y, x, v)\ & l(\fw)-]Ti(y, x, w) =>
^- Cs)rt(z, x, s)]] (по пункту 4);
u)(Vv)Wi(z, x, u)=>-]Tt{y, x, v)] &
& Cu;)Cs)[n2ri1(y, x, w) => Tfa x, s)]] (по пункту 2);
)(Vu)Cs)(Vi;)[[711B, x, u) => ~\T,{y, x, v)] &
& [~\Ti{y, x, w)=> ri(z, x, s)]] (по пункту 2).
Согласно пункту 1, множество В входит в арифметическую иерар-
иерархию, более того, В ? 26.
Из приведенного примера ясно, что вид получающегося пре-
префикса зависит только от вида и расстановки кванторных символов
ш пропозициональных связок в начале этапа 2. Следовательно,
можно сокращенно записать этап 2, указывая только эти символы
ш связки. В нашем примере получим следующее:
3V13 <=> ИЗ];
3V[[3=>-ПЭ] &ПЭ=>-Э]];
3V[[3=^ V] &[V=>-3]];
3VIVV &ЭЭ1;
3V3V3V.
'(Заметим, что (согласно пункту 1) пропозициональные связки
можно опускать, если они не соединяют подформулы, содержащие
кванторы.) В дальнейшем будем использовать такую сокращен-
сокращенную запись.
Наш процесс получения предваренной формы не определен
•однозначно. В рассмотренном примере на заключительном шаге
можно действовать так;
3V[VV & 331;
3VVV33.
И получаем, что В ? 2 3.
Вообще нам хотелось бы вести процесс так, чтобы получать
наименьшее число перемен кванторов. С этой точки зрения второй
вывод для В предпочтительнее. Всегда можно найти наилучший
вывод (из данного определения), так как возможно лишь конеч-
конечное число различных выводов.
Правило сжатия кванторов часто упрощает вывод. Так, в на-
нашем примере заключительные шаги вывода можно было организо-
организовать так:
3V[VV &331;
3V[V & 31;|
3VV3;
3V3.

398 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Ниже мы рассмотрим еще ряд примеров. Заметим, что наши
выводы равномерны в том смысле, что по данным характеристиче-
характеристическим индексам рекурсивных отношений в первоначальном опре-
определении множества В можно эффективно найти 2п-индекс (или
Пп-индекс) множества В (при этом Sn (или Пп) — это класс, опре-
определяемый выводом). Впервые подобный процесс в общем виде был
использован Тарским и Куратовским для классификации мно-
множеств действительных чисел, входящих в иерархии Бореля
и иерархии проективных множеств. Поэтому мы назовем этот про-
процесс алгоритмом Тарского — Куратовского.
Если дано множество А, то алгоритм Тарского — Куратов-
ского можно применять к определениям относительно .4-рекур-
сивных отношений. Например, если В = {z | Aу)[у 6 W? & W$
бесконечно]}, то получим
Cy)[Cx)T?(z, у, х) & (Vu)Ci7)[v > и & (Зх)Т?(у, v, х)]};
Э[Э & V31& 3]];
Э[3 & V331;
313 & V31;
33V3;
3V3;
и, следовательно, В ? 2^.
При применении алгоритма Тарского — Куратовского исполь-
используются иногда следующие сокращения.
Сокращенная запись.
(Vo < b)F означает (Va)la ^b=>F];
Ca < b)F означает Ca)[a < b & F],
где а и b — различные переменные.
Сокращения (Va ^ b) и (За ^ b) называются ограниченными
кванторами. Отметим следующие свойства ограниченных кван-
кванторов.
1. Ограниченные кванторы можно сдвигать вправо через-
обычные кванторы, производя подходящие изменения в рекурсив-
рекурсивных отношениях, находящихся в зоне их действия. Например,
эквивалентно
(Va< b)Cc)(\fd)R(a, b, с, d)
Cc)(Va < b)Dd)R(a b nba(c), d),
где jt? — общерекурсивная функция из § 5.3 (см. для других слу-
случаев упр. 14-4).
§ 14.3. АЛГОРИТМ ТАРСКОГО — КУРАТОВСКОГО 399
2. Навешивание ограниченного квантора на рекурсивное отно-
отношение дает рекурсивное отношение. Например, если R — рекур-
рекурсивное тернарное отношение, то {{х, u),| (Vi/ ^ u)R(x, у, и)} —
рекурсивное бинарное отношение.
Из этих замечаний следует, что если квантор можно сокра-
сокращенно записать как ограниченный квантор, то его можно опускать
в алгоритме Тарского — Куратовского. (В упр. 14-5 см. обобще-
обобщение этого правила.) Очевидно, что это правило действует и для
арифметической иерархии относительно А (для данного множе-
множества А).
Например, пусть R — {(и, z) | Du a Wz). Тогда <u, z) ? R <=>
<=s> (Чх)[х 6 Du => Cy)Ti(z, x, у) . Имеем
V t> 3];
V3,
и, следовательно, R 6 П2. Однако из определения канонического-
индекса в § 5.6 следует, что (Vx)(Vu) [г 6 Du => х ^ и]. Поэтому
(и, z) ? R <=>((\Лг < и)\х 6 Du =ф- Cy)Ti(z, x, у)]. Опуская огра-
ограниченный квантор, получаем
и i??2i; T. е. R рекурсивно перечислимо, как и ожидалось,
согласно исходному определению отношения R.
И, наконец, последний пример. Дополнительные примеры мож-
можно найти в упражнениях.
Пример. Пусть В = {z \ Wz простое множество}. Тогда
z ? В <=> Wz просто <=> [Wz бесконечно & (Уу) \Wy бесконечно =>
=>WV{]WZ^ 0]] <=> [(Чх)Cу)[у >x&y$Wz]& (Vy)[(Vu)Cy)
¦ [v>u&v?wy]=>-Cw)[wewy & wewt\\\ <=> к
ly>x& (V*i) П Ti(z, y, xj] & (\fy)[(\/u)Cv)[v > и &
Ti(y, v, i
Имеем
ri)j =>- (
V3[&
V3V
V3V
V3V
V3V.
3w)[Cxi)Ti(y,
VI &VIV3[&
& V[V3=>- 3];
&V3[V3=^];
& V33V;
w,
31
Xi) & (ЭхОТ
=>3[3 &311;
Следовательно, 5 6П3.
Каким образом можно убедиться в том, что алгоритм Тарско-
Тарского — Куратовского дает наилучший возможный результат? Дру-
Другими словами, каким образом можно убедиться в том, что не суще-

400 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
-ствует эквивалентного, но совершенно иного исходного определе-
определения для данного множества или отношения, которое дает (под
действием алгоритма Тарского — Куратовского) лучший резуль-
результат? Мы вернемся к этим проблемам в § 14.8.
§ 14.4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
Рассмотрим логическую систему элементарной арифметики,
введенную в § 7.8. Формулы строятся как формулы логики пре-
предикатов из следующих символов: +, X, 0, 1, 2, 3, . . ., =, кван-
торных символов, символов переменных и пропозициональных
•связок И, &, V) =>¦> <=>• Формулы без свободных (т. е. некванти-
фицированных) переменных называются высказываниями (в § 7.8
высказывания назывались п.п. формулами). Высказывания интер-
интерпретируются как высказывания с обычными сложением и умноже-
умножением над неотрицательными целыми числами, при этом „0", „1",
.,,2", . . . интерпретируются как 0, 1, 2, . . ., а областью допусти-
допустимых значений переменных являются неотрицательные целые
числа. Согласно этой интерпретации, всякое высказывание истин-
истинно или ложно, /г-местное отношение R определимо в элементарной
¦арифметике, если имеется такая формула Fa^ . . . а„ со свобод-
свободными переменными а4, . . ., ап, что
R = {{хи . . ., хп) | Fxi . . . хп истинна},
где для любых чисел хи . . ., хп F
становки нумералов, выражающих
соответственно в Fai ... ап.
Следующая известная фундаментальная теорема Гёделя свя-
связывает арифметическую иерархию с высказываниями элементар-
элементарной арифметики.
Определение, тг-местное отношение Р называется полиноми-
полиномиальным отношением, если существует такой полином р(аи . . ., ап)
с п переменными с целыми коэффициентами, что
Р = {{хи . . ., хп) \р(хи . • •» хп) — °}-
В р могут быть отрицательные коэффициенты, но (как обычно)
считаем, что xlt . ¦ ., хп могут быть только неотрицательными
целыми числами. Следовательно, Р — это отношение на неотри-
неотрицательных целых числах *). .
хп есть результат под-
под. . ., хп, вместо аь
ап
*) Естественным обобщении понятия полиномиального отношения
является понятие диофантова отношения, re-арное отношение Л называется
диофантовым, если существует такой полином р(аи . . ., ап, bt, . . ., Ът)
с целочисленными коэффициентами, что Л = {(xif . . ., хп) |3 уи . . .
. . . 1 ут\р(хи . . ., хп, уи . . ., ут) => 0]}, — Прим. ред.
§ 14.4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ 401
Теорема V (Гёдель). Для любого п-местного рекурсивно перечис-
перечислимого отношения R существуют такие полиномиальное отноше-
отношение Р и префикс Qj . . . Qm, что
R(XU . . ., Хп) <^>(qiyi) . . . (Qmym)P(xu . . . Хп, Уи . . ., УтI).
Доказательство. Доказательство приводится в гл. 7
книги Дэвиса [19582)]. Мы не будем здесь проводить это доказа-
доказательство. Оно опирается на формальное определение машины
Тьюринга и требует детальных комбинаторных построений. Дока-
Доказательство использует китайскую теорему об остатках (из теории
чисел). я
Можно доказать следующий более сильный вариант теоремы V.
Следствие V (Дэвис). Для любого п существуют общерекурсив-
общерекурсивная функция /, натуральное число к и q-местное полиномиаль-
полиномиальное отношение Р, такие, что q — п т\- к -\- ?> и что для любых
z и хи . . ., хп
Cw)Tn(z, хи . . ., хп, и;)
. . . (lvk)P(f(z), хи . . ., хп, у, и, vu . . ., vh)
причем индекс функции /, полином для Р и, следовательно, число к
можно найти равномерно по п.
Доказательство. См. главу 7 книги Дэвиса [1958]. я
Не известно 3), можно ли опустить квантор общности (Vu)
в следствии V. (Если бы его можно было опустить, то из сущест-
*) Как показал Ю. В. Матиясевич [1970], можно добиться того, чтобы
все кванторы Q; были кванторами существования (другими словами, каждое
рекурсивно перечислимое отношение является диофантовым). — Прим. ред.
2) Теорему V можно получить также как следствие теоремы I из п. 13.3
книги А. И. Мальцева [1965]. В указанной теореме I утверждается, что каж-
каждое рекурсивно перечислимое отношение определимо в элементарной арифме-
арифметике. Достаточно поэтому для каждой формулы Fat, . . . ап элементарной
арифметики построить такой полином р(аи . . . ап, Ъу . . . Ът) и такую
приставку Qi, . . ., Qm, что {Fx^ . . ., хп истинна) <=> Qiy± . . .
• • • QmlP(xi, ¦ ¦ •, хп, yt, . . ., ут) = 0]. Требуемая цель будет достигнута,
если совершить над формулой Fa4, . . ., ап последовательно следующие четы-
четыре операции: во-первых, согласно законам логики высказываний, выразить
связки &, =#, <=> через —i и V; во-вторых, заменить всякое равенство вида
a = Р равносильным равенством у = 0, где у — полином; в-третьих, заме-
заменить всякую дизъюнкцию (а = 0) \/ф = 0) равенством a-f1 = 0, а отрицание
—|(а = 0) формулой Эс(а = с + 1); в-четвертых, согласно законам логики
предикатов, вынести все кванторы вперед (т. е. привести формулу к предва-
предваренному виду). — Прим. ред.
3) Поскольку отношение Л, задаваемое равенством Л = (Эц>)
Tn(z, xt, . . ., хп, w), рекурсивно перечислимо, то (в силу диофан-
товости рекурсивно перечислимых отношений), в следствии V можно не толь-
26—0506

402 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
вования нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества
следовала бы неразрешимость десятой проблемы Гильберта (см.
§ 2.2.) 1).) Р. Робинсон [1956] показал, что в следствии V в каче-
качестве к можно выбрать число п + 3 2). Следуя доказательствам
Гёделя, Дэвиса и Робинсона, эти полиномы можно выписать
в явном виде.
Объясним, почему арифметическая иерархия называется ариф-
арифметической.
Теорема VI (теорема о представимости). Каково бы ни было
отношение R, оно входит в арифметическую иерархию тогда
и только тогда, когда R определимо в элементарной арифметике.
Доказательство. -<=. Если R определимо в элементар-
элементарной арифметике, то R определимо относительно рекурсивных
отношений {{х, y,z) \х + у = z}, {{х, г/, z> | х-у = z) и {х \ х =
= к} (для произвольного числа к). Следовательно, согласно тео-
теореме IV, отношение R входит в арифметическую иерархию.
=>•. Всякое полиномиальное отношение определимо в элемен-
элементарной арифметике. Действительно, (i) отношение р (а1? . . ., ап) =
= 0 можно выразить как q(ai, . . ., ап) = г(аь . . ., ап), где q
иг — полиномы с неотрицательными коэффициентами, (ii) возве-
возведение в степени можно заменить итерацией операции умножения,
например х3 = (х-х)-х. Остается только применить теорему V. и
Релятивизованная форма теоремы VI дается теоремой VII.
Теорема VII. Для произвольного множества А и любого отно-
отношения R A) отношение R входит в арифметическую иерархию
относительно А <=> B) отношение R определимо в логике преди-
предикатов через рекурсивные отношения и множество А 3) <=s> C) отно-
отношение R определимо в логике предикатов через полиномиальные
ко опустить квантор общности, но и считать, что /(z) = z при всех z. Впрочем,
чтобы обосновать возможность замены /(z) на z, нет нужды опираться на такой
сильный факт, как диофантовость рекурсивно перечислимых отношений.
Проще использовать само следствие V. Действительно, при подходящем т,'
и произвольных z, xj, . . ., хп имеем (Эй;) 7^B, xt, . . ., хп, w) <=>
<=> (Зи,') Tn+i (z\ z,xit ..., xn, w') <=> Cj,) (Vk) Ci>j) . . . CVh.) p' (/(«'),
z, xt, . . ., xn, y, u, vu . . ., vh,), <^> Cj/) (Vu) (Эу4) . . . Cyft,)P"(z, n, ...
. .. xn, y, u., vi} ... yft/), где Р" — некоторое полиномиальное отношение.—
Прим. ред.
х) Ю. В. Матиясевич показал, что в следствии V квантор общности можно
опустить и что, следовательно, десятая проблема Гильберта неразрешима.—
Прим. перев.
а) Таким образом, имеется один такой полином р восьми переменных, что
для любого z
Wz= {x\ Cy)(Vu)Ci;1)Ci;2)Ci;s)Ci;4)[p(/(z), X, у, и, vit v2, v3, v4) = 0]}.
3) Точнее говоря, через рекурсивные отношения и множество А, рассма-
рассматриваемое как 1-местное отношение.
§ 14.5. СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЕРАРХИИ 403
отношения и множество А <=> D) отношение R определимо в рас-
расширенной элементарной арифметике, полученной путем добав-
добавления к элементарной арифметике элементарных формул вида
„а 6 Xй, при этом „а ? X" интерпретируется как х ? А, где чис-
число х — значение переменной а.
Доказательство. Очевидно, что C) =>- D). Из теоре-
теоремы V получаем, что B) =>- C). Чтобы показать, что D) =>- A), при-
приведем выражение, определяющее R, к предваренной форме (как
в алгоритме Тарского — Куратовского), тогда бескванторная
часть, идущая после кванторов, определит 4-рекурсивное отно-
отношение и, согласно следствию I, отношение R входит в арифметиче-
арифметическую иерархию относительно А. Наконец, чтобы показать, что
A) =>- B), рассмотрим R, входящее в арифметическую иерархию
относительно А. По теореме III отношение R определимо относи-
относительно Т? при некотором п. В свою очередь Т? (z, х0, . . ., хп) <=>
<^>Cy)Cu)Cv)[{{x0,. . ., xn_i), у, и, v) появляется на хп-ш шаге
перечисления Wp(z)& (Vx)[x?Du =>- x ? A] &(Vx)[x eDv=>x$A]].
Следовательно, R определимо через рекурсивные отношения
и множество А.и
Следствие VII. Если А входит в арифметическую иерархию
относительно В, а В входит в арифметическую иерархию относи-
относительно С, то А входит в арифметическую иерархию относитель-
относительно С.
Доказательство следует из теоремы, поскольку если
А определимо относительно В в элементарной арифметике, а В
определимо относительно С в элементарной арифметике, то А
определимо относительно С в элементарной арифметике, и
§ 14.5. СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЕРАРХИИ
В этом параграфе излагаются теорема и ее следствия, пред-
представляющие собой главный результат всей главы. Мы назовем его
сильной теоремой об иерархии. Изложение и доказательство будет
проведено для релятивизованного случая. Этот результат связы-
связывает арифметическую иерархию относительно . А со структурой
степеней, изученной в гл. 13.
Напомним, что А{Щ — это результат и-кратного применения
к А операции скачка.
Теорема VIII (Клини, Пост). Пусть А — произвольное мно-
множество. Каковы бы ни были число п и множество В
(a) В 6 2^+i <=s> В рекурсивно перечислимо относительно 4<п>;
(b) В 6 2^+1 П П^+1 <^> В <т 4<™>. Более того,
26»

404 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
(с) имеются равномерные процедуры, позволяющие по любому
^n+i-индексу множества В (для любых п и В ? 2n+i) получать
индекс множества В как множества, рекурсивно перечислимого
относительно Ain> и, наоборот, по любому индексу множества В
как множества, рекурсивно перечислимого относительно А(П\
можно эффективно получить 2^+1-м«<9екс множества В.
(Пункт (Ь) иногда называют теоремой Поста.)
Доказ. ательство. По теореме 9-1V (а) =>- (Ь). Остается
доказать (а) и (с).
(а) Проведем индукцию.
п = 0. Согласно релятивизованной теореме о проекции, В ?
? 1,f <=s> В рекурсивно перечислимо в А(= 4@)).
п = к + 1. Предполагая, что (а) верно для п = к, покажем,
что В ? 2^+2 <=s>B -рекурсивно перечислимо относительно
*+1
. Тогда В = {х | (Зу)( 3u)( 3w)[ (x, у, и, v-) ?
6 Wp(Zo) &О„ с 4(й+1) &DV cz Aih+1}]}. Рассмотрим множество
{и | Du а А<- +1)}. Множество 4(ft+1) рекурсивно перечислимо
в A(k>, следовательно, по индуктивному предположению, A(h+1) g
€ Sjf+1. Кроме того, Du с 4'fc+1» <^ (Vj/ < u)[y € Du => г/ e ^ <fe+1>].
Следовательно, опуская ограниченный квантор и проводя очевид-
очевидные преобразования, получаем, что {и | Dt
Аналогично
6
получаем, что
cr
(Vi/ < г;)[г/ 6 Dv
A(h+h] и, согласно индуктивному предположению-, A<h+1>
+. Следовательно, {v \ Dv a 4<ft+1)} g П^-j.
Учитывая, что {х, у, и, v) 6 Wр{ч) <^> Cu;O1t(p(z0),'(ж, г/, и, у),
В 4
р{ч) ()(p@),(, /, , ), ),
получаем, что В определимо через 4-рекурсивные отношения. Это
определение имеет такой вид:
333[3 & 3V . . . & V3 . . .].
Применяя алгоритм Тарского — Куратовского, получим
3V3 . . ..
ft+2
Следовательно, В 6 2^+2.
=*». Пусть В е 2k+2, т. е. В = {х | (ЗуM(ж, у)}, где 5 € П^+1.
Тогда 5 6 2^+i и по индуктивному предположению S рекурсивно
перечислимо относительно А^к\ Следовательно, по теореме 13-1
отношение S рекурсивно в A(k+1). Но тогда и S рекурсивно
в 4(ft+1) и, согласно релятивизованной теореме о проекции, В
% 14.5. СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЕРАРХИИ 405
должно быть рекурсивно перечислимым в A{k+1) (см. также
упр. 14-9). Итак, (а) доказано.
(с) доказываем индукцией. Для п = 0 - равномерность очевид-
очевидна, так как индексы одни и те же (см. определение Tf в § 14.2).
Предположим, что имеет место равномерность в обе стороны для
п = к. Просматривая доказательство пункта (а) и учитывая рав-
равномерность, имеющуюся в следствии 13-1, теореме III и релятиви-
релятивизованной теореме о проекции, получаем равномерность в обе сто-
стороны и для п = к + l.g
Изложим пункты (а) и (Ь) в нерелятивизованном виде.
Следствие VIII (а). Для любого п и любого множества В
В ? 2n+1 <=s> В рекурсивно перечислимо в 0(П>;
Доказательство очевидно.и
Следствие VIII (Ь) (теорема о полноте). Для любых А и п >0
В
в
в
Следствие VIII (с) (теорема об иерархии). Пусть дано А, тогда
для любого п существует такое множество В, что В ? Bn_|_i — nn_j_i)
(и, следовательно, В ? (П„_|_1 — 2n_|-i))-
Доказательство. Пункт (Ь) следует из теоремы 13-1.
Чтобы доказать (с), рассмотрим
В = 1
По пункту (а) теоремы 4<"+1> 6 2«+i. Но 4<п+1> ?
в противном случае по пункту (Ь) теоремы 4<™+1) <т4<П),' что
противоречит теореме 13-1. (В упр. 14-3 приводится более корот-
короткое и прямое доказательство пункта (с), предложенное Клини.)и
Если п = 0, то 2„ = П„ и 2„ = 2„+1 ПП„+1. Согласно (с),
ни одно из этих равенств не выполняется для п > 0.
Определение. Множество В называется И^-полным (или мак-
максимальным в 2?), если ВЕ^и (VC)[C ? 2? =>- С <i В]. Ана-
Аналогично определяется Г^-полнота.
Согласно следствию VIII (Ь), множество В 2,?-полно<^>В =
Заметим, что 5 2^-полно <=> 5 П^-полно.

406 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Напомним, что в § 13.1 вводятся понятия арифметического
множества и множества, арифметического относительно А. Эти
понятия связаны с понятиями арифметической иерархии и ариф-
арифметической иерархии относительно А.
Следствие VIII (d). Множество В арифметическое-^>В входит
в арифметическую иерархию; В арифметическое относительно
А <=> В входит в арифметическую иерархию относительно А.
Доказательство. Множество В входит в арифметичег
скую иерархию относительно A <=s> (Эп){В ? 2n+i П Щи-il (потео-
(потеоремам I и III) <=> C/г) [5-<т^4<П)] (по теореме VIII) <=># ариф-
арифметическое относительно А (по определению в § 13.1).а
Совместно с теоремой VIГ следствие VIII (d) объясняет, почему
в § 13.1 используется слово арифметический. Отметим, что
в упр. 13-10 и следствии VII приводятся два различных доказа-
доказательства транзитивности отношения „арифметический относи-
относительно^. Отныне вместо фраз „входит в арифметическую иерар-
иерархию" и „входит в арифметическую иерархию относительно А" мы
будем очень часто использовать фразы „арифметический" и „ариф-
„арифметический относительно А" соответственно.
Пусть В = {z | Wz бесконечно}. При доказательстве теоре-
теоремы 13-VIII нам пришлось приложить некоторые усилия, чтобы
показать, что В ^ 0B). Алгоритм Тарского — Куратовского вме-
вместе с сильной теоремой об иерархии дает более простой и более эф-
эффективный метод для доказательства подобных предложений. В на-
нашем примере имеем Wz бесконечно <=> (Ух)( Зу)[у > х & у ? Wz] <=>
<=s> V3[& 3] ¦?=> V3. Следовательно, В ? П2. Согласно следст-
следствию VIII (Ь), В ^ 0B). (В теореме 13-VIII этот результат был
получен с помощью более сложной конструкции.)
§ 14.6. СТЕПЕНИ
Рассмотрим 2П и П^ как классы множеств. Классы 2П и Пп
рекурсивно инвариантны, и, более того, они замкнуты относи-
относительно m-сводимости (см. упр. 14-12). Для п > 0 каждый класс
содержит максимальный тип рекурсивного изоморфизма, предста-
представителем-максимального типа в И,п является множество Ат,
а в Пп — множество Ат. Классы 20 и По имеют максимальный
тип, представителем которого является {х \ х четно}; согласно
теореме 9-XVII, для Б о = По невозможен максимальный тип.,
См. упр. 14-14.
Для п > 0 классы 2^ и П^ не замкнуты относительно tt-
сводимости и Т-сводимости; так, А(П) =tt А{П), но по следст-
8' 14.6. СТЕПЕНИ 407
вию VIII (с) 'А^е Bп - Itf), а Л<"> ? (itf - 2?). С другой
стороны, класс 2^+1р|П^+1 замкнут относительно Т-сводимости
и по теореме VIII состоит из всех множеств, Т-сводимых к А(П).
Согласно следствию II, 2« U П^с 2^+1AП^+1. Является ли
это включение строгим? Для п = 0 нет, так'как Sif] П, = So =
= По. Для п > 0 включение строгое, так как, например, множе-
множество А{Щ © А™ принадлежит 2^+4 Л n?+i (по теореме VIII (Ь)),
но не принадлежит 2n U П„. (Если бы это множество принадле-
принадлежало 2n U П^, то как А(П>, так и А{Щ были бы рекурсивно пере-
перечислимыми относительно Л'™', что противоречило бы теоре-
теореме 13-1.)
можно представить в виде объедине-
объединеМножество А<-п> 0
ния двух множеств из Бп (J П^ (см. упр. 14-13). Согласно теоре-
теореме VIII и упр. 9-16, класс 2п-м(~)Пп+1 образует булеву алгебру
множеств. Порождается ли эта булева алгебра классом 2^ (J П^?
Для п > 0 следующая теорема дает отрицательный ответ.
Определение. Для данного множества В положим оЖ(В) =
= {С | С ^т В}. Символом 98т (В) обозначим булеву алгебру
множеств, порожденную множеством аМ(В).
Теорема IX. Если В не совпадает ни с N, ни с 0, то для любого
множества С имеем С ^ biiB <=> С ? 38Ш(В).
Доказательство. <=. Для всякой и-местной булевой
функции у (см. определение и свойства булевых функций в § 8.3)
символом y(Bi, . . ., Вп) обозначим множество с характеристи-
характеристической функцией %х[у(св (х), св^(х), . . ., сВп(х))\. Тогда имеем:
С ? 38т(В) <=> существует такое п, что для некоторой булевой
функции у и некоторых множеств Bt, . . ., Вп из <М{В) С =
= 7(ВЬ . . ., Вп). Пусть Bi, . . ., Вп m-сводятся к В с помощью
функций /i, ...,/„ соответственно. Тогда для любого х имеем
х?С <=s> М;-услови,е ((/i(z), ¦ . ., /п(а;)), 7) выполняется на В. Это
tt-условие равномерно вычисляется по х, его норма равна п. Сле-
Следовательно, С ^ ы\Р-
=^. Пусть С ^ ъиВ, при этом В Ф N ж В Ф 0. Тогда, соглас-
согласно упр. 8-28, имеются общерекурсивная функция g, число п и п-
местная булева функция у, такие, что для любого х g(x) есть tt-
условие, содержащее в качестве булевой функции функцию у,
и g(x) выполняется на В тогда и только тогда, когда х ? С. Опре-
Определим Д, . . ., /в так, что (fi(x), . . ., fn{x)y — это п-к& из tt-
условия g{x). В качестве Ви . . ., Вп возьмем f~\x(B), -. . ., fa\B)
соответственно. Тогда Bi: . . .,Вп принадлежат оМ(В) и С =
= у(Ви . . .,Вп).я

408 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Вернемся к нашему вопросу: для п >> 0 является ли 2^+1 f)
f] П^+1 булевой алгеброй, порожденной классом 2^ [] П^? Ответ
содержится в таком следствии (для п — 1).
Следствие IX (а). Множество В содержится в булевой алгебре,
порожденной классом 2f (J nf <=> В ? $Ш(А') <=> В ^btt A'.
(Ь) В классе 2^-f) П^ имеется множество, не принадлежащее
&{А')
т{)
(с) ^ Класс 2^f| 11
сивного изоморфизма.
не содержит максимального типа рекур-
рекурДоказательство, (а) Это следует из того, что, согласно
следствию VIII и тому факту, что А'—цилиндр, 2^- = <М(А').
(b) Можно релятивизовать доказательство теоремы 9-1, чтобы
показать, что для любого А имеется такое А, что А ^т А' и что
2 <tt Л' (см. упр. 14-14).
(c) См. доказательство теоремы 9-1 и упражнение 14-14.в
Почти все результаты о степенях из гл. 13 можно переформули-
переформулировать в терминах иерархии; так можно выразить основные соот-
соотношения Т'-сводимости, рекурсивной перечислимости и скачка.
Например, А ^т В <=> А ? 2f f[ Ilf; А рекурсивно перечис-
перечислимо относительно В <=s> А ? 2f; А =т Bf <=s> (ЗС)[С ==т А & С g
е 2f & (VZ>) Ш е 2f => Z> <т С]] (см. упр. 14-15). Являет-
Является ли арифметическая иерархия „монотонной" в том смысле, что
любое множество из 2П Т-сводимо к любому множеству из
Bn+i — 2„)? Теорема 10-111 дает отрицательный ответ, пока-
показывая, что имеется множество в B2 — 24), не сравнимое с неко-
некоторым множеством в 24 (упр.-14-16). Наконец, следствие 13-IX
показывает, что для любого п > 0 должно существовать множе-
множество в B„+2 — 2„), не сравнимое с некоторым множеством из Б*
(упр. 14-17),
§ 14.7. ПРИЛОЖЕНИЯ В ЛОГИКЕ
Пусть V — множество истинных высказываний элементарной
арифметики. В § 7.8 мы показали, что V — продуктивное множе-
множество. Какова его степень неразрешимости? Следующая теорема
дает ответ на этот вопрос.
X. Множество истинных высказываний элементарной
арифметики V рекурсивно изоморфно множеству 0((В); следова-
следовательно, V — множество степени 0* .
Доказательство. Согласно следствию 13-1 (с) и тео-
теореме VIII (с), существует такая общерекурсивная функция /т
что для любого п число f{n) есть 2„-индекс множества 0<п). Сле-
§ 14.7. ПРИЛОЖЕНИЯ В ЛОГИКЕ 409
довательно,
(х, п) ? 0(и
. • • Tn(f(n),x, xu x2,
Используя равномерность из следствия V, можно эффективно
по а; и f(n) найти высказывание элементарной арифметики, истин-
истинное тогда и только тогда, когда {Bx^C^Xz) . .. Г„(/(и), х, х^, х2, ¦ ¦ ¦ )•
Поэтому 0(и) <т V.
Наоборот, пусть F — высказывание элементарной арифметики.
Пусть (Qiai) . .. (Qmam)G—предваренная форма высказывания F.
Рассмотрим выражение Cfo)(Q1a1) . . . (Qmam)[c = c&b = b &G],
где b и с — переменные, не входящие в (Qi^) -. . . (Qmam)G. Это
выражение определяет 2„-форму (при некотором п > 0), так как
G определяет рекурсивное отношение. (G состоит из переменных,
нумералов, +, X, = и пропозициональных связок.) Пусть В —
множество, выразимое именно в этой 2„-форме. Тогда В = N,
если F истинно, и В = 0, если F ложно. По F можно соответст-.
вующую 2„-форму найти равномерно, а по 2„-форме можно рав-
равномерно, согласно теореме III, находить 2„-индекс множества В.
По 2„-индексу В в силу теоремы VIII (с) можно равномерно
найти индекс В как множества, рекурсивно перечислимого отно-
относительно 0(п~1). По этому индексу, согласно следствию 13-1 (с),
можно равномерно найти индекс такой рекурсивной функции g,
что В ^4 0(п) посредством g. Следовательно, F истинно <=s>0?
eB<^g(O)e0(n)<=> (g(O),rc>e0(<o). Таким образом, F<m0(m).
Нетрудно показать, что как V, так и 0(и) — цилиндры (см.
упр. 14-18). Следовательно, V = 0(u)).B
Высказывания элементарной арифметики можно классифици-
классифицировать по виду префикса.
Определение. Высказывание элементарной арифметики (в пред-
предваренной форме) называется Ип-высказыванием, если его префикс
является 2„-префиксом, и Ип-высказыванием, если его префикс
является П„-префиксом.
Определение. Символом Vn обозначим множество всех истин-
истинных 2п-высказываний.
Следствие Х- Для любого п > 0 имеем Vn ^ 0(пК
Доказательство. Это следует из второй части доказа-
доказательства теоремы и из того факта, что 0(П) — цилиндр *).B
х) Таким образом, хотя V не определимо в элементарной арифметике,
для любого п определимо Vn.

410 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Выполняется ли 0<П) =?^i Vn, неизвестно (как уже отмечалось
в связи с десятой проблемой Гильберта) г).
Предположим, что имеется некоторое кодирование высказы-
высказываний элементарной арифметики натуральными числами. (Подоб-
(Подобное кодирование молчаливо подразумевалось в предыдущих рас-
рассуждениях.)
Определения. Аксиоматизацией называется (произвольное)
рекурсивно перечислимое множество высказываний. Высказыва-
Высказывание х доказуемо в данной аксиоматизации, если оно выводимо
по правилам элементарной логики из конечного подмножества
аксиоматизации. Высказывание у выводимо из высказывания х
s некоторой аксиоматизации, если [х =>- у] доказуемо в этой аксио-
аксиоматизации, где „а; =>- у" обозначает высказывание, полученное
•соединением предложений х и у с помощью знака =^. Высказы-
Высказывания хну называются эквивалентными в аксиоматизации, если
каждое из них выводимо из другого в аксиоматизации.
Пусть дана аксиоматизация. Тогда {(х, у) \ у выводимо из х
¦в аксиоматизации} рекурсивно перечислимо (так как можно
перенумеровать все доказательства элементарной логики) и мож-
можно равномерно по геделеву номеру аксиоматизации найти гёделев
номер этого множества.
Пусть дана некоторая аксиоматизация. (Эта аксиоматизация
может, например, состоять из всех аксиом Пеано. Тогда доказуе-
доказуемые высказывания образуют арифметику Пеано, определенную
в § 7.8.) Для данного высказывания F каково наименьшее п,
такое, что имеется 2„-высказывание G, эквивалентное F в данной
аксиоматизации? Следующее обобщение теоремы Гёделя о непол-
неполноте показывает, что (при подходящем выборе F) значение п
может оказаться сколь угодно большим, если аксиоматизация
семантически непротиворечива (см. § 7.8).
Теорема XI. Пусть дана семантически непротиворечивая
аксиоматизация элементарной арифметики. Тогда для любого п
можно указать такое истинное высказывание Fn, что для любого
т ^.п не существует 2 т-предложения, эквивалентного Fn в данной
аксиоматизации. Более того, для всякого п можно равномерно
построить такое Fn.
Доказательство. Пусть дано п. Пусть а — гёделев
номер данной аксиоматизации. Пусть Vn (как и раньше) — мно-
множество всех истинных 2„-высказываний и D(Vn) = {у \ Aх)
Из результатов Ю. В. Матиясевича следует, что 0<-п'>
Уп. — Прим.
перев.
§ 14.7. ПРИЛОЖЕНИЯ В ЛОГИКЕ 411
\х ? Vn & у выводимо из х в данной аксиоматизации]} х). Сог-
Согласно следствию X, Vn <t 0(n). Следовательно, множество Vn
рекурсивно перечислимо относительно 0>(п~1) и (согласно сильной
теореме об иерархии и алгоритму Тарского — Куратовского)
D(Vn) рекурсивно перечислимо относительно 0<п~1). Положим
^~\D(Vn) = {х | отрицание х принадлежит D(Vn)}; тогда ~\D(Vn)
рекурсивно перечислимо относительно 0<"-1> и ~lD(Vn) = W^ "
при этом z4 можно получить равномерно по в и а. В силу семанти-
семантической непротиворечивости D(Vn) с V и ^~\D(Vn) a V. Пусть
h — такая общерекурсивная функция (построенная в первой
части доказательства теоремы X), что 0(m> ^m V посредством h
Тогда h-^-lDiVn)) cz 0«»>. По определению 0<ю> =
= {(ж, У) I х е 0(у>}. Положим
В =nx{h-\^D{Vn))[\{N X \п})).
Имеем В а 0(п) и В = Wz2 при этом z2 можно равномерно полу-
получить по zt. Так как 0(n> = {z | z 6 W0{n~l)}, то z2 6 0т(] В.
Поэтому (z2, п) $ 0(<°) и h({z2, n)) (? V. В качестве Fn возьмем
отрицание высказывания h((z2, n)). Тогда Fn ? V. Если Fn 6
6 D(Vn), то h({z2, n)) ? ^DCVn) и z2 6 В (согласно определению В
и К), что противоречит уже доказанному соотношению z2 $ В.
Следовательно, Fn (? D(Vn). Итак, Fn — это истинное высказы-
высказывание, не выводимое из никакого истинного 2„-высказывания
и, следовательно, не эквивалентное никакому истинному 2„-вы-
сказыванию. В силу семантической непротиворечивости выска-
высказывание Fn не может быть эквивалентно ложному 2ге-высказыва-
нию. Таким образом, Fn — истинное высказывание, не эквива-
эквивалентное (в данной аксиоматизации) никакому 2„-высказыванию.
Высказывание Fn не эквивалентно и никакому 2 „-высказыва-
„-высказыванию для т < п. Очевидно, что Fn можно равномерно построить
по z2 и, следовательно, по а и п. и
Следствие XI. В качестве Fn (в теореме) можно взять некоторое
П„+-^-высказывание.
Доказательство. Из первой части доказательства
теоремы X видно, что h( (z2, n)) получается применением теоре-
теоремы VI (теоремы о представимости) к выражению Cxi){^x2) ¦ • •
, . . Тп(у, z2, xt . . .). По следствию V высказывание h((z2, n))
можно получить с 2„+2-префиксом. У его отрицания Fn будет
П ф
х) Заметим, что любая конечная конъюнкция высказываний из Vn экви-
эквивалентна некоторому высказыванию из Vn. Поэтому D(Vn) состоит из всех
высказываний, выводимых (в аксиоматизации) из конечных множеств выска-
высказываний из Vn. В доказательстве этот факт не используется.

412 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Понятия иерархии можно применить для классификации вы-
высказываний теории множеств *). До конца параграфа мы будем
предполагать фиксированной какую-нибудь стандартную аксио-
аксиоматизацию теории множеств: для большей точности рассмотрим
аксиоматизацию, данную в упр. 11-23. Мы называем эту аксиома-
аксиоматизацию ZF.
Почти всю современную математику можно сформулировать
в теории множеств и почти все доказательства можно провести
в ZF. В частности, высказываниям элементарной арифметики
можно сопоставить определенные высказывания теории множеств;
поэтому мы будем считать высказывания элементарной арифме-
арифметики погруженными в теорию множеств 2). Доказываемые как вы-
высказывания теории множеств, высказывания элементарной ариф-
арифметики образуют теоретико-множественную арифметику (ранее
определенную в § 7.8). Нетрудно показать, что в теоретико-мно-
теоретико-множественную арифметику входят аксиомы Пеано 3). Интуитивно
теоретико-множественную арифметику можно рассматривать как
совокупность всех высказываний элементарной арифметики, дока-
доказуемых с помощью всех известных математических методов. Тео-
Теорема Гёделя о неполноте, примененная к арифметике Пеано, дает
высказывание, доказуемое в теоретико-множественной арифме-
арифметике, но не доказуемое в арифметике Пеано (см. замечание
на стр. 133) 4).
Некоторые высказывания теории множеств эквивалентны
(в ZF) высказываниям элементарной арифметики. Такие выска-
высказывания назовем арифметически выразимыми. Можно было бы
использовать понятия Б „-высказывания и П„-высказывания (эле-
(элементарной арифметики) для классификации арифметически выра-
выразимых высказываний теории множеств. Однако более плодотвор-
плодотворным является следующий подход. Сначала мы дадим грубый
*) Под высказываниями теории множеств понимаются все высказывания
некоторой формальной системы, а не только те, которые доказываются в дан-
данной аксиоматизации для системы. Здесь мы вступаем в некоторое противоре-
противоречие с теми случаями, когда термин „теория" употребляется для обозначения
подмножества высказываний системы.
2) Это погружение получается так: числу 0 сопоставляется 0, если числу
п сопоставлено а„, то числу п-\- 1 сопоставляется a.n\j{an} (см. введение-
к § 11.7); операциям сложения и умножения над числами сопоставляются
соответствующие отношения.
3) Аксиомы Пеано рассматриваются, как в § 7.8, хотя возможна (более
сильная) формулировка, в которой аксиома индукции дается как одно пред-
предложение теории множеств. (Эта более сильная аксиома индукции также дока-
доказуема в нашей аксиоматизации теории множеств.)
4) Применяя конструкцию Гёделя — Россера (см. упр. 7-65) к теоретико-
множественной арифметике, мы получим предложение, не доказуемое и не
опровергаемое в ней (если аксиоматизация теории множеств непротиворечи-
непротиворечива); однако мы не умеем определять, истинно или ложно это предложение,,
так как не доказана непротиворечивость аксиоматизации теории множеств-
§ 14.7. ПРИЛОЖЕНИЯ В ЛОГИКЕ 413
набросок, затем введем более точные определения. Будем говорить,
что высказывание теории множеств принадлежит классу 2П ,
если оно эквивалентно (в ZF) высказыванию вида (Qi^i) . . .
- • • (QtAi)#(:ti, . . ., хп), где Q4 ... Qn есть 2„-префикс, a R —
рекурсивное отношение. Чтобы сделать это определение точным,
следует использовать имя, т. е. индекс рекурсивного отношения.
Рассмотрим высказывания элементарной арифметики, получен-
полученные применением следствия V к выражениям вида C?i)(V:r2) . . .
. . . Tn(z, О, хх, х2, ¦ . .) для различных фиксированных z и п.
Для данных z и п символом Ca4)(Va2) . . • TB(z, О, а4, . . .) обо-
обозначим высказывание арифметики, соответствующее выражению
Cx^Dx2) ¦ . .. Tn(z, О, хи . . .). Достаточно рассматривать такие
специальные высказывания и их отрицания, так как (i) любое
лг-местное рекурсивное отношение R есть
Cxn+i)Tn+i(zi, 0,
. ..., хпу | (Vxn+i)
n+i
(z2, 0,
при подходящем выборе zt и z2 и (ii) всякое высказывание элемен-
элементарной арифметики эквивалентно (в ZF) некоторому такому спе-
специальному высказыванию (согласно алгоритму Тарского — Кура-
товского, правилу сжатия кванторов и теореме III *)).
Определение. Для п > 0 символом Б^г обозначим совокуп-
совокупность всех высказываний F теории множеств, эквивалентных (для
подходящих z) предложениям Cai)(Va2) • • • Тп{г, 0, аь . . ., ап).
Аналогично определяется для п > 0 класс П^г. Классы Бо#
и По — это класс всех высказываний, эквивалентных в ZF
или высказыванию „О = 0", или высказыванию „О = 1".
Использование фиктивных кванторов (как в § 14.1) дает, что
^п^иПп^сг I,n+i П П^1. Модифицируя (и упрощая) доказатель-
доказательство теоремы XI, можно доказать такую теорему.
Теорема XII. Если теоретико-множественная арифметика
семантически непротиворечива, то для любого п можно указать
высказывание теории множеств из класса (^n+i — n^i) (и, следо-
следовательно, высказывание из (Пп+i — 2n+i))-
Доказательство. Доказательство намечается
в упр. 14-21. В этом упражнении приводятся также еще несколько
результатов на ту же тему.щ
Такую же теорему можно доказать и для арифметики Пеано
'(Р), если класс 2„ определить аналогично классу 2^F. Гипотезу
J) Можно формально доказать общую „метатеорему" об этих эквивалент-
шостях в ZF.

414 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
о семантической непротиворечивости можно опустить, так как
арифметика Пеано семантически непротиворечива; не очевидно,
что всякое высказывание элементарной арифметики эквивалентна
(в Р) некоторому специальному высказыванию, однако можно
привести достаточно подробное доказательство.
Высказывание теории множеств из класса B^ — П^ )
нельзя ни доказать, ни опровергнуть (в теории множеств), в про-
противном случае оно было бы эквивалентно (в ZF) или „О = 0", или
„О = 1" и принадлежало бы классу 2fF.
Что известно о классификации различных гипотез в математи-
ке? Большая теорема Ферма принадлежит классу Ut (так как
она утверждает, что (V?)(Vj/)(Vz)(Vw)[if7 > 2 =>- xw + yw Ф zw]).
Гипотеза Римана (о том, что действительная часть всех нулей
\-функции Римана w = 2 ^-l™* (здесь z — комплексное число),
и=1
действительная часть которых заключена между 0 и 1, равна
только -g-J также входит в П± (доказывается, используя конеч-
конечные аппроксимации). Известно, что теорема о простых числах
(о том, что am ———-— = 1, где Р(п) — число простых чисел
п-хю п
¦^.п) входит в Б о , так как она доказана. Однако поверхностное-
исследование (без рассмотрения доказательства) дает, что эта
теорема входит в nfF, так как утверждается, что
0 &z>y]
Р (z) log z
z
Нетрудно заметить при относительно поверхностном исследо-
исследовании, что почти все гипотезы, которые (i) интенсивно рассматри-
рассматриваются математиками и (ii) выразимы в арифметике, находятся
на довольно низком уровне в классификации S^F. По-видимому,
можно полагать, что человеческий мозг способен только понимать,
и изучать "предложения с не более чем четырьмя-пятью перемена-
переменами кванторов. Более того, можно считать, что всякие изобретения,
подтеории и главные леммы в различных частях математики —
это приспособления в помощь мозгу при работе с одной или дву-
двумя дополнительными переменами кванторов. Разумеется, согласно»
теореме XII, имеются высказывания произвольно высокого ариф-
арифметического уровня, однако они обнаруживаются с помощью
диагонализации, а не непосредственно. Большую часть теории
рекурсивных функций можно рассматривать как науку о переме-
переменах кванторов.
Все ли высказывания теории множеств выразимы в арифмети-
арифметике? Следующая теорема дает отрицательный ответ на этот вопрос.
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 415
Теорема XIII. Если аксиоматизация ZF теории множеств
непротиворечива, то имеется высказывание теории множеств,
не выразимое в арифметике.
Доказательство. Мы используем кодирование как
высказываний, так и формул со свободными переменными. В на-
нашей конструкции воспользуемся гёделевой функцией подстановки
(§ 11.6). Заметим, что множество {х \ х есть высказывание
элементарной арифметики) рекурсивно и, следовательно, опре-
определимо в элементарной арифметике и что множество {х \ х есть
истинное высказывание элементарной арифметики) определимо
в теории множеств. Выберем z0, так, чтобы WZo = {(х, у) | х
эквивалентно (в ZF) высказыванию у). Для каждого у число z0
дает эффективное перечисление множества {х \ х эквивалентно
(в ZF) высказыванию у) (см. следствие 5-V). Это перечисление
назовем стандартным перечислением множества {х | х эквива-
эквивалентно у). Рассмотрим следующую формулу теории множеств:
(Vb)[[b есть первое высказывание элементарной арифметики
в стандартном перечислении всех формул, эквивалентных (в ZF)
высказыванию о(а, а)] => [Ъ — ложное высказывание элементарной
арифметики]]; здесь а — гёделева функция подстановки. Пусть и —
кодовый номер этой формулы, и пусть F — результат подстановки'
нумерала, выражающего и, вместо перемейной а в эту формулу.
Тогда о(и, и) — кодовый номер высказывания F и F — выска-
высказывание „с обращением к самому себе", утверждающее „если F
эквивалентно (в ZF) некоторому высказыванию элементарной ариф-
арифметики, то первое такое высказывание {в стандартном перечисле-
перечислении) ложно".
Предположим, что F эквивалентно некоторому G, где G —
высказывание элементарной арифметики.
Первое такое G в стандартном перечислении назовем Н. В тео-
теории множеств мы можем рассуждать так: „Допустим Н; отсюда
выведем F; затем выведем ,Н ложно' (проверяя, что Н — первое
предложение элементарной арифметики в стандартном пересчете,
связанном с F); отсюда выведем ~\Н. С другой стороны, допустим
^Н; отсюда выведем ~lF; отсюда выведем ,Н истинно' (используя
стандартное перечисление); отсюда выведем Н". Следовательно,
наше предположение ведет к противоречию в теории множеств. ш
Из теоремы XIII в упр. 14-23 мы получим вторую теорему
Гёделя о неполноте (для ZF).
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
По данному описанию множества с помощью алгоритма Тарско-
го — Куратовского часто можно получить верхнюю оценку уровня
этого множества в арифметической иерархии. Какими методами

416 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
можно получать нижние оценки? В этом параграфе мы приведем
несколько результатов.
Определение. Пусть % — класс рекурсивно перечислимых
множеств. Положим Pg = {z \ Wz ?93}. Если А = P<g для неко-
некоторого 93, то А называется индексным множеством.
В наших примерах мы ограничимся индексными множествами;
однако большинство методов применимо и в более общих случаях.
Один из подходов к проблеме нижних оценок состоит в отыска-
отыскании простого структурного критерия (на 93) вхождения Р» в раз-
различные классы арифметической иерархии. Такой критерий можно
найти для Б о и 1ц, (и, следовательно, для П4). Этот критерий
дается теоремами Раиса и Шапиро, упомянутыми в § 2.1
и упр. 5-37. Сейчас мы докажем эти теоремы.
Теорема XIV (а) (Райе). Ра> ? 20<=> ^ пусто или 93 — класс
всех рекурсивно перечислимых множеств.
(Ь) (Райе, Шапиро). P<g ? 24 <=> [93 = 0 или C общерекурсив-
общерекурсивная функция f)[93 = {А | А рекурсивно перечислимо и Cu)[Df(u) cz
а А]}}].
Доказательство, (а) -<=. Если Pg = 0 или Pg = N,
то результат очевиден.
=>-. Пусть Pg 6 20 (т. е. пусть Р« рекурсивно), пусть А ?93
и В (? 93. Предположим также, что А[)В?93. (Доказательство
для А{}В&93 аналогично.) Тогда В а А{]В и В ф А \]В.
Определим такую общерекурсивную функцию h, что для любого х
{В, если <$х(х) расходится;
A UВ, если q>*(:r) сходится.
Из рекурсивности множества Р™ следует, что {х | q>x(x) сходит-
сходится} = Л.(Р«.) рекурсивно и что разрешима проблема остановки.
Противоречие. (В упр. 11-10 приводится другое доказательство.),
(Ь) <=. Если 93 = 0, то Pg = 0 ? 20 с: 24. Пусть 93 ф 0,
и пусть / — такая общерекурсивная функция, что 93 = {А \ А
рекурсивно перечислимо и Cu)[Dflu) а А]}. Тогда х?Р<^<^>
<=s> Cu)[Dfiu) cz Wx]. В силу алгоритма Тарского—Куратовско-
Тарского—Куратовского Pg 6 2 4.
=>-. Пусть P(g 6 2j и 93 ф 0. Сформулируем две леммы о 93.
Первая лемма. Пусть Pg 6 24. ГогЗа иб^&Лс:5&В
рекурсивно перечислимо] =$¦ В ? 93.
Вторая лемма. Пусть Р™ ? 24. Тогда А ? 93 =Ф- C5)[5 конеч-
конечно &В cz A &B ?93].
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 417
Доказательство. Отрицание любой из лемм ведет
к разрешимости проблемы остановки (см. упр. 14-24).
Продолжим доказательство теоремы. Пусть g — такая обще-
общерекурсивная функция, что для любого х имеем Wgix) = Dx.
Тогда g~1(Pa>) — рекурсивно перечислимое множество и в силу
второй леммы не пусто. Пусть / — общерекурсивная функция,
область значений которой есть g~1(Pg). Из обеих лемм непосред-
непосредственно следует, что / обладает желаемыми свойствами относитель-
относительно Pg х).и
Мы дадим несколько примеров использования теоремы XIV
для вычисления уровня множества в арифметической иерархии.
Пример 1. Пусть 93 = {К}. Очевидно, что ни 93, ни % не
удовлетворяют критерию для 2t. Согласно алгоритму Тарского —
Куратовского (см. упр. 14-6), Pg ? П2. Следовательно, Pg ?
Пример 2. Пусть 'ё = {А \ А рекурсивно перечислимо
и А Ф 0}. Тогда % удовлетворяет критерию для Ъ± (возьмем
в качестве / функцию \х\х + 1], напомним, что Do = 0). Следо-
Следовательно, Р^ 6 2t. Класс % не удовлетворяет критерию для 20.
Следовательно, Pg 6 №i — 20).
Пример 3. Пусть % = {А | А конечно). Согласно алго-
алгоритму Тарского — Куратовского, Pg 6 22. Ни 98, ни % не удов-
удовлетворяют критерию для Ъ\. Следовательно, Pg 6 B2 — Bi(J
U ПО).
Для классов Ъп, п^-2, не обнаружены простые структурные
критерии, подобные критериям для 2о и 2j. В § 15.1 и 15.2 мы
обсудим эту проблему более подробно 2).
Рассмотрим другой подход к проблеме нижних оценок. Этот
подход, который мы назовем подходом по сводимости, состоит
в выборе определенных множеств в качестве эталонных „отправ-
„отправных" точек и в получении нижних оценок уровня (и степени)
любого множества путем установления соотношений по сводимости
между этим множеством и одним или несколькими из эталонных
множеств. В большинстве случаев в качестве эталонных множеств
г) В пункте (а) утверждается, что % как открыто, так и замкнуто (в топо-
топологии упр. 11-35 (а)). В пункте (Ь) утверждается, что % открыто в этой топо-
топологии и, кроме того, есть „рекурсивное объединение" базисных открытых
множеств. Позже, в гл. 15, будут рассмотрены топологические аспекты
иерархии.
2) Автор не знает ответа на следующий вопрос. Если Р„? %з, то являет-
ся ли g пересечением классов, открытых в топологии упр. 11-35 (а)?
См. следующую сноску.
27-0506

418 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
мы будем использовать множества, полные в 2„ или П„ (п > 0),
при этом будет использоваться т-сходимость.
Подход по сводимости особенно полезен при получении нижних
оценок уровня (и степени). В сочетании с алгоритмом Тарского —
Куратовского (и сильной теоремой об иерархии) этот подход
иногда позволяет определить не только уровень, но и тип рекур-
рекурсивного изоморфизма данного множества.
Пример 1. Если мы с помощью алгоритма Тарского —
Куратовского установили, что данное множество В входит в 23,
и если мы показали, что 0с2> S^m В, то мы можем заключить, что
Пример 2. Если с помощью алгоритма Тарского — Кура-
Куратовского мы установили, что данное множество В ? Е 3, и если мы
покажем, что 0<3) ^т-^> Т0 мы можем заключить, что В ?
6 B3 — B2[jn2)), и, более того, можно заключить, что В
является 23-полным (и =0<3)) (см. упр. 14-10).
В качестве эталонных множеств полезно выбирать множества
с интуитивно простыми описаниями *). Например, для 22 удобно
эталонное множество {х | Wх конечно}, для П2 удобно множество
{х | Wx бесконечно}. (По теореме 13-VIII множество {х | Wx ко-
конечно} 22-полно, а {х | Wx бесконечно} П2-полно.) В § 13.2 мы уже
обсуждали связь между некоторыми интуитивно простыми опре-
определениями и некоторыми степенями неразрешимости.
Пример. Пусть А = {х \ Wx = К}. Какова степень мно-
множества А? Согласно алгоритму Тарского — Куратовского, как
уже отмечалось, А ? П2. Пусть
В = {х | Wx бесконечно}.
Лемма. Пусть А и В — множества, определенные выше. Тогда
Доказательство леммы. Пусть WXf> = К. Суще-
Существует такая общерекурсивная функция g, что для любого z
фХо(а;), если в перечислении множества
Wz (по z) появилось хотя
бы х чисел;
расходится в противном случае.
Имеем g(z) 6 А <=> z ? В, следовательно, В ^т А.и
г) Если А 2^-полно, то А ^тС <=> (Ув)[В ? 2п => В < тС]. Поэтому
А можно не упоминать. Однако использование эталонных множеств удобно
как в техническом смысле, так и для интуитивного представления, поэтому
мы описываем подход по сводимости с помощью эталонных множеств.
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 419
Таким образом, множество А П2-полно. Мы определили не
только его уровень, но и его тип рекурсивного изоморфизма.
Следующая теорема дает хорошее эталонное множество для 2 3
(и, следовательно, продолжает рассмотрения § 13.2, связанные
с 0<3>) х).
Теорема XV. Множество {х | (Зу)[у 6 Wx & Wy бесконечно]}
является Из-полным, и, следовательно, оно рекурсивно изоморф-
изоморфно 0<3).
Доказательство. Пусть В = {х \ (Зу)[у 6 Wx & Wy
бесконечно]}. Согласно упр. 14-10, достаточно показать, что В =т
=т 0<3)- В силу алгоритма Тарского — Куратовского В ? 23
(см. упр. 14-26). Следовательно, В <т 0<3). Осталось показать,
что 013У^.тВ. Пусть 0СЗ) определяется как {z | Cxi)(Vx2)
Cx3)R(z, xt, x2, x3)}. Фиксируем xt и z. Определим -vp так:
1|з@) =0, если Cx3)R(z, xu 0, х3);
{0, если определено ty(ri) и
Cx3)R(z,xi,n + l,x3)
расходится в противном случае.
Пусть g — такая общерекурсивная функция, что ^ = ф§(эс„ z)-
Тогда W^xuz) бесконечно <=> (Vx2)Cx3)R(z, х^хг, х3). Возьмем
такую общерекурсивную функцию h, что
J^ft(z) == Vdl(hXilg(Xi, Z)]).
Имеем z 6 0<3) <^> Cx1)(yfx2)Cx3)R(z, хи xz, х3) <^> {Зхх)[\?g{Xi< z)
бесконечно] <=$> (Зу)[у 6 Wh(z) & Wy бесконечно] <±>h(z) ?B. Итак,
о) ^т В.я
Это эталонное^ множество используется в следующей теореме.
Теорема XVI. Множество {х | Wx рекурсивно} является 23-
полным, и, следовательно, оно рекурсивно изоморфно 0<3> 2).
Доказательство. Пусть С = {х \WX рекурсивно}.
В первом примере § 14.3 мы показали, что С ? 23.
Получим нижнюю оценку по сводимости. Пусть
В = {х | (Зу)[у € Wx & Wy бесконечно]}.
В силу теоремы XV достаточно показать, что В <т С. Используем
конструкцию, аналогичную конструкции из теоремы 10-Ш.
J) Читатель мог бы заметить, что вопросы из § 13.2 наибольшей комбина-
комбинаторной трудности разрешаются здесь алгоритмом Тарского — Куратов-
Куратовского. . „
2) Эта теорема была доказана независимо Мостовским и автором. Дока-
Доказательство Мостовского проще, но не дает следствия XVI.
27»

420 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
Фиксируем z. Возьмем один основной список всех чисел. С эле-
элементами списка мы будем связывать маркеры 0|, |"Т~|, . . .,
мы будем также иногда писать плюс рядом с элементами списка
или передвигать маркеры, или производить обе операции одновре-
одновременно. Пусть А — множество всех чисел, помеченных знаком
плюс. Наша конструкция будет такова, что будут выполняться
{z 6 В =>¦ А коконечно] и [z $ В =>¦ А не рекурсивно]. Множество А
будет эффективно строиться по z. Следовательно, мы получим
такую общерекурсивную функцию h, что А = Wh(Z) и что z ? В <=>
<=> h(z) ? С. Таким образом будет доказано, что В <т С.
Сначала опишем вспомогательную процедуру (не затрагиваю-
затрагивающую наш основной список).
Этап к. Сделайте к шагов в перечислении (по z) множества
Wz. Возьмите все появившиеся у ? Wz и сделайте к шагов в пере-
перечислении (по у) множества Wy.
Опишем теперь основную процедуру. Элемент основного списка
назовем свободным, если с ним не связан и до этого момента не
связывался ни один маркер, элемент основного списка назовем
вакантным, если он не помечен знаком плюс.
Этап
элементом
In. Маркер
основного
положения маркеров [ 0 |, . .
числениях множеств Wo, W±,
все те вакантные элементы х[п) @
п I свяжем с наименьшим свободным
списка. Пусть ?<"), . . ., х&> — текущие
| \п . Сделаем п шагов в пере-
пере., Wn. Пометим знаком плюс
i ^ п), которые появились
в соответствующих перечислениях множеств Wt.
Этап In + 1. Сделаем п этапов вспомогательной процедуры.
Проверим, имеется ли такое у, что: у ^ п, у появляется в Wz
на не более^чем п-ж этапе вспомогательной процедуры и на и-м
этапе вспомогательной процедуры впервые появляется по крайней
мере еще одно и из Wу. Если такого у нет, то переходим к этапу
2п + 2. Если же такое у есть, то возьмем наименьшее такое у
ж обозначим его через уп. Пометим знаком плюс все вакантные
если уп
и передвинем маркеры
Уп
071 + 1
п вниз к наименьшим п — уп -j- 1 свободным элементам
основного списка.
Итак, мы определили множество А. Ясно, что А определяется
равномерно по z. Если {Уу)[у 6 Wz =>- Wv конечно], то (согласно
нечетным этапам основной процедуры) каждый маркер будет
двигаться только конечное число раз. Пусть хп — последнее поло-
I
жение маркера п
. Тогда (согласно четным этапам) хп
Wn. Следовательно, множество А не может быть рекурсив-
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 421
но перечислимым и А не рекурсивно. Если {Зу)[у 6 Wz &Wy
бесконечно], то некоторый маркер будет двигаться бесконечно
много раз и все числа, лежащие ниже его лервой позиции, поме-
тятся знаком плюс. Следовательно, А будет коконечным. Этим
завершается доказательство.т
Следствие XVI. Множество {х \ Wx коконечно} является
2 3-полным.
Доказательство. Согласно алгоритму Тарского —
Куратовского, {х \ Wx коконечно} ? 2з- Конструкция теоремы
дает, что В ^т {х \ Wх коконечно}, это и требуется.и
Можно ли для больших п указать эталонные 2п-полные мно-
множества с более простым описанием, чем 0(Т1)? Чтобы ответить
на этот вопрос, введем понятие квантора бесконечности (см. Марк-
вальд [1954]).
Обозначение. (U;r)[. . . х . . .] понимается так: „для бесконечно
многих х . . . х . . .".
Во многих отношениях квантор бесконечности U похож на
кванторы 3 и V. Правила движения квантора налево те же, что
и для 3; т. е. если а не свободна в G, то следующие пары выраже-
выражений эквивалентны:
(Ua)F V G,
{\Ja)F & G,
G => (\Ja)F,
(\Ja)F => G,
(Ua)[F V G];
(XJa)lF &G];
(Ue)[G=> Л;
1 (Ue) П [F
G].
Однако в отличие от 3 и V квантор бесконечности не коммутирует
сам с собой: Так, (XJx)(XJy)[x < у] — верное утверждение о неотри-
неотрицательных числах, a (TJy)(\Jx)[ x < у] ложно.
Определение. Будем говорить, что отношение R выразимо
в Qi . . . Qm-g5opMe (где для i ^.m Qt есть либо 3, либо V, либо U),
если имеется такое рекурсивное отношение S, что
R = {<?!, . . ., Хп) Ш
Ут)}-
Теорема XVII. R 6 П2
R выразимо в JJ-форме.
Доказательство. ¦<=. Пусть R = {(xt, . . ., ж„) |
(Uy)S(xu ...,«„, у)}. Тогда (XJy)S(xu . . ., хп, у) <=> (Vu)Cy)
[у > и & S(xi, . . ., хп, у)]. Следовательно, R 6 П2.
=^-. Пусть R 6 П2 и R есть и-местное отношение. Тогда, соглас-
согласно теореме 13-VIII, tn(R) ^i {z | Wz бесконечно} с помощью неко-
некоторой общерекурсивной функции /. Но Wz бесконечно

422 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
<=> (XJy)S(z, у), где S — рекурсивное отношение {(z, у) | фг(я1(г/))
сходится точно за я2(г/) шагов}. Следовательно,
Д =
(XJy)S(fxn(xu . . ., хп), у)}.
Запишем сокращенно результат этой теоремы как П2<=>и.
Аналогично из теоремы XV получаем, что 23<=s> 3U (см. упр. 14-
27). Обобщение-на более высокие уровни требует некоторой изво-
изворотливости. Это было проделано Крейселом, Шёнфильдом и Ван
Хао [1960]. Обозначим UU . . . U через U<n>.
Теорема XVIII (Крейсел, Шёнфильд, Ван Хао). Для любого п
U2n
Доказательство. Случаи По и П4 выполняются по
определению. Случай П2 выполняется в силу теоремы'XVII.
Для случая П3 мы докажем релятивизованный вариант.
Лемма. Пусть дано множество А. Тогда для любого п-местного
отношения R
Д € П?<*>Д = «ач, . . ., хп) | (Vy)№S(xit . . ., хп, у, z)}
для некоторого А-рекурсивного отношения S.
Доказательство леммы. -$=. Очевидно, так как
[у > х & S(. . .)].
=>•. Пусть R ? Пз- В силу релятивизованного варианта теоре-
теоремы XV множество {z | (Зу)[у 6 Wt & Wy бесконечно) является
23-полным4 (см. упр. 14-28). Непосредственная модификация
доказательства дает релятивизованный вариант следствия XVI:
множество {z | Wz коконечно} является 2^-полным. Следователь-
Следовательно, {z | Wf кобесконечно} является П^-полным (см. упр. 14-29).
Следовательно, тп(Д) ^4 {z | Wf кобесконечно} посредством неко-
некоторой общерекурсивной функции /. Но Wf кобесконечно <=>
<=> (U»)[y & W$\ <=> (Vy)(Vx) П Tf(z, у, х). Итак,
R = {{хи . . ., хп) | (Uy)(Vx) П Ti{fxn (xu ,.., хп), у, х)}
и лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство проводим
по индукции. Случаи По, Пь П2 и П3 уже рассмотрены.
Импликация <= во всех случаях очевидна, согласно алгоритму
Тарского — Куратовского.
§ 14.8. ВЫЧИСЛИМЫЕ СТЕОТНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 423
Пусть П2п <^> U(n>, и пусть R € П271+2 {п > 0). Тогда П271+2 =
= V3V22n_i (такая запись очевидным образом указывает, что
после V3V идет 22„_!-префикс). Следовательно, согласно сильной
теореме об иерархии (теорема VIII), R 6 П3, где А = 0<2™-1).
Согласно лемме,
Д = {<...> \(\Jy)(Vx)S(. . ., у, х)},
где S рекурсивно в 0<2n-D. По теореме VIII S 6 ^|" П П2„.
¦Следовательно, R выразимо в иУП2п-форме. Но ТТУП2п =
= UVV3n27l_2 <=> UV3n27l_2 = Un27l (сжатием кванторов).
Итак, R выразимо в 1Ш271-форме. Так как по предположению
индукции П2п<=>и(П\ то R выразимо в U("+1) -форме. Следова-
Следовательно,
п2п+8<=>и«-п+1>.
Аналогично, пусть n27l+1<^>U<n)V, и пусть R 6 П271+3 (п>0).
Имеем П2п+3 <=> V3V227l. Применяя снова лемму, получаем
V3V227l<^UVn2n+1. Тогда
UVn2;i+1 = UVV3n2n_1<=>UV3n2n_1 =
' = Un2n+1<^>U(n+1'V (по индукции).
•Следовательно,
П2п+3
Теперь мы опишем некоторые эталонные П^-полные множе-
множества.
Следствие XVIII. Для п > 1 множество {z \ (Ш4) . . .
... (U^HW^n-i бесконечно & хп^ € WXn_2 & ... & а* 6 Wz]}
является П2П-полным; для п > 0 множество
{% | (шо ... (Uxn) Wxn = 0 & хп е wXn_,&... &Xiewz]}
является И2п+гполным.
Доказательство. Тот факт, что эти множества входят
в П2п и П271+1 соответственно, проверяется алгоритмом Тарского —
Куратовского. Остается показать, что всякое множество, вырази-
выразимое в и(П)-форме, m-сводится к первому множеству, а всякое
множество в и<П)\^-форме m-сводится ко второму множеству. Это
доказывается непосредственно (см. упр. 14-30).и
Вычисление степени неразрешимости с помощью описанных
методов иногда позволяет установить, что два множества, по-раз-
по-разному описанные, различны на самом деле *).
х) Первым обратил внимание автора на это обстоятельство Норман
Шапиро.

