Автор: Кремер Н.Ш. Фридман М.Н. Константинова О.Г.
Теги: математика учебные пособия и учебники по математике егэ егэ по математике
ISBN: 978-5-238-01666-5
Год: 2010
Текст
ЕГЭ
вступительные
испытания
МАТЕМАТИКА
поступающих
в экономические
вузы
ПОДГОТОВКА
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
В ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ВУЗЫ
Подготовка к Единому государственному экзамену
и вступительным испытаниям
Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера
Восьмое издание,
переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
:для слушателей подготовительных отделений
высших учебных заведений экономического профиля
Рекомендовано Учебно-методическим центром
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия
:для поступающих в вузы по специальностям
экономики и управления (080100)
ю н и т и
UNITY
Москва • 2015
УДК 51(076.1)
ББК 22.1я727-1
К79
Авторы:
H. Ш. Кремер (предисловие, га. 1, 2 (§ 2.6), 3, 4, 5 (§ 5.10), 6—8, 10—17),
О.Г. Константинова (га. 5 (кроме § 5.10), MiH. Фридман (га. 2 (кроме § 2.6), 9)
Рецензент:
кафедра высшей математики Московского государственного университета
экономики, статистики и информатики
(зав. кафедрой проф. В.А. Никишкин)
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвши,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Кремер, Наум Шевелевич.
Математика для поступающих в экономические и другие
К79 вузы. Подготовка к Единому государственному экзамену и
вступительным испытаниям: учеб, пособие для вузов /
[Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман]; под
ред. Н.Ш. Кремера. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2015. - 695 с.
I. Константинова, Ольга Григорьевна.
II. Фридман, Мира Нисоновна.
ISBN 978-5-238-01666-5
Агентство CIP РГБ
Цель пособия — оказать помощь абитуриентам при подготовке к Еди¬
ному государственному экзамену (ЕГЭ) и вступительным испытаниям по
математике в экономические и другие вузы.
В восьмое издание пособия включены около 20 новых тестов ЕГЭ (215
новых тестовых заданий).
В части I пособия каждая глава содержит справочный материал и мето¬
дические рекомендации, задачи с решениями и для самостоятельной рабо¬
ты. В части II приведены рекомендации по подготовке к ЕГЭ и вступитель¬
ным испытаниям и более 280 тестов (с решениями около 100 тестовых зада¬
ний групп А, В, С) и заданий различной сложности, предлагавшихся на
Едином государственном экзамене (2001—2008) и на вступительных испыта¬
ниях во ВЗФЭИ, МГУ, РЭА, ФА, ГУУ, МГИМО, МЭСИ, ГУ-ВШЭ за по¬
следние 10 лет (1999—2008). В приложениях даны Программа по математике
для поступающих в вузы и содержание тестовых заданий ЕГЭ.
Большое число задач (около 4300) и удачная структура пособия позво¬
ляют использовать его не только для контроля знаний, но и для обучения
навыкам решения конкурсных задач.
Для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов.
ББК 22.1я727-1
ISBN 978-5-238-01666-5
© Н.Ш. Кремер, О.Г. Константинова, М.Н. Фридман, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004,
2006, 2008, 2010
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 2006, 2008, 2010
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания
(ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.)
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2010
Оглавление
Предисловие 9
Часть I. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Арифметические вычисления
Преобразование алгебраических выражений 12
Формулы для справок 12
1.1. Арифметические вычисления 13
1.2. Преобразование рациональных выражений 15
1.3. Действия над радикалами 20
1.4. Действия над абсолютными величинами 25
1.5. Действия с дробными степенями 27
1.6. Задачи для самостоятельного решения 29
Глава 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений 33
Формулы для справок 33
2.1. Линейные уравнения 34
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним 35
2.3. Иррациональные уравнения 42
2.4. Системы алгебраических уравнений 47
2.5. Задачи для самостоятельного решения 50
2.6. Решение уравнений в целых числах 55
Глава 3. Задачи на составление уравнений 57
3.1. Задачи на пропорциональное деление 57
3.2. Задачи на проценты 58
3.3. Задачи на сплавы и смеси 61
3.4. Задачи на числа 63
3.5. Задачи на движение 64
3
3.6. Задачи на работу 65
3.7. Задачи на плановое и фактическое выполнение задания 67
3.8. Разные задачи 68
3.9. Задачи для самостоятельного решения 69
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 75
4.1. Показательные уравнения 75
4.2. Логарифмы 81
Формулы для справок 81
4.3. Логарифмические уравнения 85
4.4. Задачи для самостоятельного решения 91
Глава 5. Неравенства алгебраические 95
5.1. Линейные неравенства 95
5.2. Системы линейных неравенств 96
5.3. Дробно-рациональные неравенства 98
5.4. Квадратные неравенства 100
5.5. Неравенства, содержащие неизвестное
под знаком абсолютной величины 103
5.6. Показательные и логарифмические неравенства 104
5.7. Иррациональные неравенства 107
5.8. Применение неравенств к исследованию
уравнений и систем 111
5.9. Задачи для самостоятельного решения 113
5.10. Обобщенный метод интервалов 120
Глава 6. Преобразование тригонометрических выражений 125
Формулы для справок 125
6.1. Основные соотношения между
тригонометрическими функциями одного угла 128
6.2. Формулы приведения 130
6.3. Формулы сложения и кратных углов 132
6.4. Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и обратное преобразование 139
6.5. Вычисление без помощи таблиц 142
6.6. Задачи для самостоятельного решения 143
4
Глава 7. Тригонометрические уравнения и неравенства 148
Формулы для справок 148
7.1. Обратные тригонометрические функции 149
7.2. Простейшие тригонометрические уравнения 152
7.3. Тригонометрические уравнения 155
7.4. Задачи для самостоятельного решения 167
7.5. Тригонометрические неравенства 170
Глава 8. Прогрессии. Соединения и бином Ньютона 174
8.1. Задачи на арифметическую прогрессию 174
Формулы для справок 174
8.2. Задачи на геометрическую прогрессию 175
Формулы для справок 175
8.3. Смешанные задачи на прогрессии 177
8.4. Соединения 178
Формулы для справок 178
8.5. Бином Ньютона 183
Формулы для справок 183
8.6. Задачи для самостоятельного решения 185
Глава 9. Планиметрия 190
Справочный материал 190
9.1. Треугольники 194
9.2. Окружность и круг 203
9.3. Четырехугольники 206
9.4. Задачи для самостоятельного решения 210
9.5. Разные задачи (с решениями) 218
Глава 10. Стереометрия 230
Справочный материал 230
10.1. Параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей. Двугранные и многогранные
углы 233
10.2. Многогранники 236
5
10.3. Круглые тела 240
10.4. Задачи с применением тригонометрии 242
10.5. Разные задачи 249
Глава 11. Производная и ее применение 256
Формулы для справок 256
11.1. Производная функции, ее геометрический
и механический смысл 256
11.2. Применение производной 263
Глава 12. Задачи с параметрами 276
12.1. Решение уравнений, систем уравнений и
неравенств с параметрами 276
12.2. Задачи с условиями 282
Глава 13. Функции и графики 291
13.1. Общие свойства функций 291
13.2. Основные приемы построения графиков функций 296
13.3. Графическое решение уравнений и систем 302
13.4. Построение усложненных графиков 304
Глава 14. Векторы и метод координат 307
Справочный материал 307
14.1. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов 309
14.2. Применение векторов и метода координат
к решению геометрических задач 314
Глава 15. Первообразная и интеграл 321
Формулы для справок 321
15.1. Нахождение первообразной и интеграла 322
15.2. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла 326
6
Часть II. ТЕСТЫ ЕГЭ И ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ
Глава 16. Варианты заданий на вступительных испытаниях
(экзаменах, тестировании) по математике 332
16.1. Выполнение письменных экзаменационных
работ на вступительных экзаменах
по математике 332
16.2. Варианты письменных работ на вступительных
экзаменах по математике 339
Всероссийский заочный финансово-экономический
институт (ВЗФЭИ) 339
Варианты заданий 1-го уровня сложности для
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999) 339
Варианты заданий 2-го уровня сложности для
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999—2009 гг.) 349
Варианты заданий 3-го уровня сложности для
вступительных экзаменов во ВЗФЭИ (1999 г.) 372
16.3. Варианты заданий для вступительного испытания
по математике во ВЗФЭИ 384
Варианты заданий 1-го уровня сложности
для вступительного испытания по математике во
ВЗФЭИ (1999-2008 гг.) 384
Варианты заданий 2-го уровня сложности для
вступительного испытания по математике во
ВЗФЭИ (1999 г.) 390
Варианты заданий 3-го уровня сложности
для вступительного испытания по математике во
ВЗФЭИ (1999 г.) 392
Дополнительные варианты заданий (номера
задач пособия) для подготовки к вступительному
испытанию по математике во ВЗФЭИ 394
16.4. Особенности формулировок заданий по математике
при тестовом контроле 394
16.5. Варианты заданий по математике
на вступительных экзаменах и тестировании
в различных экономических вузах (1999—2008 гг.) 396
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет) 396
Российская экономическая академия
им. Г.В. Плеханова 416
7
Финансовая академия при Правительстве РФ 423
Государственный университет управления (ГУУ) 430
Московский государственный институт
международных отношений (университет) МИД РФ 436
Московский государственный университет эко¬
номики, статистики и информатики (МЭСИ) 454
Государственный университет — Высшая школа
экономики 463
Глава 17. Единый государственный экзамен (ЕГЭ) 479
17.1. Тесты (контрольно-измерительные материалы)
на ЕГЭ 482
17.2. Решение тестовых заданий группы А с выбором ответа 565
17.3. Тестовые задания группы В с кратким
ответом и их решения 573
17.4. Тестовые задания группы С с развернутым
ответом и их решения 604
Приложения 649
Приложение 1. Программа по математике
для поступающих в высшие учебные заведения 649
Приложение 2. Содержание блоков школьного курса
математики, усвоение которых проверяется
на едином госэкзамене 654
Приложение 3. Таблица перевода первичных баллов
в тестовые баллы на едином госэкзамене
по математике в 2007 и 2008 г. 656
Ответы 657
8
Предисловие
Пособие предназначено для абитуриентов, слушателей под¬
готовительных отделений и курсов, готовящихся к поступле¬
нию в экономические и другие вузы, в том числе для посту¬
пающих во Всероссийский заочный финансово-экономический
институт (ВЗФЭИ) в г. Москве и его филиалы. Книга ориен¬
тирована на подготовку по математике:
• к единому государственному экзамену (ЕГЭ) для абитури¬
ентов любых вузов;
• к вступительным испытаниям (в любой форме) абиту¬
риентов вузов, в первую очередь, экономических;
• к дополнительным вступительным испытаниям профиль¬
ной направленности абитуриентов отдельных (экономи¬
ческих) вузов.
Авторы предлагают абитуриентам пройти путь от решения
простейших школьных задач к решению достаточно сложных
конкурсных. Большое внимание уделяется выполнению «стан¬
дартных» преобразований и операций, «технике» решения типо¬
вых задач. Наряду с традиционным материалом в пособии рас¬
смотрены наиболее трудные для абитуриентов разделы и темы
из практики проведения единого государственного экзамена и
вступительных испытаний в экономические вузы, но недоста¬
точно полно рассматриваемые в школе (задачи с параметрами,
примеры с абсолютными величинами, обратные тригонометри¬
ческие функции, текстовые задачи на отыскание наибольшего и
наименьшего значений и т.п.).
Пособие состоит из двух частей. В части I приведен мате¬
риал по всем учебным темам, выносимым на вступительные ис¬
пытания по математике. При этом каждая глава пособия содер¬
жит справочный материал, методические рекомендации и задачи
с решениями и для самостоятельной работы.
В части II приведены тесты, предлагавшиеся на едином го¬
сударственном экзамене, и задания различной сложности, предла¬
гавшиеся на вступительных испытаниях (экзаменах, тестировании)
для поступающих во Всероссийский заочный финансово-эконо¬
мический институт, Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет), Российскую
экономическую академию им. Г.В. Плеханова, Финансовую ака¬
демию при Правительстве Российской Федерации, Государст¬
9
венный университет управления, Московский государственный
институт международных отношений (университет) МИД РФ,
Московский государственный университет экономики, стати¬
стики и информатики, Государственный университет — Выс¬
шую школу экономики за последние 10 лет (1999—2008 гг.).
В приложениях даны программа по математике для поступаю¬
щих в высшие учебные заведения и содержание тестовых заданий
на ЕГЭ.
Структура учебного пособия в сочетании с большим количе¬
ством задач (около 4300) и вариантов заданий и тестов (более
280) для поступающих позволяет использовать пособие не толь¬
ко для контроля знаний, но и для обучения навыкам решения
конкурсных задач.
При подготовке пособия были использованы школьные
учебники, различные сборники задач и справочники для посту¬
пающих в вузы, опубликованные варианты тестов (контрольно¬
измерительных материалов) ЕГЭ. Часть задач составлена авто¬
рами специально для пособия.
Особое внимание в пособии уделено наиболее сложным зада¬
ниям ЕГЭ с выбором ответа, с кратким и развернутыми ответами
из групп А, В и С, уяснению содержащихся в них идей и методов
решения. В связи с этим к 26 полным вариантам ЕГЭ (2001—
2008 гг.) дополнительно приведены около 40 вариантов (по 5—11
заданий), составленных только из тестовых заданий каждой из
групп А, В и С, из которых около 100 наиболее трудных заданий
приводятся с решениями, остальные — с ответами.
Представленный в пособии обширный дидактический материал
поможет поступающим подготовиться к единому государственному
экзамену и вступительным испытаниям в вузы различного уровня —
от рядовых до элитарных, будет полезен учителям средних школ и
преподавателям отделений довузовской подготовки.
А помещенные в пособии тесты ЕГЭ и экзаменационные биле¬
ты ведущих вузов за продолжительный период времени позволят, в
частности, абитуриентам осуществить детальную проработку экза¬
менационных материалов не только последних (перед поступлением
в вуз), но и предыдущих лет, ибо в реальных заданиях на вступи¬
тельных испытаниях (в любой форме) им могут встретиться те же
идеи, подходы и методы решений, что и в приведенных тестах (за¬
даниях) любого года.
В восьмом издании существенно увеличен матери¬
ал, посвященный подготовке к ЕГЭ: добавлены около 20 новых
тестов ЕГЭ (полных и неполных, включающих 215 новых тесто¬
вых заданий за 2007—2008 гг.). При этом сокращен ряд экзаме¬
национных материалов отдельных вузов за прошлые годы.
10
Часть I.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.
ГЕОМЕТРИЯ
. Выражения и преобразования
. Уравнения и неравенства
. Функции
. Числа и вычисления
. Геометрические фигуры
Глава
1.
Арифметические вычисления.
Преобразование алгебраических
выражений
Формулы для справок
Действия со степенями (а > О, Ъ > 0):
(abc)n = апЬпсп .
(1.1)
(аУ _ ап
Ы ьп'
(1.2)
атап = ат+п.
(1.3)
ат _ ат-п
ап '
(1.4)
(ат)П = атп
(1.5)
а0 =1 .
(1.6)
-п 1
а = —.
п
а
(1.7)
Действия с корнями
> 1 ,п> I)1:
'i[abc = 1[аЧ[ЬЧ[с .
и дробными степенями (а > 0, Ъ > 0; т,
[а ^[а
(1.8) г-=А=-
\Ь ЦЪ
п, р е N,m
(1.9)
(^Д)р=л/а^-
(1.10)
”$атр = ylam .
(1.11)
фЦа =т4а
(1.12)
q
и
(1.120
ат1п = .
(1.13)
-mjn 1
- ат/п ■
(1.13')
Формулы сокращенного умножения:
(х ± у)2 = х2 ± 2ху + у2 . (1-14)
(х±у)3 = х3 ±3х2у+ 3ху2 ±у3. (1.15)
х2 - у2 = (х - у)(х + у) . (1-16)
X3 - у3 = (х- у)(х2 +ху + у2). (1.17)
х3+у3 =(х + у)(х2-ху + у2). (1.18)
1 Запись п е N означает, что число п принадлежит множеству натуральных чи¬
сел.
12
Разложение квадратного трехчлена на множители:
х1 2 3 + рх + q = (х - - х2), (1.19)
где Л'| и л'2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0;
ах2 + Ьх + с = а(х - - х2), (1-20)
где Л'| и л'2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Абсолютная величина действительного числа:
I, Г а, если а > 0,
\а = \ (1.21)
[-а, если а < 0.
1.1. Арифметические вычисления
( з зЛ
152 148— - 0,3
4 s )
1.1. Вычислить: — .
0,2
Решение. Следует напомнить порядок действий: первыми осуще¬
ствляются операции умножения и деления, затем — сложения и вычи¬
тания. Если нужно изменить порядок, то ставятся скобки. Таким обра¬
зом, в нашем примере первой осуществляется операция вычитания,
стоящая в скобках, а затем — действия в указанном порядке, т.е. сна¬
чала умножение, затем деление.
1) 152—-148— = 4—. 2) 4—0,3 = —-0,3= 4,375-0,3 = 1,3125.
4 8 8 8 8
3) 1,3125 : 0,2 = 6,5625.
Ответ. 6,5625.
1.2. Вычислить:
4,5-1-=—6,75 0,66...
3,(3)-0,3 + 0,(2) + |]:2|
0,4166...-0,72 : 0,3-0,96
0,2-
40
•1,6
Решение. Преобразуем имеющиеся в примере периодические
десятичные дроби в обыкновенные. Напомним: чтобы обратить перио¬
дическую дробь в обыкновенную, надо в числителе записать разность
между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до
первого периода, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколь-
13
ко цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько
цифр между запятой и первым периодом. Поэтому:
0,66...= 0,(6)
6-0
9
0,(2)
2-0
9
2 _
9 ’
6 2. 33 -3 30 10.
9 - 3’ J 9 “ 9 ” 3 ’
416-41 5
0,4166... = 0,41(6) = = —.
Выполним теперь указанные в примере действия:
2) 7,5-6,75 = 0,75 .
2 9 5 45
1) 4,5+4 = 4 ■ 4 = 24 = 7,5.
3 2 3 6
3) 0,75-0,66... = | ■ | = ! = 0,5.
2 11
5) 1 + 0, (2) = 1 + — = — .
7)1 :22 = 5ДЛ.
3 3 3 3 8
5 5 72 3
J 12 ’ 12 100 10 ’ '
11) 1-0,96 = 0,04 .
1з)11-64ц-0-2-
4) 3,(3)-0,3=у-0,3 = 1.
,11 4 = 15 = 5
’ 9 + 9 9 3'
8)0’5;14^°’8-
10) 0,3 : 0,3 = 1.
12)0244-144-
14) 0,04 : 0,2 = 0,2 .
15) 0,8+ 0,2 = 1.
О т в е т: 1.
Вычислить:
1.3.
172^ - 170— + 3 —
6 3 12
0,8 • 0,25
1.4.
9 3 1
215-4 - 208— + —
16 4 2
0,0001 : 0,005
1.5.
( 7 5^1
95—- 93— -2-+ 0,373
30 18) 4
0,2
1.6.
( 5 7^1
49 46— . 2- + 0,6
24 20) 3
0,2
14
1.7.
1.8.
0,666... + —
3
0,25
0,12333...: 0,0925
-12,5-0,64
[(7-6,35): 6,5+ 9,8999...] —
12,<
(l,2: Зб) + f 1 —: 0,25^1 -1,8(3)
v 5 J _
4
0,125.
1.9.
f 13 9 "j . 9
4,625 : —1-2,5 : 1,25 : 6,75
18 26J 4
: 1 —
68
(1
--0,375
2
: 0,125 +
г5__7_л
v6 12
: (0,358-1,4796:13,7)
1.2. Преобразование рациональных выражений
При решении задач этого параграфа необходимо обратить
внимание на правила действий со степенями (см. формулы
(1.1)—(1.5)). Следует помнить, что при умножении степеней с
одинаковыми основаниями их показатели складываются, при
делении — вычитаются, при возведении в степень — перемно¬
жаются.
Приведем несколько простых примеров с решениями, полу¬
ченными с помощью формул (1.1)—(1.18).
6 64апЬпс-6
1.10.
2а о с
1~
1.11. (За“2й2с“3)(0,8ай“3с4) = 2,4 a'Vc .
1.12. (x-'yV) : (5хУV5) = ix-3yV .
1.13. (а-2 + Г3 )(а“2 - Г3) = а-4 - й“б.
1.14. (х“2 - у-1)2 = х~4 -2х~2у-1 + у~2.
1.15. (х“3 -2у2)3 =х~9 -6х~бу2 +12х~3у4 -8уб.
1.16. (х~3+8уб) = (х-1 +2у2)(х~2-2х_1у2+4у4) .
15
1.17. Разложить на множители:
90х2"~3 - 225х1п-\
Решение. Выносим общий множитель: чисел 90 и 225 — число
45 и выражений х2”~3 и х1п 1 — выражение х2”~3 (с наименьшим
показателем степени).
Получим: 90х2”~3 - 225х2"^ = 45х2"~3(2 - 5х2).
Ответ: 45х2”~3(2 - 5х2).
1.18. Разложить на множители:
18а2 - 27аЬ + 14ас -21йс.
Решение. Используем способ группировки:
18а2 - 21 ab + 14ас - 21 be = (18а2 - 21 аЪ) + (14ас - 21Z>c) =
= 9а (2а - 3Ь) + 1с (2а - 3Ь) = (2а - ЗЬ)(9а + 7с).
Ответ: (2а — ЗЬ)(9а + 7с).
1.19. Разложить на множители: а6 -Ь6.
Решение.
а6 - Ь6 = (а3)2 - (Ь3)2 = (а3 - Ь3)(а3 + Ъ3) =
= (а - Ь)(а2 + ab + Ь2)(а + Ь)(а2 - ab + Ъ2).
Ответ: (а - Ь)(а + Ь)(а2 + ab + Ь2)(а2 -ab +Ь2).
1.20. Разложить на множители: с1 - а1 + Sab2 -16Ь4.
Решение. Группируя отдельно первый член и три последних
члена, получим:
с2-a2 +$ab2 -16Z)4 =с2-(a2 -Sab2 +16b4) =
= с2-(a-4b2)2 =[с-(а-4Ь2)][с + (а-4Ь2)\.
Ответ: (с - а + 4Ь2)(с + а - 4Ь2).
11 1 1 11
1.21. Разложить на множители: 4а с -(а +с -Ъ ) .
Решение. Раскладываем выражение на множители как разность
квадратов и после группировки членов в каждой скобке вновь приме¬
няем формулу разности квадратов:
4а2с2 - (а2 + с2 - Ь2)2 = [2ас - (а2 + с2 - Ь2)\ х
х [2ас + (а2 + с2 - Ь2)\ = [Ъ2 - (а - с)2][(а + с)2 - Ъ2] =
= [b - (а - c)][Z> + (а - с)][(а + с) - Ь\[(а + с) + Ь\.
Ответ: (а + с + Ь)(а + с - Ъ)(Ъ + а - с)(Ь - а + с).
16
1.22. Разложить на множители: - Зх2 + Юх - 3.
Решение. / способ. Корни квадратного трехчлена находим из
уравнения -3х2+10х-3 = 0 по формулам (2.12) и (2.13):
1 -
Xi = - и х2 = 3.
ч 1
По формуле (1.20): -Зх2 + Юх - 3 = -3(х - — )(х - 3).
II способ. Если представить второе слагаемое квадратного трех¬
члена в виде Юх = 9х + х, то разложение на множители легко провести
способом группировки:
-Зх2 + Юх - 3 = -Зх2 + 9х + х - 3 = -Зх(х - 3) + (х - 3) =
= (х - 3)(1 - Зх).
Ответ:
3(х-|)(х-3).
Разложить на множители:
1.23. 24а3"~2(Г2 + 108а3п+16 . 1.24. 10а2 + 21ху - 14ах - 15ау .
1.25. х3 + у3 - х2у - ху2. 1.26. х4 - х2 + 2х -1.
1.27. -5х2 + 26х - 5 . 1.28. 2а1+ab-\5b2.
1.29. х3 + 2х4 + 4х2 + х + 2. 1.30. (a + b + с)3 -а3 -Ь3 -с3.
1.31. Упростить выражение:
( 9
т + 2 %т -8 4т+ 4
1-т т3 -1 т2+т +1
V у
Решение. Обращаясь к формулам сокращенного умножения,
можем представить 8т2 - 8 = 8(т2 - 1), где т2 - 1 — разность квадра¬
тов, т.е. 8(т2 - 1) = 8(т - 1 )(т +1). Далее, т3 - 1 представляет собой
л л
разность кубов. Тогда т -1 = (т- 1 )(т +т + 1). Выполняя далее дей¬
ствия в указанном порядке и учитывая сказанное выше, получим:
8(w2-1) 4(m + l) 8(w-l)(w + l)(w2 + m + l)
*-) з • 2 2 л ( \ ^“ ^
т -1 т +т+1 (т — \)(т +w + l)-4(w + l)
2 + т
: т-\ .
т-1
.. т + 2 т + 2-2 + 2т Зт
2) 2 = = .
1-т 1-т 1-т
Мы привели к общему знаменателю и сделали приведение подобных
членов в числителе.
17
,, Зт
3) : m =
1 - m
3m
ч(\ - m) 1 - ;
4) ^_+2 + W
1-,
-1
3 2 ■ in
+ -1
-3 + 2 + m m - l
-1
-1
-1
= 1.
Ответ: 1.
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40.
Упростить выражения:
2 4,1
9 + За 9 - а2 9-За
За , 10а
(9 - 6а + а2).
За - 2 4(а + 4)
а - 4 а2 - 8а + 16
-2-+ ‘° f
х + 1 х1 - Зх - 4 х-4
-J-+ * + ^_
х - 3 х2 - 5х + 6 х - 2
а + b ,
ab
а + Ь
а - 1
' а2 - 16 <2-4 '
Зх Л Зх + 2 х - 13
3 3(4 - х)
2х + 1 х - 12
3(3 - х)
: (а2 - Ьг) +
а +1
2 b
а + Ь
а - а + 1
1 - а
х + х
а + 1 а2 - 2а + 1
1 - а2
(1 + ах)2 - (а + х)2 1-х
■2 , Ь2
• (1 + а) +
/
За +1
а - 1
а
(а - Ь)(а - с) (Ь - с)(Ь - а) (с - а)(с - Ъ)
(а + 2bf - (а - 2bf _ За4 + 7аУ + 4Ь4
(2а + bf + (2а - bf ' 4а4 + 1а2Ь2 + 3Ь4 '
В примерах с отрицательными и нулевыми показателями сте¬
пеней необходимо правильно пользоваться их определениями
(см. формулы (1.6), (1.7)). Нужно четко представлять, что, на¬
пример, 2а 1 = —, а не
±, ™ (.-w-tH)"
1
а b
, а не (а + b), и т.п.
18
1.41. Упростить выражение:
2 + ba-1
а + 26
66(462 - а2 Г1
f
2 апЪ +3 an+l
К
6 ап+Л 1
2а - Ь) '
Решение. Обозначим выражение в квадратных скобках через А, в
круглых — через В :
А :В
Далее обратимся к А:
= А \ — = А - В.
В
^ 2 + Ъа 1
а + 2Ъ
66(4Ъ2 -а2)-1.
1)
2 + Ьа 1
а + 2Ъ
2+Ь-
д_
а + 2Ъ
2 а + Ь _
а(а + 26) ’
2) 66(462 - а2у1 =
6 ь
6 ь
4Ь2 - а2 (26 - а){2Ь + а)
Здесь мы раскладывали 462 - а2 как разность квадратов:
3)
66
2 а + Ъ
а(а + 26) (26 - а)(2Ь + а)
Приводя к общему знаменателю и умножая первую дробь на (26 — а),
а вторую — на а, получим
4ab - 2а2 + 262 - ab - 6аЬ 2Ь2 - ЗаЬ - 2а2
а(4Ь2 - а2) а(4Ь2 - а2)
(6 - 2a)(2b + а) b -2а
а(а + 26)(26 - а) а(2Ь - а)
Итак, А
6 -2а
а(2Ь - а)
Теперь преобразуем В:
В = 2 апЬ + 3 an+l
„ 4ab - 2b2
= а
6й”+2
= а
2а - b
+ 6а2 - ЗаЬ -
2а - 6
f
п 26 + За
V
6 а
а‘
6а2 Л
~ 2а - Ь) '
Ь(а - 26)
2а - 6
19
Окончательно получаем
А В= Ъ~2а .аПЪ(-а~2Ь) =а"-\
а(2Ь - а) 2а - b
Ответ. ап 1Ь.
Упростить выражения:
1.42.
1 + (а + х)
1 - (а + х)~
1 -
1 - (а2 + х2)
2 ах
Результат вычислить при х =
1
а -1
1.43.
1.44.
1.45.
ал + Г1
ЛтЛ
а о
а-3 + Ь-3 ' (,а + Ь)2 - ЪаЬ
(
х
-х
(х + у) - 4ху
У1
-А
х-6 - 64
х - ху
„2
2 а
х
2 2 4 ’
х у - у
4 + 2х-1 + х-2 d_± 1
X X
4х2(2х +1)
1 - 2х
1.3. Действия над радикалами
Рассмотрим и дадим решения нескольких простых примеров,
в которых с помощью формул (1.8)—(1.11) необходимо привес¬
ти радикалы к простейшему виду.
64 р-пд-6 4р-у2
т9 т3
1.46. з
V
1.47. 4 3* - з
х V 4aZ> х
4.|(2<,4)3Зх
4aZ>
1.48. —L- V8a3 + 12а2 + 6а + 1
2а +1
_ 3(2а + 1)л/2а + 1
2а +1
T^-ryl(2a + I)3 =
2а +1
3V2a + l.
20
1.49. ^256а V8 = |2W = г4М^ = 2Ьа .
При сложении и вычитании корней (если это возможно) все
они приводятся к простейшему виду, а затем общий множитель
выносится за скобки.
1.50. Разложить на множители:
л/81 а5Ь - л/256a2bw = ЪаЧаЬ - 2b^ab =
= л/а.
За-26), (а > 0; 6>0).
Следует отметить, что рассмотренные выше правила дейст¬
вий над корнями (1.8)—(1.11) безоговорочно верны только для
их арифметических (неотрицательных) значений. Например, для
произведения V2 • V -3 применение формул (1.8), (1.11) приво¬
дит к неверному результату: л/2 • ур-3 = yf¥ ■ $](-3)2 = л/72;
правильное решение имеет вид: так как уГз = -V3, то
V2 • = -(V2 • ft) = —л/23 • З2 = -$/72.
Необходимо помнить, что под корнем четной степени из не¬
отрицательного числа понимается только его арифметическое
(неотрицательное) значение. Так, например, ^52 = у[25 =5;
I у ,— / 7 Г х, если х > 0;
J(-5)2 = л/25 = 5 = -(-5), т.е. л/х2 = < или
[ - х, если х < 0
Vx2" = | х | , и вообще корень четной степени Щх2к = | х |. Дей¬
ствия над абсолютными величинами рассмотрены в § 1.4.
Привести радикалы к простейшему виду:
ЪаЬ1
1.51. „
2 М ab
1.53. — -Jn3 - пт1 (п > 0). 1.54.
1.52. д/х3 - у3 + х2у - ху2 (х > у > 0).
хУ -24хУ.
9.,6
П
а + Ь
1.55.
1.57. 5а" ?|
а566 -аУ
' Ь1 + 2ab + а2 '
1.56.
1
х3 + х2 - х - 1
Ьс4
125а3"+2 х + у \ат(х-уУ
Приведем простые примеры (с решениями), в которых необ¬
ходимо освободиться от иррациональности в знаменателе.
. 1.58.
х-у
(х + уУ
\2т+2п
(а > 0, х > 0, у > 0).
21
1.59. —r = 1 ^ = 1 =V2-1.
1 + V2 (1+л/2)(1 л/2) l2 (л/2)2
. 6() 1 _ 1 _ л/2 (л/2 +1)3 _ л/2(л/2+1)3
(2 - л/2)3 (л/2)3 (л/2-I)3 (л/2)4|^(л/2)2-l2j3 4
1.61. 1 = 22 + 2 Уз~ + (Уз~)2 = 4 + 2 Уз + V9
2-Уз 23 - (УЗ)3 5 '
1.62.
1.64.
Освободиться от иррациональности в знаменателе:
3 >/з -2 У2 л/х-3 -Ух + 3
з-Уз + 2У2 '
81
(Уб-Уз)4'
1.63.
1.65.
-л/л
Ух — 3
1
Уз -У!'
1.66.
1
2-У2'
При преобразовании более сложных иррациональных выра¬
жений успех решения часто зависит от умения «увидеть» ту или
иную формулу сокращенного умножения, записанную в обозна¬
чениях радикалов. Например, при решении одной задачи целе¬
сообразно заметить, что а — Ъ представляет разность квадратов:
а - b - (4а - 4b)(4a + 4b), где а > О, b > 0; при решении дру¬
гой — разность кубов:
а — b — (Уа - Уй) ^Уа2" + Уай + Уб2"^
а
при решении третьей задачи следует использовать определение
радикала а - Ъ - У(а - Ъ)2 (при а> Ъ) или а - Ъ - У(а - 6)3,
или вообще а - b - \j(a - b)n и т.д.
1.67. Упростить выражение:
а + х
3/2 3/2
- л/х
+
3/ 2
V ах
-У
2
а х
а — 2 У ах + хх
4 а — 4 ос
-4х.
Решение. Рассмотрим сначала числитель уменьшаемого. Обраща¬
емся к формулам сокращенного умножения. Учитывая, что
а + х = (УЙ3+(У^)3, т.е. представляет собой сумму кубов, имеем
а + х = (4а + 4х)(ха2 - 4ах +
). Аналогично представим 4~а
Ух"
3/„2
как разность квадратов, т.е. (\а
- У?) = [4а - 4х)(4
+ 4ос) и Уд2" - 24ах + У? = (4а - 4ос)2.
22
Тогда имеем
а + х (Уа + Ух)(У~а2 - Уах + Ух2 ) (Уа2 - Уах + Ух2) _
Уа2 -Ух2 (л/а + Ух)(Уа -Ух) (Уа-Ух) ’
(Уах2 - Уа2х) Уах(Ух ~У~а) ~Уах
Уа2 - 2Чах + Ух2 (У® - V*)2 Уа - Ух
Окончательно числитель уменьшаемого запишем
Уа2 - Уах + Ух2 Уах _ Уа2 - Уах + Ух2 - Уах _
Уа-Ух Уа-Ух Уа-Ух
Уа2 - 2 Уах + Ух2 (Уа - Ух)2 3 г~ ъг~
= г= F= = —р= 7=— = у а - л/х.
Уа - Ух Уа - Ух
Рассмотрим все уменьшаемое, учитывая, что
Итак,
Уа -Ух
Уа -Ух
Окончательно имеем Уа + Ух - Ух = Уа.
Ответ. Уа.
1.68. Упростить выражение:
(а2
+ аУь) : (а + УТь2) - Щ
\ \а - УЬ )
Решение. Обозначим делимое буквой А, а делитель — В. Вынесем
в делимом Уа. Получим:
а2 - ъУа згг гУ аУа - Ъ /—3гг
А = —j=—-j=- + аЦЬ = Уа —j=—тт= + УаУЬ •
Уа-Уь lУа-Уь
Выражение (аУа - b) можно рассматривать как разность кубов:
i-Ja - b\ = (Уа) -(Уь) = {Уа - Уь)(а + УаУь + УУ2').
Сокращая на (Уа-Уь) числитель и знаменатель дроби, получим
А = Уа(а + Уа Уь + УУ2 + Уа УЬ) = Уа(а + 2Уа Уь + УУ2).
23
Можно заметить, что выражение в скобках есть полный квадрат, т.е.
а (Па + Пь)2. Вынесем в делителе На; получим
В = (а + Иа3Ь2) = Jo2 + На ■ Hb = На(На + Hb).
Теперь искомое выражение имеет вид:
j-Гь
На(На+Нь)2 ъгг
Н)(П) + Пь)
= (На + Hb -Hb)2 = (На)2
: а.
Ответ: а.
Упростить выражения:
л а + 2 + 4а2 - 4 а + 2 + Ja2 - 4
1.69. , +■
а
+ 2- На2 - 4 а + 2 + -Ja2 - 4
1.70. ^
2
Г~2 -X
\х + а +
2 ^
1 +
I
I
х2 + а
х + а)
2 ^ -L. Их2
х + \х + а
1.71. \4ab--
ab
а +
ИаЬ - Hb
-Jab) а - b
1 72 ~ + ^ + ~ ^
1.73.
1.74.
1.75.
аНа + ьНь
хНх, - х
а - b
4/7-i
V
-Я
Цх -1
-J\ + а
Их3 +1
Их +1
Л '
-Я
1 - а
V
л/l + а - Hi ~ a Hi- а2 - 1
+ а
Л
1-,-i
а
а
а > 0.
аИа + На2 3
а +
-[а
- Их
i^Ja - H~xf + 3i^fa + Их) j .
1.76.
|Их - На У + (Их + На)
( X'
х - а
4 Их + 4 На J
1.11.
а - х
На - Нх
, 4/ 3
а + -Чах
На + Пах
-Чах
24
1.4. Действия над абсолютными величинами
При преобразовании выражений, содержащих абсолютную
величину, необходимо рассматривать несколько случаев, при
этом следует четко усвоить определение абсолютной величины
по формуле (1.21).
1.78. Упростить выражение: |х-|х||.
Решение. Рассмотрим два случая:
1) х > О, тогда |х| = х и |х -|х| | = |х -х| = 0;
2) х < 0, тогда |х| = -х и |х |х| | = |х (-х)| = |2х| = -2х.
Ответ. 0 при х > 0; —2х при х <0.
1.79. Упростить выражение: А - |х - 5| + 2|х - 3|.
Решение. Возможны три случая (см. чертеж): * 1 2 33 5 х
1) х<3. Тогда х-3 <0, х-5 <0, следовательно, |х-3| =
= - (х - 3), |х — 5| = — (х — 5) и А = - (х - 5) + 2 [- (х - 3)] = -Зх + 11;
2) 3 < х< 5. Теперь х-3>0и|х-3| = х-3. С другой стороны, по-
прежнему х-5 < 0 и |х — 5| = -(х - 5). Поэтому:
А = -(х - 5) + 2(х - 3) = х - 1;
3) х > 5. Имеем х-3>0, х-5>0 и |х — 3| = х — 3, |х — 5| = х — 5.
Отсюда А = (х - 5) + 2(х - 3) = Зх -11.
Ответ. —Зх +11 при х < 3; х - 1 при 3<х<5;Зх-11 при х > 5.
1.80. Упростить выражение:
л/*2 - Юх + 25 + 2^х2 -6х + 9.
Решение. V*2 - 10х + 25 = д/(х - 5)2 = |х - 5|, ^х2 - 6х + 9 =
= д|(х - З)2 = |х — 3|. (Напомним, что мы рассматриваем арифметическое
значение корня четной степени — см. § 1.3). Следовательно, искомое
выражение есть |х-5|+ |х — 3| и преобразуется так же, как в 1.79.
25
1.81. Упростить выражение:
А =
4а.
х + 4 + х
■Jx • 2х2 — х — 1
Решение. Освободимся от отрицательного показателя степени
(—1), а в знаменателе разложим на множители квадратный трехчлен,
предварительно найдя его корни: хг = ; х2 = 1. Получим
А = ■
4х2 + 4х + 1
]
X
Vx ■
■J(2x +1)2
■Jx-Jx\2х + l| ■ |х - 1| ’
ибо абсолютная величина произведения равна произведению абсолют¬
ных величин.
|2х +1|
1
•, где х > 0 (так как по условию имели х
х|2х + 1| ■ |х —1| х|х - 1|
под знаком радикала в знаменателе). Теперь необходимо рассмотреть
два случая (см. чертеж):
О-
0
-о-
1
А = -
1) 0 < х < 1. Тогда х-1 <0 и х —1 =—(х —1). Поэтому
1
х(х — 1)
2) х > 1. Тогда х — 1 >0, |х — 1 I = х — 1 и А
1
х(х -1)
что х ф 1, так как при этом знаменатель обращается в нуль.)
1 „ „ „ , 1
(Заметим,
Ответ:
х(х -1)
Упростить выражения:
1.82. |бх — 2|х| |.
<cyjx2 — 6х + 9
при 0 < х < 1;
х(х -1)
при х > 1.
1.84.
1.83. |2х - 4| - 2|3 -;
|а-1|-|а|
— х — 6
1.85.
L I 1 I I
а -а + \-\а\
л о/т yj^ + x + yjl — X
1.86. , , При X :
Vl + х — vl — х
а + а
26
1.87.
х
sjx2 — 1 1
, при X = —
x — ух2—! 2
£+J-
b Ча
ab > 0.
1.5. Действия с дробными степенями
Приведем несколько простых примеров (с решениями),
в которых необходимо выполнить указанные действия.
1.88. [ab(ab)l!2f = (a^b^f = a^b1/2.
1.89.
1.90.
{а-*у21\аЬ-2)-112а-212\ = (a4a^ba-2'2)1 = (а2 ■ Ъf = а4Ъ2.
2V2.
За
2. ±
1/2Л V3
П-З
21/2 ■
3«21 2
2^.31/3
1/2'
п-3
3/2Л V3
1
За2
П-З
1.91. Упростить выражение:
х — I
0,5 , 1
С +1
, 0,5 . 1 ' 1,5
X + X +1 X
Решение. Учитывая, что х — 1 можно рассматривать как разность
квадратов, т.е. х - 1 = |х0,5 - lj|x0,5 + lj, аналогично х1,5 -1 можно
разложить как разность кубов, т.е. х1,5 -1 = (х0,5 - l|x + х0,5 + l).
Отсюда получаем
X - 1 *1.5 - 1 (х°’5 - 1)(х°’5 + 1) ■ (х°’5 - l)(x + X0’5 + 1)
Х + х°’5+Гх0,5 + 1 = (x + X°’5 + l)(x°’5 + l) =
X - 1 X
-0,5 '
1)
= (Х0’5 -I)2;
(х0’5 - l)2 + 2х0,5 = х - 2х0’5 + 1 + 2х0’5 = х + 1.
2) (х°’5-1)
2 2
-0,5
Ответ, х + 1.
1.92. Упростить выражение:
V/4 - й3/4)(а3/4 + ьъ'4)
а1'2 - Ь1'2
- 4аЬ
2(а + Ь) \
27
Решение.
1) («3/4-й3/4)(«3/4+йЗ/4) = аЗ/2_йЗ/2.
2) а3/2 - Ь3!2 может быть рассмотрено как разность кубов, т.е.
дз/2 _ ^3/2 _ (fli/2 _ ьУ2)(а + а1!2Ь1!2 + Ь).
Тогда имеем
3/2 _ ,3/2
—гр. ттт- - -Jab = а + а УЧУ2 +Ъ-4л=а + Ъ-
аЧ1 - ]уЧ1
3) (а + Ь) ■ 2(а + Ъ)~1 = 2(а + Ь)1^1 = 2(а + Ь)° = 2.
Ответ. 2.
1.93. Упростить выражение:
Зх-1/3
д/з
Решение.
Зх-У3
1)
х2/3_2х-1/3 х4/3_х1/3
Зх-У3 3
л '1-2хл 1
Зх-2
х2!3 -2х У3 х У3{х-2) х -2 ’
хУ3 хУ3 1
2)^
3)
Х'Ч^-хУ3 хУ3(х-\) х-1’
3 1 Зх-З-х+2 2х-1
х-2 х-1 (х-2)(х-1) (х-2)(х-1)’
1 / „ , ч-1
4)
5)
1
х-2 х-1
\ 1
1-2х
2х-1
(х-2)(х-1)
(х -2)(х -1) .
2х -1 ’
Зх-2
Зх-2.
1-2х ’
. (х-2)(х-1) Зх-2 х2-Зх + 2 Зх-2
о) ; : -—— = —; :— +
2х -1 1 - 2х 2х -1
х2 - Зх + 2 + Зх - 2
2х -1
J1
2х -1
2х -1
Ответ.
2х -1
Упростить выражения:
1.94.
1.95.
х
1,5 _!
+ х
0,5
X0’5 - 1
1 + X1’5
1 - X0’5 + X
X
-X0’5
х-1
0,5 _ i '
1-Х
1 - X0’5
28
1.96.
1.97.
1.98.
1.99.
- х1/3
х-х
-2х1/3 + 1
1 + х1!3
X1!3 - i У 1-х2/3'
а3/2 + ь312 ' а~2/3 (a2 + ab+b2)l]a-b
(a2-ah)2/3 '
+ а
г^а -byfb
1—3/2
1 - а1/2
(l - а) 5^3 + (1 - а) 2/3 :1 (1 - а)2 • (1 - а)
1 + а1/2
-2/3
: (1-а2).
о/з
1.6. Задачи для самостоятельного решения
Упростить выражения:
1.100.
1.101.
1.102.
( 3/2
3/2
\
а
+ь
а
Ъ
а
V
-Ъ
+
1
2х
-1/3
х2/3
х + 1
' ‘/2,1/2. 1/2 1/2. -1
а о (а +b )
х2/3 — Ъхл/3
f,
х5/3-х2/3 х' 4.v • 3
(а-1)-1
а
1.103. (1 -а1) :
1.104.
1.105.
1.106.
а 2 —Ъ
а-1 — Ъ~
-(1-а)-1
^1 — а\[а
1 — л[а
а + Ь
аЪ
а0 + а(а - 2)
1
— а +1
(а + 1)
а >-1.
Va
1 + a\fa
/ V
1
i+V'
/а /-
_—yja
a2+b2
2 ayja2 — Ъ2 ( 1-а1/)^
b2(ab-l+ If
1 + -
myfin +n\[n
m + \Jmn
1 + а о
т-п
\Jm +\Jn
: 4
тп
1
29
1.107.
f
1.108.
1.109.
1.110.
1.111.
1.112.
1.113.
1.114.
1.115.
1.116.
1 a2
>+л
a
f 2 4 I \
1-
a —a — 1
2(a -1)
(/’+(.'■) -46 a+9b+6^b
' 1 1 '
(a — b) :
Л 2 ч-1/2
(1 - m ) -
yfb yfa
l + m2(l-m2) 1
r^lm +\Jn)2 +(ylm — \Jn)2
2(m - n)
f 1/2 1/2 Л-1
m' -it'
Л 2ч1/2 ^ 2Л 2ч-!/2
(1 — m) + m (1-т )
i 2
1-т
-3yjmn.
Km3/2-n3/2j
(m1/2+n1/2T2
з /3
/7И - VW
+ m^2 ■ n^2.
—, — 4a + l
-y/a-1 .
1 1 (a -1)Va+T- (a + 1)л/or — 1
•v/a+T \/a-l
-(1-a2).
1 + x
— yx2
-1/3
•v/x +1
^ v/a +1 v/a-1
•v/a -1 -\/a +1
a 1 + (6 + c) 1
a_1 -(/H-c)-1
C)1
f
1
\
•v/x +1
+4-v/a
v/a --t=
\ja
1¬
V Л/л. Tiy
Л
У
26c
л-i
,2 . 2 2
b +c —a
x+y x-y
yfx—yfy •v/x + yjy y-^Jxy+x
•v/x - y[y -v/x + 2дУху
X+J X-J
30
1.117.
1.118.
1.119.
1.120.
1.121.
1.122.
1.123.
1.124.
1.125.
1.126.
1.127.
1.128.
й1/2 | й1/2
а + (ай)1/2 а — (ай)1/2
1
1
о
1
сз
1
1
1
-о
сз
04
1
от
от
от
Vi-
2
ОТ
1+-
от
1 - от2
2
\/х 1
2 2 л/х
1 - ОТ
2 ^-1 ^ + 1Л
V*+i V* -I
a — b
/2-й1/2
г3/2-й3/2
-у/х2 -1 •
1+-
V
а — Ъ
)
2 ^
1+-
X
2-ъ
X +
■ (ай)
-1/2
(2- 1 4
V
4а1 а
>/(а2-1б)(а-4)
; а > 4.
{(fp-fqr2Hfp+fqy2) :
. 4р+4^
P-q
: —1 х^+х1'4
' х1/2+1
х3/4+х1/2
х1/4+1.
4х(х + -у/*2 -I)2
(x + \Jx2 -I)4 -1
^1 + Vx Vl + х) fl--y/x VT+P
У л/l + X 1 + -у/*у
y/l + х 1 - у/х
V
л/ай (^2 - -у/а2") + -у/а4" - -у/й4"
г4 +у/а2й2 -у/а3Ь
(а1/и-а1/п)2+4а
w+n
тп
С 2lm lln\/-ml т+1 . п/ п+1 \
(а ' - а ' )(\f а + -у/ а )
; а > 0.
31
1.129.
1.130.
1.131.
1.132.
1.133.
1.135.
1.136.
1.137.
1.138.
1.139.
1.140.
(х2/и - 9х1/п ) • (У?"” - зУУ"7)
(х1/и+3х1/п)2-12х
т+п
тп
\yfm-,
/от2 - 9
от
х > 0.
-л2
/Уот -
/от2 -9
от
5,7 5, 2 7 3 , Зт2
а +о + а о + а о
(а - b)2 + ab
(a + hf—ab (а3 + b3 + a2b + ab2)(a3 Ь3)
х —1
х —1
х 3
-3/5
2 о
а - 3
: (х2-1)4/5.
Iй”1!
^ 2 .оУ
а + 3
1.134.
+ 6 |б —1| + 2 —
2а
-3
6-2 + -
(х2+а2Г1/2+(х2-а2Г1/2
(х2 + а2) ^2 - (х2 - а2)
от > 0, и > 0.
2 ч-1/2
-1-2
I2 2 , 2 Л
при х = а
ОТ + и
2оти
[(х + а)1/3 (х - а) + (х + а) ^3 (х - а)1^3 - 2J ^ при
от > 0, и > 0.
х — а
з , з
т+п
з з
от - п
х3+12х при х = У4(У? + 1) - ^4(л/5 -
\]x + 4yJx-4 + У х - 4У х - 4
У1-8х-1 +16х“2 '
Ух-2Ух + 3 +4
х1^2 — (х — 3)^ — УЗх + х2 +Ух2 —9 Ух +Ух —3
х8 + х4 - х2 У2 +2 ,
;= + х2У2
х4-х2У2+1
л1/2
(N |
Глава
Алгебраические уравнения
и системы уравнений
Формулы для справок
Простейшее линейное уравнение: ах + b = 0.
Его решение:
х = , если а Ф 0;
а
< х е (-оо; +оо), если а = 0, b = 0;
нет решения, если а = 0, b Ф 0.
Приведенное квадратное уравнение: х2 + рх + q = 0.
Его дискриминант: D = р2 — Aq.
Решение приведенного квадратного уравнения:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
*1,2 = '
-р ± у[Р
2 а
, если D > 0;
*1 = *2 = - —, если D = 0;
нет действительных корней, если D < 0.
Теорема Виета:
*1 + *2 = -Р>
*1 • *2 =q-
Полное квадратное уравнение: ах2 + Ьх + с = 0 (а ф 0).
Его дискриминант: D = Ъ2 — Аас.
Решение полного квадратного уравнения:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
х
1,2 -
-Ъ ± yfo
2 а
если D > 0;
• Х[ = х2 = , если D = 0;
2 а
нет действительных корней, если D < 0.
Если Ъ = 2к — четное, то корни уравнения (2.11):
*1,2 =
-к ± Jk2
- ас
а
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
33
Теорема Виета:
xi + х2 = ~ b/а,
хх ■ х2 = с/а.
(2.17)
2.1. Линейные уравнения
2.1. Решить уравнение: 2х - 7 = 0.
7
Решение. х = — — см. формулу (2.2).
Ответ'.
2.2. Решить уравнение: 5х = 0.
Решение. х = -^- = 0.
Ответ: {о}.
„ _ х „ х _ 5х
2.3. Решить уравнение: 4н— — 1л .
2 3 6
Решение. Приведя к общему знаменателю и перенеся все члены
уравнения в левую часть, получаем: Зх — 24 + 2х — 42 — 5х = 0, откуда
0 ■ х - 66 = 0; 0 = 66 (ложно).
Ответ: нет решения.
2.4. Решить уравнение: 4х +11 - 8 ^ - 1J =19.
Решение. 4х+11— 4х+ 8— 19 = 0; 0 = 0, т.е. уравнение пред¬
ставляет тождество при любых значениях х.
Ответ: (—оо; +оо).
Если уравнение содержит неизвестный параметр, то решение
уравнения зависит от значений параметра.
2.5. Решить уравнение: 2х - 3 — т
- + 4 |-1.
3
YYIX ( TYl I
Решение. 2х —-— 3 - 4т + 1 = 0; I 2 - — 1х + (-2 - 4т) = 0.
с т т п с 2 + 4т 6 (1 + 2т)
Если 2 * 0, т.е. т ф 6, то х = = —т (см. 2.2).
3 9 _ т_ * - v 7
3
т
6 - т
Если 2 - — = 0 , т.е. т = 6, то уравнение примет вид:
0х-26 = 0;0 = 26 (ложно); нет решения (см. 2.4).
34
, если т ф 6; нет решения, если т = 6.
Ответ'.
6 (l + 2т)
6 - т
2.6. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю
дроби — , чтобы эта дробь стала равной числу m2
с
Решение. Обозначив искомое число через х, получим уравнение:
d + х
= т , откуда d + х = cm + тх, т.е. (1 — т)х + d — тс = 0.
с + х
r , d -тс
Если т ф 1, то х = .
т-1
Если т = 1, то уравнение примет вид: 0 ■ х + d — с=0.
Если при этом d = с, то 0 = 0, решение: х е (-оо, +оо).
Если d Фс ,ю нет решения.
„ d-mc , ч . ,
Ответ: , если тФг, (-оо, + оо), если т = 1, d = с; нет ре-
т-1
шения при т = 1, d Ф с.
2.7. Решить уравнение: (а2 - l)x - а - 1.
Решение. Если а1 -1 Ф 0, т.е. а Ф +1, то решение уравнения:
х = -^5—= —-— (сокращение на а -1 ф 0 ).
а1 - 1 а + 1
Если а = 1, то уравнение принимает вид: 0 ■ х = 0, откуда х е (—да; +да).
Если а = — 1, то уравнение принимает вид: 0 ■ х = —2, нет решения.
Ответ: , если а Ф 1, а Ф —1;(—оо, +оо), если а = 1; нет ре¬
ал 1
шения, если а = —1.
Решить уравнения:
2.8. Зх - 1 - т (-х + 1) + 2. 2.9. а2 - 4 - (а + 2) х.
2.10. —— Зх = 4. 2.11. (а3 - 1ба)х — а - 4.
т +1
2.2. Квадратные уравнения
и уравнения, приводимые к ним
2.12. Решить уравнение: -5х2 + 20 = 0.
Решение. Неполное квадратное уравнение удобнее решать непо¬
средственно, не обращаясь к формулам (2.5)—(2.16):
5х2 = 20, х2 =4, Х\ = -2, Х2 = 2 .
Ответ: {-2; 2}.
35
2.13. Решить уравнение: lx1 + 4 = 0.
Решение. 7х2 =-4, х
Ответ, нет решения.
9 4 2 л
z - —, т.е. нет решения, так как х > 0 .
2.14. Решить уравнение: 5х = 0.
Решение, х
х
J
5
0, х (х - 20) = О, Х\ = 0, х2 = 20.
Ответ: {0; 20}.
2.15. Решить уравнение: х2 - 1х + 6 = 0.
Решение. Это приведенное квадратное уравнение, D = 49 — 24 =
= 25 > 0, поэтому имеет два различных корня: xt 2
7± V25
2
7 ± 5
2
см. формулы (2.6), (2.7). х i = 1, х2 = 6.
Ответ: {1; 6}.
2.16. Решить уравнение: х1 + 6х - 7 = 0.
Решение. Учитывая, что Ъ = 6 — число четное, воспользуемся
формулой (2.16), где а = 1:
х\2 = -3 ± V9 + 7 = —3 ± 4; х\ = -7, х2 = 1.
Ответ: {—7; 1}.
2.17. Решить уравнение: х1 - 4х + 4 = 0.
Решение. Так как D = 16 — 16 = 0, то уравнение имеет одина¬
ковые корни х1 = х2 = 2 — см. формулу (2.8).
Ответ: {2}.
2.18. Решить уравнение: 1х2 - 5х + 8 = 0.
Решение. Найдем D = 152 - 4 • 7 • 8 = 225 - 224 = 1 > 0. Используя
формулу (2.13), получаем: х\2
15 ± VT
14
; xi =у; *2 = 1-
Ответ: <1; —к
Г 1)
2.19. Решить уравнение: Зх2 - 1х +100 = 0.
Решение. Так как D = 49 - 4 -3 • 100 = 49 - 1200 = -1151 < 0, то
действительных корней нет — см. формулу (2.15).
Ответ: нет решения.
2.20. Решить биквадратное уравнение: х4 - 5х2 + 6 = 0.
Решение. Биквадратное уравнение с помощью замены пере-
'у
менной х = t > 0 сводится к квадратному уравнению для t:
t1 -5t + 6 = 0 . Легко видеть, что его корни t\=2, t2 = 3. Оба корня
36
положительны. Исходное уравнение разбивается на два: х2 = 2, откуда
хх = л/2, х2 = —>/2"; х2 = 3, откуда х3 = л/з, х4 = —Уз.
Ответ: |±>/2; ±л/з|.
2.21. Решить биквадратное уравнение: 2л4 + 5х2 -7 = 0.
Решение. Полагая х2 = t > 0, получаем 2/2 + 5/ — 7 = 0 . Так как
л
D = 5 +4-2-7 = 81>0, то находим корни последнего уравнения:
4 2
не подходит; t2 -
-5 + yfsi
- 1 > 0. Нахо¬
дим х: х2 =1, х3 = -1, х2 = 1.
Ответ: {-1; l}.
Некоторые уравнения более высоких степеней, чем квадратные,
можно решить, используя следующее утверждение: если многочлен с
целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делите¬
лем свободного члена. Поэтому решение уравнения начинаем с подбо¬
ра первого корня х\, перебирая все делители свободного члена, а за¬
тем понижаем степень многочлена, разделив его на (х — Х|), и раскла¬
дываем исходный многочлен на множители.
2.22. Решить уравнение: 4х3 - Зх2 - 7х + 6 = 0.
Решение. Среди делителей свободного члена: 1; —1; 2; —2; 3; —3;
6; —6 корнем является значение х\ - 1 (проверяем подстановкой в
уравнение). Разделим правую часть уравнения на (х — 1) «уголком»:
4 х3 - 3 х2 - 7х + 6
X - 1
4х2 + х - 6
4 х3 - 4 х2
х2 - 7х
2
X
- X
—6х + 6
—6х + 6
Раскладывая исходный многочлен на множители, получаем:
4х2-Зх2-7х +6= (х-1) (4х2 + х-б| = 0, откуда находим остальные кор¬
. 2 , n 1 ± V97
ни: 4х + х - 6 = 0; Х23 = .
Ответ: <1;
1 ± л/97
37
Решить уравнения:
2.23.
5х2 + 100 = 0.
2.24.
х2
2 '
- 4х = 0.
2.25.
— -3 = 0.
3
2.26.
х2-
- 7х + 6 = 0.
2.27.
х2 + 8х - 9 = 0.
2.28.
х2 + 2х + 1 = 0.
2.29.
х2 + х + 1 = 0.
2.30.
2х2
- 7х + 5 = 0.
2.31.
х3 - 5х2 + 9х - 5 = 0.
2.32.
Зх3
+ 4х2 - 2х + 4
= 0.
2.33.
7х4 + х2 - 8 = 0.
2.34.
х3 +6х2 -25х + 18
= 0.
2.35.
х4 + 7х2 + 6 = 0.
В
некоторых случаях уравнение можно
привести к квадрат-
ному несложной заменой переменных.
9 16
2.36. Решить уравнение: х + х н—г = 10.
х1 + X + 1
Решение. Знаменатель дроби х2 + х + 1+0, так как D = 1¬
- 4 = -3 < 0. Приведение обеих частей уравнения к общему знаменате¬
лю дает уравнение четвертой степени, решение которого если и воз¬
можно, то весьма затруднительно. Положим х2 + х+1 = ?+0, тогда
X2 + X = t
1, уравнение принимает вид: t
, 18 .
I н =10, откуда t1
lit +
+ 18 = 0. Корни этого уравнения
разбивается на два:
х2 + х + 1=2, т.е.
х2 + х — I = 0. Так как D =5 > 0, то
-1 + V5
X, 2 = •
1,2 2
0 = 2, *2 = 9. Исходное уравнение
х2 + х +1 =9, т.е.
х2 + х — 8 = 0. Так как D = 33 > 0, то
-1 + Тзз
Ответ:
-1± Узз _ -1± V5
2 ’ 2
2.37. Решить уравнение:
х1 + х - 5
Зх
х х +х-5
Решение. Область допустимых значений (ОДЗ):
Полагая
х1 + х - 5
х
t ф 0, получаем уравнение для t:
t2 + At + 3 = 0, откуда ^ = —3, t2 = — 1. Находим х:
= 0.
(х * 0,
[х2 + х - 5 ф 0.
3 , п
t-\—1-4 = 0, т.е.
38
2 , о
X + X - 3 _ ^
-^9
X
2
х + 4х - 5 = 0; Х[ = -5, х2 = 1.
Все четыре корня входят в ОДЗ.
Ответ: |-5; 1 ± у[б; П
х2 + х - 5 _ 1
X
х2 + 2х - 5 = 0; х3
Х4 = 1 + у[б.
1 - л/б,
2.38. Решить уравнение: х2 + х + — + ^г = 4.
X X
Решение. ОДЗ: х ф 0. Группируем члены в левой части:
( П ( , 1 А 1 9 9 1
х н— + х н—— =4 и полагаем х н— = t, тогда t = х + 2 н—т-,
V х) \ X2) X X1
откуда х2 + —j = t2 - 2. Получаем уравнение: t + t2 — 2 = 4, т.е. t2 + t — 6 = 0.
х
Его корни: t\ = — 3, t2 = 2. Находим х:
х + — = —3,
X
х2 + Зх + 1 = 0,
-3 ± л/з
^1,2 -
х + — = 2,
х
х2 - 2х + 1 = 0, (х - I)2 = 0,
х3 = х4 =1.
, - 3 ± Vs , (
Ответ: { ; 1 >.
2.39. Решить уравнение: х(х + 2)(х + 4)(х + 6) = -7.
Решение. Непосредственное перемножение приводит к урав¬
нению 4-й степени. Замена переменной позволяет получить биквад¬
ратное уравнение. В качестве t возьмем «среднее арифметическое» со¬
множителей:
х + х + 2 + х + 4 + х + 6 .
t = = х + 3.
4
Тогда уравнение примет вид: (t — 3){t — 1 ){t ± 1 ){t + 3) = —7. Ис¬
пользуя формулу разности квадратов, получаем: (t2 — 9)(t2 — 1) = —7.
Полагая в этом биквадратном уравнении t2 = у > 0, получаем квадрат¬
ное уравнение у2 — 10у + 16 = 0, его корни у3 = 2, у2 = 8. Находим t:
t2 = 8, tia =±242. I t2 = 2, tX4 = ±42.
39
Находим х = t — 3:
xl2 = ±2 л/2 - 3;
Ответ. j±2 V2 - 3;± 72 - 3
Решить уравнения:
6х
= ±72-3.
2.40.
2.42.
2.43.
х2 - 3
х х2 -3
21 „2
-5 = 0.
2.41.
х
х2 +1
= 2.
х2 - 4х + 10
1 1
- х2 + 4х = 6.
с(х + 2) + 1)
12'
2.44. 4х2 + 12х +
12 4
—+ —у = 47.
х х2
2.45.
10
• - х2 + 4х = 5.
х2 - 4х + ;
2.46. (х — 7)(л: — 5)(л; — 3)(х — 1) = —15.
В квадратном уравнении может присутствовать неизвестный
параметр.
2.47. Решить уравнение:
2х
+ Ь Ь-х 4 (х2-Ь2)'
Решение. ОДЗ: х ^ ±Ъ. Приводя к общему знаменателю, получа¬
ем: 8х(х — Ь) + 4х(х + Ь) = Ь2, откуда 12х2 — 4Ьх — Ь2 = 0. Дискрими¬
нант этого квадратного уравнения D = 16Ь2 + 4 -12Ь2 = 64Ь2 > 0, по-
4b ± U Ъ -Ъ ^
этому Х12 =———; Х\=—, Х2 =-^~. Оба корня входят в ОДЗ, если
и П ТТ и А 2х X 0
Ъ ф 0. При Ъ = 0 уравнение принимает вид: 1— = —— не имеет
х х 4х2
решения.
Ответ: у|, если b ф 0; нет решения, если b = 0.
2.48. Решить уравнение: ах2 + 2х — 4 = 0 (а ф 0).
Решение. Вычислим дискриминант: D = 4 + 16а = 4(1 + 4a). D > 0,
если а>-^. Тогда корни уравнения различны:
-1 + Vl + 4 а -1 - Vl + 4 а
Х\ = ,х2 = •
3.4
+
40
D = 0, если а = тогда х\ = х2 = —-= 4.
D < О, если а < —тогда уравнение не имеет действительных корней.
Л , -l±Vl + 4al 1 ,,, 1
Ответ: <! }, если а>—; {4}, если а = —; нет реше-
а 4 4
1
ния, если а<-—.
В некоторых случаях при решении уравнений используются
формулы (2.10).
2.49. Корни х\ ж Х2 уравнения х1 — Ъах + а2 = 0 таковы, что
х\ + Х2 = 1,75. Определить величину а.
Р е ш е н и е. Из формул (2.10) следует, что
х1 + х2 = 3 а,
Х\-Х2= а2.
Возводя
первое уравнение в квадрат и вычитая из него удвоенное вто¬
рое уравнение, получаем х{ + 1х\Х2 + - 2x^2 = 9а - 2а , откуда
xi + х2 = 1а2. Используя условие задачи, получаем: 1,75 = 1а1, откуда
а\ = -0,5, 02 = 0,5.
Ответ: {± 0,5}.
2.50. Дано квадратное уравнение: х2 + 1х + 6 = 0. Составить
новое квадратное уравнение, корни которого вдвое больше кор¬
ней данного.
Решение. Пусть новое квадратное уравнение имеет вид: у1 + ру +
, „ т \У1+Уг = ~Р
+ q = 0. Тогда, если у, и у2 — его корни, то < , причем
[Л -У2= 9
У1 = 2х1, у2 = 2^2 > гДе xi и Х2 — корни данного уравнения.
[2 (х1+х2) = -р, \х1+х2 = -1,
Тогда 1 однако 1
[2xj ■ 2x2 = <7, [xi • х2 = о,
/2 ■ (-7) = -р, Гр = 14,
поэтому получаем: } откуда }
[4 ■ 6 = q, [q = 24.
Новое уравнение имеет вид: у2 + 14у + 24 = 0.
Ответ: у1 + 14у + 24 = 0.
Решить уравнения:
2.51. 2х2 — ах + 3 = 0. 2.52. ах2 + 2х + 4 = 0, а ф 0.
2.53. В уравнении х2 — кх + 1 = 0 определить к. таким образом,
чтобы разность корней уравнения равнялась 1.
41
2.54. Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + рх + q = 0 так, чтобы его корни были равны рис/.
2.55. Дано квадратное уравнение: х2 + 4х - 8 = 0. Составить
новое квадратное уравнение, корни которого вдвое меньше кор¬
ней данного.
2.3. Иррациональные уравнения
Обычно иррациональные уравнения, содержащие радикалы
четной степени, решаются методом «возведения в квадрат». При
этом могут возникнуть посторонние корни как за счет расшире¬
ния ОДЗ, так и за счет самой операции возведения обеих частей
уравнения в квадрат. Поэтому, даже если ОДЗ найдена, обяза¬
тельным элементом решения иррационального уравнения явля¬
ется, как правило, проверка (которая осуществляется подста¬
новкой найденных корней в первоначальное уравнение) либо
исследование равносильности сделанных в процессе его реше¬
ния преобразований.
2.56. Решить уравнение: л/х -3 + л/5 - х = 2.
Решение. ОДЗ:
х - 3 > 0,
5 - х > 0,
откуда 3 < х < 5. Возводим в квадрат
обе части уравнения: х - 3 + 2 л/х - 3 л/5 - х + 5 - х = 4. После преоб¬
разований получаем: у/(х - 3)(5 - х) = 1. Вновь осуществим возведение в
квадрат: (х — 3)(5 — х) = 1, откуда х2 — 8х + 16 = 0. Корни этого урав¬
нения х1 = х2 = 4 входят в ОДЗ.
Проверка. Подставляя х = 4 в уравнение, получаем: у/4~3 +
+ л/5-4 = 2 , т.е. 1 + 1 = 2; 2 = 2.
Ответ. {4}.
2.57. Решить уравнение: л/3~
■ х +
6
«Уз
л/9 - 5х.
ГЗ - х > 0,
Решение. ОДЗ: („ _ „ т.е.
[9 - 5х > 0,
- х
х < 3,
9
9 откуда х < —.
'“?• 5
Преобразуем уравнение:
^(3 - х)2 + 6 = У(9-5х)(3-х).
л/3 - х ■ л/З - х +
Заметим, что
6 = ->/9 - 5х ■ л/3 - х,
л/(3 “ х)2
3-х, так как
42
3 - х > 0. Осуществив преобразование -J9- 5х ■ ,/3 - х = -х) ,
можем получить посторонние корни за счет расширения ОДЗ, так как
левая часть выражения существует, если оба подкоренных выражения
неотрицательны, а правая — если их произведение неотрицательно, т.е.
оба сомножителя имеют одинаковый знак (плюс или минус).
После преобразования получим: 9 - х = ^(9-5х)(3-х) . Еще раз воз¬
ведем в квадрат: (9 - х)2 = (9 - 5х)(3 - х). Получаем квадратное уравне¬
ние: 2х2 - Зх - 27 = 0, его корни xj = —3, х2 = 4,5. Корень х2 = 4,5 не
входит в ОДЗ. Этот корень можно исключить также с помощью про¬
верки, так как подкоренное выражение (3 — х) принимает отрицатель¬
ное значение: 3 — 4,5 = —1,5. Проверим корень Х\ = —3. Подставляя в
+ лМ-3) "
2>/б = 2>/б (истинно).
Ответ. {-3}.
л/9 - 5(-3); л/6+-^ = л/24;
уравнение, получаем: л/З — (-3)
2.58. Решить уравнение: -j2x-6 + Vx + 4=5.
|2х 6 > 0, \х > 3,
Решение. ОДЗ: 1 т.е. < откуда х > 3. После
\х + 4 > 0, \х> -4,
возведения обеих частей в квадрат и приведения подобных членов по¬
лучаем, «уединяя» радикал: 2у](2х - б)(х + 4) = 27 - Зх. Вновь возведем
в квадрат обе части уравнения. Это преобразование может привести к
появлению посторонних корней, если левая и правая части уравнения
имеют разные знаки (например, —2 + 2, но (-2)2 = 22). Получаем
уравнение: 4(2х — 6)(х + 4) = (27 — Зх)2. После преобразований прихо¬
дим к квадратному уравнению: х2 — 170х + 825 = 0. Его корни: Х\ = 5,
Х2 = 165. Оба корня входят в ОДЗ. Однако проверка корня
х2=165 показывает, что это посторонний корень: Д ■ 165 - 6 +
+ V165 + 4 = 5; >/324 + Vl69 = 5; 18 + 13 = 5; 31 = 5 (ложно). Посто¬
ронний корень получен при возведении в квадрат обеих частей равен¬
ства: 2^(2-165-6X165+4) = 27-3-165 =-468<0 (левая часть положитель¬
на, а правая — отрицательна). Проверка показывает, что корень jq =5
удовлетворяет уравнению.
Ответ: {5}.
43
2.59. Решить уравнение: д[1 - yyjy2 + 24 - 1 = у.
Решение. -Jl - y^Jy2 + 24 = у + 1. Возводя в квадрат, получаем:
у-^у2 + 24 = у (у + 2). Если сократить обе части уравнения на у, то можно
потерять корень уравнения у = 0. Поэтому преобразуем последнее выра¬
жение и вынесем у за скобки: у(^у + 2 + у2 + 24j = 0, откуда yi = 0 или
у + 2 + у/у2 + 24 = 0. Решая последнее уравнение методом возведения в
квадрат, получаем: у]у2 + 24 = - (у + 2), откуда у2 + 24 = (у + 2)2. Полу¬
чаем: у2 + 24 = у2 + 4у + 4, откуда у2 = 5. Проверка показывает, что
yi = 0 удовлетворяет уравнению, a yj = 5 — посторонний корень.
Ответ. {0}.
2.60. Решить уравнение: л/х2 -Зх + 2 + л/х2 - 1 = л/2х2 + х - 3.
Решение. Если решать это уравнение методом возведения в
квадрат, то придем к уравнению 4-й степени. Решение облегчается, ес¬
ли стоящие под радикалами выражения разложить на множители:
yj{x - 1)(х - 2) + J(x - 1)(х + 1) = ^2(х - 1)(х + . (*)
Если все выражения в скобках неотрицательны, то можно вынести
общий множитель у/х -1: yj х - 1 (л/х - 2 + -Jx + l) = -Jx - 1 yl2x + 3. С
помощью проверки убеждаемся, что х\ = 1 является корнем исходного
уравнения. Найдем остальные корни: ylx - 2 + у/х + 1 = V2х + 3. Решая
уравнение методом возведения в квадрат, находим корни х^ = —2,
хз = 3. Проверка показывает, что xj_ = —2 является посторонним кор¬
нем, хз = 3 удовлетворяет уравнению. Если в уравнении (*) все выра¬
жения в скобках отрицательны, то выносим общий множитель yfl~x .
Получим уравнение Vl - х(>/2 - х + V_х - l) = yll-xyj-2х-3, кото¬
рое, как нетрудно убедиться, решения не имеет.
Ответ. {1; 3}.
Решить уравнения:
2.61. VxT8-V5x720 +2 = 0. 2.62. Vx - 7—^— = 1.
л/х - 7
2.63. Vx^T-V9-x =yj2x-\2. 2.64. Vx^WlO-x =3.
44
2.65. ^(х +1) (9 - х) = 11 - х.
2.66. V4-х -Jx2 -16 - 2 = х.
1.61. V9 + х 4х2 +12 =х-3.
2.68. л/^^-Т + = л/з^^~-1^9^--Т2^.
Некоторые иррациональные уравнения могут быть сведены к
квадратным уравнениям с помощью замены переменной.
2.69. Решить уравнение: х2 - Ах - 6 = 4lx2 - 8х + 12.
Решение. Обозначим 42х2 - 8х +12 = t > 0. Тогда 2 х2 — 8х + 12 =
12
= t2. Заметим, что слева в уравнении стоит выражение, равное — - 12 .
t2 ,
Получили квадратное уравнение: — - 12 = t, откуда t — 2t — 24 = 0.
Корни этого уравнения: t\ = —■4 < 0 — не подходит, ?2 = 6 > 0. Найдем х:
42х2 - 8х +12 = 6. Возводя в квадрат и приводя подобные члены, по¬
лучаем: х2 — 4х — 12 = 0. Корни уравнения: Х\ = -2, Xi = 6. Осуществ¬
ляя проверку, убеждаемся, что оба корня удовлетворяют уравнению.
Ответ. {-2; 6}.
2.70. Решить уравнение: ,_*2 _ +42х + \5 =2х.
42х + 15
-15
Решение. ОДЗ: 2х + 15 > 0, т.е. х>~^~■ Легко проверить, что
х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение можно разде-
х л/2х + 15 х
лить на х: , ■ + = 2 . Введем обозначение
л/2х +15 х
л/2х +15
= t,
1
получим уравнение для Г. t + — = 2, или t2 — 2t + 1 = 0, откуда t\ = tj =
X l
= 1. Определим x: . = 1, или x = v2x + 15. Получаем после возве-
■>/2х + 15
дения в квадрат: х2— 2х — 15 = 0, корни уравнения х\ = —3, Х2 = 5.
Проверка показывает, что х\ = — 3 — посторонний корень, Х2 = 5 удов¬
летворяет уравнению.
Ответ. {5}.
2.71. Решить уравнение: 4х2 +2х + 6 + 4х2 +2х + 13 = 7.
45
Решение. Если сразу возводить в квадрат, то придем к уравне¬
нию 4-й степени. В данном случае удобно положить: х2 + 2х + 6 = t >
> 0, тогда х2 + 2х + 13 = t + 7. Получим уравнение: -Jt +-JT+7 =7. Ре¬
шая его методом возведения в квадрат, получаем t = 9; находим х:
х 2 + 2х + 6 = 9, х2 + 2х — 3 = 0, корни уравнения: х\ = —3, = 1.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.
Ответ. {—3; 1}.
2.72. Решить уравнение:
V27 + x-V27^
27
х '
л/27 + х -427-х
Решение. Освободимся вначале от иррациональности в знамена¬
теле, умножив на «сопряженное» выражение у/27 + х + V27 - х числи¬
тель и знаменатель дроби:
|л/27 + х + V27 - х|
л/27 + х - V27 - х) (>/27 + х + >/27 - х
27
х
В знаменателе — разность квадратов, поэтому
27 + х + 2>/27 + х>/27 - х + 27 - х 27
(27 + х) - (27 - х) х
Получаем:
27 + д/272 - х2
—, или 27 + >/272 - х2 = 27, т.е. >/272 - х2 = О,
х х
откуда xj = —27, Х2 = 27. Проверка показывает, что оба корня удовле¬
творяют уравнению.
Ответ: {—27; 27}.
Решить уравнения:
2.73. л/х2 - Зх + 5 + х2 = Зх + 7.
2>/х +1 11 - 3>/х
2.75.
2.77.
3 - >/х 5>/х - 9
>/5 +х ->/5 -х _ 8
>/5 +х ->/5 -х л:
2.74.
2.76.
2.78.
■^2х + лГбх2 + 1
X
+ >/х + 8
>/х + 8
х + 3 +
4х2-9
х + 3 -
у1х2- 9
= X + 1.
10х
= 3.
2.79. л]х2 - х + 9 + л/х2 - х = 3.
Некоторые иррациональные уравнения содержат радикалы
только нечетных степеней (например, Ц/(х) или ylf(x) И Т.П.).
В этом случае не требуется выполнения условия неотрицатель¬
ности подкоренного выражения.
46
Уравнения, содержащие только кубические корни, обычно
решаются методом «возведения в куб». Следует отметить, что
только за счет возведения обеих частей уравнения в нечетную
степень (например, в куб) посторонние корни появиться не мо¬
гут. В этом случае проверка корней как принципиальный эле¬
мент решения не требуется.
2.80. Решить уравнение: ^16 - х3 = 4 - х.
Решение. Возведем в куб обе части уравнения: 16-х3 =
= (4-х)3; раскрывая правую часть уравнения по формуле куба разно¬
сти, получаем 16-х3 = 64-48х + 12х2 -х3, откуда х2 — 4х + 4 = 0, или
(х — 2)2 = 0; следовательно, х = 2.
Ответ. {2}.
2.81. Решить уравнение: л/12 - х + У\4 + х = 2.
Решение. Возведем в куб обе части уравнения:
12 - х + 3 ^/(12-х)2(14 + х) + 3 ^/(14 + х)2(12-х) + 14 + х = 8.
После преобразований получаем:
3 ^(12-х)(14 + х) {ijl2-x +>/l4 + xj = -18.
Обратим внимание на то, что сумма радикалов в скобках совпадает
с левой частью исходного уравнения, поэтому ее можно заменить на
равную ей правую часть уравнения: 3 12 - х) (14 + х) ■ 2 = -18, откуда
-х)(14 + х) = -3. После возведения в куб и преобразований получа¬
ем: х2 + 2х — 195 = 0. Корни этого уравнения: х\ = —15; х2 = 13. Дела¬
ем проверку.
Ответ. {—15; 13}.
Решить уравнения:
2.82. Ijl + yfx + V 1-л/х = 2. 2.83. yj24 + Ух - У 5 +Ух = 1.
2.84. Ух + 34 - Ух -3 = 1. 2.85. Ух + Ух-16 = Ух-S.
2.4. Системы алгебраических уравнений
2.86. Решить систему уравнений: | ^ ’
[Зх + 5 у = 8.
Решение. Это система двух линейных уравнений. Один из ме¬
тодов ее решения — выражение одной переменной через другую. Из
первого уравнения выразим у = 2х — 1 и подставим во второе уравне¬
ние. Получим:
47
У = 2x-l, fy = 2х -1, Гх = 1,
3x + 5(2x-l) = 8, °ТКУДа |l3x = 13, ИЛИЬ = 1-
Ответ. {(1; 1)}.
2.87. Решить систему уравнений:
Зх - 5у = -3,
2х + 7у - -2.
Решение. Используем метод алгебраического сложения уравне¬
ний. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на (—3), тогда коэф¬
фициенты при х в уравнениях станут равны по абсолютной величине и
противоположны по знаку. Ко второму уравнению прибавим первое,
исключая переменную х:
(2),
(-3),'
J Зх - 5у = -3,
[2х + 1у = -2,
Гх = -1,
1у = о.
Ответ. {(-1; 0)}.
затем
6х-10у = -6, [6х-5у = -6,
-fa-21,-б n“>™; |_31r,o,
откуда
2.88. Решить систему уравнений:
X + у
х - у
ху = 18.
+ ху = 7,
Решение. ОДЗ: х Ф у. Эту нелинейную систему можно свести к
X + у
линеинои, сделав замену переменных: ху = и,
х - у
■ = v. Получаем:
[и + v = 7, Jv = -11,
откуда < Определяем переменные х и у:
и = 18, и = 18.
Г ху = 18,
\х + у
,ху = 18, х = 15,
,, т.е. < откуда <
П, \у = \,2х, [у = 1,2х.
[X - у
Получаем две системы:
Jxj = Jl5,
U = 1,2 Vl5.
J x2
[У2
-Vl5,
-1,2 yfl5.
Ответ. JX -1,2 лЯб); (Vl5; 1,2 лЯб)).
48
Решить системы уравнений:
9 Г-5х + У = 6,
[ 2х +1у = 5.
Гх + у = 3,
[х-у = -1.
Г 2х - Зу - -2,
[ -2х + 7у - 10.
2.93.
х2 + у2 +ху = 3,
(х + у)2 = 4.
2.92.
■4^ = 5,
2х- —= 5—
2.94.
-2х + Зу = 5,
4х - 6 у = 1.
Если одно из уравнений системы линейное, а другое — не¬
линейное, то рекомендуется выразить одну переменную через
другую, используя при этом линейное уравнение.
2.95. Решить систему уравнений:
х2 + у2 + 6х + 2 у = 0,
х + у + 8 = 0.
(х = -8-у,
Решение.!, ,
[(- 8 - yf + у2 + б(- 8 - х) + 2у = 0,
откуда
х = -8-у,
у2+6у + 8 = 0.
Корни квадратного уравнения: = —2, у2 = —4; из первого уравне¬
ния находим: х\ = —6, х^ = —4.
Ответ: {(—6; —2); (—4; —4)}.
2.96. Решить систему уравнений:
х + у + — =
У
9,
(х + у)х
= 20.
У
Решение. ОДЗ: у * 0. В этой системе нет линейных уравнений,
но линейное уравнение можно получить после замены переменных:
х
х + у = и, — = V.
У
Гм + v = 9, \и = 9-v,
Получаем систему: < откуда < .
J J \u-v = 20, J [v2 -9v + 20 = 0.
49
Корни квадратного уравнения: v\ = 4, V2 = 5; тогда щ
Для нахождения х и у получим две системы:
Гх + у = 5,
£_4 откуда
[У ~ ’
Х\ = 4,
У\ =
х + у = 4,
х _ откуда <
У
*2
У2
Л
3 :
2
5, и2 = 4.
Ответ:
2.97.
Решить системы уравнений:
х1 + 1ху + у2 =9,
I Зх - 2у = 1.
2.98.
х2 + у2 = 2 (ху + 2),
х + у = 6.
2.99.
х + у2 = 7,
ху2 = 12.
2.101.
х2 + ху + у2
х + у = 4.
13,
2.100.
2 2 3
х + Т =2ху’
1
х - у = —ху.
. 4
2.102.
'(Зх - у)(Ь - X) = 2(у + 3),
< х + у _5
х - у 2 ’
2.5. Задачи для самостоятельного решения
2.103.
2.104.
2.106.
Решить уравнения:
66 +7а
Зах2 _. ах
66 262 62 - аб
1 1 7 „
/ + / ,\2 = п • 2.105.
х(х + 2) (х +1)2 12
х2 +1
х2 +1
3_
2'
2.107.
х
ах - 6 Ьх + а _ а2 + Ь2
а + 6 а-6 а2-62
1 1 9
х(х + 6) (х + з)2 20 ■
2.108.
2.109.
2.110.
3(^?-)-7(1+т) = а
х - 1 2а2(1 - х) _ -2х - 1 1-х
а-1 а4-1 1-а4 1 + а
х2 + 2х + 3 6х _ ^
х х2 + 2х + 3
50
2.111.
х2 - х х2 -х+ 2
х2 - х-1 х2 - х-2
= 1. 2.111а. х2+— -6\х+- =-7.
1
. х 2х
2.112. +
5а2
х + а х - а 4(х2 - а2)
2.113. (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = -15.
2.114. Составить уравнение, корни которого втрое больше кор¬
ней данного: х2 + 5х — 6 = 0.
2.115. В уравнении х2 — рх +7 = 0 определить р таким образом,
чтобы разность корней равнялась двум.
2.116. При каком целом значении к один из корней уравнения
4х2 — (3к + 2)х + (к2 — 1) = 0 втрое меньше другого?
2.117. Найти все значения а, при которых сумма корней уравне¬
ния х2— 2а(х — 1) — 1 = 0 равна сумме квадратов корней.
2.118. Не решая уравнения Зх2 — 5х — 2 = 0, найти сумму кубов
его корней.
Решить уравнения:
\3 1
2.119. (5 -хУ
125 - 75х + 15х2 -х3
= 2.
2.120. Vl2x - 5 = 3 - 2yf2x. 2.121. у/15 + х + л/3 + х = 6.
2.122л/2 - х + . 4 = V12-2X. 2.123. + 15 + Vx +10 = V2x + 13.
л/2 - х
2.124.л/2х + 5 - л/Юх + 5=2.
^5 = 11.
= л/х +13.
2.125. Vx-9 =-
36
-4~х.
2.126. х + VЗх - 5 = 11.
Зх -1
2.128.
л/х +1
2.130. л/Зх-5 = 3 - л/2х.
2.132. л/4 - х - л/5 + х = 3.
2.134. л/х - 2 + л/х - 5 = 3.
2.136. л/Зх + 1 + л/17 - х = 2.
л/х - 9
2.127. V2x + 9 + л/х + 5 = 2.
2.129. л/х + л/х + 2 =
л/х + 2
2.131. 2л/х + 3 - 2 = л/Зх + 1.
2.133. л/4х + 2 + л/4х-2 = 4.
2.135. л/х + 3 + л/Зх-З = 10.
л/х2 -16
2.137.
:~Л]Х + 3 =
2.138. л/4х - 3 =
Зх -1
л/Зх - 5
л/х-3 л/х-3
2.139. гл/х^Н-л/х + 2 =л/5х-10.
X
51
2.140. ^9-х л/л2 - 72 = х + 3. 2.141. д/l + лл/л2 - 4 = х + 1.
2.141а. л/х3 + х2 - Зх + 2 + -\/8 + 2х - х2.
2.142. 2л/Г + х + л/l - л: = ^1 - х + д/л (1 + х)
2.143.
2.145.
л/1 + х1 - X _ 1
л/l + х2 + х 4
л + 2 + л/л2 - 4 х + 2
2.144.
л/l + 4л2 -2л: 1
л/l + 4л2 + 2л ^
, . 2.145а. х2 +4х = (2-д/х + 2)2 -4.
х-2 + л/л2 - 4 ^
2.146. 2у/х — 1 + л/— 1 — л = 1 - л + д/л (-1 - л).
2.147. л/л2 - 4 + л/л2 - л - 2 = л/2л2 - Зл - 2.
2.148. л/л2 - Зл + л/л2 - Зл + 5 = 5. 2.149. л л/л - 4 л/л2 + 4 = 0.
2.150. 3л/л - 5л/л^ = 2л-1. 2.151.^9-л/л+Т + ^7 + л/л+Т = 4.
2.152. д/л+ 2 - д/Зл + 2 = 0. 2.153. З/л-1 + ^л - 2 - ^/2л-3 = 0.
2.154. д/л+ 7 + л/л + 3 = 0. 2.154а. З/л/^Гл + 2)(л/л+12-2) = 2л+16.
2.155. |л - 2| + 4 = Зл. 2.156. л2 - 3 |л - 1| - 1 = 0.
2.157. |2л - 1| + |л + 2| = 3. 2.158. |л2 - л - б| = |6 - л|.
2.158а. 2 + з/25х|л-1| + 4 = 5х.
2.159.
Решить системы уравнений:
- л + у = 5,
л + 2у = 16.
2.161.
л
+ 4у = 1,
2.160.
2.162.
2х-1у = 8.
J 7л + у = 8,
|-5л + 5у = 0.
Гх - Зу = -2,
]л2 - 2лу = 7.
52
<
1+у =11
2.163.
ух 6 ’
2.164.
х + у = 5.
2.165.
х2 - ху + у2 = 1,
х-у = 1.
2.166.
2.167.
Ах2 - 9у2 = 15,
2х + Зу = 5.
2.168.
х2 + ху-у2 = 11,
х-2у = 1.
х2 + ху - 3у = 9,
Зх + 2 у = -1.
х2 + 4у2 + 3 = О,
х + 10 у = 17.
2.169.
1
1
■ = 2,
х+у х-у
3 4
= 7.
х+у х-у
2.171.
(х + 1) (у - з) = 5,
у-з
1
= 5.
х у 25
2.173. \ у + х~ 12’
х2-у2 = 1.
2.175.
\х2 + у2 = 20,
|ху = -8.
х у _ 5
2.177. Wy+V* “2’
2.179.
2.181.
x + у = 5.
\у[х ~ Зу[у = 2,
|ху = 27.
{з[х + л/у = Ю,
1 х + у = 28.
2.170.
(Ах - 5) (у -х) =
х-у 3х-у
.5 3 '
2.172.
2.174.
2.176.
2.178.
(х + у2 = 7,
\ху2 = 12.
ГX2 + у2 = 100,
|х [у + б) = 0.
jx2 + у2 - ху = 19,
[ху = 15.
х + у + ху = 9.
2.180.
2.182.
|х + у = 9,
{л/х +\[у = 3.
(Xyfy + y-lfx = 6,
X у + у2 X = 20.
53
to I Оч
\Ух + Уу = 3,
2.183. Г__ *' ' 2.184.
Уху+Уу2=3. [yfx + y +
У{у + 3)/x - 2 3jx/(y + 1) = 1,
1 + -Jx - у + 10 = 5.
Решить уравнения:
2.185. Ух2 +9 - Ух2 -7 = 2. 2.186. Ую - х2 + Ух2 + 3 = 5.
2.187. УЗх2 + 1 + Ух2 + 3 = У6л:2 + 10.
2.188. х2 - 4х - 6 = л/2х2 -8х + 12.
2.189. х2 + Зх -18 + 4л]х2 + Зх - 6 = 0.
2.190. л/16-х3 = 4-х. 2.191. Уб + Ух +У5-Ух = Ух.
2.192. VFkT-1 = Ух + Ух + 8. 2.193. V* + 5 + ^/х + 5 - 12 = 0.
2.194. Ух + 8 + 2^+Т + ylx + l- Ух + 1 = 4.
2.195.
2.197.
2.198.
л/ГТл;
24
1 + х _ 5
“2'
15
х2 + 2л; - 8 л2 + 2л - 3
х л +1 л + 2 25
л +1 л + 2 х 6
2.196^11-2^2 = 1.
Ух - 4 Ух + 4 3
= 2.
2<199< (5 ~ x)V5^I + (л - 3)У^З = ^
У5 - х + Ух-3
Уп + X Уп + х
2.200. +
64Ух
12 3
2.201. Ух2 - 2х + 1 + Ух2 + 2х + 1 = 2.
2.202. Ух2 + 2х +1 - Ух2 -4х + 4 = 3.
2.203.
20 + х
2(л +1)
= 1.
54
2.6. Решение уравнений в целых числах
Решения ряда задач, предлагаемых на вступительных экза¬
менах в экономических вузах, сводятся к решению уравнений
или систем уравнений в целых числах.
2.205. Решить в целых числах уравнение: ху = х + у.
Решение. Первый способ. Выразим из данного уравнения у че¬
рез х: ху — у = х, откуда у = Х (х — 1 * 0, так как х = 1 не является
корнем уравнения). Выделяя в дроби целую часть, получим
У
(х - 1) + 1 _ 1 | 1
х - 1
1
Так как у — целое число, то
должно быть также целым, что
возможно лишь в двух случаях:
а) х — 1 = 1, откуда х\ = 2 и yi = 2;
б) х — 1 = —1, откуда Х2 = 0 и У2 = 0-
Второй способ. Представим уравнение в виде ху — (х + у) = 0. При¬
бавив единицу к обеим частям уравнения, получим ху — х — у + 1 = 1 или
(х - 1) (у ~ 1) = 1.
Так как числа х — 1 и у — 1 целые, то их произведение равно еди-
Jx-1 = 1, Jx-1 = -1,
нице при выполнении системы < или < откуда и нахо-
[у —1 = 1 [у-1 = -1,
дятся решения исходного уравнения.
Ответ: {(0; 0), (2; 2)}.
2.206. Решить в целых положительных числах уравнение:
2х 2 + 5ху — 12у 2 = 28.
Решение. Разложим левую часть на множители, представив уравне¬
ние в виде 2х2 — Ъху + 8ху — 12у2 = 28 или х(2х — Зу) + 4у(2х — Зу) = 28,
откуда (2х — Зу) (х + 4у) = 28.
Так как выражения в скобках — целые числа, то х + 4у должно быть
делителем числа 28. Поскольку х + 4у > 5, то очевидно, что х + 4у = 7,
а, следовательно, 2х — Зу = 4, либо х + 4у = 14 и 2х — Зу = 2, либо
х + 4у = 28 и 2х — Зу = 1. Из полученных трех систем только последняя
дает решение в целых числах.
Ответ: {(8; 5)}.
2.207. Решить в целых положительных числах уравнение
z2 = х2 + у2 + ху, где неизвестные х, у — простые числа.
Решение. Представим уравнение в виде
Z2 = (х + у)2 - ху или (х + у)2 - Z2 = ху.
55
Разложив на множители левую часть уравнения, получим
(х + у + z) (х + у — z) = ху.
Так как хну — простые числа, то число ху имеет лишь четыре де¬
лителя: х, у, 1 и ху. Выражение в скобках х + у + z не может равняться
числу х, или у, или 1 (ибо х > I, у > I, z > I), следовательно, возможен
только один случай, когда оно равно ху. Итак, имеем систему
Jx + y + z = xy,
[x + y-z = l.
Решая систему, найдем z = ху — (х + у) = (х + у) — 1 или у (х — 2) =
= 2х~ 1.
или
Так как хф2 (ибо при х =
2(х - 2) + 3 „ 3
У=— к = 2 +
х-2 х-2
2 система несовместна), то у
2х-1
х - 2
Учитывая, что у — целое число, дробь также целое число,
х - 2
что возможно, когда х — 2 = ±1 или х — 2 = ±3, откуда х\ = 3, xj = 1,
Х3 = 5, Х4 = —1 (посторонний корень).
Найдем соответствующие значения у и z: yi = 5, zj = 7; У2= ~ 1
(посторонний корень); уз = 3, z^ = 7. Полученные значения х и у —
простые числа.
Ответ: {(3; 5; 7), (5; 3; 7)}.
Решить уравнения в целых числах:
2.208. (х ~ 3) (у + 4) = х + у + 1. 2.209. 2ху + 3у2 = 24.
Решить уравнения в целых положительных числах:
2.210. х2 — ху + 2х — Зу = 11. 2.211. х(у + I)2 = 243у.
2.212. Решить в целых числах систему уравнений:
Jx2 + у — 42,
\х + у2 = 42.
2.213. Решить в целых положительных числах систему уравнений:
fx + y + z = 14,
\x + yz = 19.
2.214. Найти целые числа х и у, если известно, что из следующих
утверждений верны только два:
2х + 7у = 115; 7х + 2у = 115; 8х + 3у = 140.
Глава О.
Задачи на составление уравнений
3.1. Задачи на пропорциональное деление
о ас , ^ ,
В пропорции — - — аж а — крайние члены, о и с — средние.
b d
Основное свойство пропорции: ad = be.
3.1. Если на заводе будут ежедневно сжигать 3,6 т топлива, то
расходы на топливо за полгода составят 3 млн. руб. Сколько
рублей будет израсходовано на заводе на топливо за тот же пе¬
риод, если ежедневно будут сжигать 3 т этого топлива?
Решение. При сжигании 1 т топлива расходы на него составят
_3_
3,6
млн. руб., а при сжигании 3 т — соответственно 3 = 2,5 млн. руб.
3,6
Ответ: 2,5 млн. руб.
3.2. Два трикотажных цеха выпустили продукции на 6 млн. руб.,
причем производительности первого и второго цехов относятся
как 2:3. На сколько рублей произвел продукции каждый цех в
отдельности?
Решение. Продукция первого цеха составляет 2 части из обще¬
го числа 2 + 3 = 5 частей, т.е. -j всей продукции, а ее стоимость
2
равна 6 млн. • — = 2,4 млн. руб. Аналогично стоимость продукции вто-
3
рого цеха равна 6 • — = 3,6 млн. руб.
Ответ: 2,4 и 3,6 млн. руб.
3.3. Объемы трех помещений равны: 2410 м3, 1790 м3 и 1050 м3.
Распределить 2625 тыс. руб., затраченных на отопление этих
помещений, пропорционально их кубатуре.
3.4. 8 рабочих выполнили работу за 6 дней. За сколько дней вы¬
полнили бы ту же работу 12 рабочих при той же производитель¬
ности труда?
57
3.5. Для перевозки груза нужно 10 трехтонных машин. Сколько
двухтонных машин смогут перевезти тот же груз?
3.6. На пошив 6 палаток нужно 120 м брезента шириной 1,2 м.
Сколько метров брезента шириной в 1,5 м надо на пошив 4 та¬
ких палаток?
3.7. За перевозку трех грузов было уплачено 948 тыс. руб. Пер¬
вый груз весом в 14 т был перевезен на 30 км, второй — в 15 т
на 40 км и третий — в16тна35 км. Сколько стоит перевозка
каждого груза?
3.8. На заводе имеются станки: токарные, фрезерные и шлифо¬
вальные, количество которых соотносится как — : 0,5 : 0,25.
12
Сколько всего станков на заводе, если фрезерных и шлифоваль¬
ных станков вместе на 92 меньше, чем токарных станков?
3.2. Задачи на проценты
Процентом называется сотая часть числа. При решении за¬
дач на проценты могут встретиться три случая.
а. Нахождение процентов от данного числа
3.9. В цехе работают 60 человек, из них 30% — женщины. Опре¬
делить, сколько женщин работает в цехе.
Решение. Требуется найти 30% от числа 60, т.е. 60 = 18
100
(женщин).
Ответ. 18 женщин.
б. Нахождение числа по его процентам
3.10. Найти размер вклада, 25% которого составляют 150 тыс.
руб.
п НУ 150 к
Решение. 1% вклада составляет тыс. руб., а весь вклад,
принятый за 100%, равен • 100 = 600 тыс. руб.
Ответ. 600 тыс. руб.
в. Нахождение процентного отношения двух чисел
3.11. Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг
руды приходится 34,2 кг меди?
58
Решение. Содержание меди в руде составляет
34,2
225
частей, или
34,2
100 = 15,2%.
225
Ответ: 15,2%.
3.12. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На
сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с пер¬
воначальной?
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После
первого снижения цена товара равна: 100% — 40% = 60%. Второе сни-
25
жение происходит от новой цены, т.е. 60 = 15%. Общее снижение
100
цены товара равно 40 + 15 = 55%.
Ответ: 55%.
3.13. Прибыль составляет ll-i-% продажной стоимости товара.
Сколько это составит процентов от себестоимости товара?
Решение. Процент прибыли берется по отношению к себестои¬
мости (принимаемой за 100%).
Обозначим прибыль за х %. Тогда продажная цена товара равна
(100+х)%. По условию задачи имеем х = (100 + х)-11-^-%, или
(100 + х)-45 „ _ _
х = -—'— , откуда х = 12,676% «12,7%.
Ответ: «12,7%.
3.14. Вклад, положенный в Сбербанк два года назад, достиг сум¬
мы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад
при 25% годовых?
Решение. Пусть х (тыс. руб.) — первоначальный размер вклада.
25
В конце первого года вклад составит х +у^-х = 1,25х (тыс. руб.), а в
конце второго года — 1,25х(1+ 0,25)= 1,252 х (тыс. руб.), т.е. 1,252х =
= 1312,5 тыс. руб., откуда х = 840 тыс. руб.
Ответ: 840 тыс. руб.
3.15. Смешали два сорта бензина стоимостью по 30 тыс. и
50 тыс. руб. за бочку. Всей смеси получено 1200 бочек, которые
59
были проданы по 44 тыс. руб. за бочку, причем получили 10%
прибыли. Сколько бочек каждого сорта взято для составления
смеси?
3.16. Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько
нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?
3.17. Из молока получается 21% сливок, а из сливок — 24% масла.
Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла?
3.18. При продаже товара за 1386 тыс. руб. получено 10% при¬
были. Какова себестоимость товара?
3.19. Вкладчик взял из Сбербанка 25% своих денег, потом 4/9
оставшихся и еще 64 тыс. руб. После этого у него осталось на
сберкнижке 15% всех его денег. Как велик вклад?
3.20. Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40%
одного равны 60% другого.
3.21. Один из рабочих выполнил пятилетний план за 3 года
4 мес. На сколько процентов он перевыполнил тот план, кото¬
рый был намечен на 3 года 4 мес.?
3.22. При продажной стоимости товара 2,2 тыс. руб. за 1 кг про¬
довольственный магазин получает 10% прибыли. Если продать
этот товар по 1,8 тыс. руб. за 1 кг, то магазин понесет убыток в
сумме 43 тыс. руб. Сколько килограммов этого товара было в
магазине?
3.23. Вследствие реконструкции оборудования производительность
труда рабочего повысилась дважды в течение года на один и тот же
процент. На сколько процентов возрастала каждый раз производи¬
тельность труда рабочего, если он сначала вырабатывал изделий на
25 тыс. руб., а после реконструкции — на 28,09 тыс. руб.
3.24. В иностранном отделе библиотеки имеются книги на анг¬
лийском, французском и немецком языках. Английские книги
составляют 36% всех книг, французские — 75% английских,
а остальные 185 книг немецкие. Сколько всего иностранных
книг в библиотеке?
3.25. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процен¬
тов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех
же расценках заработная плата выросла на 5%?
3.26. Ученик читал книгу четыре дня. Число страниц, прочитанных
им в первые три дня, относится как 1/5 : 1/3 : 1/20. В четвертый
день он прочитал 15% от числа страниц, прочитанных во второй
60
день. Найти число страниц, прочитанных им в каждый день, если
известно, что число страниц, прочитанных во второй день, больше
числа всех страниц, прочитанных в другие дни, на 8 страниц.
3.27. Две шкурки ценного меха стоимостью в 225 тыс. руб. были
проданы на международном аукционе с прибылью в 40%. Како¬
ва стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было по¬
лучено прибыли 25%, а от второй — 50%?
3.28. Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров
второго тома составляет 270 тыс. руб. В действительности за все
книги уплачено только 237 тыс. руб., так как проведена скидка
на первый том в размере 15%, на второй — 10%. Найти перво¬
начальную цену этих книг.
3.29. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После
того как первый рабочий повысил производительность труда на
15%, а второй — на 25%, вместе за смену они стали изготавли¬
вать 86 деталей. Сколько деталей изготавливает каждый рабочий
за смену после повышения производительности труда?
3.3. Задачи на сплавы и смеси
3.30. Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а
второй — 55%. Сколько нужно взять первого и второго раствора,
чтобы получить 100 л 50%-ного раствора азотной кислоты?
Решение. Пусть первого раствора нужно взять х л, тогда второго —
(100 — х) л. В х л содержится 0,3х л азотной кислоты, а в (100 — х) л со¬
держится 0,55(100 — х) л азотной кислоты.
Составим уравнение: 0,3 х + 0,55(100 — х) = 100 ■ 0,5, откуда х = 20 л.
Ответ. 20 л.
3.31. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отли¬
ли и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять
долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в
сосуде оказался 25%-ный раствор соляной кислоты?
Решение. Пусть первый раз отлили х л 100%-ной соляной кис¬
лоты, тогда в растворе ее осталось (12 — х) л. Второй раз было отлито
„ 12-х
х л жидкости, в которой содержалось ——— х л кислоты.
О /п 12-х
В результате в сосуде осталось (12 — х ————х ) л кислоты, что соста¬
вило • 12 = 3 л. Поэтому 12 — х — —rz—x = 3, откуда х\ = 6, = 18.
61
Второй корень не подходит, так как из сосуда, вмещающего 12 л,
нельзя отлить 18 л.
Ответ. 6 л.
3.32. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в отноше¬
нии 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 3 : 4.
Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить
третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 15 : 22?
Решение. Пусть третий сплав содержит х частей первого и у частей
второго сплава, т.е. на х кг первого сплава приходится у кг второго сплава.
Тогда в (х + у) кг третьего сплава содержится (1/3)х + (3/7)у кг первого
металла и (2/3)х + (А/1)у кг второго металла.
По условию
(УЗ)* + (3/7 )у
Т5
22
тель на у, получим:
(2/3)x + (4/7)у
(1/3)-(х/у)+(3/7)
(2/3) • (х/у)+ (4/7) 22
Разделив числитель и знамена-
15 _
= —, откуда после преооразо-
„ * 9
вании получим — = —.
у 28
Ответ: на 9 частей первого сплава надо взять 28 частей второго.
3.33. На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах
99% воды. Через некоторое время содержание воды в ягодах
упало до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
3.34. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобож¬
дают его от значительной части воды. Исследования показали,
что нектар содержит 70% воды, а полученный из него мед —
16% воды. Сколько килограммов нектара приходится перераба¬
тывать пчелам для получения 1 кг меда?
3.35. Сколько килограммов воды надо выпарить из 100 кг массы, со¬
держащей 90% воды, чтобы получить массу, содержащую 80% воды?
3.36. Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько кило¬
граммов пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы
содержание соли в последней составляло 2%?
3.37. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содер¬
жит 40% меди, второй — 32% меди. Какого веса должны быть
эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить
8 кг сплава, содержащего 35% меди?
3.38. Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того
как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней
62
первого вещества стало столько же, сколько второго. Сколько
каждого вещества было в смеси?
3.39. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды.
Сколько килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся
масса содержала 25% целлюлозы?
3.40. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и
получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взято?
3.41. Сплав меди и олова, содержащий на 12 кг больше меди,
чем олова, сплавили с 4 кг чистой меди. В результате содержа¬
ние олова в сплаве понизилось на 2,5%. Сколько олова содер¬
жится в сплаве?
3.4. Задачи на числа
3.42. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если цифры этого
числа переставить, то полученное число будет на 18 меньше ис¬
комого. Как велико искомое число?
Решение. Цифру единиц в искомом числе обозначим через х,
тогда цифра десятков будет (8 — х). Искомое число можно представить
как (8 — х) ■ 10 + х. После перестановки цифр число примет вид 10х +
+ (8 — х). Уравнение задачи: 10х + (8 — х) + 18 = (8 — х) • 10 + х, откуда
х = 3.
Ответ. 53.
3.43. Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше
меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел
на 24 меньше большего из них. Найти эти числа.
3.44. Найти три числа, из которых второе больше первого на
столько, на сколько третье больше второго, если известно, что
произведение двух меньших чисел равно 85, а произведение
двух больших равно 115.
3.45. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на
два больше числа десятков и что произведение искомого числа
на сумму его цифр равно 144.
3.46. Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в
котором цифра десятков втрое больше цифры единиц, но по
ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и
получил произведение на 2808 меньше истинного. Чему равно
истинное произведение?
63
3.47. Найти два числа, если известно, что сумма удвоенного
первого и утроенного второго равна 23, а учетверенное второе
больше утроенного первого на 8.
3.5. Задачи на движение
При решении этих задач необходимо помнить, что при равно¬
мерном движении пройденный путь s связан со скоростью v и време¬
нем I соотношением s = vt, при неравномерном движении то же соот¬
ношение верно, если под v понимать среднюю скорость пути.
3.48. Грузовой автомобиль задержался на 12 мин на заправочной
станции, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное
время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную
скорость автомобиля.
Решение. Обозначим первоначальную скорость автомобиля че¬
рез х км/ч. Тогда расстояние 60 км он проехал бы за 60/х ч. Фактиче¬
ски он, двигаясь со скоростью (х + 15) км/ч, затратил на этот путь
60/(х + 15) ч. Время задержки составляет 12 мин, или 1/5 ч. Поэтому
60/х — 60/(х + 15) = 1/5, откуда х\ = 60, xj = ~75 (не подходит по усло¬
вию задачи).
Ответ. 60 км/ч.
3.49. Катер проходит 96 км вниз по течению реки от А до В и
обратно за 14 ч. Одновременно с катером из А отправился плот.
На пути обратно катер встретил плот на расстоянии 24 км от А.
Определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения.
Решение. Пусть х — скорость катера в стоячей воде, а у — ско¬
рость течения реки (км/ч). Тогда (х + у) — скорость катера по течению
реки, а (х — у) — скорость катера против течения (км/ч). Расстояние 96 км
вниз по течению реки катер проходит за 96/(х + у) ч, а обратный путь —
за 96/(х — у) ч. Поэтому
96/(х + у) + 96/(х - у) = 14. (1)
Расстояние 24 км плот проходит за 24/у ч. Это же время потребова¬
лось катеру, чтобы пройти вниз по течению реки на 96 км и обратный
путь 72 км, т.е.
24/у = 96/(х + у) + 72/(х - у). (2)
Итак, задача свелась к решению системы уравнений (1) и (2). Преобра¬
зуем уравнение (2), освободившись в нем от общего знаменателя. Получим
24(х + у)(х — у) = 96у(х — у) + 72у(х + у), х2 — у2 = у(4х + 4у + Зх + 3у), от¬
куда (после приведения подобных членов) х2= 7ху. Так как х ^ 0, то
х = 7у. Подставляя это выражение в уравнение (1), найдем у = 2 км/ч.
Тогда х = 14 км/ч.
Ответ. 14 км/ч, 2 км/ч.
64
3.50. Легковая машина выехала из города на 2 мин позднее гру¬
зовой и догнала грузовую через 10 км. Определить скорость ма¬
шин, если легковая проезжает в час на 15 км больше грузовой.
3.51. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120 км.
Первый поезд проходит это расстояние на 50 мин скорее, чем
второй. Скорость первого поезда больше скорости второго на
12 км/ч. Определить скорости обоих поездов.
3.52. Турист проплыл по реке 90 км, прошел пешком 10 км, при
этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь
по реке. Если бы турист плыл по реке столько же времени,
сколько он шел пешком, а шел пешком — сколько плыл по ре¬
ке, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел
пешком и сколько плыл по реке?
3.53. Из города А в город В отправился пешеход. Расстояние от
А до В 10 км. Через 30 мин после него из города А в город В от¬
правился велосипедист, скорость которого на 6 км больше ско¬
рости пешехода. Велосипедист, обогнав пешехода и доехав до
города В, возвращается в город А и приезжает туда в тот момент,
когда пешеход приходит в город В. Определить скорость пеше¬
хода.
3.54. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч,
а через полчаса после нее в том же направлении вышел пароход
со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до горо¬
да, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
3.55. Моторная лодка проходит расстояние АВ, равное 28 км, в оба
конца за 5 ч 50 мин. Однажды выйдя из В в пункт А, находящийся
выше по течению реки, лодка через два часа встретила плот, от¬
правившийся из А за 4 ч до выхода лодки из В. Найти скорость те¬
чения реки и собственную скорость моторной лодки.
3.6. Задачи на работу
При решении этих задач нужно четко знать, что производи¬
тельность труда есть работа в единицу времени.
3.56. На уборке урожая работали два комбайна 10 дней вместе и
сверх того первый комбайн работал еще два дня. Сколько вре¬
мени потребуется каждому комбайну в отдельности для выпол¬
нения всей работы, если второй комбайн может выполнить ее
на 4 дня скорее, чем первый?
65
Решение. Всю работу принимаем за 1. Пусть одному второму
комбайну для выполнения всей работы потребуется х дней, тогда пер¬
вому комбайну потребуется (х + 4) дней. Производительность первого
комбайна равна 1/(х + 4), а второго — 1/х. За 10 дней второй комбайн
выполнит 10/х часть работы, а первый комбайн за 12 дней 12/(х + 4)
часть. По условию 10/х + 12/(х + 4) = 1, откуда х\ = 20, xj_ = —2 (не
подходит по условию).
Ответ. 24 дн., 20 дн.
3.57. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за
6 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран, рабо¬
тая отдельно, если один из них может ее разгрузить на 5 ч быст¬
рее, чем другой?
3.58. Один из заводов может выполнить заказ на 4 дня быстрее,
чем другой. За какое время мог бы каждый из них в отдельности
выполнить этот заказ, если известно, что при совместной работе
они выполнили за 24 дня заказ в 5 раз больший?
3.59. Двум трактористам было поручено вспахать поле. После того
как первый пропахал 7 ч, а второй 4 ч, оказалось, что они вспаха¬
ли 5/9 всего поля. Проработав вместе 4 ч, они установили, что им
осталось вспахать 1/18 часть поля. За сколько часов каждый из
трактористов, работая в отдельности, мог бы вспахать все поле?
3.60. Первый контролер тратит на проверку партии изделий на
30 мин больше, чем второй. Если бы они работали вместе, то
проверили бы партию за 6/7 ч. За сколько времени проверит
партию каждый контролер в отдельности?
3.61. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за
16 ч. Если первый из них выполнит 5/6 всей работы, а затем
второй — оставшуюся часть, то на выполнение этой работы они
потратят 28 ч. Сколько времени потребуется каждому рабочему
на выполнение всей работы в отдельности?
3.62. Чан наполняется двумя кранами А и В. Наполнение чана
только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через кран В.
Если же открыть оба крана, то чан наполнится за один час.
За какой промежуток времени каждый кран отдельно может на¬
полнить чан?
3.63. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 5 дней.
Это же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 7,5 дней,
а первая и третья вместе — за 10 дней. За сколько дней то же
поле могут вспахать вторая и третья бригады вместе?
66
3.7. Задачи на плановое и фактическое
выполнение задания
3.64. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно
быть отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план ремонта
в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две недели до
срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю
ремонтировали на заводе?
Решение. Пусть по плану должно быть отремонтировано в
среднем х вагонов в неделю; тогда на ремонт всех вагонов потребова¬
лось бы 330/х недель. Фактически в неделю ремонтировалось (х + 3)
вагона, что позволило осуществить ремонт 297 вагонов за 297/(х + 3) не¬
дель. По условию 330/х — 297/(х + 3) = 2, откуда х\ = 30; xj_ =
= —33/2 (не подходит по условию задачи).
Ответ, фактически ремонтировали 33 вагона в неделю.
3.65. По плану кооператив должен засевать по 40 га в день. Однако
кооператоры засевали каждый день на 30% больше плана, а поэтому
засеяли на 2 дня раньше срока, причем засеяли на 4 га больше, чем
предусмотрено планом. Сколько га засеял кооператив?
3.66. Заводу было поручено изготовить 8000 деталей к опреде¬
ленному сроку. Работая точно по графику, завод изготовил 25%
заказа, а затем стал изготовлять ежедневно по 100 деталей сверх
дневного задания и выполнил заказ за 2 дня до срока. Сколько
дней понадобилось заводу для выполнения заказа?
3.67. Бригада рабочих должна была сделать за смену 7200 дета¬
лей, причем каждый рабочий должен сделать одинаковое коли¬
чество деталей. Однако в бригаде заболели трое рабочих и по¬
этому для выполнения нормы каждому рабочему пришлось сде¬
лать на 400 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде?
3.68. При постройке здания требовалось вынуть 8000 м3 земли в
определенный срок. Работа была закончена раньше срока на
8 дней вследствие того, что бригада землекопов ежедневно пере¬
выполняла план на 50 м3. Определить, в какой срок должна бы¬
ла быть окончена работа, и найти ежедневный процент перевы¬
полнения.
3.69. Два ученика должны были обработать по 120 болтов за оп¬
ределенное время. Один из них выполнил задание на 5 часов
раньше срока, так как обрабатывал в час на 2 болта больше дру¬
гого. Сколько болтов в час обрабатывал каждый ученик?
67
3.8. Разные задачи
3.70. Для ремонта спортивного зала куплена краска двух сортов:
первого сорта — на 360 тыс. руб., второго — на 240 тыс. руб., при¬
чем краски второго сорта куплено на 6 кг больше, чем первого, и
1 кг краски второго сорта на 10 тыс. руб. дешевле 1 кг краски пер¬
вого сорта. Сколько куплено краски первого сорта?
3.71. На обработку одной детали один рабочий затрачивает на
1 мин меньше, чем другой. Сколько деталей обработает каждый
из них за 4 ч, если первый обрабатывает за это время на 8 дета¬
лей больше, чем второй?
3.72. Площадь первого картофельного поля на 2 га больше пло¬
щади второго. С первого поля получили 748 т картофеля, а со
второго — 720. Сколько тонн картофеля собрали с 1 га каждого
поля, если с 1 га второго поля собирали на 4 т картофеля боль¬
ше, чем с 1 га первого поля?
3.73. Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в
день на 2 страницы больше, чем вторая. Печатала она на 1 день
меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая
машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?
3.74. В одном кооперативе собрали 1500 ц пшеницы, а в другом
с площади на 20 га меньше — 1600 ц. Сколько пшеницы соби¬
рали с 1 га в первом кооперативе, если во втором собирали с
1 га на 5 ц больше?
3.75. Две машины, работающие с двух сторон тоннеля, должны
закончить проходку за 60 дней. Если первая машина выполнит
2
30% своей работы, а вторая 26 — % своей, то обе они пройдут 84 м
тоннеля. Сколько метров в день проходит каждая машина, если
вторая проходит в день на 1 м больше первой?
3.76. Двое рабочих получали различную плату за проработан¬
ный день. Первый заработал 240 ден. ед., а второй, работая на
6 дней меньше первого, получил 135 ден. ед. Если бы второй
рабочий работал столько дней, сколько первый, а первый
столько, сколько второй, то оба получили бы одинаковую сум¬
му. Сколько дней работал каждый рабочий?
68
3.9. Задачи для самостоятельного решения
3.77. Токарь и его ученик должны по плану изготовить за смену
65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил свой план
на 10%, а ученик — на 20%, они изготовили за смену 74 детали.
Сколько деталей по плану должны были изготовить в отдельно¬
сти за смену токарь и его ученик?
3.78. Три кооператива затратили на выполнение работы
7,4 млн. руб. Этот расход они распределили так, что каждый
внес сумму денег, обратно пропорциональную расстоянию его
от места объекта работы. Первый кооператив расположен в
4 км, второй — в 5 км и третий — в 6 км от объекта. Сколько
рублей должен уплатить за работу каждый кооператив?
3.79. Первая труба наполняет бассейн на 3 ч быстрее, чем вторая, а
вторая — на 2 ч дольше, чем третья. При одновременной работе
первой и второй труб бассейн наполняется за 2 ч. За какое время
будет наполнен бассейн, если открыть сразу три трубы?
3.80. Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы. Снача¬
ла он проиграл 10% всех партий, а 8 партий выиграл. До конца
сеанса мастер проиграл еще 10% партий оставшимся противни¬
кам, закончил вничью одну партию, а остальные 8 партий выиг¬
рал. На скольких досках мастер давал сеанс?
3.81. Две машинистки получили за работу всего 250 ден. ед.,
причем одна переписывала текст, а другая — таблицы. Страниц
текста было в 2,5 раза больше, чем страниц таблиц, но страница
2
таблиц оплачена на 66 — % дороже страницы текста. Сколько
денег получила каждая?
3.82. На элеватор поступило 900 т пшеницы двух сортов. По¬
сле очистки было получено 884 т пшеницы. Сколько тонн
пшеницы каждого сорта поступило на элеватор, если после
очистки масса пшеницы одного сорта уменьшилась на 2%, а
другого сорта — на 1,5%?
3.83. Один рабочий выполнил норму за 6 ч, второй — за 5 ч, а
третий — за 4 ч. Работая вместе некоторое время, они изготови¬
ли 740 деталей. Сколько деталей изготовил каждый?
3.84. Бригада ремонтных рабочих получила задание отремонти¬
ровать в течение трех дней участок шоссе определенной длины.
69
В первый день она отремонтировала 56% длины всего участка,
во второй — 75% остатка, а в третий — 33 метра. Какова длина
участка?
3.85. В штате гаража числится 54 шофера. Сколько свободных
дней может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если еже¬
дневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для
профилактического ремонта?
3.86. Цена 1 м ткани стоимостью 16 ден. ед. была снижена на
несколько процентов. Спустя некоторое время цена 1 м ткани
была вновь снижена на столько же процентов и стала равной
9 ден. ед. На сколько процентов снижалась цена на ткань каж¬
дый раз?
3.87. Один килограмм груш стоит на 20% меньше 1 кг персиков,
а 1 кг яблок — на 10% меньше 1 кг груш; 1 кг слив стоит на
15% меньше 1 кг яблок. На сколько процентов 1 кг слив стоит
меньше 1 кг персиков?
3.88. Теплоход должен был пройти 72 км с определенной скоро¬
стью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью
на 3 км/ч меньшей, а вторую половину пути на 3 км/ч большей,
чем ему полагалось. На весь путь теплоход затратил 5 ч. На
сколько минут опоздал теплоход?
3.89. Скорости двух поездов соотносятся как 2:3. Расстояние в
36 км второй поезд проходит на 30 мин быстрее первого. Найти
скорость обоих поездов.
3.90. Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если полу¬
ченное число увеличить на столько же процентов, как в первый
раз, то получится 72. Найти первоначальное число.
3.91. В зале клуба столько рядов, сколько мест в каждом ряду.
Если увеличить в 2 раза число рядов и уменьшить на 10 количе¬
ство мест в каждом ряду, то число мест в зале увеличится на
300. Сколько рядов в зале?
3.92. Производительность самоходной косилки в 5 раз выше
производительности бригады косцов. Сколько дней потребуется
бригаде косцов, чтобы скосить луг, если известно, что самоход¬
ная косилка и бригада косцов, работая совместно, могут закон¬
чить сенокос за 3 дня?
3.93. По плану лесоруб должен был заготовлять ежедневно по
3 куб. м древесины и выполнить задание в определенный срок.
70
Лесоруб ежедневно выполнял 160% плана и, проработав на 12 дней
меньше срока, перевыполнил план на 113,4 куб. м. Сколько ку¬
бических метров древесины заготовил лесоруб?
3.94. Сколько килограммов воды испарится при сушке 5 кг све¬
жих грибов, содержащих по массе 85% воды, если полученные
сухие грибы содержат 9% воды?
3.95. Три бригады, работая совместно, закончили посадку де¬
ревьев на участке за 4 ч. Первая бригада может выполнить эту
работу в 1,5 раза быстрее, чем вторая, и на 2 ч быстрее третьей.
За какое время может провести посадку деревьев каждая бригада
в отдельности?
3.96. Два экскаватора, работая одновременно, выкапывают кот¬
лован за 12 ч. За сколько времени мог бы выкопать этот котло¬
ван каждый из экскаваторов в отдельности, если скорости вы¬
полнения работы экскаваторов относятся как 3:2?
3.97. Автомобиль, пройдя АВ = 300 км, повернул назад и через
1 ч 12 мин после выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч.
В результате на обратный путь он затратил на 48 мин меньше.
Найти первоначальную скорость автомобиля.
3.98. Поле вспахивали в течение трех дней. В первый день вспа¬
хали 56% всей площади, во второй — 75% остатка, а в третий
день — 330 га. Какова площадь поля?
3.99. Некий сплав состоит из двух металлов, входящих в отноше¬
нии 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколь¬
ко частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий
сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
3.100. Имеется 5 л 70%-ного раствора серной кислоты. Сколько
литров 80%-ного раствора серной кислоты нужно долить в этот
раствор, чтобы получить 72%-ный раствор серной кислоты?
3.101. Первая бригада грузчиков может разгрузить товарный
состав на один час быстрее, чем вторая бригада. Если 7/8 со¬
става будут разгружать обе бригады вместе, а оставшаяся
часть будет разгружена только второй бригадой, то на выпол¬
нение всей работы по разгрузке состава потребуется 2 ч. За
какое время может разгрузить состав каждая бригада, работая
отдельно?
3.102. Велосипедист проехал 40 км из города в деревню. На об¬
ратном пути он поехал с той же скоростью, но через 2 ч езды
71
сделал остановку на 20 мин. После остановки он увеличил ско¬
рость на 4 км/ч и поэтому потратил на весь обратный путь из
деревни в город столько же времени, сколько на путь из города
в деревню. Найти первоначальную скорость велосипедиста.
3.103. Каменщику было поручено выполнить работу за 20 дней.
В первую декаду он выполнил 40% всего задания. На сколько
процентов ему нужно повысить производительность труда во
второй декаде (по сравнению с первой декадой), чтобы выпол¬
нить всю работу в срок?
3.104. Смешали 20 л 70%-ного спирта, 30 л 50%-ного спирта и
22,5 л воды. Каково процентное содержание спирта в получив¬
шейся смеси?
3.105. На заводе 20% всех станков были переведены на повы¬
шенную скорость, благодаря чему производительность станка
повысилась на 80%. На сколько процентов повысился выпуск
продукции?
3.106. Двое рабочих, работая вместе, могли выполнить некото¬
рую работу за 8 ч. Случилось так, что первый рабочий работал
5 ч, а второй — 8 ч, а в результате они выполнили 11/14 всей
работы. За сколько часов мог бы выполнить эту работу каждый
рабочий в отдельности?
3.107. После встречи двух пароходов один из них пошел на юг,
а другой — на запад. Через два часа после встречи расстояние
между ними было 60 км. Найти скорость каждого парохода, ес¬
ли известно, что скорость одного из них была на 6 км/ч больше
скорости второго?
3.108. После двух последовательных одинаковых процентных по¬
вышений заработная плата суммой в 100 ден. ед. обратилась в
125,44 ден. ед. На сколько процентов повышалась заработная плата?
3.109. Склад отпустил 40% имевшейся в запасе муки хлебозаво¬
ду, а остальную муку распределил между тремя магазинами в
отношении 0,3:2,5:0,8. Сколько муки было на складе в запасе,
если известно, что первый магазин получил на 40 т меньше, чем
третий?
3.110. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта
в одном и том же направлении. Один автомобиль идет со скоро¬
стью 50 км/ч, другой — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же
пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, кото¬
рый обогнал первый автомобиль на 1,5 ч позже, чем второй.
Найти скорость третьего автомобиля.
72
3.111. Из пункта А в пункт В против течения реки выехала мо¬
торная лодка. В пути сломался мотор, и пока его 20 мин чини¬
ли, лодку сносило вниз по реке. Определить, на сколько позд¬
нее прибыла лодка из-за поломки мотора, если известно, что
обычно путь из А в В лодка проходит в 1,5 раза дольше, чем
путь из В и А.
3.112. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за
4 дня. Первая и третья бригады вместе вспахали бы это поле за
6 дней, а первая и вторая вместе — за 8 дней. Во сколько раз
третья бригада вспахивает за день больше, чем вторая?
З.ИЗ. Два сосуда А и В содержат одинаковое количество воды.
В сосуд А вливается литр спирта, после чего литр смеси вылива¬
ется в сосуд В; затем из сосуда В выливается литр смеси, после
чего в сосуде В остается 0,16 л спирта. Сколько воды было в со¬
суде А вначале?
3.114. Имеются три смеси, составленные из трех элементов:
А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в ве¬
совом отношении 3:5, во вторую смесь входят только элемен¬
ты В и С в весовом отношении 1:2, в третью смесь входят
только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком от¬
ношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной
смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении
3:5:2?
3.115. В куске сплава массой 6 кг содержится медь. В куске дру¬
гого сплава массой 8 кг содержится медь в ином процентном
отношении, чем в куске первого сплава. От первого куска отде¬
лили некоторую часть и от второго куска отделили часть, вдвое
большую по массе, чем от первого куска. Каждую из отделен¬
ных частей сплавили с остатком другого куска, после чего полу¬
чили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием
меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков
первоначальных сплавов?
3.116. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и
В навстречу друг другу. Через 4 ч после встречи велосипедист,
ехавший из А, прибыл в В, а через 9 ч после встречи велосипе¬
дист, ехавший из В, прибыл в А. Сколько часов был в пути каж¬
дый велосипедист?
3.117. Несколько человек выполняют работу за 14 дней. Если бы
их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 ч
дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их
было еще на 6 человек больше и каждый рабочий работал бы еще
73
на 1 ч в день дольше, то эта работа была бы выполнена за 7 дней.
Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?
3.118. На заводе выработка продукции выросла за первый год на р%,
за второй — на 2р%. Определить значение величины р, если известно,
что за два года выработка продукции увеличилась на 49,5%.
3.119. Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили неф¬
тью первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за
11ч. Если бы три насоса наполнили первый танкер, а затем один
из них наполнил четверть второго танкера, то работа заняла бы
18 ч. За сколько часов три насоса могут наполнить второй танкер?
3.120. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из
городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга,
и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них
увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой — на 20 км/ч, то
они также прибыли бы одновременно на станцию С, но на
24 мин раньше. Найти скорости поездов.
3.121. Из пункта А в пункт В с постоянной скоростью выехал ав¬
томобиль, а через некоторое время выехал второй с постоянной
скоростью 100 км/ч. Обогнав первый автомобиль через 150 км,
второй автомобиль остановился на 1 ч в В, поехал назад с той же
скоростью и был на расстоянии 200 км от В в момент прибытия
первого автомобиля в В. Найти расстояние от В до места второй
встречи автомобилей, если АВ = 600 км.
3.122. Мастер делает за 1 ч целое число деталей, большее 5, а уче¬
ник — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за це¬
лое число часов, два ученика вместе — на 1 ч быстрее. Из какого
количества деталей состоит заказ?
3.123. Число деталей, изготовленных за смену первой бригадой,
составляет 115% от числа деталей, изготовленных за смену второй
бригадой. Всю сменную продукцию обеих бригад упаковали в два
ящика, причем в первый ящик попало 2/3 деталей, изготовлен¬
ных первой бригадой, и 1/7 часть деталей, изготовленных второй
бригадой. Сколько деталей изготавливала за смену каждая из
бригад, если в первом ящике оказалось менее 1000 деталей, а во
втором — более 1000 деталей?
3.124. Даны три сплава. Состав первого сплава: 60% алюминия и 40%
хрома; второго сплава: 10% хрома и 90% титана; третьего сплава:
20% алюминия, 50% хрома и 30% титана. Из трех сплавов нужно
приготовить новый, содержащий 45% титана. Какие значения может
принимать процентное содержание хрома в этом новом сплаве?
Глава .
Показательные и логарифмические
уравнения
4.1. Показательные уравнения
При решении показательных уравнений нужно четко знать пра¬
вила действий со степенями (см. гл. 1), свойства показательной
функции, обратив внимание на то, что областью ее определения яв¬
ляется множество всех действительных чисел, а областью значений —
множество положительных чисел. Так, если ах = Ь, то х может
быть любым действительным числом, а b = ах — только положи¬
тельным числом (при этом мы полагаем, что а> Ои а ф\ ).
При решении многих показательных уравнений нет необхо¬
димости делать проверку корней1 *, однако если в процессе ре¬
шения расширяется область допустимых значений (ОДЗ) урав¬
нения или, например, используется метод возведения обеих час¬
тей уравнения в квадрат, то проверка корней (или исследование
равносильности сделанных при решении преобразований) необ¬
ходима (см., например, 4.5).
4.1. Решить уравнение: 2х = 16^2 .
Решение. Преобразуя правую часть, получим 2х = 24 ■ 21/3, или
2х = 24+1/3 . Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следу¬
ет равенство их показателей, т.е. х = 13/3 .
Ответ: {13/3}.
4.2. Решить уравнение: 2х = 3х/2.
Решение. Представим уравнение в виде 2х = (Vз) . Разделив обе
Ответ: {0}.
1 Речь идет о проверке корней, принципиально необходимой для решения задачи. Разумеется, про¬
верку с целью контроля вычислений можно делать в любом случае.
части уравнения на (>/з) ф 0, получим
или
о
, откуда х = 0.
75
4.3. Решить уравнение: 2х = 5.
Решение. На основании определения логарифма х = log2 5. Ответ
можно получить и в другой форме, например, логарифмируя обе части
к 5
уравнения по основанию 10: х lg 2 = lg 5, откуда х = .
Ig2
Ответ: {log2 5}.
4.4. Решить уравнение: 2х = -20.
Решение. Так как значения показательной функции всегда поло¬
жительны, то данное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
4.5. Решить уравнение:
2^ = 16V0,255 ^/4 .
Решение. Левая часть представляет степень с основанием 2.
Можно заметить, что и правую часть уравнения можно привести к тому
же основанию. Действительно,
JX+1
5-х/4
или 2'
х+1
= 2Ч
5-х/4
Д/2
2
Так как при возведении в степень показатели степеней перемножа¬
ются, а при умножении степеней с одинаковым основанием — склады¬
ваются, получим
х_ х_ .
2V^I = 24.24~ ; или 2^ = 24~ , откуда Jx + 1 = —.
4
Возводя обе части уравнения в квадрат, получим х +1
(*-4)2
16
или после преобразований х2 - 24х = 0 , откуда xj = 0, х2 = 24 .
В данном уравнении необходимо сделать проверку, так как в про¬
цессе решения расширилась ОДЗ уравнения (ОДЗ исходного уравнения
[— 1, +оо), а полученного в конце решения (—да, +да)), и мы возводили
обе части уравнения в квадрат. Проверка показывает, что х = 24 — ко¬
рень уравнения, а х = 0 — посторонний корень.
Ответ: {24}.
ГзУ-1 (А\11х 9
4.6. Решить уравнение: j ■ | —J = —.
76
Решение. Преобразуем левую и правую части уравнения к степени с
основанием 3/4: | 2
X— 1
-1/х
UJ ’ н™ U.
x-1-l/x
откуда х -1 - 1/х = 2, х2 - Зх - 1 = 0 и xj 2 =
Гз-лЯз з + лЯз
3±л/13
Ответ:
4.7. Решить уравнение: 62х+4 = 2Х+8 • З3х.
Решение. Представим уравнение в виде (2 ■ 3)2х+4 = 2Х+8 ■ З3х , или
2i2x+4 _ _ 2Х+8 . з^х
Приведем левую часть, например, к степени с основанием 2, а пра-
з — с основанием 3. Так как 2Х+8 ^0 и 32х+4 * 0, получим
с+4
2х+4 ’ или (после вьшитания соответствующих показателей
■>х+8
3Z
степеней) 2х 4 = 3х 4.
х-4
Полученное уравнение представим в виде | = 1, откуда х — 4 = 0
и х = 4.
Ответ: {4}.
Решить уравнения:
4.8. VF = 4“^.
2
х -—х п 1—
4.9. 3 7 =V9.
4.10. 92’^х = 32х+6.
Х-7
4.11. 5~ = л/2х^2 .
4.12. 53х = 17~6х .
4.13. 1253х 1 =5-0,04'
1 п2х
4.14. 0 - 7~4х .
32х
-н
<МГ=Ш-
2х-1
4.17. 21~ = 91хЛ.
4.18.
4'20' 4
Зх-7
2-х
7
з
256
3-7х
_7/—х+з"
1.19. * \8 3 = Х^2Х+8 .
2
х+3 ’
4.21.
^ = 25^
2
2
77
4.22.
4.24.
l
2-Jx
2
&-1
= 4.
x+5 x+17
4.23. 32~ = 0,25 • m~ .
4.25. {x1 -x-lf^ = 1.
4.26. (x - 4 =(x- 4)2x .
4.27. Решить уравнение: 3X+1 + 3х-1 + Зх~2 = 5х + 5х-1 + 5X~2 .
Решение. Преобразуем уравнение, вынося в каждой части
уравнения степень с наименьшим показателем: Зх_2^33 + 3 + lj = 5Х~2 х
/.\Х-2
х ^52 + 5 + lj , откуда Зх~2 • 31 = 5Х~2 -31, или Зх~2 = 5х-2 , т.е. Г—J =1.
Итак, х — 2 = 0 и I = 2.
Ответ. {2}.
4.28. Решить уравнение: 4х - Зх~0’5 = Зх+0’5 - 22х_1.
Решение. Перепишем уравнение в виде 22х + 22х_1 = Зх+0,5 +
+ 3х-0’5 .
Вынося в каждой части уравнения степень с наименьшим показате¬
лем, получим 22х-!(2 + 1) = 3Х~°’5(3 + 1), или 22x~! • 3 = 3х-0’5 • 4 , откуда
у2х-1 ^х-0,5
з
, т.е. 22х~3 = 3х-1,5
Последнее уравнение представим в виде 22х 3
2х-3
= 1, откуда 2х — 3 = 0 их = 1,5.
Ответ: {1,5}.
(Щх-
или
Решить уравнения:
4.29.
2Х+3 - 2х =
112.
4.30.
5х - 5Х~
-2 = 24.
4.31.
2х-1 + 2х-2
+ 2Х~3 = 448.
4.32.
з2х-3 -
32х-2 + 32х =
4.33.
уХ—3 уХ—1
= 350.
4.34.
7 • Зх+1
^х+2 _ ^х+4
4.35.
^2х-1 у2х
52х ^Ix+l -
= 0.
4.36.
Зх+1-2
• 5х-2 = 5х
4.37.
4 ■ Зх+2 + 5 •
3х - 7 • Зх+1 =
180
4.38.
5 • 32х_1 - 9
х-°,5 + 32х + 4
(jx-
1 = 225.
78
4.39. Решить уравнение: 3
2х-2
- 6 • 3х - 243 = 0.
32х
Решение. Представим уравнение в виде
З2
- 6 ■ 3х - 243 = О . По¬
ложив 3х = у > 0 , придем к квадратному уравнению у2 - 54у -
- 2187 = 0, откуда yj = 81, у2 = ~27 (является посторонним, так как
У > 0)-
Итак, 3х = 81 , или 3х = З4, откуда х = 4.
Ответ. {4}.
4.40. Решить уравнение: 4'^~2 + 32 = 5 • 21+'^2 .
Решение. Представим уравнение в виде 22^х~2 + 32 =
= 5-2-2'^2 .
Г-Г
Положив 2VX~/ = у > 0, сведем данное уравнение к квадратному
у2 - 10у + 32 = 0 . Так как дискриминант этого уравнения D = 102 — 4 • 32 =
= —28 отрицателен, то оно, а следовательно, и данное уравнение не
имеют решений.
Ответ, решений нет.
4.41. Решить уравнение: 4х + 6х = 2 • 9х.
Решение. В каждый член уравнения входит либо квадрат выраже¬
ния 2х или 3х, либо их произведение, т.е. имеем однородное уравнение
второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения, на¬
пример, на 9х + 0 (или на 4х + 0, или на 6х + 0 , не принципиально).
Получим
Полагая
или
2
2х
+
= 2.
у > 0, получим у2 + у - 2 = 0, откуда yi = 1,
У2 = -2
(посторонний корень, так как у > 0). Теперь
1, откуда х = 0.
Ответ: {0}.
Решить уравнения:
4.42.
22х - 2х - 2 = 0.
4.43. 52х - 23 • 5х = 50.
4.44.
9х - 8 • 3х - 9 = 0.
4.45. 2 • 73х - 5 • 493х + 3 = 0.
4.46.
12.8х- 82х = 32.
4.47. 2х - 3 • г0’5*-1’5 = 26 .
4.48.
_ 4 . Ъ242 + з = о
4.49. 3 - ^81 -10^9 = -3 .
79
+ 0,5 = 0 .
4.50. 4,5х - 1,5(л/2/з)“*
4.51. Ах-^~ь-\2-2х-1-^х1-5 +8 = 0. 4.52. 51+х3-5х-х3 =24 .
4.53. (7х -l) (9х - б) = 21х - 3х . 4.54. 9хМ - 36 • Зх^3 + 3 = 0.
4.55. 27х + 12х = 2 • 8х. 4.56. 32х+4 + 45 • 6х - 9 • 22х+2 = 0 .
1ПХ - Iх
4.57. 2 • 4-V* + 6~1/х = 9~1/х. 4.58. — — + 25~х = 18.
5х -1
4.59. 125 • 25х - 70 • 10х + 8 • 4х = 0 .
4.60. Решить систему уравнений:
J 2х - 3^ =12,
\ly ■ 3х =18 .
Решение. Перемножив соответственно обе части уравнений, по¬
лучим 6х • 6У = 216 , или 6Х+У = 63 , откуда х + у = 3.
Разделив обе части первого уравнения на соответствующие части
(2)х~у 12 Г231 . Т/Г
второго, получим I—J = — = I —J , откуда х — у = 1. Итак, имеем
\х+у = 3, „ » 1
систему из которой х = 2, у = 1.
[х-У = 1,
Ответ: {(2; 1)}.
Замечание. Поскольку
2х • Зу = 12 = 22 • З1
можно было подоб-
2У ■ 3х = 18 = 21 -З2,
рать решение системы х = 2, у = 1, но в этом случае следовало дока¬
зать, что других решений система не имеет; при отсутствии доказатель¬
ства такое «решение» является в принципе ошибочным.
Решить системы уравнений:
4.61.
32х - 2у = 725,
3х - 20,5у = 25
4.62.
4х -5У = 400,
2-3х =18 .
3 • 2х + 2 • 3J = 2,75,
4.63. 4
2х - 3J = -0,75.
4.64.
g2x+l
32-24у-\
5 ■ 5х-у = V252j7+1
4.65.
2х • 9У = 648,
3х • 4У = 432.
80
, „ [б42х + 642у = 12,
4.66. 1
\64Х+У =4л/2.
4.2. Логарифмы
Формулы для справок
Запись с = loga b {а > О, а ф 1, b > о) (4.1)
равнозначна записи ас = Ь . (4.2)
Основное логарифмическое тождество alog°b = b . (4.3)
Формулы логарифмирования (а > 0, а * 1, х > 0, у > 0):
loga (xf) = loga X + loga у . (4.4)
loga j = loga x - loga у . (4.5)
loga Xй = n loga x . (4.6)
Формулы перехода от одного основания к другому (а > 0, а ф 1, b > 0):
logab = ^- (с>0,с*1);
log с а
(4.7)
loga Ъ - (3*1);
log* <3
(4.8)
logap ba=^\ogab (МО);
(4.9)
1оМ й = ^1оЕай (МО);
(4.Ю)
loga« ba = loga b (а ф 0).
(4.11)
Прежде чем приступить к решению логарифмических урав¬
нений, следует хорошо уяснить свойства логарифмической
функции. В отличие от показательной областью определения
логарифмической функции является множество положительных
чисел, а областью значений — множество всех действительных
чисел. Так, если loga х = b , то х может быть только положи¬
тельным числом, a b = loga х — любым действительным числом.
(При этом основание логарифма й> Ои аФ 1.)
Необходимо четко знать определение логарифма и, в частности,
основное логарифмическое тождество, формулы логарифмирования
и перехода от одного основания логарифмов к другому.
81
l_±log5 49
4.67. Вычислить: A = 25 4 .
Решение.
1—7 logs 49 / ~ \1—i-log5 49
A = 4 3 = 52 4 63 = .
5flogs 49
^log5 49^2
откуда в силу основного логарифмического тождества (4.3)
. 25 25
7 '
49I/2
п 25
Ответ: —.
7
4.68. Вычислить: А = logy7 log7 l4V49.
,, 2
Решение. А = logу7 log7 714 = log^7— = 1.
Ответ: 1.
Вычислить:
4.69. Зб1^5.
4 71 92+0’51og3l°
/ 1 \ 1оЁ1/3 10-logi/9 5
4‘73‘ У '
4.70. log2 log2 yf2.
4.72. I60,51og410+1
4.74. 125log5 _|_ §i°g2 >^14—Уз
4.75. Полагая, что log2208 « 7,7, найти log2 13.
Решение. log2 208 = log2 (13 • 16) = log2 (l3 • 24).
Логарифмируя, получим: log2208 = log2 13 + 4 log2 2 = log2 13 + 4,
так как логарифм самого основания равен 1. Поэтому:
log2 13 = log2 208 — 4 и 7,7 — 4 = 3,7.
Ответ: «3,7.
о 2 5/l3
4.76. Дано х = , "Y, а > 0, b > 0, с > 0. Найти lg х
с4\а2 + Z>3J
Решение. Логарифмируя, получим lg х = lg 3 + lg а 2 + lg Z>3/5 —
— lg с 4 — lg (a2 + Z>3) = lg 3 + 2 lg a + -jig b — 4 lg c — lg (a 2 + b 3 ).
Обращаем внимание на то, что логарифм суммы (в данном случае
lg (а 2 + Ъ 3)) упростить нельзя.
Ответ: lg 3 + 2 lg а + — lg Z> — 4 1g c — lg (a2 + Z>3).
82
4.77. Дано lg х = 2 lg а - 5 lg b + — lg c + 2d. Найти x
Решение. Неизвестное x найдем, потенцируя данное выражение.
При этом слагаемое 2d удобно представить как 2c?lgl0 (ибо lg 10 = 1).
Теперь:
откуда х =■
Ответ'.
lg* = lg а1 - lgb5 + lgc3/7 + lg 10м = lg —
V7-
10
2d
b5
10
2d
b5
Вычислить:
4.78. log3 52,2, если log3 5,8 ~ 1,6.
4.79. log2 192 , если log212 « 3,6.
4.80. log5 265, если log5 53 « 2,5.
4.81. log6 528 , если log6 88 « 2,5.
Прологарифмировать выражения, полагая, что а > 0, b > 0, с > 0:
4.82. х =
4.84. х =
V
J
4г,3 Л
. 2 Ъ
ПаАЬ*с
4.83. х = 4/-L . 3/4- .
\а3 \Ь2
4.85. х = д/з^21W.
(а2 + Ь2)
Найти х по данному его логарифму:
4.86. log2 х = log2(a + b) - j [2 log2 a + 4 log2 ^ .
4.87. log2 x = log2 b- — log2(6 - c) - n log2(Z> + c) + 3b.
4.88. log5 x =
2 log5 3 _ log5 7
5 25
5 .
4.89. Igx^li^-2 lg 25+4.
5 25
4.90. Полагая, что log2 7 * 2,8, вычислить log4 112.
Решение. По формуле (4.7) перейдем к новому основанию лога¬
рифма 2. Получим:
а
83
log4 112 =
4 + 2,8
“ 2
log2112
log 2 4
= 3,4.
Ответ. «3,4.
log2(24-7)
log2 22
4 log2 2 + log2 7
2
4 + log2 7
2
4.91. Вычислить: Л = log2 1000, полагая, что lg 2 « 0,3.
Решение. log2 1000 = log2 103 = 3 log2 10. Поменяв местами осно¬
вание логарифма и логарифмируемое число по формуле (4.8), получим
3 3 3
А = = ~ _ = 10.
logio 2 lg 2 0,3 '
Ответ. «10.
4.92. Вычислить: А = log2 5 • log25 8.
Решение. А = log2 5 ■ log52 23. На основании формулы (4.9)
(3 ) 3
А = log2 51 — log5 21 = — log2 ^ ■ logs 2 , откуда, с учетом (4.8), А = 1,5.
Ответ. 1,5.
4.93. Вычислить: 10 .
Решение. На основании формулы (4.11) основание логарифма и
логарифмируемое число можно возвести в одну и ту же степень. По¬
этому
5 = log(^)3 53 = log10125.
Теперь 104_1о8<®>)3 53 = ю4 iogl0i25 = 1q4 - — = 80.
F l0l°gi0l25 125
Ответ. 80.
Вычислить:
4.94. log4 676, если log2 26 « 4,7.
4.95. log2 Zfa, если loga 32 = 5.
4.96. log^j л[а, если loga 27 = 10.
4.97. logons 26, если log2 26 « 4,7.
4.98. lg 96, если lg 2400 * 3,4; lg 2 * 0,3.
з
4.99. log32 80, если lg 5 * 0,7; lg 3,2 * 0.5. 4.100. (V9)logs3.
84
4.3. Логарифмические уравнения
При решении логарифмических уравнений, например, при
потенцировании, могут расшириться область допустимых значе¬
ний (ОДЗ) уравнения и появиться посторонние корни. Чтобы
отсеять возможные посторонние корни, в конце решения реко¬
мендуется сделать проверку. Если единственной причиной по¬
явления посторонних корней является расширение ОДЗ, то вме¬
сто проверки полученных корней можно найти ОДЗ уравнения
и выяснить, входят ли в нее эти корни.
Во многих случаях бывает удобнее все же сделать проверку
корней. Напомним, что при проверке полученные корни под¬
ставляются в исходное уравнение или ему равносильное.
При использовании формул логарифмирования (4.4)—(4.6)
следует помнить, что они справедливы лишь для х > 0, у > 0.
Так, если х < 0, у < 0, то левые части формул (4.4) и (4.5)
X
имеют смысл (ибо в этом случае ху > 0 или — >0), а правые
У
части — нет.
Поэтому для случая, когда х и у — одного знака (х > 0, у > 0
или х < 0, у < 0), формулы (4.4) и (4.5) должны быть записаны
в виде:
loga(xr) = log0| х | + loga| у |, (4.4*)
logд ~ = logo | X | — l0ga| у |. (4.5*)
Аналогично, если n — четное число, то в формуле (4.6) левая
часть имеет смысл при х < 0 (ибо х" > 0 и этом случае), а правая —
нет. Поэтому, если п — четное число, то формула (4.6) должна
быть записана в виде:
loga х" = п loga| X |. (4.6*)
Неучет этого обстоятельства, т.е. использование при лога¬
рифмировании формул (4.4) — (4.6) вместо формул (4.4*)—
(4.6*), в ряде случаев может привести к сужению ОДЗ уравнения
и потере его корней.
Например, уравнение lg х2 = 2 (ОДЗ которого х * 0) имеет
два корня: х\ = 10 ихг = —10. Если его решать, логарифмируя
обе части по формуле (4.6), то получим 2 lg х = 2 (ОДЗ этого
уравнения х > 0, т.е. сузилась по сравнению с первоначальной),
85
откуда lgx=lHx=10. В результате корень уравнения х = -10
оказался потерянным.
Чтобы в процессе решения уравнений не потерять его корни,
рекомендуется отказываться от таких преобразований, которые
могут сузить ОДЗ уравнения.
В данном случае следовало применить формулу (4.6*) вместо
(4.6), т.е. 21g |х| = 2, откуда lg |х| = 1, |х| = 10 и хр2 = ±10; или
использовать определение логарифма, т.е. х2 = 102 = 100 и a'i 2 =
= ±10. ’
4.101. Решить уравнение: log5_x(2x2 - 5х + 31) = 2.
Решение. Из определения логарифма следует, что 2х2-5х + 31 =
= (5 - х)2, откуда х2 + 5х + 6 = 0 и х\ = —2, х2 = — 3. Делаем проверку:
при х = -2 log5+2[2( 2)2 - 5(-2) + 3l] = log7 49 = 2;
при х = -3 log5+3[2(-3)2 - 5(—3) + 3l] = log8 64 = 2.
Вместо проверки (которая в данном случае проще) можно было в
начале решения найти ОДЗ уравнения, решив систему
2х2 - 5х + 31 > 0,
о-х>0,
5-х*1,
и убедиться в том, что х\ = —2, х 2 = — 3 удовлетворяет решению этой
системы.
Ответ. {—2; —3}.
4.102. Решить уравнение: log^ log2 log7 х2 = 0.
Решение. Данную запись следует понимать так:
log* [log2(log7 х2)] = 0.
Поэтому, используя определение логарифма, последовательно нахо¬
дим: log2(log7x2) = я°= 1; log7 x2 = 21 = 2, x2 = 72 = 49, xj;2 = ±7.
Ответ. {—7; 7}.
4.103. Решить уравнение: 4los64(x-3)+iog25 =
Решение. Перейдем к основанию степени 2 и представим уравнение
в виде 2 8 26 Р 3) 2log2 5 = 50^ одз
уравнения х — 3 > 0, или х > 3.
