МАТЕМАТИКА
АЛГЕБРА. НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
М. И. Шабунин
А. А. Прокофьев
*
ьином
М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев
МАТЕМАТИКА
АЛГЕБРА. НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Учебник для 10 класса
*
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2007
УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721.6
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12 Математика. Алгебра. Начала математического анализа.
Профильный уровень : учебник для 10 класса / М. И. Шабу-
нин, А. А. Прокофьев. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2007.-424 с. : ил.
ISBN 978-5-94774-452-1
Учебник для 10 класса является частью учебно-методического комплекта
для старших классов школ с углубленным изучением математики. Пред-
ставлены разделы: элементы математической логики, числовые множества,
рациональные функции и графики, многочлены и системы уравнений,
комплексные числа, степенная, показательная и логарифмическая функции,
тригонометрические формулы, предел и непрерывность функции.
Каждый параграф учебника содержит теоретический материал, примеры
с решениями и упражнения для самостоятельной работы.
Для учащихся классов физико-математического и естественно-научных
профилей.
УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721.6
Учебное издание
Шабунин Михаил .Иванович
Прокофьев Александр Александрович
МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Учебник для 10 класса
Ведущий редактор М. Стригунова
Художник Ф. Инфантэ
Художественный редактор О. Лапко
Корректор Е. Клитина
Оригинал-макет подготовлен О. Лапко в пакете BTeX2s
Подписано в печать 28.06.07. Формат 60x90/16.
Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 26,5. Тираж 3000 экз. Заказ 2549
БИНОМ. Лаборатория знаний
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499)157-5272
e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
Отпечатано в полиграфической фирме «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
ISBN 978-5-94774-452-1
© Шабунин М. И..
Прокофьев А. А., 2007
© БИНОМ. Лаборатория знаний,
2007
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный учебник является первой частью курса «Математика.
Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень»,
предназначенной для преподавания в 10-х классах в объеме 6
часов в неделю. Полный комплект материалов по данному курсу
включает учебники для 10-го и 11-го классов, методические пособия
и дидактические материалы, соответствующие каждому учебнику,
а также задачник для 10-11 классов.
В первой главе данного учебника изучаются элементы математи-
ческой логики. Эта глава закладывает основы логической культуры
учащихся, необходимой для освоения фундаментальных понятий
и теории курса математики.
Главы «Числовые множества», «Алгебраические уравнения и нера-
венства» и «Системы алгебраических уравнений» предназначены
для более глубокого изучения разделов математики, входящих
в программу основной школы, изучаемых учащимися в 7-9-х классах.
Большее внимание уделено решению алгебраических уравнений
и неравенств, а также систем алгебраических уравнений с исполь-
зованием графических методов. В учебнике широко представлены
методы решения систем линейных уравнений с двумя и тремя
неизвестными (правило Крамера, метод Гаусса), а также рассмотрены
различные методы решения нелинейных систем уравнений с двумя
неизвестными.
Отдельная глава посвящена рациональным функциям и способам
построения их графиков.
В главе «Тригонометрические формулы» введены основные по-
нятия и формулы тригонометрии, рассмотрены различные способы
преобразования тригонометрических выражений и доказательств
тождеств.
Глава «Комплексные числа» помещена перед главой «Многочлены
от одной переменной», что дает возможность в дальнейшем находить
разложение многочлена с действительными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители.
4
Предисловие
В главе «Предел и непрерывность функции», в отличие от обычных
учебников по математике, введены понятия точных граней числового
множества и определены основные операции с действительными
числами. В параграфе «Предел последовательности» широко пред-
ставлены методы вычисления пределов, сформулированы и частично
доказаны свойства сходящихся последовательностей, доказана тео-
рема о пределе монотонной последовательности. В параграфе «Предел
функции» сформулированы два эквивалентных определения предела
функции в точке (с помощью последовательности и окрестности),
рассмотрены свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
В заключительной главе «Степенная, показательная и логариф-
мическая функции» большое внимание уделено определению показа-
тельной функции. В классах с углубленным изучением математики
это особенно важно для более глубокого понимания операции
возведения положительного действительного числа в действительную
степень. Рассмотрены свойства степенной, показательной и логариф-
мической функций, а также различные методы решения показатель-
ных и логарифмических уравнений и неравенств.
В каждой главе представлено достаточное количество разобран-
ных примеров, помогающих учащимся лучше усвоить теоретический
материал и познакомиться с различными методами решений и до-
казательств. Кроме этого в каждом параграфе дается необходимое
количество задач для самостоятельного решения в порядке повы-
шения их сложности. Часть примеров и задач взята из вариантов
выпускных экзаменов для классов с углубленным изучением предмета
и вариантов вступительных испытаний в вузы, предъявляющих
повышенные требования к математической подготовке поступающих
(МФТИ, МГУ, СИГУ, НГУ, МВТУ, МИЭТ и др.). Задачи на
повторение, а также вопросы и задания для самоконтроля учащихся,
структурированные по главам, приведены в задачнике.
Начало решения примеров отмечено знаком А, окончание —
знаком ▲, начало доказательства обозначается О, окончание —
знаком •. К задачам, номера которых помечены звездочкой, в ответах
даются указания к решению.
М. И. Шабунин
А. А. Прокофьев
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ
§1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1.	Высказывания
При изучении различных дисциплин (математики, физики, био-
логии, истории и т. д.), а также в повседневной жизни мы постоянно
встречаемся с различными утверждениями и предложениями.
Рассмотрим несколько предложений, обозначив их большими
латинскими буквами:
А = {число 1568 делится на 4},
В = {число 317 делится на 6},
С = {число 3 — единственный корень уравнения х2 = 9},
D = {х + 7 = 13},
Е = {который час?},
F = {в записи числа л/2 в виде бесконечной десятичной дроби
\/2 = 1,41421... на 1000 000-м месте после запятой стоит
цифра 6},
G = {1 января 2020 года дневная температура в Москве будет
5-10 градусов ниже нуля},
Н = {Земля — единственная обитаемая планета во Вселенной},
М = {число 1 + 22'5 = 4294967297 — простое},
N = {число Ш333 делится на 37}.
Среди этих утверждений (предложений) есть истинные (Л, 7V),
есть ложные (В, С, 7И). Утверждение М принадлежит французскому
математику П. Ферма (1601-1665), но в 1732 г. Л. Эйлер доказал,
что оно ложно.
Все перечисленные утверждения (Л, В, С, А4, N) являются
либо истинными, либо ложными. Такие утверждения называют
высказываниями.
Утверждение D содержит букву х, оно является истинным при
х = 6 и ложным при других значениях х. Пока не указано, чему
равен х, нельзя сказать, истинно оно или ложно.
Предложение Е не является высказыванием, так как лишена
смысла постановка вопроса о том, истинно оно или ложно.
Утверждение В—высказывание: вопрос о его истинности прин-
ципиально может быть решен, но требует огромного количества
вычислений.
6
Глава I. Элементы математической логики
Наконец, утверждения G и Н также являются высказываниями,
хотя в настоящее время установить их истинность или ложность
нет возможности.
Итак, всякое высказывание является либо истинным, либо лож-
ным {закон исключенного третьего)} никакое высказывание не
может быть одновременно истинным или ложным {закон проти-
воречия)} утверждение, о котором невозможно однозначно решить
вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.
Понятие высказывания является исходным понятием математи-
ческой логики.
Перейдем к рассмотрению пяти основных логических операций
Высказывания будем обозначать заглавными буквами латинского
алфавита.
2.	Операция отрицания
Из всякого высказывания А можно получить новое высказывание,
отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание А не имеет места,
не выполняется. Отрицание высказывания А обозначается через А
(или через ~1Д). Запись А читается как «отрицание высказывания
А» или, короче, «не А».
Отрицание высказывания можно получить, сказав: «утверждение
А места не имеет» или «Д не выполняется». Однако в ряде случаев
отрицание можно получить еще проще. Если, например, высказы-
вание А выражается простым предложением с одним сказуемым, то
для получения его отрицания А нужно лишь добавить к сказуемому
частицу «не». Приведем примеры высказываний и их отрицаний:
1)Д ={число 53 делится на 7}, А = {число 53 не делится на 7};
2)	В ={5 > 6} (т. е. пять больше шести), В = {5 < 6} (т. е. пять
не больше шести);
3)	С ={29 (есть) простое число}, С ={29 не (есть) простое число}.
Рассмотрим теперь вопрос об истинности высказываний А и А.
Если высказывание А истинно (т. е. то, что утверждается в этом
высказывании, действительно имеет место), то высказывание Д,
утверждающее, что А места не имеет, ложно. Итак, если А истинно,
то А ложно. Наоборот, если А ложно, то высказывание А (как раз
и утверждающее, что А места не имеет) истинно. Итак, если А
ложно, то А истинно.
Мы видим, что каково бы ни было высказывание А, из двух
высказываний А, А одно является истинным, а другое ложным.
§1. Высказывания и операции над ними
7
Например, из высказываний, приведенных в пп. 1-3, Д, В, С
истинны, а Д, В, С ложны.
Самый простой прием образования отрицания заключается, как
мы отмечали, в том, что к сказуемому добавляется частица «не».
Например:
А = {111 делится на 3},
А = {111 не делится на 3}.
Однако этот простой прием будет неприменим, если само выска-
зывание уже является отрицательным, т. е. уже содержит частицу
«не» перед сказуемым. Рассмотрим, например, высказывание
В = {18 не делится на 7}.
Для образования отрицания В мы уже не может добавить еще одно
отрицание к сказуемому (т. е. не можем сказать: «18 не не делится
на 7»). Поэтому отрицание приходится формулировать так:
В = {высказывание «18 не делится на 7» места не имеет}.
Но что означает это утверждение? Оно означает, что 18 делится
на 7, т. е. отрицание В можно проще сформулировать так:
В = {18 делится на 7}.
Таким образом, если в некотором высказывании В перед сказу-
емым уже стоит отрицательная частица «не», то для образования
отрицания В достаточно отбросить частицу «не».
Нахождение правильной формулировки отрицания А в том случае,
когда высказывание Д содержит слова «все» («любой», «каждый») или
«хотя бы один» («найдется», «существует»), может вызвать некоторые
затруднения. Обратимся к примерам.
Пример 1. Сформулировать высказывание Д, если
А = {каждое простое число р нечетно}.
А Многие формулируют А в виде
В = {каждое простое число четно}.
Это неверная формулировка: Д и В являются высказываниями, и оба
они ложны (р = 2 — простое четное число).
Правильной будет каждая из следующих формулировок:
А = {не каждое простое число нечетно},
А = {найдется (существует) простое число, которое четно},
А = {хотя бы одно простое число четно}.	А
Пример 2. Сформулировать высказывание Д, если
А = {каждое из чисел р, q, г делится на 13}.
8
Глава I. Элементы математической логики
Л А = {не каждое из чисел р, q, г делится на 13} или А = {хотя
бы одно из чисел р, q, г не делится на 13}.	А
Пример 3. Сформулировать высказывание А, если
А = {найдется треугольник, в котором три медианы не пересе-
каются в одной точке},
Д А = {во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной
точке}.
Высказывание А является истинным, а Л—ложным.	А
Эти примеры позволяют сделать следующие выводы:
Если высказывание А начинается^ со слов «все», «каждый»,
«любой», то для получения отрицания А надо либо, ничего не меняя,
поставить отрицание «не» перед этими словами, либо же поставить
отрицание «не» после этих слов, но тогда эти слова непременно надо
заменить на «хотя бы один», «найдется», «существует», а утверждение
(свойство), которое следует за этими словами, — его отрицанием
(в примере 1 — «четно» вместо «нечетно», а в примере 2 —«не
делится» вместо «делится»).
Верно и обратное: если в начале высказывания А стоят слова
«найдется», «существует», «хотя бы один», а за ними — некоторое
свойство Р (в примере 3 — «медианы не пересекаются в одной точке»),
то в формулировке отрицания А эти слова заменяются на «любой»,
«каждый», «всякий», а свойство Р~ на Р (в примере 3 это «медианы
пересекаются в одной точке» — отбрасывается «не»).
Пусть теперь А — произвольное высказывание. Его отрицание
А также является высказыванием. Значит, можно рассматривать
и его отрицание, т. е. высказывание А. Оно называется двойным
отрицанием высказывания А. Его можно сформулировать словами
так: утверждение о том, что высказывание А не выполняется,
места не имеет. Но это по смыслу ничем не отличается от
утверждения о справедливости самого высказывания А.
Более точно, двойное отрицание А истинно в том и только
в том случае, если истинно само высказывание А (т. е. если А
истинно, то и Л истинно, а если А ложно, то и А ложно).
Это правило называется законом отрицания отрицания.
3.	Конъюнкция двух высказываний
Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказы-
вание, которое является истинным в случае, когда истинны оба
высказывания А и В, и ложным во всех остальных случаях. Эта
операция обозначается символом АлВ (читается «А и В»).
§ 1. Высказывания и операции над ними
9
Приведем примеры.
1)	А = {число 36 делится на 3), В = {число 36 делится на 4},
А/\В = {число 36 делится на 3 и делится на 4} — истинное
высказывание,
2)	А = {число 2 —простое}, В = {число 2 —четное},
А Л В = {число 2 — простое и четное} — истинное высказывание.
4.	Дизъюнкция двух высказываний
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание,
обозначаемое А V В (читается «А или В»), которое истинно в тех
случаях, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В,
и ложно, если ложны оба высказывания А и В
Например, если А = {12 > 9}, В = {3 > 9}, то А V В = {12 > 9 или
3>9} — истинное высказывание, так как А — истинное высказывание.
Если А = {8 < 10}, В = {8 = 10}, то А VВ = {8 < 10} — истинное
высказывание.
Итак, высказывание Л V В ложно только в том случае, если
ложны оба высказывания А, В. Заметим, что операция V не вполне
точно описывается связкой «или», употребляющейся в обычной речи.
В разговорной речи связка «или» чаще всего имеет разделительный
оттенок, т. е. употребляется в смысле «либо-либо». Возьмем, напри-
мер, фразу «Я уезжаю, но за рукописью зайдет моя жена или сын».
Здесь, скорее всего, имеется в виду, что зайдет либо жена, либо сын;
возможность, что они зайдут оба вместе, не предусматривается. Так
дело обстоит в разговорной речи В математической логике, напротив,
операция V не имеет разделительного смысла, т. е. Av В означает,
что либо имеет место А (но не В), либо имеет место В (но не А),
либо же (и в этом отличие) имеют место А и В совместно. В устной
речи операцию V лучше называть дизъюнкцией, но можно также
говорить «или», помня, однако, что это логическое «или» не имеет
разделительного смысла.
5.	Эквиваленция двух высказываний
Эквиваленцией высказываний А и В называется новое высказы-
вание, обозначаемое А ~ В (читается «А эквивалентно В»), которое
истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны,
и ложно, если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.
Например, если А = {2 < 5}, В = {3 < 8}, то А ~ В — истинное
высказывание, а если А = {4 > 9}, В = {7 > 5}, то А ~ В —ложное
высказывание.
10
Глава I. Элементы математической логики
Вместо слова «эквивалентно» используются также слова «в том
и только в том случае», «тогда и только тогда».
6.	Импликация
Импликацией высказываний А и В называется высказывание,
обозначаемое А =>В (читается «если Л, то В» или «из А следует В»,
«А влечет за собой В»), которое ложно лишь в том случае, когда
А истинно, а В ложно.
Обратим внимание на то, что импликация не вполне соответствует
обычному пониманию слова «следует», так как в случае, когда А —
ложное высказывание, утверждение А => В считается истинным при
любом высказывании В. Другими словами, из неверного высказы-
вания следует все, что угодно.
В частности, если А = {22 = 5}, В = {42 —17}, то А =>В — истинное
высказывание.
Пример 4. Даны два ложных высказывания: А = {число 3 —
делитель числа 19}, В = {27 — простое число}. Выяснить смысл
высказываний Д, В, AvB, А Л В, А~В, А=>6 и установить, какие
из них истинны, а какие ложны.
Л 1) А ~	{число 3 не является делителем числа 19} —истинно;
2)	В =	{27 — не простое (составное) число} — истинно;
3)А\/В~ {число 3 —делитель числа 19 или 27 —простое
число} — ложно;
4)	Д Лб = {число 3 — делитель числа 19 и 27 — простое число} —
ложно;
5)	А ^>В = {число 3 —делитель числа 19 тогда и только тогда,
когда 27 — простое число} — истинно;
6)А=>В = {если число 3 —делитель числа 19, то 27 —простое
число}— истинно.	Л
7.	Алгебра высказываний
С помощью рассмотренных пяти логических операций можно,
исходя из первоначального набора высказываний, строить новые,
более сложные высказывания.
Истинность или ложность сложного высказывания можно уста-
новить, используя приведенную ниже сводную таблицу истинности
логических операций. В этой таблице буква «И» означает, что
§1. Высказывания и операции над ними
11
соответствующее высказывание истинно, а буква «Л» — что оно
ложно.
Таблица 1
А	А	В	Д лВ	Av В	А ~В	А =>В
И	Л	и	и	И	И	И
И	Л	л	л	И	Л	Л
Л	И	и	л	И	Л	И
л	И	л	л	Л	И	И
Пример 5. Используя табл. 1, составить таблицы истинности для
высказываний А V В и {Д => В} ~ {В => Д}.
Сравнивая таблицу истинности для Д V В и таблицу
истинности для А => В (см. табл. 1), видим, что эти таблицы
одинаковы. Такие высказывания называют равносильными
и соединяют знаком равенства. Итак, {Д V В} = {Д => В}.
2)	ТаблицаЗ
А	В	А =>В	в	А	В=>А	{Л => В} ~ {В => Д}
И	и	И	л	Л	И	и
И	л	Л	и	Л	л	и
Л	и	и	л	И	и	и
Л	л	и	и	и	и	и
Из табл. 3 следует, что высказывание {Д => В} ~ {В => Д}
истинно при любом наборе значений истины и лжи для
высказываний Д и В. Такие высказывания называют тож-
дественно истинными и обозначают буквой J. Итак,
{{Д ^>В}-{В=>Д}}=/.
Заметим, что этот результат следует из совпадения третьего
и шестого столбцов табл. 3._Это совпадение означает, что
высказывания А => В и В А равносильны.	▲
Равносильность высказываний можно устанавливать, используя
приведенные ниже законы логических высказываний (они проверя-
ются с помощью таблиц истинности), подобно тому как в элементар-
ной алгебре в тождественных преобразованиях применяются законы
коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и т. д.
12
Глава I. Элементы математической логики
Законы алгебры высказываний:
1)	коммутативность: Л V В = В\/ А, ЛаВ = ВаЛ;
2)	ассоциативность: АV(BVC) = (A\/В)\/С, АЛ(ВлС) = (Л/\В)ЛС;
3)	дистрибутивность: Л А (В V С) = (Л А В) V (Л Л С), Л V (В А С) =
= (Л V В) А (Л V С);
4)	законы де Моргана: А\/ В ~ А АВ, А Л В = А\/ В.
Кроме того, справедливы следующие равенства:
Л=Л,	Л7Л=Л,	ЛаЛ=Л,
AvA=J,	A\/J = J,	A/\J = A.
Если L — тождественно ложное высказывание, то
Л7£ = Л, ЛлЛ-L, ЛлВ = В, / = £, L = L
Пример 6. Доказать законы де Моргана:
Л VB = JАВ,	(1)
ЛТГВ-ЛУВ.	(2)
А Составим таблицу истинности для всех высказываний, фигури-
рующих в формулах (1) и (2):
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	В	А	В	А /\В	АлВ	А У В	А У В	А/\В	A vB
И	И	Л	Л	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	И	И	Л	Л	И
.Л	И	И	Л	Л	И	И	Л	Л	и
Л	Л	И	и	Л	И	Л	И	И	и
Сравнивая восьмой и девятый столбцы этой таблицы, получаем
равносильность (1). Аналогично из сравнения шестого и десятого
столбцов таблицы следует равносильность (2).	▲
Замечание. Приведенные законы алгебры высказываний описывают свой-
ства дизъюнкции, конъюнкции и отрицания и ничего не говорят об остальных
двух операциях — эквиваленции и импликации.
Это можно объяснить тем, что пять основных логических операций не
являются независимыми (одни из них могут быть выражены через другие).
В частности,
{Л ^В} = {А VB},
{4-В} = {(Л aB)v(4aB)}.
Первое из этих равенств было установлено в примере 5, второе можно получить,
составив таблицы истинности обеих частей этого равенства.
§2. Неопределенные высказывания
13
Задачи
1.	Сформулировать отрицания следующих высказываний:
А = {57 —четное число};
В = {\/3 — рациональное число};
С = {тг— 3,14 — положительное число};
D = {хотя бы одно из чисел 333222, 112 делится на 37}.
Указать, какие из этих высказываний истинные, а какие ложные.
2.	Даны два высказывания:
А = {число 6 —делитель числа 132},
В = {49 —простое число}.
Выяснить, какие из высказываний Д, В, А/\В, А Л В, А\/В, AVB, А Л В,
Д V В, А ~ В, А => В истинны, а какие ложны.
3.	По мишени произведено три выстрела. Пусть Ak = {мишень поражена при k-M
выстреле}, k = \, 2, 3. Установить, что означают следующие высказывания:
1) Д1 УД2 V Д3;
2)	Д| Л Д2 Л Д3;
3)	(Д1 ЛД2ЛД3) V(J] ЛД2ЛД3)У(Д1 ЛД2ЛД3);
4)	(Дj Л Д2) V (Д2 Л Д3) V (Д j Л Д3).
4.	Доказать равносильность:
1)	{Д~В} = {(Д лВ)\/(ДлВ)}; 2) {Д - В} = {(Д => В) л (В Д)};
3) (Д ЛВЛВ)У(Д лД)У(ВлД лД)--£;
4) (Д AB) V(BAC) = (Д Л В) V (Д Л С) У (В Л С).
Ответы
1. А = {57 — нечетное число}, В= {\/3 — иррациональное число}, С={л— 3,14 —
неположительное число (отрицательное или нуль)}, D = {ни одно из чисел
333222, 112 не делится на 37}. Высказывания С и D истинные, а высказывания
Д и В ложные. 2. А — ложно,_В —^истинно, Д_Л В — ложно, Д А В — истинно,
Д V В — истинно, А V В —ложно, Д Л В —ложно, Д V В —истинно, А~В — ложно,
А=>В — ложно. 3. 1) Есть хотя бы одно попадание; 2) все три выстрела
попали в цель; 3) мишень поражена одним и только одним выстрелом; 4) есть
по крайней мере два попадания.
§2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.
ЗНАКИ ОБЩНОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ
1. Неопределенные высказывания (предикаты)
и операции над ними
Рассмотрим следующие утверждения:
Д(х) = {х2 = 4}, В(х) = {х < 5}, С(п) = {п — простое число},
где х е R, n е N.
Эти утверждения не являются высказываниями, так как их ис-
тинность или ложность можно установить только при подстановке
14
Глава I. Элементы математической логики
вместо х или п конкретных числовых значений. Так, утверждение
Л(х) является истинным при х —2 и х = — 2 и ложным при других
значениях х. Утверждение В(х) истинно, например, при х = 4 и ложно
при х = 6. Утверждение С(п) истинно при /7 = 3, п = 5 и ложно при
/7 = 4, п = 9 и т. д.
Такие утверждения называют неопределенными высказываниями
или предикатами.
На предикаты естественным образом переносятся рассмотренные
в § 1 определения логических операций. Будем считать, что предикаты
определены на множестве М.
Отрицанием предиката Д(х), заданного на множестве 714,
называется предикат (он обозначается Д(х)), который определен
на множестве М и обращается в истинное высказывание для тех
и только тех элементов множества 714, для которых Л(х) — ложное
высказывание.
Для каждого предиката Л(х) множество 714 разбивается па
два подмножества 7141 и 7142 (TWj U 7142 = 714): на 7141 предикат
Д(х) является истинным высказыванием (это множество называют
множеством истинности предиката Д(х)), а на множестве М%
предикат Д(х) —ложное высказывание (7142 является множеством
истинности предиката Л(х)).
Заметим, что множества 7l4j и М% могут оказаться и пустыми. На-
пример, множество истинности предиката Д(х) = {х2<4} — интервал
(—2; 2), а множество истинности предиката Д(х) = {х2 — х + 1 = 0},
где х е R, пусто.
Дизъюнкцией предикатов Д(х) и В(х) (она обозначается
А(х) V В(х)) называется предикат, обращающийся в ложное
высказывание для тех и только тех элементов
множества 714, для которых оба предиката Д(х)
и В(х) являются ложными высказываниями
Пусть А и В — множества истинности преди-
катов Д(х) и В(х) соответственно. Тогда мно-
жество 7141 “ множество истинности дизъюнкции
71(x)vB(x) — является объединением множеств А
и В (на рис. 1 множество 7141 закрашено).
Пример 1. Рассмотрим следующие неопределенные высказыва-
ния, заданные на множестве N всех натуральных чисел:
Д(х) = {х —составное число},
В(х) = {х —нечетное число}.
Найти множество истинности предиката Д(х)\/В(х).
Л С помощью дизъюнкции мы получаем неопределенное выска-
зывание Д(х) V В(х). Если а —четное число, большее двух, то
§2. Неопределенные высказывания
15
высказывание A(a)\/B(a) истинно (поскольку а —составное число
и, значит, 4(a) истинно); если а — нечетное число, то высказывание
А(а) V В(а) также истинно. Наконец, высказывание 4(2) V В(2)
ложно: 2 не является ни составным, ни нечетным числом. Итак,
высказывание 4(x)VВ(х) истинно при х^2и ложно при х = 2, т. е.
оно равносильно высказыванию
С(х) = {х^2}.	▲
Пример 2. На множестве всевозможных четырехугольников Q
с вершинами 4, В, С, D рассмотрим следующие два неопределенных
высказывания:
M(Q) ее {АВ || СВ},
7V(Q) ее {AD\\BC}.
Что означает высказывание M(Q)V N(Q)?
Д Высказывание M(Q) V N(Q) означает, что стороны хотя бы из
одной пары противоположных сторон четырехугольника параллельны
друг другу, т. е. это высказывание равносильно следующему:
P(Q) = {четырехугольник Q — трапеция или параллелограмм}.
Конъюнкцией предикатов 4(х) и В(х) (она
обозначается 4(%) Л В(х)) называется предикат, (
обращающийся в истинное высказывание для тех	Л
и только тех элементов множества М (на нем { J
определены предикаты 4(х) и В(х)), для которых
оба предиката являются истинными высказыва- ------------------
ниями.	Рис. 2
На рис. 2 множество TWf истинности предиката 4(х) Л В(х)
отмечено закрашенной областью (4 и В —множества истинности
предикатов 4(х) и В(х) соответственно).
Например, если 4(х) = {х2 — х — 2 = 0}, В(х) = {х2 — 1 = 0}, то
множество истинности предиката 4(х) лВ(х) — число х — — 1.
Пример 3. Пусть M(Q) и Af(Q) — неопределенные высказывания,
указанные в примере 2. Что означает высказывание M(Q) AN(Q)?
Д Высказывание M(Q) AN(Q) означает, что противоположные сто-
роны четырехугольника Q попарно параллельны, т. е. это высказы-
вание равносильно следующему:
L(Q) = {четырехугольник Q — параллелограмм}.	▲
Замечание. Полученные в разд. 7 формулы для отрицаний конъюнкции
и дизъюнкции двух высказываний (законы де Моргана) остаются в силе и для
предикатов, т. е.	_________ _____ ____
4(х) Л В(х) = Л(х) V В(х),
/1(х) V В(х) — А(х) А В(х).
16
Глава I. Элементы математической логики
Импликацией предикатов Л(х) и В(х) (она
обозначается Л(х) => В(х)) называется предикат,
обращающийся в ложное высказывание для тех
и только тех элементов множества Л4, для которых
А(х) — истинное, а В(х) — ложное высказывание
(на рис. 3 множество М\ истинности предиката
Л(х) => В(х) закрашено).
Пример 4. Рассмотрим следующее хорошо известное утвер-
ждение: если произведение ab равно нулю, то хотя бы один из
сомножителей а, b равен нулю.
Записать это утверждение логическими знаками.
А Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
Л4(«) ее {а = 0},
N(a,b) = {ab = 0}.
Тогда сформулированное утверждение можно записать так:
N(a,b)=} {М(а) vTW(fe)}.
Иначе говоря, для любых чисел а и b из того, что истинно
высказывание N(a,b) (т. е. ab = 0), вытекает, что справедливо хотя
бы одно из двух высказываний М(а), М(Ь) (т. е. обращается в нуль
хотя бы одно из чисел а, Ь).	▲
2. Знаки общности и существования
Если на множестве М задан предикат Л(х), то особый интерес
представляет рассмотрение следующих утверждений:
1) неопределенное высказывание истинно для всех элементов
множества М\
2) неопределенное высказывание Л(х) истинно хотя бы для
одного элемента из множества М, т. е. существует элемент xq е М
такой, что A(xq) — истинное высказывание
В математике такие утверждения записывают кратко с помощью
специальных знаков (кванторов): знака общности V (перевернутая
первая буква английского слова АП— все) и знака существования 3
(перевернутая первая буква английского слова Exists — существует).
Знак V заменяет слова: все, всякий, любой, каждый; знак 3
заменяет слова: существует, найдется, хотя бы один.
Сформулированные выше утверждения 1 и 2 с помощью знаков
V и 3 можно записать так:
1) VxeAl—*Л(х) или (VxeTW) Л(х); здесь знак «—»> заменяет
слова «справедливо (высказывание)»
2) ЗхоСТИ: Л(х0) или (Зх0еЛ1) A(xq); здесь знак «:» заменяет
слова «такой, что».
§2. Неопределенные высказывания
17
Если перед неопределенным высказыванием стоит знак V или знак 3,
то каждое такое утверждение либо истинно, либо ложно, и поэтому
оно является высказыванием. Обратимся к примерам.
Пример 5. Пусть
Л(Д) = <в треугольнике АВС угол В равен ->
I	6 J
— предикат, заданный на множестве М всех треугольников А,
вершины которых мы обозначили буквами А, В, С.
Сформулировать утверждения УАеЛТ—>Д(А) и ЗАо:Л(Ао).
А 1) VA ЕМ —>Д(А) = {во всяком треугольнике АВС угол В
равен ||
— ложное высказывание;
2) 3ДоЕЛ4: Д(До) = {существует треугольник До, в котором
угол В равен }
— истинное высказывание.	▲
Пример 6. Пусть А (р) = {р — нечетное число] — предикат, за-
данный на множестве М всех простых чисел.
Сформулировать утверждения \/рЕМ-> А(р) и Зро С М: А(ро).
А 1) \/реМ—>А(р) = {каждое простое число р — нечетное]
— ложное высказывание: число 2 является
простым и четным;
2) ЗровМ: Л(ро) = {существует простое число ро, являющееся
нечетным]
— истинное высказывание.	▲
Замечание. Чтобы убедиться в истинности высказывания \/хеМ —>А(х),
необходимо убедиться в справедливости утверждения А(х) для всех элементов
множества М, на котором определен предикат Д(х). В том случае, когда
множество М содержит конечное число элементов, можно попытаться для
каждого из них убедиться в истинности утверждения Л(х) (это так называемый
метод проб или метод перебора).
Чтобы доказать ложность высказывания VxeAf —»Л(х), достаточно указать
только один элемент х е М, для которого Д(х) ложно.
Пример 7. Пусть Л(х) = {число и2 + п + 41 простое] — предикат,
заданный на множестве N натуральных чисел. Установить, истинно
или ложно высказывание УпеК—>Д(п).
А Можно показать, что А(п) — простое число для всех neN
таких, что п < 40. Если п = 40, то А(п) — 412 — составное число.
Следовательно, высказывание VneN—> А(п) ложно.	▲
18
Глава I. Элементы математической логики
Пример 8. Пусть А(п) = {число и3 4- 5п делится на 6} —
неопределенное высказывание, заданное на множестве N. Выяснить,
истинно или ложно высказывание \/п е N —> А(п).
А Легко проверить, что высказывания >4(1), /1(2), /1(3), /1(4), /1(5)
истинны. Тот же результат будет получаться, если мы будем про-
должать проверку дальше. Но проверкой для отдельных значений п
мы не можем установить истинность высказывания Vn G N —> А(п).
Доказательство истинности высказывания VneN можно провести,
например, следующим образом. Мы имеем
и3 + 5п = п3 — п + би = п(п2 — 1) 4- бгг — (п — 1)п(п 4-1)4- 6п.
Но из трех последовательных чисел п— 1, и, п4-1 обязательно одно де-
лится на 3 и одно или два делятся на 2. Следовательно, произведение
их делится на 6. Таким образом, и сумма (п— 1)п(п4-1)4-6/г = лг34-
при любом натуральном п делится на 6. Но это и означает истинность
высказывания VneN—>А(п).	▲
Пример 9. Пусть А(п) = {и3 — 14п2 4-49и — 1 < 0} неопределен-
ное высказывание, заданное на множестве N. Установить, истинно
или ложно высказывание 3neN:A(n).
А Пусть f(n) = п3 - 14/г2 + 49и - 1, тогда /(1) = 35, /(2) = 49, /(3) = 47,
/(4) = 35. Поэтому высказывание А(п) ложно при п = 1, 2, 3, 4.
Отсюда, однако, не следует, что высказывание {Зп 6 N: А(п)}
ложно, т. е. что не найдется натурального и, для которого выска-
зывание А(п) истинно.
Вычислив f(n) при п = 5, 6, 7, получаем Д5) = 19, /(6) = 5,
/(7) = — 1. Следовательно, высказывание А (7) истинно и поэтому
истинным является высказывание 3п G N: А(п).
Заметим, что метод проб является далеко не наилучшим для
проверки истинности высказывания 3neN: А(и), где А(п) — некото-
рое неопределенное высказывание. Ведь «благоприятное» значение п
(для которого А(п) истинно) может встретиться где-то очень далеко
от начальных значений, и нахождение этого п методом проб будет
мучительной работой. А может случиться, что высказывание А{п)
ложно для всех и, и тогда метод проб вообще ни к чему не приведет.
Поэтому более предпочтительным является общее рассуждение.
Например, в рассматриваемом случае можно было рассуждать так:
/(и) = и3 — 14и2 4- 49и - 1 = п(п2 — 14лг 4- 49) — 1 = п{п — 7)2 — 1.
Отсюда видно, что при п — 7 многочлен f(n) принимает значе-
ние — 1.
Итак, высказывание А(7) истинно, а потому истинно и высказы-
вание Зп е N: А(п).	▲
§ 2. Неопределенные высказывания
19
Пример 10. Пусть А (и) = {число и2 4- 2п 4- 3 делится на 7}.
Выяснить, истинно ли высказывание 3neN:4(n).
А Пусть /(п) = п2 + 2и + 3, тогда /(1) = 6, /(2) = 11, /(3) = 18, /(4) = 27,
и поэтому высказывания 71(1), 71(2), 4(3), 4(4) ложны.
Легко проверить таким же образом, что ложны и высказывания
4(5), 4(6), 4(7), 4(8), 4(9), 4(10). Возникает гипотеза (т. е.
предположение), что А(п) ложно для любого п, т. е. что высказывание
3neN: А(п) ложно. Однако доказать это методом проб невозможно,
это можно установить только с помощью общего рассуждения. Вот
как можно провести это рассуждение.
Всякое натуральное число п можно записать в виде n = 7k 4- q,
где q принимает одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Здесь k —
частное от деления числа п на 7, а # —остаток. Подставив это
представление числа п в многочлен, получим
/(и) = п2 + 2п 4- 3 = (7 k 4- qf + 2(7fe 4- q) + 3 =
= (49/г2 + 14/^ 4- 14fc) 4- (q2 4- 2q + 3) =
= 7(7 k2 4- 2kq 4- 2k) + q2 4- 2q 4- 3.
Отсюда видно, что число n2 4- 2n 4- 3 имеет тот же остаток от
деления на 7, что и число q2 4- 2q 4-3 (так как их разность делится
на 7). Значит, число п2 4- 2п 4- 3 в том и только том случае делится
на 7, если на 7 делится число q2 4- 2q 4-3, где —остаток от деления
числа п на 7. Но q может принимать лишь 7 значений: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6. Вычисляя значения многочлена q2 4- 2q 4- 3 при этих
значениях q, мы получаем числа 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51. Ни одно
из этих чисел не делится на 7. Значит, ни при каком натуральном
п число и24-2и4-3 не делится на 7, т. е. при любом натуральном п
высказывание А(п) ложно. Тем самым доказано, что {3neN: 4(и)} —
ложное высказывание.	▲
3. Построение отрицаний высказываний,
содержащих знаки общности и существования
Пример И. Сформулировать отрицания утверждений \/реМ—>
—>А(р) и 3/?о £ М: 4(ро), указанных в примере 6.
А 1) Отрицание первого из этих утверждений можно получить
двумя способами:
\/р Е М А(р) = {не каждое простое число является нечет-
ным} =
= {существует (найдется) простое число, кото-
рое является четным}.
20
Глава I. Элементы математической логики
2) Аналогично
Эро еМ: А(ро) = {не существует простого нечетного числа} =
= {все простые числа являются четными}. ▲
Сформулируем правила построения отрицаний для высказываний,
содержащих знаки общности и существования.
Пусть А (х) — некоторое неопределенное высказывание, заданное
на множестве М. Тогда высказывание VxeA4—>А(х) означает, что
для любого хеМ имеет место А(х), а высказывание ЭхдЕТИ: A(xq)
означает, что найдется элемент xg Е М, для которого имеет ме-
сто А(хо).
1° Отрицание высказывания VxEAf —>А(х) можно образовать
двумя способами:
1) можно поставить знак отрицания (черту) над всем высказыванием:
VxeAJ —»А(х);
2) можно записать отрицание высказывания \/хеМ—>А(х) в виде
Эхо е М \ А(х0),
т. е. заменить знак общности на знак существования 3, а вы-
сказывание А(х) —на его отрицание А(х) (и знак «—»> знаком
«: »). Это означает, что в множестве М найдется (хотя бы один)
элемент хо, для которого не выполняется А(х).
2° Отрицание высказывания ЗхдЕМ: А(х0) также можно обра-
зовать двумя способами:
1) можно поставить знак отрицания над всем высказыванием:
Зх0 ЕМ: А(х0);
2) можно записать отрицание в виде
VxeM->AW,
т. е. заменить знак 3 на знак V, а высказывание А(х) —на
его отрицание (и знак «: » знаком «—»>).
Итак, для построения отрицания вторым способом (его называют
позитивным) для высказываний, содержащих знак V или знак 3,
следует знак общности заменить знаком существования, а знак
существования — знаком общности и, кроме того, заменить выска-
зывание А(х) на его отрицание А(х) (а также поменять «: » на «—»>
и наоборот).
§2. Неопределенные высказывания
21
Равносильность двух способов построения отрицания следует из
равенств	_____________ ________________
Vx е М -> А(х) = Эх0 е М: Л(х0),	(1)
Зх0еМ: Д(х0) =Vxe Дй).	(2)
Равенство (1) означает, что Д(х) истинно не для всех хеМ тогда
и только тогда, когда существует хоеМ, для которого Д(хд) ложно.
Равенство (2) означает, что не существует xg Е М, для которого
Д(хо) истинно, тогда и только тогда, когда Д(х) ложно для всех
хеМ.
Пример 12. Пусть задано числовое множество X и число q.
Записать с помощью кванторов высказывание А и его отрицание,
если
А = {все элементы х множества X удовлетворяют условию
*<?}•
А Здесь А = {Vx е X —>х < q}. Знак «—>» при этом заменяет слова
«выполняется (неравенство)». Пусть А не имеет места, т. е. не все
элементы х множества X удовлетворяют условию. Это означает,
что найдется (существует) такой элемент xg Е X, для которого
неравенство x<q не выполняется, т.е. справедливо противоположное
неравенство xg > q. Запишем А с помощью кванторов:
А = {Зхд Е X: х0 > q}.	▲
Пример 13. Пусть X — числовое множество. Рассмотрим выска-
зывание
А = {существует число q > 0 такое, что все элементы х из
множества X удовлетворяют условию |х| > q}.
Записать с помощью кванторов высказывания А и А.
А Здесь А = {Эд > 0: Vx Е X —> |х| > q}.
Пусть А не выполняется, т. е. не существует числа д>0 такого,
чтобы для любого хеХ имело место неравенство |х| ^q . Это означает,
что для любого д>0 неравенство |х| ^q не может выполняться для
каждого хеХ. Иначе говоря, существует такой элемент х = хяеХ
(он зависит, вообще говоря, от д), для которого неравенство |х|^д
не выполняется, т. е. справедливо неравенство |xj < д. Запишем А
с помощью кванторов:
А = {Vg > 0 Зхя EX: |xj < д}.	▲
Примеры 12 и 13 показывают, что
Отрицание утверждения Д, содержащего кванторы V, 3 и свой-
ство Р (в данных примерах это неравенства х < М и |х| > 7И),
получается из А заменой в нем V на 3, 3 на V и свойства Р—на
его отрицание.
22
Глава I. Элементы математической логики
Задачи
1.	На множестве М, состоящем из чисел I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, задано
неопределенное высказывание
Л(х) = {х —нечетное число}.
Выяснить, какие из высказываний Л (1), 71(2), Л(3), Л(4), Л(5), Л(6), Л(7)
являются истинными, а какие ложными.
2.	На множестве Л4, состоящем из чисел 1, 2, .. ., 10, задано неопределенное
высказывание
В(х) = {х является делителем числа 60}.
Выяснить, какие из высказываний 5(1), 5(2), 5(3), 5(4), 5(5), 5(6), В(7),
5(8), 5(9), 5(10) являются истинными, а какие ложными.
3.	На множестве М, состоящем из чисел 3, 4. 5, 6, 7, 8, задано два
неопределенных высказывания
/С(х) = {х —простое число},
£(х) = {х — нечетное число}.
Выяснить: совпадают ли эти высказывания на множестве М и на множестве,
состоящем из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
4.	Сформулировать отрицания следующих высказываний:
Л = {при каждом a > 0 уравнение х2 = а имеет действительный корень},
5 = {при любом действительном а уравнение х2 = а имеет действительный
корень},
С = {существует квадратное уравнение, не имеющее действительных кор-
ней},
D = {каждые два треугольника подобны между собой},
Е = {хотя бы одно из произвольных двух чисел а, b делится на 3}.
Установить, какие из высказываний Л, Л, 5, 5, С, С, D, D, Е, Е
истинны, а какие ложны.
5.	Рассмотрим три неопределенных высказывания, заданные на множестве R:
Л(х) = {х —целое число},
5(х) = {х2 — 3х —целое неотрицательное число},
С(х) = {х 4- — целое положительное число}.
Найти все значения х, при которых одно и только одно из этих
высказываний является ложным.
6.	Рассмотрим четыре неопределенных высказывания, заданных на множестве
всех упорядоченных пар натуральных чисел т, и:
ее {m + 1 делится на /?.},
В(т, п) ~ {т = 2п 4- 5},
C(m.ti) = {т + п делится на 3},
D(m, п) = {т + 7п — простое число}
Найти все пары чисел (т,п), для которых одно и только одно из этих
четырех высказываний ложно.
§3. Некоторые приемы доказательства
23
7.	Пусть функция f(x) определена на множестве X. Тогда эта функция назы-
вается ограниченной на множестве X, если существует число С > 0 такое,
что для всех х^Х справедливо неравенство |/(х)| <С. Используя логические
символы V, 3, сформулировать (в позитивном смысле) утверждение: функция
f(x) является неограниченной на множестве X.
8.	Функция f(x), определенная на отрезке [а, 6], называется строго возраста-
ющей на этом отрезке, если для любых точек Х|, х% из этого отрезка таких,
что Х| < х2, выполняется неравенство /(xj) </(х2). Используя логические
символы, сформулировать утверждение: функция f(x) не является строго
возрастающей на отрезке [а,Ь\.
Ответы
I. Высказывания /1(1), А(3), /1(5), /1(7) истинны, а высказывания /1(2), /1(4), /1(6)
ложны. 2. Высказывания В(1), В(2), В(3), В(4), /3(5), В(6) истинны, остальные
высказывания ложны. 3. На множестве М совпадают, а на множестве М\ нет.
4. А = {существует (хотя бы одно) а > 0, при котором уравнение х2 =а не имеет
действительных корней}, А истинно, А ложно; В = {существует действительное
число а, для которого уравнение х2 = а не имеет действительных корней}, В
ложно, В истинно; С = {корни любого квадратного уравнения действительны},
С истинно, С ложно; D = {существуют два треугольника, которые не являются
подобными между собой}, D ложно, D истинно; Е = {существуют два числа
а, Ь, ни одно из которых не делится на 3}, Е ложно, Е истинно. 5. При
х = 2и при x — ^y^-.	6. (9;.2) и (17; 6).	7. {Функция Дх) не ограничена
на множестве X} = {VC > 0 Зхс G X: |Дхс)| С}. {Функция /(х) не
является строго возрастающей на отрезке [а; 6]} = {3xj G [а, Ь] Зхг € [а, 6]:
Xi <х2 и ДхО Дх2)}.
§3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1. Необходимые условия. Достаточные условия
В каждой теореме, как правило, можно выделить условие
и заключение, которые являются некоторыми неопределенными
высказываниями Д(х) и В(х), так, что с использованием логических
операций и кванторов формулировку теоремы можно записать в виде
Vx {Д(х) => В(х)}, хеМ.
Обратимся к примерам.
Рассмотрим теорему: «Во всяком треугольнике против равных
сторон лежат равные углы». Здесь речь идет о двух неопределенных
высказываниях
Д(А) = {в треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны},
В(А) = {в треугольнике АВС угол А равен углу С},
заданных на множестве всех треугольников,
24
Глава I. Элементы математической логики
Теорема утверждает, что для любого треугольника из истинности
Л (А) следует истинность В(Д), т. е.
УД{Л(Д)=>В(Д)}.
Здесь Л (Д) —условие теоремы, В(Д) —ее заключение.
Рассмотрим теорему Пифагора. Для произвольного треуголь-
ника Д обозначим через Л, В, С его вершины, а через а, Ь. с —
противолежащие им стороны. Положим
Л(Д) = {«=’}.
В(Д) = {с2 = а2 + Ь2}.
Теорема Пифагора утверждает, что
V Д {Л(Д) => В(Д)},
т. е. в любом треугольнике, для которого истинно Л(Д), истинно
и В(Д).
Рассмотрим еще одну теорему: диагонали ромба взаимно пер-
пендикулярны. Условие этой теоремы —Л(ф) — {четырехугольник
Q с вершинами Л, В, С, О —ромб, т. е. АВ = ВС = CD = ВЛ},
а заключение — B(Q) = {диагонали четырехугольника Q взаимно
перпендикулярны, т. е. ЛС ± ВВ}.
Эта теорема означает, что
VQ {Л(ф) => B(Q)},
т. е. для любого четырехугольника верно утверждение: если четы-
рехугольник-ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны
Пусть справедлива теорема, в которой условием и заключением
являются высказывания Л и В соответственно, тогда эту теорему
кратко выражают в виде Л =>В, или, в более полной записи, в виде
\/х{А(х)=> В(х)}.
Теорему Л => В также выражают одной из следующих формули-
ровок:
В — необходимое условие для Л,
Л — достаточное условие для В.
Всякое высказывание, которое следует из Л, называют необходи-
мым условием для Л, а всякое высказывание, из которого следует
Л, называется достаточным условием для Л.
Теорему Л => В можно выразить каждой из следующих форму-
лировок:
В является необходимым условием для Л;
Л может иметь место только в том случае, если справедливо В.
§3. Некоторые приемы доказательства
25
Пример 1. Рассмотрим высказывания:
А(х) = {натуральное число х делится на 4},
В(х) = {последняя цифра числа х четна}.
Выяснить, верны ли теоремы А => В и В=>А.
А Теорема А => В верна, так как В — необходимое условие для А
(для делимости числа х на 4 необходимо, чтобы его последняя цифра
была четной); та же теорема А => В означает, что Л — достаточное
условие для В (для четности числа х достаточно, чтобы оно делилось
на 4).
В данном случае достаточное условие А содержит больше требо-
ваний, чем нужно для справедливости высказывания В (например,
26 не делится на 4, хотя его последняя цифра — четная).
Теорема В =>А неверна (из четности последней цифры числа х
не следует, что это число делится на 4).	А
Пример 2. Рассмотрим неопределенные высказывания:
A(a,b) = {каждое из натуральных чисел а, b делится на 3},
B(a,b) = {сумма a + b делится на 3}.
Выяснить, верны ли теоремы А => В и
А Здесь заключение А => В справедливо, т. е. А есть достаточное
условие для В, а В есть необходимое условие для А. Иными словами,
для делимости суммы a + b на 3 достаточно, чтобы каждое из
слагаемых а, b делилось на 3;
для того чтобы каждое из слагаемых делилось на 3, необходимо,
чтобы сумма делилась на 3.
Теорема В => А неверна: из делимости суммы a + b на 3 не
следует, что каждое из чисел a, b делится на 3 (сумма чисел 2 и 4
делится на 3, а каждое из чисел 2 и 4 не делится на 3). А
Замечание. Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
Л((?) = {четырехугольник Q — параллелограмм},
B(Q) = {диагонали четырехугольника Q перпендикулярны},
заданные на множестве всех четырехугольников Q.
Тогда запись A(Q) => B(Q) есть неопределенное высказывание, а запись
3Q: A(Q) => B(Q)	(1)
означает, что существует параллелограмм с перпендикулярными диагоналями
(ромб) — это истинное высказывание. Заменив в последней записи знак 3 на
знак V, получим ложное высказывание
VQ И((3) =>£?((?)},	(2)
так как диагонали любого параллелограмма не являются перпендикулярными,
хотя существуют параллелограммы с перпендикулярными диагоналями.
Таким образом, формулируя теорему вида (1) или (2), надо отдавать себе
отчет в том, о какой теореме идет речь (знаки 3 и V меняют смысл теоремы).
26
Глава I. Элементы математической логики
2.	Обратная и противоположная теоремы.
Необходимые и достаточные условия
Пусть А(х) и В(х) — неопределенные высказывания, заданные на
множестве М. Тогда высказывания
VxeM {Л(х)=>В(х)}?	(3)
ЧхеМ {£?(%)=> Л (х)}	(4)
могут оказаться либо истинными, либо ложными. Каждое из них
выражает некоторую теорему, эти теоремы называют обратными
друг другу.
Иногда одну из них называют прямой, а другую — обратной. Из
этого определения следует, что, поменяв местами в формулировке
некоторой теоремы условие и заключение (оставив при этом без
изменения разъяснительную часть), получим формулировку теоремы,
обратной исходной.
Из двух взаимно обратных теорем либо обе верны, либо только
одна верна, либо обе неверны. Обратимся к примерам.
Пример 3. Рассмотрим неопределенные высказывания
A(Q) = {четырехугольник Q — ромб},
B(Q) = {диагонали четырехугольника Q взаимно перпендику-
лярны},
заданные на множестве всех четырехугольников Q.
Выяснить, верны ли теоремы
VQeAf {/1(Q)=>B(Q)},	(5)
VQgM {B(Q)=>4(Q)}.	(6)
Д Теорему (5) можно сформулировать так: если четырехугольник Q
является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Эта
теорема верна. Теорема (6) имеет следующий вид: если диагонали че-
тырехугольника (любого) взаимно перпендикулярны, то он является
ромбом. Эта теорема неверна.	А
Пример 4. На множестве натуральных чисел N рассматриваются
неопределенные высказывания:
А(п) = {натуральное число п > 9 делится на 4},
В(п) = {двузначное число, выраженное последними двумя циф-
рами числа п, делится на 4}.
Выяснить, верны ли теоремы (п > 9)
VneN {А(п)^В(п)},	(7)
VneN {В(п) => Л(п)}.	(8)
§3. Некоторые приемы доказательства
27
Л Теорема (7) имеет следующую формулировку: если натуральное
число п > 9 делится на 4, то двузначное число, выраженное
последними двумя цифрами числа и, также делится на 4.
Теорему (8) можно сформулировать так: если двузначное число,
выраженное последними двумя цифрами числа п, делится на 4, то
и само число п делится на 4.
Обе эти теоремы верны.	▲
Таким образом, иногда из двух взаимно обратных теорем (3)
и (4) верна только одна (пример 3), иногда же (пример 4) верны
обе. Конечно, могут оказаться неверными обе эти теоремы (этот
случай не представляет интереса).
Будем записывать коротко теоремы (3) и (4) в виде А => В
и	Пусть справедливы обе эти теоремы (прямая и обратная).
Тогда пишут
А <=> В	(9)
и говорят, что каждое из высказываний А и В является необходимым
и достаточным условием для другого.
Для утверждения (9) используются также следующие формули-
ровки:
для справедливости А необходимо и достаточно, чтобы имело
место В;
А имеет место в том и только в том случае, если выполняется В;
А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В.
Все эти формулировки выражают один и тот же факт А <=> В,
и в каждой из них высказывания А и В можно поменять местами.
Иными словами, если А есть необходимое и достаточное условие
для В, то и В есть необходимое и достаточное условие для А.
Так, полученное в примере 4 утверждение можно сформулировать
следующим образом:
для делимости числа п > 9 на 4 необходимо и достаточно, чтобы
делилось на 4 двузначное число, выраженное последними двумя
цифрами числа п.
Замечание. Термин «достаточное условие» часто заменяют словом «при-
знак». Так, вместо того чтобы сказать «достаточное условие», иногда говорят
«признак».
Признаки равенства треугольников — это тоже признаки в этом смысле,
причем эти признаки также являются необходимыми и достаточными. На-
пример, возьмем третий признак. То, что для равенства двух треугольников
необходимо равенство соответственных сторон, ясно из самого определения
понятия равенства треугольников. Достаточность этого условия как раз
и доказывается в рассматриваемой теореме. Иными словами, третий признак
доказывается в школе как достаточное условие равенства треугольников, но
28
Глава I. Элементы математической логики
необходимость этого условия также очевидна. Итак, третий признак есть
необходимое и достаточное условие равенства треугольников.
Перейдем к понятию противоположной теоремы
Теоремы
ЧхеМ {А(х) => В(х)},	(10)
VxeM	(П)
называются взаимно противоположными.
Таким образом, формулировку теоремы (11), противоположной
теореме (10), можно получить, заменив условие и заключение
исходной теоремы (10) их отрицаниями.
Пример 5. Пусть на множестве М всех многоугольников Q
заданы предикаты
A(Q) = {многоугольник Q — четырехугольник},
B(Q) = {сумма внутренних углов многоугольника Q равна 2л}.
Рассмотрим теорему
\/QeM {A(Q)^B(x)}.
(12)
Сформулировать теорему, противоположную теореме (12).
Л Противоположную к (12) теорему
VQeTW {A(Q) => B(Q)}
можно сформулировать так: если многоугольник Q не является
четырехугольником, то сумма его внутренних углов не равна 2л.
Эта теорема верна.	▲
Заметим, что всякая теорема (10) порождает не только противо-
положную теорему (11), но также обратную теорему
VxgTW {В(х)=>А(х)}	(13)
и теорему, противоположную обратной:
\/хеМ {В(х)=>А(х}}.	(14)
Пример 6. Сформулировать теорему, противоположную к тео-
реме (5) (пример 3), и теорему, противоположную обратной тео-
реме (6).
А Противоположная теорема
VQeM {A(Q)=$B(Q)}
означает, что если произвольный четырехугольник Q не ромб, то
его диагонали не перпендикулярны (эта теорема неверна).
Теорема, противоположная обратной:
VQgTW {B(Q)=>4(Q)},
§3. Некоторые приемы доказательства
29
формулируется так: если диагонали произвольного четырехугольника
не перпендикулярны друг другу, то этот четырехугольник не является
ромбом (эта теорема верна).	А
В примерах 3 и 6 прямая теорема и противоположная обратной
оказались истинными, а обратная и противоположная — ложными.
Это не случайное совпадение. Справедливо следующее утверждение:
прямая теорема и теорема, противоположная обратной, либо обе
истинны, либо обе ложны, т. е. имеет место равносильность
{VxeTW А(х)^В(х)} = {\/хеМ ВМ=>А(х)}.
Этот факт лежит в основе так называемого метода доказательства
«от противного»: вместо теоремы {VxgTW Д(х) =>£?(%)} доказывают
теорему {VxeM В(х)=>Л(х)}, противоположную обратной.
Метод доказательства от противного обычно применяют в сле-
дующей форме: для доказательства теоремы А => В предполагают
истинным высказывание В и пытаются вывести отсюда справедли-
вость высказывания А. Если это удается (т.е. если доказана теорема
В => А, противоположная обратной), то исходная теорема А => В
также считается доказанной. Примеры доказательства от противного
в большом числе имеются в школьных учебниках геометрии.
Пример 7. Пусть квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a^O,
принимает положительные значения при всех х G R. Доказать, что
D = b2 — 4ас < 0.
Л Предположим, что условие D < 0 не выполняется, тогда D 0.
В этом случае у = а(х — xj)(x — х2), где xj и х2 — корни уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 (нули функции у = ах2 + Ьх + с), откуда следует,
что у = 0 при х — xi и х = х2 (xi =х2 при D = 0). Это противоречит
тому, что у > 0 при всех х е R. Следовательно, D < 0.	А
3.	Принцип полной дизъюнкции
Теорема. Пусть Д](х), А2(х), An(x) и В\(х), В2(х), ...,
Вп(х) — неопределенные высказывания, заданные на некотором
множестве М и обладающие следующими тремя свойствами:
1) всегда (т. е. для любого элемента х множества М) имеет
место хотя бы одно из высказываний Д](х), А2(х), ..., Ап(х);
2)	справедливы теоремы Д1(х) => Bi(x), А2(х) => В2(х), ...,
Ап(х) => Вп(х);
3)	высказывания В\(х), В2(х), ..., Вп(х) взаимно исключают друг
друга, т. е, (для произвольно взятого элемента х) если одно
из них истинно, то все остальные обязательно ложны.
30
Глава I. Элементы математической логики
Тогда все обратные теоремы В[(х)	В2(х) => А2(х), ...,
Вп(х) => Ап(х) также справедливы.
О В самом деле, пусть высказывание В\(х) истинно. Высказывание
Д2(х) при этом не может быть истинным, так как иначе в силу 2
было бы истинным и В2(х), а это в силу 3 невозможно. Так же
показывается, что не могут быть истинными высказывания Дз(х), ...,
Дп(х). Но если все высказывания Д2(х), ..., Ап(х) ложны, то в силу 1
должно быть истинным высказывание /h(x). Итак, если истинно
Bj(x), то истинно и Л1(х), т. е. имеет место теорема В\(х) =>/h(x).
Так же доказывается и справедливость теорем В2(х) => Д2(х), • • •»
Вп(х)
Заметим еще, что при указанных в теореме условиях всегда
имеет место хотя бы одно из высказываний В](х), В2(х), ..., Вп(х),
а высказывания /Ц(х), Д2(х), . .., Ап(х) взаимно исключают друг
друга.	•
Эта теорема носит название принципа полной дизъюнкции.
Обратимся к примерам.
Пример 8. Рассмотрим следующие неопределенные высказыва-
ния (заданные на множестве Т всех треугольников):
Д1 = {угол А — острый},
Л2 = {угол Л —прямой},
= {угол А — тупой},
В\ = {а2 < Ь2 + с2},
В2 = {а2 = Ь2 4- с2},
В3 = {а2 > Ь2 + с2}.
Доказать, что В1=>Д], В2=>Д2, В3=>Дз.
А Из теоремы косинусов следует, что
Д1=>В1, Д2=>В2, Д3 В3.
Все условия, указанные в приведенной выше теореме, выполняются,
и поэтому, согласно принципу полной дизъюнкции, верны обратные
теоремы. В частности, теорема В[ =>Л] утверждает, что если квадрат
некоторой стороны треугольника меньше суммы квадратов двух
других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, — острый. ▲
Пример 9. Рассмотрим квадратное уравнение
ах%Ьх + с = 0, а 0,	(15)
с действительными коэффициентами и обозначим через D его дискри-
минант: D = b2 — 4ас. Рассмотрим, далее, следующие неопределенные
высказывания (заданные на множестве всех уравнений вида (15)):
А{ = {£>>0},
А2 = {D < 0},
§3. Некоторые приемы доказательства
31
А3 ее {D-0},
В\ = {корни уравнения (15) действительны и различны},
В% = {уравнение (15) не имеет действительных корней},
В3 = {уравнение (15) имеет один корень (кратности два)}.
Доказать, что	В%=>	^з=>^з-
А И здесь, как легко видеть, выполняются условия, указанные
в приведенной выше теореме. Следовательно, верны не только прямые
теоремы Л] А^^В^, А3=>В3, но и обратные: В\ => Л i, В2=>Лз,
В3=>А3. Например, первая из этих обратных теорем гласит: если
корни уравнения (15) действительны и различны, то D > 0. А
4.	Метод математической индукции
Индукция (лат. inductio — наведение) — переход от частного к об-
щему; дедукция (лат. deductio — вывод) — переход от общего к част-
ному.
Метод математической индукции применяется в различных об-
ластях математики (арифметике, алгебре и теории чисел, в мате-
матическом анализе, геометрии и т. д.) для доказательства формул,
неравенств, теорем и, в общем случае, для доказательства истинности
некоторого утверждения, зависящего от n е N, для всех значений
П П().
Утверждение может быть истинным в целом ряде частных случаев
и в то же время ложным в общем случае. Приведем примеры.
Пример 10. П. Ферма в XVII в. предполагал, что все числа вида
22" 4-1 — простые. Так, для n = 1, 2, 3, 4 получается: 22’4-1 = 5,
222 +1 - 17, 22'3 4-1 = 257, 22" +1 - 65537. Однако Л. Эйлер в XVIII в.
показал, что число 22‘5 4-1 = 4294967297 делится на 641.
Пример 11. Г. В. Лейбниц в XVII в. проверив, что п^ — п делится
на 3, гг5 — п делится на 5, п1 — п делится на 7, предположил, что
число nk — п делится на /г, если k — нечетно. Однако сам скоро
заметил, что гг9 — п не при всех иеМ делится на 9. В общем случае
имеет место теорема:
число вида пР — п делится на р, если р — простое.
Метод математической индукции позволяет в поисках общего
закона проверить возникающие при этом гипотезы, отбрасывать
ложные и формулировать истинные.
Пусть А(п) — предикат, заданный на множестве N натуральных
чисел. Нужно установить, является ли истинным высказывание
VneN—»Л(п), т. е. справедливо ли утверждение А(п) для любого
натурального п. Непосредственная проверка этого утверждения для
каждого п е N невозможна, так как множество N бесконечно.
32
Глава I. Элементы математической логики
Истинность высказывания VneN —>А(п) часто удается доказать
методом математической индукции. Этот метод основан на так
называемом принципе математической индукции, который состоит
в следующем.
Утверждение А(п) считается истинным для всех значений heN,
если выполняются следующие условия:
1) утверждение А(п) истинно при п=1;
2) из предположения, что А(п) истинно при п = k (k —любое
натуральное число) следует, что оно истинно и при n = k+\.
Под методом математической индукции понимают следующий
способ доказательства.
Если требуется доказать справедливость утверждения А(п) для
всех натуральных значений п, то сначала проверяют истинность
высказывания /1(1), а затем, считая истинным высказывание A(k),
доказывают истинность высказывания /1(/г + 1). Если доказательство
верно для каждого k е N, то в соответствии с принципом мате-
матической индукции утверждение А(п) является верным для всех
значений п.
Пример 12. Доказать, что при всех значениях п е N число
А(п) = 6?п _|_ 3Л+2 _|_ зп делится на 11.
А Число /1(1) = 62 + З3 + 3 = 66 делится на 11. Предположим,
что A(k) делится на 11, и докажем, что из этого вытекает, что
A(k + 1) = 62(А+1> + 3/г+3 + 3*+‘ также делится на 11. Так как
A (k + 1) = (33 + 3)62/г + 3 • 3*+2 + 3 • 3* = 33 • 62fe + 3(62/г + 3*+2 + 36) =
= 33 • 62/г + 3A(k), а числа 33 и A(k) делятся на 11, то и число
A(k + 1) делится на 11.	А
Замечание. При доказательстве истинности высказывания A(k) нередко
вместо номера k пишут п.
Пример 13. Доказать, что при всех neN справедливо равенство
12 + 22 + ...+п2 = Г!(2+1)(?1+!).	06)
6
Л При п — 1 равенство (16) является верным (1 = 1). Докажем,
что из предположения о том, что верно равенство (16) следует
справедливость равенства
12 + 22 + --. + п2 + (п + 1)2 = 11±12^1+^±^,	(17)
6
полученного из (16) заменой п на п + 1.
Прибавляя к обеим частям равенства (16) слагаемое (и + I)2,
имеем
12 + 22 + ... + „2 + (n+1)2=^ + l)(2n + l)+(n + 1)2	(18)
6
§3. Некоторые приемы доказательства
33
Преобразуем правую часть соотношения (18):
(2п2 + 7п + 6) = <»+1)(" + 2)<2” + 3) .
6	6
Таким образом, равенство (17) является верным, и поэтому фор-
мула (16) доказана для любого n 6 N.	А
Задачи
1.	Рассмотрим два высказывания:
А = {число х равно нулю},
В = {произведение ху равно нулю}.
Выяснить, верны ли теоремы А => В и В=>А. Сформулировать соответству-
ющую теорему, используя термины «необходимо», «достаточно».
2.	Рассмотрим два высказывания:
А = {а2/0}, В - {а > 0}.
Верны ли теоремы А => В и В => А? Сформулировать соответствующую
теорему, используя термины «необходимо», «достаточно».
3.	Рассмотрим два высказывания:
А = {треугольник А — равнобедренный},
В = {две медианы треугольника А равны между собой}.
Верны ли теорема А В и обратная к ней теорема В => Л?
4.	Рассмотрим два высказывания:
А = {функция + постоянна в ее области определения},
В = {ad = be}.
Верны ли теоремы А В и В => Л?
5.	Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Пифагора.
6.	Выяснить, какие из приведенных ниже шести теорем верны и какие из них
являются по отношению друг к другу обратными, противоположными.
1)	Если каждое из слагаемых делится на 11, то и сумма делится на 11.
2)	Если ни одно из слагаемых не делится на 11, то и сумма не делится
на 11.
3)	Если хотя бы одно из слагаемых делится на 11, то и сумма делится
на 11.
4)	Если сумма делится на 11, то и каждое из слагаемых делится на 11.
5)	Если сумма не делится на 11, то ни одно из слагаемых не делится на 11.
6)	Если сумма не делится на 11, то хотя бы одно из слагаемых не делится
на 11.
7.	Используя метод математической индукции, доказать, что при каждом леП
верны равенства:
1)	1-2 + 2- 5 + -- - + п(3л - 1) = n2(n + 1);
2)	12+32 + --- + (2п-1)2=п(4^~1); 3) 13 + 23+З3 + - • -+п3 = (^^) •
2—2549
34
Глава I. Элементы математической логики
8.	Доказать» что при каждом п G N
1)	число 5 • 23л~2 4- З3/г“1 делится на 19;
2)	число п(2п2 — Зп 4-1) делится на 6;
3)	число ц"+2 _|_ 122п+1 делится на 133.
9.	Доказать, что при каждом п е N справедливо равенство
fi-lS ЛЛЛП.Л______________________________________±_3 = 1±^.
\	1/\	9/\	25/	\	(2rz—I)2/	1 — 2л
Ответы
1.	Теорема А=>В верна, теорема В=>А неверна. Для того чтобы произведение
ху было равно нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. Иначе: для
того чтобы число х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было
равно нулю. 2. Теорема А =>В неверна, теорема В=>А верна. Для выполнения
условия а2 -А 0 достаточно, чтобы выполнялось неравенство а > 0. Иначе: для
справедливости неравенства а > 0 необходимо выполнение условия а2 А 0.
3. Обе теоремы верны. 4. Обе теоремы верны. 5. Если в треугольнике
со сторонами а, Ь, с и соответствующими им углами А, В. С справедливо
равенство с2 — а2~\Ь2, то ZC—Для доказательства можно воспользоваться
либо теоремой косинусов, либо третьим признаком равенства треугольников.
6. Теоремы 1 и 6 верны, а теоремы 2, 3, 4, 5 неверны. Теоремы 1 и 4 обратны
друг к другу, теоремы 2 и 5 обратны друг к другу. Теоремы 2 и 3, а также
теоремы 4 и 6 противоположны друг к другу.
Глава II
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
1. Основные понятия
Понятие множества относится к первоначальным понятиям,
не подлежащим определению. Считается, что множество зада-
стся свойством, обладание которым делает объект принадлежащим
к этому множеству. Предметы (объекты), составляющие множество,
называются его элементами. Множества обычно обозначаются
большими буквами Д,В,Х,.... Запись Д =	...} означает,
что множество А состоит из элементов а, 6, с,... . То, что а
является элементом множества Д, записывается так: аеД (е —
знак принадлежности) и читается «а принадлежит множеству Д»
или «а входит в множество Д». Запись а А означает, что а не
является элементом множества А.
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называют
конечным, в противном случае — бесконечным. Множество, не со-
держащее элементов, называют пустым множеством и обозначают
символом 0.
Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же
элементов. В этом случае пишут А — В.
Если любой элемент множества А принадлежит множеству В,
то множество А называется подмножеством множества В, что
обозначается А с В (с — знак включения) и читается «множество А
содержится в множестве В» («Д включено в В») или «множество В
содержит множество Д». Справедливо утверждение ДсД.
Если А с В и В с А, то А = В.
Полагают, что 0 является подмножеством любого множества.
Замечание. Иногда для обозначения включения множеств используют
обозначение Л С В, а если А строго содержится в В (т. е. А содержится в В
и А ± В), то пишут А с В.
За некоторыми особенно часто встречающимися множествами
закреплены стандартные обозначения. Это знакомые вам из курса
алгебры основной школы числовые множества: N — множество всех
натуральных чисел, Z —всех целых чисел, Q —всех рациональных
чисел, R —всех действительных (вещественных) чисел; а также
множество С —множество всех комплексных чисел, с которым
36
Глава И. Числовые множества
вы познакомитесь чуть позже. Для этих множеств справедливы
включения
NcZcQcRcC.
Также используются обозначения и Q_ —- множества всех поло-
жительных и отрицательных рациональных чисел и соответственно
и К_ - множества всех положительных и отрицательных дей-
ствительных чисел.
Любую совокупность действительных чисел называют числовым
множеством
Кроме того, напомним, что действительные числа изобража-
ются точками координатной прямой. Координатная (или числовая)
прямая — это всякая прямая, на которой выбраны: направление,
принимаемое за положительное; точка — начало отсчета и единица
измерения — масштабный отрезок, длина которого принимается рав-
ной единице (рис. 1). Координатная прямая обычно изображается
горизонтально, положительное направление указывается стрелкой,
начало отсчета обозначается буквой О. Точка О разбивает коорди-
натную прямую на два луча, один из которых имеет положительное
направление и называется положительным лучом, другой — отри-
цательным.
_________________  _________М________
О 1 хм	х
Рис. 1
Число, изображением которого на координатной прямой является
точка М, называется координатой точки М. Координата начальной
точки равна нулю. Координата произвольной точки М, лежащей
на положительном луче, равна длине отрезка ОМ: хм — ОМ. Если
же точка лежит на отрицательном луче, ее координата равна длине
отрезка ОМ, взятого со знаком минус: хм = — ОМ. Вся координатная
прямая имеет обозначение Ох.
Расстояние между двумя точками М\ и М% координатной пря-
мой равно абсолютной величине разности их координат х\ и %2:
M1M2 = 1*1 -*2| (рис. 2).
________________________Mi________М2
»	О 1	Х\	%2 х
Рис. 2
Пусть а и b — действительные числа и а < Ь. В приведенной
ниже таблице даны названия, определения и обозначения числовых
множеств, называемых числовыми промежутками. Каждый из
§1. Множества. Операции над множествами
37
числовых промежутков определяется как множество действительных
чисел, удовлетворяющих определенным неравенствам.
Таблица числовых промежутков
Отрезок от а до b (замкнутый промежуток)	[а; 6]	а х b
Интервал от а до b (открытый промежуток)	(а;*)	а < х < b
Полуинтервал от а до b (открытый слева промежуток)	(а; 6]	а <х ^.Ь
Полуинтервал от а до b (открытый справа промежуток)	(«; Ь)	а ^.х < b
Числовой луч от а до Ч-оо	[а; +оо)	х^ а
Открытый числовой луч от а до 4 оо	(а; 4-оо)	х> а
Числовой луч от - -оо до а	(—оо;а]	х а
Открытый числовой луч от —оо до а	(—сю; а)	х <а
Множество R всех действительных чисел обозначается также
(—оо;+оо) и называется числовой прямой.
Имея в виду интерпретацию действительных чисел на числовой
оси, действительные числа иногда называют точками. Например,
вместо «число 2 принадлежит отрезку [1;3]» говорят «точка 2
лежит на отрезке [1;3]» или «точка 2 принадлежит отрезку
|1;3]» и записывают 2 е [1;3].
Задание множеств. Утверждение Р(х), зависящее от пере-
менной х, определяет некоторое множество посредством условия,
согласно которому элементами множества являются такие и только
такие элементы а, для которых Р(а) есть истинное высказывание.
Символическая запись А — {х|Р(х)} означает, что множество А
состоит из тех и только тех элементов %, для которых выполняется
условие Р(х).
Пример 1. Записать символически и перечислением элементов
множество, элементами которого являются:
1) все натуральные четные числа, делящиеся на 3;
2) все целые числа, квадрат которых меньше 25.
А 1) {х|х-66, feeN}-{6,12,18,...};
2) { х| X е Z и х2 < 25} = {-4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.	▲
2. Операции над множествами
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется
объединением множеств А и В (обозначается A U В или А + В,
38
Глава II. Числовые множества
читается «объединение А и В») (рис. 3). Используя логическую
символику, определение объединения множеств можно записать так:
А и В = {%|х е A v х е В}.
При этом не исключается, что элемент х принадлежит обоим
множествам.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов,
которые принадлежат как множеству Л, так и множеству В,
называется пересечением множеств А и В (обозначается АпВ или
АВ, читается «пересечение А и В») (рис. 4). Используя логическую
символику, определение пересечения множеств можно записать так:
А А В = {х|х е А А х G В} .
Два множества называются непересекающимися, если ДпВ = 0.
Множество, состоящее из всех элементов множества А, не
принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А
и В (обозначается А\В) (рис. 5). Используя логическую символику,
определение разности множеств Л и В можно записать так:
Л\В = {х|х е Л А х В} .
Если Л С В, то разность В\Л называется дополнением множества А
до множества В и обозначается Л#.
Часто оказывается, что рассматриваемые множества являются
подмножествами некоторого основного, или универсального множе-
ства U (рис. 6). Множество элементов универсального множества U,
не принадлежащих множеству Л, называется дополнением множе-
ства А до множества U или просто дополнением и обозначается Л.
Символически это записывается так:
Л = {х|х Л} .
Непосредственно из данных определений следуют равенства
1) Ли0=Л;	2)	ЛА0 = 0;	3)0=£7;
4) 1J - 0;	5)	I - Л;	6) Л U U = U;
7) ЛА/7—Л;	8)	ЛиЛ = (7;	9) ЛпЛ=0.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
§1. Множества. Операции над множествами
39
А
Рис. 7
Схематические изображения множеств и операций над ними,
представленные на рис. 3-6, называются диаграммами Эйлера-
Венна.
Пример 2. Пусть множество А = (—4; 7), а множество В =
= [—1;2) (см. рис. 7). Найти и изобразить на числовой прямой
множества Ди В, ДА В, В\А, А\В, Д, В, ДА В.
Д Поскольку ВсД, то ДиВ = Д = (-4;7) и А АВ — В = [—1;2),
В\Д = 0, А\В = (-4; -1) U [2; 7),
Д = (—оо; —4] U [7;
В — (—оо; —1) U [2; +оо), А А В = А.
Найденные множества изображены на рис. 7.	А
Понятия объединения и пересечения, данные для двух множеств,
могут быть распространены и на случай любого числа множеств.
Объединением конечного числа множеств Д£	называют
множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному из множеств Д£. Это множество
п
обозначают А\U А% U ... U Ап или U Д/.
Пересечением конечного числа множеств Д£- (1 i п) назы-
вают множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих
одновременно всем множествам Д£. Это множество обозначают
Д। А Д2 А ... А Дл или А А[.
I—1
Прямым произведением (или декартовым произведе-
нием) множеств Д], Д2,..., Ап называется множество эле-
ментов вида («1, а%, ..., ап) (упорядоченных строчек), где
а\ еДь а2 Е Д2, •&П Е Ап. Прямое произведение обозначается
А\ х Д2 х ... х Ап.
Пусть, например, X = {a, b}, Y = {р, q, г}. Тогда
X хУ = {(о,р), (a, q), (а,г), (b,p), (b,q), (b, г)}.
40
Глава IL Числовые множества
Свойства операций над множествами. Для любых множеств
выполняются следующие равенства:
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность одной
операции относительно другой
Идемпотентност ь
Законы де Моргана
1. ЛиВ = ВиЛ; 2 ЛпВ = ВпЛ;
3.	(Л иВ)иС-Л U(BuC);
4.	(Л ПВ)ПС = Л П(ВпС);
5.	(Л иВ)ПС = (Л пС)и(ВпС);
6.	(ЛпВ)иС=(Л иС)П(ВиС);
7.	Л иЛ =Л; 8. Л ПЛ =Л;
9.	Л иВ = Л ПВ; 10 Л ПВ = Л UB.
Доказывать приведенные выше свойства (иначе говоря равенства)
или какие-либо другие можно двумя способами: с помощью таблицы
истинности и методом эквивалентных переходов.
Метод доказательства равенств с помощью таблицы истин-
ности. Таблица истинности для введенных выше операций над
множествами заполняется следующим образом. У произвольного
элемента х имеется четыре разных возможности: 1) х^А и
2) х А и х Е В; 3) х G А и х В; 4) х G А и хе В.
Заполняем первые два столбца таблицы, ставя в клеточку число 1,
если элемент принадлежит соответствующему множеству, и 0, если
не принадлежит. Далее в соответствии с определением каждой из
операций, задающей новое множество, заполняем столбцы для ЛиВ,
ЛпВ, А\В, В\А, Л, В, получая таким образом соответствующий
этой операции столбец значений.
Таблица истинности
А	В	Лив	А ПВ	А\В	В\А	А	в
0	0	0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	1	0		с	0	1
1	1	1	1	0	0	0	0
Подобную таблицу значений можно построить для любого мно-
жества, полученного с помощью введенных операций над некоторым
конечным числом множеств. Например, для трех множеств Л, В и С
таблица будет содержать 8 строк.
Говорят, что две операции задают одинаковые множества, если
совпадают их столбцы значений.
Метод эквивалентных переходов. При доказательстве равенства
(или совпадения) двух множеств этим методом, выполняя поэтап-
ные переходы в соответствии с определениями соответствующих
операций, показывают, что если элемент принадлежит левой части
§1. Множества. Операции над множествами
41
доказываемого равенства, то он принадлежит и правой части,
и наоборот.
Пример 3. Доказать двумя способами (с помощью таблицы
истинности и методом эквивалентных переходов) равенство (закон
де Моргана)	 _
A U В = А П В.
Л 1) Заполним следующую таблицу и сравним столбцы значений
для множеств A U В и А П В.
А	В	AUB	AUB	А	в	А ОВ
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	О	1	0	О
1	0	1	О	0	1	О
1	1	1	О	0	0	О
Так как столбцы совпадают, то множества в обеих частях
доказываемого равенства также совпадают.
2) Докажем равенство A U В = А П В. Рассмотрим произвольный
элемент х:
xeAuB&xg (А и В) &(х<£АЛх<£ В) &
(х е А л х е В) шеАпВ.
Следовательно, выполняя переходы слева направо, можно
показать, что если хе A UB, то хеДпВ. Аналогично, выполняя
переходы справа налево, убеждаемся, что если хеЛпВ, то
хе АиВ. Это означает, что множества, стоящие в обеих
частях равенства, состоят из одних и тех же элементов, т. е.
совпадают.	А
Замечание. На практике достаточно воспользоваться одним из приве-
денных выше методов.
3. Формула включений и исключений
Наряду с методом математической индукции, формула (принцип)
включений и исключений является важным математическим инстру-
ментом. Она позволяет, зная число элементов в каждом из данных
конечных множеств, найти число элементов другого множества,
составленного из данных множеств с помощью операций объединения
и пересечения.
Пусть Л —конечное множество. Обозначим через |А| число его
элементов, т. е. если множество А содержит п элементов, то |А| = п.
42
Глава IL Числовые множества
Пусть множества А\ и состоят из конечного числа элементов.
Введем обозначение А[2 = Af Г1А2. Легко убедиться, что
|Л( ОЛ2| = |Л,|-|- |Л2| - |Л12|.	(1)
Это одна из важнейших формул комбинаторики, которую называют
формулой сложения. С ее помощью можно получить формулу для
количества элементов в объединении любого числа множеств.
Например, для трех множеств (обозначая Ац — Л/ПД/, где /=1, 2;
/ — 2, 3; i Л123 = Д1 ПД2 пДз)’
И1 иД2иДз| = |Л i U(A2uA3) I = И11 + И2иДз1 “ И1 И(Л2иД3) | =
= |Д1| + И21 + Из| - Игз! “ И12и^1з1-
Учитывая, что А|2 П А(з = Л|23* окончательно получаем
И1 и Л2 иД3| = |Л 11 + И21 + Из! “ И12| ~ И1з| ~ Игз! + И12з|- (2)
Полученная формула, как и формула (1), является частным случаем
общей формулы включений и исключений для п конечных множеств
Д1, Д2,..., Ап.
Пример 4. На уроке литературы учитель решил узнать, кто
из 40 учеников читал книги a, b и с. Результаты опроса оказа-
лись таковы: книгу а читали 25 учащихся, книгу 6 — 22, книгу
с —также 22. Книги а или Ъ читали 33 ученика, а или с —32, Ь
или с —31. Все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников
прочли только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни
одной из этих книг?
А Обозначим через Л, В и С множества учащихся, прочитавших
книгу а, 6, с соответственно. Дано |Л| = 25, |В| = |С| = 22,
|Л UВ\ = 33, |А U С| = 32, |ВиС| =31, |АпВпС| = 10. Так как
|Д UB| = |Д| + \В\ - \А ПВ|, то
|Д ПВ| = |Д| 4- |В| - |Л UB| = 25 + 22 - 33 = 14.
Аналогично имеем
\АпС| = |А| + |С|-|ЛиС|=25ч-22 — 32=15; |ВпС| = |В| + |С|-\ВиС\ = 13.
Тогда число учащихся, прочитавших хотя бы одну книгу, будет равно
|АиВиС| = |Л| + |В| + |С| — |Л ПВ| - |АпС|-|ВпС| + |АпВпС| =
= 25 + 22 + 22 — 14 — 15—13 + 10 = 37.
Следовательно, число учащихся, не прочитавших ни одной из этих
книг, равно ______________
|A U В U С| = 40 - |A U В U С| - 3.
Далее найдем число учащихся, прочитавших по одной книге. Так,
число учащихся, прочитавших только книгу а, равно
]Л I — |Л П В| — |Л П С| + |Л О В П С| = 25 — 14 — 15 + 10 = 6;
§1. Множества. Операции над множествами
43
только книгу b
\В\- \АпВ\ -|ВпС| 4- |Л А В аС| = 22 — 14-13 + 10 = 5,
только книгу с
|С| - |Л А С| - \В А С| + |Л п В А С| = 22 - 15 - 13 + 10 = 4.
Отсюда число учащихся, прочитавших лишь одну книгу (из этих
трех), равно 6 + 5 + 4 = 15.
Ответ. Только одну книгу прочли 15 учащихся; ни одной —3.
▲
Можно сформулировать принцип включения и исключения в об-
щем виде.
Пусть имеется п объектов и п(а) из них обладают свойством а;
через п(р), /г(у), ... обозначим соответственно количества объектов,
обладающих свойствами /3, у,...; через п(а;/3), п(/3; у), ..., п(а;/3; у),
... — число объектов, обладающих свойствами, указанными в скоб-
ках. Тогда число объектов, которые не обладают ни одним из свойств
а, /3, у,..., равно
п - {/?(«) + п(/3) + п(у) + ...} + {п(а;/3) + п(а; у) + ...} -
обладающие одним свойством обладающие двумя свойствами
-{ п(ос;Р;у) + ...	} +  .
обладающие тремя свойствами
Пример 5. Каждая сторона треугольника АВС разделена на
5 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников
с вершинами в точках деления (точки Л, В и С не могут быть их
вершинами), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной
из сторон треугольника АВС и никакие две вершины не лежат на
одной стороне треугольника ЛВС?
Д Пусть п(а), п(Ь) и п(с) — количество треугольников, у которых
одна сторона параллельна ВС, АС и АВ соответственно. Аналогично
обозначим количества п(а,Ь), п(а;с), п(Ь;с) и п(а;Ь\с) треугольников,
у которых две и три стороны параллельны соответствующим сторонам
данного треугольника.
Тогда общее число п треугольников равно 43 и п(а) = п(Ь) =
= п(с)~ 42, п{а;Ь) = п(а;с) = п(Ь;с) = 4, п(а,Ь;с) — 0. Из формулы (3)
получаем, что искомое число равно
п — п(а) — п(Ь) — п(с) + п(щ Ь) + п(а\ с) + п(&; с) — п(сц 6; с) =
= 43-3-42 + 3-4-0 = 28.
Ответ. 28.
44
Глава II. Числовые множества
Иногда при решении подобных задач можно при некоторых до-
полнительных условиях обойтись без применения формул включения
и исключения, а использовать таблицы, аналогичные рассмотренным
выше таблицам истинности.
Пример 6. В соревнованиях по легкой атлетике норматив II раз-
ряда по прыжкам в высоту выполнили 82% от числа участников, по
прыжкам в длину — 65% и в тройном прыжке — 70%. Оказалось, что
каждый участник выполнил норматив хотя бы по двум дисциплинам.
Спортсмены, выполнившие норматив по всем дисциплинам, мечтают
стать мастерами спорта. Какой процент участников собирается стать
мастерами спорта, и какой — не выполнил норму II разряда в прыжках
в длину?
Д Пусть число участников равно п. Множество всех участников
в соответствии с условиями задачи разбивается на четыре подмно-
жества, отвечающие строкам следующей таблицы.
Выполнили норму по прыжкам в высоту	Выполнили норму по прыжкам в длину	Выполнили норму в тройном прыжке	
-Г	+		X
4-	—	4-	У
—	4-	4-	Z
-1-	4	-1-	t
Обозначим количество участников, не выполнивших норматив
II разряда в тройном прыжке, через х, по прыжкам в длину —
через z/, по прыжкам в высоту —через г, и количество участников,
выполнивших норматив по всем дисциплинам, — через t. Тогда
в соответствии с условиями задачи составляем систему уравнений:
х + у + t — 0,82м,
х + z + t = 0,65м,
£/ + £ + / = 0,7м,
x-\-y + z-\-t = n.
Отсюда получаем / — 0,17м, а у — 0,35м.
Ответ. 17% и 35%.	▲
Задачи
1.	Записать символически множество, элементами которого являются:
1)	все целые числа, делящиеся на 7;
2)	все неотрицательные числа, отличные от 2 и 3;
3)	все целые числа, дающие остаток 1 при делении на 5;
4)	все целые числа, являющиеся полными квадратами;
5)	все точки отрезка [а;6];
6)	решения уравнения |х| — х = 0;
7)	все точки координатной плоскости, находящиеся на расстоянии г от
начала координат.
§1. Множества. Операции над множествами
45
2.	Установить, верны .ли следующие утверждения:
{v3____________________________________________ог2 >
х	0 >;
3)	2е/х|ЗпеИ:х=^-±И;	4) 0 G 0;
{	Зп — 5 J
5)	0С{0};	6) {1,2,3} GN; 7) [0; 1] С [-2; 2].
3.	Выписать все подмножества множества М:
1)	М - {1,2};	2) Л4 —{1,2,3};	3) М = {a, b, с, d}.
4.	Определить число всех подмножеств множества, содержащего п элементов,
если:
1)	п=1;	2) п — 2;	3) п — 3;	4) и = 4;	5) n = k.
5.	Установить, верны ли следующие утверждения:
1)	{1,2,3} С N; 2) { 3, 2,2,3} с {х| х5 - 13х3 + 36х = 0};
3)	{х| х3 — Зх2 — 4х + 12 = 0}с { 3, 2,0,3};	4) 0 С 0;
5)	{х| х2 — 5х + 6 = 0} С {х|х2 —9^0}.
6.	Изобразить с помощью диаграмм Эйлера—Венна множества А, В, С,
удовлетворяющие следующим условиям:
1)	А СВ и В С С; 2) А с В,В с С и А\В - 0;
3) Л сВ,ВсС и С-Л UB; 4) Ас В, В с С и Л ПВ^0;
5) ЛпВ^0,ЛпС^0, ВпС / 0 и Л пВпС 0;
6) Л П В = 0, Л П С 0 и В П С 0.
7.	Для данных множеств А и В найти и изобразить на числовой прямой
множества Ли В, ЛпВ, Л\В, В\Л, Л, В, ЛпВ.
1)	Л = (-3;3], В — [0; 5];	2) Л - (-2; 2], В = [-4;6).
8.	Для данных множеств Л и В определить, что представляет собой множество
ЛпВ, если
1)	Л — множество всех целых чисел, делящихся на 2; В —множество всех
целых чисел, делящихся на 7;
2)	Л — множество всех целых чисел, делящихся на 30; В —множество всех
целых чисел, делящихся на 45.
9.	Для данных множеств точек X и Y определить, что представляет собой
множество X х У, если
1)	X = [—3; 3] — отрезок на оси Ox, Y = [0; 5] — отрезок на оси Оу,
2)	X = [0; 1] U [2; 3] — на оси Ox, Y = [0; 1] U [2; 3] - на оси Оу,
3)	X = R, Y - R.
10.	Доказать следующие свойства операций:
1)	(ЛиВ)пС- (Л nC)U(BnC); 2) ЛпВ-ВиЛ;
3)	Л\(Л\В) - Л П В; 4) Л\(Л П В) = (Л U ВДВ;
5)	Л\(В U С) = (А\В) П (Л\С);	6) Л\(В П С) = (А\В) U (Л\С).
11.	Доказать следующие утверждения:
1)	Если Л с В, то Л\С с В\С; 2) если С с А и D с В, то D\A с В\С.
12.	Привести примеры множеств, показывающие, что следующие утверждения
неверны:
1)	если Л U С С В U С, то Л С В; 2) если Л П С С В П С, то Л С В;
3)	А\(В\С) = (А\В)\(А\С);	4) (Д\В)\С = А\(В\С).
46
Глава II. Числовые множества
13.	1) Для каждого х G А положим Мх = А\{х}. Найти пересечение всех
множеств Мх.
2)	Даны два разбиения множества М на непересекающиеся подмножества:
М = U А% U ... U Ап и М — В\ U В% U ... U Bfr. Будут ли образо-
вывать разбиение множества М всевозможные подмножества А[ П В/,
(1	^/2,1
14.	Упростить следующие выражения:
1)	ДП(ДиВ);	2) (ДпВ)П(ВпД);
3)	(ДпВ)и(ВпД);	4) (ЛиВ)П(ВиЛ).
15.	Для данных множеств Д —{х|я—Зл+1, иеН}, В={х|х—5п—2, псН} и С—
={х|х—2л4-1, леН} определить, что представляет собой множество D, если
1) D = AnBoC- 2) D-(ZlnB)uC.
16.	I) В лагере 400 детей. Из них 210 умеют плавать, 300 умеют кататься
на велосипеде, 170 умеют плавать и кататься на велосипеде. Сколько
детей не умеют ни плавать, ни кататься на велосипеде?
2)	В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают
французский и 23 знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают
ни английского, ни французского?
17.	1) При голосовании в городскую думу в бюллетене в списке из трех
кандидатов требовалось оставить не более одного. При подведении итогов
оказалось, что кандидатов А и В вычеркнули 60% избирателей, канди-
датов В и 6 — 80% избирателей, а кандидатов А и 6 — 70% избирателей.
Какой процент избирателей проголосовал против всех кандидатов и какой
кандидат набрал наибольшее количество голосов?
2)	При голосовании в городскую думу в бюллетене в списке из трех
кандидатов требовалось оставить не более двух. При подведении итогов
оказалось, что кандидата А вычеркнули 37% избирателей, кандидата В —
43%, кандидата 6 — 55%; при этом 50% избирателей оставили в бюлле-
тене одного кандидата. Какой процент избирателей проголосовал против
всех кандидатов?
18.	1) Каждый из учеников класса в каникулы ровно два раза был в театре,
при этом спектакли Л, В и С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика.
Сколько учеников в классе? Сколько из них видели спектакли А и В,
А и С, В и С?
2) Из 54 спортсменов спортивной школы в соревнованиях по бегу принял
участие 31 человек, по плаванию —28 и часть спортсменов участвовала
в соревнованиях по велокроссу. Определить, сколько спортсменов участ-
вовало в соревнованиях по велокроссу, если известно, что 4 человека
из-за травм пропустили все соревнования, 20 спортсменов участвовали
в соревнованиях только по одному виду спорта, 12 — в беге и велокроссе,
15 — в беге и плавании и 13 — в плавании и велокроссе. Сколько спортс-
менов приняло участие в соревнованиях по всем трем видам спорта?
19.	1) Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в вуз, оценку
«отлично» получили: по математике — 48 абитуриентов, по физике —37,
по русскому языку —42, по математике или физике —75, по математике
или русскому языку — 66, по всем трем предметам — 4. Сколько абитури-
ентов получили хотя бы одну пятерку? Сколько среди них получивших
только одну пятерку?
§1. Множества. Операции над множествами
47
2) В олимпиаде по математике принимало участие 40 учащихся. Им было
предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по
тригонометрии. Результаты проверки представлены в таблице. Известно
также, что ни одной задачи не решили трое. Сколько учащихся решило
все три задачи? Сколько учащихся решило ровно две задачи?
Решены задачи	Количество решивших
по алгебре	20
по геометрии	18
по тригонометрии	18
по алгебре и геометрии	7
по алгебре и тригонометрии	8
по геометрии и тригонометрии	9
20.	1) Множества А, В и С состоят из некоторых трехзначных натуральных чи-
сел. Элементами множества А являются числа, кратные 3; множества В —
числа, кратные 5, и множества С —числа, кратные 7. Определить |Д UB|,
|ВиС|, |Д UC| и \АиВиС\.
2)	Пусть А — некоторое подмножество множества натуральных чисел.
Причем каждый элемент множества А — число, кратное или 2, или 3,
или 5. Найти количество элементов в множестве А, если среди них
имеется: 70 чисел, кратных 2; 60 чисел, кратных 3; 80 чисел, кратных 5;
32 числа, кратных 6; 35 чисел, кратных 10; 38 чисел, кратных 15,
и 20 чисел, кратных 30.
21.	Каждая сторона треугольника АВС разделена на 7 равных отрезков. Сколько
существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки
Д, В и С не могут быть их вершинами), у которых ни одна сторона не
параллельна ни одной из сторон треугольника АВС и никакие две вершины
не лежат на одной стороне треугольника АВС?
22.	1) На столе площади 1 кв. ед. лежат три журнала, площади которых Sj,
S2, не меньше 0,5 кв. ед. Каково наименьшее значение площади
пересечения, которое могут гарантированно иметь два журнала при
произвольном их расположении?
2) (Задача JL Кэрролла.) В ожесточенных битвах более 70% повредили
глаз, 75% — ухо, 80% — руку, 85% — ногу. Каково наименьшее количество
повредивших глаз, ухо, руку и ногу одновременно?
Ответы
1. 1) {x|x = 7n, neZ}; 2) {х|х0,х^2,х/3, xeZ}; 3) {х|х = 5/г+1, neZ};
4) {x|x = n2, n е Z}; 5) {x|fl^x^b, х, fl,6eR}; 6) {х| х € R, |х| — х = 0};
7) {(x,z/)|xgR, у G R,x2 +у2 = г2}. 2. 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да;
6) нет; 7) да. 3. 1) 0, {1}, {2}, {1,2}; 2) 0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}; 3) 0, {а}, {/>}, {с}, {d}. {a,b}, {а,с}, {a,d}, {b,c}t {b,d}t {c,d}, {b,c,d},
{a,c,d}, {fl,M}, {a,b,c}, {a,b,c,d}. 4. 1) 2!=2;2) 22 =4; 3) 23 = 8;4) 24 = 16;
5) 2k. 5. 1) да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет. 7. 1) А UB=(-3;5], ДпВ= [0;3],
Д\В = (—3;0), В\Д = (3;5], А = (-оо; -3] U (3; +оо), В = (-оо;0) U (5; +оо),
А П В = (-оо; -3] U (5; +оо); 2) A U В - [-4; 6), А П В = (-2; 2], А\В = 0,
48
Глава II. Числовые множества
В\А = [-4;-2] U (2; 6), А = (-оо;-2| U (2;+оо), В = (-оо;-4) U |6;+оо).
АпВ = В. В. \) {x\x=\4k, keZ}- 2) {x\x = 90k,keZ}. 9. I) X х Г =
= {(х,«/)|хе [—3; 3],//€ [0; 5]} — прямоугольник на координатной плоскости;
2) X х К = {(х,z/)|х 6 [0; 1] U [2;3],у е [0; 1] U [2;3]} — четыре квадрата на ко-
ординатной плоскости; 3) R х R = К2 - множество всех точек координатной
плоскости. 12. 1) 0; 2) да. 13. 1) 0\ 2) да. 14. 1) Д; 2) ЛпВ; 3) ЛпВ;
4) A U В. 15. 1) {х|х = 146, fceN}; 2) {х|х = 90&, k е N}. 16. 1) 60; 2) 8.
17. I) 55%, кандидат В\ 2) 15%. 18. 1) 30, 7, 18 и 5; 2) 26 и 5. 19. 1) Хотя бы
одну пятерку —94; только одну —65 абитуриентов; 2) 5 решило все три задачи
и 14 решило ровно две. 20. 1) Множества трехзначных натуральных чисел А,
В и С состоят из чисел: элементами множества А являются числа, кратные 3; В —
кратные 5 и С —кратные 7. Определить |ЛиВ|=440, |ВиС| = 314, |.4иС|=395,
и |Д U £ U С| = 515. 2) 125. 21. 125.	22. 1) Имеется два журнала, которые
пересекаются по площади не менее g кв. ед.; 2) наименьшее количество — 10%.
§2. НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ
И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.	Рациональные числа
Числа, применяемые при счете (1, 2, 3, 4, 5, ...), называются на-
туральными. Множество N всех натуральных чисел, упорядоченных
в строго определенной последовательности, называют натуральным
рядом чисел или просто натуральным рядом.
Так как на множестве N не всегда выполнима операция вычитания,
то это привело к необходимости расширения множества натуральных
чисел. Вводятся число 0 — нуль и целые отрицательные числа
— 1, —2,..., — п,.... Иначе, множество целых чисел Z — множество
чисел вида ±п, где п — натуральное число или нуль.
В свою очередь на множестве Z не всегда выполнима операция
деления без остатка, поэтому это множество расширяют, вводя
множество рациональных чисел.
Рациональным числом называют число вида £, где peZ, geN.
Заметим, что одно и то же рациональное число можно представить
различными дробями, которые получаются из несократимой дроби
умножением ее числителя и знаменателя на одно и то же целое
тт	36	—15
число, отличное от нуля. Например - = —• = —— и т. д. Множество
рациональных чисел обозначают буквой Q. В частности, любое целое
число а является рациональным, так как его можно записать в виде
a = j. Например, 0 = у, 1 = |, 2 = | и т. д.
Пусть а = Ь = ^ — два рациональных числа. Тогда правило
упорядочения этих чисел определяется следующим образом:
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
49
1)	если pqi = qp[, то a = b;
2)	если pq\ > qp\, то a > b\
3)	если pq\ <qp\, то a < b.
Сумма и произведение рациональных чисел а и b определяются
соответственно равенствами
a + b =	ab=™±.
QQ\	QQ\
Рациональное число a = £ считается положительным, если р > О,
Q
и отрицательным, если р < 0. При р = 0 дробь называется нулевой.
Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают
следующими свойствами:
коммутативность', а 4- b — b 4- a, ab = Ьа;
ассоциативность: (а 4- Ь) 4- с — а 4- (Ь 4- с), (ab)c = а(Ьс);
дистрибутивность: а(Ь 4- с) = ab 4- ас;
для любого рационального числа а справедливы равенства:
а 4- 0 — а, а-\ = а.
Операции вычитания и деления вводятся как обратные соответ-
ственно к операциям сложения и умножения:
для любых рациональных чисел а и b существует и притом
единственное число х такое, что
b 4- х = а;
это число называется разностью чисел а и b и обозначается
а — Ь; в частности, разность 0 — b обозначается —Ь;
если b 0, то существует единственное число у такое, что
Ьу = а\
это число называется частным чисел а и b и обозначается
О
Отметим также основные свойства неравенств для рациональных
чисел:
1)	если а > b и Ь> с, то а> с;
2)	если	а> Ь,	то а + о	b + с при	любом с;
3)	если	а>Ь	и	c>d,	то	a-yc>b-\-d;
4)	если	а > b	и	с > 0,	то	ас > Ьс;
5)	если	а > b	и	с < 0,	то	ас < Ьс.
В множестве Q можно не только выполнять четыре арифметиче-
ские операции, но и решать уравнения и системы уравнений первой
степени. Однако даже простейшие квадратные уравнения х2 = а, где
aeN, не всегда разрешимы в множестве Q. В частности, уравнение
х2 = 2 не имеет решений в множестве рациональных чисел.
Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа
%2 = а, х3 = а, где а е N, приводит к необходимости расширения
50
Глава II. Числовые множества
множества рациональных чисел путем добавления к нему новых
элементов, называемых иррациональными числами Делается это
следующим образом.
2.	Бесконечные десятичные дроби и их приближения
Десятичной дробью называется дробь, у которой знаменатель
представляет собой натуральную степень числа 10.
Такую дробь можно записать в следующей форме: выписать
в строку цифры числителя и отделить запятой справа столько из них,
сколько нулей содержится в знаменателе. При этом если числитель
меньше знаменателя, то перед запятой надо поставить нуль.
Бесконечная десятичная дробь имеет вид ±00,010203 • • • ап • • • >
где — натуральное число или нуль, а, —цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
Представление числа в виде бесконечной десятичной дроби
однозначно во всех случаях, за исключением такого, когда все
цифры, начиная с некоторой, равны 0 или все цифры, начиная
с какой-либо, равны 9, например 3,250000.. .=3,249999.. . Для того
чтобы запись была однозначной, обычно запрещают использование
записей, в которых все цифры, начиная с некоторой, равны 9.
Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько
цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности,
называются периодическими десятичными дробями
Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой
дроби.
При сокращенной записи периодической десятичной дроби пишут
только один период и при этом период заключают в скобки. Так,
например, вместо 2,3636... пишут 2,(36); вместо 0,08333... пишут
0,08(3); вместо 0,5232232. .. пишут 0,5(232).
Отметим для дальнейшего, что в результате умножения десятич-
ной дроби на число 10п запятая сдвигается на п разрядов вправо.
Пусть число х — чистая периодическая дробь х = 0, (Ь\... Ьт),
содержащая т цифр в периоде. После умножения этого числа на
10ш получим
10т • х = bl... bm, (bl... bm) = Ь\... Ьт + 0, (Z>1... bm) = b\... bm + x.
Отсюда находим, что (10m — 1) • х = bf... bm или х = —
10	1	99... 99
т девяток
Сформулируем правило:
Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную,
достаточно записать числителем ее период, а знаменателем — число,
выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде.
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
51
Пусть теперь число х = п, ai... a^(b\... bm) — смешанная перио-
дическая десятичная дробь, в которой до первого периода следует
k цифр и период содержит пг цифр. Умножив х на 10^, получим
10fe • х = na\...	(b\... bm), а при умножении на 10m+A? получим
10m4^ -x = na\.. .a,kb\.. .bm, (b\.. .bm). Разность этих двух чисел дает
целое число 10т+* • х — 10^ • х = пщ ...a^b\.. .bm — na\.. .a^. Тогда x
можно будет выразить как отношение двух целых чисел, т. е. как
обыкновенную дробь:
_ па\ ... а^Ь\ .. .bm — па\ .. .а^
~	10/г  (10w - 1)	*
Сформулируем правило:
Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновен-
ную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть
число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять
числителем, а знаменателем написать число, выраженное столькими
девятками, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями в конце,
сколько цифр между запятой и периодом.
Например, 8,3(27) = -* 3 * * *^т-3 =	= 8^.
к r v 7	990	990	55	55
3. Иррациональные числа
Всякое рациональное число можно представить десятичной ко-
нечной или бесконечной периодической десятичной дробью, и на-
оборот, периодическая дробь — рациональное число. Но существуют
бесконечные непериодические десятичные дроби, например
0,1011001110001111...,
где после k единиц и k нулей следуют k +1 единица и k +1 нуль
и т. д.
Иррациональным числом называют каждое такое число, которое
может быть выражено в виде бесконечной непериодической дроби.
Пример 1. Доказать, что следующие числа являются иррацио-
нальными:
1) а/2;	2) </3 + х/2;	3) ч/2 + х/3 + \/5.
А 1) Предположим, что число \/2 — рациональное. Запишем его
в виде несократимой дроби х/2 = —. Тогда имеем: -у = 2
п	гг
или т2 = 2/?2. Получили, что квадрат числа т — четное число
Квадрат нечетного числа — нечетное число. Тогда из равенства
т2 = 2п2 следует, что т — четное число, т. е. т — 2k. Заменяя
52
Глава II. Числовые множества
m на 2k, получаем равенство 4/г2 —2и2 или п2 = 2й2, т. е. п — 21.
Но тогда дробь — = — — сократима. Полученное противоречие
доказывает, что х/2 не является иррациональным числом, т. е.
оно иррационально.
2) Допустим, что число a = д/З + \/2 — рациональное. Тогда
\/3 = а — \[2. Возводя обе части последнего равенства в куб,
получим
3 = а3-За2х/2 + 6<х-2\/2,
отсюда	3
\/2 (За2 + 2) = а3 + 6а-3 или \/2 =-——•
4	7	За2 + 2
Так как а —рациональное, то и правая часть последнего ра-
венства ~ рациональное число, что противоречит доказанному
в предыдущем пункте.
3) Допустим, что число а = х/2 + \/3+	— рациональное. Тогда
а — \/2 — \/3 + \/5. Возводя обе части последнего равенства
в квадрат, получим
а2-2ал/2 + 2 = 3 + 2\/15 + 5 или -3 = а\/2 + \/15.
Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим
4	—— 5а2 - 6
^-За24-9 = 2а2 + 2а\/ЗО + 15 или х/ЗО = -*——------(а^О).
В силу нашего предположения правая часть последнего ра-
венства — рациональное число, но, пользуясь тем же приемом,
что и в п. 1, легко доказать, что число V30 — иррациональное.