424 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
В некоторых случаях установление степени неразрешимости
одного множества в сочетании с применением алгоритма Тарско-
го — Куратовского к другому множеству позволяет установить,
что эти множества не совпадают. Например, согласно теореме XVIг
множество {z | Wz не рекурсивно) является П3-полным. Согласно
алгоритму Тарского — Куратовского, {z | Wz креативно} ? 23
(см. упр. 14-7). Следовательно (в силу теоремы об иерархии),
{z | Wz креативно} Ф {z \ Wz не рекурсивно} и (учитывая нере-
курсивность креативных множеств) можно заключить, что суще-
существуют рекурсивно перечислимые множества, которые не рекур-
рекурсивны и не креативны. (Это было доказано в гл. 8 построением
простого множества.)
Таким же способом можно получить решение проблемы Поста
(теорема 10-III). В работе Роджерса [1959] показано, что 0<3) ^
s^i {х \\WX =ТК}. Так как {х \ Wx не рекурсивно} = 0<3) и так
как 0<3>^i 0C) (см. теорему 13-1), то {х \ Wx не рекурсивно} Ф
Ф {х \WX Е=т К}. (Ейтс показал, что {х \ Wx =т ^} является
24-полным, см. ниже.) Дальнейшие приложения этого метода
будут даны в § 15.3 (теорема 15-XXXVI).
Исследование на 2„-полноту и Пп-полноту почти всех арифме-
арифметических множеств с интуитивно простыми определениями про-
проводилось с помощью описанных выше методов. Причина этого
(т. е. связь интуитивной простоты определения с полнотой или
неполнотой) не очень понятна.
Почти во всех|случаях, когда найдены точные оценки уровня
в классификации, этот уровень получается при достаточно разум-
разумном использовании алгоритма Тарского — Куратовского (с устра-
устранением ограниченных кванторов). Этот феномен также не получил
полного объяснения.
Общие результаты об индексных множествах получил Ейтс;
он показал^ что, каково бы ни было рекурсивно перечислимое-
множество|А, (^множество {z | Wz =T А} является 2^-полным;
(И)^если А Ф 0 я А Ф 0, то {z [ Wz =mA} является Б3-пол-
ным. (Как^частные'случаи отсюда следуют пункт (Ш) упр. 14-31
и определение^степени множества {z | PFZ=T К}.) Ейтс показал
также, что множества {z | Wz максимально} и {z \ Wz гипергипер-
просто} являются П4-полными. В связи с (i) заметим, что троекрат-
троекратное применение равномерности из следствия 13-XXV (Ь) дает, что
для любой степени Ь, рекурсивно перечислимой в 0<3) и такой, что
0<з> <; b <; 0<4>, можно указать такое рекурсивно перечислимое а,
что а<3) = Ь. В частности, для такого b если А ? а, то А{ЗУ являет-
является ' Ef-полным' и К™ <т 4C) <т Я<3>. Тогда {х \ Wx =т А } —
пример индексного множества, содержащегося в B4 — П4) и не-
являющегося 24-полным.
§ 14.9. УПРАЖНЕНИЯ 425-
§ 14.9. УПРАЖНЕНИЯ
§ 14.1
14-1. Пусть Р и С обозначают операции проектирования и взятия допол-
дополнения соответственно. Пусть последовательность таких символов означает
соответствующую последовательность операций (в обратном порядке приме-
применения). Так, РРС означает взятие дополнения с последующими проекциями»
(a) Покажите, что применение СРРСР к отношению Л можно выразить-
навешиванием префикса VV3 на R-
(b) Покажите, что СРРСРС можно выразить навешиванием префикса
VV3 на отрицание отношения R.
Согласно (а) и (Ь), можно сказать, что как СРРСР, так и СРРСРС
соответствуют префиксу \/W3.
(c) Найдите префиксы, соответствующие РСР, СССР, РСРСРСР-
(d) Найдите последовательности операций проектирования и взятия
дополнения, соответствующие 3V31 3V3V' V"
§ 14.2
14-2. Покажите, что не существует нумерации рекурсивных множеств
в 20, допустимой в смысле § 14.2. (Указание. Используйте метод диагона-
лизации.)
Д 14-3 (Клини) (теорема об иерархии). Докажите, что для п > 0 имеем
B^ — П^) Ф 0 и (П^ — 2^) Ф 0. (Указание. Проведите следующую диа-
диагональную конструкцию- Пусть В = {z | (З^^У^гО- • -Tn{z, z, xlt . . .
. . ., хп)}. Тогда В ?2^. Предположив, что В ? П^, найдите П^-индекс для
В и получите противоречие.)
§ 14.3
14-4. Покажите, что (i) ограниченный квантор общности можн^ двигать- •
направо через квантор общности; (И) ограниченный квантор существования
можно двигать направо через квантор общности и (ш) ограниченный квантор
существования можно двигать направо через квантор существования.
14-5. Пусть;; (Va ^ f(b))F — сокращение для (Ча)[а < f(b) =Ф F],
и пусть (За ^ f(b))F — сокращение для (За)[а ^ f(b) & F]. Покажите, что
если / — некоторая общерекурсивная функция, то эти рекурсивно ограничен-
ограниченные кванторы в алгоритме Тарского — Куратовского можно рассматривать
как ограниченные кванторы.
14-6. Примените алгоритм Тарского — Куратовского к множеству
{x\Wx= К}.
Д 14-7. Определите место в классификации следующих множеств:
(i) {x | Wx гиперпросто};
(ii) {х | Wx гипергиперпросто};
(Hi) {x | Wx креативно};
(iv) {х | Wx 1-полно) = {х | Wx = тК};
(v) {x | Wx максимально).
(Указание. Наилучшие результаты суть П3 для (i), П4 для (ii), 2 3 для (iii)r
24 для (iv) и П4 для (v).)
§ 14.4
14-8. Покажите, что В входит в арифметическую иерархию относительно
А тогда и только тогда, когда В определимо в расширенной элементарной
арифметике, получаемой при добавлении „релятивизованных кванторов"

426 ГД. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
типа (Vz)A и (Зх)А, где (Vz)A означает „для всех х из^Л", а (Зх)Л означает
„существует х из Л, такое, что..." (Указание. Покажите, что А само определи-
определимо в так расширенной системе, и используйте теорему VII.)
§ 14.5
14-9. Докажите релятивизованную теорему о проекции (теорема 9-IX).
Имеется ли равномерность?
14-10. Пусть даны А и га > 0.
(a) Покажите, что всякое 2^-полное множество есть цилиндр.
(b) Покажите, что все 2 ^-полные множества образуют 1-степень, являю-
являющуюся также т-степенью.
А 14-11. Рассмотрим высказывание чистой логики предикатов, т. е.
чистого исчисления предикатов первого порядка с равенством (см. книгу
Чёрча [1956]).
Числовая модель высказывания — это (i) непустое множество чисел, назы-
называемое областью определения модели и (И) конечный набор отношений
{на этом множестве), которые соотносятся с предикатными символами выска-
высказывания, при этом если областью допустимых значений переменных (и кван-
тифицированных переменных) является это множество, а предикатные сим-
символы интерпретируются как соответствующие отношения, то высказывание
истинно. Покажите, что если высказывание выполняется на некоторой число-
числовой модели, то оно имеет числовую модель, область определения которой
рекурсивна и все отношения лежат в классе 2 2 П П2. (Указание. Рассмот-
Рассмотрите доказательство Хенкина (в книге Чёрча [1956]), что всякое непротиворе-
непротиворечивое предложение имеет модель, и покажите, что на самом деле получается
числовая модель, рекурсивная относительно К.)
§ 14.6
14-12. Покажите, что 2Л и П^ замкнуты относительно <т (упр. 14-10).
14-13. (а) Покажите, что Л<«>фЛ<п> — объединение двух множеств
из5^ип?.
(Ь) Покажите, что Л(п) X Л(п>—пересечение двух множеств из 2^ (J
Uni
14-14. Обобщите доказательство теоремы 9-1, чтобы показать, что для
любого А, такого, что К ^т-4. Т-степень множества А не содержит мак-
максимальной tt-степени и, следовательно, не содержит максимальной 1-степени.
{Замечание. Мартин доказал существование нерекурсивной Т-степени, обра-
образующей одну tt-степень. Это упражнение показывает, что такая стецень
не может лежать выше 0'.)
14-15. Проверьте, что А = ТД' <=> (Зс)[С g 2^ П П^ & А ? 2f fl
П П? &С?2? &(V?>) [D 6Zf =>D 6 2? П П?]].
14-16. Используйте теорему 10-III, чтобы показать, что в B% — 24)
существует множество, не сравнимое (по Т-сводимости) с некоторым множе-
множеством из 2j.
14-17. Используйте следствие 13-IX (а), чтобы показать, что для любого
п > 0 имеется множество в Bп+2 — 2П), не сравнимое с некоторым множе-
множеством из 24.
§ 14.7
14-18. Покажите, что V и 0(-ш'>~— цилиндры.
14-19. Пусть дано А. Рассмотрим расширенную элементарную арифме-
арифметику, описанную ц теореме VII. Пусть VA — множество всех истинных выска-
высказываний этой арифметики. Покажите, что VA = (\
§ 14.9. УПРАЖНЕНИЯ 427
14-20. Покажите, что при любой аксиоматизации всякое истинное 2j-
высказывание (элементарной арифметики) эквивалентно (в аксиоматизации)
некоторому 20-высказыванию.
Д 14-21. (а) Докажите теорему XII. (Указание. Для га ^ 0 положим
S^ = множество всех высказываний (элементарной арифметики) специаль-
специального вида Cad)(Va2) • • • Тп(х, 0, аи . . ., ап), пусть S% — множество
всех высказываний специального вида (Vaj)Ca2) . . -Tn(z, 0, а4, . . ., ап).
Положим Sf — SР= множество, состоящее из высказываний „0 = 0"
и по = 1". Пусть V — множество всех истинных высказываний элементар-
элементарной арифметики. Положим V% = V П S* и F° = V ("I S^(n > 0). Для любо-
любого множества высказываний А символом Ъ(А) обозначим множество всех
высказываний элементарной арифметики, выводимых (в ZF) из (конечных
множеств) высказываний из А.
(i) Покажите, что V% = 0<п> и V% = 0<п>.
(ii) Выведите, что D(V^) рекурсивно перечислимо в 0<п>.
(ш) Покажите что F^+1 czD(V^) и что, следовательно, D(V%+i) С
(iv) Покажите, что S^+iC\D(Vn) рекурсивно перечислимо в 0<п> и в силу
семантической непротиворечивости 5?+1 П D(V^) cz Vn_^v
(v) Покажите, что так как F^+1= 0<п+1) и 0<n+Dne рекурсивно перечис-
перечислимо в 0<п», то существует высказывание х, такое, что х ? (F^j— D(Vn))
и что, следовательно, х ? (Уп+1 — ^(^n-|-l))-
(vi) Выведите, что по построению х ? П^4 и в силу семантической непро-
непротиворечивости х (J 2П , j.
ZF
(vii) Выведите, что х 6 (Щ+1 ~ Sn+l) и что отрицаниеч х входит
7F ZF ZF ZF
(b) Покажите, что 2f ПП1 = 20 = По .
(c) Пусть дано га > 0. Предполагая семантическую непротиворечивость,
опровергните такое утверждение: всякое высказывание из 2П_|_1 П Пп+1
эквивалентно (в ZF) пропозициональной комбинации высказываний из 2n (J
U П^р. (Указание. Используйте конструкцию из теоремы 9-1, чтобы полу-
получить такое множество А, что Л <Т0<П> и что A ^tt0(n)- В силу теоремы
VIII А 6 2п+1 П Пп+1. Используя нормальные формы для Л~ в 2п+1
и в П„+1, получите такие общерекурсивные функции fag, что Val/ С Sn+i>
- Valg с5п+1, для любого п имеет место [га ?A<=>f(n) истинно] и для любого
п доказуемо lf(n)<^>g(n)]. Тогда для любого п f(n) 6 2^4 fl nn+f пРеД"
положите, что для всякого п предложение f(n) эквивалентно (в ZF) пропози-
пропозициональной комбинации предложений из 2^г U n^F. Выведите отсюда
противоречие: Л ^ tt0(n>-)
(d) Рассмотрим предложения чистой логики предикатов. Высказывание
назовем 271-высказыванием, если в предваренной форме оно имеет 271-префикс.
Аналогично определяются Пп-высказывания. Пусть 2 ? — класс всех выска-
высказываний, эквивалентных (в элементарной логике) 271-высказываниям. Анало-

428 ГЛ. 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1)
гйчно определяем класс П^. Шёнфильдом доказана такая теорема: всякое
высказывание из 2j~i j("~in^i ^ эквивалентно (в элементарной логике) пропози-
пропозициональной комбинации высказываний из 2^ (J П^.
Предположим, что (с) доказано с Р вместо ZF, т. е. для арифметики Пеа-
Пеано. Выведите из результата Шёнфильда, что арифметика Пеано не является
конечно аксиоматизируемой. (Впервые этот результат был получен Мостов-
ским и Рыль-Нардзевским.) (Указание. Покажите, что если бы арифметика
Пеано была конечно аксиоматизируемой, то, взяв достаточно большое п, мы
получили бы противоречие между (с) и результатом Шёнфильда.)
/\14-22. Пусть S — предложение теории множеств, утверждающее, что
теоретико-множественная арифметика семантически непротиворечива. Пока-
Покажите, что если теоретико-множественная арифметика семантически непроти-
непротиворечива, то S не выразимо арифметически. (Это более слабая форма теоремы
XIII.) (Указание. Доказательство упр. 14-21 показывает, что для всякого
п > 0 имеется высказывание из (n^F — 2^F), выводимое из S.)
Д14-23. (Вторая теорема Гёделя о неполноте (для ZF).) Пусть С — утвер-
утверждение о непротиворечивости ZF. Покажите, что С арифметически выразимо.
Выведите из теоремы XIII, что если ZF непротиворечива, то С не доказуемо
в ZF. (Указание. Если С доказуемо в ZF, то, согласно теореме XIII, мы полу-
получим доказательство того, что F (в теореме XIII) не выразимо арифметически.
Но это сразу же дает доказательство F (так как F имеет такой вид: „если F
не выразимо арифметически, то'..."). Следовательно, -F 6 2?г. Но тогда
имеется доказательство арифметической выразимости F. Полученное проти-
противоречие влечет за собой противоречивость ZF. (В этом доказательстве мы пола-
полагаем, что все наши результаты, включая теорему XIII, выразимы и доказуе-
доказуемы в ZF.) (Вторую теорему Гёделя о неполноте можно доказать для арифмети-
арифметики Пеано, показав сначала, что теорема Гёделя — Россера для арифметики
Пеано (см. упр. 7-65) выразима в элементарной арифметике и доказуема
в арифметике Пеано. См. работу Фефермана [I960].)
§14.8
14-24. Докажите леммы в теореме XIV, и завершите доказательство
теоремы.
14-25. Покажите, что всякое индексное множество есть цилиндр.
14-26. Покажите, что {х | (Зг/)[у ? Wx & Wy бесконечно]} G 23.
14-27. Покажите, что 23 <=> Зи.
14-28. Докажите релятивизованный вариант теоремы XV.
14-29. Докажите релятивизованные варианты теоремы XVI и следствия
XVI. (Указание. Используйте упр. 14-28.)
14-30. Завершите доказательство следствия XVIII. (Указание. Восполь-
Воспользуйтесь s-m-ra-теоремой и следствием 5-V.)
14-31. Покажите, что:
A(i) {х | Wx просто) П3-полно;
Z^(ii) {х | Wx гиперпросто} П3-полно;
J^(iii) {х | Wx креативно} 23-полно.
(Указание. Для (i) и (ii) воспользуйтесь .теоремой 9-XVI и упр. 9-25.
Пункт (Hi) доказан в работе Роджерса [1959].)
Глава 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(часть 2)
§ 15.1. Иерархия классов множеств 429
§ 15.2. Иерархия классов функций 444
§ 15.3. Функционалы 459
§ 15.4. Упражнения 471
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ
Пусть JT{ =2N) — множество всех подмножеств множества N.
Пусть JPhXNl— декартово произведение JPX- • -Х^Х^Х • • •
. . . XN, где JT повторяется к раз, а N повторяется I раз (к, 1^-0).
Пусть I ^ 1, отношение R cz jfTkXNl назовем однозначным, если
для любого кортежа (Xi, . . ., Х^, xi, . . ., яг-i) существует не
более одного такого Xi, что (Xj, . . ., Xz_i, x{) принадлежит R.
Определение. Однозначное отношение i|\ принадлежащее jTkX
ХА7^, назовем функцией к множественных переменных и Ь число-
числовых переменных.
Как и для функции к (числовых) переменных в гл. 1, вводятся
понятия области определения (обозначение Arg) и области значе-
значений (обозначение Val). Функцию к множественных переменных
и I числовых переменных назовем всюду определенной функцией,
если ее область определения есть Jf*hXNl *)¦
Нам хотелось бы ввести понятие частичнорекурсивной функции
к множественных переменных и I числовых переменных. Дадим
неформальное определение. Пусть -vp — функция к множественных
переменных и I числовых переменных. Назовем i|) частичнорекур-
частичнорекурсивной функцией к множественных переменных и I числовых пере-
переменных, если имеется такой набор инструкций Р, что для любого у
и любого кортежа (Хц, . . ., Х^, ?i, ¦ ¦ •, ^г) выполняется сле-
следующее условие: ty(Xi, . . ., xj) = г/<=>[если снабдить Р „ораку-
„оракулами" для множеств Xt, . . ., Xh, то при входе (хх, . . ., жг)
получается выход у]. Таким образом, Р алгоритмически преобра-
преобразует вход (zi, . . ., х{), с тем исключением, что (i) иногда задаются
вопросы вида „принадлежит ли z множеству Х_,-?" (где 1 ^ / ^ к)
и (ii) фвычисление продолжается после того, как кто-то извне
(оракул) сообщил правильный ответ на поставленный вопрос.
С помощью определений гл. 9 дадим соответствующее формаль-
формальное определение.
х) При к > 0 функцию к множественных переменных и I числовых пере-
переменных иногда называют функционалом. Такая терминология и связанные
* этим вопросы рассматриваются дальше в § 15.3.

430 ГД. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ
Определение. Пусть к >> 0 и I > 0. Функция i|) называется
частичнорекурсивной функцией к множественных переменных и
I числовых переменных, если существует такое z, что
Пусть к > 0 (и I = 0). Функция -vp называется частичнорекур-
частичнорекурсивной функцией к множественных переменных, если существует
такое z, что г|з = ХХ± . . . Xfc[<pf» *Ч°I (упр. 15-1).
Число z называется гёделевым номером или индексом функции г|).
Большинство определений теории частичнорекурсивных функ-
функций переносится на частичнорекурсивные функции множественных
и числовых переменных.
Определение. Отношение R cz jTh^Nl рекурсивно, если харак-
характеристическая функция отношения R является (всюду определен-
определенной) рекурсивной функцией к множественных переменных и I
числовых переменных.
' Пример. Отношение {(X, z) | x ? X} рекурсивно (отно-
(относительно JTX.N).
Рекурсивно перечислимые отношения следовало бы определять
как области определения частичнорекурсивных функций.
Пример. Множество {X | X Ф 0} совпадает с областью
определения функции i|), где ty(X) = q>*@), при этом z выбрано
так, что q>J(;r) = 1, если X Ф 0, и (f>f(x) расходится в противном
случае.
Однако термин „рекурсивно перечислимый" не совсем удачен,
так как области определения частичнорекурсивных функций могут
быть и несчетными. Поэтому мы будем использовать терминологию
теории арифметической иерархии. Наши рассуждения будут,
очевидно, параллельны исследованию арифметической иерархии
в гл. 14, Однако для большей ясности мы будем опускать реляти-
визованные определения и результаты.
Проекции
Проекции (и вообще кванторы) будут рассматриваться только
по отношению к числовым переменным. В гл. 16 будет рассмотрен
более общий случай (проекций относительно множественных пере-
переменных).
Иерархия
Определение. Отношение R a JTk\Nl называется арифмети-
арифметическим, если R рекурсивно или существует такое рекурсивное
отношение S a JTh)i^Nm (где т> I), что R может быть получено
15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 431
из S путем последовательного применения некоторой конечной
последовательности операций взятия дополнения и проектирова-
проектирования, при этом оцерации проектирования применяются только по
числовым переменным.
Аналог теоремы 14-1 очевиден.
Теорема I. Отношение R cz jTh\Nl арифметическое <=> [от-
[отношение R рекурсивно или при некотором п > 0 имеем R =
= {<ХЬ . . ., xi) | (QiZj+O . . . (Qnxi+n)S{Xu . . ., xi+n)}, где
для i ^ i ^ п символами Q; обозначаются или V, или 3, а отно-
отношение S a jrh)(Nl+n рекурсивно].
Доказательство проводится аналогично доказатель-
доказательству теоремы 14-1. в
Как в § 14.1, определяются 1,п-префиксы и Пп-префиксы.
Применение 2п-префикса к рекурсивному отношению, принадле-
принадлежащему JThy(Nl, дает SW-форму; аналогично получаются П<,8>-
формы х). (Верхний индекс (s) показывает на возможность присут-
присутствия множественных переменных.) Вместе с рекурсивным отно-
отношением из Жк"Х,Ы1 2^-форма (и П^>-форма) определяет отноше-
отношение из jfPh)(tNm (для некоторого т ^ Г). Будем говорить, что
так определенное отношение выразимо в данной форме.
Определение. Символом 2^s> обозначим класс всех отношений,
выразимых в 2^)-формах. Символом Л*,8) обозначим класс всех
отношений, выразимых в Щ^-формах 2).
Следствие I. Отношение R cz JThy(Nl арифметическое <^>
Cn)[R € 2<?> или R 6 П«].
Доказательство очевидно. ш
Используя „фиктивные" кванторы, получаем аналог теоремы
14-И.
Теорема II.
(а) 2?> U
П
Доказательство проводится, как в теореме 14-П.
х) Таким образом, 2 ^f-форма состоит из (i) ^„-префикса, (и) рекурсивного
отношения и (ш) однозначного соответствия между кванторами префикса
и числовыми переменными этого отношения.
2) В литературе верхний индекс (s) обычно опускается.

432 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Нормальные формы
Правила сжатия кванторов приведены в § 14.2.
Определение. Пусть к > О и 1 > 0. Положим
Гл, г == {<ХЬ . . ., Xh, z, х0, . . ., xi) | q>f4 ^(ж0, • • ., хц)
сходится на хгм шаге перечисления множества WP(Z) (по p(z))}.
Более формально, Tkit(Xu . . ., Xh, z, xa, . . ., Ж|) <=>
-Ф> Cy)Cu)Cv)[{{x0, . . ., жг_!>, г/, м, у> появляется на жгм ша-
шаге перечисления множества WP(Z) (по p(z)) &Z)U cz (X! ® Х2 ©
© . . . Xft) & Z>D cr (Xt © Х2 © . . . X01.
EcmA>0Hi = 0,To7'fti, = {<X1, . . ., Xfc, z, so>|q>?i **(())
сходится на хо-м шаге перечисления множества PFp(Z) (no p(z))}.
Очевидно, что^отношение Tht j (при /с > 0 и J !> 0) рекурсивно.
Соглашение. В дальнейшем наряду с записью Tht ;(Xt, . . .
, . ., Xh, z, x0, . . ., xi) будет употребляться запись
Сейчас мы покажем, что отношение является областью опре-
определения частичнорекурсивной функции тогда и только тогда,
когда оно входит в класс 2<s).
Теорема III. Пусть R a jfThXNl. Тогда R 6 Х^ <=> R =
= Arg 1J3 для некоторой частичнорекурсивной функции i|) от к
множественных и I числовых переменных.
Доказательство. <=. Пусть R = Arg г|з и г|з — частич-
норекурсивная функция. По определению найдется такое г, что
R = {<Xlt . . ., xt) | (Эы;) Thil(z, Xu . . ., Xh, xu . . ., хи w)}
и, следовательно, Лб2^8).
=*-. Обратно, пусть R = {{Xt, . . ., жг) | Cw)S(Xu . . .
. . ., xi, w)}, где S — рекурсивное отношение. Возьмем|такое z,
что ф^1 k(xi, . . ., xj) вычисляется по таким инструкциям:
лолучив хи . . ., xi, проверьте S(XU . . ., хи w) для w — 0,
1, 2, ... поочередно; если (и только если) получится положитель-
положительный ответ при этой проверке, то выдайте выход нуль. Положим
¦г|з = XX1 . . . xil(p^'---'Xh(xu • . ., xi)]. Тогда Arg ty = Л.ш
Теперь можно получить теорему о нормальной|форме и нуме-
нумерации.
Теорема IV (Клини). Каковы бы ни были п > 0 и отноше-
отношение R ? 2^' [(причем R cz JTk\Nl), найдется такое z, что
Л = {{Хи . . ., Xh, х0, . ¦ ., ж,ш1>
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 433
(при этом перед Т стоит знак отрицания, если п четно). Число z
назовем Ъ(п -индексом отношения R. По произвольной 2,^-форме
отношения R (т. е. по тройке: префикс, индекс характеристиче-
характеристической функции рекурсивного отношения и соответствие между
кванторами префикса и переменными) можно эффективно найти
2ns -индекс отношения R. Аналогичное утверждение имеет место
для п > 0 и R 6 П?°.
Доказательство очевидно. я
Заметим, что z есть S?s)-индекс отношения
индекс отношения R.
есть
Алгоритм Тарского—Куратовского
Определение. Пусть выражение F(AU . . ., Ah< a а)
построено в логике предикатов из пропозициональных связок,
знаков =, переменных для чисел, кванторов по числовым пере-
переменным, переменных А4, . . ., Ah для множеств и переменных для
отношений (на множествах и числах), причем Oj, . . ., а; — сво-
свободные числовые переменные. Пусть переменные для отношений
интерпретируются как некоторые фиксированные отношения Su
S2, ... • Будем говорить, что отношение
R =
, . . ., Xfc, Xi, . . ., xi) | F(Ai, . . ., Ak, ai, . . ., ai)
истинно, если Ai, ..., a\ интерпретируются как Xj, ...
. . ., Xi соответственно}
определимо в логике предикатов через отношения S\, 621 • • •»
с кванторами только по числовым переменным; выражение
F(Ai, . . ., ai) называется определением отношения R через Si,
S2, ....
Имеет место следующий аналог теоремы 14-IV.
Теорема V. Если отношение R a jfh\Nl определимо в логике
предикатов через рекурсивные отношения, с кванторами только
по числовым переменным, то R — арифметическое отношение.
Доказательство. Для данного случая выполняются
пункты 1-4 из § 14.3. Отсюда следует требуемое г).я
Следовательно, можно точно так же, как и раньше, использо-
использовать алгоритм Тарского — Куратовского.
Пример 1. Рассмотрим множество {X | X Ф 0}. Имеем
А ф 0 <=> (Зх)[х ^ A] <=s> Э, следовательно, это множество мно-
множеств входит в H[s\
г) Согласно теореме I, обращение теоремы V очевидно.
28-0506

434 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Пример 2. Рассмотрим множество {X \ X конечно}. Имеем
А конечно<=?>C;г)(Уг/)[г/ > х =>¦ у (? А] <=> 3V, следовательно, это
множество множеств принадлежит 2<s>.
Пример 3. Рассмотрим множество {X \ X рекурсивно}.
Множество А рекурсивно <=>
Cy)Cz)[A =Wv&A=Ws]o
(Зг/)( 3z)l(Vx)lx eA<z>xeWy]& (Vx)[x $A <^
33LV[<=> 3] & V[<^> 3]]«s=> 3V31).
Следовательно, это множество множеств входит в
П редставимость
Обобщим теорему 14-VI.
Теорема VI. Пусть RczJTkXNl.
(a) Отношение R арифметическое <=> отношение R определи-
определимо в логике предикатов через рекурсивные отношения над числами
и отношение {(х, X) \ х ? X}, с кванторами только по числовым
переменным.
(b) Рассмотрим элементарную арифметику, расширенную пу-
путем введения элементарных формул вида а?Аи i = 1, 2, ... .,
где а — произвольная числовая переменная, Аи А2, . . . — мно-
множественные переменные. Отношение R арифметическое <=> отно-
отношение R определимо в этой расширенной элементарной арифметике.
Доказательство, (а) <=. Очевидно в силу теоремы V.
=>-. Согласно теореме IV, отношение R определимо через Tht m
для некоторого т. Тогда Th,m(z, Xlt . . ., ят) <=> Cy)Cu)Cv)
К(х0, . . ., zm_i), у, и, v) появляется на хт-ж шаге пере-
перечисления wp(z) & (Vw)[w e du => w e (Xi ® ... xh)\ & (Vu?)
[w g Dv =$- w ^ (Xi ® . . . Xh)]\; кроме того,
V( 3Vi)( 3y2)[y = 2yi & Vi = 2y2 + 1 & y2 e Xh_i] V . . .1.
Таким образом, мы получили желаемое определение отноше-
отношения R.
(Ь) ¦<=. Очевидно.
=>•. Очевидно в силу (а) и теоремы 14-VI.B
Топология
В дальнейшем для простоты мы будем рассматривать отноше-
отношения с одной множественной переменной и без числовых перемен-
переменных, т. е. множества множеств натуральных чисел. Иногда (но
х) Формула х 6 Wy представляется как 3, так как х ? Wy
<=> (Зм)Г(г/, х, и). Аналогично трактуется х 6 Wz.
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 435
не всегда) они будут называться классами множеств. Для обозна-
обозначения таких классов будут использоваться буквы Л;, 98, %, ¦ • ¦ •
Выполняется ли общая теорема об иерархии? То есть существует
ли для каждого п > 0 такой класс Jk, что <А 6 B^s) — П^) (и что,
следовательно, J" ? (nis) — 2^s)))?
Прежде чем ответить на этот вопрос, вернемся к топологии
канторова множества, рассмотренной в § 13.3 и в упр. 11-35.
Элементы множества JT, т. е. множества чисел, можно отожде-
отождествить с их характеристическими функциями. Тогда бэровская
метрика, введенная в§ 13.3, определяет топологию на JP¦ Относи-
Относительно этой метрики jfT полно (см. упр. 13-25). Если рассмотреть
/ = {0, 1}, ввести дискретную топологию на / и, учитывая, что
JT =IN, рассмотреть произведение топологий на JT (см. упр. 13-24),
то получим ту же самую топологию канторова множества. Соглас-
Согласно последнему подходу, базисными окрестностями являются
такие классы 2>, что 2> = {X | Du а X & Dv cr X} для некото-
некоторых ими (см. § 13.3). Пространство JT компактно (см. упр. 9-40).
2о°-классы '
В следующей теореме, описываются классы, входящие в
Теорема VII. A) Класс Л € 2 0° <^ B) класс 4 открыто-
замкнут (в топологии канторова множества на JJT) <=s> C) суще-
существует такое tt-условие х, что
Л = {X | X удовлетворяет х}.
Доказательство. A)=4- C). Пусть Л 6 2о°. Пусть
Ир — характеристическая функция (одной множественной пере-
переменной) класса^. По определению ty общерекурсивна. Следова-
Следовательно, -vp = A,X[q>f@)] для некоторого z. Как это уже делалось
в § 9.2, можно порождать диаграмму вычисления для ц>г @) (для
переменных X). Так как <pf(O) определено для любого X, то все
ветви должны обрываться. Следовательно, по теореме компактно-
компактности для деревьев (упр. 9-40) вся диаграмма конечна. Поэтому
(как и в доказательстве теоремы 9-XIX) существует такое
tt-условие х, что ty(A) = 1 <=> условие х выполняется на А.
C) =>- B). Пусть х — некоторое tt-условие. Пусть В — множе-
множество, ассоциированное с этим условием. Пусть Duo, . . ., Z)Uft —
конечные подмножества множества В, на которых выполняется х.
Пусть _
3)i = {А | ?„. с= А &(В - Du.) a A}, i < ft.
28*

436 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ Z)
Тогда А ? 4 <=> А ? 3)t для некоторого i ^.к. Следовательно,
JL Cf\ | Г OR II J| Gf\
xTt °?SQ \J °*s 1 U * * * U °^Я. *
Итак, Jk является (быть может, пустым) объединением базис-
базисных окрестностей, следовательно, Jk открыто. Пусть Dvo, . . .
. . ., DVl — конечные подмножества множества В, на которых
не выполняется х. Пусть
tt = {A\ Dv. czA&{B- Dv.) c A}, i < I.
Тогда A ? Jk <=> A ? %t для некоторого i ^ l. Следовательно,
¦ 4 = l« U ^i U • • ¦ U Sj.
Итак, Л является (быть может, пустым) объединением базисных
окрестностей, следовательно, Jk открыто. Таким образом, Jk —
открыто-замкнутый класс.
B) =>- A). Пусть класс Jk открыто-замкнут. Тогда Jk я. Jk пред-
представляются в виде объединения базисных окрестностей. Совокуп-
Совокупность окрестностей из обоих объединений образует открытое
покрытие пространства jfT. В силу компактности можно выделить
конечное подпокрытие. Отсюда,, в частности, следует, что Jk —
конечное объединение базисных окрестностей. Но список этих
базисных окрестностей дает конечный набор инструкций для
вычисления характеристической функции класса Jk- Следова-
Следовательно, Jk рекурсивно и Jk ? 2js).B
Следствие VII. Класс Jk 6 2?в) <$=> Jk =3)Q (J ... \J 3)h для
некоторой конечной совокупности базисных окрестностей 3H, ...
Доказательство очевидно- ¦
Пример. Пусть Jk = {X \ X Ф 0}. Как уже отмечалось,
Jk 6 2jS). Класс Jk не замкнут, так как Jk = {X |Х = 0} =
= {0} не открыто. Следовательно, Jk 6 BjS) — 2jS)).
2i -классы и IIi-классы
Приведем необходимые условия принадлежности классам SiS)
ж П[8).
Теорема VIII. (а) Класс Jk 6 ^Р =>¦ класс Jk открыт (в топо-
топологии канторова множества на JT).
(b) Класс Jk 6 IIjS) =$¦ класс Jk замкнут (в топологии канто-
канторова множества на
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 437
Доказательст bV Jk 6 2$s) => J = {X | Cx)R{X, x)}
для некоторого рекурсивного отношения R =>
=$¦ класс Jk — объединение открыто-замкнутых множеств =>•
=^- класс Л открыт. Аналогично, Jk 6 n[s) =>¦ класс ^ — пересе-
пересечение открыто-замкнутых множеств =^ класс ^ замкнут. л
Ясно, что условия теоремы VIII не достаточны, так как имеется
несчетное количество открытых и замкнутых классов (например,
для любого А класс {А} замкнут), в то время как 2js) и Щ состо-
состоят из счетного количества классов (см. теорему IV).
=> Jk € 2<s) П П^5).
Следствие VIII. Jk € 2?
Доказательство. J ? Б^}
П -П^ в силу теоремы II. Класс Jk
согласно теоремам VIII и VII.щ
п П{
{8)
2B8)-классы и ПB
Необходимые условия для классов 2j и Щ дают необходи-
необходимые условия для классов 2<as) и Щ13*.
класс Jk — объединение
,(8)
Теорема IX (а). Класс Jk 6
замкнутых множеств.
(Ь) Класс Jk € П?8) => класс Jk — пересечение открытых мно-
множеств.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы VIII,
квантор существования дает объединение, квантор общности дает
пересечение. Дальнейшее очевидно. ш л
При определении уровня данного класса в иерархии иногда
полезными оказываются категорные рассуждения.
Пример. Рассмотрим Jk = {X \ X конечно}. Как уже отме-
отмечалось, по алгоритму Тарского — Куратовского Jk 6 2jS). Соглас-.
но теореме IX, класс Jk — счетное объединение замкнутых мно-
множеств. Так как в любой базисной окрестности имеется бесконечное
множество, то каждое из этих замкнутых множеств не может
быть плотным. Следовательно, Jk — множество первой категории.
Предположим, что Jk 6 2^s). Тогда Jk — счетное объединение
замкнутых множеств. Так как в любой базисной окрестности
имеется конечное множество, то каждое из этих замкнутых мно-
множеств не может быть плотным. Следовательно, Jk — множество

438 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
первой категории. Получили противоречие, так как JT = Л []Л —
множество второй категории. Итак, имеем, что Л 6 BaS) —- П^8')
Приведенные примеры, очевидно, параллельны примерам
в § 14.8. Например, в § 14.8 мы установили, что {х \ Wx ф 0} ?
6 Bi — П4) и {х | Wx конечно] 6 B2 — П2); в свою очередь
оказалось, что {X \ X ф 0 } ? B<s) - П<8)) и {X | X конечно} ?
6 Bg — Щв)). Следует ли ожидать, что существует такое семей-
семейство „просто определяемых" (в некотором смысле) классов, что
для всех классов % из этого семейства {х \ Wx 6 '&} и {X \ X 6
6^} находятся на одних и тех же ступенях в соответствующих
иерархиях? По-видимому, нет; так в § 14.6 было установлено, что
{х | Wx коконечно} 6 B3 — П3), в то время как алгоритм Тар-
Тарского — Куратовского дает {X | X кокрнечно} 6 2^s) (заметим,
что 2jS) с ПзЯ)). См. также упр. 15-4.
Классическая иерархия Бореля
Определим классы множеств 2? и Щ следующим образом.
¦2* = П* = Б, = Пц — семейство всех открыто-замкнутых
классов.
2*+i — семейство всех счетных объединений классов из П*.
П*+1 — семейство всех счетных пересечений классов из 2*.
2* состоит из открытых множеств, П* состоит из замкнутых
множеств.
Б* состоит из так называемых ^-множеств, П* состоит из так
называемых Сб-множеств и т. д. Эти классы образуют конечную
иерархию Бореля на канторовом множестве. Обобщим теорему IX.
ТеоремаVX. Каково бы ни было п, [класс <А 6
и
Л 6
Доказательство очевидно. я
В силу мощностных соображений, каково бы ни было п > О,
имеются классы из 55, не входящие в 5^s), и классы из П*, не
входящие в nis). Иногда говорят, что классы S^s) и П^8) образуют
эффективную конечную иерархию Бореля на JT. Эффективную
иерархию можно рассматривать как иерархию Бореля с „рекур-
„рекурсивными" объединениями и пересечениями (см. упр. 15-8). Мы
рассмотрим этот вопрос в § 15.2, где будет показано, что как клас-
классическую, так и эффективную иерархии можно изучать на общей
теоретической основе.
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 439
Теорема об иерархии
Докажем теорему об иерархии для классов множеств.
Теорема XI. Для любого п > 0 существует такой класс А,
что Л ? (Б*? — П?°) и что, следовательно, Л ? (n^s) — Б^).
Доказательство, п = 1. Ранее было показано, что
{х | х = 0} е (пр> - бD3)) и что {х \ х ф 0} e (s|e) - u[s)).
п = 2. Ранее было показано, что {X | X конечно} 6 Eа —
— П<8)) и что {X [ X бесконечно}¦'€ (П^° - Б^8)).
п ;> 3. Для любого 5 положим Л в — {ix} I ж € 5}.
Лемма. Для любого п^-3 имеем (i) ^в 6 2^ <=> 5 6 2л
и (и) ^Benis)<^5enn.
Доказательство леммы, (i) =>-. Пусть Л в € 2„ .
Тогда
^в = (X | C*i) (V«2) . . . R(X, Xi, . . ., *„)},
причем /? — рекурсивное отношение в JT X -^™- Положим
5 = {{х, xi, . . ., хп) | R({x], хи . . ., хп)}.
Тогда 5 = {х | Can)(Va;2) • • • S(x, ж1? . . ., !„)} и 5 рекурсивно.
Следовательно, В ? 2„.
(ii) =^. Доказывается аналогично.
(i)- -ф=. Пусть В 6 2„, и пусть В = {х \ C^) . . . S{x, xx, ...
. . ., хп)}. Тогда
Л в = {X | Cs)[(Vy)to 6 X <^ jr = х] &
& C^) . . . S(x, хи . . ., хп)]}.
Так как п ^> 2, то алгоритм Тарского — Куратовского дает, что
лв е 2f
(ii) <=. Пусть В 6 П„, и пусть 5 = {z
. . ., хп)}. Тогда
=х] &
. . . S(x, xu . . .
& (Vx)[x
. . . S(x, xi, . . ., Хп)]}.
Так как п ^> 3, то алгоритм Тарского —• Куратовского дает, что
Л в G nis). Лемма доказана.
Из теоремы об иерархии для множеств чисел (следствие 14-VIII
(с)) следует требуемый результат.я

440 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Степени
Понятия сводимости и степени приводят к более тонкой класси-
классификации арифметической иерархии множеств. Аналогичная тонкая
классификация арифметической иерархии классов не изучалась,
мы не располагаем также результатами, соответствующими силь-
сильной теореме об иерархии. Подходящим инструментом такого иссле-
исследования может оказаться решетка Медведева.
Неявная определимость
Наиболее естественный путь получения теоремы об иерархии
для классов множеств из теоремы об иерархии для множеств со-
состоял бы в доказательстве, что для любого В и любого п ~^> 3
имеют место (i) {В} ? 2?° <^> В ? 2П и (И) {В} ? U(ns) <=> В ?
б П„. Однако такой путь невозможен из-за следующего замеча-
замечательного результата, полученного Гильбертом и Бернайсом [1939]
и Кузнецовым и Трахтенбротом [1955]: существует такое множе-
множество В, что {В} является арифметическим классом, а само В —
неарифметическое множество- В следующей теореме мы докажем
этот факт.
Теорема XII (Гильберт, Бернайс, Кузнецов, Трахтенброт).
Пусть V — множество всех истинных высказываний элементарнрй
арифметики. Тогда {V} б П<р.
Будем говорить, что множество А явно определимо в элементар-
элементарной арифметике, если А определимо в элементарной арифметике
в смысле § 14.4. Будем говорить, что А неявно определимо в эле-
элементарной арифметике, если существует такое выражение F(A)
в расширенной элементарной арифметике теоремы VI (Ь) со сво-
свободной множественной переменной А, что F(A) истинно тогда
и только тогда, когда А интерпретируется как А. Итак, в силу
теоремы VI множество А неявно определимо в элементарной
арифметике <=> {А} — арифметический класс. Согласно теореме
Тарского (упр. 11-45) или теоремам 14-Х, 14-VIII и 14-VI, мно-
множество V(=^0 ) не является явно определимым в элементарной
арифметике. Теорема XII показывает, что V неявно определимо
в элементарной арифметике, так как {V} = {X | (Vj/)Cz)
R(X, у, z)} для некоторого рекурсивного отношения R и так
как такое R определимо в расширенной элементарной арифметике
теоремы VI (Ь) (см. теорему VI (Ь)).
Доказательство теоремы XII. Если i?cz ^
рекурсивное отношение и h — рекурсивная перестановка, то
рекурсивно отношение S = {(X, у, z) | R(h(X), у, z)}. Следова-
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ
441
тельно, если {А} = {X | (Уу)(Зг)Д(Х, у, z)}
{h-^A)} = {X | Dy)Cz)S(X, у, z)} е ПB5).
Поэтому достаточно показать, что {0(т)} б^П^1', так как, согласно
теореме 14-Х, имеем 0(и> = V.
Лемма. Существует такая общерекурсивная функция /, что
для любого п число f{n) является П^-индексом класса {0(П)},
т. е. для любого п имеем {0т} = {X \ (yy){3z)Tit i(f(n), X,
У, *)}•
Доказательство леммы. Функцию / определим
по индукции. Положим /@) = z0, где z0 есть П^-индекс^класса
{0}. Такое Zq существует, так как уже отмечалось,, что
{0}enAs).
Предположим, что {0<п>} = {X | Dy)Cz)Tlt ^{n), X, у, z)}.
Покажем, как вычислять f(n -\- 1). В силу следствия 13-1 суще-
существует такая общерекурсивная функция g, что для любого А имеем.
А ^4 А' посредством g и существует такое число w0, что для лю-
любого А имеем А' = Wt0- Следовательно,
А = 0<п+1> = @<п>)' <=> Ig-^A) = 0<п> & А =
= 0<П) & (ух)[х е А <=> (Эг/)Cы)Cу
[.<*, у, щ v) e Wp(wo) &Ducz g~1(A)&Dv
), у, z) & (Чх)[х еА
(i»)Cu)Ci7)[(a:, у, и, v) € Wp(l0(t) & g(Du) с A &g(Dv) с
с А]].
Применяя алгоритм Тарского — Куратовского и теорему IV,.
получим выражение вида (\/y)Cz)Ti, t(zn+1, А, у, z), где zn+i
в силу теоремы IV эффективно получается из f(n). Положим
f(n + 1) = zn+i. Тогда f(n + 1) будет Подиндексом класса
{0<«+1>}. Лемма доказана.
По определению 0(и) = {(и, v) \ и 6 0W}- Взяв /из леммыг
получим, что
X = 0(и) <^ (Vp)(Vz/)Cz) Titl(f(v), {и 1 (и, v) е X}, у, z).
Очевидно, что отношение {{X, v, у, z) | Titl(f(v), {и | (и, v) ?
€ X}, у, z)} рекурсивно, так как для произвольного v всякий
вопрос о принадлежности множеству {и | {и, v) ? X} эквивален-
эквивалентен соответствующему вопросу о принадлежности множеству X.
Следовательно, {0(и)} ? П^. Этим завершается доказательство
теоремы. я

442 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Определение уровней в иерархии
Закончим рассмотрение уровней в иерархии классов для при-
примеров, аналогичных примерам из § 14.8 для иерархии множеств.
Теорема XIII (Шёнфильд [1958]). Класс {X \ X рекурсивно
перечислимо} 6 B^s) ^)
Доказательство. Множество А рекурсивно пере-
перечислимо
(Вх)[А = WJ <=> Cs)[(Vy)[y € А<*> у €
<^> 3V[<^> 3] <^> 3V3.
Следовательно, {X \ X рекурсивно перечислимо} 6 Б, .
Предположим, что {X | X рекурсивно перечислимо} 6 ПзВ). До-
Дословное повторение доказательства теоремы 14-XVIII дает, что
тогда существует такое рекурсивное отношение R, что для любого
А имеем А рекурсивно перечислимо <=> (XJx)(Vy)R(A, х, у).
Для произвольного X положим Сх = {х | (Vy)R(X, x, у)}. Тогда
X рекурсивно перечислимо <=> Сх бесконечно.
Для произвольного У положим r^Y = {^ I Сх = Сг}- Так
как имеется не более чем счетное количество таких Су, что У ре-
рекурсивно перечислимо (класс всех рекурсивно перечислимых
множеств счетен), и так как имеется не более счетного количества
таких С7, что Y не рекурсивно перечислимо (класс всех конечных,
множеств счетен), то имеется не более чем счетное количество
различных t?V, когда Y пробегает все JT- С другой стороны, эти
классы покрывают все JT¦ Так как объединение этих классов —
множество второй категории, то по крайней мере один из этих
классов не является неплотным. Возьмем такое Yo, что ^у0 не
является неплотным, т. е. замыкание #у0 содержит непустой
открытый классе.
Для любого х класс {X | х 6 Сх} = {X | Dy)R{X, x, у)}\€.
? IIjS) и, следовательно, замкнут. Отсюда следует, что класс
{У | Су0 cz Су} = П {X | х ? Сх} является пересечением зам-
у0
кнутых классов и потому сам тоже замкнут. Следовательно, замы-
замыкание класса #У0 (= {Y | Су0 = С7}) содержится в {Y \ CYo с:
сг Су} и класс {У | Су0 с: Су} содержит окрестность. Но в любой
окрестности содержится множество, не являющееся рекурсивно
перечислимым, поэтому в {У |JCy0 с: Су} содержится не рекур-
рекурсивно перечислимое множество. Но отсюда следует, что Су0 конеч-
конечно. Пусть Хо, Xi, #2, ... — элементы коконечного множества С у0
в возрастающем порядке.
До конца доказательства отождествим множества с их характе-
характеристическими функциями. Открытый класс, содержащийся в замы-
§ 15.1. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ 443
кании класса ^у0, содержит окрестность вида {/ | /0 с: /} при
некотором начальном сегменте /0 (характеристической функции).
Определим общерекурсивную характеристическую функцию g
путем последовательных продолжений. Пусть число z выбрано
так, что cpf (х, у) = 1, если выполнено R(X, х, у), и у*(х, у) = О,
если R(X, х, у) не выполняется. (Как и в гл. 13, для обозначения
конечных начальных сегментов функций будут использоваться
буквы /о, go, gi, • • •; для всякого сегмента h запись фСЧ (х, у) =
= w означает, что ц>г(х, у) сходится с выходом w, причем при
вычислении задаются вопросы о %{h) только для тех аргументов,
на которых определен сегмент h.)
Этап 0. Положим g0 = /о-
Этап п + 1. Рассмотрим {g \ gn cz g}. Эта окрестность
содержится в {g | g0 cz g} и потому содержит такое множество
X (его характеристическую функцию), что Сх — Су0 и что,
следовательно, не верно, что (Vy)R(X, xn, у). Можно эффективно
перечислить такие конечные продолжения g функции gn, что
(Зг/)[ф[/3 (хп, у) =0]. В качестве gn+i возьмем первое продолже-
продолжение в этом перечислении.
Положим g = U ?п- Функция g рекурсивна и является харак-
п
теристической функцией некоторого рекурсивного множества В.
По построению С в cz Су0 и Су0 конечно. Это противоречит наше-
нашему более раннему утверждению: X рекурсивно перечислимо => Сх
бесконечно. Итак, {X \ X рекурсивно перечислимо} не может при-
принадлежать Пд . щ
Следствие XIII (Шёнфильд). Класс {X \ X рекурсивно} 6
Доказательство. Как уже отмечалось, алгоритм Тар-
ского — Куратовского дает, что этот класс входит в S3 . To, что
он не входит в Щ , следует из доказательства теоремы (см.
упр. 15-5). я
Релятивизация
Материалу этого параграфа не придавалась релятивизованная
форма. Релятивизация легко проводится. Отношение R cz jfh\Nl
назовем А-рекурсивным, если существует такое рекурсивное отно-
отношение S cr jf +1 X Nl> чт0
R = {(XU ..., Xl) \S(A, Xu . .., *,)}•
Сразу получаем теорему о нормальной форме и нумерации. Напри-
Например, Л 6 2^)Д <=> существует такое z, что А = (X \ (Зх0) (Va^)

444 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
(J, 2B, А, X, х0, xi, x2)}- Топологические замечания для
классов множеств остаются в силе, с заменой „рекурсивных" объе-
объединений и пересечений на объединения и пересечения, „рекурсив-
„рекурсивные относительно А". В частности, 2^s) = 2*,S)A. Однако для
нерекурсивного А и п > 0 в классе Б?*)А имеются множества,
не принадлежащие Б^s) (упр. 15-6). Теорема об иерархии доказы-
доказывается так же, как и раньше (упр. 15-7).
§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Можно определить иерархию классов функций. Мы проведем
наше исследование параллельно § 15.1.
Пусть $р — множество всех всюду определенных функций
одного числового аргумента, т. е. множество всех всюду опреде-
определенных функций, отображающих N в N. Определим Jfh X. N1
таким же образом, как jfkX,Nl (заменив JT на д?). Определим
функцию к функциональных переменных и I числовых переменных
таким же образом, как функцию к множественных переменных
и I числовых переменных (с заменой JT на jF). Такие функции
иногда называют функционалами (§ 15.3). Функцию к функцио-
функциональных переменных и I числовых переменных, область определе-
определения которой есть JpkX.Nl, назовем всюду определенной функцией
(к функциональных переменных и I числовых переменных).
Неформальное определение часпгичнорекурсивной функции к
функциональных переменных и I числовых переменных аналогично
определению частичнорекурсивной функции к множественных
переменных и I числовых переменных (в § 15.1), только вместо
оракулов для Хи . . ., Xk используются оракулы для т(/4), . . .
. . ., r(fk) (где /i, • • ., Д — функциональные аргументы). Отме-
Отметим следующие отличительные особенности случая функциональ-
функциональных переменных; если дан оракул для т(/), то можно не только
получать ответы на вопросы типа „содержится ли (х, г/) в /?",
но и „вычислять" /. Для данного х можем найти Да;), задавая по
порядку вопросы: „содержится ли(х, 0) в /?", „содержится ли
(х, 1) в /?" . . . Если / всюду определена, то когда-нибудь оракул
даст положительный ответ. Как мы увидим, эта особенность
вычисления функций придает специфические черты иерархии
классов функций.
Формальное определение частичнорекурсивной функции к функ-
функциональных переменных и I числовых переменных аналогично
определению для множественных переменных в § 15.1.
Определение. Пусть к > 0 и I > 0. Функция ар называется
частичнорекурсивной функцией к функциональных переменных и,
§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 445
/ числовых переменных, если для некоторого z
Op =k/i ... fhXt . . . Жг[ф^ ffy (XU . . .
Пусть к > 0 (и I = 0), тогда ар называется частичнорекурсивной
функцией к функциональных переменных, если для некоторого z
выполняется op = Xfi ... fkl<pfzu ••¦> fk @)].
Число z называется гёделевым номером или индексом функции ар.
Очевидна связь введенных понятий с понятиями, введёнными
в § 15.1, так как по определению <p?i. ¦ • •./А = q?(/i) т<0Л
Так, например, ар является частичнорекурсивной функцией одной
¦функциональной переменной тогда и только тогда, когда суще-
существует такая частичнорекурсивная функция ср одной множествен-
множественной переменной, что ар = 1/[ф(т(/))]. Заметим, что ср? может быть
всюду определенной для любых /, в то время как ср^ не является
всюду определенной для всех X (пример очевиден).
Определение. Отношение R с JFkX>Nl называется рекурсив-
рекурсивным, если характеристическая функция отношения R является
всюду определенной рекурсивной функцией к функциональных
переменных и I числовых переменных.
Пример 1. Класс {/ | /E) Ф 0} рекурсивен (хотя
{X | (Зу)[у ф 0 & E, у) 6 X]} не является рекурсивным классом
множеств).
Пример 2. Если А рекурсивно, то класс {/ | /E) 6 А}
рекурсивен.
Пример 3. Отношение {</, g) | /(gE)) =0} рекурсивно,
л класс {/ | /(/E)) =0} рекурсивен.
Пример 4. Класс {/ | /@) = \iy[0 < у & 0 < /(г/)]} рекур-
рекурсивен.
Эти примеры показывают что, вообще говоря, рекурсивные
классы функций более сложны по структуре, чем рекурсивные
классы множеств.
Пример 5. Класс {/ | 5 6 Val /} является областью опре-
определения частичнорекурсивной?функции одного функционального
переменного (упр. 15-10).
Иерархия
Определим иерархию, применяя операции взятия дополнения
и проектирования по числовым переменным к рекурсивным отно-
отношениям. В гл. 16 будут рассмотрены проекции по функциональ-
функциональным переменным (см. также упр. 15-19).

446 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Определение. Отношение R с jfkX.Nl назовем арифметиче-
арифметическим, если R рекурсивно или существует такое рекурсивное отно-
отношение S с Jp X.Nm, что R можно получить из S путем примене-
применения конечной последовательности операций взятия дополнения
и проектирования, причем проектирования производятся только
по числовым переменным.
Аналог теоремы I очевиден.
Теорема XIV. Отношение R cz ^kX,Nl арифметическое
[отндшение R рекурсивно или при некотором т > 0 имеем R =
= {</i, . . ., хг) | (Qizj+i) . . .(Qmxi+m)S(fi, . . ., xi+m)}, где% есть
V или 3 A =SC i ^ m), а отношение S cz Jfk)(Nl*m рекурсивно].
Доказательство. Проводится аналогично доказатель-
доказательству теоремы 14-1. и
Точно так же, как 2^-формы и П^-формы, определяются
2пП)-д6о/шь1и Т1%а)-формы. (Верхний индекс (fn) говорит о возмож-
возможном присутствии функциональных переменных.) Выразимость
в данной форме определяется, как раньше.
Определение. 2^tn) — класс всех отношений, выразимых в 2^fn)-
форме. П^'п) — класс всех отношений, выразимых в П^Гп)-форме.
Следствие XIV. Отношение R cz jFftX^' арифметическое <=>
<=> Cn)[R € 2ifn) или R € ltfn)].
Доказательство очевидно. ш
Используя фиктивные кванторы, получаем следующее.
Теорема XV. (а) 2<?п) U П</п) cz S^'rf] П^.
(ь) r е 2lfn) <=> r е пГ}-
Доказательство проводится, как в теореме 14-П.в
Нормальные формы
Правила сжатия кванторов действуют, как раньше.
Определение. Пусть к > 0 и I ^> 0, положим
<т{/1), . • ., T(/ft), z, x0, ... хг) 6 Tk, t).
Соглашение. Как и для Th,i, вместо T'h,i(fi, . . ., /h, zr
a;0, . . ., жг) мы будем писать
T'k,i(z, h, • • м /ft, ж0. • • •. по-
последующие теоремы являются аналогами теорем III и IV.
§15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 447
Теорема XVI. Пусть Rcz^XN1. Тогда R 6 2р) <^> R =
= Arg iJj Зля некоторой частичнорекурсивной функции -ф (А; функ-
функциональных переменных и I числовых переменных).
Доказательство проводится, как в теореме III.ш
Теорема XVII (Клини). Для любого п >0 и любого отношения
R ? 2^fn> (где Rcz JfhX.Nl) существует такое число z, что
R =
i, • • -, /ft, x0, . . ., а:г_1
n-l(z, /j, . . .,
Xo,
(перед Т стоит знак отрицания, если п четно). Назовем z J/
индексом отношения R. По любой И^-форме отношения R
(см. теорему IV) можно равномерно найти Ъ^-индекс отноше-
отношения R. Аналогичное предложение имеет место и для R
(п > 0).
Доказательство очевидно. в
Алгоритм Тарского—Куратовского
Определение. Пусть выражение F(pu . . ., ph, аи . . ., аг)
построено в логике предикатов из пропозициональных связок, =,
числовых переменных, кванторов по числовым переменным, пере-
переменных pi, . . ., Ph Для функций (одной переменной) и перемен-
переменных для отношений (на функциях и числах), и пусть аи . . ., at
являются свободными числовыми переменными этого выражения.
Пусть переменные для отношений интерпретируются, как конкрет-
конкретные отношения S±, S2, ....
Будем говорить, что отношение
R = {</i, • • •, /ft, arj, . . ., хг) | F(Pl, . . ., Ph, au . . ., at)
истинно, если pt, . . ., at интерпретируются как /t, . . ., xt
соответственно }
определимо в логике предикатов через Si, S2, ... с кванторами
только по числовым переменным, а выражение F(pi, . . ., а;)
будем называть определением отношения R через Si, S2, ....
Заметим, что допускается гнездностъ функциональных переменных,
например, (ЗЪ)[р(р(Ъ)) = а] определяет отношение {(/, х\ \ х в
? ValyU/[//(*/)]}.
Имеет место следующий аналог теоремы V.
Теорема XVIII. Если Rcz JfhXNl определимо в логике пре-
предикатов через рекурсивные отношения, с кванторами только па
числовым переменным, то R является арифметическим отношением.

448 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
.Доказательство проводится, как в теореме V *).m
Следовательно, можно, как и раньше, использовать алгоритм
Тарского — Куратовского.
Пример 1. Рассмотрим множество {/ | Val / бесконечна).
Тогда Val / бесконечна <=>
<^ {Чх){3у)[у > х & у 6 Val /] ^
<=> {\/x)Cy)[y >x& 3z[/(z) = у]]
следовательно, это множество функций входит в
Пример 2. Рассмотрим множество {/ | / — общерекурсивная
функция). Имеем: всюду определенная функция / рекурсивна <=>
= Фг1 <^ Cz){Vx)[f{x) = yz(x)] <=>
Cz)(Vx)Cy)Cw)[<pz(x) = у за w шагов & у = f(x)]<=$>
3V3, следовательно, это множество функций входит в БC'п).
Представимость
Теорема XIX. Пусть R a ^X
(a) Отношение R арифметическое <=> отношение R опре-
определимо в логике предикатов через рекурсивные отношения на числах
и отношение {(/, х, г/) | f(x) = у) с кванторами только по число-
числовым переменным.
(b) Расширим элементарную арифметику, введя унарные опе-
операторные символы (т. е. функциональные переменные) pi, р%, ....
Тогда отношение R арифметическое <=> отношение R определимо
е расширенной таким образом элементарной арифметике.
Доказательство, (а) -<=. Очевидно в силу теоре-
теоремы XVIII. *•
=>-. Доказательство проводится, как в теореме VI; заметим, что
Du сЧ(/) <=> (V*)(Vy)[ (х, у) € Du =>. f(x) = у].
(b) ц=. В силу теоремы XVIII. Хотя и возможна гнездность
операторных символов, но любое такое гнездо определяет рекур-
рекурсивное отношение.
=$-. Согласно (а) и теореме 14-У1.Щ
Топология
В дальнейшем для простоты мы ограничимся отношениями
с одной функциональной переменной и без числовых переменных,
т. е. множествами функций. Иногда (но не всегда) мы такие мно-
В силу теоремы XIV обращение теоремы XVIII очевидно.
S 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 449
жества будем называть классами функций. Для их обозначения
будем использовать буквы Л>, 98, %,.... Прежде чем переходить
к теореме об иерархии, мы введем топологию на $р, аналогичную
топологии на JT. Как мы увидим, топологические пространства ер
и jfT сильно отличаются.
Определение. Определим в вр бэровскую метрику. Положим
С 0, если f = g;
если / ф g.
\
f(x)^ g(x)] + l
Функция d является метрикой, а пространство ер (с такой мет-
метрикой) является полным метрическим пространством (упр. 15-11).
Следовательно, можно применять теорему 13-XII и можно польг
зоваться доказательствами, использующими понятие категории.
Пространство вр принято называть бэровским пространством.
Ту же самую топологию на ^ можно получить, если взять
дискретную топологию на N и, учитывая, что вр = NN, рассмот-
рассмотреть произведение топологий на NN = N^NX. • ¦ ¦ (упр. 15-12).
Элементы пространства JF можно отождествить с иррациональ-
иррациональными числами, лежащими между 0 и 1, с помощью бесконечных
непрерывных цепных дробей (упр. 15-13). Топология JF как бэров-
ского пространства будет изоморфна топологии на иррациональ-
иррациональных числах, индуцированной обычной топологией на действитель-
действительных числах. (Разумеется, в метрике действительных чисел про-
пространство Jf не полнох).) Для наглядности бэровское пространство
можно рассматривать как пространство всех бесконечных ветвей
в функциональном дереве (см. ниже и упр. 9-42), при этом тополо-
топология порождается следующей базой: базисные окрестности — это
классы вида {/ | / с: /}, где / — конечный начальный сегмент.
Определение. Класс функций^ назовем базисной окрестностью,
если Л = {/ | / с: /} для некоторого конечного начального сег-
сегмента / (упр. 15-14).
Пространство вр не компактно (упр. 15-15). С этим фактом
связаны некоторые важные различия между арифметической
иерархией классов функций и арифметической иерархией классов
множеств.
Открыто-замкнутые классы
Пусть У* — функциональное дерево, определенное в упр. 9-42.
Определим поддерево и ветвь, как в упр. 9-42. Каждую ветвь
дерева J* можно отождествить с элементом из JF (и наоборот).
х) Как известно, пространство может быть полным в одной метрике и не-
неполным в другой метрике, хотя обе метрики дают одну и ту же топологию.
20—О5О6

450 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Подветпвъ — это начальный сегмент ветви. Каждая вершина дере-
дерева J* определяет конечную подветвь дерева J* (и наоборот),
каждую конечную подветвь дерева J* можно отождествить
с конечным начальным сегментом всюду определенной функции
(и наоборот). Таким образом, каждая конечная подветвь дерева J*
определяет базисную окрестность в <f .(и наоборот), при этом
окрестность, определяемая данной конечной подветвью, состоит
из тех функций, которые соответствуют'ветвям дерева J*, начи-
начинающимся данной подветвью.
Определение. Поддерево J дерева J* назовем деревом с конеч-
конечными путями, если любая ветвь дерева J конечна.
Теорема XX. Класс c4(cz ер) открыто-замкнут <=> существу-
существует такое дерево с конечными путями J, что Jk есть объединение
всех окрестностей, определяемых ветвями дерева J.
Доказательство. <=. Для любой непустой конечной
подветви / дерева J* символом /~ обозначим конечную подветвь,
получаемую из / отбрасыванием последнего элемента ветви /.
Пусть дано дерево с конечными путями J, и пусть Jh — объедине-
объединение всех окрестностей, определяемых ветвями дерева J. Рас-
Рассмотрим совокупность всех таких конечных подветвей / дерева J*,
что (i) подветвь / не является подветвью дерева J; (ii) если суще-
существует /~ (т. е. если / =?= 0), то /~ — подветвь дерева J, но /~ не
является ветвью дерева J. Пусть J' — объединение подветвей из
этой совокупности. Тогда J' — дерево с конечными путями, так
как всякая бесконечная ветвь дерева J' была бы ветвью дере-
дерева J, что противоречило бы условию, что J — дерево с конечными
путями. По определению никакая ветвь дерева J' не начинает
ветви дерева J и никакая ветвь дерева J не начинает ветви
дерева J'. Кроме того, всякая ветвь дерева J* начинается или
ветвью дерева J, или ветвью дерева J'. Следовательно,
Jh — объединение окрестностей, определяемых ветвями дерева Jr
a Jb — объединение окрестностей, определяемых ветвями дере-
дерева J'. Итак, Jb — открыто-замкнутый класс х).
=Ф-. Пусть Л — открыто-замкнутый класс. Каждой функции /
в jF сопоставим самый короткий конечный начальный сегмент /
функции /, такой, что или {/ | / сг /} сг Д, или {/ | / с: /} сг Д.
Такой сегмент/ всегда существует, так как и Jk, и Jt открыты.
Конечные подветви дерева J*, отождествляемые с этими сегмен-
*) Заметим, что это доказательство проходит для частных случаев
J = {0} (дерево Cf состоит из пустого кортежа) и С/ = ^(дерево J пусто).
Если J = {0}, to_J' = 0, Jl = & и Л = 0. Если С/ = 0, то .7' =
= {0}, <Л = 0 ъЛ = &.
§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИИ 451
тами, образуют дерево с конечными путями (так как для каждой
ветви / дерева J* выбирается конечная подветвь /). Все ветви /,
для которых {/ | / cz /} cz Jh, определяют-поддерево этого дерева
с конечными путями. Следовательно, это поддерево будет деревом
с конечными путями и Jh — объединение всех окрестностей, опре-
определяемых ветвями этого поддерева. в
Следствие XX. Существует 2No открыто-замкнутых классов.
Доказательство. Любое множество чисел определяет
дерево с конечными путями, длина каждой ветви которого равна 1.
Два различных таких дерева определяют различные открыто-
замкнутые классь1. Так как существует 2Ко множеств чисел, то
имеется по крайней мере 2Ко открыто-замкнутых классов.
Существует х0 базисных окрестностей, всякий открытый
класс — объединение базисных окрестностей. Следовательно,
имеется самое большее 2Ко открыто-замкнутых классов функций.в
2(>'п) -классы
Так как в 2о'п) содержится лишь счетное количество классов,
то теорема VII для 2ofn) не верна. Однако имеется следующее
необходимое условие.
Теорема XXI. Класс Д, ? Б о ' =^ класс Jh открыто-замкнут
(в топологии бэровского пространства на Jf).
Доказательство. Пусть S ? 2(/п). Пусть а|) — харак-
характеристическая функция (одной функциональной переменной) клас-
класса^. По определению а|) общерекурсивна. Поэтому г)з = ^/[ф^^О)]
для некоторого z. Рассмотрим совокупность всех конечных началь-
начальных сегментов /, таких, что (i) <pj^> @) сходится, причем в этом
вычислении задаются вопросы о т(/), включающие аргументы
только из области определения /, и (ii) ф^^@) не сходится, когда
задаются вопросы о т(/), содержащие аргументы только из области
определения какого-нибудь более короткого начального подсег-
мента сегмента /; т. е. (в обозначениях гл. 13) ф^]@) сходится,
а ф^1@) не сходится ни для какого собственного начального под-
сегмента g сегмента/. В силу рекурсивности множества Л всякая
функция / из вр содержит такой начальный сегмент. Как в дока-
доказательстве теоремы XX, эти сегменты определяют дерево с конеч-
конечными путями и Л — объединение окрестностей, определяемых
ветвями некоторого поддерева этого дерева с конечными путями.
29*

452 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Следовательно, это поддерево является дерев'ом с конечными
путями и i — открыто-замкнутый класс. ш
(Таким образом, рекурсивным классам сопоставляется некото-
некоторое счетное подсемейство семейства всех деревьев с конечными
путями. В гл. 16 мы рассмотрим это „рекурсивное" подсемейство
и некоторые другие, связанные с ним, подсемейства.)
Следствие XXI. Пусть Л — область "определения частичноре-
курсивной функции одной функциональной переменной. Тогда Л —
открытый класс.
Доказательство. Класс Л — объединение окрестно-
окрестностей, определяемых такими начальными сегментами /, что <р' @)
сходится, щ
Пример. Пусть Л = {/ | 0 6 Val /}. Как уже отмечалось,
Л 6 2<'п>. Для любого начального сегмента / существует такая
функция /6jF, что / сг / и что 0?Val/; следовательно, Л не
содержит никакой базисной окрестности и Л не открыто. Поэтому
л е mt) $t>)
2<'п>-классы и П<Гп)-классы
Теорема VIII сохраняется и для классов функций.
Теорема XXII. (а) Класс Л ? %{tn) => класс Л открыт.
(Ь) Класс Л 6 Щ1п) =>¦ класс Л замкнут.
Доказательство следует из теоремы XVI и след-
следствия XXI. щ
Следствие XXII. Л € Щ{п) <^> Л 6 Щ!п) <=> Л 6 Ц*п) ПЩ"°-
Доказательство. Из теоремы XV следует, что Л 6
€ 2<fn) => Л € П№) =>Л 6 2<fn> Г) П««). Пусть Л е 2<fn> П Щ'п>.
Тогда Л = Arg tyi и Л = Arg tyz для некоторых частичнорекур-
сивных функций (одной функциональной переменной) а^ и а|J-
С помощью следующих инструкций определим частичнорекурсив-
ную функцию (одной функциональной переменной) о|э. Пусть дана
функция / (дан оракул для /), начинайте вычисления tyi(f) и op2(/)i
если tyi(f) сходится раньше, чем t|J(/)> то выдайте 1, если т|J(/)
сходится раньше, чем %(/)> то выдайте 0. Функция tj) является
общерекурсивной функцией одной функциональной переменной
и является, кроме того, характеристической функцией класса Л-
Следовательно, Л € 2Г)
§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 453
Классическая иерархия Бореля
Для множества $р можно определить так же, как и для мно-
множества JT в § 15.1, иерархию борелевых классов.
Определение. 2§* = Щ* = [семейство всех открыто-замкну-
открыто-замкнутых классов, принадлежащих множеству sp\.
2?+i = [семейство всех счетных объединений классов, при-
принадлежащих Щ*].
Щ+1 = [семейство всех счетных пересечений классов, при-
принадлежащих Б?*].
Теорема XXIII. Каково бы ни было п, [Л € 2<fn> =ф- Л G
€ 2**1 & U € П№0 =*- Л 6 П**].
Доказательство очевидно, щ
В частности, всякий класс из 2<fn) является множеством типа
Fa и всякий класс из Щ'п) является множеством типа G6. (Мно-
(Множества типа Fa и G6 определяются так же, как и для иерархии
в множестве jjT.) (Имея в виду упр. 15-13, иерархию Бореля
в множестве Jif (по конечным уровням) иногда называют конечной
иерархией борелевских множеств иррациональных чисел.)
Пример. Пусть Л = {/ | множество /~1@) конечно). Объе-
Объединяя алгоритм Тарского — Куратовского с доказательствами,
использующими понятие категории, можно показать, что Л ?
? (Бг'п) — ПгГп)). (Доказательство проводится так же, как для
соответствующего примера, приведенного после теоремы IX
в § 15.1. См. упр. 15-17.)
Теорема об иерархии
Теорема об иерархии для классов функций получается легче
(из теоремы 14-VIII), чем соответствующая теорема об иерархии
для классов множеств.
Теорема XXIV. Для любого п > 0 можно указать такой
класс Л, что Л 6 B^fn) — П^'п)) (и что, следовательно, Л €
Доказательство. Для любого множества В положим
Лв = {/ |/@) ?В). Покажем, что для любого п имеет место
следующее: (i) Лв 6 2^fn) <^> В 6 2П; и (ii) Лв ^')
< 6„
<^. Пусть В = {х | (Q^j) . . . (Qnxn)R{x, xu . . ,, хп)}, где
R с Nn+1 — рекурсивное отношение. Тогда Л в = {/I (Qi^i) • • •
- • ¦ (QtAi).S(/@)> xi, . . ., хп)}. Очевидно, что отношение {</,
xi, . . ., хп) | R(f(O), Xi, . . ., хп)} —рекурсивное отношение

454 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
n. Следовательно, В б 2П =>- Ав € 2?'п) и В 6 Пп
=$>. Пусть А в = {/ I (Qi^i) • • • (Qnzn)S(f, хи . . ., хп)}, где
»S — рекурсивное отношение в jF X -^п- Определим i? =
= «z, а?!, . . ., ж„) | S(Xy[x], хи . . ., zn)}. Очевидно, что R —
рекурсивное отношение в Nn+1 и что
В =
Пп.
Следовательно, ^в 6 2</n) ^BfS^i^ П</
Остается только применить теорему 14-VIII.
Заметим, что определенные в этом доказательстве классы А в
открыто-замкнуты. Таким образом, на всех уровнях арифметиче-
арифметической иерархии имеются классы, находящиеся на уровне 2**
в классической иерархии Бореля.
Что можно сказать о соотношении иерархии множеств функций
и иерархии множеств множеств? В частности, какие связи имеются
между классификацией классов A cz $f и классификацией соот-
соответствующих классов %{Д) cz jf>
Теорема XXV. Пусть J> cz jf.
Для любого п имеем х(А) 6.2^s) =ф- А 6 2nfn)-
Для любого п имеем %(А) 6 П?°
Если п^>Ъ, то At 2пП) =ф-
Если п > 2, то Jh 6 П^'п) =*- r(J) 6
Доказательство. Пусть %{Л) = {X | (Qi^) . . .
- • • (Qnxn)R(X, x\i ¦ ¦¦> xn)}i гДе ^ — рекурсивное отношение
в Ж X ^Положим S = {</, хи . . ., хп) | Д(т(/), ^, . . ., ж»)}-
Тогда 5 cz J^ X -^п — рекурсивное отношение и
Jh = {/ I (Qi*i) ¦ • • {Qnxn)S(f, xu . . ., a:n)}.
Следовательно, tU) 6 ^ =>At 2^fn) и т(^) 6 nis) =^ ^ 6
€ n\
Наоборот, пусть А, 6 2^1п) и п ^> 3. Тогда для некоторого z
^ = {/ | Ca:o)(Va;i) ¦ ¦ • Т[, n_!(z, /, х0, . . ., а^)}.
По определению предиката Г' имеем Д = {/ | (Зж0) (Vo;i) . . .
... ТУ n_i(z, т(/), а;0, • • ., a:n_i)>. Тогда
(X | (Va:)(Vy)(Vu)[<a!, у> ? X & <*, u)€X=^!/ = u]&
&
15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 455
Применение алгоритма Тарского — Куратовского дает
[V & V3 & 3V3 . . Л <=> 3V3 .... Следовательно, %{Л) 6 ^¦
Аналогично, если Jk ? П^Гп) и п ^> 2, » то получаем [ V &
& V3 & V3 . . Л <=>V3 ... и, следовательно, т (А) 6 П^8).и
Следствие XXV. Пусть А <^- JF • Класс -4 является арифме-
арифметическим <=> класс т (А) как подкласс класса Ж является ариф-
арифметическим.
Доказательство очевидно.н
Можно также рассмотреть соотношение классификации классов
A cz Ж и классификации соответствующих классов
«U) = {/1 (эх)[х е**&/ = <*]} с .г.
Теорема XXVI. Яг/сть A cz Ж-
Для любого п % U) 6 2^fn) =ф- ^ 6 2^s).
Для любого п <ёD) ? П</п) =»- А 6 П1Ю.
Если п > 2, то ^ 6 2?° => « U) 6 2^fn).
Если п > 1, то ^6 П^8) => « U) 6 nifn).
Доказательство. Доказательство аналогично, в об-
общих чертах, доказательству теоремы XXV (упр. 15-18).и
Следствие XXVI. Пусть A cz Ж ¦ Класс А является арифме-
арифметическим <=> класс % (А) как подкласс класса $р является ариф-
арифметическим.
Доказательство очевидно. в
Определимость и неявная определимость
Определение. Функция / называется арифметической, если /
как отношение является арифметическим отношением.
Читатель легко проверит, что для любого множества А [мно-
[множество А арифметическое <=> функция сЛ арифметическая].
Определение. Функция / явно определима в элементарной
арифметике, если / как отношение определимо в элементарной
арифметике в смысле § 14.4.
В силу теоремы 14-VI функция / арифметическая <?=> функция
/ явно определима в элементарной арифметике. Следовательно,
для любого множества А имеем: множество А арифметическое <=>
<=> функция сА явно определима в элементарной арифметике.
(Читатель также легко проверит следующее утверждение: функ-
функция / арифметическая <=> множество х(/) арифметическое <?=>
<=> множество т(/) явно определимо в элементарной арифме-
арифметике.)