Так как по формуле (4.10) log 6 (х - 3) = —log2(x - 3), то уравнение
1 6
2
примет вид [21о82(х-3)]б -|21о825| =50.
86
Используя основное логарифмическое тождество (4.3), получим
Возводя в куб обе части уравнения,
(х - З)1/3 • 25 = 50, или т/х - 3 = 2.
найдем х — 3 = 8, откуда х = 11.
Ответ. {11}.
Решить уравнения:
4.104. logx (2х2 - 2х) = 1.
4.106. logx-i (х2 — х) = 2.
4.108. log^ log3 log2 х = 0.
4.110. lg [log2 log3 л/х +1] = 0.
4.105. logx+2 (3x2 + 4x - 14) = 2.
4.107. lg lg lg x = 0.
4.109. log^log2log4(x-15)=0.
4.111. log7 log5 (л/х + 5 + л/х) = 0.
4.112. x31og*5 =5x.
4.114. Решить уравнение:
4.113. xlog*P-2)2
lg(35-x3) 3
lg (5 - x)
9.
Решение. Приведем уравнение к виду lg (35 — х3) = 3 lg (5 — х).
Потенцируя, получим 35 — х3 = (5 — х)3 или х2 — 5х + 6 = 0, откуда
х\ = 2, х2 = 3. Делаем проверку.
Ответ. {2; 3}.
4.115. Решить уравнение: lg л/х - 5 + lg л/2х - 3 + 2 = lg 300.
Решение. Удобно представить число 2 = 2 lg 10. Тогда, потенци¬
руя, получим Vx - 5 ■ V2x - 3 ■ 102 = 300, или Vx - 5 ■ ^2х - 3 = 3. После
возведения в квадрат придем к уравнению 2х2 — 13х + 6 = 0, откуда
х\ = 0,5, х2 = 6.
Проверка показывает, что х\ = 0,5 — посторонний корень, а х2 =
= 6 — корень данного уравнения.
Ответ. {6}.
Решить уравнения:
4.116. 3 lgVx = lg(3x - 4).
4.117. lg(x + 6)-2 = jlg (2х - 3) - lg 25.
4.118. lg/2^ 5\ = 0,5. 4.119. — lgVx2 + x - 5 = lgx + lg-.
lg (x - 8 j 2 x
4.120. lgV5x-4 -lgVx-1 = 2 + lg 0,08.
4.121. lg Vl-x2 - 3 lg л/Г^х = -i-lg (1 + x) + 2.
4.122. log1/6(x - 1) + log1/6(5x + 3) = -2.
87
4.123. log2 (2x - 1) + log2 (x + 5) = log2 52 - 2.
4.124. lg(3~2x)-lg3
\g (1 - x)
0,5.
f
4.125. log4 (2x + 3) + log4 (x - 1) = 2 - log4
4.126. Решить уравнение: lg2 x + lgx2 + lgx3 = 6.
Решение. Используя формулу (4.6), преобразуем lg х2 = 2 lg х,
lg х3 = 3 lg x. Тогда уравнение примет вид lg2 х + 2 lg х +3 lg х = 6, или
lg2 х + 5 lg х — 6 = 0. Полагая lg х = у, получим у2 + 5у — 6 = 0, откуда:
а) у\ = -в; (lg x)i = -в; хх = 1(Г6 = 0,000001; б) у2 = 1; (lg х)2 = 1; х2 = 10.
Ответ. {0,000001; 10}.
4.127. Решить уравнение: logx VJ + logx(5x) - 2,25 = log2 V5.
Решение. Используя формулы логарифмирования (4.4) и (4.6),
преобразуем выражения:
logx S = ^iogx 5 и logx (5х) = logx 5 + logx х = logx 5 + 1.
Теперь,
полагая logx 5 = у, получим уравнение
или, после преобразований, у 2 — 6у + 5 =
|у + (1 + у)-2,25 =
0, откуда:
а) у\ = 1; logx 5 = 1; х = 5; б) у2 = 5; logx 5 = 5; х = .
Ответ: |^5; 5|.
4.128. Решить уравнение: lg lg х + lg (lg х2 — 1) = 1.
Решение. Потенцируя и учитывая, что 1 = lg 10, получим:
lg [lg x(lg х2 — 1)] = lg 10, или lg x (21g x — 1) = 10.
Полагая lg x = у, получим у (2у — 1) = 10, откуда yi = 2,5 и у2 =
= ~2. Пришли, таким образом, к двум уравнениям: lg х = 2,5, откуда
х = 102’5, и lg х = —2, откуда х = 0,01.
9 S
Проверка показывает, что х = 10 ’ — корень данного уравнения, а
х = 0,01 — посторонний корень.
Ответ: {102>5}.
Решить уравнения:
4.129. log2x + 3 =21og2x2.
4.131. 31§* + 2 1 .
’ ’ l-lg2x 1-lgx
4.133. 0,25 lg4 х + 8 =3 lg2 x.
4-130. = |-^lgx.
4.132.
1
5 - log2 x 1 + log2 x
= 1.
88
4.134. lg4(x -1) - 1,25 lg2(x -1)2 + 4 = 0.
4.135. (41g2x-l)(lgV + l) = 15.
4.136. lg2 (lOOx) + lg2 (lOx) + lg x = 14.
4.137. log2 x + logx 2 = 2.
4.138. log2(4x) + log^ x + logx 2 = 8,5.
4.139. log4 log2 x + log2 log4 x = 2.
( I—\l°g5 *-l
4.140. Решить уравнение: (Vxj = 5.
Решение. Логарифмируя по основанию 5, получим(log5 х - l) х
х log5 >/х = log5 5, или (log5 х - l)-^Tog5 х = 1.
Полагая log5 х = у, получим (у -1 )^-у = 1, или у2 ~ у ~ 2 = 0, откуда
У1 = 2, у2 = -1.
Таким образом, приходим к совокупности двух уравнений: logs х =
= 2; logs х = —1. Из первого находим х\ = 25, из второго х2 = 0,2.
Ответ. {0,2; 25}.
4.141. Решить уравнение: lsZ[x = 10х4.
Решение. Логарифмируя по основанию 10, получим —-lgx =
lgx
= х4 lg 10, или х 4 = 1, откуда Xi = 1, х2 = — 1. Проверка показывает,
что оба корня — посторонние.
Ответ, решений нет.
4.142. Решить уравнение: 61о8бХ + х1о8бХ = 12.
Решение. Преобразуем первый член 61о8бХ =^6log6X| 86 =xlog6X.
(Здесь использовали основное логарифмическое тождество (4.3)). Те¬
перь уравнение примет вид 2xlog6X = 12, или xlog6 х = 6. Логарифмируя
по основанию 6, получим logg х ■ logg х = 1, или logg х = 1, откуда
logg х = —1 и logg х = 1. Решая первое уравнение, найдем х = 6-1 =
= —; решая второе, найдем х = 61 = 6.
6
Ответ: j-i-; 6
89
Решить уравнения:
4.143. xlog2X+4 = 32.
4.145. = 10.
4.147. х1оё4Х~2 =231og4X~3
4.149. 3log"x + xlog3X =6.
lgx+7
4.144. x 4 = 10lgx+1.
4.146. x21g3x-1’51gx = Vl0.
4.148. xlos^(x-2) = 9.
4.150. 2log2x + 5xlog2 x = 12.
4.151. Решить систему уравнений:
12 l°gj2 x - log1/x у = 2,
I ylg(x+j)-lgl2 _ J
авн(
(использованы формулы (4.8) и
Решение. Приведем первое уравнение системы к основанию х.
Так как log 2х ^ ^
=>’"" logxy2 2 log ху
(4.6)), log1/x у = logx-i у = -logx у (использована формула (4.10)), то
2
первое уравнение примет вид
2 log ху
+ logx у = 2. Обозначив logx у = t,
1 ?
получим —+t=2. Преобразуя уравнение при t* 0, получим 1 +t = 21,
или (t — l)2 = 0, т.е. t = 1 и logx у = 1, у = х.
Из второго уравнения следует, что показатель степени lg (х + у) —
— lg 12 = 0, откуда lg (х + у) = lg 12 и х + у = 12. Итак, пришли к сис¬
теме:
'У = х,
х + у = 12,
откуда х = у = 6.
Ответ. {(6; 6)}.
Решить системы уравнений:
4 152 {5(1°ёт-х + 1°ёхТ) = 26,
|ху = 64.
4.154.
fig (х2 + у2)- 1 = lg 13,
flg (х + у) - lg (х - у) = 3 lg 2.
4.153.
4.155.
х-у
2 2
3lg(2.У-х) _ ^
х-у
= 12,
[log4 х - log2 у = 0,
1 х2 - 5у2 +4 = 0.
90
4.156.
3х -2у = 576,
4.157.
,2yfx-Jy
= 81,
iog^Cv-^) = 4. [lgV^7 = 1 + lg3.
4.4. Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1
4.158. 21082 х = 4.
4.159. 9• 3^ 1 — 2• 5^ 2 = 5х-2-3х.
4.160. log2 (2х + 3) + log2 (х - 1) = 4 - log.
16
4.161. 2
с2-6х-2,5
= i6 VI.
4.163. 72х - 6 • 7х + 5 = 0.
4.162. log2 log3 log4 (х - 1) = 0.
9 7
4.164. I --9х] =32х+6
4.165. 3 lg (х - 3) - 0,5 lg (1 - x2) = 2.
4.166. 4х-1 - 0,53~x = 62.
4-168. |j) =^57.
4.170. 5 log2 =
4.167. log2 + log3 x - 1.
4.169. logx (бх + 5x2) = 3.
4.172. ;clgx =
100
4.174.
4.178.
lg(x + 10)
)=
2 lg 2C + 2 1
l-lg2x lgx-l
22 +2.
4.171.
9X-1 + 3X+2 _ ,
log" 2
4.173.
^-6 log5 2
/|2х 0
2-2x
Li.
)
4.175.
О
О
4*
К
x)= 3 -X.
4.177.
^x-i 23x~7 —
■>9-x
= 1.
4.179. (x + 2) + log2 (l - 2X) = 0.
4.180. lg I 8^2х^14’5х I = 0.
4.181. log2
9xl + 7
3х-1 +1
= 2 .
4.182. 5lgx - 3lgx^ = 3lgx+1 - S18*-1.
4.183. 2
2-6x+9) J°gxJx~\
= 9
4.184. log3 (28 - 3X)= 3
- x.
91
4.185. tf^44 = 5^-4. 4.186. 3 log5 2 + 2 - х = log5 (зх - 52^).
4.187. 52(logs 2+х| - 2 = 5x+log5 2. 4.188. 3jlgx + 2 lg= 2 .
4.189. 2 logx 3 • log3x 3 = log9VI 3. 4.190. x lg 5Ь2х~8 - lg 25 = 0.
4.191. 1з*+2_15х+3=3х+4_5х^
3 5
4.192. log4 (pc +12) logx 2 = 1.
\lgx
4.193. 5X -8X+1 =100.
x-3
4.195. 2X - 4 • 2~ = 0.
4.194. (Ш18Х)‘°" + xlgx =20.
4.196. log2 x + log4 x + logg x = 11. 4.197. 2xlgx + 3.x~lgx = 5.
4.198.
f 4
X s
V
c-1
fj = ^ • 4.199. lg (2X +1) - lg 6 = xQg 5 - 1).
X
4.200. lg (2X +x-4) = x(l - lg 5). 4.201. (2X - 28)lgX = x2.
4.202. 0,6х • (yj = Ц-jj . 4.203. x44 = Vx7
4.204. lg2 2x + lg2 3x = lg2 2 + lg2 3. 4.205. log3x — + log2 x = 1.
4.206. ^/logx 43x ■ log3 x = -1. 4.207. x44 = {Jxj .
4.208. 5lgx = 50 - xlg5. 4.209. xlog2 x - 2log2 x = 0.
4.210. log2 x • log3 x • log5 x = log2 x • log3 x + log2 x • log5 x +
+ log3 x • log5 x.
4.211. Jl + 41og4
x + 4 log4 x +1 + log4 x
4.212.
"3
21og9 (x+1)
^125
l 27
log^(x-l)
I 27
logs 27
log5 243 '
4.213. log6
y/x+l
- 3
log6 log^ 93
4.
92
Решить системы уравнений:
4.214.
92+log2(х+у) _ 1 Г
, ’ 4.215.
lg 2 + lg (log16 х + log16 у) = 0.
logx у - logy x = 1,5,
£ = 2
.x
4.216.
=
IgA
. У
1
л/looo’
= -6.
4.217.
4.218.
log2 log5(x2 - 2xy + 2y2)
103-lg(x-^) = 25q_
(x + y)x = (x - y)y,
log2 A - log2 у = 1.
= 1,
4.219.
х1оЁЗ * + 2у1оВз х = 27,
log3 у - log3 X = 1.
Решить уравнения:
4.220. 1 + 2 l0g9 2 -1 = 2 logx 3 • log9 (12 - х).
log9 х
4.221. yjlog2 (2х2)- log4 (l 6х) = log4x3.
4.222. log^ [x + |x - 2|) = logx (5x - 6 + 5|x - 2|).
3 , 1
7 w- -!°Вз x+ 7=
4.223. x^83^ =Vx 108 .
4.224. xlosi(x2h°S2(2x)-2 + + 2)logb+2p4 = 3.
Решить системы уравнений:
4225 |л/1оё2 (Ap)log4 (8j) = log4 X3,
4.226.
V7-V48
2 lg (J3-X)
+
V7+V48
lg (x-T)
= 14,
x2 +4(x + y) = 25.
93
4.227.
х2 -2у-14 „ , ,
- — - -Зх + 4у + 1,
х-2у-ъ
log5 ((2х - Зу - 4)2 -16) = log5 ((х - у + 4)2 -16).
4.228.
4.229.
(х - 2)2 - 2у(х — 6) = 16,
log3 (-у2 - х -1)2 = log2
4 у + 2 ху
(1 - 2у)(х + 2)2 - 4у4
Г2lo8s(J0')+1 -1-5.5 lofe*_ 4. giog5y+0,i _Q
[x2 + y2 — 2 xy.
4.230.
lg (з^ _ 24-4^+у j - 2 = _ Vх + 0> 25_y • lg 4,
xl + x + y — 7.
Решить уравнения:
2 2
4.231. 4-32ж + Зх ~x+2 — 7.з4~2х — q
4.232. 27^4^^ + 74^66^ + 128 =4 -2х.
4.233. 2\J(4-2X)2 +7?
-18-2х+32=2х+1-8.
4.234. (9х - 5 • 3х + 2)2 - 36(3* - 5) • 3х -148)2 =
2 о
х -2-х
2 + х - х2
-1
4.235. lg2 (х3 - 5х2 + 8х - 4) = lg2 (х -1).
4.236. (log3 (х2 - 7) + 3 log2 (х2 - 7) - 4 log2 (х2 - 7))"
4.237. (log3 (х2 - 6) + 2 log2 (х2 - 6) - 3 log3 (х2 - 6) j =
4.238. lg2 (х3 - 5х2 + 8х - 4) = lg2 (х -1).
78
= 78¬
6 + х-
~2
х - X
Глава О.
Неравенства алгебраические
При изучении этой темы следует хорошо знать свойства не¬
равенств, обратив особое внимание на умножение обеих частей
неравенства на одно и то же число: если это число положитель¬
ное, то знак неравенства не меняется, если отрицательное, то
знак неравенства меняется на противоположный, т.е. если а > b
и т > 0, то am > bm; если а > b и т < 0, то am < bm.
Поэтому в отличие от уравнений при преобразовании нера¬
венств в принципе нельзя отбрасывать общий знаменатель, со¬
держащий неизвестное х, который может принимать в зависи¬
мости от х как положительные, так и отрицательные значения
(напомним, что аналогичная операция для уравнений может
привести лишь к приобретению посторонних корней, устраняе¬
мых, например, проверкой).
5.1. Линейные неравенства
5.1. Решить неравенство: ах + b > 0.
Решение. Перепишем неравенство в виде ах > —Ъ. Возможны три
случая.
1. Если а > 0, то, разделив обе части неравенства на положительное
Ъ
число а, получим х>—.
а
2. Если а < 0, то, разделив обе части неравенства на отрицательное
Ъ
число а, надо изменить знак неравенства, т.е. х<—.
а
3. Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ■ х > —Ъ, при этом, если
Ъ > 0, правая часть (—Ъ) — число отрицательное, и неравенство выпол¬
няется при любом действительном значении х; если Ъ < 0, то (—Ъ) —
число положительное, и неравенство не выполняется ни при каком
значении х.
Ъ Ъ
Ответ: х > при а > 0; х < при а < 0; х — любое действительное
а а
число при а = 0, Ъ > 0; решений нет при а = 0, Ъ < 0.
95
Решить неравенства:
5.2. 7х > 3.
5.4. 5х + 6 < Зх — 8.
5.6. ах > 1.
5.3. ~4х > 5.
5.5. ах < 1.
5.7. а(х — 1) > х — 2.
5.2. Системы линейных неравенств
5.8.а. Решить систему неравенств:
Г Зх >1,
{-х < 3.
Решение. Для первого неравенства решениями будут все числа,
большие у, для второго неравенства — большие (—3) (рис. 5.1).
Ответ:
Г
+ 00 .
5.8.6. Решить систему неравенств:
13-12х , х .
+ 6х > — + 4,
5 2
Зх + 4 1 , х
> —(х - 3) + —.
9 4 2
Решение. Запишем систему неравенств, равносильную данной:
26 - 24х 60х 5х + 40
< Го Ь1ГГ> 10 ’
12х + 16 9х-27 + 18х
' 36 > 36 ’
31х > 14,
или < откуда <
I - 15х > -43,
х <-
14
31’
43
I?’
Изобразим на числовой оси решения обоих неравенств (рис. 5.2).
96
14/31
43/15
Рис. 5.2
Очевидно, решения, удовлетворяющие одновременно двум неравен-
14 43
ствам, заключены в интервале —; — |.
п С14 43.
Ответ. -J.
Решить системы неравенств:
2х < л,
- х > —1,6.
5.9.
5.10.
I х > -1,
2х + 1 < 5.
5.11.
3;v 1 13 .v 1х 11(х + 3)
~5 2 >_3 6
2х + 7 Зх + 5
<-
10-Зх
3 7 5
5.12. Найти наибольшее целое решение системы неравенств:
2х - 5 2-х
2
Зх-2
3>
1>
4х х-1
5 3 2
5.13. Найти целые решения системы неравенств:
х-1 2х+3 х , х+5
н— <2 ,
2 3 6 2
, х+5 4-х « х+1
1 н < Зх .
5.14. Решить двойное неравенство: 5 < Зх + 4 < 7.
Решение. Это неравенство равносильно системе неравенств
Зх + 4 > 5, 1
откуда - < х < 1.
Зх + 4 < 7, 3
Рассмотрим другой способ решения: вычтем из всех частей исходно¬
го неравенства 4, придем к равносильному двойному неравенству
97
1 < Зх < 3. Разделив все части неравенства на коэффициент 3 при х,
1 ,
получим — < X < 1.
Ответ: ; lj.
Решить двойные неравенства:
5.15. -3 < 2х ~ 9 < 2. 5.16.
5.17. —3 < 2 + 1,5х < -2,5.
2 х + 4 5
— < <—.
21 14 6
5.3. Дробно-рациональные неравенства
При решении этих неравенств удобно пользоваться методом
интервалов, который основан на важном свойстве непрерывных
функций: если функция не обращается в нуль на некотором ин¬
тервале из области определения, то она на этом интервале сохра¬
няет знак.
, „ х - 4 2
5.1а. Решить неравенство: < .
х-2 х + 1
Решение. Перенесем все члены неравенства в левую часть и при¬
ведем полученное выражение к общему знаменателю. Получим
х2 -5х
< 0. Найдем, при каком значении х обращаются в нуль числи-
(х-2)(х + 1)
тель (х = 0, х = 5) и знаменатель (х = —1, х = 2). Отметим эти значения на
числовой оси. Точки, в которых обращается в нуль знаменатель дроби, ис¬
ключаются, так как левая часть неравенства не имеет смысла (на числовой
оси изображаем эти точки светлыми кружками). На каждом из интервалов
(-оо; —1), (—1; 0), (0; 2), (2; 5), (5; +да) функция непрерывна и не обращается
в нуль, т.е. сохраняет знак. Найдем эти знаки, определив значение функции
в произвольных точках, взятых на каждом интервале, и построим кривую
знаков (рис. 5.3).
->
X
Рис. 5.3
Выражение, стоящее в левой части неравенства, отрицательно в интерва¬
лах (—1; 0), (2; 5). Точки, в которых числитель обращается в нуль, входят в
решение, так как неравенство нестрогое (на числовой оси изображаем эти
точки закрашенными кружками). При записи ответа используем знак
U объединения множеств.
Ответ: (—1;0]U(2;5]
98
Если числитель и знаменатель не содержат большого количе¬
ства множителей, решение неравенства можно свести к реше¬
нию системы линейных неравенств.
5 + 2х
5.19. Решить неравенство: — >0.
х - 6
Решение. Дробь положительна, если числитель и знаменатель
имеют одинаковые знаки, т.е.
1)
\5 + 2х > О,
\х - 6 > О,
или 2)
|5 + 2х < О,
[х - 6 < 0.
Решаем системы неравенств, отмечая решения на действительной
оси (рис. 5.4).
1)
2х > -5,
х > 6,
откуда находим х > 6;
Рис. 5.4
Иногда в дробно-рациональных выражениях знаменатель
(или числитель) принимает при всех х положительное значение,
в этих случаях знак дроби определяется только числителем
(знаменателем).
5.20. Решить неравенство: -—— > 0.
х2 +4
Решение. Так как х2 > 0 при всех х, то х2 + 4 > 4, т.е. знаменатель —
х(х -1)
величина положительная, и дробь —^ неотрицательна тогда и толь-
х1 +4
ко тогда, когда неотрицателен числитель этой дроби. Исходное неравенство,
таким образом, равносильно неравенству х(х — 1) > 0. Произведение неот¬
рицательно, когда оба сомножителя имеют одинаковые знаки:
99
х > О,
х - 1 > О,
х < О,
х - 1 < 0.
Решением первой системы является х > 1, второй х < 0.
Ответ, (-оо; o]U[l; +<»).
Решить неравенства:
- х2 +2х - 15
5.21. г < 0.
5.23.
х2+1
х2 - х - 6
81 + х2
< 0.
, 2х + 1 ,
5.25. < -3.
1-х
,„4 3 10 1
х 4 х 3
5.29.
1
5.22.
х2 - 5х + 4
Зх2 +1
< 0.
2х2 -Зх + 7
5.24. т > 3.
х2 +1
, - , 5х-1
5.26. — < -2 .
5.28.
4 + х
х
1-х
>1.
х2 - 4
5.30. —- > 0.
х2 +4
2х + 3 х - 5
5.31. (х +2)(х ~ 1)(х - 3) > 0.
5.32. (х + 4)5(х + 3)6(х + 2)1(х - I)8 < 0.
5.33. (х + З)4 (х ~ 2) < 0. 5.34. х3 + 2х2 - х - 2 > 0.
(х - 1) (х2 + 4х + з) (2х + 3) (х2 - х + l)
Ц > 0. 5.36. 4 L
х2 +2 х2 + 1
5.37. (х + 2)(х + 1)(х - 1)(х - 3) < 0.
5.35.
< 0.
5.4. Квадратные неравенства
Частный случай дробно-рациональных неравенств — квад¬
ратные неравенства.
Рассмотрим квадратное неравенство ах2 + Ьх + с > 0 (или
ах2 + Ьх + с < 0), а ф 0.
Будем считать, что а > 0. Если а < 0, то умножением обеих
частей неравенства на —1 и соответствующим изменением его
знака всегда можно получить а > 0.
График квадратного трехчлена, стоящего в левой части нера¬
венства, представляет собой параболу с направленными вверх
ветвями. Возможны три различных случая (рис. 5.6).
100
1. Дискриминант D = b2 - 4ас > 0. В этом случае квадратный
трехчлен имеет два различных корня х\ и х2 (см. рис. 5.6, а).
При этом левая часть неравенства положительна на множестве
(-ос^х^иСхд +°о) и отрицательна в интервале (jq, х2) (полагаем
xi < Л'2 ). Поэтому решением неравенства ах 2 + Ьх + с > 0 будут
х < xi и х > х2, т.е. значения х, меньшие меньшего корня и
большие большего корня, а решением неравенства ах2 +
+ Ьх + с < 0 — соответственно х\ < х < х2, т.е. значения х в
промежутке между корнями.
5.38. Решить неравенства: а) -2х2 + х + 1 > 0;
б) -2хг + х +1 < 0 .
Решение. Умножим обе части неравенства на —1, изменив при этом
знак неравенства. Получим: а) 2х2 — х — 1 < 0; б) 2х2 — х — 1 >0. Дискри¬
минант квадратного трехчлена D = \2 — 4 • 2 (— 1) = 9 > 0, его корни
х\ = —1, х2 = 0,5. Интервалы знакопостоянства показаны на рис. 5.7.
Рис. 5.7
Ответ: а) (—1; 0,5); б) (—оо; —1)U(0,5; +оо).
2. Дискриминант D = ti2 — 4ас = 0. В этом случае квадратный трех¬
член имеет два одинаковых корня х\ = х2 = xq (см. рис. 5.6, б). График
касается оси Ох в одной точке хц, поэтому решением неравенства
101
ах2 + bx + с > 0 будет множество всех значений х, кроме хц, а неравен¬
ство ах2 + Ьх + с < 0 решений не имеет.
5.39. Решить неравенства:
а) 4х2 - 12 х + 9 < 0; б) 4х2 - 12х + 9 > 0.
Решение. Дискриминант квадратного трехчлена D = 122— 4 • 4 • 9 =
= 0, его корни
xi = Х2 = 1,5, т.е. 4х2 — 12х + 9 = 4(х — 1,5)2.
Ответ, а) решений нет; б) х ф 1,5.
3. Дискриминант D =Ъ2 — 4ас < 0. В этом случае квадратный трех¬
член не имеет действительных корней: его график расположен над
осью Ох (см. рис. 5.6, в), поэтому ох2 + Ьх + с > 0 при всех х, а нера¬
венство ах2 + Ьх +с < 0 не имеет решений.
5.40. Решить неравенства:
а) х2 + Зх + 5 > 0; б) х2 + Зх +5 < 0.
Решение. D = (—З)2 — 4 ■ 5 < 0, поэтому неравенство а) справед¬
ливо при любых значениях х, а неравенство б) решений не имеет.
Ответ, а) (—да; +да); б) нет решений.
Найти решение квадратного неравенства можно и методом
интервалов: определив корни квадратного трехчлена, отмечаем
их на действительной оси и находим знаки квадратного трех¬
члена на каждом из полученных интервалов. Например, для ре¬
шения неравенства -2х2 +х + 1 > 0 (см. пример 5.38, а) умно¬
жаем обе части его на —1 и приходим к равносильному неравен¬
ству 2х2 — х — 1 < 0. Далее из уравнения 2х2 — х — 1 = 0
находим корни х\
1, х2
2
и, раскладывая квадратный
трехчлен на множители по формуле (1.20), приходим к неравен¬
ству 2(х + 1) | х - — | < 0. На каждом из полученных интервалов
определяем знаки функции, строим кривую знаков (см. рис. 5.7)
и выписываем ответ.
5.41. х2 - 8х +15
5.43. 7 - 6х - х2
5.45. х2 + 5х +10
> 0.
5.42.
< 0.
5.44.
< 0.
2х2 - 7х - 49 > 0.
—4х2 + 4х — 1 < 0.
102
5.5. Неравенства, содержащие неизвестное
под знаком абсолютной величины
5.46. Решить неравенство: \х\< а.
Решение. Если а < 0 , то неравенство не имеет решения, так как
| х | — неотрицательная величина при всех х. Если а > О, то, используя
определение абсолютной величины (1.21), приходим к двум системам
неравенств:
х > О,
х < а
(1) и
х <0,
-х<а.
(2)
Решением первой системы является промежуток 0 < х < а, а второй —
—а < х < 0 (рис. 5.8 и 5.9 соответственно).
0 ах 0 ~ах
Рис. 5.8 Рис. 5.9
Объединяем полученные решения.
Ответ: (—о; а).
5.47. Решить неравенство: | х — 1 | > 2.
Решение. Используя определение абсолютной величины, получим
две системы неравенств:
1>0,
1 >2
(1) и
Г ж -1 < 0,
\-х + 1 > 2.
(2)
Решением системы (1) будет х > 3, системы (2): х < —1.
Ответ: (—°о; — 1)U(3; +оо).
5.48. Решить неравенство: \ х + 2 \ +\х — 3 | > 5.
Решение. В точках —2 и 3 (рис. 5.10) одно из выражений, стоя¬
щих под знаком абсолютной величины, обращается в 0.
о о >
—2 3 х
Рис. 5.10
Рассмотрим три случая:
1) х <~2. Оба выражения, стоящие под знаком абсолютной величи¬
ны, отрицательны, поэтому | х + 2 | = — (х + 2), | х — 3 | = — (х — 3), и
исходное неравенство примет вид —х— 2 — х+3>5, или —2х > 4, т.е.
х < —2 — решения неравенства;
103
2) при — 2 < х < 3 выражение (х + 2) неотрицательно, а (х — 3) отри¬
цательно, т.е. |х + 2| = х + 2и|х — 3 | = — (х — 3), поэтому неравенст¬
во примет вид х + 2 — х + 3 > 5, или 5 > 5. Так как полученное нера¬
венство неверно, то решений исходного неравенства в этом полуинтер¬
вале нет;
3) х > 3. Теперь оба выражения (х + 2) и (х — 3) неотрицательны,
т.е. |х + 2| = х + 2и|х—3| = х— 3, и неравенство примет вид х + 2 +
+ х — 3 > 5, или 2х > 6, т.е. х > 3.
Ответ: (— оо; —2) U (3; +оо).
Решить неравенства:
5.49. | х - 1 | > -1.
5.50. | 2х +1 | > х.
5.51. | 2х + 3 | < 4х.
5.52. | 1 — Зх | — | х +2
5.53. х < —-—.
х — 1
5.54. (1 + х)2 < | 1 — х-
5.6. Показательные и логарифмические
неравенства
При решении показательных и логарифмических неравенств
следует помнить, что показательная у = ах и логарифмическая
у = loga х функции являются возрастающими при а > 1 и убы¬
вающими при 0 < а < 1. Поэтому из неравенств ах > ау или
loga х > loga у следует, что х > у, если а > 1, и х < у, если 0 < а < 1.
При потенцировании или логарифмировании обеих частей не¬
равенства по основанию а знак неравенства сохраняется преж¬
ним, если а > 1, и изменяется на противоположный, если 0 < а < 1.
Если значение основания а неизвестно, то необходимо рассмат¬
ривать два случая.
/^лбх+10-х2 27
5.55. Решить неравенство: J <64'
Решение. Учитывая, что
виде
Ъ_
6х+10-х2
<
3_
з
27
64
_3
перепишем неравенство в
Так как основание показательной функции
равносиль¬
ным данному неравенству будет следующее неравенство с противопо¬
104
ложным знаком: 6х + 10 - х2 > 3, или х1 - 6х - 7 < 0, решением кото¬
рого будет —1 < х < 7.
Ответ. (—1; 7).
5.56. Решить неравенство: 4х - 2 • 52х - 10х < 0.
Решение. Так как 10х >0, то, разделив исходное уравнение на
(2 V (5)х
10х, получим равносильное неравенство I—I -21—j - 1 < 0.
Обозначим [ — I = у > 0, имеем у - 2 • — - 1 < 0, или V2 - у - 2 < 0.
\5) у
Разложим левую часть неравенства на множители (у — 2)(у + 1) < 0.
Так как у > 0, у + 1 > 0, то у — 2 < 0, т.е. у < 2. Следовательно,
2]х 2
— I < 2. Логарифмируя по основанию а = — < 1, придем к неравенст¬
ву с противоположным знаком: х > log2/5 2.
Ответ, (log2/52; + 00j.
5.57. Решить неравенство: log5 (х2 - 11х + 43) < 2.
Решение. Заметив, что 2 = logs 25, перепишем неравенство в ви¬
де: log5 (х2 - 11х + 43) < log5 25. Неравенство имеет смысл при
х2 - 11х + 43 > 0.
Потенцируя обе части по основанию а = 5 > 1, придем к системе,
равносильной данному неравенству:
|х2 - 11х + 43 > 0,
[х2 - Пх + 43 <25.
Первое из этих неравенств справедливо для любых значений х, так
как дискриминант квадратного трехчлена D = 121 — 4 ■ 43 < 0. Следо-
л
вательно, система равносильна неравенству х -11х + 43<25, или
х2 - 11х +18 < 0, решениями которого являются значения 2 < х < 9.
Ответ. (2; 9).
2х +1
5.58. Решить неравенство: logx ^ > 0.
Решение. Рассмотрим два случая.
ГО < х < 1,
D°<x<1 о<^!<1.
(1)
5(1 - х)
Находим решение второго неравенства. Оно эквивалентно системе
105
2х + 1
5(1 - х)
2х + 1
>0,
(2), решая которую получаем
5(1 - х)
< 1.
< х < 1,
2
4 .
х < —; х > 1.
(2')
1 4
Решением системы (2) будет - — < х < —. Решение системы (1) по¬
казано на рис. 5.11.
Рис. 5.11
2) х > 1. В этом случае логарифмическая функция — возрастающая,
тогда исходное неравенство эквивалентно системе неравенств:
Гх > 1,
2х + 1
[5(1 - х)
Эта система несовместна, так как решения второго неравенства
— < х < 1 не имеют общих точек с х > 1 (рис. 5.12).
5.59. Решить неравенство:
log7 х - log7 (2х
5) < logy 2 - logy (х -3).
Решение. Неравенство имеет смысл при х > 3, так как только при
х > 3 все логарифмы, входящие в неравенство, существуют. Перепишем
неравенство, используя свойства логарифмов:
, х - 2
logy - < logy ■
2х - 5
х - 3
106
Основание логарифма 7 больше 1, поэтому неравенство эквивалент¬
но системе неравенств:
Гх > 3,
[_2х - 5 х - 3
fx > 3,
или <х2 - Зх - 4х +10
< 0.
(2х - 5)(х - 3)
При х > 3 знаменатель положителен, поэтому система неравенств
равносильна системе:
Гх > 3,
|х2 - 7х + 10 < 0.
Корни квадратного трехчлена второго неравенства х; = 2, х2 = 5, реше¬
ния второго неравенства 2 < х < 5; учитывая первое неравенство, имеем
(рис. 5.13):
Ответ: (3; 5].
Рис. 5.13
Решить неравенства:
5.60.
(]Л х2+^х
llj
<Г
-X
. 5.61.
✓ 1 \ 2х+3
22х+1-21-\\\ + 2 > 0.
5.62.
2 х +2
-X
<3.
5.63. lOg; Y
х < -1.
( 3
5.64.
log1/2
U
- х +
log1/2 (1 -
v) > 1.5.65. logv
(logs -V) > 0.
5.66.
51оё^)
<1
5.67. J
1
< —т .
3х +5
3T+1 - 1
5.68.
log2 (4'
- 5 • 2х
+ l)> 2.
5.69. Зт 2 >
2
c2x-l *
5.7. Иррациональные неравенства
5.70. Решить неравенство: (х-1) л1х2 -х-2 > 0.
Решение. Неравенство имеет смысл, когда под корнем стоит не¬
отрицательная величина, при этом л1х2 - х-2 >0, а значения х = —1
и х = 2 обращают левую часть в 0, потому включаются в область реше¬
107
ний неравенства. Так как Jx2 +х - 2 > 0, то левая часть неравенства
неотрицательна при (х — 1) > 0. Запишем эти условия системой нера¬
венств:
1х2 - х - 2 > 0, (я)
[х - 1 > 0. (б)
а)
Рис. 5.14
К общей части решений двух неравенств (рис. 5.14, а и б) необхо¬
димо присоединить отмеченные выше значения х = — 1 и х = 2.
Ответ: {—1}U[2; +оо).
5.71. Решить неравенство: у1х2 + х - 12 < х.
Решение. Так как Jx2 + х -12 > 0, то для х < 0 неравенство не¬
верно, поэтому рассматриваем только х > 0. Левая часть неравенства
существует только при х2 + х - 12 > 0, а так как х > 0, обе части нера¬
венства можно возвести в квадрат. Получаем систему неравенств:
х > 0, (я)
х2+х-12>0, (б)
х2+х-12<х2. (в)
Общая часть решений этих неравенств даст решение системы
(рис. 5.15).
12 х
Рис. 5.15
Ответ: [3; 12).
108
5.72. Решить неравенство: VI3 + Зх2 > 1 - 2х.
Решение. Рассмотрим два случая.
1) 1 — 2х < 0. Учитывая, что + Зх2 > 0, имеем:
jl3 + Зх2 > 0,
jl - 2х < 0.
Первое неравенство выполняется для всех х, второе — для х > —,
2
(1 >
т.е. —; +оо входит в решение исходного неравенства.
2) 1 — 2х > 0. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому их
можно возвести в квадрат. Получим систему:
1-2х>0, \ L , .
<13 + 3х2>0, или<| _2’ '
13 + 3х2 >1-4х + 4х2, [х2 -4х-12<0, (б)
Рис. 5.16
откуда получим решение [-2; 1/2] (рис. 5.16). Объединяя с получен¬
ным выше (1/2: +оо), находим решение исходного неравенства.
Ответ: [—2; +да).
5.73. Решить неравенство: 4х2 - 4х - 5 < 1 - х.
Решение.
1) 1 — х < 0. Неравенство неверно, так как Vx2 - 4х - 5 > 0 всюду,
где существует.
2) 1 — х д 0. Обе части неравенства неотрицательны, возводим их в
квадрат и записываем систему неравенств:
(1-х>0, (я)
•х2-4х-5>0, (б)
х2 - 4х -5 < 1 -2х + х2. (в)
Решаем систему (рис. 5.17).
109
Ответ: [—3; —1].
Рис 5.17
5.74. Решить неравенство: у/х + 2 - J5x > 4х - 2.
Решение. Умножив обе части неравенства на положительное выра¬
жение у/х + 2 + у[5х, получим х + 2 - 5х > (4х - 2) {у/х + 2 + л/бх), ИЛИ,
перенеся все члены в одну часть, имеем (4х - 2) 11 + + у/5х j < 0.
Так как выражение во второй скобке положительно, неравенство экви¬
валентно системе неравенств:
х + 2 > 0, Гх > 0,
< 5х > 0, откуда < 1
4х - 2 < 0, [Х<2'
Ответ:
5.75. Решить неравенство: —
(х2 - 25^(х - 1)
4х - 32
<0.
Решение. Так как дробь неотрицательна и ее числитель неотрица¬
телен (там, где существует), то знаменатель дроби должен быть отрица¬
тельным. Кроме того, неравенству будут удовлетворять те значения х,
при которых числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от
нуля. Таким образом, решениями неравенства являются решения
[(х2-25)(х-1)>0, (й) J(x2-25)(x-1) = 0,
<у ’ или (2) <v ;
системы (1)
4х - 32 < 0.
(б)
4х - 32 ф 0.
Первое неравенство системы (1) решим методом интервалов
(рис. 5.18, а), второе верно при х < 8 (рис. 5.18, б).
по
а)
б)
8 х
Рис. 5.18
Общая часть этих множеств будет решением системы (1). Решения сис¬
темы (2) х = ±5, х = 1 входят (в данном случае) в решение системы (1).
Ответ. [-5; l]U[5; 8)
Решить неравенства:
5.76. х2 +х >1 - 2х.
, х-2 .
5.78. , —<4.
л/2х-3-1
5.80. ,Х~2 >0.
х\6+х-х2
5.77.
5.79.
5.81.
4 -х < Vх2 -2х.
2-л/х + З _ 1
х — 1 > 3'
л/24 + 2х-х2 ,
<,
х
5.8. Применение неравенств к исследованию
уравнений и систем
5.82. При каких значениях а уравнение х2 + ах + 7 = 0 имеет
положительные корни?
Решение. Необходимым условием существования корней являет¬
ся D > 0, т.е. а1 — 4 ■ 7 > 0. По теореме Виета, х\ ■ х2 = 7 > 0, поэтому
корни имеют одинаковые знаки xj +х2 =-а , т.е. чтобы корни сущест¬
вовали и были положительными, необходимо и достаточно, чтобы вы¬
полнялись условия:
| а1- 4-7 > 0,
I ■- а > 0,
или
а2 > 28,
а < 0,
откуда находим а <
Ответ, (^ю;
2л/7.
-2л/7].
5.83. При каких значениях а уравнение а2(х-1) = х + а-2 имеет
решение х > 2?
Ш
Решение. Находим решение этого линейного относительно х
уравнения: а2х - х = а2 + а - 2. Заметим, что при а = 1 уравнение об¬
ращается в тождество. Разделив обе части уравнения на а — 1, получим
(о + 1)х = а + 2, откуда х = ° + ^ . Определим, при каких о выполняет-
о + 1
о + 2 . а+2-2а-2 . -а .
ся > 2, т.е. > 0, или > 0.
а +1 а + 1 0 + 1
Решая методом интервалов, получим (рис. 5.19).
Я
-1
Рис. 5.19
Ответ: (—1; 0).
5.84. При каких значениях а решения системы уравнений
Г х - 7у = 1,
[5х + 3 у — а
удовлетворяют условию: х > 0, у < О?
Решение. Находим решение системы у
о-5 7о + 3
38 ’ Х = 38
Находим о, при котором
7о + 3
38
> 0 и
о-5
38
> 0, решая систему
|7о + 3 > О,
[о - 5 < О,
или
о > -
7 ’
о < 5.
Ответ:
5.85. При каких значениях к неравенство кх2 + 12х - 5 < 0 удов¬
летворяется при любых х?
Решение. Очевидно, ветви параболы, являющейся графиком
трехчлена, стоящего в левой части неравенства, должны быть направ¬
лены вниз, т.е. к < 0. Кроме того, трехчлен не должен иметь корней,
т.е. требуется, чтобы D < 0. Имеем, таким образом, систему
144 + 20* < О,
или
к < О,
к < -7,2,
к < 0.
Ответ: к < —7,2.
112
5.86. При каких значениях т оба корня уравнения х2 - 4тх +
+ 4т2 -9 = 0 заключены между 1 и 15?
Решение. Запишем это уравнение в виде (х - 2т)2 = 9, откуда
находим Xj = 2т + 3, х2 = 2т - 3. Из условия задачи должны выпол¬
няться неравенства: 1 < 2т + 3<15и1< 2т — 3 < 15, откуда находим
—1 < да < 6 и 2 < m < 9, следовательно, 2 < т < 6.
Ответ. (2; 6).
Решить задачи:
5.87. При каких значениях т система
[5х + 4у = 6,
[тх + 6у = 10
имеет решение х> 0, у < 1?
. пп тт ~ х2 + ах- 2
5.88. Для каких значении а неравенство —= < 2 выпол-
х - X + 1
няется при любых х?
5.89. При каких значениях т оба корня уравнения х2 - 2тх +
+ т2 - 1 = 0 заключены между -2 и 4?
5.90. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (За - \)х2 + 2ах + За - 2 = 0 имеет два различных корня.
5.91. Найти все значения параметра а, при каждом из которых урав¬
нение (2а - \)х2 + ах + 2а - 3 = 0 имеет не более одного корня.
5.9. Задачи для самостоятельного решения
Решить неравенства:
5.92. х2+Х-П<0.
2 + х2
5.93. “ 10 < 0.
х2 +1
5.94. -<4-.
X X
5.95. 5* 74 > 0.
5 - 4х
5.96. 4 > 3 х
х + 2
, х , х 1
5.97. — + 1 < -!= + —.
2 7з 2
5.98. | х -1 | > 1.
5.99. | х | > а.
5х — 1
5.100. При каких значениях х дробь больше 2?
х - 2
ИЗ
5.101. При каких целых отрицательных х выполняется неравен
Зх - 2 , „
ство < 1!
х + 3
5.102. Найти все целые положительные значения х, удовлетво
ряющие неравенству 5х - 7 < 2х + 8.
5.103. Найти наибольшее целое решение неравенства:
2х2 - 4х + 1 ,
, < 1.
х2 + 6
5.104. Найти целые решения неравенства 10 - Зх - х2 > 0.
5.105. Найти целые положительные значения х, удовлетворяю
щие неравенству:
5х +1
х — 1
> 2х + 2.
Решить системы неравенств:
\х -1
5.106.
х + 2
-3
5.108.
х + 2
2х -1
х + 1
2
х + 1
< 0,
< 0.
< 1,
> 0.
5.107.
|3х + 2 > 0,
[x + Vs < 0.
5.109.
2х - 3
Зх + 5
-2
.Зх + 5
> 0,
> 0.
5.110. Найти наименьшее целое решение неравенства
4х -1 , 5
2х + 3 2х + 3
5.111. Для каких значений а решения системы уравнений
[х + 2 у = а,
[2х + Зу = 8
удовлетворяют условию х > 0, у < 0?
5.112. При каких значениях п система уравнений
[Зх + пу = 3,
\2х - 4у = 1
имеет решения х > 0, у > 0?
114
5.113. При каких значениях п уравнение
пх +1
2
2х -1
п
1 име¬
ет положительный корень?
5.114. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (2а + 1)х2 - ах + «-2 = 0 имеет два различных корня.
5.115. Найти все значения параметра а, при каждом из кото¬
рых уравнение (а + 1)х2 - ах + (а - 3) = 0 имеет не более одно¬
го корня.
5.116. Найти целые положительные решения системы нера¬
венств
[х + 3 < 4 + 2х,
15х - 3 < 4х - 1 .
Решить неравенства:
5.117.
х2 - 2
х2 -9
<1.
5.118.
1 х
<
9х
5.119.
Зх-4
Ъх + 5 Ъх + 5
5.120. 2 - < х
5.121.
2x
>3
5.122.
1
X +
1
1 - 3x
1
2
x -
2
5.123.
1
> —
5.124.
x-1
< X
-2 _
X - 0
1 + X
1
> —
5.125.
x2 - 3
1 x
+ 2 > 0.
5.126.
1 x 1
l
X
5.127.
2x+2 >
a:
)'■
5.128.
5x+i
<(
£
5.129.
2
x - X
+ 1
< 0.
5.130.
x2-
- 1 X
I <
х - 2 х - 1
3
5.131. л/х2 + х - 2 > х. 5.132.
5.133. log1/3 (log5 х) > 0
5.135. 9* + 2 < -1.
х2 - х - 2
5.137. х + 4 < Vx + 46.
Vx - 5
log^ (х - 4) - 1
> 0.
log0,5 (2X+1) > 0.
5.134.
5.136. (2x2 - x - 1)(6 - 5x - x2) > 0.
5.138. x2 - I x I - 12 < 0.
^0,5
,2
<
115
5.140. logx V20^x > 1.
5.139.
(Зх2 + х - 2)(х2 - х) < q
(Зх - 2)(х2 - х + 1) ~~
5.141. log1/5 log2 —f—— < 0.
' х -1
5 143 (4х2 - 4х + 1)(2 -х-х2) > 0
(х2 - 4)(х + 3)
5.145. (х - 1)4-х1 + х + 6 > 0.
5.147. logx3 - 4 > 41og[ х
з
г-Зх
5.148. З4^3х - 35 • I •ij + 6 > 0.
5.149. log0д (^2 + !) < logoд (2х ~ 5)-
5.150. log^2 (2 + х) < 1.
5.151.
+ logx 3 > 2.
5.142.
I
3-х
< 9.
5.144.
5.146.
1 1
2х + 3 > 2Х+2 - 1'
х\х \ - Ах + 3 < Q.
5.152. Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых
числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
[3х + у - Ь,
\х + 2у = 2b + 1,
удовлетворяют неравенству х > Зу.
5.153. Найти все значения параметра а, для каждого из которых
числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
fx - 2у = 2а,
[Зх + 5у = 4,
удовлетворяют также неравенству х + у > 0.
\~2х
5.154. При каких х функция у = неотрицательна?
х — 2
5.155. Найти все значения параметра с, для каждого из которых
числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
(Зх - 2у = 1,
[х + 5у = 2с,
удовлетворяют также неравенству у > х +1.
116
Решить неравенства:
2х + 5
5.156. log^
4(х -1)
< 0.
1х + 2
5Л57- 108-4(1^)>й
5ЛИ- <й
5.158. log j 0,4 > 0.
Х-1
5.160. х4 - Зх3 + х2 + Зх - 2 > 0. 5.161. х4 + 6х3 + 6х2 + 6х + 5 < 0.
5.162. Зх4 -10х2 +3 > 0.
5.163. 1.
5.164. Vx + 2 > yjx - а.
5.166. у]х + 1 > у]3 - х.
5.168. х > V24 - 5х.
' 1 -2л:
5.165. (1 - а) л12х +1 < 1.
5.167. х > V1 - х.
5.169. >/24 - 10х > 3 - 4х.
5.170. V4-VTI-V2^>0. 5.171. ^24 + 2* '
<-1.
х
5.172. 2 (х + л/х2 + 4х + 3) < 3 (Vx + 1 + Vx + 3 - 2).
2х - R
5.173. logl 5 ——2- < 0.
35-х2 1
5.174. log0>25
х 2
х - 2
5.175. log5 (2х - 4) < log5(x + 3).
5.176. lg Vx2 - Зх + 4 - lgVx + 1 > 0.
5.177. lg(x - 2) + lg (27 - x) < 2.
5.178. lg (x - 1) + lg (x - 2) < lg (x + 2).
5.179. log2 x2 + log2(x - l)2 > 2.
5.181. (1,25)1 (log2x)2 < (0,64)2+1o8^x. 5.182. Jlog2< p
V 1 - x
5.180. lg2 x + 3 lg x - 4 > 0.
Найти область определения функций:
5.183. у =
х-2
1-Зх
5.184. у =
1-2х
х + 3 '
5.185. у = >/2х- 5 +л/П - Зх.
5.187. у = л/х2 -8х + 15.
5.186. y = Jx-
х -2
--5.
5.188. р =
5 1
”Т +—•
х2 х
117
5.189. у =
5.191. у =
V2х2 -7х-49
х + х + 42
х - 1
5.193. j = lg (2 - х) -
5.195. у = lg
5.197. у = lg
х - 1
+ 1
л/7 - 6х - х2
5.190. у =
5.192. у = „ ,
''x2-22x + 105
5.194. у = log3
(х + 3
-2
у х - 1
5.196. у = lg(3x2 - 28х + 9).
f
rn
2x+3 Л
22x+1 - 27
+ 3
V
u,
/
5.198. у = Jlog7 х - logx
- 2.
5.199.
Решить неравенства:
Vlog2 (* ~ 1)
> 0.
5.200.
л/2х-3
>0.
хх - Зх - 4 log^(x2-Зх+З)
5.201. (2х -4)(х2 -2х-3) > 0. 5.202. (4х2 - 8х - 5)log3 (х + l) < 0.
5.203. (2х + 3 • 2 xf
5.204. 1
log2 *-l°g2 (Х+6)
> 1.
1
log3 (х2 - 7х + 12) log3 20
5.20,^>^.5.206,оЙ^__^ + 1^
5.207. log0 3 (х2 + х + 31) < log0 з (lOx + 11)
х - — х2 I < 2.
V 3
5.208. I -j
j \‘jx+4 А Vx2 +3x+4
3, . 5.209. (4x2 -16x + 7)log2(x-3)>0.
5.210. (3х - 3)(x2 - 5x + б) < 0.
.211. (:
5.211. (Зх+2 + 3-xf°B4x4oB4[x(2x+3)] < 1. 5.212. Vx2 + 2x-3
> X.
X
4
118
5.213.
5.215.
5.217.
5.219.
5.221.
5.222.
5.223.
5.224.
5.225.
5.226.
5.227.
5.228.
5.229.
5.230.
5.231.
1оё5х-4х2 4~Х > 0 .
Vl-X3 -1
1 + х
-<х.
5.214. logj х2 т < log j 3.
ЗТ2"
V*4 -8х2 +16 2-х
5.21b. <
ИГ < f7'
4х2-12х-1
log
5.218.
fi 3
l 2
< о.
V4x + 7 - Зх + 5
16 - Зх2 + 22х
л/3 х - Vx >—U.
V5
lQg^-vi (х2 + 4х + 11“
х - 1 -
5.220 -х2
l0gg(2x)
1
>241
> 1.
1 1 1 ,
1 -log2X ^—logjX
4л/з) < 2.
h X - X
V_2
> 0.
lg (4x + 1) - lg 5
V-25x2 +15x-2(8x2 -6x + l) > 0.
2 logx-1 (*2 - + 16) + log4_x ( -X2 + 5x - 4)
l> 3.
л/х2 + x - 6 + Зх + 13
x + 5
> 1.
-x+1 +|x+l|
l0gll0S3—ы—г0
7
(4X_1 + 4^x - 2f\x2 - 5x + 4)V7 - x < 0.
12х -17| + |x2 -I0x+24|<2X +10x-x2 -41.
logx+1>/(.x-2)4 +2 > -3 + log j -J(x-2)6.
X+1
(l - x) log
Л < -
25-3-8 ^
119
5.10. Обобщенный метод интервалов
При решении неравенств часто используется так называемый
обобщенный метод интервалов, представляющий обобщение данного
метода, рассмотренного в § 5.3 для решения рациональных неравенств.
Согласно указанному методу для решения неравенства
f(x)> 0 (соответственно <, >, <):
а) находят область допустимых значений (ОДЗ) неравенства;
б) находят корни уравнения /(х) = 0;
в) найденные в пунктах а) и б) граничные точки ОДЗ и кор¬
ни уравнения /(х) = 0 изображают на числовой оси закрашен¬
ными кружками, если они удовлетворяют неравенству, и свет¬
лыми кружками, если не удовлетворяют;
г) из каждого промежутка (интервала) выбирают произволь¬
но пробную точку, определяют знак функции /(х) в этой точке
(а значит, и в данном промежутке) и строят кривую знаков. Ре¬
шением неравенства является объединение промежутков, в ко¬
торых /(х)> 0.
5.232. Решить неравенство, рассмотренное в 5.73:
у/х~ — 4х — 5 < 1 х.
Решение. 1. Представим неравенство в равносильном виде
л/х2 -4.x-5 -(l-ж) < 0 и найдем его ОДЗ из условия х2 - 4х - 5 > 0,
откуда х < -1 и х > 5.
2. Найдем корни уравнения /(х) = л/х2-4х-5-(1-х) = 0, или
vx -4х-5 = 1-х. После возведения в квадрат обеих частей уравнения
получим х2 — 4х —5 = (l —х)~, или х = -3 (входит в ОДЗ и удовлетворя¬
ет неравенству).
3. Изобразим полученные в и. 1, 2 граничные точки ОДЗ
х = — 1, х = 5 и корень х = -3 на числовой оси закрашенными кружка¬
ми, так как они удовлетворяют неравенству, а штриховкой выделим
ОДЗ неравенства (рис. 5.20).
»
X
Рис. 5.20
120
4. Выбрав пробные точки, определяем знак функции /(х) в каж¬
дом промежутке: если х = -4, то
/(-4) = V(-4)2-4(-4)-5-(l-(-4)) = V27-5>0;
если .V 2, то /(-2) - Jl -3 < 0; если х = 6, то / (6) yff ■ 5>д (см.
кривую знаков).
Ответ: [—3; — 1].
5.233. Решить неравенство:
log712 > log5(x2+8х + 12)
log7 (х2 - 9) log5(x2-9)
Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде
1°ёг2_912 -logr,_s (+ + 8х + 12) > 0, или log .
12
>0. (*)
"9 х2 +8х + 12
х2+8х + 12>0, х<-6, х>-2,
х - 9 > 0, откуда < х < -3, х > 3,
х —9 х + ±л/Г().
Следовательно, ОДЗ: х < -6, 3 < х < VTo, х > VlO (рис. 5.21).
1. Наццем ОДЗ неравенства:
Рис. 5.21
2. Найдем корни уравнения
/(*) = 1°ёд_9
12
х2+ 8х + 10
= 0,
откуда
X 9 9
— = 1, х"+8х + 12 = 12, х"+8х = 0 и Xj=-8, х2=0 (посто-
х + 8х + 12
ронний корень — не входит в ОДЗ).
3. Изобразим на числовой оси граничные точки х = -6, х = 3, х = VlO
светлыми кружками (не входят в ОДЗ) и точку х 8 закрашенным круж¬
ком (удовлетворяет неравенству), а ОДЗ выделим штриховкой (рис. 5.22).
121
4. Выбрав пробные точки, определяем знак функции /(х) в каж¬
дом промежутке:
если х = -9, то /(х) = log
12 г 12 о
,, 2 = log72 — <0;
(~9)~9 (-9) +8 (-9)+ 12 21
если х = -7, то /(х)> 0; если х = 3,1 (3,1 < л/Го, ибо 3,12 = 9,61 < 10),
то /(х) > 0; если х = 4, то /(х) < 0 (см. кривую знаков).
Ответ: [-8; б) U ^3;-v/Го j.
5.234. Решить неравенство:
Зх + З
(4-х1082*) log2
16
1о8з*+з16 ко¬
реше н и е. 1. Найдем ОДЗ неравенства:
х > 0,
< Зх + 3 > 0, откуда х > 0.
Зх + 3 + 1,
2. Найдем корни уравнения /(х) = 0, где /(х)-левая часть нера¬
венства:
a) 4-xlog2*=0, откуда xlog2*=4 и после логарифмирования обеих
частей уравнения по основанию 2 получим log2 х • log2 х = log2 4, или
log2x = 2, т.е. log2x = ±V2 и х12=2±'^;
Зх + З
б) log2 ь log3x+316 = 0, откуда, логарифмируя и переходя к ос-
16
нованию 2, получим log2 (3x + 3)-log216 н '°f2 ^—- = 0, или
log2 (Зх + З)
log2 (Зх + 3) - 4 log2 (Зх + 3) + 4 (log2(3x + 3)-2)2
2 2 2 - = 0, т.е. -—; ; г^ = 0. Из по-
log2 (Зх + З)
log2 (Зх + З)
следнего уравнения log2 (Зх + 3) = 2, или 3х + 3 = 4, и х = —.
3. Изобразим на числовой оси точки х = 0 (светлым кружком) и
+J2 1
х = 2 , х = — (закрашенными кружками) (рис. 5.23).
122
У/////////////////}Щ///////М
шт
0 I o-VI
3 4
Рис. 5.23
-лЯ 1
(Заметим, что 2 >—, что следует из очевидного неравенства
2^ < 21'5 < 3 (ибо 21,5 = л/8 < S = 3 ).)
Учитывая, что при х > 0 log, (3.v + 3) > log, 3 > О,
(log, (Зх + 3)-2) >0, знак левой части неравенства
^ ^ (4 .v! i )(log, (З.у • 3) 2)'
‘ log, (Зх + З)
ния Л = (4-х1о&х).
будет определяться знаком выраже-
Если х = —, то А = 4¬
4
о
00
■М-
II
4¬
1
( , 1У
2&4
V /
,5 2_1'5
4 -1|-1'
4 16 12 < 0, если
9 _
= 4-24 = 4-4-лр2 < 0
и аналогично А > 0 при х = 2, А < 0 при х = 4 (см. кривую знаков).
Ответ: jAju|A 'А 2^ J.
Решить неравенства:
5.235. 1
А (х + 2)
' <
х + 3
--2
i+2
1
7
х 4-х
4х + 1
5.236. л/5х + 16- X+>s/5x + \6. 5.237. (х + 2)л/3х2 -х-2 >0.
2х + 3
5.238. (х2 +4х-12) у]х2 -2х-3 > 0. 5.239. (7х2+87х + 26)
24х + 13
12х + 7
<0.
123
5.240.
5.242.
5.244.
5.246.
2x — yjl + 14х ^
5.241.
4-х
>/.х4 -8х2 +16 2-х
5.243.
< .
X X
lg2 х + 2 lgx - 6
5.245.
х +
V9-36x + 36x2
х2 -5х + 6
<2.
lg 8-lg (x 5)
1
lgx
1
log2 X log, Vx -I- 2
■<1.
log, x log, x-1
5.247. (2x - 2) lg (2x -1) > (x2 - 4x + 5)lg (2x -1)2.
V-4x2 +13x-3 +1
5.248.
1о6э*7
5.250. log, (2х -1) log! (2I+1 - 2) > -2
>0. 5.249. y[4-x (.9 -2• 3 1 - 3) < 0.
5.251. V5 tog*5 “1 “ л/1оёх125 - 2 = Jlog
1 — л/l — 4 log
f¬
u
5.252.
5.254.
— <1. 5.253. /1 - 8(log1 x)- <31ogix.
2 log, x V s 4
. x - 81 + 2
■<1.
log05 x-1
5.255. (log3+x(l-2x))(logl ,xx2)<(log, ,(1 -3x^jbgl_3x(2-x)).
5.256. bg^(S
<2. 5.257.
log, 8
log,(x2 +8x+15)
logix+4| (x - 5) log3 +2.X- 7) log, (X2 + 2x - 7)
Найти область определения функций:
5.258. у = .log,
' х
4 V
Х + 1
-1.
5.259. r-J log,
х” - 2х
+ 4
|х + 2| + х2
Глава О.
Преобразование тригонометрических
выражений
Формулы для справок
I. Соответствие градусной и радианной мер углов
пА° . . 1Ш а
а- (радиан); А - .
180° п
Таблица 6.1
Градусы
0
30
45
60
90
180
270
360
Радианы
0
Л
~6
Л
~4
Л
3
Л
~2
7Г
Зл
~2
2п
II. Знаки тригонометрических функций
Таблица 6.2
Функция
1-я четверть
(0°—90°)
2-я четверть
(90°—180°)
3-я четверть
(180°—270°)
4-я четверть
(270°—360°)
Синус
+
+
-
-
Косинус
+
-
-
+
Тангенс
+
-
+
-
Котангенс
+
-
+
-
III. Формулы приведения
Таблица 6.3
Функция
-a
90°±a
180°±a
270°±a
360°±a
sin
-sin a
cos a
+sin a
-cos a
±sin a
cos
cos a
+sin a
-cos a
±sin a
cos a
tg
-tg a
+ctg a
±tg a
+ctg a
±tg a
ctg
-ctg a
+tg a
±ctg a
+tg a
±ctg a
125
IV. Тригонометрические функции основных углов
Таблица 6.4
Функция
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sin
0
1
2
J2
2
A
2
1
0
-1
0
cos
1
A
2
V2
2
1
2
0
-1
0
1
tg
0
1
s/3
1
s/3
—
0
—
0
Ctg
GO
Я
1
1
V3
0
—
0
—
У. Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла1
sin2 a + cos2 a = 1;
(6.1)
^ sma
tga = ;
(6.2)
„ cos a
ctg a = — ;
(6.3)
cos a
tg a • ctg a = 1;
(6.4)
sma
1
sec a = ;
(6.5)
1
cosec a = — ;
(6.6)
cos а
1 + tg2 а = sec2 а = —\—; (6.7)
cos а
1 + ctg2 а = cosec2 а = —\—. (6.8)
sin а
sma
VI. Формулы тригонометрических функций суммы и разности углов
sin(a + р) = sin a • cos р + cos a • sin P;
sin(a - p) = sin a • cos p - cos a • sin P;
cos(a + p) = cos a • cos p - sin a • sin P;
cos(a - p) = cos a • cos p + sin a • sin P;
tg(a + P) = Да + 1ёЛ; (6-13) tg(a - P)
1 - tg a • tg p
tg a - tg p
1 + tg a • tg p
(6.9)
(6.10)
(6.П)
(6.12)
(6.14)
1 Все приведенные ниже формулы верны при условии, что функции tga, sec а
определены при значениях аргумента а Ф п / 2 + тш, а функции ctg a, cosec a —
при a Ф тш, где п — целое число.
126
VII. Тригонометрические функции двойного и тройного углов
(6.15)
(6.16)
sin 2а = 2 sin а • cos а;
cos2 а -
2tga .
cos 2а = cos2 а - sin2 а = 1 - 2 sin2 а = 2 cos2 а - 1
tg2a =
sin За = 3 sin а - 4 sin3
а,
1 - tg а
3 sin а -
cos За = 4 cos3 а - 3 cos а.
VIII. Тригонометрические функции половинного угла1
t
. а
sm — = ±
2
1 - cos
a
2
, a 11 - cos a
tgT = ±Al
2 V1 + cos a
; (6.20)
a ll + cosa
cos— = ±J :
2 V 2
a sm a
ctg- = i
2 1 - cos a
cos a =
1 .2“
‘-le 2
1 . 2«'
i + tg -
; (6-22)
1 + cos a
sin a
(6.26)
^ a sm a
= !
2 1 + cosa
1 - cos a
sma
(6.24)
sma =
~, a
2tS7 ;
1 + 2 a "
l + tg у
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.21)
(6.23)
(6.25)
IX. Формулы преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение
sin a + sin В = 2 sin a + ^ cos ——-;
2 2
(6.27)
sina - sinB = 2cos a + ^ sin ——
2 2
(6.28)
cosa + cosp = 2cos a + P cos——
2 2
(6.29)
cos a - cos В = -2 sin a + ^ sin ——-;
2 2
(6.30)
1
Запись типа sin—
2
±г.
здесь означает, что данная функция либо положительна,
либо отрицательна (в зависимости от четверти, в которой находится угол —).
127
. . „ srn a + P)
tg a + tg p = v ;
(6.31) tg a - tg p = Sm(a P) ;
cos a • cosp
(6.32)
cos a•cosp
1 т 2 Ct
1 + cos a = 2cos —;
2
(6.33) 1 - cos a = 2 sin2 —.
(6.34)
X. Формулы преобразования произведений тригонометрических
функций в сумму
sin a • cos р = i-[sin(a + р
) + sin(a - p)];
(6.35)
cos a • cosp = -i[cos(a + p
i) + cos(a - p)];
(6.36)
sin a • sin p = -i[cos(a - p
) - cos(a + p)].
(6.37)
6.1. Основные соотношения между
тригонометрическими функциями одного угла
6.1. Упростить выражение:
—\ tg2 a(cos2 a + 1).
cos a
9 9
Решение. Записывая tg a в виде tg a
sin2 a
2 :
cos a
имеем:
9,9 14 sin2 a(cos2 a + 1) sin2 a cos2 a + sin2 a
tgz a(cos a + 1) = - -
9
cos a
9
cos a
Далее
1
9 , 9 l - sin2 a cos2 a - sin2 a
2 tg a(cos a + l)
cos a
9 9
l - sin a = cos a и
2 2
= cos a • cos a, то получим:
9
cos a
Так как
cos2 a - sin2 a • cos2 a = cos2 a(l - sin2 a)
l 9 9
- tg a(cos a +1) =
2 2
cos a • cos a
9
cos a
9
cos a
■ = cos a.
Ответ, cos2 a.
6.2. Упростить выражение:
/ -3 з \
j sin a - cos a
v sin a - cos a
l-
sin3a + cos3
sin a + cos a
128
Решение. Используя формулу разности кубов, найдем:
sin3 а - cos3 а (sin а - cos a)(sin2 а + sin a cos а + cos2 а) . .
—: = = 1 + sin a COS а ,
sin а - cos a sin а - cos а
9 9
ибо sin а + cos а = 1. В результате первый сомножитель равен: 1 — (1 +
+ sin a cos a) = - sin a cos a. Аналогично преобразуя выражение во вто¬
рой скобке, получим sin a cos a.
Теперь (-sinacosa)(sinacosa)_1 = -1.
Ответ. —1.
, . 1 + stna 1-stna n . .
6.3. Упростить выражение: J- J- , если — < a < n.
V 1 - sin a V 1 + sm a 2
Решение. Так как 1 + sin a >0, 1 - sin a >0, то перепишем вы¬
ражение в виде:
/, • , • „ • , " ‘ ia
Vl + sina >/l-sina 1 + sin a - (1 - sin a) 2 sine
. Знаменатель
Vl-sina Vl + sina дД - sin2 a Vcos2 a
9 I I 7Г
cos a = |cos a| = - cos a, так как для — < a < n cos a < 0.
Ответ. -2tga.
6.4. Вычислить sin a, cos a, ctg a, если tg a = - ^, < a < л.
Решение. По формуле (6.4) ctg а =
1
1
tg а -12/5 12
- —. По
1 1 5 ^
I . = ~ I . . = -ТТ (беРем РаДи-
-Vl + tg2a V1 + (-!2/5)2
формуле (6.7) cos а =
'' + tg" а
кал со знаком «—», так как во 2-й четверти cos a < 0). Теперь по фор¬
. 12/ / 5/ 12
муле (6.2) sm a = tg a ■ cos a =
\V 13
^ . 12 5 5
Ответ: sma = —, cos a = , ctg a = .
13 13 12
6.5. Вычислить: tg2 a + ctg2 a, если tga + ctg a = 10.
Решение. Искомое выражение дополним до полного квадрата:
tg2 a + ctg2 a = (tg2 a + 2 tg a ctg a + ctg2 a) - 2 tg a ctg a =
= (tg a + ctg a)2 — 2 = 102 - 2 = 98 (учли, что tg a ctg a = 1).
Ответ. 98.
129
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
sin3 x(\ + ctgx) + cos3 x(\ + tgx) - cosx
tg2 a 1 + ctg2 a 2
1 + tg2 a ctg2 a
sin a • cos a - 1
• - tg2 a.
tg2 a -1
(1 - tg a) cos a tg2 a • sin a + cos (
sin a + tg a 1 - cos a
cos a + ctg a 1 - sin a
j cos3 a - sin3 a
cos2 a sin a + cos a
1 - sin a cos a sin2 a - cos2 a
sin a - cos a sin3 a + cos3 a
(sin a + cos a)2 -1 ^ . 2л.
tga, если sma=-j=, — <а<л.
tga-sma - cos a у 5 2
2(tga + ctga)~1+tga-ctga . , . Зл
т sina-1, если tga = 2, л<а<—.
(sina + cosa)2 2
1 - cos a 1 + cos а Зл
J , если л < a < —.
1 + cos a V1 - cos a 2
Ответ вычислить при cos a = -
л/Ш'
6.2. Формулы приведения
Формулы приведения представлены в табл. 6.3.
(Зл )
6.15. Упростить: а) cos a ; б) sin (л —a).
v 2 J
Решение. По табл. 6.3 ответ получается сразу, но запоминать
табл. 6.3 вовсе не обязательно, если воспользоваться правилом приведения.
Согласно этому правилу при преобразовании выражений, содержащих три-
гономегрические фу™ углов ■§ + а, к ± а, Ц- ± а. 2, - а. оп¬
ределяется наименование функции: если угол откладывается от значений
л Зл
—, —, то наименование функции меняется на сходное; если от значе¬
130
ний л, 2л — наименование функции не меняется. Поэтому в примере
а) наименование «косинус» меняется на «синус», а в примере б) наимено¬
вание «синус» не меняется. Знак, с которым берется полученная функция,
определяется по знаку приводимой функции (расположенной в левой час¬
ти формулы), если считать угол острым. Итак:
ч (Зя ) . „ „ (3л . п
a) cos^— -aj =-sma, так как в 3-и четверти cos I —— a | < 0;
б) sin(7i-a) = +sina, так как во 2-й четверти sin(n;-a)>0.
Ответ, а) -sina; б) sina.
6.16. Упростить: а) cosj^a--^J; б) tg3[^a-—J; в) sm4(a-7i);
г) sin(-960°).
Решение, а) В силу четности косинуса (cos(-х) = cos х) получим
( 9л
cos a
l 2 .
= cos I — - a I. Учитывая, что период функции cos х ра¬
вен 2л, а вычитание (или добавление) целого числа периодов не изме¬
няет значения функции,
|9тг) [ я i | л ) .
cos a = cos 2 • 2л н a = cos a = sin a.
I 2 J { 2 J U J
б) В силу нечетности тангенса (tg(-x) = -tgx) можно записать
з
= (- ctg a)3 = - ctg3 a.
в) Так как при возведении в четную степень в любом случае
получается неотрицательное выражение, то, используя правило
приведения, достаточно определить только наименование функции:
• 4/ ч -4
sin (а - л) = sm а.
г) sin (-960°) = - sin 960° = - sin (3 • 360° - 120°) =
л/3
= - sin (-120°) = sin 120° = sin (90° + 30°) = + cos 30° = .
Ответ, a) sina; 6) -ctg3 а; в) sin4 а; г) >/з/2.
6.17. Упростить выражение:
cos2a + 2sin2(a-Tr) cos2a+4sina + sin2(a + m)
cos (а-4я)
cosa(4sina +1)
Решение. Учитывая, что sin2(a -n) = sin2 a, sin2(a + л) = sin2 a,
cos3 (a - Ал) = cos3 a, исходное выражение запишем в виде:
131
cos2 a + 2 sin2 a cos2 a + 4 sin a + sin2 a
r 1 .
cos3 a cos a(4 sin a + 1)
^ 1 + sin2 a 1+4 sin a „ _
Далее ~ + . Сокращая во 2-и дроби на
cos a cos a (4 sin a + 1)
л 9 9
, . . л 1 + sm a 1 1 + sm a + cos a 2
(4sma + l), имеем т н = т = т—.
cos3 a cos a cos3 a cos3 a
Ответ:
2
cos3 a
Упростить выражения:
g jg ctg(270° - a) ctg2(360° - a)-l
’ ’ l-tg2(a-180°) ctg(180° + a) '
ctg2(a + ^)-cos2(a-^)
6.19. *
ctg2(a-|-)-cos2(a + |-)
^ 2q cos2(a-270°) + sin2(a + 270°)
’ ’ sin~2(a + 90°)-l + cos~2(a-90°)-l
cos2 (2a -90°) + ctg2(90° + 2a) + 1
' ' sin2 (2a - 270°) + tg2 (270° + 2a) + Г
, ,,,, cos(1,5ti + a) + sin(a - л) - tg(a - 0,5л)
b.ZZ.
tg(l,5n - a)
6.23. cos(y + a) sin(n + a) + tg(2y- + a) • sin(a - cos(a - -^-).
Вычислить:
6.24. ctg 13°- ctg 17°- ctg 21°... ctg IT.
6.25. cos 20°+ cos 40°+ cos 60°+...+ cos 180°.
6.3. Формулы сложения и кратных углов
При решении задач этого параграфа следует обращаться к формулам
(6.9)—(6.26), (6.33), (6.34).
132
6.26. Упростить выражение:
sin(a - Р) + 2 cos a • sin р
2 cos a • cos p - cos(a - P)
Решение. Используя формулы (6.10) и (6.12), получим:
sin(a - Р) + 2 cos a • sin р sin a cos P - cos a sin p + 2 cos a sin p
2 cos a • cos P - cos(a - P) 2 cos a cos P - cos a cos P - sin a sin p
sin a cos P + cos a sin p sin (a + P)
cos a cos P - sin a sin p cos (a + P)
Ответ. tg(a + p).
= tg(a + P).
6.27. Вычислить без таблиц: cos 15° + sin 15° ctg30° .
Решение. Представим выражение в виде
cos 15° + sin 15° ctg 30° =
sin 30° cos 15° + sin 15° cos 30°
sin 30
Заметив, что в числителе записана формула синуса суммы двух уг¬
лов (6.9), получим, что искомое выражение равно:
sin (30° + 15°) sin 45° л/2/2
sin 30° sin 30° 1/2 '
Ответ. \[l.
6.28.
Упростить выражения:
cos a - л/2 • (cos(45°+a))
2 sin(30°+a) - л/З si
sma
CL
6.30. cos a(l + tg a • tg —).
6.32. ctg(45° + a), если tga = 5.
6.29.
6.31.
cosa -2cos(60°+a)
2 sin(a - 30°) - л/З sin a
tg x + tgp — tg(x + p)
tgx-tg(x + y) '
Вычислить:
6.33. sin75°+cos75°-tg60°. 6.34. sin(a-p),
• 3 5 n Зл
если sma = —, tg В = —, — < a < л, л < P < —.
5 12 2 2
6.35. tg a • tg p, если tg(a + p) = -3, tg a + tg p = 96.
3
6.36. a + p, если tg a = 0,4, tg p = —, a, P - острые углы.
6.37. (cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) +
+ (cos 40° + cos 160°)(cos 320° - cos 380°).
133
Среди множества формул, связывающих тригонометрические
функции двойного и половинного углов, наиболее важными для
решения задач являются формулы (6.15)—(6.17), (6.33), (6.34).
, (1 + cos 4а) cos 2а
6.38. Упростить выражение: — .
tg а - ctg а
Решение. Учитывая, что 1 + cos 4а = 2 cos2 2а, преобразуем вы¬
ражение к виду
2 cos2 2а • cos 2а 2 cos3 2а • cos2 а • sin2 а
sin2 а cos2 а
sin4 а - cos4 а
2 • 2
cos а sin а
2 2 1 2 1 2
Заметив, что в числителе 2 cos a sin а = — (2 sin а cos а) = — sin 2а, a
4 4 9 9 9 9 2
в знаменателе sin a-cos а = (sin а + cos a)(sin a-cos а) = -(cos а¬
— sin2 а) = - cos 2а, получим:
J_
2
cos3 2а • — sin2 2а ^
= cos2 2а • sin2 2а =
- cos 2а 2
1 , 1 ,
(2 sm 2а • cos 2а) = sm 4а.
Ответ: -—sin24а.
а
6.39. Упростить выражение:
tg(45 )(1 + sin а)
Решение. В соответствии с (6.14)
cos а
tg45° - tg — 1 - tg — 1 - (sin-)/cos- cos—-sin—
tg(45° - -) = = 2 = 2±_ 2 = 2 2__
2 , * ro ot i а ^ . ач / а а. а
l + tg45tg— 1 ч-tg— 1 + (sm—) cos— cosy + smy
Учитывая, что
.. . . 9 a . 9 a _ . a a . a .a.о
(1 + sm a) = cos — + sm — + 2sm—cos— = (cos— + sm—) ,
v 7 2 2 2 2 v 2 T
9 a . 9 a
a cos a = cos — - sin —, получим:
a . a4, a . a4
tg(45°- —) (1 + sin a) (cos—- sin —) (cos— + sin —-)2
cos a
Ответ: 1.
. a . aw л a . 0 a.
(cos— + sm —) (cosz — - sinz —)
2 2 2
134
, (1 + tg2a)2 - 2tg2 2a . . ,
6.40. Упростить выражение: — sin 4a - 1.
1 + tg2 2a
Решение. Раскрывая скобки, приведем выражение к виду:
1 + 2tg2a + tg2 2a - 2tg2 2a . . , 2tg2a 1 - tg2 2a . . ,
sin 4a -1 = т + т sin 4a -1.
1 + tg 2a
1 + tg2 2a 1 + tg2 2a
Преобразуем полученное выражение с учетом формул (6.25) и (6.26):
sin 4a + cos 4a - sin 4a -1 = -(1 - cos 4a) = -2 sin2 2a.
9
Ответ. -2 sm 2a.
6.41.
Упростить выражения:
sin a sin a
cos a - sm a cos a + sm a
Л
6.42. sin 4a -
1 - tg' a
1 + tg2 a
• 4 sin a cos a.
6.43.
6.45.
6.47.
6.49.
tg2 a - ctg2 a
cos 2a
4 sin4 a + sin2 2a
sin a
cos 4a + 1
ctg a - tg a
1 - tg(m - 2a) tg a
. /Зл .
tg(-y - a) + tg a
6.44.
6.46.
6.48.
6.50.
„a „a
Cte2~le2
^ a ^ a
Ctgy + tg-
cos2 a
^ a ^ a ’
«*2-*2
- cos a.
2tga
1 + tg2 a
sin 2a.
2 tg у cos a
1 ,2“
1 + tg2 —
c ,л 4cos2a
6.51. r r— + cos 2a.
6.52.
sma
1 + cos a
6.53.
ctg2 a - tg2 a
(cos 2a + sin 2a)2 - (cos a + sin a)2 + sin 2a
(cos 2a + sin 2a) (cos 2a - sin 2a)
1 + cos a
sm a
sin 2a.
6.54.
f 2 4 Л
cos a - cos a 2
j 2 cos a
V sin a - sin a
■ 4 cos2 a.
135
6.55.
6.56.
6.57.
6.58.
6.59.
6.60.
cos 2а
sin2 2a(ctg2 a - tg2 a)
ctg 4a.
4 sin a cos a cos 2a
sin2 2a - cos2 2a
1 + sin 2a
cos(2a - 2n) • ctg(a - ^p)
sin 6a cos(6a - л)
+ cos a.
sin 2a
cos 2a
1 + cos(4a - 2n) + cos(4a - —)
3ti
1 + cos(4a + Зя) + cos(4a + —)
1 - cos 4a
1 + cos 4a
cos 2 2a - 1 sin 2 2a - 1
В некоторых примерах упрощение может быть достигнуто
выделением тригонометрической единицы (sin2 a + cos2 а)к.
6.61. Упростить выражение: 3(sin4 a + cos4 a) - 2(sin6 a + cos6 a).
Решение. Вначале упростим выражение в первых скобках, допол¬
нив его до полного квадрата:
sin4 a + cos4 a = (sin4 a + cos4 a + 2 sin2 a cos2 a) - 2 sin2 a cos2 a =
= (sin2 a + cos2 a)2 -p (2 sin a cos a)2 = 1 -psin2 2a.
Выражение во вторых скобках дополним до куба суммы:
sin6 a + cos6 a = (sin6 a + 3 sin4 a cos2 a + 3 sin2 a cos4 a + cos6 a) -
- 3(sin4 a cos2 a + sin2 a cos4 a) = (sin2 a + cos2 a)3 -
- 3 sin2 a cos2 a(sin2 a + cos2 a) = 1 - 3 sin2 a cos2 a =
3 . 7 -1 3_2^
= 1 (2 sin a cos a) = 1 sin 2a.
4V ' 4
Теперь данное выражение примет вид:
3(1 - р sin2 2a) - 2(1 - sin2 2a) = 1.
Ответ. 1.
136
Упростить выражения:
а
¥
6.62. 3 cos 2а - 8 sin6 — - 8 cos6 —.
6.63. sin6 а + cos6 а - 4(cos2 а - sin2 а)2.
4
6.64. sin4(— - а) + sin4(3n + а) - 2
xj + sin6(5r
sm6| у + а | + sin“| эя
1 3n
6.65. Вычислить: a) cos 2a, sin 2a, если sin a = - —, — <
4 2
• * * a 3
o) sin a, ctga, если ctg— = —;
. a . 15 л
' 2 17 2
r) tg 2a, если tg (45 + a) = - —.
Решение, а) Вначале найдем
cos a
= +>/l - sin2 a = - (- i)
2 Vl5
4 '
Теперь cos 2a = cos2 a - sin2 a =
vnr
v 4 ,
. „ „ . j n Vi? Vi?
sm 2a = 2 sin a cos a = 2 = .
I 4J 4 8
б) Вычислим tg у = —= T77 = T-
Ctg2
Затем по формулам (6.25), (6.26)
sina
Zlg2 2 • (4/3) 24
1 + tg2 — 1 + (4/3)2 25’
cos a =
1-1ё2§ 1 - (4/3)2 7
1 + tg2 — 1 + (4/3)2
2
25'
- a) .
a < 2л;
137
в) Найдем cos а = 1/ - игу а - -J1 - |3^J - -уу-
Теперь ,g| можно вычислить но любой из формул (6.22) или (6.24):
а sin а 15/17 15 5
tg 7 = 1 + cos а = 1 - 8/17 =~9=3’
г) Найдем тангенс двойного угла (90° + 2а) по отношению к за¬
данному в условии (45° + а). Получим:
с, у 2 tg(45°a) 2(- 3/2) 12 „ 12
tg(90 + 2а) = = '-—г = — или - ctg 2а = —,
1 - tg2(45° + а) 1 - (- 3/2)2 5 5
ТО 12 т з 1 5
откуда ctg2а = —— и tg2a = = ——.
5 ctg 2а 12
л Ч О 7 • О лЯ? . 24 7
' 8 8 ' 25 25
s 5 5
в) — r) .
3’ ' 12
Вычислить:
, . Л Л Л Л Л
6.65а. sm—cos—cos — cos — cos—.
48 48 24 12 6
6.66. sin a, cos a, tga, если cos2a = -2 — < a < n.
8 2
5 71
6.67. sin2a, cos2a, tg2a, если sina = —, 0<a<—.
, . a a a . 15 л
6.68. sm —, cos — , tg —, если sma = —, — < a < л.
, . a 4
6.69. sma, cosa, tga, если ctg— = —.
6.70. sin 4a, cos 4a, если ctg a = 0,5.
6.71. 32(sin4 a + cos4 a), если sin a + cosa = 0,5.
6.72. 16(sin3 a - cos3 a), если sin a - cos a = 0,5.
6.73. 6(sin6 a + cos6 a), если cos2a =
1
6.74. 125(cos8 a - sin8 a), если cos2a = 0,8.
138
6.4. Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение
и обратное преобразование
Решение задач этого параграфа основано в первую очередь на
знании формул (6.27)—(6.37).
, __ ,, 1 + cosa + cos2a + cos3a
6.75. Упростить выражение: = .
cosa + 2cos2a-l
Решение. Проведем в числителе группировку членов и с помо¬
щью формул (6.29), (6.33) преобразуем его в произведение. Получим:
(1 + cos 2a) + (cos a + cos 3a) = 2 cos2 a + 2 cos 2a cos a =
2 cos a(cos a + cos 2a) = 4 cos a cos — cos —.
2 2
Преобразуем знаменатель:
~ 2 i 3a a
cosa + 2cos a - 1 = cosa + cos2a = 2cos—— cos—.
2 2
После сокращения дроби получим 2 cos a.
Ответ. 2 cos a.
6.76. Преобразовать в произведение: tgx + tg2x - tg3x.
Решение. Так как tg х + tg 2х
sin Зх
cos х cos2x ’
(см.
(6.31)), а
. sin Зх
tg Зх = , получим:
cos3x
sin Зх sin Зх _ sin Зх (cos Зх - cos х cos 2х)
cosxcos2x cos3x cosx • cos2x • cos3x
Здесь можно было вначале преобразовать в сумму cos х cos 2х, а пос¬
ле приведения подобных членов полученное в скобках выражение пре¬
образовать обратно в произведение. Однако результат получится быст¬
рее, если представить cos Зх как косинус суммы двух углов, т.е.
cos Зх = cos (х + 2х) = cos х cos 2х - sin х sin 2х.
Тогда после замены cos3x выражение в скобках примет вид
-sinx sin2x, а вся дробь -tgx tg2x tg3x.
Ответ, -tgx tg2x tg3x.
6.77. Преобразовать в произведение:
sin2 a + sin2 2a - sin2 3a - sin2 4a.
139
Решение. Используем формулу понижения степени (6.34)
l-cos2a l-cos4a l-cos6a l-cos8a
2
2
2
2
= ~(cos 6a + cos 8a) - ~(cos 2a + cos 4a).
Теперь каждую скобку преобразуем в произведение по формулам
(6.29), (6.30). Получим:
cos 7a cos а - cos За cos а = cos a(cos 7а - cos За) =
= -2 cos a sin 2а sin 5а.
Ответ. -2 cos a sin 2а sin5а.
Упростить выражения, преобразовав их в произведение:
sin 2a + sin 4a + sin 6a
6.78. 7 . 6.79. 1 + sin 2a-cos 2a-tg 2a.
COS 2a + COS 4a + COS 6a
, _ sina-2cos3a-sin5a
6.80. .
cos a - 2 sin 3a - cos 5a
6.81. sin2(a -2(3) -cos2 a -cos22(3.
Рассмотрим несколько примеров с введением вспомогатель¬
ного угла. В общем случае для преобразования выражения
asinx + Z>cosx следует вынести за скобку 4а2 + b2, после чего
принимается за cos а, а
Ъ
a1 +bz
4а1 + b2
— за sina.
6.82. Упростить выражение: sinx + >/3 cosx.
Решение. fl2 + Z>2 = I2 + (л/з")2 = 4, таким образом, следует вынести
за скобку >/4=2, т.е. 2(ysinx + 2^-cosx).
„ 1 п 43 . я
Так как — = cos — , а — = sm—, получим:
2 32 3’ J
2(cosysinx + sin-^-cosx) = 2sin(x + -^-) (см. формулу (6.9)).
Ответ: 2sin(x+-^-).
6.83. Упростить выражение:
л/2 sin х - 1
„л ■
sm
16
cos
16
а
140
Решение. Используя формулы (6.15) и (6.28), получаем:
V2|sinx-J=j 2V2^sinx-sin^j C°S (f + f) ^ (f ~ ~
1 . f n X
— sin
2 i 8 2
. f 71 X
sin
18 2
n X
sm | - -
Сокращая здесь на sinl-^---^-| и учитывая нечетность sinx, оконча¬
тельно имеем
-4л/2
COS
X я
Ответ: -4-Jl
cos
' X 7ГЛ|
Упростить выражения:
6.84.
sinx + cosx.
6.85.
6.86.
1-2 cos2 2а + л/З sin 4а.
6.87.
6.88.
6 sin2 2а - 1 - cos 4а.
6.89.
6.90. Преобразовать в произведение
a + P + у =п.
~ • ,х п .
2sm( )
2 12
л/3-2
COSX
Решение. По формуле (6.27):
sin а + sin|3 = 2 sin И ^ ^ cos И ^ . Учитывая, что у = п - (а + (5), полу¬
чим:
. а + р а - р
2sin-
2
-cos-
• г / .1 . . а + Р а - Р ., „
sm[7t - (а + p)J = 2sm—-—cos—-— + sm(a + p).
Представим теперь sin(a + p) как 2 sin a + ^ cos a + ^ . Тогда
„.a + P a — P „ . a + P a + P
2sm—i—cos—i h 2sm—z—cos-
2
2
a + p f a - p
: 2 sm —-— cos— h cos
2
a + p
2
2 v 2 2
откуда, применив к сумме косинусов формулу (6.29), приходим
_.a+p„aP
к результату: 2sm—-—2cos —cos—, где a + р = л - у, т.е.
. a + Р . к - у у
sm — = sm = cos— ; окончательно получаем:
141
• • n • . а В у
sin a + sm p + sm у = 4 cos — cos — cos —.
2 2 2
„ . a P Y
Ответ: 4cos — cos—cos—.
2 2 2
6.91. Преобразовать в произведение: sina + sinp + siny +sin8, ес¬
ли a + P + y + 5 = 2n.
6.92. Доказать, что если a, P, у — углы треугольника, то имеет
а В В У у a
место равенство tg — tg — + tg — tg — + tg — tg — = 1.
2 2 2 2 2 2
6.93. Доказать, что если tg a + tg p + tg у = tg a • tg p • tg у, то
a + p + у = for, где к — целое число.
6.5. Вычисление без помощи таблиц
6.94. Вычислить без помощи таблиц: sin54° -sinl8°.
Решение. По формулам (6.28), (6.15) и формулам табл. 6.3 имеем
СЛО _ 1 ОО СДО _|_ 1 оо
sin 54° - sin 18° = 2 sin cos = 2 sin 18° • cos 36° =
2 2
_ 2 sin 18° cos 18° cos 36° _ sin 36° cos 36° _ 2 Sm 72° _ sin(90o-18°) _
cos 18° cos 18° cos 18° 2 cos 18°
cos 18° 1
2 cos 18° 2
Ответ: 0,5.
6.95. Вычислить без помощи таблиц: tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°.
Решение, tg20°tg40°tg60°tg80° = <S'n^ sm^ )sm80
(cos 20° cos 40°) cos 80°
Преобразуя выражения в скобках в суммы, получим:
л/3
(cos 20°- cos 60°) sin 80° _ ^_cos 20°sin 80°“ \ sin 80°
(cos 20°+cos 60°) cos 80° " „По 1 „ОПо
v ' cos 20° cos 80°+ —cos 80°
2
Теперь вновь произведения cos 20° sin 80°, cos 20° cos 80° преобразу¬
ем в суммы и найдем
142
л/з tg 60° =
- sin 60° + - sin 100° - - sin 80°
/Т2 2 2
1 1 1
— cos 60° + — cos 100° + — cos 80°
2 2 2
= 7з • VJ = з.
sin 60°
cos 60°
(Учли, что sin 100° = sin(l80° - 80°) = sin 80°
и cos 100° = cos(l80° - 80°) = - cos 80° .)
Ответ. 3.
Вычислить без помощи таблиц:
ctg 15° + 1
6.96. sin 15°. 6.97. cos 22,5°. 6.98. —= .
2 ctg 15°
6.99. tg20° + tg25° ^ 6Л00. sinl5°(V3+ctgl5°).
1-ctg 65° ctg 70°
6.101. 32cos 10°cos30°cos50°cos70°. 6.102. sin54°cos72°.
6 103 96sin80°sin65Osin35°
' ' sin 20° + sin 50° + sin 110°
6.104. 128sin2 20°sin2 40°sin2 60°sin2 80°.
6.105. 4(cos 24° + cos 48° - cos 84° - cos 12°).
, , • 2 ^ 2 ЗТТ • 2 бТТ 2 771
6.106. sin —h cos hsm h cos —.
6.107. tg9° - tg63° + tg81° - tg27°.
6.108. cos2 3° +cos2123° +cos2117°.
6.6. Задачи для самостоятельного решения
Упростить выражения:
tg (180° - a) cos (180° - а) tg (90° - а)
6.109. .
sin (90° + а) ctg (90° - а) tg (90° + а)
^ jjq 2(sin 2а + 2 cos2 а - 1)
cos а - sin а - cos За + sin За
6.111. 3cos2 х - 4sinxcosx - sin2 x -1.
143
6.112.
6.114.
6.115.
6.116.
6.117.
6.118.
6.119.
6.120.
6.122.
6.124.
6.125.
6.126.
6.127.
6.128.
6.129.
6.131.
sin За + sin 5а + sin 7а
cos За + cos 5а + cos 7а
cos 2а
. 6.113. 4cos4a-2cos2a—cos4a.
2
cos4 a - sin4 a
3 л
cos4 a + sin4 a
1 9 '
1—sin 2a
2
5л
4 cos (2a - —) + cos(2a - л) + sin(— - 6a).
tg a + sin a
~ 2 a '
2 cos —
2
„ л 2л Зл 4л 5л 6л
COS 0 + COS—+COS— + COS — +COS — + COS — + COS —.
7 7 7 7 7 7
71 5л
cos(2a - —) + sin(3n - 4а) - cos(— + 6а)
4 sin(5n - За) cos(a - 2л)
1 + sin 4а - cos 4а
1 + sin 4а + cos 4а '
2 cos4 а - 1
а)
4tg(j-a) sin2(-J
1 + cos а ^ о a 2
1 tg --cos a.
1-cosa 2
cos 2a
sin2 2a(ctg2 a - tg2 a)
6.121.
cos4a +1
ctg a - tg a
sin2 a 1 +
1
ctg a 1-
1
sin а у V sin a
sin2a - sin 6a + cos 2a - cos 6a
sin4a-cos4a
sin 2x - sin Ъх + sin 4x
cos 2x - cos Ъх + cos 4x'
1 - cos(2x - л) - cos(4x + л) + cos (бх - 2 л).
tg 2x ■ tg x
tg 2x - tg x
sin(n - a)
c m + /а л\ 1 -sina
6.123. tg(- + -) .
2 4 cosa
ctg a
. VA,
sma - cosatgy
6.130.
■ + cos(n-a). 6.132.
sin4 a - cos4 a + cos2 a
2(1 - cos a)
cos a
. 2 a . 2 a '
Ctg —tg -
144
6.133.
6.135.
6.136.
6.137.
6.138.
6.139.
6.141.
6.142.
6.143.
6.144.
6.145.
6.147.
6.148.
6.149.
6.151.
6.152.
1 - sin 2а _~ f) C0S<Y + X) ' Sin3(T ' X)
1 + sin 2a cos(x - -j) tg(-2- + x)
sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a cos2 a.
sin (—ha) - sin ( a).
1-2 cos2 a
2tg(a -2-) sin2 (a - ^)
ctgasina
2sina + cos (90°+3a) + sin 5a '
sina + cosa ,n . . , , _ .
tg(— + a) + l. 6.140. 3 - 4 cos 2a + cos 4a.
cosa-sina 4
sin2 2a + 4sin4a-4 sin2 a cos2 a
4-sin2 2a-4 sin2 a '
sin2 2a + 4 sin2 a - 4
1 - 8 sin2 a - cos 4a
V 1 + cosa +-\/l-cosa
. =—, (л < a < 2л).
л/1 + cosa - V 1-cosa
Зтг
1 - sin 4a + ctg(— - 2a) cos 4a.
2sin2(— - a)
4
cos 2a
ctg a + ctg(270° + a)
ctg a - ctg(270° + a)
6.146.
3 - 4 cos2a + cos 4a
3 + 4 cos 2a + cos4a '
2cos(135° + a) cos(315° - a).
1 +sin 2a
l-tg:
a
sina + cosa ^ tg2 i^.
cos6 a-sin6 a sin22a
1 .
cos2a 4
6.150. 4 sin (y -a) sin a sin (y + a).
sin4 a + 3 cos2 a - sin4 a cos2 a - 3 cos4 a + cos6 a.
ctg a - tg a - 2 tg 2a - 4 tg 4a.
145
6.153.
4(tg a - tg2 3 a)
1 - 6 tg2 a + tg4 * a
Доказать тождества:
. 6.154. ctg2 2a - tg2 2a - 8 cos 4a • ctg 4a.
, . smx + cosx ^ з t 2 * ,
6.155. з = tg * + tg * + tg * + 1.
cos3 X
6.156.
1-2 sin2 a _ 1 - tg a
1 + sin 2a 1 + tg a
, ,cos2 B(tg2 a - tg2 B) . ,
6.157. = sm(a + p) sm(a - p).
cos a
c ico + ч l + sin2a
6.158. tg(— + a) = .
4 cos 2a
6.159. (1 + tg p tg 2p) sin 2p = tg 2p.
sin2 4a
6.160.
2 cos a + cos 3a + cos 5a
= 2 sin a • sin 2a.
6.161. sin a + 2 sin 3a + sin 5a = 4 sin 3a • cos2 a.
6.162. sin 2a + sin 4a - sin 6a = 4 sin a sin 2a sin 3a.
^ sin4 a + 2 sin a cos a - cos4 a
6.163. = cos 2a.
tg 2a - 1
1 Г~ 7C
6.164. — (cost + V3 sint) = cos(— - t).
6.165. sin2(45°+a)-sin2(300-a)-sinl50cos (15°+2a) = sin2a.
, ,,, V2 - sin a - cos a ^ ,a я.
6.166. ; = tg(---).
sin a - cos a 2 8
6.167. cos6 a - sin6 a = — cos2a(3 + cos2 2a).
4
6.168. cos2a - cos3a - cos4a + cos5a = -4sin — sinacos-^1.
2 2
2 cos2 2a + л/з sin 4a - 1 _ sin(4a + 30°)
2 sin2 2a + л/з sin 4a - 1 sin(4a - 30°)
Вычислить:
3 12 7
6.170. cos(a + P + y), если sina=—, sinp = —, siny = —,
0<a<-, 0<p<—, 0<y<y.
6.169.
146
6.171. tga-tgP, если cos(a + p)=i, cos(a-p) = j.
6.172. cos(a-p), если sina + sinp = l, cos a + cos p = V2.
В 9 24 Зл
6.173. 56,g(--2a), если tga = - —, SinP = --. y P < 2л.
(X 6
6.174. 6tg—-tg —, если sin a + sin P = 2 sin(a + P), а + р^тш,
n eZ .
6.175. sin2 a + sin2 p + sin2 у - 2 cos a cos p cos у, если a + P + у = л.
Вычислить без таблиц:
6.176. sin 18°. 6.177. ctg70°+ 4cos70°.
6.178. 64sin25°sin35°sin85°. 6.179. sinl8° -8т54°.
6.180. cos5°- cos55°- cos65°. 6.181. ctg70° + 4cos70°.
6.182. ctg7,5° + tg67,5° - tg7,5° - ctg67,5°.
. 4 71 -4 Зл . 4 5л . 4 771
6.183. sin —- + sm —- + sm —-+sm —-.
16 16 16 16
6.184. cosl2° -cos24° -cos36° -cos48° -cos60° • cos72° -cos84°.
n 2n 3 n 12л 13л 14л
6.185. cos cos cos—...cos cos cos .
15 15 15 15 15 15
Упростить выражения:
6.186. sin3 2a cos 6a + cos3 2a sin 6a.
6.187. -2a) + ctg(Y"“2a) + ctg(Y"“2a]'
6.188. cos(450° -6a) sin3 (l 80° -2a)- cos(6a - 180°) sin3 (90° -2a).
6.189.
cos a-cos 3a sin a + sin 3a
6.190.
cos a
sin2 3a cos2 3a
sin a
• 2 2
sin a cos a
6.191. tga tg(60° -a)tg(60° +a).
Глава
Тригонометрические уравнения
и неравенства
Формулы для справок
Определения обратных тригонометрических функций
а = arcsm т,
-1<т<1,
если <|sina = m,
л л
— <а<—;
2 2
а = arctg т,
tga = т,
если < л л
[2 2
(7.1)
(7.3)
а = arccos т,
если <^cosa = m,
0<а<тг;
а = arcctg т,
fctga = т,
(7.2)
если
О < а < л.
(7.4)
Формулы решения простейших тригонометрических уравнений1
sin х = т (| т \ < 1); х = (— 1)к arc sin т + лк, к е Z; (7.5)
х = arcsin т + 2яи,
или > п е Z;
х = л: - arcsin т + 2т
(7.5')
cos х = т (\т\ < 1); х = ± arccos т + 2лп, п е Z; (7.6)
tg х = т; х = arctg т + лп, п е Z; (7.7)
ctg х = nr, х = arcctg т + лп, п е Z, (7.8)
В частных случаях при т = 0, т = I, т = — 1 получаются сле¬
дующие формулы:
sin х = 0; х = лп, п е Z; (7.9)
sin х = 1; х = —+2лп, п е Z;
2
(7.Ю)
1 Знак п е Z означает, что число п принадлежит множеству целых чисел.
148
sin х =
—1; x = ——+ 2nn, n e Z:
2
(7.П)
COS X =
0; x = — + nn, n e Z;
2
(7.12)
COS X =
1; x = 2nn, n e Z;
(7.13)
COS X =
—1; x = л + 2tw, n e Z;
(7.14)
tg x = 0
i; x = nn, n e Z;
(7.15)
Ctg X =
0: x = — + nn, n e Z.
2
(7.16)
7.1. Обратные тригонометрические функции
При решении задач, связанных с обратными тригонометри¬
ческими функциями, надо четко знать их определения (7.1)—
(7.4), в соответствии с которыми эти задачи переводятся на
язык обычных тригонометрических функций. Так, например,
если по условию задачи надо найти cos (2arctg(—5)), то следует
понимать, как вычислить cos 2а, если tg а = — 5 и < а < —.
2 2
Обратите внимание на число т, которое в выражениях arcsin т
и arccos т должно удовлетворять условию | т \ < 1, а в выраже¬
ниях arctg т и arcctg т может быть любым числом. Если, на¬
пример, выражение arctg -J2 определяет некоторый острый
угол, то запись arcsin >/2 не имеет смысла.
7.1. Найти область определения функции у = arcsin
Решение. Согласно определению арксинуса (7Л)
. х
sin у =—,
т.е.
- 1 < — < 1, откуда —2 < х < 2 .
2
Ответ. —2 < х < 2.
Найти область определения функций:
7.2. у = arctg 2х. 7.3. у = arcctg7x^4.
7.4. у = arccos
1
х + 2
7.5. у = arcsin
2х
х — 1
149
f rz\
7.6. Вычислить: A = arcsin
( /тЛ
V 2У
n . Л ( ЛЛ 4n
Решение. A = — + 2-л— =—.
3 l 6J 3
2arccos
V 2У
4л
Ответ: —.
3
Вычислить:
7.7. arccos f] -arctg—j=. 7.8. arccos l + 2arcsin —
l 2) By[3 2
7.9. arccos
S
v 2
7.11. Вычислить: sin
+2arcsin (-1). 7.10. 3 arctg
Г ±Л
V Sj
+ arcctg I-
(-4
2 arcctg
V 32
Решение. Обозначим arcctg
VJ
1 = а. Согласно определению
арккотангенса (7.4) ctg a = —— и 0 < a < л, а учитывая, что ctg a < 0,
< a < я. Этим условиям удовлетворяет угол а = п - -у = (ибо
2 6 6
5л f л! л л/з л 5л ч
ctg— = ctg л - - = -ctg- = —— И — < — < л ).
Итак, sin
2 arcctg
л/3
V
. ~ . | ~ 5тг | . 5тг
= sin 2а = sin I 2 • — I = sin —
• I — 7тЛ .71 у/з
: sin 2тг = - sin — = .
3) 3 2
г) V3
Ответ: .
2
Вычислить:
7.12. cos
(
2 arcsin
S
v 2У
7.13. tg f — arccos 2|
\2 2.
150
7.14. ctg
3 arcsin
s.
7.15. sin [3 arcctg (—1)].
( n
ctg I —
. 10
7.16. Вычислить: arcctg
Решение. Обозначим arcctg
c,gi-n
= а. По определению
арккотангенса (7.4) ctg a = ctg —J и 0 < a < n. Единственный угол,
„ к 9к
удовлетворяющий двум последним условиям, есть a = к - — = —.
(Заметим, что наиболее «естественным» решением казался угол
a = ——, удовлетворяющий равенству ctg a = ctg —— , но он не удов-
10’
летворяет неравенству 0 < a < л.)
9п
Ответ: —.
10
Вычислить:
7.17. arcsin sin
7.21. Вычислить: cos 2 arcsin^
10
Юл
7.19. arctg | tg —4— I •
COSl-f
7.18. arccos
7.20. arcctg [ctg (- 400°)].
Решение. Обозначим arcsin-^-= а. Согласно определению арк-
4 л л л
синуса (7.1), sin a = — и —<a<— (а точнее, 0<а<—, ибо
5 2 2 2
sin а > 0). Таким образом, задача свелась к вычислению cos 2a, если
4 л
sin a = — и 0 < a < —. Согласно (6.16)
5 2
cos 2a = 1 - 2 sin2a = 1 - 2\ —1 =
25
Ответ: -0,28.
151
2 arccos -
7.22. Вычислить: tg
Решение. Обозначим arccos —J = а. Согласно определению
2 7Г
арккосинуса (7.2) cos а = - — и 0 < a < я (а точнее, — < a < к, ибо
2 tg ос
cos a < 0). Теперь по (6.17) tg 2а = —. Из формулы (6.7) следует,
1 - tgzct
что tg а = -.
cos2cc
-1 (перед радикалом берем знак минус, ибо
— < a < л, где tg a < 0).
Учитывая, что cos a = - —, последовательно найдем:
tga = -
4-2/3)
Ответ: 4-Д.
Вычислить:
1 , л/5 , „ 2(- л/?/2)
- 1 = и tg 2a = —i l—L-
z 2
7.23. sin I 2arccos — |.
7.25. ctg 2arcsin
ш
(S/2 J
= 4л/5.
1- -
7.24. cos ^2arcsinyj.
7.26. cos Q-arctg (-2,4)j.
7.2. Простейшие тригонометрические уравнения
Для усвоения темы прежде всего необходимо овладеть техни¬
кой решения простейших тригонометрических уравнений вида
sin х= т, cos х = т, tg х = т, ctg х = т (см. формулы (7.5)—
(7.8)) и их частные случаи (7.9)—(7.16), а также тесно связан¬
ные с ними уравнения вида sin (ах + b) = т, cos (ах + Ь) = т,
tg (ах + b) = т, ctg (ах + b) = т, sin2 х = т, cos2 х = т, tg2 х =
т, ctg2 х = т.
7.27. Решить уравнение: sin | х~~^ \ =-1-
152
Решение. Согласно (7.11)
7Г 7Г 7Г
х = — + 2тш или х = — + 2тш.
4 2 4
Ответ: х = н2ли, neZ.
4
7.28. Решить уравнение: tg | 2х + — \ =0.
7Г 7Г 7Г
Решение. Согласно (7.15) 2х + —= тш, откуда х =
3 6 2
/-л ^ ТС ^7
Ответ: х = —- + —п, n<=Z.
6 2
7.29. Решить уравнение: cos ^2x + -jj = -2.
Решение. Согласно (7.6) 2х + у = tarccos ^-2j + 2ли ,
или 2х + у = ±^- + 2пп. (Обратите внимание на то, что arccos ^-2
л 2п (л4) ._
= л- — = - j-, а не —j, так как по определению (7.2) значения арк-
7Г 2л
косинуса заключены на отрезке [0, л].) Теперь 2х = -у± — + 2ли или
х = —т-± — +ли. Записываем два решения (когда слагаемое — берется с
6 3 3
плюсом и минусом).
Ответ: х = ь тш; х = —+ тin, п gz.
2 6
7.30. Решить уравнение: sin 4х = -
7з
Решение. Согласно (7.5)
( S
4х =(-l) arcsin
/ -t \ Ai+1 тг тс .
х= -1 — + — к.
1 ' 12 4
v 2У
+ лк = (-1)*^- yJ + пк = + пк,
откуда
2
153
Иногда удобнее бывает иметь ответ в развернутой, а не краткой форме
записи. Поэтому для решения данного уравнения можно было воспользо¬
ваться развернутой формой записи его решений (7.5'). Тогда получили бы
1
И X —
4
г
arcsm
■й
2
Л
+ 2 яи
v *■) J
( РЛ
1
- + 2тг п
7Г 7Г
12+УП
тг - arcsm
лЯ
Л
v 2У
+ 2 ЯИ
If я | я я
= — ян— + 2яи = — н—и.
4 V 3 у 3 2
Ответ', х-
я я
X = 1 И, И 6/.
3 2
ч\/С+1 тс тс , ,
-1 1—к, keZ, или х--
’ 12 4
Решить уравнения:
7.31. 2 sin 2х = —1.
12 2
-и и
7.32. cos | 3jc-j| = 0.
7.33. 2 cos 2х = — л/з"-
7.34. cos | х + —| =1.
7.35. sin| 2x- — | = -1.
7.36. V2 cos | + 1 = 0.
7.37. 2 sin 10х-л/3 = 0.
7.39. ctg | x + —| = -1.
7.38. л/3 tg [ 3jc + -|J =3.
7.40. tg | 2x- — \ = 0.
7.41. 3tg \x--1 =V3.
7.42. Решить уравнение: sin2 x - —.
Решение. Уравнение распадается на два: sin х =
£
£
sin х = ——. Решение первого уравнения х = (-1) у + я к, а второго —
х = (-1)Н- —1+як. Объединяя эти решения, получим х = ±^- + пк.
Ответ'. х = ±—няк, keZ.
3
х
4
154
Замечание. Аналогично решению задачи (7.42) можно пока¬
зать, что решение каждого из уравнений sin2 х = a, cos2 х = a, tg2 х = а,
ctg2 х = а имеет вид:
х = ±агс...у/а+жк, к е Z, (7.17)
где многоточие означает один из символов sin, cos, tg или ctg. Поэтому,
например, решением уравнения cos2* А будет
х = ± arccos
ГГ %
J— + кк = ±— + пк,
keZ.
Решить уравнения:
7.43. sin2\2x-~n =—.
7.45. 3 ctg"
1
7.44. 4 cos2 (х + -1 =
4'
1 6)
)-■
7.46. tg2 = 1.
7.3. Тригонометрические уравнения
При решении более сложных тригонометрических уравнений
следует учесть, что не существует единого метода их решения (как,
например, для квадратных уравнений). Такие уравнения решают с
помощью тождественных преобразований, сводя их к одному или
нескольким простейшим, рассмотренным в § 7.2. При этом по воз¬
можности нужно избегать тех преобразований, которые нарушают
равносильность (например, возведение обеих частей уравнения в
квадрат, освобождение от знаменателя, содержащего неизвестное,
и т.п.). В случае неизбежности таких преобразований необходимо
уметь отбросить лишние решения.
Одна из важнейших идей решения тригонометрического
уравнения состоит в преобразовании его к одной тригонометри¬
ческой функции.
7.47. Решить уравнение: 2 cos2x + 5 sin х ~ 4 = 0.
Решение. Уравнение легко приводится к квадратному уравнению от¬
носительно sin х: 2(1 — sin2 х) + 5 sin х — 4 = 0, или 2 sin2 х — 5 sin х +
+ 2 = 0. Решая полученное уравнение, найдем:
1) sinx = у, откуда х = (-l)A arcsin^- + пк = (-l)A + пк.
155
2) sin x = 2. Решений нет. (Запись «решений» этого уравнения в
виде х = (—\)к arcsin 2 + пк является грубой ошибкой, ибо | sin х | < 1, а
arcsin 2 вообще не имеет смысла.)
Ответ:
х = (— 1)* -g- + пк,
Решить уравнения:
7.48. 2 cos2 х = 3 sin х.
7.50. 3 tg2 х + -\/з tg х = 0.
7.52. cos4 х — sin4 x = sin x.
к e Z.
7.49. tg2 2x - 7 tg 2x + 10 = 0.
7.51. tg 2x + ctg 2x = 2.
7.53. (tg x — ctg x)2 = 1 + ctg2 x.
Уравнения вида a cos x + b sin x = 0, a cos2 x + b cos x sin x +
+ csin2x = 0 и т.д., называемые однородными относительно функ¬
ций sinx и cos х (соответственно первого, второго и т.д. порядков),
рекомендуется решать делением обеих частей уравнения соответст¬
венно на cos х ^ 0, cos2x ^ 0 и т.д.
7.54. Решить уравнение: л/з sin x + cos х = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos х ф 0 (если пред¬
положить, что cos х = 0, тогда из уравнения следует, что и sin х = 0, что
невозможно для одного и того же угла). Получим >/з tgx + 1 = 0, отку-
•>/3 п
да tgx = —— и х = -— + пп.
Ответ: х = -^г + пп, neZ.
6
7.55. Решить уравнение: sin2 х — 8 sin х cos х + 7 cos2 х = 0.
Решение. Данное уравнение является однородным относительно
sin х и cos х второй степени. Разделим обе части уравнения на cos2 х ф 0
(если предположить, что cos х = 0, тогда из уравнения следует, что и
sin х = 0, что невозможно). Получим tg2 х — 8 tg х + 7 = 0. Решая квад¬
ратное уравнение относительно tg х, получим: (tg хД = 1 и (tg x)j = 7,
откуда соответственно х = — + пп, х = arctg 7 + пп.
Ответ: х= — + пп, х = arctg7 + пп, п еZ.
7.56. Решить уравнение: 3 sin2x — 8 sin х cos х + 9 cos2x = 2.
Решение. Это уравнение сводится к однородному (второй сте¬
пени), если правую часть представить как 2 = 2 (cos2 х + sin2 х);
156
3 sin2 x — 8 sin x cos x + 9 cos2 x = 2 (cos2 x + sin2 x), или sin2 x — 8 sin x
cos x + 7 cos2 x = 0. А далее решение такое же, как в 7.55.
Решить уравнения:
7.57. л/3 cos Зх - sin Зх = 0.
7.58. V2 sin 2х + cos 2х = 0.
7.59. sin2 х — 10 sin х cos х + 21 cos2 х = 0.
7.60. cos2 х — 3 sin х cos x + 1 = 0.
7.61. sin2 x — 30 sin x cos x + 25 cos2 x = 25.
7.62. 2 sin2 x — 5 sin x cos x — 8 cos2 x = —2.
Один из способов решения тригонометрических уравнений
заключается в разложении одной из его частей на множители,
если другая часть равна нулю. Это дает возможность приравнять
нулю каждый сомножитель и свести решение данного уравнения
к совокупности более простых.
7.63. Решить уравнение: cos х + cos 2х = sin х + sin 2х.
Решение. Преобразуем обе части уравнения в произведение:
„ Зх х „ . Зх х
2cos—cos— = 2 sin—cos—.
2 2 2 2
Обращаем внимание на то, что просто сокращение обеих частей
уравнения на выражение, содержащее неизвестное (в данном случае на
cos—), может привести к потере корней. Поэтому перенесем члены
уравнения в одну часть и вынесем множитель 2cosy за скобки. Полу-
х ( 3 х 3 X
чим 2 cos— cos sin—
2 v 2 2,
0, откуда:
1\ Х Х7Г |
1) cos— = 0; — = — + пп и х = к + 2кп:
2 2 2
Зх . Зх Л тт Зх Л
2) cos — - sin — = 0. Деля обе части уравнения на cos — * 0, получим
. Зх Зх
1 - tg— = 0, или tg — = 1. Решение последнего уравнения даст
2 2
Зх к к 2к
— = —hnn и х= — н п.
2 4 6 3
г. п2п
Ответ: х = п + пп, х= — н п, neZ.
6 3
157
7.64. Решить уравнение: cos 10х - cos 8x - cos 6л: +1 = 0.
Решение. Запишем уравнение так: (cos 10х — cos 6x) +
+ (1 — cos 8x) = 0. Преобразуя выражение в скобках в произведение, по¬
лучим —2sin 8х sin х + 2 sin2 4х = 0. Заметив, что sin 8х = 2 sin 4х cos Ах,
sin 4х = 2 sin 2х cos 2х, найдем:
—4 sin 4х cos 4х sin 2х + 4 sin 4х sin 2х cos 2х = 0, или
—4 sin 4х sin 2х (cos 4х — cos 2х) = 0.
Вновь преобразуем в произведение выражение в скобках; получим
8 sin 4х sin 2х sin Зх sin х = 0, откуда:
7Т 7Т
1) sin 4х = 0; 4х = ли, х = — и; 2) sin 2х = 0; 2х = ли, х =—и;
л
3) sin Зх = 0; Зх = ли, х = — гг, 4) sin х = 0; х = ли.
Легко видеть, что решения первого уравнения х = —и совпадают с
решениями второго при п = 2к
и с решениями четвертого
при и = 4/ (х = л/).
Замечание. Нетрудно заметить, что некоторые решения входят
как в первую, так и в третью формулу, и можно было продолжать «изъ¬
ятие» повторяющихся решений. Однако это уже не столь важно, и
можно эти «изъятия» не проводить.
Ответ:
л л
X =— И, X = —и,
4 3
и sZ.
Решить уравнения:
7.65. cos х - cos 2х = sin Зх.
7.66. sin х + sin Зх = sin 2х.
7.67. cos Зх = sin 2х + cos х.
7.68. 4 sin2 х (1 + cos 2x) = 1 - cos 2x.
7.69. cos 2x = 2 cos x cos 5x - 1.
7.70. cos x + cos 3x + cos 5x = 0.
7.71. sin x — sin 2x + sin 3x — sin 4x = 0.
7.72. sin x + sin 2x + sin Зх = 1 + cos x + cos 2x.
В ряде уравнений целесообразно вначале преобразовать произ¬
ведение тригонометрических функций в сумму, а затем после уп¬
рощения уравнения вновь преобразовать сумму в произведение.
158
7.73. Решить уравнение: sin 7х ■ sin 6x sin 5x ■ sin 8x.
Решение. Преобразуя произведение тригонометрических функций
в сумму, получим:
(cos х - cos 13х) = -j(cos Зх - cos 13х), или cos х = cos Зх. Перенося
cos Зх в левую часть и преобразуя разность косинусов двух углов в про¬
изведение, найдем:
cos х — cos Зх 0 или 2 sin х ■ sin 2х 0, откуда:
к
1) sin 2х = 0; 2х = ли, х = — гг, 2) sin х = 0; х = ли.
Решения второго уравнения содержатся среди решений первого
(при и 2к), поэтому их не выписываем.
Ответ:
л
х=2"’
и eZ.
Решить уравнения:
7.74. sin Зх • sin х — cos lx ■ cos 5x 0.
7.75. cos 3x • sin x cos 5x • sin 3x.
7.76. cos 2x • cos 3x cos 5x • cos 6x.
7.77. sin 5x • cos 6x sin x sin lx ■ cos 4x.
При решении некоторых уравнений полезно вначале пони¬
зить степень входящих в них членов, а затем преобразовать
сумму тригонометрических функций в произведение.
7.78. Решить уравнение: sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх + sin2 4х.
Решение. Используя формулы понижения степени (6.34), получим
1 - cos 2х 1 - cos 4х 1 - cos 6х 1 - cos 8х
1 = 1 ,
2 2 2 2
или cos 2х + cos 4х = cos 6х + cos 8х. Преобразуем обе части уравнения
в произведение: 2 cos Зх cos х = 2 cos 7х cos х. Перенося все члены
уравнения в одну часть, получим 2 cos х (cos Зх — cos 7х) = 0, или
4 cos х sin 5х sin 2х = 0, откуда:
тс тс те
1) cos х 0; х = —I- ли; 2) sin 5х 0; х = — и; 3) sin 2х 0; х = — и.
2 5 2
Легко видеть, что все решения первого уравнения содержатся среди
тс тс тс
решений третьего (при п = 2к + \, —п = —{2к + \) = — + %к ), поэтому их не
выписываем.
Г\ И И гу
Ответ: х=—п, х=—п, nsZ.
Решить уравнения:
7.79. cos2 х cos2 Зх 1. 7.80. sin2 х sin2 2х sin2 Зх.
159
7.81. sin2 2x sin2 3x sin2 4x sin2 5x.
7.82. cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x 2.
Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает
удобным введение вспомогательного угла.
7.83. Решить уравнение: 7з cosx + sinx = 1.
Решение. Вынесем в левой части уравнения корень квадрат¬
ный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х, т.е.
№ + I2 = 2 , получим
2
(£
{ 2
1
Л
cos х + — sin х
2
1. Заменяя = sin —,
2 3
In „ я
— = cos у (т.е. вводя вспомогательный угол у), получим
.71 71 . 1 . ( 71^1 1 „
sm — cosx + cos — smx = —, или sin х н— = —, и по развернутой
3 3 2 l3j2
формуле (7-5') получим:
7Г 7Г 7Г
х — = —-2тг/7, х = —- + 2тш;
3 6 6
7Г 7Г 7Г
хн— = тг- —+ 2тш, х= —+ 2тш.
3 6 2
Ответ: х = -^- + 2пп, х = — + пп, neZ.
6 2
Решить уравнения:
7.84. sin х cosx 1. 7.85. V3sinx + cosx = V3.
7.86. sinx- cosx = л/2 cosЗх. 7.87. sinx + cosx = -j2 sin5x.
Одним из способов решения тригонометрических уравнений
является метод рационализации, заключающийся в том, что в
уравнении sm х и cos х заменяют выражениями через tg —
(формулы (6.25), (6.26)):
sin х =
1 - tg2 f
COS X = —
1 + .rf
В результате рациональное1 уравнение относительно всех
входящих в него тригонометрических функций аргумента х сво-
X
дится к рациональному уравнению относительно tg—, т.е. урав¬
1 Это означает, что тригонометрические функции аргумента х, входящие в урав¬
нение, связаны операциями сложения, вычитания, умножения, деления и воз¬
ведения в целую степень.
160
нению с одним неизвестным. К недостаткам метода рационали¬
зации относится возможность получения уравнений высоких
X
степеней относительно tgy.
7.88. Решить уравнение: 3 sin х — 2 cos х 2.
X
Решение. Выразим sin х и cos х через tg — :
2 tg у l-tg2|
Z л Z
3 2-2 2
. , . 2 X 2 X
l + tgy ^<8Т
= 2,
после
преобразований это уравнение
. х
2
х 2
приводится к виду:
х = 2 arctg - j + 2пп.
tg2
“3’
откуда — = arctg—ь ли и
2 3
При решении уравнения методом рационализации необходимо пом-
X
нить, что формулы (6.25) и (6.26) справедливы, когда tg — имеет
X п , . ^
смысл, т.е. при — Ф —I- ли или при х * л + 2лп. Поэтому для того,
2 2
чтобы не потерять возможные корни уравнения, нужно проверить, яв¬
ляются ли числа х = л + 2лп корнями данного уравнения. Подставляя их
в левую часть исходного уравнения 3 sin (л + 2ли) — 2 cos (л + 2ли) =
= —2 cos л = 2, убеждаемся, что они также ему удовлетворяют.
2
Ответ: х = 2arctg у + 2ли, х = л + 2ли, и е Z.
Решить уравнения:
7.89. sin х — cos х 1. 7.90. sin х 7 cos х 5.
7.91. 3 sin 2х + 2 cos 2х = 3. 7.92. 8tg2- = 1 + .
2 cos х
Достаточно часто приходится сталкиваться с уравнениями,
рациональными относительно выражений sin х + cos х (или
sin х — cos х) и sin х • cos х. Такие уравнения рекомендуется ре¬
шать заменой sin х + cos х = у (или sin х — cos х = у), из кото¬
рой возведением обеих частей равенства в квадрат находится
выражение sin х • cos х через у.
7.93. Решить уравнение: —-— н—-— н = 5.
cos х sin х sin х cos х
Решение. Приводя обе части уравнения к общему знаменателю
и при условии sin х * 0, cos х * 0 освободившись от него, получим
161
sin x cos x — 5 sin x ■ cos x 1 0. Обозначим sin x cos x у. Возведя в
квадрат обе части этого равенства, получим sin2 х +
+ cos2 х + 2 sin х cos х = у2, или 1 2 sin х cos х у2 , откуда sin х х
2 1 2 1
у — 1 у — 1
х cos х = —-— и уравнение примет вид: у - 5 — 1-1 = 0, или
? 7
5у — 2у — 7 0, корни которого равны — 1 и —.
Итак, данное уравнение свелось к совокупности двух уравнений:
1) sinx + cos х = -j, решая которое (например, методом введения вспо¬
могательного угла аналогично 7.83 или методом рационализации анало-
, л 7
гично 7.88), получим1 х = — ± arccos —;= + 2т;
4 5V2
2) sinx cos х — 1, решениями которого (любым из указанных спосо¬
бов) будут х = Ь 2лп, х ж 2пп. Но эти решения являются посто¬
ронними для исходного уравнения, ибо для первого из них cos х 0, а
для второго sin х 0.
Ответ, х = — ± arccos + 2т, п е Z.
4 5л/2
Замечание. При решении уравнений указанного типа путем за¬
мены sin х cos х у при найденных значениях у, казалось бы, удобнее
2 1
• У - 1
находить корни исходного уравнения из уравнения sm х cos х = ,
или sin 2х у2 — 1, но при этом необходимо учитывать, что среди по-
л
следних возможны посторонние корни, так как уравнению sm 2х у — 1
удовлетворяют как все корни уравнения sm х cos х у, так и все корни
«постороннего» уравнения sin х cos х —у.
Решить уравнения:
7.94. sin х cos х sin х -cos х 1.
7.95. 5 sin 2x sin x cos x 1.
7.96. 12 - 12 (sin x cos x) 5 sin 2x 0.
7.97. 5(1 - sin 2x) - 16(sin x - cos x) 3 0.
При решении ряда тригонометрических уравнений можно
выделить тригонометрическую единицу (sin2x + cos2x)*.
7.98. Решить уравнение: sin4 х + cos4 х = —.
4 В зависимости от способа решения запись ответа возможна и в другом виде.
162
Решение. Дополним левую часть уравнения до полного квадра¬
та, т.е. прибавим и вычтем 2 sin2 х cos2 х. Тогда:
(■ 2 V . ( 2 V2 - . 2 2
(sin xj + (cos xj + 2 sm x cos x
( . 2 2 l2
(sm X + COS Xj
~ . 2 2 5
- 2 sm x cos x = —
8
или (sin2 x + cos2 x) - 2 sin2 x cos2 x = — .
8
о 0 5 о 0 3
Таким образом, l-2sin xcos x = — и 2sin xcos x=—. Учиты-
8 8
9 / ч2 9 9
вая, что sin 2х = (2 sin х cos xj = 4 sin x cos x, найдем
1 9 3 9 3
— sin 2x = — и sin 2x = —.
2 8 4
Это уравнение распадается на два:
1) sin2x = откуда 2х = (-l)* — + лк и х = (-l)A — + —к;
2 3 6 2
2) sin2x = -^-, откуда 2х = + ттА: и х = (-l)*^--^j+-J&.
Объединяя оба решения, получим х = ±^г +—к. (Заметим, что при
6 2
решении можно было использовать готовую формулу (7.17).)
л л
Ответ: х = ±—I—к, ksZ.
6 2
7.99. Решить уравнение: 16 (sin6 х + cos6 х) = 13.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, представив вы¬
ражение в скобках как сумму кубов:
16(sin2 х + cos2 x)(sin4 х - sin2 х cos2 х + cos4 х) = 13.
Выражение в первых скобках равно 1, а во вторых выделим полный
квадрат:
16 [(sin4 х + 2 sin2 х • cos2 х + cos4 х) - 3 sin2 х cos2 х I = 13.
Учитывая, что sin2 2х = 4 sin2 х cos2 х, представим уравнение в виде:
16
• 2 2
sm х + cos х
4 sin2 х cos2 x
= 13,
или 16 (l --^-sin22xj = 13, откуда sin22x
но 7.42 или по формуле (7.17).
Ответ: x = ± 1—n, n e Z.
12 2
1
—, которое решаем аналогич-
163
Решить уравнения:
7.100. sin4 x + cos4 х — sin х cos x.
7.101. cos4 x + sin4 x = cos 4x.
7.102. sin4 x + cos4 x — 2 sin 2x + sin2 2x — 0.
7.103. cos6 x + sin6 x = 1/4 sin2 2x.
При решении тригонометрических уравнений часто возникают
существенные трудности, связанные с отсевом посторонних кор¬
ней, появившихся в процессе преобразования уравнений (напом¬
ним, что по возможности следует избегать таких преобразований,
о чем было сказано в начале § 7.3).
7.104. Решить уравнение: ^ х = о.
sin Зх
Решение. Числитель дроби обращается в нуль при х = %п. Но
необходимо проверить, не обращается ли и знаменатель в нуль при
этих значениях неизвестного. Очевидно, что sin Зх = sin (Зли) = 0, т.е.
уравнение решений не имеет.
Ответ, нет решений.
7.105. Решить уравнение: tg х + tg 2х = tg Зх.
Решение. Преобразуем в произведение сумму тангенсов двух уг-
sin Зх sin Зх
лов: = . Перенося все члены уравнения в левую
cos х ■ cos 2х cos Зх
часть, найдем
sin Зх (cos Зх - cos х • cos 2х)
cos х • cos 2х • cos Зх ’
Наиболее простой способ преобразования в произведение выраже¬
ния в скобках — это представить cos Зх в следующем виде:
cos Зх = cos (2х + х) = cos 2х cos х — sin х sin 2х (см. задачу 6.76). Заме-
„ sin х sin 2х sin Зх . „
на cos Зх полученным выражением дает = 0. При-
cos х cos 2х cos Зх
равнивая каждый сомножитель числителя к нулю, получим:
7Х 71
1) sin х = 0; х = кп; 2) sin 2х = 0; х = — и; 3) sin Зх = 0; х = —п.
Из полученных решений надо исключить те, которые обращают в
нуль cos х, cos 2х, cos Зх (т.е. при которых не имеют смысла tg х, tg 2х,
tg Зх). Таких посторонних корней нет среди решений первого уравне-
164
lift
ния (cos жп ф 0, cos 2жп * 0, cos 3жп ^ 0) и третьего (cos— * 0,
2 жп . 3 nn тт „
cos—-— ^ 0, cos —-— = cos nn 0). Для решении второго уравнения
2лп
cos 2х = cos = cos пп Ф 0, a cos x# 0 и cos Зх * 0 только при четном
2
п = 2к
cos | — • 2fc
= cos тгА: 0,
cos 3nk) и cos x = 0, cos Зх = 0 при не-
Г
я
(л ^
о (Зл „Л Л
четном п = 2к+ 1
cos
— (2 к +1)
= cos —1-я к
= 0, cos h Зпк = 0
'v
_2 _
U J
{2 J J
Таким образом, из решений второго уравнения надо отбросить посто¬
ронние корни, полученные при нечетном и, и оставить корни при четном
и, т.е. х = % к. Но числа х = жк совпадают с решениями первого уравнения
и, как нетрудно заметить, могут быть получены из решений третьего урав¬
нения при п = Зк (х = жк). Поэтому их не выписываем.
„ жп
Ответ: х = —, п е Z .
3
7.106. Решить уравнение: sinх + cosх = Vl - 2 siп2 х.
Решение. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим
sin2 х + cos2 х + 2 sin х cos x = 1 — 2 sin2 x, или, учитывая, что
sin2 x + cos2 x = 1, sin x (sin x + cos x) = 0, откуда
n
1) sin x = 0; x = жп; 2) sin x + cos x=0; x = 1- nn.
4
При возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться
посторонние решения, поэтому полученные корни надо проверить под¬
становкой в исходное уравнение. При х = жп правая часть уравнения
Vl -2sin2 жп = Vl 2-0 =1, а левая часть simt« + cos7i« = l, если и — чет¬
ное, и —1, если и — нечетное.
Таким образом, равенство обеих частей уравнения при х = жп дости¬
гается только для четных п = 2к или для х = 2жк. Предлагаем читателю
самостоятельно убедиться в том, что корни х
уравнению.
- + жп удовлетворяют
Ответ: х = 2жп, х =
ж
- + жп,
п eZ.
7.107. Решить уравнение: cos х cos 2х cos 4х = 0,125.
Решение. Наиболее быстрый способ решения — умножение
обеих частей уравнения на 8 sin х, хотя при этом следует учесть, что
могут появиться посторонние корни, при которых sin х = 0.
165
После умножения на 8 sin х уравнение примет вид
8 sin х cos х cos 2х cos 4х = sin х .
Последовательно трижды применив формулу синуса двойного
угла (6.15), получим сначала 4 sin 2х cos 2х cos 4х = sin х, затем
2 sin 4х cos 4х = sin х и далее sin 8х = sin х, или sin 8х — sin х = 0. Пре¬
образуя разность синусов по формуле (6.28), получим
. 7х 9х
sm — ■ cos— = 0. откуда
. . 7х 7х 2
a) sm— =0, — = пп, х = —кп;
... 9х „ 9х л п 2
б) cos—=0, — = —+пп, х = -+-пп.
Изобразим полученные решения х=уяи и х = -^- + ^-7Ш на тригоно¬
метрическом круге (рис. 7.1 и 7.2).
п = 9k + 2
Рис. 7.1 Рис. 7.2
Из этих решений, полученных соответственно при п = 7к, 7к + 1,
7к + 2, ..., 7к + 6 и п = 9к, 9к + 1, 9к + 2, ..., 9к + 8, необходимо ис¬
ключить такие, при которых sin х = 0, т.е. значения х, лежащие на го-
2 п 2
ризонтальном диаметре: х=—пп при п=7к и х = — + — пп при
и = 9к + 4 (см. рис. 7.1 и 7.2).
2 л 2
Ответ. — пп, п Ф 7к', —I— пп, п Ф 9к + 4; и, к е Z.
В некоторых уравнениях к успеху могут привести нестан¬
дартные методы решения.
166
X
Решение. Поскольку sin у Icos 2х | < 1, произведение
• х , „
sin — cos ix может равняться единице лишь при выполнении одной
2
из двух систем уравнений:
cos 2х = 1 L.
х .
Решая первую систему, найдем из первого уравнения х = % + 4пп и
из второго уравнения х = %п. Очевидно, решения первого уравнения
входят в решение второго при п = 4к + 1, т.е. являются решениями
системы. Решая вторую систему, убедимся в том, что она несовместна:
ют общих корней.
Ответ. х = % + 4ли, п е Z.
Решить уравнения:
^ 2cos.x l-cos2x 7 1Ю sin^cosx
’ ’ 1 + cos 2х sin 2х ' ’ ’ cos Зх
7.111. sin3 x(l + ctgx) + cos3 x(l + tgx) = cos2x
7.4. Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
7.115. л/3 tg2(x + 40°) = ctg (50°-х). 7.116. 2 sin2 х = 2 + 5 cos х.
7.112. 1 + tg х
1 - sin 2х
cos2 2х
7.113. sin9 х + cos9 x =1.
7.117. sin x + cos 2x = 2.
7.118. tg3 x + tg2 x — 3 tg x = 3.
7.119. V3sin2x-4sinxcosx + V3 cos2x = 0.
7.120. sin x + cos x = 1 + 2 sin x cos x.
167
7.121. sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2 x.
7.122.
cos* - J2 sin— = 1.
2
7.123.
7.124.
7.125.
7.126.
7.127.
с“Ч1“*)_С05г(т + *)=т
(2 sin x — cos x)(l + cos x) = sin2 x.
2 cos 2.x = >/б (cosx - sinx).
sin 2x + sin 4x + sin 6x = 1 + cos 2x + cos 4x.
~ ~ cos 2x
2-tg 2x =
1 + sin 2x
7.129. 1 - sinx = sin
7.131.
7.133. ctg x — ctg 2x = 2.
n x
4 2
sin3 x + cos3 x = sinx.
7.128. cos x — sin x = 1 — sin 2x.
7.130. tg x + ctg x = 8 sin 2x.
cos2x
7.132.
1 - sin 2x
7.134. , o.
1 - tg X
= cosx + sinx.
7.135. tg (л + 2x) - ctg — + Зх I = 2 tg 2x . 7.136. tg 2x = sin 4x.
v 2 J
3 - 3sin4 x - 5cos4 x = 0. 7.137a. 2 sinx+ |sinx| = sin2x.
4 sin 2x sin 4x sin 6x = sin 4x.
7.137.
7.138.
7.139.
7.140.
7.141.
7.143.
7.144.
cos2x - 3cosx = 4cos2y. 7.139a. 2ctgx + |ctgx| = 2sin2x.
2 cos 3x cos 4x + 2 sin 2x sin 5x = cos 2x + cos 4x.
7.142. cos2 2x - cos2 3x = 1.
X
+ 7 x - 2
9 tg2 — = 7
2 cosx
X
cosx + cos — = 2
Ittg у
7.143a. sinx + cos x = cos 2x.
V3 1
sinllx + —sin7x + —cos7x = 0.
2 2
168
7.147. ^ + ^ * = 1 + sin 2х 7.148. sin3C + C0S3C = ^ + .
1 - tg х 2
9 9 2
7.149. sin 2х + sin x = —. 7.150. sin 2х + cos 2х = sin x + cos х
2
7.151. sinx + tgх = — cosx.
cos x
7.152. 8 sin6 9C + 3 cos 2x + 2 cos 4x + 1 = 0.
7.153. tg 5зс • tg 3x = 1. 7.154. 4 cos2 2x + 8 cos2 x = 7.
7.155.
1
1
9 X . 2 X
cos — sin —
2 2
= 16 Ctg X.
7.156. tg зс + ctg зс + 6 sin 2x = 7.
7.157. sinx — cosx + sin2x = —1. 7.158.
sin 2x = 4 sin2 — - 2 sin x
2
7.159. ctg2 xsin2 3x - cos2 Ззс = 4 cos2 x.
7.160. sin4 x + sin4fx + -^1 + sin4fx - —1 = —.
„ лгл sin зс + sin 4зс + sin 7зс ^
7.161. ; — = tg 2x .
cosx + cos4x + cos7x
7.162. 4 (sin3 x - cos3 зс)
з з l 1 1
sin x - cos x)=
7.163. sin 3x cos3 x + cos 3x sin3 зс =
Sin 3C COS 3C
3_
4 '
7.164. 8 sin зс cos Ззс sin(y - xj sin(y + xj = 1.
7.165. tg lx + tg Ззс = 0. 7.166. (cos43c - cos23c)2 = sin Ззс + 5.
7.167. (л/З sin 2зс + cos 2зс) sin Ззс = 2.
7.168. 2 tg2зс + cos 2зс + 5 (cos зс + cos-1 зс) + 4 = 0.
169
7.5. Тригонометрические неравенства
Для овладения навыками решения тригонометрических нера¬
венств прежде всего надо научиться решать простейшие нера¬
венства вида а\ < sin х < а2, Z>i < cos х < Z>2, с\ < tg х < с2,
d\ < ctg х < dj , где a\, a2, b\, Z>2, c\, c2, d\, dj — заданные чис¬
ла. Для решения этих неравенств удобно использовать тригоно¬
метрический круг.
7.169. Решить неравенства: a) sinхб) sinх<
Решение. Так как в тригонометрическом круге sin а есть ордина¬
та конца подвижного радиуса, отложим на оси ординат отрезок, рав¬
ный —,
2
и проведем через точку К отрезок MN || Ох (рис.7.3).
Рис. 7.3
Рис. 7.4
Рис. 7.5
я 5тт 1
Получим Z NOA = —, a Z МО А = —, ибо их синусы равны —. Оче-
6 6 2
видно, что неравенству sinx>y соответствуют все точки дуги MPN
(отмечены на рис. 7.3 штриховкой), т.е. заключены от — до —. С учетом
6 6
периода функции sin х, равного 2тг, ответ запишется в виде интервала
-^■ + 2яи; ^- + 2nnj.
170
Решениями неравенства sinx< — будут все точки дуги MQN. Если
„ „ 5л
полагать, что угол с конечной стороной ОМ равен —, то точки дуги
6
MQN будут описаны интервалом ^^- + 2ли; ~~ + 2-unj, так как если
двигаться по дуге MQN в положительном направлении (против часо¬
вой стрелки), то угол с конечной стороной ON будет равен
~ Л 13л
2л + — = ——. Запись ответа несколько упростится, если считать угол с
6 6
конечной стороной ОМ равным - л-— = -—. Тогда «охвату» точек
6 6
дуги MQN будет соответствовать интервал + 2ли; -g- + 2nnj.
Ответ: а) ^- + 2ли; ^- + 2ли^; б) ^--^г- + 2ли; -^- + 2%nj , n&Z.
7.170. Решить неравенство: -^-<cosx<^-.
Решение. Так как в тригонометрическом круге cos а есть абсцисса
~ 1 1
конца подвижного радиуса, отложим на оси Ох отрезки, равные — и —, и
проведем через точки Ки L ММ’ || Оу, NN’ || Оу (см. рис. 7.4).
1 1 7Г
Получим Z. МО А = arccos — , Z /17 'ОА = - arccos — , Z NOA =
Z N’OA = Очевидно, решениями неравенства будут все точки
дуг MN и M'N', т.е. (с учетом периода функции cos х, равного 2л)
интервалы соответственно
arccos—+ 2ли; - — + 2ли| и ( —+ 2ли; arccos—+ 2ли|.
3 3 у V.3 3 )
Ответ:
п eZ .
- arccosj + 2n«; -у + 2ли| U ^у + 2ли; arccos-^-+ 2ли | ,
7.171. Решить неравенство: -1 < tg х < —.
Решение. Так как в тригонометрическом круге tg а есть ордината
точки пересечения продолжения подвижного радиуса с осью тангенсов,
171
то отложим на оси тангенсов отрезки, равные — 1 и —, и полученные
точки В и С соединим с центром круга (см. рис. 7.5). Получим, что
% 2
ZAOB = Z СОА = arctg —, ибо их тангенсы соответственно равны
2
—1 и —. Очевидно, решениями данного неравенства будут все точ¬
ки дуги DAE. С учетом периода функции tg х, равного %, решения не¬
равенства примут вид интервала
% 2 \
+ тт: arctg —+пп\.
4 3 )
Ответ: \-^ + %п; arctg у+яи|, neZ.
Неравенства, не являющиеся простейшими, с помощью тож¬
дественных преобразований следует свести к одному или систе¬
ме простейших неравенств.
3
7.172. Решить неравенство: cos3 xsin3x + sin3 xcos3x < —.
Решение. Упрощая левую часть неравенства (рекомендуем это сде¬
лать самостоятельно), получим равносильное неравенство sin4x<-^-, кото¬
рое решаем аналогично 7.169.
_ I 7 к кп к пп)
Ответ: н ; —н , и eZ .
(.24 2 ’ 24 2 )
Решить неравенства:
л/2
7.173. cos Зх > —.
7.174. < sin
4
Г
X Л
4
V ^ J
7.175. —Уз < tg х < 2. 7.176. 5 sin2 х + sin2 2х > 4 cos 2х .
7.177. 2shP
п
х | - 3 cos
v4
71
—I- х I + 1 > 0; 7.178. tg x > cos x .
V4 ' Б
7.179. Решить неравенство: sin4x < -J3 sin3x - sin2x.
Решение. Приведем неравенство к виду: sin 4х + sin 2х — V3sin Зх < 0,
Г
или 2 sin Зх cos х - л/3 sin х < 0, откуда 2sin3x cosx <0. Данное
неравенство равносильно двум системам неравенств:
172
sin3x > О,
S (!) или i
COS X < ■
2
sin3x < 0,
$ (2>
cosx > -
Решая систему (1), найдем решение первого неравенства:
_ . _ _ , 2пк л 2пк
2пк < Зх < л + 2пк, или < х < — +
3 3 3
и второго: -7- + 2 ли < х < -Ц?- + 2тш.
6 6
(Соответствующие части дуг выделены штриховкой для первого нера¬
венства и жирной кривой — для второго, рис. 7.6.) С помощью рис. 7.6
находим решение системы как точки пересечения выделенных дуг:
71 . 71 * 2л _ -4 л _ 5л _
— + 27ш < х < — + 2ли, — + 2ли < х < л + 2 ли, — + 2 ли < х < — + 2 ли.
6 3 3 3 3
7Г
Аналогично находим решение системы (2): - — + 2ли<х<2ли (рис. 7.7).
6
Рис. 7.6 Рис. 7.7
Ответ: (- л/6 + 2ли; 2ли) U (тг/6 + 2ли; л/3 + 2ли) U (2л/3 + 2ли, л + 2ли) U
U (4л/3 + 2ли; 5л/3 + 2ли),и е2Г.
Решить неравенства:
cos^ 2х
7.180. 4 sin х sin 2х sin Зх > sin 4х. 7.181. — > 3 tg х.
cos X ^
7.182. д/sin х + д/ cos х > 1. 7.183. х * Зх ^ 1.
Глава
Прогрессии. Соединения
и бином Ньютона
8.1. Задачи на арифметическую прогрессию
где й\, ап
d
Sn
Формулы для справок
ап = ах +d(n-1),
(8.1)
о ai+a„
s„= 2 п.
(8.2)
п [2ах +d(n-l)]n
Sn- 2 >
(8.3)
соответственно 1-й и п-й члены арифметической
прогрессии;
разность арифметической прогрессии;
сумма п первых членов арифметической прогрессии.
8.1. Найти сумму всех трехзначных чисел, кратных 5.
Решение. Трехзначные числа 100, 105, 110, ..., 990, 995 образуют
арифметическую прогрессию, у которой ах = 100, d = 5, ап = 995. Ис¬
пользуя формулу общего члена (8.1), получим 995 = 100 + 5(и - 1) и
найдем п = 180. Теперь по формуле суммы п членов прогрессии (8.2)
найдем:
S
180
Ответ: 98 550.
100 + 995
2
•180 = 98 550.
8.2. В амфитеатре расположено 10 рядов, причем в каждом сле¬
дующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в послед¬
нем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?
8.3. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. В первый час
он проехал 8 км, а в каждый следующий час на 1 км больше,
чем в предыдущий. Сколько часов он был в пути, если расстоя¬
ние АВ равно 38 км?
174
8.4. Третий член арифметической прогрессии равен 10, а вось¬
мой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы их сумма равнялась
242?
8.5. Найти сумму 75 членов последовательности с общим членом
ап= Зп- 19.
8.6. Общий член последовательности определяется формулой
ап = 13 - 1,5и. Доказать, что это арифметическая прогрессия, и
определить сумму первых ее 10 членов.
8.7. Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено
238 ден. ед., причем за каждый следующий метр глубины плати¬
ли на 2 ден. ед. больше, чем за предыдущий, а за работу на по¬
следнем метре заплатили 30 ден. ед.
8.2. Задачи на геометрическую прогрессию
Формулы
для справок
1
с
II
(8.4)
bг (qn -1) / \
U ь*1»-
(8.5)
Sn = nby (д = 1),
(8.6)
S=-^~ (| q\<l),
1 -q
(8.7)
где Ь\, Ьп — соответственно 1-й и п-й члены геометрической
прогрессии;
q — знаменатель геометрической прогрессии;
Sn — сумма п первых членов прогрессии;
S — сумма бесконечно убывающей геометрической про¬
грессии.
8.8. Сумма второго и четвертого членов возрастающей геомет¬
рической прогрессии равна 30, а их произведение — 144. Найти
сумму девяти членов этой прогрессии.
fz>2+z>4=30,
Решение. По условию имеем систему уравнений <
[г>2 ■ г>4 = 144,
решая которую получим Ь2 = 6, 64 = 24 (второе решение Ь2 = 24,
64 = 6 не годится, так как по условию прогрессия возрастающая: q >1).
По формуле общего члена (8.4) Ь2 = Ъ\д и Z>4 = Ь\дъ, т.е. Z>4/Z>2 = 24/6 = 4 ,
175
откуда q = 2 (второй корень q = — 2 не подходит, так как q > 1). Тогда
bi = ^ = 3 и по формуле суммы и первых членов геометрической про¬
грессии (8.5) tSg = —^—^- = 1533.
Ответ. 1533.
8.9. Разность между вторым и первым членами геометрической
прогрессии равна 18, а разность между четвертым и третьим 162.
Составить прогрессию.
8.10. Между числами 243 и 1 поместить четыре числа, которые
вместе с данными числами образовали бы геометрическую про¬
грессию.
8.11. Геометрическая прогрессия состоит из шести членов. Най¬
ти ее знаменатель, зная, что сумма трех первых членов в восемь
раз меньше суммы трех последних членов.
8.12. Найти четыре числа, составляющие убывающую геометри¬
ческую прогрессию, зная, что сумма ее крайних членов равна
а сумма средних 10.
8.13. Определить сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если известно, что сумма ее первого и четвертого
членов равна 54, а сумма второго и третьего 36.
8.14. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 9, а сумма квадратов членов той же прогрес¬
сии 40,5. Найти прогрессию.
8.15. Население города увеличивается ежегодно на 2% от налич¬
ного числа жителей. Через сколько лет население: а) удвоится;
б) утроится?
8.16. Определить бесконечно убывающую геометрическую про¬
грессию, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна
I
8
суммы квадратов ее членов.
176
8.3. Смешанные задачи на прогрессии
8.17. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно
так, что все три числа образуют возрастающую арифметическую
прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то
получится геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.
8.18. Арифметическая и возрастающая геометрическая прогрес¬
сии имеют первые члены, равные 2, и равные третьи члены.
Второй член арифметической прогрессии на 4 больше второго
члена геометрической прогрессии. Найти эти прогрессии.
8.19. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес¬
сию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2,
3, 9, то новые числа образуют геометрическую прогрессию. Най¬
ти данные числа.
8.20. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый
512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в
2 раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы
трех первых членов в той и другой прогрессиях были бы равны.
8.21. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна
42; те же числа составляют первый, второй и шестой члены воз¬
растающей арифметической прогрессии. Найти эти числа.
8.22. Найти натуральное число п из уравнения:
22 • 25 • 28...23"~1 = 328.
Решение. Используя свойства степеней и учитывая, что 32 = 25,
получаем:
22+5+8+...+3/1-1 = 240#
Слева в показателе — сумма п членов арифметической прогрессии,
ее первый член а\ = 2, разность d = 3. Используя формулу суммы п
первых членов арифметической прогрессии (8.2) и приравнивая пока-
2 + (Зи -1)
затели, получаем:
-и = 40, откуда получаем квадратное уравне¬
ние для и: Зи2 + и - 80 = 0. Корни этого уравнения: щ
подходит по условию); «2 = 5.
Ответ. {5}.
32
< 0
(не
177
1 7
8.23. Решить уравнение: —ь х + х2 + ... + хп где I х I < 1.
X 2 1 1
Решение. ОДЗ: х ф 0. Приведем уравнение к общему знаменате-
у
лю: 1 + х2 + х3 + ... + х”+1 + ... = —х. Если к обеим частям уравнения при¬
бавить х, то слева получим сумму бесконечно убывающей геометриче¬
ской прогрессии со знаменателем q = х, где |х| < 1:
- 2 п 1
1 + X + X + ... + Х + ...——X + X.
Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии
(8.7), преобразуем левую часть уравнения:
1 9
= —х. Преобразования
1-х 2
2
приводят к квадратному уравнению 9х — 9х + 2 = 0. Корни этого урав-
1 2
нения: х\ = —, х2 = —. Оба корня входят в ОДЗ и удовлетворяют усло¬
вию: |х| < 1.
Ответ'.
1 2
Д 3.
Решить уравнения:
8.24. 2х + 1 + х2 -
8.25. З2 • З5... З3”-1 = д/272, где п — натуральное число.
8.26. 52 • 54 • 56...52х = 0,04~28, где х — натуральное число.
4 5
X — X
7 111
... = —, где х < 1.
4 1 1
8.4. Соединения
Формулы для справок
Размещения из п элементов по т — это комбинации из
п различных элементов по т, отличающиеся друг от друга соста¬
вом элементов или их порядком (или и тем и другим). Число
размещений
178
А™ = n(n-l)(n-2)...(n- m + l).