Получили противоречие.	▲
4. Действительные числа
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида
±аь,а\а<1...ап... .	(1)
Эта дробь определяется заданием знака + или —, целого
неотрицательного числа и последовательности десятичных знаков
а\,	ап^... (множество десятичных знаков состоит из десяти
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида (1) будем
называть действительным числом. Если перед дробью (1) стоит
знак +, его обычно опускают и пишут
а0,а\а2...ап... .	(2)
Число вида (2) будем называть неотрицательным действительным
числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел ад, а\, ап,...
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
53
отлично от нуля, —- положительным действительным числом. Число
вида	,	(3)
где хотя бы одно из чисел а\,	ап,... отлично от нуля,
будем называть отрицательным действительным числом.
Если а = ао,Л1Л2 • •• • •» а ~•  • ап • • * , то число b
называют противоположным числу а, а число а — противоположным
числу Ь.
Замечание. Дроби вида а0,а|а2... щ>9999... использовать запре-
щается, а если они возникают в процессе вычислений, их заменяют на
а0,ащ2 • • • (ak + 1)000... (здесь ак =4 9), например 3,279999... = 3,280000... .
Множество всех десятичных дробей вида (1) называют мно-
жеством действительных (вещественных) чисел и обозначают
символом R, а его подмножество, состоящее из непериодических бес-
конечных десятичных дробей, — множеством иррациональных чисел
и обозначают буквой I.
Десятичные приближения действительных чисел. Поставим
в соответствие неотрицательному действительному числу (2) конеч-
ные десятичные дроби
_ 1
ап = aQ,ai ...ап и ап = а$,а\... ап + —
и будем их называть п-ми десятичными приближениями числа
а = ао ,а\а% ...ап... соответственно с недостатком и избытком.
Если же а —число вида (3), то для него п-е десятичные прибли-
жения с избытком и недостатком определяются соответственно
равенствами
1
ап = -а0Щ1 ...ап и ап = -а0,ах	.
Пример 2. Выписать десятичные приближения с недостатком
и избытком чисел д/2 и — у/2.
Д С помощью микрокалькулятора находим х/2 = 1,41421135623...
и — \/2 = —1,41421135623... . Далее представим результат в виде
таблицы.
	\/2= 1,41421135623...			-у/2= -1,41421135623...	
п	с недостатком	с избытком		с недостатком	с избытком
1	1,4	1,5		-1,5	-1,4
2	1,41	1,42		1,42	-1,41
3	1,414	1,415		-1,415	-1,414
4	1,4142	1,4143		-1,4143	-1,4142
5	1,41421	1,41422		-1,41422	-1,41421
10	1,4142113562	1,4142113563		-1,4142113563	-1,4142113562
В данном примере мы ограничились п — 10.
54
Глава II. Числовые множества
Десятичные приближения далее будут использованы при опре-
делении арифметических операций на множестве IR.
Сравнение действительных чисел. Два неотрицательных дей-
ствительных числа
a =	...an... и /3 = 60Л1 ^.bn...
называют равными и пишут а = /3, если а$~Ь§ и = при всех
k е N. В частности, а = 0, если а0 = 0, и а/г = 0 при всех k е N.
Дадим определение соотношений а</3 и а>[3. Говорят, что число
а меньше числа /3, и пишут а < /3, если либо uq < либо а$ — by
и существует такой номер и, что ai=b\, a<2 = b<2, ... , an_\—bn j,
но an < bn.
Аналогично, говорят, что число а больше числа /3, и пишут а>[3,
если либо ао > Ьо, либо а$ = 6q, и существует такой номер и, что
Щ = 6Ь а2 = Ь2, . .. , ап \=Ьп ь но ап > Ьп.
Из определения равенства а = /3 и неравенств а < /3 и а> [3
следует, что для любых неотрицательных действительных чисел а
и /3 выполняется одно из трех условий: а = [3,а < [3,а> [3.
Отметим, что для любого неотрицательного действительного
числа а справедливо неравенство а^О.
Пример 3. Сравнить числа я, \/Т0 и 3,14(15).
Д Так как тг = 3,14159..., \/10 = 3,16227... и 3,14(15) = 3,141515...,
то у данных чисел совпадают целые части и цифры десятых, а цифра
сотых у числа \ZTO больше, чем у числа я и 3,14(15). Следовательно,
х/Ю > тс и /10 > 3,14(15). Далее, у чисел тс и 3,14(15) совпадают
первые четыре цифры после запятой, а пятая больше у числа тс.
Следовательно, тс> 3,14(15). В итоге имеем 3,14(15) < к < х/10. ▲
Назовем модулем действительного числа а действительное число,
обозначаемое символом |а|, представленное той же бесконечной
десятичной дробью, что и число а, но взятое со знаком +. Таким
образом, если
а = ±ао,а\а*2 .. .ап..., то |а| = +^0,^1 «2 • • • ап • • •,
откуда следует, что |а| — неотрицательное действительное число при
любом а.
Данное определение можно записать в следующей форме:
( а, если а 0;
а = 1
[-а, если а < 0.
Замечание. Число |а| называют также абсолютной величиной числа а
Введем теперь правило сравнения двух действительных чисел а
и /3 для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно.
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
55
Если а —неотрицательное, а /3 —отрицательное число, то счи-
тают, что a > /3.
Если а и /3 отрицательны (а<0,/3 < 0), то будем считать, что:
1)	а = /3, если |а| = |/3|,
2)	a < /3, если |/3| < |а|.
Таким образом, правило сравнения сформулированы для любых
действительных чисел.
Замечание 1. Легко убедиться, что сформулированное правило сравнения
действительных чисел в применении к рациональным числам, записанным в виде
бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и правило
сравнения рациональных чисел, представленных в виде отношения целых чисел.
Замечание 2. Из определения сравнения действительных чисел следует,
что при любом k е N справедливы соотношения:
ak^a<ak- и а^-а^-Ь.
Эти неравенства означают, что для любого /геМ действительное
число а заключено между двумя рациональными числами и
1
разность между которыми равна
При заданном числе а и натуральном числе п число
дп = д • и •.., -а называется п-u степенью числп а. Число и (по-
п множителей
вторяющийся множитель) называется основинием степени, число п
(показывающее, сколько раз повторяется множитель) — покиздтелем
степени.
Первой степенью числа д является само число а1 = и. Вторую
степень а2 = д • д называют еще квидратом числд и (или и
в квадрате), а третью степень а3 = и • д • д — кубом число и (или д
в кубе).
Для любых положительных чисел д и Ь, натуральных чисел п
и т справедливы следующие равенства:
1) дт • дп = дт+п;	2) ит : дп = ит~~п, т>п, д^О;
3)	(ат)п = атп-	4) (ab)n = ап  Ьп-	5) (j)" = ^.
Определим теперь степень с произвольным целым покиздтелем.
Считаем, что значение 0° не определено, а при д 0
а° = 1, д~п — ~ neN.
ап
Для степени с произвольным целым показателем сохраняются все
отмеченные выше свойства 1-5; при этом в свойстве 2 требование
т > п становится необязательным.
56
Глава II. Числовые множества
Вычисления с действительными числами. Обычно на практике
в качестве суммы и произведения действительных чисел берут
числа, полученные в результате соответствующих операций над
десятичными приближениями этих чисел. Определение суммы и про-
изведения действительных чисел будет дано в гл. IX.
Основоположники анализа, развивавшие и применявшие анализ
в течение столетий, считали очевидным, что с действительными
числами можно работать, пользуясь обычными правилами алгебры,
справедливыми для рациональных чисел, т. е. свойствами коммута-
тивности, ассоциативности и дистрибутивности, а также правилами
сравнения, правилами раскрытия скобок и т. д.
Пример 4. Упростить выражение
a - 4
а2 + 4a
a3 _	32
a2 4 16 a2 — 16
32
a2 —16
a —4 i a+4 \ a3
a2 4-4a	a2—4a/ a2 |-I6
a —4	। a-|-4 \	_ 32 __/(<3 "4)2 Г(а-|-4)2\ a3 _ 32
jz(a4-4) a(a — 4)/ a2 + 16	a2-16	\ a(a+4)(a-4) ) «24-16	a2-16
a/2	_ 32 _ 2a2 -32 _ 2	_
j/(a2 — 16)	16 a2 —16
Пример 5. Вычислить приближенно значения выражений
х/2 -Г л/3 и \/2 • л/3.
А С помощью микрокалькулятора находим
V2 = 1,41421135623..., л/З = 1,7320508075....
Вычисления с точностью до единицы дают следующий результат:
х/2 + л/3 « 1,4 + 1,7 = 3,1 « 3 и х/2 - х/3 1,4 -1,7 = 2,38 « 2;
с точностью до одной десятой:
+ х/3 1,41 + 1,73 - 3,14 3,1
И	г- Г-
л/2 • V3 « 1,41 • 1,73 = 2,4398 « 2,4;
с точностью до одной сотой:
V2 + \/3 1,414 + 1,732 = 3,146 « 3,15
и	_	_
х/2 • х/3 « 1,414 • 1,732 = 2,449048 « 2,45
и т. д.	А
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
57
Геометрическое истолкование действительных чисел. Рас-
смотрим прямую линию с отмеченными на ней точками 0 и 1
и назовем ее числовой прямой.
Покажем, что каждой точке Р этой прямой можно сопоставить
некоторое действительное число. Пусть данная точка Р лежит справа
от нуля (рис. 8). Найдем сначала наибольшее целое число такое,
что либо точка Р совпала с точкой &о, либо точка Р лежит справа
от точки и слева от точки uq 4-1. Если Р совпала с точкой а^,
то ей соответствует натуральное число а$.
~	__________ Р __________
О	1	а04 1
Рис. 8
Далее отрезок прямой, заключенный между точками и ао + 1»
делим на десять частей. Считаем, что точкам деления соответствуют
рациональные числа #о,2;... ^о,9. Теперь находим цифру а\.
наибольшую из цифр 1, ..., 9 такую, что либо точка Р совпала
с точкой либо точка Р лежит справа от точки и слева
от точки	В случае совпадения точке Р соответствует
рациональное число ay
Далее отрезок прямой, заключенный между точками ao,ai
1
и + делим на десять частей и аналогично предыдущему
находим цифру а% и т. д. В итоге при увеличении k получаем
либо некоторое конечное рациональное число а = ао»а1Л2 • • -ak, либо
бесконечную десятичную дробь а = aG, а\а% .. .а^... .
Полученное число а назовем координатой точки Р.
Будем считать, что
1) две различные точки Р и Q, лежащие справа от нуля, имеют
различные координаты;
2) каждое действительное число а > 0 является координатой
некоторой точки прямой, лежащей справа от нуля.
Обозначим через О точку с координатой 0 и каждой точке Q,
лежащей слева от нуля, поставим в соответствие число —а, где а —
координата точки Р, лежащей справа от нуля и такой, что отрезки
QO и ОР равны.
Таким образом, каждой точке прямой соответствует единственное
действительное число, причем каждое действительное число оказыва-
ется координатой единственной точки прямой, т. е. устанавливается
взаимно однозначное соответствие между действительными
числами и точками прямой.
58
Глава II. Числовые множества
Следует отметить, что это соответствие зависит от выбора двух
точек с координатами 0 и 1, т.е. от выбора начала координат (точки О)
и масштаба.
Рассмотренную выше прямую обычно называют числовой прямой.
Отметим геометрический смысл абсолютной величины действи-
тельного числа а. Число |а| равно расстоянию между началом
координат и точкой, изображающей на числовой оси число а.
Абсолютная величина разности двух действительных чисел |а — /3|
равна расстоянию между точками числовой оси, изображающими
данные числа а и [3.
Целая и дробная части числа. Целой частью [х] действитель-
ного числа х называется наибольшее целое число, не превосходя-
щее х.
Из определения следует, что для любого действительного числа х
его целая часть удовлетворяет неравенствам х— 1 < [х] ^х. Например,
[2,7] =2, [0,7] = 0, [-0,7] = -1, [-2,7] =-3.
Целая часть обладает рядом важных свойств:
1)	если р — целое число, то [х + р] = [х] +
2)	для любых целых х,у справедливо неравенство
И + Ы;
3)	если [х] = [#], то |х — у\ < 1;
4)	если п — целое число, п 0, то И = - ;
L п J [mJ
5)	для любого действительного числа х имеем [[х]] = [х];
6)	если х < у, то [х]	[//].
Пример 6. Решить уравнение | =
L о J 5
Л Введем замену /= 15х^~7, где t е Z, тогда х =	. Исходное
уравнение преобразуется к виду
Г10/ + 391 _ t
L 40 J ~
По определению целой части а — 1 < [а] < а. Следовательно,
10t + 39<f+1 или 40/^1Ш+39<40^-40 или 0^-30/+39<40.
40
Отсюда —. С учетом того, что t — целое число, получаем,
что t = 0 или t = 1.
Если / = 0, то х~~\ если /=1, то х = ^.
15	5
Ответ. -.	▲
15 5
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
59
Дробной частью {х} действительного числа х называют разность
х— [х]. Из определения следует, что для любого действительного
числа х его дробная часть удовлетворяет неравенствам 0^{х}<1.
Например,
{2,7} = 2,7 - [2,7] =	2,7 - 2 = 0,7,	(4)
{0,7} = 0,7 - [0,7] =	0,7 - 0 = 0,7,	(5)
{-0,7} = —0,7 - [-0,7] =	-0,7 - (-1) = 0,3,	(6)
{-2,7} - -2,7 - [-2,7] -	-2,7 - (-3) - 0,3.	(7)
Задачи
1.	Следующие рациональные числа записать в виде конечных или периоди-
ческих бесконечных десятичных дробей:
п 5 с» 13	17 • их 1870	39
° 7;	2) 400	3)~63;	4) -14965	5) 625-
2.	Обратить в обыкновенные следующие дроби:
1)	0,(25);	2) 0,(243);	3) - 1,(7);	4) 5,23(36).
3.	Вычислить:
1)	(0, (23) 0, (37)) - 33;	2) 0, (2) : 0, (123) • 41;
3)	(0, (32) - 0, (23)) : 0, (25);	4)	+ 0, (2) : 0, (8).
4.	Вычислить:
1)	2, (54): 0,3(18);	2) 121-0,(45);	3) 66 • (0,1(6) + 0, (45));
4)	0,375-УМ7);	5) 88  0,08(3) • 0, (27).
5.	Доказать, что период десятичной дроби, выражающей число не может
быть длиннее, чем и —1.
6.	Число а иррациональное Доказать, что число также иррациональное.
7.	Приведите пример:
1)	двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна;
2)	двух различных иррациональных чисел, произведение которых рацио-
нально.
8.	Пусть числа а и р иррациональны, а число г рационально. Выяснить, какие
из следующих чисел являются рациональными:
1)	«4-/3;	2)	ар-	3)	а +- г;	4) аг;
5)	х/а; 6)	у/г,	7)	у/а-уР;	8) у/а + г.
9.	Доказать, что следующие числа являются иррациональными:
1)	73 + 72;	2)	ТЗ + 75;	3) 73 + 72;
4)	Тз+75 + 77;	5)	7з;	6) 73 + 72.
10.	Доказать, что следующие числа являются иррациональными:
1)	0,121122111222...;	2) 2,123456789101112...
11.	Пусть а, b и с —целые числа. При каком условии уравнение ах2 4- Ьх 4- с — 0
имеет рациональные корни?
12.	Пусть п — любое целое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < п < 73.
Записать рациональное число в виде бесконечной десятичной дроби
60
Глава II. Числовые множества
^=0,(21(22^3... . Доказать, что в этой записи не содержится двух рядом
стоящих одинаковых цифр.
13.	Существует ли:
1)	наименьшее действительное число, большее 0,37;
2)	наибольшее действительное число, меньшее 0,37?
14.	1) Каково наименьшее действительное число, большее 0,37, в десятичную
запись которого не входит цифра 9?
2)	Каково наибольшее действительное число, меньшее 0,37, в десятичную
запись которого не входят цифры 0, 1, 2?
15.	Все десятичные приближения числа а по недостатку, начиная с некоторого,
совпадают. Рациональным или иррациональным числом является а?
16.	Вычислить с ошибкой, не превышающей е:
1)	6,(3)-0,9(81), е = 10 2;	2) 0,7(14) • 0,27(16), Е=10 4;
3)	£ = ]Q 2’	4) -ЮМ1! £=Ю 4
' 2,(17)’	’	’ 2,9(15)’	•
17.	Найдите (не пользуясь микрокалькулятором) приближения с точностью до
0,1 следующих иррациональных чисел:
1)		Ц=; 2) г/246; 3) ^5; 4) \/7.
4 V15
18.	Найти первые три цифры десятичного разложения числа q	(где
в числителе стоят после запятой выписанные подряд числа 1, 2, 3,
31, а в знаменателе — числа 31, 30,..., 2, 1).
19.	Вычислить k знаков после запятой десятичного числа:
1)	Г-Г1О-100' ГД6 fe = 200; 2)	~ |О"100- г№ k= 10°-
20.	Доказать, что между любыми двумя неравными действительными числами
содержится:
1) рациональное число; 2) иррациональное число.
21.	Записать с помощью знака модуля следующие неравенства:
1)	-5 < х < 5;	2) -3 < х < 7;	3) 4 х2 9;	4) 4 < -Г < 9
22.	Упростить выражения:
1)	2 + 2х + |1 - 2х|;	2) Зх - |2 - Зх|;	3) ^х + 8|;
2	' Зх + Ь '
4)	Iх +4х + 31;	5) |7х— 14| - |7х —21|;	6) |18 - 9х| - |9х - 9|.
х2 4- 4х 4- 3
23.	Упростить выражения:
1)	||2х - 3| - 1| + 2х;	2) |2 - |4 4- Зх|| - Зх
24. Упростить выражения:
1) (-3______2______1_\	у! .
\2х —г/ 2х+(/	2х-5(// 4х2_^2’
3) 2* । ( 3________3 \ •	3
х+1	\(х—I)2 х2 —1/ х2 —2x4-1’
51 (х х3+8^	-	'	2 
J V 2х+х2/ (х —2)2 ' 2 —х’
(х + 3)2./х3-27	\ х
' х Ах2-3х	) 3-
х— 1
1 \2x4-2	2х-27'4-4х2’
4) ( х+3 । х~3	9х—х3
\х2 —Зх х24-Зх/ х24-9
/хЧ1 Зх \ Л 2х \2
6) к^+глН'-^+т,)
§2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа
61
25.	Упростить выражения:
....2) (—
а 34-6 3 (а + &)2 — 3ab \ ab /	\(а + 6) 2 a~b J
3)	;	4)
\ ayb ) \ a-\-b )	\a — b J \а + b	) $- — а%
26.	Упростить выражения:
1)		!____+________!_____+_________!___•
(х - у)(х -z}	(у- z)(y - х) (z - x)(z - у) ’
За2 + 2аЬ — 62 а2 4ab f З/?2
2о2 4- ЗаЬ + 62	2а2 ab — 62
- г»	(2р - я)2 + 2я2 — 3pq 4р2 — 3pq	~
27.	Вычислить значение выражения ----------=—-Ц—— : —---------при р = 0,78,
7	2р-’+<?2	2 + pq2
q=25'
28.	Найти целую часть числа где	1.
29.	Доказать следующие утверждения:
1)	если х Z, то [х] Р [—х] — 1;	2) [х] р [х 4-	= [2x1;
3)	если |х 4- у] = [х] + [//I и [-х - у\ — | -х] 4- [—//], то х € Z.
30.	Решить уравнения:
1)	[6х] = 5;	2) [х] 4- |2х| 4-[Зх] = 0;
3)	[2х + 2] = [Зх|;	4) [£^] = [^2].
31.	Решить уравнения:
1)	W2 - IW + 1=0; 2) {х}2 - 4,5{х} + 2 = 0.
Ответы
I. 1) 0,714285(714285); 2) 0,0325; 3) 0,269841(269841); 4) -1,25; 5) 0,0624.
2. 1) §; 2) Ь 3) -1?; 4)	5^.	3. 1) 20; 2) 74;	3)	3,6; 4) 1. 4. 1) 8;
2)	55; 3) 41; 4) 0,5; 5) 2.	13. 1)	Нет; 2) нет. 14.	1)	0,36(8); 2) 0,37(3).
15. Число а рациональное.	16. 1)	6,218; 2) 0,19397;	3)	1,688; 4) 34,68468.
17. 1) 7,87; 2) 15,68; 3) 1,7; 4) 1,48.	18.0,394. 19. 1)	0,99... 9900...00...;
100 цифр 100 цифр
2) 0,99. ..99...	21. 1) |х| <5; 2) |х-2| <5; 3) 2 |х| 3; 4) |	|х| < 1.
100 цифр
о
22. 1) 3, если х < 0,5; 4х 4- 1, если х 0,5; 2) 6х - 2, если х < -; 2, если
О
9
х -; 3) —1, если х < —2; 1, если х > —2; 4) 1, если х < 2 или х > 1; —1, если
—3<х<—1; 5) —7, если х < 2; 14х - 35, если 2 х < 3, 7, если х 3; 6) 9,
если х < 1; —18х 4- 27, если 1 х < 2; —9, если х 2; 23. 1) 2, если х < 1;
4х —2, если 1 ^х < 1,5; 4, если 1,5 ^х<2; 4х —4, если х^2; 2) —6 —6х, если
х < —2; 6, если —2 х < ——6х — 2, если —У х < —2, если х
о	о	о	о
24. 1)	2) 8; 3) 2; 4) -2; 5) 0; 6) х-1; 7) 1. 25. 1)	2) 1;
Оу	\С1 "г
62
Глава П. Числовые множества
3) 1; 4) 1. 26. 1) 0; 2) 2° + 2/>. 27. 0,5. 28. Ц| = 1.	30. 1) f <х< 1;
2a + b	Led	6
2) 0^х<1; 3) кхН; 4) х е [1;2) U [3; 7) U [8;9). 31. 1) 1 + п, |+п,
о о	о	z	4
где п е Z; 2)	4- п, где п е Z.
§3. СТЕПЕНИ И КОРНИ
В предыдущем параграфе была определена степень с натуральным
и целым показателем действительного числа ап, а е К, и е Z.
1. Корень п-й степени из действительного числа
Чтобы ввести степень с рациональным показателем, определим
понятие арифметического корня n-й степени из положительного
числа.
Определение. Арифметическим корнем степени neN из
положительного числа а называется положительное число b такое,
что Ьп — а.
Арифметический корень n-й степени из числа а обозначают у/а
।
или а*', число п называют показателем корня, а число а, стоящее
под знаком корня, — подкоренным выражением. По определению
корня (jtfa)n = a. Квадратный корень обозначают у/а.
Для любых положительных чисел а и Ь, натуральных чисел п,
т и k справедливы следующие свойства арифметического корня:
1°	= {[а- х/Ь. 2°.	=-Е (6/0).	3°. tftya = п^а.
6°.	({/£)*.
я/а- {/а = т
4°.	= \/а^.	5°.
7°. Если 0 < а < 6, то tya < y/b.
Корнем степени п из числа а называется такое число, n-я степень
которого равна а.
При четном п существуют два корня n-й степени из любого
положительного числа а; корень n-й степени из числа 0 равен нулю;
корней четной степени из отрицательных чисел не существует.
При нечетном п существует корень п-и степени из любого числа
а и притом только один; справедливо равенство
Корень второй степени из числа называют квадратным корнем,
а показатель 2 корня при записи опускают. Корень третьей степени
называют кубическим корнем.
Для любого действительного а справедливо равенство
— f|a| если п — 2k,
х/а" = Г 1
(а, если и = 2^ + 1.
§3. Степени и корни
63
К перечисленным выше свойствам 1°-7° арифметического корня
добавим свойства корня четной степени.
8° Если ab 0, то 2\/аЬ = 2у/[о[ • y/jbj; если а < 0 и b < 0, то
y/ab= 2<^Ь.
Пример 1. Упростить выражение у/а2 — 4а + 4.
\/а2 — 4а + 4 = \/(а — 2)2 = |а — 2| = J
если а 2,
если а < 2.
Пример 2. Представить выражение у/*2 ~ Зх — 4 в виде произ-
ведения двух корней.
Л Так как х2 — Зх — 4 = (х — 4)(х 4-1), то выражение ух2 — Зх — 4
определено при х > 4 и х — 1.
а)	Если х 4, то у/х2 — Зх — 4 = у/(х — 4)(х + 1) = у/х — 4* \/х + 1;
б)	если х<—1, то у/х2—Зх —4= у/(4—х)(—х —1) = у/4—х-у/—(х4-1).
▲
Пример 3. Упростить выражение А =..... -....... .....
\/ х	2х г | 1 I " х " 2х I 1
А Заметим, что
\/х2 + 2х +1 = л/(х + 1 )2 = Iх +1Ь а \/х2 — 2х + 1 — \/(х ~ 1)2 = |х —1|,
откуда получаем, что А =	~ ~ jj  Так как
{х +1, еслих^—1,	,	, Г х— 1, еслих>1,
х- 1 = <
—х—1, еслих<—1,	I— х+1, еслих<1,
то рассмотрим выражение А на трех промежутках: х<—1,—1^х<1
И X >
а)
1.
Если
б)
если
в)
если
у < _1 т0 д _ |х+ 1| — |х— Ч __ —х — 1 + х — 1 _
’	|х + 1| + |х- 1|	- X- 1-х+1
- X < 1 то Л = 1Х+ Ч - I* * * х ~ Ч — х+1+х~1
|х 4-11 4- |х — 11 х 4-1 — х 4~ 1
X > 1 ТО А = Iх + Н ~ Iх ~ Ц — х4- I —%4-1 _ _2_
’	|х4-1|4-|х —1| х 4-14-х— 1 2х
-1
-2 =
—2х	х’
_ 2х _
"Т“х’
= 11
х
X
Итак, А —
если х < —1 или х 1,
если — 1 < х < —1.
Пример 4. Упростить выражение -У16х4//8г12, где x,z/,2eR.
А У16х41/8г12 =
= 167|х|7 • |у|7 • |z|T = 2|х| • |z/|2 • |z|3 = 2|xz|z2z/2.	▲
64
Глава II. Числовые множества
Пример 5. Вычислить у ((2 — \/7)2)2 — у/7.
А Так как (а2)^ =	(а2)3 = \/cfi — yj(a3)2 = |а3| = |а|3, то
У((2-\/7)2р - \П = ^/|2 — х/7|3 - л/7 =
= |2-ч/7|-ч/7= ч/7-2-ч/7 = -2.	▲
Пример 6. Вычислить ч/э + 4 ч/б - \/9 — 4 ч/б.
А Уэ + 4\/5- д/э — 4л/5 =
= ^/4 + 2 • 2 • ч/б + (ч/б)2 — ^4 — 2 • 2 • ч/б + (ч/б)2 =
- У(2+У5)2 - ^(2 -ч/б)2 =
= |24-л/5| — |2 —ч/б| = 2 + ч/б — (ч/б — 2) = 4.	▲
Справедливы следующие формулы, которые называют формулами
сложных радикалов:
+ ^-ч^&	(1)
И	----- I.......... I--------—zzz
у/a -y/b =	(2)
Решим пример 6, используя эти формулы.
А Из формулы (1) получаем
^/э + 4ч/б = ^/э + ч/80 =	+ у 9-^1^ = у5 + 2
Аналогично, используя формулу (2), находим
^9-4 ч/б = д/э — ч/80 = ч/б - 2.
Значит, V9 + 4\/5 - ч/9-4ч/б = ч/б + 2 - (ч/б - 2) = 4.	▲
Иррациональность в знаменателе дроби. Рассмотрим приемы,
используемые при освобождении знаменателей дроби от иррацио-
нальности.
1)	При преобразовании дробей вида ——--—7= числитель
а + су/Ь у/а + су/Ь
и знаменатель дроби умножаются на а — c\/b или у[а — c\fb
соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выра-
жение.
§3. Степени и корни
65
2)	При преобразовании дробей вида —А 0 числитель
a±cfyb fa±cWb
и знаменатель, рассматриваемый как сумма (разность), умно-
жаются на неполный квадрат разности (суммы) для получения
суммы (разности) кубов.
3)	При преобразовании дробей вида ------х- можно, например,
y/a±cvb
используя рекомендации пункта 1, сначала освободиться в зна-
менателе от у/a, а далее использовать рекомендации пункта 2.
Пример 7.
дроби
Освободиться от иррациональности в знаменателе
1 I ^2 4 2^4*
Д Обозначим \/2 = а, тогда а3 = 2, А =
1 ___________________________
1 4 а 4- 2а2 а2 4- (1 4- а 4 а2)
Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на а — 1
и применяя формулу разности кубов, запишем А в следующем виде:
а - 1
а2(а - 1) | (а3	1)
а -1 _ ^2-1
3 - а2 ~ 3-^4 *
Снова применяя формулу разности кубов, получаем
А _ (^-1)(9 4-3^4 4- vT6) _ 7^2- ^4-3
(3- ^4)(9 4- 3 Vх? 4- \Иб) ~~	23
2.	Степень с рациональным показателем
Пусть « — действительное число (а > 0) и г = где m е Z,
neN. Тогда, по определению, число (у/а)т называется рациональной
степенью г=~ действительного числа а (а > 0), т. е.
аг=(^)т.
Рациональная степень числа а также записывается в виде
(1 \	।	__ т
а"\ — (ат)" = tfa/й == ап.
Можно доказать, что выражение аг не зависит от представления
числа г в виде отношения —, т. е. при — = — выполняется равенство
п	п\ п2
(Wf = (•
Для любых рациональных чисел г и s и любых чисел а 0
и b 0 справедливы следующие свойства степени с рациональным
показателем:
1°. аг * as - ar+s. 2°. ar : as = ar~s. 3°. (ar)s = ars.
3—2549
66
Глава II. Числовые множества
f п\Г	of
4°. (ab)r = ar-br. 5° (-) =
\ b /	ьг
6° Пусть 0<a<b. Тогда ar<ЬГ при г>0 и ar>br при г<0
О Пусть г= — — положительное рациональное число, тогда
По свойству степени с натуральным показателем имеем am < bm,
а из свойства корня следует, что {/а™ < \/Ь™, т. е. ar < br. Если же
г < 0, то — г > 0, и a~r < b~r. Отсюда получаем, что — < — или
ar br
ar > br.	•
7° Если a > 1, то ar > 1 при г > О и 0 <	< 1 при г < 0. Если
0 < a < 1, то ar > 1 при г < 0 и 0 < ar < 1 при г > 0.
О Пусть а>1. Рассмотрим два случая:
а)	г = — > 0, тогда m, п е N. В этом случае am > 1 и \fafi > 1,
т. е. ar > 1.
б)	г = — < 0, тогда —m, п е N. В этом случае a~m > 1 или 0 < am < 1,
но тогда и 0 < у/а™ <1, т. е. О < ar < 1.
Аналогично доказываются два случая при 0<а<1.	•
8°. Пусть г > s. Тогда ar > as при а > 1 и ar < as при 0 < а < 1.
О Из неравенства r>s следует г — s>0. Тогда по свойству 7° при а> 1
выполняется неравенство ar~s > 1. Умножив обе части последнего
неравенства на положительное число as, получим ar > as.
Аналогично, в случае 0 < а < 1 получаем 0 < ar~s < 1. Отсюда
следует, что ar < as.	•
Пример 8. При всех допустимых значениях переменных упро-
стить выражение
А Преобразуем первую дробь. Ее числитель равен:
abi — \/& —а+1 —bi (а-1) — (а—1) = (/Л — 1)(а—1) =
= ((/4)2-12) ((^Н)3-13) = (/?1	+1)(^-1)((^)2Ч-v^+l) 
Знаменатель равен (1 — йз)((^)2 -р tya + 1)(й^ + 1)- Следовательно,
первое слагаемое равно 1 — у/a. Второе слагаемое равно:
1 1
Следовательно, А = 1 — tya + b3 + yfa = 1 + Ь3
§3. Степени и корни
67
3.	Степень с действительным показателем
Степень с действительным показателем вводится следующим обра-
зом. Пусть b — действительное число, записанное в виде бесконечной
десятичной дроби. Рассмотрим {Ь^} —- последовательность десятич-
ных приближений 6-го порядка с недостатком для числа Ь. Тогда
предел последовательности {а6*} обозначается аь и представляет
собой действительную степень b числа а (определение понятия
предела последовательности будет дано в гл. IX).
Из определения числа аь вытекает справедливость следующих
свойств степени с действительным показателем (x,y€R).
1°. ах • аУ = ах+У. 2°. ах : аУ = ах У. 3°. (ах)у = ахУ.
4° (abY = ax-bx. 5°. Q)* =	(6/0).
6° Пусть 0 < а < Ь. Тогда ах < Ьх при х > 0 и ах > Ьх при х < 0.
7°. Если а > 1, то ах > 1 при х > 0 и 0 < а* < 1 при х < 0. Если
0 < а < 1, то ах > 1 при % < 0 и 0 <	< 1 при х > 0.
8°. Пусть х> у. Тогда ах > ау при а > 1 и ах < ау при 0 < а < 1.
Следствие. Если а > 0,а 7^ 1, то равенство ах = ау имеет место
тогда и только тогда, когда х — у.
Пример 9. Сравнить числа: 1) 730 и 440 ;	2) 2я и л2.
Д 1) Имеем 730 = (73)10 = 343ю и 440 = (44)10 = 256ю. Так как
свойств степеней следует, что 343ю > 256ю
343 > 256, то из
или 730 > 440.
2) Так как 3,2 > тс,
то 2я < 23’2 = 23 • 25 <8-2? =8-(г5)5. Так
/ 1\ 2	1
(22 ) <(1,44)2 = 1,2. Значит 2* <8-1,2 = 9,6.
3,12 = 9,61. Следовательно,
как 22 < 1,44, то
Так как к > 3,1, то тс2
тс2 > 9,61 > 9,6 > 2я.
Пример 10. Упростить выражение А = ^~—3fl+4+^-— „1,
н	н	н	a3+3a2_4_l_(fl2_4)v/^2ZI
Д Так как
a3 — 3cz2 + 4 —а3 — 4а2 4-а2 4-4 = а2 (а 4-1) — 4(а2 —1) =
= (а 4-1) (а2 — 4а 4- 4) = (а 4-1) (а — 2)2
и, аналогично, Q 9	9
а3 4- За2 - 4 = (а - 1)(а 4- 2)2,
А _ (а - 2)((а + 1)(а - 2) + (а + 2)/а2 - 1)
“ (а + 2)((а - 1)(а + 2) + (а - 2)/а2 - 1) ’
68
Глава II. Числовые множества
Так как 1, то у/а1 -\ = \/а- \у/а + 1, и поэтому
_ (а - 2)\М 1(д/л + 1(« - 2) + (а + 2)у/а - 1) _ а - 2 ZZ+7
(cz -|~ 2)\/а — 1(х/cl — 1 (tz -|- 2) -|- (zz — 2)x/zz --j-1) cl 4" 2 у cl 1
9
где а^1и а^—. Последнее ограничение следует из условия
V 3
х/а 4- 1(а — 2) + (а + 2)\/а — 1 0.
Итак, А =	если а > 1, а ~^=.
а + 2 V а- 1	х/3
Задачи
I. Вычислить:
1) \/256 • (0,027)'’;	2)	+ (0,027)3 + (Jg>) 3
2. Упростить выражение:
3)	4)
5) (Zpbql^ • (8/4<73) 3;	6) (4c^d~^ • (8с~%сГ2^ 3
3. Вычислить значение выражения:
4.	Представить в виде произведения корней выражение:
1)	\/х2 - х - 6;	2) д/2х2 - 5х - 3;	3) У-х2+Зх + 4.
5.	Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1)	—Ц=;	2)	г-; 3) ----------4-= ; 4) -=—L—7=.
1—4х/5 У2-УЗ 1 + У2 + УЗ л/2 + л/3 + \/5
6.	Сократить дроби:
а + 2у/а_ + 1 .	2, у/а+УЬ	- х/b2	>/&-а3
а - 1	’	а Уа + ЬУЬ ’	^/о—	’ а^/а +
§3. Степени и корни
69
7. Упростить выражение:
м-25и-1 2u + 7 + 5u-1e	36z-z~l 2z + 7 + 5z~1'
1	_ 1	1	1	’	2	_ 1 +	2	_ 1 ’
u? — 5u 5	-b u 5	6z5+z 3	2г^4 5г 3
4)
m5 — 27m5 n
~2	2
m3 4- 3 fymn 4- 9n5
8. Освободиться от радикалов:
Гл	/----------
1) J±_+зх^4 9^2.	2) у/*4 |-6x24-9;
3) \/a4 — 8a3 b -4- 16a2/?2;	4) </4 -b — 4-	-
V a az
9. Упростить выражение:
1) y/x + 2-4\/x -2 - y/x - 1 4 2\/x - 2;
2) \A 4- 3 — 4\/x — 1 — y/x + %\fx — 1.
10. Вычислить, не пользуясь калькулятором:
1) л/п — 6v^;	2) л/u - 4ч/7;
3) ((1 —л/2)2)5 -5х/2;	4) у/5 + ({/(V5-3)2
11. Вычислить, не пользуясь калькулятором:
о
1) (</2+а/^4- Ж+Ж) ; 2)
3) \/9 + у/8б+ </9 - \/80;
12. Сравнить числа:
1) и ^5;	2) 3Л и
4) (у/3)к и л'/з;	5) 2^ и
^7^54+ 15^128
^4^32+ ^/эШ’
х/5 + Убл/14-6\/5-4.
(а/З)3;
зА
3> Й)М^
13. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
14. Упростить выражение
^3-	’
2
§^2+ ^/3-^5 ’
и вычислить его
значение при заданных значениях
если а = v^2;
переменных:
а2 4 а —2 /(а4 2)2 —а2 3 \	2
а4 — За3 \ 4а2 — 4	а2 — а /	а4
70
Глава И. Числовые множества
п2а2 /n2_h‘2\~'
3) —~-----о •-----9------|, если a = 1 - х/2,6=1 + У2.
a~3 + b~3 (a + b)2-3ab \ ab J
(ab-l+a-'b+\}(a~'-ft-’)2	... „ _ K ./Si д_к , .Лй
15.
4) —5 5------Q—к------i-----i , CVJIK1 u. — u — V-^*, и — <-> T V-^I.
a2b 2 + a 262 — (ab + a ,6)
Упростить выражения:
1) У4m8 + 12«”2+9/n“8«"4 -2/n4; 2) Л/р4 + 10^”4+25р-4^-8 — 5p-2^-4;
16.
3) yj9a~b+6/>2 ~+a^-\]9a-U+1262 +4«2;
4) ^/бх(5+2х/б)  л/3х/2х-2х/3х.
Упростить выражения:
1)
or- 2
8y/X---
Л. \/ (х + 2)2 — 8х
2) V---------, если о < х < 2;
3)
4)
Л 1 Х.Л О	-у- 1/ V Л 'J	с\
———————————==, если х < — 3:
х2 - 2х — 3 + (х — 1)Ух2 - 9
х2 + 2х — 3 + (х + 1)\/х2 - 9
—------------------если х > 3.
х2 — 2х — 3 + (х — 1) Ух2 — 9
Упростить выражения:
17.
a — 16-УНБ + 1006
у/a - 6 \/ab + 10УБ
' 16а-72УББ + 6
Ответы
4
1. 1) 1,5; 2) 8,6481; 3) 3; 4) 6; 5) 20,5. 2. 1) Ух; 2) х2; 3) Ущ 4) а2; 5) 2/?;
6) 8с^. 3. 1) 3; 2) 8. 4. 1) Ух -3 • Ух+ 2 при х 3; УЗ —х  У—х — 2
при х < -2; 2) У2х+1 • Ух-3 при х 3; У—2х-1 УЗ —х при
х —0,5; 3) л/Г=х-7х+Т. 5. 1) —L+A^. 2) _(7§+ч/3); 3) 2 + ^~ +
4)	(х/2+х/3~х/5)-х/б	6	2) (а	_	+	3) 4^ _ 3^.
4)	y/b—ay/a.	7. 1) — у/х; 2) —у/й;3)	7^z; 4) mi.	8.	1)	|0,5х + 3i/|; 2) х2+3;
3) |а2 - 4а6|; 4)	9. 1) 1 — 2у/х — 2, если 2 х < 6; —3, если х 6;
2)	3, если 1	х < 5;	2у/х — 1	— 1, если х 5.	10.	1)	3 — х/2\ 2) у/7 — 2;
3)	-7; 4) 3.	11. I) 5;	2) 0,6;	3) 3;	4) 3.	12. 1)	у/3	>	^5; 2) 3^ > (х/З)3;
3) (|)2>(|)3;4) (г/З)*<тг'73; 5) 2'/3<з+ 13. 1) 1,6+0,8-v^+0,4-&9;
2) ^9+ vT+v^; 3) x/2+^+l + -^+t|+tJ5; 4)	(^8Т+2vz9 + 4) ;
§4. Логарифмы
71
5)	(^4 + ^9+</25-\/б+Ж+Ж). 14. 1) 1; 2) 0; 3) .Ь; 4) 0,25.
о \	/2	1Уо
15. 1) 3/п~4п-2; 2) р2; 3) -а7; 4) \/бх. 16. 1) у/х, если х> ->/х, если
О
О <х < |; 2)	3)
17. 1) 0; 2) 0.
§4. ЛОГАРИФМЫ
I. Определение логарифма
Рассмотрим уравнение
3 — 243.
Записав это уравнение в виде 3х = 35 и используя свойства степени,
получим х = 5. В этом случае правую часть уравнения удалось
представить в виде степени с основанием 3.
Однако при решении уравнения
3х — 40
его правая часть не приводится к виду За, где a € Q. Чтобы уметь
решать подобные уравнения, вводится понятие логарифма.
Рассмотрим уравнение
ах = b,	(1)
где a > 0, a 1, b > 0.
Корень уравнения (1) называется логарифмом числа b по осно-
ванию а.
Определение. Логарифмом положительного числа b по
основанию а, где а > 0,а	1, называется показатель степени с,
в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число Ь.
Обозначение: logfl b = с.
Операция логарифмирования, заключающаяся в нахождении лога-
рифма числового, алгебраического или иного выражения, определена
при а > 0, а /1, Ь>0, так как при а = 1 выражение ах тождественно
равно 1 и при b 1 значение х не определено, а при а = b = 1
соответствующему уравнению удовлетворяет любое число х.
Например, log39 = 2, так как З2 —9; log2| = — 3, так как 2”3 =
log55 = 1, так как 51 = 1; log7 1 = 0, так как 7° = 1.
Итак, по определению, имеет место равенство
а1о£«х=х, х > 0.
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
72
Глава II. Числовые множества
Например, 2|о^5 = 5, 4|0^ °’75 = 0,75, Q)'°g’ = 12.
Существование корня уравнения (1) для любых действительных
чисел а и b таких, что а>0,а^1,Ь>0, является глубоким фактом,
доказываемым в курсах математического анализа.
На основании этого факта докажем, что уравнение (1) имеет
единственный корень.
О Для доказательства воспользуемся следующим свойством степени:
если a > 1, то ах >ау при х >у, если 0 <а < 1, то ах <ау при х >у.
Из этого свойства следует, что уравнение ах = b при а > 0, а ф 1
может иметь не более одного решения. Допустим, что существует два
различных числа х.у такие, что ах — ау — Ъ. Пусть для определенности
х>у. Тогда при а> 1 получаем ах>ау, что противоречит равенству
двух этих выражений. Аналогично, при 0 < а < 1 имеем ах < ау,
что также противоречит предположению Следовательно, значение
logttb единственно.	•
Пример 1. Вычислить log9243.
А Обозначим log9243 = х. По определению логарифма 9х = 243. Так
как 9 = З2, а 243 = З5, то (З2)* = З5 или 32х = З5, откуда 2х = 5,
х = 2,5.	▲
Пример 2. Вычислить \Z2~2+,°g2 5.
Л Используя свойства степени и основное логарифмическое тожде-
ство, находим
Vr22+I°g25 = (2iQ2+l0e25 = 2,+2|оё25 =2. (2|og25p =2л/5. д
Пример 3. Решить уравнение log2(3 — 2х) = 3.
А По определению логарифма 23 = 3 — 2х. Отсюда х — —2,5.	▲
Пример 4. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл
3 — 2х
выражение log2x—уу.
А Логарифм определен, если основание удовлетворяет условиям
2х > 0 и 2x^1, а выражение под знаком логарифма положительно,
т. е. —у-р > 0. Решая последнее неравенство, находим — 1<х<1,5.
Учитывая ограничения для основания х > 0, х 0,5, окончательно
получаем х е (0; 0,5) U (0,5; 1,5).	▲
Пример 5. Решить уравнение:
1) 32х + 6  3х — 27 = 0;	2) log2х- 8log5x = -7.
Л 1) Пусть 2 = 3х. Получаем уравнение 22 + 62 —27 = 0, корнями
которого являются числа 3 и —9.
§4. Логарифмы
73
Вернемся к переменной х. Из уравнения 3Х=3, или 3Х=31,
получаем х=1.
Уравнение 3х = — 9 решений не имеет, так как 3х > 0 для
всех х.
2) Аналогично предыдущему введем обозначение t = log5 х.
Получаем уравнение /2—8/+7=0, корнями которого являются
числа 1 и 7.
Вернемся к переменной х. Из уравнения log5x=l получаем
х = 5, а из уравнения log5x = 7 следует х = 57.
Ответ. 1) 1;	2) 5 и 57.	А
2°
3°.
4°.
5°.
6°.
7°.
2. Свойства логарифмов
При любом a>0 (а I) справедливы следующие свойства.
^ёахУ = 1°£ах + ]°ёаУ> х > У > °-
•ogfl - =	- logfl У. х > 0, у > 0.
У
logfl	logfl х, х > 0;
если р = ±2п, п е N, то logtt хр = р logtt |х|, х 0.
Ioga₽ х=Х- |о£а х, х > Р °;
“	1
если р = ±2п, п е N, то logttP х = - log|fl|
loga 1 = 0.
Iogaa= 1;
loga xi > logttx2, если a > 1, xj > x2 > 0,
и logttxi > logfl x2, если 0 < a < 1, 0<x
Докажем свойства l°-4° и свойство 7°.
О Свойство 1°. Для доказательства воспользуемся основным
логарифмическим тождеством x = alog«x, у = с№аУ. Перемножая эти
два равенства, получим
ху = а1о^х • а|0^ = а|0^х+,0£^.
По определению логарифма из равенства ху = а1оёах+1о&аУ следует,
что
logfl *y = logax + logay.
Свойство 2°. Аналогично предыдущему, получаем
х — fllogfl х = а]оёах~1о8аУ
У с№аУ	'
О, р^О.
следовательно, по определению logfl = loga х — loga у.
Свойство 3°. Из тождества х — х получаем хр = (alog«х) =
= apUyZax. Следовательно, по определению logaхр = рlogaх.
74
Глава II. Числовые множества
Если же р — четно, выражение хр имеет смысл как при положи-
тельном значении числа х, так и при отрицательном. В этом случае
хР = |х|Р. Тогда logax/’ = loga|x|P=ploga|x|, х/0
Свойство 4°. Из тождества х = (ар^°ёаРх = аР10^х по опре-
делению логарифма получаем logfl х = р logaP х. Из этого равенства
следует logflP х — 1 loga х, где х > 0, р 0.
Свойство 7°. Пусть а > 1 и xj > х% > 0. Используя основное
логарифмическое тождество, условие xj > х% можно переписать
в виде >а,0£«%2. Из этого неравенства по свойству степени
с основанием а > 1 следует, что log^xj > logflx2.
Пусть 0 < а < 1 и 0 < Х| < х2. Записывая условие xi < х2 в виде
<а,0£а*2 и используя свойство степени с основанием 0 < а < 1,
получаем logaX| > logax2.	•
Приведем примеры задач, при решении которых используются
свойства логарифмов.
Л г,	л	logo 6 -F logo 20 — logo 15
Пример 6. Вычислить А =-----------------—-——------?=.
log3 4х/2 — log3 20л/б + log3 15л/3
А Используя свойства 1° и 2°, преобразуем числитель и знаменатель
выражения:
log2 6 + log2 20 — log2 15 = log2(6 • 20) — log2 15 = log2 = log2 8 = 3;
log3 4\/2 - log3 20\/6 + log3 15л/з = log3 + log3 15^3 =
= l°^3 li\7T = '°^3 3 =
В итоге получаем, что А=3.	А
Пример 7. Вычислить log32 128.
А Так как 32 = 25, а 128 = 27, то log32 128 = log2s 27. Применяя
свойства 3° и 4°, получаем log25 27 = | log2 2 7 = | log2 2 =	▲
D	D	Э
Пример 8. Доказать, что для любых положительных чисел а,Ь,с
(с 7^1) имеет место равенство а1оё<^ = t№ca.
А Так как logc (a,og^ = logc b • logc а и logc = logc a • logc b, to
логарифмы чисел, стоящих в левой и правой частях доказываемого ра-
венства, равны, а значит, равны и сами числа, т. е.	А
Пример 9. Сравнить числа log2 5 и log37.
А Подберем число, которое больше одного логарифма и меньше
другого. Так как log2 х > log2 z/, если x>z/>0, то 2 = log24 < log25.
Аналогично, 2 = log3 9 > log3 7. Значит, log2 5 > log3 7.	A
§4. Логарифмы
75
Пример 10. Доказать, что число log2 3 — иррациональное.
Д Предположим, что число г = log2 3 —- рациональное, т. е. г=—,
т
где m, neN. Тогда по определению логарифма 2Л =3, т. е. 2т = 3Л.
Но левая часть последнего равенства — четное число, а правая —
нечетное. Следовательно, последнее равенство неверно. Значит г —
иррационально.	А
3. Десятичные и натуральные логарифмы.
Формула перехода
Для логарифмов различных чисел составлены специальные таб-
лицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляются и с помощью
микрокалькулятора. В обоих случаях находятся только так называ-
емые десятичные или натуральные логарифмы.
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа
по основанию 10 и пишут lg b вместо log|0 6.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа
по основанию е. е — иррациональное число (е 2,72), и пишут
In 6 вместо loge6.
Когда основание а фиксировано, говорят о системе логарифмов
по основанию а.
Имеет место формула
logax = ^, х > О, b>0, Ь/1, а > О, а/1,	(2)
log6 а
которая называется формулой перехода к другому основанию.
Соответственно множитель —!— называют модулем перехода
(перевода) от основания а к основанию Ь. Из формулы (2), в част-
ности, следует, что достаточно знать значения только десятичных
или натуральных логарифмов, чтобы находить логарифмы чисел по
любому основанию, поскольку
и logfl .
Iga Ba Ina
Докажем справедливость формулы (2).
О Из равенства х=alog«х получаем 1 ogfc х = log6 (a,ogaх) = logfl х • log6 а.
Из этого равенства следует доказываемая формула
log х = — * , х > 0, а > 0, а 7^ 1, b > 0, b 1.
Из этой формулы можно получить следующие формулы:
или loga6-log6a= 1;
loga b  log6 с = logQ с.
(3)
(4)
76
Глава II. Числовые множества
Приведем примеры, при решении которых используются формула
перехода к другому основанию и свойства логарифмов.
Пример 11. Вычислить А = log5 15 • (2 — log15 45).
А Так как 2 = 2 - log15 15 = log|5 225, то, используя свойства лога-
рифмов, находим Л = log5 15-(log|5225 —log1545) = log5 15-log15	=
= log5 151og155=l.	▲
Пример 12. Сравнить числа logH 12 и log12 13.
А Представим данные числа следующим образом:
logll 12 = logH (11 •	= 1 + logn (1 +	l°gi213 = 1 + log|2 (1 +
1 I	/	1 \	/ I \ log" (' ' п)
Так как 1 + - < 1 + п, то log,2 (1 + -) <log,2 (1 + -) =.-----..
Поскольку log,, 12 > log,, 11 = 1, то log,2	+	< log,, (*+ n)-
Следовательно, log12 13 < logn 12.	A
Пример 13. Упростить выражение l°gz/v/^ (x^/y), если logvz/2X = &.
А Из условия следует, что х > О, у > 0. Рассмотрим два случая.
1) х = 1. При этом у2 1, иначе выражение logx^x теряет смысл.
Получим logyy/y = ^.
2) х^1. Переходя к логарифмам с основанием х, получим
a = loe 2х- 10g*x -__________’___
gxy l<M2 l+2logxy
Отсюда 1 + 2 logx у = (деление на a возможно, так как a 0 при
х/1) и logxу = Переходя к основанию х, получим
log.t-^x/y = 1 + 2 l0gxiZ = * + 2 ' 2а _ За + 1
logx^ l + logx, 1+1__£	2
Следовательно, log^^ (х\/у) = 3°2Ь *
при X — 1, у 1.
при х?Н, и	= 1
Задачи
1. Найти логарифмы чисел по основанию 3:
1, 3, 9, 81, 729, 1 ±, 4о. ^3. 9^3.
О Л 9 Z/IkJ
2. Вычислить:
I 1	27
Зд/З’ 27\/з’ ^243
1) log6216;	2) log0^; 3)Ю^; 4) bg,3 ^=;
§4. Логарифмы
77
5) |osi2864;	6) |og24381;	7> i°gi25625;
9)	,0) ДтЙг
3. Вычислить:
1 л /о\1°£3 16
1) 5,og54; 2) (I) 5 ;
log ] 25
5) 8,og29; 6) 3 3 ;
3) 32 Iog3 7;
4) 72log49 4.
7) 25“2IoK53; 8) 4loBi681.
8) 10g^?fe;
4. Вычислить:
1) log3log28; 2) log2log5625;	3) 3 log64 log10100;
4)	l°g25 *°g2 32I 5) 31°g3log6216 + logo,52; 6) 2 log4 log16 256 - log^ 16.
5. Решить уравнения:
1)2X = 7; 2) Q)X = 2;	3)5x = |; 4) 7х”3 = 2; 5) З2х+3 = 4.
6.	Решить уравнения:
1)	log3 х — 6;	2) log05x — 3;	3) log3(2x 4-3) = 3;
4)	log5 (3x — 2) = — 2; 5) log3 = 2.
7.	Вычислить:
1)	3*+log34	2,о^23-2.5IoS54j 2) 22~2,og4 3 4-52l°g5 ^3+1;
3)	7,OK49 94-l _ 32 0°g8i 34-1)
8.	Выяснить, при каких значениях х выражение имеет смысл:
1)	log5 (36 - х2);	2) log0 5 (х2-5х + 6);
3)	log 1 (3 - 7х + 2х2); 4) log2 .
3	ox 4” 1
9.	Решить уравнения:
1)	52x + 5х - 12 = 0;	2) 16х - 4х - 6 = 0;
10.	Решить уравнения:
1)	log2 х — 3 log2 х = 4;	2) log2x 4-1 log2x = 1;
3)	log2 x 4-2,5 log7 x - 1,5 — 0; 4) log2 x 4- 5 log3 x 4- 6 = 0.
11.	Вычислить:
1)	log2 -^= - log3 f 4- |Og4 f 4- log5 f a 125-Л ;
7	*2 4V2	9 J M ^64x/2 J V^25v^7
2)	logi x/27 4-log3/x8-logi </2164-log i Уб4ч/2.
3	V2	5	^2
3) (3l°gi 1/X - logi + logЛ	: !°g 3^
\	2 V 2B 4 32	16 64 / V2
12. Вычислить:
P I - l°g542 .	2) 2 l0g|62 4 ;	3) |0е2\45 2 .	4) l0g6V'22x/2
Iog54 3 ’	>og|62 3 ’	1-Iog6015’ l-log729
78
Глава II. Числовые множества
1)	log32-log83; 2) log4 3 • log3 16;	3) log23 • log34 • log4 5 •... Iogl5 16.
14.	Расположить числа в порядке возрастания:
1)	log54, logo 5 5, loS25 3;	2) lo&65> *°&0,66> l°g364
15.	Определить знак числа:
1)	log2(l - log73); 2) log2(l 4 log7 0,5);
3)	log4 1 + l°g?5;	4) log3 ((log4 7 + 1) • 0,4).
16.	Сравнить числа:
1)	(|)-^ И 1;	2) 2,5^ и 0,4 °’5.
17.	Решить уравнения:
1)	log3 х = 4 log9 2 - 2 log i 7;	2) log5x — 2 log । x = 6;
3	5
3)	log3x = 3log27 125 — 6log^ 2; 4) log)6x2 + log^gx = 5.
18.	Доказать, что число г—иррациональное:
1)	''-logs5; 2) r = 10g672.
19.	Сравнить числа:
1)	log53 и 2) log25 и 3) log85 и log65; 4) log729 и log6 13.
О	о
20.	Упростить выражение:
logfl x/tz2 — 1 • log2 \/a2 - 1	1 - log х b~2 + log2 b
1)		----------------;	;	2) -------------------r.
Iogfl2 \/«2 - 1 • log v/a2 ~ 1	(1 - log^ b 4- log2 bj I
21.	Вычислить:
,0И1 0,5
1)	5 5	+ log /о ——7= 4-log i -----*——;
^л/7 + v^ 4 10 + 2x/2T
2)	7logx/7 2 + jog .	27	+ |Og --
^л/б + х/З з 7 + 2У10
22.	Известно, что lg2^ 0,301, 1g3^0,477, 1g7 ^0,845. Найти приближенное
значение:
1)	lg5; 2) log3 5;	3) log2 3;	4) log5 0,125;	5) log0?34,9.
23.	Вычислить:
, 21og25 log34	log5 2 log4 3
7 log4 25	2log92’ f log56 log46’
3) 1^7100 + 1Og\/i0 5; 4) 1БЙ7225 + logyi55-
24. Выразить данный логарифм через а и b:
1) log200 900, если a — log5 2, b = log5 3;
2) log90 16, если 6Z = 1g 5, Z? = lg3;
3) log300 360, если a = log2 3, b — log3 5;
4) log350 140, если a = log52, 6 = log75.
§4. Логарифмы
79
25.	Вычислить:
log3216 log324 log2192 _ log224
' log83 log72 3 ’	7 Iog,22 Iog96 2’
log5 30 _ log5750 log3 135 _ log35
7 logl505 |о8б5 ’ log|53	log4053‘
26.	Найти значения выражений:
1)	log^ \/b, если logfr27 = a; 2) log4 tya, если loga 32 = b;
3)	loga(63a), если log;, a —6; 4) log;,(a763), если loga/>=14.
27.	Вычислить:
1)	3^5 _ 5lg3lg5. g) 3*g2 — 2lg3;
3)	2х/|ое23 _ 3\/,08з2. 4)
28.	Доказать формулы:
1)	-!^-S = l + logflb, где fl>0, b>0, c>0, a/1, b^\, c/1;
c
2)	logfcfl-logcZ?-logrfc--logf/a, где fl>0, b>0, c>0, d>0, 6/1, c/1, d^i.
29.	Найти значения выражений:
I)	log£</, если \ogxy(x2y)	= a; 2)	\ogxy2xy,	если	logxу - log,, x =	|,
3)	x6 — г/5,	если log^ x —	2 log^ x;	4) xjy2,	если	logX|/у = 2 Iogxy.
30.	Сравнить числа:
1)	logi 5 +	log5 1 и -2;	2) log7 11	+	logH 7 и	2;
3)	2log35 и	5log32;	4) 4log»7	и	7log54.
31.	Упростить выражения:
log0fe + logn (Z>°’5log»a2) logoftfr logflfr
’ ^gab+^ahb ’ *2l°g* l0g0ft-l’
где а > 0, a 1, b > 0, b 1, ab / 1;
2)	(1g2 a - lg2 b] : ^/lg2aft — Iga2	• lg/>2;
3)	y]6  (log,, a • loga2 & + 1) + loga	+ log2	b - loga b	при a > 1.
Ответы
1.	0, 1,	2, 4, 6, -1, -3, -5, 1, -1,5,	-^, |.	2.	1) 3; 2)	5;	3) -2,5; 4)	-2,5;
5)	5; 6) |; 7) |; 8) -2,5; 9) 6; 10)	4. 3. 1)	4;	2) 16;	3)	49; 4) 4;	5)	729;
6) ±; 7) 1; 8) 9. 4. 1) 1; 2) 2; 3) 0,5; 4) 0,25; 5) 2; 6) -7. 5. 1) log, 7;
ZD Ol
2) log3 2; 3) log5^; 4) log72 + 3; 5)	6. 1) 36; 2) 1; 3) 12; 4) g;
5)	7. 1) 15; 2) 8; 3) 18. 8. 1) -6<x<6; 2) x<2, x>3; 3) x<0,5, x>3;
4) -|<x<|. 9. 1) log53; 2) log43; 3) X|=log! 4, x2 = log| 60; 4) log( 6.
62	5	5	5
80
Глава П. Числовые множества
10. I) %i = 16, х2=0,5; 2) xt=4, х2=^; 3) *1 = 3^3. ^2=^; 4) X| = l, *2=|-
11. 1)-||; 2) 2; 3) |. 12. 1) 3; 2) 8; 3) 1; 4) 1. 13. 1) 1. Указание. Внести
первый множитель как показатель степени в логарифм. 2) 2; 3) 4. Указание.
Вносить последовательно последний множитель в логарифм предпоследнего.
14. 1) log0>55, log253, log54; 2) log0 66, log36 4, log65. 15. 1) Минус; 2) минус;
3) плюс; 4) минус. 16. 1)	> 1; 2) 2,5^ < О,4-0’5- 17. 1) 196;
2) 25; 3) 1000; 4) 4.	19. 1) log53 >	2) log25 <	3) log65 > log8 5;
4) log7 29 > log6 13. 20. 1) logfl(a2 — 1); 2) loga если a>[ и 0<b<a или
0 < a < 1 и a <b; logfl |, если 1 < a < b или 0 < b < a < 1. 21. 1) 6; 2) 10.
22. 1) 0,699; 2) 1,465; 3) 1,585; 4) 1,292; 5) 3,231. 23. 1) 0; 2) 1; 3) 2;
4) 2. 24. 1) Ц2^5±^1; 2)	3)	Указание. Используйте
формулу ab-!og23-log35 = log25. 4)	25‘ ° “2; 2)	3; 3) 2; 4) 3'
26. 1) a2)	3) 1,5; 4) 3,5. 27. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) lg4. 29. 1)
2) |; 3) о, если x01; 1— у5, если x— 1 (y>O,y^l); 4) 1, если yj=\\ x, если
z/ = l (x>0,x^l). 30. 1) log, 5 + log5 I < - 2; 2) log7 11 4-logH 7 > 2; 3) числа
равны; 4) числа равны. 31. 1) (logab 1)	; 2) \gab, если a>b>0; -\gab,
если 0<a<b; 3) 3 —2loga6, если 0<6<a3; -3, если b^a\ a>0, a/1.
§5. СУММИРОВАНИЕ
1.	Арифметическая прогрессия
1)	Арифметическая прогрессия — числовая последовательность
{ап}, п е N, каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной
последовательности числом d, т. е.
«п+1 = an + d.
Число d называется разностью арифметической прогрессии, число
а\ — первым ее членом, а число ап — общим ее членом.
Иногда рассматривается не вся последовательность, являющаяся
арифметической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов.
В этом случае говорят о конечной арифметической прогрессии.
2)	Формула п-го члена арифметической прогрессии:
ап = а\ 4- d (п — 1).
3)	Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго,
равен среднему арифметическому его соседних членов, т. е. при k 2
справедливо равенство	д i 4- a* i
ak —	-	.
§5. Суммирование
81
4)	Пусть Sn — сумма первых п членов арифметической прогрес-
сии, т. е. Sn = (ц 4- а2 + ... + ап. Тогда Sn выражается формулой
о ___ а] Т ап _	4* d (п — 1)
— —2— ’ п---------2-----* П'
Пример 1. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма
первых ее семи членов равна 105. Найти первый и десятый члены
этой прогрессии.
А Так как d = 4, то по формуле Sy = 2ai +	• 7 получим
105 = ggl.±2-l. 7 = 7(а, + 12).
Отсюда щ + 12 = 15, а\ = 3. Тогда аю = а\ 4- 9d = 3 4- 9 • 4 = 39. А
Пример 2. Сумма первых п членов арифметической прогрессии,
разность которой отлична от нуля, равна половине суммы следующих
п членов. Найти отношение суммы первых Зп членов этой прогрессии
к сумме ее первых п членов.
А По условию задачи 2Sn = S^n — Sn. Получаем 3Sn = S2n или
2 2aj jd(n- 1) n _ 2aj yd(2n- 1) .
2	2
Отсюда следует	2ai=d(n + V).
Подставляя 2a\ в искомое отношение, получим
I" d (Зя 1)	_ d (п 4~ 1) 4- d (Зп — ^3 6	А
Sn 2a[+d(n--l) d(n 4- 1) 4- d(n — 1)
Пример 3. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при
делении на 7 дают в остатке 4.
А Так как 100 = 7 • 14 4- 2, то первым трехзначным числом,
дающим в остатке 4, будет 102. Следующим будет 109, затем 116
и т. д. Ясно, что эти числа образуют арифметическую прогрессию
с разностью d = 7.
Так как 1000 = 7 • 142 4- 6, то последним трехзначным числом,
удовлетворяющим условию задачи, будет 998.
Найдем количество членов. Имеем 998 = 102 4- 7(п — 1), отсюда
п = 129. Наконец, искомая сумма равна
102 + 109 + ... + 998 = 102 + 998 -129 = 70 950.	▲
Пример 4. Пусть Sn — сумма первых п членов арифметической
прогрессии. Доказать, что
*$П4-3 “ %$п+2 ~	4- $п-
А Так как = Sn 4- ап+{, Sn+2 = Sn 4- «п+1 + ап+ъ то
3Sn+2 ~	4- Sn = Sn 4- Зап+2- С другой стороны, Srt+3 =
=Sn4-art+i+an+2+an_|_3== 5л4-3ап4_2- Следовательно, левая и правая
части исходного соотношения равны.	А
82
Глава II. Числовые множества
2.	Геометрическая прогрессия
1)	Геометрическая прогрессия — числовая последовательность
{йл}, н е N, ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же
ненулевое число:
bn+\=bn>q.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, число
Ь\ — первым ее членом, а число Ьп — общим ее членом.
2)	Формула п-го члена геометрической прогрессии:
bn = b\ -qn~[.
3)	Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная
со второго, равен произведению его соседних членов, т. е. при k 2
справедливо равенство
bk = bk~\ 'ЬМ-
Если bk > 0 при всех k е N, т. е. Ь\ > 0 и q > 0, то
bk = Vbk 1 •
т. е. каждый член такой геометрической прогрессии равен среднему
геометрическому его соседних членов.
4)	Пусть Sn — сумма первых п членов геометрической прогрессии,
т. е. Sn = b\ + Z?2 + • • • + ьп Тогда Sn выражается формулой
Sn = b[-~ ^3 =	если <7^1, и Sn = nb\ при q — 1.
1 — q	1 — q
Пример 5. Сумма первых четырех членов геометрической про-
грессии равна 30, а сумма следующих четырех членов равна 480.
Найти первый член прогрессии.
А Пусть Ь\— первый член, a g — знаменатель данной прогрессии.
Тогда	4
S4 = fe|lzi4L=30.
1 -<7
Следующие четыре члена 6|#4, b\q\ b\q\ b\q7 образуют геометри-
ческую прогрессию с первым членом b\q^ и знаменателем q, тогда
61<?4. L1/ = 480.
I-я
Отсюда получаем
— <74 • ^4 = 480 или q* = 16,
* Я
т. е. q — 2 или q = —2. Если q — 2, то Ь\ = 2, а если q = —2, то
Ь[ — —6.	▲
§5. Суммирование
83
Пример 6. Найти сумму 3 + 33 + 333 -Ь ... + 33	33.
А Пусть л=3+33+333+... + 33...33=3(1 + 11 + 111+...H-lL^ni).
я цифр	«цифр
Заметим, что
IL^Jl = 1-99... 99 = 1 • (10"-1).
я цифр	я цифр
Тогда Л = 3-(1^ + 1^ +...+1^1) = 10 + 100 + -з-+10П-".
Учитывая, что 10+100+...+ 10" = 10-1^= |0П+^~|0 = И^П 0,
п цифр	п Цифр
получаем А = 11’ !— iff.	Д
Пример 7. Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии
равна Д, четвертый ее член равен В Найти сумму обратных величин
первых 7 членов прогрессии.
Д По условию 64 = b\q3 — В, Sy = ^2—= А.
Выразим через А и В сумму обратных величин:
l + ±+	I 1 - 1	_ 1 .<77-1 I
Ь\ ь2	b7 bx j i bx q-\ qb
7	я
= Ь\(д7 —	1 _ д 1	= А_
4~1	(^|43)2 В2
3.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по
абсолютной величине меньше 1, называется бесконечно убывающей
геометрической прогрессией. В этом случае (т. е. при условии |д|<1)
существует сумма всех членов прогрессии S = Ь\ + Ь2 -Ь 63 + ... .
Она определяется как число, к которому стремится сумма
Sn = Ь\ + Ь2 + .. + Ьп первых ее п членов при бесконечном
возрастании п. Формула суммы всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии имеет вид
w <1>-
Пример 8. В круг радиуса R вписан квадрат, в этот квадрат
вписан круг, затем в круг снова квадрат и т. д. Найти сумму площадей
всех кругов.
84
Глава II. Числовые множества
Д Как показывают несложные расчеты, радиус второго круга равен
4	2 ’
/ </о\ 2
Радиус третьего круга равен R (\ и т. д. Следовательно, площади
вложенных кругов равны
So-я/?2, Si = kR2(^) , S2 = 7J?2(^) , 53 = я/?2(^)
т. е. образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со
/ а/2 \2	1	о
знаменателем q =	= - <1 и первым членом b\ = tcR . Поэтому
сумма площадей кругов равна
bL __n^=z2KR2	А
“ 2
Пример 9. Сумма всех членов бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии равна 2, а сумма их квадратов равна 1. Найти
сумму кубов всех членов прогрессии.
Ь	Ь2
Д По условию у—= 2, -—
b\ = |, q = |. Теперь вычислим
о и
1-<7
= 1. Решив эту систему, получим
кубов:
(Г)3
\5j	_ 32
/,\3	49
сумму
Ь1 _
1-<73
&? + «! + bl + .
Пример 10. Решить неравенство х + х3 + х5 +... < -.
8
Д Для того чтобы существовала сумма, стоящая в левой части
неравенства, должно быть выполнено условие |#| < 1. В нашем
случае оно принимает вид х2 <1, т. е. —1 <х< 1. Теперь применим
формулу суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Получим —Так как 1 — х2>0, то можно умножить
обе части неравенства на 1 - х2. Получим 8х < 3 — Зх2. Решение
этого неравенства есть —3<х<~. Учитывая, что — 1 <х< 1, получим
О
. 1	▲
окончательный ответ: —1 <х< -.	А
3
Замечание. При х — 0, строго говоря, мы не можем считать последова-
тельность х, х3, х5,... геометрической прогрессией (в определении прогрессии
есть условие q^O). Однако сумму бесконечного числа слагаемых, все из которых
равны 0, естественно считать также равной 0. Поэтому х = 0 мы считаем одним
из решений данного неравенства.
§5. Суммирование
85
4.	Суммирование.
Формулы суммы (разности) п-х степеней
п Если ai, а2>...— заданные числа, то их сумма обозначается
Е ak, т. е.	п
k=i	Y^ak = al+a2 + --- + an,
k=l
где k называют индексом суммирования.
Сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс сумми-
рования, а операция суммирования обладает свойством линейности,
т. е. для любых чисел ос и /3 справедливо равенство
п	п	п
^(aak+^bk) = a£ak + /3'£Jbk-
k-^.1	k=\	k=l
Справедливо равенство mip	p
= ak+mt
k =m|l	k— 1
которое показывает, что если индекс суммирования увеличивается
на т единиц, то пределы суммирования (т +1 и т+р) уменьшаются
на т единиц.
В частности,	п+1 п
ak =	ak+\•
/г—1
п
Пример 11. Вычислить сумму	5Z (62/г|1 — а^).
п	k='
Д	s =	- ak) =
ft=l
=	— Я] + Оз — £*2 + а4 ~ а3 + • • • + ап+1 ~ ап — ап+1 ~ а1 •
49 I
Пример 12. Вычислить сумму S = Е---------------•
Н F	(2fe + l)(2fe + 3)
Л Так как (2t+l)U+3) = L2 (»тт - sh)' ™
49
s= 'у	=
2Z-/\2/s+l	2^ + 3/
k=\
= 1 ffl _	. fl _	. (J__1Л_1_(±__!_'П =
2 \A3	5/	\5	7/+'"+\97	99/	\99	101//
= lfl_l + l_l._________|_ J_Lu-J______!_Л =
2 \3 5'5 7 1	Г 97 99	99 101/
= 1 fl - —= 98 - 49 A
2 \3	101/	2-3 101	303’
86
Глава IL Числовые множества
Пример 13. Вычислить сумму S = 52
k=i
п
Д S = 52 = I2 4- 22 4- ... + п2. Рассмотрим тождество
(х + I)3 - х3 = Зх2 + Зх 4-1.
Полагая в этом тождестве х = 1, 2,..., и и складывая почленно
получаемые равенства, находим
((& + О3 - £3) = з£>2 + 3^k + n.
k -1	k=\	Ь=1
Так как 52 —	» то, используя результат примера 11, получаем
k-\	2
(п 4-1)3 — 1 = 3S + - п(п 4- 1) 4- п.
откуда
5=1 (2п3 4- Зп2 + п) =	+ 9 .	▲
6	6
Пример 14. Доказать, что для любого натурального п 2
справедливы равенства
ап — Ьп = (а — Ь)(ап "1 4- ап~2Ь 4-... 4- abn~2 4- Ьп~2) =
= (а — b)^^an-'kbfi~[,	(
a2n+l _ ь2п+\ __ (а _ £)(д2п	а/?2п“1 _|_ Ь2п) —
2пЦ-1	/п\
= (а - b) a2n+x~kbk~\
k- I
a2n+1 4- 62л+1 — (a 4- Ь)(а2п — a2n~[b + ... - ab2n~[ 4- b2n) =
2n4-l	/o\
= (а + Ь)^а^-к(-^~[Ь^.	()
Д Воспользуемся методом математической индукции. При п — 2
равенство (1) является верным: — ft2 = (а — b)(a + b).
Покажем, что если справедливо равенство (1), то является верным
и равенство, получаемое из (1) заменой п на п 4-1.
Воспользуемся тем, что
аП+\ _ ьп+\ = ап+1 _ аЬп + аЬп _ ьп+\ = a(an _ ьп^ + Ьп(а _ Ьу
§5. Суммирование
87
Отсюда, используя формулу (1), получаем
а"+' _ ьп+1 ='(а - Ь) ( £ an+l-kbk-1 + bn
\fe=l
п+1
= (а — Ь) an+i~kbk~l.
k=l
Так как равенство (4) можно получить из равенства (1) заменой п
на и + 1, то формула (1), согласно методу математической индукции,
верна при любом п > 2.
Заменив в формуле (1) п на 2п +1, получим равенство (2), а из
равенства (2) можно получить равенство (3), заменив b на —Ь. А
5.	Бином Ньютона
Вам знакомы формулы
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2 и (а + &)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 -Ь Ь3.
Эти формулы являются частным случаем общей формулы, которая
будет доказана в этом разделе.
Теорема. При любых а, b и при любом п е N справедлива формула
бинома Ньютона
(а + Ь)п = ф" + Схпап~хЬ + ... + Cknan~kbk + ... + Cn-xabn~x + СппЬп,
(5)
где
^ = 1,	=	kl = l-2.....k.	(6)
FV • 1 Г 4 /V у •
Правую часть формулы (5) называют разложением степени би-
нома, числа Сп — биномиальными коэффициентами, слагаемое
C^an~kbk — (й+1)-л£ членом разложения бинома.
В сокращенной форме формулу (5) можно записать в виде
(a + b)n = ^Cknan-kbk.
k=0
О Воспользуемся методом математической индукции. При п = 1
формула (5) верна, так как ее правая часть равна левой:
(а + fe)1 =	-|- С} Ь[ = а-\-Ь.
Предполагая справедливым равенство (5), докажем, что верна
формула
п+1
(а + Ь)п+Х = Ckn+{an+x-kbk.	(7)
k=0
88
Глава II. Числовые множества
Умножая обе части равенства (5) на (a-f-fe), получаем
(a+b)n+'=An+Bn,
An = an+' +^Cknan+l-kbk,
k=\
Bn = ^Ckan~kbk+' = f2Cn~'an+'~kbk+bn+'
k=0	k=A
Следовательно,
(a + 6)n+l = an+l + (Cn + Ф') an+l~kbk + bn+l .	(8)
k-A
Сравнивая правые части равенств (7) и (8), заключаем, что для
доказательства формулы (7) достаточно доказать, что
ckn + ckn'^ckn+l.	(9)
Используя соотношения (6), находим
 Qk__	nA	 nA ______ (п + I)!	_z->Z?
п п~ (k - \)l(n - k A-k\(n - k)l “ kl(n + 1 -k)l ~
Равенство (9) доказано, и поэтому справедливо равенство (7). Итак,
формула (5) верна при любом п е N.	•
Формулу (5) можно записать в виде
п
k=0
Из соотношений (6) следует также, что C^ = C^~k.
Общий член разложения. Обычно для общего члена разложения
степени бинома вводится обозначение 7^+j, т. е. T^\ = C^an~kbk.
При этом нижний индекс k + 1 обозначает порядковый номер
члена разложения, считая слева направо. Целесообразность такого
порядкового номера определена тем, что при изменении k от 0 до
п получаются все члены разложения. Так,
1-й член Т[ получается при k = 0, т. е. Т\ = 7q+i =C^an~Qb° = an;
2-й член ?2 получается при k — l, т. е. Т% = 7]+i = C\an~^b^\
m-й член Тт равен Tm = T(m_^ = C^~]an~^m~^bm~[;
(и + 1)-й член Тл+1=С^п-л6'7 = 6п.
§5. Суммирование
89
Пример 15. Найти 8-й член разложения степени бинома
/ \ 16
(</2 + 4=) .
\	V2/
д Ts-77+1=C’,.(№),M(^y=J^.(^)’(^y=4576O. А
Пример 16. Найти не зависящий от х член разложения степени
/	1 \ I2
бинома (v^+”)
А Используя формулу общего члена разложения, получим
Tk+I = ckx2 (^)12 k Q)* = CkX2x^x~k =
Для того чтобы член не зависел от х, требуется, чтобы показатель
степени у х равнялся нулю, т. е. 12 ~ — k = 0. Последнее равенство
возможно только при k = 3. Следовательно, член разложения Тд не
зависит от х и Т4 = С|2.	▲
Пример 17. Вычислить сумму ^2 ^п-
k=0
A	5Z = 52 ‘ in~k • 1* = (1 4-1)" = 2п .
k=o k=0
Полученная формула представляет собой одно из свойств биноми-
альных коэффициентов.	▲
И Qk
Пример 18. Вычислить сумму 1~\-
k=o k +1
А Используя равенство
1 pk _ n(n— I)  .. (n —fe+1) _ (n + l)n(n— l)...(n — fe+1) _ I pfe+l
fe+T n~ (fe+l)fc! “	(n+l)(£+D!	“n+1 "+1’
получаем n	n+1
E^ = ^Ec- = =b<2"+'-'>-
k=Q	k=\
Задачи
1.	Найти сумму:
1)	1 + 2 + ... + л;	2) 2 + 4 + ...+ (2n 4- 2)j
3)	1 + 34-5 + ...+(2n + l);	4) 3 + 8+ 13 4-... + (5n + 3).
2.	Найти сумму:
1)	1002 - 992 + 982 - ... + 22 - I2;
2)	22 - 42 + 62 - 82 + ... + (4« - 2)2 - (4n)2.
90
Глава II. Числовые множества
3.	Найти разность арифметической прогрессии, если сумма первых 100 ее
членов на 50 больше, чем сумма следующих за ними 100 членов
4.	1) Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, кратных 7,
начиная с 7, чтобы их сумма была равна 252?
2)	Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении
на 5 дают в остатке 2.
3)	Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, каждое из которых
кратно 7 и не превосходит 353.
5.	Решить уравнение:
1)	2 -|- 5 + 8 + ... + (Зп + 2) = 155, п € N;
2)	(х-Ь 1) 4-(хЧ-5)-| (х-|-9) + ... + (%4 37) = 152.
6.	1) Арифметическая прогрессия состоит из 105 членов. Сумма членов
с нечетными номерами на 1 больше суммы остальных членов. Найти
53-й член прогрессии.
2)	Сумма членов арифметической прогрессии с 8-го по 26-й на 99 больше
суммы членов с 38-го по 59-й. Найти 248-й член прогрессии.
7.	Числа а\,	образуют арифметическую прогрессию. Известно, что
сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы
членов с четными номерами. Найти бГ|2> если «20 = ^9.
8.	В арифметической прогрессии 15 членов. Сумма первого и последнего членов
равна 1. Найти сумму всех членов прогрессии с четными номерами.
9.	Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если при всех
натуральных п выполняется равенство ,= 2Sn 4- 7п2 Ч- 4п.
10.	Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой
сумма первых семи членов отличается от суммы следующих семи членов
менее чем на 400, а сумма первых шести членов превышает более чем на
3 сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.
11.	Доказать, что если {ал} — арифметическая прогрессия, Sn — сумма первых
п ее членов, то справедливы равенства:
1)	S3n — 3 (S2n — Sn);	2)	=
Ът+п т + п 12 13 14 15 * *
3) — + —— +... + —!— = ?—1-
G|fl2	ап~ 1ап	п\ап
12. Найти число п членов геометрической прогрессии {^п}, если первый ее
член равен 3, п-й член равен 96 и сумма п членов равна 189
13. Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна 24, а сумма
следующих восьми членов равна 36. Найти сумму членов с семнадцатого
по двадцать четвертый.
14. Найти сумму квадратов первых п членов геометрической прогрессии, если
число Ь\— первый ее член, а число q ((?2^1)—ее знаменатель.
15. В геометрической прогрессии + ^19 = 13. Найти отношение суммы первых
©б 4-^7
ее двадцати четырех членов к сумме первых ее двенадцати членов.
§5. Суммирование
91
16.	1) Знаменатель геометрической прогрессии равен л/3. При каком натураль-
ном п сумма первых 2п членов этой прогрессии будет в 82 раза больше
суммы первых п ее членов?
2)	Первый член геометрической прогрессии равен 2, а ее знаменатель
равен 3. Найти наименьшее натуральное п, при котором сумма первых
п членов прогрессии больше 1000.
17.	Решить уравнение 1 |-х |х2 4- ... l-x109 = 0.
18.	В геометрической прогрессии первый член равен 0,5. Сумма первых шести
членов в 8 раз превосходит сумму обратных величин этих же членов.
Найти знаменатель прогрессии.
19.	Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех ее членов
в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Определить
знаменатель прогрессии.
20.	Для геометрической прогрессии {Ьп} известно, что:
5	320
1)	b\b2 — —, a bjb^ — —. Вычислить сумму b\b2 4- 62/?з + - • • + ^7^8-
2	16
2)	b\b<2=^ — 1, а	— 4 - 2 9 . Вычислить сумму Ь^-уЬ^-У... A-bgb\Q.
21.	Пусть п положительных чисел Ь\, Ь%,..Ьп составляют геометрическую про-
грессию. Выразить произведение Н = b[ -b2-... Ьп через S = Ь{ 4-Ь2 4- •• • 4-Ьп
и Т — — 4- — -I-.. .4- —
22.	Доказать тождество
(1 4-х4-х2 4-. -. Ч-х'1)2 — хп = (1 4-х 4-х2 4-... Ч-х/г“1)(1 Ч-хЧ-х2Ч-. • • 4-xn+1).
23.	Найти сумму:
1)	2 4-22 4-222 4-... 4-22^22;	2) 7 4-77 4-777 4-... 4-7777;
п цифр	п цифр
3)	/44^4- ГНД -66^.
у 2п цифр л-Н цифра п цифр
24.	Доказать, что если {Ьп} — геометрическая прогрессия, Sn — сумма первых
п ее членов, то справедливы равенства:
1)	Ч- ^4 + • • • + b2n =	- S2n; 2) — 4- — 4-... 4- — = —- ;
14-	<7	b} b2	bn b[bn
3)	S„(S3n-S2n) = (S2n-S„)2.
25.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой
второй член равен |, а знаменатель |.
26.	Найти сумму:
2)	(2 - ч/З) 4- (7 - 4ч/3) 4- (26 - 15ч/3) 4- . - - .
27.	Известно, что {^{ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
и Ь\ 4- Ь2 4- Z?3 4- .. - = A, b% + bl + Ь^ + ...= В. Выразить через А и В
следующие суммы:
1) Ь\ 4-	4- 65 4-...;	2) Ь\ 4- -у 4-	4-	4-.. •;
z 2	2°
92
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Глава II. Числовые множества
3) Ь\ — 4- ~ J	4) b\b2 4- Мз 4~ ^3^4 4- • • •;
5) Ь\Ь2 4- Ь3ЬА 4- b§b§ 4- ...
Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии {Ьп} равен
16, а сумма всех членов равна 25. Вычислить сумму л/^г4 у/Ьъ4- y/b%4-.. - -
В круг радиуса R вписан квадрат, в него — круг, затем в новый круг — снова
квадрат и т. д. Найти сумму площадей и сумму периметров квадратов.
Решить уравнения:
1) - 4- х 4- х2 4- х3 4- .. . — 3,5;	2) х2 х3 4- х4 — х5 4-... = |;
х	°
3) 2х 4- 4х2 4- 8х3 4-... =
Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
у которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих
членов.
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4,
а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель
прогрессии.
Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
если сумма всех ее членов, стоящих на четных местах, в три раза меньше
суммы всех ее членов, стоящих на нечетных местах, и сумма первых пяти
членов этой прогрессии равна 484.
Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 3,
а сумма всех членов равна 10. Найти сумму квадратов членов прогрессии.
Сумма первых 10 членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 2, а сумма следующих 10 членов равна 1. Найти сумму всех членов
прогрессии.
Даны две бесконечно убывающие геометрические прогрессии, у которых
первые члены одинаковы, а знаменатели отличаются лишь знаком. Известно,
что суммы членов прогрессии равны S| и S2. Найти сумму квадратов членов
любой из прогрессий.
Запишите в виде суммы следующие выражения:
20	1
3) Е ——;
/^(*4-1)
2) £(fe-fe3);
k-.2
А (-!)*+'
b k2 
5)
n I
4) £1
fc=l k
Запишите следующие суммы с помощью знака Е :
111 1
—।--1--|-... 4-;
147	298
1
20-21-22 ’
I)
3)
1-2-3 2-3-4
1 _ 1 1 1
2-4 + 3 + 9 ' 4	16
Вычислить сумму:
1) Е(2А-1);
k=]
5)
2) 2+54-10 + 174-... 4-362;
(—1)"4-1
п2
, 1 1 1
4) *“22+?“42
(_!)«+!
п о
2) Е (3£2-36 4-1);
п
3) Е------------,
k^ik(k+i)’
'	2
п п
§5. Суммирование
93
" 1
4) Е--------------;
*=1 (3fc-l)(3fc+2)’
7) f(2*-l)2;
k={
10) £^4-1)(^ + 2).
/?=1
n	1
5) E-----!;
Й^Ч-1)(^Ч-2)’
n
8) EW);
k~:\
П	]
6)	E-----------!---------
*=! (4n-l)(4n + 3)(4n+7)
П Q
9) E*3;
k=\
40.	Вычислить биномиальные коэффициенты:
1)	С2; 2) с?4; 3) cf2; 4) С>°0; 5) С*>.
41.	Доказать свойства биномиальных коэффициентов:
1)	С° = Спп;	2) С* = Cnn~k-
3)	Ckn = Ck~X • -.(;-.;	4) С° С„ 4-С2+	= 0.
К
42.	Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что:
1)	степень бинома равна 9;
2)	биномиальный коэффициент третьего члена равен 45.
43.	Решить уравнения:
1)%1Ч; 2)Ж~ = 1; 3) ^ + ^ = 4-^+1.
Сп °	С2п+1	6
44.	Решить неравенства:
1)	q3<q3+2; 2) С«;2-С”+|Ч100; 3) 2.сЬн-^_2.
45.	Написать формулу разложения степени бинома:
1)	(14-х)5;	2) (a-ft)6;	3) (х + у)1-	4)(a-b)6.
46. Найти член разложения степени бинома:
/	_4\ 10	/	_9\ 12
1)	(хЧ-х J , не содержащий х; 2) (хЧ-х , не содержащий х;
/ х а \	..о
3)	I - + -о ) , содержащий х .
\а х2 /
47.	Найти члены разложения, не содержащие иррациональности в разложении
степени бинома (^3 4-^3^
48.	Сколько рациональных членов содержится в разложении степени бинома
(Уг+^з)100?
49.	Вычислить сумму:
1) f (fe+1)^; 2) £(^-1)6*;	3) ft?2*;
k=i	k=\	Ь=1
п , ,	т
4)	ЕС*;1;	5) £ (-1)*С*. т < п.
k=\	k=\
50.	Доказать равенства:
1) £feC* = n2n-';	2) S (-1)*+1^С*=0.
£=1	k=\
94
Глава II. Числовые множества
Ответы
1.	I) + О; 2) (и + 1)(л + 2); 3) (и + I)2; 4) 5”2+^|п + 6. 2. 1) 5050;
2) —8л2 - 4л. 3. -0,005. 4. 1) 8; 2) 981; 3) 8190. 5. 1) 9; 2) -3,8.
6. 1) 1; 2) -33. 7.17. 8.3,5. 9. а|=5;</=2.	10. 44. 12.6. 13.54.
14.	15. 14.	16. 1) 8; 2) 7. 17. -1.	18. 2.	19. 2.	20. 1) 5;
2)3. 21. Н=^у.	23. 1)	(10"+1 10 - 9л) ; 2)	(10"+1 - 10 9л);
3) 66^7. 25. 7,5. 26. 1) 12; 2)	27. 1)	2) д4^в; 3)
п - 1 цифра
4) в- 5)	28‘ 10 29- 4/?2’ 8/?(^+ *)• 30-') L 3;
2) -1, 1; 3)	31. 0,2.	32. f>i = 12, q = -2 или b\ = 6,q = -0,5.
33. 486.	34.255.	35.4.	36. SfS2. 37. 1)	| + -.- + ^-Ц;
1 (	1 I о	Zfl — I
2) 2 - 8 + 3 - 27 + ... + л - л3; 3)	+	>	+ ... +	' ;
ДХ 1 ,	1	1,1	, (-1)". П I 1,1	1	, (~1)Я+1
4) ~Т + 2 “ 3 + 4 “ •••	~7Г’ Ь)Т-4 + 9_1б~--- +	•
100	«	19	20	।	п ( ।1
38-%5^ 21Ё'*41’--	»
31 .'G'139-'’г 3)^; “’НЬга)-
5* 2 G (м ,)(« + ?)) Указание- fe(t + ,)(t + 2)	2 (ft ft+l+2 + 2)'
ex I / I	1	\ . 7\ л(2л - 1)(2л + 1). ox л(л + l)(n + 2). q. n2(n+I)2.
’ 8 \2I	(4n + 3)(4л + 7)/ ’ ’	3	’ ’	3	’ '	4
10) л(л+1)(л + 2)(л + 3)	40 () 10. 2) 364; 3) 792. 4) 34i088. 5) 2118760.
42. I) 29 = 512; 2) 210 = 1024.	43. 1) л = 7; 2) л = 4; 3) л = 13.
44. 1) л G (0; 1;2;3;4;5}; 2) л е {2;3;4;5;6;7;8;9}; 3) л > 12, л G N.
45. 1) (1 + х)5 = 1 +	5х + 10х2	+ 10х3 + 5х4	+ х5;	2)	(а	-	Ь)ъ =
= а6 - 6а5/» + 15а4/»2	- 20а3/»3 + 15а2/»4 - 6а/»5	+ /»6;	3)	(х	+	у)7 =
= х7 + 7х6у + 21х5»/2 + 35x4t/3 + З5х3{/4 + 21x2t/5 + 7ху6 + у7-, 4) (а — />)8 =
= а8 - 8а7/» + 28а6/»2 - 56а5/,3 + 70а4/»4 - 56а2/,5 + 28а2/,6 - 8а/»7 + /»8.
46. 1) Т3 = Cf0 = 45; 2)	Т5 = rf2; 3)	Т4 = Cf, = 165а^5х2.	47.	• З2  23.
48. Г4п+1, 0 л 25.	49. 1) (л	+ 2)2"“'; 2) (л	- 2)2"“’ + 1;	3)	22"-1;
4) 22"-1; 5) (-irC^Lp
§6. Числовые неравенства
95
§6. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.	Определения
Все действительные числа разбиваются на положительные числа,
отрицательные числа и число нуль. Для того чтобы указать, что
число а положительно, пользуются записью a > 0.
Напомним, что сумма и произведение положительных чисел
также являются положительными числами. Далее, если число a
отрицательно, то число —а — положительно (и наоборот).
По определению неравенство а > b (или, что то же самое,
Ь<а) имеет место в том и только в том случае, если а — Ь>0,
т. е. если число а — b положительно.
Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0. Что означает
это неравенство? Согласно приведенному выше определению, оно
означает, что 0 — а > 0, т. е. — а > 0, или, иначе, что число —а
положительно. Но это имеет место в том и только в том случае,
если число а отрицательно. Итак, неравенство а < 0 означает, что
число а отрицательно.
Часто используется также запись а b (или, что то же самое,
b<Z а). Запись а^Ь, по определению, означает, что либо а >Ь, либо
а = Ь.
Если рассматривать запись а b как высказывание, то в обо-
значениях гл. I можно записать
(а Ь) о [(а > b) V {а = Ь)].
Неравенства вида а> Ь, а<Ь будем называть строгими, а нера-
венства вида а b, а b — нестрогими. Неравенства а > b и с > d (или
а < b и с < d) будем называть неравенствами одинакового смысла,
а неравенства а < b и с > d— неравенствами противоположного
смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового
и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи
неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами.
Так, по отношению к неравенству а < b неравенство c<d является
неравенством того же смысла, а в записи d> с (означающей то же
самое) — неравенством противоположного смысла.
Наряду с неравенствами вида а > b, а b употребляются так
называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < Ь,
а ^с < Ь, а < с Ь, а^с Ь. По определению запись
а < с < b
означает, что имеют место оба неравенства:
а < с и с < Ь.
Аналогичный смысл имеют неравенства а^с^Ь, а^с<Ь, а<с^Ь.
96
Глава II. Числовые множества
Двойное неравенство a < с < b в обозначениях гл. I можно
в эквивалентной форме записать так:
(а < с < Ь) (а < с) Л (с < Z?),
а двойное неравенство а с b можно записать в следующем виде:
(а с Ь) [(а < с) V (а = с)] Л [(с < b) V (с = 6)].
Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий
над неравенствами.
2.	Основные свойства неравенств
Всюду в п. 2 буквы а, Ь, с обозначают действительные числа,
а п означает натуральное число.
1° Если а>Ь и Ь> с, то а>с (транзитивность).
О Так как по условию а > b и b > с, то числа а — b и b — с
положительны и, следовательно, число а — с = (а — Ь) + (Ь — с), как
сумма положительных чисел, также является положительным Это
означает, по определению, что а > с.	•
2°. Если а > Ь, то при любом с имеет место неравенство
а + с> Ь +с.
О Так как а > Ь, то число а — Ь положительно. Следовательно,
число (а 4- с) — (Ь 4- с) = а — b также является положительным, т. е.
а + с> b + с.	•
3° Если а-\-Ь > с, то а> с — Ь, т. е. любое слагаемое можно
перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак
этого слагаемого на противоположный.
Доказательство вытекает из свойства 2° (достаточно к обеим
частям неравенства а-\-Ь>с прибавить число — Ь)
4° Если а> b и с> d, то а + с> b + d, т. е. при сложении двух
неравенств одного и того же смысла получается неравенство
того же смысла.
О В силу определения неравенства достаточно показать, что раз-
ность (а 4-с) — (b-\-d) положительна. Эту разность можно записать
следующим образом:
(а 4- с) — (Ь 4- d) = (а — Ь) 4- (с — d).
Так как по условию числа а — b и с — d положительны, то
(а4-с) — (b + d) также есть число положительное	•
Следствие. Из свойств 2° и 4° вытекает следующее правило
вычитания неравенств: если а > b, с > d, то а — d > b — с (для
доказательства достаточно к обеим частям неравенства a + ob + d
прибавить число — с — d).
§6. Числовые неравенства
97
5°. Если a> b, то при с> 0 имеем ас > Ьс, а при с < О имеем
ас<Ьс. Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства на
положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается
неравенство того же смысла), а при умножении на отрицательное
число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. полу-
чается неравенство противоположного смысла).
О Если а > Ь, то а — Ь есть число положительное. Следовательно,
знак разности ас — Ьс — (а — Ь)с совпадает со знаком числа с: если с —
положительное число, то и разность ас — bc положительна и потому
aobc, а если с<0, то эта разность отрицательна и потому Ьс — ас
положительно, т. е. Ьс > ас.	•
6° Если а>Ь>0 и c>d>0, moaobd, т.е. если все члены двух
неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном
умножении этих неравенств получается неравенство того же
смысла.
О Имеем ас — bd — ас — be 4- be - bd = с(а — Ь) 4- b(c — d). Так как
с > О, Ь > 0, а — Ь > 0, с — d > 0, то ас — bd > 0, т. е. ас > bd. •
Замечание. Из доказательства видно, что условие d>Q в формулировке
свойства 6° несущественно: для справедливости этого свойства достаточно,
чтобы были выполнены условия а> b>0, с> d, с>0. Если же (при выполнении
неравенств a >b, c>d) числа а, Ь, с не будут все положительными, то неравенство
ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b = 1, с = —2, d = — 3
имеем а > Ь, с> d, но неравенство ас > bd (т. е. —4 > —3) не выполнено. Таким
образом, требование положительности чисел а, Ь, с в формулировке свойства 6°
существенно.
Выше мы доказали несколько свойств неравенств, записанных
с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было
бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство
Ь<а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а>Ь.
Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства
сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1°
для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если а b
и Ь с, то а с.
7° Если а Ь> 0 и о d> О, то - > - (деление неравенств),
d с
О Имеем
а _ b _________________________ ас — bd
de cd
Числитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства
5° и 6°), знаменатель также положителен. Следовательно, - — ->0.
d с
Этим свойство 7° доказано.	•
Замечание. Отметим важный частный случай правила 7°, получающийся
при а = Ь—\: если члены неравенств положительны, то при переходе к обратным
4—2549
98
Глава II. Числовые множества
величинам получаем неравенство противоположного смысла Легко проверить,
что это правило сохраняется и в том случае, когда c<d, d<0. Таким образом,
если с > d и cd > 0, то - < 1 Если же oi но cd < 0 (т. е. с > 0, d < 0),
с a
то 1 > 1.
с a
8? Если a > Ь^ 0, то ап > Ьп при любом п € К п 2.
О Воспользуемся формулой
ап - Ьп = (а - Ь)(ап~ 1 4- ап<2Ь 4-h bn~[) — (a-	kbk~\
k-=\
доказанной в примере 14 §5 настоящей главы. Так как а — b > 0
п
и а > 0, а в сумме	первое слагаемое положительно,
/?-_1
и остальные неотрицательны, то ап — Ьп > 0, т. е. ап > Ьп. <1
9° Если а > Ь, то а2п+[ > Ь2п+[ при любом п е N.
О Воспользуемся доказанной в §5 (пример 14) формулой
а2п+1 _ £2л-Ь1 _ (а _	fa ,	ab2n~~l 4- Ь2п) =
— (a — b) a2n+l~kbk-1.
Если а > 0, b > 0 и а > Ь, то а2"+* > 62"+1 по доказанному выше
свойству 8°.
Если а < 0, b < 0 и а > Ь, то — b > —а, где —а >0, -Ь > 0.
Отсюда следует, что (—ft)2n+1 > (—a)2n+l, —b2n+I > —a2n+1,
^2n4-l < a2n4-^ т. e a2n+1 > fe2n+1.
Пусть, наконец, b < 0, a > 0, тогда a > b и a2n+1 > fe2n+1, так как
a2n+i >о^ ^2n+l pjTaKj если а и b — произвольные действительные
числа такие, что а > Ь, то a2n+1 > fe2n4-1 ПрИ любом е N. •
10° Если а > b > 0, то yfa > \/Ъ при любом п Е N, п 2.
О Докажем это свойство методом от противного. Предположим, что
y/b у/a, тогда по свойству 8° (\/й>0, tfa>0) получаем Ь^а,
что противоречит условию (а > Ь).	•
Замечание. Свойство 10° остается в силе и в случае, когда а > b 0.
11° Если а, Ь — произвольные действительные числа такие, что
а> Ь, то 2п+\/а > 2n*\/b при любом п е N.
Это свойство, как и свойство 10°, можно доказать методом от
противного, используя свойство 9°.
12? Неравенство a2n>b2rl, где neN, имеет место в том и только
в том случае, когда |а| > |6|.
О Так как t2n = |/|2п, то неравенство а2п > Ь2п можно записать
в виде |а|2п > |fe|2n, откуда, применяя свойство 10°, получаем |а|>|&|.
§ 6. Числовые неравенства
99
Обратно, если |а| > \Ь\, то по свойству 8° |a|2n > |fe|2rt, откуда а2п >Ь2п.
В частности, неравенство а2 > £>2 справедливо тогда и только тогда,
когда |а| > |6|.	•
Объединяя свойства 8° и 10°, получаем следующее утверждение:
если а, Ь — положительные числа и а>Ь, то у/а > у/b при любом
и Е N и, обратно, из неравенства у/а > \/b следует, что а> Ь.
В этом случае говорят, что неравенства а > b и у/а > \/b, где
а > 0, b > 0, равносильны, и пишут
{а > Ь} о {у/а > у/b} при а > 0, b > 0.
Аналогично, из свойств 9° и 11° следует, что для любых действи-
тельных чисел а и b и при любом п е N
{ 2л+^ > 2"W & {а > Ь} о {a2n+l > b2n+t}.
3.	Некоторые важные неравенства
1)	Для произвольных действительных чисел а и b справедливо
неравенство
a2 + b2 ^2ab,	(1)
причем знак равенства в формуле (1) имеет место тогда и только
тогда, когда а = Ь.
О В силу определения неравенства достаточно показать, что раз-
ность между левой и правой частями неравенства (1) есть неотри-
цательное число. Эта разность равна
а2 - 2аЬ + Ь2 = (а- Ь)2.
Так как квадрат любого действительного числа есть число неотрица-
тельное, то (а — Ь)2^0, и неравенство (1) доказано. Из доказательства
видно, что равенство в соотношении (1) имеет место в том и только
в том случае, если а — Ь.	•
Замечание. Справедливо и более сильное неравенство
a2 + b2 2|аЬ|,	(2)
вытекающее из неравенства (|а| — |6|)2 > 0.
2)	Если а и Ь — действительные числа одного знака (т. е.
ab > 0), то
-h + Ь- > 2,	(3)
Ь а
причем знак равенства в формуле (3) имеет место тогда и только
тогда, когда а = Ь.
О Для доказательства неравенства (3) достаточно умножить обе
части неравенства (1) на положительное число	•
100
Глава II. Числовые множества
3)	Если а^О, 0, то
(4)
т. е. среднее арифметическое двух, неотрицательных чисел не
меньше их среднего геометрического. Знак равенства в неравен-
стве (4) имеет место в том и только том случае, когда а = Ь.
О Неравенство (4) следует из очевидного
неравенства (у/а — у/Ь)2	0. Приведем
геометрическое доказательство неравен-
ства (4). Для этого воспользуемся тем, что
перпендикуляр CD (см. рис. 9), опущенный
из вершины прямого угла С треугольника
АВС на гипотенузу АВ, есть среднее
геометрическое проекций его катетов на
гипотенузу.
Пусть О — центр окружности, построенной на АВ как на диаметре,
AD = a, DB = b\ тогда CD=\/ab, ОС=^-~. Так как OC^CD, то
д -I- b \	/ 1
—> у/ab, причем равенство в этом соотношении имеет место
только при а = Ь.	Ф
4)	Неравенство
|а| <b, b > 0,	(5)
равносильно двойному неравенству
—b<a<b.
(6)
Аналогично,
{|а| b,b > 0} о {-Ь < а < Ь}.
(7)
О Дадим геометрическое доказательство этого утверждения, пользу-
ясь тем, что |а| — расстояние от точки О начала отсчета на числовой
прямой до точки А, изображающей число а (см. рис. 10).
—Ь а _____________Ъ
А О
Рис. 10
Неравенство (5) означает, что расстояние от точки А до точки О
меньше Ь, и поэтому число а принадлежит интервалу (—6,6), т.е.
справедливо неравенство (6). Обратно, из неравенства (6) следует
неравенство (5) Тем же способом доказывается утверждение (7) Ф
§ 6. Числовые неравенства
101
5)	Для любых действительных чисел а и b справедливы
неравенства
||О|-|6||<|а + 6|^|а| + |6|.	(8)
О Чтобы доказать правое неравенство (8), запишем очевидные
неравенства
— |п| а С |а|, —16| < b \Ь\.
Складывая их, получаем неравенство
— (|cz| + \b\) a + b |tz| + |6|,
которое в силу утверждения (7) равносильно неравенству
|а 4-6| |а| 4-16|.	(9)
Докажем левое неравенство (8). Используя неравенство (9),
получаем
|а| = |(а - Ь) 4- Ь\ |а - Ь\ + |6|,
откуда
|а — Ь\ |а| — |6|, или |а| — \Ь\ \а — Ь\.	(10)
Аналогично
\Ь\ = |(6 - а) + а| < \Ь - а| 4- |а| = |а - Ь\ 4- |а|,
откуда находим
|а — 6|	|6| - |а|, |а| — \Ь\	—|а — Ь\.	(И)
Из неравенств (10) и (11) имеем
— |а — Ь\	|а| — |6| С \а — 6|,
а это неравенство в силу утверждения (7) равносильно следующему:
||а|-|*1Ыа-&|.
Заменив здесь b на —Ь и учитывая, что |—Ь\ = |6|, получаем
||а|-|6||^|а + Я
т. е. левое неравенство (8) доказано.	•
Замечание. Применяя метод математической индукции, можно доказать,
что для любых действительных чисел aj, а%, ..., ап справедливо неравенство
|я] 4- 0-2 4- • • • 4- ап\ С |^11 4-1^21 4- • • • 4- |^п|-
4. Примеры
Рассмотрим несколько типичных примеров на доказательство
неравенств. Заметим, что общего метода доказательства неравенств
не существует. Иногда нужный результат можно получить, исходя из
определения, т. е. из рассмотрения разности между левой и правой
частями неравенства; иногда полезным оказывается использование
некоторого известного неравенства или оценка левой и правой частей
неравенства.
102
Глава II. Числовые множества
Пример 1. Доказать, что для любых действительных чисел a
и b имеет место неравенство а4 4- 64 > a3b 4- ab3
/\ Разность между левой и правой частями неравенства можно
записать так:
а4 4- &4 ~ (a3b 4- ab3) = a3(a - b) - b3(a -b) =
= (a - b)(a3 - b3) = (a - b)2(a2 + ab + b2).