456 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ:ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Определение. Функция / неявно определима в элементарной
арифметике, если существует такое выражение F(p) в расширен-
расширенной элементарной арифметике теоремы XIX (Ь) со свободной
функциональной переменной р, что F(p) истинно тогда и только
тогда, когда р интерпретируется как /.
Сргласно теореме XIX, функция / неявно определима в эле-
элементарной арифметике <=> класс {/} является арифметическим
классом. Пусть V определяется как в теореме XII. По теоре-
теореме XXVI класс {су} 6 Пг п). Следовательно, имеются неарифме-
неарифметические функции, неявно определимые в элементарной арифме-
арифметике, и, в частности, характеристическая функция множества
всех истинных высказываний элементарной арифметики неявно
определима в элементарной арифметике.
Определение уровней в иерархии
Методы, используемые в иерархии классов множеств, можно
использовать и в иерархии классов функций. Например, доказа-
доказательство, аналогичное доказательству теоремы XIII, дает, что
{/ | /общерекурсивная функция} 6 B3fn) — П31п)) (см. упр. 15-24).
Релятивизация
Материал этого параграфа не излагался в релятивизованной
форме. Релятивизация легко проводится, если ввести понятие-
А-рекурсивной функции к функциональных,переменных и I числовых
переменных (например, функция ар одной функциональной пере-
переменной Л-рекурсивна, если op = 'kflfff• т^>@)] для некоторого z).
Нормальные формы определяются с помощью предиката Т'т, п>
где, например, Т\\ = {</, z, х0, . . ., хп) \ T2,n(z, А, т(/),
х0, . . ., хп)}; определение Г2,п см. в § 15.1. Мы отмечали
в § 15.1, что при релятивизации не изменяется самый низкий
уровень в иерархии классов множеств; т. е. для любого А класс
2os) совпадает с классом 2os)A. Для классов функций это не так:
2(ofn) может отличаться от 2(дП)А (см. упр. 15-20).
Ниже мы рассмотрим релятивизацию несколько другого типа.
Обобщенная теорема об иерархии
Аддисон [1955] построил общую теорию для (конечной) клас-
классической иерархии Бореля в jF и для арифметической иерархии
в ер. Более конкретно, пусть % — произвольный класс множеств.
Рассмотрим отношения R a Jph X, Nl.
§ 15.2. ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 457
Определение. Отношение R рекурсивно в (относительно) %,
если R рекурсивно относительно некоторого множества А из
класса %.
Таким же образом, как 2(„'п)-формы и П^п)-формы, опреде-
определяются 1^\%\-формы и иЧ^Ш-формы (с заменой в определе-
определении рекурсивных отношений на отношения, рекурсивные в хв).
Определение.
— класс всех отношений, выразимых
^[фр
ПпГп)[^1 — класс всех отношений, выразимых в П„ [^1-форме.
Заметим, что классы отношений 2^п)['ё] и n^fn)[^] могут
быть несчетными. В частности, если % = Ж, то Л € 20 п)[Щ <=>
<=> Л — открыто-замкнутый класс (упр. 15-21). Несмотря на
эту возможную несчетность, можно доказать следующую обобщен-
обобщенную теорему о нормальной форме и нумерации.
Определение.
П = {<g, /- *i, • • •< *п) I П.п-1(*@), Mg(x + 1)], /, хи . . .
. . ., хп) == {<g, /, хи . . ., хп) ] T2,n-i(g@),
t(Kx[g(x+ 1I), т(/), xi, . . ., хп)}.
Теорема XXVII (теорема о нормальной форме и нумерации).
Для любого п^>0: класс Л € 2j/n) Щ <^> для некоторого мно-
множества А из % и некоторой всюду определенной функции g, рекур-
рекурсивной относительно А, имеем Jb = {/ | Ca:i)(V;r2) • • • T%(g, /,
Хч, . . ., хп)} (причем перед Т* стоит знак отрицания, если п чет-
четно). Аналогичное предложение имеет место для Tin 1^1-
Доказательство. -*=. Очевидно, так как [функция g
рекурсивна относительно А и А 6 $1 влечет за собой, что отно-
отношение {</, ху, . . ., хп) | Tl(g, /, xt, . . ., хп)} рекурсивно отно-
относительно F.
=>. Пусть Л €2(fnn) №.
Рассмотрим случай (i) число п нечетно. Тогда для некоторого
множества А из класса %
J = {f\ (Эая)(У*2) • • • (Эгп)Д(/, хи . . ., хп)},
при этом отношение R рекурсивно относительно А. В силу реля-
тивизованного варианта теоремы XVI отношение {{/, Xi, ...
• • •> xn-i) I (^xn)R(f, xl} . . ., xn)} является областью опре-
определения функции \[з одной функциональной переменной и п — 1
числовых переменных, причем op = Xfxi . . . xn_i[(ff- x<-f')(xi, . . .
. . ., xn_i)] для некоторого z. Следовательно,
(ixn}R(f, xu . . ., xn) <^> Cxn)Tz, n_i(z, A, x(f), xit . . ., xn).

458 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Выберем z' так, чтобы Г2, n-i(z, А, т(/), хи . . ., хп)
<=> ^2, n-i(z', т(сл), т(/), »!, -.'.,хп). Тогда ^ = {/
(Va^) . . . (Зхп) T'2,n_i(z', сА, /, хи . . ., хп)}. Существует та-
такая функция g, что g@) = z' и что Xx[g(x + 1)] = сА. Функция g
рекурсивна относительно А и
Л =
, f,
Рассмотрим случай (ii) число п четно. Достаточно для Л про-
провести построение, как в случае (i), и затем взять отрицание.
Аналогично проводится доказательство для П„1п) №-щ
Таким образом, функции, рекурсивные относительно множеств
из 'ё, можно рассматривать как гёделевы номера для любого
уровня в [Щ-арифметической иерархии. В частности, когда g
пробегает класс общерекурсивных функций, то получим для дан-
данного п все классы из 2„ и все классы из П^п\
С помощью простой диагонализации получим обобщенную
теорему об иерархии.
Теорема XXVIII. Для любого п > 0 существует такой класс
Л, что для любого класса %
Л <Е B</п) № - nifn) [Щ.
Доказательство. Возьмем Л = {/ | {3xi)Dx2) ¦ ¦ •
. . . П(/, /,*!,..., хп)}. Тогда Л € 2lfn) с 2</п) №. Допу-.
стим, что Л €П1Гп) №. Тогда
Л =
. . . T*(g, f, хи . . ., хп)}
для некоторой функции g, рекурсивной относительно
вательно,
. . . T*(g, /, xlt . . ., хп)}.
. Следо-
СледоИмеем g 6 Л <=> Ca:i)(Va:2) . . . T^g, g, Zi, • • ¦, ж„
Получили противоречие, щ
Мы показали в теореме XXIV, что на любом уровне арифмети-
арифметической иерархии есть открыто-замкнутые классы, т. е. классы
из уровня 2** в классической иерархии Бореля. Теорема XXVIII
показывает, что, с другой стороны, на всех уровнях имеются клас-4
чш, находящиеся на одинаковых уровнях в арифметической
ж классической иерархиях.
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ 459
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ
Рассмотрим функции и всюду определенные функции одного
(числового) аргумента.
Определение. & — класс всех функций.
8*$1 — класс всех частичнорекурсивных функций.
вр — класс всех всюду определенных функций.
М — класс всех общерекурсивных функций.
Имеем М cz ®M czfr-aJtcz&'czfr.
Сначала мы бегло рассмотрим понятие функционала на 5\
затем подробно рассмотрим более простое понятие функционала
на ер.
Функционалы на &
Определение. Функционал на & — это однозначное подмно-
подмножество множества & X. (N U {">})• Для обозначения функциона-
функционалов будут использоваться буквы F, G, . . . . Если х ? N
и (ф, х) ? F, то говорят, что F строго определен на функции ср
и что F(<p) = х. Если (ф, со) ? F, то говорят, что F слабо опре-
определен на функции ф и что Р(ф) расходится. Если (ф, ©) (J F
и (Уж)[(ф, ж) (| F], то говорят, что F абсолютно не определен
на функции ф и что Г(ф) абсолютно не определено. Назовем
F(iVU {со}) областью слабого определения функционала F, назо-
назовем F^) областью строгого определения функционала F.
Всякий оператор пересчета Ф следующим образом определяет
функционал F на &. Область слабого определения функциона-
функционала F — это множество {ф | множество Ф(т(ф)) не пусто). Область
полного определения функционала F — это множество {ф | мно-
множество Ф(т(ф)) состоит в точности из одного элемента}. Для
функции ф из области строгого определения функционала F
в качестве Г(ф) выступает единственный элемент множества
Ф(т(Ф)).
Определение. Если функционал F определяется (как опи-
описано выше) оператором пересчета, то F называется частично-
рекурсивным функционалом на &.
Определение. Пусть F — частичнорекурсивный функционал
на &>.
Функционал F называется рекурсивным функционалом на <3\
если область слабого определения функционала F совпадает с <3*
(это равносильно тому, что ер содержится в области слабого
определения функционала F; см. теорему 9-ХХП и упраж-
упражнение 15-26).

460 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Функционал F называется обще рекурсивным функционалом
на &>, если в области полного определения функционала F содер-
содержится класс <>р. (Таким образом, общерекурсивный функционал
на аР является (в силу упр. 15-26) рекурсивным функционалом
на ZP.)
Очевидна связь (и сходство) определенных выше понятий
с понятиями частичнорекурсивного оператора, рекурсивного опе-
оператора и общерекурсивного оператора, введенными в гл. 9.
В частности, можно очевидным образом обобщить понятие частич-
частичнорекурсивного функционала на аР на случай функционалов
на аР X N. Между частичнорекурсивными функционалами такого-
типа и частичнорекурсивными операторами, определенными
в гл. 9, устанавливается естественное взаимно однозначное соот-
соответствие. Всякому функционалу F такого типа соответствует
частичнорекурсивный оператор Ф(ср) = Xx[F((f, х)], если считать,,
что функция Ф(ф). не определена на числе х, когда F(cp, х) = (л,
и что Ф не определен (как оператор) на функции ф, когда
(Зх) [( ф, ж) не принадлежит области слабой определенности функ-
функционала F]. Наоборот, всякому частичнорекурсивному операто-
оператору Ф соответствует частичнорекурсивный функционал F(q>, x) =-
— Ф(ф)(ж), если считать, что ?(ц>, х) = ©, когда оператор Ф опре-
определен на функции ф, но функция Ф(ф) не определена на числе х.
Заметим, что при таком естественном соответствии устанавли-
устанавливаются взаимно однозначные соответствия между рекурсивными
функционалами и рекурсивными операторами и между общере-
общерекурсивными функционалами и общерекурсивными операторами.
Функционалы на
Рекурсивный функционал на сР можно рассматривать как
функционал на ИРМ, такое ограничение на 3>№ функционала
на аР можно определить некоторой частичнорекурсивной функцией
на гёделевых номерах, и наоборот. Это составляет содержание-
следующей теоремы.
Определение. Отображение F класса 8>М в множество N\] {со}
называется эффективной операцией на классе aPJ?, если суще-
существует такая частичнорекурсивная функция я|>, что
(i) ?(ц>х) = ty(x), если ty(x) сходится,
и
(и) Р(фж) = со, если ty(x) расходится.
Теорема XXIX (Майхилл и Шепердсон). (а) Всякий рекур-
рекурсивный функционал на аР определяет эффективную операцию
на ФМ-
(Ь) Всякая эффективная операция на HPJ? является ограничени-
ограничением на ?РМ некоторого рекурсивного функционала на аР.
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ 461
Доказательство, (а) Пусть F — рекурсивный функ-
функционал на ?Р. Функционал F определяется некоторым оператором
пересчета Ф. Положим: ty(x) равно единственному элементу мно-
множества Ф(т(фж)), если множество Ф(т(фж)) не пусто, и ty(x) не
определено в противном случае. Так как можно равномерно по х
перечислять множество Ф(т(фж)), то функция ар частичнорекурсив-
ва. Функция ар определяет требуемую эффективную операцию
на ®М.
(Ь) Возьмем такую строго возрастающую общерекурсивную
¦функцию /, что для любого и если множество Du однозначно, то
<pf(u) = t~1(Du). Положим
В — {У I Cw)LDu — однозначное множество и у —f(u)\}.
Рекурсивное множество В содержит по одному гёделеву номеру
любой конечной функции. Возьмем такую общерекурсивную функ-
функцию g, что для любого и выполняется равенство gf(u) = и. Такая
функция g по любому гёделеву номеру из множества В выдает
соответствующий канонический индекс.
Пусть функция ар определяет эффективную операцию на «РМ-
Определим следующим образом оператор Ф:
Ф(А) = {х | (Зу)[у ё B&Dg(y)(= t(cjv)) с А & х=Ц>(у)]}.
Очевидно, что Ф — оператор пересчета. Он определяет некоторый
¦частичнорекурсивный функционал F на аР. Покажем, что (i)
-функционал F рекурсивен и (и) на классе <РМ функционал F
совпадает с эффективной операцией, определенной функцией ар.
Чтобы доказать (i), предположим, что функционал F не рекур-
рекурсивен. Тогда существует такая функция ф, что в множестве Ф(т(ф))
имеется по крайней мере два различных элемента. Но тогда суще-
существуют такие числа уи у2 6 В, что фУ1 с: <р, фу2 с: <р, -^{у^ и ty(y2)
сходятся и что ^(j/i) Ф i|)(j/2)- Это дает решение проблемы остановки
(упр. 15-27).
Чтобы доказать (п), предположим, что функционал F на
функции фж отличается от эффективной операции, определенной
функцией ар. Это может быть только тогда, когда или Р(фж) Ф со
и ty(x)) расходится, или ?(ц>х) = © и ty(x) сходится; Каждый из
этих случаев ведет к разрешимости проблемы остановки
(упр. 15-27; доказательство проводится аналогично доказатель-
доказательству теоремы 14-XIV).B
Функционалы на JT
Рассмотрим отображения класса всюду определенных функций
в множество натуральных чисел. При таком ограничении можно
ввести понятия рекурсивного функционала и общерекурсивного
функционала более естественным (но эквивалентным) способом.
Сначала мы докажем теорему, указывающую на соответствие

462 ГЛ. i5. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
между рекурсивными функционалами на сР и частичнорекурсивны-
ми функциями одной функциональной переменной (на Jf), введен-
введенными в § 15.2.
Теорема XXX. Пусть F — рекурсивный функционал на ПР.
Для всякой функции f ? ер положим: т|з(/) = F(/), если F(/) 6 N,
и 1]з(/) расходится, если F(/) = со. Функция ty является частично-
рекурсивной функцией одной функциональной переменной.
Обратно, пусть ty — частичнорекурсивная функция одной функ-
функциональной переменной. Положим F(/) =ijj(/), если а|)(/) сходится,
и F(/) = ©, если ij)(/) расходится. Функционал F является ограни-
ограничением на ер некоторого рекурсивного функционала на аР.
Доказательство. Пусть дан рекурсивный функционал
F и дана всюду определенная функция /. Можно вычислять о|)(/),
перечисляя элементы множества т(/) и применяя оператор пере-
пересчета, определяющий функционал F. Для того чтобы перечислять
множество т(/), достаточно располагать оракулом для установле-
установления принадлежности множеству г(/), следовательно, г)з(/) = <р* @)
для некоторого z. Поэтому функция tj) частичнорекурсивна.
Обратно, пусть дана такая функция tj), что т|з(/) = cpJ(/)(O).
Определим оператор пересчета Ф следующим образом. Для любого
множества А пусть Ф(А) = {у | у = ФрЧ(О) для некоторого конеч-
конечного начального сегмента f, такого, что т(/) с: А). Как легко
проверить, оператор Ф определяет требуемый рекурсивный функ-
функционал (упр. 15-28). н
Следствие XXX. Пусть F — общерекурсивный функционал на
?Р (в старом смысле), тогда ограничение функционала F на класс JjF
является общерекурсивной функцией одной функциональной пере-
переменной. Обра/пно, пусть г)з — общерекурсивная функция одной
функциональной переменной, тогда г)з является ограничением на ер
некоторого общерекурсивного функционала на аР.
Доказательство очевидно.я
Отметим мимоходом следующее обстоятельство. Пусть F —
частичнорекурсивный функционал на ПР. Для любой функции
/6^" положим: t|j(/)=F(/), если F (/) 6 N, и -ф (/) расходится
в противном случае. Функция г)з не всегда будет частичнорекур-
сивной функцией одной функциональной переменной. С другой
стороны, используя конструкцию теоремы 9-ХХШ, всякую такую
функцию tj) можно продолжить до частичнорекурсивной функции
одной функциональной переменной (упр. 15-29).
Имея в виду теорему XXX, следующим образом введем понятие
функционала на ер'.
15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ .463
Определение. Функционал на ер — это функция одной
функциональной переменной.
Рекурсивный функционал на jf — это > частичнорекурсивная
функция одной функциональной переменной.
Общерекурсивный функционал на ер — это общерекурсивная
функция одной функциональной переменной.
В дальнейшем, если не оговорено противное, термин „функцио-
„функционал" будет означать функционал на JF, кроме того, мы будем
обходиться без использования буквы со для представления расхо-
расходимости функционала.
Замечание к терминологии. В литературе
обычно рассматриваются функционалы над ер. Результаты же
о функционалах над аР часто получают в форме результатов
о функциональных операторах (чтобы избежать строгого рас-
рассмотрения областей слабого и полного определения). Теоре-
Теорема XXIX сначала была получена именно в такой форме (см. фор-
формулировку в § 11.5). В терминологии для функционалов над JT
имеются расхождения. То, что мы называем рекурсивными функ-
функционалами, иногда называют частичнорекурсивными функционала-
функционалами, а то, что мы называем общерекурсивными функционалами,
иногда называют рекурсивными функционалами. (Такая терми-
терминология довольно естественна, так как в этой терминологии
„частичнорекурсивным функционалам" соответствуют частично-
рекурсивные функции одной функциональной переменной, а „ре-
„рекурсивным функционалам" соответствуют (обще)рекурсивные
функции одной функциональной переменной.)
Заметим, что в бэровской топологии на ^ и дискретной топо-
топологии на N всякий рекурсивный функционал F является непре-
непрерывным отображением своей области определения (так как для
любого х класс F^) ? Б(/п) и, следовательно, класс F~1(a;)
открыт).
Функционалы на М
Рассмотрим ограничения на М функционалов на ер.
Множество общерекурсивных функций плотно в ер'. Верно ли,,
что если в области определения рекурсивного функционала содер-
содержится класс М, то в этой области содержится и класс ер (т. е. что-
функционал общерекурсивен) ? Простой пример, построенный
в упр. 15-30, дает отрицательный ответ на этот вопрос; частично-
частичнорекурсивная функция одной функциональной переменной может
быть всюду определенной на М и не быть всюду определенной
на ер.
Понятие эффективной операции на М можно ввести следующим
образом.

464 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Определение. Пусть F — ограничение на Ж некоторого
функционала на jF. Функционал F называется эффективной опе-
операцией на Ж, если существует такая частичнорекурсивная функ-
функция (одной числовой переменной) ip, что для любого х если фж ? Ж,
ТО ПГХфж) СХОДИТСЯ <?=> ty(x) СХОДИТСЯ] & [Г(фж) СХОДИТСЯ =Ф- Р(фзс) =
]
Имеет ли место аналог теоремы XXIX? Отрицательный ответ
был получен Фридбергом [1958а].
Теорема XXXI (Фридберг). Существует эффективная опе-
операция на Ж, которая не является ограничением на Ж никакого
рекурсивного функционала на ер.
Доказательство. Определим частичнорекурсивную
функцию ip следующим образом:
О, если (Чу)[у < х =Ф- (fx(y) = 0]
или (Зг)[фхB) ф 0 & (Vj/)[y < 2 =>
=> ф«(у) = 0] & (Зх')[х' < z &
(Vu)Tu<z=>- фж-(и) =фж(и)Ш;
расходится в противном случае.
Легко проверить, что функция г|з определяет эффективную
операцию F на Ж. Предположим, что F есть ограничение на Ж
некоторого рекурсивного, функционала G. Тогда G(^r[0]) = 0.
Так как G — рекурсивный функционал, то при вычислении любо-
любого его значения используются ответы на конечное число вопро-
вопросов об аргументе. Следовательно, существует такое число п, что
<V/)[(.Va:)b < п => /(*) = 0] =>• G(/) = 0]. Определим общере-.
курсивную функцию g следующим образом:
g(x) = 0, если х Ф п;
g(n) = k,
тде к выбрано так, чтобы любой гёделев номер функции g был не
меньше чем п. Тогда по определению функции ар не определено
F(g). Но G(g) должно равняться 0. Получили противоречие.и
Однако можно получить аналог теоремы XXIX, если ограни-
ограничиться рассмотрением операций и функционалов, определенных
на всех функциях класса Ж.
ОпрЕделение. Пусть F — ограничение на Ж некоторого
функционала на $р'. Фукнкцирнал F называется всюду определен-
определенной эффективной операцией на Ж, если существует такая частично-
рекурсивная функция г|з, что для любого х если фж 6 Ж, то [ty(x)
определено и F(qx) =ij)(a:)].
Теорема XXXII (Крейсел, Лакомб, Шёнфильд [1957]). Функ-
Функционал F является всюду определенной эффективной операцией на
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ 465
Ж <=> функционал F является ограничением на Ж некоторого
рекурсивного функционала, всюду определенного на Ж-
(Заметим, что, как показывает упр. 15-30, отсюда не следует,
что всякая всюду определенная эффективная операция на М
является ограничением на Ж некоторого общерекурсивного функ-
функционала.)
Доказательство. -$=. Пусть F — ограничение на Ж
некоторого рекурсивного функционала, всюду определенного
на Ж. Тогда для того, чтобы вычислить F на функции / ? Ж,
достаточно задать только конечное число вопросов о функции /.
Определим частичнорекурсивную функцию ар следующим образом.
Чтобы вычислить op(i/), вычисляйте ФУ@), ФрA), ... до тех пор,
пока не получится достаточно много результатов, чтобы можно
было вычислить F(/) для любой функции /, совпадающей с функци-
функцией (fv на этих аргументах. Если (и только если) это произойдет,
положите о|)(г/) = F(/). Функция г|) определит требуемую всюду
определенную эффективную операцию на J?.
=^. Пусть частичнорекурсивная функция гр определяет всюду
определенную эффективную операцию на Ж- Пусть дан конкрет-
конкретный набор инструкций для функции г|з. До конца доказательства
введем следующие обозначения. Если / — конечный начальный
сегмент, то /° — функция, совпадающая с / на области определе-
определения функции 7 и равная 0 вне этой области. Заметим, что по явно-
явному описанию функции /, т. е. по каноническому индексу множе-
множества т(/), можно равномерно получить гёделев номер функции f*..
Если ф — функция, то ф[шЗ — это (конечное) ограничение функ-
функции ф на множество аргументов {0, 1, . . ., w}.
Фиксируем числа у и z. Приведем инструкции для частично-
рекурсивной функции т). Инструкции для вычисления \](х) таковы.
Вычисляйте ор(г/). Если ор(г/) расходится, то -ц(х) расходится.
Если процесс вычисления ip(j/) закончился, то посмотрите, закан-
заканчивается ли процесс вычисления ip(z) быстрее чем за х шагов
(процесс вычисления разворачивается на основе данного набора
инструкций для функции ар). Если.нет, то положите r\(x) = q>v(x).
Если да, то проверьте, выполняется ли равенство ap(z) =ор(г/).
Если не выполняется, то положите \\(х) = ц>у(х). Если выполняет-
выполняется, то обозначьте буквой w число шагов процесса вычисления tp(z)
(заметим, что w < x); вычисляйте значения функции ц>у до тех
пор, пока не определятся <ру(и) для всех и ^.w (если это не про-
произойдет, то -ц(х) не определится). Пусть/„, — конечный начальный
сегмент, определенный последовательностью ФУ@), . . ., (pv(w).
Испытайте по очербди все конечные продолжения / гэ /„,. Для
каждого такого продолжения / возьмите гёделев номер Vy функ-
функции /° и проверьте, выполняется ли соотношение ар(Ут-) ф ip(j/).
30-0506

466 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Если не обнаружится такое продолжение / (для которого ty(vj) Ф
Ф ty(y))> то т)(а;) не определится. Если такое продолжение / обна-
обнаружится, то положите г\(х) =/° (х).
В итоге мы имеем
всюду расходится, если о|)(г/) расходится;
ФУ, если -ф(г/) сходится и a|)(z) расходится;
ФУ, если ty(y) сходится, ip(z) сходится ж
Л—
/°,
если о|)(г/) сходится, ty(z) сходится точно
за w шагов, ^(у) = ap(z), {0, . . ., и>) сг
cr Arg (fy и / — такое продолжение-
функции фМ, что F(j°) Ф ty(y);
в остальных случаях (w — число ша-
шагов процесса вычисления o|)(z)).
Набор инструкций для функции т] можно эффективно полу-
получить по у и z. Следовательно, применяя теорему о рекурсии, мож-
можно указать такое число п, что
всюду расходится,
Л
если о|)(г/) расходится;
если г|з(г/) сходится и о|)(?г) или расхо-
расходится или не равно о|)(г/);
если ty(y) сходится, ty{n) сходится
за и?шагов,а|)(г/) =ty(ri) , {О, . . ., ц;}с=
с: Arg фй и / — такое продолжение1
функции фМ, что F(/°) =#= о|)(г/);
в остальных случаях (w — число ша-
шагов процесса вычисления ty(n));
причем, число п можно получить равномерно по числу у.
Пусть функция ц>у всюду определена. Тогда о|)(г/) определено.
Следовательно, ty(ri) должно быть определено, ty(ri) = о|)(г/) и не су-
существует [такого продолжения / функции фМ, что F(/°) Ф ty(y)
(в противном случае функция фп совпадала бы с функцией /0<
и выполнялось бы соотношение ty(ri) Ф ty{y))- Поэтому для любой
общерекурсивной функции фу функция ар определена на п(у),
и если w — число шагов процесса вычисления гр(?г(г/)), то функцио-
функционал F отображает любое продолжение вида /° функции фМ в чис-
число о|)(г/).
Приведем инструкции для вычисления рекурсивного функцио-
функционала G. Пусть дана функция /, разыскивайте такие числа у и w,
что (i) tj)(j/) сходится; (ii) ty(n(y)) сходится за w шагов; (iii) функция
Фу определена на множестве {0, . . ., w} и (iv) на множестве*
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ 46?
{0, . . ., w} функции / и фу совпадают. Если (и только если)
обнаружились такие у и w, то возьмите гёделев номер и функции
(/[«])" и вычисляйте о|)(и). Положите G(/) ==ij)(u). Если таких чисел
у и w нет, то G(/) не определится. Читатель может проверить, что
G корректно определен и что G совпадает с F на классе Л
(упр. 15-31). в
Замечание. Приведенное выше доказательство показы-
показывает, что на самом деле функционал F непрерывен на ffl и что для
любой общерекурсивной функции фу можно по у вычислить модуль
непрерывности w. (Число w назовем модулем непрерывности
функционала F на функции /, если F(g) = F(/) для любой такой
функции g из области определения функционала F, что g =з /[ш].)
Итак, мы видим, что класс всюду определенных эффективных
операций на М совпадает (на М) с классом рекурсивных функцио-
функционалов, всюду определенных на М- Помимо этих классов изучались
два других, более общих, класса функционалов на М- Рассмотрим
кратко эти классы. ,
ОбознАЧЕния. Пусть / — конечная функция, тогда символом
[/] обозначим канонический индекс множества т(/) (как в доказа-
доказательстве теоремы XXXII), f° — это функция, совпадающая
с функцией / на области ее определения и равная нулю вне этой
области. Пусть / — функция, тогда (как в доказательстве теоре-
теоремы XXXII) символом /М обозначим ограничение функции /
на множество .{О, . . ., х).
Определение. Функционал F всюду определен на М, если
М cz Arg F. Пусть F — всюду определенный на М функционал.
Функционал F называется предельным, если существует такая
частичнорекурсивная функция ар, что (i) i|)([/]) сходится для любо-
любого конечного начального сегмента / и (ii) lim ^([/W]) существует
Ж->оо
и равен F(/) для любой общерекурсивной функции /.
Определение. Пусть функционал F всюду определен на М~
Функционал F называется функционалом Банаха — Мазура, если
для любой общерекурсивной функции / двух переменных сущест-
существует такая общерекурсивная функция g, что для любого х выпол-
выполняется равенство
Ниже мы покажем, что класс предельных функционалов вклю-
включает класс функционалов Банаха — Мазура и что класс функцио-
функционалов Банаха — Мазура включает (на М) класс рекурсивных
функционалов, всюду определенных на М. Мы покажем, что эти
включения строгие.
30*

468 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Теорема XXXIII. Ограничение на М любого рекурсивного
функционала, всюду определенного на М, является функционалом
Банаха — Мазура.
Доказательство. Пусть F — рекурсивный функцио-
функционал, всюду определенный на М- По теореме XXXII функционал F
является всюду определенной эффективной операцией. Из s-m-n-
теоремы немедленно следует требуемый результату
Теорема XXXIV (Мазур, Крейсел, Пур-Эль). Всякий функцио
нал Банаха — Мазура является предельным функционалом.
Доказательство, Докажем сначала следующую
лемму.
Лемма. Пусть F — функционал Банаха — Мазура. Тогда,
если функция f общерекурсивна, то F(/) = Mm F((/t*lH).
К-+ОО
Доказательство леммы. Определим функцию j
следующим образом?
{f°(y), если х = [f\ для некоторого конечного
начального сегмента /;
О в противном случае.
Так как F — функционал Банаха — Мазура, то существует такая
общерекурсивная функция g, что F(ky[j(x, у)]) = g(x). Следова-
Следовательно, для любого начального сегмента / выполняется равенство
F^) = #([/])• Предположим, что для некоторой общерекурсивной
функции / имеем F(/) Ф lim F((f[x])°). Для каждого числа z
Ж-*оо
определим функцию hz следующим образом!
¦ f(y), если cp2(z) не сходится за менее чем у
шагов;
hz(y) = \ (flxl)°(y), если cpz(z) сходится за w шагов,
причем w < у и
х = \iulw < и & g(lfW]) Ф F(f)].
Очевидно, что tey[hz(y)] — общерекурсивная функция'двух пере-
переменных. Так как F — функционал Банаха — Мазура, то "суще-
"существует такая общерекурсивная функция к, что F(ky[hz(y)]) = k(z).
Но для любого z тогда имеем \k(z) = F(/) <=> z $ К] и, следова-
следовательно, разрешима проблема остановки. Получили противоречие,
лемма доказана.
3 Используя свойство функции g из доказательства леммы, полу-
получаем теорему. я
§ 15.3. ФУНКЦИОНАЛЫ 469
Теорема XXXV (Пур -Эль [I960]). Существует предельный
функционал, не являющийся функционалом Банаха — Мазура.
Доказательство. Определим функцию ар следующим
образом:
{1, если ф2(г) сходится за менее чем w шагов,
где z = /@) и w равно длине сегмента J;
0, в противном случае.
Функция о|) определяет предельный функционал F. Предположим,
что F — функционал Банаха — Мазура. Пусть h(z, у) = z для
любых чисел z и у. Тогда существует такая общерекурсивная функ-
функция к, что для любого z выполняется равенство F(ky[h(z, у)]) =
= k(z). Но тогда функция к будет характеристической функцией
множества К, получили противоречие.и
Теорема XXXVI (Фридберг [1958]). Существует функционал
Банаха — Мазура, не совпадающий (на М) ни с каким рекурсив-
рекурсивным функционалом, всюду определенным на М.
Доказательство. В доказательстве определяются сте-
степени неразрешимости некоторых множеств. Мы опускаем детали
и даем набросок доказательства. Рассмотрим частичнорекурсив-
ные функции, определяющие предельные функционалы. В част-
частности, рассмотрим следующие множества:
А\ = {z | функция ф2 определяет предельный функционал,
являющийся функционалом Банаха — Мазура);
А2 — {z | функция ф2 определяет предельный функционал,
совпадающий (на М) с некоторым рекурсивным функционалом,
всюду определенным на Л?}.
Используя методы § 14.8, Фридберг показал, что множество А%
является 24-полным; с другой стороны, алгоритм Тарского —
Куратовского показывает, что множество А\ входит в класс П4
(упр. 15-33). Из теоремы об иерархии (теорема 14-VIII) следует
требуемый результат. (Определение степени неразрешимости мно-
множества А2 является более сложной задачей, чем в случае любого
примера из § 14.8.)и
Релятивизация
Очевидным образом функционалы можно релятивизовать отно-
относительно данного множества или семейства множеств. Таким спо-
способом можно развивать, например, теорию арифметических функ-
функционалов. Изучались также обобщения на функционалы более
высоких типов (у таких отображений в качестве аргументов могут
выступать сами функционалы). Для функционалов более высоких
типов можно вводить понятие эффективной операции. В дальней-
дальнейшем этот материал рассматриваться не будет.

470 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
Приложение функционалов
Функционалы применялись как важный инструмент исследова-
исследования в классической математике. Одной из областей такого приме-
применения явилось изучение эффективных объектов в классической
математике. Например, если действительные числа отождествлять
с последовательностями вложенных отрезков- с рациональными
концами, то отображение действительных чисел в действительные
числа становится функциональным оператором (а интеграл ста-
становится функционалом более высокого типа). Если ограничиться
рассмотрением только рекурсивных операторов, то можно разви-
развивать соответствующую теорию „рекурсивного анализа". (См. упраж-
упражнение 15-35, где показывается, что всякий такой рекурсивный
¦оператор определяет непрерывное отображение действительных
чисел в действительные числа.)
Второй областью приложений явилось изучение счетных струк-
структур, аналогичных несчетным структурам классической математи-
математики, с отображениями на этих счетных структурах, задаваемыми
рекурсивными операторами. Например, рекурсивные последова-
последовательности вложенных рациональных отрезков можно рассматри-
рассматривать как „рекурсивные действительные числа", эффективные опе-
операторы на номерах (этих „рекурсивных действительных чисел")
можно рассматривать как „функции" (упр. 15-35). (При
таком рассмотрении, интеграл — это эффективный оператор на
номерах „функций".)
Третьей областью приложений явилось изучение „эффективного
содержания" конкретных предложений и доказательств классиче-
классической математики. Приведем результаты этого рода, полученные
Крейселом [1951].
Интерпретация опровержением контрпримера
Пусть все высказывания элементарной арифметики даны
в предваренной форме. Такое высказывание можно следующим
образом преобразовать в эквивалентное утверждение о рекурсив-
рекурсивных функционалах. (Для примера. мы рассматриваем префикс
3V3V; но этот метод является общим.)
Cx)Dy)(lz)Ciw)R(x, у, z, w) истинно
(V;r)Ci/)(Vz)Cu7) И R(x, у, z, w) ложно
(Vz)(Vz) п Д(Ж| т% z? g(a,f z)) ложно
CF)CG)(V/a))(Vg<2')fl(F(/),
ИСТИнно
, g), g(F(/), G(/, g)))
истинно <=>
C рекурсивный функционал F) C рекурсивный функционал G)
Dfv)(Vg™)R(F(f), /(F(/)), G(f, g), g(F(f), G(/, g))) истинно.
§ 15.4. УПРАЖНЕНИЯ 471
Последний переход возможен потому, что в четвертом от нача-
начала выражении для любых функций /ig соответствующие числа х
и z (т. е. значения F(/) и G(/, g)) можно найти, используя оракулы
для / и g для испытания всех результатов на х и z; поэтому F и G
будут рекурсивными функционалами *).
Описанные логические преобразования называют интерпрета-
интерпретацией опровержением контрпримера, так как в нашем примере
функции / и g можно рассматривать как возможные контрпримеры
к первоначальному утверждению. Рекурсивные функционалы F
и G по любым предполагаемым контрпримерам / и g вычисляют
числа, на которых / и g не годятся в роли контрпримеров.
Крейсел показал, что доказательство высказывания некоторой
•стандартной аксиоматизации, например в аксиоматике Пеано,
дает дополнительную информацию о соответствующих функцио-
функционалах, опровергающих контрпримеры. Более того, доказуемость
высказывания в некоторой аксиоматизации можно охарактеризо-
охарактеризовать с помощью соответствующих свойств функционалов. Как
можно было ожидать, оказалось, что более элементарным аксио-
аксиоматизациям соответствуют более „эффективные" функционалы
{в том смысле, в котором примитивнорекурсивная функция более
„эффективна", чем общерекурсивная функция, не являющаяся
примитивнорекурсивной).
§ 15.4. УПРАЖНЕНИЯ
§ 15.1
15-1. Обсудите (на основе неформальной дискуссии) формальное опреде-
определение частичнорекурсивной функции к множественных переменных.
15-2. Сформулируйте и докажите аналоги теорем 1-IX и 1-Х для частич-
норекурсивных функций одной множественной переменной.
15-3. Докажите следующие результаты О tt-сводимости и Т-сводимости.
(i) А < пВ <=> А = {х | R(B, х)} для некоторого R 6 2oS)-
(ii) А <ТВ <=> А = {х | R(B, х)} = {х | S(B, x)} для некоторых
R ? 2^s) и S ? Il[s\ (Указание. Покажите, что множество А рекурсивно пере-
перечислимо относительно множества В <=> А = {х \ R(B, x)} для некоторого
R 6 ?>
15-4' (Джокуш). Для произвольного класса К множеств положим Р^ =
19
= {х | Wx 6 %}• Докажите следующие предложения для произвольного
класса1 %:
(i) % 6 S^s) =Ф Г™ 6 2„+1(п > 1);
x) В том случае, когда впереди стоят кванторы общности, они не заме-
заменяются на функциональные кванторы на третьем шаге, а остаются числовыми
кванторами (число можно рассматривать как „функцию нуля переменных").
В этом случае в качестве переменных для функционалов, возникающих
на предпоследнем шаге, будут не только функции, но и числа.

472 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
(ii) % 6 n<f
6 П„+1 (я > 1);
Докажите следующие предложения для произвольного класса $ рекурсивно
перечислимых множеств:
(iv) ^(Е2п=ф<?
(v) P^6nn=^«^
Приведите примеры, показывающие, что (iii) и (iv) нельзя усилить. (Указание.
Для (iii) возьмите <g= {Х'\ 0 ? X &. I § X}, для (iv) используйте теорему
XIII.)
15-5. (а) Более детально рассмотрите конструкцию в доказательстве тео-
теоремы XII, приводящую к f(n + 1).
(Ь) Докажите следствие XIII.
15-6. Пусть А — нерекурсивное множество. Покажите, что 2&s)
но существует класс <? 6 (I,^A — Sjs)).
15-7. Пусть дано А. Докажите теорему об иерархии для иерархий S^8
15-8. (а) Рассмотрим открыто-замкнутые классы. Введем понятие кано-
канонического индекса для таких классов и назовем, эти индексы О-индексами.
Обозначим символом 3)х класс, 0-индекс которого равен х. Покажите, что
оо
<s/t 6 2(jS) <=> C общерекурсивная функция /) [^= U 2! *(*)]• Докажите ана-
ж=0
логичное для П^8\
(Ь) Положим: число z есть 1-индекс для <Ж, если <pz общерекурсивна
оо
и <& = U ^/(ж), где / = <pz. Обозначим символом "§z Б^-класс с 1-индек-
сом г. Покажите, что <Ж 6 П28)<=> C общерекурсивная функция /) Ш =>
(с) Распространите указанную процедуру на все уровни арифметической
иерархии. ч
Д15-9 (Гильберт, Бернайс). (а) Определим множества Vn, как в § 14.6.
оо
Положим V* = U Fn .Сформулируйте индуктивное определение множеств
п=о
7П (п = 0, 1, 2, . . .), и получите, что {V*} ? П28). (Указание. Заметим, что
множество Vo рекурсивно и что для любого п множество Fn+i = {х | х есть
2п+1-высказывание и некоторая подстановка в „П„-часть" высказывания х
верна).
(Ь) Непосредственно выведите из изложенного выше, что {V} 6 П^)
§ 15.2.
15-10. Покажите, что класс {/ | 5 6 Val /} является областью определе-
определения частичнорекурсивной функции одной функциональной переменной.
15-11. Покажите, что функция d, определенная в § 15.2, является метри-
метрикой и что пространство 3- полно относительно этой метрики.
х) Автор крайне признателен Ван Хао, обратившему его внимание на та-
такое доказательство теоремы XII.
§ 15.4. УПРАЖНЕНИЯ 47S
15-12. Покажите, что произведение топологий, определенное для 2F
в § 15.2, совпадает с топологией, задаваемой бэровской метрикой.
Д15.13. Для любого действительного числа [J символом [рЧ обозначим,
наибольшее целое число <1 р". Пусть а — действительное число между 0 и 1.
Определим две последовательности п0, »ц, пг, . . . и го, г4, ... следующий
образом:
г0 = а,
Щ — — I, если гг Ф О,
= _1
Последовательность (быть может, конечная) п0, riit . . . называется непре-
непрерывной дробью для числа а, так как последовательность
1 1 1
«1 = J-, «2= 1. , •••
п0
или оканчивается числом а (если последовательность конечна), или сходится
к числу а. Заметим, что если эта последовательность бесконечна, то все ее-
элементы положительны.
(a) Покажите, что для любого действительного числа а, такого, что
0 < а < 1, можно указать непрерывную дробь, значением которой является
это число а.
(b) Покажите, что непрерывная дробь бесконечна тогда и только тогда,
когда ее значение а иррационально.
(c) Покажите, что любая бесконечная последовательность положитель-
положительных целых чисел определяет непрерывную дробь для некоторого иррацио-
иррационального числа между 0 и 1.
(d) Отождествим всякий элемент / пространства 2F с непрерывной дробью
/@) + 1, /A) + 1, ... . В силу (а) и (с) это отождествление дает взаимно
однозначное соответствие между 2F и множеством иррациональных чисел
между 0 и 1. Покажите, что всякая базисная окрестность в пространстве S~
определяет открытое множество иррациональных чисел (в естественной топо-
топологии иррациональных чисел) и что всякий открытый интервал иррациональ-
иррациональных чисел определяет открытый класс в пространстве $р'. Выведите отсюда,
что соответствие, установленное между 2F и иррациональными числами,
является гомеоморфизмом.
15-14. Объясните, почему базисные окрестности образуют баву окрест-
окрестностей пространства 2F'.
15-15. Докажите, что 2F не компакт. (Указание. Постройте покрытие
пространства !F базисными окрестностями, из которого нельзя выделить-
конечное подпокрытие.)
15-16. Докажите или опровергните следующее утверждение. Дерево Cf
является деревом с конечными путями тогда и только тогда, когда дерево Cf
есть объединение попарно не сравнимых конечных подветвей дерева У*.
(Две подветви несравнимы, если ни одна из них не есть начало другой.)
15-17. Используйте понятия, категории, чтобы доказать, что класс
{/ | /-i(O) конечно} 6 (SBfn) - ПB'п>).
15-18. Докажите теорему XXVI.
Д15-19. Рассмотрим множества чисел, получаемые из рекурсивных отно-
отношений в JTh X Nl (Для произвольных к > 0, I > 0) операциями проектиро-
проектирования и взятия дополнения, когда разрешаются проектирования не только-
по числовым, но и по множественным переменным. Пусть ^ — класс всех_

474 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
таких множеств. Рассмотрим множества чисел, получаемые из рекурсивных
отношений в &Ъ X N1 (для произвольных к > О, I > 0) операциями проекти-
проектирования и взятия дополнения, когда разрешаются проектирования не только
по числовым, но и по функциональным переменным. Пусть dl2 — класс всех
таких множеств. Покажите, что «^, = c/t2- {Указание. См. доказательства
теорем XXV и XXVI.) Множества этих классов называются аналитическими
множествами. Такие множества будут исследованы в гл. 16.
15-20. Покажите, что для подходящего множества Л класс 2^п> А содер-
содержит классы, не входящие в класс 2js,tn). {Указание. Покажите, что для любого
открыто-замкнутого класса А существует такое множество А, что jt 6 2^fn) A.
Выберите множество А так, чтобы в нем была закодирована достаточная
.информация о дереве с конечными путями, определяющем класс dk.)
15-21. Покажите, что Л 6 2^fn) \jf\ <=> -d открыто-замкнутый класс.
•(Указание. См. указание для упр. 15-20.)
Д15-22. Покажите, что утверждение теорем XXV и XXVI нельзя усилить.
15-23. Если^ 6 2@fn), то должен ли существовать такой класс «$ 6 2^,s),
что А= {/ |т(/) 6^}?
15-24. Переделайте доказательство теоремы XIII, чтобы показать, что
класс {/ | / — общерекурсивная функция} ? B^fn) — П^(п').
Д15-25. Будем говорить, что функция i|) арифметическая, если множе-
множество t(i|)) арифметическое. Приведите подходящую нумерацию арифметиче-
арифметических функций. -Постройте теорию (базирующуюся на арифметических функ-
функциях), аналогичную теории (базирующейся на частичнорекурсивных функ-
функциях), построенной в гл. 1, 4 и 5. Особенное внимание обратите на различия
между двумя теориями. (Понятие арифметической вычислимости является
естественным обобщением понятия рекурсивной вычислимости. Дальнейшие
обобщения будут рассмотрены в гл. 16.)
§ 15.3. .
15-26. Пусть F — частичнорекурсивный функционал на в°- (а) Покажи-
Покажите, что функционал F рекурсивен на 3° тогда и только тогда, когда класс &
принадлежит области слабого определения функционала F.
(Ь) Покажите, что если область строгого определения функционала F
-совпадает с классом 3°, то F — константа-
15-2.7. (а) Закончите доказательство пункта (Ь) теоремы XXIX, показав,
¦что отрицание как (i), так и (и) приводит к разрешимости проблемы остановки.
(Ь) Выведите теорему упр. 11-43 из теоремы XXIX.
15-28. Покажите, что оператор Ф в доказательстве теоремы XXX опре-
определяет требуемый функционал.
Д15-29. (а) Найдите частичнорекурсивный функционал F на 3° и функ-
функцию 1(з одной функциональной переменной, такие, что (i) i|)(/) = F(/), если F
полностью определен на функции /; (ii) i|)(/) расходится в противном случае
и (ш) функция 1(з не является частично рекурсивной функцией одной функцио-
функциональной переменной. {Указание. Определим функционал F с помощью такого
оператора пересчета Ф, что
{°>- если/@)<? Я;
{0, 1}, если/@) еК.)
(Ъ) Пусть F —частичнорекурсивный функционал на &>. Пусть функция
л|> получается из F по (i) и (ii) в пункте (а). Покажите, что функцию ij) можно
продолжить до частичнорекурсивной функции одной функциональной перег
менной. {Указание. См. теорему 9-ХХШ.)
§ 15.4. УПРАЖНЕНИЯ 475
15-30. (а) Укажите частичнорекурсивную функцию одной функциональ-
функциональной переменной, всюду определенную на ?Я, но не всюду определенную на 2F'.
<Увазакие. Полошим i|>(/) = 0, если (ix)[f(x) = <рж(«)]; i|>(/) расходится в про-
противном случае.)
Д(Ь) Укажите частичнорекурсивную функцию одной функциональной
переменной, всюду определенную на ffl, не продолжимую до функции, всюду
определенной на JF. (Указание. Положим i|)(/) равным первому такому числу
х в эффективном перечислении множества К, что f(x) = <рх{х), если такое х
существует; г|)(/) не определено в противном случае.)
(с) Выведите, что не всякая всюду определенная эффективная операция
на М является ограничением на .<% общерекурсивного функционала.
15-31. В доказательстве теоремы XXXII проверьте, что G корректно
определен (т. е. что может быть найдено не более одного значения i|>(«)) и что
¦G совпадает с F на классе М-
15-32 (Крейсел, Лакомб, Шёнфильд). Пусть R — множество гёделевых
номеров всех общерекурсивных функций. Пусть Jt — класс общерекурсивных
функций. Положим Р^ = {х | фж 6 jt). Будем говорить (в данной задаче),
¦что класс Jt рекурсивен, если существуют два непересекающихся рекурсдвно
перечислимых множества At и Аг, таких, что R аАг \J А2 и Р^ = А^ П Я;
будем говорить, что класс <? рекурсивно перечислим, если существует такое
рекурсивно перечислимое множество А, что Р^ = A f) R.
(а) Покажите, что класс" Jt рекурсивен тогда и только тогда, когда суще-
существуют непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества В ж С, такие,
что
/ g ^ <=> C начальный сегмент 7) t/ 3~ & [/1 б В]
и что
C начальный сегмент /) [/ ZD f & [/] ? С],
где [Я— канонический индекс множества т(/). (Указание. ф= очевидно. Для
=? используйте теорему XXXII, чтобы из эффективной операции получить
рекурсивный функционал.)
(Ь) Покажите, что если класс А рекурсивно перечислим, то не обяза-
обязательно имеется такое рекурсивно перечислимое множество В, что
i\A <=>(d начальный сегмент /)[/ ГЭ / & [/] 6 В].
{Указание. Используйте конструкцию из теоремы XXXI.)
15-33. Пусть Аги А2 — множества, указанные в наброске доказатель-
доказательства теоремы XXXVI.
(a) Покажите., что At 6 П4.
(b) Покажите, что А2 € 24-
А (с) Покажите, что А2 является Б4-полным. (Указание. Используйте
теорему 14-XVIII.)
Д15~34. Отождествим действительные числа с подклассом класса 2F
•следующим образом. Фиксируем эффективное кодирование пар рациональ-
рациональных чисел натуральными числами. Пусть / — такая всюду определенная
функция, что /@), /A), ... — последовательность (кодовых номеров) стяги-
стягивающихся вложенных рациональных отрезков. Если действительное число а
является общей точкой всех отрезков, то будем говорить, что функция /
представляет действительное число а. Очевидно, что всякое действительное
число может быть представлено бесконечным количеством функций. Действи-
Действительное число назовем рекурсивным, если оно представляется общерекурсив-
общерекурсивной функцией. Натуральное число z назовем индексом рекурсивного действи-
действительного числа а, если <pz представляет а.

476 ГЛ. 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2)
(a) Покажите, что действительное число рекурсивно тогда и только
тогда, когда можно эффективно задать его десятичное разложение.
(b) Покажите, что операции сложения и умножения на рекурсивных дей-
действительных числах можно задать эффективными операциями на индексах
рекурсивных действительных чисел.
(c) (Райе [1954]). Комплексное число назовем рекурсивным, если его дей-
действительная и мнимая части являются рекурсивными действительными числа-
числами. Покажите, что рекурсивные комплексные числа образуют алгебраически
замкнутое поле. (Указание. Используйте подходящую эффективную ашгро-
ксимационную процедуру для „решения" произвольного полиномиального-
уравнения.)
(d) Покажите, что для рекурсивных действительных чисел можно равно-
равномерно переходить от (инструкций для) десятичных разложений к соответ-
соответствующим последовательностям вложенных отрезков (их индексам). Покажи-
Покажите, что невозможен равномерный переход в обратном направлении. (Таким
образом, некоторые эффективные отображения на рекурсивных действитель-
действительных числах можно определить, если используются представления вложенны-
вложенными отрезками, и нельзя определить, если используются десятичные разложе-
разложения. Именно по этой причине эффективные десятичные разложения не под-
подходят в качестве базисных.)
Д15-35. Пусть SF* — класс всех всюду определенных функций, пред-
представляющих действительные числа (см. упр. 15-34). Пусть рекурсивный опера-
оператор Ф отображает ?F* в ff* и определяет соответствующее корректное отобра-
отображение действительных чисел в действительные числа. Покажите, что Ф
определяет непрерывное отображение из действительных чисел в действитель-
действительные числа. (Указание. Представьте Ф как функционал на &* X N, и исполь-
используйте непрерывность этого функционала на своей области определения.)
Д15-36 (Московакис). Пусть R* — множество всех индексов рекурсивных
действительных чисел (определения см. в упр. 15-34). Пусть частичнорекур-
сивная функция г)) отображает R* в R* и определяет соответствующее коррект-
корректное отображение рекурсивных действительных чисел в рекурсивные действи-
действительные числа. Покажите, что это отображение непрерывно на любом рекур-
рекурсивном действительном числе. (Указание. См. теорему XXXII и упр. 15-35.)
Покажите, что такое отображение не обязательно является ограничением на ре-
рекурсивные действительные числа непрерывного отображения на действитель-
действительных числах. (Указание. Определим эффективную последовательность откры-
открытых интервалов с рациональными концами, покрывающую все рекурсивны©
действительные числа, такую, что суммарная длина всех интервалов не пре-
превосходит 1. Чтобы сделать это, будем вычислять для произвольного z значен
ния Ф2(О), фгA), .... Если (и только если) найдется такое п, что (i) q>z(y}
определено для у <; п, (ii) <рг@), . . ., q>z(n) — конечная последовательность
(кодовых номеров) вложенных рациональных интервалов и (iii) длина интер-
интервала с номером Ф2(ге) меньше чем 1/2г+ , то к общему списку открытых интер-
интервалов добавляется открытый интервал длины 1/2Z, содержащий интервал
с номером ф2(п). Общий список, порождаемый таким способом, образует
требуемое покрытие. Пусть- /0, /},... — эффективное перечисление интер-
интервалов этого покрытия. Для каждого к определим непрерывную функцию ft&
одного действительного переменного, равную нулю на множестве /о U A U
U • • • U^ft и равную единице вне этого множества и некоторого рекурсивно^
задаваемого множества интервалов суммарной длины l/2h. Для любого рекур-
оо
сивного действительного числа а положим g(a) = "S] ftfc(a). Покажите, что ряд
fc=0
конечен (для всякого рекурсивного действительного числа), что g можно-
задать частичнорекурсивной функцией г|з (удовлетворяющей условиям, опи-
описанным в начале нашей задачи) и что g не является ограничением на рекур-
сивные'действительные числа непрерывного отображения на действительных
§ 15.4. УПРАЖНЕНИЯ 477
числах. Чтобы доказать последнее, покажите, что функция g не ограниченна
на любом интервале длины 3. (Это показывает, между прочим, что теорема
Гейне — Бореля не верна для замкнутого отрезка рекурсивных действитель-
действительных чисел с данным рекурсивным бесконечным открытым покрытием.) Даль-
Дальнейшие результаты о ,рекурсивном анализе" см. в работах Московакиса
11963] и Клауа [1961].
Д15-37. (Хоудз [1962]). Понятие рекурсивного действительного числа,
введенное в упр. 15-34, можно обобщить, введя понятие арифметического
действительного числа, если вместо частичнорекурсивных функций исполь-
использовать арифметические функции (см. упр. 15-25). Покажите, что из всякого
арифметического открытого покрытия (т. е. арифметической последователь-
последовательности открытых интервалов с рациональными концами) замкнутого отрезка
арифметических действительных чисел можно выделить конечное подпокры-
подпокрытие. (Указание. Покажите, что имеет место арифметический вариант теоремы
Больцано — Вейерштрасса.) (Рекурсивный вариант не верен, см. указание
к упр. 15-36).) (Замечание. Для арифметических действительных чисел можно
сформулировать и доказать теорему Гейне — Бореля в несколько более
общей форме. В этом и других отношениях теория „арифметического анализа"
ближе к классическому анализу, чем теория „рекурсивного анализа" в упр.
15-35 или 15-36. См. также работу Риттера [1962].)
15-38. Приведите интерпретацию опровержением контрпримера для тео-
теоремы о простых числах (см. § 14.7), и опишите, как вычисляется соответ
ствующий рекурсивный функционал.

Глава 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.1. Аналитическая иерархия 478
§ 16.2. Аналитическое представление; приложения
к логике 492
§ 16.3. Деревья с конечными путями 502
§ 16.4. Щ-множества и Д^множёства 508
§ 16.5. Обобщенная вычислимость 515
§ 16.6. Гиперстепени и гиперскачок;
2|-множества и Д|-множества 523
§ 1&.7. Результаты о базисе и неявная определимость 535
§ 16.8. Гиперарифметическая иерархия 556
§ 16.9. Упражнения 570
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
В § 15.2 мы рассматривали отношения, полученные из рекур-
рекурсивных отношений на $ph X Nl (для всех ^ 0 и i^ 0) с помо-
помощью операций взятия дополнения и проектирования по числовым
координатам. В этой главе мы рассмотрим более широкий класс
отношений, который получается, если дополнительно разрешить
брать проекции по функциональным осям. Эти отношения назы-
называются аналитическими. Они распадаются в естественную иерар-
иерархию, впервые изучавшуюся Клини [1955] и [1955а].
Иерархия
Рекурсивные отношения на
]^> 0) были определены в § 15.2.
(Для всех
и I
Определение. Отношение Rcz jpk X Nl называется аналити-
аналитическим, если R рекурсивно или если существует такое рекурсив-
рекурсивное отношение S сг $рт X Nn, что R может быть получено из от-
отношения S с помощью конечного числа применений операций
взятия дополнения и (или) проектирования.
Тотчас получается аналог теоремы 14-1.
Теорема I. R
для некоторых тип
jFft X
аполитично <=> R рекурсивно или
= «А.
fk,
(Q
iEi
(Q
m+n-h-l
/mi
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 479>
где S c± $pm X Nn рекурсивно, Qt есть V или 3 при 1 ^ i sSC
< m + n — к — I, a lb l2, . . ., ?m+n_ft_z суть /ft+1, . . ., /m,
Xi+i, . . ., xn, взятые, возможно в ином порядке 1).
Доказательство, Как в теореме 14-1.и
Определение. Назовем квантором типа 1 всякий квантор,,
применяемый к функциональной переменной; квантором типа 0 —
всякий квантор, применяемый к числовой переменной. Для неко-
некоторых целей, именно при рассмотрении алгоритма Тарского —
Куратовского, мы используем символы „V1" и „З1" для квантифика-
ций типа 1 и символы „V0" и „3°" для квантификаций типа 0 2).
Предикатная форма определяется так же, как в § 14.1 (одна-
(однако с тем изменением, что теперь допускаются функциональные
координаты и кванторы типа 1). Далее термин „предикатная фор-
форма" будет чаще использоваться в этом новом обобщенном смысле,
а не в смысле § 14.1. Предикатная форма очевидным образом опре-
определяет соответствующее аналитическое отношение. Будем гово-
говорить, что это отношение представляется данной формой. Две пре-
предикатные формы назовем эквивалентными, если они представляют
одно и то же отношение.
Определение.- Кортеж кванторов (возможно, пустой) данной
предикатной формы, помеченный их типами, называется префик-
сом этой формы. (Так, например, Dx2)Cfi)Cx1)(Vf2)R(fi,f2, xu х2, х3}
имеет префикс V°313°V1.) Приведенным префиксом называется
(возможно, пустой) кортеж кванторов, полученный из префикса
опусканием всех кванторов типа 0. (Например, форма с префиксом;
V°313°V1 имеет приведенный префикс ^V1.)
Мы получим аналитическую иерархию, классифицируя формы'
в соответствии с числом перемен типов кванторов в приведенном,
префиксе-!
Определение. Если м>0, ^^-префикс есть префикс, приве-
приведенный префикс которого начинается с З1 и имеет п — 1 перемен
типов кванторов.
^-префикс есть префикс, приведенный префикс которого пуст.
Если п > 0, Un-префикс есть префикс, приведенный префикс
которого начинается с V1 и имеет п — 1 перемен типов кванторов.
J) В соответствии с тем как мы поступали ранее в этой книге и чтобы
избежать смешения с другими обозначениями (например, а, Р, ... для орди-
ординалов), мы продолжаем обозначать всюду определенные функции буквами
/. е, h, . . . .
а) Вообще в теории иерархий натуральные числа часто называют объек-
объектами типа 0, множества чисел и функций числовых переменных — объекта-
объектами типа 1, множества объектов типа 1 и функционалы на них —• объектами
типа 2 и т. д. Изучение рекурсивных отношений и функционалов для объектов,
типа выше 1 было начато Клини [1959], [1963] (см. также Кларк [1964]).

ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Щ-префикс есть префикс, приведенный префикс которого пуст.
{Таким образом, понятия SJ-префикса и Щ-префикса совпадают.)
Определение. Предикатная форма называется ^п-формой, если
она имеет Б^-префикс, и Un-формой, если она имеет Щ-префикс.
Определение. 2J,. есть класс всех отношений (на jF"ft X ^'»
к ~^- О, I ^> 0), представимых в 2^-форме.
П? есть класс всех отношений (на $рк X Nl, к^.0, 1^.0),
представимых в Щ-форме.
Класс 2J(= Щ) состоит, таким образом,' из арифметических
¦отношений, определенных и изученных в § 15.2.
В конце этого параграфа мы распространим эти обозначения
на отношения на 3*XjrlXNm, к > 0, I > 0, т > 0.
Следствие I. Отношение R (с:
Cn)[R e 2 tt
аполитично
Доказательство. Очевидно.и
С помощью введения фиктивных кванторов, как в теоре-
теореме 14-П, может быть доказана следующая
Теорема
(Ь). R 6
П.
U
2i+i П П4+1.
Доказательство. Аналогично теореме 14-П.и
Следующая теорема дает правила, обобщающие правило склеи-
склеивания кванторов из § 14.2. Она показывает, что, если п > 0,
произвольное отношение из Б? (J Щ может быть представлено
предикатной формой, имеющей не более п кванторов типа 1
та не более одного квантора типа 0, причем квантор типа 0 будет
последним в префиксе.
Теорема III (Клини). Допустимы следующие преобразования
префиксов, т. е., в каждом случае, для любой предикатной формы
с данным префиксом получится эквивалентная предикатная форма
с новым префиксом:
(i) ..°
(ii) ...
ЗЧ
(iii) ... V° ...
°
... V1 ...
...Э1...,
... V1 ...
a'V1... ->•... via°....
{Из теоремы об иерархии будет следовать, что обращения (iii)
n^(iv) не имеют места; см. упр. 16-1.)
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 481
Доказательство. Опишем, как нужно изменить рекур-
рекурсивное отношение данной предикатной формы. Рекурсивность
нового отношения и эквивалентность старой и новой предикатных
форм легко проверяются (см. упр. 16-2).
(i) Так же, как в § 14.2.
(ii) Дана форма . . . (V/i)(V/2) • • • R(—, /i, —, /2, —); возьмем
{(/, ) | R(—, nj, —,-Я2/, —)}. Аналогично в случае
• • • C/i)C/2)....
(iii) Дана . . . (Vz) . . . R(—, x, —); возьмем {(/, ) |
R{—, /@), —)}. Аналогично для . . . (Sx). . . .
(iv) Дана '. . . (Va;)C/) . . . R( —, /, —, x, —); возьмем
{</, x, ) | R{—, Kylf((x, y))], —, x, —)}. Так же и для
C)(V/)
Следствие III. При п > 0 всякое отношение R из Si пред-
ставимо предикатной формой с префиксом, состоящим из п -\- 1
чередующихся кванторов, из которых первые п — типа 1, послед-
последний — типа 0, причем первый квантор — З1. Для отношений
из Щ дело обстоит так же, только первым стоит квантор V1.
Доказательство. Из теоремы вытекает (см. упр. 16-3)
следующая систематическая процедура (с использованием, если
понадобится, фиктивных кванторов). Ограничимся рассмотрением
примера. Пусть дан префикс V°313°V1. Преобразуем префикс:
voai3<)V1^Vo3131V1 (iii),
^V^V1 (ii),
(ii),
-*- 31V13° (добавление фиктивного квантора).и
Предикатная форма может быть опредедена, если заданы ее (i)
префикс, (ii) индекс характеристической функции рекурсивного
отношения, (iii) отображение префиксных кванторов в совокуп-
совокупность переменных этого отношения. Назовем это описанием формы.
Правила преобразования кванторов из теоремы III, очевидно,
равномерны в том смысле, что описание результата применения
какого-либо из этих правил к предикатной форме может быть
равномерно получено по описанию исходной формы.
Нормальная форма и нумерация
Определим T'h i так же, как в § 15.2. (То есть,
n.tiz, h, • • ., fk, W, • • •> *i> ") О q>l«i)'---«fb) (xt, . . ., Xl)
вычисляется на w-u шаге при перечислении множества Wp(z)
31—0506

482 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(с индексом p(z)); здесь /с>0, I > 0.) По теореме 15-XVII для
любой предикатной формы (iw) R(fu . . ., fk, xt, . . ., xh w) мы
можем равномерно найти такое z, что форма Cw)T'k, t (z, /l7 ...
• • •> /ft, ^i, • > -7 xt, w) представляет то же отношение. Это
утверждение является частным случаем следующей теоремы.
Теорема IV (Клини). Пусть п > 0 четно. Тогда для любого
R 6 ?>„ (где R a Jf1* X ^') существует такое z, что
R = {</i. • • •> /ft. *i. • • м *г> I Cft)(Vft) • • ¦
• ¦ -i^gn){^w)T'h+na (z, /l7 . . ., fh, gu . . ., gn, Xi, . . ., xhw)}.
Пусть п не четно. Тогда для любого R ? 2^ (где R cz Jfk X Nl)
существует такое z, что
Z, Д, . . ,, fh,
gn,
i, W)}.
В обоих случаях такое z будет называться Ъ\-индексом отноше-
отношения R. Если дана произвольная ^.\-форма для R, то некоторый
1,п-индекс отношения R может быть найден равномерно (в смыс-
смысле теоремы 15-IV).
Аналогичное утверждение справедливо для Щ.
Доказательство. Непосредственно применим теорему
15-XVII и доказательство следствия III.a
Выберем некоторое отображение (кодирование) совокупности
всех конечных последовательностей чисел (включая пустую после-
последовательность) на множество N. Например, возьмем кодирование,
определяемое функцией т* из § 5.6. Введем следующее обозначе-
обозначение.
Определение.
т*«/@), /A), . . ., /(ж- 1)», если х >0;
0). = О, если х = 0.
Таким образом, f(x) есть кодовый номер конечного начального
сегмента функции / длины х. Назовем f(x) кодовым числом кортежа
длины х, определяемого функцией f г).
Наиболее полезная нормальная форма, отправляющаяся от ре-
рекурсивных отношений на числах (а не на функциях и числах),
может быть получена следующим образом.
х) В гл. 13 и 15 использовались другие обозначения таких кодовых чисел.
Настоящее обозначение обычно при рассмотрении аналитической иерархии
и будет использоваться всюду в гл. 16.
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 483
Определение. Для fc
, i = {{z, yu . . ., yh,
>0 и 1>0 определим
xu . . ., Xi) | существуют такие функции
что для всех i, I ^ i ^ к, yt = fi(w)
/1, . • •, /ft и число w,
и T'hti (z, /l5 . . ., fk, Xi, . . ., xh w), причем при вычислении Т'к>[
все вопросы относительно /l7 . . ., fk касаются значений аргументов,
меньших и>} 1).
Очевидно, что Т%, i — рекурсивное отношение, так как длина
любого кортежа эффективно находится по кодовому числу этого
кортежа. Следующий результат очевиден.
Теорема V (Клини) (другой вариант теоремы о нормальной фор-
форме). Пусть п > 0, R(cz Jfh Х^1)- отношение из Б^7 z — неко-
некоторый ^-индекс для R. Если п четно, то
Tt+n,i (z, h(w), . . ., 7ft(w), gi(w), ¦ ¦ ., gn{w), Xi, . . .,' xi)}.
Если п не четно, то
П П+n, г(г, h(u>), • ¦ •, Jh(w), ~gi(w), ¦ ¦ -, gn{w), xu . . ., xi)}.
Аналогично для Щ.
Доказательство. Непосредственно по определению.а
В качестве частного случая получаем
СлЕДСТИЕ V.
А ? Щ <=> CR)[R рекурсивно & R cz N2 & А =
= {х ] Df)(lw)R(f(w), x)}].
Доказательство. Возьмем R — {{у, х) | 71*, i (z, у, х)},
где z — некоторый IIJ-индекс отношения А.и
Алгоритм Тарского—Куратовского
Пусть F(pi, . . ., ph, ait . . ., at) — выражение логики пре-
предикатов, построенное из числовых переменных, переменных для
функций (одного переменного), символов отношений (на функци-
функциях и числах), пропозициональных связок, =, кванторов для чис-
числовых переменных и кванторов для функциональных переменных,
1) В обозначениях гл. 13 (и в случае /> 0), Th, i(z, ух, ¦ ¦ ., yk, х\, . . .
. . м Х1) <^> (Зи>)[ух, . . ., yk — кодовые числа для начальных сегментов
длины w функций fu . . ., fk и cp^l] [/*] (х±, . . ., xi) вычисляется на ш-м
шаге перечисления множества И/рB)]-
31*

484 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
имеющее р\, . . ., рк своими свободными переменными для функ-
функций и Й1, . . ., ai свободными числовыми переменными. Пусть
символы отношений интерпретируются некоторыми фиксирован-
фиксированными отношениями Si, . . ., Sm. Тогда отношение
R = {</ь • ¦ ¦, /ft, xi, . . ., xi) I F(pi, . . ., /?(,, au . . .,. аг)
истинно при подстановке /t, . . ., Х\
вместо р^, . . ., ai соответственно)
называется определимым в логике предикатов через отношения
Si, . . ., Sm. Назовем F(pu . . ., аг) определением отношения R через
, • ¦ \i "m-
Справедлив следующий аналог теоремы 14-1V.
Теорема VI. Если R a jFfe X Nl определимо в логике предика-
предикатов через рекурсивные отношения, то отношение R аналитично.
Доказательство. Аналогично теореме 14-1V.^
(Обращение теоремы VI также верно, согласно теореме I.)
Таким образом, можно, как и раньше, пользоваться алгорит-
алгоритмом Тарского — Куратовского, делая, однако, различие между
кванторами типа 0 и типа 1. Помимо правил преобразования
кванторов из теоремы III, для получения наиболее простой формы
данного отношения бывают цолезными и некоторые другие правила.
Теорема VII (Аддисон и Клини [1957]). Допустимы (в смысле
теоремы III) следующие преобразования префиксов:
(i) . . . Э1 -> . . . 3°,
(И) . . . V1-^. . . V0,
где в обоих случаях изменяемый квантор стоит последним в пре-
префиксе;
в обоих случаях при условии, что рекурсивное отношение данной
предикатной формы есть отношение между кодовым числом f(x)
и отличными от 'функции f объектами.
Доказательство, (i) Пусть исходная предикатная
форма есть . . . (lf)R(f, —). Тогда в силу Теоремы V мы имеем
такое фиксированное z, что предикатная форма
)Г*B, /И, • • •)
эквивалентна данной. Но она эквивалентна форме . . .Cy)Cw)[y—
кодовое число кортежа длины w & T*(z, у, ...)]. Склеивая одно-
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 485
именные числовые кванторы (по правилу (i) из теоремы III), полу-
получим желаемый результат. Доказательство в случае V1 аналогично,
(и) Если дана форма . . .(V/) Cz) Cg) ¦. . .R(—, f{x), —, x,
— i ?> —)' в которой нет вхождений функции /, отличных от явно
указанных, используем
{</, g, х, . . .> | R(-, f{x), -, х, -, Ыё«Ш, УЖ -)}•
Случай ... C/) (V.r) (Vg). • • разбирается аналогично (упр. 16-4).в
Пример 1. Определим W, как в упр. 11-61, т. е.
PF ^ {z | фг2> — характеристическая функция некоторого
вполне-упорядочения (^) на некотором множестве чисел}.
Тогда z 6 W <=> [<pz — характеристическая функция некоторого
линейного упорядочения (^), не содержащего бесконечных убы-
убывающих цепей] <=s> [cpz — характеристическая функция некото-
некоторого линейного упорядочения (^) и (V/)Cre)[/(rc + 1)='
= /(га)-или фг(/(и+1), /(/г)) = 0]] <=> V0 3° & V0 & V°V°V0 &
& V°V° & V^oa» (упр. 16-5) <^> V^0. Поэтому W 6 Щ.
Пример 2. Пусть О — множество определенных в § 11-7
обозначений конструктивных ординалов. В упр; 11-61 мы обнару-
обнаружили, что О = W. Поэтому и О 6 Щ»
Пример 3. Возвращаясь к примеру, рассмотренному при
доказательстве следствия III, видим, что отношение с префиксом
V°313°V1 содержится на самом деле в 2J, так как Э1^1 ->- 31V°
в силу теоремы VII.
Теорема об иерархии
Для простоты мы ограничимся далее рассмотрением главным
образом аналитических множеств натуральных чисел. Таким
образом, при рассмотрении аналитической иерархии мы выделяем
объекты, однотипные с теми, на которых в гл. 14 изучалась ариф-
арифметическая иерархия. Распространение нашей теории на отноше-
отношения в ^h\Nl, к > 0, аналогично расширенному варианту
арифметической иерархии, рассмотренному в § 15.2. Мы позже
рассмотрим это расширение в § 16.7—16.8 и в упр. 16-39—16-41.
Определение. Для ге">0 положим
Еп = {z
если п четно, и
Я" = {* | C/i)(V/2) •
если п не четно.
. C/n)(Vu>n

486 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Следующая теорема об иерархии аналогична следствию
14-VIII (с) для арифметической иерархии.
Теорема VIII (Клини). Если п > 0, то Еп 6 2^ — Щ (а пото-
потому Iя 6 Щ - 2*).
Доказательство. Пусть дано п > 0. Предположим,
что п четно. (Случай нечетного п рассматривается аналогично.)
Очевидно, _что Еп 6 2«- Допустим, что Еп ? Щ. Тогда по теоре-
теореме II (Ь) Е" 6 2J, и по теореме IV
Е* = {z | C/0 . . . (V/n)Cu0n, i(z0, /i, • • ., /„, z, w)} .
для некоторого z0. Но тогда
2„ 6 ?* <^> C/0 . . . (V/JCu;) Г;, ^zo, fu . . ., /„, z0, w) <=>
<^> z0 6 ?"
(по определению i?n) и получаем противоречие. Поэтому Еп 6
€ 2Ь - Щ и ГВ6Щ- 2^.и
Теорема о полноте
Множества Еп и ?"* обладают следующими свойствами полноты.
Теорема IX (Клини). Для всякого в>0и всякого множества А
А 6 2
4 € Щ
Доказательство. Предположим, что Л ^4 Еп. Тогда
А = {z | C/0 . . . T'nil(g(z), Л, . . ., /„, g(z), w)}
v
для некоторой общерекурсивной g. Поэтому А 6 2^.
Предположим обратное: пусть А 6 2J,. Тогда
A = {z 1C/0 • • • Tn,i(z0, /i, • . ., /„, z, w).
Для произвольного данного х положим
Ах = {у | у = у & C/0 • • • T'nii(z0, Л, . . ., /„, х, и>)}.
Тогда AX = N, если х 6 А, и Ах = 0, если х^ А. По теореме IV
Ах 6 2J, и 2 ^-индекс множества Лж может быть найден равномерно
по х. Пусть h — такая общерекурсивная функция, что h(x) есть
2^,-индекс множества Ах. Согласно определению Еп, х 6 А <=>
Ах = N <^> ОД 6 ?"• Поэтому Л <! Еп.я
Определение. Если п > 0 и Л ^ ?™, то А называется
полным, а А называется Пп-полным.
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 487
По теореме о нормальной форме существует только счетное
число аналитических множеств. Поэтому существуют неаналити-
неаналитические множества. Мы получим пример такого множества следую-
следующим образом.
Определение Е® = {{х, п) \ х 6 Еп).
Следствие IX. Множество Е® не аналитично.
Доказательство. Допустим, что Еа аналитично. Тогда
при некотором п по теореме IX Еш ^ Еп. Но очевидно, что
En+1 <t Еш. Поэтому En+1 <i E* в противоречие с теорема-
теоремами VIII и IX..
Множества Еп образуют строго возрастающую последователь-
последовательность Т-степеней неразрешимости, как явствует из следующих
теоремы и следствий. (Аг есть скачок множества А, как это опре-
определялось в § 13.1.)
Теорема X. При всяком п А 6 2^ fl п^ => А' 6 2J, |~1 Ш,.
Доказательство.
А' = {х \х 6 Wt) = {х | Cy)Cu){lv)[(x, у, и, v) 6 Wp(x) &
& {Мх)\х 6 Du => х 6 А] & {Vx)[x в Dv =Ф х $ А]]}.
Вставляя в последнее выражение 2^-форму вместо первого вхож-
вхождения символа А и Щ-форму вместо второго вхождения
символа А, получаем
3°Э°Э<> [3° & V0 [=* 2»] & V0 [=> ПУ1.
Применение к этой форме алгоритма Тарского — Куратовского
дает 2^,-форму. Подобным образом, подставляя Щ-форму вместо
первого вхождения символа А и 2^-форму вместо второго,
получим Щ-форму для А'. Поэтому А' 6 %п П П^.щ
Следствие'Х. (а) При всяком п В 6 2^ П П^ & А <т В =^>
=^ А 6 2|г П Щ.
(Ь) Ясли п > 0, то множество Еп*г имеет большую Т-степенъ,
чем Еп.
Доказательство, (а) Заметим, что А ^т В =^ А ^4 В''.
Доказываемое утверждение вытекает теперь из теоремы.
(Ь) Еп 6 2J.cz 2^+1 П П^+1. Поэтому, согласно теореме,
(ЕпУ 6 2Ui П Щ+1 с: 2^+1. Значит, по теореме IX (Еп)' <4

488 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Гиперарифметические множества
В арифметической иерархии выполняется важное равенство
(теорема 15-ХХП и следствие 15ГХХП). Как мы сейчас увидим,
в аналитической иерархии соответствующее утверждение не имеет
места.
Теорема XI. Существует такое множество А, что A f ZJ Г) Ш,
но A 4 2J.
Доказательство. Пусть А = V, а V определяется
так же, как в § 14.7, т. е. V есть множество всех истинных выска-
высказываний элементарйой арифметики. Так как множества из класса
^о — арифметические, а V арифметическим не является (см. доказа-
доказательство теоремы 15-ХИ), V (J 2J. С другой стороны, в силу тео-
теоремы 15-ХП (о неявной определимости множества V) существует
такое рекурсивное отношение R(cz Jf' X Щ, что Dy)Cz)R(X, у, z)
истинно тогда и только тогда, когда X = V. Поэтому, согласно
теореме 15-XXVI, существует такое, рекурсивное множество
?(<= HF X N2b что Dy)Cz)S(f, у, z) истинно тогда и только тогда,
когда / = cv. Поэтому для любого х
х е V о (Vfl[(V*/)Cz)S(/, у, z) =>¦ f(x) = 1] <*>
о C/)[(V*/)Cz)S(/, у, z) & f(x) = 1].
Но это означает, что V 6 П} и V 6 2J, т. е. V ? 21ПЩ.И
Следствие XI. Для всякого п существуют множества из Б*+1 f|
ПП^+1, не содержащиеся в совокупности 2^Щ.
Доказа.те ль с т в о. Случай п = О разобран в теореме XI.
Если же п > О, рассмотрим А = Еп @ Еп; тогда 4 ?2' ,П
ПП1^, но 4$2iUIU (см. упр. 16-7)..
Следующие общеупотребительные обозначения и терминология
будут использованы в дальнейшем.
Определение. Для всякого п положим Д^ = EJ,f| Щ. Отноше-
Отношения из Д? называют отношениями, представимыми в обеих фор-
формах с п функциональными кванторами.
Определение. Множество R называется гиперарифметическим,
если R 6 А\.
Итак, AJ(= 2J — nj) есть класс арифметических отношений,
a AJ(= 2J f] nj) есть класс гиперарифметических отношений.
Теорема XI показывает, что существуют гиперарифметические
множества, не являющиеся арифметическими.
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 489*
Переменные для множеств и кванторы по множествам
Мы могли бы определить аналитическую иерархию, отправля-
отправляясь от рекурсивных отношений в JfЛ X № (а не в JTfe X ЛГ')
и пользуясь переменными для множеств и кванторами по множе-
множествам вместо функциональных переменных и кванторов по функ-
функциям,, как это было сделадао выше. Если бы мы так поступили, та
получили бы те же самые отношения в JV' и ту же 2J,, Щ-классифи-
кацию этих отношений, что и раньше. Это следует из доказатель-
доказательства теорем 15-XXV и 15-XXVI (см. упр. 16-8). J
Правила преобразования кванторов по множествам несколько-
менее удобны, чем правила (содержащиеся в теоремах III и VII)
для кванторов по функциям. В частности, следствие III не имеет
места для кванторов по множествам (упр. 16-9). Зато справедливо
следующее: если п > 0, то всякое числовое множество из класса
1,п представило предикатной формой с кванторами по' множест-
множествам, префикс которой состоит из п + 2 чередующихся кванторов,
первые п из которых — кванторы по множествам, а последние-
два — по числам, причем первым стоит квантор существования;
аналогичное утверждение справедливо для класса Щ (упр. 16-10).
Более того, оказывается, что при исследовании аналитической:
иерархии кванторы по функциям имеют большее эвристическое
значение, чем кванторы по множествам. Правила преобразования
функциональных кванторов (из теорем III и VII) оказываются
чрезвычайно мощным орудием. Глубина и элегантность дальней-
дальнейших результатов этой главы во многом зависят от использования
этих правил. По этим причинам мы пользуемся в наших опреде-
определениях и нормальных формах функциональными кванторами.
Мы можем также определить некоторую иерархию, отправля-
отправляясь от рекурсивных отношений в J^^X^'X-^ (^> Ъ т~^Щ
и пользуясь одновременно кванторами по множествам и функциям
(а также, конечно, кванторами по числам). Если мы так поступим
и, приписав кванторам по множествам тип 1, будем считать их
неотличимыми от кванторов по функциям для целей классифика-
классификации префиксов (по классам Б„ и Щ), то при этом получатся те же
отношения в jfk X Nl, что и прежде, и классификация этих отно-
отношений по 2^, Щ будет той же самой. Это вытекает из доказа-
доказательств теорем 15-XXV и 15-XXVI. Но при этом также опреде-
определяются аналитические отношения в jfkX. Jipl X. Nm (к, I, m ^ 0)
и дается классификация этих отношений. Более того, та же клас-
классификация тех же отношений получится, если мы воспользуем-
воспользуемся только кванторами по функциям и числам (применительно
к нашим рекурсивным отношениям в jF^X^'X-^)' отказав~
шись от кванторов по множествам (упр. 16-8).
Подобным образом, мы можем определить арифметическую
иерархию на отношениях в ffh X JTl X Nm, ' отправляясь

490 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
от рекурсивных отношений в j^fe
кванторами по числам.
Примем на будущее следующее
пользуясь только
Соглашение об обозначениях. Арифметическая
иерархия. S° есть класс всех отношений в j?k X Ж1 X Nm
(к, I, m ;> 0), определимых через рекурсивные отношения с помо-
помощью Б „-префиксов.
U°n есть класс всех отношений в jrft X Jfl X Nm (к, I, т^> 0),
определимых через рекурсивные отношения с помощью П„-пре-
фиксов.
д ° у° п тт°
(Таким образом, класс 2? включает классы 2„, 2?s> и 2</п\ изу-
изучавшиеся в гл. 14 и 15. Мы не будем больше пользоваться верхни-
верхними индексами (s) и (in), введенными в гл. 15 для большей ясности.)
Аналитическая иерархия. Б^ есть класс всех
отношений в &rhXJrlXNm (к, h т > 0), определимых через
рекурсивные отношения с помощью S^-префиксов.
П), есть класс всех отношений в jrfe X Ж1 X Nm (к, I, т >. 0),
определимых через рекурсивные отношения с помощью Щ-пре-
фиксов.
A* = Si П Щ.
Как уже отмечалось, главным образом мы будем интересовать-
интересоваться аналитическими множествами натуральных чисел. Иногда мно-
множества из класса 2J, будут называться 2 ^-множествами. Анало-
Аналогично для классов Щ, А*, Б°, П°п и Д?.
Дальнейшее содержание этой главы
В § 16.2 мы докажем теорему о представлении для аналитиче-
аналитических множеств, аналогичную теореме о.представлении для арифме-
арифметических множеств, доказанной в § 14.4. В частности, мы расши-
расширим элементарную арифметику добавлением переменных и кван-
кванторов по неотрицательным действительным числам и покажем, что
множества натуральных чисел, определимые в этой обогащенной
системе (которую мы называем элементарным анализом), суть
в точности аналитические множества. По этой причине рассматри-
рассматриваемая в этой главе иерархия и называется аналитической.
В оставшейся части этой главы мы будем в основном иметь
дело с гиперарифметическими и Щ-множествами; теория этих
множеств связана с многими задачами и результатами в логике
и основаниях математики. В меньшей мере мы коснемся Ад-мно-
Ад-множеств. Этот класс в последнее время вызывал значительный инте-
интерес. Практически про все множества, определимые с помощью
§ 16.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 491
итерированных „конструктивных" процедур г), было показано,
что они лежат в А\2). Как уже отмечалось, возможности челове-
человеческого мозга в оперировании с объектами, которые задаются
предикатными формами с более чем одной переменой функциональ-
функциональных кванторов, весьма ограничены (см. обсуждение вслед за теоре-
теоремой 14-ХП в § 14.7). Более высокие уровни аналитической иерар-
иерархии не изучались так подробно, как А\ и более низкие классы.
Аналогии
Скажем теперь несколько слов об аналитической иерархии
классов функций (подклассов класса jF, определяемых предикат-
предикатными формами с одной свободной функциональной переменной
и без свободных числовых переменных). В § 15.2 мы обнаружили,
что арифметические классы функций аналогичны борелевским мно-
множествам конечного уровня в пространстве Бэра. В теоремах
15-Х XVII и 15-XXVIII мы обнаружили, что арифметические
классы и борелевские множества можно рассматривать с единой
точки зрения. Это общее основание для их рассмотрения было
распространено и на аналитическую иерархию (хотя мы здесь
и не описываем это расширение, см. Аддисон [1955]). При этом
обнаруживаются следующие аналогии: A) гиперарифметические
классы соответствуют борелевским множествам (конечного и бес-
бесконечного уровня); B) ^-классы соответствуют множествам,
известным в дескриптивной теории множеств как аналитические 3);
C) иерархия аналитических классов соответствует иерархии,
известной в дескриптивной теории множеств под названием
иерархии проективных множеств 4), 5).
В последнее время в исследованиях, посвященных этим парал-
параллелям, жирные символы 2^, П^ и А^ использовались для обозна-
х) Мы не будем пытаться сделать это понятие более точным.
2) Это свойство „поглощения" Д| (а также А\ и До) в некоторой степени
иллюстрируется приведенной выше теоремой X. _
3) Иногда их определяют как множества, получающиеся из борелевских
с помощью операции А; см. Куратовский [1950]. (Операция А есть „обоб-
„обобщенное проектирование", определяемое следующим образом. Если Г есть
к ласе подмножеств из &, a R — произвольное отношение в N X Sr i Для
которого при всяком х выполняется [g | R (x, g)} 6 Г, то класс {g \ C/)
(Vi) R(f(x), g)} называется полученным из Г „применением операции А".
Отношение R при этом иногда называют решетом.
4) Сначала была замечена аналогия между арифметической иерархией
теории рекурсивных функций и проективной иерархией дескриптивной теории
множеств. Аналогия между аналитической и проективной иерархиями пред-
представляется, однако, более естественной (см. Аддисон [1955]).
5) Следующие два предложения оригинала опущены, так как посвя-
посвящены несуществующему в русской литературе различию между терминами
„analitic" („аналитический" в дескриптивной теории множеств) и „analytical"
{„аналитический" в рекурсивной теории). — Прим. перев.

492 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
чения уровней „классической' проективной иерархии дескриптив-
дескриптивной теории множеств, а символы 2?, П? и А? (иногда 2„, П„
и А„) обозначали конечные уровни „классической" иерархии боре-
левских множеств.
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ;
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛОГИКЕ
Определим логическую систему, известную под названием
арифметики второго порядка с переменными для множеств.
Основными символами здесь служат символы элементарной ариф-
арифметики вместе с переменными для множеств и символом ?.
При построении формул разрешается пользоваться, помимо эле-
элементарных выражений и формул элементарной арифметики, эле-
элементарными выражениями вида а ? А, где а — переменная для
чисел, а А — переменная для множеств, а также, наряду с кван-
кванторами по числовым переменным, допускаются кванторы по пере-
переменным для множеств. Формулы, в которых все переменные (для
множеств и- чисел) связаны кванторами, называются высказыва-
высказываниями. Высказывания интерпретируются как утверждения
об обычных сложении и умножении натуральных чисел, причем
числовые переменные пробегают множество N, а переменные для
множеств — совокупность всех подмножеств множества N. Каж-
Каждое высказывание соответственно истинно или ложно. Например,
высказывание
(Vi)[[0 6 А & (Va)ia 6 А =Ф а + 1 ? А}] =? (Vo)[a 6 А]]
(выражающее принцип математической индукции на N) истинно.
Логическая ^ система, известная как арифметика второго
порядка с переменными для функций, определяется следующим
образом. Основные символы ее суть символы элементарной ариф-
арифметики, а также переменные для функций одного переменного.
Формулы строятся так же, как в элементарной арифметике, но
с использованием переменных для функций одного переменного
в качестве дополнительных символов операторов и навешиванием
кванторов как по числовым переменным, так и по функциональным
переменным. (Допускается, конечно, суперпозиция функциональ-
функциональных переменных.) Формулы, в которых все переменные (как чис-
числовые, так и функциональные) связаны кванторами, называются
высказываниями. Высказывания интерпретируются как утвержде-
утверждения об обычных сложении и умножении натуральных чисел,
причем числовые переменные пробегают множество N, а функ-
функциональные — совокупность всех всюду определенных функций
из N в N. Всякое высказывание истинно или ложно. Например,
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 493
высказывание
<Vp)[[p@) = 1] & (Va)[p(a) = 1 => р(а + 1) = 1]] =*
=Ф (Vfl)[p(o) = 111
{также выражающее принцип математической индукции на N)
истинно.
Следующая теорема вытекает непосредственно из предыдущих
результатов.
Теорема XII. Множество А аполитично <?=> А определимо
в арифметике второго порядка с переменными для множеств <=> А
определимо в арифметике ¦второго порядка с переменными для
функций.
Доказательство. Утверждение непосредственно выте-
вытекает из определения аналитического множества., упр. 15-19 (см.
теоремы 15-XXV и 15-XXVI) и из доказанных в § 15.1 и 15.2 тео-
теорем о представлении (теоремы 15-VI (Ь) и 15-XIX (Ь)) г).Л
Далее под арифметикой второго порядка мы будем понимать
арифметику второго порядка с функциональными переменными.
Иногда в литературе арифметику второго порядка называют
теорией чисел второго порядка.
Определим теперь логическую систему, известную под назва-
названием элементарного анализа. Ее основными символами служат
символы элементарной арифметики вместе с переменными для
.действительных чисел („действительными переменными"), отлич-
отличными от переменных для натуральных чисел. Обозначим бук-
буквами т), т)!, т]2, тK, ¦ • • переменные для действительных чисел.
При построении формул разрешается навешивать кванторы как
по действительным, так и по целочисленным переменным. Фор-
Формулы, в которых все переменные связаны кванторами, называются
высказываниями. Высказывания интерпретируются как утвержде-
утверждения об обычных сложении и умножении неотрицательных действи-'
тельных чисел, причем целочисленные переменные пробегают
-совокупность всех неотрицательных целых чисел, а действитель-
действительные переменные — совокупность всех неотрицательных действи-
действительных чисел. Каждое высказывание считается или истинным,
или ложным. Например, (\/а)(Зт])[т] Xr]=a] — истинное выска-
г) Отметим, что теорема XII остается верной, если в арифметике второго
порядка с переменными для множеств разрешить также пользоваться сим-
символами ^-местных отношений в N и кванторами по этим переменным или
в арифметике второго порядка с переменными для функций разрешить поль-
пользоваться символами функций нескольких переменных и кванторами по этим ¦
новым переменным; действительно, рекурсивная функция т пересчета пар
представима в элементарной арифметике и с ее помощью символы отношений
(или функций нескольких переменных) можно заменить символами множеств
>(или функций одного переменного).

494 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
зывание (означающее, что из каждого неотрицательного целого
числа можно извлечь неотрицательный действительный квадрат-
квадратный корень).
Назовем множество А определимым в элементарном анализе^
если существует такая формула Fa элементарного анализа с един-
единственной свободной (целочисленной) переменной а, что А =
= {х | Fx истинно}, где Fx для любого целого х означает выска-
высказывание, получающееся подстановкой нумерала для х в Fa вме-
вместо переменной а. Мы получаем следующую теорему о представ-
представлении.
Теорема XIII. А аналитично <=> А определимо в элементар-
элементарном анализе.
Доказательство. Рассмотрим следующие пять логи-
логических систем.
51 — элементарная арифметика с переменными для неотри-
неотрицательных действительных чисел (т), т|±, т]2, . . .), т. е. элементар-
элементарный анализ.
52 — элементарная арифметика с переменными для неотрица-
неотрицательных рациональных чисел (г, г4, г2, . . .) и переменными для
неотрицательных иррациональных чисел (?, ?,i, t,2, • • ¦)•
53 — элементарная арифметика с переменными для неотрица-
неотрицательных иррациональных чисел (?, ?4, t,2, . . .).
54 — элементарная арифметика с функциональными перемен-
переменными (р, ри р2, . . .), в которой, однако, не разрешается строить
суперпозиции из функциональных переменных.
Sb— элементарная арифметика с функциональными перемен-
переменными (р, pi, pz, . . .), в которой разрешено построение суперпози-
суперпозиций, т. е. арифметика второго порядка.
(Более детальные определения систем S2, Ss и 54 формули-
формулируются так же,чкак приведенные выше определения систем Si и 55.)
Мы покажем, что каково бы ни было множество А, [А определи-
определимо в SJ <=?> [А определимо в S2] <^> [А определимо в S3] <=>
<=?> [А определимо в St] <=> [А определимо в Sb]. Искомый
результат следует тогда из теоремы XII.
Для каждой пары соседних систем покажем, как формулы
со свободными числовыми переменными одной системы можно»
перевести в эквивалентные (относительно интерпретации) формулы
другой системы, также со свободными числовыми переменными.
(Формулой со свободными числовыми переменными мы называем
формулу, все свободные переменные которой — числовые. В част-
частности, высказывания являются формулами со свободными число-
числовыми переменными.) В каждом случае мы вкратце опишем метод
перевода. В первых шести случаях (т. е. при рассмотрении первых
трех эквивалентностей) предположим, что рассматриваемое выра-
выражение представлено в предваренной форме и затем все кванторы
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 495
общности (V) заменяются кванторами существования и отрица-
отрицаниями, т. е. V превращается в ~]ЗП; затем опишем индуктивную
процедуру для манипуляций с самым правым квантором сущест-
существования по переменной, которая должна быть элиминирована.^
(На промежуточных этапах мы будем оперировать со „смешанны-'
ми" выражениями, содержащими символы обеих систем.) Доказа-
Доказательство эквивалентности данного выражения и его перевода
отнесено в упр. 16-11.
A) St -> Sz:
Ct])M(ti) -v (lr)M(r) V. ШМ(О.
S2 —*¦ Si.
CQM(Q ->. Ct])[M(t]) & (Va)(Vb)[b Ф 0 =» а Ф b x tj]],
Cr)M(r) -v (li\)[M(n) & (ia)Cb)[b фО.&а = ЬХ т)]].
B)
Ss:
Cr)M(r) -> (За)(ЭЬ)[Ь Ф 0 & M(a/b)],
где M(a/b) — формула, полученная из М(г) подстановкой терма
alb вместо г с последующим избавлением от дробей по обычным
правилам элементарной алгебры в каждой элементарной подфор-
подформуле (т. е. равенстве).
S3 ->- S2: тривиально.
C) Сопоставим каждой функции / неотрицательное иррацио-
иррациональное число а следующим образом: [а] (целая часть а) есть /@),
а а — [а] разлагается в непрерывную дробь /A) + 1, /B)+ 1, ...
(см. упр. 15-13). (Последовательные приближения числа а, зада-
задаваемые последовательными начальными сегментами функции /,
мы называем приближениями непрерывной дроби, задаваемой
функцией /.) Таким образом, мы получаем взаимно однозначное
соответствие между J^ и совокупностью всех неотрицательных
иррациональных чисел.
S —*¦ S '
C?)М(?) _v (Зр)М'(р),
где М'(р) получается из М(?,) с помощью следующих преобразова-
преобразований каждой элементарной подформулы (т. е. равенства) формулы
М (?). Пусть R{p, a, b, с) — формула системы S^, определяющая
(по теореме 15-XIX) рекурсивное отношение {(/, х, у, z) \xly есть
z-e приближение непрерывной дроби, задаваемой /}. Пусть Ei(t) =
= -^гШ — элементарная подформула формулы M(t). Заменим
ед=ад на
(Yd) [d ф 0 =» (Vc1)Cc2)Cc)[c = Cl + с2 & (За)(ЗЬ)[д(р, а, Ъ,с) &

496 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
где ^i(-f-) и ^(-т-) получены формальной подстановкой терма
-j вместо ?,. Затем воспользуемся правилами элементарной алгебры,
чтобы избавиться от дробей и исключить символ „—" (с помощью
простейших преобразований).
S —>¦ S•
C?)М"(?)
где М"(?,) получается с помощью следующих преобразований эле-
элементарных подформул. Пусть S{t,, a, b) утверждает, что если
b = 0, то а = [?], а если Ъ > 0, то а + 1 есть b-й член разложе-
разложения в непрерывную дробь числа Z, — [?]. Отправляясь от арифме-
арифметического представления рекурсивных отношений (теорема 14-VI)
и определений из упр. 15-13, легко показать, что S (?, а, Ь) может
быть задано формулой системы S3 (упр. 16-12). Пусть
E(p{ti), . . ., p{th)) — некоторая элементарная подформула фор-
формулы М{р) с указанными к вхождениями переменной р (ti, . . .
. . ., ?fe — термы). Заменим E{p(ti), . . ., p{tk)) на
Cat) . . . (Зак)[Е{аъ . . ., ak) & S (?, аи tx) & . . , & S (?, ah, tk)}
(где указаны подстановки в S и Е).
D) 54-> Sb: тривиально.
Sb —*- S^. суперпозиции функциональных переменных в эле-
элементарных подформулах элиминируются так же, как в следующем
примере:
Р(РМ) + р(Ь)) = с -*- Cat) (SbOIflt = pi(e) & bi = р(Ь) &
В случае более сложных суперпозиций эта процедура последо-
последовательно выполняется нужное число раз, начиная с самых внеш-
внешних вхождений функциональных переменных г).
Этим завершается доказательство.и.
Пусть даны некоторое фиксированное кодирование (отобра-
(отображение) высказываний элементарного анализа на N, а также фикси-
фиксированное кодирование высказываний арифметики второго порядка
на N.
Следствие XIII (а). Множество истинных высказываний элемен-
элементарного анализа рекурсивно изоморфно множеству истинных
высказываний арифметики второго порядка.
х) Эта процедура, соединенная с процедурой замены функциональных
символов символами отношений, известна в логике как метод элиминирования
описаний.
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 497
Доказательство. Переводы, описанные в доказатель-
доказательстве теоремы, очевидно, отображают истинные высказывания
в истинные, а ложные — в ложные. Отсюда* следует, что множество
истинных высказываний каждой системы 1-сводимо к множеству
истинных высказываний другой системых). Отсюда по теоре-
теореме 7-VI вытекает их рекурсивный изоморфизм.в
Определение. Рассмотрим некоторое высказывание арифмети-
арифметики второго порядка, заданное в предваренной форме. Назовем это
высказывание ^^-высказыванием, если его префикс есть 2^-пре-
2^-префикс в смысле § 16.1. Аналогично для Щ.
Рассмотрим высказывание элементарного анализа, заданное
в предваренной форме. Назовем его ~2,1п-высказыванием, если его
префикс есть 2^-префикс в смысле § 16.1, если при этом кванторы
по переменным для действительных чисел считать кванторами
типа 1, а кванторы по переменным для натуральных чисел —
кванторами типа 0. Аналогично для Щ.
Следствие XIII (Ь). Существует рекурсивная перестановка,
отображающая истинные высказывания элементарного анализа
на истинные высказывания арифметики второго порядка, которая
также при всяком п отображает ^^-высказывания элементарного
анализа па Ъ^-высказывания арифметики второго порядка, а П«-
высказывания элементарного анализа — на Т1\-вшказывания ариф-
арифметики второго порядка.
Доказательство. Легко проверяется, что Б?,-выска-
зывания переводятся в доказательстве теоремы в высказывания,
которые при приведении к предваренной форме становятся ~2,\-
высказываниями. Изменения в процессе перевода, связанные
с конструкцией из теоремы 7-VI, приводят к требуемому резуль-
результату (упр. 16-13). ш
Дальнейшие результаты этого параграфа формулируются для
элементарного анализа. Как видно из теоремы XIII и след-
следствия XIII (Ь), эти результаты верны mutatis mutandis и для ариф-
арифметики второго порядка. Такая „эквивалентность" элементарного
анализа и арифметики второго порядка, описанная в теореме XIII
и ее следствиях, будет широко использоваться в доказатель-
доказательствах а).
J) Автор, конечно, предполагает, что данные кодирования обладают
обычными свойствами эффективности (см. § 1.10), благодаря которым эффек-
эффективные (в нестрогом смысле) правила перевода порождают рекурсивные сво-
сводящие функции.— Прим. перев. *
2) Мы не будем касаться вопроса о формальной выводимости в этих
системах (исключая подсистемы некоторой стандартной теории множеств,
см. ниже). Если рассмотреть в арифметике второго порядка подходящий
вариант аксиом Пеано вместе с аксиомами свертывания (все акеиомыЗ вира
32—0506

498 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Отметим, между прочим, что если мы возьмем элементарную-
арифметику и заменим переменные для натуральных чисел пере-
переменными для действительных чисел, то мы получим намного более-
слабую систему, чем элементарный анализ; в самом деле, эта новая
система (называемая нами элементарной теорией действительные
чисел) разрешима (как отмечалось в § 2.2.) Отсюда в силу неразре-
неразрешимости элементарной арифметики, а потому и систем S5 и S±
следует, что множество N не может быть определено в элементар-
элементарной теории действительных чисел. Ниже мы увидим, что множе-
множество истинных высказываний элементарного анализа не является
даже аналитическим.
В связи с теоремой XII отметим, что описанное в теоре-
теореме 15-ХП явление не может встретиться для аналитических мно-
множеств чисел. Если некоторое множество неявно определимо, то»
оно и явно определимо с помощью конструкции, использован-
использованной при доказательстве теоремы XI (упр. 16-14).
Приложения к логике]
Определение. Обозначим через V* множество истинных выска-
высказываний элементарного анализа (при некотором фиксированном
кодировании высказываний элементарного анализа натуральными;
числами).
Множество F* не является аналитическим. Действительно,,
справедлив следующий аналог теоремы 14-Х.
Теорема XIV. V* = Е<*.
Доказательство. Сначала аналогичный результат
доказывается для арифметики второго порядка, а затем приме-
применяется следствие XIII. Доказательство проводится так же, как
и в теореме 14-Х (упр. 16-15). а
(V.. .)Cp)(Va)[p(a) = 0<=> S], где S—произвольная формула, не содержа-
содержащая р в качестве свободной переменной, а (V. . .) обозначает кванторы общно-
общности по всем свободным в формуле S переменным, отличным от а) и если в эле-
элементарном анализе взяты аналоги этих аксиом, то при этих аксиоматизациях
переводы из теоремы XIII (а потому и рекурсивная перестановка из следствие
XIII (Ь)) сохраняют выводимость в исчислении предикатов. Выражения
„арифметика второго порядка" и „теория чисел второго порядка" иногда
используются в литературе для обозначения совокупности высказываний
элементарной арифметики, выводимых из таких аксиом (эта совокупность —
одна и та же для обеих систем). Мы, конечно, пользуемся термином „арифме-
„арифметика второго порядка" как названием логической системы, именуемой 55в до-
доказательстве теоремы XIII. Более того, мы рассматриваем также высказыва-
высказывания, содержащие переменные для функций (наряду с высказываниями эле-
элементарной арифметики), и занимаемся истинными высказываниями, а не вы-
выводимыми из некоторой системы аксиом.
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 499
Определение. Обозначим через F* множество всех истинных
Б^-высказываний элементарного анализа. (В частности, Vt =
Следствие XIV. V* = Еп при всяком п > 0..
Доказательство. В первой части доказательства тео-
теоремы (подобно доказательству теоремы 14-Х) применение правил
преобразования кванторов из теоремы III непосредственно приво-
приводит к тому, что для любого числа (х, п} существует соответствую-
соответствующее Б^-высказывание, истинное тогда и только тогда, когда х ? Еп.
Отсюда следует, что Еп ^4 F*. Во второй части доказатель-
доказательства устанавливается, что F* ^i Еп. Поэтому F? == Еп (см. упр.
16-16).и
Следствие XIV сильнее соответствующего результата для ариф-
арифметической иерархии (следствия 14-Х). Поэтому аналоги теорем
14-XI, 14-XII и 14-ХШ могут быть доказаны проще (а для тео-
теоремы 14-XI и в более сильной форме). Мы даем лишь формули-
формулировки, оставляя доказательства в качестве упражнений. Эти
результаты относятся к дальнейшему обобщению теоремы Гёделя
о неполноте. Используемая нами ниже терминология введена
в § 14.7.
Теорема XV. Пусть дана некоторая семантически непротиворе-
непротиворечивая аксиоматизация элементарного анализа. Тогда для всякого
п существует такое ^^-высказывание Fn, что ни для какого т < п
не существует ^^-высказывания, эквивалентность которого выска-
высказыванию Fn была бы доказуема. Существует равномерная процедура,
дающая по каждому п соответствующее Fn.
Доказательство. См. упр: 16-17.я
Следствие XV. Пусть даны некоторая семантически непроти-
непротиворечивая аксиоматизация элементарного анализа и некоторое
множество А истинных высказываний, А ? Б?. Тогда существует
истинное ^^-высказывание, не выводимое (при данной аксиомати-
аксиоматизации) из множества А.
Доказательство. См. упр. 16-17.в
Возьмем теперь, как и прежде, систему аксиом ZF теории мно-
множеств. Высказывания элементарного анализа могут быть отожде-
отождествлены с некоторыми высказываниями теории множеств. Назовем
совокупность всех высказываний элементарного анализа, соответ-
соответствующих при этом вложении доказуемым высказываниям теории
х) Эти множества различны, так как V определено для кодирования
высказываний элементарной арифметики натуральными числами, a FJ —
для кодирования высказываний элементарного анализа.
32*

500 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
множеств, теоретико-множественным анализом х). Семантическая
непротиворечивость теоретико-множественного анализа может
быть выражена внутри теории множеств, так как в теории мно-
множеств определимо множество Еа.
Определение. Высказывание теории множеств называется ана-
аналитически выразимым, если в ZF может быть доказана его экви-
эквивалентность ^некоторому высказыванию элементарного анализа.
Определение. Обозначим |через 2^>ZF множество всех выска-
высказываний теории множеств, эквивалентность которых Е?-высказы-
ваниям элементарного анализа доказуема в ZF. (Так что в обоз-
начениях гл.
тт1, ZF
14 2o'ZJ?= U 2?F.) Аналогично определяются
n=0
Используя фиктивные кванторы, получаем, что для всех п
v,i,Zi?. .ttI, ZF yl, Z1
^ UAl cr^i
Приходим теперь к следующему аналогу теоремы 14-ХП.
Теорема XVI. Если теоретико-множественный анализ семан-
тически непротиворечив, то при [всяком п в ^n+i — Wn+i
(а потому и в Un+Y — ^n'+f) существуют^ высказывания тео-
теории множеств.
Доказательство непосредственно следует из теоре-
теоремы VIII и следствия XIV.B
В теореме 14-XIII мы построили (в предположении, что систе-
система ZF непротиворечива) не выразимое арифметически высказы-
высказывание теории множеств. Так как множество V аналитично,
легко показать, что конкретное высказывание, указанное в том
доказательстве, аналитически выразимо. Однако, используя тот же
метод доказательства, мы можем получить следующий результат.
Теорема XVII. Если система аксиом ZF теории множеств
непротиворечива, то существует не выразимое аналитически
высказывание теории множеств.
Доказательство. См. упр. 16-18.а
Неполнота анализа относительно любой аналитической аксио-
аксиоматизации (следствие XV выше) представляет особый интерес
х) Мы применяем эту терминологию для краткости. Более точным назва-
названием, допускающим меньше разночтений,'было бы „теоретико-множественный
элементарный анализ" или „теоретико-множественная арифметика второго
порядка". Наше сокращение неоправданно общо; в элементарном анализе,
как мы его определили, нельзя, например, говорить о множествах действи-
действительных чисел.
§ 16.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ^ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 501
ввиду чрезвычайно неконструктивной природы аналитических
множеств более высоких уровней, чем Д? (см. замечания о Д*
в § 16.1).
Из результатов об элементарном анализе получаются резуль-
результаты, касающиеся чистой логики. Если мы будем интерпретиро-
интерпретировать „+" и „ X " как не имеющие жесткой интерпретации символы,.
а „0"и „1" как не имеющие жесткой интерпретации символы чисел,
все остальные нумералы п будем представлять как(. . .(A +l)-j-'
+ 1 . . .+ 1) (п раз) и примем при этом семантические согла-
соглашения чистой логики второго порядка (т. е. будем считать, что для
всякой непустой области 3), которую пробегают числовыеАпере-
менные, функциональные переменные пробегают совокупность
всех отображений области 3> в 3>), то можно указать такую
формулу Р, что для любого высказывания F арифметики вто-
второго порядка [Р =Ф F] есть универсально истинная (общезна-
(общезначимая) формула логики второго порядка' тогда и только тогда,
когда F — истинное высказывание арифметики второго' порядка.
(Достаточно взять в качестве Р конъюнкцию подходящих вариантов
аксиом Пеано; эта конъюнкция может быть сделана конечной,
потому что принцип индукции, приведенный в начале этого
параграфа (как пример высказывания арифметики второго порядка)
теперь допустим.) Теорема о неполноте чистой логики второго
порядка вытекает теперь из теоремы XV. В действительности
мы получаем даже, что множество всех истинных высказываний
чистой логики второго порядка не является аналитическим *).
Если мы откажемся от семантических соглашений логики вто-
второго порядка и вместо этого разрешим модели! (т. е. семантической
интерпретации) содержать (i) произвольную) непустую совокуп-
совокупность объектов 3), которую пробегают числовые переменные,
и (И) произвольную^ непустую совокупность 3>' отображений
из 3) в 3J, пробегаемую | функциональными переменными2), то
окажется возможным получить интерпретации, в которых все
истинные высказывания арифметики второго порядка выполняют-
выполняются, но 3) ж[3)' оказываются'счетными множествами. Такие интер-
интерпретации называются счетными моделями (для истинных выска-
высказываний арифметики второго порядка). (При| построении всякой
такой модели задается некоторое сопоставление символам „+"
и „X" некоторых отображений из 3) X ~$ в & и сопоставление
символам „0" и „1" некоторых элементов совокупности 3). Как
х) Чистая логика второго порядка определяется и рассматривается
у Чёрча [1956, гл. 5]. jr
а) Это означает (в действительности), что мы принимаем семантические
соглашения логики (предикатов) первого порядка и интерпретируем выска-
высказывания арифметики второго порядка как высказывания двусортной
системы первого порядка.

502
ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
и раньше, мы представляем нумерал п (и>1) как (. . .(A + 1) +
+ 1) + . . . + 1) (п раз).)
Интерпретация, в которой выполняются все истинные выска-
высказывания арифметики второго порядка и в которой 3) есть множе-
множество N, а „0", „1", „+" и „ х " интерпретируются обычным обра-
образом, называется а-моделъю (для истинных высказываний арифме-
арифметики второго порядка). В упр. 16-20 мы обнаружим существование
счетных со-моделей для истинных высказываний арифметики вто-
второго порядка.
§ 16.3. ДЕРЕВЬЯ С КОНЕЧНЫМИ ПУТЯМИ1)
Функциональное дерево J* было определено в упр. 9-42 и рас-
рассматривалось потом в § 15.2 при изучении открыто-замкнутых
классов. В этих рассмотрениях использовались также понятия
поддерева, ветви, подветви и дерева с конечными путями. Деревья
с конечными путями будут играть важную роль в нашем исследо-
исследовании аналитической иерархии.
Напомним, что функциональное дерево J* есть совокупность
всех кортежей натуральных чисел, упорядоченная отношением
„быть начальным отрезком кортежа". Далее (в отличие от преды-
предыдущего) мы будем трактовать это отношение как ^-, т. е.
а^> Ь <=^> а есть начальный отрезок кортежа Ъ <=?> а „выше"
Ь <=> Ъ „ниже" а. (Таким образом, мы представляем себе дерево
„растущим вниз".)
В дальнейшем, говоря о деревьях, мы подразумеваем поддере-
поддеревья дерева J*. Образующие его кортежи называются элементами
или вершинами. Всякое непустое дерево имеет 0, пустой кортеж,
своей наибольшей вершиной. Если у дерева есть минимальные
вершины, то иногда мы называем их заключительными вершинами.
Проиллюстрируем нашу терминологию следующими приме-
примерами. >¦
Пусть А\ состоит из всех кортежей натуральных чисел.
Пусть А% состоит из 0 (пустого кортежа) и всех кортежей,
построенных из нулей, т. е. Аг= {0, @), {0, 0), @, 0, 0), . . .}.
Пусть А г состоит из 0, <0>, <0, 0) и <0, 0, 0).
Пусть Лц состоит из 0, @, 0) и @, 0, 0).
Пусть Аь состоит из 0 и всех кортежей вида (п, ге -(- 1, ...
. . ., т), 0 ^ п, п ^ то ^ 2п.
Пусть Ав имеет 0 своим единственным элементом.
Пусть Ai пусто.
Деревьями здесь будут Аи Аг,Аг, Аь, Аа и Jk4; Ai—ъъ дерево,
так как в нем отсутствует вершина @). Ai есть дерево J*. Каж-
х) В оставшихся параграфах этой главы временами предполагается неко-
некоторое знакомство с понятием конструктивного ординала и с системой обозна-
обозначений О (§ 11.7 и 11.8).
§ 16.3. ДЕРЕВЬЯ С КОНЕЧНЫМИ ПУТЯМИ
503
дое дерево есть поддерево самого себя. Далее, Аг, Аъ, Аь, Аъ и Ai
являются поддеревьями дерева А\\ <&$, А§ и An — поддеревья
дерева А г, Ао и A-j — поддеревья дерева Аь\ наконец. Ач —
поддерево дерева Аъ- А\ имеет 2Хо бесконечных ветвей — по одной
ветви на каждую бесконечную последовательность натураль-
натуральных чисел (т. е. по одной ветви на каждый элемент совокуп-
совокупности jf). Дерево Аг имеет единственную бесконечную ветвь,
•соответствующую функции Ха;[О]. Дерево Аъ имеет единственную
ветвь, которая конечна и является подветвью ветви дерева А г-
Дерево Аь имеет х0 ветвей, причем все они конечны. У Аъ —
только одна ветвь; эта ветвь является подветвью всех ветвей дере-
деревьев Аи Аъ, Аъ-i -Лъ и Аъ- Дерево Ai имеет единственную ветвь;
эта ветвь, пуста и является подветвью всех ветвей всех деревьев.
¦Аъ-i Аь, Аь и As-i — деревья с конечными путями; Ai и А% не
являются таковыми.
Обозначения. Деревья будут обозначаться буквами т, т0, т4, ... .
Бсюду ниже из контекста будет ясно, обозначает символ „т" дере-
дерево или функцию пересчета пар из § 5.3.
Для кодирования вершин мы будем пользоваться кодовыми
числами соответствующих кортежей. Именно, для любых / и х
кодовым числом (х + 1)-й вершины, принадлежащей ветви функ-
функционального дерева, определяемой функцией /, будет служить
f(x). В частности, /@) есть код наибольшей вершины 0. (Напом-
(Напомним, что для всех / имеем /@) =0.)- Для различных целей мы
будем отождествлять вершины с кодовыми числами кортежей,
а деревья — с некоторыми множествами кодовых чисел. Заметим,
что дерево т является деревом с конечными путями тогда и только
тогда, когда (V/)C.r) [вершина (закодированная посредством)
f{x) не принадлежит т].
Ординальные числа могут быть использованы для классифика-
классификации деревьев с конечными путями. Пусть дано дерево т с конеч-
конечными путями. Если т не пусто, определим на вершинах т функцию
ot, значениями которой будут ординальные числа, следующим
образом.
Если а — минимальная вершина дерева т, то положим ох (а) —
= 1.
Если а не минимальна в т, то ot (a) = наименьшей ординал,
больший всех ординалов в множестве {ot(b) | Ъ 6-5?}, где 38 =
= {Ь | Ъ расположена ниже а в т}.
Легко показать (пользуясь конечностью путей в т), что это
индуктивное определение задает единственную функцию на дере-
дереве т. Ординал, сопоставленный функцией ot наибольшему элемен-
элементу т, называется ординалом дерева т и обозначается о(т). Если т
лусто, мы полагаем его ординал равным 0. Заметим, что если

504 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
т4 d т2, то o(tj) ^ о(т2). В приведенных выше примерах о(^#3) =
= 4, о(^5) = ш, оЦ6)=1 и oU7)=01).
Какие ординалы таким способом сопоставляются деревьям?
Заметим сначала, что для фиксированного дерева т с конечными
путями любой ненулевой ординал, меньший о(т), появляется как
значение функции ot (упр. 16-23). Поэтому, так как множество
вершин дерева т не более чем счетно, о(т) должен быть счетным
ординалом. Обратно, всякий счетный ординал является ординалом
некоторого дерева с конечными путями. Чтобы доказать это, допу-
допустим, что а — некоторый счетный ординал. Для каждого предель-
предельного порядкового числа Р, Р ^ а, выберем некоторую фиксиро-
фиксированную фундаментальную последовательность, имеющую Р своим
пределом. Сопоставим ординалы вершинам функционального,
дерева следующим образом. Если а Ф 0, сопоставим а наибольшей
вершине функционального дерева. Пусть ординал у сопоставлен
некоторой вершине а. Если -у = Р + 1 и Р ?= 0> поставим Р
в соответствие каждой из (бесконечно многих) вершин, лежащих
непосредственно ниже вершины а. Если же у — предельный
ординал, мы сопоставляем ненулевые элементы выбранной ранее
для у фундаментальной последовательности порядковых чисел
элементам (бесконечной) последовательности вершин, лежащих
непосредственно ниже а. Рассмотрим те вершины, которым опи-
описанной индуктивной процедурой сопоставлены некоторые орди-
ординалы. Легко видеть, что они образуют дерево т с конечными путя-
путями, причем о(т) = а (упр. 16-24). Итак, доказана следующая
Теорема XVIII. (а) Для каждого дерева х с конечными путями
существует такой счетный ординал а, что о(т) = а.
(Ь) Для каждого счетного ординала а существует такое дерево
т с конечными путями, что о(т) = а,
Д о к а з ачт е л ь с т в о. См. приведенное выше рассужде-
рассуждение а).и
Для деревьев с конечными путями можно естественным обра-
образом определить операции сложения и умножения. Мы дадим эти
определения неформально. Пусть т( и т2 — деревья с конечными
путями. A) Дерево т4 + т2 — по определению дерево с конечными
*) Для некоторых целей (при трактовке понятия дерева с конечными,
путями как обобщения понятия ординального числа) было бы удобнее огра-
ограничиться рассмотрением непустых деревьев и определять ох, полагая от (а) =
= 0 на минимальных вершинах а. Мы не делаем этого, потому что хотим
включить пустое дерево в число деревьев с конечными путями.
2) Деревья с конечными путями позволяют наглядно представлять себе
ординалы. В частности, иногда легче представлять себе такие ординалы, как
со, юш и е0, и работать с ними С помощью деревьев с конечными путями, а не-
с помощью полных упорядочений.
§ 16.3. ДЕРЕВЬЯ С КОНЕЧНЫМИ ПУТЯМИ 505-
путями, получающееся „присоединением к каждому заключитель-
заключительному элементу дерева т2 копии дерева т4. B) Дерево т4 »т2 —
по определению дерево с конечными путями, получающееся в ре-
результате „вставки" по одному экземпляру дерева %i в каждую вер-
вершину дерева т2. Эти операции согласуются с обычными операция-
операциями сложения и умножения для ординалов: о(т4 + т2) =
= o(ti) + о(т2) и o(ti-t2) = o(Ti)-o(T2) (упр. 16-25).
Определение. Пусть даны натуральное число п и кодовое чис-
число у кортежа (г/15 . . ., yky. Тогда п ® у есть по определению
кодовое число кортежа (п, уи . . ., yh) x).
Определение. Пусть т — некоторое дерево; п-м отростком
дерева т назовем дерево, состоящее из всех таких кодовых чисел у,
что п ® у принадлежит дереву т. (В примерах из начала этого
параграфа всякий отросток дерева S\ есть само Ди' все отростки
Jk-i, кроме 0-го, который есть само ^2, пусты; всякий отросток Д3г
кроме 0-го, который есть {0, @), @, 0)}, пуст; все отростки Д$
и Jl-j пусты.)
Для некоторых видов индуктивных рассуждений полезно уметь
сводить вопросы о свойствах деревьев с конечными путями к воп-
вопросам об их отростках. В следующей комбинаторной лемме мы
показываем, как можно сравнивать ординальные размеры деревьев
с конечными путями с помощью подходящего сравнения орди-
ординальных размеров их отростков.
Основная лемма о деревьях. Пусть
с конечными путями. Тогда
о(т4) < о(т2)
и т2 — деревья
[[о(т4) = 0 & о(т2) = 1] у'C отросток о2 дерева
т2) (V отросток o"t дерева t^tofai) < о(сг2)]] <=>
<=> 1о(т2) Ф 0 & [о(т4) = 0 V C отросток о2 дере-
дерева т2) (V отросток а4 дерева х±) lo(o"i) < o(o)]]K
Доказательство: См, упр. 16-26.и
Всякое дерево можно рассматривать как совокупность кодовых
чисел кортежей. Характеристическая функция этого множества
кодовых чисел называется характеристической функцией данного
дерева.
Определение. Пусть т — дерево. Назовем т рекурсивным дере-
деревом, если его характеристическая функция рекурсивна.
1) Если, в частности, у — кодовое число [пустого кортежа, то п ® у
есть кодовое число кортежа (п). В § 13.7 мы определили п ® / для нату-
натурального п и функции /. Эти два определения связаны так: п ® (f(x)) —
= (К® /)(* + 1).

506 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Если <pz — характеристическая функция дерева т, то, очевид-
очевидно, ky[q>z(n ® у)] — характеристическая функция п-то отростка
дерева т, и некоторый индекс этой характеристической функции
может быть найден равномерно по z и п.
Определение. Пусть Ъ—некоторая (фиксированная) общерекур-
«ивная функция, такая, что ц>ь(п, z) = ky[q>z(n ® у)] при всех п и z.
Определение. Т = {z | ф2 есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями}.
Можно считать, что элементы множества Т суть „обозначения"
рекурсивных деревьев с конечными путями (наподобие „обозначе-
„обозначений" рекурсивных ординалов, рассмотренных в упр. 11-61).
Определение. Для z 6 Т положим хг — дерево, определяемое
функцией фг, а || z || = o(tz).
' Какие ординалы соответствуют рекурсивным деревьям с конеч-
конечными путями? На этот вопрос отвечает следующая
Теорема XIX. (а) Для всякого рекурсивного дерева т с конечными
путями существует такой конструктивный ординал а, что
о(т) = а.
(Ь) Для всякого конструктивного ординала а существует такое
рекурсивное дерево т с конечными путями, что а = о(т).
Доказательство, (а) Пусть т — произвольное дерево.
Каждая вершина дерева т есть кортеж. Линейно упорядочим эти
кортежи следующим отношением: положим а < Ь, если Ъ — соб-
собственный начальный отрезок кортежа а или (если ни а, ни Ъ
не являются начальными отрезками друг друга) если первый
элемент кортежа а, отличный от соответствующего элемента кор-
кортежа Ъ, меньше, чем этот элемент кортежа Ъ. Например, @, 4,
7, 9) меньше, чем (О, 4), а <0, 3) меньше, чем {0, 4, 7, 9). Это упо-
упорядочение дерева т известно как упорядочение Клини — Брауэра.
Легко показать, что упорядочение Клини — Брауэра является
вполне-упорядочением тогда и только тогда, когда т — дерево
« конечными путями, и что ординал упорядочения Клини — Брау-
Брауэра больше или равен о(т) (упр. 16-27). Предположим, что т —
рекурсивное дерево с конечными путями. Тогда уцорядочение Кли-
Клини — Брауэра дерева т есть рекурсивное вполне-упорядочение
{упр. 16-27). Поэтому его порядковый тип есть рекурсивный
ординал, а значит, по теореме 11-ХХ конструктивный ординал.
Поэтому и о(т) — конструктивный ординал.
(Ь) Если а = 0, то возьмем в качестве т пустое дерево, оче-
очевидно рекурсивное.
Пусть теперь а — ненулевой конструктивный ординал. Возь-
Возьмем некоторое обозначение ординала а в системе обозначений О
из § 11.7. Всякое предельное обозначение в системе О эффективно
§ 16.3. ДЕРЕВЬЯ С КОНЕЧНЫМИ ПУТЯМИ 507
и однозначно определяет некоторую фундаментальную последо-
последовательность обозначений. Если мы теперь построим дерево с конеч-
конечными путями, использованное при доказательство пункта (Ь)
из теоремы XVIII, то увидим, что это дерево рекурсивно
<упр. 16-28)..
Можно определить и другие виды „эффективных" деревьев
•с конечными путями. Мы упомянем здесь о двух таких подходах:
{1) назовем дерево с конечными путями рекурсивно перечислимым,
если его вершины (т. е. кодовые числа соответствующих кортежей)
образуют рекурсивно перечислимое множество; B) назовем дерево
т: с конечными путями строго рекурсивным, если существует такая
общерекурсивная функция h, что h(x) = 2, если х есть незаклю-
¦чительная вершина (точнее, ее кодовое число) дерева т, h(x) = 1,
если х — заключительная вершина дерева т, и h(x) = 0, если х
не есть вершина дерева т. „Рекурсивные" деревья с конечными
путями, упоминавшиеся в § 15.2, суть в действительности строго
рекурсивные деревья. Легко показать, что существуют рекурсив-
рекурсивно перечислимые, но не рекурсивные деревья с конечными путями
и что существуют рекурсивные деревья с конечными путями,
не являющиеся строго рекурсивными. Также легко показать, что
все три определения приводят к одним и тем же ординалам,
именно к конструктивным ординалам (упр. 16-29).
Какова степень множества Т? Каково ее положение в аналити-
аналитической иерархии? Мы ответим на эти вопросы следующей теоремой.
Теорема XX. Множество Т есть полное П\-множество, т. е.
(ЧА)[А 6 П} <*> Л < ! Я (и потому Т = Е1).
Доказательство. Покажем сначала, что Т есть Н\-
множество. Заметим, что <pz — характеристическая функция неко-
некоторого дерева <=>[Dx)[(pz(x) = 0Vq>z(x) = 1] & (>/.г)(\/г/)[[ф2(г/) = 1&
вершина (соответствующая кодовому числу) х есть началь-
начальный отрезок (т. е. лежит выше) вершины (соответствующей
кодовому числу) у] =>- cpz(x) = 1]]. Применяя алгоритм Тар-
ского — Куратовского, находим, что существует такое рекурсив-
рекурсивное отношение С, что ф2 — характеристическая функция некото-
некоторого дерева <=> (Ух)(Эу)С(х, у, z). Итак, мы имеем z ? Т <=>
<=> (Уж)C»)С(ж, у, z) & (УЛ(Зг)[ф1(/Тж))=0]. Поэтому с помо-
помощью алгоритма Тарского — Куратовского получаем Т 6 IIJ.
Остается показать, что Л ^i T для всякого Л 6 Щ. Пусть
Л 6 П|. Тогда по теореме V А = {х \ Df){lw)T\, i(z, J(w), x)} при
некотором z. Пусть дано а;. Определим функцию гр следующим
образом:
1, если И 71*, 1 (z, г/, а;);
О в противном случае.

508 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ-ИЕРАРХИЯ
Из определения отношения Т* следует, что гр — характеристи-
характеристическая функция некоторого дерева. Более того, гр общерекурсивна,.
и ее индекс эффективно зависит от х. Возьмем такую взаимно одно-
однозначную общерекурсивную функцию h, что гр = <рЛ(ж). Тогда х 6
6 А <=> гр есть характеристическая функция некоторого дерева
с конечными путями <=?> Цх) 6 Т. Поэтому A s^ T посредством:
функции h.u
Следствие XX. (а) Существует такая общерекурсивная функция-
/* двух переменных, что для всякого z множество с И\-индексом z
^-сводится к Т посредством функции Kx[f*(z, x)].
Доказательство. Индекс функции гр, получающийся
из доказательства теоремы, равномерно зависит от z и х.Л
Следствие XX. (Ь) Множества О и Wt определенные в § 11.7
и упр. 11-61, Неполны. Поэтому Т == О = W.
Доказательство. В§ 16.1 мы показали, что W 6 П*.
Поэтому W ^i Т. В упр. 16-27, используя упорядочение Клини —
Брауэра, мы покажем, что Т ^i W. В упр. 11-61 показано, что»
О е= W. Поэтому Т = О == W, и все три множества nj-полны.щ
Из теоремы об иерархии вытекает, что ни одно из этих трех
множеств не гиперарифметично (и тем более не является арифме-
арифметическим).
Мы воспользуемся рекурсивными деревьями с конечными путя-
путями при изучении П*-множеств, гиперарифметических множеств и
Дг-множеств. При доказательстве теоремы XX мы видели, каким
образом произвольная предикатная форма nj-мнбжества сопостав-
сопоставляет рекурсивные деревья с конечными путями элементам этого
П}-множества. В следующем параграфе мы увидим, что степень
неразрешимости Щ-множества зависит от ординалов, задаваемых
этими деревьями с конечными путями.
В заключение дадим следующее
Оцределение. Для любого ординала а положим Та = {z | z 6
€Г&|И<а}.
Заметим, что а < р =$> Та с= Т$, что а не конструктивен тогда
и только тогда, когда Та — Т, и что Та является цилиндром при
всяком а.
§ 16.4. nj-МНОЖЕСТВА И А ^-МНОЖЕСТВА
В этом параграфе мы получим некоторые фундаментальные
результаты относительно Д}-множеств и nj-множеств.
Первым эти результаты получил Спектор (используя главным
образом рекурсивные ординалы, а не рекурсивные деревья с ко-
конечными путями).
16.4. nJ-МНОЖЕСТВА И д?-МНОЖЕСТВА 509
Определение. Пусть А 6 AJ- Назовем w— (и, v) А\-индексом
множества А, где и — некоторый SJ-индекс множества А, а г; —
некоторый его Щ-индекс.
Теорема XXI. Для всякого конструктивного ординала а имеем
Та 6 А]. Более того, этот результат верен равномерно в следую-
следующем смысле: C общерекурсивная g) (Vz) [z 6 Т =ф g{z) есть А\-индекс
множества Тцх\\].
В доказательстве теоремы XXI используется теорема о рекур-
рекурсии. Применение теоремы о рекурсии в этом доказательстве, а так-
также в некоторых следующих ниже доказательствах оформлено
в виде леммы, называемой нами леммой о рекурсии. Она обобщает
упр. 11-33. Один из вариантов этой леммы содержится у Роджер-
Роджерса [1959а]; приводимый ниже вариант леммы имеется у Эндерто-
на [1964].
Определение. Будем говорить, что частичное упорядочение
удовлетворяет условию минимальности, если всякое непустое
подмножество этого частичного упорядочения имеет минималь-
минимальный элемент (или, эквивалентно (при наличии аксиомы выбора),
если в нем нет бесконечных убывающих цепей).
Лемма о рекурсии. Пусть S cz N частично упорядочено отно-
отношением < s, где < s — частичное упорядочение с условием минималь-
минимальности. Для всякого у 6 S положим Sy = {x\x<^s у}- Пусть
R a N2 — некоторое данное ? отношение. Для всякого S' с S
назовем функцию ф удовлетворительной на S' (относительно R),
если ф определена по крайней мере на S' и (Ух)[х 6 S' =ф
=$R{x, (p(x))]. Предположим, что существует такая частич-
норекурсивная функция т) двух переменных, что при любом у 6 S
и любом z имеем [фг удовлетворительна на Sv =ф [t](z, у) опре-
определено и R(y, T](z, у))]]. Тогда существует частичнорекурсивная
функция гр, удовлетворительная на S (и a fortiori Nx)[x 6 S =>
(l)R( )])
Замечание о мотивировке. В применениях R будет отношением,
для которого мы хотим доказать, что (Ух)[х 65=^ Cw)R(x, w)].
Например, в теореме XXI в роли S выступает Т, a R есть
{{х, w) \х 6 Т & Гцж|| 6 А\ & w есть А\-индекс множества Т\\х\\)-
Доказательство леммы о рекурсии. Возь-
Возьмем такую общерекурсивную функцию g, что для всех z
4>g(z) = ^h(z, у)].
По теореме о рекурсии найдем такое z0, что ф^ = Фг(го) =
= Ху[ц(г0, у)]. Мы утверждаем, что фго и есть искомая функция гр.
Допустим противное. Тогда множество [х \ х € S & [<pZo(x)
расходится или R(x, qZo(x)) ложно]} должно иметь минимальный

510 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
элемент у0. Но <pZo удовлетворительна на SV(I, и в силу свойств-
функций т] t](z0, г/о) сходится и R(y0, t](z0, г/0)). А так как ц>г0(Уо) =
= t](z0, гу0), получаем противоречие.и
Отсюда непосредственно вытекает
Следствие леммы о рекурсии. Если т] (из леммы) — общерекур-
общерекурсивная функция, то можно выбрать и г|з общерекурсивной.
Доказательство. Непосредственней
Заметим, что в лемме о рекурсии индекс функции др равномер-
равномерно зависит от индекса функции т). Отсюда тривиально вытекает,,
что если функция т] эффективно зависит от некоторых целочислен-
целочисленных параметров, то лемма верна равномерно относительно этих
параметров (упр. 16-30).
Доказательство теоремы XXI. Лемма о рекур-
рекурсии применяется следующим образом. Возьмем Г в качестве S,
а за отношение <s примем {{х, у) \x?.T&y€.T&\\x\\<Z
< || у ||}. (Тогда для любого у 6 Г справедливо Sy = Гц„ц.) Оче-
Очевидно, что <s — частичное упорядочение с условием минималь-
минимальности. Возьмем в качестве R (как уже отмечалось) отношение*
{{х, ю) | х 6 Т & Гцх|| 6 А} & w есть А\-индекс множества Гцх\\)-
Остается убедиться в выполнении индуктивного предположения
леммы о рекурсии, т. е. указать частичнорекурсивную функцию т).
Напомним, что для любых пну, если ц>у — характеристическая
функция дерева т, то фь<„, у) — характеристическая функция га-го
отростка дерева т.
Пусть дано г/ 6 Г, и предположим, что мы имеем такое z, что-
(fz(x) есть Aj-индекс множества Т\\х\\ Для всякого х 6 Sy(= Гц „и)
(а потому Я!фг(ж) есть Б|-индекс Гцжц, а пг<рх(х) есть Щ-индеке
Гц Я||). (Т. е. предположим, что функция (ргудовлетворителънапа. Sy.)
По основной лемме о деревьях для у ? Г
[хет &\\х\\<\\у\\]<=>
[-1 [112,11=0] &[[хеТ &\\x\\=0]Vlx€T&
& Cm)(Vn)[b(», ж) 6 Гць(т,„)ц ]]]] <=^
[Фв@) = 1 & [(Уи)[фх(и) = 0] V 1фх<0) = 1 &
& Ci»)(Vn)[b(ra, x) 6 Гць(т>У)||Ш]-
(Напомним, что 0 — кодовое число наибольшей вершины функ-
функционального дерева.)
Если теперь \\у\\ф0, то (V/re)[b(m, г/NГцуц]; поэтому
по предположению для любых п, m ш х
Ъ(п, х) 6 Гць(т.»I1 <^ C/)(Vu;) И n(
Ь(ге, х))
§ 16.4. nj-МНОЖЕСТВА И Д^-МНОЖЕСТВА 51 f
Так как любое из двух последних выражений может быть под-
подставлено в заключительное из полученных выше выражений для
х 6 Гц у ||, получаем с помощью алгоритма. Тарского — Куратов-
ского, что Гц у || 6 А\.
Если || у || = 0, то с помощью тех же подстановок вновь полу-
получаем Гцу || 6 А\, поскольку (i) и Биформа, и П}-форма, получае-
получаемые в результате вычислений по Тарскому — Куратовскому,
представляют пустое множество (в силу условия Фу@) = 1}
и (ii) Гц „|| в действительности представляет собой пустое мно-
множество.
Поэтому в силу утверждения о равномерности из теоремы IV
мы находим Aj-индекс множества Гцуц равномерно по z и у.
Пусть т]/— частичнорекурсивная функция, дающая этот индекс
по z и у. Функция т] удовлетворяет предположениям леммы о ре-
рекурсии. В действительности легко видеть, что можно выбрать
функцию т] всюду определенной, а тогда применяется следствие
леммы о рекурсии. Этим теорема XXI доказывается полностью. а
Обратное утверждение, что А есть AJ-множество тогда и только
тогда, когда C конструктивный ординал а) [А <!т Га], следует
из теоремы XXII. Теорема XXII — основной результат этого
параграфа. Вспомним, что, согласно теореме XX, для любого
множества А справедливо А 6 Щ <=^ А ^ Т. Теорема XXII
утверждает, что если А ^ Г, то А 6 AJ тогда и только тогда,
когда образ А в Г ограничен (некоторым конструктивным ордина-
ординалом).
Теорема XXII (теорема об ограниченности). Пусть h — такая
общерекурсивная функция, что (Чх)[х 6 А <=> h(x) 6 Г]. Тогда
А 6 А}<=> C конструктивный ординала) (Ух)\х ?.4=Ф||й (х) ||<а]..
Доказательство. -ф=. Если такой ординал а сущест-
существует, то А — {х | h(x) 6 Та}- Но Та 6 А] по теореме XXI; поэтому
и А 6 AJ.
=>• Предположим, что такого конструктивного ординала а
не существует. Тогда Г = {z | (Зх)[х ?А&г?Тц h(x)\]\}. Пред-
Предположим, что А 6 А}; тогда 4 6 2J и, применяя теорему XXI
и алгоритм Тарского — Куратовского, получаем, что Г 6 2}
в противоречие с теоремой XX.в
Следствие XXII (а). А 6 AJ<=> C конструктивный ординал а)
[А ^ Га] <=> C конструктивный ординал а) [А ^т Га].
Доказательство. Первая эквивалентность непосред-
непосредственно вытекает из теорем XXI и XXII. Во второй эквивалент-
эквивалентности =^ тривиально. Чтобы доказать <=, допустим, что А ^Ст Та. ,
Тогда Л <! (Та)'. По теореме X (Га)' 6 А}. Поэтому (Га)' <d Гр
для некоторого конструктивного ординала р и 4 ^i Гр.и

512 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
В следствии (Ь) мы показываем, что для А б А\ ограничиваю-
ограничивающий ординал из теоремы XXII может быть найден равномерно
(по Д^-индексу для А).
Следствие^ХХП (Ь). C общерекурсивная функция g) (VA)
(Vw)[[A € А\&А имеет А\-индекс w]=>[g{w) 6 Т & A <t Гцв<ш)ц]].
Доказательство. Пусть А 6 А} и w = (it, v) есть Д}-
индекс множества А.
Пусть W\ при всяком z обозначает П^-множество с Щ-индек-
сом z. Тогда Е1 = {z \ z (J W\), где 2?1 определено в § 16.1. Пусть
р — такая рекурсивная перестановка, что р{Т) = Е1 (такое р
существует, так как множества Т и Е1 оба SJ-полны).
Поскольку А 6 AJ, существует такая общерекурсивная фун-
ция /, что A ^i T посредством /, причем индекс функции / может
быть найден равномерно по v (следствие XX (а)). Рассмотрим мно-
множество В = {z | (Эя)[# б А & z б Гц/(х)||]}- По предположению
Л 6 2J. Поэтому, согласно теореме XXL, В 6 2J, и его Е'-индекс
равномерно находится по и и у. Значит, р(В) б nj с П^-индексом
q, который находится равномерно по и и р. Итак, р(В) = W\.
Поскольку В cz T, имеем р{В) гэ^Е1. Поэтому по определению
множества Е1 q?W\ и q $ Е1. Значит, p~\q) $ В & р-х(д) € Т.
Далее, p-1{q) находится равномерно по и и у. Пусть g' — общере-
общерекурсивная функция, дающая р"х(д) равномерно по w = (и, v).
Тогда наше построение показывает, что множество А 1-сводится
к rllg'(w)ll+i функцией/.
Положим для произвольного у
§ 16.4. ltf-МНОЖЕСТВА И' А^-МНОЖЕСТВА 513
г|Дг)
9j,(s), если г = п
= li
s для некоторого п,
в противном случае, т. е. при г = 0.
Пусть h — такая общерекурсивная функция, что гр = ^)
при всех у. Если у 6 7\ то Й(г/) € Г и, как легко проверяется,
II Ну) 1Г= II г/ II + 1- ~ • N
Положим теперь g = kg', и доказательство окончено.в
Доказывая последнее следствие, мы превратили доказатель-
доказательство теоремы XXII, основанное на сведении к противоречию,
в конструктивное доказательство, воспользовавшись свойством
«продуктивности" множества Е1 (а потому и Т), неявно содер-
содержащимся в определении Е1. Аналогичные варианты теоремы
XXII имеют место для W ж О (упр. 16-32).
Основными комбинаторными средствами, использованными при
доказательстве теоремы XXII, были правила преобразования
кванторов, содержащиеся в теореме III. Читатель еще более убе-
убедится в силе этих правил, если, например, попытается с помощью
прямого рассуждения относительно деревьев доказать, что (V
конструктивный ординал а) C конструктивный ординал Р)
[Та ^i Гр]. (Этот результат есть следствие .теорем XXI и XXII,
получающееся с применением теоремы X.)
Верно ли, что а ^ Р =ф Та ^т Т$ Синглтерри [1965] пока-
показал, что это так.
Определение. Г* = ~{(х, у) \ х 6 Т & у 6 Т & || х ||< || у ||< а}.
Очевидно, что а <1 р => Та ^ъи-Т%. Взяв tt-цилиндры, мы
получим такую вполне упорядоченную, цепь 1-степеней, что, како-
каково бы ни было множество А, А 6 AJ <=> 1-степень множества А
расположена ниже некоторого элемента этой цепи (упр. 16-33).
В § 16.8 мы рассмотрим задачу о построении для AJ-множеств
наиболее естественного и инвариантного аналога цепи 0, 0', 0",. . .
для арифметических множеств.
Следующая теорема содержит иную формулировку и обобще-
обобщение теоремы XXI.
Теорема XXIIL (а) Если у 6 Т, то {х | х б Т & || х || <«|| у ||} б
6 AJ равномерно по у относительно некоторой всюду определенной
функции (т. е. C общерекурсивная функция g) (Vy)[y 6 Т =ф- g(y)
есть некоторый А\-индекс множества {х \ х 6 Т & || х || -< |[ у ||}]).
(Ь) Если у d Т, то {х | х 6 Т & || х || = || у \\) 6 AJ равномерно
по у относительно всюду определенной функции.
' (с) {(х, у) \х е т & у е т & \\ х \\ < \\ у \\} е (щ - ъ\).
(d) {(x, у) \хе т&уеЛт&\\хц = \\у \\} е(п\- ъ\).
Доказательство, (а) Это — теорема XXI.
(Ь) Возьмем общерекурсивную функцию h, определенную
в конце доказательства следствия XXII (Ь). Тогда для у ?. Т
{х | х е т &
& 1ШК ||
и у и} = {х
= {* I * б
т & и х ц<
& У € Г
у и + 1 &
Подставляя в это выражение nj- и EJ-формы, построенные
(равномерно по h(y) и h(x)) в теореме XXI, и применяя алгоритм
Тарского — Куратовского, получим желаемый результат. Отме-
Отметим, что формы, подставляемые вместо множества Уц а.(зс)||'> выра-
выражают У||л(scxi в случае, когда Цх) 6 Т. Что они выражают, когда
h(x) ^ T, несущественно, потому что в этом случае формы мно-
множества ГцьсуХ! сделают получающееся выражение ложным.
(с) Подставим в выражение из левой части nj-форму для пре-
предиката у б Т, даваемую теоремой XX, и П}-форму для х 6 Т &
<^ II х II "^ II У II' полученную (равномерно по у) в пункте (а) выше.
(Что выражает последняя из них при у $ Т, не имеет значения.)
С помощью вычислений по алгоритму Тарского — Куратовского
получим нужную нам П}-форму. Если бы {(х, у) \ х 6 Т & у 6
33-0506