Перестановки из п элементов — комбинации из п раз¬
личных элементов, отличающиеся друг от друга только поряд¬
ком элементов. Число перестановок1 *Рп = п\ = 1 ■ 2 ■ З...(и - 2)(п - 1 )п. Из определения следует, что
р =Ап = п'
Сочетания из п элементов по т — комбинации из п раз¬
личных элементов по т, отличающиеся друг от друга хотя бы
п(п — \)(п — 2)...(п — т + 1)
одним элементом. Число их = , или
1-2-3 ...т
" ml(n - m)l
Свойство числа сочетаний: С™ = С" По определению
С° =1
8.27. Сколькими способами можно выбрать 4 человек на 4 раз¬
личные должности из 9 кандидатов на эти должности?
Решение. В задаче следует вычислить число размещений из 9 по
4, так как должности различны, т.е. А§ = 9 ■ В ■ 7 ■ 6 = 3024.
Ответ: 3024.
8.28. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифры
десятков и единиц различны и нечетны?
Решение. Нечетных цифр всего пять: 1, 3, 5, 7, 9. Двузначные
числа, составленные из них, могут отличаться как порядком, так и со¬
ставом образующих их цифр. Следовательно, надо вычислить число
размещений из 5 по 2, т.е. = 5-4 = 20.
Ответ: 20.
8.29. Сколько различных трехзначных чисел можно записать
при помощи цифр 3 и 5?
Решение. Каждую из трех цифр трехзначного числа можно запи¬
сать двумя способами (цифрой 3 или 5), общее число способов опреде¬
лится произведением 2 ■ 2 ■ 2 = 23 = 8.
Ответ: 8.
1 Произведение п первых чисел натурального ряда называется факториа¬
лом (обозначается п\, читается «эн-факториал»): п\ = 1 • 2 • 3 ... (п—\)п. По оп¬
ределению 0! = 1.
179
8.30. Сколько всего семизначных номеров можно составить из
10 различных цифр, в каждом из которых ни одна из цифр не
повторяется?
8.31. Номер автомобиля состоит из двух букв, за которыми сле¬
дует трехзначное число. Сколько существует различных автомо¬
бильных номеров, в которых цифры и буквы не повторяются?
8.32. Буквы азбуки Морзе состоят из символов: точка и тире.
Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква со¬
стояла из пяти символов?
8.33. Сколько четырехзначных чисел можно составить, исполь¬
зуя цифры 1, 2, 3, 4, 5, если никакая цифра не повторяется в
числе более одного раза?
8.34. На корабле имеются четыре различных сигнальных флага.
На флагштоке поднимается сигнал, состоящий из двух различ¬
ных флагов. Сколько сигналов можно поднять на флагштоке?
8.35. При приготовлении пиццы к сыру добавляют различные
компоненты, обеспечивающие тот или иной ее вкус. В распоря¬
жении повара имеются: перец, лук, сосиски, грибы и анчоусы,
причем все это можно добавлять к сыру при приготовлении
пиццы. Сколько типов пиццы можно приготовить из этих про¬
дуктов (компонентов), если они не повторяются?
8.36. Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколь¬
ко всего различных телефонных номеров можно составить из
цифр 2, 3, 5, 7?
8.37. Сколько различных шестизначных четных чисел можно
составить из цифр 1, 3, 5, 6, 7, 9, если в каждом таком числе ни
одна цифра не повторяется?
Решение. Необходимым и достаточным условием четности нату¬
рального числа является делимость на 2 цифры единиц этого числа.
Поэтому цифрой единиц искомых чисел может быть только 6. Осталь¬
ные пять цифр могут стоять в любом порядке на оставшихся пяти мес¬
тах. Следовательно, задача сводится к нахождению числа перестановок
из пяти различных чисел, т.е. 755 = 5!=1-2-3-4-5 = 120.
Ответ'. 120.
180
8.38. Сколько различных узоров елочных гирлянд можно соста¬
вить из двух зеленых и четырех красных лампочек?
Решение. Если бы все лампочки были разного цвета, то решение
задачи сводилось бы к вычислению числа перестановок из 6 элементов
(лампочек), т.е. Р& = 6! Однако фактическое число разных гирлянд
уменьшится из-за того, что перестановки одинаковых зеленых ламп
(это можно сделать 2! способами) и красных ламп (4! способами) не да¬
дут нового узора, т.е. общее число узоров уменьшится в 2! • 4! раз, или
будет равно -^^j = 15.
Задачу можно обобщить на случай числа комбинаций из п эле¬
ментов, отличающихся только порядком элементов, среди которых
щ элементов первого вида, «2 — второго, ..., щ — элементов к-то вида.
п\
Число этих комбинаций 1 , где и, + и, + ... + щ = п.
П1\п2\...пк\ 1 2 к
В данной задаче щ = 2, п2 = 4.
Ответ. 15.
8.39. Сколькими разными способами семь книг разных авторов
можно расставить на полке в один ряд?
8.40. Сколькими способами можно разложить 8 различных пи¬
сем по 8 различным конвертам, если в каждый конверт кладется
одно письмо?
8.41. Сколько различных слов можно образовать из букв слова
«гипербола», если все такие слова должны состоять из 9 букв и
ни одна буква не должна повторяться? (Напомним, что словом
называется любой набор букв, причем смысловое содержание
слова в данной задаче значения не имеет.)
8.42. Число перестановок из и букв относится к числу переста¬
новок из (и + 2) букв как 0,1 : 3. Найти п.
8.43. Сколькими способами можно упаковать 9 различных книг
в трех бандеролях соответственно по две, три, четыре книги в
каждой бандероли так, чтобы литературное содержание банде¬
роли для каждого способа упаковки различалось?
181
8.44. Сколькими различными способами можно распределить
7 молодых специалистов одной специальности по трем цехам,
которым соответственно нужны 1, 2 и 4 специалиста (личность
специалиста во внимание не принимается)?
8.45. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 16 команд,
причем любые две команды по положению играют между собой
один матч. Сколько календарных игр в таком турнире?
Решение. Решению удовлетворяют все такие комбинации из 16
по 2, которые различаются между собой хотя бы одним элементом, т.е.
в задаче надо найти число сочетаний из 16 по 2:
clв=-
16!
2!-14!
= 120.
Ответ: 120.
8.46. Из двух математиков и десяти экономистов необходимо
составить комиссию в составе 8 человек. Сколькими различны¬
ми способами может быть составлена комиссия, если в нее дол¬
жен входить один математик?
Решение. Выбор одного математика из двух возможен С\= 2 спо-
7 'З
собами, а семи экономистов из десяти О'о = Cfo = 120 способами. По-
1 'З
этому комиссия может быть составлена Сj ■ Cfo = 2 • 120 = 240 спосо¬
бами.
Ответ: 240.
8.47. Сколькими способами читатель может выбрать 4 книги из
6 книг разных авторов?
8.48. В городки играют 12 человек. Сколькими способами мож¬
но набрать команду из 4 человек (личность играющего во вни¬
мание не принимается)?
8.49. У студентки есть 7 разных книг по физике, а у ее друга —
9 разных книг по математике. Студентка отдает любые 5 книг
по физике и берет любые 5 книг по математике. Сколькими
разными способами они могут обменяться книгами между со¬
бой?
8.50. Сколько существует делителей числа 210?
182
8.51. Подрядчику нужна бригада из 4 плотников, а к нему обра¬
тились с предложением своих услуг 10 плотников. Сколькими
способами может подрядчик составить такую бригаду?
8.52. В кондитерской имеются 5 разных сортов пирожных.
Сколько разных наборов можно составить из 4 пирожных раз¬
ных сортов?
8.53. Сколькими способами можно составить комиссию в соста¬
ве 3 человек, выбирая их из 4 супружеских пар, если в комис¬
сию не могут входить члены одной семьи?
8.5. Бином Ньютона
Формулы для справок
Формула бинома Ньютона:
/ I \п 0 п . /~г1 л-1 . . /~гт т п-т . . s~in п 0
(х + а) — С па х + С пах + ... + С „ах + ... + С па х ,
или
/ . \п п . п-1 . ^ 1? п-2 2 . . п-1 . п
(х + а) — х + пх а Н х а + ... + па х + а ,
1-2
где п — натуральное число;
— число сочетаний из п элементов по т.
Сумма биномиальных коэффициентов равна 2п, т.е.
. s~i\ . . s~ifTl . . s~in г\П %
~г ... ~г ~г ... ~г — L ,
Тт+1 = С™атхп т — (т + 1)-й член разложения бинома Ньютона.
8.54. Вычислить сумму:
С5° + 2С\ + 22С52 + 23С| + 24С54 + 25С|.
Решение. Согласно формуле бинома Ньютона при х = 1 и п = 5
имеем:
(1 + 2)5 = С5° + 2С\ + 22С52 + 23С53 + 24С4 + 25С55 = З5 = 243.
Ответ. 243.
183
8.55. Найти 13-й член разложения бинома ^л/з + Vlj .
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома
имеем:
гр ггт /-г12
1\3 — ^ 12+1 — и15
№
,12 15-14-13
~~ 1-2-3
• 3 • 26 = 87 360.
Ответ. 87 360.
Г iV6
8.56. Найти номер члена разложения бинома л[х +— , не со¬
держащего х
Решение. Для общего члена разложения данного бинома имеем
Тт+Х =С™\Цх
16 — 4т
т+1 = Г—j =С1“х 3 , причем по условию задачи
16—4 т
= 0, так как член разложения бинома не содержит х Решая по¬
следнее уравнение, находим, что т = 4.
Ответ. 5-й член.
8.57. Найти 5-й член разложения бинома [ yfa + J—] , если от-
V л/3 а)
ношение биномиального коэффициента 4-го члена к биноми¬
альному коэффициенту 3-го члена равно
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома
,3
Та = Туц = cUyfa
п-3 1
4Ъа)
Тъ = Т1+х = С1Ш
п-2 1
у[3а) ’
С„ Ю гг
причем по условию задачи —j = —. Подставляя в это уравнение вы-
С/1
ражения для С\ и С| (см. 3.4), найдем искомое и, т.е.
з"("-1)("-2),10ЩЦ), „ - 2 = 10, или л - 12.
1-2-:
Ответ. п= 12.
1-2 ’
184
8.58. Коэффициенты 5-го, 6-го и 7-го членов разложения (1 + х)п
составляют арифметическую прогрессию. Найти п.
8.59. Найти биномиальный коэффициент 7-го члена разложения
бинома, если биномиальный коэффициент 3-го члена этого би¬
нома равен 36.
8.60. Сколько членов разложения бинома (л/З + >/7 j являются
целыми числами?
8.61. Сколько слагаемых входит в выражение для (а + х)100?
Выпишите три первых члена этого разложения.
8.62. В выражении для (а + х)100 выпишите 60-й член разложения,
15-й член разложения. Какой член разложения содержит х80 ?
8.63. Используя формулу бинома Ньютона (ограничившись дву¬
мя первыми членами разложения), вычислите приближенно:
а) 1,00210; б) 0,9975.
8.6. Задачи для самостоятельного решения
8.64. Диаметры пяти шкивов, насаженных на общий вал, обра¬
зуют арифметическую прогрессию, крайние члены которой рав¬
ны 110 и 206 мм. Найти диаметры промежуточных шкивов.
8.65. Лестница, ведущая на веранду, имеет 8 ступенек. Первая
ступенька — бетонная плита высотой 10 см; высота каждой из
остальных ступенек 15 см. Найти высоту 2-й, 3-й и 4-й сту¬
пенек над землей. На какой высоте над землей находится пол
веранды?
8.66. Первый член геометрической прогрессии, все члены кото¬
рой положительные числа, равен 1, а последний ее член 16. Оп¬
ределить число членов этой прогрессии, если ее сумма на 29
больше знаменателя прогрессии.
8.67. Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии, все
члены которой положительные числа, равна 21. Третий член
185
прогрессии больше первого на 9. Сколько членов этой прогрес¬
сии надо взять, чтобы их сумма была равна 189?
8.68. Для поливки 20 деревьев, расположенных по прямой ли¬
нии на расстоянии 2 м друг от друга, садовник приносит воду
для каждого отдельного дерева из колодца, находящегося на той
же прямой линии в 10 м от первого дерева. Сколько всего мет¬
ров пройдет садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться
к колодцу?
8.69. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты
800 м, а в каждый следующий час поднимался на высоту, на
25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достиг¬
нет высоты в 5700 метров?
8.70. Стоимости четырех марок, наклеенных на четыре бандеро¬
ли, составляют арифметическую прогрессию, причем самая до¬
рогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой. Определить эти
стоимости, если в сумме они составляют 2800 тыс. руб.
8.71. Сумма трех первых членов возрастающей арифметиче¬
ской прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой
прогрессии отнять по единице, а к третьему члену прибавить
единицу, то полученные три числа составят геометрическую
прогрессию. Найти сумму первых десяти членов арифметиче¬
ской прогрессии.
8.72. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от
третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию.
Если же от второго и третьего членов полученной арифметиче¬
ской прогрессии отнять по единице, то получим снова геометри¬
ческую прогрессию. Найти эти числа.
8.73. Из 10 различных красок нужно составить рисунок, чтобы в
него входило не менее 2 цветов. Сколько таких рисунков можно
составить?
8.74. Сколькими способами можно выбрать 3 подарка из 8 раз¬
личных предметов?
186
8.75. В предвыборной борьбе за две одинаковые должности вы¬
ступают 4 кандидата. Каждый избиратель может занести в свой
бюллетень двух кандидатов. Сколькими способами избиратель
может заполнить свой бюллетень?
8.76. Сколькими способами из 6 супружеских пар можно ото¬
брать 5 человек, если: а) в число отобранных должны входить
трое мужчин и две женщины; б) члены одной семьи не должны
входить в это число?
8.77. Сколькими разными способами можно отобрать 4 книги из
5 одинаковых учебников по физике и 4 одинаковых по химии?
8.78. Решить уравнения: а) 2 + 5 + 8 + ... + х = 155;
б) 1 - 5 - 11 - ... -х= -207;
в) х — 1 + х — 3 + х — 5 + ... + х — 27 = 70.
8.79. Найти все натуральные п, удовлетворяющие условию:
а)СГ2+2« = 9; б) ЗС2+1 -2А2п =п.
8.80. Найти 51-й член последовательности:
2, 4, 9, 17, 28, 42, 59, 79, 102 ...
8.81. Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем
3, содержащихся между целыми числами 5 и 100.
8.82. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах из 50 вы¬
стрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах —
два штрафных очка, а за каждый последующий — на одно очко
больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок,
получивший 35 штрафных очков?
8.83. Из заданных четырех чисел первые три составляют геомет¬
рическую прогрессию, а последние три — арифметическую про¬
грессию, причем сумма крайних членов равна 42, а сумма сред¬
них членов равна 36. Найти эти числа.
8.84. Найти трехзначное число, если его цифры составляют гео¬
метрическую прогрессию. Если из неизвестного числа вычесть
297, то получится число, написанное теми же цифрами, но рас¬
187
положенными в обратном порядке. Если к цифрам данного чис¬
ла прибавить соответственно 8, 5 и 1, то полученные числа со¬
ставят арифметическую прогрессию.
8.85. Мяч падает с высоты 2 м 43 см и, ударяясь о землю, от¬
скакивает вновь, поднимаясь всякий раз на 2/3 высоты. После
какого количества ударов мяч поднимется на высоту 32 см?
8.86. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую
секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в
предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спус¬
тя 5 с одно после другого, то через какое время после начала паде¬
ния первого тела они будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
8.87. ЭВМ получила задание решить последовательно несколько
задач. При регистрации времени выполнения задания заметили,
что на решение каждой следующей задачи машина затрачивала в
одно и то же число раз меньше времени, чем на решение пре¬
дыдущей. Сколько было предложено задач и сколько времени
затрачено машиной на решение всех задач, если на решение
всех задач, кроме первой, затрачено 63,5 мин, на решение всех
задач, кроме последней, затрачено 127 мин, а на решение всех
задач, кроме двух первых и двух последних, затрачено 30 мин?
8.88. Известно, что 19 февраля длина световой части дня соста¬
вила 10 ч. Через сколько суток она увеличится на 6%, если каж¬
дый день к световой части суток добавляется 4,5 мин?
8.89. Двум рабочим было поручено изготовить партию деталей.
Первый рабочий работал в понедельник, среду, пятницу и изго¬
товил 133 детали. Второй рабочий работал во вторник и четверг
и изготовил 78 деталей. По окончании работ было замечено, что
начиная со вторника каждый день изготавливалось деталей на
один и тот же процент больше, чем в предыдущий. Сколько де¬
талей изготовили в пятницу?
8.90. При каком наименьшем п длины сторон «-угольника могут
образовать геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1,9?
188
8.91. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти
первый член этой прогрессии.
8.92. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
арифметическую прогрессию. Найти тангенс меньшего из углов
треугольника.
8.93. Дан квадрат со стороной 64 см. Середины его сторон яв¬
ляются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго
квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найти
длину стороны пятого квадрата.
8.94. Первым четырехугольником является прямоугольник со
сторонами 5 см и 8 см. Для того чтобы получить второй четы¬
рехугольник, соединили середины сторон первого четырехуголь¬
ника. Для получения третьего четырехугольника соединили се¬
редины сторон второго четырехугольника и т.д. Указать номер
четырехугольника, начиная с которого периметры четырех¬
угольника будут меньше 1 мм.
8.95. Цифры трехзначного числа в порядке следования образуют
возрастающую геометрическую прогрессию. Если вторую цифру
искомого числа увеличить на 2, то цифры полученного числа
образуют арифметическую прогрессию. Найти это число.
8.96. Найти первый член и знаменатель арифметической про¬
грессии, если известно, что сумма первых ее четырех членов
равна 68, сумма последних четырех членов (—36), а сумма всех
членов равна 68.
8.97. Некоторые члены арифметических прогрессий 17, 21, 25,
29, ... и 16, 21, 26, 31, ... одинаковы. Найти сумму первых ста
одинаковых членов этих прогрессий.
8.98. Три отличных от нуля числа образуют арифметическую
прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке,
образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Найти
знаменатель прогрессии.
Глава 7.
Планиметрия
Справочный материал
Треугольник
Рассматривается треугольник АВС, стороны которого АВ = с,
ВС = а, АС = b лежат против соответствующих углов: Z А = а,
Z В= р, Z С= у.
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, ко¬
торая делит каждую медиану на части в отношении 2:1, считая
от вершины.
3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоле¬
жащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сто¬
ронам.
4. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух
его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
5. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения
биссектрис треугольника.
6. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения
перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их
серединах.
7. Теорема синусов. Для произвольного треугольника справедли¬
вы соотношения: = = = 2R,
sin a sin р sin у
= 2 R,
(9.1)
где В — радиус описанной окружности.
8. Теорема косинусов, а2 = Ь2 + с2 - 26с cos а
(аналогичные соотношения справедливы для b2 и с2).
(9.2)
(9.3)
где ha — высота, опущенная на сторону а;
hf, — высота на сторону 6;
hc — высота на сторону с;
(9.4)
190
S = Vp{p - a)(p - b)(p - c),
(9.5)
a + b + c
где p полупериметр;
где г — радиус вписанной окружности;
S = рг,
(9.6)
„ abc
“4~R’
(9.7)
где R — радиус описанной окружности.
10. Признаки равенства треугольников. Два треугольника равны,
если у них соответственно равны:
1) две стороны и угол между ними;
2) сторона и два прилежащих к ней угла;
3) три стороны.
11. Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:
1) два угла одного треугольника равны двум углам другого;
2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого, а углы между сторонами равны;
3) три стороны одного треугольника соответственно пропор¬
циональны трем сторонам другого.
12. Прямоугольный треугольник ABC, а, b — катеты, с — гипо¬
тенуза, ZC = 90°.
1.
sin а = —; (9.8)
b
cos а = — ;
(9.9)
с
с
tg а = y ; (9.Ю)
о
. ъ
ctg а = — .
а
(9.11)
2. Теорема Пифагора: а2 + Ь2 = с2.
13. Центр описанной около прямоугольного треугольника ок¬
ружности лежит на середине гипотенузы, R — — с. (9.12)
14. Свойство высоты, опущенной из вершины прямого угла на ги¬
потенузу. Пусть hc — высота, опущенная на гипотенузу с из
вершины прямого угла, с\ и сг — отрезки, на которые она делит
гипотенузу (ci прилегает к катету а, С2 — к катету b). Тогда:
hi = <дс2,
(9.13)
а2 = схс ,
(9.14)
Ь2 = с2с .
(9.15)
191
Окружность и круг
15. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ка¬
сательной.
16. Длины отрезков касательных из одной точки к данной ок¬
ружности равны.
17. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит
дугу, стягиваемую хордой, пополам.
18. Если через точку М, взятую внутри круга, проведены две
хорды АВ и CD, то произведения отрезков хорд равны:
AM - МВ = CM - MD. (9.16)
Эта же формула справедлива, если CD — диаметр.
19. Если из точки М, взятой вне круга, проведены касательная
МА (А — точка касания) и секущая МВС (МВ — внешняя часть,
ВС — внутренняя часть), то
МА2 = МС ■ МВ. (9.17)
20. Центральный угол, образованный двумя радиусами, измеря¬
ется дугой, на которую он опирается.
21. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими
из одной точки окружности) измеряется половиной дуги, на ко¬
торую он опирается.
22. Угол, образованный двумя касательными, исходящими из
одной точки, измеряется полуразностью большей и меньшей
дуг, заключенных между точками касания.
23. Угол между двумя хордами измеряется полусуммой двух дуг,
одна из которых заключена между его сторонами, а другая —
между их продолжениями.
24. Угол между двумя секущими измеряется полуразностью двух
дуг, заключенных между его сторонами.
25. Угол между касательной и хордой измеряется половиной ду¬
ги, заключенной внутри него.
26. Угол между касательной и секущей измеряется полуразно¬
стью большей и меньшей дуг, заключенных между сторонами
угла.
27. Длина окружности (С) и длина дуги сектора (I) с централь¬
ным углом а (или А°):
С = 2nR = nD, (9.18)
где D — диаметр,
лВА°
180°
— Ra.
(9.18')
192
28. Площадь круга (6) и площадь сектора (jSi) с центральным
углом а (или А°):
S = nR2 = nD .
4
(9.19)
е nR2A 1 2
S, = = —к а.
360° 2
(9.19)
Четырехугольники
29. Квадрат со стороной а:
1) диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся
в точке пересечения пополам и являются биссектрисами его углов;
2) площадь квадрата S = а2; (9.20)
S-\d2, (9.21)
где d — длина диагонали.
30. Ромб со стороной а:
1) диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны, делятся в точ¬
ке пересечения пополам и являются биссектрисами его углов;
2) площадь ромба S = ah,
(9.22)
где h — высота ромба,
S = -dxd2,
2
(9.23)
где d\, dj — длины диагоналей.
31. Прямоугольник со сторонами а и Ь:
1) диагонали прямоугольника равны и делятся в точке
пере-
сечения пополам;
2) площадь прямоугольника S = ab;
S = — d2 sin у,
2
(9.24)
(9.25)
где у — угол между диагоналями.
32. Параллелограмм со сторонами а и b и острым углом а:
1) диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения
пополам;
2) площадь параллелограмма S = aha = bhb,
(9.26)
S = dxd2 sin y,1
(9.27)
где d\, dj — диагонали, у — угол между ними;
S = ab sin а ;
(9.28)
1 Формула верна для площади любого четырехугольника.
193
3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
кваратов его сторон, т.е.
dl +dl = l(a2 + Z>2). (9.28')
33. Трапеция с основаниями аж b:
1) средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и
равна их полусумме:
1 = ^(а + Ъ). (9.29)
2) площадь трапеции S
\(a + b)h,
S= lh.
(9.30)
(9.31)
34. В описанном около окружности четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
35. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы про¬
тивоположных углов равны по 180°.
9.1. Треугольники
9.1. Сторона равностороннего (правильного) треугольника равна
а. Найти: 1) высоту, 2) г — радиус вписанного круга, 3) R — ра¬
диус описанного круга, 4) S — площадь треугольника.
Решение. В равностороннем треуголь¬
нике (рис. 9.1) все стороны равны а, все углы В
равны 60°, высота совпадает с медианой и
биссектрисой.
1) Из вершины В опустим перпендикуляр
на АС, обозначим М точку пересечения вы-
а
соты с основанием. Тогда AM = МС = —.
2
Треугольник А МВ — прямоугольный, АВ = а.
Из теоремы Пифагора находим катет ВМ:
ВМ= I"2
а^ -
2>/3
Итак,
высота
Рис. 9.1
2
2
h =
a-j3
~т~
Очевидно, что и медиана, и биссектриса тоже равны
fl-y/З
~1Г'
2) Центр вписанной окружности О лежит в точке пересечения бис¬
сектрис, т.е. в данном случае и в точке пересечения высот, и в точке
пересечения медиан (в равностороннем треугольнике они совпадают).
194
ОМ — радиус вписанной окружности,
ОМ =
ВМ
3
аУз
. Итак, г =
ал/з
по свойству медиан (2)
3) Центр описанной около равностороннего треугольника окружно¬
сти лежит в точке пересечения перпендикуляров к сторонам в их сере¬
динах; но в равностороннем треугольнике высоты совпадают с медиа¬
нами и, значит, являются перпендикулярами к серединам сторон. По¬
этому центр описанной окружности совпадает с центром вписанной
окружности О, ВО — радиус описанной окружности, по свойству меди¬
ан (2) ВО
2 ВМ
3
ал/3 ал]з
. Итак, R = .
3 3
4) Площадь треугольника найдем, используя все формулы (9.3)—
(9.7):
(Ч 1 1 ~2д/з"
aha а2л]з 1 , . 1 2 • «
д= = ; S=—absmy = —a sm60 =
2 4 2 2
4
_ 13а (За Y а2л/3 За
s = jTT'e где^=т;
_ а2л/з ^_abc _ а2 л]3
~Р'Г~ 4 ’ ~TR~ 4 '
ал/3 ал]3 ал]3 а
Ответ: п= ;г = = ;л= —
2 6 3 4
9.2. Площадь равностороннего треугольника равна л/3. Найти его
сторону, высоту, радиус вписанной и описанной окружностей.
9.3. Радиус окружности, описанной около равностороннего тре¬
угольника, равен 2-Уз. Найти площадь треугольника.
9.4. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружно¬
сти равен л/з/2 . Найти высоту треугольника.
в
Рис. 9.2
9.5. В правильный треугольник со сто¬
роной а вписана окружность, в которую
вписан другой правильный треугольник.
Найти площадь меньшего треугольника.
Решение. (Рис. 9.2) Радиус окружно¬
сти, вписанной в больший треугольник, ра¬
вен г = а^ (см. задачу 9.1). Он же является
6
радиусом окружности, описанной около
195
меньшего треугольника, сторону которого обозначили через х; тогда
Х-у/З
R = (см. задачу 9.1), т.е.
a-J3 Хл/З ,,
—- —; дг = а/2; 5- 4
x2-j3
(см. задачу 9.1), поэтому S
а2л/3
16 '
Ответ:
а2л/з
16 '
9.6. Около правильного треугольника со стороной, равной 2,
описана окружность, около которой описан другой правильный
треугольник. Найти его сторону и высоту.
9.7. Площадь правильного треугольника равна 4д/3
длину вписанной окружности.
Решение. Из задачи 9.1 следует, что S = —
см2.
2Л
4 ’
Найти
откуда
= 4; С = 2кг = 4п
Я
„ л л/з”
Ответ: 4п— см.
3
9.8. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 24 см,
его площадь S= 216 см2. Найти гипотенузу.
Решение. (Рис. 9.3) Для прямоуголь¬
ного треугольника площадь равна половине
произведения его катетов (следует из фор¬
мул (9.3) ИЛИ (9.4)),
ab
т.е. S = —
2
Полагая а — 24, получим
24-^- = 216, откуда Ъ = 18.
По теореме Пифагора с2 = а2 + Ь2,
с = >/242 +182 =30.
А
Рис. 9.3
Ответ: 30 см.
196
9.9. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
проекция другого на гипотенузу равна 16 см. Найти второй катет.
А
Рис. 9.4
4 а 4
лежащего катета —, т.е. — = —,
5 с 5
(см. 12) с2 = а2 + Ъ2 , поэтому
9.10. В прямоугольном треуголь¬
нике биссектриса острого угла
делит противоположный катет на
отрезки длиной 4 и 5 см. Опре¬
делить площадь треугольника.
Решение. (Рис. 9.4) По свойст¬
ву биссектрисы (3) отношение при-
а
лежащего катета к гипотенузе —
с
равно отношению отрезков противо-
откуда с = —; по теореме Пифагора
4
b =
5а | 2
— - а
4
За
Т'
Однако из условия следует, что b = 4 + 5 = 9, поэтому = 9, а =12;
$ = — = -L12. = 54
2 2
Ответ. 54 см2.
9.11. Из точки вне прямой проведены к этой прямой две
наклонные и перпендикуляр. Сумма длин наклонных равна
56 дм, а их проекции — соответственно 8 и 36 дм. Чему равна
длина перпендикуляра?
9.12. В прямоугольном треугольнике ABC ZA = a, катет ВС = а.
Из вершины прямого угла С опущена высота CD. Найти AD,
л DB и CD.
Решение. ZB = (3 = 90° - а
(рис. 9.5). В прямоугольном треуголь¬
нике CDB (ZD = 90°) ВС — гипоте¬
нуза, CD и О В — катеты. Используя
(9.8) И (9.9), получим:
CD = ВС sin р = a sin (90° — а) = a cos
а,
DB =ВС cos р = a sin а.
197
Из прямоугольного треугольника A DC (АС —
катеты) находим катет AD, прилежащий к Z А -
AD = CD ctga = ■
a cos2a
гипотенуза, AD и CD —
= a (см. формулу (9.11)):
sina
AD можно найти и другим способом. Вначале найдем гипотенузу АВ
прямоугольного треугольника АВС, используя угол а и противолежа¬
щий катет ВС = а: АВ =—-—. Тогда AD = АВ — DB = —-—
sin a sin a
2
. acos a
- asina = .
sina
Ответ: AD =
a cos^a .
—: , DB = a sin a, CD = a cos a.
Sin a
9.13. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см,
другой 3 см. Из вершины прямого угла опущен перпендикуляр
на гипотенузу. Найти его длину.
9.14. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°,
прилежащий катет — 2 см. Найти второй катет и гипотенузу.
9.15. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30°, ги¬
потенуза — 5 см. Найти оба катета.
9.16. Катет прямоугольного тре¬
угольника равен 4 см, а гипотенуза
8 см. Найти углы треугольника и
второй катет.
9.17. Биссектриса прямого угла CD
разделила гипотенузу на отрезки,
равные 30 и 40 см. Найти площадь
треугольника.
Решение. Пусть AD = 30, BD = 40
Рис. 9.6
(рис. 9.6). По свойству биссектрисы (см. свойство 3):
АР
АС
BD
——, откуда:
АП АС 30 3
= = — = —. Гипотенуза АВ =AD + BD =70 (см). Полагая
BD ВС 40 4 * v '
АС = Зх, ВС = 4х и используя теорему Пифагора (см. 12), получаем:
702 =(3х)2 +(4х)2, откуда х= 14, АС= 42, ВС = 56,
Ответ: 1176 см2.
АС ВС
2
1176.
198
9.18. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30°,
прилежащий к нему катет 5л/3 см. Найти радиус описанной ок¬
ружности.
Рис. 9.7
Решение. (Рис. 9.7) Из (9.12) сле¬
дует, что искомый радиус равен полови¬
не гипотенузы. Определяя гипотенузу
5л/3 5л/з 1П
C“cos30°“^/2 ’
р 10 *
находим к= — = 5.
Ответ'. 5 см.
9.19. Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг,
S = 24 см2, а один из катетов на 2 см больше другого. Найти
площадь круга.
Решение. (Рис. 9.8) Пусть а, Ъ — катеты, тогда справедлива сис¬
тема уравнений:
Рис. 9.8
I а - Ъ = 2,
г= т=24,
решение которой а = 8, Ъ =
с = л1а2 + Ь2 = л/100 = 10,
6. Гипотенуза
R=^
2
5, площадь круга (по формуле
(9.19)) равна S = nR2 = 25п.
Ответ. 25% см2.
В
9.20. В прямоугольном треугольнике точка
касания Р вписанной окружности делит ги¬
потенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти
катеты треугольника и радиус окружности.
Решение. (Рис. 9.9) Пусть О — центр ок¬
ружности, К, М, Р — точки касания окружности
с катетами АС, ВС и гипотенузой АВ соответст¬
венно. По условию АР = 5, ВР = 12. Так как АР
и АК — отрезки касательных из вершины А. то Рис. 9.9
(см. 16) АР = АК = 5. Аналогично равны отрезки касательных из вер¬
шины В: BP = ВМ = 12. Радиусы ОК и ОМ, проведенные в точки ка¬
сания, перпендикулярны катетам, поэтому четырехугольник ОМСК —
199
квадрат со стороной, равной г — радиусу. Катеты ВС = СМ + ВМ =
= г + 12; АС = СК + АК = г + 5. Гипотенуза АВ = АР + ВР = 5 + 12 =
17. Тогда по теореме Пифагора: (г +12)2 + (г + 5)2 = 172. Откуда г = 3, ВС =
15, АС= 8.
Ответ. г= 3 см, катеты — 8 и 15 см.
9.21. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30 см, а
радиус вписанной окружности 6 см. Найти катеты.
9.22. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 6 см
и ВС = 8 см вершина С прямого угла соединена с серединой ги¬
потенузы АВ точкой D. Найти расстояние между центрами ок¬
ружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
9.23. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см,
высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сто¬
рону.
Решение. (Рис. 9.10) АВ = ВС — боко¬
вые стороны, АС = 30 — основание,
ВМ — высота, h[, — 20, hc — высота, опу¬
щенная на боковую сторону АВ из вершины
С. Боковую сторону АВ можно найти из
прямоугольного треугольника АВМ, учиты-
АС
вая, что AM = МС = —^— = 15 (в равнобед¬
ренном треугольнике высота, опущенная на
основание, является и медианой).
АВ = л]AM2 +ВМ2 = V152 + 202 = 25. Вы¬
ражая двумя способами площадь тре- а
угольника АВС (через основание АВ и боко¬
вую сторону АС), получаем:
ABhc
~ ~
АС -hb
2
, откуда hc
АС ■ hb
АВ
= 24.
Ответ: 24 см.
м С
Рис. 9.10
Замечание. Метод, используемый в этой задаче для нахождения
высоты, называют методом площадей. Суть его состоит в применении
двух (или более) формул для расчета площади одной фигуры, при этом
появляется возможность вычислить неизвестную величину, входящую в
одну из этих формул.
200
9.24. В А АВС известны длины сторон ВС = а, АС = b и вели¬
чина угла между ними: Z С = у. Найти высоту hc, опущенную на
неизвестную сторону АВ.
Рис. 9.11
Решение. (Рис. 9.11) Сторону АВ можно
найти по теореме косинусов (9.2):
АВ = с = ija2 + Ъ2 - 2аЪ cos у. Тогда в
формулах (9.3) и (9.4) для площади треугольника
имеется лишь одна неизвестная величина, кото¬
рую находим, приравнивая выражения:
„ ab sin у chr
S = = —-, откуда
2 2
ab sin у
yja2 + Ъ2
2abcosy
Ответ:
ab sin у
yja2 + Ъ2 - 2ab cosy
9.25. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны
а = b = 2 см, а угол при вершине 60°. Найти длину высоты,
опущенной на боковую сторону.
9.26. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана
AD, проведенная к боковой стороне, равна 4, а угол при основа¬
нии равен 30°. Найти боковую сторону.
Многие задачи решаются с использованием подобия тре¬
угольников (см. 11).
9.27. Около круга описан равнобедренный треугольник со сторо¬
ной 10 см и основанием 12 см. Определить радиус круга.
Решение. (Рис. 9.12) Пусть О — центр
окружности, вписанной в треугольник АВС
(АВ = ВС — боковые стороны, АС — основа¬
ние), лежит на биссектрисе ВК. Так как тре¬
угольник АВС — равнобедренный, то ВК яв¬
ляется и медианой (АК = КС = 6), и высотой
(ВК J.АС). Пусть К, М, N — точки касания
окружности с основанием и боковыми сторо¬
нами, О К, ОМ, ON — радиусы окружности и,
следовательно, перпендикулярны соответст¬
вующим сторонам треугольника (см. 15).
С
А К
Рис. 9.12
Прямоугольные треугольники ВКС и ВМО подобны (по двум углам),
тогда сходственные стороны (лежащие против разных углов) пропор-
ОМ ВО
циональны, откуда = . Из прямоугольного треугольника ВКС
КС ВС
201
по теореме Пифагора ВК
VlO2 - 6 2 = 8.
Полагая ОК = г, получаем
ВО = 8 — г. Тогда из соотношения —
6
Ответ. г= 3 см.
(8-г)
10
получаем г = 3.
9.28. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с
основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, па¬
раллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной,
заключенного между сторонами треугольника.
9.29. Из точки окружности радиуса 34 см проведен к радиусу
перпендикуляр, который делит его в отношении 8:9, считая от
центра. Найти длину перпендикуляра.
9.30. Из вершины прямого угла С треугольника АВС как из цен¬
тра проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Длина ок¬
ружности 8л см, гипотенузы АВ — Ю см. Найти катеты этого
треугольника.
9.31. В равнобедренный треугольник АВС со сторонами АС = 16 см
и АВ = ВС = Ю см вписан прямоугольник так, что одна его сто¬
рона, равная 6 см, лежит на основании треугольника. Найти пе¬
риметр прямоугольника.
9.32. Найти отношение площади треугольника АВС и площа¬
ди треугольника, образованного средними линиями треуголь¬
ника АВС.
9.33. Сторона треугольника равна 2 см, а прилежащие к ней уг¬
лы равны 30° и 105°. Найти меньшую сторону треугольника.
Решение. (Рис. 9.13) Третий угол в треугольнике равен 180° —
— (105° + 30°) = 45°. Применяя теорему синусов, по формуле (9.1) по-
а b с
лучаем ——— = , где
sin 45°
а = 2, откуда:
, a sin 30°
sin 45°
a sin 105
sin 30° sin 105°
’ 4 sin 105°
C
sin 45° ^2
Найдем sin 105° = sin (90° + 15°) =
,, 30° |l + cos30°
= cos 15° = cos—-—
Рис. 9.13
2
202
так
= Тогда С = = . ^2 + V3 > S,
как второй множитель больше 1. Значит с> Ъ.
Ответ: b = -J2 см.
9.34. Заданы два угла треугольника а = 45° и р = 30°; радиус опи¬
санной окружности равен 5-J2. Найти стороны треугольника а и Ь.
Решение. (Рис. 9.13) у = 180° — (а + р) = 180° — (30° + 45°) =
= 105°. Применяя метод площадей (по аналогии с задачей 9.23), полу¬
чаем:
S = yflcsin30° = ^ас — см. (9.4); S — см. (9.7); откуда
—, или b = R = 5V2. Из (9.1) найдем а: —-— = —-—,
4 R 4 sin 30° sin 45°
а =
b sin 45°
sin 30° ’
Ответ: 5-J2 ; 10.
9.2. Окружность и круг
9.35. Найти радиус окружности, если ее длина равна 6л см.
Решение. С= 2%R =6%, R= 3.
Ответ: 3 см.
9.36. Найти площадь круга, если длина соответствующей ему
окружности равна 18л см.
Решение. С = 2%R = 18л; R = 9, S = nR2 = 81л.
Ответ: 81л см2.
9.37. Найти площадь круга, если длина соответствующей ему
окружности равна 24л.
9.38. Найти длину окружности, если площадь круга, ограничен¬
ного ею, равна 9л.
9.39. Центр окружности, касающейся стороны
ВС треугольника АВС в вершине В и проходя¬
щей через вершину А, лежит на стороне АС.
Найти длину окружности, если ВС = 8 см,
АС= 9 см.
Решение. (Рис. 9.14) Так как радиус ОВ пер¬
пендикулярен ВС (см. 15), то треугольник ОВС —
прямоугольный, его катеты: ВС = 8, ВО = г, а гипоте¬
203
нуза ОС =9 — г (так как АС = АО + ОС = 9, АО = г). По теореме Пифа-
17
гора ВС2 +В02 =ОС2, т.е. 64 + г2 = (9-г)2, откуда г=—. Тогда
18
С = 2пг = 2п ■ — = — п .
18 9
л 17
Ответ: — к см.
9.40. Радиус окружности равен 2. Найти длину дуги, содержа-
К
щую: а) 60°, б) 100°, в) — радиан.
4
Решение, а) Длина всей окружности, содержащей 360°, равна
2nR. Длина дуги, содержащей 60°, составляет
60°
1
360° 6
часть от длины
2 пВ к В 2п
окружности, т.е. —— = — = —; о) и в) решение аналогично.
6 3 3
„ 2п Юн п
Ответ: а) —; б) —; в) —.
9.41. Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деле¬
ния соединены между собой. Найти меньший угол полученного
треугольника АВС.
Решение. (Рис. 9.15) Углы треугольника АВС
являются вписанными в окружность, поэтому (см.
21) измеряются половинами дуг, на которые опира¬
ются, и, следовательно, их отношение тоже равно
7:11:6. Вычисляя соответствующие дуги, получаем
360°
= 2^ =15 , меньшая дуга
равна 6 15 = 90°, значит, меньший угол в треуголь-
90°
нике АВС равен —— = 45 .
Ответ: 45°.
lx + 1Ъс + 6х = 360°,
Рис. 9.15
9.42. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна 4 см.
Вычислить площадь одного из отсекаемых сегментов.
9.43. Три одинаковых круга, радиусы которых равны 2>/з см,
попарно касаются друг друга. Найти площадь треугольника, сто¬
роны которого соединяют центры кругов.
204
9.44. Две касательные к окружности пересекаются под углом в
60°. Найти расстояние от точки их пересече- м
ния М л о центра крута О, если его радиус ра¬
вен 2 см.
Решение. (Рис. 9.16) Пусть МК и MN — каса¬
тельные из точки М; К и N — точки касания. Тре¬
угольники OMN и ОМК — прямоугольные, так как
ON и ОК — радиусы, проведенные в точки касания
(см. 15). Поскольку МК = MN (см. 16), ON = ОК
(как радиусы), то треугольники OMN и ОМК равны,
поэтому ZOMN= ZOMK= 30°.
Рис. 9.16
Тогда МО =
= 2г, т.е. МО =2-2 = 4.
sin 30°
Ответ. 4 см.
9.45. В окружности радиуса 5 см хорда АВ перпендикулярна к
радиусу ОС и в точке пересечения М делит его пополам. Найти
длину хорды.
£, Решение. (Рис. 9.17) Проведем диаметр CD.
Из (9.16) следует, что СМ ■ MD = AM ■ МВ. По ус-
’ В
Рис. 9.17
ловию СМ = МО ■-
Очевидно,
R ЛГТЛ 3 R
—, тогда М и = —.
2 2
что AM = МВ = х (в равнобедренном треугольнике
ОАВ высота ОМ является и медианой). Тогда
■у —• = х2; х = В-уд АВ=2х =RS = sS.
Ответ: 5>/з
см.
9.46. В окружности радиуса 2 см хорда АВ перпендикулярна к
радиусу ОС и в точке пересечения М делит его на части 1:2,
считая от центра. Найти длину хорды.
9.47. Две хорды пересекаются в точке К,
причем хорда АВ делится точкой пересечения
в отношении 4:5, а хорда MN — на части 15
и 12 см. Найти АВ.
Решение. (Рис. 9.18) Используя формулу
(9.16) и полагая АК= 4х, КВ = 5х, получаем:
4х ■ 5х = 15 ■ 12; 20х2 = 180; х2 = 9, х = 3; Рис. 9.18
АВ = 4х + 5х = 9х = 27.
Ответ: 27 см.
205
9.48. Точка пересечения К хорды АВ и диаметра CD делит хорду
на части 6 и 8 см, а диаметр — в отношении 3:1. Найти длину
диаметра.
9.49. Из точки М, взятой вне круга, проведены касательная AM,
длиной 3 см и секущая МВ. Отношение внешней части секущей
к внутренней равно 4:5. Определить длину секущей.
Указание. Воспользоваться свойством 19.
9.50. Вычислить вписанный и центральный углы, опирающиеся
1
на дугу, равную — части окружности.
„1 2%
Решение. — часть окружности составляет дугу в радиан. Ис¬
пользуя свойства 20 и 21, получаем, что вписанный угол измеряется
половиной этой дуги, т.е. равен п/9 радиан, а центральный угол равен
2я/9 радиан.
Ответ:
к _
7;
2л
~9~'
9.51. Хорда делит окружность в отношении 1:11. Определить ве¬
личины вписанных углов, опирающихся на хорду.
9.3. Четырехугольники
В следующих задачах рассматриваются различные виды четы¬
рехугольников.
9.52. В прямоугольнике ABCD точка
пересечения диагоналей О отстоит от
меньшей стороны на 4 см дальше,
чем от большей стороны. Периметр
этого прямоугольника равен 58 см.
Определить его стороны а и Ь.
Рис. 9.19
Решение. (Рис. 9.19) Из точки О опустим перпендикуляры на
меньшую (а) и большую (Ь) стороны прямоугольника: соответственно
МО и N0; так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересе¬
чения делятся пополам, то ВМ = AM и BN = NC, т.е. расстояние от
точки О до меньшей стороны МО равно половине большей стороны:
расстояние от точки О до большей стороны N0 равно поло-
206
вине меньшей стороны: N0 = Из условия: МО — N0 = 4, т.е.
(Ь-а)
2
= 4. Кроме того, периметр прямоугольника Р = 2а + 2Ь = 58. По¬
лучаем систему уравнений:
\itA = 4
( 2 ’ откуда а = 10,5, b = 18,5.
[2о+ 26 = 58,
Ответ, а = 10,5 см, Ъ = 18,5 см.
9.53. Периметр Р ромба равен 4-JlO см, а сум¬
ма его диагоналей равна 8 см. Найти площадь
ромба.
Решение. (Рис. 9.20) Пусть а — сторона ромба
Р
ABCD, d\ и с?2 — его диагонали, а = — = 10; О — точ¬
ка пересечения диагоналей. Треугольник АВО —
„ d\ /
прямоугольный, его катеты равны и (см.
Рис. 9.20 свойство 30), гипотенуза равна а. По теореме Пифа¬
гора а1 = ) > п0 Условию d\ + dj= 8. Решая совместно эти
уравнения, получаем, что d\ = 6, й?2 = 2, тогда по формуле (9.23)
S =^-Л = 6.
Ответ. 6 см2.
9.54. Диагонали ромба относятся как 3:4, периметр ромба равен
40 см. Найти площадь ромба.
9.55. Диагональ ромба, равная 6 см, лежит против угла в 60°.
Найти площадь ромба.
9.56. В ромбе диагонали равны 10 и 24 см. Найти радиус окруж¬
ности, вписанной в этот ромб.
9.57. Периметр параллелограмма равен
28 см, а его острый угол — 60°. Опреде¬
лить высоты параллелограмма, если его
площадь равна 24V3 см2.
Решение. (Рис. 9.21) S = ab sin а =
К
= a6sin60° =aZ>2L_ = 24.^3 (см. (9.28)) , откуда
ab = 48. Так как периметр Р = 2а + 2Ь
hj "/а
А Ъ D
Рис. 9.21
28, то, решая систему
207
ab = 48,
получаем a = 6, b = 8 — стороны параллелограмма. Исполь-
а + b = 14,
зуя формулу (9.26) для а и Ь, получаем: S = ah\ = 6h\ = 24->/з, откуда
\ = 4л/3; S = bh2 = 8h2 = 24->/3, откуда h2=3-j3.
Ответ. 4>/з см; Зл/З см.
9.58. Острый угол параллелограмма равен 60°, а тупой угол де¬
лится диагональю в отношении 1:3. Найти стороны параллело¬
грамма, если его периметр равен 60 см.
9.59. Длины параллельных сторон трапеции а = 4 см и b = 25 см, а
длины непараллельных сторон с = 20 см и d = \3 см. Найти
h — высоту трапеции.
Решение. (Рис. 9.22) В трапеции ABCD с
основаниями ВС = а и AD = Ъ проведем две
равные высоты из вершин В и С, пересекаю¬
щие основание AD в точках К и N. Получим
прямоугольник BCNK и два прямоугольных тре¬
угольника: АКБ и CND. Полагая АК = х, ND = у,
получаем, что х + у = b — а = 25 — 4 = 21. При¬
меняя теорему Пифагора и учитывая, что гипо¬
тенузы в треугольниках АКБ и CND равны 20 и
0 0 0 0 0 0
13, получаем второе и третье уравнения: 20 = h +х ; 13 = h +у .
Решая совместно эти уравнения, получаем h =12.
Ответ. 12 см.
9.60. Найти площадь трапеции, параллельные стороны которой
равны 16 и 44 см, а непараллельные — 17 и 25 см.
9.61. Определить длину диагоналей равнобокой трапеции, если
основания ее равны 4 и 6 см, а боковая сторона — 5 см.
Решение. (Рис. 9.23) Опустив высоту из
вершины трапеции на большее основание, полу¬
чим прямоугольный треугольник, у которого
гипотенуза равна боковой стороне трапеции
(5 см), один из катетов равен полуразности ос¬
нований (6 — 4)/2 = 1, а второй катет
h = yl 52-12 = д/24 = 2л/б . Проведем диагональ d\ в
трапеции и получим второй прямоугольный треугольник, в котором
диагональ является гипотенузой, один из катетов h = 2-JZ, а второй ра¬
вен 6—1 = 5. Тогда d\ =24 + 25 = 49, d\ = 7. Поскольку в равнобокой
трапеции диагонали равны, то d\ = d 2 = 7.
Ответ. 7 см.
208
9.62. Около равнобедренной трапеции, основания которой 6 и
8 см, а высота 7 см, описана окружность. Найти площадь круга.
в
9.63. В равнобокой трапеции, описанной около круга, основа¬
ния равны 36 см и 1 м. Определить площадь круга.
Решение. (Рис. 9.24) В трапеции ABCD
боковые стороны АВ и CD равны (по условию).
Используя свойство описанного четырехуголь¬
ника (34), получаем: АВ + CD = ВС + AD. По¬
лагая АВ = CD = х, находим боковую сторону
трапеции: 2х = 36 + 100, х = 68. В равнобокой
трапеции диаметр вписанного круга равен вы¬
соте трапеции. Опуская перпендикуляр из вер¬
шины В на основание, получаем прямоуголь¬
ный треугольник АВК, в котором катет
(100 - 36)
А К
D
АК
Рис. 9.24
(AD - ВС)
32, гипотенуза АВ =68; тогда В К =
= V682 - 322 = 60 . Получаем d = 60, площадь круга S = nd2l4
Ответ. 900я см2.
900я.
9.64. В равнобокую трапецию с боковой стороной 17 см вписана
окружность диаметром 15 см. Вычислить основания и площадь
трапеции.
9.65. В равнобокой трапеции угол при основании равен 60°,
основания относятся как 2:5, средняя линия равна 14 см. Най¬
ти площадь трапеции.
Решение. (Рис. 9.25) В трапеции
ABCD полагаем верхнее основание ВС =
= 2х, нижнее AD = 5х. Средняя линия
; ВС + AD
I = = 14, откуда х = 4, ВС = 8,
AD = 20. Опуская из вершины В высоту
лу AD - ВС ,
В К. получаем, что АК = = 6. В
прямоугольном треугольнике АВК определяем катет ВК, лежащий против
угла в 60°: ВК = АК ■ tg 60° = 6>/з. Следовательно, площадь трапеции
S = lh = 14 ■ бл/3 = 84л/з .
Ответ: 84>/з см2.
209
9.66. Площадь равнобокой трапеции равна 160 см2, длина ее
средней линии 40 см, а боковой стороны — 5 см. Найти длину
оснований трапеции.
9.4. Задачи для самостоятельного решения1
9.67. Радиус круга, вписанного в равносторонний треугольник,
равен 4 см. Найти площадь треугольника.
9.68. В прямоугольный треугольник вписан круг. Точка касания
делит гипотенузу на части, равные 4 и 6 см. Найти радиус круга.
9.69. В треугольник АВС вписан квадрат так, что одна из сторон
квадрата лежит на основании ВС. Найти сторону квадрата, если
ВС = 10 см, а высота AD =15 см.
9.70. Стороны треугольника АВС равны 12, 8 и 6. Меньшая
сторона треугольника DKE, подобного треугольнику АВС, равна
9. Найти периметр треугольника DKE.
9.71. В равнобедренный треугольник с боковой стороной, рав¬
ной 50 см, с основанием, равным 30 см, вписана окружность.
Найти расстояние между точками касания на боковых сторонах.
9.72. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окруж¬
ности делит высоту в отношении 12:5, а боковая сторона равна
60 см. Определить длину основания треугольника.
9.73. В круге, радиус которого равен 4 см, проведена хорда АВ так,
что сумма длины хорды и расстояния от точки В до касательной,
проходящей через точку А, равна 6 см. Найти длину хорды.
9.74. Периметр ромба равен 20 см, сумма длин диагоналей —
14 см. Найти площадь ромба.
9.75. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей —
15 см. Найти площадь ромба.
9.76. Высота, проведенная в ромбе из вершины тупого угла, об¬
разует со стороной ромба угол в 30°. Вычислить периметр ром¬
ба, зная, что меньшая его диагональ равна 5,2 см.
9.77. В трапеции, площадь которой равна 594 см2, высота 22 см,
а разность параллельных сторон равна 6 см, найти длину каж¬
дой из параллельных сторон.
1 Примеры решений более сложных задач приведены в § 9.5.
210
9.78. Около круга радиуса 5 см описана равнобокая трапеция
с острым углом при основании п/6. Определить площадь тра¬
пеции.
9.79. Около окружности описана равнобокая трапеция. Пери¬
метр трапеции равен 76 см, а разность ее оснований — 20 см.
Найти стороны трапеции.
9.80. Вычислить площадь равнобокой трапеции, если острый
угол при основании равен 30°, меньшее основание — 3 см и бо¬
ковая сторона — 6V3 см.
9.81. Радиусы кругов равны 27 и 13, а расстояние между их цен¬
трами равно 50. Найти длину их общей внешней касательной.
9.82. Угол при основании равнобедренного треугольника равен
30°. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окруж¬
ностей.
9.83. Две стороны остроугольного треугольника равны 2-^2 и 3, а
площадь этого треугольника равна 3. Найти третью сторону.
9.84. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ перпенди¬
кулярна боковой стороне и равна 15; меньшая боковая сторона
равна 12. Найти основания трапеции.
9.85. Найти площадь сектора, образованного углом в 60°, если
радиус окружности равен 3.
9.86. Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна 5 см. Найти: а) длину
окружности; б) длину хорды, стягивающей дугу в 120°; в) пло¬
щадь круга.
9.87. В круге с радиусом, равным 5 см, проведены две парал¬
лельные хорды по разные стороны от центра длиною 6 и 8 см.
Найти расстояние между ними.
9.88. Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки,
соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник.
Найти радиус меньшей окружности, если радиусы двух других
равны 6 и 4.
9.89. В окружность радиуса 6/п вписан угол АВС, равный 60°.
Найти длину дуги ЛВС.
9.90. Касательная, проведенная из точки А к окружности с цен¬
тром в точке О, касается окружности в точке В. Найти длину
окружности, если АВ = 8, Z АОВ = 60°.
9.91. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна 8.
Найти расстояние между центрами окружностей, если их радиу¬
сы равны 5 и 7.
211
9.92. Сторона правильного треугольника равна 3-/3. Найти:
а) его площадь; б) длину его высоты; в) радиусы вписанной и
описанной окружностей.
9.93. Площадь треугольника равна 100 см2, а две его стороны
равны 40 и 10 см. Найти угол между этими сторонами.
9.94. В правильный треугольник со стороной а вписана окруж¬
ность, в которую вписан другой правильный треугольник. Найти
площадь меньшего треугольника.
9.95. Стороны треугольника равны 7, 24, 25. Найти его высоты.
9.96. Найти площадь круга, вписанного в треугольник, из зада¬
чи 9.95.
9.97. Найти длину окружности, описанной около треугольника,
из задачи 9.95.
9.98. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найти
длину вписанной окружности.
9.99. Катет прямоугольного треугольника равен Зл/З , а противо¬
лежащий ему угол — 30°. Найти площадь треугольника.
9.100. Площадь прямоугольного треугольника равна 8V2 , а ост¬
рый угол 22,5°. Найти гипотенузу.
9.101. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а осно¬
вание относится к боковой стороне как 4:3. Найти радиус впи¬
санной окружности.
9.102. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, бо¬
ковая сторона равна 5, а острый угол при основании — 30°.
Найти площадь трапеции.
9.103. В треугольник АВС со сторонами АВ =11, ВС = 7, АС =
= 13 вписан параллелограмм ADKE; точки D, К, Е лежат соот¬
ветственно на сторонах АВ, ВС, АС. Известно, что АЕ = 6. Най¬
ти периметр параллелограмма.
9.104. Основания трапеции ABCD AD = 20, ВС = 14. На сколь¬
ко нужно продолжить сторону АВ до пересечения с продолже¬
нием стороны DC, если АВ = 6?
9.105. В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями ВС =
= 10, AD = 16 и прямым углом А вписан прямоугольник ANKE
со сторонами NK = 12, КЕ= 5. Найти площадь трапеции.
Указание. Провести высоту трапеции СМ и найти ее из подобия
треугольников СОМ и KED.
212
9.106. Найти длину высоты прямоугольного треугольника, опу¬
щенной из прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки,
равные 3 и 27 см.
9.107. Найти длину катета прямоугольного треугольника, если
его проекция на гипотенузу равна 2,5, а гипотенуза — 10.
9.108. Заданы стороны треугольника АВС: АВ = 28, ВС = 26,
АС = 30. Через точку, которая делит высоту ВК в отношении
2:3, считая от вершины В, проведена линия DF, параллельная
стороне АС. Найти площадь трапеции ADFC.
9.109. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти
площадь прямоугольного треугольника, у которого катетом и
гипотенузой служат соответственно высота и медиана, прове¬
денные к гипотенузе данного треугольника.
9.110. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка
касания делит гипотенузу на отрезки, равные 2 и 3. Найти ради¬
ус этой окружности.
9.111. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
основание, равна 15, а высота, опущенная на боковую сторону,
равна 20. Найти основание этого треугольника.
9.112. Найти третью сторону треугольника, если две стороны
равны 20 и 15; известно, что медианы, соответствующие этим
сторонам, пересекаются под прямым углом.
9.113. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти
расстояние между центрами вписанной и описанной окружно¬
стей.
9.114. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
с основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, парал¬
лельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, за¬
ключенного между сторонами треугольника.
9.115. В треугольник со сторонами а и b вписан ромб, имеющий
с треугольником общий угол, заключенный между этими сторо¬
нами. Найти сторону ромба.
9.116. В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых
сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендику¬
лярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между за¬
данными боковой стороной и основанием пополам. Найти пло¬
щадь трапеции.
9.117. Вокруг равнобедренного треугольника АВС (АС — осно¬
вание) проведены две концентрические окружности. Одна — ра¬
213
диуса 3 — вписана в треугольник, а другая — радиуса 5 — про¬
ходит через вершину В. Найти площадь треугольника АВС.
9.118. Найти углы ромба, если площадь вписанного в него круга
вдвое меньше площади ромба.
9.119. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если извест¬
но, что острый угол при основании трапеции равен л/6 .
9.120. Определить угол ромба, зная его площадь Q и площадь
вписанного в него круга S.
9.121. К кругу радиуса R проведены из одной точки две каса¬
тельные, составляющие между собой угол 2а°. Определить пло¬
щадь фигуры, заключенной между этими касательными и дугой
круга.
9.122. Определить радиусы двух внешне касающихся кругов, ес¬
ли расстояние между их центрами равно d, а угол между общи¬
ми внешними касательными равен ср.
9.123. Окружность с центром на гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника АВС проходит через вершину А и касается катета ВС.
Найти радиус этой окружности, если АС = 3 см и ВС = 4 см.
9.124. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
основание, делится центром вписанной окружности на отрезки
5 и 3 см, считая от вершины. Найти стороны треугольника.
9.125. Найти сторону ВС в треугольнике АВС, где АС = 11 см,
медиана AD = 10 см, площадь треугольника S = 66 см2.
9.126. Боковая сторона и меньшее основание равнобокой трапе¬
ции равны радиусу описанной окружности. Найти высоту тра¬
пеции, если ее средняя линия равна 6-\/з см.
9.127. Вершины квадрата служат центрами окружностей, радиу¬
сы которых равны половине стороны квадрата. Найти радиус
большей из окружностей, касающейся всех четырех окружно¬
стей, если сторона квадрата равна 22{лр2 - l) см.
9.128. Площадь правильного шестиугольника равна 64 см2. Най¬
ти площадь шестиугольника, полученного при соединении сере¬
дин сторон данного.
9.129. Сторона треугольника разделена на три равные части; через
точки деления проведены прямые, параллельные одной из двух
других сторон. Найти площадь трапеции, заключенной между эти¬
ми прямыми, если площадь треугольника равна 87 см2.
214
9.130. Расстояния от центра окружности, вписанной в прямо¬
угольный треугольник, до вершин острых углов равны V5 см и
л/То см. Найти гипотенузу.
9.131. Катеты прямоугольного треугольника а = 6 см, b = 8 см.
Найти разность диаметров описанной и вписанной окружностей.
9.132. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два тре¬
угольника: правильный со стороной а = 8 см и прямоугольный.
Найти длину средней линии трапеции.
9.133. В прямоугольнике ABCD АВ = 60 см, ВС = 45 см. Сторо¬
на DC разделена точками Ей С на три равные части. Отрезки
прямых, соединяющие вершины А и В с точками Е и F соответ¬
ственно, продолжены до пересечения в точке М, лежащей вне
прямоугольника. Найти площадь треугольника EFM.
9.134. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы при вершинах
В и С прямые, а угол BAD = arctg 2/3. Найти длину диагонали
BD, если известно, что длина CD вдвое меньше длины АВ и на
21 см больше длины ВС.
9.135. В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС равны 24 и
4 см соответственно; высота трапеции — 5 см. Точка N делит
боковую сторону на отрезки AN и N В. отношение длин которых
3:1. Найти площадь треугольника NCD.
9.136. В прямоугольной трапеции отношение длин оснований рав¬
но 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найти величину ост¬
рого угла трапеции.
9.137. В трапеции углы при одном из оснований имеют величины
20° и 70°, а длина отрезка, соединяющего середины оснований,
равна 2 см. Найти длины оснований трапеции, если длина ее
средней линии равна 4 см.
9.138. В параллелограмме острый угол равен 60°. Найти отно¬
шение длин сторон параллелограмма, если отношение квадратов
длин диагоналей равно 1/3.
9.139. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаим¬
ного пересечения, и через полученную точку проведена прямая,
параллельная основаниям трапеции. Найти длину отрезка этой
прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины
оснований трапеции равны 3 и 15.
9.140. В треугольнике АВС стороны АВ = 14 см, АС = 18 см, угол А
вдвое больше угла В. Найти третью сторону треугольника.
215
9.141. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания
CD и боковой стороны AD. Диагональ АС равна 6 см, боковая
сторона ВС равна 4 см. Найти площадь трапеции.
9.142. Точки М, N, Р, Q являются соответственно серединами
сторон АВ, ВС, CD и DA ромба ABCD. Найти отношение площа¬
ди ромба ABCD к площади фигуры, являющейся пересечением
четырехугольников ANCQ и BPDM.
9.143. Длины сторон треугольника относятся как 2:3:2. Найти
отношение площади этого треугольника к площади треугольни¬
ка, вершины которого находятся в точках пересечения биссек¬
трис данного треугольника с его сторонами.
9.144. Площади треугольников, образованных отрезками диаго¬
налей трапеции с ее основаниями, равны 4 и 25 см2. Найти
площадь данной трапеции.
9.145. В треугольнике АВС длины сторон СВ, СА и АВ соответ¬
ственно равны 4, 3 и 2 см. Найти отношение, в котором точка
пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.
9.146. В треугольнике АВС с периметром 8 см величина острого
угла ВАС равна 60°. Окружность с центром в точке О касается
стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках К и L со¬
ответственно. Найти площадь треугольника AOL.
9.147. В треугольнике АВС, в котором угол С — тупой, проведены
ВК — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Найти длину сто¬
роны АС, если известно, что прямые ВК и BE делят отрезок AD на
три равные части, а длина стороны АВ равна 4 см.
9.148. Длины основания ВС, диагонали BD и боковой стороны
АВ трапеции ABCD равны по 5 см каждая. Длина боковой сто¬
роны CD равна 2 см. Найти длину диагонали АС.
9.149. Отрезок АВ есть диаметр круга, а точка С лежит вне этого
круга. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D
и Е соответственно. Найти угол CBD, если площади треугольни¬
ков DCE и АВС относятся как 1:4.
9.150. В треугольнике PQL проведена средняя линия АВ, соеди¬
няющая стороны PQ и QL. Длина стороны PL равна 4l , а си¬
нус угла ZPLQ равен т. Окружность, проведенная через точки
А, В и L, касается стороны PQ. Найти радиус окружности.
9.151. В треугольнике АВС угол АВ равен л/3. Через точки А и
В проведена окружность радиуса 3 см, касающаяся прямой АС в
точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4 см,
касающаяся прямой АС в точке С. Найти длину стороны АС.
216
9.152. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пе¬
ресекает сторону ВС в точке М, а сторону АС — в точке N.
Площадь треугольника MCN в 2 раза больше площади трапеции
ABMN. Найти СМ: МВ.
9.153. В трапеции ABCD ВС || AD, ZABC = 90°. Прямая, перпен¬
дикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а
сторону CD — в точке N. Известно, что МС = a, BN = Ь, а рас¬
стояние от точки D до прямой МС равно с. Найти расстояние от
точки А до прямой BN.
9.154. Внутри треугольника АВС выбрана точка О так, что
sin Z.ВОС = —, sin А АО С = —. Известно, что ВО = 2, ВС = 3,
4 3
АС = 4. Найти расстояние между центрами окружностей, опи¬
санных около треугольников АОС и ВОС.
9.155. В остроугольном треугольнике АВС ZACB = 75°, а высота,
опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найти радиус опи¬
санной окружности, если известно, что периметр треугольника
АВС равен 4 + л[б - -Jl.
9.156. В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна AD и ВС. Ок¬
ружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А
и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку С, проходит
через точку D и пересекает отрезок AD в точке Е (Еф D). Найти рас¬
стояние от точки Кио прямой CD, если AD = 48, ВС = 12.
9.157. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = Л, a ZBAC =
. 1
= aresmy.
12
9.158. В треугольнике MLN длина NL равна 6, ZNML = arcsin уд.
Хорда AD окружности, описанной около треугольника MLN, пе¬
ресекает отрезки MN и ML в точках В и С соответственно. Из¬
вестно, что ZNLM = z.МВС, площадь четырехугольника NLCB
равна 9, а длина ВС равна 3. Найти высоту треугольника AMD,
опущенную из вершины М, и его площадь.
9.159. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 8 и CD = 5
биссектриса угла В пересекает биссектрисы углов А и С в точках
М. и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же
две биссектрисы в точках L и К, причем точка L лежит на осно¬
вании ВС. а) В каком отношении прямая МК делит сторону АВ,
217
а прямая LN — сторону 'AD ? б) Найти отношение KL.MN, если
LM:KN= 4:7.
9.5. Разные задачи (с решениями)
В этом параграфе рассмотрены решения более сложных за¬
дач на вычисление элементов и площадей плоских фигур.
9.160. Стороны треугольника САВ равны: а =14 см, b = 13 см,
с = 15 см (рис. 9.26). Вычис¬
лить:
а) высоту ha треугольника;
б) радиус вписанной окруж¬
ности г;
в) радиус описанной окруж¬
ности R;
г) медиану та треугольника;
д) биссектрису 1а треугольника.
Решение, а) Вначале на¬
ходим площадь треугольника по
формуле Герона, предваритель¬
но определив полупериметр
а + Ъ + с
А
Р = -
2
13 + 14 + 15
2
= 21 см;
Рис. 9.26
5 = 4р{р - а){р - b)(p - с) = V21(21 ■-14)(21 -13)(21 -15) =
Так как площадь
= л/21 -7-8-6 = 7-3-4 = 84
см2.
треугольника S = —ah , то
2
высота
2S_
а
2-84
14
= 12 см.
б) Так как площадь треугольника S = рг, то радиус вписанной окруж-
S 84 ,
ности г = — = — = 4 см.
р 21
в) Так
ружности
как площадь треугольника S ■
„ аЪс 141315 010С
R = = = 8,125 см.
4 S 4-84
аЪс „
, то радиус описанной ок-
AR
218
г) Вначале воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АВС:
2 2 . , a2+b2-c2 142 +132 -152
с = а + о - 2abc cos у, откуда cos у = =
2аЪ 2-14-13
_5_
13'
Медиану та треугольника можно найти по той же теореме косинусов,
рассматривая треугольник АСН, в котором АН = та, АС = b, СН = — .
Учитывая, что Ъ = 13, — = 7, cosy = —, найдем
2 13
т„=4/72 +132 -2-7-13-у^- = \/l48 = 2>/37 см.
Другой, более простой способ нахождения медианы та, состоит в
продлении медианы на такой же отрезок АН = НК (см. рис. 9.26) и ис¬
пользовании свойства полученного параллелограмма АВКС равенства
суммы квадратов его диагональной сумме квадратов сторон, т.е.
АК2 +ВС2 =2{АС2 + АВ2), или {2maf +а = 2ф2 +с2), откуда
та =^2(Ь2 +с2)-а2 =^2(132 +152)-142 = 2л/з7 см.
д) Так как биссектриса 1а делит противолежащую сторону на части
CG = Ъ' и GB = с', пропорциональные прилежащим сторонам, т.е.
— = —= —, то Ъ'=—с'. Так как Ъ' + с' = а, т.е. —с' + с' = 14, то
с' с 15 15 15
с' = 7,5 см и Ь' = 6,5 см.
Биссектрису 1а треугольника можно найти по теореме косинусов из тре¬
угольника AGC, в котором AG = la, AC = b, CG = b':l2=b2+b'2-
- 2b -b' cosy. Учитывая, что 6=13, b' = 6,5, cosy = —, найдем
/ = /l32 +6,52 -2-13-6,5-—=-л/б5 см.
V 13 2
(Заметим, что здесь биссектрису 1а проще было найти по формуле
la = yjbc-b'c' = ,JV3A5--6^5H^5 = 1,5-^65" (см), но в этом случае эта
формула должна быть предварительно доказана.)
9.161. В треугольнике АВС площадь S = 15 л/з см2, радиус опи¬
санной окружности R= 14 л/з /3 см, а сторона а, лежащая про¬
тив острого угла, равна 10 см. Найти две другие стороны бис.
219
Решение. Обозначим
ZCAB = а (рис. 9.27). По тео-
0 чг>
реме синусов = 2к, откуда
sin а
sm а = -
10-3
5Тз
2 R 2-14V13 14
как угол а острый, то
cos а = +Vl - sin2 а =
Так
(
= л-
5Уз
14
Л2
п
14'
Рис. 9.27
Воспользовавшись формулой площади треугольника S = — 6с sin а,
2
„ , 2S 2-15л/з-14 0/1
найдем произведение 6с = = j= = 84.
sin a 5V3
Выразим сторону а по теореме косинусов, получаем
а2 = Ъ2 + с1 - 2Ъс ■ cos a,
откуда Ъ1 + с1 = а2 + 26с-cosa = 102 + 2-84- — = 23 2.
14
ri \b2+c2 = 232, , ,
Решая полученную систему уравнении ( находим 6 = 6,
[бс = 84,
с = 14.
Ответ. 6 см, 14 см .
9.162. Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена медиана
AM, а из вершины В — медиана ВР. Известно, что ZAPB =
= ZBMA, cos ZACB = 0,8 и ВР= 1 см. Найти площадь треугольника
АВС.
Решение. Пусть точка О — точка
пересечения медиан. Докажем, что ме¬
дианы AM и РВ равны (рис. 9.28). Тре¬
угольники АОР и МО В подобны (по двум
углам).
АО ОР
Тогда = , или АО • ОМ =
ОВ ОМ
= ОВ-ОР (1). Поскольку точка О делит
медиану в отношении 2:1, считая от вер-
С
Рис. 9.28
220
12 12
шины, то ОМ = —AM, АО = — АМ, ОР = —ВР, ОВ = —ВР. Тогда из (1)
3 3 3 3
2 , 2 ,
имеем — А М - — ВР , откуда АМ=ВР= 1.
2 2
Если AM = ВР, то —AM = — ВР, или АО = ОВ, и ОР = ОМ, т.е.
3 3
треугольники АРО и ВМО равны, откуда АР = МВ, а значит, АС = ВС,
т.е. треугольник АВС равнобедренный.
Найдем боковые стороны треугольника АВС. Пусть АС = ВС = 2х;
АС В = а. Тогда из треугольника ACM по теореме косинусов AM2 =
= АС2 + СМ2 ~ 2АС- CM-cos а, т.е. AM2 = 4х2 + х2 - 2х-х- 0,8, от¬
куда х
■2 =
5/9.
Площадь треугольника АВС равна
S = — HC-^Csma = —ACBCs/l-
cos2 a =
В
= --2x-2x-Jl-0,82 =l,2x2 =1,2-- = -.
2 y 9 3
Ответ. (2/3) см2.
9.163. Площадь треугольника АВС равна 100 см2. Каждая сторо¬
на треугольника разделена на три части в отношении 2:1:2. Най¬
ти площадь шестиугольника,
вершинами которого служат точ¬
ки деления.
Решение. Обозначим точки
деления: Аъ Аъ Въ В2, Съ С2
(рис. 9.29). Все отсеченные треуголь¬
ники подобны исходному треуголь¬
нику АВС (по двум пропорциональ¬
ным сторонам и углу между ними) с
коэффициентом подобия к = 2/5.
Тогда площади этих треугольников
пропорциональны площади исходно¬
го с коэффициентом к2 = 4/25 и,
следовательно, равны между собой:
s = Sд
, 4
= S„^-k2 =100 = 16.
25
Тогда площадь S шестиугольника равна
Ответ. 52 см2.
S = - 3s = 1.00 — 3-1.6 = 52.
221
9.164. В параллелограмме ABCD точка Е делит пополам сторону
CD, биссектриса угла АВС пересекает отрезок АЕ в точке О.
Найти площадь четырехугольника ОВСЕ, зная, что AD = 6, DE =
2, ZABO = 75°.
Решение. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 9.30) найдем
по формуле S = АВ • ВС • sin ZABC, где АВ = DC = 2DE = 2-2 = 4,
ВС = AD = 6, ZABC = 2 • 75° = 150°, т.е. 5 = 6 • 4 • sin 150° = 6 • 4 • - =
2
= 12.
Продолжим прямые АЕ и ВС до пересечения в точке К. Получен¬
ные треугольники DEA и СЕК равны (по стороне и двум углам), причем
их площади равны четверти площади исходного параллелограмма, так
как высота треугольника ADE (или треугольника СЕК) равна половине
высоты параллелограмма, т.е. к/2:
1 h 1
= SmED = 2'AD'2=^AD'h
^'&ABK — $ ~ S&AED + *^ДСЕК
= -£=-•12 = 3 и
4 4
= 5 = 12.
Поскольку треугольники АВК и ВОК имеют одинаковые высоты,
проведенные из вершины В на сторону АК, то их площади относятся
как соответствующие основания:
ОК
АК'
(1)
Чтобы найти отношение (1), используем свойство биссектрисы ВО
в треугольнике АВК.
ААВК
°к _ВК _ 12
АО ~ АВ ~ 4
откуда ОК= ЗАО, т.е. АК= 4АО и, следовательно, отношение (1) равно
3 3
3/4, откуда б/аж =— SMBK = — • 12 = 9 (см2). Тогда искомая площадь
четырехугольника ОВСЕ равна SOBCE = SABOK - SACEK =9-3 = 6.
Ответ. 6 см2.
222
9.165. Три стороны четырехугольника,
взятые в последовательном порядке,
равны соответственно 10, 3 и 8 см.
Известно, что в этот четырехугольник
можно вписать окружность и около
него можно описать окружность.
Найти площадь четырехугольника.
Решение. Обозначим стороны
четырехугольника а, Ь, с и d соответст¬
венно (рис. 9.31). Пусть угол между сторонами а и Ъ равен а, тогда
противоположный угол (между сторонами due) равен 180° — а (по
свойству вписанного четырехугольника). По теореме косинусов можно
найти квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
т2 =а2 + Ь2 - 2ab cos а=с2 +d2 - 2cd cos(l 80° - а),
откуда
2cosa (cd + ab) = a2+b2-с2-d2. (1)
Поскольку в четырехугольник можно вписать окружность, то сум¬
мы длин противоположных сторон равны, т.е. а + с = b + d, или
а — b = d — с. Возводя обе части полученного равенства в квадрат, полу¬
чим а2 — 2ab + b2 =d2 —2dc + c2, или а2 +Ь2 ~d2 — с2 =2(ab ~dc). (2)
Сравнивая равенства (1) и (2), получим
2 cos(cJ + ab) = 2(ab — cd), откуда cos a =
ab-cd
(3)
ab + cd
Если a = 3, b= 8, d= 10, то из записанного ранее равенства а + с =
= b + d сторона c=b + d~а = 8 + 10 — 3=15, и
3-8-15-10 21
cos a = -
3-8+15-10
29
Следовательно, sin a
Vl-cos2ct =
20
29'
Тогда площадь четырехугольника S равна сумме площадей его со¬
ставляющих:
S =-i-aZ>sina + -i-cdsin(180° -a) = -^-sina(ab + cd) =
1 20
--(3-8 + 15-10) =60.
2 29
Ответ. 60 ед2.
9.166. Окружность, построенная на стороне АВ треугольника
АВС как на диаметре, делит две другие стороны на части, кото¬
рые относятся как 2:1 и 4:1 соответственно, считая от основания
АВ. Найти стороны треугольника АС и СВ, если сторона
АВ = х/зз см.
223
Ре ш е н и е. Обозначим Км М —
С точки пересечения окружности со
сторонами АС и ВС соответственно.
По условию АККС = 2:1,
ВМ.МС = 4:1 (рис. 9.32). Пусть АК=Ъс,
КС = х, ВМ = 4у, МС = у. По свойст¬
ву секущих, проведенных к окружно¬
сти из одной точки,
СК-АС = СМ-ВС, или 2х- х = 4у-у,
откуда x = y-j2. Тогда АС = Зул/2,
ВС = 5у.
Рис. 9.32 Соединим точки А и М Угол
AM В — прямой, так как опирается на
диаметр, поэтому треугольники АМВ
и АМС — прямоугольные. По теореме Пифагора выразим сторону AM
для каждого треугольника:
AM2 = АВ2 ~ ВМ2 = АС2 ~ МС2, или (л/зз)' -(4у)2 ={by-Jl^-у2,
откуда ЗЗу2 = 33 и у = 1. Соответственно АС = Ъ\[2 и ВС = 5 .
Ответ'. Ъ\[2 см, 5 см.
9.167. Окружность, вписанная в треугольник АВС, делит ме¬
диану ВМ на три равные части. Найти отношение ВС.АС.АВ.
В
Рис. 9.33
Решение. Пусть К, L, N — точки касания окружности со сто¬
ронами треугольника АС, ВС и АВ соответственно, F и Q — точки пе¬
ресечения окружности с медианой ВМ (рис. 9.33).
Обозначим BF = FQ = QM = х. По свойству касательной и секу¬
щей, проведенных из точки В, получаем BL2 = BQ • BF = 2х-х, откуда
BL = х^2.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки,
равны, т.е. BN = BL = х-[2. Аналогично находим МК = х-{2. Посколь¬
ку CL = СК (как отрезки касательных из точки С), то ВС = МС = а; то¬
гда АС = 2а. АК= AM + МК= а + х->р2 , соответственно и AN = а + х\[2
224
(как отрезки касательных из точки А), тогда АВ = AN + BN = а + х\[2 +
+ Х\[2 = а + 2x72.
Итак, получены выражения медианы ВМ = Зх и сторон треугольни¬
ка АВС: ВС = а, АС = 2а, АВ = а + 2 х\[2, связанные соотношением
(2ВМ)2 +(АС)2 = 2(ВС2 + АВ2) (см. задачу 9.160), или (2 • Зх)2 + (2а)2 =
= 2(а2 + (а +2xV2)2), откуда (после раскрытия скобок) 20х2 = 8ахТ2
5x72 5x72 10x72 „ гг
и а = . Тогда ВС = а = , АС = 2а= , АВ = а + 2хы2 =
5x72 гг 13x72
+ 2 XV 2 = и искомое отношение сторон треугольника
4 4
ВС.АСАВ = 5:10:13.
Ответ: 5:10:13.
9.168. В параллелограмме ABCD заданы длины сторон
АВ =16 см и AD = 20 см. Окружность касается сторон АВ и
АТ), проходит через вершину С и пересекает стороны ВС и CD
в точках Ми N соответственно. Известно, что ВММС = 1:8.
Найти отношение, в котором окружность делит сторону CD и
отношение площади треугольника MCN к площади параллело¬
грамма.
Решение. Обозначим точ¬
ки касания окружности со сторо¬
нами АВ и AD через К и Р соот¬
ветственно (рис. 9.34). Полагая
ВМ = х, МС = 8х, найдем длины
этих отрезков:
ВМ + МС = ВС, или х + 8х =
= 20, откуда х = ВМ = 20/9 и
МС = 8х = 160/9.
Используя свойство касатель¬
ной и секущей, проведенных из
одной точки, получим соотноше¬
ние КВ2 = ВМ• ВС, откуда
КВ =slBMBC
= i6 -
з ~ з '
' 20 =— и соответственно АК = АВ — КВ =
9 3
225
Но АР = АК (как отрезки касательных, проведенных из одной точки),
28 32
поэтому PD = AD —АР = 20 — — = — . Вновь применяя свойство каса-
3 3
тельной и секущей в точке D, получаем PD2 = DN • CD, откуда
PD2 (32 / З)2 64
9 '
DN =-
CD
16
Теперь CN = CD — DN = 16 — ~ = ~ > откуда искомое отношение
CN:DN= —: —= 5/4.
9 9
Найдем отношение площадей треугольника 'MCN и параллелограмма:
-C/V-MC-sina
2
ВС CD sin а 2ВС ■ CD
CN-NC. _ (80/9X160/9) _ 20
2-20-16 ~ 81'
Ответ. 5/4; 20/81.
9.169. Прямая, параллельная основаниям прямоугольной
трапеции, делит ее на две трапеции, в каждую из которых мож¬
но вписать окружность. Боковые стороны исходной трапеции
равны 12 и 13 см. Найти ее основания.
Решение. В прямоугольной
трапеции ABCD меньшая боковая
сторона АВ = 12, угол BAD — пря¬
мой, боковая сторона CD =13
(рис. 9.35). Высота СР, опущенная из
вершины С на основание AD, равна
боковой стороне АВ, т.е. СР = 12.
Из условия параллельности
прямых AD II MV || ВС получаем со¬
отношение
AM ВМ
DN
= — = —, (1)
CN CD 13
откуда CN = —ВМ, DN = — AM.
12 12
Используя свойства описанных
четырехугольников (см. и. 34 спра¬
вочного материала), имеем для
верхней и нижней трапеций соотношения
ВС +MN = ВМ + CN = ВМ +
13
12
D
Рис. 9.35
ВМ =— ВМ,
12
(2)
226
(3)
AD + MN = AM + DN = AM + — AM =— AM.
12 12
Вычитая из одного равенства другое, получаем
25
AD — ВС = — {AM — ВМ). Обозначив ВМ = т, найдем
АМ=АВ-ВМ=‘&~т. Тогда PD = AD~BC= — (12 - да - да) = — (6 - да). (4)
12 6
С другой стороны, сторону PD можно найти из треугольника СРВ
по теореме Пифагора: PD = VCD2 - СР2 = Vl32 -122 = 5.
25 24
Из соотношения (4) 5 = — (6— т) находим т = —, следователь-
6 5
„„ 13 13 13 24 26
но, CN = — ВМ = —т = = —.
12 12 12 5 5
Из прямоугольного треугольника CKN найдем отрезок
Из соотношения (2) найдем основание ВС = Ь, учитывая, что MN =
25 24
= ВС + KN = Ъ + 2: Ъ + {Ъ + 2) = — • —, откуда Ъ = 4. Тогда основа¬
ние AD = АР + PD = b + 5 = 4 + 5 = 9.
Ответ. 4 см, 9 см.
9.170. Две окружности радиусов R = 4 и г = 1 пересекаются
в точках С и D. Прямые АВ и CD пересекаются в точке N. (В
между А и N). Найти радиус окружности, описанной около тре¬
угольника ACD и отношение высот треугольников NAC и NAD,
опущенных из вершины N
Решение. Обозначим
углы: ZACN = a, ZABN = (3 .
Вначале выразим стороны
AD и АС треугольника ACD
через радиусы R и г. Учиты¬
вая, что угол (ZACN) между
касательной и хордой изме¬
ряется половиной дуги
, х—' „
(АВ), заключенной между
Рис 9 36 ними, а центральный угол
227
w
(ZAOC) измеряется той же дугой (АВ), на которую он опирается,
ZAOC = 2 ZACN = 2 а. Аналогично ZAO\D =2р (рис. 9.36).
Из треугольника АОС АС = 2ЕС = 2ОС sin а = 2R sin а . Аналогич¬
но из треугольника AO\D AD = 2R sinP .
Радиус R\ описанной около треугольника ADC окружности связан
со сторонами и противолежащими углами соотношением
2R1
АС
sinP
AD 2R sin a 2r sin P sin2 a r
, или 2 R1= ——— = —: , откуда , = —
sin a smp sin a sin p R
sin a _ fr _ jl
sin P V R V 4
_L_
2
2Я,-2.8™ =2*-I
sinP 2
R, т.е.
R=-R=--A = 2.
2 2
Отрезки касательных DN и CN равны, что вытекает из теоремы о каса¬
тельной и секущей: CN2 = NA • NB, DN2 =NA • NB, т.е. CN = DN. Поэто¬
му искомое отношение высот h\m hjB треугольниках ACN и ADA равно
\ _ CN sin a _ sin a _ 1
h2 DA sinP sinP 2
Ответ. 2; 1/2.
9.171. Из точки M, лежащей вне окружности радиуса г= 2,
проведена секущая, не проходящая через центр О окружности и
пересекающая окружность в точках К и N. Найти расстояние от
центра окружности до точки М, если известно, что произведе-
ZMON. ZMOK 3
ние tg • tg = -.
228
Решение. Пусть искомое расстояние МО = а. Через точку М
проведем диаметр окружности MPOQ (рис. 9.37).
Полагая ZMOK = а и ZMON = р и учитывая, что вписанный угол
равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, получаем
ZPQK= — и ZPQN =
2 2
Треугольники PQK и PQN — прямоугольные, так как вписанные уг¬
лы ZPKQ и ZPNQ опираются на диаметр PQ, следовательно,
а РК В PN
tg — = , tg — = ; по условию их произведение
2 KQ 2 NQ
о, Р _ РК PN _ 3
8 2 8 2 PQ NQ 1
(1)
Рассмотрим треугольники PKN и QKN. Они имеют общую сторону
KN, поэтому их площади относятся как длины высот РР\ и QQ\, опу¬
щенных на эту сторону соответственно из вершин Р и Q:
$АРт'-$А0т =PP\'QQh
(2)
Однако в силу подобия прямоугольных треугольников МРР\ и
/1700] получим отношение
РРХ МР а-г
QQX MQ а+г
, т.е.
JAQKN
а-г
а + г
(3)
Площади треугольников PKN и QKN можно найти и по другой
формуле: ab sin С, тогда отношение площадей треугольников с
2
учетом равенства (1)
-PK PN-sinZKPN w DM
2 РК■ PN
JAQKN
~jKQ ■ NQ ■ sin ZKQN KQNQ
(4)
ибо ZKPN = zKQN (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту
V—f а — г 3
же дугу KN )• Сравнивая равенства (3) и (4), получим = —, откуда
a + r 1
Глава I и.
Стереометрия
Справочный материал
Формулы объемов и площадей боковых поверхностей
различных геометрических тел
Произвольная призма: Лбок = Рсеч1. (10.1) V= SH. (Ю.2)
Прямая призма: Лбок = Р1 • (10.3)
Прямоугольный параллелепипед: 5б0К = PH, (10.4)
V= abc, (10.5)
d2 = а2 + Ь2 + с2. (10.6)
Куб: V = а\ (10.7) d = ал/З . (10.8)
Произвольная пирамида: V = ^SH. (10.9)
Правильная пирамида: бб0К = -j-P/. (10.10) V = SH. (10.11)
Произвольная усеченная пирамида (или конус):
V = ±h(s1+S2+J&&). (10.12)
Правильная усеченная пирамида (или конус):
^бок= \{Pl+Pl)l (10.13)
Цилиндр: бб0к = 2пВЛ. (10.14) V = nR2H. (10.15)
Конус :S6oK=PRl. (10.16) V = ^nR2H. (10.17)
Шар, сфера: 5 = 4nR2. (10.18) V = |тг7?3. (10.19)
Шаровой сегмент: S = 2nRh. (10.20) V = nh2^R--^hj . (10.21)
Шаровой сектор: V = — nR2h. (10.22)
Обозначения: Р — периметр основания; S — площадь осно¬
вания или площадь сферической поверхности; Р[ — высота;
Рсеч — периметр перпендикулярного сечения; Лбок — площадь
боковой поверхности; V — объем; а, Ь, с — измерения,
230
d — диагональ прямоугольного параллелепипеда; а — ребро куба;
/ — боковое ребро призмы или апофема пирамиды, или обра¬
зующая конуса; Л), Sj — площади оснований; Р\, Pj — перимет¬
ры оснований усеченной пирамиды или конуса; R — радиус ос¬
нования цилиндра, конуса или радиус шара; h — высота шаро¬
вого сегмента или сектора.
Прямая и плоскость
1. Прямая, параллельная какой-либо прямой, лежащей в плос¬
кости, параллельна этой плоскости (признак параллельности пря¬
мой и плоскости).
2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой
прямой.
3. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответст¬
венно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плос¬
кости параллельны (признак параллельности двух плоскостей).
4. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей
плоскостью, то линии пересечения параллельны.
5. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся пря¬
мым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной
плоскости (признак перпендикулярности прямой и плоскости).
6. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плос¬
кости, то она перпендикулярна этой плоскости (признак перпен¬
дикулярности плоскостей).
7. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая,
проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пере¬
сечения плоскостей, перпендикулярна другой плоскости.
8. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных
третьей плоскости, перпендикулярна этой плоскости.
9. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпен¬
дикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта
прямая была перпендикулярна проекции наклонной на эту
плоскость (теорема о трех перпендикулярах).
Многогранники
10. Если все боковые ребра пирамиды образуют с основанием рав¬
ные углы (или все боковые ребра равны), то высота пирамиды
проходит через центр окружности, описанной около основания.
231
11. Если все боковые грани пирамиды образуют с основанием
один и тот же угол а (или апофемы всех боковых граней рав¬
ны), то высота пирамиды проходит через центр окружности,
вписанной в основание, и
S> = Sqok cos а. (10.23)
12. Если в наклонной призме боковое ребро составляет равные
углы со сторонами основания, то его проекцией на плоскость
основания является биссектриса угла, образованного этими сто¬
ронами.
13. Если высота треугольной пирамиды проходит через точку
пересечения высот треугольника, лежащего в основании, то
противоположные ребра пирамиды перпендикулярны.
Комбинации различных тел
14. Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, ко¬
гда призма прямая и около ее основания можно описать окруж¬
ность. Центром шара является середина отрезка, соединяющего
центры описанных около оснований окружностей.
15. Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда,
когда около ее основания можно описать окружность. Центр
шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения
прямой, перпендикулярной к основанию пирамиды и проходя¬
щей через центр окружности, описанной около этого основа¬
ния, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру и
проведенной через середину этого ребра.
16. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или об¬
разуют с основанием равные углы), то центр описанного шара
лежит в точке пересечения высоты (или ее продолжения) с осью
симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового реб¬
ра и высоты.
17. В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда
в основание призмы можно вписать окружность, диаметр которой ра¬
вен высоте призмы. Центром шара является середина отрезка, соеди¬
няющего центры вписанных в основания окружностей.
18. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к осно¬
ванию, то в такую пирамиду можно вписать шар. Центр шара ле¬
жит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линей¬
ного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, од¬
ной из сторон которого служит апофема боковой грани.
При решении задач по стереометрии необходимо обратить
внимание на выполнение чертежа. Изображения на чертеже да¬
232
ются в параллельной проекции. При этом изображениями па¬
раллельных прямых служат параллельные прямые (но изображе¬
ния перпендикулярных прямых, как правило, не перпендику¬
лярны). Равные отрезки, отложенные на одной прямой или на
параллельных прямых, остаются равными и на изображении (но
длина их, как правило, меняется). Равные отрезки, отложенные
на непараллельных прямых, могут изображаться неравными отрез¬
ками.
Если точка тела делит отрезок в некотором отношении, то
проекция точки будет делить проекцию отрезка в том же отно¬
шении. Следует помнить, что треугольник проектируется в тре¬
угольник (при этом углы и отношение длин непараллельных
сторон, вообще говоря, не сохраняются), квадрат и ромб проек¬
тируются в произвольный параллелограмм, а окружность — в
эллипс, большая ось которого имеет длину, равную диаметру
окружности.
Роль чертежа не сводится при решении задачи только к ил¬
люстрации рассуждений. Удачно выполненный чертеж может
натолкнуть на мысль использовать ту или иную теорему курса
или сделать дополнительное построение, позволяет часто оты¬
скать (и даже подсказать) идею решения. Поэтому чертежи сле¬
дует выполнять тщательно и аккуратно.
Обычно стереометрическая задача приводится к задаче пла¬
ниметрии, поэтому полезно делать отдельные рисунки плоских
фигур, сохраняя при этом обозначения исходного чертежа.
Вместе с тем необходимо помнить, что никакой чертеж, даже
красиво, наглядно и аккуратно выполненный, не может заменить
собой логического доказательства геометрического факта.
10.1. Параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей.
Двугранные и многогранные углы
10.1. Отрезок АВ длиной 8 см параллелен плоскости Р. Через
точки А и В проведены прямые, перпендикулярные отрезку АВ и
образующие с плоскостью Р углы 45° и 30° соответственно. Рас¬
стояние между точками пересечения плоскости Р с проведен¬
ными прямыми равно 10 см. Найти расстояние от концов от¬
резка до плоскости Р.
233
А2СВ2 найдем
Решение. Опустим из точек А
и В перпендикуляры АА\ и ВВ\ на
плоскость Р (рис. 10.1).
Обозначим неизвестное расстояние
АА\ = ВВ\ = х. Проведем А2С || А\В\.
По условию АВ 1 ВВЪ следовательно,
А2С перпендикулярна наклонной ВВ2
и по теореме о трех перпендикулярах
(см. 9) А2С перпендикулярна проек¬
ции наклонной В\В2.
Из прямоугольного треугольника
В2С =
I
А2В2 - АХ1
:2 = л/ю2 - 82 = 6.
С другой стороны, А\А2 = х (так как прямоугольный треугольник
АА\А2 равнобедренный), В2В2 = х ctg 30° = х^З, следовательно, В2С =
=В\В2 —А\А2 =х->/з"-х= х|л/з"-1|. В результате получим х{4з -lj = 6, от-
6
куда х=
= 3 U/3+1
Va-i
Ответ: 3 [J?> + lj см.
10.2. Параллелограмм и плоскость Р расположены так, что од¬
на из меньших сторон па¬
раллелограмма находится в
плоскости Р, а противопо¬
ложная ей сторона удалена
от плоскости на расстояние,
равное расстоянию между
булыпими сторонами парал¬
лелограмма. Определить угол
между плоскостью Р и плос¬
костью параллелограмма, если
стороны его относятся как 1:2.
Решение. Пусть меньшая
сторона АВ лежит в плоскости Р (рис. 10.2). Проведем к прямой АВ
перпендикуляр BE в плоскости параллелограмма и опустим перпенди¬
куляр ЕЕ\ из точки Е на плоскость Р. В силу теоремы о трех перпенди¬
кулярах ВЕ\ 1 АВ. Следовательно, <р =Z ЕВЕ\ — линейный угол иско¬
мого двугранного угла между плоскостью Р и плоскостью параллело-
D
234
грамма. Из треугольника ВЕЕ\ sirup
ЕЕ1
BE
По условию ЕЕ] = BF, по¬
этому sirup Из подобия прямоугольных треугольников AFB и
BE
ВЕС (их острые углы равны как противоположные углы параллело-
BF АВ . АВ 1 _
грамма) = , следовательно, sin ср = = —, т.е. <р = 30°.
BE ВС ВС 2
Ответ. 30°.
10.3. На плоскости дан прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна 12 см. В пространстве дана точка, удаленная от
каждой вершины треугольника на расстояние 10 см. Вычислить
расстояние точки от плоскости.
10.4. Диагонали ромба равны 12 и 16 см. Точка М, расположен¬
ная вне плоскости ромба, удалена от всех сторон ромба на 8 см.
Вычислить расстояние от точки М до плоскости ромба.
10.5. Из центра круга, описанного около прямоугольного тре¬
угольника с острым углом в 30°, восставлен к его плоскости
перпендикуляр, длина которого 6 см. Конец перпендикуляра,
лежащий вне плоскости треугольника, удален от большего ка¬
тета на 10 см. Найти гипотенузу треугольника.
10.6. Из точки, взятой вне плоскости, проведены к плоско¬
сти две наклонные, каждая под углом 30° к плоскости.
Проекции этих наклонных образуют между собой угол в
120°. Найти расстояние точки до плоскости, если расстоя¬
ние между основаниями наклонных равно 60 см.
10.7. Внутри прямого двугранного угла взята точка М на рас¬
стоянии 12 и 16 см от его граней. Найти расстояние этой точки
от ребра двугранного угла.
10.8. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, третий пло¬
ский угол 60°. Найти двугранный угол, противолежащий треть¬
ему плоскому углу.
10.9. Сторона ВС треугольника ЛВС равна 5 см и лежит в плос¬
кости Р, а вершина А удалена от плоскости Р на 6 см. Найти
площадь треугольника АВС, если его плоскость наклонена к
плоскости Р под углом 60°.
235
10.10. Два равнобедренных треугольника АВС и ACD имеют об¬
щее основание АС, двугранный угол АС равен 60°, а угол, обра¬
зованный стороной ВС с плоскостью A DC, равен 45°. Найти
площадь треугольника АВС, если ВС = 6 см.
10.11. В трехгранном угле два плоских угла содержат по 60°. На их
общем ребре от вершины отложен отрезок, равный 2 см. Найти
проекцию этого отрезка на плоскость третьего угла, равного 90°.
10.12. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС лежит
в плоскости Р, а плоскость треугольника АВС образует с плос¬
костью Р угол в 30°. Найти расстояние от вершины С до плос¬
кости Р, если АС = 6 см, ВС = 8 см.
10.2. Многогранники
10.13. Построить сечение куба ABCDA\Bi C\D\ плоскостью, про¬
ходящей через вершину В\ и середину ребер AD и CD.
Решение. По усло¬
вию секущая поверхность
проходит через середины
ребер М и N. (рис. 10.3),
т.е. она пересекает плос¬
кость основания по пря¬
мой MN. Построим точку
L пересечения прямых ВС
и MN. Точки В] и L лежат в
секущей плоскости (точка В\ —
по условию, а точка L — в
силу того, что она лежит на
прямой MN), следовательно,
B\L — линия пересечения
секущей плоскости и
плоскости грани A\B\CiDi.
Si Ci
Рис. 10.3
Аналогично найдем, что плоскость грани АА\В\В пересекается се¬
кущей плоскостью по прямой В\К (рис. 10.3). При пересечении прямых
В\К и В| L с ребрами АА\ и СС\ найдем точки пересечения Рш Q. Обра¬
зуется пятиугольник РВ\ QNM, — искомое сечение куба заданной плос¬
костью.
236
10.14. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной
8 см, и острым углом 60°. Двугранные углы при основании пи¬
рамиды содержат по 45°. Вычислить объем и площадь боковой
поверхности пирамиды.
Решение. Объем пирамиды по
формуле (10.9) равен V = ^SH. Пло¬
щадь основания ромба ABCD равна
S = а2 sin 60°
гЛз
где а — сторона
ромба. Для нахождения высоты И
проведем в основании пирамиды че¬
рез точку О ЕЕ 1 СП (рис. 10.4). То¬
гда по теореме о трех перпендикуля¬
рах (см. 9) наклонная SE1 СП, т.е. ZOES — линейный угол двугранного
угла при основании и Z OES = 45°, а прямоугольный треугольник SOE —
равнобедренный: SO =ОЕ. Так как ОЕ равна половине высоты ром¬
ба ЕЕ' то SO
— a sin 60°
2
7-J3
Итак, объем пирамиды равен
кЛ
3
2VJ
2
2>/3
т
1 3
= — а
8 '
Так как все двугранные углы при основании пирамиды равны (по
45°), то на основании формулы (10.23)
*^бок —
S
cos 45° >/2
Ответ. V= 64 см3; б5ОК = 32у[б см:
10.15. В правильную четырехуголь¬
ную пирамиду вписан куб так, что
его четыре вершины находятся на
боковых ребрах пирамиды, а ос¬
тальные четыре — в плоскости ее
основания. Определить ребро куба,
если высота пирамиды равна 16 см,
а боковое ребро равно 20 см.
Решение. Обозначим сторону ку¬
ба через х. Из подобия треугольников
SO\Ki и SOC (рис. 10.5), очевидного в
силу того, что 0\К\ || ОС, следует:
SOi 0\К\
При а = 8 V= 64, ббок = 32-J6.
SO
ос
237
Здесь S0\ = SO — 00\ = H~ x, SO = Д 0\K\ = —j= (половине диагонали
квадрата
А/, ЦК\ N\), OC = M2 -H2, где l — боковое ребро, H — высота
пирамиды. Следовательно,
Н-х х
Н лДл//2-#2
Решая уравнение,
hJi(i2-h2)
найдем х = . =- и при I = 20 см, Н = 16 см вычислим
Я+1/2(/’-Я’)
х = 48 (3-2л/2).
Ответ: 48 |з-2>/2| см.
10.16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD построить
сечение, проходящее через сторону основания DC и точку А/, при¬
надлежащую боковому ребру Ж Определить вид сечения.
10.17. Дан куб A5CD,4ii?iCiDi. Построить сечение куба плоско¬
стью, проходящей через точки К, Ми 7V, лежащие соответствен¬
но на ребрах /ID, А\А и S| S, если AK:KD = 1:2, А\М:МА = 2:1,
B\N:NB = 1:2.
10.18. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD постро¬
ить сечение, проходящее через диагональ АС параллельно боко¬
вому ребру SB.
10.19. В правильной треугольной призме ABCA\BiC\ построить
сечение плоскостью, проходящей через точки К, L и М, лежа¬
щие соответственно на ребрах АА±, АС и ВВ\, если А\К =КА,
AL:LC = 1:2; В1М= МВ.
10.20. В кубе ABCDAiBiC\Di построить сечение, проходящее че¬
рез ребро DC и точку пересечения диагоналей грани АА1В1В.
10.21. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80 см,
сторона основания — 120 см. Вычислить площадь сечения, проходя¬
щего через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.
10.22. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна 10 см. Найти кратчайшее расстояние от бокового ребра до
непересекающей его диагонали призмы.
10.23. Высота правильной треугольной пирамиды равна 40 см,
сторона основания — 10 см. Вычислить площадь сечения, про-
238
веденного через одну из сторон основания перпендикулярно к
противолежащему ребру.
10.24. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см, а
стороны оснований — 5 и 6 см. Вычислить площадь сечения,
проведенного через меньшую сторону нижнего основания и
противоположную ей сторону верхнего основания.
10.25. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклоне¬
на к боковой грани под углом 30°. Вычислить угол наклона ее к
основанию.
10.26. Сторона основания правильной четырехугольной пирами¬
ды равна 20 см, двугранные углы при боковых ребрах — по 120°.
Найти боковую поверхность пирамиды.
10.27. Основанием пирамиды служит ромб, одна из диагоналей ко¬
торого равна стороне. Высота пирамиды проходит через вершину
тупого угла ромба и равна Н. Две грани образуют с плоскостью ос¬
нования углы в 45°. Найти боковую поверхность пирамиды.
10.28. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а. Две
соседние боковые грани перпендикулярны к основанию, а две
другие наклонены к основанию под углом 60°. Найти полную
поверхность пирамиды.
10.29. В основании прямой призмы лежит параллелограмм. Че¬
рез сторону нижнего основания, равную а, и противолежащую
ей сторону верхнего основания проведено сечение, составляю¬
щее с плоскостью основания угол 60°. Площадь сечения S. Най¬
ти объем призмы.
10.30. в наклонной треугольной призме одна из боковых граней
перпендикулярна к плоскости основания и представляет собой
ромб, диагонали которого равны 3 и 4 см; основанием призмы
служит равносторонний треугольник. Найти объем призмы.
10.31. Сторона основания правильной четырехугольной пирами¬
ды равна а, двугранные углы при боковых ребрах составляют
120°. Найти объем пирамиды.
10.32. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 14 см и
острым углом 60°. Двугранные углы при основании пирамиды
содержат по 45°. Вычислить объем пирамиды.
10.33. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а, двугранные углы при боковых ребрах содержат по 120°.
Найти объем пирамиды.
239
10.34. Основанием пирамиды служит прямоугольник; одна бо¬
ковая грань перпендикулярна к основанию, а остальные боко¬
вые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота пира¬
миды равна 30 см. Вычислить объем пирамиды.
10.35. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами
6, 10 и 14 см. Каждое из боковых ребер пирамиды наклонено к
основанию под углом 45°. Вычислить объем пирамиды.
10.3. Круглые тела
10.36. Сторона правильного
шестиугольника ABCDEF рав¬
на а. Вычислить объем тела,
полученного от вращения это¬
го многоугольника вокруг
оси, перпендикулярной боль¬
шей диагонали AD много¬
угольника и проходящей че¬
рез вершину А.
Решение. Объем искомо¬
го тела вращения (сечение его изображено на рис. 10.6) равен удвоен¬
ной разности между объемами V2 усеченного конуса, полученного пу¬
тем вращения трапеции AMBCD, и V\ конуса, полученного от вращения
треугольника А МВ. По формуле (Ю-12)
V2=jnlMC2
AD + МС ■ AD\- AM =
~~т
+ 4а"
За
- — ■2а
2
Л
(V3 37тш3л/3
24
ибо МС = МВ + ВС = a si и 30° + а = — (ZMAB = 30°), AD = 2а.
По формуле (Ю-17)
Vy=\%MB2-ОМ =
1 3 3 \2) 2
7Ю3л/3
24
Итак, V = 2(V1-Vi)= Злу[За3.
Ответ'. 3n-j3a2.
10.37. В шаровой сектор радиуса R вписан шар. Найти длину
окружности, по которой касаются поверхности шара и шарового
240
сектора, если центральный угол в осевом сечении шарового сек¬
тора равен 60°.
Решение. Поверхности шара и шарово¬
го сектора касаются по окружности радиуса
СЕ (см. сечение рассматриваемых тел на
рис. 10.7). По условию ZCOD = 60°, следо¬
вательно, ZCOOi = 30°, ZDCO\ = ZCOO\ =
= 30° (как углы с соответственно перпенди¬
кулярными сторонами). Из треугольника
г>/з"
0\ЕС СЕ = г cos 30° =——, где г — радиус
= г cos 30° =
шара. Из
ОхС = OOl sin 30
треугольника
R г
шарового сектора), или г =
Z
R R R-Jз"
г=— и СЕ =—cos30 =—-—.
3 3 6
соох
(где R — радиус
R-r
откуда
О
Рис. ю.7
В
Длина искомой окружности равна
2пСЕ =
я.
Лл/З
Ответ:
т/?л/з
3
3
10.38. Полукруг свернут в коническую поверхность. Сколько
градусов содержит угол между образующей и высотой конуса?
10.39. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая —
40 см. Найти угол развертки конуса.
10.40. В конусе проведено сечение через его вершину под углом
30° к высоте конуса. Вычислить площадь сечения, если высота
конуса равна 3>/3 см, а радиус основания равен 5 см.
10.41. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно
перпендикулярны; высота равна Н. Найти площадь сечения усе¬
ченного конуса, проведенного через середину высоты парал¬
лельно основаниям.
10.42. Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2а, и
острым углом 30° вращается вокруг оси, проходящей через вер¬
шину прямого угла параллельно гипотенузе. Найти объем полу¬
ченного тела.
10.43. Равнобедренная трапеция с острым углом 60° и боковой
стороной, равной а, вращается вокруг меньшего основания, то¬
же равного а. Найти поверхность полученного тела.
241
10.44. Ромб со стороной а и острым углом 60° вращается вокруг
оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно к
стороне. Найти поверхность полученного тела.
10.45. Радиус шара 60 см. Через конец радиуса проведена плос¬
кость под углом 30° к нему. Вычислить площадь полученного
сечения.
10.46. Радиусы двух шаров 16 и 20 см, расстояние между их цен¬
трами — 25 см. Найти длину окружности, по которой пересека¬
ются их поверхности.
10.47. В шар радиуса R вписан конус. Найти объем этого кону¬
са, если угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°.
10.48. В правильной треугольной пирамиде каждое из боковых
ребер равно b и наклонено к основанию под углом 30°. Найти
поверхность описанного шара.
10.49. Радиус основания конуса равен R, а образующая накло¬
нена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем впи¬
санного шара.
10.50. В шар радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого се¬
чения которого наклонена к основанию под углом 30°. Найти
объем цилиндра.
10.51. Сторона основания правильной четырехугольной пирами¬
ды равна а, двугранный угол при основании — 60°. Найти по¬
верхность вписанного шара.
10.52. В конус вписан шар радиуса R. Образующая наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найти объем конуса.
10.4. Задачи с применением тригонометрии
10.53. Правильная треугольная пирамида
рассечена плоскостью, перпендикулярной
к основанию и делящей две стороны ос¬
нования пополам. Определить объем отсе¬
ченной пирамиды, если даны сторона а
основания первоначальной пирамиды и
двугранный угол а при основании.
Решение. Для построения искомого сечения
через середины сторон АВ и АС проведем среднюю
линию MN (рис. 10.8). Из точки D, где ACV Пересе -
с
242
кает высоту основания АЕ, проведем DK параллельно высоте OS, т.е. DK пер¬
пендикулярна плоскости основания. Искомое сечение есть MKN, так как
плоскость MKN проходит через перпендикуляр KD к плоскости основания
АВС и перпендикулярна последней на основании признака перпендику¬
лярности плоскостей (см. 6). Двугранный угол при основании измеряется
линейным углом AES (ОЕ_1_ ВС, SE_1_ ВС на основании теоремы о трех перпен¬
дикулярах — см. 9), т.е. Z AES = а.
Площадь основания отсеченной пирамиды — равностороннего тре-
угольника AMN — равна S =
гЛ
. Для нахождения высоты
4 16
KD воспользуемся отношением, вытекающим из подобия треугольни¬
ков AKD и AS О - KD:OS = ADAO. Так как AD=-AE, АО =- АЕ
2 3
(центр равностороннего треугольника — точка пересечения медиан де-
12 3 3
лит их в отношении 2:1), то KD : OS = — : — = т.е. KD=—OS. От-
2 3 4 4
резок
OS
находим
из треугольника
OSE,
в котором
ОЕ = —АЕ = — = й^, a ZSEO = а, т.е. OS =—^-tga. Итак, объем
3 3 2 6 6
1 tgcc
пирамиды равен V = —S ■ OS = .
Ответ.
a3 tga
128 '
10.54. В правильной треугольной пирамиде со стороной основания а
углы между ребрами при ее вершине равны между собой и каждый
равен a (a < 90°). Определить утлы ме¬
жду боковыми гранями пирамиды и
площадь сечения, проведенного через
сторону основания перпендикулярно к
противолежащему боковому ребру.
Решение. Проведем СЕ 1 AS (рис. 10.9).
Тогда в силу равенства треугольников
ЛЕВ и ЛЕС (АЕ — общая сторона,
АВ = АС, ZEAC =ZEAB) BE 1 AS, т.е.
Z СЕВ = ф есть линейный угол двугранного
угла между боковыми гранями пирамиды.
Ребро AS перпендикулярно двум пря¬
мым ЕВ и ЕС, лежащим в плоскости сече¬
с
Рис. 10.9
243
ния, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (см.
5) AS перпендикулярно плоскости ВЕС и треугольник ВЕС — искомое сечение.
Так как ED 1 ВС (устанавливается с помощью теоремы о трех перпендикуля¬
рах), то 6^4= -j а ■ ED (*). Для нахождения ED последовательно находим из
треугольника CSD (в котором CD = —, Z CSD = —): SC = ^ = —-—,
2 2 . а . . а
sm — 2 sm —
2 2
. а sin а а
из треугольника CES: ЕС = SC sin а = = а cos—, наконец, из
2 sin (а / 2) 2
треугольника CED: ED = -J ЕС2 CL)2 = aj cos- у — и после преобразова¬
нии
(рекомендуем
их
провести
читателю)
ED = aJsin [60o+yJsin ^60° —^J. Теперь по формуле (*) находим ,Усеч, а
, . Ф CD 1
угол ф — с помощью функции sm— = = .
2 ЕС 2cos^
Ответ. ф = 2агс8Й1 [ 0,5cos ! —],
£e4 = -yjsin [60”+|Jsin (б0°-|
10.55. Шар радиуса R вписан в пи¬
рамиду, в основании которой лежит / -zS с
ромб с острым углом а. Боковые
грани пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом ср.
Найти объем пирамиды.
Решение. Проведем MN 1 ВС рис jq jq
(рис. 10.10), тогда в силу теоремы о
трех перпендикулярах SM С ВС и угол OMS — линейный угол двугранного
угла при основании, т.е. ZOMS = ф. В силу того, что все боковые грани
пирамиды одинаково наклонены к основанию, высота пирамиды про¬
ходит через центр вписанной в ее основание ABCD окружности (см. 11),
а центр вписанного в пирамиду шара лежит в точке пересечения вы¬
соты OS с биссектрисой 0\М линейного угла двугранного угла при осно¬
вании (см. 18).
244
Из треугольника MOOl имеем ОМ = 00l ctg = R ctg , а из тре¬
угольника OSM высота пирамиды И = OS = ОМ tg tp = R ctg tg tp.
Теперь из треугольника BEA (где BE || MN) найдем:
Ф
АВ=а =
BE 2 ОМ 2i?ct§2
sin a sin а sin а
AR2 ctg2 ^
Следовательно, площадь основания S = a1 sin а = : — и объ-
sm а
ем пирамиды V = -j SEF.
Ответ: V =
47г3 tgtp ctg2 у
3 sin а
10.56. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b
и острый угол а. Большая диагональ основания равна меньшей
диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда.
10.57. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /, а высо¬
та пирамиды h. Определить двугранный угол при основании.
10.58. Определить объем правильной четырехугольной пирами¬
ды, зная угол а ее бокового ребра с плоскостью основания и
площадь S ее диагонального сечения. Найти также угол, обра¬
зуемый боковой гранью с плоскостью основания.
10.59. Основанием пирамиды служит равнобедренный треуголь¬
ник с боковыми сторонами, равными а, и углом между ними,
равным а. Все боковые ребра наклонены к основанию под уг¬
лом р. Определить объем пирамиды.
10.60. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
прямоугольник, вписанный в круг радиуса R, причем меньшая
сторона этого прямоугольника стягивает дугу окружности, со¬
держащую (2а)° . Найти объем этого параллелепипеда, зная его
боковую поверхность S.
10.61. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а.
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом р.
245
Определить объем и полную поверхность пирамиды, если ради¬
ус вписанного в ромб круга равен г.
10.62. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник
с углом а при основании. Каждый из двугранных углов при осно¬
вании равен ф. Расстояние от центра круга, вписанного в осно¬
вание пирамиды, до середины высоты боковой грани равно d.
Определить полную поверхность пирамиды.
10.63. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квад¬
раты со сторонами а и b (а > Ь). Боковые ребра наклонены к плос¬
кости основания под углом а. Определить объем усеченной пира¬
миды и величину двугранных углов при сторонах оснований.
10.64. Через вершину правильной треугольной пирамиды и се¬
редины двух сторон основания проведена плоскость. Опреде¬
лить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на
которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания и
угол а, образованный сечением с основанием.
10.65. Тетраэдр, ребро которого равно а, пересечен плоскостью,
содержащей одно из ребер тетраэдра и делящей противополож¬
ное ребро в отношении 2:1. Определить площадь сечения и углы
этого сечения.
10.66. От правильной четырехугольной призмы плоскостью,
проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вер¬
шин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверх¬
ностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при
вершине треугольника, получившегося в сечении, равен а.
10.67. В параллелепипеде все его грани — равные ромбы со сторо¬
нами а и острыми углами а. Определить объем параллелепипеда.
10.68. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD
со стороной а и острым углом а. Ребро АА\ равно b и образует с
ребрами АВ и AD угол ф. Определить объем параллелепипеда.
10.69. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отноше¬
ние объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между вы¬
сотой пирамиды и ее боковой гранью равен а.
246
10.70. Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, пред¬
ставляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d и
составляет угол а с основанием. Определить объем цилиндра.
10.71. Образующая усеченного конуса / составляет с плоскостью
нижнего основания угол а и перпендикулярна к прямой, соеди¬
няющей верхний конец ее с нижним концом противоположной
образующей. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
10.72. Определить объем и полную поверхность шарового секто¬
ра, вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сече¬
нии угол а.
10.73. В треугольнике даны сторона а, угол В и угол С. Опреде¬
лить объем тела, полученного от вращения треугольника около
данной стороны.
10.74. Ромб с большей диагональю d и острым углом а вращает¬
ся вокруг оси, проходящей вне его через вершину ромба и пер¬
пендикулярной к большей диагонали его. Определить объем те¬
ла вращения.
10.75. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна
к боковой стороне. Боковая сторона равна b и составляет с
большим основанием угол а. Определить поверхность тела, об¬
разованного вращением трапеции вокруг большего основания.
10.76. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая
конуса равна / и наклонена к плоскости основания под углом а.
10.77. В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Ос¬
нованием призмы служит прямоугольный треугольник с острым
углом а, а наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти
объем призмы.
10.78. В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая
конуса наклонена к основанию под углом а. Найти боковую по¬
верхность усеченного конуса.
10.79. Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды
наклонены к основанию под углом а. Апофема пирамиды равна
т. Найти полную поверхность конуса, вписанного в пирамиду, а
также угол наклона бокового ребра к основанию.
10.80. На высоте конуса, равной Н, как на диаметре, описан
шар. Определить объем части шара, лежащей вне конуса, если
угол между образующей и высотой равен а.
247
10.81. Боковая грань правильной треугольной усеченной пира¬
миды составляет с плоскостью основания угол а. Найти отно¬
шение полной поверхности пирамиды к поверхности вписанно¬
го в него шара.
10.82. Сторона основания правильной четырехугольной пирами¬
ды равна а, двугранный угол при основании равен а. В эту пи¬
рамиду вписан шар. Найти объем пирамиды, вершинами кото¬
рой служат точки касания шаровой поверхности с боковыми
гранями данной пирамиды и произвольная точка, лежащая в
плоскости основания данной пирамиды.
10.83. Все плоские углы при вершине D пирамиды DABC пря¬
мые; DA = 6; DB = 8; DC = л/н . Найти площадь сферы, опи¬
санной около пирамиды DABC.
10.84. В пирамиде SABC известны длины всех ребер: АВ = 4,
SC = 12, АС = ВС = AS = BS = Зл/б . Найти объем шара, впи¬
санного в эту пирамиду.
10.85. Три параллельные прямые касаются в точках А, В и С
сферы радиуса 2 с центром в точке О. Найти угол ВАС, если из¬
вестно, что площадь треугольника АВС больше 4.
10.86. Основанием вписанной в сферу четырехугольной пирами¬
ды SABCD служит параллелограмм ABCD. Найти BD, если
SA = 2-J\5 , SB = 9, SD = 8, и углы SAC, SBC и SDC равны ме¬
жду собой.
10.87. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. В
конус вписан шар. Второй шар, центр которого лежит на оси
конуса, касается первого шара и боковой поверхности конуса.
Найти объем конуса, если объем второго шара равен 1.
10.88. В полусферу радиуса 40 вписаны три равных шара так,
что каждый шар касается двух других шаров, полусферы и ее
основания. Найти радиус этих шаров.
10.89. Периметр боковой грани правильной треугольной пира¬
миды превосходит сторону большего основания на 150%. Найти
двугранный угол между основанием и боковой гранью пирами¬
ды, если известно, что в нее можно вписать шар.
248
10.5. Разные задачи
10.90. Объем треугольной пирамиды равен 135. Точки пересече¬
ния медиан всех ее граней являются вершинами второй пирами¬
ды. Найти ее объем.
Решение. Пусть .S'Д/, SK,
SP — медианы боковых граней,
SO — высота пирамиды, а
точка 0\ делит ее в отноше¬
нии 2:1, т.е. SOi'.OiO = 2:1, т.е.
SOp SO = 2:3 (рис. 10.11).
Рассмотрим плоскость, па¬
раллельную плоскости основа¬
ния АВС и проходящую через
точку 0\ Так как линии пере¬
сечения двух параллельных
плоскостей третьей плоскостью
параллельны, то МгКг ||МК,
M^jMP, Р^ЦРК, OjMjOM.
У
Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него тре¬
угольник, подобный данному; поэтому треугольники SMlKl, SMгРг,
SPlKl и SM\0\ подобны соответственно треугольникам SMK, SMP,
SPK, SMO.
Из подобия указанных треугольников следует, что
SM, SK, SP, SO, 2 „
= = —- = —- = —, т.е. точки Мл, Кл, Рл являются точками пе-
SM SK SP SO 3
ресечения медиан боковых граней пирамиды (учитывая свойство таких
точек), и НМ\К\Р\ — вторая пирамида, высота которой
ООх = SO- SOi = (1-^- r0 = ( 1-f Г0=!50'
Из подобия треугольников SMи SMK следует, что
—!—- = ——!- = — . Учитывая, что МК = — АВ (как средняя линия тре-
МК SM 3 2
М,К. 1 М.Р, 1 Р.К, 1
угольника Ид С), —1—L = —, аналогично ——- = —, —1—L = —, т.е. осно-
АВ 3 ВС 3 АС 3
вания двух пирамид М\Р\К\ и АВС подобны и их площади относятся
как квадраты сходственных сторон, т.е.
Найдем отношение объемов двух пирамид:
М&
АВ2
249
И
HM1N1K1
откуда Vf
у
v SABC
1 c SO 9 3 27 ’
HM1N1K1
Ответ: 5.
10.91. Основанием пирамиды SABC является треугольник
АВС, в котором ZACB = 90°, тангенс угла ВАС равен 4. Ребро AS
перпендикулярно плоскости АВС. Отрезки AM. и AL являются
соответственно высотами треугольников ASB и ASC. Найти от¬
ношение объема пирамиды AMLB к объему пирамиды AMLC.
10.92. В правильной треугольной пирамиде SABC точки К, N
принадлежат ребру SA, точка М — ребру SB, а точка L принадле¬
жит ребру SC, причем АК = KN = 'NS. SM.MB = 1:3, SL:LC= 2:1.
Найти отношение объема пирамиды KLMN к объему пирамиды
SABC.
10.93. Основанием прямой призмы АВСА^В^Су является прямо¬
угольный треугольник с катетами АВ = 6 и ВС = 8. Высота
призмы равна 2. Найти площадь сечения призмы, проходящего
через середины ребер ВС, ВВ\ и А\В\.
10.94. Основанием прямой призмы АВСА\ В\ С) является равно¬
бедренный треугольник с вершиной А, две стороны которого
равны 2 и 8. Высота призмы равна 3. В призме проведены два
сечения. Одно из них проходит через ребро АС и вершину В\, а
другое — через ребро ССд и середину отрезка А В. Найти длину
отрезка, по которому пересекаются эти сечения.
10.95. Объем треугольной наклонной призмы равен 60. Точка
пересечения диагоналей ее боковых граней и точки пересечения
медиан ее оснований являются вершинами шестигранника.
Найти его объем.
10.96. В основании пирамиды лежит выпуклый четырехуголь¬
ник. Точки пересечения медиан всех ее боковых граней и точка
пересечения диагоналей ее основания являются вершинами вто¬
рой пирамиды, объем которой равен 20. Найти объем первой
пирамиды.
250
10.97. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. В
конус вписан шар. Второй шар, центр которого лежит на оси
конуса, касается первого шара и боковой поверхности конуса.
Найти объем конуса, если объем второго шара равен 1.
Решение. Пусть г.\,
г2 и R радиусы соответст¬
венно первого, второго шара
и основания конуса. Рас¬
смотрим осевое сечение ко¬
нуса.
Очевидно, треугольники
ASC, S02K, SO\L (где К и L —
точки касания шаров с боко¬
вой поверхностью конуса) —
прямоугольные равнобед¬
ренные с острыми углами
45° (рис. 10.12), поэтому SC=AC (т.е. высота конуса Н = R),
S02 = 02К • л/2 = r2VI, SO] = 0\ L ■ -Jl = rjV2 . С другой стороны,
SOi = S02 +020\ и SOi = SC ~0\С, т.е.
U-v/2 = г2 л/2 + г2 +г1;
[rjV2 =R-rv
Из первого уравнения полученной системы r2{\[l + 1) = г\(^2 — 1),
v2(\j2+1) л, (V2+1)1 2 г— 2 тт
откуда г, = = -=-= = к (V 2 +1) . Подставляя выражение
V2-1 (V2)2 -I2 2
для г-l во второе уравнение системы r2 (V2 +1) = R, получим
r2 (V2 +1)2 • (л/2 +l) = R , или r2{-Jl+Vf =R.
S
Рис. 10.12
3 з
По условию объем второго шара Vm = — лг2 =
1 , 1 з
объем конуса U = — nR H = —nR . Найдем
3 3
1 и необходимо найти
отношение объемов
К
к.
-nR3
3
4 з
— яг.
( R^
, откуда VK = 1 • —
( ЯЛ
\Г2 2
r2(V2 +1)3 Y (V2+I)9
Ответ'.
(л/2+1)9
1
4
251
10.98. Ребро основания правильной треугольной призмы
MNPM\ N\P\ равно 6. Сечение призмы, проходящее через точку
пересечения медиан ее основания параллельно грани MM\N\N,
является квадратом ABCD. В призме расположен цилиндр так,
что одно его основание вписано в квадрат, а другое основание
лежит в грани MM\N\N. Найти объем цилиндра.
10.99. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA\ В\ С) D\
со стороной основания 10. Сфера, центр которой лежит на АА\,
касается основания ABCD, бокового ребра CCi и проходит через
середину ребра В\С\. Найти площадь боковой поверхности
призмы.
10.100. В шар вписана правильная треугольная призма
АВСА\В\С\ Прямая ВА\ образует с плоскостью ВСС\ угол 45°.
44л
Площадь поверхности шара равна —. Найти объем призмы.
10.101. Найти сторону основания правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA\ В\ С) D\ Е{Е\, если площадь ее боковой поверх-
центр которой лежит на ребре АА\. При этом сфера касается ос¬
нования ABCDEF, бокового ребра CCi и проходит через точку В\.
10.102. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14 л. Расстояние
между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы рав¬
но 2-у/з . Найти объем призмы.
10.103. Внутри правильного тетраэдра ABCD расположен конус,
вершина которого является серединой ребра CD, а основание
конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину
ребра ВС параллельно прямым CD и А В. Площадь боковой по¬
верхности конуса равна 9лл/з . Найти длину ребра тетраэдра.
10.104. В основании пирамиды ABCD лежит правильный тре¬
угольник со стороной, равной 10 см. Основание высоты пира¬
миды лежит внутри треугольника и удалено от его сторон АВ и
АС на расстояния, равные 2 и -\/з см. Через высоту пирамиды
ности равна
Кроме того, существует сфера,
252
проводится плоскость, отсекающая от нее пирамиду наименьше¬
го возможного объема. Найти площадь отсеченной части пира¬
миды, если высота пирамиды равна 15 см.
В
Рис. 10.13
Решение. Так как сечение
проходит через высоту пирамиды,
отсеченная и исходная пирамиды
имеют общую вершину и общую
высоту. Объем отсеченной части
будет наименьшим в том случае,
если площадь основания отсечен¬
ной пирамиды будет наименьшей.
Пусть АЕ - х, AD - у —
стороны отсеченного треугольни¬
ка ADE, точка О — основание
пирамиды (рис. 10.13). По усло¬
вию OF = 2, OG - л/з. Площадь
S треугольника ADE может быть вычислена двумя способами — по
формуле (9.4) и как сумма площадей треугольников ADO и АЕО:
S = — xysin60° = — х-л/з +— у -2,
2 2 2
„ 2>/Зх
преобразовании у = —:= ;
W3-4
^Ц(,д+2,),
следовательно, S =
ху\13
откуда после
Зх2
2(хл/3-4)'
По смыслу задачи у > 0, или хл/3-4>0, т.е. — <х<10, учитывая, что
АС = 10 (см). Итак, задача свелась к нахождению наименьшего значе¬
ния функции1 .У(х) на интервале f-j; 10 1.
Найдем производную функции
т. 2х(ху!ъ-4)-х2 • у[з Зх(хл/3-8)
S'(x) = i = —> f.
1 j 2 (W3-4) 2(*^-4)
Приравниваем производную к нулю, т.е. 5'(х) = 0, и из равенства
хл/з -8 = 0
находим критическую точку функции х
—=■ ( X = 0 не
л/3
1 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью про¬
изводной рассмотрено подробно в § 11.2.
253
входит
X =
X =
_8_
_8_
в интервал ; 10J). Учитывая, что при переходе через точку
производная 5'(х) меняет свой знак с «минуса» на «плюс»,
— точка минимума функции £(х) (рис. 10.14):
О О О ► х
min
Рис. 10.14
Так как на интервале | ; 10 | экстремум функции единственный, и
этот экстремум — минимум, то при х = -т= функция 5(х) принимает
л/ 3
наименьшее значение S
= 8. Следовательно, наи¬
меньший объем отсеченной пирамиды V = — S Н = — • 8 Т 5 = 40 .
3 3
Ответ. 40 см3.
10.105. В пирамиде SABCD вершина Е фиксирована, а точки А,
В, С, D лежат в плоскости основания таким образом, что все
боковые ребра имеют длину 1, наклонены к плоскости основа¬
ния под углом 45°, и при этом площадь четырехугольника ABCD
является максимально возможной. Точка Е лежит на ребре SB
так, что SF'FB = 1:4. Найти квадрат котангенса угла между пря¬
мой CF и плоскостью А ЕС.
10.106. В пирамиде SABC с вершиной S и основанием АВС дли¬
на ребра АВ равна 13, угол С — прямой и точка С выбрана та¬
ким образом, что площадь основания — наибольшая. Боковые
254
ребра наклонены к плоскости основания под углом, тангенс ко¬
торого равен 3. Точка Ми N являются соответственно середи¬
нами ребер SA и BS, где О — середина АВ. Найти квадрат тан¬
генса угла между прямыми CN и ВМ.
10.107. Расстояние от центра основания конуса до образующей
равно 2л/з . Найти наименьший возможный объем такого конуса.
10.108. Через центр О сферы единичного радиуса проведено се¬
чение. Точка Е. выбрана на сфере, а точки А, В, С, D лежат по¬
следовательно на окружности сечения таким образом, что объем
пирамиды EABCD наибольший. Точка F лежит на ребре ЕС так,
что ЕЕ ЕС = 1:3. Найти квадрат тангенса угла между прямыми
BF и CD.
10.109. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со смежными сторонами 10 и 12 см. Ос¬
нование высоты пирамиды лежит внутри прямоугольника и уда¬
лено от двух его смежных сторон АВ и AD на расстояния, рав¬
ные 2 и 3 см. Через высоту пирамиды проводится сечение таким
образом, что отношение объемов получившихся частей наиболь¬
шее. Найти это отношение, если высота пирамиды равна 10 см.
10.110. Сторона основания правильной четырехугольной пирами¬
ды равна Круг, вписанный в боковую грань, является осно-
Ук
ванием конуса, вершина которого совпадает с центром основания
пирамиды. Найдите объем конуса.
10.111. Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр
которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М
лежит на ребре АВ так, что AM : МВ =1:3. Точка Т лежит на
прямой AF и равноудалена от точек М и В. Объем пирамиды
ТВ СМ равен -Е- . Найдите радиус сферы, описанной около пира-
64
миды FABC.
10.112. Отрезок АВ — диаметр сферы. Точки С, D лежат на сфере
так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите косинус
угла между СМ и АВ, если М — середина ребра BD.
Глава
Производная и ее применение
Формулы для справок
(М' =^>
(sin х)' = cos х,
cos2 X
с' = 0,
(и + V - w)' = и' + V' - W',
(П.1)
(П.З)
х' = 1,
(си)' = си',
(П.2)
(П.4)
(UV)' = u'v + UVf,
(П.5)
(иУ u'v - uv'
U “ V2 ’
(П.6)
(П.7)
(хп)' = пхп-\
(П.8)
(П.9)
f-1 =-А>
\х) X
(11.10)
(ех)' = ех,
(П.П)
[ах^ = axbva,
(11.12)
(11.13) (log0Jc)' =——,
х In a
(11.15) (cos x)’ = -sin x,
(11.17) (ctg *)'=--
sin X
Если у =/(и), и = ф (х), то у' = /(и) • и'.
Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке Л'о
У-/(хо) = f'(x0)(x - х0).
(11.14)
(11.16)
(11.18)
(11.19)
(11.20)
11.1. Производная функции, ее геометрический
и механический смысл
11.1. Найти производные функций:
а) у = 4х5 + 12х Ух + Зу[х; б) у = (Зх - х2) sin х,
в) У =■
COS.X
■; г) у = (х 2 + 5х + I)8; д) у =
15
х2 + Зх +10 ’
5
е) у = е х ; ж) у = \п(3х 2 + 5х + 1); з) у = log2 ——-К-',
(х + 3)
з
256
и) у - л/ьТТТ + \п(л[х + 1); к) у = 5х • In2 х.
Решение, а) Для дифференцирования выражение хл[х удобно
представить в виде х4^3. Вынося постоянный множитель за знак произ¬
водной по правилу (11.4) и используя формулы (11.8)—(11.10), получим:
= 4 (5х4) + 12 [ух1/3! +2 [-4г| -3
1
2-Jx)
Ответ, у’ = 20х4 + 16 л[х - -
х" 2л/х
б) По правилу дифференцирования произведения двух функций
(11.5) получим у’ = (зх-х2) sin х + (зх - x2)(sin х) . Далее используем
(11.8) и (11.15):
у’ = (3 - 2х) sin х + (Зх - х2 Jcos х.
Ответ: у’ = (3 - 2x)sinx + |3х - x2jcosx.
в) По правилу дифференцирования частного двух функций (11.6) с
учетом (11.8) И (11.16) получим:
, (х3)'cosx - x3(cosx)' Зх2 cosx + х3 sinX
(cosx)2 cos2x
Ответ:
Зх2 cosx + х3 sinx
2
COS X
г) По правилу дифференцирования сложной функции (11.19) с уче¬
том (11.8) И (11.1) получим:
у' = 8(х2 + 5х + I)7 ■ (х2 + 5х + 1)' = 8(х2 + 5х + 1)7(2х + 5).
Ответ: у’ = 8(х2 + 5х + 1)7(2х + 5).
д) Вынося постоянный множитель 15 за знак производной и учитывая
(11.7) и правило дифференцирования сложной функции (11.19), получим:
/ = 15
Ответ: у’
1
х +Зх + 10
= 15
1
(х2 + Зх + 10)2
15(2х + 3)
(х2 +Зх + 10) =
(х2 +Зх + 10)2 ’
-15(2х + 3)
(х2 + Зх + 10)2 '
е) По правилу дифференцирования сложной функции (11.19) с уче¬
том (11.11) и (11.8) получим у = е~х (~х2) = -2хе~х .
Ответ: у' = -2хе
2
257
ж) По правилу дифференцирования сложной функции (11.19) с уче¬
том (11.13) и (11.8) получим:
г
У
— (Зх2+5х + 1
Зх2 + 5х + 1 ' '
6х + 5
Зх + 5х + 1
Ответ: у’
6х + 5
Зх2 + 5х + 1
з) Прежде чем дифференцировать функцию, целесообразно
упростить ее выражение, применяя формулы логарифмирования:
у = 51og2(x - 2) - 31og2(x + 3). Теперь по формулам (11.4), (11.14) и
(11.19) получим:
у' = 5(log2(x - 2))' - 3(log2(x + 3))' = 5 {-^ (х - 2)'j - 3 (х + 3)'j =
__5 3 2х + 21
х-2 х + 3 (х - 2)(х + 3)
Ответ: у'
2х + 21
(х - 2)(х + 3)'
и) При дифференцировании по формулам (11.9) и (11.13)
следует учесть, что первое слагаемое представляет степенную функ¬
цию (у = Vm"), ее аргумент — логарифмическую функцию (и = In х),
а второе слагаемое — логарифмическую функцию (у = In щ, где
щ = л/х + 1):
^ (Inх + l)f н—j=-—-fVx + l) =
2-\/lnx +1
4х +1
1 1
+ ■
2-\/lnx + 1 х Vx + 1
Ответ: у' =
2-Jx 1.Д(1пх + 1) Vx + 1,
У’ =
к) При дифференцировании необходимо учесть, что данная функция
3
представляет произведение двух функций 5 х и In2 х, каждая из которых
является сложной функцией (у = 5й, где и = х3; у = м2, где щ = In х).
Применяя формулы (11.5), (11.12), (11.8) и (11.13), получим:
у' = (f>x j • In2 х + 5х (in2 х) =
= 5х3 1п5-Зх21п2х + 5х3 • 2Inх• —
X
: [5х In 5 (х3)'] In2 х + 5х [2 In х(1п х)'] =
= 5Х 1пх|з1п5-х2 lnx+ —J.
Ответ: у' = 5х
In х| 3 In 5 ■ х2 In х + — |.
х
258
Найти производные функций:
G2-l^
lx2 +1
11.2. у =
11.4. у=4^[е3х-5).
11.6. у = Inn
Л-Зх
Л + Зх.
11.3. у = х4(8 In2 х - 4 lnx +1).
11.5. у = Ь + е4х +S-
лл п г X3 -9
11.7. у = In—г .
х3-1
11.8. у = 31п(2х3 - 4х)2.
11.10. у = In
х(1 + х2)
Vl - X2
11.12. у = Зх 1п(1 - х2).
11.9. у = lnyfl
11.11. у =
+ х2.
11.14. у = .
1 - е
Ах
Ах
11.16. у = (хе1х + 3)\
(1-х2)4'
11.13. у = х3 In2 х.
11.15. у = (1пх + З)3 - 1п(х + 3).
11.17. у =е3х42х2 -1.
11.18. у =
1-е
-2х
1 + е
-2х ’
11.19. у = (х2 - 1) • In
1-х
1 + X ’
11.20. у = х1пГзх2 + л/9х4 + l\ 11.21. у = In
2 /■*
х - 2
yj(6 - 2х2)3 '
11.22. у = (х - 3)e-ix.
11.24. у = sin(x2 + 2х).
11.23. у =
1 + е
-Ах
11.25. у = 4е'/1пх 1- yfl:
1-е
л/ In X
-Ах ■
1ПХ .
11.26. у =
In COS X
cosx
11.28. у = ln(xsinx).
11.27. у = cos2x + lntg—.
11.29. у = 1п(УГ
- 1 - In
1.
11.30. y=exlnsinx.
,, „ 1, . X cosx
11.32. у = — Intg т—
2 2 2sin2x
11.31. у = | cos2 x + yj sin3 x.
. 11.33. у =
( 2
vcos4x cos2x
smx.
259
11.34. Вычислить значение производной функции у = /(х) при
х = х$:
\ л Гл 2 71 _ч , 4 . 71
а) у = lnyl + ctg х; х0 = —; о) у = m smx; х0 = —.
Решение, а) Вначале найдем производную функции, предвари-
1 2
тельно заметив, что у = — In (1 + ctg х). Теперь
- 1 1 2 Y 1 1 ^ / ч¬
У =-■■ ^l1 + ctg х =-•- — • 2ctgх(ctgх) =
2 1 + ctg х 2 1 + ctg x
1
1
• ■ Ctg X т— | = - ctg X.
1 + ctg x v sin x.
Находим значение производной при х = —:
4?J=-ctg ItJ=-l
Ответ: —1.
б) Производная функции
у' = 4(ln sin х)3 • (In sin х)' = 4 In3 sin х —i— (sin x)' = 4 In3 sin x • cos x/sin x.
sin x
Значение производной при x = 2-
. , 1 . It 7Г
ч 4 In sin — • cos —
ni-—
sin —
= 0.
Ответ: 0.
Найти производные функций и вычислить их значения при
X = Хд\
11.35. у = х3 + хл[ё*х о=1. 11.36. у = ех(х2-2х + 2); xq = 1.
11.37. у = 30 In , * ; Хд = 2. 11.38. у = 6 In U ~ 2)^ ; х0 = 5.
Vx4 -1 (* + 1)3
11.39. у = Vl + In2 х; х0 = 1.
260
1 Л Л
11.40. у = —tg х - tg х + х; х0 = —.
11.41. у = Inf х + л/х2 + 12 |;х0 = 2.
11.42. у = (1 + tg2 Зх)4; х0 =^|.
11.43. у = cos2 х - In cos*; х0 =
11.44. у = sinx • ecosx;x0 = —.
11.45. у = (1 + sin2 x)4; x0 = j. 11.46. у = In 4j + ^ * ; x0 = 0.
4 У 1 — tg x
11.47. Найти уравнение касательной к кривой у = /(х) в точке xq:
а) у = 5х3 + 2х2 - х + 3; х0 = 2; б) у = х • 1п(х + е); х0 = 0.
Решение, а) При х = 2 функция у =/(х) принимает значение / (2) =
= 5 - 23 + 2 - 22 - 2 + 3 = 49. В соответствии с (11.20) уравнение искомой
касательной примет вид у - 49 = к (х - 2), где угловой коэффициент
к =/'(хо) =/'(2). Найдем производную функции /'(х) = 15х2 + 4х — 1
и ее значение при х = 2: /'(2) = 15 ■ 22 + 4 ■ 2 - 1 = 67. Теперь уравне¬
ние касательной примет вид: у — 49 = 67(х — 2), или у = 67х - 85.
Ответ, у = 67х - 85.
б) Производная функции
X
у’ = х’ 1п(х + е) + х (1п(х + е))’ = 1п(х + е) н ,
х + е
так как производная постоянной е' = 0. При х = 0 функция / (х) и ее
производная принимают соответственно значения /(0) = 0 ■ 1п(0 + е) = 0
и /'(0) = 1п(0 + е) н — = 1. Поэтому на основании (11.20) уравне-
0 + е
ние касательной в точке х = 0 у - 0 = 1(х - 0), или у = х.
Ответ, у = х.
Составить уравнение касательной к кривой у = / (х) в точ¬
ке Х(р
X
11.48. у = 2х3 + х2 - 5; х о = 2. 11.49. у =
х + 2
, х о = 0.
11.50. у = In (2е — х), xq = е.
11.51. у = х2е х, xq = 1.
11.52. В каких точках касательная к графику функции
261
/(х) = ■^■х3-^-х2 + 7х - 4
J w 3 2
образует с осью Ох угол 45°?
л
Решение. Производная функции f'(x) = х - 5х + 7 определяет в
фиксированной точке х угловой коэффициент касательной, равный по
условию tg 45° = 1, т.е. х2 — 5х + 7 = 1, откуда Х\ = 2, Xj = 3. Ордина¬
ты точек/(2) = 8/3 и/(3) = 7/2.
Ответ: (2- 8/3), (3; 7/2).
11.53. Под каким углом к оси ОХ наклонена касательная, прове¬
денная к кривой у = х3 - х2 - 7х + 6 в точке х = 2?
11.54. Составить уравнения касательных к кривым у = 2х2 - 5 и
у = х2 - Зх + 5, проходящих через точки пересечения этих кри¬
вых.
11.55. В каких точках угловой коэффициент касательной к гра¬
фику функции у = 2х3 - 2х2 + х - I равен 3?
4t + 3
11.56. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = , где
t + 4
s измеряется в метрах, a t — в секундах. Найти скорость тела в
момент t = 9.
Решение. Скорость тела изменяется по закону v{t) = s'(t) =
4t + 3
13
В момент t = 9 скорость v(9) =
13
• = 1/13.
t + 4J (t + 4)2 ' ' (9 + 4/
Ответ: 1/13 м/с.
11.57. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону
h (t) = 4 + St - 512 (м). Найти скорость тела в момент соприкос¬
новения с землей.
Решение. Скорость тела в момент t v(t) = h’(t)= 8 — 10/. В мо¬
мент соприкосновения с землей h (t) = 0, т.е. 4 + 8/ — 512 = 0, откуда
t\ = 2; tj = — 0,4 (не подходит по смыслу, ибо t > 0). Скорость тела в
момент t= 2 v(2) = 8 — 10-2 = —12.
Ответ: —12 м/с.
11.58. Закон прямолинейного движения точки имеет вид S(t) =
= 2fi - 3t + 4 (м). Найти скорость точки в момент t = 3 (с).
11.59. Движения двух материальных точек вдоль одной прямой
заданы уравнениями Л', = 4/2 + 2 , S2 = З/2 + 4/ - 1 (Л), Л2 — и
метрах, t — в секундах). Найти скорости движения точек в те
моменты, когда пройденные ими расстояния равны.
262
11.2. Применение производной
При определении интервалов монотонности и экстремумов
дифференцируемой функции у = fix) рекомендуется руковод¬
ствоваться следующей схемой:
а) найти производную функции;
б) найти критические точки функции, в которых производная
равна нулю;
в) критические точки (а также точки, в которых функция у не
существует) отметить на числовой оси и определить знак произ¬
водной у ’ в каждом из полученных интервалов. Функция возрас¬
тает в интервалах, в которых у’ > 0, и убывает, если у’ < 0. В кри¬
тических точках, при переходе через которые слева направо
у’ меняет свой знак с «+» на «—», функция имеет максимум, а в
точках, в которых у’ меняет знак с «—» на «+», функция имеет
минимум;
г) найти значения (экстремумы) функции в точках максимума и
минимума.
11.60. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции и
построить ее график:
а) у = х3 — 6 х2 + 9х — 5; б) у = (х — З)2 (х — 2)2.
Решение, а) Производная функции /'(х) = Зх2 - 12х + 9. Найдем
критические точки функции, в которых производная /'(х) = 0, т.е.
Зх2 — 12х +9 = 0 при х\ = 1, Х2 = 3. Производную /'(х) представим в
виде /'(х) = (х — 1)(х — 3). Критические точки разбивают область опре¬
деления функции на интервалы (—со; 1); (1; 3); (3; +«) (рис. 11.1).
Рис. 11.1
При х е (-да; 1) оба сомножителя (х - 1) и (х - 3) отрицательны, при
х е (3; да) — положительны, следовательно, их произведение имеет по¬
ложительный знак, т.е. /'(х) > 0. При х е (1; 3) те же сомножители
имеют разные знаки и /'(х) < 0. Таким образом, функция/(х) возраста¬
ет при х е (-оо; 1) и при х е (3; +да), так как в этих интервалах /'(х) > О,
и убывает при х е (1; 3), где /'(х) < 0.
263
Так как при переходе через точку х = — 1 слева направо производная
/'(х) меняет свой знак с «+» на щ—», то х = 1 есть точка максимума
функции / (х); аналогично вследствие того, что при переходе через точку
х = 3 производная меняет свой знак с «—» на «+», то х = 3 есть точка
минимума /(х). Находим соответственно максимум и минимум функции:
/max = /(1) = -1, /min = / (3) = -5. Строим график функции, задав уточ¬
няющие график точки/(0) = — 5,/(4) = —1 (рис. 11.2).
б) Производная функции у’ =2(х — 3)(х — 2)2 +(х — З)2 ■ 2(х — 2) =
= (х — 2)(х — 3)(2х — 4 + 2х — 6) = 2(х — 2)(х — 3)(х — 2.5).
Найдем критические точки из условия /' (х) = 0, т.е. х^ = 2, xj =
= 2,5, Х3 = 3. Эти точки разбивают область определения функции на
четыре интервала (-*; 2), (2; 2,5), (2,5; 3) и (3; +«) (рис. 11.4).
Рис. 11.4
При х e (-ш; 2) все сомножители в выражении /'(х) отрицательны,
т.е. х — 2<0, х — 3<0, х — 2,5 < 0 и их произведение отрицательно, т.е.
/'(х) < 0. Аналогично устанавливаются знаки производной/'(х) в других
интервалах (рис. 11.4). Таким образом, функция / (х) убывает в интервале
(—оо; 2) и (2,5; 3), так как в каждом из этих интервалов /'(х) < 0. Функция
/(х) возрастает в интервале (2; 2,5) и (3; +да), так как здесь jp|x) > 0.
При переходе через точки х = 2 и х = 3 слева направо производная
/'(х) меняет свой знак с «—» на «+», следовательно, функция / (х) дос¬
264
тигает в этих точках минимума соответственно / (2) = 0 и / (3) = 0. А
при переходе через точку х = 2,5 производная /'(х) меняет свой знак с
«+» на «—», т.е. в этой точке функция достигает максимума
/(2,5) = 1/16. Строим график, задав уточняющие его точки, например,
/(1) = 4,/(4) = 4 (рис. 11.3).
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций и
построить их графики:
11.61. у = 2х3 + Зх2 — 1.
11.62. у = 0,5х4 — 4х2.
11.63. у = х4 ~ 10х2 + 9.
3 2
11.64. у = — - — -2х + 3.
3 2
11.65. у = (1 + х)3(4 — х).
11.66. у = 27(х — 1)2(3 — х)
11.67. у = (Зх ~ 1)2(1 + 2х)2.
у-4 п
11.68. у =-—2х2 - —.
4 4
11.69. y = jx5 -4х2.
11.70. ? = -Ц-.
1 + х
При определении наибольшего и наименьшего значений не¬
прерывной функции у = f (х) на отрезке [а; b] рекомендуется
пользоваться следующей схемой: а) найти производную функ¬
ции; б) найти критические точки функции; в) найти значения
функции у = f (х) в критических точках и на концах отрезка и
выбрать среди них наибольшее и наименьшее.
Замечание. Если функция непрерывна на интервале, то она мо¬
жет не принимать на нем наибольшее и наименьшее значение. В част¬
ном случае, если дифференцируемая функция на интервале (а; Ъ) имеет
лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наиболь¬
шее (или наименьшее) значение функции совпадает с максимумом
(или минимумом) этой функции.
11.71. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке:
а) у = х3
6х2
9х
5, [0; 5]; б) у = х + cos2 х,
Решение. Производная /'(х) = Зх2 - 12х + 9 . Критические точки
функции, при которых/'(х) = 0, т.е. Зх2 — 12х +9 = 0, есть х\ = 1
их2=3(см. задачу 11.60). Значения функции в критических точках
/(1) = —1 и/(3) = —5 и на концах отрезка/(0) = —5,/(5) = 15.
265
Так как непрерывная на некотором отрезке функция всегда имеет на
нем наибольшее и наименьшее значения, достигаемые либо в точках экс¬
тремума, либо на концах этого отрезка, то из четырех полученных значе¬
ний/(0),/(1),/(3),/(5) выбираем наибольшее Тйаиб =/(5) = 15 и наи¬
меньшее/наим = /(0) =/(3) = -5.
Ответ'. Унанб — 15,_/наим — —5.
б) Производная f’(x) = 1 + 2 cos х (cos х)’ = 1 - 2 cos х ■ sin х = 1 - sin 2х.
Найдем критические точки функции из условия /'(х) = 1 - sin 2х = 0, от-
• _ л _ 7Г _ 7Г __
куда sin 2х = 1, 2х = — + 2пп, х = — + пп. На отрезке
имеем од-
7Г
ну критическую точку х = —.
Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
+ /(0) = 1; /(§)=§> из которых выбираем наи¬
большее /наиб= /
я
I
я
т
и наименьшее 7йаИм
/(0) = 1.
Ответ'. Унаиб - ^ > 7наим 1-
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на за¬
данных отрезках:
11.72. у = х3 ~ Зх2 + Зх + 2, [-2; 2].
11.73. у = Зх4 + 4х3 + 1, [-2; 1].