Эта разность неотрицательна, так как
(a-Z?)2^O, a2 + ab + b2 = (a 4-	4- ^b2 0.	▲
\ Z /	4
Пример 2. Доказать, что при любом целом п > 1 выполняется
неравенство	]	]	1	2
и 4-1	« 4 2	"1" Зп 4-1 <
Л В рассматриваемом примере достаточно грубо оценить левую часть
неравенства. Заметим, что сумма двух последних слагаемых левой
части неравенства не превосходит -, так как
±4--Ь-<^4--Ь = 1
Зп Зп +1 2п 2п п
Каждое из оставшихся слагаемых левой части неравенства меньше
а количество этих слагаемых равно 2п — 1. Следовательно,
—1—Ч-—J—+ - - 4-—1—< (2« — 1)1 + 1 = 2.	▲
л + 1	л 4- 2	Зл + 1	п п
Пример 3. Доказать, что для любых действительных чисел а,
6, с имеет место неравенство
а2 4- Ь2 4- с2 ab 4- Ьс 4- ас,
/\ Используя неравенство (1) из предыдущего раздела, запишем
следующие неравенства: о о
а2 4- b2 2аЬ,
Ь2 + с2 2Ьс,
с2 4- а2, 2ас,
Сложив эти неравенства, а затем разделив обе части полученного
неравенства на 2, приходим к нужному неравенству.	А
Пример 4. Доказать, что если а, Ь, с — положительные числа,
Ьс , ас . ab	.
---h — 4---a + b + c.
а Ь с
Используя неравенство для среднего арифметического и среднего
геометрического двух положительных чисел (см. (4), разд. 3),
запишем неравенство:
1	(Ьс . ас \	/ Ьс ас _
2	\ a b / V а Ь
§6. Числовые неравенства
103
Аналогично
а,
Складывая эти
Пример 5.
неравенства, получаем
b£ + E£ + ^^a + b + c.	▲
a b с
Доказать, что если а О, b 0, с 0, то
(а 4- b)(b 4- с)(а 4- с) 8abc.
Л Снова используя неравенство для среднего арифметического
и среднего геометрического двух чисел, получаем
то
Перемножив эти неравенства, докажем требуемое неравенство. ▲
Пример 6. Доказать, что если а, Ь, с — неотрицательные числа,
а3 4- 63 4- с3 ЗаЬс.
Л Используя тождество
а3 4- 63 4- с3 — ЗаЬс = (а 4- b 4- с)(а2 4- Ь2 4-	— ab — Ьс — ас)
и неравенство примера 3, получаем нужное неравенство. А
Замечание. Полагая а3 — х, Ь3 = у, с? — х, получаем неравенство для
среднего арифметического и среднего геометрического трех неотрицательных
чисел
^Ц^^^сух.
Пример 7. Доказать, что для любых действительных чисел
bk =	2, ..., п) справедливо неравенство Коши—Буняковского
А Если а\ = а% — • • • = ап = 0, то в (12) имеет место равенство.
Пусть хотя бы одно из чисел а\,	ап отлично от нуля,
тогда 4- £*2 4^ ‘ * 4- а2 > 0. Рассмотрим квадратный трехчлен
относительно х:	п
ах2 4- 2Ьх 4- с —	4- Ь^)2,
k=\
104
Глава II. Числовые множества
где	п	п	п
a = ^ak> b = ^akbk, c = ^b2k.
k=\	k=]	k=\
Так как (a^x 4-	0, x € R (k = 1, 2, ..., n), то дискриминант
квадратного трехчлена ax2 4- 2bx 4- с неположителен: 4fo2 < 4ac
Пример 8. Доказать, что если х —1, то при любом п е N
справедливо неравенство Бернулли
(l + xf > 1 + пх.	(13)
Л Для доказательства воспользуемся методом математической ин-
дукции При п = \ утверждение (13) верно (14-х = 14-х). Докажем,
что если верно неравенство (13), то является верным и неравенство
(l+x)n+1	1 + (п+1)х.	(14)
Умножив обе части верного неравенства (13) на 14-х, где 14-х^0,
получим верное неравенство
(1 + x)"+1 ^(14- пх)(1 4- %),
где (1 4- пх)(1 4- х) = 1 4- (п 4- 1)х 4- их2 1 4- (и 4-1)х, так как их2 > 0.
Таким образом, при х^—1 справедливо неравенство (14), и поэтому
неравенство (13) является верным при любом п € N.	А
Пример 9. Доказать, что если положительные числа хь х2, ...,
хп удовлетворяют условию
Х1Х2...ХП = 1,	(15)
то справедливо неравенство
4- х2 4---\-хп^п.	(16)
Л Воспользуемся методом математической индукции. Утверждение
верно при п — 1: если xj = 1, то xj 1. Пусть неравенство верно
при всех m таких, что 1 ^m^n — 1. Докажем, что оно верно и при
т = п.
Если все числа xj, х2, ..., хп равны единице, то неравенство (16)
является верным. Если хотя бы одно из этих чисел больше единицы,
то из равенства (15) следует, что хотя бы одно из оставшихся чисел
меньше единицы. Пусть для определенности хп > 1, xn_j < 1; тогда
(хп - 1)(1 -xn_i) > 0, откуда следует, что
4~ Xfi—\ xn__\Xfi 1.	(17)
§ 6. Числовые неравенства
105
Согласно предположению индукции для любых положительных чисел
хь х2,	хп_2, уп-\ таких, что
Х1%2 • • -Хп-2Уп-\ = 1,	(18)
выполняется неравенство
Х1+Х2 + -” + ^-2 + ^-1 >«-!•	(19)
Полагая
Уп—\ — хп—\хп,	(20)
в силу (19) получаем
Х\ Х2 Н----h хп -2 + хп - \Хп^ п - 1.	(21)
Складывая неравенства (17) и (21), приходим к неравенству (16),
справедливому для любых неотрицательных чисел xj, х2, ...» хп,
которые (см. (18) и (20)) удовлетворяют условию (15).	▲
Задачи
1.	Доказать, что для любых действительных чисел а и b справедливы
неравенства:
1)	а2 4- Ь2 4-1 ab 4- a 4- b;	2) 5а2 — Sab 4- 562	0;
3)	16а2 4- 25b2 4ab-	4) (a2 4- />2)(а4 4- b4)	(а3	4- Ь3)2.
2.	Доказать, что если - 2 а	2, то для любых действительных чисел	а и b
справедливо неравенство а2 4- aab + Ь2 0.
3.	Пусть а b с С J, b с — а~\~ d. Доказать, что be > ad.
4.	Пусть а и Ь — произвольные положительные числа. Средним гармоническим
этих чисел называется число 2  , а средним квадратическим —
.-----	а b
а2 -I- Ь2
число а/—Т—. Докажите следующие неравенства, связывающие средние
величины:
а + b
Покажите, что можно дать следующую
геометрическую иллюстрацию этих нера-
венств (см. рис. 11). Пусть ABCD — трапе-
ция, основания которой AD = а, ВС = Ь;
О —точка пересечения диагоналей. Тогда:
1)	среднее арифметическое двух чи-
сел а и b равно длине средней линии
трапеции КЦ
2)	среднее геометрическое \fab этих чисел
равно длине отрезка GH, который па-
Рис. 11
раллелен основаниям и обладает тем свойством, что трапеции BCHG
и GHDA подобны;
106
Глава II. Числовые множества
3)	среднее гармоническое —।----j— равно длине отрезка EF, который
а + Ъ
параллелен основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей;
4)	среднее квадратическое равно длине отрезка ЛШ, который параллелен
основаниям и разбивает трапецию ABCD на две равновеликие трапеции.
5.	Пусть	a < /3 < Ь. Доказать, что |а — /3\ < b - a
6.	Доказать, что для любых положительных чисел а и b выполняются
неравенства:
2>
7.	Пусть а и Ь — любые неотрицательные числа, neN. Доказать неравенства:
1)	ап 4 Ьп < (а + Ь)п;
2)	(а + Ь)п ^2п~'(ап 4 Ьп).
8.	Доказать, что для любых действительных чисел а, Ь, с справедливы
неравенства:
1)	Да2 4- &2 4- с2 < |а| 4-1&| 4- |с|;	2) (а 4- b 4- с)2 < 3(а2 4- Ь2 4- с2).
9.	Пусть а, 6, с —произвольные неотрицательные числа Доказать неравенства:
1)	(а 4- Ь 4- с)3	9(а3 4- Ь3 4- с3);	2) а4 4- 64 4- с4 abc(a + b 4- с).
10.	Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с имеют место
неравенства:
1)	(а + ft 4-с) (1 4-1 4--) ^9;	2)	+ -±- 4-
\а Ь с/	b + с с + а а-\-Ь	2
11.	Пусть действительные числа а, Ь, с удовлетворяют условию а 4- b 4- с = 6
Доказать, что а2 4- Ь2 4- с2 12.
12.	Доказать, что если 1/Я < то 7—Д-г < Д.
11	2 \а — о| |а|
о гт	1 3 5	99	1
13.	Доказать неравенство 2*4*4*** цд) < jo*
14.	Доказать неравенство
15.	Доказать, что если п е N и п 2, то справедливо неравенство
г- 1	1	1	1	П Г-
\[п < 1 4—7= 4—7= 4- • • • 4—— < 2>/Н.
у/Ъ	х/3	у/Й
16.	Доказать, что если действительные числа а, Ь, с удовлетворяют условию
а 4- b 4- с = 0, то ab 4- Ьс 4- са 0.
17.	Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b, с, d имеет место
неравенство ^/(а 4- с)(Ь 4- d) \/ab 4- \/cd.
18.	Пусть действительные числа а, 6, с удовлетворяют условиям а 4- Ь с,
с4
с 0. Доказать, что <г 4- и —.
8
19.	Доказать, что для любых положительных чисел a\t , ап справедливо
а\ “Г а2 "Г ’' * "Г ап \ 1-------------------
неравенство	• • • «л-
п
Глава III
ФУНКЦИИ
§1. ЛИНЕЙНАЯ, КВАДРАТИЧНАЯ
И ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ
1.	Линейная функция и ее график
Функцию вида
y — kx + b,	(1)
где k и Ь — заданные числа, называют линейной. Линейная функция
определена при всех xeR, а се график — прямая линия, параллельная
прямой у = kx (см. рис. 1) и пересекающая ось Оу в точке (О, Ь).
В уравнении (1) число k называют угловым коэффициентом
прямой. Такое название связано с тем, что & = tga, где а —угол
между прямой и осью Ох (угол отсчитывается от положительного
направления оси Ох)
Пусть прямая / проходит через точку (хо,#о)> тогда из (1) следует,
что
Уо = kx0 + b.	(2)
Из равенств (1) и (2) получаем уравнение прямой, проходящей через
точку (xq^q) и имеющей угловой коэффициент k:
У = Уо + Цх- х0).	(3)
Если у\ и у2~ значения линейной функции y = kx + b при х = х\
и х = %2, то у\ = kx\ + b, у2 = kx% 4- b, откуда
У2~У\ =/г(х2-%1).
(4)
Пусть Х2>*1 и £>0, тогда из равенства (4) следует, что у<2>у\, т.е.
большему значению х линейной функции у = kx + b соответствует
большее значение у. Такую функцию называют возрастающей.
Аналогично, если k < 0 и х% > xj, то у% < у\. Такую функцию
называют убывающей. Итак, линейная функция y — kx-\-b является
возрастающей при k > 0 и убывающей при
k<0.
Если k — 0, то у — Ь. Графиком этой
функции является прямая, параллельная
оси Ох и проходящая через точку (0;6).
Для построения графика линейной
функции у = kx + b достаточно найти
две точки графика и провести через них
прямую линию.
108
Глава III. Функции
Если Ь^О, то можно взять точки (0;6) и ( — -;0), в которых
\ k /
прямая у = kx + b пересекает оси координат.
9
Например, прямая у = —~х + 2 (см. рис. 2) проходит через точки
о
(3;0) и (0;2). Пусть (xi;z/i) и (х2\у2) — две точки, принадлежащие
графику линейной функции y = fe% + &, тогда y\—kx\+b, y2 — kx2-}-b.
откуда
^lL=k
Х‘2 х\
(5)
Из формулы (5) следует, что изменение у2 — у\ линейной функции
пропорционально изменению х2 — %] аргумента (переменной) х.
Рис. 2
Пусть прямые 1\
Если х > 0, у > 0 и k > 0, то зависи-
мость между переменными х и у, выражаемую
формулой у — kx, обычно называют прямой
пропорциональной зависимостью, a k — ко-
эффициентом пропорциональности.
Так, формулой 5 — vt, где 5 — путь, t —
время, описывается равномерное движение со
скоростью v (5(0) = 0).
и /2 заданы соответственно уравнениями
у = k[X 4- Z?i,
y = k2x + b2.
(6)
(7)
Прямые 1\ и 12 параллельны тогда и только тогда, когда k\=k2.
Если k\ ^k2, то прямые и 12 пересекаются в точке 7И, координаты
которой удовлетворяют системе (6), (7). Прямые 1\ и 12, пересекаясь,
образуют две пары равных углов. Углом ср между прямыми 1\ и 12
называют наименьший из этих углов. Тогда
tg<*2 ~
l + tga2.tgai
k2 — k\
1 -}- k \ k2
0^<p^90°.
(8)
Замечание. Формула (8) следует из тригонометрической формулы
tg(a2 — а1) — —которая будет получена в § 5, гл. V. Здесь она
1 + tga2 -tgof|
приводится без вывода.
Если прямые 1\ и /2 перпендикулярны, то ср = 90° и tg<p не
существует. Это означает, что знаменатель дроби (8) обращается
в ноль: k[k2 + 1 = 0, откуда при k\ 0 получаем
*2 = +-	(9)
Если k\ = 0, то tg<p = &2, а прямой, которая перпендикулярна прямой
у = Ь[, является любая прямая вида х = а, т.е. прямая, параллельная
оси Оу. Условие k\k2 + 1 = 0 является необходимым и достаточным
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
109
условием перпендикулярности прямых 1\ и заданных уравнени-
ями (6) и (7), если k\k% 0.
Пример 1. Написать уравнение прямой /, которая параллельна
прямой 7 = 2% — 3 и проходит через точку Д(3;9).
Д Так как угловой коэффициент прямой I равен 2, то ее уравнение
имеет вид (3), где у$ = 9, xq — 3, откуда у = 9 + 2(х — 3) или
у — 2х + 3.	▲
Пример 2. Написать уравнение прямой /, проходящей через точки
а и 5(4; з).
Д Подставляя координаты точек Л и В в уравнение у — kx + b,
получаем систему уравнений
3 = 46 + Ь,
откуда находим 5k = 3 + |, fe = |, Ь — 3 — 4k = — 3. Следовательно,
О
уравнение прямой I можно записать в виде у = -х — 3.	▲
Замечание. Угловой коэффициент k прямой / можно найти, используя
формулу (5), а затем воспользоваться формулой (3), где (х$,у$) — координаты
точки А или точки В.
Пример 3. Прямая 1\ проходит через точки Д(—2; 4) и В(1;— 2).
Написать уравнение прямой /2, перпендикулярной прямой 1\ и про-
ходящей через точку (3; —4).
Д Угловой коэффициент k\ прямой 1\ находим по формуле (5):
а угловой коэффициент k% прямой /2 — по формуле (9):
h _ I _ I
2 k\ 2'
Используя формулу (3), где k = ±, xq = 3, уо = — 4, находим уравнение
прямой /2:
г/ = -4 + А(х-3) или у = 1х-~.	▲
Пример 4. Найти угол между прямыми t/ = —£ + 5 и у = ^ + 1.
2	о
Д Применяя формулу (8), где	получаем
Z	О
1_(_П
,	3	\ 2/	!	л	*
tg? =----1 / i\ =1’ 0ТКУДа <?=7-	А
1+1(4)
по
Глава III. Функции
2. Квадратичная функция и ее график
График квадратичной функции. Функцию
у — ах2 + Ьх + с,
где а, Ь, с —заданные действительные числа и а 0, называют
квадратичной.
Рассмотрим сначала квадратичную функцию при b = О, с — О,
т. е. функцию у — ах2.
Эта функция определена на всей числовой прямой. Ее график
симметричен относительно оси ординат, так как а(—хо)2 = ах^. Такую
функцию называют четной. Если а > 0, то ах2 > 0 при х 0, т. е.
*/>0 при х^О; если х = 0, то // = 0. Таким образом, график функции
у —ах2, где а>0 при х^О расположен выше оси Ох и проходит
через начало координат (см. рис. 3)
Если X] > О, Х2 > 0 и Х2 > Х|, то х2 > х2 и ах% > ах2 при а > 0.
Следовательно, функция у = ах2, где а > 0, является возрастающей
при х>0. Так как график функции у —ах2 симметричен относительно
оси Оу, то функция у = ах2, а> 0, убывает при х < 0. На рис. 4
изображены графики функций у = х2, у = 2х2, у = ^х2.
Если а < 0, то график функции у — ах2 расположен ниже оси
Ох при х^О и проходит через точку О (см. рис. 5).
График функции у — ах2 при любом а 0 называют параболой.
Так как этот график лежит в верхней полуплоскости при а > 0
и в нижней при а < 0, то говорят, что при а > 0 ветви параболы
направлены вверх, а при а < 0 — вниз.
Обратимся к квадратичной функции общего вида, т. е. к функции
у = ах2 -Vbx + с, а^0.
Преобразуем квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с, выделив полный
квадрат:	,	\	2
ах2 + &х4- с = а ( х2 + 2х • ~	| + с —
\	2а 4а2 ) 4а
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
111
Таким образом,
^ = afx+AV + c_^ = a(x+	(Ю)
\	2а/	4а \	2а/ 4а ’ v ’
ИЛИ
y = a(x-xQ) * 1 2+у0,
b	i \	— 4ac
где xQ =	, уо = у(х0) = с- — = -.- .
la	4a	4a
Отсюда следует, что графиком функции y = ax2 + bx + c является
парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах2 вдоль оси Ох на х$
и вдоль оси Оу на у$. Поэтому график функции у = ах2 + Ьх 4- с,
а 0, симметричен относительно прямой х = — параллельной
оси Оу и проходящей через вершину А(х^у^) параболы. Прямую
х = — ~ называют осью симметрии параболы.
Знак числа а определяет направление ветвей параболы: при а>0
ветви направлены вверх, а при а < 0 — вниз.
График функции у = ах2 4- Ьх + с можно построить, используя
следующую схему:
1)	найти координаты вершины t4(xq; z/0) параболы, пользуясь
формулами х0 = —А,	= с ~ (здесь D — Ь2 — 4ас) или
применяя метод выделения полного квадрата;
2)	построить ось параболы;
3)	найти точки пересечения параболы с осью Оу и осью Ох
(найти корни уравнения ах2 + bx + c = Q, если D = Ь2 — 4ас 0);
4)	нарисовать эскиз графика функции, используя найденные
точки и учитывая роль знака числа а.
Для более точного изображения параболы можно найти коорди-
наты нескольких ее точек.
Пример 5. Построить графики функций:
1) у = х2 — 2х -I- 5;	2) у = х(4 — х).
Д 1) Так как у = х2 - 2х 4- 5 = х2 — 2х 4- 1 4- 4 = (х — I)2 4- 4, то
вершиной параболы является точка Л(1;4), а ветви параболы
направлены вверх. Ось Оу парабола пересекает в точке (0; 5).
График функции у = х2 — 2x4-5 изображен на рис. 6.
2) Парабола у = х(4 — х) пересекает ось Ох в точках (0; 0)
и (4;0), ось параболы проходит через середину отрезка [0; 4]
112
Глава III. Функции
параллельно оси Оу. Поэтому абсцисса вершины xq = 2,
а ордината вершины y0 = z/(2) = 4. Ветви параболы направлены
вниз. График функции у = х(4 — х) изображен на рис. 7.	▲
Обратимся к формуле (10). Выражение Ь2 — 4ас называют
дискриминантом квадратного трехчлена ах2-\-Ьх + с и обозначают
буквой О, т. е. D = b2 — 4ас. Поэтому формулу (10) можно записать
так:	2
z/ = a(x4-Aj -	= a(x-x0)2 + i/0.	(11)
Если а > 0, то ветви параболы у = ах2 4- Ьх 4- с направлены
вверх, а самая нижняя точка параболы —ее вершина 71 (хо; г/о), где
х0 =—уа=у(хо) =—~~ (см. рис. 8). Ордината вершины является
наименьшим значением квадратичной функции у =-ах2 + Ьх с при
а > 0, т. е. г/min = t/o = —г--
4а
Если а<0, то вершина Л(хо;//о) параболы является самой верхней
точкой, а ордината уо вершины — наибольшее значение функции
у — ах2 4- Ьх 4- с при а < 0, т. е. г/тах = Уъ = — — (см. рис. 9).
Пусть а > 0 и D < 0, тогда у$ = — — > 0, и поэтому парабола
у =. ах2 4- Ьх 4- с располагается выше оси Ох, т. е. если а>0 и О<0,
то у > 0 при всех х (см. рис. 10).
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
113
Рис. 10
y = ax2+bx+c,
Рис. 11

Аналогично, если а<0и£)<0, toz/<0 при всех х (см. рис. 11).
Пример 6. Определить знаки чисел а, Ь, с, если парабола
у = ах2 4- Ьх + с расположена так, как указано на рис. 12.
А Ветви параболы направлены вверх, и по-
этому а > 0. Из рис. 12 видно, что абсцисса
%о вершины А параболы отрицательна, т. е.
%0 = — —- < 0, откуда следует, что Ь > 0, так
как а > 0.
Наконец, с < 0, поскольку с — у(0) — ор-
дината точки, в которой парабола пересекает
ось Оу.
Ответ, а > О, Z? > О, с < 0.	А
Пример 7. Определить знак коэффициента а квадратичной
функции у = ах2 4- Ьх 4- с, если у(—1) < 2, у(1) > — 3, z/(3) < —8.
Д По условию у(—1) = а — Ь 4- с, #(1) = а 4- Ь + с, у(3) = 9а 4- ЗЬ 4- с.
Исключая Ь и с из системы
fa — Ь + с = у(—1),
< а 4- b + с — у(1),
9а 4- 3Z? 4- с = у(3),
получаем 8а = у(—1) - 2у(1) 4-jy(3), откуда
а = ±(у(-1)-2у(\)+у(3)) < 1(2 4-6-8) = 0, т. е. а < 0. ▲
О	о
Пример 8. Вершиной параболы у = ах2 4- Ьх 4-с является точка
А(2;—3), а абсцисса одной из точек пересечения параболы с осью
Ох равна 5. Найти а, Ь, с.
Д Уравнение параболы можно записать в виде
у = а(х — 2)2 4- ш.
Так как у = — 3 при х — 2, то m — —3. Кроме того, у = 0 при х — 5,
т. е. 0 = а(5 —2)2 —3, откуда а — Следовательно,
у — |(х-2)2-3 — |х2 - ^х - |, т. е. а = Ь = -^ с = -|. А
27 3V 7	333’	3’	3’	3
114
Глава III. Функции
Исследование квадратичной функции. В этом разделе мы до-
кажем несколько результатов относительно промежутков, на которых
квадратичная функция сохраняет знак.
Теорема 1. Если D = Ь2 — 4ас < 0, то при всех х е R знак
квадратичной функции у = ах2, + Ьх 4- с совпадает со знаком
числа а, т.
О Запишем
е. у > 0 при а> О и у < 0 при а < 0.
формулу (10) в виде
у — ах2 + Ьх + с = а
2а)	4а2
стоящее в квадратных скобках в формуле (12), по-
/ л \2
0,
(12)
Выражение,
ложительно при любом значении х, так как
—D>0, а2>0. Следовательно, при £)<0 знак квадратичной функции
совпадает со знаком числа а: если а > 0, то у > 0, а если а < 0, то
у < 0 (рис. 13, 14).	•
Теорема 2. Если D — 0, то при всех х G R, кроме х =
знак квадратичной функции у — ах2 -\-Ьх + с совпадает со знаком
числа а; при х — квадратичная функция обращается в нуль.
О Если £) = 0, то формула (12) принимает вид
2 L	/ к \%
у — ах + Ьх + с = а (х 4-
Из формулы (13) следует, что при х = —А квадратичная функция
Ь / Ь \2
обращается в нуль. Если	то (^4- — ) > и П0Т0МУ ПРИ
х^—^- знак у совпадает со знаком числа а (рис. 15, 16).	•
(13)
Рис. 15
Рис. 16
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
115
у = ах2+ Ьх+с\
а>0; Z)>0
Рис. 17
Vm
*1 /	\*2
/ О \	х
у = ах2+Ьх+с,
а<0; D>0
Рис. 18
Теорема 3. Если D > О, то знак квадратичной функции
у = ах2 4- Ьх 4- с:
совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка
[xi,x2], г^е ХЬ х^ —корни уравнения
ах2 + Ьхс = О	(14)
такие, что xi < х%;
противоположен знаку числа а при всех х таких, что xj <х<х2-
О Если D > 0, то из равенства (12), записанного в виде
следует, что у = 0 при
П
у = ах 4 Ьх 4 с = а
ь ±у/Р
2а 2а
(15)
Числа Xi, х2, определяемые формулой (15), являются корнями
уравнения (14), а квадратный трехчлен представляется в виде
ах2 4 Ьх 4 с — а(х — xj)(x — х2)
и поэтому
у = ах2 4 Ьх 4 с = а(х — xj)(x — х%).
(16)
Пусть Х[ < х2, тогда если х < xj, то х < х^ и тогда х — xj < О,
х — х2 < О, откуда (х — Х|)(х — Х2) > 0. Аналогично, если х>х%, то
(х — xj)(x — х2) > 0. Поэтому при х < Xi и при х > Х2 справедливо
неравенство (х — xi)(x — х2) > 0, и из формулы (16) следует, что
для всех х, лежащих вне отрезка [х|,х2], где xj и х% — корни
уравнения (14) такие, что Х( < х%, знак у совпадает со знаком
числа а.
Если X] < х < Х2, то (х — хО(х — х2) < 0. В этом случае знак у
противоположен знаку числа а. Наконец, если х = xj и х = х2, то
г/ = 0 (рис. 17, 18).	•
Результат исследования квадратичной функции можно сформу-
лировать в следующем, удобном для запоминания виде:
Функция у = ах2 4 Ьх 4 с при всех х сохраняет знак коэффици-
ента а, за исключением лишь случая, когда корни Xf и х2 действи-
тельны (D 0) и число х удовлетворяет неравенствам xi х х2.
116
Глава III. Функции
Теорема 4. Квадратичная функция
у — ах^ + Ьх + с
принимает положительные значения при всех xeR тогда и только
тогда, когда	о
D = 62 —4ас<0 и а >0.	(17)
О Достаточность следует из теоремы 1. В самом деле, если D<0,
то по теореме 1 знак у совпадает со знаком числа а, т. е. у > 0 при
а > 0 и у < 0 при а < 0 для всех х gR.
Докажем необходимость, т. е. покажем, что если у > 0 при всех
х G R, то выполняется условие (17). Предположим, что условие
£)<0 не выполняется. Тогда £)^0, и поэтому квадратный трехчлен
ах^ + Ьх + с имеет действительные корни %] и х% (х| = х2 при £) = 0),
т. е.
у(х\) — у(х<2) —
что противоречит условию Q/>0 при всех xgR). Итак, ОсОипо
теореме 1 имеем а > 0.	•
Следствие. Квадратичная функция у = ах^-\-Ьх + с принимает
отрицательные значения при всех xeR тогда и только тогда, когда
а < 0, D — Ь^ — 4ас < 0.
О Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться
тем, что функция у=—ах2—Ьх—с удовлетворяет условиям теоремы 4
3. Дробно-линейная функция и ее график
Функцию вида	, ,
(18)
сх 4- а
где а, Ь, с, d — заданные числа такие, что ad^bc, называют
дробно-линейной.
Если с = 0, то у —линейная функция (d^O), а если ad = bc, то
/ d
у = const при X ф —
с
Дробно-линейная функция определена при всех х G R, кроме
d
х — —
с
Рассмотрим сначала функцию вида
y=-v	(19)
График этой функции называют гиперболой.
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
117
1)	Если в формуле (19) k > 0, то у > 0 при х > О и у < О при
х<0. Поэтому при k>0 гипербола располагается в первом и третьем
квадрантах (см. рис. 19).
Если k>0 и х>0, то при увеличении х величина у уменьшается,
т. е. функция у = р k > 0 является убывающей при х > 0.
Если х неограниченно увеличивается (стремится к бесконечно-
сти), то становится сколь угодно малым (стремится к нулю). Это
означает, что при больших значениях х гипербола «прижимается»
к оси Ох. Прямую у = 0 (ось Ох) называют горизонтальной
асимптотой графика функции при х —> оо (при х, стремящемся
к бесконечности).
Если х > 0 и х—>0 (х стремится к нулю), то у > 0 и у —> оо.
Это означает, что график функции у = «прижимается» к оси
Оу. Прямую х = 0 (ось Оу) называют вертикальной асимптотой
графика функции у = kx при х —> 0.
Отметим еще, что если точка (хо;уо) принадлежит графику
функции У~-^ k^O, то точка (—х0;— уо) также принадлежит этому
,	h	h
графику, так как из равенства yQ = — следует равенство —уо = —•
Но точки Мо(хо;£/о) и	~~Уо) симметричны относительно
начала координат.
Поэтому график функции У=^, k^O, расположен симметрично
относительно начала координат. Функцию, обладающую этим свой-
ством, называют нечетной. Итак, у = — нечетная функция.
Так как функция	k > 0 убывает при х > 0 и является
нечетной, то она является убывающей и при х < 0.
2)	Если k < 0, то график функции у = расположен во втором
и четвертом квадрантах (см. рис. 20). В этом случае функция
является возрастающей при х < 0 и при х > 0.
118
Глава III. Функции
Точка (0;0) является центром симметрии графика функции у=~
k^O.
3)	Обратимся к дробно-линейной
Преобразуем правую часть равенства
зависящее от х:
функции общего вида (18).
(18), выделив слагаемое, не
а
Полагая
а , be — ad
с2
(20)
(21)
(22)
л а и Ьс — ad
А = ё- "	
запишем равенство (20) в виде
у = А + ——
X — Xg
Из формулы (22) следует, что график дробно-линейной функции (18)
можно получить сдвигом гиперболы у = ~ на |хо| единиц вдоль оси
Ох и на |Л| единиц вдоль оси Оу (направление сдвига зависит от
знаков чисел и Л, xq — корень уравнения сх4-^ = 0; запоминать
формулы (21) нет необходимости). Точка (хоИ)” центр симметрии
графика функции (22), а прямые x — xq и у = А — его асимптоты.
Пример 9. Построить график функции
У  Зх 4~ 2
У ~ 2х 4 3 ’
4- 2 — 4,5
3 (х 4
А Так как у =---------
2
=1,5-_l25
х 4-1,5
то график данной
функции можно получить из графика функции
пунктирные кривые) сдвигом вдоль оси Ох на
(—1,5; 1,5) — центр симметрии графика, а
его асимптоты. График пересекает ось Ох
У = (рис. 21,
1,5 так, что точка
прямые х = —1,5 и у = 1,5 —
в точке ( —^;0 |, а ось Оц~
, и изображен на рис. 21
Пример 10. Построить график функции
^11^.
2х- 5
А Так как у = -?<2х-.5Н.3 = -2 4- |
2х — 5	2
в точке
сплошными линиями.
-—, то прямые х =
Э	Z
2
и у — —2 — асимптоты графика функции, Q;—2^—центр его сим-
_ ах-уЬ _
У сх 4- d
С
d
d
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
119
/13	\	/	13\
метрии, а (—;01 и (0;—у ) — точки пересечения графика с осями
координат (см. рис. 22).
Задачи
1.	Написать уравнение прямой, если эта прямая:
1)	проходит через точку (~1;2) и параллельна прямой у = 3х — 4;
2)	пересекает координатные оси в точках (0; — 3) и (4; 0);
3)	проходит через точки (—2;8) и (1;—1).
2.	Найти координаты точки пересечения прямых:
1)	у = \ и у = — 2x4-3;	2) у — Зх — 4 и */ = —5x4-12.
3.	Найти значение k, при котором прямая y = kx — 2:
1)	проходит через точку пересечения прямых у = 5х — 6 и у — — х 4-12;
2)	параллельна прямой, проходящей через точки (0; —3) и (2; 0);
3)	параллельна прямой, проходящей через точки (—1;—3) и (—3;5).
4.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—2; 3) и перпенди-
кулярной прямой, которая проходит через точки (—3;5) и (1;3).
5.	Построить график функции:
1)	у = 2х2 4- 4х + 7;	2) у — х(2 — х).
6.	Найти a, b и с, если точка А — вершина параболы у = ах2 4- Ьх 4- с,
проходящей через точку В:
1)	л(Ь|), В(0;3); 2) Л(1;4). В(0;3).
7.	Найти множество значений функции:
1)	у — -%2 4-2x4- 5;	2) у — 2х2-х4-4.
8.	Найти все значения с, при которых график функции у = —х2 — 4х 4- с\
1)	лежит ниже оси Ох;
2)	имеет с осью Ох единственную общую точку;
3)	пересекает ось Ох в двух точках;
4)	пересекает ось Ох в двух точках, расположенных по разные стороны
от точки (0;0).
120
Глава III. Функции
9.	Найти коэффициенты а, Ь, с квадратичной функции у = ах2 + Ьх 4- с, если
//(—!) = 10, у(2) = 7, «/(5) = 40.
10.	Определить знак коэффициента а квадратичной функции у = ах2 4- Ьх 4- с,
если у(-\) < 1, у(\) > -I, у(3) < -5
11.	Построить график функции:
12.	Найти коэффициенты k, Ь, с дробно-линейной функции у = k-—если:
1)	график функции проходит через точку (—3; 0), а прямые х = — 1 и у = 2 —
асимптоты этого графика;
2)	график функции проходит через точку (О; — |), а прямые х = — 2 и у~3 —
асимптоты этого графика.
Ответы
1. 1) t/=3x + 5;2) </ = |х-3;3) у = -Зх + 2. 2. 1) (2;1); 2) (2;2). 3.1) /г=|;
2) k — |; 3) k = -\.	4. t/ = 2x-3.	6. 1) а = 2, b = 1, с = 3; 2) а = -I,
Ь = 2, с = 3.	7. 1) (—оо;
4. у = 2х — 3.
6]; 2) [Ь-Роо). 8. 1) с<—4; 2) с = -4; 3) с>-4;
4) с > 0.	9. а = —2, Ь = —3, с = 5.	10. а < 0. И. I) Прямые х = — |
и у— | — асимптоты графика, который проходит через точки (О;—и
2	5
2) прямые * — и у- — '- — асимптоты графика, который проходит через точки
(0;3) и (~4;0Y	12. 1) k = 2, b=-3, с=-1; 2) k = 3, 6=1, с =-2.
§2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ
К ЧИСЛОВЫМ ФУНКЦИЯМ
1. Область определения, множество значений
Определение. Пусть даны множества действительных чисел
X и Y. Функциональной зависимостью (функцией) называется
закон, по которому каждому значению величины хеХ, называемой
аргументом, ставится в соответствие некоторое (единственное) число
у = f(x) из множества Y
В математике словом «функция» называют и закон (правило)
соответствия /, и величину /(х).
Вместо букв х, f, у можно взять другие буквы, например функция
может быть записана в виде у = <p(t) или z = F(x).
Множество X называется областью определения функции (обо-
значается £)(/) или Df).
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям	121
Например, функция /(х) = \/2х — 5 определена при х 2,5, т. е.
D(f) = [2,5; 4-оо), а для функции	имеем £)(/) = (—оо; 5) U (5; 4-оо).
х — □
Если число а принадлежит области определения функции /, то
говорят, что функция f определена в точке а. Для того чтобы
указать значение функции в фиксированной точке а, используется
такая запись: f(a),у(а), f(x)\x==a.
Укажем, например, значения функции у = \/2х — 5 в некоторых
точках:	___
*/(2,5) = О, i/(3) = 1, £/(10) = л/15.
Множеством значений E(f) числовой функции f называется множе-
ство всех aeR, для которых существует хотя бы одно xeD(f) такое,
что /(х) = а. Можно сказать иначе: Е/ состоит из тех значений а,
при которых уравнение /(х) = а имеет хотя бы одно решение.
Число хо из области определения функции у = /(х) называется
нулем функции, если /(х0) = 0.
Например, числа —2 и 2 являются нулями квадратичной функции
у = х2 — 4.
2. Основные способы задания функций
1)	Аналитический — задание функции формулой y=f(x), показы-
вающей способ вычисления значения функции по соответствующему
значению аргумента. Если при этом ничего не говорится об области
определения, то считается, что функция определена на множестве
тех значений аргумента, для каждого из которых аналитическое
выражение имеет смысл. Множество всех таких значений аргумента
иногда называется естественной областью определения функции.
Следует подчеркнуть, что одна и та же функция может зада-
ваться разными аналитическими выражениями (формулами). Функ-
ции у = f(x) и у = g(x) называются тождественно равными
или просто равными на множестве М, если они определены на
множестве М и для каждого х$, принадлежащего М, справедливо
числовое равенство /(xo)=g(xg). В этом случае пишут /(x)=g(x),
хеМ. Примером функций, тождественно равных на множестве всех
действительных чисел, могут служить функции /(х) = л/х2 и g(x) = |x|.
Пример 1. Доказать, что функции /(х)=3х и g(x)=|x—1|4-|2х4-1|
совпадают на множестве [1;4-оо).
Д Если х 1, то х — 1	0 и 2х + 1 > 0, и поэтому |х — 1| = х — 1
и |2х + 1| = 2x4-1. Следовательно, |х— 1| 4- |2х4-1| —х— 1 4-2x4-1 =
= Зх.	А
122
Глава III. Функции
Пример 2. Выяснить, на каком множестве равны функции
/(х) = yfy и g(x) = X + 1.
А Заметим, что £)(/) = (—оо; 1) U (1;4-оо), и на всей области
определения f(x) =	= х 4- 1, т. е. f(x) = g(x) при всех х 7^ 1.
Следовательно, f(x)=g(x) на любом множестве, не содержащем 1. А
В случае задания функции формулой возникает задача нахож-
дения области определения (имеется в виду естественной области
определения) функции. Если функция / представляет собой сумму,
разность, произведение функций f\ и /2, то ее область определения
состоит из тех значений х, которые принадлежат областям определе-
ния всех функций, т. е. D(f) =	Если же функция
/2
то Д(/) = (О(/1)ПР(/2))\{х|/2и) = 0}, т.е. из множества £)(А)П/)(/2)
необходимо удалить нули знаменателя.
Пример 3. Найти область определения функции
ц = ^± + У^.
Зх 6
А Для функции /j (х) = х естественной областью определения
является множество тех значений аргумента, для которых знамена-
тель дроби не обращается в нуль, т.е. D(f) = (—00;— 2)U(—2;4-00).
Функция g(x) = \/9 — х2 определена на множестве тех значе-
ний х, для которых 9 — х2 0, т.е. £)g = [—3;3]. Следовательно,
D{y) = D(f) A D(g) = [-3; —2) U (-2; 3].
Ответ. ВД = [-3;2)и(-2;3].	A
При аналитическом способе задания функция может быть задана
явно, когда дано выражение у через х, т. е. формула имеет вид
y — неявно, когда х и у связаны между собой уравнением вида
F(x,z/) = 0, а также параметрически, когда соответствующие друг
другу значения х и у выражены через третью переменную величину
t, называемую параметром.
Например, два равенства х = 2/, л/ = 3£2 4-4 определяют парамет-
рически через параметр t функцию у = 0,75х2 4- 4.
Пример 4. Найти множество значений функции у(х) = —
х2 4-1
А Для каждого действительного числа а решим уравнение
х2 — х 4- 2
--9--Т~=а'
х2 4- 1
(1)
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям
123
Уравнение (1) равносильно уравнению
(а — 1)х2 + х + (а — 2) = 0.	(2)
При а — 1 получаем уравнение х — 1 = 0, имеющее решение,
следовательно, 1 е Е(у). При а 1 необходимым и достаточным
условием того, что уравнение (2) имеет действительные корни,
является условие D = — 4а2 -Ь 12а — 7 0, т. е. при —а ^+^/2
Так как а = 1 принадлежит полученному отрезку, заключаем, что
.	/ \	ГЗ-л/2 3-Ь\/2"|
функция у(х) принимает все значения из отрезка —-1—;	-I
и только их.
rv \ Гз - л/2 3 х/21	А
Ответ. Е(у) =	▲
Возможно задание функции разными аналитическими выражени-
ями на различных участках. Например,
{х2 — 2, если х < —1,
2х+1, если — 1 <х< 1,
2 — х2, если х > 1
или функция Дирихле
Г1, если х е Q,
D(x) — |о, если х Q.
Кроме аналитического способа иногда функциональную зависи-
мость задают парами чисел (х,/(х)), показывающих, что значению
величины хеХ, ставится в соответствие число /(х) из множества Y.
При этом используют один из двух способов.
2)	Табличный — указание значений функции от соответствующих
значений аргумента. Способ применяется в тех случаях, когда область
определения функции дискретна, т. е. состоит из конечного числа
значений. В виде таблиц записывают результаты экспериментального
исследования каких-либо процессов. При этом способе значения
независимой переменной выписываются в определенном порядке xj,
Х2,..хЛ, а рядом с ними указываются соответствующие им значения
функции z/i,	Например,
Х1	*2	*3	Х4	
У\	У2	Уз	У4	
Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения
функции обычно находят приближенно.
124
Глава III. Функции
Этот способ задания функции дает возможность определить
конкретные значения функции сразу, без каких-либо дополнительных
вычислений, но не дает наглядного представления об изменении
функции в зависимости от аргумента.
3)	Графический. Графическим способом задания функции поль-
зуются в тех случаях, когда он становится единственно доступным
и наиболее удобным. Например, в технике, физике и т. д. Хотя
этот способ является наглядным, однако он не позволяет точно
определить числовые значения аргумента и функции, поскольку по
чертежу значения у, отвечающие данным значениям %, находятся
приближенно.
Графиком	функции у = f(x) с областью определения D(f)
называется множество всех точек координатной плоскости Оху вида
UJW). xeD(f).
Графиком функции может быть кривая, прямая или множество
отдельных точек. Изображение графика функции на координатной
плоскости дает наглядное представление о свойствах и поведении
функции.
Не всякая кривая на плоскости является графиком некоторой
функции. Для того чтобы кривая была графиком функции, необ-
ходимо и достаточно, чтобы вертикальные прямые (т. е. прямые,
заданные уравнением x=%q) пересекали кривую не более чем в одной
точке.
3. Сложная функция
Пусть заданы две функции у = f(x) и x — g(t), причем область
определения функции f содержит множество значений функции g.
Тогда каждому числу t из области определения функции g соот-
ветствует значение х — g(t), принадлежащее области определения
функции /, а ему, в свою очередь, соответствует число y — f(x).
Таким образом, каждому числу t из области определения функ-
ции g ставится в соответствие единственное число у из множества
значений функции /, а это означает, что на области определения
функции g задана функция, которую называют либо сложной
функцией, либо суперпозицией (композицией) функций. При этом
пишут y = f(g(t)).
Пример 5. Представить функцию у —\/2х3 + 3 как суперпозицию
других функций.
Л Заметим, что задача имеет бесконечно много решений. Приведем
лишь одно из них. Рассмотрим функции g(x) = 2x34-3 и f(x) = у/х.
Тогда у = \/2х3 Ч- 3 = f (g(x)).	k
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям
125
Задачи
1.	Являются ли на множестве Л4 тождественно равными функции:
1)	у — \/х2 — 2х 4- 1 — \/х2 4- 2х 4 1 и у = — 2х, М = [—1; 1];
2)	//=фЧ-1 и у = х2, Л4 = (1;+оо)?
2.	Найти область определения функций:
О у — \/х + V1 —	2) у —	3) у =
3.	Найти область определения и множество значений функций:
1)	w — x2 4 2x4-3;	2) // — \/х2 + 2х 4 3;	3) у = -х— ----;
-------L *	х242х43’
4)	у = -х2 4- 4х + 5; 5) у — у х2 4- 4х 4- 5.
4.	Найти множество значений функций:
1)	у = х—у/х;	2) у — |х — 2| 4- |х — 3|;
3)	//= |х — 2| — |х - 3|;	4) у = 2х - |х - 2| 4-19 - 4х|;
5)	у = х2-х + 2 + 2 1	; 6) у=х1±^±к.
xz — х 4 2	х£ 4 1
5.	Дана функция t/(x) = x2. Найти:
1)	</(-х);	2) у(х 1); 3) у (1);	4) у(^)-	5) 2«/(х);
6)	«/2(1 — х); 7)	8) у(у(х))- 9) у(2у(3х)).
6.	Дана функция у(х) = Найти:
1)	</(Зх);	2)	//(3(х + 2));	3)	Ау (3(х + 2));
4)	2 — 4</(3(х + 2));	5)	2 - Ау (3(|х| + 2));	6)	«/(|х|);
7)	t/(|2x|);	8)	у (|2(х - 2)|);	9)	у (|2(х - 2)|) - 2;
10)	|t/(|2(x — 2)| — 2)|.
7.	Найти /(g(x)), /(/(х)), g(/(x)), g(g(x)), если:
1)	Дх) = 2х - 1, g(x) = х3;	2) Дх) = (х + I)2, g(x) = у/х.
8.	Решить уравнение:
1)	Д2х + 3) = 4Дх — 2), если Дх) = -х2 + Ах - 3;
2)	f(x - 3) = Д2х - 2) - f(2x + 2), если Дх) = -х2 - 4х - 3.
9.	Дана функция /(*)—Решить неравенство Дх4-3) < 2/(Зх4-5).
10.	Представить функции в виде суперпозиции других функций:
1)	Дх) = (2х - З)2 + 1;	2) Дх) = 2\/Г~Зх + 3;	3) Дх) = |1 - |х||.
11.	Для функции /(х)=2х-3 найти	/(/(Дх))).
12.	Известно, что f(x 4- 3) = 2/(х) — 5 при всех х. Выразить /(х 4- 6) и /(х 4- 9)
через /(х).
Функциональные уравнения
13* Найти функцию /(х), если известно, что.
1)	Дх+1)=х2 + 2х + 2; 2) /(2 - х) = 8 + Ах - х2.
14? Найти какую-либо функцию /(х), удовлетворяющую тождествам:
1) f(ftx)) = x2 (х>0);	2) f +	=х2 + -^
3) /(Зх-|) =9х2 + ±-1 (х^О).
126
Глава III. Функции
15* Найти все функции /(х), удовлетворяющие условиям:
1) Дх) + 2/(1)=х, х^О; 2) /(£±|)+2/(^)=х, хе(-1;1);
3) Дх) + хД2-х) = 1.
Ответы и указания
1. 1) Да; 2) да. 2. 1) [0;1|; 2) (-оо;-3) U (—3;0]; 3) (-оо; 1) U (1;+оо).
3. 1) D(y) = К, Е(у) = [2; +оо); 2) D(y) = R, £(«/) = [л/2; +оо); 3) D(y) = R,
Е(у) = (0; 0,5]; 4) D(y) = R, Е(у) = ( оо; 9]; 5) D(y) = R, Е(у) = (-оо; ^9].
4. 1) [-0,25;+оо); 2) |1;+оо); 3) [ 1;1[; 4) [3,75;+оо); 5) g;+oo) ;
6) [3 \/5;3-| ч/б]. 5. 1) х2; 2) х2-2х+1; 3) -L; 4) х; 5) 2х2; 6) (1-х)4;
7) |х|; 8) х\ 9) 324х4.	6. 1)	2)	3)	4) 2 -
5) 3|х| + 6’	|х|’ ЭД’ |2х-4| ’ 9) |2х —4| “ 2; *°) | |2х-4| “ 4
7- 1) Дй(х)) = 2х3 - 1; /(Дх)) = 4х - 3; g(f(x)) = (2х - I)3; g(g(x)) = х9;
2) /(gW) = (ч/х+I)2; / (Дх)) = (х2 + 2х + 2)2; g(/(x)) = |х + 1|; g(g(x)) = (J/x.
8. 1) |; 2) -1,-13.	9. (—оо; —4) U (-2;+оо).	11. /(Дх)) = 4х - 9,
f(f(f(x))) = 8х - 21.	12. Дх 4 6) = 4Дх) - 15, Дх + 9) = 8Дх) - 35.
13. 1) f(x) — x2-y\. Указание. Сделать замену х 4-1 =/; 2) /(х) —12-х2.
14. 1) f(x)=x^. Указание. Искать решение в виде /(х) = ха\ 2) /(х)=х2-2.
Указание. Сделать замену х 4- |	3) /(х) — х2 4- 5. 15. 1) J
1	4х + 5	зх з
Указание. Подставить 4 вместо х; 2) 6  Указание. Сделать замену
х	3 — Зх
£±_1 =3) f(x) = |-Ц_ при x^l, /(1) = 1. Указание. Подставить 2-х
вместо х.
§3. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1. Понятие непрерывности функции
Окрестностью точки е Ж называется любой интервал (а.Ь),
содержащий х$у т.е. xq с (а;Ь). Например, интервалы (0,5;0,7)
и (—0,5; 1) являются окрестностями точки xq = 0,6.
Пусть задана функция у = /(х), которая определена в точке хц
и некоторой ее окрестности. Дадим аргументу функции некоторое
изменение (приращение) Дх, такое что хц +Дхе(а;6). Тогда значение
функции изменится на величину Ду = /(хо +Дх) —/(х0), называемую
приращением функции.
Если малое приращение аргумента Дх влечет за собой малое
приращений функции Ду, то говорят, что функция y = f(x) является
непрерывной в точке хц.
§3. Свойства функций
127
Замечание. Числа Дх и Ду могут быть как положительными, так
и отрицательными. Приращение называют малым, если оно неограниченно
близко к нулю, т. е. его абсолютную величину можно сделать меньше любого
числа вида 10-n, где п е N.
Данное «определение» является скорее описательным и недоста-
точно строгим. Точное определение понятия непрерывности будет
дано позже.
Пример 1. Показать, что всякая линейная функция у — kx 4- b
является непрерывной в каждой точке области определения.
Д Действительно, рассмотрим произвольное значение х0 и дадим
ему некоторое приращение Дх. Тогда приращение функции равно
Ду = k(xQ 4- Дх) 4- b — kxQ — b — k- Дх,
т. е. малое приращение аргумента Дх влечет за собой малое
приращение функции Ду.	А
Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции,
называются точками разрыва.
Пример 2. Показать, что функция Дирихле
Г1, если х е Q,
D(x) — если х Q
разрывна (т. е. не является непрерывной) в каждой точке своей
области определения.
Д Действительно, рассмотрим произвольное значение х$. Если
х0 G Q, то в качестве приращения Дх возьмем любое достаточно
малое иррациональное число. При этом число х04-Дх иррационально.
Тогда приращение функции Ду = —1, т. е. не является малым.
Пусть теперь х Q. Возьмем некоторое число х>, такое что
|xj —хо| — малое число. Тогда на отрезке [xj;xq], если xi<xq, или
отрезке [xo;xj, если х\ > х0, возьмем какое-нибудь рациональное
число г. Беря в качестве приращения Дх разность г — х0, т. е.
|Дх| — |r —хо| < |xj — х0| — малое число, получим г = х04- Дх. В этом
случае приращение функции Ду=1, т. е. не является малым.
Следовательно, функция О(х) является разрывной в каждой точке
своей области определения.	▲
Функция называется кусочно-линейной, если числовую прямую
можно разбить на промежутки ненулевой длины, внутри каждого из
которых эта функция линейна. Приведем примеры кусочно-линейных
функций.
{-1,	если	х	< О,
О,	если	х	= О,
1,	если	х	> 0.
128
Глава III. Функции
Ун
z/ = signx
Io------
_4--1---<|--1--
-2-10	1	2 х
--------о _1
Рис. 23
Рис. 26
Функция у = sign х~ знак числа х. График этой функции изоб-
ражен на рис. 23.
2) у — [х] — целая часть числа х. Функция ставит в соответствие
каждому числу х наибольшее целое число, не превосходящее х.
График этой функции изображен на рис. 24.
3) у — {х} = х — [х] —- дробная часть числа х. График этой
функции изображен на рис. 25.
{х,	если х О,
—х,	если х < 0.
Функция у — |х| — модуль числа х. График этой функции изоб-
ражен на рис. 26.
Приведенные функции определены при всех xeR. Функция у=|х|
дает пример непрерывной функции на всей области определения,
функция у — signx непрерывна в каждой точке своей области
определения, кроме х = 0, а функции у = [х] и у= {х} непрерывны
во всех точках, кроме точек, имеющих целочисленное значение, т. е.
кроме х Е Z.
2. Четные и нечетные функции
Множество X точек числовой оси называется симметричным
относительно начала координат (точки О), если для любого числа
х е X число (—х) также принадлежит множеству X.
§3. Свойства функций
129
Функция y~f(x), заданная на множестве X, называется четной,
если выполнены следующие условия:
•	множество X симметрично относительно начала координат;
•	для любого хсХ справедливо равенство /(—х)=/(х).
Примерами четных функций могут служить следующие функции:
= Н У = У~ \/9-х2.
х£ 4 1
Функция y=f(x), заданная на множестве X, называется нечетной,
если выполнены следующие условия:
•	множество X симметрично относительно начала координат;
•	для любого х е X справедливо равенство /(—х) = — f(x).
Примерами нечетных функций могут служить следующие функ-
ции: у = х\ y = -JL-, y=tyx, у=Х-.
Свойства четных и нечетных функций. Справедливы следую-
щие утверждения.
1)	Если /(х) и g(x) — четные функции, заданные на одном и том
же множестве X, то функции f(x) + g(x), f(x)—g(x), f(x)-g(x),
gW
(g(x)	0) являются четными функциями на множестве X.
2)	Если f(x) и g(x) — нечетные функции, заданные на одном и том
же множестве X, то функции /(x)4-g(x) и /(х) — g(x) являются
нечетными функциями на множестве X, а функции /(x)-g(x),
gw
(если g(x) 0 на X) являются четными функциями на X.
3)	Если четная функция /(х) и нечетная функция g(x) заданы
на одном и том же множестве X, то функция /(х) • g(x) —- нечетная
функция на X.
4)	График четной функции симметричен относительно оси Оу.
График нечетной функции симметричен относительно начала коор-
динат.
О Действительно, если функция у = /(х) четная, то для любого
xeD(f) точки (х;/(х)) и (—х;/(х)), симметричные относительно оси
Оу, принадлежат графику функции /. Следовательно, ось ординат
является осью симметрии графика четной функции.
Если же функция у = /(х) нечетная, то для любого х е D(f)
точки (х;/(х)) и (—х;—/(х)), симметричные относительно точки О,
принадлежат графику функции /. Следовательно, начало координат
является центром симметрии графика нечетной функции. •
Отметим, что существуют функции, не являющиеся ни четными,
ни нечетными. Например, х2 + х + 1. Для первой из них не
5—2549
130
Глава III. Функции
выполнено условие симметрии естественной области определения
относительно начала координат. Вторая функция определена при
любом значении аргумента, поэтому условие симметрии для нее
выполнено. Но можно указать такие значения х, для которых не
выполнено условие /(—х) = —f(x) (например, /(—1) 7^ — /(1)), а также
такие значения %, для которых не выполнено условие f(~x) = f(x)
(например, /(—2)^7(2)). Заметим, что при доказательстве, к примеру,
того факта, что функция не является четной, ссылка на то, что
выражения /(—х) и Дх) «разные», поэтому Д—х) Дх), ничего не
доказывает хотя бы потому, что разные по внешнему виду выражения
могут задавать одну и ту же функцию.
Таким образом, чтобы опровергнуть условие Д—х) = Дх), нужно
доказать существование значения х, для которого это условие не
выполнено.
Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными,
называются функциями общего вида.
Пример 3. Исследовать на четность и нечетность функции:
f\(х) = х4 — 2х2 + 4;	/2(х) = *3 + х;
/з(х) = х3 + х + 5;	Д(х) = y-i— +
Д Функции Л(х),/2(х) и hM определены на множестве R
Функция /Дх) является четной, так как
Д (—х) = (—х)4 — 2(—х)2 + 4 = х4 — 2х2 + 4 = f\(х)
для любого х ей. Функция /2(х) является нечетной, так как
/2(-х) = (-*)3 + (-*) = ~х3 ~х = -/2W
для любого xeR. Функция /з(х) не является ни четной, ни нечетной,
так как /3(-1) = 3, а /3(1) = 7, т.е. /з(-1) ^/з(0 и /3(-1) _/3(1).
У функции Д(х) область определения (—оо;— 1)и(—1; 1) U (1;-Ьоо)
симметрична относительно начала координат
Далее, для любого х справедлива следующая цепочка равенств:
М-"> = ТтЬ + Т7Ь = ьЬ + Т^=«х)-
Так как область определения данной функции симметрична относи-
тельно начала координат и АД—*) = AW ДДя любого х из области
определения, то она является четной.	▲
Пример 4. Доказать, что каждая функция Дх), имеющая
симметричную относительно начала координат область определения,
представима в виде суммы четной и нечетной функций.
§3. Свойства функций
131
Л Рассмотрим две функции f\ (х) =	и /2(х) = № ~2^~х^ •
Их области определения совпадают с областью определения исходной
функции f. Очевидно, что f(x) —	-р №	~ А(х) +/2(%)-
Первое слагаемое — четная функция, а второе — нечетная.
Из полученных формул следует, что искомое представление всегда
существует.	▲
Пример 5. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
следующие функции:
/1 (%) = х3 4- 6х* 2 4- 2х + 4; fe(x) =	+ х + 1.
1 — х2
Д Функция f[(x) определена для любого хб! и
f\ (х) = (х3 4- 2х) 4- (бх2 4- 4) ,
где х3 + 2х — нечетная функция, а 6х2 4- 4 — четная.
У функции f%(x) область определения (—сю;— 1)U(—l;l)U(l;+oo)
симметрична относительно начала координат. Используя формулы,
выписанные в предыдущем примере, получим:
/2М 4- fe(-x) L fe W ~ fe(-*) _
2
х 4~ 2
1	—
f2W =	2
А+2+х+|+ -ХЛ2 х.
1-х2	1 — (—х)2
2
.+ х - 1
2
3 — х2 . 2х — х3
1-х2	1 — х2 ’
2 х2	2х х3
где ---четная функция, а -------5—нечетная функция.
1 — х2	1
1 - X2
3. Монотонные функции
Функция у = f(x), х е X, называется возрастающей (соответ-
ственно убывающей) на множестве М С X, если для любых xj
и х2 из множества М таких, что xj < х2, справедливо неравенство
/U1) < Kxz) (соответственно f(x\) > f(x2)).
Функция y=f(x), хеХ, называется неубывающей (соответственно
невозрастающей) на множестве Л4СХ, если для любых xj и х2 из
множества М таких, что xj <х2, справедливо неравенство f(xi)^/(x2)
(соответственно f(x\)	/(х2))_
Функция, обладающая одним из перечисленных свойств (является
возрастающей, убывающей, невозрастающей или неубывающей) на
множестве М С X, называется монотонной на М.
132
Глава III. Функции
При исследовании функций и построении их графиков важно
найти промежутки, на которых функции возрастают или убывают.
Такие промежутки называют промежутками монотонности функ-
ции. В задачах, отвечая на вопрос о промежутках монотонности
функций, следует указывать максимально возможные промежутки
возрастания и убывания функций.
Пример 6. Найти промежутки монотонности функции у =
1 — х 1 4- х
112
Д Отметим, что и = ------ Ч-----= ------Составим разность
*	1-х	1+х	1-Х2
у(х\) - у(х2). Имеем
2	2 _	2	~ хг)
'-<?	(|-х?)(|-4)'
Область определения исходной функции
D(y) = (-оо; -1) U (-1; 1) U (1; +оо).
Соответственно рассмотрим три промежутка.
1)	Пусть <х2 < —1. Тогда х% — х%> 0, 1 — х% < О, 1 — х^< 0.
Следовательно, у(х\) — у(х%) > 0 на промежутке (—оо;—1), т.е.
функция убывает.
2)	Пусть — 1 < х\ < %2 < 1- Тогда 1 — х% > 0, 1 — х% > 0. При
этом — %2 > 0, если —1 <	0, и х% — х£ < 0, если
0^Х1<%2<1- Следовательно, r/(xj) — у(%2) > 0 на (—1;0],т. е.
функция убывает на этом промежутке, и у(х\) — у(х2) < 0 на
[0; 1), т. е. функция возрастает на этом промежутке.
3)	Пусть 1 <	< %2- Тогда х% — х| <	1 — xf < 0, 1 — х| < 0.
Следовательно, у(х\) — у(х2) < 0 на промежутке (1;+оо), т.е.
функция возрастает.
Итак, данная функция на промежутках (—оо;—1) и (—1;0]
убывает, а на промежутках [0; 1) и (1;+оо) возрастает.	▲
Замечание. Если функция у = /(х) является монотонной на множествах
М\ и М2, то на их объединении она может и не быть монотонной. Например,
функция у=- убывает на каждом из множеств (—оо;0) и (0;+оо), но она не
является убывающей на (—сю; 0) U (0; 4-сю). В самом деле, например, возьмем
— 1 и х2 = 1. Тогда xi <х2, но f(x\) — -1 < 1 = /(х2).
Свойства монотонных функций. Справедливы следующие
утверждения.
1)	Сумма двух убывающих (возрастающих) функций f и g
на множестве М есть убывающая (возрастающая) функция на
множестве М.
§3. Свойства функций
133
2)	Теорема (о корне). Пусть функция f возрастает (убывает)
на промежутке 7И, число а —любое из значений, принимаемых f
на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = а имеет единственный
корень в промежутке М.
О Пусть f(x) возрастает на промежутке М. По условию существует
такое xQeM, что f(xo) = a. Докажем, что х0 — единственный корень
уравнения f(x) = a.
Допустим, что существует xi сМ и f(x[) = a. Тогда или xo>xj,
или > %о- Однако из определения возрастающей функции на
промежутке 7И следует, что если xq>xi, то /Х*о) > Лх1)> если же
х\ >xq, то f(x[) >[(xq). Это противоречит равенству Дхо) =КХ1) — а-
Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке
М других корней уравнения Дх) = а, кроме хд, нет.
В случае убывающей функции f(x) доказательство аналогично.
•
3)	Пусть у = Дх) — монотонная на некотором промежутке функ-
ция. Тогда при любом значении а уравнение Дх) = а имеет не более
одного корня.
4. Наибольшее и наименьшее значения функций
Ограниченность функций. Функция у — [(х), определенная на
множестве X, называется:
•	ограниченной снизу на данном множестве, если существует'
такое число Л, что А Дх) для любого хеХ;
•	ограниченной сверху на данном множестве, если существует
такое число В, что В f(x) для любого х еХ;
•	ограниченной на данном множестве, если существует такое
число М, что М |Дх)| для любого хеХ. Легко видеть, что
ограниченность — это ограниченность сверху и снизу.
•	неограниченной на данном множестве, если для любого числа
М > 0 найдется х^сХ, такой, что \f(xw)| М. Если же при
выполнении этого условия множество X = D(f), то в этом случае
говорят, что функция f не ограничена.
Пример 7. Исследовать на ограниченность функции:
fl (х) = х4 — 2х2 + 4; /2(х) — {*};
/з (х) = х3 + X- /4 (х) = -2. ‘	.
xz — 2х 4- 3
Д Функции	и Мх) определены на множестве R.
Функция /Дх) является ограниченной снизу числом 3, так как
/1 (х) = х4 — 2х2 + 4 = (х2 — I)2 + 3 3
для любого хей.
134
Глава III. Функции
Функция fo(x) является ограниченной снизу и сверху, так как
О < {%} < 1 для любого xeR.
Функция /з(х) не является ограниченной ни снизу, ни сверху,
так как |/з(х)| = |х| • (х2 + 1) > |х|, т. е. принимает по модулю сколь
угодно большие значения.
Функция fa(x) ограниченна снизу и сверху, так как
/4(х)	х2_2х43	(х_|)2 + 2’
а знаменатель (х — I)2 + 2	2. Следовательно, 0 <-----Ц— < i
(х — I)2 4- 2	2
т. е. для всех х е R справедливы неравенства 0</4(х)^0,5.	▲
Пример 8. Доказать, что функция f(x) = не ограничена.
Д Функция Ду определена при всех х е (—оо; 0) U (0; +оо). Пусть
х	1
М — любое положительное число. Положим хм = —?=. Тогда
7 л/2М
= 2Л4>Л4. Следовательно, функция f(x) — ~ не ограничена. ▲
yz
Д/;<0 |Д// <0
х0
Точка
максимума
Рис. 27
Экстремумы функции. Точка xq
называется точкой максимума функ-
ции f(x), если существует такая окрест-
ность U = (%о — й,хц 4- й) точки хо, что
/(х0)>/(х) ПРИ всех xeU, кроме x = xq.
Точка х0 называется точкой мини-
мума функции f(x), если существует
такая окрестность U = (хр — й,хр + й)
точки %о, что f(xo)<f(x) при всех хеЫ,
кроме x = xq (рис. 27).
Точки максимума и минимума функ-
ции /(х) называются точками экстремума и обозначаются хтах
и xmin соответственно.
Замечание. Иногда, для того чтобы подчеркнуть, что неравенства
/(х0) ^/(х) для точки максимума или f(xG) ^f(x) для точки минимума функции
/(х) выполняются лишь в некоторой окрестности х0, эту точку называют точкой
локального максимума (или локального минимума) или точкой локального
экстремума.
Экстремумом функции f(x) называется ее значение в точке
локального максимума или минимума. Такие значения называются,
соответственно, максимумом и минимумом функции и обозначаются
Утах и Утт-
Сформулируем достаточные условия локального экстремума.
§3. Свойства функций
135
Достаточное условие локального максимума. Если функ-
ция у — f(x), х е D(f), возрастает на некотором проме-
жутке (хо — й;х0] £ ^(/) и убывает на некотором промежутке
[х0;*о + ^) СD(f), то точка xq является точкой локального максимума
функции f(x).
Достаточное условие локального минимума. Если функция
y=zf(x), xeD(f), убывает на некотором промежутке (хо~^;хо] ^^(/)
и возрастает на некотором промежутке [xq,xq + 8) cD(f), то точка
xq является точкой локального минимума функции /(х).
Если существует точка хо из множества MQD(f) такая, что при
любом х из множества М имеет место неравенство
/(-*) f(x0),
то говорят, что функция у = Дх) на множестве М принимает свое
наименьшее значение y~f(xo), которое обозначают унаим. Если же
в точке хо имеет место неравенство
то говорят, что функция у — f(x) на множестве М принимает свое
наибольшее значение у = [(хв), которое обозначают г/Наиб-
Если функция у = [(х) возрастает на отрезке [а; 6], то наименьшее
значение она принимает в точке х — а, а наибольшее —в точке х = Ь,
если же она убывает на этом отрезке, то наоборот: наибольшее
значение она принимает в точке х = а, а наименьшее —в точке
х = Ь.
Функция может и не иметь на множестве наибольшего (наи-
меньшего) значения, но если наибольшее (наименьшее) значение
функции на множестве существует, то оно единственно. Заметим,
что точек хо, в которых оно принимается, может быть несколько.
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
х2 — 2х 4- 2
У=-^Г-
Л Найдем множество значений данной функции. Для этого найдем
все такие значения а, для которых имеет решение уравнение
*2.-J^±2. = а.	(1)
х2 4-1
Так как х2 + 1^0, то, домножая обе части уравнения (1) на х24-1
и приводя подобные, получим
(1 — а)х2 — 2х 4- (2 — а) = 0.
При а = 1 решением уравнения (2) служит х = 0,5. При
необходимым и достаточным условием того, что уравнение (2)
действительные корни, является выполнение неравенства
D = -4а2 + 12а - 4 0.
(2)
CL 1
имеет
136
Глава III. Функции
3 — v5 3 I \/5
Отсюда следует, что уравнение (2) при —, а^1,
имеет два различных или совпадающих корня х\ и х2, причем
у(х\) = z/(x2) = cl. Кроме того, а — \ принадлежит выписанному про-
межутку. Следовательно, функция принимает все значения из отрезка
ГЗ- л/5 З + х/5]	гт	З-х/5	З + л/5
— 2х-; —И ТОЛЬКО ИХ. Поэтому Г/наим =	Унаиб = “•
Найдем значения х, в которых достигаются найденные наибольшее
и наименьшее значения функции. Из формулы для корней уравне-
3 - \/5	4	г~
ния (2) следует, что при а ——И— числа х\—х^ =-----------7==3 + v5,
2	3 — v 5
3 -4- х/5	4 о /Н
а при а = числа Х[ — х2 =	— 3 — v 5.
Значит, г/Наим = */(3 + \/5) = и г/наиб = У@ - л/5) = 3+2л/5- А
Пример 10. Постройте график функции у = f(x). Укажите
промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремумов
функции, если
( —х2 — 2х,	при х < О,
Х [ х2 — 2х,	при х 0.
А График данной функции изображен на рис. 28. Функция возрас-
тает на промежутках (—оо;—1] и [1; +оо) и убывает на промежутке
[—1;1]. Точки экстремумов: хтах = — 1, xmjn — 1-	А
Пример 11. Постройте график функции у = /(х). Укажите
промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремумов
функции, если
f(x) = х2 - 1 + |х2 - 1|.
Г 0, при |х| < 1,
Д Заметим, что /(х) = |2л2_2_ при |х|>1
График данной функции изображен на рис. 29. Функция убы-
вает на промежутке (—оо;—1], возрастает на промежутке [1;+оо)
и является постоянной на промежутке [—1; 1]. Точки х = —1 и х = 1
§3. Свойства функций
137
являются точками минимума, причем /(—1) = /(!) = 0. Любая точка Xq
из интервала (—1; 1) является одновременно как точкой минимума, так
и точкой максимума, так как f(x) = f(xo) для любого х из интервала
(—1; 1), который является окрестностью точки хое(—1;1).	▲
5. Периодические функции
Функция у — f(x) называется периодической, если существует
такое число Т>0, называемое периодом, что для каждого xeD(f):
1) точки х + Т и х—Т принадлежат области определения функции;
2) f(x)=f(x+T).
Если Т — период функции, то ее периодом будет также и число
kT, k eZ. Наименьший из положительных периодов периодической
функции (если он существует) называется ее основным (главным)
периодом.
В качестве примера рассмотрим следующие функции:
а)	у = {х} = х — [х] — «дробная часть х». Ее основной период
Т=1;
б)	функция Дирихле
{1, если х е Q,
0, если х Q,
в качестве периода имеет любое рациональное число, но
основного периода не имеет;
в) у = С, где С — постоянная, в качестве периода имеет любое
положительное действительное число, но основного периода
не имеет.
Свойства периодических функций. Справедливы следующие
утверждения.
1)	Если точка xq принадлежит области определения D(f) пе-
риодической функции f(x) с периодом Т, то £)(/) принадлежат
и все точки хо + пТ, п Е Z. Область определения периодической
функции содержит сколь угодно большие по абсолютной величине
положительные и отрицательные числа.
2)	Периодическая функция принимает каждое свое значение
в бесконечном числе значений аргумента, среди которых есть
сколь угодно большие по абсолютной величине положительные
и отрицательные числа. Периодическая функция не может быть
возрастающей или убывающей на всей области определения.
3)	Если для периодической функции /(х) с периодом Т на
некотором отрезке [а;а + 7| выполнено неравенство |/(х)| < М,
то это неравенство выполняется при всех значениях аргумента.
138
Глава III. Функции
Периодическая функция /(х), определенная и непрерывная на всей
числовой прямой, ограничена.
4)	Положительные числа Т\ и Т2 соизмеримы, если — = — gQ,
7*2 п2
ni,ri2GN. В этом случае существует такое Tq > 0, что Т\=п\То,
Т2 — п2То. Назовем наименьшим общим кратным HOK(Ti,72) таких
чисел величину Т = НОК(п|,П2) • Tq.
Теорема. Пусть Т\ > 0 — период функции f(x), а Т2 > 0 —
период функции g(x), причем Т\ и Т% соизмеримы. Если суще-
ствуют значения х, принадлежащие одновременно D(f) и D(g),
то функция h(x) == f(x) + g(x) ~ периодическая, имеющая периодом
число Т = НОК(7ь Т^)-
О Если Т = НОК(7"1, Т2)» то существуют такие целые числа k и /и,
что T — kT\ и Т = тТ2. Пусть х —любое значение из D(ti). Тогда
h(x + Т) = f(x + Т) + g(x + Т) =
= f(x + kTi) + g(x + mT2) = f(x) + g(x) = h(x).	•
Замечание 1. Любое число вида пТ, где neN, будет являться периодом
функции h(x).
Замечание 2. В данной теореме утверждается лишь, что Т — наименьшее
общее кратное соизмеримых отрезков Т\ и Т2 — является одним из периодов.
Однако может оказаться, что функция h(x) = f(x) + g(x) будет иметь периоды,
меньшие Т. Например, /(х) — {х}, g(x) = I — {х}, /i(x) = 1
Замечание 3. Верны аналогичные теоремы для произведения и частного
периодических функций /(х) и g(x),
Пример 12. Пусть 2л—-период функции /(х), а 0,бтг—период
функции g(x). Найти один из периодов функции /(x)+g(x).
Д Отрезки длины Т\ = и Т2 = 0,6д соизмеримы, так как их
отношение -Л = есть рациональное число. Зто означает, что
Т2 3
существует такое Tq > 0, что Т\ = 10 • Tq, Т2 = 3 • Tq. В данном
случае Тогда число Т — НОК(3,10) • = 30 • — 6л является
периодом функции f(x)+g(x).	▲
Пример 13. Найти главный (основной) период функции
№) = {!}.
Д Докажем, что число Т = 2 — главный период данной функции.
Действительно, число Т = 2 — ее период, так как D(f) = R, и для
любого х G R справедливо равенство /(х + 2) —	| ~	+ 1} —
§3. Свойства функций
139
Покажем, что никакое число 7\, 0 < Т\ < 2, не может являться
периодом функции /(х) = |^|. Предположим, что такое число суще-
ствует. Тогда для любого х имеет место равенство =	+
В частности, при х = 0 имеем 0= {21}. Но так как 0< Т\ <2, то
0< Л < i и 1211 = 21, т. е. Т\ =0. Это значит, что никакое число Ti,
2 I 2 J 2	1	1
0 < Т\ < 2, периодом данной функции не является. Следовательно,
число 2 — основной период.	▲
Задачи
1.	Определить, какие из функций являются четными, нечетными и какие не
являются ни четными, ни нечетными:
1)	у — х2-х4;	2) у — х3-х5;	3) # = х3-х2;
4)#=(х —З)3;	5) z/ = (2-x)3-(2 + x)3;	6) у =---Ц-----;
7)«/ = 3^;	8) </= У2ЙЛ;	9) у = |4х - 3|;
10)	</=|х-2|-3|х| + |х + 2|; 11) «/= [|4х|]; 12) у = sign(2x- 1);
13)	У = sign |2х|.
2.	Пусть Дх) и g(x) — нечетные функции. Что можно сказать о функциях
^(х) =/(x)+g(x),^2(x) = f(x)g(x), 9»з(х) =/(gW), <р4(х) = xf(x) + |g(x)|?
3.	Известно, что Дх) —четная функция, a g(x) — нечетная. Что можно
сказать о функциях ф1(х) = /(х + g(x)), ср^х) = f(x)g(x), ф3(х) = g(f(x)),
ф4(х) =x/(x)+g(x)?
4.	Доказать, что если Дх) — произвольная функция, a g(x) — четная, то
f(g(x)) — четная функция.
5.	Доказать, что если Дх) — нечетная функция и ДО) существует, то ДО) = 0.
6.	Представить функцию в виде суммы четной и нечетной функций:
1) f(x)=x4-Зх3 + 6х2+2х + 4;	2) f(x) = -Х* +*-;
xz 4- х 4-1
3) Дх) = |2х4-1| - 2|х - 1|;	4) Дх) = sign(х2 4-х).
7. Пусть Д(х),... ,Д(х)—функции, каждая из которых либо четная, либо
нечетная. Доказать, что:
1) функция |/|(х)| 4-... + |/п(х)| четная;
2) функция Д(х) •...  fn(x) нечетная, если количество нечетных функций
/Дх) нечетное, и четная, если это количество четное;
3) функция /1 (/2 (/з (• • • (/п(х))...))) четная, если хотя бы одна из функций
/Дх),... ,ДДх) четная, и нечетная, если все функции /Дх),... ,/п(х)
нечетные.
8. Найти все четные и все нечетные функции:
1) среди линейных функций Дх) —ах + Ь;
2) среди квадратичных функций Дх) = ах2 4- Ьх + с.
140
Глава III. Функции
9. Вычислить /(—3), если известно, что /(3) = 2, а функция /(х)4-х2 нечетная.
10. Вычислить /(4), если известно, что /(—4) = 9, а функция (х4-1)/(х) четная.
И. Найти, какой формулой определяется функция f(x) при х < 0, и решить
уравнение f(x) = 3, если известно, что при х > 0 функция f(x) задана
формулой f(x) = —х2 4- 4х, и кроме того, известно, что:
1)	/(х) — нечетная; 2) f(x) — четная.
12.	Найти промежутки возрастания и убывания функций:
1)	у = 2-х-х2;	2) z/ = 3x2 + 12x+l;	3) У=^^;
4)г/=Шт;	5) z/= 2 — vT+~2x;	6) </ = 3-|х+1|;
7)</ = {х};	8) </=[х].
13.	Построить график функции у — f(x) Указать промежутки возрастания
и убывания, если:
п н J 8 —(х + 6)2, прих<-6,	f —х —4, прих<-1,
1	[ |х2-6|х|+8|, при х^-6; J Цх - 2)|х|, при х > 1
2)
3)
14.	Доказать, что сумма возрастающих функций является возрастающей Верно
ли, что:
сумма убывающих функций — убывающая функция;
произведение возрастающих функций — возрастающая функция;
произведение положительных возрастающих функций — возрастающая
функция?
15.	Что можно сказать о функции f(g(x)), если:
1)	f и g — возрастающие функции;
2)	/—возрастающая, a g — убывающая функции;
3)	/ и g —убывающие функции?
16.	Пусть /(х) — функция, определенная на промежутке [—1;4) и убывающая
на этом промежутке. Известно, что /(2) = 5. Решить неравенство /(х) > 5.
17.	Найти точки экстремумов и экстремумы функции:
1)	/(х) = 2 —|х|;
2)	/(х) = 2.....'....S
х1 4- 5х 4- 6
( J .
5) f(x) =
при
—х2 4- 7х — 12,
3)	/(х) = -^4;
14-х2
13
с> 7-
18.	Найти наименьшее
х1 4- х 4-1
3)	у = \/2 4-х — х2;
19.	Найти наименьшее и
I)	г/ = 24-х —х2, хе[—1;3|;
з) =	*еП;4].
при X
наибольшее значения функции:
2) у —	;
х2 4- 2х 4- з
4) у = у/2х* - 6х2 + 7.
наибольшее значения функции на отрезках:
2) </ = 4+-Ц, хе[0;2|;
X — и
4) Дх) = 5И+1;
и
20. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения /(х,г/) = х2 4-если
хе
а у е [-3;-!].
§3. Свойства функций
141
21. Являются ли периодическими функциями:
1) сумма п периодических функций;
2) произведение п периодических функций?
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Число Т является основным периодом функции f(x). Доказать, что число
Т
Т{ = — является основным периодом функции f(kx), где k / 0.
|Аг|
Доказать, что каждая из следующих функций является периодической,
и найти ее основной период:
') 5=^+1):	4> »-{ЙЛ'!А72-
Доказать утверждение: если / — периодическая функция, то какова бы ни
была функция g, функция h — g(f(x)) является периодической функцией.
Пусть / — периодическая функция, a g—непериодическая. Является ли
периодической функция h = f(g(x))?
Докажите, что функция /, D(/) — R, является периодической с периодом
Т\, если для всех xgR выполнено условие:
1) f(x+T)=-±- 7’>0; Г) =27’; 2) /U + 7} = T-L-., Т > 0; 7\=ЗТ.
Числа 2л и 0,8л, соответственно, являются периодами функций /(х) и g(x).
Найти один из периодов функции:
1) /(Зх);	2) y = f(£) ;	3) y-f(x) + g(x)-,
4) ^ = /(3x)+g(2x);	5) у = / (*)
28.	Вычислить значения /(2), /(1,5), f (— 1з|) функции y = f(x), если известно,
что она имеет период Т — 1 и на промежутке [0; 1) задана формулой:
1) у = х2 — х\ 2) у — х^+х2.
29.	Известно, что /(х) — периодическая функция с периодом 2 и /(х)=х2—Зх
при — 1 <х^ 1. Написать формулу для /(х) на промежутке (3;5].
30.	Пусть /(х) — нечетная периодическая функция с периодом 6 и /(х)=х3 —Зх2
при хе [0;3]. Написать формулу для /(х) на отрезке [9; 12].
31* Известно, что равенство /(х 4- 2) = —/(х) выполняется для всех х е R.
Доказать, что функция /(х) является периодической с периодом 4.
32? Пусть	/(х) — функция,	удовлетворяющая	для	всех	х	равенству
/(х) =/(2 — |х|). Доказать, что /(х) — четная периодическая функция.
33? Пусть	/(х) — функция,	удовлетворяющая	для	всех	х	равенству
/(х 4- Т) — f(x) 4- а. Доказать, что функция /(х) является суммой
периодической и линейной функций.
34. Доказать, что следующие функции не являются периодическими:
1) У = х2-,	2)//=|2х+1|.
35. Известно, что функция у = /(х) является нечетной и периодической
с периодом 1. Найти /(—8,3), если известно, что /(2,3) = 2.
36. Функция у = f(x) определена для всех х € R и является нечетной
периодической с периодом 4. На промежутке 0 х 2 ее значения
вычисляются по формуле /(х) = I — |х - 1|. Решить уравнение
2/(х) • /(х - 8) 4- 5/(х 4-12) 4- 2 = 0.
142
Глава III. Функции
37* Функция f(x), определенная при всех х G R и не равная 1 ни при каком
значении х, удовлетворяет равенству f(x 4- 2) =
/(2) = 3.
! + ,Ч- Найти /(2000), если
1 - /(х)
38. Функция f(x), определенная при всех значениях х и не равная 0 ни при
каком значении х, удовлетворяет равенству f(x + 4) =
если /(8) = 5.
№ ~ 1. Найти /(2004),
39* Функция f(x) для всех х удовлетворяет равенству f(x 4- 3) — х 4- 5 - /(х),
а при хе [0,3] задается формулой /(х) = I 4-6,5х — х2. Найти /(100).
40* Известно, что /(х) — нечетная периодическая функция с периодом 6
и /(х)=х2-3х при хе[0;3]. Вычислить сумму /(1)+ /(2) + ... +/(100).
41. Пусть /(х) — функция с периодом 5 и /(х2) = Зх4 — х6 при хе [0; \/5].
Вычислить /(-2).
Ответы
1.	Функции под номерами 1), 8), 10) являются четными; функции под
номерами 2), 5), 6), 7), 13) являются нечетными. 2. ср\ и (рз — нечетные
функции, (р2 и ф4 ~ четные. 3. <^| и (рз — четные функции, ср2 и ф4 — нечет-
ные. 6. 1) /(х)=(х4+6х2+4)-(Зх3-2х); 2) /(х) = |( *4+* у *4~*Л Г
2'х24х41	х2-х417
+	3) /W = h|2x+l|-2|x-l|+|l-2x|-2|x+l|) 4-
2'х24х41 х —х41'	2
-Ц (|2х4-1| —2|х—1| —11 —2х|4-2|х4-1|); 4) /(х) = | (sign (х2 4-х) + sign (х2-х)} 4-
4- (sign(x24-x) — sign(x2— х)). 8. 1) Четная при а = 0, нечетная при Ь — 0;
2) четная при b = 0, нечетных нет (если а 0). 9. —20.	10. —5,4.
11.	1) /(х) = х2 4- 4х при х < 0, х = — 2 — л/7, х — 1, х = 3; 2) /(х) = —х2 — 4х
при х < 0; х = ±1,х = ±3. 12. 1) Возрастает на (—оо;—0,5], убывает на
[—0,5;4-оо); 2) возрастает на [—2;+оо), убывает на (—оо; —2]; 3) возрастает
на интервалах (—оо;3) и (3;+оо); 4) убывает на интервалах (-оо;-0,25)
и (—0,25; 4-ос); 5) убывает на [—0,5; 4-оо); 6) возрастает на (—оо;—1], убывает
на [—1;4-оо); 7) возрастает на каждом промежутке [/г; k 4- 1), где k G Z;
8) функция у = [х] является неубывающей на R, но участков возрастания
у нее нет, так как на каждом промежутке [k; k 4- 1), где k G Z, функция
принимает постоянные значения. 14. 1) Да; 2) нет; 3) да. 15. 1) Возрастаю-
щая; 2) убывающая; 3) возрастающая. 16. [—1;2).	17. 1) хтах = 0, //max = 2;
2) Хтах — —2,5, //max — —4; 3) Хтах — Г ^тах — Г» Xmin = — 1, //min — ~ Г
13	120
4) Хтах = 0, //тах = —1} 5) Хтах — 0, //тах^Г -^min —у, //min — _"дд"’ ^min — 3,5,
1/min = 0,25.	18. 1) (/„аиб =	Z/паим =
2) Упаиб =У (— 1 + у/2) =	Унаим =У (—1 — \/2) = — ^; 3) </Наиб = </(0,5) = 1,5,
//найм — //(—1) — //(2) = 0; 4) z/наим — у (д/1,5) = у (—-\/1,5) = \/2,5, наиболь-
шего значения нет. 19. 1) //найм = -4; //11аиб = 2,25; 2) //найм = 3; //наиб =
3) //найм =0;//паиб = 0,9. 20. /найм =-6, /наиб = 2.	21. Сумма и произведение
будут периодической функцией, если периоды всех функций соизмеримы.
§4. Обратная функция
143
25. Не обязательно. Например, у = {х2}.	27. 1)	2) 6л; 3) 4тг; 4) 2л;
5) 24тг. 28. 1) /(2) = 0, /(1,5) = -|, /(-^)=-^; 2) /(2) = 0, /(1,5) = -|,
/ (-^) = -	29. (х - 4)2 - 3(х - 4).	30. (х - 12)3 + 3(х - 12)2.
31. Указание. Выразить f(x +4) через f(x).	32. Указание. Четность
f(x) очевидна. Далее доказать равенство /(х + 2) = f(x) для х 0, затем для
х>0. 33. Указание. Доказать, что функция cp(x)=f(x) —ax — периодическая
с периодом Т. 35. —2.	36. х\ — 4и-1,5, х2 = 4я —0,5, пей. 37. 0,5.
Указание. Доказать, что f(x) — периодическая функция. 38. 0,8.	39. 45.
Указание. Выразить /(х + 6) через /(х).	40. —2. Указание. Убедиться
в том, что /(/г) + /(/г+1)4 ... Ьf(k4-5) = 0 при всех k. 41. 18.
§4. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
1.	Определение
Пусть задана числовая функция у = f(x), х е D(f). Тогда каж-
дому xq Е D(f) соответствует единственное число yQ — {(xq) Е Е([).
Нередко приходится по заданному значению функции £/о находить
соответствующее значение аргумента, т. е. решать относительно х
УРаВНеНИ е	/« = //0, №€£(/).	(1)
Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно
много решений. Решениями уравнения (1) являются абсциссы всех
точек, в которых прямая y — yQ пересекает график функции y~f(x)
Например, если f(x) = х2, то уравнение
*2 = //о, Уо > О,
имеет два решения: х\ = у/у$ и х2 = —\/^о- Если же /(х) = {х}, то
уравнение	f .	~	.
{*}=Уо, O^z/o<l,
имеет бесконечно много решений вида х^ = k-E yQ,k Е Z.
Однако существуют функции, для которых уравнение (1) при
каждом г/о е £(/) разрешимо однозначно, т. е. имеет единственное
решение xqED(J). Этим свойством обладают, например, следующие
функции:
а)	/(х) = 5х + 2, D(/) = R;
б)	/(х) = х34-2, £)(/) = R;
в)	Дх) = 1, £>(/) = (-оо; 0) U (0; +оо).
Если функция f такова, что каждое свое значение УоЕЕ([) она
принимает только при одном значении хое £>(/), то такую функцию
называют обратимой. В этом случае уравнение
/(*) = у
можно при любом yeE(f) однозначно разрешить относительно х, т. е.
каждому у Е E(f) поставить в соответствие единственное значение
144
Глава III. Функции
xeD(f). Это соответствие определяет функцию, которую называют
обратной к функции f и обозначают символом f~[.
Заметим, что прямая у = у$ для каждого значения уо Е E(f)
пересекает график обратимой функции у = [(х) в единственной точке
(хо,уо), где Дх0) = Уо-
Обозначая, как обычно, аргумент обратной функции буквой х,
а ее значение — буквой у, обратную к f функцию записывают в виде
у = Г\х), хе/)(/-')
Для упрощения записи вместо символа /^ будем употреблять
букву g.
Отметим следующие свойства, которые показывают, как связаны
данная функция и обратная к ней:
1)	если g —функция, обратная к /, то и / — функция, обратная
к g; при этом
ад = £(/), ад = ж/),
т. е. область определения функции g совпадает с множеством
значений функции / и наоборот;
2)	для любого х Е D(f) справедливо равенство
g(f(x)) = x,
а для любого х Е £(/) справедливо равенство
КёМ) =
3)	график функции у = g(x) симметричен графику функции
у — /(х) относительно прямой у = х.
О Пусть точка М(а,Ь) принадлежит графику функции у = /(х),
т. е. b = f(a). Из существования обратной функции следует, что
а —	Значит, точка Af](Z?;6z) принадлежит графику обратной
функции y = f~\x). Верно и обратное утверждение.
Покажем, что точки М(а;Ь) и М\(Ь;а)
симметричны относительно биссектрисы
I и III координатных углов. Пусть а^Ь,
т. е. точки М и М\ не совпадают. Тогда
очевидно, что ОМ[ = ОМ, и прямая
у — х делит пополам угол в равнобед-
ренном Л ОММу Значит, она перпен-
дикулярна отрезку ММ\ и делит его
пополам. Следовательно, точки М(а;Ь)
и Л41(6;а) симметричны относительно
прямой у = х.	•
4)	если нечетная функция обратима, то обратная к ней функция
также является нечетной
§4. Обратная функция
145
2. Достаточное условие существования обратной функции
Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на множестве X, то
для нее существует обратная функция, и она возрастает (убывает)
на множестве значений данной функции.
О Пусть функция y = f(x), например, возрастает на множестве X. То
есть при Х],х2еХ из условия х\ <х2 следует у\ <у<^ где у\ = /(х|),
У2 — f(x2). Так как обратный переход однозначен, то отсюда следует,
что *i	х2=/ ‘('/2) и если У\ < у2, то
Аналогично рассматривается случай убывающей функции. •
Способ нахождения обратной функции состоит в следующем.
Чтобы найти функцию, обратную монотонной функции y = f(x),
нужно поменять местами буквы х и у, т. е. написать x = f(y), и из
полученного равенства, как из уравнения, найти у. Это и даст
обратную функцию y = f~[(x).
Пример 1. Функция f(x) = х2 отображает всю числовую ось
(—оо;+оо) на полуось [0;4-оо). Однако это отображение не является
взаимно однозначным, так как, например, /(2) = /(—2). Поэтому
функция у = х^ не имеет обратной функции.
Пример 2. Функция /(х) = х2, х^О (т. е. функция предыдущего
примера, у которой область определения сокращена до полуоси
[0;+оо)), осуществляет взаимно однозначное отображение множества
[0;+оо) на себя. Следовательно, существует обратная функция
g: [0;+оо) —> [0;Ч-оо). Это функция f~[(x) = у/х.
Замечание. Данные примеры показывают, что некоторые функции обрат-
ной функции не имеют, если их рассматривать на всей области определения,
и имеют обратную функцию, если область определения сузить (например, для
функции х2 взять [0; +оо)). Часто в качестве сужения области определения
берут интервал монотонности функции f(x).
Пример 3. Сузить D(f) так, чтобы функция /(х)=х2 —Зх имела
обратную. Написать формулу обратной функции.
А Функция /(х) — х2-3х убывает на промежутке (—оо; 1,5] и воз-
растает на [1,5; +оо), поэтому сужение может быть осуществлено
двумя способами.
1) Рассмотрим функцию /|(х) = х2 —Зх, х^1,5. Решив уравнение
х2 — Зх = yt или х2 — Зх — у = 0, найдем его корни х^ =
—	у/$ + ф Так как х < 1,5, то х =	у/^..ААу1 . Таким обра-
2	_____ 2	____
зом, /j~1 {у) —	~	+	, следовательно, /j"1 (х) =^~~	,
146	Глава III. Функции
2) Теперь рассмотрим функцию f2(x)=x2 — Зх, х>1,5. Рассуждая
аналогично, получим /~!(х) = ,(3 + \/9 4-4х)>	д
Пример 4. Найти обратную функцию f~^(x) для f(x) = х~ 1 .
оХ Г Z
А Решим относительно х уравнение у — ~ 1 . Имеем:
Зх “Р 2
х — 1 = Зху + 2у; х — Зху = 2г/ + 1; х(1 — Зу) = 2у + 1.
Если 1—3i/ = 0, т.е. У~у, то последнее соотношение превращается
О
в неверное равенство 0 = Поэтому можно записать х =	1,
следовательно, / !(х) — —— 1.	▲
1 — Зх
Задачи
1.	Определить, для каких из следующих функций существует обратная
функция. Написать формулу обратной функции:
1)	Дх)=Зх-5;	2)	3) f(x) = х3 + Зх2 + Зх;
х - 3
4) f(x) ~ х2 4- х, х 0;	5) f(x) — х2 4- х, х < 0.
2.	При каких соотношениях между числами a, b, с, d функция обратна
самой себе?
3.	На какое множество отображает функция f множество А, если:
1)	Дх) = — , А = (3;5);	2) Дх) = х, А = [-4;5);
х — 3
3)	Дх)=х2—х —2, А = [0;3]?
4.	Доказать, что если функции fug имеют обратные, то (/og)_| =g_| оД1
(здесь символ о обозначает композицию функций).
5.	Пусть Дх) — функция, для которой существует обратная функция /“’(х)
Что можно сказать о функции /~*(х), если:
1)	функция Дх) нечетная; 2) Дх) — возрастающая;
3)	Дх) — убывающая?
6* Какие из следующих функций имеют обратные функции:
1)Дх) = х + х3;	2)Дх)=х —х3;	3)Дх)=х|х|?
7.	Для следующих функций Дх) написать формулу обратной функции f~l(x)
и указать ее область определения:
1)/(х)=Ж+7;	2)/(x) = Az_2;	3) /(х) = л/3^+1.
OX J- и
8.	Пусть g(x) — функция, обратная к функции Дх)=х4-х5. Вычислить g(34).
9.	Пусть ^(х) — функция, обратная к функции Дх). Выразить через g(x)
функцию, обратную к функции f(ax 4- b) (а / 0).
10* Написать формулу обратной функции /-,(х) для функции Дх) = 2х-|х4-1|.
§5. Графики функций
147
Ответы
1. 1) Г'М =	2) Г'(х) =	3) /“'(х) =	- 1; 4) Г'(х) =
_ VI + 4х -1. 5) функция не имеет обратной функции. 2. Либо a = — d, либо
b = с = О, а = d. 3. 1) (2,5;+оо); 2) (—1;2); 3) [-2,25;4].	5. 1) f~\x)
нечетная; 2) /~*(х) — возрастающая; 3) /^'(х) —убывающая. 6. Функции при-
меров 1 и 3 имеют обратные, так как являются возрастающими; 2) функция
f(x) = х — х3 обратной не имеет, так как не является взаимно однозначной
(/(0) = /(!)). 7. 1) Г'(х) = ^^, —оо < х <+оо; 2) г‘(х) = 5Ц2	1.
3) г'(х) = 3~(g~ 1)2, х^ 1. 8.2. 9.	10	^2x4-1 + 1x4-21
Указание. Сначала получить формулы для f~[(x) при х —2 и х —2,
а затем подобрать a, [X у так, чтобы /~*(х) = ах + /3 + у|х + 2|.
§5. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
В настоящем параграфе рассматриваются функции, графики
которых могут быть построены методом элементарных преобра-
зований (перечень их приведен ниже). Допускается построение
по нескольким точкам графиков основных элементарных функций,
изучаемых в школе, вид которых известен: линейной (достаточно двух
точек); квадратичной (достаточно указать вершину и еще две точки);
дробно-линейной функций у—-} а также функций, с которыми вы
X
познакомитесь позже: степенной, показательной, логарифмической,
тригонометрических и обратных тригонометрических.
Приступая к построению графика функции у — f(x)t необходимо
выяснить, можно ли ее график построить либо на всей области
определения, либо на некоторых ее участках путем элементарных
преобразований графика какой-либо элементарной функции, график
которой построен.
1. Элементарные (геометрические) преобразования графиков
Пусть график функции у = f(x) уже построен. Перечислим
преобразования графика, которые называются элементарными.
1)	График функции y = f(x + a) получается из графика функции
у = f(x) параллельным переносом вдоль оси Ох на а единиц влево,
если а > 0, и на {—а) вправо, если а < 0 (рис. 31).
2)	График функции y = f(x) + a получается из графика функции
у = f(x) параллельным переносом вдоль оси Оу на а единиц вверх
при а > 0 и на (—а) вниз при а < 0 (рис. 32).
148
Глава III. Функции
У\ y=f(x+a)
y=f(x+a)
а <0
х
y=fM
Рис. 31
Рис. 34	Рис. 35	Рис. 36
3)	График функции у = — f(x) получается из графика функции
у = f(x) зеркальным отражением относительно оси Ох (рис. 33).
4)	График функции у = f(—x) получается из графика функции
у = f(x) зеркальным отражением относительно оси Оу (рис. 34).
5)	График функции у = af(x) получается из графика функции
у = f(x) увеличением (при а > 1) или уменьшением (при 0<а<1)
масштаба по оси ординат относительно того, что был у графика
y — f(x). При а>\ график растягивается, а при 0<а<1 сжимается
к оси абсцисс (рис. 35). При а < 0 график функции у = а/(х)
получается зеркальным отражением относительно оси Ох графика
функции у = Н •/(%).
6)	График функции у = f(ax) получается из графика функции
У — f(x) уменьшением (при а > 1) или увеличением (при 0 < а < 1)
масштаба по оси абсцисс относительно того, что был у графика
При а > 1 график функции у = f(ax) получается сжатием
в а раз к оси ординат (вдоль оси абсцисс), а при 0 < а < 1
растяжением графика у = /(х) в - от оси ординат (вдоль оси
а
абсцисс); см. рис. 36. При a<Q график функции y = f(ax) получается
зеркальным отражением относительно оси Оу графика функции
y = f(\a\x).
§5. Графики функций
149
Рис. 37
Рис. 39
7)	График функции у = |/(х)| получается из графика функции
у = f(x) с использованием определения модуля функции
1ЯМ-1	ПРИ/(Х)^°>
I/WI —	ПрИ < о
Для построения графика функции у — |/(х)| часть графика функции
у = f(x), расположенную выше оси Ох, нужно оставить без изме-
нения, а часть, лежащую ниже оси Ох, нужно зеркально отразить
относительно этой оси (рис. 37).
8)	При построении графика функции у = /(|х|) нужно часть
графика функции у = f(x), расположенную справа относительно
оси Оу, т. е. при х 0, оставить без изменения, а часть графика
функции y — f(x), расположенную слева относительно оси Оу, т.е.
при х 0, заменить зеркальным отражением относительно оси Оу
части графика функции y — f(x) для х>0 (рис. 38).
Рассмотренные геометрические преобразования графиков функций
могут комбинироваться между собой. Так, построение графика
функции у = Af(ax -Г b) -Г В по графику функции у = /(х) может
быть проведено по одной из двух схем.
При первой схеме:
/(х) I—> Д/(х) и-> Af(ax) и-> Д/ (а (х +	»->
^Af (а(х + £)) +B = Af(ax + b) + B.
При второй схеме:
/(х)н^/(ах)ь->Д/(ах)н^Л/(ах)+Вь->Д/(а (x + ^Q) +B=Af(ax+b)+B.
Замечание. Иногда требуется построение графика соответствия |у| = /(х).
Для этого часть графика функции у = Дх), расположенную выше оси Ох,
нужно оставить без изменений и также зеркально отразить ее относительно
оси Ох, а часть графика функции у — f(x), расположенную ниже оси Ох,
удалить (рис. 39).
150
Глава III. Функции
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить график функции
у = х2 — 5х 4- 6.
А Квадратный трехчлен х2 — 5х + 6 после
выделения полного квадрата можно записать
в виде (х — 2,5)2 — 0,25. Тогда построение
графика функции можно осуществить по сле-
дующей схеме (рис. 40):
х2ь->х2—0,25н->(х —2,5)2—0,25=х2—5х+6. ▲
Пример 2. Записать цепочку преобразований для построения
2х  1
графика функции г/ =	.
А Выполним преобразования: —	— — +	3 = 2----. Следо-
к h	х+1 х + 1	х+1
вательно, график функции у = — ~ 1 — 2----можно получить из
графика функции у — 1 путем геометрических преобразований по
следующей схеме: -	5 к-> — - i—> — —н-> —3—+ 2 =	▲
хх х х+1	х+1	х+1
Пример 3. Построить график функции у = |— х2 +- 2 |х| +- 3|.
А Запишем функцию в виде у — | — |х|2 +2|х| +- 3|. Построение ее
графика проведем по схеме
—х2 +-2х +-3 i-> —|х|2 +-2|х| +-3н> |—|х|2 + 2|х| +3|
(см. рис. 41).	▲
Пример 4. Построить график функции у = |х + 1| — |х| +- 3.
А Разобьем область определения функции у на три промежутка:
(—оо; —1], (—1;0] и (0;+-оо) (рис. 42). При хе(—оо; —1] имеем |х| = —х,
|х+-1| = — (х + 1), откуда у — — (х+-1) — (—х) +-3 = 2. При х е (—1;0]
получаем |х + 1| =х +1, |х| = — х, откуда £/ = (х + 1) — (—х)+-3 = 2х + 4.
При х е (0;+оо) будем иметь |х + 1| = х + 1, |х| = х, а значит,
§5. Графики функций
151
У
Рис. 42
у = (%+ 1) — х + 3 = 4. Следовательно, построение графика функции
у — |х-4- 1| — |х| + 3 сводится к построению графика функции
' 2, х € (—сю; —1],
у= < 2х + 4, хе (—1; 0],
4, хе(0;4-оо).
Пример 5. Построить график функции /(х) = ||х| — 4| и с его
помощью определить множество значений, принимаемых функцией
в двух, трех и более точках; а также определить максимальное
число корней уравнения f(x) = a.
Л С помощью элементарных преобразований
х •—> |х| >-» |х| — 4 >-» ||х| — 4|
строим график данной функции (рис. 43).
Проводя прямые у = а, убеждаемся, что при а < 0 точек
пересечения с графиком функции f(x) = ||х| — 4| нет; при а —О —
две точки; при 0 < а < 4 — четыре; при а = 4 — три; при а >4 — две.
Ответ. Бу=[0;+оо); значение 0 принимается в двух точках;
каждое значение из интервала (0;4) принимается в четырех точках;
значение 4 —в трех точках; все остальные — при двух различных
значениях х. Максимальное число корней уравнения ||х| — 4| = а
равно четырем.	▲
2. Центральный поворот и гомотетия
Рассмотрим также два частных случая преобразования графиков
функций.
Поворот графика относительно точки. Рассмотрим семейство
прямых вида у —	= k(x — х0). Все они получены друг из друга
поворотом на некоторый угол относительно точки (%о;*/о) (центр
поворота).
Например, прямые семейства у — 2 — k(x + 1) переходят друг
в друга преобразованием поворота с центром в точке Д(—1;2).
152
Глава III. Функции
Гомотетия. С помощью этого пре-
образования строится семейство кри-
вых, получаемых из некоторой данной
кривой гомотетией с центром в начале
координат.
Например, уравнения вида
|х| 4- |z/| = а или х2 4- у2 = а2 задают
такие семейства кривых
Пример 6. Изобразить кривые, за-
даваемые уравнениями |х| 4- |z/| = а
9	9	9
и xz4-y — az при значениях параметра
а = 2; 4; 5; 7.
Л Построим кривую, заданную уравнением |х| + |z/| = а. Ясно, что
значение а должно быть положительно, иначе равенство не имеет
смысла. Рассмотрим уравнение в каждой из четвертей (рис. 44):
И + М = а <=>
- х 4- */ = а,
—х 4- у = а,
—х — у = а,
к — у = а.
если х 0 и г/ О,
если х < 0 и у 0,
если х < 0 и у < О,
если х 0 и у < 0.
Кривой, отвечающей второму уравнению х2 -Ь у2 = а2, является
окружность радиуса а с центром в начале координат.
Уравнения |х| 4-1#| = а их24-/ = а2 задают два семейства кривых,
в каждом из которых кривые семейства являются гомотетичными
(центр гомотетии — точка 0(0; 0)) квадратами в первом случае
и окружностями — во втором. Из построенных рисунков видно, что
при увеличении а квадраты и окружности увеличиваются. ▲
Задачи
1.	Построить графики функций:
1)	у—— х2 — 4;	2) у = 2х2 4- 6х 4- 2,5;	3) у = — 2х2 4- 6х + 2,5.
2.	Построить графики функций:
1)	//_ х2 4-5х 4-6;	2) у — х2 4- 5|х| + 6;
3)	у — |х2 4- 5х 4- б|;	4) у — |х2 4- 5|х| 4- б|.
3.	Построить график функции /(х) = |х2 — 5|х|4-4| и с его помощью определить
множество значений, принимаемых функцией в двух, трех и более точках;
а также определить максимальное число корней уравнения /(х) = а.
Построить графики функций (4-15):
4. 1) /(х) = |х2-2х-8|-2х + 8;	2) f(x) = |3 + 2х-х2| - 3 + 2х.
< 2х 4- 1,
5. 1) у= J х 4- 2,
(—3x4-4,
если х < — 1,
если 1	х < 3,
если х	3;
Г—2х 4-1,
2) «/=< х + 7,
I Зх - 4,
если х < —2,
если — 2 х < 3,
если х > 3.
§5. Графики функций
153
6^=4ГГз-	7-
г 2
ю. 1) у — <! Х + 1’
1-2х + 2,
(х2 — 5х,
3) у = < 6х
I Зх — 15’
_ 1
У |х-2Г
если х 1,
если х > 1;
если х 5,
если х > 5.
11. </=|^/F+4.
14. у — |2- л/2х + 9|.
8. t/= £±^.	9.
X- 1
Г х2 — 6х,
2) у = < х-5
I х — 6 ’
12. у — 1 — \/-Зх.
15. у - 2 - л/|2х + 9|.
5 — 4х
У~ 2ГЛ'
если х 6,
если х > 6;
13. у — л/8 — 2х.
16. Определить графически количество корней уравнения y/l — |х| = а в зави-
симости от значений параметра а.