514 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
6 Т & || х || < || у ||} оказалось в совокупности SJ, то и множество
Т = {х | (Зг/)Ь € Г & у 6 71 & || х || < || у ||]}
оказалось бы в SJ в противоречие с теоремой XX.
(d) Выводится аналогично из теоремы XX и пункта (Ь) выше
(см. упр. 16-34). и
Иногда бывает удобно пользоваться следующим линейным
IIJ-упорядочением на Т.
Определение. Положим х <г у, если
[х 6 Т & у 6 Т & [ || х || < || у || VI
х
у || & х <
Легко видеть, что это — вполне-упорядочение с порядковым
типом наименьшего неконструктивного ординала (упр. 16-35).
Следствие XXIII. (а) Если у 6 Т, то {х \ х <LT у) € AJ равно-
равномерно по у относительно некоторой всюду определенной функции.
(Ь) {(х, у) |*<Ty}6(ni-Si).
Доказательство, (а) Получается непосредственно под-
подстановкой в выражение дли х <г у подходящих предикатных
форм из пунктов (а) и (Ь) теоремы.
(Ь) Тот факт, что {(х, у) \ х <г у} 6 П?, доказывается с помо-
помощью подходящих предикатных форм из пунктов (с) и (d) теоремы.
Если бы множество {(х, у) | х <СГ у} попало в SJ, то и Т =
= {х | (Зг/)[ж <Г у]} оказалось бы в SJ, что противоречит теоре-
теореме XX. |
Это следствие показывает, что существует линейное П{-упо-
рядочение с порядковым типом наименьшего неконструктивного
ординала.
Теорема XXII может быть сформулирована и доказана для
линейного упорядочения <т. Изменения, которые для этого нужно
внести в приведенное нами доказательство, тривиальны. Мы сфор-
сформулируем этот результат в рекурсивно инвариантной форме.
Теорема XXIV. Для всякого Неполного множества А сущест-
существует такое П\-вполне-упорядочение множества А, что для любых
П\-множества В и общерекурсивной функции f из того, что функ-
функция f 1-сводит В к множеству А, вытекает, что В 6 А} <=> f(B)
ограничено сверху в этом линейном упорядочении множества А.
Доказательство аналогично [теореме XXII (см.
упр. 16-36)., *)
*) Читатель, знакомый с теорией множеств, заметит аналогии между
теоремой XXIV и некоторыми результатами теории множеств (см. особенно
последнюю часть упр. 16-36).
1. Рассмотрим множество мощности щ в качестве аналога йножества
А (из теоремы XXIV), а множества мощности щ и меньше—в качестве анало-
§ 16.5. ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ 515
§ 16.5. ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ
В некоторых отношениях теория § 16.1 аналогична теории
арифметической иерархии, развитой в гл. 14. Мы исследуем теперь
дальнейшие аналогии между аналитической и арифметической
иерархиями. Более точно, мы рассмотрим аналогию, при которой
гиперарифметические множества соответствуют рекурсивным мно-
множествам, а П^-множества соответствуют рекурсивно перечислимым
множествам. Тот факт, что класс Si состоит из рекурсивно перечис-
перечислимых множеств, заставляет предположить, что аналогия между
Sj-множествами и рекурсивно перечислимыми множествами была
бы более естественной. Однако, как мы увидим, это не так. (Прин-
(Принцип редукции, например (см. теорему 5-XVII), будет справедлив,
для П'-множеств, но не для SJ-множеств.)
Перенося результаты и их обсуждение из § 5.7, мы начинаем
исследование этой аналогии с доказательства теоремы об однознач-
однозначности.
Определение. Для всякого z пусть W\ = {х \
Т\, i(z, ]{и>), х)}. Таким образом, W\ есть nj-множество с И\-
индексом z.
В | 5.7 мы определили область определения множества А
(обозначаемую Arg А) как \х \ (Зу)[(х, у) 6 А]}. .
Теорема XXV (теорема об однозначности для П^-множеств).
Существует такая общерекурсивная функция к, что для всех z
(i) W\(z) однозначно;
(ii) W\M cz W\;
(iii) Arg W\(z) = Arg W\. {Поэтому если множество W\ одно-
однозначно, mo Wh(z) = W\-)
Доказательство. В следствии XX (а) мы построили
такую общерекурсивную функцию /*, что для любого z имеет место
W\ ^i T посредством функции Xx[f*(z, x)]. Определим
Аг =
у) | (х, у) € W\ & (Vy')llyr
{x,y))<Tf*(zt (х, у'))]}.
гов Д^-множеств; выберем теперь упорядочение по порядковому типу наи-
наименьшего несчетного ординала в качестве аналога nj-вполне-упорядочения
множества А.
2. В теории множеств Гёделя — Бернайса возьмем универсум за аналог
множества А, классы — за аналоги Щ-подмножеств множества А, множества—
за аналоги Д^-подмножеств множества А и примем вполне-упорядочение
универсума за аналог nj-вполне-упорядочения множества А. (В действитель-
действительности определение обычного вполне-упорядочения универсума получается
с помощью понятия ранга множества, весьма сходного с определением отно-
шения <[ •)
33*

516 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Но это можно записать так:
Az = {(x, у)\(х, y)eWl& (Vi/')n[/*(z, (х, у'))
<T/*(z, (х, у))]}.
Теперь для всякого {х, у) следствие XXIII (а) дает SJ-форму,
выражающую {u | и <? f*{z, {x, у))}, если {х, у) 6 W\. Исполь-
Используя эту форму (не важно, что она выражает, когда {х, у) (J W\)
и П}-форму для множества W\ и применяя алгоритм Тарского —
Куратовского, получаем, что Az 6 Щ, причем Щ-индекс множе-
множества Az получается равномерно по z. Возьмем такую общерекур-
общерекурсивную функцию к, что Аг — W\(z)- Требуемый результат полу-
получается теперь непосредственно.и
Определение. Для каждого z положим ц>\ = {{х, у) | (х, у) 6
€ Wl(Z)}. (He всюду определенные) функции <р| [называются
П\-фунщиями.
Заметим, что область определения Щ-функции есть П*-множе-
ство (что доказывается применением алгоритма Тарского — Кура-
Куратовского) и что всякое Щ-множество есть область определения
некоторой Щ-функции. (Если дано Щ-множество А, возьмем функ-
функцию {(х, ж) \ х € А}.) Так же обстоит дело и с областью значений
произвольной Щ-функции.
Теперь мы имеем множества W\, W\, . . ., аналогичные рекур-
рекурсивно перечислимым множествам Wo, Wt, . . ., функции <pj, ф},. г .,
аналогичные частичнорекурсивным функциям, и гиперарифмети-
гиперарифметические множества (т. е. Щ-множества с Щ-дополнениями), анало-
аналогичные рекурсивным множествам.
Определение. Всюду определенные Щ-функции называются
гиперарифметическими.
Заметим, дто если Щ-функция гр всюду определена, то т(гр) =
= {(х, у) | гр(ж) = у} есть гиперарифметическое множество.
(По определению т(гр) 6 Щ. Если же гр всюду определена, мы также
имеем т(о|)) = {(х, у) | (Vz)bp(a;) = z => z = у]}, а это влечет
т(о|)) 6 2J. К тому же если <р* всюду определена, то некоторый AJ-
индекс множества х{ц>1) может быть получен равномерно по z
с помощью некоторой всюду определенной функции. Вообще в си-
силу тех же аргументов / 6 Щ <=^> /6 2^ <=^> / 6 A« при любых
ни/х).) Таким образом, наша терминология непротиворечива.
Гиперарифметическая функция есть функция, которая, будучи
рассматриваема как отношение, гиперарифметична. Заметим далее,
что множество является гиперарифметическим тогда и только тог-
тогда, когда его характеристическая функция гиперарифметична.
г) Как обычно, / обозначает некоторую всюду определенную функцию.—
Прим. пер ее.
§ 16.5. ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ 517
Одна из основных теорем теории рекурсивных функций не со-
сохраняется при нашей аналогии. В теории рекурсивных функций
область значений общерекурсивной функции может не быть рекур-
рекурсивной. Здесь же мы имеем следующую теорему (сообщенную авто-
автору Хоудзом).
Теорема XXVI. Область значений гиперарифметической функ-
функции есть гиперарифметическое множество.
Доказательство. Пусть / — гиперарифметическая
функция. Тогда
Val/ = {y \Cx)\f(x) = у]},
Так как / Е. А\, результат получается непосредственно примене-
применением алгоритма Тарского — Куратовского.в
Отсюда можно, однако, вывести аналог теоремы 5-IV.
Следствие XXVI (Лакхам). Всякое бесконечное Л\-множество
содержит бесконечное гиперарифметическое подмножество.
Доказательство. Пусть А — бесконечное Щ-множе-
Щ-множество. Образуем Щ-множество
В = {(х, у) \х<у &у ?А}.
Применим к В теорему об однозначности. В результате получим
всюду определенную Щ-функцию, область значений которой есть
бесконечное подмножество множества А. Согласно теореме, это —
А}-подмножество.и
Другие теоремы § 5.7 тоже сохраняются при нашей аналогии.
Теорема XXVII (принцип редукции). Для любых И\-множеств
А и В существуют такие И\-множества А' и В , что А' а А,
В' cz В,
A U В = A' U В'
и А' О В =0.
Доказательство. Применим теорему об однозначности
так же, как и для получения теоремы 5-XVII (§ 5.7).в
Теорема XXVIII (теорема выбора). Существует такая П}-
функция о]), что для всякого z
(i) o])(z) сходится <=> Cw){w 6 W\ & WJ, Ф 0];
(ii) i[)(z) сходится =Ф [o])(z) 6 W\ & Щ(г) ф 0].
Доказатель с[т в о. Аналогично теореме 5-XVIII (§ 5.7). в
Отсюда вытекает и обобщенный принцип редукции, как
в упр. 5-36.
Теорема 7-ХП показывает, что существует пара непересекаю-
непересекающихся рекурсивно перечислимых множеств, не являющихся

518 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
рекурсивно отделимыми. Справедлив ли аналог этой теоремы,
т. е. существует ли пара непересекающихся „гиперарифметически
неотделимых" П|-множеств ?
Теорема XXIX. Существуют такие непересекающиеся И\-мно-
жества А и В, что ни для какого А\-множества С, не выполняются
A cz С и В cz С одновременно.
Доказательство. Доложим А = {х \ у\(х) = 0} и В =
= {х | фЦа;) = 1}. Результат получается, как при доказатель-
доказательстве теоремы 7-ХП (с).и
Из теоремы XXIX вытекает, что Sj-множества не удовлетво-
удовлетворяют принципу редукции, подобно тому как не удовлетворяют
принципу редукции П?-множества (согласно теореме 7-ХП) (см.
упр. 5-3). По этой причине (среди прочих) аналогия между IIJ-
множествами и SJ-множествами является более полной, чем ана-
аналогия между Б ^-множествами и S "-множествами.
Настоящее обсуждение касается, конечно, множеств натураль-
натуральных чисел. Можно ставить проблемы редукции и отделения и для
множеств функций (см. упр. с 16-39 по 16-41). Как показал Адди-
сон [1959], [1959а], проблемы редукции и отделения могут рас-
рассматриваться как вопросы о возможности переставлять кванторы
в некоторых предикатных формах (см. упр. 16-41).
В упр. 16-42—16-45 мы приводим дальнейшие примеры резуль-
результатов, соответствующих ранее полученным результатам теории
рекурсивных функций. В упр. 16-42 мы используем теорему
об однозначности, чтобы построить гиперарифметически простое
множество (и выводим отсюда, что в классе Щ — Ъ\ существуют
множества, не рекурсивно изоморфные множеству Т (и, на самом
деле, даже не гиперарифметически изоморфные множеству Т)).
Упражнение 16-43 представляет собой аналог теоремы о рекурсии.
Она используется в упр. 16-44 для получения аналогов теоремы
Майхилла о том, что всякое креативное множество 1-полно.
Упражнение 16-45 дает аналог теоремы Раиса (теорема 14-XIV).
Если дано определение или теорема теории рекурсивных
функций, то формулировка их гиперарифметического аналога
в общем случае бывает не единственной. Мы получим полный
аналог, если все частичнорекурсивные функции заменим на Щ-
функции. Бывают возможны и различные частичные аналоги,
в которых некоторые частичнорекурсивные функции превращают-
превращаются в Щ-функции, а другие остаются частичнорекурсивными.
Например, в понятии „Щ-продуктивного" множества мы можем
потребовать или не требовать, чтобы продуктивная функция была
рекурсивной (см. упр. 16-44, 16-46). Аналогично, в результатах
об 1-сводимости мы можем разрешить или не разрешить сводящим
функциям быть гиперарифметическими. (Ситуация напоминает
§ 16.5. ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ 519
вопрос о полной или частичной релятивизации, рассмотренный
в § 9.3.)
Интересное расхождение между нашей новой гиперарифмети-
гиперарифметической теорией и прежней рекурсивной теорией возникает в упр.
16-45 при рассмотрении теоремы Раиса. Здесь (а также в не-
некоторых других местах) мы выясняем роль конечных множеств
•(в прежней теории), исполняемую теперь гиперарифметическими
множествами, и роль канонических индексов, исполняемую А\-
индексами. (См. упр. 16-47, где мы показываем, что если дан про-
произвольный Д^-индекс, можно гиперарифметически вычислить
некоторый единственный „канонический" AJ-индекс того же мно-
множества.)
В § 16.6 мы продолжим наше изучение этой теории аналогов,
вводя аналоги понятий Т-сводимости и операции скачка. Мы уви-
увидим, что аналог проблемы Поста имеет иное решение, чем сама про-
проблема Поста и что в аналитической иерархии сильная теорема
об иерархии (аналог теоремы 14-VIII) не имеет места.
Отметим, что сходство между нашей теорией аналогов и тео-
теорией рекурсивных функций можно проследить вплоть до употреб-
употребления отношения <т и функции /* при доказательстве теоре-
теоремы XXV. На самом деле, все сходящиеся „П^-вычисления" можно
линейно упорядочить, так что мы сможем гиперарифметически
^согласно § 16.4) установить, которое из двух данных заканчиваю-
заканчивающихся вычислений „идет первым". Таким образом, это упорядоче-
упорядочение по трансфинитам является аналогом упорядочения рекурсив-
ных вычислений, описанного в следствии 5-V (d) и использованного
при доказательстве теоремы 5-XVI.
Обобщенные машины
Понятие машины Тьюринга можно следующим образом обоб-
обобщить (см. также Клини [1962].) Определяющее обобщенную машину
множество „инструкций" остается конечным, но разрешается,
чтобы в вычислениях использовались некоторые специалъные^шаги,
для обозначения которых вводятся соответствующие символы
я соглашения. Понятие допустимого специального шага опреде-
определяется индуктивно. Допустимый специальный шаг заключается
в сообщении, закончится ли некоторое вычисление на обычной
машине Тьюринга (инструкции которой в настоящий момент
записаны на ленте обобщенной машины), или, более общо, допу-
допустимый специальный шаг говорит, закончится ли некоторое обоб-
обобщенное вычисление (инструкции которого в текущий момент .запи-
.записаны на ленте) при условии, что обозначенное на ленте вычисле-
вычисление не содержит шагов, отличных от обычных шагов машины-Тью-
машины-Тьюринга и специальных шагов, допустимость которых уже известна.
Если имеются входные дачные и обобщенная машина, то соответ-

520 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
ствующее вычисление называется расходящимся, если или (i) оно
не заканчивается или (И) в нем встречаются недопустимые спе-
специальные шаги. Мы не будем глубже вникать в формальные
детали.
С каждым сходящимся вычислением (на обобщенной машине)
мы связываем некоторое дерево-диаграмму. На первом уровне эта
диаграмма показывает шаги вычисления, на втором уровне —
подшаги специальных шагов, встречающихся на первом уровне,
на третьем уровне — подшаги специальных шагов, встретившихся
на втором уровне, и т. д. Дерево-диаграмма изоморфно некоторому
дереву с конечными путями, и это дерево с конечными путями
имеет гиперарифметическую характеристическую функцию.
(В § 16.6 мы увидим, что ординал гиперарифметического дерева
с конечными путями конструктивен.) Упорядочение Клини —
Брауэра, соответствующее этому дереву с конечными путями,
подсказывает некоторую „физическую" реализацию такого вычис-
вычисления. Пусть единичный интервал (действительных чисел) мыслит-
мыслится как конечный промежуток времени. Возьмем некоторое сохра-
сохраняющее порядок отображение упорядочения Клини—Брауэра
(для нашего вычисления) в этот интервал. Точки-образы можно
представлять себе как моменты времени, в которые выполняются
соответствующие шаги обобщенного вычисления. Так, например,
обобщенная машина, решающая обычную проблему остановки,
могла бы при заданном входе выполнять свои шаги в моменты
± JL 1 1
2 ' 4 ' 8 ' '" •'
Какие функции можно вычислять на таких обобщенных маши-
машинах? Можно показать, что это в точности П}-функции. Мы не ста-
станем подробно разбирать этот результат.
Таким рбразом, понятие обобщенной машины существенно
проясняет понятие гиперарифметической функции (а также П\-
функции) и показывает, что эти функции образуют класс, с интуи-
интуитивной точки зрения, даже более естественный, чем мы могли бы
предположить ранее. Выражаясь вольно, гиперарифметическая
функция есть функция, допускающая детерминированное вычисле-
вычисление дискретными шагами на основании конечного множества
инструкций в предположении, что мы имеем возможность выпол-
выполнять поиски в бесконечной последовательности шагов всякий раз,
как мы этого пожелаем, т. е. в течение любого данного временного-
интервала положительной длины. Спектор и Аддисон называют
этот уровень вычислительных возможностей „хо-мышлением",
а Крейсел предложил аналог тезиса Чёрча для гиперарифметиче-
гиперарифметических функций. Такой интуитивный взгляд на гиперарифметиче-
гиперарифметическую вычислимость может иметь большое эвристическое значение
в связи с некоторыми общими свойствами гиперарифметических
множеств (например, в связи с некоторыми сильными свойствами
§ 16.5. ОБОБЩЕННАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ 521
замкнутости гиперарифметических^множеств, рассматриваемыми
в следующем разделе) и для ряда специальных проблем (упр. 16-46,
например). Он использовался также для поддержки „конструкти-
„конструктивистских" утверждений о том, что гиперарифметические множества
суть, в некотором смысле, единственные существующие множества
натуральных чисел.
Эти интуитивные соображения наводят также на мысль о том,
что гиперарифметическая вычислимость функций и функционалов
может послужить подходящим фундаментом для построения кон-
конструктивного варианта анализа в области действительного пере-
переменного. Крейсел и Феферман положили начало такому исследо-
исследованию в виде изучения эффективных объектов внутри классической
математики; Хоудз и Риттер, следуя работе Московакиса, посвя-
посвященной рекурсивному случаю, начали такое исследование как
изучение некоторых счетных структур, отличных от несчетных
структур классической математики, но аналогичных им (см.
обсуждение в § 15.3, а также упр. 15-36 и 15-37).
К несчастью, такой интуитивный взгляд на гипер арифметиче-
арифметическую вычислимость сам по себе имеет меньшее значение для полу-
получения математических результатов относительно гиперарифмети-
гиперарифметических функций, нежели тезис Чёрча для получения результатов
о рекурсивных функциях. Главные результаты, которые мы до сих
пор получили, опирались в основном на комбинаторную мощь
правил преобразования кванторов из теоремы III. Затруднитель-
Затруднительно, например, на основании одних только интуитивных рассмотре-
рассмотрений решить, верна или нет теорема о выборе (теорема XXVIII),
в то время как справедливость ее рекурсивного аналога (теоре-
(теорема 5-XVIII) легко усматривается с помощью только тезиса Чёрча
и теоремы о перечислении *).
Другой аналог теории рекурсивных функций
Существование аналога (теории рекурсивных функций), опи-
описанного в начале этого параграфа, наводит на мысль о поисках
более абстрактной теории, которая охватывала бы сразу и рекур-
рекурсивный, и гиперарифметический случаи. Имея это в виду, Крей-
Крейсел и Сакс предприняли изучение несколько иного аналога теории
рекурсивных функций, базирующегося на ГЦ- и AJ-множествах.
Аналог Крейсела — Сакса оказывается более близким к рекур-
рекурсивному случаю, чем рассмотренный ранее в этом параграфе ана-
аналог. В аналоге Крейсела — Сакса множество Т играет роль N.
Пусть о|) — такая (не обязательно всюду определенная) функция,
J) Конечно, как только теорема о выборе доказана, мы можем (и долж-
должны) использовать ее для обогащения наших интуитивных представлений
о гиперарифметической вычислимости.

522 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
что -ф с Т X Т. Функция -ф называется „частичнорекурсивной",
если -ф G Щ- Функция -ф „общерекурсивна" (по определению),
если г|з „частичнорекурсивна" и определена на всем множестве Т.
Функции более, чем одного переменного вводятся с помощью
рекурсивной „функции пересчета пар", отображающей множество'
Т^Т на Т. (Такая функция существует, поскольку Т X Т, как
легко видеть, П}-полно, а потому Т X Т = Г.) Пусть А а Т..
Множество А называется „рекурсивно перечислимым", если А ?
6 Щ. Множество А называется „рекурсивным", если и4,иГ — А
являются Щ-множествами. „Гёделева нумерация" „частичнорекур-
сивных" функций (на Т) получается, если взять произвольное
фиксированное взаимно однозначное рекурсивное отображение /
множества N в Т, объявить /(z) (при всяком z) гёделевым номером
¦функции ф^П (Т X. T)i а. оставшиеся элементы Т (т. е. множества
Т — f{N)) считать гёделевыми номерами нигде не определенной
функции. (При этом некоторые элементы множества f(N) также
будут номерами нигде не определенной функции.) См. упр. 16-48.
Описанная процедура с помощью перехода к областям определе-
определения функций задает нумерацию (на Т) всех „рекурсивно перечис-
перечислимых" множеств. Существование „рекурсивно перечислимого, но
не рекурсивного" множества доказывается теперь, как точный
формальный аналог теоремы 5-VI.
Интересно, что, как и в предыдущей аналогии, А}-подмноже-
ства множества Т имеют много свойств, которыми в рекурсивной
теории обладают конечные множества. (Заметим, что „рекурсив-
„рекурсивные" множества не обязаны быть Д^-множествами; например, Т
„рекурсивно".) Справедливо, например, следующее утверждение:
если А есть область значений некоторой взаимно однозначной
.„общерекурсивной" функции, то А $ AJ (см. упр. 16-50).
Осложнения, связанные с теоремой XXVI, теперь не возникают,
и мы получаем, что [А „рекурсивно перечислимо" и А Ф 0] <=> А
есть область значений некоторой „общерекурсивной" функции. (^=
получается непосредственно; чтобы доказать =ф-, рассмотрим по
отдельности'случаи, когда А „конечно" (т. е. принадлежит AJ) и А
не „конечно". Пусть А не „конечно", иг — некоторый П}-индекс
множества А. Тогда вычисления по алгоритму Тарского — Кура-
товского с использованием следствия XXIII (а) показывают, что
{{х, у)]хеТ &у?А&[х = /*(z, i/)V x <Tf*(z, t/)]J&
& (Vu)[/*(z, i) <r/*(z, y)=>f*(z, и) <т x]}
•есть искомая „общерекурсивная" функция. Случай „конечного"
А рассматривается в упр. 16-51;)
Можно получить много других результатов в этом направле-
направлении, включая существование „рекурсивно перечислимых" мно-
множеств, „максимальных" в смысле, аналогичном определению из
§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 523
§ 12.4. Мы приведем еще одну иллюстрацию. Назовем „общерекур-
„общерекурсивную" функцию „строго возрастающей", если она строго возрас-
возрастает относительно упорядочения <т . То.гда область значений
.„строго возрастающей" функции обязана быть „рекурсивной".
Действительно, пусть А — область значений „строго возрастаю-
возрастающей" функции г|з. Тогда
А = {у | Cz)[[z <Tj/Vz = 2/]&!/=^ (z)]}
Т — А = {у\у?Т& Dz)[[z <? y\f z=y]=>
=> Cw)[w Фу &w = i
Используя следствие XXIII (а), получаем, что А и Т — А суть
П}-множества.
1 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК;
2 ^-МНОЖЕСТВА И А*-МНОЖЕСТВА
Прослеживая дальше рассмотренную в первой части предыду-
предыдущего параграфа аналогию, попытаемся найти аналог понятия
тьюринговской сводимости. Мы видели в гл. 14, что В ^т А <=>
<=> В 6 nf П 2^. Это подсказывает, что мы получим аналог
тьюринговской сводимости с помощью релятивизации в аналити-
аналитической иерархии.
Релятивизация
Определения и результаты § 16.1 могут быть релятивизованы
следующим образом. Пусть дано множество А.
Определения. Функция г]з называется А-частичнорекурсивной
функцией к функциональных и I числовых переменных (к ^ 0, Z>
> 0), если Для некоторого z
*<-ЩХ1, . . ., Ж;)].
Функция г|) называется А-частичнорекурсивной функцией к функ-
функциональных и 0 числовых переменных (к~^0), если для некоторого z
•ф = \ft . . . /fe[qA * (/i). • • ¦ • * Uk> @)).
Функция -ф называется А-общерекурсивной функцией к функ-
функциональных и I числовых переменных (к ^> 0, I ^ 0), если "ф есть
.А-частичнорекурсивная функция, определенная на ?Fk X Nl,
Отношение R (а врк X N1) называется А-рекурсивным отноше-
отношением, если его характеристическая функция есть Л-общерекур-
сивная функция к функциональных и I .числовых переменных.
Отношение R (d jfh X W) называется аналитическим относи-

524 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
телъно множества А, если R или .4-рекурсивно, или может быть-
получено из некоторого Л-рекурсивного отношения, с помощью
операций взятия проекции и (или) дополнения.
А-формы определяются так же, как предикатные формы, с тем
лишь отличием, что рекурсивное отношение заменяется Л-рекур-
сивным отношением.
Справедлива релятивизованная версия теоремы I. 2^'^-формы,.
ГЦ' л-формы и классы 2^.' А, П^'А и А^.'А определяются анало-
аналогично тому, как это делалось раньше. Верны также релятивизо-
ванные варианты теорем II и III.
w) | Th+Ul (z, A, %{h),
Определение.
T'ki = {<z- /i
Если теперь использовать TAti вместо Т'и, i, то теорема IV
сохраняется в релятивизованном виде, и с ее помощью опреде-
определяются понятия S^--4- и П^> ^индексов.
Определение. Пусть к > О, I ^> 0; положим Th, i =
= {<z, yu . . ., yh, xi: . . ., xt) I существуют такие fu . . ., fk
. и w, что для всех i, 1 ^ i ^ k,
Vt =hiw) и
(z, /4, . . ., fh, xlt .
w),
причем все задаваемые при вычислении Т^у вопросы относительно-
/l» • • •> /к касаются аргументов, меньших w}.
Теперь мы получаем релятивизацию теоремы V.
Теорема XXX. Пусть п > 0, R (с Jfh X Nl) ~ отношение
из S^'4, a z — некоторый Ъ^А-индекс отношения R. Если п
четно, то
R =
., Д, хи
(ел*, формулировку
Аналогично для нечетных п и класса П?
ремы V).
Доказательство. Непосредственно из определения. ж
Теперь сразу получаются релятивизации теорем VI и VII.
Принимая во внимание, что при релятивизации множе-
множество Е71'А соответствует множеству Еп (например, Е ' =
= {z | (Э/)(\М И Т\А1 (z, f(w), z)}), получаем релятивизации
теорем VIII и IX.
§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 525
Релятивизация относительно данной функции h получается,
•если всюду в приведенных выше определениях и рассмотрениях
использовать %{h) вместо множества А. Отсюда, в частности, сле-
следует, что T'ffi{z, . . .) <^> 7ft+i, i (z, h, . . .) и что теорема XXX
имеет место в следующем виде (мы используем обозначения
2?>л, T'^i , . . . в качестве сокращений для 2?'т(л>, 7У,1(/1\. . .).
Следствие XXX. Пусть п > 0, R(cz grhXNl) — отношение
из 2?> h, a z — некоторый 2?> к-индекс отношения R. Если п чет-
четно, то
R = «Л, • • •> h, xu . . ., xt) | C
. . . (\fgn)Cw)Tt+n+itl (z, h(w), h(w),
¦ • •» gn(v>), Xu • • ., Xi)}.
Аналогично для нечетных п и класса Ш>л.
п
Доказательство. Непосредственно из определений
{см. упр. 16-52).я
Одновременная релятивизация относительно нескольких дан-
данных множеств (или функций) также^ легко осуществляется.
^\lAi Ат^ RUAi, ...,Ат и Д U Ai, . ?., Ат оПрвДеЛЯЮТСЯ ОЧв-
видным образом, когда мы примем за отношение Т'?\' "" Ат
{<Z, /i, • -., /ft, Xu ¦ • •, Xi, Ш>| Th+m,l(z, Au . . ., A'm,
t(/i), • • •> t(/ft), Xu . . -, xh w)}.
Мы пишем 2^>Л1 ftm, . . . вместо S^- Т(Л1> т(Лт)) ....
Гиперстепени и гиперскачок
Определим теперь наш аналог Т-сводимости.
Определение. Множество В называется гиперарифметическим
относительно А (обозначение: В ^ hA), если В ? AJ>A
( = 211-л П Щ<А). Мы сокращаем запись т(/) ^ ht(g) До f ^hg-
Отметим терминологическую параллель с понятиями „рекур-
„рекурсивный относительно", „арифметический относительно" и „анали-
¦тический относительно". Если .В ^ ь-4 > мы будем иногда гово-
говорить, что множество В гиперарифметически сводимо к А.
Очевидно, что отношение s^h рефлексивно. Будет ли оно тран-
транзитивным?
Теорема XXXI. Если С <h В и В <h Л, то С ^h A.
Доказательство. Если С ^h В, то, в частности,
С е 2}>в. Поэтому С = {х\ C/)(Vu>) ~1 rifi(z' A *. и7)} ПРИ неко-

526 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИВРАРХИЯ
тором z. Отсюда х б С <=> Cf){4w){<pB> х(Щх) не сходится за w
шагов] <=> C/)(Vu>)~1 (Hy)Cu)Cv)[(x, у, и, v) появляется на w-m
шаге перечисления множества WP(z) (согласно индексу p(z)) &
& Du с= В © т(/) & Dv с: ? © т(/)]. Условие [Яв с= В © т(/)]
можно представить в виде (Ух)[[2х б Du => х б Б] &
& [2ж + 1 б Du =>- a; 6 т(/)]], a D,cB@ т(/) представимо в виде-
(Vz)[[2z б #„ =^ s ($ S] & [2ж + 1 €?„=> а: $ т0)]]. По предпо-
предположению множество Б представимо и в 2i'A-, ив П^'А-форме.
Подставим его П1' -форму вместо первого вхождения В (в послед-
последнее из приведенных выше выражений для С), a 2*' А-форму вместо-
второго вхождения В. Применяя алгоритм Тарского — Куратов-
ского, получим, что C62i>A. Аналогичными рассуждениями,
отправляясь от П1' -формы для С и подставляя в нее подходящим
образом 2i'A- и П!'А-формы для В, получим С6П1>Л#1
Следствие XXXI (а). Если В <h А и А б А}, то В 6 А}.
Доказательство непосредственно вытекает из доказа-
доказательства теоремы. а
Следствие XXXI (Ь). Если множество С аполитично относи-
относительно В, а множество В аполитично относительно А., то С ана-
литично относительно А.
Доказател ь.с т в о использует ту же технику, что и дока-
доказательство теоремы (см. упр. 16-53).а
Определение. A ==h В означает, что А ^ь В ж В ^h A.
Согласно теореме XXXI, =ь есть отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности по отношению =h называютря гиперсте-
гиперстепенями (и служат при нашей аналогии эквивалентами тьюринговых
степеней).
Согласно следствию XXXI (а), существует наименьшая гипер-
гиперстепень, состоящая из гиперарифметических множеств. В силу
теоремы об иерархии (теорема VIII) должны существовать отлич-
отличные от нее гиперстепени, содержащие Щ-множества. Рассмотрим
аналог проблемы Поста (гл. 10): существует ли более двух гипер-
гиперстепеней, содержащих Щ-множества? Как мы увидим теперь,
ответ оказывается отрицательным х). Пусть Т есть Щ-полное мно-
множество, определенное в § 16.3.
Теорема XXXII.. А б Щ =Ф Ы б А} или A =h T].
*) В аналогии Крейсела — Сакса (см. обсуждение в конце § 16.5) аналог
проблемы Поста имеет положительное решение*как и проблема Поста для
рекурсивно перечислимых множеств (что и устанавливается сходными рас-
рассуждениями).
% 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 527
Доказательство. Пусть А 6 П^. Тогда i <4 Г, и до-
достаточно показать, что или А 6 AJ, или Т ^.ЪА. Предположим,
что A (J А\, и пусть функция / 1-сводит А тк множеству Т. Тогда
по теореме об ограниченности (теорема XXII) получаем
Подставляя в это выражение 2J- или nj-форму для у ? Гпдаоц
(по теореме XXI) и применяя алгоритм Тарского — Куратовского,
получаем соответственно 24' - или П1'л-форму для Т. Отсюда
В следующем определении мы вводим аналог понятия „рекур-
„рекурсивно перечислимый относительно".
Определение. Множество А называется Щ-множеством отно-
относительно В, если А 6 П*' в.
Мы определим аналог операции скачка (из § 13.1) с помощью
выбора специального множества из класса П*'А, полного по отно-
отношению к П{' А.
Определение. Тл = {z \ ф^ есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями}.
Немедленно получается релятивизация теоремы XX, и мы
имеем ТА 6 П}' А, а также В ? П}' А => В <t ТЛ для всякого В.
Согласно релятивизованной теореме об иерархии, ТА*^ЬА.
Мы называем Т гиперскачком множества А.. (По аналогии
с § 13.1 мы могли бы при определении операции гиперскачка сна-
сначала принять W\'A = {х | (V/)Cw;O'if i(z, /, x, w)}, а затем объя-
объявить К1'А = {х | х 6 W?'A} „гиперскачком" множества А.
В упр. 16-54 мы покажем, что Z1>A== TA.)
ТА
Теорема XXXIII, A
В
Тв.
Доказательство проходит параллельно доказатель-
доказательству теоремы 13-1 (е).
=>. Пусть А^ЪВ. Поскольку ТА б П1'ли А б &{'в, в резуль-
результате подстановки предикатной формы, как в доказательстве теоре-
теоремы XXXI, получаем, что TA?.Ii\'B. А так как Тв является
П}'в-полным множеством, мы имеем ТА*С1 Тв.
<=. Пусть, наоборот, ГА<1Г^ Так как Тв 6 П}' в, получаем, что
и Тл 6 П}'5. Но A <i ТА и A <i ТА (поскольку тривиальным
образом А еп\'А и А еП\'А). Значит, А 6 П}' в и А еп\'в.
Но отсюда вытекает, что А б А}'в.и

528 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Итак, теорема XXXIII вместе с предшествовавшими ей заме-
замечаниями образует полный аналог теоремы 13-1.
Из теоремы XXXIII следует, что операция гиперскачка кор-
корректно определена на гиперстепенях. Назовем некоторую гипер-
гиперстепень Щ-гиперстепенъю относительно другой, если первая
гиперстепень содержит множество, являющееся П^-множеством
относительно некоторого элемента второй гиперстепени. Мы можем
рассматривать различные вопросы о строении упорядочения
гиперстепеней ртносительно операции гиперскачка и отношения
„быть Щ-множеством относительно", аналогичные рассмотрен-
рассмотренным в гл. 13 вопросам об операции скачка и отношении,, быть рекур-
рекурсивно перечислимым относительно"' среди Т-степеней. Такое иссле-
исследование было начато Спектором. Были получены некоторые
результаты, аналогичные результатам гл. 13, включая доказатель-
доказательство существования несравнимых гиперстепеней (см. упр. 16-55).
•Существуют ли гиперстепени, меньшие гиперстепени множества Т
и отличные от наименьшей гиперстепени? (В силу теоремы XXXII
такие гиперстепени не могут содержать IlJ-множеств.) В § 16.7
мы покажем, что такие гиперстепени существуют.
Справедлив ли аналог теоремы 14-VIII (сильной теоремы об
иерархии)? Отрицательный ответ на этот вопрос получается как
-следствие из приведенной ниже теоремы, специальный случай
которой был впервые доказан Аддисоном и Клини [1957]. Эта тео-
теорема представляет собой сильное обобщение теоремы X.
Теорема XXXIV (Шёнфильд [1962]). [А € Aln' в&В^Ап' C 1 =»-
=s» А 6 А^'с при всяком п.
Доказательство. Случай п = О был доказан в след-
следствии 14-VII, а случай п = 1 доказан выше в теореме XXXI.
Мы приведем общее доказательство для нечетных п; доказатель-
доказательство для четных п происходит аналогично.
Пусть А ? An'B ъ В ? An' °- Тогда
А = {х | C/t)(V/2) • . . (lfn)Dw)R(B, h, . . ., fni x, w)}
и
A = {x | (VA) • • • Dfn)(lw)S(B, h /„, x, w)}
для некоторых рекурсивных отношений R и S»
Поэтому
А = {х | CD)[D =В& C/4) . . . (lfn)Dw)R(D, fu . . ., /„,
X, Ш)]}.
Но условие D = В может быть представлено в виде
{Vu)[u 6 D => и еВ] & (\/и)[и еВ=> и ??]. Подставляя сюда
2^>с-форму для В вместо его первого вхождения и П^1 -форму—
вместо второго, получим 2^'с-форму для {D \D = В). Подстав-
§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 529
ляя ее в выражение для А, получим, применяя подходящим
образом алгоритм Тарского — Куратовского, что А 6 2^'с.
Аналогично,
А = {х | (VD)U) = B *> (V/0 • • • (У/»)(Зи;M(Д, h, . . ., /n, x, w)]}.
Подставляя в это выражение ту же 2^' с-форму для {D \ D =5},
получаем, что А ? П^'с.и
Следствие XXXIV (Аддисон, Клини). ¦ А
(и потому, в частности, Т
Н.\-полным).
А
д ) ^ =>- ТА? А\
А\ и не может быть ^-полным или
Доказательство
-г1, А , а 1, А
Hi c А2 «¦
непосредственно, так как Т
Могут быть релятивизованы и другие результаты и понятия
из § 16.3—16.5. Введем следующие определения. Пусть множе-
множество А дано.
Определение. Для, z 6 ТА назовем xf дерево с конечными
путями, характеристической функцией которого является ф^,
и пусть || z \\А — o{rf).
Определение. Ординал а называется А-конапруктивным орди-
ординалом, если а = || z ||А для некоторого z 6 ТА. (Класс ^-конструк-
^-конструктивных ординалов может быть также получен в результате реля-
релятивизации понятий § 11.8 или упр. 11-61.)
Определение. Ti = {х | х 6 ТА & || х \\А < а}.
Определение. Пусть V — такая фиксированная общерекур-
общерекурсивная функция, что для любых п, z и X справедливо ф^,п г~. =
= Ху[(р*(п ® у)]. Отсюда для любых А и п, если z 6 ТА, имеем
b'{n, z) 6 ТА и %ъ>(п, z) есть тг-й отросток дерева %А. (Таким
образом, Ь' есть приспособленный к релятивизованному случаю
вариант функции Ъ. определенной в § 16.3.)
Теперь могут быть доказаны релятивизации теорем XXI, XXII
и XXIII. Рассмотрение Л-гиперарифметической вычислимости
может быть выполнено параллельно рассмотрениям § 16.5; Wl'A
может быть определено как множество с Подиндексом z; можно
доказать теорему об однозначности и ввести понятие Т1\-функции
относительно А. Можно показать, что Щ-функции относительно
А суть в точности функции, вычислимые на обобщенных машинах
§ 16.5, снабженных обычным образом оракулами.
Мы не проводим здесь эти релятивизованные рассмотрения.
Вместо этого мы докажем несколько более сильную релятивиза-
34—0506

530 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
цию теоремы XXIII. Полезность для дальнейших исследований
делает ее одним из главных результатов настоящего параграфа.
Теорема XXXV. Если у 6 Тв, то {х | х € ТА &
II II }
У II }
i' '
х \\А <
равномерно по у относительно 'некоторой всю-
всюф C б
II У II } ? i рвро по у р
ду определенной функции, т. е. C обще рекурсивная g)
(ЧА)(ЧВ)(Чу)[у € Тв => g(y) есть некоторый Д{' А' в-индекс мно-
мно{ в А А в А
жества {х | х
ТА &
х \\
у \\в) (Щх 1 х 6 ТАтВ})].
Доказательство. Мы применяем в доказательстве,
параллельном доказательству теоремы XXI, лемму о рекурсии.
Пусть множество S (из леммы о рекурсии) есть Тв, a <s пусть
б {(у 6 в в в в
будет {(х,вуу | х 6 Тв & у
Тв &
х \\в < || у \\в). Пусть дано,
ву || \\ || у \\) у д,
что у в Т . Предположим, что мы имеем такое z, что, каково бы
ни было х 6 Sy(— Тву^в)-, J a в
для множества Г||
индекс для множества ТАу^в равномерно по z и у
есть некоторый AJ1 a' в-индекс
}1
||В. Достаточно будет найти некоторый А}1 а' в
у^ р у
Применяя основную лемму о деревьях, получим
1 \\v\\B
Теперь если
тих
it @) = 1 &
@)=l&[(Vu)[cpA(u)^0] у [
&W(v#'(«,,)Er;.№Mr_..
ф 0, то по предположению для любых п,
у
Ь (п, x) 6 Г(|ь, (m> тв
f(w),b'(n, x))
», г/)),
Так как Любое из этих двух последних выражений можно под-
подставить в приведенное выше выражение для х 6 ТА в, получаем
в результате применения алгоритма Тарского — Куратовского,
грА с а 1, А, В
что ТшВ 6 АГ ^ .
Если же || у || = 0, то, как объясняется в доказательстве тео-
теоремы XXI, те же подстановки опять-таки показывают, что
ТА г А 1, А, В
Ы
Отсюда, как в доказательстве теоремы XXI, вытекает требуе-
требуемый результат, щ
Следствие XXXV. Если у 6 Тв, то {х \ х 6 ТА*&
B
i' >B
х \\А =
= || J/|| }GAi' >B равномерно по у относительно некоторой
всюду определенной функции.
§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 531
Доказательство. Заметим, что
{х | х 6 ТА & || х \\А = || у \\в} =
= {х \х € 2^.& || х \f < || у \\в + 1 & || у f
х \\А + 1},
и будем рассуждать далее, как при доказательстве теоремы
ХХШ(Ь).Ш
Что можно сказать о классе ^-конструктивных ординалов,
если позволить А меняться? В частности, что представляют собой
гиперарифметические ординалы, т. е. ординалы, соответствующие
деревьям с конечными путями, обладающими гиперарифмети-
гиперарифметическими характеристическими функциями? Докажем в качестве
первого приложения теоремы XXXV следующую теорему, из
которой следует, что гиперарифметические ординалы суть в точ-
точности конструктивные ординалы.
Определение. Пусть А — наименьший неконструктивный орди-
ординал. При любом А обозначим через А наименьший ординал,
не являющийся Л-конструктивным.
Теорема XXXVI (Спектор [1955]). B[<h А =>¦ Хв < Ал.
Доказательство. Допустим, что В ^ь А, но А < А .
Тогда существует такое у в Тв, что || у \\в = А4. Но тогда Т =
= {х | х 6 Тл & || х \\л <
}.
в
По теореме
\'А
XXXV
У
? Ai' А'в. Но В <h А => А\'А' " = А\'", что доказывается с по-
помощью подстановки предикатной формы аналогично тому, как
это делается в доказательстве теоремы XXXI. Поэтому Т 6
? А\'А, а это противоречит П5'л-полноте множества Т .а
Следствие XXXVI (Спектор). (а) [х в Тв & В 6 А]] => || х \\в
конструктивен.
(Ь) А< А4 <=> Г<ЬЛ.
Доказательство, (а) Заметим, что если множество А
рекурсивно, то ХА = А. Применим теперь теорему с рекурсивным
а и в е А}.
(Ь) =». Пусть А < АА. Тогда || у \\А = А для некоторого
у 6 ТА. Поэтому Т = {х | х е Т & || х ||< || у \\А). По теоре-
теореме XXXV r€Ai'A, т. е. Г^цЛ (по определению).
<=. Пусть T^.hA. Согласно теореме, Аг ^ АА. Остается
показать, что А < Аг. Определим следующим образом рекурсив-
34*

532 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
ную относительно Т функцию -ф-
ч>(Ь) = 1,
0,
f 0,
I Фп(/(ж
если и $ Г;
если
Тогда Ир — характеристическая функция дерева т с конечными
путями и всякое рекурсивное дерево с конечными путями содер-
содержится в т в качестве некоторого отростка. Поэтому о(т) = %.
Пусть гр = cpj. Тогда || z ||г = К, а потому К < Хт.
(с) Это — обобщение утверждения (Ь) (см. упр. 16-57).а
В § 16.7 мы покажем, что существуют негиперарифметические
множества, гиперстепени которых меньше гиперстепени множества
Т. Отсюда следует, что обращение теоремы XXXVI не имеет места
(см. упр. 16-58).
Сформулированное в следствии XXXVI(a) утверждение может
рассматриваться как некоторое сильное свойство замкнутости
'гиперарифметических множеств. По данному гиперарифметиче-
гиперарифметическому множеству А мы могли бы пытаться получать множества
все более и более высоких степеней, образуя сначала все множе-
множества r^j с индексом а, пробегающим по всем ^-конструктивным
ординалам, и повторяя затем этот процесс применительно к мно-
множествам, полученным таким образом. Наше следствие показывает,
что таким путем мы не сможем „вырваться" из области гиперариф-
гиперарифметических множеств; действительно, уже однократное применение
этой операции к произвольному рекурсивному множеству дает все
множества Та (с точностью до рекурсивного изоморфизма), и все
другие множества, получающиеся повторными применениями этой
операции, должны быть сводимы к уже полученным. Это свойство
замкнутости согласуется с нашим неформальным рассмотпением
обобщенной вычислимости в § 16.5.
Ез-множества и А*-множества
Используя теорему XXXV, мы получим теорию 2*-множеств
и ДЦ-множеств, аналогичную теории Щ-множеств и Д*-множеств,
изложенной в § 16.4. Эти результаты принадлежат Московакису
и связаны с результатами Судзуки (см. теоремы XLVI, XLVII
и XLVIII).
Определим некоторые понятия, аналогичные Т, \\x\\ и Та. Мы
используем верхние индексы, чтобы отличать обозначения этих
новых понятий.
Определение. Положим Т2 = U ТА. Для iff положим
ACJV
Jk = {A f х 6 ТА) и || ж ||2 = min || х \\А. Для произвольного
At
§ 16.6. ГИПЕРСТЕПЕНИ И ГИПЕРСКАЧОК 533
ординала а полагаем Т%, = (х | х 6 Т2 & || хJJ2 < а}.
Сначала мы докажем аналог теоремы XX, а затем получим
аналоги теорем XXI и XXII.
Теорема XXXVII. Г2 является Ъ\-полным множеством.
Доказательство. По определению Г2 = {z | (ЗА)
[z в ТА]}. Мы видели, что ТА 6 П*'4. Поэтому Т2 6 2J (см.
разъяснения относительно переменных и кванторов для множеств
в конце § 16.1).
Возьмем произвольное 5 6 2*. Имеем В = {х | C/)(Vgr)
(Эы;)Г2, i(z. 7(ы>)»"#(">), х)} при некотором z. По произвольным
данным х и / определим /-рекурсивную функцию гр следующим
образом. Положим для всех gmw
Y \ё \w))
/ 1,
I 0
если И r*(z, /И,
в противном случае.
х);
Некоторый индекс для -ф как /-рекурсивной функции можно
найти равномерно по х (и независимо от /). Пусть h — взаимно
однозначная общерекурсивная функция, дающая эти индексы.
Тогда х 6 В <^> (ЭЛГф^а-) есть характеристическая функция
некоторого дерева с конечными путями] <=> {3f)[h(x) 6 Тх ] <=>
<=> h(x) 6 Г2 (см. упр. 16-60).| Поэтому В 1-сводится к Т2 функ-
функцией h.u
Определение. Для произвольного множества А назовем w s=
= (и, v) его А\-индексом, если и есть И'-индекс множества A, a v
есть его Щ-индекс.
Теорема XXXVIII. Каково бы ни было у 6 Т2, Цу]р € A? рав-
равномерно по у относительно некоторой всюду определенной функции,
т. е. C общерекурсивная g) {ЧуIу € Т2 =rfg(y) есть А\-индекс
для f]
Доказательство» Пусть у ? 712. Тогда
х е цу]\2 <=?> (чв)[у етв=> {1А){х етл &\\х \\А < ц у \\в]] <=>
{ЗА)[х е ТА & ПC5)[г/ ? Тв & \\ у \\в < || х \\А +1]].
Из теоремы XXXV извлекаются Щ-форма для первого выраже-
выражения и 2|-форма для второго, причем их индексы находятся равно-
равномерно по у (см. упр. 16-61). в
Теорема XXXIX (теорема об ограниченности). Пусть А 6 2?
и h — такая общерекурсивная функция, что (Чх)[х 6 А

534 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
h(x)
Т2].
» < ||
Тогда А
А\
(Зу)[у 6 Г2 & (Чх)[х 6 А
Доказательство. -<=. Если такой t/ существует, то
А <;4 Г^и||«. Но тогда А 6 Д* по теореме XXXVIII.
=>. Если такого у нет, то Г2 = {z | (Зж)[? 6 Л. & z 6 ^|Л(ж)Ц2]}.
Если Л 6 Щ, то по теореме XXXVIII Г2 6 Щ, что противоречит
теореме XXXVII. а
Следствие XXXIX. (а)
А в А* <=> Ct/)[t/ eP&i<, Г*,,,,,.] <=>
<^> Cz/)[tf 6 Г2 & А <т ГЦ,,,,].
(Ь) C общерекурсивная g) (V4) (Vz#) [если А ? А\ и w — неко-
некоторый [А\-индекс множества А, то g(w) ? Т2 и А ^
Доказательство. Доказательства пунктов (а) и (Ь)
проводятся параллельно доказательствам следствий XXII (см.
упр. 16-62). ш
Определение. Положим §1 = {а | Ct/)[j/ 6 Т2 & а = || у ||2]}.
Определение. Ординал а называется А\-ординалом, если суще-
существуют такие Д*-множество А и z 6 7"N что а = || z [|A.
Какие ординалы входят в И? В И содержатся, очевидно, все
конструктивные ординалы. В § 16.7 мы покажем, что всякий орди-
ординал из ЭД есть А^-ординал и что существуют Д^-ординалы, не при-
принадлежащие множеству И (следствия XLV (d) и XLV (е)). В сле-
следующей теореме мы устанавливаем, что И не ограничено сверху
никаким Д^-ординалом. Отсюда и из только что упомянутых
результатов § 16.7 следует, что ординалы из И не образуют
начальный отрезок ординалов. В упр. 16-63 мы увидим, что поряд-
порядковый тип множества И не есть А'-ординал. Таким образом, И
представляет собой собственное конфинальное подмножество AJ-
ординалов того же порядкового типа, что и множество всех Д?-
ординалов.
Теорема XL. Aх)(ЗВ)[В 6 А\ & х 6 Тв & а = \\ х \\в\ =Ц
(Э)[ еТ*&<\\ ||2]
=> (Эу)[у
Д оказательство. Допустим противное. Тогда В
х е Тв и (Чу)[у е Т2 => || у ||2 < || х \\в
использованную при
у ||2 < || х \\в + 1]. Применяя технику,
завершении доказательства следст-
следстдоказательства
вия ХХП(Ь), найдем такой х', что || х' \\в = Ц х ||f + 1. Тогда
)\А <\\х' IIs]
\у е Т2 <*> (ЗА)[\\ у )\А <\\х' IIs].
Но в силу теорем XXXV и XXXIV отсюда вытекает, что Т2
в противоречие с теоремой XXXVII.в
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
535
Определение. Положим х <Т2 у, если х 6 Т2 &. у 6 Т2 &
& Щ х ||2 < || у \\2 V Щ* ||2 = || У II2 & х < у]].
Отношение <Г2 есть Е^-отношение, и дсякий ограниченный
начальный отрезок упорядочения <Т2 есть AJ-отношение (что
доказывается так же, как следствие XXIII). Отсюда, между про-
прочим, вытекает, и притом без использования результатов § 16.7,
что всякий ограниченный начальный отрезок множества ЧЯ. изомор-
изоморфен (как вполне упорядоченное множество) некоторому А^-орди-
налу. Теперь может быть развита теория Б ^-вычислимости, парал-
параллельная теории nj-вычислимости, изложенной в § 16.5. В част-
частности, могут быть доказаны теорема об однозначности, принцип
редукции и существование пары непересекающихся 2^-множеств,
не отделимых А^-множеством, а также принцип редукции для
2j множеств функций (см. упр. 16-64 и 16-65). На первый взгляд,
многообещающим представляется распространение описанной тео-
теории на Щ-множества. Определим ТА'В очевидным образом. Пусть
= п у
SCN ACZN
Пусть
А'В = {z\(VB)(BA)lzeTf
|3 = sup min || x \\A'B, где Jb = {A | z 6 TA'B). Пусть
= sup min
BCZNAe^r
П = {z I z 6 Г3 & || z ||3 < a}.
T3, как легко видеть, Щ-полно. Тцу\\и G 2\ равномерно по у
(если у 6 Г3, то [х 6 Л|„ц8 «=> CD) (VC) [у ?TC'D=> (V5)
(ЗЛ)[|| х ||А'В < || у ||с> °Ш). Однако мы не можем дока-
доказать, что ^jL||3 G Пд равномерно. (Почему высказывание
<уВ)(ЭА)[х € ТА' в & CD) (VC) П [|| у f' D < || х \\А'в + 1]] ока-
оказывается ложным? См. упр. 16-66.) Действительно; если бы мы
смогли это доказать, мы получили бы и доказательство принципа
редукции для Щ-множеств, а, как известно из трудов Гёделя
и Аддисона, существование такого доказательства влекло бы за со-
собой противоречивость системы ZF теории множеств (см. Адди-
сон [1959]).
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ
И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
Определение. Пусть $?—класс гиперарифметических функций.
ОвозначЕНИЕ. Мы сокращаем запись Cf)[f ^ Ж & • . .1 до
C/W-..].

536 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Теорема XLI (Клини). Пусть R —рекурсивное отношение,
и пусть
А = {х \m^(\fw)R(f(w), х)}.
Тогда А 6 П}.
Доказательство. Пусть ф* означает то же, что
и в § 16.5. Напомним, что по z можно эффективно найти некото-
некоторый П^-индекс функции q>l, а если ф? всюду определена, то и неко-
некоторый 2}-индекс функции q>l может быть найден равномерно по z
с помощью соответствующей всюду определенной функции.
Теперь Cf)$g(\fw)B{f(w), х) <=> (Зг)[ф? всюду определена &
& (УюЩфКиО, *)] <=> Cz)[(Vu)Ci;)[«u, v) 6 фЯ & (Vw)(Vy)lly
есть кодовое число кортежа длины w &(Vu)(Vra)Hra <C w & u есть
(п 4- 1)-е значение в кортеже, представимом у] =>- (га, и) 6 Фг 11 =Ф
=>R(y, x)\].
Подставляя (в последнее выражение) П}-форму для ф* вместо
первого вхождения этой функции и равномерную 2 *-форму вместо
в торого вхождения, получим, что А ? Н\-я
Следствик XLI(a). Существует такое рекурсивное множество
S, что
= {z'i\Cf)Ciw
даже когда И
Дока зательств о. Пусть
f(w), z)}. Положим
A = {z
Имеем 4сВ. Пусть одним из П[-индексов множества А служит
z0. Тогда, согласно определению В, z0 ? В &za § А. Поэтому
(Э/)(Уи>ПП, i(z0,/H.z0),HonC/)<»(Vio) ~in.iBo,/N.2o). Пола-
Полагая S = {у \ "~\T*tl(z0, у, z0)}, получим искомый результат.
Это следствие допускает также такую интересную формули-
формулировку. *
Следствие XLI(b). Существует рекурсивное дерево, имеющее
бесконечные ветви, но не имеющее бесконечных гиперарифметиче-
гиперарифметических ветвей.
Доказательство. Непосредственно. -
Теорема, обратная к теореме XLI, будет доказана в качестве теоре-
теоремы XLIV.
Определение. Пусть R — семейство классов функций, % —
класс функций. % называется базисом семейства R, если
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 537
6 R
6 <Й>\
C/)[/ 6 « & / 6 М-
Например, легко показать, что класс рекурсивных функций
есть базис семейства рекурсивных классов функций (упр. 16-67).
В задачах, касающихся базисов, мы иногда пользуемся приня-
принятыми в теории иерархий обозначениями применительно к классам
функций или же к семействам классов функций. Например, толь-
только что упомянутый результат можно сформулировать так: 2° есть
базис в 2' (т. е. класс всех функций, каждая из которых предста-
вима в 2°-форме, есть базис в семействе классов, каждый из кото-
которых представим в 22-формеI).
Рассмотрим такое семейство классов Jk, что для некоторого
рекурсивного отношения S справедливо Л = {f \ (Vu>)?(/(u;))}.
Следствие XLI показывает, что класс гиперарифметических функ-
функций не образует базиса в этом семействе. В силу теоремы V это
семейство есть семейство всех Щ-классов. Поэтому можно так
сформулировать наш результат: Aj не является базисом для Щ.
Образуют ли Щ-функции базис в Щ? Очевидно, что нет,
поскольку, согласно § 16.5, Щ-функции (всюду определенные)
совпадают с гиперарифметическими функциями. (На самом деле,
при любом п понятия всюду определенных 2^,-функций, Щ-функ-
ций и А^-функций совпадают.)
Образует ли класс всех функций, рекурсивных относительно
П^-множеств, базис в Щ? Да,, образует, как мы сейчас покажем.
Теорема XLII. Пусть отношение S рекурсивно. C/)(Vii>)
S(](w)) =$¦ (Э/)[/ рекурсивна относительно Т & (Vw)S(f(w))].
Доказательство. Пусть S дано. S определяет некото-
некоторое рекурсивное дерево т. (Произвольная вершина принадлежит т,
если S истинно для нее и для всех вершин над ней.) Пусть
Cf)(Vw)S(f(w)). Мы дадим инструкции для рекурсивного относи-
относительно Т вычисления значений та,кой /.
Чтобы вычислить /@), поочередно проверяем последователь-
последовательные отростки т, чтобы с помощью Т решить относительно каждого
из них, является ли он деревом с конечными путями. Некоторый
отросток обязательно окажется не таким. Пусть х0 есть наимень-
наименьшее из таких и, что и-ш отросток т не есть дерево с конечными
путями. Положим /@) = х0-
При вычислении f(n) будем считать, что /@), . . ., f(n — 1)
уже вычислены. Поэтому /(га) известно. Поочередно проверяем
последовательные отростки дерева, получающегося из т, если
взять вершину f(n) вместе со всеми вершинами, лежащими ниже
ее.н
х) Всюду ниже в задачах о базисах рассматриваются всюду определен-
определенные функции.— Прим. перев.

538 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Следствие XLII(a). Класс функций, рекурсивных относительно
Т, есть базис в П?.
Доказательство очевидно.а
Следствие XLII(b). Класс функций, рекурсивных относительно
Т, образует базис в SJ.
Доказательство. Пусть Д есть SJ-класс. Тогда Д; =
= {/
шения R.
Но
g(w))} для некоторого рекурсивного отно-
отно^ j
=>- (Bh)(\fw)R{nih(w), п2йМ) =» ч
=> Cfo) [fe рекурсивна относительно 21 &
(Vw)R(nih(w), n2h(w))] (в силу теоремы) =>
=Ф- C/)[/ рекурсивна относительно Г & Cg)[g рекур-
рекурсивна относительно Т & (\/w)R(f(w), g(w))]] =>¦
=>- C/)[/ рекурсивна относительно
Г & Cg)(\fw)Rif(w), g(w))] =>
=*" C/) [/ рекурсивна относительно Г & / ? ^Ь
Поэтому все приведенные выше формулы эквивалентны,
(Э/)[/ € ^] <=> C/)[/ рекурсивна относительно] Т &-/ ?А\.Ш
и
Обязательно ли использовать функции той же степени, что
и Т (или даже той же гиперстепени, что и Т), чтобы получить
базис в Щ? Ганди получил на этот счет следующий результат.
Теорема XLIII (Ганди [I960]). Пусть % — класс всех функций,
гиперстепени которых меньше, чем гиперстепень Т, m. e. to =
= {/ I / <цТ &,Т ^ь /}• Тогда 43 образует базис в Щ.
Доказательство. Пусть дана некоторая всюду опре-
определенная функция g. Как отмечалось в § 16.6, понятие гиперариф-
гиперарифметической вычислимости из § 16.5 может быть релятивизовано,
так что порождаемыми станут Подмножества Wo'8, W\e, ¦ . .
и П}'г-функции tpj' 8, ф1>г, . . .. Прямая релятивизация доказа-
доказательства теоремы XLI дает тогда следующий результат:
R рекурсивно относительно g, то {х | Cf)[f ^ь g &
[-
Доказательство следствия ХЫ(а) также допускает тогда реля-
релятивизацию, приводящую к существованию такого z0, что
C/)(Vu>) П Tt?i(z0, T(w), z0) (<^>C/)(V^) И Ttiizo, г(и>), /И, z0)),
но при этом н (Э/)[/ <h g & (Vu;) П r'f i(z0, /(u?), z0) ](<=> П (ЗЛ
если
&(Vw)IHf(w),x)]}en[-'
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 539
\f<b'g&(Vw)-\T$,i(z0, g(w), /И, z0)]). (См. упр. 16-68.)
Это z0 не зависит от выбора g. Поэтому мы имеем такое
рекурсивное отношение S, что
, /И),
но при этом (Vg){4f)lf<hg=>^Dw)S(g(w), J(w))].
Пусть R — произвольное рекурсивное множество. Мы хотим
показать, что
Cg)(\fw)R(g(w)) => Cg)[g
& Г
Введем Q = {{и, v) \ R{u) & S{u, v)}. Тогда
(lg)(Vw)R(g(w))
C)(Vu)<?(n1fe(ji'), n2h(w)) (по определению S)=>-
=$- (Bh) [h рекурсивна относительно Т &
&(yw)Q(nih(w), n2h(w))] (по теореме XLI I) =>-
=$¦ Cf)Cg)lf и g рекурсивны относительно Т &
& Dw)R(g(w)) & (\fw)S(g(w), J(w))\ =>
=> C/)Cg) [/ и g рекурсивны относительно Т &
- & Dw)R(g(w)) & f s^h g] (по построению ?)=>
=> Cg) [g рекурсивна относительно Т &
& (\fw)R(g(w))] =>
T&T^hg& (\/w)R(g(w))].m
Следствие XLIII(a). Класс всех функций, гиперстепени которых
меньше гиперстепени множества Т, образует базис в 2J.
Доказател ь с т в о. Такое же, как в следствии ХЫ1(Ь).И
Следствие ХЫП(Ь). Существует гиперстепень, промежуточная
между А\ (наименьшей гиперстепенью) и гиперстепенью множе-
множества Т.
Доказательство. Непосредственно с помощью след-
следствия ХЫ(а).ш
В упр. 16-69 мы покажем, что существует бесконечно много
таких гиперстепеней.
Ряд результатов о базисах был получен в связи с гиперариф-
гиперарифметическими множествами. Будем говорить, что множество А
определимо в 2>\-форме с % в качестве базиса, если существует
такое рекурсивное отношение R, что
и
(i) A = {z
(ii) (Vz)[C/)(Vu>)/?GH,
), z)}
C/)[/ 6 « & Dw)R(J(w\ z)]].

540 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Из теоремы XLI немедленно вытекает, что всякое множество, опре-
определимое в 2}-форме с гиперарифметическими функциями в каче-
качестве базиса, является гиперарифметическим. Клини [1959а] пока-
показал, что гиперарифметические множества могут быть индуктивно
порождены следующим образом: всякое гиперарифметическое мно-
множество определимо в SJ-форме с функциями, рекурсивными отно-
относительно ранее полученных Т-степеней, в качестве базиса. См.
упр. 16-99. Эти результаты представляют другой аспект рассмат-
рассматривавшихся в § 16.6 свойств замкнутости гиперарифметических
множеств.
Теперь мы с помощью основной леммы о деревьях докажем
обращение теоремы XLI.
Теорема XLIV (Спектор). Если А 6 Щ, то существует такое
рекурсивное отношение R, что А = {х
Доказательство. По ходу доказательства нашей
главной целью будет получить арифметическое отношение Р с
с JF X №> обладающее следующими двумя свойствами, (i) z 6
6 Т =ф- [P(f, z) <=> / есть характеристическая функция множества
{(и, v) | и 6 Т & v € Т & || и || < || v ||< || z ||}]. (ii) [z $ Т &
& P(J, z)] => / совпадает на N X Тс характеристической функцией
множества {(и, у) | и 6 Т & v ? Т & || и \\ <. || у ||}. Как только
такое Р будет получено, теорема доказывается прямыми рассуж-
рассуждениями.
Условимся говорить о числе ж, что х есть дерево, если фж —
характеристическая функция некоторого дерева, т. е. если
(Уы)[фя(и) = 0 V 4>х(и) = 1] &(\/u)(\/v)[[<i>x(u) = 1 & кортеж (соот-
(соответствующий кодовому числу) и есть продолжение кортежа
(соответствующего кодовому числу) v] =ф- q>x(v) = 1]. Отметим, что
последнее выражение дает Щ-форму для множества {х | х есть
дерево}. ч
Положим С = {/ | (Vu)[/(u) = 0 V /(") = 1]}, а также
М = {(/, х, z/) | х есть дерево & у есть дерево &
& [[|| х || = 0 & || у || = 1] V П[|| У || = 0] & Cm)(Vn)[/((b(n, x),
Ъ(т, у) » =1] &(Vm)[|| Ь(ш, г/) || =0 V Cs)[/(s, b(m, г/)) = 1]]])},
где Ъ — определенная в § 16.3 общерекурсивная функция, е помо-
помощью которой получаются отростки данного дерева.
Вспоминая основную лемму о деревьях, отметим некоторые
свойства отношения М.
1. Пусть / — характеристическая функция множества
{{х, у) | х € Т & у б Т & || х || < || у !|}. Тогда / удовлетворяет
соотношению
C{f) & (Vz)(V*/)[/(<z, у)) = 1 ^> М(Л х, г/)].
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 541
2. Этому арифметическому соотношению удовлетворяют и дру-
другие функции /. Если бы это было не так, то в силу аргументов,
использованных при доказательстве теоремы XI, характери-
характеристическая функция из пункта 1 была бы гиперарифметической, что
противоречит теореме ХХШ(с) (см. упр. 16-71).
3. Пусть уо ? Т, a. f совпадает с характеристической функцией
множества {(u, v) \ и 6 Т\\Уе\\ & v 6 Т\щ\ & || и |1 < || v ||} на мно-
множестве N X Г|Ы|. Пусть, далее, С if) & (Vx)Dy)[f{(x, у}) = 1 <=>
M(f, х, у)]. Тогда
Of) & (V*)[/((*.
= 1 <=> х 6 Г & || х || < || г/о
а потому / совпадает с характеристической функцией множества
{(u, v) | и 6 Г,|Ув||+1 & г; € Г|Ы|+1 & || и || < || v ||} на iV X ^ЦуоИЧ-i-
Это непосредственно вытекает из основной леммы о деревьях.
4. На самом деле, какова бы ни была функция /, если C(f) &
& (Va;)(Vi/)[/((a;, у)) = 1 <?=> M(J, x, у)], то / совпадает с харак-
характеристической функцией множества {(u, v)\u?T&v(zT&
& || и || < || v ||} на множестве N х Т. Это утверждение получается
из утверждения 3 с помощью индукции по || г/0 ||-
Положим теперь
Р = {</. *>\C(f)& {Vx)(>fyM(x, y))=l^> [M(f, х, у) &
z), b(m, у)))=0]]]&(\/х)(Чу)
, у)) =1 =>¦ (Vn)[/«b(n, у), z» == 1]}.
Докажем теперь некоторые касающиеся Р факты.
5. Если z 6 Т и / есть характеристическая функция множества
{(u, v) | и 6 3" & у € Г & || м || < || у || ^ || z ||}, то справедливо
P(f, z). Первый и третий конъюнктивные члены из определения Р
проверяются непосредственно. Что касается второго члена, то =>¦
проверяется непосредственно (см. свойство 1), а ¦<= вытекает
из основной леммы о деревьях (см. свойство 3).
6. Если z 6 Т и справедливо Р(/, z), то / есть характеристи-
характеристическая функция множества {(и, у) | и 6 Т & v 6 Г & || w || <
< || у || ^ || z ||}. Мы докажем это следующим образом. Пусть
z 6 У и справедливо Р(/, z). Покажем сначала, что / совпадает
с характеристической функцией множества {(u, v) \ и 6 Т &
|| Ц|| }
IN
+i при всяком
z |[. Это непо-
с использова-
ф
&v?T& || и Ц<|| у || < || w ||} на множестве^ X Т
w, для которого имеет место и>6 Т и |[||
средственно доказывается обычной индукцией по || w
нием второго члена из определения Р (см. упр. 16-71 и свойство 4).
Из третьего конъюнктивного члена в определении Р непосред-
непосредственно вытекает, что / = 0 на множестве N X Гц2ц+1.
7. Если z 6 Т, то Р(/, z) справедливо для одной и только одной
/, и эта / — гиперарифметическая функция. Единственность /

542 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
следует из свойств 5 и 6. Но если / единственна, то
/ = {<*, у) | (lg)[P(g, z) & g(x) = y]} =
= {<х, У> I (yg)lP(g, *) => g(x) = у]}.
Так как Р — арифметическое отношение, получаем / 6 А}х).
8. Если z (J Т и Р(/, z), то / на множестве N X Т совпадает
с характеристической функцией множества {{и, v) | и € Т &
& г; б Г & || и || <С || у || }• Это утверждение доказывается индук-
индукцией параллельно доказательству свойства 6, но здесь || w || про-
пробегает по всем конструктивным ординалам. Как и в свойстве 6,
для проведения индукции используется второй член из определе-
определения Р. Третий член не используется (см. упр. 16-71). (Для некото-
некоторых z $ Т может и не найтись такой функции /, что P(f, z).)
9. Если z (J Т и P(f, z), то / не является гиперарифметической.
Возьмем произвольное у 6 Т. Тогда в силу свойства 8 Т\\у\\ =
= {х \f((x, у)) = 1}- Поэтому, согласно следствию XXII, всякое
гиперарифметическое множество рекурсивнб относительно /.
Поэтому / не может быть гиперарифметической (см. теорему X).
На основании свойств 7 и 9 мы можем сразу заключить, что
P(f, *)}•
Применяя алгоритм Тарского — Куратовского к арифметическим
отношениям С, М и Р, мы сначала получим, что'С G Щ и М 6 А",
а затем, что Р 6 П°. Поэтому
f, x, у, w, z)
для некоторого рекурсивного отношения R, где / единственна,
если z G Т. Теперь мы преобразуем числовые кванторы за счет
введения подходящих кванторов по функциям. Итак,
z 6 Т <z> C/)№Cg)(Vx)[(V^)i?(/, х, g(x), w, z) &
& (Vu)[u < g(x) => Cw)-\R(f, x, u, w, z)]].
Если z 6 T, то g, понятно, единственна и является арифметиче-
арифметической относительно однозначно определенной гиперарифметиче-
гиперарифметической функции /. Поэтому
z € Т <?> (Э/)даC?)да(Уя)(Зи>)?(/, g, х, w)
для некоторого рекурсивного отношения S, где / и g определяются
однозначно при г ? Г; отсюда
z € Т <^> Cf)^Cg)^h)(\/x)[S(f, g, x, h(x)) & (Vu)
{и<Цх)=> ~\S(f, g, x, и)]].
г) Из свойств 6 и 7 получается новое, независимое доказательство теоре-
теоремы XXI, т. е. импликации г 6 Т =Ф T,,z,, 6 ^1 (см. упр. 16-71).
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 543
Если z 6 Т, функция h, очевидно, единственна и арифметична
относительно однозначно определенных гиперарифметических
функций / и g. Поэтому имеем
2 ? Т <=> Cf)&e&g)$ieCh)&e(Vw)Q(f(w)> g(w), h(w), z)
для некоторого рекурсивного отношения Q, причем f,gmh опре-
определяются однозначно, если только z 6 Т. Отсюда
где h однозначно определена при z 6 Т.
Таким образом, Т представлено в желаемой форме.
А так как всякое П}-множество 1-сводимо к Т, произвольное
П[-множество представимо в желаемой форме. я
В упр. 16-101 будет дано несколько более краткое доказатель-
доказательство теоремы XLIV. Настоящее доказательство, однако, приводит
к следующей характеристике гиперарифметических множеств:
всякое множество, неявно определимое в элементарной арифме-
арифметике, является гиперарифметическим, и всякое гиперарифметиче-
гиперарифметическое множество 1-сводимо к некоторому множеству, неявно опре-
определимому в элементарной арифметике. Сформулируем этот факт
в виде следствия доказанной теоремы.
Следствие XLIV.(a) (А } 6 Д»
(ь) а е а;(звIа <в&
А 6 AJ.
е aji.
Доказательство. Утверждение (а) прямо доказывается
методом, использованным для доказательства свойства 7.
Чтобы доказать (Ь), достаточно показать, что для всякого у 6 Т
справедливо (ЗВ)[ТШ\ ^ В & {В} 6 AJ]. Если / — характеристи-
характеристическая функция множества {(и, у> 11| и || < || v || < || у ||}, то,
согласно свойству 7, {/} 6 AJ- В этом случае Гцуц <i т(/) и, как
доказывается методами, примененными в теореме 15-XXV,
{т(/)} 6 AJ (см. упр. 16-74). Обратно, пусть {В} 6 AJ и A <i В.
Тогда, согласно (а), 5 6 А}, а потому и А 6 А}.ш
Утверждение (Ь) может быть следующим образом усилено.
Следствие XLIV(c). А € А1 <=> (ЗВ)[А <4 В & {В} 6 П°3].
Доказательство непосредственно следует из доказа-
доказательства настоящей теоремы и теоремы 15-XXV^
Справедливо также
Следствие XLIV. (d) А 6 AJ
(е) А е А\ <=> AВ)[А <т В &
C/)U <
} 6 П°].
/ & {/} 6 Щ].
Доказательство. Утверждение (d) доказывается, отпра-
отправляясь от последней формы для Т ,в доказательстве теоремы,
так. как n\h ^T h.