11.74. у = -
[1; 6].
11.75. у = -
sin 2х
sm х + ■
0;
п
11.76. у = х + —т, [-2; -1]. 11.77. у = 2х2 — lnx, [1; е\.
х
11.78. у = cos2 х + sin х,
Го; £1
. 11.79. у = х + cos2x,
~0; *
L 4 J
L 2]
При решении текстовых и геометрических задач, в которых
требуется найти наименьшее или наибольшее значение какой-
либо величины, следует: а) выбрать независимую переменную
(аргумент) и установить область ее допустимых значений;
б) записать функцию, выражающую зависимую переменную че¬
266
рез аргумент; в) решить задачу на отыскание наибольшего и
наименьшего значений в найденной области.
11.80. Определить размеры открытого бассейна с квадратным
дном объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна
пошло наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим сторону основания бассейна х (м). Тогда
'у
площадь квадратного дна составит б'осн= х , а высота бассейна опреде-
V 32
„2 ’
лится из условия h = — = —
Площадь облицовочной поверхности S состоит из суммы площадей
основания и четырех боковых стен бассейна, т.е.
с 2 Л 1 2л 32 2 128
S = х + 4 хп = х +4х ■ —= х н .
х1 X
Таким образом, задача свелась к отысканию такого значения
х е (0; +оо), при котором функция S (х) принимает наименьшее значе¬
ние.
Найдем производную функции S’(x) = 2х
128
и, приравняв ее к
нулю, найдем единственную критическую точку функции х = 4. Слева от
критической точки при х<4 /’(х) < 0 , а справа прих>4 /’(х) > 0 ,
следовательно, в точке х = 4 функция / (х) достигает минимума.
Так как непрерывная на интервале функция имеет только один экс¬
тремум — в данном случае минимум, то этот минимум и будет наи¬
меньшим значением функции в этом интервале (см. замечание на
с. 264). Итак, размеры бассейна х = 4, h = 32/42 = 2.
Ответ, размеры бассейна 4x4x2 (м).
11.81. Экспериментально установлено, что расход бензина у (л)
на 100 км пути автомобиля ГАЗ-69 в зависимости от скорости
х (км/ч) описывается функцией у = 18 - 0,3х + О.ООЗх2, где
30 < х < 100. Определить наиболее экономичную скорость авто¬
мобиля, при которой расход бензина будет наименьшим. Найти
это наименьшее количество бензина.
Решение. Скорость расходования топлива в зависимости от скорости
движения определяется производной у’ = -0,3 + 0,006х, равной нулю при
х = 50. Для отыскания наименьшего значения функции / (х) сравниваем
значение функции в критической точке/(50) = 10,5 и значения на концах
отрезка/(30) = 11,7 и/(100) = 18 и выбираем наименьшее.
Ответ. При скорости 50 км/ч расход бензина наименьший, рав¬
ный 10,5 л на 100 км пути.
267
11.82. Из пункта А по направлению к пункту В со скоростью
50 км/ч движется автомобиль и одновременно из пункта В по
направлению к пункту С идет поезд со скоростью 80 км/ч. Че¬
рез какое время расстояние между автомобилем и поездом будет
наименьшим, если АВ = 200 км, a ZABC = 60°?
Решение. В момент времени ? от
начала движения автомобиль будет нахо¬
диться в точке D, а поезд — в точке Е
(рис. 11.5), причем пройденные ими рас¬
стояния будут соответственно AD = 50? и
ЕВ = 80?. Расстояние DE между автомоби¬
лем и поездом в момент ? найдем по тео¬
реме косинусов из ААВЕ, в котором ВО =
= АВ- AD = 200 - 50?:
DE2 = (200 - 50?)2 + (80?)2 - 2(200 -
- 50? )(80?) cos 60° = 10 (129?2 - 360? + 400).
Итак, задача свелась к нахождению значения ? е (0; +<»), при кото¬
ром функция S{t) = 10(129?2 - 360? + 400) принимает наименьшее зна¬
чение.
Найдем производную S’{t) = 60(43? — 60); приравняв ее к нулю, полу-
А
Рис. 11.5
60
чим единственную критическую точку ? = —. Так как S'(t) < 0 для
60 _ , ч 60 60
? < — и о (?) > 0 для ? > —, то при ? = — функция о (?) имеет мини¬
мум, и этот единственный минимум (в соответствии с замечанием на
с. 264) является наименьшим значением функции б/?) на интервале (0; +<»).
^ , 17
Ответ: ? = 1— ч.
43
11.83. В крут радиуса R = 8 см впи¬
сан равнобедренный треугольник
наибольшего периметра. Найти пе¬
риметр этого треугольника.
Решение. Выберем в качестве не¬
зависимой переменной х половину ве¬
личины угла А равнобедренного тре¬
угольника (рис. 11.6). Учитывая, что
сторона треугольника равна произве¬
дению диаметра описанной окружно¬
сти на синус противолежащего угла,
найдем стороны и периметр Р(х) тре¬
А
угольника:
268
ВС = 2R sin A = 2R sin 2x, AC = AB = 2RA\\ у - xj =2R cos x,
P (x) = BC + 2AC = 2R (sin 2x + 2 cos x).
Таким образом, задача свелась к отысканию наибольшего значения
функции Р(х) в интервале ^0; yj.
Найдем производную функции Р'(х) = 4R (cos 2х - sin х). Критиче¬
ские точки функции находим из уравнения Р'(х) = 0, откуда
cos 2х - sin х = 0. Решая уравнение, получим:
(1—2 sin2 х) — sin х = 0, или 2 sin2 х + sin х — 1 = 0,
откуда (sinx)! = у и (sin х)2 = — 1.
С учетом того, что х е [ 0; —
получим лишь одну критическую
точку х = у-. Слева от критической точки при 0 < х < производная
6 6
Р'(х) > 0 и справа при у < х < у Р’ (х) < 0 (в этом можно убедиться,
% % .
задав, например, в полученных интервалах значения х = — и х = —).
Действительно, при х = —
P'^)=4R{C0^-^=4R
„ 1 .71 .К
ибо в силу возрастания sm х в 1-и четверти — = sin— > sm—, а при
2 6 12
х = у = 4R ^cos-y-— sin-yj = -2R |1 + л/з| < 0 . Следовательно, при
х = — функция Р (х) достигает максимума, который (в силу замечания
6
на с. 264) является наибольшим значением функции Р (х) на интервале
0; yj, равным р(уг) = ЗРл/з = 24л/з см. (Очевидно, что треугольник с
наибольшим периметром есть равносторонний — длина его стороны
R-J3, а периметр зрТз.)
При решении задачи в качестве независимой переменной х можно
было взять высоту AD вписанного треугольника. В этом случае, как не¬
269
трудно убедиться, Р(х) = 2^2Rx + ^x(2R - х) j; где 0 < х < 2R и решение
задачи усложняется (предлагаем убедиться в этом самому читателю).
Ответ. Рпашб = 24->/3 см.
11.84.1 Найти наибольшее значение объема правильной тре¬
угольной пирамиды, боковое ребро которой составляет 12 см.
Решение. Обозначим ребро пирамиды
I (I = 12 см), а угол его наклона к основа- $
нию а. Тогда объем пирамиды
V :
^осн Н.
Из прямоугольного тре¬
угольника SOB высота // = OS = I sin а, ра¬
диус описанной около основания окружно¬
сти R = OB = I cos а (рис. 11.7).
Сторона правильного треугольника выра¬
жается через радиус описанной окружности
по формуле a = R-J3 = l-Jb cos а, а площадь
основания —
\2
s = -
Wз
> cos а
^ Зд/З/2 cos2 а
Теперь объем пирамиды V = —
ЗТЗ/2 cos2 а
л/з" 3 9
/sin а = —г cos а ■ sin а.
4
Итак, задача свелась к отысканию наибольшего значения функции
V(a) = -^-/3 cos1 2 а ■ sin а в интервале ^0; и ее можно было решить
дальше аналогично задаче 11.83. Но решение существенно упрощается,
если обозначить sin а = у. В этом случае, учитывая, что cos2 а =
= 1 - sin2 а = 1 - у2, V (у) представляет достаточно простую функцию
V(y) = ^ у2)у, а значениям i e|o; соответствуют значения
у е (0; 1). Теперь задача сводится к отысканию наибольшего значения
функции V(y) = ^-/3|y-y3j на интервале (0; 1). Найдем производную
функции V’(y) =^-/3|l-3y2j . Критические точки получим из уравне-
1 См. также приведенные выше стереометрические задачи на нахождение наи¬
большего и наименьшего значений: 10.104 (с решением), 10.105—10.109 (для
самостоятельного решения).
270
S Л
ния V’(y) = 0, откуда yj = -j- и у2 = С учетом того, что у е (0; 1),
S г „
получим одну критическую точку у = —. Слева от критической точки
>/з S
при 0 < у < —производная V’(y) >0, а справа при -j- < у < 1
V'(y) < 0 (в этом легко убедиться, задав, например, в полученных ин-
1 2
—, у = — и вычислив соответственно
2 3
тервалах значения у
Ki]=^/3>°, = _"n"/3 < След°вательн°’ при у=^~
функция V (у) достигает максимума V
V 3;
1 ,3 „
= —г, который и является
наибольшим значением функции на данном интервале. При I = 12 см
Ка«б = 288 см3.
Ответ. = 288 см3.
11.85. Найти число, которое, будучи сложено со своим квадра¬
том, дает наименьшую сумму.
11.86. Какое положительное число, будучи сложено с обратным
числом, дает наименьшую сумму?
11.87. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны
по 10 см. Каким должно быть ее большее основание, чтобы
площадь трапеции была наибольшей?
11.88. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м.
Определить размеры двора прямоугольной формы, который можно
огородить этими досками, используя для одной стороны двора
стену близлежащего здания.
11.89. Консервная банка данного объема имеет форму цилинд¬
ра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и
диаметра), чтобы на изготовление пошло наименьшее количест¬
во жести?
11.90. Каково должно быть отношение высоты к радиусу осно¬
вания конического шатра данной вместимости, чтобы на его из¬
готовление пошло наименьшее количество материи?
11.91. При каком угле при основании равнобедренного тре¬
угольника отношение длин радиусов вписанной и описанной
271
окружностей является наибольшим? Чему равно наибольшее
значение этого отношения?
11.92. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны
по 15 см. При каком основании площадь трапеции будет наи¬
большей?
11.93. Две вершины прямоугольника лежат на диаметре полуок¬
ружности, а две другие — на полуокружности. Вычислить наи¬
большую площадь прямоугольника, вписанного в полуокруж¬
ность с радиусом 2 м.
11.94. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды
имеет постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости
основания под углом а. При каком значении а объем пирамиды
является наибольшим?
11.95. В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет
заданную постоянную площадь и составляет с основанием угол
а. При каком значении а расстояние от центра основания пи¬
рамиды до ее боковой грани является наибольшим?
11.96. В конус с заданным постоянным объемом вписана пира¬
мида, в ее основании лежит равнобедренный треугольник, у ко¬
торого величина угла при вершине равна а. При каком значе¬
нии а объем пирамиды является наибольшим?
11.97. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус
высотой Н= 18 см и радиусом основания R = 6 см.
11.98. Около шара описан прямой конус. Найти величину угла
наклона образующей к плоскости основания конуса, для кото¬
рого отношение площади его боковой поверхности к площади
поверхности шара будет наименьшим.
11.99. Буровая машина расположена в поле в 9 км от ближайшей
точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт,
расположенный на шоссе в 15 км от упомянутой точки на шоссе
(считаем шоссе прямой линией). Если курьер на велосипеде проезжал
по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч, то к какой точке шоссе ему надо
ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?
11.100. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену так, что ее
нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоя¬
нии от стены должен стоять наблюдатель, чтобы его положение
272
было наиболее благоприятным для осмотра картины (т.е. чтобы
угол зрения был наибольшим)?
11.101. По двум улицам к перекрестку движутся две машины с
постоянными скоростями 60 и 80 км/ч. Считая, что улицы пере¬
секаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент
машины находятся от перекрестка на расстоянии 100 и 200 км,
определить наименьшее расстояние между ними.
11.102. С помощью производной решить неравенство
5х19 -х10 + х >5.
Решение. Нетрудно заметить, что левая часть неравенства/(х)
при х = 1 равна правой части, т.е. /(1) = 5. Найдем производную
/'(х) = 95х18-10х9+1. Выражение для /'(х) представляет квадратный
трехчлен относительно х9 (т.е. 95?2-10? + 1, где ? = х9), дискриминант
которого D = 102 -4-95 = -280 <0, следовательно, 95?2-10? + 1>0 при
любом t или /'(х) > 0 при любом х. Это означает, что функция /(х) —
строго возрастающая на всей числовой оси, и с учетом того, что/(1) = 5,
/(х) > 5 тогда и только тогда, когда х > 1.
Ответ. (1; +оо).
Решить неравенства с помощью производной:
11.103. х7 -21х4 + 280х>260. 11.104. Зх5 -15х4 + 20х3 - 8 < 0.
11.105. Какие значения может принимать сумма квадратов действи¬
тельных, различных корней уравнения х2 -2ах + 2а + а-12 = 0?
11.106. Найти наибольший периметр прямоугольника, вписан¬
ного в полуокружность радиуса ~J~5 .
11.107. Найти площадь полной поверхности правильной шести¬
угольной призмы объема 4, имеющей наименьшую сумму длин
всех ее ребер.
11.108. Прямоугольник ABCD расположен на координатной
плоскости так, что сторона AD лежит на оси ординат, вершина
С лежит на параболе у = х2 - 6х + 8, а вершина В — на пара¬
боле у = -х2 + Зх - 3, причем абсцисса вершины В принадлежит
отрезку [0,9; 2,8]. Найти наибольшее значение площади прямо¬
угольника ABCD.
273
Решение. Пусть х —
абсцисса точек В и С, ще
х 6 [0,9; 2,8], т.е. АВ = х
(рис. 11.8). Тогда
ВС =ус -ув =
= (х2 -6х + 8)-(-х2 +3х-3] =
= 2х2 — 9х +11,
и площадь прямоугольника
ABCD ‘
S-АВ■ВС=
= х(2х2 9х 11)-
= 2х3 - 9хг +11х.
Таким образом, задача свелась к отысканию наибольшего значения
функции S = 2х3 -9х2 +11х на отрезке [0,9; 2,8]. Найдем производную
функции JPfx) = 6х2 ~18х + 11. Из условия 5'(х) = 0, или
6х2 — 18х + 11 = 0, находим критические точки функции: х. ——s
9 + 71?
Изобразим полученные значения точками числовой оси:
1шшшштш
9-7Т?
0,9
9+71?
х
2,8
6 6
(Следование этих точек в указанном порядке можно обосновать
тем, что 712,96 <7Г?<7Гб, или 3,6<71? <4, а значит,
6 6 6 6 6
Полученная кривая знаков производной ) показывает, что
функция 5(х) убывает на промежутке
0,9;
9 + 7!?
и возрастает на
промежутке
9 + ТГ?
; 2,8
Следовательно, наибольшее значение пло-
274
щади прямоугольника S(x) может быть либо при х = 0,9, либо при
х = 2,8. Вычисляем
*S(0,9) = 0,9(2-0,92 - 9- 0,9 + 11) = 4,068 и
S(2,8) = 2,8(2-2,82-9-2,8 + ll) = 4,144
и выбираем большее значение.
Ответ. 4,144 ед2.
11.109. Стороны прямоугольника равны 7 и 24. Через каждую
точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую
прямоугольный треугольник с периметром 20. Найти наимень¬
шее значение площади оставшейся части прямоугольника.
11.110. Найти наименьшее значение периметра прямоугольника
со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю
ОС, где О — начало координат, а С — точка на графике функ¬
ции у = 12 + (ln3)-logj (4х-8).
з
11.111. Точка А лежит на графике функции у = fix), точка В — на
оси Ох, и ее абсцисса в два раза больше ординаты точки А. Най¬
ти наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где О — на¬
чало координат, а
f(x) = yJll + 4sinx-(4x + 3)cosx , ^-<х<^-.
11.112. В какой точке графика функции у = х4 - 6х2 + 8 надо
провести касательную, чтобы ордината точки пересечения этой
касательной с осью ординат была наибольшей?
11.113. Стороны треугольника лежат на осях координат и на ка¬
сательной к графику функции у = 4х + х1 + 4 в точке ад, удовле¬
творяющей условию -1<Хо<0. Найти наибольшее значение
площади треугольника.
Глава I Z-.
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами достаточно часто встречаются на всту¬
пительных экзаменах по математике в экономических вузах и
едином государственном экзамене. Наиболее простые из них
уже рассмотрены в гл. 2 и 5. Однако важность таких задач для
успешного преодоления конкурсного отбора заставляет вновь
вернуться к ним и рассмотреть в отдельной главе.
12.1. Решение уравнений, систем уравнений
и неравенств с параметрами
Сложность параметрических задач состоит в том, что с изме¬
нением параметров не только меняются коэффициенты, но и
происходят качественные изменения уравнения или неравенст¬
ва, например, меняются его степень, область допустимых значе¬
ний (ОДЗ), свойства входящих в него функций и т.п.
Решить уравнение (систему уравнений, неравенств) с парамет¬
ром — значит для любого допустимого значения параметра найти
множество решений этого уравнения (системы, неравенства).
12.1. Решить уравнение:
(а ~ \)х2 + 2(2а + \)х + 4а + 3 = 0. (12.1)
Решение. Если а = 1, то уравнение (12.1) линейное, принимаю-
7
щее вид 6х + 7 = 0, откуда х = .
6
Если а ф 1, то уравнение (12.1) квадратное и имеет корни, когда
дискриминант D = [2(2а + I)]2 - 4(а - 1)(4а + 3) = 4(5а + 4) > 0, откуда
4 - (2а +1) ± *j5a + 4
а > —. В этом случае х12 =—^ .
5 ’ а-1
4 7
Ответ', если а<—, то корней нет; если а = 1, то х = - — ; если
5 6 4 54 . , - (2а + 1) ± л/5а + 4
< а < 1 и а > 1, то = — .
5 ’ а-1
276
(12.2)
12.2. Решить уравнение:
3 5а
х + а-1 (х + а-1)(х + 1)
Решение. Приведя обе части уравнения к общему знаменателю и
освободившись от него, получим после преобразований
х2 + (а — 3)х — 4а — 4 = 0.
Дискриминант этого уравнения D = (а - З)2 + 4(4а + 4)= а2 + 10а +
+ 25 = (а + 5)2 > 0, а корни Х\ = 4, х2 = -а - 1. Так как в процессе ре¬
шения ОДЗ уравнения расширилась, необходимо убедиться в том, что
знаменатели дробей, входящих в уравнение, т.е. (х + а - 1) и
х + 1 не равны нулю, т.е. х\ ф 1 - a, х2 *■ -1, х\ * -1, х2 *■ 1 - а. Выпол¬
нение двух последних требований очевидно. Если х\ = 1 - а, т.е.
4 = 1 - а, то а = -3 и, следовательно, при а = — 3 корень х\ = 4 не яв¬
ляется корнем уравнения (12.2) (в то время как Х2 = -а -1 = 2 является
его корнем). Если xj_ = -1, т.е. -а - 1 = -1, то а = 0 и, значит, xj — по¬
сторонний корень, а х\ = 4 — корень уравнения (12.2). (Заметим, что
ошибочно предполагать, что при а = 0 и а = -3 уравнение вообще не
имеет корней — в этих случаях посторонним является лишь один из
двух корней уравнения.)
Ответ: если а = -3, то х = 2; если а = 0, то х = 4; если а ф 0,
а ^ -3, то х\ = 4 и Х2 = -а - 1.
12.3. Решить уравнение: +4а = *Jl-(x + a). (12.3)
Решение. При а < 0 левая часть уравнения не определена и кор¬
ней нет; следовательно, а > 0. Возводя в этом случае обе части уравне¬
ния в квадрат, получим после преобразований
2-Jax = \-2x-2a. (12.4)
Возводим обе части уравнения (12.4) в квадрат и после преобразо¬
ваний придем к квадратному уравнению
4х2 + 4(а — 1)х + 4а2 — 4а + 1 = 0, (12.5)
дискриминант которого D = 16(2а — За2). Таким образом, уравнение
(12.5) будет иметь корни в случае, если
а >0,
D> 0,
а > 0,
16(2а-За2)> 0,
что приводит к системе
а > 0,
2 - За > 0,
откуда 0<а<—.
При этих значени¬
ях а уравнение (12.5) имеет корни
\-а+^2а-За2
И = ^ ; *2
\-а-^2а-За2
277
Так как в процессе решения уравнения расширилась ОДЗ и мы ис¬
пользовали метод возведения обеих частей в квадрат, необходима про¬
верка. Проверка значений xj, в уравнении (12.3) достаточно сложна.
Поэтому поступим иначе.
Во-первых, выясним, при каких о корни xj, xj удовлетворяют ОДЗ
Гх > О,
уравнения: <!
[1 - (х + о) > 0.
Во-вторых, учтем, что перед каждым возведением обеих частей уравне¬
ния в квадрат обе части его должны иметь одинаковые знаки — только в
этом случае можно гарантировать отсутствие посторонних корней.
Так как в уравнении (12.3) обе части уравнения неотрицательны, то
за счет первого возведения в квадрат посторонних корней появиться не
может. Перед вторым возведением в квадрат мы получили уравнение
(12.4), левая часть которого 2 Vox > 0. Поэтому корни хц xi не будут
посторонними, если и правая часть уравнения (12.4) будет неотрица¬
тельна, т.е. 1 — 2х — 2а > 0. Итак, мы пришли к системе
х > 0,
х > 0,
П — (х + о) > 0, или < х + а <1, откуда
1 - 2х - 2а > 0, 1
1 х + а < —,
I 2
х > 0,
х + а < 4-.
. 2
(12.6)
Проверим, удовлетворяют ли системе (12.6) значения х\ (и. а) и xj
(и. б). После подстановки значений х\ и xj_ в эту систему получим:
а) <
1 - а + ^2а - 3а2
2
1 - а + ^2а - За2
2
>0,
+ ° ~~2’
или
^2 а- За2 >а-1,
V2а - За2 < -а.
Так как ^2а - За1 > 0, то второе неравенство системы выполнимо
2
лишь при о < О, которое в рассматриваемом случае для 0 < о < - имеет
единственное решение а = 0. При этом а = 0 удовлетворяет и первому
неравенству системы. Таким образом, если а = 0, то Х1 = ^ является
корнем уравнения (12.3).
б)
1-о - V20 -Зо2
2
>0,
1 -о -v2o -Зо2 1
т; + а ^ т,
2 2
или
V2о - Зо2 <1-о,
V2о - Зо2 > о.
278
При 0 < а < — обе части двух неравенств неотрицательны, и, возво¬
дя их в квадрат, получим равносильную систему
[2а - За2 < (1 - а)2,
|2а - За2 > а2,
или после преобразований <
(2а - I)1 2 * > О,
( Л от"
4а[а - -J > О,
куда 0 < а < у. Так как все значения 0 < а < удовлетворяют и усло-
2
вию 0 < а <—, то Х2 является корнем уравнения (12.3).
Ответ: если а < 0, а>-^-, т0 корней нет; если 0 <а<-^, то
1 -a- V2~а - За
" 2 '
12.4. Решить уравнение: sin4 х + cos4 х = а.
Решение. Учитывая, что
sin4 х + cos4 х = |sin2 х + cos2 xj - 2 sin2 x cos2 x = 1 - у sin2 2x =
= !-■
1(1- cos 4x i 3 + cos 4x
, приведем уравнение к виду: cos 4х =
= 4а — 3. | cos 4х I < 1, поэтому, если 4а — 3 < —1, т.е. а < — или если
4а — 3 > 1, т.е. а > 1, уравнение решений не имеет.
Если — 1 < 4а — 3 < 1, т.е. если —<а< 1, то
2
1 ., ,, пп _
х = ±—arccos (4а — 3) н——, п е Z
Ответ: если а <у, а > 1, то корней нет; если -j < а < 1, то
1 ., ,, пп _
х = ±—arccos(4a-3)+ —, п е Z.
12.5. Решить систему уравнений:
[lg(x + y) = lgx + lgy,
[lg(x + ay) = lgx + 2 lgy.
Решение. Потенцируя обе части уравнений, получим систему
х + у = ху, (х(у-1) = у,
x + ay = xyz, [x(yz-l) = ay.
(12.7)
279
Система (12.7) должна удовлетворяться такими парами чисел (х, у),
при которых система вообще имеет смысл, т.е. при
х > О,
< у > 0, (12.8)
х + ау > 0.
Если V * 1, то из первого уравнения системы (12.7) х = ^ . Под-
У~ 1
ставляя это выражение во второе уравнение, найдем у + 1 = а, откуда
у = а — 1.
Итак, если у ф 1 или если а* 2, то система (12.7) имеет решения
а-1 Л
= т у = а-1 .
а - 2 )
Но из этих решений надо выбрать только те, которые удовлетворяют
системе неравенств (12.8). Подставляя выражения неизвестных х и у
через параметр а в систему (12.8), нетрудно получить ее решение:
а > 2. Если у = 1 или а = 2, то, как показывает подстановка любого из
этих значений, система (12.7) с учетом (12.8) будет несовместна.
Ответ, если а < 2, решений нет; если а > 2, решения системы
о-1 Л
= т у = а-1 .
а- 2 )
12.6. Решить неравенство: ах2 - 2х + 4 > 0.
Решение. При а = 0 неравенство является линейным: -2х + 4 > 0,
откуда х < 2. При а ф 0 неравенство квадратное; его дискриминант
D = 22 — 4 ■ а ■ 4 = 4(1 — 4а), причем при а D < 0, а при а <
D > 0. Здесь возможны три случая:
1) а >^; 2) 0 <а<^; 3)а<0.
1) Если о>—, то дискриминант D < 0, а старший коэффициент
трехчлена положителен, т.е. трехчлен положителен при любых х, и
множеством решения неравенства является множество всех действи¬
тельных чисел.
2) Если
0 < а < —,
4
то дискриминант D > 0, корни трехчлена
1 + л/1 - 4 а 1 л/1 4 а ^
Хл = , Хо = , причем Xi > Х9. Поэтому решением
а а
неравенства будут значения х < Х2 и х > х\.
280
3) Если а < О, т.е. старший коэффициент трехчлена отрицателен,
то теперь х\ < xj, а решение неравенства образует интервал
Х\ < X < Х2-
Ответ, если а>—, то — со < х < +да; если 0 <а<—, то
4 4
1 —s/l — 4« l + Vl-4a n „ „ „ п
х< , х> ; если а — 0, то х < 2; если а < 0, то
l + \ll-4a 1 —s/l — 4«
< х <
а а
12.7. Решить неравенство:
3 ,
- — < a lg х + (a lg х) + ... + (а lg х)" + ... < 1.
Решение. Если а = 0, то неравенство выполняется при любом х
3
из ОДЗ уравнения, т.е. при х > 0, ибо в этом случае - — < 0 < 1.
Если а ф 0, х > 0, х * 1, сумма a lg х + {a lg х)2 +...+(а lg х)п +...
представляет сумму S бесконечно убывающей прогрессии со знамена¬
телем q, где | q \ = \ a lg х | < 1. Согласно (8.7) S = ^ .
1 -q 1-fllgx
Итак, при а^0,х>0,х^1 приходим к системе
3 о lg х ^
5 1 - a lg х ’ или, обозначив t = a lg х, получим
1 < a lg х < 1,
, 3 t .
- 1 < t < 1.
Решив последнюю систему (предлагаем это сделать самостоятельно),
, 1 , , 1
получим -1 < t < —, или -1 < a lg х < —.
1 1 -- —
Если а > 0, то — < lg х < — и 10 а < х < 102а.
а 2 а
Если а < 0, то после деления на а знаки неравенств меняются на
1 1 — -¬
противоположные, т.е. — < lgx < — и 102а <х<10 а.
2 а а
J_ J_
Ответ, если а < 0, то 102а < х < 10 а; если а = 0, то х > 0; если
а > 0, то 10 а < х < 102а.
281
Решить уравнения с параметром а:
12.8. (а2-2а + 1)х = а2 +2а-Ъ.
12.10. ах 2 — (1 — 2а)х + а — 2 = 0.
2х -1 2х ах-2
а
12.9. 3* 2 + ^J- + -=0.
а2-2а а-2 а
12.11.
х-а
12.12. Vx + й =а-4х.
а2 -ах
12.13. х + ^х2 - х = а.
12.14. 144|х| -2-12|х| + а = 0. 12.15. 1 + loga(1 -х)logxа =
logax
12.16. sin6 x + cos6 х = а. 12.17. -—~S*n х = (а - l)tgx.
1 + sin 2х
Решить системы уравнений с параметром а:
\у^х2 +у2 - 2ау -3 = 0,
12.18.
12.20.
(Ъ + а)х + 2у = 3,
ах - у = 3.
(2х + l)2J+1 = а,
у/х2 + у2 = X + у.
12.19.
\x-Jx2 +у2 = 2 ах.
Решить неравенства с параметром а:
12.21. а2 + ах < 1 — х. 12.22. л] 2 ах - х2 >а-х.
12.23. loga (х — 1) + loga х > 2. 12.24. loga y[3£x^]jilogx a < 1.
12.2. Задачи с условиями
Одними из наиболее трудных на вступительных испытаниях
и едином госэкзамене являются задачи, в которых требуется
найти все значения параметров, при которых выполнено неко¬
торое условие (например, уравнение имеет единственное реше¬
ние, или, наоборот, удовлетворяется всеми допустимыми значе¬
ниями х, или всякое решение одной системы (или неравенства)
является решением другой системы (или неравенства) и т.п.).
12.25. При каких значениях а уравнение х3 — х = а ( хъ + х) име¬
ет три корня?
Решение. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
х = 0 и
х2 — 1 = а (х2 + 1).
282
(12.9)
Так как корень х = 0 не зависит от параметра, то, чтобы удовлетво¬
рить условию, следует найти значения а, при которых уравнение (12.9)
будет иметь два корня. Перепишем уравнение (12.9) в виде
х2(а - 1) = -а - 1.
При а = 1 это уравнение решений не имеет. При а ф 1 получим
2-fl-l г -Д-1 „
уравнение х = , которое будет иметь два корня, если > О,
о-1 о-1
откуда -1 < о < 1.
Ответ. -1 < о < 1.
12.26. При каких значениях а уравнение
■Jx + а = х (12.10)
имеет два корня?
Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим
х + а = х2, или х2 — х — а = 0, (12.11)
1 ± Vl + 4о
которое имеет два различных корня х^д = , если его дискри¬
минант D = 1 + 4о > 0, откуда о > -
Чтобы корни уравнения (12.11) были корнями уравнения (12.10),
они должны еще удовлетворять системе неравенств
\х + а > О,
1х > О
(только в этом случае можно гарантировать, что найденные корни не
посторонние).
Первое неравенство х + а > 0 выполнено, ибо мы исходили ранее из
равенства х + а = х 2 > 0. Для выполнения второго неравенства х > О дос¬
таточно, чтобы ему удовлетворял меньший корень.
Итак,
а > ,
4
1 - V1 + 4а
или <
> о.
а>~4’
■Jl+~4a < 1,
откуда
1
2
1 п
— < а < 0.
4
Ответ: <а<0.
4
12.27. Найти все значения а, при которых корни квадратного
уравнения х2 + ах +1=0 различны и лежат на отрезке [0; 2].
Решение. Так как корни квадратного уравнения различны, то его
дискриминант D = а2 — 4 должен быть больше нуля. Чтобы корни урав¬
нения располагались на отрезке [0; 2], необходимо, чтобы значения
квадратного трехчлена у = х2 + ах + 1 на концах отрезка были неотрица¬
тельны (рис. 12.1), т.е./(0) > 0 и/(2) > 0. Но этого еще недостаточно: на
283
рис. 12.1 пунктиром изображен график трехчлена, у которого
/(0) > 0 и/(2) > 0, но корни лежат вне отрезка [0; 2]. Очевидно, надо
еще потребовать, чтобы абсцисса вершины параболы хв располагалась
внутри отрезка [0; 2].
Итак, для выполнения условий
задачи необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия
' 2
D> 0,
0 < хв < 2,
/(0) > 0,
/(2) > 0
ИЛИ <
- 4 > 0,
0<-§<2’
1>о,
4 + 2а + 1 > 0.
Решив систему (предлагаем это
сделать самостоятельно), получим
5 „
—— < а < —2.
Ответ'.
2
■<а <-2.
12.28. Найти все значения а, при которых уравнение
х
■4х-2\х-а\ + 2- а = 0
(12.12)
имеет четыре корня.
Решение. Данное уравнение распадается на две системы:
х — а > 0,
~ или
х2 +4х- 2(х - а) + 2 - а = 0,
(х - а> 0,
[х2 + 2х + а + 2 = 0;
(12.13)
х - а < 0,
- или
х1 + 4х + 2(х - а) + 2 - а = 0,
\х — а < 0,
|х2 + 6х + 2 - За = 0.
(12.14)
5
Уравнение (12.12) будет иметь четыре решения, если каждая из сис¬
тем (12.13) и (12.14) будет иметь по два разных решения.
Рассмотрим систему (12.13). Дискриминант квадратного уравнения
^ = 1 — {а +2) = -а -1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня
х1 2 = -1 ± л/~а - 1 . Но эти корни будут корнями данного уравнения
(12.12) в случае выполнения неравенства системы (12.13) для каждого
из них, т.е. при х1 > а, х2 > а.
График квадратного трехчлена (в левой части уравнения системы
(12.13) ) в этом случае должен иметь вершину правее числа а
(рис. 12.2, а), т.е. хв> а и/ (а) >0. Итак, должны выполняться следую¬
щие условия:
284
D > О,
хв > а, или
т > о,
- а - 1 > О,
2
> а,
2
ct + 2а + а + 2 > О,
откуда а < —2.
Рассмотрим систему (12.14). Уравнение этой системы будет иметь
два различных корня = -3 ± <Jl + За, если его дискриминант ^ =
= З2 - (2 - За) = 7 + За > 0. Эти два корня будут решениями уравнения
(12.12), если они удовлетворяют еще неравенству системы (12.14), те.
х\< а, Х2 < а . Соответствующий график квадратного трехчлена (в левой
части уравнения системы (12.14)) показан на рис. 12.2, б.
Очевидно, что на параметр а должны накладываться следующие тре-
7 + За > 0,
бования:
D> 0,
хв < а, или
I № > о
6
— < а,
2
„2
7 „ ,
откуда - — < а < -2, а > -1.
а" + 6а + 2 - За > 0,
Итак, первая система (12.13) имеет два решения, если а < —2, а вто¬
рая система (12.14) — если
< а < -2, а > -1. В результате уравне-
з
7
ние (12.12) имеет четыре решения при - — < а < -2. (Заметим, что при
а = — 2 по одному из двух решений каждой системы совпадают, и урав¬
нение (12.12) имеет три решения.)
7
Ответ:
-< а <- 2.
285
Решения задач, подобных 12.27, 12.28 (а ранее 5.82, 5.86) мо¬
гут быть упрощены, если использовать приводимые ниже необ¬
ходимые и достаточные условия утверждений о знаках и распо¬
ложении корней квадратного уравнения.
Корни квадратного уравнения со1 +Ьх + с = 0(аФ0у.
ОДНОГО
знака
разных
знаков
положи¬
тельные
отрицатель¬
ные
Пращ,
->о.
[а
D > 0,
-<о.
[а
D> 0,
— > 0,
а
-±>0.
а
D> 0,
— > 0,
а
-ь-<о.
Корни квадратного уравнения /(х) = ах2 + Ьх + с = 0 [а ф 0)
расположены:
по
разные
стороны
от числа к
Х\<к< Х2
справа от
числа к:
х\>к,
xj >к
слева от
числа к:
х\<к,
Х2 <к
один внутри
отрезка
[к, т\, дру¬
гой — вне его:
к<х\<т,
Х2<к или
Х2>т
внутри ин¬
тервала
(к, т):
к<х\<т,
к<Х2<т
вне
отрезка
[к, т\:
х\<к,
х~2>т
Л
о
D> 0,
< a f(k) > 0,
-—>к.
{ 2 а
D> 0,
< а 1 {к) > II.
-—щк.
. 2а
f(k)f{m) сО
D>0,
а / (А) > 0,
• д/(»г)>0,
, ь
к< <т
. 2d
{
в f(k) < 0,
д/(/и) < 0.
12.28а. При каком целом значении р один корень уравнения
/(х) = Зх2 + рх + р + 24 = 0 лежит внутри отрезка [1; 4], а другой —
вне его?
Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо и достаточно
(см. четвертую графу нижней части таблицы), чтобы
/ (l) • / (4) = (3 • I2 + р • 1 + р + 24)-(3-42 +4р + р + 24)<0,
или (2р + 27)(5р + 72) < 0, откуда -14,4 <р <-13,5 и целое р 14.
Ответ: р = -14.
286
12.29. При каких значениях а неравенство Д-х* 1 2 >а-х имеет
решение?
Решение. Рассмотрим графическое решение задачи, хотя и менее
строгое, чем аналитическое, но в данном случае получаемое значитель¬
но быстрее.
График функции у = Vl - х2 или
х2 + у2 = 1 (у > 0) есть полуокружность
радиуса 1 с центром в начале координат
(рис. 12.3). Функция у = а — х для каж¬
дого значения а задает прямую, которая
с изменением а перемещается парал-
дельно самой себе. Так, при а = 0 пря¬
х мая занимает положение 1 (см. рис. 12.3),
а с ростом а перемещается вверх. Оче¬
видно, исходное неравенство будет вы¬
полняться до тех пор, пока точки ок¬
ружности будут выше точек прямой, т.е.
пока прямая не станет касательной к окружности. Легко видеть, что это
произойдет при а = Д . (Значение а = Д можно найти и аналитиче¬
ски, если решить уравнение V1 - х2 = а - х, и после возведения в
квадрат потребовать, чтобы дискриминант полученного квадратного
уравнения был равен нулю.)
Ответ: а < Д.
12.30. При каких значениях а уравнение
2 lg (х + 3) = lg ах (12.15)
имеет единственный корень?
Решение. Потенцируя обе части уравнения, получим (х + З)2 =
= ах, или
х2 — (а — 6)х +9 = 0. (12.16)
Уравнение (12.15) имеет единственное решение в следующих случаях:
1) уравнение (12.16) имеет единственный корень и этот корень
удовлетворяет уравнению (12.15);
2) уравнение (12.16) имеет два корня, но из них только один корень
удовлетворяет уравнению (12.15).
Рассмотрим первый случай. Уравнение (12.16) имеет единственный
корень, если его дискриминант D равен нулю, т.е. D = (а — 6)2 — 36 =
= а2 — 12а = 0, откуда а = 0 или а = 12. Случай а = 0 отпадает, так как
при а = 0 правая часть уравнения (12.15) не определена. Если а = 12,
то из уравнения (12.16) находим х = 3 — единственный корень уравне¬
ния (12.16), который, как показывает проверка, удовлетворяет уравне¬
нию (12.15).
287
Рассмотрим второй случай, когда дискриминант D > О, т.е. D = а2 —
12а > 0, откуда а < 0, а > 12 и корни уравнения (12.16) различные.
Чтобы быть корнями исходного уравнения (12.15), эти корни долж-
fx + З > О,
ны еще удовлетворять системе неравенств ( Так как второе
[ах > 0.
неравенство выполняется для обоих корней (напомним, в процессе ре¬
шения мы исходили из равенства (х + З)2 = ах), если х ф —3, то необхо¬
димо выполнение неравенства х + 3 > 0 или х > —3.
Таким образом, чтобы удовлетворить ус¬
ловию, один корень уравнения (12.16) дол¬
жен быть меньше —3, а другой больше —3,
т.е. х\ < —3, Х2 > — 3.
Очевидно (рис. 12.4), что в этом случае
значение квадратного трехчлена / (—3) долж¬
но быть отрицательным, т.е. /(—3) =
= 9 — (а — 6)(—3) + 9 < 0, откуда а < 0.
О т в е т: а = 12, а < 0.
12.31. Определить количество корней
уравнения cos х ctg х - sin х = a cos 2х
на отрезке [0; 2л].
Решение. Преобразуя левую
cos 2х
cos2 х - sin2 х
= a cos х , или
sm х
sm х
часть, получим
= a cos 2х, корни которого найдем
из уравнений cos 2х = 0 и —
1
sm х
Первое уравнение имеет решение х = — + ли, причем на отрезке
л Зл 5л 7л „
10; 2лJ четыре корня —, —, —, — независимо от значении параметра.
Второе уравнение при| а |<1 корней не имеет, так как |sinx|<l. Ес-
II! - ■ 1
ли \ а >1, то, перейдя к уравнению smx = —, получаем, что на отрезке
а
[0; 2л] оно имеет два корня: х^ = arcsin— и Х2 = л - arcsin—.
I I 7Г
Если | а | = 1, то уравнение имеет один корень: х = гДе 0 < х < 2л.
При записи ответа необходимо учесть, что при а = ±^2 получаются че¬
тыре корня первого уравнения.
Ответ, если | а |< 1 или а = ±^2 , то уравнение имеет четыре корня;
если | а | = 1, то корней пять; если | а \ > 1 и а ф ±-j2, то корней нет.
288
12.32. При каких значениях а уравнения sin 2х (sin 2х - 1) = О
и (а + 3) sin2 2х - sin 2х cos 4х - (а + 4) sin 2х = 0 равносиль¬
ны?
Решение. Первое уравнение имеет решения, если sin 2х = 0 или
sin 2х = 1. Второе уравнение после преобразования его к виду
sin2x (sin2x-l) ^sin2x + -^j~j = О
имеет решения, если sin 2х = О или sin 2х = 1, или sin2x = -
а+5
Оче¬
видно, чтобы заданные в условии уравнения были равносильны, требу¬
ется, чтобы «лишнее» уравнение sin 2х =
а + 5
или не имело решении
вообще, или не давало новых корней. Это уравнение не имеет корней
а + 5
при
>1, т.е. при а < -7, а > -3, и будет иметь те же корни, что и
уравнения sin 2х = 0, sin 2х = 1, если
а = — 5 и а = —7.
Ответ, а < —7; а = —5; а > —3.
+ 5
2
и
а + 5
~Т~
1, что дает
12.33. При каких значениях а уравнение х (х2 - 3) + 4 - а = 0 име¬
ет ровно два решения?
12.34. При каких значениях а уравнение 6л/х-2 = ох + 7 имеет
единственное решение?
12.35. При каких значениях а множество решений неравенства
х + л/х2 - 2ах > 1 содержит промежуток [0,25; 1]?
12.36. При каких значениях а хотя бы одно число, большее 1,
удовлетворяет неравенству х2 - ах + 2а < 0?
12.37. При каких значениях а оба корня уравнения х2 - бах +
+ 2 - 2а + 9а2 = 0 больше 3?
12.38. При каких значениях а уравнение х|х + 2а| + 1 - а = 0
имеет только один корень?
12.39. При каких значениях а неравенство х2 - ах + а2 - 6а > 0 вы¬
полняется при всех х, удовлетворяющих условию -1 < х < 1?
12.40. Найти все значения а, при которых уравнения х2+х +
+ 4а = 0 и а2х2 + ах + 4а = 0 имеют общий корень.
12.41. При каких значениях а уравнение 4х - (а + 3)2Х + 4а -
-4 = 0 имеет единственный корень?
12.42. При каких значениях а уравнение lg (х2 + ах) - lg (8х -
- 6а - 3) = 0 имеет только одно решение?
289
12.43. При каких значениях а уравнения sin2 х = 1 и a cos х =
= sin 2х равносильны?
12.44. При каких значениях а уравнение sin4 х + cos4 х +
+ sin 2х + а = 0 имеет решение?
12.45. При каких значениях а и b система уравнений
\а2х - by = а2 - b, _ n
< имеет бесконечное множество решении г
[Ьх -Ь2у = 2 + 4Ь
12.46. При каких значениях а система
х2 + (2- 3а)х + 2а2 - 2а < О,
ах = 1
имеет хотя бы одно решение?
12.47. При каких значениях а уравнение ^a + .y/a+sinx = sinх
имеет решение?
12.48. При каких значениях а уравнение
(а2 -6а + 9)(2 + 2sin х - cos2*) + (12а - 18 - 2а2)(1 +sinx) + a + 3 = 0
не имеет решений?
12.49. При каких значениях а неравенство
log j (V*2 + ах + 5 + lj • log5 (х2 + ах + б) + loga 3 > 0 имеет единст-
а
венное решение?
12.50. При каких значениях а и b уравнение
| х - sin2 а | + | х + cos2 4а - 2 sina cos4 4а | = Ь(а + Зтг/2)
имеет единственное решение?
12.51. При каких значениях а уравнение
|(2х + a)^J22а - 4а2 - 24 - 2(х2 + x)lgajlg
^36а - 9а2^
35
= 0
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицате¬
лен, а другой не превосходит (-1)?
12.52. При каких а неравенство a2 + а - sin2x - 2arccos х >1 вы¬
полняется при любых значениях х?
12.53. При каких значениях а система уравнений
Гу (ах + l) + 13х - а(1 + у) = 0,
|х - ху + |2 + у| = 0
имеет решения?
Глава I О.
Функции и графики
Опыт проведения вступительных экзаменов по математике в
экономических вузах, в первую очередь устных экзаменов, собе¬
седований и тестирования на едином госэкзамене показывает,
что у многих абитуриентов построение графиков функций вы¬
зывает существенные затруднения. Однако такие вопросы пред¬
лагают на вступительных испытаниях довольно часто, поскольку
умение изображать геометрически заданные формулами функ¬
циональные зависимости особенно важно для успешного усвое¬
ния вузовского курса математики.
Определенные трудности в усвоении графиков в значительной
степени объясняются тем, что вопросы построения графиков в
школьном курсе разбросаны по разным разделам и недостаточно
рассматриваются общие приемы построения графиков.
В гл. 11 рассмотрены производная функции и ее использо¬
вание при построении графиков и, в частности, при определе¬
нии интервалов монотонности (возрастания и убывания) функ¬
ции и точек экстремума (максимума и минимума) функции.
В данной главе излагается построение графиков средствами эле¬
ментарной математики на основе исследования функций без
использования понятия производной.
Если функция задана формулой у =/(х), то отыскание облас¬
ти ее определения сводится к нахождению всех значений аргу¬
мента х, при которых выражение fix) вообще имеет смысл.
13.1. Найти области определения функций:
13.1. Общие свойства функций
б) у = -J(2x - 5)у/9 - х2;
в) у = log3 sin х + V4-х2 ;
^ У log7 (2.x - 1)
291
д) х =
ctg X
д/sin х - cos:
е) у = у]cos (sin х) +
arcsin -
1 + х2
2х
_ , Тт , 18 72 „ x2-18x + 72
Решение, а) Имеем 1 1—т— > 0, или = > 0.
X х2 X2
Так как х2 > 0 при любых х ф 0, получим неравенство х2 — 18х + 72 > 0,
решение которого х е (—да; 6] U [12; да). Из полученного решения необ¬
ходимо исключить х = 0.
Ответ: (—да; 0) U (0; 6] U [12; +да).
б) Имеем (2х — 5)-^9 -х2 >0. Так как квадратный корень из неот¬
рицательного числа неотрицателен, то придем к системе
9-х2 > 0,
откуда
и х = —3.
-3 < х < 3,
[2х - 5 > 0, ' [х > 5/2,
т.е. х е [5/2; 3]. Но решение еще не закончено. Можно заметить, что
неравенство будет справедливо и в случае, когда первый сомножитель
отрицателен, а второй равен нулю, т.е.
[9-х2 = 0, [х = ±3,
|2х - 5 < 0, °ТКУДа |х < 5/2,
Ответ: {—3}U [5/2; 3].
fsinx > 0,
в) Имеем систему { ~ Решая первое неравенство, получим
[4 - х2 > 0.
2 %п < х < % + 2 ли; решая второе, найдем х2 < 4, откуда |х|<2и—2<х<2.
С помощью числовой оси (рис. 13.1) находим решение системы нера¬
венств: 0 < х < 2.
—% ~2
0 2 %
Рис. 13.1
2%
3% х
Ответ: (0; 2].
г) Имеем систему <
6 + х - 2х2 > 0,
2х - 1 > 0,
log7(2x-l) * 0,
откуда
-3/2 < х < 2,
< х > 1/2,
х Ф 1.
Решение системы первых двух неравенств дает х е (1/2; 2] (рис. 13.2),
но из полученного множества решений в соответствии с третьим огра¬
ничением необходимо исключить х = 1.
292
Рис. 13.2
Ответ-. (1/2; 1) U (1; 2].
X Ф ли,
д) Так как ctg а не определен при а = яи, имеем систему 1
[sin х-cos х > 0.
Решая второе неравенство, получим >/2 sin(x - я/4) > 0, откуда
2яи < х — я/4 < я + 2яи, или я/4 + 2яи < х < 5я/4 + 2яи.
Из полученных интервалов значений х необходимо исключить зна¬
чения х = яи (рис. 13.3).
Ответ', (я/4 + 2ли, я + 2яи) U (я + 2яи, 5я/4 + 2яи), и е Z.
.cos (sinx) > 0,
е) Так как arcsinm определен при \т\< I, получим <
1 + х2
2х
< 1.
В силу того, что cos а > 0 при —я/2 < а < я/2, неравенство
—я/2 < sinx < я/2 вьшолняется при любых х, ибо —я/2 < —1 < sinx< 1 < я/2.
Второе неравенство равносильно системе
1 + х2
< 2х
1 + х2
. 2х
<1,
>-1,
откуда
I1 - х?
_ 2х
(1 + х?
_ 2х
^0,
> 0.
Решение последней системы получаем из условий (1 + х)2 = 0
и (1 — х)2 = 0, откуда xj = —1 и Х2 = 1. (В случае, если (1 + х)2 > 0
и (1 — х)2 > 0, т.е. числители дробей строго больше нуля, система
неравенств несовместна, ибо из первого неравенства следует, что
2х < 0, а из второго — что 2х > 0.) Итак, область определения состоит
из двух значений: х\ = — 1 и Х2 = 1.
Ответ: {-1; l}.
293
Найти области определения функций:
13.2. у
logo,3
2х -1
х + 5
13.3.у
3-х- 2х2
log2(x + l) '
13.4. ]. 2it2 ,‘_e(J/5>
13.5 у = lg(2'4 +2"' -1,5).
13.6. у = \sinx - л/3 cosx. 13.7. y = arccos—
1 + х
При исследовании функций важное значение имеет нахожде¬
ние области значений (изменения) функции.
13.8. Найти область значений функций:
а) у = sinx + cosx; б) у = ^Х , ; в) у = lg(l - 2cosx).
1 + х
Р е ш е н и е. а) Преобразуем функцию
У =
. 7Г . 7Г
sin — sin X + cos—COS X
4 4
= л/2 sin | x + —
Так как синус любого угла по абсолютной величине не превышает 1,
т.е.
sin х + -
<1,
то
л/2 sir
sin х + -
< л/2,
откуда
|<л/2
и - л/2 < у < л/2.
Ответ', [-л/2; л/2].
б) Область значений может быть найдена с помощью производной
(гл. 11). Но можно поступить иначе: найти обратную функцию и ее об¬
ласть определения, которая совпадает с областью значений данной
функции. Выразим х через у. Получим квадратное уравнение
у = (1 + х2) = 6х, или х2у — 6х + у = 0.
Очевидно, область допустимых значений х вытекает из условия, чтобы
дискриминант квадратного уравнения D = Ь2 — 4ас был неотрицателен,
т.е. 36 — 4у2 > 0, откуда у2 < 9, |у| < 3 и — 3 < у < 3 — область значений
данной функции.
Ответ'. [—3; 3].
в) Выражение 1 — 2cosx принимает наибольшее значение, равное 3,
когда cos х = —1, т.е. наибольшее значение функции есть lg 3. Если
1 — 2cosx -> 0 (стремится к нулю), что имеет место при cosx -> 1/2, ло¬
гарифм этого выражения стремится к —со.
Ответ', (—со; lg 3].
294
Найти области значений функций:
13.9. у = у/з cosх — sinх. 13.10. у=—
1 + X
13.11. у = V -х2 + х + 2. 13.12. у = log3(l + 3sinx).
Установление четности (нечетности) функции облегчает
построение ее графика: если функция у = /(х) четная (т.е. для
всех х из области определения /(-х) =f(x)), то ее график
симметричен относительно оси Оу; если функция у = /(х) не¬
четная (т.е./(-х) = -/(х)), то ее график симметричен относи¬
тельно начала координат. В этом случае достаточно построить
график функции f(x) в правой полуплоскости, а в левой полу¬
плоскости строить график с учетом выявленной симметрии.
13.13. Выяснить четность (нечетность) функций:
2х +1
а) у = х - ctg3x; б) у = х ; в) у = (х
2х -1
Решение, а) /(—х) = —х — ctg3(—х) = —х + ctg3x.
Так как/(—х) = —/(х), то данная функция нечетная.
Ответ', функция нечетная.
l)2sin2x.
б)/(-х)
(-х)
2-х+i 2х+1
= х
2-х -1 2х -1
(после преобразований).
Так как/(—х) =/(х), то данная функция четная.
Ответ', функция четная.
в)/(—х) = (—х — I)2 sin2(—х) = (х + I)2 sin2x.
Так как/(—х) ф f (х) и/(—х) ф —/(х), то данная функция — общего ви¬
да, т.е. ни четная, ни нечетная.
Ответ: функция общего вида.
Выяснить четность (нечетность) функций:
13.14. у = х2 + tgx. 13.15. y = lg\ + X.
1-х
13.16. у = х2 - cos х. 13.17. у = lg(x+Vw).
Если функция обладает свойством периодичности с периодом Т.ф 0,
т.е. для любых х из области определения /(х + Т) = /(х), то по¬
строение ее графика существенно упрощается: достаточно по¬
строить график на любом отрезке длиной Т, например, на [0, 7],
а затем сдвигать эту кривую вправо и влево на отрезки Т, 27) ... .
13.18. Найти периоды функций:
а) у = cos2 х; б) у = sin4 х.
295
Р е ш е н и е. а) Представим функцию в виде:
l + cos2x 1 + cos(2x + 2л) l + cos2(x + 7t) ,
у = = = y > учитывая, что функция
cos а имеет период, равный 2л. Итак, мы получили, что cos2 х =
= cos2 (х + л) для любых х, следовательно, период данной функции Т = л.
Ответ, л.
б) Если 7 — период функции, то для любых х справедливо равенст¬
во sin4x = sin4 (х + 7).
Представим это равенство в виде sin4 (х + 7) — sin4 х = 0, или
(sin2 (х + 7) + sin2 х) (sin2(x + 7) — sin2 х) = 0. (13.1)
Преобразовав выражение во вторых скобках в произведение (реко¬
мендуем это сделать читателю), получим
(sin2 (х + 7) + sin2 х) sin(2x + 7) sin7 = 0. (13.2)
Равенство (13.1) или равносильное ему равенство (13.2) будет выпол¬
няться при любых х, т.е. тождественно, если сомножитель, не содержащий
х, будет равен нулю, т.е. sin 7 = 0 и наименьшее значение 7 = л.
Ответ', л.
Найти периоды следующих функций:
13.19. у = sin4x + cos4x 13.20. у = sin3x.
13.2. Основные приемы построения
графиков функций
Прежде чем рассматривать построение графиков функций,
необходимо знать свойства и графики основных элементарных
функций: линейной, квадратичной (и вообще степенной), пока¬
зательной, логарифмической, тригонометрических и обратных
тригонометрических (см. графики на переднем форзаце книги).
13.21. Построить графики функций:
2
а) у = ~2х + 4; б) у = — 2х2; в) у = —.
х
Решение, а) График функции — прямая, которую строим по
двум точкам, например, (0; 4) и (2; 0) (рис. 13.4).
б) График функции — парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви ко¬
торой направлены вниз. Уточняющие график точки, например, (1; —2),
(2; -8) (рис. 13.5).
в) График функции — равносторонняя гипербола с центром в точке
(0; 0), ветви которой расположены во 2-й и 4-й четвертях. Уточняющие
график точки, например, (2; —1), (4; 1/2) (рис. 13.6).
При построении графиков необходимо знать правила преоб¬
разования графиков функций.
296
Правило 1. График функции у = /(х + а) есть график у = Дх),
сдвинутый на \а\ единиц параллельно оси Ох (при а > 0 — вле¬
во, при а < 0 — вправо).
Правило 2. График функции у = /(х) + b есть график у = /(х),
сдвинутый на \Ь\ единиц параллельно оси Оу (при b > О — вверх,
при b < 0 — вниз).
13.22. Построить графики функций:
а) у = —2х2 + 5х — 2;
I) у =
1 - Зх
х -1
Решение, а) Вынося коэффициент при х2 и дополняя правую часть
уравнения до полного квадрата, получим
у = -2\ х- - — х +11 = -2
-I 1 25
х—'1 +1-ц
В соответствии с правилами 1 и 2 графиком данной функции будет
график у = —2х2, сдвинутый вправо на 5/4 единиц параллельно оси Ох
у = -lx1 > г -
дельно оси Оу
1 5'
2l
Г-4,
и поднятый вверх на 9/8 единиц парал-
у = —2 х —
> у = -2 х -
т.е. парабола
у = —2х2 (рис. 13.7) с центром в точке (5/4; 9/8).
б) Преобразуем уравнение, выделив целую часть функции:
-3(х-1)-2 , 2
У = — ; = -3 г-
х -1 х -1
В соответствии с правилами 1 и 2 график данной функции есть ги-
2
пербола у = — (рис. 13.8), сдвинутая вправо на одну единицу парал-
297
„ 2 2
лельно оси Ох у = > у =
х х -1
2
ницы параллельно оси Оу = -
центром (1; —3), (рис. 13.8).
и опущенная вниз на три еди-
2
х — 1
-> у =-$~
X -1
, т.е. гипербола с
Рис. 13.7 Рис. 13.8
Построить графики функций:
13.23. у = -Зх2 + 10х - 3.
i л 2 х
13.24. у=- .
2 + х
13.25. у = 2Х~3 + 5.
13.26. у = log 1 (4 + х).
2
13.27. у = sin fx - .
13.28. у = 3 + arccos(x
Правило 3. График функции у = тДх) (т ф0% есть график
у /(.V). растянутый (при т > 1) в т раз или сжатый (при ()<т< 1)
вдоль оси Оу. При —оо < т < 0 график функции у = тДх) есть
симметричное отображение графика у = —тДх) относительно
оси Ох.
В частности, при т = — 1 получаем правило 4.
Правило 4. График функции у = Дх) есть график у = /(х), сим¬
метричный графику у = Дх) относительно оси Ох.
Правило 5. График функции у = Дкх) (к ф 0) есть график у = Дх),
сжатый (при к> 1) в к раз или растянутый (при 0 <к< 1) вдоль
оси Ох. При —оо < к < 0 график функции у = Дкх) есть симмет¬
ричное отображение графика у = Д —кх) относительно оси Оу.
В частности, при к = — 1 получаем правило 6.
298
Правило 6. График функции у =/(—х) есть график у Дх), сим¬
метричный графику у = Дх) относительно оси Оу.
13.29. Построить графики функций: а) у = “logy*—х) 5
б) у =-J!sinx-cosx;
в) у = sin2x.
Решение, а) В соответст¬
вии с правилами 4 и 6 график
функции у = — log2(— х) есть гра¬
фик у = log2 х, симметрично ото¬
браженный относительно оси Ох
(y = log2x->y = -log2x) и
Оу (y = -log2x->y = -log2(-x))
(рис. 13.9).
б) Представим функцию в виде:
Гл/з .
1 )
J . я
яЛ
smx -
= 2 sin—smx
- cos—COSX = 2sin x -
1 2
2 J
l 3
3 ) \
з)
У
В соответствии с правилами 1 и 3 необходимо график функции сдвинуть
вправо на я/3 единиц параллельно оси Ох = sin х -> у = sin^x - -jj j и рас¬
тянуть вдвое вдоль оси 0}! \ у = sin х
->• у = 2 sin х
(рис. 13.10).
в) Представим функцию в виде: у = — - — cos 2х.
В соответствии с правилами 5, 3, 4, 1 график функции у = cos х необ¬
ходимо сжать вдвое вдоль оси Ох (у = cos х —>■ у = cos 2х), сжать вдвое
299
вдоль оси Оу
у = cos 2х-> у = — cos 2х |,
симметрично отобразить от
оси Ох ир = /-cos2x—> у = --*-cos2xjn поднять вверх на 1/2 едини¬
цы параллельно оси Оу f v = -^-cos2x—> у = -—cos 2х| (рис. 13.11).
Построение графика возможно и по цепочке:
у = cos х—> у = cos 2х—> у = - cos 2х—> у = 1 - cos 2х—> у
.1 - cos 2х
Рис. 13.11 Рис. 13.12
Построить графики функций:
1 -
13.30. у= —2log3(3 -х). 13.31. у= --22.
13.32а. у = sin.v cos .у. 13.326. у = cos2x
Сложным для абитуриентов является построение графиков
функций, в которых либо аргумент х, либо аналитическое вы¬
ражение функции f(x) дается со знаком абсолютной величины.
Правило 7. График функции у - /(jx|) совпадает с графиком
функции у = f(x) в правой полуплоскости (при х > 0), а в левой
полуплоскости (при х < 0) симметричен этой части графика от¬
носительно оси Оу.
13.33а. Построить графики функций:
а) у = —2(а£| + 4; б) у = ~2х2 + 5|х|— 2; в) у = logj(|x| — 1).
Решение. На основании правила 7 построим график функции
у = ~2х + 4 (см. рис. 13.4) в правой полуплоскости — симметрично ото¬
бразим относительно оси Оу построенную часть графика (рис. 13.12).
300
б) Построим график у = —2х2 + 5х — 2 (рис. 13.7) в правой полу¬
плоскости и применим правило 7 (рис. 13.13).
в) Построим график у = log2 х, в соответствии с правилом 1 сдвинем
его вправо на единицу параллельно оси Ох (у = log2 х -> у = log2(x - 1)) и
применим правило 7.
Правило 8. График функции у = |/(л\)| совпадает с графиком
функции у =f(x) для всех участков оси Ох, где fix) > 0, и явля¬
ется симметричным отображением его относительно оси Ох для
участков, где Дх) < 0.
13.336. Построить графики функций: а) у = л/4л:2 - 16х +16;
б) у = |- 2х2 + 5х - 2|; в) у = |log2 х\.
Решение, а) Представим функцию в виде:
у = tJ(2х - 4)2 = |2х - 4|.
Строим прямую у = 2х — 4 и в соответствии с правилом 8 часть пря¬
мой, расположенной ниже оси Ох, симметрично отображаем относи¬
тельно этой оси (рис. 13.15).
301
б) Строим график функции у = -2х2 + 5х - 2 (рис. 13.7) и применя¬
ем правило 8 (рис. 13.16).
в) Строим график функции у = log2 х и применяем правило 8
(рис. 13.17). “ '
Построить графики функций:
13.34. у = —Зх2 + 10х — 3. 13.35. у = -Зх2 + 10 |х| - 3.
13.36. у = | -Зх2 + 10 \х\~ 3 |. 13.37. у = log! |4
~2
13.38. у = sin|x|. 13.39. у | loti, |л| 1¬
13.3. Графическое решение уравнений и систем
Графики широко применяются для определения числа решений
уравнения или системы уравнений и их приближенных значений.
13.40. Решить графически уравнения: а) х3 + х — 1 = 0; б) Xх =
= 64 (х > 0). ' "
Решение, а) Запишем уравнение в виде х3 = 1 — х. Построив
графики функций у = х3 и j = 1 - х (рис. 13.18), видим, что уравнение
имеет единственный корень х я 0,7.
Ответ'. {«0,7}.
б) Так как х > 0, то, логарифмируя обе части уравнения по осно¬
ванию 2, приходим к уравнению х log2 х = 8, равносильному данному,
или log2 X = —. Строим графики функций у = log2 х и у = — и находим
приближенно единственный корень уравнения х « 3,4 (рис. 13.19).
Ответ: {«3,4}.
302
13.41. Решить систему уравнений:
1ху = 2-у,
[у = log2(x + 1).
Решение. Можно заметить, что система имеет решение
(1; 1). Но решение задачи, полученное подбором, можно принять в том
случае, если показано отсутствие других решений (кроме подобранно¬
го). Построив графики уравнений системы (для чего надо первое урав¬
нение записать в виде у = ——), убеждаемся, что подобранное решение
.у 1
(1; 1) — единственное (рис. 13.20).
Рис. 13.21
О т в е т: {\\ 1}.
13.42. Сколько корней имеет уравнение 5 sin пх = х!
X
Решение. Перепишем уравнение в виде sin пх = — и построим
X
графики функций у = sin пх и у = — (рис. 13.21). Очевидно, что гра¬
фики пересекаются в 11 точках.
Ответ'. 11 корней.
Решить графически уравнения:
13.43. 4х = 2х. 13.44. 2 - х2 = log,( л).
Сколько решений имеют уравнения:
13.45. х3 = sin Зх 13.46. х3 — 10х + 1 = 0.
303
13.4. Построение усложненных графиков
Значительные трудности вызывает построение графиков, за¬
данных разными формулами на различных промежутках области
определения.
13.47. Построить графики функций:
а) у = yjx2 - 10х + 25 + 2д/х2 - 6х + 9;
б) у-
log2 х - 4 _
в) Т = 2
|1оё2 | -Y| | .
г) у = | sin х | + sin | х |.
(log I x - 2|'
P e ш e н и e. а) Преобразуя функцию (см. задачи 1.79, 1.80), получим
-Зх + 11 при х < 3,
у = х - 1 при 3 < х < 5,
Зх - 11 при х > 5.
Строим график (рис. 13.22).
Рис. 13.22
Рис. 13.23
б) Так как |log2 х — 2| = log2 х — 2, если log2 х — 2 > 0, или при х > 4
и |log2 х — 2| = — (log2 х — 2), если х < 4, то запишем функцию в виде:
У
log2 х2 - 4
log2 х - 2
log2 х2 - 4
-! log2 x 2)
log 2 X + 2 при
= -(log2 X + 2)
x > 4,
при x < 4.
При построении графика используем правила 2 и 4
(у = log2 х -> у = log2 х + 2 и у = log2 х + 2 -> у = —(log2 х + 2))
(рис. 13.23). ' " "
304
в) Пусть х > 0. Тогда функция примет вид:
У = 2
|1о§2 ;
21о&2х = х ПрИ v >
-log, X
= — при 0 < х < 1,
X
т.е. график этой функции состоит из части гиперболы у = — при
X
0 < х < 1 и части прямой у = х при х > 1. При построении графика
данной функции /(х) = 2I log2lЛ'11 следует учесть, что она четная, т.е. по
правилу 7 графиках) симметричен относительно оси Оу (рис. 13.24).
г) Пусть х > 0. Тогда функция примет вид:
■ | | | [sinx + sinx = 2sinx при Inn < х < л + 2ли,
v = sin х + sin х = 1
' [-sin х + sin х = 0 при л + 2 ли < х < 2л + 2 ли.
При построении графика для х < 0 следует учесть, что данная функция
четная (ибо /(—х) = |sin(—х)| + sin|—х| = |— sinx| + sin|х| = |sinx| + sin|х|) и
график функции в левой полуплоскости будет симметричен относи¬
тельно оси Оу графику при х > 0 (рис. 13.25). При построении графика
у = 2 sin х используем правило 3 (у = sin х -> у *= 2sinx).
Свою специфику имеет построение графиков суммы и разности
функций, произведения и частного двух функций, сложной функции
(т.е. функции от функции). Ограничимся здесь двумя примерами.
13.48. Построить графики функции:
а) у = log2 sinx; б) у = a resin (sinx).
Решение, а) Функция определена, когда sin х > 0, т.е. при
2ли < х < л + 2л«. Функция периодическая с периодом Т = 2л, поэтому
достаточно исследовать ее в интервале в пределах одного периода, т.е.
[0; 2л]. При 0 < х < л/2 синус возрастает от 0 до 1, a log2 sinx возрастает от
—да до 0. При л/2 < х < л синус убывает от 1 до 0, a log2 sin х убывает от
305
О до —да. При п < х < 2п sinx < 0 и (как отмечалось выше) log2 sinx не су¬
ществует (рис. 13.26). Уточняющая точка графика, например, (тс/6; —1).
б) Так как sinx имеет период 2я, то и данная функция периодиче¬
ская с периодом 2я, поэтому достаточно исследовать ее на отрезке дли¬
ной 2я, например, на отрезке [—я/2; Зя/2].
Из определения функции у = a resin х следует, что sin у = х, если
я/2 < у < я/2. Следовательно, для данной функции у = arcsin (sinx), ко¬
гда значения — тг/2 < х < я/2, то у = arcsin (sinx) = х, т.е. на этом отрезке
график совпадает с биссектрисой первого и третьего координатных уг¬
лов. Если тг/2 < х < Зтг/2, то в промежуток [—тг/2; тг/2] попадают значе¬
ния у = я — х (ибо —Зя/2 < —х < — тг/2 и — тг/2 < я — х < тг/2).
А так как sin(n — х) = sinx, то при тг/2 < х < Зя/2 график данной функции
совпадает с прямой у = п — х (рис. 13.27).
Построить графики функций:
13.49. у = —х2 + |5х — 6|.
13.51. у =
3 2
X -х
2|х-1| '
13.53.
' |log2 •
1
13.55. у = 2i--v.
13.50. у
13.52. у
13.54. у
13.56. у
|4х2 — 1| — Зх.
л/х^ + л/х2 -2х + 1.
lgx + |lg х|.
21х - 4
\lx - 2|'
13.57. у = 2sinx |cosx|.
13.59. у = cos (arccosx).
13.58. v =
13.60. у =
tg X + |tg x|
1 - tg2x
arccos (cosx).
В заключение отметим, что чрезвычайно важное значение
при исследовании и построении графиков более сложных функ¬
ций имеет применение производной (см. § 11.2), а также вычис¬
ление пределов функций в бесконечности и точке. Эти вопросы
рассматриваются в вузовском курсе математики.
Глава I Ч.
Векторы и метод координат
Справочный материал
Прямоугольная система координат на плоскости
1. Расстояние d между точками А\(х\ >’() и А2(х2, у2) находится по
формуле:
d = yl(x2-Xif +(y2-yif ■ (14.1)
2. Координаты (х, у) середины отрезка с концами А\(х\, >’() и
А2(х2, у2) находятся по формулам:
_ *1 + *2 Л + У2
2 ’ У 2
3. Уравнение прямой:
• с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b
у = кх + Ь;
(14.2)
(14.3)
• с угловым коэффициентом к, проходящей через точку A(xq, уо) —
У ~Уо = Кх -х0); (14.4)
• общее —
Ах +By + С= 0. (14.5)
4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
у = к]Х + Ь\ и у = к2х + Ь2 соответственно имеют вид:
К = к2, (14.6)
к\к2 = -1. (14.7)
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точках (7(0;0) и
С(хо, уо) соответственно имеют вид:
х2 + у2 = R2, (14.8)
(х ~ х0)2 + (у - уо)2 = R2- (14.9)
Прямоугольная система координат в пространстве
6. Расстояние d между точками А\(х\, уу z\) и Л2(х2, у2, z2) нахо¬
дится по формуле:
d = ^(x2-x1)2+(у2-у1)2+(z2-zi)2 . (14.10)
307
7. Координаты (х, у, z) середины отрезка с концами А\(х\, у3, z\)
и A2(x2, у2. zi) находятся по формулам:
хх+х2 У1+У2 Zl+z2
Х= 2 > У= 2 ’ Z= 2 • (14-П)
8. Модуль (длина) | а | вектора а = (а\, а2, а3) находится по фор¬
муле:
\а\= yjaf + а2+а3 . (14.12)
9. Координаты суммы двух векторов а = (а\, а2, а3) и b = (/д, Ь2,
Ь3) и произведения вектора а на число X определяются по фор¬
мулам:
а + b = (а\, а2, а3) + фъ Ь2, Ь3) =
= (а3 + Ьъ а2 + b2, а3 + Z>3);
Ха = Х(а3, а2, а3) = (Ха3, Ха2? Ха3).
(14.13)
(14.14)
10. Скалярным произведением ab двух векторов (а и b ) назы¬
вается число
ab
a\b\ cosф ,
(14.15)
где ф — угол между векторами а и b .
11. Скалярное произведение двух векторов а = (а\, а2, а3) и
b = (Ь\, Ъ2, Ь3) выражается формулой:
ab = аф\ + а2Ь2 + а3Ъ3. (14.16)
В частности, скалярный квадрат вектора а = (а\, а2, а3) —
формулой
-2 - - I - |2 2 2 2
а = а а = | а \ = а1 +а2+а3
(14.17)
или
|а | = VP".
(14.18)
12. Косинус угла ф между векторами а = (а3, а2, а3) и b
находится по формуле:
= Фъ h, b3)
аФ\ + а2Ь2 + а3Ъ3
COS ф — . . .
\a\\b\ ^af +а\ + а\ + Щ + Щ
(14.19)
13. Условия параллельности и перпендикулярности векторов
а = (а\, а2, а3) и b = (Ь3, Ь2, Ь3) имеют соответственно вид:
а =ХЪ или £l = ^. = £1; (14.20)
к Ь2 Ъ3
ab = 0 или а\Ь\ + а2Ь2 + а3Ъ3 = 0. (14.21)
308
14.1. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов
14.1. Даны три вектора: а = (3; —1), b = (1; —2) с = (—1; 7).
Найти координаты вектора р = а + b + с и разложить его по век¬
торам а, b .
Решение. По форму¬
лам (14.13) найдем коорди¬
наты вектора р. Получим
Р =(3 + 1- 1; -1-2 + 7),
т- е. р = (3; 4).
Разложить вектор р по
векторам а, b — значит
представить его в виде: р =
= а а + р b , где аир — не¬
которые числа. Для опреде¬
ления этих чисел запишем:
(3; 4) = а(3; -1) + р(1; ~2)
[3 = За + р,
или i . ~
[4 = -а - 2р.
Решая полученную систему, получим а = 2; р = —3, т.е. р =
= 2а -3$ .
На рис. 14.1 вектор р = а + b + с построен по правилу много¬
угольника, в соответствии с которым каждый следующий прибавляе¬
мый вектор переносится в конец предыдущего, а вектор р замыкает
ломаную, составленную из векторов а ,Ь ,с . Здесь же приведено раз¬
ложение по векторам а и b вектора р, представляющего диагональ
параллелограмма, построенного на векторах 2 а и —3 b .
Ответ: р = 2а — 3b .
14.2. В треугольнике АВС проведена медиана AD (рис. 14.2).
Разложить вектор DO по векторам АС и СВ, где О — точка
пересечения медиан треугольника.
309
Решение. Так как в точке О пересечения медиан отношение длин
отрезков OA:OD = 2:1, то вектор DA = 3 OD . Точка D — середина сторо¬
ны СВ, следовательно, CD = — СВ. Из треугольника
2
ADCследует, что АС + CD + DA = О , или
АС + -CB+3DO = 0 ,
2
1 -> 1 ->
откуда DO = —АС — СВ.
Рис. 14.2 J 3 6
Ответ: (1/3) АС - (1/6) СВ .
14.3. В кубе ABCDAiBiCiDi точка Р — центр грани А\ В\ С) D\,
точка Q — центр грани DD\C\ С, a L — середина отрезка PQ
(рис. 14.3). Разложить вектор AL по векторам Л В. AD и АА\ .
Решение. Обозначим векторы
С,
с
АВ = а , AD = b , АА\ = с . Так как L —
середина отрезка PQ, то удвоенный век¬
тор 2 AL представляет диагональ паралле¬
лограмма, построенного на векторах АР
и AQ, т.е. 2AL = AP+AQ и
AL =-^-(аР+ AQ J. Из треугольника АРМ
следует, что АР = АМ+ МР =
\(S + S)
+ с . Из треугольника А КО: AQ =
= АК + KQ = ^-ja + 6j + -jc =-j(a + c) + 6 (ибо точка К взята на се¬
редине стороны DC).
1
Теперь AL = ■
^a + bj + c+ ^-(a + c) + 6
1 - Зг U
= —а +—Ь+—с.
2 4 2
Ответ: (\/2) АВ + (Ъ/A) AD + (1/2) ААх.
310
14.4. Доказать, что для всякого треугольника АВС справедливо
неравенство
cos А + cos В + cos С <
Решение. На сторонах треугольни¬
ка АВС построим единичные векторы ё\,
е2, е3 (рис. 14.4).
Пусть d =ё2 +ё+ Щ ■ Очевидно, что
d2 =| d |2> 0, т.е.
d2 = ё2 +ё3+ё2 + 2(eje2 + + е2<?з) > 0 .
Так как векторы ё\, е2, ё3 — единичные,
то, используя формулу (14.15), получим:
I2 + I2 + I2 + 2[12cos(tc — В) + l2cos(7t — С) + l2cos(7t — А)] > О,
откуда 3 - 2(cos А + cos В + cos С) > О
3
и cos А + cos В + cos С < —.
2
14.5. Даны два единичных вектора т и п , угол между кото¬
рыми 120°. Найти острый угол между диагоналями параллело-
_ грамма, построенного на векторах
а = -4т+2п и Ь = т+3п.
Решение. Искомый угол <р
(рис. 14.5) определим по формуле (14.19):
ACDB
cos<p = , где
\ac\-\db\
АС = а + b = (- 4т+ 2п) + (т+ 3п) = -3т+ 5п ,
DB = а — b = (— 4т+ 2п) — (т+ 3п) = —5т— п .
По формулам (14.16)—(14.18) найдем скалярное произведение век¬
торов АС и DB и их длины:
АС- DB — (-3т + 5п\-5т - п) - 15т2 - 22тп - 5п2 —
= 15|т|2 - 22\т\Щ cosl20° - 5|Я|2 = 9 • I2 - 30 • 1 • l(- 1/2) - 5 • I2 = 21;
311
АС2 = (- 3т + 5nf = 9т2 - 30тп + 25п2 =
= 9 Л2 - 30 • 1 • l(—1/2) + 25 = 49,
| АС \= ][аС2 = л/49 = 7;
—^
DB2 = {-5т - п)2 = 25т2 + Ютп + п2 =
= 25-I2 + 10 • 1 • 1 (—1/2) + I2 = 21,
N
Теперь cos <р
Ответ'. <р
21
7л/2Т
arc cos
14.6. Вектор ОА составляет с осями Ох, Оу и Oz углы, соответст¬
венно равные тт/З, тт/З, я/4. Точка В имеет координаты (2; 2; —2-J2 ).
Найти угол между векторами ОА и Ш? (рис. 14.6).
Решение. Пусть т — еди¬
ничный вектор, сонаправленный с
вектором О А . Тогда вектор
л
т = cos
Я >
я
cos —;
з"’
3
(1
1 _ V2
2’
2’ ~Т
V
=(
2; 2; -1
cos-
4
, I Для оп¬
ределения угла <р вычислим скалярное
произведение векторов т ■ ОБ =
= — ■ 2 + — • 2 + 211
2 2 2
■ (- 2V2)
= 0.
Так как т ■ ОБ = 0 , то векторы т и ОБ перпендикулярны.
Ответ'. 90°.
312
14.7. Даны три вектора а = (2; - 2), b = (2; - l), с = (2; 4) .
Найти координаты вектора р = 2а-Ъ+сж разложить его по
векторам а и Ъ .
14.8. В параллелограмме ABCD точки Ми К — середины сторон
ВС и CD соответственно. Разложить вектор МК по векторам АВ
и АС, а вектор AD —по векторам AM и ВК .
14.9. В трапеции ABCD стороны AD и ВС параллельны и
AD = 2ВС. Точка М — середина стороны CD. Разложить векторы
АС и AM по векторам AD и АВ.
14.10. Точки К, М, Р являются соответственно центрами граней
AiBiC\Di, ВСС\ В\. CDDiCi параллелепипеда ABCDA\B\ C\D\.
Медианы треугольника КМР пересекаются в точке О. Разложить
векторы АК, BP, МР и НО по векторам АВ, AD, ААу
14.11. В треугольной пирамиде ОАВС медианы основания АВС
пересекаются в точке М. Разложить вектор ОМ по векторам
ОА, ОВ, ОС.
14.12. В правильном тетраэдре SABC точка О — центр треуголь¬
ника АВС, а точка М — середина ребра SC. Найти разложение
вектора ОМ по векторам АВ, АС и AS.
14.13. Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма
ABCD, если АВ = а - Ъ + Зс, AD = 4а - Ъ - с , где а, Ъ, с —
единичные попарно перпендикулярные векторы.
14.14. Длина вектора ОА равна 10, длина вектора ОВ равна 15.
Биссектриса угла, образованного этими векторами, пересекает пря¬
мую АВ в точке Р. Разложить вектор ОР по векторам ОА и ОВ .
14.15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiC\Di дано:
AAi = 10, AD = 6, АВ = 8. Найти косинус угла между векторами
DB\ и AD\.
14.16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина
каждого ребра равна а. Точка М делит ребро SC в отношении
SM:MC =2:1. Найти угол между векторами DC и AM .
313
14.17. Дан куб ABCDAiBiC\Di. Найти угол между векторами
DA\ и DM, где М — середина ребра CQ.
14.18. Даны векторы а = (б; - 8; 5V2) и Ъ = ^2; - 4; 4^). Найти
угол, образуемый вектором а-Ь с осью Oz.
14.19. Ребро куба ABCDA1B1 C\Di равно 1. Найти угол между век¬
торами MN и DC, если точка М делит отрезок АА\ в отноше¬
нии AMMAi = 1:2, а точка N — отрезок СС\ в отношении
CN:NC\ =2:1.
14.20. Точка К лежит на ребре ВВ\ куба ABCDA\ В\ С) D\ так, что
ВК:КВ\ =2:1. Найти расстояние и величину угла между прямы¬
ми CD\ и KD, если длина ребра куба равна а.
14.2. Применение векторов и метода координат
к решению геометрических задач
Векторы и метод координат могут быть использованы при
решении достаточно широкого класса геометрических задач.
14.21. Составить уравнения двух прямых, проходящих через
точку А(2; 1), одна из которых параллельна прямой Зх -
— 2у + 2 = 0, а другая перпендикулярна той же прямой.
Решение. (Рис. 14.7) Уравне¬
ние любой прямой с угловым коэф¬
фициентом к, проходящей через точ¬
ку А(2; 1), по формуле (14.4) имеет
вид: у -1 = к(х - 2). Угловой коэффи¬
циент заданной прямой (1) к\ = 3/2,
так как уравнение прямой (1) можно
представить в виде: у = ух +1. По
условию параллельности двух прямых
(14.6) угловой коэффициент прямой (2) &2 = &1 = 3/2 и ее уравнение
3
имеет вид: у - 1 = —(х - 2), или Зх — 2у — 4 = 0. По условию перпенди¬
кулярности двух прямых (14.7) угловой коэффициент прямой (3)
2
къ = = и уравнение этой прямой: у -1
к^ 3
2х + Зу — 1 = 0.
О т в е т: Зх — 2у — 4 = 0; 2х + Зу — 1 = 0.
--(х-2), или
314
14.22. Даны уравнения сторон треугольника: Зх - 4у + 24 = О
(АВ), 4х + Зу + 32 = О (ВС), 2х - у - 4 = О (АС). Составить
уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины В, и
найти их длины.
дящей через точку В (—8; 0), по
Решение.
1. Найдем координаты вершин
треугольника, решив соответст¬
вующие системы уравнений сто¬
рон. Так, координаты вершины В
определим из системы уравнений
прямых АВ и ВС:
|3х - 4 - +24 = 0,
|4х + 3 - +32 = 0,
откуда х = —8, у = 0, т.е. В(—8; 0).
Аналогично находим координа¬
ты вершин А и С, решив системы
уравнений прямых АВ и АС, АС и
ВС: А (8; 12), С (~2; -8) (рис. 14.8).
2. Уравнение любой прямой с уг¬
ловым коэффициентом к, прохо-
уле (14.4) имеет вид
у = к (х + 8).
(14.22)
Из уравнения прямой АС следует, что ее угловой коэффициент
к^с = 2. На основании условия перпендикулярности двух прямых (14.7)
kBD = —— = - . Уравнение высоты BD примет вид: у = ^ '
vАС
2
2'
или х + 2у + 8 = 0.
3. Для нахождения уравнения медианы BE вначале по формуле (14.2)
находим координаты середины Е стороны А С:
ХЛ+ХС _ 8 + (-2) _ 3 Ул+ Ус _ 12 + (-8) _ 2
2 2 ’ У 2 2
Затем в уравнение (14.22) подставим координаты точки Е (3; 2).
Получим 2 = к(3 + 8), откуда к = 2/11, и уравнение медианы BE
2
примет вид: у = уу(х + 8), или 2х — 11 у + 16 = 0.
4. По формуле (14.1) найдем длину медианы BE через координаты ее
концов В (—8; 0) и Е (3; 2):
dBE = д/(3 + 8)2 + (2 - О)2 = Vl25 = 5л/5 .
5. Для определения длины высоты найдем ее основание D как точку
пересечения высоты BD и стороны АС, решив систему
315
х + 2 у + 8 — О,
откуда х= 0, у = ~4, т.е. £>(0; —4). Теперь по формуле
2х - у - 4 = 0,
(14.1) длина высоты BD dBD = ^(0 + 8)2 +(-4- О)2 = 4>/5 .
О т в е т: х = 2у + 8 = 0, 2х — 11 у + 16 = 0; 5-J5 , 4>/5 .
14.23. Составить уравнение окружности, проходящей через точ¬
ку (2; 1) и касающейся осей координат.
Решение. (Рис. 14.9) Чтобы
окружность в первой четверти каса¬
лась осей координат, абсцисса и ор¬
дината ее центра, очевидно, должны
равняться ее радиусу, следовательно,
уравнение окружности (14.11) при¬
мет вид:
(х - RY +{у- R)2 = R2.
Подставляя координаты точки (2;
1) в это уравнение, получим
(2 - Rf + (l - Rf = R2
или R2 — 6R + 5 = 0, откуда Ri = 1,
R2 = 5.
В
14.24. В треугольнике АВС точка N лежит на стороне АВ и
AN = 3NB] медиана AM пересекается с CN в точке О. Найти АВ,
если AM = CN = 7 см и ZNOM = 60°.
Решение. (Рис. 14.10) Обозначим
АВ = а , АС = Ъ . По условию AM — медиана
треугольника АВС, следовательно, она равна
половине диагонали параллелограмма, по¬
строенного на векторах а и Ъ, т.е.
AM = — [d + Ъ^.
Из треугольника AN С Ъ = АС = AN-CN =
3 ->
= — a-CN (ибо по условию AN:NB = 3:1, т.е.
AN= - АВ).
4
х
316
откуда после преобразований
-> 1 _ 3 _ ->
Теперь AM =—\ a+ — a-CN
А 4
^ 8 ^ 4 ->
a=-AM+-CN.
7 7
Найдем скалярный квадрат вектора
а2 ={^AM+^CN^ =A^4AM2 + 4AM-CN+CN2 \ =
= • 72 + 4 • 7 • 7cos 60° + 72) = 112,
откуда АВ = | а |= л/й2" = -\Д 12 = 4>/7.
Ответ: 4-V7 .
14.25. Двугранный угол при боковом ребре правильной тре¬
угольной пирамиды SABC равен 90°. Найти величину угла между
боковым ребром SA и медианой ВКоснования АВС.
Решение. (Рис. 14.11) Обо¬
значим векторы АВ = a , АС = Ъ .
Пусть | а |=| Ъ |= /. Проведем CL Т AS,
BL A. AS, следовательно, Z CLB — ли¬
нейный угол двугранного угла при
боковом ребре AS, т.е. по условию
ZCLB = 90° и LBLLC. Обозначим
—>
вектор AL = с . Выразим векторы
LB, LC и КВ через векторы а, Ъ,
с. Получим: из треугольника ALB ЬВ = а-с , из треугольника ALC —
ЬС = Ъ -с , из треугольника АВК — КВ = АВ- АК = а ~~Ь • Так как
вектор с A. LB, с A. LC и, кроме того, LB A. LC, то соответствующие
скалярные произведения векторов равны нулю:
с LB = 0 , или с(а-с) = 0, откуда Ьс = с2;
с-ЬВ или c{b-c^ = 0 , откуда ас=с2;
317
LBLC = 0, или (а-с)^Ь-cj = 0 , откуда аЪ-ас-Ъс + с2 = 0, и с
учетом предыдущих равенств аЪ — с —с +с = О , т.е.
д2 =ab=lallblcos60° =/•/•—=—/2 и |с
2 2
I = у1¥=-\=1.
\2
Искомый угол а между векторами с и КВ найдем по формуле
(14.19):
cos а =-
с-КВ
\c\-\KB\
Вычислим
\КВ\=
--Ъ I =Аа2-аЪ+-Ъ2 = \l2--l2+-l2 = —1.
2 V 4 V 2 4 2
Найдем с -ZS = с| аЬ ] = ас- — Ьс = с2 с2 =— с2 =— I2.
2 2 2 2 4
Теперь cos а =
(1/4 )/2
1
К'
Omeenr. arccos (1/у[б ).
14.26. На прямой, проходящей через точки А(— 1; 2) и В(3; 1),
найти точку, наименее удаленную от начала координат.
14.27. На координатной плоскости расположен ромб ABCD с уг¬
лом 30° при вершине А. Вершина А принадлежит прямой у = 2х,
вершина В — прямой у = 2х — 1, вершина С — прямой
у = 2х + 2. Найти периметр ромба.
14.28. На координатной плоскости расположен прямоугольный
треугольник АВС, в котором АВ = 3ВС. Точки А, В, С принад¬
лежат прямым х = 0, х = 2, х = I соответственно. Найти пло¬
щадь треугольника.
14.29. В окружность вписан квадрат. Точка 0(2; 1) — центр ок¬
ружности, точка А( 1; —2) — вершина квадрата. Найти координа¬
ты других вершин квадрата.
14.30. В окружность вписан правильный треугольник. Точка
0(1; 1) — центр окружности, А(— 1; —2) — вершина треугольни¬
ка. Найти координаты других вершин треугольника.
318
14.31. Координаты вершин прямоугольника удовлетворяют сис-
Найти длину диагонали прямоугольника.
14.32. Длины диагоналей ромба равны 15 и 8 см. Первая диаго¬
наль принята за ось Ох, вторая — за ось Оу. Составить уравне¬
ния сторон ромба и найти расстояние от начала координат до
стороны ромба.
14.33. Найти координаты вершин С и D квадрата ABCD, если
А(2; 1), В(4; 0).
14.34. Составить уравнение окружности, проходящей через точ¬
ки А(1; 2), ДО; —5) и касающейся оси ординат.
14.35. Дана окружность х2 + у2 = 9. Составить уравнение ок¬
ружности, проходящей через начало координат и точку А( 1; 0) и
касающейся данной окружности.
14.36. Дана окружность х2 + у2 = 1. Составить уравнение окруж¬
ности с центром в точке (2; 3), касающейся данной окружности.
14.37. Составить уравнение окружности, описанной около тре¬
угольника, образованного прямой Зх — у + 6 = Ои осями коор¬
динат.
14.38. Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник,
стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0 и Зх + 4у — 12 = 0.
14.39. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в начале
координат. Точка М(2; 3) лежит на прямой АВ, точка К(4; —3) —
на прямой CD. Найти площадь параллелограмма, если АВ = 10.
14.40. Отношение длин оснований АВ и CD трапеции ABCD
равно 3. На стороне СВ взята точка Е так, что ВЕ:ЕС = 2:3. В
каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника ABD?
14.41. Боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям трапе¬
ции ABCD. Найти величину угла между диагоналями АС и BD,
если AD = ЗАВ и ВС = 2АВ.
14.42. Медианы AD и BE треугольника ЛВС пересекаются в точ¬
ке М. Найти отношение площадей треугольника АВС и четырех¬
угольника CEMD.
14.43. Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника
пересекаются под углом 60°. Найти угол при вершине треуголь¬
ника.
14.44. Дан треугольник ABC: BD — медиана, ZDBC = 90°,
BD = (V3/4J/IS . Найти ZABD.
теме уравнений
319
14.45. Даны вершины треугольника А(—2; 1; —3), В(4; —7; 1) и
С(1; 2; —1). Найти угол между стороной СА и медианой, прове¬
денной из вершины С.
14.46. Доказать, что треугольник с вершинами А(6; —4; 2), 6(3;
2; 3), С(3; —5; —1) — прямоугольный.
14.47. Стороны треугольника АВС связаны соотношением
а2 + Ь2 = 5с2. Доказать, что две медианы треугольника перпен¬
дикулярны.
14.48. В ромбе ABCD длина стороны равна 6, а величина ZBAD
равна 60°. На стороне ВС взята точка Е такая, что ЕС = 2. Най¬
ти расстояние от Е до центра симметрии ромба.
14.49. В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны ВС,
а точка М — середина стороны CD. Найти AD, если ЛК = 6 см,
AM = 3 см и ZKAM = 60°.
14.50. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\ С)D\
служит квадрат ABCD, площадь которого равна 50. Точка О —
центр квадрата ABCD, точки Е и К — соответственно середины
ребер CCi и А\В\. Найти объем параллелепипеда, если известно,
что прямые OF и DK перпендикулярны.
14.51. Плоский угол при вершине S. правильной треугольной
пирамиды SABC равен 90°. Через середину бокового ребра SA и
точку пересечения медиан боковой грани SBC проведена пря¬
мая. Под каким углом эта прямая наклонена к плоскости осно¬
вания пирамиды?
14.52. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\ В\ С) D\ точка
М — середина ребра A\D\. а точка К выбрана на прямой ВВ\ так,
что прямая DK перпендикулярна прямой AM. Найти расстояния
от точки К до точек В и В\, если АВ = a, AD = а, АА\ = За.
14.53. В треугольной пирамиде ABCD ребро BD перпендикулярно
ребрам АС и CD. Угол, образованный прямой ВА с плоскостью
CBD, равен углу ЛВС. Найти величину угла ABD, если АС =
= CD = BD.
14.54. Дан прямоугольник OKLM, вершины которого имеют ко¬
ординаты О (0; 0), К (0; 3), L (6; 3), М (6; 0). Касательная к кри¬
вой у = -~2 (т > 0) отсекает от этого прямоугольника треуголь-
х1
ник. Найти наибольшее значение площади оставшейся части
прямоугольника.
Глава I sJ.
Первообразная и интеграл
Формулы для справок
Функция fix)
Первообразная Их)
п+1
хп (п Ф —1)
^-+с,
(15.1)
п +1
1
х + С,
(15.2)
1
1п|х| + С,
(15.3)
ех
ех + С,
(15.4)
sinx
—cos х + С,
(15.5)
COS X
sin х + С,
(15.6)
1
tg х + С,
(15.7)
COS X
1
-ctg х + С,
(15.8)
sin X
af{x)
aF(x),
(15.9)
/(x)±/2(x)
F1(x)±F2(x),
(15.10)
/(kx + Ъ),кФ 0
—F{kx + b).
k
(15.11)
Формула Ньютона—Лейбница
ъ
Jf{x)dx = F{b)-F{a), (15.12)
а
ИЛИ
6. (15.12 )
а
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
у = fix) и прямыми х = а, х = Ь, у = 0, находится по формулам:
ъ
S=\f{x)dx (15.13)
а
(если fix) > 0 при хе[а; 6]);
Ъ
|/ (x)dx = F(x)
321
(15.14)
b
S = -^f(x)dx
a
(еслиДх) < 0 при xe[a; 6]).
Площадь фигуры, ограниченной слева и справа прямыми х = а,
х = Ь, а снизу и сверху соответственно кривыми f\(x) и fjix)
(f2(x) > j\(x) при А'с |д; />]), находится по формуле
ь
S=\[f2(x)-fl(x)]dx. (15.15)
15.1. Нахождение первообразной и интеграла
15.1. Найти первообразные функции:
^ J
a) x3+sinx; б)—в) ; г)е~3х; д)соз(5х + 7);
у/х х + 1
е)
3 . 5х + 2 .
ж) —; з)-
х - 2
и) cos2 х +
1
sin2 х
-у/Зх + 1 2х — 5* 7 х-3 ’ 7 2х2
Решение, а) По формулам (15.1), (15.5) одной из первообраз¬
ных функции х3 является —, а функции sin х есть —cos х, следователь-
4
но, по правилу интегрирования суммы (15.10) любой первообразной
данной функции будет — х4 — cos х + С.
4
Ответ: — х4 — cos х + С.
4
б) По правилам интегрирования (15.9), (15.10) и формуле (15.1)
любой первообразной данной функции
4~х _ А :Л_ - дг-1/3 _ г2/3
г— — I— I— — IА Л
у[х у[х у[х
будет
-1/3 + 1 2/3 + 1
- + С.
4
х
Ответ'. 6 yfjd —^xyfjd +С.
в) По формуле (15.11) при к = 1 первообразной функции f(x+b) яв¬
ляется Дх+/>), т.е. с учетом (15.3) любой первообразной данной функ¬
ции будет In х +7 +С.
х + 7
Ответ'. ln|x+7| +С.
322
г) По формуле (15.11) при Ъ= 0 первообразной функции f(kx) явля¬
ется —F(kx), т.е. с учетом (15.4) любой первообразной данной функ-
к
ции е Зх будет —е Зх + С.
3
1
Ответ: —е 1 + С.
3
д) По формуле (15.11) с учетом (15.6) находим любую первообраз¬
ную данной функции.
Ответ: -jsin(5x + 7) + С.
е) По формулам (15.9)—(15.11) с учетом (15.1), (15.3) любой перво-
4 3
образной данной функции
будет
73х+Т 2х-5
±^Г^_3 1п|2х_5| + с.
3 -1/2 + 1 2 1 1
Ответ: —\/Зх-к5- —1п|2х-5| + С.
ж) После выделения целой части в выражении данной функции
5х + 2 5(х-3) + 17
= 5-
17
х-3 х-3 х-3
находим любую ее первообразную по формулам (15.9)—(15.11) с учетом
(15.2), (15.3).
Ответ: 5х + 171п|х-3| + С.
з) После упрощения выражения данной функции
х-2 х-2 1 , _
—; = = (хф2) находим любую ее перво-
2х -5х+ 2 (х-2)(2х-1) 2х-1
образную.
О т в е т: -jln|2x-l|+ С (х ^ 2).
и) По формуле (15.8) одной из первообразных функции
sin2 х
ляется функция -ctgx, а первообразную функции cos2x находим, ис-
^ 2 11
пользуя преобразование: cos х = —+ —cos2x.
Ответ: — х + — sin2x-ctgx+ С.
2 4
323
15.2. Найти первообразную функции у = 2sin5x + 3cos—, кото-
п
рая при х = — принимает значение, равное нулю.
Решение. Любая первообразная данной функции имеет вид:
2 х
F(x) = —cos5x + 6sin—+ С.
(п | 2 5тс л
По условию F — =0, т.е. —cos h6sm—ьС = 0, или
^ 3) 5 3 6
—+ 6- —+ С = 0, откуда С =2,8.
5 2 2
х 2
Ответ: 6sin cos5x + 2,8.
2 5
15.3. Для функции 4ех
найти первообразную, гра-
3(2х-1)
фик которой проходит через точку М( 1; 5).
Решение. Любая первообразная данной функции имеет вид:
F(x) = 4ex-l-Un\lx-\\ + C.
По условию Д1) = 5, т.е. 4е° —jlnl + C = 5, или 4 + С = 5, откуда С = 1.
Ответ: 4е*~' — -^-1п|2х —1| +1.
Найти первообразные функций:
15.4. е
15.6.
4 3
15.5. -= + 2е~х.
yjX х
л/Зх + 1 2х-5
15.8. 2sin 5е2х+1/3.
5
15.10. 5sinx + 2cosx.
15.12. 'V + 1
15.7. J^+4sin(4x + 2).
15.9. 3ex-sinx.
15.11. e2x - cos3x.
15.13.
2x-l
2x - 5x + 2
x - 5
15.14. sin2 x.
15.15. Найти первообразную функции, которая при х = 1 при¬
нимает значение, равное 3.
324
Для функции f[x) найти первообразную, график которой
проходит через точку М(хо, >'о):
15.16. /(х) - 2cos3x + 24sin4x, М
1
п _ 5
7’ з
15.17. fix) - cos х + sin х -
Sin" X
15.18. Вычислить интегралы:
M
a) I" x2dx; б) I" е 3xdx; в) f2(x3 +sinx)<ix; г) f — dx.
Ji Jo Jo J4 x — 3
Решение, а) Одной из первообразных функций для х2 является
1 з
функция —х , следовательно, по формуле Ньютона—Лейбница (15.10)
3
f'4 1
x2dx = —х3
i 3
4 = — (43 — l3) = 21.
1 4v 7
Ответ: 21.
6) fe~3xdx = ~—e~3x
Jo 3
Ответ: — 1 ^
в) J2(x3 +sinx)abc = |2х3аЬс + J2sinxdx =~x
1 f f 71V Л ( n Л я4
= — — -0 - cos—cost) = — + 1.
4 12 J l 2 64
-cosx
Ответ: ——hi.
64
г) Одной из первообразных функции
5х + 171п|х-3| (см. пример 15.1ж). Поэтому
г+3 5х + 2
5х + 2
х-3
е+3
dx = (5х + 171п|х-3|) = (5 (е + 3) +171п|е + 3 - 3|) - (5 • 4 +17 In 1) =
является
J* х-3
= 5е + 5 + 171пе-20 = 5е + 12, так как lne = l, In 1 = 0.
Ответ: 5е + 12.
325
Вычислить интегралы:
15.21. |д>/4д
1 4 (i
V
15.23. Г2 sin
Jo
I*-1 4
15.25. Г —
J-2 X
15.27. Г
Ji x
15.29. l’4x + 2
15.31. f
15.33. Г
Jc
15.35. J;(
2 3x4 - 5x2 + 7
dx.
2x-\
4 x2 -4x + 5
dx.
x-2
r
dx.
2 cos2
— — x |dx.
6
cos2 x-sin2 x
7Г
15.20.
15.22.
С5 dx
JA .
Ь 2х-3 '
j*4 dx
71^1
Jo V2x + 1
С9( 3 ^
7 Гх‘
15.24.
Д 2x~Txj
dx.
- ]<&.
* J
15.26.
j" (2x + sin2x)iix
e X +
Vx
Xyfx
5 x2 + 5
dx.
15.28. f
15.30. Г
J3 X-2
15.32. I" sin2 xdx.
J-n
dx.
15.34. П
Jo
)dx. 15.36. £(
sin x cos x dx.
srn4 x + cos4 X
)dx.
15.2. Вычисление площадей фигур
с помощью интеграла
15.37. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х2, х = 1, х = 2, у = 0;
~ • 771 71 „
б) y = 2sinx, х = , х = —, у = 0;
6 4
2 8 I— 1 2
в) у = —х +2, у = 2х-1; г) у = -,у = Ух (сверху), у =—х (снизу).
х 64
326
Решение, а) Так как функция у = х2 > 0 при х е [-1; 2], то
согласно геометрическому смыслу интеграла (15.13) площадь фигуры
(на рис. 15.1) она заштрихована)
Ответ'. 3 ед2.
б) Площадь фигуры, изображенной на рис. 15.2, представим в виде
суммы площадей ее составляющих. По формулам (15.13), (15.14)
S- J_7l2sinxcfe + |-J 2sinxdxj + £42sinxdx =
= -2 cos x
= 2
+ 2cosx
-2cosx
л/4
0
- cos(-tt) + cos | —^ I + cos 0 - cos(-tt) - f cos~ “ cos 0
= 2
,_2i+1+1_V2+1
2 2
\
ед2.
Ответ'. 8 - \1з - » 4,9
в) Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой
(рис. 15.3), решив систему уравнений
\у - ~х2 + 2,
у = 2х -1,
откуда 2х -1 = —х + 2,
или х2 + 2х — 3 = 0, и Xj = -3, х2 = 1.
Рис. 15.4
Так как /2 (х) = -х2 + 2 > fx (х) = 2х -1 при х е [-3; 1], то по фор¬
муле (15.15) искомая площадь
2
327
5=| J_(~x2 + 2)-(2x-l)~\dx = - J ^x2dx-2j ^xdx + 3 j ^dx -
-x
~T
1
-х2
1
+ Зх
-3
-3
= - - (13 - (-3)3) - (1 - (-3)2) + 3(1 - (-3)) =
= -— + 8 + 12= — = 10,7.
3 3
Ответ: 32/3 «10,7 ед2.
г) Найдем координаты точек пересечения линий О, А, В (рис. 15.4), решив
у = 4х,
соответствующие системы уравнений линий. Например, А: < §
У=~,
откуда — = у[х, х3/2 =8, х = 4, у = — = 2, т.е. А (4; 2).
х 4
Аналогично О (0; 0), В (8; 1).
Площадь S данной фигуры можно представить как площадь фигуры
OAD (под кривой Гх ) плюс площадь DABE (под кривой —) минус пло¬
х
1 ,
щадь фигуры ОСВЕ (под кривой —х ), т.е.
64
Г4 г, , Г8 а Г8 1 2 , 2 3/2
vхих + —ах- —х ах =—х
Jo J4 х Jo 64 3
8
+ 81n|x|
8
0
= !(43/2-0) + 8(ln8-ln4)-^(83 - о) = ^ +81п2 = 8,2.
8 ,
Ответ: —ь 8 In 2 « 8,2 ед2.
3
15.38. Найти площадь фшуры ме¬
жду параболой у = -х2 - 2х + 3, ка¬
сательной в ней точке М (2; —5) и
осью ординат.
Решение. Уравнение каса¬
тельной к кривой у = /(х) в точке
х0 имеет вид (см. (11.20)):
У~ Д*о) = /'(х0)(х~х0).
Найдем производную функции
/'(х) = (-х2 - 2х + 3)' = -2х - 2 и ее
значение в точке xq = 2: /'(2) = -2 • 2 - 2 = -6.
328
Следовательно, уравнение касательной к параболе в точке М(2; —5)
есть у - (-5) = -б(х - 2), или у = -6х + 7.
Теперь по формуле (15.15) площадь искомой фигуры (рис. 15.5):
|^(-6х+7)-(-х2-2x+3)J dx= J x2dx-4j xdx + 4j dx =
X3 I2
= -- -2x2
3 lo
-4x
= — 8 + 8 =— .
о 3 3
o 2
О m в e m: —eд .
3
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
л
15.39. y = cos2x, у = 0, х = 0, х = —.
15.40. у = х4-2х2, у = 0.
15.41. у = 36х(х -1)2, у = 0.
1 3
15.42. у = ,—=■, х = —, х = 0, у = 1.
' Г 4
Vx
15.43. у = х2+1, у = х + 3.
15.44. у = х2-2х + 3, у = Зх-1.
15.45. у = 3 + 2х-х2, у = х +1.
15.46. у = х2, у = 2х2-1.
15.47. у = х2 +8х-12,у = 18х-х2.
15.48. у = х2, у = 2х, у = х.
15.49. у = х2, у = 2х-х2, у = 0.
1 9 1 9
15.50. у = ——х +3х + 6, у = —х - х +1.
15.51. у = 2-х4,у = х2.
15.52. у = х3 - Зх, у = х.
15.53. y = xfx, y = *J4- Зх, у = 0.
15.54. у = ~, у = 8х3, у = 21.
х
2 1
15.55. у = х , у = —, у = 0, х = 0, х = 3.
х
1
15.56. у = —, у = х , у = 0, х = 3.
2
X
329
15.57. у — х2 + 3, у——, у — 2, х = 0.
х
2
15.58. у-х , у = —2х +3х (фигура расположена в первой чет¬
верти).
15.59. у — yjl — x, у — х +1.
15.60. у-ех, у-ехП, у-е2.
15.61. y = cosx, у = х +1, у = 0.
7 тс
15.62. y = sinx, y = 2sinx, х = 0, х = —.
. Я
15.63. y = sinx, y = cosx, х = 0, х = —.
15.64. г = -х2 + 4х - 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0),
(0; -3).
15.65. у - sinx и прямой, проходящей через точки (0; 0),
15.66. Параболой у = х2+10 и касательной к этой параболе,
проведенными из точки (0; 1).
15.67. Гиперболой —, прямой х = 1, касательной к кривой
х
у - — в точке с абсциссой 2.
х
15.68. Параболой у-х2 -4х + 5, касательной к ней в точке
А (3; 2), прямой х = 1.
15.69. х = 0, у - 4х - х2 и касательной к графику этой функции с
абсциссой х = 3.
15.70. Параболой у - -х2 + 4х - 3 и касательными к ней в точках
Мг(0; -3) и М2{3; 0).
2
15.71. у = 4х2, У — 2.
15.72. у = 4 - х2, у = |х — 3| + 1, у = 0.
15.73. у = |х —2| + 5, у = х2-4х + 3.
15.74. у = 39-2х-х2, y = |x + l|-2.
Часть II.
ТЕСТЫ ЕГЭ И ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ
. Тестовые задания ЕГЭ
и их решения
. Вступительные экзаменационные
задания вузов и их выполнение
Глава
Варианты заданий
на вступительных испытаниях
(экзаменах, тестировании) по математике
16.1. Выполнение письменных
экзаменационных работ
на вступительных экзаменах по математике
При выполнении письменных экзаменационных работ реше¬
ния задач необходимо писать четко, достаточно подробно и ак¬
куратно.
В алгебраических и тригонометрических примерах следует объ¬
яснить выкладки (что из чего получается и каким образом), про¬
вести проверку решений (если это необходимо), указать все огра¬
ничения (возникающие как из условия, так и в ходе преобразова¬
ний). В текстовых задачах нужно объяснить обозначения, описать,
каким образом из условия следуют те или иные соотношения, а
затем найти из этих соотношений нужные величины.
В геометрических задачах чертежи надо выполнять аккуратно
(можно чернилами и от руки), обозначения на чертеже должны
быть объяснены, а обозначения в тексте решения должны с ними
совпадать. Если в процессе рассуждений применяется какая-либо
теорема или формула, то ее нужно назвать. Необходимо строго до¬
казывать используемые геометрические утверждения (скажем, подо¬
бие треугольников, перпендикулярность прямых, плоскостей и т.п.).
Полезно тщательно контролировать проводимые выкладки.
Следует помнить, что при наличии даже арифметической ошиб¬
ки задача не может считаться решенной безукоризненно. Во
многих вузах требуется ответы давать в рамках.
Необходимо обратить внимание и на записи в черновике, ко¬
торые рекомендуется вести достаточно аккуратно, не разбрасы¬
вая решение по разным листам, ибо в противном случае при пе¬
реписывании на чистовик легко допустить ошибку или перепу¬
тать обозначения.
Выполнение абитуриентами экзаменационной работы по ма¬
тематике не предполагает использование справочников, таблиц,
калькуляторов и т.п.
332
Начинать решение варианта целесообразно с задачи, которая
кажется более простой, довести ее решение до конца, перепи¬
сать его начисто, а уже после этого приниматься за решение
следующей задачи. Не нужно решать одну задачу несколько ча¬
сов подряд, если она не получается, в результате может не хва¬
тить времени на остальные задачи. Лучше отложить эту задачу и
заняться другими, а потом, решив их, вернуться к ней снова.
Это позволит наиболее рационально использовать предостав¬
ляемое для экзамена время.
Ниже в качестве примера приводятся решения задач двух ва¬
риантов письменных работ различной сложности, позволяющие
получить представление об оформлении чистовика экзаменаци¬
онной работы.
Вариант А
1. На опытной агростанции с двух земельных участков собрали
14 ц зерна. На следующий год после применения новых методов
агротехники урожайность на первом участке повысилась на 80%,
а на втором — на 25%, благодаря чему с этих земельных участков
было собрано 20,8 ц зерна. Сколько зерна собрали с каждого уча¬
стка до применения новых методов агротехники?
2. Решить уравнение
5-41gx 2 + lgx
■ = 3.
3. Найти область определения функции у = 12- — + ^-.
х х2 4 5+2 аФ+Ъ*!2 зТй
4. Упростить выражение .
а3/2 + 63/2 +
5. В равнобокой трапеции боковая сторона видна из центра
описанной окружности под углом а = 60°. Найти площадь тра¬
пеции, если известно, что ее высота h = 10 см.
Решение.
1. Обозначим х — количество центнеров зерна, собранного перво¬
начально с первого земельного участка. Тогда со второго участка пер¬
воначально было собрано (14 - х) ц. После повышения урожайности
соответственно на 80 и 25% с первого участка собрали 1,8х и со второго —
333
1,25(14 - х) ц. Согласно условию, 1,8х + 1,25 (14 - х) = 20,8, откуда
0,55х = 3,3 и х = 6, т.е. с первого участка было собрано 6 ц, а со вто¬
рого — 14 - 6 = 8 ц.
Ответ'. 6 ц, 8 ц.
2. Обозначим lg х = у. Тогда уравнение примет вид
9
2
= 3.
5 — 4у 2 + у
Приводя обе части уравнения к общему знаменателю и осво¬
бождаясь от него, получим 9(2 + у) + 2(5 - 4у) = 3 (5 - 4у)(2 + у), или
после преобразований: 6у2 + 5у - 1 = 0, откуда yv
1, У 2
—. Таким
6
образом, приходим к совокупности двух уравнений: lg х
1; lgx =Из
6
первого уравнения находим х = 10 1 = 0,1, из второго — х = 101/3 * * 6 = ^10.
Проверка показывает, что оба полученных корня являются корнями
данного уравнения.
Ответ1: xj = 0,1; х 2 = ^Ш, или {0,1; }.
3. Область определения функции находится из условия:
„ 21 40 п 2х2 - 21х + 40 п
2 + > 0, или т > 0.
X X2 X2
Так как знаменатель при любых значениях х не отрицателен, то при
условии х * 0 его можно отбросить, т.е. 2х2 - 21х + 40 > 0. Корни квад¬
ратного трехчлена равны х\ = -j, xj = 8. Поэтому неравенство примет
вид 2 ^х - -0 (х - 8) > 0. На числовой оси отмечаем точки Х\ = -j и х± = 8
и расставляем знаки квадратного трехчлена в каждой из трех получен¬
ных областей: плюс, когда оба сомножителя ^х - и (х - 8) имеют оди¬
наковые знаки, и минус, когда разные. Строим кривую знаков
(рис. 16.1).
1 Ответ дается в любой из двух приведенных форм записи.
334
+
+
Рис. 16.1
Последнему неравенству удовлетворяют значения х<—, х>8. Из
полученных решений необходимо исключить значение х = 0.
Ответ1: х <0, 0 < х < —, х > 8, или
Х6(-оо, 0) и [о, -
U [8, + да).
4. Преобразуем первую дробь:
- Щ + 2flV2 + ъЪ'2 - 3ayfb + 3^ + №
аЪ'2^ = + =
3>/7 - За-Jb + Зу[аЬ
■Ja2 +
Вынося в числителе 3<Ja и раскладывая знаменатель на множители
как сумму кубов, получим
34а[а - -Jab + bj ^-Ja
\[а + [а - yfab + Z>j -Ja + -Jb
Теперь к полученному результату прибавим вторую дробь:
3 4а 3 4b + Щ
■Ja+i[b -Ja + -Jb i[a+4b
= 3.
Ответ: 3. | 55. По условию центральный ZAOB = а
(рис. 16.2). Проведя BD, получим, что
ZBDA = —,
2
так как в круге вписанный угол
равен половине центрального угла, опираюгце- д
гося на ту же дугу АВ.
Проведем высоты трапеции BE и СЕ.
Из прямоугольного треугольника BED
Рис. 16.2
1 Ответ дается в любой из двух приведенных форм записи.
335
ED = BE ■ ctg — = h ■ ctg —. Нетрудно заметить, что сторона ED равна
средней линии трапеции т. Действительно, средняя линия равна полусумме
ВС + AD ВС + <АЕ + ЕЕ + ED)
основании трапеции, т.е. т = = , но
ВС = EF (EBCF — прямоугольник) и АЕ = FD (следует из равенства
треугольников АВЕ и FCD, ибо в равнобокой трапеции АВ = CD, ZBAD =
= ZCDA), поэтому
т =
2EF+2FD
2
EF + FD = ED.
Теперь площадь трапеции S= mh =
A-ctgyjA = A2 ctgy.
При h = 10 см,
a = 60° получим S= 102ctg30° =100л/з см2.
Ответ. 100-J3 см2.
Вариант Б
1. Два автомобиля едут навстречу друг другу: один из пункта А,
другой из пункта В. Первый выходит из пункта А на три часа
позже, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что
он прошел на 90 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 4 часа,
а второй в А через 4,5 часа. Определить расстояние А В.
2. Решить уравнение л1х2 - Ъх + 5 + х2 = Зх + 7.
3. Решить неравенство log0 5
4. Упростить выражение
2tg
х2 - 4х + 6
<0.
х
2 cos2 а -1
5. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В. Сторона
АС = 12 см, АВ =15 см. Определить сторону ВС.
Решение.
1. Обозначим пункт встречи через С. Пусть АС = х км, тогда по ус¬
ловию СВ = (х + 90) км. Далее, по условию первый автомобиль прошел
СВ за 4 часа, значит, его скорость Х+.^ км/ч. Так же найдем, что
336
скорость второго автомобиля —— км/ч. Следовательно, путь АС пер-
вый автомобиль проделал за время х:
х + 90 4х
4
х + 90
ч, второй же авто¬
мобиль прошел путь ВС за время (х + 90): ^ ч> а так как
второй автомобиль был в пути на 3 часа больше, чем первый, то
9(х + 90) 4х
2х
х + 90
= 3.
При решении этого уравнения можно
х + 90 2
переменную у = . Тогда получим 9у
2х у
ввести вспомогательную
= 3, или 9у* 2 - Зу-2 = 0.
Из двух корней ^ = —, у2 = - —J второй не годится, так как обе
величины х = АС и х + 90 = СВ должны быть положительными.
„ х + 90 2 „ „„„
Из уравнения = — найдем х = 270 км; значит, АС = 210 км,
2х 3
СВ = 360 км и АВ = АС + СВ = 270 + 360 = 630 км.
Ответ'. 630 км.
2. Запишем уравнение так: Vx2 - Зх + 5 + (х2 - Зх + б) -12 = 0. Обозна¬
чим Vx2 -Зх + 5 = у (у > 0), получим у1 + у -12 = 0, откуда у \ = 3 (у2 = —■4
не годится, так как у > 0). Далее имеем Vx2 -Зх + 5 = 3; возводя обе части
уравнения в квадрат, получим х2 — Зх — 4 = 0, откуда Х\ = 4, х^ = —1.
Проверка показывает, что оба полученных значения являются кор¬
нями заданного уравнения.
ОтветТ Х\ = 4, х^ = —1, или {—1; 4}.
3. Представим правую часть неравенства в виде 0
х2 - 4х + 6
Получим log0 ‘
• ^ logo,5 1-
logo,5 1-
Данное неравенство равносильно системе
х2 - 4х + 6 „
> 0,
х
х2 - 4х + 6 .
>1.
X
1 Ответ дается в любой из двух приведенных форм записи.
337
Первое неравенство системы вытекает непосредственно из области
определения логарифмической функции, а второе следует после потен¬
цирования обеих частей неравенства по основанию 0,5, меньшему 1, в
связи с чем и получается неравенство противоположного смысла.
В полученной системе достаточно решить лишь второе неравенство,
так как его выполнение в данном случае безусловно влечет за собой
выполнение первого. Перенося 1 в левую часть второго неравенства,
х2 - 5х + 6 „
получим > 0, или после разложения на множители квадрат-
х
(х-3)(х-2)
нога трехчлена в числителе >0. Решаем полученное нера-
’ х
венство методом интервалов. На числовой оси отмечаем значения, при
которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, расставляем зна¬
ки дробного выражения в каждой из четырех полученных областей и
строим кривую знаков (рис. 16.3).
Рис. 16.3
(Например, при х > 3, х — 3>0, х — 2>0, х > 0 дробь положитель¬
на, при 2 < х < 3, х — 3<0, х — 2>0, х > 0 дробь отрицательна и
т.д.). При записи ответа учитываем, что х не может равняться 0, так как
при этом знаменатель дроби обращается в нуль.
ОтветТ 0 < х < 2, х > 3, или х е. (0, 2]U [3, + оо).
( п ^
(п )
71
ьн
и [- + а|
дают в сумме можно за
(п }
2 ' Л 1
= cos — - a .
U )
U )
писать sinT | — + а | = cos^l — - aj. Так как произведение тангенса на
косинус некоторого угла есть синус того же угла, то будем иметь
2 cos2 a - 1
2 cos2 a - 1
f п } 2[
"я
» . f 7t ^
' n Л
— - a
2 sin — - a cos
—— a
U ) \
4 )
U )
1 4 )
Учитывая, что 2 cos2 a = 1 + cos 2a, а знаменатель дроби представ¬
ляет собой выражение синуса двойного угла, получим
338
1 + cos 2a - 1 cos 2a cos 2a
sin
2 f--al
. (п „3 cos2a
sin — - 2a
U )
\2 J
Ответ: 1.
5. Обозначим стороны A ABC:BC = a, AC = b, AB = с. Проведем
биссектрису AD угла А и положим CD = x, тогда ВО = a — x
(рис. 16.4). На основании свойства биссектрисы внутреннего угла тре¬
угольника можно записать
х b „ ab
= —, откуда найдем х = (1).
а-х с Ь+с
А АВС подобен A A DC (так как угол С у них общий и ZDAC = ZABC).
„ АС ВС Ъ
Отсюда —— = —77 или
IX АС х
равенства (1), получим
а
~Ь'
Ь
Заменяя х из
откуда
ab/(b + c) Ь’
а2 = Ь2 + Ъс, или а = Jb(b + с). Подставляя чи¬
словые данные, найдем a=yj 12(12 + 15) =18 см.
Ответ: 18 см.
Рис. 16.4
16.2. Варианты письменных работ
на вступительных экзаменах по математике
Всероссийский заочный
финансово-экономический институт (ВЗФЭИ)
Варианты заданий 1-го уровня сложности
для вступительных экзаменов во ВЗФЭИ
(1999 г.)
Вариант 1 (1999 г.)
1. Велосипедист потратил 30 мин на устранение неисправности
педали и, увеличив скорость на 3 км/ч, наверстал потерянное
время на расстоянии 30 км. Какова была первоначальная ско¬
рость велосипедиста?
339
2. Решить уравнение = -у/х-3 =1.
•Jx-3
2х-3 2х-1
3. Решить неравенство < .
5х -1 5х + 4
sin2 (л + а) + sinyy + aj
+ sin| - -2d
4. Упростить выражение
cos/(tt + a)
5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треуголь¬
ник, равен 2 см. Найти площадь этого треугольника, если длина
гипотенузы равна 10 см.
Вариант 2 (1999 г.)
1. Вкладчик взял из Сбербанка сначала 1/4 своих денег, потом
4/9 оставшихся и еще 640 руб. После этого у него осталось на
сберкнижке 15% всех его денег. Как велик был вклад?
2. Решить уравнение 2 lg (х + 1) — lg (х + 21) = 0.
3. Найти область определения функции у = V-5х2 +2х + 16.
4. Упростить выражение
vVl + х — Vl — х Vl + х + л/Г"—
(1 + х)1/2 • X 1.
5. Основание треугольника равно 6 см, а высота, проведенная к
этому основанию, равна 3 см. В данный треугольник вписан
квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две
другие — на боковых сторонах. Найти площадь квадрата.
Вариант 3 (1999 г.)
1. В одной цистерне 32 т бензина, а в другой 36 т. Из первой
выкачивают за каждую минуту по 0,2 т, а из второй — по 0,3 т
бензина. Через сколько минут в цистернах останутся равные ко¬
личества бензина?
2. Решить уравнение 3 • 9х-1 + 2 • 3х-1 = 5.
3. Решить неравенство —- > 1.
340
. ,, l + sin2a-cos2a
4. Упростить выражение .
l + sin2a + cos2a
5. Средняя линия трапеции разбивает ее на две трапеции, пло¬
щади которых относятся как 2:1. Чему равно отношение осно¬
ваний трапеции?
Вариант 4 (1999 г.)
1. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев
за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой
работы каждой бригаде, если известно, что одна бригада могла
бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?
2 lg х
2. Решить уравнение = 1.
lg (5х - 4)
3. Найти область определения функции у
2х-5
Ъх + 7‘
4. Упростить выражение Ь1!2
b-b-2 1 -Ъ~2 2
й1/2_й-1/2 + £1/2 + £-1/2 +йЗ/2
5. Катет АС прямоугольного треугольника АВС равен 15 см, а
проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти ради¬
ус окружности, вписанной в этот треугольник.
Вариант 5 (1999 г.)
1. Запас сена таков, что можно ежедневно выдавать на всех ло¬
шадей 96 кг. В действительности ежедневную порцию каждой
лошади смогли увеличить на 4 кг, так как две лошади были про¬
даны. Сколько лошадей было первоначально?
1 + л/2х +1
2. Решить уравнение = 1.
х
т т> 8-9х
3. Решить неравенство —т '■
З- 3
4. Упростить выражение ctgy-tgy.
5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона 10 см, а вы¬
сота 8 см. Найти площадь вписанного в треугольник круга.
Вариант 6 (1999 г.)
1. Масса 34 л керосина равна 27,2 кг. Уместится ли керосин
массой 24 кг в бидон емкостью 32 л?
341
2. Решить уравнение
1
4-lgx 2 + lgx
- = 1.
3-2х
3. Решить неравенство — > 1.
4. Упростить выражение
1-х
(аз/4-йз/4)(аз/4+йз/4)
а1!2 - Ь1!2
-yfab
■(а + Ь)-К
5. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 30 и
20 см. Найти длину биссектрисы прямого угла.
Вариант 7 (1999 г.)
1. На покупку двух вещей затрачено 900 тыс. руб., причем одна
вещь дешевле другой на 20%. Найти стоимость каждой вещи.
2. Решить уравнение log^x2 - Зл') = 8.
3. Найти область определения функции у =
х1 - 4х + 3
4х2 + 49
1
1
3 Я
лг -пг
4. Упростить выражение
Кт-^тп m + ^JmnJ т^ + тп + п^
5. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол попо¬
лам. Периметр трапеции равен 132 см, а основания относятся
как 2:5. Определить среднюю линию трапеции.
Вариант 8 (1999 г.)
1. От пристани вниз по реке отошел плот. Спустя 9 ч от этой же
пристани в том же направлении отошел катер, который догнал
плот в 20 км от пристани. Найти скорость течения реки, если
скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.
2. Решить уравнение 4Х+2 + 2-4х_1 = 8,25.
3. Найти область определения функции у = lg
х2 + х - 6
х2 +4
citi 2 п 4- 2п
4. Упростить выражение 2ctga.
sin2 a
5. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности
радиуса 6 см в точках Ми I. Найти длину отрезка МК, если
расстояние от центра окружности до точки А равно 10 см.
Вариант 9 (1999 г.)
1. Первый рабочий может выполнить некоторую работу на 8 ч
раньше, чем второй. За какое время может выполнить эту работу
342
каждый рабочий в отдельности, если известно, что при совместном
выполнении всей работы им потребовалось бы 7,5 ч?
2 J
2. Решить уравнение 0,5х -22х+2 =—.
64
_ _ Зх2 - 5х +1 ,
3. Решить неравенство т < 1.
х2 +4
. ЛГ sina + cosa sin2 a
4. Упростить выражение - + .
l-tg2a sin a-cos a
5. В равнобокой трапеции одно основание равно 40 см, а другое
24 см. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции.
Вариант 10 (1999 г.)
1. В магазин для продажи поступили учебники по физике и ма¬
тематике. Когда продали 50% учебников по математике и 20%
учебников по физике, что составило в общей сложности 390 книг,
то учебников по математике осталось в три раза больше, чем по
физике. Сколько учебников по математике и сколько по физике
поступило в продажу?
2. Решить уравнение lg(325-5"'^x) =2 + lg3.
3. Найти область определения функции у = ,— .
V Зх2 - 8х + 4
м ci — 1 +1 2
4. Упростить выражение ^ + _1/2 .
а + а'1 +1 а' - 1 а
5. Около круга радиуса 2 см описана равнобокая трапеция, пло¬
щадь которой равна 20 см2. Найти длины сторон трапеции.
Вариант 11 (1999 г.)
1. В техническом университете в трех потоках сдавали вступи¬
тельные экзамены 1170 абитуриентов. В первом потоке было на
20% меньше, чем во втором, а в третьем — 30% от числа абиту¬
риентов в первых двух потоках. Сколько человек сдавало экза¬
мены в каждом потоке?
2 Is х
2. Решить уравнение = 1.
lg(5x - 6)
3. Найти область определения функции у
х1 - 5х - 6
х2 +9
343
а3'2 + b3'2
-2/3
(а - Ь)1/3
1
4. Упростить выражение — , г.
а2'3{а - Ъу а3'2 - Ь3'2 (аЪУ1
5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла де¬
лит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Найти
радиус описанной около треугольника окружности.
Вариант 12 (1999 г.)
1. Через один кран ванна наполняется за 36 мин, а через другой —
за 72 мин На сколько времени надо открыть оба крана, чтобы
наполнить половину ванны?
2. Решить уравнение 3у/2х + 3 = . ^ ^ + 7.
V 2х + 3
3. Найти область определения функции у = lg
х1 + х - 20
х2 +49
. sin2a + 2cos2a 3cos2a
4. Упростить выражение = —.
2sin2a-l l-2cos2a
5. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а
высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 см
больше другого. Найти длину гипотенузы треугольника.
Вариант 13 (1999 г.)
1. Поезд был задержан на 10 мин на середине пути между стан¬
циями Аж В. Чтобы прийти в В по расписанию, машинист уве¬
личил скорость на 6 км/ч. Найти скорость поезда по расписа¬
нию, если расстояние между станциями Аж В равно 60 км.
2. Решить уравнение log2 (х +1) - 3 log3 (х +1) + 2 = 0.
3. Найти область определения функции у
5х-\
Зх + 2
. ., 1 -а а 24а
4. Упростить выражение —,-= = = +
^ (i-V?)
5. В трапеции углы при одном из оснований равны 20° и 70°, а длина
отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2 см. Найти дли¬
ну оснований трапеции, если длина средней линии равна 4 см.
Вариант 14 (1999 г.)
1. В экспедиции распределяли собак по упряжкам. Если в каж¬
дую упряжку запрячь по 12 собак, то в трех упряжках не хватило
344
бы по одной собаке, а потому в упряжку запрягли 11 собак и
оставили 7 собак в резерве. Сколько было упряжек?
2. Решить уравнение л/125
3-2х
5
3. Найти область определения функции у = lg— .
Ъх2 -4х + 1
4. Упростить выражение (1 + sin4a)(sin2a + cos 2a) 1 - cos2a.
5. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к кате¬
там, относятся как yjl: у/\3. Найти углы треугольника.
Вариант 15 (1999 г.)
1. На вступительном экзамене 12,5% поступающих не решили
ни одной задачи, 140 человек решили хотя бы одну задачу.
Сколько человек сдавало экзамен?
2. Решить уравнение log3 V268 - 5Л = 2,5.
Зх-2
3. Решить неравенство > 1.
2-х
4. Упростить выражение
1
\х112+у1'2)
-2
х2!2 + у2!2
хУ2+уУ2
Х-^.у
1/2
5. Найти радиус окружности, описанной около равнобокой трапе¬
ции с основаниями, равными 2 и 14 см, и боковой стороной 10 см.
Вариант 16 (1999 г.)
1. Заболевшую машинистку заменили две ученицы-пракгикантки,
причем одной из них нужно на перепечатку в 3 раза больше вре¬
мени, чем заболевшей машинистке, а второй — в 2 раза. За сколь¬
ко времени каждая из трех машинисток может перепечатать руко¬
пись, если ученицы, работая вдвоем, выполнят работу за 6 ч?
^
2. Решить уравнение у/х + 6—. = 2 .
\Х + 6
3. Найти область определения функции у =
lg
6зс-5
4зс + 1
4. Упростить выражение
(1 + sin2a)(cos a - sin a)
cos2a(cosa + sina)
345
5. Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный тре¬
угольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипо¬
тенузу на отрезки в 30 и 40 см. Найти длину дуги полуокружно¬
сти, заключенной между точками ее касания с катетами.
Вариант 17 (1999 г.)
1. До ремонта автомобиль расходовал 1 л бензина на 12 км пути.
После ремонта автомобиль стал расходовать бензина на 1 км пути
на 30% меньше, чем до ремонта. Какое расстояние может проехать
автомобиль после ремонта, затратив 24,5 л бензина?
2. Решить уравнение 22х~1 — 2Л“1 —1 = 0.
2х-3 2х-1
3. Решить неравенство > .
5х -1 5х + 4
, sin2a -cos2а + cos4а
4. Упростить выражение = = —.
cosz а - smz а + sm4 а
5. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях 1 см и 4 см от
его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла.
Вариант 18 (1999 г.)
1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 800 км, вы¬
шли одновременно навстречу друг другу два автомобиля, кото¬
рые встретились через 5 ч. Если бы скорость первого автомоби¬
ля была на 20 км/ч больше, а скорость второго автомобиля на
20% больше фактической, то встреча произошла бы через 4 ч.
Найти скорость каждого автомобиля.
2. Решить уравнение 2 • Зх~6 + 6 • 90,5х~2 = 56.
3. Найти область определения функции у = V-4х2 + 17х - 4 .
ftg a+cos^a) (cos a - ctg a)
4. Упростить выражение гт -j—г.
(cos a + ctg a) (tg a-cos ia)
5. Сторона ромба ABCD равна 6 см, угол BAD = 60°. На сторо¬
не ВС взята точка Е так, что СЕ = 2 см. Найти расстояние от
точки Е до центра ромба.
Вариант 19 (1999 г.)
1. Окружность переднего колеса трактора 3,5 м, окружность
заднего колеса 4,5 м. На каком расстоянии (в метрах) переднее
колесо сделает на 60 оборотов больше, чем заднее?
346
2. Решить уравнение log l (х2 - 4х - lj = - 4.
71
3. Решить неравенство -—— > 1.
х-5
I _1 А
„ ,, а2 +а 2 1 -а 2
4. Упростить выражение н т=.
1 -а 1 + у/а
5. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб так,
что этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сто¬
ронах треугольника. Найти длину большего катета, если длина
стороны ромба равна Vl2 /5 см.
Вариант 20 (1999 г.)
1. В двух залах кинотеатра 1428 мест, причем в одном из залов
на 30% мест меньше, чем в другом. Сколько мест в каждом зале
кинотеатра?
2. Решить уравнение 72х +1 + 7х - 3 = 2-Jx .
3. Найти область определения функции у = lg (—^— ] •
^■5х 26х “Н 5?
4. Упростить выражение
ctg2
2
• COS
ctg2[a-fJ-cos2[a + |j
5. Найти площадь трапеции, если ее основания равны 16 и
28 см, а боковые стороны — 17 и 25 см.
Вариант 21 (1999 г.)
1. Два автобуса отправились одновременно из одного поселка в
другой, расстояние между которыми 36 км. Первый автобус при¬
был на 15 мин раньше второго, скорость которого была на 2 км/ч
меньше скорости первого. Найти скорость каждого автобуса.
2. Решить уравнение (lgx + 2) (lgx - 3) = -4 .
3.
Решить неравенство
За- -1
1 — А
4. Упростить выражение
f . 0,5 , 1 Л 1
а + а +1
а — 1
а’5 + 1
2
а
0,5 *
347
5. В трапеции длины оснований равны 5 и 15 см, а длины диа¬
гоналей — 12 и 16 см. Найти площадь трапеции.
Вариант 22 (1999 г.)
1. Мать вдвое старше своей дочери. Сколько лет матери и ее
дочери, если через 12 лет возраст матери будет на 60% больше
возраста дочери?
2. Решить уравнение lg (2х +1) - 0,5 lg (l - Зх) = 0.
5. Вершины прямоугольника, вписанного в окружность, делят
ее на четыре дуги. Найти расстояние от середины одной из
больших дуг до вершин прямоугольника, если его стороны рав¬
ны 24 и 7 см.
1. Стоимость ремонтных работ повысилась в первом квартале
на 30% по сравнению с началом года, а во втором квартале — на
20% от новой стоимости. На сколько процентов повысилась
стоимость ремонтных работ во втором квартале по сравнению с
началом года?
2. Решить уравнение lg(K)x) • lg(0J х) = 3.
5. В трапеции углы при одном из оснований равны 37° и 53°, а
длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2 см.
Найти длины боковых сторон трапеции, если длина средней ли¬
нии равна 4 см. Считать sin 37° = 0,6.
Вариант 24 (1999 г.)
1. Бригада слесарей и бригада учеников, работая совместно, мо¬
гут выполнить задание за 18 ч. Бригада слесарей то же задание
3. Найти область определения функции у
4. Упростить выражение
Вариант 23 (1999 г.)
3. Найти область определения
4. Упростить выражение
х + х1!2 + 1 х3/2 - 1 х^2
х - 1 х1/2 + 1 2
—гг; : —гг; + —г
348
может выполнить за 30 ч, если будет работать отдельно. За
сколько часов бригада учеников, работая отдельно, может вы¬
полнить задание?
2. Решить уравнение 5х-1 + 5Х~3 = 130.
Зх2 - 5х + 1
3. Решить неравенство - < 1.
х +4
. 2-sin2а sin2a-cos2a
4. Упростить выражение - -—.
1 - ctg a sin a + cos a
5. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а
проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти ради¬
ус окружности, вписанной в треугольник.
Вариант 25 (1999 г.)
1. Моторная лодка прошла по течению реки 70 км и столько же
против течения, затратив на весь путь 12 ч. Скорость течения ре¬
ки равна 2 км/ч. Найти собственную скорость моторной лодки.
2. Решить уравнение у/х + 3 + у/Зх - 2 = 7.
3.
Найти область определения функции у = log2
- 6х2 - 5х
х2 + 25
(
4. Упростить выражение
1
V
l + tg4a ^
tg2a + ctg2ay
cos2 a.
5. В равностороннем треугольнике АВС со стороной 3 см про¬
ведена средняя линия МУ параллельно АС. Через точку А и се¬
редину отрезка MN проведена прямая до пересечения с ВС в
точке D. Найти длину AD.
Варианты заданий 2-го уровня сложности
для вступительных экзаменов во ВЗФЭИ
(1999-2009 гг.)
Вариант 26 (1999 г.)
1. Себестоимость изделия понизилась за первое полугодие на
10%, а за второе — на 20%. Определить первоначальную себе¬
стоимость изделия, если новая себестоимость стала 576 руб.
349
2. Решить уравнение -Jl-x - у/х + 3 - 2-Jx.
2x-5 6x+l
3. Решить неравенство 0,6 ■x~3 < 0,63*_1.
. ,, sin2 a cos2 a
4. Упростить выражение н 1.
1-ctga 1-tga
5. Вычислить площадь прямоугольного треугольника с острым
углом 15°, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 10 см.
Вариант 27 (1999 г.)
1. Студент прочел книгу в 480 стр., ежедневно читая одинаковое
количество страниц. Если бы он читал каждый день на
16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше.
Сколько дней студент читал книгу?
х+4
2. Решить уравнение 0,008 Зх = 250,5~х.
х5 2 * + 9
3. Найти область определения функции у = lg т.
2х + 1-Зх2
1-122¬
* „ l + sin2a ё 9
4. Упростить выражение —.
sina + cosa , .
g 2
5. В треугольнике АВС медиана AM перпендикулярна к медиане ВК.
Найти площадь треугольника АВС, если AM = 6 см, ВК = 5 см.
Вариант 28 (1999 г.)
1. Моторная лодка спустилась по течению на 28 км и тотчас же
вернулась назад; на путь туда и обратно ей потребовалось 7 ч.
Найти скорость движения лодки в стоячей воде, если известно,
что вода в реке движется со скоростью 3 км/ч.
2. Решить уравнение х2+1оезХ = З8.
3. Решить неравенство (2х - 5) V9-х2 > 0.
4. Упростить выражение
а - b
л[а - 4b
iy[a - bfb Л а + Ъ + 2л[аЬ
а - b
5. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°, а его биссектриса
делит сторону ВС на отрезки BE = 4 см и ЕС = 6 см. Найти
площадь параллелограмма.
350
Вариант 29 (1999 г.)
1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 и
40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы полу¬
чить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
2. Решить уравнение 112х~! - 132х~! + 112х~2 + 132х~2 = о.
3. Найти область определения функции у = Jl-4-+—
V 2х 2х2
J sin2 а - cos2 а 2 - sin 2а
4. Упростить выражение — .
sin а + cos а 1 - ctg а
5. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка каса¬
ния с окружностью делит один из катетов на отрезки длиной 6 и
10 см, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника.
Вариант 30 (1999 г.)
1. Две бригады, работая вместе, должны изготовить 50 деталей.
Вторая бригада выполнила задание на 90%. Для выполнения
общего задания первая бригада изготовила деталей на 15%
больше плана. Сколько деталей изготовила первая бригада?
2. Решить уравнение 0,8lgV^ = 1,251вл^-\
3. Решить неравенство
у/х2 -16
5-х
2а-Ф
>0.
а
2/3
а +1
4. Упростить выражение ... ... ... . „ .
а2/3 -За-1/3 а5/3 -а2/3 а2-4а + 3
5. Стороны треугольника равны 13, 15 и 14 см. Определить
площадь треугольника, образованного высотой и медианой,
проведенными к стороне, равной 14 см.
Вариант 31 (1999 г.)
1. Два насоса, действуя попеременно, наполняют бассейн за
42 ч. Первый насос перекачивает за 1 ч 640 л, второй — 480 л.
Сколько часов работал первый насос, если известно, что оба на¬
соса накачали одинаковое количество воды?
2. Решить уравнение igyjx-5 + lgу/х + 5
1^2.
3. Найти область определения функции
У =
х2 - 5х + 6
64а-2 +81
л/3-10х.
351
4. Упростить выражение
1 + х
\[7'\{х:/; - V^) :
Г, 1 )
v \[х + 1,
чл/х + 1
5. В равнобедренный треугольник, длина боковой стороны ко¬
торого равна 18 см, а основания — 12 см, вписана окружность.
К окружности проведена касательная, параллельная основанию.
Найти длину отрезка касательной, ограниченной точками пере¬
сечения касательной с боковыми сторонами.
Вариант 32 (1999 г.)
1. Два мотоцикла отправляются из пункта А в пункт В, отстоя¬
щий от А на 60 км. Один из них выехал в 5 ч 40 мин, а другой —
в 6 ч 30 мин, но оба приехали в пункт В одновременно. Найти
скорость каждого мотоциклиста, если известно, что второй про¬
езжает в час на 12 км больше первого.
2. Решить уравнение 0,25 log2 х2 + 2 log2 4х -2 = 0.
- „ 2х2 - 6х + 5
3. Решить неравенство = > 1.
х
1-2
4. Упростить выражение
- хл/х + 2
X1/2-//2
5. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 6 см, а гипо¬
тенуза АВ = 10 см. Проведены биссектрисы угла АВС и смежно¬
го с ним угла, пересекающего катет АС и его продолжение соот¬
ветственно в точках D и Е. Определить длину DE.
Вариант 33 (1999 г.)
1. Два комбайна убирают хлебное поле. После того как первый
проработал на поле 1 ч, второй 5 ч, оказалось, что убрана полови¬
на поля. Затем 1,5 ч они работали вместе и убрали еще четверть
поля. Оставшуюся часть поля убрал только первый комбайн. Оп¬
ределить, сколько ему понадобилось для этого времени.
2. Решить уравнение 3 • 22^ ^ - 2^ = 8.
3. Найти область определения функции
у = log2(jjX2 - 6xj + л/20 - х.
352
4. Упростить выражение
Г з?0
• tg
( п
аЛ
sin
a
1 2 J
И
2;
1 + cos
' 5ттл
а
'у 2;
5. В треугольнике с основанием, равным 10 см, проведен отрезок,
параллельный основанию. Площадь полученной трапеции состав¬
ляет 64% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.
Вариант 34 (1999 г.)
1. Два портальных крана разгрузили железнодорожный состав за
40 ч совместной работы. Если бы половину состава разгрузил
один кран, а затем половину — второй, то на разгрузку состава
ушел бы 81 ч. За сколько часов каждый кран, работая отдельно,
может разгрузить состав?
2. Решить уравнение yl(x- 3)(2х + 7) + 3 = х.
3. Решить неравенство ^ Х > 0.
V х +1
. l-cos4a l + cos4a
4. Упростить выражение = ь = .
cos 2 2a -1 sin 2 2a -1
5. В треугольник, основание и высота которого равны по 6 см,
вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а
две другие — на боковых сторонах. Найти площадь квадрата.
Вариант 35 (1999 г.)
1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому
числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
2. Решить уравнение log3(9x +9) = х + log3(28 - 2 • 3х).
3. Найти область определения функции у =
х2 + 6х - 1
16х2 +49 '
4. Упростить выражение
3/ . 3/ 2
а\а + \а
- у[х
• Г(\[а - \[xj + 3(л/a + \[xj
V /
5. Найти площадь равнобокой трапеции, у которой диагонали
взаимно перпендикулярны, а основания равны 12 и 20 см.
353
Вариант 36 (1999 г.)
1. Забором длиной 24 м требуется огородить с трех сторон пря¬
моугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры
палисадника.
2. Решить уравнение 1 + д/l + х л/х2 -24 = х.
2х - 4
3. Решить неравенство log0, > 0.
’ х — 1
J [cos(tt - а) + cos(tt + а)]2 - 2
4. Упростить выражение 1 ——.
4sin(7T - а) • sin(jj - aj
5. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный тре¬
угольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на
отрезки, равные 25,6 и 14,4 см.
Вариант 37 (1999 г.)
1. Два крана разной мощности могли бы разгрузить баржу за
5 ч. Если же сначала первый разгрузит 1/3 баржи, а затем вто¬
рой оставшуюся часть, то на разгрузку уйдет 10 ч. За сколько
часов каждый кран в отдельности может разгрузить баржу?
2. Решить уравнение 2 tg (х + Зл) + 3 = tg (1,5л + х).
3. Найти область определения функции у = lgfl- —+ -^-1
V X X )
4. Упростить выражение
5. Хорда данного круга пересекает его диаметр под углом 30° и
делится в точке пересечения на отрезки 1 и 5 см. Определить
расстояние хорды от центра круга.
Вариант 38 (1999 г.)
1. В первой цистерне на 25% нефти меньше, чем во второй и
третьей вместе, а во второй на 10 тонн меньше, чем в третьей, и
на 50% меньше, чем в первой. Сколько тонн нефти в каждой
цистерне?
354
2. Решить уравнение (0,4)log2X+1 = (6,25)2 log2X .
3. Решить неравенство (л; - 5) л/36-лЛ > 0.
. л, cos 2а
4. Упростить выражение —г т т—.
sin 2а (ctg а - tg а)
5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) вписана ок¬
ружность. Высота треугольника BD = 8 см. Найти радиус впи¬
санной окружности и площадь треугольника, если косинус угла
А равен 0,6.
Вариант 39 (2000 г.)
1. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись в
72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за
то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц.
Сколько страниц перепечатывала каждая машинистка в час, ес¬
ли первая закончила работу на 1,5 ч раньше второй.
2. Решить уравнение 5-5 cos | — - х
2 cos2 (л -х).
3. Найти область определения функции у
4\2 + х + х2
log2(2x-l) '
4. Упростить выражение
1 -а
1 -л[а
5. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой
длины оснований равны 10 и 26 см, а диагонали перпендику¬
лярны боковым сторонам.
Вариант 40 (2000 г.)
1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли
площадью в 294 м2 3 и разделить этот участок забором на две рав¬
новеликие части. Найти размеры участка, при котором длина
забора будет наименьшей.
2. Решить уравнение lg2(10(bc) + lg2(l(bc) = 14 + lg—.
х
2х-3 2х-1
3. Решить неравенство 0,55x1 >0,55х+4.
355
4. Упростить выражение
2 х^-у1'2 *У2 + у/2 "|*уу/2 2у
Уху1!2 + х1/2у + ху1/2 -х^2у) х + у х-у'
5. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 6 см,
длина перпендикуляра, опущенного из середины основания на
боковую сторону, равна 2,4 см. Найти длину высоты, опущен¬
ной на основание.
Вариант 41 (2000 г.)
1. Глиссер прошел по течению реки 55 км, а против течения —
27 км, затратив на весь путь время, нужное для прохождения
80 км по озеру. Найти собственную скорость глиссера, если ско¬
рость течения реки 2 км/ч.
2. Решить уравнение 8 sin2 х + 4 sin2 2х - 5 = 0.
х -Зх +2
3. Решить неравенство —= > 1.
xz + Зх + 2
4. Упростить выражение
( iV
1/а+ЪА -
у
а-Ь
\Jl6ab
1
•sfo + y/b
24ъ)
5. Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий
хорде длиной 12 см, вписан квадрат со стороной 4 см.
Вариант 42 (2000 г.)
1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, со¬
держащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к
этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содер¬
жал 27% меди?
2. Решить уравнение , ^^ + —.
V^TT-2 л/^ГкГ 3
3. Найти область определения функции у
!ogo,7
Зх - 2
х +10
356
cos2- 2a) + 4cos2\~z~ - al - 4
4-ж T V / V /
. Упростить выражение j- —.
1 + cos (4a - л) - 8 sin2 (5 л - a)
5. Определить длины высот AA\ и CCi треугольника, если
известно, что высота С'С| делит противоположную сторону на
отрезки АС\ = 4 см и С\В = 6 см, а точка пересечения высот на¬
ходится на расстоянии 3 см от А В.
Вариант 43 (2000 г.)
1. До просушки влажность зерна была 23%, а после просушки
стала равной 12%. На сколько процентов изменилась масса зер¬
на после просушки?
2. Решить уравнение sin 2х + 2sin
Зл
+ sin х = 1.
3. Решить неравенство
(26х — 5х2 — 5) lg2 (х + 2) < 0.
4. Упростить выражение
_ 1 аГ~VfVtf3 + 1 / V ГГ
I— yj a I— л/ а Iа d
Уа-\ Уа+1 Х
5. В трапеции ABCD известны длины оснований AD = 24 см,
ВС = 8 см и диагоналей АС = 13 см, ВТ) =5 VI7 см. Найти пло¬
щадь трапеции.
Вариант 44 (2000 г.)
1. Одна часть капитала, состоящего из 1000 ден. ед., приносит
ежегодно 30 ден. ед. прибыли, а другая — 24 ден. ед. прибыли.
Со второй части получается прибыль на один процент больше,
чем с первой. Сколько процентов прибыли дает каждая часть?
2. Решить уравнение lg2 х3 - 2 lg х5 + 2 log3 >/з = 0.
3. Найти область определения функции у
4. Упростить выражение
( I
V т — а т — а _
т + а + 4т - а \]т2 - а2 - т + а у
-100.
Ц--1 при a > 0.
а
357
5. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния которой от
сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М,
отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти
катеты треугольника.
Вариант 45 (2000 г.)
1. Два экскаватора разной конструкции вырыли траншею за 12 дней.
Если бы первый экскаватор вырыт первую половину траншеи, а
затем второй — оставшуюся часть, то вся работа была бы вы¬
полнена за 25 дней. За какое время каждый экскаватор мог бы
выполнить работу в отдельности?
2. Решить уравнение 2 • + 21 = 9^^.
3.
4.
х
Решить неравенство —
Упростить выражение
г[5х-2х2 +з)
2х - 5
>0.
1 - sin4 * 6 а - cos6 а
-.•4 4
l - sm сс - cos сс
5. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треуголь¬
ника с катетами 24 и 18 см.
Вариант 46 (2001 г.)
1. Две машинистки, работая совместно, могут переписать руко¬
пись за 18 ч. Если вначале одна машинистка перепишет 1/3 часть
рукописи, а затем другая — оставшуюся часть, то на это потре¬
буется 40 ч. За сколько часов каждая машинистка, работая от¬
дельно, может переписать всю рукопись?
2. Решить уравнение Зх+1 - 2 = Vl 0 - 3 х12 ■
3. Решить неравенство log0 7
2л- - 4
х-1
>0.
4 sin|^2a - - j
4. Упростить выражение '
ctg2
5. Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а гипотенуза
равна 25 см. На этом катете как на диаметре построена окруж¬
ность. Определить отрезок гипотенузы, являющийся хордой ок¬
ружности.
a + I - tg2 a -
358
Вариант 47 (2001 г.)
1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если
цифры поменять местами, то получим число, которое меньше
данного на 9. Найти данное число.
lgx-l
2. Решить уравнение х 2 = 101 lgA .
3. Решить неравенство ? Х - > 0.
л/х2 * + 2х
л \г а2 + а - 2 Г (а + 2)2 - а2 3
4. Упростить выражение 5/ г .