Построить графики функций, предварительно преобразовав выражения (17-23):
17. z/ = Vx2.	18. у=^~.	19. у=	.
У	х—1	* х2-4х+3
20.
23.
24.
у — \/х2 —4x4-4- \/х2 |-6х Р9.	21. у — 1~-.^1
25.
n	х2 —2х —8	.	_ Зх2 414x4-8
°	|х 4-2| — |1 — 2х| ’	’	|2х + 3| - |х - 1|
На рис. 45 изображен график функции y = f(x).
Построить графики функций:
1)	^ = /(2х);	2)	y = f(-x)-
3)	</ = /(0,5х);	4)	z/ = /(x + 3);
5)	f/ = Z(M);	6)	г/ =	/(|х+1|);
7)	y = f(2x + 3)-,	8)	y = \f(x)\.
На рис. 46 изображен график функции у = f(x).
22 и —
ZZ‘ ^“|х+3|-|х-3|
Рис. 45
заданной на [—5; 5]. Построить графики функ-
ций:
1) y = f(2x);	2)	y = f(-x)-,
3) y = f(0,5x);	4)	y = f(x — 2);
5) =	6)	y = \f(x) -2|;
7) y = f(\x + 2\).
26. Путем элементарных преобразований графика
функции у = /(х) постройте график функции:
Г-2х-4,
1) у — — 2/(1 - 0,5х) 4- 3, если /(х) = < х—1,
I 2,
при — 1 < х 3,
при х > 3;
2) у = 3/(1 - 2х) - 4, если /(х) =
—2х — 5,
-1,
0,5х — 2,5,
при х —2,
при — 2 < х < 3,
при х 3.
На координатной плоскости построить множество точек, координаты (x,z/)
которых удовлетворяют следующим условиям (27-36):
27. у2 - 4х2 = 0.	28. 2х2 + 5х«/ — 2у2 = 0.	29. 2х — 5у 10.
30. у -х2 + 4х - 4.	31. |г/| +у= |х| +х.
32. 1)
Q/-D4
(х + 4)8
2)
(у - х)4	
(х2 — 2)4
154
Глава III. Функции
33.	1) х2 — 2у2 — у* 4- 2г/2 4- 4;	2) х2 4-у2 - 6х 4- 4г/ = 12
34.	1) (|х| - 2)Q/ 4-1)	0;	2) \у\ < 2|х 4-1| - 3.
35.	х2 4-у2 4(х — у — 1).	36. xy^l, z/^x4-2, у х — 2.
37.	Построить графики функций:
1)	г/= |||х| — 2| — 1|;	2) у = |||х| - 1| - 2|.
38.	Построить графики функций:
1)	ff = (2x+i)-^-^—2) у=U-0•|(х+2)(2*+3)|
х 4- I	х 4" £
Изобразить множество точек, заданных уравнением (39-41):
39.	|//4-х| — х 4-3.	40. |х — у\4- |х 4- у\ = 2.	41. ||х| — |#|| = а.
42.	Д.ля каждого значения параметра а решить уравнение:
1)	|х 4- 3| — а|х — 1| = 4;	2) а\х 4 3| 4- 2|х 4- 4| = 2.
43.	Определить в зависимости от значений параметра количество решений
Г И 4 Ы
системы уравнении V%2	_ д
Построить графики следующих функций (44-47):
44.	1) у — min(x,x2);	2) у — max (х, 1).
л г 1 \	/ х2 — 25 \	/ х2 — 5х — 6 \
45.	1) г/ = sign I -----2- ) ;	2) у = sign I --.
\ 9 — xz /	\ 6 4- 5х — xz /
46.	1) </=(3 —0,5х];	2) //= [лг”*] ;	3) f/={3-0,5x};	4) z/={x~'}.
47.	1) (/=(0,25x4-21; 2) у= (x+l)2] ; 3) у= {0,25x4-2} ; 4) у= {(х+1)2}
48.	При каких значениях параметра а:
1)	площадь треугольника, получающегося при пересечении прямой
у — а(х 4- 2) и графика функции у = 2|х — 11, равна 1,2;
2)	один из треугольников, образованных при пересечении прямой // = ах4-2
и графика функции у — |х 4- 2| — |х — 2|, имеет площадь, равную 51,2?
49* График какой функции получится, если график функции /(х) отразить
симметрично:
1)	относительно прямой х — а; 2) относительно прямой у — Ь?
5ОГ Написать уравнение кривой, которая получится, если график функции:
1)	у = \/2х — 3 отразить симметрично относительно прямой х = — 1;
2)	у = х2 4- 2х отразить симметрично относительно прямой у — 3.
51* Пусть /(х) — функция, имеющая обратную функцию y — f~\x). Определить,
график какой функции получится, если график функции у = /(х):
1) отразить симметрично относительно прямой у — х\
2)	отразить симметрично относительно прямой у = —х;
3)	отразить симметрично относительно прямой у = х 4-2;
4)	повернуть на 90° вокруг начала координат (против часовой стрелки);
5)	повернуть на 90° вокруг точки (а;Ь).
52. Написать уравнение кривой, которая получится, если график функции:
х I 1
1)	у =  —.. отразить симметрично относительно прямой у — —х;
ОХ — Л
2)	у = \/2х 4- 5 повернуть на 90° вокруг начала координат;
3)	// = х3 повернуть на 90° вокруг точки (2;-3).
§5. Графики функций
155
Ответы
2. 1) См. рис. 47; 2) см. рис. 48; 3) см. рис. 49; 4) см. рис. 50. 3. Еу=[0;+оо);
значение 0 принимается в четырех точках; каждое значение из интервала
(0; 2,25) — в восьми; значение 2,25 — в шести; каждое значение из интервала
(2,25; 4) —в четырех; значение 4 —в трех; все остальные — при двух различных
значениях х. Максимальное число корней уравнения |х2 —5|х|+4| = a
л г/ \ fx2 — 4х. если хе(-оо;-2)и(4;+оо),
равно восьми. 4. 1) /(х) — <	9 ’	'	’
[ л +16, если — 2^х^4;
{х2 —6,	если хе(—оо; — 1)и(3;+оо),	~
9 ’	/	'	6. См. рис. 51.
-х2 + 4х, если - 1^х^3.	г
7. См. рис. 52.	8. См. рис. 53.	9. См. рис. 54.	10. 1) См. рис. 55.
11. См. рис. 56.	12. См. рис. 57.	13. См. рис. 58.	14. См. рис. 59.
15. См. рис. 60. 16. При a — l один корень, при а € [0; 1) — два корня.
При всех остальных значениях параметра а решений нет. 17. у = |х|.
156
Глава П1. Функции
Рис. 65	Рис. 66
Рис. 64
18. j/=x2 + x+l, D(z/) = R\{I}. 19. z/=^±2, D(y) = R\{3}. 20. См. рис. 61.
Г —Зх—1, хе(—оо; — 2],
21. См. рис. 62. 22. См. рис. 63. 23. 1) f(x) = < ~х+3, хе(—2;0,5],
(Зх-Fl, хе (0,5; 3)U(3; Ч-оо);
(—Зх —2, х е (—оо; —1,5],
х+4, хе	(-§;!] '	24. См. рис. 64, 65.
Зх+2,	хе(1;+оо).
Г
26. 1) у — < х + 3,
( — 2х+15,
хе (—оо; —4),
хе [-4; 4),
хе [4; +оо);
( 12х —25,
2) «/—ч -7,
I-Зх-10,
хе [1,5; 4-оо),
хе[-1;1,5),
хе (—оо; —1).
§5. Графики функций
157
Рис. 75	Рис. 76
Рис. 79
27. См. рис. 66.	28. См. рис. 67.	29. См. рис. 68.	30. См. рис. 69.
31. См.	рис. 70.	32.	1)	См.	рис. 71;	2) см.	рис. 72.	33. 1) См.	рис. 73;
2) см.	рис. 74.	34.	1)	См. рис. 75;	2) см.	рис. 76.	35. См.	рис. 77.
36. См.	рис. 78.	37.	1)	см.	рис. 79;	2) См.	рис. 80.	38. 1) См.	рис. 81;
2) см.	рис. 82.	39.	См. рис. 83.	40. См.	рис. 84.	41. См.	рис. 85.
158
Глава III. Функции
42. 1) Если ае(—оо;-l)U(l;+oo), то х=1; если а€(—1;1); то х=1 или
если а — — 1, то —3^х^1; если а = 1, то х^1; 2) если ае(—оо; — 2)и(2;4-оо),
то х — — 3; если ае(-2;2), то х = — 3 или х = — + если а = —2, то х>-3;
а + 2
если а=2, то —4^х^-3. 43. Если а <2 или а>2\/2, то решений нет; если
2<а<2\/2, то восемь решений; если а = 2 или а = 2у/2, то четыре решения.
44. 1) См. рис. 87; 2) см. рис. 86. 48. 1) а = 0,5; 2) а=|, а—1 — -^=.
49. 1) у = f(2a — х). Указание. Формулы симметрии относительно прямой
х — а выглядят так: (х; у) -> (2а — х; £/); 2) y — 2b-f(x). Указание. Формулы
симметрии относительно прямой у—Ь: (х\у)—^(х\2Ь—у). 50. 1) £/=\/—7 —2х;
2) ^ = 6-2х —х2. 51. 1) y — f~X(x)\ 2) y=—f~*(—х). Указание. Отразить
сначала относительно прямой у = х, а затем относительно начала координат;
3) у = [~](х 4- 2) 4- 2. Указание. Сделать сначала отражение относительно
прямой у = х, а затем сдвиг на вектор (—2;2); 4) у = [~{(—х). Указание.
Воспользоваться формулами поворота: х'=-у, у'—х; 5) y=f~[(-x-ya-b)-a+b.
52. 1)	2) j/ = -l(x+5)3; 3) у = -^+Т-5.
OX "I 1	z
Глава IV
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
§1. УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
УРАВНЕНИЙ
1. Основные понятия, относящиеся к уравнениям
Пусть на некотором числовом множестве М определены функции
/(х) и g(x). Рассмотрим равенство
/W=g(x).	(1)
Когда говорят, что равенство (1) есть уравнение, то это означает,
что равенство (1) рассматривается как неопределенное высказывание,
при одних значениях истинное, при других — ложное, и ставится
задача — найти значения х, при которых это неопределенное выска-
зывание становится истинным. Функцию /(х) при этом называют
левой частью уравнения (1), а функцию g(x)— правой частью.
Рассмотрим подробно основные понятия, связанные с уравнени-
ями.
Число а называется корнем (или решением) уравнения (1), если
обе части уравнения (1) определены при х = а и равенство f(a)=g(a)
является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1)
принадлежит множеству, которое является пересечением (общей
частью) областей определения функций /(х) и g(x). Это множество
называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1)
или областью определения уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать,
что корней нет.
Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно
решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого
уравнения.
Пусть функции /(х) и g(x) определены на множестве М и равен-
ство (1) верно для каждого хеЛТ Тогда говорят, что это равенство
является тождеством на множестве М. Например, равенства
х3 -р 1 = (х + 1)(х2 — х+1), л/х2 = |х|
являются тождествами на множестве действительных чисел R,
а равенство
ух2 — х
является верным лишь на множестве неотрицательных чисел.
160
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнения,
заменяя их более простыми. Какие-либо общие рекомендации по
поводу преобразования уравнений дать невозможно. Однако есть
правило, которое не следует забывать:
Нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере
корней.
Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при
этом преобразовании нс происходит потери корней.
Уравнение	№) = g,«	(2)
называется следствием уравнения (1), если каждый корень урав-
нения (1) является корнем уравнения (2) (при этом уравнение (2)
может иметь и другие корни).
Уравнения (1) и (2) называются равносильными {эквивалент-
ными}, если каждое из этих уравнений является следствием другого.
Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый
корень уравнения (1) есть корень уравнения (2) и обратно, каждый
корень уравнения (2) есть корень уравнения (1). Уравнения, не
имеющие корней, считаются равносильными.
Например, уравнение х2 = х + 6 равносильно уравнению
х2 — х — 6 = 0, а уравнение х2 = 1 — следствие уравнения у/х = 1
Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут
{/(*)=£(*)}	или (1)	(2),
а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут
{/W=gW}=>{fi(x) = gi(x)} или (1)=> (2).
Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых
преобразований заменено другим, причем в процессе преобразований
хотя бы один раз уравнение заменялось на неравносильное ему
следствие, то проверка найденных корней с помощью подстановки
в исходное уравнение является обязательной.
Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось на
равносильное, то проверка не нужна (не следует путать проверку
с контролем вычислений).
Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений
Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности
уравнений
fl(x)=g\(x),...,fn(x)=gn(x),	(3)
если выполнены следующие условия:
1) каждый корень уравнения (1) является корнем по крайней мере
одного из уравнений (3);
§1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
161
2) любой корень каждого из уравнений (3) является корнем
уравнения (1).
При выполнении указанных условий множество корней уравне-
ния (1) является объединением множеств корней уравнений (3).
Например, уравнение (%2 — 4)(х2 — х — 2) = 0, равносильное
совокупности уравнений х2 — 4 = 0, %2 — х — 2 = 0, имеет корни
х\ — —2, х2 = 2, %з = — 1.
Если уравнение записано в виде
/(х)<р(х) = 0,	(4)
то каждое решение этого уравнения является решением по крайней
мере одного из уравнений
f(x) = O, <р(х) = О.	(5)
Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравне-
ний (5) есть корень уравнения (4).
Например, если f(x) —xy/l — х, <р(х)—х2 — 4х, то х = 4 — корень
уравнения (р{х) — 0, но число 4 не является корнем уравнения (4),
так как функция f(x) не определена при х = 4.
Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что урав-
нение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить
уравнение (4), достаточно найти корни уравнений f(x) = O и ^>(х) = 0,
а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), т. е.
не принадлежат множеству, на котором определены функции /(х)
и <р(х). В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности
уравнений (5). Справедливо более общее утверждение:
если функция /(х) определена при всех х таких, что <р(х) = О,
а функция (р(х) определена при всех х таких, что /(х) = 0, то
уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).
В этом случае для обозначения совокупности уравнений иногда
используют знак | и пишут
fW = o,
<р(х) = 0.
2.	Наиболее важные приемы преобразования уравнений
1°. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, т. е.
переход от уравнения „ v z ч / ч
ZUWU)+g(x)	(6)
к уравнению
/(x)-<p(x) = g(x).	(7)
Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению,
т. е. (6)	(7).
6—2549
162
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
В частности,
{/(*) = £(%)}	{/(х) -g(x) = 0}.
Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения
из одной части в другую без последующего приведения подобных
членов (если таковые имеются).
2° Приведение подобных членов, т. е. переход от уравнения
/(х) + <р(х) - ср(х) = g(x)	(8)
к уравнению
f(x)=g(x).	(9)
Справедливо следующее легко проверяемое утверждение:
для любых функций f(x), <p(x)t g(x) уравнение (9) является
следствием уравнения (8), т. е. (8) => (9).
Переход от уравнения (8) к уравнению (9) является допустимым
преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут
появиться посторонние корни. Все сказанное остается в силе при
замене уравнения (8) уравнением
/(х) + <р(х) = g(x) + <р(х).
Таким образом, при приведении подобных членов, а также при
отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях
уравнения получится уравнение, являющееся следствием исходного
уравнения.
Например, если в левой и правой частях уравнения %2 + = х + Л
X1 xz
отбросить одинаковые слагаемые то получится уравнение х2 = х,
xz
являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни
х\ = 0 и х% = 1, а первое — единственный корень х = 1.
Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (9) содержится в области
определения функции ср(х), то уравнения (8) и (9) равносильны.
3° Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же
функцию, т. е. переход от уравнения (9) к уравнению
f(x)<p(x) = g(x)<p(x).	(10)
Справедливы следующие утверждения:
1) если ОДЗ уравнения (9), т. е. пересечение областей опре-
деления функций f(x) и g(x), содержится в области определения
функции (р(х), то уравнение (10) является следствием уравне-
ния (9);
2) если функция (р(х) определена и отлична от нуля в ОДЗ
уравнения (9), то уравнения (9) и (10) равносильны.
§1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
163
Заметим, что в общем случае переход от уравнения (10) к уравне-
нию (9) недопустим: этот переход может привести к потере корней.
При решении уравнения вида (10) обычно заменяют его равно-
сильным уравнением
[/(x)-g(x)]?(x) = 0,
затем находят корни уравнений f(x) —g(x) — 0 и ср(х) = О и, наконец,
проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (10).
4° Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень,
т. е. переход от уравнения
/W=g(x)	(11)
к уравнению
1/(х)Г = [£(%)]", neN, п^2.
(12)
Справедливы следующие утверждения:
1)	при любом neN, п ^2, уравнение (12) является следствием
уравнения (11);
2)	если п = 26 4-1 (п — нечетное число), то уравнения (11) и (12)
равносильны; это следует из формулы (3), пример 14, §5,
гл. II;
3)	если n = 2k (п — четное число), то уравнение (12) равносильно
уравнению
|/(х)| = |g(x)|,
(13)
а уравнение (13) равносильно совокупности уравнений
f(x) = g(x), f(x) = -g(x).	(14)
В частности, уравнение
[Лх)|2 = [£(х)]2	(15)
равносильно совокупности уравнений (14). Если обе функции /(%)
и g(x) принимают значения одного знака (например, /(х)	0
и gW 0) в ОДЗ уравнения (11), то уравнение (15) равносильно
уравнению (11).
Более общим, чем переход к уравнению (12), является переход
от уравнения (11) к уравнению
?(/(*)) = cp(g(x)),	(16)
где (p(t) — некоторая заданная функция.
Заметим, что в общем случае такой переход недопустим. В том
случае, когда пересечение множеств значений функций f(x) и g(x)
содержится в области определения функции уравнение (16)
является следствием уравнения (11). Если, кроме того, известно,
что cp(t) — строго возрастающая или строго убывающая функция, то
уравнения (11) и (16) равносильны.
164
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Задачи
1.	Пусть функции f(x) и g(x) определены на множестве М. Рассмотрим
уравнения f(x)=g(x) ц -L =-L-.
f(x) g(x)
1)	Равносильны ли эти уравнения на множестве 1\/Р
2)	Если не равносильны, то при каких дополнительных условиях они
равносильны?
3)	Какое из уравнений есть следствие другого?
2.	Ответить на те же вопросы, что и в задаче 1, для уравнений
•) f(x)=g(x) И s/fM-
2) f(x)=g(x) и f3(x)=g3(x);
3) y/f(xj\/g(x) — <р(х) и \//(x)g(x) = <р(х), предполагая, что функция ф(х)
определена на множестве М.
Ответы
1. 1) В общем случае уравнения неравносильны; 2) если хотя бы одна из
функций Дх), g(x) отлична от нуля на множестве М, то эти уравнения равно-
сильны; 3) первое уравнение есть следствие второго. 2. 1) В общем случае
уравнения неравносильны; если хотя бы одна из функций Дх), g(x) принимает
неотрицательные значения на множестве Л4, то уравнения равносильны, первое
уравнение — следствие второго; 2) уравнения равносильны; 3) в общем случае
неравносильны; если функции Дх) и g(x) принимают неотрицательные значения
на множестве то уравнения равносильны, второе уравнение — следствие
первого.
§2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
1.	Квадратные уравнения
Уравнение
ах2-Ь fex + с — О,	(1)
где а, Ь, с —заданные действительные числа, a /0, х — неизвестное,
называют квадратным.
Приведем основные утверждения (теоремы), связанные с корнями
квадратного уравнения (1).
1° Квадратное уравнение (1):
а)	имеет два действительных и различных корня xj и
определяемых по формулам
-b + Vb2 — 4ас	—b — \/b2 - 4ас
Xl ------2а-----’ *2--------2а----’	(2)
если дискриминант D квадратного уравнения (1) положителен,
т. е. D — b2 — Аас > 0;
§2. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
165
б)	имеет единственный корень х — — А (кратности два), если
D = 0;
в)	не имеет действительных корней, если D < 0.
2° Теорема Виета. Если Xj и х2 — корни квадратного уравне-
ния (1), то
хх+х2 = --, xjx2 = А	(3)
Для приведенного квадратного уравнения
х2 4- рх + q = 0	(4)
формулы Виета (3) принимают вид
Xi + х2 = -р, xix2 = q.	(5)
3° Если xi и х2 — корни квадратного уравнения (1), то для
любого х G R справедливо равенство
ах2 + Ьх 4- с = а{х — х\)(х — х2).	(6)
При выводе формул (2) используется метод выделения полного
квадрата, т. е. следующее преобразование квадратного трехчлена:
ах2-\-Ьх + с = а ( х2 4- 2 • —х 4- -А ] _|_с — — =
\	2а 4а2 ) 4а
Равенство (7) можно записать в виде
ах2 4- Ьх 4- с — а
D
4с?
(7)
(8)
Формулы Виета (3) следуют из равенств (2), а для доказательства
тождества (6) достаточно преобразовать его левую часть, используя
соотношения (3).
Справедливо утверждение, обратное утверждению 1°.
4? Если квадратное уравнение (1) имеет два действительных
и различных корня, то D>0; если уравнение (1) имеет единствен-
ный корень, то D—G; если уравнение (1) не имеет действительных
корней, то D < 0.
Используя термины «необходимость» и «достаточность», можно
объединить утверждения 1° и 4° и сформулировать следующее
утверждение: для того чтобы квадратное уравнение ах2 4- Ьх 4-с=0
имело два действительных различных корня, имело один действи-
тельный корень, не имело действительных корней, необходимо
и достаточно выполнение соответственно условий D>0, D = 0,
D < 0, где D = Ь2 — 4ас.
166
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
5° Обратная теорема Виета: если а, Ь, с, х\, такие числа,
что справедливы равенства (3), то х\ и корни квадратного
уравнения (1).
Утверждение 4° можно доказать, используя метод доказательства
от противного и утверждение 1°, а справедливость теоремы, обратной
теореме Виета, следует из равенства (8).
Пример 1. Пусть р2 — 4q^ 0, 7^0, а х\ и х% — корни квадратного
уравнения (4). Выразить через р и q следующие суммы:
1)$1=х2 + х2;	2)S2 = *i+4	3)S3-^ + ^.
^2 Xj
Д 1) Используя тождество х24-х2 = (xj 4-х2)2 —2xiX2 и формулы (5),
получаем Si = р2 — 2q.
2) Применяя формулу для суммы кубов, находим
s2 = (х, + х2)[(х| + х2)2 - Зх|х2] = -р(р2 - 3?) = 3pq - р3.
3) Так как S3 = Х| + , где
Х|Х2
х4 * * * * + х2 — (xf + хг)2 ~ 2х2х| = S2 — 2<у2 = р4 — 4p2q + 2q2,
то	4
S3 = ^-4p2 + 2<7.	▲
q
Пример 2. Сократить дробь S — 9\——+_2.
6xz — 7х + 2
А Применив формулы (2), найдем корни X] и х% квадратного
уравнения 9х2 — 9х 4- 2 = 0. Имеем
9 ± х/81 — 72
х1,2 =----is---,
2	1
откуда Xi = -, Х2 = -. По формуле (6) получаем
м	О
9х2 - 9х 4- 2 = 9 (х — (х — 0 •
Аналогично, решив уравнение 6х2 —7x4-2 = 0, находим его корни
~ и поэтому
о Z
6х2 — 7х + 2 = 6 (х — (х — 0 .
Итак,
,. 9Н)Н) з.. , А
§2. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
167
Пример 3. Найти все значения г, при которых уравнение
х2 4- (4 + г)х 4- 5 4- 2г = 0 :
1) имеет равные корни; 2) имеет корни, равные по абсолютной
величине, но противоположные по знаку.
Д 1) Уравнение имеет равные корни (единственный корень кратно-
сти два) тогда и только тогда, когда когда
D = (4 + г)2 - 4(5 + 2г) = г2 - 4 = О,
т.е. при г = ~2 и г = 2.
2) В этом случае (при условии, что D 0) сумма корней равна
нулю и поэтому 4 4-г = 0, откуда г=— 4.	▲
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Биквадратное уравнение, т. е. уравнение вида
ах4 4- Ьх2 4- с = 0 (а 0),
сводится к квадратному заменой xz = t.
К квадратному уравнению сводится уравнение вида
ах4 4- Ьх3 4- сх2 4- Ьх 4- а — 0 (а^О),	(9)
которое называют возвратным.
Заметим, что число х = 0 не является корнем уравнения (9),
поскольку а 0. Следовательно, разделив обе его части на х2,
получим уравнение
а (х2 4-	4- b (х 4-	4- с = 0,	(10)
равносильное исходному. Сведем уравнение (10) к квадратному,
полагая х 4- - = t. Так как х2 4-	= t2 — 2, то получаем квадратное
уравнение
a(t2 -2) + W4-c = 0.	(11)
Пример 4. Решить уравнение 9х4 4- 8х2 — 1 = 0.
Д Полагая х2 = t 0, получаем уравнение 9/2 4- 8/ — 1 = 0, имеющее
корни t\ = —1, Если t= i то х2 — откуда Х[ = |, х% = —
У	У	У	3	«5
Ответ. xi = i х2 = -|-	▲
О	о
Пример 5. Решить уравнение х4 4- 2х3 - х2 4- 2х 4-1 — 0.
Д Это уравнение является возвратным, поэтому, полагая x+± = t,
согласно формуле (11) получаем уравнение t2 — 2 4-	— 1 = 0,
168	Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
откуда находим /] = —3, t2 = l. Следовательно, исходное уравнение
равносильно совокупности уравнений х4-1 = — 3, х 4-1 = 1. Первое
из них равносильно уравнению х2 + Зх 4- 1 = 0, имеющему корни
г _-3±х/5
%1>2----2—•
Второе уравнение не имеет действительных корней.
Ответ.
Х' =-2-. *2=—2
Задачи
1.	Не находя корни Х| и х2 уравнения 2х2 — Зх —6 = 0, вычислить:
1)	x24-x2i	2) xf 4 %2’ 3) х? +'х2*	4) х? ^х2-
2.	Сократить дробь:
х2 — 5х 4- 6	6х2 4- х — 2
х2 - х — 2 ’	10х2 4- х - 2
3.	Уравнение х2 4 рх Г q = 0 имеет корни xj и х2. Найти р и q, если числа
х 1 4-1 и х2 4- 1 — корни уравнения х2 — рх 4- pq — О
4.	Пусть Х| и х2 — корни уравнения х2 4-рх4- q = 0, a Sn= х“ +х%. Доказать,
что + pSn 4- qSn\ = 0.
5.	Даны уравнения x2|pix4f/i — 0 и х24 p2x-]-q2 — ^. Доказать, что по крайней
мере одно из них имеет действительные корни, если р\р2 — 2(q\ 4- q2).
Решить уравнение (6-9):
6.	х4 - 5х2 - 36 = 0.	7. 2х4 — 5х2 4-3 = 0.
8. (х2 - 2х)2 - 2х2 + 4х - 3 = 0.	9. (х2 - х - 3)(х2 - х - 2) = 12.
Ответы
1 П 88 •	135 q\ §21- /П 21681
' 4 ’ ; 8 ’ } 16 ’ } 64 ‘
л 1 \ х — 3. Зх 4- 2
' Х4-1’ ’ 5х —3’
3. р— —2, q = — 1;
р = 1, q — любое. 6. х\ = —3, х2 = 3. 7. xj = —1, х2 = 1, хз =
8. xj = -1, х2 = 1, хз = 3. 9. X] — —2, х2 = 3.
§3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ
1. Иррациональные уравнения
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, осно-
ваны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований)
иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо
равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является
его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту
же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием
исходного.
§3. Иррациональные уравнения
169
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать
следующее:
1) если показатель радикала — четное число, то подкоренное
выражение должно быть неотрицательным; при этом значение
радикала также является неотрицательным;
2) если показатель радикала — нечетное число, то подкоренное
выражение может быть любым действительным числом; в этом случае
знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.
Рассмотрим уравнение вида
О)
Если g(x) < 0, то уравнение (1) не имеет корней, так как левая
часть уравнения (1) не может принимать отрицательные значения
ни при каких значениях х.
Если же g(x)^0, то при возведении обеих частей уравнения (1)
в квадрат получим равносильное уравнение. Таким образом, урав-
нение (1) равносильно системе
f(x) = [gW]2,	(2)
g(x) > 0.	(3)
Замечание. При решении уравнения (1) нет необходимости предвари-
тельно находить ОДЗ левой части (1), решая неравенство f(x) 0, которое
может оказаться довольно сложным. Достаточно найти корни уравнения (2)
и, не прибегая к непосредственной подстановке этих корней в уравнение (1),
выяснить, какие из найденных корней удовлетворяют неравенству (3). Эти корни,
и только они, являются корнями уравнения (1).
Пример 1. Решить уравнение
а/х3 4- 6х2 4- 9 = х 4- 3.
Д При х < — 3 уравнение не имеет корней, а при х — 3 оно
равносильно каждому из уравнений
х3 4- 6х2 4- 9 = х2 4- 6х + 9, х3 4- 5х2 — 6х — 0,
х(х2 4- 5х — 6) = 0, х(х 4- 6)(х — 1) = 0.
Полученное уравнение имеет корни xj =0, х% = 1, х^ — — 6. Условию
х —3 удовлетворяют только корни Х| и х%.
Ответ. Xj = 0, Х2 = L	А
Пример 2. Решить уравнение
а/2х + 1 + \/х — 3 = 4.
Д Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение
2х 4-1 4- х — 3 4- 2\/2х 4-1 а/х — 3 = 16,
170
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
равносильное исходному уравнению, так как обе его части неотри-
цательны.
Приведя подобные члены и перенося слагаемые из одной части
уравнения в другую, получаем уравнение
2\/2х 4- 1\/х - 3 — 3(6 — х).
Возводя обе части получившегося уравнения в квадрат и приводя
подобные члены, приходим к уравнению
х2 — 88х 4- 336 = О,
которое является следствием исходного.
Это уравнение имеет корни Х| =4, Х2 = 84, из которых только
корень xj удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ. х = 4.	▲
В рассмотренном примере можно было сначала перенести один из
радикалов в правую часть уравнения (метод уединения радикала),
а затем возвести обе части полученного уравнения в квадрат.
Воспользуемся этим приемом при решении следующего примера.
Пример 3. Решить уравнение
\/2х2 4- 4х — 23 - Ух2 4- 2х - 8 = 1.
Л Применив метод уединения радикала, получим уравнение
\/2х2 + 4х - 23 = 1 4- \/х2 + 2х - 8,
равносильное исходному.
Заметим, что нет необходимости находить ОДЗ уравнения,
но следует обратить внимание на подкоренные выражения. Если
ввести новое неизвестное (выполнить замену переменной), полагая
t = л/х2 4- 2х — 8, то 2х2 + 4х — 23 = 2t2 — 7, и уравнение примет вид
\/2/2 — 7 = /4-1.
Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, имеем
2/2 -7 = t2 + 2/4-1, или Z2 - 2/- 8 = 0,
откуда Zj = —2, Z2 — 4.
Так как t 0, то \/х2 4- 2х — 8 = 4, х2 4- 2х — 24 = 0, х\ = —6,
х2 = 4. Числа XJ и Х2 являются корнями исходного уравнения.
Ответ. Х[ = — 6, х2 = 4.	А
В примерах 1-3 был использован метод возведения обеих частей
уравнения в квадрат. Иногда применяются другие приемы, которые
могут оказаться более эффективными.
Пример 4. Решить уравнение
4- х 4- 7 Т* 3\/2х 4“ 5 = 7\/2.
§3. Иррациональные уравнения
171
У----=•	/2 _ с
Л Положим у2х + 5 = £; тогда х = —-—, и исходное уравнение
примет вид
+ / + У^у^ + 3/ = 7V2.
Полученное уравнение равносильно каждому из уравнений
+2 + 2/ + 1 + \Л2 + 61 + 9 = 14,
д/(/-Ь I)2 4- \/(/4- З)2 = 14,
|^+1| + |/ + 3| = 14.
Так как /^0, то \t + 11 = t + 1, |/ + 3| = / + 3 и полученное уравнение
можно записать в виде /+1 + / + 3 = 14, I = 5, т.е. \/2х + 5 — 5,
откуда х = 10.
Ответ, х = 10.	▲
Пример 5. Решить уравнение
з /12 - 2х . з / х — 1 _ 5
у X - 1 у 12-2х ~ 2‘
Д Полагая	преобразуем уравнение к виду
и + - — f или 2u2 — 5a + 2 = 0.
и 2
Это уравнение имеет корни щ =2, ^2 = |- Если и — 2, то ^/>2~	— 2,
откуда 12 ~2-*- = 8, х — 2. Если и = 1 то ?2 ~ 2* — откуда х =
х — 1	2 х — 1	8	17
Оба найденных корня являются корнями исходного уравнения,
так как в процессе решения было использовано (наряду с заменой
неизвестного) только возведение обеих частей уравнения в куб. При
таком преобразовании уравнение заменяется на равносильное ему.
Ответ, xj = 2, %2 — уу-	А
2. Уравнения, содержащие знак модуля
При решении уравнений, содержащих знак модуля, используются
следующие утверждения:
Г а Пр»О0.
[—а при a < 0;
2) л/^2 = |а|;
3) если xi и %2 — произвольные точки числовой оси, то расстояние
между ними равно |xj — xgl-
172
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 6. Решить уравнение
|х — 5| = |х 4-1|.
А Так как |х — 5| и |х4- 1| = |х — (—1)| — это расстояния от искомой
точки х до точек 5 и -1 соответственно, то искомая точка х находится
на одинаковом расстоянии от точек 5 и —1. Таким образом, точка
х — середина отрезка [—1,5] и поэтому х = -—у— = 2-
Ответ. х = 2.	▲
Пример 7. Решить уравнение
х2 - 2х — 3 = 3|х — 1|.
А Полагая t = x — 1, получаем уравнение
/2 —4 = 3|/|.
Это уравнение не меняется при замене I на — t Поэтому доста-
точно рассмотреть случай t 0. В этом случае имеем уравнение
/2 — 3/ — 4 = 0, откуда / = 4 (так как /^0), х^ = 5. Числу t = — 4
соответствует корень х2 = — 4 + 1 = —3
Ответ. X] = 5, Х2 = —3.	А
Пример 8. Решить уравнение
|х2 4- х — 11 + |х2 4- х — 3| = 6.
А Положим x24-x = Z; тогда исходное уравнение примет вид
\t - 1| 4-\t - 3| = 6.
Решить полученное уравнение — значит найти все такие точки
числовой оси Ot (см. рис. 1), для которых сумма расстояний от
каждой из них до точек 1 и 3 равна 6. Заметим, что искомые точки
лежат вне отрезка [1; 3], так как сумма расстояний от любой точки
отрезка до его концов равна 2.
-1	0	1______3,---г----^5
М2 О	Мх t
Рис. 1
Пусть Mi —искомая точка, лежащая правее точки 3; г —рассто-
яние от точки АП до точки 3, s — сумма расстояний от точки М\
до точек 3 и 1. Тогда s = г 4- г 4-2 = 6, откуда г = 2, а точке М\
соответствует число t\ =34-2 = 5. Аналогично, корнем уравнения
является точка t2 = — 1, находящаяся левее точки 1 на расстоянии 2.
Таким образом, задача сводится к решению уравнений х2 — х = — 1
их2 —х = 5. Первое из них не имеет действительных корней, а второе
имеет два корня.
ГУ	l-y/2l 14- л/2Т	А
Ответ. X! = —-—, х2 = —.	А
§3. Иррациональные уравнения
173
Пример 9. Решить уравнение
|х2 + х| 4- |х + 2| = х2 - 2.
А Стандартный метод решения этого уравнения — запись его без
знаков модуля на промежутках
х<— 2, -2^х<-1, — 1^х<0, х^О.
Приведем другое решение, заметив, что правая часть
х2 — 2 = х2 х — (х + 2) равна разности выражений, стоящих под
знаками модуля в левой части. При этом воспользуемся неравенством
|а — Ь| |а| 4-1&|, причем знак равенства здесь имеет место лишь
в следующих случаях: a = О, b = 0, ab < 0.
Кроме того, уравнение может иметь решения только в случае,
когда его правая часть неотрицательна: х2 2, т. е. |х|	а/2.
Итак, |х2 — 2|	|х2 4- х| 4- |х 4- 2|. Это неравенство превращается
в равенство, если х24~х = 0, т.е. при х = 0 и х —— 1. Эти значения не
удовлетворяют уравнению, так как в этом случае условие |х|
не выполнено.
Аналогично, если х + 2 = 0, то х = — 2 — корень исходного урав-
нения. Наконец, корнями уравнения являются решения неравенства
(х24-х)(х4-2) = х(х4-1)(х4-2)<0, удовлетворяющие условию |х| д/2.
Это условие выполняется, если х < —2.
Ответ, х —2.	▲
Задачи
Решить уравнения (1-13):
1. ух 4-7 4- \/х — 2 — 9.____ 2. у/2х — 15 — у/х 4-16 = — 1.
3.	д/2х2 - 8х + 25 - д/х2 - 4х + 13 = 2.
4.	д/2х2-8х + 49 - д/х2 - 4х + 21' = 4.
5.	у/х — 2 + д/х — 1 = Зу/Зх — 5.	6. у/х — 3 + 2у/х = д/2(х + 3).
7. 1/|—+3\/i-^ =4-	7 8 9 * * * * * 15- v<«+T + ty3x + 1 = v'x- 1.
V 24-Х у 3-х
9. 2д/х2 - 2х + 4 - д/х2 - 2х+~9 =1.	10. </х + 5 - 2^5^х = д/25 -х2
11. д/х 4-6 — 4д/х 4- 2 у/114-х — 6 д /х 4-2 — 1.
12. W+x + ^259-х = 7.	13.	^хТТ = хд/2.
14. Найти все значения а, при которых уравнение
Ух — 4а 4- 16 = 2\/х — 2а 4- 4 — у/х
имеет решение, и решить это уравнение.
Решить уравнение (15-24):
15. |х — у/х — 2| 4- ]у/х 4-6 — х|	— 1.	16.	|3ух 4-2 — х| 4- |х — Зу*х 4- 3| = 9.
17. |х - 4| = |х4-3|.	18.	|2х 4-3| = |2х — 7|.
19. х2 - 4х — 4 = 2|х — 2|.	20.	|х2 4-х 4-1| 4-|х2 4-х - 3| = 6.
174
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
21. |х3 — Зх2 4- х| = х — х3.
23. л/х=Л 4-|х- 2| = |х -3|.
22. |х2 — х| 4-|х 4-1| — х2 — 2х — 1.
24. 5i/l 4- |х2 - 1| = 3 4- |5х 4- 3|.
Ответы
1.x = 18.	2.x = 20.	3. xj = 6, х2 = — 2.	4. xj = — 6, х2 = 10.	5. х = 2.
6.	х = 3.	7. xi = i х2 = -|.	8. х=—1.	9. *1=0, х2 = 2.	10. х=^.
Z	Z	1 о
11	.2^х^7. 12. Х|=3, х2 = 178. 13. х, =0, х2 = 1. х3 = -1, х4 = ф 4- ^1.
x5 = -Jl + ^. 14. и а^8, х=^. 15. Х| =0, х2 = 1, х3 =
16. х —16.
17. х=1.	18. х=1.
21. X, =0, х2 = |.
19. Xi =-2, х2 = 6.	20. х| =-1+2х/?7,
22. х^-1.	23. х = 2.	24. х^-1,
§4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1. Основные понятия, связанные с решением неравенств
Если на числовом множестве М определены функции /(х) и g(x)
и ставится задача решить неравенство
(1)
то это означает, что требуется найти все значения хеМ, при под-
становке которых в неравенство (1) получается верное числовое
неравенство.
Каждое такое значение х называется решением неравенства, а со-
вокупность всех решений — множеством решений этого неравенства.
Из этого определения следует, что каждое решение неравенства (1)
принадлежит множеству, которое является пересечением (общей
частью) областей определения функций f(x) и g(x). Это множество
называется областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства (1).
Неравенство вида (1) называют строгим в отличие от неравенства
ЖМ	(2)
которое называют нестрогим.
Множество решений неравенства (2) можно получить, объединив
множество решений неравенства (1) с множеством решений уравне-
НИЯ /(х)=£(х).
При решении неравенств, как и при решении уравнений, широко
используется понятие равносильности.
Неравенство (1) и неравенство
AW<gl(x)	(3)
§4. Алгебраические неравенства
175
называют равносильными на множестве М, если множества реше-
ний этих неравенств совпадают, т.е. каждое решение неравенства (1),
принадлежащее множеству 7И, является решением неравенства (3) и,
обратно, каждое решение неравенства (3), принадлежащее множеству
Л4, является решением неравенства (1). Если неравенства (1) и (3)
не имеют решений, то эти неравенства считаются равносильными.
Сформулируем основные утверждения, связанные с понятием
равносильности.
1? Неравенства
f(x) < g(x) и - f(x) > -g(x)
равносильны на любом числовом множестве.
2° Если функции f(x), g(x) и h(x) определены на множестве
М, то неравенства
f(x) < g(x) и f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
равносильны на множестве М.
3° Если функции f(x), g(x) и (р(х) определены на множестве
М и (р(х) > 0 для всех х еМ, то неравенства
f(x) < g(x) и f(x)cp(x) < g(x)y(x)
равносильны на множестве М.
Применяя утверждения 1° и 3° к линейным неравенствам, т. е.
к неравенствам вида
ах < Ь,	(4)
получаем:
а)	если а > 0, то неравенство (4) равносильно неравенству
х <-, т. е. решениями неравенства (4) являются все числа
а
( ь\
из промежутка I—оо,-I и только эти числа]
б)	если а < 0, то неравенство (4) равносильно неравенству
х>~, т. е. множество решений неравенства (4) — промежуток
(Ь .	\
+оо).
\а /
4° Если f(x) > 0 и g(x) > 0 для всех х еМ, то неравенства
f(x) < g(x) U
I
f(x)
1
g(x)
равносильны на множестве М.
5° Если функции f(x) и g(x) определены на множестве М, то
неравенство
/2(x)<g2(x)	(5)
176
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
равносильно неравенству
l/WI < Igtol
на этом множестве.
В случае когда /(%) > 0 и g(x) > 0 для всех х еМ, неравенство (5)
равносильно неравенству f(x)<g(x).
Для неравенств, как и для уравнений, вводятся понятия «система
неравенств» и «совокупность неравенств».
Число х = а называется решением системы неравенств
fM<g\(x),
/2(x)<g2(x),
если это число является решением каждого неравенства системы (6).
Пусть Е\ и Е2 ” множества решений соответственно первого и вто-
рого неравенств системы (6), тогда множество Е решений системы (6)
является пересечением множеств Е[ и Е2» т.е. Е = Е1ПЕ2-
Число х = а называется решением совокупности неравенств
f\ (*) < g\(х), fo(x) < £2(х),	(7)
если это число является решением хотя бы одного из неравенств (7).
Пусть Е\ и Е% — множества решений соответственно первого и вто-
рого неравенств совокупности (7), тогда множество Е решений
совокупности неравенств (7) является объединением множеств Е\
и Е%у т. е. Е = Е| UE2-
Понятие равносильности переносится на системы и совокупности
неравенств. Говорят, что неравенство (1) равносильно системе
неравенств (6), если это неравенство и система (6) имеют одни
и те же решения или не имеют решений.
Неравенство (1) называют равносильным совокупности нера-
венств (7), если выполняются следующие условия:
1) каждое решение неравенства (1) является решением по крайней
мере одного из неравенств (7);
2) любое решение каждого из неравенств (7) является решением
неравенства (1).
При решении неравенств часто используются следующие утвер-
ждения.
6°. Неравенство
f(x)g(x) > О
равносильно совокупности следующих двух систем неравенств:
р(х)>0,	17(х)<0,
(g(x) > 0	(g(x) < 0.
§4. Алгебраические неравенства
177
7°. Неравенство
fMg(x) < о
равносильно совокупности следующих двух систем неравенств:
pW>o, и Г/М<о,
[g(x) < О	\g(x) > О.
Справедливость утверждений 1°-7° следует из свойств числовых
неравенств (гл. II, §6).
Пример 1. Решить неравенства (х - I)2 < 9 и (х — I)2 > 9.
А 1) Неравенство (х — 1)2<9 равносильно следующему: |х —1|<3.
Так как модуль разности двух чисел равен расстоянию между
точками, изображающими эти числа, то решение данного нера-
венства сводится к нахождению точек х числовой прямой, которые
удалены от точки 1 на расстояние, не превосходящее 3. Такими
точками являются точки интервала (—2,4).
2) Неравенству |х — 1| > 3, которое равносильно неравенству
(х — I)2 > 9, удовлетворяют все точки числовой прямой, расстояние
от которых до точки 1 больше 3.
Это точки, лежащие вне отрезка длины 6 с центром в точке 1,
т.е. точки, лежащие вне отрезка [—2,4]. Таким образом, множе-
ство решений исходного неравенства — объединение промежутков
(—оо,—2) и (4,+оо).
Ответ.
1) —2 < х < 4;	2) х < —2, х > 4.	▲
Пример 2. Решить неравенство |х — 1| < |х 4-3|.
А Первый способ. Так как обе части неравенства неотрица-
тельны, то при возведении их в квадрат получается равносильное
неравенство
х2 — 2х + 1 < х2 + 6х + 9.
Это неравенство равносильно неравенству —8х < 8, откуда х>—1.
Второй способ. Решение данного неравенства сводится к на-
хождению точек х числовой прямой, которые расположены ближе
к точке 1, чем к точке —3. Такими точками являются все точки,
лежащие справа от точки —1 —середины отрезка [—3,1], т.е. точки
из промежутка (—1;+оо).
Ответ, х > —1.	А
Пример 3. Решить систему неравенств
(х+1)2> 1,
(х — I)2 < 16.
178
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
А Данная система равносильна следующей:
|х+ 1| > 1,
|х-1|<4.
Множество Е\ решений первого неравенства этой системы состоит
из точек числовой прямой (см. рис. 2), лежащих вне отрезка [—2,0],
т. е. £i — объединение промежутков (—оо, —2) и (0,4-оо).
Множество £2 решений второго неравенства — интервал длины
8 с центром в точке 1, т. е. £2 = (—3,5).
Множество £ решений исходной системы — общая часть (пере-
сечение) множеств Е\ и £2 (см. рис. 2).
-3-2	0___1
---«.
Рис. 2
Следовательно, множество £ —объединение интервалов (-3,-2)
и (0,5).
Ответ. — 3 < х < — 2, 0 < х < 5.	▲
2. Квадратные неравенства и сводящиеся к ним
Пусть f(x) — ax* 2 4- bx 4- с, где а, Ь, с —заданные числа, причем
а 0, х — неизвестное. Тогда неравенства вида
/(х)>0, /(х) < 0, f(x)^O, f(x)^O
называют квадратными неравенствами или неравенствами второй
степени, причем первые два из этих неравенств называют строгими,
остальные — нестрогими.
Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Огра-
ничимся рассмотрением строгих неравенств и заметим, что всякое
строгое квадратное неравенство можно привести к одному из
следующих видов:
ах2 4- Ьх 4- с > 0	при	а > 0,	(8)
ах2 4- Ьх 4- с < 0	при	а > 0.	(9)
Из теорем 1-4 (гл. Ill, § 1 разд. 2) следует, что:
1) если D — b2 — 4ас<0, то решениями неравенства (8) являются
все действительные числа, а неравенство (9) не имеет решений;
2) если D = 0, то решениями неравенства (8) являются все
действительные значения х, кроме х = — а неравенство (9)
не имеет решений;
§4. Алгебраические неравенства
179
3) если D > 0, то решениями неравенства (8) являются все числа
х такие, что х<х\ или х>х%, где х\ и х2 —корни квадратного
уравнения ах% А-Ьх + с = 0, такие, что xj <х2, т.е. все значения
х, лежащие вне отрезка [х|,х2]; решениями неравенства (9)
являются числа х такие, что х\ <х < х2, т. е. все значения х
из интервала (xj,x2).
Пример 4. Решить
1)	х2 4-5x4-7 > 0;
3) 2х24-х —6>0;
неравенство:
2) 6х - 9 х2;
4) Зх2 - 8х - 3 0.
4- 5х 4- 7 > 0 равносильно неравенству
Л 1) Неравенство х2
/	5\2	3
(х4--1 4- - > 0, а его решениями являются все значения
xeR.
2)	Неравенство 6х —9^х2 равносильно неравенству (х —3)2^0
и имеет единственное решение х = 3.
3)	Уравнение 2х24-х —6 = 0 имеет корни Х| = — 2, х2 = |, а решения
неравенства 2х2 4-х — 6 > 0 — все числа х, лежащие вне отрезка
[з!	3
—2, - , т. е. все значения х такие, что х < —2, а также х > - .
2j	2
4)	Уравнение Зх2 — 8х — 3 = 0 имеет корни х\ = — А, х2 = 3,
а решения неравенства Зх2 — 8х — 3	0 — все числа х из
отрезка [—|,3^, т. е. — | х 3.	▲
Пример 5. Решить неравенство х4 — Юх2 4- 9 > 0.
А Полагая х2 = /, получаем неравенство /2 — 10/ 4- 9 > 0, равно-
сильное неравенству (/ — 1)(/ — 9) > 0, откуда находим t < 1, t > 9.
Поэтому множество решений исходного неравенства — объединение
множеств решений неравенств х2 < 1 и х2 > 9, которые равносильны
неравенствам |х| < 1 и |х| > 3 соответственно.
Ответ, х < —3, —1<х<1, х > 3.	А
Пример 6.
—3, -1
Найти все значения г, при которых неравенство
(г2 — 1)х2 4- 2(г — 1)х 4- 2 > О
х G R.
то неравенство справедливо (2 > 0). Если г— — 1,
имеет вид —Ах 4- 2 > 0 и не является верным для
верно для всех
А Если г = 1,
то неравенство
всех х е R (например, число х — 1 не является решением этого
неравенства).
180
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пусть г2 — 1 О, т. е. г =4 1 и г — 1. Тогда задачу можно
сформулировать так: найти все значения г, при которых квадратичная
функция
у = (г2 - 1)х2 4- 2(г — 1)х 4- 2
принимает положительные значения для всех х ей.
По теореме 4 § 1 гл III это имеет место тогда и только тогда, когда
дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а коэффициент
9
при х положителен, т. е. для всех г, удовлетворяющих системе
неравенств
(4(г-1)2-8(г2-1)<0,
(г2 — 1 > 0.
Первое неравенство равносильно каждому из неравенств
t2 + 2r-3>0, (r + 3)(r-1) > О, а его решения — значения г такие,
что г < — 3 или г > 1.
Второе неравенство справедливо при r<— 1 и г>1.
Следовательно, решениями системы являются значения г такие,
что г < — 3 или г > 1.
Ответ. г<— 3,	▲
Пример 7. Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 — 4х 4- 3
--О------ a
4х2 - 2х 4-1
верно для всех значений х.
Д Так как дискриминант квадратного трехчлена 4х2 — 2х 4- 1
отрицателен, а старший коэффициент положителен, то 4х2 —2x4-1 >0
для всех х е R. Умножая обе части исходного неравенства на
4х2 — 2x4-1, получаем равносильное неравенство
8х2 — 4х 4- 3 а(4х2 — 2х 4-1),
которое можно записать в виде
(8 — 4а)х2 4- (2a — 4)х 4- 3 — а 0.
Это неравенство не является верным для всех хе R при a = 2.
Если а 2, то неравенство является квадратным и справедливо
для всех xeR тогда и только тогда, когда a > 2 и
D = 4(а - 2)2 - 16(2 - а)(3 - а) = 4(а - 2)(10 - За) < 0.
Отсюда следует, что 10 — За 0, т. е. а > —.
3
Ответ, у.	▲
§4. Алгебраические неравенства
181
Пример 8. Найти все значения а, при которых неравенство
(х2 — а)(2х 4- 8 — а) О
верно для всех значений хе [—1,1].
А Пусть неравенство является верным для каждого хе [—1,1]. Тогда
оно верно при х = 0 и х=1. Подставляя эти значения в левую часть
неравенства, получаем систему неравенств
а(а — 8) О,
(а- 1)(а- 10) 0.
Первому неравенству системы удовлетворяют значения а < 0 и а 8,
второму — значения а < 1 и а 10, откуда следует, что множество
решений системы — совокупность промежутков
а 0, а 10.
Найденные условия являются необходимыми (искомыми значениями
а могут быть только такие значения, которые содержатся в проме-
жутках а 0 и а 10).
Покажем, что эти условия являются достаточными. Пусть а < О
и хе[-1,1]; тогда х2 — а 0, 2х 4- 8 — а > 0 и, значит, исходное
неравенство — верное.
Пусть 10 и хе [—1,1]; тогда х2 — а<0, 2х-|-8 — а^О, и поэтому
исходное неравенство справедливо.
Ответ, а 0, а 10.	▲
Пример 9. Решить неравенство |х2 4- х — 6| > 2 — х.
А Первый способ. Число х = 2 не является решением данного
неравенства, а при х > 2 неравенство справедливо: его левая часть
неотрицательна при всех х е IR, а правая отрицательна.
Если х < 2, то исходное неравенство равносильно совокупности
неравенств
х24-х — 6>2 — х и х2 4- х — 6 < — 2 4-х.
Эти неравенства равносильны неравенствам
(х-|-4)(х - 2) > 0 и (х-|-2)(х —2) < О
соответственно.
Решив систему
\ х < 2,
цх 4-4)(х — 2) > О,
получаем х < —4.
Аналогично, из системы
Гх < 2,
1 (х4-2)(х-2) <0
182
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
следует, что — 2 < х < 2. Итак, множество решений данного нера-
венства — объединение промежутков х < —4, — 2 < х < 2, х > 2.
Ответ, х < —4, —2
Второй способ. Построим гра-
фики функций у = |х2 + х — 6| и у —
= 2 — х (см. рис. 3)
Эти графики имеют общую точку
/1(2; 0). Две другие общие точки полу-
чим, найдя отрицательные корни уравнений
6 — х2 — х = 2 — х и х2 + х — 6 = 2 — х. Такими
корнями являются х = — 2 и х = -4. При
х < —4, —2 < х < 2 и х>2 график функции
у = |х2+х —6| лежит выше графика функции
у = 2 — х.
< х < 2, х > 2.	▲
3. Рациональные неравенства. Метод интервалов
। 2jt — 3
Пример 10. Решить неравенство ------------> 0.
%2 — 2х — 8
А Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, преоб-
разуем неравенство к виду
(х 4- 3)(х — 1) q
(х + 2)(х-4)	v 7
Заметим, что линейная функция х — а меняет знак при переходе
через точку а, причем правее точки а эта функция положительна,
а левее точки a — отрицательна.
Отметив на числовой оси точки —3, —2, I, 4, которые являются
нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе
дроби (10), разобьем числовую ось на пять промежутков (см. рис. 4)
Рис. 4
На самом правом промежутке (х > 4) дробь (10) положительна,
так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби
положительны при х > 4.
При переходе через каждую из отмеченных точек один и только
один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый
раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (10). Итак,
множество решений — объединение интервалов (—оо, —3), (—2,1)
и (4,4-оо).
Ответ, х < —3, —2<х<1, х>4	А
§4. Алгебраические неравенства
183
Рассмотренный способ решения неравенств называется методом
интервалов. Он применяется обычно при решении рациональных
неравенств, т. е. неравенств вида
£W>0	< о > О
Q(x) ’ Q(x) > Q(x) " ’
где Р(х) и Q(x) — многочлены.
Пример И. Решить неравенство
х Ь 2	8 — х
РИ Q
Q(x) '
А Преобразуем неравенство (12) к стандартному виду (11):
(х г 2)(х 8) I 2(х - - 8) + 7(х + 2) < q
(х 4- 2)(х — 8)
х2 4 Зх - 18 < q
(х + 2)(х	8)	’
(х + 6)(х - 3) < q
(х + 2)(х	8)	'
(И)
(12)
(13)
Неравенство (13) равносильно неравенству (12). Отметив на
числовой оси точки —6, —2, 3, 8 (см. рис. 5), определим знаки
рациональной функции, стоящей в левой части неравенства (13).
Рис. 5
Заметим, что числа -6 и 3 являются решениями неравенства (13),
а числа —2 и 8 не принадлежат множеству решений.
Ответ. —6^х<—2, 3^х<8.	▲
Пример 12. Решить неравенство
(2х2 — Зх — 9)(х — I)5	>0
(Зх - 7)(х - 2)2(2х2 - 5х + 4)
А Квадратный трехчлен 2х2 — Зх — 9 имеет корни х = —| и х = 3.
Поэтому 2х2 — Зх — 9 = 2 (х 4- 0 (х — 3). Квадратный трехчлен
2х2 — 5х 4- 4 принимает положительные значения при всех х € R,
так как его дискриминант D = 25 — 32 < 0, а старший коэффициент
положителен.
Обозначим левую часть неравенства через Р(х). Функция Р(х) не
7
определена при х = - их = 2и меняет знак при переходе через точки
<5
184	Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
3	7	3
—	1, — и 3. Числа —1 и 3 (корни уравнения Р(х) = 0) являются
решениями данного неравенства. Строгое неравенство Р(х) > 0 при
(О \	/	*7 \
х -h |) (х — 1) (х — - 1 (х — 3) > 0.
Применяя метод интервалов (см. рис. 6), находим все решения ис-
о
ходного неравенства с учетом того, что числа —1 и 3 принадлежат
множеству решений неравенства, а число 2 не принадлежит этому
множеству.
Ответ, х< — ? 1 х < 2, 2<х<-, х 3.	А
2	3
Пример 13. Решить неравенство
х2 - 8|х| + 12 < q
х2 — 6х Т 9
Д Рассмотрим два случая: 1) х 0;	2) х > 0.
1) Если х 0, то |х| = -х и неравенство примет вид
х2 -Ь 8х + 12
х2 — 6х + 9
Это неравенство равносильно следующему:
(х + 6)(х + 2)	-
(х-3)2
Отсюда находим —6 < х < —2.
2) Если х > 0, то исходное неравенство (при условии х 3)
равносильно неравенству (х — 6)(х — 2) < 0, откуда получаем
2<х<3, 3<х<6.
Ответ. —6 < х < —2, 2<х<3, 3<х<6.	А
4. Расположение корней квадратного трехчлена
на числовой оси
Пусть квадратный трехчлен Дх) = ах2 + Ьх + с имеет корни Х]
и xg, хо =— абсцисса вершины параболы у — ах2 + Ьх + с, М
и К — заданные числа.
§4. Алгебраические неравенства
185
Справедливы следующие утверждения, связанные с расположе-
нием точек Х\ и %2 на числовой оси.
1° Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были
меньше М (х\ <М, х% < М), необходимо и достаточно выполнение
условий
f D = b2 — 4ас О,
<х0 = -±<М,	(14)
> О,
где f(M) = аМ2 + ЬМ + с — значение трехчлена при х = М (рис. 7
и 8).
В частности, %] < 0, х% < О (М = 0) тогда и только тогда,
когда выполняются условия
' Ь2 — 4ас О,
< ab>0,	(15)
ас > 0.
Рис. 7
Рис. 8
2° Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были
больше М (xj > М, %2 > М), необходимо и достаточно выполнение
условий
' Ь2 — 4ас О,
(16)
.af(M)>0
(рис. 9 и 10).
Рис. 9	Рис. 10
186
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Рис. 11	Рис. 12
В частности, %| > 0, х% > О тогда и только тогда, когда
выполняются условия
{Ь2 - 4ас О,
ab<0,	(17)
ас > О.
3° Для того чтобы число М было расположено между корнями
квадратного трехчлена (х\ < М < х%), необходимо и достаточно
выполнение условия
af(M) < О	(18)
(рис. 11 и 12).
4° Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали
в интервале (К\М), т. е. К < х\ < М, К < х% < М, необходимо
и достаточно выполнение условий
{Ь2 - 4ас О,
к<-±<м,
2а	(19)
af(M) > О,
af(K) > О
(рис. 13 и 14).
Заметим, что в условиях (19) последние два неравенства
можно заменить одним неравенством
f(K)f(M) > О.
\ y=f(x)\	1 \ а>0	/ |V1 *0 *2 /| ^ АЛ ’ Рис. 13	а<0 /Г\ 	*/ ; у» I Г*\ хох2\ 1 х i \ Рис. 14
§4. Алгебраические неравенства
187
Рис. 15
Рис. 16
5° Для того чтобы отрезок лежал в интервале (xj,x2),
необходимо и достаточно выполнение условий
(af(K) < О,
\af(M) < О
(20)
(рис. 15 и 16).
Ограничимся доказательством утверждения 1°. Квадратный трех-
член ах2 + Ьх + с имеет действительные корни х\ и х2 тогда и только
тогда, когда
D = Ь2 - 4ас > 0.	(21)
Эти корни удовлетворяют условиям х\<М, х%<М тогда и только
тогда, когда
X] — М < 0, Х2~ М <G.	(22)
Неравенства (22) выполняются в том и только в том случае,
когда, наряду с условием (21), справедливы неравенства
(X] - М) + (х2 - М) < 0,
(х,-М)(х2-М) >0.	1 ’
Используя формулы Виета
Ь	с
Х1+Х2 = --, Х|Х2 = —,
получим систему неравенств
< 2М,
-+Л4-+Л42 > О,
а а
в которой второе неравенство равносильно неравенству af(M) > 0.
Итак, корни xi и х2 квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с удо-
влетворяют условиям %] < М, х2 < М тогда и только тогда, когда
коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют системе неравенств (14).
Аналогично доказываются утверждения 2°-5°, связанные с рас-
положением корней квадратного трехчлена.
188
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 14. Найти все значения г, при которых корни уравнения
(г-1)х* 2-2гх + г + 3 = 0	(24)
положительны.
А Корни квадратного уравнения ax2 + Ьх + с = 0 положительны тогда
и только тогда, когда выполняются условия (17). Для уравнения (24)
при г эти условия записываются в виде:
{4г2-4(г- 1)(г + 3) >0,
—2г(г—1)<0,	(25)
(г — 1)(г + 3) > 0.
Первые два неравенства системы (25) равносильны соответственно
неравенствам
2г-3^0, г(г—1)>0.	(26)
о
Первое из неравенств (26) справедливо при г < | (см. рис. 17),
второе — при г<0, а также при r> 1. Решениями третьего неравенства
системы (25) являются значения г такие, что г < — 3 или г>1.
Таким образом, если г^1, то множество решений системы (25) —
объединение промежутков (—сю, —3) и (l,|j.
-3	-1 О 1
2
Рис. 17
Если г = 1, то уравнение (24) примет вид —2% 4- 4 = 0, откуда
% = 2, т.е. корень уравнения (24) при г =Л положителен.
Ответ, г < — 3, 1^г^-.	А
2
Пример 15. Найти все значения г, при которых квадратный
трехчлен
f(x) — гх2 - (г + 1)х + 2
имеет действительные корни х\ и х% такие, что — 1 <х\ < 1, —1 <х%< 1.
А В силу утверждения 4° искомые значения г являются решениями
системы неравенств (19), которая в данном случае имеет вид
'(r+ I)2 - 8г > 0,
-1 < < 1,
<	2г .
г(2г + 3)>0,
.г > 0.
§4. Алгебраические неравенства
189
(г - (3 + 2л/2))(г - (3 - 2л/2)) > О,
Эта система равносильна каждой из следующих систем:
г г2 — 6г Т 1 О,
< г > О,
г > 1;
Так как 3 —2х/2< 1, то в результате получаем г^З + 2х/2.
Ответ. r^3 + 2x/2.
5. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых неизвестное
или рациональная функция от неизвестного содержатся под знаками
радикалов.
При решении иррационального неравенства следует сначала найти
его ОДЗ, т. е. все значения неизвестного, при которых обе части
неравенства определены (имеют смысл).
Иррациональное неравенство обычно сводят к рациональному,
возводя обе его части в натуральную степень. Так как при этой
операции может получиться неравенство, неравносильное исходному,
то следует установить, при каких значениях неизвестного левая
и правая части заданного неравенства принимают положительные
или отрицательные значения.
Если обе части неравенства неотрицательны на некотором мно-
жестве, то при возведении их в натуральную степень получится
неравенство, равносильное исходному на этом множестве.
Пример 16, Решить неравенство
\/х2 + х - 2 > х/3 —
4
Д Множество Е допустимых значений (ОДЗ неравенства) опреде-
ляется условием х2 + х — 2 > О, откуда находим х — 2, х^1. При
всех хеЕ левая часть неравенства неотрицательна, а правая часть —
отрицательное число, так как 3<^. Следовательно, все значения
16
х е Е, и только эти значения являются решениями неравенства.
Ответ, х —2, х^1.	▲
Пример 17. Решить неравенство
х/б - х	— х2 < 2Z2 _	.
5	2х/3
Д Заметим, что	< 0, поскольку < -4, а левая часть
5	2\/3	J 25	12
неравенства неотрицательна. Поэтому данное неравенство не имеет
решений.
Ответ. Нет решений.	▲
190
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 18. Решить неравенство
\/х2 + 4х —5 < 10 - 2х.	(27)
А Первый способ. Область Е допустимых значений неравенства
определяется условием
х2 + 4х — 5 О,
откуда следует, что множество Е — объединение промежутков
(—оо,—5] и [1,+оо). Числа из множества £, и только они, могут
быть решениями.
Заметим, что левая часть исходного неравенства неотрицательна
при всех х е Е, а правая часть меняет знак при переходе через точку
х = 5. Поэтому следует рассмотреть два возможных случая: % < 5
и х 5.
1) Если х 5, то 10 — 2х С 0, и исходное неравенство не имеет
решений, так как его левая часть неотрицательна.
2) Если х<5 и хеЕ, то обе части исходного неравенства определены
и неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству
х2±4х —5 < (10 — 2х)2,
которое равносильно неравенству
Зх2 - 44х + 105 > 0.
Так как уравнение
Зх2 - 44х + 105 = О	(28)
22 ± \/484 - 315	22 ±13	Q 35
имеет корни Х| о — -—------------- = —-—, т. е. х\ =3, х2 = —,
о	О	О
то множество Е[ решений неравенства Зх2 — 44х 4- 105 > О —
(35	\
у;4-оо 1. Условиям х<5 и хеЕ\
удовлетворяют значения х из промежутков (—оо, —5] и [1,3).
Замечание. Рассуждения, приведенные при решении неравенства при-
мера 18, дают основания утверждать, что неравенство
vV(x) < g(x)
равносильно системе неравенств
<р(х) О,
g(x} > О,
<р(х) <^(х).
Второй способ. Построим графики функций у=[(х) и y=g(x),
где /(х) = \А2 + 4х — 5, g(x) = 10 — 2х (см. рис. 18).
Решить неравенство (27) — это значит найти все значения х Е £,
при которых график функции /(х) лежит ниже графика функции g(x).
§4. Алгебраические неравенства
191
Абсциссы точек пересечения этих графиков — корни уравнения
/(х) = g(x). Следствием последнего уравнения служит уравнение
/2(х) = g2(x), т. е. уравнение х2 4- 4х — 5 = (10 — 2х)2, которое
равносильно уравнению (28). Из рисунка видно, что прямая у=10 — 2х
пересекает график функции y = f(x) только в точке А, абсцисса Хц
которой — корень уравнения (28), принадлежащий отрезку [1,5], т.е.
х0 = Х[ = 3. Заметим, что корень х2 уравнения (28) — это корень
уравнения —f(x)=g(x), т.е. абсцисса точки В, в которой прямая
у = 10 — 2х пересекает график функции у = —[(х).
Из рисунка заключаем, что график функции f(x) лежит ниже
графика функции g(x) на промежутках (—оо, —5] и [1,3).
Ответ, х — 5, 1 х < 3.	А
Пример 19. Решить неравенство
а/х2 — 2х — 3 > х — 2.
А Область Е допустимых значений данного неравенства определя-
ется условием х2 — 2х — 3	0, а множество решений последнего
неравенства — объединение промежутков (—оо, — 1] и [3,4-оо). Левая
часть исходного неравенства неотрицательна при всеххеЕ, а правая
часть меняет знак при переходе через точку х = 2. Поэтому следует
рассмотреть два возможных случая: х < 2 и х 2.
I) Если х<2, то х — 2<0, а левая часть неравенства неотрицательна
при всех х е Е. В этом случае все значения х такие, что х е £
и х < 2, т. е. х G (—оо,—1] являются решениями неравенства.
2) Пусть х 2. Тогда исходное неравенство равносильно неравенству
х2 —2х —3> (х —2)2, откуда х>^. В этом случае числа из про-
/7	\
межутка I -,+оо! являются решениями исходного неравенства.
Замечание 1. Метод решения неравенства, использованный в примере 19,
основан на том, что неравенство
V7(x) > gM
равносильно совокупности двух систем неравенств:
fg(x)^O,	fg(x)<0,
l/W >g2№;	l/W > 0.
Замечание 2. Решение неравенства в примере 19 можно получить,
построив эскизы графиков функций # = Vx2 — 2х — 3 и у — х — 2 (см. рис. 19).
Тогда решение сводится к нахождению корня уравнения
х2 - 2х - 3 = (х - 2)2.
7
Ответ. х<— 1, х >-.	А
2
192
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 20. Решить неравенство
х/76-1^ < 3 - х.
А Пусть Е — область определения неравенства. Тогда Е — множество
решений системы неравенств
(76 - 12х3 О,
(76- 12х3 ^81,
откуда следует, что Е = [—	^у] • Так как 3 > ^/у, то иа
множестве Е правая часть неравенства положительна и исходное
неравенство равносильно каждому из неравенств
9 - а/76- 12х3 < (3 - х)2,
х(6 - х) < \/76 - 12х3.	(29)
1) Значения х е Е такие, что х(6 — х) О, т. е. числа х е [— о] —
решения исходного неравенства, так как в этом случае левая
часть неравенства (29) неположительна, а правая принимает
положительные значения.
2) Пусть хе (О, тогда неравенство (29) равносильно каждому
из неравенств
х4 - 12х3 + 36х2 < 76 — 12х3,
х4 + 36х2 - 76 = (х2 + 38) (х2 - 2) < О,
х2 < 2,
откуда 0 < х < л/2- Так как \/2 < ^/у. то множество решений
неравенства (29) — интервал (0,х/2).
Ответ. — х < \/2.	А
§4. Алгебраические неравенства
193
Пример 21. Решить неравенство
у -х- + х + о > Q
|х2 — 7х 4- 6| — |х2 — х — 2|
А Так как неравенство |/(х)| > |gW| равносильно каждому из
неравенств /2(х) > g2(x), (f(x) + g(x))(f(x) — g(x)) > 0, то исходное
неравенство равносильно системе неравенств
Г-^ + х + 6^0,	(30)
[(2х2 — 8х 4- 4)(—6х 4- 8) > 0.
Квадратный трехчлен — х2 4- х 4- 6 имеет корни —2 и 3, корнями
квадратного трехчлена х2 — 4х 4- 2 являются числа X] = 2 - у/2
и х<2 = 2 4- л/2, а система (30) равносильна системе
' (х 4-2)(х — 3) 0,
(х - Х|) (х - (х - х2) < 0,
(31)
(32)
где — 2 < х\ < | < 3 < Х2 (см. рис. 20).
•......... -О---о-..—.  (>-►
—2	0 х\ 1 зх2 х
3
Рис. 20
Множество Е\ решений неравенства (31) —отрезок —2 х 3.
Множество Е2 решений неравенства (32), определяемое методом
интервалов, является объединением интервалов х<х\ и |<х<Х2>
а множество решений системы (31), (32) — пересечение множеств Е\
и Е2.
Ответ. —2 х < 2 — \/2, | < х 3.	▲
Пример 22. Решить неравенство
х/Зх3 — 22х2 4- 40х > з% _ jq
х —4
А ОДЗ неравенства определяется условиями
Зх3 - 22х2 + 40х = Зх (х — у) (х — 4) О, х 4,
откуда
О^х^у, х > 4.
Обозначим /(х) = 3 (х — у) (х — 4).
7—2549
194
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
а)	Пусть х>4, тогда /(х)>0. В этом случае исходное неравенство
равносильно каждому из следующих неравенств
\Д7(х) > fM, л/х v7(x), X f(x),
Зх2 - 23х + 40 = 3 (х -	(х-5)^0,
\ О /
откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 < х < 5.
б)	Пусть 0 < х < у, тогда х — 4 < 0, f(x) 0 и исходное
неравенство равносильно неравенству \/xf(x) ^f(x). Значение
х —является решением этого неравенства, а если 0^х<^,
то Дх) > 0, и неравенство примет вид
Зх2 - 23х + 40 = 3 (х - |) (х - 5) 0,
10	8
откуда, с учетом условия 0 < х < —, получаем 0 < х < -.
О	и
Ответ. 0<х<~, х — —, 4 < х 5.	▲
3	3
Пример 23. Решить неравенство
/х2 + 9х~ 162 g _ II
у х — 2
Д Так как х2 + 9х - 162 = (х + 18)(х — 9), то ОДЗ неравенства —
совокупность двух промежутков — 18^х<2, х 9.
а)	Если —18	х < —9 или х > 9, то левая часть исходного
неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. По-
этому указанные значения х являются решениями исходного
неравенства. Число х = — 9 также является решением этого
неравенства, а число х = 9 не есть решение неравенства.
б)	Пусть —9 < х < 0, тогда исходное неравенство равно-
х2 Ч- 9х — 162 .	✓	. п\2
сильно каждому из неравенств ——— ------------ > (х -1- 9) ,
х2 + 9х — 162 < (х2 + 18х + 81)(х — 2), х3 + 15х2 + 36х > 0,
х(х + 12)(х 4- 3) > 0, откуда, с учетом условия —9 < х < 0,
находим —9 < х < —3.
в) Пусть 0^х<2, тогда исходное неравенство равносильно каж-
дому из неравенств . Лх + ^8^9~х^ > (9 —х), J^----8- > ^/9 — х,
х +18 > 9 — х, х2 — 12х < 0, откуда с учетом условия 0 х < 2,
получаем 0 < х < 2.
Ответ. —18 х < — 3, 0 < х < 2, х > 9.	▲
§4. Алгебраические неравенства
195
Задачи
Выяснить, являются ли равносильными на множестве R неравенства (1-16):
1. х2 < 2 — х и х2 + х — 2 < 0.
3. х2 > 0 и х > 0.
5. 2х2 <-1 и —(1 4-Зх2) > 0.
7. х2 > х и х2 4-------~ > х 4------х •
х - 2 х - 2
2. 4 - х2 4- Зх 0 и (х - 4)(х 4-1)	0.
4. х —1>0 и (х — 1)(х2 4-4) > О
6. Vx2 4-1 >1 и х > О.
8. х2 > 4 и х4 > 16.
10. v/x2 <1 и х < 1.
И. (х- I)2 <4 и -1 < х < 3.
12.	|х 4-1| < |х — 1| и х < 0.
13.
14.
15.
----—к >-------—9 И (х 4 4)2 < (х 4- 2)2
(х 4-4)2 (х 4- 2)2
< 0 и (х - 2)(х 5) < О
х2(х — 5)
х3 < 8 и х < 2.	16.	0 и (х - 3)(х 4-1) О
Решить неравенство (17-20):
17. (х + 2)2<9.	18. (х + 3)2>4.
19. |х + 2| > |х - 4|.	20. |2х + 3| < |2х - 5|.
Решить систему неравенств (21-22):
(2х —7<0,	Г(х + 2)2>4,
1|х+1| >3.	l(x- I)2 < 36
Решить неравенство (23-30):
23. х2 + 7<4х.
26. 2х2 —7х + 7>0.
29. х4 - Зх2 - 4 > 0.
24.	4х2 + 1	4х.
27.	5х + 6	6х2.
30.	4х2 - 37х2 - 2 > 0.
25. 9х2 —12x4-4^0.
28. х2 — х — 2 > 0.
Решить неравенство (31-34):
31.	|2х + 3|<х + 7.	32. |3х + 1| > 5 - 4х.
33.	|х + 2| > |1 -2х|.	34. |х + 2| < |х-1|+х-|.
35.	Найти все значения г, при которых неравенство гх2 + 2(г + 2)х + 2г + 4 <0
справедливо для всех х е R
36.	Найти все значения а, при которых для всех xeR справедливо неравенство:
. ч 8х2 — 20х 4-16 <	Зх2 — 4х 4- 8
4х2 —10x4-7	9х2 —12x4-16^
37.	Найти все значения а, при которых для всех xeR является верным двойное
о х2 4- «х — 2	~
неравенство: —3 < —х-----< 2.
х2 — х 4-1
Решить неравенство (38-45):
38.	|х24-2х — 3|>х.	39. |х24-х4-1| |х24-3х4~4|.
40.	|х24-5х|<6.	41. х2-|х|>2.	42.	|2х2 -9х4-15| ^20.
43.	|х24-2х — 3|4-3(х+ 1)<0. 44. |х2-х-6|>х4-3.	45.	|х2-2|х|-3|<2.
Решить неравенство (46-60):
45 х2 — 2х 4- 3 > q	х2 4- х — 2 q	Зх2 — 5х — 2 < g
х2-8х4-7	х2 4-х -12^	2х2—х —3
196
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
49.	9 + 1 < J4	50.	5~4*	<4 Зх2 — х — 4	51.	17 —42х , 5х2 — 7х 4- 2	>6.
	х4-1	х — 1				
52.	—7х2 ±--3. '. > 0.	53. 2х2 — 5х — 3	х4 — 8х2 — 9 < р X3 - 1	54.	1 2х 4~ 1 I л 1x4-11	
55.	х2 - 7|х| + 10 < 0	56 х2 4- 6х 4- 9	Iх 4- 3| > I |x + 2| -1	'	57.	|1 + 2х| < х2 4- х - 2	1 2
58.	_|£.±..3|_ 2.	59. х2 4- 5х 4- 6	^-И-'Чгх. х 4  3	60.	|х4-3| 4-х > х4- 2	1.
61.	Найти все значения	г, при которых	вершины двух парабол		
	у = х2 - 2(г 4- 1)х 4- 1 и 3 прямой у =	у — гхЛ — х 4- г лежат		по разные	стороны от
62.	Найти все значения а. при которых вершины двух парабол у — х2 У4ах — а
и у = — ах2 4- 4х -|- а 4- 2 лежат по одну сторону от прямой у — - 3.
63.	Найти все значения Ь, при которых квадратный трехчлен х2 4- 2Ьх 4- 4Ь
имеет действительные корни х\ и х2 такие, что Х[ > — 1, х2 > - I.
64.	Найти все значения Ь, при которых квадратный трехчлен х2 — Ьх 4- 2 имеет
действительные корни, принадлежащие интервалу (0,3).
65.	Найти все значения Ь, при которых квадратный трехчлен х2 2bx - I имеет
действительные корни xj и х2 такие, что |xj| <2, |х2| <2.
Решить неравенство (66-83):
66. V*2 - Зх 4- 2 < 2х — 5.
68. д/х2 + х- 12 > 6-х.
70. \/Зх2 + 8х - 3 >
72. \/х 4-1 — \/х < \/х — 1.
74. \/х2 — 5х 4- 6 < 1 4- \/х2 — х 4- 1.
76. -й-	о.
|х2 — 6х 4- 5| — |х2 — 2х — 3|
78. ----1 „  < . L... .
2 — \/х2 — Зх \/х2 — 2х 4- 4
80. A/500t30V—>10-И-
у 2x4-5	1 1
х/Зх^ — 27х2 4~ 60х >	_|2
х — 5
67. у/х2 — х—12<х.
69 л/7х х2 — 10 > q
х-3
71. х/2х2 4- 7х — 4 > х —
73. \Jx 4- 3 < у/7 — х 4- х/10 - х.
75. \/х2 - 4х 4- 3~ < 1 4- х/х2 + 2х 4- 2
77	\J—х% — 6х — 5	> Q
|х2 4- х — 2| — |х2 4- 7х 4- 6|
79. -----1	<	1
2—\/х24-Зх х/х2 4-4x4-7
81. ^£2-+.?-2£-.§.71 > 15 _ |х|.
83.	~ 22^2	2х - 10.
X — 6
Ответы
1. Да. 2. Да. 3. Нет. 4. Да. 5. Да. 6. Нет. 7. Нет. 8. Да.
9. Да. 10. Нет. И. Да. 12. Да. 13. Нет. 14. Нет. 15. Да. 16. Нет.
17. -5 < х < 1. 18. х < -5, х > -1. 19. х > 1. 20. х < 1. 21. х < -4,
2 < х < Z. 22. —5 < х < —4, 0 < х < 7. 23. Нет решений. 24. х / Z.
25. х = |. 26. xeR. 27. -|^х^|. 28. х<-1, х>2. 29. х<-2, х>2.
30. —3<х< -1 1 <х < 3. 31. -^<х<4. 32. х>^. 33. -|<х<3.
Z Z	О	/о
§4. Алгебраические неравенства
197
34. х > |. 35. г < -3. 36. 1) а И, 2) а < |. 37. -1 < a < 2.
Z	<5	о
38. х < ^1~3, % >	39. х 40. —6 < х < —3, -2<х<1.
41. х < —2, х > 2. 42. х<-1, х>5. 43. -5 < х <-2. 44. х < 1 - \/Ю,
-ч/3<х<ч/3, х> 1 + л/10. 45. -(1 + ч/б) <х< -(1+ V2), 1 + ч/2<х< 1 + ч/б.
46. х < 1, х > 7. 47. -4 < х -2, 1 х < 3. 48. -1 < х < -±, | < х < 2.
49. —3<х<—1, 1<х<8. 50. х<-^-, -1<х<^,х>1 51. —\=<х<^
Z	Zu	v6
-L < х < 1. 52. -1 < х < 1, х > 3. 53. х -3, 1 < х 3. 54. х < -1,
л/6	2
— 1 < х < —у. 55. — 5 < х < -3, — 3 < х < —2, 2 < х < 5. 56. х < —3,
4
х > - 1.	57. х	—5, —2 < х < 1, х 4. 58. —2 < х	— |. 59. х > —3.
60. -5^х^-2, х> -1. 61. -|<г<-1,-1<г<0,г>1. 62.
-1 < a < 0, a > 1. 63. -1 < b < 0. 64. 2ч/2 a < И	65.	О т-
4	2	3	4	4
66. х> 17+yi3 67. х^ 4. 68. х>^. 69. 3<х^5, х = 2. 70. х 3,
о	13
X > 30Vl~34. 71. х —4, х >	72. х > -2=- 73. -3 х < 6.
23'	4	ч/З
74.	< х 2, х 3. 75.	< х 1, х > 3. 76. 1 х < 2,
2 + ч/З < х 6. 77. -5 х < —2 - ч/2,	< х -1. 78. х <-1, х = О,
х > 4. 79. х < —4, х = -3, х > 1. 80. х < -10, -| < х < 0, | < х 25.
81. —45 х < —5, 0 < х < 3, х > 15. 82. О^х^-у, х = 4, 5<х^6.
83. О х 4, х = 5, 6 < х у.
Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
§1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ.
ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРЫ ИЗМЕРЕНИЯ
УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
1. Тригонометрическая окружность
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале прямоуголь-
ной системы координат Оху. Окружность радиуса 1 называют единич-
ной окружностью. Пусть луч ОРа составляет угол а с положитель-
ным направлением оси Ох. Будем считать угол а положительным,
если луч ОРа получен из луча OPq (рис. 1) поворотом в направлении,
противоположном движению часовой стрелки, и отрицательным,
если поворот осуществлялся в направлении
по ходу часовой стрелки. В дальнейшем будем
говорить, что точка Ра получена из точки Р$
поворотом вдоль окружности на угол а.
Тригонометрической окружностью (три-
гонометрическим кругом) называют окруж-
ность (круг) радиуса 1 с выбранными началом
отсчета Pq для измерения углов и направле-
нием обхода.
2. Градусная и радианная меры угла
Существует несколько способов измерения угловых величин (уг-
лов, дуг). Как правило, за единицу измерения принимают некоторый
определенный угол и с его помощью измеряют другие углы. Так,
например, в технике за единицу измерения углов принят полный
оборот, в мореплавании используется румб, равный -L части полного
oZ
оборота, в артиллерии большое деление угломера, равное — полного
оборота.
В геометрии более трех тысяч лет используют градусную систему
измерения (меру) углов. В градусной системе единицами измерения
служат градус, минута, секунда. Под одним градусом 1° пони-
мают — часть полного оборота. Таким образом, полный оборот
составляет 360°. Градус, минута и секунда связаны, соответственно,
следующими соотношениями:
Г = 60', Г = 60".
§1. Тригонометрическая окружность
199
Рассматривая поворот луча OPq относительно точки О (рис. 1),
отметим, что он будет совпадать с лучом ОРа каждый раз после того,
как он сделает сначала k полных оборотов, а потом еще повернется
в том же направлении на угол а. Следовательно, существует
бесконечно много углов с начальной стороной OPq и конечной ОРа,
и все они записываются формулой
360° • k + а, где k g Z.
В связи с развитием техники и необходимостью использования
в расчетах современных математических методов возникла новая
универсальная система измерения угловых величин — радианная.
В этой системе для измерения угловых величин и для обозначения
единицы системы измерения используется радиан (1 рад).
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим
на ней дугу PqP[ длины R и угол PqOP\ (рис. 2).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу окружности, называется
углом в один радиан.
Связь между градусной и радианной систе-
мами измерения описывается следующим образом.
При повороте луча OPq точка Ра движется по
Рис. 2
окружности, описывая дугу PqPqc. Эта дуга может быть выражена
в градусах формулой 360° • k 4- а, где k € Z, или в радианах длиной
дуги I. Поскольку длина окружности радиуса 1 равна 2драд и ей
соответствует 360°, а дуга длины I рад соответствует углу 360°&4-а,
k € Z, то из пропорции
_ 360° • fe + <х, k
2я 360°
следует, что
I = 2nk + -- - a, k е Z.
180°
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной
kR (полуокружность) стягивает центральный угол в 180°, то дуга
длиной R стягивает угол в я раз меньший, т. е. 1 рад =	« 57°17'.
Пусть угол содержит а радиан, тогда его градусная мера равна:
(180	\ °
— -а] (формула перевода радианной (1)
меры угла в градусную)}
Пример 1. Найти градусную меру угла, равного:
1) рад; 2) рад.
А По формуле (1) находим:
1) рад	° = 135°; 2) ^рад=(^-^У-105°. А
4	\ тг 4 /	12	\ тг 12/
200	Глава V. Тригонометрические формулы
Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол 180° равен
п рад, то 1° = рад
Пусть угол содержит а градусов, тогда его радианная мера равна:
а° = (• ом рад (формула перевода градусной (2)
меры угла в радианную).
Пример 2. Найти радианную меру угла, равного:
1) 15°;	2) 144°.
Л По формуле (2) находим:
15°=(1^'15) рад=т1рад; 2) х=(т^’144)	А
Замечание. Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование
«рад» опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окруж-
ности. Так как угол в 1 рад стягивает дугу длиной, равной радиусу
/?, то угол в а рад стягивает дугу длиной
/ = aR.	(3)
Следовательно, радианная мера центрального угла равна отноше-
нию длины стягивающей его дуги к радиусу окружности:
Пример 3. Конец минутной стрелки Кремлевских курантов
движется по окружности радиуса R « 3,06 м. Какой путь проходит
конец стрелки за 20 мин?
Д За 20 мин стрелка поворачивается на угол ~ рад. По формуле (3)
при рад находим:
I = ^.R «	• 3,06 м « 6,4 м.	▲
3	3’
Замечание. Наиболее простой вид формула (3) имеет в случае, когда
радиус окружности R=\. Тогда длина дуги равна величине центрального угла,
стягиваемого этой дугой, в радианах, т. е. I — а. Этим объясняется удобство
применения радианной меры измерения углов в математике, физике, механике
и т. д.
Следует также отметить, что недостаток радианной меры заключается в том,
что величина многих углов в этом случае выражается иррациональным числом.
Например, прямой угол ^ = 1,570796... радиан. Для упрощения записи значения
многих углов записывают в долях числа л Например,	1,2л, —0,33л
о У iz
§1. Тригонометрическая окружность
201
Задачи
1.	Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1)	315°;	2) -240°;	3) 210°;	4) 135°;	5) 120°;	6) 75°;
7)	-72°;	8) 18°;	9) 15°;	10) -6°;	11) 1°.
2.	Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1)	2)	3)	4)	5)	6)
Ч	О	о	1Э	о	D
7)	8)	g; 9)	Ю)	Ц)	-Ц*
3.	Вычислить угловую скорость (в радианах в час) вращения
1)	часовой стрелки; 2) минутной стрелки.
4.	Определить в градусах величину угла, на который повернулась минутная
стрелка часов, и определить путь, который проходит ее конец, движущийся
по окружности радиуса 2 см, за:
1)	5 мин; 2) 18 мин; 3) 1 ч 15 мин; 4) 3 ч 24 мин.
5.	Радиус окружности равен 1,5 см. Найти:
1)	градусную и радианную меры угла, стягиваемого дугой окружности
длиной 4;
2)	длину дуг окружности, стягивающих углы величиной 135° и
6.	Колесо автомобиля радиуса 0,5 м вращается с постоянной скоростью
80	,
у рад/с.
1)	Какое расстояние проедет автомобиль за 1 минуту?
2)	За какое время автомобиль проедет путь, равный 12 км?
7.	При полном обороте зубчатого колеса другое колесо совершает два полных
оборота в противоположном направлении. На какой угол повернется второе
колесо, если первое повернулось на: 1)330°; 2)900°; 3) 1550°?
8.	Выразить углы правильного n-угольника в градусах и радианах, если:
1)	п - 3;	2) п = 4;	3) п = 5;	4) п = 8;	5) п = 12.
9.	Углы треугольника относятся между собой как 2:3:4. Выразить углы
этого треугольника:
1)	в градусах; 2) в радианах.
10.	Определить градусную и радианную меры углов четырехугольника, если
они относятся как 7 : 8 : 9:12.
11.	Каждый из следующих углов представить в виде суммы 360° • k 4- а, где
k е Z и а —неотрицательный угол, меньший 360°:
1)	760°;	2) 510°;	3) -980°;	4) 1080°;
5) 3780°;	6) -750°;	7) -1250°;	8) -1040°.
12.	Вывести формулу площади кругового сектора радиуса /?, образованного
углом в а рад (0 < a < тг).
13.	Заполнить таблицу для сектора:
Угол, °	30					
Угол, рад		71 5			22	
Радиус, см	2		10	5		
Длина дуги, см		2	5			10
Площадь сектора, см2				50	25	50
202
Глава V. Тригонометрические формулы
Ответы
1.	I) 2)	3)	4) ?2; 5)	6)	7)	8) А; 9) А;
10) -А; Ц) JL. 2. 1) -345°; 2) 240°; 3) -1200°; 4) 156°; 5) -120°;
6) -144°; 7) 48°; 8) 25°; 9) 9°; 10) 12°; 11) -13°. 3. 1) 2тград/час;
2) А рад/час. 4. 1) 30° и | см; 2) 108° и см; 3) 450° и 5тг см; 4) 1224°
и см. 5. 1) (^)° иди 3 рад; 2) см и см. 6. 1) 800 м; 2) 15 мин.
7. 1) -660°; 2) -1800°;	3)	-3100°.	8.	1) 60° или 2) 90° или	3) 108°
или 4) 135° или ^2;	5)	150° или	9. 1) 40°, 60°, 80°; 2)	^2, ^2.
5	4	6	'999
10. 70°, 80°, 90°, 120° или	2,	и. 1) 2-360° + 40°; 2) 360° 4 150°;
3) -3 • 360° + 100°; 4)	3	- 360°; 5)	10	• 360° + 180°; 6) -3 • 360°	+ 330°;
7) -4  360° -|- 190°; 8) -3 • 360° + 40°. 12.	 а.
§2. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ
1. Координаты точек на тригонометрической окружности
Использование радианной меры при измерении углов позволяет
для каждой точки Ра тригонометрической окружности указать длину
дуги Р$Ра. Это дает возможность определить отображение множества
действительных чисел R на единичную окружность, т. е. поставить
в соответствие каждой точке Ра действительное число. Это можно
осуществить следующим образом
Сначала множество действительных чисел R отображают на
координатную прямую. За единицу длины на координатной прямой
принимается радиус окружности. Затем, вообразив эту прямую
в виде нерастяжимой нити, закрепленной на окружности в точке
«наматывают» ее на тригонометрическую окружность так, что
начало координат на прямой переходит в начало отсчета углов на
окружности. При этом луч, на котором отложены положительные
числа, наматывается в положительном направлении, а луч, на кото-
ром отложены отрицательные числа, наматывается в отрицательном
направлении (рис. 3). При этом точки координатной прямой переходят
соответственно в точки окружности. Таким образом, каждой точке
прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
Поскольку после полного оборота числам вида а и а + 2тс£,
k е Z, соответствует одна и та же точка тригонометрической
окружности, считается, что все они изображаются на окружности
одной точкой. В итоге получается, что множество R разбивается
§2. Координаты точек тригонометрической окружности
203
на промежутки [2тш; 2л:(п Н-1)), п е Z. Если а е [2тгп; 2п(п + 1)), то
числу а ставят в соответствие точку Ра такую, что дуга Р$Ра,
пробегаемая в положительном направлении, имеет длину a —2m,
если а > 0 (рис. 4), а дуга	пробегаемая в отрицательном
направлении, имеет длину а — 2тс(гг + 1), если а<0 (рис. 5). При
этом на тригонометрической окружности вместо точки Ра обычно
отмечают число а.
Отметим некоторые свойства приведенного отображения.
1°. Числам а и /3 соответствует одна и та же точка тригономет-
рической окружности тогда и только тогда, когда разность а — [3
кратна 2д, т.е. а — [3= 2nk,k е Z.
2° Точки, соответствующие противоположным числам а и —а,
симметричны относительно прямой OPq, где точка Pq — начало
отсчета углов на окружности, а О —центр окружности.
3° Точки, соответствующие числам а и а + 71(26 +1), 6eZ, диа-
метрально противоположны, т. е. симметричны относительно центра
окружности.
Пример 1. Описать взаимное расположение на тригонометриче-
ской окружности точек, соответствующих числам:
1)	' и 2) - и -2Е;	3) £ и 4) и
’ 4	4’	’ 4	4	’ 6	6’	7 4	4
Л 1) Так как = 2л + т. е. — — - = 2л; то этим числам
4	4	4	4
соответствует одна точка.
204
Глава V. Тригонометрические формулы
2)	Числа и — противоположны, поэтому соответствующие им
точки симметричны относительно оси Ох
3)	Так как ^ = тг+~, то соответствующие им точки диаметрально
6	6
противоположны.
4)	Так как — ^ = —	то точки, соответствующие числам
— и у, диаметрально противоположны.	▲
2. Координаты точек единичной окружности
в декартовой системе координат
Определим в декартовой системе координат Оху координаты
некоторых точек окружности радиуса 1 с центром в начале коор-
динат.
Пример 2. Рассмотрим случаи, когда луч ОРа составляет
с положительным направлением оси Ох углы:
1)	0;	2)	3)	4) -;	5)
6	4	3	2
Д 1) Если а = 0, то точка Ра совпадает с точкой Ро = (1;0).
2)	Пусть а=-. Найдем координаты точки Ра. Для этого опустим
6
перпендикуляр РаР из этой точки на ось Ох. Рассмотрим
прямоугольный треугольник ОРаР (рис. 6). Поскольку ко-
ординаты точки Ра численно равны длинам катетов этого
треугольника, то остается найти длины РаР и ОР. Гипотенуза
ОРа равна радиусу окружности, т. е. равна 1. Катет РаР
лежит против угла поэтому РаР=Л. По теореме Пифагора
для треугольника ОРаР получим ОР — у/ОР% — ОР2 =
Следовательно,
3)	Пусть а= Как и в предыдущем случае, опустим перпен-
дикуляр РаР из точки Ра на ось Ох. Соответственно, катеты
прямоугольного равнобедренного треугольника ОРаР (рис. 7)
л/2
с гипотенузой 1 равны РаР = ОР = Следовательно,
§2. Координаты точек тригонометрической окружности
205
Рис. 6	Рис. 7	Рис. 8
4)	Пусть a — Аналогично предыдущим случаям получаем
О
Pa=(?v) (рис 8)-
5)	Если я—то точка Ра = (0; 1).
Задачи
1.	Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки
Ро = (1;0) на угол:
1)	Зл; 2) у;	3) -3,5л;	4) 270°;	5) 1080°;	6) -90°.
2.	Построить лучи ОРа, образующие с осью абсцисс заданные углы, и опре-
делить координаты точки Ра на тригонометрической окружности, если угол
равен:
1)	60°;	2) 210°;	3) 300°;	4) 1080°;
5) 3780°;	6) -150°;	7) -250°;	8) -1040°.
На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки
Ро — (1;0) на заданный угол (3-4):
3.	1) -±2л;	2) —-±4л;	3) 0,25л±Зл;	4) -±5л.
4	6	3
4.	1) y+2nfe. /геЕ; 2) л4-2лА,	3) -^ + л(2А+1), keZ.
5.	Вычислить координаты точек Ра единичной окружности, если луч ОРа
составляет с положительным направлением оси Ох углы:
1) у!	2)	3)	4) л; 5)	6) у;
о	4	о	о	z
7)	у;	8)	9)	- ;	10) -	;	11)	-у;	12) -л.
6.	Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Pq — (1; 0), чтобы
получить точку с заданными координатами:
1)	(1;0);	2) (—1;0);	3) (0; I);	4) (0;-1).
7.	Найти число х, где 0 С х < 2л, и целое число k, такие, чтобы выполнялось
равенство а = х 4- 2 л/г, если:
1)	а—13,2л;	2) а — 9 ? л; 3) а — ™ л; 4) а — — у л.
206
Глава V. Тригонометрические формулы
8.	Две точки с координатами А = (0; 1) и В —(1;0) начинают двигаться по
окружности единичного радиуса с центром в начале координат в одном
направлении. Точка А за каждую минуту описывает дугу в 60°, а точка
В —дугу в 42°. Через сколько минут после начала движения произойдет
первое, второе, k-e совпадение точек?
9.	Две точки с координатами Д = (0;1) и В = (1;0) начинают двигаться по
окружности единичного радиуса с центром в начале координат в разных
направлениях. Точка А движется в отрицательном направлении, описывая
в каждую минуту дугу в 20°, а точка В —в положительном направлении,
описывая в каждую минуту дугу в 25°. Через сколько минут после начала
движения произойдет первое, второе, k-e совпадение точек?
Ответы
I. 1) (—1;0); 2) (0;—1); 3) (0; 1); 4) (0; 1); 5) (1;0); 6) (0;-1). 2. 1)
2)	3)	4)	5) 21тг; 6)	7)	8) -ф.	5. 1)
2)	3)	4) (-1; 0); 5)	6) (0; 1);
7)	(о;-1>; п)
12) (—1;0). 6. 1) 2лл, пей; 2) 7г+2тгп, neZ; 3) ^ + 2лтг, nGZ; 4) — ^4-2тгп,
пег. 7. 1) х = 1,2д, 6 = 6; 2) х=?тг, 6 = 4; 3) х=|, k = 3; 4) х = ^, 6 =-4.
8. Первое совпадение произойдет через 5 минут; второе —через 25 минут; k-e —
через (20& - 15) минут. 9. Первое совпадение произойдет через 6 минут;
второе —через 14 минут; k-e — через (8k — 2) минут.
§3. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
1. Определения и основные свойства
меньше —1 и больше
Определение. Ордината точки Ра еди-
ничной окружности (рис. 9), полученной при
повороте точки = (1;0) на угол а, назы-
вается синусом угла а (обозначается sin а),
а абсцисса — косинусом угла а (обозначается
cos а).
Отметим некоторые свойства синуса
и косинуса угла.
1°. Поскольку для любого угла а орди-
ната и абсцисса точки Ра не могут быть
1, то для любого угла а справедливы двойные
неравенства —l^sina^l и — l^cosa^l.
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс 207
2°. Так как углам, имеющим противоположные значения а и —а,
соответствуют точки, симметричные относительно оси Ох, то ор-
динаты этих точек имеют противоположные значения, а абсциссы
совпадают, т. е.
sin (—а) = — sin а и cos (—а) = cos a.
3° Так как углам, имеющим значения а и a + л, соответствуют
диаметрально противоположные точки окружности, то ординаты
и абсциссы этих точек имеют противоположные значения, т. е.
sin (тс + а) = — sin а и cos (л + а) = —cos а.
4° Так как углам, разность значений которых кратна 2л, соот-
ветствует одна и та же точка окружности, то
sin а = sin (а + 2лл), п с Z, и cosa = cos(a + 2Ttn), п € Z.
Определение. Тангенсом угла а называется отношение sin а
к cos а:
tga=s!!l«, +
cos а	2
Котангенсом угла а называется отношение cos а к sin а:
ctga=—, a^Ttk,ke%.
sin а
Отметим некоторые свойства тангенса и котангенса угла.
1° а) Для любого угла а^^4-л£, feeZ, справедливо равенство
tg(—ос) = — tgа.
О	tg (-a) =	=	=	= ос.	•
cos (—а)	cos а	cos а
б) Для любого угла а 7^ лк, k е Z, справедливо равенство
ctg(—а) = - ctg а.
Это свойство доказывается аналогично предыдущему.
2° а) Для любого угла а^^ + лк, keZ, справедливо равенство
tg а = tg (а - л) = tg (а + л),
о tg(a-7c)=	=z2i^ = ^^tga
cos(a—тг) —cos а cos а
И	- /	. ч	-	-
tg(a+ я) = ^L+2E). =	=	= tga.	•
cos (а + к) — cos a cos а
б) Для любого угла а л/г, k е Z, справедливо равенство
ctg а = ctg (a — л) = ctg (a 4- л).
Это свойство доказывается аналогично предыдущему.
208
Глава V. Тригонометрические формулы
3° а) Для любого угла а7^+ тс&, 6 eZ, справедливо равенство
tga = tg(a+ т), ней.
О Из равенства tg(a+ кп) —	следует, что при четных и,
т. е. при п = 2k, имеем
tg (а + 2л£) =	= sina = f
& v	cos (а 4 2тг/г) cos а &
а при нечетных и, т.е. при п — 2fe+l,
tg (а + K(2k + 1)) = sin (а ±2L±™1 = sin (« +4 =	= tg a. •
cos (ot 4- л: 4 2тгАг)	cos (а + zr) — cos a
б) Для любого угла a 7^ nk, keZ, справедливо равенство
ctg a = ctg (a 4- nn), n G Z.
Это свойство доказывается аналогично предыдущему.
Из определения тангенса и котангенса следует, что для любого
угла а такого, что a 7^^, k g Z, справедливы тождества
tg a -ctg а — 1,
ctga=— и tga=—.
& tg a s	ctg a
Отрезок [—1; 1] оси ординат называют линией синусов; отрезок
[—1; 1] оси абсцисс — линией косинусов (рис. 10).
Легко проверить, что прямая 0Ра при
а 7^ | 4~ тш, п е Z, пересекает прямую
х = 1 в точке с координатами (l;tga),
а при а ян, п G Z, пересекает прямую
у = 1 в точке с координатами (ctgajl).
Поэтому прямую х = 1 называют осью
(линией) тангенсов, а прямую у= 1 — осью
(линией) котангенсов (рис. 10). Положи-
тельное и отрицательное направления на
оси тангенсов и оси котангенсов выбирают
так, чтобы они совпадали с направлением
оси ординат и оси абсцисс соответственно.
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
209
2. Знаки
Оси системы
ность на
четыре
Рис. И
все
п е Z,
все
п е Z,
Пусть
абсциссы
синуса, косинуса, тангенса и котангенса
в различных четвертях
координат Оху делят тригонометрическую окруж-
части (четверти) (рис. 11). При этом говорят, что
все углы а е ^2тип; 2тпг + 0» 6 Z,
принадлежат I четверти,
углы ае ^2л7г +^;2тт +л),
принадлежат II четверти,
углы a G (2т 4- я; 2т 4- у),
принадлежат III четверти,
углы а е (2т + у;2яп4-2л),
принадлежат IV четверти.
единичной окружности. Знаки
соответственно знаки синуса
и косинуса угла а, определяются тем, в какой четверти
точка. Так,
все
п е Z,
точка Ра движется по
и ординаты точки Ра,
окажется
а)	если точка находится в первой четверти, то ее абсцисса
и ордината положительны, т.е. cosa>0 и sin а > 0, если а —
угол I четверти;
б)	если точка находится во второй четверти, то ее абсцисса отри-
цательна, а ордината положительна, т.е. cosa<0 и sin а > О,
если а —угол II четверти;
в)	если точка находится в третьей четверти, то ее абсцисса
и ордината отрицательны, т.е. cosa<0 и sin а < 0, если а —
угол III четверти;
г)	если точка находится в четвертой четверти, то ее абсцисса по-
ложительна, а ордината отрицательна, т.е. cosa>0 и sina<0,
если а —угол IV четверти.
По определению tga — ctga = cosa. Поэтому tga > О
и ctga > 0, если cos а и sin а имеют одинаковые знаки, т. е. в I
и III четвертях. Аналогично, tga<0 и ctga < 0, если cos а и sin a
имеют разные знаки, т. е. во II и в IV четвертях.
На рис. 12 представлены знаки значений синуса, косинуса, тан-
генса и котангенса в различных четвертях.
Пример 1. Определить знак выражения
cos 10 • sin 6 — tg9
cos (-x/2) sin у/З • ctg (—4)
210
Глава V. Тригонометрические формулы
А Так как Зтс < 10 < 3,5тг, то угол, равный 10 рад, принадлежит
III четверти и cos 10 < 0. Так как 2,5тс < 6 < 2тс, то угол, равный
6 рад, принадлежит IV четверти, поэтому sin6<0 и cos 10-sin6>0.
Так как 2,5тс<9<3тс, то угол, равный 9 рад, принадлежит II четверти
и tg9<0. Значит, cos 10 • sin 6 — tg9 > 0.
Так как — < — \/2 < 0, то угол, равный —х/2 рад, при-
надлежит IV четверти и cos(-v^) > 0. Далее, < \/3 < тс
и —— < —4< — тс. Поэтому углы, равные \/3 и —4 рад, принадлежат
II четверти. Следовательно, sin \/3 > 0 и ctg (—4) < 0. Значит,
cos (— х/2) - sin х/З • ctg (—4) < 0. Окончательно получаем
cos 10 • sin 6 — tg9
cos (—\/2) •sin x/3 • ctg (—4)
<0.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для некоторых углов. Используя результаты разд. 2, §2 настоящей
главы, можно составить следующую таблицу.
Угол а в градусах	0	30	45	60	90
Угол а в радианах	0	п 6	п 4	К |00	п 2
sin а	0	2 2	х/2 2	Уз 2	1
COS Of	1	л/3 2	х/2 2	2 2	0
tga	0	1 УЗ	1	Уз	не сущ
ctg a	не сущ.	Уз	1	1 х/5	0
Пример 2. Решить уравнение:
1) sin(^ + 2x) = 1;	2) cosx = ^, если 270°<х<360°.
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
211
А 1) На тригонометрической окружности имеется единственная
точка, которой соответствуют углы с синусом, равным 1.
Все они отличаются от на 2я/г, где п е й. Следовательно,
4- 2х = 5 + 2тг/г, п е Z. Отсюда получаем, что х — — | + лтг,
п С.