544 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Часть- (е) получается теперь с помощью теоремы 15-XXV.p
Следствия XLIV(d) и XLIV(e) усиливаются в теореме LII
и в упр. 16-98.
Верно ли, что всякое гиперарифметическое множество неявно
определимо в элементарной арифметике, т. е. верна ли импликация
Л ? Ai =Ф {Л} 6 AJ? Феферман получил отрицательный ответ
на этот вопрос, используя методы Коэна, связанные с понятиями
вынуждения и генеричности. См. упр. 16-72. Приведем, однако,
Следствие XLIV. (f) Л 6 А} <?=> {Л} 6 А} <=> {Л} 6 2J.
(g) Л 6 Д} <=> {ЗВ)[В 6 AJ & «Л, В}} 6 Aol-
(ь) а ек<=> (зв)[в еА\& \{А, в}} е п°].
Часть (g) утверждает, что всякое гиперарифметическое множе-
множество „почти неявно определимо" в элементарной арифметике в том
смысле, что оно и некоторое другое гиперарифметическое множе-
множество могут быть „одновременно неявно определены". Первоначально
результаты о неявной определимости гиперарифметических мно-
множеств были получены именно в такой форме.
Доказательство, (f). (i) Л 6 А} => {Л} 6 А*- Пусть
Л 6 А\. Заметим, что {Л} = {X | (Vx)[x G X =>х 6 Л] &(Чх)[х?
6 Л =^ х 6 X]}. Подставляя соответствующие формы для
Л в правую часть импликации, получим желаемый результат.
(И) {Л} 6 А\=>~{А} 6 2J. Это тривиально.
(ш) {Л} 6 2J => {Л} € Д}. Пусть {Л} 6 2J и Д(Л) — некоторая
2гФ°Рма' представляющая {Л}. Тогда и
л = {ж | (зх)Ш(х) & х е х]} =
= {* |(VX)№(X)=>a:eX]},
откуда извлекаются требуемые 2}- и Щ-формы для Л.
(g) -t=. Пусть (ЗВ)[В ? А\ & {(А, В)} ? Д;] и Л(Л, 5) - неко-
некоторая арифметическая форма для {(Л, BY}. Тогда {Л} =
= {X | CB)R(X, В)} и мы имеем {Л} 6 2J. Отсюда в силу (f)
Л 6 А1-
=^. Пусть теперь Л ? Д^. Воспользовавшись (Ь), возьмем такое
В, что {В} 6 AJ и Л ^! В. Пусть S{B) — некоторая арифметиче-
арифметическая форма для {В}. Пусть функция / 1-сводит Л к В. Тогда
«Л, Я>} = {<Х, У> | S(Y) & {Vx)lx e X ^> /(ж) 6 Я}, и мы по-
получаем искомую арифметическую форму.
(h) См. упр. 16-75.и
В связи с (f) Бенсон анонсировал результат, гласящий, что для
всякого уровня гиперарифметической иерархии существуют
гиперарифметические множества, обладающие неявными „гипер-
„гиперарифметическими" определениями, лежащими выше данного уров-
уровня, и не допускающие таких неявных определений, лежащих
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ К НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 545
ниже его. (Уровни гиперарифметической иерархии определяются
в § 16.8.)
Является ли $?, класс всех гиперарифметических функций,
гиперарифметическим классом? В упр. 16-76 мы покажем, что это
не так и что $? 6 (Щ — 2J). Является ли класс всех арифметиче-
арифметических функций арифметическим? Аддисон, используя методы Коэ-
Коэна, показал, что это не так (см. упр. 16-73).
Теперь мы обратимся к А^-множествам. Мы получим теорему
о базисе, противоположную по форме результату, полученному
в следствии XLI для AJ, но при этом получим результаты о неяв-
неявной определимости, аналогичные' результатам о Aj, полученным
в следствии XLIV. Наши результаты следует из фундаменталь-
фундаментального факта, установленного вцачале Кондо для классической
иерархии проективных множеств, а затем доказанного Аддисоном
и для аналитической иерархии.
Пусть ^cjE^eil}. Тогда $ = {А \ (\/f)(ly)R(A, /, у)}
для некоторого рекурсивного отношения Лег jfT X jF X N.
Определение, z называется Н\-индексом класса сГ>, если
^ = {Л |(УЖЭг/)Г2,оB,Л, т(/), у)}.
Заметим, что
(yf)(By)T2,0(Z, А, т(/), у) <s> ШШТ'иоЬ, /, у)
в силу определений. (См. определения, предшествующие тео-
теореме XXX.) Итак, (z есть Щ-индекс для сГ1) <=> сГ1 =
= {Л | (V/)Ci/O7*fo(z) /(*/))}• Отметим также, что отношение
«Л, z, u> | 7i?o(z, u)}
рекурсивно.
Теорема XLV (Кондо, Аддисон). Если ?Р cr JP и сГ1 6 П[, то
существует такое &, что @ с jfTt fifllj й
(i) ^ = 0 => а = 0,
(И) ®ф 0=^(ЗЛ)[® = {Л} &Л 6^1, .
причем некоторый Щ-индекс класса & находится по Л\-индексу &
равномерно с помощью всюду определенной функции.
Доказательство. Введем несколько определений, свя-
связанных с выбранным нами кодированием кортежей натуральными
числами.
Определение. Скажем, что у продолжает х, если кортеж, пред-
ставимый (кодовым числом) у, есть собственное продолжение кор-
кортежа, представимого (кодовым числом) х.
35-0506

546 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Отметим следующее свойство выбранного кодирования корте-
кортежей натуральными числами: (Va;)(Vj/)[j/ продолжает х =>-
=> У > х\ (см- УПР- 16-77).
Определение. Пусть х есть кодовое число кортежа хи . . ., хк,
а г/ — кодовое число кортежа у±, . . ., ут; обозначим через x*j/
кодовое число кортежа xt, . . ., xh, t/i, . . ., ут. Очевидно, что
функция Хху[х * у] общерекурсивна. Отметим, что 0 * у = у для
всякого у.
Определение. Пусть t — такая общерекурсивная функция,
что для всякого X
q>xt(X,z) = Ky[<pf(x * у)].
Таким образом, если q>f — характеристическая функция дерева
т, то (p?(x,z) — характеристическая функция дерева, получаю-
получающегося из т, если взять все вершины т, начиная с вершины
(с кодовым числом) х и ниже. (Функция t является, понятно,
обобщением функции отростков Ь, определенной в § 16.3.)
Условимся, что на протяжении последующего доказатель-
доказательства произвольное данное дерево с конечными путями не только
сопоставляет каждой своей вершине некоторый ненулевой орди-
ординал, как в § 16.3, но также сопоставляет ординал 0 всем другим
вершинам (всего функционального дерева).
Пусть дано оР ж z — некоторый П}-индекс множества 8*. Тогда
® = {А
Возьмем такое w, чтодая всех А
q>A(x)
\ 0
если ^ T*Ao(z> x);
в противном случае.
w, очевидно, находится по z равномерно с помощью всюду опреде-
определенной функции. По определению <р^ является характеристиче-
характеристической функцией некоторого дерева с конечными путями тогда
и только тогда, когда A G <9\ т. е. w 6 ТА <=> А 6 оГ1. (Напом-
(Напомним, что ТА, || z j|A и хА определены в § 16.6.)
Теперь мы определим @. В выражении для (§, мы сокращаем
в
[и
тв &
U
ДО
f < II v \\A]
и IIs = || v
до
и
< || v ||л, а [и
Тв &
и
f
(для произвольных термов и и v);
&
&(\/B)l\\wf = \\w\\J
w \\А 1 &
1х <у=>\\ t(x, w) f =
«(ж, ш) ||А] =*. П [ || %, и?) f < || <(у, и;) ||А]]] &
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 547
& (V?)[(V*)[ || t(x, w) ||s = || t(x, w) ||A] =
[x < у =>- cB(x) = cA(x)] =>- cA{y) < cB(y)]\}.
Отметим, что опредедение состоит из четырех пунктов.
Остается доказать, что C, обладает желаемыми свойствами.
& 6 Щ. Для доказательства воспользуемся П1>А-формой для
ТА и подходящими П{'А'в- и S}' А' ^-формами, полученными
в теореме XXXV и следствии XXXV для соответствующих выра-
выражений. Затем применим алгоритм Тарского — Куратовского (см.
упр. 16-8). (Если w 6 Тл, то t(x, w) 6 ТА для всех х, и формы,
доставляемые теоремой XXXV и следствием XXXV, имеют желае-
желаемое значение. Если w ($ Т , то значение этих форм несуществен-
несущественно.) Отсюда следует, что Щ-индекс ($, равномерно зависит от z.
(i) & = 0=ф-@ = 0. Получается непосредственно, посколь-
поскольку, как мы заметили, w ? ТА <=^- А 6 е^-
(И) ^ ф 0 =>- (ЗА)Ш = {А} & А 6 сГ1]. Сначала покажем,
что @ содержит не более одного А. Рассмотрим по порядку
пункты определения.
Первый из них говорит, что А 6 &¦
Второй утверждает, что для всякого В если В 6 <3\ то || w \\Л<С
<!|| и? ||в. Поэтому для любых А\ и А2 из & имеем || w ||А>
Третий пункт говорит, что для всякого В если В ?
= || w \\в, то Тад должно быть расположено по крайней мере так же
высоко, как и|т?, в некотором „лексикографическом" линейном
упорядочении деревьев с конечными путями. Поэтому для любых
А\ и Аг из & имеем т?» = т?2.
Четвертый пункт гласит, что для любого В если %А = %в, то В
должно располагаться по крайней мере так же высоко, как А,
в некотором „лексикографическом" линейном упорядочении клас-
класса Ж1)- Поэтому для любых Ai и Az из й получаем -Ai = A2-
Остается показать; что Ф Ф 0 => (% Ф 0. (Это не очевидно,
так как использованное нами „лексикографическое" линейное
упорядочение деревьев с конечными путями не является (как
линейное упорядочение всех деревьев с конечными путями) вполне-
упорядочением; также и использованное „лексикографическое"
линейное упорядочение класса JT не есть вполне-упорядочение.)
Пусть & ф 0.
1. {А \ А удовлетворяет первому пункту определения} Ф 0.
Это очевидно, так как А ? ф <=> w ? ТА.
2. {А \ А удовлетворяет первому и второму пунктам опреде-
определения} ф 0. Это очевидно, потому что упорядочение ординалов
есть вполне-упорядочение.
\\
и>\\А*.
1 и || w \\л =
*) Это — обычное линейное упорядочение канторова множества.
35*

548 ГЛ. 15. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
3. {А | А удовлетворяет первому, второму и третьему пунк-
пунктам} Ф 0. Мы докажем это следующим образом. Сначала опре-
определим классы Si, i ^- 0.
%/g = {А \ А ? & & ординал, сопоставленный вершине 0
посредством А (т. е. посредством т^), является наименьшим среди
всех ординалов, сопоставляемых вершине 0 элементами класса &}.
(Поэтому Уъ совпадает с классом, названным в утверждении 2
непосредственно выше.)
§n+i = {А | A G ^„ & ординал, сопоставленный вершине
п + 1 посредством А (т. е. посредством т^), является наимень-
наименьшим среди всех ординалов, сопоставляемых вершине п + 1 элемен-
элементами класса Уп}.
Непосредственно проверяется, что Sn+i Ф 0 благодаря тому,
что ординалы вполне упорядочены. Чтобы доказать утвержде-
утверждение 3, мы должны показать, что П "§п Ф 0 •
Для каждого п мы определяем о(п)' как (однозначно определен-
определенный) ординал, сопоставляемый элементами класса !§п вершине п.
Лемма. EcJvu п есть продолжение кортежа т и о(т) Ф 0, то
о(п) < о(т).
Доказательство- Пусть п есть продолжение кортежа
т и о(т) Ф 0. В силу упр. 16-77 т < п. Пусть о(тг) есть ординал,
сопоставленный вершине п некоторым A ES п- Но Уп с: "§т,
Поэтому А должно также сопоставить о(пг) вершине т. Значит,
о (т) приписывается кортежу т, а о (п) — кортежу п одним
и тем же деревом с конечными путями ("%), и, так как о (т) Ф 0,
имеем о{п) < о(лг). Этим завершается доказательство леммы.
Рассмотрим (п | о(п) =0}. В силу леммы и вполне-упорядо-
ченности множества ординалов, каждая ветвь функционального
дерева должна ч содержать хоть один элемент этого множества;
следовательно, это множество бесконечно. Пусть q0, 91» • • • —
элементы этого множества, выписанные в порядке возрастания.
Определим классы Щ, i ;> 0, следующим образом:
«?* = {А | Г*Ао (*. ?о)}
(т. е. Щ = {А | t(q0, w) € ТА & || t(q0, w) ||A = 0}),
= {4|4е§:& Г*А0 (z,
Очевидно, что §*+i с %. при всяком п. !§qo a: §*, поскольку
все множества из "§йй сопоставляют вершине qo ординал 0.
Предположим, что §q cz "§%,. Тогда %q y a Sn+i, так как
Я+1 с \nU I Т\% (*, fe+i» cr Ъ1 П {А | Т% B,
= §n+i- Поэтому Sqn с S* при всяком п, а потому
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 549
П
Заметим, что "§%. ф 0 при всех п, так как "ЗпФ
при всех тг.
Для каждого и класс ^* рекурсивен, а потому открыт и зам-
замкнут в топологии канторова множества на JT (теорема 15-VII).
Теперь мы заключаем, на основании компактности множества
iJP в этой топологии (упр. 13-24е)), что П "§пФ 0-
п
Остается доказать, что П У* сг [\§п, так как отсюда сле-
п п
дует, что (\!§п ф 0, и утверждение 3 будет доказано.
п
Возьмем А ? f\S*- Заметим, что фА — характеристическая
п w
функция некоторого дерева (в силу определения w). Назовем это
дерево %А. Оно является деревом с конечными путями. Действи-
Действительно, допустим, что k0, ki, . . .— последовательные вершины
некоторой бесконечной ветви, принадлежащей тА. Тогда о(кп) Ф 0
при каждом п. (Если о(кп) = 0, то кп = qm для некоторого т; но
так как А 6 §Ь, qm не есть вершина дерева гА в силу определе-
определения Sm-) Но тогда, согласно доказанной выше лемме, о(&!) >
> о(к2) > . . ., а это противоречит вполне-упорядоченности
ординалов.
Для произвольного п обозначим через оА(п) ординал, сопостав-
сопоставленный вершине п деревом тА с конечными путями. (Если п (J тА,
то оА(п) =0.) Допустим, что A (J (]&п- Выведем отсюда проти-
п
воречие. Пусть п0 — наименьшее из таких п, что А $ &п. Тогда
по определению класса &По оА(п0) > о(тг0)- Рассмотрим два случая.
Случай (а): о(по) = 0. Тогда п0 = qj при некотором /. Поэтому
oA(qj) Ф 0. Но A g Щ и oA(qj) = 0 в силу определения Щ.
Это — противоречие.
Случай (Ь): о(тг0) > 0. Тогда, согласно определению оА
(см. § 16.3), существует собственное продолжение п4 кортежа п0,
для которого oA(ni) = о(ге0). Но в силу доказанной леммы о(м0)>
> o(rai). Поэтому oA(ni) > o(ni). Беря таким же образом последо-
последовательные продолжения п2, ns, . . ., мы, в конце концов, найдем
(благодаря вполне-упорядоченности ординалов) такое продолже-
продолжение nhJ что oA(nh) > o{nh) и o(nh) = 0. Но это ситуация случая
(а), приводящая, как мы знаем, к противоречию.
Таким образом, мы показали, что А 6 П^п =*¦ А € П-^n- Поэто-
п п
Поэто-
му П
П
, в действительности,
= П
п . п п п
му П "Зп Ф 0 и доказательство утверждения 3 закончено.
п
А. {А \ А удовлетворяет первому, второму, третьему и чет-
четвертому пунктам определения (И) ф 0¦ Докажем это следующим
образом. Произвольный непустой подкласс класса JT обладает
наибольшей нижней гранью относительно „лексикографического"

550 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
линейного упорядочения на JT, что легко доказывается. Пусть
А* — наибольшая нижняя грань класса C\Sn- Достаточно пока-
зать, что А* 6 П
п
это — непосредственное следствие таких
фактов: (а) "§%. при всех п замкнуты (как отмечалось выше);
(Ь) П $п замкнуто (так как пересечение замкнутых множеств
п
замкнуто); (с) f] $*=Г\&п (это равенство было получено при
п п
доказательстве утверждения 3); (d) либо А* 6 П^п> либо А* —
п
предельная точка для f\§n в топологии множества JT (это сле-
слете
дует из определения линейного упорядочения на множестве Jf')\
(е) замкнутое множество содержит все свои предельные точки.
Этим заканчивается доказательство утверждения 4, а с ним
и доказательство теоремы, щ
Определение. Пусть Р и Q — отношения в jVh X Nl. Будем
говорить, что Q униформизует Р, если для любых Bi, . . .,
5ь_1, Xi, • . ., Xi
(i) (ЧА) [Q(A, Bu . . ., x,)^P(A, Bu . . .,»],
(ii) CA)P(A, Bl: . . ., xi) => AA)Q(A, Bu ¦ ¦ ., x,),
(iii) (ЧАМЧАгШАи В,, . . ., xt) & Q(A2, Bu ¦ ¦ •, x,) =>
=^ Ai ==Лг]. Приведем теперь нашу теорему в следующей более
общей форме.
Следствие XLV (а). Всякое Щ-отношение (в Jfh X ^') может-
быть униформизовано некоторым П\-отношением.
Доказательство. Для данного Р и фиксированных
xi, . . ., Xi релятивизуем теорему по отношению к Bi, . . ., Bh_t
. тА, Bi,. . ., Bh, А .А,В1,...,ВЬ.
(вводя Т л 1 вместо Т и ||z|| A ' вместо
|| z ||А; ТА и || z ||А определяются, как в § 16.6). Теорема XXXV
и следствие XXXV применяются непосредственно. П|-индекс
получающегося Q равномерно зависит от хи . . ., Xi-9
По этой причине теорему XLV иногда называют теоремой Кон-
до — Аддисона об униформизации (см. сноску на стр. 100).
Отметим теперь, что теорема XLV имеет место как для классов
множеств, так и для классов функций.
6 IIJ, то существует
Следствие XLV (Ь). Если & с <f и
такой класс ©, что & a jr, $ 6 Щ и
(i) ® = 0 ^ а == 0,
(ii) ^ ^ 0 => Cg)[fi = {g} & ^ 6 ^],
причем некоторый Щ-индекс класса @ находится по Щ-индексу
класса сР равномерно, посредством некоторой всюду определенной
функции.
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕр: НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 551
Доказательство получается непосредственно с помо-
помощью упр. 16-74. а
(Следствие XLV (а) также сохраняется при замене множеств
на функции.)
Приведем теперь наш результат о базисах для А*.
Следствие XLV (с). &\-функции образуют базис для Н\, а пото-
потому и для S*.
Доказательство. Пусть ^ёЩи^^0. Возьмем &,
как в следствии XLV(b). Тогда fi 6 П} и fi = {g} для некото-
некоторой g. Теперь
g{x) = у <=> (V/) [/ 6 ®-> f{x) = У] <=>
<=^ C/)t/ 6 @ & /(ж) = г/1,
а эти выражения показывают при подстановке Щ-формы для B,
что g ? AJ. Случай 2J получается тривиально, если воспользо-
воспользоваться рассуждениями из доказательства следствия ХЫ1(Ь).И
Этот результат контрастирует со следствием XLI (а), где было
показано, что Д^-функции не образуют базиса для Щ.
Рассмотрим множество ординалов, сопоставленное множеству
Т2 в последней части § 16.6 (см. теорему XL).
Следствие XLV(d). {\/z)[z 6 Г2 => || z ||2 есть А\-ординал].
Доказательство, z 6 Г2 <?=> CB)[z 6 Т7^- Но по след-
следствию XLV(c) (в форме для множеств) (lB)[z 6 Тв] <=>
5
Следствие XLV(e) (Ганди). (Эа)[а ^ есть А\~ординал &TCz)
U 6 Г2 => || z ||2 ф о]].
Доказательство. Как в § 16.6, положим % |=
= {а | (Эг/) [у 6 Т2 & а = || у ||2]}. Мы хотим показать, что сущест-
существует Д^-ординал, не принадлежащий И. (Вместе с теоремой XL
это показывает, что И не является начальным отрезком ордина-
ординалов.)
Будем говорить, что / — функция с конечными путями, если /
есть характеристическая функция некоторого дерева с конечными
путями. Если / — функция с конечными путями, положим || / || =
= о(т), где т — дерево с конечными путями, характеристической
функцией которого служит /. Пусть х0 — такой гёделев номер,
что для всех / справедливо ц?хР = /. Тогда || / || = || х0 ||т(/) для
всех / с конечными путями.
Рассмотрим условие:
/ — функция с конечными путями & (Vz)[C5)[|| z ||B <
г»

552 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Ясно, что || / || $ 21 для всех /, удовлетворяющих этому условию.
Это условие можно эквивалентно переписать и так:
/ — функция с конечными путями & (Vz)[Ci?)[|| z ||B <
< || х0 ||т(/) + 1] => (ЗВ)[\\ z ||в < || х0 ||Т(/)П.
По теореме XXXV наше условие имеет вид
R(f) & (Уг)[(ЭВД(г, /, В) ^ CB)S2(z, /, В)],
где R ? nj, Sf 6 2J и S2 ? SJ. Поэтому его можно представить
в виде P(f), где Р 6 2*. Согласно следствию XLV(d), это условие
удовлетворяется всякой функцией / с конечными путями, для
которой || / || больше всех элементов множества 21. Поэтому
C/)Р(/). Применяя следствие XLV(c), получим функцию /0 6 А?,
для которой jP(/0). Тогда || /0 || и есть Д*-ординал, не принадле-
принадлежащий множеству И.и
Теперь мы используем последнюю теорему, чтобы получить
результат о неявной определимости, параллельный следст-
следствию XLIV(b).
Теорема XLVI (Судзуки). А 6 A\<=>{W)[A <45 & {В} ? П\].
Доказательство.^. Если {В} 6 Щ, то В 6 Д^ в силу
следствия XLV(c) (в форме для множеств). Доказываемая импли-
импликация очевидна.
=>. Пусть А — некоторое фиксированное А^-множество. Мы
можем считать, что А Ф 0. (Если А = 0, то {A} G Щ
по построению: {Л} = {X | (Уж)[з: (J X]}.) Тогда {4} ^
= {X | (Чх)[х еХ=>х?А]& (Чх)[х 6 А ^ х € X]}.
Подставим 2?-форму для А вместо первого вхождения А в пра-
правую часть и Щ-форму — вместо второго вхождения.
Получим {А} 6 2J. Поэтому
{А} = {X | C/)(Vg)Cu>)i?(X, /, g, w)} (для некоторого рекурсив-
рекурсивного R) =
= {X | Cf)(\/g)Cw)R'(X, x(f), g, w)} (для некоторого рекур-
рекурсивного R') =
(»)()<, )e
&Dg)(lw)R'(X, Y, g, w)]}.
Преобразования кванторов из теоремы III применимы, как
легко проверяется, и при наличии свободных переменных для
множеств. Поэтому имеем
{А} = {X | (ЗУ) Dg)Cw)R"(X, Y, g, w)} (для некоторого ре-
рекурсивного R").
% 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 55$
Мы можем предположить, что
{А} = {X | (Э?)[?ф 0 & (\fg)Cw)R"(X, Y, g, w)]}.
(в противном случае {А} = {X \ (\fg)Cw)R"(X, 0, g, w)\ ж
<А}?Щ).
Пусть & = {Z | (\fg)Cw)R"(ni(Z), n2{Z), gh w)}. Имеем Ф Е
6 П|. Замечая, что [X ф 0 & Y ф 0] <=> X X' Y ф 0 и что
X Y.Y Ф0=> [Я1(Х ХУ)-Х& п2(Х X У) = Л,
и вспоминая наше предположение о том, что А Ф 0, получаем,
что оР Ф 0. Применяя теорему XLV, получим такое й € Т1\,
что й = {В} и 5 6 оГ1. Тогда по построению Л = л^5) и л2E) Ф
Ф 0. Пусть п — некоторый элемент множества п2(В). Тогда
A ^i В посредством функции Хх[%(х, га)], и доказательство окон-
окончено. |
Заметим теперь, что следствие XLIV (f) обобщается на А\ и,,
более того, на Д^ для всех п.
Следствие XLVI (a). A 6 Д^ <=> {А} 6 К <=> {А} 6 2».
Доказательство следствия XLIV (f) прямо переносится и на.
этот случай.
Следствие XLVI (Ь). 'А € Д^ <=> C5)[5 6 Д^ & {<
Доказательство. Как в следствии XLIV
Верно ли, что Л 6 AJ => {-4} € Щ? Следующие принадлежащие-
Судзуки теоремы показывают, что это не так; мы получим также-
дальнейшую информацию о множествах, неявно определимых
в nj, т. е. о классе {А \ {А} 6 П*}.
Теорема XLVII (Судзуки). (ЗВ)[В 6 А* & {В} $ П}].
Доказательство. Если {А} ?Ц\ имеет nj-индекс z,.
то
Возьмем такое w, что для всех X
м _
если
0 в противном случае
(w равномерно по z). Тогда DX)[w 6 Тх <^> X =А]. Назовем w
А
деревом для Л.
Лемма. Если Mi}, {Л2}^П1 u W\ u~w2 — деревья для
и А2 соответственно, то
II W! \\Ai < II wz \\Л* '=>Ai <ь А,.

554 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Доказательство леммы. Пусть
Тогда
\\x
iiAi
w2
6 Тх &
= {х | (\/x)iwi е тх &
w2
| w2
X]} =
Ла
х е
Из первого выражения для Ai в результате применения теоре-
теоремы XXXV, следствия XXXV и алгоритма Тарского — Куратов-
ского вытекает, что Ai 6 2*' Ла, а из второго выражения получает-
получается, что Ai ? nj' A%. Поэтому А\ ^^ А2, и лемма доказана.
Из только что доказанной леммы следует, что гиперстепени
множеств, неявно определимых в П*, линейно упорядочены.
Лемма. Если {Ai}, {А2}^.Л\, то
At <h A2 => U2 <h А* V TM <h A2].
Доказательство леммы. Пусть Ai ^ь А2. Пусть
w2 — дерево для А2. Рассмотрим множество С = {х | х 6 TAi &
& || х \\Al < || w2 ||Л2}. По теореме XXXV С <h A2. Теперь либо
С = TAl, либо существует такое х0, что [х0 € TAl & || ж0 ||А) =
= II ^ ||Лг]- В первом случае Г41 ^h А2. Во втором случае мы
можем представить А2 следующим образом:
ГТ1Л. о it 11 1 11*1ч 11 JP
= {х | (vx)[[a;2 етх &\\ х0 \\м = н w2 \\х] =>хех\}.
Поэтому как результат применения следствия XXXV и алгоритма
Тарского — Куратовского получаем, что А2 ? 2i'Al и А2 6 IIi'Al,
а потому Л2 ^ь А±. Лемма доказана.
Вторая из доказанных сейчас лемм показывает, что неявно
определимые в Щ множества расположены, в некотором смысле,
редко, поскольку если А неявно определимо, то никакое множе-
множество, гиперстепень которого заключена строго между гиперстепе-
гиперстепенями множеств А и гиперскачка А, не может быть неявно опре-
определимым.
Наша теорема теперь непосредственно вытекает из след-
следствия XLIII (Ь); действительно, пусть гиперстепень множества В
строго заключена между гиперстепенями множеств 0 и Г (=еТ0).
Так как @} 6 nj, получаем {В} (J И\, в силу второй леммы.а
В лемме к теореме 15-XII мы, по сути дела, доказали, что если
А неявно определимо в арифметике, то и А' (скачок множества А)
неявно определим в арифметике. Следующая теорема представляет
собой аналогичный результат для неявно определимых в П^ мно-
множеств и гиперскачка. Она, таким образом, показывает, что неявно
определимые в Щ множества не так уж редки.
§ 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ О БАЗИСЕ И НЕЯВНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ 555
Теорема XLVIII (Судзуки). {А } € Щ => {ТА} 6 Щ.
Доказательство. Сначала докажем одну лемму.
Лемма. 1{Та} ?Tl\'A &{А}6 П>] =*> {ТА} 6 Щ.
Доказательство леммы. Пусть / — такая взаим-
взаимно' однозначная общерекурсивная функция, что для всех X ж х
, если х 6 X',
, если х (J X.
Тогда, тривиально, А ^4 ТА посредством / при всяком А. Пусть
{ТА} = {X | (\fg)Cy)Ri(X, A, g, у)},
{А} = {X | (\fg)Cy)R2(X, g, у)},
где Ri и R2 рекурсивны.
Рассмотрим {X | (Vgr)Ci/)JR2(/-1(X), g, у) & (\fg)(ly)Ri(X,
/-1(Х), g, у)}. Эт,о, очевидно, {ТА}, а потому {ТА} 6 nj. Лемма
доказана.
Чтобы доказать нашу теорему, достаточно показать теперь, что
{ТА} ? nJ'A для всякого А. Начнем с доказательства следующей
леммы.
Лемма. {Г} € П\.
Доказательство леммы. Пусть В = {(х, у) \ х б
€ Т & у 6 Т & || х ||< || у\\ }. В силу упр. 16-34 В = Т. Благо-
Благодаря упр. 16-74, достаточно доказать, что {св} 6 П?.
Определим М ж С, как в доказательстве теоремы XLIV. Из
установленных при ее доказательстве фактов 1—4 непосредствен-
непосредственно следует, что
{св) = {g I C(g) & (Vz)(Vt/)[M(g, х, у)
& (\/u)(\/v)[g({u, v)) = i=
= И &
&
у)) = \]]=>Щщ v)) =1]]},
откуда в результате применения алгоритма Тарского — Куратов-
Куратовского получается утверждение леммы.
Доказательство последней леммы прямо релятивизуется по
отношению к А, если в определении М использовать ц>х и фу
вместо фж и фу и Ъ' вместо Ъ (Ъ' определено в § 16.6 после след-
следствия XXXIV). Отсюда следует, что {ТА} б П{'А для всякого А,
и доказательство теоремы заканчивается. я

556 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Гиперарифметические множества и гиперарифметическая
вычислимость были рассмотрены в § 16.4 и 16.5. Некоторые резуль-
результаты о гиперарифметических множествах и неявной определимости;
содержатся в § 16.7. Теперь мы внимательнее изучим строение
класса гиперарифметических множеств.
Мы можем подойти к этому классу с трех разных сторон: A)
Можно искать некоторую классификацию, продолжающую 2^г
Щ-классификацию арифметической иерархии. Такая классифи-
классификация основывалась бы на подходящим образом обобщенном поня-
понятии предикатной формы и порождала бы также некоторую класси-
классификацию классов множеств и классов функций. Мы могли бы
надеяться получить результаты, аналогичные основным результа-
результатам гл. 14 и 15 об арифметической иерархии. B) Мы можем изучать
тьюринговские степени гиперарифметических множеств. В этом
случае мы могли бы надеяться получить результаты, аналогичны©
основным результатам, полученным в гл. 13 для арифметической
иерархии. В частности, можно попытаться найти некоторую»
„естественную" цепь степеней гиперарифметических множеств,
аналогичную цепи 0, 0', ... для арифметических множеств -
C) Можно рассматривать способы порождения гиперарифметиче-
гиперарифметических множеств „снизу" с помощью индуктивных процедур, опре-
определяющих (в некотором смысле) новые множества через уже полу-
полученные. Здесь можно было бы изучить „уровни" гиперарифметиче-
гиперарифметических множеств, получающиеся на последовательных шагах такой
индуктивной процедуры.
Все эти три подхода тесно связаны между собой, и приводимое
ниже формальное изложение важно для каждого из них. Мы
разъясняем его суть в терминах, соответствующих первому подхо-
подходу. Это разъяснение приводится в разделе „Общие соображения",
где мы рассматриваем классификацию числовых множеств и изла-
излагаем некоторый метод продолжения арифметической иерархии
на неарифметические гиперарифметические множества. Затем мы
даем формальное изложение, в котором этот метод делается точным
и получаются ответы на некоторые вопросы об инвариантности.
Далее мы обращаемся к классификации классов множеств и клас-
классов функций. Здесь получен другой метод продолжения иерархии,
доставляющий способ для единообразного рассмотрения числовых
множеств, классов множеств и классов функций. Оба метода при-
приводят к одной и той же классификации числовых множеств. Закан-
Заканчивается параграф комментариями, соотносящими наши результа-
результаты с описанными выше подходами 2 и 3.
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 557
Общие соображения
Мы будем пока рассматривать только множества целых чисел
•(случай, изучавшийся в гл. 14). Придерживаясь этого ограниче-
ограничения, мы пользуемся и обозначениями гл. 14; в частности, So,
.Si, ... — классы числовых множеств в арифметической иерархии.
В арифметической иерархии классы So, Si, . . . сопоставляют-
сопоставляются конечным ординалам. Мы хотим продолжить эту классифика-
классификацию, подходящим образом сопоставляя бесконечным ординалам р
некоторые классы множеств (которые мы могли бы обозначать S р).
Предположим, что получена такая классификация вплоть до дан-
данного предельного,ординала а. Если мы сможем сопоставить орди-
ординалу а некоторое новое (т. е. еще не попавшее в нашу классифика-
классификацию) числовое множество А (будем называть А базисным множе-
множеством для а), то мы можем принять релятивизованные классы
S^, Sf, ... за классы Sa, 2a+1, ... и таким образом продол-
продолжить нашу классификацию вплоть до следующего предельного
¦ординала. Более того, при п > О мы можем принять Sjf-формы
¦за наши новые 2а4-п-формы, а 2И -индексы — за наши новые
2а+п-индексы *). Например, располагая классами 20, Si, . . .,
мы можем принять А = 0(ю) за базисное множ.ество для со
«(см. § 13.1) и рассматривать классы "Zf, Sf« ... в качестве 2Ш,
2«
ш +Ь • • ¦ •
Получающая таким способом расширенная классификация,
¦очевидно, зависит от метода, используемого при выборе базисных
¦множеств. Более точно, пусть заданы 2р, Р<ос (а — некоторый
предельный ординал), ш А — базисное множество для а. Классы
Sa+n, п = О, 1, . . ., зависят от Т-степени множества А,
.а 2а+п-индексы зависят от выбора самого множества А. Очевидно
•одно ограничение, которое нужно наложить на Т-степень мно-
множества А: чтобы классификация была монотонной (т. е. чтобы
Р < у => Sp cr 2Г) и чтобы имела место теорема об иерархии
(т. е. Р < у =^ Sv — Sp ^ 0), мы должны потребовать, чтобы
Т-степень множества А была больше, чем Т-степень любого мно-
множества в U 2р. Для того чтобы получающаяся классификация
3<а
3
'была самой тонкой из возможных, было бы желательно взять
в качестве Т-степени А наименьшую из всех таких степеней.
К несчастью, как мы видели в § 13.4, такой наименьшей степени
•может и не существовать. Как выбирать множество А в этом слу-
случае? Можно ли это сделать каким-либо „естественным" способом,
т. е. инвариантным в некотором подходящем смысле?
1) Обозначения „2а" используются нами лишь в настоящем разделе.
Впоследствии мы и при се > со будем следовать принятой в литературе прак-
практике и использовать обозначение „2?" для классов, обозначаемых здесь Sa+i.

558 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Построение трансфинитных уровней в классической иерархии
Бореля наводит на мысль взять в качестве А в каком-то смысле
„бесконечное сочленение" уже классифицированных множеств.
Мы сделаем это следующим образом. Пусть, каков бы ни был пре-
предельный ординал р, меньший данного предельного ординала аг
Ац — уже выбранное базисное множество для р. Для всякого
непредельного ординала р, меньшего а, пусть А$ — некоторое
2р-полное множество. При р =0 примем за А$ некоторое рекур-
рекурсивное множество. (Мы полагаем А о = 0; наши результаты не
будут зависеть от этого выбора.) Пусть v — некоторая числовая
нумерация (т. е. взаимно однозначное отображение из множества
натуральных чисел на ординалы), сопоставляющая множеству
ординалов {Р | р < а} множество индексов Da. Положим
А = Аа = {{х, у) | у 6 Da & х 6 Ау(в)).
Немедленно возникают некоторые вопросы об инвариантности
такого определения, (i) Как зависит получающаяся классифика-
классификация от выбора используемой нумерации ординалов и какие огра-
ограничения должны быть наложены на выбор такой нумерации?
(ii) Как зависит получающаяся классификация от выбора 2р-
полных множеств и каким требованиям, если только они вообще
нужны, должен быть подчинен этот выбор? (См. также упр. 16-81.)
Рассмотрим эти вопросы по очереди.
(i) Можно показать, что Т-степень базисного множества может
меняться в зависимости от используемой нумерации ординалов
(упр. 16-78). Поэтому выбор нумерации нужно подчинить некото-
некоторым требованиям. Обсуждение, содержащееся в начале § 11.7т
подсказывает требование, чтобы эта нумерация была унивалентной
системой обозначений. Мы примем это ограничение (которое,
в конце концов, ограничит наши рассмотрения конструктивными
ординалами). Может ли степень базисного множества и при нали-
наличии этого ограничения завысить от выбора нумерации? Мы вернем-
вернемся к этому вопросу позже.
(ii) Тривиально проверяется, что Т-степень множества Ал
существенно зависит от выбора Ер-полных множеств -4p+i, р < а
(см. упр. 16-79). Имеющаяся теория подсказывает, что эти множе-
множества должны выбираться некоторым единообразным и эффектив-
эффективным способом. Напомним, что по теореме 14-VIII (сильная теорема
об иерархии) 2р+4 должно быть совокупностью всех множеств,
рекурсивно перечислимых относительно А р. Мы потребуем, чтобы;
существовало такое фиксированное z0, что .Ap+i = Wfoa при всехр,
и чтобы существовала такая фиксированная общерекурсивная
функция /о двух переменных, что W-^p ^i -4p+i посредством
Xx[fo(u, х)] при любых и и р. Если выполнено это требование
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 55&
и взята некоторая унивалентная система обозначений на некотором
отрезке ординалов, то легко показать (используя лемму о рекур-
рекурсии), что получающаяся для этого отрезка- ординалов классифи-
классификация не зависит от выбора z0 (см. упр. 16-82). Мы выберем z<>
следующим специальным образом. Положим А$+\ = (.Ар)'. Тре-
Требуемые Zo и /о существуют по следствию 13-1 (с).
Теперь остается следующая проблема. В предположении, что
указанные выше два требования выполнены, определяют ли две
унивалентные системы обозначений одну и ту же классификацию
на ординалах, нумеруемых обеими системами? Утвердительный
ответ да этот вопрос об „эквивалентности относительно обозначе-
обозначений" дается ниже теоремой XLIX. Этот результат означает, что
мы имеем корректно определенную классификацию на всех кон-
конструктивных ординалах.
Какая часть аналитической иерархии подпадает под эту клас-
классификацию? В теоремах L и LI мы покажем, что это в точности
гиперарифметические множества, т. е. что U Ер = [класс Д}-
Р конструктивно
множеств]. Мы называем эту классификацию (разбивающую А]
на классы 2р) гиперарифметической иерархией.
Как можно ослабить ограничение, описанное в (i) выше?
Можем ли мы, например, допустить все рекурсивные вполне-упо-
рядочения и сохранить еще при этом инвариантность относительно
обозначений? Это представляется сомнительным, хотя Эндертон
и Лакхам [1964] доказали, что для некоторого z0 (см. (ii), выше)'
имеет место инвариантность относительно обозначений при усло-
условии, что z0 не меняется, когда меняется рекурсивное вполне-
упорядочение. Будет ли гиперарифметическая иерархия наимень-
наименьшей среди всех иерархий, получающихся при ослаблении огра-
ограничений на систему обозначений (мы считаем, что иерархия {2р}
меньше или равна иерархии {2'р}, если 2р сг 2р при всех р, на
которых определены обе иерархии)? Эндертон показал, что гипер-
гиперарифметическая иерархия будет наименьшей, даже если усло-
условие (ш) в определении системы обозначений будет нарушена
(упр. 16-84).
Ниже, в формальном изложении, мы будем пользоваться систе-
системой обозначений О, определенной в § 11.7. Каждая ветвь систе-
системы О есть унивалентная система обозначений. Теорема XLIX
показывает, что любые две ветви О приводят, к одной и той же
2 р-классификации на ординалах, общих для этих ветвей. Это
приводит к результату об инвариантности относительно всех
унивалентных систем обозначений, поскольку, согласно след-
следствию 11-XVIII (Ь), любая унивалентная система обозначений
может быть рекурсивно отображена в некоторую ветвь системы"С>
с сохранением порядка (упр. 16-80).

560 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Формальное изложение
Определим О и <0, как в § 11.7. При всяком х 6 О пусть
j х | обозначает ординал, сопоставляемый числу х (обозначаемый
1 х \0 в § 11.7). Скажем, что
х <0 у, если х ? О & у ? О & [х <о У V х = у].
Определение. Сопоставим обозначениям системы О следующие
множества:
ЯA) = 0,
Н{2Х) = (Н{х)У при х € О,
ЯC-5У) = {(и, у) | 17 <0 3-5" & и 6 Я(»)} при 3-5" ? О.
Зти индуктивные правила сопоставляют, очевидно, каждому х 6 О
•единственное множество, которое мы называем Н{х). Вдоль каж-
каждой ветви системы О множества сопоставляются обозначениям
в соответствии с описанной в разделе „Общие соображения"
-общей конструкцией продолжения арифметической иерархии.
"Теперь наши цели, как отмечалось выше, таковы: во-первых,
показать, что [[х € О & у 6 О & \ х | = | у | = а] => Н{х) =т
==т Н{у)] для любого предельного ординала а; во-вторых, дока-
доказать, что В 6 AJ <=> (Зх)[х 6 О & В <t #(я)] для любого 5.
Мы достигнем этого в теоремах XLIX, L и LI. Сначала докажем
.две леммы.
Первая лемма, [ж Е О & г/ 6 О & j <0 !/1 =^ Н{х) <4 Н(у) рав-
равномерно по х и у (т. е. если х ^0 у, то Н(х) ^4 Н(у) посредством h,
причем индекс функции h находится равномерно по х и у).
Доказательство. Согласно следствию 13-1 (с), суще-
существует такая^ общерекурсивная функция /, что, каково бы ни
было А, А <D' посредством /.
Пусть даны такие х и у, что х ^0 у. Покажем, как вычисляется
-функция h, 1-сводящая Н(х) к Н(у). Рассмотрим два случая.
Пусть | х | + -п = | у | для некоторого п. Возьмем h =
= ЫГ(и)} (где f>(u) = u и /я+1(и)=/(Г(и))).
| х | + со ^ [ у |. Возьмем такое z, что г 6 0, | z \ — предель-
предельный ординал и I у | = | z | + п. Тогда и 6 Н{х) <=> {и, х) ?
Е H(z) <=> fn{{u, х)) еЩу). Полагаем й = Ы/п((и, ж»]. .
Эти два случая эффективно различимы, и в обоих случаях тг
эффективно вычисляется по х и у. Таким образом, желаемая рав-
равномерность достигнута.
Вторая лемма (Спектор). Если у ?0, то {и I и 6 О & | и | <
< | у 1} рекурсивно относительно HBV) равномерно по у (т. е.,
индекс характеристической функции множества {и | и 6 О &
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 561
&¦ \ и \ •< \у \}, как множества, рекурсивного относительно HBV),
находится равномерно по у).
Доказательство. Мы воспользуемся леммой о рекур-
рекурсии применительно к частичному упорядочению с условием мини-
минимальности <0. Возьмем за R (для применения леммы о рекурсии)
отношение
{(у, w) | у f О & ф^ B * — характеристическая функция
множества {и I и ? О & \ и \ < \ у \}}-
Мы должны показать, как по данному z, такому, что (Ух)[х <С0 у =^
=> R{x, ф2(ж))], вычисляется, причем равномерно по z и у, такое
w, что i?(i/, w). (В формулировке леммы о рекурсии это w называ-
называлось T)(z, у).) Для любого ординала а положим
Оа = {м | и 6 О &
а}.
Рассмотрим четыре возможных случая.
у = 1. В этом случае О\у\ = 0. Выбираем w так, что
(Vu)lq?(«H]
г/ = 23 и s = 2(. Тогда 6>h/|=6>ls,U {2и|у6О|8|}. Но по
предположению О\ s | рекурсивно относительно Н(у) с индексом
(характеристической функции) q>z(s). Поэтому О\у\ рекурсивно
относительно Н(у) с индексом, равномерно вычисляющимся по
tpz(s). Значит, О\у\ рекурсивно относительно Н{2и) (=(Н(у))')
с индексом и>, также равномерно получающимся по <$z(s).
у = 2S и s = 3-5'. Тогда
^1г/1 == ^|s|U {3-5Г | фг всюду определена & (Vu)Dv)[q)r(u) с
где / — общерекурсивная функция из упр. 11-55.
Множество {г | фг всюду определена} рекурсивно относительно
Я D) (=0") (согласно § 13.2); {г | (\/и) (\/v) [q>r{u) cr Wf9r @)]}
рекурсивно относительно Н(А), что устанавливается непосред-
непосредственно; Н(А) рекурсивно относительно HBV), согласно первой
лемме. Поскольку О\ s \ рекурсивно относительно Н(у) с индексом
4>z{s), множество {г | (>/и)[фг(и) 6 О\ S|l} рекурсивно относительно
HBV) с индексом, получающимся равномерно по q>z(s). Поэтому
О\ у | рекурсивно относительно HBV) с индексом, равномерно
получающимся по <fz(s).
2/ = 3'5'. В этом случае О\ у \ = {и | Cv)[u € О|Ф((В) |]j.
Но при всяком v множество 0|<р, («)| рекурсивно относительно
HB<s't<-V)) с индексом Ф2(ф((^)) в силу индуктивного предположе-
предположения, a HB<f>t<-V^) рекурсивно относительно Н(у), и притом равномер-
равномерно в силу первой леммы. Поэтому О\у\ рекурсивно перечислимо
36-0506

562 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
относительно Н(у), а потому рекурсивно относительно НBУ)
с индексом w, равномерно получающимся по z и t.
Эти четыре случая эффективно различимы, и w равномерно
относительно у в каждом из них. Поэтому лемма доказана.щ
Следствие второй леммы (Спектор). При у 6 О
рекурсивно относительно ~,Н B ) равномерно по у.
Доказательство.
у ц} =
= {и \и?О&
Согласно лемме, множество {it|it6#&lul<l*/l} рекур-
рекурсивно относительно НBУ) равномерно по у. Также в силу леммы
множество {u\u(iO&\u\<C\2y\} рекурсивно относительно
НB2 ) равномерно по у. Отсюда следует, что и рассматриваемое
пересечение рекурсивно относительно НB ) равномерно по г/.р
Теорема XLIX (Спектор^.
1х 6 О & у 6 О & | х [ = | у |] =э- Н(х) <т Я(г/),
причем сводимость равномерна по х и у {т. е. если \ х \ = \ у \,
то индекс функции сн(х) как Н(у)-рекурсивной функции может
быть найден равномерно по х и у).
Доказательство. Пусть S = {{х, у)\х?О&.у?
6 О & | х | = j у |}. Определим на S частичное упорядочение <Cs
следующим образом: {и, v) <Cs (х, у), если | и | < | х |. Вос-
Воспользуемся теперь леммой о рекурсии для частичного упорядоче-
упорядочения <s> удовлетворяющего условию минимальности, где R (для
применения леммы о рекурсии) есть
г/>, w> | ж € О & /б О & \х | = | у | &
Мы должны показать, как по данному z, такому, что
(u, v), yz{{u, v
равномерно по ж, i/ и z вычисляется такое w, что i?((a;, i/), w).
Рассмотрим следующие три случая.
Случай (а), (х, у) = A, 1). Берем такое w, что <р^ = с0.
Случай (Ь). (х, у) 6 S & (х, у) = Bй, 2"). По предположе-
предположению относительно z мы можем найти такое г, что сщи) = ф^(в).
16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 563
Но Н(х) = (Н(и)У и Н(у) = (H(v))>. Применяя следствие 13-1 (с),
получим искомое w.
Случай (с), (х, у) 6 S & (х, у) = C-5", 3-5"). Мы ищем спо-
способ свести Н(х) к Н(у). Пусть дано произвольное (s, t). Мы долж-
должны показать, как ответить на вопрос, верно ли (s, ?)?#(#),
с помощью оракула для Н(у). Руководствуясь определением Н(х)
(= НC'5и)), мы хотим проверить, выполняется ли условие
[t <о х & s 6 H(t)]. Действуем следующим образом. Сначала смот-
смотрим, верно ли, что t <o х- Как явствует из упр. 11-55, это частный
случай проблемы остановки, и ответить на этот вопрос можно,
используя НB) (=К). Но так как, согласно первой лемме, НB) ^
s^i H(y), на него можно ответить, используя в качестве ораку-
оракула Н(у).
Если t < qX, to следующим образом проверяем, справедливо
ли s 6 H(t). Перечисляем множество {р | р,<СоУ} (см- УПР- И-55).
При появлении каждого члена р этого множества смотрим, имеет
ли место | t | = | р \. Мы можем это сделать, так как множество
{? I q 6 о & | g! = | р |},
согласно второй лемме, рекурсивно относительно НB ), а НB )
равномерно сводится к Н{у) по первой лемме. В конце концов,
мы должны найти такое р, что | t \ = \ р \ и р <.ОУ- Согласно
предположению относительно z, <p2((?, р)) дает нам способ сведе-
сведения H{t) кН(р). Первая лемма позволяет свести Н{р) к Н(у). Итак,
мы можем свести H(t) к Н(у) и воспользоваться этим для ответа
на вопрос, верно ли, что s g H(t). Таким образом, мы имеем про-
процедуру для проверки, выполняется ли (s, Об Н(х).
Инструкции описанной процедуры, очевидно, равномерны по
х, у и z, и доказательство закончено.в
Следствие XLIX (а) [х 6 О & у 6 О & \ х | = | у \] =ф- Н(х) =т
= ТН(у) равномерно по х и у.
(b) [х?О&у?О&\х\ = \у\ = $&$ — непредельный ор-
ординал] =>¦ Н(х) ^ Н(у) равномерно по х и у.
(c) [х 6 О & у 6 О & | х | < | у [] =>- Я(ж) <тЯ(г/) равномерно
по х и \).
Доказательство. (а) Непосредственно следует из
теоремы.
(b) Немедленно получается с цомощью следствия 13-1 (а).
(Московакис показал, что (Ь) не имеет места, если р — предельный
ординал. См. упр. 16-97.)
(c) Тот факт, что Н{х) ^ТН(у), сразу следует из (а) и первой
леммы. Это доказательство, однако, не дает равномерности, так
как не видно способа выяснять, имеет место | х \ = \ у | или
[х\<.\у\. В упр. 16-96 мы модифицируем доказательство
теоремы XLIX и получим желаемую равномерность, и
36*

564 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Теорема L (Клини). у 6 0 =ф- Н{у) 6 AJ равномерно по у.
До казательство. Воспользуемся леммой о рекурсии
применительно к <0, причем в роли R выступает {(у, w) | у 6
6 О & w есть к\-индекс множества Н{у)}. Нам нужно показать,
как по данному z, для которого {Чх)[х <оУ =*» Л(я, ф2(?))Ь равно-
равномерно по jez вычислять такое w, что i?(i/, ц;). Рассмотрим три
случая.
у = 1. Берем в качестве ц; некоторый Д}-индекс множества 0.
г/ = 2s. Тогда cpz(s) есть Д*-индекс множества H(s). Так как
Н(у) = {H(s))f, мы можем применить конструкцию из теоремы X
и получить Aj-индекс w множества Н(у).
у = 3-5'. Тогда
Щу) ={(и, v)\v <oy
= {(и, v) \v<oy &
H(v)} =
&
И, /, и, х)} =
Так как множество {у | у-<оУ} рекурсивно перечислимо равно-
равномерно по у (упр. 11-55) и потому содержится в SJ, применение
алгоритма Тарского — Куратовского показывает, что Н(у) 6 А*,
причем Д^-индекс w находится равномерно по у. и
Теорема LI (Клини). В 6
Cz/)[z/ 6 О &
Я(г/)].
Доказательство. Достаточно показать, что В 6
€ Д1 <=> (Эг/)[г/ 6 О & Б < т #(i/)] (поскольку у! < т Н(у) =>- Л <4
^! #BУ)). В силу следствия XXII (Ь) достаточно доказать, что
Г| у I < т #B2г/) при всяком г/6 0. Введем для 22У сокращение е(г/).
Воспользуемся леммой о рекурсии для упорядочения < 0, причем
за i? примем
^ {(у, w) \Уе0&сТ]у]=<р^
что ф«D) =
Нам нужно показать, как по данному г, такому, что (V#)[a: <.о
=>¦ R(x, ф2(ж))], равномерно по у и z находить такое и;, что i?(z/,
Рассмотрим три возможных случая.
у = 1. Берем такое w D)
г/ = 2s. Заметим, что
Т | „ | ={
Имеем
6 Т & || ж || = 0] V 1фг@) = 1 &
а:
&
= 0} ={*
Поэтому {.г | ж 6 Г & || ж || = 0} <
ремы 14-VIII и доказанной выше первой леммы.
Уи)[Фк(и) = 0]} 6 Щ.
т ЯB2) < , Я(е(г/)) в силу тео-
тео16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 565
Подобным же образом {х | фж@) = 1} 6 2J, и потому
{х | Фх@> = 1} < т ЯB) < Т1Я(е(»)).
Наконец, {а; | (Vre)[b(w, ж) 6 Г, s |]} 6 Щ' т\ >\. Поэтому
{х
(по теореме 14-VIII). Но Г ^ 51 < т H(e(s)), согласно предположе-
предположению о z, а потому (Т , „ ,)'< т (Я(е(*)))' = Я(е(г/)).
. Поэтому Г|Н<тЯ(ф)).
г/ = 3-5(. Замечаем, что
Т | у | ={
6 Г & || ж || = 0] V [фх@) = 1 &
&Cm)(Vn)[b(n, *)
(по основной лемме о деревьях). Согласно предположению о z,
мы можем равномерно сводить Т\ ф (т>) к Я(е(ф((т))). В силу пер-
первой леммы мы можем равномерно сводить Я(е(ф*(те))) к Н(у).
Поэтому, применяя алгоритм Тарского — Куратовского, мы полу-
получаем Т \у\ 6 Аз' (г/) равномерно по у. Но по теореме 14-VIII
это дает Т\у\ ^т (Н(у))" = Н(е(у)). Мы получили искомое ц;,
и доказательство закончено. а
Следствие LI. Существует такая общерекурсивная функция g,
что если только w есть &\-индеко множества В, то g(w) ?O и В ^4
< #(И)
Доказательство получается с помощью следствия
XXII (Ь) и доказательства теоремы.и
Приведенные леммы и теоремы были сначала получены при
несколько ином способе сопоставления множеств обозначениям
системы О. Описанный здесь способ принадлежит Эндертону
и более удобен для наших целей. В упр. 16-83 мы покажем, что
использовавшийся ранее способ, принадлежащий Клини, экви-
эквивалентен (относительно Т-сводимости) примененному нами.
Введем теперь обозначения для степеней неразрешимости,
определяемых множествами Н(х).
Определение. Пусть х ? О ж \ х \ = а. Обозначим через ha
(однозначно определенную) Т-степень множества Н(х).
Заметим, что ha+i = h?, что а ^ Р <=?> ha ^ hp и что а есть
степень некоторого гиперарифметического множества тогда
и только тогда, когда а ^ ha при некотором (конструктивном) а.
Введем далее обозначения для классов гиперарифметической
иерархии (как классов, состоящих из числовых множеств).

566 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Определение. Пусть р = а + п, где а — некоторый предель-
предельный ординал, и пусть у 6 О, и | у | = а. Положим
lip — lln+l 1
Ар =
Пусть р = п < со. Положим
Согласно теореме XLIX, классы Ер1 и Щ зависят только от E
и не зависят от выбора такого у 6 О, что | у | + ?г = р. Из теоре-
теоремы 14-VIII вытекает, что для любого х, такого, что х 6 О и [ х \ =
= Р + 1, Н(х) есть Ер-полное множество; что если р ^ со, то
Л 6 Ер <?=> у! рекурсивно перечислимо относительно hp; что если
Р ^-со, то ^4 6 Ар <^s> a ^ hp, где а — степень множества А.
(Читатель должен обратить внимание на отличие от Ер-обозначе-
Ер-обозначений, временно использовавшихся нами в разделе „Общие сообра-
соображения". То, что для Р ^ со там называлось Ер+1, теперь назы-
называется Ер.)
Следующие результаты сразу вытекают из результатов гл. 14.
Для всех Р > О
U П°рс= 2°р+1 П ni+i,
- П°р) ф 0.
Отметим, что в нашей 2р-схеме обозначений для классов
гиперарифметической иерархии при каждом предельном ордина-
ординале а отсутствуют два весьма естественных класса. Это (i) U Ер
и (П) Е„ П П&. Все классы с меньшими индексами строго содер-
содержатся в (i); (i) строго включается в (ii); (ii) строго содержится
в 2„. Временная система обозначений классов, введенная
в разделе „Общие соображения", приписывала имя классу (ii)
(он назывался 2„). Теперь мы даем классу (ii) наименование А^.
Мы увидим, что определения, которые вводятся ниже для мно-
множеств множеств и множеств функций, дают наименование и классу
(i) и порождают понятия предикатной формы и индекса для (i).
J) Классы
ственно.
^ и Пи известны также в литературе как Рр и Qg, соответ-
соответ§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 567
Множества множеств и множества функций
Могут ли 2р-формы, как они были определены в начале раздела
„Общие соображения", быть релятивизованы так, чтобы породить
иерархию множеств множеств? Прямая релятивизация этих форм
приводит, к сожалению, к классификации, не являющейся ни
монотонной, ни достаточно представительной (упр. 16-86). Чтобы
получить удовлетворительную классификацию, мы должны про-
провести „более глубокую" релятивизацию следующим обрдзом.
Определение, Положим для любого множества X
Нх A) = X,
Нх Bх) = (Нх(х)У для х 6 О,
НхC -5у) = {(u, v) I v <0 3.5» & и 6 Hx(v)} для 3 -5" 6 О.
Этим определением каждому ж 6 О сопоставляется единственное
множество Нх(х).
Определение. Пусть Jk с: JT, у 6 0, | у \ > 0 и пусть z —
такое целое число, что Jk ={X \ z 6 Нх(у)}. Назовем утвержде-
утверждение „z 6 НХ(у)" у-формой класса 4, az назовем у-индексом класса
Jt. Само у играет роль, аналогичную роли префикса в арифмети-
арифметических и аналитических формах.
Пусть и 6 О, v 6 О, 1 и | ^ | v |, и пусть .Д — некоторый класс
множеств, представимый некоторой u-формой. Обязательно ли А
представим также и некоторой и-формой? В упр. 16-88 мы вос-
воспользуемся теоремой XLIX, чтобы показать, что это так. Теперь
продолжим воплощение нашего плана, вводя следующее опреде-
определение. .
Определение. Если а — непредельный ординал, у 6 О, \ у \ =
= а и J> представим некоторой г/-формой, будем говорить," что
J> 6 Е^, если а < со,
J) € Sa-i. если а> со,
Л 6 П°, если J, 6 Е°.
Этим определяется некоторая иерархия классов^множеств.^Про-
классов^множеств.^Простое индуктивное рассуждение показывает, что эта классификация
совпадает с арифметической иерархией из § 15.1 при 0 < а <С со
{см. упр. 16-89). В упр. 16-85 мы показываем, что она включает
все гиперарифметические классы множеств и ничего более. Поэто-
Поэтому мы называем ее гиперарифметической иерархией классов
множеств.
Отметим, что мы, в частности, располагаем понятием г/-формы
и в том случае, когда \ у \ — предельный ординал. В этом слу-

568 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
чае, как легко показать, ? представим некоторой г/-формой тогда
и только тогда, когда А ?. U 2J.
Р<
Можно ли так обобщить понятие г/-формы, чтобы оно включало
г/-формы как для множеств, так и для классов множеств? Приме-
Примененный в теореме 15-XI метод подсказывает, как это сделать.
Будем говорить, что некоторая г/-форма выражает множество А
с у-индексом z, если А ={х | z 6 Н{х}(у)}. Получающаяся на этом
пути гиперарифметическая иерархия числовых множеств совпа-
совпадает с иерархией, определенной выше в формальном изложении
(см. упр. 16-90).
Теперь можно ввести более общие г/-формы
Имеет ли место в гиперарифметической иерархии классов мно-
множеств теорема об иерархии? Да, такая теорема легко доказывает-
доказывается аналогично теореме 15-XI.
Классы функций также могут быть расклассифицированы, если
считать по определению, что некоторая г/-форма выражает класс
функций Si если Л> ={/ | z 6 Нх(п(у)}. Можно показать, что
получающаяся при этом иерархия совпадает на положительных
конечных уровнях с иерархией из § 15.2, и теорема об иерархии
доказывается так же, как теорема 15-XXIV.
Только что предложенные определения и понятия ведут
к обобщению понятий и результатов, связанных с теорема-
теоремами 15-XXVII и 15-XXVIII. Для их формулировки система обозна-
обозначений О заменяется системой О\%\, в которой обозначениями
служат функции, а не числа, и в которой для определения пре-
предельных обозначений служат фундаментальные последовательно-
последовательности (обозначений), рекурсивные относительно % (а не просто-
рекурсивные фундаментальные последовательности). Вдобавок\
операция скачка определяется на основе отношения 71* из теоре-
теоремы 15-XXVII (отличного от отношения T%t г, определенного
в § 16.1). Если 'ё = 0, получающаяся иерархическая класси-
классификация подмножеств класса JF продолжается на конструктивные
ординалы и совпадает с гиперарифметической иерархией на Gf.
Если % = jfT, получающаяся иерархическая классификация про-
продолжается по всем счетным ординалам и совпадает с классической
иерархией борелевских множеств на Jf.
Комментарии
Вновь обратимся теперь к трем подходам, упомянутым в начале
этого параграфа.
Подход 1-й. В нашей теории гиперарифметической иерар-
иерархии опущены некоторые аспекты теорий арифметической и анали-
§ 16.8. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 569
тической иерархий. Мы не привели здесь ни теоремы о представле-
представлении, ни аналога алгоритма Тарского — Куратовского. Теорема
о представлении доказывается в упр. 16-91. В упр. 16-92 описы-
описываются правила, определяющие некоторый вариант алгоритма
Тарского — Куратовского. Они, однако, не дают завершенного
изложения этих вопросов. Трудными оказываются проблемы
равномерности и инвариантности относительно системы обозна-
обозначений. ,
Подход 2-й. Цепь степеней h0, hi, . . ., hffl, . . . пред-
представляется удовлетворительным гиперарифметическим аналогом
цепи степеней 0, 0', ... арифметических множеств. Однако вви-
ввиду § 13.4 возникает вопрос: будет ли эта цепь минимальной среди
всех цепей некоторой инвариантно определенной совокупности
„естественных" цепей (где считается,- что (цепь {ha}) ^ (цепь
{§а})> если (Va)[ha ^ gj)? Результат, сформулированный
в упр. 16-84, дает в некотором роде утвердительный ответ на этот
вопрос. Исследование минимальности важно при изучении дру-
других возможных способов порождения цепей, состоящих из гипер-
гиперарифметических степеней, поскольку при этих способах могут
теряться интервалы цепи {ha} (обычно это случается на предель-
предельных ординалах). Так, например, обстоит дело в упр. 16-93, где
мы рассматриваем „свободный от обозначений" метод (принадле-
(принадлежащий Шёнфильду) порождения степеней из цепи {ha}- Так же
обстоит дело с множествами Та.
Можем ли мы вычислять степени неразрешимости множеств
гиперарифметической иерархии? Для этого могут быть развиты
методы, которые обобщают методы § 14.8 и в которых основную
роль играет лемма о рекурсии. Спектор [1958а] анонсировал резуль-
результаты о вычислении степеней множеств Оа и Wa, где Оа ={х \ х 6
6 О & | х | < a}, a Wa ={x \ срх есть характеристическая функ-
функция некоторого вполне-упорядочения, порядковый тип которого
меньше а}.
Отметим мимоходом, что слово „иерархия" стало применяться
не только к классификациям, базирующимся на предикатных
формах, но и к более общим упорядочениям степеней, полученным
с помощью конструкций, аналогичных построению множеств Н{х).
При этом используются другие (и, возможно, менее' эффективные)
числовые нумерации ординалов, и множества сопоставляются
„обозначениям" другими (и, возможно, менее эффективными)
индуктивными способами. Начаты некоторые исследования таких
„иерархий", и проделана работа по изучению инвариантности
относительно обозначений в таких иерархиях. См. Крайдер
и Роджерс [1961], Рихтер [1965], Эндертон [1964] и Гензель и Пат-
нам [1965].