ап+1-Зап( 4а2-4 а2-а)
5. Основание равнобедренного треугольника равно 4-^2 см, ме¬
диана боковой стороны — 5 см. Найти длину боковой стороны.
Вариант 48 (2001 г.)
1. Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул
назад и через 1 ч 12 мин после выхода из В увеличил скорость
на 16 км/ч. В результате на обратный путь он затратил на
48 мин меньше, чем на путь из А в В. Найти первоначальную
скорость автомобиля.
2. Решить уравнение 25х+6 - 75х+2 - 25х+3 - 75х+1 = 0.
3. Решить неравенство (х - 3) log 1 (х + 8) < 0.
7
4. Упростить выражение
sin4 а
cos
4 а — 1
sin6 сс
cos
6 а -1
5. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найти
радиус вписанного круга, если радиус кругового сектора равен л/з" см.
Вариант 49 (2001 г.)
1. Двое рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем по¬
следние 2 дня первый из них не работал. За сколько дней пер¬
вый рабочий выполнил бы всю работу, если известно, что за
первые 7 дней они вместе выполнили 80% всей работы?
2. Решить уравнение } } - л/З.
х-л1х2-х Х + Л1Х2-Х
359
3. Решить неравенство
4. Упростить выражение
x2(l(bc - 8х2 +
< 0.
5 - 4х
2 sin2a + sin 4a
2 (cos a + cos 3a)tg 2a '
5. В равнобокой трапеции ABCD длины боковой стороны АВ и
меньшего основания ВС равны по 2 см, а диагональ перпенди¬
кулярна боковой стороне. Вычислить площадь трапеции.
Вариант 50 (2001 г.)
1. Двое рабочих за одну смену изготовили 108 деталей. После
увеличения производительности первого рабочего на 15%, а вто¬
рого на 25% они стали изготовлять за смену 129 деталей. Сколь¬
ко деталей в смену изготовлял каждый рабочий до повышения
производительности труда?
2. Решить уравнение logx(4x) = ^logv(4x3)-
Ах2+2
3. Решить неравенство 0,54x2-1 - 4<0.
4sin2(л-a)-sin22а .
4. Упростить выражение ) ( hsm2a.
2 sin (л + a) + sin 2a
5. В прямоугольном треугольнике с катетами 14 и 10,5 см бис¬
сектриса прямого угла служит диаметром окружности. Найти
хорду окружности, лежащую на гипотенузе.
Вариант 51 (2002 г.)
1. Турист ехал на автомобиле 5/8 всего пути, а остальную часть —
на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше скорости автомоби¬
ля. На автомобиле турист ехал на 15 мин дольше, чем на катере.
Чему равны скорость автомобиля и скорость катера, если весь
путь туриста равен 160 км? (Известно, что скорость автомобиля
превосходит скорость катера более чем на 30%.)
2. Решить уравнение log3 (3х + 1) — log3 (1 — 3-2х) — 2х = — ^ log364.
3. Решить неравенство (x + 2)->/l5-2x-x2 <0.
. Л, sin 2a + sin 5a - sin 3a
4. Упростить выражение г .
cos a +1 - 2sin2 2a
360
5. Угол между боковыми сторонами равнобедренного треуголь¬
ника меньше 60°. К боковой стороне проведены медиана и вы¬
сота, длины которых соответственно равны Зл/5 и 6 см. Найти
длину боковой стороны треугольника.
Вариант 52 (2002 г.)
1. Имеется кусок сплава кобальта и никеля общей массой 12 кг,
содержащий 45% кобальта. Сколько килограммов чистого нике¬
ля надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый
сплав содержал 40% кобальта?
2. Решить уравнение cos2 2х — 2 sin2л' +1 = 0.
3. Решить неравенство
log 1/5 (4х2 + з)
х2 - X - 6
< 0.
4. Упростить выражение
y/ab2 - yja2b
з/ 2
yja
3yfc
34a2-2^b+3yfb2 '
-т.
5. Из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, внеш¬
ние части которых содержат по 2 см. Определить площадь четы¬
рехугольника, вершинами которого служат точки пересечения
секущих с окружностью, зная, что длины двух его противопо¬
ложных сторон равны 2,4 и 6 см.
Вариант 53 (2002 г.)
1. Найти сумму первых двадцати членов арифметической про¬
грессии, если сумма ее 3-го и 18-го членов равна 8.
2. Решить уравнение IgV 1 - х2 - 31gVl - х = — lg(l + х) + 2.
3. Решить неравенство
Зх-19
<12,5 2*
4. Упростить выражение
\2
(х -у)2 + ху (х3 + у3 + х2 у + ху2)(х3 - г
2)(*3-*3)
(х + у) -ху
S 5 9 3 3 2
х* + у +х2у +х5у
361
5. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°,
если радиус вписанного крута равен (2 - л/3 ) см.
Вариант 54 (2002 г.)
1. Цена товара повысилась на 20%, затем новая цена повысилась
еще на 30%, и, наконец, ее подняли еще на х%. Найти х, если по¬
следняя цена товара оказалась больше первоначальной на 95%.
2. Решить уравнение sinx + sin 2х = cosx + 2cos2x
3. Решить неравенство log , {lx2 - xj > -1.
10
4. Упростить выражение
л/3
+4/^
4х + 4а
+ Ьх + 3
4ь + л/ц
5. В прямоугольной трапеции меньшая из боковых сторон рав¬
на средней линии, а большая — большему основанию. Меньшее
основание равно 3 см. Найти площадь трапеции.
Вариант 55 (2002 г.)
1. Бригада должна изготовить 8000 деталей. Фактически работа
была окончена на 8 дней раньше срока, так как бригада изго¬
товляла ежедневно на 50 деталей больше, чем предполагалось по
плану. В какой срок должна быть выполнена работа и каков
ежедневный процент перевыполнения плана?
2.
3.
4.
Решить уравнение 5 sin2х + sin х cosx — cos 2х = 2.
Решить неравенство (х2 — 16) logoj (х — 2) < 0.
Упростить выражение
(( л
тп
тп — ■
\S
т + -Join
т - п
Л2
/
5. Две окружности радиусом 3 и 1 см касаются внешним обра¬
зом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их об¬
щих касательных.
362
Вариант 56 (2003 г.)
1. В бассейн проведены две трубы — подающая и отводящая,
причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше,
чем через вторую опорожняется. При заполненном на одну
треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался
пустым спустя 8 ч. За сколько часов одна первая труба может
наполнить бассейн, а одна вторая труба опорожнить полный
бассейн?
2. Решить уравнение sin3* + cos3 х + sinx • cos* = 1.
2х + 2
3. Решить неравенство log, — > 0 .
з * + 2
4. Упростить выражение
i^fa+ifb^ -(16аЩ
( \
а-Ь
-Л
а-Ь
л/а + Jb
1
^262
5. В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Вычислить
длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой
касания на отрезки длиной 6 и 8 см.
Вариант 57 (2003 г.)
1. Из двух двигателей одинаковой мощности первый израсходо¬
вал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, 384 г.
Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина,
сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за то же
время работы каждого двигателя расход бензина в них был бы
одинаковый. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель?
2. Решить уравнение log5(3x - ll) + 2 log- Vx - 27 = 3 + log5
3. Решить неравенство *j2x + 3 > 6-х.
tg
4. Упростить выражение
f5п | . 2
а | sin
vi
л
— + а
4
(
1-2 sin"
а -
3 л
^ 2 J
5. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а
биссектриса этого угла равна 6 см. Найти стороны треугольника
и его площадь.
363
Вариант 58 (2003 г.)
1. Станок А позволяет изготовить 150 деталей за определенное
время. Рабочий сделал на этом станке 25 деталей и перешел ра¬
ботать на станок В, производительность которого на 40 деталей
в час больше, чем производительность станка А. В результате за
такое же время всего было изготовлено 200 деталей. Какова
производительность станка Ш
5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 см, а один
из катетов равен 15 см. Высота, опущенная из вершины прямого уг¬
ла на гипотенузу, служит диаметром окружности, которая делит каж¬
дый катет на две части. На какие части разделен известный катет?
1. При одновременном действии двух труб бассейн наполняется
водой за 10 ч. Если бы 2/9 бассейна наполнила первая труба, а
затем остальную часть — вторая труба, то потребовалось бы
19 ч. Сколько времени требуется для наполнения бассейна каж¬
дой трубой в отдельности?
3
2. Решить уравнение — = 8 tg х - 2 .
COS X
3. Решить неравенство log t (х2 + 4х + з) > -1 .
35
4. Упростить выражение
2. Решить уравнение
3. Решить неравенство (х2 - 36 j logj (х-4)<0 .
3
4. Упростить выражение
3 c°s4^-aj +sin4^a -2(sin6 a + cos6 a).
Вариант 59 (2003 г.)
364
5. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол попо¬
лам. Периметр трапеции равен 66 см, а основания относятся как
2:5. Определить среднюю линию трапеции.
Вариант 60 (2003 г.)
1. Первый участок пути протяженностью 80 км поезд прошел с
некоторой скоростью. На втором участке пути протяженностью
69 км машинист увеличил скорость на 6 км/ч. Определить время
нахождения поезда в пути, если второй участок он прошел на
30 мин быстрее, чем первый.
2. Решить уравнение log2 (9Л 1 + 7) - 2 + log2 (3 V 1 +1).
24
f /ТТЛ x2 3x-38
3. Решить неравенство < 8,1 2х
I 9
л, 2Чга}со4Н
4. Упростить выражение - —.
C°s2 vl"+ ) ~ S^n211 ~~ J
5. В трапеции ABCD стороны ВС и AD параллельны, О — точка
пересечения диагоналей. Найти площадь трапеции, если площа¬
ди треугольников AOD и ВОС равны 9 и 49 см2.
Вариант 61 (2004 г.)
1. В 1996 г. объем добычи угля на шахте А составлял 60% от объема
угля на шахте В. В 1997 г. объем добычи угля на шахте А вырос на
16%, а суммарная добыча угля на двух шахтах уменьшилась на 9%.
На сколько процентов уменьшилась добыча угля на шахте Ш
2. Решить уравнение 3
бх-3
= 2-
23
27
X
3
+1.
3. Решить неравенство logo з(3л:2 + 64) < 2 logojU + 24).
4. Упростить выражение
sin2(a + Р) + sin2(a — р) + cos (2a — л) cos (2р + л).
5. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 и 9 см.
Найти стороны трапеции.
365
Вариант 62 (2004 г.)
1. Два самосвала перевезли по 600 т груза. Известно, что первый
самосвал перевозит в день на 5 т груза больше, чем второй, и
приступил к работе на 4 дня позже второго. Сколько грунта пе¬
ревозил ежедневно первый самосвал, если они закончили работу
одновременно?
lg х+7
2. Решить уравнение х 4 =10lgx+1.
3. Решить неравенство
75-х2 -10х
Vx2 +5х
>0.
4. Упростить выражение
cos
ГЗтг 1
а
sin3(л - а) + cos (л + а) sin3
ГЗтг 1
1 2 J
2 sin a sin
л
5. Найти стороны остроугольного равнобедренного треугольни¬
ка, если радиус вписанного круга равен 3 см, а радиус описан¬
ного круга равен 8 см.
Вариант 63 (2004 г.)
1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 32 кг, содержа¬
щий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому
куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%
меди?
2. Решить уравнение logxV2 - logxV2 = log327 - logx(2x).
3. Решить неравенство (3х — 9)(11х — 2х2 — 14) > 0.
4. Упростить выражение
1-х
х :
yfx + V-X
Vx + Vx l 1 + Vx
• Vx + V x + 1.
5. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
Найти отношение площади сектора к площади этого круга.
Вариант 64 (2004 г.)
1. Расстояние 840 км один из поездов проходит на 2 ч быстрее
другого. В то время как первый поезд проходит 63 км, второй
проходит 54 км. Сколько времени тратит каждый поезд на про¬
хождение расстояния в 840 км?
366
2. Решить уравнение lg2(l(bc) + logo, 1 -19 = 0 .
3. Решить неравенство (х +1 )V 16 — л2 +6л' < 0 .
4. Упростить выражение
5. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С на сто¬
роны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Вычислить длину сто¬
роны АС, если известно, что периметр треугольника АВС равен
15 см, периметр треугольника BPQ равен 9 см, а радиус окруж¬
ности, описанной около треугольника BPQ, равен 1,8 см.
1. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые
при делении на 11 дают в остатке 5.
2. Решить уравнение 3 + 2 sin 2х = tg х + ctg х.
4. Упростить выражение
5. Дан треугольник АВС. Известно, что длины сторон АВ, АС и
ВС равны соответственно 4, 2 и 3 см. Биссектриса угла А пере¬
секает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В
параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в
точке М. Найти длину отрезка КМ.
1. Емкость сосуда 8 литров. Он наполнен воздухом, содержа¬
щим 16% кислорода. Из этого сосуда выпускают некоторое ко¬
личество воздуха и впускают такое же количество азота. После
чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество
смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой
смеси оказалось 9% кислорода. По сколько литров смеси выпус¬
кали из сосуда каждый раз?
2. Решить уравнение tg х + ctg х + 3 = 2 sin 2х.
Вариант 65 (2004 г.)
3. Решить неравенство (6х~ 1) log,
з
Вариант 66 (2005 г.)
367
3. Найти область определения функции у
л/20-х2 — х
lgx
4. Упростить выражение
а + yla3b2 + Ьл[с
У (Vа + 4ъ
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипоте¬
нузе, разбивает его на два треугольника с площадями 20 и 5 см2.
Найти длину гипотенузы.
+ Ъ2
Г
- ъ
+
1
_I I 1
а 4Й2 - 1
Вариант 67 (2005 г.)
1. Три бригады выполнили некоторую работу за 12 дней. Если
бы сначала 1-я и 2-я совместно сделали бы половину всей рабо¬
ты, а затем 3-я бригада — остальную часть, то вся работа была
бы выполнена за 25 дней. А если сначала 1-я бригада сделала бы
1/3 всей работы, затем 2-я — 1/3 всей работы и потом 3-я — ос¬
тавшуюся часть, то вся работа была бы выполнена за 40 дней. За
какое время могла бы выполнить эту работу каждая бригада в
отдельности, если производительность любой из них меньше
суммы производительностей двух других бригад?
2. Решить уравнение 2 sin2 6х + sin2 12х = .
3. Найти область определения функции
= I х2-I 1 1
У \(х + 3)(х - 4) +log8(x-4)'
4. Упростить выражение
( 1
X1- — у
V J
IV1
2
у[х + 4у
~1Т~
-Л
(ху)
X + у
5. В трапеции с основаниями 2 и 8 см через точку пересечения
диагоналей проведена прямая, параллельная основанию. Найти
длину отрезка этой прямой, заключенной между боковыми сто¬
ронами трапеции.
368
Вариант 68 (2005 г.)
1. Гонщик удаляется от пункта А с некоторой скоростью. Через
30 мин из того же пункта стартует второй гонщик со скоростью
на 25% большей, чем у первого. Через сколько минут после
старта первого был отправлен третий гонщик со скоростью на
50% большей, чем у первого, если он одновременно настиг пер¬
вого и второго гонщиков?
2. Решить уравнение 9Х+1 - Зх+3 = 486.
3. Решить неравенство л/лс2 + Зх - 10 + х < 7 .
4. Упростить выражение (tga + ctga) • (ctga - ctg2a) '.
5. Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в
точке О. Через эту точку проведена прямая, параллельная сто¬
роне АС, которая пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N.
соответственно. Найти длину MN, если стороны треугольника
АВ, ВС и АС равны 4, 2 и 3 см соответственно.
Вариант 69 (2005 г.)
1. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процен¬
тов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В
результате получилось число 21,6. Найти упомянутый процент од¬
норазового увеличения (или последующего уменьшения).
2. Решить уравнение log7(x2 - 5) = 21og49(x + 1).
3. Решить неравенство
х2 - 8х + 4
х2 + 6х - 16
4. Упростить выражение
cos 2a - cos 6а + cos 10а - cos 14а
sin 2а + sin 6а + sin 10а + sin 14а
5. В треугольнике АВС через точку М, лежащую на стороне ВС, про¬
ведены прямые, параллельные сторонам АС и А В. Площадь образо¬
вавшегося параллелограмма составляет 5/18 площади треугольника
АВС. Найти, в каком отношении точка Мделит сторону ВС.
Вариант 70 (2006 г.)
1. Золото и серебро в первом сплаве содержится в отношении
1:3, во втором сплаве — в отношении 2:3. Сколько граммов каж¬
дого сплава нужно взять, чтобы получить 36 г нового сплава, в
котором серебра вдвое больше, чем золота?
369
2. Решить уравнение sin х + sin 2х + sin Зх + sin 4х = 0.
3. Решить неравенство 22
4. Упростить выражение
2*-i > 2*-1 + 1.
yfab - Vab
1 - Jab
. Jab
v 1 - -Jab
Jab j
1 + Jab
• 4Jab .
5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана AM
и биссектриса CD перпендикулярны. Найти биссектрису CD, ес¬
ли АС = 6 см.
Вариант 71 (2006 г.)
1. Первый сосуд объемом 20 л наполнили спиртом. Из него пе¬
реливают некоторое количество спирта в пустой сосуд, равный
ему по объему. Второй сосуд дополняют водой и из него запол¬
няют до краев первый сосуд. Затем из первого сосуда перелива¬
ют треть содержимого во второй. В результате объем спирта в
обоих сосудах оказался одинаковым. Сколько литров спирта пе¬
релили из первого сосуда во второй первоначально?
2. Решить уравнение Jx + -Jx - JV- х = 1.
3. Решить неравенство log4(2x + 3) > log2 х.
cos2^ - 2аj + 4cos2|j^- - aj - 4
4. Упростить выражение .
1 + cos(4a - л) - 8 sin (57г - a)
5. Диаметр окружности АВ пересекает хорду CD в ее середине, в
точке Е. Касательные к окружности, проведенные в точках В и
С, пересекаются в точке F, а отрезки AF и СЕ пересекаются в
точке G. Найти площадь треугольника CFG, если длины
АВ = 10 см, АЕ. = 1 см.
Вариант 72 (2006 г.)
1. Два насоса различной мощности наполняют бассейн при совме¬
стной работе за 4 ч. Чтобы наполнить половину бассейна, первому
насосу требуется времени на 4 ч больше, чем требуется второму
для заполнения бассейна на три четверти. За какое время может
наполнить весь бассейн каждый насос в отдельности?
2. Решить уравнение 8 sin3 х cos3 х + 1 = cos 4х.
3. Найти область определения функции у = ^ + ^ + 2Л ■ Vx - 1 .
х
370
4. Упростить выражение
(( i
2 фсу
VV
Гу-‘-
IX,
1 1
1 1
х4 -у4х2 +у2х4 -у4
_
5. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 6:1. Впи¬
санная в трапецию окружность касается стороны CD в точке К,
так что CKiKD = 3:2. Найти отношение большей боковой сторо¬
ны трапеции к меньшей.
Вариант 73 (2007 г.)
1. Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали одновременно
мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист проехал в первую
минуту 450 м, а в каждую последующую на 30 м меньше, чем в
предыдущую. Велосипедист же проехал в первую минуту 60 м, а
в каждую следующую на 10 м больше, чем в предыдущую. Какое
расстояние проехал велосипедист до встречи с мотоциклистом,
если расстояние между А и В 4200 м?
2. Решить уравнение 2 sin2 Зх + tg23x = 2 .
3. Решить неравенство log j (х - 3) > log j (18 - 2х).
2 2
4. Упростить выражение
з
- а2
9Ь3 - -~y ,2
, ° ; г , если а > 0 и b > 0.
1 1-1 4 1 1
уа2 ■ Ь1 + 6а4Ь3 + 9ЬЪ а4 - 3h3
5. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность радиуса 1 см. Из¬
вестно, что ЛВ = V2 , ВС = CD, углы АВЕ и EBD равны 45° и
30° соответственно. Найти площадь пятиугольника ABCDE.
Вариант 74 (2007 г.)
1. В два различных сосуда налили раствор соли, причем в первый —
10 кг, а во второй — 20 кг. При выпаривании воды концентрация
соли в первом сосуде увеличилась в полтора раза, а во втором — в
шесть раз. Какое количество воды испарилось из двух сосудов?
2. Решить уравнение cos (х + 20°) + sin (х
3. Решить неравенство
log 1^ X 1
2 1 >-.
2
10°) = 0,5.
371
4. Упростить выражение
у[а~ + 4b2 _ л/а - b (а + Ъ)2 - ab
%1(а2 - ab)2 (аЧа - ЬЧЬ)Ча I Ча ,
5. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь¬
ника, делит ее на отрезки в 9 и 16 см. Из вершины большего
острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через
середину высоты. Найти длину отрезка этой прямой, заключен¬
ного внутри данного прямоугольного треугольника.
Вариант 75 (2008 г.)
1. Через 8 дней после того, как первая бригада лесорубов начала
прокладывать просеку, к ней присоединилась вторая бригада, и
оставшуюся часть работы они выполнили вместе. Если бы нача¬
ла вторая, а подключилась к ней через 8 дней первая, то просе¬
ка была бы прорублена на 2 дня быстрее. Сколько дней бригады
работали вместе, если первая может выполнить 10% всей работы
на 4 дня быстрее, чем вторая 1/3 работы?
2. Решить уравнение 3'°Si Л = xl0SlX.
3. Решить неравенство —-— > —-—.
2х - 3 х-4
. ЛГ 2 2 4 cos 2а
4. Упростить выражение .
sin a sin За sin За
5. В треугольнике АВС, площадь которого 6 см2, на стороне АВ
взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК.КВ = 2:3, а
на стороне АС взята точка L, такая, что AL.LC = 5:3. Точка Q,
образованная при пересечении прямых СК и BL, удалена от пря¬
мой АВ на расстояние 1,5 см. Найти длину стороны А В.
Варианты заданий 3-го уровня сложности
для вступительных экзаменов во ВЗФЭИ
(1999 г.)
Вариант 76 (1999 г.)
1. В сосуде было 10 л серной кислоты. Часть кислоты отлили и
добавили такое же количество воды. Затем снова отлили такое
372
же количество смеси и долили такое же количество воды, после
чего в сосуде оказался 64%-ный раствор серной кислоты. Опре¬
делить, сколько литров отливали каждый раз.
2. Решить уравнение д/1ogЛ. УЗх ■ log3 х = -1.
~ ^ 8х2 - \2х + 5 ,
3. Решить неравенство —^ > 1.
. лг 1 - cos (4а - Зл)
4. Упростить выражение 1 .
tg а - ctg а
5. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписа¬
на окружность, которая касается боковой стороны АВ в точке М.
Через точку М. проведен перпендикуляр ML к стороне АС тре¬
угольника АВС. Найти угол ВСА, если площадь четырехугольни¬
ка LMBC составляет 68% площади треугольника ЛВС.
Вариант 77 (1999 г.)
1. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу
из двух городов, расстояние между которыми 210 км. После
встречи первому приходится быть в пути еще 2 ч, а второму 9/8 ч.
Найти скорость каждого автомобиля.
2. Решить уравнение Ух+ 5 + Ух+ 6 = У2х + 11.
3. Решить неравенство
18-х2
У2х + 5
> 0.
4. Упростить выражение
4 sin2 (а - 5л) - sin2 (2а + л)
cos2^2a - -yj -4 + 4 sin2 а
5. Около окружности радиуса 6 см описан параллелограмм.
Площадь четырехугольника с вершинами в точках касания ок¬
ружности и параллелограмма равна 48 см2. Найти длины сторон
параллелограмма.
Вариант 78 (1999 г.)
1. Для переноски товаров с одного места на другое нанято неко¬
торое число рабочих, которые перенесут весь товар за 10 ч. Если
бы рабочих было на 10 больше и каждый переносил за 1 ч на
5 ящиков больше, то работа была бы закончена за 6 ч, а если бы
рабочих было на 20 меньше и каждый переносил за 1 ч на
373
5 ящиков больше, то на работу ушло бы 15 ч. Сколько нанято
рабочих и сколько было ящиков?
2. Решить уравнение log4 log2 х + log2 log4 х = 2.
3. Найти область определения функции у
4\2 + х-х2
log2(x-l) '
4. Упростить выражение
■ИР
- 8хузу
х^3 + 2 -фсу + 4у
1 - 221—
-Сг.
5. В трапеции ABCD, вписанной в окружность радиуса 2 см, диа¬
гональ АС является биссектрисой угла BAD, а длина основания AD
в два раза больше длины основания ВС. Найти площадь трапеции.
Вариант 79 (1999 г.)
1. Имеются два сплава с разным процентным содержанием меди в
каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в пер¬
вом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего содержание меди
во втором сплаве. Затем оба сплава сплавили вместе, после чего
содержание меди составило 36%. Определить процентное содержа¬
ние меди в первом и втором сплавах, если известно, что в первом
сплаве меди было 6 кг, а во втором — 12 кг.
2. Решить уравнение sin2 х + sin2 2х = sin2 Зх + sin2 4х.
3. Найти область определения функции
4. Упростить выражение
2а(а - 1У1/2 - (а + 1)1/2 (а + 1),/2
(а + 1Г1/2 - (а - \у1'2 1 (а - I)3/2 - (а + I)3/2 '
5. В треугольнике АВС с периметром 30 см длина стороны АС
равна 12 см и острый угол АВС равен 60°. Вписанная в тре¬
угольник окружность с центром в точке О касается стороны ВС
в точке К. Найти площадь треугольника ВОК.
Вариант 80 (1999 г.)
1. Автомобиль проходит расстояние от пункта А до пункта В с
постоянной скоростью. Если бы он увеличил скорость на
374
6 км/ч, то затратил бы на прохождение пути на 4 ч меньше, а со
скоростью меньше начальной на 6 км/ч, он потратил бы на 6 ч
больше. Найти расстояние между пунктами А и В.
2. Решить уравнение 2log2 х + 5xlog2 х = 12.
3. Решить неравенство
л/х2 - 4
5 - 2х
г
>0.
4. Упростить выражение
1
а
- V2 а -48
а
12
+ 1 +
л-1
5. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На продолжении АВ
откладываем ВМ = АВ, на продолжении ВС СУ = ВС, на про¬
должении CD DP = CD, на продолжении DH AQ = DH. Найти
отношение площадей четырехугольников ABCD и MNPQ.
Вариант 81 (1999 г.)
1. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции
ежеквартально на одно и то же число процентов. На сколько
процентов ежеквартально увеличивался объем продукции, если
за два квартала он увеличился на 156%?
2. Решить уравнение 9х - 2Х+1/2 = 2Х+7/2 - 32х_1.
2х - 8
3. Решить неравенство log0 3 ——— > 0.
4. Упростить выражение 1 - sin 4а + ctg
Зтг
т
2а
cos 4а.
5. В треугольнике АВС угол С прямой, медиана AD и медиана
СЕ взаимно перпендикулярны. Определить величину угла В.
Вариант 82 (1999 г.)
1. Сплавляя два одинаковых по весу куска стали с разным со¬
держанием хрома, получили сплав, в котором содержалось 12 кг
хрома. Если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в спла¬
ве содержалось бы 16 кг хрома. Известно, что содержание хрома
в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Найти процент¬
ное содержание хрома в каждом куске стали.
2. Решить уравнение 4,5х2 + 6х - 26 = л/Зх2 + 4х - 4.
3. Найти область определения функции
у = log5^3x2 - 18х) + V20 - х.
375
1 Л f 2 л
4. Упростить выражение sin2 а I 1 + ctgа + — 1 + ctg а -
sin a J V sin а у
5. В окружность радиуса 5 см вписана равнобокая трапеция с углом
при основании -j и высотой Зл/З см. Найти площадь трапеции.
Вариант 83 (1999 г.)
1. При каком угле наклона образующей конуса к основанию
объем конуса является наибольшим? Найти наибольший объем
конуса с образующей, равной 3-Уз см.
2. Решить уравнение sin3 х (1 + ctg х) + cos3 х (1 + tg х) = cos 2х.
4х-5 12х+1
3. Решить неравенство 0,22x 3 < 0,2 6x1.
(
4. Упростить выражение
5. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедрен¬
ный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого
треугольника, равно 0,32. Найти угол при основании треуголь¬
ника, если известно, что он больше 45°.
Вариант 84 (1999 г.)
1. В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения
пункта А он проехал 30 м, а в каждую последующую секунду он
проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того,
как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из
пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В пер¬
вую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую последующую секун¬
ду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое рас¬
стояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
2. Решить уравнение 4 • 3х - 9 • 2х = 5 • 6х/2.
3. Найти область определения функции у =
lg
4х2 + 9
4х +1 - 12х2
4. Упростить выражение
/ \ 2
I а I
cos а + cos—
v 2)
sm а + sm -
а
2
376
5. Определить площадь трапеции по двум диагоналям 17 и
21 см и средней линии, равной 5 см.
Вариант 85 (1999 г.)
1. Для разгрузки парохода выделено две бригады грузчиков. Ес¬
ли ко времени, за которое может самостоятельно разгрузить па¬
роход первая бригада, прибавить время, за которое может само¬
стоятельно разгрузить пароход вторая бригада, то получится 9 ч.
Определить время той и другой бригады, если их разность со¬
ставляет 45% времени, за которое обе бригады могут разгрузить
пароход совместно.
2. Решить уравнение logcosx sin х + logsinx cosx = 2.
3. Найти область определения функции у = /1 ь—
V х х
4. Упростить выражение
_2_ J_y1/2
^ + х)
+ 2х.
5. На отрезке АВ длиной 8 см как на диаметре построена ок¬
ружность. Вторая окружность такого же радиуса, как и первая,
имеет центр в точке А. Третья окружность касается первой ок¬
ружности внутренним образом, второй окружности — внешним
образом, а также касается отрезка АВ. Найти радиус третьей ок¬
ружности.
Вариант 86 (1999 г.)
1. Два тела равномерно движутся по окружности в одном и том же
направлении, и одно из них догоняет другое через каждые 23 с.
Если же эти тела с теми же скоростями движутся в разных направ¬
лениях, то они встречаются через каждые 4 с. Определить скорости
движения тел по окружности, зная, что ее радиус равен 92 см.
2. Решить уравнение sin2* (tgx + 1) = 3sinx (cosx-sinx) + 3.
3. Найти область определения функции у = lg
4. Упростить выражение
( 1 + 1 \ Г +
ул[а + т[а~+Т -Ja - - 1J ^
2bc-4x2 -20
х2 +36
а + 1
а — 1
377
5. Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на ги¬
потенузу АВ, равна 4 см, D — основание высоты, M.nN— сере¬
дины отрезков AD и DB. Найти расстояние от вершины С до
точки пересечения высот треугольника CMN.
Вариант 87 (1999 г.)
1. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала 2 ч ра¬
ботали четыре крана одинаковой мощности, затем к ним при¬
соединились еще два крана, но меньшей мощности, и через 3 ч
после этого разгрузка была закончена. Если бы все краны на¬
чали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за
4,5 ч. За сколько времени выполнят погрузку один кран боль¬
шей и один кран меньшей мощности при совместной работе?
2. Решить уравнение 4 sin2 х + sin2 2х = 3.
3. Решить неравенство
4-2х
2х-5
1
1 - 2х
(
4. Упростить выражение
1 - л[а 1
5. Периметр параллелограмма ABCD равен 26 см. Величина угла
АВС равна 120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник
BCD, равен л/з см. Найти длины сторон параллелограмма, если
известно, что длина стороны AD больше длины стороны АВ.
Вариант 88 (1999 г.)
1. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипе¬
ды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых
граней имеет периметр, равный 6 см. Найти среди них параллеле¬
пипед с наибольшим объемом и вычислить этот объем.
2. Решить уравнение log2 log3(x2 - 16) - log0 5 log,^ = 2.
v ' ’ х -16
378
3. Найти область определения функции
y^log1/3(x2 + 0,84)+——
4. Упростить выражение
b - 4ь.
аУ2Ь-У2.
5. Около окружности радиуса 3 см описана трапеция. Хорда, со¬
единяющая точки касания окружности с боковыми сторонами
трапеции, параллельна основаниям трапеции. Длина этой хорды
равна 1 см. Найти площадь трапеции.
Вариант 89 (1999 г.)
1. На заводе сначала работали два цеха — первый и второй. За¬
тем был пущен третий цех, в результате чего завод увеличил
ежемесячный выпуск продукции в 1,6 раза. Во сколько раз
больше продукции дает в месяц третий цех по сравнению со
вторым, если известно, что за два месяца первый и третий цеха
вместе выпускают столько же продукции, сколько второй за
полгода?
2. Решить уравнение 2л1х2 - х + 5 - х2 + х + 10 = 0.
_ _ х2 — 6х +10 1
3. Решить неравенство - >—.
х 2
4. Упростить выражение sin2
9 л
— + а
-sin2
17л 1
а .
5. В трапеции длина средней линии равна 4 см, а углы при од¬
ном из оснований равны 40° и 50°. Найти длины оснований тра¬
пеции, если длина отрезка, соединяющего середины этих осно¬
ваний, равна 1 см.
Вариант 90 (1999 г.)
1. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то по¬
лучится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить
на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке
5. Найти число.
2. Решить уравнение logx -Д- • log? х = -1.
379
Зх-5
Зх-8
3. Решить неравенство 0,3 2х+1 > 0,32 v 1
4. Упростить выражение
( 1
а2 + 4 ]
г а
1 1 ч
^ а + д/2*
а + 2^/2"^
U
л/2 а,
5. Дана окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. Из
конца отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М,
проведена касательная АК. к окружности. Величина угла О А К
равна 60°. Найти радиус окружности, касающейся отрезков АК,
AM и дуги МК.
Вариант 91 (1999 г.)
1. Из сосуда емкостью 9 л, наполненного спиртом, два раза бра¬
ли по одинаковому количеству содержимого и каждый раз до¬
полняли водой, после чего в сосуде осталось 4 л чистого спирта.
По сколько литров отливали каждый раз?
2. Решить уравнение (7х - l) (9х - б) = 21х - 3х.
3. Найти область определения функции у
■\1б + х - х2
log5(*-l) '
4. Упростить выражение
sin a (l + sin-1 а + ctgaj (l - sin-1 a + ctgaj.
5. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересека¬
ются на другом основании. Найти все стороны трапеции, если
ее высота равна 12 см, а длина биссектрис 15 и 13 см.
Вариант 92 (1999 г.)
1. Куплена на 1525 тыс. руб. ткань двух сортов. Метр ткани каж¬
дого сорта стоит столько рублей, сколько куплено метров ткани
этого же сорта. Если бы за метр каждого сорта платили столько
рублей, сколько метров ткани было куплено другого сорта, то за
всю ткань заплатили бы на 25 тыс. руб. меньше. Сколько метров
ткани каждого сорта куплено?
2. Решить уравнение 6log^x +х1оВбХ =12.
3. Найти область определения функции у = J 1 1—-.
\ XX1
380
4. Упростить выражение
.71. .
sm sm а • sm
f
71
—ha
\
2
cos a (cos
u
a - sin
sin2 a - cos2 a
sin3 a + cos3 a
5. На сторонах квадрата ABCD взяты точки M, N и К, где М —
середина А В, N лежит на стороне ВС, причем 2BN = NC, К. ле¬
жит на стороне DA, причем 2DK = КА. Найти синус угла между
прямыми МС и NK.
Вариант 93 (1999 г.)
1. Велосипедист, выезжающий из А в В, должен приехать в В
через 3 ч. Одновременно с ним из пункта С выезжает другой ве¬
лосипедист, и, чтобы приехать в В вместе с первым велосипеди¬
стом, он должен каждый километр проезжать на 1 мин быстрее,
чем первый. Расстояние от С до В на 6 км больше расстояния от
А до В. Определить эти расстояния.
у
2. Решить уравнение sin6 х + cos6 х = —.
_ _ 10 - х2 _
3. Решить неравенство > 0.
V 2х + 5
4. Упростить выражение
(У^ + У^)2 +(т1/4-п1/4)2 . 1 _ 3т1/2и1/2_
2(т - п) m-Jm - n^fn
5. Найти косинус угла при основании равнобедренного тре¬
угольника, если точка пересечения его высот лежит на вписан¬
ной в треугольник окружности.
Вариант 94 (1999 г.)
1. Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие — 12% во¬
ды. Сколько получится сухих грибов из 17,6 кг свежих грибов?
2. Решить уравнение Ух2 - х - 6 - У18 - 9х + х2 = л/4х - 12.
Зх2 - 16х + 21
3. Решить неравенство т~.: г > 0.
log03(x2+4)
381
4. Упростить выражение
sin2 |^4а -
ctg ("У “ 2а]+ tg [т+ 2а]
5. Прямая, параллельная основанию треугольника с площадью
108 см2, отсекает от него треугольник с площадью 12 см2. Опре¬
делить площадь четырехугольника, три вершины которого сов¬
падают с вершинами малого треугольника, а четвертая лежит на
основании большего треугольника.
Вариант 95 (1999 г.)
1. Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день месяца
105 телевизоров. Каждый следующий рабочий день дневная
продажа возрастала на 10 телевизоров, и месячный план —
4000 телевизоров — был выполнен досрочно, причем в целое
число рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на
13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного пла¬
на. На сколько процентов был перевыполнен месячный план
продажи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?
2. Решить уравнение
6 = 0.
3. Найти область определения функции у = lg
9х2 -8х-1
4х2 + 81
4. Упростить выражение
sin2
tg (j + ojcos
— - a .
4
5. В трапеции ABCD основания AD = 8 см и ВС = 4 см, а боковая
сторона АВ = л/28 см и угол CDA = 60°. Через точку С проходит
прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найти
длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.
Вариант 96 (1999 г.)
1. Имеются два сплава из меди, цинка и олова. Известно, что пер¬
вый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процент¬
ное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во
втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили
382
новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определить, сколько
килограммов меди содержится в новом сплаве.
2. Решить уравнение VЗх2 -5х-2 - у/х2 -Зх + 2 = -J4x - 8 .
3. Найти область определения функции у = log5
2 + Зх - 2х2
9х2 +16
4. Упростить выражение cos 2а - cos 4а - 2 cos2 а + sin 4а • ctg 2а .
5. В окружность радиуса 16 см вписан равнобедренный тре¬
угольник, боковая сторона которого в 2 раза больше основания.
В этот треугольник вписана окружность. Найти ее радиус.
Вариант 97 (1999 г.)
1. Если дважды последовательно повысить цену товара А на од¬
но и то же число р процентов, то новая цена товара А будет на
28% выше цены товара В. Если же дважды последовательно по¬
низить цену товара В на одно и то же число р процентов, то но¬
вая цена товара В будет на 68% ниже цены товара А. Найти чис¬
ло р и отношение первоначальных цен товаров А и В.
2. Решить уравнение log v( 125a'J 1 og25 х = 1.
3. Найти область определения функции у = I—т- н 2 .
\х X
4. Упростить выражение
Сл/х -
- у[х
- у[х
Vx3 +1
х
х
5. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь¬
ника, делит ее на части, равные 4 и 9 см. Из вершины большего
угла треугольника проведена прямая, проходящая через середи¬
ну высоты. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного
внутри данного прямоугольного треугольника.
383
16.3. Варианты заданий
для вступительного испытания
по математике во ВЗФЭИ
В начале вступительного испытания абитуриенту предлагается
задание, которое он выполняет письменно. При отличном или
хорошем выполнении этого задания абитуриент считается про¬
шедшим испытание с оценкой «зачтено». При удовлетворитель¬
ном выполнении письменного задания испытание продолжается
в форме устного собеседования преподавателя с абитуриентом, по
результатам которого устанавливается окончательная оценка ис¬
пытания.
Варианты заданий 1-го уровня сложности
для вступительного испытания по математике
во ВЗФЭИ (1999-2008 гг.)
Вариант 98 (1999 г.)
1. С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от не¬
го на 1600 км, два самолета. Скорость одного из них на 80 км/ч
больше скорости другого, а потому он прилетает к месту назначе¬
ния на час раньше. Найти скорость каждого самолета.
2. Решить уравнение 6 + ^2х + 3 = х.
3. Упростить выражение cos а (1 + tga) — sina(l + ctga).
Вариант 99 (1999 г.)
1. На кормление 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно
162 кг сена. Сколько килограммов сена ежедневно выдавали каж¬
дой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей по¬
лучали сена на 3 кг больше, чем 7 коров?
2. Решить уравнение 4х + 4x+l = 320.
3. Упростить выражение (3sina + 4 cos a)2 + (3cosa— 4 sin a)2.
Вариант 100 (1999 г.)
1. Несколько человек отправляются на экскурсию. Если при
этом каждый внесет на расходы по 125 ден. ед., то для оплаты
расходов не хватит 1000 ден. ед.; если же каждый внесет по
160 ден. ед., то останется излишек 120 ден. ед. Сколько человек
участвуют в экскурсии?
384
2. Решить уравнение log3 (х2 —5х +9) = 1.
3. Упростить выражение
' Ъ
ка2 — ab
Ъ2 - аЪ,
а2Ъ + аЪ2
2 р2 '
а - о
Вариант 101 (1999 г.)
1. Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по тече¬
нию реки за 4 ч, а против течения — за 5 ч. Определить расстояние
между пристанями, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
2. Решить уравнение lg(4,5 —х) = lg 4,5 — lgx
3. Упростить выражение
а — Ъ
+ аЪ о + аЪ
1
а3 - ай2 а + Ъ
к
Вариант 102 (1999 г.)
1. Кофе при жарении теряет 12% своего веса. Сколько кило¬
граммов свежего кофе надо взять, чтобы получить 4,4 кг жаре¬
ного?
2. Решить уравнение 2
х7+5х-9
= 32.
3. Упростить выражение
ctg2a-cos2a
2 '
ctg a
Вариант 103 (1999 г.)
1. Книга в переплете стоит 48 ден. ед., причем стоимость пере¬
плета составляет 20% стоимости книги без переплета. Найти
стоимость книги без переплета.
2. Решить неравенство
3
2х-Ъ
>2.
3.
Упростить выражение (х2 -
Вариант 104 (1999 г.)
1. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить некото¬
рую работу за 3 ч. Первому рабочему на выполнение всей рабо¬
385
ты потребуется 7,5 ч. Сколько времени необходимо второму ра¬
бочему на выполнение данной работы?
2. Найти область определения функции у
(l - tg2 a) ctg а
3. Упростить выражение т—; — .
(ctg2a-l)tga
х + 3
2х-5'
Вариант 105 (1999 г.)
1. По плану тракторная бригада должна была вспахать целину
за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем
полагалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней.
Сколько гектаров целины было вспахано и сколько гектаров
бригада вспахивала ежедневно?
2. Решить уравнение 4х + 2 • 2х — 80 = 0.
3. Упростить выражение cos4a + cos2a-sin2a + sin2a.
Вариант 106 (1999 г.)
1. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба
наполняет его в 1,5 раза быстрее, чем вторая. За какое время
каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?
2. Решить уравнение у/3 + х -х = 3 .
3. Упростить выражение
1 - sin4a ,
?— + cosza .
cos2a
Вариант 107 (1999 г.)
1. Двое рабочих различной квалификации получили за работу
436 ден. ед. Первый работал 30 дней, второй — 28 дней. Сколь¬
ко денежных единиц за день получил каждый рабочий, если из¬
вестно, что первый рабочий за 8 дней получил на 22 ден. ед.
больше, чем второй рабочий за 6 дней?
386
2. Найти область определения функции у
х2 +6х-27
36х2+49
3. Упростить выражение
а + 2
ка - 2
Вариант
а - 2 | 16а
а + 2 J а2 - 4
108 (1999 г.)
1. Дочь 8 лет назад была в 5 раз моложе матери, а через 27 лет
она будет моложе только в 1,5 раза. Сколько лет матери и до¬
чери?
2. Решить уравнение log2 х + 2 log5 х - 8 = 0.
_ Л. х3+27 ( х-3 ху-9
3. Упростить выражение —
х-у Vxz -Зх + 9 х3 +27.
Вариант 109 (1999 г.)
1. В трех вузовских группах 68 студентов. В первой группе сту¬
дентов на 25% больше, чем во второй, а в третьей на 2 студента
меньше, чем в первой. Сколько студентов в каждой группе?
2. Решить уравнение 52х — 2 • 5х = 575.
3. Упростить выражение -\j(6 sin а + 8 cos а)2 + (8 sin а - 6 cos а)2 .
Вариант 110 (2000 г.)
1. В первой фляге было молока в 3 раза меньше, чем во второй.
Когда из второй фляги перелили 6 л молока в первую флягу, то
оказалось, что в первой фляге молока стало 60% того, что оста¬
лось во второй. Сколько литров молока было в каждой фляге
первоначально?
2. Решить неравенство
4-х
2х - 3
>2.
3. Упростить выражение
2 а2
а-Ь
2
а2
1 1
а2 +Ь2
a4b
4а -4ь
387
Вариант 111 (2001 г.)
1. В вузе 5040 студентов. Сколько юношей и сколько девушек
учится в вузе, если известно, что число девушек на 40% больше
числа юношей?
3 х 6
2. Решить неравенство < .
х + 1 х-2
„ Л r 1 - sin a cos а
3. Упростить выражение н .
cosa 1-sma
Вариант 112 (2002 г.)
1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 15 км, одно¬
временно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста и
через 30 мин встречаются. Если же они поедут в одном направ¬
лении, то один догонит другого через 2 ч 30 мин. Найти ско¬
рость каждого велосипедиста.
2. Решить уравнение log3 V43 — 2^ = 1,5 .
_ (2a + l 2а-\\ 4а
3. Упростить выражение : .
\2a-l 2а+ V 10а-5
Вариант 113 (2003 г.)
1. В первом и втором классах 67 учеников, во втором и третьем
классах 62 ученика, а в первом и третьем — 65 учеников. Сколь¬
ко учеников в каждом классе?
2. Решить уравнение 6х + 6х + 1 = 252.
_ 1 - cos 2a + sin 2a
3. Упростить выражение ^ .
cos a + sin (л - a)
Вариант 114 (2004 г.)
1. Велосипедисты участвовали в трехдневной гонке. В первый
день они проехали 4/15 всего пути, во второй — 40% всего пути,
а в третий — остальные 90 км. Какой путь проехали велосипе¬
дисты за 3 дня?
388
2. Решить уравнение lg(9
f
3. Упростить выражение
— 2х)
I i
аЧ2
а-Ъ
V
= lg 9 - lg х
1 Л
b2 2 4ь
I I 'а-Ъ'
2а2 -2Ь2)
Вариант 115 (2005 г.)
1. Моторная лодка проплыла 48 км по течению реки и верну¬
лась обратно, причем на обратный путь она затратила на 1 ч
больше. Найти скорость течения реки, если собственная ско¬
рость лодки равна 14 км/ч.
Ъ-2х
2. Найти область определения функции у = lg .
4.x+ 5
3. Упростить выражение
2cos2a
ctga(sin2a-cos2a)
Вариант 116 (2006 г.)
1. Чтобы выполнить задание в срок, рабочий должен был еже¬
дневно изготовлять по 18 деталей. Рабочий ежедневно изготов¬
лял на 2 детали больше, чем предполагал, а поэтому выполнил
задание на 3 дня раньше срока. За сколько дней должен был ра¬
бочий выполнить задание?
2. Решить неравенство
1
<
х - 6 X
cos
3. Упростить выражение
+ aj sin (2л - a)
sin 2a
Вариант 117 (2006 г.)
1. Шесть билетов в амфитеатре стоят столько же, сколько пять
билетов в партере. Найти цену одного билета в партере и одного
билета а амфитеатре, если 13 билетов в амфитеатре и 12 билетов
в партере стоят вместе 274 денежные единицы.
7
2. Найти область определения функции у = lg—= .
6х - 13х + 6
389
л
3. Упростить выражение
а — Ъ
b - -Jab I л/й
1 .
У
Вариант 118 (2007 г.)
1. К 12 кг морской воды, содержащей 5% соли, добавили 13 кг
пресной воды. Каким стало процентное содержание соли в воде?
2. Решить уравнение 2 logy* = log7 (12 — x).
„ 8а f а - 8 а + 8
3. Упростить выражение —5 :
а -64 ^а + 8 а-8
Вариант 119 (2007 г.)
1. Расстояние между двумя городами по реке равно 60 км. Мо¬
торная лодка проходит это расстояние вниз по течению реки за
3 ч, а вверх против течения — за 5 ч. Найти собственную ско¬
рость моторной лодки и скорость течения реки.
2. Решить уравнение 2х' = 0,5 • 82х~4.
3. Упростить выражение ctg (а + л) + 1
ctg (а + л) - 1
Варианты заданий 2-го уровня сложности
для вступительного испытания
по математике во ВЗФЭИ (1999 г.)
Вариант 120 (1999 г.)
1. Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу
за 5 дней. Если бы первый работал вдвое быстрее, а второй —
вдвое медленнее, то работа заняла бы у них 4 дня. За сколько
времени выполнил бы всю работу один первый рабочий?
I 4
2. Решить уравнение у2 + х + . = 2.
У2 + х + 3
_ ,, l + sin2a + cos2a ^
3. Упростить выражение ctg а.
1 - cos 2а + sm2a
390
Вариант 121 (1999 г.)
1. Основания равнобедренной трапеции, описанной около ок¬
ружности, равны 4 и 6 см. Найти длину окружности.
2. Найти область определения функции
у = lg Q-x2 - 2xj + У8 - x.
3. Упростить выражение
(Уа + ifb'f - yjl6ab 1 ^а - ЪЛ
а — Ъ yfa + -Jb ^ 2y[b J
Вариант 122 (1999 г.)
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
основание — 12 см. К окружности, вписанной в треугольник,
проведены касательные, параллельные высоте треугольника и
отсекающие от данного треугольника два прямоугольных тре¬
угольника. Найти длины сторон этих треугольников.
,, _ Зх2 - 12х + 16 ,
2. Решить неравенство г < 1.
х2+16
3. Упростить выражение
7 г: г- V1
Ух - Уу
X'
■jx - у 4у,
(XF)1/2
: (х1/2 + /!2 \
Вариант 123 (1999 г.)
1. В двух емкостях находится раствор с концентрацией соли со¬
ответственно 5 и 10%. Сколько литров солевого раствора необ¬
ходимо взять из первой и второй емкостей, чтобы получить 6 л
7%-ного раствора?
2. Решить уравнение 3 • 2хI2 -1 • 2х/4 = 20.
4 cos |^- + ajcos (-a) (l-tg2(a - л))
3. Упростить выражение г .
Цт-
391
Вариант 124 (1999 г.)
1. В прямоугольной трапеции основания равны 27 и 12 см,
а боковые стороны относятся как 5:4. Найти площадь трапеции.
2. Решить уравнение lg {2х 3 +^j = lg (4V 2 + 9j -1.
3. Упростить выражение
beЪ f bl/2 + c1/2 4 )
ЬЦ2 _ с1/2 b42cV2 + с : уЬсЦ2 _ ЪМ2С Ъ_с-
Вариант 125 (1999 г.)
1. В зрительном зале 320 мест, расположенных одинаковыми
рядами. После того как число мест в каждом ряду увеличили на
4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест.
Сколько стало рядов в зрительном зале?
3. Упростить выражение
ctgz а-
(9х-1+ 7
) = 2 + log2(3x-1
Зл^)
2( ЗлЗ
tJ
lg [a + yj
sin |a + ^j-l cos ^а—2-I—I
Варианты заданий 3-го уровня сложности
для вступительного испытания
по математике во ВЗФЭИ (1999 г.)
Вариант 126 (1999 г.)
1. Каковы должны быть размеры открытого бассейна с квадрат¬
ным дном объемом 62,5 м3, чтобы на облицовку его стен и дна
пошло наименьшее количество материала?
2. Решить неравенство
у/Эх2 -16
2х-9
<0.
3. Упростить выражение
cos 1 2a + ctg
5л „
T+2a
392
Вариант 127 (1999 г.)
1. Из пункта А в одно и то же время в одном направлении
отправились два автомобиля: первый со скоростью 70 км/ч,
а второй со скоростью 50 км/ч. Через 15 мин из пункта А отпра¬
вился третий автомобиль, который догнал первый автомобиль
на 20 мин позже, чем второй автомобиль. Найти скорость
третьего автомобиля.
2. Решить уравнение logo 5
4х + log2
г
X
V °
3. Упростить выражение
cos2 (2а - 90°) + ctg2(90° + 2а) +1
sin2 (2а - 270°) + tg2 (270° + 2а) +1'
Вариант 128 (1999 г.)
1. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из
второго — две трети, а третий кусок, в котором одна треть всей
материи, продали весь. Сколько процентов ткани продано, если
всего ее осталось вдвое меньше, чем было во втором куске?
2. Решить уравнение sin4 х + sin"
3. Упростить выражение
г
л)
1
X
+ —
—
V
4 J
4
V1!
-2
х - а
4-Jx + 4-Ja
- 1.
Вариант 129 (1999 г.)
1. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей
трапеции с ее основаниями, равны 4 и 25 см2. Найти площадь
данной трапеции.
2. Решить уравнение 4х + 9х = 2 • 6х.
3. Упростить выражение
(l-a-V2
аУ2+а-У2^
1 + а
1/2
а — 1
\У2 -1
[пУ2+\)Л'
Вариант 130 (1999 г.)
1. Длины сторон треугольника относятся как 2:3:2. Найти отно¬
шение площади этого треугольника к площади треугольника,
вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис
данного треугольника с его сторонами.
393
2. Найти область определения функции у
3. Упростить выражение
а - -Jab
\Ja - 4b
\
4ь
■Jlog0>5(x2 +0,64) +1.
'и—*=
, a + ylab
Дополнительные варианты 131—154 приведены в таблице.
Дополнительные варианты заданий
(номера задач пособия)
для подготовки к вступительному испытанию
по математике во ВЗФЭИ
Варианты
131
132
133
134
135
136
137
138
1-й
3.16
3.20
3.8
3.50
3.69
3.57
3.6
3.54
уровень
2.120
5.28
4.130
5.187
4.42
4.11
4.116
4.29
сложности
1.32
6.43
1.94
6.41
6.10
6.11
1.95
1.36
Варианты
139
140
141
142
143
144
145
146
2-й
3.17
3.35
3.51
3.58
9.114
9.71
9.83
9.111
уровень
4.182
4.171
2.127
2.141
4.162
4.165
5.124
5.193
сложности
6.131
6.124
6.125
6.121
1.69
1.95
1.120
1.96
Варианты
147
148
149
150
151
152
153
154
3-й
3.113
3.112
3.111
3.115
9.149
9.150
9.152
9.153
уровень
4.188
4.50
2.148
2.177
4.193
4.187
5.131
5.173
сложности
6.56
6.47
6.58
6.135
1.77
1.71
1.117
1.110
16.4. Особенности формулировок заданий
по математике при тестовом контроле
Тестовый контроль уровня подготовки абитуриентов предпо¬
лагает задания как в закрытой форме, когда тестируемый должен
выбрать один из вариантов ответа, предложенных на выбор (см.
варианты 165-168, 188, 194-201, 213-216, задания группы А
на ЕГЭ в вариантах 217—242), так и в открытой форме, когда
абитуриент сам получает ответ в виде целого числа или десятич¬
ной дроби (см. варианты 169—176, 202—204, задания группы В
на ЕГЭ в вариантах 217—242, 245—251).
В связи со спецификой числового ответа стандартные фор¬
мулировки некоторых задач могут быть изменены: например,
вместо «решить уравнение» предлагается «найти наибольший
(наименьший) корень уравнения (или их сумму)», вместо «ре-
394
шить неравенство» — «найти наибольшее (наименьшее) целое
значение х, удовлетворяющее неравенству», и т.п. В задачах по
тригонометрии обычно предлагается найти корни уравнения из
указанного числового промежутка. В некоторых задачах пред¬
лагается вычислить ответ с определенной степенью точности.
На вступительных испытаниях, проводимых в форме тести¬
рования, как правило, не разрешается использовать калькулято¬
ры, счетные линейки, таблицы и т.п.
Приведем примеры заданий, акцентируя внимание читателя
на получении числового ответа, завершающего решение задачи,
а нахождение общего решения предлагаем провести читателю
самостоятельно.
Найти: а) наибольшее целое х, наименьшее целое х, наи¬
меньшее натуральное х, сумму всех целых х, сумму всех простых
чисел х, удовлетворяющих неравенству; б) сумму длин проме¬
жутков и координату середины наибольшего (по длине) проме¬
жутка, на которых справедливо неравенство.
Решив неравенство, получим хе(-2; -1) U (-1; 0] U [1; 5). (*)
а) Очевидно, что наибольшим целым х из решения (*) будет х =
= 4 (а не 5!), наименьшим целым х = 0 (а не х = —2!), наимень¬
шим натуральным х = 1 (0 — целое, но не натуральное число);
целыми решениями, удовлетворяющими неравенству или реше¬
нию (*), будут 0; 1; 2; 3; 4; их сумма равна 10; простыми1 чис¬
лами 2; 3 (1 — не простое число), их сумма равна 5; б) Длины
полученных промежутков в решении (*) равны —1 — (—2) = 1 ед.,
0 — (—1) = 1 ед. и 5 - 1 = 4 ед., т.е. сумма длин промежутков
равна 6 ед., а середина наибольшего (по длине) промежутка [1; 5)
имеет координату, равную 3 ед.
Пример 2. Найти целое значение х, удовлетворяющее сис-
Решив систему, получим х е (4; 5,5). Единственное целое х,
ему удовлетворяющее, есть число х = 5.
Пр имер 3. Дано уравнение cos2x + cos23x = l. На отрезке
[—90°; 90°] найти: а) наибольшее и наименьшее х, удовлетво¬
ряющее уравнению; б) число всех корней уравнения.
1 Целое число, большее 1, называется простым, если его делителями являются
только оно само и единица.
пР имер 1. Дано неравенство
>0.
\/5-xlg2(x + 2)
теме неравенств
log0 5 (2* - 3) > -3,
х2 - 4х > 0.
395
Решив уравнение, найдем х = 22,5° +
+ 45°п и х = 45° + 90°п. Отметим эти
решения на тригонометрическом круге
(рис. 15.5), учитывая, что х е (—90°; 90°).
Получим при п = 0 Л'1 = 22,5° и л'2 = 45°;
при п = — 1x3 = —22,5° и л'4 = —45°; при
п = 1 х$ = 67,5° и 135°; при п = —2 хв =
= —67,5° и —135°. Решения ±135°, а так¬
же получаемые при п = 2, ±3, ±4, ...,
лежат вне рассматриваемого отрезка.
В результате получим: а) наибольшее
и наименьшее значения х равны соот¬
ветственно 67,5° и —67,5°; б) число всех корней уравнения на
отрезке [—90°; 90°] равно 6.
Пр имер 4. Дуга кругового сектора содержит 60°. Во сколько
раз периметр сектора больше длины вписанной в сектор окруж¬
ности? Ответ дать с точностью до 0,1.
Решив задачу, получим отношение указанных в условии ве-
3
личин £ = 0,5 + —. Полагая л * 3,14, найдем £ * 0,5 + 0,955 =
л
= 1,455. Округляя полученный ответ до 0,1, получим £=1,5
раза. (Заметим, что в промежуточных приближенных вычисле¬
ниях рекомендуется давать хотя бы один запасной десятичный
знак по сравнению с требуемой в условии точностью ответа.)
16.5. Варианты заданий по математике
на вступительных экзаменах и тестировании
в различных экономических вузах (1999—2008 гг.)
Московский государственный университет*
им. М.В. Ломоносова
[экономический факультет)
Вариант 155 (1999 г.)
1. Решить неравенство л/х2 -4х-3 < 1 + л/х2 +2х + 2.
2. Четвертый член арифметической прогрессии ai,a2,... равен 4,
а разность между восьмым и третьим членами равна 11. Найти
сумму первых 15 членов прогрессии.
у
396
3. Решить уравнение cos 2х + 4-Jlf,\nx -4 = 0.
4. Решить уравнение 22(2у~^ +2 -38-24j2~4j +12 = 0.
5. Окружности радиусов 3 и 2 касаются друг друга внешним обра¬
зом. К этим окружностям проведены общие касательные АВ и CD
таким образом, что точки А и D принадлежат окружности боль¬
шего радиуса, а точки В и С принадлежат окружности меньшего
радиуса. Найти радиус окружности, касающейся отрезков АВ, ВС
и CD.
6. Множество F. состоит из всех точек плоскости, координаты
(х, у) которых принимают целочисленные значения и удовле-
(зуУ^лйЫ+М-10)
творяют неравенству J < 3 . Определить точки
множества F, наименее удаленные от точки М(—3; 3).
Вариант 156 (1999 г.)
1. Решить неравенство log1+|7x 10|(|7х-Ю| + |5х-8|)<1.
2. Решить уравнение 18
Зх-1
3
3х
Зх-1
Зл/18.
3. В параллелограмме ABCD (АВ || CD) диагональ BD = а, О —
точка пересечения диагоналей. Найти площадь параллелограм¬
ма, если ZDBA = 45°, ZAOB = 105°.
4. Решить уравнение х
1
5
arcctg (ctg 5х + cos 8х).
5. Первый и второй насосы, работая вместе, могут заполнить
бассейн водой ровно за 8 ч. Второй и третий насосы, работая
вместе, могут заполнить тот же бассейн не более чем за 6 ч.
Первый и третий насосы, работая вместе, могут заполнить тот
же бассейн не менее чем за 12 ч. За какое наименьшее количе¬
ство часов может заполнить бассейн водой один первый насос?
6. Для каждого значения а найти все пары чисел (х, у), удовле¬
творяющие уравнению a cos 2х + log2 (у'^1 -2_у12) = а2.
Вариант 157 (2000 г.)
1. Решить уравнение Зу/х2 +4х + 4 -8-х = (у/-х2 -7х-10
397
2. Интервалы движения маршрутных такси по трем маршрутам,
начинающимся у станции метро, составляют 10, 12 и 15 мин со¬
ответственно. Сколько раз с 945 до 1510 того же дня у этой стан¬
ции метро одновременно встречаются такси всех трех маршру¬
тов, если одна из таких встреч происходит в 1305?
3. Решить неравенство
log38 log2(x2+6x + 8)
log3(x2-8) log2 {x1 - 8 j
4. При повороте треугольника KLM на угол 120° вокруг точки Q,
лежащей на стороне KL, вершина М переходит в вершину К, а
вершина L — в точку /V, лежащую на продолжении стороны LM за
точку М. Найти отношение площадей треугольников KLM и LNQ.
5. Найти все значения х, при которых числа
sin
7
в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую
прогрессию.
6. Центр шара радиуса 1 совпадает с основанием высоты пра¬
вильной треугольной пирамиды. Найти площадь той части по¬
верхности пирамиды, которая лежит вне этого шара, если апо¬
фема пирамиды равна 3, а боковые ребра наклонены к основа¬
нию под углом arcsin
'2
7. Про функцию f(x) известно, что она определена на множестве
5;
5
и удовлетворяет на этом множестве системе
-j + 10 cos 2/1
--sin 2f(x) ^
0 </(*)<|.
Решить неравенство f(x) <— .
12
x
Вариант 158 (2001 г.)
1. Решить неравенство |х2 - 8х + 15| < |l5 - х2|.
2. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их
продала на общую сумму 7 миллионов 680 тысяч рублей, полу¬
398
чив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела
каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета
прибыль составила 40%, а при продаже второго — 20%?
3. На координатной плоскости заданы точки А (0; 2), В (1; 7),
С (10; 7) и D (7; 1). Найти площадь пятиугольника ABCDE, где
Е. — точка пересечения прямых АС и BD.
4. Решить неравенство
log2(2x - 3) • logV2(4x+2 - 12 • 2Х+3 + 144) < 32.
5. Решить уравнение
( [б '
VI cos %4х ■ J х - 4
V х
(
+ 3sin
гос ■
Vl2.
6. Центры двенадцати шаров равных радиусов совпадают с сере¬
динами ребер правильной шестиугольной пирамиды. Найти ве¬
личину двугранного угла при ребре основания пирамиды, если
известно, что шар, вписанный в пирамиду, касается всех двена¬
дцати данных шаров.
7. Найти наибольшие целочисленные значения и иг, для кото¬
рых уравнение 364а2и — 55 г = —20020а4 выполняется ровно при
четырех различных значениях а, два из которых относятся как 3:5.
Вариант 159 (2002 г.)
1. Доказать или опровергнуть следующее утверждение: периметр
ромба с диагоналями длины 1 и 3 больше длины окружности
радиуса 1.
2. Решить неравенство
2х
7+11х-6х2
>1.
[у - ху - X = 11,
3. Решить систему уравнений (
[ху - х у = -30.
4. Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бри¬
гаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады рабо¬
тал бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выпол¬
нено не более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на
6 человек и рабочего дня еще на 1 час все задание было бы за¬
кончено не ранее чем через 21 день. Определить наименьшую
399
при данных условиях численность бригады, а также продолжи¬
тельность рабочего дня.
5. Решить уравнение
logJ cos3 — - х • log2(cos2x) + log2(sin5x + sinx) = 0.
6. Найти все значения а, при которых неравенство
Vx2 - 6ах + 10а2 + V3 + 6ах - х2 - 10а2 >
> + 24 - -j= + у - л/2а2
-Лс
имеет единственное решение.
+
7. Равные кубы А и В, имеющие общую вершину, расположены
так, что ребро куба А лежит на диагонали куба В, а ребро куба В
лежит на диагонали куба А. Найти объем общей части этих ку¬
бов, если длина их ребер равна 1.
Вариант 160 (2003 г.)
1. Решить неравенство л/8 + 2х-х2 <2х + 1.
2. Про числа х и у известно, что х + у — 18, х- у — 3. Вычислить
1 1
значение выражения -г-■.—- + —г-
|х|-х у
3. Найти все решения системы уравнений
\лх -19-Зх1°8з2+>’ + 4• 9^ = — 10,
14^ + 6 • 2x+ylog23 — 9У —5
4. В первый день у Васи было денег на 30 руб. больше, чем у
Пети. Вася внес на покупку книг — часть своих денег, а Петя
п
часть своих денег, при этом Петя внес на 20 руб. больше Ва¬
си. На второй день мальчики пошли в магазин за тетрадями. На
этот раз у Васи было на 60 руб. больше, чем у Пети. На покупку
тетрадей Вася снова внес — часть своих денег, а Петя внес
п
400
— часть своих денег, при этом Вася внес на 40 руб. больше Пе-
4
ти. Сколько денег было у Пети в первый и второй день, если из¬
вестно, что п — целое число? При каких п задача имеет решение?
5. Найти площадь четырехугольника ABCD, если АВ = ВС =
= Зл/з , AD = DC = л/Гз , а вершина D лежит на окружности ра¬
диуса 2, вписанной в угол АВС, причем ZABC = 60°.
6. Найти все значения а, при которых уравнение
5• л/х + 3 -3а2 • >/8х-16 = л/х2 + х-6
имеет ровно два различных решения.
7. Найти минимальный радиус шара, в котором можно размес¬
тить пару одинаковых круглых цилиндров, радиусы оснований
которых равны 3, а высоты — 4.
Вариант 161 (2004 г.)
1. Вычислить произведение всех отрицательных корней уравнения
Зх
f 14 л
2 sin
I 3
2. Решить неравенство
VI'
■ = 2-\/5х • tg
'1371
I 4
1 + 2sin2 (4ях) • log^ (1 lx - 4х2 - 7) < cos(8rar).
3. Окружность, пересекающая боковые стороны АС и СВ равно¬
бедренного треугольника АСВ соответственно в точках Р и Q, яв¬
ляется описанной около треугольника ABQ. Отрезки AQ и ВР пе¬
ресекаются в точке D так, что AQ.AD = 4:3. Найти площадь тре¬
угольника DQB, если площадь треугольника PQC равна 3.
4. Решить неравенство
l°gx+3 (2х + 5) • l°g4x2+20x+25 (х2 + 2х +1) + log/j х Пх2 - х - 2) > 0.
[з 3x+S>J
5. Паром грузоподъемностью 109 т перевозит джипы и грузови¬
ки. Количество перевозимых на пароме грузовиков не менее чем
на 20% превосходит количество перевозимых джипов. Вес и
стоимость перевозки одного джипа составляют 3 т и 600 руб.,
грузовика — 5 т и 700 руб. соответственно. Определить наи¬
большую возможную суммарную стоимость перевозки всех джи¬
пов и грузовиков при данных условиях.
401
6. Найти наибольшее значение w, при котором имеет решение
система
. . 2 . , . 2 2х „ 2 2х
4sm y-w = losm b9ctg —,
7 7
(к2 cos2 Зх - 2х2 - 72)у2 = 2л2 (1 + у2) sin Зх.
7. В правильную треугольную пирамиду с высотой h = — и сто-
4
роной основания а = VT5 вложены пять шаров одинакового ра¬
диуса. Один из шаров касается основания пирамиды в его цен¬
тре. Каждый из трех других шаров касается боковой грани, при¬
чем точка касания лежит на апофеме и делит ее в отношении
1:2, считая от вершины. Пятый шар касается всех четырех ша¬
ров. Найти радиус шаров.
Вариант 162 (2005 г.)
1. Решить уравнение
[log! cos3x+ Jlogj tg^- = 0.
2. Найти произведение всех целых значений, которые принима-
X2 X
ет функция у = — - -j= + 4 при х е [2; 9].
3. В целях рекламы новой модели роликовых коньков спортив¬
ный магазин установил скидку 20% на каждую третью прода¬
ваемую пару коньков и 30% на каждую пятую продаваемую пару
коньков новой модели. В случае, если на одну пару коньков вы¬
падают обе скидки, то применяется большая из них. За месяц
было продано 250 пар роликовых коньков новой модели. Выяс¬
нить месячную выручку магазина от продажи новой модели ро¬
ликовых коньков, если их базовая цена составляет 10 000 руб.
4. Решить неравенство
1оё3+Л/8 (3 4 5 * * * - х) - 1о§17-6^ (4х2 + 20* + 25) + log3_^ (х2 + X - 2) > 0.
5. Вписанная в треугольник АВС окружность касается его сто¬
рон в точках К, N и М. Известно, что в треугольнике KNM углы
ZN и ZM равны соответственно 60° и 75°, а произведение всех его
сторон равно 911 + V3 ). Найти длины сторон треугольника АВС.
402
6. Найти все рациональные решения уравнения
+ 1)2 + у2 -з) + log2 (l + tg2тех) = 0.
7. Фигура ^задается на координатной плоскости неравенством
^9 + 2х —2гЛ Г2х + 2у + 5^
-arccos 1-2п
° -< 0.
arcsin
V
13
2y + \J\8-\/32-97 +|2х + 5|)-|2-у|
В каких пределах изменяются площади всевозможных кру¬
гов, целиком принадлежащих F?
Вариант 163 (2006 г.)
1. Решить уравнение 2\j2x2 -х + 8 = х - 2х2 + 7.
2. Решить неравенство
log13_2x (х2 - х +1) • log7_x (13 - 2х) < log2x_1 (2 - 2х - (х -1)2 + х2).
3. Найти все значения х из интервала (8; 12), для которых спра¬
ведливо равенство 2ctg
sinx =. 6-6cos
14л
V
4. Две бригады однотипных тракторов задействованы на вспаш¬
ке поля. Время вспашки поля только первой бригадой отличает¬
ся от времени вспашки поля только второй бригадой не более
чем на часть времени вспашки поля одним трактором. Если
сначала восьмая часть первой бригады вспашет первую полови¬
ну поля, а затем пятая часть второй бригады вспашет оставшую¬
ся половину поля, тогда затраченное на вспашку поля время со-
2
ставит — от времени вспашки поля одним трактором. Опреде¬
лить количество тракторов в каждой бригаде.
5. В прямоугольном треугольнике ADC гипотенуза DC является
хордой окружности радиуса 1, которая пересекает катеты AD и
АС в точках Е и В соответственно. Найти DB, если ZDBE =30°,
>/з+1
С —.
^ DEC
4
403
6. Найти все значения а, при которых неравенство
6 . / пг . \ 12а
—arcsm К/З -2х) н
п ' ' п
2л/з-1 Зл/З
4а2 • J2 arcsin(\/3 -2xj н —arccos(2x--\/3 j-8a2 -За<1
выполняется для любых х е
7. Найти площадь фигуры, задаваемой на координатной плоско¬
сти двойным неравенством
x-|l - х2| + |х| + |3х -3| + |х + l| - 7 < у < \М - Л'2.
Вариант 164 (2007 г.)
1. Для каждого значения х, удовлетворяющего условию
х2 — |х| — 42 = 0, найдите все числа у, для которых выполнено не¬
равенство
-7л]у2 -Юу + 34 > 4х + 7.
2. Найдите все решения уравнения cos3x — sin х, удовлетво¬
ряющие одновременно двум неравенствам: sinx>0, cosx<0.
3. Решите неравенство
. .5, у
4. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на раз¬
грузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе не участво¬
вали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на 1,5
тыс. руб. больше, чем в случае работы в составе полной брига¬
ды. Определите выделенную бригаде сумму денег, если 5%-ный
сбор за ее банковский перевод обошелся работодателю дополни¬
тельно в величину, находящуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тыс.
руб.
5. Внутри треугольника АВС взята точка К так, что треугольник
АВК — равносторонний. Известно, что расстояние от точки К до
центра окружности, описанной около треугольника АВС, равно
5
х2 —log2
-log3(5х) -logs(125-25*-3)<0.
6 и величина угла А СВ равна arcsin—=. Найдите длину сторо
2VT3'
ны А В.
404
6. Найдите все значения а, при которых функция
/(х) = |2 - х| ■ х + arcsin j^-^J не является монотонно возрастаю¬
щей на отрезке числовой оси, который соединяет корни квад¬
ратного трехчлена
х2 -{а2 -8а + 14)х + (а2 -6а + б)(8-2а).
7. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD,
не являющийся ромбом. Вершины А, В и С расположены на не¬
которой сфере так, что прямая AD проходит через центр этой
сферы. Вершина Л', также лежащая на данной сфере, равноуда¬
лена от концов диагонали АС основания. Найти наибольшее
возможное значение объема пирамиды, если АС = 2\/3, BD = 2.
Вариант 165 (1999 г.)
(Общеобразовательный тест1)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
2 о _д
...2. Найдите множество значений функции у = 3х 1
изменяется на отрезке [—2; 2].
(1)
, если х
^;27
; (2)
; (3)
— ;27
; (4)
i7;81
; (5)
—;27
[27 J
243
81
[81 J
243
3. По виду графика функции у = ах + ^ определите знаки по-
сх + 1
стоянных а, b и с:
(1) а < О, b > 0, с > 0; (2) а > 0, b < 0, с > 0; (3) а < 0, b > 0, с < 0;
(4) а < 0, b < 0, с > 0; (5) а > 0, b > 0, с < 0.
1 (В вариантах 165—168 приводятся только тестовые задания по математике — одно¬
го из четырех предметов общеобразовательного теста.) Ряд заданий теста опущен.
405
4. Параллелепипед с длинами ребер 4, 8 и 9 см составлен из ку¬
биков с длиной ребра 1 см. Сколько удалили кубиков, убрав
весь внешний слой толщиной в один кубик?
(1) 146; (2) 228; (3) 120; (4) 204; (5) 188.
5. На множестве црлых чисел задана функция /(/;) = 5п — 3.
Вычислите сумму/(—15) + /(—14) + ... + /(15) + /(16),
где суммирование ведется по всем целым и от —15 до 16.
(1) -12; (2) 11; (3) 2; (4) -16; (5) -15,5.
6. Найдите наименьшее возможное расстояние между точкой,
координаты которой удовлетворяют уравнению х2 — 2х + у2 +
+ 16у + 56 = 0, и точкой (—4; 4).
(1) 6; (2) 10; (3) 8; (4) 2; (5) 4.
7. После реконструкции поточной линии ее производительность
за смену возросла на 20%, расход электроэнергии за смену со¬
кратился на 10%, а цена 1 кВт ч электроэнергии за время рекон¬
струкции выросла на 40%. На сколько процентов увеличились
затраты на электроэнергию в расчете на единицу продукции?
(1) 15; (2) 25; (3) 20; (4) 5; (5) 10.
8. Величина arccos (cos 6) равна
(1) 2л — 6; (2) 6 — 2л; (3) 6 — л; (4) ±6 + 2лп, п е Z; (5) 6.
...11. Все рабочие предприятия разбиты на бригады по 4 и 9 че¬
ловек. Всего на предприятии работают 119 человек. Каково наи¬
большее возможное количество бригад из 4 человек?
(1) 24; (2) 22; (3) 23; (4) 26; (5) 25.
12. Укажите наименьшее значение функции у = 18х + — + 1
8х
на множестве (0; +<»).
(1) 4; (2) 6; (3) 5; (4) 2; (5) 3.
13. Прямые / и т, изображенные на рисунке, заданы соответст¬
венно уравнениями у = ах + b и у = сх +d.
406
Выберите пары соотношений, которым должны удовлетворять
коэффициенты:
(1) с>0, с<а; (2) а<с, с<Ь', (3) 6<с, а<0; (4) 6<0, d<a\ (5) a<d, d<0.
14. Из емкости, содержащей 828 л бензина, отлили — объема,
затем отлили — оставшегося объема, а затем еще раз отлили —
9 8
остатка. Сколько литров бензина осталось в емкости?
(1) 138; (2) 144; (3) 141; (4) 132; (5) 135.
15. Насос марки А наполняет пустой бассейн водой за а часов, а
насос марки В откачивает воду из полного бассейна за 6 часов.
За сколько часов наполнится пустой бассейн (считается, что это
возможно), если будут одновременно включены 3 насоса марки
А и 2 насоса марки В, причем насосы марки В будут откачивать
воду?
(1)
6
(2)
ab
(3)
6
(4)
6
(5)
ab
За-26 За-26 26-За 2а-36 36-2а
16. Выберите функцию, наиболее точно соответствующую ри¬
сунку:
(1) у = \х — 2 — х + 1; (2) у = \х — 2\ — х + 2; (3) у = —\х + 2| — х + 3;
(4) у = \х + 2\ — х — 1; (5) у = \х — 2\ — х — 3.
17. В городе N было 100 тысяч безработных. В течение четырех
лет их количество уменьшалось на р% ежегодно. В результате
в городе досталось 24 010 безработных. Выберите из указанных
чисел наиболее близкое к точному значению р.
(1) 24; (2) 14; (3) 19; (4) 34; (5) 29.
18. На области определения упростите выражение
(л/Г^)4+21оё>-4)2.
(1) а2 — За — 1; (2) а2 — За + 5; (3) а2 — а — 1; (4) а2 — а — 3;
(5) а2 — а + 5.
407
...20. В 1993 г. объем добычи угля на шахте А составлял 60%
объема добычи угля на шахте В. В 1994 г. объем добычи на шах¬
те А вырос на 16%, а суммарная добыча угля на двух шахтах
уменьшилась на 9%. На сколько процентов уменьшилась добыча
угля на шахте Ш
(1) 28; (2) 32; (3) 30; (4) 24; (5) 26.
Вариант 166 (1999 г.)
(Общеобразовательный тест)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
1. Найдите сумму всех целых чисел от 14 до 168, дающих при
делении на 4 остаток 1;
(1) 3367; (2) 3458; (3) 3638; (4) 3727; (5) 3547.
2. По виду графика функции
У = logc+i(ax + 6+1)
определите знаки постоянных а, b и с.
(1) а < 0, b < 0, с > 0; (2) а > 0, b < 0, с > 0;
(3) а < 0, b > 0, с < 0;
(4) а > 0, b > 0, с > 0; (5) а < 0, b < 0, с < 0.
3. Две окружности заданы уравнениями
х2 + 16х + у2 + 10у + 40 = 0, х2 — 6х + у2 — 14у + 42 = 0. Точки А
и В лежат по одну сторону от линии центров и являются точка¬
ми касания общей касательной к этим окружностям. Найдите
длину отрезка А В.
(1) 17; (2) 16; (3) 14; (4) 18; (5) 15.
...5. Сумма вклада в банке увеличивается первого числа каждого
месяца на одно и то же количество процентов по отношению к
сумме на первое число предыдущего месяца. Первого февраля
сумма вклада составляла х руб., первого июля — у руб. Сколько
рублей было на счете первого сентября?
(1) Х7/у/5; (2) Х5/7у2/7. (3) х2/7у5/7. (4) х~2/5у7/5. (5) *-2/^/7.
...7. В приведенной ниже таблице ежеквартальных объемов про¬
даж (млрд, руб.) пропущены данные в некоторых клетках. Какое
может быть наибольшее значение объема продаж товара А в
3 квартале?
408
Вид
товара
1 кв.
2 кв.
3 кв.
4 кв.
Год
А
9
9
32
Б
7
8
5
В
4
6
16
Г
5
2
8
Всего
20
19
(1) 12; (2) 14; (3) 18; (4) 10; (5) 16.
8. Средняя заработная плата преподавателей вузов города N за
месяц равнялась 510 тыс. руб., а остальных преподавателей —
460 тыс. руб. Средняя заработная плата всех преподавателей го¬
рода составляла 476 тыс. руб. Какой процент от числа всех пре¬
подавателей города составляли преподаватели вузов?
(1) 40; (2) 48; (3) 68; (4) 32; (5) 52.
9. Функция у = f(x) определена при всех х и имеет наибольшее
значение 7. Чему равно наибольшее значение функции
у = 2/(3* + 1) - 1?
(1) 13; (2) 3; (3) 43; (4) 22; (5) 2.
10. Сумма вклада увеличивалась первого числа каждого месяца на
2% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца.
Аналогично цена на кирпич возрастала на 36% ежемесячно. От¬
срочив покупку кирпича, 1 мая в банк положили некоторую сум¬
му. На сколько процентов меньше в этом случае можно было ку¬
пить кирпича на 1 июля того же года на всю сумму, полученную
из банка вместе с процентами? Выберите наиболее точный ответ:
(1) 55; (2) 50; (3) 60; (4) 65; (5) 45.
...12. Выберите функцию, наибо¬
лее точно соответствующую ри¬
сунку.
(1) у = -х + -^-т\ (2) у = х—Y’
X1 X1
(3) у = -х—Y’
X1
(4) у = -х---, (5) у = -х + -.
X X
409
...14. Укажите множество всех значений параметра а, при каж¬
дом из которых точка (—4; —2) лежит ниже прямой у = ах + 4.
(4 Л Л
(3 ^ „
Г „
'4 _
ЗЛ .
—; +°° ; (2)
[Т +”);<э
-оо; — ; (4)
— ; (5)
1з J
1 2)
I3
2 J
15. Для выполнения заказа используются 56 одинаковых автомати¬
ческих станков, работающих ежедневно одно и то же время. Две¬
надцать из них вышли из строя. На сколько процентов придется
увеличить ежедневное время работы каждого из станков, чтобы
выполнить заказ в срок? Выберите наиболее точный ответ.
(1) 18; (2) 21; (3) 27; (4) 15; (5) 24.
...17. Точки А, В и С находятся соответственно на сторонах KL, LM
и КМ треугольника KLM. При этом: KA:AL = 3:1, LB:BM = 3:2,
МС:СК= 1:4. Какой процент от площади треугольника KLM со¬
ставляет площадь треугольника АВС?
(1) 29; (2) 25; (3) 17; (4) 33; (5) 21.
18. Рабочий выполнил первый заказ за 44 дня, а второй заказ,
уменьшив производительность труда на 15%, — за 60 дней.
За какое время рабочий выполнил бы оба заказа, если бы рабо¬
тал все время с постоянной производительностью, на 25% боль¬
шей первоначальной?
(1) 76; (2) 72; (3) 64; (4) 80; (5) 68.
19. Известно, что fix) = ^х + ^ . Чему равно /{-——-1 ] ?
4 7 2х - 5 \2-х )
(1) 13 4Х; (2) -3L.Z.; (3) -JL.3; (4) -iAL; (5)
Зх-8
2х-6
Зх-8
2х + 6'
11 - 1х
х-4
20. Укажите множество всех значений параметра а, при каждом
из которых неравенство 3 sin| х ~ ^\ - а выполнено при всех
значениях х.
(1) (-оо; 3]; (2) [3; +оо); (3) [-3; +оо); (4) (-оо; -3]; (5) [-3; 3].
Вариант 167 (2000 г.)
(Общеобразовательный тест)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
1. В цехе имеются две поточные линии. На первой суммарно
за июнь и июль изготовлено такое же количество изделий, что
410
и на второй. При этом выработка на второй линии в июне была на
15% больше, чем на первой. В июле выработка на второй
линии сократилась на 60% по сравнению с июнем. Как измени¬
лась в июле выработка первой линии по сравнению с июньской?
(1) Уменьшилась на 39%;
(2) уменьшилась на 51%;
(3) уменьшилась на 60%;
(4) невозможно определить;
(5) уменьшилась на 30%.
2. Дан график функции
У =/(*)•
Сколько различных вещест¬
венных корней имеет урав¬
нение
/(4х2 + 3) = 0?
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5)
5.
3. Окружность задана уравнением х2 + у2 — 2у = 39.
Найдите точку пересечения с осью Оу касательной к этой ок¬
ружности, проходящей через точку с координатами (6; 3).
(1) у = 22; (2) у = 21; (3) у = 19; (4) у = 23; (5) у = 20.
4. На предприятии работают специалисты трех категорий: рабо¬
чие, инженеры и управленцы. На каждых трех рабочих прихо¬
дится четыре инженера, а на каждых трех инженеров приходит¬
ся два управленца. Средняя заработная плата управленца со¬
ставляет 6,1 млн. руб., рабочего —4,1 млн. руб., а средняя зара¬
ботная плата на предприятии —3,7 млн. руб. Какова средняя за¬
работная плата инженера (млн. руб.)?
(1) 2,7; (2) 2,3; (3) 0,9; (4) 3,3; (5) 1,8.
5. Точки М и У расположены соответственно на сторонах АВ и
ВС треугольника АВС с длинами сторон АВ = 2, ВС = 4,
АС = 5; AN и СМ — биссектрисы. Какой процент от площади
треугольника АВС составляет площадь треугольника MBN! Вы¬
берите наиболее точный ответ.
(1) 19; (2) 15; (3) 13; (4) 23; (5) 21.
6. В начале мая на заводском складе было 280 заготовок. В те¬
чение месяца заготовки прибывали на склад партиями по
9 штук. Время от времени их отправляли в цех партиями по
12 штук. Какое из указанных чисел может соответствовать коли¬
честву заготовок на складе в конце мая?
411
(1) 324; (2) 323; (3) 321; (4) 326; (5) 322.
...8. С графиком какой из приведенных ниже функций совпада¬
ет график функции у
Зя
arccos (cos х) при — <х<2п ?
(1) у = л — х; (2) у = х + 2л; (3) у = —х — л; (4) у = х; (5) у = 2л — х.
9. В 1979 г. на шахте А было добыто на 42 тыс. т угля меньше,
чем на шахте Б. Затем добыча угля на шахте А увеличивалась на
одно и то же количество тысяч тонн в год, а на шахте Б умень¬
шалась на одно и то же количество тысяч тонн в год. В резуль¬
тате в 1995 г. на шахте А было добыто на 70 тыс. т угля больше,
чем на шахте Б. В каком году на шахтах А и Б было добыто
одинаковое количество угля?
(1) 1986; (2) 1985; (3) 1983; (4) 1987; (5) 1984.
...11. До ремонта автомобиль расходовал 1 л бензина на 9 км
пути. После ремонта он стал расходовать бензина на 1 км пути
на 20% меньше, чем до ремонта. Какое расстояние сможет про¬
ехать автомобиль после ремонта, затратив 32 л бензина?
(1) 400; (2) 360; (3) 340; (4) 420; (5) 380.
12. В классе каждый ученик знает либо английский язык, либо
французский, либо оба этих языка одновременно. Количество уче¬
ников, знающих английский язык, вдвое больше тех, кто знает
только французский. Знающих два иностранных языка на 20%
меньше тех, кто знает только один иностранный язык. Какой про¬
цент от числа учащихся в классе составляют ученики, знающие
только один иностранный язык? Выберите наиболее точный ответ.
(1) 52; (2) 48; (3) 60; (4) 56; (5) 44.
...14. Укажите количество целочисленных решений
flog1/3(4x-ll) > -3,
неравенств <
-2 < х < 8.
системы
(1) 8; (2) 7; (3) 5; (4) 9; (5) 6.
15. Наибольшее значение функции
. |% 2тгЗ . (4л .Л
у = sm^3x + — I + sml ■— - 3x1 равно
412
(1) л/З; (2) 0; (3) л/2 ; (4) 1; (5) 2.
...17. Один метр ограды, идущей с севера на юг, стоит 40 ден. ед., а
идущей с востока на запад — 30 ден. ед. Какова максимальная пло¬
щадь (м2) прямоугольного участка, ограда вокруг которого стоит
7200 ден. ед. (Границы участка ориентированы по сторонам света.)
(1) 3600; (2) 5400; (3) 2400; (4) 2700; (5) 1800.
18. Точка Р лежит на стороне ХМ треугольника KLM и LP.PM =
= 5:3. При этом вектор КР = а ■ KL+ b ■ КМ. Найдите отношение а:Ь.
(1) 5:3; (2) 8:3; (3) 3:5; (4) 3:8; (5) 5:8.
19. Функция у = f(x) принимает наибольшее значение в единст¬
венной точке х = 6. При каком значении х принимает наиболь¬
шее значение функция у = 3/(14 — 2х) — 13?
(1) 6; (2) 5; (3) 2; (4) 4; (5) 3.
20. Известно, что для всех х
fix) = 3х +4, /(1 - 2g(x)) = 25- 12х.
Определите вид функции g(x).
(1) g(x) = 2х ~ 3; (2) g(x) = Зх + 2] (3) g(x) = 2 - 4х;
(4) g(x) = 3 - 2х; (5) g(x) = 4 - Зх.
Вариант 168 (2000 г.)
(Общеобразовательный тест)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
...2. Длины оснований трапеции равны 16 и 44. Концы отрезка,
параллельного основаниям, лежат на боковых сторонах трапе¬
ции и делят их в отношении 4:3, считая от большего основания.
Найдите длину этого отрезка.
(1) 25; (2) 34; (3) 31; (4) 37; (5) 28.
3. Укажите количество целочисленных решений системы двух
1
неравенств
;< log192,
-2 <х < 8.
(1) 2; (2) 6; (3) 4; (4) 5; (5) 3.
413
4. Выполнение какого из указанных условий необходимо и дос¬
таточно для того, чтобы точка с координатами (За — Ь; а + Ь)
лежала ниже прямой Зх — 5у = 6?
(1) 2а > 4Ь + 3; (2) За < b - 3; (3) а < 2Ь + 3; (4) 2а < 4Ь + 3;
(5) За > b ~ 3.
5. Среднее арифметическое всех целочисленных решений нера¬
венства х2 — 6х — 247 = 0 равно
(1) 5; (2) 3; (3) 6; (4) 4; (5) 7.
6. Упростите выражение sin (arcsin (х + 2))+
+ | 4х + 1|, учитывая область определения
функции.
(1) —Зх + 3; (2) 5х + 3; (3) 2х + 1; (4) -Зх + 1;
(5) х - 2.
7. По графику функции у = 5ах2 + Ъх + с оп¬
ределите знаки коэффициентов а, b и с.
(1) а < О, b > 0, с < 0; (2) а > 0, b > 0, с > 0;
(3) а < 0, b < 0, с < 0; (4) а > 0, b < 0, с > 0; (5) а < 0, b > 0, с > 0.
8. Два мастера вместе выполнили заказ. Производительность труда
первого мастера на р% меньше, чем второго. Какую долю от обще¬
го объема работ сделал первый мастер?
(!) Ш±р; (2)
200 + р 200 + р
(3) (4) (5)
200-р
100
200-р
9. Нечетная функция /(х) принимает наибольшее значение при
единственном значении х = 2. В какой точке принимает наи¬
большее значение функция g(x) = 5 —3f(x +1)?
(1) -3; (2) -1; (3) 1; (4) 3; (5) 11.
10. В мае затраты на производство состояли из расходов на сырье
и на оплату труда в пропорции 2:7. В июне при прежней техноло¬
гии расходы на одну тонну сырья выросли на 26%, а оплата одного
часа рабочего времени выросла на 53%. На сколько процентов уве¬
личились затраты на изготовление одной единицы продукции?
(1) 39; (2) 43; (3) 47; (4) 51; (5) 55.
11. В треугольнике KLM КМ = 12, KL = 11, smZLKM= ^5/3 .
Найдите среди указанных чисел возможное значение длины
стороны LM.
(1) 17; (2) 21; (3) 7; (4) 11; (5) 9.
414
...14. Укажите наименьший положительный период функции
(1) 2л; (2) 8л; (3) 4л; (4) л/4; (5) л/2.
15. Наименьшее значение функции /(х) = |х + 5| + 3|х + l| равно
(1) 4; (2) 7; (3) 6; (4) 5; (5) 3.
16. Укажите уравнение окружности, описанной вокруг треуголь¬
ника с вершинами в точках А{—6; —5), В(—6; 3), С( 10; 3).
(1) (х - З)2 + (у + I)2 = 97; (4) (х - I)2 + (у + I)2 = 80;
(2) (х - З)2 + (у + З)2 = 85; (5) (х - 2)2+(у+ I)2 = 85.
(3) (х - 2)2 + (у + I)2 = 80;
17. В течение двух лет число сотрудников института сокраща¬
лось ежегодно на один и тот же процент по отношению к пре¬
дыдущему году. После первого сокращения в институте осталось
480 сотрудников, после второго — 360 сотрудников. Сколько со¬
трудников было в институте до сокращений?
(1) 600; (2) 580; (3) 620; (4) 660; (5) 640.
18. Найдите множество всех значений функции f(x) = 9 cos2x
на отрезке [я/3, 4л/з].
(1) [1/9; 9]; (2) [1/9; 3]; (3) [0; 9]; (4) [1/3; 9]; (5) [1/3; 3].
19. В первой автоколонне 9 грузовиков марки А и 3 грузовика
марки Б. Во второй автоколонне 4 грузовика марки А и 5 грузо¬
виков марки Б. Средняя грузоподъемность грузовика в первой ав¬
токолонне на 10% меньше средней грузоподъемности грузовика
во второй автоколонне. На сколько процентов грузоподъемность
грузовика марки Б больше грузоподъемности грузовика марки А?
(1) 30; (2) 40; (3) 50; (4) 60; (5) 70.
20. Мастер делает книжные шкафы. Затраты на производство
складываются из постоянной месячной арендной платы и рас¬
ходов на сырье, пропорциональных количеству сделанных шка¬
фов. В мае мастер сделал 19 шкафов и расходы составили
5300 руб. В июне мастер сделал 12 шкафов и расходы составили
3900 руб. В июле мастером было сделано 16 шкафов. Каковы
были затраты на производство в июле? 1(1) 4500; (2) 4600; (3) 4800; (4) 4900; (5) 4700.
415
Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова1
Вариант 169 (1999 г.)
1. Найти значение выражения
logi/2log497 - 251/1оВз5
log25 - log2l,25
2. Решить неравенство (х2 - 2х + l)(x2 - 2х + 3) < 3. В ответе ука¬
зать середину промежутка множества решений.
3. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась вверх
по реке, впадающей в озеро. Путь по озеру на 30% больше, чем
путь по реке, а скорость движения лодки против течения на 10%
меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения
по озеру больше времени движения по реке?
sin 4х
4. Решить уравнение = -1 при условии 80° < х < 180°. В
cos5x
ответе указать (в градусах) наименьшее решение.
5. Решить уравнение log3(27;ri"1 — 77- 9х— Зх+2) = 2х.
6. Решить неравенство yllx -10-х2 • log7 (4 -х)<0. В ответе
указать сумму целых решений.
7. При каком значении а максимум функции fix) = ах2 + 2ах +
+ 2а2 + 1 равен 2?
8. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре¬
угольника, равен 13, а один из катетов — 10. Найти площадь
треугольника.
9. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника обра¬
зуют с плоскостью Р углы, равные а. Найти в градусах величину
двугранного угла, образованного плоскостью треугольника и
плоскостью Р, если sin а = -/2/4, а гипотенуза треугольника
лежит в плоскости Р.
10. Решить уравнение х2 + 10 = х(2/Зх + 10 -3).
Вариант 170 (2000 г.)
l + sinl8° -cos236° 3
1. Вычислить - —
2cos236° 4 11 В заданиях вариантов 169—176 необходимо получить числовые ответы.
416
2. Решить уравнение |л' + 3|*2“*“б=1. В бланке ответов записать
сумму корней.
3. Найти корни уравнения 2 sin2* — V? sin2x = 0, принадлежащие отрез-
4. Найти множество значений а, при которых совместна система
В бланке ответов записать наименьшее значение а из этого
множества.
6. Решить неравенство л/х2 + Зх - 10 < 7 — х . В бланке ответов
указать наибольшее целое решение.
7. Найти высоту BD треугольника ЛВС, образованного осью
Ох (АС с Ох) и касательными к кривой у = 2л'3 — 2л'2 + \2х — 10
в точке с абсциссами xq = 1; х\ = 2.
8. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли
два пешехода. Через 3 ч они встретились. После встречи ско¬
рость первого пешехода увеличилась на 0,5 км/ч, а скорость
второго — на 1 км/ч. Известно, что первый прибыл в В на 1 ч
раньше, чем второй в А. Какова первоначальная скорость второ¬
го пешехода, если расстояние от А до В равно 21 км?
9. Биссектриса CD прямого угла треугольника АВС равна 3-/2 , а
катет АС = 7. Из точки D опущен перпендикуляр DE на катет
АС. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ADE.
10. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 и
8->/з ; угол между ними — 30°. Площадь большего диагонального се¬
чения параллелепипеда равна 8л/Й. Найти объем параллелепипеда.
Вариант 171 (2002 г.)
1. Первый слиток содержит 30% меди, а второй — 74%. Если их
сплавить, то получится слиток, содержащий 50% меди. На
сколько процентов вес первого слитка больше веса второго?
уравнений
5. Решить неравенство 2loBo^3+2x^ > 0,25. В бланке ответов ука¬
зать наибольшее решение.
417
2. При каких значениях а прямая Ъах + у = сР-х + 7 параллельна
„ „ „ 2 2а „ „
касательной к кривой Зх н 1- у = 0 , проведенной в точке
х
х = 1? В ответе указать наименьшее значение а.
3. Найти sin а — >/3 cosa , если 2 cos 2а + 4-\/3cos а + 5 = 0 ,
Зтг
л < а < -
4. Решить уравнение
' 2х-1Л
42-6 х
X
Х+1
= 6.
V 7
5. На основании АС равнобедренного треугольника АВС, как на
диаметре, построена окружность, пересекающая сторону ВС в
точке D так, что BD.DC = 12:1. Найти площадь треугольника
АВС, если АС = л/Гз .
6. Найти сумму целых решений уравнения log|x_7| (8 - \х +1|) = 1.
7. Двугранный угол при основании правильной треугольной пи¬
рамиды равен 60°. Найти радиус вписанного в нее шара, если
радиус описанного шара равен 7.
8. Решить неравенство log3x>(log34 1og3x-log3 6)logx3 . В ответе
9
указать наименьшее решение.
9. Решить уравнение 4х -1 + у/х + 4 = л/Зх + 10.
лг cos218°-cos226°
10. Упростить до целого числа
sin 44° cos 82°
Вариант 172 (2003 г.)
1. Проехав половину пути за 2 ч, водитель увеличил скорость
движения на 20 км/ч и поэтому вторую половину пути он про¬
ехал на полчаса быстрее. Какой путь (в км) прошла машина?
2. Найти численное значение выражения:
о 1°§з 5+2 г- I-
± + 4log2(3-V3) + 9log3(V3+3)
^log3 6 '
3. Найти значение р, если корни уравнения 2х2 — 5х + р = 0
2 2 с. с
X X oj
удовлетворяют условию — н—— = —.
Xj х2 8
418
4. Найти корень уравнения
V(Vз -1)
• cosx ,
принадлежащий отрезку [0, л]. Ответ указать в градусах.
5. Найти больший корень уравнения
+[^ЩХ = %.
6. Решить неравенство
меньшее решение.
7. Решить неравенство
1 2 _
> =. В ответе указать наи-
■Jx +2 4- 4х
х--\ -log2(x + l) >
х - ■
. В ответе ука¬
зать наименьшее целое решение.
8. К графику функции у = х2 — 4х + 6 проведены две касатель¬
ные: одна — в точке xq = 3, другая — в точке минимума этой
функции. Найти площадь треугольника, образованного осью ор¬
динат и этими касательными.
9. В треугольник АВС площадью 270->/з вписана окружность, кото¬
рая касается сторон ВС и АС соответственно в точках Ми Н. Найти
периметр треугольника, если ВММС = 3:5 и АН:НС =2:1.
10. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
ABCDS равна 6, а ее высота — л1~5 . Через вершину А основания
пирамиды и середину стороны CD перпендикулярно к основа¬
нию проведено сечение. Найти его площадь.
Вариант 173 (2004 г.)
1. Стоимость ручки была на 20% больше стоимости тетради.
Стоимость ручки возросла на 40%, а общая стоимость ручки и
тетради возросла на 50%. На сколько процентов возросла стои¬
мость тетради?
[у - 4х > 4,
2. Найти все значения а, при которых система •: ,
[у = а(х + 0,5)2
имеет хотя бы одно решение. В ответе указать наименьшее це¬
лое значение а.
3. Высота, проведенная к основанию АС равнобедренного треуголь¬
ника АВС, равна 12, a cos А = 0,6. Найти расстояние от точки пере¬
сечения медиан до точки пересечения биссектрис треугольника.
419
4. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 12>/з , а
тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания ра¬
вен л/з/2. Найти расстояние между центрами вписанного и
описанного шаров.
5. Решить неравенство [log6(x2 - х) - 1 |(4х2 - 8х - 5) > 0. В отве¬
те указать наибольшее целое отрицательное решение.
6. Среди точек, лежащих на параболе у = —— 1, найти бли¬
жайшую к точке (8; 1). В ответе указать ординату этой точки.
7. Решить систему уравнений
f sin х - sin у = 1/2,
COS X + cos у = л/3/2.
В ответе записать (в градусах) меньшее значение х, принадле¬
жащее отрезку [0°; 180'].
х’ - 8 +6х(2-х)£ в
8. Решить неравенство ^ ^ |
указать наибольшее решение.
1-2х -2х
9. Решить уравнение 22x+l - 12 ■ 22x+l - 32 = 0.
ответе
10. В параллелепипеде ABCDAiBiC\D\, построенном на векторах
АВ, AD, АА1, заданы векторы АВ( 1, 0, 1), AD (0, 1, 1),
AAl (1, 1, 1), АР = — ACl, BXQ = — ByD. Найти наибольшую
4 8
координату вектора PQ.
Вариант 174 (2005 г.)
1. Из М в N с определенной постоянной скоростью выехал ав¬
томобилист. Если бы он ехал со скоростью на 12 км/ч меньше,
то затратил бы на весь путь на 1 ч больше, а если бы ехал со
скоростью на 20 км/ч больше, то затратил бы на весь путь на
1 ч меньше. С какой скоростью планировал проехать весь путь
автомобилист?
\6х + 2у = к,
2. При каком положительном значении к система <
[х2 +у2 = 2,5
имеет единственное решение?
420
3. Высота прямоугольной трапеции в три раза больше меньшего
основания, а большее основание равно 5. Найти площадь тра¬
пеции, если ее меньшая диагональ является биссектрисой угла
при меньшем основании.
4. Найти тангенс меньшего угла между касательными, прове¬
денными из точки В (—1; 36) к параболе у - -9х2 + 6х + 35.
5. Вычислить sin4 а + cos4 а , если cos а - sin а = >/0,72.
6. Решить неравенство ——-—<2. В ответе указать наимень¬
шее целое решение.
7. Решить уравнение
logx+2 (х3 + х2 - 2х) • log3 (х + 2) = log3 ^5х2 + Зх).
8. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендику¬
лярны. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 5, а
две стороны основания пирамиды равны 5 и >/84 . Найти наи¬
меньшее из боковых ребер пирамиды.
9. При каком положительном значении г площадь фигуры, за¬
даваемой на плоскости множеством решений системы нера-
[ 4г(х + у) - 7г2 < х2 + у2 < 16г2,
венств <
[х —у >0,
равна 30 л?
10. Упростить выражение
cos3x + sin3
л
h X
6
COS
—-х |-cos2
v3
л
h X
6
Вариант 175 (2006 г.)
1. Остаток от деления натурального числа и на 5 равен 4; оста¬
ток от деления и на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления
наименьшего из возможных п на 17?
2. Найти все решения уравнения
'sjх 7 + (y*»Jх — 2 + yjх 10 — (y*»Jх +1~ — 5.
3. Решить уравнение log2 х = log4 х • log^(>/8 - 2х + 4).
f „\ f
4. Найти корни уравнения sin
к
хн— | — cos
V 4
= sin3x, принадлежащих отрезку [л; 2л].
х н— | - cos3x =
4
421
5. Решить неравенство
251о8зО'/3) _ jlog3x < 7 _|_ 2.51о8з(3х) _ ^logjX2
6. Решить неравенство 3(х+2)2 + l>3x2_1 + 3-81х+1.
7. При каких значениях а уравнение х3 +6х2 -15х + а = 0 имеет
три различных корня?
8. В шар вписан прямой круговой конус. Угол между образую¬
щей конуса и его высотой равен 30°.Площадь боковой поверх¬
ности конуса равна 54л. Найти радиус шара.
9. На сторонах NP и PQ прямоугольника MNPQ взяты точки А и
В соответственно так, что AN:AP = 2:3 и BQ-.BP - 1:2. Отрезки
МА и NB пересекаются в точке О. Найти площадь четырех¬
угольника АОВР, если площадь прямоугольника равна 285.
10. При каком значении b радиус окружности, вписанной в фи¬
гуру, заданную уравнением |х| + 2|у -11 = Ъ, равен 2yfb ?
Вариант 176 (2007 г.)
1. Найти наибольшее отрицательное значение х из множества
„ |4х — 7| — |l 3 — х|
решении неравенства -. :—; г < 0.
|9-х|-|9-5х|
„ „ 2-2х-л/21-14х ^ ,
2. Вешить неравенство <-1.
х + 3
3. Решить неравенство (5 • 2~'^'+1 + 3 • 2^*+1 — 19)л/2 - х < 0 .
4. Решить уравнение 8cos4 ^j + 8cos2 x + 17cosx-12 = 0. Запи¬
сать множество решений, принадлежащих отрезку [л/3; 5л/3].
5. Найти наименьшее значение функции
у — 2-\j(4x — 5)3 +12>/4х —5 -36х + 45.
6. Решить уравнение 21g(x2 -lo)-lg(x + 5)2 -lg(x + 2)2 =0.
8 4
7. В треугольнике ABC cos A——, cosC =—. Найти длину сто¬
роны ВС, если расстояния от центра О вписанной окружности
до вершин А и С равны: АО - 2-у/34, ОС - 6-v/lCh
8. Найти множество значений а, при которых уравнение
(2х2 -(За-б)х + а2 — Заг)л/5 + 4х — х2 =0
имеет ровно 3 корня.
422
9. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота,
10% платины и 80% серебра, второй — 20% золота, 10% плати¬
ны и 70% серебра, третий — 40% платины и 60% серебра. Спла¬
вив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Какое наи¬
меньшее и наибольшее процентное содержание платины может
быть в этом сплаве?
10. Основанием пирамиды ABCS служит прямоугольный треуголь¬
ник АВС с катетами АВ = 12, ВС = 9. Найти площадь поверхности
пирамиды, если точка О пересечения высоты с плоскостью осно¬
вания лежит на продолжении биссектрисы АК на расстоянии
АО = 8\/Т() (угол SKA тупой), а высота пирамиды SO = 6.
Финансовая академия при Правительстве РФ
Вариант 177 (1999 г.)
1. Имеются два сплава золота и серебра. В первом отношение
золота к серебру (по массе) 2:3, во втором — 3:7. Некоторый ку¬
сок первого сплава сплавили с куском второго. Каким должно
быть отношение массы второго куска к массе первого, чтобы в
новом сплаве отношение золота к серебру было 5:11?
2. Вычислить без калькулятора
3 2 3
1-л/2 +2 + л/2 + 3-2V2J '
3. Решить уравнение ух + 6 - 4^х + 2 - ух - 11 + 6л]х + 2 = 5 .
В ответе указать наименьший корень.
4. Решить уравнение
log4(6 + V^-|^-2|)
I + log2(V^-yfx -2|j.
5. Решить неравенство \х + 2| + \х +1| + \х - 4| > 9.
В ответе указать наибольшее отрицательное целое решение.
6. При каком наименьшем целом значении а каждое решение
неравенства х2 — Зх + 2 < 0 содержится среди решений неравен¬
ства (х — 3)(х — а) > 0.
7. Решить уравнение cos 2х = sin 1 Ох • ctg 6х и найти наименьшее
положительное решение. Ответ выразить в градусах.
8. К графику функции /(х) = л/з sin 2х - 2 cos2x, где х е[л/2;я],
проведена касательная, параллельная прямой у = 4х — 2/3. Най¬
ти ординату точки касания.
1 В заданиях вариантов 177—184 необходимо получить числовые ответы.
423
9. Найти точку максимума функции f(x) = (х + 2)2(х — З)3.
10. Боковая сторона равнобочной трапеции равна меньшему ос¬
нованию и равна 20. Найти большее основание, если диагональ
трапеции перпендикулярна боковой стороне.
Вариант 178 (2000 г.)
1. На какое целое положительное число надо разделить 180,
чтобы остаток составлял 25% от частного?
2. Вычислить без калькулятора
log 412 + 31og 4 ^ + 4 (log 412) •'log 4 ^
log 412 + 3 log 4^
3. Решить систему уравнений
3
2 - z = 0,
1
x+y+z+—
X2 + у
= 0.
В ответе указать
число 2х — 4у + z, где (х, у, z) — решение системы.
4. Решить уравнение 4loS64(*-3)+iog25 = 59 ,
5. Найти целое решение неравенства 25 • 2х — 10х + 5х > 25.
6. Найти все значения к, при которых один корень уравнения
(,к — 5) х2 — 2кх + к — 4 = 0 меньше 1, а другой корень больше 2.
В ответе указать сумму целых значений к.
7. Решить уравнение sin3* + coslv = sin 2х + sin х + cos х. В от¬
вете указать число решений на отрезке [0°; 490°].
fix) 1 Г-2
8. Решить уравнение —тт7\=— , где f(x)=\x - Зх +1. В ответе
2/ (дс) 3
указать утроенную сумму решений.
9. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции
у = Зх + 4-\/l-x2 .
10. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторо¬
на равны соответственно 5 и 20. Найти биссектрису угла при
основании треугольника.
Вариант 179 (2001 г.)
1. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии рав¬
на 75, сумма последних шести ее членов равна 417, а сумма всех
членов прогрессии равна 1025. Найти число членов прогрессии.
424
2. Вычислить без калькулятора 8 sin 18° — 16 sin3 18°.
3. Решить уравнение (4х + 1)(5 — 4х)(16х2 + 8х + 7) =
В ответе указать сумму корней.
4. Решить уравнение log3U2 — 20х) ■ logA 3 = 1.
5. Решить неравенство
V 1 + х3 +х-2
х-1
>х + \.
5(4х + 2)2.
В ответе указать число целых решений.
6. При каком наименьшем положительном целом значении а
каждое решение неравенства х2 — 6х — 1 < 0 содержится среди
решений неравенства (х + 2а)(х — а + 6) < 0.
7. Решить уравнение 2cos 2х + 2cos л' sin 2х = cos х и найти корни,
расположенные на промежутке [0°; 90°]. Ответ выразить в градусах.
8. Найти /'(9) для функции f(x)
27Ух + 8х2
Ху[х
9. Найти точку минимума функции /(х) = х3 + 6х2 + 9х.
10. На стороне AD квадрата ABCD отложен отрезок АЕ, равный 1.
Точка Е. соединена с вершинами В и С квадрата. Найти высоту
BF треугольника ВСЕ, если сторона квадрата равна 4.
Вариант 180 (2002 г.)
1. В коммерческий банк было положено 1,2 млн. руб. на два го¬
да. Вкладчик рассчитал, что если он в конце каждого года будет
снимать со своего вклада по 730 тыс. руб., то по истечении двух
лет его вклад составит 600 тыс. руб. Какой процент годового до¬
хода дает банк?
2. Найти cos 6а — cos 2а + 2cos4a, если sin За + sin а = 1.
3. Решить уравнение, в ответе указать сумму корней:
(Ух+ 4 - ъ4х)(2 - 33Ух2 + 4х) + 1 = 0.
X
4. Решить уравнение и указать целый корень: 3х ■ 8Х+1 = 36.
425
5. Решить неравенство Vx + 4 > у]2 - л/З + X . В ответе указать
наибольшее отрицательное целое решение.
6. При каком значении параметра а уравнение а ^ х
^ ■х имеет бесчисленное множество решений?
а + 6 а + 6
2
5
7. Решить уравнение V1 + sin2 х + 2 cos у - 0 и найти количество
различных корней, принадлежащих промежутку [0°; 720°].
8. Найти наименьшее положительное значение х, при котором
касательные к графикам функций J(x) = 2 — 14sin Зх и у(х) =
= 6sin 7х параллельны. Ответ выразить в градусах.
9. Решить уравнение 4Х“ 2x2+1 = -4х2 + 8х - 3.
10. Высота треугольника, равная 4, разделяет основание его на
два отрезка, относящиеся как 1:8. Найти длину отрезка, парал¬
лельного высоте и разделяющего треугольник на две равновели¬
кие части.
Вариант 181 (2003 г.)
1. Сумма цифр искомого нечетного трехзначного числа равна 11.
Если из числа, записанного теми же цифрами, что и искомое,
но в обратном порядке, вычесть 594, то получится искомое чис¬
ло. Найти его.
2. Вычислить без калькулятора cos20° - V? sin65 +2sin255°.
3. Решить уравнение, в ответе указать сумму корней:
4х + 3 = (2y/l + x - l)(2Vl + x + х2 + |х| - 5).
4. Решить уравнение log^(x + |x-2|) = logx(5x-6 + 5|x-2|)n
найти наименьший целый корень.
5. Решить неравенство log j (— + 1) > log t (— + 2). В ответе указать
- X - X
X X
наименьшее целое решение.
6. Найти число целых значений а, при которых уравнение
х3 - Зх = а(х3 + х) имеет три различных корня.
426
7. Решить уравнение sin3 х +cos3 х = 1-—sin2x и найти корень,
г
расположенный на промежутке
. Ответ выразить в градусах.
8. При каком отрицательном значении р для касательной, прове¬
денной к графику функции /(х) = 2х2 + рх-1 перпендикулярно
прямой у = -2х + 9 , сумма координат точки касания равна (—1,5)?
9. На графике параболы у = 3-х2 найти точку Жх(); >’()), каса¬
тельная в которой к этой параболе образует наименьший по
площади треугольник с положительными полуосями координат
на плоскости. В ответе указать сумму х0 + у0.
10. Найти периметр треугольника, если стороны его выражаются
тремя последовательными целыми числами, причем больший
угол его в два раза больше меньшего.
Вариант 182 (2004 г.)
1. Одновременно зажжены две свечи одинаковой длины, но
разного диаметра. Одна сгорает за 5 ч, другая — за 3 ч. Через
сколько минут были погашены одновременно обе свечи, если от
одной остался огарок в 3 раза длиннее, чем от другой?
2. Вычислить без калькулятора
(7 - 10cos20°)(7 + 10cos40°)(7 + 10cos80°).
3. Решить уравнение л/48 + х + л/-47 - х =1.
В ответе указать меньший корень.
4. Решить уравнение
log2 X - 21og4 X + 22х - 2Х+5 + 257 = 0.
5. Решить неравенство log0 Л log, ——— <0.
’ х + 2
Указать в ответе наименьшее целое положительное решение.
6. Найти все значения параметра р, при которых каждое реше¬
ние неравенства х2 -17х + 72 <0 содержится среди решений не¬
равенства (х- 10)(х- р) > 0. Указать наименьшее значение р.
7. Решить уравнение
^451 + 60cos(x + 57°) -450sin(2x + 24°) = 1 l^/l + 3 0 cos(x + 5 7°) -28.
Указать в ответе решение, удовлетворяющее условию 180°< х < 219°.
8. Указать наибольшее произведение ху, где (х, у) — решение
системы
427
Пху - 2| = 20 - 4х2,
[4 + 5 у2 = 4 ху.
9. Найти наибольшее значение функции у = 42х — 43х + х In 4
на отрезке [—1; 1].
10. Сумма углов, образованных медианами AD и CN тре¬
угольника АВС со стороной АС, равна 60°. Найти площадь тре¬
угольника АВС, если AD- CN = 7л/з см2.
Вариант 183 (2005 г.)
1. Сумма двух натуральных чисел равна 35 717. Их общий дели¬
тель равен 17. Из всех таких чисел найти те, произведение кото¬
рых принимает наибольшее значение. В ответе привести боль¬
шее из них.
2. Вычислить без калькулятора
2V5 (б-л/35)
1 + 2 л/М+-
7 V
V7 - V5
3. Решить уравнение, в ответе указать число целых корней:
\jx + 6 -1 + \Jx + 6 -3 =2.
4. Решить уравнение 1 + logx 5 • log7 х = log5 35 • logx 5.
5. Решить неравенство \]4-у/Ь-х -*J2- х > 0. В ответе указать
число целых решений.
6. Решить систему уравнений, в ответе указать х + у + z:
sjx —11 + ^5 у + 6- z- 6 = 0,
1 2
ху + 6х-55у-66 =—z +2z + 12.
7. Найти принадлежащее промежутку (90°; 180°) решение урав-
8. При каком положительном значении т прямая у = тх явля¬
ется касательной к графику функции / (х) = х2 + т?
9. Найти наименьшее значение функции /(х) = |х3-Зх + 2| на
отрезке [0; 2].
10. В треугольнике АВС угол А равен 60°. Из вершин В и С про¬
ведены высоты ВВ\ и CCi, а из вершины А проведена медиана
АА\. Найти угол В\А \ С).
428
Вариант 184 (2007 г.)
1. Пассажир поезда, идущего со скоростью 108 км/ч, заметил,
что встречный поезд прошел мимо него за 3 с. Найти (в метрах)
длину встречного поезда, если его скорость равна 20 м/с.
2. Вычислить без помощи калькулятора
tga-(-3 + 15tgP-tgy) + tgP-(-3 + lltga-tgy) + tgy-(-3 + 12tga-tgP),
если а, р, у — углы треугольника и tga + tgP + tgy = 6.
3. Решить уравнение
V5х2 -1 + л1х2 — х + 1 = \/5х2 + х + 2 + \/х2 + 2х + 10.
В ответе указать наибольший корень.
4. Решить уравнение log^ х • ^24 - 21ogx 6+6 = 0. В ответе ука¬
зать количество корней, меньших единицы.
-у
5. Решить неравенство log1(x-3)<9. В ответе указать наи-
2
меньшее целое решение.
6. Найти все значения параметра р, при которых система
21°gi2 У6х - х2 log12 х12 = log12 \х\2у - 2у log12 у,
|х| + ^gx4+|sin(12p)|^2+p2-15p+14 - i + y
имеет ровно два различных решения. В ответе указать наиболь¬
шее целое значение р.
7. Решить уравнение cos 9х + cos Зх (cos Зх +1) +1 = 0. В ответе
указать наименьшее положительное решение в градусах.
Гзх+Х9 =3 У+у9,
8. Решить систему уравнений < В ответе
[Зух + фсу -9-sJy - 27.
указать сумму (х + у), где (х, у) — решение системы.
9. Решить неравенство Ц630 - х - //х - 4 >4. В ответе указать
число целых решений из промежутка [4; 10].
10. Основания трапеции равны 132 и 48 см, а боковые стороны
равны 51 и 75 см. Найти высоту трапеции.
429
Госуцарственный университет управления (ГУУ)
Вариант 185 (1999 г.)
1. Решить уравнение 43+2cos 2х — 7 • 4 1+cos 2х = 41/2.
т COS X п
2. Решить уравнение tgx = 0.
3 + sin х
3. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причем
KN = 3, a ZM ранен 120°. Прямые LM и M7V являются касатель¬
ными к окружности, описанной около треугольника KLN. Най¬
ти площадь треугольника KLN.
4. Стороны треугольника лежат на осях координат и на каса¬
тельной к графику функции у = 4х + х2 + 4 в точке, абсцисса а
которой удовлетворяет условию — 1 < а < 0. Найти значение а,
при котором площадь треугольника будет наибольшей.
5. В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате есте¬
ственного прироста (рождения оленят) и приобретения новых оле¬
ней. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце
года совхоз купил 700 голов. В конце второго года совхозное стадо
составило 4400 голов. Определить процент естественного прироста.
6. При всех значениях параметра а решить неравенство
x\g2(x-a) ^
х-4
Вариант 186 (2000 г.)
1. Решить уравнение 1 + 2 logA + 25 = log^U + 2).
X
2. Решить уравнение 5 sin^- +cos х — 3 = 0.
3. Решить уравнение 25^ -124 • 5^ = 125.
4. Точка М является вершиной параболы у = 2х2 + 8х — 1, точки
N и Р лежат на этой параболе и имеют абсциссы, равные соот¬
ветственно —1 и 1. Разложить вектор МР по векторам ОМ и
N0 , где О — начало координат.
5. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внут¬
ри которого помещается множество, заданное на координатной
плоскости условием: \4у — х — 2| + |4у— 8 | < 8.
6. Партия товара упакована в коробки трех типов. Вес и стои¬
мость содержимого одной коробки составляют 6 кг и 90 тыс.
430
руб. для первого типа, 16 кг и 280 тыс. руб. для второго типа,
7 кг и 120 тыс. руб. для третьего типа. Суммарная стоимость то¬
вара равна 3220 тыс. руб. Определить наименьший и наиболь¬
ший возможный общий вес партии товара.
Вариант 187 (2001 г.)
1. В Сбербанк положили 400 руб. под 18% годовых. Через год всю сум¬
му (с процентами) сняли. Для оплаты купленного товара этой суммы
не хватило, пришлось добавить еще 38 руб. Сколько стоил товар?
2. Решить уравнение V 7 - х = х -1.
2 3
3. Решить неравенство —х- — > 8х + 3 .
4. Заданы точки А (5; —25; —10), В (—3; 2; 6), С (—12; —20; 12),
D (2; —4; —3). Разложить радиус-вектор точки, координаты ко¬
торой удовлетворяют уравнению — 2х + Зу — 4z + 12 = 0 по ра¬
диус-векторам точек, координаты которых не удовлетворяют
этому уравнению. (Радиусом-вектором точки А называется век¬
тор ОА, где О — начало координат.)
5. На координатной плоскости Оху изобразить фигуру, состоя¬
щую из таких точек А (х, у), координаты которых удовлетворяют
|2(2у3 + х2) < у(8у + х2),
|х2 + у2 < 4у + 32.
6. Найти все значения х, для которых величина
>’ - у (sin х + -J3 cosx) удовлетворяет уравнению log4 (tg 2у - 3 ctg у) =
= l + |-log1(ctgy-tgy).
системе неравенств
Вариант 188 (2002 г.)
Решив задачу (№ 1—6), выберите правильный ответ1.
1. Найти наибольшее значение функции у = х2 — 20х на отрезке [1; 9] .
(1) 80; (2) —19; (3) —99; (4) 0; (5) ни один из приведенных выше
вариантов ответа не верен.
2. Решить уравнение sin х = л/З cosx при 0 < х < 2.
1 В задачах 7, 8 вариантов ответов не приводится.
431
^ 2 ^ ^ ^
(1) — ; (2) — ; (3) — ; (4) — ; (5) ни один из приведенных выше
6 3 3 4
вариантов ответа не верен.
3. Решить неравенство —^->2 .
х + 3
(1) х < -2,5; (2) х < -3; (3) -1 < х < 2; (4) -3 < х < -2,5; (5) ни
один из приведенных выше вариантов ответа не верен.
4. Решить уравнение 4Vx-l + 6 = х .
(1) {2; 26}; (2) {2}; (3) {26}; (4) {—26}; (5) ни один из приведен¬
ных выше вариантов ответа не верен.
5. Вычислить cos (90° +а), если cos а = ^- и 0° < а < 90°.
(1)-^-; (2) (3) - ; (4) -i; (5) ни один из приведенных
выше вариантов ответа не верен.
6. В арифметической прогрессии п-й член имеет вид ап = 5«-100.
Найти сумму всех отрицательных членов этой прогрессии.
(1) —900; (2) —940; (3) —960; (4) —980; (5) ни один из приведен¬
ных выше вариантов ответа не верен.
7. Решить неравенство \ogx_22 > 0.
х+4
Гу < 5 - 2 [х|,
8. Дана система неравенств < , ,
[у > 2 - 0,514
а) определить площадь фигуры, точки которой удовлетворяют
данной системе неравенств;
б) при каких значениях параметра а точка М с координатами
(а; а + 2) находится внутри фигуры?
в) определить максимальное значение выражения х2 + у2 — 8х — 10>\
если х и у удовлетворяют данной системе неравенств.
Вариант 189 (2003 г.)
1. Решите уравнение V5х - 1 = 3.
. „ „ [Зх + 2у = 8,
2. Решите систему уравнении •; „ , _
[2х + у = 5.
3. Решите уравнение logs (5х + 120) = 3.
432
4. Решите неравенство 7х2 + 2х — 9 < 0.
5. Решите неравенство 22х > 32.
6. Число приватизированных квартир в первом доме составляет
от 1,9% до 2,6% от общего числа его квартир. Для второго дома
этот показатель заключен между 96,5 и 97,3%. Определите ми¬
нимально возможное число квартир в каждом из этих домов.
47 7х 14тг
7. Найдите хи у, где х = arccos (sin—), у = arctg (tg—у).
8. А. На плоскости Оху постройте область, координаты точек кото¬
рой х и у удовлетворяют следующим условиям: -Jy(6 - у) + 5 > 0,
|(2х + 2- у)(х - Зу + 11)| < ~(2х + 2- у)(х - Зу + 11).
Б. Найдите площадь построенной области.
9. Решите неравенство . ^ - > .
Vlgx - 2 4-lgx
Вариант 190 (2004 г.)
1. Решите уравнение V2x - 3 = 3.
Г2х + Зу = 7,
2. Решите систему уравнений <
[4х + у = 9.
3. Решите неравенство (х - 3)(2 - х)(х + 6) < 0.
4. Решите уравнение 54х = 25 .
5. Решите неравенство lg(x - 3) < 1.
6. Решите уравнение: ^cosx - sin^y^j^J(x - п)(2л - х) = 0.
7. Касательные, проведенные к графику функции у = х(х — 3)(6 — х)
в точках А и В, перпендикулярны оси Оу. Найдите модуль век¬
тора АВ .
8. Функция /(х) задана уравнением /(х) = х
х +1
А. Постройте график функции у =/(х).
433
Б. При каких значениях а уравнение (/(х) - а)(х + 3)(х - 2) = О
имеет ровно два различных действительных решения?
9. А. При каких значениях х выполнено неравенство 2-Jx - 2 + х - 5 > 0 ?
Б. Решить неравенство
^2-\/х - 2 + х - 5)
2п |(2х - 5)(х - 4)р
7 (2х - 5)(х - 4)
>0.
Вариант 191 (2005 г.)
1. Решить уравнение 5х2 - 4х -1 = 0.
2. Решить уравнение Vx - 7 = 3.
3. Решить неравенство (х + 6) • (5 - х) • (4 - х) < 0.
4. Решить неравенство 9х > 27.
5. Решить уравнение tgx + -у/з = 0.
6. Периметр треугольника равен 56 см. Найти длину медианы
этого треугольника, если она делит его на два треугольника с
периметрами 44 и 42 см.
7. Число приватизированных квартир в доме составляет от 3,7% до
4,2% от общего числа его квартир. Найти минимально возможное чис¬
ло квартир в доме, если приватизировано не менее четырех из них.
8. А. Решить уравнение 4lgx = 8-х1§4.
Б. Решить неравенство
(41§х + х1®4
8)-
( 5х-25)
1
Il3-2XJ
(х-3)-(1-х)
|(х-3)-(х-1)|
+—cos 4х
3
>0.
9. А. Построить график функции у = g(x), если g(x) = /
х + 2 J ’
А*)
5
х + 3
-2
2 +
5х
х + 3
Б. При каких значениях параметра а уравнение g(cos4x) = a
имеет решение в области действительных чисел?
434
Вариант 192 (2006 г.)
1. Решить уравнение |х- 2| = 3.
2. Решить уравнение л/х + 4 = 2.
3. Решить уравнение log2 (2х - 4) = 4.
4. Найти больший корень уравнения 7х2 - 2х - 5 = 0.
5. Решить уравнение tg2x = 3.
6. Решить неравенство
2 +
1
х - 2
3 +
х + 11
л
тт
(лс-ЗХлс-1)
|(х —3)(х —1)|
>0.
х —2
7. Найти площадь области, заданной на плоскости Оху неравен¬
ством
(х2 + у2 + 6х - 2y)(yj4x + Зу + 9 +1) < 0.
8. А. Около треугольника АВС описана окружность. Касательная
к этой окружности, проходящая чрез точку В, пересекает про¬
должение отрезка АС в точке D. Вычислить площадь треуголь¬
ника ABD, если АВ:ВС - 3:5, а площадь треугольника ЛВС рав¬
на 1. Б. Найти значения чисел р и q, если СА - рАВ + qDB.
9. А. Исследуйте на монотонность функцию у - х(4 - х)(х - 2).
Постройте эскиз графика этой функции. Б. При каких значени-
. а
ях числа а уравнение (2 - х) = имеет ровно два различ-
х(х - 4)
ных действительных решения?
Вариант 193 (2007 г.)
1. Решить уравнение (>/5-х - з) • (зб - х2) = 0.
\lyfx -Зу - 7,
2. Решить систему уравнений <
[зТх + 4у = 2.
3. Решить уравнение (|х — 2| — 3)(log2(3 — х) — 3) = 0.
4. Решить неравенство (х2 — 5х + 4) (3х — 27) > 0.
5. Решить уравнение (1 - tg х) • л/sin х = 0.
6. Задана функция /(х) = л/х + 4 + х - 8.
А. Решить уравнение / (6 — х) = 0.
Б. Решить неравенство /(6 — х) < 0.
435
7. При каких значениях параметра а система уравнений
имеет два решения?
8. На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка К так, что
АЖ КВ - 4:3. Точка О — пересечение отрезков КС и ВТ), точка
М — пересечение двух прямых: одна из них проходит через точ¬
ки К и С, другая — через точки А и D.
А. Найти отношение площадей треугольников MCD и О CD.
Б. Найти значение чисел р и q, если
DC - р ■ AD + q ■ КО.
9. А. Исследовать функцию у - х- \х2 ~ 27| и построить ее график.
в зависимости от значений параметра а!
Московский государственный институт,
международных отношений (университет) МИД РФ
Вариант 194 (1999 г.)
(Тест1)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
1. Найти множество значений функции у = х2 — 4х + 1 при
х е [-1; 4].
х2 +(у — З)2 =1,
х(х - 6) + у2 — (а- 3)(а + 3)
Б. Сколько решений имеет уравнение
(А) (2; 1); (В) (|; I); (С) (-2; -1); (D) (-1; -2); (1; 2);
(Е) (-2; -1); (2; 1).
...4. Решить неравенство \1х2 -4х >х-3.
1 Варианты 194—201 приводятся в сокращенном виде.
436
(А) х < 0, х > 4; (В) х > —; (С) неравенство не имеет решений;
(D) х <0, х> —; (Е) х < 3.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
Vx +1 =4а-х имеет решения.
(А) а = -1; (В) а < -1; (С) а > 1; (D) -1 < а < 1; (Е) а > -1.
6. Найти сумму корней уравнения
(х — 1)(х ~2)(х — 3)(х — 4) log
(л: — 2,5) = 0.
(А) Уравнение не имеет корней; (В) 13,5; (С) 10,5; (D) 3; (Е) 7.
7. Решить неравенство log щ (х + 1) < log2 (2 — х).
(А) —1 < х < 2; (В) ——<х<^±^; (С) 1< х <
(D)
1-V5
<> < 2 ; (Е) неравенство не имеет решений.
8. Пусть у! — минимальное, а й - максимальное значение
функции у = е~х (х2 + х — 5), когда х е (—4; 4). Найти у2/ ух.
7е2
15
7е
(А) -; (В) -Зс2; (С) е2; (D) ; (Е) ———■
15 1е 3
9. Решить уравнение
6 sin2 х+ 2 sin2 2х - 5
V(3 - х)(х - 1)
= 0.
(А) х = - + —,«eZ; (В) х = —; (С) х = ~; (D) х = --\
4 2 4 4 4
(Е) уравнение не имеет корней.
1п^(х — ll f ;|Л
10. Решить неравенство ^ ^ - у sjn х | - —J > 0.
(А) 1 < х< 3; (В) 21<х<^- (С) ^ + nk<x<^ + nk,keZ-,
6 6 6 6
(D) 1 <х< —, х ф 2; (Е) ^<х<3.
6 6
11. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если
среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрес¬
сия. Определить знаменатель этой прогрессии q при условии,
что | q | < 1.
437
(A) 2-V3; (В) I; (С) л/3 -2; (D) -I; (Е) ±.
12. После двух последовательных повышений заработная плата
15 . тт
достигла "о" по сравнению с первоначальной. На сколько процен¬
тов повысилась заработная плата в первый раз, если второе по¬
вышение было вдвое больше (в процентном отношении) первого?
(А) 10%; (В) 15%; (С) 25%; (D) 30%; (Е) 35%.
13. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных — 20%. На сколь¬
ко процентов уменьшается масса яблок при сушке?
(А) 50%; (В) 58%; (С) 60%; (D) 65%; (Е) 75%.
14. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам.
Сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом
осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали
и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну.
Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помеща¬
ется не более 20 деталей?
(А) 100; (В) 127; (С) 158; (D) 169; (Е) 194.
15. Решить уравнение (l6sinx)cosx + 6• 4-sm2(x-n/4) _ 4 = о.
пп
(А) х = —, п е Z; (В) х
(D) х = — + пп, п е Z ;
2
= 2пп, п е Z; (С) х = л(2п + 1), п е Z;
(Е) х = — + 2пп, п е Z.
2
Вариант 195 (2000 г.)
{Тест)
Решив задачу, выберите правильный ответ, причем отметьте
(Д), если правильный ответ составляют два и более пунктов.
...2. Найдите промежуток, содержащий хотя бы один корень
уравнения x(l - lg 5) - lg — = lg 4х + '
17 ^
(A) (-7,3; -5); (Б) (-4,5; -2,5); (В) (-2,5; -0,5); (Г) (-0,5; 0,5), (Д).
438
3. Найдите промежуток, содержащий сумму наименьшего и
наибольшего корней уравнения sin4 х + cos4 х = —, лежащих на
промежутке (—2л; 2л).
(А)
"1 2"
; (Б)
- 2л; - ^1; (В)
-7I; (Г)
|_2 3J
1 2)
1 2 4 J
л
7
4. Пусть пара чисел хо, у о — решение системы уравнений
х 1
х + у+- = -,
У 2
(х + у)х
у 2'
Найдите максимальное значение выражения Xq - уq .
(А) 0; (Б) -1; (В) 2; (Г) -3; (Д).
5. От деления шестнадцатого члена арифметической прогрессии на
пятый в частном получается 3, а от деления двадцать первого чле¬
на на шестой в частном получается 3 и в остатке 12. Найти сумму
первых трех членов прогрессии.
(А) 18; (Б) 24; (В) 36; (Г) 45; (Д).
6. Зная, что sin а + cos а = а, найдите |sin а — cos а|.
(А) |1 - а\; (Б) ±Ь-а2; (В) |2 - а\ (Г) Ь-а2 ; (Д).
7. Укажите промежуток, содержащий хотя бы один корень урав-
111
нения 5 • 25х + 3 • 10х = 2 • 4х.
(А) (-4,2; -2,1); (Б) (-2; -0,9); (В) (-0,5; 1,5); (Г) (1,7; 4,3); (Д).
...9. Пусть S — сумма всех целочисленных решений неравенства
V27 - 2х - х2 33- х
■ < 1. Выберите верное условие.
(A) S < -14; (Б) S< -14; (В) -14 < А< -8; (Г) -8 < А< -3; (Д).
...11. Выберите промежуток, содержащий сумму всех корней
уравнения (х — 1)(х — 2)(х — 4)(х — 8) = 4х2.
(А) (0; 6); (Б) (6; 12); (В) (12; 18); (Г) (18; 24); (Д).
439
12. Найдите множество значений параметра а, при каждом из
которых корни х\ и л'2 уравнения х2 — (а2 + 3а)х + За3 = О удов¬
летворяют неравенству |xi — Л'2 > 4а.
(A) -17; -7,31; -0,51; 7,31; 13,5; (Б) -17; -7,3; 0,51; 13,5; 16;
(B) -17; 0,51; 7,31; 13,5; 16; (Г) -17; 6,5; 13,5; 16; 27; (Д).
13. Пустой бассейн через три трубы постоянной производитель¬
ности наполняется за 6 ч. Если одновременно открыть первую и
вторую трубы, то бассейн будет заполнен за 7 ч. За сколько ча¬
сов может наполнить бассейн одна труба?
(А) 14; (Б) 28; (В) 42; (Г) 56; (Д).
14. Пара чисел xq, уо является решением уравнения
(з + 2 у-у2^4х = у- 3. Найдите минимальное значение выраже¬
ния (уо + I)2 + Х().
(А) 0; (Б) 1; (В) 2; (Г) 5; (Д).
15. При оптовой продаже цена первого товара равна 5 млн. руб.,
а второго — 20 млн. руб. Определенный процент оптовой цены
(для каждого товара свой) составляет стоимость товара, осталь¬
ное — товарная наценка. При розничной продаже цены товаров
увеличиваются за счет увеличения наценки, и процент, который
составляет стоимость от цены, уменьшается для первого товара
в х раз, а для второго товара в у раз по сравнению с оптовой
продажей. Известно, что ху = 9. На какое наименьшее число
может увеличиться сумма цен (млн. руб.) обоих товаров при
розничной продаже по сравнению с оптовой?
(А) 10; (Б) 15; (В) 25; (Г) 35; (Д).
Вариант 196 (2001 г.)
(Тест)
Решите каждую из приведенных ниже задач и укажите пра¬
вильный ответ на листе ответов, причем отметьте:
(Д), если правильный ответ составляют два и более пунктов',
(Е), если ответы в пунктах (А), (Б), (В), (Г) неправильные.
...5. Сумма седьмого и десятого членов арифметической про¬
грессии равна 28. Найти сумму первых шестнадцати членов этой
прогрессии.
(А) 70; (Б) 112; (В) 191; (Г) 224; (Д); (Е).
440
6. Найти число, ближайшее к числу 19
log19(log219+l)
(А) 3; (Б) 4; (В) 5; (Г) 6; (Д); (Е).
7. Выбрать верную характеристику функции у = (х3 — х) sin (гос).
(A) Функция четная; (Б) функция нечетная;
(B) функция периодическая; (Г) функция возрастает при х >1;
(Д); (Е).
8. График какой из перечисленных функций изображен на ри¬
сунке?
(A) у = log2 ( х 3);
(Б) у = log2 (3-х);
(B) у = log2 (х + 3);
(Г) у = -log2 (х - 3); (Д); (Е).
9. Выбрать такое множество значений параметра р, для каждого
из которых неравенство (р — \)х2 + (р — \)х + р — 4>0
справедливо на всем множестве действительных чисел х.
(A) 1,1; 2,9; 3; 3,3; 4,9; (Б) -7,1; -3; 0; 0,5; 0,2;
(B) 5; 5,3; 7; 30,1; 35,6; (Г) 6,3; 8; 10,37; 21,2; 25; (Д); (Е).
10. Магазин продал 5 холодильников двух разных емкостей,
причем холодильник большей емкости стоил на 500 тыс. руб.
дороже, чем меньшей емкости. За большие холодильники было
выручено 12 млн. руб., а за меньшие — 7 млн. руб. Сколько хо¬
лодильников меньшей емкости было продано?
(А) 1; (Б) 2; (В) 3; (Г) 4; (Д); (Е).
...13. Цена изделия повышалась трижды: сначала на 35%, затем
на 20% и, наконец, на 50%. Его окончательная цена составила
729 тыс. руб. Какова была первоначальная цена изделия (тыс. руб.)?
(А) 300; (Б) 350; (В) 400; (Г) 450; (Д); (Е).
14. На рисунке представлен график функции у = а + Ь\х + с\.
Выберите вид ограничений на параметры этой функции.
(A) а > 0, b < 0, с > 0;
(Б) а < 0, b < 0, с < 0;
(B) а < 0, b > 0, с > 0;
(Г) а < 0, b > 0, с < 0;
(Д);
(Е).
441
15. Найти промежуток, в каждой точке которого выполняется
неравенство ctg х > —-J=.
(А)
2 п ^
' 5л
п п
п
—,п ; (Б)
; (В)
_ ? _
; (Г)
L з )
1 з _
3 6
|_2 J
(Д); (Е).
16. Найти число, ближайшее к корню уравнения
V \ + 4х-х2 = х -1.
(А) -1; (Б) -0,5; (В) 1,5; (Г) 4; (Д); (Е).
17. Выбрать верную характеристику функции slcosН
(А) Функция возрастающая; (Б) функция нечетная; (В) отрезок
[0,5; 6] содержит все множество значений данной функции;
(Г) при х < 0 значения функции меньше единицы; (Д); (Е).
18. Найти разность между наибольшим и наименьшим корнями
уравнения cos 2х — 3 cos х + 2 = 0, принадлежащими промежут¬
ку
п 25лЛ
2"’12/
(А) |; (Б) (В) (Г) (Д); (Е).
19. Указать набор чисел, каждое из которых удовлетворяет нера¬
венству Jx2 - х - 2 + 2х + 3 > 0.
(A) -3,5; -3; -2,3; -2; -1,4; (Б) -2,9; -2,16; -0,9; 0,1;
(B) -3; -2,75; -1,5; -1; -0,81; (Г) -3; -2,36; -1; 2,49; 5;
(Д); (Е).
20. Выбрать множество, состоящее только из тех значений па¬
раметра а, при которых уравнение
sm
к
v2
имеет на отрезке
- (2а - l)sin
— х\ + а2 - а - 2 = 0
V2
1 11
з ’ Т
ровно два различных решения.
(A) -1,9; -1,2; -0,2; 1,2; 1,9; (Б) -1,8; -0,4; 1,1; 2,1; 2,6;
(B) -1,7; -0,5; -0,1; 1,6; 2,8; (Г) -1,6; -0,3; 0,5; 1,3; 2,7; (Д); (Е).
21. Найти множество, содержащее ровно три различных реше¬
ния неравенства
442
2х ■ х2 ■ 7л/з + 2х ■ х ■ 7л/з -4х- 4х2 - 5л/3х - 5л/з - 4х - 4х2 < 0.
(A) -1,5; -1,2; -0,2; 0,4; 1,2; (Б) -1,3; -0,8; 0,2; 0,7; 1,3;
(B) -1,2; -0,7; -0,1; 0,5; 1,4; (Г) -1,1; -0,5; 0,1; 0,6; 1,1; (Д); (Е).
22. По шоссе с постоянными скоростями движутся пешеход,
вдогонку ему — велосипедист, а навстречу им — всадник. В мо¬
мент встречи велосипедиста и всадника велосипедист отставал
от пешехода на 1 км. Когда же велосипедист догнал пешехода,
всадник находился от них на расстоянии 6 км. На сколько ки¬
лометров велосипедист отставал от пешехода, когда пешеход
встретил всадника?
(А) 1,2; (Б) 1,6; (В) 0,8; (Г) 1,5; (Д); (Е).
23. Вычислить —+ -J— - ' '
4-6 6-8 8 10
42-44
(Множители в знаменателях дробей — члены арифметической
прогрессии 4, 6, ..., 44.)
(А) 5/44; (Б) 7/66; (В) 9/88; (Г) 1/11; (Д); (Е).
24. При некотором (или некоторых) значении параметра а урав¬
нение 22а+3+х — 4-t+1 = 4у2 — 8у 4а +9 имеет единственное ре¬
шение (хо, Jo)- Выбрать интервал, содержащий хотя бы одно
значение суммы xq + Jo-
(А) (-3,0); (Б) (0,3); (В) (3,6); (Г) (6,9); (Д); (Е).
25. Найти сумму целочисленных корней уравнения
cos
■ - л/х2 + х -13
= 1.
(А) -1; (Б) 13; (В) -14; (Г) 1; (Д); (Е).
Вариант 197 (2002 г.)
(Тест)
Решите каждую из приведенных ниже задач и укажите пра¬
вильный ответ на листе для ответов, причем отметьте (Д), если
ответы в пунктах (А), (Б), (В), (Г) являются неправильными.
1. Выбрать число, равное максимальному значению функции
у — 3cos2x - 6sin2x .
(А) 3; (Б) 5; (В) 7; (Г) 9; (Д).
443
2. Пара чисел хц, уо является решением уравнения
(3 + 2у - у2)Va = у - 3 .
Найдите минимальное значение выражения (у0 + l)2 + х0.
(А) 0; (Б) 1; (В) 2; (Г) 5; (Д).
...4. Пустой бассейн через три трубы постоянной производи¬
тельности наполняется за 6 ч. Если одновременно открыть пер¬
вую и вторую трубы, то бассейн будет заполнен за 7 ч. За сколь¬
ко часов может наполнить бассейн одна третья труба?
(А) 14; (Б) 28; (В) 42; (Г) 56; (Д).
...6. Найти множество значений
параметра а, при каждом из кото¬
рых корни А'| и *2 уравнения х2 —
— (а2 + За) х + За3 = 0 удовлетворя¬
ют неравенству \хх - х2| > 4а .
(А) -17; -7,31; -0,51; 7,31; 13,5;
(Б) -17; -7,3; 0,51; 13,5; 16; (В) -17;
0,51; 7,31; 13,5; 16; (Г) -17; 6,5; 13,5;
16; 27; (Д).
7. На рисунке представлен график функции у = ах2 + Ьх + с,
причем D = Ь2 — 4ас. Выбрать набор ограничений на параметры
этой функции.
(А) b < 0, с > 0, D > 0; (Б) b > 0, с > 0, D < 0; (В) b < 0, с < 0,
D > 0; (Г) b > 0, с < 0, D > 0; (Д).
8. Выбрать промежуток, содержащий сумму всех корней уравнения
(а — 1)(х — 2)(х — 4)(х — 8) = 4а2.
(А) (0; 6); (Б) (6; 12); (В) (12; 18); (Г) (18; 24); (Д).
9. Найти площадь фигуры, заданной системой неравенств
’-^^2x + i <2,
2 — А + |у| + у2 > 2V1 - А.
(А) 2; (Б) 3; (В) 4; (Г) 8; (Д).
(А) 11 руб.; (Б) 12 руб. 25 коп; (В) 10 руб. 25 коп; (Г) 8 руб.; (Д).
...14. Указать промежуток, содержащий хотя бы один корень
III
уравнения 5-25х +3-10х =2-4х .
(А) (-4,2; -2,1); (Б) (-2; -0,9); (В) (-0,5; 1,5); (Г) (1,7; 4,3); (Д).
444
15. Найти число, ближайшее к числу log3^27>/3 j.
(А) 1,5; (Б) 2; (В) 2,5; (Г) 3; (Д).
16. От деления шестнадцатого члена арифметической прогрес¬
сии на пятый в частном получается 3, а от деления двадцать
первого члена на шестой в частном получается 3 и в остатке 12.
Найти сумму первых трех членов прогрессии.
(А) 18; (Б) 24; (В) 36; (Г) 45; (Д).
17. Найти промежуток, содержащий хотя бы один корень урав¬
нения 4 = 15log*5~log*2.
6
(А)
( у
(2 ^
0; i ; Б
5 ; в
1 У
1з
j;f |;(Г) (5; 15); (Д).
18. Пусть пара чисел xq, у о — решение системы уравнений
Г х 1
* + .F+- = :r,
, у 2
(х + у)х £
у 2'
Найти максимальное значение выражения xl - уо .
(А) 0; (Б) -1; (В) 2; (Г) -3; (Д).
19. Найти интервал, на котором определена функция х = log2 (—sin х).
(А) (4; 5); (Б) (2; 3); (В) (3; 4); (Г) (1; 2); (Д).
20. Найти промежуток, содержащий сумму наименьшего и наи¬
большего корней уравнения sin4x + cos4x = — , лежащих на про¬
межутке (—2л; 2л).
(А)
(п ЗлЛ
(
Л 1 __
( л л *) _
у; т
- 2л;
- - ; (В)
-- ;(Г)
U 2)
V
2)
1 2 4)
V
л
7
;(Ц).
22. Найти промежуток, содержащий хотя бы один корень урав-
' Г
нения x(l — lg 5) — lg — = lg
17
4х + -
4
(A) (-7,3; -5); (Б) (-4,5; -2,5); (В) (-2,5; -0,5); (1^ (“0,5; 0,5); (Д).
23. Указать отрезок, содержащий корень уравнения arcsin х =
= 2 arccos х.
445
(А)
л _ л
’ ~~г
; (Б)
°; 7I; (В)
7’ т]; (Г)
- 2 4.
1 6 J
U 4 J
^л _ л
Й’ 7
...25. Найти сумму первых ста положительных корней уравнения
2sm/^-sm^-l = 0.
6 6
(А) 59 700; (Б) 12 200; (В) 60 100; (Г) 20 100; (Д).
В вариантах 198—201 решите каждую из нижеприведенных задач
и укажите правильный ответ на листе ответов, причем отметьте
(Е) — если правильный ответ составляют два и более пунктов', (Ж) —
если все предыдущие ответы являются неправильными.
Вариант 198 (2003 г.)
(Тест)
21og3tg(-g
...3. Вычислить 3 logn3 .
(А) 3; (Б) 11; (В) л/з ; (Г) 1/11; (Д) 9.
...5. Вычислить (l-^-)(l-^-)(l-^)...(l-
(А) 0,875; (Б) 0,9; (В) ; (Г) ; (Д) IZi.
175 36 200
7. Сколько корней уравнения sin х + cos х = cos 2х расположено
на промежутке [—л/2, 0]?
(А) 0; (Б) 2; (В) 1; (Г) 3; (Д) 4.
8. Указать набор, содержащий ровно три решения неравенства
9|Зх-1| ^ 38х-2
(A) {-2,1; -1,3; 0; 0,8; 3,5}; (Б) {-1; 0,2; 0,3; 3,9; 10,7};
(B) {-5,1; -1,5; -1; 0; 2,1}; (Г) {-2,1; -1; 0; 0,18; 8,2};
(Д) {-9,3; -5,2; -5,1; -2,1; -1}.
9. Велосипедист едет по шоссе. Каждые 20 мин его обгоняет ав¬
тобус, а каждые 12 мин мимо проезжает встречный автобус. Во
сколько раз скорость автобуса больше скорости велосипедиста,
если скорости и интервалы движения автобусов постоянны и
одинаковы в обоих направлениях?
446
(А) 6; (Б) 5; (В) 4; (Г) 4,5; (Д) 5,5.
10. Выбрать набор чисел, каждое из которых является решением
, 1
неравенства log, > —.
-vx + 3J 2
4
(А) {-21; -13; 0; 8; 35}; (Б) {-11; 3; 7; 17; 38}; (В) {-51; -15; -1; 0;
2}; (Г) {-21; -11; -8; 18; 82}; (Д) {-34; -25; -9; 5; 10}.
11. Указать сумму длин интервалов решения неравенства
|х2 - 2х + 2| < |4 - Зх\.
(А) 0,5; (Б) 4; (В) 2; (Г) 1; (Д) 3.
12. Указать среднее арифметическое всех целых решений нера¬
венства у/х +1 > — V 6 — X .
(А) -0,5; (Б) 2,5; (В) 3,5; (Г) 1,25; (Д) 4,5.
13. Выбрать набор значений, каждое из которых является реше-
/ 2 г _\х2+х-2 ,
нием неравенства (х - 5х + 7) >1.
(А) {-2; 0; 1; 2,1; 2,3}; (Б) (-1; 0,1; 2; 3}; (В) {-9; -1,5; 2,1; 3,6;
4,2}; (Г) {-7,1; -2; 1; 2; 3}; (Д) {-9,3; -5,2; -5,1; -2,1; 2,9}.
14. Сколько различных действительных корней имеет уравнение
(решать графически)
(2х + х)(х2 — 4х + 4)(х + 2 — log2(—х)) = 0?
(А) 4; (Б) 5; (В) 1; (Г) 3; (Д) 2.
15. Указать число, ближайшее к корню уравнения
4 • 16*« х = 65 4 - 16.
(А) 0; (Б) 45; (В) 25; (Г) 34; (Д) 87.