2) По условию 270°<х<360°. Следовательно, х — угол IV чет-
верти. Так как cos30° = то и cos(—30°) = ^. Следо-
вательно, все углы в IV четверти, удовлетворяющие условию
задачи, задаются формулой —30° + 360° • /г, п е й. Искомым
является х = 330°.	▲
Пример 3. Найти множество значений выражения у —
— cos2 4- \/ — sin22x.
А Выражение имеет смысл, если — sin2 2x^0, т.е. когда sin2x = 0.
Это возможно, если 2х = яЛ, k е й, т.е. при х = ^, Лей. Найдем
значения у = cos2 при х=~, keZ. Возможны два случая: Л —
четное и k — нечетное число.
Если Л —четное, т.е. Л = 2/г, /гей, то r/ = cos2 (— я) =cos2 (.
\ 4 /	\ 2 J
Данное выражение принимает значение 0, когда п — нечетное число,
и 1, когда и —четное. Если Л —нечетное, т.е. k = 2/г +1, /гей, то
y = cos2(^+M = COS2 +
\ 4	/	\2	4/	2
Следовательно, данное выражение при допустимых значениях х
может принимать значения из множества {0;	1}.	▲
Задачи
I.	Определить знаки чисел sin a, cos а и tga, если:
lx я	Зя ох Зя	7л ох Ня	12л у.х Зя	5л
,)_<а<т; 2)-<а<т;	3)-у-<а<—; 4)-т<а<-т.
2.	Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом
точки Р0 = (1;0) на угол:
1)	1;	2) 2;	3) -2,75;	4) 3,2;	5) -4,2;	6) 5,2;	7) 6,4.
3.	Найти значение х, при котором выполняются указанные условия:
1)	cosx=^p если — 90°<х<90°;	2) sinx = — если 90°<х<270°;
3)	cosx = —если 360° <х<540°; 4) sinx = — 1, если —270°<х< — 90°.
4.	Пусть 0<а< Определить знак числа:
1)	sin^ + a);	2) cos - a) ;	3) cos(;r+a);
4)	tg(“-^);	5)	6> sinU+«)-
212
Глава V. Тригонометрические формулы
5.	Определить знак выражения:
1)	sin £ . sin • cos i  cos 2) (cos - sin • sin
IUIOdd	\	/	///
3)	(sin2,5-cos2,7) cos3,6;	4) tg £ • sin • ctg
ООО
6.	Вычислить без таблиц и калькулятора:
/	/ Зтгх . Зл\2	.5л	( л\ . Л л . Зл
„ V°S I 2 7 Sm 2 7
n . Л . Л . z ч	л ’
2 sin - • tg — + cos (—л) - sin -
6	4	4
7.	Решить уравнение:
1)	sin 4-х) = — 1;	2) cos (х -
3)	cos (я 4-х) = -1;	4) sin (х -
8.	Выяснить в какой четверти находи!
1)	sin «4- cos а = — х/2;	2) sina-
2)	Sin 2 C0S\ 47+2COS3'Tg 4
(sln (-?)-*е|)2
7t) = 1.
ся точка, соответствующая углу а, если
cos a — — \/2;
3) sin a I-cos a— \/2;	4) sin a cos a— \/2
9. Доказать, что числа sinx и cosx имеют:
I 6
1) разные знаки, если x удовлетворяет неравенству ---------------< 0;
хг — 1 lx 4- 30
2___Зх__2x2
2) одинаковые знаки, если х удовлетворяет неравенству —--------------- < 0.
10. Найти множество значений выражения:
1) у = sin2 4- л/— sin2 Зх; 2) у — cos2 | 4- д/ — cos2 Зх.
Ответы
I. 1) sin a > 0, cos a < 0, tga<0; 2) sin a < 0, cos a > 0, tga<0; 3) sina>0,
cosa>0, tga>0; 4) sina>0. cosa<0, tga<0. 2. 1) I четверть; 2) II четверть;
3) III четверть; 4) III четверть; 5) II четверть; 6) IV четверть; 7) I четверть.
3. 1) -30° и 30°; 2) 240°; 3) 480°; 4) -150°. 4. 1) Плюс; 2) минус; 3) минус;
4) минус; 5) плюс; 6) минус. 5. I) Плюс; 2) плюс; 3) минус; 4) минус.
6. 1) -V2-, 2)	7. 1)	+ 2тгл, п е Z; 2)	+ 2 тот, п е Z; 3) 2m,
лей; 4)	+ 2тгл,лей. 8. 1) III четверть; 2) IV четверть; 3) I четверть;
4) II четверть. 10. 1) 0; 1; 1; |;	1; 2) 1; ЦД
§4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Выражения, содержащие обозначения sin, cos, tg и ctg, называ-
ются тригонометрическими выражениями.
Равенство тригонометрических выражений, справедливое для всех
допустимых значений входящих в него переменных (т. е. таких,
§4. Преобразование тригонометрических выражений
213
при которых его левая и правая части имеют смысл), называется
тригонометрическим тождеством, а задачи на доказательство
таких равенств называются задачами на доказательство тождеств.
Выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, назы-
ваются тождественно равными, а переход от данного выражения
к тождественно равному называется тождественным преобразова-
нием.
1. Основное тригонометрическое тождество и его следствия
Теорема. Для любого угла а справедливо равенство (основное
тригонометрическое тождество)
cos2 а + sin2 а — 1.	(1)
О Пусть дан некоторый угол а. Тогда соответствующая ему точка
тригонометрической окружности Ра имеет координаты (cos a; sin а).
Длина отрезка ОРа, где точка 0=(0;0), равна радиусу окружности.
Квадрат расстояния между точками О и Ра, заданными своими коор-
динатами, равен сумме квадратов разностей одноименных координат,
(cos а — О)2 + (sin а — О)2 = I2 или cos2 а + sin2 а = 1.	•
Основное тригонометрическое тождество равносильно следующим
равенствам:	9.-9
cos а = 1 - sinz а	(2)
и	sin2 а = 1 — cos2 а.	(3)
Равенство (2) равносильно равенству |cos а| = \/1 — sin2 а, из которого
получаем
cosa= \/1 — sin2 а, если а —угол I или IV четверти,
cos а = —\/1 — sin2 а, если а— угол II или III четверти.
Равенство (3) равносильно равенству |sin а| = \/1 — cos2 а, из
которого получаем
sin а = \/1 — cos2 а, если а —угол I или II четверти,
sin а = — \/1 — cos2 а, если а —угол III или IV четверти.
Пример 1. Вычислить sin а, если cosa=^ и ае ^^;2тг^.
Л Так как а принадлежит IV четверти, а в четвертой четверти sin а
принимает отрицательные значения, то
sin а~ —\/1 —cos2 а=
А О2”^	/412-92 _	/(41-Ь9)(41 — 9) _	/1600 _ 40 ж
~ V 412~ V 412 V 412 V 412 4Г
214
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 2. Вычислить cos а, если sina=| и ае (тру)-
Л Так как а принадлежит II или III четверти, а в этих четвертях
cos а принимает отрицательные значения, то
cos а = —	— sin2 а = —\ \ —	= — л = — Д-Д. А
V \4/ у 4 2	4
Пример 3. Известно, что sin а = 0,6 и 90° < а < 180°. Найти
cos а и tga.
А Поскольку cosa<0 при 90°<а<180°, то
cos а = — л/1 - sin2 а = - у/1 — 0,36 = —0,8.
Соответственно, tga —	= -ДД- = —	А
ь	cos о?	-0,8	4
Пример 4. Найти sin а и cos а, если tga = 2 и 180°<а<270°.
Л Имеем tga =-^-^ = 2. Отсюда sin2а = 4cos2а, 1 — cos2а = 4cos2а,
COS Об
со82а=Д Так как 180°<а<270°, то cosa=— -Д. Наконец,
5	у5
sin а = 2 cos а = — -Д=.	А
х/5
Кроме равенств (2) и (3), связывающих значения синуса и ко-
синуса одного и того же угла, из основного тригонометрического
тождества могут быть получены два следствия, устанавливающие
связь тангенса и косинуса, а также котангенса и синуса одного
и того же угла.
Следствие 1. Для любого угла а такого, что a+ nk, keZ,
справедливо тождество
l + tg2a=—Ь_.	(4)
COSZ Об
О Используя формулу (1), получаем
I + tg2 а = 1 + jinig = cos2.«+sin2« =  .	•
COS2 Об	COS2 Об	COS2 Об
Равенство (4) при а /	4- nk, k е Z, равносильно равенству
2	1	2
cosz a =---5—.
I 4- tg2 об
Равенство (4) при	feeZ, также равносильно равенству
1	2	2
tg2a=b1c^a
COS2 Об
Следствие 2. Для любого угла а такого, что a^zufe, k е Z,
справедливо тождество
l+ctg2a=—L-.	(5)
sin об
§4. Преобразование тригонометрических выражений
215
Равенство (5) при a nk, k е Z, равносильно равенству
• 2	1
sinz a=---—q—-
1	-I- ctg2 a
Кроме того равенство (5) при a^Jik, keZ, равносильно равенству
ctg*«=!^.
sinz a
Пример 5. Вычислить tga, если cosa= — ~ и ae (л;
Так как а принадлежит III четверти, то
А
tgg=r/17C0?_g =
COS Of
41
40
41 = 40
J9 9 ’
41
Пример 6. Вычислить sin а, если ctga=—3 и ас
Так как а принадлежит II четверти, то
.in ГУ- _ 1	=	1	= J-.
1 ч- ctg2 а у/1 + (-3)2
„	_ т-ч	sin а	.л
Пример 7. Вычислить —х-------х—, если tga = 2.
sin*5 a 4- cos'3 a
sin a	1
—tga-----------
Д	sin a _ cos'3 a __ cos2 a
sin3 a + cos3 a sin3 a	tg3a+l
о F1
cos'5 a
_ tga-(tg2a+ 1) _2-(22 + l) _ 1o
tg3 a 4-1	23 4-1	9
Пример 8. Найти sin3 a 4- cos3 a и sin4 a 4- cos4 a, если
sin a 4- cos a = —
A 1) Так как (sin a 4- cos a)2 = 14-2sinacosa=	to sinacosa=—
4	о
Пользуясь формулой для суммы кубов, получим
sin3 a 4- cos3 a = (sin a 4- cos a)(sin2 a — sin a cos a 4- cos2 a) =
2) Используя тождество
1 = (sin2 a 4- cos2 a)2 = sin4 a 4- 2 cos2 a sin2 a 4- cos4 a,
находим sin4 a 4-cos4 a= 1 — 2 (sin a cos a)2 = 1 — 2 •	▲
216
Глава V. Тригонометрические формулы
2.	Доказательство тригонометрических тождеств
Для доказательства тригонометрических тождеств, как правило,
используют те же способы, что и при доказательстве алгебраических
тождеств: преобразование левой части к правой; преобразование
правой части к левой; преобразование левой и правой частей к одному
и тому же выражению; установление того, что разность между левой
и правой частями равна нулю. Обычно при доказательстве тригоно-
метрических тождеств или упрощении выражений допустимые значе-
ния углов не устанавливают, если это не требуется в условии задачи.
Пример 9. Доказать тождество sin6 «4-cos6 а = 1 —3 sin2 a cos2 а.
А Используя формулу суммы кубов и основное тригонометрическое
тождество, в левой части доказываемого равенства получим
sin6 а 4- cos6 а = (sin2 ос)3 -4- (cos2 а)3 =
= (sin2 а 4- cos2 a)(sin4 а — sin2 a cos2 а 4- cos4 а) =
= (sin2 а 4- cos2 а) 2 — 3 sin2 а cos2 а = 1 — 3 sin2 a cos2 а.	▲
Пример 10. Доказать тождество
F H	tg3/3 ctg2a+tg3/3
А Преобразуем числитель и знаменатель правой части доказывае-
мого равенства:
to- 9a I of cf — sin 2a i cos 3/3 _ sin 2a • sin 3/3 4- cos 2a • cos 3/3
g g P ~ cos 2a sin 3/3 “	cos 2a - sin 3/3
eto-O/yifo-Qfj — cos 2a . sin 3/3 _ cos 2a • cos 3/3 4- sin 2a • sin 3/3
P sin 2a cos 3/3
sin 2а- cos 3/3
Следовательно,
(sin 2a • sin 3/34- cos2a - cos3j
o	=	cos 2a • sin 3/3
ctg 2a 4- tg 3/3
_ sin 2а- cos 3/3 _ tg2a д
cos 2a-sin 3/3	tg3/3’
cos 2а - cos 3/3 4- sin 2а • sin 3^
sin 2а • cos 3/3
Пример 11.
А Преобразуем
1 — tg2 a
1 4- tg2 a
Доказать тождество -—=. cos4 a — sin4 a.
14- tg2 a
левую и правую части доказываемого равенства:
. 9
। _ sinz a
_ cos2 a _ cos2 a - sin2 a _	2 _ ,2
1 11	n	C)	‘ '" vvo CX oil J
, , sin2 a cos2a + sinza
1 ----2“
cosz a
cos4 a — sin4 a = (cos2 a — sin2 a) (cos2 a + sin2 a) — cos2 a — sin2 a.
Тождество доказано, так как его левая и правая части равны, i
§4. Преобразование тригонометрических выражений
217
3.	Упрощение тригонометрических выражений
При упрощении тригонометрических выражений обычно после-
довательно заменяют все выражение или его отдельные части
на тождественно равные. Упрощение считается завершенным, если
в итоге получается выражение более простого вида, не допускающее
дальнейшего упрощения.
Пример 12. Упростить выражение -----------?---— sin a~cos ff.
tg a 4- ctg a	tg a — ctg a
д	1	_ sin2 a — cos2 a _ I _ sin2 a — cos2 a _
tga 4-ctg a	tga —ctg a sina^cosa	sin a cos a
cos a sin a	cos a sin a
cos a • sin a	^cos^a) cos a • sin a _
— q---------9— --------r-л---------------
sinz a + cosz a	sinr-a-^Tosz a
= cos a • sin a — cos a • sin a = 0.	▲
Пример 13. Упростить выражение
A = cos a - (1 + cos-1 a 4- tg a) • (1 — cos-1 a 4- tg a).
A 4 = cosa (l + -l- + ^“y	+	=
\ cos a cos a/ \ cos a cos a/
__ (cos a 4- 1 4- sin a) • (cos a — 1 4- sin a) _
cos a
= —— ((cos a 4- sin a)2 — I2) = ——2 sin a cos a = 2 sin a. ▲
cos a x	7 cos a
Пример 14. Упростить выражение ^^cos .
sinb a 4- cosb a — 1
А Так как
sin4 a 4- cos4 a = 1 — 2 sin2 a cos2 a, sin6 a + cos6 a = 1 — 3 sin2 a cos2 a.
TO
sin4 a 4- cos4 a — 1 _ 1 — 2 sin2 a cos2 a — 1 _ 2
sin6 a4-cos6 a—1	1 — 3 sin2 acos2 a — 1	3
Задачи
I. Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:
.	х/2	х/3	.	4	3
1) sina=-V- и cos a =-4г-;	2) sin a — — F и cosa——
3	3	DO
о \	x/3	\/23	л x	8	15
3) sina=--4r- и cosa^^v-; 4) sina=—и cos a— ——.
'	5	5	17	17
2. Выяснить, какие значения может принимать:
п •	2л/3	л/3
1) sin а, если cosa=—;	2) cos а, если sina=—
О	Э
-/о	у
3) cos а, если sina=^-; 4) sin а, если cosa=— д/0,19.
218
Глава V. Тригонометрические формулы
3. Вычислить:
5 тс
1)	cos a,	tga и ctg а,	если sina= —	и	- < а < тг;
2)	sin а,	tga и ctg а,	если cosa = —и тг< а<
3)	sin	cos а и ctg а,	если tga=^	и	тг < а <
4)	sin а,	cos а и tga,	если ctgа = —2,4	и < а < тг.
4.	Известно, что sin а — cos а = 0,5 Найти значение выражения:
1)	sin a cos а; 2) sin3 a —cos3 а.
5. Упростить выражения:
1) sin4 а 4-2 sin2 a cos2 а + cos4 а;
3) cos2 а — cos4 а Г sin4 а;
5) —L------tg2a-sin2a;
cos2 а
6. Доказать тождества:
n (sin « + cos «)2 — I =2tg2	2)
ctg а — sin a- cos a &
3) l + tg« + tg2a	4)
1 4- ctg a + ctg2 a
5) ctg2 a — cos2 a = ctg2 a • cos2 a.
2) (sin a4-cos a)2 4-(sin a—cos a)2 ;
4) sin4 a 4-cos2 a 4-sin2 a cos2 a;
6) (l + sin2oA-ctg2a------.
'	'	sirr a
. 2
___sinza
sin a — cos a
sin a 4- cos a
tg2 a — 1
 9	9	4
sinz a — cosz a 4- cos4 a
ctg a — sin2 a 4- sin4 a
= sin a 4- cos a;
= tg4 a;
7.	Найти численное значение выражения:
1)	2sina —5cosa , если ct 2;
(sin a 4- cos a) • cosz a
2)	4sina —3cosa , ecj]H ct _2
(2 sin a — cos a) • cosz a
8.	Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:
1	1	х/7	3
1)	sina=- и tga=-^;	2) ctga= -у и cosa=-.
9.	Известно, что sin а 4- cos а = а. Найти
1)	sin a — cos a;
10.	Найти численное значение выражения:
1)	tg2 a 4-ctg2 а, если tga + ctga = 3;
2)	tg2 а 4- -Д—  — -Г ctg2 а, если tg а 4- ctg а = 5.
7	&	sin a cos а 6	& Б
11.	Известно, что tga —ctg а = 6. Найти значение выражения:
1)	tg2 a 4-ctg2 а; 2) tg3a-ctg3a.
2) sin6 a + cos6 a; 3) tg a + ctg a.
12. Упростить выражение:
1) sin2 a - (1 4-sin-1 a 4- ctga) - (1 — sin-1 a 4-ctga) ;
2) 2 (sin4 a 4- sin2 a cos2 a 4- cos4 a) — (sin8 a 4- cos 8a
3)
4)
/1 — sin a
у 1 4- sin a
/1 — cos a
у I 4- cos a
1 4- sin a
1 — sin a
, если < a < тг;
1 4- cos a
1 — cos a ’
если тг < a < —.
§5. Формулы сложения
219
13. Доказать тождество:
1) sin3 а  (1 4- ctg а) 4- cos3 а • (1 + tg а) = sin а -Ь cos а;
2)
3)
2 (1 4- tga) - sin a-cosa4- 1	2 (1 4- ctga) - sin a - cos a4- 1 _ r_c2 „ cin2 _
---------------?5	 — 	ж- — COS CX — bill CX,
(1 4-tga)2---------------------------------------(1 + ctga)2
x/1 - cos a 4- VI 4- cos a _ . / a , лА
VI 4- cos a — VI - cos a ® \ 2	4 )
7Г < a < 2tt.
Ответы
1. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да. 2. 1) и 2) ХР и 3) 1
D	О	О	О	Z
и -1; 4) 0,9 и -0,9. 3. 1) cosa=-^, tga=~, ctga=-^; 2) sina=-|?
Z	Io	iZ	Э	lo
tga=y, ctga=j|; 3) sina=-^, cosa=-|^, ctga=-y; 4) sina =
= A, cosa=—tga=-A 4. 1)	2) A 5. 1) 1; 2) 2; 3) cos2a; 4) 1;
lo	10	iz	о lo
5) cos2a; 6) -sin2a. 7. 1)	2)	8. 1) Да; 2) нет. 9. 1) \/2-a2
О	о
или -л/2-a2; 2)	3)	10. 1) 7; 2) 28. 11. 1) Ь2 + 2; 2) Ь3 + ЗЬ.
I а£ — 1
12. 1) sin2a; 2) 1; 3)-4) —Д-.
cos a sin a
§5. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Пусть даны некоторые углы а и /3. Угол (а — /3) называется
разностью этих углов, а угол (а 4- (3) — их суммой.
1. Косинус разности и косинус суммы углов
1) Теорема. Для любых углов а и [3 справедливо равенство
cos (a 4- [3) = cos a cos [3 — sin a sin [3.	(1)
О Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат Оху
и единичная окружность (рис. 13, а). Пусть а и /3 —произвольные
положительные углы и в системе координат Оху лучи ОРа и ОРр
составляют углы а и (—/3) с положительным направлением оси Ох,
соответственно.
В системе координат Оху точки Ра и Рр имеют координаты:
Ра = (cos a; sin ос) и Рр = (cos/3; — sin/З). Длина отрезка Р&Рр,
координаты концов которого известны, в системе координат Оху
выражается формулой
РаРр — у (cos а — cos/З)2 4- (sin а 4- sin /З)2.
220
Глава V. Тригонометрические формулы
Следовательно,
(РаРр)2 = (cos а — cos[З)2 + (sin а + sin /З)2 =
= cos2 а - 2 cos a cos/3+ cos2/? + sin2 a + 2 sin a sin/3 + sin2/? = (2)
— 2 — 2 cos a cos /3 + 2 sin a sin /3.
Введем новую прямоугольную систему координат Ох\у\ с началом
в точке О, направив ось Ох\ вдоль луча ОРр, а ось Оу\ перпендику-
лярно ей (рис. 13,6). В системе координат Ох\у\ точки Ра и Рр имеют
координаты: Ра = (cos (а + р); sin (а + р)) и Рр = (1;0). Длина отрезка
РаРр, координаты концов которого известны, в системе координат
Ox\yi выражается формулой
РаРр = ^/(cos (ос 4-/3) — I)2 + (sin (а + /3) - О)2.
Следовательно,
(РаРр)2 = (COS (а + Р) - I)2 + (sin (а + /3) - О)2 =
= cos2 (а + /3) — 2 cos (а + /3) 1 + sin2 (а + /3) = 2 — 2 cos (а /3).
(3)
Поскольку квадрат расстояния между двумя фиксированными точ-
ками плоскости, вычисленный в двух разных прямоугольных си-
стемах координат, есть одно и то же число, то можем приравнять
правые части формул (2) и (3)
2 — 2 cos (а + р) = 2 — 2 cos a cos /3 + 2 sin а sin /3,
получим выражение для косинуса суммы двух углов:
cos (а + /3) — cos a cos/3 — sin a sin р.	•
2) Для любых углов аир справедливо равенство
cos (а — Р) = cos a cos /3 + sin a sin р.	(4)
§5. Формулы сложения
221
О Так как а — р = а+ (—/3), то, применив формулу (1) и пользуясь
тем, что cos(—/3) = cos/З и sin(—/3) — — sin/З для любого угла /3,
получим
cos(a — р) = cos(a+ (—/3)) = cosacos(— /3) — sin asin(—/3) =
= cos a cos /3 + sin a sin /3.	•
2.	Формулы для дополнительных углов
Два угла а и /3 называются дополнительными углами, если
«+Р = 5-
Для дополнительных углов имеют место формулы:
cos — а) = sin а и sin Q — а) = cos а.	(5)
О	cos - а) = cos ~ • cos а + sin ~ • sin а — sin а;
sin Q — а) = cos — Q — а)) = cos а.	•
Пример 1. Вычислить значение выражения А = sin2 ~ + sin2
Л Так как -Ь Ц? = £, то sin = cos поэтому
13	26	2	26	13
А = sin2 — + COS2 — = 1.	▲
13	13
3.	Синус суммы и синус разности углов
1)	Для любых углов а и /3 справедлива формула
sin (а + р) = sin a cos/3 + cos a sin /3.	(6)
О Используя формулы (4) и (5), получим
sin (а + /3) = cos Q - (а 4- /3)) =
= cos Q — а) cos /3 4- sin Q — а) sin /3 =
= sin a cos /3 4- cos a sin /3.	•
2)	Для любых углов а и /3 справедлива формула
sin (а — /3) = sin a cos р — cos a sin /3.	(7)
О Используя формулу (6), получим
sin (а — р) = sin (а 4- (—/3)) = sin a cos (~Р) 4- cos a sin (—/3) =
= sin a cosр — cos a sin /3.	•
222
Глава V. Тригонометрические формулы
4.	Тангенс суммы и тангенс разности углов
1)	Для любых углов а и /3 таких, что + 7cfe, feeZ, py^^ + nm,
meZ, и ос 4- P + Jin, neZ, справедлива формула
<8>
О Используя формулы (1) и (6), получим
t /	. п\ _ sin (а 4-/3) _ sin a cos /3 4- sin a cos/3 __
*	cos (а 4-/3)	cosacos/3 — sin asin/3
_ cos a cos /3 (tg а 4- tg/3) _ tga 4- tg/3
cos acos/3 (1 — tga • tg/3)	1 —tga-tg/3’
2)	Для любых углов а и /3 таких, что a^^4-rcfe, feeZ, /3=4^4-пт,
m е Z, и а — /3 =4 4- тш, п е Z, справедлива формула
tg(a-6)=	(9)
14-tga-tg/3
5.	Котангенс суммы и котангенс разности углов
1)	Для любых углов а и [3 таких, что а 7^ rcfe, k е Z, /3 пт,
т е Z, и a4-/3^ пп, neZ, справедлива формула
ctgCa + P)^^"^-1.	(10)
ctg a 4-ctg/3
О Используя формулы (1) и (6), получим
с{сг । Q\ — cos («4-/3) _ cos a cos /3 — sin a sin /3 _
‘ sin (a 4-/3)	sin a cos/34-sin/3 cos a
_ sinasin/3(ctga-ctg/3 — 1) _ ctg a - ctg/3 — 1
sin asin/3(ctga4-ctg/3)	ctg a 4- ctg/3
2)	Для любых углов а и /3 таких, что а nk, k eZ, [Зу^ пт,
m Е Z, и а — [3^ пп, neZ, справедлива формула
ctg(a —6) = ctgQ\ctgP+1.	(11)
s “ ctg/3 —ctg a
6.	Использование формул сложения
Все полученные формулы могут быть сведены в следующую
таблицу.
cos(a 4- /3) = cos a cos /3 — sin a sin /3	cos(a — /3) = cosacos/34-sin asin/3
sin(a4-/3) = sin a cos/34- cos a sin/3	sin(a — /3) = sin a cos/3 — cos asin/3
tcta I ffl- tg«+tg/3 tg(a + p)	i-tgatg/3	tg(<x —/31= gl P> 1 +tga. tg/3
ctg(a + 6) = ctga ctgP^-1 ctg a 4-ctg/3	ctg(a_6)=ctg^ctgfi+l s	r	ctg/3 —ctg a
§5. Формулы сложения
223
Пример 2. Найти численное значение выражения:
1) sin А; 2) ctg|;
3) tg (a + jY если cos а— и ^<а<2л.
\	4 /	T’l Z
Д 1) Так как £ - H - J,
i z	о 
то
sin — sin ( £
12	\3
— sin • cos 5 — cos • sin ? —
3	4	3	4
x/3	1\	x/3 —1
тс
4
/2 ’	~ 2J 2а/2 '
2) Так как у^ = ^ + ^, то- пользуясь формулой для ctg(a+/3) при
. тс * тс ।
ctg-ctg--l _
ctg 5+ctg =
a—и /3- j, получим ctg=
3) По формуле тангенса суммы получим
tg (a +	— *g£±l — sin a + cos a
& \	4 /	1 — tg a cos a — sin a
Так как у < a < 2л; то sin a < 0 и поэтому
R-------7“ L 402	л/412 - 402
sin а — — V 1 — cosz а = —\ i — —= —---------------------
V 412	41
__9
41’
Следовательно, tg fa+ +
&\	4/	40 + 9	49
/о
Пример 3. Найти значение выражения Л = — ----- п--------.
н н	r	cos 290° sin 250°
Д Заметим, что
cos 290°—cos (270°+20°)-cos 270°-cos 20°-sin 270°-sin 20°=sin 20°,
sin 250°—sin (270°- 20°) -sin 270° • cos 20°- cos 270° -sin 20°= - cos 20°.
Тогда
sin 20° — v3 cos 20 °
A sin 20° —cos 20°
4. 2	2
д-
sin 20° ' — cos 20° sin 20° cos 20°	2 sin 20° cos 20°
_ 4 (sin 20° cos 60° — cos 20° sin 60°) _ 4sin(20° — 60°) _
sin 40°
sin 40'
224
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 4. Найти значение выражения
А = sin(a — /3) - 2 cos a cos
(у _р) ’ если а + /3 = у.
А Так как cos —/3) = — sin/З, то
А = sin(a — /3) + 2 cos asin/3 = sin acos/3— cos a sin /3 т 2 cos a sin j3 =
= sin a cos/3 + cos a sin [3 = sin(aT/3) = sin — = —.	▲
о Z
Задачи
L Вычислить:
3) tg75°;
5) sin 19° cos 26° 4 cos 19° sin 26°;
7) cos 107°sin28°-cos28°cos 17°;
9) sin cos + sin 3zr cos
о о	о о
0<a<f;
1) cos 15°;	2) sin 105°;
4) cos23° cos37°-sin23° sin37°;
6) cos 37° cos 23° - cos 53° cos 67°;
8)	cos — cos — sin sin
2. Вычислить:
1)	cos (у 1-aY если sin a = ~^= и
x 3	/	y3
2)	sin (a ( ^), если cos a = - | и
3)	tg (— aY если cos a — -1 и
4)	tg(^ Та), если cosa — и 0 < а<
3.	Упростить выражение:
•) COS (у + а)  cos - а) - sin (у + а) • sin - а) ;
2) cosfe + |).sin(| + f)+sin(^ + |).cos(| + |).
4.	Вычислить:
«к sin 22° cos8° 4- cos 158° cos98° w s*n 50° cos 12° — sin 40° cos 78° ,
' sin 23° cos 7° 4-cos 157° cos 97° ’	cos 68° — x/3sin 68°	’
3)	3^ cos 15°-1 sin 15°;	4) sin 75° - cos 75°;
5)	sin 105° -1 cos 75°.
5.	Вычислить:
0 tg42° • tg45° • tg48°;
2)	tg!O° • tg20° • tg30° • tg40° - tg50° • tg60° • tg70° • tg80°;
3)	tg 31 ° • cos 58° — ctg 59°  sin 32°;
4)	tg 13° • cos 2° • tg 77° - ctg 11° • sin 88° • ctg 79°.
6.	Доказать тождества:
П	sin(aT/3) _	tga-f-tg/3.	2)	cos(q-/3) _ ctgq-ctg/3 + 1.
'	sin(a-j3)	tga —tg/3’	'	cQs(a + j3) ctga-ctg/3—Г
3)	cos a sin a	~ (f + a)	’	4)	ctg a—tga —2 tg 2a —4 tg 4a = 8 ctg 8a
§5. Формулы сложения
225
7.	Решить уравнения:
1)	cos6x-cos5x4-sin 6x-sin 5х = —1; 2) sin4x-cos3x — cos4x-sin Зх = — 1;
3)	\/2cos -cosx = -l;	4) \/2sin	4-sin | =—1.
8.	Вычислить:
1)	cos(a4-0) и cos(a —/3), если sina——5ZF < a < 2тг, и sin/3=|^,
о 2	1 /
0<P<|;
2)	cos(a —/3), если cos a— -0,6,	< a < тг, и sin/3 = —	тг</3<у>
3)	tg(a4-/3), если sin a = |,	< a < 2тг, и cos/3 —	< /3 < 2тг.
9.	Вычислить:
1)	sin(a — /3) - 2cos a- cos (y - /З), если a4-/3=ys
2)	cos(a 4- ft) 4- 2 cos - sin a, если a — [3=^>
3)	sin a-cos(tt —/3) cosa -cos (^y 4-/3^, если a + p =
10.	Вычислить:
I)	tg2a, если cos (a — ^ = — | и < a < 2тг;
2)	ctg 2a, если cos (a -	= | и £ < a < тг;
\	2 / о 2
3)	tg2a, если sin 4- a) = и тг < a <
11.	Решить уравнения:
1)	cos	+x) ' cosx 4- sin	+x) • sinx —
2)	cos	~	’ cosx — sin	4-x) • sinx = 0;
3)	cos(|+x)-cos	= 1;
4)	sin (| - x)-sin (i+%)=-!
Ответы
i. 1)	2)	3) ^L±l =2+ л/3; 4) 1; 5)	6) 1; 7)
4	4	у 3 — 1	z	z	z	z
8) 1; 9)	2. 1)	2)	3) -1; 4)	3. 1) 0; 2) cosa.
4. 1) 1; 2) -0,5; 3)	4) 1; 5)	5. 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 0. 7. 1) n+2im.
nel; 2) — % + 2тт, neZ; 3) %+2mi, neZ; 4) 2тг+4лл, neZ. 8. 1) —и
2	2	oo oO
2) 1|; 3) -1! 9. 1)	2)	3)	10. 1) -4a/5; 2)	3)
11. 1) ^ + гог, тот, neZ; 2) 5 + ^. « e Z; 3) nn, n G Z; 4) ^ + im, neZ.
8—2549
226
Глава V. Тригонометрические формулы
§6. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Напомним, что при повороте точки Ро = (1;О) на Угол а + 2лЛ,
k е Z, на тригонометрической окружности получается та же самая
точка, что и при повороте на угол а. Следовательно, справедливы
формулы:
sin(a + 2лй) = sin а,
cos(a + 2nk) = cos а, k е Z.
Также имеют место формулы, которые называют формулами при-
ведения. Формулами приведения для синуса называют следующие
шесть формул:
sin ( ~ — а) = cos а,
\2	/	’
sin (л — а) = sin а,
(2)
— cos а,
sin ( - + a j — cos а,
sin (л + а) = — sin а,
sin + а) — — cos а.
О Для доказательства этих формул достаточно воспользоваться
формулами сложения для синуса. Так, например,
sin | ~ + а) = sin £ • cos а + sin a- cos $ = 1 • cos а + sin а - 0 = cos а,
\2	/	2	2	’
sin(zr 4- а) = sin л- cos а + sin а • cos л = 0 • cos а + sin а - (—1) = — sin а.
Следующие шесть формул называют формулами приведения для
косинуса'.
cos ( ~ — а) = sin а,
\2	/
cos (л — а) = — cos а,
cos — а) = — sin а,
cos (j +	~ “ sin
cos (л 4- а) = — cos а,
(Зтт \
— + a J = sin а.
(3)
Формулы (1)—(3) справедливы при любых значениях а.
Пример 1. Вычислить:
1)	sin 1200°;	2) cos(-840°);	3) cos^.
Д 1) Используя формулы (1), (2) и таблицу значений тригономет-
рических функций, получим
sin 1200° - sin(3 • 360° + 120°) -
= sin(120°) = sin(180° - 60°) - sin 60° =
2)	Аналогично получаем с применением формул (1) и (3), что
cos(—840°) - cos(—3 • 360° + 240°) =
= cos 240° = cos(180° + 60°) = - cos 60° =
3)	cos	— cos f4zr +	= cos - =	▲
4	\	4/	42
§6. Формулы приведения
227
Аналогично вычисление тангенса и котангенса любого угла может
быть сведено к вычислению тангенса и котангенса острого угла.
Используя формулы (1)—(3) и определение тангенса и котангенса,
получаем формулы
tg(a + rck) = tga, fceZ,
ctg (a + 7ik) = ctg a, k e Z.
Следующие четыре формулы называют формулами приведения для
тангенса и котангенса'.
tg(^-a) =ctga, tg (£ + a) = -ctga,
;	(5)
ctg -a) = tga, ctg (j + aj = - tga.
А Для доказательства этих формул достаточно воспользоваться
формулами (2) и (3) и определением тангенса и котангенса. Так,
например,
/ \ sin (? - а)
I л	/ cos a	а
tg Hr — ос =----------— —------— ctg a.	▲
S\2	/ (л \ sin ос s
cos^2 ocj
Формулы (5) имеют место при всех допустимых значениях а.
Для того чтобы записать любую из формул (2), (3) и (5), можно
применять следующее мнемоническое правило.
1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет
левая часть при условии 0<а<
2) Если в левой части формулы угол равен ± а или ± а,
то синус меняется на косинус, тангенс —на котангенс и наоборот.
Если же угол равен л±а, то замены не происходит.
Например, воспользуемся этим правилом для вычисления
l)sin(^-a);	2)tg(| + a).
A 1) Во-первых, при 0 < а < | получаем я < ^ — а < ^. Синус
в III четверти отрицателен, поэтому в правой части нужно
поставить знак «-». Во-вторых, синус нужно заменить на
косинус. Следовательно, sin (у — a) = — cos а.
2) При 0 < а< получаем | | + а< тс. Тангенс во II четверти
отрицателен, поэтому в правой части нужно поставить знак
«—». И во-вторых, тангенс нужно заменить на котангенс.
Следовательно, tg Q 4- a) = — ctg a.	▲
228
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 2. Вычислить sin 960° • cos 495° • tg(—840°)
Л Используя формулы (1)—(3) и (5), получим:
sin 960° - sin (2 • 360° + (180° + 60°)) =
= sin (180° + 60°) = - sin 60° =
cos 495° = cos (360° + (90° + 45°)) = cos (90° + 45°) - - sin 45° = -	;
tg (-840°) = tg (-3 • 360° + (180° + 60°)) =
= tg (180° + 60°) = tg 60° = x/3.
Следовательно, sin960°-cos495°-tg(—840°)=	-\/3 =
= W2	.
4 ‘
Задачи
1.	Вычислить, используя формулы приведения:
1)	cos 150°;	2) sin 135°;	3) ctg(-135°);	4) cos 120°;
5)	cos225°;	6) sin(-210°);	7) tg(315°);	8) tg(-150°).
2.	Вычислить, используя формулы приведения:
1)	tg^;	2) sin	3)ctg^;	4)cos(-^);
5)	cos™;	6)tg(-^);	7) sin (-1^) ;	8)ctg(-^).
3.	Вычислить, используя формулы приведения:
1)	sin 585° • cos (—930°) • ctg510°;	2) sin (-570°) - cos 870° • tg 945°;
3)	sin 1020° • cos 675° - ctg (-1050°);	4) sin 660° • cos (-855°) • ctg600°.
4.	Вычислить, используя формулы приведения:
1)	sin 412° 4-tg 1099° • cos 52°;	2) sin 772° + tg 199° • cos 412°;
3)	cos 566° + tg 13° -sin 566°;	4) tg 186° • cos 438° - sin 438°.
5.
Упростить выражение:
ctg(^ -a) — tg(тг + a) + sin -a)
cos (тг + a)
sin (я — a) + cos + a) — ctg (я - a)
sin(^ + a)	tg(g + «)
ctg(2zr+a)	sin(7r+a)
sin2 (я + a) + sin2 ( ~ + a
4) ----------------—-----
C°S (^+«)
Доказать тождество:
ctg (¥-“)
1) sin + a) - cos - a) — 0;	2) sin
(f-a)-Sin(f+a) = o;
§7. Формулы кратных углов
229
3) sin + а) 4- sin 4- а) = 0;	4) sin 4- а) - sin - а) = 0;
5)	cos (a - у) 4- cos + а) = 0;	6) cos (а - у) - cos (а 4- 4^) = 0
7.	Решить уравнение:
1)	cos (f ~х) ~ cos (f +х) ~ И 2) sin(n-x) — sin(zr4-x) = 2;
3)	sin (Зх 4- Зтг) sin ^2х 4- у) - sin 2х cos Зх = 1;
4)	sin ^5х — cos (2х 4- 4тг) - sin (5х 4- тг) sin 2х = 0.
8.	Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого
угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключенного
в промежутке от 0 до
Ответы
1. 1)	2)	3) - 1; 4) - 1; 5)	6) 1; 7) -1; 8) -L. 2. 1) 1; 2) -1;
3) —>/3; 4) -1;5) -^;6) х/3; 7) -1; 8) 1. 3. 1)	2) -^;3)
4)	4. 1) 1; 2) 1; 3) -I; 4) 1 5. 1) 1; 2) 1.	7. 1) |+2rai, ^ + 2m,
nGZ; 2) %+2тг, n G Z; 3) £+2лп, n G Z; 4) f + ^, я G Z.
z	z	bo
§7. ФОРМУЛЫ КРАТНЫХ УГЛОВ
1. Формулы двойных и тройных углов
Пусть дан некоторый угол а. Рассмотрим угол па, где п —
любое натуральное число, большее 1. Формулы (1) и (6) из §5
позволяют вывести формулы для вычисления sin па и cos па через
sina и cosa, а формулы (8) и (10) из §5 позволяют вывести формулы
для вычисления tgna через tga и ctgпа через ctgа. В частности,
если в формулах (1), (6), (8) и (10) из §5 положить /3 = а, получим
формулы двойных углов'.
sin2a=2sin acosa,	(1)
cos 2а=cos2 a—sin2 а,	(2)
где	" °^j+¥’‘'“eZ’ (3>
™	tez. (4)
С использованием полученных формул двойных углов и вышепе-
речисленных формул тригонометрических функций суммы выводятся
формулы тройных углов.
230
Глава V. Тригонометрические формулы
Имеют место формулы:
sin За = 3sin а- 4 sin3 а,	(5)
cos За = 4 cos3 а — 3 cos а,	(6)
где ajq + rt,	(7)
1 -- 3 tgz а	£
ctg3a—ctg3gr3ctg0?, где а^, keZ.	(8)
Б 3ctg2a- I	3
В качестве примера выведем формулы для sin За и tg3a.
О 0 sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а 4- cos 2а sin а =
— 2 cos2 a sin а + (cos2 а — sin2 a) sin а =
= 2(1— sin2 a) sin а + (1 — 2 sin2 a) sin а = 3 sin а — 4 sin3 а.
2) Учтем, что tg3a определен при За^^ + лтп, m е Z. Тогда
tga-—4-------------------------------------------4tg3a
tg3a = sin 3(7 — 3sin a-- 4sin6 a __cosz a__________
cos 3a 4 cos3 a — 3 cos а	д 3
cosz a
_ 3tga(tg2a+l) — 4tg3a _ 3tga_tg3a
4 — 3(tg2a+l)	1 —3tg2a
где а Ф + Kk, k e Z.	•
Пример 1. Вычислить значение A = sin 3a + cos 3a, если
sin a — cos a = 0,2.
Л Используя формулы для sin 3a и cos 3a, получим:
A = sin 3a 4- cos 3a = 3 (sin a — cos a) — 4 (sin3 a — cos3 a) =
= 3 (sin a — cos a) — 4 (sin a - cos a) (sin2 a 4- sin a • cos a 4- cos2 a) =
= (sin a — cos a) (3 — 4 (1 4- sin a • cos a)).
Из равенства sin a—cos a = 0,2 следует (sin a —cos a)2 = 0,04. Отсюда
находим sin a cos a = 0,48. Следовательно,
A = 0,2 • (-1 - 4 ♦ 0,48) = 0,2 - (-2,92) = -0,584.	▲
Пример 2. Вычислить sin 18°.
А Обозначив a = 18°, из тождества sin 36° = cos 54° получим
sin2a = cos3a или 2sinacosa = 4cos3a —3cosa. Так как cosa^O, то
§7. Формулы кратных углов
231
можно сократить обе части этого равенства на cos а. Тогда, исполь-
зуя основное тригонометрическое тождество, придем к уравнению
4 sin* 2 а + 2 sin a — 1 = 0. Решая это уравнение относительно sin а,
найдем sin a =	— или sin a = —. Так как в I четверти
sin a > 0, то второе значение—посторонний корень. Следовательно,
sin 18°
Пример 3. Вычислить cos^-cos^.
о э
Д Умножая и деля данное выражение на sin ^^0, а далее, используя
5
дважды формулу (1) и формулу приведения sin (тс— а) = sin а,
получим:
.л тс	2л	1 . 2тг 2тг	1 . 4тг	1 . л
sin - • cos - • cos —	- sin — • cos —	-	sin —	-	sin -
5	5	5	=	2 5	5	=	4	5	=	4____5	_ |
.л	.л	.л	. тс 4’
sin -	sin -	sin -	sin —
5	5	5	5
Пример 4. Вычислить cos ~ + cos
Э	D
Д Согласно результату примера 2, имеем sin	! t откуда
cos£-l-2sin2-£ = l-2(^b-^
5	10	\ 4	/	4	’
cos £ + cos — cos £ + (4 cos3 * 5 — 3 cos = 4 cos3 £ — 2 cos £ =
5	5	5	\	5	5/	5	5
— 2cos^- (2cos2£-f) =2-^±1- ^2-	- Л =
5 \	5	/	4	\	\ 4 /	/
2. Формулы понижения степени
Из соотношений
cos 2a = cos2 а - sin2 a = 2 cos2 a — 1 = 1 — 2 sin2 a
следуют формулы понижения степени'.
sin2ct= !-cos2a>
cos2a = 1+^.
2
(9)
(10)
232
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 5. Вычислить А = sin4 + cos4 + sin4 + cos4
Д Используя формулы понижения степени, получим
4\	4/	4 \	4 /	4 \	4 /	4 \	4/
= 1 (l-cosjf+l (l+cos^V + 1 (l+coslf+1 (l-cos^2 =
4 \	4/	4 \	4 /	4 \	4/	4 \	4/
((	i 7Г	i . ЗтГ \
1+cos -	1+cos — \
4+2------?-+2---------I =|.
2	2 j 2
Пример 6. Выразить через cos 4a:
1)	sin4 a + cos4 a; 2) sin6 a + cos6 a; 3) sin8 a + cos8 a.
Д 1) Используя основное тригонометрическое тождество, формулу
для sin 2a и формулу понижения степени, получим
.4	4	/ . 9	9 \2	_ . о о
sin а -Ь cos a = (sin a + cos a) — 2 sin a cos a =
— 1 _ sir|2 — 1 _ 1 — cos 4a _ 3 + cos 4a
”	2	4	4	*
2)	Используя формулу суммы кубов и предыдущий результат,
получим
sin6 a+cos6 а= (sin2 a+cos2 a) (sin4 a—cos2 a sin2 a+cos4 a) =
(.9	9 \2 о . 9	9
sinz a+cos a) — 3sinzacos a=
. i _ 3 sin2 2a _ । _ 3(1 —cos 4a) _ 5+3 cos 4a
“	4	“	8	8	’
3)	Аналогично находим
• Я	Я /	4	. 4 \2 Л . 4	4
sin a + cos a = (cos a - sin a) + 2 sin a cos a =
= (cos2 a-sin2 a)2-=
— cos2 2a — sir|4 — — ‘ + cos 4a — 0 ~ COS4«)2 _
~~	16	~	4	32	~
_ 1 + cos 4a _ 1 (cos2 4a _|_ 2 cos 4a + 1) =
= (cos2 4a + 14 cos 4a + 17).	▲
oZ
Пример 7. Найти cos6a, если cosa=— ~^=.
Д Используя формулу косинуса двойного угла, находим
cos 2a — 2 cos2 a — 1 = —
§7. Формулы кратных углов
233
Используя формулу косинуса тройного угла, получим
cos6а = 4cos32а — 3cos2a = 4-	— 3-
(_Г) = Я
\ з/ 27
Задачи
1.	Вычислить:
1)	2 sin 15° • cos 15°;	2) cos2 15° - sin2 15°;
3)	2tg'5° ;	4) (cos 75° — sin75°)2.
1 - tg215°
2.	Вычислить: 1) cos 18°;	2) cos36°;	3) sin42°;	4) cos42°.
3.	Вычислить:
l)sin^-cos^; 2) cos2 £-sin2 3)2cos2^-l;	4)l-2sin2
4.	Вычислить:
k|oo
1)	sin 2a. если sin a—— 0,8 и ~<а<2тг;
3)	sin 2a, если cos a— — j| и тг<а<^;
5	Зп
4)	tg2a, если cosa=-— и д<а<-^
5.	Найти численное значение выражения:
g
2) cos2a, если sin a= у?;
О 8sin эд-cos эд  (cos2 24 s,n2 24) ;	2) 8cos  (2cos2 34 Q+cos ;
3)	sin jj-(1-2sin2	sin 55-cos
4)2(l-sin^).(l+sin^)+cos^.
6.	Вычислить: 1) sin • sin
7.	Упростить выражение:
1)	sin 2a + (cos a —sin a)2 ;
1 — cos 2a 4- sin 2a.
7 1 4-cos 2a 4-sin 2a ’
8.	Вычислить:
;	2) cos • cos ~  cos ~
_______cos 4a 4- sin2 2a______.
(cos a 4- sin a) (cos a — sin a) ’
дч 1 4- cos 2a 4- sin 2a
7 cos a 4-sin a
9. Вычислить:
1) sin 3a, если sina=|;
3) tg3a, если tga=—
2) cos 3a, если cosa=^;
4) ctg3a, если ctga=—
234
Глава V. Тригонометрические формулы
10.	Доказать тождества:
1)		cos2« =	2) sin 2сх — 2 cos ex =
sin а • cos а + sin2 a	sin а-sin2 а
3)	1 + cos а + cos 2а + cos За _ ,	1 - sin а — cos 2а -4- sin За _ . а
1	sin 2а+ 2 sin а-cos 2а	’	7 sin 2а + 2cos а-cos2а	ё
II.	Выразить через sin 2а:
1)	sin4 а + cos4 а; 2) sin6 a + cos6 а;	3) sin8 a + cos8 а.
12.	Найти:
1)	cos4a, если cos a—sina—2) cos6a, если cosa+sina—
3)	cos6a, если sin 2a—p, aef-т;?^; 4) cos 12a, если sin3a=-4=.
5	\ 4 4/	Уз
13.	Решить уравнение:
О cos2 - sin2 ;	2) cos - sin - ! = 0;
£ £ £ £ £
3) 3 sinx — sin 2x;	4) cos2 |—cos x.
Ответы
1.	1) 1;2) ^;3) -L;4) 1. 2. 1) Vl0 + 2^;2) ' (v'10 + 5y/2 + x/lO + Ws);
3)	1 (ч/30 + 6?5-^+1); 4) 1 (У10 + 2x/5 + V15-x/3). 3. 1) 1; 2)
3)	4)	4. 1) -0,96; 2) lg; 3) Jg; 4) -lg. 5. 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 1.
6. 1) 1; 2) 1	7. 1) 1; 2) 1; 3) tga; 4) 2cosa. 8. 1) 2; 2) 1; 3) 8 + 4\/3;
4)2^2. 9. 1)|3;2)-11;3)-U;4)-^. 11. 1) 1-®^“; 2) l-^2a;
3) l-Sin22a+5i^. 12. 1) -1; 2) g; 3)	4) -I. 13. 1) x=^ + JCn,
n e Z; 2) x = + 2тгп, n e Z; 3) x — zm, n E Z; 4) x = 2тгп, n E Z.
§8. ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ
Пусть дан угол а. Угол называют половинным углом. Поскольку
угол а является двойным углом по отношению к углу то из формул
понижения степени вытекают следующие равенства:
9 COS	a _ 2 ~	1 + cos a 2	(формула квадрата половинного угла),	косинуса	(1)
. 2 sin	a _ 2 “	1 — cos a 2	(формула квадрата половинного угла),	синуса	(2)
tg2	a _ 2 “	1 — cos a 1 + cos a	(формула квадрата половинного угла).	тангенса	(3)
§8. Формулы половинных углов
235
Для любого угла а такого, что nk, keZ, справедливо равенство
tg ~	(формула тангенса
половинного угла).
(4)
О Так как a^Tik, то sin^^O и cos^^O. Поэтому справедливы
равенства
.а . а п . а	п . о а
sin- sin--2sin-	2sinz-
t a =2 =	2	2 =___________2	= 1 — cos of ф
® 2 of	of o . ot o . ot ot sin a’
cos— cos—-2 sin— 2 sin —-cos —
2	2	2	2	2
Аналогично может быть доказано, что для любого угла а такого,
что	k е Z, справедливо равенство
। а _ sin a
2	1 4- cos a
Пример 1. Найти:
l)sin|; 2) tg^.
Л 1) Из формулы (2)
। тс	. v2
1 -- cos - -	1 —
. 9 ТГ	4	9
следует sin - =----------- —
8	2
С учетом того, что sin^>0, получаем sin-=
8	8
2) Используя формулу (4), получим
. 5тг
I — cos —	Л	/-
_____4	= 2 | \/2 _ а
tg-=
^8	. 5тг
sin —
4
2 — 1.
4
2
Формулы универсальной тригонометрической подстановки.
Имеют место формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и ко-
тангенс угла через тангенс половинного угла.
Для любого угла а такого, что а я +2л£, k е Z, справедливы
равенства
o . Ot
2tgx
tga =
o. a	i x 2 of
2 tg -	1 - tgz -
sin a =---------; cos a =----------—; tga =----------—. (5)
i . + 2 or	. । . 2 of	i . 2 Of
1 + tg2-	I + tS 2	1-tg 2
Эти формулы называют формулами универсальной тригономет-
рической подстановки.
О Докажем первую из формул:
2 sin • cos
sina=^--------------2------?-
COS2 + sin2
2 Of nx Of
C0S 2~2tg2
cos2 | • (1 + tg2 
2tg^
l+tg2!
236
Глава V. Тригонометрические формулы
Л
Вторая формула доказывается аналогично, а третья следует из
двух первых.
Пример 2. Вычислить cos 12а, если tg3a=3.
tg6a= 2tg3«....=	=_3_
ё 1 —tg23a 1 — З2 4
1 1
Далее, cos 12a = 1 ~tg 6g =----- =	А
l + tg26a ,, 9_	25
16
Задачи
1. Вычислить значение данного выражения через значение выражения от
удвоенного угла:
1) sin2 25°;	2) cos2 (22°30');	3) cos2 Q - a) ;	4) sin2 4 a).
2. Найти численное значение выражения:
1) 2cos2^-1; 2) l-2sin2^;
o	12
3) 2^+2sin215°; 4) “2cos2 (22°30')
3.	Вычислить:
1)	sin	cos	и tg^, если sin a —0,6 и 2л < a <
2)	sin	cos	и tg^, если sina=—и л<а<—;
Z Z	Z	1 о	Z
3)	sin cos и ctg^, если cosa —и ~ < a < 2л.
z z z	io z
4.	Упростить выражение:
n * ~ cos a -
7 sin a 7
4) (1 — cos 2a) • ctg a;
sin a
1 + cos a1
5) __Jg2a_
' tg4of—tg2of*
3)
1 -I- cos 4of.
sin4of 7
5. Доказать тождества:
1) 2 cos2	= 1 + sina; 2) 2 sin2 Q -	= 1 - sin a;
3) 3 — 4cos2a + cos4a _ 4	1 — 2sin2 a _ 1 — tga.
' 3 + 4 cos 2of + cos 4of 7	1 4-sin 2a 1 4-tga7
5) ctga — tga — 2tg2a — 4 tg 4a = 8 ctg 8a.
6.	Найти:
1)	cos4a, если tga=—3.	2) cos 12a, если sin3a=4=.
v3
7.	Вычислить:
1)	sin4 + cos4 ~ + sin4 + cos4
16	16	16	16
. 4 л 4 5л 4 13л: , . 4 13ти
2)	sin --cos --cos ^+sm —.
8.	Найти сумму tg2 + tg2 + tg2 5 если cosx = i~~' cosy —
1	и I- С	C ”f~ fl
cos z —  c -, a + b + c^O.
a + b
§9. Формулы преобразования произведений в суммы
237
9.	Решить уравнения:
1)	1-cosx —2sin 2) 1 + cosx = 2cos 3) 1 4-cos = 2sin	;
4)	1+ cos8x = 2cos4x; 5) 2sin2 | 4- sin2x = 1;	6) 2cos2x—sin4x= 1.
Ответы
L f) 1-cos50°. 2) 1 +cos45°.	1+С05(г 2g) _ 1 + sin 2ct. 1 cos(2+2<*)_
= l+^i2a 2 () _/2. 2) _л/3. 3) 1; 4) _L 3	sin^-^/o^ cos | =
= -7бД tg£ = ^; 2) sin£ = -2=, cos£ = —L=, tg£ = -|; 3) sin£ = -?=,
v ’ s 2	3 ’ ’	2	/13	2	/13 s2 2	’	2	/13
cos 2=--^=, ctgf = -|- 4- 1) tgf; 2) tg^; 3) tga; 4) ctg2a; 5) cos4a.
6. 1)	2)	7. 1)	2)	8. 1.	9. 1) 2m, я+4м, neZ;
2) 4тгп, 7Г +2тгп, neZ; 3) 2тг4-4лтг, 4тг4-8лтг, n e Z; 4)	n
5) ^4-тш, neZ; 6)	+ neZ.
§9. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ В СУММЫ
1) Для любых углов а и /3 справедливы формулы
n	cos(a-/3) + cos(a + /3)	/1Ч
cos a • cos р =---—-------— ,	(1)
. Q cos (a - /3) - cos (a 4- /3)
sin a • sin p = —--.	(2)
О При всех a и P имеют место тождества
cos (a — /3) = cos a • cos /3 4- sin a • sin /3,
cos (a + /3) = cos a • cos /3 — sin a • sin (3.
Складывая и вычитая соответственно левые и правые части этих
равенств, получаем при сложении формулу (1), называемую фор-
мулой преобразования произведения косинусов в сумму, а при
вычитанииформулу (2), называемую формулой преобразования
произведения синусов в сумму.	•
2) Для любых углов а и /3 справедливы формулы
Q sin(a + /3) + sin(a-/3)	ZQA
sin a • cosp =----—--------—	.	(3)
О При всех a и /3 имеют место тождества
sin (a — /3) = sin a • cos /3 — cos a • sin /3,
sin (a + p) — sin a • cos[3 4- cos a • sin /3.
238
Глава V. Тригонометрические формулы
Складывая соответственно левые и правые части этих равенств,
получаем формулу (3), называемую формулой преобразования про-
изведения синуса одного угла на косинус другого в сумму. •
Полученные формулы могут быть сведены в следующую таблицу.
D cos(a - в) + cos(a + /3)
cos a - cos p —---------------------—
___________2______________2___________
. Л cos(a - /3) — cos(a + /3)
sin a - sin p —---------------------—
__________________________2--------
o sin(a - /3) 4- sin(a + /3)
sin a • cosp =----------------------—
Пример 1. Вычислить:
1) 18 sin	• sin если cosa=|; 2) -—!—--cos 20°.
'	2	2	3’	' 4cos80°
Л 1) Используя формулу (2), а затем формулу cos2a — 2cos2а— 1,
получим:
= 9(cosa-cos2a) = 9 (cosa—2cos2a+1) = 9 Q—2*|-|-lj = 10-
2) Приводя к общему знаменателю и используя формулу (1),
получим:
1	_ cQS 20° — * ~ 4 cos 80° ‘cos	—
4 cos 80°	4 cos 80°
I —4-(cos(S0o+20o>+eos<S0o —2О°)>
4 cos 80°	4 cos 80°
= -2 cos 100° = - cos (180°-80°) = cos 80° = It	д
4 cos 80°	2 cos80°	2 cos 80°	2’
Пример 2. При каких значениях х выражение
у = cos (+ 2х) • cos f — — 2-Л
\5	/	\ 5	/
принимает наибольшее и наименьшее значения?
А Используя формулу (1), получим
у — cos + 2х) • cos (у — 2х) = (cos + cos ^4х —	,
Так как при всех значениях к справедливо двойное неравенство
— l^cos(4x —	1, а cos — фиксированное число, то наи-
большее значение рассматриваемое выражение примет тогда, когда
§9. Формулы преобразования произведений в суммы
239
cos ^4% — j = 1, т. е. при 4х — | — 2я/г, k е Z. Отсюда получаем,
чтох=А + ^е£.
Соответственно, наименьшее значение выражение примет тогда,
когда cos ^4х —	= -1. Отсюда получаем, что 4х — — тс 4- 2д&,
k е Z, или х =	+ ф, k е Z.	▲
Пример 3. Доказать тождество
cos а • cos (60° — а) • cos (60° 4- а) = | cos За.	(4)
А Пусть А — левая часть доказываемого равенства. Используя фор-
мулу произведения косинусов, получим
/спо \ /СПО  \	cos(60° - «4-60° 4-а) 4-cos (60° — a-60° - a)
cos (60 - а) • cos (60 4- а) =--------------—------------------— =
cos 120° +cos 2а	1/1 o \
=----------------= -• --4-cos2a) .
2	2 V 2 J
Тогда A — cos a • |
-i 4-cos2a) = -|cosa4- -cosa-cos2a.
2	/4	2
Так как cos a -cos 2a =
cos a 4- cos 3a
2
TO
A — — - cos a 4- 4 cos a 4- - cos 3a = - cos 3a.
4	4	4	4
Замечание. Аналогичные формулы справедливы для синусов, тангенсов
и котангенсов:
sin a • sin (60° - a) • sin (60° 4- a) = | sin 3a,	(5)
tg a • tg (60° - a) • tg (60° 4- a) = tg3a,	(6)
ctg a • ctg (60° - a) • ctg (60° 4- a) = ctg 3a.	(7)
Пример 4. Вычислить
A — sin 5° • sin 55° • sin 65°.
А Заметим, что при a = 5° получаем левую часть формулы (5).
Следовательно,
Д — 1 sin 15° — Sin (45° — 30°) _ sln 45° cos 30° — cos 45° sin 30° _ л/б — д
~~ 4	~	4	4	16	’
Для решения следующего примера используется тот же прием,
что и при решении примера 3 в §7. Только теперь он применяется
для преобразования суммы тригонометрических выражений.
Пример 5. Вычислить сумму cos у 4-cos у 4-cos у.
240
Глава V. Тригонометрические формулы
Л Умножая и деля данное выражение на 2sin у, а затем используя
формулу (3), получим
о . тг	2тг ,	о . тг	4тг , о . тг	бтг
2sin - -cos	-— 4	2sin - -cos	— 4-2sin - -cos	—
cos + COS + COS	'--------Z--------Z---Z---------I--------L
7	7	7	2si<ly
. Зтг тг , . 5тг . Зтг , .	. 5тг
sin — - sin - 4 sm ——sin 4-sin тг—sin —-
7	7	7	7	7
n • 7Г
2 sin -
n • 7Г
2 sin -
Задачи
1. Преобразовать произведение в сумму:
1) cos 10° cos 40°;	2) cos-^-cos^;	3) sin 18°-sin32°;
12 о
4) siny-sin^; 5) sin (x 4- a)-cos (x - a);	6) cos (2x + a)-cos (2x-a).
2. Вычислить:
1) —* 1	4-2 sin 10°;	2) —J—- 2 cos 20°;	3) _^L - 4 sin 110°
7 2 sin 50°	1	7 2 sin 80°	’	' cos 10°
3. Вычислить:
1) cos 5° • cos 55° • cos 65°;	2) sin 20° • sin 40° - sin 60° • sin 80°;
3) tg20° - tg40°  tg60° - tg80°;	4) sin2 3 4 70° - sin2 50° - sin2 10°.
4. Вычислить:
1) cos J 4- cos ~ 4- cos 4- cos 2) sin 4- sin 4- sin 4- cos
9939	oooo
5. Доказать тождества:
1)
2)
-4 cos x cos
4 sin x sin
(x 4- cos (x 4- у ) = cos 3x;
(x 4-sin (x 4- у) — sin 3x.
6. Доказать тождества:
1) sin2 (45° 4- a) - sin2 (30° - a) - sin 15° • cos (15° 4- 2a) = sin 2a;
2) sin a-sinp* sin (P — a) 4- sinjS- sin y- sin (y — /3) 4-sin у  sin a-sin (a — y) =
= sin (a - p) • sin (/3 — y) • sin (y — a).
7. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) sin(| +x)-cos(|j-х);	2) cos + х) • cos + х)
8. Решить уравнение:
1) cos (J + х) - cos	-х) =	2) sin Q + х) - cos (х-	= 1;
3) 2sin +х) ' s 6 7 8*n	— х) + sin2x = 0.
Ответы
1. cos30° + cOs5g°. 2) 1 (cos g + cos Нк) .	3)
лк 1 / 4тг 7тг\ r-х sin 2a 4-sin 2х	cos 2a- cos4x
4> 2 lCOST0-COSTo) : 5) ------2-----; 6) -----2-----•
cos 14° — cos 50° .
2	’
2. 1) 1; 2) -1;
§ 10. Формулы преобразования сумм в произведение
241
3) -2. 3. 1)	2) А; 3) 3; 4) ± 4. 1) -1; 2) 0.	7. 1) 2^+?,
\/3 2	\/10 4- 2\/5 + 1 у/10 -|- 2\/5 1 © । \ 7тг . тт с. 7?•	тт « •
—4—, -----------g------. ------§-----• о- О 24 + ^’	2) ли, Л ЕЛ;
3)	+ тип, п е Z.
§10. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СУММ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
1) Для любых углов а и /3 справедливы формулы
cos a cos/3 = 2 cos	-cos^^;	(1)
cos a — cos[3 = —2 sin • sin	(2)
О Для любых углов х и у справедлива формула (1) предыдущего
параграфа:
COSX . COS £/ = C^.-y) +cos(^ + ^) .
2
Преобразуем эту формулу к виду
cos (х 4- у) 4- cos (% — у) = 2 • cos х • cos у.	(3)
Обозначая а = х4-# и /3 = х —//, получим х = и у~	После
замены в равенстве (3) углов х и у на их выражения через а и /3
получим
cos а 4- cos/3 = 2 cos • cos ^=2.
Аналогично из формулы (2) §9 выводится формула (2).	•
Формула (2) может быть преобразована к виду
cos а — cos /3 = —2 sin	• sin	= 2 sin	• sin
2	2	2	2
Формула (1) называется формулой преобразования суммы коси-
нусов в произведение, а формула (2) — формулой преобразования
разности косинусов в произведение.
2) Для любых углов а и /3 справедливы формулы
sin а 4- sin /3 = 2 sin • cos ,	(4)
sin а — sin/3 = 2 sin • cos	(5)
Вывод формул (4) и (5) из формулы (3) §9 аналогичен выводу
формул (1) и (2). Формула (4) называется формулой преобразо-
вания суммы синусов в произведение, а формула (5) — формулой
преобразования разности синусов в произведение.
242
Глава V. Тригонометрические формулы
Полученные формулы могут быть сведены в таблицу.
cos а 4- cosр = 2 cos	 cos -- @	sin а 4- sin /3 — 2 sin	• cos
cos а- cos/3 = —2 sin	- sin 01	sin а — sinp = 2 cos	- sin A?
Пример 1. Вычислить
г	sin 54° - sin 66°
А Используя формулу разности синусов и формулу синуса двойного
угла, получим
sin 54° - sin 66°	. /54° - 66° \	/54°+ 66°
2 sin --------- I cos --------
к 2	7 к 2
— 1 . sin 6°	— _1
4 sin(—6°) cos60°	2’
Пример 2. Преобразовать сумму в произведение:
1) S| = cos 2а — cos За — cos 4а 4- cos 5а;
2) S2 = sin 4а + sin 6а 4- sin 8а 4- sin 10а.
А 1) Используя формулу разности косинусов и разности синусов,
получим
S] = (cos 2а — cos 4а) 4- (cos 5а — cos За) =
— 2 sin За • sin а - 2 sin 4а • sin а =
= 2 sin а • (sin За — sin 4а) = —4 sin а • cos у • sin р
2) По аналогии с предыдущим пунктом, получим
S2 = (sin 4а + sin 6а) 4- (sin 8а 4- sin 10а) =
= 2 sin 5а ♦ cos а 4- 2 sin 9а • cos а =
= 2 cos а • (sin 5а 4- sin 9а) = 4 cos а • sin 7а • cos 2а.	▲
• 9тг 9тг
— sin — cos —.
22
ПримерЗ. Вычислить А — sin i •( 1 — 2 sin2 gj - g
А Используя формулу cos 2а = 1 — 2 sin2 а, получаем
Л = sin ‘Cos£- sin ^cos^-1 sin Asin =
11	11	22	22	2	11	2	11
2тг _ 9 л:	2tt 9tt
= l-2sin 11	11 .cos-11	= _ sing, cos
Пример 4. Преобразовать сумму в произведение
S — cos2 а + cos2 ft — sin2 (а + /3).
§ 10. Формулы преобразования сумм в произведение
243
Л Используя равенство cos2 / — 1 + cos 2/ и формулу суммы косинусов,
получаем
S = 1±^2« +1±^ - Sin2 (а+/3) = £212?±cos2P +1 - sin2 (a+p) =
= cos(a+/3)-cos(a—/3) + cos2 (a+/3) =
= cos(a+/3)-(cos(a-/3) + cos (a+/3)) = 2cos a-cos/3-cos (a+/3). ▲
Пример 5. Доказать равенство
sin a + sin /3 + sin у — sin (a + /3 + у) — 4sin • sin + y  sin y^'Q!
Д Пусть S — левая часть доказываемого тождества. Преобразуем 5,
используя формулы суммы и разности синусов. Имеем:
S = (sin a + sin /3) + (sin у — sin (a + /3 4- у)) =
= 2sin^±^ -cos^£ -2cos (у+^у^) -sin^i^ =
= 2sinH±£- (cos cos (y+.
Далее, используя формулу разности косинусов, получим
5 = 4 sin • sin . sin	A
Пример 6. Доказать тождество
sin a + sin 2a 4-... + sin na =
Д Пусть Sn = sin a 4- sin 2a 4-... 4- sin na. Умножим Sn на 2sin^
и воспользуемся формулой (2). Получим
2 sin • Sn — sin a • 2 sin 4- sin 2a • 2 sin ~ 4-... 4- sin na • 2 sin ~ =
= cos£-cos^ + cos^-cos^ + ...
2	2	2	2
... + cos - cos + cos (^44a) — cos (^y^a) '
Заметим, что в полученной сумме взаимно уничтожаются все
слагаемые, кроме первого и последнего. Поэтому
2 sin “  Sn = cos £ - cos (^±1 сА = 2 sin . sin
2	2	\ 2	/	2	2
Если sin | 7^ 0, то из последнего равенства находим
. (n4-l)ot . na
sin -——— • sin —
о __	2	2
^n —
2
. a
sin —
2
Замечание. Для доказательства данного тождества можно воспользо-
ваться методом математической индукции по п.
244
Глава V. Тригонометрические формулы
Метод вспомогательного угла. При решении некоторых задач,
например при исследовании гармонических колебаний, приходится
иметь дело с выражением a sin а 4- b cos а, называемым тригономет-
рическим двучленом. Пусть хотя бы одно из чисел а,Ь не равно нулю,
а е Z. Тогда а2 + 62 ф 0. Умножив и разделив тригонометрический
двучлен на \/а2 4- 62, получим
a sin а 4- b cos а = у/а2 4- 62 (	• sin а 4- -т=^= • cos а) .
\ \/а2 + b2	\/а2 + b2 7
Рассмотрим точку М = | —,-.5—....: ,..ь ). Эта точка лежит на
г	\ л/«2 _| *2 ’ y/a2 + b2J
окружности радиуса 1. Поэтому существует угол ср такой, что
cos ф —  ----.sin ср = -	.	(6)
Тогда	-----
a sin а 4- b cos а = v а2 4- b2 (cos ср • sin а 4- sin ср • cos а) =
= \/а2 4- &2 sin (а 4- <р),
где ф определяется формулами (6).
Приведенный метод, применяемый при преобразовании выражения
a sin а 4- b cos а к виду \/а2 4- &2 sin (а 4- <р), называется методом
вспомогательного угла.
Замечание. Выражение a sin а 4- b cos а может быть также преобразовано
к виду	----
a sin а 4- cos ot = v а2 4- b2 (sin ср]  sin ot 4- cos cp\  cos ot) =
= \/a2 + b2 cos (ot — ),
b .	a
где cos <p{ = —===, sin cp{ = -?=
\/a2 + b2
Так, например:
sin a 4- cos a =
• sin а 4- Д= • cos а
л/2
sin а — cos а =
cos (а - ? ),
\	4/
•sin а — 4= - cosа) =
л/2	7
"2sin (а — v ) = \/2cos (а4- ? | .
X 47	х 4/
2 sin
(7)
(8)
Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения тригоно-
метрического двучлена a sin а 4- b cos а, если хотя бы одно из чисел
а, b не равно нулю, а е Z.
А Поскольку tzsina-h^cosa—\/«2 4- b2sin (a4- ф), а — l^sin(a4- (p)^
1, то отсюда следует, что наибольшее значение a sin a 4- b cos a
равно у/a2 4- 62, а наименьшее значение равно — \/а2 4- Ь2.	▲
§ 10. Формулы преобразования сумм в произведение
245
Пример 8. Упростить выражение ——
sin a — cos a
l\ Используя формулы (7) и (8), получим
\/2 - cos a — sin а _ \/2 — (cos a 4- sin а) _
sin а —cosot	sin а —cos а
Отметим полезные равенства, которые могут пригодиться при
выполнении тригонометрических преобразований:
1 4- sin 2а = (cos а 4- sin а)1 2 3 4 =	2 sin2	(а 4-	= 2 cos2	(а —	,
1 — sin 2а = (sin а — cos а)2 =	2 sin2	(а —	- )	= 2 cos2	(а 4- -	),
\	4/	\	4/
cos 2а — 2 sin ( а — ~ ) • cos (а — ) = 2 sin	( а	4- - ) • cos (а 4-	? ).
\	4/	\	4/	\	4/	\	4/
Задачи
1.	Вычислить:
.V cos 51° — cos 39°
sin 66° — sin 54° ’
ox cos 74° 4 cos 46°
cos2 7° — sin2 7° ’
2.	Упростить выражение:
l)	sin + 4 + sin ~	’
3)	sin Q + a) - sin Q - a) ;
ox cos 34° 4- cos 26°
sin 64° 4- sin 56° ’
дх sin 84° 4 sin 36°
sin2 12° — cos2 12°
2)	C0S(^-P) +cos (}+/?);
4)	cos	-cos (/?+£)
3.	Записать в виде произведения:
1) sin 68° 4-sin 66° 4-sin64° 4-sin 62°; 2) cos 12° 4-cos42° 4-cos72° 4-cos 102°
4.
5.
Доказать тождества:
1) sin(a + p)+sin(a-p) . ct «
7 sin (ot 4/3) — sin (ot —/3) s
2) cos (« +/3)-I-cos (a —/3) =	p
7 cos (a — /3) — cos (ot + /3) s s
3) (sin a4-sin/3)2 4- (cosa4- cos/3)2 = 4cos2 ;
4) (sin 2a 4- sin 4a)2 4 (cos 2a 4- cos 4/3)2 = 4 cos2 a.
Доказать тождества:
11 sin ot 4 2 sin 3ot 4 sin 5ot _ sin 3ot. n\ sin 2ot 4 sin 5ot — sin ot _ t n
' sin3ot4 2sin5ot4 sin 7ot sin5ot’ cos ot 4 cos 2a 4 cos 5a ё ’
sin 2a — sin 3ot 4 sin 4a _ . «
7 cos 2ot — cos 3ot 4 cos 4ot ё
246
Глава V. Тригонометрические формулы
6.	Преобразовать в произведение введением вспомогательного угла:
1)	14-\/2sina; 2) sin2а—0,75;	3) \/3sinx — cosx; 4) sinx4-\/3cosx.
7.	Преобразовать в произведение введением вспомогательного угла:
1)	1 4-sin х 4-cosx;	2) 1 — cosx 4-sin х;
3)	1—sinx —cosx;	4) I — sinx4-cosx.
8.	Вычислить:
0 tg9° — tg27° — tg63° 4-tg81°;
2)	tg 10° - tg20° 4- tg20°  tg60° + tg60° • tg 10°;
3)	sin2 11° 4-cos2 19° 4-cos2 41°;
4)	cos2 20° • cos2 40° 4- cos2 40° • cos2 80° 4- cos2 80° • cos2 20°.
9.	Решить уравнение:
1)	cos 4x • cos 2x = cos 5x • cos x;	2) sin 5x • sin x = sin 7x • sin 3x
10.	Доказать тождества:
1)	sin2 (45° 4-a) — sin2 (30° — a) - sin 15° • cos (15° 4- 2a) = sin 2a;
4 cos (ot —
11.	Доказать тождества:
1)	tga + ctga+tg3a+ctg3a^
2)	tg3a-tg2a-tga = tg3a• tg2a-tga;
3)	tga4-2tg2a4-4tg4a4-8tg8a= ctg a.
2) sin a 4- cos a — sin (a-
|)=y6cos(a-2L).
12.	Доказать тождества:
1)	cos 2a 4- cos 4a 4- cos 12a 4- cos 14a = 4 cos a - cos 5a • cos 8a;
2)	cos a 4- sin a 4- cos 3a 4- sin 3a = 2\/2 cos a • sin 4- 2a);
3)	cos 1 la 4- 3 cos 9a 4- 3 cos 7a 4- cos 5a = 8 cos a • cos3 4 5a;
4)	cos2 a 4- cos2(a 4- /3) - 2 cos a • cos[3 • cos(a 4- /3) = sin2 [3.
13.	Доказать, что справедливо равенство:
. пх (п 4- 1)х
s,n ~2 'cos " 2	х
1)	cosx 4- cos2х 4- .. 4- cos пх —------------------, если sin -	0;
s,n -
2) s*n х 4- sin Зх 4- sin 5х 4 ... 4- sin(2n — l)x _ .
' cosx 4-cos3x 4-cos5x 4-• • • 4-cos(2n — l)x ё
Ответы
1. 1) -г/2; 2)1; 3)1; 4) -V/3.	2. 1) cos a; 2) V^cosjS; 3) \/2sina;
4) sin/3.	3. 1) 4 sin 65° cos2° • cos 1°;	2) 2\/3cos57°-cos 15°.
6. 1) 2^sin(f + f)cos(f-f);2) -cos (a+f) cos (a- j) ; 3) 2sin(x-f);
4)2sin(x+^)	7. 1) 2v^sin(5 + ^cosb	2) 2V2sin £ cos ;
3) -2v/2sin£ cos (£ + £); 4) 2x/2sin	cos 8. 1) 4; 2)	3)
4) %. 9. 1) Tin, пег- 2) пег.
lb	о
§11. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
247
§ И. АРКСИНУС, АРККОСИНУС, АРКТАНГЕНС
И АРККОТАНГЕНС ЧИСЛА
1. Арксинус
Определение. Если |а|^ 1, то арксинусом числа а называется
такое число t из отрезка	синус которого равен а, т.е.
sin t = а (рис. 14). Арксинус числа а обозначают arcsin а.
Замечание. Название возникло от латинского arcus — дуга. Соответ-
ственно, arcsin а — дуга, синус которой равен а.
Из данного определения следует, что
sin (arcsin а) = а, если |а|	1,	(1)
arcsin (sin t) = I, если t e [ —.	(2)
Пример 1. Вычислить arcsin(sin а), если:
1) а =	2) а = я2.
О
л 1)
2)
Число
13л7 Л Г 7Г. тг] <жл 13тг . тс 13тг /
1 —i — - 77 L но —— =4я+- и sin —-=sin |
3 L 2 2 J з 3	3	\
—5;? • Поэтому arcsin (sin =arcsin
L 2 z J	\	<5 /
_:7Г
sin-,
<5
Так как Зя < я2 < Зя + то —< Зя — я2 < 0.
Используя равенство зт(3я — я2) = sin я2, получаем
arcsin(sin я2) = агс5т(зт(3я— я2)) = 3я— и?.	▲
a 5е
2. Арккосинус
Определение. Если |а|	1, то арккосинусом числа а назы-
вается такое число t из отрезка [0; я], косинус которого равен а,
т.е. cos/ = a (рис. 15). Арккосинус числа а обозначают arccosa.
248
Глава V. Тригонометрические формулы
Из определения следует, что
cos (arccos а) = а, если |а|	1,
arccos (cos 0 = t, если t е [0; л].
(3)
(4)
Пример 2. Вычислить arccos(cos а), если
1) а=у; 2)а = 6.
А 1) Число ^^[0; л|, но = и cos ^=cos ^2л—у) =cos у,
а число —е[0; л]. Поэтому arccos (cos ^)=arccos (cos — )=^.
8	\ о /	у 8 /	8
7тг
8
2) Так как < 6 < 2л, то -2л < -6 < -— и 0 < 2л - 6 < -,
7	2	2	2
cos(2jt— 6) = cos6. Поэтому arccos(cos6) = arccos(cos(2zr —6)) =
= 2тс — 6.	▲
3. Арктангенс
Определение. Арктангенсом числа а е R называется такое
число t из интервала	тангенс которого равен а, т.е.
tg/ = a (рис. 16). Арктангенс числа а обозначают arctga.
Из определения следует, что
tg(arctga) = a для любого а е R,	(5)
arctg(tg/) = /, если	(6)
4. Арккотангенс
Определение. Арккотангенсом числа aeR называется такое
число t е (0; л), что ctg / = а (рис. 17). Арккотангенс числа а
обозначают arcctga.
Из определения следует, что
ctg(arcctga) = а для любого а е R,	(7)
arcctg (ctg t) = /, если t e (0; л).	(8)
§11. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
249
Пример 3. Вычислить:
1) arctg (tg у) ;	2) arctg (ctg .
Л 1) Так как tg^ - - tg^ = tg (-^) и -| << |, то
arctg (tg^)=-^.
\ о / о
2) Используя равенство ctg — = ctg£ = tg (£ - 0 = tg^
и учитывая, что —f» получаем arcctg(ctg^) =
= arcctg(tg^) = ^.	А
Таблица значений arcsin а и arccos а
a	1	х/3 2	л/2 2	1 2	0	_1 2	_х/2 2	_73 2	-1
arcsin а	Я 2	Я 3	Я 4	я 6	0	_71 6	1	Я 3	1 ЬО|Ч
arccosа	0	Я 6	я 4	я 3	я 2	2я 3	Зя 4	5я 6	л
Таблица значений arctg а и arcctga
a	Л	1	1 Л	0		1_ л/3	-1	-х/3
arctg а	Я 3	я 4	Я 6	0	_ я 6	4	я 3
arcctga	я 6	я 4	я 3	я 2	2я 3	Зя 4	5я 6
Основные тождества
arcsin(—х) = — arcsin х,х е [—1; 1]	arccos(—х) = л — arccosx,x € [—1; 1]
arctg(—х) — — arctgх,х G R	arcctg(—х) = 7i— arcctgx,x € К
arcsinx4- arccosх = ^,х € [—1; 1]	arctgx -I- arcctgx = ^, х € IR
Пример 4. Вычислить
arcsin -7= + arccos	0 + arctg(—1) — arcctgO.
Л arcsin + arccos 0 + arctg(—1) — arcctgO =
=	(я - arccos 0-arctg	= £ + jr-|-?_|=* A
Пример 5. Доказать, что для любого хе [—1; 1]
1) arccos(-x) — я—arccos х; 2) arcsin х 4-arccos х =
250
Глава V. Тригонометрические формулы
Д 1) Обозначим arccos(—х) = у, тогда по определению имеем:
—х = cos у и 0 < у тс,
откуда х = — cos у = с,оъ(тс -у) и 0 < л — у ^тс.
Из соотношения x = cos(jt — у) следует, что л—z/ —arccosx.
Отсюда получаем доказываемое равенство
arccos(—х) = л — arccosx.
2) Обозначим arcsinх — х, тогда по определению арксинуса имеем:
JT	^71
S\nz = x и — - < 2 <
2	2
ИЛИ	/тг \
COS - — 2 = X И — -^—2^-.
\2	/	2	2
Прибавляя к обеим частям последнего неравенства по
получим 0	— 2 л, т. е. число - — 2 е [0; л], а потому
2	2
соотношение cos(^ — х] =х можно записать следующим
образом: ~ — х — arccosx, откуда х 4- arccosx = или
arcsin х 4- arccosх = .	А
5. Метод вспомогательного треугольника
Пример 6. Доказать, что для любого 0 < а < 1 справедливы
равенства	_____
Г	------- Г- 2
arcsin а = arccos v 1 — а2 = arctg ......... = arcctg --
\/\—а2
Рис. 18
Д Рассмотрим прямоугольный треугольник («вспомо-
гательный треугольник») с гипотенузой, равной 1,
и катетом, равным а (рис. 18). Другой его катет
равен \/1 — а2. Пусть ср — угол, противолежащий катету
длины а (рис. 18). Тогда sinzp = a, cos ср =	— я2,
tgffl —	: и ctgу —
\/1 — Я2	а
В соответствии с определениями: <p=arcsina, так как sin ср=а и
О<а < 1; arccos \/1—а2, так как costp=\/l—а2, 0< v^l—я2< 1-
Аналогично, у=arctg	и у—arcctg- .
V 1 — а2	а
Следовательно, верны следующие равенства:
(р=arcsin а = arccos \/1 — «2 = arctg. -.— = arcctg . А
Vl— а2	а
Замечание. Если число а рационально и а = то в качестве «вспомога-
тельного» берется треугольник, в котором один из катетов равен р, а гипотенуза
равна q.
§11. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа	251
Аналогично доказывается, что для любого a > 0 справедливы
равенства
arctg a = arcctg - = arcsin —=¥= = arccos........
Замечание. В этом случае строится вспомогательный треугольник,
у которого один катет равен 1, а другой а.
Пример 7. Вычислить tg (arcsin 0.
А Рассмотрим треугольник с катетом 1 и гипоте-
нузой 3 (рис. 19). Тогда sin ср = | и ср = arcsin
I	1	3
Соответственно, tg ср и = arctgЗначит,
y/8
Рис. 19
tg (arcsin
I) =tg (arctg-L) = ’
О /	\ Vo/ Vo
Пример 8. Вычислить A = sin (arctg — arccos .
А Пусть a = arctg-j^, /3 = arccos Тогда 0 < a < и tga =
=	0</3< j и cos/3—Воспользуемся формулой
sin(a — /3) = sin a cos/3 — cos asin/3.
Так как cos a > 0, sina>0, sin/3>0, to
cosa=-^J_ = --........1	=*
y/i+tg2a vMIT __________________
sin a = a/ 1 - cos2 a = y/\- (]y)2 = sin/3 = ^/1- (jy)2 =
Следовательно, A — sin(a — ^6) = A.1| —	▲
Пример 9. Доказать, что arctg24-arctg3 =
А Пусть a = arctg 2, /3 = arctg3. Тогда tga = 2, tg/3 = 3. Имеем
tg(a4-/3) =  t-g-a + tg^ = 2~t3n — — 1- Оценим значения a и /3 сверху
l-tgatg/3 1-2-3	г и j
и снизу. Так как 2 > 1, то < arctg2 < . Аналогично < arctg3 <
Следовательно, <а-Ь/3< тг. Так как tg(a+/3) = —1, то а+/3=	▲
Задачи
1. Найти численное значение выражения:
1)	arcsin О 4- arccos 0 — arctg0 — arcctg 0;
2)	arcsin 4- arccos — arctg	— arcctg (—1);
3)	arcsin^ 4-arccos (-^) -arctg (-^) -arcctg (-^);
252
Глава V. Тригонометрические формулы
4)	arctg (sin ~ + cos ~ + ctg
5)	arcsin (ctg(-^) + sin (-у) -cos
6)	tg (arctg - arcsin (-^) - arcctg (-1)) ;
. |	/ Л\\
7)	sin I arcctg — — arccos 1	) I .
\ V 3	V * / /
2.	Найти численное значение выражения:
1)	arcsin (sin (—??)) ;	2) arccos (cos ;	3) arctg (tg^).
3.	Доказать:
1)	arcsin(—a) = -arcsin а для любого a e [-!;!];
2)	arcctg(—a) = n- arcctgл для любого a e R;
3)	arctga + arcctg a = для любого a e R.
4.	Упростить:
1)	sin (arccos a);	2)	cos (arctg a); 3)	sin (arcctg a);
4)	tg (arcsin a);	5)	ctg (arccos a); 6)	tg (arcctg a).
5.	Упростить:
I)	tg Q arctgз) ;	2) cos (2 arcsin	; 3) sin (arcsin 3 4- arcctg4);
4)	cos (2 arcctg (~|)) 1 5) cos (arcsin I — arccos I) .
6.	Упростить:
1)	arccos (cos 3);	2) arctg (tg3);	3) arcsin (sin 10);	4) arccos (sin 5);
5)	arcsin (cos 113°);	6) arctg (ctg307°);	7) arccos (sin 274°).
7.	Решить уравнения:
1)	2 arcsin2 x — arcsin x — 6 = 0;	2)	arcsin2 x — 2 arcsin x — 3 = 0;
3)	arccos2x — 8arccosx + 15 = 0;	4)	arccos2x — arccosx — 6 = 0;
5)	arctg2 I — 4arctg— 5 = 0;	6)	3arcctg2x — 4arcctgx +л2 =	0;
7)	4 arctg у ~ Щ	8) arccosx - arcsinx = у
8.	Доказать или опровергнуть равенства:
1)	arcsin	+ arcsin | = arccos	2) arctg i 4-arctg | = у
3)	arccos Ц — arcsin | — arccos || = у, 4) arctg2 + arctg3 =
I/	О	oO Z	*
Ответы
1.
4.
3)
5)
6)
1) 0; 2) f; 3)	4)	5)	6) -X; 7) -1. 2. 1)	2)	3) *
T-	Z	ж	О	л/	м	U	О
1) л/1 - a2; 2)	3)	- °	; 4)	,?	5) 1. 5. 1)	~ 1; 2) 1;
x/f+^2	x/T^2	“	3	9
~^=;4) —^;5) ^t4^;6) r-3. 6. 1) 3; 2) 3-л;3) 3л-10; 4) ^-5;
V170	13	9	z
7- ’) -sin|:2) -sinl;3) cos3; 4) cos3; 5) -3tgl;
lov	low	40	Z
л/3; 7) 2; 8) 0,5.
Глава VI
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.
ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
I.	Введение
Решение многих задач математики, физики и практики сводится
к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование ал-
гебраических уравнений является одним из важнейших вопросов
математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми — одна из
главных причин расширения понятия числа.
На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические
уравнения первой степени, т.е. уравнения вида ах 4-6 = 0 (где а/0
и Ь — рациональные числа). Однако алгебраические уравнения сте-
пени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например,
такими являются уравнения х2 = 2, х3 — 5. Необходимость решения
таких уравнений явилась одной из причин введения иррациональных
чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел. Множество действительных чисел является
расширением множества рациональных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы
решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное
уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным
дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из
них — уравнение х2 4-1 = 0.
Введем новое число /, которое будем считать корнем уравнения
х2 4-1 — О, т. е. будем считать, что для числа i выполнено равенство
I2 4-1 = 0. Далее, попытаемся расширить множество действительных
чисел так, чтобы в новом числовом множестве содержались все
действительные числа и число i и чтобы в новом множестве были
выполнены операции сложения и умножения. Для этого нужно
договориться, что мы будем понимать под суммой, произведением
и равенством новых чисел. Ясно, что в это множество новых
чисел нужно включить произведение Ы и сумму а + Ы для любых
действительных чисел а и Ь.
254
Глава VI. Комплексные числа
2.	Определение комплексного числа
Комплексными числами называют упорядоченные пары (а, Ь)
действительных чисел а и 6, для которых следующим образом
определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число (а,Ь) буквой г, т. е. положим
z — (а, Ь). Пусть =	^2 — (а2-)^2\ Два комплексных числа
z\ и z% считаются равными тогда и только тогда, когда а\ = а<±
и Ь\ = Ь%, т. е.
{(«Ь&1) = (а2,Ь2)} <=> {ai =а2} /\{Ь} =Ь2}.
Сумма и произведение комплексных чисел z\ и z% обозначаются
соответственно zi+zg и г1г2 и определяются формулами
Z| + z2 = («1 +«2,^1 +b2),	(1)
Z|Z2 = (aia2- b\b2,a\b2 + a2b{).	(2)
Из формул (1) и (2) следуют соотношения
(ai, 0) + (а2,0) = (aj + а2,0), (<Z|, 0)(а2,0) = («1 а2,0),
которые показывают, что операции над комплексными числами
вида (а,0) совпадают с операциями над действительными числами.
Поэтому комплексное число вида (а, 0) отождествляют с действи-
тельным числом а, т. е. полагают (а, 0) = а.
Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое
называют мнимой единицей и обозначают /, т. е.
л = (0,1).
Вычислив произведение i на i по формуле (2), получим
z • / == (0,1)(0,1) = (—1,0) = — 1,
т. е. /2 = —1. Используя формулы (1), (2), для произвольного
действительного числа b находим
ib = (0,	0) = (0, b), (a, b) = (а, 0) -Ь (0, b) = а + ib.
Следовательно, любое комплексное число z — (a,b) можно записать
в виде а + ib. т. е.
z — а + ib.	(3)
Запись комплексного числа z = (сцЬ) в виде (3) называют
алгебраической формой комплексного числа.
В записи (3) число а называют действительной частью ком-
плексного числа и обозначают Re г, а число Ь — мнимой частью
и обозначают Im г, т. е.
Rez = a, Imz = fe.
§1. Определение комплексных чисел
255
Если а ~ 0, т. е. z = ib, то такое комплексное число называют
чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное,
в записи a + ib числа а и b считаются действительными.
Множество комплексных чисел обозначают буквой С.
Пример 1. Найти действительные числа х и у, если
4х 4- 3yi = 8 — 12/.
А Из определения равенства двух комплексных чисел следует, что
4х = 8, Зу — —12, откуда % = 2, у — — 4.	▲
Пример 2. Найти действительные числа х и у из равенства
х 4- 2у + i(x - у) — 1 4- 4/.
А По определению равенства комплексных чисел
х 4- 2у = 1,
х-«/ = 4,
откуда находим х = 3, у = —1.	А
Запишем формулы (1)—(2) в виде
(ai 4- b\i) 4~ («2 + М = (А 4- а2) 4- (Ьх 4- Ь2)ц	(4)
(ai 4- b\i)(а2 4- b2i) = (ща2 - b\b2) 4- (ai&2 4- Я261К	(5)
Из формул (4) и (5) следует, что сложение и умножение комплекс-
ных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами,
заменяя /2 на —1.
Например, равенство (5) можно получить так:
2422 = (^1 4- /&1)(^2 4" ^2) — ^1^2 4- ia\b2 4- ia2b\ 4- i2b]b2 =
= ща2 - b\b2 4- i(a\b2 4- a2&i).
Поэтому нет необходимости запоминать формулы (4) и (5).
Пример 3. Найти произведение 2 = (2 — 3/)(1 4-2/).
А	2 = 2 • 1 4- 2 • 2/ - 3/ • 1 - 3/(2/) = 8 4-/.	А
3.	Свойства операций сложения и умножения
Действия сложения и умножения комплексных чисел обладают
такими же свойствами, как и соответствующие действия над
действительными числами.
1° Переместительное свойство (коммутативность)-.
21 4-z2 = 224-гь Z\Z2 = Z2Z\.
2° Сочетательное свойство (ассоциативность)-.
(214-г2)4-23 = 21 4-(г24-23), (zxz2)z^ = 2i(2223).
256
Глава VI. Комплексные числа
3° Распределительное свойство (дистрибутивность)-.
z\(z2 + z3) = z\z2 + z\z3.
О Докажем, например, свойство 3°. Пусть z\ = a\ + b\i, z^a^-Vb^i
и 23 = 6Z3 4- b3i. Доказать, что
Zl(z2 + z3) = Z1Z2 +Z]Z3.	(6)
Преобразуем левую часть равенства (6):
(*2 + ^з) = (fl| + 610(^2 + а3 4- (Ь2 4- й3)0 =
= (а2 4- аз) — Ь\ (62 + ^з) + (^1 (а2 + аз) 4- а\(Ь2 4- b%))i =
= а\а2 4- а|П3 - b\b% - b\b3 4- (Ь\а2 4- Ь\а% 4- а^2 4- а^3)/.
Преобразуем правую часть равенства (6):
z\z2 4- 24Z3 = (aj 4- b\i)(a% 4- b^i) 4- (ai 4- М(«з 4- b^i) =
= ai«2 — &|62 4- (a|62 4- b\a^)i 4- «1^3 — 6163 4- (а\Ь$ 4- b\a^)i =
= a{a2 4- а^з - b\b2 - b\b$ 4- (&ia2 4- &ia3 4- щЬ2 4- щЬ3)1.
Следовательно, равенство (6) выполняется.	•
Аналогично доказываются свойства 1° и 2°.
Заметим, что числа 0 = 04-0/ и 1 = 14-0/ на множестве ком-
плексных чисел обладают теми же свойствами, что и на множестве
действительных чисел, а именно:
2 4- 0 = 2, 2-1 = 2.
Задачи
1.	Найти х, если действительная часть комплексного числа z равна нулю:
1)	z — x — 34-4/; 2) z = 3x4-2 —5/; 3) z = 5x —44-2/; 4) z = 2 + 3x — 3i.
2.	Найти £/, если мнимая часть комплексного числа z равна нулю:
1)	z=z2-3yi\	2) z=44-(3r/-4)i;	3) z= 14-(2у4-1)/;	4) z=5+(2-5y)i.
3.	Найти сумму комплексных чисел:
1)	(2 — 3/) 4-(3 — 2/);	2) 3/ + (4-3/);
3)	—4 + 5< + (4-50; 4) (-ЫО + Й + М-
4.	Найти произведение комплексных чисел:
1)	(2-3z)(2+3z); 2) (4+50(2-0; 3) (4-50(2+70; 4) Q+i) (|+2«)-
5. Выполнить действия:
I)	3i(l-0 + 2t(l+0;	2) 1(4 + 2») +1»(3 - 90;
3) 21(1-20 + 21(1+0; 4) 5 +(5-0(1+0-
Ответы
1. 1) 3; 2) -|; 3) |; 4) -|. 2. 1) 0; 2) 1; 3) -1; 4)	3. 1) 5-5i; 2) 4;
3) 0; 4) |i. 4. 1) 13; 2) 13 + 6i; 3) 43+18Z; 4) -^ + ^'- 5. 1) 1 + 5i; 2) 5+2i;
3) 2 + 4t; 4) 11+41.
§2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа	257
§2. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ОПЕРАЦИИ ВЫЧИТАНИЯ
И ДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1.	Комплексно-сопряженные числа
Сопряженным с числом z = a + bi называется комплексное число
a — bi, которое обозначается z, т. е.
z = a bi = a — bi.	(1)
Например, 3 + 5/= 3 — 5/, —2 — 3/ = —2 + 3/, / = —/.
Отметим, что a — bi = a + bi, поэтому для любого комплексного
числа z имеет место равенство
(?) = Z.
Равенство z = z справедливо тогда и только тогда, когда z —
действительное число.
_ ♦>
О Пусть z = а + Ы. Тогда z = а — Ы, и равенство а + Ы = а — Ы
по определению равенства комплексных чисел справедливо тогда
и только тогда, когда b = —Ь, т. е. b = 0, а это и означает, что
z — а + Ы = а + О/ = а — действительное число.	•
Из определения (1) следует, что
zi +z2 = z\ + 22,	2| -z2 = z\ - z2.
2.	Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = а + Ы называется число
\/а2 + &2, обозначаемое через |г|, т. е.
|z| = |а + Ы\ = у/а2 + 62.	(2)
Например, |6 + 8/| = \/б2 + 82 = 10, |1 — /| = \/12 +12 = у/2,
|/| = х/о2 Ч- I2 = 1.
Из формулы (2) следует, что |z| > 0 для любого комплексного
числа z, причем |z| = 0 тогда и только тогда, когда 2 = 0, т.е. когда
а = 0 и 6 = 0.
Докажем, что для любого комплексного числа z справедливы
формулы	_	2
|2| = |2|, ZZ — \z\ .
О Пусть 2 = а + Ы. Тогда z = а — bi, и по определению модуля
|2| = |а — Ы\ = \/а2 + (—&)2 = \/а2 +	= |z|.
Найдем произведение:
zz = (а + Ы)(а — Ы) = а2 — (6/)2 = а2 + b2 = \z\2.	•
9—2549
258
Глава VI. Комплексные числа
3.	Вычитание комплексных чисел
Комплексное число (—l)z называется противоположным ком-
плексному числу z и обозначается —z.
Если z — a + bi, то — z — — a — Ы. Например, —(3 — 5/) =—3 + 5/.
Для любого комплексного числа z выполняется равенство
z + (-z) = 0.
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная
сложению: для любых комплексных чисел z\ и z^ существует,
и притом только одно, число г, такое, что
z + z2 = zi,	(3)
т. е. уравнение (3) имеет только один корень. Число z — z\ + (—zg)
обычно обозначают z = zj — z% и называют разностью чисел z\ и z%.
Если z\ = а\ + b\i, z% = а% + Ь%1, то разность Z[ — z^ имеет
следующий вид:
(а + Ь| 0 - (а2 + b2i) = (<з 1 - а2) + (6| - b2)i.	(4)
Формула (4) показывает, что разность комплексных чисел можно
находить по правилам действий с многочленами.
Пример 1. Найти разность z = (1 + 2/) — (—3 + 4/).
A	z = 1 - (-3) + (2 - 4)/ = 4 - 2/.	▲
4.	Деление комплексных чисел
Делением называется действие, обратное умножению. Это значит,
что частным двух комплексных чисел z\ и z^ где 22 7^0, называется
такое число z, которое удовлетворяет уравнению zz2 = zi; частное
двух комплексных чисел z\ и z% обозначается через z\ :z% или —.
*2
Другими словами, запись z = — означает, по определению, то же
*2
самое, что и запись zz2 = Z|.
Докажем, что уравнение z^z = z\ для любых комплексных чисел
z\ и Z2 0 имеет только один корень, и найдем этот корень.
О Умножив обе части уравнения на Z2, получим zz^z^ — zxz^ т.е.
z|z2|2 = ZjZ2.
Полученное уравнение равносильно данному, так как Z2^0 и потому
22^0. Умножив обе его части на действительное число -Д (заметим,
1*Г
что IZ2I2 0, так как z^ 7^ 0), получим z = Итак, частное
1*21
комплексных чисел z\ и z^ 7^ 0 можно найти по формуле
*1 = £[£2
*2	|z2|2*
(5)
§2 Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа
259
Если zi=ai+&i/, г2 = 02 + ^2г'’ то формулу (5) можно представить
в виде
2| _ at + b\i _ (дц + 6i0(fl2 -620 _ «1«2 + М2 , Ml ~ М2 •
z2 a2 + b2i aZ + bZ	aZ + bZ aZ + bZ
X X	XX
Нет необходимости запоминать формулу (6). Нужно только знать,
что она получается умножением и числителя, и знаменателя дроби
——г+ на число a2 — b2i, сопряженное с ее знаменателем a2 + b2i.
Cl2 “Ь &21
Пример 2. Вычислить:
п 5-2/.	™ (14 20(1-0. оч /1+/27V*
° 3 + 4/’	3-/	’	6) \1 + /,257 ’
Л 1) 5~2( = (5-20(3-4/) _ 15 - 26/+ 8/2 _ 7 _ 26 -
' 3 + 4/	(3 + 4/)(3 40	25	25	25 ’
9ч (1+20(1-/) _ (3 4 О2 _ 8 + 6/ _ 4	3 
'	3-1	10	10	5 Т 5 ’
3) i2 = -1, /3 = z4 = 1, i4n+h = ik (n е N, k = 0,1,2,3),
,-27 _ ;24+3 _ ;3 _	,125 _ ,424+1 _
L ....... I	1 1 '• I/	t* L	t	—— £,
ет"=(^)"=(^)"=(^)*
Пример 3. Доказать, что для любых двух комплексных чисел
х\ и z2 справедливо равенство
|Z] + Z2I2 + 1*1 - Z2|2 = 2(|ziI2 + |z212).
Д Используя свойство комплексно-сопряженных чисел, получаем
|zi +Z2|2+|Z| — z2|2 = (zi +z2)(z( +z2) + (z, -z2)(z, -z2) =
= (Z] + z2)(zi + z2) + (zi - z2)(z| - z2)=2ziZ] + 2z2z2=2(|z 112 + |z212).
Задачи
1. Найти разность комплексных чисел:
1) (3 + 4/) -(3 + 2/);	2) (3-5/)-(-2+ 4/);
3) (2х/3 + 3\/3)/~(\/5-4л/3)/;	4) (х/З — \/2/) — (3\/3 — 2л/2х)
2. Найти частное компл<
1	— i. q\ 2 4~ 3/.
4 - 1+Z’	} 2-ЗГ
3. Вычислить:
1) (2 —3/)(3 — 2/).	2^
5> 172/ + ^?	6>
: чисел:
1 + 2i.
3-2/’
(3-0(1+30.
2-/
2-3/^2 + 3/’
-7-2/’
3 — 4/	.
(1+0(2-/)’
1 + / . 1 —Z.
1 — / "^ 1 + / ’
2-3/
4) (1-0(3+/)’
q\ 2 — 3/ . 2 + 3/
8) -2+г + тз?-
260
Глава VI. Комплексные числа
4.	Выполнить действия:
n 13 + 121	(l+2i)2.
7 6i-8	2 + i ’
(3-4i)2(I-i)2 , 1
’	(4 + 31)2	+ ,'Э
5.	Решить уравнение:
1)	z2+3|z| = 0;	2) z2+2|z| = 1;
6.	Доказать, что комплексное число
и только тогда, когда |z| = 1, z^ -
2) (1 + 2i)2 — (1 — i)3 .
(3 + 2i)3 — (2 + i)2 ’
/ .	.13 \ 3
3) z2 + |z|2 = O; 4) г2-bz|z| 4-|г|2 =0.
1 — z
----- является чисто мнимым тогда
14-2
1.
Ответы
1.	1) 2Z; 2)	5 - 9z;	3) \/5 4 7\/Зг, 4) 2\/3	4-	\/2z. 2. 1) z; 2)	4 j|z;
~	23 , 2;	41	, 11 . о п 13	13.	4
ох 23 . 2. лч 4! . 11 . оП 13	13 - оч 4 . 22	1	3. n 7 п Л..
Э) --^ + ^.4) 53 + 53». 3. 1) - 2 -у<;2) 5 +yt;3)	°.7-°А
1|;7)0;8)|. 4.1) g + gi; 2) § - А, 3) -4 - i; 4) i.
13	3
5) 3 - i; 6)
5. 1) О, 3/,
любое.
53
23
5
§3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1. Комплексная плоскость
Действительные числа геометрически изображаются точками
числовой прямой. Комплексное число a + Ы определено как пара
действительных чисел. Поэтому естественно изображать комплекс-
ные числа точками
Ун
b
Рис. 1
плоскости.
Рассмотрим прямоугольную систему коорди-
нат на плоскости. Условимся комплексное число
a + Ы изображать точкой плоскости с коор-
динатами (а; Ь) (см. рис. 1). Иначе говоря, на
оси абсцисс будем откладывать действительные
части комплексных чисел, а на оси ординат —
мнимые. При этом действительные числа будут
изображаться точками оси абсцисс, которую на-
зывают поэтому действительной осью, а чисто
мнимые числа — точками оси ординат, которую называют мнимой
осью.
Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a,b) поставлено
в соответствие число a + Ы. Таким образом, соответствие между
множеством всех комплексных чисел и множеством всех точек
плоскости взаимно однозначное. Поэтому в дальнейшем мы не будем
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел
261
различать понятия комплексного числа и точки плоскости и будем
говорить, например, «точка z = 1 — /», «треугольник с вершинами
в точках Z[, z2, z$» и т. п.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, назы-
вают комплексной плоскостью.
Отметим, что точки z и —z симметричны друг другу относительно
точки 0 (начала координат), а точки z и z симметричны друг другу
относительно действительной оси (см. рис. 2).