570 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Подход 3-й. Гиперарифметические числовые множества мо-
могут быть получены с помощью итерирования операций скачка
и „бесконечного сочленения", если взять все множества, Т-своди-
мые к так получающимся. Это — следствие теорем L и LI и опре-
определения множеств Н{х) (см. также упр. 16-94). Эта индуктивная
характеристика гиперарифметических множеств „снизу" может
быть использована для доказательства усиленных вариантов
¦следствий XLIV (с) и XLIV (е) о неявной определимости.
Теорема LII. А 6 А\ <=> {ЗВ)Ы <d В & {В} 6 П°].
Доказательство. -4=. Непосредственно вытекает из
следствия XLIV.
=>. По теореме LI достаточно доказать, что х 6 О =>- {Н(х)} 6
€ П°. Доказательство этого факта обобщает конструкцию из
теоремы 15-ХП. Воспользуемся леммой о рекурсии для упорядо-
упорядочения <oi и рассмотрим следующие три случая.
х = 1. Б этом случае, тривиально, (ЯA)} 6 П°.
х = 2s. Если {H(s)} 6 П?, то (ЯB8)} ЕЩв силу рассуждений
из теоремы 15-ХП.
х = 3 -5'. Предположим, что мы располагаем таким z, что .
¦и <03'5' =>- <pz(u) есть П°-индекс класса {Н{и)}. Тогда
{#C.5*)} = (X | (Vu)(Vw)I(и, v) 6 X => v <03-5f] &
& Dv)[v <03 -5' => (V^O^m, i(9,(w),
{ж | (ж, у> 6 X}, у
Применяя алгоритм Тарского — Куратовского, получим
{#C-5')} 6 П°, причем П°-индекс этого класса равномерно зави-
зависит от z и t.
Теперь применяется лемма о рекурсии, и доказательство за-
заканчивается. в
В упр. 16-98 мы увидим, что для каждого х ? О существует
такая функция /, что Н{х) — {и \f{u) Ф 0} и {/} 6 П°.
§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ
§ 16.1
16-1. С помощью теоремы VIII (теоремы об иерархии) покажите, что
обращения правил (iii) и (iv) из теоремы III не верны.
16-2. Завершите доказательство теоремы III, показав, что новые отно-
отношения, построенные в пунктах (ii), (iii) и (iv), рекурсивны, а новые предикат-
предикатные формы эквивалентны исходным. (Отметим, что в пункте (iv) при доказа-
доказательстве эквивалентности используется аксиома выбора.)
16-3. Докажите следствие III в общем случае.
16-4. Закончите доказательство теоремы VII, показав, что новые отно-
отношения, построенные в пункте (ii), рекурсивны, а новые предикатные формы
эквивалентны исходным.
§ 16.9. упражнения 571
16-5. Детально рассмотрите примеры 1 и 2, следующие за теоремой VII.
Д16-6. (а) Множество О было определено (и временно обозначалось Dq)
в § 11.7. Сформулируйте явное определение множества О, из которого следо-
следовало бы, что О б П{ (без использования того факта, что О = W). (Указание.
Нужно сформулировать определение без ссылки на ординалы. Сначала опре-
определяем <о как пересечение всех бинарных отношений R, удовлетворяющих
следующим условиям замкнутости:
<1, 2) ? Я,
Кх, у) е r & (у, z> e R] =ф <*, z> e в,
( Vm)(Vn)[m < п =ф (ф2(т), ср»> ? i?]==>(Vrc)[(cpzW, 3-5*) <Е R].
Затем выражаем это отношение-пересечение с помощью квантора общности
. по функциям. После этого множество О определяется как {х \ (^у){х <q у]}.)
(Ь) Пусть Si — система ординальных обозначений, определенная
в § 11.7. Покажите, что D s ? П\. (Указание. Получите аналитическое опреде-
определение для отношения| =S^g == {(ж, у) | х ?Dgi &-У ?DS^ & | х |Sl ^ | у \дг}-)
16-7. Воспользуйтесь теоремой VIII для завершения доказательства
следствия XI.
16-8. (а) Покажите, что если допускаются кванторы по множествам (кото-
(которые используются тем же способом, что и кванторы по функциям, для класси-
классификации префиксов) и в качестве исходных отношений берутся рекурсивные
отношения в Ji^^N1, то получаются те же классы Отношений на целых
числах, что и с помощью кванторов по функциям.
(Ь) Покажите, что если допускаются кванторы по множествам (используе-
(используемые так же, как кванторы по функциям, для классификации префиксов)
и за исходные берутся рекурсивные отношения в ^X^f'X-^m (k, I, m ^
~^z 0), то получаются те же классы отношений в cFhX JTl~X.Nm (k, I, m ^
^ 0), которые были бы получены из этих рекурсивных отношений с помощью
кванторов только по функциям или только по множествам. /
Д16-9. Пусть R с J^X-^2 рекурсивно. Пусть А = {х | (VX) (Зу)
R(X, х, у)}. Покажите, что множество А рекурсивно перечислимо и по-
потому принадлежит классу SJ(= Щ). (Указание. Воспользуйтесь теоремой
о компактности для деревьев из упр. 9-40.)
16-10. Докажите, что при п > 0 всякое числовое множество из S^ может
быть выражено предикатной формой с кванторами по множествам, префикс
которой состоит из п -\- 2 чередующихся кванторов, первые п из которых —
кванторы по множествам, а последние два — кванторы по числам, причем
начинается префикс квантором существования. _,
§ 16.2
16-11. Покажите, что процедуры перевода, описанные при доказательстве
теоремы XIII, приводят в действительности к эквивалентным с исходными
формулам.
16-12. Покажите, что в части C) доказательства теоремы XIII (имплика-
(импликация S4-+Ss) в качестве формулы системы S3 можно взять ?(?, а, Ъ). (Ука-
(Указание. Используйте теорему 14-VI и определения из упр. 15-13. Сначала пока-
покажите, что в качестве формулы системы S3 можно взять S*(?, с, 6), где
?*(!;, с, Ъ) означает, что с есть кодовое число кортежа длины 6, кодирующее
первые 6 значений в разложении ? — [?] в непрерывную дробь.)
16-13. Завершите доказательство следствия XIII (Ь).
16-14. Покажите, что если А неявно определимо в арифметике второго
порядка, то Л и явно определимо в арифметике второго порядка. (Указание.

572 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
См. доказательство теоремы XI.) Выведите отсюда, что если А неявно опреде-
определимо в элементарном анализе, то А и явно определимо в элементарном ана-
анализе .
16-15. Докажите теорему XIV.
16-16. Проведите доказательство следствия XIV более подробно.
16-17. Докажите теорему XV и следствие XV. (Указание. См. доказатель-
доказательство теоремы 14-XI.)
16-18. Наметьте в общих чертах доказательство теоремы XVII.
Д16-19. Выберем формулу Р, как это предлагалось в обсуждении в кон-
конце § 16.2, и пусть F — некоторое высказывание арифметики второго порядка.
Покажите, что формула [Р =? F] универсально истинна (при семантических
соглашениях логики второго порядка) <=>F — истинное высказывание ариф-
арифметики второго порядка.
Д16-20 (Сколем). Докажите существование счетных со-моделей для
истинных высказываний элементарной арифметики. (Указание. Возьмем
в качестве 3) множество целых чисел, и пусть „+" и„Х" интерпретируются
стандартным образом. Рассмотрим счетную совокупность всех истинных выс-
высказываний арифметики второго порядка, представленных в предваренной фор-
форме. Назовем квантор существования в такой формуле начальным, если перед
ним нет кванторов общности. Каждому начальному квантору существо-
существования каждого истинного высказывания (в предваренной форме) сопоставим
(используя аксиому выбора) соответствующее число или функцию- Обозна-
Обозначим счетную совокупность всех выбранных таким образом функций через <f.
Каждому неначальному квантору существования каждого истинного предва-
предваренного высказывания сопоставим (с помощью аксиомы выбора) соответ-
соответствующий (не обязательно рекурсивный) функционал (отображение из
&h X. Ж1 в N) или функциональный оператор (отображение из ^hX Ж1
в SF). (См. второй шаг в иллюстрации интерпретации опровержением контр-
контрпримера в § 15.3.) Назовем счетную совокупность всех таких функциональ-
функциональных операторов %*. Возьмем в качестве Si' замыкание (в очевидном смысле)
множества % относительно всех функциональных операторов из %*)¦
§ 16.3
16-21. Покажите, что поддерево т дерева «7* есть дерево с конечными
путями <=?> (V/) (Зх) [вершина f(x) не принадлежит г].
16-22. Определите понятия дерева, поддерева, ветви, подветви, дерева
с конечными путями и упорядочения дерева непосредственно с по-
помощью кодовых чисел кортежей-вершин. (Например, А есть дерево, если
(V/)(V*)l7(s) ? А =ф (Чу)[у < х =Ф ](у) ? А]].)
16-23. Пусть т — дерево с конечными путями. Покажите, что всякий
ненулевой ординал, меньший о (т), появляется как значение функции ot.
16-24. Пусть т и а таковы, как в обсуждении, непосредственно предше-
предшествующем формулировке теоремы XVIII. Завершите доказательство теоремы
XVIII, показав, что т — дерево с конечными путями и что о(т) = а.
д 16-25. Сформулируйте более точные определения для т4 + т2 и Tj-Тг
и покажите, что oCq + т2) = о(%г) + о(т2), а о(т1-т2) = oCtj)-ofe).
16-26. Докажите основную лемму о деревьях.
16-27. (а) Покажите, что упорядочение Клини — Брауэра дерева г
является вполне-упорядочением тогда и только тогда, когда т — дерево
с конечными путями.
(b) Покажите, что для всякого дерева т с конечными путями упорядочение
Клини — Брауэра имеет не меньший порядковый тип, чем о(т).
(c) Покажите, что упорядочение Клини — Брауэра рекурсивного дерева
с конечными путями есть рекурсивное вполне-упорядочение.
(d) Покажите, что Т ^tW; W определено в упр. 11-61.
§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ 573
16-28. Завершите доказательство теоремы XIX, показав, что построенное
по обозначению ординала а дерево с конечными путями рекурсивно.
Д16-29. (а) Приведите пример рекурсивно перечислимого, но не рекур-
рекурсивного дерева с конечными путями и пример рекурсивного дерева с конеч-
конечными путями, не являющегося строго рекурсивным.
(Ь) Покажите, что всякий ординал, сопоставленный рекурсивно перечис-
перечислимому дереву с конечными путями, конструктивен и что всякий конструк-
конструктивный ординал задается некоторым строго рекурсивным деревом с конечны-
конечными путями.
§ 16.4
16-30. Пусть фигурирующие в лемме о рекурсии S, <s и R меняются
<(не обязательно эффективно) в зависимости от параметра q, пробегающе-
пробегающего некоторое множество А. Предположим, что для всякого q ? А и всякого
у ? SW если ф2 удовлетворительна на S^yq\ то определено ц(г, у, q) и выпол-
выполняется R(^(y, r\(z, у, q)), причем функция т] частичнорекурсивна. Дока-
Докажите, что существует такая частичнорекурсивная функция г|) двух переменных,
что для любого q ? А функция taz[i|)(z, q)] удовлетворительна на S<-V отно-
относительно 7?<9>
16-31. Покажите, что лемма о рекурсии остается верной, если пятое
предложение в ее формулировке заменить следующим: „Предположим, что
существует такая общерекурсивная функция / двух переменных, что для
любого z и для любого у ? S если <pz удовлетворительна на Sv, то <p/(z „) удо-
удовлетворительна на Sy [j {у}".
Д16-32. Напомним, что, если х ? О, \ х \q. означает конструктивный
ординал, имеющий х своим обозначением. Для х 6 W обозначим через | х \w
конструктивный ординал, соответствующий рекурсивному вполне-упорядо-
чению, задаваемому посредством х. Докажите, что
(i) если А < jO посредством функции h, то А ? AJ<=> C конструктивный
ординал a) (Vx)[x ? А =Ф | h(x) \0 < а]; .
(и) если А ^ jW посредством функции h, то А ? А|<=> (Э конструк-
конструктивный ординал a) (Vx)[x ? А =Ф \ h(x) \w < а]. (Указание. Рассмотрите
отображения из Г в И7 и из О в Г, доставляемые теоремрй XIX, и отображение
из W в О, доставляемое теоремой 11-ХХ. Покажите, что при этих отображе-
отображениях ограниченные множества переходят в ограниченные, а неограничен-
неограниченные — в неограниченные).
16-33. Докажите, что Та <trS+1.
16-34.. (а) Докажите, что множество {(х, у) |ж?7т&1/?2'&||а;||<
< || у Л) является П?-полным. (Указание. Воспользуйтесь функцией h,
определенной в конце доказательства следствия XXII (Ь), и проверьте, что
х ? Т <=> Цх, h(x)) принадлежит этому множеству].)
(Ь) Докажите пункт (d) в теореме XXIII.
16-35. Докажите, что линейное упорядочение < т имеет порядковый
тип наименьшего неконструктивного ординала. (Указание. Пусть к —
наименьший неконструктивный ординал. Тогда < т имеет порядковый тип
<о-Я,= X по непрерывности функции Я,р[со-Р].)
16-36. Закончите доказательство теоремы XXIV. Покажите, что Щ-
упорядочение в этой теореме можно выбрать так, что всякий собственный
начальный отрезок множества А относительно этого упорядочения есть А{-
множество.
16-37. Покажите, что не всякое Щ-вполне-упорядочение множества А
может быть принято за искомое в теореме XXIV.

574 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ 575
§ 16.5
16-38.'Докажите, что произвольное множество является Д^множеством
тогда и только тогда, когда его характеристическая функция — гиперариф-
гиперарифметическая.
Д16-39 (Аддисон). (а) Докажите принцип редукции для класса всех SJ-
подмножеств $F, т. е. в обозначениях § 15.2, докажите принцип редукции
'для класса S^'n^. (Указание. Пусть
«*={/! (Э*)Г1.о («I. /- *)>, &= {/ 1C*)Г{,о (**, /, *)}•
Положим
«#! = {/ | (Зж)[Г1>0Ц, /. *) &(Vj/< х)~\ rj, о («„¦/. У)])>
$1 = {/ I C»)[ rj, о («2, /, у) & (V* < ») и П, о (ц, /, *)] }•)
(Ь) Докажите, что существуют такие непересекающиеся 2 J-подмноже-
ства 2F — назовем их А и &, — что ни для какого Ag-подмножества % из 3-
невозможно, чтобы <^ eg и ^ eg одновременно. Выведите отсюда, что
П^-подмножества &¦ не удовлетворяют принципу редукции. (Указание. Пусть
А и В — рекурсивно неотделимые рекурсивно неречислимые множества.
Возьмем Л = {/ | /@) ? А } и & = {/ | /@) ? В} и воспользуемся техникой,
использованной при доказательстве теоремы 15-XXIV.) (Можно также вос-
воспользоваться „гёделевой нумерацией" посредством функций, примененной
в теореме 15-XXVII, чтобы получить доказательство, более близкое к дока-
доказательству теоремы 7-ХII (с).)
Д16-40 (Аддисон). (а) Докажите принцип редукции для класса всех
S^-подмножеств Эг при любом п > 1. (Указание. См. упр. 16-39 (а), а также
вспомните правила преобразования ограниченных кванторов из § 14.3.)
(Ь) Для любого re ^ 1 найдите пару непересекающихся 2^-подмножеств
из 2F, не отделимых никаким Д^-подмножеством множества 2F• Выведите
отсюда, что П^-подмножества множества 2F не удовлетворяют принципу ре-
редукции.
Д16-41 (Аддисон). (а) Докажите принцип редукции для класса всех И\-
подмножеств множества сР. (Указание. Так же, как в упр. 16-39 (а), с тем
изменением, что для ограничения кванторов используется упорядочение <г,
а переменные пробегают множество значений функции /* (из следствия
XX (а)).)
(Ь) Найдите^пару непересекающихся Щ-подмножеств множества 5- кото-
которые не были бы отделимы никаким его Д}-подмножеством. Выведите отсюда,
что класс Si-подмножеств 2F не удовлетворяет принципу редукции.
16-42. (а) Назовем множество А гиперарифметически простым, если (i)
А есть Щ-множество, (Н) А бесконечно и (iii) (Vfi)[5 — бесконечное Щ-
множество =Ф В [} А Ф 0] ¦ Покажите, что гиперарифметически простые
множества существуют. (Указание. См. доказательство теоремы 8-И. )
(Ь) Назовем множество А h-изоморфным множеству В, если существует'
такая перестановка /, что /—гиперарифметическая функция и А = f(B).
Покажите, что существуют множества, принадлежащие классу (Щ — 2J),.
не А-изоморфные Щ-полному множеству,
16-43. Пусть / — некоторая гиперарифметическая функция. Покажите,
что существует такое п, что cpjj = ф}(п), и что это п можно найти равномерно
рекурсивно по Щ-индексу функции /.
Д16-44 (Лакхам). (а) Назовем А рекурсивно Непродуктивным, если суще-
существует такая частичнорекурсивная функция г|>, что для любого z имеем Wz с:
czA =Ф [гр (z) определено & гр (z) g A — Wty.
Назовем А рекурсивно Н\-креативным, если А есть П1-множество и А
рекурсивно Щ-продуктивно.
Докажите: А рекурсивно П}-креативно<=>Л является nj-полным. (Ука-
(Указание. Доказательство проводится параллельно доказательству теоремы
11-V.)
(b) Множество А называется Непродуктивном, если существует такая
nj-функция t|v что для всякого z имеем W} с Л =Ф [гЬ (z) определено &
*(*) ?А - W\\.
Назовем множество А Щ-креативным, если А есть Щ-множество с Щ-
продуктивным дополнением.
Скажем, что В h-1-сводимо к А, если существует такая взаимно однознач-
однозначная гиперарифметическая функция /, что (Ух)[х б В <=> f(x) ? A].
Докажите: множество А является Щ-креативным<=>[Л 6 Щ&.(УВ)[В ?
? П?<=>В h-1-сводимо к А]).
(c) Докажите, что любые два Щ-креативных множества h-изоморфны.
(Указание. Докажите „гиперарифметический вариант" теоремы 7-VI.) Обра-
Обратите внимание на упр. 16-46 ниже.
Д16-45 (Лакхам). 'Пусть g — некоторый класс Щ-множеств. Положим
Р\>— ix I Wx 6 g}- Если z есть Д^-индекс некоторого множества, то пусть
Ez — это множество. Докажите следующие теоремы:
(a) Р\, 6 SJ <=?>¦ [g пусто или g — класс всех nj-множеств].
(b) P* ? Щ <=> (ЗВ)[В ?nj &(Vz)[z ? В =?>z есть Д^-индекс некоторого
множества] & % = {А \ А ? П} & Cz)[z ? В & Ez с Л]}].
(Указание. Доказательство проходит параллельно доказательству теоремы
14-XIV.)
Д16-46. (а) Покажите, что существует Щ-множество А, h-изоморфное
множеству Т, но не рекурсивно изоморфное ему. (Указание. Проделайте
следующее гиперарифметическое вычисление. Пусть В ж С — бесконечные
рекурсивные подмножества множеств Т и Т соответственно. Будем перечис-
перечислять рекурсивные перестановки:р0, pi, .... Определимгиперарифметическук>
перестановку / так, что (Ve)Cy ? B)Cz ? С) [f (у) Ф рх(*)]•)
(Ь) С помощью упр. 16-44 выведите отсюда, что П}-продуктивное множе-
множество не обязательно рекурсивно П}-продуктивно.
Д16-47. Покажите, что существуют такое множество Дх-индексов С, чта '
всякое Д^-множество имеет один и только один индекс, принадлежащий С,
и такая П}-функция т|), что для любого Д^-множества А, если z есть Д];-индекс
множества А, то г()(г) определено, г()(г) ? С niffz) есть Д^индекс множества А.
(Указание. Положим В = {z | фг нигде не определена или [фг всюду определена
и либо фг строго возрастает, либо сначала строго возрастает й затем ста-
становится постоянной]}. В принадлежит классу Щ. Воспользуемся упорядо-
упорядочением <Г, чтобы построить Щ-множество С, состоящее из Д^-индексов,
выбранных точно по одному для области значений каждой Щ-функции, имею-
имеющей индекс, принадлежащий множеству В. Построим такую общерекурсив-
общерекурсивную функцию h, что (V^)(Vz)[z есть Дх-индекс множества А =$ [h(z) ? В &
& Val Ф^(г) есть А]]. Полагаем ф = {(ж, i/)|a;?B&j/?C&i/ есть ^-ин-
^-индекс области значений ц>х}. Тогда ¦ф — (ph.)
Д168. Для произвольной „частичнорекурсивной" функции г|) примем
за „инструкции" для вычисления г|) произвольный nj-индекс множества
т(г|)). Покажите, что такая „гёделева нумерация" „частичнорекурсивных",
в аналогии Крейсела — Сакса функций в понятном смысле „допустима"
(см* упр. 2-10). Более точно, покажите, что для нее справедливы теоремы
о нумерации (см. теорему I-IV) и s-m-и-теорема (см. теорему I-V).
16-49. Докажите существование в аналогии Крейсела — Сакса „рекур-
„рекурсивно перечислимых", но не "рекурсивных" множеств.

Л. 16.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ 577
Д16-50. Докажите для аналогии Крейсела — Сакса, что если А —
область значений взаимно однозначной „рекурсивной" функции, то А не при-
принадлежит AJ. (Указание. Рассмотрите обратное отображение и примените
теорему XXVI.)
16-51. Покажите, (i) что конструкция, приведенная при обсуждении
аналогии Крейсела — Сакса для доказательства предложения [А "рекурсив-
"рекурсивно перечислимо" и не „конечно" =ФА — область значений некоторой „рекур-
„рекурсивной" функции], удовлетворяет поставленным требованиям и (И) что если
А „конечно" и непусто, то Л также есть область значений некоторой „рекур-
„рекурсивной" функции. (Указание. В пункте (ii) пусть „рекурсивная" функция
отображает А на себя, а Т — А — в некоторый фиксированный элемент
множества А ¦)
§ 16.6
16-52. Докажите следствие XXX.
16-53. Докажите следствие XXXI (Ь).
16-54. Для всякого А определим К ' , как это сделано в замечаниях
перед теоремой XXXIII. Докажите, что К1'Л является П^' А-полным.
^16-55 (Спектор [1958]). Покажите, что существуют несравнимые гипер-
гиперстепени. (Указание. Для этого Спектором предложен метод, опирающийся
на теорию меры и обобщающий некоторые результаты из § 13.3. Достаточно
доказать, что \х({В \А ^^ В)) ^ф 1 для некоторого А. Для этого достаточно
убедиться в том, что М= {{А, В) \ А <ь В} — измеримое отношение.
Но (УВ)[{А \А <hB} счетно], а потому (Ч В)[\х({А | А <,ьВ}) = 0]. Поэто-
Поэтому по теореме Фубини (см. Халмош [1950]) [х({(/4, В) \А <ь#}) = 0-
Поэтому опять-таки по теореме Фубини \х({В \А sg^ В)) = 0 для почти всех
А. Чтобы доказать, что ?Я измеримо, достаточно показать, что всякое 2J-
отношение измеримо (так как 31 есть пересечение 2 j-отношения с дополнением
к другому 2 J-отношению). Чтобы доказать это, достаточно показать, что при-
применение операции А к совокупности открыто-замкнутых множеств дает изме-
измеримое множество. См. сноску об аналитических множествах, стр. 491, а также
Куратовский [1950].)
Д16-56. Пусть {{х, у) \ (ж, у) ? А } — отношение порядка, соответ-
соответствующее некоторому вполне-упорядочению (<) порядкового типа а.
(а) (Спектор). Покажите, что А ? AJ =? а конструктивен. (Указание.
Найдите такОе z ? ТЛ, что а ^ |] z \\A, и примените следствие XXXVI.
Чтобы найти такое z, сопоставьте элементы множества А± = {х | (iy)
I(s, У) ?^1} вершинам функционального дерева следующим образом.
Вершинам, лежащим непосредственно ниже наивысшей вершины, сопоставьте
элементы множества At в порядке возрастания. Более общо, если некоторой
вершине сопоставлен элемент х множества А±, то вершинам, лежащим непо-
непосредственно под этой вершиной, сопоставляются (в порядке возрастания) эле-
элементы множества А±, лежащие ниже х во вполне-упорядочении А. Этим
определяется дерево с конечными путями, характеристическая функция кото-
которого рекурсивна относительно А. Пусть <рА — эта характеристическая
функция-)
(Ь) (Танака, Крейсел). Докажите, что на самом деле А ? 2\=$а кон-
конструктивен. (Указание. Для у из данного вполне-упорядочения обозначим
через | у | порядковый тип множества {х \ {х, у) ? А }. Достаточно пока-
показать, что для любого такого у справедливо {х | х ? Т & || х ||< | у \А) ? 2\.
Для доказательства [этого факта тем же способом, как в теореме XXXV,
применяется.лемма о рекурсии. Примените эту лемму к вполне-упорядочению,
задаваемому отношением А, и примите за основное выражение х ? Г|у|А<=>
[(Зц)[<и, у) ? A] &[(VM) [Ф» =0] Vl<P*(O) = 1 & Cz)(Vti)[<z, у) G
6 А & Ь(п, х) 6 Г|г1л]]]].)
16-57. Докажите следствие XXXVI(c).
16-58. (а) Допустим, что В $ AJ, В <ЬГ и Т ^h В. Что можно сказать
о величине ХБ?
(Ъ) Пусть В ? И\ и А, = X. Что можно сказать относительно гиперстепе-
гиперстепени множества В?
Д16-59. Докажите, что для всякой / существует такое z, что {g \ x(f) =
= W\' е} плотно в 2F. (Указание. Пусть z определяет / через поведение функ-
функции g „на бесконечности", т. е. пусть f(x) = lim sup g(yt) для подходящей
последовательности yt, зависящей от х.) Обратите внимание, что этот резуль-
результат контрастирует с рекурсивным случаем, где, если / не рекурсивна,
{g I т(/) = Wf} не может быть плотным в 3-.
.16-60. Отправляясь от основных определений, проверьте, что Т2 =
= {z \ (Sf)u e тх^]}.
16-61. Покажите более аккуратно, что выражения из доказательства
теоремы XXXVIII приводят к желаемым 2|-форме и Щ-форме. (Указание.
См. упр. 16-8.)
Д16-62. Завершите доказательство следствия XXXIX. (Указание. См.
доказательства следствий XXII.)
Д16-63. Покажите, что порядковый тип множества 81 не есть Д^-ординал.
(Указание. Мы получим этот результат, показав, что всякий Д|-ординал мож-
можно взаимно однозначно и с сохранением порядка отобразить в SI. Пусть а —
некоторый Д^-ординал. Исходя из определения Д|-ординала, легко показать,
что существует линейное Д^-упорядочение множества натуральных чисел,
имеющее тип а. Возьмем такое упорядочение и назовем его S. Мы построим
частичнорекурсивную функцию ф, задающую такое отображение из S в Г2,
что [х предшествует элементу у относительно S <=^- \\ ф(х) ||2 < ||ф(г/)||2]- Мы
сделаем это, показав, что существует такая частичнорекурсивная функция у\,
что для любого у из S если ф2, рассматриваемая только на элементах, пред-
предшествующих (относительно S) элементу у, задает сохраняющее порядок ото-
отображение этого множества в Г2, то упорядоченная пара (у, T](z, у)) продол-
продолжает это отображение на у (как сохраняющее порядок отображение). Суще-
Существование функции ф доказывается теперь с помощью рассуждений, основан-
основанных на теореме о рекурсии, очень близких доказательству леммы о рекурсии
в § 16.4. Существование нужной нам функции т] выводится из двух наблюдений:
во-первых, [A cz Г2 & А 6 Л|] <=>{z | Cj/)[y ? А & х ? T^y\\i]} ? Щ равно-
равномерно по Д|-индексу множества А, согласно теореме XXXVIII, и, во-вторых,
всякое 2|-полное множество „продуктивно" относительно своих Щ-подмно-
жеств (например, ?2 „продуктивно" с Хх[х] в качестве „продуктивной функ-
функции").)
16-64. Сформулируйте и докажите аналоги теорем XXV — XXIX с SJ
вместо Щ и Дг вместо Д^.
16-65. (а) Докажите принцип редукции для S ^-подмножеств &¦
(Ь) Найдите пару непересекающихся S 2-подмножеств 2F, которые не отде-
отделяются никаким Д^-подмножеством^". Выведите отсюда, что Щ-подмножества
& не удовлетворяют принципу редукции.
16-66. Объясните, почему выражение
Г4- в &
\\А> в
1]]
не дает удовлетворительного определения Т?. ц3 для у ? Г3.
37-0506

578 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.7
16-67. Покажите, что Д§ образует базис в Д{}. (Указание. См. обсуждение
свойств рекурсивных классов (т. е. 2$п-классов) в § 15.2.)
16-68. Проверьте, что нужные для доказательства теоремы XLIII реля-
тивизованные доказательства теоремы XLI и следствия XLI (а) проходят
и что получающееся z0 не зависит от g.
Д16-69 (Ганди). Обобщите доказательство теоремы XLIII так, чтобы
доказать существование бесконечно многих гиперстепеней, лежащих между
наименьшей гиперстепенью и гиперстепенью множества Т.
16-70. Пусть А — негиперарифметическое множество, гиперстепень
которого меньше гиперстепени множества Т. Что представляют собой А-
конструктивные ординалы?
16-71. (а) Более подробно проведите доказательства фактов 2, 3 и 4
из доказательства теоремы XLIV.
(b) Более детально проведите доказательства фактов 6, 7 и 8 из доказа-
доказательства теоремы XLIV.
(c) Покажите, что если z $ Т и P(f, г), то / = 1 на Г X {z}.
(d) Выведите теорему XXI из фактов 6 и 7, приведенных в доказательстве
теоремы XLIV.
Д16- 72 (Коэн, Феферман). Следующим образом докажите, что существует
такое множество А ? А*, что {А } $ AJ.
Пусть элементарная арифметика обогащена добавлением атомарных
выражений вида t ? А, где А — единственная фиксированная свободная
переменная для множеств, a t—числовая переменная или цифра. Рассмотрим
высказывания, не содержащие, кроме" 3, никаких других символов кванто-
кванторов и никаких пропозициональных связок, кроме V и ~|- Пусть эти высказы-
высказывания обозначаются через F, G, . . .. Назовем рангом высказывания F обще&
число вхождений знаков 3, V и 1 в F. Пусть /, g, ... — характеристиче-
характеристические функции, а 7, F, • • • — конечные начальные сегменты этих функций.
Для всякой такой функции / обозначим через Sf множество, для кото рог»
/ — характеристическая функция. / называется продолжением g, если g cf~
Следующим образом индуктивно (по рангу формулы F) определим поня-
понятие „7вынуждает формулу F"~f вынуждает п ? А, если п входит в область
определения функции / и /(п) = 1; 7 вынуждает иные атомарные формулы
(например m -j- n = р), если эти формулы истинны (относительно обычной
интерпретации); J~ вынуждает (За)[. . .а . . .], если / вынуждает . . .п. . .
при некотором n\~f вынуждает FVG, если либо / вынуждает F, либо /вынужда-
/вынуждает G; наконец, / вынуждает ~~| F, если никакое продолжение сегмента / не вы-
вынуждает F. Скажем, что / вынуждает F, если некоторый конечный начальный
сегмент функции / вынуждает F.
(a) Покажите, что если F не содержит переменной А, то (/вынуждает F) <?=>
(F истинно).
(b) Покажите, что /вынуждает ~~[ n g A <=> и входит в область определения
7
(c) Покажите, что / вынуждает F <=> всякое продолжение / вынуждает F.
(Указание. Примените индукцию по рангу F.)
Скажем, что F истинна на /, если F становится истинной, когда А при-
принимает значение Sf.
(d) Покажите,что никакая функция/не вынуждает формулу ~|Cа)"~| а?А.
Выведите отсюда, что F может быть истинной на /, хотя ни F, ни П F
не вынуждаются /, и что (добавляя еще одно отрицание) F может быть ложной
на /, хотя и вынуждаемой некоторым конечным сегментом функции /.
§ 16.9. упражнения 579
Назовем / венерической, если для всякого F имеем: F истинна на f=i>F
вынуждается функцией / (а потому F истинна на / <=> F вынуждается /).
Если / — генерическая функция, то и множество 5у называется генерическим.
. (е) Покажите, что / — генерическая функция <=> для всякого F либо F,
либо ~1 .Р1 вынуждается/. (Указание. =ф проверяется непосредственно, а <#= до-
доказывается индукцией по рангу.)
(/) Покажите, что генерические множества существуют. (Указание. Вос-
Воспользуйтесь (е). Постройте генерическую функцию Т, выбирая последователь-
последовательные продолжения так, чтобы гарантировать, что при всяком F либо F, либо
1 F вынуждается /.)
(g) Покажите, что существует_генерическая функция / в классе AJ. (Ука-
(Указание. Покажите, что отношение „/ вынуждает F" есть (относительно подходя-
подходящей гёделевой нумерации) Д^-отношенир (в действительности рекурсивное
относительно О^) и что построение из (f) приводит поэтому к Д^-функции.)
(h) Пусть даны функция / и натуральное число п. Определим (характери-
(характеристическую функцию) g условиями: g(x) = f(x) при х *ф nil g(n) = 1 <=^>/(w) =
= 0. Обозначим g через n(f). Покажите, что для любых /им имеем (/— гене-
генерическая функция <=> ге(/) — генерическая функция). (Указание. Для произ-
произвольного высказывания F назовем n(F) высказывание, получающееся из F за-
заменой каждой атомарной подформулы t ? А на выражение (~\(t= n V ~~! t ?A) V
V П (H< = nVi 6^))- Зам^тим, что n(~[F) =~\n(F). Покажите, что для любых
/ и F (i) / вынуждает n(n(F)) <=> / вынуждает F, (и) f вынуждает F <^> n(f)
вынуждает n(F). Заметьте, что n(n(f)) = /, и воспользуйтесь (е).)
(i) Покажите, что /'— генерическая функция =Ф {/} (? AJ. (Указание.
Допустим, что / — генерическая функция и {/} 6 До- Пусть F — неявное
определение множества Sf. Так как F истинно на /, F вынуждается / при неко-
некотором /" czf. Возьмем и, не принадлежащее области определения функции /.
Тогда n(f) вынуждает F (так как 7 с*(/)). Но n(f) — генерическая функция
(согласно (h)). Поэтому F истинна на n(f) в противоречие с нашим предполо-
предположением, что F определяет единственную функцию /.)
& 16-73. (а) Определим генерическое множество, как в упр. 16-72. Пока-
Покажите, что совокупность всех негенерических множеств есть множество первой
категории в канторовом пространстве. (Указание. При всяком F множество
{/ I C7)G cz/ &7 вынуждает либо F, либо IF} открыто и всюду плотно.
Оно открыто, потому что является объединением окрестностей, задаваемых
сегментами, вынуждающими F или ~\ F- Оно всюду плотно, потому что всякая
окрестность, не пересекающаяся с этим множеством, задавалась бы некото-
некоторым сегментом, вынуждающим ~~\ F. Таким образом, совокупность генериче-
ских множеств есть счетное пересечение открытых всюду плотных множеств.
Поэтому дополнение к их совокупности есть множество первой категории.)
(Ь) (Аддисон). Покажите, что всякий арифметический класс первой кате-
категории содержит в своем дополнении некоторое арифметическое множество;
выведите отсюда, что класс всех арифметических множеств не является арифме-
арифметическим. (Указание. Функция / называется п-генерической, если для всякой
формулы F ранга п или меньше (F истинна на / =Ф F вынуждается /). Покажи-
Покажите, что для каждого п существует арифметическая м-генерическая функция /.;
Пусть теперь % — арифметический класс первой категории, определяемый
формулой F ранга п (см. теорему 15-IV). Пусть /'— арифметическая и-гене-
рическая функция. Если Sf (| %, то все доказано. Если же Sf ? %, то F
истинна на / и некоторый сегмент / с: / вынуждает F; в силу таких же рассуж-
рассуждений, как в пункте (а), га-генерические продолжения сегмента / порождают
содержащуюся в % совокупность второй категории, а это — противоречие.)
16-74. Распространите теоремы 15-XXV и 15-XXVI на аналитическую
иерархию. Более точно, докажите следующие утверждения.
37*

580 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
(a) Пусть Л а&, и пусть т(«^) == {X | C/)[/ б Jt & X =
= {(я, У) I /0*0 = !/}!}• Покажите, что для всех п имеет место Jk б 2Jj <=>
"**¦ т(^) б SJi и что <& ? П},, <=^> т(<т#) б njj. (Указание. См. доказательство
теоремы 15-XXV. В следствии 15-XXV рассмотрен случай п = 0.)
(b) Пусть ^cj,n пусть g(^) = {/ ] (Зх)[Х ? ^ & / = cj}. Пока-
Покажите, что при всехгс справедливо dt б 2^ <=?> %(<&) б ?« и что .?? б П^ <=>
¦^^ ??(•??) 6 njj. (Указание. См. доказательство теоремы 15-XXVI. В следст-
следствии 15-XXVI рассматривается случай п = 0.)
(c) Понятия 2 Jj- и Т\.\-индексов класса ^f для «?? с 2F и ге > 0 определены
в § 16.1. Для ,Ж cz JT ж п > 0 назовем 21^-индексом класса..^ всякое число z,
для которого «?? = {X | (З/j) . . . rn+lj0(z, X, т^), •-•)}• Аналогично
введем П\-индексы.
Покажите, что для ге > 0 приведенные выше утверждения (а) и (Ь) вы-
выполняются равномерно относительно соответствующих индексов.
16-75. Докажите следствие XLIV(h). (Указание. Примените следствие
XLIV(e).)
16-76. Покажите, что &С б (Щ — 2J). (Указание. / б 36 <=>
<=> Cz)(Vz)[/(z) = q>z(x)]. Отсюда следует, что &€ б Щ. Предположив, что
&в б 2j, примените теорему XLIV, чтобы доказать, что Т б 2{ — противоре-
противоречие.)
16-77. Покажите, что если у — продолжение х (как это определено в тео-
теореме XLV), то у > х. (Указание. Рассмотрите определение кодовых чисел
кортежей через функцию т*, определение т* через т и определение т.)
§ 16.8
Д16-78. Пусть /•
жим
произвольная взаимно однозначная функция. Поло-
K(f@)) = 0,
K(f(n + 1)) = (K(j(n)))'.
Пусть А = {{х, у) \ у — одно из значений функции / & х б Жг/)}- Покажи-
Покажите, что Т-степень множества А может быть сделана сколь угодно высокой
за счет подходящего выбора функции /.
16-79. Пусть Ао, Ai, ... — такая последовательность множеств, что
А о = 0, а при всех п > 0 множества Ап 2п-полны. Пусть А= {(х, у) | х б
б Ау }. Покажите, что Т-степень множества А может быть сделана произвольно
высокой за счет выбора множеств Ао, Аи ....
16-80. Пусть v — произвольная унивалентная система обозначений.
Положим
X(v-i@)) = 0,
1)) =(
a & « б
если a ^- предельный ординал.
Покажите, что для всякого ж из области определения v существует такое
у б О, что v(:r) = | у | и if(x) =x H (у). (Указание. Воспользуйтесь следстви-
следствием 11-XVIII (Ь) и леммой о рекурсии.)
16-81. Пусть о — произвольное взаимно однозначное рекурсивное ото-
отображение множества N X N в N с рекурсивной областью значений. Опреде-
Определим множества К (х) подобно множествам Н(х) с тем отличием, что вместо т
в качестве функции пересчета пар используется о\ Покажите, что для всякого
л: б О имеем Н(х) = К(х). (Указание. Воспользуйтесь леммой о рекурсии.)
§ 16.9. упражнения 581
16-82. Возьмем произвольное z0, такое, что (i) (V^4) [И^=4'] и (ii)
существует такая общерекурсивная функция /0, что для всех А ж и функция
kx[fo(u, х)] 1-сводит w? к Wf0. Положим А* = W.f0. Определим множества
К(х) так же, как Н(х), с той разницей, что вместо скачка используется опера-
операция *. Докажите, что х?О=фН(х)=^т К(х). (Указание. Воспользуйтесь
леммой о рекурсии.)
/\ 16-83 (Эндертон). Следующим образом сопоставим множества обозна-
обозначениям системы О:
н „ =
{{и, v) \utEVy(v)}.
Теоремы XLIX, L и L1 сначала были сформулированы для этого сопо-
сопоставления, принадлежащего Клини (см., однако, примечания на стр. 267
и 268). Докажите, что Нх = т Н(х) для всякого х б О. (Указание. Восполь-
Воспользуйтесь леммой о рекурсии, чтобы доказать, что х ^оУ ^ Нх ^i Ну равно-
равномерно по х и у. Затем примените лемму о рекурсии, чтобы доказать, что
Н(х) <т Нх и что Нх ^т Н(х).)
^16-84 (Эндертон). Пусть Vg — такое взаимно однозначное отображение
некоторого множества D& натуральных чисел на некоторый сегмент ордина-
ординалов, что для него выполняются условия (i) и (ii) из определения системы
обозначений, приведенного в начале § 11.7. Для х ?DS определим К(х) сле-
следующим образом:
X(v-i@)) = 0,
*(v-i(p + 1)) = (X(v-MP)))',
К(м~Ца)) = {(и, v) I v б Ds & v(u)< a & и б K(v)}
для предельных ординалов а.
Докажите, что если х б ?*s. У ё ° и v(x) = I У I. то В (у) < ТК(х). (Указание.
Сначала воспользуйтесь леммой о рекурсии, чтобы показать, что если даны
такие v б Zsi У 6 О, что v(i>) < | у |, то можно рекурсивно относительно
KB2V) и равномерно по у я v вычислить такое число и,гчто и ^ Оу и v(v) =
= | и \. 5Келаемый результат получается после этого в результате еще одного
применения леммы о рекурсии.)
416-85. (Клини, Суслин). Пусть Jl aJT- Докажите, что Jt б ^\ <^ C
конструктивный ординал Р) \Jt б 2р].' (Указание. Для доказательства =Ф
поступаем следующим образом. Воспользуемся П^-формой для с4, чтобы
получить такое z0, что jt = {А | z0 б ТА). Докажите, что для любого фикси-
фиксированного z0, если {А | z0 б ГА} б 2J, то (Зжо)[жо б Г & (V^)[z0 б 2"А=»
=Ф || z0 ||А < || х0 \\]] (в противном случае Т = {х | Cfi)[z0 б ГВ & II г II <
< || z01|]} и Т б 21 по теореме XXXV). Заключаем отсюда, что Jt =
— {А | z0 б ГАЖо и} для некоторого х0 б Т. Чтобы показать, что ^^i^!
<1ЯАBе(^) г), подвергните релятивизации доказательство теоремы LI.
(Это доказательство можно провести так, чтобы оно давало обозначение орди-
ординала Р в О равномерно относительно AJ-индекса Jt.) Ф= доказывается анало-
аналогично теореме L с использованием леммы о рекурсии.)
*) Напомним, что е(у) используется как сокращение для 2аУ (см. доказа-
доказательство теоремы LI, стр. 564).— Прим. перее.

582 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
16-86. Покажите, что существует множество функций из S|fn\ не при-
принадлежащее 2^fn) в, где В = И(у), у ? О и | у | = со. (Указание. См. заклю-
заключительные замечания в § 15.1 и 15.2.)
Д16-87. Для всех X и всех ?у? О определим Нх(у) так же, как в § 16.8.
Покажите, что, вообще говоря, утверждение A^Ai' B <=> (Зу)[гу^О&Л<;тЯв(гу)]
неверно. (Указание. Приняв В = Т, покажите, что в AJ,Тсуществует множе-
множество более высокой Т-степени, чем произвольное Вт(у), где у?О.)
Д16-88. Покажите, что если и?О, v?O, |u|<|i>|, ji С Ж и -Ж пред-
ставимо некоторой и-формой, то d; представимо и некоторой р-формой.
(Указание. Сделайте это в два шага. Сначала докажите это в случае и <o*;i
затем при | и | = | v |. В последнем случае сначала докажите, что теорема.
XLIX верна для множеств Нх(у) „равномерно относительно" X, т. е. равно-
равномерность (в формулировке теоремы) не зависит от X. Затем воспользуйтесь
леммой о рекурсии, (и = ,2* — ключевой случай).)
16-89. Определим 2<,s) так же, как в § 15.2, а 2^, как в § 16.8. Докажите,
что л es<f <^ле 2».
16-90. Пусть у = 2« ? О. Докажите, что A <i#(j/) <=> Cz)[A =
= {х | z ? .Я'ас^B/)}]. (Указание. Примените лемму о рекурсии к О.)
Д16-91. Присоединим к элементарной арифметике атомарные формулы
вида D(п, а, 6), где п—нумерал, а а и 6,— переменные. Пусть выбрана неко-
некоторая фиксированная гёделева нумерация формул такой обогащенной систе-
системы. Формула, содержащая подформулы вида D(n, а, Ь), называется допусти-
допустимой, если каждое п есть индекс рекурсивной функции, все значения которой
суть гёделевы номера формул с одной свободной переменной, которые уже
объявлены допустимыми. Подформула D'(n, а, Ь) всякой допустимой формулы
интерпретируется как „6 удовлетворяет формуле с гёделевым номером ф„(а)".
Сделайте понятие допустимой формулы точным, и докажите,- что множество
является гиперарифметическим тогда и только тогда, когда оно определяется
некоторой допустимой формулой. (Какова степень неразрешимости множества
всех истинных допустимых высказываний?)
16-92. Пусть „2«" обозначает некоторую х-форму, а „Пр" — отрицание
некоторой г/-формы, где | х \ — а > | у | = р. Покажите, что имеют место
следующие „правила' преобразования кванторов":
(i)
(ii)
(in)
0
а,
&. П°Э
Д16-93. В следующем определении строится такая цепь гиперарифмети-
гиперарифметических множеств, что всякое AJ-множество сводится к некоторому элементу
этой цепи. Это определение обходится без обозначений ординалов. Принадле-
Принадлежит оно Шёнфильду. Положим
Da = U Da для предельных ординалов а.
Покажите, что Dn ? hn при п < со, но Da 6 ba+i. (Указание. Докажите Пи-
полноту множества Da.)
16-94. Пусть / — такая общерекурсивная функция, что при всяком х
значение f(x) есть AJ-индекс некоторого Д}-множества. Для всякого х пусть
Ах— множество с Д1-индексом/(х). Покажите, что „бесконечное сочленение"
§ 16.9. упражнения 583
16-95 (Гейзер). Пусть даны такие h и А, что h ?. AJ, А
{(и, и) | и ? Лв}есть Д}-множество. (Указание. Непосредственно проверяется
с помощью использования подходящих форм.)
r U Wh(y).
Покажите, что A cz U W\, . при некотором конструктивном а. (Указание.
Возьмите отношение Р, определенное в теореме XLIV, и воспользуйтесь
упр. 16-72, чтобы показать, что если желаемый результат не имеет места, то
z ? Т
, z) & (Зх)[х 6 А & (Vm)(Vj/)[[/((«, z)) = 1 &
& и е т & и у ц< у вщ =ф
w\
Отсюда вытекает, что Т ? 2J.)
16-96. (Эндертон). Докажите содержащуюся в формулировке следствия
ХЫХ(с) равномерность. (Указание. Обобщите формулировку и доказатель-
доказательство теоремы XLIX, так чтобы из нее прямо вытекало следствие XLIX(c).
Возьмите 5= {(i, j) |i?O& j/?O&|x|<|i/|}h подходящим обра-
образом определите отношение <g. Метод доказательства такой же, как в тео-
теореме XLIX. Ключевым является случай х = 2", у = 3>5".)
Д16-97 (Московакис). Определение: пусть х и у — такие элементы мно-
множества О, что | х | = | у \. Будем говорить, что х мажорируется элементом
у, если существует такая частичнорекурсивная функция г|), что и <q х=Ф
=Ф [\|>(м) определено &г|)(ц) <0 у & | и \ ^ | г|) (и) | ].
(a) Покажите, что существуют такие х0 и гу0, что | х0 | = | у0 \ = со2,
но ж0 не мажорируется у0. (Указание. Возьмите любое такое гу0, что | гуо| = со2.
Постройте х0 = S'5V, так, чтобы
I ш и + 1) I = Л фо^^ I + I Фп (» + 1) 1+ «. если фп(ге + 1) <0 у0,
' * " \ |ср„ (м) | + со в противном случае.
Предположим, что х0 мажорируется гу0 с помощью функции г|з. Возьмите такое
л, что ср„ = ¦ффц, и выведите противоречие из сделанного предположения.)
(b) Покажите, что существует равномерная процедура, позволяющая
¦по данной общерекурсивной функции / (точнее, по ее гёделеву номеру) нахо-
находить такое п, что для всех А справедливо п ? А'<=>/(«) ({ А. (Указание.
Воспользуйтесь теоремой о рекурсии, чтобы получить такое п, что W% = N,
если f(n) $ А, и W'n = 0, если f(n) ? Л.)
(c) Покажите, что [х?О&г/?О&|ж|= |гу| = [некоторый предель-
предельный ординал]] =ф [ж мажорируется i/ <=> Я(х) ^.HXty)]. Отсюда следует, что
если даны такие х0 и у0, как в (а), то | х0 |= | у0 I, но Я(х0) Ф Н(у0). (Ука-
(Указание- =Ф получается в результате применения следствия ХЫХ(с). Чтобы
доказать Ф=, предположим, что Н(х) ^Н(у). Возьмем t<_ox. Покажем, как
вычислить г|)(<) <0 у, так чтобы | t \ ^ | ij)(i) |. Пусть e(t) = 22 i и пусть дано
произвольное s. Имеем s ? H(e(t))<=>(s, e(t)) ? Н(х) <=><p(s), q(s)) ? H(y)
<где p(s) и q(s) получены благодаря 1-сводимости Н(х) к Н(у)) <=> q(s)<o
<0 у &. p(s) ? #g(s). Допустим на мгновенье, что | q(s) | < | t | для всех s,
таких, что q(s) <0 j/. При !>том допущении мы можем использовать H(t) для
проверки, выполняется ли s ? H(e(t)), следующим образом: смотрим, верно ли,
что q(s) <o У (здесь используется равномерная сводимость К к H(t), затем
применяется доказанная в следствии ХЫХ(с) сводимость H(q(s)) к H(i).
Это Т-сведение H(e(t)) к H(t) приводит к 1-сводимости H(e(t)) к #B<) посред-
посредством общерекурсивной функции / (с индексом, равномерно зависящим от t),
определяемой так, что /(s) ? #B') <=> процедура Т-сведения помещает $
в H(e(t)). На самом" деле, конечно, H(e(t)) не 1-сводимо к ЯB«), так как
H(e(t)) = (HBt))'. Поэтому для некоторого s имеем | q(s) | > | t.|. Найдем
такое q(s) следующим образом. Возьмем определенную выше / (ее определение

584 ГЛ. 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
§ 16.9. УПРАЖНЕНИЯ 58&
не зависит от нашего ложного допущения; от этого допущения зависело только
утверждение, что H(e(t)) <j#B<) посредством /). Применим (Ь) к /, чтобы
получить такое п, что п ? H(e(t)) <=> f(t) rf #B<). Из определения / и строе- •
ния описанной процедуры Т-сведения H(e(t)) к H(t) следует, что q(n)<Co i
<О У &¦ I q(n) | > | t |. Поэтому мы полагаем г|)(<) = q(n).) :
Д16-98. (а) Пусть Нх при х ? О— множество, определенное в упр. 16-83.
Докажите, что для каждого х ? О существует такая функция fx, что (i) Hx =
= {« I fx(u) Ф 0}, (ii) {fx} ? П? равномерно по ж и (Hi) fx =T Яж равномерно
по х. (Существование fx со свойствами (ii) и (ш) было замечено Крейселом i-
в [1962].) (Это упражнение дает доказательство следствия XLIV(d), не завися-
зависящее от теоремы XLIV.) (Указание. Пусть g0 — общерекурсивная функция
с рекурсивной областью значений, 1-сводящая А к А' при всяком А. Опреде- •
лим fx для ж ? О следующим образом:
х = 2V & и входит в область значений g0 : fx(u) = fyg^-(u). (Поэтому
fy = fxeo-)
x = 2V & и не входит в область значений g0: fx(u) = w <=> [w —
= (p, q, r, s) &(u, p, ?, r) ? Wo(u% точно за s шагов
&2>g с{г| /жг0(г) ф 0} &ЙГ с {z | /^0(z) = 0}]. (Заме-
(Заметим, что в этом случае возможность fx(u) = 0 автоматически покрывается
утверждением о том, что fx — всюду определенная функция.) • •;
х = 3-5*: fx((u, v)) = /ф((щ) (и).) . f
(b) Докажите утверждение пункта (а) с Н(х) вместо Нх. (Указание. .
В определении / , из (а) замените ф((у) на q>(?, v), где ф — такая частичноре- ;
курсивная функция, что при х= 3-5'? О область значений функции ¦
Мф(<, v)] есть {z | z <0 х}.) ;
16-99. (Клини). При произвольном % с?Р будем говорить, что / (или :-
А) ? 2^ ^, если / (или А) выразима в 2^-форме, в которой все кванторы .?
по функциям ограничены множеством %. %
(a) Покажите, что / ?2' ^=ф/ ? 86-
Д(Ь) Покажите, что для каждого х ? О множество Нх выразимо в 2J-
форме с %х в качестве базиса, где %х = {/ | (Зи)[ц <0 х & / <т Ни]}. >
(Указание- Примените nj-форму, построенную в упр. 16-98. Пусть S(x, f) —
такая nj-форма, что для х ? О имеем g = fx <=> S(x, g). В случае х = 2У ,
положим Нх= {и \ C/)[5(i/, /)& [[и входит в область значений г
So & fgb~4u) Ф 0] V (и не входит в область значений g0 &¦ (Зш)[ш =^ 0 & w = 'i
= (р, ?, г, s) ,& . . . &.Dr a {z | /(z) = 0}]]]]}. Случай ж = 3-5* рассмат- 4
ривается аналогично.)
16-100. (а) Покажите, что 2^ ~п а А| при всех п. (Указание. Заметим,
что C/)^ [• . ./. . .] может быть записано в виде C/)[/ ? 86 &.../.. .],
а также в виде (Зг)[ф| всюду определена & (V/)[/ = ф? =*> .../.. .]].)
со
(b) Покажите, что U 2^ ^,с Д|. '
А(с) Определим <go = 86,
й'х = U ^в для предельных ординалов
Р<К
Пусть Ро — наименьший из тех ординалов р, для которых gp+i = %&¦ По-
Покажите, что ро —счетный ординал и что gp0 а Д|. (Классы 21 „ PV
образуют, как ее называют в литературе, разветвленную аналитическую иера-
иерархию. Результат (с) получен с использованием теории множеств; автор не-
незнает его доказательства, опирающегося только .на теорию рекурсивных,
функций.)
Д16-101 (а) (Крейсел). Пусть R ? Щ. Докажите, что
x, у))], х). '
(Указание. Рассмотрим отношение {(/, х) \ f ? <2#& R(f, x)} = Р. Имеем
Р ? Щ . Применяя теорему XLV (Кондо — Аддисона) к Р, получим такое-
Р*, что Р* а Р, Р* ? Щ и (Vx) C единственная /) P*(f, x). Для каждого
х пусть gx — та единственная функция /, для которой Р*(/, х). Определим
g{(x, У)) = gx(y)- Очевидно, Dx)R(Xy[g({x, у))], х). Остается показать,
что gtSW. Hog((x, у)] = z<=> Cf)?%[P*(f, x) & f(y) = z] <=> (V/)^
[P*(/, ж) =Ф/(г/) = z]. Применяя метод, использованный в теореме
XLI (и упр. 16-Ю0(а)), получим g ? А}.) (Этот ревультат может быть получеа
без применения теоремы XLV следующим образом.
) =4 (Vx)Cz)[fz всюду определена &
&
= »]¦
/, ¦*)]]¦
Запишем последнее выражение более коротко в виде (Vz)Cz)S(z, ж). Тогда»
5 ? Щ. Применяя теорему XXV (об однозначности в Щ), получим.
{1к)зе(Уx)S(h(x), х). Пусть g((x, у)) = Щ(х)(у). Очевидно, g ? Ж
и У (x)R(Xy[g((x, у))], х).)
(b) Определим А1 °%> (для множеств), как в упр. 16-99. Не пользуясь-
теоремой XLIV, покажите, что Д ^ — А}. (Указание. Согласно теореме XLI,
А,1 $(, a AJ. Для проверки того, что AJ с Aj ^g, воспользуйтесь в доказа-
доказательстве теоремы XXI сформированным выше, в пункте (а), правилом пре-
преобразования кванторов, чтобы доказать, что Та ? А ^ ^ при любом конструк-
конструктивном а.)
(c) (Московакис). Не пользуясь теоремой XLIV (примененной в упр.
16-76), покажите, что 36 ? (Щ — 2}). (Указание,. Определим Р (}, z>
как [/ ? 86 & z ? Т & / <т r||z||] V[/ $ <S»& (Чу)[<Рг(у) = °]1- Предположим,
что &€ ? AJ. Тогда Р ? П{. Применяя модификацию теоремы XXV (теорема
об однозначности в классе П? для функций одной функциональной пере-
переменной), получим такое Р*, что Р* сР, Р* ? Щ, (V/)(Vz)[P*(/, z)=$ze T]
и (V/) C единственное z) P*(f, z). Из определения отношения Р, очевидно,
получаем, что х ? r<=>C/)Cz)[.P*(/, z) & || х || < || z || ]. Но отсюда вытекает,
что х ? Т <=> C/)Cz)[(Vi/)[i/ ^= z =*¦ П^*(/, У)] & || ж ||< || z |[]. Согласно-
теореме XXI, это дает Т ? 2J, и мы пришли к противоречию.)
(d) (Московакис). Из пунктов (Ь) и (с) выше выведите, что П} а 2^ $q
(теорема XLIV). (Указание. Так как Ш ? Щ, возьмем такое z0, что / ? &€ <=>
<=>z0 ? Tf. Согласно (с), {|| z0 |f | / ? &6) не ограничено в конструктивных
ординалах. Поэтому имеем х ? Т <=> C/)^[|| х || < || z0 ||/]. Возьмем модифици-
модифицированное, как в пункте (Ь) выше, доказательство теоремы XXI и подвергнем
его релятивизации по отношению к /, чтобы получить такие А^ ^

586 ГЛ. 14. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
относительно / и х, которые при / ? &в выражают множество {ж|||х||<
<;||zoj|;}. Используя S^jg-форму, получим Т 6 Z| &е. Поэтому П\ а
^—^1 <Я?") (Будучи, возможно, более простым, чем доказательство теоре-
теоремы XLIV, изложенное в § 16.7, это доказательство не приводит к след-
следствиям теоремы XLIV, касающимся неявной определимости, которые были
получены в § 16.7.)
Д16-102 (Крейсел). Покажите, что 36— наименьший из классов %, для
которых (i) (V/)(Vg)[[g 6 ^ &/ <Tgl =#>/ 6 Щ и (И) Dx)(ug)^R(g, x) <=>
<=> (ih)^, (Уx)R{ky[h((x, г/^)], я) при любом R 6 П». (Что <й? обладает свой-
свойствами (i) и (ii), вытекает из следствия Х(а) и из пункта (а) в упр. 16-101.)
(Указание. Для z 6 # определим %z= {g \ (Зу)[у <0 z & g <T#(i/)]}. Доста-
Достаточно показать, что для всякого z 6 О, \ z \ ф О, существует такое R ? П},
что Dv)Cg)^^R{g, у),но -\Ch)^Dv)R(kylh((v, y))],v). Для z ? О пусть /г
определяется, как в упр. 16-98, и пусть S — такое nj-отношение (построенное
в упр. 16-98), что g = fz <^> S(z, g). Для z =3-5* положим R(g, v) <=>
<=^ "%tM. 8)- Для z=2V полагаем R{g, v)<^[S(y, %n[g(n+i)\) & lg@) =
= w<^>[[v входит в область значений g0 & w—g(g^x(v) + 1)] VI" не входит
в область значений g0 &, w = (р, q, r, s) & (v, p, q, r\ ? ^„(в) точно за s
шагов &Bg cz {z | ^(z + 1) ф 0} &Br cz {z | g(z + 1) = 0>jJj], где g0 вы-
вытирается так же, как в упр. 16-98).
ЛИТЕРАТУРА
Аддисон (Addison J. W.)
{1955] Analogies in the Borel, Lusin, and Kleene hierarchies, I, Bull.
Amer. Math. Soc, 61, 75 (abstract).
[1959] Some consequences of the axiom of constructibility, Fund, math.,
46, 337—357.
[1959a] Separation principles in the hierarchies of classical and effective
descriptive set theory, Fund, math., 46, 123—135.
[1962] Some problems of hierarchy theory, Proc. of symposia in pure math.,
v. V, Recursive function theory, Amer. Math. Soc, Providence,
R.I., 123-130.
[1962a] The theory of hierarchies, Logic, methodology, and philosophy of
science (Proceedings of the 1960 international congress), Stanford
University Press, Stanford, Calif., 26—37. (Русский перевод:
Аддисон Дж., Теория иерархий, в сб. «Математическая
логика и ее приложения», 1965, М., «Мир», 23—36.)
Аддисон, Клини (Addison J. W., Kleene S. С.)
[1957] A note on function quantification Proc. Amer. Math. Soc, 8,
1002—1006.
"А к с т (A x t P.)
[1959] On a subrecursive hierarchy and primitive recursive degrees, Trans.
Amer. Math. Soc, 92, 85—105.
Аппель, Мак-Лохлин (AppelK. I., McLaughlin T. G.)
[1965] On properties of regressive sets, Trans. Amer. Math. Soc, 115,
83—93.
A p с л а н о в М. M.
[1968]* Две теоремы о рекурсивно перечислимых множествах, Алгебра
и логика, 7, вып. 3, 4—8.
[1969]* О некоторых вопросах структуры рекурсивно перечисленных
множеств, Тезисы докл. X всесоюзн. алг. коллокв., 1969, Ново-
Новосибирск, 1, 100.
А с с е р (A s s e r G.)
[1960] Rekursive Wortfunktionen, Z. math. Logik und Grundl. Math., 6,
258—278.
Бернайс, Френкель (Bernays P., Fraenkel A. A.)
[1958] Axiomatic set theory, North-Holland Publishing Company, Am-
Amsterdam.
Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. — Прим. ред.

588 ЛИТЕРАТУРА
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1940] Lattice theory, American Mathematical Society colloquium pub-
publications, 25, New York. (Русский перевод: Биркгоф Г., Тео-
Теория структур, 1952, М., ИЛ.)
Б у н (В о о n e W. W.)
[1957] Certain simple, unsolvable problems of group theory, V, VI, Indag.
math., 19, 22—27, 227—232. (Konink. Nederl. Akad. van Weten-
schappen, Proc, ser. A, 60.)
Г а н д и (G a n d у R. 0.)
[1960] On a problem of Kleene's, Bull. Amer. Math. Soc, 66, 501—502.
[1960a] Proof of Mostowski's conjecture, Bull. .Acad. Polon. Sci4 ser. sci.
math., astronom. et phys., 8, 571 — 575.
Г а н ф (H a n f W.)
[1962] Degrees of finitely axiomatizable theories, Notices Amer. Math.
Soc, 9, 127—128 (abstract).
Гензель, ^Патнам (Hensel G., Putnam H.)
[1965] On the notational independence of various hierarchies of degrees of
unsolvability, J. symb. logic, 30, 69—86.
Гёдедь (Godel K.)
[1931] tjber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme, I, Monatsh. Math, und Phys., 38,173—198.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
[1953] Some classes of recursive functions, Rozpr. mat., 4, Inst. Mat. Polsk.
Akad. Nauk, Warsaw. (Русский перевод: Гжегорчик А.,
Некоторые классы рекурсивных функций, в сб. «Проблемы мате-
математической логики», 1970, М., «Мир», 9—49.)
Гильберт Д.
[1904]* Об основаниях логики и арифметики, В кн. Гильберт Д.,
Основания геометрии,51948, М.-Л., ГИТТА, 322—337.
Гильберт, Бернайс (Hilbert D., В е г п а у s P.)
[1939] Grundlagen der Mathematik, Springer-Verlag OHG, Berlin.
Деккер (Dekker J.C.E.)
[1953] Two notes on recursively enumerable sets, Proc Amer. Math. Socr
4, 495-501.
[1954] A theorem on hypersimple sets, Proc Amer. Math. Soc, 5, 791 —
796.
[1955] Productive sets, Trans. Amer. Math. Soc, 78, 129—149.
[1962] Infinite series of isols, Proc. of the symposia in pure math., v. -V,
Recursive function theory, Amer. Math. Soc, Providence, R.I.,
77-96.
Деккер, Майхилл (Dekker J.C.E., M у h i 11 J.)
[1958] Some theorems on classes of recursively enumerable sets, Trans.
Amer. Math. Soc, 89, 25—59.
[1958a] Retraceable sets, Canad. j. math., 10, 357—373.
. ЛИТЕРАТУРА 589
[1960] Recursive equivalence types, Univ. of Calif, publ. in math., n.s., 3;
67—213.
Джокуш (Jockusch С G., Jr.)
[1966] Reducibilities in recursive function theory, Ph.D. Diss., Massachu-
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.
Д р е б е н (D r e b e n B. S.)
[1962] Solvable Suranyi Subclasses: an introduction to the Herbrand theo-
theory, Ann. Comput. Labor. Harvard Univ., 31, 32—47.
Дэвис (Davis M.)
[1956] A note on universal Turing machines, Automata studies, Annals of
mathematics studies, v. 34, Princeton, N. J., 167—175. (Русский
перевод: Дэвис М., Замечание об универсальных машинах
Тьюринга, в сб. «Автоматы», 1956, М., ИЛ., 226—234.)
[1957] The definition of universal Turing Machine, Proc. Amer. Math.
Soc, 8, 1125—1126.
[1958] Computability and unsolvability, McGraw-Hill Book Company,
New York.
Дэвис, Патна м, Робинсон, (Davis M., Putnam H.,
Robinson J.)
[1961] The decision problem for exponential diophantine equations,
Ann. of math., 74, 425—436. (Русский перевод: Дэвис М.,
Патнэм X. и Робинсон Дж., Проблема разрешимости
для показательно-диофантовых уравнений, сб. Математика,
1964, 8 : 5, 69—79.)
Ейтс (Yates С. Е. М.)
[1962] Recursively enumerable sets and retracing functions, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 8, 331—345.
11965] Three theorems on the degree of recursively enumerable sets, Duke
math. /., 32, 461—468.
Кальмар (Kalmar L.)
[1955] Uber ein Problem, betreffend die Definition des Begriffes der allge-
mein-rekursiven Funktion, Z. math. Logik und Grundl. Math., 1,
' 93—96.
К а р ри (Cur г у Н. B.)
[1963] Foundations of mathematical logic, McGraw-Hill Book Company,
New York. (Русский перевод: Карри X., Основания мате-
математической логики, 1969, М., «Мир».)
Кент (Kent С. F.)
[1962] Constructive analogues of the group of permutations of the natural
numbers, Trans. Amer. Math. Soc, 104, 347—362.
Кларк (Clarke D. A.)
[1964] Heieiarchies of predicates of finite types, Memoirs Amer. Math.
Soc, 51, Providence, R.I.

590 ЛИТЕРАТУРА
К л а у а (К 1 a u a D.)
[1961] Konstruktive Analysis, Mathematische Forschungsberichte, XI,
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin.
К л ив (Cleave J. P.)
[1961] Creative functions, Z. math. Logik und Grundl. Math., 7, 205—212.
К л ини (К lee ne S. С.)
[1936] General recursive functions of natural numbers, Math. Ann., 112,
727—742.
[1936a] ^-definability and recursiveness, Duke math. J., 2, 340—353.
[1938] On notation for ordinal numbers, /. symb. logic, 3, 150—155.
[1943] Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soct
53, 41—73.
[1950] A symmetric form of Godel's theorem, Indag. math., 12, 244—246.
(Konink. Nederl. Akad. van Wetenschappen, Proc, ser. A, 53.)
[1952] Introduction to metamathematics, D. Van Nostrand Company, Inc.,
Princeton, N. J. (Русский перевод: К л ини С. К., Введение
в метаматематику, 1957, М., ИЛ.)
[1955] Arithmetical predicates and function quantifiers, Trans. Amer.
Math. Soc, 79, 312—340.
[1955a] Hierarchies of number theoretic predicates, Bull. Amer. Math.
Soc, 61, 193—213.
[1955b] On the forms of the predicates in the theory of constructive ordinals,
II, Amer. j. math., 77, 405—428.
[1959] Recursive functionals and quantifiers of finite types, I, Trans.
Amer. Math. Soc, 91, 1 — 52.
• [1959a] Quantification of number theoretic functions, Compos, math., 14»
23-40.
[1962] Turing machine computable functionals of finite types, I, Logic,
methodology, and philosophy of science (Proceedings of the 1960
international congress), Stanford University Press, Stanford, Calif.,
38—45. (Русский перевод: К л и н и С, Функционалы конечных
типов, вычислимые на машинах Тьюринга, в сб. «Математическая
логика и ее приложения», 1965, М., «Мир», 37—46.)
[1963] Recursive functionals and quantifiers of finite types, II, Trans.
Amer. Math. Soc, 108, 106—142.
К л и н и, Пост (К 1 е е n e S. С, Р о s t E. L.)
[1954] The upper semi-lattice of degrees of recursive unsolvability, Ann.
of math., ser. 2, 59, 379—407.
Кондо (Kondo M.)
[1938] Sur l'umformization des complementaires analytiques et les ensem-
ensembles projectifs de la seconde classe, Japan. /. math., 15, 197—230^
Крайдер, Роджерс (Kreider D. L., Rogers H., Jr.)
[1961] Constructive versions of ordinal number classes, Trans. Amer~
Math. Soc, 100, 325—369.
Крейсел (Kreisel G.)
[1951] Some remarks on the foundations of mathematics: an expository
article, The math, gazette, 35, 23—28.
[1962] The axiom of choice and the class of hyperarithmetic functions,
Indag. math., 24, 307—319. (Konink. Nederl. Akad. van Wetenschap-
Wetenschappen, Proc, ser. A, 65, 307—319.)
ЛИТЕРАТУРА 591
Крейсел, Лаком б, Шёнфильд (Kreisel G., L а с о m b e
D., Shoenf ield J. R.)
[1957] Partial recursive functionals and effective operations, in A. Hey-
ting (ed.), Constructivity in mathematics:proceedings of the collo-
colloquium held at Amsterdam, 1957, North-Holland Publishing Com-
Company, Amsterdam, 195—207.
[1957a] Fonctionnelles recursivement definissables et fonctionelles recur-
sives, Compt. rend. Acad. Sci. (Paris), 245, 399—402.
K-p ейсел, Сакс (Kreisel G., Sacks G. E.)
[1965] Metarecursive sets, /. symb. logic, 20, 318—338.
Крейсел, Шёнфильд, Ван Xao (Kreisel G., S h о е п -
field J. R., W a ng H a o)
[1960] Number theoretic concepts and recursive well-orderings, Arch,
math. Logik und Grundlagenforsch., 5, 42—64.
Кроссли (Crossley J. N.)
[1965] Constructive order Types I, Formal systems and recursive functions,
J. N., Crossley and M.A.E. Dummett (eds.), Amsterdam, 1965,
189—264.)
К р э й г (Craig W.)
[1953] On axiomatizability within a system, /. symb. logic, 18, 30—32.
К у а й н (Q u i n e W. V.)
[1959] Methods of logic, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York.
[1963] Set theory and its logic, Harvard University Press, Cambridge, Mass,
Кузнецов А. В.
[1950] О примитивно-рекурсивных функциях большого размаха, ДАН
СССР, 71, № 2, 233—236.
Кузнецов А. В. и Трахтенброт Б. А.
[1955] Исследование частично-рекурсивных операторов средствами тео-
теории бэровского пространства, ДАН СССР, 105, 897—900.
Куратовский (Kuratowski К.)
[1950] Topologie, I, 2d ed. A948); 2 A950), Warsaw. (Русский перевод:
Куратовский К., Топология, т. 1, 1966, М., «Мир»; т. 2,
1969, М., «Мир».)
Лакомб (Lacombe D.)
[1954] Sur le semi-reseau constitue par les degres d'indecidabilite recur-
recursive, Compt. rend. Acad; Sci. (Paris), 239, 1108—1109.
[1959] Quelques precedes de definition en topologie recursive, in A. Hey-
ting (ed.), Constructivity in mathematics: proceedings of the collo-
colloquium held in Amsterdam, 1957, North-Holland Publishing Compa-
Company, Amsterdam, 129—158.
[1960] La theorie des fonctionns recursives et ses applications (Expose
d'information generale), Bull. Soc Math. France, 88, 393—468.