...17. Указать на промежутке [0; 4л] число корней уравнения
sin(^5x + cos(^3x + = 1.
(A) 11; (Б) 3; (В) 8; (Г) 4; (Д) 5.
18. Пусть (х*, у*) — одно из решений системы
| log^x - log2 х • log2>' - 2 log2y = 0,
[(x + l)y = 6x.
Указать число, ближайшее к максимальному из значений х*.
447
(А) 0; (Б) 43; (В) 12; (Г) 34; (Д) 22.
19. Указать число, ближайшее к минимальному корню уравнения
л[х^ + У2х-Ю = 4.
(А) 23; (Б) 4; (В) -1; (Г) 30; (Д) 10.
20. Указать число, ближайшее к минимальному корню уравнения
л2
7 arccos2 х = arcsin2 х + — .
12
(А) 0,8; (Б) -0,4; (В) 0,5; (Г) -0,7; (Д) 1.
21. Найти минимальное значение выражения За2 — а — b при
|х|-|х + 2|
условии, что уравнение
2
- + х = ах + Ь имеет ровно два
решения.
(А) 0,25; (Б) 0,1; (В) 11/12; (Г) 1/6; (Д) 0,5.
22. При некотором значении параметра а три действительных
корня уравнения х3 — 9х2 + 25х — а = 0 образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Указать число, менее всего отли¬
чающееся от разности этой прогрессии.
(А) 1; (Б) 1,5; (В) 2; (Г) 4,5; (Д) 0,5.
23. Множество точек на координатной плоскости задается урав¬
нением у2 + 2,5х2 — 3 ху + х + 1 = 0.
Указать число, ближайшее к минимуму расстояния между нача¬
лом координат и точками, принадлежащими множеству.
(А) 1; (Б) 13; (В) 3,5; (Г) 8; (Д) 4,5.
...25. При некоторых значениях параметра а уравнения, приведен¬
ные ниже, имеют общие действительные корни. Нати все эти кор¬
ни. В ответе указать число, ближайшее к их произведению.
20л4 + ЗОх3 - (20а + 2)х2 - Зх + 2 = 0,
Юх4 + ЗОх3 + (2а + 17)х2 - (1 + 2а)х -2 = 0.
(А) 1/13; (Б) 1/59; (В) 1/31; (Г) 1/4; (Д) 1/3.
Вариант 199 (2004 г.)
(Тест)
1. Указать сумму всех действительных корней уравнения
(х2 - 16)Vx2 -7х + 10 = 0.
(А) -4; (Б) 0; (В) 3; (Г) 7; (Д) 11; (Е); (Ж).
448
2. Найти число, ближайшее к какому-либо действительному
корню уравнения
х2 — 16 = х3 + 64.
(А) -4,2; (Б) -3,9; (В) 1,3; (Г) 3,7; (Д) 4,2; (Е); (Ж).
3. Указать сумму всех действительных корней уравнения
(А) -3/2; (Б) -7; (В) 3/2; (Г) -4; (Д) 7; (Е); (Ж).
4. Указать интервал, содержащий ровно один корень уравнения
|х2 + 2х - з| = 3.
(А) (-7; 0); (Б) (-4; -2); (В) [-2; 0]; (Г) (2; 5); (Д) [0; 2]; (Е); (Ж).
5. Указать интервал, содержащий наибольшее возможное значе-
(х3у + ху3 = 10,
ние х: < „ „
[у2 +х2 =5.
(А) (-13; -5); (Б) [-5; 0); (В) [0; 2); (Г) [2; 6); (Д) [6; 13); (Е); (Ж).
...7. Указать интервал, содержащий одно решение уравнения
4l sin х cos х = sin 46°.
(A) [0; л/4); (Б) [л/4; л/2); (В) [тг/2; Зл/4);
(Г) [Зл/4; л); (Д) (5л; 6л); (Е); (Ж).
8. Указать на промежутке [7л/2; 11л/2) число корней уравнения
-v/sinx = д/l - 2 sin2 х.
(А) 2; (Б) 0; (В) 3; (Г) 4; (Д) 1; (Е); (Ж).
9. Указать интервал, содержащий ровно 4 решения уравнения
sin х + л/з cos х = 2cos 3 х.
(А) (0; 2л); (Б) [л/2; Зл/2]; (В) (5л; 6л);
(Г) (-л; л/24); (Д) [-л/6; л]; (Е); (Ж).
10. В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов,
стоящих на четных местах, равна —100, а на нечетных: —80.
Найти десятый член прогрессии.
(А) -22; (Б) -13; (В) -8; (Г) 15; (Д) -32; (Е); (Ж).
11. Фирма получила кредит в банке под определенный процент
годовых. Через год фирма в счет погашения кредита вернула в
банк 75% всей суммы, которую она была должна банку к этому
449
времени. Еще через год в счет полного погашения кредита она
внесла в банк сумму, составляющую 64% величины полученного
кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
(А) 60%; (Б) 50%; (В) 64%; (Г) 75%; (Д) 40%; (Е); (Ж).
12. Указать интервал, содержащий ровно одно решение уравне¬
ния 22x+1 + 32х+1 = 5 • 6х.
(А) 126; (Б) 116; (В) 98; (Г) 36; (Д) 57; (Е); (Ж).
15. Указать сумму длин интервалов, являющихся решениями
неравенства logx+i7(2x2 — 5х — 3) < 1.
(А) 4,5; (Б) 5; (В) 1,5; (Г) 3,5; (Д) 4; (Е); (Ж).
1. Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки
кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист
впервые догнал второго, сделав 4 круга после старта. Скорость
второго мотоциклиста на 50% больше, чем скорость третьего.
Сколько кругов в час делает первый мотоциклист, если он дог¬
нал третьего через 20 мин после старта?
(А) 6; (Б) 0,1; (В) 3; (Г) 4,5; (Д) 12; (Е); (Ж).
2. Указать число различных действительных корней уравнения
(А) 1; (Б) 0; (В) 2; (Г) 4; (Д) 3; (Е); (Ж).
3. Выбрать точку, являющуюся серединой одного из промежут¬
ков решения неравенства 5cos х + 2sin 2х > 0.
(А) 6л; (Б) л/4; (В) Зл; (Г) 2л; (Д) Зл/2; (Е); (Ж).
(А) (-9; -4); (Б) (0; 7); (В) (-6; 1);
(Г) (-3; 0); (Д) (4; 12); (Е); (Ж).
13. Указать число действительных корней уравнения
log3(x+8) + ^-log3x2 = 2.
(А) 0; (Б) 1; (В) 2; (Г) 3; (Д) 4; (Е); (Ж).
Вариант 200 (2005 г.)
{Тест)
450
4. Дан график функции у- /(х). График пересекает ось Ох в
трех точках х\ - —2; л'2 = 2; хз = 4. Сколько различных вещест¬
венных корней имеет уравнение /(Зх2 -1) = О?
(А) 0; (Б) 1; (В) 2; (Г) 3; (Д) 4; (Е); (Ж).
5. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии
равна 40. Найти ее первый член, если знаменатель прогрессии
равен sin
arctg —j=
Vs.
(A) 2160/41; (Б) 360/13; (В) 54; (Г) 30; (Д) 27; (Е); (Ж).
6. Указать число, ближайшее к наименьшему корню уравнения
log^_1 (хс2 + х + Vs j = log1+^(б-х2 - x-Vsj.
(А) -5; (Б) 1,5; (В) -2,5; (Г) 2,7; (Д) 4; (Е); (Ж).
7. Указать сумму чисел, являющихся серединами промежутков
решения неравенства
l°gx 9 • log3 — > 2.
4-х
(А) 5; (Б) 1,5; (В) 4,5; (Г) 7; (Д) 9; (Е); (Ж).
8. Пусть М. — множество точек (х, у) на координатной плоско¬
сти таких, что пара (х, у) является решением системы
Г у — 4 + |х — 2\,
<, , , , Соединить отрезком прямой две точки мно-
1|х-2| + |у-б| = 2.
жества М, наиболее удаленные друг от друга. Вычислить пло¬
щадь фигуры, ограниченной отрезком и точками множества М.
(А) 2,5; (Б) 5; (В) 8; (Г) 4; (Д) 2^2 ; (Е); (Ж).
9. Указать сумму всех целых значений параметра а, при которых
Г2х + ау — 5,
система < имеет целочисленные решения.
[х — Зу — 4 +а
451
(А) -12; (Б) -24; (В) -48; (Г) -6; (Д) -36; (Е); (Ж).
10. Указать сумму различных значений параметра а, принадле¬
жащих промежутку
—; к |, при которых имеет решение урав-
V 2
нение ^2sin(x —а) + 1 = cos3x—1.
(А) 7я/6; (Б) 5я/12; (В) я; (Г) я/2; (Д) Зл/2; (Е); (Ж).
Вариант 201 (2006 г.)
{Тест)
1. Указать множество, содержащее ровно 3 различных решения
неравенства V 15 + х2 +8х > х + 5.
(A) -13,1; -12,1; -5,5; 0; 1; (Б) -3,1; -2,2; 0,7; 1; 2,1;
(B) -5,2; -2,3; -0,6; 0,7; 2; (Г) -4,1; -2,9; -1,1; 1,5; 1,6;
(Д) -7,7; -6,3; -5; 0,3; 0,8; (Е); (Ж).
2. На рисунке представлен график функции
у — а(х + d)2 + й|х + d\ + с.
Выбрать набор ограничений на параметры этой функции.
(A) а > 0, Ъ > 0, с > 0, d > 0;
(Б) а< 0, Ъ > 0, с < 0, d > 0;
(B) а< 0, Ъ> 0, с> 0, d< 0;
(Г) а> О, Ъ < 0, с> 0, d < 0;
(Д) а > 0, 6 < 0, с < 0, d < 0;
(Е); (Ж).
3. Выбрать верную характеристику функции у - cos
(A) функция нечетная;
(Б) функция периодическая;
(B) функция монотонно убывающая на (1; + оо);
(Г) функция неограниченная;
(Д) функция монотонно убывающая на -1);
(Е); (Ж).
4. Выбрать число, равное максимальному значению функции
1-1
у- 2 х на отрезке [1/2; 2].
452
(А) 1; (Б) V2 ; (В) 2; (Г) 2^2 ; (Д) 1/2; (Е); (Ж).
5. Для геометрической фигуры, заданной системой неравенств
1-у2<х2,
< у/4-х2 >\у\,
> —
“2’
вычислить отношение ее периметра к площади.
(А) 2 + 4/(Зтг); (Б) Зл/(6л + 4); (В) 2; (Г) 2/3; (Д) 1/2; (Е); (Ж).
6. Уравнение ах2 +Ьх + 2 = 0, где а < 0, имеет одним из корней
число х - 2. Найти сумму квадратов действительных корней
уравнения ах4 + Ьх2 +2 = 0.
(А) 8; (Б) 2; (В) 4; (Г) 3; (Д) 5; (Е); (Ж).
7. Указать интервал, которому принадлежат все значения пара¬
метра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно действи¬
тельное решение:
а4х2 + 2a2(2-Jl - 1)х + yjx + 2 = 4Л - 9.
(А) (-17,35; -1,41); (Б) [-1,41; 0,96); (В) [0,96; 3,97);
(Г) (0,71; 17,35]; (Д) (-5,75; 0,95); (Е); (Ж).
8. Выбрать интервал, содержащий все значения х, удовлетво¬
ряющие уравнению
log3(а2х3 -11 а2х2 + Vl2 - х) = log3+a4 (3 - у/х - 7).
при любых значениях параметра а.
(А) (3; 10); (Б) (11; 16); (В) [7; 8]; (Г) (-6; 9); (Д) (8; 12); (Е);
(Ж).
9. В питомнике выращивалось 11 025 саженцев, расположенных
в виде прямоугольника, состоящего из п рядов саженцев одина¬
ковой длины т. Затем часть саженцев отправили на продажу, за
счет чего участок уменьшился в длину и ширину таким образом,
что он вновь стал прямоугольным, а число саженцев на нем со¬
ставило 6048 штук. В каком диапазоне находится величина
sin(«), если количество рядов уменьшилось на 5?
(А) [-1; -0,5]; (Б) [-0,5; 0]; (В) [0; 0,5]; (Г) [0,5; 0,85]; (Д) [0,85; 1];
(Е); (Ж).
10. Вычислить разность между максимальным и минимальным
действительными корнями уравнения
arccos
[У
U
453
(9 - х2)(х + 4)2 = 16х2.
(А) лУТу ; (Б) 2у[Е; (В) 4л/б ; (Г) 4л/Тз ; (Д) 6; (Е); (Ж).
Московский государственный университет,
экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
Вариант1 202 (типовой)
1. Найти наибольшее двузначное число, которое в сумме с чис¬
лом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, да¬
ет полный квадрат.
...3. На сколько процентов уменьшится дробь, если ее числитель
уменьшить на 70%, а знаменатель увеличить на 50%?
4. В геометрической прогрессии дано: щ + и5 = 51, u2 + и6 = 102.
При каком значении п сумма Sn = 3069?
5. Найти наибольшее целое решение неравенства х + 1 <—
х-1
...7. Найти наименьшее значение Ь, при котором корни уравне¬
ния х2 + Ьх + 2 = 0 связаны соотношением xf + х\ - 5.
8. Найти целое решение неравенства у1х2 - 2х + 4 < х - 3.
9. При каком значении параметра а система уравнений
\(а-2)х-2у = Ъ,
< не имеет решении'
[2х - (а + 1)у = 3 + а
...12. В трех ящиках имеется 64,2 кг яблок. Во втором ящике нахо¬
дится 4/5 того, что есть в первом ящике, в третьем — 42,5% того,
что есть во втором. Сколько килограммов яблок в первом ящике?
13. Найти наибольший корень уравнения 2-42^x2~3 -5-4^х2~3 =12.
1
14. Вычислить log2 225 log2 9 + 5log9 25.
log5 2
...16. Упростить 2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a).
4
17. Найти (в градусах) (a + p), если tga = y, tg p = 7, 0 < a < 90°,
0 < p < 90°.
1 В заданиях вариантов 202—204 необходимо получить числовые ответы; вариант
202 приводится в сокращенном виде.
454
...19. На основании ВС трапеции ABCD, как на диаметре, по¬
строена окружность, которая проходит через середины диагона¬
лей трапеции и касается основания AD. Найти больший угол
трапеции.
20. Объем конуса равен 27. Высота его разделена на три равные
части и через точки деления проведены плоскости параллельно
основанию. Найти объем средней части.
Вариант 203 (более сложный)
, n V2 л/б-4л/2
д/тТтТз 2V2-3
2. Вычислить, после сокращения, при а = 54, b = 6:
{4a+4bj {4а + 54bj - {4а + 24bj {4a-24b{ * 3 4 5 6 7 8 92а + ъ4аЬ
3. В колбе — раствор поваренной соли. В пробирку отливают
1/5 раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержа¬
ние не повысится вдвое, после чего раствор из пробирки выливают
в колбу. В результате процентное содержание соли повышается
на 1. Определить первоначальное процентное содержание соли.
4. Из А и В одновременно начали двигаться два тела навстречу
друг другу. Первое за минуту прошло 1 м, а в каждую следую¬
щую на 1/2 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходи¬
ло 6 м каждую минуту. Расстояние АВ = 117 м. Через сколько
минут тела встретятся?
5. Найти наибольшее к, при котором корни уравнения (к — 3)х
хх2— 2 кх + в к = 0 положительны.
6. Найти наименьшее значение функции
у = ^х + 2 ^1 + Vx + lj + ^х + 2 |l — л/х +1 j.
7. Найти наименьшее целое а, при котором корни уравнения
х2 + (а + 2)х + За + 1 = 0 действительны и сумма их кубов
меньше 5а — 2.
8. Найти наименьший корень уравнения
V 5х2 +10х + 1 + х2 + 2х = 7.
п тт \х2 +у2 +2х <1,
9. При каких положительных а система •: имеет
[х - у + а = 0
единственное решение?
455
10. Пункты А и В расположены на автомагистрали на расстоя¬
нии 9 км. Из А в В двигается автомобиль с постоянной скоро¬
стью 40 км/ч. Одновременно из В в том же направлении с уско¬
рением 32 км/ч2 двигается мотоцикл. Найти наибольшее рас¬
стояние между ними в течение первых двух часов.
11. В бассейн проведены четыре трубы. Через первые две трубы
вода втекает в бассейн, через две другие вытекает. Если работа¬
ют все четыре трубы, то бассейн заполняется за 2,5 ч, если ра¬
ботает первая, вторая и третья — бассейн заполняется за 1,5 ч,
если работают первая, третья и четвертая, то бассейн заполняет¬
ся за 15 ч. За сколько часов заполнится бассейн, если будут ра¬
ботать только первая и третья трубы?
12. Имелись два разных сплава меди. Процент содержания меди
в первом сплаве был на 40 меньше, чем во втором. После того как
их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди.
Определить процентное содержание меди в первом сплаве, если
известно, что меди в первом сплаве 6 кг, а во втором 12 кг.
13. Решить уравнение
lg (5^ + lg 10) = lg (51-^ + 2,5 lg 100) - 2(lg 2 -1).
14. Найти наибольшее решение уравнения
1 7
- log1/7 х + log1/71-1'2 = log\p - + log2 7 -
X 4
15. Найти целое решение неравенства
log2(2*-l)log1/2(2*+1-2)>-2.
16. Найти значение выражения
sin 2а = 0,75.
sin 4а + sin 10а - sin 6а
1 + cos 2а - 2 sin2 4а
если
л _ ^ . 4 ^ -4 ЗЛ . 4 бл . 4 771
17. Вычислить sin ь sm 1-sm 1-sm —.
16 16 16 16
18. Найти (в градусах) наибольшее решение уравнения
cos 7х - sin 5х = V3(cos 5х - sin 7х) , удовлетворяющее условию
0 < х < 30°.
19. В окружность вписаны равнобедренный треугольник
(с острым углом при вершине) и трапеция. Одним из оснований
трапеции является диаметр, боковые стороны трапеции парал¬
лельны боковым сторонам треугольника. Найти отношение
площади трапеции к площади треугольника.
456
20. Из куска металла, имеющего форму треугольной пирамиды,
выточить круговой конус максимального объема с той же верши¬
ной. Найти объем сточенного металла, если стороны основания
пирамиды 13, 14и 15, а высота равна 24 (считать л * 3,14).
Вариант 204 (1999 г.)
1. Вычислить при 0 < х < 1
' ,-JF* —.l(VFCT-I).
\л/1 + Х-л]1~Х yl\_x2+x_l)\ ХУ
2. Найти максимальное значение функции
1
У = ~—2 : 7¬
4 cos X - 4 cos х + 5
3. Найти наибольшее значение х, удовлетворяющее системе
„ \х2 + у1 = 2(ху + 2),
уравнении <
[х + у = 6.
4. Три печатные машины различной производительности долж¬
ны отпечатать некоторое количество книг. Вторая машина, ра¬
ботая отдельно, могла бы выполнить заказ на несколько часов
быстрее, чем первая, а третья — на столько же часов быстрее,
чем вторая. Первая и вторая машины вместе выполнили бы за¬
каз за 24 ч, а первая и третья вместе — за 15 ч. За сколько часов
выполнит заказ первая машина, работая отдельно?
5. Найти больший корень уравнения
х2 + 5х + 4 - 5л/х2 + 5х + 28 = 0.
2х
6. Найти целое решение неравенства (о,2)*-2 > 5.
lgx + 7
7. Найти больший корень уравнения х 4 = 10lgx+1.
8. Найти (в градусах) решение уравнения
sin2 х-Ъ cos2 х + 2 sin 2х = 1,
удовлетворяющее условию 0° < х < 90°.
9. В трапеции длины оснований равны 5 и 15 см, а длины диа¬
гоналей — 12 и 16 см. Найти площадь трапеции.
10. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью,
перпендикулярной основанию и делящей две стороны основа¬
ния пополам. Определить площадь сечения пирамиды этой
457
плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а
высота пирамиды равна 4.
Вариант 205 (2000 г.)
1. Решить уравнение 2 sin 4|дс| = 3(cos2|x| + sin2|x|).
2. Решить неравенство З16х3 + З6х3 — 2• 81х3 <0.
3. Решить уравнение log^(3x) ■ logjVx = 1.
4. Решить систему
2х3 + Зх2 - 36х - 69 = 0,
-1 <х <2.
5. Найти сумму 1 • 6 + 3 • 62 + 5 • 63 +...+ (2п — 1)6п.
6. Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта
и долили тем же количеством воды; потом из бака вылили
столько же литров смеси, тогда в баке осталось 98 л чистого
спирта. Сколько спирта вылили в первый раз и сколько во вто¬
рой, если вместимость бака 128 л?
7. Даны два единичных вектора тип, угол между которыми
120°. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах а = 2т-Ап и b = 2т + п .
„ „ 5 uv 5 vs 13 № 1
а. Решить систему = = — = I.
2 u + v 3 v + s 6 u + s
9. В равнобедренный треугольник со сторонами 15, 15 и 18 см
вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при
основании у них общий. Найти длины сторон параллелограмма.
10. Пирамида имеет в основании правильный шестиугольник
ABCDEF. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости ос¬
нования, а противоположное ему ребро МЛ наклонено к плос¬
кости основания под углом а. Определить углы наклона боко¬
вых граней к плоскости основания.
Вариант 206 (2001 г.)
1. Решить уравнение sin 6х + cos Ах = 1.
2. Решить неравенство log2x(x2 - 5х + б) < 1.
х2--
3. Решить уравнение 16 2 — 15 - 4Ж - 42+х = 0.
12
4. Вычислить tg(2 arccos —).
458
5. В конус радиуса 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр наи¬
большего объема. Определить объем этого цилиндра.
6. Определить стороны треугольника, если медиана и высота,
проведенные из вершины одного угла, делят этот угол на три
равные части, а сама медиана равна 10 см.
7. Найти кратчайшее расстояние от точки М(0; 2,81) до точек
графика функции у = х2.
8. Гражданин положил в сберегательный банк некоторую сумму
денег под фиксированный процент годового дохода. За первые
два года сумма вклада возросла на 60 тыс. руб., а за третий год —
еще на 49 тыс. руб. Какова была первоначальная сумма вклада?
9. Решить уравнение ■Jx - 2 + ^2х — 5 + -Jx + 2 + 3>/2х —Т = 1-^2.
10. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые
при делении на 4 дают в остатке 1.
Вариант 207 (2002 г.)
1. Решить уравнение •\/х2 + 8 = 2х +1.
2. Решить уравнение sin lx - cos 1 Зх = sin х- cos 19х.
3. Решить неравенство 2х + 11 • 2°-5л‘ < 26.
4. Найти количество различных корней уравнения /3
удовлетворяющих условию — 1 < t< 6.
5. Решить неравенство log5(7-2) + log5V3 <
612 + 6 — 0,
6. Из пункта А в пункт В против течения выехала моторная лод¬
ка. В пути сломался мотор, а пока его чинили 20 мин, лодку
снесло вниз по реке. Определить, насколько позднее прибыла
лодка в пункт В, если известно, что обычно путь из А в В лодка
проходит в полтора раза дольше, чем из В в А.
7. Найти угловые коэффициенты касательных к параболе
у = t2 — 2t — 1, проходящих через точку (3; —3).
8. Решить систему уравнений
(у + z)(x + y + z) = 3,
< (z + х)(х + у + z) = 2,
(х + у)(х + у + z) = 1.
9. Определить площадь треугольника, если две его стороны рав¬
ны 1 и Vl3 , а медиана третьей стороны равна 2.
10. Один из катетов равнобедренного прямоугольного треуголь¬
ника лежит в плоскости Р, а другой образует с ней угол, равный
45°. Найти угол, который образует гипотенуза с плоскостью Р.
459
Вариант 208 (2003 г.)
1. Решить неравенство log5 (—х2 + 6х + 3) < 1.
2. Решить уравнение cos 4х + 3 sin 2х = 2.
3. Решить уравнение 3 • 16х + 36х = 2 • 81х .
4. Решить уравнение -Jl-x
8 - Vi - Зх .
(y + z)2 = 4,
5. Решить систему уравнений
< (z + х)2 = 1,
(х + у)2 = 1.
В
6.
ответе записать наименьшее значение х.
\2х3 + Зх2 - 36х
Сколько решений имеет система
— 00 < х < +00?
26 = О,
7. Разложить на линейные множители
1014 -2713 -110l2 -271 + 10.
8. При постройке здания требовалось вынуть 8000 м3 земли в оп¬
ределенный срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней
вследствие того, что бригада землекопов ежедневно перевыпол¬
няла план на 50 м3. Определить, в какой срок должна была быть
окончена работа, и найти ежедневный процент перевыполнения.
9. Найти длину биссектрисы угла в 90°, лежащего между сторо¬
нами а и b треугольника.
10. В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше
боковой стороны. Высота треугольника, проведенная к основанию,
образует с плоскостью Р угол, равный а, а основание треугольника
лежит в этой плоскости. Найти угол, образованный боковой сто-
„ „ . 2
ронои треугольника с плоскостью Р, если sm а = —=.
Вариант 209 (2004 г.)
1. Решить неравенство \х2 - Зх +1| < 1.
2. Вычислить
cos 1 la + 3 cos 9a + 3 cos 7a + cos 5a
cos 8a
при cos a = a.
460
X
3. Решить уравнение tg х = sin х + 2 sin2 —.
4х-9
4. Решить неравенство logxlog2— < 0.
5. При каких значениях а функция у = 2ах3 + (За - 1)х2 - 2х + 3
убывает на отрезке [—1; —0,5]?
6. При каких значениях х три числа 2Л“!, 4, 4Л“2 являются последо¬
вательными членами некоторой арифметической прогрессии?
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\С)D\ ребра АБ, АА\
—>
и AD равны 6, 4 и 5 см соответственно. Найти длину вектора DM,
где М — середина ребра А\В\.
8. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч,
прошла по течению реки 91 км и вернулась обратно. Найти ско¬
рость течения реки, если весь путь лодка преодолела за 20 ч.
9. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°.
Найти отношение радиуса вписанной и описанной окружностей.
10. Решить уравнение V5-х2 = х -1.
Вариант 210 (2006 г.)
\у + 2х = 4,
1. Решить систему уравнений (
[У-х = 1.
2. Решить неравенство 5х + 7 > Зх + 2.
3. Решить неравенство 32х+2 < 9.
4. Турист проплыл на байдарке 504 км, что составило 36% всего
пути. Найти длину всего пути.
5. Вычислить xixjixi + л^), гДе Х( и л'2 — корни уравнения
х2 — 5х + 6 = 0.
6. Пешеход и велосипедист одновременно отправляются из од¬
ной точки по шоссе навстречу мотоциклисту, все трое движутся
с постоянными скоростями. В тот момент, когда велосипедист
встретил мотоциклиста, пешеход отстал от велосипедиста на 3 км.
В тот момент, когда пешеход встретил мотоциклиста, велосипе¬
дист обогнал пешехода на 6 км. Какое расстояние было между
пешеходом и мотоциклистом в момент отправления пешехода?
461
7. В прямоугольный треугольник с гипотенузой в 36 см и углом
в 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на ги¬
потенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника,
чтобы его площадь была наибольшей?
8. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые
при делении на 5 дают в остатке 2.
9. Решить уравнение lg^5^* +lj = + 5j-2(lg2-l).
10. Определить, при каких значениях параметра а уравнение
yjx + l -х-a-l имеет единственное решение (два одинаковых
корня считаются за одно решение)?
Вариант 211 (2007 г.)
1. Найти вещественные корни уравнения
х/х2 — 5х —4 = х/х2 -5х-35 +1.
2. Найти сумму 1-2 + 2- 4 + 3- 8 + ... + И-2".
3. Решить уравнение 7 • 25cosx - 2 • 20cosx - 5 • 16cosx = 0.
4. Решить неравенство 10V?x3 4 5 6 7 8 9 -55х2 +17х/?х-6<0.
(у + z)(x + у + z) — 2,
5. Решить систему уравнений \ (z + х)(х + y + z)-1,
(х + у)(х + у + z) = 3.
6. На кривой х2 - 2х - 2у +1 = 0 найти точку, расстояние от ко¬
торой до прямой 2х - 2у = 5 является наименьшим.
7. Фермер привез на рынок 5 корзин с яблоками двух сортов, в
которых соответственно было 100, 125, 150, 175 и 200 яблок. В
каждой корзине были яблоки одного сорта. Продав целиком од¬
ну корзину, он обнаружил, что яблок второго сорта у него оста¬
лось в 2 раза меньше, чем яблок первого сорта. Сколько у него
осталось яблок второго сорта?
8. Вычислить cos— -sin—.
5 10
9. Все ребра треугольной пирамиды равны 4. Найти радиус шара,
касающегося боковых ребер пирамиды в вершинах основания.
10. Решить уравнение
4х
7х* 2 -4х + 2
Зх
7х2 -5х + 2
= 2.
462
Государственный университет. —
Высшая школа экономики
Вариант 212 (1999 г.)
1. Решить неравенство . =<0.
л/х2 -х-2
2.
во
Найти все пары чисел (х, у), для которых выполнено равенст-
х2 -6xsiny + 9 _ * 3 4 5 6 7lg(—2У-У2)
= 0.
3. В треугольнике АВС заданы координаты точки С (1; 1; 0),
точки пересечения медиан Р (2; —1; 3) и середины отрезка ВС
точки М(1; —1; 2). Найти площадь треугольника ЛВС.
4. Оценки при поступлении в некоторый технический вуз вы¬
ставляются по пятибалльной шкале. Из сдававших экзамены
55 чел. получили хотя бы одну «двойку». Среди остальных оценку
«удовлетворительно» получили: по математике — 86 чел., по фи¬
зике — 50, по информатике — 71, по математике или физике — 112,
по математике или информатике — 130, по физике или информа¬
тике — 94, по всем трем предметам — 18 чел. Среди абитуриен¬
тов, получивших только одну оценку «удовлетворительно», 26 чел.
имеют хотя бы одну оценку «отлично». Сколько человек не про¬
шло по конкурсу в данный вуз, если проходной балл равен 12?
5. Найти все значения Ь, при которых не имеет решений система
\х\
< 2х2 +2ху + у2 < 4,
|2х + 3|-3<0.
6. При каждом значении параметра а найти все решения урав¬
нения (-х2 - 2х + а) ■—— = 0 .
V ’ V х + 4
7. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую про¬
грессию, делят между собой некоторую сумму денег пропорцио¬
нально своему возрасту. Если бы они проделали это через
3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого
старшего, то младший бы получил на 105, а средний на 15 руб.
больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?
463
Вариант 213 (2000 г.)
(Тест1)
Решив задачу, выберите правильный ответ.
1. Нечетной среди приведенных функций является
(1) у = (|x|-x)(|x| + l); (2) у = |1-2х| + |1 + 2х|; (3) у = 1—^-,
ы
(4) у = хЫ ; (5) у = (х — 1)(х + 1).
х
2. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. По¬
сле удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем
12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось
на 20%. Какое количество железа осталось в руде?
(1) 104 кг; (2) 105 кг; (3) 160 кг; (4) 180 кг; (5) 187,5 кг.
...5. Все решения неравенства 3х + 2 < х2 ■ 3х совпадают с множе¬
ством
(1) х < ±3; (2) х > ±3; (3) [-3; 3]; (4) (-*; -3)U [3; +*);
(5) [3; + «>}
...7. Выражение sin6 — + cos6— равно
16 8 16 16 4
/ I— \3х—э / j— \ — х—Tl
8. Корень уравнения U/2+1 - n/2-l =0 заключен в
промежутке
(1) (1; 1,5); (2) (1,5; 1,8); (3) (0,4; 0,7); (4) (3; 3,5); (5) (2; 2,5).
\х-2\ , ч 2
9. Уравнение '- = \х-а) имеет только один корень, если а
х-2
принадлежит множеству
(1) (1; 3]; (2) (-«; -3); (3) [3; +«); (4) (-1; +«); (5) (-3; +«).
10. Числовое выражение
л/2 V 6-4л/2
равно
^ЪЖ^З 242-3
(1) 4з ■ (2) 4; (3) - 4з ; (4) 2л/б ; (5) -2^6.
11. Множеством значений функции у = logo 5(x2 — 2х + 3) является
(1) [-1; 1]; (2) (-«; 1]; (3) [1; +«); (4) (-«; -1]; (5) [-1; +«).
1 Варианты 213, 214, 216 приводятся с сокращениями.
464
12. В равнобедренной трапеции с высотой 2 —л/2 и углом л / 4 меж¬
ду ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, средняя
линия равна
(1) л/2 ; (2) 2л/2 ; (3) 2; (4) Зл/2 - 4; (5) л/2 + 2.
13. Все решения уравнения 31+smx+sin2x4+-+sm"x+- = Щ опреде¬
ляются формулой
(1) (-1)«--£ + яи; (2) (—1)й- — + ли; (3) (—1)й + 1 • -^- +ли ;
6 3 6
(4) (—1)” + 1 • — + ли ; (5) ±^ + 2пп, neZ.
3 6
2х-3
14. Все решения неравенства log02 — > О образуют множество
4х + 7
оо; -5) U
(3 ^
г
1\
+°° ; 2
-5
-т ; 3
U )
V
4 J
+00
(4) (-оо; -5); (5) (-5; +оо).
15. Все решения уравнения 2log2sinx+3log3COSX = —1 определяют¬
ся множеством (и Е Z)
(1) -j + 2ttи; (2) л+ 2ли; (3) ±-j + 2лп;
(4) (-1)" + лп; (5) нет решений.
v 6
...17. Корень уравнения 5 2* = 2 равен
(1) log5log25; (2) —log2 logs 2; (3) -log5log25; (4) log5log20,2; (5) кор¬
ней нет.
18. Среднее арифметическое всех чисел и е Z, при которых
_ 2 и2 + и +1
дробь является также целым числом, равно
п + 2
(1) 2; (2) -2; (3) 1,5; (4) -1,5; (5) 5.
19. Область значений функции у = arcctg
|х| + 1
совпадает с мно¬
жеством
(1)
(4)
Т;я|;(2)
г л
лЛ
и
л
л^
; О)
( л
-
v 2 ’
” 4У
_4 ’
2 J
1 4 J
( 71
^Зл ^
( л V .
0; -
и
—; л ; (5)
1 4 J
И J
1 4 J L
Зл
■; л
465
20. Строительная фирма построила один дом за 81 день; при
уменьшении производительности на 20% другой дом этой фир¬
мой был построен за 50 дней. За сколько дней фирма могла бы
построить оба дома, если бы строительство шло с постоянной
производительностью на 10% больше первоначальной?
(1) 120; (2) 115; (3) 105; (4) 100; (5) 110.
21. Нуль функции у= sin л 2х- х1 + —
х2 + 4х - 5 принадле¬
жит промежутку
(1)
(5)
л
22. Решением неравенства а\
х
л
(4)
71\ — 71
-1 -
а2 -2
-х<2\ 1-
ча-1 ~) а2-За+ 2
является любое х е R при всех а из промежутка
(1) (-3; 1); (2) (1; 2); (3) (-4; -1); (4) (-4; 0); (5) (-5; 2).
4qV1o84o8
а-2
...24. Вычислить
l/logg 40 —j
с
2 arcsin 0,8 - arcctg
V
1 3J)
(1) 1; (2)2; (3) ^40 ; (4) ^5 ; (5) 5.
25. Сумма целых решений неравенства
V(x + ЗХЮ - х)
< 0 равна
jcz - 10jc + 21
(1) 20; (2) 15; (3) 17; (4) 22; (5) 21.
26. Расстояние между линиями х + у = 3 и
{х — 2у[2 - if + (у - 2т]2 - 2J = 1 равно
(1) 2л/2 ; (2) 2S- 1; (3) 3; (4) 4; (5) 5.
27. Найти площадь области, координаты точек которой удовлетво-
Зл
4
ченной параболой, проходящей через точки (0; 1), (1; 2) и (—1; —2).
(1) 2; (2) 4; (3) 6; (4) 9; (5) 12.
ряют условию [ — + arcsin|A'2 - л' -11 j fx2 -2л' + 1 +>’ > 0, и ограни
466
28. Расстояние между прямыми у = —4у[3х + 2 и 4у/3;
х + у = а
меньше — при всех а из промежутка
(1)
1 15
; (2) (1; 2); (3) (0; 3); (4) (-1; 2); (5) (-1; 4).
' )
29. Решением неравенства у/х + 1 + а > х + 1 является отрезок
длиной 4 при значении параметра а, равном
(1) 1; (2) -1; (3) 2; (4) -2; (5) 6.
30. Наименьшее значение выражения у + х2 — 2х в области
у >\х \ + \ х — 4 | — х + 2 равно
(1) 4; (2) 3,75; (3) 5,75; (4) 3,25; (5) -10,25.
Вариант 214 (2002 г. )
(Тест)
1. Если затраты на покупку апельсинов возросли на 76%, а цена
килограмма апельсинов возросла на 10%, то вес купленных
апельсинов возрос на
(1) 68%; (2) 66%; (3) 64%; (4) 60%; (5) 72%.
...5. На рисунке изображен график функции
а )у =
Ъх
х - 2
; (2)у =
Ъх
х + 2
; (3)у =
2х
х + 3
; (4)у
2х .
х - 3 ’
(5) у
2х
х - 2'
467
...7. Все значения параметра а, при которых парабола у = х2 —
— 2ах + а целиком расположена выше прямой у = — 6, образуют
множество
(1) -3 < а < 2; (2) -1 < а < 2; (3) -3 <а< -2;
(4) -2 < а < 3; (5) 2 < а < 3.
...9. Выражение cos( - х J - cos(x - л
равно
(1) —3sin х; (2) sin х; (3) —sin х; (4) cos х; (5) —cos х.
10. Укажите квадратное уравнение, корни которого в два раза
больше корней уравнения х2 — Зх + 1 = 0.
(1) х2 - 6х + 4 = 0; (2) х2 - Зх + 2 = 0; (3) х2 - 6х + 2 = 0;
(4) х2 - 1,5х + 0,25 = 0; (5) х2 - 6х + 1 = 0.
11. Множество всех корней уравнения х cos а + sin а = 1 совпа¬
дает с множеством (—оо; +оо) при
(1 )а
(3 )а
2лт, т е Z; (2) а = —
2
л + 2лт, т е Z; (4) а
+ 2лт, т е Z;
Зл
т
+ 2лт, т е Z;
(5)а=^
+ лт, т е Z.
12. Если второй член геометрической прогрессии равен —2, а
седьмой член равен 64, то пятый член этой прогрессии равен
(1) -32; (2) -16; (3) 16; (4) -8; (5) 8.
13. Все решения неравенства log2 (sin х) < log2 (cos х), принадле¬
жащие промежутку 0 < х < 2л, образуют множество
ля ТЗ l0§8 27 + l°g2 9
14. Выражение 5 — равно
log 2 21 - log 2 7
(1) 2; (2) 3; (3) |;(4) |; (5) 1.
15. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и уг¬
лом при вершине а = arccos (0,9) расстояние между основания¬
ми медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из од¬
ной и той же вершины основания, равно
(1) 0,1а; (2) 0,2а; (3) 0,3а; (4) 0,4а; (5) 0,5а.
468
16. Сумма всех целых чисел, которые являются решениями не¬
равенства -\/3 - х < 3 + х, равна
(1)2 или меньше 2; (2) 3; (3) 4; (4) 5; (5) 6 или больше 6.
17. Если при смешивании первого раствора с концентрацией
40% и второго раствора с концентрацией 48% получился раствор
с концентрацией 42%, то количество первого раствора относит¬
ся к количеству второго раствора как
(1) 3:2; (2) 2:3; (3) 1:4; (4) 3:1; (5) 1:3.
18. Наибольшее значение функции у = 2 sin х — л/5 cos х равно
(1) 2 + л/5 ; (2) 5; (3) 3; (4) 4л/5 - 2; (5) 2S.
19. Укажите все значения параметра Ь, при которых система
„ [2х -by = b, „
уравнении : имеет бесконечно много решении.
[Зх + 9у = b - 3
(1) Ъ = -6 ; (2) Ъ = 6 ; (3) таких значений параметра не существует;
(4) b е (-оо;-б)и(-6;+оо); (5) Ъ е (-со; 6)U (- 6; +со).
20. Сколько различных корней имеет уравнение
л/х2 + 6х + 9 - 1
кх при к. е (0; 1)?
(1) один; (2) два; (3) три; (4) четыре; (5) корней нет.
21. Выражение 1
+ — при х = 0,004 равно
х
(1) 5; (2) 0,5; (3) 0,2; (4) -5; (5) 25.
22. Пароход проходит 84 км против течения реки на 1 ч дольше,
чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешест¬
вие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
(1) 17 ч; (2) 12 ч; (3) 8 ч; (4) 15 ч; (5) 13 ч.
23. Множество значений функции у = (х — 1) • | х — 3 | на про¬
межутке х е [—1; 4] совпадает с множеством
(1) [-1; 4]; (2) [1; 3]; (3) [-3; 3]; (4) [0; 3]; (5) [-1; 3].
24. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции рас¬
стояние от центра этого круга до дальней вершины в четыре раза
больше радиуса крута, то косинус острого угла трапеции равен
(1) 0,96; (2) 0,875; (3) 0,92; (4) 0,25; (5) 0,75.
25. Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, коор¬
динаты которых удовлетворяют одновременно условиям
|х| + |у| < 4 и |у| < 2 , равна
469
(1) 24; (2) 16; (3) 18; (4) 32; (5) 12.
26. Все решения неравенства log х (12х - 24) > -1 образуют
11+х2
множество
(1) (-«; 2) U (5; 7); (2) (-«; 5) U (7; +«);
(3) (2; 5) U (7; +«); (4) (2; +«); (5) (5; 7).
27. Числовое значение выражения — arccos^sin-yj равно
(1) 1; (2) 3; (3) 5; (4) 7; (5) 9.
28. Укажите множество всех значений параметра Ь, при которых
\у = х1 + Ь,
система уравнений < имеет ровно четыре различных
[у - И
решения
(1) со; 4 j ; (2) (0; 1); (3) ^ ; -юо j; (4) |^0; -j ; (5) |^0; ^
(1
; (4)
1) , ч 6
+со
°; 4 ; (5) о
V2
К 4J к
(
1
1
1 1 1
1 +
— +
— +
+
+
1
3
V
2
4
8 16 32
(1) 1; (2) 1 - log3 2; (3) log3 2 - 1; (4) -log3 2; (5) log3 2.
U
30. Сумма всех корней уравнения 5х ■ 73 = 417 принадлежит
промежутку
(1) (-999; 3); (2) [3; 4); (3) [4; 5); (4) [5; 6); (5) [6; 999).
Вариант 215 (2005 г.)
(Тест)
1. Билл купил автомобиль со скидкой 40% от рыночной цены и
продал его, получив прибыль в размере 30%. С какой скидкой
от рыночной цены был продан автомобиль?
(1) 22%; (2) 10%; (3) 12%; (4) 70%; (5) 16%.
2. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пере¬
сечении с прямой х — у = 0 образует острый угол 15°.
470
(1) 2x-V3y = 0; (2) -v/Зх + у = 0 ; (3) x-V3y = 0; (4) x + V3y = 0;
(5) ^Зх-2у = 0.
3. Укажите наибольший корень уравнения cos
"20л
I х
(1) 15; (2) 18; (3) 12; (4) 30; (5) 28.
4. Корень уравнения 5х - 3 равен
(1) 51/3; (2) log5 3 ; (3) |; (4) Зш ; (5) log3 5 .
2
5. Если коэффициенты уравнения х -7х+2=0 изменить так,
что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов кор¬
ней изменится на величину, равную натуральному числу, оста¬
ток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии
равна 16, произведение третьего и четвертого членов равно 88.
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит проме¬
жутку
(1) (-99; 1,5]; (2) (1,5; 2,5]; (3) (2,5; 3,5]; (4) (3,5; 4,5]; (5) (4,5; 99).
7. Отрезки касательных к параболам у = х -Зх-9 и
у - х + Зх - 9, касающихся парабол в точке х = 0, вместе с отрез¬
ком оси абсцисс образуют треугольник, площадь которого равна
натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
8. Все значения параметра р, при которых хотя бы одно число
х е [3; 71 является решением неравенства |х - /;| < 9 , образуют
промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите ос¬
таток от деления этого числа на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
9. Сколько решений имеет система \ ?
|х2 + у2 =2004
(1) одно; (2) два; (3) три; (4) четыре или больше четырех; (5) ре¬
шений нет.
10. Числовое значение выражения
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 9.
/-(log34+log4/-4/2)
V 3 V3 равно
471
11. Сколько целых чисел содержится во множестве всех реше¬
ний неравенства 4\[х - < у/5 ?
у]х
(1) ни одного или одно; (2) два; (3) три; (4) четыре; (5) пять
или больше пяти.
12. Если L—b-а — наибольшая возможная длина интервала
3 2
(а; Ь), на котором функция у- 2х -21х +72х убывает, то
(1) L е (0; 1]; (2) L е (1; 2]; (3) L е (2; 3]; (4) X е (3; 4];
(5) L е (4; 999).
13. Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бес¬
конечно убывающей геометрической прогрессии с положитель¬
ными членами, квадрат второго члена которой относится к сум¬
ме квадратов всех членов этой прогрессии как 3:16, то
(1) q е (0; 0,2]; (2) q е (0,2; 0,3]; (3) ^е(0,3; 0,4];
(4) q е (0,4; 0,5]; (5) ^е(0,5; 1) .
14. В начале 2001 г. Билл положил 1 млн. ден. ед. в сейф и берет
из него 9% суммы в сейфе каждые 3 года, а Джек положил в дру¬
гой сейф 1 млн. ден. ед. и берет из него 6% суммы в сейфе каждые
2 года. В конце 2006 г. (после выемки денег из обоих сейфов) раз¬
ница содержимого сейфов в денежных единицах будет равна нату¬
ральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
15. Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
у = —-— имеет единственную общую точку с прямой
х —5
у- р-16х , равно натуральному числу, остаток от деления ко¬
торого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
16. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого
являются решениями неравенства cos4 х - sin4 х > у/з cos 2х, равна
(1) - ; (2) — ; (3) - ; (4) - ; (5) -.
2 3 6 4 3
17. При каких значениях параметра а система уравнений
ах — Ъу — 4,
12 х — ау — Ь
имеет бесконечное множество решений хотя бы
для одного значения параметра Ъ:
(1) при одном значении параметра а, причем а е (-5; 5);
(2) при двух различных значениях параметра а\ (3) при одном
472
значении параметра а, причем are[-7;-5]; (4) таких значений
параметра а не существует; (5) при одном значении параметра
а, причем а е [5; 7].
18. Произведение всех различных корней уравнения
(х2 - 8х +17)2 - 5х2 + 40х -81 = 0 равно натуральному числу, ос¬
таток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
19. Наименьшее значение функции у - 64х - 8Х+2 + 2004 равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
20. Найдите наибольшее целочисленное значение параметра R,
при котором система уравнении
х2 +у2 =7?2,
Зх ■
--¥= = 56sjl
V7
не имеет ре-
<
шений и укажите остаток от деления этого числа на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение
3 Р
11х н—j-p =112 имеет единственный корень, то р — натуральное
число, остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
22. Сумма всех различных значений параметра Ь, при котором
^2х2 — 19х + 38 < у < х2 - 9х + 29,
система < имеет не меньше одно-
[ у -х + Ь
го и не больше трех решений, равна натуральному числу. Оста¬
ток от деления этого числа на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
23. Если после совместного выполнения 20% работы Билл по¬
высит свою производительность труда на 30%, а Джек повысит
на 50%, то на выполнение всей работы понадобится 40 дней.
Если указанное повышение производительности произойдет по¬
сле совместного выполнения 40% работы, то на выполнение
всей работы понадобится 43 дня. За сколько дней они вместе
выполнят работу с повышенной производительностью? Укажите
остаток от деления этого натурального числа на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
473
24. В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота
BN, причем М&АС и N&AC, длины отрезка AM = 16,
MN = 3, NC = 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
25. Сумма всех различных значений параметра р, при которых
2 2
уравнение (р -Ър + 2)х + 2(4/? + 5)х +17 = 0 имеет единствен¬
ный корень, равна натуральному числу, остаток от деления ко¬
торого на 5 равен
(1)1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
26. Если число х равно наименьшему положительному корню
уравнения sin(647x) + sin(153x) + sin(800x) = 0, то значение выра-
п
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которо¬
го на 5 равен
(1)1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
27. Один из корней уравнения
( ( v ЛУ
sin
2 arcsin
4 sin
V
arcsin
v 120
7/
л/19-;
150
является положительным
натуральным числом.
Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
(1)1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
28. Если число S равно сумме наименьшего положительного и
наибольшего отрицательного корней уравнения
2(tsx) ■ 32000000(~ctgx) = 20 ,
то число Т = tgS удовлетворяет условию
(1) Т е(-999; 0,1); (2) Ее[0,1; 0,1(6));
(3) Ее[0,1(6); 0,2); (4) Ее[0,2; 0,25); (5) Ее[0,25; 999).
29. Найдите площадь фигуры, образованной всеми точками плоско¬
сти (х; у), для которых х2 + у1 < 4х и одновременно у > \х - 2| - 2.
(1) 2я -4; (2) 2я + 4; (3) л; (4) 4; (5) п + 2.
474
30. Пусть N — количество различных целочисленных значений
у3 - х2 у = 0,
2 2
х +у <162, имеет ровно
параметра р, при которых система
4у + р = 4х2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
Вариант 216 (2007 г.)
1. Сколько решений имеет система
у — X
У
= л1\х\
(1) одно; (2) два; (3) три; (4) четыре или больше; (5) решений нет.
...3. Ротвейлеры, составляющие 25% числа всех собак в вольере,
получают 52% корма остальное получают таксы. Один ротвейлер
получает корма больше, чем одна такса, на
(1) 500%; (2) 125%; (3) 225%; (4) 250%; (5) 375%.
...5. Наименьшее значение функции/(х) = log2 x(log2 х-10)+ 27
равно
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 5.
...7. Производная функции
/(х) = sin х + sin lx + sin 1 Зх + sin 19x +... +
+sin (6k + l)x +... + sin 43x + sin 49x
в точке x = 0 равна натуральному числу, остаток от деления ко¬
торого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
л
8. Прямая, касающаяся графика параболы у = х -8х + 12 в точке,
лежащей на оси абцисс, пересекает ось ординат в точке (0; Y), при¬
чем Y< 0. Укажите остаток от деления натурального числа |г| на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
...13. Наименьшее положительное значение параметра к, при кото¬
ром уравнение |х| - ||х| - 1б| = кх имеет ровно два различных корня,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1)1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
14. Наибольшее значение функции /(х) = cos4 х - cos6 х равно
2 4 2 2 3
(1) -/=; (2) —; (3) -rj= (4) —; (5) -q= .
<127 27 </9 9 </4
475
15. Наибольшее значение параметра р, при котором уравнение
х -6х + 9х + 10= р имеет ровно два различных корня, равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1)1; (2)2; (3) 3; (4) 4; (5)0.
16. Все решения неравенства sin4 х + cos4 х > — образуют множество
4
(1) _21+Н1
\ 12 2
_ п пт
|; (2) [
п пт
п пт
’ 12 + 2 у
. 6+ 2
’ 6 + 2 .
... ( п пт
<3) 1тУт:
5 л птЛ
(4) (
п пт
п пт]
12 + 2 У
1 04
+
1 m
(5)
V 8 2
п птЛ
8 + 2 j
m&Z.
17. Сумма всех различных целочисленных значений параметра
9 9
л — 5 DX + 4 и
р, при котором уравнение —- — = 0 имеет ровно один
х2 -12х + 32
корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
(1)1; (2)2; (3)3; (4)4; (5)0.
18. Производная функции
у(х) = 4(х-х +х -х +... + xv -х ’+Х' ’)
в точке х — 1 равна натуральному числу, остаток от деления ко¬
торого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3)3; (4) 4; (5) 0.
19. Все значения параметра р, при которых число х - 9 распо¬
ложено между корнями уравнения
л
х -(3/? + 6)х + (/? + 3)(2/? + 3) = 0 образуют промежуток, длина
которого равна d, причем
(1) d е (0; 1,7); (2) d& [1,7; 2,3); (3) d& [2,3; 3,7);
(4) d е [3,7; 4,6); (5) d е [4,6; 999).
20. Число S равно сумме всех различных корней уравнения
V9х -Зх+7 +364 - 9х - 3Л*17 + 254. Укажите остаток от деления на
5 ближайшего к S + 100 натурального числа.
(1)1; (2)2; (3)3; (4)4; (5)0.
21. Если х\ и %2 — два наименьших положительных корня урав¬
нения
476
sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + sinl lx + sinl3x + sinl5x = 0, to
значение выражения л ■ (xf1 + x21) равно натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3)3; (4) 4; (5) 0.
...23. Произведение всех различных значений параметра р, при
которых уравнение (р2 -8р-13б)х2 + 2/>х +1 = 0 имеет единст¬
венный корень, равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
(1) 1; (2)2; (3)3; (4)4; (5)0.
24. Сумма всех различных целочисленных положительных кор¬
ней уравнения
(2x-ll)log7<'49_6x-) = (49-6x)log7<-2x~11-) равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен
(1) 1; (2) 2; (3)3; (4) 4; (5) 0.
25. Параметры р > 0, q > 0, г выбраны так, что система
\{р~ 4)х - (<7 + 5)у = 2г,
\(q-5)x + (p + 4)y = \
имеет бесконечное множество решений. Найдите наибольшее
возможное при этих условиях значение величины 6pq и укажите
остаток от деления на 5 ближайшего натурального числа.
(1)1; (2)2; (3)3; (4) 4; (5) 0.
26. Если число S равно прлощади фигуры на плоскости
6 — л/зб — х2 <_у<6 + х/бх-х2, то
(1) 5е(0;8,37г); (2) 5 е [8,3л; 10,8л); (3) 5 е [10,8л; 12,3л);
(4) 5 е [12,3л; 14,8л); (5) 5 е [14,8л; 999л).
27. Наименьшее значение параметра р, при котором система
у - cos(2 arcsin х),
< 9 9 ц имеет ровно два различных решения, равно
I 32
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(1)1; (2)2; (3)3; (4)4; (5)0.
...29. Условия размещения вклада в паевом фонде таковы, что
первые 2 года вклад уменьшается на Зх% в год, последующие
5 лет вклад увеличивается на 4х% в год, причем величину
х е [0; 30] можно выбрать самим. При каком значении х через
477
7 лет прирост вклада будет наибольшим? Укажите верное утверж¬
дение
(1) х е (0; 11); (2) хе[11;12); (3) хе[12;14); (4) хе[14;18);
(5) х е [18; 30).
30. Пусть хп и уп — последовательности, в которых х1 = 4, хп+1 =
= arcsin^O,5 — 0,5cos(xtt) при всех п >1, уп =хх +х2 +х3 +... + х„
(всего п слагаемых), число р равно наименьшему натуральному
числу, которое больше уп при всех п > 1. Укажите остаток от
деления числа р на 5.
(1) 1; (2) 2; (3) 3; (4) 4; (5) 0.
478
Глава
Единый государственный экзамен (ЕГЭ)
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) представляет собой
письменное тестирование по общеобразовательным предметам.
Оценки за каждый экзамен выставляются по стобалльной шкале
и вносятся в свидетельство о результатах ЕГЭ.
Каждый вариант письменной работы (тест) на едином госу¬
дарственном экзамене ориентирован на единичное испытание
продолжительностью не более 3—4 часов (180—240 мин.)1. Он
включает задания трех типов — А, В и С: А — задания с выбором
ответа, В — задания с кратким ответом, С — задания с развер¬
нутым ответом (т.е. с развернутым и обоснованным решением,
а не только итоговым ответом).
Все2 26 (25—30) заданий теста располагаются по нарастанию
трудности. 10 заданий группы А и задания группы В, приведен¬
ные в части 1 теста), составлены по курсу «Алгебра и начала ана¬
лиза» 10—11 классов и соответствуют базовому (обязательному)
уровню подготовки. 8 заданий группы В и 2 задания группы С,
приведенные в части 2, составлены по материалу, предлагаемому
как на выпускном экзамене в школе, так и на вступительных эк¬
заменах в вузы, и соответствуют повышенному уровню подготовки.
3 задания группы С в части 3 теста включают наиболее сложные
задания традиционного выпускного экзамена в школе и более
сложные, чем в группе В, задания для поступающих в вузы (не
элитарные) и соответствуют высокому уровню подготовки.
Планируемые показатели трудности (проценты верно выпол¬
ненных заданий) составляют для заданий части 1 40—85%, час¬
ти 2 15—45% и для заданий части 3 0,1—8% (соответственно по
каждому из трех заданий 5—8%, 3—6%, 0,1—1%). Предполагает¬
ся, что из 240 мин., отводимых на выполнение 26 заданий теста
на ЕГЭ, примерно 30 мин. потребуется на выполнение 10 самых
простых заданий группы А, 90 мин. — 11 более сложных заданий
1 В эксперименте 2001 г. продолжительность написания теста на ЕГЭ составляла
не более 3 часов (180 мин.), в 2002 г. — не более 3,5 часов (210 мин.), в 2003—
2008 гг. — не более 4 часов (240 мин.).
2 В 2005—2008 гг. тест на ЕГЭ содержал 26 заданий, в 2004 г. — 27, в 2003 г. —
30, в 2001—2002 гг. — 25 заданий.
479
группы В и 120 мин. — на выполнение 5 самых сложных заданий
группы С.
В «бланке ответов» необходимо для заданий группы А отметить
знаком «х» номера верных ответов, а для заданий группы В вписать
полученные числовые ответы. При выполнении заданий групп А и
В учащемуся не требуется приводить решение либо обоснование
выбранных номеров верных ответов или полученные ответы, так как
черновые записи решений заданий этих групп не проверяются и не
оцениваются, а осуществляется лишь компьютерная проверка отве¬
тов. Решения заданий группы С записываются на специальных лис¬
тах, которые сдаются при сдаче ЕГЭ. Эти решения должны быть
полными с необходимым обоснованием (доказательствами, ссылка¬
ми на соответствующие теоремы, свойства, признаки и т.п.), так как
оцениваются непосредственно экспертной комиссией.
За верное решение каждого задания из групп А и В выстав¬
ляется 1 балл. Решение каждого задания из группы С в зависи¬
мости от полноты и правильности приведенного решения оце¬
нивается от 0 до 4 баллов, если это задание находится в части 3;
от 0 до 2 баллов — если в части 2. По набранному общему ко¬
личеству первичных баллов за выполнение всей работы осущест¬
вляется перевод в оценки для свидетельства о результатах ЕГЭ
по стобалльной шкале (см. таблицу перевода в приложении 3).
Структура теста по математике на ЕГЭ включает задания: на вы¬
ражения и преобразования (блок 1), уравнения и неравенства (2),
функции (3), числа и вычисления (4), геометрические фигуры и их
свойства; измерение геометрических величин (блок 5). В используе¬
мых в 2007 г. тестах на ЕГЭ задания блоков 1, 2, 3, 4 и 5 составили
соответственно 19%, 27%, 38%, 4% и 12% от общего числа заданий,
а число баллов за верное выполнение заданий этих блоков состави¬
ло соответственно 13%, 30%, 38%, 3% и 16% от максимального чис¬
ла первичных баллов за всю работу.
При подготовке к единому государственному экзамену по
математике вначале необходимо детально изучить содер¬
жание указанных выше пяти блоков, из которых формирует¬
ся экзаменационный тест на ЕГЭ (см. приложение 2). Соответ¬
ствующий учебный материал для освоения этих пяти блоков
приведен в главах 1—15. Затем необходимо провести специ¬
альную подготовку к сдаче ЕГЭ, состоящую в овладении
спецификой тестового контроля, особенностью формулировок
тестовых заданий с. выбором правильного ответа или получением
числового ответа (см. § 16.4) и самостоятельном выполнении тесто¬
480
вых заданий, в первую очередь — предлагавшихся на едином госэк¬
замене в прошлые годы (см. далее § 17.1, варианты 217—242).
При этом рекомендуется проработка тестовых заданий ЕГЭ
(и в первую очередь наиболее сложных заданий групп В и С) не
только последних (перед поступлением в вуз), но и предыдущих
лет, ибо в реальных заданиях при сдаче ЕГЭ поступающим мо¬
гут встретиться те же идеи, подходы и методы решения, что и в
приведенных тестах ЕГЭ любого года.
В помощь абитуриентам для дополнительной отработки на¬
выков выполнения заданий различных типов в § 17.2, 17.3, 17.4
приводятся примеры решений около 100 наиболее сложных за¬
даний тестов ЕГЭ соответственно из групп А с выбором ответа
(варианты 243, 244), В с кратким ответом (245—248) и С с раз¬
вернутым ответом (252-258), а также отдельные варианты зада¬
ний только из групп В и С для самостоятельного выполнения
(варианты 249—251, 259—283). Такая структура изложения ма¬
териала позволяет абитуриентам на заключительном этапе под¬
готовки к ЕГЭ, освоив методы решения относительно простых
заданий группы А, сконцентрировать внимание на решении бо¬
лее трудных заданий из групп В и С.
Полезно также решение тестовых заданий, предлагавшихся на
вступительных испытаниях в ряде вузов, проводивших вступи¬
тельное тестирование (§ 16.5; см., например, варианты 165—184,
194-204, 213-216). В заключительной части подготовки к ЕГЭ
рекомендуется провести (и не раз!) репетицию единого
госэкзамена, попробовав за указанное в инструкции время (3—4
часа) выполнить самостоятельно экзаменационный тест ЕГЭ.
При подготовке к сдаче ЕГЭ обращаем внимание на следующее.
При традиционной системе абитуриент имеет возможность прохо¬
дить вступительные испытания несколько раз (в разные вузы, на
различные формы обучения). Единый госэкзамен можно сдавать
только один раз в году (что, в частности, контролируется внесением
в базу данных выпускников, сдававших ЕГЭ в текущем году). Так
что неудача при сдаче ЕГЭ может значительно уменьшить, а в слу¬
чае неудовлетворительной оценки — исключить вовсе шансы на
поступление в вуз в текущем году.
Отмеченные выше обстоятельства накладывают на учащегося
особую ответственность при подготовке к сдаче ЕГЭ. Как отме¬
чено выше, тест на ЕГЭ включает 25—30 заданий различной
сложности, и при выполнении каждого задания, даже самого
простого, необходима предельная мобилизация и концентрация
усилий. Следует помнить, что даже описка или арифметическая
481
ошибка в одном тестовом задании, которое учащийся легко ре¬
шил, приведет к потере примерно 1—3 баллов (по 100-балльной
шкале — см. приложение 3), которых как раз может и не хва¬
тить для прохождения по конкурсу в тот или иной вуз.
Задания в тесте на ЕГЭ расположены в порядке нарастаю¬
щей трудности, поэтому в таком порядке их и рекомендуется
решать. Если же какие-то из заданий покажутся сложными, то
их целесообразно пропустить, решив более простые, а затем
вернуться к ним. Это позволит учащемуся наиболее рациональ¬
но использовать предоставляемое для экзамена время.
17.1. Тесты (контрольно-измерительные
материалы) на ЕГЭ
Ниже приводятся примеры тестов по математике — контрольно¬
измерительных материалов (КИМов), предлагавшихся на едином го¬
сударственном экзамене в 2001—2008 гг.1
Инструкция по выполнению работы на ЕГЭ
(по вариантам 217—242)
На выполнение экзаменационной работы по математике да¬
ется 3 часа (180 минут) — по вариантам 217—219; 3,5 часа (210 ми¬
нут) — по вариантам 220—222; 4 часа (240 минут) — по вариан¬
там 223—242. В работе 25—30 заданий. Они расположены по
нарастанию трудности и распределены на три части.
Часть 1 содержит более простые задания по материалу курса
«Алгебра и начала анализа». Часть 2 включает более сложные
задания по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10—
11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геомет¬
рии девятилетней и средней школы. Часть 3 содержит наиболее
сложные задания. К каждому заданию группы А даны четыре вари¬
анта ответа, из которых только один верный. При выполнении за¬
даний группы В требуется записать только полученный ответ в виде
целого числа или десятичной дроби. При решении заданий группы
С необходимо записать полное решение.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они
даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не
удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если по-
1 Примеры решений около 100 наиболее сложных задач и дополнительные зада¬
ния из групп А, В и С представлены соответственно в § 17.2, 17.3, 17.4.
482
еле выполнения всей работы у вас останется время, то можно
вернуться к пропущенным заданиям.
За верное выполнение различных по сложности заданий да¬
ется один или более баллов. Баллы, полученные вами за все вы¬
полненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как
можно больше заданий и набрать как можно большее количест¬
во баллов.
Вариант 217 (2001 г.)
Часть 1
А1. Упростите выражение
5 4 -З/З
>/225 '
п _i j_ _I А I
1) 512 -3 3; 2) 512 -3; 3) 5 12 -3 3 ; 4) 512 -З3 .
А2. Найдите значение выражения
х = 27, у — 25.
I 2
1) 3-53; 2) 3; 3) 9; 4) 3 + 53 .
АЗ. Вычислите: log2 0,04 + 21og2 5 .
1) 0; 2) 3; 3) -1; 4) log2 5 .
А4. Упростите выражение sin a sin 2а + cos
х-у
2 ]_
х3 +х3у3 +у
' Л
[2
если
+ а + cos а cos 2а .
1) 0; 2) 2 cos а; 3) cos а + sin а; 4) cos а-sin а.
А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне-
f ^ -^0,5х-1
ния
= 4.
\°)
1) [-3; -1); 2) [-1; 1); 3) [1; 3); 4) [3; 5).
А6. Решите неравенство log0 5(2 - 0,5х) > -1.
1) [0; 4); 2) (-«; 0]; 3) (4; +оо); 4) (4; 6].
А7. Найдите область определения функции у — х/52 v 3 -1 .
483
1) (1,5; +оо); 2) [2; +оо); 3) [1,5; +оо);
4) [5; +оо).
А8. Функция у = р(х) задана графиком
на отрезке [—4; 2]. Найдите область ее
значений.
1) [-4; 2]; 2) [-2; 0];
3) [-2; 4]; 4) [-2; 1].
А9. Укажите график нечетной функции.
к
1
п
/
S
_
1
?
W
X
1)
i
р
Р
{X
г
I
г
0
и
-1
1
V
1_
2)
к
1
1
0
W
г
А10. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним
в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.
2)
4)
All. Найдите значение производной функции у
х0 = -3.
1) 2; 2) 0; 3) -2; 4) -3.
х-18
в точке
х
484
А12. Укажите первообразную функции /(х) = 2 - sinx.
1) F(x) = 2х — cos х; 2) F(x) = х2 + cos х; 3) F(x) = 2х + cos х;
4) Дх) = 2 + cos х.
А13. Найдите корень уравнения sin 2х — 4cos х = 0, принадлежа¬
щий отрезку [2л; Зл].
|, Ц.г) ДГ3>^;4)^.
3 2 4 6
Часть 2
В1. Найдите минимум функции /(х) =-^х3 +-^-х2 --^-х4.
В2. Вычислите площадь фигуры, расположенной в первой коор¬
динатной четверти и ограниченной линиями у = 2%/х , у = х .
ВЗ. Сколько решений имеет уравнение (cos2 х — sin2x) VI - х2 = О?
В4. При каком наименьшем значении параметра а функция
1 'З о
f (х) =—х -х +ах возрастает на всей числовой прямой?
В5. Пусть (х<р у0) — решение системы уравнений
2Х~2 - у-О,
|х-4|-у = 1.'
Найдите произведение хо • уо-
В6. Найдите значение выражения 2\/5ctg(arcsm—) .
л
В7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log | (4-х ).
4
В8. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиу¬
сы вписанной в него и описанной около него окружностей рав¬
ны соответственно 2 м и 5 м.
В9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\ C\D\ АБ = 6 м,
ВС = 8 м, ВВХ = 1,6>/91 м. Найдите площадь сечения параллелепипе¬
да плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей прямую ВА\
Часть 3
С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множест-
sin х + cos х + З-у/2
ву значений функции /(х) = 16 log
16
485
С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение
х3 + 5л'1 2 3 + ах + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три раз¬
личных корня, один из которых равен —2.
СЗ. При каком {1,2, 3,
fr I / г—Л f
х + 2
-J1-
х + 2
98, 99} значение выражения
Г I л
1+!
-2
1 +
ближе всего к 73?
х
Вариант 218 (2001 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения 814 -3\/з -З2.
1) -6; 2) -у/з ; 3) 6; 4) 11,25.
А2. Упростите выражение
-16
а3 - 4
1) -4; 2) 4; 3) -2а3 ; 4) 0.
АЗ. Упростите выражение 2log2? +log5 75-log5 3 .
1) 9; 2) 32; 3) 51; 4) 4.
(i у 3 i
A4. Решите неравенство — < — .
UJ i6
1) (-оо; 5); 2) (-«; 7); 3) (5; +оо);
4) (7; +оо).
А5. Укажите промежуток возрастания
функции у =/(х), заданной графиком.
i
J
-2¬
1
г
0
1
■3
-?
V
1
ч
4
3
1
1
^—
Л
s
✓
ч
ч
2
а
1) (-2; 0); 2) [-2; 2]; 3) (-2; -1); 4) [0; 2].
. , sin2a . п .
А6. Упростите выражение sm(—ь а).
sin а 2
1) 3 cos а; 2) cos а; 3) 0; 4) 2 cos а — sin а.
А7. Найдите производную функции g(x) = Зх4 — sin х + 5.
1) g'(x) = 12х3 -cosx; 2) g' (х) = 4х3 + cos х;
3) g'(x) = 12x3+cosx + 5; 4) g'(x) = 12х3 - cosx + 5 .
486
А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав¬
нения log2 (х + 1) = 4.
1) (8; 10); 2) (14; 16); 3) (6; 8); 4) (4; 6).
А9. Найдите область определения функции /(х) =
х + 2
х-1
1) (—оо; -2] и [1; +°о); 2) [-2; 1);
3) (-оо; -2] U (1; +оо); 4) (-2; 1).
А10. Найдите значение производной
функции у = fix) в точке лд.
1) -2; 2) 2; 3) -1; 4) 1.
All. Найдите наименьшее значение
функции fix) = х3 — Зх на отрезке [0; 3].
1) 0; 2) -4; 3) -2; 4) 2.
А12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2,
у = 0, х = 2.
1) 8; 2) 2|; 3) 4; 4) 2±
А13. Решите уравнение 2 cos2* — 3 sin х = 0.
1) ±—+ 2пк, к е Z;
3
2) (-1 )к- + пк, к gZ;
3) ±—+ 2пк, keZ; 4) (-1 )к — + пк, к <=Z.
Часть 2
В1. Решите уравнение V2х + 1 - 2 = х.
• 2 • 2 .г 1 о
тт „ sin 27 -sm 63
В2. Найдите значение выражения .
sinl8° • cosl8°
ВЗ. Найдите точку максимума функции /(х) = х2 • ех .
В4. Найдите меньший корень уравнения 3 • 9х - 5 • 6х + 2 • 4х = 0 .
В5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до
пункта В за 3 ч, а от В до А — за 5 ч. За сколько часов проплывет
от А до В плот?
487
В6. Найдите число целых решений неравенства
(|х + 2| - 3) • (sinx - л) > 0.
В7. Найдите наибольшее целое значение параметра с, при кото-
Гх + 7_у — с,
ром решение системы уравнений <! удовлетворяет иера¬
рх->>= 5
венству х > у — 2.
В8. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, двугран¬
ные углы при основании равны 30°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
В9. В конус с радиусом основания 4 и высотой 4>/з вписана тре¬
угольная призма, у которой все ребра равны. Найдите объем призмы.
Часть 3
С1. Для каждого допустимого значения параметра а решите нера¬
венство I og t„ Д 3 х + 13) > 21 og t„ a ( x + 3).
C2. Решите уравнение cos2 (x • sin x) = 1 + log2 x/x2 + x +1 .
СЗ. Найдите целые корни уравнения
(6 — х) • (х — 2) • (х + 3) • (х + 9) = 24х2 .
Вариант 219 (2001 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения Ъ-Jl -20,5 — >/Гб .
1) 2; 2) 5V2 ; 3) 10; 4) 4.
А2. Упростите выражение х5 +
2
9-х5
~Т
х5 +3
1) 2х5 -3; 2) -3; 3) 9; 4) 3.
АЗ. Упростите выражение 21+1°ёг6 .
1) 12; 2) 8; 3) 24; 4) 7.
А4. Решите неравенство <
( \ Л3+ж
1) [-5; +оо); 2) (-«; -1]; 3) [-1; +оо); 4) (-«; -5].
488
А5. Укажите промежуток возрастания
функции у = fix), заданной графиком.
1) [0; 4]; 2) [0; 3]; 3) [-2; 2];
4) [-3; 0].
А6. Упростите выражение
1-tg
Зл
— х -smx-cosx.
1) sin2 х; 2) cos2 х; 3) 1 + sin2 х; 4) 1 + cos2 х.
А7. Найдите производную функции/(х) = е* — Зх5.
1) /'(х) = ех -15х4; 2) f'(x) = ex- 5х4;
3, fix) - 1-15х4; 4, ш =
А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне¬
ния lg (х —10) = 1.
1) (19; 21); 2) (-1; 1); 3) (-11; -9); 4) (9; 11).
А9. Найдите область определения функ¬
ции /(х) = л/4х - х2 .
1) [0; 4]; 2) (-«; 0] U [4; +оо); 3) Н»;
-4] U [0; +оо); 4) (0; 4].
А10. Найдите значение производной
функции у = fix) в точке xq.
1) -2; 2) 2; 3) -1; 4) 1.
•5 Л
All. Найдите наименьшее значение функции /(х) = х -Зх на
отрезке [1; 3].
1) -4; 2) 2; 3) 0; 4) -6.
г
4
х)
1
0
;
:о
1
С
Г-1
I-
//
о
У
У
у
1
2
С
/
L
А12. Найдите площадь фигуры, ограни¬
ченной линиями
3
у — 0, х = 1, х = 2.
3) ±—1-2лк, keZ; 4) (-1) —I- лк, k<=Z.
6 3
1) з^; 2) 4-Ь 3) 2; 4) 2±
4 4 4
А13. Решите уравнение 2sin2 х — 3cos х = 0.
1) ±— + 2лк, keZ', 2) (-1)* — + лк, k<=Z;
3 6
sfe л
489
Часть 2
В1. Решите уравнение -s/26 + 5x - 4 - х = 0.
В2. Найдите значение выражения
cos 27° • cos 29° - sin 27° • cos 61°
2sinl7° • cosl7°
ВЗ. Найдите точку минимума функции /(х) = ex+1 ■ х5.
В4. Решите уравнение 62л 11 +11 • 6х - 2 = 0.
В5. Пассажир метро спускается на станцию по неподвижному
эскалатору за 1 мин, а по движущемуся — за 3/4 мин. Сколько
минут будет спускаться пассажир, стоя на эскалаторе?
В6. Найдите число целых решений неравенства
|\/t2 +6х + 9 -2j• (cosх + 8) < 0.
В7. Найдите наименьшее целое значение параметра с, при кото-
Г3х-2у = 1,
ром решение системы уравнений < удовлетворяет не-
[ х + 5у = 1с
равенству у > х + 1.
В8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3, ее
объем равен 64. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
32л
В9. Шар, объем которого —— , вписан в конус. Найдите высоту
конуса, если радиус его основания равен 2>/з .
Часть 3
С1. Для каждого допустимого значения параметра а решите нера¬
венство 21og2sina (х + 2) < log2sina (Зх +10) .
С2. Решите уравнение
1 + |log4 (9х2 - 39х + 43)| = | cos ((х - 2) • cos х)|.
СЗ. Найдите целые корни уравнения
(х2 + 2х - 8)(х + 5)(х -10) + 54х2 = 0.
Вариант 220 (2002 г.)
Часть 1
А1. Вычислите значение выражения
1) 0; 2) 2; 3) -]=;4) л/з .
л/3
yfx + 1 yfx ~ 1
\Jx -1 \[х +1
—j= при х = 3.
Vx
490
А2. Найдите значение выражения
X х
а2 -Ъ2
I II
Ь2 - 5а4Ь4
X
Ъ4
если
_ х
а4 +Ь4
а = 81, b = 16.
1) -10; 2) 12; 3) -27; 4) -12.
АЗ. Укажите значение выражения log5 250-21ogs10 .
1) 5 + 8 log5 2 ; 2) 2; 3) 1 log, 2 : 4) 0.
A4. Упростите выражение
sin3asin5a + cos3acos 5a -sin(6n + 2a).
1) cos2a-sin2a; 2) sin8a-sin2a; 3) cos2a + sin2a;
4) cos 8a - sin 2a.
A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав¬
нения
f ^ Л1,5л--1
= 16.
1) (-1; 0]; 2) (0; 1]; 3) (1; 2]; 4) (2; 3].
А6. Решите неравенство log] (1,6л:-I-36,8) > -2 .
6
1) ( -0,5]; 2) (-23; -0,5]; 3) [-0,5; +со); 4) (-23; +«>).
v
А7. Найдите область определения функции y-sjз10г+5 -1 .
1) (—оо; -0,5]; 2) (-0,5; +оо); 3) [~2; +оо); 4) [-0,5; +«).
А8. Найдите область значений функции y = 3 + cosx.
1) [0; 3]; 2) [-4; 2]; 3) [-4; 0]; 4) [2; 4].
А9. Укажите график четной функции.
491
3)
4)
А10. На рисунке изображен график
функции у- /(х) и касательная к нему
в точке с абсциссой х0. Найдите значе¬
ние производной в точке х0 .
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) -1.
All. Найдите значение производной функ-
2
ции /(х) = Зх~ - 6 1пх в точке х0 = 1.
1) 6; 2) 0; 3) 3; 4) -3.
А12. Укажите первообразную функции f(x)-2x—на проме-
х~
жутке (0; +оо).
, 1 1
1) Дх) = х2 —; 2) Дх) = 2х—;
X X
3) Дх) = х2 +—; 4) f {x)-2 1.
х 2х
'у
А13. Найдите сумму корней уравнения 21ogf6 х - log16 х -1 = 0.
1) 4-1; 2) 8; 3) 16-1 4) 4.
16 4
Часть 2
В1. Найдите максимум функции у -
3 2 0
х х , „ ^^2
1 *• 12х — 29— .
3 2 3
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — З-у/х-1
и v = —х + 2 .
' 2
• 2 / 2
ВЗ. Сколько корней имеет уравнение (sinx + cosx)vx-x“ =0?
В4. При каком наименьшем целом значении а функция
fix) - е2х ■ х2 + ае2х + 3 возрастает на всей числовой прямой?
492
В5. Пусть (х(); у0) решение системы
у = л/2 - х,
У + >/(*-з)2
= 3.
Найдите отношение Хо/уо-
В6. Найдите значение выражения 10cos(arctg\/3).
л
В7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log, (27 - х ).
з
В8. Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный тре¬
угольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К,
причем СК.ВК = 5:8. Найдите площадь треугольника, если его
периметр равен 72.
В9. Боковое ребро М£ пирамиды МАВС перпендикулярно плос¬
кости основания АВС и равно 4. Плоскость, параллельная осно¬
ванию, проходит через середину высоты пирамиды и пересекает
боковые ребра в точках А\, В\ и С). Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды MA\BiCi, если АС = ВС = 5, а высота
СК.треугольника ЛВС равна 3.
Часть 3
С1. Решите уравнение ^49 + 9х|х + 4| - 2х = 7 .
С2. Найдите множество значений функции
1 ( 80
у = logn 9 —
’ ^13+ log5(125 + х4)
СЗ. При каких значениях а выражение l + sinx(3sinx + acosx) не
равно нулю ни при каких значениях х?
Вариант 221 (2002 г.)
Часть 1
А1. Упростите выражение
3/54->Яб
3/250
1) —; 2) —^; 3) 2,4; 4) 3/2 .
5 5
А2. Найдите значение выражения
Р'
1 23 11 1
1) -4-\ 2) -3—;3) 1—;4) 2—.
24 24 24 24
Р
0,5
5 • Р
0,5
0,5
-5 р- 25
при р = 49.
493
АЗ. Укажите значение выражения log, 48 + log, — .
- -б
1) -5,5; 2) 4,5; 3) 3; 4) -4,5.
А4. Упростите выражение
cos 4а cos 6а + sin 4а sin 6а + cos(2a - 2л).
1) cos 10а + cos 2а; 2) 2 cos 2а;
3) sin 2а + cos 2а; 4) cos 2а + sin 10а.
А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав-
/ л -^1,2а-2
нения
16
= 64
1) (-3; 0]; 2) (0; 2]; 3) (2; 4); 4) [4; 6).
А6. Решите неравенство logo(l-0,3x)>4.
1) (у; 50); 2) [50; +оо); 3) (-«; - 50]; 4) (-со;-у).
А7. Найдите область определения функции у - V58®5 -1 .
1) (-оо; ; 2) [-у +оо); 3) [у +оо); 4) (-у +со).
О О О о
. 'У
А8. Найдите область значений функции у- 2- sm“ х .
1) [1; 2]; 2) [1; 3]; 3) [0; 3|: 4) [0; 1].
А9. Укажите график функции, которая не является ни четной,
ни нечетной.
1)
2)
494
А10. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
кривой у = 4х -6х + 1 в точке А(1; — 1).
1) 1; 2) 2; 3)-1; 4) 0.
All. Вычислите f'( 1), если f'(x) = х2 - 21пх .
1) 1; 2) 0; 3) 3; 4) —1.
А12. Укажите первообразную функции /(х) = на проме-
X X2
жутке (0; +<»).
1) F(x) = x-—; 2) F(x) = lnx +—; 3) F(x) = lnx-—;
XXX
4) F(x) = lnx ——.
2x
A13. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав¬
нения л/х +1 = х - 5 .
1) [1; —); 2) [10; 16); 3) (4; 5]; 4) [9; 10).
Часть 2
2х3 х2
В1. Найдите максимум функции у = —— + — +15х - 24,5 .
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3\jx - 3
1 .
и у х + 1.
2
ВЗ. Сколько корней имеет уравнение
(sinх - cosх)2-\/-х2 + Зх = 0?
В4. При каком наименьшем натуральном значении а функция
f (х) = ех ■ х2 + ^<22ех -11 возрастает на всей числовой прямой?
[у(х~ 2) = 6,
В5. Пусть (хо; >'о) решение системы <1 , -
[у + 4(х- З)2 =0.
Найдите разность х0 —
В6. Найдите значение выражения З-Т? tg(arcsin—).
495
I 2
В7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = logi( х ).
j 81
В8. Окружность с центром О, вписанная в прямоугольной тре¬
угольник ЛВС, касается гипотенузы АВ в точке М, АМ= 12, ВМ= 8.
Найдите площадь треугольника АОВ.
В9. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10,
8,6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под уг¬
лом 45°. Найдите объем пирамиды.
Часть 3
С1. Решите уравнение 213~х -З11-2* .59~3* = 360х+2.
С2. Найдите множество значений функции у = cos2x, если
г 1
х е L-arctg-; arctgzj.
СЗ. При каких значениях а сумма log„(2-v — 1) и log„(2-v — 7) рав¬
на единице ровно при одном значении х?
Вариант 222 (2002 г.)
Часть 1
} — -4/l28
А1. Упростите выражение
4/125
1) 2) 20-4/2; 3) 4) |.
4/5 v5 5
А2. Найдите значение выражения
I I
х2 —у2
, если х = 16, у = 25.
1) -9; 2) -4; 3) 5; 4) 6.
АЗ. Упростите выражение
49
log714 + log7 — - logy 3,5.
1) 0; 2) 2; 3) 4 logy 2; 4) 4.
A4. Упростите выражение
cos 1,5а cos 0,5а — sin 1,5а sin 0,5а — cos (4л
1) 2cos 2а; 2) 0; 3) sin а — cos 2а; 4) sin 2а — cos 2а.
2а).
496
А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав¬
нения 8°’5т+2 = —.
16
1) (6; 7]; 2) (2; 6]; 3) (-2; 2]; 4) (-7; -2].
А6. Решить неравенство log4(3 - 0,5х) > 2 .
1) [-26; +оо); 2) [-26; 6); 3) (6; +<х>); 4) (-«; -26].
А7. Найдите область функции у
1) [|;+<*>); 2) (-ооф); 3) (-<х>;|]; 4) (-оо; 2,5].
А8. Найдите область значений функции у : sin (.v I 1).
1) [-1; 1|; 2) [0; 1]; 3) [0; 2]; 4) (-1; 2].
А9. Укажите график четной функции.
А10. К графику функции у = 2х проведена касательная в точке с
абсциссой хо = 3. Как расположена точка пересечения этой ка¬
сательной с осью 0x1
1) правее точки (4; 0); 2) в точке (3; 0); 3) левее точки (0; 0);
4) левее точки (3; 0).
497
All. Найдите значение производной функции у = х cos х в точ¬
ке Хо = л.
1) л; 2) -л - 1; 3) 0; 4) -1.
А12. Укажите первообразную функции /(х) = cos х - х .
1) F(x) = -sin х-1; 2) F(x) = sin х -1; 3) F(x) = sin x-—x ,
4) F(x) = sin x- x2.
A13. Укажите корень уравнения 3 cos 2x
лежащий отрезку [0; л].
f 4
cos x — 4 = 0, принад-
л
1) — ; 2) 0; 3) arcos
J; 4) нет корней.
Часть 2
X2 з X4
х
2 4
В1. Найдите минимум функции у = 5— + Зх -
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = З-у/х + 1
и у = 1,5(х + 1).
ВЗ. Сколько корней имеет уравнение
(sin4 х - cos4 x)log2(l - х2) = 0?
В4. При каком наибольшем натуральном значении b функция
/(х) = 5--^ех -Ьх2ех убывает на всей числовой прямой?
В5. Вычислите значение выражения х0 + у0, если (хо; уо) — реше-
flog4x-log2y = 0,
ние системы
I х - 5у2 +4 = 0.
В6. Найдите значение выражения 4tg (arccos—).
В7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log [ (64 - х2).
4
В8. В треугольнике АВС вписана окружность с центром О. Луч АО
пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника
АВС, если АВ= 13, АС = 15, ВК= 6,5.
В9. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со сторо¬
ной, равной 5. Точка М делит ребро SB в отношении 2:3, считая от
точки S, Через точку М проходит сечение, параллельное основа¬
нию пирамиды. Найдите его площадь.
498
Часть 3
Cl. Решите уравнение ^36 + 5х|х + 3| =х + 6 .
С2. Найдите множество значений функции у = cos 2х, заданной на
отрезке [-arctg 3; arctg 0,5].
СЗ. При каких значениях а сумма log.
3 + 2\[х
1 + л/х
не равна единице ни при каких значениях х?
и log.
4 + 3-\/х
1 + л/ х
Вариант 223 (2003 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения (1\/ГТ) + (^/з ) .
1) 13; 2)129; 3) 258; 4) -15.
* а3 + 21а2 +147а + 343
А2. Упростите выражение 2а н 7.
(а + 7)2
1) За; 2) а2 + 49; 3) -14; 4) 2а - 6.
АЗ. Найдите значение выражения
5_ 2 J_ 7 _3 3
1236 • (123)3 :1232 -108 • 104 .108.
1) 23; 2) 113; 3) 0; 4) -877.
А4. Найдите значение выражения —log^j-9+ log2149.
1) 1; 2) 2 log7 3; 3) 2; 4)-5.
А5. Найдите значение выражения
^log26 5log5169+log26 4)2-1741og2893.
1) log26 10; 2) 1; 3) -log13 9; 4) -5.
A6. Упростите выражение
1 • 4
1 — sm а
2 2 *
sin а(1 + sin а)
1) —2; 2) ctg2 а; 3) cos а; 4) 1.
А7. Упростите выражение
1
1
2 2
(cos х - sin х).
1 - tg х 1 + tg х
1) 1; 2) cos2x; 3) sin 2x; 4) 2 tg 4x.
A8. Решите уравнение lx~5 • 5х2 —49 • 5х2 + 3 • 7Л-5 — 147 = 0.
1) ±2; 2) 7; 3) -3; 4) 13.
499
А9. Решите уравнение lg(x —
- 1) = |х- 101| + 2.
1) 18; 2) ±13; 3) -27;
4) 101.
А10. Функция у = у(х) за¬
дана на промежутке [—6; 6].
Укажите ординату точки
пересечения графика функ¬
ции с осью Оу.
1) 6; 2) -4; 3) -5; 4) -6.
АН. Решите неравенство
0,5(1 + log3 х) - log j (х + 3) > log3 5х.
1) (0; +«); 2) (9; 81); 3) (27; 81); 4)
3’9
А12. Укажите промежуток возрастания функции у = J(x), задан¬
ной графиком.
1)
4)
п _ п
2’ 2
71
; 2)
L 2 J
; 3) [0; я);
n
„ л
n;
u
0;-
2
2
г -
1
V i
0
-я n u
~2
1 ^
-
x\
= 2 lnx-3
og7 x + 5.
1) q'(x) = — —; 2) q'(x) = 2х — Зх In 7; 3) q'(x) = 7х — 3;
х xln7
4) q'(x) = — + 8х.
х
А14. Укажите промежуток, которому не принадлежит ни одного
нуля функции /(х) = х--\/бх-5.
1) [1; 5]; 2) (1; 5); 3) [5; 6); 4) (0; 1].
2
А15. Для функции у - —-— найдите первообразную, график
sin2 Зх
которой проходит через точку М 11) 3-|ctg Зх; 2) 3 —2ctg Зх; 3) 3
гъъ
уб’
1 2
ctg3x; 4) 3 +—tgЗх.
500
А16. Найдите коэффициент наклона касательной к графику
х3
функции у = 1пх н в точке х = 2.
1) - + 1п2; 2) 4; 3) 4,5; 4) 6.
Часть 2
В1. Решите неравенство 81х —10 • 9Х+1 + 729 < 0.
В2. Упростите выражение
cos2 х — —
1 2 )
ctg2
^ л/
V 2)
Г ( Д3! ( TtY
COS X н— + ctg х
1 1 2) { 2))
f
ctg
V
f
l 2)
f л V
- COS X H—
v 2 ) y
ВЗ. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрес¬
сии, если известно, что ее сумма равна 18, а ее первый член ра¬
вен 12.
В4. Найти больший корень уравнения х2 — 1 Ox lg л' = 0.
В5. Найдите точку минимума функции h{x) - е3х+7 • х3.
В6. Для функции /(х) — + 31+ i— при х = 4 найдите значе-
х2 л/4х
ние первообразной, график которой проходит через точку (1; 8).
В7. Группа школьников совершила поход во время летних ка¬
никул. Первые 20 км они проплыли на байдарках, 1/5 остав¬
шейся части маршрута прошли пешком, а затем опять плыли на
байдарках. В итоге на байдарках проплыли в 6 раз больше, чем
прошли пешком. Какова длина всего маршрута?
В8. Площадь треугольника АВС равна 20%/зТ Найдите АС, если
сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а ме¬
диана ВМ раина 5.
В9. Высота правильного тетраэдра равна 6>/б см. Найдите реб¬
ро этого тетраэдра.
|У = 725 + 2-у,
В10. Решите систему уравнений { В ответе
[25 + 2°’5'-у-Зх=0.
укажите х + у.
501
Часть 3
Cl. Найдите наибольшее целое значение параметра /, при кото¬
ром решение неравенства
|||3х +32|—17|—19|—87 < 6Р
удовлетворяет условию х е [—84; 65].
С2. Решите систему
jcos7(x2 + 15х + 44)-0,2х2~13х~68 =0;
[—4 < х < 17.
СЗ. В кубе ABCDAyByCyDy. Ay Су, AyD и CyD — диагонали граней
AyByCyDy, AAyDyD и DDyCyC соответственно. В тетраэдр DyAyCyD
вписан конус так, что его основание вписано в треугольник Ay С) D
и By — его вершина. Найдите объем большей из частей, на кото¬
рые куб делится плоскостью AyCyD, если объем конуса равен л/6.
С4. Найдите производную функции
, . . 101п5 . , . 2 .
п(х) tg(7i • log5(x —4)) в точке Хо = 3.
л
Вариант 224 (2003 г.)
Часть 1
2 2
А1. Упростите выражение 5sm а-4 +5cos а.
1) 1; 2) 9; 3) -9; 4) -4.
I i
А2. Упростите выражение 1,4а7 : 2а1.
9
1) 0,7а-1; 2) 2,8а1 ; 3) 0,7а8 ; 4) 7а8.
АЗ. Вычислите: yj-0,3 • у]-0,09 .
1) 0,027; 2) 0,03; 3) -0,3; 4) 0,3.
А4. Найдите значение выражения log15 3 + log15 75.
1) log15 25; 2) 2; 3) 3; 4) log15^-.
A5. Найдите все решения уравнения
1
Ь COS X
cos2 X
tg2x.
502
тс _
1) —1-2 пп,
2
neZ; 2) 2ли, «eZ; 3) ли, neZ; 4) л + 2тш,
и е Z.
А6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне¬
ния log5 (х — 1) - log5 (х - 3) = 1.
1) [-3; -1); 2) [—1; 2]; 3) (2; 5]; 4) (5;+®).
А7. Решить неравенство 4 > 16ж+1.
1) (-«>; -1,5]; 2) (-«; -0,5]; 3) [1,5; +«); 4) [-0,5; +«,).
А8. Решить неравенство — 1 > 0.
х + 3
1) (-®; —3)U(—2; +00); 2) (-«>; -2); 3) (-3; 4); 4) (-3; -2).
А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
л/3 - 2х = -х.
1) [-4;-2]; 2) [-2; 0]; 3) (-3; I); 4) [-1; 3].
А10. Функция выражена графиком. Ука¬
жите область определения этой функции.
1) [-5; 3]; 2) [-2; 2]; 3) (-5; 3); '
4) [-5; 2].
А11. Найдите область определения функ¬
ции у - 1п(х2 - 3).
1) Ь/3;л/3); 2) (-со;->/3] Ub/з;+«);
3) (-<х>;-л/3) U(V3;+«); 4) [->/3;7з].
А12. Найдите множество значений функции v = 2 cos х -1.
1) [-1; 1]; 2) (-<»; +«); 3) [-3; 1]; 4) [-1; 3].
А13. На одном из рисунков изображен график функции у = 3Л .
Укажите этот рисунок.
503
3)
4)
А14. Найдите производную функции h = 4х5 - ех.
1) h' — 20х5 —ех; 2) h' — 20х5 +ех; 3) h' = 4x’-ex;
4) h’ - 20х4 -ех;
А15. Найдите первообразную F функции /(х) = ех + sin х, если из¬
вестно, что ДО) = —1.
1) F(x) - ех + cos х - 2; 2) F(x) = хех - cos х;
3) F(x)-ex -cosx-1; 4) F(x)-ex +cosx-l.
A16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
2 4
графику функции /(х)-2 х ' + Зх в его точке с абсциссой х® = — 1.
1) -1; 2) 10; 3) 14; 4) -10.
Часть 2
В1. Пусть (хо; уд) — решение системы
I у + 5 = V 36 + х2 —12х,
I 2х - у = 11.
Найдите разность х() —
В2. На рисунке изображен гра¬
фик производной функции у =
= /'(х), заданной на отрезке [—6;
5]. Исследуйте функцию у = /(х)
на монотонность и в ответе ука¬
жите число промежутков возрас¬
тания.
ВЗ. Вычислите:
6 • log2125 • log5 2 + 2lg7 • 5lg7.
B4. Найдите наибольшее целое значение функции
v = 3, 5\/4cos2x + 6sin2 х + 5.
В5. Укажите количество корней уравнения ctg Зх • sin 6х — cos 6х —
— cos 12х = 0 на промежутке [0; 2л].
504
В6. При каком значении р функция у = -у 5 + рх - 2х~ имеет мак¬
симум в точке xq = —1,75?
В7. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколь¬
ко процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции,
чтобы достигнуть его первоначального уровня?
В8. Третий член арифметической прогрессии равен 4, а десятый
равен 25. Найдите сумму первых десяти членов данной прогрессии.
В9. Основание пирамиды — треугольник, две стороны которого
равны 3 и Л, а угол между ними равен 30°. Каждое боковое реб¬
ро равно л/бТ . Найдите объем пирамиды.
В10. Найдите площадь треугольника КМР, если сторона КР равна
5, медиана РО равна З-у/2 , А КОР = 135°.
Часть 3
С1. Решите уравнение /10 ч = 21og2(0,5Vx).
V 1оёх 2
С2. Найдите все значения р, при которых уравнение 8 sin3* = р +
+ 9 cos 2х не имеет корней.
СЗ. Около прямой четырехугольной призмы описан цилиндр.
Основание призмы — прямоугольник, диагонали которого обра¬
зуют угол 60°, а расстояние между боковыми ребрами призмы и
скрещивающейся с ним диагональю основания равно 1 + \/з .
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если объем ци¬
линдра равен 120л.
С4. Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при
которых область определения функции
( х Г~ . 3+0,5log„ х 0,5+xlogха 3,51°’5
у-\а -\1а+а а -х х -а )
не содержит двузначных натуральных чисел.
Вариант 225 (2003 г.)
Часть 1
4 -2 2
. . ,. cos а + sin а cos а
А1. Упростите выражение г .
sin2 а
1) 1; 2) tg2a ; 3) ctg2a ; 4) —.
sin а
505
9
3
А2. Представьте выражение а4 : а 4 в виде степени с основанием а.
27 _3
1) а 16 ; 2) а2; 3) а"3; 4) а3.
АЗ. Вычислите: -^125 ■ 0,027.
1) 1,5; 2) 15; 3) 0,015; 4) 0,15.
А4. Найдите значение выражения log7(J 5 + log7(J 4 + 2.
1) 11; 2) 2; 3) 3; 4) 22. '
2 1
А5. Найдите все решения уравнения (tg'x + l)tg х = —.
cos' X
71 71
1) f-2тш, neZ; 2) пп, n<aZ\ 3) \-пл, neZ;
2 4
4) — + то?, л е Z.
4
А6. Укажите промежуток, которому принадлежит кореш уравне¬
ния lg(5 + х) - lg(l - х) = lg 2.
1) (-2; 0); 2) (0; 8); 3) (-5; -2); 4) (8; 10).
у I 1
А7. Решить неравенство 16 < 2' .
1) -3; 2) [7; +оо); 3) (-«>; -1]; 4) fl; +оо).
6 — X
А8. Определите число целых решений неравенства — > 0.
' Зх + 9
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
л/х - 5 = 7 - х.
1) [0; 5,3]; 2) [5,5; 6,3]; 3) [7; 10]; 4) [11; 12,51.
А10. Функция задана графиком. Укажите
область определения этой функции.
1) [-1; 2); 2) [-2; 1]; 3) (-1; 6);
4) [-1; 6].
All. Найдите область определения фупк-
, 6-х
ции у = log02———.
6 + 2х
1) (-3; 6); 2) (-6; 3);
3) (-^о; «3)11(6; +«); 4) (0; 6).
А12. Найдите множество значений функции у - sin х - 3.
506
1) [-4; 2]: 2) [-10; 4]; 3) [-4; 4]; 4) [-10; 10].
А13. График какой из перечисленных функций
изображен на рисунке?
1) у - 2х; 2) у - (0.5)Л: 3) y = log2x;
4) v = logo s х.
А14. Найдите произиодную функции у - cos х + х4.
1) у'- sinx • 4х ; 2) у' - sin х : 4х ;
# -5 # -5
3) y' = sinx + x ; 4) у' - sin х • х .
А15. Найдите первообразную F функции /(х) = ех + 4х3, если из¬
вестно, что ДО) = —1.
1) F(x) — ех + Зх4 - 2; 2) F{x) — ех + х4 - 2; 3) F(x)-ex +\2х2 -2;
4) F(x)--ex + 12х2.
А16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
'у
графику функции у = 5х~ - Зх + 2 в его точке с абсциссой хд = 2.
1) 16; 2) 17; 3) 0,3; 4) 0.
Часть 2
В1. Пусть (л'о; уд) — решение системы
|у + 3 = V 4х2 +20х + 25,
[Зх - у + 7 = 0.
Найдите произведение хо • уо-
В2. На рисунке изображен график производной функции у =/'(х),
заданной на отрезке \а\ b]. Исследуйте функцию у =/(х) на моно¬
тонность и в ответе укажите число промежутков возрастания.
507
ВЗ. Найдите значение выражения
(logs^ V? + log3 48 - log316 j • 15logl5 4.
B4. Найдите наибольшее целое значение функции
У = Ь 5-\/25cos2 x + 10cosx + 14.
В5. Укажите число корней уравнения lg 2х • sin 4х + cos 4х — cos 8х = О
на промежутке [0; 2л].
В6. При каком значении а функция у = у]ах2 +15дс -1 имеет мак¬
симум в точке xq = 1,5?
В7. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раст¬
вора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли со¬
держится в получившемся растворе?
В8. Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма
первых пятидесяти членов равна 2500. Найдите сумму третьего,
двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.
В9. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, высота
которой равна 2-у/з , а все плоские углы при вершине прямые.
В10. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол
при основании равен 30°, а взятая внутри треугольника точка на¬
ходится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и
на расстоянии 2-у/з от основания.
Часть 3
С1. Решите уравнение /13 ч — =2 log3(3-y/x).
V 1оёх3
С2. Найдите все значения р, при которых уравнение 6sin3 х = р —
— 5cos 2х не имеет корней.
СЗ. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16л\/з . Расстоя¬
ние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы
равно 2 -у/з . Найдите объем призмы.
С4. Найдите все значения а, при которых область определения
функции
V=(№)2"‘+Л о4 - ч1'5"1^ “ - Ш9 Г
содержит два или три целых числа.
508
Вариант 226 (2004 г.)
Часть 1
А1. Упростите выражение (cosx-sinx)2 +2sinxcosx.
1) 1; 2) 2; 3) l-2sin2x; 4) cos2x + sin2x.
_j_ 2
A2. Упростите выражение b 3 : b9.
_I _i I
1) b 9 ; 2) A 2 ; 3) b9 ; 4) b 9 .
АЗ. Вычислите: ~^/(),0 l 6 • ^/-0,02.
1) 0,2; 2) -0,2; 3) -0,8; 4) 0,8.
A4. Найдите значение выражения log3(9a), если log3 a = 0,3.
1) 0,6; 2) 2,3; 3) 2,7; 4) 9,3.
? 1
A5. Найдите все решения уравнения 3sinx +1 + ctg“x = —-— + 3.
’ sin” x
ТС 7т
1) nn, neZ; 2) — + лп, neZ\ 3) (-1)" • — + nn, neZ\
2 6
7X
4) — + 2nn, n g Z.
2
A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне¬
ния 2 - log6 (х + 3) = log6 (х + 8).
1) (-6; -4); 2) (-4; -3); 3) (-3; 4); 4) (4; 6).
.. ]
А7. Решить неравенство 5х +х > .
125
1) [0,5; +«); 2) (-«; -6,5]; 3) (-«; 7]; 4) [-6,5; +«).
А8. Решить неравенство —+ ^— > 0.
(х + 4)(х - 7)
1) (-7; -4) и (7; +«); 2) [-7; -4) U (7;
+«); 3) (-«; -7) и (-4; 7); 4) (-«; -4) U
(7; +<»).
А9. Укажите промежуток, которому при¬
надлежат корни уравнения
х - \llx2 - 9х + 5 = 3.
1) (-«; 11; 2) (1; 2]; 3) (2; 5]; 4) (5; +«).
А10. Функция задана графиком. Укажите
область определения этой функции.
509
1) [-5; -1) U (3; 4); 2) (-5; 4); 3) [-1; 3]; 4) (-1; 3).
2
All. Найдите область определения функции у - log7l(3x' - 4х).
1)
0;£|; 2) (-оо; 0) lj( ^ +°°
3)
0;
4) (-оо; 0]U| +°о
А12. Найдите множество значений функции у - - 4 - sin х.
1) [-3; 0]; 2) [-4; 4]; 3) [-5; -3]; 4) (-оо; +*»).
А13. На одном из рисунков изображен график функции
у = log! (х + 2).
А14. Найдите производную функции h(x) - х4 + sinx.
1) = cosx; 2) *'« = y + coSx; 3) ЛЧх) = 4х1 * 3
cosx;
4) h'(x) - 4х3 - cosx.
А15. Для функции /(х) = 2ех укажите первообразную F, график
которой проходит через точку М(0; 24).
1) /'(X) = еЛ' + 24; 2) F(x) = 2ех + 22;
3) /• (х) = 2ех + 24; 4) F(x) = 2хех + 24.
А16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику функции /(х) = 4х - 3Inх в его точке с абсциссой Хо = 3.
1) 1; 2) 11; 3) 3; 4) 4.
510
Часть 2
В1. Пусть (ль; уц) — решение системы
) г в \1х~ -8х + 16 -1,
[Зх - у — 1.
Найдите разность хо — Уо-
В2. На рисунке изображен график производной функции у =/'(х),
заданной на отрезке [-6; 6]. Исследуйте функцию у =/(х) на мо¬
нотонность и укажите в ответе число промежутков убывания.
ВЗ. Найдите значение выражения (21 og051,6- log5 8 + 3 j ■ 6“1оё6 3.
В4. Найдите наименьшее целое значение функции
-=—>/s<
3
v:
)cos“ x-4sin2 x + 20.
B5. Определите число корней уравнения tg х • cos х = siiT х + cos Зх
на отрезке [0; 2л].
В6. Найдите все значения а, при которых функция
у = %]5х2 - (2 - а)х + 2-4а имеет минимум в точке хо = .
В7. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полу¬
годии стипендия увеличилась на 10%. Определите, на сколько
процентов увеличилась стипендия во втором полугодии.
В8. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен —17, а
сумма первых сорока восьми членов равна —2112. Найдите сумму
третьего, тринадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.
В9. Основание пирамиды МАВС — треугольник АВС, в котором
АВ = ВС, АС = л[\~5 , ZABC = 120°. Боковые ребра образуют с
плоскостью основания равные углы. Найдите объем пирамиды,
если AM = л/53 .
В10. В треугольнике ВСЕ медиана ВМравна 3, СЕ = 4л/2 , BE = 5.
Найдите сторону ВС.
511
Часть 3
Cl. Решите уравнение = 10-lg[l05(0,lx) 0,1J.
С2. Найдите все значения р, при которых уравнение
5 — cos х = р( 1 + tg2 х) имеет хотя бы один корень.
СЗ. В правильную треугольную призму, площадь боковой по¬
верхности которой равна 20, вписан цилиндр. Расстояние между
осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно Зу/з .
Найдите объем цилиндра.
С4. Найдите все значения а, при которых область определения
функции
у = \оё1(Ш2Х+1° +(х2 -у^)а4 -x5+xbg*a -UP2")
содержит ровно три натуральных числа.
Вариант 227 (2004 г.)
Часть 1
А1. Найдите tg а, если cos а = и угол а принадлежит II чет¬
верти.
1) -4; 2) -VT5 ; 3) yfj ; 4) -yfs .
4
1 1
А2. Упростите выражение 0,9Ь5 : 9Ь5 .
12 11
1) 0,165 ; 2) 0,165 • 3) о,16 5 ; 4) 0,162
АЗ. Упростите выражение
7 8
1) а3; 2) а3; 3) а3 ; 4) а2.
3 6
А4. Вычислите log6—, если log6 к = -6.
к
1) -8; 2) 8; 3) 6; 4) -4.
Зх 5х Зх 5х 1
А5. Решите уравнение sin—cos cos—sin— = —.
2 2 2 2 2
512
l) Н)"~-
6
Tin,
n&Z\ 2) ±-¬
6
2л/?, n eZ; 3) ±-7 +2 л/?, /? e Z;
4) (-1)" • — + -/?, «eZ.
24 4
A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне¬
ния 4 log3(x - 5) = log316.
1) [-3; 3); 2) [3;б);3) [б;8);4) [8; 12).
А7. Решить неравенство 0,75г+1 > 0,7:'*''.
( 4"
' з ^ ч
( 2
-оо; - —
; 2)
--; +оо ; 3)
-оо; --
; 4)
1 з]
L 4 )
1 7J
1)
А8. Решить неравенство
; +оо
х + 7
>0.
э);
(2х-1)(8-х)
1) (-a); 0,5)U(8; +оо); 2) (-оо; -7)11(0,5; 8); 3) [-7; l)U[8;
4) [-7; 0,5] U (8; +«>).
А9. Какому промежутку принадлежат
корни уравнения
л/Зх + 1 =х-1?
1) [0; 3) ; 2) [3; 5); 3) [-1; 2]; 4) [5;б].
А10. Укажите множество значений функ¬
ции, график которой изображен на рисунке.
1) [0; 2]; 2> [-7;-1]; 3) [-7; 1]; 4) [-5; 2].
All. Найдите область определения функ¬
ции у - log0 5(25 -х2).
1) |0;5);2) [ 5:5]: 3) (-оо; 0)11(5;+®); 4) (-5; 5).
А12. Найдите множество значений функции v = sinx-l,5.
1) [-1,5; 1,5]; 2) [ -1,5;0];3) [-2,5; -0,5]; 4) [-2,5;-1,5].
А13. На одном из рисунков изображен график функции у = log-, х.
Укажите этот рисунок.
\Ц
]- И ] ) 2
! ! -1\,
oj 1 1л.
| j ;---j 4 +г
II
1)
2)
513
3)
4)
А14. Найдите производную функции у = л' • sin х.
1) у' - cosх +1; 2) у' - х- cosх ; 3) у' = cosх ; 4) у' = sinх + х ■ cosх.
А15. Для функции fix) = 12х5 — sin х укажите первообразную F,
график которой проходит через точку К (0; —9).
1) f(x) - 2х6 - cosx - 9; 2) f(x) - 2х6 + cosx + 9;
3) f(x)-2x6 -cosx-8; 4) f(x) - 2x6 + cosx-10.
A16. К графику функции f(x)--2x~ +5x-17 в точке абсциссой
х0 =| проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона каса¬
тельной к оси Ох.
1) 8; 2) 2; 3) -15; 4) -1.
Часть 2
В1. Пусть у0) — решение системы
Найдите сумму хо + уо.
I л/ 9 — 6х + х2 — у — 3,
[2х — у — 3 = 0.
В2. На рисунке изображен график производной функции у = /'(х),
заданной на отрезке \а\ Ь\. Исследуйте функцию у =/(х) на моно¬
тонность. Укажите в ответе число промежутков возрастания.
ВЗ. Найдите значение выражения
((25 — log| 5)log160 2 + log2 5) • 7log76 .
514
В4. Найдите наибольшее целое значение функции
п ^»3sin2x+4cos2x-5
у - 7 • 2 .
В5. Найдите сумму корней уравнения
2 2
sin (л - 6их) + sin
Ь 6 ЛХ
sin (л -2лх)
^--2лхЛ
V2
. Злх
- sin cos лх
cos
на промежутке [1; 3].
В6. При каком наибольшем отрицательном значении а функция
' ап
У = sm ''
имеет максимум в точке xq = л?
24х + -
V ЮО.
В7. Катер прошел 45 км по течению реки и 35 км против течения
реки за то же время, что он проходит 80 км в стоячей воде. Найди¬
те собственную скорость катера, если скорость течения реки равна
3 км/ч.
В8. В арифметической прогрессии сумма первых семи членов рав¬
на 21, разность пятого и третьего членов равна —6. На каком месте
в этой прогрессии стоит число —21?
В9. Дан куб ABCDA\B\ С) D\. Через точки В, D и середину ребра
D\ С\ проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной по¬
верхности куба, если площадь сечения равна 144.
В10. Диагонали трапеции КМРТ с основаниями МР и КТ пересека¬
ются в точке С. Площадь треугольника МСР равна 4, КТ = 2МР.
Найдите площадь трапеции.
Часть 3
С1. Решите уравнение log9 (37 - 12х) • log7_2x 3 = 1.
С2. При каких значениях р уравнение 5cos2x +
sinx
= -29 имеет
решения?
СЗ. Внутри правильного тетраэдра ABCD расположен конус,
вершина которого является серединой ребра CD. Основание ко¬
нуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину
ребра ВС параллельно прямым CD и А В. Площадь боковой по¬
верхности конуса равна 9л\Д Найдите длину ребра тетраэдра.
515
( 8х+5Л
С4. Из области определения функции у = log0 8
С1а -а х+5
V /
взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите
все положительные значения а, при которых такая сумма будет
больше 8, но меньше 15.
Вариант 228 (2004 г.)
Часть 1
. . 5 + х п
А1. Решите неравенство <0.
(х-2)(х-9)
1) (-оо; - 5]; 2) (-оо; 9); 3) (-оо; - 5] \J(2; 9);
4) [-5; 2)U(9;+oo).
А2. Решите уравнение 2cosx = -\/з .
71 71
1) ±—\-2nn, n<=Z; 2) ±—\-2nn, neZ ;
6 3
3) (-1)" — + 2тш, ncZ; 4) (-1)"- + 2тш, ueZ.
3 6
АЗ. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав¬
нения 98ж+5 =81.
1) (-10; -1]; 2) (-1; 0); 3) (0; 1); 4) [1; 10).
А4. Какому промежутку принадлежит корень уравнения
log2x + log23 = log221?
1) (0; 4); 2) (4; 8); 3) (15; 19); 4) (21; 25).
у
А5. Вычислите: 7-10-164.
1) 27; 2) 20; 3) -13; 4) -33.
ас v л/l 12т3
Ао. Упростите выражение
1) Д-; 2) 2т3-^49 ; 3) 2т3; 4) .
7П ПГ
А7. Найдите значение выражения 6 • 0,81оё0,8 4.
1) 30; 2) 4,8; 3) 24; 4) 6.
516
А8. Найдите значение выражения
4 + 5tg х ■ cos х, если smx = 0,4.
1) 4,8; 2) 6; 3) 4,4; 4) 9,2.
А9. На каком из следующих рисунков функция, заданная гра¬
фиком, убывает на промежутке [0; 4]?
о
А10. Найдите производную функции у-(7х + 3) .
1) у' = 3(7 х + 3)2; 2) у' - 9(7х + 3)2 ; 3) у'= 21(7х + 3)2;
4) / = 10(7х + 3)2.
All. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у — 15x-20cosx в точке с абсциссой х0=-я.
15д2
1) 20-15д; 2) \ 3) -5; 4) 15.
А12. Какое из следующих чисел входит в множество значений
функции у - 5х - 25 ?
1) -25; 2) -24; 3) -26; 4) -30.
517
А13. Укажите область определения функции у - Щ1 — 8
1)
4х+3
( 3"
Г 1]
-оо; —-
; 2)
-щ --
; 3)
1 4 J
1 2_
; +оо
2
; 4)
—; +оо
4
А14. На рисунке изображен график функции у - / (л ). Какому
из следующих промежутков принадлежит корень уравнения
А*)- 4? - • - ' '
1) (9; 10); 2) (-3; -1); 3) (0; 2); 4) (-8; -6).
Часть 2
В1. Укажите наибольшее значение функции y = 1-logg(3 Л) на
отрезке [—1; 5].
В2. Функции у - fix) определена на промежутке (—7; 6). Гра¬
фик ее производной изображен на рисунке. Найдите промежут¬
ки возрастания функции
у - f ix). В ответе укажите }
наибольшую из длин этих
промежутков.
ВЗ. Вычислите площадь фи¬
гуры, ограниченной линиями
у — х2 - 3 ; х = 2 ; х = 5 и
v = 0 •
В4. Найдите больший корень уравнения
(3х2+3 - 81)^7-1 Ох = 0 .
518
В5. Найдите значение выражения
„ cos22°cos 142°+cos 52°sin 22°
2 .
cos37° sinl73° -sin37° cos7°
B6. Укажите наибольшее целое число, которое не входит в об¬
ласть определения функции у - 1п(|3 - 4х| - 36).
В7. Латунь — сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди
на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг
меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько кило¬
граммов меди было в куске латуни первоначально?
В8. Концы отрезка ВР лежат на окружностях оснований цилинд¬
ра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВР рав¬
на 14>/2 , а угол между прямой ВР и плоскостью основания ци¬
линдра равен 45°. Найдите расстояние между осью цилиндра и
параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и Р.
В9. Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основа¬
нием CD, равным 16, вписан в окружность с центром О и ра¬
диусом 10. Найдите площадь треугольника ВОС.
Часть 3
6у - х - 6
С1. Решите систему уравнений
= 3 у-х,
Зу + 2х-1
дЗу+2х _|_ 27 = 12 • 32у ■ 32х
С2. Точка А лежит на графике функции у - /(х), точка В — на
оси Ох, и ее абсцисса в 4 раза больше ординаты точки А. Най¬
дите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где точ¬
ка О — начало координат, а
/ (х) = V4x + 2sin2x-9sin;
И, -<х< —.
5 5
СЗ. Все ребра призмы ABCAiBiС) равны между собой. Угол ВАА\
и САА\ равны 60° каждый. Найдите расстояние от точки С) до
плоскости CA\B\, если площадь грани АВВ\А\ равна 8л/з .
С4. Найдите все значения параметра а, при которых множество ре¬
шении неравенства
9 - (а + 6)х За
-2-1 содержит число 4, а
также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
х
519
Вариант 229 (2004 г.)
Часть 1
5а-8
А1. Вычислите: -19-6254 +17.
1) -78; 2) -112; 3) -458; 4) -492.
А2. Найдите значение выражения 3cos х-2, если sin х = 0,]
1) 1,3; 2) 0,7; 3) -1,7; 4) -0,5.
АЗ. Упростите выражение ^97-^з7.
1) 9с2; 2) л/Зс ; 3) Зс3; 4) 3^.
А4. Найдите значение выражения О,51оё0,53 -12.
1) 36; 2) 15; 3) -9; 4) -11,5.
А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 4
1) (-*>; -3]; 2) (-3; -2]; 3) (-2; 0]; 4) (0; 3].
А6. Какому промежутку принадлежит корень уравнения
log3 (6х) = log3 20 - log3 4 .
1) (1; 2); 2) (0; 1); 3) (2; 3); 4) (3; 5).
А7. Функция задана графиком.
Укажите промежуток, на котором
она убывает.
1) [-1; 4]; 2) [-2; 0]; 3) [-3; 0];
4) Н1; -3].
А8. Решите неравенство
(х - 5)(2х + 3)
х + 6
1) (-оо; -6)U
>0.
< 1
1
1
' 1
к.
0
1
—1
4 5
г
3)
-6; -1
1
1Д5; +оо); 4)
; 2) (-оо; -6] и
1
45
-6; -1-
1Д5; +оо).
А9. Найдите производную функции у - ех + 9х2.
1) / = хе*_1 + 18х; 2) / = е*+18х; 3) у' = ех+ Зх3;
4) у' = ех +11х.
А10. Укажите область определения функции у - д/З — log4
1) (0; +оо); 2) (-оо; 64]; 3) (0; 1]; 4) (0; 64] .
X
520
All. Какое из следующих чисел входит в множество значений
функции у = 0,1х + 4?
1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
X
А12. Решите уравнение sin—= 1.
ТС ТС ТС
(1) —I—п, n^Z\ (2) —\-лп, neZ;
4 2 4
(3) л + 4лп, n&Z\ (4) 4лп, n&Z .
А13. Решите неравенство /(х) > 0, если на рисунке изображен
график функции у - /(х), заданной на промежутке [—7; 7].
1) [-4; -2] U [2; 7]; 2) [-5; -3]U[0; 3]; 3) [-3; 4];
4) [-7; -4] U[-2; 2].
i
/
\
1
\
/
\
\
>
1
!
-7
>
/
0
1
V
7
X
V
\
ч
А14. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции /(х) = X3 - Зх2 -11 в точке с абсциссой хо = 2.
1) 0; 2) -11; 3) -15; 4) -26.
Часть 2
В1. Найдите значение выражения 17sin 2х, если
1
sin х = -
VT7’
л Зл
— < X < —
2 2
В2. Решите уравнение (32л 8 - 81)log6(13 - 10х) = 0 .
ВЗ. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у --х2 + 5; х = 1;х = -2и у- 0.
521
В4. Функция у = f{x) определена на промежутке (—6; 3). На
рисунке изображен график ее производной. Укажите точку ми¬
нимума функции у = fix) на промежутке (—6; 3).
12
В5. Найдите наибольшее значение функции г = 4cos х--
5л 17л
если х е —;
_ 4 12
В6. Найдите сумму всех целых чисел из области определения
функции у = ^8-|5х-14| .
В7. В течение календарного года заработная плата каждый месяц
повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и ав¬
густ заработная плата в сумме составила 9900 руб., а за сентябрь,
октябрь и ноябрь — 10 350 руб. Найдите сумму заработных плат
за весь год.
В8. Основание прямой призмы АВСА\ В\ С) — треугольник АВС,
в котором ZC = 90°, ВС = 6, АС = 8. Угол между плоскостями
АВС и АВС] равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
В9. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Через центр О вписанной в треугольник окружности проведен
луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что AM =
= 8>/з , ZA = ZMBC. Найдите гипотенузу.
Часть 3
С1. Решите систему уравнений
522
ху + х
У-2
— х — 3,
log4(x + 5) = 3-0,5 log2
36x-xJ -64
~У~~7 '
C2. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со
сторонами, параллельными осям координат, и диагональю ОР,
где О — начало координат, а Р — точка на графике функции
у = 49хе2~7х +—, 0,2<х<1.
х
СЗ. В шар радиуса 2л/ТТ вписана правильная треугольная приз¬
ма АВСА\В\С\. Прямая А С) образует с плоскостью АВВ\ угол
45°. Найдите объем призмы.
С4. Найдите все значения параметра а, при которых в множестве
„ , . „ ? 6а2
решении неравенства х(х - 2а - 6) + а < 12а можно распо-
х
л ожить два отрезка длиной 1 и 4, которые не имеют общих точек.
Вариант 230 (2005 г.)
Часть 1
j_
А1. Вычислите: -15-814 -19.
1) -154; 2) 116; 3) -64; 4) 26.
А2. Упростите выражение л/25Ь2 ■
1) 5й2; 2) 256; 3) л/561; 4) 56.
о
АЗ. Найдите значение выражения log5 6 , если log5 6 =9.
1) 27; 2) 6; 3) 3; 4) 12.
А4. Найдите tga, если cos a
1 л
—и — <а<0.
л/5 2
1) 0,5; 2) 2; 3) -0,5; 4) -2.
А5. На одном из рисунков изображен график функции
у = log5 X .
Укажите этот рисунок.
523
1) у' — хех 1 + 6х; 2) у' — ех + х3; 3) у’ — ех + 5х?; 4) у’ — ех + 6х.
А7. Какое из следующих чисел входит в множество значений
функции у - 2х + 4 ?
1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
А8. Решите неравенство
(лг-2)(4лг + 3) >0
х + 4
1)
b -и
и [2;: +ОД);2)(-Ю; -4) U
[4
3)
h 41
и [2; +да);4)
' 3"
--
и [2; +<*>).
А9. Решите уравнение sinx
1) ~ + 2жп, n<=Z; 2) (-1)"^ + яи, n<=Z;
71 71
3) —I-ли, neZ; 4) ±—\-2nn, neZ.
4 4
АЮ. Укажите область определения функции
у = ф-lgx.
1) (0; 3]; 2) (0; 1000]; 3) (3; 1000]; 4) [1000; +«).
В1. Решите уравнение 31д'' =81.
524
В2. Решите уравнение х - V2х2 - 9х + 5 = 3 .
ВЗ. Точка движется по координатной прямой согласно закону
x(t) = r +t + 2,, где х(7) — координата точки в момент времени
t (время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). В какой
момент времени скорость точки будет равна 5 м/с?
Часть 2
В4. Вычислите 6 log2125 • log5 2 + 2lg7 • 5lg7 .
B5. Функция y = f(x) опреде¬
лена на промежутке (—6; 4).
График ее производной изо¬
бражен на рисунке. Укажите
точку минимума функции
у - /(х) на этом промежутке.
В6. Вычислите площадь фигу¬
ры, ограниченной линиями
_у = х2 +1; х = 1;х = 4иу = 0.
В7. Найдите значение выражения \](х - З)4 + \](х - 7,5)4 при х = л/Го .
В8. Найдите наибольшее целое значение функции
У
25 3^4хсовЗх+вш4хвшЗх-2
В9. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и
поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше
цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на аль¬
бом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона ма¬
газин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько
рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изго¬
товителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 руб.?
В10. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований
цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС
равна \4\fl , а угол между прямой ВС и плоскостью основания
цилиндра равен 45°. Найдите расстояние между осью цилиндра и
параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В ж С.
В11. В треугольнике ЛВС проведена медиана AM. Найдите пло¬
щадь треугольника АВС, если АС = 3^2, ВС = 10, ZMAC = 45°.
С1. Решите уравнение sin х = sin х • cos х.
525
2 2 / 3
C2. Найдите нули функции у = In (х -Ъх-9) + \х -8х-8.
Часть 3
—у +1 Ох + 11
СЗ. Решите систему уравнений
—2у - 5х
25-2.У-5* + 25 = 26 • 5
= -5у-15х + 22,
-2у
•5
-5а
С4. Дана правильная призма АВСА\ В\ С), где /1/11, SS| и CCi —
боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА\, пере¬
секает ребро AiC\ в точке М и касается плоскости основания
АВС и плоскости СВВ\. Известно, что АВ = 12, А\М\М\ С = 3:1.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
'у
С5. Известно, что уравнение (2р + 2)х + (р + 3)х +1 = 0 имеет
хотя бы один корень. Найдите все значения параметра р, при
которых число различных корней этого уравнения равно числу
„ 2х + 1 1
различных корней уравнения = . .
21 -р у]х-3+3
Вариант 231 (2005 г.)
Часть 1
/
3
3 ^
f 25
2
f 9 1
2
liej
V
J
А1. Вычислите
32 2
1) 1; 2) 2; 3) —; 4) -.
49 7
А2. Сократите дробь
х-21у
х2 + 3^/ху + 9л/у2
1) л/х -у[у ; 2) - 1 ;3) л[х - 3 • ^[у ; 4) lfx+3-tfy .
л/х-Цу
АЗ. Найдите значение log2 (2d), если log2 d = 9.
1) -8; 2) 10; 3) 7; 4) 25.
526
А4. Найдите значение выражения sin (а + Р)- 2 sin а cos р , если
а = 26°, Р = 56°.
1) 0,5; 2) -0,5; 3) 1; 4) -1.
А5. Функция у - /(х) зада¬
на на промежутке [—5; 4].
Укажите число целых зна¬
чений аргумента, при кото¬
рых функция положительна.
1) 6; 2) 7; 3) 8; 4) 9.
А6. Найдите значение про¬
изводной функции
у - 2е3х - Зх2 + х + 5 в точке
*о=0-
1) 0; 2) 5; 3) 6; 4) 7.
А7. Найдите множество значений функции г = 16 1 Зл л
1) (0; 32]; 2) (0; 16]; 3) (-«; +оо); 4) (-«; 32].
А8. Найдите сумму целых решений неравенства
(2 - х)2 (х - 4)
х + 4
1) 4; 2) 6; 3) 8; 4) -8.
> 0 , лежащих на промежутке [—6; 6].
А9. Решите уравнение sin | — + х
]_
2'
1) (-1)
п-
1 — + пп, ugZ ; 2) ±— + 2пп, ugZ :
6 6
3) (-1)" * 1 — + пп, п е Z ; 4) ±— + 2ли, и е Z .
3 3
А10. Найдите сумму целых чисел, лежащих на промежутке
и входящих в область определения функции
у = log2(28 +1Ох - 2х2).
1) -28; 2) 28; 3) -2; 4) 20.
z ^1,4х-8,6
-8; 8]
В1. Решите уравнение
= 27
В2. Решите уравнение Зх - -уЗх2 - 5х + 2 —4.
ВЗ. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к гра-
2
фику функции /(х) = Зх -7х-9 в его точке с абсциссой х0 = 1.
527
Часть 2
В4. Вычислите: log2 log2 VW.
В5. Функция у = /(х) задана на отрезке \а\ Ъ\. На рисунке изо¬
бражен график ее производной у = /'(.г). Исследуйте на моно¬
тонность функцию у = /(х). В ответе укажите количество про¬
межутков, на которых функция убывает.
В6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — 28-\fx , у — 0,875х .
В7. Найдите значение выражения
Г5 7 7 ГЧ 7 “ л/12х-4х2 -8
•уX' -4х + 4 + \ х~ -2х +1 Н . ^=— .
л/Зх - 2 - х2
В8. Найдите сумму целых значений функции
V - — \/4cos2 x + 4cosx + 17 .
' 4
В9. Человек заболеет корью, если в его организме окажется не
менее 16 000 вирусов кори. Если заранее не сделана прививка от
кори, то каждую минуту число попавших в организм вирусов
удваивается. Какое минимальное количество вирусов кори дол¬
жен был направить на игроков Хоттабыч, чтобы 11 футболистов,
которым не сделали в детстве прививку от кори, успели заболеть
в течение 10 минут перерыва футбольного матча?
В10. Шар, поверхность которого равна 50, вписан в усеченный
конус. Угол образующей конуса с большим основанием равен 45°.
Вычислите боковую поверхность этого конуса.
В11, Высота равнобедренной трапеции, равная 5,25, делит основа¬
ние трапеции в отношении 1:9. Определите радиус описанного
круга, если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.
С1. Решите уравнение Isin х| = sin х - 2cos х.
528
С2. Найдите число корней уравнения
(cos 8х + cos 2х - ctg х • sin 2x)-\/l 6 - х2 = 0.
Часть 3
f5x4-y = 0,
СЗ. Решите систему уравнений <
Цх - 4| + 3 = у.
С4. Сфера радиуса 24 касается плоскости в точке А. В этой же
плоскости лежит основание куба. Прямая, проходящая через
центр основания куба (точку С) и точку сферы, диаметрально
противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М.
является точкой касания сферы и куба (их единственная общая
точка) и является вершиной куба. Найдите сторону куба.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых решение не¬
равенства ||х|-3| < За|х| содержит не менее двух и не более че¬
тырех простых чисел.
Вариант 232 (2005 г.)
Часть 1
А1. Внесите множитель под знак корня р0,75 • 4/4.
1) 2) ^4/7 3) ^256р6; 4) ^1б7-
А2. Найдите значение выражения 95а : 9 4а при а = ~-
1) 2) —; 3) 3; 4) 9.
9 81
АЗ. Найдите значение выражения 4 • log0 2 5 ’ .
1) 0,22; 2) -8,8; 3) -2,2; 4) 44.
• 3 • 2
. . Л. sin а + sin а cos а
А4. Упростите выражение .
tg а
1) 1; 2) cos а; 3) 1 +cos 2а; 4) sin а.
А5. На одном из рисунков изображен график нечетной функ¬
ции. Укажите этот рисунок.
529
1)
3)
4)
А6. Найдите множество значений функции
у = log2 (2 + 14sin2 х).
1)0;+®); 2) [1; 4]; 3)(-оо;+оо); 4) (-оо; 4].
( 2 Vх ( 5V-*
А7. Решите неравенство 1 — 1 <1 — 1 .
1) (-1,5; +оо); 2) (-оо; 0,75]; 3) (-оо; -1,5); 4) [0,75; +оо).
2
X
А8. Решите неравенство > 0.
х + 8
1) (-оо; 0) U (0; +оо); 2) (-оо;-8); 3) (-8; +оо);
4) (-8; 0) U (0; +оо).
А9. Решите уравнение
1
cos 2х
--2 = 0.
71 2 71
1) ±—\-2nn, neZ; 2) ±— + 2т, n<=Z;
_. . у] 71 7X72 .. | 7Х „
3) (-1) 1 , ueZ; 4) ±—l-пп, n&Z.
6 2 6
530
А10. Найдите производную функции у - 2х
... , 2(xsinx + 2cosx) .
1) у' = -± г 2) у — 4х 3 sinх;
, 2(xcosx-2sinx) .. , „ .
3) / = — 4) у - 2х J sin х.
х4
cosx.
В1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения log2 5 х = log0 4 4 + log0 4 0,5.
В2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения -v/39-х = х + 17.
ВЗ. Найдите сумму координат точки на графике функции
у- 2х -5х + 1, обладающую тем свойством, что угловой коэф¬
фициент касательной, проведенной к графику функции в этой
точке, равен —1.
Часть 2
В4. Вычислите у]о,5у/\0 -I• д/]6 + 8л/\0 ■ >/54.
В5. Найдите значение выражения l,2-cos2x, если sinx = 0,25.
В6. Функция y-f(x) определена на промежутке (—6; 5). На
рисунке изображен график ее производной. Найдите число то¬
чек экстремума этой функции.
531
В7. Найдите сумму всех корней уравнения
\J8 + 2х - х2 -log3 (11 -Зх- х2) — 0.
В8. Найдите значение функции
У = 8/(-*)' (/О) - 3g(-x) - (g(-x))2
при х--а, если известно, что функция у = /(х) — нечетная,
функция у - g(x) — четная, /(а) = 2, g(a) = -1.
В9. Водитель проехал первые 40% пути со скоростью, на 20%
меньшей запланированной. На сколько процентов он должен
увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке
пути, чтобы в итоге весь путь был пройден на 20% быстрее, чем
планировалось?
В10. Высота прямоугольного параллелепипеда в два раза больше
ширины основания и в полтора раза больше его длины. Рас¬
стояние между серединами двух непараллельных ребер, принад¬
лежащих разным основаниям, равно 13. Найдите площадь боко¬
вой поверхности призмы.
В11. В параллелограмме ABCD со стороной AD - 20 проведена бис¬
сектриса АР. Найдите периметр получившейся трапеции APCD, если
известно, что ее средняя линия равна 11, а диагональ PD - 8\/5.
^ тт „ \/40а-3
С1. Найдите все значения а, для которых число ■; :
|2а + 11| + 2а + 11
не больше числа —-—.
3 - 40а
С2. Решите уравнение д/(8-2х)2 + V4х - 34 • 2х + 64 = 2х - 8.
Часть 3
СЗ. Найдите все отрицательные значения х, при каждом из кото-
r I) , -4f~ 1
х — — 5 и у — х
рых графики функций у ■
2х- —
V X
лежат ниже, чем график функции у- -3.
С4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной
S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на ребре SC,
причем SF'FC = 1:4. Найдите квадрат котангенса угла между пря¬
мой В Г и плоскостью ACF.
532
С5. Найдите все значения параметра а, при которых каждое из
уравнений -г^-г = 2-|х| и sin[ Ш ] = (2 + Vfl-3)x-14 имеет
\ах\ ух + 5у
хотя бы одно решение и при этом число решений одного из этих
уравнений отличается от числа решений другого на положитель¬
ное целое число а-3. Решите второе уравнение при наимень¬
шем из этих а.
Вариант 233 (2006 г.)
Часть 1
А1. Вычислите: л/48-27 .
1) 36; 2) 18; 3) 6; 4) 12.
2 4
А2. Представьте в виде степени выражение 53 -53.
8 8
1) 259 ; 2) 59 ; 3) 252; 4) 52.
АЗ. Найдите значение выражения —
,21оё210
1) 10; 2) 5; 3) log2 10; 4) 20.
А4. Укажите множество значений функции, график которой
изображен на рисунке.
1) [-3; 7);
2) [-3; -2] U [2; 5];
3) [-4; 3];
4) [-4; — 1) U (—1; 3].
А5. Найдите область определения функции /(x)=log05|2x-x2
1) (0; 2); 2) (-оо; 0) U (2; +оо);
3) [0; 2]; 4) (-«; 0] U [2; +оо)
533
А6. Укажите наибольшее зна¬
чение функции у = 1 - cos Зх .
1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.
А7. На рисунке изображены
графики функций у = f(x) и
у = g(x), заданных на проме¬
жутке [-3; б]. Найдите все
значения х, для которых выпол¬
няется неравенство Дх) < Дх).
1) [-3; -1] U [1; 6]; 2) [-1; 1]; 3) [-3; -2] U [2; б];4) [-2; 2].
А8. Решите уравнение sin3x
2 '
л
л
ueZ; 2)
, л
2л
—+
— и,
i h
п,
п е Z ;
9
3
18
3
л
л
и е Z ; 4)
2л
—
— п
±—+
—и,
и е Z.
18
3
9
3
Г1
лЗж-7
3) (-1)"
А9. Решите неравенство — > 0,04 .
1) (—оо; 3); 2) Г-оо; -1; 3) (3; +оо); 4) —оо;
V
А10. Укажите абсциссу точки графика функции /(х) = 5 + 4х - х2,
в которой угловой коэффициент касательной равен нулю.
1) 0; 2) 2; 3) -2; 4) 5.
3sin
(
л
—ha
л
В1. Найдите значение выражения -- , если а =
2cos(л - а)
В2. Решите уравнение V2х + 37 =х + \.
ВЗ. Решите уравнение logj 6 (5х + 8) - logj 6 3 = logj 6 7 .
7л
4 '
Часть 2
6
В4. Вычислите |з,4 ^2575 +1,6^5^25 j 11
534
В5. Функция у-fix) оп¬
ределена на промежутке
(-3; 7). На рисунке изо¬
бражен график ее производ¬
ной. Найдите точку х0, в
которой функция у- f{x)
принимает наибольшее
значение.
В6. Найдите наибольшее
значение функции
г* -7 3
у = 2,7 -е
на отрезке [1; 3].
В7. Решите уравнение 0,2Х+1 = \/35 + 5х . В ответе запишите ко¬
рень уравнения или сумму корней, если их несколько.
В8. Нечетная функция у — fix) определена на всей числовой
прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х
значение этой функции совпадает со значением функции
g(x) = x(2x + l)(x - 2)(х- 3). Сколько корней имеет уравнение
/ (х) - 0 ?
В9. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По
истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е.
начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид
вклада был открыт счет в 50 000 руб., который не пополнялся и
с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был
получен по истечении этого срока?
В10. Основанием прямой призмы ABCDA\B\ С)D\ является пря¬
моугольник ABCD, стороны которого равны 6\/5 и \2\fb . Высо¬
та призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину
Di и середины ребер AD и CD. Найдите косинус угла между
плоскостью основания и плоскостью сечения.
В11. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю
линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус
угла В А С равен
3
синус угла ABD равен —.
С1. Решите уравнение 4 cos х ctg х + 4 ctg х + sin х = 0 .
С2. При каких значениях х соответственные значения функций
/(х) = log2 х и g(x) = log2 (3 - х) будут отличаться меньше чем на 1?
535
Часть 3
СЗ. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом
1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное
основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя
стенка — в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не
вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Опреде¬
лите размеры подставки, при которых общая длина сварочного
шва будет наименьшей.
С4. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в
котором ZABC = 90°, АВ = 3, ВС = 4. Ребро ^перпендикуляр¬
но плоскости АВС и равно 4. Отрезки AM и ЛЬ являются соот¬
ветственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем
пирамиды AMLC.
С5. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую про¬
грессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии яв¬
ляются решениями неравенства log0 5х_х log4 ——— ] > 0 , а ос¬
’ ^ )
тальные не являются решениями этого неравенства. Найдите мно¬
жество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.
Вариант 234 (2006 г.)
Часть 1
1,5 . r\i~i 11,5
а +21 о
А1. Найдите значение выражения ... ...
а-Ъа'2Ъх'2 +9Ь
а = 9, 6 = 16.
1) 7; 2) 11; 3) 13; 4) 1.
А2. Упростите л]а6 -Ь4, если а < 0, b > 0.
2_
1) -а2 -Ь3; 2) а3-Ь2- 3) -а3-Ъ2; 4) -a3-yfb .
-2 Ъ1'2
если
АЗ. Вычислите log0 25 0,64 + log0 510.
1) -3; 2) -2; 3) 3 ; 4) 2. ’
А4. Функция у- /(х) задана графиком.
Укажите функцию, график которой изо¬
бражен на рисунке.
1) у - 2~х ; 2) у = 2х-1-1;
к
1
1
/
/
£
у
V
1
3) у = log2 (х -1); 4) y = log0;5(x-l).
536
6/ 2
А5. Найдите область определения функции у = у 64-2х .
1) [-2; 2]; 2) 2yfl] ; 3) [-2^2; 2^2] ; 4) [0; 2].
А6. Найдите сумму целых значений
функции у - 5-2sin4 2х.
1) 7; 2) 12; 3) 13; 4) 14.
А7. Функция у- fix) задана графиче¬
ски на промежутке [-4; 4]. Укажите ко¬
личество целых решений неравенства
т> 2.
1) 0 ; 2) 1; 3) 2; 4) 7.
А8. Найдите корень или сумму корней (если их несколько)
уравнения V3-х-х2 = 1.
1) 1; 2) -2; 3) -1; 4) 3 .
А9. Решите неравенство 104х~5 >-0,1.
1) (-оо; +оо); 2) (-1; +оо); 3) (-оо; 1) ; 4) (1; +оо).
А10. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
2 4
графику функции /(х) = 9 - 5х - 7х +х в его точке с абсциссой
х0 = —1.
1) 6; 2) -11; 3) 5 ; 4) 22.
В1. Найдите значение выражения 2-ctg2a, если tg a-tga-2 = 0
п
и -п< a < —.
2
В2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения V7x +1 - у/Зх + 1 = 2.
ВЗ. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения logj (х +15)4 =16 log3 (х + 15).
Часть 2
В4. Вычислите л/(Зл/2-5)2 +V43 + 30V2.
В5. Функция у-f\x) определена на промежутке [-6; 3]. На
рисунке изображен график ее производной. Найдите длину про¬
межутка убывания этой функции.
’к
к
-1
0
1
V
-1
537
В6. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значе-
3 2
ний функции у- 3х ~3х ~9х на отрезке [-1,5; 0].
В7. Найдите число корней уравнения
л/30 - х - х2 • (2sin2 х + cos2 2x-l) = 0.
В8. Нечетная функция г = fix) определена на всей числовой
прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента х
значение этой функции на 9 меньше, чем значение функции
g(x) = (х2 - 5х - з) . Найдите число корней уравнения /(х) = 0.
В9. Женя ехал на велосипеде на восток со скоростью 8 км/ч и
проехал пересечение дорог в II00. Через некоторое время этот
же перекресток в направлении на север проехал на мопеде Вася.
Определите, через сколько минут после Жени проехал перекре¬
сток Вася, если в 1530 расстояние между ними составило 39 км,
а в 1630 — 55 км.
В10. Определите объем правильной треугольной пирамиды с
боковым ребром 2л/б, если радиус описанной вокруг боковой
грани окружности равен 0,8n/15.
В11. В параллелограмме ABCD со стороной AD - 25 проведена
биссектриса угла А, проходящая через точку Р на стороне ВС.
Найдите периметр трапеции APCD, если ее средняя линия равна
15, а диагональ АС - 5-у/46.
С1. Решите уравнение |sinx-cosx| = cos2x.
С2. Решите неравенство >]х- 4 > 10-х.
538
Часть 3
СЗ. В прямом круговом конусе разность длин образующей и вы¬
соты равна 1. Найдите значения, которые может принимать ра¬
диус шара, описанного вокруг конуса.
С4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\ С) D\ с длина¬
ми сторон AD = 12, АВ = 5, АА\ = 9 отмечена точка Мна ребре
АА\, N на ребре AD и L на ребре BiC\. Известно, что AM = 6,
AN ND
LC\ = 7 и = . Найдите объем пирамиды MNLQ.
ND AD
С5. Семь чисел образуют убывающую арифметическую прогрес¬
сию с разностью d. Первый, второй и шестой члены этой про¬
грессии являются решениями неравенства log4_х(16 - х) < 2, а
остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите
множество всех возможных значений разности этой прогрессии.
Вариант 235 (2006 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения
если х = 1,25.
1) лУТз"; 2) -0,75; 3) -1,5; 4) 1.
; + 0,25-Vx + 2,
4-vx + 2-12
п 43/4-^/25
А2. Упростите выражение —,, —.
ЩШ
2_ _1 Л _А_ I __L I _А_
1) 212 • 5 5 ; 2) 2 2-5 10 ; 3) 22 • 5 10 ; 4) 25 • 5 10 .
log4 81-log15 2,25
АЗ. Найдите значение выражения : .
log4 3
1) 6; 2) 8; 3) 9; 4) 12.
А4. Функция y = f(x) задана графиком. Укажите множество
значений этой функции.
1) [-6; 0]; 2) [-6; 8]; 3) [0; 2) U (2; 5]; 4) [0; 5].
539
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.
(i Y
А6. Найдите множество значений функции у-9-1 — 1 .
1) (-оо; 9]; 2) (-оо; 9); 3) [0; 9); 4) (0; +оо).
А7. Функция у = /(х) задана графически на промежутке [-7; 4].
Укажите те значения аргумента, при которых выполнено нера¬
венство /(х)>1.
1) [-7; 0); 2) (-7; 0) U (0; 3); 3) (-7; 4); 4) [-7; 3).
А8. Решите уравнение sin2xcos2x + 0,5 = 0.
1) —— + пп, n<=Z; 2) (-1)" — + пп, n<=Z;
4 v ' 4
3) 1-27in, «eZ ; 4) 1 , «eZ .
4 8 2
A9. Решите неравенство log2 (2 - x) < 3.
1) (—oo; -6]; 2) [-6; 2); 3) (2; 6]; 4) [-6; +oo).
A10. Точка движется по прямой, причем пройденный путь опре¬
деляется формулой S(t)-2\-2t + t4. Найдите ее скорость в мо¬
мент времени t = 3.
1) 25; 2) 29; 3) 50; 4) 106.
540
В1. Вычислите:
17
'll
\4
+ -
B2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения log6 (2х + 42) - log6 (х - 9) = log6 х.
ВЗ. Найдите корень (или произведение корней, если их не-
VI О
х~ -4х-21 = 21 + 4х-х".
Часть 2
_ . тт „ 1 а , .
В4. Найдите значение выражения , если tg— = 1,5.
cos а 2
В5. Функция у-f(x) определена на промежутке (—4; 3). На
рисунке изображен график ее производной. Найдите точку а, в
которой функция у- f{x) принимает наибольшее значение.
В6. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значе¬
ний функции y = 3-2C0S x~3sm х+3.
В7. Найдите положительный корень (или сумму таких корней,
. ТХХ — Л . Y—"2 ^
если их несколько) уравнения cos = 3 5 -4 5 .
' ’ ” х +15
В8. Найдите значение функции /(19), если известно, что функ¬
ция у-f{x) — четная, имеет период 10 и на отрезке [0; 5]
9
функция имеет вид г-15 • 2х х".
В9. В емкости смешали а килограммов 6%-ного раствора соли и
b килограммов 20%-ного раствора соли. Полученный раствор
обладает следующим свойством. При смешивании его с одним
килограммом 6%-ного раствора получается 10%-ный раствор, а
при смешивании с одним килограммом 20%-ного раствора по¬
лучается 18%-ный раствор. Определите величину Ь-а.
541
В10. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы на
12,5% меньше ее стороны основания. Расстояние между середи¬
нами двух непараллельных ребер, принадлежащих разным осно¬
ваниям, равно 9. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
В11. Точки касания пятиугольника делят окружность, вокруг ко¬
торой он описан, на части, длины которых пропорциональны
числам: 1, 2, 2, 2, 5. Найдите площадь этого пятиугольника, если
известно, что длина радиуса вписанной окружности является
наименьшим положительным корнем уравнения г4 - 8г2 +13 = 0.
С1. Решите уравнение 22*2 -17-2х2~х+2 + 28~2х =0.
С2. Найдите все значения а, для которых число
л/28 - 5а
|4а-5| + 4а-5
больше числа ———.
5а -28
Часть 3
СЗ. В прямом круговом конусе сумма длин образующей и радиу¬
са основания равна 10. Найдите значения, которые может при¬
нимать площадь поверхности шара, вписанного в конус.
С4. В кубе ABCDA\B\ С) D\ со стороной 8 на ребрах АА\, ВВ\, DD\
заданы соответственно точка М, N, L, причем AM — 7, BN — 6,
DL — 6. Секущая плоскость проходит через точки М, N, L и делит
куб на два многогранника. Найдите наибольший из объемов этих
многогранников.
С5. Найдите те значения параметра а, при которых число целых
решений неравенства ||х - 2\ - 2х| < а(х + 4) не менее 1 и не более 4.
Вариант 236 (2006 г.)
Часть 1
А1. Если /(х) = ^ , то /4 (х) - х + 3 приводится к виду
\/х + 3
-1 1 9
1) ; 2) 3 ; 3) ; 4)
х+3' ' ' ' х+3' ' х+3
А2. Вычислите: \/510 -З7 • л/з2,5 -5.
1) 64; 2) 15; 3) 225; 4) 15-^25.
АЗ. Вычислите: l,2-log60,36-0,8-log60,216.
542
1) -1; 2) 0; 3) 1; 4) log610.
A4. Функция y-f(x) задана
на промежутке [—6; 8]. Укажите
число промежутков знакопо¬
стоянства этой функции.
1) 3; 2) 5; 3) 7; 4) 9.
А5. Укажите число целых
значений из области опреде¬
ления функции у = log , j (l7 -
1) 5; 2) 8; 3) 9; 4) 32.
А6. Найдите наименьшее целое зна¬
чение функции
v = 25х -5Х+1 +4,25.
1) -1; 2) -2; 3) -3; 4) -4.
А7. Функция у - /(л ) определена
графиком. Найдите число целых
решений двойного неравенства
4 > / (г) > 1. '
1) 1; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) 4.
А8. Найдите корень или сумму корней (если их несколько)
уравнения \3Х^ -27 =0.
1) 1; 2) -2; 3) 3; 4) -4.
А9. Решите неравенство log05(x-3)>-l.
1) (—со; 5]; 2) (3; 5]; 3) (-<х>;5); 4) [5; +оо).
А10. Точка движется по прямой, причем пройденный путь опреде-
t3 , ' * "
ляется формулой s(t) = — - 21 + 4/ + 8. Найдите длину промежутка
времени, в течение которого ее скорость не будет превосходить 1.
1) 1; 2) —2; 3) 3; 4) 4. ‘ '
В1. Найдите значение выражения
tg arcsm-
В2. Найдите корень (или сумму корней, если их
уравнения Зх +1 + л/] 1х2 - 4х - 27 =0.
ВЗ. Найдите корень (или сумму корней, если их
уравнения log^ х1 -16 log2 8х - 60.
несколько)
несколько)
543
Часть 2
В4. Вычислите 15 • log6 (з 1 - - 5>/2 • ^95 + 30л/10 • ^625
В5. На рисунке изображен гра¬
фик производной функции
у- fix), заданной на проме¬
жутке (—5; 5). Исследуйте функ¬
цию у - /(х) на монотонность
и укажите число ее проме¬
жутков убывания.
их
В6. Найдите значение а, при котором функция v = — нмеет
" ‘ ~' ' 55Ъх~
минимум в точке х = 3.
В7. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения 4• 2,57~х =21 + -у/Зх+7.
В8. Найдите значение функции
V := 2/(-а) • (/(а) - 4 g(-a) + (g(~a))2,
если известно, что функция v = /(x) — четная, функция
у - g(x) — нечетная, /(а) -1, g(a) - -2.
В9. Из сосуда, доверху наполненного 88%-ным раствором кис¬
лоты, отлили 2,5 л жидкости и долили 2,5 л 60%-ного раствора
этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-ный раст¬
вор кислоты. Найдите вместимость сосуда в литрах.
В10. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с
апофемой, равной л/Го, если ее боковое ребро составляет с
плоскостью основания угол 30°.
В11, В прямоугольном треугольнике АВС с катетами А В и АС про¬
ведена биссектриса CD. Найдите длину стороны АС, если площадь
треугольника BCD равна 24,375, а тангенс угла ADC равен 5.
С1. Решите уравнение 4tgx + 3|tgx| = sin2x.
С2. Решите неравенство V23-х >11 х.
Часть 3
СЗ. Найдите значения, которые может принимать сумма квадра¬
тов действительных, различных корней уравнения
х2 + 3ах + 3а2 - За -15 = 0.
544
С4. Основанием прямой призмы ABCDA\ В\ C\D\ является равно¬
бедренный треугольник со сторонами 1 и 3 и вершиной А. Вы¬
сота призмы равна
5
В призме проведены два сечения. Одно
из них проходит через ребро АС и вершину В\, а другое — через
ребро CQ и биссектрису угла С треугольника АВС. Найдите
длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения
|х2-4х| = ах и р г -ах имеют корни, причем число кор-
2 —|х —1|
ней в этих уравнениях одинаковое.
Вариант 237(2007 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения 46р ■ 4 чр при р
-4 р
1) 1; 2) 2; 3) 32; 4) 4.
А2. Упростите выражение
6 • y/l
^/54-л/16
1) 1,2; 2)
1/250
; 3) 2,4; 4) l/l.
АЗ. Найдите значение выражения log4(64c), если log4c= -3,5.
1) -6,5; 2) -0,5; 3) -10,5; 4) -67,5.