Комплексное число z — a + Ы можно изображать вектором
с началом в точке 0 и концом в точке z (см. рис. 1). Этот вектор будем
обозначать той же буквой z. Число z\-\-z^ изображается вектором,
построенным по правилу сложения векторов Z[ и z2 (см. рис. 3),
а вектор z\ — z2 можно построить как сумму векторов z\ и —z2.
2. Геометрический смысл
модуля комплексного числа
Пусть z — a + bi, тогда по определению модуля |z| — д/а2 + ^2-
Это означает, что |z| есть расстояние от точки 0 до точки z (длина
вектора z).
Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплекс-
ных чисел z\ и z2. Из рис. 3 видно, что расстояние между точками
z\ и z2 равно длине вектора z\ — z2, т. е. равно |zi — z2|. Это же
утверждение следует из того, что |zj — z2| = \/(flj — а2)2 + (b\ — Ь2)2,
где z\ = a\-Tb\i, z^^a^ + b^i. Итак, |zj - z2| — расстояние между
точками z\ и z2.
Пример 1. Дать геометрическое описание множества всех точек
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
1)	|z —z0|=/?, где го —заданная точка, R > 0;
2)	1 < |z — 1| < 2;
3)	\z-i\ = |z 4- i\.
262
Глава VI. Комплексные числа
А 1) Условию |z — 2о| =/?, где R > 0, zq —заданное комплексное
число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до
точки zq равно /?, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса
R с центром в точке zq.
2) Условию |z — 1| < 2 удовлетворяют все
точки, лежащие внутри круга радиуса
2 с центром в точке z — 1, а условию
|z - 1| > 1 —точки, лежащие вне круга
радиуса 1 с центром в точке z = l.
Оба этих условия выполняются для
точек, лежащих между окружностями
\z — 1| = 1 и |z — 1| —2 (см. рис. 4).
3) Условию [z — z| = |z-H*| удовлетворяют тс
и только те точки, которые равноудалены
от точек i и —г, т. е. все точки действи-
тельной оси.
Пример 2. Показать, что для любых комплексных чисел z\ и z%
справедливы неравенства
1И| - |г2|| < |zi +z2l < 1*11 + lz2l-	(О
А Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z\ и 21+22 (см. рис. 3).
Длины его сторон раны |zi|, |z2| и |zi +22!- Поэтому неравенства (1)
выражают известные из геометрии свойства длин сторон треуголь-
ника.	▲
Задачи
4. Доказать, что система уравнений
1.	Дать геометрическое описание множества точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих уравнениям:
1)	|z4-l|=2;	2) |z-l+i|=4;	3) |z-2| = |z4-2/|;	4) |z4-14-Z| = |z-14-/|.
2.	Дать геометрическое описание множества точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
1)	|г + /|<2; 2) |z —24-3/| >3; 3) 2 < |z-b 1 - i\ <4; 4) 2^|z + 2z|^5.
3.	Решить систему уравнений:
1)	\z -I- i| = \z 4- 1 — z| = \z — 3 — 2Z|;
(|z 4-1| = |z 4-2|,	Г(1-/)2 = (Ц-/)г,
(3|z 4- 3| = 5|z 4- 2z|;	(|z2 4- 5k’| = 1.
z — 1 4- i\ = a/2,
4-1 ’j Зл/§ He имеет Решении-
5.	На комплексной плоскости точки zj, z^, z3 — вершины треугольника. Найти
точку пересечения медиан треугольника.
6.	На комплексной плоскости точки zj, z2, z3 — последовательные вершины
параллелограмма. Найти его четвертую вершину Z4.
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
263
Ответы
1. 1) Окружность радиуса 2 с центром -1; 2) окружность радиуса 4 с центром
1 — /; 3) прямая у — —%; 4) прямая х = 0. 2. 1) Внутренность круга радиуса
2 с центром -7; 2) внешность круга радиуса 3 с центром 2 — 3Z; 3) кольцо
(без границы) между окружностями радиусов 2 и 4 с общим центром в точке
-14-г, 4) кольцо (вместе с его границей) между окружностями радиусов 2 и 5
с общим центром в точке 21. 3. 1) ? 4-	2) — | — /, — |— 2/; 3) 5 — 5/,
-5 + 51, \/26-v/26i, -V26+V26L 5. ?J±-z2 + z3.	6. z4 = z,+z3-z2.
§4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
1. Аргумент комплексного числа
Аргументом комплексного числа 2^0 назы-
вается угол между действительной осью и век-
тором 2, отсчитываемый от положительного на-
правления действительной оси (см. рис. 5).
Если отсчет ведется против часовой стрелки,
то величина угла считается положительной,
если по часовой— отрицательной.
Для обозначения того факта, что число ср яв-
ляется аргументом комплексного числа z = a + bi,
пишут ^ = argz или ср = arg(a 4- bi).
Для числа 2 = 0 аргумент не определяется. Поэтому во всех
дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, будем
считать, что 2^0.
Связь между действительной и мнимой частями комплексного
числа z = a + bi и его модулем r=lz\ и аргументом <р выражается
следующими формулами:
I a = г cos (р,
[6 = г sin ср.
cos ср = —F^=,
sin ср = —-JL=.
\/а2 4- 62
(1)
(2)
Аргумент комплексного числа z = a + bi (z =4 0) можно найти,
решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений
вида (р = (ро + 2kn:, где k е Z, ^о~°Дно из решений системы (2),
т. е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
264
Глава VI. Комплексные числа
Для нахождения аргумента ср комплексного числа z = a-\-bi (при
а ф 0) можно использовать уравнение
(3)
которое является следствием системы (2).
При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти
находится точка г — а -Г Ы.
Пример 1. Найти все аргументы комплексного числа z: 1) z — — 3/;
A 1) Точка — 3i лежит на отрицательной части мнимой оси. Один из
аргументов этого числа равен —а множество всех аргументов
имеет вид
-J + 2/гл, feeZ.
2)	По формуле (3) находим igcp = — \/3. Так как точка — 1 4- /\/3
лежит во второй четверти, то один из аргументов равен
а множество всех аргументов имеет вид у+2Ц Лей. ▲
2. Запись комплексного числа в тригонометрической форме
Из равенств (1) следует, что если z^O, то z=a+bi=rcos cp+irsin ср,
где r = |z|, t^ = argz, т.е.
z = r(cos ср + i sin (р).	(4)
Запись комплексного числа z в виде (4), где г > 0, называют
тригонометрической формой комплексного числа z.
Обратно, если имеет место равенство (4), где г>0, то г = |z|,
ср = arg z.
Итак, любое комплексное число z 0 можно записать в триго-
нометрической форме (4).
Необходимо усвоить, что не всякая запись комплексного числа
через тригонометрические функции является тригонометрической
формой этого числа. Например, для числа 1 4-i запись
1 + i = \/2 fcos + / sin
\	4	4/
есть тригонометрическая форма этого числа. Но запись в виде
1 + i = \/2 (cos 4- i sin у)
или	/ с-	с- \
14-/ = —а/2 (cos	4- / sin j
не является тригонометрической формой числа 1 4- /.
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
265
Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное
число г:
1)	z = — 1-Н;	2) z = siny — /cosy; 3) z — 1 4-cos-^4-/sin
A 1) Так как точка — 1-Н лежит во второй четверти, то, применяя
формулу (3), находим tg<p = —1, ср = Учитывая, что
|—1 4-1| = л/2, получаем
-1 4- i = х/2 (cos ~ 4- / sin —) .
\	4	4 /
2)	Точка z лежит в четвертой четверти, и |г| = 1. Применяя
формулы приведения, имеем sin у = cos ^у —	= cos
— cos у = sin (у — у) = sin • Следовательно,
sin - г cos = cos (-g) + i sin (-g) .
3)	Так как 1 + cos — = 2cos2 > 0, sin = 2sin — cos < 0,
'	9	9	9	9	9
то точка z лежит в четвертой четверти, а ее аргумент
заключен между у и 2я. Имеем z = 2cosy (cosy+ isin у),
где cos у < 0, и поэтому полученная запись не является
тригонометрической формой. Преобразуем:
z = — 2 cos	f— cos — — i sin —=
9 \	9	9 J
= —2 cos у (cos (я + у) + i sin (я + у) ) ,
t. e. z — —2 cos — (cos — + i sin ^4.
9 \	9	9 )
Так как — 2 cos — > 0, то эта запись является тригономет-
рической формой комплексного числа z.	▲
Замечание. Для двух комплексных чисел
Z] = Г] (cos q>\ 4- i sin ), z2 = r2(cos (p2 4- /sin %)>
записанных в тригонометрической форме, равенство z\ = z2 имеет место тогда
и только тогда, когда г\—г2 и ср\ — ср2 4- 2£лг, где k — некоторое целое число.
266
Глава VI. Комплексные числа
3. Умножение и деление комплексных чисел,
записанных в тригонометрической форме.
Формула Муавра
Пусть комплексные числа z\ и г2 записаны в тригонометрической
форме:
z\ = ri(cos <pi -I- /sin <^j), z2 = r2(cos ^2 + *sin ^2)-	(5)
Вычислим произведение этих чисел. Из равенств (5) получаем:
24 z2 = И (cos yi -I-1 sin (pi) • r2(cos (р2 4- i sin rp2) =
— rir2[cos (pi cos cp2 — sin (p\ sin <p2 + Z(sin cp\ cos (p2 + cos (pi sin <p2)] =
= rir2[cos(9>| +9>2) + zsin(<p| + <p2)l-
Итак,
Z|Z2 = Г| [cos(<pi +- <p2) + i sin(<j»i + <p2)].	(6)
Запись (6) — тригонометрическая форма комплексного числа Z]Z2,
так как Г|Г2 > 0.
Равенство (6) означает, что при перемножении комплексных чисел
их модули перемножаются, а аргументы складываются. Более точная
формулировка такова:
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произве-
дению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей
является аргументом произведения.
Вычислим частное считая, что z2 0. Используя правило
z2
деления комплексных чисел, получаем:
zi __ Г| (cos 9>| 4- г sin 94) _ g (cos cp\ 4- i sin (p\ )(cos cp2 ~~f sin У2) _
z2	r2(cos <p2 4-*sin q?2) r2	cos2 (?2 4- sin2 (p2
= -[cos(<pi -^) + isin(7>i -<p2)],
r2
— = -[cos(<pi - (p2) + isin(9?i - ф2)].	(7)
z2 r2
Из формулы (7) следует, что
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей
делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя
является аргументом частного.
Из формулы (6) следует, что
(cos (р + i sin (р)2 = cos 2(р + i sin 2(р,
(cos (р + i sin (p)^ = cos 3(p + i sin 3(p.
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
267
Вообще для любого neN (и далее для neZ) справедлива формула
(cos ср 4- i sin <p)n = cos гкр 4- i sin tup,	(8)
которую называют формулой Myaepa.
Для доказательства равенства (8) следует использовать метод
математической индукции.
Из равенства (8) получаем формулу возведения в целую степень п
комплексного числа г, записанного в тригонометрической форме (4):
zn = rn(cosnr/> + /sin ntp), neZ.	(9)
Пример 3. Представить комплексное число (1 — /)8 в алгебраи-
ческой форме, т. е. в виде a 4- Ы.
г~	7тг
А Модуль комплексного числа 1 — i равен v2, а аргумент равен —.
Следовательно, по формуле (9) имеем
(1 — Z)8 = (\/2)8(cos 14 л:+/sin 14 л:) = 16.	▲
Пример 4. Вычислить
А Так как
1 + /\/3 = 2 (cos 4- /sin , 1 — / = \/2 [cos (—? ) + /sin (—-)1 ,
\	3	3/	L \ 4/	\ 4/J
то, применяя формулу (9), находим (1+ /л/3)9 = 29(созЗл:4-/з1пЗл:) =
= —29, (1 - /)8 = (a/2)8(cos(-2л:) 4- Zsin(—2л:)) = 24.
Следовательно,
(1 + Л/З)9 _ —29 _
(1-Z)8 “ 24 “
Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное
(1 + 09
ЧИСЛО Z =-------
(i-iV3)6
А Так как
1 + i = V2 (cos 7 + isin 1 — i\/3 = 2 (cos (—4- г sin (—,
\	4	4/	\	\ 3/	\ 3//
TO	/ n	Л \	/	\
(1 + i)9 = (a/2)9 (c°s у + *sin y) = (V^)9 (cos + isin j ,
(1 - iV3)6 = 26 [cos(—2tt) + isin(-2Tr)] - 26.
Следовательно,
24\/2 (cos у + isin
z =------v—4-------12
26
2 I — _ „ К I • j 7T
— I cos - 4- i sin -
4 \	4	4
268
Глава VI. Комплексные числа
Задачи
1. Найти все аргументы комплексного числа:
1) 4;	2) -5;	3) 2z;	4) -5z;	5) -х/3-z;	6) —24-2/.
2. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
1) sin^4-zcos^; 2) -cos ^4 zsin^; 3) |-±4;
5	5	7	7	1 — i
4)	-2 + 2tV3;	5) 1 cos^+zsin^; 6) (
Э	□	\ I — 1
3.
Записать в алгебраической форме комплексное число г:
°г= (fHf:	2) г=(| н)8(| zV5)8;
4) Z---------pl
(v^ + zv/2)6
4.	Записать в тригонометрической форме комплексное число г:
(cos^ -zsin^)
1)	г = (73 z)100;	2) z=---------------------12.;
3)	z=('lo2"-i’neN; 4) z=[sin¥+/(l l’cos¥)]°
5.	Найти число с наименьшим положительным аргументом среди комплексных
чисел, удовлетворяющих условию:
1)	|z 4- 1 - z| = 1;	2) \z + 3 - >/3/|	x/3.
„ „	/1 + Ztga\n	1-H’tgna	__	. тг ,
6.	Доказать равенство I -------— I — ------------, где n e N, a =£ - -|- йтг,
\ 1 — i tg a /	1 — i tg na	*
kit, k € Z.
Ответы
1. I) 2to;2) (2Н-1)л\ feeZ; 3) £+2br, feeZ; 4) -g+2to,AeZ;5) ^+2/ot, feeZ;
z	zb
6) ^+2kn, k&Z. 2. 1) cos^+zsin^; 2) cos^+zsin^; 3) cos£ + zsin£;
4	'10	10	7	7	2	2
4) 4 (cos ^4-z sin 5) 2sin^ 4- (cossin6) 8 (^-H'sin
\ О	О /	и \ JU	JU/	\ Z	Z J
3. 1) 2; 2) 1024; 3)	4) -2. 4. 1) I=cos0+zsin0; 2) cos^+zsin^;
b4 o4	z	z
3) 2(cos0 4- ZsinO), если n — четное, 2(cos тг 4~ z sin л), если n — нечетное;
4) -32cos5^ (cos^+isinf). 5. 1) z; 2) -| + ^z.
О x z	z /	z z
§5. Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
269
§ 5. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Уравнения вида г2 = с € С
Рассмотрим уравнение
z2 = a -|- Ы.	(1)
1) Если 6 = 0, то уравнение (1) имеет один корень при а = 0, два
действительных корня z\ = yfa и z^~ —y/a при a > 0 и не имеет
действительных корней при a < 0.
Однако уравнение z2 = — 1, не имея действительных корней, имеет
два комплексных корня z\ = /, z2 — — i, так как уравнение г2 = — 1
можно записать в виде г2 — /2 = 0.
Аналогично, уравнение г2 = а, где a < 0, записанное в виде
г2 — z2|a| = (z —	+ *\/Н) — имеет два корня z\ =
и z2 = —
Условимся один из этих корней (например, Z[ = iy/\a\) обозначать
символом у/a, тогда второй корень равен — у/a. При таком соглашении
для любого а е R корпи уравнения
г2 = а	(2)
можно находить по формуле
*1,2 = ±\/а.	(3)
2) Пусть bПокажем, что и в этом случае уравнение (1) имеет
два корня, которые являются взаимно противоположными числами.
Пусть z = и 4- w, где u е R, v е R Тогда (и + ш)2 = а + bit откуда
( 9	2
\ ьг — V — а,
[2ш? = Ь.
(4)
Найдем действительные решения системы (4). Из второго уравнения
о	6
этой системы находим v = — и подставляем найденное значение v
2и
в первое уравнение. Получаем биквадратное уравнение
4и4 — 4аи2 — 62 = 0,
имеющее лишь два действительных корня
и\ =
w2 = -
Если и — щ, то v = щ =
b _	Ь	_Ь	у/а2 + Ь2 — а
2“1 ~ /2(У^2-^2 + ^ “ Н V 2~”
270
Глава VI. Комплексные числа
'г	b	л	1	у/с?- 4- & — a
Так как — = sign я, то v\=s\gnb-d-—.
Если и = U2 = —и\, то V = V2 = —v\.
Таким образом, уравнение (1) при b О имеет два различных
корня
г1.2 - ±	+ г sign Ь 	) .	(5)
Из формулы (5) следует, что если 0, то
Пример 1. Решить уравнение г2 = 12 — 51.
Л По формуле (7), в которой а=12, Ь = — 5, находим \/а2 4- &2 = 13,
\/а2 4- Ь2 4- а = 25, \4г2 4- 62 — а — 1,
z‘-2 = ±(a/?-z\/D =±(^-г^)’
Zl = ^(5~o, z2 = ^^-5 + ^’	а
2. Квадратные уравнения общего вида
Рассмотрим уравнение
az2 4- bz 4- с — О, а 0.	(8)
Пусть а, Ь, с — действительные числа и D = Ь2 — 4ас 0.
Тогда корни квадратного уравнения (8) определяются формулами
"1.2 =	4-^,	(9)
для получения которых уравнение (8) представляется в виде
Если D < 0, то правую часть формулы (10) можно записать в виде
Q	------- О
•2 (— /2 f У4ас — 62 \
\ 2а )	\ 2а ) ’
§5. Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
271
а корни уравнения (8), как и корни уравнения г2 — а, где a < О,
можно находить по формуле
или по формуле (9).
Из формулы (11) следует, что в случае, когда коэффициенты
квадратного уравнения являются действительными числами, его
корни комплексно сопряжены.
Если а 7^0, а, Ь, с — комплексные числа, то и в этом случае для
решения уравнения (8) можно пользоваться формулами (9), так как
уравнение (8) при любых комплексных а. й, с (а/0) представляется
в виде (10).
При этом для нахождения значений выражения у/Ь2 — 4ас следует
применять формулу (5).
Заметим еще, что для квадратного уравнения (8) с комплексными
коэффициентами справедлива теорема Виета: если z\ и z2 —• корни
квадратного уравнения (8), то
Z|+z2 = -^,	Z1Z2=^.	(12)
Верна также теорема, обратная теореме Виета: если z\, z2 — такие
комплексные числа, что справедливы равенства (12), то эти числа
являются корнями квадратного уравнения (8).
Пример 2. Решить уравнение
г2 4- 6г 4- 58 = 0.
А По формуле (9) находим zi,2 = — 3±л/9 — 58 = — 3±л/—49 = — 3±7/,
т. е. Z[ — — 3 4- 7Z, г2 = -3 — 71.	А
Пример 3. Решить уравнение
г2 — (5 4- l)z 4- 8 + i = 0.
А Применяя формулу (9), получаем
„	5 +1 ± 7(5 +О2-4(8 +/)	5 + 4±а/-8 + 64
21’2 =----------Г-------— =--------2-------•
По формуле (6) находим один из корней уравнения w2 = — 8 4- 6г:
= + = [ +...
Следовательно, z\2 —	откуда
г] — 3 4- 2/, г2 = 2 — i.	1
272
Глава VI. Комплексные числа
Пример 4. Составить приведенное квадратное уравнение с дей-
ствительными коэффициентами, имеющее корень z\ = — 2 4- 5/.
Д Так как коэффициенты уравнения действительны, то второй
корень z2 этого уравнения равен z2 = — 2 — 5/. По теореме, обратной
теореме Виета, корни zj, z2 уравнения z2 4- pz + q = 0 и его
коэффициенты связаны равенствами
zi+z2 = -p, z{z2 = q.
Так как zi+z2~—4, ZjZ2 = 29, то искомое квадратное уравнение
записывается в виде 2
zz -|- 4z 4- 29 = 0.	▲
Пример 5. Разложить на множители многочлен z2 — 18z4-97.
Д Запишем уравнение z2 - 18z 4- 97 = 0 в виде z2 — 18z 4- 81 = -16
или (z — 9)2 — —16, откуда находим его корни z\ и z2. Это числа
Z| = 9 4- 4z и z2 = 9 — 4l
Тогда z2 — 18z 4- 97 = (z — zi)(z — z2) = (z — 9 — 4i)(z — 9 4- 4/). A
Задачи
1.	Решить уравнение:
1)	г2 = -4;	2)	9z2 4-25 — 0;	3) z3 - 1;
4)	z4 - 81 = 0;	5)	z2 =- 3 - 4i;	6) z2 - 21 4- 20/.
2.	Решить уравнение:
1)	z2 + 2z+4 = 0;	2) z2-6z+25 = 0;	3)	z2-z+l-z = 0;
4)	z2 — (2 + 2z’)z+3+6z = 0; 5) z2-zz+l+3z = 0;	6)	z2-lz+ 16 + 2z = 0.
3.	Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффи-
циентами, имеющее корень Z|, если:
1)	Z|=2 — 3z;	2) z\ — — 5 + 2Д 3) zj = — 1 Ч-\/2г;	4) z\ — — \/3 + 2л/Зг
4.	Разложить на множители многочлен P(z), если:
1)	P(z) = z2 + 6z + 34;	2)	P(z)	= 2z2 + 4z + 5;
3)	P(z) = 25z2 + 50z + 26;	4)	P(z)	=-z2 + lOz - 26;
5)	P(z) = z2 + (3z-l)z-z-2;	6)	P(z)	= z2 + (3z - l)z+ 1	+ 4z.
Ответы
1. 1) zt = 2z, z2 = —2z; 2) Z] = |z, z2 = -|z; 3) z\ = 1, z23 =	± z^;
4) zj 2 = 4z3, Z3 4 = 4z3/; 5) z\ — 2 — /, z2 = i — 2; 6) z\ = 5 4- 2i, z2 =
— — 5 - 2/. 2. 1) zij2 = — 1 ± z‘x/3; 2) Z|2 = 3 ± 4Z; 3) z\ — 1 4- i, z2 = —t,
4) z\ — 2 — /, z2 = 3/; 5) z\ — 1 — i, z2 = — 1 -b 2Z; 6) z\ = 3 4- 2/, z2 — 4 — 2r.
3. 1) z2-4z+13 = 0; 2) z2 + 10z + 29 = 0; 3) z2 + 2z + 3 = 0; 4) z2 + 2\/3z+15 =
4. 1) (z + 3 + 5z)(z + 3 - 5z);
2) 2
^+'+71) 7+i~7i);
3) (z + 1 - 0,2z)(z + 1 + 0,2  z); 4) -(z - 5 + z)(z - 5 - z); 5) (z + z)(z - 1 + 2z);
6) (z-l + z)(z+l-2z).
§6. Извлечение корня из комплексного числа
273
§6. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
1. Определение
Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из
комплексного числа z, где п Е N, называют такое комплексное
число w, что wn = z. Корень n-й степени из z обозначают tfz.
Согласно этому определению, каждое решение уравнения wn = z
является корнем степени п из числа z. Покажем, что из любого
комплексного числа z можно извлечь корень n-й степени, причем
если 2^0, то y/z принимает п различных значений.
Если w — 0, то при любом п е N уравнение zn — w имеет
единственное решение. Если то г^О, и тогда z и w можно
записать в тригонометрической форме. Пусть z — r(cosa4- /sinа).
Будем искать w в виде
w = p(cos ф + / sin ер),
где г и р — модули комплексных чисел z и w, а и ср — их аргументы.
Тогда уравнение wn = z примет вид
pn(cosn<p+ i sin nep) = r(cos a + i sin a).	(1)
Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда
равны
2д, то
откуда
их модули, а аргументы отличаются на величину, кратную
из равенства (1) следует, что
рп = г? пер = a 4- 2тг&, k е Z,
получаем	fceZ.
1	г п
Следовательно, все решения уравнения wn = z имеют вид
wk = vHcos ——H-zsin—-—1, k е Z.	(2)
Если в формуле (2) параметр k принимает значения 0, 1, ...,
п— 1, то этим значениям k соответствуют различные значения w.
Действительно, аргумент числа получается из аргумента числа
Wk_\ добавлением величины —, причем
п
, 2л(п — 1)	2к(п — 1) а
argay„_i = arg wG 4- —~где ——- < 2тг.
Если k = n, то argayn = arga^o 4-2тг, и поэтому wn = w$. Аналогично
^и+1 =w\ ит. д.
Итак, для любого п е N и любого комплексного числа z ф 0
существует п различных значений корня /г-й степени из z. Если
z = r(cosa4-zsina), то эти значения выражаются формулой (2), где
fe = 0, 1, ..., п-1.
Заметим, что точки лежат на окружности радиуса tfr,
2тг
причем аргументы соседних точек отличаются на — и поэтому
274
Глава VI. Комплексные числа
точки делят окружность на п равных частей. Это означает, что
точки являются вершинами правильного n-угольника, вписанного
в окружность радиуса
2. Примеры
Пример 1. Найти все значения 4- I
Здесь z = l-H, |г| = г=х/2, argz — = a, w4 = 1 + i, n — 4, и по
формуле (2) находим
+ 2тг/г	4 2тг/г \
cos---------+ i sign------1 , k — 0,1,2,3.
Точки Wk располагаются в вершинах квадрата, вписанного
в окружность радиуса ^2 (см. рис. 6):
WO = ^2 (cos + i sin ,
wi = \/2 (cos	+ i sin	,
\	16	16/
»3=^(cos^ + isin^!').	A
d V 16	16)
Пример 2. Решить уравнение
z6 = -l.
Д Применяя формулу (2) при г=1, п = 6, а=л, получаем
Zk = COS + isin	где k = 0,1,2,3,4,5.
Точки, соответствующие числам г^, располагаются на комплексной
плоскости в вершинах правильного шестиугольника, вписанного
в окружность радиуса 1 с центром в точке г = 0 (см. рис. 7).	▲
Рис. 6
Рис. 7
§6. Извлечение корня из комплексного числа
275
Задачи
I.	Найти все значения корня:
1)	У^Тб; 2)	3) ^Т+7; 4) ^64.
2.	Найти все корни уравнения:
l)z3 = —1;	2) z3=8z;	3) z5 = 1;
4)	z8 = 1 + i;	5) z4 4 1 = 0;	6) z5 - 1 4- V3i.
3.	Найти все корни уравнения и записать их в тригонометрической форме:
1)	z3 = 1;	2)z5 = -1;	3) z3 = —4 I-a/48z:	4) z4 =-1 - a/3z.
Ответы
1.	I) \/2 4 iVZ, -V2 + zV2, -Л - ix/2, Л - iy/2\ 2) 4= + z-L,
v/2	\T2
~	3) ^2(cos^ 4’‘sinf) =^(coSjgTc+zsin =
=	(-a/6-V^4-z(>/6-Л)), ^(cos^Tr+zsin^zr) = ^(-л/б - \/2-
-<(л/б+\^)); 4) v/34i, 2z, -ч/3 + z, —у/3 — i, V3-i. 2. 1)
^-i^; 2) \/3 + i, -л/3 + z, -2z; 3) cos 4-zsin k=0, 1, 2, 3, 4;
4) ^(cos^ljr+isin^A k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 5) ^+z^,
\ oZ	oZ /	Z Z
k=0, 1, 2, 3, 4. 3. 1) cos^ + zs.n^, k=0, 1, 2; 2) cos £*+115 +
О	О	о
+ zsin	k=0, 1, 2, 3, 4; 3) 2 (cos	sin 2<3fe+1)?r^ k=0, 1,
2; 4) x/2 (cos (3fe|2)7I+zsin (3/г+2)я), k=0, 1, 2, 3.
Глава VII
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ одной
ПЕРЕМЕННОЙ
§1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Определения и понятие равенства многочленов
Определение. Многочленом (полиномом) от одной перемен-
ной х называется выражение вида
Р(х) = аохп + а|х"-1 + ... + akxn k + ... 4- ап_\х + ап, (1)
где «о,	, ап — числовые коэффициенты, а$ ф 0.
Число п называется степенью многочлена Р(х). Форма (1)
называется канонической или стандартной записью многочлена п-й
степени. Слагаемое аохп называется старшим членом многочлена
Р(х), ао — старшим коэффициентом, а ап — его свободным членом.
Многочлен Р(х) — а^, где aQ 0 — заданное число, называют мно-
гочленом нулевой степени. Многочлен Р(х) = 0 называют нулевым
многочленом.
Для обозначения многочленов используются также и другие
буквы: Q(x), Т(х), R(x),p(x),r(x), f(x) и т. д. Если хотят подчеркнуть,
что степень многочлена равна п, вместо Р(х) пишут Рп(х). Например,
Q4(x) = х4 - 2х2 4- х + 3, Р5(х) = Зх5 + 2х2 4- 5, Т^(х) = х3 — 2х 4- 1.
Выражения вида axk, где «—действительное, a k — неотрица-
тельное целое число, называют одночленом (мономом). Одночлены
одинаковой степени называют подобными.
Значением Р(с) многочлена Р(х) = а$хп 4-... 4- akXn~k 4- ... 4- ап
в точке с (при х = с) называется число Р(с) = а$сп 4-... 4- а^сп~^ 4-...
4- ап.
Замечание. Отметим, что Р(0) = ап. а Р(1) = а$ 4-.. . +ak +... +ап.
Два многочлена считаются равными, если они составлены в ка-
нонической записи из одинаковых одночленов, т. е.
«0%л 4-... 4-	4" • •. 4~ ап = Ь$хп 4- - - - 4- Ь^хп 4~ -   4- Ьп
в том и только том случае, если а^ — ф для всех i = 0, 1,2, ..., п.
Соответственно из определения следует, что равные многочлены
имеют одинаковую степень и для любого числа с значения много-
членов при х = с совпадают.
§ 1. Основные определения
277
2. Арифметические действия над многочленами
Сумма, разность и произведение двух многочленов также явля-
ются многочленами.
Пусть даны многочлены
Р(х) = аохп 4-... 4- akxn~k 4-... + ап
и	А
Q(x) = Ь()Хт 4-... 4- Ь^хт 4-... 4- Ьт_\х + Ьт.
Суммой многочленов Р(х) и Q(x) (пусть т п) называется много-
член, полученный сложением одночленов, составляющих слагаемые,
и приведением подобных членов, т. с.
P(x) + Q(x) =
= {aGxn4-... + а^хп ^4-... 4-^^) 4~ (Z?gxm4-. • • ~^Ь^хт &4-... ~\~Ьт) —
т
— CIqX 4-... 4- Un- т- \Х 4~	4~ fe/n—♦
z-ю
Произведением многочленов Р(х) и Q(x) называется многочлен,
составленный из произведений всех членов первого сомножителя
на все члены второго:
P(x)QU)-
— (аоХп 4“ • • • ~^~akXn k 4-... 4-Пл)' (Ь$хт 4-... 4-^xm 4~ • • - ~Vbm) =
n+m
= (aQbQ)xn+m + (aofei	4-... +anbm = ckxn+rn~k,
k=0
где коэффициент q при xn+rn~k равен
k
^2 aibk-i = aobk + ai^-1 + • • • + akb0,
i=0
если считать, что at = 0 при i > п и b} — 0 при j > т.
Если произведение двух многочленов равно нулю, то хотя бы
один из этих многочленов равен нулю.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что операции
сложения и умножения многочленов обладают свойствами коммута-
тивности, ассоциативности и дистрибутивности, т. е.
Р(х) 4- Q(x) = Q(x) 4-Р(х), (Р(х) + Q(x)) 4-Я(х) = Р(х) 4- (Q(x) +Я(х)),
Р(Х). Q(X)=q(x) .р(%), (Р(х) • QW) -ад=я(х) • (Q(x) .ад),
Я(х). (Q(x)4-Я(х)) -Р(х) • Q(x)4-Р(х) Р(х).
278
Глава VII. Многочлены от одной переменной
Пример 1. Найти неизвестные коэффициенты, при которых будет
выполняться следующее равенство:
8х4 — х3 — 5х2 + 4х + 1 = (2х + З)(ах3 4- Ьх2 4- сх — 1) — 7х3 4- 4.
А Перемножая многочлены в правой части равенства и приводя
подобные, получим
8х4 — х3 — 5х2 4- 4х 4-1 =
= 2ах4 4- 2Ьх3 4- 2сх2 — 2х 4- Зах3 4- З&х2 4- Зсх — 3 — 7х3 4- 4 =
= 2ах4 4- (2/? 4- За — 7)х3 4- (2с 4- ЗЬ)х2 4- (Зс — 2)х 4-1.
Из определения равенства многочленов следует
f2a = 8,
2b + 3a-7 = -l,
< 2с + 36 = -5,
Зе —2 = 4.
Отсюда получаем а = 4, b = —3, с = 2.	▲
Вычесть из многочлена Р(х) многочлен Т(х) — это значит найти
такой многочлен Q(x), что Р(х) = Q(x) 4- Т(х). Многочлен Q(x)
называют разностью многочленов Р(х) и Т(х). Для любых двух
многочленов Р(х) и Т(х) существует и притом только один мно-
гочлен Q(x), являющийся их разностью. Он записывается в виде
Q(x) = Р(х) - Т(х).
Особое место в теории многочленов занимает деление одного
многочлена на другой.
Пусть заданы многочлен Р(х) степени 1 и ненулевой многочлен
Т(х). Если существует такой многочлен Q(x), что для всех х
выполняется равенство
Р(х) = Т(х) • Q(x),	(2)
то говорят, что многочлен Р(х) делится на многочлен Т(х) или Т(х)
делит Р(х), а формулу (2) называют формулой деления многочленов,
многочлен Q(x) называют частным.
Простые примеры показывают, что один многочлен делится на
другой не всегда. Например, многочлен х2 4- 2 не делится на
многочлен х4-1. Действительно, в противном случае имело бы место
равенство х2 4-2 = (х4-1) • Q(x), где Q(x) — некоторый многочлен. Но
при х = — 1 левая часть этого равенства принимает значение 3,
а правая — значение 0. Следовательно, написанное соотношение не
может иметь места ни при каком Q(x).
Итак, в множестве многочленов деление осуществимо не всегда.
Однако имеет место более общая операция, называемая деление
с остатком.
§ 1. Основные определения
279
Пусть заданы многочлен Р(х) степени п^Л и ненулевой многочлен
Т(х) степени 1, где т^п. Говорят, что многочлен Р(х) делится
на многочлен Т(х) с остатком, если найдутся такие многочлены Q(x)
и /?(х), что для всех х выполняется равенство
P(x) = T(x)Q(x)+R(x),	(3)
где многочлен Q(x) — (неполное) частное, степень которого k — n — т\
a R(x) — остаток, степень которого р <т.
Тождественное равенство (3) называют формулой деления мно-
гочленов с остатком.
Если остаток R(x) = 0, то говорят, что многочлен Р(х) делится
нацело на многочлен Т(х).
Пример 2. Разделить многочлен Р(х)~9х — 5 — 17х2 4-6х4 4-5х3
на многочлен Т(х) — 4х — 5 4-Зх2.
Д Приведем многочлены Р(х) и Т(х) к стандартному виду:
Р(х) — 6х4 4- 5х3 — 17х2 + 9х — 5 и Т(х) = Зх2 4- 4х — 5.
Старший член многочлена Р(х) есть 6х4, а старший член
полинома Т(х) есть Зх2, следовательно, старший член частного равен
= 2х2. Тогда
Зх2
Р(х) - 2х2Т(х) = -Зх3 - 7х2 + 9х - 5 = М(х).
Степень М(х) больше степени Т(х), поэтому продолжим процесс
деления. Деля старший член многочлена Л4(х) на старший член
полинома Т(х), получим —х. Вычитая из М(х) многочлен (—х)Т(х),
получим
Л4(х) — (—х)Т(х) =
= (—Зх3 — 7х2 4- 9х — 5) - (—Зх3 — 4х2 4- 5х) = —Зх2 4- 4х — 5 = S(x).
Степень многочлена S(x) равна степени многочлена Т(х), деля
старший член многочлена S(x) на старший член полинома Т(х),
получим —1. Далее:
5(х) - (— 1) Т(х) = (-Зх2 + 4х - 5) - (—1)(Зх2 + 4х - 5) = 8х -10 = Я(х).
Степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Т(х). Значит
этот многочлен — остаток от деления многочлена Р(х) на много-
член Т(х).
В данном примере получаем, что частное Q(x) = 2х2 — х — 1,
остаток R(x) = 8х — 10 и
6х4 4- 5х3 - 17х2 4- 9х - 5 = (Зх2 4- 4х - 5)(2х2 - х - 1) 4- (8х - 10). ▲
280
Глава VII. Многочлены от одной переменной
Для деления многочлена Р(х) на многочлен Т(х) с остатком
можно применять следующий алгоритм:
1)	расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;
2)	разделить старший член делимого на старший член делителя
и полученный одночлен сделать первым членом частного;
3)	первый член частного умножить на делитель, результат
вычесть из делимого; полученная разность является первым
остатком;
4)	чтобы получить следующий член частного, нужно с первым
остатком поступить так, как поступали с делимым в пунктах
2 и 3.
Эту процедуру следует продолжать до тех пор, пока не будет
получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого меньше
степени делителя.
Сформулируем и докажем две теоремы о делении многочленов
с остатком.
Теорема 1. Для любых многочленов Р(х) и Т(х), где Т(х) ф О,
существует пара многочленов Q(x) и R(x) таких, что выпол-
няется равенство Р(х) = Т(х) • Q(x) + R(x), причем либо степень
многочлена R(x) меньше степени многочлена Т(х), либо /?(х) —0.
О Возможны несколько случаев.
1)	Многочлен Р(х) = 0 и Т(х) — любой отличный от нуля мно-
гочлен. Тогда многочлены Q(x) — 0 и R(x) = 0 удовлетворяют
условиям теоремы.
2)	Р(х)^0 и степень многочлена Т(х) больше степени многочлена
Р(х). Тогда многочлены Q(x) = Q и R(x) = P(x) удовлетворяют
условиям теоремы.
3)	Р(х)^0 и Т(х) = с, где с —константа, отличная от нуля. Тогда
многочлены Q(x) = и R(x) = 0 удовлетворяют условиям
теоремы.	с
4)	Пусть, наконец, Р(х) имеет степень и, где а Т(х) имеет
степень т, где 1 < т и. Тогда
Рп(х) = а$хп + а{хп~х + ... + ап_[Х + ап,
Тт(х) = Ьохт + Ь\хт~} + ... + Ьт_\х + Ьт,
где «0 7^0, &0 7^0. Найдем многочлены Q(x) и /?(х), удовлетворя-
ющие условиям теоремы. Для этого построим вспомогательную
последовательность многочленов QnkM следующим образом.
Положим	п
Qn}(x) = Pn(x)-^xn-mTm(x).
ьо
§ 1. Основные определения
281
Тогда либо Qni (х)=0, либо Qn| (x)=6z^xn,4-6Z|^xn,-14-..
причем а^ 0 и степень щ многочлена Qrtl(x) меньше п. Если
п\ <т или Qn|(x) = 0, то многочлены Q(x) = —xn~m и /?(x) = Qni(x)
ьо
удовлетворяют условиям теоремы. Если же п\ т, то делаем
следующий шаг, т. е. берем
а(,)
Qn2(x) = Qn](x) — хП]~ тТт(х).
ьо
Тогда либо Qn2(x) = 0, либо п > щ > п% и
Qn2 (х) = а^х”2 + a^}xni	a^_tx + а(п12\
причем 0.
Если п% < т или Qn2(x) — 0, то многочлены Q(x) =
а	а(,)
—	_o_x«i гп и _ Qn^x) удовлетворяют условиям
^0	^0
теоремы. Если же п2 > т, то делаем следующий шаг.
Поскольку на каждом шаге степень многочлена Qnk(x) уменьша-
ется: п > щ > п2 > .. •, то на некотором k-м шаге число станет
меньше т или СпДх) —0 и процесс закончится. В результате получим
Рп(х) = ( хп~т + хп'~т + ...+ — хПк-'-т ) • Тт(х) + Qnk(x).
\	ьо	/
а J0
Тогда многочлены Q(x) = — хп т 4- -2- х"1 w 4-... 4- —— xnk~{ т
Ьо	Ь0
и R(x) = Qnk(x) удовлетворяют условиям теоремы.	•
Теорема 2. Пара многочленов Q(x) а /?(х), удовлетворяющих
условиям теоремы 1, единственна.
О Предположим, что существует две пары многочленов Q(x), /?(х)
и g(x),r(x) таких, что выполняются равенства P(x) = T(x)-Q(x)4-/?(x)
и Р(х) = Т(х) • q(x) 4- г(х), причем степени многочленов /?(х) и г(х)
меньше степени многочлена Т(х).
Из равенства многочленов в левых частях равенств следует, что
Т(х) • Q(x) 4- /?(х) = Т(х) • q(x) 4- г(х)
или
Т(х) • (Q(x) - q(x)) = r(x) - /?(х).	(4)
Если правая часть последнего равенства тождественно равна
нулю, т. е. г(х) — /?(х) = 0, то и Q(x) — q(x) — 0, так как по условию
теоремы Т(х) 0. Следовательно, имеет место единственность.
Предположим, что г(х) — /?(х)	0. Так как степень многочлена
г(х) — /?(х) не выше степени каждого из них, то она меньше
282
Глава VII. Многочлены от одной переменной
степени многочлена Т(х). С другой стороны, степень многочлена
Т(х) • (Q(x) — q(x)) либо больше, либо равна степени многочлена
Т(х). Следовательно, степени многочленов в левой и правой частях
равенства (4) не совпадают, что противоречит определению равенства
многочленов. Получили противоречие. Значит, г(х) — R(x) = О,
а в этом случае единственность уже доказана.	•
Кроме приведенного выше алгоритма для определения коэффици-
ентов многочленов Q(x) и R(x) на практике обычно используют один
из следующих методов: метод неопределенных коэффициентов или
способ деления многочленов «уголком».
3. Метод неопределенных коэффициентов
Суть метода неопределенных коэффициентов заключается в сле-
дующем. Пусть требуется поделить многочлен
Рп(х) = а$хп + (ЦХП 1 4- ... +ап~{х + ап
на многочлен
Тт(х) = Ьохт + Ь\Хт~ ' + ...+ Ьт~\х + Ьт,
где п ггц ад, ai,..., ап и fog, bn — известные числа, причем
«о 0.
Представим частное Q(x) и остаток R(x) в виде:
Q(x)=c0xn“zn4-cixn~zn~l4-.. .+сп_т И R(x)=d$xm~\d\xm~2+.. .+dm_\,
где коэффициенты cL и dj пока не определены и Cq ф 0.
Потребуем, чтобы выполнялось равенство
PnW = ^(x).Q(x) + /?(x).	(5)
Перемножая и складывая многочлены в правой части равенства (5)
и приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях
х в левой и правой частях (5), получим п 4- 1 равенство, для
определения «4-1 коэффициента со, с\, ... , cn-m,do, d\, ... , dm_\.
Пример 3. Пусть Р(х) = 6х4 4- 5х3 — Их2 4- 9х — 5, а Т(х) —
= Зх2 4- 4х — 5. Найти многочлены Q(x) и R(x) такие, что Р(х) =
= Т(х) • Q(x) 4- R(x) и степень многочлена R(x) меньше степени
многочлена Т(х).
А Положим Q(x) — cqx2 4- cix 4- с^ и /?(х) = d$x 4- d\. Запишем
равенство
6х44-5х3 — 11х24-9х —5 — (Зх2 4- 4х — 5) • (qjx2 + с\х + cz) + (^ох + ^1)-
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим:
6х4 4- 5х3 — 11х2 4- 9х — 5 — Зсо*4 + (4со 4- 3cj) х3 4-
4- (—5cq + 4г 1 4" 3cg) х2 4~ (—5ci 4~ 4^2 + ^о)х (—^2 d\).
§ 1. Основные определения
283
По определению равенства многочленов получаем систему уравнений
'Зсо = 6,
4с0 4- 3q = 5,
< — 5cq 4- Зс2 — —11,
— 5ci 4- 4с2 4- do = 9,
ч — 5с2 + d\ = —5.
Отсюда находим cq = 2, ci = — 1, с2 = 1, do = O, dj=O. Следовательно,
Q(x) = 2x2 — x 4-1 и R(x) = 0.	▲
4.	Метод деления многочленов «уголком»
Теоретическим обоснованием и фактически изложением способа
деления многочленов «уголком» является доказательство теоремы 1.
Рассмотрим этот метод на примере.
Пример 4. Разделить «уголком» многочлен
Р(х) = 6х4 + 5х3 — 17х2 4- 9% — 5
на многочлен Т(х) = Зх2 4- 4х — 5.
А Условие данного примера совпадает с условием примера 2, только
многочлены даны в стандартном виде.
Описанная в доказательстве теоремы 1 процедура деления мно-
гочлена Р(х) на многочлен Т(х) (см. также пример 2) может быть
реализована в виде деления многочленов «уголком».
Делимое-	+ 6х4 + 5х3 - “бх4 + 8х3 -	17х2 + 9х - 5 10х2	Зх2 + 4х — 5	<— Делитель <— Частное
			2х2 — х — 1	
	— Зх3 — ~ - Зх3 -	7х2 + 9х 4х2 + 5х		
	—	Зх2 + 4х - 5 Зх2 - 4х + 5		
		8х — 10	«— Остаток	
В данном примере получаем Q(x) = 2х2 — х — 1, /?(х) = 8х — 10 и
6х4 + 5х3 - 17х2 + 9х - 5 = (Зх2 + 4х - 5)(2х2 - х - 1) + (8х - 10). ▲
5.	Свойства делимости многочленов
1° Если многочлен Р(х) делится (нацело) на многочлен Т(х),
а многочлен Т(х) делится (нацело) на многочлен Л4(х), то много-
член Р(х) делится на многочлен М(х).
284
Глава VII. Многочлены от одной переменной
Например, многочлен 256х4 — 81 делится на многочлен 16х2 — 9,
а многочлен 16х2 —9 делится на многочлен 4х + 3, поэтому многочлен
256х4 - 81 делится на многочлен 4х + 3.
2°. Если многочлены Р(х) и Т(х) делятся на многочлен 7И(х), то
многочлены Р(х) + Т(х) и Р(х) — Т(х) делятся на многочлен 7И(х),
а многочлен Р(х) • Т(х) делится на многочлен Л42(х).
Например, каждый из многочленов х3 + 1 и х2 — х — 2 делится на
многочлен х + 1, поэтому многочлен х3+х2 —х —1 делится на х+1,
многочлен (х3 + 1)(х2 — х — 2) = х5 — х4 — 2х3 +х2 — х — 2 делится на
многочлен (х + I)2 = х2 + 2х + 1.
Пример 5. Не проводя деления многочленов, найти остаток от
деления многочлена Р(х) — х50 + х25 + 4 на многочлен Г(х) = х2 —1.
А Используя теорему о делении многочленов, запишем
р5о(х) = CW*) • Т(х) + R\(х), где R[(x) = ах + ь.
Из равенства х50+х25 + 4 = ф4я(х)- (х2 — 1) + ах+ 6 найдем аиЬ,
подставив значения х, равные 1 и —1. Получим систему уравнений
(150 + (25 + 4 = q48(1) . Q2 _ Q + а +
Ц-1)50 + (-1)25 + 4 = Q48(-l) • ((-О2 - 1) ~ « + b
6 = а + Ь,
4 = -а + Ь.
Отсюда получаем а =1,6 = 5. Значит, искомый остаток равен
х + 5.	▲
Многочлен вида ах + 6, где а^О, называется линейным двучле-
ном.
Пример 6. Некоторый многочлен при делении на двучлен Зх —2
дает в остатке 2, а при делении на двучлен х + 2 дает в остатке
— 10. Найти остаток от деления этого многочлена на (Зх —2)(х + 2).
А Пусть многочлен
запишем равенства
или
Р(х) удовлетворяет условиям задачи.
Р(х) = Q(x) • (Зх - 2) + 2,
Р(х) = S(x) • (х + 2) - 10.
делении Р(х) на Т(х) = (Зх — 2)(х + 2)
Тогда
(6)
(7)
будет
(8)
Соответственно при
иметь место равенство
Р(х) = М(х) • ((Зх - 2)(х + 2)) + /?(х),
где R(x) — ax + b. Найдем значения а и Ь.
Из равенства (6) при х = ? получаем Q(|)'(3-|
или Р Q) = 2. Из равенства (7) при х = — 2 получаем Р(—2) =
= S(—2) • (—2 + 2) — 10 или Р{-2) = —10. Соответственно, подставляя
§1. Основные определения
285
9
в соотношение (8) значения х = - и х = —2, получаем систему
уравнений для нахождения а и Ь:
р(-} = -а + Ь = 2,
< \з/ з ’
Р(-2) =	+ 6 = -10.
Отсюда находим, что а = 4,5, b = — 1, т.е. остаток R(x) = 4,5х — 1. А
6.	Алгоритм Евклида
Наибольшим общим делителем двух многочленов Р(х) и Т(х) на-
зывается многочлен наибольшей степени среди многочленов, делящих
нацело Р(х) и Т(х). Наибольший общий делитель двух многочленов
Р(х) и Т(х) обозначают НОД(Р(х), Т(х)).
Отметим, что наибольший общий делитель двух многочленов
определяется с точностью до числового множителя.
Находят наибольший общий делитель двух многочленов тем
же способом, который используется для нахождения наибольшего
общего делителя двух целых чисел, — алгоритмом Евклида:
Р(х) = Т(х)- Qi (х) + /?1 (х),
Т(х) = /?1 (х) • Q2(x) -р /?2 (х),
/?! (х) = /?2 (х) • Q3 (х) + /?3 (х),
М = Rk-1 (х) • Qk (х) + Rk (х),
Rk— 1 (х) — /?^>(х) • Q^ | l(x).
Здесь индекс у многочленов означает их порядковый номер, а не
их степень. На каждом шаге степень многочлена, являющегося
остатком, меньше степени делителя. Последний отличный от нуля
остаток /?а>(х) и будет искомым наибольшим общим делителем
многочленов Р(х) и Т(х).
Два многочлена называются взаимно простыми, если они не
имеют общих делителей, кроме констант. В этом случае пишут
НОД(Р(х), Т(х)) = 1.
Наименьшее общее кратное многочленов Р(х) и Т(х) — много-
член наименьшей степени, который делится нацело на многочлены
Р(х) и Т(х). Наименьшее общее кратное двух многочленов Р(х)
и Т(х) обозначают НОК(Р(х), Г(х)).
Отметим, что наименьшее общее кратное двух многочленов
определяется с точностью до числового множителя.
286	Глава VII. Многочлены от одной переменной
Для многочленов Р(х) и Т(х) их наибольший делитель
НОД(Р(х), Т(х)) и наименьшее общее кратное НОК(Р(х), Т(х))
удовлетворяют равенству
Р(х).£(х) = ЛНОД(Р(х), Т(х))НОК(Р(х), Г(х)), где число Л^О.
Пример 7. Найти наибольший общий делитель и наимень-
шее общее кратное многочленов Т(х) = х3 4- 6х2 4- 5х — 12
и Р(х) = х4 4- 2х3 — 5х2 — 4х 4- 6.
А Используя алгоритм Евклида, получим:
х4 + 2х3 —	5х2 —	4х+ 6	х3 + 6х2 + 5х — 12
х4 + 6х3 +	5х2 -	12х	х — 4
— 4х3 — 10х2 4- 8х 4- 6
— 4х3 — 24х2 — 20х 4- 48
14х2 4- 28х - 42
Следовательно,
Р(х) = (х - 4) Т(х) + 14х2 + 28х - 42.	(9)
Теперь делим Т(х) на первый остаток 14х2 + 28х —42:
х3 + 6х2 + 5х — 12	14х2 + 28х — 42
х3 + 2х2 — Зх	1х+2 14 + 7
_4х2 + 8х - 12
4х2 + 8х — 12
0“
Следовательно,
7’(х)=(1х+|)(14х2 + 28х-42).	(10)
Вынося в частном в (10) общий множитель 14, получаем
НОД (Р(х), Т(х)) = х2 + 2х - 3.
Тогда Г(х) = (х + 4)(х24-2х —3), Р(х) = (х2 — 8х + 30)(х2 + 2х — 3) и
НОД(х + 4, х2 —8х + 30) = 1.
Следовательно,
НОК (Р(х), Т(х)) = (х + 4) (х2 - 8х + 30) (х2 + 2х - 3).	▲
Задачи
1.	Найти значение выражения	если
1)	Р(Х) = 1 4-2х 4-Зх2 4-.. • 4-Их10;	2) Р(х) = 3 4- 5х 4- 7х2 4-... 4- 27х12.
§1. Основные определения
287
2.	Для данных многочленов Р(х) и Q(x) найти значение выражения — Р(х)
при х = хо, если:
1)	Р(х)	= х4 — 6х2 + 9, Q(x) = (х4 - 9)2, х0 = 0,5;
2)	Р(х)	= х4 + 4х2 + 4, Q(x) = (х4 - 4)2, х0 = - 0,5.
3.	Представить многочлен Р(х) в каноническом виде:
1)	Р(х)	= (1 + 3х + 2х2) + (1 +4х |2х2) + (1 + 5х + 2х2) +	... +	(1 +	17х + 2х2);
2)	Р(х)	= (2 + Зх + х2) + (2 4 5х + х2) + (2 + 7х + х2) +	... +	(2 +	27х + х2);
3)	Р(х) = 7 + 6 £ xfc 45 £ х* + -.-4 £х*;
/г—О	/г--0	/г--0
4)	Р(х)= £х< £ ( х)т.
k—Q т—0
4.	Доказать тождества:
1)	х"-1 = (х-1)(х" 1 +х" 2 1... hx+i);
2)	х2"+1 4 1 = (х4 1)(х2" - х2" '1 4-х2" 2 —х+1);
2/1 I
3)	x2n — a2n = (х + а) -	( -1)/гх2п~,~А;аА;;
/г=О
2п
4)	х2п+1 + а2п+1 = (х 4 а) • £ (-1)*х2п~'га*.
k о
5.	Найти числа а, b и с, при которых справедливы следующие равенства:
1)	Зх4 4- 7х3 4- Зх2 4 х 4-	2 — (х 4 1)(ах3 4- Ьх2 — х 4- с);
2)	2х5 4 5х4 4- 5х3 4 7х2	- х 4	6 — (х2 4 х 4- 2)(2х3 4-	ах2 4- Ьх 4- с).
6? Найти значение многочлена Р(х) при х = х0, если:
1)	Р(х) = х3 4- 6х2 4 12х	Р 19,	х0 = -2 - Ж
2)	Р(х) — х3 4- 9х2 4- 27х	4 29,	х0 — -3 - \/2.
7* В многочлене Р(х) = ах5 4 Ьх4 4- ex3 Р dx2 ex+ f коэффициенты а, b, с,
d, е, f могут принимать значения 0 или 1. Найти числа a, b, с, d, е, /, при
которых:
1)	Р(2) = 40;	2) Р(2) = 42.
8.	Используя метод неопределенных коэффициентов, найти частное и остаток
при делении многочлена Р(х) на многочлен Т(х):
1)	Р(х) = 6х3 + 5х2 - 4х - 4, Г(х) = 2х + 3;
2)	Р(х) = 6х3 — 4х2 + 12х, Г(х) = Зх-2;
3)	Р(х) = 2х4 + х3 - х2 - Зх - 1, Т(х) = х2 + 2х + 2;
4)	Р(х) = 8х4 - 4х3 - 16х2 - 4х + 9, 7'(х) = 2х2 - х - 1.
9.	Используя способ деления «уголком», найти частное и остаток при делении
многочлена Р(х) на многочлен Г(х):
1)	Р(х)	= X4 - 2х3 + 4х2	- 6х + 8,	7’(х)	= х-1;
2)	Р(х)	= Зх5 + х4 - 19х2 - 13х - 10, Т(х) = х - 2;
3)	Р(х)	= х4 + Зх3 — 5х2	+ 6х + 7,	7'(х)	=х2 — х + 3;
4)	Р(х)	= х4 +Зх3 + 5х2	+4х + 7,	Т(х)	= х2 + 2х + 5.
288
Глава VII. Многочлены от одной переменной
10.	Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x):
1)	f(x) = х3 4- х — 2, g(x) — х3 — 2х2 — х - 6;
2)	/(х) = 4х4 — 2х3 — 16х2 4- 5х -1-9, g(x) — 2х3 — х2 — 5х 4 4;
3)	f(x) — х5 4 Зх4 4 х3 4 х2 4 Зх 4 1, g(x) = х4 4 2х3 4- х 4- 2.
11.	1) Некоторый многочлен при делении на двучлен х—1 дает в остатке 3,
а при делении на двучлен х Ь 2 дает в остатке —7. Найти остаток от
деления этого многочлена на (х — 1)(х4-2).
2)	Некоторый многочлен при делении на двучлен 2х—1 дает в остатке 4,
а при делении на двучлен х Ь 1 дает в остатке —5. Найти остаток от
деления этого многочлена на (2х 1)(х4-1).
12.	Найти многочлен наименьшей степени, дающий в остатке:
I)	2х при делении па (х—I)2 и Зх при делении на (х - 2)3;
2)	х2 -Ьх I 1 при делении на х4 2х3 - 2х2410х — 7 и 2х2-|2 при делении
на х4 2х3 - 5х2 4 13х	10.
13.	Найти наименьшее общее кратное многочленов х3 4- 4х2 1 4х 4- 3
и х3 - х2 - х — 2.
Ответы
1. 1) 6; 2) 18. 2. 1) 3; 2) 2. 3. 1) ЗОх2 4 150х 4 15; 2) 13х2 4 195х 4 36;
3) х642х5 4 6х4 4 Юх3 4 15х2 4 21x428; 4) -х6 - х4 4х2 4 1. 5. 1) а = 3,/? = 4,
с = 2; 2) а — 3, b = - 2, с — 3. 6. 1) 0. Указание. Р(х) = (х 4- 2)3 4 11;
2) 0. 7. 1) а — 1, b — 0, с — 1, d — 0, е — 0, f — 0. Указание. Из
условия Р(2) — 40 или 32а 4 16/? Ь 8с 4 4d 4 2с 4 f = 40 следует, что f —
четно, т. е. равно 0 и т. д.; 2) а — 1, b — 0, с — 1, d — 0, е = 1, f — 0.
8. 1) Q(x)-3x2-2x41,	7; 2) Q(x)-2х244, R = 8; 3) Q(x) = 2x2 -3x4 1,
Я(х) = х-3;4) Q(x) = 4x2 — 6,/?(x) — 2x 4 3. 9. 1) Q(x)=x3-x243x-3,P-5;
2) Q(x) = 3x4 4 7x3 - 5x2 - Юх - 33, R - -76; 3) Q(x) = x2 4 4x - 4,
P(x) = —2x 4 19; 4) Q(x) = x2 4 x - 2, R(x) = 3x 4 17. 10. 1) x2 4 x 4 2;
2) 1; 3) x3 4 1. 11. 1) jx - |; 2) 6x 4 1.	12. 1) 4x4 - 27x3 4 66x2 - 65x;
2) 1 (x4 - 2x3 4 x2 4 13x - 4). 13. (x3 4 4x2 4 4x 4 з) • (x - 2)
§2. СХЕМА ГОРНЕРА
1. Схема Горнера
Рассмотрим деление многочлена Р(х)=аохп+... +akXn~k + ... +ап
(&0 О, n 1) на двучлен х — с. Разделив с остатком, получим
Р(х) = (х — c)Q(x) + R,	(1)
где неполное частное —многочлен
Q(x) =	4-... + bn_2x -Г bn_\
степени n~ 1, а остаток R — число.
§2. Схема Горнера
289
Из равенства (1) следует
Р(х)=аохп+а\хп~1 + ... +akxn~k+... +an_ix+an=
= (boxn~'+b\xn~2+... +bn_2x+bn_i)(x-c)+R=
=bQXn+(b\-cb0)xn~l+(b2-cbi)xn~2+...
  .+(bn_\+cbn_2)x+(R-cbn_\).
По определению равенства многочленов
bo = ao, bi=cbo + ai, bn~i = cbn_2 + an_|, R = cbn_i + a0.
Такая цепочка для вычисления коэффициентов 6/ и R записыва-
ется в виде таблицы, заполняемой слева направо.
Коэффициенты делимого Р(х)
	ао	а\		o-k		an—i	an
Число с	а0 =^о	cb0+a\		cbk_i+ak =bk		^bn-^+On-l =Ьп~\	сЬп_\+а$
Коэффициенты частного Q(x)	Остаток R
Эта таблица называется схемой Горнера.
В первой строке этой таблицы записываются последовательно
коэффициенты ао, а\, ... , ап многочлена Р(х). Слева во второй
строке стоит число с, а далее в клетках строки последовательно
идут коэффициенты многочлена-частного Q(x) и остаток R. Вторая
строка заполняется по следующему правилу:
В первую клетку надо записать число aG из первой клетки
первой строки. Во вторую клетку надо записать число а\ из второй
клетки первой строки и прибавить к нему произведение числа с на
предшествующий элемент (число &о = ао) второй строки. Каждая
следующая клетка второй строки заполняется аналогичным образом:
к стоящему над ней числу первой строки прибавляется произведение
числа с на предшествующее число второй строки.
Пример 1. Найти частное и остаток от деления многочлена
Р(х) = 2х5 - 5х3 — 8х + 2 на двучлен х — 3.
А Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу
Коэффициенты делимого Р(х)
	2	0	-5	0	-8	2
Li.	2	2-3+0 = 6	3-6-5 = 13	3-13 + 0 = 39	3-39-8 = 109	3-109 + 2 = 329
с	Коэффициенты частного Q(x)	Остаток R
10—2549
290
Глава VII. Многочлены от одной переменной
Получаем частное Q(x) = 2х4 + 6х3 + 13х2 + 39х 4-109 и остаток
R = 329, т. е. Р(х) = (2х4 + 6х3 + 13х2 + 39х + 109) (х - 3) + 329. ▲
Отметим некоторые следствия из полученной выше схемы.
Следствие 1. Если ао,Я|,...,ап и с —рациональные числа, то
/?о,	.. Ьп_\ и R — также рациональные числа.
Следствие 2. Если	ап, с —целые числа, то
/?о, fei,..., и /?-—также целые.
Следствие 3. Многочлен Р(х) делится нацело на двучлен х — х0
тогда и только тогда, когда его значение при х — х$ равно нулю,
т. е. Р(х0) = 0.
2. Разложение многочлена по степеням двучлена
Для любого многочлена Р(х)=а$хп-]-... 4-а/гхп~^4-... -\-an
1) и любого числа с можно написать разложение Р(х) по степеням
двучлена (х — с):
Р(х) = d0(x -с)п + ... + dk(x -c)n k + ... + dn.
Для формулировки алгоритма нахождения коэффициентов
do, dj,..., dn этого разложения выпишем следующую цепочку
равенств:
Qn-1 (х) = (х - с) d0(x - с)п 2
Qn_2W = U-c) d0(x-c)n 3
QoW = @-
§2. Схема Горнера
291
Тогда алгоритм нахождения коэффициентов dn, dn^\..... d\, d$
состоит в следующем:
1)	разделить с остатком Р(х) на двучлен х — с\ в остатке получится
dn, а в частном многочлен Qn_j(x);
2)	разделить с остатком Q„_i(x) на двучлен х — с\ в остатке
получится dn_\, а в частном многочлен Qn-2W;
3)	далее выполняем деление до тех пор, пока в частном не
получится число; полученный на последнем шаге остаток будет
равен d\, а частное даст d$ — a$.
Все вычисления в этом алгоритме удобно проводить по схеме
Горнера.
Пример 2. Разложить по степеням двучлена х + 2 многочлен
Р(х) = Зх4 - 5х3 - 8х + 2.
Д Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу
	3	-5	0	-8	2
—2	3	(-2)3-5=-11	(—2)-(-11)4-0=22	(—2)-22—8=—52	(-2)-(—52)4-2=106
	3	(—2) 3—11=—17	(—2) (-17) 4-22=56	(—2)-56—52=—164	
	3	(—2)-3—17=—23	(—2)-(—23)+56=1О2		
	3	(—2)-3—23=—29			
	2				
В итоге получаем
Р(х) = 3(х + 2)4 - 29(х + 2)3 + 102(х + 2)2 - 164(х + 2) + 106. ▲
Задачи
1.	Применяя схему Горнера, найти частное Q(x) и остаток R при делении
многочлена Р(х) на двучлен х — х0 :
1)	Р(х) = х4 + 19х2 - 30, х0 = —2;
2)	Р(х) = 14х - 4 + 13х4 - 9х7, х0 = -1;
3)	Р(х) = х6 + 9х4 + 16х2 - 10, х0 = 2.
2.	Применяя схему Горнера, убедиться, что и числа 1 и —2 являются корнями
многочлена Р(х):
1)	Р(х) = 2х4 + 7х3 - 2х2 - 13х + 6;
2)	Р(х) = (х2 + х)2 + 4(х2 + 1) - 12;
3)	Р(х) = (х2 4-х + 1) (х2 + х + 2) - 12
3.	Применяя схему Горнера, убедиться, что многочлен Р(х) делится на
многочлен Т(х):
1)	Р(х) = х5 - 6х4 + 16х3 - 32х2 + 48х - 32, Т(х) = (х - З)3;
2)	Р(х) = (х2 + 4х + 3)(х2 + 12х + 35) + 15, Т(х) = (х + 2)(х + 6).
292
Глава VII. Многочлены от одной переменной
4.	Разложить многочлен f(x) по степеням двучлена х — 2 и найти его значение
в точке 2:
1)	f(x) =х4- 8х3 4- 24х2 - 50х 4- 90;
2)	f(x) = х5 — 4х3 4- 6х2 — 8% 4- 10.
Ответы
1. 1) Q(x) = х3 - 2х2 4- 23х - 46, R = 62; 2) Q(x) = -9х6 4- 9х5 - 9х4 4 22х3
- 22х2 4- 22х - 8, R = 4; 3) Q(x) - х5 - 2х4 4- 13х3 - 26х2 4- 68х - 136,
R = 262. 4. 1) /(х) = (х - 2)4 - 18(х - 2) 4- 38, /(2) = 38; 2) Дх) =
= (х - 2)5 4 Ю(х - 2)4 4- 38(х - 2)3 4- 62(х - 2)2 4- 48(х - 2) 4- 18, /(2) = 18.
§3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА
1.	Теорема Безу
Пример 1. Дан многочлен Р(х) = 2х5 — 5х3 — 8х — 8. Найти
Р(-1), Р(1), Р(0),Р(2).
А />(_1) = 2(—I)5 — 5(—I)3 — 8(—1) — 8 = —2 + 5 + 8 — 8, т.е. Р(-1) = 3;
аналогично, Р(1) =2-5-8-8= -19, Р(0) - -8, Р(2) = 0. А
Число х, при котором многочлен Р(х) обращается в нуль,
называется корнем этого многочлена.
Например, число 2 —корень многочлена Р(х) = 2х§ — 5х3 — 8х — 8,
так как Р(2) = 0.
Отметим, что число хд называется корнем многочлена Р(х), если
оно является решением уравнения Р(х) = 0, т. е. верно равенство
а0-*д + • •. + k + • • • ctn = Q.
Пример 2. Разделить многочлен Р(х) = 2х5 — 5х3 — 8х — 8 на
двучлен х4-1.
А Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу:
2	0	-5	0	-8	-8
2	-2	-3	3	-11	3
Следовательно, Р(х) = (х 4- 1)(2х4 — 2х3 — Зх2 4- Зх — 11) 4- 3.	▲
Сравнивая результаты примеров 1 и 2, замечаем, что остаток от
деления многочлена Р(х) на двучлен х 4-1 равен значению этого
многочлена при х — — 1, т.е. R = Р(—1) = 3.
Этот факт не случаен и является следствием теоремы Безу.
Теорема 1 (Безу). Если хд — произвольное число, то при де-
лении многочлена Р(х) на двучлен (х —Хд) получается остаток,
равный значению многочлена при х = хд, т.е. R = Р(хд).
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
293
О Разделив с остатком многочлен Р(х) на двучлен х — xq, по-
лучим равенство Р(х) = Q(x) • (х — хд) + /?, где остаток R —
число. Подставив в это равенство вместо х значение xq, получим
P(xq) — QUo) • (%о — хо) + Р- Отсюда следует, что R = P(xq). •
Замечание. Отметим, что при делении многочлена Р(х) на двучлен
ах 4- b получается остаток, равный значению этого многочлена при х = —т. е.
Из теоремы Безу вытекает следующее важное утверждение.
Теорема 2. Число хд является корнем многочлена Р(х) тогда
и только тогда, когда многочлен Р(х) делится нацело на двучлен
X — Xg.
О Если xg —корень многочлена Р(х), то по теореме Безу
/? = Р(хо) = О, т. е. Р(х) = Q(x) • (х — хд), а это значит, что многочлен
Р(х) делится на х — хд нацело.
Пусть теперь R = 0, т. с.
P(x) = Q(x).(x-x0).	(1)
Подставляя в равенство (1) х == хд, получаем Р(хд) — 0, т. е. хд—
корень многочлена Р(х)	•
2.	Многочлены с комплексными коэффициентами
Рассмотрим многочлен P(z) степени п с комплексными коэффи-
циентами:
P(z) = a$zn + zn~1 4-... + akzn~k + ... + an_\z + an, a0 0.
Отметим, что теорема Безу справедлива и для многочлена с ком-
плексными коэффициентами.
Справедлива также следующая теорема, которую мы примем без
доказательства.
Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен
степени п^\с комплексными коэффициентами имеет по крайней
мере один комплексный корень.
Следствие 1. Любой многочлен P(z) степени п>1с комплекс-
ными коэффициентами раскладывается в произведение п линейных
множителей:
a$zn + a\zn~{ +... + akzn~k +... +an_\z + an =a$(z-z{) •... -(z-zn),
где ag,..., an, ..., zn — комплексные числа.
О Для доказательства воспользуемся методом математической ин-
дукции.
294	Глава VII Многочлены от одной переменной
При n = 1 многочлен является линейным.
Предположим, что при n = k утверждение справедливо.
Пусть теперь многочлен P(z) степени n —	имеет корень zqEC.
Тогда по теореме Безу P(z) представляется в виде P(z) = (z — z^P^z),
где Рд, (2) — многочлен степени k, который по предположению ин-
дукции раскладывается в произведение k линейных множителей:
Pk(z) = aozk + b\zk~l + ... +bk 4z + bk = a0(z - z\)  . . . (z- zk).
Следовательно, P(z) = a$(z — zq) - (z — zi) •... • (z — z^).	•
Следствие 2. Любой многочлен P(z) степени n 1 с ком-
плексными коэффициентами имеет в множестве комплексных чисел
ровно п корней, если считать каждый корень столько раз, какова
его кратность.
О Действительно, согласно следствию 1,
P(z) = a0(z - z() • (z - z2) •... • (z - zn),	(2)
где zj, 22,..., zn — корни многочлена P(z). Объединяя в последнем
соотношении равные сомножители в степени, получим
P(z) = a0(z - Zi)/?|  (z - z2)*2 ... • (z - zm)km,	(3)
где 2i, 22,..., zm — различные корни, a k\,	.., km — их кратности.
Поскольку степени многочленов в левой и правой частях равенства
одинаковы, то
Я — k\ + k<2 + • • - + km-	®
Корни кратности 1 называются простыми корнями, кратности 2 —
двойными, или двукратными, и т. д. Кратный корень — корень
кратности k 2.
Из доказанного вытекает следующее утверждение.
Следствие 3. Всякий многочлен степени n 1 имеет ровно
п (действительных или комплексных) корней, если каждый корень
считать столько раз, какова его кратность.
3.	Многочлены с действительными коэффициентами
Теорема 4. Пусть P(z) — многочлен с действительными ко-
эффициентами. Тогда если zq — комплексный корень многочлена
P(z), то zq — также его корень.
О Пусть P(z) — многочлен с действительными коэффициентами
Тогда
P(z) = aozn + aiz"-1 + ... Ч- akZn~k + ... + an~\zn + an,
где a$,..., an e R.
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
295
Пусть 20 — комплексный корень многочлена P(z), т.е.
P(z0) = «ozo + а12о-1 +  • • + an-iZQ 4- an = 0.
Используя свойство сопряженных чисел, получим, что
P(z) — aozn + a\zn~x 4-... 4- akzn~k 4-... 4- ап-\2п +an =
= aoz" + alz"-1 + ••• + a„_]Zn 4-	=
= -zn 4- aj г'1-' 4-... 4-	7 -z" 4-	=
do	a\	dn1	—dn
= aQ-(z)n + a\ -(z)"-1 4--.. 4-a„._| -z4-an = P(z).
Так как P(z) — P(z), то при z0 получаем P(zq) = 0 = P(zq).
Следовательно, zq — также корень многочлена P(z).	•
Следствие. Любой многочлен с действительными коэффици-
ентами может быть представлен в виде произведения линейных
и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
О Действительному корню xq многочлена с действительными коэф-
фициентами отвечает линейный множитель x — xq. Если многочлен
с действительными коэффициентами имеет комплексный корень
Z[ = a-\-i{3 (а, /ЗеК), то число z^ = z\ = а — //3 — также корень этого
многочлена. Перемножая в разложении многочлена на множители
два соответствующих множителя, получим квадратичный многочлен
с действительными коэффициентами
(х — zi)(x — Zj) — х2 - 2ах -Ь (а2 + /З2) = х2 + рх 4- q, (4)
где р = -2а, q = а2 +/32.	•
Разложение на множители многочлена Рп(х) с действитель-
ными коэффициентами. Пусть xq = а — действительный корень
кратности k многочлена Рп(х) степени п с действительными коэф-
фициентами. Тогда выполняется равенство
Р„(х) = (х - a)kQn_k(x),
где Qn_k(x) — многочлен степени п — k с действительными коэффи-
циентами, для которого число xq = а не является корнем.
Пусть Х[ = a-j-i/З— комплексный корень (/3^40) многочлена Рп(х).
Тогда по теореме 4 число х\ — а — i(3 также является корнем
этого многочлена. Таким образом, многочлен Рп(х) в этом случае
делится без остатка на квадратный трехчлен х2 + рх + q с дей-
ствительными коэффициентами, дискриминант которого отрицателен,
296
Глава VII. Многочлены от одной переменной
т. е. р2 — 4q < 0. Это означает, что существует такой многочлен
Qn-2(x) с действительными коэффициентами, что
Рп(х) = (х2 + рх + q) • Qn-i(x).
Если Х[ = a + где /3/0, является корнем многочлена Рп(х) кратно-
сти /п, то число Х| — а—//3 также является корнем этого многочлена
кратности ги, и поэтому многочлен Рп(х) можно в соответствии
с формулами (2) и (4) представить в виде
Р„(х) = (х - xt)m • (х - Х|)ОТ • Qn-2m(x),
ИЛИ	п
р„(х) = (X2 +рх + q)m  Qn-2m(x),
где p,q — действительные числа, р2 — 4q < 0, a Qn-2m(x) многочлен
степени n - 2m с действительными коэффициентами, для которого
числа х\ и х\ не являются его корнями, т. е.
Qn-2m(xl) / Qn—2m(xi) /
Пусть ль 6^2,	, ат — все действительные корни многочлена Рп(х),
а их кратности соответственно равны	km. Тогда равен-
ство (2) можно записать в виде
Р(х) = (х - А)*' • (х -	(х - хт)*га • Я(х),
m
где /?(х) — многочлен степени t = n — ki с действительными
/=1
коэффициентами, не имеющий действительных корней.
Если /?(х) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре
комплексно-сопряженных корней ху и ху кратности sy многочлена
Рл(х) в формуле (2) соответствует множитель х2 + рух + <?у, где
Ру ” 4<7у < 0. Поэтому
P(x) = 6z0-U“^i)^ •• • • Ax-xm}ktn -(x2+pix + 9i)S1 •.. .•(x2+prx4-q>)Sr,
(5)
где n = £ ki + 2 • sy.
i=\	j=\
Таким образом, зная все корни многочлена Рп(х) с действи-
тельными коэффициентами, можно этот многочлен разложить на
множители, т. е. представить в виде (5), где все числа являются
действительными.
Разложение на множители многочлена третьей степени.
В качестве примера рассмотрим многочлен третьей степени с дей-
ствительными коэффициентами
Р3(х) = аох3 + nix2 + а2х + а3, где а0 / 0.
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
297
Данный многочлен имеет три корня с учетом их кратностей или
от одного до трех различных корней. Так как комплексные корни
многочлена с действительными коэффициентами — пары комплексно-
сопряженных чисел %| и Х|, то получаем, что многочлен третьей
степени с действительными коэффициентами должен иметь по
крайней мере один действительный корень хц и можно записать
Рз(х) = (х - х0)  Q2(x).
Многочлен Q2(x) может иметь два различных действительных корня,
один действительный корень кратности два или два различных
комплексных корня. Следовательно, возможны следующие случаи
разложения многочлена Рз(х) на множители.
1)	Все корни Р3(х) действительные. Возможны три варианта:
а)	если многочлен Рз(х) имеет один действительный корень
Xq кратности три, то
Рз W = а0(х- х0)3-,
б)	если многочлен Рз(х) имеет два различных действительных
корня х0 и гДе один из них, например имеет кратность
два, то	о
Р3(х) = а0(х - х0)2(х - Х1);
в)	если многочлен Рз(х) имеет три различных действительных
КОрНЯ Хо, Х| и х2, то
Р3(х) = а0(х - х0)(х - Х|)(х - х2).
2)	Многочлен Рз(х) имеет один действительный корень xq и пару
комплексно-сопряженных корней Х| и xj. В этом случае
Р3(х) = а0  (х - х0) • (х2 + рх + q),
где р, q — действительные числа, р2 — 4q < 0.
Использование метода неопределенных коэффициентов.
В случаях, когда разложение на множители многочлена с действи-
тельными коэффициентами Рп(х) не удается провести простейшими
средствами, можно использовать метод неопределенных коэффи-
циентов.
Пример 3. Разложить на множители и найти корни многочлена
Р(х) = х4 - 4х3 - 10х2 + 37х - 14.
Д Предположим, что данный многочлен раскладывается на множи-
тели второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один
из них через x2 + px + q, другой через x2 + rx + s. Задача сводится
к нахождению коэффициентов р, q, г и s. Тогда
х4 - 4х3 - 10х2 + 37х - 14 = (х2 +рх + q)(x2 + rx + s).
298
Глава VII. Многочлены от одной переменной
После раскрытия скобок и приведения подобных членов, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях многочленов левой и правой
частей уравнения, получим систему:
f р 4- г = —4,
s + q + pr = -10,
ps-\-qr — 37,
qs — —14.
Исходя из последнего уравнения системы, можно попробовать взять
7 = 2, S——7 или 7 = —2, s = 7. В первом случае получаем решение
системы р = —5, <7 = 2, г = 1, s = —7. Таким образом,
х4 — 4х3 - Юх2 + 37х - 14 = (х2 — 5х + 2)(х2 + х - 7).
Корнями уравнения х2 - 5х + 2 = 0 являются числа %t,2 —
а уравнения х2 4-х — 7 = 0 — числа хзд =
~	5±УГ7	-1±л/29
Следовательно, числа —— и ---------——четыре различных
корня данного многочлена Р(х).	▲
Теорема 5. Пусть Р(х) u Q(x) — два многочлена, степени
которых не превосходят п. Тогда если значения многочленов Р(х)
и Q(x) совпадают в п 4- 1 точке, то Р(х) = Q(x).
О Пусть xj, Х2,..., х„_| । — различные числа и P(xz) = Q(xz),
1 < i < п 4-1. Рассмотрим многочлен F(x) = Р(х) — Q(x) Если F(x) нс
является нулевым многочленом, то его степень не превосходит и,
а числа xj, xg,..хп+\ — его корни. Однако это противоречит теореме
о числе корней многочлена. Следовательно, F(x) — нулевой многочлен
и P(x) = Q(x).	•
4. Обобщенная теорема Виета
Пример 4. Составить многочлен третьей степени, корнями
которого являются числа xj, xg, х3.
Д Найдем коэффициенты многочлена
Р3(х) = czqx3 4- а\х2 4- а%х 4- а$,
где а$ ^4 0. Так как Рз(х) имеет три корня xj, Х2, Х3, то запишем
его разложение на множители
яох3 4- «1Х2 4- «2х + аз — ^о(х ~ х1)(х ~ х2)(х ~ хз)- (6)
Перемножив выражения в скобках и собрав члены с одинаковыми
степенями, получим в правой части тождества (6) многочлен,
тождественно равный многочлену, стоящему слева
Р3(х) = а0%3 - аоСч + х2 + х3)х2 + ао(*№ + х\х3 + х2х3)х - aoxix2x3.
§3. Теорема Безу. Кории многочлена
299
Отсюда следует, что коэффициенты многочлена Рз(х) определяются
с точностью до множителя а$. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х в левой и правой частях соотношения (6),
получим, что коэффициенты многочлена Рз(х) и его корни Xj, Х2, %з
связаны формулами
r-aoUl + *2 + *з) = А,
< ао(Х]Х2 + XjX3 + х2х3) — а2,
<-аох\х2х3 = а3
ИЛИ
X] +%2 "Ь-^3 = — —>
а0
ао
Х|%2 +х1х3 +Х2Х3 — — ?
а0
По
*1*2*3 =
«0
Рассмотренный пример представляет собой частный случай общей
теоремы.
Теорема 6 (обобщенная теорема Виета). Если старший ко-
эффициент а$ многочлена Рп(х) отличен от нуля, т. е.
Рп(х) = aGxn + а\хп 1 + ... + akxn~'k 4-... 4- ап_[Х 4- ап,
а числа xj, Х2, ..., хп — его корни, то справедливы равенства:
Х| 4- Х2 4- • • • 4- хп = — —,
«о
ао
Х[Х2 + Х|Х3 + ... + х2х3 + х2х4 + ... + Х„_|Х„ = —,
а0
Х]Х2х3 4-... 4- Х2Х3Х4 4-... 4- xn_2xn_!Xn = - —,	v >
«о
х1х2х3...х^(-1)^.
«о
Сами равенства системы (7) называются формулами Виета.
О Поскольку по следствию 1 теоремы 3 любой многочлен может
быть представлен в виде произведения
aoxn4-«ixn-1 4-... + akxn~k + ... +ап_.\х + ап = а$(х-х\У... -(х-хД
то, перемножив выражения в скобках и собрав члены с одина-
ковыми степенями, получим в правой части тождества многочлен,
тождественно равный многочлену, стоящему слева. Отсюда следует
справедливость доказываемых равенств.	•
Замечание. Формулы (7) справедливы и в случае, когда часть корней
%!,	, хп — комплексные числа.
Пример 5. Построить многочлен наименьшей степени, корнями
которого являются числа —2, 1 и 3.
А Так как по условию многочлен имеет не менее трех корней, то
наименьшая степень искомого многочлена должна равняться трем,
300
Глава VII. Многочлены от одной переменной
и он имеет вид Р(х) = а$х3 + ai*2 + а^х + а%. Пусть Х[ = — 2, %2 — h
%3 = 3.
Используя для определения неизвестных коэффициентов clq, а\,
а2, аз обобщенную теорему Виета, получаем систему уравнений:
'xi +х2+х3 =
«о
< X]X2 + XtX3 +х2*3 = —,
ао
xtx2x3 =
\	а0
ИЛИ	/
2 =
ао
< -5 = ^,
«о
-6 = -^.
“о
Отсюда а\ = — 2«о» ^2 — аз = ^а0- Тогда многочлен имеет
вид
Р(х) = а^х3 — 2ао*2 — 5«о^2 + бац = ао (х3 — 2х2 — 5х 4- 6) ,
т. е. многочлен определен с точностью до числового множи-
теля «о- Беря, например, а$ = 1, получим многочлен Р(х) =
= х3 - 2х2 - 5х 4- 6.	▲
Задачи
1.	Найти остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен Q(x) = ах 4- 6, не
выполняя деления:
1)	Р(х) = х3 — 6х2 4- 5х 4- 2, Q(x) — 2x4 1;
2)	Р(х) = х5 — х3 + 2х — 1, Q(x) — 3 — 2х.
2.	Определить кратность корня х0 многочлена /(х) :
1)	f(x) = х5 — 5х4 4- 7х3 — 2х2 4- 4х — 8, х0 = 2;
2)	Дх) = х5 + 7х4 4-16х3 4-8х2 — 16х — 16, х0 =-2;
3)	/(х) = Зх5 + 4х4 4-х3 — Юх — 8, х0 = -1;
4)	Дх) = х5 - 6х4 4- 2х3 4- 36х2 - 27х - 54, х0 = 3.
3.	Доказать, что если многочлен 3-й степени с рациональными коэффициен-
тами имеет кратный корень, то все его корни рациональны.
4.	Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1. имеющий
корни:
1)	1, 2, —3, -4;	2) двукратный корень 3 и простые корни —2 и -4.
5.	1) Сумма двух корней уравнения 2х3 — х2 — 7х 4- Л = 0 равна 1. Найти Л.
2)	Определить Л так, чтобы один из корней уравнения х3 — 7х 4- Л = О
равнялся удвоенному другому.
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
301
6? Вычислить сумму квадратов корней уравнения, не решая его:
1) х3 4- 2х — 3 = 0;	2) х3 4- 4х2 — х — 6 = 0;	3) х3 4- рх2 4- qx 4- г = 0.
7. Дано уравнение ах4 4- Ьх3 4- сх2 4- dx 4- е = 0, где ае Ф 0, с корнями
xj, *2» хз> х4- Составить уравнение 4-й степени, корнями которого были
бы следующие числа’
1) —xj, —Х2, —хз, —хд;	2) х"1, х“‘, х"1, х^1.
8* Доказать, что являются рациональными числа:
-г-
9? Многочлен Р(х) — аохп 4-... Тв/гхп k 4- -.. 4-а«, имеет корни xj, Х2, ..., хп.
Определить, какие корни имеет многочлен Q(x):
I)	Q(x) = aGxn-а\хп~{-Уа2хп~2 - ... E(-l)rtan;
2)	Q(x) = anxn Tan _\xn 1 -I an 2xn~2 4-... 4- a0 (an / 0);
3)	Q(x) = anxn - an_ \xn 1 4 an 2xn~ 2 - ... 4- (—l)"a0 (an / 0);
4)	Q(x) = 2naQxn+ 2n [a\xni + 2n~2a2xn~2 4-... +an;
5)	Q(x) = anxn - 2an_\xn 1 4- 22an_2xn~2 - ... 4- (-l)rt2"a0 (an / 0).
10. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений:
1)	/(-1) - 19, ДО) - 5, Д1) = 3, /(2) = 19, /(3) = 107;
2)	/(-0 = 5, Д0) = 1, /(1) = 1, /(2) = 11, /(3) = 61.
11* Найти соотношение между коэффициентами многочлена
Р(х) — х4 4- ах3 4- Ьх2 + сх + d,
при котором:
1) сумма двух корней равна сумме других двух корней;
2) произведение двух корней равно произведению двух других корней.
12? Найти общие, включая и комплексные, корни многочленов /(х) и g(x):
1) f(x)—х6 4- х5 4- 2х4 4- х3 4- 2х2 4- х 4-1, g(x)=х6 — х5 4- 2х4 — х3 4- Зх2 — 2х 4- 2;
2) /(х) = х6 4- 2х5 4- Зх4 4- 2х3 4- Зх2 4- 2х 4- 2, g(x) = х4 4- Зх3 4- 6х2 4- 6х 4- 4.
Ответы
1. 1) R = Р (-0 =	2) R = Р (|) = 1|1. 2. 1) 3; 2) 4; 3) -1 не корень;
4) 3. 4. 1) х4 + 4х3 - 7х2 - 22х + 24; 2) х4 - 19х2 + 6х + 72. 5. 1) 4; 2) -3.
6. 1) 10; Указание. х2+х| + х2 = (х] +Х2+Х3)2 — 2(х|Х2+х|Хз+Х2Хз); 2) 18;
3)
р2 — 2q. 7. 1) ах4 — Ьх2, 4- сх2 — dx 4- е = 0; 2) ех4 4- dx^ 4- сх2 4- Ьх 4- а = 0.
возвести
8.
1) Указание. Обозначить
обе части равенства в куб. Показать, что полученный многочлен имеет
единственный действительный корень. 9. 1) — xj, —х2, ..., —хп. Указа-
ние. Если /г —четное число, то Q(x) = Р(—х); если п — нечетное число, то
Q(x) = —Р(—х); 2) x-l,x~',...,x^-,3) -xf'.-Xg-xJT1; 4)
1	lx	Z Z	Z
302	Глава VII. Многочлены от одной переменной
5) -1, -А,	_А. 10. 1) /(х) = 2х4 - Зх3 + 4х2 - 5х + 5; 2) Дх) =
X | Xq	Xfi
2 о
= х4 -х3 + х2 — % 4- 1. 11. 1) 6=^-4-^. Указание. Представить многочлен
в виде произведения (х2 + рх4-а)(х2+р%+/3); 2)	. 12. 1) %i>2 = —.
Указание. Использовать алгоритм Евклида для нахождения НОД(/(х), g(x));
2) xl>2 = -l±i^.
§4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Алгебраическим уравнением называют уравнение вида
Р«(х) = 0,	(1)
где Рп(х) — многочлен степени n 1.
Степенью алгебраического уравнения называют степень п мно-
гочлена Рп(х). При п — 2 алгебраическое уравнение называют
квадратным, при п = 3 — кубическим.
Каждый корень уравнения (1) является также корнем многочлена
РпМ.
1.	Теоремы о рациональных и целых корнях многочлена
Теорема 1 (о нахождении рациональных корней многочлена).
Если многочлен Р(х) = а$хп 4-... 4- akxnk +... + ап, а^О, с целыми
коэффициентами имеет рациональный корень xq = - (причем эта
Q
дробь несократима), то р —делитель свободного члена ап, a q —
делитель старшего коэффициента а$.
О Пусть рациональное число х0 “ ~ корень многочлена Р(х) и | —
несократимая дробь. Тогда Р = 0, т. е.
( \Л	/ \Л-1	/п\
- ) + а\ ( - )	4- ... + ап_ 1 ( - ) + ап — 0.
qj	\qJ	\qJ
Умножив обе части уравнения на qn, получим:
аорп + сцдрп~1 4- a2q2pn~2 + ... + an_\pqn~l + anqn = 0.
Все слагаемые в левой части — целые числа. Начиная со второго,
все слагаемые делятся на q:
аорп + (o!iqpn~1 + a2q2pn~2 + ... + an\pqn~{ + anqn) = 0.	(2)
делятся на q
§4. Алгебраические уравнения
303
Так как числа р и q взаимно просты, то по свойствам делимости
целых чисел для выполнения равенства (2) необходимо, чтобы q
делило «о-
Аналогично, доказывается, что р делит ап, так как
gopn +	+ • • • + Qn-ip?”"1=0.	•
делятся на р
Следствием доказанной теоремы является следующая теорема.
Теорема 2 (о нахождении целых корней многочлена). Если
все коэффициенты многочлена степени п (п 1) — целые числа
и корень xq этого многочлена — также целое число, то xq —
делитель свободного члена многочлена.
Следствие 1. Целыми корнями многочлена с целыми коэффи-
циентами могут быть только делители свободного члена.
Следствие 2. Если многочлен
Р(х) = хп + a\xn~\ + ... + akxn~k + ... + ап_\х + ап
с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным
единице, имеет рациональный корень, то этот корень —целое число.
Пример 1. Найти корни многочлена Р(х) = 2х3 4- х2 — 5х + 2.
А Делителями свободного члена являются числа —2, —1, 1, 2. Убеж-
даемся, что Р(-2) = 2(—2)3 + (-2)2-5(—2) + 2 = -164-4 +10 + 2 = 0,
т. е. число —2 — корень.
Для нахождения частного при делении многочлена Р(х) на
двучлен х + 2 воспользуемся схемой Горнера Для этого заполним
2	1	-5	2
2	-3	1	0
Следовательно, Р(х) = (х + 2)(2х2 — Зх + 1). В свою очередь
многочлен 2х2 — Зх + 1 имеет два корня х = 1 и х = которые
являются корнями многочлена Р(х).
Ответ. -2;	1.	▲
2. Формула Кардано
Ж. Лагранж, П. Руффини и Н. Абель показали, что нет общей
формулы для нахождения корней уравнения степени п 5. Э. Галуа
нашел метод, позволяющий для любого многочлена определить,
выражаются ли его корни через коэффициенты с помощью радикалов.
Для решения уравнения второй степени используется известная
вам формула корней квадратного уравнения. Для нахождения корней
304
Глава VII. Многочлены от одной переменной
кубического уравнения используют формулы Кардано, а для решения
уравнения четвертой степени применяют метод Феррари
Рассмотрим кубическое уравнение
oqxI. 2 3 + ai%2 + а%х +	= 0,
Его корни находят следующим образом. Разделив левую часть
уравнения на первый коэффициент, приводят его к виду
х3 4- 6|Х2 4- Ь%х 4-	= О,
где 6, = *. Ь2 = Ь3 = а .
а0 «о а0
L.
Далее заменой = (выделением полного куба) — к уравне-
3
нию у3 + py + q — O, корни которого находятся по формуле Кардано.
При использовании формулы (3) для каждого из трех комплексных
корня J3=
I3м +
, для которого выполняется условие
значений корня а =
Тогда корпи исходного уравнения выражаются через корни
приведенного следующим
bi
xt =
О
образом:
Ь|	Ь\
*2 =	^3=УЗ--
О	U
Задачи
I. Найти все рациональные корни уравнения:
1) х3 4-6х2 —х — 30 = 0;	2) Зх3 - 4х2 4-5х—18 = 0;
3) 4х3 4-х — 1 = 0;	4) х4 - 4х3 - 19х2 4- 106х - 120 = 0;
5) 8х4 4-6х3 — 13х2 — х 4-3 = 0.
2. Найти все корни уравнения:
1) 4х4 4-8х3 — 17x4-6 = 0;	2) 8х4+6х3 - 13х2-х 4-3 = 0;
3) х3 4-4х2 4-6х4-3 = 0;	4) 2х4-х3 -9х24- 13х-5 = 0.
3? Найти действительные корни уравнения, используя формулу Кардано:
1) х3 — 6х4-6 = 0;	2) Х34-Зх2 4-5 = 0;	3) х3 - 12x4-9 = 0
4. Разложить данный многочлен на множители:
1) x4-5x24-6;	2) х4 4-х3 - х - 1;
3) х4 4- 5х2 + 6;	4) х4 4- 4.
§4. Алгебраические уравнения
305
5? Используя метод неопределенных коэффициентов, найти все корни урав-
нения:
1) х4 — 4х3 + 5х2 3 4 — 2х - 6 — 0;	2) х4 + 2х3 + 2х2 + 10х + 25 = 0;
3) х4 + 2х3 + 3х2 + 2х - 3 = 0.
6. Найти кратные корни многочленов:
1) х5 - 10х3 -20х2 - 15х -4;	2) х6 - 2х5 -х4 - 2х3 + 5х2 +4х + 4;
3) х6 - 6х4 - 4х3 + 9х2 4- 12х + 4.
7* Составить уравнение наименьшей степени с целыми коэффициентами,
множество корней которого содержит числа:
1) 1, 2, Л;	2) 1, 3 4\/2; 3) Л4-Л; 4) Л 4-1.
8. Найти все Л, при которых многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень
(действительный или комплексный):
1) f(x) = х3 - Ах 4- 2, g(x) = х2 4 Ах -I- 2;
2) f(x) = х3 4- Ах2 - 9, g(x) = х3 4 Ах  3.
9. Найти все а, при которых многочлен f(x) имеет кратный корень:
1) Дх) = х3 - Зх 4- а\ 2) Дх) = х4 - 4х 4- а.
Ответы
1. 1) 2, -3, -5; 2) 2; 3) 1; 4) -5, 2, 3, 4; 5) -1;|. 2. 1) 1, -1 + ^1^5;
2) -1,	3) _! -3 + 3vgj. 4)	_2>5 з р _ з/2 - ^4;
2) —1 + \/-4 + х/15 - \/4 + \/Т5. Указание. Положить у = х + 1; 3) 3.
4. 1) (х-х/3) (х + х/3) (х-х/2) (х+х/2); 2) (х + 1)(х - 1) (х2 + х +1);
3) (х2 + з) (х2 + 2);	4) (х2-х/2х + 2Дх2 + х/2х + 2).	5.1)1 ± х^З;
1 ± 1\/2. Указание. Представить многочлен в виде произведения
(х2 + ах —2)(х2 + 6х + 3); 2) ~ х/3±<х/16 ^2х/3 ~L+^±fx/16.±2x/3 ука.
зание. Представить многочлен в виде произведения (х24-ах4-5)(х24-6х4-5);
3)	}	.	Указание. Представить многочлен в виде произведения
(х2 4“ ах - 1)(х2 4- Ьх 4- 3). 6. 1) -1; 2) 2; 3) -1 и 2. 7. Указание. Если
число а 4- уЬ — корень, то добавить в множество корней число а — Vb.
1) х4 - Зх3 4- 6х - 4 = 0; 2) х3 - 5х2 4- х 4- 7 = 0; 3) х4 - 10х2 4-1=0;
4) х2-2х-1 = 0. 8. 1) 3, ±г, 2) ±iV2, ±2<V3. 9. 1) ±2; 2) 3.
Глава VIII
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ
1.	Решение системы, равносильность и следствие,
совокупность систем
В этой главе мы рассмотрим системы с двумя и тремя неизвест-
ными (переменными). Систему двух уравнений с двумя неизвестными
х и у можно записать в виде
(№,у)=ё\(х,у),
IM*,#) =
Многочленом от переменных х и у называется алгебраическая
сумма, содержащая слагаемые вида а^у^ где р, q — целые
неотрицательные числа.
Если левые и правые части уравнений системы (1) являются
многочленами от х и у или представляются в виде отношения
многочленов, то систему (1) называют алгебраической.
Решением системы (1) называется пара чисел f/О» при
подстановке которых соответственно вместо х и у каждое уравнение
системы (1) становится верным числовым равенством. Множество
решений системы может быть, в частности, пустым. В этом случае
говорят, что система не имеет решений (несовместна).
Решить систему — значит найти все ее решения или установить,
что система не имеет решений.
Процесс решения системы обычно состоит в последовательном
переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы
уравнений к другим, более простым, которые мы умеем решать.
При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять
решения. Что касается посторонних для данной системы решений,
которые могут появиться при преобразованиях системы, то их обычно
отсеивают с помощью проверки.
Если в результате преобразований системы (1) получена система
(h\(x,y) = <pi(x,y),
\h2(x,y) = (р2(х,у)
такая, что каждое решение системы (1) является решением си-
стемы (2), то система (2) называется следствием системы (1).
§1. Основные понятия, связанные с системами уравнений
307
Аналогично, уравнение
F(x,i/) = G(x, у)
называют следствием системы (1), если равенство
Т(х0,у0) = G(x0,y0)
является верным для каждой пары чисел f/о» образующих решение
системы (1).
Если система (2) является следствием системы (1), а система (1)
также является следствием системы (2), то эти системы называют
равносильными. Иначе говоря, системы называют равносильными,
если множества их решений совпадают. В частности, две системы,
не имеющие решений, являются равносильными.
Используя определение равносильности и следствия, можно утвер-
ждать, что:
1)	если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение
на равносильное ему, а остальные уравнения оставить без
изменения, то полученная при этом система будет равносильна
исходной;
2)	если к данной системе присоединить уравнение, являюще-
еся следствием этой системы, то полученная система будет
равносильна исходной;
3)	если какое-либо уравнение данной системы заменить его
следствием, а остальные уравнения оставить без изменения,
то полученная система будет следствием исходной.
При решении систем уравнений нередко приходится применять
такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения
на одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное
сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы,
возведение обеих частей уравнения в п-ю степень.
Сформулируем утверждения, связанные с этими преобразовани-
ями, опустив в записи системы неизвестные.
1° Система
f\ +h = gi +ёг,
А - ?2 ~ g\ -g2.
полученная почленным сложением и вычитанием уравнений си-
стемы (1), равносильна системе (1).
2°. Система	, с
является следствием системы (1). В случае когда функции /2
и £2 принимают неотрицательные значения в области определения
системы (1), т. е. на множестве, где определены функции /2 и &2>
система (3) равносильна системе (1).
308
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
3°. Система
71 = gl,
Ь?2 ~ glg2
(4)
(5)
является следствием системы (1). Если же не существует таких
пар чисел х, у, при которых обе функции f\ и g\ одновременно
обращаются в нуль, то система (4) равносильна системе (1).
4°. Если для всех пар чисел х, у обе функции fo и g% одновременно
не обращаются в нуль, то система
71 = £ь
' А = £1_
</2 S2
является следствием системы (1). При дополнительном требовании,
что одновременно не обращаются в нуль функции f\ и g|, система (5)
равносильна системе (1).
Эти свойства преобразований систем, доказательство которых
читатель может легко получить самостоятельно, получат широкое
применение при решении систем с двумя и тремя переменными
в §§3 и 4.
Обратимся теперь к таким часто применяемым при решении
систем методам, как метод разложения на множители (приведение
данной системы к совокупности двух или большего числа систем),
метод подстановки, метод замены неизвестных.
Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении
систем уравнений.
Пусть система уравнений имеет вид
//1=0,
1/2 = 0.
Будем говорить, что система (6) равносильна совокупности
систем	,
/gl = О,
1я2 = О
(6)
(7)
И
(8)
Ч>\ =0,
<?2 = 0,
если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной
из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть
решение системы (6).
Это означает, что множество решений системы (6) совпадает
с объединением множеств решений систем (7) и (8). Поэтому вместо
слов «система (6) равносильна совокупности систем (7) и (8)» говорят,
что «система (6) распадается на системы (7) и (8)».
§1. Основные понятия, связанные с системами уравнений 309
Обычно это понятие применяется в случае, когда левую часть
одного из уравнений системы (6) удается разложить на множители.
Пусть, например, Д = fg, где f и g — многочлены (или функции,
которые определены на одном и том же множестве). Тогда система
ffe = 0,
1/2 = 0
равносильна совокупности систем
р = °- и (« = 0’
1/2 = 0 V2 = 0
Пример 1. Решить систему уравнений
(х2 - 4 г/2 = О,
[ху + х2 = 6.
А Так как х2 — 4z/2 = (х — 2у)(х + 2у), то система равносильна
совокупности двух систем
(х — 2у = О,	(х + 2у = 0,
I	9r*	И \	9 z'
[ху + % = о	[ху + % = 6.
Решим первую систему. Подставляя х = 2у во второе уравнение
этой системы, получаем бу2 — 6, откуда у\ = 1,	= — 1, х\ = 2,
х2 = —2.
Следовательно, первая система имеет два решения, которые будем
записывать так: (2; 1), (—2;—1). Аналогично, решив вторую систему,
найдем еще два решения (—2\/3;х/3) и (2л/3; — х/3) исходной системы.
Ответ. (2; 1), (-2; -1), (-2у/3; \/3), (2х/3;-х/3).	▲
При решении систем для обозначения равносильности, следствия
и совокупности систем используются соответственно знаки <=> ,
2. Методы решения систем
При решении систем уравнений часто применяется метод под-
становки (метод исключения неизвестного), с помощью которого
решение системы с двумя неизвестными сводится к решению
уравнения с одним неизвестным. В основе этого метода лежит
следующее утверждение.
Система уравнений
х = Ср(у),
F(x,y) = 0
(9)
310
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
равносильна системе
(х = <р(у),
\Г(<р(у),у) = о.
(10)
Пример 2. Решить систему уравнений
(у2 + 1 — х = О,
W + У3 = ху.
Л Так как первое уравнение системы равносильно уравнению
х = у2 + 1, то, заменяя во втором уравнении х на г/2 + 1, получаем
уравнение у2 — у = 0, имеющее корни у\ = 0, */2 — 1-
Тогда из равенства х — у2 4-1 находим xi = 1, х<^ = 2.
Ответ. (1;0), (2; 1).	▲
Одним из эффективных методов решения систем уравнений
является метод замены переменных, который состоит в следующем
Пусть левые части уравнений системы
fF](x,i/) = O,
\р2(х,у) = 0
(П)
записываются в виде F\(x,y) =	F^x^y) =	где
u = (f\(x,y), v — ср^х.у). Тогда система (11) примет вид
/l(u,w) = 0,
/2(«,п) = 0.
(12)
Если (uk,Vk), k — 1, 2, п — все решения системы (12), то,
решив п систем уравнений
9?1(х, y) = uk,
(P2(x,y) = Vk
и объединив эти решения, найдем все решения системы (11)
Пример 3. Решить систему уравнений
]_ _ £ = 3
* У 2’
1 _ _1_ = _3
< х2 у2 4
§1. Основные понятия, связанные с системами уравнений
311
А Введем новые неизвестные u = v— -. Тогда система примет
х у
вид
Эта система равносильна системе
( и — V =
\ 2 1
1	1
имеющей единственное решение и — у = —1.
Следовательно, х = 1 = 2, у =- = — 1.
Ответ. (2;—1).
Задачи
1.	Доказать, что система уравнений
I7iU, у) = о,
1/2^,//) = О
равносильна каждой из следующих систем:
п ГЛО,*/) — 0,	2) Г/i (х,у) = о,
? lf\(x,y) + f2(xyy) = O\ 7 \af\(x,y)+(3f2(x,y) = О,
где /3^0 (а— любое).
2.	Доказать, что система уравнений
(х3 — z/3 = а(х — у),
V + у3 = Ь(х + у)
равносильна совокупности следующих систем:
2)Р2-^=0,2 t „
[x + z/ = O;	[х— ху + у — Ь — 0;
(х2 + ху + у2-а — Ъ,	(х2 4- ху + у2 - а = О,
(х + у — 0;	[х2 — ху + yz — b ~ 0.
3.	Рассмотрим систему уравнений
\h(x,y) = b,
где	Доказать, что:
1)	каждая из систем уравнений
(Мх,у)=а,	(Мх,у) = а,
\h£^ = -b'	\fl(x,y)-f2(x,y) = ab,
равносильна исходной системе;
312
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
{f\(x,y)-f2(x,y) = ab,
f\ (х,у) __ a
b
ной системы.
4.	Решить систему уравнений:
является следствием исход-
( Л ,,2 _ г
1) г у
\x~y- 1;
2)
(Зх + у = 8,
\ху = —3;
.. (3(х + г/)+5х = 2,
J Ь~у = 3;
х2 - у = О
,х2 +у2 = 5у,
х 4- - = 5,
у 3
13х - - = 1;
У
х~ху ~ О,
у2 + Зху = 4.
5.	Решить систему уравнений:
(х2 — 9у2 = О,
[81/2 + х«/= 11;
2)
(х + и - 5
/ у х 2’
(х2 + 2«/2 = 6;
6.	Решить систему уравнений:
(ху-х + у = 7,
’ Ь-«/ = 3;
х2 + у = 8,
ху = 16.
J(x-3)(y +1) = 0,
(х2 + у2 = 10.