592 ЛИТЕРАТУРА
Лахлан (Lachlan A. H.)
[1965] Some notions of reducibility and productiveness, Z. math. Logik und
Grundl. Math., 11, 97—108.
[1966] A note on universal sets, /. symb. logic, 31, 573—574.
[1968]* Distributive initial segments of the degrees of unsolvability, Z.
math. Logik und Grundl. Math., 14, 457—472.
Лерман (Lerman M.)
[1969]* Some distributive lattices as initial segments of the degrees of unsol-
unsolvability, /. symb. logic, 34, 85—98.
Лоэв (Loeve M.)
[1955] Probability theory, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton,
N. J. (Русский перевод: Лоэв М., Теория вероятностей, 1962,
М., ИЛ.)
Майхилл (Myhill J.)
[1953] Three contributions to recursive function theory, Actes du Xleme
congres international de philosophie, Bruxelles, 20—26 Aout 1953,
XIV, North-Holland Publishing Company, Amsterdam.
[1955] Creative sets, Z. math. Logik und Grundl. Math., 1, 97—108.
[1956] The lattice of recursively enumerable sets, /. symb. logic, 21, 220
(abstract).
[1959] Finitely representable functions, in A. Heyting (ed.), Constructivity
in mathematics: proceedings of the colloquium held at Amsterdam,
1957, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 195—207.
[1959a] Recursive digraphs, splinters and cylinders, Math. Ann., 138, 211 —
218.
[1961] Note on degrees of partial functions, Proc. Amer. Math. Soc, 12,
519—521.
[1961a] Category methods in recursion theory, Pacific J. math., 11, 1479—
1486.
Майхилл, Шепердсон (Myhill J., Shepherdson J. C.)
[1955] Effective operations on partial recursive functions, Z. math. Logik
und Grundl. Math., 1, 310—317.
v
Мак-Лохлин (McLaughlin T. G.)
[1962] On an extension of a theorem of Freidberg, Notre Dame j. formal
logic, 3, 270—273.
Мальцев А. И.
[1965]* Алгоритмы и рекурсивные функции, 1965, М., «Наука».
Марквальд (Mackwald W.)
[1954] Zur Theorie der konstruktiven Wohlordnungen, Math. Ann., 127,
135—149.
Марков А. А.
[1947] О представлении рекурсивных функций, ДАН СССР, 58, 1891—
1892.
[1951] Теория алгорифмов, Труды мат. инст. АН СССР, 38, 176—189.
[1954] Теория алгорифмов, Труды мат. инст. АН СССР. 42.
литература 593
[1958] Проблема гомеоморфии, Proceedings of the international congress
of mathematicians, 1958, Cambridge University Press, London,
Мартин (Martin D. A.)
[1963] A theorem on hyperhypersimple sets, /. symb. logic, 28, 273—278.
Матиясевич Ю. В.
[1970]* Диофантовость перечислимых множеств, ДАН СССР, 191, 279—
282.
[1971]* Диофантово представление перечислимых множеств, Иав. АН
СССР., серия математическая, 35, № 1, 3—30.
[1971а]* Диофантово представление множеств простых чисел, ДАН
СССР, 196, № 4, 770-773.
Медведев Ю. Т.
[1955] О неизоморфных рекурсивно перечислимых множествах, ДАН
СССР, 102, 211—214.
. [1955а] Степени} трудности массовых проблем, ДАН СССР, 104, 501—
504.
Минский (М in sky M. L.)
[1961] Recursive unsolvability of Post's problem of «tag» and other topics
in the theory of Turing machines, Ann. of math., 74, 437—455. -
Московакис (Moschovakis Y. N.)
[1963] Recursive analysis, Ph. D. Diss., Univ. of Wisconsin, Maddison,
Wis.
Мостовский (Mostowski A.)
[1947] On definable sets of positive integers, Fund, math., 34, 81—112.
[1948] On a set of integers not definable by means of one-quantifier predi-
predicates, Ann. Soc. Polon. Math., 21, 114—119.
Мучник А. А.'
[1956] Неразрешимость проблемы сводимости теории алгоритмов, ДАН
СССР, 108, 194-197.
[1956а] Об отделимости рекурсивно перечислимых множеств, ДАН СССР,
109,29-32.
[1958] Изоморфизм систем рекурсивно перечислимых множеств с эффек-
эффективными свойствами, Труды Моск. мат. общ., 7, 407—412.
Нероуд (N erode A.)
[1957] General topology and partial recursive functionals, Summaries о j
talks presented at the Summer Institute for Symbolic Logic, Cor-
Cornell Univ., 1957, 247—251.
Новиков П. С.
[1955] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов
в теории групп, Труды мат. инст. АН СССР, 44.
Патнам (Putnam H.)
[1964] On hierarchies and systems of notations, Proc. Amer. Math. Soc,
15, 44—50.
38—0506

594 ЛИТЕРАТУРА
Пауль с-ен (Р о u I s e n В. Т.)
[1970]* The Medvedev lattice of degrees of difficulty, Var. Publ. Ser. Mat.,
inst. Aarchus univ., N 12.
Петер (Peter R.)
[1951] Rekursive funktionen, Academiai Kiado, Budapest. (Русский пере-
перевод: Петер Р., Рекурсивные функции, 1954, М., ИЛ.)
Платек (Р 1 a t e k R. А.)
[1970]* A note on the cardinality of the Medvedev lattice, Proc. Amer.
Math. Soc, 25, 917.
Пост (Post E. L.)
[1936] Finite combinatory processes — formulation, I, /. symb. logic, 1,
103—105.
[1943] Formal reductions of the general combinatorial decision problem,
Amer. j. math., 65, 197—215.
[1944] Recursively enumerable sets of positive integers and their decision
problems. Bull. Amer. Math. Soc, 50, 284—316.
[1946]" Note on a conjecture of Skolem, /. symb. logic, 11, 73—74.
[1947] Recursive unsolvability of a problem of Thue, /. symb. logic, 12,
1—11.
Пур-Эль (Pour-El M.B.)
[1960] A comparison of five «computable» operators, Z. math. Logik und
Grundl. Math., 6, 325—340.
P а б и н (R a b i n M. O.)
[1960] Computable algebra, general theory and theory of computable fields,
Trans. Amer. Soc, 95, 341—360.
P а б и н, С к о т т (Rabin M. О., Scott D.)
[1959] Finite automata and their decision problems, IBM j. research
and development, 3, 114—125. (Русский перевод: Р а б и н М.,
Скотт Д., Конечные автоматы и задачи их разрешения,
• «Кибернетический сборник», 4, 1962, М., ИЛ, 58—91.
Райе (Rice Н. G.)
[1953] Classes of recursively enumerable sets and their decision problems,
Trans. Amer. Math. Soc, 74, 358—366.
[1954] Recursive real numbers, Proc. Amer. Math. Soc, 5, 784—791.
[1956] On completely recursively enumerable classes and their key arrays,
/. Symb. logic, 21, 304—308.
Риттер (Ritter W.)
[1962] Some results in hyperarithmetical analysis, Ph. D. Diss., Massa-
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.
Рихтер (Richter W.)
[1965] Extensions of the constructive ordinals, /. symb. logic, 30, 193—
211.
ЛИТЕРАТУРА 595
P и чи (R i с t с h i e R. W.)
[1963] Classes of predictably computable functions, Trans. Amer. Math.
Soc, 106, 139—173. (Русский перевод: Р и ч и Р., Классы пред-
предсказуемо вычислимых функций, в сб. «Проблемы математической
логики», 1970, М., «Мир», 50—93.)
Робинсон Дж. (Robinson J.)
[1949] Definability and decision problems in arithmetic, /. symb. logic,
14, 98-114.
Робинсон P. M. (Robinson R. M.)
[1956] Arithmetical representation of recursively enumerable sets, /. symb.
logic, 21, 162—186. (Русский перевод: Робинсон Р. М.,
Арифметическое представление рекурсивно перечислимых мно-
множеств, сб. Математика, 1964, 8:5, 23—47.)
Роджерс (Rogers H., Jr.)
[1959] Computing degrees of unsolvability, Math. Ann., 138, 125—140.
[1959a] Recursive functions over partial well orderings, Proc. Amer. Math.
Soc, 10, 847—853.
Розенблюм (Rosenbloom P. C.)
[1950] The elements of mathematical logic, Dover Publications, New
York.
Рос сер (R о s s e r J. В.)
[1936] Extensions of some theorems of Godel and Church, /. symb. logic,
1, 87-91.
P о у з, Ю л л и а н (R о s e G. F., U 1 1 i a n J. S.)
[1963] Approximations of functions on the integers, Pacific j. math., 13,
693-701.
Сакс (Sacks G. E.)
[1961] A minimal degree less than 0', Bull. Amer. Math. Soc, 67, 416—
419.
[1961a] On suborderings of degrees of recursive unsolvability, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 7, 46—56.
[1963] On the degrees less than 0', Annrof math., 77, 211—231.
[1963a] Recursive enumerability and the jump operator, Trans. Amer.
Math. Soc, 108, 223—239.
[1963b] Degrees of unsolvability, Annals of mathematics studies, v. 55,
Princeton, N. J.
[1964] A simple set which is not effectively simple, Proc Amer. Math. Soc,
15, 51-55.
[1964a] The recursively enumerable degrees are dense, Ann. of math., 80,
300-312.
[1964b] A maximal set which is not complete, Michigan math. /., 11, 193—
205. '
Cannec (Suppes P.)
[1957] Introduction to logic, D. Van Nostrand Company, Princeton,
N. J.
38»

596 ЛИТКРАТУРА
Синглтерри (Singleterry A. M.)
[1965] Degrees of unsolvability in the hyperarithmetical hierarchy, Ph.
D. Diss., Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.
Сколем (Skolem T.)
[1944] Some remarks on recursive arithmetic, Det Kongelige Norske
Videnskabers Selskabs Forhandlinger, 17, 103—106.
Спектор (Spector C.)
[1955] Recursive well-orderings, /. symb. logic, 20, 151—163.
1.1956] On degrees of recursive unsolvability, Ann. of math., 64, 581—592.
[1958] Measure theoretic construction of incomparable hyperdegrees,
/. symb. logic, 23, 280—288.
[1958a] Strongly invariant hierarchies, Notices Amer. Math. Soc, 5, 851
(abstract).
[1959] Hyperarithmetical quantifiers, Fund, math., 48, 313—320.
Суязуки (Suzuki Y.)
[1964] A complete classification of the A|-functions, Bull. Amer. Math.
Soc, 70, 246—253.
T a p~c кий (Tarski A.)
[1932] Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen,
Akad. Wissenschaften in Wien, Mathematisch-naturwissenschaftliche
Klasse, Anzeiger, 69, 24—25.
[1936] Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia philos.,
1, 261—405.
[1948] A decision method for elementary algebra and geometry, RAND
Corporation, Santa Monica, Calif.
[1956] Logic, semantics, metamathematics, Oxford University Press,
New York.
Тарский, Мостовский Робинсон P. M. (Tarski,' A.,
Mostowski A., Robinson R. M.)
[1953] Unde6idable theories, North-Holland Publishing Company, Am-
Amsterdam.
Томасон (Thomason S. K.)
[1970]* Sublattices and initial segments of the degrees of unsolvability,
Canad. J. math., 22, 69—581.r
T p a x т е н б р от Б. А.
[1950] Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конеч-
конечных классах, ДАН СССР, 70, 569—572.
[1955] Табличное представление рекурсивных операторов, ДАН СССР,
101, 417—420.
Тьюринг (Turing A. M.)
[1936] On computable numbers, with an application to the Entscheidungs-
problem^ Proc. London Math. Soc, ser. 2, 42, 230—265; 43, 544—
546.
[1937] Computability and X-definability, /. symb. logic, 2, 153—163.
литература 597
Уайтхед, Рассел (Whitehead A. N., Russel B.)
[1910] Principia mathematica, 1 A910); 2 A912); 3 A913), Cambridge
University Press, London.
Успенский В. А.
[1955] О вычислимых операциях, ДАН СССР, ЮЗ; 773—776.
[1955а] Системы перечислимых множеств и их нумерации, ДАН СССР,
105, 1155—1158.
[1957] Несколько замечаний о перечислимых множествах, Z. math.
Logik und Grundl. Math., 3, 157—170.
[1960] Лекции о вычислимых функциях, Физматгиз, Москва,
Фейнер (Feiner L.)
[1970]* The strong homogeneity conjecture, /. symb. logic, 35, 375—377.
Феферман (Feferman S.)
[1957] Degrees of unsolvability associated with classes of formalized theo-
theories, /. symb. logic, 22, 161—175.
[1960] Arithmetization of metamathematics in a general setting, Fund,
math., 49, 35—92.
[1961] Classifications of recursive functions by means of hierarchies, Office
of Ordnance Research technical report, 4 (DA-04-200-ORD), 1—43.
Феферман, Спектор (Feferman S., Spector C.)
[1962] Incompleteness along paths in progressions of theories, /. symb.
logic, 27, 383—390. (Русский перевод: Феферман С. и
Спектор К., Неполнота вдоль путей в прогрессиях теорий,
сб. Математика, 1971, 15:6, 159—166.)
Фишер (Fischer P. С.)
[1962] Theory of provab e recursive functions, Ph. D. Diss., Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge, Mass.
[1963] A note on bounded-truth-table reducibility, Proc. Amer. Math.
Soc, 14, 875—877.'
Френкель (Fraenkel A. A.)
[1928] Einleitung in die Mengenlehre, 3rd ed., Springer-Verlag OHG, Ber-
Berlin.
Фр'идберг (Friedberg R. M.)
[1957] Two recursively enumerable sets of incomparable degrees of unsol-
unsolvability (solution of Post's problem 1944), Proc. Nat. Acad. Sci.t
43, 236-238.
[1957a] A criterion for completeness of degrees of unsolvability, /. symb.
logic, 22, 159-160.
[1958] Four quantifier completeness: a Banach-Mazur functional not uni-
uniformly partial recursive, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie sci. math.;
astronom. et phys., 6, 1 — 5.
[1958a] Un contre-example relatif aux fonctionnelles rebursives, Compt.
rend. Acad. Sci. (Paris), 247, 852—854.
[1958b] Three theorems on recursive enumeration: I, Decomposition, II,
Maximal set, III, Enumeration without duplication, /. symb. logic,
23, 309-316.

598 ЛИТЕРАТУРА
Хапмош (Halmos P.)
[1950] Measure theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, N.. J.
(Русский перевод: X а л м о ш П., Теория меры, 1953, М., ИЛ.)
Хенкин (Henkin L.) .
[1949] The completeness of the first-order functional calculus, /. symb.
logic, 14, 159-166.
Хигман (Higman G.)
[1961] Subgroups of finitely presented groups, Proc. Royal Soc. London,
ser. A, 262, 455—475.
X о у д з (Н о d e s L.)
[1962] Hyperarithmetical real numbers and hyperarithmetical analysis,
Ph. D. Diss., Massachusetts Institute of Technology, Cambridge,
Mass.
Xynep (Hooper P. K.)
[1966] The undecidability of the Turing machine immortality problem,
/. symb. logic, 31, 219—234.
Ч ё р ч (Church A.)
[1936] An unsolvable problem of elementary number theory, A mer. j. math.,
58, 345—363.
[1936a] A note on the Entscheidungsproblem, /. symb. logic, 1, 40—41,
101-102.
[1938] The constructive second number class, Bull. Amer. Math. Soc, 44,
224—232.
[1956] Introduction to mathematical logic, Princeton University Press,
Princeton, N. J. (Русский перевод: Ч ё р ч А., Введение в мате-
математическую логику, т. 1, 1960, М., ИЛ.)
Ч ё р ч, К лин и (Church A., Kleene S. С.)
[1937] Formal definitions in the theory of ordinal numbers, Fund, math.,
28, 11—21.
Шапиро (Shapiro N.)
[1956] Degrees of computability, Trans. Amer. Math. Soc, 82, 281—299.
Шепердсон, Стургис (S h e p h e г d s о n J. C.,[S t u г g i s H. E.)
[1963] Computability of recursive functions, /. Assoc. Comput. Mach.,i0,
217—255.
Шёнфильд (Shoenfield J. R.)
[1957] Quasicreative sets, Prop. Amer. Math. Soc, 8, 964—967.
[1958] The class of recursive functions, Proc Amer. Math., Soc, 9, 690—
692.
[1958a] Degrees of formal systems, /. symb. logic, 23, 389—392.
[1959] On degrees of unsolvability, Ann. of math., ser. 2, 69, 644—653.
[I960] An uncountable set of incomparable degrees, Proc. Amer. Math.
Soc, 11, 61-62.
[1962] The form of the negation of a predicate, Proc. of symposia in pure
• math., V, Recursive function theory, Amer. Math. Soc, Providen-
Providence, R. I. 131—134.
литература 599
Шмульян (Smullyah R. M.)
[1961] Theory of formal systems, Annals of mathematics studies, 47, Prin-
Princeton, N. J.
Эндертон (Enderton H. B.)
[1964] Hierarchies in recursive function theory, Trans. Amer. Math. Soc,
111, 457—471.
Эндертон, Лакхам I (E nderton H. В., Luckh a'm [D.)J
[1964] Hierarchies over recursive well-orderings, /. symb. logic, 29, 183—
190.
Эрбран (Herbrand J.)
[1931] Sur le probleme fondamental de la logique mathematique, Compt.
rend. Soc. Sci. Lettr. Vars., classe III, 24, 12—56.
[1931a] Sur la non-contradiction de l'arithmetique, /. reine und angew.
Math., 166, 1—8.
Ю л лиан (Ullia n J. S.)
[1960] Splinters of recursive functions, /. symb. logic, 25, 33—38.
[1961] A theorem oh maximal sets, Notre Dame j. formal logic, 2, 222—223t
Я нг (Young P. R.)
[1963] On the .structure of recursively enumerable sets, Ph. D. Diss., Mas-
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.
[1966] Linear ordering under one-one reducibility, /• symb. logic, 31,
70-85.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
¦X-]
N
X
< >
Ап
Хх[-

V
хо
\ix[.
JT
Рх
Фх, Ф»}
wz
к
{х, V)
т, т"
Jtj, Jt2, Я™
X
Dx
<ш
=1
—ш
Dom Л
center,^
/
<tt
=tt
Л"
.X...}
11
12
12
12
13
13
13
14
40
40
75
85
88
90
90
90
90
97
98
103, ИЗ
110
110
111
111
136
136
145 .
146 •
147
149
150
151
155
158
<q
P' " P(z)
KA
<T
=T
<e
Т<?Г>
<F
dr^A)
<t
Vs. Ds, ks,*Ps, Qs
Rs
Si
0, <0
+ 0
80
W
U , П > a (решетка)
Ш, 32
X/J
Xl*?S
?F (конечные мно-
множества)
c5°
&i
Ml, Ит(Л)
A>
159
162
172
173
175
176
177
179
180
191
193
192
193
194
194
206
209
218
264
265
266
268
269
284
285
286-288
287
288
289
290
290
291
300
304
326
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 601
0, a, vj, a|b
0, AW, aw
A V В, А Л В
2n, Пп, Hn, IIn
rpA
1 n
v
Vn
ZF
(\Jx)
2„, Щ-
tip (пространство Бэра)
у** тт**
¦in , -Чп
rp*
¦L n
&M, 31
If]
328
329
330
330
332
333
346
365
366
366
368
390
392
392
408
409
412
413
413
416
421
422
431
432 .
438
443
444
446
446
453
456
457
457
459
467
480, 490
482
Tt,i
En
E«>
An
2», И», An
sn>ZF, nniZF
o(x)
b(n, z)
|| z || '
T
Та
Wz
rp*
<T ¦
Ф,1
Б„'А, ПП'А, An'A.
Tit i
j,*A
y\\h,... rp'h,...
<h
fA
||Z||A
rpA
1 a
V (n, z)
X, XA
T2, II z||2, Та
VI'
<r2
S? (гиперариф-
(гиперарифметические функции)
P/W
H(x)
ha
V° TT° Л0
ip, Щ, ^P
483
485
487
488, 490
490
500
503
506
506
506
508
512, 515
513
514
516
524
524
524
525
525
526
527
529 .
529
529
531
533
534
535
535
535
560
560
565
566
569
581

УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ
Глава
1
2
4
5
Теорема
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
I
II
III
I
II
III
«. I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
Стр.
40
40
40
41
42
43
43
45
49
49
51
54
58
59
74
76
78
82
82
83
84
84
88
' 88
91
91
92
92
94
95
Глава
5
7
8
Теорема
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
Стр.
95
97
99
100
101
110
112
113
ИЗ .
115
116
118
121
122
122
124
127
141
141
143
143
144
146
147
148
149
151
151
151
154
УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ 603
Продолжение
Глава
8
9
to
11
Теорема
XIV
XV
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
I
II
III
IV
V
VI
I
II
III
IV
Стр.
156
157
167
172
173
174
174
175
175
177
177
177
177
179
180
181
182
182
184
185
187
192
193
195
195
198
201
201
210
210
212
217
220
223
233 '
234
235
235
Глава >
11
12
13
Теорема
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
I
II
Стр.
236
237
240
242
244
246
249
251
253
254, 258
265
267
269
270
271
272
273
288
292
294
294
296
296
298
298
299
300
301
304
304
305
307
309
310
311
313
315
327
330

604 УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ
Продолжение-
Глава
13
.
14
Теорема
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
I
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
Стр.
330
333
334
337
338
339
341
343
345
347
347
349
351
353
355
360
362
363
367
368
369
371
373
378
388
390
394
396
401
402
402
403
407
408
410
413
415
416
419
Глава
14
15
Теорема
XVI
XVII
XVIII
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
XXVII
XXVIII
XXIX
XXX
XXXI
XXXII
XXXIII
XXXIV
XXXV
XXXVI
Стр.
419
421
422
431
431
432
432.
433-
434
43S
436-
437
438-
439-
440
442
446-
44&
447
447
447
448.
450
451
452
453.
453.
454
455-
457
458-
460
462
464
464
468-
468-
469
469
УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ 605
Продолжение
Глава
16
Теорема
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
Стр. 1
478
480
480
482
483
484
484
486
486
487
488
493
494
498
499
500
500
504
506
507
509
511
513
514
515
517
Глава
16
Теорема
XXVII
XXVIII
XXIX
XXX
XXXI
XXXII
XXXIII
XXXIV
XXXV
XXXVI
XXXVII
XXXVIII
XXXIX
XL
XLI
XLII
XLIII
XLIV
XLV
XLVI
XLVII
XLVI II
XLIX
L
. LI
LI1
Стр.
517
517
518
524
525
526
527
528'
530
531
533
533
534
534
536
537
538
540
545
552
553
555
562
564
564.
570

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно неопределенный функционал (strongly undefined functional) 45J*
Абсолютные понятия, (absolute concepts) 38
Аддисон (Addison J.) 456, 484, 491, 518, 520, 528, 529, 535, 545, 574, 579
Аккермана функция (Ackermann generalized exponential) 25
Аксиоматизация (axiomatization) 410
— семантически непротиворечивая (sound) 410, 413
Аксиоматизируемая теория (axiomatizable theory) 129, 188, 223, 277
Акст (Axt P.) 72
Алгоритм, неформальное понятие (algorithm, informal notion) 17—22, 36—
39, 47
— нечисловой (non-numerical) 46—49
— относительный (relative) 168—169
Алгоритмическая всюду определенная функция (algorithmic function) 18,.
25—26, 36—39
— функция (algorithmic partial function) 29
Аналитическая иерархия (analytical hierarchy) 478—586
— — нормальная форма и теорема о перечислимости (normal form and enu-
enumeration theorem) 481—483
— — теорема о нормальной форме (alternative normal-form theorem) 48$
¦— — теорема о полноте (completeness theorem) 486
Аналитическое в (относительно) (analytical in) 523—524, 526
— множество (analytical set) 491
Аналитические множества и отношения (analytical sets and relations) 474r
478—494; см. также Аналитическая иерархия
Аналоги классических теорий (analogue structures) 68, 70, 470, 475—477, 521
Аналогии между иерархиями (analogies between hierarchies) 491, 515—523r
568
Аппель (Appel К.) 206
Арифметика 2-го порядка (second-order arithmetic) 492, 493, 496, 498 прим.,
501, 502
— изолей (isolic arithmetic) 163
Арифметическая иерархия (arithmetical hierarchy) 387—428
классов множеств (of sets of sets) 429—444, 454, 455, 471, 472
— — — функций (of sets of functions) 444—458, 472—474
— — нижние грани (lower bounds) 416
— — нормальные формы (normal forms) 391—394
— — теорема о полноте (completeness theorem) 405
— — теоремы о нормальной форме и перечислимости (normal form and enu-
enumeration theorems) 394, 432, 443, 446, 447, 457
Арифметическая всюду определенная функция (arithmetical function) 455
— представимость (arithmetical representation) 400—403
— функция (arithmetical partial function) 474
— эквивалентность (arithmetical equivalence) 331
Арифметически выразимые предложения теории множеств (arithmetically
expressible sentences of set theory) 412—415
— продуктивное множество (arithmetically productive set) 281
Арифметические интуитивно простые определения (intuitively simple defi-
definitions) 424; см. также Арифметическая иерархия
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 607
Арифметические множества и отношения (arithmetical sets and relations^
331, 387-391, 406, 430, 433, 434, 446-448, 513
Арифметический анализ (artithmetical analysis) 477
Арифметическое в (относительно) (arithmetical in) 331, 381, 406
— действительное число (arithmetical real) 477
Арсланов М. М. 307, 313
Ассер (Asser) 48
Аффинная геометрия (affine geometry) 73
Базис, определение (basis, definition) 536
— результаты (results) 536—539, 551, 578
Базисные окрестности (basic neighborhoods) 435, 449, 473
Банаха — Мазура функционал (Banach — Mazur functional) 467—469
Бенсон (Benson) 544
Бернайс (Bernays P.) 276, 372, 440, 472
Бинарное дерево (binary tree) 204—206
Биркгоф (Birkhoff G.) 286
Блюм (Blum M.) 78, 80, 172, 202, 246
Больцано — Вейерштрасса теорема (Bolzano — Weierstrass Theorem) 205,
Борелевские множества (Borel sets) 387 прим., 398, 4911 568
— — иерархия на множестве Кантора (hierarchy on the Cantor fset) 438
— — классическая иерархия (classical hierarchy of) 438, 453, 456—458
Булев полином (boolean polynomial) 145
Булева алгебра (boolean algebra) 288, 316, 317
— функция (boolean function) 145
Буль (Boole) 60
Бун (Boone) 57
Бурали — Форти парадокс (Burali — Forti paradox) 124, 281
Бэра теорема (Bair's theorem) 347, 382—384
Бэровская метрика (Baire metric) 435, 449, 473
Бэровское пространство (Baire space) 355, 449, 491
— — топология (topology) 463
Бюхи (Buchi R.) 138
Ван Xao (Wang H.) 422, 472 прим.
Веблен (Veblen О.) 284
Вероятность (probability) 349
Вершина дерева (vertex of a tree) 502
Ветвь дерева (branch of a tree) 205, 449, 502
Взятие дополнения (complementation) 388, 425
Вольпин (Wolpin G. C.) 275
Вполне продуктивное множество (completely productive set) 125, 137, 236—
238
— рекурсивно перечислимый класс (completely recursively enumerable
class) 105
— упорядоченное множество (well-ordered set) 281
Всюду определенный функционал (total functional) 467
Вынуждение (forcing) 578
Высказывание (sentence) 128, 222
— первого порядка (first-order sentense) 222
2n-, Пп-высказывание 409
2,J-, П^-высказывание 497
Вычислимые операции 192 прим.
— уровни иерархии и степени неразрешимости (computing hierarchy levels
and degress of unsolvability) 415—424, 442, 456
Вычислитель, вычислительная машина (computer) 18—22

608 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ганди (Gandy R.) 538, 551, 578
Ганф (Hanf W.) 225
Гёделева нумерация (Godel numering) 39—41, 47—48, 63—64, 100, 129; см.
также Допустимая нумерация.
— функция подстановки (Godel substitution function) 257, 260—263, 415
Гёделевы номера (р. п. индексы) (г. е. indices) 85, 96—98
Гёдель (Godel К.) 56, 60, 129, 133, 262, 263, 281, 401, 402, 535
Гёделя теоремы о неполноте (Godel incompleteness theorems) 60, 129—133,
243, 281, 410, 412, 499
— — — — вторая (second) см. также Гёделя — Россера теорема 415, 428
• первая (first) 48, 139, 263
Гёделя — Россера теорема (G6d«l — Rosser Theorem) 139, 412, 428
Генерическое множество (generic set) 579
Гейзер (Geiser J.) 583
Гейне — Бореля теорема (Heine — Borel theorem) 476, 477
Гензель (Hensel G.) 569
Гжегорчик (Grzegorczyk A.) 72
Гильберт (Hilbert D.) 56, 192, 372, 440, 472
— десятая проблема (tenth problem) 56, 402, 410
Гиперарифметическая вычислимость (hyperarithmetical computability) 519—
521, 574-576
— — аналог теории рекурсивных функций (analogue to recursive function
theory) 518, 519, 574-576
— иерархия (hyperarithmetical hierarchy) 556—570, 580—586
— — классов множеств" и классов функций (sets of sets and sets of functions)
567, 568
— — общие соображения (heuristic dicussion) 557—559
— — формальное изложение (formal development) 560—566
— функция (hyperarithmetical function) 516, 520, 574, 575
Гиперарифметические множества (hyperarithematical sets) 488—492, 508—
523, 556, 564, 565, 574—576
— — свойство замкнутости (closure property) 532, 540
— ординалы (hyperarithmetical ordinals) 531
Гиперарифметический анализ (hyperarithmetical analysis) 521
Гиперарифметическое относительно (hyperarithmetical in) 525
Гипергипериммунное множество (hyperhyperimmune set) 189, 300, 312—314,
318, 322
Гипергиперпростое множество (hyperhypersimple set) 189, 207, 291, 292
прим., 306,^315, 322, 325, 379, 386, 425
Гипериммунное множество (hyperimmune set) 181—182, 203—204, 206, 296,
300, 312, 318, 320, 322, 384
Типерпростое множество (hypersimple set) 181—184, 189, 203—204, 291, 293,
304, 306, 309, 322, 425, 428
Гиперскачок (hyperjump) 523—532, 554, 576, 577
Гипёрстепень (hyperdegree) 523—532, 538, 539, 554, 576, 577
Главный идеал (principal, ideal) 299 прим., 385
Гольдбаха гипотеза (Goldbach s conjectyre) 26
Гомологическая алгебра (homological algebra) 163
Группа преобразований (group of transformations) 73
Густота относительно (density in) 204
Деккер (Dekker J.) 72, 115, 116, 122, 133, 136, 137, 142, 156, 158, 160, 161,
163, 182, 204, 206, 207, 217, 286, 296, 318
Дерево (tree) 204—205
Деревья с конечными путями (finite-path trees) 450, 473, 502—508, 572, 573
— — — — ординалы (ordinals of) 503—506
— — — — сложение и умножение (addition and multiplication) 504, 505
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 609
Джокуш (Jockusch С.) 155, 158, 162, 163, 184,' 231, 471
Диагонализация (diagonalization) 27—29, 51, 232
Дизъюнктные элементы -(disjoint elements) 225
Допустимая нумерация (acceptable indexing or numbering) 100, 233, 275,
327, 380, 393, 425, 575
Дребен (Dreben В.) 72
Дуальный идеал решетки (dual] ideal in lattice) 143, 161, 204, 288, 289, 316,
317, 320, 322
— — максимальный (maximal) 316
— — простой (prime) 316, 317
—- — собственный (proper) 316
Дэвис (Davis M.) 8, 30, 37, 39, 41, 42, 56, 57, 58, 71, 72, 78, 114, 169, 261,
401, 402
Евклида алгоритм (Euclidean algotithm) 18, 20
Ейтс (Yates С.) 189, 206, 207, 220, 230, 300, 301, 307, 318, 321—323, 373,
378, 379, 424
Ершов Ю. Л. 5
Игры система (gambling system) 320
Идеал решетки (ideal in a lattice) 288, 318; см. также Дуальный идеал решетки.
Иерархии (hierarchies) 69; см. также Аналитическая иерархия, Арифмети-
Арифметическая иерархия, Гиперарифметическая иерархия.
Изолированное множество (isolated set) 142—144
Изолическая сводимость (isolic reducibility) 163
Изоль (isol) 163
Изоморфизм относительно группы преобразований (G-изоморфизм) (isomor-
(isomorphism with respect to a group) 74
Иммунное множество (immune set) 142—144, 156, 158—161, 203, 204, 206,
292, 308
Инвариантность относительно обозначений (notational invariance) 558, 559
Инвариантов полное множество (invariants, complete set of) 74
Индекс (index) 40
Д};-индекс 509
Д?-индекс 533 *
2„-, П„-индекс 393
2„-, П^-индекс 394|
2К-, П^-индекс 482, 580
2 К1-, П^А -индекс 524
у-индекс 568
Индексное множество (index set) 416
Интерполяционная теорема Лагранжа (Lagrange interpolation theorem) 145
Интерпретация опровержением контрпримера (no-conterexample interpreta-
interpretation) 470, 471, 477
Интуитивный смысл степеней (intuitive significance of degrees) 336—340
Интуиционистское исчисление высказываний (intuitionistic propositional
calculus) 372, 385
¦ Иррациональные числа (irrationas) 449, 473
Истинностная таблица (truth table) 145
Истинность в элементарной арифметике (truth in elementary arithmetic)
130—131
Канонически перечислимый класс (canomcally enumerable class) 104
Канонический индекс (номер) (canonical index) 97—98
Кантора множество (канторово множество) (Cantor set) 279, 347
—теорема (Cantor's theorem) 28, 88, 240
39-0506

610 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кантора — Шредера — Бернштейна теорема (Cantor — Schroder — Bernstein
theorem) 116
Канторово пространство (Cantor space) 347, 349, 382, 383
топология (topology) 346, 347, 435—437
Карри (Curry) 48
Категория (в алгебре) (category) 163
— вторая 347
— первая (first) 347
Категорные методы (category methods) 346, 361—363, 382—384, 437, 438,
449, 473
Квазикреативное множество (quasicreative set); см. Квазитворческое мно-
множество
Квазимаксимальное множество (quasimaximal set) 303, 320, 323, 325
Квазисжатое множество (quasicohesive set) 300, 318, 321, 324
Квазитворч«ское множество (quasicreative set) 162
Квантор (quantifier) 14
— бесконечности (infinite) 421
— общности (universal) 14
— ограниченный (bounded) 398, 425
— — рекурсивно (recursively) 425
— существования (existential) 14
— тип (type) 479
Кванторы по множествам (set quantifiers) 489, 490, 571
Кент (Kent С.) 75, 299
Китайская теорема об остатках (Chinese remainder theorem) 401
Кларк (Clarke D.) 479
Классы функций и множеств (classes of functions and sets) 435, 449
— замкнутые (closed) 436, 450, 451
— открытые (open) 436, 450, 451
Клауа (Klaua D.) 477
Клейн (Klein F.) 73
Клив (Cleave J.) 127
Клини (Kleene S.) 7, 8, 15, 29, 30, 34, 36, 37, 39, 42, 45, 50, 210, 212, 233,
235, 236, 251, 263, 264, 266, 267, 269, 270, 275, 330, 333, 334, 337, 338,
351—354, 381, 383, 387 прим., 392 прим., 394, 403, 405, 425, 432, 447, 478,
479 прим., 480—486, 519, 528, 529, 536, 540, 564, 565, 581, 584
Клини — Брауэра упорядочение (Kleene — Brouwer ordering) 506, 520, 572
Ключевой остов (key array) 105
Кнастера — Тарского теорема (Knaster — Tarski theorem) 249, 284
Кодирование (coding) 46—49
Кодовое число кортежа (sequence number) 482
Коиммунное множество (co-immune set) 143
Коконечное множество (co-finite set) 143
Компактность (compactness) 435, 449
— для деревьев (for trees) 205, 435
Композиция (отношений) (relative product) 103
Кондо — Аддисона теорема об униформизации (Kondo-Addison uniformiza-
tion theorem) 545—550
Конечные множества (finite sets) 96—99, 292
Конечный автомат (finite-state machine) 20, 64—65
Конструктивно бесконечное множество (constructively infinite set) 226
— нерекурсивная функция (constructively nonrecursive function) 319
— нерекурсивное множество (constructively nonrecursive set) 209—210
Конструктивный ординал (constructive ordinal) 265, 268, 271—274, 332, 485,
506, 507, 509, 511, 531, 534
Конфигурация (instantaneous description) 33
— конечная (finite) 63
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 611
Ко-свойство (complementary property) 142—143
Коши последовательность (Cauchy sequence) 382
Коэн (Cohen P.) 331, 545, 578
Крайдер (Kreider P.) 276, 569
Креативное множество (creative set) 317, 425, 428; см. Творческое множество.
Крейсел (Kreisel G.) 280, 422, 464, 468, 470, 475, 520, 521, 575, 576, 584—58&
Крейсела — Сакса аналог (Kreisel — Sacks analogue) 521—523, 526 прим..
575, 576
Кроссли (Crossley J.) 72
Крэйга теорема (Craig's theorem) 138
Куайн (Quine W. V.) 222, 276
Кузнецов А. В. 67, 182, 440
Куратовский (Kuratowski K.) 398, 491 прим., 576
Лакомб (Lacombe D.) 384, 464, 475
Лакхам (Luckham D.) 104, 517, 559, 574
Лахлан (Lachlan A.) 155, 207, 220, 292 прим., 313—315, 325, 331, 378, 380,
386
Лейбниц (Leibnitz G.) 60 ¦
Лемма о рекурсии (recursion lemma) 278, 510, 573
Лерман (Lerman M.) 380
Ли (Lee С Y.) 245
Логика (logic) 60, 68, 69, 70, 127—133, 260—263, 408—415, 426—428, 498
— предикатов (quantificational logic) 394, 400, 426, 433, 447, 483
— — выводимость (доказуемость) (deducibility in) 38, 222
Логические обозначения (logical notation) (Введение) 11, 14—15
Лоэв (Loeve M.) 320
Мазур (Mazur S.) 467—469
Майхилл (Myhill J.) 72, 105, 116, 135, 136, 137, 158, 163, 206, 236, 253, 254,
280, 286, 294, 296, 317, 346, 362, 384, 460, 518
Мак-Лохлин (McLaughlin T.) 206, 311, 317, 318, 321—323
Мак-Нотн (McNaughton R.) 105
Максимальное множество (maximal set) 165, 183, 203, 204, 207, 300—307,
311, 314, 320, 323, 325, 379, 425
— — его подмножества (subsets of) 303—307
Мальцев 5, 401
Манастер (Manaster A.) 163
Марквальд (Markwald W.) 272, 421
Маркеры (markers) 213, 226—230, 373
Марков A. A. 36, 57, 67
Мартин (Martin D.) 294, 304—307, 314, 321, 322, 324, 331, 378, 383, 384,
- 386, 426
Массовая проблема (mass problem) 364, 385.
— — l-сведения (of one-one reduction) 370
— — отделения (of separability) 370
•— — перечисления (of enumerability) 368
— — разрешения (of solvability) 368 (см. также Степени трудности)
Матиясевич Ю. В. 56-, 401, 410
Медведев Ю. Т. 181, 182, 360, 363, 364, 366—369, 371, 372
Медведева решетка (Medvedey lattice) 363—372, 385, 440
— — релятивизация (relativization) 371 (см. также Степени трудности)
Мезоичное множество (mesoic set) 158
Методы приоритета (priority methods) 216, 226—230, 326, 373
Минимальные степени (minimal degrees) 355—359, 363, 379, 383, 384
39*

612 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Минский (Minsky M.) 63, 72
Много-однозначная сводимость, полное множество и степень (many-one redu-
cibility, complete set and degree) см. т-свОдимость
Московакис (Moschovakis Y.) 72, 285, 476, 521, 532, 563, 583, 585
Мостовский (Mostowski A.) 72, 263, 387 прим., 419 прим., 428
Мучник А. А. 62, 164, 188, 212—218
Мучника — Фридберга теорема (Friedberg — Muchnik Theorem) 212—218,
329, 330
Натуральное число (integer) 11
Нейман, фон (von Neumann J.) 243
Неотделимые множества (inseparable sets) 220—221
Непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества (disjoint recursively
enumerable sets) 126—127
Неподвижная точка (fixed-point value) 233
Непротиворечивость (consistency) 133, 139, 241—243, 262
Неразрешимая п.п.ф. -(undecidable wff) 132
Неразрешимости структуры (unsolvability structures) 68—69
Неразрешимые проблемы (unsolvable problems) 68
Нероуд (Nerode A.) 163, 187, 201 '
Несравнимые множества и степени (incomparable sets and degrees) 111—112,
209—216, 328, 334, 335, 338, 381
— — и гиперстепени (and hyperdegrees) 528, 576
Новиков П. С. 57
Область значений (Val) 13
— определения (Arg) 12
— полного определения функционала (strong domain of a functional) 459
— слабого определения функционала (weak domain of a functional) 459
Обобщенная вычислимость (generalized computability) 515—523, 532, 574—
576
— машина (generalized machine) 519, 520
— — дерево-диаграмма (tree diagram) 520
Обобщенно сжатые множества (generalised cohesive sets) 308, 318, 321, 324
Общерекурсивность (general recursiveness) 46
Общерекурсивные функции (recursive functions) 17—43, 51, 60—61
— — определение (definition) 36
— — основные результаты (basic results on) 36—37
— — относительно (relativized) 173
— _ расширенная клиниева формализация (Kleene characterization exten-
extended) 170; см. также Рекурсивно относительно, Релятивизация
— _ теорема о нормальной форме (normal-form theorem) 50
— — теория (theory) 51—52
— — формализация (formal characterization) 28—38
по Клини (Kleene) 34—35
— — — по Тьюрингу (Turing) 30
Общерекурсивный оператор (general recursive operator) 195, 201—202, 208
— функционал (general recursive functional) 460, 462
Объемность (extensionality) см. экстенсиональность
Ограничение числа шагов (bound on the length of a computation) 21—22, 51
Ограниченнотабличная сводимость, полные множества и степени (bounded
truth-table reducibility, complete sets and degrees) см. btt-сводимость
Однозначное множество (single-valued set) 99
Однозначность (single-valuedness) 12, 99—101
— теорема (theorem) 99—101, 515, 535
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 613
Одно-односводимость A-сводимость), полное множество и степень (one-one
reducibility A-reducibility) complete set, and degree) 110—122", 202, 216,
217
— полные множества (complete sets for) 118—120, 236—238
— степени (degrees for) 111, 142, 150, 155—158, 160, 203, 216, 223, 328
— эквивалентность (equivalence for) 116—118
Операторы перечисления (enumeration operators) 192—193, 208, 249, 279—280
Операция A (operation A) 491
Операция скачка (jump operation) 326—346, 380, 381, 403, 408, 519
— — итерация (iteration of) 329
Определимость, автоморфизмы (definability, and automorphisms) 291
— — в элементарной арифметике (in elementary arithmetic) 400
— — в элементарном анализе (in elementary analysis) 494
— в логике нредикатов (within quantificational logic)' 395, 396, 433, 434,
447, 448, 484
— неявная (implicit) 440, 441, 455, 456, 498, 543-545, 552—555, 570, 571,
579
— явная (explicit) 440, 455, 498
Оракулы и машины с оракулами (oracles and oracle machine) 169—171* 173—
174, 429, 444
Ординальные числа, ординалы (ordinal numbers) 281—285; см. также Конст-
Конструктивный ординал, Рекурсивный ординал
Д| 534—535, 551, 577
— — второго числового класса (in second number class) 273, 282
— — обозначения (notations) 124, 263—271; см. также Система обозначе-
обозначений для ординалов
— — теорема о нормальной форме (normal-form theorem for) 284
Основная лемма о деревьях (basic tree lemma) 505
— теорема об операторах (fundamental operator theorem) 195
Открыто-замкнутые множества и классы (open-and-closed sets and classes)
435,-449, 451, 474n
Отросток дерева (branch tree) 505, 529
Охаши (Ohashi К.) 317
Парикх (Parikh R.) 273, 278, 285
Патнам (Putnam H.) 56, 57, 63, 569
Паульсен (Poulsen В. Т.) 371
Пеано аксиомы (Peano's axioms) 131, 243,. 263, 410, 412, 471, 497 прим.
— арифметика (Peano arithmetic) 131, 132, 139, 281, 410, 413, 414, 428
Перемены кванторов (alternations of quantifier) 389, 414, 491
Пересечение (meet) 286," 316
Петер (Peter R.) 25
Пирс (Peirce C.) 60
Платек (Platek R. A.) 371
Плотная структура (dense structure) 219, 229
Плотно упорядоченное множество (densely ordered) 293
Подветвь дерева (subbranch of a tree) 450, 502
Поддерево (subtree) 205, 449, 502
Позитивное исчисление высказываний (positive propositional calculus)
372
Полиномиальное отношение (polynomial relation) 400
Полное метрическое пространство (complete metric space) 347, 382, 435, 449
— множество (complete set) 108, 109, 113—114, 118—120
Sn, Пп 405; 423
2 k, П^ 486, 508
Полнота (логическая) (logical completeness) 222, 224

614 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полные степени (complete degrees) 341—348, 350; см. также Т-сводимость
Полукреативное множество (semicreative set)' 164, 165
Полупродуктивное множество (semiproductive set) 126, 165
Пополнение множества (completion of a set) 327, 328
Пост (Post E.) 7, 8, 36, 48, 61, 62, 67, 115, 125, 132, 140, 141, 185, 188—189,
203, 207, 210, 212, 323, 330, 333, 334, 337, 338, 351—354, 381, 383
Поста проблема (problem) 188—189, 209—216, 217, 220, 424, 519, 526
— теорема (Post's theorem) 404
Почти-конечность (almost-finiteness) 294, 296, 308
Правила преобразования' кванторов (quantifier rule) 392, 480, 484, 489, 512,
518, 521, 582
Правильно построенные формулы (well-formed formulas) 127
Предваренная форма (prenex form) 396
Предельный функционал (limit functional) 467—469
Предикатная форма (predicate form) 389
Представимость, представление (representation) 402, 434, 448, 490, 492—
498, 569, 571-572
Представление цепными дробями (continued fraction representation) 449,
473, 495-
Представляющая функция (representing function) 13
Префикс (prefix) 389
— 2„, П„ 390, 431
— 2i, П* 479, 480,
— приведенный (reduced) 479
Примитивнорекурсивная функция (primitive recursive function) 22—25
— — схема (derivation for) 23
Принцип отделимости (separation principle) 105
— редукции (reduction principle) 100
Приоритета методы (priority methods) 216, 226—230, 326, 373
Проблема остановки (halting problem) 43—46, 61—63, 66, 336
— тождества слов в теории групп (word problem for groups) 57
Проблемы однородности (homogeneity problems) 335
Продуктивная функция (productive partial function) 115
— — всюду определенная 124
Продуктивное множество (productive set) 115, 122—126, 131, 132, 158, 160,-
236—238, 273, 276
насыщенное (full) 137, 241, 277
Проективное множество (protective set) 387 прим., 398, 491
Проекция, проектирование, взятие проекции (projection) 92, 387, 388, 425,
430, 446
— теорема (theorem) 92—94, 387, 426
Производная истинностная таблица (derived truth table) 186, 206
Промежуточное кардинальное число (mediate cardinal) 144
Прослеживаемое множество см. Ретрассируемое множество
Простое множество (simple set) 140—144, 148, 151, 156, 158—162, 164—166,
183, 217, 288, 290, 292, 424, 428, 518
— — в дополнении (in a complement) 159, 164
Процедуры разрешения (decision procedures) 56
Псевдопростое множество (pseudosimple set) 159 „
Псевдотворческое множество (pseudocreative set) 159
Пур-Эль (Pour-El M.) 469
Рабин (Rabin M.) 72, 160, 362
Равномерность (uniformity) 95—96
Разветвленная аналитическая иерархия (ramified analytical hierarchy) 585
Разрешимая теория (decidable theory) 129
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 615
Райе (Rice H. G.) 56, 65, 67, 105, 208, 416, 476, 519 ,
Рассел (Russell В.) 60, 144
— парадокс (paradox) 240
Регрессивное множество (regressive set) 206
Рекурсивная инвариантность (recursive invariance) 69, 75, 76, 91—92, 293,
312
— — относительная (relative) 176
— неразрешимость (recursive unsolvability) 45, 53—58
— перестановка" (recursive permutation) 74—75, 299
— — группа (group) 75
— — свободная от циклов (cyclefree) 139
— перечислимость (recursive enumerability) 408
— — дополнения (of a complement) 312
— т- класса (of a class) 102
— — множества (of a set) (см. Рекурсивно перечислимые множества)
— — отношения (of a relation) 89—94
— — проблемы (of a problem) 62
степени (of a degree) 111—112, 203, 326, 337, 345, 346, 373, 378,
379
— степень (degree) 111
—• структура (structure) 68
— эквивалентность (equivalence) 226
Рекурсивно аппроксимируемая функция (recursively approximable function)
319
— неразложимое множество (indecomposable set) 296 прим., 308, 311, 314,
321—323
— отделимые множества (separable sets) 126
— перечислимое множество (enumerable set(s)) 82—94, 108, 213—231
— — — аналогия с теорией множеств (as analogy to set theory) 239—241
— — — в порядке возрастания (in increasing order) 83
— — — в порядке неубывания (in nondecreasing order) 83
— — — индекс (номер) (index of) 85
— — — регулярное (regular) 172
решетка (lattice of) 290—294, 299, 300, 303, 306, 307, 317
в (относительно) (in) 174, 193, 202, 203, 328, 381
— разложимое множество (decomposable set) см. Рекурсивно неразложимое
множество
Рекурсивное дерево (recursive tree) 505
— — строго (strongly) 507
— определение (definition) 22
— относительно (в) (in) 174, 193, 198, 202, 208, 457
_— более чем в одном множестве (in more than one set) см. также Реляти-
Релятивизация 175
Рекурсивные действительные числа (recursive reals) 470, 475—477
— комплексные числа (complex numbers) 476
— множества и отношения (sets and relations) 81—84, 89—95
— операторы (operators) 193—202, 208, 279—280, 470
— ординалы (ordinals) 272, 273
система обозначений W (notations W) 285, 508, 512, 572, 573 .
Рекурсивный анализ (recursive analysis) 470, 476—477
— изоморфизм (recursive isomorphism) 75, 76, 116—118
— функционал (recursive functional) 459, 462—465, 468, 469, 474
Рекурсия, определения по рекурсии (recursion, definitions by) 255
Релятивизация (relativization) 168—179, 330, 335, 337, 338, 443, 444, 456,
469, 523—525, 529, 530, 567
— алгоритма (algorithm) 175
— кванторов (of quantifiers) 425, 426

616 АЛФАВИТНЫЙ. УКАЗАТЕЛЬ
Релятивизация основной теоремы о рекурсивно перечислимых множествах
(of basic theorem on recursively enumerable sets) 177
— s-m-rc-теоремы (of s-m-n theorem) 177
— теоремы о проекции (of projection theorem) 177
— теории (of theory) 176—179
полная (full) 176—179
— — частичная (partial) 176—179
Ретрассируемое (прослеживаемое) множество (retraceable set) 189, 206, 230,
312, 321—325
Решетка (lattice) 286, 316
— автоморфизм (automorphism of) 291 прим.
— дистрибутивная (distributive) 287, 316, 317, 385
— дуальный идеал (см. Дуальный идеал решетки) (dual ideal)
— единичный элемент (unit element of) 287
— множества как (sets as a) 286—291, 371, 385
— нулевой элемент (zero element of) 287
— подрешетка (sublattice) 287
— с дополнениями (complemented) 288
— факторреш,етка (quotient) 288—291, 371, 385
— цепь (chain in) 307 прим.
Решето ¦ (sieve) 491 прим.
Римана гипотеза (Riemann hypothesis) 414
Риттер (Ritter W.) 104, 477, 521
Рихтер (Richter W.) 569
Ричи (Ritchie R.) 72
Робинсон Дж. (Robinson J.) 56—57, 72
Робинсон Р. В. (Robinson R. W.) 313, 323, 324
Робинсон P. M. (Robinson R. M.) 263, 402
Роджерс (Rogers H., Jr.) 5, 424, 428, 509, 569
Poccep (Rosser J.) 133, 139
Роуз (Rose G.) 296 прим., 319
Рыль-Нардзевски (Ryll-Nardzewski С.) 428
Сакс (Sacks G.) 166, 217, 218, 220, 227, 229, 295, 301, 307, 323, 330, 331, 346,
373, 378—380, 383, 385, 521, 575, 576
Самовоспроизводящиеся машины (self-reproducing machines) 243—245
Саппес (Suppes P.) 15, 222
Сводимость (reducibility) 53—56, 61—62, 68, 106—109, 180, 286, 387, 417
— сильная (strong) 112, 180
— слабая (weak) 180, 293
— по перечислимости (см. также е-сводимость и е-степени) (enumeration
reducibility) 189—193, 200—201, 208
— посредством функции (reducibility via function) 110
Сегмент (segment) 332
— начальный (initial) 332 ¦
Семантика (semantics) 69
Семантическая непротиворечивость (soundness) 223
Сжатие (склеивание) кванторов (см. также правило преобразования кванто-
кванторов) (contraction of quantifiers) 392, 432, 446
Сжатые множества (cohesive sets) 294, 296—300, 308—311, 318, 320, 322—324
наполненные (completed) 299, 300, 303, 308, 311, 320, 322, 323
Сильная теорема об иерархии (strong hierarchy theorem) 403—406
Сильно неотделимые множества (strongly inseparable sets) 165, 320
Синглтерри (Singleterry A.) 513
Сингулярность (singularity) 66
Синтаксис (syntax) 69
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 617
Система обозначений для ординалов (system of notation for ordinals) 263—264
максимальная (maximal) 265—266, 270, 271, 285
— — рекурсивная по упорядочению (recursively related) 265—266, 284
— — рекурсивная (recursive) 284
система О (system О) 268—271, 273, 284, 285, 508, 512, 571
система S± (system «Sj) 266—267, 571
унивалентная (univalent) 265, 271—272, 284—285, 558
— — универсальная (universal) 266—267, 270; см. также Рекурсивные
ординалы
Сколем (Skolem Т.) 67, 572
Скордев Д. 362
Скотт (Scott D.) 72
Слабая табличная сводимость (weak truth-table reducibility) 168, 206—207
Слабо определенный функционал (weakly defined functional) 459
Случайная функция (random functional) 320
Сочленение (join) 112, 217
— степеней (of T-degrees) 218
Спектор (Spector С) 272, 285, 342, 343, 346, 355, 379, 381, 508, 520, 528, 531,
540, 560, 562, 569, 576
Спектр высказывания (spectrum of a sentence) 223—224
— рекурсивно перечислимых множеств (spectrum of recursively enumerable)
159, 160, 203, 315, 321
Сплинтер (splinter) 136, 321
Степени неразрешимости (degrees of unsolvability) 107, 155—158, 180, 286,
-307, 326, 406—408, 440; см. также Полные степени
— трудности (degrees of difficulty) 364, 365, 370, 385.
— — относительные (relative) 371
— — проблемы 1-сведения (of one-one reduction) 370
— — — отделения (of separability) 370
— — — перечисления (of enumerabflity) 368
— — ^- разрешения (of solvability) 368, 385
—г —: — сведения (of reducibility) 372
Стоуна теорема о представлении (Stone representation theorem) 288, 316
Строгая гипергипериммунность (strong hyperhyperimmunity) 312, 321, 322
— гипериммунность (strong hyperimmunity) 312, 322
Строго гиперпростое множество (strongly hypersimpl set) 322, 324!
— определенный функционал (strongly defined functional) 459
Стургис (Sturgis H.) 36
Субрекурсивность (subrecursiveness) 68, 69, 75
Судзуки (Suzuki Y. ) 532, 552, 553, 555
Суслин М; 581
Сходство (resemblance)' 77, 80
Счетная модель (denumerable model)|501, 502
Табличная сводимость, полные множества и степени (truth-table'reducibility,
complete sets, and degrees) см. tt-сводимость
Табличное условие (truth-table condition) см. tt-условие
Танака (Tanaka T.) 576
Тарский (Tarski A.) 56, 72, 130, 249, 263, 281, 284, 398
Тарского — Куратовского алгоритм (Tarski — Kuratowski algorithm) 394—
400, 415, 417, 419 прим., 425, 433, 447, 483, 484
Творческие множества (creative sets) (см. креативные множества) 114—116,
132, 140-143, 158-161, 293, 317, 425, 428
Тенненбаум (Tennenbaum S.) 164, 204, 206, 207, 227, 323
Теорема выбора (selection theorem) 101, 517, 521
— об ограниченности (boundedness theorem) 511, 534

618 " АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема о веере (fan theorem) 205
— — неподвижной точке (fixed-point theorem) 232
нумерации (enumeration theorem) 41, 94
— — парной рекурсии (double recursion theorem) 246
— — простых числах (prime-number theorem) 414
— — рекурсии (recursion theorem) 232—236, 509, 518
— — — аспекты самовыразимости или обращения к самому себе (self-
referential aspects of) 256—263
— — — вторая (second) 252
— — — другие формы (other forms of) 249—256
— — — первая (first) 252
— — — применение (applications) 236—248
— — — сильная^ (strong) 253
— — — слабая (weak) 253
Теоремы об иерархии (hierarchy theorems) 391, 405, 425, 435, 439, 453, 456,
472, 485
— — — обобщенные (generalized) 456—458
— о неполноте (incompleteness theorems) 29, 48, 60—61, 124 (см. также
Гёделя теоремы о неполноте) 29, 48, 60—61, 124
Теоретико-множественная арифметика (set-theory arithmetic) 131—133,139,412
Теоретико-множественный анализ (set-theory analysis) 500
Теоретико-порядковое свойство (order-theoretic property) 335
Теоретико-решеточное свойство (lattice-theoretic property) 291—293, 308,
315, 317, 319
— — — элементарно (elementary) 292
Теории множеств высказывания, выразимые аналитически (analytically expres-
expressible sentences of set theory) 500
Теория (theory) 128—129
— конечно аксиоматизируемая (finitely axiomatizable) 225
— меры, методы (measure theory, methods of) 348—350, 382, 383
— — вероятностная интерпретация (probabilistic interpretation) 349
— множеств (set theory) 412—415
— — Гёделя — Бернайса (Godel — Bernays) 515 прим.
Цермело — Френкеля (Zermelo — Fraenkel) 239—240, 276—277, 412—
415
— первого порядка (first-order) 222, 292 прим.
— — — произвольной рекурсивно перечислимой степени (of any recursively
enumerable degree) 222—226
— — — существенно неразрешимая (essentially undecidable) 226
Титгемейер (Titgemeyer) 379
Томасон (Thomason) 380
Топология (topology) 279, 382, 434, 448, 449
— и иерархии (and hierarchies) 417 прим.
— — операторы (and operators) 202
Трансфинитная индукция (transfinite induction) 278, 283
Трахтенброт Б. А. 440
Тьюринг (Turing A.) 7, 29, 36—37, 45, 48, 56
Тьюринга машина (Turing machine) 30—34, 48-, 63, 64, 65, 66, 243—245, 401
— — лента (tape) 30
— — с вспомогательными лентами (with auxiliary tapes) 170
— — — оракулом (with oracle) 169—170
— — условие совместимости (consistency restriction) 31
Тьюрингова сводимость, полные множества и степени (Turing reducibility,
complete set, and degree) см. Т-сводимость
Уайтхед (Whitehead A.) 60, 144
Уиман (Wyman С. D.) 166
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 619
Универсальная машина (universal machine) 42
— функция (universal function) 41, 63, 77—79, 246—247
Униформизация (uniformization) 100, 550
Условная вероятность (conditional probability) 349
Успенский В. А. 67, 158, 192
Факторрешетка (quotient lattice) 161, 288—291, 371, 385
Фейнер (Feiner L.) 335
Ферма большая теорема (Fermat's last theorem) 414
Феферман (Feferman S.) 72, 223, 262, 428, 521, 544, 578 '
Фибоначчи ряд (Fibonacci sequence) 22, 215
Фильтр (filter) 288
Фишер (Fischer P.) 72, 104, 154, 157, 160, 162
Формы (forms) 390, 2n-, Пп~, z?-, П^ -формы 390
2 <[">-, П<5п>-формы 446
2(s) -г п^'-формы 431
2й-, Щ-форМЫ 480
г/-формы 567, 568 _
Фреге (Frege G.) 60
Френкель (Fra«nkel A.) 276
Фридберг (Friedberg R.) 62, 188, 189, 207, 212, 232, 293, 294, 300, 333, 341,
373, 464, 469
Функционал (functional) 429 прим., 444, 459—471, 479 прим.
— приложения (applications of) 470 -
Функциональное дерево (function tree) 205, 449, 502
Функциональный оператор (functional operator) 193—202
Фуцкция (partial function) 12
— всюду определенная (total function) 13
— к множественных и I числовых переменных (of к set variables and I num-
number variables) 429
— к функциональных и I числовых переменных (of к function variables and I
number variables) 444
— композиция (composition) 14
— не определена (undefined) 13
— определена (defined) 13
— пересчета пар (pairing function) 89
— расходится (divergent) 13
— рекурсивная по Эрбрану (Herbrand-recursive function) 60, 280
— сходится (convergent) 13
Халмош (Halmos P.) 349
Характеристическая функция (characteristic function) 13
Характеристический индекс (characteristic index) 97—98, 394
Хенкин (Henkin L.) 426
Хоудз (Hodes L.) 477, 517
Xynep (Hooper P.) 205
Центр множества (center of a set) 159, 165
Цермело (Zermelo E.) 276
Цилиндр и цилиндрификация (cylinder and cylindrification) 121—122, 141,
142, 158, 159, 163, 165, 166
Цорна лемма (Zorn's lemma) 317

--*
620 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Частичное упорядочение (partial ordering) 286
— — с условием минимальности (well-founded) 509
Частичнорекурсивна в (partial recursive in) 193
Частичнорекурсивные функции (partial recursive functions) 36—37, 46, 58—60»
— — к функциональных и I числовых переменных (partial recursive fun-
functions of к function variables and I number variables) 444, 462
— — к множественных и I числовых переменных (к set variables and I num-
number variables) 429
— — и |л-оператор (and the mu operator) (см. |л-оператор)
— — продолжение (extension of) 58
— — релятивизованные (relativized) 173
— функционалы (partial recursive functionals) 459, 463, 474
Частичнорекурсивный оператор (partial recursive operator) 194—202, 208,.
279-280, 460
Частичные степени (partial degrees) 193, 359—363, 369
—.— тотальные (total) 360, 361; см. также е-сводимость и е-степени
Человеческое мышление, его границы (human mind, limitations of) 414, 491
Чёрч (Church A.) 7, 13, 29, 36, 56, 61, 263, 426
— теорема (theorem) 129
Чёрча тезис (Church's thesis) 38—39, 40, 42, 43, 71, 101, 520, 521
— — относительный (relativized) 171
Число (number) 11
Шапиро (Shapiro N.) 105, 208, 416, 423
Шёнфильд (Shoenfield J.) 126, 165, 166, 219, 220, 225, 276, 330, 334, 342»
344, 345, 378, 379, 422, 428, 442, 443, 464, 475, 528, 569, 582
— гипотеза (conjecture) 219—220, 229; 307
Шепердсон (Shepherdson J.) 36, 253, 254, 280, 362, 460
Шифр (encoder) 247
Шмульян (Smullyan R.) 48, 127, 246, 277
Экстенсиональность (extensionality) 25—27
Элементарная арифметика (elementary arithmetic) 129, 222, 261—263, 400r
408, 434, 448, 498
— теория действительных чисел (elementary real number theory) 497
— теория чисел (elementary number theory) 130
Элементарный анализ (elementary analysis) 490, 493—498
Элиминирование описаний (eliminating descriptions) 496 прим.
Эндертон (Enderton H.) 509, 559, 565, 569, 581, 583
Эратосфена решето (Eratosthenes' sieve) 18
Эрбран (Herbrand J.) 60, 280
Эталонное множество (reference set) 417, 418
Эффективная операция- (effective operation) 253, 460, 463—465
Эффективно неотделимые множества (effectively inseparable sets) 114,126—127
— простые множества (effectively simple sets) 166
Юллиан (Ullian J.) 136, 296 прим., 319
Янг (Young P.) 136, 155, 157, 159, 166, 217, 230, 307, 309, 321, 322, 324
Ячейка машинной ленты (cell on machine tape) 30
Д|-множество (AJ-set) 490Д532-535, 577
Я-обозначение (lambda notation) 13
ц-оператор (mu operator) 48, 51
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 621
ТЦ-множество (nj-set) 490, 508—514
nj-функции (partial Щ-functions) 516, 520
2^-множество B|-set) 532—535, 577
«-модель (co-model) 502, 572
«-непротиворечивость (co-consistency) 133, 139
<о-скачок (co-jump) 330
itt-сводимость (btt-reducibility) 150—155, 157, 161—162, 407, 408
— полные множества (complete sets for) 151, 154, 161
— степени (degrees for) 151, 154-155, 157, 223, 230
-calculus ratiocinator 60
-characteristica universalis 60
•с-сводимость (c-reducibility) 162
«-эквивалентность (c-equivalence) 297—300, 308—310, 318, 320, 3?1, 323
«-сводимость и е-степени (e-reducilibity and e-degrees) 189—193, 198, 200—
201, 208, 359—363
Х-Р-уточнение (L-P-specifications) 19
m-сводимость (m-reducibility) 110—121, 142, 147, 149, 216, 293, 307, 406
— полные множества (complete sets for) 118—122, 140—142, 148—149, 155,
236—237
— степени (degrees for} 111—112, 142, 147, 149, 155—157, 203, 209, 223, 231
р-сводимость (p-reducibility) 162
Р-символизм (P-symbolism) 19
¦q-креативное множество (q-creative set) 162, 276
¦q-сводимость (q-reducibility) 162
— полные множества (complete sets for) 162
q-творческое множество (q-creative set) см. q-креативное множество
r-максимальное множество (г-maximal set) 313, 323—325
r-система (г-system) 264
-s-m-rc-теорема (s-m-rc-theorem) 42—43, 64
tt-сводимость (tt-reducibility)' 145—155, 180—181, 184—188, 201, 202, 207,
216, 406, 471
— полные множества (complete sets for) 147—151, 154, 185, 187, 204
— степени (degrees for) 147, 149—150, 155, 157—158, 161, 181, 185, 203,
209, 223, 426
— — рекурсивно перечислимые (recursively enumerable) 147, 181
— цилиндры (cylinders for) 149—150, 161
tt-условие (tt-condition) 146
— ассоциированное множество (associated set of) 146
— дизъюнктивное (disjunctive) 162
— порядок (norm of) 146
Т-сводимость (T-reduclibility) 168, 179—181, -184—189, 201—204, 207, 208,
216—220, 406, 408, 471, 519
— полные множества (complete sets for) 180, 181, 187—189, 207, 323, 425
— степени (degrees for) 180—185, 203, 209, 216—220, 295, 307, 326—386,
359, 369, 403, 426, 487, 556—558
Хо-мышление (No-mind) 520

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ 623
От редактора перевода .- '5
Из предисловия автора 7
Введение 11
Глава 1. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 17
§ 1.1. Неформальное понятие алгоритма 17
§ 1.2. Пример: примитивнорекурсивные функции - 22
§ 1.3. Экстенсиональность 25
§ 1.4. Диагонализация 27
§ 1.5. Формализация 28 .
§ 1.6. Основной результат 36-
§ 1.7. Тезис Чёрча . 3S
§ 1.8. Гёделевы номера, универсальность, s-m-rc-теорема ... 391
§ 1.9. Проблема остановки 43
§ 1.10. Рекурсивность ..." 46
Глава 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ 5»
§ 2.1. Новые примеры неразрешимых проблем 53
§ 2.2. Неразрешимые проблемы в других областях математики 56-
§ 2.3. Существование некоторых частично рекурсивных функ-
функций 58
§ 2.4. Исторические замечания : 60
§ 2.5. Обсуждение . . . . ¦ 61
§ 2.6. Упражнения 62
Глава 3. ЦЕЛИ КНИГИ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ 68
§ 3.1. Задачи теории 68
§ 3.2. Направленность этой книги 70
§ 3.3. Обзор содержания 71
Глава 4. РЕКУРСИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 73
§ 4.1. Инвариантность относительно группы 73
§ 4.2. Рекурсивные перестановки 74
§ 4.3. Рекурсивная инвариантность 75
§ 4.4. Сходство 77
§ 4.5. Универсальные функции 77
§ 4.6. Упражнения 79 .
Глава 5. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ
МНОЖЕСТВА 81
§ 5.1. Определения г 81
§ 5.2. Основная теорема 84
§ 5.3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые отношения; ко-
кодирование ге-ок 89
§ 5.4. Теоремы о проекции 92
§ 5.5. Равномерность . . : 95
§ 5.6. Конечные множества 96
§ 5.7. Теорема об однозначности 99
§ 5.8. Упражнения 101
Глава 6. СВОДИМОСТИ 106
§ 6.1. Общее введение 106
§ 6.2. Упражнения 109
*) Введение и главы 1—4,14, 15 переведены М. И. Кановичем, предисло-
предисловие и главы 5—11 — Е. Ю. Ногиной, главы 12, 13,16 В. А. Душским.
Глава 7. ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ; МНОГО-ОДНОСВОДИ-
МОСТЬ; ТВОРЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 110
§ 7.1. Одно-односводимость и много-односводимость .... 110
§ 7.2. Полные множества ИЗ
§ 7.3. Творческие (креативные) множества 114
§ 7.4. Одно-одноэквивалентность и рекурсивный изоморфизм 116
§ 7.5. Одно-однополнота и много-однополнота 118
§ 7.6. Цилиндры 121
§ 7.7. Продуктивность 122
§ 7.8. Логика 127
§ 7.9. Упражнения 133
Глава 8. ТАБЛИЧНЫЕ СВОДИМОСТИ; ПРОСТЫЕ МНОЖЕСТВА 140
§ 8.1. Простые множества 140
§ 8.2. Иммунные множества 142
§ 8.3. Табличная сводимость 145
§ 8.4. Табличная сводимость и много-односводимость .... 148
§ 8.5. Ограниченнотабличная сводимость 150-
§ 8.6. Структура степеней 155
§ 8.7. Другие рекурсивно перечислимые множества 158
§ 8.8. Упражнения 160
Глава 9. СВОДИМОСТЬ ПО ТЬЮРИНГУ; ГИПЕРПРОСТЫЕ
МНОЖЕСТВА 167
§ 9.1. Пример .' ,...'..... 167
§ 9.2. Относительная рекурсивность 168
§ 9^3. Релятивизованная теория . 176
§ 9.4. Сводимость по Тьюрингу 179
. § 9.5. Гиперпростые множества; теорема Деккера 181
§ 9.6. Сводимость по Тьюрингу и табличная сводимость;
проблема Поста 184
§ 9.7. Сводимость по перечислимости 189
§ 9.8. Рекурсивные операторы 193 -
§ 9.9. Упражнения 202
Глава 10. ПРОБЛЕМА ПОСТА; НЕПОЛНЫЕ МНОЖЕСТВА ... 209
§ 10.1. Конструктивные подходы 209
§ 10.2. Фридбергово решение 212
§ 10.3. Дальнейшие результаты и проблемы . 217
§ 10.4. Неотделимые множества произвольной рекурсивно пере-
перечислимой степени 220
§ 10.5. Теории произвольной рекурсивно перечислимой степени 222
§ 10.6. Упражнения . _. 226
Глава 11. ТЕОРЕМА О РЕКУРСИИ 232
§ 11.1 Введение . . . 232
§ 11.2. Теорема о рекурсии 233
§ 11.3. Полнота творческих множеств; вполне продуктивные
множества 236
§ 11.4. Другие применения и конструкции 239
§ 11.5. Другие формы теоремы о рекурсии 249
§ 11.6. Обсуждение 256
§ 11.7. Системы обозначений для ординалов 263
§ 11.8. Конструктивные ординалы 271
§ 11.9. Упражнения • 274

624 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 12, РЕШЕТКА РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНО-
МНОЖЕСТВ .... 286
§ 12,1. Решетки множеств 286
§ 12.2. Разложение 294
§ 12.3. Сжатые множества 296
§ 12.4. Максимальные множества 300
§ 12.5. Подмножества максимальных множеств 303
§ 12.6. Свойства почти-конечности 308
§ 12.7. Упражнения . 316
Глава 13. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ 326
§ 13.1. Операция скачка 326
§ 13.2. Некоторые важные множества и степени 336
§ 13.3. Полные степени; категории и мера 341
§ 13.4. Упорядочение степеней 351
§ 13.5. Минимальные степени 355
§ 13.6. Частичные степени 359
§ 13.7. Решетка Медведева 363
§ 13.8. Дальнейшие результаты 372
§ 13.9. Упражнения 380
Глава 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 1) 387
§ 14.1. Иерархия множеств 387
§ 14.2. Нормальные формы 391
§ 14.3. Алгоритм Тарского — Куратовского 394
§ 14.4. Арифметическая представимость . . . 400
§ 14.5. Сильная теорема об иерархии 403
§ 14.6. Степени 406
§ 14.7. Приложения в логике 408
§ 14.8. Вычислимые степени неразрешимости 415
§ 14.9. Упражнения 425
Глава 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ (ЧАСТЬ 2) 429
§ 15.1. Иерархия классов множеств 429
§ 15.2. Иерархия классов функций 444
§ 15.3.4 Функционалы 459
§ 15.4. Упражнения 471
Глава 16. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ 478
§ 16.1. Аналитическая иерархия 478
§ 16.2. Аналитическое представление; приложения к логике 492
§ 16.3. Деревья с конечными путями 502
§ 16.4. П}-множества и Д^-множества 508
§ 16.5. Обобщенная вычислимость 515
§ 16.6. Гиперстепени и гиперскачок; 2|-множества и Д?-мно-
жества 523
§ 16.7. Результаты о базисе и неявная определимость .... 535 *~
§ 16.8. Гиперарифметическая иерархия 556
§ 16.9. Упражнения 570
Литература 587
Указатель обозначений 600
Указатель теорем 602
Алфавитный указатель . 606