А4. На одном из следующих рисунков изображен график нечет¬
ной функции. Укажите этот рисунок.
1)
545
3)
А5. Найдите производную функции у = (x-3)cosx .
1) у'-cosx + (x-3)sinx; 2) у' - (х-3)sinx-cosx ;
3) у'-cosx-(x-3)sinx;
4) у' — - sinx .
А6. Укажите множество зна¬
чений функции у — 2х + 5.
1) (5; + ); 2) (0; + );
3) (- ; +оо); 4) (7; + ).
А7. На рисунке изображены
графики функций у =/(х) и
у = g(x), заданных на
промежутке [—3; 6]. Укажите
множество всех значений х, для которых выполняется неравен¬
ство f (х) > g (х).
1) [—1; 5]; 2) [-3; -2] U [4; 6];
3) [-3; -1] U [5; 6]; 4) [-2; 4].
25
А8. Найдите область определения функции /(х) = -= .
3-у/х
1) [0; 3) и (3; +оо) ; 2) [0; +оо); 3) [0; 8l) U (81; +оо);
4) (—оо; 81) U (81; +оо) .
А9. Решите неравенство logх (7х - 2l) > logх (бх).
2 2
1) (-оо; 21); 2) (3; 21); 3) (3; +оо) ; 4) (21; +оо).
546
А10. Решите уравнение 2 cos
п
-X 1-1 = 0 .
v4
4 4 2
1) ±—ь 8п , п еZ ; 2) —ь8п , и е Z ; 3) ±—ь4п
3 3 3
и е Z;
2 „
4) —ь4 п
3
и е Z.
В1. Решите уравнение 7• 51оВ5Х = х + 21.
В2. Найдите значение выражения 5 sin (л + а) + cos
sin a = 0,5.
—ba , если
2 1
ВЗ. Решите уравнение х2^]х-\ - 4^]х- \ - 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запиши¬
те сумму всех его корней.)
Часть 2
В4. Найдите значение выражения 2х — у , если (х; y'j является
7 • 2х + 6у = 2,
решением системы уравнений <
[2Х+1 - Ъу- 43.
В5. Функция у - f(x) опреде¬
лена на промежутке (-4; 5). На
рисунке изображен график ее
производной. Найдите число
касательных к графику функции
у - /(х), которые наклонены
под углом в 45° к положитель¬
ному направлению оси абсцисс.
В6. Найдите значение выраже¬
ния yjx-2\fx-l + yjx + 2-у/х -1
при х = 1,2007.
В7. Найдите наименьший корень уравнения
log3 (х + l)2 + log3 |х + l| = 6 .
547
В8. Периодическая функция у- f(x) определена для всех дей¬
ствительных чисел. Ее период равен 2 и /(1) = 5. Найдите зна¬
чение выражения 3/(7) - 4/(-3).
В9. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%.
Вкладчик внес в банк 7000 руб. В конце первого года он решил
увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще
на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее
10 000 руб. Какую наименьшую сумму необходимо дополни¬
тельно положить на счет по окончании первого года, чтобы при
той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ
округлите до целых.)
В10. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDAXBXCXDX
равна 8, а сторона основания равна 6\/2 . Найдите расстояние
от вершины А до плоскости AXBD .
В11. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна
320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ
BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.
, , lg-—— -logoi (х+5)
Cl. Найдите значение функции /(х) = 10 Л1 ’ в точке
максимума.
С2. Решите уравнение sin 2х • tg х +1 = 3 sin х.
Часть 3
СЗ. Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству
(2а -l)x2 < (а + l)x + 3a при любом значении параметра а, при¬
надлежащем промежутку (1; 2).
С4. Дана правильная треугольная пирамида со стороной осно¬
вания, равной 2\[l . Центр основания пирамиды является вер¬
шиной конуса, окружность основания которого вписана в боко¬
вую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.
С5. Найдите количество всех решений системы уравнений
у( 1 - х)2 + х3 =0,
' 2х —— = 5 log32(0,125y2) - 7.
х logy 2
548
Вариант 238 (2008 г.)
Часть 1
з f j_V
А1. Выполните действия 6с7 +4 с1
V J
3 6 6 3
1) 70с7 ; 2) 70с1 ; 3) Юс7 ; 4) Юс7 .
А2. Найдите значение выражения 4 • 31оВз 5.
1) log3 20 ; 2) 625 ; 3) 121og3 5 ; 4) 20 .
АЗ. Вычислите:
j/m
3^7 '
1) 1; 2) 1; 3) 9; 4) 27 .
А4. На одном из рисунков изображен график четной функции.
Укажите этот рисунок.
1)
3)
2)
4)
А5. Найдите производную функции у = х6 — 4 sin х
549
Jv
1) у' = 6x5 + 4 cmx; 2) y' = 6x5-4cosx; 3) y' = 4r + 4cosx;
4)y' = xs -4cosx.
A6. Найдите множество значений функции у = 1,5 + log2 5 х»
1) (-®;+®); 2) (0;+оо); 3) (1,5;+оо); 4) (-оо; 1,5).
А7. Решите уравнение cos 2 х - 1.
1) —I- ли, neZ; 2) ли. neZ; 3) —, neZ; 4) — + —, neZ.
4 2 42
А8. Решите неравенство у' log (x -3) > 1.
1) (-®;7); 2) (-®; 4); 3) ( 3: 4): 4) (-3; 7).
А9. На рисунке изображены
графики функций у = /(х) и
у = g(x), заданных на проме¬
жутке [—3; 6]. Укажите те зна¬
чения х, для которых выполня¬
ется неравенство /(х) > g(x).
1) [-1; 2]; 2) [-3; 3] U|5; 6];
3) [-3; 2]; 4) [-3; -1] U[2; 6].
А10. Найдите область определения функции у =
1) (0,5;+®); 2) ( /;().5|; 3) [0,5;+®); 4) [2;+®).
В1. Найдите значение выражения 3sin2a-7cos2a, если
cos a = -0,1.
В2. Решите уравнение 7Х+1 - 5 • 7х = 98.
ВЗ. Решите уравнение \/2х2 -х-6 = -х.
Часть 2
В4. Вычислите значение выражения
, . л . . л . . 5л
log2 sin — + log2 sill - + log2 sin—.
12 6 12
550
В5. Прямая, проходящая через начало координат, является каса¬
тельной к графику функции у = /(х) в точке А(-1\ 14). Найдите
В6. Найдите количество целочисленных решений неравенства
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов
запишите сумму всех его корней.)
В8. Функция у = /(х) определена на всей числовой прямой и
является четной периодической функцией с периодом, равным
6. На отрезке [0; 3] функция задана формулой /(х) = 2 + 2х-х2.
Определите количество нулей этой функции на отрезке [—5; 4].
В9. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на
продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число про¬
центов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов
каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выстав¬
ленный на продажу за 4000 руб., после двух снижений он был
продан за 2250 руб.
В10. Основание прямой треугольной призмы ABCA\BiC\ — пра¬
вильный треугольник АВС, сторона которого равна 8л/3. На
ребре ВВ\ отмечена точка Р так, что ВР : РВ\ = 3:5. Найдите
тангенс угла между плоскостями АВС и АСР, если расстояние
между прямыми ВС и А\ С) равно 16.
*В11. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32%/3.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если
точки М, Р и К — середины сторон АВ, CD, ЕР соответственно.
С1. Найдите наибольшее значение функции
Я-7).
6х - 5х - х2 > 0, удовлетворяющих условию 1 + tg2 Щ- > 0.
В7. Решите уравнение
/(х) = Vl — х2 -2 + %/1 - х2 + х3 -Зх2.
С2. Решите уравнение log, 4у. (9 - 16х4) = 2 +
1
log2(3-4x2)'
551
Часть 3
СЗ. Найдите все значения а, для которых при каждом х из про¬
межутка (—3; —1] значение выражения х4 -8х2 -2 не равно зна¬
чению выражения ах2.
С4. Отрезок PN — диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так,
что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между
прямой NT и плоскостью PMN, если Т — середина ребра ML.
С5. Решите уравнение f(g(x)) + g(3 + fix)) = 30, если известно, что
25, х>4;
9
/(х) = 0,5х - 4х + 5 и g(x) =
2х +-
х < 4.
5-х
Вариант 239 (2008 г.)
Часть 1
А1. Упростите выражение у1 iLV°.
1) if#; 2) ll10#; 3) ll75#0; 4) ll20#5.
A2. Найдите значение выражения 43" • 4 5"
при
1) i* 2) 2; 3) 3; 4) 4.
4
АЗ. Вычислите: logj у^- + log, 250.
1) 25; 2) 2; 3) 5; 4) -2.
А4. Найдите производную функции >’ = 3 cos х + х2.
1) у' = З.ап х-2х; 2) у' = 4х-sin г,
3) / = 2x-3sinx; 4) у' = 4х2 + 2 cos х.
А5. На одном из следующих рисунков изображен график нечет¬
ной функции. Укажите этот рисунок.
552
3)
4)
А6. Решите неравенство
1) (-0,5; + <»); 2) (-со; -0,5); 3) [-1,5; +«); 4) [-0,5; +«).
А7. Найдите наибольшее целое значение функции у = 6,5sinх.
1) 1; 2) 6; 3) 7; 4) 0.
А8. На рисунке изображен график
функции y = f(x), заданной на отрез¬
ке [—4; 7]. Укажите те значения х, для
которых выполняется неравенство
fix) < -2.
1) [0; 2]; 2) [-4; -2]; 3) [-4; 0] U[2; 7];
4) [-3; -2].
А9. Найдите область определения функции /(х) = log0,2 (7х - х2).
1) (-*; 0)11(7; +«); 2) (0; +«>); 3) (0; 7); 4) (-«; -7)11(0; +<*>).
А10. Решите уравнение cos2x =
1) ±- + 1ш, «eZ; 2) (-1) , neZ; 3) ±—+ тш, fleZ;
о 6 2 12
4) ±— + 2л«, «eZ.
6
В1. Решите уравнение 81 • 93* + х ■ 93* = 0.
В2. Найдите значение выражения 3sin2 а -7 cos2 а, если cos а = -0,1.
ВЗ. Решите уравнение V4х2 -27 = -х.
553
Часть 2
В4. Вычислите значение выражения
. . 71 . . ЗтГ
log2 sm— + log2 sm—.
B5. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика
функции у - ф(х) в точке Z)(-4; 6). Найдите <р'(-4).
В6. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
4 + Зх - х2
. 2 лх .
ctg2y + 4
>0?
В7. Решите уравнение
л/2- cos 15 их) (■-J2+- cos 15 тот)
4 + (10x + l)2.
B8. Функция у - h(x) определена на всей числовой прямой и являет¬
ся четной периодической функцией с периодом, равным 8. На отрез¬
ке [0; 4] функция у - h(x) задана равенством h(x) - х2 - 4х + 1. Оп¬
ределите количество нулей функции у - h(x) на отрезке [—7; 4].
В9. Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 ч.
Производительности труда первого и второго каменщиков относятся
как 1 : 3. Каменщики договорились работать поочередно. Сколько
времени должен проработать первый каменщик, чтобы это задание
было выполнено за 20 ч?
В10. Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 6. Отрезки
АВ и CD — диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА\ —
его образующая. Известно, что ВС = 6%/2. Найдите синус угла между
прямыми А\С и BD.
В11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ
равна 2л/3 , а средняя линия равна 4.
С1. Найдите наибольшее значение функции
/(*) =
л/4 — х2 -3 +\[а~^
2 3
х +х
4,5х2.
С2. Найдите абсциссы всех точек пересечения графиков функций
у = log2 х + 3log2 X и у = Ц=.
logx л/2
554
Часть 3
СЗ. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежут¬
ка [1; 2) значение выражения х4 -х1 не равно значению выраже¬
ния ах2.
С4. В пирамиде FABC грани ABF и ЛВС перпендикулярны,
FB : FA = 20 : 7. Тангенс утла между прямой ВС и плоскостью А В Г
равен 3. Точка М выбрана на ребре ВС так, что ВМ : МС =1:3. Точ¬
ка Тлежит на прямой AFи равноудалена от точек Ми В. Объем пи¬
рамиды АВМТ равен 16. Центр сферы, описанной около пирамиды
FABC, лежит на ребре А В. Найдите площадь этой сферы.
С5. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа
а-[а- 2 - 5 и 2а2 + 24\1а - 2 - а3 -131 являются решениями неравен¬
ства log,, ,2(logs(2а'2 - 41а' + 200))> 0.
Вариант 240 (2008 г.)
Часть 1
А1. Найдите значение х + у, если равенство . = ахЬу.
5/ -18 / 6 т15
\а V а Ь
выполнено для всех положительных а и Ь.
1) 0; 2) 2; 3) -3; 4) -4.
А2. Найдите значение выражения
b = 25.
<Р + W'5
a-2al/2bl/2+4Ь
3Ь1/2, если а = 4,
1) 2; 2) -2; 3) 3; 4) -3.
АЗ. Выразите величину log24 6,75«i через значения а и /;, если
log,, 2 = а и log,, 3 = b.
4Ь-Ъа ЪЬ-2а ЪЬ 2а .. 4Ь-2а
; 2) ; 3) ; 4) .
а + 2Ь Ъа + b а + 2Ь Ъа + Ь
А4. Функция у = f(x) задана гра¬
фиком, Укажите множество значе¬
ний этой функции.
1) [-5; 4]; 2) [-5; 5]; 3) [-2; 0) 11(0; 2|:
4) [-2; 2].
555
А5. Найдите значение производной функции у
х0 = -3.
1) 7; 2) -5; 3) 1; 4) 13.
в точке
4-г - 27
л:
А6. Найдите множество значений функции у = 8 2 4х х
1) (0; 32]; 2) (0; 64]; 3) [0; 32]; 4) (-«; +«).
А7. Функция у - fix) опреде¬
лена графиком. Найдите чис¬
ло целых решений неравен¬
ства f(x) > 2.
1) 9; 2) 7; 3) 5; 4) 3.
А8. Найдите сумму всех це¬
лых чисел, входящих в об¬
ласть определения функции
У‘
L
-
> А
2
1
\
9
у
8
1
( (
у = 111
lg
6
:_1!
1) 10; 2) 12; 3) 14; 4) 16.
А9. Найдите решение неравенства
х2(х + 6)
<0.
(3-х)2
1) (-oo;-6]U[0; 3); 2) [-6; 3]; 3) [-6; 0]U(3;+«); 4) (-«э;-6] U{0}.
А10. Найдите сумму корней уравнения (х2 -16)4 ■ f-4x - 5 =0.
1) -5,25; 2) 4; 3) 2,75; 4) -1,25.
В1. Найдите наименьший корень уравнения tg^^-tg—= 0, лежа¬
щий на интервале (—21; 0).
В2. Найдите значение выражения
tg249° — tg211°
1 -tg249°tg2ll°
• tg52°
ВЗ. Найдите корень (или произведение корней, если их несколько)
уравнения л/х3 - 5х2 - 9х + 45 = 5х2 - х3 + 9х - 45.
V
556
Часть 2
В4. Найдите сумму всех значений переменных, являющихся решени¬
ем (или решениями, если их несколько) системы
[Зх - 8у - 24 = у]4у2 -12ху + 9х2,
2.6х у 1,2 0.
В5. На рисунке изображен гра¬
фик производной функции
у - fix). Найдите число точек
экстремума этой функции.
В6. Найти значение выражения
logo,2
*т)
3V
^7 — 2л/
ц
lOgo,2
:«т)
' Зл/7-2л/ГЗ
+
9-
arccos (-0,3)
л
2
arccos ( 0,3) ^
В7. Найдите число корней уравнения fcos4rcx-l - 15х + 4х2 - 4х3.
В8. Найдите наименьший, положительный период функции
г, ч . лх лх
fix) = sm— + tg—.
4 6
В9. Известно, что произведешге суммы цифр двузначного числа на
разность этих цифр равно 48. Найдите это двузначное число (или
сумму таких двузначных чисел, если их несколько).
В10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\ С) D\ заданы длины
12
сторон А В = 5, ВС = 12, ВВ\ = 1 —. Найдите площадь сечения па-
раллепипеда плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей
прямую В А |.
В11. В треугольнике АВС вписана окружность радиуса 2, которая де¬
лит отрезок АС на части с длинами 5 и 4. Найдите площадь треуголь¬
ника АВС.
557
Cl. Найдите наименьшее целое значение функции
у = 2-(V4x + 19 -л/2х-3).
С2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
2,6 1,6
log
fl
х - Зх - 4
х + 9
л
- -2 log
ГГ I
^{х-4 х + 1
Часть 3
-6.
СЗ. Найдите длину промежутка значений параметра а или сумму
длин таких промежутков, если их несколько, при которых в решении
, ax-43 „ г
неравенства 5 > 0 есть хотя бы одно натуральное трехзнач-
х
ное число, но нет ни одного натурального четырехзначного числа.
С4. Основанием пирамиды FABC является равнобедренный тре¬
угольник АВС, — в котором АВ = АС = 3, sin ABAC = -jJ-—.
v5 -1
Ребро Hi7 перпендикулярно ABC и равно 7 + Зл/5. Точки L, М и
К расположены соответственно на ребрах FC, АС и AF, а точка
Р лежит на ребре АВ. При этом
CL LF AM МС FN _ NA
LF CF ’ МС ~ АС ’ NA ~ FA
и
BP PF
. Найдите объем пирамиды LMNP.
PF BF
С5. Найдите число решений системы уравнений
^ 20cosx , 10у _
ху + 6cosx + = Зу+—— + 2xcosx,
X X
х+,у, 6 + 6 logo,5y 2 = (х + у) logo,5y 2.
Вариант 241 (2008 г.)
Часть 1
А1. Упростите выражение (а1,3 - а0,45)12.
1) а23'5; 2) а3-5; 3) а13'75; 4) а21.
558
а °-75 -1
А2. Найдите значение выражения —-т — , если а = 16.
а ’ +а ’ +1
1) 0,5; 2) -0,5; 3) -0,75; 4) 0,75.
к
АЗ. Найдите значение log, 3/с, если log3 — = 13.
1) -13; 2) 13; 3) 16; 4) 19.
А4. Функция у = /(х) задана гра¬
фиком. Укажите соотношение,
которое определяет заданное мно¬
жество на рисунке.
1) х2 - у2 = 0; 2) х2 + у2 = 0;
3) х2 - у2 = 4; 4) х2 - у2 = 1.
А5. Найдите значение производной
4-х
функции у = в точке х0 =-2.
3 + х
1) 1; 2) -4; 3) 7; 4) -7.
А6. Найдите наибольшее целое значение функции у = 2 - cos 2х.
1) 0; 2)1; 3)2; 4) 3.
А7. Функция y = f(x) определена
графиком. Найдите решение неравен¬
ства /(х)<0.
1) (-5; -1); 2) (0; 5); 3) (-2; 1);
4) (-1; 1).
А8. Найдите сумму всех целых чисел,
входящих в область определения
функции y = lg(3x + 5-|x2 -5|).
1) 6; 2) 10; 3) 15; 4) 20.
А9. Найдите сумму целых решений неравенства |1 — 5х| — |х — 2| < 3
на отрезке [—3; 3].
1) -2; 2) -1; 3) 0; 4) 1.
6 з
А10. Найдите число корней уравнения х5 - 26х5 - 27 = 0.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 0.
559
В1. Найдите 2• tg.v„, где xo — наибольший, отрицательный ко¬
рень уравнения 11 cos 2х - 3 sin 2х + 9 = 0.
log57
В2. Найдите значение выражения 16log54 + lg(log5 243-log3 25).
ВЗ. Найдите число действительных значений х, лежащих на от¬
резке [0; 10] и обладающих тем свойством, что числа
sin.v. sin 2.v. sin3x являются тремя последовательными членами
арифметической прогрессии.
Часть 2
В4. Найдите произведение координат всех точек (х; у) на плос¬
кости, для которых выполнено условие
yjy-x2 + |у2 - Зх2 - 12х - у - 9| = 0.
В5. На рисунке изображен гра¬
фик производной функции
у - f(x). В ответе укажите ко¬
личество промежутков возрас¬
тания этой функции.
В6. Найдите значение выраже-
/1 1 л
ния
(jlog43 _|_g-^log]39
_ y-log5!7
V
/
В7. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
cos4(х4 - 6х3 + х2 - 7х + 6) = 1 + logj л1х2 -5х-5.
В8. Найдите наименьший, положительный период функции
/» / \ > Lv'V , IЦ/V
fix) cos— clg—.
B9. В 915 в северном направлении вышел пешеход, скорость ко¬
торого составила 4 км/ч. Через некоторое время из того же
пункта на запад вышел другой пешеход. Определите, через какое
количество минут после выхода первого пешехода вышел второй
пешеход, если в II30 расстояние между пешеходами было 9,75
км, а в 1300 — 18,75 км.
560
В10. Основание прямой призмы является ромб, причем площа¬
ди диагональных сечений равны 9,6 и 4. Найдите площадь боко¬
вой поверхности призмы.
В11. Найдите площадь фигуры, координаты всех точек которой
удовлетворяют условию |х + 5| + |у - 4| < 9.
С1. Найдите в точке экстремума функции
log4
У = 4
х3-3х2-9х+31
~4
—logo,25 (х2 —4)
значение этой функции (или сумму со¬
ответствующих значений функции, если у нее несколько точек
экстремума).
С2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
у 1 - 2cos2 ■ ((Jx + 3 -1) (VI
ЗЗ-х + 7 -х-2 =0.
Часть 3
СЗ. Найдите сумму целых значений параметра а, при которых
множество решений неравенства (|х| + |а-11| — 4)(|х| -|а| +15) >0
содержит все члены некоторой возрастающей арифметической
прогрессии с первым членом, равным — 1, и разностью, меньше
или равной 2.
С4. В параллелепипеде ABCDA\B\ С) D\ длины сторон основания
ABCD равны АВ = 9, AD = 12, причем Z BAD = 45°. Боковое
ребро AAi =14 составляет угол 45° с основанием, отрезок А\В
перпендикулярен основанию. На ребрах АА\, ВВ\, DD\ заданы
соответственно точки М, N, L, причем АМ.= 10, BN = 9, DL = 7.
Секущая плоскость проходит через точки М, N, L и делит па¬
раллелепипед на два многогранника. Найдите наибольший из
объемов этих многогранников.
С5. Найдите ординату точки (или произведение ординат, если
точек несколько) на плоскости, координаты (х; у) которых удов¬
летворяют условиям
х2 - ху = 5х - 2у - 6,
0,5 log;
х3 -4х2 -5х-729
7П
3-log9(2-x).
561
Вариант 242 (2009 г.)
{демонстрационный)
Часть 1
А1. Упростите выражение
10м
Ю0'7 '
1) 0,7; 2) 2; 3) 10°>7; 4) 102.
А2. Вычислите: ^0,064 • 27
1) 0,36; 2) 3,4; 3) 1,2; 4) 0,012.
АЗ. Вычислите: log2400-log225.
1) 8; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
А4. На одном из рисунков изображен график функции у = log2x.
Укажите номер этого рисунка.
у
1
0
1
X
562
А5. Найдите производную функции h (х) = ё* — 4х2.
2) h'(x) = ех - 8х; 3) h\x) = ех - 2х;
1) h'(x) = e' --Х
4 г3’
4) И’(х) = ех - 4х,
А6. Найдите множество значений функции у = 3 cos х.
I) (-*;+»); 2) [-3; 31; 3) [-1; 1]; 4) [0; 3].
Л7. На рисунке показано измене¬
ние уровня воды водохранилища в
течение 12 ч во время паводка.
Как только уровень воды превы¬
сил отметку 10 м, через сливные
отверстия в плотине начали сбра¬
сывать воду до того момента, пока
ее уровень понизился до отметки
10 м. Определите, сколько часов
длился сброс воды.
1) 10; 2) 2; 3) 6; 4) 4.
А8. Решите неравенство Л^+ < 0.
1) [-3; 0)11(0; + °°); 2) [-3; 0); 3) [-3; +«,); 4) Н; -3] U(0; +«>).
VI
А9. Решите уравнение cosx- —= 0.
1) (-1)"-I + 7t«, «eZ; 2) +-I + 2?in, neZ\ 3) -^ + 2nn, neZ;
4) +—+ nn, neZ.
’ 4
A10. Решить неравенство 4Ьх+п >16.
1) Но;-1,5]; 2) [-1,5; + *); 3) [-|; + «); 4) Н;-|].
В1. Найдите cos а, если sina = —,
и 0 < а < —.
2
В2. На рисунке изображен график
функции у = fix) и касательная к
нему в точке с абсциссой х&. Найди¬
те значение производной в точке xq.
563
ВЗ. Для оклейки стен ванной комнаты 2 м
(см. рисунок) нужно приобрести кера¬
мическую плитку, причем плитка по¬
купается с запасом в 10% от оклеивае¬
мой площади. Ширина двери равна
0,75 м, высота — 2 м. Цена плитки
300 руб. за 1 м2. Определите стоимость
плитки, если стены решено оклеить полностью, от пола до потолка.
Часть 2
В4. Решите уравнение 5х + 20 • (л/5)* -125 = 0.
2,5 м
1,9 м
(Если уравнение имеет более одно¬
го корня, то в бланке ответов за¬
пишите их произведение.)
В5. Функция у — f{x) определена
на промежутке (—2; 7). На рисунке
изображен график ее производной.
Укажите точку минимума функции
у = /(х) на промежутке (—2; 7).
В6. Вычислите значение выражения 6log'3 + 100ls7
В7. Функция у — /(х) определена на всей
числовой прямой и является периодической
с периодом 3. На рисунке изображен график
этой функции при —2 < х < 1. Найдите зна-
/(-1)7(9)
чение выражения —-.
/(-2)
В8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
||х| + 5 - о| = 2 имеет ровно 3 корня.
(Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите
их сумму.)
В9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей
скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить го¬
довую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй —
тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую
добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем
добываемой за год нефти не изменился?
564
В10. Концы отрезка МК лежат на окружностях двух оснований
цилиндра. Угол между прямой МК и плоскостью основания ци¬
линдра равен 30°, МК = 8, площадь боковой поверхности ци¬
линдра равна 40л. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.
В11. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус
вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основа¬
ние трапеции.
С1. Найдите наименьшее значение функции
/(*)= ZX,, при |х-5,5| <2,5.
х +16 1 1
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
• ~ -J2 sin4 — ~\J2 cos4 —
Sill Lx 9 9
и — принимают равные значения.
tgx tgx
Часть 3
СЗ. Найдите все значения х > 1, при каждом из которых наи¬
большее из двух чисел а - log, х + 2 logA 32-2 и Ь = 41-log! х2
больше 5.
С4. Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр
которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М.
лежит на ребре АВ так, что НМ : МВ = 1:3. Точка Т лежит на
прямой НЕ и равноудалена от точек М и В. Объем пирамиды
ТВСМ равен
64
Найдите радиус сферы, описанной около пи¬
рамиды FABC.
С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых урав¬
нение (1,5р-7)• 32°-4х+0'2 + (29р-154)• 0,125 3 +11р-41 = 0 имеет
ровно 10р-р2-24 различных корней.
17.2. Решение тестовых заданий группы А
с выбором ответа
Для отработки навыков выполнения заданий с выбором от¬
вета, соответствующих базовому (обязательному) уровню подго¬
565
товки, ниже в вариантах 243, 244 рассматриваются решения
наиболее сложных тестовых заданий, аналогичных заданиям
А1-А10 из приведенных в § 17.1 тестов ЕГЭ.
Варианты1 243, 244 (группа А)
А1. Найдите значение выражения:
1,5
а)
+ 27 Ь15
— 2 Ъ2
а - За2Ь2 + 9Ъ
если а = 9, Ь = 16.
1) 7; 2) 11; 3) 13; 4) 1.
б) (V2-V5)V7 + VlO.
1) -3; 2) 1; 3) 2; 4) 3.
Решение, а) Разложив числитель дроби по формуле суммы ку¬
бов, получим
f \ iV 11 А
1,5 . 1,5
а ’ + 27о ’
■-2 Ъ2 =■
-3 Ъ2
-ЪаЧ2 +9 Ъ
V
i i i i
a-3a2b2 +9b a-3a2b2 +9b
I i i i i i I
= a2 +3b2 -2b2 = a2 +b2 = 92 +162 = 3 + 4 = 7,
и верный ответ № 1.
Ответ: 1.
-2b2 =
а
б) Первый способ. Учитывая, что
>/2 - V? = -^2-y/Jj = —\/2 — 2>/Го +5 = —v/7 — 2>/l0 (перед корнем
ставим знак «минус», так как сам корень четной степени поло¬
жителен, а >/2-75 <0), получим
(72-75)^7+271о =-у/7-2у/1оу/7+2у/1о = -^72-(гТГо)2 = -79 = -3.
Второй способ. Учитывая, что
77 + 2ТЙ) = 72 + 2710+5 =^ +75 f =72 + 75,
получим
(72 - 75)77 + 2710 = (72 - 75)(72 + 7?) = 2-5 = -3,
1 Варианту 243 соответствуют задания, отмеченные буквой а), а варианту 244 —
буквой б).
566
и верный ответ № 1.
Ответ: 1.
А2. Упростите выражение:
а) л/а12й4, если а>0, Ь<0. б) л/б10 -З7 • ^/з2’5 -5.
1) а~8й; 2) a6b; 3)аЬ; 4) -а36. 1) 64; 2) 15; 3) 225; 4) 15^25-
Решение, a) vfl /> = а b = а \Ь = а \~Ь) = -а Ъ, так как а > О,
Ъ < 0, и верный ответ № 4.
Ответ: 4.
б) -\/510 • З7 • = -\/510 • З7 • З2’5 • 5)2 = -\/510 • З7 • ^/зМ1 =
_ ^512 .з12 _ з2 . з2 _ 225, и верный ответ № 3.
О т в е т: 3.
АЗ. Найдите значение:
a) 91овз5'1оЁ5а, если а = 9
1) 9; 2) 81; 3) 3; 4) 27.
б) log4(8£), если log4 — = 2.
1) 6,5; 2) 8; 3) 10; 4) 16.
Р е ш е н и е. а) Первый способ. Переходя к основанию логарифма,
равному 3, получим log3 5 • log5 а = log3 5
ф°83 5-logs a —(p- _ gj
log3 a
l°g3 5
= log3 a = log3 9 = 2 и
Второй способ. Дважды применяя основное логарифмическое
тождество, получим 91оВз51оВ5а =(з1оВз5) 85 = (51оЁ5а) = а2=92=81,
и верный ответ № 2.
Ответ: 2.
б) По условию log4 — = log4 к - log4 64 = log4 к-3-2, откупа log4 к = 5.
64
Теперь log4 (8&) = log4 8 + log4 к -1,5 + 5 = 6,5, так как log4 8 = '°^2 ^ = —
log2 4 2
3 3
(или log4 8 = log 2 2 = — log2 2 = 1,5), и верный ответ № 1.
2 2
Ответ: 1.
567
А4. а) Функция у-fix), имею¬
щая период Т = 4, задана гра¬
фиком на промежутке [-1; 3].
Найдите значение этой функ¬
ции при х = 10.
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.
б) Укажите функцию, график
которой изображен на рисун¬
ке.
>
i
1
0
1
W
J
=
X
-
2
У
—
|х
2
-
3) у- |х + 2|-2; 4) у = |х-2|.
Решение. Если период функции равен Т, то для любых значений
х из ее области определения /(х + иГ) =/(х), где n&Z. При х = 10 и
Т = 4 /(ю) = /(10 + 4и). Для попадания на промежуток [—1; 3] необ¬
ходимо, чтобы -1 < 10 + 4и < 3, что достигается при целом п = — 2. Итак,
/(10) = /(10-2-4) =/(2) = 2 (см. рисунок), и верный ответ № 3.
О m в е т: 3.
б) График функции (см. рисунок) получен сдвигом графика функции
у = |х| на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз, т.е. верный ответ
№ 2. (В правильности ответа можно убедиться, сравнив значения функ¬
ции в отдельных точках с соответствующими ординатами графика, на¬
пример, у (О) = |0 — 2| — 2 = 0, у(2) = |2-2|-2 = -2).
Ответ: 2.
А5. Укажите число:
а) целых корней уравнения
4
1000-2х = л/ЮОО - 2
1) 9; 2) 3; 3) 5; 4) 7.
б) точек разрыва функции
я я
У = tg
yCt g-
0,5 + х2 0,5 + х2
1) 5; 2) 3; 3) 7; 4) 1.
Решение, а) Уравнение представляет тождество, справедливое при
2
всех значениях х из ОДЗ уравнения, получаемой из условия 1000 - 2 >0,
откуда 2х <1000 или x2<log21000, т.е. -log21000 < х < log21000. Це¬
лые числа, удовлетворяющие этому неравенству, есть 0; ± 1; ± 2; ± 3, так
568
как 9 = log2 512 < log21000 < log2 1024 = 10. Итак, уравнение имеет 7
целых корней, и верный ответ № 4.
Ответ: 4.
б) Функция tg а терпит разрыв в точках а = + ли, функция
ctg а — в точках а = ли, и е Z. Объединяя эти точки, получим, что
л
функция tg а • ctg а терпит разрыв при а = — и, и е Z. В данном случае
функция у = tg
0,5 + х'
•ctg •
0,5-
имеет разрыв при
0,5 + х
л
- = — п,
1 и „ « 2 _
откуда — — = —. Из полученного уравнения 0,5 + х =—, т.е. и > 0,
" ” “ 2 "
0,5 + х'
и
и х = — ——— > 0, откуда 0 < и < 4. При и = 1, и = 2, и = 3 каж¬
и 2 2и
„ 2 4-1
дое из уравнении х = ,
'' 2-1
, 4-2 , 4-3
х' = , х" = имеет по два корня,
2-2
2-3
а при и = 4 уравнение х? = ———, т.е. х2 = 0 — один корень. Всего кор-
2 • 4
ней, а значит, точек разрыва данной функции 7, и верный ответ № 3.
О т в е т: 3.
А6. Найдите:
а) наименьшее значение
функции
у = 25х-5х+1+4,25.
1) -1; 2) -2; 3) -3; 4) ~4.
б) произведение наименьшего
и наибольшего значений функции
- 2х - sin" 2.v.
у - 2 cos2
1) —2; 2) -1; 3) 1,75; 4) 2.
Р е ш е н и е. а) Преобразуем функцию, используя операцию вы¬
деления полного квадрата:
у = 25х - 5Х+1 + 4,25 = 52х - 5 • 5х + 4,25 =
-2.
Очевидно, что наименьшим значением функции будет упаим = —2,
если выражение в скобках 5х = 0, или 5х = —, (Полученное уравне¬
Г 52х — 2 • —
• 5х + —1
- — + 4,25 =
Ml
1 2
4
4
1 2
ние имеет решение, так как — > 0 .) Итак, верный ответ № 2.
Ответ: 2.
л
569
б) Преобразуем функцию
( я
l-cos4x 1
= — + sin 4х + — cos 4.v.
2 2
у = 2 cos' - 2х J - sin" 2х = 1+cos - 4х I -
Известно, что функцию asinx + ftcosx можно представить в виде
л/я1 2 +Ъ2 sin(x + (p),rfle ф — некоторый угол. Это означает, что значе-
V9 о / 2 2
а~+Ь~; уст +Ь~ . В на¬
шем случае, значения sin4x + — cos4x заключены в промежутке
_ Crlf;
1Ж
, т.е.
' Vs.
V|
V UJ
v UJ
2 ’
2
Следовательно, наимень¬
шее и наибольшее значения данной в условии задачи функции
fl-S\ fl + V5^
и Ушиб = —Г~
У,
найм
V
У
V
1
У
(добавили —) и их произведение
равно —1, т.е. верный ответ № 2.
Ответ: 2.
А7. Найдите значение производной функции у - /(х) в точке х0:
а) у — х5 In х, х0 —е3.
1) 15; 2) 15е12; 3) 5е3; 4) 1&14.
М
cosx
б) У = -г—г~, х0=0.
2 - 5х
1) 1,25; 2) 2; 3) 5; 4) 7.
Решение, а) По правилу дифференцирования произведения
двух функций
у' = |х5 j lnx + x5 •(Их/ = 5х4 * lnx + х5 = х4 (51пх + 1);
значение производной
у'[с')?--(е3)4 (51пе3 +1) « е12 (151п#+1) = е12 (15 + 1) = 16е12,
и верный ответ № 4.
Ответ: 4.
б) По правилу дифференцирования частного двух функций
у (cosx) (2-5x)-cosx(2-5x) -(2-5x)sinx + 5cosx
(2-5х)”
(2 5x)
570
значение производной у'{0) = =1,25, и верный ответ № 1.
22
Ответ: 1.
А8. а) Укажите корень или
произведение корней (если их
несколько) уравнения
4
212 - 4х2 - 2х" = 0.
1) 1; 2) 2; 3)-2; 4) -4.
б) Решите уравнение
г Л S
sm
V
1) in, П Е Z\
2) ±—+ 2т, п е Z\
6
3) ±— + 2т, neZ;
3
4) (-l)"+1-^- +ли, weZ.
2 2
Р е ш е н и е. а) Равенство выполняется, если 272-4х -2х =0.
2 2
Обозначив 2 = у > 0, представим уравнение в виде 212-у —у = 0,
или у2+у - 272 = 0, корни которого у1=16, У2=~П (посторонний
2
корень). Возвращаясь к старой переменной х, получим 2 =16, или
2 4 2
2х =2 , откуда х =4 и х: = 2, х2=-2. Произведение корней равно
-4, и верный ответ № 4.
О иг в е т: 4.
б) Используя формулу приведения, представим уравнение в виде
7з . Г
— cosх = —, корни которого x = ±arccos
+ 2ли. Обращаем вни-
(
мание на то, что arccos
5л
7з
V 2у
л п 5л „ л..
= л-arccos = л = —(а не —!),
2 6 6 6
следовательно, х = ± 1-2ли, и eZ, и верный ответ № 2.
6
О т в е т: 2.
571
А9. Найдите сумму целых:
а) решений неравенства
(2-x)2(x-4)^q
х + 4 *
лежащих на промежутке [-6; 6].
1) 4; 2) 6; 3) 8; 4) -8.
б) положительных значений
параметра т, при которых
решением неравенства
( т - 4)х2 - 6х + 1 < 0 является
отрезок.
1) 36; 2) 68; 3) 71; 4) 78.
Решение, а) Решим неравенство методом интервалов. Найдем
нули числителя: (2-х)- (х-4) = 0, откуда х1=2, х2 = 4. Найдем ну¬
ли знаменателя: х + 4 = 0, откуда х = -4. Учитывая, что знак нера¬
венства «<», изобразим на числовой оси точки х = 2, х = 4 закра¬
шенными, а точку х = -4 светлой:
х
Задавая значения х из каждого интервала, найдем знак левой
части неравенства в каждом из полученных промежутков (например,
(2-5)2 (5-4)
при х = 5 > 0, и т.д.). Изображаем кривую знаков. Ре-
5+4
шение неравенства есть (-оо; -4)U {2}U[4; +оо), На отрезке [-6; б]
целые решения неравенства -6; — 5; 2; 4; 5; 6; их сумма равна 6, и вер¬
ный ответ № 2.
Ответ: 2.
б) Чтобы решением данного неравенства был
отрезок, график функции у = (от - 4) х2 - 6х +1
должен иметь вид, показанный на рисунке, т.е.
ветви параболы должны быть направлены вверх
(а = от - 4 > 0) и она должна пересекать ось Ох
в двух точках (дискриминант D > 0), т.е. долж¬
ны выполняться условия:
1 т - 4 > О,
|(-6)2 -4(от-4)>0.
Из первого неравенства т > 4. из второго т — 4 <9, или от <13,
т.е. 4 < от < 13; целыми являются решения от =5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
сумма которых равна 68, и верный ответ № 2.
Ответ: 2.
572
А10. а) Найдите сумму коорди¬
нат точки пересечения каса¬
тельной, проведенной к графи¬
ку функции /(х) = х2 - 2х - 5 в
его точке с абсциссой х0 =2, с
осью абсцисс.
1) -1,5; 2) -2; 3)-1,2; 4) -3.
Ре
в точке х,
б) Точка движется по прямой,
причем пройденный путь оп¬
ределяется формулой
А (7) = — -3t2 +1 Or + 6. Найдите
длину промежутка времени, в
течение которого ее скорость
не будет превосходить 5.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Р е ш е н и е. а) Уравнение касательной к кривой /(х) = х2 - 2х - 5
имеет вид у-/(х0) = /'(х0)(х-х0). Найдем /'(х) = 2х-2.
При х0 =2 /(-2) = (-2)2-2(-2)-5 = 3, /'(-2) = 2(-2)-2 =-6 и
уравнение касательной у-3 =-б(х + 2), или у = — 6х-9. В точке пере¬
сечения касательной с осью абсцисс у = 0, т.е. -6х-9 = 0 и х = -1,5;
сумма координат этой точки -1,5 + 0 = -1,5, и верный ответ № 1.
Ответ: 1.
б) Скорость точки v{t) в момент t есть производная пути:
v(t) = s'(t) = t1 -61 + 10. По условию v(t) =t2 —61 + 10 < 5, или
l2-6l + 5<0. Корни квадратного трехчлена tv =1, t2 =5, следователь¬
но, решение полученного неравенства есть отрезок [1; 5], длина кото¬
рого равна 4; верный ответ № 4.
Ответ: 4.
17.3. Тестовые задания группы В
с кратким ответом и их решения
Для дополнительной отработки навыков выполнения зада¬
ний с кратким ответом, соответствующих повышенному уров¬
ню подготовки, ниже, в вариантах 245—248 рассматриваются
решения наиболее сложных тестовых заданий, аналогичных за¬
даниям В1-В11 из приведенных в § 17.1 тестов ЕГЭ. Далее для
самостоятельного выполнения рекомендуются варианты 249—
251, содержащие только задания из группы В (с ответами).
573
Вариант 245 (группа В)
В1. Найдите значение выражения
_ . . 4 4 \ СХ _
3(sm a-cos а), если tg— = 2.
Решение. Упростим данное выражение
4 4 2 2 2 2
А = 3(sin а - cos а) = 3(sin а - cos a)(sin а + cos а) =
= 3(- cos 2а) • 1 = -3 cos 2а.
По формуле тангенса двойного угла
2tg —
ё 9 2-2 4
tg a = — = — = —. По формуле (6.26) (см. гл. 6)
2 a i-22 3
l-tg 2
2 i-f-
А = -3 cos 2a = -3l~*a = -3—^
1 + tg a
1+1 f
2-4 -^1 = ».^
Ответ: 0,84.
B2. Найдите число корней уравнения
(tg2x • sin 4х + cos4x - cos8x)\/27-^? = 0.
Решение. ОДЗ уравнения определяется из системы
25-х1 > 0,
2х^— + пп,
2
или
-5<х<5,
Л Л (1)
ХФ 1— п.
4 2
Произведение нескольких сомножителей равно нулю, когда каждый
из этих сомножителей равен нулю и при этом полученные корни вхо¬
дят в ОДЗ уравнения. Получаем:
1) 25 - х =0, откуда 2 = ±5 — корни, входящие в ОДЗ уравнения.
2) tg 2х • sin 4х + cos 4х - cos 8х = 0,
sin2x
или
cos2x
• 2 sin 2х cos 2х + cos 4х - cos 8х = 0,
О
откуда 2 sin 2x + cos4x-cos8x = 0.
Применяя формулу (6.34) (см. гл. 6), получаем
1 - cos 4х + cos 4х - cos 8х = 0, или 1 - cos 8х = 0,
откуда cos 8х = 1, 8х = 2тш и x = —n,neZ.
4
574
Из найденных решений х = —п второму неравенству системы (1)
4
удовлетворяют решения только при четном п = 2 к, т.е.
7Т 7Т
х = — ■ 2k = — к, к е Z (при нечетном п — 2к +1 решения
х = -^-(2к +1) = + являются П0СТ0Р0ННИМИ)- Из оставшихся реше¬
ний х = -^к первому неравенству системы (1) удовлетворяют семь ре-
(соответственно при
- А , П , , ЗЛ
шении х = 0, х = ± —; х = ±я; х = ±—
2 2
& = 0, ±1; ±2; ±3).
Итак, общее число корней уравне¬
ния 2+7=9.
Ответ: 9.
ВЗ. Найдите площадь фигуры, ог¬
раниченной линиями
у — х2 - х, у — 5 + 2х - х2, у — 0.
Решение. Выполним чертеж (см.
рисунок).
Для удобства построения парабол
их уравнения представим в виде (см.
§13.2)
У = (x-^-j и У = -(х~1)2+6.
Найдем абсциссы точек пересечения двух линий, решив систему их
уравнений:
Iу = х -X,
(1)
[у = 5 + 2х-х , (2)
откуда х2 — х = 5 + 2х-х2, или 2х2-Зх-5 = 0, и xj=-l, х2 =-^-
По формуле (15.15) (см. гл. 15) площадь фигуры, заключенной меж¬
ду двумя кривыми у = /2(х) и у = /Дх) (где /2 (х) > f (х)) при
хе[а, Ь] ), равна
Ъ 5/2
= J(/2(х)- fi(x))dx = J((5 + 2x-x2) -(х2 -x))dx =
575
5/2
5/2
J (5 + 3x-2x2)dx = 5 J dx + 3 j xdx-2 J
= 5x
5/2
-1
3 2
—x
2
5/2 5/2
xdx-2 J" x2dx =
-1
5
-l -l
5/2 т .5/2
-—x3 =51 —+ 1
-1 3 l-i l 2
V 4 J
f, ^
2 -<-«
35 63 133 343
2 8 12 ~ 24
Теперь из полученной площади фигуры, заключенной между двумя
параболами (1) и (2), следует вычесть площадь «лишней» части, распо¬
ложенной ниже оси Ох (см. рис.)
1 1 1
S2 = — J(x2 - x)dx = - jx2dx + jxdx =
О
.3 i
О
о
1=-1+1=1
o' 3 + 2 ~ 6
343 1 2
Искомая площадь S = 5) -S2 = = 14,125 (ед. ).
24 6
Ответ: 14,125.
В4. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
( \
ctg— - X3 + 2х2 + 5х -10 + (з2х - 123х + 27)4 = 0.
Решение. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, если
каждое из них равно нулю, т.е. имеем систему
ctg—-х3 +2х2 +5х-10 = 0,
х
32х -12-3х +27 = 0.
Решая второе уравнение, обозначим 3х =t > 0, тогда t2 -12/ + 27 = 0,
откуда tx =3, t2= 9, т.е. 3х = 3 и х = 1; 3х = 9 и х = 2.
При х = 1 первое уравнение не имеет смысла, ибо ctg — не существует.
При х = 2 первое уравнение обращается в верное равенство:
ctg-^--23 + 2• 22 + 5 -2-10 = 0, или 0 = 0.
Ответ: 2.
576
В5. Функция у = fix) определена на отрезке [—а; а]. На рисун¬
ке изображен график производной функции у = f'(x) на про¬
межутке [0; а). Исследуйте функцию у = fix) на отрезке [—а; а]
и укажите число точек минимума, если известно, что функция
fix) нечетная.
Решение. Согласно достаточному условию экстремума, при пе¬
реходе слева направо через точку максимума функции /(х) ее производ¬
ная f{x) меняет свой знак с «+» на «—», а через точку минимума — с
«—» на «+», следовательно, Х5 — точка максимума, a x-j — точка мини¬
мума f(x) . Так как на отрезке [—а; а] функция у = /(х) — нечетная, то
слева симметричные относительно начала координат точки (—Х5) и (—
Х7) — есть точки соответственно минимума и максимума. Хотя /(0) = 0
(см. рисунок), точка х\ = 0 не является точкой экстремума, так как справа
от этой точки функция fix) возрастает if' (х) > 0), а слева — также воз¬
растает в силу нечетности/(х).
Итак, имеем две точки минимума функции fix): x-j, (—Х5).
Ответ: 2.
В6. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функ¬
ции j = 9^4x+cos4x_
Решение. Преобразуем показатель степени:
А А ■> О 0 0 0 0
sin х + cos х = (sin х + cos х) - 2 sin х cos х =
= 1- — (2sinxcosx)2 = 1- — sin2 2x.
2 2
2 1 1 2
Так как 0 < sin 2x < 1, < sin 2x < 0 ,
2 2
,1,1.2-, 1,1-2-, 1
l <l sin 2x<l + 0, или — <l sin 2x < l, то в силу возраста-
2 2 2 2
ния показательной функции с основанием 9 > I, имеем:
577
1
9- <9
а их сумма равна 12.
Ответ: 12.
< 91 , ИЛИ 3 < 9sm4 A'+cos4 л-
^ 9> т-е- Ушат = 3> >наиб = 9>
В7. Найти сумму всех целых чисел, входящих в область опреде¬
ления функции у = у (|х - 5| - 3)(л/20 - х2 - 5).
Решение. Область определения функции находится из условия
(|.т 5|~ 3)(\/20 .у" 5)>0.
(1)
Левая часть неравенства (1) имеет смысл при условии, что
20 - х2 > 0 , или х2 < 20 , откуда -2-^5 < х < 2л[5. При этом второй со¬
множитель (в скобках) всегда отрицателен, т.е. yjlO - х2 - 5 < 0 , ибо
л/ло -х2 < V20 <5. Следовательно, первый сомножитель (в скобках)
также отрицателен (или равен нулю), т.е. |х-5|-3<0, откуда
|х-5|<3, -3<х-5<3 и 5-3<х<3 + 5, т.е. 2<х<8.
-2-Js
2 2V5
-►х
Объединяя решения двух неравенств, находим, что 2 < х < 2л[5, откуда
целые решения х = 2, 3, 4 и их сумма равна 9.
О т в е т: 9.
В8. Начальный капитал акционерного общества составляет 16
млн. руб. Ежегодно капитал увеличивается на 50%. Через сколь¬
ко лет капитал акционерного общества превысит 211 млн. руб.?
Решение. Капитал акционерного общества ежегодно увеличива¬
ется на 50%, т.е. в 1,5 раза. Через 1 лет капитал составит 16-1.5'. По
условию 16 • 1Т5/ > 211, или 16 • У > 211 • 2<, т.е. 3? ' 211 • 2/_4. Подбором
находим 1 = 1 (ибо при 1 = 6 З6 < 211 • 22, а при 1=1 З7 > 211 • 23).
Ответ: 7.
В9, Найдите трехзначное число с различными цифрами, которое
при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается
на 187,5% "
578
Решение. Пусть цифры трехзначного числа соответственно х, у, z,
т.е. данное число запишется в виде 100x + 10p + z. При перестановке треть¬
ей цифры в начало числа новое число lOOz + lOx + y будет на 187,5% боль-
. 187,5 ) 23
ше данного, т.е. в 1 н = —
I 100 8
раза больше, откуда
23
(lOOx+lOy + z)—=100z + 10x + y, или 222Qx + 222y-lllz = 0,
8
20x + 2y-7z = 0 и у = 3,5z-10x. Учитывая, что х, у, z — целые неот¬
рицательные однозначные числа, получим: если z = 4, то х = 1, у = 4;
если z = 6, то х = 2, у = 1; если z = 8, то х = 2; у = 8. Из полученных
таким образом чисел 072, 144, 216, 288 условию задачи удовлетворяет
число 216.
Ответ: 216. „
В10. В прямоугольном параллеле¬
пипеде ABCDAiBiC\Di со сторона¬
ми AD = 2, АВ = 3 и АА\ = 4 на
стороне АА\ взята точка М таким
образом, что AM = 3. Найдите объ¬
ем пирамиды MB\C\D.
Решение. Решение задачи суще¬
ственно упрощается, если в качестве
основания пирамиды взять треугольник
B\C\D. Плоскость B\C\D проходит че¬
рез прямую Г] О, параллельную плоско¬
сти грани АА\В\В, следовательно, их
линия пересечения АВ\ || C\D (см. ри¬
сунок). Проведем MN 1 АВ\ в плоско¬
сти АА\В\В. Так как MN 1 АВ\ и MN 1 AD, т.е. двум непараллельным
прямым, лежащим в плоскости AB\C\D, то она перпендикулярна этой
плоскости, а значит, MN — высота пирамиды MBC\D.
Стороны основания В\ C\D равны:
а = ВД =2, b = ClD = yjcD2 + CCf = \/з2+42 = 5,
c=BxD = yj<АВ2 + AD2 + AA? = 22 +32 +42 = ф9;
C
ct + b + c 2 + 5 + V29 7 + фз
его полупериметр p = = =
Герона площадь треугольника В\ C\D
По формуле
579
= ^ V(7^-29X29^f) = у = 5.
A В 3
Из A AA\B\ tga = 1 1 = —; из
AAl 4
A AMN высота H = MN=
3
= ИМ sin a = 3 • — = 1,8 (значе¬
ние sin a найдено из
A PQR — см. рисунок).
Итак, объем пирамиды
VmbiCid =\SH = \- 5'1’8 =
= 3 (ед.2).
Ответ: 3.
В11. В треугольнике АВС длины сторон и его площадь связаны со-
R
V J 2 2 2
отношением S = —(Ь + с - а ). Найдите градусную меру угла А.
4
Решение. Если а, Ь, с — стороны треугольника АВС, то его
площадь S = — be sin А.
2
По теореме косинусов а2 =Ь2 + с2 - 2be cos А, или
Ь2 + с2 - а2 = 2be cos А, Следовательно, площадь треугольника
1 73
S = — bc sin А 2be cos А, откуда tg А = VJ , т.е. угол А = 60°.
2 4
Ответ: 60.
В1. Вычислите lg 4 +
Вариант 246 (группа В)
4 lg 20
log, 10
1
Решение. Учитывая, что log, 10 = = , получим
l°g10 5 lg 5
580
lg2 4 + ^Щ- = lg2 22 +4 lg20• lg5 = (21g2)2 +4 lg(l0• 2)• lg(l0 :2) =
log510
= 4 (lg2 2 + (lg 10 + lg 2) (lg 10 - lg 2)) = 4(lg2 2 + (l2 - lg2 2)) = 4.
Ответ: 4.
B2. Найдите произведение всех корней уравнения
х/20 + х-х2 -lg(l 1 -Зх-х2) = 0.
Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю, если
один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
1) л/20 + х-х2 =0 при 20 + х-х2=0, откуда хг =-4; х2=5. Если
х = -4, то lg(ll-3x-x2) = lg ^11 — 3 (—4) — (—4)2 j = lg 7 существует; если
х = 5, то lg(ll-3x-x2) не существует, ибо 11 — 3 • 5 — 52 = -29 < 0, т.е.
х = 5 — посторонний корень.
2) lg(l 1-Зх-х2) = 0, или 11-Зх-х2=1, откуда х2+Зх-10 = 0 и
Xj =2, х2 = -5. Если х = 2, то ^20 + х-х2 = -\/20 + 2 — 22 = -JlS суще¬
ствует; если х = -5, то ^20 +х- х2 не существует, ибо
20 + (-5)-(-5)2 = -10 < 0, т.е. х = -5 — посторонний корень.
Итак, корни данного уравнения —4 и 2, и их произведение равно —8.
Ответ: -8.
ВЗ. Найдите корень (или произведение корней, если их не¬
сколько) уравнения Vx3 - 2х2 - 4х + 8 = -х3 + 2х2 + 4х - 8.
Решение. Нетрудно заметить, что подкоренное выражение
х3 - 2х2 - 4х + 8 = у {у > 0) точно равно правой части уравнения со зна¬
ком «минус», т.е. Jy = -у, откуда л/Ё + Е = 0, Vy(l + Vy) = 0. Полу¬
ченному уравнению удовлетворяет только у = 0, т.е. х3 - 2х2 - 4х + 8 = 0.
Преобразуя левую часть уравнения
х3 -2х2 -4х + 8 = х2 (х-2)-4(х-2) = (х-2)(х2 -4),
581
получим (х-2)(х2 -4-) = 0, откуда Xj = 2, х2=-2, и произведение
корней Х[Х2 = 2 (-2) =-4.
Ответ: —4.
В4. Найдите значение выражения
11\/4sin2 х - 4sinx + 1
2 sin х -1
5\/4cos2 x - 4cosx +1 V28x -
icos x
1 - 2 cosx
-I6x -12
x - ‘
4x -3
Решение. Упростим каждую из приведенных дробей (обознача¬
ем их соответственно (А, В, С), начиная с последней:
С =
У28х-16х2-12 2л/7х-4х2-3
\]lx-4x2 -3 \]lx-4x2 -3
= 2, если 7х - 4х2 - 3 > 0, или
2 3 3
4х -7х + 3<0, т.е. при—<х<1 (*), где xt = —, х2=1 — корни квад¬
ратного трехчлена.
А =
11>/4sin2 x-4sinx + l 11-^(2sinх l)~~ 1112sinх —1|
= 11, ибо
2 sin х -1 2 sin х -1 2 sin x -1
2sinx-l>0, так как, учитывая условие (*), при значениях х, удовле-
л 3 .л .
творяюгцих неравенству —< — <х<1<—, smx возрастает и
6 4 2
. . л 1
smx>sm— = —.
6 2
В =
5V4cos2x-4cos+1 _ 5^(l-2cosx)2 _ 5|l-2cosx|
= -5,
ибо
l-2cosx l-2cosx l-2cosx
l-2cosx<0, так как, учитывая условие (*), при значениях х, удовле¬
творяющих неравенству 0<-<х<1<-, cosx убывает и
4 3
л 1
COSX > cos— = —.
3 2
Итак, искомое выражение й + 5+ С = 11-5 + 2 = 8.
Ответ: 8.
582
В5. Функция y = f{x) определена на промежутке (-3,5; 5,5).
На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку
а, в которой функция у = /(х) принимает наименьшее значение.
Решение. На интервале (-3,5; 3)
производная /'(х)< 0, следовательно,
функция /(х) убывает на этом интервале;
на интервале (3; 5,5) /'(х)> 0 и /(х)
возрастает. Следовательно, искомая точка,
в которой функция принимает наименьшее
значение, есть а = 3.
Ответ: 3.
В6. Найдите сумму натуральных значений функции
у = log2(63 + 2-3|x| -9Ы).
Решение. Пусть 3^ =t> 1, ибо |х| > 0. При t > 1 функция
у = log2 (бЗ + 2t -t2 j является убывающей, так как аргумент логарифма
по основанию а = 2>1, т.е. g(t} = ЬЪ + lt-t1 убывает в силу того, что
его производная g'{t) = 2(1-/) < 0. Это означает, что наибольшее зна¬
чение аргумента логарифма g(t) равно g(l) = 63 + 2-1 = 64, т.е. значе¬
ния функции у(г) < log2 64 = 6. Среди этих значений у(г) натураль¬
ными будут log2 2 = 1, log24 = 2, log2 8 = 3, log216 = 4, log2 32 = 5,
log2 64 = 6, а сумма этих значений 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Ответ: 21.
В7. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
тех
уравнения sin = 1,5 + log0 5 х.
2х + 8 ’
Решение. Решить это уравнение аналитически невозможно. Ис¬
следуем на монотонность функции в обеих частях уравнения. Правая
часть уравнения (учитывая, что основание логарифма а = 0,5 < 1) есть
убывающая функция (см. рисунок). Левая часть уравнения
583
я
— х
. ях . 9
у = sin = sin
2х + 8 х + 4
= sin
%, + 4)-4.У
2V ’ 2
х + 4
V
J
= sin
2л
= COS-
2л
х+4) х+4
— есть функция возрастающая, ибо с увеличе-
уменыпается (см. рису¬
нием х
(хе(
. ;+°°/j
2 л
( (п
п ^
ф 4
(ре 0
у
х + 4
2
нок). Следовательно, уравнение имеет единст¬
венный корень. Чертеж подсказывает, что (или
в результате подбора) х = 2. И действительно,
sin Л ^ = 1,5 + logn. 2, или sin— = 1,5-1.
2-2 + 8 ’ 6
Ответ: 2.
В8. Для четной функции /(х) и нечетной функции g(x) для
всех действительных значений аргумента выполнено равенство
f(x) + g(x) - х2 +3х -2. Найдите значение выражения /(2) - 4g(3).
Решение. Изменив на противоположный знак аргумента, полу¬
чим /(—х) + g(~x) = х2 -Зх — 2. Учитывая, что по условию
f{~x) = f{x), g{-x) = -g(x), получим f(x)-g(x) = x2-Зх-2. Ре¬
шая полученную относительно функций /(х) и g(x) систему уравнений
найдем /(х) = х2- 2, g(x) = 3x и
/(2)-4g(3) = (22 -2)-4(3-3) = -34.
Ответ: —34.
|/(x) + g'(x)= х2 +Зх-2,
1 У (х) - g- (х) = х2 - Зх - 2,
В9. Цену товара дважды повышали: первый раз на р%, затем
новую цену повысили на 2р%. После этого цену товара снизи¬
ли на 15%. В итоге окончательная цена оказалась выше перво¬
начальной на 12,2%. На сколько процентов была повышена це¬
на товара в первый раз?
584
Решение. Пусть первоначальная цена товара равна 1. Тогда цена
товара: после повышения на р% составит 1-1 +
100
после второго
повышения на 2р% — f 1 + —— ]•[ 1 + —— 1, после снижения на 15%
0
0
0
0
^ '
1
составит
(1 + 1 • (1 + —1 • 0,85.
^ 100) { 100)
По
условию
fi+—}
1 100J
[ 1 + —]• 0,85 = 1,122. Обозначим
1 100J
-2- = х,
100
тогда
(l + х) (l +
2х) = 1,32, откуда 2х2 +3х-0,32 = 0 и
II
О
II
-1,6. Ус-
ловию задачи удовлетворяет х = 0,1, т.е. р = 10%.
Ответ: 10.
В
В10. Стороны основания правильной треугольной пирамиды
равны 4-^2, а боковые грани наклонены к основанию под углом
а = arctg^lyflj. Найдите расстояние между скрещивающимися
ребрами AS и ВС.
S
Решение. Проведем прямые
AD _1_ ВС, DE Т AS и SD. По теореме о
трех перпендикулярах SD Т ВС и ZSDA = а.
Следовательно, на основании признака перпен¬
дикулярности прямой и плоскости ВС Т плос¬
кости ADS, а значит, и прямой DE, т.е.
ВС L DE. Таким образом, длина отрезка DE —
расстояние между скрещивающимися ребрами
AS и ВС.
Пусть сторона основания равна а, a ZSAO = (3. Из условия следует, что
tg а = 2-\/2. Тогда
tg (3 = ^ = — tg а = — • 2V2 = Jl, ибо
АО 20D 2 2 у
для равностороннего треугольника в основании
пирамиды АО = 20D. Высота основания
Vl + (V2)2 -Д
AD =
ct'Jb _ 4\/2--\/з _
Из треугольника
585
Ответ: 4.
В11. В четырехугольнике ABCD длина стороны АВ -12, синус
угла ВАС равен 0,32, синус угла ЛОВ равен 0,48. Сумма углов
BAD и BCD равна 180°. Найдите длину стороны ВС.
Решение. Так как суммы противоположных углов четырех¬
угольника равны по 180° (сумма всех его углов 360°), то четырех-
Вариант 247 (группа В)
В1. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) урав¬
нения 3log4X+4xlog43 = 45
Решение. Выражения alog‘b и blogca равны, что вытекает из
равенства их логарифмов:
угольник можно вписать в ок¬
ружность (см. рисунок). Пусть
радиус окружности R,
ZBAC - a, ZADB - (3. Тогда
стороны ВС и АВ треугольни¬
ков ВАС и ADB, вписанных в
окружность радиуса R, определя¬
ются из соотношений:
ВС = 27? sin а; ИВ = 27? sin Р,
С откуда
Ответ: 8.
log, (alo&'’) = logc6-log<:fl,
log, (7>lo&fl) = logcfl-log<: b.
Следовательно, данное уравнение можно представить в виде:
3ю84 х + 4.3ю84 х = 45 ^ откуда 3ю84 * (1 + 4) = 45> 3i°g4 * = 9 = 32 и
log4x = 2, т.е. х = 42=16.
Ответ: 16.
586
В2. Найдите значение выражения
sin210° -cos2 35°
V2sin65°
Решение. Учитывая, что sin65° = sin (90° - 25°) = cos 25° и
применяя формулы понижения степени и преобразования суммы коси¬
нусов в произведение, получим:
l-cos20° l + cos70°
sin210° - cos2 35° _ 2 2 _ cos20° + cos70°
V2 sin 65° V2 cos 25° 2V2 cos 25°
- 70° + 20° 70° -20°
-2 cos cos
= 2 2
2V2 cos 25°
„Co V2
учитывая, что COS45
Ответ: — 0,5 .
-2cos45°-cos25°
2V2 cos 25°
2’
ВЗ. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) урав¬
нения
(Vx-1 -1) + х + 3) = Зх-6.
Решение. Представим уравнение в виде
(Vx-1 -l)(Vl + x + 3) = З^л/х — 1) -3,
или (Vx^l -l)(Vl + x + 3) = 3(л/х — 1 -l)(Vx-l +lj.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
л/х — 1 —1 = 0 И \jl + х + 3 = 3(Vx-l +lj.
Решая первое уравнение, получим л/х — 1 = 1, или х -1 = 1, откуда
х = 2.
Решая второе уравнение, получим в результате преобразований
V1 + х = Зл/х — 1, откуда после возведения в квадрат найдем
1 + х = 9(х-1), т.е. 8х = 10, и х = -^.
Проверка показывает, что найденные числа х = 2 и х = — являются
4
корнями данного уравнения. Их сумма равна 2 + 1,25 = 3,25.
Ответ: 3,25.
587
В4. Найдите произведение координат всех точек (х;у) на плос¬
кости, для которых выполнено условие
2 2
х + у +
X
У
5
У
X
6
= 0.
Решение. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю,
если одновременно каждая из них равна нулю:
\j5-x2+y2 =0,
х у 5
у X 6
= 0.
X
>-Ч
t 6
= 0,
Решим второе уравнение системы. Пусть — = t, тогда
У
откуда 6?2-5?-6 = 0 (при 0). Решая квадратное уравнение, най¬
, 3 , 2
дем ti =-, t2
Итак, имеем две системы:
5 - х2 + у2 = 0, 5 - х2 + у2 = 0,
х 3 и < х 2
у 2 { у 3'
з (з V
Решая первую систему, получим х = — у и +У2~ 0, от¬
куда
у2 — 4 и у,а = ±2, т.е. решения системы (3;2),
Н-2)-
Нетрудно убедиться в том, что вторая система решений не имеет.
Итак, произведение координат всех точек 3 • 2 • (-3) • (-2) = 36.
О.т в е т: 36.
В5. Непрерывная функция /(х) задана на отрезке \а,Ь\. По
графику производной, изображенному на рисунке, определите
количество точек, в которых касательная к графику функции
параллельна оси Ох и при этом отсутствуют экстремумы.
Решение. Касательная к графику функции /(х) параллельна
оси Ох в точках х,, х3, х5, х7, х9, в которых ее производная /' (х)
равна нулю.
588
При этом в точках хь х5, (в отличие от других названных точек)
экстремумы отсутствуют, так как при переходе через эти точки произ¬
водная /' (.V) не меняет знак.
Ответ: 2.
В6. Числа а и 6 выбраны таким образом, что верно равенство
^— + 2 = 0. Найдите значение, которое при этом примет
а-b а+Ь ‘
а-b , „
величина (или сумму таких значении, если эта величина
а + 26 ' "
может принять несколько значений).
Решение. Приведем данное уравнение к виду (при условии, что
a^±b): 6Ь(а + Ь)-5а(а-Ь) + 2(а2-62) = 0, откуда
За2 -1 lab - 4Ь2 = 0 и ах = 46, а2
Искомое значение равно:
а-Ъ 46-6
при а=46
1,
при а = —6
3
3 1
а + 26 46 + 26 6 2
а-Ъ
-\ь-ь
4
5'
« + 26 _1й + 26
3
Сумма полученных значений 0,5 — 0,8 = —0,3.
О т в е т: —0,3.
В7. Найдите корень (или произведение корней, если их не¬
сколько) уравнения 0,5(4 + log, (2х2 + 7х + 6)j - 1 - 7х - 2х2.
Решение. Обозначим 2х2 + 7х + 6 = 1 Тогда правая часть урав¬
нения есть 1 - 7х- 2х2 = 1 - (2х2 + 7х + б) = 7 -1, и уравнение имеет
вид 4 +log, t = ~[7-t), или log, t = 10 - 2t.
589
Строим графики функций у = log21
и y = l0-2t. Из рисунка следует, что
полученное уравнение имеет единствен¬
ный корень t = 4 (убеждаемся в этом
подстановкой его в уравнение).
Следовательно, 2х2 + 1х + 6 = 4, или
2х2 + 7х + 2 = 0.
Корни этого уравнения
-7 ±>/33
Л'12 = , произведение которых
(по теореме Виета) равно 2/2 = 1.
Ответ: 1.
В8. Найдите значение функции g(4), если известно, что
/(2х-1) = х-3, /(g(x)) = 2x-5.
Решение. Найдем вначале /(g(4)) = 2• 4 -5 = 3. Функция
/(2x-Vj = х -3 принимает полученное значение 3 при х - 3 = 3, или
при х = 6, т.е. /(2-6-1) =3, или /(11) = 3.
Следовательно, аргумент функции / равен 11, т.е. g(4) = ll.
Ответ: 11.
В9. Из пунктов И и В навстречу друг другу в Ю20 вышли катер и
буксир. Двигаясь с постоянными скоростями, они встретились в
1300, после чего продолжили движение. В 1340 катер прибыл в
пункт В. Сколько минут был в пути из пункта В в пункт А буксир?
Решение. Пусть х и у — соответственно скорости катера и бук¬
сира.
Путь АВ катер прошел за 3 ч 20 мин = 200 мин (между Ю20 и 1340),
а буксир тот же путь В А — за неизвестное время t (мин).
х t
Следовательно, - = .
у 200
Катер Буксир
А
С В
590
Отрезок пути до встречи — СВ катер прошел за 40 мин (между 1300
и 1340), а буксир тот же отрезок ВС за 2 ч 40 мин = 160 мин (между
Возвращаясь к первому уравнению, получим ^=2qq’ откУДа
t = 800 (мин).
Ответ: 800.
вю. В правильной призме АВСВА] б,С, Ц со стороной основа¬
ния 72 и высотой 63 точка Е лежит на ребре AD таким образом,
что СЕ является биссектрисой треугольника A CD. Найдите рас¬
стояние от точки is до плоскости ДСД .
Решение. 1. Пусть DE = х, АЕ = 12-х. Из треугольника
1020 и 1300); следовательно, — = = 4.
t
о
-^ = 72(V2-l) и
V2
DEC x = DC-tg у
АЕ = 12-х = 72-72(V2 -1) = 72(2-
D
С
2. Проведем ЕЕ С АС. Тогда из треугольника AEF
из треугольника ADC АС = =/2л/2 и
/2л/2 и
cos45°
591
FC = АС - AF = 72V2 - 72(V2 -1) = 72.
3. Так как ДДЦДД, то ДД|ДСД. Поэтому искомое рас¬
стояние от точки Е до плоскости ДСД равно расстоянию от
точки F до той же плоскости. Проведем FG + Д С. Наклонная
FG _1_ ЕЕ (на основании теоремы о трех перпендикулярах, ибо
ЕЕ перпендикулярна ее проекции ЕЯ), а значит, FG 1 О,6,,
ибо ДД||ДД. Следовательно, прямая FG, перпендикулярная
двум прямым ДС и ДД, лежащим в плоскости ДДС, перпен¬
дикулярна этой плоскости, а
длина отрезка FG — искомое
расстояние.
4. Пусть а = ZFCG = Z СД Д.
Тогда FG - FC sin а. В треуголь¬
нике СД Д известны катеты
ДД = ±АС = 36V2, СД = 63, т.е.
tga =
63 7л/2
36V2
и соответствен-
7л/2 7 7
но sina=—^ = — (см. рисунок). Итак, FG = 12 —
9V2 9 V ^ 9
= 56.
7л/2
Ответ: 56.
В11. В прямоугольнике ABCD со сторонами 46-10 и
i?C = 16,5 точка L является серединой 46. На стороне AD по¬
следовательно расположены точки М и N таким образом, что
AM: MN: ND = 1:17:15. Найти площадь треугольника MNP, где
Р — точка пересечения отрезков LN и СМ.
Решение. 1. Так как AM: MN: ND = 1:17:15 и сторона
ДО = 16,5 составляет 1+17+15=33 части, каждая из которых
равна 16,5 : 33 = 0,5, то ДМ = 0,5, MN = 8,5 и Ж) = 7,5.
2. Пусть МК = у (МК1 РК), тогда KN = 8,5 - у.
592
в с
Из подобия треугольников PKN и ALN (учитывая, что РК ||И Z.,
AL = ^АВ = 10 = 5 и AN = АМ. + MN = 0,5+ 8,5 = 9) получим
РК
AL
Ш
AN’
или
РК
5
8,5-у
откуда РК
§(8,5-Д
(1)
Аналогично из подобия треугольников МРК и MCD
(MD = MN + ND = 8,5+ 7,5 = 16):
РК МК РК у „„ 5
= , или = —, откуда РК=—у .
CD MD 10 16 8
Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим
—(8,5-у) = —у, т.е. 68 - 8у = 9у и у = 4, РК = --4 = 2,5.
9 8 8
(2)
Теперь площадь треугольника PNM
S = jMN PK = j 8,5-2,5 = 10,625 ед.2
Ответ: 10,625.
Вариант 248 (группа В)
В1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
(cos20roc-l)lg(32x-20x2 -2) = 0.
593
Решение. ОДЗ уравнения находится из условия
32х - 20х2 - 2 > О,
откуда
20х2 - 32х + 2 < 0, и
I-3V6
10
-<х<-
зТб
ю
(*)
учитывая что корни квадратного трехчлена х,а - ■
! ± 3V6
10 '
Решение уравнения равносильно совокупности двух уравнений:
1) lg ( 32х - 20х2 - 2) = 0, откуда 32х - 20х2 -2 = 1, или
20х2 -32х + 3 = 0, и Х\ = —, х2=—.
2 10
1
2) (cos20roc-l) = 0, откуда cos20roc = l, 20гос = 2тш, х = — п,
п е Z. Условию (*) удовлетворяют решения х = 0,1;0,2,... 1,4;1,5 (ибо
в силу очевидного неравенства 2,4 <-7б < 2,5 условие (*) можно за-
3-2,4
г 8-3-2,4
менить более сильным < х <
или 0,08<х<1,52,
10 10
которому удовлетворяют указанные числа; в то же время, например,
решение х = 1,6 не удовлетворяет менее сильному, чем условие (*),
-3-2,5
8-3-2,5
неравенству ——— < х < -
-,или 0,05<х<1,55).
10 10
Заметим, что корни уравнения 1) являются также корнями
уравнения 2).
Итак, сумма корней данного уравнения
S - 0,1 + 0,2 +... + 1,5 - ^ ^ ^ -15-12 (при суммировании корней
использована формула суммы п первых членов арифметической
прогрессии).
Ответ: 12.
В2. Вычислить
log^ (9 + ZjlS - 3V3 • ^/47 +12Vl5 ^49).
Решение. Так как
ф\7^А2л/15 = ^rT+2^2Vfj^3Vfj =
= ^(2л/5)2 + 2• 275 • ЗТЗ + (Зл/З)2 = ^2^/5 + 37з)2 = ^2%/5 + ЗТЗ,
594
ибо 2\/5 + Зл/З > О,
то y/2yf5 - Зл/З • yj2yf5 + УЗ-^/49- ~ (3^f ' л/49 =
= sj(-T) ■ -v/49 = -л/7 • tfp = -7
и log^(9-7) = 2.
Ответ: 2.
ВЗ. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
I I
Vx + 5 + 2-\/x + 4 -(х2 -12х-64)3 =1.
Решение. Учитывая, что
4х + 5 + 2-\/х + 4 = Vl + 2-\/х+~4 + х + 4 =
= ^|(1 + >/х + 4 j = 1 + >/х + 4, (ибо 1 + >/х + 4 >0),
х2 - 12х - 64 = (х2 + 4х) - (16х + 64) =
= х(х + 4) - 16(х + 4) = (х + 4)(х -16),
1
представим уравнение в виде l + Vx + 4 -((х + 4) (х-16))3 =1 и
1
л/х + 4 = ((х + 4) (х-16))3. Возводя обе части уравнения в шестую
степень, получим (х + 4)3 = (х + 4)2 (х-16)2. Полученное уравне¬
ние равносильно совокупности двух уравнений:
1) (х + 4)2=0, откуда хх = —4;
2) (х + 4) = (х-16)2, или х2 -ЗЗх + 252 = 0, откуда х2=12,
х3 = 21.
Проверка показывает, что х2 -12 — посторонний корень, а
Xj = -4, х3 = 21 — корни данного уравнения. Их сумма равна 17.
Ответ: 17.
В4. Найдите произведение координат всех точек (х; у ) на плос¬
кости, для которых выполнено условие
4у~х2 + |у2 - Зх2 - 12х - у - 9| = 0.
Решение. Сумма неотрицательных величин равна нулю,
если каждая из них равна нулю:
| 47^=0,
||у2 - Зх2 - 12х - у - 9| = 0.
595
Из первого уравнения системы у = х2. Заменяя переменную
у ее выражением, приведем второе уравнение системы к виду:
|х4 - Зх2 -12х - х2 - 9| = 0, или |х4 - 4х2 12.V 9| 0.
Известно, что если приведенное алгебраическое уравнение с
целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются
делителями свободного члена. В данном случае, это числа: ±1;
±3; ±9. Легко убедиться (подстановкой), что числа х2=-1 и
х2 =3 являются корнями данного уравнения. Значит, на осно¬
вании следствия из теоремы Безу левая часть уравнения делится
на (А' ( 1)) х • 1 и х-3, т.е. на (х + 1)(х-3) = х2-2х-3. Про¬
ведем деление «уголком»:
х4 — 4х2 — 12х — 9 л-2 - 2х - з
х4 ~2х3 — Зх2 х2 + 2х + 3
2х3 — х2 — 12х
2х3 — 4х2 — 6х
_ Зх2 — 6х — 9
Зх2 — 6х — 9
0
Следовательно, (х+1)(х-3)(а2+2х+3) = 0. Уравнение х2+2х-ьЗ = 0
корней не имеет (так как его дискриминант D = 22-4-3<0).
Итак, х1 = —1, у, -1; х2=3, у2 - 9. Их произведение
(-1) 1-3 9 = -27.
Ответ: —27.
В5. К параболе у = 4х - х2 +1 прове¬
дена касательная в точке с абсциссой
х0 = 1. Найти абсциссу точки пересе¬
чения оси Ох с этой касательной.
Решение. Ордината точки каса¬
ния Уо =./ (1) = 4 • 1 — I2 +1 = 4. Угловой
коэффициент касательной равен зна¬
чению производной в точке касания,
т.е. k = f(1).
596
Найдем /'(х) = 4-2х и к /'(I) 4 21-2. Итак, прямая
у -2х + b касается параболы в точке (1;4), т.е. 4 = 2-1 + 6, откуда
b = 2, и уравнение касательной у = 2х + 2.
В точке пересечения с осью Ох у - 0, т.е. 2х + 2 = 0, откуда
х = —1. Для построения чертежа (который в данном случае не
обязателен) удобно представить параболу в виде
у = 4х-х2 +1 = -(х-2)2 + 4 + 1 = -(х-2)2 +5.
Ответ: —1.
3 3
В6. Найдите значение выражения Х| + Л'2 , где х, и х, — корни
Х1+Х2 '
уравнения 4х2 - 20х 17 0.
Решение. Преобразуем данное выражение и вычислим
его значение, применяя теорему Виета:
Л| Л~ -Л,’ х,х- +х22 (х, +Х2)2 -3xiX2 = 3 —• ^ 12,25.
Xi + Xi v ’ \ 4 J 4 4
Ответ: 12,25.
B7. Найдите корень (или произведение корней, если их не¬
сколько) уравнения 3х + 63 - 721og2 х.
3 х
Решение. Представим уравнение в виде — + 7 = 81og2x,
или Зх~2 +7 = S log2 х.
Строим графики функций
у = 3х 2 + 7 и у - 8 log, х. Из рисунка
следует, что уравнение имеет два кор¬
ня х1 =2 и х2 = 4 (убеждаемся в этом
подстановкой их в уравнение). Про¬
изведение корней равно 8.
Ответ: 8.
BS. Найдите значение функции /(15), если известно, что
функция у - / | х) — нечетная, имеет период 8 и на отрезке [0;4]
функция имеет вид у = 12х - Зх2.
597
Решение. Так как период функции Т= 8, то значение
/(15)= /(15-2Г) = /(15-2-8) = /(-1). В силу нечетности функ¬
ции /(—1) = —/(1). Так как 1е[0;4], то /(1) = 12-1 — 3-12 = 9, и
/(-!) =-9-
Ответ: — 9.
В9. Задана арифметическая прогрессия с первым членом 2 и
разностью 5, а также геометрическая прогрессия с первым чле¬
ном 1 и знаменателем 2. Найдите сумму первых четырех совпа¬
дающих членов этих прогрессий.
Решение. Членами арифметической прогрессии являют¬
ся числа, оканчивающиеся на 2 и 7: 2, 7, 12, 17, 22.... Так как
члены геометрической прогрессии, начиная со второго, четные
числа, то общими членами двух прогрессий будут члены геомет¬
рической прогрессии, оканчивающиеся на 2 (выделены жирным
шрифтом): 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ... Очевидно, сумма
первых четырех таких членов равна 2 + 2-16 + 2-162 + 2-163 =
= 2(1 + 16 + 162 +163) = 87 3 8.
Ответ: 8738.
В10. Найдите двугранный угол (в градусах) при основании правиль
ной четырехугольной пирамиды, если плоскость сечения, проведен
ная через сторону основания, делит и этот угол, и боковую поверх
ность пирамиды пополам.
Решение. 1. Проведем
SE1AD и EF1AD. Следова¬
тельно, ZSEF = а — линейный
угол двугранного между плоско¬
стью сечения и плоскостью ос¬
нования. Проведем EL 1AD,
тогда из условия следует, что
EL — биссектриса угла SEF.
2. Плоскость сечения прохо¬
дит через прямую ADjSBC, сле¬
довательно, их линия пересечения
KM\AD, а значит, КМ\ВС.
3. Из подобия треугольни¬
ков SKM и SBC — = — = k,
SF SC
s
598
vVAU = k\ где к — коэффициент подобия. При этом ASDM =к,
Sasbc Sasdc
так как треугольники SDM и SDC имеют одну и ту же высоту.
SL
4. Найдем & = По свойству биссектрисы угла в тре-
ES 1
CJ7I7
угольнике St г — =
Теперь
к =
ЕЕ EF 2ЕО 2 cos а
SL SL SL (SL
SF SL + LF ЕЕ [ЕЕ
1 Л 1
-+1 =
+1J-
, т.е. к =
1
2 cos а
1
1 + 2cosa
AASD + бд DCM + $ AKLM ,
или
2cosa ) l + 2cosa
По условию Л;,„. = 4Л'Л/|Л7) = 2(Л\
= 2(Saasd + 2kS&ASD + k^'S^sj)), т.е. 4 = 2(l + 2к + к2^, откуда
к1 + 2к-\ = Q и к = л/2-1 (второй корень к2 =л/2 + 1 не подходит
1
по условию, так как к< 1). Итак, к =
1 + 2cosa
= 72-1,
откуда
1 72
l + 2cosa=—j=— = 72 + 1, cosa = —, т.е. a = 45°.
72-1 2 ’
Ответ: 45.
В11. Дан параллелограмм ABCD. Высота ВЕ[ пересекает диаго¬
наль АС в точке К. Найдите длину отрезка АК, если АВ = 57241,
ВС = 127241, ПС = 241.
Решение. 1. Пусть ZBAD = а, тогда ZADC = 180° - а.
В
По теореме косинусов для треугольника ACD
АС2 = AD2 + CD2 - 2AD ■ CD • cos(180 - a),
или 2412 =122 -241 + 52 -241 + 2-12-5-241cosa,
599
откуда cos а =
241(241-144-25)
= 0,6
2-12-5-241
и АН = АВ ■ cos а = 5У244 • 0,6 = Зл/241.
2. Из подобия прямоугольных треугольников АКН и ВКС
АК АН
или,
ЗУ244
241-х ~
КС ВС
х
обозначая
[А АКН = ZBKC)
КС = АС-АК = 241-х,
241 ,0 „
и х = = 48,2.
5
Ответ: 48,2.
Вариант 249 (группа В)
В1. Найдите значение выражения 2-ctg 2а, если
2 Л
tg a-tga-2 = 0 и -л<а<-—.
В2. Найдите корень, принадлежащий к отрезку
АК = х,
= —, откуда 4х = 241-х
(или
sin(2nx) • ctg— = 0.
произведение корней, если таких несколько), уравнения
л
X
ВЗ. Найдите корень (или произведение корней, если их не¬
сколько) уравнения
V 4 + х
2х -5х-18-
Уз^
7з-х ' 4а-
7
■ = 0.
■х V4 + x -\/l2 - х - х"
В4. Найдите значение выражения
8-y/log2 х-6 log3 х + 9 17-y/log2 х-4 log2 х + 4 Уб0х-4х2 -224
log3x-3 log2x-2
В5. К графику функции у = /(х) в его
точке с абсциссой х0 = 6 проведена
касательная. Определите угловой ко¬
эффициент касательной, если на ри¬
сунке изображен график производной
данной функции.
У 15х-х2 -56
t
TJ
1
г
1
\
\
/
0
11
\
/
: j
А
х)
ГП
600
224
на
В6. Найдите наименьшее значение функции у =
2х + Зх + 4
отрезке [1; 4].
В7. Найдите положительный корень (или сумму корней, если их
В8. Непрерывная нечетная функция на всей числовой оси на
промежутке (0; +оо) обращается в 0 в семи точках. Найдите
число корней уравнения /(х) = 0 на промежутке (-оо; +оо).
В9. После проведения санитарной обработки на базе отдыха
число мух уменьшилось на 40%, а число комаров — на 20%. В
целом число насекомых уменьшилось на 25%. Найдите, сколь¬
ко процентов от общего числа насекомых составляли до сани¬
тарной обработки комары.
В10. Шар, поверхность которого равна 50, вписан в усеченный
конус. Угол образующей конуса с большим основанием равен
45°. Вычислите боковую поверхность этого конуса.
В11. В треугольнике АВС на стороне АВ = 12 выбрана точка О
таким образом, что AD = 3. Найдите площадь треугольника
ACD, если ZBAC = 30° и ZACD = ZABC.
ВЗ. Найдите положительный корень (или сумму таких корней,
несколько) уравнения cos Ш = 31,5х 4 -4х 3,5
х + 15
Вариант 250 (группа В)
I—log3 169
В1. Вычислите 6 log4^81-log2716 + V3 •
В2. Найдите произведение корней уравнения
(5х2-77 - 625^ lg (l 7 - 6х - х2) = 0
если их несколько) уравнения
В4. Найдите значение выражения
0,125
sin6 а + cos6 а
, если sin а -
- cos а = 0,5.
В5. Производная функции г = /(х) имеет вид
/'(х) = х3 -Зх2 — 4х +12.
601
Найдите точку максимума этой функции (или сумму этих точек,
если их несколько).
В6. Найдите сумму целых значений функции
у = V9sin2 х + 6cosx +16.
В7. Найдите корень уравнения (или сумму корней, если их не¬
сколько) уравнения
|х4 -9х3 + х2 — 8х —9) + ^0,25-log2 х2 -3 log3 х + 2) =0.
В8. Найдите значение параметра а (или произведение таких
значений, если их несколько), при котором период функции
у = cos2 ^а2 + 2а-28^xj равен
В9. Из сосуда, доверху наполненного 88%-ным раствором ки¬
слоты, отлили 2,5 л жидкости и долили 2,5 л 60%-ного раствора
этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-ный раст¬
вор кислоты. Найдите вместимость сосуда в литрах.
В10. Определите объем правильной треугольной пирамиды с
боковым ребром 2\/б, если радиус описанной вокруг боковой
грани окружности равен 0,8^15.
В11. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами А В и АС
проведена биссектриса CD. Найдите длину стороны АС, если пло¬
щадь треугольника BCD равна 24,375, а тангенс угла A DC равен 5.
Вариант 251 (группа В)
В1. Найдите 2 tg х0, где х„ — наибольший отрицательный ко¬
рень уравнения
Ilcos2x-3sm2x + 9 = 0.
В2. Найдите значение выражения:
(2V2 + 5V5 + 10+V10) (2V2 + 5V5-10-VIo).
ВЗ. Найдите корень (или сумму действительных, различных
корней, если их несколько) уравнения
(5х2 -7х + 3)(5х2 + х + 3) = 20х2.
602
В4. Найти сумму модулей всех значений переменных, являю¬
щихся решением (или решениями, если их несколько) системы
|log|x|(7x + 6y) = 2,
[logH(6x + 7y) = 2.
В5. Функция у = /(х) определена на отрезке [-а;а]. На рисунке
изображен график производной функции y = f'{x) на проме¬
жутке [0:а).
Исследуйте функцию y = f (х) на отрезке
[-о; о] и укажите число промежутков воз¬
растания, если известно, что функция
/(х) — четная.
В6. Найдите значение выражения
(cos418° - sin418°)(cos4 36° - sin4 36°).
B7. Найдите положительный корень (или сумму корней, если их
несколько) уравнения 63 cos4 ЮС =130- 2х.
х + 4
В8. Найдите значение параметра а (или произведение таких
значений, если их несколько), при которых наименьший поло¬
жительный период функции у = sin(5a-13)x равен
л
2'
В9. Бак заполняют керосином за 2 ч 30 мин с помощью трех
насосов, работающих вместе. Производительности насосов от¬
носятся как 3:5:8. Сколько процентов объема будет заполнено за
1 ч 18 мин совместной работы второго и третьего насосов?
В10. Основанием пирамиды FABC является правильный тре¬
угольник АВС со стороной 12. Боковое ребро FA длиною 15\/б
перпендикулярно основанию. Найдите расстояние между пря¬
мыми FB и АС.
В11. В параллелограмме ABCD. Сторона АВ равна 10 и точка
М делит сторону AD пополам. Через точки А и М проведена
окружность с диаметром AM, причем точка В лежит вне этой
603
окружности. Найдите сторону AD, если ВМ= 8 и площадь четы¬
рехугольника BCDM равна 72.
17.4. Тестовые задания группы С
с развернутым ответом и их решения
Для дополнительной отработки навыков выполнения наибо¬
лее сложных заданий с развернутым ответом, соответствующих
высокому уровню подготовки, ниже, в вариантах 252—258 рас¬
сматриваются решения (и их оформление) заданий, аналогич¬
ных заданиям С1С5 из приведенных в § 17.1 тестов ЕГЭ. При
выполнении заданий из группы С особенно важно рассмотреть
различные их виды, уяснить заложенные в них идеи и методы
решения. Поэтому далее для самостоятельного выполнения ре¬
комендуются варианты 259—281, содержащие только задания
группы С (с ответами).
Вариант 252 (группа С)
С1. Для каждого допустимого значения параметра а решите не¬
равенство 2 logyy cos fl (Х - 1) “ 1°§У2 cos Й (7 - Х)'
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
систем неравенств:
I.
0 < У2 cos а < 1,
(1)
II.
\/2 cosa > 1,
(1)
х — 1 > 0,
(2)
х -1 > 0,
(2)
7 - х > 0,
(3)
7 - х > 0,
(3)
(х-1)“ > 7-х.
(4)
(х-1)“ < 7-х.
(4)
Неравенства (1)—(3) получены из опре¬
деления логарифма, а неравенства (4) —
на основании свойства монотонности ло¬
гарифмической функции (при основании
л/2 cos а > 1 возрастает, при 0 < cos а < 1
— убывает).
Решим систему I. Рассмотрим неравен¬
ство (1), т.е. О < cosa <
V2’
получим
604
а е (-—+ 2ля; — • 2тг«)U(— • 2 л//: —+ 2ли), не Z .
2 4 4 2
(соответствующие точки на окружности единичного радиуса от¬
мечены штриховкой).
Система неравенств (2), (3), т.е. Т 1
7 - х > О,
имеет решение
1 <х<7 . Неравенство (4) приведем к виду х2-х-6>0, или
(х + 2)(х-3)>0 (учитывая, что корни (нули) левой части нера¬
венства Л4 = —2, Л'2 : 3).
Решение системы неравенств (2)—(4) покажем графически
(штриховкой отмечено решение неравенства (4); закрашенные
точки входят в решения соответствующих неравенств, светлые —
нет),
т.е. 3 < х < 7 .
Следовательно, хе[3; 7) при
а е (—— + 2ли; — • 2л//)U(— • 2л//: — • 2л//), не Z .
т.е. 1 < х < 3.
ТС тс
Следовательно, хе(1; 3] при а е(- — + 2пи, —+ 2ли), и е Z.
4 4
Ответ: хе[3; 7) при
605
а е (-— + 2 лп; - — + 2лп) U (— + 2тш; —+ 2 лп), neZ ;
2 4 4 2
Я я
хе(1; 3]при ае( + 2 ли, — + 2тш), и е Z.
4 4
С2. Решите уравнение
cos2 ((х + 2) cos 2х) -1 = log2 (х2 + 5х + 7)
Решение. Так как для любого a -l<cosa<l и
О < cos2 а < 1, а абсолютная величина \а\ > 0 , то равенство возмож¬
но только при условии:
J cos2 ((х + 2) cos х) = 1,
[log2 (х2 + 5х + 7) = 0.
Л
Решая второе уравнение, получим х +5х + 7 = 1, откуда
х2+5х + 6 = 0 и х\ = —2, %2 = —3. Подставляя найденные значе¬
ния х в первое уравнение, получим:
при X] = — 2 cos2 0 = 1 (верное равенство);
при х2 = —3 cos2 (- cos(-6)) = cos2 (cos6) = 1 (неверное равенство).
О т в е т: х = —2.
СЗ. Найдите целые корни уравнения
(10-х)(4-х)(х + 5)(х + 2) - 220х2 =0.
Решение. Перемножим выражения в первой и четвертой,
во второй и третьей скобках; представим уравнение в виде:
(20 + 8х - х2 )(20 - х - х2) - 220х2 = 0.
Поделив обе части уравнения на х2 (х = 0 не является корнем
данного уравнения), получим
20
х +
X
— -х-1 1-220 = 0.
Сделав замену
20
х = у,
запишем уравнение в виде
X
(у + 8)(у-1)-220 = 0 , откуда у2 +1 у-228 = 0 . Корни уравнения
606
Л,2 =-
—7 ± >/72 +4-
228 -7 ±31
, т.е. У1=-19, У2 =12.
2 2
Уравнение свелось к совокупности двух уравнений:
—- —х = 19; —-х = 12.
X X
Решая первое уравнение, получим при хфО х1 -19х-20-0 ,
откуда xi = -1, х2 = 20.
л
Решая второе уравнение, получим при хфО х +12х - 20 - 0 .
Корни последнего уравнения с целыми коэффициентами иррацио¬
нальны, ибо ifo = Vl22 + 4-20 - лУ224 - 4^/±4 — число иррацио¬
нальное.
О т в е т: х\ = — 1, х2 = 20.
С4. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото¬
рых неравенство log9^ ^ (bgu (|2х2 + 2ах - 7| + 2^ < 0 верно при
всех значениях переменной х, принадлежащих отрезку [-4; 2].
Решение. Выясним, больше или меньше 1 основание ло¬
гарифма c = 9(V5-V4). Преобразуем это выражение, умножив и
разделив с на
„г 9 ,
с-9(^-7?)- > 3 ^
т.е. с > 1.
,27 1
?/— > 1,
25
yii
Поэтому исходное неравен¬
ство равносильно неравенству
0 < logu i^2x2 + 2ах - 7| + 2 j < 1,
которое должно быть верным
при х е [-4; 2]. Решая это не¬
равенство, получим
1 < |2х2 + 2ах - 7| + 2 < 11,
или -1 < |2х2 + 2ах - 7| < 9,
откуда -9 < 2х2 + 2ах - 7 < 9
х2 + ах-8< 0,
и <1 ,
х +ах + 1>0.
607
Первое неравенство системы будет выполняться, т.е.
/(х) = х2 + ах — 8 < 0 для всех значений х е [-4; 2] тогда и только
тогда, когда
/(- 4)<0,
/(2)<0
(см. рисунок, а также § 12.2), откуда
16-4а-8<0, а >2, ^
<г или 1 т.е. а = 2. При а = 2 второе неравен-
[ 4 + 2а - 8 < О, [а < 2,
ство системы имеет вид (х + 1)2>0, т.е. будет верно при любых
значениях х, в том числе и при х е [-4; 2].
Ответ: 2.
Вариант 253 (группа С)
С1. Решите уравнение 3 + ф 6х|х - 2| + 9 = 4х.
Решение. Перепишем уравнение в виде
^16х|х-2| + 9 = 4х - 3.
Возводя обе части уравнения в квадрат, при условии
3
4х - 3 > 0, или х > —, получим равносильное уравнение
4
16х|х-2| + 9 = (4х-3)2.
„ . . х - 2 при х > 2,
Так как |х-2| = { то
|2-х при х < 2,
сильно совокупности двух систем:
I.
— < х < 2,
4
16х(2-х) + 9 = (4х-3)2.
II.
данное уравнение равно-
Гх>2,
|l6x(x - 2) + 9 = (4х - З)2.
Решая уравнение системы I, получим:
32х-16х2 +9 = 16х2 -24х + 9, 32х2-56х = 0, или 8х(4х-7) = 0, от-
7
куда х — — (х = 0 не удовлетворяет неравенству системы).
4
Решая аналогично систему II, приходим к уравнению
16х2 —32х + 9 = 16х2-24х + 9, или 8х = 0, откуда х = 0 (не удовле¬
творяет неравенству системы).
л 7
Ответ: х = — .
4
608
С2. Найдите множество значений функции у = sin 2х, если
х е [arctg 0,5; arctg 3].
Решение. Для отыскания множе- у у = sin2x
ства значений непрерывной функции j
v = sin 2х на отрезке найдем наибольшее
0,5
и наименьшее ее значения, сравнивая
значения функции на концах заданного
отрезка и в критических точках (см. рису¬
нок).
Щ. \
/ И I2 \
arctg — arctg 3 ч
\
3 и
1. Вычислим значения функции на
концах отрезка.
1 л
Пусть х = arctg 0,5, т.е. tgx = — и 0 < дг <— .Тогда sin2x = 2sinA'cosx =
1 2
= 2 • ■ —=■ = 0,8 (значения sin х и cos х найдены из прямоугольного
V5 V5
треугольника АБС (см. ниже)).
Пусть х = arctg3 , т.е. tgx = 3 и 0<х<
2
3 1
Тогда sin 2х = 2 sin х cos х = 2 • —= • —= = 0,6 (значения sin х и cos х
•s/lO VI0
найдены из прямоугольного треугольника DEF).
. 71 71 71
торых у = (sin 2х)' = 2 cos 2х = 0, откуда 2х = — + ли, х = — + — п, neZ.
л л
Так как 0 < arctg 0,5 < arctg 1 = — < arctg 3 < — в силу возрастания арк-
~ 4 2 "
„ „ л
тангенса на всей числовой оси, то критическая точка х = — единствен-
4
609
ная на заданном отрезке (см. рисунок) и у |^J = sin |^2 • -^J = 1. Таким
образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке
Тнаим (arctg 3) =0,6 и наибольшее унаиб | — | = 1, т.е. множество значе¬
ний функции [0,6; 1].
Ответ'. [0,6; 1].
СЗ. При каких значениях а сумма loga (cos2 х + 1) и
loga (cos2 х + 5) равна единице хотя бы при одном значении х?
2
Решение. Выражения, стоящие в скобках, т.е. (cos х + 1) и
2
(cos х + 5) всегда положительны, поэтому данное в условии равенство
2 2
\oga (cos х +1) + \oga (cos x + 5) — 1 при a > 0, аФ\ равносильно ра¬
венству
2 2
(cos х + 1) (cos х + 5) = а. (*)
Оценим параметр а, т.е. найдем границы для левой части равенства
(*), получаемые хотя бы при одном значении х.
2 2
Так как 0 < cos х < 1, то соответственно 1 < cos х +1 < 2,
л
5 < cos х + 5<6 и произведение выражений в скобках равенства (*),
т.е. 1-5 <(cos2 x + l)(cos2 х + 5)< 2-6, т.е. 5<а<12.
О т в е т: а е [5; 12].
С4. Около правиль¬
ной пирамиды FABC
описана сфера, центр
которой лежит в плос¬
кости основания АВС
пирамиды. Точка М
лежит на ребре АВ так,
что АМ:МВ= 1:5. Точ¬
ка I лежит на прямой
AF. и равноудалена от
точек М и В. Объем
пирамиды ТАСМ равен
2Ь/3 „ „
. Найдите радиус
16
Т
В
610
сферы, описанной около пирамиды FABC.
Решение.
1. Пусть О — центр сферы радиуса R, описанной около пирамиды
FABC. Очевидно, что точка О является также центром окружности,
описанной около равностороннего треугольника АВС, сторона которо¬
го АВ = а = Rs/з (см. рисунок).
2. По условию FABC — правильная пирамида, поэтому FO — вы¬
сота пирамиды и по признаку перпендикулярности двух плоскостей
плоскость AFO перпендикулярна плоскости основания. Опустим из
точки I перпендикуляр на прямую АО. Так как плоскости AFO и
основания АВС перпендикулярны, то прямая ТН, перпендикулярная
линии пересечения плоскостей АО, будет перпендикулярна плоскости
основания, т.е. являться высотой пирамиды ТАСМ, а отрезки НМ и
НВ равны как проекции равных (по условию) наклонных ТМ и ТВ.
Следовательно, треугольник ВНМ - равнобедренный и, проведя
HP L МВ, получим PM = РВ.
3. Найдем объем пирамцды ТАСМ. По условию = —, или
МВ 5
AM =—а, МВ=—а; поэтому МР = —а, АР = АМ+МР=—а+—а =—а.
6 6 12 6 12 12
Из прямоугольного треугольника АРН, в котором ZHAB - 30°,
АР 1а s/з 1а
бТз'
1а
АН = ■
cos 30° 12 2
ZHAT = 45° и ТН = АН =
Радиус сферы АО = OF - R, т.е.
6>/з '
Треугольники ACM и АСВ имеют общую высоту CN, следователь¬
но, отношение их площадей
AM 1
= — и
АВ 6
е е _
имсм г имсв г
6 6
1 а2у[з a2 si3
4 24
Итак, объем пирамиды FABC (при а = Rs/З )
i(rJ3)3
V=-S.
■ТН =
1 a2 sj3 la _ la
З’ 24
432
77?3УЗ
144 '
„ т, 7Д3ТЗ 21Д „з „„ „ ,
По условию у= = , откуда R =27 и л = 3.
144
16
Ответ: 3.
611
С5. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение
{p-l)x2 + 4рх + 5р-0 имеет хотя бы один корень и число
корней этого уравнения равно числу корней уравнения
х-2 _ 1
р yjx- 4 + 3
Решение. Рассмотрим вначале уравнение
(р - 7)х2 + 4рх + 5р - 0. (1)
1. При р = 7 получим линейное уравнение, имеющее единствен¬
ный корень.
2. При р ^7 квадратное уравнение имеет:
а) два различных корня, если
D = (4р)2 -20р(р -l) = -4р(р -35) > 0,
откуда р е (0 ;7) и (7; 35);
б) один корень (кратности 2), если D — 0, т.е. если р — 0,
р = 35.
Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень при
Р е {0;7;35}.
Теперь рассмотрим уравнение
х-2 1
= -j= • (2)
р yjx- 4+3
Сделаем замену yjx —4 = t > 0, х — 4 = t2, х = t2 + 4.
t2 +2 1
Тогда уравнение имеет вцд = , или
р t + 3
t3 + 3t2 + 2t - p- 6, т.е. t(t2 + 3t + 2) = p-6,
или t(t + 1)(Y + 2) = p — 6.
Строим эскизы графиков у — t(t + 1)(Y + 2) и у — p — 6 (см. ри¬
сунок). Для построения первого графика — кубической параболы —
достаточно найти нули функции t1 =0, t2 — — 1, t3 — —2 и, напри¬
мер, значение у(1) = 6. Из рисунка видно, что решение t > 0 суще¬
ствует при р — 6 > 0, т.е. при р > 6, причем это решение t — един¬
ственное. Следовательно, одинаковое число корней — одно, что имеет
612
место для уравнения (о при р е |0;7;35}, и оба уравнения имеют
один корень при р G {7;35}.
О т в е т: 7; 35.
Вариант 254 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
Ux-2 -у = 0,
| j-|x-7| = l.
Решение. Из первого уравнения у = Д-2, и после его под¬
становки во второе уравнение последнее примет вид
Д-2-|х-7| = 1. (1)
1) При х<1 |х-7| = -х + 7 и уравнение (1) имеет вид
Д-2 -(7-х) = 1, или Д-2 = 8-х.
Так как х <1, то 8 — х > 0 и уравнение равносильно системе
х<1,
х>2,
(2)
х-2 = (8-х)2.
Решая квадратное уравнение, получим после преобразований х2 —
— 17х + 66 = 0, корни которого х\ = 6, xj = 11. Системе (2) удовлетво¬
ряет только Х\ = 6, тогда yj = Д - 2 = 2.
2) При х>7 |х-7| = х-7 и уравнение (1) примет вид
Д-2 =х-6. Так как при х>7 х-6>0, то уравнение равносильно
системе
613
(3)
х > 7,
х>2,
х-2 = (х-6 У
Решая квадратное уравнение, получим после преобразований уравнение
13 ±>/17
\2
х2 — 13х +38 = 0, корни
13-757 13->/1б
которого
х1,2 =■
Так
как
х, =■
Ае 13 + 757 13 + л/Гб ос
-4,5, а х2 = > = 8,5, то систе-
™ 13+Vn 13+717 , 1+7Г7
ме (3) удовлетворяет лишь ; тогда у 2 = 6 = .
Ответ: (6; 2),
13+757" 1+757
С2. Решите уравнение
( 9
5 log4
- X
X + <
: з log4
1 ( 9
10
1
1-х х + 9 уу
+ 16.
Решение. Преобразуем выражения, стоящие под знаком лога¬
рифма:
9 9-х2-8х _ (1-х)(х+9)_
1
х+8 х+8
1 ^ 9(х + 9) - (1 - х)
х+8
10х + 80
х + 8
ЮЦ-х x + 9j 10(1-х)(х + 9) 10(1-х)(х + 9) (1-х)(х + 9)
Так как полученные выражения обратны по величине, то уравнение
примет вид:
5 ,„g4i±+£±2),3log4ff1-+»'’)
х+8 ^ х+8
или, используя формулу логарифма степени,
-16,
, (1-х)(х + 9) ((1-х)(х + 9)'
5 log4 2 — = 3 log4 2 1 + !6,
х + 8
х + 8
(1-х)(х + 9) ((1-х)(х + 9)',
откуда 8 log4 = 16, или log4 : | = 2.
х + ;
х + ;
тт д, (1 - х)(х + 9)
По определению логарифма — — = 16, или
х + 8
v
614
—х2 — 8х + 9 = 16х + 128, т.е. х2 + 24х + 119 = 0, откуда jq = —7, xj = —17.
Проверка показывает, что оба корня являются корнями данного
уравнения.
Ответ'. —17; —7.
СЗ. При каких значения параметра р уравнение
Wl + х2 — 2/7 = 11 — р\А + х2
имеет более одного корня?
Решение. Приведем уравнение к виду
(р + 4)\Д + х2 = 2р + 11.
При р = — 4 уравнение решений не имеет, так как приводится к виду
О = -з.
При р * — 4 имеем
[ J 2р + 11
yjl + x =-
р + 4
Для существования решений этого уравнения необходимо, чтобы
2 I 2
> 0, ибо 1 + х >0, а значит, yl + x >0 при любых х
2р + 11
р + 4
В этом случае, возводя в квадрат обе части уравнения, получим
равносильное уравнение
2 f 2р + 11ч2
1 + х =| — | или
р + 4
х2 _( 2p + llf х_ (2р +11)2 ~(р + 4)2 _ 3(р + 5)(р + 7)
( Р +4 J (Р + 4)2 (р + 4)2 '
Следовательно, данное уравнение имеет более одного (точнее, два)
решения, если выражение для х2 положительно. Итак, имеем систему
неравенств:
615
Решение каждого из неравенств методом
интервалов показано графически, а общее
решение системы дано в ответе.
Ответ. (—оо; —7) U (-4; +оо).
С4. Основание ЛВС правильной тре¬
угольной пирамиды SABC вписано в
нижнее основание цилиндра, а верши¬
на S расположена на оси 0102 цилинд¬
ра (точка 0\ — центр верхнего основа¬
ния). Найдите отношение S0\.S02, если
объем цилиндра равен 21л, а объем пи¬
рамиды равен Зл/З .
Решение. Пусть R — радиус основания цилиндра, Н = 0\0i — его
высота; а = 3 — сторона основания пирамиды, h = S02 — ее высо¬
та. Тогда площадь основания пирамиды — равностороннего треуголь¬
ника —
о a2S {RS?S ЗуН r2.
4
4
объем пирамиды
У„ =
3 3 4
4
h = —R2h;
4
объем цилиндра Уц = пкН.
ТТ Гц 21л
По условию —— =—=, т.е.
К зТз
kR2H
^R2h
4
Н 1
— = — или
h 4
SOl + S02
S02
Ответ. 3:4.
a+ij,
S02 4
т.е.
21л
зТз ’
SOo
откуда
3_
4'
C5. Найдите все положительные значения параметра а, при ко¬
торых в области определения функции у = (ах — аах+1)-0>5 есть
трехзначные натуральные числа, но нет ни одного четырехзнач¬
ного числа.
Решение. При а = 1 знаменатель функции обращается в нуль и
функция не определена.
Область определения функции находится из условия ах~ а~т+1 > О,
или ах > aax+l. (*)
1) Если а > 1, то неравенство (*) выполняется при условии, что
х > ах +1, или х (а — 1) < —1, откуда х < —, ибо а — 1 > 0. Следо-
1 —а
616
вательно, область определения функции D(y): —оо; . В этом
I а-1)
интервале все значения х < 0, а значит, они не удовлетворяют условию.
2) Если 0 < а < 1, то неравенство (*) выполняется при условии,
что х< ах + 1, или х(1 ~ а) < 1, т.е. при х < —-— (ибо 1 - а > 0). Значит,
а-1
D(y): | -оо; |. В этот интервал попадают только трехзначные числа,
а-1,
т.е. 100 < <1000, или 0,001 < 1 - а < 0,01, откуда -0,01 < а - 1 <
1-а
< -0,001 и 0,99 < а < 0,999.
Ответ: (0,99; 0,999).
Вариант 255 (группа С)
С1. Найдите наибольшее натуральное значение параметра с, при
котором решение неравенства ||2х + 4|—7| — 13 < 2с2 удовлетво¬
ряет условию хе[-37; 35].
Решение. Перепишем неравенство в виде ||2х + 4|—7| < 2с2 + 13.
Так как решение неравенства |у| < а (а > 0) есть ~а < у < а, то полу¬
ченное неравенство равносильно следующему (учитывая, что 2с2 + 13 > 0
при любом с):
-2с2 — 13 < | 2х + 4 | —7 < 2с2 +13 , или -2с2 - 6 < | 2х + 4 | < 2с2 +20.
Выполнение первого неравенства (слева) очевидно при любом х,
так как всегда -2с2 -6 < 0. Следовательно, решая второе неравенство
(справа), получим
-2с2 -20<2х + 4<2с2 +20,
или -2с2 - 24 < 2х < 2с2 +16,
и -с2-12 < х < с2+8.
Полученное неравенство означает, например, что при:
с = 4 -28 < х < 24; с = 5 -37 < х < 33; с = 6 -48 < х < 44 и т.д.
Значит, наибольшее натуральное значение параметра с, при котором
решение данного неравенства удовлетворяет условию х е [-37; 35], яв¬
ляется 5.
Ответ: 5.
617
С2. Решите систему
\ log7 (-х2 + 4х + 28) = cos2 ((х + 3) • 2х),
I - 3 < х < 7.
Решение. Так как при любом аргументе а 0 < cos2 а < 1, то реше-
2
ния системы должно удовлетворять неравенству 0 < log7 (-х +4х + 28) < 1,
или, учитывая свойства логарифмов при основании а = 7 > 1, 1 < —х2 +
+ 4х + 28 < 7.
(Заметим, что все решения полученного неравенства удовлетворяют
области определения логарифмической функции, т.е. условию
—х2 + 4х + 28 > 0.)
[—х2 + 4х + 28 > 1,
Решая двойное неравенство, получим < откуда
I —х2 + 4х + 28 < 7,
х2 -4х-27 < 0,
х2 -4х-21 > 0.
Решения неравенств показаны графически.
1- е неравенство
2- е неравенство
\\\\V
^//////////^^
,\\\\\
х
Решение системы неравенств (см. рисунок) есть
[2-л/зТ;-3]U{7; 2+Л/зТ}.
По условию —3 < х < 7, следовательно, данной в условии системе
могут удовлетворять только два числа: —3 и 7.
При х = —3 log7(—(—З)2 + 4(—3) + 28) = cos2 0, или log7 7=1, т.е.
1 = 1, значит, х = —3 — решение системы.
При х = 7 log7(—72 + 4-7 + 28) = cos2 (10 • 27), или log7 7 =
= cos2(1280), т.е. равенство 1 = cos2(1280) ложно и х = 7 не является
решением системы.
Ответ. —3.
СЗ. Точка А лежит на графике функции у = /(х) , точка В —
на оси Ох, и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А.
Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где
точка О — начало координат, а
Дх) = 7т7 3 sin х - (Зх +1) cos х,
Зтг 9 л
— <х<—.
4 8
Решение. 1) Так как sinx > -1, то 7 + 3sinx > 7 + 3(-1) = 4 . Учи¬
тывая, что при
618
на отрезке
Зл 9л
— <х< — (Зх + 1) > 0,
4 8
a cos х < 0 , выражение
-3(х +1) cos х > 0, следовательно, данная
функция
у = -^/7 + 3 sin х - (Зх +1) cos х
Зл 9л
определена на отрезке —; —
L 4 8 _
2) По условию высота треугольника
у = /(х), его основание ОВ = 4у и пло¬
щадь треугольника
S=-OB AC = -4yy = 2у2 или
2 2
5(х) = 2(7 + 3 sin х-(Зх + 1) cos х).
Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции ^(х)
Зл _ 9л
Т’ Т_
3) Найдем производную функции ^(х):
5'(х) = 2(7 + 3 sin х - (Зх +1) cos х)' =
= 2(3 cos х - (3 cos х + (Зх +1)(- sin х)) = 2(3х +1) sin х.
Приравнивая производную нулю, получим
5'(х) = 2(3х +1) sin х = О,
Зл 9л 1 ...... .
откуда, учитывая, что на отрезке —; — (Зх + 1) > 0, smx = 0 и
|_ 4 8 _
единственная критическая точка на этом отрезке х = л.
При х е
sin х > 0, т.е. 5'(х) > 0 , следовательно, х = % есть точка максимума
функции jS'(x) , а так как критическая точка х = л на отрезке
3 л 9л
—; — единственная, то она есть точка, в которой функция SYx)
4 8 J
принимает наибольшее значение:
б'наиб =*^(л) = 2(7 + 3sinn-(3n + l)cosn) =
= 2(7 + (3л+ 1)) = 16 + 6л.
Ответ'. 16 + 6 л.
Зл
9л
sinx<0, т.е.
>!>'(х) <0, а при х е
619
С4. Основанием правильной треуголь¬
ной пирамиды является квадрат со сто¬
роной 6. В пирамиду вписана сфера,
площадь поверхности которой равна 9л.
Найдите объем пирамиды.
Решение. Пусть сторона основания
пирамиды равна а, а в осевом сечении угол
SFE = а. Тогда радиус вписанной в треуголь¬
ник SFE окружности (радиус сферы)
~~ ^17 а а а
r = OOi=OF-tg-=-tg~,
ибо ее центр лежит на пересечении биссек¬
трис углов треугольника SO и 0{F.
Площадь поверхности сферы
2
_ ,2 , \ а & ) 2 2 а
S = 4лг= 4л1 — tg — I = лаtg— .
т-г , „ ^ ,а „ о а 1
По условию при а = 6 А = я • 62 tg2— = 9л, откуда tg — = — и
2 2 4
а 1 _ а „
tg — = —, ибо — — острый угол.
Из A SFE Н = OS = OF. • tg а = — tg а, значит, объем пирамиды
2
т, 1 „ „ 1 2 а ^ а ^
V=-SomH = --а -—tga = —tga.
3 3 2 6
Найдем tg a = ■
a
2tgJ
4 4
2 з'
63 4
При a = 6 искомый объем V 48.
6 3
Ответ: 48.
C5. Найдите все значения параметра а, при которых множество
решений неравенства х(х-8)<(а + 4)(|х-4|-4) содержит все
члены некоторой бесконечно убывающей прогрессии с первым
членом, равным 4,5, и положительным знаменателем.
Решение. Учитывая, что
х(х-8) = (х-4)2-16 = |х-4|2-42 =
= (|х - 4| + 4) (|х - 4| - 4),
620
представим данное неравенство в виде
(|х-4|-4)(|х-4| + 4-(а + 4))<0. (1)
Первый способ.
Обозначив |х — 4| = 1 > 0, придем к неравенству
{1-4){1-а)<0 (2)
Рассмотрим три случая взаимного расположения точек а и 4 на чис¬
ловой оси.
'у
1) Если а = 4, то получим неравенство (/-4)” <0, решением кото¬
рого является единственное значение 1=4, или |х — 4| = 4 , откуда х\ = 0,
Х2 = 8. Условие задачи не выполнено (не содержится х = 4,5).
2) Если а > 4, решение неравенства (2) есть отрезок [4; а], т.е.
4 < 1 < а, или 4 < |х — 4| < а.
Решая первое неравенство |х-4|>4, получим совокупность реше-
х - 4 ^ 4,
х - 4 < -4,
х ^ 8,
Решая второе неравенство |х-4|<а,
дем -а < х - 4 < а , откуда 4-а<х<а + 4.
Объединяя полученные решения двух неравенств (см. рисунок).
а, наи-
AWWYyW
«УЖ\\\\\ ^
4 — а 0 8 а + 4 х
получим решение [4 — а\ 0] U [8; а + 4], не удовлетворяющее условию
задачи, так как не содержит х = 4,5.
3) Если а < 4, решение неравенства (2) есть отрезок [а; 4], т.е.
а < 1 < 4 или а < |х - 4| < 4 . Решая это неравенство аналогично преды¬
дущему, ползшим решение (см. рисунок)
У\\\\'
0 4-а а+4 8 х
[0; 4-a]U[а + 4; 8], которое при а + 4 <4,5, т.е. при а <0,5 содержит
значение х = 4,5, т.е. первый член прогрессии и все положительные
числа меньше 4 — а. Поэтому, взяв, например, в качестве знаменателя
прогрессии положительное число а - ——— < 1, убеждаемся в том, что и
4,5
второй член прогрессии 4,5q = 4-а, и все последующие будут принад¬
лежать множеству решений данного в условии неравенства.
Ответ', (—со; 0,5].
621
Второй способ. Изобразим геометрически на плоскости Оха пары чи¬
сел (х\а), удовлетворяющих полученному неравенству (1). Построим
линии — границы множества решений неравенства (1), заменив не¬
равенство соответствующим уравнением, приравнивая левую часть
(1), т.е. каждый из ее сомножителей, к нулю.
1. |х — 4| — 4 = 0, ползшим х = О, х = 8, т.е. две вертикальные
прямые (см. рисунок).
2. |х-4|-<7=0, получим <7 = |х-4|, т.е. график функции <7 = Ы1
сдвинутый вправо на 4 ед. (см. рисунок).
Вся плоскость разбилась указанными линиями на шесть частей. За¬
давая пробные точки (х;я) в каждой части, выделяем штриховкой те
из них, в которых неравенство выполняется. Например, точка (1;1) не¬
равенству (2) удовлетворяет: (3-4)(3-1)<0, значит, выделяем область
II (см. рисунок), в которой содержится эта точка, и т.д.
3. Из рисунка видно, что первый член прогрессии Xj =4,5 попа¬
дает в выделенное множество решений неравенства при всех
а <0,5. При этом, чтобы удовлетворить условию задачи, любой другой
член убывающей прогрессии х(0<х<4,5) не должен попадать в не¬
заштрихованную область (например, при <7 = 0,5 в область (3,5; 4,5) —
3,5
см. рисунок). Этого легко добиться, если взять <7<-^-^-<1. Пусть, на¬
пример, q
= —; тогда при <7 <0,5 все члены прогрессии 4,5;
622
3,5; —;... попадают в заштрихованную область (II), т.е. являются ре-
18
шением неравенства (2).
Ответ: (-<»; 0,5].
Вариант 256 (группа С)
С1. Решите уравнение |sinx| = sin х cos х .
Решение. Если sin х + 0, то уравнение принимает вид:
sin х = sin х cos х, или cos х = 1, если sin х > 0; - sin х = sin х cos х, или
cosx = -l, если sinx<0. Решения этих уравнений (соответственно
х = 2тш, х = п + 2пп) не удовлетворяют условию sinx + 0.
Следовательно, sinx = 0, или х = пп. При этом условии данное
уравнение обращается в верное равенство.
Ответ', х = лп, п е Z.
С2. Найдите нули функции
у = 1п2(х2 - Зх - 9) + л/х3 - 8х - 8 .
Решение. Так как оба слагаемых в выражении функции неотри¬
цательны, то равенство функции нулю возможно при одновременном
обращении в нуль каждого слагаемого, т.е.
Jln2(x2 -Зх-9) = 0;
1 х3 -8х-8 = 0.
Из первого уравнения следует, что In2 (х2 - Зх - 9) = 0, откуда
х2 - Зх - 9 = 1, или х2 - Зх -10 = 0 , т.е. х: =5, х2 = -2 .
Из полученных корней второму уравнению удовлетворяет только чис¬
ло-2, ибо 53-8-5-8* 0, а (-2)3 -8(-2)-8 = 0 .
Ответ: —2.
СЗ. Решите систему уравнений:
25
х-4 у
+ 5 =
6-5х
4 У
2х - 8у + 10
5
= Зх + 6у -13.
х-4у-1
Решение. Приведя первое уравнение системы к равносильному
25x~4j - 6 • 5x~4j +5 = 0 (ибо 54j + 0) и обозначив в нем 5x~4j = t > 0 ,
623
получим уравнение t2 - 6t + 5 = 0 , корни которого tx = 1; t2 = 5 , т.е.
5х~4у = 1; откуда х-4у = 0, или 5х~4у = 5 , откуда х-4у = 1.
Если х — 4у = 1, то второе уравнение системы не имеет смысла (зна¬
менатель дроби обращается в нуль).
Если х-4у = 0, т.е. если х = 4у, то после подстановки во второе
2 • 4у - 8у +10
уравнение, получим = 3-4у + 6у-13 или 18у = 3, откуда
4у - 4у -1
1 , 1 2
у — — и х = 4-— = — .
6 6 3
п (2 1
Ответ: —; —
1з 6
С4. Сфера радиуса 6 касается плоскости в точке А. В этой же
плоскости лежит основание куба. Прямая, проходящая через
центр основания куба (точку С) и точку сферы В, диаметрально
противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М
является точкой касания сферы и куба (их единственная общая
точка) и лежит на середине ребра верхнего основания куба.
Найдите сторону куба.
Решение. Осевое сечение сферы, проходящее через точку М,
показано на рисунке.
Обозначим: О — центр сферы, D — проекция точки М на отрезок
АВ; Е — проекция точки М на отрезок АС.
Пусть сторона куба а, тогда ЕС = — и tg а = = а = 2 (см. ри-
2 ЕС а!2
сунок).
Центральный угол ZAOM вдвое больше вписанного
ZABC, опирающегося на ту же дугу AM, т.е.
ZAOM= 2ZABC= 2(90° - а) = 180° - 2а. Из тре¬
угольника АВС АС = АВ • ctg а = ^ = 6.
tga 2
Из треугольника О DM
DM = ОМ■ sin(l80° -2a) = Rsin2a = 2R-
tga
1 +tg2a
В
Следовательно, ЕС = — = АС- АЕ = АС- DM = 6 - 4,8 = 1,2 и а = 2,4.
2
Ответ: 2,4.
624
С5. Найдите все значения параметра а, при которых множество
содержится в не-
„ . а 8
решении неравенства 1 — < —
X X
Л а+ 2 2а
V х х
котором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-либо от¬
резок длиной 4.
Решение. После преобразований
х-а 8(х2 ~(а + 2)х + 2а) х2 (х - а) - 8(х - а)(х - 2)
<¬
X XJ
(учитывая, что
<0,
х2 - (а + 2)х + 2а = х(х - а) - 2(х - а) = (х - а)(х - 2)),
(х-а)(х2 -8х + 16) „ (х-а)(х-4)2
< 0 , приведем неравенство к виду < 0 .
xJ xJ
Так как (х-4)2 > 0 , а х = 4 не является решением полученного нера¬
венства, то при х Ф 4 исходное неравенство равносильно следующему:
^<0.
х
1) Если 0 < а < 4, то решение полученного неравенства — интервал (0; а)
длиной меньше 4.
х
1 1 ► х
0 а 4
2) Если а > 4, то решение этого неравенства — объединение интер¬
валов (0; 4) U (4; а). Отрезок длиной 4 может содержать только интервал
(4; а), т.е. а > 8, и полученные интервалы не содержатся в отрезке дли¬
ной 7.
3) Если а < 0, то решение полученного неравенства (а; 0). Этот ин¬
тервал содержит отрезок длиной 4 при а < — 4 и содержится в отрезке
длиной 7 при а>—1.
-\ 1 1 ► х
-7 -4 а 0
Ответ. (—7; —4).
Вариант 257 (группа С)
n Vl9 + x Ух + 19 81^
Cl. Решите уравнение 1 = .
х 19 304
Решение. Преобразуем уравнение к равносильному
625
4
у/х + 19 (x + 19) 81 3/- t inVi 81 у
1 - = \jx или x + 19 з =—x3,
19x 304 v ’ 16
откуда после возведения обеих частей уравнения в куб получим
4 ГзУ2
(х + 19) =1 — 1 • х4. Данное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений: x + 19 = ±^-j х или 8(х + 19) = +27х из которых Xj=8;
152
х, = —
35
12
О т в е т: х, = 8; х9 = -4—.
1 2 35
С2. Найдите те значения аргумента х при которых график
функции у = 0,5 log2 х2 - 3 log2 (4х) +12 будет расположен между
64
графиками функции у = 8 и у = log2 —.
X
Решение. График функции
у = 0,5 log2 х2 -3 log2 (4х) + 12 = 0,5(2 log2 х)2 -3(log2 4 + log2 х) + 12 =
= 2 log2 х - 3 log2 x + 6
64
будет расположен между графиками у = 8 и у = log2 —, если:
х
64 2
log2 — < 2 log2 х-3 log2 х + 6 < 8 (1)
х
или
2 64
8 < 2 log2 х-3 log2 х + 6 < log2— (2).
х
Двойное неравенство (1) равносильно системе неравенств
12 log2 х-3 log2 х + 6 < 8,
[2 log2 х-3 log2 х + 6 > 6 - log2 х.
Полагая log2 х = t, придем к системе
12г - Зг - 2 < 0,
I It2 -2t>0,
откуда
-~<t<2
2 ’ (см. рисунок).
t < 0, t > 1,
626
и — <t < 0 или 1 < t < 2, т.е. < log2 х < 0 или 1 < log2 х <2. Учиты¬
вая, что основание логарифма а
2 > 1, получим —т= < х < 1 и 2<х <4.
' л/2
Аналогично, решая двойное неравенство (2), придем к системе
hr - 3/ - 2 > о,
< которая, как нетрудно убедиться (см. рисунок), несо-
[2r -2t < 0, ' ' '
вместна.
1 0 1
2
1
СЗ. Необходимо произвести отделку здания, имеющую форму
прямоугольного параллелепипеда, объемом 432 куб. м. Отделка
стены здания, примыкающей к внутреннему строению, обходит¬
ся в 1000 руб, за квадратный метр. Отделка трех фасадных стен
обходится в 2000 руб. за квадратный метр. А заливка крыши,
форма которой является квадратом, обходится в 7000 руб. за
квадратный метр. Найдите размеры здания, отделочные работы
которого при данных условиях являются наименьшими по
стоимости.
Ответ:
Решение. Пусть сторона квадрата — основания здания — равна х.
432
Тогда высота задания равна h = ——. Общие затраты на отделку одной сте-
X'
ны (по 1000 руб. за кв. метр), трех фасадных стен (по 2000 руб. за кв. метр)
длиной х и высотой h и заливку квадратной крыши (по 7000 руб. за кв.
метр) составляют
■$ = 100fl|x-^ j + 2000 • 3 ^ jr ■■ ^ j + 7000х2 = 7000 ^— + х2 j.
627
Задача свелась к исследованию функции S (х) на экстремум, Най-
(х3 — 21б)
-—s'(x) = о
дем производную S'(x) = 70001 —+ 2х | = 14000
432
2
X
при х = 6, причем .V'(x)<0 при х<6 и 5'(х)>0 при х> 6, т.е.
х = 6 — единственная точка минимума функции, совпадающего с наи¬
меньшим значением функции на интервале (0;+оо). Итак, размеры
432
здания 6, 6 и —— = 12.
О т в е т: 6 м, 6 м, 12 м.
С4. Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в
котором АВ = 5, ВС = 12 и угол АВС = 90°. Ребро AS перпенди¬
кулярно основанию АВС и равно 2\/l4. Точки L и М расположе-
CL SL SB2
ны на ребрах SC и SB. При этом — = , SM ■ МВ = , при-
SL SC 9
чем точка М расположена ближе к В. чем к S. Найдите объем
пирамиды AMLC.
Решение. В качестве основания пирамиды AMLC рассмотрим
треугольник ALC.
1) Найдем площадь S треугольника ALC. Вначале вычислим
ас = 4ав
= у{5
2 1 ВС2 =
2 +122 =13;
SC = 4 AS2 +АС2 =
+ 13- =15.
CL SL
По условию
SL SC
Пусть CL = а, тогда
a 15-a
SL 15 а и
1-5-dr
\2
15
или 15a = (15-a)~, т.е.
a2 -45a + 225 = 0, откуда CL = a = ~(з j (второй корень уравне-
628
ния а2 =— (з -7?) не годится, так как а2 = CL не может быть боль¬
ше SC = 15).
Так как треугольники ALC и ASC имеют одну и ту же высоту (из
вершины А), то
-’AALC
ASC
CL
SC
i-W-W-f-[{лс-мШ
■ 13 • 2-v/l4 •
15(з-7?) 13л/ы{з-^
2 ' ) 2-15 2
2) Найдем высоту пирамиды, т.е. длину перпендикуляра, опущен¬
ного из вершины М. Проведем MMJhS, следовательно, MMJ плос¬
кости ASC (по признаку параллельности прямой и плоскости), т.е.
точка Мх удалена от плоскости ASC на такое же расстояние, что и
точка М. Найдем SB = aJaS2 + АВ2 = y(2Tl4) +52=9. Пусть
ВМ = Ъ, тогда SM = 9-Ъ.
q2 'J
По условию 9-Ъ=—, откуда Ь2-9Ь + 9 = 0, МВ = Ъ=—{^3-75")
(второй корень уравнения Ъ2 = -^-(з + 7?) = 9-Ъ = SM не удовлетворяет
условию, согласно которому ВМ < SM).
Проведем МХМ2 Т АС. Учитывая, что МХМ2 _L AS, по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости МХМ2 _1_ плоскости ASC, т.е.
Н = МХМ2 и есть искомая высота пирамиды AMLC.
ВМ, ВМ
Найдем М,М9. По теореме Фалеса L = . Пусть AM, =с, тогда
BA BS
, откуда 6(5-с) = 5(з~Т5)
В Мх = АВ - AM у = 9 - с и
5-с
f(3-V5)
5 9
5(3 + V?)
и с = — -. Наконец, из подобия прямоугольных треугольников
АМуМ2 и ЛВС следует, что
МуМ2
ВС
AM,
АС
, откуда
я = МуМ2 = АМу
ВС
АС
)(з+7?) 12 10(3+7?)
13
13
6
629
Итак, объем пирамиды
Т7 1 1 13VT4(3-V5) 10(з + л/5) 20л/^
332 13 3
Ответ.
3
С5. Пусть А — множество тех значений параметра а, для кото¬
рых выполняется условие xf + х2 <27, где х1;х2 — действитель¬
ные различные корни уравнения х2 -ах + 3- а = 0. Найдите
множество значений, которое при этих условиях принимает ве¬
личина х2 + х2.
Решение. Так как корни уравнения х2-ах + 3- а = 0 действи¬
тельные и различные, то его дискриминант
В = (~а)2-4(3-а) = а2 +4а-12 > 0, откуда а < -6, а > 2.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения
xi+x2=ci, х1-х2=3-а, поэтому множество значений А параметра а най¬
дется из условия xf +х\ <27, которое после преобразования левой части
X? + *2 = (X! + Х2 ) [xl ~ ХХХ2 + х\ ) = (хх + Х2 ) + Х2 f ~ ЪххХ2 ) =
= а(а2 -3(3-a)j = а3 +3а2 - 9а
примет вид а3 + За2 - 9а < 27, или а3 + За2 - 9а-21 <0. Решая это не¬
равенство, получим а1 (а + 3)-9(а + 3) < 0, или (а + 3)|а2-9^ < 0, т.е.
(а + 3)2(а-3)<0, откуда а = -3 и а<3.
С учетом ранее полученных ограничений для параметра а, имеем
\а < -6, а > 2,
систему < откуда следует, что параметр а принимает зна-
[а = -3, а < 3,
чения на множестве А = (-оо; — 6) U (2; 3].
20V14
Величина
/(а) = х( +х^ =^xL +X2^j - 2xix2 = а2 - 2(3-а)=а2 +
2а-6 —
= (а +1)2 - 7 (где а е А ) возрастает на интервале (-1; +оо) и убывает на
интервале (-оо; -1). Поэтому если ае(2;3], то /(а)е(/(2); /(3)],
630
или /(а)е(2;9]; если ае(-оо;-б), то /(а) е (/(-б);+00J, или
(18; +оо).
Ответ. (2; 9] U (18; + оо)
Вариант 258 (группа С)
С1. Найти наименьшее из возможных значений величины
Х+г^, если известно, что числа х-3у, 2у + 1 и 40 являются по¬
следовательными членами геометрической прогрессии.
X + V
Решение. Пусть —-— = t, откуда х = 2t - у. Так как числа х - 3у,
2у + 1 и 40 являются последовательными членами геометрической про¬
грессии, то (2у + 1)2 = 40(х-3у), или 4у2 + 4у +1 = 40х-Ъу. Учиты¬
вая, что х = 21 - у, придем к уравнению
4у2 +4у +1 = 40(21 -4у) -Ъу, т.е. 4у2 +164у + 1-801 = 0.
Первый способ. Квадратное уравнение будет иметь решение, если его
дискриминант D = 1642 -4• 4(1 -80l)>0, или 42(1681-l + 80l)>0,
откуда t >-21. Итак, наименьшее значение 1НШШ =-21.
Второй способ. Перепишем уравнение в виде
' = +164> + 4 = ^(<2> + 41)’ - ««I +1) = Ш(2)’+ 41)1 _ 2L
Если выражение в скобках будет равно нулю, то получим наимень¬
шее значение L
= -21.
Третий способ. Исследуем функцию l(y) на экстремум.
1 41
t'= —(8у + 164) = 0, откуда у = . Полученное значение есть точка
80 2
минимума, так как при переходе через эту точку слева направо произ¬
водная меняет свой знак с минуса на плюс. Итак, минимальное (оно
же и наименьшее) значение функции
41
2
80
41
2
у
= -21.
Ответ: — 21.
631
С2. Найдите корень (или произведение корней, если их не¬
сколько) уравнения 22х2 -(23 + 28)2х2+2х+2 + 211+4х = 0.
Решение. Поделим обе части уравнения на величину 24х ф 0,
^(х2^) ~я\^х2-2х , oil
после чего уравнение примет вид:
-(23 + 28 ) 2Х
■2п = 0.
Полученное уравнение является квадратным относительно у = 2х ~2х,
т.е. 2у2 -(23 +28)у + 2п =0. Применяя теорему, обратную теореме
Виета, корнями уравнения будут yt = 23 и у2 = 28. В результате прихо¬
дим к совокупности двух уравнений:
1) 2х “2х = 23, откуда х2 -2х = 3 и хг = -1, х2 = 3;
2) 2х “2х = 28, откуда х2 - 2х = 8 и х3 = -2, х4 = 4.
Произведение указанных корней (-1) • 3 • (-2) • 4 = 24.
Ответ: 24.
СЗ. Найдите все значения р, при которых уравнение
8 sin3 х = р + 9cos2x не имеет решений.
Решение. Представим уравнение в виде
8sin3x = p + 9(l-2sin2x), или 8sin3x + 18sin2x-9 = p.
Пусть sin x = t, где -1<?<1. Задача свелась к нахождению значе¬
ний р, при которых уравнение 8i3 +18?2 - 9 = р не имеет решений на
отрезке И1]-
632
Запишем уравнение в виде 2l2(4l + 9) = р + 9. Строим эскизы гра¬
фиков функций у = р + 9 и у- 2l2(4l + 9) (см. рисунок). Для построе¬
ния эскиза второго графика — кубической параболы — достаточно опре-
9
делить нули функции tx =0, t2 = —— и, например, значения у(-1) = 10,
у(1) = 26. Из рисунка следует, что уравнение не имеет решений, если
прямая у = р + 9 не пересекает полученную кривую на отрезке [-1; 1],
т.е. если р + 9 >26 или р + 9<0, откуда р е (-оо;-9)и (17;+оо).
В этом можно убедиться и аналитически, заметив, что при
*е[-1;1] 0 < 2t2 [At + 9) = 2t2 (4(l +1) + 5) < 2 • 13 (ибо 0 < t +1 < 2),
т.е. 0 < 2t2 (At + 9) < 26, причем у(0) = 0, у(1) = 26, а значит,
р + 9г[0;26], или рг[-9;17].
Ответ: ре(-оо;-9)и(17;+оо).
L С4. Основанием пи¬
рамиды SABCD является
прямоугольник ABCD.
Плоскость AS.C перпен¬
дикулярна плоскости
АВС, тангенс угла SAC
равен 15/7, тангенс утла
между прямой ВС и плос¬
костью AS.C равен 2.
Точка М лежит на
6
ребре ВС, ВМ =
S'
Точка L лежит на пря¬
мой AS. и равноудалена
от точек М и С. Центр
сферы, описанной около пирамиды SABCD, лежит в плоскости
основания пирамиды, радиус этой сферы равен 4. Найдите объ¬
ем пирамиды LAMC.
Решение. 1. Пусть точка О, лежащая в плоскости ABCD, есть центр
сферы, описанной около пирамиды SABCD. Тоща
ОА = ОВ = ОС = OD = OS. = R = 4,
а значит, О — центр прямоугольника и АС - 2R - 8.
633
2. По условию плоскости ASC и АВС перпендикулярны, поэтому
прямая АС — проекция прямой ВС на плоскость ASC. Следова¬
тельно, р = ZBCA есть угол между прямой ВС и плоскостью ASC , и
tg Р = 2.
3. В плоскости ASC (в которой точка L лежит на прямой AS)
опустим перпендикуляр LH на прямую АС . Так как плоскости ASC
и АВС перпендикулярны, то LH _1_ АВС, НС и НМ представляют
проекции равных (по условию) наклонных LB и LC, т.е. НС-НМ.
Поэтому треугольник СНМ — равнобедренный, следовательно,
МР = РС, где LP1 ВС.
4. Объем пирамиды LAMC V = —LH-SAMC■ В прямоугольном
треугольнике АСВ ВС - АС - cosp -
МС=ВС-ВМ=
АВ = АС -sinp =
АС
+ tg2p Vl + 22 n/5
_8 6__ _2_.
V5 >/5~>/5’
ПС-tgp _ 8-2 16
8 8 ,
= —==■. Значит,
РС = —МС = 3=;
2 S
•y/l + tg2p Vl + 22 V5
В треугольнике СРН НС = ^ - РС • Jl + tg2p - —J= ■ Js - 1. Gre¬
cos Р ^5
довательно, АН = АС-НС = 8-1 = 7. Теперь Л\ц/Г - • МС • /!# -
1 2 16 16 , „
= ■=■—==—, ибо АВ ± М С. В прямоугольном треугольнике
2 V5 V5 5
И7Й LH - АН - tg а - 7 • -у- - 15. Наконец, объем пирамиды
к=-|-15 Т = 16 ед'3
Ответ: 16.
С5. Найдите все значения а, при каждом из которых оба
числа 3sina + 5 и 9cos2а-36sin а-18 являются решениями не-
(25х-3х2 +18Wx-l
равенства , 2 >0.
log4 |х-7|-1
634
Решение. Решим приведенное неравенство. Его ОДЗ находится
из условий: х > 1, х - 7 + 0, log4 |х - 7| -1 + 0, или |х - 7| + 4, откуда
х > 1, х + 7, х + 3, х /11.
Найдем корни уравнения /(х)
(Зх + 2) (9-х)
Vx-1
log4
\x-7\-
-1
О, учиты¬
вая, что
25х-3х2 + 18 = 27х -Зх2 -2х + 18 = Зх(9 - х) + 2(9 - х) = (Зх + 2)(9 - х).
2
Получим Xi = (посторонний корень), х2 =9, х3 =1.
Изобразим полненные точки (с учетом ОДЗ) на числовой оси:
х
С помощью пробных точек определяем знак /(х) в каждом из по¬
лученных промежутков: /(2)>0, /(4)<0, /(8)<0, /(10) > О,
/(12) < 0. Решение данного неравенст¬
ва /(х)> 0: хе[1;3)и[9;11) (см. ри¬
сунок).
2. Пусть x = 3sina+5. Тогда
sin а = ——- и
3
у = 9cos2a-36sina-18 =
9(1 2 sin2 п) 36 si па IS =
a 9 - 18sin2 a - 36sinn -18 =
= 9-2(x-5)2 -12(x-5)-18 =
= 9 -2(x2 - lOx + 25 + 6x- 30 + 9) =
= 9-2(x-2)2.
3. По условию числа x и
у = 9- 2(х - 2)" являются решениями исходного неравенства, т.е. при¬
надлежат множеству [1;3)и[9;11). Так как -l<sina<l и
2 < 3siп а + 5 < 8, то случаи хе[1;2) и хе[9;11) невозможны.
635
Если х е (2: 3), то у(3) < у < у(2), 7 < у < 9 (см. рисунок), т.е.
у — 9-2(х-2)2 не принадлежат множеству [1;3) и [9,11).
Если х = 2, то у = 9, т.е. и число х, и число у являются решениями
исходного неравенства.
4. Итак, число а удовлетворяет условию задачи только, если
. . 71
x = 3sina + 5 = 2, откуда sina = -l и a = —— + 2пп, neZ.
71
Ответ: а = 1-2т, n&Z.
2
Вариант 259 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
1ху -2х
у-з
v3
logs-
— 7jc = 19,
-27
4у-3
= 3 log27(7x + 9)-l.
С2. Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат на
оси абсцисс, а две другие — на параболе у- 3-х , выбран
прямоугольник с наибольшей площадью. Найдите эту площадь.
СЗ. Центр грани куба с ребром 5 соединен с серединами сторон
противоположной грани, которые также соединены последова¬
тельно друг с другом. Вычислите площадь поверхности получен¬
ной пирамиды.
С4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера¬
венство х - а + х <4 имеет хотя бы одно положительное решение.
Вариант 260 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
5хЧ-у = 1,
|х - 4| + 2 = у.
С2. Найдите все значения, которые может принимать сумма
квадратов действительных различных корней уравнения
х2-{1-Ър)х + Ър2 +0,5/7-2,5 = 0.
636
СЗ. Сфера радиуса 5 касается плоскости в точке А. В этой же
плоскости лежит основание правильной четырехугольной пира¬
миды. Прямая, проходящая через центр основания пирамиды
(точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке
А, проходит через точку М. Точка М. является точкой касания
сферы и пирамиды (их единственная общая точка) и лежит на
апофеме пирамиды. Найдите объем пирамиды, если АС - 2.
С4. Найдите все значения параметра а, при которых множество
решений неравенства х(х-8)>(а + 4)(|х-4|-4) содержит все
члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом,
равным 4,3, и знаменателем q < —1.
Вариант 261 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
" 12
■у-
х-у X-у
х2-у2-8 _ З(х _|_ -у)2 _|_ §(х _|_ уУ
С2. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее мень¬
шему основанию. Найдите угол при ее большем основании, при
котором площадь трапеции наибольшая.
СЗ. Найдите угол между образующей и основанием усеченного
конуса, полная поверхность которого вдвое больше поверхности
вписанного в него шара.
С4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х4 - 5х2 + 4
= а(х2 - 4) имеет четыре решения.
Вариант 262 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
I Vl6-8x + x2 + у — 4,
[у - Зх + 6 = 0.
л
С2. Точка М. лежит на графике функции г = х - 2х , а точка N —
л
на графике функции у--х +14х- 50 . Чему равно наименьшее
из возможных значений длины отрезка MN7
637
СЗ. В прямоугольнике ABCDA\B\CiDi заданы AD = 6, АВ = 2,5,
АА\ = 4. Найдите объем пирамиды ЕВ\ С) D, если Е — точка на
АА\, причем АЕ = 2,5.
С4. Найдите все положительные значения а, при которых в об¬
ласти определения функции у = (а1_х -а6_ах)-0,9 есть трехзнач¬
ные натуральные числа, но нет ни одного двухзначного нату¬
рального числа.
Вариант 263 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
rz 7х + 6у + 5
Jlx + 6y-2 = ,
v 8
х+2у-9 х-у
7х + 6у-51 24
С2. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника
со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю
ОМ, где О — начало координат, а М,— точка на графике функ¬
ции у = 1-31п(0,2х-6), причем 31<х<35.
СЗ. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пи¬
рамида, основание которой делит перпендикулярный ему радиус
в отношении 1:2, считая от центра шара. Определите площадь
поверхности шара, вписанного в пирамиду, если высота пира¬
миды больше радиуса шара, описанного около этой пирамиды.
С4. Найдите все значения параметра а, при которых в области опре¬
деления функции у = ^log^ (х - 2а) - log^ (ах + 4) имеются нату¬
ральные числа, кратные 3, и их количество равно количеству нату¬
ральных чисел, кратных 5, принадлежащих этой области определения.
Вариант 264 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
|у-4| = ^4-(х-3)2,
<
|у - 4| = >/l — (х — 6)2.
С2. В прямом круговом конусе сумма образующей и радиуса его
основания равна Зу/з . Какие значения может принимать объем
шара, вписанного в конус?
638
СЗ. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\ С) D\ AD = 12 см,
АВ = 5 см, АА\ = 8 см. Найдите объем пирамиды ЕВ\ С) D, если
Е. — точка AAi, причем АЕ = 5 см.
С4. Найдите все значения параметра а, при которых в области
определения функции у =. 8- ——— есть хотя бы одно дву-
V х
значное натуральное число, но нет ни одного трехзначного на¬
турального числа.
С1. Решите систему уравнений
Вариант 265 (группа С)
\у1х-4 = у,
^у + |х-3| = 3.
С2. При каких значениях параметра а один корень уравнения
2
х - (2а + 1)х + 4а - 3 = 0 больше 3, а другой меньше 3?
СЗ. Найдите угол между образующей и основанием усеченного
конуса, полная поверхность которого втрое больше поверхности
вписанного в него шара.
С4. Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при
которых область определения функции
( х х+3 , 10+3log„ jc 3+2xlogха ( I ^
у = \а ■а +а &а -х &х -аЫа\
не содержит двузначных натуральных чисел.
Вариант 266 (группа С)
С1. Решите систему уравнений
х — 2 у
Зх-
-6.
|3х-
■у
■у
'х — 2 у
= -5,
х + у = 4.
С2. При каких значениях параметра а ни один из корней уравне¬
ния х2 - (4а + 2)• |х| + 4а-14 = 0 не принадлежит отрезку [—3; 1]?
СЗ. Шар, вписанный в правильную шестиугольную пирамиду
MABCDEK, пересекает высоту МО в точке Т так, что МТ:ТО =
= 2:6. Найдите объем пирамиды, если объем вписанного шара
равен 36л.
С4. При каких значениях параметра а решение неравенства
(а — х yjllx- 18-х2 > 0 содержит не более четырех целых чисел?
639
Вариант 267 (группа С)
С1. Решите уравнение
х 7 7
С2. Решите неравенство |l - 5х| - |х - 2| < 3.
СЗ. Три числа, принадлежащие соответственно интервалам (0; 2), (2;
3) и (3; 5), являются первыми членами арифметической прогрессии.
Найдите, какие значения может принимать величина \la2 +d2, где
а — первый член, ad — разность арифметической прогрессии.
С4. В кубе ABCDAiBiC\Di со стороной 1 на ребрах АВ, AD, СС\
заданы соответственно точки М, N, L, причем AM = —,
4
AN. =—, CL=—. В куб вписан шар. Определите площадь кру-
4 2
га — сечения шара плоскостью, проходящей через точки М, N, L.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения
|х2-4х| = а + 3 и р т = ах1 имеют корни, причем число
5 — |х —1|
корней в этих уравнениях одинаковое.
СЗ. Стороны прямоугольника равны 5 и 10. Через каждую точку
на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямо¬
угольный треугольник с периметром 12. Найдите наименьшее
значение площади оставшейся части прямоугольника.
С4. В кубе ABCDAiBiC\Di со стороной 12 на ребрах АА\, ВВ\,
DD\ заданы соответственно точки М, N, L, причем AM = 10,
BN = 9, DL = 7. Секущая плоскость проходит через точки М, N,
L и делит куб на два многогранника. Найдите наибольший из
объемов этих многогранников.
С5. Пять чисел образуют возрастающую геометрическую про¬
грессию со знаменателем q. Первый, второй и четвертый члены
этой прогрессии являются решениями неравенства
Вариант 268 (группа С)
С1. Решите уравнение
С2. Решите неравенство
4-\/(3x-l)2 +^log2х2 +16-log4х < 4 —12х.
(0,01 • (х - 1)(х - 2)(х - 4)(7 - х)) < 1,
640
а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите
множество всех возможных значений знаменателя этой прогрессии.
Вариант 269 (группа С)
С1. Решите уравнение >/х + 3 ->/х-3 = л/зх 2-27-^/(|х|-3)2.
С2. Решите неравенство ^log2 х - 3 > 5 - log2 х.
СЗ. Необходимо произвести отделку здания, имеющего форму
прямоугольного параллелепипеда, объемом 864 куб. м. Заливка
крыши, форма которой является прямоугольником с длиной, в
2 раза большей ширины, обходится в 4000 руб. за квадратный
метр. Отделка более длинной стены здания, примыкающей к
внутреннему строению, обходится в 1000 руб. за квадратный
метр. Отделка трех фасадных стен обходится в 2000 руб. за квад¬
ратный метр. Найдите длину, ширину и высоту здания, отде¬
лочные работы которого при данных условиях являются наи¬
меньшими по стоимости.
С4. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в
котором АВ = 4, ВС = 3 и угол АВС = 90°. Ребро AF перпенди¬
кулярно АВС и равно 3. Точки L и М расположены на ребрах FC
FL LC FB2
и FB. При этом = , FM-MB- , причем точка М
LC FC 5
расположена ближе к В, чем к F. Найдите объем пирамиды
AMLC.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(10а -29) • 27х + (11 - За) • 9х - (7а-17) • 3х +1 = 0
5-а + 3|а-1| „
имеет корней. Решите уравнение при этих а.
4
Вариант 270 (группа С)
С1. Решите уравнение 2 sin х • tg х - 2tg х - cos х = 0.
С2. Найдите все значения х, для каждого из которых расстояние
от соответствующей точки графика функции /(х) = yjx2 -2х + 1
до прямой у - 3 меньше чем 2.
СЗ. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 162
дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание
подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка — в стену
цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в
641
пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки,
при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.
С4. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в
котором ZABC = 90°, АС = 2, ВС = 3. Ребро ^перпендикуляр¬
но плоскости АВС и равно 4. Отрезки AM и AL являются соот¬
ветственно высотами треугольника AFB и AFC. Найдите объем
пирамиды AMLB.
С5. Даны два уравнения:
1 / / 77\ л 2 5х2 + (3n-l)x + l4
log31 Xyjp + 11) = 6p-l-I2x и x + — = .
v x x(6 — p)
Значение параметра p выбирается так, что /; +11 > 0, p Ф 6 и
число различных корней первого уравнения равно сумме числа
4 — р и числа различных корней второго уравнения. Решите
первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном
таким образом.