2)
Ответы
4. 1) (3;2); 2) (3;-1). (-|;э); 3) (1; ’); 4) (1,-2); 5) (0;0), (2;4), (~2;4);
6) (0;2), (0;—2), (1;1). 5. 1) (3;1), (-3;-1), (-зД; Д), (зД-Д);
2) (Ц); 3) (2;4), (-2; 4).	6. 1) (5;2), (-2;-5); 2) (2; 1), (-2;-!),
(Д2Д (~\/i;-27D: 3) <3;|)’ (3:~|>' <~3;~|)-
§2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Определители второго порядка. Правило Крамера
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
а\х + Ь\у — с\,
а2х + Ь2у = с2.
Предполагая, что хотя бы один из коэффициентов при неиз-
вестных в каждом уравнении системы (1) отличен от нуля, будем
решать эту систему способом алгебраического сложения. Уравняем
коэффициенты при у в обоих уравнениях системы. С этой целью
§2. Системы линейных уравнений
313
умножим обе части первого уравнения на &2> а второго —на bi.
Получим систему
faib2x + bib2y = cib2,
+ &1^2f/ = С2^Ь
Вычитая почленно из первого уравнения этой системы второе
уравнение, находим
(«1 &2 “ а261)х = с\Ь2 - с2&ь	(2)
Уравнение (2) не содержит у. Чтобы получить уравнение, не
содержащее х, умножим обе части первого уравнения системы (1)
на а2> а второго —на а\. Получим систему
( а\а2х + Ь\а2у = с\а2,
[^2^1^ + Ь2а\у = с2а\.
Вычитая из второго уравнения этой системы первое, находим
- «2fol)у = «1с2 - ^2^1-	(3)
Заметим, что коэффициент при х в уравнении (2) равен коэффи-
циенту при у в уравнении (3), и предположим, что этот коэффициент
не равен нулю, т. е.
(«1&2 ~ <12*1) 7^0.	(4)
Тогда из уравнений (2) и (3) получаем
х =	~у = а^2 ~(5)
—«2^1’ V a\b2~a2b\*	'
Если выполняется условие (4), то система (1) имеет единственное
решение, которое можно найти по формулам (5). В самом деле, если
(х; у) — решение системы (1), то каждое из равенств (2), (3), (5)
является верным, т. е. решение системы (1) определяется форму-
лами (5). Легко проверить, что если выполняется условие (4), то
пара чисел х, у, которые определяются формулами (5), удовлетворяет
системе (1).
Обращаясь к формулам (5), легко установить правило, по которому
образованы правые части равенств (5). Пусть Д — общий знаменатель
дробей (5), т. е.
Д = а\Ь2 — 0^1 •
(6)
Число Д назовем определителем системы (1) и обозначим
А Ь\
а2 Ь2 ’
а числа а\, Ь\, а2> Ь2 назовем элементами этого определителя.
В первом и втором столбцах определителя (6) расположены со-
ответственно коэффициенты при неизвестном х и неизвестном у
системы (1). Диагональ, на которой расположены элементы а\ и Ь2,
314
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
называют главной, а диагональ, на которой стоят элементы а% и Ь\
определителя (6), называют побочной.
Из равенства
аа\ b2=aib2~a2bl	(7)
следует, что определитель А равен разности произведений элементов,
стоящих на главной и побочной диагоналях.
Обозначим числители в формулах (5) через Дх и Д^ соответ-
ственно. Тогда, пользуясь правилом (7), получаем
Ax = C|fe2-c26| =
Д^ = а|С2-а2С| =
Следовательно, при условии (4) равенства (5) можно записать
так:
С! Ь\
с2 *2
а, Ь\
^2	^2
а\
«2 с2
а\ Ь\
а2
Заметим, что определители Дх и Ду можно получить из опре-
делителя Д заменой столбца из коэффициентов соответственно при
х и у системы (1) столбцом свободных членов этой системы.
Определители Д, Дх, Д^, имеющие две строки и два столбца,
называют определителями второго порядка.
Формулы (8)—(9) выражают правило Крамера для нахождения
решения системы (1) в том случае, когда определитель этой системы
Д 7^0.
Пример 1. Пользуясь правилом Крамера, решить систему урав-
нений
j3x-2z/ = 8,
1 С , 7 О
+ 7у — 3.
Д Здесь А = £ "2| = 3 - 7 - (-2) • 5 = 31, Дх = I® “2| = 62,
|о / I	|о I I
Д(/ = || || — —31. По формулам (8)-(9) находим х — ~ — 2,
§2. Системы .линейных уравнений
315
у=^- = — [. Следовательно, система (10) имеет единственное решение
(2; -0.
Ответ. (2;—1).	▲
Заметим, что каждое уравнение системы (1) геометрически пред-
ставляет прямую на координатной плоскости. Если Д^О и (а;/3) —
решение системы (1), то это означает, что прямые а\х + Ь\у = q
и a%x + b%y = С2 пересекаются в точке с координатами х — а, у = [3.
На рис. 1 дана геометрическая интерпретация системы (10).
Отметим, что если определитель системы (1) равен нулю, то эта
система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество
решений.
Так, система
(Зх + 4 = 5,
[3x4-4 = 12
не имеет решений. Этой системе соответствует пара параллельных
прямых (см. рис. 2), не имеющих общих точек.
Система
Гх-г/ = -1,
[Зх — Зу — — 3
имеет бесконечное множество решений. Этой системе соответствует
пара совпадающих прямых (см. рис. 3).
Можно показать, что если хотя бы один из коэффициентов при
неизвестных в системе (1) отличен от нуля, то эта система:
не имеет решений, если ее определитель Д = 0, а хотя бы один
из определителей Дх, Д/у не равен нулю;
имеет бесконечное множество решений, если
Д = Дх =	= 0.
316
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Пример 2. Найти все пары значений а, Ь, для каждой из которых
система уравнений
((а -I- Ь)х -Ь 26у = 2,
(8х + (a2 — ab + Ь^)у = 4
имеет бесконечное множество решений.
А Система имеет бесконечное множество решений тогда и только
тогда, когда оба ее уравнения являются уравнением одной и той же
прямой. Умножая обе части первого уравнения на 2 и приравнивая
коэффициенты при х и у полученного уравнения и второго уравнения
исходной системы, имеем
2(а + /?) = 8, 52 = a2 — ab + b\ или а4~Ь = 4, (а + ft)2 — ЗаЬ = 52,
откуда ab = —12. Решив систему
а + b = 4,
ab = -VZ,
находим два ее решения а\ — —2, Ь\ = 6 и = 6, Ь% = —2.
Ответ. (—2;6), (6;-2).	▲
2.	Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Определители третьего порядка
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными
а\х + b\y + c\z = d[,
< а2х + b2y + c2z = d2,	(11)
^a3x + b3y + c3z = d3.
Для нахождения решения системы (11) воспользуемся тем же
приемом, который был применен к системе двух уравнений с двумя
неизвестными. Умножим уравнения системы на некоторые множители
и сложим. Эти множители будем выбирать так, чтобы в полученном
уравнении коэффициенты при двух неизвестных были равны нулю.
Можно показать, что в результате получим
Д1	До	Д-2
х=— ,	У=—- •>	z =	—	,
д	д	д
Д = aife2c3 + <*2^1 + «3^1 - а3^2С1 - b3c2ai - а2Ь\с3.	(13)
Формулы (12) записаны в предположении, что Д 0. Число Д
называется определителем (третьего порядка), составленным из
коэффициентов при неизвестных системы (11), и обозначается так:
(12)
а\
а2
«3
bi ci
b2 с2
Ьз с3
(14)
§2. Системы линейных уравнений
317
a\ b\ Q
а2 Ь% с2
аз сз
b\ ci
с2
а\
«2
аз Ь$ с3
6Z1 b\ С1
«2
«3
с2
/?3 С3
а
Рис. 4
а\	Ь\	ci
а2	ь%	с2
«3	63	сз
а\ Ь\
«2
С1
с2
^3	^3 с3
а\ b[ Q
«2
С2
«з Ь3 с3
а
Рис. 5
Укажем правило получения выражения (13).
Первое слагаемое в правой части (13) представляет собой
произведение элементов cij, b<2, с3 определителя (14), стоящих на
главной диагонали (рис. 4, а).
Второе слагаемое есть произведение трех элементов, два из
которых «2 и стоят на неполной диагонали, параллельной главной
диагонали, а третий элемент cj — в противоположном углу (рис. 4,6).
Аналогично, третье слагаемое суммы (13) есть произведение
элементов с% и Ь\, находящихся на неполной диагонали, параллельной
главной, а также элемента «з (рис. 4, в).
Следующие три слагаемых правой части (13), взятые со знаком
минус, можно получить аналогичным способом (рис. 5), если вместо
главной диагонали определителя рассмотреть побочную диагональ,
на которой стоят элементы аз, 62, су
Обратимся теперь к формулам (12). В этих формулах Дх, &у,
Д2 — определители, получаемые из определителя Д заменой соот-
ветственно первого, второго и третьего столбцов этого определителя
столбцом свободных членов системы (11), т. е.
d\	b\	с\
d% ^2	с2
сз
«1
«2
«3
С1
d2 ^2
^3 е3
«1
«2
«3
61 di
62 d%
Ьз d3
- (15)
Итак, решение системы (11) записывается формулами (12), где
Д, Дх, Д^, Дг выражаются формулами (14), (15), при условии, что
Д^О.
Изложенный способ решения систем трех линейных уравнений
называют правилом Крамера.
318
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Пример 3. Пользуясь правилом Крамера, решить систему урав-
нений
{2х — у + 3z = 14,
4х + 5у — 2z — —3,
х — бу + z — 11.
Д Вычислим определитель системы Д, а также определители Д
Ду, Дг. Имеем:
3
-2 = 2-5-1 + 4(—6) • 3 + (—2)(—1) • 1 - 1 •53-
1
-1
5
-6
2
Д= 4
1
- (—6)(—2) - 2 — 4(—1)1 = 10 — 72 + 2 — 15 — 24 + 4 = -95.
Аналогично, получаем
14
-3
11
2
4
1
-1
5
-6
14
-3
11
-1
5
-6
А
—
2
4
Д? _
3
-2 = 70 + 22 + 54 - 165 - 168 - 3 = -190,
1
3
—2 =-6-28 + 132 + 9 + 44-56 = 95,
1
14
-3 = ПО + 3 — 336 — 70 — 36+ 44 = —285.
11
По формулам (12) находим решение: х — —*^=2, у = -5§_ = — 1,
z =	= 3, которое записывают так: (2;—1;3).
Ответ. (2;—1;3).	А
Рассмотрим еще один способ вычисления определителя третьего
порядка. Обратимся к формуле (13). Сгруппируем слагаемые, объ-
единяя вместе произведения, содержащие один и тот же элемент
первой строки. Получим:
Д = Щ (Ь2с3 - Ь2с3) - Ь\ (а2с3 ” а3с2) + с\ (a2b3 - a3b2).
Выражения в скобках можно записать в виде определителей
второго порядка:
= |^2	^2L	^2c3~a3c2~ Н2	Ч	a2b3-a^b2 = 1^2	?21-
|&3	с3|	|а3	с3|	|а3	о3|
Следовательно,
СХ	Ь2	С2	.	а2	С2	.	«2	^2	/ir\
а2	b2	с2	— ах	h2	z	-bx	z	z	2	h2	.	(16)
a3	b3	c3	Ьз	Сз	аз	Сз	аз	Ьз
§2. Системы линейных уравнений
319
«1 @ С1
«2 ^2 с2
«3 63 сз
«2
«3
^2 с2
/?3 сз
Рис. 6
Определители второго порядка в равенстве (16) можно получить
из определителя А, вычеркивая в нем строку и столбец, на
пересечении которых стоят элементы сц, Ь\, с\ соответственно
(рис. 6).
Запись определителя А в виде (16) называют разложением его
по элементам первой строки.
Аналогично, можно вычислить определитель третьего порядка
с помощью разложения его по элементам любой строки или столбца.
Например, разложение определителя по элементам второй строки
имеет вид
a\ b\ с\	1	*
'	Ь\	с\	। и а\	с\ а\	Ь\	/17Ч
°з i	?3=^Ьз	"	03	'?3	С2“’	Ьз'
Укажем правило выбора знака, с которым входят в разложение
определителя элементы той строки (столбца), по которой запи-
сывается разложение, Если сумма номеров строки и столбца, на
пересечении которых стоит элемент, четная, то этот элемент входит
в разложение со знаком плюс, а если нечетная —со знаком минус.
Например, в разложение (17) элементы а% и с<± входят со знаком
минус, так как они стоят во второй строке и первом и третьем
столбцах соответственно, а элемент входит со знаком плюс, так
как он стоит во второй строке и втором столбце.
2
Пример 4. Вычислить определитель — 1
3
разложения его по элементам:
а) второй строки; б) третьей строки.
3 О
4 5
1 6
с помощью
А По формуле (17) находим
4 5 = -(-1)1? 0| + 4 12 01 _5 12 31 18+48+35=101;
. с	11 Ы	13 Ы	13 II
2
-1
3
2 3
-1 4
= 45-10 + 66 = 101.
Ответ. 101.
320
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
3.	Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Пример 5. Решить систему уравнений
xi — 2х2 +	- 3%4 = 6,
2х| - 5х2 — Зх3 + х4 = -11,
5х, - 8х2 + 6х3- 4x4 = 24,	1 ’
,3%! “ хъ + хз + 12%4 = —4.
Д Умножим первое уравнение системы (18) на -2 и сложим
полученное уравнение со вторым. Затем умножим первое уравнение
на —5 и сложим с третьим. Наконец, умножим первое уравнение на
-3 и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда система (18)
примет вид
' X] — 2х2 + х3 ~~ 3%4 = 6,
<	—х2 - 5х3 + 7х4 =-23,	(19)
2х2 + х3 + 11^4 = -6,
,	5х2 “ 2%з + 21X4 = —22.
Эти преобразования проводились с целью получить систему, которая
не содержит неизвестное Х| во всех уравнениях, кроме первого.
Далее преобразуем последние три уравнения системы (19) так,
чтобы третье и четвертое уравнения новой системы не содержали
неизвестное х2. С этой целью умножим второе уравнение си-
стемы (19) на 2 и сложим с третьим уравнением, а затем умножим
второе уравнение на 5 и сложим с четвертым. В результате получим
следующую систему:
f Х[ — 2х2 + Хз — 3x4 = 6,
-х2- 5х3+ 7х4 = -23,
<	-9х3 + 25х4 = -52,	1 '
„	— 27х3 + 56x4 = —137.
Умножим третье уравнение системы (20) на —3 и полученное
уравнение сложим с четвертым. Тогда система примет вид
{Х| — 2х2 + х3 - Зх4 = 6,
-х2 - 5х3 + 7х4 = -23,
-9х3 + 25x4 = -52,	1 ’
—19x4 = 19.
Из последнего уравнения системы (21) находим х4 = -1, затем
из третьего уравнения получаем х3 = 3, из второго имеем х2 = 1
и, наконец, из первого находим х\ = 2. Итак, система (21) имеет
следующее решение: Х| = 2, х2 = 1, х3 = 3, х4 = — 1.
§2. Системы линейных уравнений
321
Заметим, что если одно из уравнений системы (18) заменить
уравнением, которое получено почленным сложением этого урав-
нения и любого другого уравнения, умноженного на некоторое
число, а остальные уравнения оставить без изменения, то новая
система имеет то же множество решений, что и первоначальная
система (равносильна системе (18)). Отсюда следует, что каждая из
систем (19), (20), (21) равносильна системе (18).
Таким образом, система (18) имеет единственное решение jq=2,
%2 = 1» хз — 3, хд = — 1.
Ответ. (2;1;3;—1).	▲
В процессе решения система (18) была преобразована к треуголь-
ному виду (21) методом Гаусса.
Пример 6. Решить методом Гаусса систему уравнений
{Х[ — 2х2 + 3%з — 5,
2%] — 3%2 + 4%з = 7,	(22)
3%1 — 7x2 + 11%з = 21.
Д Умножим первое уравнение системы (22) на —2 и прибавим
ко второму уравнению. Затем умножим первое уравнение на —3
и прибавим к третьему уравнению. Тогда получим систему
f xi — 2x2 + 3%з = 5,
< х2 - 2х3 = -3,	(23)
—Х2 + 2%з = 6,
равносильную системе (22). Система (23) не имеет решений. В самом
деле, третье уравнение можно записать так:
Х2 — 2%з = —6.
С другой стороны, в силу второго уравнения,
х2 - 2х3 = -3.
Эти равенства не могут одновременно быть верными. Итак, си-
стема (23) несовместна, а поэтому несовместной является и си-
стема (22). Легко проверить, что определитель системы (22) равен
нулю.	▲
Задачи
1.	Вычислить определитель:
3	4	2	-3	1	8	0,1	-0,5
-1	2	’ Z) -5	4	’	°' 2	0	’ v 2	-10
11—2549
322
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
2. Доказать следующие свойства определителя:
О
2)
3)
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ь\
ь2
ai
а2
ka\ kb\ _ . aj
«2	<	~
a\ F ka<2
a2
С|
= (-1) °2

а2
Ь\ 4- /г/?2
Ь‘2
А2 =<-')
Ь\ '
Ь\ .
Ь2 ’
а\
' а2 Ь2'
Ь\
Ь2
.
а2 ’
Пользуясь правилом Крамера, решить
рх 4//= 7,
'	— 3;
Зх Ъу = - 8,
7х 4// = -2;
Доказать, что при
решение, и найти
{3v 1- ау — а,
п 2 .
ах 2у -- а |
Найти все значения а
5)
систему
6х | 7у — 9,
Зх - у — —13;
\х ~ 1У = ' ’’
.Iх" 1У = |;
любом значении а данная
это
уравнений:
Г9х- 11// = 1,
' [6х —7// —2;
f +	= - 2-
|х+^ = 10.
5	4
6)
4;
система имеет единственное
решение:
2) рх \-4у=- а,
\ х-[3ау — 1.
и Ь, при которых система уравнений
(Зх — Ау — 12,
[9х +• ay — b
1)	нс имеет решений;
2)	имеет бесконечно много решений;
3)	имеет единственное решение.
Найти все значения а, при которых не имеет решений система уравнений:
(ах 4- Зу = а2 4-1,
t (За 4- 14)х 4- (а 4 8)// — 5а2 4
Вычислить определитель:
2 1
1) 4 2
6
3
7
9 ;
II
2
2) 1
3
3
2
8
5
4 ;
10
5;
3)
4
5
Вычислить определитель
3
—2
О
О
6
—4
5
1
с
2ах 4- у — а2 — 2а,
— 10% 4- (а — &)у = 10а — 5а2.
8
-2
6
5
-3 ;
2
3
4) 4
-5
8
5
6
3
помощью
разложения
его по
элементам:
1) второго столбца; 2) первой строки.
Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений:
r 2x — Ay 4- z — 3,
1) < x - 3y 4- 3z = —1,
,x — у 4- z — 1;
r x - у — 2z — 1.
3)	— у — z — 2,
— 2y — 3z — 3;
г х — 2у 4- 4г = 5,
2) < Зх 4- Ay - z — -1,
,2х 4- у — 2z — —5;
г х. -- у — z — -8,
4) lx-уу — Z — А,
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
323
10.	Доказать следующие свойства определителя третьего порядка:
1)	если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых
столбца, то он равен нулю;
2)	если в определителе поменять местами две строки или два столбца,
то модуль определителя не изменится, а знак изменится на противопо-
ложный;
3)	если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы
другой строки, умноженные на одно и то же число, то величина
определителя не изменится.
11.	Найти все значения Ь, при которых для любого значения а существует
тройка действительных чисел (x,//,z), удовлетворяющих системе уравнений
{х Г ay — z2 - 1,
ax ] у - z | b.
12.	Решить методом Гаусса систему уравнений:
{х -Г у - z — 4,
х - у -р z — 6,
х — у - z — 8;
(х - у — z = 2,
х у 2z — 1,
х 2у - 3z — 3\
2х] — 4х2 Г Аз Зхд — 2,
4х| — 7%2 — Аз '	= 5,
10xj — 18х2 -I- 2х3 - 23х4 — 3,
<2х| - Зх2 Г х3 Х4 — 0:
г2х[ — Х2 -I х3 -| Х4 — О,
X) — 2x2 ~хз Х4 — 3,
xj Г х2 - 2х3 4 Х4 — 5,
. Х[ — Х2 4- х3 4- 2x4 — - 1
13. Пользуясь методом Гаусса, показать,
решений:
что система уравнений не имеет
' 2х 4 у - z — 1,
' х 4- у — г — 4,
х — у 4- г — —2,
кх — Ъу 4- 5г — 1;
2) х у F 2z — 4,
, 5х 4- Зу bz — 3.
Ответы
1. 1) 10; 2) -7; 3) -16; 4) 0.	3. 1) (1;-1); 2) (-2;3); 3) (5;4); 4)
\ ZO ZO /
5) (8;9); 6) (15;-8). 4. 1) (а; -2); 2) (-1;0). 5. 1) a = -12, b = 36; 2) a =
= -12, />036; 3) a 0-12. 6. 1) 6; 2) 5. 7. 1) 0; 2) -8; 3) 0; 4) -80.
8. -102. 9. 1) (2;0;-1); 2) ( 1;1;2);3) (0;—3;1); 4) (5;6;7).	11.
12. 1) (5;6;7); 2) (0; —3; 1); 3) (1;2;3;-1); 4) (1;0;-2;0).
§3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
1. Однородные системы
Многочлен Р(х,у) называют однородным многочленом сте-
пени п. если P(tx,ty) = tnP{x.y\ Например, многочлен Р(х,у) =
= 2х3 4~ Зх2//4~ 4//3 является однородным многочленом третьей степени.
324
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Систему двух уравнений с двумя неизвестными вида
а\х2 4- Ь\ху 4- щу2 = d\,
а2х2 + b2xy + с2у2 = d2
называют однородной, так как левые части уравнений системы
представляют собой однородные многочлены второй степени.
Рассмотрим сначала пример однородной системы, в которой одно
из чисел d\, d% равно пулю.
Пример 1. Найти действительные решения системы уравнений
( Зх2 + ху -2у2— С,	(1)
I 2х2 — Зху + #2 = — 1.	(2)
А Если у = 0, то из уравнения (1) следует, что х = 0. Однако
пара чисел (0; 0) не удовлетворяет уравнению (2), а значит, нс
является решением исходной системы. Поэтому, разделив обе части
уравнения (1) на г/2 / 0, получим уравнение
3 f-V 4---2 = 0,	(3)
\у)	у
V	X	о
откуда находим, что -	= — 1	или	- —
У	у	3
Система уравнений (3) и (2), равносильная исходной системе,
равносильна совокупности двух систем:
2х2-Зху + у2 = -1,	[2х2 -Зху + у2 = -1.
Из первой системы получаем уравнение, не имеющее действительных
корней. Из второй системы следует, что х2 = 4, откуда х = ±2.
Таким образом, система имеет два действительных решения: (2; 3)
и (—2; —3).
Ответ. (2; 3), (-2;-3).	▲
Пример 2.
Решить систему уравнений
Г х2 + Зху + 2у2 = 3,
(5х2 — 2ху — у2 = 5.
Л Сведем эту систему к однородной системе вида (1)-(2). С этой
целью вычтем из второго уравнения, умноженного на 3, первое
уравнение, умноженное на 5. В результате получим уравнение
10х2 - 2\ху - \3у2 = 0,
которое вместе с первым уравнением образует систему, равносильную
исходной.
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
325
(4)
Это уравнение равносильно уравнению
10 (02-21^ - 13 = 0,
если у 0 (при у — 0 система несовместна).
Отсюда находим х = -|, х = ^-у.
Л	о
Если х = —|, то из первого уравнения исходной системы получаем
г/2 = 4, откуда z/| = 2, z/2 = — 2. В этом случае система имеет два
решения: (—1;2) и (2;—1).
Аналогично, если х, = ~у, то z/2 = -3^-, ц = х = ±—
5^	138	У138 VT38
Ответ. (—1;2), (2;—1), (А; 5 \
\\/138 >/1387 \>/138 >/1387
Замечание. Если разделить почленно уравнения исходной системы,
а затем разделить числитель и знаменатель в левой части полученного уравнения
2
на у , то в результате придем к уравнению
/ \2	/ \
5
+ 2
= 3
5’
которое можно записать в виде (4).
Пример 3. Найти действительные решения системы уравнений
Г х3 + у3 = 7,
[х2у + ху2 — —2.
Д Разложив левые части уравнений на множители, запишем систему
В ВИДв	Л/ ч/ 9	9\
f(x + #)(x2-xz/ + z/2) = 7,
\(х + у)ху = -2.
Разделив уравнения этой системы почленно, получим уравнение
^_1+V=_7
У х 2’
которое вместе с первым уравнением исходной системы образует
систему, равносильную исходной.
Полагая получаем 2/2 + 5/ + 2 —О, откуда t[ = — 2,	=
х	2
т.е. у =—2х или у =Если у — —2х, то из первого уравнения
находим х3 = —1, откуда xi = — 1 (другие корни уравнения х3 = — 1
не являются действительными) и поэтому у\ = 2.
Аналогично, если у = — |, то х3 = 8, откуда х = 2, у = — 1.
Ответ. (-1;2), (2; -1).	▲
12—2549
326
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
2. Симметрические системы с двумя неизвестными
Пусть система
Г/и,//) = о,
Vu,^) = o
такова, что f(x,y) и g(x,y) являются симметрическими многочленами,
т. е. многочленами, которые не изменяются при замене х на у, а у
на х.
Такие системы называют симметрическими. Простейшей систе-
мой этого типа является система
(* + » = “•
[ху = Ь.
Используя теорему Виета, можно доказать, что система (5)
и квадратное уравнение
/2 — at 4- Ь — 0	(6)
связаны следующим образом: если t\ и /2~КОРНИ квадратного
уравнения (6), то система (5) имеет решения и и не
имеет других решений. Обратно, если (х0;//0) — решение системы (5),
то хд и i/о —корни уравнения (6).
Например, система
(х + у = 5,
\*У = 6
имеет два решения (2;3) и (3;2), так как уравнение /2 — St 4-6 = О
имеет два корня t\ =2, t% = 3.
Многочлены х 4- у и ху в левых частях уравнений системы (5)
являются простейшими симметрическими многочленами, а любой
симметрический многочлен от х и у можно представить в виде
многочлена от и и v, где и = х 4- у, v = ху.
При решении симметрических систем часто приходится выражать
через и и v многочлены вида
Sn=xn + yn.
Суммы S2, S3, S4, S5 выражаются через и = х + у и v = ху
следующим образом:
S2 =	х2 4- у2 = и2 — 2у,	(7)
S3 =	х3 4- у3 ~ и3 — 3uv,	(8)
S4 =	х4 4- у4 = и4 — 4tz2u 4- 2и2,	(9)
S5 =	х5 4- у5 = и5 — 5и3у 4- Suv2.	(10)
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
327
О Докажем формулу (10), используя легко проверяемые формулы (7)
и (8). Имеем: S5 = х5 4- у5 = (х3 + г/3)(х2 + у2) — х2у2(х + у) —
= (u3 — 3rw)(w2 — 2v) — uv2 = u5 — 5u3u + 5ш>2.	•
Пример 4. Найти действительные решения системы уравнений
( х4 — 4х2#2 4- у4 = 46,
[х2 — Зху 4- у2 = 1.
Д Полагая x+y = u, xy = v и используя формулы (7) и (9), получаем
систему уравнений
(u4 — 4u2v — 2v2 = 46,
\и2 - 5^ — 1.
Уравнение v2 + 2v— 15 = 0, полученное из этой системы в результате
исключения из нее и2, имеет корни v\ =3, v% = — 5. Если v = — 5, то
^2 = 5и4-1 = —24. В этом случае система не имеет действительных
решений. Если v = 3, то и2, = 16, и = ±4. Следовательно, исходная
система равносильна совокупности двух систем
(х+у = 4, <х + у = -4,
\ху = 3; \ху = 3.
Решение каждой из них находится как решение симметрической
системы типа (5).
Ответ. (1;3), (3; 1), (—1; —3), (—3; — 1).	▲
Пример 5. Найти действительные решения системы уравнений
{х2 4- ху 4- у2 = 3,
*54-//5 = 311
х3 4- z/3	7
Д Воспользуемся формулами (7), (8), (10). Тогда система примет
вид	/ о
| и2 = v 4- 3,
\ u5 — 5w3y 4- 5rw2 _ 31
I w3 — 3uv 7
Так как u^Q (при u = 0 второе уравнение системы теряет смысл),
то, разделив числитель и знаменатель дроби на и и исключая из
системы и2, преобразуем второе уравнение к виду 7и2 — и —30 = 0,
о 15
откуда v\ = -2,	= у-
328
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Если v — — 2, то w = ±l, а если и=у, то и — Поэтому
исходная система равносильна совокупности следующих четырех
систем:
Jx + y — 1,	(х-1-у = —1,
\ху — —2;	\ху — —2;
^у = у;	1^=7-
Первая система имеет решения (—1;2) и (2;—1), вторая — решения
(—2; 1) и (1; —2), третья и четвертая системы не имеют действительных
решений.
Ответ. (—1;2), (2; —1), (-2; 1), (1;-2).	▲
Замечание. К системе симметрических уравнений иногда бывает удобно
свести иррациональное уравнение. Например, при решении уравнения
\А | 3 4 v/94 - х - 5
можно ввести вспомогательные неизвестные и = \^х 4- 3, v— \/94 - х и получить
систему
{и I v — 5,
и4 4- V4 = 97.
3. Различные типы систем двух уравнений
с двумя неизвестными
Пример 6. Найти действительные решения системы уравнений
х2 - 4х + 4z/ + 27 = О,
у1 + 2х 8у + 10 = 0.
Л Сложив уравнения системы, получим уравнение
х2 — 2х + 1 + у^ -J- 12у 4~ 36 — 0,
которое можно записать в виде
(х-1)24-(// + 6)2 = 0.
Так как хЕЙ, у е R, то из последнего уравнения, которое является
следствием системы, находим
X — 1, у = —6.
Таким образом, система может иметь единственное действительное
решение (1;—6). Проверка показывает, что пара чисел (1;—6)
удовлетворяет каждому из уравнений системы.
Ответ. (1;—6).	▲
§3 Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
329
Пример 7. Решить систему уравнений
Г Зх2у2 — х2 — 2ху — 12 = 0,
(5х2у2 — 2х2 4- Зху — 6 = 0.
Л Чтобы исключить из системы х2, сложим первое уравнение,
умноженное на 2, со вторым уравнением, умноженным на — 1.
Получим уравнение
(ху)2 — 7ху —18 = 0,
откуда ху = 9 или ху = —2.
Таким образом, исходная система равносильна совокупности
следующих двух систем:
{ху = 9,	fxy = — 2,
Зх2у2 — х2 — 2ху —12 = 0; (Зх2у2 — х2 — 2ху — 12 = 0.
Из первой системы следует, что х2 = 213, х = ±л/213, а из второй
получаем х2 = 4, х = ±2.
Ответ- А
Пример 8. Найти действительные решения системы уравнений
{г3
у - 2ху = 16,
+ Зху = 25.
2х *
Л Запишем систему в виде
- = 16 + 2ху,	(11)
у- = 50 - Ьху.	(12)
Перемножив почленно уравнения этой системы, получим урав-
нение	о
13(xz/)2 - 4xi/ - 800 = 0,	(13)
которое вместе с одним из уравнений системы (11)-(12) образует
систему, равносильную исходной.
Из уравнения (13) находим
_ 2 ± V4 + 10400 _ 2 ±102
ХУ	13	13 ’
т-е'	й	100
xz/ = 8 или ху = -—.
330	Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Если ху — 8 = 23, то из уравнения (11), записанного в виде
— = 16 4- 2ху, следует, что х4 = 28, откуда xi =4, х% = —4, и тогда
ху
z/1 =2, у2 = ~2.
О	100	4	800
Если ху=——, то х^ = ——. Это уравнение не имеет действи-
тельных корней.
Ответ. (4;2), (-4;-2).	▲
Пример 9. Найти действительные решения системы уравнений
। У4 %2 । 2
ху+ — = — +у,
* У
1 + 4+4=о.
У х1 х1
1\ Так как ху 0, то, освободившись от знаменателей, систему
можно записать в виде
|t/2(x2 + t/3) = x(x2 + t/3),
V2 + t/3 = -41/.
Если х2 4- z/3 = 0, то из второго уравнения следует, что у — 0, что
невозможно.
Если г/2 = %, то из второго уравнения системы следует, что
у3 + у2 + 4 = 0 или (z/4-2)(z/2 — 4-2) = О, откуда у = — 2 (уравнение
z/2 — у + 2 = 0 не имеет действительных корней). Итак, у = —2,
х — у1 — 4.
Ответ. (4;—2).	▲
Пример 10. Решить систему уравнений
(2х2 - ху - у2 - 10% - 8у - 12 = О,
^2х2 + 3xz/ + у2 + х — у — 6 = 0.
Л Будем решать уравнения системы как квадратные относительно
одного из неизвестных, например у.
Запишем первое уравнение в виде
у2 + у(х + 8) - (2х2 - 10х - 12) = О,
откуда
= -(х 4- 8) ± у/х1 + 16х 4- 64 4- 8х2 - 40х - 48 _ -(х + 8) ± (Зх - 4)
У	2	2
у = — 2х-2 или у = х — 6.
Отсюда следует, что первое уравнение системы можно записать
в виде
(у 4- 2х 4- 2)(z/ — х 4- 6) = 0.
§3 Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
331
Аналогично, второе уравнение можно записать так:
(// + х + 2)(у + 2х - 3) = 0.
Следовательно, исходная система равносильна совокупности четырех
систем:
1 \ Г У + 2 = 0,	С у + 2х + 2 = 0,
1) <	2) <
(// + % + 2 = 0;	+ 2х — 3 = 0;
3)р/-*+6 = °,	4Л//-*+б = о,
\у + х + 2 = 0;	\у + 2х — 3 = 0.
Первая, третья и четвертая системы имеют соответственно решения
(0;—2), (2;-4), (3; —3), вторая система несовместна.
Ответ. (0;-2), (2;-4), (3;-3).	А
Пример 11. Найти действительные решения системы уравнений
'х5 + 4х4 + 5z/2 = 0,
<	3	9
* - “о = ХУ - У •
Xz
Д Второе уравнение исходной системы при х 0 равносильно
каждому из уравнений
2 (	у2\	(	у^\
У )	у	АГ у
(2 \
х4+)=0-	(14)
АГ у
Заметим, что если /у = 0, то из второго уравнения исходной системы
следует, что х = 0, а при х = 0 второе уравнение теряет смысл.
V2
Из уравнения (14) получаем: либо х2 = у, либо х++т = 0.
а)	Если х2 = у, то из первого уравнения исходной системы
находим xz/2 + 9z/2 = 0, откуда х = —9, так как у ф 0. Тогда
у = х2 = 81. Пара чисел (—9; 81)— решение исходной системы.
2
б)	Если х++у = 0, то х3 + у2 = 0. Из первого уравнения системы
находим
х5 + 4х4 — 5х3 = 0 или х2 + 4х —5 = 0 (х^4 0),
откуда
xj = —5, х2 = 1.
Пусть х = —5, тогда у2 = 125, откуда у = ±5\/5.
Пусть х = 1, тогда z/2 = —1. Это уравнение не имеет действительных
корней.
332
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Таким образом, система имеет три действительных решения.
Ответ. (-9;81), (-5;5>/5), (—5; —5л/5)	▲
4.	Системы иррациональных уравнений
с двумя неизвестными
Пример 12. Решить систему уравнений
'о /I _ HL=L
< \! у V %	2’
ус + У — Х,у = 1.
Д Первое уравнение подстановкой = t преобразуется к виду
4/2 - 7t - 2 = 0.
Это уравнение имеет корни t\ = 2 и /2 = —Если / = 2, то х = 4г/
и из второго уравнения следует, что 4z/2 — 5у+1 = 0, откуда находим
у\ = 1,	Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что
пара чисел (4;1) является ее решением, а пара (1;4) не удовлетворяет
первому уравнению.
Ответ. (4; I).	А
Пример 13. Решить систему уравнений
у/1х — у 4- ^/2х — у = 5,	(15)
>/2х- у + х + у = 1.	(16)
Д Умножая обе части уравнения (15) на выражение
у/7х — у — у/2х — у, сопряженное левой части этого уравнения,
получаем
5х = 5(\/7х — у — д/2х — у), или
у/7х — у = у/2х — у + х.	(17)
Из уравнений (17) и (16) следует, что
у/2х — у = I — у — х,	(18)
д/7х-г/ = 1-г/.	(19)
Складывая почленно уравнения (18) и (19), получаем
у/7х — у 4- у/2х — у = 2 — 2у — х.	(20)
Но тогда из (20) и (15) находим 2 — 2у — х = 5, откуда
х = —2у —3.	(21)
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
333
Каждое из уравнений (17)-(21) является следствием си-
стемы (15), (16). Исключая х из системы (19), (21), получаем
\/-5г/ - 6 = 4 + г/,
откуда у2 + \3у + 22 = 0, у\ = —11, z/2 = -2.
Соответствующие значения х находим по формуле (21):
Х[ = 19, %2 — 1-
Проверка показывает, что пара чисел (ху,у[) не является решением
системы, а пара чисел (1;—2) образует решение системы.
Ответ. (1;—2).	▲
Замечание. Легко убедиться в том, что «.лобовое» решение, основанное
на избавлении от корней в исходной системе с помощью возведения в квадрат,
связано с преодолением немалых трудностей.
Пример 14. Решить систему уравнений
у/х 4-у + \Д + 2// = 1°,
у/х + у 4- 2% 4- у = 16.
Д Пусть и = у/х 4- у, v = у/х 4- 2у, тогда
х + у = и\ %4-2у = у2,
откуда
х = 2u2 - v2, у = v2 — и2.
Поэтому исходная система примет вид
и 4- v = 10,
и 4- 3u2 — v2 — 16,
откуда 2u2 4-21u — 116 = 0, щ= -у, tz2 = 4.
Так как и 0, то и — 4, т. е.
у/х4-у = 4, v= у/х4-2у = 6,
откуда х4- у = 16, х 4- 2у — 36, х — — 4, у = 20.
Ответ. (-4;20).	▲
Пример 15. Решить систему уравнений
f 2 4- бу = - — у/х — 2у,
< /--------------------/—
Jх 4- у/х — 2у = х 4- Зу — 2.
Д Область определения системы — множество таких точек, что
х 2у, у ^4 0, х 4- у/х- 2у 0.	(22)
334
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Пара чисел
Преобразуем первое уравнение системы так:
2г/ + 6z/2 = х -yyfx^Ty,
{у/х^2у}2 - У\/х^У ~ 6г/2 = О,
(^х-2«/ - 3«/)(\/x-2t/ + 2t/) = 0.
I)	Если yfx — 2z/ — 3y = 0, to
\А~2г/ = Зг/, у > 0.	(23)
Из (23) и второго уравнения системы получаем
\/х + Зу = (% + Зу) — 2, или (д/х + Зу —2)(x/% + 3z/+ 1) = 0,
откуда у/х + 3у = 2, так как у/х + 3z/ +1 > 0. Тогда х + 3у = 4,
х = — Зг/ + 4. Отсюда и из (23) находим
а/4 - 5г/ = 3//, 9г/2 + Ьу - 4 = 0, г/| = -1, у2 =
У
-г	\ п	4	8
Так как у 0, то у = - и х=
удовлетворяет условиям (22).
2)	Если у/х — 2у = ~2у, то у^О и x~2y = 4y^t а из второго урав-
нения находим у/х — 2у = х + Зу — 2. Поэтому х-\-Зу — 2 = —2у,
х _ 2 — 5z/, 2 — 7у — 4у\ у\ = | (не годится), у% = —2, х% = 12.
Пара чисел (12;—2) — решение исходной системы.
Ответ.	(12;-2).	▲
Пример 16. Решить систему уравнений
'	+ *- V*2 - г/2 _ Г7
< х — yfx% - </2 х + ^/х2 — z/2
кх(х + у) + \/х2 + XI/ + 4 = 52.
А Освобождаясь в первом уравнении от иррациональности в зна-
менателях, получаем
4х2 - 2</2 _ 17
У2 4 ’
5	5
откуда x—-yw х = ~-у.
Полагая во втором уравнении t = у/х? 4- ху + 4, имеем
/2 + t - 56 = 0,
откуда t\ —7t — Отбрасывая корень ^<0, получаем x2+xz/ = 45.
§3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными
335
Решив две системы уравнений
х2 4- ху = 45;
Х = ~^У’
х2 + ху — 45,
найдем четыре решения, которые,
творяют и исходной системе.
Ответ. (5;4), (-5;-4), (15;-12), (-15; 12).
как показывает проверка, удовле-
1.
2.
3.
4.
5.
Задачи
Найти действительные решения системы уравнений:
Гх3 4-х3»/3 4-г/3 = 17,
(х 4- ху 4- у = 5;
Г2(х4-»/) = 5х(/,
' (8(х3 4-»/3) = 65;
Найти действительные ]
Г2х2 4-хг/- Зг/2 — О,
[ х2 4- Зху 4- 2у2 — 1;
(х2 — 6х — Зу — 1 — О,
tу2 4- 2х 4- $у 4-14 = 0;
Решить систему уравнений:
г ХУ 4- х + 2г/ _ g
Х£/
X#
(х3 -\~2х2у — ху2 -2у3 = 0,
3) Ь2+/ = 8;
Найти действительные
2х2у — х4 = 3,
2у3 - х2у2 = 4;
гх4
~п+ху = 72,
/J4
4- ху = 9;
k xz
г X3 у3 X2
^+7 = ^ + 7’
!+4+1?^0;
k у х3 х2
{9	9
X + У =х + у,
X4 + у4 = g(x-l-f/)2;
4) Р +
' (х0 + У5 = 31
решения системы уравнений:
х3-»/3 = 7,
9	9
х у — ху = 2;
х2 4- 7х — у 4-11 = 0,
у2 4-Зх — у 4-15 = 0.
2)
4)
1)
3)
5)
x4-2z/
ху
х-2у
решения
2)
4)
6)
(х2 + ху+±у2-х-±у = 2,
1 1 9	9
( -х — ху 4- у 4- 2у — х = 3;
(х4 +х2у2 + у4 = 133,
(х2 — ху + у2 = 7.
системы уравнений:
'х4 4- 4х2£/ = -3,
х2*/2 4- 4у3 = -1;
Гх3
— 4- Зху = 25,
и3
----2ху — 16;
-+х4у = -^+х2,
У	ху2
- 4- х2у2 4- 4f/2 = 0.
Решить систему уравнений:
{/72
^(24-х)=4г/-Зх,
xz
2у2 — Зху = 4у —х2;
2)
X2
^(1-2»/) = 4x4-2»/,
У
2х24-х(/=х4-»/2;
336
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Г8х2 — 2ху—у2 — ЗОх —9// —8 —О,
18х2 4- бхг/4-у2 — 2у — 8 — О;
6. Решить систему уравнений:
( /*_ [1 = 1
I) < у у ух 2’
[ х 4- у 4- ху = 9;
Г \/х + У + д/2х 4- </ + 2 — 7,
[Зх 4 у = 23;
5) f 243'/1~х *’
[7^/Зг/ 4-х 4- 22г/ 4- 5х = 13;
Г Зх - 1 = £ + 2ух 4 у,
\х/уТ^/х + у-у-Зх- 6;
7. Решить систему уравнений:
о
( у/х+Ц + ух - I/ + 11 = 5;
(х2+2ху — 8у2 + 9х+ЗОу+8=О,
[х2+ 6х</+8</2 — 2х- -8 = 0.
2)
4)
( у/5у — х + х = 3,
(у/2у — х + х + у = 3;
6)
8)
2)
Г10(х-//)-х4 = 9,
1У'7 + i/f/-2x = У2;
{Ух — Зу — у5х — г/ = 2,
1бУ5х — у + 22х + 4у — 15;
П 5«/= £ -бух-у,
[ Ух — ух — I/ - х — Зу - 6
з /*/ 4-1 _ 2 з /х ~ I __ ।
у х — 1 у у 4-1	’
х/х+у 4- Ух- 1/4-6 = 4;
J</Зх - 2</4-94- У2х4 // 6^3,
[ УЗх 2г/4-9 — д/2х 4- f/ - 6 = 3;
J У25 -X2 - У25^/ - У8,
' 1 У25-х2 + У 25- j/2 = у 16 + (x + z/)2.
Ответы
1.1) (1;2), (2;1); 2)(0;0). (1;1); 3) (2;1), (1;2); 4)(2;-1),
(-1;2); 2. 1) (3;-2), (~3;2); 2)(-1;-2), (2; 1); 3)(2;-3); 4) (-5; 1);
3.0 (2 + 2^з;1 + > (2-2^1->2)(^-5).
(-Н)- з> I-2.-2»- ®2>> <-2-2>- <2--2>- (-4Л;2Л)' (4Л;-2Л);
4) (-3;-2), (3;2), (-2;-3), (2;3). 4. 1) (У3;2), (-У3;2); 2) (УЗ;-1),
(-УЗ;-1); 3) (4;2), (-4;-2); 4) (2; 4), (-2;-4); 5) (4;-2); 6) (-2;^).
5-« (-пой)-|6;9,; 2> (-?-9- (Н); 3> (М- <2--4>-
4) (З;-!),^^), (-5;|). 6. 1) (4;1), (-9;-|);2) (1;1);3) (5;4), (-9;25);
4) (1;2), (-1;0); 5) (13;-3); 6)	7) (6;30),	; 29-^—
8) (42; 6), ^47 + л/229. 2 +>/229)	7 t) (7; _7)>	2) (2; 7),
(5;-5); 3) (3; 1); 4) (-2У2 + УЗ;-2У2 - УЗ), (2У2 - УЗ; 2л/2 + УЗ),
/(Л/г. туА / 5у/2.7>/2\
2 ’	2^4 2’2/
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
337
§4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
1. Основные приемы решения систем
В § 1 на примере систем с двумя неизвестными были даны опре-
деления равносильности и следствия систем, а также рассмотрены
свойства преобразований, которые часто используются при решении
систем уравнений.
Для систем с тремя неизвестными определения равносильности
и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются
аналогично.
Будем рассматривать системы вида
h(x,y,z) 3=0,
f2(x,y,z) = 0,
f3(x,y,z) = 0,
(1)
где /1, /2. /з являются либо многочленами от х, у, z, либо пред-
ставляются в виде отношения многочленов.
Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными
следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при
решении систем (для краткости х, у, z в записи уравнений опущены).
1° Если /| = gig2> где g\ и g2 — многочлены, то система (1)
равносильна совокупности систем
'g\ = о,
< /2 = 0,
U = 0;
'ё2 = 0,
< /2 = 0,
1/3 = 0;
(2)
(3)
и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть
объединение множеств решений систем (2) и (3).
2° Если уравнение
F(x,y,z) = 0	(4)
есть следствие системы (1), то система
/1=0,
/2 = 0,
/з = 0,
F = 0
338
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
равносильна системе (1). То есть при добавлении к системе (1)
еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы,
получается система, равносильная системе (1).
3° Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем F = F\F%,
где F\ и /^ — многочлены, то система (1) равносильна совокупности
систем
(Л = О,
1/2 = 0,
]/з = 0,
И) =0;
(/1=0,
/2 = 0,
/з = 0,
,Е2 = 0.
4° Система (1) равносильна каждой из следующих систем:
7i-/2 = o,
< /2 = 0,
7з = 0;
/1 +/2 = 0,
/1-/2 = 0,
/з = 0;
/1+/2 = 0,
/1 +/з = 0,
/2 + /з = 0.
Более общим является следующее утверждение: система
«1/1 + b\h + с1/з = 0,
аг/| + ^2/2 + сг/з = 0,
аз/1 + йз/г + сз/з = О,
полученная из системы (1) линейным преобразованием, равносильна
системе (2), если определитель этого преобразования отличен от
нуля, т. е.
<21
02
«з
Ь\
Ьз
Q
с2
03
/0.
5° Если уравнение f\(x,y,z) = 0 равносильно уравнению x = <p(t/,z),
где <р —многочлен от у и z, то система (1) равносильна системе
x = fp(y,z),
f2(cp(y,z),y,z) = 0,	(5)
/з(’?(У,2),'/)2) = О.	(6)
Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных:
система (1) сводится к системе (5)-(6) с двумя неизвестными.
Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем
с тремя неизвестными, отметим, что общих рецептов для нахождения
решений систем нет. Каждый раз нужно учитывать конкретные
особенности рассматриваемой системы.
Обратимся сначала к системам с тремя неизвестными, которые
сводятся к кубическим уравнениям. К таким системам относятся
системы симметрических алгебраических уравнений, т. е. системы
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
339
вида (1), где /], fa. fa — многочлены, каждый из которых не меняется,
если поменять местами элементы любой пары из трех переменных
х, у. z. В этом случае удобно ввести новые неизвестные
и — х 4- у 4- z, v — ху 4- xz 4- yz, w = xyz.
Простейший пример системы рассматриваемого типа —система
{х + у + z = а,
ху + xz 4- yz = b,	(7)
xyz — с.
Система (7) и кубическое уравнение
/3 — at2 4- bt — с = 0	(8)
связаны следующим образом.
Если t\, fa. fa — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть
решений: (/ь^з)» Gi; *з; (^в^зХ (*2;*з;М» Оз;М, O3O1O2),
получаемых всевозможными перестановками трех чисел t\. fa, fa.
Обратно, если (хо;уо; zo) “ решение системы (7), то хо, уо, го —
корни уравнения (8) Доказательство этого утверждения основано
на использовании формул Виета для корней уравнения (8):
{6 + fa + fa — а->
t\fa 4- fafa 4- /3Z1 = b,
t\fafa = c.
Для сведения систем симметрических уравнений типа
{x + y + z — A,	(х2 4- у2 4- z2 = А,
х2 4- у2 4- z2 = В, < ху 4- xz 4- yz — В,
xyz — C\	\xyz = C\
rx 4- у 4- z — A, (x + y + z = A,
< x2 4- y2 4- z2 = B, < xy 4- xz 4- yz = B,
^x3 4-y3 4- z3 = C; (x3 4-y3 4- z3 = C
к системам вида (7) можно использовать следующие тождества:
х2 4- у2 4- z2 = (х 4- у 4- z)2 - 2(ху 4- xz 4- yz),	(9)
(х 4- у 4- z)3 = х3 4- у3 4- z3 4- 3(х 4- у 4- z)(xy 4- xz 4- yz) — 3xyz, (10)
(х 4- у 4- z)(x2 4- у2 4- z2 - ху — xz — yz) — х3 4- у3 4- z3 — 3xyz. (11)
340
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
2. Примеры
Пример 1. Решить систему уравнений
г х + у 4- г = 2,	(12)
< х2 4- у2 + г2 = 6,	(13)
< х3 + г/3+ г3 = 8.	(14)
Л Сведем исходную систему к системе вида (7). Используя первые
два уравнения системы и тождество (9), получаем
ху 4- xz 4- yz = — 1.	(15)
Применяя формулу (11) и равенства (12)—(15), находим
xyz — —2.
Следовательно, исходная система равносильна системе (7), в ко-
торой a = 2, Ь = — 1, с = ~2. Уравнение (8) в этом случае записывается
В ВИДС	о Л о ~
/3 _ 2/2 - / + 2 = О
и имеет корни 1, — 1, 2. Поэтому система имеет 6 решений,
получаемых перестановкой чисел 1, —1, 2.
Ответ. (1;-1;2), (1;2;—1), (~ 1; 1;2), (-1;2; 1), (2;1;-1), (2;-1; 1).
Пример 2. Решить систему уравнений
(2х-г/)2 = 44-г2,
(г — у)2 = 2 4- 4х2,
(г4-2х)2 = 3 4- г/2.
А Введем обозначения 2x = u, —y = v и запишем исходную систему
в следующем виде:	✓	4 [ и 4- v — г —	. и 4- v 4- z V + Z — U = 			, и 4- о 4- z \z-Yu-v—			. w + u4-z
Сложив уравнения этой системы и положив u-\-v + z = C получим
уравнение t = откуда t\ =3, /2 — ~3.
С использованием обозначения t последнюю систему можно
записать в виде
' t — 2г =
г’
< t — 2u —
§4 Нелинейные системы с тремя неизвестными
341
откуда легко находятся искомые переменные u, v и z при подстановке
каждого из найденных значений t.
Если t = 3, то
7	5
Аналогично, если / = —3, то х = — —, у = 1, z — —
12	6
Пример 3. Решить систему уравнений
xyz _ 6
х -I- у 5 ’
xyz _
У \-z~ 1
xyz __ 3
2 1-Х	2'
А Так как правые части уравнений системы отличны от нуля, то
xuz^O. Полагая — = и, — = v, — = получаем систему линейных
yz ZX ху
уравнений
' u + v =
о
< V + W = 1,	(16)
w и = ^.
Складывая уравнения системы (16), находим
и + v + w = 1.	(17)
Из (16) и (17) получаем	у —т-е-
'yz = 2,
< zx — 3,	(18)
= 6.
Перемножая почленно уравнения системы (18), которая равно-
сильна исходной системе, имеем (хг/г)2 = 36, откуда
Х£/2 = 6	(19)
или
xyz = —6.
(20)
342
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Следовательно, исходная система равносильна совокупности си-
стем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения (3; 2; 1)
и (—3;—2;—1) соответственно.
Ответ. (3;2; 1), (—3; —2; —1)	▲
Пример 4. Найти действительные решения системы уравнений
{х3 + у3 — г3 — xyz 4-11=0,
х3 — у3 4- г3 — xyz -21 = 0,
у3 4- г3 — х3 — xyz -3 = 0.
А Складывая уравнения попарно, получим систему
' х3 = xyz 4- 5,
у^ — xyz — 4,
z3 = xyz + 12,
равносильную исходной системе. Перемножим уравнения этой си-
стемы и введем обозначение t — xyz, тогда
t3 = (t + 5)(Z - 4)(Z + 12) = t3 + 13/2 - 8/ - 240,
ИЛИ	о
13/2 - 8t - 240 = 0,
. Л л 60
откуда Zi = —4, /2 = —.
Если Z = —4, то х3 = 1, у3 = —8, г3 = 8, откуда
X] = 1,	г/] = —2, z\ = 2.
Если t = то х3 = у3 = z3 = откуда
1 о	1 о	I о	1 о
5	2	6
-^2 ~~ з,— > У 2	Зу— t	з — •
W3	W3
Ответ. (1;-2;2), (-L. 2	6 \	д
\ <713 #13 #13/
Пример 5. Решить систему уравнений
{бхг 4-Зх = 2г — 2,	(21)
ху 4- yz = 2(г — х 4-1),	(22)
zy — бхг 4- у = Зх 4- 3.	(23)
А Будем решать систему методом исключения неизвестных
и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним
неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем
г(г/-2) = 1-£/.	(24)
Так как у 2 в силу (24), то из (24) следует, что
г =	(25)
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
343
Запишем далее уравнение (22) в виде
г(#-2) = 2-(# + 2)х.	(26)
Исключая z из уравнений (24) и (26), получаем х(#4-2) = у + 1,
откуда следует, что у =4 — 2 и поэтому
(27)
yv — --— .
г/Ч-2
Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна систе-
ме (21)—(23). Подставляя выражения для х и z (формулы (25), (27))
в уравнение (21), получаем
4 1)(I у) । у 4 1 _2 — У___2
у2 - 4 у I 2 у - 2	’
или у2 — у — 12 = 0, откуда у\ =4, #2 =
Соответствующие значения х и z найдем по формулам (27) и (25).
Ответ. ff;4;-^, (2;-3;-4\	▲
Пример 6. Решить систему уравнений
{5х — бу 4- 4z + ху = О,
Зх - бу 4- г — у2 = О,
х — 4у — 2z — yz = 0.
Л Вычитая из второго уравнения, умноженного на 2, первое и третье,
получаем
y(z — x — 2y) = Q.	(28)
Уравнение (28) вместе с первыми двумя уравнениями исходной
системы образует систему, равносильную данной. Из (28) следует,
что либо и = 0, либо
z = х 4- 2#.	(29)
Если у = 0, то х = 0, z — 0 и (0;0;0) — решение исходной системы.
Если справедливо равенство (29), то из первых двух уравнений
исходной системы получаем
( 9х 4- 2у 4- ху = 0,	(30)
\4х-Зг/-г/2=:0.	(31)
Вычитая из уравнения (30), умноженного на 4, уравнение (31),
умноженное на 9, находим
35# 4- 4ху 4- 9#2 — #(4х 4- 9# 4- 35) = О,
откуда
4х = —9# —35.	(32)
Из уравнений (31) и (32) следует, что #2 4-12# 4-35 = О, откуда
У\ = “5, Уъ = “7.
344	Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Если у — ~5, то из уравнений (32) и (29) находим х =	2 =-у,
а если у — —7, то х = 7, z = —7.
Ответ. (0;0;0),	(7;-7;-7).	▲
Пример 7. Решить систему уравнений
г ху2 + 42х2 — 2г/г2 = Зхг/2,
< 4х22 — 2r/x2 + zy2 — 3xyz,
к 2ху — 4xz 4- 2yz = 3.
А Вычитая из первого уравнения второе, получим
ху2 4- 4х22 - 2yz2 - 4xz2 4- 2х2у - y2z = 0.
Разложим на множители левую часть уравнения:
у2(х — z) + 4xz(x - z) 4- 2у(х2 — z2) = О,
(х - z)[y(y 4- 2z) 4- 2х(у + 2z)] = О,
(х — z)(y 4- 2z) (у 4- 2х) = 0.	(33)
Заметим, что исходная система равносильная системе, состоящей
из ее первого и третьего уравнений и уравнения (33). Она равно-
сильна также совокупности трех систем, получаемых присоединением
к первому и третьему уравнениям соответственно уравнений
х = 2,	(34)
У =	(35)
у = —2х.	(36)
1) Подставляя из уравнения (34) x — z в первое и третье уравнения
исходной системы, получаем
х(г/2 — Ьху 4- 4х2) = x(z/ — х)(у - 4х) = О,
4ху — 4х2 = 4х(у — х) — 3.	(37)
Если х = 0 или z/ = x, то уравнение (37) превращается в неверное
равенство 0 = 3.
Если у = 4х, то из (37) находим х2 = |, х = ±|. В этом случае
система имеет два решения
2) Подставляя у = — 2z (см. (35)) в первое и третье уравнения
исходной системы, получаем
z(2z2 4- 5хг 4- 2х2) = 2(2 4- 2х)(х 4- 2z) = О,
-42(2 4- 2х) = 3.	(38)
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными 345
Если z — 0 или г + 2х = О, то уравнение (38) превращается
в неверное равенство 0 = 3.
Если х = — 2г, то из уравнения (38) находим г2 = г = ±|.
В этом случае система имеет решения 1;—1;0 и (1;1;—0.
3) Подставляя у = — 2х (см. (36)) в первое и третье уравнения
исходной системы, получаем
х(2х2 + 5хг 4- 2г2) = х(х + 2г)(г + 2х) = 0,
—4х(х +2г) = 3.	(39)
Если х = 0 или х + 2г = 0, то уравнение (39) превращается
в неверное равенство 0 = 3.
Если г = —2х, то из уравнения (39) находим х2 = |, х =
В этом случае система имеет два решения
Пример 8. Найти действительные решения системы уравнений
2х2// — xy^z = z2,	(40)
хг + Зг/4г2 = 10х2г/5,	(41)
5//4г + 3xy8z2 = 2х2.	(42)
Д Выразим из данной системы г через х и у. С этой целью прибавим
к уравнению (41) уравнение (40), умноженное на 5z/4. Получим
уравнение	Л Л Л
хг - 5ху9г = 2г/4г2.	(43)
Рассмотрим два возможных случая: г = 0, г 0. Если г = 0, то
из (42) следует, что х = 0, а уравнение (41) принимает вид 0-г/ = 0.
В этом случае система имеет бесконечное множество решений
(0;а;0), аей.	(44)
Заметим, что если у = 0, то из (40) и (42) следует, что г = О,
х = 0, а если х = 0, то из (40) получаем г = 0, и система имеет
решения (44).
Поэтому, рассматривая второй случай (г^О), будем предполагать,
что х ф 0, у 0.
Итак, пусть xyz 0, тогда из (43) находим
_ х — 5Х£/9
z~~w~
(45)
13—2549
346
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
Используя формулу (45) и условие xyz 0, преобразуем уравне-
ние (40) к виду
8z/9 — 2у9(1 — 5у9) = (1 — 5i/9)2.
Полагая t = z/9, получаем уравнение
15/2 — 16/4-1 = 0,
I	-1
откуда /| = —, /2 = 1, у\ = 15 я, у2 = 1.
1Э
Если у — у\^ то 5у9 = и из (45) следует, что
О
y4z = x-.
Тогда уравнение (42) примет вид
5х + х3 = 6х2 или %2 —6х + 5 —0,
так как х 0. Отсюда получаем х\ = 1, х% = 5. Соответствующие
значения г определяются формулой (45).
Аналогично, если у — у % = 1, то из (45) и (42) следует, что
6х2 — х — 5 = 0, откуда х = 1, х — — |.
Ответ. (0; ос; 0), a е R; (1; 15“5;5 • 15“В), (5; 15~з;25 • 15~з),
С;!;-2).	А
Пример 9. Найти действительные решения системы уравнений
'х2 4- 6z/ — z2 = —6,
* z/2 4- 4х 4- z — -4,
<7х - lly + 2z(z + 1) = 4.
(46)
(47)
(48)
Д Будем исключать из системы одно из неизвестных, например z.
С этой целью сложим почленно уравнение (48) и уравнения (46)
и (47), умноженные соответственно на 2 и —2. Получим
2х2 — 2у2 — х 4- у = 0
или
(х - у)(2х 4- 2у - 1) = 0.
(49)
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
347
Заметим, что система (46)-(48) равносильна системе (46), (47),
(49), которая равносильна совокупности следующих систем:
'х = у,
< у2 + бу - Z2 = —6,
^у2 + 4у + z — —4;
(50)
< ^~у)2 + 6y-z2 =-б,
У+ 4Q-у) +Z--4.
(51)
Рассмотрим систему (50). Умножая второе уравнение этой си-
стемы на —1, а третье на 2 и складывая полученные уравнения,
имеем
у2 + 2у + г2 + 2г = -2
или
(у + I)2 + (г + I)2 = 0,	(52)
откуда у=—1, г = —1, так как у и г — действительные числа.
Уравнение (52) является следствием системы (50), и поэтому
система (50) не может иметь действительных решений, отличных
от (—1;—1;—1). Проверка показывает, что тройка чисел (—1;—1;—1)
является решением системы (50).
Обратимся теперь к системе (51). Второе уравнение этой системы
преобразуем к виду
(у + |) =z2’ откуда г = у+| или z = —г/ —
Поэтому система (51) равносильна совокупности систем
« = 5-9,
г=9+|,	(53)
27	2’
у2 — 4у + z = —6;
« = i-y.
г = -9-|,	04)
у2 — 4у + z = —6.
Решим систему (53). Подставляя в третье уравнение выражение
для z из второго уравнения этой системы, получаем
Чу2 - 10г/ + 7 = 0,
348
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений
5 I х/ТТ 5 — х/ТТ
откуда находим у\ —	, у% = —, а затем соответствующие
значения х и z из первых двух уравнений этой системы.
Решим систему (54). Исключая г из второго и третьего уравнений
этой системы, получаем уравнение
Чу2 - бу + 17 = О,
не имеющее действительных корней. Поэтому система (54) не имеет
действительных решений.	▲
Ответ. (-1; -1; -1),
2
2
2
Задачи
Решить системы уравнений			(1-15	): (	2		f x(y-iz) — 27,
						
1.		1/2 = 3, к2х —2. гх(х4-у4-г) = 7,	2. <	1	3	Q < \zx=^y, \xy — ^z. ' (x+y)(x+y+z) = 18,		c4 io CO co	c II	II -Г ч	II 4" 4~ •— । =»>• + 'n 4
4.	<	//(x4-y4-z) = 14, k2(x4-y4-2) = 28. fl + l + l = 5.	5. <	(«/ + г)(х+г/+г) = 30, 6. < ,(x + z)(x+y + z) = 24. [2х(^ + ^ = 15, Vz у J		co " .	£ |	О1СЧ	II 11	II	”N - 1	N— 1	7 +	+	co N
7.	<	N2	> + + । II II 1 N 00	1	х 1 ’ ft = II О	8. <	О o' СО CN	— II	II	II | N +	"*"04. N + 00 CD		1 + II	* ** &	II I J “ p
10.		Зх22 — 4ху + - = 0, u 3x2 — у z—\. r xy-[-yzizx ——4,	н. г	(</+z)2—x2 = 2,	12. ? (z+x)2-</2 = 3.	1 Гх4-£/4-2 = 2,	|		3«/z = 2(z/+z), ,4zx = 3(z+x). гх4-£/4-г = 4,
13.		x+y-Yz —1, kX3+y3+23 = l.	14.	x24-//24-22 = 6,	15. < [х34-£/34-г3 = 8.		x24-«/24-22 = 14. kxy+xz—yz = 5
Найт1 16. <		и действительные решения систел, гх2 4- 4ху 4- 6//2 = 3, х2 — 4x2 4-1222 = 2,	17. < ,у2 4-Зу2 4-222 = 0.			1 уравнений (16-21): '2//z+| + 3 = 0, xu + - — 2 = 0, v z xz H	H 2 — 0. У	
§4. Нелинейные системы с тремя неизвестными
349
(3(х 4- у) = г,
3(x2+y2) = 5z,
З(х3 + у3) = lz.
(2х2 + у2 4- z2 — 9 4- yz,
х2 4- 2у2 4- z2 = 6 4- xz,
х2 + у2 + 2z2 — 3 4- ху.
{х3 4- 2у3 4- «г3 4- 2xyz 4- 22 = О,
2х2 - 2#3 - г3 4- xyz 4-2 = 0,
г/3 — х3 — г3 4- xyz —13 = 0.
!х2 4- 2yz = 1,
у2 4- 2zx = 2,
z2 4- 2ху — 1.
Ответы
1. (2;3; 1), (—2; —3; —1). 2. (0;0;0), (3;2; 1), (—3; —2; —1), (3; —2; —1), (—3;2; — 1).
3. (3;4;5), (—3; —4;-5).	4. (1;2;4), ( -1; —2; —4).	5. (1;2;3), (-1;-2;-3).
6.	(2;-1;4).	7. (—2;3; 1).	8. (3;2;1), (—3;—2; — 1). (3; —2; —1),
(-3A-I). 9.(0;1; -1МЗ;4;5),(|;|;2). 10. (». »• ’). (-§;»).
11.	12- (°;°;0)- (3;2;1). 13. (l;2;-2), (2;1;-2),
( 2;1;2), (1;-2;2), (2; -2; 1), ( 2;2;1). 14. (1;2;-1), (1;-1;2). (-1;1;2),
(-1;2;1), (2;1;-1), (2; 1;1).	15. (3;2;-1), (3;-1;2), ^1;3+2^;—
,0. (.
17. (3;2;-1).	18. (0;0;0), (2;-1;3), (—1;2;3).	19. (-2^;-3;2^2).
(2;-1;3), (-1;2;3).
21. (1;0; 1),
(44-з)-
Глава IX
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ
§ 1. ТОЧНЫЕ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ.
ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств
В гл. II (§2) было рассмотрено понятие действительного числа
и на множестве R действительных чисел введено правило сравнения.
Множество X действительных чисел (X с R) называется огра-
ниченным сверху, если существует действительное число С такое,
что все элементы множества X не превосходят С.
Используя логические символы, запишем определение ограничен-
ного сверху множества X в следующем виде:
3CeR: \/хеХ->х^С.	(1)
Это означает (см. рис. 1), что все элементы множества X
расположены на числовой прямой левее точки С (эта точка может
принадлежать множеству X).
X
С	х
Рис. 1
Всякое действительное число С, обладающее свойством, ука-
занным в определении (1), называют верхней гранью числового
множества.
Аналогично, множество X С R называется ограниченным снизу,
если существует действительное число С такое, что все элементы
множества X удовлетворяют условию х С, т. е. располагаются
на числовой прямой (рис. 2) правее точки С' (точка С' может
принадлежать множеству X).
X
----------------------•---------------------
С'	х
Рис. 2
Определение ограниченного снизу множества X С R можно
записать так:
3C'eR: VxeX-^x^C'.
(2)
Пусть числовое множество X ограничено как сверху, так и снизу
Тогда его называют ограниченным. Это означает, что
ЗС' е R ЗС е К: Vx е X С' х С.
§1. Точные грани числовых множеств
351
X
Рис. 3
Все элементы ограниченного множества XcR (рис. 3) принадлежат
отрезку
2. Определение точных верхней и нижней граней
Если числовое множество X ограничено сверху, то выполняется
условие (1), а число С является его верхней гранью. Ясно, что любое
число, большее С, также является верхней гранью множества X.
Таким образом, ограниченное сверху числовое множество имеет
бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль
играет наименьшая. Речь идет о числе Л4, обладающем следующими
свойствами:
7И — верхняя грань множества Х\
любое число 7И', меньшее Л4, не является верхней гранью
множества X.
Такое число М будем называть точной верхней гранью множества X.
Сформулируем определение точной верхней грани, используя логи-
ческие символы.
Определение 1. Число М называется точной верхней гранью
множества X, если выполняются следующие условия:
Vx е X -+ х Л4;
Va < М Зха е X: ха > а.
Рис. 4 иллюстрирует определение 1.
(X	ха	М	X
Рис. 4
Наличие индекса а в записи элемента ха множества X указывает
на то, что этот элемент, вообще говоря, зависит от числа aeR.
Точная верхняя грань числового множества X обозначается supX
(читается «супремум»). Таким образом,
{Л4 = supX} <=> {Vx е X -> х Л4 } Л {Va < М 3xa е X: ха > а}.
Замечание 1. Число М = supX может как принадлежать, так и не
принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел х таких,
что 2 х < 3, то supX — 3, а 3 X.
Замечание 2. Из определения 1 следует, что если у числового множестваX
существует точная верхняя грань М, то она единственна.
352
Глава IX. Предел и непрерывность функции
Введем понятие точной нижней грани.
Если числовое множество X ограничено снизу, то выполняется
условие (2), а число С является его нижней гранью.
Любое число, меньшее С, также является нижней гранью число-
вого множества X, ограниченного снизу, а наибольшую из нижних
граней называют точной нижней гранью числового множества X.
Речь идет о числе т, обладающем следующими свойствами:
т — нижняя грань множества X;
любое число /3, большее т, не является нижней гранью множе-
ства X.
Сформулируем определение точной нижней грани, используя
логические символы.
Определение 2. Число т называется точной нижней гранью
числового множества X, если выполняются следующие условия:
Vx е X —> х т\
\/(3> т Зхр е X: хр < /3.
т	ХР	р	х
Рис. 5
Рис. 5 иллюстрирует определение 2. Точная нижняя грань обо-
значается infX (читается «инфимум»). Таким образом,
{т — infX} <=> {Vx е X х т} Л {V/3 > т Зхр е X: хр < {3}.
3. Существование точных граней
Теорема 1. Если непустое множество действительных чисел X
ограничено сверху, то существует его точная верхняя грань supX;
если непустое множество действительных чисел X ограничено
снизу, то существует его точная нижняя грань infX.
Доказательство теоремы 1 обычно приводится в курсе математи-
ческого анализа, изучаемого в вузах. Эта теорема служит основой
при определении операций над действительными числами, а также
для доказательства многих теорем, связанных с понятиями предела
и непрерывности функции.
Следствие. Если X и Y — непустые множества действительных
чисел такие, что для любого х е X и любого у € Y справедливо
неравенство х^у, то существуют supX и inf У, причем
VxeX Vye У х supX inf Y^y,
Это утверждение называют теоремой об отделимости числовых
множеств.
§1. Точные грани числовых множеств
353
4. Операции над действительными числами
Сложение и вычитание действительных чисел. Операции
сложения и умножения действительных чисел вводятся с помощью
приближения действительных чисел рациональными и, в частности,
десятичными приближениями этих чисел.
Суммой двух действительных чисел а и /3 называется такое
действительное число 8, что для любых рациональных чисел г ,8, г?,s',
удовлетворяющих условиям
г a s, / С [3 s',	(3)
выполняется неравенство r4-r'^8^s4-s'. Сумма чисел а и (3
обозначается а 4-/3.
Теорема 2. Для любых действительных чисел au fl их сумма
существует и единственна.
Для доказательства существования суммы можно воспользоваться
следствием из теоремы 1, взяв в качестве 8 число supf, где Е —
множество чисел вида г 4- г*.
Единственность суммы можно доказать, используя следующее
утверждение: пусть 8 е IR, 8' е R и пусть существуют такие
последовательности рациональных чисел {хл} и {Уп}> что для
всех п е N справедливы неравенства хп^8^8' ^уп, Уп—^п^ •
Тогда 8 — 8'.
Заметим, что неравенства (3) будут выполняться, если в качестве
г и / (s и s') взять (п 4- 1)-е десятичное приближение с недостатком
(с избытком) соответственно для чисел а и /3, т. е.
С ос	Р Рп+г
Понятие разности двух рациональных чисел, как и понятие их
частного, было рассмотрено в §2 гл. II. Аналогично эти операции
вводятся и на множестве IRL
Умножение и деление действительных чисел. Произведением
двух положительных действительных чисел а и /3 называют
такое действительное число 8, что для любых рациональных чисел
r,s,/,5', удовлетворяющих условиям
О < Г ОС S, 0 < /	/3	s',
выполняется неравенство гг1 8 < ss'. Произведение чисел а и /3
обозначается а/3.
Теорема 3. Произведение любых двух положительных действи-
тельных чисел существует и единственно.
Доказательство существования произведения и его единственно-
сти аналогично доказательству теоремы 2
354
Глава IX. Предел и непрерывность функции
Произведение двух произвольных действительных чисел опреде-
ляется следующим образом:
а)	если а = 0, то а[3 = 0 при любом [3 е R;
б)	если а < 0, [3 < 0, то а/3 = |ос||/3|;
в)	если а<0, (3 > 0 или а > 0, [3 < 0, то а[3 = -|а||/3|.
Операция деления вещественных чисел вводится по аналогии
с операцией деления рациональных чисел.
Можно доказать, что если «ей, (3 е R и [3 0, то частное
существует и единственно.	'
Некоторые свойства действительных чисел. Напомним те
свойства действительных чисел, в которых используется понятие
модуля:	|-а| = Н И = |а| • |6|,
|а + Ь| |а| + |6|, |а-6|>||а|-|6||.
Отметим также, что если а.Я — заданные действительные числа,
причем й > О, то неравенство
|х — а| < й	(4)
равносильно двойному неравенству а — й<х<а4-й, т. е. множество
решений (рис. 6) неравенства (4) —интервал (а — й, а 4-й).
CL + 8
а — Ь
Рис. 6
Аналогично, неравенство
|х —а|>Й, й>0,	(5)
выполняется при х < а — й и при х>а + 8 (рис. 7), т. е. множество
решений неравенства (5) — объединение бесконечных интервалов
(—сю, а — й) и (а-f-й, 4-оо).
а —8
а
Рис. 7
Если а<Ь и а,/3—произвольные точки отрезка [а; 6], т. е.
а^а^[З^Ь или а^[3^а^Ь,
то	|а - [3\ < b — а.	(6)
Неравенство (6) имеет очевидный геометрический смысл: расстояние
между точками а и /3 (рис. 8) не превосходит расстояния между
точками а и Ь.
а а р b
Рис. 8
X
§2. Предел последовательности
355
§2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Числовая последовательность
Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие
некоторое действительное число хп, то говорят, что задана числовая
последовательность (или просто последовательность)
Кратко последовательность обозначают символами {хп} или (хп), при
этом хп называют членом или элементом этой последовательности,
п — номером члена хп.
Числовая последовательность — это функция, область определе-
ния которой есть множество 14 всех натуральных чисел; множество
значений этой функции, т.е. совокупность чисел хп, neN, называют
множеством значений этой последовательности.
Множество значений последовательности может быть как конеч-
ным, так и бесконечным. Например, множество значений последо-
вательности {(—1)п} состоит из двух чисел 1 и —1, а множества
значений последовательностей {и2} и бесконечны.
Последовательность может быть задана с помощью формулы вида
Xn=f(n\ neN,
выражающей хп через номер и, например
хп = 2п, п е N; хп = п\, п е N.
Такую формулу называют формулой общего члена последователь-
ности.
Для задания последовательности используют и рекуррентные
формулы, т. е. формулы, выражающие n-й член последовательности
через члены с меньшими номерами (предшествующие члены). Так
определяют арифметическую и геометрическую прогрессии. Другими
примерами являются последовательности
1)	= а, хп = Ьхп_\ 4- с, п е N, п 2;
2)	= а, х<£ — Ь, хп =	> п е N, п 3;
здесь а, Ь, с — заданные числа
Пример 1.
1)	Выписать несколько первых членов последовательностей
{2?}’{siny}’ {l°g(„+2)(«+1)}-
2)	Написать формулу общего члена последовательностей
/1 1 ± ± I и {-! - _Л 1 -- 1
(3’9’27’81’	/ I 2’3’ 4’5’ 6’’”/’
356
Глава IX. Предел и непрерывность функции
3)	Выписать несколько первых членов последовательности {хп},
заданной рекуррентно: xi = l, х2 = 3, хп±\ = 2хп — х2_р п ^2.
Л 1) £	\1 \/2 х/3 2 \/5	1 .
' (IFJ “ 12’V’Т’1б’ 32’’
(sin —| = (sin —, sin л, sin —,sin2rt,sin ^5,.. .1 =
I 2 J I 2 ’	’	2	’	2 ’ J
= {1,0,-1,0,1,0,-1,0,...};
{log(n+2)(« + 0} = {1оёз 2> !°g4 3> 1оё5 4, log6 5,...}.
2)/— — —	—	X	— /_L_L_LJ_ \	= / _L \
7 13’9’27’81’’’	J	131’З2’З3’34’’ J	13" J	1	b
f__1 2 __3 4 __5	1 _ f /_। \ n n 1
I	2’3’	4’5’	6’* ”J	V nyl)
3)	Имеем:	xj =	1,	x2 = 3, x% = 2x2	— x? =	2	•	3	— I2	—	5,
%4 = 2%з	— x2 = 2	• 5 — 32 = 1, X5 = 2x4	— x2 =	2 •	1	—	52 =	-23,
x6 = 2x5 - x2 = 2 • (-23) - I2 = -47,....	▲
Последовательность {хп} ограничена снизу, если существует
число Ci такое, что для всех n е N верно неравенство хп^ С\.
Например, последовательность, в которой хп = п3, ограничена снизу
числом 1.
Последовательность {хп} ограничена сверху, если существует
число С2 такое, что для всех n е N верно неравенство xn < С2.
Например, последовательность {—/г + 3} ограничена сверху числом 2.
Последовательность {хп} ограничена, если существуют числа С|
и С<2 такие, что для всех n G N верны неравенства Q < хп < С2.
Например, последовательность {2“п} ограничена, так как при всех
n е N имеем 0 < 2~п
Это определение равносильно следующему: последовательность
{хп} ограничена, если существует число С > 0 такое, что для всех
n е N верно неравенство |хп| С, или, короче,
3C>0: VneN^|xn|^C.
Последовательность {хп} является неограниченной, если для
любого С>0 найдется номер пс такой, что |xnJ > С.
Последовательность {хп} называют:
возрастающей, если для любого n G N верно неравенство
Xfl+l > хп\
неубывающей, если для любого пеН верно неравенство хп+\ ^хп.
Последовательность {хл} называют:
убывающей, если для любого heN верно неравенство хп+\ <хп\
невозрастающей, если для любого n е N верно неравенство
•^n+1
§2. Предел последовательности
357
Возрастающие (неубывающие), а также убывающие (невоз-
растающие) последовательности называют строго монотонными
(монотонными). Так, последовательность {Зи + 2} — возрастающая,
Г 1 I А
а последовательность < -----> — убывающая.
I гг + n J
Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений по-
следовательности {%„} называют точной верхней (соответственно
точной нижней) гранью последовательности и обозначают sup{xn}
(соответственно inf{xn}).
Последовательность {%„} можно изображать точками (п;хл), neN,
на плоскости или точками хл, n е N, на числовой оси.
2. Определение предела последовательности
Предваряя определение предела последовательности, рассмотрим
две числовые последовательности {хл} и {г/л}, где
х _ > . (-оЛ и _ 1
Выпишем несколько первых членов каждой последовательности:
2 5 4 7 6 9 8
3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’“*’
11111
4’ 8’ 16’ 32’ 64’**’ *
Изобразим члены этих последовательностей точками на числовой
прямой (рис. 9, 10).
(«-.): 0,|,
х3х5 х4 х2
0 Ул У2	1 Рис. 9	2	X
	У\	1	X
Рис. 10
Заметим, что члены последовательности {хл} как бы «сгущаются»
около точки 1 (рис. 9), располагаясь правее точки 1 при четных п
и левее точки 1 при нечетных n. С увеличением п расстояние от точки
хп до точки 1 уменьшается (стремится к нулю). Поэтому число 1
называют пределом последовательности {хл} при п -+ оо и пишут:
lim xn = 1.
п—>ое
Аналогично, члены последовательности {уп} с ростом п «прибли-
жаются» к точке 0 (рис. 10), и поэтому
lim уп = 0.
п—>оо
358
Глава IX. Предел и непрерывность функции
Сформулируем определение предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом последователь-
ности {хп}, если для каждого е > О существует такой номер NE,
что для всех и > Ne выполняется неравенство \хп — а\ < е.
Если а — предел последовательности, то пишут iim хп = а или
П-^OQ
хп—> а при п —> оо.
Замечание. Запись Ne указывает на то, что номер, начиная с которого
все члены последовательности удовлетворяют условию \хп - а| < е, зависит,
вообще говоря, от е.
Если хп—а для всех heN (такую последовательность называют
стационарной), то lim хп = а.
п >оо
Последовательность, у которой существует предел, называют
сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, на-
зывают расходящейся', иначе говоря, последовательность называют
расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Обратимся еще раз к определению предела. Согласно определе-
нию, число а является пределом последовательности {хл}, если при
всех n>Ne выполняется неравенство |хп — а\ < е, которое можно
записать в виде
а — г < хп < а + в.
Другими словами, для каждого е > О найдется номер Ne, начи-
ная с которого все члены последовательности {хл} принадлежит
интервалу (а — е; а 4- s). Этот интервал называют г-окрестностъю
точки а (рис. 11) и обозначают Ue(a).
а — е
а
Рис. И
Итак, число а — предел последовательности {хп}, если для каждой
Е-окрестности точки а найдется номер, начиная с которого все члены
последовательности принадлежат Е-окрестности точки а, так что вне
этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо
содержится лишь конечное число членов.
Пример 2. Используя определение предела, показать, что по-
следовательность {хп} имеет предел, равный а, если
1) = а=1;
п
3) хп = <7л; М <1; а = 0;
5)	=	|<7|<1;
k=\	l * 3~q
2) хп = -£=, meN; а = 0;
y/П
4) xn = \/n + 3 — ^n + 2; а = 0;
п
6) хп = ^2 ZfcilWAiOX ’ а ~ 9 *
(«4- 1)(А?Ч-2)	2
§ 2. Предел последовательности
359
А 1) Так как xn = 1 + i, то \хп — 1| = 1. Возьмем произвольное
число с > 0. Неравенство \хп — 1| < г будет выполняться,
если - < с, т. е. при п > -. Выберем в качестве Ne какое-
П	Е
нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию Ne>
например число N£=	+1, где [х] — целая часть числа х,
т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х. Тогда для
всех т? > будет выполняться неравенство
По определению предела это означает, что
lim xn — lim = 1.
п—>сю	п—>сю n
Замечание. Аналогичным образом можно показать, что
lim = 1 для любого b е R.
И—>ОО п
2) Пусть г=~. Так как |хп| — а неравенство — <е, где е>0,
m	п	пг
равносильно каждому из неравенств
£	\ Е )
+ 1, справедливо
неравенство \хп | < с. Следовательно,
lim 4 = Игл ~^7= = 0-
П—>ОО м	п—>ОО V л
Замечание. Положив m = 1, получаем, что lim - = 0.
п—>оо п
3) Если q = 0, то хп = 0 для всех n е N, и поэтому lim хп = 0.
п—*оо
Пусть 97^0. Обозначим j~j, Т0ГДа г > 1, так как |?| < 1.
Поэтому г = 1 + а, где а > 0, откуда
-?- = г" = (1 + а)" > an.
kl
Здесь использовано неравенство Бернулли (гл. II, §6, при-
мер 8). Следовательно,
w=kl“<i,	(I)
360
Глава IX. Предел и непрерывность функции
и для всех где Ne= — +1, выполняются неравенства
Это означает, что lim хп = 0, т.е. lim qn = 0, если Idd.
«->оо	n—>oo
4) Умножив и разделив хп на y/n + 3 + \/n + 2, получим
откуда |x„|
если у/п >
для всех п
< ^=. Неравенство —~ < г будет выполняться,
2д/«	2-у/«
т. е. при n > -U- Пусть Ne — -Ы 4-1, тогда
2е’ r 4е2	L4e2J
Ne выполняются неравенства
Iх"I < 2^ 2\Ж < £’
Это означает, что lim хп= 0, т.е. lim (\/п 4- 3 — \/п + 2) = 0.
п—>оо	п—>оо
5) Используя формулу для суммы геометрической прогрессии,
получаем
r _ 1 - qn _ 1 _ qn
1—4	1-4 1-4
откуда в силу (1) следует, что неравенства
L 1 I - 1?Г <	1	< р
|	1 - q I 1 — q (1 — q)an 1
где £ > 0, выполняются для всех п
^=ЬьЫ+1’
где
«= Т“Т - 1,
|<?|
т. е.
6)
Так
lim хп —-------.
«—>оо	1 — q
как 1	- 1	1
(64-l)(&4-2)	64-1	64-2’
то
2	3	3	4
_1 _ 1
2	п 4- 2
+ _________Ь
«4-1	«4-1	«4-2
п
Поэтому хп — 11 = —< г при ri^ Ne —
следует, что lim хп =
п—>оо	2
1 — 2J 4-1, откуда
§2. Предел последовательности
361
Замечание. Пусть геометрическая прогрессия является бесконечно убы-
вающей, тогда ее знаменатель q удовлетворяет условию |#| < 1. Если щ — первый
член прогрессии, то сумма первых п членов этой прогрессии равна
п — 1
Sn — Щ qk.
k=o
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число
S = lim Sn. Так как
lim У2	” Л
п >оо '	1 — q
k О
(пример 2(5)), то S = у-^-.
I q
Пример 3. Пусть хп 0 при всех n е N и пусть существует
lim хп = а, где а 0. Доказать, что последовательность < — >
П ->ОО	I Xfi J
ограничена.
А Так как а 0, то |а| > 0. Из определения предела последова-
Ы
тельности следует, что по заданному числу г = можно наити
номер m такой, что при всех n m выполняется неравенство
|хп — а| <	. Отсюда, используя неравенство |а| — |хп| < |х„ — а|,
получаем |tz| — |х„| < Тогда |xrt| > ^1, и поэтому — = тД < Д
2	2	| хп I |Яп| |а|
для всех п т.
1	1	2
Пусть С—наибольшее из чисел -—. Тогда при всех
1*11	1*т—11 И
neN справедливо неравенство — С, т.е. последовательность < — >
I Хп I	I Хп )
ограничена.	▲
3. Свойства сходящихся последовательностей
1°. Числовая последовательность может иметь только один
предел.
О Предположим, что последовательность {хп} имеет два различных
предела а и /?, причем а < b (рис. 12). Выберем е > 0 таким,
Ч£(а)	U€(b)
~(------.------)----Ч-------.----ч-
а—с	а	а+Е	Ь—е	о	Ь+е
Рис. 12
чтобы Е-окрестности точек а и b не пересекались (не имели общих
точек). Возьмем, например, с = Так как число а —предел
14—2549
362
Глава IX. Предел и непрерывность функции
последовательности {х„}, то по заданному г>0 можно найти номер
N такой, что xne U£(a) для всех n^N. Поэтому вне интервала U£{d)
может оказаться лишь конечное число членов последовательности.
В частности, интервал U£(b) может содержать лишь конечное число
членов последовательности. Это противоречит тому, что 6 —предел
последовательности (любая окрестность точки b должна содержать
бесконечное число членов последовательности). Полученное проти-
воречие показывает, что последовательность не может иметь два
различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет
только один предел.	9
2°. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
О Пусть последовательность {хп} имеет предел, равный а. По
определению предела для г = 1 найдем номер т такой, что при
всех п^т имеет место неравенство |хп — а| < 1. Так как модуль
суммы не превосходит суммы модулей, то
|хп| =	- а + а| < |х„ - а\ + |а|.
Поэтому при всех п т выполняется неравенство
\хп\ < 1 + \а\.
Пусть С—наибольшее из чисел 1 + |а|, |xi|,..., |xm_i|, тогда |хп| С
при всех п е N, т. е. последовательность {хп} ограничена. •
Замечание. Из ограниченности последовательности не следует ее схо-
димость. Например, последовательность {(— 1)Л} ограничена, но не является
сходящейся.
3° Если последовательности {хп},	{^п} таковы, что
Хп ^уп < zn для всех п No,	(2)
lim хп = lim zn = а,
п—*оо п—*оо
то последовательность {уп} сходится и lim уп—а.
П—+ОО
О По определению предела для любого г > О найдутся номера
TV] = и = ^(^ такие, что хп е U£(a) при всех п N\
и znE U£(a) при всех n^N^. Отсюда и из условия (2) следует (рис. 13),
что при всех n^N, где
N — max(7Vo,A/bN2),
выполняется условие уп Е U£(a). Это означает, что существует
lim уп = а.	•
и—>оо
(Хп	Уп%П)
а—е	а	а+е х
Рис. 13
§2. Предел последовательности
363
Пример 4. Пусть 1 при всех neN и lim ап = 0. Доказать,
г	п—>оо
ЧТО	,______
lim {/1 + an = 1, fceN.	(3)
П—4 00
А Докажем сначала, что
1 - Ы </1 + а„ 1 + |ап|, neN, fceN. (4)
В самом деле, если ап 0, то
1 < {/1 +а„ < ({/1	1 + an = 1 + |а„|,
а если — 1 an < 0, то
1 > {/1 + ап > (\/ТТс^)й= 1 + а„ = 1 - |а„|,
откуда следуют неравенства (4). Применяя свойство 3°, получаем
утверждение (3).	▲
Замечание. Если xn = tya 4- an, где a > 0, a + an 0 для всех n € N
и lim an = 0, то
п—>оо
Хп = \/а
и из равенства (3) следует, что lim ifa + an = у/а.
п >оо
Пример 5. Доказать, что если а > 1, то
lim =	(5)
П—4 00
А Если а > 1, то у/а > 1. Обозначая tfa — l = an, получаем
где ап > 0, откуда
а = (1 +	> оспп
(6)
в силу неравенства Бернулли. Так как ап > 0, то из (6) следует,
что
О <ап <-, т. е. О < у/а - 1 < - или 1 < у/а < 1 +
п'	v	п	п
Применяя свойство 3° и замечание к примеру 2(1), получаем
соотношение (5).	▲
4. Предел монотонной последовательности
При доказательстве теоремы о пределе монотонной последова-
тельности используется понятие точной верхней (нижней) грани
последовательности.
Число а является точной верхней гранью последовательности {хп}
(а = sup{xn}), если выполняются следующие условия:
Vn е N —► хп а,	(7)
Vs> О Зггг. xm>a — e.	(8)
364
Глава IX. Предел и непрерывность функции
Заметим, что номер m зависит, вообще говоря, от £.
Теорема 1. Если последовательность {хп} является возраста-
ющей (неубывающей) и ограничена сверху, то существует
lim xn = sup{xn}.
п—>оо
Если последовательность {хп} является убывающей (невозраста-
ющей) и ограничена снизу, то существует
lim хп = inf{xn}.
п ->оо
О Приведем доказательство теоремы для случая ограниченной
сверху и возрастающей последовательности. Если последовательность
{хп} ограничена сверху, т.е. множество чисел хцХ2,...,хп,...
ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани (§ 1,
теорема 1) существует точная верхняя грань этой последовательности,
определяемая условиями (7), (8). Так как {хп} — возрастающая
последовательность, то
\/п т —> хт хп.	(9)
Из (7)-(9) следует, что
Vs > 0 Эт:\/п^ т—> а — с < хт хп а,
т. е. хп е Ue(a). Это означает, согласно определению предела, что
lim хп = а = sup{x„}.	•
п—>оо
С1П
Пример 6. Доказать, что если хп — —, где а>0, то lim хп — 0.
п\	п—юо
А Так как
%n+l —	. ХПч	(Ю)
п 4-1
то хп+[^хп при всех	где п0 — [а], т.е. {%„} — убывающая
при п по последовательность. Кроме того, хп 0 при всех
п е N, т. е. последовательность ограничена снизу. По теореме 1
последовательность {хп} сходится. Пусть lim xn = b. Тогда, переходя
п—*оо
к пределу в равенстве (10), получаем Ь = О-Ь, т.е. 6 = 0. Итак,
lim^=0.	(11)
И—>ОО п*	Д
Замечание. При переходе к пределу в соотношении (10) использовалось
свойство сходящихся последовательностей lim (хпуп) — ( lim хп) • ( lim уп],
п—+оо	\п—*ОО / \П—+ОО /
см. ниже теорему 2; а также то, что lim - =0 (см. замечание к примеру 2(2)).
П—»ОО п
§2. Предел последовательности
365
Пример 7. Последовательность {хп} задается рекуррентной фор-
мулой
— 5 (хп + —) ,	(12)
£ X хп /
где Х| > 0, a > 0. Доказать, что
lim xn = \/а.	(13)
П—>СЮ
Д Докажем сначала методом индукции, что
Vfe е N -> xk > 0.	(14)
В самом деле, из формулы (12) и условий xj > 0, а > 0 следует,
что %2 > 0. Предполагая, что хп > 0, из равенства (12) получаем
хп_|1 > 0. Утверждение (14) доказано.
Далее, применяя неравенство для среднего арифметического
и среднего геометрического, из (12) получаем
хп_|_1 = | (хп 4- — ) > \ хп— = у/а при neN,
2 \ Хп / у Хп
т. е.
Vn 2 —> хп	у/а.	(15)
Итак, последовательность {хп} ограничена снизу. Докажем, что она
является невозрастающей. Запишем равенство (12) в виде
откуда в силу (14) и (15) получаем
\/п ^2->Xn_|_! <хп,
т. е. последовательность является невозрастающей при п 2. По
теореме 1 существует lim хп — а, где сО у/а>0 в силу условия (15).
п—>оо
Переходя в равенстве (12) к пределу, получаем
откуда а2 = а, а=у/а, т. е. справедливо утверждение (13).	▲
Замечание. При переходе к пределу в соотношении (12) использовалось
то, что для сходящихся последовательностей {хп} и {уп}
lim (рхп + qyn) = р  Hm xn + q- lim уп> p,qe№,
П—+СЮ	п—>оо	п—*ос>
а также что lim — = -77-J---- при условиях: хп / 0, п е N, и lim хп ф 0
п—>ОО Хп	lirn Хп	п—*оо
п—>оо
(см. ниже теорему 2).
366
Глава IX. Предел и непрерывность функции
5. Число е
Рассмотрим последовательность {хп}, где
/	1V
%п — (1 + - ) ,
\ nJ
и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная
сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
п
= 1 4- С1П± +с„-^ 4- • -  4- Ckn\ 4- • • • 4- -р? = 1 4-
k=\
ГДе	Ckn =	k = l,...,n.
Подставляя выражение для С* в формулу разложения для хп,
запишем хп в следующем виде:
п
<|6>
Л=1
тог-да	п+1
х„+1 = 14- 22^ 0--и)	(17)
k=\
Все слагаемые в суммах (16) и (17) положительны, причем каж-
дое слагаемое суммы (16) меньше соответствующего слагаемого
суммы (17), так как
1 m ! m	1	1
1 — — < 1 —----m = 1,... ,n — 1,
n	П + 1
а число слагаемых в сумме (17) на одно больше, чем в сумме (16)
Поэтому хп <	для всех n е N, т. е. {хп} — возрастающая
последовательность. Кроме того, учитывая, что
О < 1 — — < 1 m = l,...7n — 1,
п
из равенства (16) получаем
п
k=\
Так как	при k е N, то, используя формулу для суммы
геометрической прогрессии, получаем
§2. Предел последовательности
367
< 3, т. е. {хл} — ограниченная сверху
последовательность. По теореме 1 существует lim хп. Этот предел
п—>оо
обозначается буквой е. Таким образом,
lim (1 + -^ = е.	(18)
п—>оо \	nJ
Заметим, что число е иррационально и е ж 2,718281828459045.
6. Бесконечно малые последовательности.
Арифметические операции над сходящимися
последовательностями
Последовательность {ап} называется бесконечно малой, если
lim ап = 0, т. е. для любого е > 0 найдется номер Ne такой, что
п—>ос
для всех Ne выполняется неравенство |ал — 0| = |ап| < е. Из
определения предела последовательности и определения бесконечно
малой последовательности следует, что последовательность {хп}
имеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последователь-
ность {хп — а} имеет предел, равный нулю, т.е. является бесконечно
малой.
Бесконечно малые последовательности обладают следующими
свойствами:
1°. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
2°. Произведение бесконечно малой последовательности на огра-
ниченную последовательность является бесконечно малой последо-
вательностью.
Замечание. Так как бесконечно малая последовательность ограничена
(свойство 2° сходящихся последовательностей), то произведение двух или
нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовател ьность.
Доказательство этих свойств можно получить, используя нера-
венства, связанные с понятием модуля (см. конец §1), и определения
бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
Теорема 2. Пусть lim xn = a, lim уп = Ь. Тогда
П~><ЭО	П-+ОО
lim (xn ±уп) = а±Ь;
П—УОО
lim (xnyn) - ab;
П-+ОО
lim — = - при условии, что уп^0 (п € N), 6^0.	(19)
п—>оо уп	b
368
Глава IX. Предел и непрерывность функции
О Ограничимся доказательством утверждения (19).
Нужно показать, что < — — - > — бесконечно малая последова-
I Уп b )
тельность.
Так как хп = а + ап, уп = Ь 4- /Зп, где {ап} и {{Зп} — бесконечно
малые последовательности, то
хп а   (а + ап)Ь — (Ь + [Зп)а   f	а (2 \ 1
Уп	b	byn	\	Ь1 / уп
Последовательность ап — ^[Зп является бесконечно малой (по
свойству 1° бесконечно малых последовательностей), а последова-
тельность < — > является ограниченной (пример 3).
{Уп J
Так как произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную является бесконечно малой (свойство 2° бесконечно
малых последовательностей), то справедливо утверждение (19). •
Пример 8. Найти предел последовательности {хп}, если
П v — Зп3 + 4л- 1 .	_ \/2п3 + 4п2 ±3.
4 Хп ~ 5^+2,Л+V	Z) ----------»	’
3) хп — \/и2 + 2п + 3 — \/п2 — 2п + 5.
3+ 4	1
А 1) Так как хп =------------—,	a lim 4- = 0, k е N, а е К, то
7	R 2	4	п-400 nk '	'
5 ч-н -о-
п пА
о
по теореме 2 получаем lim хп = ~.
П—>ОО	5
2) Так как хп =	то используя результат при-
мера 4, получаем lim хп — \/2.
п—*оо
3) Используя равенство у/а — y/b — а~ ь запишем хп в сле-
+ у/Ь
дующем виде:
4-2
4/2 — 2	* п
Хц —    —      ..... —— — — .............. —..	..... ——.
^n2+2"+3+^п2-2п+5	./1+2+4+71-+4
V п V п п£
Так как числитель и знаменатель полученной дроби имеют
пределы, равные соответственно 4 и 2, то lim хп = 2.	▲
п—>оо
1 п
Пример 9. Найти lim хп, где хп = V А2.
n-оо	п6 k=[
§2. Предел последовательности
369
Д Воспользуемся формулой
п
y^fe2 =	+ 0<2” + 0
k=\	6
(гл. I, §3, пример 13). Тогда хп =
lim хп =
п~>оо	о
откуда находим
Пример 10. Доказать, что последовательность {хп}, где
х = 1 । 1 . , 1
х/дг2 -Ь 1 \Лг2 + 2	\/«2 Ч- /г ’
сходится, и найти ее предел.
Д В сумме хп каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтому
или
Используя свойство 3° сходящихся последовательностей, теорему 2
и результат примера 4, получаем, что lim xn = 1.	▲
п—>оо
Задачи
1. Доказать, что последовательность {%«} является ограниченной, если:
l)xn=sin^; 2) x„ = 4±L; 3)x„ = -^J=; 4) х„ = £ -Ay.
n2 +1	л/п2 + 1	k=\n+k
2. Доказать, что последовательность {хл} не является ограниченной, если:
1\	.	71П	п\	Пу/п
1)	xn=nsin—;	2) хп = -^ц;
3) хп = п 4- (—1)пп;	4) хп — \Лг3 * * Ч- Зп2 Ч- 4 — л//г3 Ч- 2л2 Ч- 2.
3. Найти предел последовательности {хп}, если:
i\ ____ ЗмЧ"2#	_ 4п3Ч-ЗиЧ-1.
Ч Хп — q—г-г,	£) хп — ——ъ----ту--
2и Ч-1	Зп3Ч-л2Ч~4
г _ (п Ч-1)3 — (и — I)3 . дх _ 1 Ч- 2 Ч- • • - Ч- п
п2 Ч-1	Зп2 Ч- 4
4. Найти lim хп, если:
п—>оо
п _ х/2п2 ч- 5/2.	q\ _ х/8п3Ч-ЗиЧ-1.
«+1	__________ \/2п2 + 5
3) хп = -\/п2 + « + 3 — х/n2 — л + 5;	4) хп = у/+ п + 6 — Зл.
370
Глава IX. Предел и непрерывность функции
5.	Найти lim хп, если:
п—>оо
О Хп = 2?4 + 4?б + • • • + 2л • (2п + 2) ’
2)	х — J_ f___L_ +	1	+ +	1
х/и\л/Т+х/3 ч/Зч-х/5	\/2п - 1 + V2n + 1
6.	Последовательность {хп} сходится, а последовательность {г/п} является
расходящейся. Доказать, что последовательность {хп+уп} является рас-
ходящейся.
7.	Пусть {ап} — арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой
отличны от нуля. Найти lim хп, где хп = —— ------—к,.. Ч--!—.
л-»оо	g1g2
8.	Найти lim Гп5 (OJn — \//i Ч- 1 - \/n — 1)1.
n—>OOL	J
9.	Используя теорему о пределе монотонной последовательности, доказать,
что последовательность {хп} сходится, если:
° Хп = ^ТТ + ^Т2+-” + 2^; 2) %п = 1 + ^ + ^+--' + ^-
10.	Последовательность {хл} задается при п 2 рекуррентной формулой
хп — х/2 -|- х„\ и условием Х| = Доказать, что lim хп — 2.
v	п—>оо
Ответы
3. 1)	2)	3) 6; 4) 1. 4. 1)	2) х/2; 3) 1; 4)	5. 1) 1; 2) -L
7. -L. 8. 1.
a\d 4
§3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1.	Определение предела функции
Важную роль в курсе математического анализа играет понятие
предела, связанное с поведением функции в окрестности данной
точки. Напомним, что й-окрестностью точки а называется интервал
длины 2Й с центром в точке а, т. е. множество
U^(d) = {х: |х — а\ < й} = {х: а — 3 < х < а + 5}.
Проколотой ^-окрестностью точки а будем называть множество
U^(d) — U$(a)\{a} — {х: 0 < |х — а| < й},
т. е. й-окрестность точки а с исключенной из нее точкой а.
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два при-
мера.
х2 — 1
Пример 1. Исследуем функцию f(x) —---------- в окрестности точки
х — 1.
Д Функция f определена при всех х е R, кроме х — 1, причем
Дх) = х + 1 при х^1. График этой функции изображен на рис. 14.
§3. Предел функции
371
Из этого рисунка видно, что значения
функции близки к 2, если значения х
близки к 1 (х 1). Придадим этому
утверждению точный смысл.
Пусть задано любое число Е > О
и требуется найти число 3 > 0 такое,
что для всех х из проколотой 3-окрест-
ности точки х = 1 значения функции /(х)
отличаются от числа 2 по абсолютной
величине меньше, чем на е.
Иначе говоря, нужно найти число
3>0 такое, чтобы для всех хе U$(a) соответствующие точки графика
функции у = f(x) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной
прямыми у = 2 - е и у — 2 + е (см. рис. 14), т. е. чтобы выполнялось
условие /(х) е Ue(2). В данном примере можно взять 8 = е.
В этом случае говорят, что функция /(х) стремится к двум при х,
стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции /(х)
при х —> 1 и пишут lim /(х) = 2 или /(х)	2 при х —> 1.	А
Пример 2.
Исследуем функцию
f 1 — х, если
если
если
х < О,
х = О,
х > О,
/W = <
в окрестности точки х = 0.
Д Из графика этой функции (рис. 15)
видно, что для любого Е > О
можно найти 3 > 0 такое, что для
всех х е t/g(O) выполняется условие
f(x) е (7е(1). В самом деле, прямые
у = 1 + е и у—\ — Е пересекают график
функции у — /(х) в точках, абсциссы
которых равны Х] = —е, х2 = \/Ё. Пусть
3 —наименьшее из чисел |xj| и х2,
т. е. 3 = min(s, Уё). Тогда если |х| < 3
и х ф 0, то |/(х) — 1| < Е, т. е. для
всех х Е U$(0) выполняется условие
/(х) е (/е(1). В этом случае говорят, что функция f(x) стремится
к единице при х, стремящемся к нулю, и пишут
lim Дх) = 1.
х—*0
В первом примере функция не определена в точке х = 1, а во
втором функция определена в точке х = 0, но значение функции
в точке х = 0 не совпадает с ее пределом при х —> 0.
372
Глава IX. Предел и непрерывность функции
Определение 1. Число А называется пределом функции f(x)
в точке а. если эта функция определена в некоторой окрестности
точки а, за исключением, может быть, самой точки а, и для каждого
Е>0 найдется число й>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию |х — а\ < й,	выполняется неравенство |/(х) — Л | < г.
В этом случае пишут
Пт/(х) = Л или f(x) —>А при х—> а.
х—>а
С помощью логических символов это определение можно записать
так:
{ПтДх)=Л} & Ve>0 ЗЙ>0: Vx: 0<|х —а|<й—>|/(х)—Л|<е,
х—+а
или, используя понятие окрестности, в виде
{lim/(х) = Л}
& Ve > О Зй > 0: Vx е U6(a) -> Дх) G Ue(A).
Таким образом, число А есть предел функции Дх) в точке а,
если для любой Е-окрестности числа А можно найти такую про-
колотую й-окрестность точки а, что для всех х, принадлежащих
этой й-окрестности, соответствующие значения функции содержатся
в s-окрестности числа А.
Замечание. Отметим, что число й, фигурирующее в определении предела,
зависит, вообще говоря, от е, т.е. й=й(е).