Вариант 271 (группа С)
, . sin2 х
Cl. Решите уравнение sin х + tg х = .
sin2x
С2. Найдите все значения переменной х, при которых соответ¬
ственные значения функций /(х) = 22х и g(x) = 2X+1 + 24 разли¬
чаются не более чем на 24.
СЗ. Сумма ребер правильной шестиугольной призмы равна 36.
Найдите наибольший возможный объем призмы.
С4. В плоскости грани A SB правильной треугольной пирамиды
SABC проведен отрезок MN, параллельный ребру SB, концы ко¬
торого принадлежат соответственно ребрам SA и А В. В грани
AS.C проведен отрезок KL, параллельный ребру АС, концы кото¬
рого принадлежат соответственно ребрам SA и S.C. Найдите от¬
ношение объема пирамиды KLMN к объему пирамиды SABC,
MN 6 KL 4
если =—,
SB 7 АС 5
С5. Найдите наименьшее значение параметра к, при котором
система уравнений
cos х cos у cos(x + у) + — = 0,
< 8
|х| + |j| + \у ~ кх - л| = х(1 + к) + п
имеет решение.
642
Вариант 272 (группа С)
С1. Решите уравнение sin2 х-|cosx| + 1 = 0.
С2. Найдите нули функции
у = \1х4 + 5х3 +64 + arcsin2(x2 + 4х).
СЗ. Решите систему уравнений
х = -
3^ =
2-У
2-У-Ъ'
5х + 2
х + 2
С4. Сфера проходит через вершину А, В и D куба ABCDA\B\ C\Di
и середину ребра A\Bi. Найдите ридиус шара, если ребро куба
равно а.
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
- ч, ( а1-2а + х Л „
все корни уравнения (2х - За) loga+2-x —— =0 принад-
4х -11х-
лежат отрезку
2
2
Вариант 273 (группа С)
log^ з +log25 (х+5)
Cl. Найдите значение функции fix) = 25 ">Л _| л в точке
максимума.
С2. Решите уравнение cos 4+ • sin 5л: — 1 = 0.
СЗ. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
х2 +ах-12
< 1 верно для любого значения пе-
неравенство | —cos20°
ременной х е [-6; 2].
С4. Основание прямой призмы АВСА\В\ С) является треугольник
АВС, в котором ZC = 90°, ZA = 30°, ВС= 2yf2. Точка К — сере¬
дина ребра ССь В\ К _L А\ В. Найдите тангенс угла между прямой
А\В и плоскостью основания призмы.
С5. Решите неравенство
2х2-4х
log^x-2)
>
Ах+\о%2(х-2)
2
I
8 '
643
Вариант 274 (группа С)
С1. Найдите значение функции
,, , >g5^f-logc,,2(2x+4)
/(х) = 5 2-4
в точке максимума.
С2. Решите уравнение
sin2x • tg х - 2sin2 х + sinx +1 = 2cos2 x.
СЗ. При каких значениях параметра а все корни уравнения
2ах2 + (2а3 - 6а2 - 1)х - а(а - 3) = О
удовлетворяют условию |х| < 1 ?
С4. Дана правильная треугольная пирамида. Центр основания
пирамиды является вершиной конуса, окружность основания ко¬
торого вписан в боковую грань пирамиды. Найдите радиус осно¬
вания конуса, если сторона основания пирамиды равна 4^7.
С5. Найдите количество всех решений системы уравнений
у(2 - х)2 + х3 = О,
‘ 2х = log4(64y2)-7.
xlogy 4
Вариант 275 (группа С)
С1. Найдите наибольшее значение функции
т=
9 - х2 - 5 + л!9 - х2 + х3 -6х2.
С2. Решите уравнение
log3x+i(17x2 +15х + 2) = 2 + - -.
log2(3x + l)
СЗ. Найдите все значения а, для которых при каждом х из про¬
межутка (—2; —1] значение выражения х8 -Зх4 -16 не равно зна¬
чению выражения ах4.
С4. Дана сфера радиуса 12. Сечением этой сферы плоскостью
является окружность с диаметром АВ. Плоскость сечения удале¬
на от центра сферы на расстояние 4. Точка D выбрана на сфере,
а точка С — на окружности сечения так, что объем пирамиды
ABCD наибольший. Найдите площадь треугольника DMN, где М
и N.— середины ребер АС и ВС соответственно.
644
С5. Решите уравнение /(g(x)) + g(2 + /(х)) = 29 , если известно, что
Г 26 при х > 6,
/(х) = 0,5х2-4х + 13 и g(x) = <Lx 24 ^
^ v ' ’ 6W 4 + при х<6.
I 7-х
Вариант 276 (группа С)
С1. Найдите наименьшее значение функции
/(х) = (Зх - 2)5 • (2х +1)
на промежутке [0; +оо).
С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
2х
sin2 — +25 и 25 cos2 — +10 sin — sin — принимают равные
2х
значения.
СЗ. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенст-
а-( 5-2х+3-2-х) . „
во j 1 >0 не имеет решении.
(4-|cosx|) + n
С4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\ В\ С) D\. На его
боковых ребрах АА\ и ВВ\ лежит точка М и Р соответственно
так, что НМ: МА\ = 7:5; В\Р : РВ = 4: 3. Во сколько раз объем
данного параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной
в точке Р, основанием которой является сечение параллелепи¬
педа плоскостью BMD{!
С5. Докажите, что система уравнений
16х3 + 40х2 + 29х + 6 = 0,
logn+4x +10 + — j - 7 = у(5 + 12х) + -8х(2х + 1) + 15 • log7 у
имеет единственное решение.
Вариант 277 (группа С)
С1. Найдите наименьшее значение функции
/(х) = (0,4х + 2)5 (2х-3) на промежутке (—да; 0].
С2. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = х2+1 и у = 0,5(2 + 6х + 4-\/2х2 -6х + 5).
645
СЗ. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенст¬
во
(3 + 5х-1)-а
а + (4ctg2x + 2tg2x)
<0 не имеет решений.
С4. Стороны АВ и ВС основания прямоугольного параллелепи¬
педа ABCDA1B1 С\ D\ равны 7 и 5 соответственно, боковое ребро
АА\ равно 3. Точки L, К, М лежат на ребрах AD, А\В\, В\ С) так,
что AL : AD =3:5, АХК: AYBY = 4:7, ВХМ: В& = 2 : 5. Найди¬
те объем пирамиды с вершиной К и основанием АМС\Ь.
С5. Найдите все корни уравнения I Ох’’ - 63х2 + 48х - 9 - 0, при
подстановке каждого из которых в уравнение
(7x-l,l)siny + —-9 = (х+3,7)у2 + ./ ^ -100х2 +160х-169 -cos2y
х V х +1
получится уравнение относительно у, имеющее более одного
корня.
Вариант 278 (группа С)
С1. Найдите наибольшее целое значение функции
у = log3(12x2 - х3) + log3 х.
С2. Найдите корень (или произведение корней, если их не-
. л/4 + х л/х + 4
сколько) уравнения h
х 4
СЗ. Найдите длину промежутка (или наибольшую из длин таких
промежутков, если их несколько) тех значений параметра а, при
которых число целых решений неравенства ||х-4| - 2х| <а(х + 6)
не менее 2 и не более 14.
С4. Основанием прямой призмы АВСЛ\ В\ С) является прямо¬
угольный треугольник с катетами АВ = 4 и ВС = 6. Высота
призмы равна 10. Найдите объем пирамиды с вершинами в точ¬
ке Ci и серединах ребер ВС, ВВ\ и А\В\.
С5. Найдите число решений системы уравнений
Пх2 - 4пху - 32тг2у2| + |у - cosx| = 0,
|^4л - |х - 4я| + -y/l -у2 = ^4л-|х-4л| + -y/l -у2
646
Вариант 279 (группа С)
С1. Найдите наибольшее из возможных значений величины
если известно, что числа х-2у, у + Зх и 20 являются последо¬
вательными членами арифметической прогрессии.
С2. Найдите число корней уравнения
22 • tg2x 9
1 + tg2x cos2 X
7 cos 2x-16, принадлежащих отрезку [-5,5; 11].
СЗ. Три числа, принадлежащие соответственно промежуткам
[0; 1], [4; 6] и [9; 12], являются первыми членами арифметиче¬
ской прогрессии. Найдите сумму целых значений, которые может
принимать величина a2 +d2, где а — первый член, a d — раз¬
ность арифметической прогрессии.
04. В прямоугольном параллелепипеде A BCD А \ В\ С) D\ заданы AD = 6,
АВ = 5 и АА\ = 9. Найдите объем пирамиды ЕВ\ С) /\ где Е — точ¬
ка на AAi и АЕ = 6, a F — точка CD и СЕ = 4.
С5. Найдите сумму значений параметра а, при которых количест¬
во корней уравнения (а - З0)х3 - 4Ох2 + 20х = 0 равно количеству
общих точек линий х2 + у2 = а и у = 6 - |х - 2|.
Вариант 280 (группа С)
. х3 -6х2 +9х-11. ,, .
lg logo i (2-х)
Cl. Найдите в точке экстремума функции у = 10 х_2 '
значение этой функции (или сумму значений функции, если у
нее несколько точек экстремума).
С2. Найдите значения параметра а или сумму таких значений,
если их несколько), для которых уравнение
единственное решение.
х2 - За ах+ 5
-25
с2-25
имеет
СЗ. Найдите сумму целых значений параметра а, при которых
множество решений неравенства х(х -10) > (а + 5)(|х - 5| - 5) со¬
держит все члены некоторой геометрической прогрессии с пер¬
вым членом, равным 3, и знаменателем —5 <</<—!.
647
С4. В кубе ABCDA\B\ С) D\ на серединах ребер AD и DC заданы со¬
ответственно точки М. и N. Точка L лежит на ребре СС), причем
CL . LC\ = 1 : 5. Площадь круга, вписанного в каждую грань куба,
равна 11. Вокруг куба описан шар. Определите площадь круга —
сечения шара плоскостью, проходящей через точки М, N, L.
С5. Найдите число пар целых чисел (х, у), удовлетворяющих урав¬
нению х2 + 2 ху - 3 у2 =15.
Вариант 281 (группа С)
С1. Найдите наименьшее значение функции
у — \ з. 21о«°.5(2х-11>-1°«0,5(*2+12)
С2. Найдите корень (или произведение корней, если их несколько)
уравнения Ух + 5 -Ух-5 = \j4x2 -52 -(/(|х|-5)2.
СЗ. Найдите сумму целых значений параметра а, при которых
множество решений неравенства х(х - 6) >(а- 3)(|х - 3| - 3) содер¬
жит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым
членом, равным 4, и знаменателем -3 < q < -1.
С4. Основанием прямой призмы АВСА\В\ С) является прямоуголь¬
ный треугольник с катетами АВ = 1 и ВС = 4. Высота призмы рав¬
на 8. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке С) и основа¬
нием, совпадающим с сечением призмы плоскостью, проходящей
через середины ребер ВС, ВВ\ и А\В\.
С5. Найдите число решений системы уравнений
12у2 - 2х2 = 3ху,
[2 ху - 2х sin пх = sin пх cos пу - у cos пу.
648
Приложения
Приложение 1
Программа по математике для поступающих
в высшие учебные заведения
На экзамене по математике поступающий в высшее учебное заведе¬
ние должен показать: а) четкое знание математических определений и
теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы;
б) умение точно и сжато выражать математическую мысль в устном и
письменном изложении, использовать соответствующую символику;
в) уверенное владение математическими знаниями и навыками, преду¬
смотренными программой, умение применять их при решении задач.
Настоящая программа состоит из трех разделов.
В первом разделе перечислены основные математиче¬
ские понятия и факты, знание которых должен показать поступающий
как на письменном, так и на устном экзамене.
Второй раздел представляет собой перечень вопросов тео¬
ретической части устного экзамена. При подготовке к письменному эк¬
замену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений
из этого раздела.
В третьем разделе указано, какие навыки и умения
требуются от поступающего на письменном и устном экзаменах.
Объем знаний и степень владения материалом программы соответ¬
ствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользо¬
ваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала анали¬
за. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного
владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены
в настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в общеобра¬
зовательной школе, также могут использоваться поступающим, но при
условии, что он способен их пояснять и доказывать.
В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием от¬
дельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках
называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде за¬
дач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают посту¬
пающего от необходимости знать эти утверждения.
649
I. Основные математические
понятия и факты
Арифметика, алгебра и начала анализа
1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель,
кратное. Общий наибольший делитель. Общее наименьшее кратное.
2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
3. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычита¬
ние, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
4. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных
дробей.
5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа,
его геометрический смысл.
6. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы со¬
кращенного умножения.
7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифмети¬
ческий корень.
8. Логарифмы, их свойства.
9. Одночлен и многочлен.
10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере
квадратного трехчлена.
11. Понятие функции. Способы задания функции. Область опреде¬
ления, множество значений функции. Функция, обратная данной.
12. График функции. Возрастание и убывание функции; периодич¬
ность, четность, нечетность.
13. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на про¬
межутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстре¬
мума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
14. Определение и основные свойства функций: линейной, квадра¬
тичной у = ах2 + Ьх + с, степенной у = ахп (и е N), у = к/х, показа¬
тельной у = а х, а > 0, логарифмической, тригонометрических функций
(у = sin х; у = cos х; у = tg х), арифметического корня у = у[х .
15. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
16. Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных
неравенствах.
17. Система уравнений и неравенств. Решения системы.
18. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула и-го
члена и суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула
и-го члена и суммы первых и членов геометрической прогрессии.
19. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
20. Преобразование в произведение сумм sin а ± sin Р; cos а ± cos р.
21. Определение производной. Ее физический и геометрический
смысл.
650
22. Производные функций у = sin х; у = cos х; у = tg х; у = хп
(п е Z); у = ах.
Геометрия
1. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина уг¬
ла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные
прямые.
2. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразова¬
ние подобия и его свойства.
3. Векторы. Операции над векторами.
4. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
5. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треуголь¬
ника. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре¬
угольника.
6. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квад¬
рат, трапеция.
7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к
окружности. Дуга окружности. Сектор.
8. Центральные и вписанные углы.
9. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллело¬
грамма, ромба, квадрата, трапеции.
10. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера уг¬
ла. Площадь круга и площадь сектора.
11. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных
фигур.
12. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
13. Параллельность прямой и плоскости.
14. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
15. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпенди¬
кулярность двух плоскостей.
16. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая
и наклонная призмы, пирамиды. Правильная призма и правильная пи¬
рамида. Параллелепипеды и их виды.
17. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр,
радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
18. Формула объема параллелепипеда.
19. Формулы площади поверхности и объема призмы.
20. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
21. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
22. Формулы площади поверхности и объема конуса.
23. Формула объема шара.
24. Формула площади сферы.
651
II. Основные формулы и теоремы
Алгебра и начала анализа
1. Свойства функции у = ах + Ъ и ее график.
2. Свойства функции у = к/х и ее график.
3. Свойства функции у = ах2 + Ьх + с и ее график.
4. Формула корней квадратного уравнения.
5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
6. Свойства числовых неравенств.
7. Логарифм произведения, степени, частного.
8. Определение и свойства функций у = sin х и у = cos х и их гра¬
фики.
9. Определение и свойства функции у = tg х и ее график.
10. Решение уравнений вида sin х = a, cos х = a, tg х = а.
11. Формулы приведения.
12. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента.
13. Тригонометрические функции двойного аргумента.
14. Производная суммы двух функций.
15. Уравнение касательной к графику функции.
Геометрия
1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого
многоугольника.
5. Признаки параллелограмма.
6. Окружность, описанная около треугольника.
7. Окружность, вписанная в треугольник.
8. Касательная к окружности и ее свойство.
9. Измерение угла, вписанного в окружность.
10. Признаки подобия треугольника.
11. Теорема Пифагора.
12. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
13. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравне¬
ние окружности.
14. Признак параллельности прямой и плоскости.
15. Признак параллельности плоскостей.
16. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
17. Перпендикулярность двух плоскостей.
18. Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух плоско¬
стей.
652
III. Основные умения и навыки
Экзаменующийся должен уметь:
1. Производить арифметические действия над числами, заданными в
виде десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью ок¬
руглять данные числа и результаты вычислений; пользоваться кальку¬
ляторами или таблицами для производства вычислений.
2. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,
содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показа¬
тельные, логарифмические и тригонометрические функции.
3. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показа¬
тельной, логарифмической и тригонометрической функций.
4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, урав¬
нения и неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений
и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в
частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержа¬
щие степенные, показательные, логарифмические и тригонометриче¬
ские функции.
5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
6. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить
простейшие построения на плоскости.
7. Использовать геометрические представления при решении алгеб¬
раических задач, а методы алгебры и тригонометрии — при решении
геометрических задач.
8. Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и
вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться
свойствами этих операций.
9. Пользоваться понятием производной при исследовании функций
на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков
функции.
Приложение 2
Содержание блоков школьного курса
математики, усвоение которых проверяется
на едином госэкзамене
Предлагаемые на едином государственном экзамене тестовые задания
проверяют усвоение пяти блоков школьного курса математики, краткое со¬
держание которых в соответствии с утвержденным Минобразованием РФ
кодификаторами приводится ниже.
Блок 1. «Выражения и преобразования»
1.1. Корень степени п (понятие и свойства корня степени п, тождест¬
венные преобразования иррациональных выражений). 1.2. Степень с ра¬
циональным показателем (понятие и свойства степени с рациональным
показателем, тождественные преобразования степенных выражений).
1.3. Логарифм (понятие и свойства логарифмов; десятичные и натураль¬
ные логарифмы; формулы перехода от одного основания логарифма к
другому, тождественные преобразования логарифмических выражений).
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс (понятие синуса, косинуса, тан¬
генса, котангенса числового аргумента; соотношения между тригономет¬
рическими функциями одного аргумента; формулы сложения и их следст¬
вия; формулы приведения; тождественные преобразования тригонометри¬
ческих выражений). 1.5. Прогрессии (арифметическая и геометрическая
прогрессии — формулы общего члена и суммы п первых членов; текстовые
задачи с практическим содержанием на использование прогрессии.
Блок 2. «Уравнения и неравенства»
2.1. Уравнения с одной переменной. 2.2. Равносильность уравнений.
2.3. Общие приемы решения уравнений (разложение на множители, замена
переменной, использование свойств функций, графиков в иррациональ¬
ных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнениях).
2.4. Решение уравнений (решение иррациональных, тригонометрических,
показательных и логарифмических уравнений; использование нескольких
приемов при их решении; решение комбинированных уравнений: показа¬
тельно-логарифмических, показательно-тригонометрических и др., в том
числе содержащих переменную под знаком модуля и с параметром).
2.5. Системы уравнений с двумя переменными (системы, содержащие одно
или два рациональных, иррациональных, тригонометрических, показа¬
тельных, логарифмических уравнений; уравнения разного вида; использо¬
вание графиков при решении систем; системы, содержащие уравнения
разного вида из вышеназванных, в том числе с параметром).
2.6. Неравенства с одной переменной (рациональные, показательные, лога¬
рифмические неравенства, в том числе содержащие переменную под зна¬
ком модуля и с параметром; использование графиков при решении нера¬
венств; решение комбинированных неравенств). 2.7. Системы и совокуп¬
ность неравенств.
Блок 3. «Функции»
3.1. Числовые функции и их свойства (область определения и множест¬
во значений тригонометрической, показательной, логарифмической
654
функций, корня четной степени; непрерывность функции; периодич¬
ность функции: синуса, косинуса, тангенса, котангенса; четность (нечет¬
ность) функции; возрастание (убывание), наибольшее (наименьшее) зна¬
чение, ограниченность, сохранение знака, значения тригонометрической,
показательной, логарифмической функций; экстремумы и наибольшее
(наименьшее) значение функции; те же свойства сложных функций;
связь между свойствами функций и их графиками. 3.2. Производная функ¬
ции (геометрический и физический смысл производной; таблица произ¬
водных: тригонометрические, показательная, логарифмическая функции;
производная суммы, произведения, частного двух функций; производная
функции вида у =f(ax+ Ъ), производная сложных функций.
3.3. Исследование функций с помощью производной (нахождение промежут¬
ков монотонности, экстремумов, наибольшего и наименьшего значений
функций; построение графиков функций); решение текстовых задач на
нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины с помощью
производной). 3.4. Первообразная (первообразная суммы функций, произ¬
ведение функции на число; задача о площади криволинейной трапеции).
Блок 4. «Числа и вычисления»
4.1. Проценты (основные задачи на проценты). 4.2. Пропорции (основное
свойство пропорции, прямо и обратно пропорциональные величины).
4.3. Решение текстовых задач (на движение, на работу, на сложные про¬
центы, на десятичную запись числа, на концентрации, смеси и сплавы).
Блок 5. «Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометри¬
ческих величин»
5.1. Треугольники (признаки равенства и подобия треугольников; сум¬
ма углов треугольника; неравенство треугольника: теорема Пифагора;
теоремы синусов и косинусов; площадь треугольника). 5.2. Многоугольни¬
ки (параллелограмм, его виды и площадь; трапеция, ее средняя линия и
площадь; правильные многоугольники). 5.3. Окружность и круг (каса¬
тельная к окружности и ее свойства, центральный и вписанный углы,
длина окружности, площадь круга; окружность, вписанная в треугольник
и описанная около него, комбинация таких окружностей). 5.4. Векторы
(равные векторы, координаты вектора, сложение векторов, умножение
вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векто¬
ров). 5.5. Углы (между прямой и плоскостью, между плоскостями, между
скрещивающимися прямыми). 5.6. Расстояния (от точки до прямой и
плоскости, между скрещивающимися прямыми). 5.7. Многогранники
(призма, сечение ее плоскостью, площадь боковой и полной поверхно¬
стей и объем; пирамида, сечение ее плоскостью, усеченная пирамида,
площадь боковой и полной поверхности пирамиды и ее объем; правиль¬
ные многогранники, сечение плоскостью, площадь боковой и полной
поверхности, объем). 5.8. Тела вращения (прямой круговой цилиндр, се¬
чение его плоскостью, площадь боковой и полной поверхностей, объем;
прямой круговой конус, сечение его плоскостью, усеченный конус, пло¬
щадь боковой и полной поверхности конуса и его объем; шар, его объем;
сфера, площадь ее поверхности). 5.9. Комбинации тел (многогранников,
тел вращения, многогранников и тел вращения).
Приложение 3
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА1
первичных баллов в тестовые баллы на едином
госэкзамене по математике в 2007 и 2008 г.2
Сумма
первичных
баллов
Тестовые
баллы
Сумма
первичных
баллов
Тестовые
баллы
Сумма
первичных
баллов
Тестовые
баллы
2007
2008
2007
2008
2007
2008
0
0
0
14
55
47
28
86
80
1
12
6
15
58
50
29
87
81
2
20
12
16
61
53
30
88
82
3
24
17
17
64
56
31
89
83
4
27
20
18
67
58
32
90
84
5
30
23
19
69
60
33
92
86
6
33
25
20
72
63
34
94
88
7
36
28
21
74
65
35
96
91
8
38
31
22
76
68
36
98
94
9
41
33
23
78
70
37
100
100
10
44
36
24
80
73
11
47
39
25
82
75
12
49
41
26
83
77
13
52
44
27
85
78
Аттестационная оценка «2» (два) ставилась за 0—35 тестовых баллов
в 2007 г. и за 0—24 тестовых балла в 2008 г.
1 Приводится по данным Рособрнадзора.
2 Например, если абитуриент в 2007 г. решил полностью верно 18 заданий из
групп А и В и 2 задания из группы С (части 3), что соответствует 18-1 + 2 • 4 =
26 первичным баллам, то он получит 83 балла по стобалльной шкале.
656
Ответы
1. Арифметические вычисления.
Преобразование алгебраических выражений
1.3. 29 — . 1.4. 365 — . 1.5. 23,865. 1.6. 36 — . 1.7. 11. 1.8.
12 8 72
1.9. -р-. 1.23. m3"-2Z>-2(2 + 9a3Z>3). 1.24. (5а - 7х)(2а - Зу).
1.25. (х + у)(х — у)2. 1.26. (х2 + х — 1)( х2 — х + 1).
( Г
1.27. -5
V
х-- (х-5). 1.28. (а + Щ(2а - 5Ь). 1.29. (х2 +1)
х ( 2х2 + х +2). 1.30. 3(а + Ъ)(Ъ + с)(а + с). 1.32.
а-3
1.33. а+ 4. 1.34. 1.35. 1.36. 1. 1.37. -1. 1.38. , * .
3 3 (1-х)2
b л .. (a + x + l)2 1
1.39. 1. 1.40. —. 1.42. —, при х =
а 2 ах а-1
получаем
1.43. М. 1.44. 1.45. 1 + 2х. 1.51. 3b ЧаЧ2'.
2(а -1) 3 х + у
1.52. (х + у)у/х - у. 1.53. тл]п-т . 1.54. 2х2 y^jl-3x3y3.
1
1.55. f}
-а
1)а2Ь2. 1.56. 1 , . 1.57. -л/5^7.
(х + 1) VX-1 <2
1.58.
1
m+nj дП
1.62. 35 12л^. 1.63. 9 *.
а(х - у) 19 3
1.64. (л/б + л/з)4 = 9 (l2V2 +17). 1.65. - (Уз + ЧЦЧъ + 2).
1.66. 4 + 2Ч2+Ч4 Ы9 а 1<70< 4xrVa. 1.71. аЩЧа+Щ
1.72. 3. 1.73. -х. 1.74. -1. 1.75. 4(а ~ х). 1.76. J'
л/х — \а
1.77. 2^ах. 1.82. 4х при х > 0; —8х при х < 0. 1.83. —2 при х < 2;
х
4х — 10 при 2 < х < 3; 2 при х > 3. 1.84.
х + 2
при х > 3;
657
oj |
х + 2
а
при х < —2, —2 < х < 3. 1.85.
а2 - а
а2 +1
при а < 0;
1 -а
при 0 < а < 1;
а-1
при а > 1. 1.86. а при а < —1, а > 1;
— при — 1 < а < 0, 0 < а < 1. 1.87. — при |а|>|б|;
а о ' ' ■ '
- при I а I < I 6 1. 1.94. а°’5+1. 1.95. 1 + а0’5. 1.96. 1. 1.97. 1.
а 1111
1.98. —-. 1.99. 1. 1.100. 1. 1.101. 0. 1.102. а - 1. 1.103. 1 + а
1 + а
1 -а
а (а2 + а - l)
1.104. а2 + Ь2. 1.105. .р-Д 1.Ю6. 44. 1.107.
V а + Ь
.108. —. 1.109. 0. 1.110. (4т-Щ. 1.111. 0. 1.112. 4а2-1.
1.108
1.113. 1. 1.114. 4а. 1.115.
1-х
(4 + с + < 1.116. ALA. 1.117. а-П.
2 Ьс
1.118. 0. 1.119.
44
. 1.120.
4а +44
. 1.121. 2 л/л-2 -1.
1.122. 4(а 4). 1.123. 1
а + 4
1
. 1.124. 44. 1.125. . .
р-ч л1х2 -1
1.126. , 16;Х/^ . 1.127. 4а2-4b2. 1.128. , * .
(l - а2|(а - 1) а(4а - 44)
ХУ™ + т.хУп .—
1.129. . 1.130. 4т(т + 3). 1.131. а - Ь.
х
1.132. Д—. 1.133. ~2а при а <-42 и 0<а<л/3; 2а при
а2 -1
-л/з<а<0 и а >4^. 1.134. ^ ^ при 0 < b < 1; ^ .Д при
4b 4ь
ft т
b > 1. 1.135. —Т ПРИ т - п’ —7“ ПРИ м < п. 1.136.
ш2 и2
/я"
и2
44т
т-п
при
т > и; при т < п. 1.137. 8. 1.138. _ПрИ 4 < * < 8;
п-т
х-4
2х
л/а-4
при а > 8. 1.139. -244/ъ. 1.140. а2 +42.
658
2. Алгебраические уравнения и системы уравнений
2.8. {1}, если т ф -3; (-°о, +°о), если т = -3. 2.9. {а - 2}, если
а ф -2; (-да, +оо) если а = -2. 2.10. I 4(/и + 1)1 если тФ_^-
V ' 1 3m + 2 J 3
2 Г 1 1
нет решения, если т = —. 2.11. { к если а ф 0, а ф ±4;
3 [0(0 + 4)/’
(-оо, +оо), если а = 4; нет решения, если а = 0, а = -4. 2.23. Нет
решения. 2.24. {0; 8}. 2.25. {-3; 3}. 2.26. {1; 6}. 2.27. {-9; 1}.
2.28. {-1}. 2.29. Нет решения. 2.30. lj. 2.31. {1}.
2.32. {-2}. 2.33. {-1; 1}. 2.34. {l;2;-9}. 2.35. Нет решения.
2.40. 1-1; 3±л^~; з1. 2.41. Нет решения. 2.42. {1; 3}. 2.43. {-3; 1}.
2.44. | ll± Vl05; 1. J 2.45. {1; 3}. 2.46. {4 + Тб; 4 - у/б; 2; 6}.
2.51.
4 2 >
а-у!а2 -24 а + у]а2 -24
, если а1 > 24; (J—к если
а =
если а = -л/24; нет решения, если а2 < 24.
2.52.
+i
1
-4а
1 п
{-4}, если
1
к
если а <—, а ф 0;
а = —; нет ре-
а
J
1
4
4
шения, если
а >
1
4
2.53. {-V5; Vs"}
2.54. {(0;
0); (1; -2)}.
2.55.
х2 + 2х
- 2
=
0. 2.61. {1}. 2.62.
{16}. 2.63.
{(l5±V7)/2).
2.64.
{6; 9}. 2.
65. {7;
8}. 2.66. Нет решения. 2.67.
Нет решения.
2.68.
{1}. 2.73.
{-1;
4}
. 2.74. {0; 2}. 2.75. {4}.
2.76. {1; (9 + Зл/4Г)/2}. 2.77. {-4; 4}. 2.78. {5}. 2.79. {0; 1}. 2.82. {0}.
2.83. {9}. 2.84. {-61; 30}. 2.85. {8; 8 + I2V2T/7}. 2.89. {(-1; 1)}.
2.90. {(1; 2)}. 2.91. {(2; 2)}. 2.92. {(3; 1)}. 2.93. {(1; 1); (-1; -1)}.
2.94. Нет решения. 2.97. {(1; 1); (-7/11; -16/11)}. 2.98. {(4; 2); (2; 4)}.
659
2.99. {(4; л/з); {4;Sj, (3;2); (3;-2)J. 2.100. {(0; 0); (4; 2); (-2; -4)}.
2.101. {(3; 1); (1; 3)}. 2.102. {(7/2; 3/2); (-7/3; -1)}. 2.103. (-«; +«),
если а = 0; нет решения, если b = За, а ф 0; lb (b - а)/3(Ь - За),
если ЬФЗа\аФ0. 2.104. {-3; 1}. 2.105. {0}. 2.106. {1}.
2.107. {-5; -3 + V5; -l). 2.108. {-1; 1/3; 3}. 2.109. {3/4}.
2.110. {1; 3}. 2.111. {0; 1}. 2.111а. {(5±V2l)/2}.2.112. {а/2;
-5а/6}, если а 0; нет решения, если а = 0.
2.113. {-4 + V6; -2; -б).
2.114. у2 + 15у - 54 = 0. 2.115. {t $4l\ 2.116. {2}.
2.117. {1/2; 1}. 2.118. {215/27}. 2.119. {4}. 2.120. {1/2}. 2.121. {1}.
2.122. {-2}. 2.123. {-6}. 2.124. {-1/2}. 2.125. {25}. 2.126. {7}.
2.127. {-4}. 2.128. {3}. 2.129. {1/4}. 2.130. {2}. 2.131. {1; 33}.
2.132. {-5}. 2.133. {17/16}. 2.134. {6}. 2.135. {13}. 2.136. {8}.
2.137. {5}. 2.138. {7}. 2.139. {2}. 2.140. Нет решения. 2.141. Нет
решения. 2.141а. {-1; 2}. 2.142. {-1}. 2.143. {3/4}. 2.144. {2/3}.
2.144а. {-1}. 2.145. {-2}. 2.146. Нет решения. 2.147. {-(3 + л/5)/2; 2}.
2.148. {-1; 4}. 2.149. \±Щ. 2.150. 2V2} 2.151. {0}. 2.152. {2}.
2.153. {1; 3/2; 2}. 2.154. {1}. 2.154а. {-8; - 4}. 2.155. {3/2}.
2.156. {-4; 1; 2}. 2.157. {0; 2/3}. 2.158. {+2л/з} 2.158а. {0,9}.
2.159. {(2; 7)}. 2.160. {(1; 1)}. 2.161. {(4; 0)}. 2.162. {(7; 3); (-3; -1/3)}.
2.163. {(2; 3); (3; 2)}. 2.164. {(-3; -2); (3; 1)}. 2.165. {(3; 2); (-2; -3)}.
2.166. {(5; -8); (3; -5)}. 2.167. {(2; 1/3)}. 2.168. Нет решения.
2.169. {(1; 0)}. 2.170. {(0; 0); (2; 12)}. 2.171. {(0; 8); (-2; -2)}.
2.172. j(4; Щ, (4; -Vs); (3; 2); (3;-2)J. 2.173. {(4; 3); (-4; -3)}.
2.174. {(0; -10); (0; 10); (8; -6); (-8; -6)}. 2.175. {(-2; 4); (2; -4);
(-4; 2); (4; -2)}. 2.176. {(5; 3); (-5; -3); (3; 5); (-3; -5)}.
2.177. {(1; 4); (4; 1)}. 2.178. {(-9; -9/4); (4; 1)}. 2.179. {(-1; -27);
(27; 1)}. 2.180. {(1; 8); (8; 1)}. 2.181. {(1; 81); (81; 1)}. 2.182. {(1; 4);
(4; 1)}. 2.183. {(1; 8); (8; 1)}. 2.184. {(1; 7); (49/64; 41/8); (7; -8)}.
2.185. {±4}. 2.186. {±1; ±4б }. 2.187. {±1}. 2.188. {-2; 6}.
2.189. {-5; 2}. 2.190. {2}. 2.191. {64}. 2.192. {8}. 2.193. {76}.
2.194. {2}. 2.195. {1/3}. 2.196. {5}. 2.197. {-2; 0; (-2 ±7б6 )/2}.
2.198. (l; -2 + 2V7/7}. 2.199. {3; 5}. 2.200. {12/127}. 2.201. [-1; 1].
2.202. [2; +00). 2.203. Her решения. 2.204. {-2}. 2.208. {(З; -4), (5; -2)}.
660
2.209. {(-7; б), (7; -б), (-17; 12), (l7; -12)}. 2.210. {(5; з)}.
2.211. {(24; 8), (54; 2)}. 2.212. {(-7; -l), (б; б)}.
2.213. {(5; 2; 7), (7; 3; 4), (5; 7; 2), (7; 4; з)}.2.214. (13; 12).
3. Задачи на составление уравнений
3.3. 1205 тыс. руб., 895 тыс. руб., 525 тыс. руб. 3.4. 4 дня.
3.5. 15 машин. 3.6. 64 м. 3.7. 252 тыс. руб., 360 тыс. руб.,
336 тыс. руб. 3.8. 920 станков. 3.15. 600 бочек. 3.16. 800 г.
3.17. 12 500 кг. 3.18. 1260 тыс. руб 3.19. 240 тыс. руб.
3.20. 72 и 48. 3.21. 50%. 3.22. 215 кг. 3.23. 6%. 3.24. 500 кн.
3.25. 20%. 3.26. 48 стр., 80 стр., 12 стр., 12 стр. 3.27. 135 тыс.
руб., 90 тыс. руб. 3.28. 2000 руб., 2000 руб. 3.29. 46 дет., 40 дет.
3.33. 50 кг. 3.34. 2,8 кг. 3.35. 50 кг. 3.36. 120 кг. 3.37. 3 кг, 5 кг.
3.38. 8 кг, 10 кг. 3.39. 200 кг. 3.40. 150 г 30%-ного р-ра, 450 г 10%-
ного р-ра. 3.41. 24 кг; 2 кг. 3.43. 6,54. 3.44. 8,5, 10, 11,5. 3.45. 24.
3.46. 4836. 3.47. 4,5. 3.50. 60 км/ч, 75 км/ч.
3.51. 48 км/ч, 36 км/ч. 3.52. 2 ч шел пешком, 6 ч плыл.
3.53. 4 км/ч. 3.54. 60 км. 3.55. 2 км/ч, 10 км/ч. 3.57. 10 ч, 15 ч.
3.58. 12 дн„ 8 дн. 3.59. 18 ч, 24 ч. 3.60. 2 ч, 1,5 ч. 3.61. 24 ч,
48 ч, 22,4 ч, 56 ч. 3.62. 132 мин, 110 мин. 3.63. 6 дн.
3.65. 364 га. 3.66. 14 дн. 3.67. 9 чел. 3.68. 40 дн., 25%.
3.69. 6 болт., 8 болт. 3.70. 18 кг. 3.71. 48 дет., 40 дет.
3.72. 44 т, 48 т. 3.73. 28 стр. 3.74. 15 ц/га. 3.75. 2 м, 3 м.
3.76. 24 дн., 18 дн. 3.77. 40 дет. и 25 дет. 3.78. 3 млн. руб.,
2,4 млн. руб. 3.79. 1 ч 20 мин. 3.80. На 20 досках. 3.81. 150 тыс. руб.,
100 тыс. руб. 3.82. 400 т, 500 т. 3.83. 200 дет., 240 дет., 300 дет.
3.84. 300 м. 3.85. 5 дней. 3.86. 25%. 3.87. 38,8%. 3.88. 12 мин.
3.89. 24 км/ч, 36 км/ч. 3.90. 2. 3.91. 30 рядов.
3.92. 18 дней. 3.93. 398,4 куб. м. 3.94. *4,175 кг. 3.95. 10 ч,
15 ч. 3.96. 20 ч, 30 ч. 3.97. 60 км/ч. 3.98. 3000 га. 3.99. 9 и 35.
3.100. 1,25 л. 3.101. 3 ч и 4 ч. 3.102. 12 км/ч. 3.103. 50%.
3.104. 40%. 3.105. 16%. 3.106. 14 ч и 181 ч. 3.107. 18 км/ч,
24 км/ч. 3.108. На 12%. 3.109. 480 кг. 3.110. 60 км/ч.
3.111. 25 мин. 3.112. 1,5 раза. 3.113. 4 л или 0,25 л.
3.114. В отношении 20 : 6 : 3. 3.115. 2,4 кг и 4,8 кг. 3.116. 10 и 15 ч.
3.117. 20 рабочих; 6 ч. 3.118. 15%. 3.119. 8 ч. 3.120. 40 км/ч,
50 км/ч. 3.121. 75 км. 3.122. 24 дет. 3.123. 966 дет., 840 дет.
3.124. От 25 до 40% (включительно).
661
4. Показательные и логарифмические уравнения
4.8. {0}. 4.9. {-2/7; 1}. 4.10. Решений нет. 4.11. {2}. 4.12. {0}.
4.13. {-0,2}. 4.14. {0}. 4.15. {3}. 4.16. {0}. 4.17. {0,5; 1,5}.
4.18. {-1}. 4.19. {47}. 4.20. {3}. 4.21. {30}. 4.22. {37}. 4.23. {10}.
4.24. {9}. 4.25. {-1; 1; 2}. 4.26. {-3; 1; 5}. 4.29. {4}. 4.30. {2}.
4.31. {9}. 4.32. {3}. 4.33. {4}. 4.34. {-1}. 4.35. {1}. 4.36. {3}.
4.37. {2}. 4.38. {2}. 4.42. {1}. 4.43. {2}. 4.44. {2}. 4.45. {0}.
4.46. {2/3; 1}. 4.47. {5}. 4.48. {0; 1/4}. 4.49. {2}.
4.50. {0; -lg 4/lg 4,5}. 4.51. {3; 2,25}. 4.52. {1}. 4.53. {0; 1}.
4.54. {-1; 1; -VI; VI}. 4.55. {0}. 4.56. {-2}. 4.57. {(l-log23)}.
4.58. {1; 4}. 4.59. {-2; -1}. 4.61. {(3; 2)}. 4.62. {(2; 2)}.
4.63. {(-2; 0)}. 4.64. {(3/14; 1/14)}. 4.65. {(3; 2)}. 4.66. {(1/4; 1/6),
(1/6; 1/4)}. 4.69. 1,44. 4.70. -3. 4.71. 810. 4.72. 160. 4.73. 20.
4.74. 29. 4.78. »3,6. 4.79. *7,6. 4.80. *3,5. 4.81. *3,5. 4.94. *4,7.
4.95. 0,2. 4.96. 0,1. 4.97. *-2,35. 4.98. *2. 4.99. *19/15*1,3.
4.100. 25. 4.104. {1,5}. 4.105. {3}. 4.106. Решений нет.
4.107. {Ю10}. 4.108. {8}. 4.109. {31}. 4.110. {9}. 4.111. {4}.
4.112. {25}. 4.113. {5}. 4.116. {2}. 4.117. {6; 14}. 4.118. {11/3}.
4.119. {2}. 4.120. {60/59}. 4.121. {0,99}. 4.122. {3}. 4.123. {1,5}.
4.124. {0,75}. 4.125. {1,5} 4.129. {2; 8}. 4.130. {0,0001; 10}.
4.131. {l/лЯо}. 4.132. {4; 8}. 4.133. jo,01; 100; 100“^; lOO^J.
4.134. {1,1; 11; 1,01; 101}. 4.135. {0,1; 10}. 4.136. |l0; 10 4’5}.
4.137. {2}. 4.138. {4; Щ. 4.139. {16}. 4.143. {1/32; 2}.
4.144. {0,0001; 10}. 4.145. {0,01; 100}. 4.146. {0,1; 10}. 4.147. {2; 64}.
4.148. {5}. 4.149. {1/3; 3}. 4.150. {0,5; 2}. 4.152. {(32; 2), (2; 32)}.
4.153. {(17; 9)}. 4.154. {(9; 7)}. 4.155. {(1; 1), (4; 2)}. 4.156. {(2; 6)}.
4.157. {(25; 36)}. 4.158. {VI}. 4.159. {3}. 4.160. {1,5}. 4.161. {-1; 7}.
4.162. {65}. 4.163. {0; log75}. 4.164. {—1; 3}. 4.165. Решений нет.
4.166. {4}. 4.167. {2log«3}. 4.168. {0}. 4.169. {6}. 4.170. {VI; 4).
4.171. {2}. 4.172. {0,01; 10}. 4.173. {-3}. 4.174. {-5; 6}.
4.175. {0,01; 100}. 4.176. {0; 3}. 4.177. {5}. 4.178. {0,01}.
4.179. {-1}. 4.180. {12; 2,5}. 4.181. [1; 2}. 4.182. {100}.
4.183. {2; 4}. 4.184. {0; 3}. 4.185. {25}. 4.186. {2}. 4.187. {0}.
4.188. {10; 10 000}. 4.189. {1/9; 9}. 4.190. {-1; 5}.
4.191. {-1}. 4.192. {4}. 4.193. {2;-1;-log52}. 4.194. {0,1; 10}.
4.195. {1}. 4.196. {64}. 4.197. jl; 10^4.198. {2}.
662
4.199. {1}. 4.200. {4}. 4.201. {1; 7}. 4.202. {-2,5; 3}. 4.203. {1; 4}.
4.204. {1/6; 1}. 4.205. {1/9; 1; 3}. 4.206. {1/9}. 4.207. {1; 4}.
4.208. {100}. 4.209. {1; 2}. 4.210. {1; 30}. 4.211. (0; 0,5]. 4.212. {2}.
4.213. {1}. 4.214. {(2; 2)}. 4.215. {(2; 4); fil/l;
4.216. {(0,001; 0,5); (1000; -0,5)}. 4.217. {(1; -3); (7; 3)}.
4.218. {(2/9; 1/9)}. 4.219. {(3; 9), (1/9; 1/3)}. 4.220. {6}. 4.221. {16}.
4.222. {5/2}U(0; 1)11 (1; 2]. 4.223. {З-^/2; 3-V*; з1/2; З^/2}.
4.224. {1; 2; 3“3/4}. 4.225. {(16; 32)}. 4.226. {(-3; 7), (-5; 5)}.
4.227. {(3; 2,25)}.4.228. {(-6; -2)}.4.229. {(0,2; 0,2)}.
4.230. {(2; 1), (1; 5)}. 4.231. {-2; 1}. 4.232. {0,5}. 4.233. {4}.
4.234. {0; log3 2}. 4.235. {3; (3+л/5)/2}.
4.236. {±л/ЙЗ/4;-3;-2л/2}.
4.237. {-3; -V7; -^163/27}. 4.238. {(3 + у[5)/2; 3}.
5. Неравенства алгебраические
5.2. (3/7; +оо). 5.3. (-«; -5/4). 5.4. (-оо; -7]. 5.5. При а > 0 (-«; 1 /а],
при а < 0 11 /а\ +°о), при а = 0 все действительные числа.
5.6. При а > 0 (1 /а; +да), при а < 0 ( —оо; 1 /а), при а = 0 нет ре¬
шений. 5.7. При а > 1 ((а — 2)/(а — 1); +°о), при а < 1 (—°о;
(а — 2)/(а — 1)), при а = 1 все действительные х 5.9. (—°о; л/2).
5.10. (-1; 2]. 5.11. (2; 10). 5.12. {8}. 5.13. {1}. 5.15. (3; 5,5].
5.16. (-8/3; 23/3). 5.17. [-10/3; -3]. 5.21. (-5; 3). 5.22. (1; 4).
5.23. (-2; 3). 5.24. (-4; 1). 5.25. (1; 4). 5.26. (-4; -1).
5.27. (-72/5; 0). 5.28. (1/2; 1). 5.29. (-1,5; 5). 5.30. (-оо; -2)11(2; +«).
5.31. (-2; 1)U(3; +«). 5.32. [-4; —2] U {1}. 5.33. (-оо; -3)1) (-3; 2).
5.34. (-2; -1)11(1; +«). 5.35. [-3; —1] U [1; +оо). 5.36. (-оо; -3/2).
5.37. (-2; -1)11(1; 3). 5.41. (-оо; 3] U [5; +оо).
5.42. (-оо; -3,5) U (7; +оо). 5.43. (-оо; -7] U [1; +оо).
5.44. (—оо; 1/2) U(1/2; +оо). 5.45. Решений нет. 5.49. (-оо; +оо).
5.50. (-оо; +оо). 5.51. [3/2; +оо). 5.52. [-3/4; 5/2].
5.53. (1; (1 + V5)/2). 5.54. (-оо; —1)U(—1; 0). 5.60. (-оо; -8)11(4; +°о).
5.61. [log2(V3 / 2);+оо). 5.62. (log2 ((з - Vs)/ 2); log2 ((з + V?)/2))
5.63. (0;(3-V5)/2]U(2; (3 + V?)/2]. 5.64. [1/2; 1). 5.65. (5; +00).
5.66. (0; +00). 5.67. (-1; 1]. 5.68. (log2(s + >/зз)- 1; +00) .
663
5.69. (log7590;+ да). 5.76. ((5-Vl3)/6; +«). 5.77. (8/3; +«).
5.78. [3/2; 2)U(2; 26). 5.79. (-2; 1)U(1; +«). 5.80. (-2; 0)U[2; 3).
5.81. [-4; 0)U(4; 6]. 5.87. (7,5; 10). 5.88. (-6; 2). 5.89. (-1; 3).
5.90. ((9-Vl7)/16; 1/3) U (1/3; (9 + Vl7)/16).
5.91. (-oo; (16 - 2>/l9)/15) U {l/2} U ((16 + 2yfl9) /15; +oo).
5.92. (-3; 4). 5.93. [-5; 2]. 5.94. (-oo; 0) U (0; 5/3). 5.95. [4/5; 5/4).
5.96. (-2; —1)U(2; +«). 5.97. [S/(2-S)\ +«).
5.98. (—oo; 0) U (2; +oo). 5.99. При a < 0 все действительные зна¬
чения x, при а > 0 (-оо; -о) U (о; +оо). 5.100. (-oo; -1)U(2; +°о).
5.101. {-2; -1}. 5.102. {1; 2; 3; 4}. 5.103. {4}. 5.104. {-4; -3; -2;
-1; 0; 1}. 5.105. {2}. 5.106. (-2; 7). 5.107. Нет решений.
5.108. (-1; 2). 5.109. (-оо; -5/3). 5.110. {-7}. 5.111. (-оо; 4).
5.112. (-оо; -12). 5.113. (-2; 0)1) (0; 2)U(2; +оо).
5.114. ((6-2л/23)/7; -1/2) U (-1/2; (6 + 2-ЛЗ)/7).
5.115. (-оо; (4 - 2л/Гз) / 3) U {- l} U ((4 + 2л/Тз) / 3; +оо).
5.116. {1}. 5.117. (-3; 3). 5.118. (-оо; -5/3) U(l; +«). 5.119. (4/3; 4).
5.120. (1; 2). 5.121. (3/11; 1/3). 5.122. (-2; 2).
5.123. (-оо; —1) U (5; +оо). 5.124. (-1; 0)1) (0; 1/2).
5.125. (-оо; -2) Ц-1; 1) U (2; +оо). 5.126. (-оо;0) U (1; +оо).
5.127. (0; +оо). 5.128. (-оо; 0). 5.129. Решений нет.
5.130. (-1; 0) U (0; 1). 5.131. (-оо; -2]U(2; +оо).
5.132. (4 + V2; +оо) 5.133. (1; 5). 5.134. (-00; -1).
5.135. (-1; 0) U (0; 2). 5.136. (-6; -1/2). 5.137. (-46; 3).
5.138. (-4; 4). 5.139. (-00; -1) U [0; 2/3) U(2/3; 1].
5.140. (1; 4). 5.141. (-1; -1/2)11(1; 2). 5.142. (-оо; 5).
5.143. (-оо; -3) U {1/2} U [1; 2).
5.144. (-оо; -2) U (2 - log23; +00). 5.145. {-2} U [l; 3}
5.146. (-оо; -2 - V7) U (1; 3). 5.147. (1; +оо).
5.148. (-00; 1 - (log3 5)/3). 5.149. (5/2; +00).
5.150. (-2; -1)1! (-1; 0)11 (0; 1) U (2; +00). 5.151. (1; +00).
5.152. (-00; -2/3). 5.153. (-3; +00). 5.154. [1/2; 2). 5.155. (23/2; +00).
664
5.156. (4,5; +оо). 5.157. (0; 2/7). 5.158. (2; +«). 5.159. (7/2; +«).
5.160. (-oo;-l]U{l}U[2;+oo). 5.161. [-5; -1].
5.162. (- оо;- >/з)и U (л/3;+оо) 5.163. (1/2; 2].
5.164. [а; +оо) при а > —2. 5.165. При а < 1 [—1/2); а(2 — а)/2(1 —
- а)2, при а > 1 [-1/2; +«). 5.166. (1; 3]. 5.167. ((</5-l)/2; 1.
5.168. (3; 4,8]. 5.169. (-5/8; 2,4]. 5.170. ((Vl3-5)^2; lj.
5.171. (-3; 0). 5.172. [-1; -3/4). 5.173. (4; 6).
5.174. (-7; -л/35)и(5; л/35). 5.175. (2; 7).
5.176. (-1; 1)U(3; +«). 5.177. (2; 7)U(22; 27). 5.178. (2; 4).
5.179. (-да;-1) U (2; +оо). 5.180. (0; 10'4]U[10; +«).
5.181. (0; 1/2) U (32; +оо). 5.182. [2; +«). 5.183. (1/3; 2].
5.184. (-3; 1/2]. 5.185. [2,5; 11/3].
5.186. [10/7; 2). 5.187. (-оо;3] U [5; + ао).
5.188. [-5; 0)U(0; +«). 5.189. (-оо; -3,5)11(7; +«).
5.190. (-7; 1). 5.191. [-6;1)U(1; 7]. 5.192. (-оо; 7)11(15;+оо).
5.193. (-3; 2). 5.194. (1; 5).
5.195. (-оо; 1/2)11(1; +»). 5.196. (-оо; 1/3)11(9; +оо).
5.197. (log43—1; ни»). 5.198. (1; +«). 5.199. {2} U (4; +оо).
5.200. [1; 5] U (2; +оо). 5.201. (-1; 2)ll (З; +оо).
5.202. (-1; -0,5) U (0; 2,5). 5.203. (3; +«).
5.204. (-оо; -l)U ((7 - л/5)/2; 3)U (4;(7 + V5")/2)[J (8; +00).
5.205. [О; 1)U (3; +оо). 5.206. [1/2; 1]. 5.207. (l,l; 4)и(5; +00).
5.208. [-4; -2)U(0; +00) 5.209. (3; 7/2)U(4;+oo)
5.210.(—00;l) U (2; 3). 5.211. (0; 3). 5.212. (-оо; —3) U (3/2 ; +оо).
5.213. (0; 1/4) U (1; 5/4). 5.214. (- ]Д/3; - 1/2)и (l/2; l/л/з).
5.215. [-2; -1) U [0; 1]. 5.216. (-00; -3)[J (- 1; 4).
5.217. (- 1/12; О) U (1/12; б). 5.218. [2/9; 1/2).
5.219. (-7/4;-2/3)u(l7 + Vl27/9;8). 5.220. (о; 2 2^"]и ^22'12; +оо).
665
5.221.
5.223.
5.224.
5.226.
5.228.
5.230.
5.231.
5.235.
5.236.
5.238.
5.240.
5.242.
5.245.
5.247.
5.250.
5.253.
5.255.
5.257.
5.259.
0; 3/2-^29/10]. 5.222. (-3; -1).
(-1/4; 1)и[(з + >/5)/4; (\ + Д)/2].
[1/5; 1/4]и{2/5}. 5.225. (2; 5/2)11(5/2; 3).
(-°о; -7) U (-5; - 3] U [2; +*). 5.227. [-1/6; 1/2).
(1; 4]U{7}. 5.229. [log217; 6].
(-1; (1 - V5)/2] U (0; (1 + л/5)/2] (J ((1 + Vl3)/2; +«>).
[(-1/3) log23; 1)U (1; (1/3) log2 (25/3)).
(-*; - 3) U (-3; - 2] U ((3 - л/ГТ) / 2; 0) U (0; (3 + л/ГТ) / 2).
(-16/5; - 3/2) U (1;+0°). 5.237. (-2; - 2/3) U (1; + оо).
(-oo;-6]U{-l}U[3;+oo). 5.239. [-2/3; - 7/12]U {13/24}.
{3} U (4; + оо). 5.241. (-оо; 1]U [2; 3)11 [15/2; +«>).
(-оо; — 3) U (— 1; 0). 5.243. (13; 29). 5.244. (0; 001)11(1; 100).
(1/215; 1 /29] U [2; +оо). 5.246. (0; 1) U (2; + оо).
(0,5; 1] U[2; 3]. 5.248. (1/3; 3]. 5.249. [-1; 4].
(log2(3/2); log2 5). 5.251. [>/?; 5]. 5.252. [1/л/2; 1) U (1; Д).
(2-
-1/V2.
1). 5.254. (0;l]U[2;+oo).
(-3; -2) U (-2; 0)U(0; 1/3). 5.256. (5; 6).
[-7;-5] 11(2>/2-1; 2). 5.258. [-1/3; 0) U (0; 1].
(-«; (л/ТУ +1) / 4].
6. Преобразование тригонометрических выражений
6.6. sinx 6.7. 0. 6.8. 1. 6.9. tg4 а. 6.10. tg а. 6.11. 1. 6.12. -1.
6.13. 2/V5. 6.14. 2 ctg а. 6.18. 1. 6.19. 1. 6.20. 1. 6.21. tg2 2а.
6.22. 1. 6.23. 1. 6.24. 1. 6.25. -1. 6.28. tg а. 6.29. - Д tga.
6.30. 1. 6.31. -tg j;. 6.32. -2/3. 6.33. Д. 6.34. -56/65.
6.35. 33. 6.36. п/4. 6.37. 1. 6.41. tg 2а. 6.42. 0.
6.43. -4/sin22а. 6.44. 0. 6.45. 4 sin а. 6.46. 0,25 sin 2а.
666
6.47. 0,5sin4a. 6.48. 2sin2a. 6.49. 0,5tg2a. 6.50. 0,5sin2a. 6.51. 1.
6.52. 4cosa. 6.53. tg4a. 6.54. sin22a. 6.55. 0,25. 6.56. —1.
6.57. —sin2a. 6.58. 2. 6.59. ctg2a. 6.60. 2. 6.62. -5. 6.63. 0,25.
6.64. -cos2 2a. 6.65. л/з/32.
6.66. sin a = Vl5/4; cos a = -l/4; tga = —v/l5.
6.67. Sin2a = 120/169; cos 2a = 119/169; tg 2a = 120/119.
6.68. sin (a/2) = 5/V34 ; cos (a/2) = 3/V34 ; tg (a/2) = 5/3.
6.69. sin a = 0,96; cos a = 0,28; tg a = 24/7. 6.70. sin 4a = “0,96;
cos 4a = -0,28. 6.71. 23. 6.72. 11. 6.73. 2. 6.74. 82. 6.78. tg 4a.
6.79. 2V2 sin2 acos(n/4 + 2a)/cos 2a. 6.80. ctg2 (л/4 — a) ctg 3a.
6.81. -2 cos a cos 2p cos (a — 2p). 6.84. -Jl sin (x + л/4).
6.85. 0,5/sin (x/2 + л/12). 6.86. 2 sin (4a — n/6).
6.87. —4 sin2 (л/4 — 4a)/sin 8a. 6.88. —8 cos (2a + 60°) cos (2a — 60°).
6.89. 4>/2 sin (x — 45°) sin (x — 60°) sin (x + 60° )/cos3 x.
6.91. 4 sin ((a + p)/2) sin ((p + y)/2) sin ((a + y)/2).
6.96. >/2(V3-l)/4. 6.97. V2 + V2/2. 6.98. (з-Л)/2. 6.99. 1.
6.100. V2. 6.101. 6. 6.102. 0,25. 6.103. 24. 6.104. 4,5. 6.105. 2.
6.106. 2. 6.107. 4. 6.108. 1,5. 6.109. -1. 6.110. 1/sina.
6.111. 2>/2cos (2x + n/4). 6.112. tg 5a. 6.113. 1,5. 6.114. 0.
6.115. 32 sin4 a cos2 a. 6.116. tg a. 6.117. 1. 6.118. cos 2a.
6.119. tg 2a. 6.120. 0,5. 6.121. 0,5 sin 4a. 6.122. sin2 a.
6.123. 1. 6.124. 0,25. 6.125. sin 2a. 6.126. 2 sin 2a. 6.127. tg 3x
6.128. 4 cos x cos 2x cos 3x 6.129. sin 2x 6.130. cos2 (a/2).
6.131. 1. 6.132. 0,25 sin2 a. 6.133. tg2 (л/4 - a). 6.134. sin2 x
6.135. 1. 6.136. (l/V2)sin2a. 6.137. 1. 6.138. 0,25 ctg a/cos2 2a.
6.139. 1/cos2 (л/4 + a). 6.140. 8 sin4 a. 6.141. tg4 a.
6.142. 0,5 ctg4 a. 6.143. tg (л/4 - a/2). 6.144. 0. 6.145. tg (л/4 - a).
6.146. tg4 a. 6.147. 2 cos 2a. 6.148. sin a. 6.149. 1. 6.150. sin 3a.
6.151. 1. 6.152. 8 ctg 8a. 6.153. tg 4a.
6.154. 8 cos 4a sin2 (4a - n/4)/sin2 4a. 6.170. - 33/65.
6.171. -0,25. 6.172. 0,5. 6.173. 33. 6.174. 2. 6.175. 2.
6.176. (V5-l)/4. 6.177. y[3. 6.178. 4y[2 (V3+l). 6.179. 0,25.
6.180. (V6+V2)/l6. 6.181. V3. 6.182. 6 + 2V3. 6.183. 1,5.
667
6.184. 1/128. 6.185. -1/16384. 6.186. (3/4) sin 4a. 6.187. 3 tg 6a.
6.188. cos3 4a. 6.189. 3. 6.190. 8 cos 2a. 6.191. tg 3a.
7. Тригонометрические уравнения и неравенства
7.2. -да < х < +оо. 7.3. х > 4. 7.4. х < -3, х > -1. 7.5. — 1 < х < 1/3.
7.7. л/2. 7.8. л/З. 7.9. -л/4. 7.10. л/З. 7.12. 0. 7.13. л/з/з.
7.14. 1. 7.15. л/2/2. 7.17. -л/З. 7.18. я/5. 7.19. 2л/5.
7.20. 140°. 7.23. 0,96. 7.24. 41/49. 7.25. -119/120. 7.26. з/л/1з.
7.31. (-1)"+1 • я/12 + лп/2, neZ. 7.32. 5я/18 + лп/3, neZ.
7.33. ± 5л/12 + лп, п е Z. 7.34. -л/6 + 2тin, п е Z.
7.35. -я/8 + лп, neZ. 7.36. ± Зл/2 + 4 лп, п е Z.
131. (—\)п -л/30 + лп/10, п е Z. 7.38. л/18 + лп/2, п е Z.
7.39. я/2 + лп, п е Z. 7.40. я/12 + лп/2, п е Z.
7.41. 7л/24 + лп, п е Z. 7.43. л/6 + лп/2, лп/2, п е Z.
7.44. —л/З + лп, лп, п е Z. 7.45. 2л/9 + лп/3, лп/3, п е Z.
7.46. лп, -я/2 + лп, п е Z. 7.48. (—\)п л/6 + лп, п е Z.
7.49. 0,5 arctg 2 + лп/2, 0,5 arctg 5 + лп/2, п е Z.
7.50. лп, -л/6 + лп, п е Z. 7.51. я/8 + лп/2, п е Z.
7.52. (— l)” л/6 + лп, -я/2 + 2лп, п е Z. 7.53. ±л/3 + лп, п е Z.
7.57. л/9 + лп/3, п е Z. 7.58. -0,5arctg {42/2^ + лп/2, п е Z.
7.59. arctg 3 + лп, arctg 7 + яи, п е Z.
7.60. л/4 + лп, arctg 2 + лп, neZ. 7.61. лп, —arctg (5/4) + л п, пе Z.
7.62. arctg 2 + лп, -arctg (3/4) + лп, п е Z.
7.65. 2лп/3, -л/2 + 2лп, л/4 + лп, п е Z.
7.66. лп/2, ±л/3 + 2лп, п е Z.
7.67. лп/2, (— \)n+l л/6 + лп, п е Z. 7.68. лп, ±л/3 + лп, п е Z.
7.69. лп/2, лп/3, пе Z. 7.70. л/6 + лп/3, ±л/3 + лп, п е Z.
7.71. л/2 + лп, 2лп, л/5 + 2лп/5, п е Z. 7.72. л/2 + лп, ±2л/3 +
+ 2л п, (~\)пл/6 + лп, пе Z. 7.74. л/8 + лп/4, л/16 + л«/8, пе Z.
7.75. лп/2, л/12 + лп/6, п е Z. 7.76. л«/8, л«/3, пе Z.
1.11. лп, л/4 + лп/2, п е Z. 7.79. л/8 + л«/4, л/4 + лп/2, п е Z.
7.80. лп/2, л/6 + лп/3, п е Z. 7.81. лп/2, лп/1, п е Z.
7.82. л/2 + лп, л/4 + лп/2, л/10 + л«/5, п е Z.
7.84. 2лп, л/2 + 2лп, п е Z. 7.85. л/6 + 2лп, л/2 + 2лп, п е Z.
7.86. Зл/16 + лп/2, 5л/8 + лп, п е Z.
668
7.87. л/8 + ли/3, л/16 + ли/2, и е Z. 7.89. л + 2пп, л/2 + 2ли, и е Z.
7.90. 2 arctg (1/2) + 2ли, —2 arctg (1/3) + 2пп, ne Z.
7.91. л/4 + пп, arctg (1/5) + ли, и е Z.
7.92. ±2 arctg (л/2/2) + 2лп, п е Z. 7.94. 2лп, л/2 + 2ли, и е Z.
7.95. 2ли, л/2 + 2ли, -л/4 + (-1)*+1 агс8ш(Зл/2/5) + лп, п е Z.
7.96. лп, л/2 + 2лп, л/4 iarccos (7/5л/1) + 2ли, и е Z.
7.97. л/4 + (-1)" arcsin (л/2/Ю) + ли, п е Z.
7.100. л/4 + лп, п е Z. 7.101. лп/2, п е Z.
7.102. (-1)" (1/2) arcsin(2 - л/2") + л и/2, п е Z.
7.103. л/4 + лп/2, п е Z. 7.109. Нет решений. 7.110. ли/3, п е Z.
7.111. —л/4 + ли, и е Z. 7.112. лп/2, п е Z. 7.113. 2лп, л/2 + 2лп, п е Z.
7.114. 2л/7 + 4ли/7, п ф 1к + 3, к е Z, п е Z.
7.115. —40° + 180° п, —10° + 180° п, п е Z. 7.116. л/2 + лп, п е Z.
7.117. Нет решений. 7.118. -л/4 + лп, ±л/3 + лп, п е Z.
7.119. л/3 + лп, л/6 + лп, п е Z. 7.120. —л/4 + лп, 2лп, л/2 + 2лп, п с Z.
7.121. ±2л/3 + 2лп, л/4 + лп, п е Z.
7.122. 2лп, (— \)n+l л/2 + 2лп, п е Z. 7.123. (— \)п л/8 + лп/2, п е Z.
7.124. л + 2лп, (— l)” л/6 + лп, п е Z.
7.125. л/4 + лп, 5л/12 + 2лп, л/12 + 2лп, п е Z.
7.126. ±л/3 + лп, л/4 + лп/2, (—1)йл/12 + лп/2, п е Z.
7.127. ±л/6 + лп, п е Z. 7.128. л/4 + лп, 2лп, —л/2 + 2лп, п е Z.
7.129. л/2 + 2лп, п е Z. 7.130. ±л/12 + лп/2, п е Z.
7.131. л/2 + лп, л/4 + лп, п е Z.
7.132. -л/4 + лп, 2лп, -л/2 + 2лп, п е Z.
7.133. 5л/12 + лп, л/12 + лп, п е Z. 7.134. -л/4 + лп, п е Z.
7.135. лп, п е Z. 7.136. лп/2, л/8 + ли/4, п е Z.
7.137. л/2 + лп, ±л/6 + лп, п е Z. 7.137а. пп, -п!Ъ + 2пп, n&Z.
7.138. лп/2, л/20 + ли/10, п е Z. 7.139. ±2л/3 + 2лп, п е Z.
7.139а. п/2+лп, -п/6+пп, п/3+пп, neZ.7.140. 2ли/5, л/2 + ли, п е Z.
7.141. ±л/3 + 2лп, iarccos (—1/4) + 2лп, п с Z. 7.142. л/2 + лп, п с Z.
7.143. 4ли/3, п е Z. 7.143а. -л/4 +ли, ли, neZ.
669
7.144. -л/108 + ли/9, 7л/24 + ли/2, и с Z. 7.145. л/2 + 2ли, л + 2лп, и е Z.
7.146. -л/8 + лп/2, п е Z.
7.147. -л/4 + лп, лп, п е Z. 7.148. л/6 + 2лп, л/3 + 2лп, п е Z.
7.149. л/4 + лп/2, ±л/3 + лп, п с Z. 7.150. 2лп, л/6 + 2лп/3, п с Z.
7.151. ли, и е Z. 7.152. л/4 +ли/2, и е Z. 7.153. л/16 +ли/8, и е Z.
7.154. ±л/6 + ли, и е Z. 7.155. (— 1)"л/12 + ли/2, и е Z.
7.156. (-1)и я/2 + ли/2, (-1)" (1/2) arcsin (2/3) + ли/2, и е Z.
7.157. 2ли, -я/2 + 2ли, и е Z. 7.158. 2ли, л/2 + 2ли, и е Z.
7.159. л/2 + ли, ±л/6 + ли, и е Z. 7.160. ±0,5 arccos
+ ли, и е Z. 7.161. ли/2, и е Z. 7.162. ±л/4 + ли, и е Z.
7.163. л/8 + ли/2, и е Z. 7.164. л/12 + ли/3, и е Z.
7.165. ли, ±л/10 + ли, ±л/5 + ли, ±Зл/10 + ли, ±2л/5 + ли, и е Z.
7.166. л/2 + 2ли, и е Z. 7.167. л/6 + 2ли, и е Z.
7.168. ± arccos ^>/5 - 3^2j + 2ли, и е Z.
7.173. (-л/12 + 2ли/3; л/12 + 2ли/3), и е Z.
7.174. (-л/4 - arcsin (1/4) + 2ли; 2ли)и(л;/2 + 2ли; Зл/4 +
+ arcsin (1/4) + 2ли), и е Z. 7.175. (—л/3 + ли; arctg 2 + ли), и е Z.
7.176. (л/6 + ли; 5л/6 + ли), и е Z.
7.177. (л/12 + 2ли; 17л/12 + 2ли), и е Z.
7.178. (arcsin ^V5-lj/2 + 2ли; л/2 + 2ли) U (л —arcsin ^j5-lj/2 +
+ 2ли; Зл/2 + 2ли), и е Z. 7.180. (л/8 + ли; Зл/8 + ли), и eZ.
7.181. (-7л/2 + ли;-л/2 + ли) U (-л/2 + ли; л/12 + ли), и е Z.
7.182. (2ли; л/2 + 2ли), neZ. 7.183. (л/6 + ли; л/4 + ли), neZ.
8. Прогрессии. Соединения и бином Ньютона
8.2. 1900. 8.3. 4 ч. 8.4. 11. 8.5. 7125. 8.6. d= -1,5; .Ую = 47,5. 8.7.
14 м.
8.9. bx = 9,q = 3 или Z>i = -9/2, q = ~3. 8.10. q = 1/3. 8.11. 0 = 2.
8.12. 9; 6; 4; 8/3. 8.13. 96. 8.14. bx = 6, q = 1/3. 8.15. a) »35 лет;
6) * 55 лет. 8.16. Z>i = 12, q = 0,5. 8.17. 27. 8.18. ax = 2, d = 8;
Z>1 = 2, q = 3. 8.19. 3, 7, 11 или 18, 7, -4. 8.20. fli = 12, d = 2.
8.21. 2, 8, 32. 8.24. {-3/4, 1/3}. 8.25. {1}. 8.26. 7. 8.30. 604 800.
8.31. 381 024. 8.32. 32. 8.33. 120. 8.34. 12. 8.35. 32. 8.36. 47 = 16 384.
8.39. 5040. 8.40. 40 320. 8.41. 362 880. 8.42. и = 4. 8.43. 1260.
8.44. 105. 8.47. 15. 8.48. 495. 8.49. 2646. 8.50. 16. 8.51. 126.
670
8.52. 70. 8.53. 120. 8.58. щ = 14, п2 = 7. 8.59. Г7 = 84а3>5. 8.60. Тъ
Т23, Т37. 8.61. 101, Т\ = аш, Т2 = Жа"х, Т3 = 4950Л2.
8.62. 21-й член. 8.63. а) 1,02; б) 0,985. 8.64. 134 мм, 158 мм, 182 мм.
8.65. 25 см, 40 см, 55 см, 115 см. 8.66. п = 5. 8.67. п = 6.
8.68. 1160 м. 8.69. 8 ч. 8.70. 400 руб., 600 руб., 800 руб., 1000 руб.
8.71. Sw = 120. 8.72. 1; 3; 9 или 1/9; 7/9; 49/9. 8.73. 1013.
8.74. 56. 8.75. 6. 8.76. а) 25; б) 6. 8.77. 126. 8.78. а) 29; б) 47;
в) 19. 8.79. а) 3; б) 6. 8.80. 3777. 8.81. 9975. 8.82. 43. 8.83. 6; 12;
24; 36. 8.84. 421. 8.85. После 5 ударов. 8.86. Через 7 с. 8.87. 8 за¬
дач; 127,5 мин. 8.88. 8. 8.89. 81. 8.90. 5. 8.91. 6. 8.92. 0,75. 8.93. 16.
8.94. 18. 8.95. 139. 8.96. ах =20, d = -2. 8.97. 101 100. 8.98. 3 + 2Д
9. Планиметрия
9.2. 2; л/З; л/з/З; 2л/з/з. 9.3. 9л/3. 9.4. Зл/з/2.9.6. 4; 2 VI
9.9. 20 см. 9.11. 15 дм. 9.13. 2,4 см. 9.14. 2>/3 и 4 см.
9.15. 5V3/2 и 2,5 см. 9.16. 30°; 60°; 4>/з см. 9.21. 18 и 24 см.
9.22. 5 л/Гз/б см. 9.25. л/З см. 9.26. 8 л/7/7. 9.28. 3 см.
9.29. 30 см. 9.30. 2л/5и4л/5 см. 9.31. 19,5 см. 9.32. 4. 9.37. 144л.
9.38. 6л. 9.42. 2(л - 2) см2. 9.43. 12 см2. 9.46. 8л/2/3. 9.48. 16 см.
9.49. 4,5. 9.51. 15°; 165°. 9.54. 96 см2. 9.55. 18->/3 м2. 9.56. 60/13 см.
9.58. 10 и 20 см. 9.60. 450 см2. 9.62. 25л см2. 9.64. 9 и 25 см; 255 см2.
9.66. 37 и 43 см. 9.67. 48>/з см2. 9.68. 2 см. 9.69. 6 см. 9.70. 39.
9.71. 21. 9.72. 50. 9.73. 4 см. 9.74. 24 см2. 9.75. 150 см2.
9.76. 20,8 см. 9.77. 24 и 30 см. 9.78. 200 см2. 9.79. 9, 29, 19 и
19 см. 9.80. Збл/З см2. 9.81. 48. 9.82. 7з-3/2. 9.83. S. 9.84. 9; 25.
9.85. Зл/2. 9.86. а) Юл см; б) 5>/3 см; в) 25л см2. 9.87. 7. 9.88. 2.
9.89. 8. 9.90. 16лл/з/з. 9.91. 3 + 733. 9.92. a) 27VJ/4; б) 4,5;
в) 1,5; 3. 9.93. 30° или 150°. 9.94. а2 4зДб. 9.95. 24; 7; 6,72. 9.96. 9л.
9.97. 25л. 9.98. 4л. 9.99. 13,5. 9.100. 8. 9.101. 8. 9.102. 12,5.
9.103. 310/13. 9.104. 14. 9.105. 97,5. 9.106. 9 см. 9.107. 5.
9.108. 282,24. 9.109. 0,84. 9.110. 1. 9.111. 12^/5. 9.112. 5^5.
9.113. л/5/2. 9.114. 3. 9.115. ab/(a + Ь). 9.116. 9,6. 9.117. 48.
671
9.118. arcsin 2/л, л — arcsin 2/л. 9.119. -jlS. 9.120. arcsin (4S/nQ).
9.121. i?2 (ctg a - n/2 + rax/180). 9.122. d (1 - sin (tp/2))/2,
d( 1 + sin (Ф/2))/2. 9.123. 15/8 см. 9.124. 12, 10 и 10 см.
9.125. 6л/5 см (если треугольник остроугольный) или V397 см (если —
тупоугольный). 9.126. 6 см. 9.127. 11 см. 9.128. 48 см2. 9.129. 29 см2.
9.130. 5 см. 9.131. 6 см. 9.132. 6 см. 9.133. 225 см2. 9.134. 2lVl3 см.
9.135. 45/2 см2. 9.136. arctg 2/3. 9.137. 2 и 6 см. 9.138. 1.
9.139. 15/2. 9.140. 24 см. 9.141. 18 см2. 9.142. 5. 9.143. 25/6.
9.144. 49 см. 9.145. 1:2. 9.146. 8д/з/3 см2. 9.147. Vl3 см.
9.148. 4V6 см. 9.149. 30°. 9.150. 3/2. 9.151. 6 см. 9.152. 2 +7б .
9.153. Ьс/а. 9.154. (5/721+1)/2. 9.155. Тб -72. 9.156. 24.
9.157. V2 :7з. 9.158. h = 2; S = 6. 9.159. а) 1:1; 8:5; б) 5:14.
10. Стереометрия
10.3. 8 см. 10.4. 6,4 см. 10.5. 32 см. 10.6. 20 см. 10.7. 20 см. 10.8. 90°.
10.9. 10л/3 см2 . 10.10. 12л/2 см2 . 10.11. л/2 см. 10.12. 2,4 см.
10.21. 4500 см2 . 10.22. 571 см. 10.23. »43 см2 . 10.24. 50 см2.
10.25. 45°. 10.26. 400л/2 см2 . 10.27. (2/3)7з(72 + 1 )tf2.
10.28. а243(V3+l). 10.29. (l/4a)S2S. Ю.ЗО. 15л/з/4 см3 .
10.31. (1/6)а3 . 10.32. 343 см3 . 10.33. (71/48)а3. 10.34. 6000 см3.
10.35. 70 см3. 10.38. 30°. 10.39. 108°. 10.40. 24 см2.
10.41. 0,25 пН2 . 10.42. тш3. 10.43. зТзпа2. 10.44. бтш2.
10.45. 2700л см2. 10.46. 24л см. 10.47. 0,375л7?3. 10.48. 4л62.
10.49. (4л/з/27)л7?3. 10.50. 0,75лЖ 10.51. (1/3)ла2. 10.52. ЪпВ?.
10.56. 2 sinuyl(ab)3 cosa. 10.57. arctg (2h4l2-h2).
10.58. (2/3).S'V5rVctga; arctgfV?tg a). 10.59. (1/6)й?3 sin(a/2) tg p.
10.60. (i/Vb)57? sin 2 a/cos(45° - a). 10.61. (4/3) r3tg p/sin a.
10.62. 8 d2 cos tp cos2 (tp/2) ctg2 (a/2) tg a.
672
10.63. (l/3V2|a3 - 63)tg a, arctg(VItg a). 10.64. 5 =
а тг a „ a2-J19
Vl - tg a; V2 - — tg a. 10.65. S =
192
64
12
a = arccosi
48 cos a
(3/2V7);
P = 71 — 2 arccos (3/2^7). 10.66. 4S'(sm(a/2) + Д cos a):
: (sin(a/2) + cos(a/2) + -Jl cosa).
10.67. 2a3 sin (a/2)A/sin(3a/2)sin(a/2).
10.68. lab sin(a/2) Дт(ср - a/2) sin(cp + a/2).
10.69. (1/6) ^V2+2tgaj ctg a. 10.70. (1/4тг)а?3 cos2 a sin a.
10.71. тс/2tg a sin a. 10.72. (4тх/3)7?3 sin2(a/4), nl2 sin (a/2) (2tg(a/4) + 1).
10.73. (n/3)a 3 sin2 В ■ sin2 C/ sin2 (B+C). 10.74. (n/2)d3 tg (a/2).
10.75. 471 b2tg a sin(a/2) sin(3a/2). 10.76. (4тг/3) /3 cos3a tg3(a/2).
10.77. (l/V2)tf3sin2a. 10.78. 4л r2 /sin2 a. 10.79. 2тда2 cos a cos2 (a/2),
arctg(tga/V2). 10.80. (1/6)тхЯ 3 cos4 a. 10.81. 3>/3(3-4ctg2a)/2n.
10.82. (l/3)a3 sin4(a/2) sin a. 10.83. 121л. 10.84. 36л/Уя/49. 10.85. тг/З.
10.86. 5. 10.87. (1+Д)9/4. 10.88. 46. 10.89. 56. 10.91. 17:1.
10.92. 1:18. 10.93. 19,5. 10.94. 4,5. 10.95. 5. 10.96. 270. 10.97. 40.
10.98. 4тД. 10.99. 200(Д + Д). 10.100. фД 10.101.2,5.
10.102. 63. 10.103. 12. 10.105. 41. 10.106. 6. 10.107. 36m
10.108. 43/9. 10.109. 9. 10.110. 4,5. 10.111. Д/3.10.112. 5.
11.2.
11.5.
11. Производная и ее применение
16х(х2 - lj
5 |х2 + lj
с4*
11-1 n 3i 2 111 c3x(9x + l)-5
. 11.3. 32i In x. 11.4. v 7
r. 11.6.
9x2 -1
. 11.7.
зД1
24x2
(x3 - 9)(x3 - l) ‘
673
11.8.
6 (Зх2 - 2)
11.11.
x3 - 2х
8х7
. 11.9.
2х
(‘+*0
. 11.10.
2х4 - Зх2 -1
х {х4 -1)
. 11.12. 3
М)
11.13. х2 1пх (3 1пх + 2). 11.14.
(1п
2х
2 Л
- V2
X )
- 4
ЗЩ1 - е4х) с4х
11.15.
11.17.
11.19.
11.21.
11.23.
11.25.
11.28.
11.31.
11.35.
11.37.
11.39.
(lnx + З)2
—. 11.16. 5е2х(е2х + з)4(2х + 1).
2С + 3
?3х(бх2 + 2х - 3)
х In
л/2х2 -1
1-х
. 11.18.
2е
2х
(е2х + 1 )Це4х - 1
1 + 2С
+ 1. 11.20.
6х2
1п(3л'2 + V 9 л'4 + 1).
(х3 — 2^ (з — х2)
4е
4х
-1\у1е8х-1
(е4х - l)i
т/lnx
Ьх4 + 1
. 11.22. -З(х3 -х2- 3)е~2х.
. 11.24. (2х + 2хIn 2) cos (х2 + 2х).
-2е
„ ,, sinx(lncosx-l) „ l-sinx sin2x
. 11.ZD. ; . 11.27. :
cos2*
smx
—+ctgx 11.29. . ^ . 11.30. <?x(ctg X + In sin 2c).
* Vl + cx
c • 2 7 ,, „ 1 лл n 8 - 3 COS4 X
5 sm2x • cosJx 11.32. —^—. 11.33. —
sin3 X
Зх2 + ^■л[ёх(2 + x); 3 + ^-Ve. 11.36.
COS5 X
x2ex; c.
-30 (x4 + l)
x (2c 4 - l )
lnx
2cVl + In2 X
; -17. 11.38.
6 (2x + 11).
2C2 - 2C - 2 ’
7.
; 0. 11.40. tg4x; 9. 11.41.
■Jx2 + 12
; 0,25.
674
24tg3x(l + tg2 3x)
11.42. \96. 11.43. -sin 2x + tg x; 0.
cos2(3x)
11.44. ecos x (cos x — sin2 x); —1. 11.45. 4(1 + sin2 x)3 sin 2x\ 13,5.
11.46. - ; 0,5. 11.48. у = 28x - 41. 11.49. x ~ 2y = 0.
2 cos 2x
11.50. y=--x+ 2. 11.51. y=-x. 11.53. л/4. 11.54. В точке
e e
(—5; 45): у = ~20x — 55 и у = —\3x — 20; в точке (2; 3): у=%х —13 и
у = х + 1. 11.55. (1; 0); (-1/3; -44/27). 11.58. 51 м/с.
11.59. vi = 8 м/с; vj = 10 м/с и vi = 24 м/с; vj = 22 м/с.
11.61. х = — 1 — точка максимума , х = 0 — точка минимума;
возрастает на (—да; —1) и (0; +да), убывает на (—1; 0).
11.62. х = ±2 — точки минимума, л' = 0 — точка максимума; воз¬
растает на (—2; 0) и на (2; +да), убывает на (—да; —2) и на (0; 2).
11.63. х = ±у[5 — точки минимума, л' = 0 — точка максимума;
возрастает на (—V5 ; 0) и на (V5 ; +да), убывает на (—да; -V5) и
на (0; у[5 ). 11.64. х = — 1 — точка максимума , х = 2 — точка
минимума; возрастает на (-да; -1) и на (2; +да), убывает на
(—1; 2). 11.65. х = 11/4 — точка максимума; возрастает на (-да;
11/4), убывает на (11/4; +да). 11.66. х = 1 — точка минимума,
х = 1 /3 — точка максимума; убывает на (-да; -1) и на (7/3; +да),
возрастает на (—1; 7/3). 11.67. х = —1/2 и х = 1/3 — точки мини¬
мума, х = —1/12 — точка максимума; убывает на (-да; -1/2) и на
(—1/12; 1/3), возрастает на (—1/2; —1/12) и на (1/3; +да).
11.68. х = ±2 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; убы¬
вает на (-да; -2) и на (0; 2), возрастает на (—2; 0) и на
(2; +да). 11.69. л' = 0 — точка максимума, х = 2 — точка миниму¬
ма; возрастает на (-да; 0) и на (2; +да), убывает на (0; 2).
11.70. х = 0 — точка максимума; возрастает на (-да; 0), убывает на
(0, +да). 11.72. унанм — _24, Унаиб — 4. 11.73. Унаиб — 17, .Унаим — !•
11 -74. Унанм — 1) Знаиб _ 2,125. 11.75. Упапб _ 1> Знанм _ 0.
11.76. Унаиб — Зканм — 3/2. 11.77. унаиб — 2с2 — 1, _Унанм — + In 2.
11.78. Унанм — 1) .Унаиб _ 1525. 11.79. Унанм _ 1> .Унаиб _ л/2.
11.85. -0,5. 11.86. 2. 11.87. 20 см. 11.88. 50 х 100 (м). 11.89. 1:1.
11.90. V2:l. 11.91. тг/3; наибольшее отношение равно 0,5.
675
11.92. 30 см. 11.93. 4 м2. 11.94. arctg J2.11.95. arctg V2.
11.96. л/3. 11.97. 96л см3. 11.98. arccos (л/3-l). 11.99. В точку,
удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от бли¬
жайшей к буровой вышке точки шоссе. 11.100. 2,4 м.
11.101. 40 км. 11.103. (1; +оо). 11.104. (-«; 1). 11.105. (18; 32).
11.106. 10.11.107. 4(2 +л/З) . 11.109. 200^2 -132. 11.110. 30-2 In4.
11.111. 14+ 4л. 11.112. (-1; 3), (1;3). 11.213. 64/27.
12. Задачи с параметрами
12.8. (-оо; +оо) при а = 1; (а + 3)/(а — 1) при а ф 1. 12.9. Нет
решений при а = —3, а = 0, а = 2; (6 — а)/(а + 3) при а ф —3,
а ф 0, а ф —2. 12.10. —2 при а = 0; нет решений при а < —1/4;
—3 при а = —1/4; ^l-2a + V4a + lj/2a при —1/4 < а < 0, а > 0.
12.11. Нет решений при а = 0; —1,5 при а = 1; 1 при а = —2/3; 1
и —(а + 2)/2 при а ф —2/3, а ф 0. 12.12. Нет решений при а < 0,
0 < а < 1; 0 при а = 0; (а — 1)2/4 при а > 1. 12.13. Нет решений
при а < 0; 1/2 < а < 1; а2/{2а -1) при 0 < а < 1/2, а > 1.
12.14. log12(l + Vl-aj и — log12(l+ Vlпри о < 1; нет решений
при а > 1. 12.15. 1 / 2 + л/Г / 4 - а2 при 0 < а < 1/2; решений нет
при 1/2 + а + 1; а > 1. 12.16. Нет решений при а + 1/4,
а > 1; ±0,25 arccos [(5а — 8)/3] + пп/2, п е Z, при 1/4 < а < 1.
12.17. arctg (а + л/а2 + 4а - 4 / 2(1 - а) + тш, и е Z, при а <
< - 2 - 2л/2, -2 + 2-V2 < а < 1, а > 1; решений нет при
-2 - 2л/2 < а < -2 + 2->/2. 12.18. Нет решений при а = —1; (3/(а + 1),
—3/(а + 1)) при а ф —1.
12.19. (0;а + Vа2 + 3) при а<73; (0;а + Vа2 + 3),
(0; -а ± л/а1 - 3) при а>4ъ.
12.20. (0; log2 а — 2), (log2 [(а — 2)/2]; 0) при а > 4; нет решений
при а < 4. 12.21. Нет решений при а = — 1; (—оо; 1 — а) при а > — 1;
(1 —а; +оо) при а < —1.
12.22.
a(l + V2/2); 0
при а < 0;
676
a{^ 1--JTJ/2; 2а при а > 0. 12.23. |l; ^1 + л/1 + 4а^2| при 0 < а < 1;
((l + Vl + 4fl)/2; +ooj при а > 1. 12.24. (1/2; 1), (3; +оо) при 0 < а < 1,
а > 1. 12.33. а = 2, а = 6. 12.34. -7/2 < а < 0, о = 1.
12.35. а < -1. 12.36. а < -1, а > 8. 12.37. а > 11/9.
12.38. а<(-1 + л/з)/2, а > 1. 12.39. а < 0, a>(7 + V45)/2.
12.40. а = 0, а = -1/2, а = -3/2. 12.41. а < 1, а = 5.
12.42. -1/2 < а < -3/22, а = 1. 12.43. а<~2,а>2.
12.44. -3/2 < а < 1/2. 12.45. а = 1, b = 1; а = 1, b = 2; а = 1, b = 1;
а = —1, 6 = 2. 12.46. -1 < а < (l - л/з)/2 , 1 < а < (l + л/з)/2 .
12.47. -1/4 < а < 0. 12.48. а < -3, 1< а < 6. 12.49. а = 2.
12.50. л/2 + 2тш, « е Z, 6 = 0; а = ~Зл/2, b — любое. 12.51. а = log3 2.
12.52. а < -2 - л/б, а > V2. 12.53. а < -10, а > 1/2.
13. Функции и графики
13.2. (1/2; 6]. 13.3. (-1; 0)U(0; 1]. 13.4. (-5; 2).
13.5. ( —°о; О) U (l; +°°). 13.6. [л/3 + 2л«; 4л/3 + 2л«], n&Z..
13.7. (—оо; +оо). 13.9. [-2; 2]. 13.10. [-1/2; 1/2]. 13.11. [0; 3/2].
13.12. (—оо; log3 4). 13.14. Общего вида. 13.15. Нечетная.
13.16. Четная. 13.17. Нечетная. 13.19. л/2. 13.20. 2л.
13.43. {*1/3; 4}. 13.44. {*-1,3}. 13.45. 3. 13.46. 3.
14. Векторы и метод координат
14.7. р = (4; 1); р =-За + 5Ъ. 14.8. МК = -АВ+ (1/2) АС,
AD = (4/5) ВК+ (2/5) AM. 14.9. А„ = Ае+ (1/2) AD; AM = (l/2) А В +
+ (3/4) AD.
14.10. АК = (1/2) AD + (l/2)АВ + А\; BP = AD-(l/2)АВ+
+ (l/2)AAi-,MP = (l/2) AD - (l/2)АВ;АО = (2/з{АВ + AD + АА^
14.11. ОМ = (l/З) Ш+ 05+ ОС]. 14.12. ОМ = (l/б)ЧС - (l/3)45
+
(1/2)is1. 14.13. 7/5л/33. 14.14. ОР = {з/5)ОА+{2/5)ОВ .
+
677
14.15. 8/5л/17. 14.16 . arccos (5лЯз/2б). 14.17. arccos (i/лЯо).
14.18.45°. 14.19. arccos (з/л/ioj. 14.20. Зя/л/43; arccos (l/V44).
14.26. (7/17; 28/17). 14.27. 8д/1 + 2л/з/5. 14.28. 13/6.
14.29. (-1; 2), (3; 4), (5; 0). 14.30. ((4 + Зл/з)/2 ; (5 - 2л/з)/2),
((4-л/з)/2; (5 + Зл/з)/2). 14.31. 4. 14.32. 8х - 15у - 60 = 0; 8х + 15у -
— 60 = 0; 8х — 15у +60 = 0, 8х + 15у + 60 = 0; 60/17 см.
14.33. С(5; 2), D(3; 3) или С(3; -2), D( 1; -1). 14.34. (х - 25)2 +
+ (у + 5)2 = 625. 14.35. (х ~ 1/2)2 + Q;±V2)2 =9/4.
14.36. (х-2)2+(з;-3)2 =14-2л/1з ; (х-2)2 +(+-3)2 = 14 + 2Vl3 .
14.37. (x + l)2 +(j-3)2 =10. 14.38. Gc-l)2 +(j-l)2 =1.
14.39. 60. 14.40. 6:11. 14.41. 45°. 14.42. 3:1.
14.43. arccos (13/14). 14.44. тг/6 . 14.45. arccos (l/л/Й).
14.48. л/П 14.49. 4 см. 14.50. 250 ед.3 14.51. тт/2 - arccos (l/V5l).
14.52. о/2; 5о/2. 14.53. arccos (1/3). 14.54. 17,4375.
Глава 15
15.4. ( 1/3) е Зх—5-\- с i5 5 8л/“ + з Щ + 2е~х + С.
15.6. (8 / 3)у/3х +1 - (3 / 2) 1п|2х - 5| + С.
15.7. 2x*Jx /Зл/5 - cos(4x + 2) + С. 15.8. -10cos(jc/5)-(5/2) е2*+1/3+С.
15.9. Зех + COSX + С. 15.10.2 sin х — 5 cos x + С. 15.11. (1/2) е2/*— (1/3)х
х sin Зх + С. 15.12. х + 6 In |jc — 5| +С. 15.13. In \х — 2| + С (х ф 1/2).
15.14. (1/2)х - (1/4) sin 2х + С.
678
15.15. 2\[х + (1 / З)х3 + (1 / 4)х4 +5/12. 15.16. (2/3) sin Зх - 6 cos 4х - 2.
15.17. sin х — cos х — ctg х + 5. 15.19. 11. 15.20. 0,5 In 7. 15.21. ^2/3.
15.22. 2. 15.23. 0,5. 15.24. 68. 15.25. 5. 15.26. л2. 15.27. 3,75 + 7 In 2.
15.28. 2-fe - 1. 15.29. 2 + 2 In 3. 15.30. 12 + 9 In 3. 15.31. 1,5 + In 2.
15.32. л. 15.33. (л +V3)/4. 15.34. 0,5. 15.35. 0,5. 15.36. Зл/4.
15.39. 0,5 ед.2 15.40. 16^2/15 «1,5 ед.2 15.41. 3 ед.2 15.42. 0,25 ед 2
15.43. 4,5 ед.2 15.44. 4,5 ед.2 15.45. 4,5 ед.2 15.46. 4/3 ед.2
15.47. 32/3 * 10,7 ед 2 15.48. 7/6 * 1,2 ед 2 15.49. 1 ед 2 15.50. 36 ед 2
15.51. 44/15 * 2,9 ед 2 15.52. 8 ед 2 15.53. 8/9 * 0,9 ед 2 15.54. 195/8—
- 24 1п(3/2) * 14,6 ед 2 15.55. 1 ед 2 15.56. 1/3 + In 3 * 1,4 ед 2
15.57. 4 In 2 - 2/3 * 2,1 ед 2 15.58. 7/12 * 0,6 ед 2 15.59. 7/6 * 1,2 ед 2
15.60. с2 + 1 * 8,4 ед 2 15.61. 1,5 ед 2 15.62. 3 +^2/2 = 3,7 ед.2
15.63. 2-42- 15.64. 1/6 * 0,2 ед.2 15.65. (4 - л) / 2 « 0,4 ед.2
15.66. 18 ед.215.67. In 2 - 5/8 * 0,1 ед.215.68. 8/3 * 2,7 ед.215.69. 9 ед.2
15.70. 2,25 ед.2 15.71. 20^2/3 ед.2 15.72. 10,5 ед.2 15.73. 28,5 ед.2
15.74. 364 ед.2
16. Варианты заданий на вступительных испытаниях (экзаменах,
собеседовании, тестировании) по математике
Вариант 1. 1. 12 км/ч. 2. х = 4. 3. (-<»; —4/5) U(l/5; +оо). 4. 2.
5. 24 см2. Вариант 2. 1. 2400 руб. 2. х = 4. 3. [—8/5; 2]. 4. 1.
5. 4 см2. Вариант 3. 1. 40 мин. 2. х = 1. 3. (1/2; 1). 4. tg а. 5. 5.
Вариант 4. 1. 6 дн., 12 дн. 2. х = 4. 3. (-да; -7/3) U [5/2; +да).
4. 0. 5. 5. Вариант 5. 1. 8 лошадей. 2. х = 4. 3. [—5; 1/2]. 4. 2 ctg а.
5. 9л см2. Вариант 6. 1. Уместится. 2. х\ = 10, Х2 = 100.
3. (-да; 1) U (2; +да). 4. 1. 5. 12\/2 см. Вариант 7. 1. 400 руб., 500 руб.
2. xi = -1, х2 = 4. 3. (-да; 1] ЦЗ; +да). 4. 2. 5. 42 см.
Вариант 8. 1. 2 км/ч. 2. х = —1/2. 3. (-да; —3) U (2; +да). 4. 1.
5. 9,6 см. Вариант 9. 1. 12 ч, 20 ч. 2. х\ = —2, х2 = 4. 3. (—1/2; 3).
4. sin а + cos а. 5. 1024 см2. Вариант 10. 1. 720 кн., 150 кн. 2. х = 4.
679
3. (—оо; 2/3) U (2; +оо). 4. а + 1. 5. 2 см, 8 см, 5 см, 5 см.
Вариант 11. 1. 500 чел., 400 чел., 270 чел. 2. jq = 2; х2 = 3.
3. (-оо; -1] и [6; + оо). 4. (а + Ь)2. 5. 7,5 см. Вариант 12. 1. 12 мин.
2. х = 3. 3. (-оо; -5) U(4; +ао). 4. 1. 5. 5,2 см.
Вариант 13. 1. 30 км/ч. 2. xi = 2, х2 = 8. 3. (-оо; -2/3) U [l/5; +оо).
4. 0. 5. 2 см, 6 см. Вариант 14. 1. 10 упряжек. 2. 1.
3. (—оо; 1/3) U (1; +оо). 4. sin 2а. 5. 30°, 60°. Вариант 15. 1. 160 чел.
2. 2. 3. (1; 2). 4. 3. 5. 5л/2 см. Вариант 16. 1. 5 ч; 10 ч; 15 ч.
2. {3}. 3. (-оо; -1/4)11(5/6; +оо) 4. 1. 5. 12л см.
Вариант 17. 1. 420. 2. 1. 3. (-4/5; 1/5). 4. tg4 а. 5. 2^7 см.
Вариант 18. 1. 60 км/ч, 100 км/ч. 2. х = 6. 3. [1/4; 4]. 4. 1.
5. л/Гз см. Вариант 19. 1. 945 м. 2. xi = —1, х2 = 5. 3. [4; 5).
4. 2/(1—а). 5. 1,8. Вариант 20. 1. 840 мест, 588 мест. 2. х = 4.
3. (-оо; 1/5) U (5; +оо). 4. 1. 5. 330 см2. Вариант 21. 1. 18 км/ч,
16 км/ч. 2. xi = 0,1, х2 = 100. 3. [1/2; 1). 4. а + 1. 5. 96 см2.
Вариант 22. 1. 36 лет, 18 лет. 2. х = 0.
3. (-оо; -3/4] U [4/3; +оо). 4. х. 5. 15 см, 20 см.
Вариант 23. 1. 56%. 2. х\ = 0,01, х2 = 100. 3. [7/5; 2). 4. х + 1.
5. 2,4 см, 3,2 см. Вариант 24. 1. 45 ч. 2. 4. 3. (“1/2; 3). 4. 2 sin а.
5. 5 см. Вариант 25. 1. 12 км/ч. 2. х = 6. 3. (“3/2; 2/3). 4. cos 2а.
5. 77 см. Вариант 26. 1. 800 руб. 2. х = 1. 3. (-оо; 1/3) U(3; +оо).
4. 0,5 sin 2а. 5. 50 см2. Вариант 27. 1. 15 дн. 2. xi = —1, х2 = 2.
3. (“1/3; 1). 4. sin а. 5. 20 см2. Вариант 28. 1. 9 км/ч. 2. xi = 1/81, х2 = 9.
3. {— 3} U [5/2; 3]. 4. 1 /а. 5. 20л/з см2. Вариант 29. 1. 40 т, 100 т.
2. х = 1. 3. (-оо; 0) U (0; 3/2] U [5; +ао). 4. 2 sin а. 5. 240 см2.
Вариант 30. 1. 23 дет. 2. х = 13. 3. (-оо; -4] U [4; 5). 4. 0. 5. 12 см2.
Вариант 31. 1. 18 ч. 2. х = 15. 3. (-оо;2] U [3; +оо). 4. 1. 5. 6 см.
Вариант 32. 1. 24 км/ч, 36 км/ч. 2. х\ = 1/4, х2 = 2.
3. (-оо;0) U (0;1) U (5;+оо). 4. 1/9. 5. 15 см. Вариант 33. 1. 3 ч.
2. х = 4. 3. (-оо;0) U (18; 20]. 4. 1. 5. 6 см. Вариант 34. 1. 90 ч,
680
72 ч.2. х = 3. 3. (—1; 8]. 4. 2. 5. 9 см2. Вариант 35. 1. 48. 2. xi = — 1,
х2 = 2. 3. (— оо; - 7] U [1; + °о). 4. 4(а - х). 5. 256 см2.
Вариант 36. 1. 6 х 12 (м). 2. х = 7. 3. (2; 3]. 4. ctg 2а. 5. 64л см2.
Вариант 37. 1. 15 ч, 7,5 ч. 2. xi = —л/4 + ли, Х2 = —arctg (1/2) +
+ лп, п £ Z. 3. (-оо; 0)и(0; 2)U(3; +оо). 4. а - 1. 5. 2л/з/з см.
Вариант 38. 1. 30 т, 15 т, 25 т. 2. xi = 2; х^ = 32. 3. {- 6} U [5; 6].
4. 0,25. 5. 3 см; 48 см2. Вариант 39. 1. 9,6 стр.; 8 стр. 2. л/2 +
+ 2ли, п £ Z.3. (1/2; 1) U (1; + «). 4. 1. 5. 216 см2.
Вариант 40. 1. 14 х 21 (м). 2. х\ = 10_4>5, xj = 10.
3. (- оо; - 4/5) U (1/5 ; + оо). 4. 2. 5. 4 см. Вариант 41. 1. 8 км/ч, 20 км/ч.
2. ±л/6 + ли, и е Z. 3. (-оо; -2)U(-1; 0]. 4. [4а+Щ/2.
5. 2-/Ш см. Вариант 42. 1. 8 кг. 2. х = 8. 3. (2/3; 6]. 4. 0,5 ctg4 а.
5. 8 см, 8 см. Вариант 43. 1. 12,5%. 2. л/2 + 2ли, ±2л/3 + 2ли, и е Z.
3. (-2; —l)U(— 1; 1/5)U(5; +оо). 4. 1/а. 5. 80 см2.
Вариант 44. 1. 5%, 6%. 2. л'| - л/Го, xj = 10. 3. (—2; 2). 4. 1. 5. 10 см,
20 см; 40 см, 5 см. Вариант 45. 1. 30 дн., 20 дн. 2. х = 9.
3. (-оо; -1/2]U{0}U(5/2; 3]. 4. 3/2. 5. 9л/5 см, 8л/Й) см.
Вариант 46. 1. 30 ч, 45 ч. 2. х = 0. 3. (2; 3]. 4. sin2 2а. 5. 9 см.
Вариант 47. 1. 32. 2. xi = 0,01, х2 = 10. 3. [-3; -2)U(0; 3].
4. (а + 2)/д "+|. 5. 6 см. Вариант 48. 1. 60 км/ч. 2. х = 0.
3. (-8; — 7]U(3; +оо]. 4. 2/3. 5. 6-3>/з см. Вариант 49. 1. 14 дн.
2. х = 4. 3. (- оо; - 1/4] U {0} U (5/4 ; 3/2) 4. cos а. 5. Зл/З см2.
Вариант 50. 1. 60 деталей, 48 деталей. 2. х = 4.
3. (-оо; -1/2)U{0}U(1/2; + оо). 4. —2 sin а. 5. 1,2 см.
Вариант 51. 1. 80 км/ч, 60 км/ч. 2. х = 2. 3. (— 5; —2). 4. 2 sin а.
5. 10 см. Вариант 52. 1. 1,5 кг. 2. л/4 + л«/2, л/2 + ли,«eZ.
3. (-оо; -2)U(3; + оо). 4. V#. 5. 10,08 см2. Вариант 53. 1. 80.
2.x =0,99, 3. (-оо; 0)U(0; 1/3]U[6; +оо). 4.x-у.
681
5. л/з/з см2. Вариант 54. 1. 25%. 2. ±2л/3 + 2лп, л/4 + ли, п eZ.
3. [-5/2; -1/2)U(0; 2]. 4. 1. 5. 81 см2. Вариант 55. 1. 40 дн.; 25%.
2. -л/4 + пн, arctg(3/4) + пн, п е Z. 3. (2; 3] U [4; +<х>). 4. «г2.
5. 1,5 см. Вариант 56. 1. 8 ч, 6 ч. 2. 2пп, л/2 + 2ли, п eZ. 3. (—2/3; 0].
4. {4а+Щ/.2. 5. 13 см, 14 см, 15 см. Вариант 57. 1. 60 г, 48 г.
2. х=37. 3. (3; +оо). 4. -1/2. 5. Зл/З см, 9 см, 6л/з см; 13,5 см2.
Вариант 58. 1. 140 дет./ед. времени. 2. х = 5. 3. (4; 5] U [б; +оо). 4. 1.
5. 5,4 см; 9,6 см. Вариант 59. 1. 22,5 дн., 18 дн. 2. arctg (5/3) + ли,
л/4 + ли, п е Z. 3. [—8; —3)U(—1; 4]. 4. 4х . 5. 21 см. Вариант 60.
1. 3,5 ч. 2. jq= 1; х2 = 2. 3. (-«; о)и(0; 2/3)ll(l2; +«).4. -2. 5. 100 см2.
Вариант 61. 1. 24%. 2. ас = 2/3. 3. ( — 24;—8) U [32; + оо). 4. 1.
5. 18/д/Ю см, 12л/10 см, ЗОл/lO см, 36-УГо см. Вариант 62. 1. 25 т.
2. xi = 0,0001, х2 = 10. 3. [-15;-5)U(0;5]. 4. ctg 2а. 5. l4E см,
4>/l5 см . Вариант 63. 1. 4 кг. 2. xi = 42; х2 = л/2. 3. (-оо; 2)и(2; 3,5).
4. 2. 5. 1,5. Вариант 64. 1. 10 ч, 12 ч. 2. xi = 0,000001; х2 = 1000.
3. [-2; —1] U{8} . 4. л/^ + 1. 5. 4,8 см. Вариант 65. 1. 45 059.
2. (-1)* я/12 + пк/2, к <= Z. 3. [- 1/4 ; 1/б] U [l/4 ; +оо ) 4.1.5. 2V6 см.
Вариант 66. 1. 2 л. 2. (—1)^+1тг/6 + пк, к g Z. 3. (0; 1)U (l; 4} 4. 0.
5. 5>/5 см. Вариант 67. 1. 60 дн., 30 дн., 30 дн. 2. ± л/36 ± пп/6 , и е Z.
3. (4; 5)U (5; +«). 4. Vjc. 5. 3,2 см. Вариант 68. 1. 20 мин. 2. х = 2.
3. (-оо; -5] U [2; 59/17). 4. 2. 5. 2 см. Вариант 69. 1. 50%. 2. х = 3.
3. (—8; —2] U (2; 3]. 4. tg 2а. 5. 1:5 или 5:1. Вариант 70. 1. 16 г, 20 г.
2. 2пп/5, л/2 + ли, л + 2ли, п е Z. 3. (1; +оо). 4. 4.
5. 2-УТо см. Вариант 71. 1. 10 л. 2. х = 16/25. 3. (0; 3]. 4. (1/2) ctg4a.
5. 27/4 см2. Вариант 72. 1. 164; 16/3. 2. яи/2, и е Z.
682
3. (0; 1) и (1; +°о). 4. X 5. 11:3. Вариант 73. 1. 1050 м. 2. ± л/12 +
+ ли/3, neZ 3. (3; 7]. 4. ~Ь. 5. (1 + 3>/з/4 ) см. Вариант 74. 1. 20 кг.
2. -20° + 360°и, 100° + 360°и, не Z.3. (0; 3]. 4. l/^/o7 5. 75>/1з/17 см.
Вариант 75. 1. 124. 2. = 1; x2 = 3. 3. (3/2; 4). 4. 0. 5. 4 см. Вари¬
ант 76.1. 2 л. 2. х = 1/9. 3. (-оо; 0) U (0; 1/2] U [5/2 ; +оо). 4. -0,5 sin 4а.
5. arccos 0,8. Вариант 77. 1. 80 км/ч, 60 км/ч. 2. х\ = —11/2, х2 = —5,
хз = —6. 3. (-5/2; 3-/2J. 4. — tg4 а. 5. Все стороны равны 18 см.
Вариант 78. 1. 40 раб.; 6000 ящиков. 2. х = 16. 3. (1; 2)U (2; 4].
4. 0. 5. 3-Уз см2. Вариант 79. 1. 20%, 60%. 2. х\ = ли/2, х2 = пп/5, п с Z.
3. [-3/4; -1/5) U (-1/5; 3/4]. 4. За2. 5. Зл/з/2 см2.
Вариант 80. 1. 720 км. 2. xi = 1/2, х2 = 2. 3. (- оо; - 2] U [2; 5/2).
4. 1/а. 5. 1/5. Вариант 81. 1. 60%. 2. х= 3/2. 3. (4; 6). 4. 0.
5. arccosд/2/3. Вариант 82. 1. 5%, 10%. 2. л'( = —10/3, л'2 = 2.
3. (-оо; 0) U (6; 20]. 4. sin 2а. 5. 36 см2.
Вариант 83. 1. arctg (л/2/2|; 18л см3. 2. л'( = - л/4 + лп, п е Z.
3. (-оо; 1/6) U (3/2; +оо). 4. ab. 5. arccos 0,2. Вариант 84.1. 20 м.2.х= 4.
3. (—1/6; 1/2). 4. ctg (а/4). 5. 84 см2. Вариант 85. 1. 5 ч; 4 ч.
2. х = л/4 + 2яи, п е Z. 3. (- оо; 0) U (0; 3] U [10; + оо). 4. -2. 5. л/з см.
Вариант 86. 1. 19л см/с, 27л см/с. 2. -л/4 + ли, ± л/3 + ли, и е Z.
3. (5/4; 4). 4. Vo -1. 5. 3 см. Вариант 87. 1. 14,4 ч. 2. л/4 + + ли/2.
3. (0,5; 1,5)U (1,5; 2,5). 4. 1. 5. 5 см, 8 см.
Вариант 88. 1. 4 см3. 2. xi = —5; Х2 = 5.
3. [-0,4; 0,25)U(0,25; 0,4]. 4. 2. 5. 36 см2. Вариант 89. 1. 1,5.
2. xi = -4; х2 = 5. 3. (—оо; 0) U (0; 2) U (10; +ао). 4. (l/V2)sin 2а.
5. 3 см, 5 см. Вариант 90. 1. 23. 2. xi = l/V^; Х2 = 5.
683
3. (-0,5; 0,5). 4. -\fa42. 5. 2-4л/2/з см. Вариант 91. 1. 3 л.
2. х\ = 0; = 1. 3. (1; 2)U (2; 3]. 4. 2 cos а. 5. 14 см, 29,4 см, 16,9 см,
12,5 см. Вариант 92. 1. 30 м, 25 м. 2. х\ = 1/6; xj = 6.
3. (—оо; 0) U (0; 3] U [6;+оо). 4. sin а. 5. 7Д/50.
Вариант 93. 1. 30 км, 36 км. 2. ±я;/6 + тги/2. 3. (-2,5; -/ш]
4. 14т~4пj . 5. 2/3. Вариант 94. 1. 2 кг. 2. х\ = 3; Х2 = 7.
3. (7/3; 3). 4. —0,25 sin 8а. 5. 36 см2. Вариант 95. 1. 42,3%. 2. х = 2,5.
3. (-оо; -1/9) U (1; +оо). 4. 2. 5. 6 см. Вариант 96. 1. 220 кг. 2. {2; 5}.
3. (-1/2; О)U (О; 2). 4. 0. 5. 6 см. Вариант 97. р = 60%, отно¬
шение цен товаров А и i? равно 1:2. 2. {5; 1/625}.
3. [-0,5; о)U (О; 2]. 4. -х3. 5. 130/17 см. Вариант 98. 1. 320 км/ч,
400 км/ч. 2. х = 11. 3. 0. Вариант 99. 1. 9 кг, 6 кг. 2. х = 3. 3. 25.
Вариант 100. 1. 32. 2. х\ = 2,Х2 = 3. 3. (а + Ь)/(b — а).
Вариант 101. 1. 80 км. 2. х\ = 1,5, x-i = 3. 3. (6 — а)/Ь.
Вариант 102. 1. 5 кг. 2. jq = —7, jc2 = 2. 3. cos2 а.
Вариант 103. 1. 40 ден. ед. 2. (3/2; 9/4]. 3. х2 + 1.
Вариант 104. 1. 5 ч. 2. (-оо; —з]IJ (5/2; +оо) 3. 1.
Вариант 105. 1. 420 га; 35 га. 2. х = 3. 3. 1.
Вариант 106. 1. 10 ч, 15 ч. 2. х= —2. 3. 2. Вариант 107. 1. 8 ден.
ед., 7 ден. ед. 2. (— оо; — 9] U [3; +°°). 3. 0,5. Вариант 108. 1. 33 года,
13 лет. 2. Л'1 = 0,0016, xi = 25. 3. х Вариант 109. 1. 25 студ., 20 студ.,
23 студ. 2. х= 2. 3. 10. Вариант 110. 1. 12 л, 36 л. 2. (3/2; 2].
3. а. Вариант 111. 1. 2100 юношей, 2940 девушек. 2. (—1; 2).
3. 2/cos а. Вариант 112. 1. 18 км/ч; 12 км/ч. 2. х = 4.
3. 10/(2а + 1). Вариант 113. 1. 35 учен., 32 учен., 30 учен.
2. х = 2. 3. 2 sin а. Вариант 114. 1. 270 км. 2. х\ = 3/2; xj = 3.
3. [4а ~4b^j4. Вариант 115. 1. 2 км/ч. 2. (“5/4; 3/2). 3. —tg 2а.
Вариант 116. 1. 30 дн. 2. (0; 6). 3. 0,5 tg а. Вариант 117. 1. 10 ден.
ед., 12 ден. ед. 2. (2/3; 3/2). 3. —1. Вариант 118. 1. 2,4%. 2. х = 3.
684
3. —0,25. Вариант 119. 1. 16 км/ч, 4 км/ч. 2. х\ = 3, Х2 = 4.
3. 0. Вариант 120. 1. 10 дн. 2. х = —1. 3. 0. Вариант 121. 1. 2л4б см.
2. (-оо; 0)U (6; 8].3. [4а + V/Tjjl. Вариант 122. 1. 3 см, 4 см, 5 см.
2. [0; 6]. 3. 4х + yfy. Вариант 123. 1. 3,6 л; 2,4 л. 2. х = 8. 3. sin 4а.
Вариант 124. 1. 390 см2. 2. jq = 2; Х2 = 4. 3. —6.
Вариант 125. 1. 21 ряд; 5 рядов. 2. xi = 1; = 2. 3. 2.
Вариант 126. 1. 5 х 5 х 2,5 (м). 2. (-оо; -4/3] U [4/3; 4,5). 3. 1.
Вариант 127. 1. 100 км/ч. 2. х\ = 1/128; Х2 = 2. 3. tg2 2а.
Вариант 128. 1. 75%. 2. -я/4 + ли, ли, u&Z. 3. - Ja/Jx .
Вариант 129. 1. 49 см2. 2. 0. 3. —2. Вариант 130. 1. 25/6.
2. [-0,6; 0)1) (0; 0,6]. 3. ayfb.
Вариант 155. 1. ((1 - Vl7) /8; 1] U [3; +оо). 2. 192. 3. я/4 + 2лк;
Зл/4 + 2ли, к, и е Z. 4. (1 ±Jl)/2. 5. 12/5. 6. (2;9), (-9; -2), (-8; -3).
Вариант 156. 1. [7/5; 10/7) u(l 0/7; 9/5).
2. х = 2. 3. а2(1 + л/з)/4. 4. х^я/16, дс2 = Зтт/16. 5.48 ч.
6. (л/2 + яА:); l/V2, к eZ, если а = —1/2; (яЛ:; 1/V2) к е Z,
если а = 1/2; 0, если а ф ±1/2.
Вариант 157. 1. х = ~4. 2. 6.3. [-6; -4] U (л/8; з) 4. 3/4.
5. 11л/12 + 2ли, —7л/12 + 2лк; и, к е Z. 6.12^/3”-4л/3 ед.2
7. [5V2/2; 5].
Вариант 158. 1. [0; 15/4] U (4; +оо). 2. 2 млн. 400 тыс. руб.
и 3 млн. 600 тыс. руб. 3. 36. 4. (log2 (49/16); log2 7).
5. л/89/з - 2; >Щ/з - 2. 6. arccos (6 - л/зз ). 7. -187; -819. Вари¬
ант 159. 1. Утверждение справедливо. 2. [—1/2; 0] U
U [7/3; 5/2). 3. (-2; 3), (-3; 2), (-1; 5), (-5; 1). 4. 20 рабочих; 6 ч.
5. л/6 + 2л£, 5л/6 + 2л/, л/18 + 2лиг, 17л/18 + 2ли\ к, I, т, и е Z.
685
6. 7. (2/3) (2 -V3). Вариант 160. 1. [1; 4]. 2. 210. 3. (-1/2;
1оёз(3/yjl), log2(2/V3); -1/2). 4. и = 3, 180 руб. и 240 руб. 5. Зл/З .
6. (-1; Jl/3 )U(V2T3 ; 1). 7. 5. Вариант 161. 1. л/3 /3.2. 5/4; 3/2.
3. 9/2. 4. (-5/2; -2) U (2; 3]. 5. 17 100 руб. 6. -14. 7. 1/6.
Вариант 162. 1. 8/3(л/ 4 + ли), и е Z . 2. 60. 3. 2 млн. 216 тыс. руб.
4. (-оо; 1 - yjl4] U [—Jl7J3; - 2) U (1; 'JvTJb ].
5. 3 + у(3; 2(3 + л/З); 3(1 + >/3). 6. (-1; 2); (2/>2 +2^-1;-1 + 1/^),
(2/>2+2/>-1; -1-1/(/> + 1)), где е Z, ф -6; -1; 0; 5. 7. (0; 4л).
Вариант 163. 1. {-1/2; 1}. 2. (1/2; 1)11(6; 13/2). 3. {13л/5}.
4. 24 трактора в первой бригаде, 45 — во второй. 5. yfl .
6. а е [-1; 1/4] U [1; +°о). 7. 2л + 8. Вариант 164. 1. х = —7; у = 5.
2. Зл/4 + 2л£, 5л/8 + 2ля; к, не Z. 3. (-00; log35)U(3/2 +log2 3).
4. 27 тыс. руб. 5. 10V3. 6. (3-V5; 7/2)11 (5; 10]. 7. 2.
Вариант 169. 1. -4. 2. 1. 3. 17. 4. 110. 5. 1. 6. 5. 7. -0,5.
8. 120. 9. 30. 10. 5. Вариант 170.1. -0,25. 2. -3. 3. 2.4. -2. 5. 0,5. 6. 3. 7.10.
8. 3. 9. 1. 10. 96. Вариант 171.1.20. 2. 2. 3. 1. 4. 1. 5. 16,25. 6. 14. 7. 2. 8. 6.
9. 5. 10. 2. Вариант 172. 1. 240. 2. 24,8. 3. 50/17. 4. 30. 5. 3. 6. 17. 7. 1.
8. 6,25. 9. 108.10. 5. Вариант 173.1. 62. 2. -1. 3. 0,5. 4. 9. 5. -3. 6. 3.7. 90°.
8. 7.9. -0,375.10.1,25. Вариант 174. 1. 60. 2. 10. 3. 9. 4. 48. 5. 0,86. 6. 0.
7. 5. 8. 3. 9. 2. 10. 3. Вариант 175. 1. 2. 2. 3. 3. х\ = 1, xj = 4. 4. 15л/8;
19л/16. 5. (0; (7/3)1о§з5). 6. [-5/4; -1] U [1; +«). 7. а с (-92; 0). 8. 6.
9. 83. 10. 5=10. Вариант 176. 1. -2. 2. (-oo;-3)U{-2}. 3. [0; 2].
4. arccos 0,4. 5. 0. 6. —3,5. 7. 25. 8. а е {±2; 6; 8; 10}. 9. от 25% до
32,5%. 10. 27/(7+V?). Вариант 177. 1. 7. 2. 12. 3. -2. 4. 36. 5. -3. 6. 2.
7. 7,5. 8. 1. 9. 0. 10. 40. Вариант 178. 1. 16. 2. 1. 3. 1,5. 4. 11. 5. 1.
6. 261. 7. 6. 8. 11. 9. 2. 10. 6. Вариант 179. 1. 25. 2. 2. 3. 0,75. 4. 21.
5. 3. 6. 14. 7. 45. 8. 1. 9. -1. 10. 3,2. Вариант 180. 1. 40. 2. 0. 3. -4.
4. 2. 5. -1. 6. 4. 7. 2. 8. 18. 9. 1. 10. 3.
686
Вариант 181. 1. 137. 2. 1. 3. 1,25. 4. 2. 5. 2. 6. 3. 7. 90. 8. -3,5. 9. 3.
10. 15. Вариант 182. 1. 150. 2. -307. 3. -48. 4. 4. 5. 5. 6. 9. 7. 243.
8. 2. 9. 0. 10. 7. Вариант 183. 1. 17 867. 2. 2. 3. 9. 4. 7. 5. 2. 6. 58.
7. 120. 8. 4. 9. 0. 10. 60. Вариант 184. 1. 150. 2. 210. 3. -3.
4. 1 корень (х = 1/^6). 5. 4. 6. р = П. 7. 60. 8. 162. 9. 1. 10. 45.
Вариант 185. 1. +л/3 + ли, mcZ 2. (- l)/l arcsin||VT7 - з|^4| + ли,
neZ. 3. Зл/з/4.4. -2/3. 5. 10%. 6. Jte{fl + l}U(0; 4) при
a е (-oo;-l); х е[0; 4) при а е [-1; О); х е(и; 4) при а е[0; 3];
х е (а; 4) U {а + l} при а е (3; 4); х е [а + 1} при а е [4; + да). Ва¬
риант 186. 1. Х\ = —1,8, %2 = 23. 2. (- l)A л/3 + 2пк, к е Z . 3. х = 9.
4. МР = (- 3/5)ОМ + (9/5)ЖХ 5. (х-6)2+(у-2)2 =68. 6. 186 кг,
210 кг. Вариант 187. 1. 510 руб. 2. х = 3. 3. (-да; -24/55).
4. ОД = (-9/2) 04 + (13/8)ОС+ (39/2)OD. 6. -л/2+2ли, л/6+2ли,
5л/6 + 2ли, ueZ.. Вариант 188. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 3. 5. 1. 6. 5. 7.
(-да; -4). 8. а) 6; б) а е (0; l), в) 11. Вариант 189. 1. х = 2.2. х = 2,
у = 1. 3. х = 1. 4. (—9/7; 1). 5. (5/2; +да). 6. 154 квартиры, 144
квартиры. 7. х = 9 л/10, у = -л/5. 8. Б. 85/6 ед.2 9. (100; 1000] U
[10 000; +да). Вариант 190. 1. х = 6. 2. х = 2, у = 1. 3. (—6; 2) U
(3; +да). 4. х = 1/2. 5. (3; 13). 6. х = ±(5л/14) + 2ли, х = л, х = 2л,
и е Z. 7. 2л/ш . 8. Б. а = 3. 9. А. [3; +да). Б. (2; 5/2) U [3; 4). Ва¬
риант 191. 1. xi = -1/5, х2=1.2.х= 16. 3. (-да; -6) U (4; 5). 4. (3/2;
+да). 5. —л/3+ли, neZ. 6. 15 см. 7. 96 квартир. 8. А. х = 10; Б. (1; 2]
U (3; log213] U (Ю; +да). 9. А. График—гипербола — (х+4)/(6х+19)
с центром (—19/6; —1/6) прих^ —3. хф — 2. Б. а е [—3/13; —1/5]. Ва¬
риант 192. 1. Xi = —1, Х2 = 5. 2. х = 0. 3. х = 5. 4. 1. 5. ±л/3 +ли, и е Z.
6. (-5/4; 1) U [3/2; 2) U (2; 3). 7. 5л. 8. А = 9/16; р = 16/9, q = -16/9.
9. А. Функция у = j(x) возрастает на (2-2/л/З; 2 + 2/л/3) и убы-
687
вает на (-оо; 2-2/у/з) и на (2 + 2/ %/3; + оо);
/^(2 + 2/73)= 16^/9;/пш(2-2/7з)= -1бТз/9. Б. а = ±16>/з/9.
Вариант 193.1. =-6, х2 =4, Xj =6. 2. х = 4, у = -1. 3. х1 = -1, х2 = -5.
4. (1; 3) U (4; +оо). 5. п/4 + пп, nn;neZ. 6. А, х = 1. Б. [1; 10].
7. (-Зл/2 -1; - 3V2 +1) U (3%/2 -1; 3V2 +1). 8. А. 10:3.
Б. р = -7/3, q = 10/9. 9. А. ДД-ЗД-54, /шх(3) = 54,
Д±373) = 0, ДО) = 0. Б. 1 корень, если а <-51, а >57; 2 корня,
если а = -51, -3<а<3, а = 57; 3 корня, если -51<а<-13,
а = -3, 3 < а < 57; 4 корня, если -13 < а < -3.
Вариант 19.8. 3. Г. 5. Б. 7. Г. 8. А. 9. В. 10. Д. 11. Б. 12. Б. 13. Г.
14. Д. 15. А. 17. Г. 18. Г. 19. Д. 20. А. 21. А. 22. Б. 23. В. 25. Б.
Вариант 200. 1. А. 2. В. 3. А. 4. Д. 5. Д. 6. В. 7. А. 8. Г. 9. Д. 10. В.
Варант 202. 1. 92. 3. 80. 4. 10. 5. 0. 7. —3. 8. Нет решений. 9. —2.
12. 30. 13. 2. 14. 3. 16. -1. 17. 135. 19. 150. 20. 7. Вариант 203. 1. 4.
2. 1. 3. 9. 4. 12. 5. 3,6. 6. 2. 7. 9. 8. -3. 9. 3. 10. 16. 11. 3. 12. 20.
13. 4,5. 14. 49.15. 1. 16. 1,5. 17. 1,5. 18. 15. 19. 1. 20. 270,08. Вари¬
ант 204. 1. -1. 2. 0,25. 3. 4. 4. 60. 5. 4. 6. 1. 7. 10. 8. 45. 9. 96. 10. 1,5.
Вариант 205. 1. ± |5тг / 8- 0,5 arccos j + тш|, п = 0,1,2,..;
±(-Зл/8+0,5 arccos (l/2>/2)+ля), п = 1,2,...; 2. (-00; 0)U (V2; +ooj.
3. xi = 1/9; х2 = 3. 4. Решений нет. 5. ((10и-7)6"+1+42)/25. 6. 16 л.
7. arccos л/317 . 8. 5 = 3/2, и = 2/3, v = 1.9. Основание 9 см, бо¬
ковая сторона 7,5 см. 10. arctg(4 tga / %/з ); arctg|2 tg аД/з|; а.
Вариант 206. 1. ;ш/2, (-1)*, arcsin ((Vl3 —1)/4^, п ,к с Z .
2. (О; 1/2) U (1; 2) U (3; б) 3. хх = -1, х2 = 2. 4. 120/119. 5. 128 п/9 дм3.
6. 10 см, 1073 см , 20 см. 7. 1,6. 8. 62,5 тыс. руб. 9. х = 15.
10. 123 525. Вариант 207. 1. х = 1. 2. пк/6; тг/24+тш/12; к, п eZ.
688
3. ( -оо; 2). 4. 3. 5. (2; 9). 6. 25 мин. 7. кг = 2(2 +S), к2= 2(2 —JS).
8. (0; l/л/з ;2/л/з ), (0;-1/л/3;-2/л/3). 9. 2V3. 10. л/6.
Вариант 208. 1. (3 - 2л/3; 3 - л/7]ЦЗ + -JT; 3 + 2л/3).
2. (л/4)(4и + 1), (я/12)(6к + (-1)*), п е Z.3. 1/2. 4. -8. 5. ~2. 6. 3.
7. (1 + 2) (21+ 1) (51-1) (1-5). 8. 40 дн., 25%. 9. ab42/(a + b).
10. 30°. Вариант 209. 1. (-2; -1) U (-1; (3 -л/Г7)/2) U ((3 +
+ л/17)/2; 4). 2. 8а\ 3. я/4 + лп, 2лп, п е Z. 4. (0; 0,5) U (4; +да).
5. [-1/3; +оо). 6. 3. 7. 5л/2 . 8. 3. 9. л/3-3/2. 10. 2.
Вариант 210. \. х = у = 2. 2. (“5/2; +оо). 3. (—да; 0) 4. 1400. 5. 30.
6. 6. 7. (8; 9л/з/2). 8. 98 910. 9. 3. 10. а > ~2, а = -9/4. вари¬
ант 2ii. 1. xi = —4, X2 = 9, хз;4 = (5 ±л/3 )/2. 2. (п — 1)2п~1 + 2.
3. X = 71/2 + 7Ш, п е Z. 4. (-да; 1/2^5 ) U (2/у[5; Ъ/S).
5. (л/з/З; 2л/з/3; 0), (-л/З/3; -2л/з/3; 0). 6. (2; 1/2). 7. 200. 8. -0,5.
9. л/6. 10.Х1;2 = (4±л/2)/7.
Вариант 212. 1. (-да;-1). 2. (-3;-я/2). 3. 6л/з. 4. 176.
5. b е^-л/2Т/2; +да| .6. х = 1 при х е(-да; -1]; xi = —1, Х2 = 1
при а = —1; х\= 1, ^2;з = —1 ± л/l + а при а е(-1; 8)U(8; +да); х\ = 1,
х2 =— l+y/l + a при а = 8. 7. 12 лет, 18 лет, 27 лет.
Вариант 213. 1. 4. 2. 5. 5. 4. 7. 2. 8. 4. 9. 1. 10. 2. 11. 4. 12. 1.
13. 3. 14. 1. 15. 5. 17. 5. 18. 2. 19. 4. 20. 5. 21. 3. 22. 2. 24. 2. 25. 3.
26. 3. 27. 4. 28. 2. 29. 3. 30. 2.
Вариант 214. 1. 4. 5. 1. 7. 4. 9. 3. 10. 1. 11. 2. 12. 3. 13. 1. 14. 2.
15. 4. 16. 5. 17. 4. 18. 3. 19. 1. 20. 5. 21. 1. 22. 5. 23. 4. 24. 2. 25. 1.
26. 3. 27. 3. 28. 4. 29. 5. 30. 2. Вариант 216. 1. 3. 3. 3. 5. 2. 7. 5.
8. 4. 13. 1. 14. 2. 15. 4. 16. 5. 17. 5. 18. 3. 19. 3. 20. 5. 21. 2. 23. 2.
24. 1. 25. 3.
17. Единый государственный экзамен (ЕГЭ)
Вариант 217. Часть 1. А1. 3. А2. 2. АЗ. 1. А4. 4. А5. 2. А6. 1. А7.
3. А8. 4. А9. 4. А10. 3. All. 1. А12. 3. А13. 2. Часть 2. В1. 0. В2. 2.
ВЗ. 4. В4. 1. В5. 2. В6. 5. В7. -1. В8. 24. В9. 80. Часть 3. С1. 5.
689
Cl. 7. СЗ. 72. Вариант 218. Часть 1. Al. 1. А2. 2. АЗ. 1. А4. 3.
А5. 4. А6. 2. А7. 1. А8. 2. А9. 3. А10. 4. АН. 3. А12. 2. А13. 2. Часть 2.
Bl. 1. В2. -2. ВЗ. -2. В4. -1. В5. 15. В6. 7. В7. 69. В8. 72. В9. 18.
С1. .х е (-3; 1) при ае(л/4 + ли] л/2 +ли), neZ\ хе(1; + и) при
ае(-п/2 + пщ л/4 + ли), neZ. С2. 0. СЗ. —6; 3. Вариант 219.
Часть 1. А1. 4. А2. 4. АЗ. 1. А4. 2. А5. 3. А6. 1. А7. 1. А8. 1. А9. 1.
А10. 4. All. 1. А12. 1. А13. 1. Часть 2. В1. 2. В2. 1. ВЗ. -5. В4. -1.
В5. 3. В6. 3. В7. 12. В8. 80. В9. 6. С1. х е [2; + «) при
а е (2 ли', л/6 + 2ли) U (5л/6 + 2ли; л + 2ли), п eZ; х е (—2; 2] при
а е (л/б + 2ли; 5л/б + 2ли), п е Z. С2. 2. СЗ. 4; 5.
Вариант 220. Часть 1. А1. 2. А2. 4. АЗ. 3. А4. 1. А5. 1. А6. 2. А7. 4.
А8. 4. А9. 1. А10. 1. All. 2. А12. 3. А13. 3. Часть 2. В1. 5. В2. 32.
ВЗ. 2. В4. 1. В5. 1. В6. 5. В7. -3. В8. 240. В9. 10. Часть 3. С1. -8/5;
0. С2. [-1; +оо). СЗ. (-4; 4). Вариант 221. Часть 1. А1. 3. А2. 4.
АЗ. 3. А4. 2. А5. 2. А6. 3. А7. 2. А8. 1. А9. 1. А10. 2. All. 2. А12. 2.
А13. 4. Часть 2. В1. 7. В2. 32. ВЗ. 3. В4. 2. В5. 3. В6. 2. В7. 4.
В8. 40. В9. 40. Часть 3. С1. 1,75. С2. [-0,6; 1]. СЗ. (0; 1)U(1;
+оо). Вариант 222. Часть 1. А1. 3. А2. 4. АЗ. 2. А4. 2. А5. 4. А6. 4.
А7. 3. А8. 1. А9. 1. А10. 4. All. 4. А12. 3. А13. 2. Часть 2. В1. 4.
В2. 10. ВЗ. 3. В4. 3. В5. 2. В6. 3. В7. -3. В8. 84. В9. 4. Часть 3.
С1. -4,5; -0,75; 0. С2. [-0,8; 1]. СЗ. (0; 1)U (1; 6] U (12; +«).
Вариант 223. Часть 1. А1. 2. А2. 1. АЗ. 1. А4. 3. А5. 4. А6. 2. А7. 3.
А8. 2. А9. 4. А10. 4. All. 1. А12. 2. А13. 1. А14. 2. А15. 1. А16. 3.
Часть 2. Bl. (1; 2). В2. 1. ВЗ. 1/3. В4. 10. В5. -1. В6. 114. В7. 70.
В8. 14. В9. 18. В10. 5. Часть 3. С1. 4. С2. -4. СЗ. 5л/з/2. С4. 12.
Вариант 224. Часть 1. Al. 1. А2. 1. АЗ. 4. А4. 2. А5. 4. А6. 3 А7. 2.
А8. 4. А10. 1. All. 3. А12. 3. А.13. 2. А14. 4. А15. 3. А16. 4. Часть 2.
В1. 7. В2. 5. ВЗ. 25. В4. 10. В5. 6. В6. ~7. В7. 25. В8. 115. В9. 3.
В10. 3. Часть 3. С1. 64. С2. (-«; -9) U (17; -Ьо). СЗ. 120 £. С4. (1; 10).
Вариант 225. Часть 1. А1. 3. А2. 4. АЗ. 1. А4. 3. А5. 3. А6. 1. А7. 4.
А8. 3. А9. 2. А10. 4. All. 1. А12. 1. А13. 3. А14. 1. А15. 2. А16. 2.
Часть 2. В1. 6. В2. 2. ВЗ. 14. В4. 10. В5. 5. В6. -5. В7. 32. В8. 67.
В9. 36. В10. 24. Часть 3. С1. 27. С2. (-оо; -11) U (5; +»). СЗ. 144.
С4. (1; 3] U [5; 7). Вариант 226. Часть 1. Al. 1. А2. 4. АЗ. 1. А4. 2.
А5. 4. А6. 3. А7. 4. А8. 2. А9. 3. А10. 2. All. 2. А12. 3. А13. 4.
А14. 3. А15. 2. А16. 3. Часть 2. Bl. -1. В2. 2. ВЗ. 18. В4. 7. В5. 4.
В6. -3. В7. 20. В8. -57. В9. 5. В10. 3. Часть 3. С1. 0,1. С2. (0; 8].
СЗ. 10 л. С4. (7; 8]. Вариант 227. Часть 1. А1. 2. А2. 3 АЗ. 4. А4. 2.
А5. 1. А6. 3. А7. 1. А8. 2. А9. 4. А10. 4. All. 4. А12. 3. А13. 2. А14. 4.
690
А15. 4. А16. 2. Часть 2. Bl. 0. В2. 2. ВЗ. 30. В4. 3. В5. 4. В6. -150.
В7. 24. В8. 12. В9. 768. В10. 36. Часть 3. Cl. 1. С2. [-12; 0) U (0; 12].
СЗ. 12. С4.
4-; 4,5
I 9 .
Вариант 228. Часть 1. А1. 3. А2. 1. АЗ. 2. А4. 2. А5. 3. А6. 1.
А7. 3. А8. 1. А9. 4. А10. 3. АН. 4. А12. 2. А13. 1. А14. 4. Часть 2.
В1. 3,5. В2. 5. ВЗ. 30. В4. 0,7. В5. 2. В6. 9. В7. 22,5. В8. 24. В9. 40.
Часть 3. С1. (-2; 2). С2. 4я+8. СЗ. 2^2. С4. (11; +«). Вариант 229.
Часть 1. Al. 1. А2. 2. АЗ. 3. А4. 3. А5. 4. А6. 2. А7. 1. А8. 3. А9. 2.
А10. 4. All. 1. А12. 3. А13. 2. А14. 1. Часть 2. В1. 8. В2. 1,2.
ВЗ. 12. В4. -3. В5. -2. В6. 9. В7. 39 300. В8. 115,2. В9. 24. Часть 3.
С1. (6; -4). С2. 13. СЗ. 288. С4. (-«; 1) U (1; 2) U (4; 5) U (5; +«).
Вариант 230. Часть 1. А1. 3. А2. 1. АЗ. 3. А4. 4. А5. 2. А6. 4. А7. 1.
А8. 3. А9. 2. А10. 2. В1. -0,25. В2. 4. ВЗ. 2. Часть 2. В4. 25. В5. 2.
В6. 24. В7. 4,5. В8. 8. В9. 20,2. В10. 24. В11. 21. С1. т,
п £ Z. С2. -2. Часть 3. СЗ. (2,4; -7). С4. 324>/3. С5. -1,5; 1.
Вариант 231. Часть 1. А1. 3. А2. 3. АЗ. 2. А4. 1. А5. 1. А6. 4.
А7. 1. А8. 2. А9. 4. А10. 4. В1. 4. В2. 2. ВЗ. -1. Часть 2. В4. -4.
В5. 3. В6. 1392. В7. 3. В8. 11. В9. 176. В10. 100. В11. 4. С1. 7л/8 ± 3л/8+
+ 2тш, neZ С2. 10. Часть 3. СЗ. х = 2, у = 5. С4. 1,6. С5. (2/15;
8/33]. Вариант 232. Часть 1. Al. 1. А2. 4. АЗ. 2. А4. 2. А5. 3. А6. 2.
А7. 1. А8. 4. А9. 4. А10. 1. В1. 0,5. В2. -10. ВЗ. -1. Часть 2.
В4. 6. В5. 1,05. В6. 6. В7. -5. В8. 15. В9. 150. В10. 336. В11. 64.
Часть 3. С1. (-5,5; 0,075). С2. х = 5. СЗ. (-1/3/2; 0). С4. 2,6.
С5. ах = 4, х = 5; а2= 5. Вариант 233. Часть 1. А1. 3. А2. 4. АЗ. 2.
А4. 3. А5. 1. А6. 2. А7. 2. А8. 3. А9. 1. А10. 2. В1. -1,5. В2. 6. ВЗ.
2,6. Часть 2. В4. 0,2. В5. 1. В6. 2,7. В7. -2. В8. 5. В9. 16 550.
В10. 0,6. В11. 12. Часть 3. Cl. ±(jr-arccos(l/3)) + 27ro, neZ. С2.
(1; 2). СЗ. 12 дм, 12 дм, 9 дм. С4. 128/41. С5. (2; 2,5).
Вариант 234. Часть 1. Al. 1. А2. 3. АЗ. 1. А4. 2. А5. 3.
А6. 2. А7. 3. А8. 3. А9. 1. А10. 3. В1. 2,75. В2. 5. ВЗ. -26. Часть 2.
В4. 10. В5. 8. В6. 244. В7. 12. В8. 5. В9. 220. В10. 18. В11. 80.
Часть 3. С1. пп, п/4 + пп, n^Z.. С2. [8; +«). СЗ. [2; +«). С4. 35.
С5. d£(-2/5; -3/8). Вариант 235. Часть 1. А1. 2. А2. 3. АЗ. 2.
А4. 4. А5. 3. А6. 2. А7. 4. А8. 4. А9. 2. А10. 4. В1. 81. В2. 14. ВЗ. -21.
Часть 2. В4. -2,6. В5. 2. В6. 51. В7. 3. В8. 16. В9. 0,25. В10. 224.
В11. 13. Часть 3. С1. х1>2 =±2, х3 =1, х4 =-3. С2. (1,25; 5,6). СЗ.
(0; 400л/27]. С4. 384. С5. [1/5; 3/4).
691
Вариант 236. Часть 1. А1. 4. А2. 3. АЗ. 2. А4. 2. А5. 2.
А6. 2. А7. 4. А8. 2. А9. 2. А10. 2. В1. 1,25. В2. -2. ВЗ. 10. Часть 2.
В4. 30. В5. 1. В6. 45. В7. 5. В8. -10. В9. 8,75. В10. 16. В11. 15.
Часть 3. С1. пп, -п/4 + тт, n&Z. С2. [7; 23].
СЗ. [27; 126 + 36л/б).С4. 1,5. С5. (-4; 0)11(4/9; 4).
Вариант 237. Часть 1. А1. 2. А2. 3. АЗ. 2. А4. 4. А5. 3.
А6. 1. А7. 4. А8. 3. А9. 2. А10. 1. В1. 3,5. В2. -3. ВЗ. 3. Часть 2.
В4. 17. В5. 3. В6. 2. В7. -10. В8. -5. В9. 1240. В10. 4,8. В11. 10.
Часть 3. С1. 2. С2. (~4)пп16 + т, neZ. СЗ. (-1;2].С4. 1. С5. 2.
Вариант 238. Часть 1. А1. 4. А2. 4. АЗ. 1. А4. 1. А5. 2. А6. 1.
А7. 2. А8. 3. А9. 4. А10. 3. В1. 2,9. В2. 2. ВЗ. -2. Часть 2. В4. -3.
В5. -2. В6. 6. В7. 0,4. В8. 4. В9. 25. В10. 0,5. В11. 24. С1. 2. С2.
±0,5. Часть 3. СЗ. (-оо; -9)U[7/9;+oo). С4. 1/л/б. С5. -1.
Вариант 239. Часть 1. Al. 1. А2. 4. АЗ. 4. А4. 3. А5. 1. А6. 4.
А7. 2. А8. 1. А9. 3. А10. 1. В1. -81. В2. 2,9. ВЗ. -3. Часть 2.
В4. -1,5. В5. -1,5. В6. 3. В7. -0,1. В8. 5. В9. 6. В10. 0,75.
В11. 24. С1. 3. С2. 0,25; 0,5. Часть 3. СЗ. (-оо; -1)U[2,75; + оо).
С4. 64л. С5. 6.
Вариант 240. Часть 1. А1. 3. А2. 4. АЗ. 4. А4. 4. А5. 1. А6. 2. А7.
2. А8. 1. А9. 4. А10. 1. В1. -19. В2. 9. ВЗ. -45. Часть 2. В4. -6.
В5. 2. В6. 11. В7. 3. В8. 24. В9. 220. В10. 32,5. В11. 22,5. С1. 8.
С2. 4,5. Часть 3. СЗ. 0,387. С4. 3. С5. 4.
Вариант 241. Часть 1. А1. 4. А2. 2. АЗ. 3. А4. 1. А5. 4. А6. 4.
А7. 3. А8. 2. А9. 3. А10. 1. В1. -10. В2. 50. ВЗ. 7. Часть 2. В4. -27.
В5. 2. В6. 37. В7. 6. В8. 12. В9. 90. В10. 20,8. В11. 162. С1. 4.
С2. 573. Часть 3. СЗ. -55. С4. 432. С5. 12.
Вариант 242. Часть 1. А1. 3. А2. 3. АЗ. 4. А4. 4. А5. 2. А6. 2.
А7. 4. А8. 2. А9. 2. А10. 2. В1. 0,6. В2. -1,5. ВЗ. 5940. Часть 2.
В4. 2. В5. 2. В6. 13. В7. -0,5. В8. 7. В9. 13. В10. 28. В11. 12.
С1. 0,2. С2. (-1)и+1 -п/4 + пп, neZ. Часть 3. СЗ. 1<х<8, х>32.
С4. 1/л/З. С5. 6.
Вариант 249. В1. 2,75. В2. 24. ВЗ. -2. В4. -24. В5. -1. В6. 7. В7. 3.
В8. 15. В9. 75. В10. 100. В11. 4,5.
Вариант 250. В1. 25,8. В2. -16. ВЗ. 7,35. В4. 4,625. В5. 2. В6. 9.
В7. 9. В8. 384. В9. 8,75. В10. 18. В11. 15. Вариант 251. В1. -10.
В2. 23. ВЗ. 1,8. В4. 36. В5. 3. В6. 0,25. В7. 10. В8. 6, 12.
В9. 42,25. В10. 10. В11. 12.
Вариант 259. С1. (12; 15). С2. 4. СЗ. 50. С4. (—4; 4,25). Вариант
260. С1. х = 2; у = 4. С2. (2; 72). СЗ. 5/9. С4. [0,3; + да).
692
Вариант 261. Cl. (5; 3), (25/3 -29^22/12, 25л/22/12-29/3).
С2. л/З. СЗ. arctg 2. С4. (-3; -1) U {0} U (3; +«). Вариант 262.
С1. х = 3; у = 3. С2. 2у[5. СЗ. 6,25. С4. (1 5/999); 1 5/99]. Вари¬
ант 263. С1. х = 3 ;у= -3. С2. 68-61п0,6. СЗ. 8дЯ2(3-^5)/9.
С4. [1/7; 1/4). Вариант 264. С1.х=5; у = 4. С2. (0; 4я/3].
СЗ. 50 см3. С4. (8,51; 13,1]. Вариант 265. С1. х = 5; у = 1.
С2. а > 1,5. СЗ. arcsin (2/yff). С4. (1; 10). Вариант 266. С1. х = 12;
у = -8. С2. (-П/8; 3,5). СЗ. 192л/з. С4. (-«; 5).
Вариант 267. С1. х1 = 1;х2 = -7/9. С2. [-1; 1] СЗ. 2,5).
С4. 7д/44. С5. (-3; -0,25)U(4/9; 1). Вариант 268. С1. ху = ~2;
х2 = 1. С2. х = 0,25. СЗ. 72V2-58. С4. 1152. С5. 3/16/7 <q<ljl.
Вариант 269. С1. Х\^2 = ± 6. С2. [16, +оо). СЗ. 12 м, 6 м и 12 м.
С4. 1,2-\/5. С5. а = 1;х = 0 и а = 3;х1=0, х2 = log3((>/Гз" — 3) / 2).
Вариант 270. С1. (-1/11 arcsin (1/3) + як, k&Z.
Cl. (-4; 0) U (2; 6). СЗ. 6 дм х 6 дм х 4,5 дм. С4. 208/145. С5. 2,25.
Вариант 271. С1. ±2п1Ъ + 2пп, n&Z. С2. [1; 3]. СЗ. 12-\/з.
С4. 552:1225. С5. -1.
Вариант 272. С1. лк, к е Z. С2. -4. СЗ. (2; 1). С4. aV4l/8.
С5. (0; 3/2]. Вариант 273. Cl. wS. С2. л/2 + 2лn,neZ. СЗ. 4.
С4. 0,5л/2. С5. 3. Вариант 274. С1. 4^2. С2. (-1)"-л/6 + 7Ш, neZ.
СЗ. а = 0 или (3 + -\/5)/2<a<(3 + -\/i3)/2. С4. 4. С5. 2. Вариант
275. С1. 5. С2. 3. СЗ. (^»; -17) U [12; +«). С4. 297/32. С5. 1,5. Вари¬
ант 276. С1. -32. С2. 5лп, п е Z. СЗ. [-3; 2-JB). С4. 7. С5. Верно.
Вариант 277. С1. -96. С2. -2; 5. СЗ. [-4^2; 3]. С4. 9. С5. 0,3. Ва¬
риант 278. С1. 7. С2. -0,2. СЗ. 0,65. С4. 15. С5. 13. Вариант 279.
С1. 2,5. С2. 16. СЗ. 530. С4. 66. С5. 152. Вариант 280. С1. 7. С2. 0,5.
СЗ. 189. С4. 29. С5. 4. Вариант 281. С1. 156. С2. -49. СЗ. 105. С4. 6.
С5. 10.
693
ВСЕРОССИЙСКИЙ
ЗАОЧНЫЙ
ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Факультеты:
Финансово-кредитный
Учетно-статистический
Менеджмента и маркетинга
Непрерывного обучения
Повышения квалификации
Государственное аккредито¬
ванное учебное заведение
Год основания: 1930
Лицензия № 169596
от 2 ноября 2005 г.
Госаккредитация № 2190
от 10 января 2006.
Количество студентов:
более 70 000
123995, Москва, ГСП-5, ул. Олеко Дундича, 23 (м. «Филевский парк»)
Телефоны: для справок - 8-499-144-85-19,
Приемная комиссия - 8-499-144-37-61.
E-mail: main@vzfei.ru. WWW page - http://mvw.vzfei.ru
Направления подготовки:
бакалавр экономики; бакалавр менеджмента.
Специальности:
бухгалтерский учет, анализ и аудит; государственное и муниципальное управление;
маркетинг; менеджмент организации; финансы и кредит; экономика труда.
Формы обучения:
вечерняя, заочная, в том числе с использованием технологий дистанционного обучения.
694
Срок обучения:
5,5 лет. Обучение осуществляется на основе бюджетного и внебюджетного
финансирования.
Вступительные испытания по предметам:
математика, русский язык, обществознание.
Выпускники экономических специальностей
техникумов (колледжей) и профессиональных училищ (лицеев) принимаются
на факультет непрерывного обучения (ФНО) для ускоренной подготовки и
дальнейшего перевода на 3-й и 4-й курсы института. Обучение платное.
Тел. 8-499-146-37-41.
Второе высшее экономическое образование
по специальностям института могут получить лица, имеющие диплом аккредитованного
вуза. Обучение платное. Форма обучения заочная.
Прием без экзаменов. Тел. 8-499-144-37-61, 8-499-146-57-40.
На факультете повышения квалификации
проводятся: переподготовка и аттестация профессиональных бухгалтеров
и аудиторов с выдачей лицензии; повышение квалификации различной
продолжительности в области финансовой и банковской деятельности, бухгалтерского учета
и аудита, менеджмента и маркетинга, а также преподавателей вузов по экономическим
специальностям.
Тел. 8-499-144-67-70.
Центр дополнительных образовательных услуг
осуществляет подготовку по иностранным языкам, работе на ПЭВМ,
бухгалтерскому учету, экономико-математическим методам и прикладным моделям,
компьютерному анализу операций с ценными бумагами, компьютеризации
финансового анализа, маркетингу, менеджменту, статистическому анализу
и прогнозированию, управлению персоналом, праву и др. Тел. 8-499-146-62-09.
Аспирантура и докторантура
Работают пять диссертационных советов по присуждению ученых степеней кандидатов
и докторов экономических наук. Тел. 8-499-144-76-88.
Центр бизнес-образования
осуществляет подготовку менеджеров высшей квалификации по программе MBA («Master of
Business Administration»). Форма обучения заочная (модульная) и очно-заочная (вечерняя).
Тел. 8-499-144-06-44.
Общежитие предоставляется иногородним студентам и аспирантам. Во
время сессии льготные цены.
Подготовительные курсы для абитуриентов
Тел. 8-499-144-16-69, 8-499-146-51-11.
Филиалы:
в Архангельске, Барнауле, Брянске, Владимире, Волгограде, Воронеже, Новороссийске,
Калуге, Курске, Кирове, Краснодаре, Липецке, Омске, Орле, Пензе, Смоленске, Туле, Уфе,
Челябинске, Ярославле.
Международные связи:
с университетами США, Великобритании, Австралии, Франции, Испании, Швеции, Китая.