Определение 1 называют определением предела функции по Коши.
Наряду с этим определением используется определение предела
по Гейне.
Определение 2. Число А называется пределом функции Дх)
в точке а, если эта функция определена в некоторой проколотой
окрестности точки а, т. е.
ЗЙ0>0:
и для любой последовательности {хп}, сходящейся к а и такой, что
хп е	для всех п е N,
соответствующая последовательность {Дхп)} значений функции схо-
дится к числу А,
Пример 3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать,
что функция Дх) = sin - не имеет предела в точке х = 0.
А Достаточно показать, что существуют последовательности {хп}
и {хп} с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что
lim f(xn)^ lim f(xn). Возьмем xn= ( ~ + 2m] , xn — (m)~\ neN,
n—>oo	n—>oo	\2	/
§3. Предел функции
373
тогда lim хп = lim хп = 0, f(xn) — 1, f(xn) = 0 для всех п 6 N,
п—>оо	п—>ос
и поэтому lim f(xn) = 1, lim f(xn) = 0. Следовательно, функция
п—>оо	п—>ос
sin i не имеет предела в точке х = 0.	▲
Ниже приводится без доказательства теорема, устанавливающая
связь между определениями 1 и 2.
Теорема 1. Определения предела по Коши и Гейне эквива-
лентны.
Теорема 1 позволяет получать доказательство свойств пределов
функций, пользуясь либо определением по Коши, либо по Гейне.
2.	Различные типы пределов
Односторонние конечные пределы. Число Ai называют пре-
делом слева функции f(x) в точке а и обозначают lim /(х) или
х—0
[(а — 0), если
Ve > 0 Ей > 0: Vx е (а - 8, а) -> |/(х) - Л11 < а
Аналогично, число А% называют пределом справа функции Дх)
в точке а и обозначают lim Дх) или f(a + O), если
х—ш-1-0
W > 0 ЕЙ > 0: Vx G (а,а + й) |/(х) — Л2| < е.
Числа А1 и характеризуют поведе-
ние функции соответственно в левой	У‘<
и правой полуокрестностях точки а,	# = signx
поэтому пределы слева и справа на-
зывают односторонними пределами.
Если а = 0, то предел слева функции	*
f(x) обозначают lim Дх) или /(—0), 
х—>—0
а предел справа обозначают lim Дх)
х—►4-0
или /(4-0).	Рис. 16
Например, для функции /(x) = signx, где
sign х =	0,
< 1,
если
если
если
х < 0,
х = 0,
х > О,
график которой изображен на рис. 16,
lim Дх) = Д—0) = —1, lim Дх) = Д+0) = 1.
х—*—0	х—>4-0
Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция
Дх), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а,
374
Глава IX. Предел и непрерывность функции
имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут lim Дх) = оо, если
х—>а
Ve > О Зй > 0: Vx е Щ(а) \f(x)\ > е.	(1)
В этом случае функцию f(x) называют бесконечно большой при
х а.
Согласно условию (1), график функции y = f(x) для всех хе U$(a)
лежит вне горизонтальной полосы |f/| < г. Введем обозначение
t/e(oo) = {у: \уI > е} = (-оо, -е) U (е, +оо)
и назовем это множество г-окрестностъю бесконечности. Тогда
запись lim f(x) = оо означает, что для любой Е-окрестности беско-
х—*а
нечности (7е(оо) найдется такая проколотая й-окрестность точки а,
что для всех хе C/Да) выполняется условие Дх) е £/е(оо).
Например, если /(х) = -, то lim /(х) = оо, так как условие (1)
*	х-->0
выполняется при Й=- (рис. 17).
Аналогично, говорят, что функция Дх), определенная в некоторой
проколотой окрестности точки а, имеет в этой точке предел,
равный +оо, и пишут lim Дх) = +оо, если
Ve>0 Зй > 0: Vx е t/^(a) —> Дх) > Е,
т. е. f(x) е t/e(+oo), где множество (7Д+оо) = (е; +оо) называют
Е-окрестностью символа +оо.
Если
Ve > О Зй > 0: Vx е U^a) Дх) < -е,
т.е. Дх) е оо), где Ue(—оо) = (—оо,— е), то говорят, что функция
Дх) имеет в точке а предел, равный —оо, и пишут lim Дх) = —оо,
х—
а множество UE(—оо) называют Е-окрестностью символа —оо.
, то lim
х—>о
f(x) = Л (Рис- 19)» то /(%) — +°°-
х2	х—*о
Например, если Дх) = — (рис. 18)
|х|
/(х) — —сю, а если
Рис. 19
Рис. 17
Рис. 18
§3. Предел функции
375
Предел в бесконечности. Если
Ve > О 38 > 0: Vx е t/Д+оо) -+ f(x) е Ue(A),
то говорят, что число А есть предел функции f(x) при х, стремя-
щемся к плюс бесконечности, и пишут lim f(x)=A.
Например, если
Дх) = Ь-^
и если х > 0, то х 4 1
„=^2х-
У х+1 ’
3
2
Рис. 20
(см. рис. 20), то lim Дх) = — 2 В самом деле, Дх) = — 2 + ррр
х > 0. Поэтому —откуда следует,
X -f- 1 X
что неравенство |Дх) + 2| < - < е для любого е > 0 выполняется при
любом х > 8, где 8= -, т. е. при любом х е /7д(+оо).
Если Ve > О 38 > 0: Vx G ^(-оо) ->
—>Дх) е t/ДА), т.е. неравенство |Дх)~ А|<е
выполняется для всех хе(—оо, —8), то
говорят, что число А есть предел функции
Дх) при х, стремящемся к минус бесконеч-
ности, и пишут lim Дх)=А. Например,
х—>—оо
Нт
(см. рис. 20).
Аналогично, если
Ve > О 38 > 0: Vx е t/§(oo) Дх) е Ue(A),
то говорят, что число А есть предел функции Дх) при х, стремя-
щемся к бесконечности, и пишут lim f(x)—A. Например, если
то lim Дх) = —2.
X—>оо
Точно так же вводится понятие бесконечного предела в беско-
нечности. Например, запись lim Дх) = —оо означает, что
х—>4-оо
Ve > 0 38 > 0: Vx е Us(+oo) Дх) е Ue(-oo).
Аналогично определяются бесконечные пределы при х—>оо и х—>—оо.
376
Глава IX. Предел и непрерывность функции
3.	Свойства пределов функций
В рассматриваемых ниже свойствах речь идет о конечном пределе
функции в заданной точке. Под точкой понимается либо число а,
либо один из символов а — 0, а + 0, —оо, +оо, оо.
Для определенности будем формулировать свойства пределов,
предполагая, что а~ число, а функция определена в проколотой
окрестности точки а.
1° Если функция f(x) имеет предел А в точке а, то существует
такая проколотая окрестность точки а, в которой эта функция
ограничена.
2°. Если lim /(х)=А, причем Л^О, то найдется такая проколотая
х—
окрестность точки а, в которой значения функции /(х) имеют тот
же знак, что и число А.
3°. Если lim/(x)=A,
х >а	j
такое, что функция
4° Если существует
х G Ufi(a) выполняются
причем А ф 0, то существует число
ограничена на множестве
число й > 0 такое, что для
неравенства g(x) < /(х) < /г(х), и
й>0
всех
если
lim g(x) = lim h(x) — А, то существует lim f(x) = A.
x—*a	x—>a	x—>a
Для доказательства свойств l°-3° можно воспользоваться опре-
делением 1 предела, взяв	а для доказательства свойства 4°
удобно использовать свойство 3° для трех последовательностей (§2,
разд. 3) и определение предела функции по Гейне
4.	Бесконечно малые функции. Арифметические операции
над функциями, имеющими конечный предел
Функцию а(х) называют бесконечно малой при х а, если
lim а(х) = 0.
х^а
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1° Сумма конечного числа бесконечно малых при х-+а функций
есть бесконечно малая функция при х —> а.
2°. Произведение бесконечно малой при х —> а функции на
ограниченную в проколотой окрестности точки а функцию есть
бесконечно малая при х —> а функция.
Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно
малой и ограниченной функций, либо с помощью определения
предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последова-
тельностей.
§3. Предел функции
377
Так как бесконечно малая функция ограничена, то произведение
двух (или нескольких) бесконечно малых при х —* а функций есть
бесконечно малая функция при х а.
Например, функции Зх, 4х3 являются бесконечно малыми при
х —> 0. Если х —> 0 и х > 0, то у/х —> 0, т. е. у/х — бесконечно малая
функция при х —> +0. Аналогично, > 0 при х —> +оо, т. е. -^= —
бесконечно малая функция при х —> 4-оо.
19	12
Если х —> оо, то - —> 0, — —> 0, т. е. — бесконечно малые
х х2	х х2
функции при х —оо.
Замечание. Из определений предела функции и бесконечно малой
функции следует, что число А является пределом функции /(х) при х —> а
тогда и только тогда, когда /(х) — A Pot(x), где а(х)->0 при х—>а, т. е. а(х)—
бесконечно малая функция при х -> а.
Пример 4. Пусть b > 0 и lim а(х) = 0 Доказать, что
х >а
lim \/b + а(х) = Vb.
х >а
А Обозначим ф»(х) = у/b А- а(х) — \fb. Нужно доказать, что (р(х) —
бесконечно малая функция при х—т.е. что lim м(х) = 0. Умножив
х—
и разделив <р(х) на y/bA- ос(х) 4- \/b, получим
а(х)
у/b + а(х) 4 уДА
где b 4- а(х) > 0 в некоторой проколотой окрестности точки а, так
как lim а(х) = 0. Тогда
| (Х)|= Мх)|
у/Ь 4- а(х) 4- y/b \[ь
и поэтому lim <р(х) = 0.	▲
х—ш
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы
в точке а, причем
lim /(х) = А, lim g(x) = В.
х>а	х—*а
Т°гда	lim (Дх) + g(x)) = А + В,	(2)
a\im(f(x)g(x)) = AB,	(3)
х—
lim = — при условии, что В /0.	(4)
х—>а g(x) В
Для доказательства равенств (2)-(4) достаточно воспользоваться
определением предела функции по Гейне и свойствами пределов по-
следовательностей (§2, теорема 2). Другой способ доказательства —
378
Глава IX. Предел и непрерывность функции
использование замечания перед примером 4 и свойств бесконечно
малых функций.
Отметим частный случай утверждения (3):
lim (СДх)) = С lim Дх),
х—>а	х-+а
т. е. постоянный множитель
Пример 5. Вычислить:
1) lim 5 + х + 4^.;	2)
х—>0 I + 2х + Зх3
3) lim Зх2 + 4х + 5.	4)
х~>оо 2лг —х+1
можно вынести за знак предела.
lim
х >2
ч/х^Т- 1.
х - 2	’
jjm \/2х2 + 4х + 3
х—*+оо	х
Л 1) Так как Cxk, где С — постоянная, k е N, является бесконечно
малой функцией при х —> 0, то предел числителя равен 5,
а предел знаменателя равен 1. Поэтому искомый предел равен 5.
2)	Умножив числитель и знаменатель дроби на Vx — 1 + 1,
получим
х/х — 1 — 1 ______х — 2_______________1______
х—2	(х-2)(ч/1 + (х -2) Г 1) ” /1 + (х - 2) + 1
при х^2, где + (х — 2) —»1 при х—>2 (пример 4). Используя
утверждение (4), находим, что искомый предел равен
3)	Разделив числитель и знаменатель дроби на х2, запишем ее
3 + х + *2
в виде----------—. Так как -^-—>0 при х—>оо (С—постоянная,
2-1 +±
X h х2
о
AeN), то искомый предел равен
4)	Последовательно преобразуем данную функцию:
У2х2 + 4х + 3 _ / 2х2 + 4х + 3 _ /с? i 4 . 3
х V	~ V + х ’
л	у X	у Л X
Отсюда следует (пример 4), что искомый предел равен V2. ▲
Пример 6. Пусть lim а(х) = О, b > 0, k Е N. Показать, что
lim {/fe +- а(х) = \/b.	(5)
X—
Д Введем обозначения
Тогда /3(х) —> 0 при х —> а.
§3. Предел функции
379
Как и в примере 4 (§2, разд. 3), можно показать, что
1 - |/3(х)| <	1 + |/3(х)|.
Применив свойство 4° пределов функций, получаем
lim v/fo + а(х) = у/b lim v/1 + /3(х) — tyb.
х—>а	х—>а
Пример 7. Найти lim
А Пусть (р(х) — v^8 — х
l-j-l), г(х) = ^1-|. Тогда
limg(x) — 1 (пример 6). Применив формулу а — b =	а3~Р3..
а1 4- ab + Ь*
получим
5-1
g(x) — 1 =--------------,
(gW)2 +g(x) + 1
Л(х) = (gW)2 + g(x) 4-1 —► 3 при X -> 0.
Если x 0, то
Нт
х—>0
ПРИ х~>0
4/z(x)	12 г
Следовательно,
5. Пределы монотонных функций
Сформулируем без доказательства теорему о пределах для мо-
нотонной функции.
Теорема 3. Если функция f определена и является монотонной
на отрезке [а, Ь], то в каждой точке xq е (а, Ь) эта функция
имеет конечные пределы слева и справа, а в точках а и Ь —
соответственно правый и левый пределы.
Следствие. Если функция f определена и возрастает на отрезке
[a, b], xq G (а, Ь), то
/Оо - 0) /(х0) /(х0 + 0).
380
Глава IX. Предел и непрерывность функции
6. Замена переменного при вычислении пределов
Теорема 4. Если существуют
lim ср(х) = b, lim f(y) = Л,
у^Ь
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки
а выполняется условие <р(х) Ь, то в точке а существует предел
сложной функции f((p(xj) и справедливо равенство
lim /(гр(х))= limftt/).
Х-*а	у—>Ь
Для доказательства теоремы 4 можно воспользоваться определе-
нием предела функции по Гейне.
Задачи
Вычислить предел функции (1-18):
„2 _4 1. Нт -Л	1_.	2. х—>2 х2 — 5х 4- 6 о	..	х2 — 5х 4- 6	Л 3.	lim	-=	‘—.	4. х—>3 х2 - 8х + 5 с	..	4х3 4- 2х 4-3	с 5.	lim	—х	5	.	6. 2х3 - х2 4- 5 7.	lim	f—3 + 1 А	8. X—>1 \1 - X3	X- 1/ 9.	Пт	/Л+_8.[-3.	io. И.	Пт	v^+_13_2v^+J	I2. х—>3	х2 — 9 ..	^/Г^6 + 2 13. lim	.	14. х—>—2	х34-8 15. lim (л/х24-4-л/х24-1).	16. х—>оо	7	.. х2 — 6x4-5 lim •— 		 х—>5 х2 — 25 г2-1 1:	X — 1 11 m —х	. х—> 1 2х2 — х — 1 ..	4х5 4- х2 — 1 hm —=	. х-*°° Зха - X + 2 |jm (2х + I)3 - (2х - I)3 х-*оо	4х2+х4-3 )jm И + 2х-3 х-^4 у/х — 2 ..	\/2х 4~ 3 — 3 11 ГЛ 2Ц___	. х—*3 у/х — 2 — 1 lim + о	yi -X lim (д/x2 4-Зх 4-5 — \/х2 — Зх 4-7). х—>4-оо v	7
17. lim х(\/х2 -+-2х - 2л/х2 4-х 4-х). 18. lim (^х3 4- х 4-1 - а/х3 — х2 4-1) •
х—*+оо v	'	х—>ооv	7
Ответы
1. -4.' 2.	3.	4.	5. 2. 6. £. 7. 1. 8. 6. 9.	10.
5	2	3	3	о	3
“•-та ,2-з |3-1я- '“4 15-°- ,6-3 |7-Ч |84
§4. Непрерывность функции
381
§4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Понятие непрерывности функции
Определение. Функция, определенная в некоторой окрестно-
сти точки а, называется непрерывной в точке а, если
limf(x) = f(a).	(1)
х—>а
Таким образом, функция f непрерывна в точке а, если выполнены
следующие условия:
функция f определена в некоторой окрестности точки а, т. е.
существует число йо > 0 такое, что U$G(a) с D(f)\
существует lim f(x) = А;
х-+а
A=f(a).
Определение непрерывности функции /(х) в точке а, выраженное
условием (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке
г—й), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей
соответственно в виде
Vs ЗЙ > 0: Vx: |х — а\ < й —> |/(х) — f(a)\ < г,
Vs ЗЙ > 0: Vx е U^(a) -»f(x) е UE(f(a)),
V{xn}: lim хп = а —» lim f(xn) = f(a).
п-^оо	п-^оо
Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от
определения предела, рассматривается полная, а не проколотая
окрестность точки а, и пределом функции является значение этой
функции в точке а.
Назовем разность х — а приращением аргумента и обозначим
ее через Дх, а разность /(х) — f(a) — приращением функции,
соответствующим данному приращению Дх аргумента, и обозначим
ее через Дг/. Таким образом,
Дх = х — а, /\у — f(x) — f(a) = f(a + Дх) — [(a).
При этих обозначениях равенство (1) примет вид
lim Дг/ = 0.
Дх—>0
Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Пример 1. Доказать, что функция /(х) непрерывна в точке а,
если
1) f(x) = х3, а - 1;	2) f(x) = ±, а / 0;
X2
382
Глава IX. Предел и непрерывность функции
3) f(x) = y/x, а>0;	4) Дх) = f %S*n х’ Х	а = 0.
10,	х = 0,
Д 1) Если х—> 1, то по свойствам пределов (§3, разд. 3) получаем
х3 —> 1, т.е. для функции Дх)=х3 в точке х=1 выполняется
условие (1). Поэтому функция х3 непрерывна в точке х=1.
2)	Если х —> а, где а ф 0, то, используя свойства пределов (§3,
разд. 3), получаем
1 -> 1 ± > 1
X ~х2 а2'
т.е. функция непрерывна в точке х = а (а 0)
3)	Так как |%/х~	то отсюда получаем
О < \у/х~
Следовательно, у/х — \/а —» 0 при х —> а. Это означает, что
функция д/х непрерывна в точке а, где а > 0.
4)	Функция / определена на множестве IR, и при любом х eR
выполняется неравенство
О I/W - /(0)1 = \f(x)\ = И • I sin 1| И,
так как sin -	1 при х / 0. Следовательно, lim /(х) =
I х I	х—>0
= ДО) = 0, т. е. функция f непрерывна в точке х = 0. А
По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие
непрерывности слева (справа). Если функция f определена на
полуинтервале (а — 8,а] и lim Дх) = Да), т.е. Да — 0) = Да),
х—О
то эту функцию называют непрерывной слева в точке а.
Аналогично, если функция определена на полуинтервале [а,а + 8),
и Да + 0) = Да), то эту функцию называют непрерывной справа
в точке а.
Например, функция Дх) = [х] непрерывна справа в точке х = 1
и не является непрерывной слева в этой точке, так как
/(1-0) = 0, /(1 + 0) =/(!) = !.
Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только
тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.
2. Точки разрыва
В этом разделе будем предполагать, что функция f определена
в некоторой проколотой окрестности точки а.
§4. Непрерывность функции
383
Точку а назовем точкой разрыва функции если эта функция
либо не определена в точке а, либо определена, но не является
непрерывной в точке а
Следовательно, а — точка разрыва функции /, если не выполняется
по крайней мере одно из следующих условий:
а е £>(/);
существует конечный Ит/(х) = Л;
х—>а
A=f(a).
Если а — точка разрыва функции [, причем в этой точке суще-
ствуют конечные пределы слева и справа, т. е. lim f(x) = f(a — 0)
х—*а—0
и lim /(х) = /(а-|-0), то точку а называют точкой разрыва первого
х—>а+0
рода.
Замечание. Если х — а — точка разрыва первого рода функции /(х), то
разность f(a + 0) — f(a — 0) называют скачком функции в точке а. В случае
когда f(a 4- 0) = f(a — 0), точку а называют точкой устранимого разрыва.
Полагая f(a) = f(a 4- 0) — f(a - 0) — А, получим функцию
7	(/(х), если х / а,
f(x) = л
[ А, если х — а,
непрерывную в точке а и совпадающую с /(х) при х^а. В этом случае говорят,
что функция доопределена по непрерывности в точке а.
Пусть х = а — точка разрыва функции Д не являющаяся точкой
разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго
рода функции f. В такой точке хотя бы один из односторонних
пределов либо не существует, либо бесконечен.
Например, для функции f(x)= xsin- точка х = 0 —точка разрыва
первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим
функцию	!
— xsin-, если х 0,
/(*) =4 х
0, если х = 0,
к	’
непрерывную в точке х = 0, так как lirnxsin- = O.
Для функций sin - и точка х = 0 —точка разрыва второго
х Хл
рода.
Теорема. Если функция f определена на отрезке [а, Ь] и мо-
нотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки
разрыва только первого рода.
384	Глава IX. Предел и непрерывность функции
О Пусть %о — произвольная точка интервала (а,Ь). По теореме 3
§ 3 функция f имеет в точке xq конечные пределы слева и справа.
Если, например, / — возрастающая функция, то
f(x0 - 0) f(x0) Дх0 + 0),
где /(%о — 0) и f(xQ + 0) — соответственно пределы функции f слева
и справа в точке х$.
В том случае, когда /(%о~О)^/(хо + О), точка xq является точкой
разрыва первого рода функции /; если же f(xo~ О)=/(%о + О), то точка
есть точка непрерывности функции /. Аналогичное утверждение
справедливо и для убывающей функции.	•
3.	Свойства функций, непрерывных в точке
1° Если функция / непрерывна в точке а, то она ограничена
в некоторой окрестности этой точки.
2°. Если функция f непрерывна в точке а, причем [(а)	0, то
в некоторой окрестности точки а знак функции f совпадает со знаком
числа /(а).
Для доказательства свойств Г и 2° можно использовать свойства
пределов функций (§3, разд. 3).
3° Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то функции
/(*)+£(%) и /(x)g(x) непрерывны в точке а, а при дополнительном
условии g(a) ф 0 функция непрерывна в точке а.
Для доказательства свойства 3° следует использовать определение
непрерывности и свойства пределов функций (§3, разд. 4, теорема 2).
4° (Непрерывность сложной функции.) Если функция z — f(y)
непрерывна в точке у$у а функция у = ср(х) непрерывна в точке х0,
причем у$ — ф(%о)» то в некоторой окрестности точки х$ определена
сложная функция /(<р(х)), и эта функция непрерывна в точке х$.
4.	Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [а, 6], если
она непрерывна в каждой точке интервала (а, Ь) и, кроме того,
непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Сформулируем без доказательства основные теоремы для функ-
ций, непрерывных на отрезке.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [а,Ь], то она ограничена на нем, и достигает своих точ-
ных верхней (М= sup f(x)) и нижней (т= inf f(x)) граней, т. е.
е [a,b]:f(Ci)=M,
Зс2 G [a, b]: f(c2) = т.
§4. Непрерывность функции
385
Теорема 2 (о нулях непрерывной функции). Если функция [(х)
непрерывна на отрезке [а, 6] и принимает в его концах значения
разных знаков, т. е. f(a)f(b) < О, то на отрезке [а, Ь\ имеется
хотя бы один нуль функции [, т. е.
3ce[a,b]: f(c) = O.
Замечание. Теорема 2 утверждает, что
график функции у=ф(х), непрерывной на отрезке
[а,/?] и принимающей в его концах значения
разных знаков, пересекает ось Ох (рис. 21) хотя
бы в одной точке отрезка [а, Ь].
Теорема 3 (Коши). Если функция [
непрерывна на отрезке [а, 6] и f(a)^f(b),
то для каждого значения С, заключен-
ного между [(а) и [(b), найдется точка
такая, что [(^) = С.
Следствие. Если функция [ непрерывна на отрезке [а, 6],
т = inf f(x), М = sup /(х),
то множество значений, принимаемых функцией
есть отрезок [т,Л4|.
на отрезке [а, 6],
О Для всех хе[а,Ь] выполняется неравенство т^[(х) причем,
согласно теореме 1, функция [ принимает на отрезке значения,
равные т и М. Все значения из отрезка [т,М] функция принимает
по теореме 3. Отрезок [т,М] вырождается в точку, если /(х) = const
на отрезке [а, Ь\.	•
Теорема 4 (об обратной функции). Если функция у = [(х)
непрерывна и возрастает на отрезке [а, Ь], то на отрезке
[/(«),/(^)] определена функция х = [(у), обратная к [, непрерывная
и возрастающая.
Пример 2. Найти такие числа b и с, при которых функция
к*)={
х < 2,
х = 2,
х > 2
непрерывна в точке х = 2.
А Так как /(2) = Ь,
f(2-0)= lim/(x) = 4,
х—>2
х<2
/(2 + 0)= lim/(x) = 2 + c,
х—>2
х>2
386
Глава IX. Предел и непрерывность функции
то функция Дх) будет непрерывной в точке х = 2 тогда и только
тогда, когда
Д2 — 0) = Д2 + 0) = Д2),
т. е. при выполнении условий 4 = 2 + с = Ь, откуда находим b = 4,
с = 2.	▲
Пример 3. Выяснить, является ли функция
/(*) =
х3 - 8
х — 2 ’
8,
х^2,
х = 2
непрерывной в точке х = 2.
Л Если х ф 2, то /(х) = х2 + 2% 4- 4, откуда находим lim Дх) = 12.
х—>2
Так как /(2) = 8, a ИтДх)/Д2), то функция Дх) не является
х—>2
непрерывной в точке х = 2.	▲
Пример 4. Показать, что уравнение х3 — 4х2 4- 3 имеет корень
на отрезке [—1;0].
Д Функция Дх) = х3 — 4х2 4- 3 непрерывна на отрезке [—1; 0],
Д—1) = —2, ДО) = 3. По теореме 2 на интервале (—1;0) найдется
точка с такая, что Дс) = 0, т. е. данное уравнение имеет корень на
отрезке [—1;0].	▲
Задачи
1.	Выяснить, является ли непрерывной в точке х = а функция Дх), если
1)0 = 1. /(%) = 4%23 ;^ .+ 1; 2) а = -2, f(x) = xl±*-
{9
х
х 4- 6, х 2.
2.	Найти такие значения а и 6, чтобы функция Дх) была непрерывна на
своей области определения, если:
Гх —1 < х < 1	( (х — 1) 1 х О’
1)Дх) = 4 ;	.	2)Дх)={ ax + b, 0<х<1,
\х + ах+ b. х > 1;	|
11	( ух, х 1.
3.	Пусть функция Дх) непрерывна в точке а. Доказать, что функция |Дх)|
также непрерывна в точке а.
4.	Показать, что уравнение 4х3 — Зх2 4- 2х — 1 = 0 имеет корень на отрезке [0,1].
5.	Найти точки разрыва функции Дх), если
О /W = -7—;	2) /(х) = ,* -1 .
х3 — 2х2 — х + 2	х3 — 3x4-2
Ответы
1. 1) Да; 2) нет; 3) да. 2. 1) а = 1, Ь = -Л; 2) а = 2, 6 = -1.	5. 1) -1,1,2;
2) 1,-2.
§5. Вычисление пределов функций
387
g(x) = (x-a)kgi(x),
непрерывны в точке а, то
при х а,
если gi(a)/O.
§5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
При вычислении пределов функций вида при х —> а,
где Дх) и g(x) — бесконечно малые функции при х —> а, т. е.
lim /(х) — lim g(x) = 0, преобразуют дробь, выделяя в ее числителе
х—ьа	х—>а
и знаменателе множитель вида (х — a)k, k G N.
Если в некоторой окрестности точки а функции Дх) и g(x)
представляются в виде
f(x) = (x-a)ViW,
где k е N, а функции f(x) и g(x)
/(х) _ Л(х)
g(x) g\(x)
откуда следует, что
x->ag(x) gja)
Пример 1. Найти предел функции:
, ч ..	х3 — х2 4- х 4- 3	О\ 1 •	х3 — Зх + 2
1) ит ------х-----;	2) lim ъ.
х—>-1 х3 — 2х2 4- х 4- 4	х—> 1 х3 — 2х2 4- х 4- 4
А 1) Пусть Дх) = х3 - х2 4- х 4- 3, g(x) = х3 — 2х2 4- х 4- 4. Так как
х = _ 1 —КОрень многочленов /(х) и g(x) (/(—1) =g(—1) = 0),
то при разложении этих многочленов на множители можно
выделить множитель х4-1
Имеем
Дх) = х3 4- х2 — 2х2 4- х 4- 3 = х2(х 4-1) — 2х(х 4-1)4- 3(х 4-1) =
= (х 4- 1) (х2 — 2х 4- 3),
g(x) = х3 4- х2 — Зх(х 4-1)4- 4(х 4-1) = (х 4-1)(х2 — Зх 4- 4).
Следовательно,
lim Ж = Um х2 —2х + 3_3.
x->-\gM	х->-1х2-Зх + 4	4
2) Пусть /(х) = х3 — Зх + 2, g(x) — x4 — 4х + 3. Тогда f(l)=g(l) —0,
f(x) = х3 — х — 2(х — 1) = (х — 1)(х2 + х — 2) = (х — 1)2(х + 2),
g(x) = х4 — х — 3(х — 1) = (х — 1) (х3 + х2 + х — 3) =
— (х — 1) (х3 — 1 + х2 + х — 2) = (х — 1)2(х2 + 2х + 3).
Следовательно,
|imm = lim_A±2_ = ^l.	д
X^lg(x) X-Их2+ 2х + 3	6	2
388
Глава IX. Предел и непрерывность функции
В некоторых случаях при вычислении пределов
где f(x) и g(x) — бесконечно малые функции при
использовать замену переменного (§ 4, п. 6).
вида lim 44»
х->а g(x)
х а, можно
Пример 2. Найти предел функции:
п .. у ах- 1	, ч	^32 + х - 2
1)	lim ---------, а ^0;	2) lim --------
х>0 х	х—>0	х
.. </ГГзх ^ТТ21
3) lim----------------.
х—>0	х
Д 1) Пусть ^1 4- ах = t, тогда
а
..	^1 -I- ах — 1	..	/ — 1	..	1
lim-------------= a lim —— = alim -=---------------
х—>0	х	/->1/2 + /+1
2)	Пусть \/32 + х = Z, тогда
х — Z5 — 32,
^32П-2 t — 2	..	1	1
lim ------— lim -=---= hm —--~.
x->0 x	t->2H-32	t—>2 Г 4-2Z3 + 4f2 + 8/+ 16	80
3)	Прибавляя и вычитая единицу в числителе дроби, представим
эту дробь в виде f(x)—g(x), где
.	^Г+^-1	. .	^ТТ2^-1
Д%) =-----------, g(x) =--------
X	X
Так как
lim /(х) = lim --—— = 3 lim	~—Ц-------- =
х—>0	/—>0 1(/5 _	/—>0 Z-M4-Z-M+1	5
3
a lim g(x) = | (пример 2(1)), то искомый предел равен
х—>о	з
lim(/(x)-^)) = |-| = -l.	А
Пример 3. Найти предел функции:
lim (\/х3 + Зх2 4-1 — \/х2 — 2х + 3).
х—>+оо 4	'
Д Представим данную функцию в виде f(x)—g(x), где
f(x) =	4- Зх2 4-1 — х, g(x) = V*2 — 2х 4- 3 — х.
Пусть	/____________
/г(х) = ух3 + Зх2 4-1,
§5. Вычисление пределов функций
389
h2(x) Т xh(x) + х2 ’
где /г3(х) —х3 = Зх24-1. Разделив числитель и знаменатель полученной
дроби на х2 и учитывая, что
lim = lim \/1 4- — Ч- -U = 1
х—>Тоо х	х—> Too у х х
(§ 3, пример 6), находим, что
ИТ = Г-Н 11 = L
х—>-| оо	14-14-1
Найдем lim g(x), используя равенство
gW =
—2х 4 3
х/х2 2х | 3 4- х
откуда получаем
lim g(x) = -^ = -l.
►Too	2
Следовательно, искомый предел равен
lim (/(х) - g(x)) = 1 4-1 = 2.
х- >Тоо
Задачи
Вычислить пределы функций (1-10):
1.
3.
5.
7.
9.
2.
4.
6.
,.	2х3 — 2х2 т х — 1
lim —-------------.
х—И Xе5—х2тЗх —3
lim | ——н Т -о—!------- 1.
г—>2 \ 2х — х2 х2 — Зх Т 2 /
\/х2 — 2х Т 6 — x/х2 Т 2х — 6
lim --------*---------------
х^З	х2 — 4х Т 3
8. 1 i m (х/х4 Т 2х2 — 1 — \/х4 — 2х2 — 1).
х—>оо '	'
lim (v^x3 Т Зх2 Т 4х —
х—>оо
\/х3 - Зх2 Т 4).
10. 1 im х3/2(Vx 4- 2 — 2\/х Т 1 4- \/х)
х—>ТОО	'
Ответы
1.	2.	3. 1. 4. -1. 5. |. 6. -1. 7. 2. 8. 2. 9. 2. 10.
Глава X
СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§1. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Знакомые вам функции у = х, у = х2, у = х3 и у = - являются
частными случаями степенной функции, т. е. функции вида у = хр,
где р — заданное действительное число.
Свойства степенной функции существенно зависят от свойств
степени с действительным показателем и, в частности, от того, при
каких значениях х и р имеет смысл степень хр.
Рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от
показателя степени р.
1.	Степенные функции с натуральным показателем степени
у = хр, где р G N
Степенная функция у = хр (р е N) обладает следующими свой-
ствами.
Область определения', все действительные числа, т. е. множе-
ство R.
Множество значений'. R при р нечетном, у 0 при р четном.
Четность, нечетность', при р нечетном, т. е. при натуральном
значении р — 2п — 1, функция нечетная, так как (—х)2"”1 = — х2д_|;
при р четном, т. е. при р — 2п, функция четная, так как (—х)2п — х2п.
Нули функции', у — 0 при х = 0 для любого р е N.
Промежутки знакопостоянства'. если р четное, то у > 0 при
всех х 0; если р нечетное, то у > 0 при х > 0, у < 0 при х < 0.
Промежутки монотонности', при р нечетном функция возрастает
на всей области определения; при р четном функция возрастает при
х 0, убывает при х 0.
О Пусть р — нечетное число, т. е. —1 (ncN). Если 0^xj<X2,
то х2п~^ < х2п~{; если же х\ < х% < 0, то 0< — х^<— Х|, откуда
(—х2)2п 1 < (—xi)2n—1 или х2п-1<х2"Наконец, если xi<0, а х2>0,
то х2п-1<Х2П-1. Таким образом, неравенство х2п~^<х^п~] справедливо
при всех Xi, Х2 таких, что х\<х^. Следовательно, функция у=х2п~^ —
возрастающая.
§1. Степенная функция
391
Пусть теперь р — четное число, т.е. p — 2n (neN). При всех
Х1, Х2 таких, что O^xj<X2, справедливо неравенство х2л<Х2П,
т.е. при х>0 функция у = х2п — возрастающая. При всех xj, Х2
таких, что xi<X2^0, выполняется неравенство 0^—Х2<—Х|, откуда
(-х2)2п<(—Xj)2n или Xgn<x2n, т.е. функция у=х2п — убывающая. •
Ограниченность', при р нечетном функция не является ограничен-
ной ни сверху, ни снизу; при р четном функция ограничена снизу,
так как /(х) = х2п > 0 при всех х G R, и принимает наименьшее
значение z/mjn = /(0) = О
Графики функций у = хр для
/7 = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 1. При всех
р е N графики называются параболами
р-й степени или просто параболами. При
/7 = 2 это обычная парабола, при /7 = 3 —
кубическая парабола.
Пример 1. Доказать, что функция
у = хр, где р е N, является непрерывной
на всей области определения.
Д Функция у = х является непрерывной
на К, так как Д// = Дх—>0 при Дх—*0.
Поэтому функция у = хр, где /?еМ, явля-
ется непрерывной на R как произведение
р непрерывных функций.	▲
Пример 2. Доказать, что функция
у = х° не является ограниченной.
Д Предположим противное, т. е. допу-
стим, что существует число С > 0 такое,
что для любого xeD(f) = R справедливо
неравенство |/(х)| < С.
Возьмем число хс = х^2С. Тогда
Дхс) = (Ж) — 2С>С, что противоречит
предположению. Следовательно, функция
у = х° не является ограниченной. ▲
Рис. 1
Пример 3. Построить график функции у = — х3 + 6х2 — 12х + 9.
Д Заметим, что £)(/) = R и у = —х3 4- 6х2 — 12х + 9 = —(х — 2)3 4-1.
Следовательно, график данной функции получается из графика
функции у = х3 симметрией относительно оси абсцисс, сдвигом вдоль
оси абсцисс на 2 единицы вправо и вдоль оси ординат на 1 единицу
вверх. График изображен на рис. 2.	▲
392
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
2.	Степенные функции с целым отрицательным показателем
степени у = х~р, где р Е N
Степенная функция у — х~р —	где peN, обладает следующими
свойствами.
Область определения', множество R, кроме х = 0.
Множество значений', множество R, кроме у — 0 при р нечетном,
у > 0 при р четном.
Четность, нечетность', при р нечетном, т. е. при натуральном
значении р = 2п —1, функция нечетная, так как ---—г ——г5
(~x)2n~l xzn 1
при р четном, т.е. при р — 2п, функция четная, так как —1—— = —1_.
(-x)Zn xZn
Нули функции', нет.
Промежутки знакопостоянства: если р нечетное число, то у>0
при х > 0, у < 0 при х < 0; если р четное, то у > 0 при всех х 0.
Промежутки монотонности', при р нечетном функция убывает
при х < 0 и х > 0; при р четном функция возрастает при х < О,
убывает при х > 0.
О Это следует из свойств функции у — хр, где р е N.	•
Ограниченность: при р нечетном функция не является ограни-
ченной ни сверху, ни снизу; при р четном функция ограничена снизу,
так как /(х) = х~2п > 0 при всех действительных значениях х О,
однако функция не принимает наименьшего значения.
График функции у = —, где р = 2п — 1 (п е N) имеет такой
хр
. . 1 1
же вид, как графики функции у— - и у =представленные на
х	х6
рис. 3, а.
Рис. 3
§ 1. Степенная функция
393
График функции У — ^р^ где р~—2п (пей), имеет такой же вид,
как графики функций у = \ и у — \, представленные на рис. 3,6.
%2	X4
Прямая у = 0 (ось абсцисс) является горизонтальной асимп-
тотой, а прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной
асимптотой графика функции у — х~р, где р G N.
О Это следует из свойств функции у = хр, где р G N.	•
3.	Степенные функции вида у = у/х, где n € N, л 2
Степенная функция вида у = у/х (п Е N, п 2) обладает
следующими свойствами.
Область определения'. D(f) = [0; 4-оо) при п четном; D(f)— R при
п нечетном.
О Если п = 2т (т е N) — четное число, то корень степени 2т
определен лишь для неотрицательных чисел и значение функции
равно арифметическому корню из неотрицательного числа х, т. е.
у = (х 0).
Если же п — 2т + 1 (m е N) — нечетное число, то корень степени
2т + 1 определен для всех действительных чисел. При этом для х>0
он является арифметическим корнем, а для х<0 его можно выразить
через арифметический корень следующим образом
2mWi-
Значение функции в этом случае определяется так:
у = 2т\/х (х 0) и у — - 2™А/]х| (х < 0).	•
Множество значений'. [0; +оо) при п четном; R при п нечетном
Четность, нечетность', при п нечетном функция нечетная; при
п четном функция есть функция общего вида.
Нули функции', у = 0 при х = 0.
Промежутки знакопостоянства'. если п четное, то у > 0 при
х > 0; если п нечетное, то у > 0 при х > 0, у < 0 при х < 0.
Отметим, что если п = 2т (т е N) — четное число, то функция
у = является обратной к функции у = х2т на промежутке
[0;+оо); если же л = 2т + 1 (т Е N) — нечетное число, то функция
у — 2m+J/x является обратной к функции у = %2т+1 на промежутке
(—оо;4-оо). Отсюда можно получить следующие свойства функции
у = </х (п е N, п 2).
Непрерывность', функция у — у/х (п Е N, п 2) является непре-
рывной на всей области определения.
15—2549
394
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Промежутки монотонности', функция вида у — у/х (neN, п^2)
является возрастающей на всей области определения.
Ограниченность', если п = 2т 4- 1 (т е N) — нечетное число,
то функция у = 2т\ух не является ограниченной ни сверху, ни
снизу; если же n = 2т (т е N) — четное число, то функция у = 2у/х
ограничена снизу, так как f(x) = 2у/х > 0 при всех действительных
значениях х 0 и принимает наименьшее значение г/т1П = /(0) = 0.
Экстремумы', нет.
График функции вида	(nEN, п^2) может быть получен
симметрией относительно прямой у = х соответствующего графика
функции у = хп (п е N, п 2). При этом для п = 2т + 1 (т е N)
график функции у =- хп берется на всей числовой прямой, а для
n = 2т (m е N) берется только часть графика функции у = хп на
промежутке [0;+оо).
График функции у = 2т\/х (т е N) имеет такой же вид, как
графики функций у — tyx и у — у/х, представленные на рис. 4, а.
График функции у~ 2у/х (mEN) имеет такой же вид, как графики
функций у — у/х и у — у/х, представленные на рис. 4,6.
4.	Степенная функция вида у = хг, где г Е Q
Дадим определение степенной функции хг с рациональным
показателем г. Если г——, т е Z, n е N, то положим
п
xr = (xn)m, х > 0.	(1)
Функция хп непрерывна и возрастает. Функция tm непрерывна при
t > 0, возрастает, если т > 0, и убывает, если т < 0. Поэтому
функция хг непрерывна при х>0, возрастает, если г>0, и убывает,
если г < 0.
График функции y = xr (reQ) имеет такой же вид, как, например,
графики, представленные на рис. 5.
§1. Степенная функция
395
Перечислим некоторые свойства степеней действительных чисел
с рациональным показателем:
(a»)m = (am)n, a>0,	(2)
ar > 1 при г € Q, а > 1 и г > 0,	(3)
ar'ari = аг,+Г2 при а > 0, п е Q, r% G Q,	(4)
(аг')Г2 = аг, Г2 при а>0, и 6 Q, r2 е Q,	(5)
аг> > аГ2 при а > 1, r\ G Q, е. Q, г\ > Гг-	(6)
Свойства (2)-(6) легко проверяются, если воспользоваться свой-
ствами целых степеней и тем, что при a > О, b > 0 из равенства
an = bn, ne N, следует a — b.
Задачи
1.	В одной системе координат постройте графики функций:
1)	а)	у = х2;	б)	у = х3-,	в)	у = х4;	г)у = х5;
2)	a)	z/ = x-1;	б)	у = х~2;	в)	у	= х~3\	г)	у = х-4;
114	3
3)	a)	f/ = x3;	б)	у — х'2\	в)	=	г)	у = хЪ-,
_1	_1	_4	_з
4)	а)	У — Х 5;	б)у = Х2;	я)	у	— X	\	г)	у = X ?.
2.	Используя свойства степенной функции, сравнить числа:
1)	(0,33)6 и (-4,2)6;	2) (-Я)5 и (-^)5;
3) (1 - л/2)7 и (ч/3-l)7;	4) (х/3+1)10 и (х/2 + 2)10;
3	3
5) (Л)’ и (Л)’;	6) 3,2~0,3 и 3,3-°’3;
7) (2^5)-0'4 и (5\У2Г°Л
3.	Показать, что функция у = х2 не является ограниченной сверху на
промежутке [0;4-оо).
4.	Доказать, что функция у = х2 является убывающей на промежутке (—оо;0]
и возрастающей на промежутке [0;4-оо).
396
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
5.	Построить график функции и с его помощью исследовать функцию, т. е.
указать область определения и множество значений, участки знакопосто-
янства и монотонности, нули функции, а также проверить на четность
и нечетность:
г/ \ Г если W ^2, пч г/ ч ( х3, если |х| > 2,
° ,М - { 64х->, И > 2;	2) /М = { |28л~4, если W < 2
6.	Построить график функции и найти ее область определения, множество
значений, промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли
функция ограниченной; имеет ли наибольшее и наименьшее значения:
l)z/=M3 + l; 2)z/ = 3-|x|5;	3)t/=|x|3 —1;	4) у = (2х)2 - 4.
7.	Начальная масса тела при движении этого тела со скоростью v меняется
и достигает значения ш, вычисляемого по формуле т = —...-.., где с —
о
скорость света, с«3-10° км/с. Какова должна быть скорость тела, чтобы
его масса:
1)	увеличилась в два раза; 2) увеличилась в три раза?
8.	Массу тела на высоте h от поверхности Земли можно найти по формуле
(R \ 2
-—-) • /и0, где пц — масса тела на расстоянии h км над
поверхностью Земли, R — радиус Земли (принять равным 6400 км), т0 —
масса тела на уровне моря, h — расстояние от поверхности Земли.
1) Изобразить схематически график изменения массы тела человека при
подъеме на расстояние, равное 0, /?, 2/?, 3/?, ..., если его масса на
уровне моря равна 75 кг.
2) На какой высоте над поверхностью Земли масса тела станет равной
25 кг?
Ответы
5. 1) D(f) = R, E(f) — [0; 16]; у > 0 при всех х 0; функция возрастает на
промежутках (—оо; —2] и [0;2], убывает на промежутках [—2; 0] и [2;4-оо),
х = 0; функция четная; 2) D(f) = R\{0}, £(/) = (—оо;8] U [8; +оо); у > 0 при
х > 0 и у < 0 при х < 0; функция возрастает на промежутках (—оо; -2]
и [2;4-оо), убывает на промежутках [—2;0] и (0;2]; нулей нет; функция нечетная.
6. 1) D(y) — Ж, Е(у) = [1; +оо); функция убывает на (—оо;0], возрастает на
[0;4-оо); функция ограничена снизу, t/наим — #(0) — 1; 2) D(y) = R, Е(у) =
= (—оо; — 3]; убывает на [0;4-оо); возрастает на (—оо;0], ограничена сверху,
//наиб =//(0) =-3; 3) D(//) = R, Е(у) = [1;+оо]; убывает на (-оо;0], возрастает на
[0;+оо), ограничена снизу, //найм =//(0) =-1; 4) D(y) = R\{0}, Е(у) — (-4; +оо],
убывает на (0;4-оо), возрастает на (—оо;0), ограничена снизу, наибольшего
и наименьшего значения не принимает. 7. 1) v = с « 259807 км/с; 2) v =
=	« 282843 км/с. 8. 2) h и 4685 км.
§2. Показательная функция
397
§2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Рассмотрим функцию ar, где a > 1, reQ.
Ранее было доказано (гл. IX, §2, пример 5), что если a > 1, то
1
lim an = 1.	(1)
п—>оо
Отсюда следует, что
lim a п = 1.	(2)
П '►ОО
Заметим, что соотношения (1) и (2) справедливы и в случае, когда
0<п<1.
Утверждение 1. Пусть {гп} — произвольная последователь-
ность рациональных чисел такая, что lim гп = 0. Тогда
п—>оо
lim аГп = 1.	(3)
п-^оо
О Из (1) и (2) следует, что для любого £>0 найдется номер &q
такой, что для любого k> k$ будут справедливы неравенства
1 - £ < а~ъ < а* < 1 + £.
Так как lim гп = 0. то для любого найдется номер п$ такой,
п-^со
что при всех п > п$ будут справедливы неравенства |гп| <	1 .
«о +1
В силу монотонности функции аг при г € Q из этого следует, что
__________________________________। 1
будут выполняться неравенства а /?о+1 <аг«<ало+1. Тогда для всех
п > п$ будут справедливы неравенства
___1 ।
1 — £ < а *0+’ < аГп <	< 1 + е.
Отсюда следует, что lim аГп = 1.	•
п—>ое
Утверждение 2. Пусть {рп} и {qn} — dee монотон-
ные последовательности рациональных чисел таких, что
lim рп = lim qn = х$, где х$ е R. Тогда последовательности
п-^-оо п-+оо
{аРп} и {а^п} сходятся и имеют равные пределы.
О Пусть {рп} — монотонная последовательность рациональных чисел
и lim рп = xq. Из монотонности и сходимости {рп} следует, что
п-^-оо
существуют числа cz,j8eQ такие, что а < рп /3 при всех neN.
Тогда последовательность {а/7"} будет монотонна и ограничена
(аа аРп а&). Следовательно, {аРл} имеет предел lim аРп = Ь\.
п—юо
Кроме того, так как аа < аРп С аР, то Ь\ аа > 0.
Аналогично доказывается, что и {а9"} имеет предел lim а9п=/>2-
п—>оо
398
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Докажем, что Ь\ — Ь%. Для этого рассмотрим последовательность
<	\ . Так как и {aqn} сходятся и lim aqn — bg 0, то
I aqn J	J	J	n-+oo
(apn 1	.. aPn ,№LaPn
последовательность <	> также сходится и lim —- =	— =
\aqn J	n—+ooaqn lim aqn
&	n-+oo
= -T. С другой стороны, = aPn~q\ а так как lim (pn — qn) =
02	a"n	n—+oo
= lim pn - lim qn = xq — xq = 0, lim aPn~qn = 1. Следовательно,
tl—>oo	n-^oo	n-+oo
= 1 ИЛИ b\ = b%.	•
b2
Утверждение 3. Пусть [r n} — произвольная последователь-
ность рациональных чисел, такая, что lim rn = х^, xq е R.
п- >ое
Тогда последовательность {</"} имеет предел.
О Пусть {рп} — некоторая монотонная последовательность рацио-
нальных чисел такая, что lim рп = lim гп = %о (например, после-
п—>оо	п—>ос
довательность десятичных приближений числа %о).
Рассмотрим последовательность {аГп — аРп}. Покажем, что эта
последовательность сходится и ее предел равен 0. Для этого
представим ее в следующем виде:
аГп - аРп = аРп(аГп~Рп - 1).
Так как гп — рп —* 0 при п —> оо, то аГп~Рп —> 1 при я —* оо, а значит
аГп~Рп — 1 —* 0, т. е. является бесконечно малой. А так как
сходится, поэтому ограничена, то аГп — аРп — бесконечно малая при
п оо, т. е. lim (аГп — аРп) = 0.
п—>оо
Следовательно, {а62} сходится и lim аГп = lim аРп.	•
п—>оо	п—>оо
Определение показательной функции. Пусть х — произвольная
точка числовой прямой и пусть {гп} — последовательность рациональ-
ных чисел, сходящаяся к %, т.е. lim гп—х. Предполагая, что а>0,
п—>ое
положим по определению
ах = lim аГп.	(4)
п—>оо
Если а>1, то предел (4) существует в силу утверждения 3.
Если 0 < а < 1, то аГп — где b = i, откуда следует, что
предел (4) существует и при ае(0;1), так как lim ЬГп=Ьх. При
п—>оо
а — \ предел (4) существует и равен 1, так как 1г = 1 для любого reQ.
Определение. Функцию, заданную формулой у = ах. где
а — фиксированное число, а > 0, а 7^ 1, называют показательной
функцией с основанием а.
§2. Показательная функция
399
Замечание. Определение показательной функции является корректным,
т. е. предел (4) не зависит от выбора последовательности рациональных
чисел, сходящейся к х. Действительно, если {гп} и {рп} —последовательности
рациональных чисел, сходящихся к х, т. е. lim гп = х и Игл рп = х, то
п—>оо	п—>оо
lim (гп — рп) = 0 и lim аГп~Рп = 1, lim аГп — lim аРп.
Л—>00	П-+ОО	П--УОО	П—*ОО
Свойства функции у — а*, а > 1.
1°. Для любых действительных чисел и х% выполняется
равенство	а*\ . а*2 _ йХ|-ьх2
Из формулы (5), в частности, следует, что для любого х 6 R
выполняется равенство	v ।
а ах ’
2°. Функция у — ах, где а > 1, строго возрастает на R.
3°. Функция у — ах, где а > 1, непрерывна на R.
4°. Для любых действительных чисел xj и х% выполняется
равенство	(ах{ ус2 = axi -х2	(6)
5° Если а>1, то lim ах = +оо>	(7)
х—>4-оо
lim ах = 0.	(8)
х—>—оо
Докажем свойства 1° и 3°.
О Свойство 1°. Пусть {гп} и {рп} — последовательности ра-
циональных чисел такие, что lim rn = Х[, lim рп = х^. Тогда
п—>оо	п—>оо
lim (rn + рп) — xi + х2 и существуют пределы:
lim аГп=ах', lim арп=аХ2, lim аг"+рП = ах,+х2.
п—>оо	п—>оо	п—>оо
Так как по свойству степени с рациональным показателем
агп+рп __ аГпа?п, то, переходя в последнем равенстве к пределу при
п оо, получаем равенство (5).
Свойство 3°. Пусть xq — произвольная точка множества R,
Ay = ахо+Ах _ axG _ axG(a&x _ J) Нужно доказать, что а&х —> 1
при Дх —> О или	|im ах =!	(9)
х—>0
Пусть {хп} — произвольная последовательность действительных чи-
сел такая, что lim хп = 0. В силу свойств действительных чисел
и—>оо
найдутся последовательности рациональных чисел {гл} и {рл},
удовлетворяющие при п е N условию
%п ~	< гп < хп < рп < хп 4- —,
п	1	п
откуда в силу свойства 2° получаем
аХпа~п < аГп < аХп < аРп < аХпа~п,	(10)
400
Глава X Степенная, показательная, логарифмическая функции
Так как рп —* 0 и гп —* 0 при п —> оо, то в силу того, что
lim an =1, заключаем, что lim аГп = lim a?n = l. Отсюда, используя
п—>оо	п—>оо	п—>оо
неравенство (10), получаем lim aXn = L Утверждение (9) доказано,
п оо
откуда следует, что существует lim	равный ах°, т. е.
Дх—>0
функция у — ах непрерывна в точке х$. Так как х0 — произвольная
точка множества R, то функция ах непрерывна на R.	•
Итак, показательная функция у = ах, где а > 1, обладает следу-
ющими свойствами:
Область определения: D(ax) = R, т. е. множество всех действи-
тельных чисел R.
Множество значений: Е(ах) = множество всех положитель-
ных действительных чисел .
Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни
нечетной.
Нули функции: нулей нет.
Промежутки знакопостоянства: у > 0 при всех х Е R.
Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей
области определения.
Ограниченность: функция ограничена снизу, так как lim =
х—>—оо
функция возрастает и ах > 0 при всех х е R.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определе-
ния.
Замечание. Для показательной функции у — ах, где 0 <а < 1, остаются
в силе свойства 1°, 3°, 4°.
Однако в отличие от функции у — ах, где а > 1, которая является строго
возрастающей, функция у — ах, где 0 < а < 1, строго убывает, поскольку	=
где b = - > 1.
а
Из (7) и (8) следует, что если 0 < а < 1, то
lim ах = 0, lim ах = +оо.	(11)
х—>-|-оо	х—>—оо
На рис. 6 изображены графики показательной функции у = ах для
случаев а > 1 и 0 < а < 1.
В качестве основания показательной функции часто используют
число е (см. гл. IX, §2), а функцию у = ех называют экспоненци-
альной и обозначают ехрх.
Применение показательного закона в физике. Показательная
функция часто используется при описании различных физических
процессов. Так, например, по законам показательной функции
протекают следующие явления.
§2. Показательная функция
401
1)	Радиоактивный распад вещества задается формулой m(f) —
где И mo ~ масса радиоактивного вещества соот-
ветственно в момент времени t и в начальный момент времени
t = 0; Т — период полураспада (промежуток времени, за который
первоначальное количество вещества уменьшится вдвое).
2)	Количество бактерий ЛД/) в определенной среде за время t
вычисляется по формуле N(t)=NQakt, где N$ — начальное количество
бактерий, а и k — некоторые постоянные.
3)	Изменение атмосферного давления р в зависимости от высоты h
над уровнем моря описывается формулой p(h) = p$a\ где р$ —
атмосферное давление над уровнем моря, а— некоторая постоянная.
Гиперболические функции. Функции, заданные формулами
1	ек F е ~х 1 ех — е~х
ch х ~ —- --, sh х —--------,
2	2
называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболи-
ческим синусом.
Эти функции определены и непрерывны на R, причем chx —
четная функция, a shx — нечетная функция. Графики функций y=chx
и // = shx изображены на рис. 7.
Из определения гиперболических функций chx и shx следует,
chx + shx =	(12)
ch2x-sh2x —1,	(13)
ch2x = 1+sh2x,	(14)
sh 2x = 2 sh x ch x.	(15)
Пример 1. Доказать формулу ch2x —sh2x = l.
A	ch2x —sh2x = ( J -Iе % J =
_ e2xH-24-e-2x — e2x4-2 — e~2x_4 _ i
“	4	”4 ~
402
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Функции, заданные формулами
thx = ^, cthx = ^,
ch х	sh x
называют гиперболическим тангенсом и гиперболическим котан-
генсом соответственно.
Функция thx определена и непрерывна на R, а функция
cth х определена и непрерывна на множестве R\{0}; обе функции
нечетные, их графики представлены на рис. 8.
Задачи
1.	Построить на одном чертеже графики функций:
1) г/= 2*;	2)	=
3)	// = 0,5\ 4)t/ = 0.2*.
2.	Как по графику функции y — k-ar определить
основание а и коэффициент k?
3.	Для функций вида у = ах, графики которых
представлены на рис. 1, расставить в порядке
возрастания числа	а3, <74.
4.	Найти область определения функции:
Рис. 9
5.	Найти множество значений функции:
1)	У = Ю-*1 2 *;	2) у =	3) у = 2-х2+4*+5;	4) у = И  /
6.	Выяснить, какие из функций являются четными, какие нечетными и какие
являются функциями общего вида:
1) у = х2~х-,	2) г/= 10х + 10“*;
.. 2х-2~*	(1+2х)2
4)y=^=i; ^у = -^—

§3. Логарифмическая функция
403
7.	Доказать ограниченность функции:
1)	у = Ю-!*';	2) у = 2~х2-,	3) у = О,Зх2~'.
8.	Доказать неограниченность функции:
1)	у — 0,4х, х е R; 2) у — 3х, х g R.
9.	Исследовать на монотонность функцию:
2) у = 2'~х 2х-1.
10.	Построить график функции:
1)	а)	г/= 3х;	б)г/ = 3-х;	в)	у = -3х;
г)	г/— 2 - 3х;	д)	у — 0,5-3lxl;	е)	# = 31-х + 4.
2)	а)	у = 0,5х;	б)	f/ = 0,5W;	в)	у = 0,53;
г)	у — 0,52х-1;	д)	у= |2 —0,5х|;	е)	у = 3 — 0,5-х.
11.	Доказать равенства:
1)	sh(x4-//) = shx chx 4-chx shx;	2)	ch(x 4- у) = chx chx 4- shx	shx;
3)	sh(x — y) = shx chx chx shx;	4)	ch(x — y) — chx chx — shx	shx;
5)	shx shy = £h(x + y)ch(x-y).	6)	chx chy = eh(x + y) + ch(x - y).
7)	sh x ch у = sh<x + y)t .s^-.^.
12.	Докажите, что для любой показательной функции Дх) = k • ax и любой
геометрической прогрессии {/>„} с положительными членами найдется
такая арифметическая прогрессия {хп}, что для всех п будет справедливо
равенство f(xn) = Ьп.
Ответы
2. k = y(O), a= 3. a3<a4<a2<al.	4. 1) R; 2) (~оо;0) U (0;0,25) U
U (0,25;+oo); 3) (-oo;-4| U (0;4J; 4) (-oo;l) U (l;+oo). 5. 1) £(y) = (0; 1];
2) £(y) = (—oo;0) U (l;+oo); 3) £(y) = (0; 512]; 4) E(y) = (-oo;0) U (0;+oo).
6. 1) общего вида; 2) четная; 3) нечетная; 4) нечетная; 5) четная.
§3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
По теореме об обратной функции на промежутке (0;4-оо) опре-
делена функция, обратная к функции у = ах, а > 0, а / 1. Эта
функция называется логарифмической функцией с основанием а
и обозначается формулой */ = logox. Таким образом, логарифмическая
функция t/ = logflx и показательная функция у = а\ где а>0, а^1,
взаимно обратны.
О Решая уравнение у = logG х относительно х, получаем х = ау\
меняя местами х и у, получаем у = ах.	•
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами.
Область определения', множество всех положительных действи-
тельных чисел R+, т.е. Z)(logGx) = R+.
404
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Область значений: множество всех действительных чисел R, т.е.
г (loga х) = R.
Промежутки монотонности: на всей области определения воз-
растает, если а > 1, и убывает, если 0 < а < 1.
Отметим, что справедливы и два следующих утверждения:
если а>\ и logfl х\ > logfl%2> г^е Х1 > 0, х% > 0, то xj >‘‘Х25
если же 0 < а < 1 и log^xj > logflX2, где х\ > х2 > 0, то *2 >ХЬ
Промежутки знакопостоянства: если а>1, то £/>0 при х>1,
у < 0 при 0 < х < 1. Если же 0 < а < 1, то у > 0 при 0 < х < 1, у <0
при х > 1.
Непрерывность: функция является непрерывной на промежутке
(0; -Too).
На рис. 10 изображены графики логарифмической функции
у — loga х для случаев а > 1 и 0 < а < 1.
Отметим, что график любой логарифми-
ческой функции £/ = logflx проходит через
точку (1;0). Для того чтобы по графику
логарифмической функции оценить значе-
ние основания, достаточно найти абсциссу
точки пересечения графика у — logGx с пря-
к мой у = 1 (см. рис. 11).
При решении уравнений часто исполь-
зуется следующая теорема.
Теорема. Если logaxi = logflX2, где
а > 0, а 1, Х[ > О, Х2 > 0, то х\ — х%.
О Предположим, что xi^X2, например x2>xi. Если а > 1, то из
неравенства %2>х1 следует, что loga%2 > если же 0<а<1, то
из неравенства %2>%1 следует, что logaxi >loga%2- В обоих случаях
получилось противоречие с условием logaxj =loga%2- Следовательно,
%1=%2-	•
§3. Логарифмическая функция
405
Пример 1. Является ли функция у = log2(x + \/1 + х2) четной
или нечетной?
Д Область определения данной функции состоит из всех х таких,
что х + у/1+х2 > 0. Этому неравенству удовлетворяет любое
действительное число х. В самом деле, перепишем неравенство
в виде \/1 4-х2 > — х. Очевидно, что при любом х>0 последнее
неравенство верно. Если же х < 0, то его обе части можно возвести
в квадрат, после чего получим 1 4-х2 > х2 о 1 > 0. Таким образом,
область определения данной функции симметрична относительно
начала координат.
Далее, для любого х справедлива следующая цепочка равенств:
(-х 4- \/| 4- X2) (х \/1 4-Х2)
= logo	.V -.:------
х 4- \/1 4- X2
= - 1оё2 (х + \/1 4- х2) = -у(х).
log2 Х4- х/14-х2
Так как область определения данной функции симметрична отно-
сительно начала координат и у(—х) = — f/(x), то функция является
нечетной. А
Пример 2. Найти, какой формулой задается функция Дх) при
х<0, и решить уравнение Дх) = 4, если известно, что Дх) — нечетная
функция и при х > 0 определена формулой Дх) = log3
О
Д Так как функция Дх) — нечетная и определена для всех х > О,
то она определена для всех х < 0, т. е. область определения Дх)
симметрична относительно начала координат, и для всех х е D(f)
выполняется равенство Д—х) = —Дх). Если х < 0, то справедлива
запись х — — |х|. Тогда Д—|х|) = — Д|х|) или, освобождаясь от модуля,
получаем при х < 0 формулу Дх) = — log3
Решая уравнение Дх) = 4, получаем:
log3 = 4 при х > 0, откуда = З4 или х = 243;
О	о
j (—|) = 4 при х < 0, откуда — = З-4 или х = —
\ о /	о	Z/
Ответ. /(x) = -log3 (-0 ,х<0; х = х = 243.
406
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Рис. 12
Пример 3. Построить график функции у = log2 |1 + х| + 1.
График данной функции получается из графика функции y = log2x
по следующей схеме:
log2x ь-> log2 |х| i-> log2 |х + 1| log2 |х + 1| + 1
(на рис. 12 а \-+ б в г соответственно).
Степенные функции вида у = ха с произвольным действитель-
ным показателем. В § 1 была рассмотрена степенная функция вида
у = хг, где reQ. Степенная функция с действительным показателем а
при х > 0 определяется формулой

(1)
Функция ха непрерывна при х > 0 как суперпозиция показательной
функции е* и функции t = alnx, которые являются непрерывными. Из
равенства (1) и свойств показательной и логарифмической функций
следует, что функция ха строго возрастает при а>0 и строго убывает
при а<0 на промежутке (0;+оо). Из формулы (1) и равенства Inе1 = t
следует, что
lnxa = alnx, aeR, х > 0.
Замечание. Если aeQ, то функция ха может иметь смысл и при х<0.
Например, функции х2, tyx определены на R, а функции Д-, -Д- определены
х6 ух
при всех xcR, кроме х = 0. Если число а>0, то принято считать, что 0^ — 0;
если а<0, то выражение 0а не имеет смысла; если показатель а = 0, то по
определению степени х° = 1 для всех действительных значений х, кроме 0.
§3. Логарифмическая функция
407
Итак, пусть показатель степени a ~ положительное действитель-
ное нецелое число. В этом случае степенная функция у = ха (а>0)
обладает следующими свойствами.
Область определения'. £)(/) —[0;+оо).
Множество значений'. £(/) — [0;+оо).
Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни
нечетной.
Нули функции: у — 0 при х = 0.
Промежутки знакопостоянства: у > 0 при х > 0.
Промежутки монотонности: функция возрастает на всей обла-
сти определения, т. е. на промежутке х 0.
Ограниченность: функция ограничена снизу, так как =
при всех х 0 и принимает наименьшее значение z/min = /(0) — 0.
Экстремумы: нет.
График функции у—ха (а>0) имеет такой же вид, как, например,
графики, представленные на рис. 13, а.
Пусть теперь показатель степени а —отрицательное действитель-
ное нецелое число. В этом случае степенная функция у = ха (а<0)
обладает следующими свойствами.
Область определения: £)(/) = (0;+оо).
Множество значений: E(f) = (0; +оо).
Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни
нечетной.
Нули функции: нулей нет.
Промежутки знакопостоянства: у > 0 при х > 0.
Промежутки монотонности: функция убывает при х > 0.
Ограниченность: функция ограничена снизу, так как f(x) = xa>0
при всех х > 0, но не принимает своего наименьшего значения.
Экстремумы: нет.
408
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
График функции у = ха (а<0) имеет такой же вид, как, например,
графики, представленные на рис. 13,6.
Прямая у = 0 (ось абсцисс) является горизонтальной асимп-
тотой, а прямая х = О (ось ординат) является вертикальной
асимптотой графика функции у = ха (аей, а<0).
Пример 4. Сравнить числа:
1) (2,7)4-я и (2,9)4 \	2) (0,95) °’7 и (О,99)0’9.
Л 1) Так как 3< тг<4, то 0<4- к< 1. Функция у — х^~к возрастает
на промежутке х 0. Поэтому (2,9)4~я > (2,7)4 7Г.
2) Рассмотрим функции f\(x) = х 0,7 и f2(x) — х0,9. Заме-
тим, что /1(1) — /2(1) = 1, но /1—убывающая функция
и (0,95) 0,7 > I, а ^ — возрастающая и (О,99)0,9 < 1. Сле-
довательно, (0,95) 0,7 > (О,99)0,9.	▲
Задачи
1.	На одном чертеже построить графики функ-
ций:
О У =	2) У=~ ,ogl
3)	У -log3x; 4) z/^logi X.
2.	Построить график функции:
1)	г/=-log2x2;	2) z/ = logxx;
3)	у -logx2X4;	4) z/ = 2,og2x.
3.	Для функций вида у = Ioga х, графики ко-
торых представлены на рис. 14, расставить
в порядке возрастания числа а\, а2, а%, сц.
4.	Сравнить выражения logoN и log_^/V, если:
1) а > 1, АГ> 1;
3) а> 1, 0 < Л/ < 1;
2) 0<а< 1, /V> 1;
4) 0<а< 1, 0</V< 1.
5.	Сравнить выражения \ogaN и logfl если:
1)	а>1,ЛГ>1; 2) 0<a<l,/V>l; 3) а>1,0<М<1; 4) 0<а< 1,0</V< 1.
6.	Найти область определения функций:
•) f/ = logo,й(3 +4х — х2);	2> У = j—т^2	..я? 3) £ = |0&3+х(*2-1)-
7.	Найти область определения и множество значений функций:
1)	4/ = log2 (х2+2х + з) ; 2) i/ = log05(—х2 + 4х + 5); 3) y = log9(3-|x|).
8.	Определить, какая из функций является четной, нечетной или функцией
общего вида:
1)1п^±|; 2) i/ = log3(x/m2-x); 3) /(x) = log2	(х - log3 |±А
§3. Логарифмическая функция
409
9.	Найти, какой формулой определяется функция f(x) при х < 0, и решить
уравнение [(х) = 3, если известно, что:
1)	[W — нечетная и при х > 0 определена формулой /(х) = log3
2)	f(x) — четная и при х > 0 определена формулой /(х) = log3
3)	/(х) — нечетная и при х > 0 определена формулой /(х) — log2(2x);
10.	Выяснить, является ли ограниченной функция:
1)	у log2(x2 + 1);	2) л/_= log । (3 4х + х2);
11.	Найти промежутки монотонности функции:
I)	z/— logi |4х2 4х|;	2) z/ = log2||x| - 1|.
12.	Построить график функций:
О a) '/ = log3x; б) z/ —2log3x; в) у = log3(—х);	г) f/ = log3|x|;
Д) У-~ log3x; е) z/= log3 |х 3|;	ж) у-А log3(x + 2)-2.
1)	а) </ —log0 5x;	б) г/ —logo 5(2х);	в) z/ = log0,5(x + 2); г) у = | log0 5x|;
Д) '/ = 2log05x; е) ^ = log05(3x 2); ж) «/— logo5(1 — х).
13.	Построить график функции у — log(|x|_2j | 2 - | х 11.
14.	Изобразить схематически график функции и найти ее область определения
и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей
(убывающей); является ли функция ограниченной:
1)	z/_х^ —1;	2) у — (х l)4^;	3) у — (х + 1)4) у=- 1 — (х+2)-*.
Ответы
3. а3 < а4 < а2 < а{. 4. 1) logo N > log^ N; 2) logflN < log^ N; 3) logaN <
< log|JV; 4) loga/V > logj. N. 5. 1) logaW > loga l;a > 1, W > 1; 2) logaW <
< l°gQ 3) \ogaN < loga 1; 4) logaN > loga ±. 6. 1) (2 - v/7;2 + x/7);
2) (—oo; -4] U ^8; 7 +2^) U (7 +2^; +oo) ; 3) (-3;-2)U(-2;-l)U(l;+oo).
7. 1) D(z/)=R, £(</) = (l;+<x>); 2) D(z/) = (-l;5), £(j/)=R; 3) £>(z/) = (-3;3), E(y) =
= (—oo;0,5]. 8. 1) нечетная; 2) нечетная; 3) четная. 9. 1) f(x) = — log3 (— g),
x<0; x = —x = 81; 2) /(x) = log3 (—	x<0; x = ±81; 3) /(x) = —log2(—2x),
x < 0; x = —+ x = 4. 10. 1) у 1; 2) функция неограниченна; 3) у 1;
IO
4) 0 < у < 1. И. 1) Возрастает на промежутке (—оо;0); убывает на проме-
жутке (1;+оо); 2) возрастает на промежутках (—1;0) и (1;+оо); убывает на
промежутках (—оо; — 1) и (0; 1).
410
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
§4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшее показательное уравнение — уравнение вида ах = Ь,
где а > 0, а / 1. Это уравнение при Ь^.0 корней не имеет, а при
b > 0 имеет единственный корень х = logfl b.
Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.
1. Решение показательного уравнения часто сводится к решению
простейших. Для этого применяют различные методы решения
уравнений: разложение на множители, замена переменной и т. д.
Пример 1. Решить уравнение 4х4 1 + 4Х“1-2 = 40.
Д 4х+1+4х+2=40<>4х| i 1(1 + 4) = 40<^4х+|=8^22х+2=23 4 * * * * *. Функция
у — 2х возрастающая, каждое свое значение принимает только при
одном значении аргумента. Отсюда 2% 4- 2 = 3 или х — 0,5.
Ответ. 0,5.	А
2. Многие показательные уравнения решаются приведением обеих
частей к одному основанию и использованием свойства монотонности
показательной функции. Так, при а > 0, имеем
a/(x) = og(x) f(x)=g(x).
2х+3
= 1.
(5 \
2/
(2 \ х f 2 \ —2^—( 2 \ Q	( 2 \ —х—( 2 \ Q
5/	\5/	— \5/	-\5/
д
Ответ. —3.
3. Применение основного логарифмического тождества:
y(x)loWw =g(x)	=> f(x) = g(x).
Замечание. При этом преобразовании могут появиться лишние корни.
4. Если уравнение имеет вид f(ax) — 0, то заменой t — ах оно
сводится к уравнению f{t) = 0, а далее к решению совокупности
уравнений
ах —
ах = tk.
где tk — все корни уравнения f(t) = 0.
Частный случай — однородные показательные уравнения, т.е.
уравнения вида
k{  a2f(x} + k2  а!м • b'?(x} + k3  b^(x} = 0,
где fej, &2, 63 —числа. Общий метод решения уравнений такого вида
состоит в делении обеих его частей на выражение а2^	0 (или
§4. Показательные уравнения
411
на (№• Ь^х\ или на &2^) и последующей замене переменной,
сводящей его к квадратному уравнению.
Пример 3. Решить уравнение 3 • 22х+1 4- 5 • 6х = 2 • 32x+I.
Д Запишем уравнение в виде 6-22х + 5-2х-Зх —6-32х = 0. Разделим
/9\2х	/9\х	/9\х
уравнение на 32х 0: 6 • ( - ) 4- 5 • ( - ] —6 = 0. Положим ( - ) = t.
\ о /	\ о /	\ о /
Получим уравнение 6Z2 4~ 5/ — 6 = 0. Числа t\ = | и t%~ — | — его
(о\ х о
- 1 решений не имеет, решением уравнения
/ о \ х о
-	= z является х = 1.
\3/	3
Ответ. 1.
5. Если уравнение содержит члены вида f(x)^x\ то можно
воспользоваться тем, что по определению	при
этом обе функции f(x) и g(x) определены и f(x) > 0.
Замечание. Степенно-показательное выражение	определено,
если:
1) f(x) > 0 и (р(х) существует;
2) [(х) = 0, а (р(х) > 0 (в этом случае /(х)^ = 0 по определению степени
с рациональным или иррациональным показателем).
При решении показательных и логарифмических уравнений часто
применяются следующие преобразования:
потенцирование — переход от уравнения log^j f(х) = log^(x) g(x)
к уравнению /(х) = g(x) :
1оё<р(х) fM = log^x) g(x) => f(x) = g(x);
логарифмирование - переход от уравнения /(x)=g(x) к уравнению
lo&l?(x)/W = log9>(x)gW :
/(х) = g(x) <= log^x) Кх) = 1оеф(А:) g(x).
Замечание. При потенцировании могут появиться лишние корни, а ло-
гарифмирование может привести к потере корней.
2+х
Пример 4. Решить уравнение 5х • 2 * = 40.
Д Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
xlog25 4-~ = log240 или х log2 5 4-= 3 4-log2 5.
Так как х = 0 не является корнем уравнения, то, умножив на х,
получаем равносильное уравнение
х2 log254-24-x = 3x4-xlog2 5 или х2 log2 5 — (24- log25)х4-2 = 0.
412
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Последнее уравнение является обычным квадратным уравнением
относительно х. Его дискриминант
D = (2 + log2 5)2 — 8 log2 5 =
= 4+4 log2 5 + log2 5 — 8 log2 5 = 4 — 4 log2 5 + log2 5 = (2 — log2 5)2.
Так как 2 — log2 5 < 0, то VD — log25 — 2. Тогда X] —
2 + log2 5 + log2 5 — 2	2 -+ log2 5 - log2 5 + 2	2 o . o
= -------n,---E------ = 1. x2 = ------7П---------- = -----7 = 2 logs 2 =
2 log2 5	z	2 log2 5	log2 5
= log54.
Ответ, logs4; 1.	▲
Пример 5. При каких значениях параметра р уравнение |2Х — р\ —
= 4 имеет единственное решение?
Д Полагая 2х = у, где у >
0, получим
\У~Р\ =4 <=>
U>o,
'у-р < 0,
< z/ = p-4,
Ъ>0
'4+р>р,
< У = Р + 4,
,р + 4 > 0,
'р-4<р,
< у = р-4,
<р-4>0
'4 > О,
< 1/ = р + 4,
J>>-4,
' — 4 < О,
< у = р-4,
.Р>4.
Первая система имеет решение при р>— 4. Вторая —при р > 4.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение,
если имеет решение только первая система совокупности.
Ответ. —4	4.	▲
Пример 6. Для каждого значения параметра а решить уравнение
3 • 4Х~2 + 27 = а + а • 4х-2.
Д Произведя замену у — 4х~2, где у>0, получим линейное уравнение
Зу + 27 = а(1 + у) или (а — 3)у = 27 — а.
При а = 3 это уравнение не имеет решений. Если а 3, то
у = %7	- Из условия у>0 следует неравенство 2-~~ > 0, которое
а о	а — о
справедливо при ае(3;27). При этих значениях а из уравнения
4х-2 = -а находим х = ]Og4	2.
Ответ. Если а е (3;27), то х = log4 27	+ 2; если а^(3;27),
то решений нет.	▲
§4. Показательные уравнения
413
Задачи
Решить уравнения (1-38):
1. 25|1~2%1 =:54~6х.
3 7 • 3х4-1 — 5х4-2 = 3х4-4 — 5х+3
5. 9х — 12 -3х 4- 27 = 0.
у ух4-6 <^х|-б __уЗх . g3x
9. 27х + Зх+4 = 82 • 9х.
П. (1)х-2 = 32х-24х.
13. 2х + 10 = 36 -22~х.
15. 4Х+8 _ ю • 2х+7 - 24 = 0.
17. 9х +6х = 22х+1.
19. 4  16х = 7 • 9х — 3 • 12х.
*4-5	х |-17
21. 32= = 0,25-128=5'.
23. х'°йзх = 81х3.
25. 3х = 2^.
27.	2|х-21 -2|х| = \/2.
29* (%/3+л/8)Х+(\/3-л/8)Х = 6.
21 g2x2 —6x4-3 । gx2—3x4-1 __	-6x4-3
33.	52х2+5 - 3 •	_ 10  56х~'
34.	22х2—2 | 7  2^х4'7Хх'-5) _ 8 • 2'2^х-4
35. 8 (4х + 4~х) - 54 (2х + 2“х) + 101
37. 6х - 4х = 152.
2. д\/*+Т ^a/x+I —I _ ^а/х+Т+1 _ 11
4. 2х + Зх~2 = Зх-2х+1.
6. 4х- 10 -2х-1 -24 = 0.
8. 13х+4 • 5х+4 = 53х • 133х.
10. 9х2-’ -36-Зх2“3+3 = 0.
12. 22*—2х = 23х • (jj)-3*-
О,2х+О’5 _ 0,04х
'	а/5	~ 25 •
16. 4х — 3 • 2х + 3\/2 = 2.
18. 32х+4 + 45 • 6х - 9 • 22х+2 = 0.
20. 5 • 36х — 3  25х = 2 • 30х.
22- (0,6)'- («/-« _(*)».
24. х^ = у/х*.
26. 3|ой(-2х) = 5|об23.
28. 2*х+21 - 12х+1 - 11 = 2х+1.
30. (\/74- л/48^Х4- ( лЛ - л/4в)* = 14.
32. 32х2 - 2 • зх2+х+6 _|_ з2<х+6) = о.
= 0.
= 0.
= 0.	36. 3х 4-4х = 25.
v2 । 81 _
38* 3	= -6 - 6х - х2.
Найти значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно
решение (39-43):
39. 2lxl+a-2lxl =5.	40. 2х + 22~х = а. 41. ^-а^З.
42. (а + 1)-4х+4-2х+а-2 = 0.	43. (а-1)-4х-4-6х + (с+2)-9х = 0.
44.	Найти все значения параметра р, при которых не имеют решения уравнения*
1)	(р-4)-9х + (р+ 1)-Зх + 2р-1 =0; 2) (1О-р)-52х+1-2-5х+1+6-р=0.
45.	При каком значении параметра р уравнение р  2х + 2-х = 5 имеет
единственное решение?
46.	При всех допустимых значениях параметра а решить уравнения:
1)	а2 - 9х+‘ - 8 • 3х • а = 0;	2) 144lxl - 2  12>х1 + а = 0;
3) 3  4х-2+27 = а + а • 4х-2.
Ответы
1.	|.	2. 0.	3. -1.	4. 3.	5. 1; 2.	6. 3.	7. 3.	8. 2.	9. 0; 4.
10.	±\/2,±1. 11. |. 12.1. 13.3. 14.-1. 15.-5. 16. 1, log2 (3 - ч/2).
17. 0. 18. —2. 19. 0. 20. 0. 21. 10. 22. 3; -2,5. 23. 1; 81. 24. 1; 4.
414
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
25.	0; log23. 26. -2,5.	27. 0,5. 28. -2.	29. ±3. Указание. Так как
Уз + \/8 • Уз — \/8 = 1, то можно сделать замену ( У 3 4- Ув) =t. 30. ±2.
31. 1; 2, 32. -2; 3. 33. 1; 2. 34. 1; 5. 35. ±2; ±1. 36. 2. 37. 3.
38.	-3. Указание. Воспользоваться ограниченностью левой и правой частей
уравнения. 39. О < a log2 6. 40. a 4. 41. a > —3. 42. — 2 a < 2.
43.	—2 < a	2.	44. 1) р G (—оо; у) U [4; +оо); 2) р G (—оо; 5) U [10; +оо).
25
45.	р^О, р——. 46. 1) Если а —0, то решений нет; если а<0, то x = log3(-a);
если a > 0, то х = log3 a — 2; 2) если a 0, то х12 = ± log12( 1 4- У1 — а); если
О < a < 1, то Х] 2 — ± logj2(l 4- У1 — a), х3 4 — ±logj2(I — У1 — а); если a — 1, то
х = 0; если а > 1, то решений нет; 3) если а е (-оо;3] U [27;+оо), то решений
нет; если 3 < а < 27, то х — 2 4 log4 ~ 2?.
3 - а
§5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1.	Простейшие логарифмические уравнения — уравнения двух
видов:
logflx = b, где	1. Уравнение имеет единственный корень
х = аь. В общем случае
^gaf(x) = b^f(x) = ah (а>0,а^1);
logxA = В, где А > 0. Уравнение при А У 1, В У 0 имеет
единственный корень х = А«; при А = 1, В = 0 имеет решением
любое отличное от единицы положительное число; при А = 1
и В У 0 решений не имеет.
2.	Решение уравнений вида /(loga х) = 0,а > 0,а У 1, с помощью
замены t = logG х сводится к решению совокупности следующих
уравнений logflx = t\, ... , logax = tn, где t[ (i — 1, ... , ri) — все корни
уравнения /(/) = 0.
При решении уравнений вида f (logxA) = 0, А > 0, используется
замена / = logxA.
3.	При решении уравнений вида loga/(x) = logag(x), а>0, аф 1,
используется любая из приведенных ниже схем:
io?./w=gw ® {;£)>OW’
iog./W^10g.gW «
(у \л) V.
Аналогично, для уравнения log^ A = log^x) A, A > 0 :
p(x) > 0,
Iog/(X) A = logg(x) A S gM ± 1,
4(x)=g(x)
§5. Логарифмические уравнения
415
или

ГМ > о,
f(x)=g(x).
Пример 1. Решить уравнение log2(x + 2) = log2(x2 + х — 7).
Л Из равенства логарифмов следует равенство выражений, стоящих
под знаком логарифма: х4-2 = х2 4-х — 7. Отсюда х2 = 9, т.е. х — — 3
или х = 3. Проверка: при х = -3 левая часть исходного уравнения
не имеет смысла; х = 3 является его решением.
Ответ. х = 3.	▲
4.	При решении логарифмических уравнений иногда применяется
формула
f(x)]ogag^ = g(x)ioga^x\ где a > 0, a 1,/(х) > O,g(x) > 0.
5.	Часто используется формула перехода к другому основанию:
og-pW /W = , * y(x), где Ч>М > °, ?(х) !> /to > °, /(-"О / 1
Замечание. Формальное применение этой формулы может привести как
к появлению посторонних корней, так и к потере.
6.	Имеют место эквивалентности:
logftx) gM = log/w h(x) <
rg(x) > 0,
fM > 0,
g(x) = h(x)
или
f h(x) > О,
log/wg(x) = log/wft(x)^
Дх)>0,
* 1,
kg(x) = /г(х).
Пример 2. Решить уравнение logx_6(x — 4) = 2.
Л Область определения данного уравнения: х > 6, х — 6 7^ 1. Для
этих значений х уравнение равносильно следующему: (х —6)2 = х —4.
Его корни х\ = 8 и Х2 = 5. С учетом ограничений получим х — 8.
Ответ. 8.	▲
Пример 3. Решить уравнение log3(0,5 4- х) = log3 0,5 — log3 х.
А Преобразуем уравнение log3(0,5 4- х) + log3x = log3 0,5.
Полученное уравнение равносильно системе
'х > 0,	Гх>0,	7х > О,
<0,54-х>0,	<=> <	о J Гх = -1, ох = 0,5.
Jog3(0,5x + x2) = log30,5	[2х2 4-х—1 = 0 ( х = 0,5
Ответ. 0,5.	▲
416
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
Пример 4. Решить уравнение
10 • log4% х 4- 21 • logj6х х — 3 • log* х2 = 0.
А Переходя к логарифмам по основанию 2, получим:
10 log2 х 21 log2 х	3 log2 х2 _
log2 4х log2 16х
6
10	21
2 4- log2 х 4 4 log2 х
"log2 X — 0 ,
<>	10
log2 X -
log2 х — 0
21
= 0.
_2 4 log2x 4 + log2x log2x —1
Решением первого уравнения является х = 1. Для решения второго
уравнения сделаем замену / = log2x. Получим
25/2 + 15/ - 130 _ q Г5/2 + 3/ - 26 = 0,
(2 + /)(4 + /)(/ - О	((2 + 0(4 + /)(/- 1) 0
‘/ = 2,
/ = -2,6.
6
Выполняя обратную замену, получим log2x = 2 или log2x = —2,6,
т. е. х = 4 или х = 2“2,6 = —Ь-.
4- 78
Ответ. —; 1; 4.	▲
4- ^8
Пример 5. Решить уравнение (х 4-1)1^*"1"1) = 100(х 4-1).
Л Первый способ (логарифмирование обеих частей уравнения)
Область определения уравнения х4-1>0, т.е. х>— 1. Для х>—1 обе
части уравнения положительны. Логарифмируя их по основанию 10,
получим
lg(x + О * lg(* + О = Ig юо + IgU + 0-
Пусть lg(x 4-1) = t. Полученное уравнение примет вид t2 — t — 2 = 0.
Его корни t\ = — 1 и /2 — 2. Отсюда lg(x 4- 1) = —1, х = —0,9 или
lg(x 4- 1) = 2, х = 99.
Второй способ (применение основного логарифмического тож-
дества). Область определения уравнения х > -1, поэтому в силу
основного логарифмического тождества (х 4- 1) — 10lg^+1\ Тогда
(lO'gOH-n)lg(x+,) = 102 • 10'g(x+1) или	= 102+|g(x+1>. Отсюда
Ig2^ + 1) = 2 4- lg(x + 1). Решениями этого уравнения являются
х = —0,9 и х = 99.
Ответ. — 0,9; 99.	▲
§5. Логарифмические уравнения
417
Задачи
Решить уравнения (1-40):
1. 22lgx-lg(6-jc) = 1.
3- |о8з = ,0£з 2^х'
5- log3 log4 log5 х = 0.
7. log3 (3 + V3 + x) =	•
9- |оЯл+1 2 = 2-
11. Iog2 x • log2 2x — log2 16x.
13. logx(3x2 — x — 3) = 2.
15. 2log5 _x(x + 1) = log5_ x(6 2x).
17. 0,5 log3x_4 9 = logx2_2x 3.
19. lg(3x2 + 12x + 19) - lg(3x + 4) = 1. 20. l-g-(-5 ~ *3) = 3.
Ig(5 - x)
21. Iog7(6 + 7~x) = 1+x.
23. Iog4(x |-12) - logv 2—1.
25- log5x|+logh=L
2. log2(l+3log2x) = 2.
4. Iog5(x - 1) = log5 p
6. Iog16x4- log4 X 4- log2x = 7.
8. 1og!x(^-l6i)=s-lE-3.
10. log2x_j 13 = 10.
12.	1	| 2l°gO,25<3.5-*) _ j
logaO + x) log20 + x)
14. 21ogx_,(x-3) = l.
,6- logx||(x - °-5) = log%—0 5(x + 0-
18. Iog3xx = log9xx3.
22. Iog^g(4x — 6) — logv/§(2x — 2) = 2.
24. logx2 16 + log2x 64 = 3.
26. log12(43x + 3x — 9) = 3x — xlog12 27.
29. 5lgx = 50 — xlg5.
31. Ig4(x - I)2 + lg2( 1 - x)3 = 25.
33. Ig|2x — 3| — lg|3x — 2| = 1.	34.
35. 2 logx 3 + log3x 3 + 3 log9x 3 = 0.
28. 3 • 49loB* 2 - 140 • 7loB* 2 ~1 = 7.
30. 3log3x +xlog3x = 162.
32. Ig2 x3 + lg3 x2 = I.
|log2(3x - 1) - log2 3| = |log2(5 - 2x) -1|.
36. logx 2  log x 2 = log x 2.
IS	57
37. xjlogx \/2x • log2 x = - • 1.	38. yjlogx \/5x = — logx 5.
39. log2(5x - 2) • log(5x_2)(25x 4- 4) = log2(5x - 2) 4- log2(5x 4- 3).
40- loS2x+i(5 +	- 4x2) 4- bg5_2x(l 4- 4x 4- 4x2) = 4.
41.	Найти все значения параметра а, для которых уравнение
log2 х 4- loga х 4- log4 х = 1 имеет решение.
42.	При каких значениях параметра р имеет единственное решение уравнение
lg(x2 4- 2рх) — lg(8x — 6р — 3)?
43.	Решить уравнение logQ х 4-1 a 4- logQ х | • log^ a = a • logx a.
44.	Решить уравнение A/log2 cos пх — 5x — 4 — x2.
45.	Решить уравнение costtx - log3(l 4~x2) = 1.
Ответы
1.2.	2.2.	3. x/3-1.
r-	1 4- 1\/13
9. v/2—1- 10.
16. 1.	17. 4.	18. -L 1.
ч/З
4 (L+^l	5. 625
11. 1; 4.	12. 3; -0,5.
4
19. -1; 7.	20. 2; 3.
6. 16.	7. 6.	8.
13. 1,5. 14. 5. 15. 1
21. 0.	22. 2. 23. 4.
418
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функнии
26. 3. 27. 10~2;100. 28. 2. 29. 100. 30. 1;9.
,, 23 17	. 17 11	Q1- I 1
-ПГ-. 33.32,2g. 34'	12 К' 35-?3;^-
39. l + log52. 40.0,5:1.	41. a>O,a^4~3,
24-^4'
31. -9; 0,9.	32. ^;10
36. 4; 8. 37. 1. 38.
4
а/1.	42. ——4>,р= 1.	43. а" |+'/|	'/,+3° при 0 < а < I; нет
решений при а 0 или а 1.	44. 4.	45. 0.
§6. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
При решении показательных и логарифмических неравенств
применяются те же методы, что и при решении рациональных
и иррациональных неравенств. Часто в неравенствах удается все
выражения свести к одному основанию. В этом случае можно
использовать следующие схемы.
а > 1	V a V о
а/^ ag^ о f(x) g(x)	ag^ о f(x) g(x)
logo fM logo g(x) о	J	, г/ к .	/ ч I7(x) logJU) l0gog(x) «
2 . з%+3 _ 5%4-3
Пример 1. Решить неравенство ——
о • 3 — 3*5
А Преобразуем исходное неравенство:
2 • З3.3х - 53 • 5х
5 • 3х — 3 • 5х
5х
54-
5х
5-
-125
-----<1.
-3
х	54/ - 125
, получим —----—-
ot — о
49/- 122 решим
49/ - 122
5/ — 3
(3 \
-
5 /
последнее неравенство методом интервалов. Функция /(/) —
о/ — 3
определена для всех Z, кроме t — непрерывна на области
122	3	122
определения и равна нулю в точке —. Точки - и — разбивают
числовую прямую на три промежутка, в каждом из которых функция f
имеет знак, указанный на рис. 15. Итак, /(/)<0 при -Теперь
3	/ 3\х	122	/ 3\х
- < f - ] < —. Функция ( - ) убывающая,
/з\х 199
при х < 1, а ( - 1 < — при х
решим неравенства
поэтому |
. Значит,
все х е
являются решениями исходного неравенства.
§6. Показательные и логарифмические неравенства
419
+____
3
5
122
49
Рис. 15
Ответ.
Пример
А Так как
/]\log3log| (х2-^)
2. Решить неравенство ( - J	5
функция Q) убывающая и 1 =
\ logs log 1 ОМ) .	.	.
I	5	> 1	IncTo nor 1
то получим
Функция log3/ возрастающая с областью определения и 0 = log31.
Поэтому последнее неравенство равносильно системе:
Г г2 _ 4	1
_> I 5 > 5’
1о<х2 — 1<1
4	5
1 и х2 < |	|х| < —Решением исход-
пересечение множеств (—оо; —1) U (1; Ч-оо)
МИМ1
1,
logji (х2 — - ) >0
'	5 \	5 /
Далее, х2 > 1 о |х| >
ного неравенства будет
и	т.е. (-
х2 > 1,
Х2<5
X <5.
этом было учтено,
Ответ.
Замечание. При решении неравенств вида log^a < b, где а и Ь —
заданные числа, иногда удобнее перейти к неравенству	< Ь, чем
рассматривать два случая: 0 < f(x) < 1 и f(x) > 1.
Пример 3. Для каждого значения параметра а решить неравен-
ство	z-
3^ > 2а.
А Перейдем в неравенстве к одному основанию 2:
3^ = 2'082 3^ поэтому 2|0^3^ > 2°.
Далее логарифмируя, получаем
а о \/х log2 3
Х > log2 3
х О,
а > О,
х > a2 log3 2.
420
Глава X Степенная, показательная, логарифмическая функции
Ответ. Если а 0, то х е (fl2 log2 2; 4-оо); если a < 0, то
х е [0; +оо).	▲
Пример 4. Для каждого значения параметра а решить неравен-
ство
loga(x —2) + logax > 1.
с определением логарифмической функции,
условиях
А В соответствии
a > 0, а ф 1, х > 2. Следовательно, при этих
loga(x-2)+-logax>l ++ logax(x-2)>l
a > 1,
х2 — 2% > a,
х>с2,
2.
нет; если 0 < a < 1, то
Ответ. Если а О, а = 1, то решений_________
х G (2; 1 + \/1 + а); если a > 1, то х е (1 4- \/1 + +оо).
		Задачи	
Решить неравенства (1-58):			
1.		2.	27<Х="П
3.	(15)х+7 > (15)х2~Зх+2	4.	5--(1Г<4Л
5.	5х+2 + 5г+1	6.	x+2 5^ > 25.
7.	дх 2^ 4* 0,5 > 2'- Ч~3,5  32х— 1	8.	9 - 32x+2 + 3 • 32x+l - 9х 89
9.	log2(x + 1) > -log23.	10.	logi(x + 4) <log2
11.	logi -Jn < -log3(3-x).	12.	log a	> log6(4 - x). 16 z
13.	Iog6(x — 3-^/x + 2) < 1.	14.	x2 - 4x 4- 3 Л |о8з 2	, . > x — x 4- 5
15.	Iog2	> 0	16.	i	Ч- Зх л loSo,3 x < °-
17.	log3(3x - 1) 4- log-1 (5x — 4) > 0. 3	18.	2 log । (x - 2) + log2(x2 -x + 2)
19.		2	^1. iog3(x2 -l6)	20.	1	< J_ log2(5-x2)	2
21.	log2 x + 3 log2 x < 5 log2 v46.	22.	Л- + гЦ— > 1- Igx 1-lgx
23.	log2 169 - logx 13 - 3	0.	24.	log2 9 + 2 logx 3 — 6^0.
25.	16х - 2  12х < 32x+l.	26.	4х _ 2 - 52x - 10х > 0.
27.	3*+2,21-2x	20.	28.	12х-2 33x • 26x.
29.	ox-1 x. 2-3х 3*-4’	30.	41 _ 5.41 ^0.
§6. Показательные и логарифмические неравенства
421
31.
33.
35.
37.
39.
41.
43.
45.
47.
49.
51.
53.
55.
57.
59.
60.
61.
81х + 32х-1 > 84.
2|+|°бзх_|-2|_|ой-,с	5.
4х-101- (|)Х + 4 -25'“х ^0.
х2.2Х+2 - 12х2 • 3х + Зх+1 > 2х.
3х > 2Х\
12х - 11 +х х • 2х.
Iog2 х - 2 < (
Iog2x —4
log|x+l |-3 5	*•
log^ х — I log2 х I — 2 < 0.
2
^logi (1 — 2x) > 0.
Vx2 —6x4-9 log2 x> \/9 —6x+x2.
logo,l |оё2 ртгц < 0
logi (2х — 7) < x — 3.
2
11 3х + 4x - 9 | - 81 ^3x-4x-l.
Определить, при каких значениях
32. log2x 5 > log3x+l 5.
34. 72x - 33 	- 14 • 5I-2x < 0.
36. 0,64	У0,8х<х~3).
Зх —4
38. 4х-5 x-3	10.
40. xlgx > 10000.
42.
I°g2 x — 1
l°g2 x — 5
< 1.
44- log|x4-3|-46> !•
46. | log2(jf) | > |log2x|.
48.
1 - logQ,5(~x)
x/2 — 6x
52. Iog3(log2(2 — log4x) — 1) < 1.
54. Iog2(2x4-l)-logi (2x+14-2)>-2.
56. 112х 4-x — 21 — 11 > 2х — x — 1
58. (a/5 4-2)x '	(ч/5 + 2)^.
параметра a имеет решение неравенство:
62.
63.
1) а2 - 2 • 4х+1 - a  2х+1 > 0;
о	2
2) ах -2х + а2х~х 4.
Определить, при каких значениях параметра а имеет решение неравенство:
1) loga(14-x) > loga2(l 4-х);	2) loga(x2 4-2х 4-2) < 0.
Найти значения параметра а, при которых неравенство выполняется при
всех х е R:
1) а • 9х 4- 4(а - 1)3Х 4- а > 1;	2) 4? + 2(2а + 1)2х2 +4а2-3 >0.
Найти значения параметра а, при которых неравенство выполняется при
всех х е R:
1) loga(x2 + 2) > 1;	2) 10gQ(a+l)(|x| + 4) > 1;
3) log а (х24-2) > 1;	4) log, 2_п(а2х2 4-2ax 4-4) > 1.
(a+1)	v 4
Для каждого значения параметра а решить данные неравенства:
1) ах2~х > 1;	2) loga(l 4-х) > 1;	3) loga(x2 4-2х) > 0;
4) loga(x2 4-2х) < 1.
Ответы
1. (—оо;0).	2. (—оо; I).
7. (|;+оо) . 8. (—оо;0].
12. (1;2] U [3; 4).	13.
3. (-1;5). 4.(0;4-00). 6. [-1;4-оо). 7. (|;3).
9. (-|;4-оо). 10. (-1; 4-ое). 11. (—1; 0) О (2; 3).
[0; 1) U (4; 16).	14. (-оо;-|].	15. (0; 1).
422
Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции
16.	(—оо; —1) U (0;+оо).	17. (0,8; 1,5). 18. (2;6]. 19. [-5; —х/17) U (ч/17;5|.
20.	(-\/5;-2)и[-1;1]и(2;ч/5). 21. [^; 2]. 22. (1;10). 23. [13~3; 1)и(1;13].
24. [3-3;1)и(1;3]. 25. (—oo;log4 3]. 26. (-oo;log0 42). 27. [log4 0,9;+оо) .
28. [—1;Ч-оо).	29. (—сю; 1] U (log3 4; 4-оо) .	30. (—оо;0) U [log5 4; 4-сю) .
31.	(1;+оо) 32. (0,5;+оо). 33. [1;з]. 34. (-оо;1]. 35. (-oo;0]U[2;+oo).
36. ]-1;4].	37. (—оо; logs 3) U (-0,5;0,5).	38. [0,5; log2 1,6] U (3;+оо).
39.	[0; log2 3]. 40. (0; 0,01] U |100;+оо). 41. [—1; 1]. 42. (0; 8]. 42. (0;8|.
44. |-13;-8) U (2;7).	45. (-оо;-9] U (-5;-4) U (2;3) U (7;+оо).
46.	(0;2).	47. (|;4).	48.	49. [в; 1) .	50. (-0,5;0).
51.	(2;3)U(3;+oo). 52. (2~28; 1). 53. (-оо;-1 - >/2) U (-1 + \/2; 1) U (1;+оо).
54. (—оо;0).	55. (3;+оо).	56. ( -оо;0) U (0; 1) U (1;+оо).	57. 0; 2.
58.	(-1;0] U (1;+оо).	59.	1) (-оо;0) U	(0; +оо);	2) (0;+оо).
60.	1) (0; 1) U (1;+оо); 2)	(0; 1).	61. 1) a	> 1;	2) (—оо;—1)	U (0;+оо).
62.	1) (1;2); 2)	и	+V*7) ; 3) (-оо;-2);
4) (—2; — \/2) U (У2; 2). 63. 1) Если или a = 1, то решений нет; если
0<a< 1, то хе(0;1); если а> 1, то xG(-oo;0)U(l;4-oo); 2) если а<0 или а = 1,
то решений нет; если 0 <а < 1, то х G (—1;а — 1); если а > 1, то х >а — 1; 3) если
а 0 или а—1, то решений нет; если 0<а<1, то хе(-1 — х/2;— 2)и(0; — 1 + V2);
если а > 1, то х G (—сю; —1 - л/2) U (-1 4- \/2; 4-сю); 4) если а 0 или а — 1, то
решений нет; если 0 < а < 1, то х е (—оо; — 1 — \/1 4- a) U (—1 + \/1 4- а; 4-сю);
если а > 1, то х G (—1 — л/1 4- а; -2) U (0; —1 4- \/1 + а).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3
Глава I. Элементы математической логики................................ 5
§1	. Высказывания и операции над ними. ............................... 5
§2	. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования... 13
§3	. Некоторые приемы доказательства................................. 23
Глава II. Числовые множества.......................................... 35
§1	. Множества. Операции над множествами............................. 35
§2	. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа......... 48
§3	. Степени и корни . .	... ..................................... 62
§4	. Логарифмы.....	  71
§5	. Суммирование................................................     80
§6	. Числовые неравенства	..................... 95
Глава III. Функции..................................................  107
§1	. Линейная, квадратичная	и	дробно-линейная функции................107
§2	. Основные понятия, относящиеся	к	числовым функциям ..............120
§3	. Свойства функций.	......................126
§4	. Обратная функция.	.	. 143
§5	. Графики функций .	.................... 147
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства......................159
§1	. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений.................159
§2	. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним.........................164
§3	. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля. .. 168
§4	. Алгебраические неравенства ...	............174
Глава V. Тригонометрические	формулы...............................198
§1	. Тригонометрическая окружность Градусная и радианная меры измерения
угловых величин ...	...............................198
§2	. Координаты точек тригонометрической окружности .	.....202
§3	.	Синус, косинус, тангенс	и	котангенс.......................206
§4	. Преобразование тригонометрических выражений. Доказательство тождеств. 212
§5	.	Формулы сложения .	 219
§6	. Формулы приведения. . .	...........................226
§7	. Формулы кратных углов . .	.......................229
§8	. Формулы половинных углов......................................  234
§9	. Формулы преобразования произведений в суммы.................... 237
§	10. Формулы преобразования сумм в произведение...................  241
§11	. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.........247
424
Оглавление
Глава VI. Комплексные числа ...	..................253
§1	. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения.253
§2	. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вы-
читания и деления комплексных чисел . .	. . 257
§3	. Геометрическое изображение комплексных чисел.	. 260
§4	. Тригонометрическая форма комплексного числа. .	.	. . 263
§5	. Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами......... .	. 269
§6	. Извлечение корня из комплексного числа . .	...	. . 273
Глава VII. Многочлены от одной переменной	. 276
§1	. Основные определения	.. 276
§2	. Схема Горнера. .	....	. . 288
§3	. Теорема Безу. Корни многочлена. . .	.... . . 292
§4	. Алгебраические уравнения.... ....	302
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений.	. 306
§1	. Основные понятия, связанные с системами уравнений ...........306
§2	. Системы линейных уравнений.................................. 312
§3	. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными . .	323
§4	. Нелинейные системы с тремя неизвестными	337
Глава IX. Предел и непрерывность функции.............................350
§1	. Точные грани числовых множеств. Операции над действительными числами35О
§2	. Предел последовательности	.	....	. 355
§3	. Предел функции......	370
§4	. Непрерывность функции . . .	381
§5	. Вычисление пределов функций	.	..........387
Глава X. Степенная, показательная и логарифмическая
функции..............	......... ... 390
§1	. Степенная функция...	.... ... 390
§2	. Показательная функция. . .	...	397
§3	. Логарифмическая функция. ...	. . 403
§4	. Показательные уравнения ...	............ 410
§5	. Логарифмические уравнения..................................  414
§6	. Показательные и логарифмические неравенства..................418
Этот учебник является частью учебно-методического комплекта
дли проп<щэеаНИя MaieMaiHKH в парШИХ КЛк < аХ
физико-математического и естественно-научных профилей.
Комплект включает в себя:
• учебник для 10 класса
• учебник для 11 класса
•	методическое пособие и дидактические материалы для 10 класса
•	методическое пособие и дидактические материалы для 11 класса
•	задачник для 10-11 классов
Шабунин Михаил Ивановы- —
доктор педагогических наук, профессор кафедры
высшей математики МФТИ, автор свыше двухсот
научных и учебно-методических работ, один
из авторов учебников алгебры для 7-11 классов
средней школы, учебников и сборников задач
по математическому анализу и теории функций
комплексного переменного для студентов вузов,
автор многих пособий для абитуриентов.
Заслуженный работник высшей школы РФ,
лауреат премии Правительства Российской Федерации в области
образования за 2002 год, член Научно-методического Совета по
математике Министерства образования и науки РФ, заслуженный
профессор МФТИ.
Прокофьев Александр Александрович —
доктор педагогических наук, доцент, профессор
кафедры высшей математики МИЭТ, преподаватель
математики Физико-математического лицея №1557
Зеленоградского округа г. Москвы, учитель высшей
категории.
Автор более 40 книг, в том числе монографий,
учебных и методических пособий по математике для
школьников и студентов Область научных
интересов связана с разноуровневыми
и вариативными моделями математического образования
в средней и высшей школе